.
О.А.НОВИКОВ,С.И.ПЕТУХОВ
ПРИКЛАДНЫЕ BOПPOLbl
ТЕОРИИ MALLOBOГO ОБLЛУЖИВАНИН
"·,
·.:
1

1
1
•
"•
•
•
•
•1
'

О. А. Новиков, С. И. Петухов
П РИКЛАДНЫЕ ВОПРОСЫ
Т ЕОРИИ
МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
Под редакцией
академика АН УССР Б. В. ГНЕДЕНКО
~
--~""-=~
1 ехи.ичес11.а!I'- биб 1шотека. !
1\иенкпй ~
ьнацш~ань1ii завод ~
~5Sii,.........,...."~
«Советское радиО» Москва 1969
');'.
Uoиюf11914i ··

УДК 621.3.019.3
Новикоn О. А" Петухов С. И. Прикладные вопросы тео·
рии массового обслуживания. М" И~д -во «Советское радио:., 1969,
400стр"т. 14200экз"ц.1р.29к.
В книге сделана попытка создать руково дство по решению
практических задач с помощью методои теор и и массового об­
СJ1уж ивания . Это руководство достаточно полн о отражает все
имеющиеся достижения в этой области.
Идеи и методы теории массового обслуживания за послед-
11се время весьма широко распространяются во м ноги х п ри -
1\ладных областях, причем · круг практических задач, решаемых
методами этой теории, непрерывно расширяется.
Основная цель книги - помочь изучающим теорию . массо­
вого обслуживания приобрести навык и применения ее резуль­
татов для решения различных практических за дач.
В р·аботе рассмотрены основные виды систем массового
обслуживания. В каждом параграф е дан а краткая сводка не ­
обходимых рабочих формул и схем решения, приме н е ни е ко­
торых иллюстрируется решением типовых задач. В некоторых
из них рассмотрены возможности при менения эко номическо го
анализа и выбора оптимального. решения по экономическим
показателям.
В книге приво дится ряд г:олученнLrх ори г инальных резуль­
татов по системам с приоритетами, нак оп rп е11 яы и , управлением
работой обслуживающих приборов и других . В· ней рассмотре­
ны некоторые вопросы оценки точности получаемых результа­
тоn n зависимости от точности исходных данных. Приводится
оригинальный метод моделирования систем массо nого обслужи·
ванин с использованием аналоговой техники.
Для простоты и удобства при решении задач в приложе-.
нии приводятся таблицы и графики, большнчствu которых ра·с-
считано и составлено авторами.
_
Книrа предназначена для широкого круга инженеров, на­
учных работников, учащихся высших учебных заведе ний ,
а также для тех, кто желает самостоятельно выработать прак­
тические навыки применения методов теори и м ассового обслу­
живания.
3-3-14
11-69
Табл. 51, рис. 54, библ . назв. 23.
_.....
../'.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Идеи и методы теории массового обслуживания по·
лучаю1:_ все большее распространение. Сначала они ис·
пользовались для решения только вопросов связи, а за­
тем были распространены на бытовое обслуживание,
военное дело, здравоохранение, исследование динамики
функционирования достаточно сложных систем, техно­
логических потоков ремонта, контроля и других произ·
водственных процессов и т. д .
Литература по этим вопросам содержит большое
количество теоретических исследований, но она мало
доступна специалистам-практикам. Поэтому назрела
необходимость в издании руководства по решению
практических задач с помощью методов теории массо­
вого обслуживания. Это руководство должно достаточ­
но полно отразить все имеющиеся достижения в теории
массового обслуживания, доведенные до расчетных за­
висимостей. Руководствуясь этими соображениями, авто­
ры поставили задачу максимально упростить пользова·
ние книгой при решении практических задач.
Для понимания и применения изложенного в книге
материала достаточно знаний курса высшей математи­
ки в объеме втуза и знания теории нероятностей (в объе­
ме , например, книги Е. С. Вентцель [7]).
Авторы стремились также возможно полнее осветить
уже полученные ранее в теории массового обслужива­
ния результаты, размещенные в многочисленных жур­
нальных статьях и монографиях. В книге приведены
полученные авторами оригинальные результаты, рас­
смотрены вопросы оценки точности получаемых резуль­
татов в зависимости от точности используемых при рас­
четах исходных данных. Моделирование задач теории
м ассовgг9 обслуживаю1~ ца ЭЦВМ в книге не рассма-
3

тривалось, так как оно достаточно полно изложено
в книге Н. П. Бусленко «Математическое моделирование
производственных процессов». В работе показан ориги­
нальный метод моделирования систем массового обслу­
живания, разработанный Б. П. К:амневым.
Приведенные в книге примеры явл яются чисто ил­
люстративными и не могут претендовать на полноту и
точность отображения рассматриваемых явлений.
Работа над книгой распределялась между авторами
следующим образом : С. И . Петуховым написаны гла ­
вы 1-3; О. А. Новиковым - гл . 4-6 и приложения,
подготовлены таблицы. Гл. 7 написана совместно по ма­
териалам работ, сделанных В. П. Мелик-Саркися.ном и
Б . П. К:амневым. Мы выражаем им свою признатель­
ность.
Авторы выражают глубокую благодарность Б. В. Гне­
денко, прочитавшему рукопись и сделавшему ряд су­
щественных замечаний, а также Н. П . Бусленко и
Т. П. Марьяновичу за помощь и советы при работе над
книгой.
К:нига является попыткой создать руководство по
проведению расчетов с использованием методов теории
массового обслуживания.

Введение
1
СОДЕРЖАНИЕ ПРЕДМЕТА, ЗАДАЧИ
И МЕТОДЫ ТЕОРИИ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
Ежедневно в призводственной деятельности и в бы ­
ту возникают такие ситуации, в которых появляется по ­
тр еб но сть в массовом обслуживании . Очень часто об­
слу живающие ~организации раополагают ограниченны­
ми возможностями удовлетворения спроса на обслужи­
ва ние . Это, как правило, приводит к созданию очере­
дей. Примеры подобных явлений встречаются на каж­
дом шагу: очереди в магазинах, в билетных кассах, на
остановках автобусов \1 троллейбусов, задержка ремон­
та бытовых приборов в ателье по обслуживанию населе­
ния, скопление самолетов над аэродромами из-за отсут ­
ствия свободных посадочных полос , задержка в ремонте
вышедших из строя станков, военной техники в 6оевых
условиях и т. д. Хотя приведенные при м еры взяты из
различных областей человеческой деятельности, в-сем им
присущи одинаковые формальные приз наки, которые
позволяют их описать с помощью одного и того же ма­
тематического аппарата. Во всех этих ситуациях п еред
теорией стоит задача достаточно полно описать суть
происходящих явлений и установить с необходимой для
практики точностью количественную связь между чи­
слом приборов обслуживания, характеристиками входя­
щего · потока требований (заявок) и качеством обслу­
живания . При этом под качеством обслуживания по­
нимается, наскольк о с воевременно проведено обслужи­
вание поступивши х в систему требован ий . Естественно,
5

что качество обслужинания надо как-то количестпенно
оценить. В настоящее время для такой оценки разрабо­
тано много критериев, полезность каждого из них опре­
деляется поставленной задачей исследопания. Вопрос у
выбора критериев для решения различных задач в этой
главе отведено значительное место. Как правило, за д а ­
ча исследопания систем массового обслуживанил сво­
дитсл к необходимости определения оптимального пото­
ка для обеспечения необходимого качества обслужива­
ния .
Общей особенностью всех задач, связанных с мас­
совым обслуживанием, является случа йны й характер ис­
следуемых явлений . Количество требований на обслу­
живание и временные интервалы между их поступления­
ми , длительность обслуживания требований случайны .
Время пребывания требований в некоторых видах си­
стем массового обслуживания также случа йно. При этом
случайные колебания величин не носят характера не­
больших возмущени й. Наоборот, это основнап черта
рассматриваемых явлений , что накладывает отпечаток
на свойства получаемых зависимостей, с помощью кото­
рых производится оценка качества функционирования
систем.
Теория массового обслуживания - прикладная от­
расль математики. Нужно сказать, что первые задачи
теории массового обслуживания были достаточно про­
сты и допускали получение окончательных аналитиче­
ских зависимостей. Однако с каждым годом круг этих
задач расширяется. Это развитие идет как ~ПО л1ини и
увеличе1{ия сф еры приложения теории массового обслу­
живания, так и по линии усложнения стоящих пер ед
ней задач . Расширяется и круг ученых , работающих над
ее развити ем. Большой в1\лад сделали советские учены е
А. Я. Хинчин, Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленка,
Н. П. Бусленко, Ю. В . Прохоров и многие другие . Под­
робrшй обзор литературы дан в рл де моно графий [13 ,
22].
В настоящее время в теории массового обслужива­
ния рассмотрено много математических схем, что услож­
нило их классификацию. Теперь уже назрела необходи­
мость в построении общей математической теории, ко­
торая бы позволила анализировать работу различны х
систем универсальными методами. Один из возможных
варищпов рещеция ~ТQЙ ?~дачи предложен Н. П . Бу-
6

сленко в [б], где он рассматривает агрегатные системы
весьм а общей структу ры . Дл я их реш ения предлагает­
ся универсальный метод - метод статисти,rесrшх испы- ·
та ний (Монте - Карло). В этом напра вл ен ии интересно
такж е предложение И. Н. Ков а ленк о {1 2] по использо­
nа нию в рамках обобщенны х схем некоторого класса
з ад ач теории марковских процессов для исследова1-iия
и х структуры, установления свя з и эфф е ктивности си­
сте мы с эфф ективностью отдельных агрегатов и т. д.
Вс е , о чем мы говорили, спязано с решени е м з ада­
ч н : при известных параметрах пото к а требований в си ­
сте му дать анализ ее функционирования. Но не менее
11 : 1 ж 11 ы м представляется решение обратно й задачи - по
х: 1 1н1 1п· с р и стикам выходящего потока и системы дать мe ­
'J'OJ ~ 0 11р едел ения параметров входящего потока, кото­
р1 ,1 i'1 будет своевременно обслужен. Работы в этом на-
1 1 1н111 J1 с11ии только начинаются.
1. 1. - 1 10вные элементы системы массового
() Н'./\УЖИ1)31JИЯ
<:11<"1'\'~1 11 м;~с ·опоrо
обсл уж и ван ия характеризуется
1"1'ру1<·1·у1ю1"I, 1<оторая 011рсде.пяется составом и функцио-
11 ;1.111,111,1 м н сппзями. Она состоит из следующих элемен­
то 11 : в ходя ще го потока требований, приборов (каналов)
о бСJ1 у жи в ания, очереди требований, ожидающих обслу-
Пμu6оры
поток
Очереilь __..,,.. О
о
.......-
-~
/оос-----0-
·----
о
,
,
ооо-о----
. ..... ()
·--- -. .._
-~
о
ВыхоJлщиu
BxoiJящuu
потах
ооо(>о
000000
Рис. 1.1 .1 . Общая схема систем массового обслуж и вания .
жи вания, и выходящего потока требовани й . Общая сх е ­
ма системы массового обслужи в ания, состоящей из
одной группы приборов, показана на рис. 1.1.1. Эта
схема может быть усложненй, если система состоит из
ряда последовательных приборов или из ряда последо­
n ательно и параллел ьно связанных приборов или имеет
е; це более сложную сетевую структуру. Воз можны си-
7

стемы, в которых отсутствует такой элемент, как оче­
редь (системы с отказами).
Входящий поток представляет собой совокупность
требований, которые поступают в систему и нуждаются
в обслуживании. Само требование можно рассматривать
как запрос на удовлетворение какой-то потребности.
Часго требование отождествляется с его носителем.
Примеров входящих потоков можно привести много.
Это поток информации, поступающей на обработку
в ЭЦВМ; поток клиентов, приходящих в парикма­
херскую; больных, поступающих в больницу, поликли­
нику; приходящие в порт суда; налетающие на объект
у дара ·самолеты противника и т. д.
В приведенных примерах в качестве требований вы­
ступают соответственно клиенты, больные, суда, бомбар­
дировщики. Состав системы определяется еще и ко­
личеством каналов (приборов, линий и т. д). По коли­
честву каналов (приборов, линий) системы можно раз­
делить на одноканальные ·и многоканальные. Примером
одноканальной системы может служить парикмахерская
с одним мастером, одиночный пункт ОТК на потоке,
бензозаправочная колонка и т. д. Естественно, что в м1-10-
гоканалы-1ых системах число приборов должно быть рав­
но двум и более. Подобные системы встречаются го­
раздо чаще. Как правило, число приборов в многока­
нальных системах массового обслуживания ограничено.
Однако возможны случаи, когда их настолько много
(число трактороn и другой ·сельскохозяйст;венной техни­
ки, участвующей в уборке урожая на полях области,
края и требующей ремонта в процессе эксплуатации,
автомобильный_ парк области, вооружение крупных со­
единений, которое требует ремонта в период боевых
действий, и т. д.), что выгоднее рассматривать их как
системы с бесконечным числом приборов, каналов.
В свою очередь, многоканальные системы массово­
го обслуживания могут состоять из одинаковых, одно­
типных приборов или (чаще всего) разных, отличаясь
производительностью при обслуживании. В самом деле,
мастера по ремонту радиоаппаратуры в ателье, продав­
цы в магазинах, кассиры и т. д., несмотря на практиче­
ски одинаковые условия работы, из-за различных при­
чин (опыта, психического состояния, опособностей и др.)
работают с разной производительностью.
8

При решении многих п е речисленн ых задач под тер­
мином «обслуживание» понимается удоnлетворение по­
требностей. Так, в приведенных примерах систем под
обслуживанием понимается стрю1ша, бритье и другие
операции, которые производятся над кJJ ие нтами в па­
рит<махерской, прием больных в больнице, разгруз1ка cy-
JlOB в порту, обстрел бомбардировщиков системой ПВО
объекта и т. д.
НескоJJько cJJoв о качестве обсJJуживания. Под каче­
ством ряботы систем массового обслуживания п онима ­
е тс я r1c то, 1<ак хорошо выпоJJнено само обслуживание
(1« 1 1 1 сс тпо ремонта, погрузка судов и т. д.) - это оцени-
1 1i1t'тс51 ;1. р у г11ми критерипми, - а как хорошо организо-
111111 0 о > С.1 1 уж 11оя11и , 11 ас 1< 0.пько поJJно загружены oбcJ1y­
)1<1i11 111 0 11 l11 t' 11 p 11 rio pь1, не создается JJИ боJJьшая очередь
11 J11 1 11 ' в сJ111 1< JJи уход из системы необсJJуженных тре
>011ЯJIИЙ.
При решении практических задач, связанных с си­
с те м :i ми массового обслуживания, очень важно оценить
и х полнодоступность, т. е. возможность каждого требо­
п а ннп поступить на обсJJуживание JJюбого прибора си­
сте мы. EcJJи это усJJовие н е выдержиuается, то систе ма
11а з ываегсп неполнодоступной. Примером может служить
снстема. .противово здушной обороны объекта, ·п еред ко­
торой сто·ит задача отражения наJJета самолетов ,проти в­
ника в широкой пoJJoce. EcJJи лoJJoca налета достаточно
широка и .полно·стыо не •пер екрывается з о намн действи­
теJJьного огня всех о г невых средств обороны, то, пидимо,
они не могут обстреJJять любой самолет в Ji aJJeтe,
а «обслуживают» только те, которые проJJетают через
зоны их действительного огня.
Выходящий поток - это поток требований, покидаю­
щих систему. Требования потока могут быть обсJJуже­
ны приборами системы и не обслужены.
ИссJJедование структуры выходящего потока имеет
большое значение, так н:ак он может быть входящим
потоком ДJJЯ другой группы приборов. Распределенн е
требований в выходящем поток е во времени зависит от
плотности входящего потока и характеристик работы
приборов обслуживания системы. Например, плотность
потока отремонтированных радиоприемников из ателье
зависит от производительности мастеров по ремонту и
загрузки ателье неисправной аппаратурой, поступающей
от населения .
9

Основной задачей массового обслужи в ания является
определение количественных показателей функциониро­
вания систем массового обслуживания и их зависимо­
сти от параметров входящего потоr<а и структуры собст­
венно системы (ее состава и функциональных связей).
Решение этой задачи дает возможность найти в систе ­
ме слабые звенья, определить их влияние на эффектив­
ность обслуживания и найти пути их улучшения или при
заданных характеристиках потока требований и крите­
рии качества обслуживания дать предложения о струк­
туре системы, которая обеспечит выполнение постав­
ленной перед ней задачи . Для решения этого могут
быть привлечены различные методы 01птимизации: ли­
нейное или нелинейное программирование, динамическое
программирование, теория игр и др.
1.2. Входящий поток требований (заявок)
Процесс поступления в систему массового обслужи­
вания потока требований является вероятностным и
представляет собой поток однородных или неоднород­
ных событий, которые наступают через случайные про­
ме.жут1ш времени. Поток требований можно представить
в виде графика одной из реализаций случайной функ­
ции, принимающей лишь целые неотрицательные значе­
ния. При этом каждая из реализаций является неслу ­
чайной функцией с конкретными временными интерва­
лами между появлениями событий (рис. 1.2 .1). Случай­
ные временные интервалы между наступлениями собы ­
тий в потоке могут подчиняться различным законам
распределения. Однако в подавляющем большинr::rве
работ по теории массового обслуживания, особенно при­
кладного характера, рассматривается пуассоновский
(простейший) поток, в котором вероятность поступления
в промежуток времени t ровно k требований задается
формулой Пуассона
р (t) _ (Лt)"' -лt
it
-kl е'
(1.2 . 1)
гл.е Л>О - плотность потока требований (параметр по­
тока).
Это объясняется следующими обстоятельствами:
1) для других видов потоков не получены пока про-

стые формульные зависимости количественной оценки
качества фунrщионировання с11стем массового обслужи ­
вания;
2) к простейшему потоку системам массового обслу­
живания иногда приспособиться труднее. Поэтому при
расчете средств обслуживания в этом сл учае мы ставим
их работу в более тяжелые условия. Если средства . об­
служивания рассчитывать на этот тяжелый случай, то
обслуживание системой других случайных потокоg тре-
Р11с. 1. 2.1 . График случайнuй функци11, пр11ни м<Jю ще 1"1
целые неотрицательные значения.
-
/\ Н С1<рет111;1е
бова11ий с одинаковой плотностью пост у пле1-11н1 требо­
ваний будет надежнее. Такой вывод был получен
И . Н. Коваленко [8];
3) простейший поток в теории массового обслужива­
ния играет такую же роль, как нормальный закон рас­
пределения случайных величин в теории вероятностей.
При сложении нескольких случайных потоков образуется
суммарный поток, который по своим характеристикам
при ближается к простейшему.
Простейший поток обладает тремя основными свой­
ствами: стационарностью, отсутствием последействия и
ординарностью. Случайный поток называется ст а ц и о­
н а р н ы м, если вероятность поступления определенного
количества требований в течение определенного отрезка
нремени зависит от его величины и не зав и сит от начала
его отсчета на оси времени. Это значит, что если на вре-
11

менной оси отложить равные, но не пересекающиеся ин­
тервалы времени 't (рис. 1.2 ..2), то вероятность появле­
ния в этих интервалах определенного числа требоuаний
занисит для даю-юго потока от величины 't и не зависит
от полож ения этого интервала на временной оси (от
моментов времени 'f 1 , .f2 , t3 ,
.
.
.)
.
Таким образом, два !Про­
стейших потока отличаются друг от друга только свои-
t,
t;
t~
~+~~-T~'-_-J~· ,1~.-'-'~'~'__.p._.1~'-+l._'-'""~,~,~~-~:J~·~,__,_11L ~11~1~l__-'-'-t--"'~'-+'I·· -'-'-'-~
Рис. 1.2.2. Стацнонарный пои ск однородных событнй.
ми параметрами . Поэтому для задания простейшего по­
тока достаточно задать только его параметр Л.
Отсутствие последействия состоит в том,
что вероятность поступления за отрезок времени 't опре­
деленного числа требований не зависит от того, скол ы<о
требований уже поступи J10 в систему , т. е . не зависит
от предыстории изучаемого явления . Отсутствие после­
действия предполагает взаимную независимость проте­
кания процесса в неперекрывающиеся между собой про­
межутки вр е мени.
Ординарность нот о к а требований означает
практичесl\ую невозможность появления двух и более
требований в один и тот же момент времени.
Если обозначить вероятность появления более одно­
го требования за отрезок времени Лt через р> 1 (Лit), то
условие ординарности запишется так:
Р> 1 (лt) _,.Q при лt-0.
дl
(1 .2 .2)
Таким образом, простейший поток - это стационар­
ный, ординарный поток без последействия. Вывод урав­
нений простейшего потока широко представлен в имею­
щейся литературе по теории массового обслуживания
[8 , 27]. Важной характеристикой потока является его
интенсивность, которая определяется как математиче­
ское ожидание числа требований, поступающих за еди­
ницу времени. Математичес1<0е ожидание числа требо-
12

ваний, поступающих за промежуток
равно
времени (О, t),
(1:)
(1:)
Mt [k]= ~ kp11.(t) =е-'1 ~ k Cf,:ih = U. (1.2.3)
k=I
k=I
Следовательно, математическое ожидание числа тре­
бований в единицу времени или интенсивность, которая
получается при t= 1, равно
М 1[k]=Л.
Во многих задачах физические услов и я появления
требований таковы, что предположе н ия об их ординар­
ности и отсутствии последействия впо лJi е приемлемы.
В то же время предположение стационарности внушает
большие сомнения, а иногда заведомо ош и бочно. Такие
потоки будем называть нестационарными простейшими
потоками. Для потоков этого типа вероптность поя.вленип
k требований. за время Лt зависит не только от величи­
ны Лt, но и от момента t 0 , который явлпется началом
А
A.=con st
~~~~~~~~--~~~~~~~- · _,_
D
П/Jоmность потока mpet5o8aнuii
t
лостолнно !Jo fJремени
Рис. 1.2 .3. Графическое представле ни е п остоmшой !30 времени плот­
ности потока требований .
этого промежутка. В этом случае вероптность попвления
k требова н ий за время Лt обозначим с указанием нача­
ла п ромежутка t0
P1,(to, fo+Лt).
На рис. 1.2 .3 дано графическое изображение потока,
для которого плотность поступления требований по-
13

стояю1а. На рис . 1.2 .4 дано графическое представление
потока, у которого п iютность поступления требований
во времени переменная. Например, представим поток
пассажиров в метР'о. Здесь пиковые значения интенсив­
ности потока отражают увеличение числа пассажиров
в часы « П ИК>>. Возможны и другие закономерности изме­
нении плотности · поступающих требований, ·Свнзанных
с явленинми сезон н ого характера и иными причинами.
x(t)
Плотность normlJПЛN1uя mpet5o!Joнu1i
переменна Во 6ремени
Рис . 1.2.4. Граф11 1 1 ес1<ое представление переменной во nреме1111 плот­
ности поступле н ня требоnаш1~1 .
Рассмотрим характеристики входящего потока с пе­
ременной плотностью. Математическое ожидание числа
требований, поступивших за период (t0 , t), равно
О()
11(to, t)=) kP.,,_ (f0, l)= Л(f0, f)(f- t0), (1.2.4)
......,
k=O
а средняя интенсивность потока равна
f.1-Uo·t)-Л(t t)
f-fo -
О•-
•
(1.2.5)
Если мгнове::н н ый параметр потока в промежутке
(fo,'f) постоянен, т. е. Л(t)=Л, то
Л (to, t) =Л=const.
Определим мгловенную интенсивность μ (io) как
nредел
(t ) -1· J:l~
f.Lо-imtt.
1--+1 0
-
о
14

Вероятность лоявления за время Лt=t-.f 0 хотя бы
одного требоnания определится из nыражения
QC)
711(to, f)=~P1i(t0, f)= 1- Ро(to, f),
(1.2 .6)
k=I
а вероятность хотя бы двух требований
ClJ
7!2 (l0 , f)=l: P1i(t0 , f)=1-P0 (t0 , t)-P1 (t0 , t). (1.2 .7)
k=2
Тогда требование ординарности в количественных тер­
минах может быть выражено в виде
О при лt-0,
(1.2.8)
а мгновенное значение параметра будет равно
litп 7t, ~;· t) -• 1(t0) при М ___,.О.
(l .2.9)
Простейший нестационарный поток яnляетси • 1аст11ым
случаем та1< на зываемых «финитных» потокоо, ДJШ ко­
торых должно выполниться условие
Л(t)<+оо.
Подробные материалы о фи11итны х потоках можно
найти в соответствующей литературе по теории массо­
вого обслуживания [27] . Практические зада чи лри не­
стационарном потоке требова1-1и1~1 можно р е шать двумя
способами:
-
дли приближе1111ых расчетов весь Иf!тероал пре­
мени фушщионирооании системы массового обслужива­
ния целесообразно разделить на отрезки, в пределах ко­
торых можно приr-шть с заданной по гре шностью пара­
метр потока постоянным. Для каждого та1<оrо отрезка
премени проводит си анализ работы системы;
-
использовать аr-1а J1оговы е или цифровые э.11еи р он ­
но-вычислительны е ·машины для моделирования проц ес­
са функционирования системы массового обслуживания.
Несколько слов о последейстпнн . Чтобы уяснить осо­
бенности и свойства потоков с ограниченным последейст­
вием, рассмотрим пример.
15

Пусть в систему массового обслуживания поступает
поток требопаний. Графически его можно представить
в виде точ ек (А1, А2, Аз, ...) на временной оси. Появле­
ние требований на временной оси (рис . 1.2.5) можно
задать в виде последовательности промежутков между
последовательными требованиями i 1, t2 , !f3, • . •
Тогда
потоком с ограниченным последействием называется та­
кой поток, когда для него последовательность случайных
временных промежутков •t 1, t2 , t3 ,
••.
является последо­
вательностыо взаимно независимых величин.
t
r
Рис. 1.2 .5 . Последовательность точек А 1 , А 2, ••. ,
В на числовой оси,
соответствующих моментам поступления тр ебований.
Требования ограниченности последействия являются
более широкими, чем требования отсутствия последей­
ствия. Если в потоке нет последействия, то t1, t2 , .t3, • ••-
последовательность взаимно независимых величин. Об­
ратное утверждение невозможно.
Рассмотрим промежуток времени между моментами
поступления требований А и В (см. рис . 1.2 .5) . Величи­
ну этого временного интервала обозначим через т.
Пусть последнее требование до этого интервала посту­
пило в момент А 4 (следовательно, вн утри интервала
А4А требований не поступало). Пусть предыдущие тре­
бования поступали в моменты А1, А2, Аз. Найдем ве­
роятность поступления требований в интервале т. По
теореме умножения вероятностей она будет равна
Р(t+т) =P(t)[I-P(т)],
где P(t) - вероятность того, что н промежутке t тре­
бований не поступило. Отсюда
Р()- l
-
Р(t+,;)
"
-
р (t)
Из формулы видно, что появление требования после
момента А зависит от того, когда поступило предыду­
щее требование (от величины интервапа t), и не зави·
сит от того, когда поступили все предыдущие требо­
вания .
16

Для иллюстрации этого свойства воспользуемся при­
мером из {218], в котором рассматривается поступление
отказов в работе какого-то прибора . Примем закон рас­
пределения длительности службы элементов в потоке
отказов нормальным с математическим ожиданием Т=
= 1000 час и средним квадратическим отклонением cr=
=300 час, 't = 100 час. Требуется определить P(t) в · за­
висимости от величины ,f . В табл . 1.2.1 приведены ре­
зультаты расчетов.
ТабJiица 1. 2. 1
t, час
IOO
200
500
1 ООО
2 ООО
р (1:)
0,002 0,006 0,05
0,26
0,75
Из таблицы видно, что последействие здесь весьма су­
щественное. Пусть закон распределения случайных вре­
менных промежутков показательный. В этом случае
р(t+'t)=е-л(t+ ~>'
р (t) = е-лt,
p('t)=l-
1 -л~
=
-е.
(1.2.10)
Таким образрм, когда закон распределения случай­
ных временных промежутков между появлениями требо­
ваний является показательным, этот поток яnляется
простейшим, а P(i:) не зависит от величины t.
При оценке реальных стационарных потоков на nзаи­
монезависимость временных интервалов между требова­
ниями можно воспользоваться определением выбороч­
ного коэфgJИциента корреляции
NN
~ ~ (ft-i')(tj- i1)
, = _l_=_l~f=-,..,.'_ _____
N
(1.2 .11)
~(fi- i')2
i=l
где tj, t; - временные промежутки между последова-
2-1444
-====· ~-·=:.-=··,-,=--
17
~ 1!ооаv1чес11;:ю б:-161::1;с-..-.;-1:i'. ·,
u
r{i!et1t«1н0;
il .ar.;~t&iWI~l.)~~'<-3'::'9;/, г~{::-~(.~.
~-;;1..t... .-~-"--.:..~--- --- = - ·.
_;-...r~.

тельными поступлениями требований в систему массо­
вого обслуживания;
t - математическое ожидание веJiичины временного
промежутка .
При большой выборке t стремится по величине к 1/Л.
Если величина r близка к О, то сJiучайные величины ti
можно считать взцимно независимыми. На практике при
использовании аппарата теории массового обслужива­
ния важно проанаJiизировать реаJiьные потоки требова­
ний. В анализ входит определение распределения вхо ­
дящего потока и оценка параметров предпоJiагаемого
распределения. Для этого выбирается отрезок времени,
в течение которого поток яоJiяется практически стацио-
1-1 а рны м. Время наблюдения делится на ряд временнь1х
интервалов, в предеJiах которых подсчитываются посту ­
пившие требования. Затем по статистическим данным
строится гистограмма частот. Полученное статистическое
распределение сравнивается с теоретическим с помощью
критерия х-квадрат.
ДJiя примера рассмотрим проверку гипотезы о том,
что входящий поток имеет пуассоновское распределе­
ние. В магазин приходят покупатели. Весь период вре­
мени наблюдения в 200 лиm раздеJiен на 100 двухминут- -
ных интервалов. В каждом интервале определяется чи -
Число покупате­
леli: в интерваJ1 е
времени i=2 мин
(ai)
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Сумма
18
ч JICЛO интер!ЗЗJIОВ
с одинако в ым
чисJJом покупате­
J~е11 (n;)
о
5
ll
13
22
18
14
9
4
2
1
1
о
о
100
таблица\.2.2
Значение вероятно- [
стей числа nок упате­
J1ей в интервале
(пуассоновское рас­
пр е деление)
0,010
0,046
О, 106
0, 163
О, 187
О,172
0, 132
0,087
0,050
0,026
0,012
0,005
0,002
0,002
1,000
Мате,1ат11ч с ское
ожидание чнсла
и1-1 терва Jюв с
за данным ЧИСJIОМ
понуnitте; 1 ей
(пт)
1
4,G
10,6
16,З
18,7
17,2
13,2
8,7
5,0
2,6
1,2
0,5
0,2
0,2
100 ,0

ело покупателей, приходящих в маrазюf . Потом rруп­
гiир уются интервалы, в которых было одинаковое число
пришедших покупателей .
.Во втором столбце табл . 1.2 .2 показано число ин­
тервалов, в те ч ение которых в магазин пришло оди­
наковое число покупателей.
Определяем математическое ожидание числа поку­
пат еле й в течение принятого интервала t=2 миN
-
'Ещщ 46
а = 'Ещ = , покупателя.
По значен ию а=4,6 в третий столбе ц вносятся ве­
личины вероятностей числа покупателей при пуассонов­
ском распределении, а в четвертый столбец - матема­
тическое ожидание числа интервалов, в течение которых
пришло определенное число покупателей. Для получе­
ния вывода о том, что принятый процесс с достаточной
вероятностью описывается полученным пуассоновским
распределением, определяем величину х2 :
2
'1 (Пi- 11т)2
Х = i.J 11т ~з.s4.
Для оценки соответствия эксперименталыюrо распре­
деления теоретическому можно nоспользов<~ться имею­
щимися таблицами, IЗ которых входными данными явля­
ются значения х2 и число степеней свободы w. Для опре­
деления соответствия теоретической функции распре­
деления Fт (х), зависящей от одного параметра, опыт­
ным данным, число степеней свободы рассчитывается по
формуле
W=m-2,
где т - число интервалов .
В нашем случае
W= 14-2=12.
Из · табл. 1 приложения 6 определяем вероятность Р
того, что экспериментальное распределение является
пуассоновским
p;:,;;Q,99.
Значение этой вероятности очень велико, что говорит
о IЗссьма хорошем соотIЗетствии экспериментального рас­
предеJ1ения распределению Пуассона.
2*
19

1.3 . Обслуживающие системы
Каждой из систем массового обслуживания свойст­
венна определенная ортанизация. По своему составу си­
стемы массового обслуживания можно разделить на си­
стемы с одним обслуживающим прибором (каналом) и
многими приборами (каналами) обслуживания, соответ­
ственно называющимися одноканальными и многока­
нальными. В свою очередь, многоканальные системы
могут состоять из однотипных и разнотипных (по про­
изводительности) приборов. Однако наиболее широкое
распространение получила классификация по времени
пребывания требований в системе до начала обслужива­
ния. По этому критерию все системы можно разбить на
три большие группы: системы с отказами; системы с не­
ограниченным временем ожидания; системы смешанного
типа.
В системах с отказами (их еще называют системы
с потерями) всякое вновь поступившее требование на
обслуживание, застав все приборы уже занятыми, поки­
дает систему. Классическим примером систем с отка ­
зами может служить работа автоматической телефонной
станции (АТС). Абонент, обратившийся на АТС, полу­
чает отказ, если необходимая линия связи уже занята .
Другим примером может служить такая система проти­
вовоздушной обороны объекта, в которой время пребы­
вания цели в зоне обстрела мало или соизмеримо со
временем, необходи мым для ее обстрела. В этом случае
самолет противника, застав зенитные комплексы заня ­
тыми обстрелом других самолетов, проходит безнака­
занно зону ПВО.
Их противоположностью являются с ист ем ы м а с­
с о в ого обслуживания с неограниченным
временем ожидания требований в очереди
(системы с ожиданием). Особенность их работы заклю­
чается в том, что поступившее в систему требование, за ­
став все обслуживающие приборы занятыми, вынуждено
ожидать своей очереди до тех пор, пока какая-либо из
обслуживающих единиц не освободится . Это наиболее
многочисленная группа систем массового обслуживания .
Разработанный для них аппарат достаточно хо рошо опи­
сывает работу различных ремонтных органов, предприя­
тий бытового обслуживания, буферной памяти электрон­
ных машин и многих других.
20

С ист ем ы смешанного тип а занимают пром ежу ­
точное положение . Поступившее в такую систему требо­
вание, застав все приборы занятыми, становится в оче­
редь. Но в ней оно находится ограниченное время, по­
сле чего, не дождавшись обслуживания, покидает ее.
Полученные для этих систем зависимости, описывающие
их функционирование, могут быть использованы для по­
лучения подобных зависимостей для ранее рассмотрен­
ных систем массового обслуживания. Примером подоб­
ных систем являются торговые точки по продаже фрук­
тов, овощей, которые могут храниться ограниченное
время, их пункты переработки, ПВО объектов, обеспе­
чиваемая зенитными средствами с большой зоной по­
ражения, в пределах которой воздушные цели находятся
ограниченное время, и многие другие .
Смешанными системами массового обслуживания на­
зываются и такие, в которых наложены ограничения на
время пр ебывания требований в системе. Примером мо ­
жет служить обработка определенной информации на
ЭЦВМ, которая периоди чески обновляется. Если в те­
чение определенного промежутка времени информация
не будет обработана, она утрачивает свою ценность и
теряется .
К смешанным системам относят и такие, в которых
ограничена длина очереди (например, мастерская по
ремонту крупногабаритной техники, которая имеет огра­
ниченную площадку для неисправных машин).
По порядку занятия свободных приборов (каналов)
вновь поступившими требованиями описанные системы
различаются по следующим признакам:
-
приборы подключаются к обслуживанию в стро­
гом порядке. Это может происходить тогда, когда си­
стема состоит из разнотипных приборов с различными
п реимуществами их использования;
-
приборы начинают обслуживать вновь поступив­
шие требования в порядке освобождения (например ,
технологические потоки по ремонту техники и др.);
-
приборы занимаются в случайном порядке (на­
пример, зенитные комплексы при обстреле целей во вре­
мя мощного воздушного налета).
В системах с ожиданием и ограниченным временем
ожидания могут быть особенности в дисциплине обслу­
живания очереди требований. Они сводятся к следую ­
щим разнови д ностям :
21

-
требования к обслуживанию принимаются в по ­
рядке очередности их поступления в снстему (предприя­
тия бытового обслуживания, магазины и др.);
-
в первую очередь к обслуживанию принимаются
те требования, которые имеют большую степен ь приори­
тета. Например, из всех самолетов, находящихся в воз­
духе и ожидающих посадки на аэродром, приоритет от­
дается аварийным . Также без очереди идут к врачу
больные с острой болью и т. д.;
-
требования к обслуживанию принимаются в слу­
чайном порядке (примером может служить система
ПВО объекта при отражении воздушного налета про­
тивника).
Кроме перечисленных разновидностей систем массо ­
вого обслужипавия на практике могут встретиться и бо­
лее сложные, представляющие определенные комби на­
ции перечисленных особенностей .
Основные разновидности систем массового обслужи­
вания, которые получили наиболее широкое распростра­
нение на пр актике, рассмотрены в книге и проиллюстри­
роваr-rы соответствующими примерами .
1.4. Время обслуживания
Время обслуживания является важнейшей характе­
ристикой каждого аппарата (линии) обслуживания си­
стемы и определяет ее пропускную способность. Время
обслуживания - как правило, случайная величина. При­
чи11ой этого служит нестабильность работы приборов об ­
служивания (особенно с участием ч еловека или целых
коллективов) и неидентичность поступающи х в систему
требований. Например, касса продовольственного мага­
зина затрачивает на обслуживание каждого покупателя
разное время, которое зависит от количества сделанных
покупок, О·Собенностей •покупателей и т. д. Время, затра­
чюзаемое ·машиной скорой помощи на выезд по вызову,
является также величиной случайной. Оно зависит от
расположения места несчастного случая от пункта ско­
рой помощи и многих других причин. При от ражении
воздушного налета противника системой ПВО объекта
временем «обслуживания» является время обстрела
каждым зенитным комплексом воздушной цели. Естест­
венr-rо, что от стрельбы к стрельбе по каждой цели время
обстрела каждым комплексом по различным причинам
будет колебаться. Прнмеш1тельно к зе нитному артил-
22

лерийскому комплексу разброс времени обстрела воз­
душных целей будет определяться изменениями даль­
ности и параметра стрельбы, вида, скорости и маневра
цели, разброса времени подготовки к стрельбе, времени
перезаряжения, переноса огня и т. д. Поэтому величину
времени обслуживания fобс следует считать случайной
величиной, полной характеристикой которой является
закон распределения
F(t) =P[foбc<"f],
(1.4 .1)
где PUoб c< it]- вероятность того, что время обслужива­
ния fобс не преnосхо дит н еко торой величины t.
Из физически х соображений время обслуживания не
может быть отрицательной величиной, т . е. при
fобс~ О F (t) =О. Закон распределения времени обслу­
живания определяется из опыта путем статистических
методов анализа численных значений времени обслужи­
вания реальных систе м. Методы оценки распределения
времени обслуживания реальных систем ничем не отли­
чаются от оценок входящего потока. Заf(ОНЫ распреде­
ления могут быть самого различного вида. Однако как
в теоретических, так особенно в практических приложе­
ниях получил большое распространение показательный
закон. При показательном законе распределения значи­
тельно упрощаются все результаты, тогда как разработ­
ка методов решения задач массового обслу:живаню1
с произвольным законом распределения nремени обслу­
живания встречают большие трудности.
При 1101<азательном .законе функция распределения
имеет вид
1
где μ=-_---положительная постоянная величина.
tloб c
(1.4.2)
Вел11чино lабс равна мотематическому ож1ща1шю nре­
мени обслуживания . Показательный закон распределе­
ния времени обслуживания предполагает, что значи­
тельная доля требований будет обслуживаться быстро.
что не всегда соответствует пр:;tктике . Поэтому
А. К Эрланг предложил плотность распределения вре­
мени обслуживания задавать формулой
'f11. (t) = i~i~)k e-μ.kttп-1 при t >О,
cr1, (t) =0 при ·t<O,
(1.4 .3)
где Г(k) - гамма-функция .
23

Можно показать, что 1cp 11,(t) (рис. 1.4 .1) представляет
собой плотность распределения суммы k независимых
случайных величин с показательным законом распреде­
ления. Системы массового обслуживания при показа­
тельном законе распределения обладают одним важным
свойством, которое нужно иметь в виду при оценке
эффективности . Пусть в систему массового обслужи­
вания, состоящую из п разнотипных приборов, посту­
пило требование, которое начинают обслуживать все
приборы одновременно. Время обслуживания требова-
9(t)"
о
t
Рис. l.4 .l . П Jютность распр е деления суммы !г i!е з ависимых cJJy ч<:1 i"1 ·
иы х пелнчин с пока за тельным законом распределения.
ния каждым прибором подчинено пока зательному зако ­
ну распределения с параметром μ. Обслуживание за1<ан­
чивается , как только один из приборов выполнил свою
задачу по обслуживанию. Для этого случая [8] закон
обслуживания всеми приборами будет также по1<аза-
тельным
F(t!)бС<t)=1-е -(!-'i +"'•+".+1-'n)t
с параметром
п
(1.4.4)
Ее.ли все приборы имеют одинаковую производитель­
ность, то μ=nμ;. Значит, при одновременном обслужи­
вании требования несколькими приборами среднее вре­
мя обслуживания уменьшается в п раз по сравнению
24

со временем обслуживания одного прибора. Следует от­
метить, что дисперсия при этом уменьшается в п2 раз.
Подобные ситуации возникают при обстреле нескольки­
ми зенитными комплексами одного самолета, при одно­
временном бомбометании корабля или одного объекта
несколькими бомбардировщиками, обстреле танка не­
сколькими противотанковыми средствами и т . д.
Во всех этих .случаях обслуживание требования (об­
стрел, бомбометание) проводится до момента пораже­
ния объе.кта нападения. В этам проявляется широкое
примен ение в военном деле массированных, комбиниро­
ванных ударов по противнику.
Как отмечалось выше, во многих случаях допуще­
ние о показат ел ьном законе распределения времени об­
служивания становится сомнительным. Однако для ста­
ционарных усл овий функционирования систем массово­
го обслуживания с отказами Б . А. Севастьяновым дока­
зана справедливость формулы Эрланга для любых за­
конов времени обслуживания. Проверку этого пред­
положения для некоторых других видов систем массо­
вого обслуживания, получивших наиболее широкое при­
менение, авторы сделали с помощью метода статистиче­
ских испытаний. К ним относятся системы:
-
с отказами и ограниченным временем ожидания
в очереди с потоками ординарных и групповых заявок;
-
многофазовые, одноканальные с отказами;
-
с последовательно расположенными приборами .
Для проверки предположения проводились расчеты
по определению вероятностей состояния систем в ста ­
ционарном режиме работы методом статистических ис­
пытаний в широком диапазоне изменения основных па­
раметров систем:
где
1.;;;;;п<20, 0,1 ~а.<30,
0,3,;;;; ~ < 10,
""
А_ toGc •
r--
,
t'ош
tож - среднее вреыя ожидания требования в системе;
Л- плотность поступающих в систему требоnаний;
п - число кан1лов обслуживания.
25

Сравнение результатов расч етов для различных за­
конов распр еделе ния времени обслуживанип (показа­
тельного, равномерного, усеченного нормального, Ре­
лея) ,показало их хорошее совпадение . Примеры подоб­
ных расчетов пр:нве де ны в соответствующих параграфах
книги, описывающи х функциониро ва ние указанн ых си­
стем.
1.5. Выходящий поток
Выходящий поток может играть весьма важную роль,
особенно 1<0гда он сам образует входящи й поток для
других приборов, расположенных последовательно
с первыми . Это очень важно при расс мотре нии много­
фазовых систем массового обслуживания. Они состоят
из последопательно расположенных групп приборов
(или одино 1 шых приборов) . Входящий поток требований
долж е н обп з ательно 1 1р оi'1ти через все посл ед овательно
расположе!iные приборы. Естественно, что это т поток,
проходя ч е рез каждую групп у прибор ов, и скажаетсп .
Искажение проис ходит лри про х ожд ен ии потоЕа требо­
ваний через послед·оват елы-10 расположенные приборы,
для которы х входящим пото1<о м является выходящий по­
ток необслуж е нных тр еб ований на ~предыдущем приборе
(группе приборов). Например , если система сос11оит и з
п последовательно расположенны х пр·иборон, проверяю­
щих качество продукции, движущ е йся по конвейеру, на
котором она расположена в 1прои звол ы-юм порядке, то
для i-го автомата (2~i~n) входящим потоком будет по­
ток непроверенной продукции (i--1 )-м автоматом.
Во всех задачах с последовательно связанными си­
стемами обслуживания входящнй в i-ю систему поток
по своей структуре будет отличаться от потока , входя­
щего в (i + 1) -ю систему обслуживания. Поэтому , если
входящий поток простейший, то выходящий поток из
этой системы обслуживания не всегда буд е т простей­
шим, ему будет присуще последействие .
Возникает вопрос, как влияет наличие последействия
в потоке требований на вероятность отказа. А. Я. Хин­
чин доказал следующую теорему: вероятность потери на
s-м приборе при s> 1 всегда больше, чем вероятность
потерь на первом приборе, если только поступающие на
эти приборы потоки имеют одинаковую интенсивность.
Доказательство этой теоремы можно найти в [27].
26

Еще более общая теорема была доказана Т . А. Алза­
ровым и А. М. Чавкиным, согласно которой вероятность
потери требования на (s + 1)-м приборе всегда больше,
чем вероятность потерн на s-м приборе, если на эти
приборы поступаю т потоки требований рав ной интен­
сивности.
Физический смысл приведенных теорем достаточно
ясен: н а каждый следующий прибор посту пает поток
требований все более и более невыгодного строения для
обслужи вания . Увеличение всронтности потери требова­
ний происходит за счет того, что на последующие при­
боры поступают все те требования, Еоторые поступали
слишком быстро-· одно за другим. Таким образом, по­
токи, которым свойственно поступление за . короткий
срок сразу нескольких требований, становятся все более
неравн омерными.
1.6 . Показатели эффективности обслу:живающих
систем
Под эффективностью обслуживающей с11стемы пони­
мают характеристику уровнп выполнения этой систе­
мой тех функций, для которых она предназначена.
Выбор показателя эффеюивности зависит от той за­
дачи, которая постаrзлена п е ред исследованием. Показа­
тели эффективности зависят от трех групп факторов:
характеристик качества н надежности системы обслужи­
вания; экономических ·пока зателе~\ характеризую щих
работу этой системы (ее стоимости, трудовых затрат об­
служивающего персонала, убытков, связанных с несвое­
временным обслуживанием, и т. д.); особе!!ностей ситуа­
ции , в которой эксплуатируется система (параметров по­
тока требований, ограничений на длину о че реди и др.) .
В зав исимости от условий эксплуатации системы и при­
нятого показателя эффективности выбирается и матема­
тическая модель процесса. При этом выбранные крите­
рии должны быть чувствительными к изменению варьи­
руемых п араметров системы массового обслуживания.
Эффективность систе м массового обслуживания мож­
но характеризовать большим числом различных количе­
ственных показателей. Ниже приводятся наиболее ча­
сто применяемые показатели эффективности систем
:массового обслуживания и их обозначения. Однако
предлагаемый комплекс П9J<?.:нпеJiей далеко не полный.
27

При решении практичес.:ких задач может появиться не­
обходимость в использовании других показателей или
их комбинаций.
Все предлага е мые показатели будут характеризо ­
вать способность системы по обслуживанию заявок, от­
нюдь не характеризуя качество самого обслуживания .
К числу наиболее часто применяемых показат еле й
эффективности функционирования систем массового об­
служивания относятся следующие:
-
вероятность потери требования в системе массо­
вого обслуживания . Это очень важная характеристика.
Особенно часто ею пользуются при исследовании воен­
ных но•просов. На.пример, .при оценке эфф екТ'ивности про ­
тивовоздушной обороны объект а она ха р а ктеризует ве­
роятность прорыва воздушных целе й к объекту. Приме­
нительно к системам массового обслуживания с поте­
рями она равна вероятности занятости обслуживание м
требований всех п приборов системы. Чаще всего эту
вероятность обозначают Рп или Ротк;
-
вероятность того , что обслуживанием требований
в системе занято k приборов, равна - р 11.. Это наиболее
полная характеристика, частным случаем которой явля ­
ется Рп, Ро - вероятность того, что все приборы свобод-
ны;
среднее число занятых приборов (каналов, ли-
ний)
п
(1.6.1)
характеризует степень загрузки обсл у жи в ающей систе­
мы;
-
прямо противоположным последнем у является по­
казатель - среднее число свободных от обслуживания
приборов
(1.6 .2)
-
производным от этого показателя является коэф­
фициент простоя приборов (каналов, линий) системы
обслуживания
(1 .6.3)
28

-
аналогично можно определить коэффициент за­
нятости оборудования, приборов системы
к _N,.
3--,
п
(1.6.4)
-
для систем с ожиданием достаточно полной ха­
рактеристикой времени ожидания явлнется его закон
распределения. Однако на практике чаще всего огра­
ничиваются определением среднего времени ожидания
требований в очереди до начала обслуживания при на­
личии в системе п приборов
00
Т=М(tож)= - )fdP1(fож>f),
(1.6.5)
о
где
п
Р1(tож>t)= Spk.Pll.[fож>tj;
k=O
Pk[toж> t] - условная вероятность того, что время ожи­
дания 1foж>t при условии, что в момент поступления тре­
бования в систему в ней уже обслуживалось k требова­
ний;
-
вероятность того, что время пребывания требова ­
ния в очереди не продлится больше определенной вели­
чины
00
Р2 ffoж < tJ = ~ pk.Pk [fож < t]; (1.6.6)
k=n
другой важной характеристикой этих систем явля­
ется средняя длина очереди
00
Мож=) (k-n)pk при k~п.
.......
k=n
(1.6 . 7)
где Pk - вероятность того, что в системе находится k
требований;
-
с последней характеристикой тесно ·связано сред­
нее число требований (заяво~<) , l;'lаходящ»Хд! в сфере
обслуживания
29

00
М= ~ kpit=-=Moш+Nз;
(1.6 .8)
k=l
вероятность. того, что число требований ( .з аявок)
в очереди, ожидающих начала обслуживания , больше
некоторого числа
00
Р>m
Li Pit·
(1.6.9)
k= m+I
Этот показатель о с обенно необходим при оценке воз­
можностей размещения требований при ограниченности
времени для ожидания. Кроме перечисленных критериев
при оценке эффективности систем массового обслужива­
ния могут быть использованы стоимостные показатели:
q0 5 - стоимость обслуживания каждого требования
в системе;
Qош - стоимость потерь, связанных с простаиванием
требований в очереди в единицу времени;
qy - стоимость убытков, связанных с уходом и з си­
стемы требований;
Q1< - стоимость эксплуатации кю1<дого прибора систе­
мы в единицу времени;
qпт~ - стоимость единицы времени простоя прибора
системы .
При nыборе оптимальных параметров систем массо­
вого обслуживания по экономическим показателям мож­
но использовать функцию стоимости потерь в системе
(для системы с ожиданием) (13]
(1 .6.10)
где Т - интервал времени.
То же для системы с отказами
(1.6 .11)
То же для смешанных спстем массового обслужива­
ния
30

При решении н екот орых зада ч целесообразно поль­
зоваться критерием эко номической эффективности систе­
мы массового обслуживания
Е = Робс"АсТ -Gп,
(\.6 .13)
где с - экономический эффект, полученный при обслу­
живании каждого требования;
Робе - вероятность обслуживания требопания (заявки).
При исследовании и определении оптимального ва­
рианта в качестве переменных чаще всего выбирают па­
раметры Л, N, μ и др. При решении многих 'практических ·
задач массового обслуживания в стационарных условиях
полезно для контроля полученных результатов пользо­
ваться простейшими функциональными связями крите­
риев и параметров системы:
а) Nз+Na = n,
(1.6.14)
где п - число приборов в системе;
(1.6.15)
где Мсо -- число rтребований, находящихся на обслужива­
нии:
М - число требований в системе :
со
М= Li kp,i;
(1.6 .16)
k=I
в) tож + tобс = fпреб,
(1 .6.17)
где tож - среднее время ожидания требования в очереди:
00
fож = ~ foжdF Uож);
о
(1 .6.18)
lобс - среднее время обслуживания требования в си­
стеме;
31

tnpeб - среднее время пребывания в системе :
OCJ
fupeб = Jlr:;peбdF (tпреб);
о
г) А.t.ощ = Мощ;
д) Аtпреб =М;
е) .:!. = Лвы:х~•
(1.6 .19)
(! .6 .20)
(1.6 .21)
где А.в:ы:х- суммарная плотнос r ;, выходящих потоков для
систем с отказами:
А. -А, +1
ВЫ)Q: - ВЫХ
ВЫХ '
о
11
(1.6 .22)
А. - плотность выходящего потока обслуженных тре-
вых0
бований;
А. ·-плотность выходящего потока потерянных тре-
выхл
бований.

2
СИСТЕМЫ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ С ПОТЕРЯМИ
Эти системы распространены достаточно широко.
Особенностью их функционирования является то, что
всякое требование, поступившее в систему в некоторый
момент времени, либо начинает сразу обслуживаться,
либо теряется, если в момент его поступления все об­
служивающие приборы заняты.
Наиболее характерным примером систем этого типа
может служить автоматическая телефонная станция.
Здесь заявкой, требованием, поступившим в систему,
является обращение клиента на телефонную станцию.
Если нужная линия связи уже занята разговором, або­
нент получает отказ. Автоматическая телефонная станцнп
дает частые гудки, и требование на разговор теряется.
Системы с отказами могут быть одноканальными и мно­
гоканалыrыми. Например, телефонная станция с одной
выходной линией связи является одноканальной систе­
мой массового обслуживания. Если таких линий несколь­
ко, то линия связи - многоканальная .
2.1 . Формулы Эрланга
Простейшие задачи для систем массового обслужи­
вания с потерями были впервые решены А. К Эрлангом.
Им же были выведены формулы оценки функционирова­
ния этих систем при условии поступления простейшего
потока заявок и для показательного закона распределе­
ния времени обслуживания.
Для установившегося процесса обслуживания при
этих условиях Эрланг получил следующие зависимости:
3-1444
33

-
вероятность того, что обслуживанием заняты k
аппаратов (линий, приборов и т. д.)
(2.1.1)
где Л - плотность потока заявок;
п- число аппаратов (линий, приборов и т. д.);
1
μ. = Voб r - параметр обслуживания;
lобс - среднее время обслуживания требования
(заявки) в системе.
Чаще всего в - формулах используется параметр а=
л
-
=-, тогда
предыдущую формулу запишем так:
fJ.
o,k
Т!
Ри=-п--
\1~
/.J k!
k=O
Частными случаями этой формулы будут:
(2.1 .2)
-
вероятность того, что все обслуживающие аппа­
раты свободны
Ро=-п--
'1~
1.J k!
k=O
(2.1.3
вероятность того, что все обслуживающие аппара­
ты заняты . Это одновременно и вероятность отказа в об­
служивании вновь поступившего требования в систему:
o,n
Pn= -п-- =Роnг.
(2.1 .4)
~ ~~k=O
На практике необходимо часто определять:
34

среднее число занятых обслуживанием приборов
п
п
Nз=!Jkp1i=!J (k~!)! р;
(2.15)
k=I
k=I
и связанный с ним коэффициент занятости а гша ра rов .
Одновременно это будет доля загруженных аппарат~· R
за время обслуживания
Кз= ~;
(2.1.6)
п
-
среднеt- чис·Jю апп1ратов, свободных от обслуживания:
~-1
п-1
Уос=~(n- k)Ptt= ~ah (~~-k)р0;
k=O
k=O
1\Оэфф11шrент простоя анпаратоп
Кп=No •
п
(2.1 .7)
(2.1. 8)
При реш t 1ш и практичесю1х задач цел ес ообразно для
проверки правильности полученных рез ул ьтатов поль­
зоваться вполне 0 1 1ев1rдным равенством
Na+Nз=n .
(2.1 .9)
Зависи мо сти (2 .l .l). · - (2.1 .8), характеризующие эф­
фективность функционирования систем массового обслу­
живания с отказами, были получены при условии, что
время обслуживания распределено по показательному
закону. Справедливость формул А. К. Эрланга для аб­
солютно непрерывного закона распределения показана
Форте [22] . Но в [22] не приводится доказательства един­
ственности и эргодичнос т и стационарного распределения,
а лишь даны краткие у казания на возможность такого
доказательстGа. Б. А. Севастьянов доказал эргоднчес 1< ую
теорему для марковских процессов [23].
В результате этого получено стационарное распреде­
ление, из которого, в частности , выводятся хорошо из­
вестные формулы А. К. Эрланга и показана их неиз­
менность при любом распределении вр еме ни обслужи­
вания, но конечном и постоянном значении его матема­
тического ожидания . Этот результат позволяет значи-
35

телы-10 расшнрить обла'сть лрименення формуJ1
А. К Эрланга для реш е11ия м 1-1ог11х практнч ес 1шх задач .
Рассмотр11м 11ес1.;оJJько примеров.
Пример 1.
Необходимо оце1ппь :~ або ту автоматизироnанно i'! телефонной
станнии (АТС), 'которая имеет n=5 лин1нй ..-вязи . К услугам стан­
ции об ращаются абоненты с требованиями 'На ведениР ра'Зговоров.
Е1Стествеи'И·О, что моменты поступлеИ'ия трс~бованнй на станцию я,в.
ЛЯЮТ'СЯ ·случ айныии и неза,в1юи мыми друг от друга .
Задачу решим на utримере простей шего потока требо ваний.
Пусть средняя :плотно1сть лото1ка Л=2 вызо'Вам в единицу вре­
мени. Продолжитель ность каждого разговора является также вели­
чиной случайной. Можно принять, что продолжителЬ'иасть разюво ­
ров разлиЧ'ных абонентов подчинена :показател ьн ому закону ржпре­
деления. Пусть ·среднее .время, необходимое дл я ведения каж дого
рал•овора, рав'НО foб c = ·I ед. в р. Может во'зни кнуть сомнение в
прав о·мочности принятия пока з ательно:го захона распределен ия ·вре ­
~1е1111 ве:tения ра зговора абоненто1в. Но, ,<ак уже говорилось выше,
формулам11 Эрлаига можно пользо ваться при любых законах ра с-
11рсдеJ1е1н1 я ;вр еме ни ра зrаворо в абонентов.
В 'нто,ге ·в пре дл ага емом примере необхо димо оце 111 1ть функц1 ю ­
н11рование ав'!'оматичес~<ой телефонной стан·J,ни (АТС).
Решение
ОпределяеТ'СЯ п араметр а=Лtоос=2 · 1=2. Веро нтнос т ь то г о,
что в'се линии будут с:вобод·ны при работе АТС може т быть оп·ре­
дел ена по формуле (2.1. 3 )
Ро = -s-- -=0,138.
'1~
l.J k!
k=O
Вероятность того, что а боне нту б уде т отказано в обсJ1уж·11 ван11н,
ра С'с читы вае тс я по ф ормуле (2.1.4)
')5
р"=0,138 51 = 0,037.
Среднее 'ЧHCJIO занятых Л'И'НllЙ сnпзи во 'Времн работы АТС.
ДJJя про1ведения необходи мы х расч етоз соста.вим табл. 2.1.1.
36
число линий
связи
о
1
2
3
4
5
сумма
Р//,
1
О, 138
2
0,275
2
0,275
1,333
О, 183
0,667
0,092
0,267
0,037
l,000
Таблица 2.1.1
(n - k)plt
о
0,688
0,275
1, 101
0,550
0,826
0,549
0,367
0,368
0,092
О, 185
о
1 1,927
1
3,074

Пu рсзу J1ьта там расчетов 11олучено
5
Nз= ~ kpn=:::-1,93 линий.
k=I
Зна •шт, коэффициент загрузки линий связи равен
N. 1,93
Кз = п=-5- =О,39.
Среднее число свободных линий связи равно
4
(n-k) Pn = ~ (5-k)pn= 3,05
k=I
Коэффициент простоя линий равен
N0 3,07
fгп =п=-5-=О,6\ .
линий.
При реше н ии этого примера целесообразно во·сnоJ1 ьзо1ваться
та ·б.п. 4 11· р11.пожения 5. Входом в нее являе"I'Ся /1 и а, а и з таблицы
можно nолуч•ить зна чения вероятностей ~остояний р1< и их ча ст ных
значений Ро и Pn·
Пример 2
Нео.бходнмо спр ·оектировать такую автоматическую телефонную
с танцию, чтобы она обладала пропусю10й е~по·собнсстью, при кото­
рой вероятность получения або 11 ен·том o·nioзa в обслужи.вании н е
превосходила Pn ~0,01. АТС проектируетс я из усло1н ия, что поток
вызовов характеризуется плотнос1ъю Л=О,5 IJызово·в в минуту . Счи­
тается, что с·редняя 1продолж 1-1т ельно·с ть Ja::Yroвopa равна t о бс =
=2 .мин. . Определить неабходимо е число линий tвязи.
Решение
Определен·ие параметра
а=Л.tобс=0,5 ·2 = 1.
Для соста :вления расчетной табл. 2. 1.2 во·спользуемся табл. 4
приложения 5.
Та·блица 2.\ .2
Чнс.гю J1н1-111_'i
связи
1
2
3
4
5
0,5
0,2
0,062
0,015
0,003
37

Из данных таблицы следует, что АТС нужно проекп1ровать на
5 линий :связи . При этом будет обеспе<1ена свпзь одного а'бсtне1-па
с дру~гим с вероятностью р"" 0,997 ;
2.2. Неустановившийся процесс в системах
массового обслуживания с отказами
В § 2.1 рассмотрен математический аппарат, с по­
мощью которого можно оценить функционирование
в стационарном режиме простейших систем массового
обслуживания с отказами при условии поступления
в них пуассоновского потока требований. Однако на
практике в реальных системах массового обслуживания
поток требований может длиться ограниченное время,
в течение которого система не успевает войти в стацио­
нарный режим_ Примером этому может служить функ­
ционирование системы ПВО, которая отражает кратко­
временный налет воздушного противника . Можно при­
в е сти много других примеров, иллюстрирующих это об­
стоятельство. Поэтому при решении практических задач
важно определить, при каких условиях процесс обслу­
живания в системе можно считать установившимся .
Если же по условиям его нельзя считать установившим­
ся, то на какую ошибку вычислений можно рассчиты­
nать при использовании формул, полученных для ста­
ционарного режима работы этой системы.
Очевидно, что вначале, сразу после включения си­
стемы в работу, протекающий в ней процесс еще не бу­
дет стационарным . В системе массового обслуживания
(как и в любой динамической системе) возникает так
называемый «переходный», нестационарный процесс .
Однако, спустя некоторое время, этот переходный · про­
цесс постепенно затухает и система переходит на ста­
ционарный, установившийся режим, вероятностные ха­
рактеристики которого уже не будут практически зави­
сеть от времени.
Поэтому при оценке функционирования систем мас­
сового обслуживания на практике необходимо оценить
влияние начального момента обслуживания на процесс
затухания и определить те условия, при которых воз­
можно с достаточной точностью сделать предположение
о стационарности процесса работы исследуемых систем.
Приведем вывод зависимостей, которые учитывают
начальный период работы системы массового обслужи-
38

вания. Для просtотьt решения предлагается рассмотреть
однолинейную систему с отказами .
Обозначим
Ро (t) - вероятность того, что прибор в момент времени t .
свободен от обслуживания;
Р1 (t) - вероятность того, что прибор в момент времени
t занят обслуживанием.
Пусть на прибор поступает в ограниченный отрез.ок
времени простейший поток заявок плотностью Л. Время
обслуживания одной заявки случайное и распределено
по по к азательному закону с параметром ~t.
За н а ч ало (t=O) функционирования системы прини­
мается момент поступления первой заявки. Тогда, оче­
видн о, в начальный момент времени t 0 должно выпол­
няться условие р1 (О)=1.
О пр еделяется вероятность того, что прибор занят
обслуживанием в момент времени t+Л1t. Она будет сла­
гаться из вероятностей следующих двух несовместных
событий с точн остью до беско 1-1ечно малых более высо­
кого порядка, чем л1t:
-
в момент времени t прибор был занят обслужи­
ванием и за время ·Л1t не освободился от обслужиnания
р, (t) (1-μЛit);
в момент времени t прибор был свободен, а за
время 1Лit поступила заявка на обслуживание ЛЛtр0 (t).
Тогда вероятность того, что прибор занят обслужи­
ванием в момент времени t+ 'Лt, может быть определена
из выражения
р, (t+Лt) = р, U) (1--;μ·Лlt) +
+ЛЛtро(t).
Если перенести р 1 (t) в левую часть и разделить на
Лt, то получим
р,(t+дl)- р,(t)
д1
-Р.Р1(t)+1ро (t) +о (лt).
При Лlt-:.-0 это равенство превращается n дифферен­
циальное уравнение
р'1 (1t) =-1μр1 (t) +iЛpo(t).
Если учест ь н ормирующее условие
po(t)+'P1(1t) = 1,
(2.2 .1)
39

ro уравнение (2.2 .1) сводиtс51 к ЛН1Iе1'1ному уравнеш1ю
rrервого порядка
(2 .2.2 )
Для интегрирования уравнения (2.2 .2) можно вос­
пользоваться методом вариации произвольной постоян­
ной. Решение этого уравн е ния целесообразно искать
в виде
(2.2.3)
где u(t) - искомая функция t.
Совместное решение уравнений (2.2 .2) и (2.2 .3) да-
ет результат
u(t)= л~,_..е-(Л+μ)t+k.
(2.2 .4)
Учитывая начальное условие Р1 (О)= l из (2.2.3) и
(2.2.4) получим
Отсюда решение уравнения (2.2.2)
в таком виде:
(t) = -A-+_1-'-_
-(Л+μ)I
Р1
л +,_..
л+,_.. е
.
определя е тся
(2 .2.5)
В частном случае, при f--+=, выражение (2.2 .5) пре­
вращается в формулу Эрланга для одноканальной си­
стемы:
э
л
Р1=л.+,_..•
где р9 - вероятность того, что канал занят обслуживанием .
1
Математическое ожидание числа заявок, обслужен­
ных за время fп при конечном времени функционирова­
ния системы, может быть определено как произведение
среднего времени Тер, в течение которого прибор был
занят обслуживанием, на среднюю плотность обслужи­
вания одной заявки μ
40

Значение среднего времени Тер можно определ ить
по формуле
Тогда
tn
Тер= S P1(t)dt.
о
tn
lnt=11S P1(t)dt.
о
Откуда, учитывая (2.2.5), получаем
mt= N +а1Т+
1
[1- е-(1+<>)т]
~
(I+a)2
'
л
где а= -·
/J. '
(2.2 .6)
Тfп
= i'ooc -время поступления по~о 1<а за яво1< в с и ст е му, вы-
раженное в единицах t абс;
tn - длительность процесса.
В стационарном режиме математич ес 1<ое ожидание
чи сJ1 а за явок, обслуженных за время t,n, рапно
т _ __а_Т
lстац -а+ 1 ·
(2 .2 .7)
Тогда абсолютная ош н бка в оп ределении среднего
ч исла обслуженных заявок п ри предполо же н ии стацио­
нарности процесса буд ет рав н а
л
1
[1 -(«+1)т]
lnt= (а+1)2 -е
.
(2 .2.8)
Относительная о ш ибка определяется из запи симости
л _Лmt
1
[l -(«+1)Tj
т
--·-
-е
t0тн - т1 ·-та (а+ 1)
·
стац
(2.2 .9)
На рис. 2.2 .1 представлена зависимость относительной
ошибки Лт1 от продолжительности поступления потока
отв
запвок при различных з н ачен ипх параметра а. Ана­
лиз уравненнп (2.2 .9 ) п ока з ы вает ( э то наrлпдно вид-
1ю на рис. 2.2. 1), что с увеличен нем а процесс ycтa­
lli;J!З,JJИЩ\eTC$l З!!i:JЧf'\TCJJЬ!IO б1:>rстрее. Так, при а~2 уже
4i

при длительности процесса обслуживания более 2tобс
ошибка не превосходит 1О%. На рис. 2.2 .2 показано, как
уменьшается эта ошибка в зависимости от величины а
для не1юторых значений длительности процесса Т.
Рис. 2.2.1. Зависимость относительной ошибки Лтtотн от продолжи
тельности процесса.
о
5
70
75а
Рис. 2.2.2 . Зависимость: относительной оцшбки дт 1от!i от велИЧf!Щ>I (t,
42

Получение аналитических зависимостей для
hри неустановившемся процессе оопролождается
мозд1шми вычислениями, поэтому для значений
ошибки Лтt
целесообразнее получать методом
отв.
тнстических испытаний.
n>I
гро­
п>1
ста-
Для облегчения расчетов по формуле (2 .2.6) в при­
ложении 5 дана табл. 15.
Как уже отмечалось, для систем с отказами для ус.та­
новившегося состояния результаты расчетов по форму­
лам Эрланга не зависят от закона распределения вре­
мени обслуживания (при постоянном значении его ма­
тематического ожидания). Это несправедливо для не­
установившегося процесса, и разница в получаемых ре­
зультатах может быть тем больше, чем меньше время
продолжительности рассматрива емого процесса. Рас­
смотрим эти явле1111>1 11а пр11мср е, когда время обслуж11-
пания постоянно.
Отношение nеличин математнческих ожиданий числа
заявок, принитых на обслужиn::~ние при неустаноIЗившем­
ся процессе, к числу заявок при установиIЗшемси про­
цессе , запишется в виде
(2.2.1 О;
l3елич11на fllt 11р11 toбc=coпst может бып, определена
из зависимостей, в ыnод которых приводится в приложе-
нии 1:
.
1щ= 1 при Т,;;;;:;1
(2.2 .11)
и
р-1
k
mt = 1+р- ~ е-" (T- l-k) ~ ~~ (T-1-k)j (2.2 .12)
k=O
j=O
при Т> !, где р= 1+{Т]; в квадратных .скобках обоз-наче­
на целая часть числа
Т- Tn
-
fобс •
43

На рис 2.2.3 даны н екоторые результаты расчетов.
Ка1< вндно, проце.сс з атухания прн ~постоянном 13реме1-ш
обслуживания носит колеба теJJьный характе р . Обобщая
результаты, лоJJученные для случаев, когда время об­
служивания сJJучайно и постоянно, можно сделать сле­
дую щее закточение: при определении пропускных спо­
собностей систем массового обслуживания с отказами
дл я процессов продолжительностью бoJJee (2-: -3) tобс
можно при расчетах с достаточной степе нью точности
Q
з
2
о
tобс
2 tобс
Зtобс
Рис. 2.2 .3 . Сход нмо с:ть процесса при постоянном време ни обслужи­
вания.
использовать заnисимос ти, полученны е дл я стацнонар-
1юrо проц есса.
Если точность получаемых результатов необходим о
поJЗысить или прсщолжительность процесса мала, то сле­
дует при расч етах использовать формулы (2.2 .6),
(2"2.11) и (2.2 . 12), выведенные для процессов конечной
продолжительности.
Для удобства исп ольз ования этих формул рассчит а -
1-1ы и составлены табли цы, которые помеще н ы в прило­
жении 5 (табл . 16).
Пример 1
Диспетчер'ский пу1-1·1п скоро й ·пом ощи района нм еет связь со
всеми лолю<ю11н1ками, больни цами и друг'1ми пункт& ми, где •имею-rся
дежурные бригады .врачей ско·рой помощи. При ·пос туплении вызо­
ва ·око рой ;п омощи диспетчерский пунап связывается с ближайшим
к месту :вызова ~п унктом. Если в ·момент вызова имеется дежурная
ма шн·на, то вра 1 1 выезжает по вызо.ву. Когда в мо мент яызова нет
дежурной машины (не .вернулась еще с обслуж и вания одного ·нз
пред ш ествующ нх nызовов), днспетчер·акий пункт об р,1щаетс51 в сле -
44

\
\
Jt Y iOЩee место Де)i<урстiза окороЙ помоЩ:~, а для .Jдiного 1iy1Ж'ta
ны зов считается потерянным.
При некоторой поликтши1ке дежурит о;:ща машнна. Опыт лока ·
зал, что в среднем плотность поступлен;-~я вызовов оюрой помощи
в данную пoJJИ'I<ЛИIHI'KY 'равна ,Л = О,5 выз/час. Время обслуж1ивания
од но го вызова является ·слу,rайным . Оно за!ВИ'Снт от ра,сстоян·ия до·
места в ы зова, от ха ра ктера ·11есчас'1'ного ,слу'!ан и т. д. Сред н ее вре­
мя о.бс.л уж1·1 ва1н1я JЗызова ра,в110 од11ому часу . Оп1'едел 1пъ cpe; u1e e
1111 cJ10 ocfic:iyжe1 1 11ыx в ы з о1юв в смену ч ерез равные 1промежут1<1 1 вp e ­
мett'tt п один 11ас, е~слн Н<Рtало ·смены в 12 •tac. нo1t'it и за время
пр11ема и •Сда чи дсжур'С11!3а уже поступил первы1"1 вы зов.
·
Решение
Определнм па,раметр а:
ц=Лtобс = 0,5·1= 0,5.
По величи1 1 е а=О,5 в табл. 15 при;южения 5 о :: ределим мат е ·
матическое ож 1·1 да'1 111·1 е ''Шсла вызо,вов, обслу:·ке1н1ых с теч е ние ра з­
П'Ичиых промежутков в рем ен и. Р езу .1ьтаты ·С!ЗС ,' \ е ны в та·бл. 2.2 . 1.
Лродолж ите J 1ьн ость
дrж урства, час
Мат е матиче с/(ое
ожидание
0,68
3
1, 09
1,44
ТабJIица 2.2.1
5
1, 78
2, 11
Таки ·м образом, ·с р еднее число обслуженных выз сrюп за каж ·
ды1"1 интервал времени продолжительностью в один час рмн10
(табл. 2.2.2)
!1 1 ~тервал
Математиче с кое
ожидание
С0ДО
1 час
,0,68
С1ДО
2 ЧП.С
0,41
С2ДО
3 1LaC
0,35
Таб.пица 2.2.2
С3ДО
4 1LQC
0,34
с4до
5 час
о,зз
Ср аю 11нм эт н р езульта ты с результатамн, которые nолу ч аютсп,
если расчеты П'РО'и з вод ить п о зав 1·1с и мостя~1 , ·п олуче нны м в пр ед;по­
ложеI·!'ИИ ~ста цио н а рно сти процесса. В э том ·слу ч ае чи сло обслужен­
ны х вызовов за любой равныi:1 пром ежуток времени будет одинако­
вое и определи·тсн по формуле
где а=О,5; Т=\.
Результаты рас,rетов приведены в табл. 2.2.3 .
Из т абл ицы п и дно, что при олределен : rи работы скорой помощи
поликлиник'И -в н а чал е ,смен ы нео.бход им о п ользовать-ся завис и мостя­
ми, лолучеиными дл я нестационарного процесса. Если и с п оль з овать
фо·рмулы, ;пол ученны е для ста 11 110нар н о го процесс а , тu ошибка мо-
45

М ап:•м атическ о е
ожнда~-111с
При нестационар-
ном процессе
При CTa IJ,И OHap-
11ом процессе
Абсощотная
ОШИбJ(а
Относительная
ОШИбJ(а, 0/о
0-1
0,68
0,33
--
---
0,35
106
1'аблиц 11
-
-
J
2.2.3
Интервалы вре мени
1-2
2-3
3-4
4-5
О, 41
0,35
0,34
0,33
0,33
0,33
0,33
0,33
0,08
0,02
0,01
о
24
6
3
о
жет ~быть ·более чем ·в два раза. В дальн"йшем вид но, что процесс
устана1вливает~ся довольно быстро.
Определим среднюю .вероятность того, что ~каждая заявка будет
обслужена. Всего за пять часов можно обслуж:пь в среднем
2,11 ~в ы зова. Постуmит за это время, с учетом то го что первый вы­
зов у.же постуш1л во время сме ны деж у рс ~в а, в ·ср еднем 3,5 .вызо ­
ва. Отсюда обслужено будет около 60% всех поступ ивших вызовов.
Пример 2
Готовые издел11я поступа ют на кощзейер, по J(От орому двигаю т­
ся 1в ,цех упа·ковю-1 . На пути их дi311же11;1я н аходит ся пуШ{Т ОТК,
который мож ет провер5п ь одно"Време1-!'110 до ;пяти ;~зделий . Время
11а •проверку одного издеЛ'ия постоянное и равно одному часу. Из­
дели я поступают на конвейер с о скоростью в среднем 01коло
5 изд/час. В начале смены ко нтрольный .пункт сFободен.
Определить математическое ожидан:11е •rисла просерен ных изде ­
JIНЙ за И'Нтер.вал ~времени, равный двум -;ас ам с м омента ·поступ ­
ления пер:вого изделия на ко нвейер.
Решение
Первое издели е, кото·рое сразу по сту п : 1ло н~ проверJ(у, будет
проверено ч е р ез ча•с. Вер оя тность то1го, что в момент окончания
провер·к•и ;первого и зделия по•ступит другое, очень мала. В то же
время, если тот •прибор , с помощью кот,Jрого 'контролировалось
первое изде л·ие , начнет через шжоторое время посл е освобож дения
правер'Ку следующего, то он ее не за~<о1Рыт к конuу !Второго часа.
Следовательно, тот прибор, ·который принял н а контр оль ·первое .из­
делие, сможет обслужить к исходу второ1rо часа тол ько одно ~и зде­
лие. Остальные приборы начнут контроль по-ступ ающих изделий
позже, поэтому о·ни 'См огут проверить .пош10стыо за первые два
часа не более чем по одному .изделию . Рассм·лрим ход решения
задач и . Вначале 'О·пределим матем;ниче::кое ожидан ие числа изде­
лий, принятых на контроль за первый час после поступления перво­
го ~изделия. Для этого найдем, сколько ·В среднем примут .изделий
на 'Ко1проль за пер,вый ча.с о·стальные 4 .1рабора (т. е. кроме того,
который принял на 'контроль ~первое •юделие). Вер оя тность того , что
k п·риборо;в приступят эа первый час к контролю , равна вероятности
1'о,го, что за это время (т. е. за один '-!ас) поступ ит не менее k
46
1

\изделий. Вероятность по·ступления, .равная /1 издеJI'иям, может быть
определена по формуJ1е
(Лt)n -J ..t
Pk (t) = ----Ш- е
·
В 11аш ем ·примере Л.=5 uзд/•tас 11 f= l час.
Вероя тн осгь того, что будут заняты вс е осталы 1 ые 4 прибора,
рав·11 а вер о птности тото, что за первый •шс п ас т)"пнт не менее 4 нэ­
деJJий. Отсюда среднее ч1кло ·изделий, пр11нятых на ~'онтроль з а
оди н час .всеми 5 пр•иборами, ра. вно
)J,. 1 11 1 0 11ределе 11ня в е J11инны М ,;оставим тnбJJ. 2.2 .4.
Ч HC JIO ПОСТУПИВШИХ
изделий (k)
о
1
2
3
С умма
Верvятность постуПJ1е·
ния (k) изделнii (PJi)
0,0067
0,0337
0,0842
О, 1404
0,2650
Таблица 2.2 .4
о
0,0337
О, 1684
0,4212
0,6233
Тогда математиче ское ожидание числа изделий, принятых на
проверку за первый ч ас · нли, что то же, проверенных за два ч а·са
с момента поступления первого и з.д ею1 п, равно
M= l +0,62+2,94=4,56 юд .
Всего за первый час в •среднем должно п о·с ту11;1ть на 1;онтроJ 1 ь
5 лзделнй. Следовательно, 90,l %· •В·сех и з· rото.вщ~1111ых ·ш ;.1,l: J 1 ий з а
первый с1а·с будет проверена. Ма·кснма.пьные возможно·с ти контроJ 1 ь­
ного пу1-гкта 5 uэс/час. Если бы организация рабо т ы быJJа та.кая,
что изделия посту п али партиями 5 изделий через 1 ча~ то они все
были бы •провер ены. Но из-·за ·случайного характера поступле111н1
издеJl'ий часть времени приборы хонт·рольного пункта будут про ­
стаивать и не все •изделия поQверrнутся кон'!'ролю , Решим этот же
пример •В предпоJJо жении, ·что процесс контроля устано.вивший·ся.
В этом случае математическое ожидан•ие чисJJа зая·вок, принятых на
обслуживание за первый ча·с, равно
Мстац= (1-Ротн)Л.Т,
гд е Рот" - вероят11ость тог о, 'IТО изделне не будет принято на
KOHTjJOJIЬ;
Т=1 час; Л.=5 иэд/цас.
Определяем параметр а :
47

По значению а=5 и n=5 опр~деJ1н м по табл. 4 приложен'И51 5
пелнчииу Ротн=О,285.
Отсюда
Мстац=0,715·5· 1=3,'J9 изд.
Та·к н м обр;~зом, если решать эту задачу в предположении стацио­
нарности процесса контроля, то мы получим ·результаты ниже
на 27%.
Рассмотренные примеры показывают, что при реше­
нии различных прикладных задач во мног их случаях
требуется учитывать нестационарность процесса. Чтобы
оценить погрешность от до пущения стационарности про­
цесса, при проведении расчетов можно использовать вы­
вод о том, что при заданных параметрах длительности
процесса Т и производительности системы ·а· максималь­
ная ошибка будет для одноканальной системы . Поэто­
му ошибка одноканалыюй системы может являться как
бы верхним пределом. Прежде чем проводить расчеты,
необходимо оценить ошибку от допущения стационар­
ности процесса, а затем решать, какими зависимостями
пользоваться.
2.3. Системы с поступлением групповых заявок
В предыдущих параграфах рассматривалось исполь­
зование математического аппарата теории массового об­
служивания, разработанного применительно к ординар­
ным потокам требований. Однако в п рактике возможны
случаи, когда требования на обслуживание посту па ют
в систему группами - парами, тройками либо группами
со случайным числом заявок в каждой. Придя в си­
стему массового обслуживания, каждое из требований
группы либо обслуживается, либо получает отказ, в за ­
висимости от занятости приборов обслуживания. При­
мером этому может служить прилет в систему ПВО са­
моле1'ов противника парами, звеньями и т. д. [19, 26].
В работе ПВО прикрываемого объекта кажд ый из само­
летов противника будет обстреJiиваться зенитными ком­
плексами.
Для решения подобных задач ·разработан математи­
ческий аппарат, который получен при следующих до­
пущениях:
-
поток групп заявок пуассоновский,
-
время обслуживания каждой заявки в группе г~од-
чинено пот<азательному закону,
4~
1
1

-
выбор заявки в группе производится случайно, по
за кону равной вероятности.
К:ак и для случая ординарного пуассоновского по­
тока, справедлив вывод Б. А. Севастьянова, что зави- .
симости, получаемые для стационарного решения, не
зависят от распределения времени обслуживания, если
входящий поток гру п п заявок является пуассоновским.
Число заявок в группе постоянное. Для этого cJiy'!aя
ПОJ1учены следующие рекуррентные зависимости, пывод
которых можно найти в [26]:
аро= Рн
(1+а)Р1=2р2,
l
1
(k+a)pk=(!г+l)Pk+i при k<m,
(k+a)pk=(!г+l)pk+i+aPk-m при /г?3т,
} (2.3 .1)
(n + 11.) Рп = арn-т,
где т- число заявок в группе;
а= Мобс ;
Л - плотность групп заявок;
1
1J
lобс - cpeдllee время обслуживания каждой заявки;
п - число приборов обслуживания системы.
При решении системы (2 .3 .1) получены следуюшие
зависимости при m<n:
(2.3.2)
где
k
П [a.+(r-1))
r=I
Уk=---м--- при k.;;;;; т
k
П [a.+(r-1))
k-m- 1
r=I
~Х
Yk = ---iг!----а l.J
j=O
k-m -j-1
n [(a.+т+i)+iJ
x__i-,-=_
1•--,- --- --- - у'
пр11 /г>т'
k-m -j
,
n (m+j+s)
s=1
о
где П(х)=] .
1
4-НН
49

Значение величины р0 определяется и з нормирующе­
го условия
п
~ Ptt= 1.
(2.3 .3)
k=O
Если же группы состоят из числа з а явок, которы е
больше, чем число приборов, т. е. m?;:;n, то в этом слу ­
чае, очевидно, при поступлении групповой заявки систе­
ма будет переходить сразу из любого состояния в со­
стояние, когда все приборы заняты. Решение такой си­
,сте мы приведено в приложении 4. Вероятности 'Сост.оя ­
ний системы для этого случая определятся из уравн е-
ний
k-1
n (а.+ т)
(2.3 .4)
m=O
t
12
Ptt = --k-1
--Po• 1г= , ,... ll,
и
п
-1
-[n~I (а.+т)]
Ро-
111
(2. 3 .5)
Для удобства использования полученных з ависимо­
стей составлены таблицы (см. приложение 5, табл . 7) .
Вероятность отказа в обслуживании
п
I llpk,
1 k=O
Ротк= - ат
-
Среднее число занятых приборов
п
Nз = l: !грk.
k=I
-
Коэффициент занятости аппаратов
/(з =Nз.
11

-
Среднее 1iисЛо свободных от обслуживания аппараtо11
п-1
No = L(п-!г)Pn·
k=I
-
Коэффицнент простоя ап паратов
т..- _No
l\п-
.
п
Число заявок в группе случайное. Дальнейшим
обобщением практических задач, ·связанных с поступ­
лением в систему массового обслуживания потока груп­
повых требований, является случай, когда число требо­
ваний в группе случайное. Мы даем математический
аппарат, 1<0торый описывает функционирование систем
массового обслуживания с потерями при условии по­
ступления в него пуассоновского потока групп требова ­
ний случайного состава. Это позволит расширить круг
з адач, решаемы х методом теории массового обслужи­
вания. Например, при налете авиации на объект 11исло
самолетов в группе может меняться в зависимости от
различных условий. Как правило, к зоне обороны под­
ходят неполные звенья, так как часть самолетов мо ­
жет быть .поражена зенитным огнем, часть звеньеn
под воздействием огня расстроит свои боевые порядки .
Или другой пример . Каждый покупатель может потр е ­
бовать в билетной кассе различное случай н ое количе­
ство билетов (например, один поку патель требует д nа
билета, другой четыре, третий один и т. д.).
Далее, при бомбардиров 1<е вещества быстрыми ча­
стицами может выбиваться сразу несколько осколков,
причем при каждом ударе частиц образуется различное
количество осколков. Вот почему предлагаемая задача
представляет практический интерес .
Рассмотрим постановку задачи. В п-канальную си ­
стему массового обслуживания с отказами поступает
пуассоновский поток групповых требований случайного
состава. Это означает, что если в момент t поступило
групповое требование, то с вероятностью а1 может по­
ступить лишь одно требование в группе, с вероятностью
а2 - два требования и вообще с вероятностью а,. - r тре-
4•
51

бований. При этом допяшы выtJо.ltшiтЬсП ycJtolЗИ~I
ar~О,r=1,2,3...,
и
00
"\' а,.= l.
""'"
г=I
Как показано в [9.], систе ма дифференциальных уравне­
ний, ОП l! С Ы13аЮЩ35! все СОСТО5JНИ5!, имеет вид
k
Р'о (t) =
-
').ро (t) + f1P1 (f),
p'ii(t)= - (1+kf1)Pii(t)+
+.i L aiPii-i(t)+(k+ l)f1Pii+1U) при k<n,
~ (2.3 .6)
i=I
п
ею
Р'п(t) = - nf1Pn(t)+1I Рп-sLai,
s=I
i=s
где Ро (t), Pit (t) и Рп (t) - вероятности со стояний си ­
стемы, когда в ней за нято обслуживание м соответств е н­
но k и п приборов;
Л - плотность потока ·групп требований;
μ - п араметр, характеризующий систему обслужи ва­
ния:
1
11=--;
fобс
tобс - среднее вр ем я обслуживани я прибором оди ­
ночного требования;
п - число приборов в системе.
Полагая, что существует стационарное р е шени е пр и
f--+ -oo, получим систему алгебраически х у рав 1 1 е ний :
(2.3 .7)
п
<Х!
Рп=п~~Рп-s~ai·
s=I
i=s
52

3начеш1е р0 определится из iюрмнрующеrо условия
п
\'p,,=I .
"-!
k=O
В установив1Lемся процессе в каждый момент времени
11
система содержит в среднем \' kp1, требований. Следова~:ель-
''=1
но, за каждую единицу времени обслуживается в среднем
п
fJ.) . kря требований. Поступает же в систему за единицу
.. ;.. .J
k=1
00
времени в среднем Л. ~ kah. требований.
~
ll=I
Отсюда вероятност ь того, что требование получит отказ
в обслуживании, будет равна
где а=М06 с;
п
у
~ !гр1,
р
"=1
OTll= 1- - 00
---
СХ \, IIOI!,
....
il=I
(2.3.8)
Л,- ллотность поступленип групп требований случай­
ного состава.
Остальные показатели обслуживания могут быть оп­
ределены так же, как и в случае, когда число требов а­
ний в группе по стоп 1-шое. Рассмотрим следую щие при­
меры.
Пример 1
Оценить эффективн ость н екоторо й -1ротивсжатер·ной обороны
соедине1-1>ия 'Кораблей, ·состоящей из трех единиц (п=З), 1<оrда 1<а­
те.ра противника проиЗ>водят атаку с плотн остью Л= 1 группа/мш-t.
Группа может состоять с ра-в·ной пероятностыо ·из одного, двух или
трех катеров ~противника. Время, необходимое противокатерному
средству ·на обстрел одного катера, равно 1 мин.
Решение
Определим параметр а:
сх= Л!;;бс = 1.
Используя сис т ему алгеб ранче ск п х jраnн е ннй (2.3.7), найдем
р1,(О~/г~З):
Р1 =Ро·
53

1+1
11
Р2= -2-Р1 - Т3 Ро•
1
12
11
Рз=3Р2+33Р1+33Ро·
Получим следующие значения вероятностей состояний си·стемы
nроти·вокатерной обороны:
Ро=О,29; pi = 0,29; Р2=0,24; Рз=О,18.
По формуле (2.3 .8) определим вероятность того, что катер протиrз­
ника будет обстрелян:
Робе=
о'29+ 2.о'24+ 3.о'18
1
2
3+3+ 1
:::::::0,66.
Таким образом, две трети 1<атеров противника будет обпре­
ляно сред<ствамн противокат ерной обороны.
Определим ·сред нее число средств против окатер ной 060110111.>1,
за·нятых обстрелом:
3
Nз = ~ !грт~ = 0,29 + 2-0,24+3-0,18 = 1,31 срежтв.
k~'l
Коэффиц и е нт загру з•ки каждого средства равен
1,31
Q=
-
3 - =О,44.
Следовательно, около 44% ~всего времени боя средства про ти ­
вокате.рной обороны будут заняты обстрел.)м ·катеро.в противника.
Остальное время они будут ожидать появления оч еред ны х целей.
Пример 2
На з начение информац1юнной лоrическ :JЙ .маш и ны - обработю1
сообщенн й , ·которые п оступают •группами. Поток трупп сообщений
можно пр·иближен н о считать лро·сте йш им. Поступающ ие сообщения,
застав все каналы обработки информации :.1аши·ны з<1нятымн, теря­
ются. Время на обработку одного сообщения является случайным.
Пусть оно подчинено показ ательному закону с математическим ожи­
данием, равным tобс=О ,2 сек. Число сообще~н1й в г рупnе постоян­
ное 1и равно m=3 rсообще1-гиям. Необхо димо опред елить, сколько
каналов обработк и должна и·меть ·машина, ч тобы при плотности по ­
тока Л=5 сообщ/сек. вероятность потери 11нформаци11 была не бо ­
лее 5%·. Какой •Коффициент полезного действия имеет эта машина?
Решение
Оnределим параметр а:
а= Л'l!обс = 1.
54

По значениям a=1l и числу •Сообщений в rрупле m=3 в табл . 8
приложения 5 находим вероитности !Потери инфор ма ции в машине
nри различ·ном Ч'Исле каналов обработки.
Таблица 2.3 .1
п
8
9
10
7,2
4,6 2,7
Судя по данным, приведенным в табл . 2.3 .1, машина должна
иметь не ·менее 9 .каналов . В этом случае вероятно сть потери ин­
фо·рмации не превысит 5% .
Для определения ~мат ем а тического ожидан и я ч исл а канало;в, за­
нятых обработкой 'Информации, составим В'Опо мо гател ьную таблицу.
При ее 'составлени·н .во.спольз у емся табл. 8 11риложе ни я 5, где вхо д­
ными данными являются вел ичины а, п и т. При а= 1, n=9 кана­
лам, m = 3 · ·сообщениям в группе получаем да~-rн ые, приведенные
в табл. 2.3.2 .
Таблиц а 2.3 .2
Число кана.лов обработки, п 1 Вероятности состояний, Pk 1
' 'Pk
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Сумма
0, 162
О, 162
О, 162
О, 122
0,089
0,062
0,040
0,023
0,016
О, 162
0,324
0,486
0,488
0,445
0,372
0,280
0, 184
О, 144
2,885
Таким образом, .при з а д анной плотнос ти пост у плени я инфор­
мации и ч исле каналов обслуживания n=9 -в средн ем около трех
ка н алов будут загружены в се врем я обработк о й ин формации, от­
куда коэффи ци ен т загру з:ки ра.вен
Nз 2,88
К.= п =-9 - =О,32.
Сред'нее число свободных каналов обработкн инфор ма ции
No=9-2,88=6,12 .
Коэфф1щ11е1п простоя •каналов обработки ран~н
N0 6,12
!(11 =п=--г=О,68 ·

Ка'к видно из при'Мера, коэфф1щиент простоя кaн<1 JJOI3 большой,
однако уменьшить Ч'Исло ·каналов не предстапл q ется во:; можным, так
каk тогда не будет выполнятысп условие: ;зероятнос ть пот ер и тре­
бованип не должна превышать 5%.
2.4 . Системы с последовательно
расположенными приборами
Последовательно расположенные группы однотип-
ных приборов. На практике довольно часто возникают
ситуации, в которых необходимо определить вероят -
а
1- uPl/6e.ж пpom11-
tJoma нxotJou 06оронь1
из r, среосmб
z-и Pij6eж
uJ r 1 cpetJcmb
-- --
3-u Рl/6еж
tJJ r 3 cpeacm/J
(j
Рис. 2.4 .1 . Схема эшелонированной противотанковой обороны
объекта:
а - л оток танкоо; б - n ото1< тан1<ов, прорвавшихся через 1- й рубеж; в - по­
ток танков.. nрорваошихсл через l-1"1 и 2-й рубеж. и ; г - п оток та1-11<ов, про­
рвавшихся через оборону.
ность обслуживания заявки (требования) при прохожде­
нии ею ряда последовательно расположенных групп при­
боров. В та1шх системах заявки, которые не были сразу
обслужены приборами первой группы, по ступают на при­
боры второй группы. Заявки, которые не были обслужены
и приборами второй группы, поступают на приборы треть­
ей группы и т. д. Пусть имеется i таких групп, а при­
боров в каждой группе Гj, где 1~ j~i. Для ряда при­
кладных задач интересно определить потери заявок на
приборах каждой группы или после прохождения всей
системы. Эта задача для упорядочен11ой послсдо113тель-
1-10сти одиночных приборов была рассмотрена Пальмам .
Примером сформулированной задачи может служ 11ть
эшелонированш1и протиротiН!l\ОЩН! оборона какого-нн-
gб

будь объекта (рис. 2.4 . 1) . Танки противника, це.tiь кото­
рых ~прорваться к объекту , должны прежде всего пре­
одолеть последовательно все эшелоны противотанковой
обороны. В каждом эшелоне мо:жет на ход иться различ-.
ное 1<0Jшчесню срсдстu. Необходимо провести оценку
эффективности такой системы противотанковой оборо -
11ы, состоящей из однотипных средств. Подобные задачи
решены при следующих предположениях:
-
входящий в систему поток требований является
пуассоновским с параметром Л,
-
время обслуживания заявок, поступающих в си ­
стему, является случай н ой величиной с показательным
1
законом распределения, имеющим параметр fl- = V06c ,
-
все приборы системы однотипны, т. е . имеют оди­
наковый зако н распределения времени обслуживания.
Система функционирует следующим образом. Посту­
пившне в нее заявки обслуживаются приборами первого
э ш ело на (группы). Если они будут заняты обслужива-
11н см, то требования получат отказ на приборах первой
1 ·руп 11ы н п оступят на обслуживание приборов второй
группы. В е роятность то го, что заявки получат отказ на
приборах первой группы и поступят на приборы второй,
определяется по форм уле Эрланга
(2.4 .1)
Если и приборы вто рой группы будут также заняты
обслуживанием, то заяв ки полуt1ат отказ. Вероятность
этого события, как показано в [8] , равна
где r1 - чI-;сло приборов в первой группе;
r2 - число приборов во второй группе.
(2.4.2)
57

Если таких групn i, то в общем виде верояt1-юсть про ­
хода зая·вок необслуженными сквозь всю систему ра1в­
на
a.r,+r1 + ... +ri
Pt=
(2.4.3)
Используя формулу (2.4 .1), можно определить:
-
вероятность отказа в обслуживании на приборах
j-й ·последовательной группы
п_
_ Ej_.
•
j- pj-1
,
-
вероятность того, что приборы j-й
ной группы обслужат заявку, которая не
на предыдущими группами :
(2.4.4)
последователь­
была обслуже-
(2.4.5)
-
коэффициент производительности приборов j-й по­
следователыюй группы ( 1~j ~ 1i)
'Тl·_Pj-1-p;
., ,-
l-pj .
(2.4.6)
Применение полученных зависимостей ра·ссмотрим
на примере .
Пример t
Завод 1выпуокает продукцию в виде некvторых изделий . Произ­
в·одительность за.вода по :выпуску 1Л.= 0,5 изд/мин . Прежде чем по­
стушить на )"Па.ко·вку, они пройдут фун1кциональный контроль в
сборке на спе~иально разработанных ;:тендах. Готовые изделия
к стендам подаю-гся транспортером. Каждый из стендов может
одновременно кон тролировать только uдно изделие. Необходимо
определить, сколько и какой производительности нужно поставить
стендов на кон-грольном пункте при миним:~.льных затратах на стен­
ды, монтаж 1юнтрольного ~пункта и о·бслуж.шание, чтобы .в среднем
не менее 95% тотовых издел ий было 1проверено. Стенды ~могут иметь
различную производительность, т. е. время, необходимое для про­
верки одного изделия. Чем выше производитель ность стенда, тем
51!

он дороже. ЗависимостQ стоимости стенда от его производительно­
стrr обозначим
5
С= -"-- ед . стоимости,
.-обе
где tобе - время обслужи.вания, ·выраженное в минутах.
Время, необходимое дл я функЦ'ионального контроля и отлад­
ки изделий, является величиной случайн•JЙ, кото·рая зав~rсит от
·качества монтажа осн·ОВ)iЫХ агрегатов и •rастей ицели й, и колеб·
лекя в широких пределах. Нремя контроля каж дого издел·ия не
за;внсит от времени контроля предыдущ11х изделий; стат и ст ич еский
анализ ·времени ко н троля :по·казал, что uно подч инено пок азатель ·
ному закону распределен'ИЯ с п араметром
/Jo---
-
fобе •
Чем больше сте ндов необходимо объединить на контрольном
пункте, тем выше стоимость его моптажа и обслужнва ния . Пусть
сто 11мость монтажа и обслу жиоаюrя контрольно·го пункта за время
изготовле ни я серии и здел ий задана фушщ,r~й
5+ п2
с =-з-- ед. стоимости,
.1·;(е n - •mсло стендJв.
Тогда общая стоимость •контрольного ·п у нкта, включая стон·
. мость
стендов, монтажа н их серайного обслуж и ва ния, раона
5+n2
5
Собщ =
-
3- +-"-- п.
1 обе
В распоряжении завода имеется пять типо.;з ст ендов по конт­
ро;110 готовых ·изделий, которые и:.1еют разную п ро изuодительность
и харак r ер11зуются tобе=О,5; !; 2; 5; 10 изд/мин. Для этих зна<1е­
ний tобе на ходим величины параметра (табл . 2.4 . 1) .
Таблиц а 2.4.1
t обе
0,5
2
5
10
0,25
0,5
2,5
5
По табл. 4 приложения 5 опр~.J,елпем число стендов, которое
необходи мо иметь, чтобы осущест1шть 1шнтроль изделия с в"ро­
ятностью 0,95. Количестuо стендов будет зависеть от их произво ·
дителыюсти (табл. 2.4 .2) .
Стоимость контрольн ого пункта ·В зависимости от типа ЩJИме·
няемых стендов приведена в табл. 2..1 .3 .
Поэтому контрольный пункт следует создава ть из сте1ыов,
имеющих среднее время контроля одного изделия 2 htuн. При этом
59

Таблица 2.4 .2
Тобс
0,5
2
5
10
п
2
3
4
6
9
для ·контрольного пункта потребуются 4 та'К't!Х стенда. При орга .
низации обслуживания стендов мастерами следует учесть, что
стенды, которые работают большее время, l'ребуют ·и большего
обслужи1вания. Поэтому необходимо учитывать коэффициент про ­
из.вод'ительно'СТИ каждого последовательно раслоложеннаго стенда.
Таблица 2. 4 .3
tобс
0,5
2
1
5
10
Соuщ
23
19,7
17
1
19, 8
33,4
Этот ,коэффиц и ент •может быть определен по фо1н1уле (~.4 . 6). Дт1
нашего прим ера он равен:
-
длп первого сrенда
р, _0,5 -
.
't)1= 1-р -о 98-0,51,
4
,
-
дJIП второго стенда
р,- Р2 0,3
' t)2 = 1-р4 ~. 0,98"""0,30;
-
для третьего стенда
Р2-Р:1 0,137
"f/з= 1- р,1 =О 98- """О, l-!;
-
для четв ер того стенда
Рз- р4
"'11=_!_ _ _ """0,05.
-р4
Таким образом, •первый сте нд провер:п 51 % всех и з делий, ко­
торые будут подвергнуты проверке, второii - 30%, третий - 14%
н чеТlвертый ~ 5%·.
Отсюда при ·ор•ганизации профнлактнческих работ, замене из­
ношенных деталей и других видах о.бслужи.ваннп ·стендов следует
чаще ·обращатыся к п ервому ст е нд у, так 1шк у ·н е10 будет затрузка
наибольшап, не сколько р еже - 1<0 в тором у с т енду и т. д.
Этот пример, конечно, но сит услов ный характер, так
как фунkции стоимостей взптиr произвольные, однако его
можно рассм;зтрнва.ть J<ак первое приближение к реаль -
60

ному процессу при проектировании определенных авто­
матических линий, и при более тщате.пьном качествен­
ном и ~..:оличественном анализе рассматриваемого про ­
несса он может оказаться полезным.
Два последователыно расположенных прибора разной
производительности. На практике ча'Сто возникают си­
туации, в которых необходимо определить вероятность
обслуживания заявки при прохождении ею ряда посл~­
довательно расположенных приборов или групп прибо­
ров разной производительности. Например, в рассмо­
тренном выше примере с транспортером в контрольном
пункте могут стоять стенды разной производительности .
Потох
BxoiJлщuti 1-u приоор неоt5ст;женны'
поток
(11,) заядох 1 - м
прu6ор аи
Поmо1<
2-u приоор неоослуж.енныд
(μ,) заядок 1-ии Z-м
'7pur5opoмu
Р11с. 2.4.2. Система двух приборов разной производитеJ 1 ыюt:т 11 .
При решении военных задач могут встретиться слу­
чаи, когда необходимо определить эффективность мно­
гоэшелонированной обороны, у которой в каждом эше­
лоне имеются огневые средства, отличные по своим
боевым возможностям от средств в других эшелонах.
Наиболее простой системой массового обслуживания
с последовательно расположенными приборами разной
производительности являются два последовательно рас­
положенных прибора разной производительности. Пусть
эти приборы расположены друг за другом (рис. 2.4 .2).
Времена обслуживания каждого из них являются вели­
чинами случайными, которые подчиняются по1<азатель­
ному закону с параметрами μ 1 и ~t 2 соответственно для
первоrо и второго приборов . На первый прибор посту­
пает простейший поток заявок с интенсивностью Л за­
явок на единицу времени. Заявки, которые не были об­
служены первым прибором из-за его занятости, поступа­
ют для обслуживания на второй прибор. Если он свобо ­
ден, то заявки обслужиnаются им, в противном случае
заяв1<н считаются необслуженными.
Обозначим вероятности состояний системы:
Роо - первый и второй приборы свободны от обслу­
жнва11нп;
Pio - первый прибор занят обслуживанием, второй
с вободен;
61

Ро1 - первый прибор свободен, второй занят обслу ·
живанием;
Рн - оба прибора заняты обслуживанием.
Решение данной задачи приводит к следующей СИ ·
стеме дифференциальных уравнений:
Р'оо (t) = - АРоо {t) + f!-1P10 (t) + !l-2Po1 (t),
}
Р101 (t) = -((/,.,++ !12) Po1((t)++ ll-1P11((t)+,
(
(2.4 .7)
Р'10 (t) = - '}..,
!1-1) Р10 t) АРоо t) ll-2P11 t),
Р111(t)= -
(11-1 + !l-2) Рн(t) + АР01 (t) + lP10 (t).
Можно показать, что для стационарного решения
при t--+oo выполняются условия
Pi; (t)- Pi; = const и p'ij (t)- О,
i=1,О;j=О,1.
Тогда снстема дифференциальных ypi1!311e 111 11I пре­
вратится в систему алгебраичес1,их:
APoo=i.t1P10+\12Po1•
1
(/,., + f!-2) Ро1 = ll-1P11·
(/,., ,+ !11) f!10 =АРо)+ /1·2Р11• .
(μ.1 + !1-2) Р11 = АР01 + АР10·
Решение системы (2.4.8) дает:
(2.4 .8)
1. Вероятность отказа в обслуживании заявю1, i{О ­
торая равна вероятности того, что заняты оба прибора:
А.2
Р 07R = Рн = ---------------
2
/J.1/J.2
А. +А.(/J.1 + f.'-2) + А.+/J.2 (2А.+ /J.1 + /J.2)
(2.4.9)
2. Вероятность того, что асе приборы свободны от
обслуживания:
(2.4 .10)
3. Вероятность тосо, что занят обслуживанием толь-
1\О первый прибор:
.
(2.4 . 11)
62

4. Вероятность того, trтo занят обслужнваю1ем tо.11Ь­
ко второй прибор:
р
f.1-1
01= л+μ2Рн·
(2.4.12)
Зная вероятности состояний системы, можно опреде­
лить загрузку каждого прибора . Коэффициент загрузки
прибора будет равен отноше1 1 ню математического т~<и­
дания числа заявок, обслуженных этим прибором
в ед:иницу времени, к математическому ожиданию чис ­
ла заявок, обслуженных обоими лриборами в едини­
цу времени. Математическ1ое ожидание числа заянок,
обслуженных первым прибором в единицу 1времени,
равно μ1 (Рн +Р10). Тогда коэффициент загрузки .первого
прибора ра'вен
После подстановки значений Рн и Р1о получим
'YJi =
f.1-1 [Л(Л + fJ-2) + f.1 -2 (Л + f.1-2 +·f.1 -1)]
1 • (2.4 .13)
(Л+ μ2)lЛ(μ, + f.1-2) +~л7~2 (2Л+ μ1+ f.1-2)J
АIIалогично получим 1<оэффициент загрузки второго
прибора
'YJ2=
f.l-2A(Л+μ2+f.l-1)
•
(2.4.l4)
(Л+ f.1-2) [Л(f.l-1 + f.1-2}+ Л~μ:2 (2Л+ f.1-1 + f.l-2)]
Отношение коэффициентов загрузки покажет, во
сколько раз один прибор работает больше, чем другой.
Обозначим через Qt2 отношение коэффициентов загруз­
ки первого прибора ко второму. Тогда
(2.4.15)
Из анализа уравнения (2.4 .9) вытекает важный для
практики вывод: чтобы эффективность обслуживания
системы была наибольшей, первый прибор должен иметь
высшую производительность. Например, при создании
контрольного пункта из двух стендов разной производи­
тельности первым следует ставить стенд, который имеет
63

большую 11ро~1з водителыiость. В этом ёлуч а е на второ й
прибор пойдет более редкий поток нсобслу женны х з а­
явок. Для обслуживания этого потока выгоднее исполь­
зовать прибор меньшей прои з водитель ности .
Пример 2
Оценить эффективность двух пос.nеj\ОJJ атслы 1 0 сто ящи х 11 а кон ­
веi"1ере ко11тро.11ы1 ых приGорос, ·1<оторые осу11tест11л,1ют птюверку со­
оrг~етс ·1,с 1н1 нормам осноп11ых -11 ара<v1 етров н злеJ1 нй . Ск ор ость к о 11 -
вейера подобра·на та•к, что на ка~1тр о льный пунк т лоступа ет н от оl\
изделий ·с плотностью Л.=0,5 изд/1>1ин . Так юн< ~к аждое и здели е
имеет различные отклонения •Параметров от нормы , то прибора м
на проверку приходится тратить в каждом t:л у чае р а зное ;время .
Среднее время, необходимо е п·рибору на проверку од:ного издедия,
равно для первого прибора 5 мин, а для второго - 2,Б мин.
Решение
По параметрам Л. = 0,5; μ1=0,2; μ 2=0,4 и з та бл. 2•1 лрилож е-
1шя 5 оп•ределяем .вероятност ь проверки лю б ого изд елия контр ол ь­
ными приборами
Робе = 1-Роти =0,64.
Таким образом, контрольными прибор;н1и бу дет проверено бо­
лее 64% в-сех изделий .
Если прибо·ры помен я ть местами, т. е. •пе р.в ы м гюстасить пр11-
бор .большей лроизводителыюсти (tooc= 2,5 мин ), а в-rоры1м -
при·бор, у котарого время обслуж rшания р а вн о 5 лttui, то лер о ят-
1юс ть проверю~ любого и зделия будет ра.вна
Ро б е= 1-Роти = О,66.
Контрольными при,борами будет пр 0i3 ер е н о Gl<C)JJO 66% в'Сех
изделий .
Пример 3'
..1.i 1
На выборо•пюм контроле ·и зде.1нй сто11т д1r1а r.р ибо ра с ра з ­
личной производительностью . Первый при бо р спосоGен пров ерить
изделие за 2,5 ,~,шн, т. е. μ, =0,4 изд/мин, а второй - только за
5 мин, т . е. μ 2 = 0,2 изд/мин. Потак ·и'ЗдеЛ'ий имеет плотнос ть Л=
=0,5 изд/мин. Расчеты по табл . 2•1 приложени11 5 показываю т,
что эти два прибора лри заданном потоке и здели й способны про­
вер·ить в среднем 66% .;гздел ий. Пусть первы й пр и б ор вышел н з
строя. Одновременно с его за меной решено :10вы снть процент про­
веренных изделий не мен ее, чам до 80%. Требует•с я опре де лить,
ка1кую производительность должен иметь прибо р, •поставле11ный
вместо вышедшего из строя, чтобы не менее 80 % и зделий под­
nерглось контролю .
Решение
Зададим ·ряд значен1иii величины 111: 0,4; 0, 5; 0,6; 0,7; 0, 8 ;
0,9; 1.
Из табл. 21 приложе·ния 5 определим 'Эффектив н о сть контроль­
ных приборов при разных значениях μ,. Результ а ты расчетов све­
дены в табл. 2.4.4 .
64

Таблица 2.4.4
μ,
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
66
70
74
77
79
81
84
Построим rрафнк заrнюимостн Робе от з·начепия параметра · μ.1
(рис. 2.4:3). По величине Робе=О,8 па гра•фихе ·находим μ1=0,85.
Та1<им образом, для того чтобы .вероятность пр •JБер 11<и .каждого изде-
Рабе
1,0
0,8
___J_____
_
_[
О
0,2
О,Ч
()_ б
!~-~
о,в\ ;,о μ,
0,85
Рис. 2.4 .3. Записнмость Робе от величины параметра произоодитель­
иости первого прибора μ1.
лия была ·не ниже 0,8, следует заменить Бышедший 1нз строя П'РИ­
бор прибором •с производительностью не менее 0,85 изд/мин.
Коэффициенты за;rруз1ш приборов ·в этом случае будут сле­
дующие:
-
дм~ перпого прибора
0,85 [0,5 (0,5 + 0,2) + 0,2 (0,5 + 0,85 + 0,2)]
7)1 =
[
о85+02
]~
(О, 5+0,2) 0,5 (0,85 + 0,2) + 0 :5 + 0 :2 (2·0,5+0,85+0 ,2)
0,56
:::::::0,71 :::::::0,79,
5-1444
65

~ д ля втор()rо ттрноора
Т]2= 1-111=0,21 .
Значит, на д олю первого лр11бора пр1ще:ся 79% n· роверен,ных
изделий, а на Д()ЛIО второго - 21 %. Таким обра.зом, загрузка ·пер­
аоrо прнбора по отношению ко второму бу.1ет в 3,8 ла з а .выше.
Две группы ·последовательно расположенных прибо­
ров разной производительности . На практике могут
встретиться случаи, когда необходимо оценить пропуск­
ную способность системы массового обслуживания с по­
следователы-1ым расположением приборов разной про­
изводительности. Вначале поток требований поступает
на группу приборов одинаковой производительности. Те
требования, которые получат отказ в обслуживании
приборами первой группы, поступают на прибор, стоя­
щий сзади этой_ группы. По своим характеристикам этот
прибор может отличаться от приборов первой группы.
Вывод аналитических зависимостей для этого случая
очень громоздкий . Поэтому необходимо найти такие пу­
ти оценки пропускных способностей системы, которые
были бы простыми и в то же время достаточно точными.
Одним из таких путей может быть замена группы
приборов одним прибором, обладающим эквивалентны­
ми пропускными способностями. Действительно, зная
пропускные способности некоторой группы приборов,
всегда можно подобрать для заданного потока заявок
один прибор с таким временем обслуживания, что ве­
роятность отказа в обслуживании поступающих заявок
будет равна вероятности отказа рассматриваемой груп­
пы приборов.
Таким образом, метод замены по пропускным спо­
собностям группы приборов одним прибором позволит
пользоваться более простым математическим аппара­
том, полученным для двух последовательно расположен­
ных приборов разной производительности.
Способ сведения многоканальной системы к одно­
канальной состоит в определении обслуживания неко­
торого прибора, пропускная способность которого будет
эквивалентна многоканальной системе. Дш1 этого ис­
пользуем равенство
р=р
,
(2.4 .16_)
отк1
отхn
где Ротк, - вероятность отказа одноканальной системы;
66

Ротк - вероятность отказа много1<анальной системы с п
n
приборами .
Вероятность оп<аза для одно1<а1-1алы1ой системы за­
пишется в виде
(2.4 .17)
Тогда, подставив (2.4 .16) в (2.4.17), определим вре­
мя обслуживания искомого прибора, который будет
f!Меть эквивалентную пропускную способность
(2.4 .18)
Если группа имеет однотипные приборы, то величина
Роткn определяется по формуле Эрланга. Когда группа
состоит из приборов разной производительности, то вели­
чину Р01к можно определить по формуле, вывод которой
n
по.пуч ен А. А . Шахбазовым [29]
где
роткп = -1Jn-~-1 -
1+j!схсх·
сх,2••• ]
i=l Cj
л
а·--·
i-
1-'-i'
μ;-производительность i-го прибора;
п - число приборов;
(2.4.19)
Cj- любое сочетание (а1; а2;
. ..;aj)поjчиселря­
да (а1;az; ..., а");
2:. обозначает, что суммирование распространяется по
Cj
всем сочетаниям.
Таким образом, если имеется система последователь­
но расположенных групп приборов (как однотипных,
так и разнотипных) и одного прибора, то для определе­
ния пропускных способностей можно использовать за­
висимости, полученные для системы последовательно
5•
67

расположенных двух приборов ра з ной производитель­
ности, сведп предваритеJ1ы10 группу прнбор о rз к э1шива­
лентному по пропускным способностям одному прибору.
Пример 4
Готовые электроизмерительные праборы подвер гаются .проверке
на надежность работы 'Перед отправкой с :~авода на базу. Бриг,ада
рабочих про.вернет одновременно один прибор . На зшзоде имеются
три бригады рабочих, ттричем одна из них состонт из ра·бочих, ко­
торые р,аботают давно и поэтому облад:;1ют i'Ысокнм опыто·м про­
верки приборов. Среднее время, необ хо !!:ч~1ое этой бригаде на про­
верку одного прибора, равно 0,5 час. Вторая бригада состоит из
менее ол ытных рабочих, н среднее время н.а ксттроль прибор а
у них равно одному часу. Третья nригада укомплектована неп ол­
ностью , и поэтому .gремя на конт роль прибора ei1 требуется ~больше
.и равно в среднем 0,75 час. Завод произ9од1п в среднем 2 приб ора
в час. Те ·приборы, которые были :под вергнуты выборочному контро­
лю на заводе и обеспечивают выполнен11е технических требований,
отпр авляются н е по средстве1-1•но ,иа базу и дальн•~Г~шему контролю не
подлежат. Приборы, которые не проверялись на заводе и отправ­
:1ены на ·базу, 'Подвергаются в ыборочном у !(оатrюлю, й<оторый ос у ­
ществляет одна бритада. Время, необхадИЧ'Jе этой бр1·uг.аде на
J(Онтрол ь одного лри·бора, рав·но одно~1у часу. Оп р едел ить, какой
процент приборов будет подв ергнут ко1нролю нз н адежность работы
на заводе и на базе?
Решение
т.ак ка1( на заводе брига ды 1кон-;-роля !lмеют ра з ное nремя про­
верю1, то для о:пределения вероя тно сти оша з а r' 11r10 в ерке и·споJiьзу­
ем формулу (2.4.17). Для удобства пользования ею рассчитаны и
составлены rрафшш.:·которые;:помещены в приложении 5. Определяем
параметры производительности б ригад и плотность потока изделий~
1
1-12= -1
-
= 1 приб/чдс,
1
μ,=
О, 75 = 1 ,33 приб/ч.ас;
1
l-11=o,s=2npaб/•tac и Л=2.
Отсюда
По входным 'Величина'м ·U2=2; а"= 1,5 ; а1=1 на рис. 2 1п•рило­
жения 5 1находим Ротн=О,12 .
Определяем ·время обсл ужи.ван;,1я, ксто·Рое д о J1 жсн иметь при­
бор, чтобы вероя тн ость о'Гказа в обслужш1аини б ы л а равна 0;12
1три плотности пото11<а Л=2 прнбора в час
68
Определяем параметры ттриведен·ной сисгемы
n1
/-1пр1"= -" -- =
14,3 приб/час
1•·обе

и
1
fJ-нp 2 =
-
1- = 1 праб/час.
По величинам fJ-пp 1 = 14,3 приб/•tас; tJ-np 2 = 1 приб/<tас; Л =
= 2 прий/час по табJt. 2·1 приложения 5 определяем
Ротн=О,069.
Таким образом, будет проверена надежность -работы у 93;1 %
приборов, 'В том числе 88% на заводе и 5,1 % на 6азе.
2.5. Одноканальная многофазная система
с отказами. Метод приближенной оценки
пропускных способностей многоканальной
многофазной системы
Под многофазовыми системами пош1маютсн таю 1 е,
в которых процесс обслуживания проходит пофаз110. По­
ступающая в систему заяп1<а вначале обслуж11в<1ется
u н ерпой фазе, а по 01<ончании обслужипа1111я переходит
во пторую и т . д. Примеров многофазных систем мож1ю
11 ривести много. Например, технологичес1ше пот01ш сбор­
ки различных технических изделий: 1югда в од11ом цехе
прои зводится сборка одних узлов, после того, как со ­
браны эти узлы, изделие ·п оступает в следующий цех,
где продолжаетсп сбо1жа следующих узлов и т. д., -
представляет собой пр1 1 мер многофазовой системы об­
служивания. Другим примером может служить груп­
пироnка различных огневых средств со своим11 систе ­
мами управле·ния. Здесь сначала некоторые органы
производят сбор и обработку поступающей информации
о противнике и о своих войсках, затем обработанная ин­
формация поступает на пу1шт управленип, где произво­
дитсп целераспределение, после чего огневые средстна
выполняют поставленную перед 11и м11 боевую задачу.
Ремонт машин также пронзводится последовательно.
Напр11мер, ·сначала машина может поступить в цех по
ремонту электрооборудованип, затем n цех по ремонту
дnигателя или ремонту шасси и т. д.
Техническое обслуживание аптобусоn в автопар1~е
может быть рассмотрено как многофазовое. Аптобус по
позвращении в парк должен пройти моеч ный пункт, по­
сле чего nройт11 техосмотр. Применительно к многофаз-
11ым с11стемам с отказами процесс обслужщщ нип имеет
69

следующую особенность: если заявка, поступиnшая на
обслуживание в I<акую-либо фазу, найдет все приборы
уже занятыми, то она nыходит из сферы обслужива ния
системы и теряется. Наглядным примером системы
многофазового обслуживания с отказами может слу­
жить междугородный телефонный пункт или вызов або­
нента в пределах одного города через комму татор с до­
бавочными номерами. Например, вам необходимо по­
звонить из Москвы в Ленинград по служебному теле­
фону. Вы звоните с предприятия, где служебный теле­
фон соединен с коммутатором. Таким образом, прежде,
BxoiJящuii 1_11 rроэа
поток
~~JJ::
ПоrпокзаАВох, Потокэая!Jох,~-~
оgслужен· 2_я фаза оtfсл11женнь1J<.. 06с1111жтных. п-я фаJа
ных 81-ii
оt-йиZ-ii
д n-1
Фа.~е
-
фазах
q;азах
Рис. 2.5 . ! . Схема п-фазной системы .
чем созвониться с нужным абонентом, необходимо до­
звониться до коммутатора . Если комм у татор свободен,
нужно, чтобы на коммутаторе пас соединили с город­
ским коммутатором. Через городской коммутатор вы
можете набрать номер 270--91, и если он свободен, то
в течение одной минуты вызвать нужного вам абонента
в Ленинграде, если его телефон также свободен. Если
в этой цепочке какой - либо промежуточный номер (или
коммутатор) занят, то вы услышите короткие гудки и
получите отказ в вызове нужного абонента:
Одноканальная многофазная система с отказами.
Рассмотрим достаточно простую задачу- определение
пропускной способности многофазной системы массово­
го обслуживания с отказами при наличии в каждой фа­
зе по одному прибору разной пронзводительности (рис.
2.5 .1).
Конечные зависимости для установившегося процес­
са следующие:
1. Вероятность того, что все фазы свободн ы
(2.5. l)
где μ 1; μ 2 и μз - производительность приборов соответ­
ственно в первой, второй и третьей фазах;
70

2. Вероятность того, что занята обслуживанием толь­
ко последняя фаза:
р-
A/.J.1/ .J.1
•
(252)
001 - (Л+/.!.1) (Л+/.!.2) (Л+/.!.1)'
.•
3. Вероятность того, что первая фаза свободна от
обслуживания, а вторая и третья заняты:
Р_
tJ.T/.J.2л2 (fJ.1 + /.J .2 + 1-1-з)
___ ;
011 - (Л + f-1 - 1) (:Л. + /.J.2) (Л + /.J.з) (fJ.1 + !-' -2) (/.!.1 +!-'-а) (!-' -2 + /.J.з)
(2.5 .3)
4. Вероятность того, что свободен прибор второй фа­
зы, а в первой и третьей заняты обслуживанием:
р-
Л21-1-1/.J.2 (:Л.+ /.J .1 + f'-2 + f'-з)
•
101 -(л+ iJ- 1 ) (А+ .' ·2) (Л +jf.l.з) (iJ-1 + f.1.2) (f'-1 + f'-зHf.1.2 + f'-з)'
(2.5 .4)
5. Вероятность того, что вторая фаза занята обслу­
живанием, а первая и третья свободны:
р _ Af'-1 [(i'+f!-з) (1'·1+fL2)(tJ-1+!-1-з)(i.J.2+f'-з)+Л~c11-'-2(:~1+/J2+f'-з)] .
010 - (Л + /.J.1) (Л+ f'-2) (:Л.+ /.J.з) (!1-1 + /.J.2) (f'·1 + /.!.з) (1-'-2 + f'-з) '
(2.5.5)
6. Вероятность того, что первая фаза занята обслу­
живанием, а вторая и т·ретья свободны:
р _ А/.J.21-'-з [Л (Л + [.J.1 + f'-2 + f.!.з) + (f.1 .1 + fl-2) (f.1.1 + f.J.з).J •
108 - (Л + /.!.1) (Л + f.J.2) (:Л. + f.Lз) (1'-1 + /.1.2) (1-' -2 + f.!.э) (1'-1 + f.!.з)'
.
(2.5 .6)
7. Вероятность того, что заняты обслуживанием пер­
вая и вторая фазы, а третья свободна:
р_
A2f.1.1 [(:Л. + f.1.з) (fJ.1 + f'-2) (/.1 .2 + f.!.з) - Af.1.1/ .J .2]
.
110 - (Л + f-1- 1) (Л + f'-2) (Л + /.!.з) (f.1 .1 + f.1.2) (/.1 .1 + f.J.з) (/.1 .2 + /.!.з)'
(2.5 .7)
8. Вероятность того, что вс е фазы занпты обслужи­
ванием:
л1f.!.Tf.!.2
Рш= (:Л. + [.!.1) (Л + [.J.2) (Л + /.1.1) (1'-1 + [.!.2){[.!.1 + Р.1) (1'-2 + Р.з).
(2.5 .8)
Аналогичные зависимости состояний для двухфазо­
вой системы приводятся в t[26] . Анализ полученных за-
71

висимостей позволяет сделать ряд ИIIТересных выводов.
Вероятность состоянип не зависит от распределенип при­
боров разной производительности по фазам. Но она
пропорциональна ·производительностн эп 1х лр11боров.
Вероятность состояния Р001 линейно зависит от произ­
водительности приборов первых двух фаз, а для Ран эга
зависимость появляется еще в большей степени.
Если рассмотреть выражения для вероятностей по­
добных состояний различных по числу фаз систем, то
заметна определенная закономерность, которую можно
проиллюстрировать на примере двух, трех- и четырех­
фазных систем.
Например, выражения для вероятностей состояния,
когда все ·приборы свободны, имеют вид:
р
f!-11 -'-2
00
(Л+μ1)(Л+1-L2)'
р
f.L1f!-2f!-з
000- (Л+ fJ-1)(Л+ f!-2)(Л+ fJ-3)'
(2.5 .9)
Для системы, состоящей из r фаз, вероятность Р1)(1·)
запишетсп в виде
r
п f.Li
Ро(r) =
(Л+fJ.i) •
(2.5 .10)
1=1
Общее выражение для состояния, когда все приборы
заняты обслуживанием Р1(1} для системы из r фаз за­
пишется в виде
r-1
п !-'-~-/
1=1
Р1(r) = Д.r: r
r
П (Л+f"j) П(f"k+f"i)
J=I
k=I
l=I
k#
(2.5 .11)
Для практических целей важно знать вероятности
состояний, когда заявка обслуживается в последней
фазе, а остальные свободны:
r
лп f.Li
Ро1и= 1-'-т (Л+JJ-i) •
(2.5.12)
1=1
72

Вероятность обслуживания каждой заявки всеми фа­
:J .амн может быть определена ка1{ произведение вероят-
110сти того, что заявка обслуживается в последней фа­
зе, на плотность обслуживания прибором последней .
фазы, деленное на плотность поступления заявок:
r
r
r
П~ч[ П (!ч-J-!-'-j)+(л+~ )r-2 ('\""" )"-2]
!-' -i
Лr- 2 2.J 1-'-i
i=I
i=I; i=I
i=I
i=I
i=;6j
~~~~~_с_:_~~~~~~~~~~~~~-~~~~~~
П (Л+!-'-i) П (!-'-i +p.j)
i=I
i=I ; i=I
i=;6f
(2.5 .13)
11ри i=I= j.
[\а 1< nндно, вероятность обслуживания заявки систе­
мой 11 с за висит от последовательности фаз . Это означа­
ет, что 11 ропускная способность системы определяется ее
у з 1шми местами. Если производительность одной из фаз
очень мала по сравнению с другими, то эта фаза и бу­
дет определять пропускную способность системы. Зави­
симости, определяющие вероятности состояний системы,
были получены в предположении, что время обслужива­
ния каждого прибора случайное и распределяется по по -
Таблица 2.5.1
Ве.пичина параметра
Зпкон распре- 1"1=1; μ,=О,5; ),=! 1 μ,= 1; 1" 2 = 1,5; Л=З μ, = 2; μ,=2; Л=20
деле11ия I oGc
Статнети- / Анаюпн- Статнст11- 1 А 11аJ1ити- Статистн- / Анали-
fJеская
ческая J ческая
чес]{аЯ
ческая тнче-
1.
екая
Показа-
0,451
0,444
О, !88 О, 183 0,059
1
0,050
тельный
Нормаль- 0,448
О, 179
0,054
ный усечен-
1
11ы1"1
Реле я
0,440
О, 181
0,057
Рашюмер- 0,443
О,185
0,051
1
J!ЫЙ
73

казательному закону. Однако в реальных системах мас­
сового обслуживания время, необходимое прибору для
обслуживания одной заявки, может быть отличным от
показательного. Исследования, проведенные методом
статистических испытаний в довольно широком диапазо­
не изменения параметров, входящих в (2.5.13), пока­
зали справедливость результатов, которые могут быть
вычислены по ней и при законах распределения времени
обслуживания, отличных от показательного. Для иллюст­
рации в табл. 2.5.1 приведены некоторые варианты рас­
четов, выполненных методом статистических испытаний и
по (2.5 .13).
Метод приближенной оценки пропускных способно­
стей многоканальной многофазной системы. Рассмотrрим
систему, в первой фазе которой имеется п 1 приборов.
В общем случае эти приборы могут быть и разнотипны­
ми. Во второй и следующих фазах имеется по одному
прибору . Тогда, используя метод замены группы прибо­
ров одним прибором с эквивалентной пропускной спо­
собностью, который излагается в предыдущем парагра­
фе, вероятность обслуживания заявки во всех фазах
запишем в виде
74
Робе=
Л(l - Ротн)
Ротн
п
п
Хfl(!Ч+(-Lj) + (Р~тн+~(-Li у-2f..71
-2Х
i=2
i=2
i=I
~ ----- ·-
------------
~
п
ХП [Л (l -Рот1,) + f-Lj] Х
Ротн
i=I
п.,
хП (fl'i+fl'j)
i=2
/=!
(2.5 .14)

где величина Р0ш определяется по формуле Эрланга для
n1 приборов, когда они все однотипные, и по формуле
(2.4 .19), если приборы в первой фазе разнотипные. Рас­
смотрим пример .
Пример
Автохозяйст1Зо нмеет путт;п аuтомат11,;ескстй мойки машин, о~­
нако он полностью не обеспечивает мoi1r<v '>С~х м;~шиrr автохозпн­
ства. Поэтому, чтобы не загромождать 1!одъездные пути ,на б.азе,
решено организовать ра·боту ·следующим образ,т.vт. Машина, прибыв­
шая после работы в пар'К, лоступает на пу1нт ав гомl'йки, если там
имеется место. В противном случае машлна стi!НО!Jнтся на cuoe
место в стоп н ке, где н ·маетен. Маuшна, когор<:тя была вымыта на
пу.1жте автомойки, отправляется на пункт защ .•J;нш, если он cno·
боде н. Если же пункт заправки занят, то л~:J1ш-1на идет к месту
стоянки , а заправка ее в этом случае 11раиз1и.1нтся П Е. ред выходом
n рейс на следующий день. Поток прибьшающих машин в парк р;1вен
Л=4 маш/лшп. Определить процент мышан, "ото·rы2 былн вымыты
П)"Нiпо·м автомойк11 н заправилнсь горючнм :::о постаноu1<11 их ,на
стоянку, если пу11кт авто.мойки 11мест четыре рабочих места прои зво­
днтель· 11остыо 111 = 1μ2 = ~t.1=μ1,=0,5 мащ/мш~ и l,.J.IIo месго прон зв о­
f\ l·IТелы1остыо μ,=0,67 маи~/'мш1, а пункт заправки имеет одно место
11rо113во.·tите.~ьностыо -/ .Lr=2. Наi!тн нан:зыгrJ .1 11еi:1шее реше,ние для
у11сJ 1И'1 с1111н •1исла мавнгн, вы~1ытых на ,1yII i< 1·е а;но)/ОЙкн н заправ­
.11е1111ых, если ·11а увели ч ение •1исла paбO 'IIIX мест 11;1 пун~пе автомой-
1<1-1 и .повышс11ие пронзводительности запр;,~вки вы де лено 5 ООО руб.
Стоимость обо·рудования одного рабочего ,\н~ста пункта аuто·мойки
2 ООО руб" а стоимость повышения производительности пункта за­
правки на l маш/лшн равна 1 ООО руб.
Решение
Существующая система - пункт азтомойкн н пунп заправки
-
представляет ~обой двухфазную с11сте,1у, у ко;а;юi'1 ·перnая фаза
имеет четыре места производительностью μ 1, 2 , 2 , • = 0,5 ,наш/мин ~
одно место <Производительностью μ5 = 0,67 мL11и/.1111н, а вторая фаза
имеет одно место :троизводнтельностью μr = 2. Верm!пюсть того,
что прибывающая в парк машина будет обслужена пунктамн авто­
мойки и заправки определится по фоомуле (2.4 .14), где зна•1енне
Р отк определяется по формуле (2.4. 17). Д"1н нашего примера
Ротк=О,476. Тогда вероят1юст1, обслуж:1~а11н>J п двухфазной с н сте ­
ме рав· на
PoG1 2 =0,29.
Зна чит , пунктами автомойки и з аправ1<и будет обслужено 29%
машнн . Оnредел~1м, как лучше 1-1зрзсхо ;rrнать отпущенные сре:::.ств:~,
чтобы ма1<с имальное число •машин об~луАс1залось пушпами авто­
~1ойки и заправки .
Вариа н ты 1переоборудованип могут быть так,имн :
1-й в а р и ан т: увеличить число мест автомойю1 на два и поnы­
сить производительно·сть заправки до μ1 = З;
2-й в а р и ан т: увеличить чи сло мест автомойки на одно и
повысить произво дительность заправ1ш до i•r=5;
3-й вар и а н т: число мест автомой1ш не увеличивать, а увели­
чить производительность заправки до μ 1 =7.
75

!Iайдем для каждого вари:нпа uер о нт1ю rт~, nnс .с11·;1;11в ~ 111н1 ,11;1-
ш1ш auтoмoiiкoil и запраuкой. Результаты р3 счс тоn да11ы в таб л. 2.5.2 .
Таблнца 2. 5. 2
Табл11ца ~.5.з
Вариант
1
1
!!
1
1!1
Вариант
11
III
Робе 10,4810 ,44 10,46 Общий про- 73
64 53
цент обслужен-
ны х машин
Таю1м об.разом, луч1шнм на риантом 11вляется первый. В этом
случае выделенные средства распределшотся в такой пропорции:
4 ООО руб на увеличение н а два места пункта ~в·омойк и и 1 ООО руб
11а ~пов ышение пронз подителыюсти пункта заправки до 3 маи1/мин.
В этом ·случае необхо д ю1ым обслужнвnнием :~втомойксй и заправ­
кой в сред.t1 ем будет обеспечено около 48%1 ;;сех машин. Этот ва­
рнант выгоден еще и тем, что он обеспечпвает наибольшее чнсло
машин автомойкой, что видно из табл. 2.5 .3.
Та•ким обр-азом, при первом варианте распр~дсле ния выделен­
ных •средств можно обеспеч ить обслуживанием с1аnрав •сой о~соло п о ­
ловины всех машин и автомойкой - около тrех четвертей всех
машин.
Как видно из приведенного примера, полученные за­
висимости для многофазных систем с отказами могут
найти широкое практическое применение к ак при опр е­
делении пропускных способностей различных систем , тат<
и при определении путей повышения эф фективно сти
этих систем с учетом экономических факторов. Кроме
того, с помощью этих методов могут решаться задачи по
рациональному планированию и организации работ в
хозяйствах, деятельность которых можно формали::ювать
в виде работы систем массового обслуживания .
2.6. Системы с накопителем заявок
Автоматизация технологических процессов в машн­
ностроении, приборостроении и во многих других обла­
стях промышленности, все большее развитие информа­
ционно-логических машин, ЭЦВМ выдвинули ряд инте­
ресных задач для систем массового обсл уж ивания, осо­
бенность работы которых з аключа ется в том , что заяв­
ки поступают вначале не на об служивающие приборы .
76

а в накопитель. По мере функционирования этих систем
через некоторые интервалы времени заявки могут быть
взяты из накопителя для обслуживания. Примером та­
кой системы мо :жет служить некоторая информационная
логическая машина, у которой имеется блок сбора (бу­
ферная память) и блок обработки информации. Посту­
пающая в машину информаuия записывается вначале
в буферную память, если в ней имеется место, иначе · ин­
формация теряется. Из буферной памяти она может по­
ступать в блок обработки, если в нем закончился про­
цесс обработки предшествующего массива информации.
Другим примером систем массового обслуживания :vrожет
служить телеграф. Сюда поступают в большом количе­
стве телеграммы, которые необходимо доставить адреса­
там. Если нет свободных почтальонов, то поступившие
телеграммы складываются и ожидают, пока не освобо­
цится один из почтальонов после доставки адресатам по­
лученных ранее телеграмм. Таким образом, каждый раз
собирается случайное число телеграмм. Имеется норма
по доставке телеграмм для I<аждого почтальона, пусть
эта норма равна п телегра·ммам. Если их уже ·Скоп·илось
в пределах нормы, то все следующие телеграммы будут
откладываться другим почтальонам, а для данного поч­
тальона они не будут предметом для обслуживания.
Здесь могут возникнуть различные лроблемы: определе­
ние числа почтальонов, чтобы поступающие телеграммы
с определенной вероятностью были доставлены своевре­
менно; определение степени загрузки одного почтальона
и т. д. Вывод зависимостей, с помощью которых можно
проанализировать системы массового обслуживания с
накопителями заявок на качество их функционирования,
проведен при следующих условиях и допущениях. Пусть
система состоит из накопителя заявок и прибора обра­
ботки этих заявок. Заявки поступают в накопитель в слу­
чайные моменты времени, распределенные по пуассонов­
скому закону с параметром "А заявок на единицу време­
ни. Объем накопителя заявок ограничен и равен п за­
явкам. Если поступившая заявка застанет накопитель
полностью заполненным, то :~аявка теряется. Через не­
которые случайные моменты времени к накопителю об­
ращается прибор обработки и принимает на обслужи­
вание накопившиеся в нем к этому времени заявки.
Время обработки этого массива заявок прибором при­
мем случайным и распределенным по показательному
77

закону с параметром ~t заявок на единицу времени. Как
только обработан весь массив заявок, прои сходит новое
обращение к накопит елю и т. д. Для определения веро­
ятностей состонний Нilстонщей системы получена СJJС­
дующая система дифференциальных уравнсн11й, вывод
которых приводится в прнлож ении 2:
11
р'0(t) = - lp0(t)+f1)Рн(t),
._,
k=I
(2 .6.1)
где Р1< (t) - вероятность того, что в накопителе имеется
k заявок.
Предположив, что существует стационарныlr режим,
получим систему алгебраических урав н ений:
где
п
)
-аро+ L Рт~=О,
k=I
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
~
-.(а.-1~ :).Рт~+аРн-~.. ~'-1.~fг<n, 1
-
р"+ ар"_ 1 =О,
1
л.
,~
а.= -
= "-lобс ·
/.1.
Решение системы (2.6 .2) имеет вид
Рп= (а+J)n •
(2.6 .2)
(2.6.3)
(2.6.4)
По приведенной постановке задачи потеря заявки мо­
жет произойти только n результате того, что накопи-
78

тель имеет уже п заявок. Тогда вероятность ОТJ\аза бу­
дет равна
(2.6 .5)
Среднее число заявок, находящихся в накопителе, оп­
ределяется из зависимости
ll
tn = ')1!ip1i.
......
k=I
(2:6.6)
Отсюда коэффициент полезной загрузки II<шошпеля
равен
т
7J=- .
п
(2.6 .7)
Учитывая, что среднее значенне tабс определяется вре­
менем обслуживания среднего числа за5шок, принимае­
мых из на1шпителя на обслуживание, можно определить
среднее время, которое тратит прибор на обслуживан1rс
одной заявки
(2.6 .8)
Используя формулу для определения вероятности то­
го, что в накопителе находится п заявок, можно найтн
необходимый объем накопителя прн задапно1~1 нпдежпо­
сти обслуживания ( 1-Ратн) и производите.пьностн при­
бора (μ)
ln Ротн
n=----~-~~
\па.-\п (а.+ 1)
(2.6.9)
Рассмотрим несколыю примеров 11р11менсюш полу­
ченных зав иси мостей.
Пример 1
Требуется определить м ин,имальаый О'бЪе \1 буферноr1 памяти
ннформаuионной логической машины, в которую поступает непре ­
рывный поток сообщений. Конст;рукuия машины такова, что по,сту­
пающ11е сообщения зап1кываются в буф1~рную память, объем 'Кото­
рой п сообщений. Если 0•1ередное посту:швшс:е сообщен.не застанет
буферную память полностью занятой, то оно 1·L1итается 'п олностью
потерянным. Все сообщенин, записанные в буф.:рной ,памяти ма­
ш11 01 1ы, ждут обращения ·к ней обрабатывающ~~о устройстuа машины.
Это устройство состоит из одного прибора, могущего обрабатыва т ь
посJlедовательно все сообщенип, 'Которые l)браб:э.тывающее }"СТрой­
стuо заб ир ает из буферной памяти . Среднее время, затрачиваемое
прибором обработки на одно сообщение, равно tобс 1 = 1,6 сек, а
вероят1юсть потери пе должп;~ превыш ать 0,25. Сообщеш1я 1по сту­
шрот с !]Jlот11остью A= 'I сообщ/сек.
79

t обе ,[сек]
4
г
3
5п
Рис. 2.6 .1. ЗаIЗ и с имо сть объема памяти пот веJ1 ичи11ы в рем е ни обсJ1у­
живания fo6c·
а6с,
r,б
1,0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
*
0 L ___ _J_ __ _. .L ___.(;~>---~
2
3
чп
Рис. 2. 6 .2. Зависимость необходимого объема буферной п амят и от
времени обслуживания од,иого сообщен ия t9 бс1 .
8Q

Решение
Задавая ряд значений tо б с = .1; 2; 3; 4, по формуле (2.6.5) н а ­
ходим за висимость числа п от в;ремени обслуживан и я t 060 . За.виси­
мость, которая удовлетворяет у.словню Ротк=О,25, лриведена на
рис. 2.6.1 .
Используя формулы (2 .6 .6) и ('2.6 .8) и ри~. 2.6. 1, строим зав.и­
симость t'абс от величины объема буферной па мяти п ! (рис. 2.6 .2).
По заданной величине t1абс, = 1,6 и рлс. 2.6 .2 определ яем значе-
ние п, которое должно быть не менее 3.
.
Тшшм обра з ом, ма ш ина, имеющая буферную память о·бъемом
три сообщения и .прибор обработки сообщений с времf.нем, необхо­
д и мым на обработку одно го :со общения, равным 1,6 с.е1', обеспечит
обра·бо·шу поступающего потока сообще1п1й пло тн остью 'А=
= '1 сообщ/се" с вероятностью не ни.же 0,75 .
Пример 2
При тех·ническом проектировании 0-Упре:1~лить ориентиро.вочный
объем буферной памяти логиче~ской машины, им ею щей конструк­
цию, аналогичную рассмотр ен ной в .предыдущ е м примере. Прибор
обработки информации им еет среднее время tо бс = 5 се1с На маши­
ну о·жидается по сту п ление сообщt>1пй ·С плnтностью :Л,=
= 110 сообщ/сек. Вероятность потери сообщеа,1п ;1 е д оJ1ж на лревы­
шать 11%.
Решение
Оп·редсш1е•м ш1 р аметр и,:
а.=AitoG~= lОХ5= 50.
По формуле (2.6.9) получим
ln 0,01
п=
_l _n_5 _0
__
_
\_п_5_1 - ~ 232 ·
Таким образом, б уфер11ая пэмять долж,1а и меть объем 1232 со­
об щения. В этом .случае веро ят1ю ст ь потери С·)обще ния и з - за за ­
нятости буферной памяти не будет превы шать 1%.
Пример 3
Рас.с·мотрим п:ример, с вязанный с техни ·1ес1шм проектировани ем.
Конструкция проектируемой системы следующая . Имеется бункер
объемо м п деталей, куда поступают детали, требующие дальнейшей
обработки. Ее осущес твляет бло к обрабо г к и, ;,оторый характери­
зуется некоторым временем tooc, необхо д имым для обработки де­
тал ей, принптых и з бункера. После того как обработа н ы все дета­
лн, блок обрабо111ш выбирает из бункера следующу ю партию дета­
лей, которые там скопилнсь к этому времен;.~ . Если поступившая
о бункер де таль застанет его полностью заполненным ~ (т. е. там
будет уже п деталей), то эт;~ деталь 11ойдет на другой конвейер
и для этой системы считается потеоянной .
Ожидаемая плотн ос·1ъ ·пос тупj1 е ; 1 11я деталей J..,, = 1 дi!т/,иин. Тре­
буется О1пред елить п бункера lов с бл о ка обработки так, чтобы
с н стема обработала н е ·менее 95% п оступ ающ: 1 х дета лей и ·при этом
сто им ость созда IJа е мой систем ы ,i\OJli!\ Ha быт]? 1.шн r1м алоной.
9-1444

На основе опыта создания подобных систе'.1 известно, что ее
с тоимость зависит от объема бункера и прОiВП ГJ .'J,>rrеJ1ьности блока
обработки. Она может быть выражена в ви.~,е:
стоимость бункера
Сбун=3Хп ед. стоимости,
стоимость системы обработки
Решение
8
Собр=---.- ед. стоимости.
tобс
Общую стоимо~ть проеюгируемой системы можно записать
в виде
С=Сб)·н+СоGР·
Параметрирун величину tобс =0,3; 0,5; 1; 1,5; 2 по формуле (2.6.9)
длн Роти=О,05, 'найдем соот-ветствующие :>наченш1 объема 6ун1{ера
п и общую стоимость для этих вариантов (табл . 2.6 .1) .
Таблица 2. 6. 1
tобс
0,3
0,5
1
1,5
2
п (с округлением)
3
3
5
6
8
до целых
С ед. стоим.
36,7
25
23
23,3
28
По данным т аблицы 1нщно, что 1-1 анменьшап сто~смость будет
приблизительно при t обе= 1 мин. А этому значению време н и обра­
ботки соответствует объем бункера, равный 5 деталям. Следова­
тельно, проектировать СУl'стему необходимо с n=5 деталнм, tобр=
= 1 .мин.
2.7 . Пропускные способности системы
с накопителем в нестационарном режиме
Как отмечалось в § 2.2, на практике не всегда вы­
полняется условие стационарности процесса. Это усло­
вие особенно важно учитывать при исследовании про­
цессов незначительной продолжительности. Поэтому
всегда возникают вопросы, когда процесс можно пред­
ставить в виде стационарного и какая при этом будет
допущена ошибка.
Мы уже рассматривали влияние нестационарности.
процесса на пропускные способности одноканальной си­
стемы массового обслуживания с отказами . Было пока­
зано, что затухание переходного процесса для однока­
нальной системы с отказами проходит доволъцо быстро,
82

в течение (2+4) tабс· Поэтому целесообразно оценить,
насколько это будет справедливо для других разновид­
ностей систем массового обслуживания с отказа ми. Для
этого рассмотрим процесс функционирования системы
массового обслуживания с nт!\азами, в которой 11меется
накопитель.
Как показано в приложении 2, вероятности различ.­
ных состоя ний системы описываются следующей систе­
мой дифференциаJ1ы1ых уравнений:
п
)
1
Р'о(t) = - APoU)+11- 2:pj(t),
i=I
1
~'j.(~). -~ ~1~tt!~j.и~:."~j~ 1_(f!·.o.~~:<1, 1
р'п (t) = - ftPп (t) +АРп-1 (t).
(2.7.1)
Для решения этой системы дифферснщ1алы1 ых урав­
нений за пишем нормирующее условие
11
) ,p(t)=1,
(2.7 .2)
i=O
откуда
п
~/Jj(t)= 1- Ро(t).
(2 .7 .3)
J=l
Начальными условиями будут р0 (0) = 1; pj (О) =0 при
j=l,2, ...,n.
Подставив выражение (2.7.3) в первое уравне н ие си­
стемы (2.7 .1), получим
Р10(t) = - АРо(t)+μ- 't1Po (t).
(2.7 .4)
Решение дифференциального уравнения (2.7 .4) имеет
РИД
6"
(2 .7.5)
83

После подстановки значений Pa(t) в дифференциаль ­
ное уравнение, определяющее вероятность Р1 (t), получим
,
+
+lμ. +л -0-+11-Jt]
рi(!)=
-
(А. 11)Р1(t) .l л+ μ.
л+ f'-
е
·
(2.7 .6)
Ретление уравнения (2.7 .6) имеет вид
Af'-
-(Л+μ)t 1 л.2 f -(л+~.) t+ Лμ.
Р1(t)= -
(Л+ f!-)2 е
т и;:+ f!-) е
(Л + μ.)2
(2.7.7)
Решая последовательно систему дифференциальных
урав н е н ий (2.7.1), получим следующее решение для ве­
роятностей состояния pj (t), где O~j<n:
р;(f)=
Ajf' -
(l_
-(),+1') t) + -(л+μ) t [ ЛH'fi _
J
(Л+μ.)Н 1
е
е
j!(A+f'-)
i-1
-A.5f1 ~ rf (Л+1-'-;;_ ,·+ 1 ]-
(2.7.8)
1·= 1
Для вероятности Рп решение запишется в виде
t
-11-1 r
-μt
Рп(t)=е J.lpn_1(t)е dt.
(2.7 .9)
о
Решение очень громоздкое, и мы не будем его приво­
дить. Однако при проведеIJии расчетов следует лом11нть,
что веро51тность р" (t) может быть определена и з соот­
ношения
п-1
Рп(t)=1- ~Pj(t),
(2.7 . 10)
i=O
где pj (t) определяется по формуле (2.7 .8).
Анализ уравнений (2.7 .8)-(2.7 .9) показывает, что при
i-----+ oo существует стационарный режим .
Абсолютная ошибка от предположения, что процесс
установившийся, будет равна
(2.7 .11)
где pj - вероятность того, что в накопителе находится
84

j з ;н1вок, для стационарных условиt1, определяемай г10
формуле приложения 2.
Относительная ошибка определится из соотношеNия
лм . - pj(t)-pj
J-
pj.
(2.7.12)
Ошиб1<и в определении вероятности отказа равны :
-
абсолютная
(2.7.13)
P/(t)
------ ------ ----
0,5
--- _~_...,_ ..,_-_. .,_.,._ .,._.,. _.,._., ._~_,,, ,,_.,,.
Ро (t)
о
Рис. 2.7 .1 . Вероятности состояннй системы p3 (t) и p0 (t) при n=З
и а=5.
-
относительная
ЛМ _Рп(t)-Р п
отн -
Pn
·
(2.7.14)
На рис. 2.7 .1 представлены результаты расчета веро-
51тностей состояний системы, выполненные по формулам
85

л
(2 .7 .8), (2.7 .9) при n=З и а=5, где а= -.Для сравне­
/.J.
ни я п унктир ным и линиями п оказаны результаты, выч11-
слен ные при предположении стационарности процес са .
Как видно из рисунка, уже при длительности работы
системы более (l -; -1,5) lобс процесс в основном уста­
н авл ивается и практически для пр остоты расчета можно
испо.'1ьзовать формулы , полученные для стационарного
режима .

3
СИСТЕМЫ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОЖИДАНИЕМ
Системы массового обслуживания с ожиданием рас ­
пространены наиболее широко. Их можно разбить на
две большие группы - разомкнутые и замкнуты е. Эти
систем ы определяют так же, как системы с о г раничен ­
ным и неограниченным входящим потоком . К замкну ­
тым относятся системы, в которых поступающ и й поток
требований ограничен . Например, мастер, задачей кото ­
рого является наладка станков в цехе, должен периоди ­
чески их обслуживать. Каждый налаженный станок ста­
новится в будущем потенциальным источником требо­
ваний на подналадку.
В подобных системах общее число циркулирующих
требований конечно и чаще всего постоянно.
Если питающий источншс обладает бесконечным чи­
слом требований, то системы называются разомкнутыми.
Пример ами подобных систем могут служить магазины,
кассы вокзалов, портов и др. Для этих систем поступаю­
щий поток требований можно считать неограниченным.
В главе рассмотрены некоторые, наиболее часто
встречающиеся разновидности систем массового обслу­
живания с ожиданием . Особенность функцион ир ования
каждой из них накладывает свой оттенок на исп оJ1 ь ­
зуемый математический аппарат.
3.1. Система с неограниченным пото1<0м
требований (разомкнутая система)
Эти системы отличаются следующими особе 11н остя­
ми функционирования: система обслуживания состоит из
ограниченного числа п аппаратов; каждый аппарат спо -
87

собен одновременно обслуживать только одно требова­
ние, каждое вновь поступившее требование, застав все
аппараты уже занятыми, становится в очередь и нахо ­
дится в ней до тех пор, по1<а один из аппаратов не осво­
бодится. Если требование поступает в систему, когда
есть свободный аппарат, оно сразу же принимается на
обслуживание.
Функционирование системы рассматривается при ус­
ловии поступления в нее пуассоновского потока требо-
Постi/пление
треr5о8ониu
о
о
о
--'О"--0"--О"-"'О---'0~0--; О
о
о
Очереi!о
~
@ Оt5слijженнь1е
mpetfo!Joнu11
®~
~@@ ~
Рис. 3.1.1 . Схе~1а снстемы с н ео граннч е нным пото1<оы требован;1й
(разомкнутая снстема).
ваний. Источник потока требований неограничен по сво­
им возможностям (например, пассажиры в метро, поку­
патели в магазинах и др.), хотя плотность потока (),, име­
ет конечное значение. Время обслуживания каждого тре­
бования t 06 c является случайной величиной, которая под­
чиняется показательному закону распределения с пара­
метром μ . Все приборы системы обладают одинаковой
производителы-юстью . Принтнюиальная схема системы
представлена на рис. 3.1 .1. В 1<ачестве основных по1<а­
зателей работы системы предлагается вероятность того,
что все аппараты свободны или заняты, математическое
ожидание длины очереди, коэффициенты занятости И про­
стоя приборов обслуживания . Возможные состояния та­
кой с ист емы массового обслуживания в процессе ее
функционирования описываются системой дифференци­
альных уравнений :
88

Р'о(t)= -
'Аро (f) + 'rP1 (f),
)
....
.
...
.
...
.
.......... .
.
....
.1
p'1i(t)=-U· +k1L)P1i(t)+(k+ l)μP1i+1(t)+1P1i-1 (t)I
1
при 1< /г<п,
~
·1
J.
p'1i (t) = - (1 + пμ) PR. (t) + nμp1i+ 1(t) + 'Ap1i_ 1(t)
при /г ;:;о п,
(3.1 .1)
где ро, Pk - вероятности состояний, когда в системе со­
ответственно ни одного или k требований. Рассмотрим
стацио-на-рное состояние системы, 1при котором 1f----+ - oo, а
р',, (t)----+ -0 и P1i (t)----+ -P1i ·
В этом случае уравнения состояний запишем в та­
ком виде :
-
'Apo+f1-P1 =О,
(3.1 .2)
Нормирующее условие
се
~PJ!,=1.
k=O
Не останавливаясь на выводе зависимостей для оп­
ределения всех перечисленных показателей (см. [8, 18,
22]), полученных для стационарного состояния системы,
приводим лишь расчетные формулы.
1. Параметр
л
а=-,
/J.
где Л- плотность входящего потока требований;
μ - параметр показательного зако н а време н и обслу­
живания требований в системе.
2. Вероятность того, что все обслуживаю щие п р ибо­
ры свободны:
89

рО= -п---1--------- при~< 1,
11
(3.1 .3)
\1ak+
an
i.J Тt (n- l)l(n-a)
k=O
где п - число обслуживающих приборо.в в системе .
3. Вероятность того, что занято обсл уживани е м k
приборов (rk требований в ·системе):
ah
Р11.=Т!Р0 при 1 s;;;;,,k<n.
(3.1.4)
4. Вероятность того, что все приборы системы за -
1-1яты (k~n) :
anP
а
71:=
о
- <1.
(п-1)! (п-а)' п
(3.1 .5)
5. Вероятность того, что все аппараты заняты обслу­
живанием и s требований находится в очереди:
6. Вероятность того, что время пребывания
ния в очереди больше некоторой величины t;
(>t)
-f 'o(n-a .)t
р"
=7te
.
(3.1.6)
требова-
(3.1.7)
7. Среднее время ожидания требованием начала об­
служивания в системе
~
nt!oбc
а<l
tож = (---) при -
t
п-а
п
(3.1.8)
где tобс= -
1- - среднее вре~~я обслуживания требований
fJ.
в системе.
8. Средняя длина очереди
м
a.Pn
ОШ
(
_с:_) 2 •
п1-п
.
(3. 1.9)
9. Среднее число требований, находящихся в системе :
п-1
М = Мож + пР: + Р, IJ _(_k _a.k_l_)_I.
·•
1-n
A!=I
-
(3.1 . 10)
90

10. Среднее число свободных от обслуживания при
боров
п-1
N_{1n-k 1~р
о- l,J -k-!-о; о·
k=O
11. Коэффиuиент простоя приборов
Кп = No_.
/1.
(3.1 .11)
(3.1 .12)
12. Среднее число занятых обслуживанием приборов
N8=n- N0•
13. Коэффициент загрузки приборов
Ka=N• ·
п
(3.1.13)
(3.1 .14)
14. Экономический показатель для выбора лучшего
варианта системы обслуживания при ее проектировании
(3.1 .15)
где Gп- величина потерь в системе за время t0ж;
q0ж - стоимость потерь, связанных с простаиванием
требований в очереди в течение единицы времени;
qпп. - стоимость единицы времени простоя обслужи­
вающего прибора системы;
qk - стоимость эксплуатации прибора при обслужи­
вании в единицу времени.
Пример 1
Ателье ло ремонту различной радсюаппар;НУ'РЫ имеет п=5
опытных мастеров. В среднем в те11.епие раб~:н его дня от населеним
пост у~пает .в ремонт /,= 1О радиоаппара гов. Общее число радиоап­
паратов, находящихся в эксплуатации у насе.1сння, очень велико,
и они независимо друг от друга в различное вре·мя выходят из
строя . Поэтому есть все о снов анип полагать, что поток заявок 111а
ремонт аппаратуры flвля ется случаii11r.,ш, пуассо11 о вс1ш м. В свою
очередь, каждый аппарат в зависи:v~Jст.и от характера неисвравно­
сти также требует различного, случайнJrо времени на ремонт. Вре­
мя 1на проведение ремонта зависит во многом от серьезНС(ТИ полу­
ченного повреждения , квалификации мастера и множества других
причин. Пусть статисти.ка пока зала, что в ·Среднем в течение рабо­
чего дня каждый из мастеров в ателье успевает отремонтировать
μ =2,5 радиоаппарата. Требуется оценить работу ателье по ремонту
р ц.иоаппаратуры.
91

Решение
1. Определим параметр
1
1
е< = Л-=10 -2
,=4 ·
IJ.
,и
2. 'Вероятность того, 11то псе мае гера свобо:L11ы от ремонта а11-
паратуры, равна
Ро=-п--~1------------
1] ~~ +__,(_n _ ___,1~)~~~-n---a~)-
k=O
1
----4~2--4-з--4-4-----4-s---- =О, 013.
1+4+21+31+41+(5 - 1)!(5 - 4)
3. Вероятность того, что все мастера заняты ремонтом :
а"Р
45
7t = (n-l)!(1;-a) = 0,013(5-1)!(5-4) =0,554.
Это означает, что 55,4% времени п с е ма с тер а полностью з а1·р у ­
жены работой.
4. Среднее ·время о6'служиваинн 'J\аждого прнбора ·В атеJ1ье
7
7
fобс=~=2,5= 2,8 'ЮС.
Это получено при условии се~н1часово,го рабочего дня.
5. Интере1сно 1получнть зависимосгь вероятносги того, что
·B]Jell-i>I
ожидания начала ремо·нта принятой в ателье ра ;J иоаnпарат у ры 11е
будет превосходить определенной величмrы.
0.55 Р(}З>t]
0,5
O,l/
0,3
0,2
-------
' =--=="
о,1
Z
3
t/fa&
Рис. 3. ·1.2 . Зависимость вероя т ности ТОГО, что время ОЖ11Д31111П б уде т
больше веJ111чи11ы t.
92

Из рис 3.1.2 следует, 'IT·O не11с правнап аппаратура не будет долго
ож11,11,<1 т ь р ем онта. Веронт1юсть того, '!Т О времн ожида 11и;~ более
од1101·0 д·1 1п составнт 3-4% .
6. В среднем времн ож 11 щ1 нш1 I\а/tцо•го ·11е11справного аппарата
!3 ·начале ремонта равно
tобс
2,8
fош= 7tп=и:= О,554 5_ 4
= 1,55 час·
7. Очень важной хара·ктеристнкой является средняя длина оче­
реди, ·к о торая определяет необходимое место для хранения аппа-·
ратуры, требующей ремонта:
0,554 -4
( 4)2::::::::111
5 1-5
аппа рата .
8. Среднее число шппаратов, находящ11хся в ателье 1иа ремонте
(ожидающих ремонта или рем он тируемых):
n-l
пР"
'1
M=illloш+
а. +Р0~
1--
11
k=1
(k-1)!
= 11,1+
5.0, 11
4
l-5
+ 1, 3=15,15 прибора .
9. О 11ре дел 11м средн ее число •мастеров, ·сuобою1ых от работы:
n-1
{"1/1- k
[5-о 5-1
5-2
N0=P0l.J~а.1<=0,013 - 1
- 1+-11
-4+2!42 +
k= .0
+-- 4 3 + --4'' ::::::::0,95 масте\Jа.
5-3
5-4 ]'
31
4!
Пример 2.
Морской порт имеет n=5 при чал ов для ралрузки сухогрузных
судов. В среднем ·в течение месяца в порт .прибы ва ет с грузами
около 20 судов большого тою1ажа. Поступлеш1е судо.r; в •порт •носит
случайный характер, так :ка·к они выходнт из различных портов и
по•кры в ают различные р асстояния до пункта ра згрузки. Кроме того,
на с1<орость движе1 111 я судов влияет погода . Проведен на я статистика
•1астоты прихода судов ·в порт показалп, что посту1пающие на •раз­
·· р узк у ·Су да обра з уют пуассо·новс,кий ао т о~к. Время ~разгрузки 1(3Ж­
!.lО'ГО с уд на явл яет ся та·кже случайно й величиной, которая зав и си т
от тон0нажа суд ов, особенности ~груза и многих других ·причин.
В ср еднем на разгрузку судна трат1111сп ·иа п p;.r ч ajjc 6 рабочих дней.
Треб уе·rся о ц е11ить работ у пор т а. Необх ::щимо также рассмо1,реть
возможность у величения проп уск н ой способности пор та за счет увс ­
личеинп числ а прич алов . При решении этой ·задачи нуж но иссJ1едо­
вать экономичес·кую целе сообраз ность расш и рен ия в озможности
93

порта . Необходимо также рассмотреть возможность увеличенип про­
пускной способности порта за ·Сч~т увелич~ния чнсла причалов. При
решении этой зада'IИ нуж·но исс,1е.J.О·uать экономич~скую целесооб­
ра зность ра1сширения воз•можнопи порта по р азгр узке и погру з·ке
судов.
Решение
1. Следует о·п р еделить параметр
а=Лtраз=20 · 0,2=4.
2. Вероятность того , ч то все при·1а.1ы свобо;J;щц и ожидают
суда под ра з гру зку:
-.. ,. .4---- ---- -- =о' 013.
}J 4h
45
Т!+(5 - 1) 1(5- 4)
k=I
3. Вероятность того, что все прича ,1ы заняты судами под раз­
грузку:
а.пр
4s
1t=(n-l)!(n-a.)=O,Ol3 (5-1) !(5- 4) 0,555.
Это означает, что приблизительно 56% i1ремеш1 Gce прича.лы пол­
ностыо заняты разrрузо•шыми работ ами.
4. В среднем время ож ида нип каждым судном н а ч ала раз­
грузки равно
t'обс
6
foж=1tn-a. =0,555 5 _ 4 ~3,3 суток.
5. Определим среднее число судов, которое б удет находнть сн
в порту, ож11д~п спое й очер ед н для ра згру1;,н:
Мош=
па
О,555 ·4
5( 1-+)2 = 11,1су;ща.
6. Вероятность того, что .в порту н а обслуж1ша нии находится
шесть судов (n=6 судов) :
94
a.n
4•
Pn = /i!Р0= б!0,013= 0,074.
7. Среднее число судов, находящихся в порту:
5·0,074
=11,1+
4
1-5
4
+0,013 ~
k=1
п-1
(k-1)!
(k- l)! = 12,53 судна.

О пределим среднее l(ОЛИчество щ\осп1инатощих причапов
п-1
4
\1 n-k
\1
N0= Р0i.J/i.!ak = 0,013i.J
5-k
-А-г!- 4п :::::::: 1 прпчал .
k=O
ko=O
Коэфф1щнент про стоя причало в
Это означает, что каждый причал будет простаивать 20% вре­
мени. Для уменьшения ·Времени просrоя судов ~:•ешено ·пор:т ·рас­
ширить. При этом необходимо предусмотреть увеличение плот­
пости лотока судов Л в порт, исходя из тенденщш ра:1вития судо­
ход1ст ва в этом районе, а также увею1 •.~ ение скс·рости движения
судов и т . д. Пусть для прll'мера ллотно;:ть прихо .1 а судов .в •порт
сохраняется прежней. Схольl<о нужно им егь 'lричi!лов в порту, что­
бы существенно уменьшить чи~сло ожидающих рi!зrруз1ки суда.в и
время их простоя? Для решения этого вопроса проделаем весь ком­
плекс раrсчетов для числа причалов n = '5, 6, 7, 3.
Ре з ультаты раrсчетов приведены в табл. 3 .1 .1.
Анализируя результаты ,раочето;з, которые .приведены в
табл. 3.1.1, можно сделать вывод о том, что увеличением числа при­
чалов с n=5 до n=6 удается •существе1ию снизи . гь время ожидания
судов (,почти в 4 раза), а число судо .13, ожи ·~ающих rа зтрузки, -
в 6,4 раза. Дальнейшее увеличение числа причалов приводит
к уменьшению значений t 0 ш и М, но сами эти величины уже до­
статочно малы. Чтобы принять О1<он 1 1ательное реш е ни е, целесооб­
разно проделать элементарный экономич ес кий анализ . Пусть про­
стой каждого судна в течение сутоl< абходнтся госуда:рству q 0 ж =
= 100 ед. стоимости. В то же время меся чный r.ро1стой причала
порта из-за несвоевременного· прихода судов обходится государ­
ству q 0 ж= 1 ООО ед. стоимости. Стои1мос ть мес5! 1 1ной эксплуата ции
Таблица 3. l. l
1
Число причалов
Характеристики ------, ------ -,, -----
-,--..,------
5
6
1
8
Ро
0,013
0,017
0,018
0,0182
1t
0,555
0,29
О, 136
0,058
Т0 ж (суток)
3,3
0,87
0,27
0,09
Мож (судов)
11, 1
1,74
0,42
О, 12
м
12 ,6
4,42
3,76
3,76
No
1
2
3
1
3,96
Кп
0,2
0,3
0,43
0,48
95

причала qп = ·1ООО ед. сi·оимостн. Приведенные нсход1~ые дшtлыё
по стоимости отнюл.ь ,,.,с nрсте1щуют 11а J(еi:1-:т.витr.л ы1ое 'соответст­
вие реально сущест ву ющим н з держ:кам в ра бате конкретн О1rо пор­
та, а взяты лишь шш иллюстрации пapя;r'l<G прооедения ·расчета-в.
Длп 1пров еде1111я эко·110~11l'1 еского а1:ал;~ з а В 1Jс1 1 олr,з уем:с я фо.рмул ой,
по ·кото·роii определн етсп ~су мма и здержек з а Т = 1 меспц. При в ы­
бор е оnтималыюго в ариа нта необходимо u ы б ;:нпь тот, для ~<отор ого
ЭTll l l З)(ержкн мн11нмальны
Результаты рас,1етов пр111зедены в табл. 3.1 .2
Таблица 3.1.2
Число причалоn
Характер11ст111<:~
5
6
7
8
t ож (суто1<)
3,3
0,87
0,27
0,09
Лtож Qон<
6 600
1 740
540
180
Кп
0,2
0,3
0,43
0,48
пqп
5 ООО
6 ООО
7 ООО
8 ООО
КлlЩn
1 ООО
1,800
3 010
3840
IЩ1t
5 ООО
6,000
7 ООО
8 ООО
Сумма издержек 12 600
9.540
10 550
12 020
Расчеты показывают, что наиболее экономичн ы м вариантом яв ­
ляется порт с шестью (ti=;6) причалами.
Приведенный пример показывает воз можность выбо­
ра оптимального варианта проектиров а ния порта или
других транспортных пунктов обслужив а ния.
3.2. Системы с ограниченным пото ком
требований (замкнутые системы)
На практике существует много примеров систем, в ко­
торых требования, обслуженные в системе, вновь воз ­
вращаются в источник требований и дополняют его. Схе­
матично работа такой системы представлена на рис.
3.2 .1.
Подобные задачи встречаются при э1<сплуатации ма­
шин, которые могут выходить из строя и требовать ре­
монта или наладки . Как правило, их обслуживают не­
сколько мастеров, наладчиков (мастерских). После
обслуживания машин (ремонта, наладки) они возвра­
щаются в строй и вновь становятся потенциальными ис-
96

При6оры
Поступление
О11ерео~@-о
тре6о8аний
оо
1 ..,
оооо о __..,,,
о о ___,,_.-@--01:О «:.
~------- ~
:i::::i
1
.........,.._
о о ----А
~~
1
о о............._ w---o OI:""
•
~А 1~
W~<::o..
1
1~""-
1
'
J с:::, Е:
~-~------~------~--~----~--
Воз 8рот mpet5o8oнui/
Рис, 3.2 .1. Схема системы с ограииченным потоком
требований (замкнутая система).
то ч никами появления требования на ремонт, наладку .
Система состоит из п приборов обслуживания. Каждый
из них может одновременно обслуживать только одно
требование . В систему поступает простейший поток тре­
бований с параметром Л. Поток поступает из ограничен­
ного источника, так что в системе может находиться не
более т требований. Требования, которые поступили в
систему и застали хотя бы один прибор свободным, сра­
зу же идут на обслуживание . Если все приборы уже з а­
няты, то требования становятся в очередь и ожидают до
тех пор, пока один из приборов не освободится . Всево з ­
м.ожные состояния системы описываются системой диф­
ференциальных уравнений:
р'0 (t) = - тl..р0 (t) +р.р1 (t),
р'h(t)= - [(т - k)1..+kp.Jр1,·(t)+
+(т-k+ 1)1..p1,-1(t)+(k+ l)11P1ч1U)
при О<!г<п,
................. . ..
P'1t(i)= -
[(m - k)A-+n11J Рп(t)+
+ (т-k+ lP.Pl<-1 (t) + пр.р1ч1 (t)
при n,;;;;;k < т,
Р'т (f) = -АРт-1 (l) +ПР.Рт (t).
1
} (3.2.1)
1
}
Не показывая полного аналитического исследованин
и вывода соответствующих зависимостей, приведем лишь
конечные результаты, полученные для стационарных ус­
ловий [8, 18, 22].
7-1444
97

1. Параметр
л
а=-,
/J.
где :Л - плотность поступающих на обс'Iуживание тре­
бований;
μ-параметр, равный
1
р.= ---·
t:обс
(3.2 .2)
tобс - среднее время обслуживания одного требова ­
ния .
2. Вероятность того, что все приборы свободны от
обслуживания:
п
т
[,"
т!
k
\l
m!ah
]-1
Ро= i,,,J k!(т-k)!а.+1.J nh-пп!(т
-
k)!
'
k=O
k=n+I
где т - наибольшее число требований в системе;
п - число приборов в систем е обслуживания .
(3.2.3)
3. Вероятность того, что в системе на ходится k требо­
ваний, из них п обслуживается, а k-n ожидают обслу­
живания:
m!ah
р11.-
р при п<!г<т.
-
nh-11n!(m- k)! 0
(3.2 .4)
4. Среднее число требований, ожидающих начала об­
служивания:
т
(k- п) m!ah
п1<-nп! (m-k)! Ро ·
(3.2.5)
5. Коэффициент простоя требований, ожидающих об -
с лужнва н ия:
(3.2 .6)
6. Среднее число требований, находящихся в системе
обслуживания :
п
~
ahm!
М=Мош+l.J k!(т_ k)! Ро·
(3.2.7)
k=I
98

7. Среднее число свободных приборов при установив­
ш е мся процессе обслуживания
п-1
п-1
N\1
{1 (п- k)mlak
о=i,J(п- k)Ph. = ~ kl(т- k)l Ро· (3.2.8)
k=O
k=O
8. Коэффициент простоя приборов обслуживания
Кп=No•
п
(3:2.9)
9. Вероятность того, что число требований, ожидаю­
щих обслуживания, больше некоторого числа N
Приме.р
N
Pk=1-
"Pk·N~п.
-
k=O
(3.2 .10)
Имеется n= ·З мастерских ~по ремонту 10 образцов определен­
ного вид а вооружения, ·которые распределены по различным rчастям
и подразделениям. Обслуживание можно организовать силами ло­
.111в ижных мастерских, которые всякий газ могут быть направлены
в то подразделение, тде имеется п отребн:JСть в ремонте, или полу­
стациона·рных достаточно мощных мастерсю1х с хорошо организо­
ванным технологическим потоком, куда будет доставляться неис­
правная техника. В обоих случаях время, необ х од имее для ремонта
неисправного .вооружения, .будет ск.1адываться по - r<1зному. В пер­
вом случае оно будет состоять из времени, не t •бходнмого для вы­
зова мастерской, ее дв нженин к месту ремонта и развертывания,
11 времени, нужного д ля проведения осмотр.а и со бсп:енно ремонта .
Во втором случае оно будет определяться временем, необходимым
для доставки неисправного вооружения в тыло оу ю ремонтную ма­
стерскую, просмотра ее и· ремонта . В рассмотр енных случаях соот­
ветствующие составляющие врем е ни обслужив а ния будут разные.
Полагаем, что .время обслужи.вания - случай н ая величина с пока ·
зательным законом распределения с параметром μ, где
μ.=- -,
t/p
fp= i'выв+fди.м+fосм+tрав+t,в+tрем.
tвыз -сре.Щнее В'ремя, необходнмое для r ыю в а мастерской;
lцв м -среднее время движения мастерскn:1;
tосм -среднее ·Время осмотра;
fpa,, tсв - среднее время ·развертывания и свертывания мастер­
ской;
tрем - среднее время ремонта;
tp - среднее суммарное время , необхоq11мое для производ­
ства ремонч вооружен11 S1 .
7•
99

На осно.вании .с1 ати~стики .получено, ;по J,ЛЯ вызова мастерской
и ремонта техники в среднем требуется около 6 дней, μ=5
uбразцоlJ в месяц. По анаJ10пиной схеме мож н о оnределить
среднее время lp для обсJiуж 1шания полустационарных мастер­
ских. Поток поступающих заявок на ремонт ограничен чисдом
обсJiуживаемых лодразделе11ий, на вооружении которых находится
боевая техника, и прини,мается пуассоно!!ски;11. Пусть .плотность по­
така равна :Л= 1 образец в месяц.
Полагаем, что если поступила зая-вка t1a рем онт вооружения,
то мастерская с ра зу напра.вляется в соответс гвующее подра зделе ­
ние. Если все ма1стерс1<ие уже заняты, то вышедшеr;. из строя воору­
жение ждет .сво~й о ч ереди для проведения ремонтil.
Решение
1. Определим параметр
2. Для олределения вероятностей с.ос>оян 11й ~ос тавим таблицу
вычислений (табл. 3.2. l)
k
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Сумма
1
2
P/i
Ро
1,8
0,96
0,448
О, 179
0,056
0,012
0,0025
0,0004
о
6,4579
О, 1548
0,3096
0,2786
О, 1486
0,0693
0,0277
0,0087
0,0018
0,0004
0,0001
о
1 0,9996 1
Таблица 3.2.1
(k-n)p1i
(n-k)P11.
о
-
0,4644
0,3096
-
0,6192
0,5572
-
0,2786
0,4558
-
о
0,2772
0,0693
-
О, 1385
0,0554
-
0,0522
0,0261
-
0,0126
0,0072
-
0,0032
0,0020
-
0,0009
0,0006
-
о
о
-
1, 7972 1 О, 1606 1 1,3622
Из таблицы сле.:rует, что вероятность того, что все ма.стерС'Кие
свободны от ремонта, равна
ро=О,155 .
Это означает, что 4-5 дней в месяц ма:тсрские будут свобод­
ны, а их технический персонал может заия1ъся д ругими делами.
Од•иа1ко ~это не значит, 1 1то не будет случаев, ко·гд а не1юправная тех­
ника лын ужде11а ожнд ать своей о·н~ре.тщ, чтобы ее .при­
вести в исправное состояние. Скопление неисп равной техники
будет .в различные периоды разное. В среднем чнсло образцов во­
оружения, ожндающнх рем онта, будет равно (см. сумму 5 - го столб­
ца табл. 3.2 .1) Мо,к=О,16 образца.
Отсюда среднн 1"1 процент вооружеr-пя, ()tкнд а ющего ремонта,
равен
100

Мо1и
Кпт = -т ·100 о/о= 1,6 о/о·
Посмотрим, насколько рационально загружены мастерские.
Среднее число свободных от ремонта мастерских равно (см . 6 - й
столбец табл. 3.2.1) No = 1,36 мастерской, а коэффициент простоя
равен
N0
1,36
К11=n ·1 00о/о=-3-·100 = 46 о/о,
т. е. очень высокий .
Определим среднее ·чи.сло об:разцов вооружения, которое либо
находится .в ·ремонте, ЛИ'бо ожидает ремонта, ил11, короче, среднее
число небоеапособных образцов вооруженич (<:М. 4-й столбец
табл. 3.2 .1) М= 1,79 образца.
Отсюда средний ·процент небоеспособности .вооружения равен
м
k=т .100 о/о= 17,90/о.
Ра·ссмотрим другой пример для тех же условий эксплуатации
вооружения при иначе организованном ремонте. Вместо трех по­
движных мастерских для обслуживания вооружения выделена одна
п олу стационарная ремонтная мастерская с тремя хорошо органи­
зованными т ех н ологическими потоками. Но в этом случае сред­
нее время доставки неис п равного вооружен и я в мастерскую
в несколько раз бол11ше, чем время вызыа и лриеJда .в подразделе­
ние подвижной ремонтной мас т ерской . И несмотря на уменьшение
сроков собственно ремонта, общее вреNI Я, которое вооружение на­
ходится в ремонте, уuеличивается .IJ 2,5 μа за. TtJr дa ft=2 образца в
меся ц , а=О , 5 образца.
Необходимые рас ч еты приведе н ы в табл . 3.2 .2 .
k
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Сумма
P1t
Ро
1
5
11,25
15,0
17,5
17,47
14,56
9,7
4,85
1,58
0,28
98, 19
0,0 10
0,051
О, 115
О, 153
О, 178
О, 178
О, 149
0,099
0,050
0,0 16
0,003
1 1,002 1
Таблица3.2.2
(k-n) P /t \ (n-k) P1t
о
-
0,030
0,051
-
О, 102
0,230
-
О, 115
0,459
-
о
0,712
О, 178
-
0,890
0,356
-
0,794
0,447
-
0,693
0,396
-
0,400
0,250
-
О, 144
0,096
-
0,030
0,021
-
4,403 1 1, 744
1 0,247
101

Для сравнения результаты ра счетов сведены в табл. 3.2 .3 .
Таблица 3.2.3
Характеристика /
варианта
Ро
1 Маш /Кпт•
%
No
1
Кл• м
К.%
%
Подвижная ма- 0, 155 О, 16 1,6 1,36 46. 1,79
17,9
С'rерская
Полустанцион-
0,01
1, 74 17,4 0,25 25 4,4
44
арная мастер-
екая
Из та-блицы следует, что в связи с общ (! м сн ижением пропуск­
ной способности ремонтных 'мастерских резко увели чилась их за·rр уз ­
ка п:ри не1вменной плотн ости поступления то ебов аний на ремон т
вооружения: вероятность .простоя без ремонта всех мастерски х
(технолоrическ.их пото·ков) ро уменьшилась в 16 ра з , число с во­
бодных от ·ремонта мастерских (технологическ . 1х потоко·в) N 0 -
более чем в 5 раз . Зато резко увеличился средний процент небо е ­
способного вооружения с К = 17,90 до К= 44. В условиях боевого
применения резко возрастает интенсивность г" ыходi! из ·строя во­
оружени, я. Предположим, что в случае осуществления ремонта по­
движными мастерскими поток требований на ремонт увеличился
в 5 ра.з. В табл. 3.2 .4 д аны сравнительные ре .зул ы9ты при разных
плотностях потока.
Таблица 3.2.4
Значения Л
Ро
J\.fo щ
Кnт•
1
No
1
Kr1T'
м
/(, %
%
%
0,2
0, 155
О,16 1 l,6 ,l,36 1 46 /1.7981 17,98
1,0
0,0005
4,02 40,2 0,012 0,4 7,0
70
Как ·следует из табли 11 ы, рез i(О увел ичи .1а ::: ь з агрузка ма стер­
ских (сравним No, /(rr и ро). При Л = 1 ннженерьr и техники прак­
тически не будут и·меть с в обод ного в ре~.1ен;1. Н о н с<м о тря на ето,
процент небоеспособного вооружения резко увеличится с ,\ 8 до
70%. Очевидно, в этом ~случае имеющегося ко ли •1ества мастерских
яв·но -недостато<и 1 0 для о бесп е•1еншr ремонта во о р ужения.
3.3 . Двухфазные системы массового
обслуживания с ожиданием
Примером двухфазной системы массового обслужи­
вания с ожиданием могут служить магазины, в которых,
прежде чем получить товар, покупатель должен оплатить
его стоимость в кассе . Этот пример является типичным,
но не единственным в своем роде, РС1бот а подобных си­
стем массового обслуживания будет рассмотрена на при­
мерах двухфазны)\ 9щюканальнь1х с;щтем мa c cQsor o
102

о б сл уживания с неограниченным и ограниченным пото­
ком заявок.
.
Системы с неограниченным потоком заявок. Рассм а­
т ривается работа <:истемы массового обслужива~;шя, со- .
стоящая из двух приборов разной производительности.
Время обслуживания приборами заявок подчинено по­
казательному закону распределения с параметрами μ 1
и ·μ2 соответственно для первого и второго приборов.
Поступившее в систему требование вначале обслужи­
вается первым прибором. Если он уже занят, то тре­
бование ожидает своей очереди д:о тех пор, пока все
ранее пришедшие требования не будут об служены . После
обслуживания первым прибором требования поступают
на второй. Так же как и в предыдуще м приборе, они
поступают на обслуживание, если второй прибор свобо­
ден . Если прибор занят, то требование становится в оче­
редь. Для неограниченного пуассоновского входящего
потока с плотностью ,л можно написать уравнения со­
стояний системы :
Р'а. п, (t) = --(1+1:-L2) Ро. п. (t) + 1:-L1P,, п,-1 (t) +
+11·2Ро,п,+1 (t),
Р'п,, о (t) = - (l + 1:-L1) рп,. о (t) + 1:-L2Рп,, 1(t) +
+А.Рп,-1 0 (t),
(3.3.1)
....... . .
...
...
......
.
..
.
Р'п,, п1 (t} = -(1+!11+1:-L2) Рп,, п, (t} + !11Рп,+1, п,-1 (t) +
+\12Рп,, n 8 -1 (f) +А.Рп,-1, п.(t),
где Р0, (t) - вероятность тоrо, что в момент времени t
оба прибора свободны;
Р Р - вероятность состояния системы, при котором
п.
п,
в момент времени ·t в первой фазе находится n1 требо­
ваний (включая и те, которые уже обслуживаются), а
во второй фазе - п2 требований.
После решения уравнений получены характеристики,
описывающие состояния системы массового обслужива­
ния {22].
103

1. Вероятность того, что оба прибор а (обе фа з ы)
свободны от заявок
(3.3 .2)
где
(3.3.3)
2. Вероятность того , что в первой фа з е находится п1
требований, а во второй ни одного:
(3.3.4)
3. Вероятность того, что во второй фазе имеется п2
требований, а в .первой ни одного:
(3.3 .5)
4 . Вероятность того, что в первой фа з е находится п 1
требований, а во второй фазе - п2 требований:
(3.3.6)
5. Математическое ожидание числа требований, на­
ходящихся в системе:
(3.3 .7)
n,=On1 = 0
при этом среднее число требований, находящихся в пер­
вой фазе, равно
(3.3.8)
а во второй фазе
(3.3 .9)
где
а2<1, а1<1.
Если очередь в процессе функционирования системы
стабилизуется, то плотность входящего потока становит­
ся одинаковой для обеих фаз.
104

Пример 1.
В одном .и з отделов ма: rазина покупателей обслуживают лро­
J,авец и кассир. В те•r ение ·рабоче1го· дня в мэга.~нн прнходят поку­
патели. Так как район, который обслуживается магазином, до­
статочно велик, то можно допустить, что входящий поток не­
ограниченный. Поскольку моменты прихода поку п ателей в мага­
зин случайны и не зависят друг от друга, то можно допус­
тить, что входящий •поток .покупателей является .пуа1ссон•овсю1м
с параметром ,'} . ,, , равным 20 человек .в час. В заиrсимости от сум­
мы лроизведе.нной поку пки, нео·бходи'11ости д:нь сдачу и многих
дру1ги·х лри ч ин :ка.сс и р за т рачивает на каждого nокуп г теля случай­
ное время. Статистический а-rrализ пока1ал, •1.то в r с· мя о6'служива­
шrя по r<упа т еJш можно характернзоватъ по1кil з а ·:· ель11ым з а.коном
расnределе 11 ия с .параметром μ1=40 человек g час. Подобное же
можно ска з ать и о продавце. Он также затра•швает на •каждого
покупателя случайное .время, но ·средн.~я е~о производите.11ьность
лри полной нагрузке такова, что он может обслужить в среднем
μ 2 =Q5 человек в час. Требуется оценить работу и :>атрузку этого
магазина.
Решение
·1. Определим параметры
А
«1 = ~=0,5;
2 . Вероятность того, что отделы будут •~ 1<с,бодны от 1поку.па­
телеi'~ :
Роо = (l~a1) (l~a2) = (1-0,5) (1-0,8) =0,1 .
Это озна ч ает, •что в среднем 10% : рабо 1 1его времени стдел был сво­
боден от покупателей .
3. Площадь отл.ела оr:раничена, а ;юэт ом у около 1<ассы в оче­
реди могут ·находиться ·не более 10 покупателей. Такое ~е число
покупателей может находиться в очереди у прода1::ща. Определим
вероятность того случая, когда у кассы не будет покупателей,
а у прилавка предельная ·по размеру О 'I ередь
Р0,10 = сх~0 (1-«1) (1 :_а2) = 0,8 10 (! - 0,5) (1-0,8)~0,01.
Какова же вероятность события, коr).а у кассы будет предель­
ная очередь, а у продавца никого не будет?
Рщо=О,5 10 (1-0,5) (1 - 0,8) =0,0001.
Однако этих двух вероятностей недост:ночно для .того, чтобы
судить, насколько часто отдел магазина будет заполнен -покупате­
лями до отказа. Для этого необходимо раеомL1треть различ11ые со­
четания чисел ~покупателей у кассы и у продавца, но такие, при
котпрых сумма n1 +п2 ;;;;. ·20 чел. В условиях п:ннного примера с н а
очень мала. Об этом можно суди т ь хотя бы по .вероятности со-
стояния
P10,10 =0,ll·I0- 3
,
4. Математи ч еское ожидание числа покупателей в отделе . в те ­
чение рабочего дня
м__а_1_+~= 0,5 + [0,8
-1-а1 !-а2 1- 0,5
1-0,8 =5 чел.
105

При •этом ·сред н ее чи сл о стоящих у 1ш-:сы п m<у.па1елей будет
равно :
а у прилавка продавца :
Определить время ·простоя в течение ·рабо •rего дня ка1ссира . Для
этого о п ределим вероятность состоя1ния
00
'1
«2
P 0 ,n=i.J Po,n = l-rx2 (l-rx1)(l-rx2)=
n=OJ
0,8
1-0,8 (1-0,5)(1-0 ,8)=0,4.
(3.3.1О)
.Это озна ч ает, что 40% времени .кассир не будет з анят обслу ­
живанием .
Время .простоя про д авц а опред ~ш1тся чис :rf'шrым з на •r ени ем ве­
роятно сти состояни я Рп,о
00
Рп.о= ~
n=O
0,5
l-0,5 (1 - 0,5)( 1 -0,8)=0,1 .
(3.3 . 11)
Следовательно, продавец будет иметь в те·1~н:rе днн только 10%
свобо д.н1Уго врем е ни.
Ограниченный поток требований . Имеется N источ ­
ников появления требований на обслужив а ние двух фа з ­
ной системы, которая состоит и з двух приб оров разно й
производительности. Ка к и в предыдущем сл учае, время
обслуживания каждым прибором требований подчинено
показател ьному з а кон у обслуживания с параметрами μ 1
и μ2 соотв етств енно для первого и второго приборов си­
стемы. Порядок обслуживания требований сохраня ется
такой же, как и в предыдущем случае . Основной особен ­
ностью рассматриваемого случая является о г раничен­
ность потока требовани й. Пусть общее числ о требова­
ннй в системе не может превышать N.
106

Систему уравнений для этого случая за пишем в виде :
Р'о. п, (t) = -(Л. + f12) Ро. п, (t) + f'-1P1. п.-1 (t) + f'-2Po. п,+1
прип1=О,п2=1,2,...,N-1,
Р'п,,О (t) = -
(Л.+f11) Рп,,О (f)+р.2Рп1,1 (f)+А.Рп,-1,0
при n1 =1,2, ... ,N-l,n2 =0,
(3.3 .12)
Р:,,.п,(f) = - (1+f'-1 +J.1.2)Pn,,n, (f)+fJ1Pn,+l.n, (l)+
+μ.2Рп,,п,+1 (t)+Л.Pn,-1,'n,(t) п ри 11 1 > U,11 2 > U,
11 1 +112 <N,
Рп,,п, (f) = -(Р.1 + f1 2) Рп , ,п, (t)+ μ 2P n,+l,11,- I (t)+
+ л.Рп,-1,п, (t) при n 1 >0,11 1 +112 =N,n2 > О.
Решение системы уравнений ( 3.3.12) (стационар­
ный сJiучай).
1. 13ероятность того, ч то оба прибора с13vбодны от
О6СJI УЖИВ31·IИЯ:
Роо =
(a,-_a.2) ( J-a,)(l-cx2)
(3.3.13)
(
) (N+-2
N+2)+ (N+I
N+I) •
a, - e.t2-C.t1 -а2
cx,cx2aJ
-а2
2. Вероятность того, что в первой фазе находнтся
121 требований, а во второй фазе нет требований:
(3 .3.14)
3. Вероятность того, что во второй фазе находятся п2
требований, а в первой фазе нет требований:
(3.3 .15)
4. Вероятность того, что в первой фазе находятся n 1
требований, а во второй фазе п2 :
(3.3.16)
107

5. Среднее число требований, находящихся в систе­
ме, если n1 +n2~'N:
NN
М = '1 ,.., (111+112) Рп"п, .
-
1-Х
~iJ
Ct1-Ct2
n 1= 0 IZ.:i.=0
{ат [1 - ( N +!)а~+ Na~+'J
х
-
(1 - а.1)2
а~[1- (N+1)а~+Na~+I].}
-
р
(1 - а.2)2
оо·
(3 .3.17)
6. Среднее число обслуженных требований первым и
вторым приборами
N
N
NN
Мобс= 2: Рп,,о+ ~ Ро,111+2 ~ l: Р11,,п, =
n1=1
п2=::1
n1=J n.2 :::::::1
(а.1 +а.2) [(а.1- а2)-(а;"+' - а~+ 1) +а1а2 (а;"- а~)
-
Роо·
(1-а,) (1-а.2) ( а1 -а2)
{3 .3.18)
7. Среднее число ожидающих требований в системе
108

Пример 2
Аэропорт обслуж и вает N = 120 сам,ме т ов . !Irоведе нны е .стати­
стические и1Сследования 'Показывают, что пото!< посадО<К самолетов
в аэ,ро портах как ,в дневное, ТЮ{ и .IJ '10·шое врем11 является 111ро­
стейшим, а также стационарным. То же 1.<южно сказа ть и о пото ке
посту пления самолетов по р ейсовым р егл а:,1ент ам кз числа сове·р ­
шивших ·посадку. Пусть плотность постулл ~ н ,1я са~1uле тов на тех­
н и ч еск ое обслужива н ие равно А=2 саиол~ т а в сутюr. П оложим,
чт о обслужи ва·ние .ведется круглосуто чн о с п ередаче й неза·копчен­
ны х ·работ из смены в сме ну. Об слу;rшва ни с ведется двумя с.пе­
ци ал и зн рова·нными брига дам и. Каждый самол~ r, 'l'!'О·бы пройти тех­
ни1ческ ое обслуживание, вначале осматр;шае гся 11ерво й бригадой,
которая и производит ре гл амен11ные .работы цuагап·л е й. Прои зво­
д н теJiьность трехо1 е нной бригады .μ1 =3 са.\lолета в сутки. Вторая
uригада проводит регла·ментные работы по ,n ла нсrу, шасси и др.
У .э той бр и гады производительность 'выше, в с·μе,1нем μ 2 =4 само­
JJета в сутк и. Тр ебуетсп оценить работу 011еративных ~бригад п о
про ведению ра бот по техшr,1 ескому обслуживаншо са м олетов ·В аэр о ­
порту .
Решение
1. Оrrредел им п а раметры.
2. Вероятность того, что обе
служ и1н11111я {формула (3. 3 .13)]:
бр иг ад ы будут сrзобод ны QT об-
(0 ,67 - 0,5) (\ -0,67) (1 -0,5)
р00 = (О ,67-О,5)- (О ,67122 - О ,5122)+ О,5·0;67(0,67121- О ,5121)
= 0,165.
3. Среднее число са моле то в, 11ахо д ящн хся в систе м е обс.лужн­
вания {формула (3.3 .17)]:
f 0,672 [1-(120+1) 0,67120 + 120·0,67121]
M=-o-,6-7 .- 0 -,5-t
(1-0,67)2
0,52[1 -(120+ 1) 0,5120 + 120 0,5121\
(1-0,5)2
j' ~3 самолета.
4. Среднее число ·самолетов, обслуж!шае.i·rых оuе имн бриг адами
в ед иницу времени (сутки), {формула (3.3 . 18)]:
(0,67 - 0 ,5) [(0, 67- 0 ,5)- (0,67121 - 0,5121) +
Мобс=
(1-0 ,67)(\-0 ,5)(0,67-0 5)
--+ ••.
+О 67.о5(О 67120- О5120)]
'
'
'
'
О , 1 65=1 ,2 самолета.
109

5. Среднее число ожидающих самолетов в системе [формула
(3.3 .19)]
м - f (О,5 2 (1+0,67) [1+120·0,67 119 + 121 ·0,67120]
аж- l
(1 -0,67)2
+
+ 0,67 2 (1+0,5) (1-120·0,5119+119·0,5 12°]
(1-0,5)2
+
+ 0,67·0,5 [ 1-119·0,67118 +118·0,67 119 -
0,67 -0,5
(1-0,67) 2
_
1 - 119·0,5 118 - 118·0,5 119 l {
( 1 -0,5)2
J/ 0,165=2,8 самолета.
6. Время простоя первой бригады в теч~!1ие суто1~
N
Ро, N = lJ Ро,11.=
k=O
°'2
о,5
1-а2 - Роо= 1-0, 5 0,165=0,165 суток.
7. Время простоя второй
N
бригады
'1
а,
0.67
Рм.о= /,,,J Р11., 0 =-1 -_-а-,-Р00 =с-б, 67 0,165=0,33 суток.
k=O
Анализ ·результатов 11оказывает, по вре·мя простоя вто·рой
бригады больше, чем .первой, в два раза и составлнет ·одну треть
рабочего времени. На основании этого мо·1ут быть ·сделаны выводы
о том, что вторую бра.гаду следует пр;вл~ка·1 ь для выполнення
других работ JIИ·бо ·сократить число ремонтншов 11 ней.
3.4 . Система, состоящая из нескольких
неодинаковых приборов
Рассмотрим случай, когда система массового обслу­
живания с ожиданием состоит из приборов разной про­
изводительности. Примеров подобных систем можно при­
вести много. Однако математический аппарат оценки
функционирования подобных систем не разработан и не
потому, что это вызывает теоретические трудности, а по­
тому, что это связано с громоздкими выкладками. В этом
параграфе рассмотрен случай, когда система массового
обслуживания с ожиданием состоит из двух приборов
разной производительности. Положим, что первый при­
бор имеет более высокую производительность, чем вто­
рой, т. е. μ1> μ2, где μ 1 и μ 2 - параметры показательно­
го закона распределения времени обслуживания требо­
ваний соответственно для первого и второго приборов
110

Пусть в систе му поступает пуассоновский поток требо­
nаний на обслуживание с параметром Л. Каждое требо­
вание, поступившее в сферу обслуживания, сразу же на­
чинает обслуживаться свободным прибором. Если оба .
прибора свободны, то оно Попадает на обслуживание
в первый прибор с вероятностью {j), а на второй 1-ср.
Это означает, что при ср=О,5 требование безразлично
к выбору прибора, при .ер= 1 первый прибор пользуе_тся
безусловным приоритетом. Если требование застанет оба
прибора занятыми, то оно становится в очередь.
Уравнения, описывающие состояния системы, записы­
ваются в таком виде:
P~o(t)=- A.PooU) +111Р1 (t)+f12Po1(t),
Р~1(t)= -
(1+ !12)Р01(t)+ μ1Р2(t)+ (1 - ер)А.Р00(t),
Р;о(t)= -
(А.+ f11) Р10 (t) + μ2Р2 (t) + срА.Р00 (t), (3.4.1)
Р;, (t) =
-:(1.+ μ1·+-μ .)'_P1i (t) + (1i 1+ р,2) Р1~ .н (t) +J,P1i_, (t)
при!i~2.
Решение этой системы уравнений для уста н оп н вшсго­
ся режима принимает вид:
а
1+~
Poi=-- · -- (а+ 1-Р,)Роо•
1+2а ~
Р10 = _а_ · (1 +Р,)(а+ср)Р01 ,
I+2a
Р2= 1 ~ 2!7.· 1 ;~ fl+(l+P,)a-(l-~)cp}P00, (3.4 .2)
(],1'
1+~
P1i =-. -- [1 +(I +~)а -(1--Р,)ср] Ро0,
1 +2!7.
~
.
где
1-' -2
-
"Л. •
Р,=-, а---,
/-'- 1
/-'- 1 +1-1 -2
Роо - 'Вероятность того, что оба ~Прибора свободны;
Р1п - вероятность состояния системы, в котором пер­
вый прибор зеiнят обслуживанием, а второй свободен;
. Ро1 - вероятность состояния и1стемы, в 1<0тором пер­
вый прибор свободен, а второй занят обслуж ив анием;
Р,, - в системе н аходи тся k требова1шй.
111

1
В результате решения с.истемы (3.4.2) полу•шм сле­
дующие вероятности состояний 'Системы:
1. Вероятность состояния системы, при котором оба
прибора свободны, равна
1-а
Роо = ----------
а
1
1+-1 +-2а-~ [l+( l +~2)a-(l-~ 2)<p]
(3.4 .3)
2. Среднее число требований, находящихся в систе­
ме, равно
M=a(l--P,)
l+(l+μ)a-(1 -~)'f
~(!+2а)+сх[!+(!+ ~2)а-(1- ~2)rp]
(3.4.4)
3. Вероятность того, что оба прибора системы заняты
обслуживанием
(3.4.5)
4. Вероятность того, что число требований в очереди,
ожидающих начала обсJ1 уживания, больше н екоторой ве­
личины т
ОС!
т
P>m= L P11.=I- LiP11.=
k=m+I
= 1- {1+сх(o;1n -
1) _l_±l_Х[1+(1+Р,)а-
.
а-1
~
-
(1 - а) rp]}Р00.
(3.4 .6)
Пример
В ком и ссионном магазине два товаров еда лrи 1н1 мают вещи на
I<оми•ссию у населения . ·Они проверяют их состонн1·1 е, о ценивают и
выписывают квита·нции . В завис<шости от колнчества вещей, их •ка­
чества и многих других причин на обслужив ание каждого клиента
това.ровед затрачивает случай.вое времп . По лож 11м, что оно подчи-
11 яетсп .показателыному закону ра.с11.ре :1 ел~1-1;-1 п с ла;~аые тром .μ. Од-
11 ако опыт у товароведов разный, п оэтому пepВL.1ii в среднем обслу­
живает rклиентов в полто·ра -раза быстрее, ·~ем второй. Пусть .пер­
вый товаровед обслуживает в среднем μ1=9 клиентов в час,
а второй только μ2=6 клиен тов . Попвлсн'1п -1<.~ис нтов с вещами на
·комиссию - явления случайн ые, независимые друг от друга, и мож­
но Полагать, что они образуют п уассоновский поток с параметром
Л= 12 клиентов в ча с. В1,1бnр J(л н е нтами то вароведов равнов ероя -
112

тен, т. е. ср=О,5. Требуе-г.ся оценить работу пр.Ii"мноrо пункта ко-
миссионного магазина. ~
Решение
1. Определим параметры
л
12
(1 = 1'-1+1'-2
'91-6 =о.3•
1'-2 6\
~=-=-9 =О,67.
1'-1
2. Вероятность того, что о5а товароведа будут свобод 11ы
1 -сх
Роо =
сх1
1+1+2сх-~ [l+(1+~2)cx--(l-~2)'f]
1-0,8
0,8
1
.
1- 1+1,6 0,67 [1+(1+0,672)0,8-(1-0,672)0,5]
=0, 113.
3. Среднее число требованиii, находящи хся в системе, равно
1+(!+р)сх-(1- ~)'f
_
М=о.(l- р)~(1+2сх) +сх[1 + (!+ р2)сх-(1- ~2)'/') -
=
0,8 (1 -0,67) х
1+(!+0,67) 0,8 -(! -0,67) 0,5
х 0,67 (1+2-0,8)+0,8 [1+(1+0,672) 0 ,8 - (! - 0,672) 0,5] :::::::
::::::: О, 18 клиентов.
4. ~Ве роятно сть rого, что п е рвый товаровед за нят обслужива­
нием, а второй свободе н:
Р10= 1+2сх (l+P)(cx+'f)P00 =
0,8
1+2·0,8 (! + 0,67) (0,8 + 0,5) О, 113 ~ 0,08 .
5. Вероятность того, что первый товаровед свободен, а ·второй
заня г обслужиаанием клиентов:
(1
1+р
Р0 1=l+ 2сх-р- (а+ 1- 'f)P00 =
0 ,8 l+0,67
= 2;6. 0,67 (0,8+! - 0,5)·0,113=0,ll.
Таким образом, в течение рабочего дня 'первый товаровед бу­
дет иметь в своем раоrюрпже 11 ии 22% · свобод ного времени
8-1444
113

/
/
(Ро1+Роо), а второй (Роо+Р 1 о) = 19% /Остальиыс 70% . времени
оба товароведа будут работать одно13ременно. П э точ случае ю1 и ­
е и ты практич ески ие будут стоять в7uчере;щ (,'1 =0, 18 клиента).
/
3.5. Работа системы м-ассового обслуживания
при поступлении смеиfанного потока требований
/
.
Очень часто в системы массового обслуживания по-
ступают потоки требований, которые имеют разный при­
оритет в обслуживании . Например, в первую очередь
в стоматологической поликлинике обслуживаются паци-
Приrfорь'
Пt'р8ь1u потах Л , 0<1eperJь О
-............
.
~~~---::-~-.. - ,
оо
.............
ооооо-....оо
Второй потох Л, 0 0
о00оО~
ГI ---
-.........
о о l.__J
/
о
о
ПD/11j<1u8шue
о
о
оmхаз
о
о
i
ВыхоrJящиu
пот ох
о
оооооо
ооо
Рис. 3.5 . l . Схема работы системы rю обслуживанию смешанного
потока требований .
енты с острой болью, на аэродроме принимаются н а
посадку самолеты при наличии в них неисправностей , на
телефонных станциях в первую очередь соединяются
международные линии связи и т. д . Во всех этих слу­
чаях поток поступающих требований является смешан­
ным. Рассмотрим случай функционирования п - каналь­
ной системы массового обслуживания, в которую посту­
пает поток требований, состоящий как бы из двух
потоков с плотностями Л1 и Лz. Особенностью этих тре ­
бований является то, что требования второго типа, за­
став все приборы у:же занятыми обслуживанием, уходят
из системы, теряются, а требования первого типа могут
ожидать своей очереди. Пусть приборы системы обслу­
живают требования как IIервого, так и второг'о типа
с од и наковой производительностью, которая характери­
зуется параметром ~t. Схема такой СУ(стемы п оказана на
рис. 3.5.1, а ее работа может быть описана системой
114

\
уравнений:
\
Р'о (t) = - (А-1 "1-- Ч Ро (t)_+ Р.Р1 (t),
......... \
........... .
Р~ (t) = -(l1 + A-2+lzi-t) P1t.U)+(~1+ Ч P1i-1 (t)+P1i+1 (t) (k+
+1)1-L при O<k~ п.
..
.
.
.
.
.
..
..
.
.
.
..
:.........
Р;, (t) = - (А-1 + ПtJ·) Pn (f) +U-1:+ А.,) Pn-1 (f) + Пf-LPn+1 (f), _
Р~ (t) = _(1" 1 .+ п!-") P1i~(t) + A,1P1t-1 (t)_+ n11P1t+1 (t)
при k>п.
(3.5 .1)
Нормирующее условие
00
~P1t=J .
k=O
Для стационарных условий (при .f--нx:J) получены
следующие форму.Лы для определения вероятности со ­
стояний системы (22):
1. Вероятность состояния, при котором все приборы
свободны от обслуживания:
п --и.1
Ро = [n -- U.1 + u.1En (и.1 + U.2)] Nn (и.1 +и.,)
Л,
Л2
а1=-· , а2=-
(3.5.2)
/.1 .
1- '-
2. Вероятность состояния, при котором k приборов
заня т о обслуживанием требований 1при условии O<k~
~п) :
Nп(и.1+и.2)
(3.5 .3)
3. Вероятность состояния, при котором k приборов
за н ято обслуживанием требований .при условии k>n:
pk= (n- U.1)En(и.1+ и.2) (~)k-n,
п-и.1 +и.1Еn(и.1 +и.2) n
·
(3.5.4)
п
N (а +а)= \1 (и.~ +и.2 )"
n
1
2
i.J
k!
(3.5 .5)
k=O
(и.1 + C7.2)n
(3.5 .6)
в•
115

/
(3 .5 .7)
(3.5.8)
5. Вероятность того, что время ожидания требования
первого типа больше времени i:
р
р -(п-а,)μ1
(359)
(>t)= отне
•
.
·
6. Среднее время ожидания требований первого типа
Т _ Рот~<
ош-р.(п-а1)
(3.5 . 10)
7. Среднее число занятых приборов
п
со
Nз= ~kP"+ ~ пР".
(3 .5.11)
k=I
k=n+I
8. Среднее число свободных приборов
11
N0=~(п-k)Pk·
(3 .5.12)
k=O
9. Коэффициент простоя приборов
Кп=No •
(3.5 . 13)
п
1О. Коэффициент загрузки приборов
Кз=~.п
(3.5 .14)
Пример 1
В одном из районов большого города μаб.-нает парикмахерская,
которая обслуживает жителей этого рай сJНа. Естественно, что ло­
явление клиентов в па·рикмахерской случ;~йао н вз анмонезавнснмо.
Поэтому можно считать, что они ::>бра зу ют п уз ~.со·новский поток .
Однако клиенты могут быть разбиты на два вида. Один из них,
застав всех мастеров занятыми обсл ужива1111 ем, с :·а~-ювятся в 0 '1е­
редь и ожидают. Другие, ·нао·борот, не ~: о~гут .ж д а ть, они спешат
и, если все мастера ·заняты уже об сл уживан м~ м. уходят. Пусть
клиенты первого вида составляют поток плотностью Л 1 = 1О клиентов
в час, а второго .вида Л2=2 ·кли е нта в час Время, кито рое неоrхо­
димо для обслуживания клиента, случайно. Оно зависит от объема
обслуживания клиента и многих других 'Причин. В с,реднем на каж­
дого человека мастеру необходимо •15 1ошн, ··т. е. средняя плотность
обслуживания клиентов каждым мастером равна μ=4 I<лиента
в час. В парикмахерской работают n=4 мастера .
Требуется оценить работу парик•махср ~ кой.
116

\
Решение
1. Определ ение .параметра.в
Л1 10
а1 = ---;:;:-=4=2,5,
Л22
а2 = --;:;:-=4=0 5.
2. )3ероятиость состояния, прн котором все м а с те ра .свобо.'lНЫ
от обсл уживания (3.5 .2), (3.5 .5 .) и •(3.5 .6):
4-2,5
Ро = [4-2,5+2,5·0,205·3] 16,37·3 =О,О\,
4
'1 (2,5+0,5)h
N.т,(а1+а2) = 1.J
/г!
= 16,57,
k=O
(2,5+0,5)4
4!
Е" (а,+ а2) =
--
16-, -
3-7
--= 0,205.
3. Вероятность состояния, при котором k мастеров заняты об­
служиванием клиентов . Вероятности Р1,, вычисленные по форму­
лам (3.5.3) и (3.5 .4) представлены в табл. 3.5.1.
Таблица 3.5.1
k
PR.
kPR.
(n-k) PR.
о
0,010
о
0,040
1
0,030
0,030
0,090
2
0,046
0,092
0,092
3
0,046
О, 138
0,046
4
0,034
О, 136
о
Сумма
О, 166
0,396
1
0,268
4. Вероятность потерь для клиентов второго вид а равна
4·0,205 (2,5 + 0,5)
Р0~" = 4- 2,5 + 2,5·0,205·3-о,33
В ероятность ухода клненrов второ rо sнза о це~ь в елика.
5. Сре.:~.нее число занятых мастеров
п
00
N, = Р0~ (kа:_ l)! +- ~ nPR. = 0,396 + 4·0,834= 3,73мас1ера.
k=l
k=n+I
6. Среднее число свободных мастеров
п
N0=~(п-k)PR.=
0,268 мастера .
k=O
117

7. Коэ~х[JИциент простоя мастеров
N0 0,268
Кn=п=-4 -. =0,0G4.
Это означ,ает, что в среднем только немаого более 6% време­
ни каждый мастер будет ·свободен во время p ::i61J1ъr (исключая обе­
денные перерывы).
8. ·Коэффициент загрузки мастеров в ·rечен.1е .рабо чего времени
очень высок и равен
Nз 3,73
Ка= п=-4-=О,94.
9. Среднее время ожида ния для клиентов первого вида
0,834
4(4_ 2,5) = О,122час.
Время ожида·ния 'клиентами п ерво•го видg об.:.г-.ужиБания неве­
лико .
3.6 . Неустановившийся режим работы
в разомkнутой системе массового обслуживания
с ожиданием
В предыдущих параграфах рассматривалось функци­
онирование системы массового обслуживания с ожида­
нием при установившемся режиме работы, т. е. когда
основные вероятностн~1е ха рактеристики работы систе­
мы постоянны во времени. Для большинства практиче­
ских задач удалось получить конечные зависимости, ха ­
рактеризующие функционирование систем массового об­
служивания, только для условий установившегося режи­
ма работы . Переход к неустановившемуся режиму свя ­
за н с большими математическими трудностями. Однако
необходимость рассмотрения функционирования систем
массового обслуживания в неустановившемся режиме
вызвана потребностя м и практики . Как правило, необ­
ходимость рассмотр е ния работы системы массового об ­
служивания в неустановившемся режиме появляется
тогда, когда время ее фу нкционирования меньше в 2-
4 с редни х значения в р емени обслуживания требова­
ния системы. Опыт расчетов количественных характе ­
ристик функционирования систем массового обслужива­
ния с ожидащ1ем в различных режимах работы показал,
что в системе с увеличенным числом приборов обслужи-
118

вания процесс установления режима проходит при про­
чих одинаковых условиях быстрее, чем в одноканальной.
Формулы для определения параметров фушщиони ­
рования системы в неустановившемся режиме удалось
получить только для одноканальной системы. Сравнивая
полученные по этим зависимостям значения параметров
функционирования с соответствующими параметрами,
рассчитанными для стационарных условий, можно оце­
нить ошибку использования последних. Эту ошибку
можно рассматривать как верхнюю границу возможно­
го отклонения результатов расчетов параметров функ­
ционирования систем для неустановившегося режима при
использовании зависимостей, полученных для стационар­
ных условий функционирования многоканальных систем
массового обслуживания с ожиданием.
Получение зависимости для неустановившегося ре­
жима рассмотрим на примере однок1нальной системы
массового обслуживания с неограниченным потоком
требований. В систему поступает пуассоновский поток
требований с плотностью Л. Время обслуживания каж­
дого требования случайное с показательным законом
распределения с параметром μ. В зависимости от соот­
ношения величин 1Л и μ возможен случай, когда Л> μ .
Это означает, что очередь требований будет неограни­
ченно расти для неограниченного входящего потока.
Если в момент начала функционирования в систе­
ме не было ожидающих требований, то вероятности со ­
стояний рассмотренной выше системы могут быть опи­
саны системой дифференциальных уравнений
где Pk (t) - вероятность того, что в системе в момент
времени t на обслуживании находятся k требований;
Po(t) - вероятность того, что в системе в момент вре­
мени t нет ни одного требования (система свободна).
Мы не будем приводить подробного решения урав-
119

нения, чит;;~тель найдет его в [13, 22]. Здесь приводятся
лишь конечные формулы решения системы дифференци­
альных уравнений (3.6.1).
Вероятность того, что в момент времени t в системе
на обслуживании находятся k требований, равна
P1t(t) = e-<Л+μ.JI [ (Vi)-" l _1t (2VA.1-1t)+
00
+ (v ry-kI,+/t (2 VA-11 -t) +(1- а) ah ~ х
n=k+2
Х(v~)''I1t(2V A-1-1t) ]'
(3.6.2)
где I 1t (х) = i- "!k ( ix) - модифицированная функция Бесселя
первого рода, где i=V-1, k=0,1,2, ...
Если t_, оо, то
Рп(f)___,. P1t= (1 - а)а",
л
где а=-.
/J.
Среднее число требований, находящихся в системе, равно
1
i
k-(t)=(A. -1 -1)t+1-1 ~ P 0 ('i:)d,;=(l-μ)t+ 11 ~ е-<л+μ.> 1 х
о
о
00
)<. [I0 (2VA.p.t) + •,,1сх I1(2~/A.f1t)+(l-a)E ~ I"X
n=2а2
х (2 VA.11t)l d,;.
(3.6 .3)
Если при t=O в системе находится i требований, то
вероятность состояния р1, может быть определена по
формуле
P1t(t)=e-(Л+μ.JI[( ~ у-1t 1n-, (2VA.11 t)+
00
+ (V ~ )i-n+1l1t+i+1 (2VA-1 -1t)+(l -a)ak ~ Х
ll=k+i+2
(3.6 .4)
120

Вероятность того, что число требований в систе ме не ме ­
нее т, равна
(3.6. 5)
При вычислении числовых значений функции Бессе­
ля следует пользоваться рекуррентными зависимостями
1- п(Х) =fп(Х),
xln+i(x) =Xln - 1 (x)-2nlп(x)
при целых значениях п.
Значения функции / 1 (х) и /0 (х) можно определить
п о таблицам А. Н. Кармазина и Э. А. Чистова (Изд-во
Академии Наук СССР, 1958).
Примеров вычисления вероятностей состояния ря (t)
для неустановившегося процесса из-за громоздкости вы­
числений прйводить не будем.
•
3.7. Групповое поступление заявок
В гл . 2, посвященной функционированию систем мас­
сового обслуживания с отказами, уже рассматривался
случай поступления заявок группами . Подобные случаи
характерны и для систем массового обслуживания
с ожиданием. Примеров подобных систем можно приве­
сти очень много. Например, прибытие товарных соста­
вов на сортировочные железнодорожные станции, 1<ара­
ванов барж в порты для погрузочно- разгрузочных ра­
бот и др. В общем случае для подобных систем массо­
вого обслуживания постановку задачи по оценке их
функционирования можно сформулировать так.
Имеется система массового обслуживания с ожида­
нием, состоящая из п однотипных приборов . Все прибо­
ры обладают одинаковой производительностью, которая
характеризуется параметром μ. Время обслуживания
требования приборами подчиняется пока з ательному за-
121

кону распределения, а его среднее значение равно
~
1
lобс=- •
/.1 .
В систему поступает пуассоновс1шй поток с плотно­
стью ().., групп требований в единицу времени. В каждой
группе содержится т требований. Если поступившие
в систему требования застанут все приборы занятыми
m
m
ООО
ООО
т
ООО
Поmо"' грuпп
mщootJa н И u
Зоно
ожиоани11
треоо~аниu ПриОоDы
г----- -
1оо;
_. ... .... .... .(81 . """'- Выхоdящиu
1
1 ..............-
'
о 1 ---0 ..... поток
1о01__
.
-о. с;-- 0-0-0-
1
о
1
-- - -l'V'I ......
1о
о,~~
~-----~
(81 /
Рис. 3.7 .1. Схема работы при групповом поступлении требований .
обслуживанием предыдущих требований, то они стано­
вятся в очередь. Схема работы системы по1<азана на
рис. 3.7 .1. Требуется оценить эффективность функциони­
рования системы.
Решение
Обозначим вероятности соответствующих состояний
системы:
Р0 - вероятность того, что все приборы свободны от
обслуживания;
Pk - вероятность того, что
.
k приборов заняты обслу­
живанием при O~k~n;
Рп - вероятность того, что все приборы заняты об­
служиванием;
.
Pn+s - вероятность того, что все приборы заняты об­
служиванием, а s требований ожидают очереди.
Вероятности возможных состсяний системы описы­
ваются системой дифференциальных. уравнений:
Р'о(t) = - А.ро (t)+·~P1 (t), ·
р'i (t) = - (А.+μ.) Р1 (t) + 2!-'-Р2 (t),
р'т(t) = - (д.+тр.) Рт(t)+(т+ 1)Рт+~(t) [1 +lp0 (t),
Р'т+1(f)= - [1+(т+1)μ] Pm+1(t)+
+ti-(m+2)Pm+2(t)+д.p1 (t),
(3.7 .1)
Р'п (t) = - [1+ ntJ-] Рп (t) + nр.Рп+1 (t) + lpn-m (t),
р'п+s (t) = - (1 + ntJ-] Рп+s (t) + np.Pn+s+i (t) +
+ lPn+s-m (t).
122

Для установившегося процесса при t ___, . оо эта система
дифференциальных уравнений превращается в систему
алгебраических уравнений:
-А.Р0 +μР1 =0,
-
(А.+μ) Р1 +2f1P2 =О,
-
[l+mμ] Рт+ (т+l) f!Pm+i +дР0 =0,
-[А.+(т+ 1)11-] Pm+i+(m+2)μPm+ 2 +1P1 =0, (3 .7;2)
-
[А.+ п!-'-] Pn + nf"Pn+i + 1Pn-m =О при п ;;. т,
-
[А.+пμ] Pn+m+nf"Pn+m+i +лРn =0,
-
[1 + пμ] Pn+s + nf"Pn+s+1+1Pn+s-m =О ,
при s---+co .
К этоИ системе добавляется еще одно очевидное ycJio-
вие
с4
ОС)
~Pk=P0 Lfk(f.1., 1) = 1.
(3.7.3)
k=()
k=O
Отсюда
ро= _ао___ _ _
(3. 7 .4)
~ fп (tJ-, Л)
k=O
(XJ
в
'\-,f(
еличину ~ k μ, А.) можно получить из рекуррентных
k=O
формул системы алгебраических уравнений (3.7 .2) .
Пример
В порту имеется n=6 1прис1алов, которые t :иинuены оборудова­
нием для слива нефти с нефтен а ливных ба;:~ж . ПrоизЕодительность
оборудования 'каждого ·причала такова, что в среднем в течение
рабачего дня ра3'Гружается две барж11 (μ=2 баржи) .
Баржи в порт на разгрузку поступают караванами, каждый из
которых состоит из m=З од:нотипных (од;шаковьтх по тоннажу)
барж. Так как пункты отправления находя:-ся далеко от порта, то
вследствие многих причин, независимых друг от друга, караваны
барж поступают неравномерно. Опыт работы многочисленных пор­
тов стран мира показывает, что поток rпоступления судов близок
к пуассоновскому [22]. Пусть плотность поступления барж в порт
в среднем равна Л1 =3 караванам в день. Требуется оценить работу
порта, если каждая из барж каравана может .разгружаться на лю­
бом из свободных причалов .
Решение ·
Так как не получено формульных завтЕв~1остrй для опред~.ления
параметров функционировани я системы массо.юго обслуживания
с ощиданием при поступлении: в иее групп Т jJ е б о!Jаний , вероятность
123

состояний системы определяете.я рек у ррентными зависимостями.
В нашем примере они получаются в таком вил:е:
-3Ро+ 12Р1=О, -(3+2)Р1+2·2 · Р2=О,
-
(3+2·2)Р2+3 ·2 ·Рз=О,
-
(3+ 3·2)Р,+ 4·2·Р4+ 3Р0=О,
-
(3+ 4·2)Р.+ 5·2·Р5+3Р,=О,
-(3+ 5·2)Р5+ 6·2·Р6+ 3Р2=О,
-(3+ 6·2)Р6+ 6·2Р7+ 3Р3=О,
-(3+6·2)Р1+6·2Р1+3Р4=0 и т. д.
При .про.ведении расчетов необхu ;:ц\!о опре;~е,1ять значения Рп
с заданной точностью. Есл-и наметилась тенденция быстрого убыва­
ния Р" с некоторого зн1ачения Р; и вели•rины 1'1. очень малы, то
можно по за•кономерности их убывания оцен ·,пь сумму отброшенных
значений P1<= f '(Po), после чего необ ходамо duс:~о.1ьзоваться 'Н'Ор­
мирующим условием
k-">00
~P11= l.
k=O
В нашем примере получены та;ше значения Еелич·ины Р"
(та·бл. 3.7.1).
Таблица 3.7.1
k
о
1
2
3
4
5
6
7
8
----- ---
-- --
-
--- --
-
--
'"л.РR.
Ро
1 1,5 1,88 1,72 1,37 0,93 0,58 0,27 0,07
откуда
Соответственно остальные значения Pi приведены
в табл. 3.7 .2.
Таблица 3 .7.2
k
о
1
2
3
4
5
6
7
8
----- --- -- --
-
------
-
-
-
PR. 0.107 О,16 0,20 о,18 О,15 О,10 0,06 0,03 0,01
J24

1. Среднее число барж, находящихся в порту (под
разгрузкой или ожидающих ра з груз ки) :
k=oo
М = ~ kPk с:::. 2,8 баржи.
~
k=O
2. Среднее число барж, ожидающих разгрузки из­
з а занятости причалов :
(IJ
Мош=~(k- п)Pk~0,05баржи,
k=7
т . е. практически ожидающих барж не будет.
3. Среднее число барж, находящихся на разгрузке
k=6
Мобс = ~ kPk;::::, 2,5 баржи.
k=O
4 . Среднее число занятых причалов
6
00
Nз = L kPk+ L 6P1t~ 2,74 причала.
k=O
k=7
5 . Коэффициент загрузки причалов
Кз_. ~;=2;4=0,46.
6 . Коэффициент простоя причалов
кN0-'--п-Nз_О54
п=п- п
-
'
·
7. Коэффициент простоя барж, который равен веро­
ятности отказа в обслуживании барж из-за занятости
всех причалов
00
Ku=L. Pii=0,04, очень мал.
k=6
3.8 . Системы, в которых перед второй фазой
невозможно установление очереди
В этом параграфе рассматривается функционирова­
ние двухфазной системы, но в отличие от ранее рассмот­
ренной (§ 3.3) в ней невоз можно образовани~ очереди
125

перед второй фазой. Примером подобной системы может
служить конвейер или другой вид поточного производ­
ства, в котором перед ·второй фазой невозможно ожида­
ние требований, прошедших обслуживание в первой фа­
зе. Бели первая фаза .обладает большей производитель­
ностью, чем вторая, то последняя ·становится узким ме­
стом в производстве и приводит к блокировке первой фа з ы .
Это объясняется тем обстоятельством, что первая фаза
может обслуживать требования только в том случае,
Очереilь
.щя8ох. Приrfод
о0 l11юзы
Приоор
Uщозы
ООСЛ1j­
женнь1е
за яtJ;.cu
Поток .юя!iон
оооо(\
--
-
.
..,..,...~....----..,,.,._
00
~
оо~
__...,.__~
__о
о оо..,_
с')
Рис. 3.8.1. Схема двухфазной системы с блокировкой первой фазы .
если свободна вторая фаза. Обслуженное требование
первой фазы поступит во вторую . Работа всей системы
обслуживания рассматривается при условии поступле­
ния в нее пуассоновского потока требований с плотно­
стью Л и показательного закона времени обслуживания
требований приборами обеих фаз.
Производительность приборов первой и второй фаз
разная и характеризуется параметрами обслуживания
μ 1 и μ 2 соответственно для первой и второй фаз. В каж­
дой фазе функционирует по одному прибору обслужи­
вания. Принципиальная схема работы системы массо­
вого обслуживания представлена на рис. 3.8 .1 .
Решение
Обозначим число требований в системе:
впервойфазеn1=О, 1,2, .. " оо,
.во второй фазе n2 =О, 1.
Вероятности возможных состояний системы обозна­
чим так:
Рп" 0 - вероятность :того, что в первой фазе имеется
п, = n требований, а во второй фазе n2 =0;
Рп,, 1 - вероятность состояния, при котором в первой
фазе находится n 1 =n, а во второй фазе n2 = 1 требова­
нию.
.
Рп,. 6 ~ верщп1-1ость тоrо , что а первой · фазе цмеется
126

n1 = п требований, а во второй фазе имеется одно тре­
бование и система заблокирована.
Уравнения состояния системы записываются в таком
виде:
Р'п1,О(t)= -
(А.+μ)рп1,О(t) +
+ f1.2Pn 1 , 1 (t) + Л.Рп1-1,О (t),
Р'п1, 1 (t) = -(А.+μ1 +112) Рп,, J (t) + l12Pn,, б (t) +
+л.Рп1:._1 , 1 (t) + !-11Рп1+1.о (t),
(3.8 .1)
Р'п,, б (t) =
-
(.:!. +112) рп1, б (t) +
+ l11Pn1 +1,I (/) + Л.Рп1-1,б'
Нормирующее условие
1
~ ~ Рц(t)= 1.
i=O
Для установившегося режима функционирования си ­
стемы массового обслуживания при !-+=, P;j(l)-+
-+P;j, P';j(t)-+O система Дифференциальных уравне­
ний преобразуется в систему алгебраических уравнений
(A.+f!-1)Pn o=!.t2Pn 1 +л.рп-10'
1•
·1·
1
•
(А.+ 111-\ - 112) рп1, 1,= f12Pn 1 , б + Л.Рп.-1,i + /11Рп1+ 1,0' (3.8.2)
(д.+f!2)Рп1,б . д.р11.-l,б+111Рп1 +1,1
и нормирующее уело.вне
Та же система уравнений при п 1 =0 будет выглядеть
так:
ЛРо,о = /12Ро,н
(Л. + 112) Р0.1 = f.t2P о.б + 111Р1,0•
Р·+ 112) Ро,б = f1.1P1,1·
(3.8 .3)
Решения этих уравнений принадлежат Хайту [13, 22]
и получены в таком виде:
127

Вероятность состояния, при котором в обе·их фа­
Jах нет требований:
р _ ~(!+~)(1-а2)
-
а2
(3 S4
оо- ~(1+~+а2) '
.
•)
где
при f11 ;;:;: f12, f12 > l.
-Вероятность того, что во второй фазе одно требова­
ние:
(3.8 .5)
-- Вероятность
того, что первая фаза заблокирована:
(3.8 .6)
Математическое ожидание числа требований, нахо­
дящихся в системе:
00
00
М= ~ iPi.0+~U+l)Pi,!"
(3.8 .7 )
i=O
i=O
Особенность работы такой системы в том, что она
иногда находится на грани выхода из стационарного со­
стояния. Если увеличивать постепенно плотность входя­
щего потока до тех пор, пока перед первой фазой не
будет всегда существовать какая-то определенная оче­
редь, но еще не растущая до бесконечности, то вероят­
ность состояния Р00---+О при неко"ГОром ·Л=Лманс- При
дальнейшем усилении плотности входящего потока си­
стема выйдет из установившегося состояния. Величину
Лматтс можно найти из выражения (3.8 .4), приравняв его
нулю:
р_~(1+~)(1- а2)- а2 О
оо- ~(1+~+а2)
-
'
откуда определяется
(3.8 .8)
128

Максимальное значение коэффициента использова­
ния первой фазы равно
(3.8 .9)
Можно показать, что наибольшее значение Лманс по­
лучается при условии 1~= 1 (при μ1= μ2) . В этом случае
Ам31,с= 2/з.
Если задано
Тобе= Тобе~+ i'обс2•
(3.8 .10)
где tобс1, tобс2 - среднее значение времени обслужива­
ния требований в первой и второй фазах соответственно,
то входящий поток требований не должен превосходить
1Зеличины
l
___
4_
манс-- ЗТоос'
(3.8.ll)
и в этом случае наибольшее з н ачение Лм~шс получается
при~=1,т.е.при~t1=μz.
Пример
Рассмотрим этап технологического процесса произсодст1Jа круп­
ногабаритного изделия. Этап состоит из ;J.!З/Х фп1. Производствен­
ная площадь, где осуществ л яется первая фаэа произв одства изде­
лия, большая и предполагает возможность скопления большого
количества изделий . Во второй фазе изделия обрабат ы Еа~отся в осо­
бых условиях, в ·камере, которап ~по своему 061,е~1у может разме­
стить только одно изделие. На первую фазу издет1я !Поступают не­
равномерно, ч то .связано с завис и мостью предшествующей части
технологического процесса , ·однако на первую фазу исследуемого
этапа производственного процесса поступает в среднем ·Л= 10 и зд е­
лий в месяц. Время обработки в перпой фазе таюке случайно, что
определяется состоянием изделия, низким уропнем механ и зации тру­
да и большим процентом подготовительных слесарных операций.
В среднем в течение месяца здесь успевают обрабо та ть около 20 из­
делий (μ1=20 изделий в месяц) . Во второй фазе дл я ~производства
характерны те же особенности. Одн ако произво дит ельность здесь
меньше и составляет μ2= 15 изделий в месяц. Оце ни ть органн з ацню
тех 11 ологнческо го процесса на этом этапе прои зводст оа .
Решение
l . Определяем параметры
"А
10
112 = ~=15=0,67,
f.J-1
20
Р = ~= 15=1,зз.
9-1444
129

2. Вероятность состояния, при t<:отором в обеих фазах nроизвод­
ства нет изделий, определяется по формуле (3.8 .4)
1,33 (1+1,33) (1 - 0,67)- 0,67
Роо =
1,33 (1+1,33 + 0,67)
~ о,о9
3. Ма-ксимально допустимое значенае входящего потока ('3.8 .8)
1+1,33
Лма1<с= 20 1+ 1,33 + l,332 ~11 изд.
4. Вероятность того, что во второй фазе 6уд~т одно требование
(3.8.5)
1+1'33(!- о'67)
Pn1 · ' = 0,67 1+1,33+ О,67
0,32.
5. Вероятность того, что первая фаза ззблокирована (3.8 .6):
1+1,33
Pn1, б = 0,672 1+1,33 + 0,67 =О,35 .
6. Вероятность того, что система будет р:'!ботать без перебоев
Р= 1- Рn1,б =1- О,35=О,65.
7. Число изгото влешiых изделий в теч~пие меснца
Nизд ='АР= 10·0,65 = 6,5 изделия.
К:ак изменится производительность :~рои.зводства, если довести
производительность второй фазы до уровня первой?
1μ1=μ2=20 изделий в месяц.
Тогдаj3=1,
1+1
Лма1<с=20lТl+J=13,3 изделия в месяц.
8. Вероятность блокирования первой фазы умеиьшится (при
/,= 10 изделий в месяц)
9. Вероят1-юсть того , что система будет раuотать без перебоев,
равна
Р= 1-Рп 1 ,б= 1-0,2=0,8.
Производительность также увелич ится. Ч11cJr.J ·Изделий в тече­
ние месяца составит
Nнзд=ЛР= IOX0,8=8 изделий.
Максимальная производительность сис>е~.11>1 при обеспечен11и
плотности поступления и зде лий
130

Л=Лмаис= 13,3 изделия в месяц .
В этом случае
13,3
~= \, <Х2 = 20=0,67
и вероятность блокирования си·стемы ·нескодЬ]{О увеличится, т . е.
Рп,б = 0,672 1+1+0,67 =О,33,
но 11роизводителыюс1ь системы в месrщ все же во~11иlrет и будет
доведена до
Nизд= 13,3(\-0,33)=9 изделий .
3.9 . Системы с бесконечным числом одинаковых
приборов
Системы с бесконечным числом одинаковых прибо­
ров могут быть использованы при моделировании раз­
личных систем в народном хозяйстве.
В самом деле, в масштабе области при уборке уро­
жая на полях используется много сельскохозяйственной
техники: автомашин, комбайнов, тракторов. Вся эта те':­
ника подвержена износу и в период напряженнr й ра ­
боты может выходить из строя. Количество этой техники
N очень велико , и поэтому при проведении практических
расчетов можно приближенно положить, что N--+oo.
Рассмотрим, например, эксплуатацию тракторов. Ка:ж­
дый из них в процессе уборки может выйти из строя и
потребовать ремонта ..Выход из строя каждой машины
обусловливается многими причинами: кв;~лификацией
тракториста. техническим состоянием машины. видами
уборочных работ, качеством профилактических меро­
приятий по сохранению техники и уходу за ней и други­
ми. Естественно, чтl) совокупное действие этих причин
в конечном счете сказывается на числе неисправных ма­
шин. Трактористы и механики ремонтных мастерских на
селе производят ремонт каждого трактора, на что тре­
буется случайное время , обусловленное также многими
причинами: характером поломок и аварий, квалифика­
цией трактористов и механиков, наличием запасных ча­
стей и др. Таким образом, время обслуживания при ре­
монте тракторов также случайно.
Характерным для птнтведенноrn пrимера пnштется то .
что каждый вышедший из строя трактор является тре-
9•
131

бованием на ремонт (требованием на обслуживание) и
в то же время обслуживающим прибором (в лице одно ­
го тракгориста или вместе с механиком по ремонту) .
Число вышедших из строя тракторов в масштабе обла­
сти, республики велико. Важно определить, какое число
тракторов в среднем будет выходить из строя, сколько
их будет ремонтироваться и как быстро они будут вос­
станавливаться. Все это нужно для планирования поста­
вок запасных частей, организации ремонта техники на
полях и решения ряда других вопросов.
Примеров подобных систем можно привести много.
Ниже на примере будет показано использование мате­
матического аппарата для ре~ения ряда практических
задач народного хозяйства, особенно в области прогно­
зирования и проектирования.
При постановке задачи положим, что имеется неко­
торая система массового обслуживания, состоящая из
неограниченного числа одинаковых приборов обслужи ­
вания. Естественно, что в такой системе время ожида­
ния обслуживания, как и отказ в обслуживании, теряет
смысл . В систему поступает пуассоновский поток требо­
ваний на обслуживание с плотностью Л,. Время обслужи­
вания каждого требования случайно и подчиняется по­
казательному закону распределения с параметром μ .
Каждое поступившее требование начинает обслуживать­
ся немедленно.
Необходимо определить основные параметры функ­
ционирования системы: вероятности состояний, среднее
число требований , находящихся в обслуживании, и др.
Для определения вероятностей состояний может быть
использована следующая бесконечная сист е ма диффе­
ренциальных уравнений [18, 22]:
при k>O.
Р'о (t) = - lcp 0 (t) + fl-P1',(t),
р'11. (t) = lcp11._ 1 {t) - (J.. + μ!г) Р11. (t) +
+r-(k+l)P11.+1(t)
(3.9.1)
Не будем приводить метод решения этой бесконечной
системы дифференциальных уравнений; при желании чи­
татель найдет его в {18, 22]. Приведем расчетные форму­
лы для определения численных значений характеристик
системы.
132

1. Вероятность того, что в момент времени t будет
занято k обслуживающих аппаратов (или обслуживать­
·ся k требований) при условии, что при 1i = ·O они были
все свободны (в системе не было требований) :
где
(t)- ;:!__(l _
-1'1) - а.(1- e - μ.I)
Рп-k!
ее
,
1
μ.= -- -;
tоб с
(3.9 .2)
lобс - среднее время обслуживания 1<:аждого требования;
.
'),, -
плотность поступления требований в систему.
2. Среднее число приборов, занятых обслуживанием
(или среднее число требований, находящи хся на обслу­
живании) в момент времени t, если при t= O они были
свободны (в системе не было требований):
Nз=а.(l- е-1
'\
3. Вероятность того, что все приборы
требований в системе) :
(t) - -а. (1- е-μ.1}
Ро --е
·
(3.9.3)
свободны (нет
(3.9.4)
Для установившегося режима при t---+oo те же ха­
рактеристики примут такой вид:
-
Вероятность того, что все приборы свободны:
(3.9 .5)
-
Вероятность того, что в системе занято обс.пужи­
ванием k приборов:
(3.9.6)
Среднее число аппаратов, занятых обслужива -
нием:
Естественно, что на практике чаще всего пользуются
средними величинами. Поэтому представляет интерес
оценить погрешность определением значения математи­
ческого ожидания числа занятых аппаратов в некоторый
133

момент времени t по формуле для стационарного ре­
жима
N
N
- μ.t
зу- з=ае
.
Применение полученного аппарата прои ллюстрируем при­
мером.
Пример
На уборке урожая на полях области работ.:I•)Т :комбайны. Ста­
тистИ'Ка п оказывает, что .в среднем по области D сутки выходит из
строя 20 комбайнов (Л=20 комбайнов в сутки). Время на ремонт
каждого комбайна зависит от важносги получ~шюго повреждения
и колеблеТIСя в широких ·пределах, в среднем около суток (lабс=
= 11 сутки, 1μ= 1 комбайн •В сутки) .. Требуется оценить состояние пар­
ка комбайнов в области во время уборки урожJя.
Решение
Посмотрим, 1как будут работать комбайны на полях в течение
первой недели уборки.
В та·бл. 3.9 .1 приве дено матемаrическое ожидание числа неис­
правных машин по дням первой недели {по формуле ' (3.9 .3)].
Таблица 3.9.1
Де11ь
1-й
2-й
3-й
4-й
5-й 6-й 7-й
недели
---
Nз
12,6
17,6
19
19,6 19,9 20
20
Из таблицы следует, что уже в первый .•tень недели в среднем
выйдет из строя 12,6 комбайна. К концу ;Iеде.:ш число вышедших
из строя машин ста·билизируется и приблнжается к математическо­
му ожиданию для стационарно•го решения
л
Nа.у =
- i;:- =а = 20 комбайнов.
Вероятность того , •1то в се машины бу дут ис п равны, очень мала,
особенно 1( концу недели (табл. 3.9.2).
Таблица 3.9.2
.
День недели
1-й
2~й
3-й 4-й 5-й
7-й
6-й
Р,
3,5 .10-•
3,4 · IO-•
2,2.10-•
Таким 0>бразом, :при расчетах выхода .из строя комбайr~rов •во время
уборки формулой Nзу = а •можно пользоваться для l!fоследних дней
недел и . В начале недели выход техники r из строя идеr менее ин­
тенсивно и составляет около 60-80% того, что характерно для кон­
ца недели.

4
ЗАДАЧИ ОБСЛУЖИВАНИЯ
В СМЕШАННЫХ СИСТЕМАХ
В гл. 3 были рассмотрены некоторые задачи так на­
зываемых «чистых систем с ожиданием». В этих систе­
мах каждая ноступающая заявка, заставшая все кана­
лы (приборы) занятыми обслуживанием, становится
в очередь и ждет, пока не освободится какой - нибудь
прибор. Время ожидания заявки в очереди или системе,
а также длину очереди не ограничивают.
Однако для практики представляют большой интерес
и системы с различными ограничениями на время ожи­
дания в очереди, на время пребывания в системе и дли­
ну очереди. Такие системы массового обслуживания на ­
зываются системами смешанного типа. К ним относятся:
1. Системы, в которых накладываются ограничения
на время ожидания заявки в очереди, которое может
быть как случайной, так и постоянной величиi-юй. При
этом ограничивается
только срок ожид:;11-1ия заявки
в очереди, а начатое обслуживание доводится до конца
(например, клиент в парикмахерской, се.в в кресло, уже
не уходит до конца обслуживания).
2. Системы, в которых накладываются ограничения
на общее время пребывания заявки в системе (напри­
мер, торпедные катера находятся в зоне обстрела про­
тивокатерными средствами кораблей ограниченное вре­
мя и покидают ее незnвисимо от того, кончился обстрел
или нет).
3. Системы, в которых накладываются ограничения
на число заявок в очереди, т. е. на длину очереди (при­
мером может служить мастерская по ремонту неисправ­
ной техники с ограниченной площадью для ее хранения).
135

Ниже более подробно рассматрива10тся особенности
функционирования смешанных систем массового обслу­
живания, дается математический аппарат, с помощью
которого можно оценить эффективность их работы, вы­
брать наиболее экономичные варианты. Все это иллю ­
стрируется соответствующими примерамн.
4.1. Системы с ограниченным средним временем
о:ж:идания заявок в очереди
Системы являются дальнейшим обобщением систем
массового обслуживания с отказами (см. гл. 2). Мате­
матический аппарат, необходимый для оценки эффектив­
ности функционирования этих систем и выбора наибо ­
лее оптимального варианта по экономическим показате­
лям, разработан для следующих условий. На вход си­
стемы, состоящей из п приборов одинаковой производи­
тельности, поступает простейший поток заявок с плотно­
стью Л. Время обслуживания каждой заявки прибором
является случайной величиной fобс. которая подчинена
показательному закону распределения с параметром
1
μ.= tобс '
где tабс - среднее время, необходимое длн обслуж· ива -
1-rия ЗаЯ ·ВКИ.
Если вновь прибывшая в систему заявка застанет
все приборы занятыми, то она становится в очередь и
ожидает обслуживания. Время пребывания в очереди
случайное и подчинено показательному закону распре­
деления с параметром
1
V=-~--,
t·ош
где lош - среднее время ·ожидания.
Если заявка, пробыв ·В системе некот:орое время lош,
не была принята на обслуживание, то она покидает си­
стему. Поэтому параметр v можно рассматривать как
среднюю плотность уходов заявок из системы .
Основные зависимости для п-канальной системы при
определении основных характеристик функционирования
приведены ниже [7].
136

1. Вероятность того, что все каналы системы свобод­
ны от обслуживания:
(4.1.1)
et•
(п+т~)
m=I
,-
р__ ii.oбc
.
Где а= л iобс; 1,
'ёож
2. Вероятность того, что заняты обслуживанием k
каналов системы:
, О<!г<п.
(4.1.2)
3. Вероятность того, что обслуживанием заявок за­
няты все п каналов системы и s заявок ожидают обслу­
живания:
сх,п+в
s
п! П (11+ т~)
Рn+s =
-- __
т_=-1 -------, S ;;;? 1.
п
о::>
(4.1 .3)
Е :~+~~~ -s_et_·
__
k=O
s=I ·п (n+m~)
m=I
4. Вероятность от[{аза в обслуживании з;ншю1
'Р ~М
отн=- om·
•
Ct
(4.1.4)
5. Среднее число заявок, ожидающих обслуживания:
о::>
00
....::_ \1 set•
п!i.J s
s=I П (п+т~)
Moш=IJ
.\ '=!
m=l
sPn+s = п
w
~ :~+~~~_s_et_•
__
k=O
s=I п
(4.1 .5)
(п~+ т~)
137

6. Среднее число каналов, занятых обслуживанием
заявок:
(4.1 .6)
7. Коэффициент загрузки каналов обслуживания, ко­
торЬIЙ определяет среднюю долю времени их загрузки:
Nз
Ка=-.п
(4.1 .7)
8. Среднее число свободных каналов обслуживания
п
N 0 =n-N3 = ~ (n-k)P11..
-
(4.l.8)
k=O
9. Коэффициент простоя каналов обслуживания
Kn=No •
11
(4.1.9)
10. Вероятность того, что любая заявка, прибывшая
в систему, будет обслужена:
Робе= l~- Ротк·
(4.1.10)
С выводом приведенных зависимостей читатель мо­
жет подробно ознакомиться в [7] .
Проведение расчетов по этим формулам затрудни ­
телы-ю вследствие их громоздкости и наличия бесконеч­
ных сумм. Поэтому для облегчения вычислений в конце
книги приведены таблицы для определения Р" и Ротн
приk~nстремявходамиа',~ип(см.табл.5и6при­
ложения). Кроме того, для приближенных расчетов
можно заменить бесконечные суммы выражениями
00
Е00~·
s=r П {п+т~)
(4.l.11)
m=I
138

80
(~)' "
'1 __s_o:_•--< ~ е ~ .
I.J •
(r- 1)1
s=r П
(4.1.12)
(п+т~)
m=J
Формулы (4.1 .1) - (4. 1 .6) были nолучены в предnо ·
ложении, что время обслуживания заявок и время их
ожидания в очереди распределены по показательному
закону. Однако в реальных системах массового обслу­
живания возможно ~появление и таких, в которых это
время ·подчинено иным законам распределения. Но,
как показали исследования, эти зависимости, получен­
ные для стационарных условий функционирования си­
стем, справедливы и для других законов раоп.редел е ­
ния времени обслуживания и ожидания заявок. Об этом
можно судить по результатам расчетов, провед е нных
методом статистических испытаний для широкого диа­
пазона основных параметров систем:
1 <п<30,
0,01 <а;< 30,
0,1<~<10.
Некоторые результаты расчетов даны в табл. 4.1 .1.
распре-
Закон
делен
менн
ия вре-
tобс и
QЖ
затель-
Пока
ны
Ре;
Норм
усеч
Равном
Поф
(4
й
rея
альный
енный
ерный
ормуле
.1 .4)
-~~
.. __
1111
"<n.
0,861
0,863
0,859
0,857
0,860
Варианты при n=l
'""'
"'"'
"'
~""
..-=о"
t00
1111
1111
1111
!Jm..
""'-
"<n.
0,386 0,788 0,949
0,392 0,791 0,948
0,391 0,787 0,953
0,393 0,793 0,951
0,390 0,790 0,950
Т11блица 4.1 .1
1
Варианты при n=З
.. .,,
о
. :,;
о-
м"С'-1
C'IO
li 'jj
'j jfi
1111
1111
"<n .
"<n.
"<n.
t! <n.
0,226 0,783 0,675 0,784
0,228 0,786 0,672 0,781
0,224 0,785 0,674 0,780
0,226 0,787 0,673 О, 783
0,225 0 , 785 0,673 0,785
Для иллюстрации полученных зависимостей предла ­
гается решение примеров .
Пример 1
На городскую овощную базу поступают овощи нового урожая.
Для обеспечения длительного хранения они nроход!!т стадию обра-
139

ботки. До обработки они хранятся под откры·rым небом. В зависИ·
мости от погоды и состояния овощи после транспортиров·ки могут
храниться •без су щественной потери качества •не больше ·суток. На
базу овощи поступают с близлежащих ;;о"нозов неравномер·но, и
поэтому в перво м .прибю1жен.ии можно С'IИ гать п·оступающий ·поток
овощей пуа1ссоновским. В среднем на ·базу в -;-еченне декады при•бы­
вает до 125 автомашин овощей двухтонной rрузопuцъемности. На
базе работает несколько брнгад ·по предна;ытел1,ной обрабоТ'Ке ово ­
щей перед закладкой их на длительное хр1аение. Каждая бригада
способна переработать за сутки до трех тони овощей. Нео6ходим о
оценить работу .базы по принятию овощей на длителыное хранение.
Определить нео·бходимое количество ·бригад, •побы потери овощей
были минимальны, а обра.ботка ·ИХ быпа наиболее экономичной.
Пу·сть содержание одной ·бригады в месяц абходится в 500 руб.,
а стоимость каждой тонны овощей 100 руб.
Решение
1. Определим параметры а и ~:
1
СХ=Аfобс=2,5~:::::: 1,67,
0,67
~= -1 =О,67.
Рассмотрим функционирование на базе ~::зух, трех и четыре х
бри•гад.
2. Вероятность того, чт о все бр ига 11ы Gудут спдеть без дела
из-за отсутствия овощей, определит.ся из табл. 5 приложения 5
-
пр·и ра·боте двух бригад (n=2)Po=0,177;
~трех бригад (п=З)Ро=О,185;
-
четырех бригад (n=4)Po=0,188.
3. 1Верояп10сть того, что привезенные о!Jощи не будут своевре­
менно абработаны (Р от1<), определяется нз табл. 6 ·приложения 5
по значениям a=l,67 и ~=0,67 ·
-
при ра6оте двух бригад Рот" =О,1 7;
-
трех бригад Ротн=О,05;
-
четырех бригад Ротн=О,015.
Среднее число бригад, за няты х обработкой овощей, равно [п о
форму.пе (4.1 .6)] при 11ал 1 1 1 1нн д13)'Х брнгад N,= 1,35; трех брИ1гад
N,=l,57; четырех бригад Nз=l,64.
Коэффициент загруз·ки бр иг ад определатс<1 по формуле (4.1 .7)
·при ·наличии двух бригад Кз=О,67; трех брлгзд К,=0,52; четырех
бригад Кз=О ,41.
Среднее число п ростаивающих брнт;:щ определится по формуле
(4 .1 .8) при наЛ11чии двух бригад No=O,GБ; трех б ригад No=l,48;
четырех бр·И'Гад N о= 2,36.
Коэффициент прос тоя бриг ад определам ао формуле
При на.пичии двух бригад Kn = 0,33; это оJначает, что О](ОЛО
33% времени каждая бригада будет без ;:~аботы;
для трех бригад Kn = 0,49;
д.пя четырех бригад Кп = 0,69.
140

Проведем э1(ономическую оценку рабо•ы базы. В качестве кри­
терия целесообразно принять стоимость обработки одной то•нны
овощей
rде qп - стоимость содержания каждой бригады по переработке
овощей в сутки;
п - число бриг ад;
q0•
-
сто им ость одной то нны опощей;
Л - количество обработанных овощей з а с ут ки .
Вели чин у Л определим из з аnи си мостн
Л= (1-Ротк)2Л.
Произведение 2qов ЛРотк олределяет стоимость тютерянных ово­
щей за сутки из-за их несвоевременной обрабо11ш. Результаты р ас ­
четов !ПО определению стоимости потерь 'IрНiзеде н ы !! табл. 4.1.2.
Число работаю­
ши х бригад
2
Таблица 4.1.2
3
4
5
-- --- -- -----
-
--- ---
Стоимость тон­
ны обработан ­
ных овощей,
руб.
28 15,1 15 16,7
Из таблицы внд но, <по экономачесю1 С( е;1есообразно нметь н а
базе четыре брнгады по переработк е овощей . В этом случае потер и
овощей будут весьма малы .
Приме,р 2
В магазин поступ а ют .фрукты нового урожая нз отдале нных
хозяйств с /,=·10 т в декаду. Время доставки фруктов из колхозоп
в город является вел и 1 iиной случайной . Вероятность поступлен1ш
фру1ктов в ма1га з ин и з нескольких кол хо3ОВ .Jдновременно очен ь м а ­
ла . Среднее количество поставок фруктов в на~азин в период сбора
урожая более или -менее ·стабильно. Пере:~исле1шые ·причины :по зво ­
ляют принять предполож еинс о .пуассоновском потоке поста во к
фруктов в магазин. Срок и хранения фруктов в магазине завис и т
от их состояиин, условий до ставки, стеасни зредости и других пр и ­
чнн. Естественно предположить, что время хрйн~юш их явля етс я
велнчиной случайной. Пусть среднее время хр а нения равно l от =
= 1 ,7 сут01<. Тогда значение параметра V= '6. В течение декады м ага­
зн 11 может продать n среднем ~t = 10 т. Сред11есуто11ная продажа
я нляется nел11ч1 111 ой случайной. Н:шрим~р. в :п редпра зд ничные ,
праздннчные, предвыходные и поскресные ;~ни прод2жа фрук тов
будет более интенсив'ной.
Требуется оценить работу магазина и :tс.1есоо б ра з ность откры­
тия ряда дополнительных палаток по ародаже фруктов в теч ение
сезона. Для простоты расчетов примем, что :1роп ускная способно сть
палаток ·по продаже фрукта-в равноценна ыаrз&нну.
141

Решение
/
Определим параметры а и ~ :
Л10
«=μ:-=10 = 1;
у
6
-
~=~=ru-=0,6.
Рассмотрим фушщион-ирование магазина, а также магазина и
палаток (для примера возьмем 1 и 2 палатш).
Вероятность того, что эти тор .говые пре;цриятия будут свобод­
ны от продажи, определит.ся по формуле (4.1.1). Значение этих ве ­
роятностей найдем по величи·нам а= 1 и /)=0,6 из табл. 5 прило­
жения 5 :
-
·при работе одного магазина Ро=О,328;
-
при работе одного магазина и одной палатки Ро = 0,361;
-
.при работе одного магазина и двух ;:~nлаток Ро=О,367 .
.Вероятность того, что привезенные фрукты не будут своевре ­
менно проданы, определяется по формуле (4.1 .4). Отсюда по ве­
личинам а= 1 и /)=0,6 из табл. 6 приложения 5 получим долю
потерь фруктов нз-за несвоевременной продажа:
-
·при работе одното магазина Ротк=О,33;
-
111ри работе одного ма1газина и одной палатки Ротк=О,О~;
-
при работе одного •ма·газина и двух п:э..1аток Ротк=О , 02.
Это означает, что .при работе только одnого магазина 32,7%
фруктов будет испорчено. При подключении " продаже одной па­
латки потери уменьшатся до 8%, а при подключении двух палаток
потери составят всего около 2 %.
Та1ким образом, видно , что увеличенне чиспа точек уменьшает
процент потерь фру~пов. Однако слишком большое увеличение чи­
сла торговых точек может привести к излишнему увеличению стои­
мости содержания обслуживающего персонала и повышению на­
кладных расходов. Поэтому следует провести экономическую оценку.
В ка•1естве критерия, например, можно лр:шять милимум суммарных
затрат на содержание торговых точек и патера в течение месяца .
Тогда средние суммарные затраты пред!приятия ориентировочно
можно определить из зависимости
Сп=АРоткqФ+qпn,
где Л- количество фруктов, .доставленных в город для продажи
в течение месяца;
qФ - стоимость одной тонаы фруктов ;
qп - стоимость функционирования одно.го торгового предприн­
тня __ в течение месяца;
п - число торговых предприятий .
Предположим, что qФ=l ООО руб. тонна; q11=400 руб.
Количество фруктов, доставленных в магазин в течение ме с.я -
ца, равно
Л=Л3= 10 · 3=30 т.
Тогда стоимость затрат и потерь равна :
-
1при работе одного магазина Сп= 10068 руб . ;
-
при работе одного магазина и одной палатю1 Сп = 29 1 0 руб.;
-
при работе одного магазина и двух 'lалато-к Сп= 1430 руб.;
-
при работе одного мжазина и трех nа.~анж Сп= 1470 руб.
Таким образом, ·наиболее экономичным является развертывание
на се з он по ·продаже фруктов кроме магазина еще двух палаток,
при этом потерн из-за порчи фруктов составят С>Коло 2 %·. У ве л ич е-
142

ние чнсла палатсж более двух нецелесообр ~ з:ы, так как снижение
лроцента потерь незначительное, а стоимост ь с о:rерfl·:ония торговой
сети -возрастает.
\
Эти два примера носят чисто условный характер.
Однако из них видно, что целый ряд проблем, возникаю"
щих в торговых и хозяйственных организациях, может
быть решен методами теории массов ого обслуживания.
Системы с ограничением на время пребывания заявки
в системе. Для этих систем массового обслужива1ния· ха­
рактерно, что незавиоимо от того, обслуживается заявка
или находится в очереди, uна покидает систему, если
время нахождения ее в системе превысило некоторую
в-еличину tож·
Для таких систем получены конечные зависимости,
по которым можно оценить их функционирование, для
случая, когда время пребывания заявки в системе fom
случайное с показательным законом распределения и
параметром
1
V=--,
t'ош
где t0ж - среднее время пребывания заявки в системе.
Вероятности состояний системы описывает следую­
щая система дифференциальных уравнений:
Р'о(t)= - АРо(t)+(μ+v)Р1(t),
Р11 (t) =-(А+μ+ v) р1 (t)+ J.,p 0 (t)+ 2 (μ+ v) р2 (t),
р'11. (t) = -
[А-+ k (μ. + '')] Prt (t) + !..Prt-1 (t) +
+ (k+ 1) (11+ v) P1t+1 (t),
1,,;;;.k,;;;;;;;n-l,
P'n(f)= -
[?., + n(μ.+ v)]Рп(f)+ APn-1(f)+
+ [nμ+ (п+ 1) v] Рп+1 (t),
(4.1 .13)
P'n+s (t) = -
[?.,+ nμ.+ (n-+ s) vJ Pn+s (t) +
+ APn+s-1 (t)+ [пμ+ (n+s+ 1) v] Pn+s+ 1 (t), s?3 l.
Для стационарных условий, т. е. при t~oo, системя
дифференциальных уравнений (4.1 .13) превращается
143

б
/
u
в следующую систему алге раических уравнении:
-ЛР0+(μ+v)//=О,
!
-
[А-+ k(μ+ ~)J ·P·k +·i.P;_: -4 --(k·+ i) {μ·+ v) P1r+ 1 =о,
l<k <' n-1
1
'
-
[A.+n(11+v)] Рп+ЛРп- 1 +
+[nμ+(п+l)v] Pn+ 1 =0,
(4.1.14)
-
[А-+ 11μ+ (п+s) v] Pn+s+A-Pn +s-1 +
+ [пμ+(п+ s+1)v]Pn+s+1=О, s;:, 1.
При решении уравнений (4 .1 .14) получены формулы
для определения вероятностей состо5ший системы массо­
вого обслуживания:
(4.l.15)
an+s
Рп+s= -----3------- Р0 , s ;:, 1, (4.1.16)
п!(1·+p)nП[п+(п+т)~]
где а=_!_ и ~=~.
/J.
/J.
Вероятность Р0 определяется из нормирующего уело-
вия
и равна
Ро= _n
_
__________
<XJ________
cxk
cxn
'1
k! (\ + p)k +-,~1!~(-1,--+...,..-,~'"'""")n- i,,J _s
______
s=I П [п+(п+т)PJ
(1.8
m=I
(4.1.1-)
Вероятность обслуживания любой заявки може1
быть определена как произведение математического
ожидания числа заяво1<, находящихся на обслуживании,
144

.\
на отношение плот~i<эстей обслуживании к поступлению
заянок в систему
\
Р,,0~ ~ [t, k~, +п(1-- t, Р,)]
или
п-1
п- ~ Рп(п-k)
р
k=O
обе=--' -----о;-
(4.1.18)
откуда вероятность отказа в обслуживании опреД<~­
лпется по формуле
а-tkP1i- n(1- fРп)
р
1р
k=I
k=O
oтll =
-
обе= _______о;_..:.__ __ __;_
(4.1 .19)
После ряда преобразований формулу (4.1 .19) можно
записать в виде
Пример 3
п-1
а:-п+~ (п-k) Рп
р
k=O
от11= -----------
о;
(4.1.20)
Счетно-решающий ·прибор 'Производит ра;:четы 3адачи по за­
па·нному алгоритму в зависимости от поступающей информации.
Поступающая информация с плотностью Л.=2 инф/1.1ш1, застав при­
бор занятым, ожидает его освобождения. Однако со временем
информация теряет свое значение и через 5 Atu.<t счи т ае~тя негод­
ной, а задача должна решаться заново, ло уже с 11спользованием
поступающей свежей информации. Время реш~::ния задачи случайное
и зависит от особенностей поступающей информации. Положим, что
это время также имеет показательное распределсчие ..: параметром
/t=0,5.
Определить, какой процент информащш не будет использован
пля решения вариантов задач, как целесое>бразнее т1оступить в слу­
ч;~е увеличения объема использования r:о ступающей информации
по 60%, если это возможно сделать следующ.1ми лутями:
-
увели ч ением числа счетно - решающих приборов:
-
проведением мероприятий по повыuюнию ·ИХ быстродействия.
Пусть стоимость одного счетно - рсшшощ~rо пrибора равна Сп=
= 1 00 единицам .
Повышение быстродействпя счетно-реш1ющих машин связано
с у всличеннем их стоим ос т и и обсдущ1111а11м1 . Нри реще1нш этого
IQ-1444
145

/
примера примем, что они обусловлены завн~~остыо
Решение
2!
Ct = 100 -;tобс •
°iloбC
1. Определим параметры
/
2. Для определения вероятности того, :по песь обсем посту­
пившей информации не будет использован при решении задач, при­
меним формулу (4.1 .19)
n-l
сх- п+;:(п- k)Р11.
"""'
k=O
Ротк =
------
11-----
После лод·становки значений исходных данных получим
4-1+Р 0
Ротк =
4
·
Величину Ро определим из формулы (4J .17) :
Ро""'О,01.
Тогда вероятность того, что весь объем информации не будет
использован, ра·вна
Ратк""'О,75,
т. е. ()IКОЛО 75% всей информации будет 11отерп110. Это очень боль­
шой процент потерь, который нужно уменьши>ь.
Посмотрим, как будет меняться велнч,ша потерь информации
с увеличением числа счетно-решающих пр:1боров (п= 1, 2, 3). Ре­
зультаты ·расчетов 1по определен:~ю Р отк .~1рив~де11ы в табл. 4.1.3 .
п
2
3
75
51
0,37
Из таблицы следует, что для уменьш:~ния потери информации
до 400/n i необходимо увеличить число счетно-:1ешающих при•боров
по 3. В этом случае стоимость решен:~я каждой задачи ·будет об­
ходип1ся в С1 =200 единиц.
Но увеличение числа счетно-решающих '1риборов является не
единственным путем снижения потерь лостуrвлщей информации.
Поэтому целесообразно просмотреть и путь увеличения производи-
146

\
тельности приборов. С этой точки зрения о:iрсделнм, насколько t!е­
обходимо повысить прои:J·водительность адн.:>rо врибора, т. е. умень­
шить время обрзботки lоб'с.\ чтобы вероятность потери информации
была не более 40%. Ре~ультаты расчетов !Представлены на
рис. 4.1.1.
\
Как видно из · рисунка, вероятность потерп информации будет
не -более 40%. если время обра6отки одной порции информации не
будет превосходить 0,88 мин. Чтобы повысt1rь 6ысгрод ействие лри-
Рот к
f,0
о
0,88
Рис. 4.1 .1 . Записимость пероятности отказа Рот" от производитель­
ност и fобс приборов.
бора до этой величины, необходимо про•1ссти ряд мероприятий по
усовершенствованию 1<онструкци11, при ':!ТОМ .iВдерж1ш при решении
одной задачи составят (для условий данного пр1н1ера)
2-0,88
С2 = 100 0,88 ~ 127,3 единицы.
Таким образом, для снижения зероятносr·и потери информации
до 40% целесообразнее усовершенствовать конструкцию машины и
довести среднее время обр або тки одной инфо;:>мзции примерно до
0,88 лtин, чем увеличивать число счетно-решающих приборов.
Пример 4
У ·нападающей пораны имеется два образца :вооружения. Для
обстрела маневрирующей цели в сре;щем требуется 2 мин (lобс=
=2 мин). Вероятность ттор аж ения цели при .об:::тре.ле равна Рп=О,9.
Нападающая сторона обладает системой раззсдки, х1озволяющей в
среднем обнаруживать одну цель в минуту (Л=цель/мин). Среднее
время .пребывании цели в зон е обстрела после ее обнаружения lож
равно 4 мин. Независимо от того, обстреливается цель или нет, она
по истечении определенного ·времени покидзет св ою позицию и для
147

/
нападающей стороны считаеtся nотеряннnй, hк как nоражена быть
не может.
J-~
Необходимо определить эффективность i3ооружения нападающей
сто роны по пораж ен·ию появляющихся /целей, апр~делить, скол ько
единиц вооружения нео-бходимо ·иметь!напада. )Щей стороне, чтобы
ее п отери не превосходили в среднем 10%, есла цель противника
в случае ее ·н епо rаж ен•1н1 ыожет нiнести :наетныi'! удар с эффек­
тивностыо W пр= 0,5 .
Решение
1. Определим вероятность того, что
..•1юба я
обнаруженная цель
протнш+ика будет у 1нrчтож е н а. Для этого по параметрам
"А
у
п=2, ct=~ =2 , ~=r;:-=0,5
и формуле (4.1.18) определим вероятность тuru, что цель будет
обстреляна за время пребывания ее на оrн~вой позиции:
2-2P0 -Pt'i
Робе=
2
2. Вероятности Ро и Р1 определяются по фо;тулам (4.1.15) и
(4.1 .17)
2
P,=(l+0,5) Р,,
1
1
Ро = х ""= ;г:-гs~О.24,
где
X= I+
2
22
22
[
2
1 +о,5 +2!(1 +О ,5) 2 +2!(1 +О ,5) 2 2+(2+ 1)0,5 +
22
+[2+(2+1}0,5][2+(2+2)0,5] +
2'
+ ---; -;[2:-+:--;-;:(2,--+:--;-;,1)"'""'о--=.5'"'""]=[2:--+:---с=(2-+ . .- -=-2)-=-о-=.5CO""J"'""[2-+~(2-+.----=з)-=о--=.5~] +
+···;::::,,4,18.
Тогда Pi "" 0,31.
3 . Тогда веро ятность то1·0, что обнаруже.ш,1я цr~ль 1прот·ив111ша
будет обстреляна, ра13на
2- 2.о'24- о'31
Робе=
2
;::::,,0,6.
4. Следо~ате ;1 ы10, еслн у н ападающ~й с rороны будет две ед11-
н1щы вооруже11ня. то ·nе роят11ость •1Ораже1111я цели противника
равr1а
W=РпРобс = О,9 · (),6=0,54.
5. Для определения Т<ОЛJ!'rества един.щ вооJJуженая, необходн·
моrо нап адающей стороне для увеличения ее огневой мощи, опре-
148

Делим, ка'Ко!за Должна быть веройtНосtь tiopa)1(ei-lиЯ t(ели противни­
ка, что·бы он не смог нанести ущерб бол~е 10% .
Ущерб, который нанесет противни'!<, можно определить по фор-
муле
Отсюда потр ебная вер о ятность обстрела це.п11 п;ити·вн ика опре ­
дел11тс я З ЭВl!С!IМО СТЫО
Wnp-Wy
Робе= W р --о ,89.
nPп
·6 . По форм уле (4.1. 18) необходимо опредеJшть такое п, 'побы
Роое •было не меньше 0,89.
Результаты ра счетов ffiредставлены в табл. 4.1 .1 .
Таблица 4 . 1.4
п
2
3
Робе
0,6
0,9
Из таблицы видно, что при n=З sе;JОятнссть обстрела цели
составляе т 0,9, что является достаточным уропне~1. В этом слу ,1 ае
противни·к сможет нанести нападающей стороне у щерб не более
Wy= (1-0,9 · О,9)0,5=0,095 .
Следо·вательно, нападающей стороне нео·бХодv.:v10 довести коли­
чество единиц вооружения до трех.
4.2 . Системы с ограниченной длиной очереди
Мы рассмотрели системы массового обслуживания
с ограничениями по времени пребыв ания заявок в оче­
реди или в системе . Однако в жизни неред1<0 при ходится
сталкиваться с системами массового обслуживания, пр и
работе которых накладываются ограничения на длину
очереди. Как правило, это связано с ограничениями ме­
ста для хра нения заявок, ожидающих обслуживания
(ремонтные мастерские и другие пункты обслуживания) .
Наряду с ограничениями на длину очереди ожидающих
заявок во з можны и дополнительные ограничения их вре­
мени ожидания в очереди и времени пребывания в си­
стеме обслуживания. Эти особенности систем массового
обслуживания были рассмотрены в чисто м виде в пр е­
дыдущем параграфе. Таким образом, в смешанных си­
стемах массового обслуживания можно рассмотреть та ­
кие варианты ограничений, которые могут найти шир о­
кое применение:
149

-
число заявок, стоящих в очереди, ограничено, на
время пребывания заявок в очереди и системе ограни­
чения не wакладываются;
-
число заявок, стоящих в очереди, и время пребы­
вания в ней ограничены;
-
число заявок, стоящих в очереди, и время пребы­
вания заявки в системе ограничены . Рассмотрим вари­
анты этих систем.
Ограничение на длину очереди заявок в ,системе.
Пусть в п-канальную систему поступает поток заявок
плотностью Л. Система обладает такой особенностью
функционирования, что каждая вновь поступившая за­
явка, застав все каналы за нятыми , становится в очередь
только в том случае, если в ней находится менее т за­
явок. Если число заявок в очереди равно т (больше т
оно быть не может), то прибывшая заявка в очередь
не становится и покидает систему необслуженной. Время
обслуживания заявки в системе случайное и распреде­
лено по показательному закону с параметром
1
1-1=--·
fобс
Поток поступающих заявок будем считать простейшим.
Вероятности всевозможных состояний системы могут
быть определены по следующей системе дифференциаль­
ных уравнений [7]:
Р'11. (t) = -(l +liμ) Р11. (t) +1Р11._ 1 (t) +(k + 1) μP11.+i (t),
O<k<n-1,
Р'п (t) = - (l+nμ) Рп (t) + APn-1 (t) + nμPn +1(t), (4.2.1)
Р'п+s (t) = -
(l + nμ) Рп+s (t) + АРп+s-1 (t) +nμPn+s+1 (t),
l <s<т.
р'n+m (t) = - nμPn+m (t) +:1.Рп+т-1 (t).
Рассмотрим стационарные условия функционирова­
ния системы при f--+oo . В этом случае все производные
равны нулю, а все вероятности становятся постоянными
150

величинами, тогда вместо дифференциальных уравнений
(4.2 .1) получим систему алгебраических урав нений:
-А.· Ро + 't!·P1 =О,
-
(А.+ kμ.) Р11. + А.р11.-1 + (/~ + 1) J-tP11.+1 =О,
O<k<n-1,
-
(А.+ пμ.) Рп + ).Рп-1 + Пf1Рп+1 =О,
(4.2 .2)
-{А.+ nfl) Рчs -r- J.pn+s-1 + l1Jl>Pn+s+1 =О,
1<s<т,
-
11.f'-Pn+m + ?..pn +m- 1 =О.
Нормирующее условие за пише м в виде
п+т
\-,
1
." -! PR.=.
(4.2.3)
k=O
В результате решения системы уравнений (4.2 .2 .) и
(4.2 .3) получим следующие зависимости, характеризую­
щие функционирование системы:
1. Вероятность того, что все каналы свободны и в си ­
стеме нет ни одной заявки:
л
где а=-.
fl.
Ро= -----------
п
т
1:+;~~~+l~~~(~ )'
k=l
s=l
(4.2 .4)
2. Вероятность тоtо, что k каналов заняты обслужи­
ванием:
и.~
k!
РR.=-----------
п
т
(4.2.5)
1+}.] ~~+~~~(-~-)'
k=l
s=l
3. Вероятность того, что все каналы заняты обслу­
живанием и s заявок находится в очереди :
(4.2 .6)
151

4. Вероятность отказа заявке в обсJiуживании, кото­
рая равна вероятности Р"+т того, что в очереди уже
стоят т заявок:
п•n·п!
Р отн= ___п__ _ __т
______
(4.2 .7)
~~+~~~(~)'
s=I
5. Среднее число каналов, занятых обслуживанием:
п
т
Мз = L k·P1i+n ~ Pn+k·
(4.2.8)
k=I
k=I
6. Среднее число каналов, свободных от обслужива-
ния:
Мо=n-Мз.
(4.2 .9)
7. Коэффициент загрузки каналов обслуживания
Кз= ~·.
(4.2. 10)
8. Коэффициент простоя каналов о~служивания
Ко= Мо.п
9. Среднее число заявок, стоящих в очереди:
т
Мош= ). sPn+s·
"-'
s=I
(4.2.11)
(4.2.12)
Рассмотрим пример , илJiюстрирующий примен ение
зависимостей, полученных при решении системы.
Пример 1
На станцию текущего ремонта се.1ьс1<Jхозяйс-:-'3енной техники
поступают в случайные моменты времени ра1лпчные машины (ко­
силхи, .сеялки, плуги и т. д.). Станция нм.~ ет одно помещение для
одного технологического потока ремонта. Во дворе станции имеется
неболь ш ая крытая площадка, где однозремеино ~rожет находиться,
ожидая очереди, не более трех машин.
В зав исимости ·от хара·ктера неисправносп1, на.~ичия запасных
частей и квалификации ремонтных рабочих ·в;>емя •на ремонт каждой
машины затрачива~тся слу,1айное. Статисr:ща ремонтного времеtщ
152

в эт~f1 мастерс1{0~ .показала, чtо 0!40 pacripeДe.iefio no 1rtoкaзa1'eJi b-
11oмy закону со средниы значением lабс=2 суток.
Неисправная техника в мастерскую постуд;1ет 1в близлежащих
х озяйств. Слу,1айные, независимые друг от друга, моменты выхода
из строя сель с кохозяйственных машин и разное удаление мес т их
эксплуатации от ремонтной мастерской :10з·;зо.1яет предположить',
'!ТО поток поступающей н еисправной техю1ки з м<:стерскую простей :
ший со средней плотностью Л=О,5 машин :i суши. Н еобхо ; (11м о
о·пределить:
-
пропускную спосо6но·сть мастерской;
~ среднее время простоя мастерокой;
-
·среднее число машин, ожидающих ремонт з .
Интересно определить, насколько юменятся этн характеристики,
если оборудовать второе помещение с HOIJЫM технологическим пото­
ком дJ!Я ремонта техники.
Решение
l. Определяем параметр
л 0,5
а=-=05=1.
/J.
'
2. Определяем вероятность таго, что ·нз-за недо..:та'ГКа мест для
хранения неисправной техники в мастерской с о:~ним технологиче­
ским потоком nновь поступившая на ремонт машина не будет
принята :
1
Ротк=l+!+З= 0,20.
3. От:iс~ситель·ная про•пускная способность i>1астср<жой
Робе= 1-Ротк=О,80.
4. .А<бсолютная пропускная способность масгерс·кой
Q= ·ЛРобс=О,4 машины в суТ1{И.
5. Среднюю долю времени, в течение кото;юго мастерская бу­
де т простаивать, найдем по формуле (4.2.4)
1
Р0=1+1+3=0,20.
6. Ср еднее число машин, ожидающих ремонта, ·найдем по фор­
мулr\ (4.2 .·12)
Мош = 1Рн1 +2Р1+2+ЗРнз= 0,2+0,4+0,6 = 1,2 машины .
Таким образом, в среднем 1,2 машины Gудет находиться ·В оqе­
ред и и ожидать своего ремонта. Среднее время , в течение которого
техника будет ожидать начала ремонта, .110,;шо определить из сле­
дующих соображений. Поступающая на ремонт очередная машина
будет ожидать до тех пор, пока находящ.1еся ·n ·ачереди машины
не будут отремонтированы . Тогда среднее аремн ожидания начала
ремонта будет равно
Тож = Мошtобс = 1,2·2 = 2,4 суток.
Общее время пребывания машин в л1астерекой (ожида1rие и
собственно ремонт) равно
Т=Тоне+fобс= 2,4+2= 4,4 суток,
153

r. е. в среднем через несколько cytok. ·после 11оступ .1ения в мастер­
скую машина будет отремонтирована.
7. Если оборудовать еще один технологический rrоток (п=2),
производительность мастерской нзменится, з uеронтностъ отказа в
обслуживании мож·но определить по фор.\1у.1е (4.2.7) для п =2
16
ротк = -----,-1-- 1---1,...---1-·::::::: о'021.
1 + 1 +2+т+т+16
Таким образом, если оборудовать еще Jдин тюток по •ремонту
сельскохозяйственной техники, то вероя гность отказа уменьшится
почти в ·10 раз.
Следовательно, около -98% поступающ~й техники ·будет с·вое­
временно отремонтировано в мастреских стан:\>!И обслуживания.
Пропускная способность мастерс•кой узе;шчится более чем в
2 раза, т. е.
Q= .Л · 0,98=0,49 машины в су~к11.
Несколько увеличится относительное r;ре:мп rrростоя мастерской
16
Р, = 47 :::::::0,34,
Зато среднее число машин, ожидающ:1х ремuнта, резко умень-
шится
Мош=l · Рн1+2 · Р2+2+3 · Рнз=
= 1. 0,085+2. 0,043+3. 0,021 ""'0,23.
Также уменьшится время ожидания в очереl\И
т ож =0,23. 2=0,46.
И, что очень важно, общее .время, .потер5ШНJе теХfшкой на ре·монт,
со.кратится почти вдвое:
Т=О,46+2=2,46.
Используя экономические показатели (стоимость обо­
рудования помещения и содержания обслуживающего
персонала, стоимость простоя техники и др.), можно
определить целесообразность такого переоборудования
станции текущего ремонта и определить тот выигрыш
(экономию), который в результате этого получится.
Ограничение на длину очереди и время пребывания
в ней. Рассмотрим обобщение описанной выше задачи.
Особенность рассматриваемой системы в том, что всякая
вновь поступившая заявка, застав все каналы уже заня­
тыми обслуживанием, покидает систему, если уже име­
ется очередь, в которой находится не менее т заявок,
154

и если она простояла в ожидании в среднем более неко­
торого времени lои<·
Возможные состояния системы описываются систе­
мой дифференциальных уравнений, которые можно полу­
чить из уже известной системы дифференциальных урав ­
нений, напи санной дл я системы массового обслуживания
с ограниченным временем ожидания, если наложить
ограничения на длину очереди:
р'0 (t) = - ?ера (t) +tJ-P1 (t),
p'1i(t)= -
(?, + μ) P1i (t) + l.p1i_ 1(t) + (k + 1) tJ-P1i+1 (t),
(4.2.13)
l<k<n-1,
р'п(t)= - (1+n!-'-)Рп(t)+АРп-1(t)+(nμ+v)Рп+1(t),
p'n+ s (t) = - -(1+11μ+ sv) Рп +s (t) + lPn+s - 1(t)+
+ [nμ + (s + 1)v] Рп+s+1 (t),
где
1<s< т,
Р'п+т (t) = - (пμ+ mv) Рп+m (t) + lpп+m-i (t),
1
V=---.
fон<
При установившемся режиме (t~oo) получим сле­
дующую систему алгебраических уравнений:
--ара+ Р1 =О,
-(a+k) P1i +ap1i_ 1+(k+1) P1i+ 1 =О,
1< k<n-1,
-
(а+ n) Pn + apn _1+ (п + ~) Pn+ 1=О, (4.2.14)
-(а+п+s~)Рп+s+apn+s-1+[п+(s+1)~]Pп+s+t=О;
1 <s<т,
-
(п + т~) Pn+m+ арп+т-1 =О,
.,.,_
'
v
гдеа=-иr=- .
f.I.
f.I.
Нормирующее условие запишется в виде
п+т
L PA=l.
(4.2.15)
k=O
В результате решения системы уравнений (4.2.14) и
(4.2 .15) получим следующие зависимости, характеризу­
ющие функционирование системы:
155

1. Вероятность того, что ll каналов системы занято
обслуживанием (O<k~n):
(4.2 .16)
2. Вероятность того, что все п каналов заняты обслу­
живанием и s заявок находится в очереди :
an+a
---п!
Pn+s= -s
---- P0,
1 ~s~m.
(4.2 .17)
П (п+тр)
3. Вероятность того, что все каналы свободны от об·
служивания:
Р. = --------------
п
т
а•
(4.2 .18)
i+~ ~~+:~~п
k=I
s=I
(п+r~)
r=I
4. Среднее число каналов , занятых обслуживанием:
п
т
М3=~ kP11.+ n LРп+в·
(4.2 .19)
k=I
s=I
5 . Вероятность того, что заявка будет обслужена. Она
о п ределитс я как произведение математического ожида­
н ия числа каналов, занятых обслуживанием , на отноше ­
ние плотн ости обслуживания к плотности поступления
заявок
п-1
п- ~ (n-k)P11.
р
f.l .M
k=O
обе= Т з=---а----
(4.2. 20)
6. Вероятность отказа в обслуживании
п-1
а - п+ ~ (n-k)P11.
_
k=_
O_ __•
(4.2.21)
(1
156

7. Среднее число каналов, свободных от обслужив а -
ния :
(4.2.22)
Коэффициенты загрузки и простоя каналов, а также
среднее число заявок, которые находятся в очереди ,
можно определить так же, как и для сист е мы с огра­
ничением по длине очереди.
Применение полученных зависимостей проиллю стри­
руем двумя примерами.
Пример 2
Рыболовецrкий колхоз вылавливает в средне\i около 10 т рыбы
в сутки . Улов зависит от ряда случайных фа~,тоjJов 1 (обнаружения
косяка рыбы, расстояния от ·причала до места лова, тюгоды и т. д.).
Поэтому можно считать, что Тiоток выловленной рыбы имеет пуас­
соновское распределение. Часть рыбы колхоз перерабатывает на
собственном .пункте, состоящем ·из двух одинаковых uехов. Прои з ­
водительность каждого цеха μ=2 т в сутки. Остальную часть улова
колхоз отгружает для отправки на завод ;1ероработки рыбы. Кол­
хоз ный завод имеет холодильник для хранс~н.1я рыбы объемом 2 т,
где она может храниться не более о;;.1шх суток. Если за это время
рыбу не начали обрабатывать, то ее немед.'l~нно отправляют на
д р угой завод, который пр оизводит ее копче~ние. В противном случае
она ис портится .
Необходимо определить, скольхо в сре.1,нем надо выделить авто­
машин для пер ево з:ки рыбы, если ври сущестsующе'1 состоянии до­
ро;r и расстоя·нии до завода []ере ра·ботки машина грузоподъемностью
2,5 т может сдела ть два рейса в сутк и, а до завода ~<опчения -
один рейс в сутки.
Решение
1. Определим парам етры
л
а=-=5
/'·
.
'
..,
n=-=0 5
~
1.1-
••
2. Определим, какой процент выловлен11 .Jй рыбы сможет о·бра-
ботать колхозныi'1 завод .
·
Вероятность того, что поступающ.1я рыба f.y дет обра-ботана
местным заводом, оnределнм из у равн ен1я (4.2.2 -01
р
2-2Р 0 -1Р,
обе=
5
,
г11е веронт 11 ости Ро н Р1 определяются 110 ф ормулам (4 .2.'18) и
(4.2.16):
1
ро = -----;:;;25;:-;г=------;::-5------=25:-----]- "'::;-о, 012 ,
1 + 5 +2l 2+от+ (2+0.5)(2+2.о,5) _
5
Р,=
-
1-. 0,012 ""'=0,06 .
157

Тогда
2- о.024- о.06
Робе=
5
.=::::0,38.
Таким образом, около 38% всей вылоsл~!Ш '1Й рыбы колхоз пе­
рерабатывает на своем заводе, что состаош1ег
Отсюда
Q='10 Х 0,38=3,8 т в ~уши.
10-3,8=6,2 т
необходимо перевезти иа заводы перер;~ботки и ко пчения.
.
Определим количество рыбы, которое необходимо перевозить
сразу на завод перера·ботки, и количество -рыбы, подлежащее пере­
возке на завод копчения.
Для этого предварительно определим нес р.•,rбы, которая нахо­
дится в холодильнике и ожидает начала обрабош.~ (4 .2 .12):
Мож = 1Рн1 +2Рн2.
Вероятности Рн1 и Рн2 определим по формуле (4.2.17)
51
2!
Р2+1= 2+0,5 0,012~о.з.
5"
2Т
Рн2 = (2 + о,5)(2 + 2·О,5) ·0,012""""0,54,
ОТI<уда
Мож=О,3+2 • 0,54= !,4 7 ,
т. е. в холодильнике постоянно находптся в ср~днем около 1,4 т
рыбы .
Найдем среднее количество рыбы, которое необходимо в течение
суток отправить из холодильника на завод 1<опче1r1т:
Q1, = Moi11·v = !,4·1=!,4 т.
На за вод перера ботки необходимо отправить 6,2-1,4= 4,8 т рыбы.
Для этого потребуется машин:
-
для перевозки рыбы на заJЗО.'1 переработки
4,8
Nr=2 5·2" " ""1;
>
~ для пере1оsки на завод -к·апчения
1,4
N" = 2,5· l ~0,6,
т. е. тоже в среднем о.:~на машина, при·1ем она будет загружена
всего на 60% Следовательно, для этого м ож110 аспо.1ьзовать маши­
ну меньшей грузоподъемности .
158

Пример 3
Для проведения первичной саяитарной обработки J!Ично·tо cocta-
na, подвергшегося заражению, создается поле·.1ой пункт санитарной
обра-боrки. Требуется определить необхо;~.rн1ую пропускную способ­
ность пункта, т. е. число мест для оД;новременн;)Й обргбо'J1Ки лично1го
с остава, если среднее время на обработку одного человека равно
О, l час. Поток поступления личного состава, ' !·ребующего обработки,
примем простейшим с плотностью 'J...= 100 чел/час. Пункт ·оборудуется
укрытием для личного состава на Б чел. Полозннз личного С·остава,
т. е. около 50 чел. в час, 011правляется медицинс;(ИМ транс'Портом
в тыл на стационарный .пункт санитарной обработки . Кроме тоrЬ,
около 10% личного ~состава может быть отпрзв.1ено .в тыл попутным
транспортом. У<штывая, что состояние органи3ма человека зависит
от времени, прошедшего с момента заражения, время ожидания на­
чала обработки не должно превышать 10 •юс.
Решение
Определим параметры
л. 100
СХ= /j.- =10 = 10,
у
10
~= -;;:-=10= 1.
По условию задачи в среднем около 60'}0 л11ч11ого состава, тре­
бующего санитарной обработки, будет отправляться в тыл. Следо­
вательно, остальные 40% должны 1прой ги обработку i; создаваемом
полевом пункте. Определим необходимое число мест п иа пункте,
при котором обеспечивается своевременная обработка 40% личного
состава, поступившего на санитарную обрабо гку. Результаты рас­
четов ·представлены в табл. 4.2 .1 .
Таблица 4.2 .1
п
2
3
4
5
Робе
0,20
0,30
0,40
0,49
Как ~следует из таблицы, для своевре~1еннnй обработки 40% лич­
ного состава на полевом пункте необходнмо иметь не менее ч етырех
мест обработки.
Ограничение на длину очереди и время пребывания
заявок в системе. Друг1Им вариантом обобщения систем
массового обслуживания с ограниченной длиной очереди
является наложение ограничения на время пребывания
заявl\и в системе обслуживания. Примерами таких си­
стем могут служить различные бытовые мастерские ку­
рортных городов. Отдыхающие испытывают различную
потребность в ремонте фотоаппаратов, транзисторных
приемников, в починке обуви и одежды.
Однако мастерские не всегда обеспечивают ( особен­
но в разгар курортного сезона) быстрое обслуживание
159

О'tДЫХа!ОЩИХ. nоэтому еслt-1 ta йJ!И иная Мастерская
имеет уже определенное количество заказов, то она не
принимает новых (ограничение на длину очереди). Од­
нако клиенты, как правило, ограничены временем пре­
бывания в данном месте отдыха и поэтому по истечении
срока отпуска вынуждены забирать сданные в ремонт
вещи, независимо от того, началось обслуживание или
они еще находились в ожидании ремонта (ограничение
на время пребывания в системе).
Рассмотрим систему массового обслуживания, со­
стоящую из п идентичных каналов обслуживания. Вре­
мя обслуживания каждого канала является случайной
величиной, распределенной по показательному закону
с параметром ~t. В систему поступ ает простейший поток
заявок плотностью Л . Если очередная заявка застанет
в очереди т заявок, то она теряется. Принятые в систе­
му зая вки (находящиеся в очереди или на обслужива­
нии) могут находиться в ней ограниченное время. По
истечении этого времени заявка покидает систему неза­
висимо от того, обслуживалась она или находилась
в очереди. Время пребывания в системе является слу­
чайной величиной, распределенной по показательному
закону с параметром v.
Эта задача может быть описана следующей системой
дифференциальных уравнений, которая получается из
системы (4.1 .13), если длину очереди ограничить вели­
чиной т:
р'о (t) = - ).ро (t) + (μ.:+ v)p1 (t),
Р'н(t)= - [';.+ /г(μ.+ v)]Рн(t)+ lРн-1(t)+
+ (!г+ 1) (!-' -+ v) Рн+1 (t),
l<lг<n-1,
р'"(t)= - [1+n(μ.+ v)] p"(t)+ 1р11_1(t)+
+[nμ. +(п+1) v] Р11+1 (t),
(4.2.23)
р'n+s(t)= - [1+ Пf-L+ (п+ s) v] P11+s(t)+ АРп+s-1(t)+
+ [nμ.+ (п+ s+ 1)vJРчs+1(t),
1<s< т,
р'n+m (t) = - [nμ. +(п +т) v] Рчт (t) + },Рп+т-1 (t).
160

Для стационарных условий (t-+oo) система диффе­
ренциальных уравнений (4.2.23) превращается в следую­
щую систему алгебраических уравнений:
-
[.A..+_k (11-+ v)] Р11.+ lp11._ 1 + (k + 1) (11-+ v) Р11.+1 =О,
l<k<n-1,
(4 .2 .24)
-
[Jc + п (1<+ v)] Pn + AJJn-1 + [n11+(п+1) v] Рч1 =О,
-[Jc+n11-+(n+s)v] Pn+s+APn+s-1+
+ [ntJ-+(п+ s+ 1)v]Pn+s+1=О,
l<s<m,
-
[пр.+ (п +- т) v] Pn+m + AJJn+m-1 =О.
Решение системы (4.2 .24) дает следующие зависимо­
сти вероятностей состояний:
1. Вероятность того, что k заявок (k~n) находятся
в системе:
л.
где a=-
/J.
(4 .2.25)
2. Вероятность того, что все каналы системы заняты
обслуживанием и s заявок находятся в очереди:
a,n+ а
Pn+s=
s
Р0 , О ,;;;;;,s<m,
п!(\+~)пП [11+(11+т)~]
m=l
(4 .2.26)
о
где П (х)=О.
m=I
3. Вероятность того, что в системе нет ни одной за­
явки, определится из ·нормирующего условия
п+т
I P11.=l
k=O
11-1444
161

и будет равна
Ро = _п_____________т
_____
а_•---
~~а"-+ an ~ s
k=O k!(1+~)1< nl(1+~)n s=I fI[п+(п+mH]
m=I
(4.2 .27)
4. В е роятность того, что заявка будет обслужена,
о пред е лится и з за висимости
которая, после ряда [lреобра з ований приводится к виду
л
где а=-.
/J.
Робе=
п-1
п- ~ (n-k) Р11,
k=O
а
(4.2 .28)
5. Вероятность того, что заявка получит отказ в об­
служивании, определится как противоположное событие
вероятности обслуживания
n-1
а- п+L(п- k) Р11,
р
k=O
Ротх=l- обе=--------­
«
(4.2 .29)
Если положить в формуле (4.2 .29) ограничение ло дли­
не очереди m = O и Р=О, то получим известную формулу
Эрланга для системы с отказами
Остальные характеристики (среднее число занятых
или свободных каналов, коэффициенты загрузки или
простоя и др.) могут быть получены так, как для си­
стемы с неограниченной очередью .
162

Проиллюстрируем использование полученных зави- ,
симостей примером .
Пример 4
Электро·нно-вычислительное устройство абраб нывает информа­
цию, которая постуmает в случайные моменты времЕ>ни со средней
плотностью 10 групп/лtин .
Учитывая, что объе~1ы информации, сложнопъ ·об работки каж­
дой и т. д. различны, можно принпть, что i3ремя !!Я. е;·брабо тку одной
гр у ппы информации случай·ное и распре.:~:елеnо п ,, показательному
закону с параметром μ = 10 групп/тт . Маш<1 1·1а имеет память для
хране1-гия поступающ ей информации о•бъсмом .'I<J 5 групп. Если оче­
редная группа информации застанет в•сю 'lамя ть за нflтой, то она
теряется. 0.'lновременно можно обрабзтьшать д!J!' гру ппы информ а-
11ии. Со временем поступившая информ :щия теряет спою 11енность и
в с ре.~11ем через 1 мш1 после пос гупления, если не бы.:~а своевремен­
но обработана, станонится ·практическ и неп;тгодной. Определить, ка-
1<ой процент информации теряется из-за того, что 'Jропускная спо­
собность устройства не позволяет своевременно обрабатывать всю
инфоомацию.
Решение
! . Определим параметры а и В:
А
v
«=r11-~ = 1. ~=~=0.1.
2. Вероятность того, что информация не будЕ"Т обработа·на до
того, как она потеряет свою ценность, опре.:rел11м по формуле
(4.2 .29), которая после подстановки данных а= 1 и п =2 примет вид
1-2+(2Р0 +1Р1) -
Рот~<=
l
•
Величины Ро и Р1 определяются по формулам (4.2 .27) и (4.2 .25)
1
1
Р0= у=2,6~О.38,
где
1
t2
12r
1
А= l + r:t+ 2!(1, 1)2 + 2!(1, 1)2 (2+3·0,1) +
J2
р
+ (2+3·0,1)(2+4·0,1) +(2+3·0,1)(2+4•0,1)(2+5·0,1)+
1•
+ (2+З·О,1) (2+4·О,1) (2+5·О,1) (2 + l•O, 1) +
+ (2+3·0,1) (2+4-0,1) (2+i.
5
0,1) (2+6-0,1)(2+Т·О,1)] :::::::: 2 •5 •
1
Pi = r;т·О,38:::::::: 0,35.
11•
3. Вероятность того, что информация будет потеряна, равна
1- 2+о.76+о.35
Роти=
1
=О,11.
163

Та1шм образом, около 11 % информацаи 15удеr mотеряно из-за
roro, что электронно- ·вьrчис ю1тельное устройство не может ее свое­
временно обработать.
4.3 . Оценка влияния нестационарности на
вероятностные состояния системы
В предыдущих параграфах были рассмотрены осо­
бенности работы смешанных систем массового обслужи­
вания, в которых накладывались ограничения на время
пребывания требования в очереди и на ее длину. Для
установившегося процесса были п олучены зависимости,
при помощи которых можно оценить качество обслужи­
ван и я этих систем. Однако на п рактике возможны ситу­
ации, в которых работа системы длится о граниченное
время и процесс еще полностью не устанавливается. Пе­
реходные режимы работы, характерные для работы си­
стем массового обслуживания в течение относительно
небольших промежутков времени, изменяют характери­
стики оценок функционирования систем. Они отличаются
от тех, которые могут быть получены для стационарных
условий. Поэтому необходимо проверить, можно ли поль ­
зоваться зависимостями, полученными для условий уста­
новившегося процесса, а если можно, то каких погрешно­
стей следует при этом ожидать.
Рассмотрим влияние нестационарности на вероятно ­
сти состояний системы с ограниченной длиной очереди
требований. Как отмечалось в § 4 .2, система дифферен­
циальных уравнений (4 .2 .1), описывающая все вероят­
ностные состояния, будет иметь вид:
Р'я(t) = - (Л+k11) Ря(t)+ЛРп_1(t)+(!г+ 1) 11P1i+1(t),l
k<п,
P'n (t) = - (l+nμ) Pn(l)+ЛРn_1(t)+nμPn+i (/),
.
.........
.
..
.....
.
...
........~
1
Р'n+s (t) =- (Л+пr) Pn+s (t)+A.Pn+s - i (t) +nμ.Pn+s+i(t), 1
s<l,
Р'п+l (t) = - nμ.Pn+l (t) + А.Рп+l-1 (t).
164

Решение системы дифференциальных уравнений для
п-канальной системы связано с громоздкими вычислени­
ями, поэтому для простоты расчетов приведем решение
только для одноканальной системы (п = 1), когда в оче­
реди может находиться не более одной заявки (!= 1).
В этом случае будем иметь следующую систему диффе­
ренциальных уравнений:
i
1
Р'о(t)= - Ар0(t)+Р.Р1(t),
р'i (t) =
-
(1 +р,) Р1 (t) +).р0 (t) +P'P1+1(t), } (4.3.1)
1)
Положим, что с некоторого момента времени t=O
ожидается поступление заявок. Тогда полученную систе­
му (4.3.1) следует интегрировать при следующих усло­
виях:
Ро(О) = 1, Р1 (О) =Р2(О) =0.
Система дифференциальных уравнений (4.3 .1) линей­
ная с постоянными коэффициентами и ее можно проин­
тегрировать посредством методов операционного исчис­
ления. Не останавливаясь на промежуточных выкладках,
получим следующее решение:
f-L' л
'А.
43
P0 (t)= ---ert --ечt,
( ..2)
rq 2r
2q
л•
л•
Pi+i = rQ +2r YЛtJo
где r=-1-p .+y.iμ.,
q= -1-~ - v1р..
(4.3 .3)
(4.3 .4)
Для стационарного процесса из формул (4.2.4)~
(4.2 .6) можно получить для одноканальной системы
с ограничением на длину очереди при l= 1 следующие
165

вероятности состояний, которые не зависят от t и явля­
ются постоянными* :
ре_
IJ-2
о - -1J-~2-+,----':-л-1J--+,-..,-k-=-2 -,
(4.3.5)
(4.3 .6)
(4.3 .7)
Сравнивая значения основных параметров функцио­
нирования системы, полученных для неустановившегося
и стационарного режимов работы, получим абсолютные
погрешности:
!мf'= ре - р(t)= 2-et+2-ечt
(4.3 .8)
•
0-
о
0
2r
[2q;
'
е
Л (Л - ул;:;;-)
М1 =Р -P1 (t)=
у
1
2r Af-1 -
(4.3 .9)
л2
eqt -----ert.
2г у'"Л!J-
(4.3.10)
Соответственно величины относительных ошибок равны:
ЛМо= . мо_=Мо(1J-2+~1J-+л2)'
(4.3 .11)
pg
!-'-
(4.3 .12)
(4.3 .13)
На рис. 4.3.1 приведены графики вероятностей со­
стояний одноканальной системы, рассчитанные для Л=
=0,5 и μ=0,5 в зависимости от длительности процесса
обслуживания . Время работы системы выражено в от­
носительных единицах. За единицу измерения принято
среднее время обслуживания. Пунктирная линия пока -
зывает значения вероятностей 'ре, ' ре и ре . В этом
-
о'1
1+1
• Индекс «с" показывает, что зависимости оrnосятся к уело·
виям стациона•рн·оrо процесса.
166

примере они !'юлучились для стащюнарноrо режима
равными по величине. Как видно из рисунка, вероятно­
сти Р0 (Т) и Р, (Т) (для нестационарного процесса) уже
при длительности процесса, равной 1,5 tоб с, приближа- .
ются к вероятностям, вычисленным по формулам для
стационарного режима работы системы. Если увеличить
время работы системы до (2-7 -3) lобс, то ошибки от пред-
!,(}
0,8
0,6
0,4
0,2
о
i.5
.Т=_t_
tабс
Рис. 4.3.1. Зависимость вероятносте й состояний одноканальной систе ­
мы от длительности процесса обслужипания Гiри n=l; Л=О,5; μ = 0 ,5 .
положения стационарности проц есса станут практически
незначительными. Таким образом, если прои зводить
расчеты по формулам, полученным для стационарного
процесса, то появятся ошибки, которые з а виснт от вре­
мени работы системы. В табл. 4.3 .1 прив едены значения
абсолютных ошибок, полученные от предположения ста­
ционарности процесса. Ошибки вычислены по формулам
(4.3.8)-(4.3.10) и даны в процентах.
Результаты, приведенные в таблице, показывают, что
использование формул, справедливых для стационарных
условий, оправдано только в том случае, когда продол­
жительность процесса достаточно велик а . При малом
времени работы системы применеiше этих формул при­
водит к ошиб1<ам, величина которых увеличивается
с уменьшением времени. Для рассмотр енной одно1< а­
налыrой системы пр и длительности процесса Т:;?:4lобс
для а:::;:;5 абсолютная ошибка не будет превосходить
1,32% . При проведен ии расчетов для такой системы
можно использовать данные, прив еденные в табл. 4.3 .1 .
При этом вероптность i-го состояния систем ы (i = O, 1, 2)
167

Таблица 4.3 .1
а;----,--~~-
1
Т/tобс
Mt
10,110,5
1 1,5
21314
м. -8,96 -6,05 -3,77
- 2,39 1,54 -0,66 -0,29
О,1 м.
8,07 5,24 3, 12 1,90 1, 18 0,48 0,21
М1+1
0,90 0,81 0,65 0,49 0,35 О, 18 0,08
--- -
-
--
м. -38,21 -24,96 -15,52 -10,01 -6,59 - 2,9 1 -1,32
0,5
м,
18,26 10, 23 5,51 3,26 2,04 0,86 0,39
Mt+1
19,95 14,73 10,01 6,75 4,55 2,05 0,93
-- --
Мо -57,59 - 34,05 -19,33 -11,35 -6,84 -2,49 -0,92
1
м.
24,70 7,44 1,66 0,37 0,08
М1+1 32,89 26,61 17,57 10,98 6,73 2,49 0,92
-
----- ---
м. -58,91 -10,61 -1,55
- 0,23 -0,04
5
м. -13,29 -10,91 -1,88
- 0,28 0,04
Mt+1
72,20 21,52 3,43 0,52 0,08
в момент времени t можно вычислить по формуле
рi(t)=р~- мit
где Р~ - вероятность i-го состояния системы, вычисленная
по формуле (4.3.4)-(4.3 .5) при допущении стационар­
ности процесса;
Mi - величина абсолютной ошибки.
4.4. Особенности функционирования
многоканальных систем массового
обслу:живания смешанного типа при
поступлении потока групповых заявок
В гл. 2 уже рассматривались особенности функцио­
нирования систем с отказами при поступлении в них
потока групповых заявок. Поступление групповых за ­
явок в систему смешанного типа также усложняет ее
работу и ухудшает пропускную способность. Как и при
пр-иходе ординарного пото,ка, группы заявок, посту:пившие
в систему и заставшие все приборы уже занятыми об­
служиванием, вынуждены встать в очередь. По мере
освобождения приборов заявки из групп принимаются
на обслуживание, но уже случайным образом. Такие
ситуации возникают, например, при отражении зенитны-
168

ми средствами налета самолетов противника, которые
появляются ·в зоне ПВО в виде звеньев, эскадрилий.
Как уже отмечалось, смешанные системы массового
обслуживания бывают нескольких видов. К ним относят­
ся системы, в которых заявки могут находиться огра­
ниченное время tож· Например, некоторые товары, по­
ступившие в торговую сеть; могут находиться в ней
ограниченное время из-за сроков хранения (продукты),
старения фасонов (одежда, обувь), ухудшения техниче ­
ских характеристик (фотоматериалы, аккумуляторные
батареи) и т. д. Если с истечением определенных сроков
эти товары не будут реализованы, то они либо вообще
изымаются из торговой сети (продукты), либо переоце­
ниваются (промышленные товары). Другим ограниче­
нием для смешанных систем, обслуживающих потоки
групповых заявок, может служить длина очереди. Если
в очереди находится уже N заявок, то поступающая
группа (или ее часть) покидает систему и считается по­
тершн1ой. Например, работа электронно-вычислительной
машины, обрабатывающей 11 е которую информацию.
Рассмотрим особенности функционирования смешан­
ных систем массового обслуживания этих видов.
Системы с ограничением на время пребывания заявок
в очереди с постоянным числом заявок в группе. Рас­
смотрим систему массового обслуживания, которая име­
ет п приборов. В систему поступает пуассоновский поток
групп заявок с параметром Л. Каждая из этих групп со­
держит т заявок. Как только эти заявки попадают в си­
стему, они начинают обслуживаться всеми приборами
в случайном порядке: Полагаем, что время обслужива­
ния каждой заявки прибором подчинено показательному
'
l
в
б
закону с параметром Р· = ---,- .
ремя пре ывания каж-
·'
tобс
дай заявки в системе ограничено . Оно является случай­
ной величиной и также подчинено показательному зако­
l
ну с параметром v= -;i-·
tо>н:
Введем следующие обозначения:
Po(t) - вероятность того, что в момент времени .t все
приборы свободны;
p"(t) - вероятность того, что в момент времени t за­
нято обслуживанием k приборов ( 1~ ·k~n);
Рп +s (t) - вероятность того, что все приборы заняты
обслуживанием и s заявок стоит в очереди на обслужи-
1(~9

ванне. Для опред<:ления в е роятности сост о яний системы
Pk (t) может быть использована следующая система од ­
нородных дифференциальных уравнений:
Р'о(t) = - А.ро(t)+р.?1(t),
р'11. (t) = -
(1+kμ) Рн(t)+(k+1)рР11.+1(t)
при O<ll< т,
р'11.(t) = - (1+kp.) Рн(t)+(k+ 1)Р.Р11.+1(t)+ Лр11.-т(t)
при т<k<п -1;
р'n (t) = - (1 + nμ) Рп (t) +1Pn-m (t) +(пр.+\') Рп+1 (t),
р'n+s (t) = -
(1+nμ.+sv)Piчs(t)+1Pn+s-т(t)+
1
)
+ [nμ.+(s+ 1) v] Pn+s+1(t),
(4.4 .1)
при s;?O.
Вывод системы дифференциальных уравнений чита­
тель может найти в работе [19].
Рассмотрим стационарное реш е ние , для чего поло­
жим, что t--+-= . При этом
р''1 (t)-+ О, а Р11. (t) -+ Р11: = const.
В этом случае получим систему алгебраически х урав-
нений:
при k~т.
(а+ n) Pn = (n+ ~) Pn+ 1+ aPn-1110
(а+п+s~)Pn+s= [n+(s+1)~]Pn+s+i+
+aPn+s-m при l < s,
170
~(4.4.2)
1
11
)

где
а=Лt'обс •
~=~=~обе.
/J.
t'ож
Нормирующее условие запишем в виде
С/)
IPk=1.
k=O
(4А.3)
Решение системы (4.4.2) позволяет получить следу­
ющие зависимости для определения вероятности Pk:
Pk=YkPo
(4.4 .4)
где
k
П(r+а-1)
Г=I
У11. = ---k,--,, - - -
при k<m;
k
k-m-J-1
П(а+r- 1)
k-m-1
П (a+m+i+:i)
Г=1
\1
YR.. =--~k!-- -а i.J
i=I
--k--m---j-----y;
П (m+i +s)
i=O
s=I
при m<k<n;
n+I
k-n -1
П(a+r-1) П (а+n+/~)
Г=I
1=1
'(11. =
----·k---n- - -- - --
n!П(n-l~)
1=1
n-m -j
k-n-1
k-m-2 П (а+т+j+i) П (а+п+1~)
-а
~j=O
i=I
1=1
---n--m---i-----k--
- n--
---- '{j
П(п+j+s)П(п+1~)
s=I
1=1
при k>n .
о
При этом принимаем П (х) = 1. Значение вероятности
1
Р0 определится из условия (4.4.3). Вероятность того, что
171

заявка не будет обслужена, равна
Ротк= 1
t1kPk+п(1- toPk)
(4.4.5)
Если число заявок в группе больше, чем приборов
в системе ( т > п), то значение вероятностей Pk опреде­
ляется по формуле
k=I
п (а.+ т)
m=O
P1i=
k!
п
п-1
п (а.+т) n (а.+ т) со
m=I
+
m=O
~
nl
п!
s=I
s
П(п+r?)
Г=I
(4.4.6)
Среднее число приборов, занятых обслуживанием,
равно
(4.4 .7)
Среднее число заявок в группе, которые становятся
в очередь на обслуживание, равно
Moч=m-(n-Ma) ·
(4.4.8)
Коэффициент загруженности системы равен отноше­
нию числа занятых приборов к их общему числу:
Пример 1
Кз= м•.
п
(4.4 .9)
Готовые изделия .пост уп ают партаями по 3 штуки (т=З) на
конвейер, который доставляет их в цех на упаковку. Пока изделия
движутся по КО'нвейеру, они мо.гут быть ззяты на контроль, который
осуществляется при помощи двух приборов (11=2). Время, в течение
которого готовые издел ия могут быть взяты на контроль, равно
одной временной единице Uош= 1 ед. врем~ни). Если за это время
изделие не будет провере но, то оно по.:тупит r; нех упаковки -без
контроля. Время, •необ ходимое на контроль OJ.Hora нзделин, величина
172

случа1~1ная. Оно зависи т от работы к онтр олера и отклонений основ·
11ых п араме тров юделия от установленных. il усть время контроля
р ас пр еделе но по пока з атель·н ому закону со средним з начением
tобс= 1 1 ед . времени. Плотность поступления гото·1ых издеJJИЙ на кон­
ве й е р равна дву м партиям в еди ницу времени (А= ·2 партии в ед.
в ремени) .
Требуется опре делить при так ой ор;·аннз:щ~ш Рыборочного кон-
троля:
а ) сред·ний проц ент непроверенных аз;:~,е:шй ;
б ) коэффициент загру зк и с истемы конгроля;
в ) с реднее чи сл о и зделий в груп:те, которые не попад а ют сразу
на .контроль;
г) вероятности занятости пр11б о ров контролем готовых и зде л и й .
Решение
1. Определим параметры
а= Af.ouc = 2,
В=foбr= !.
fо;н
Вероятность о п<аза в контроле готовы х и здел ий оп ределим 1по
формуле (4.4.5) . Так как m >п, то вероятности состопн нй следует
определять по формуле (4.4.6):
Ро = 6+3(0,67+0,33+0,13+0,04+0,01) .::::О,!О,
2
р1=
.
6+ 3(о'67+ о'33+ о'13+ о'04+ о'о1) :=:::::о'21'
2.3
2
Р2=
- --, ,-6-,-+-,3'"""("""о-,,6~7~-+~о-,3~3-+--о-,1_3_+_0 _,_0 _4_+_о_,_о_1) :=::::: 0 · 31 ·
Отсюда в ер·оптность того ~ что и з деш1 е н е будет проверено, равно
т. е . около 73% · готовой продукции не н рой::~:ет контроль.
3. Коэффициент загрузки приборов с1преп:е.птся по формуле
(4.4 .9)
т. е. около 20% .времени коитролирующае 11раборы будут простаи ­
вать.
4. Среднее число изделий в группе, которое не :~спадет сразу на
контроль, определим по формуле (4.4 .8)
M0 = m- (n-Mз) =3-i(2-1,б) =2,6 изделия .
173

Это означает, что в среднем
rп-Моч
д=--­
т
3-2,6
3 :::::::О, 13,
t. е. около .13% изделий поступает сразу же н а кон троль, а ост<:1 л ь­
ные 1 140/обудут .проверены, пока они движутся э аех упаковки .
5. Вероятность того, что контролем .1анят только один при·бор,
равна
Р1=0,21.
Вероятность того, что 1<01нролсм заняты оба пр1:бора одновре­
менно, равна
Вер о нт11о с ть того, •1т о оба прибора своб а;щы ат контроля, ·равна
Ограничение на время пребывания заявок в системе
при случайном их числе в группе. Решение этой задачи
было получено Б. В . Гнеденко [9]. Постановка задачи
несколько отличается от рассмотренной ранее тем, что
заявка может находиться в системе не более некоторого
времени lо;нс• для которого
Р(lон; <х)= I -e -"x.
с
Кроме того, число заявок в группе случайное. В каж­
дый момент появления группы в системе в ней с веро­
ятностыо а5 имеется s заявок. Для этих условий получе­
на следующая система дифференциальных уравнений,
описывающих различные состояния систем массового
обслуживания:
174
р'0(t)= - 'Ар0(t)+(μ+v)Р1(t),
р'п(t)= -Р·+kμ+ /гv)Р11.(t)+
k
+л I asP1i-s(t)+Uг+I)(v+μ)p1ч1(t)
s=l
при 1 ~k<п,
k
(4.4 .10)
Р'н (t) = -(л+_п11-+kv) Рн (t) +л ~ asp,._ _ 1 (t)+
s=I
+[nμ+(k+l)v]p11.+ 1 (t) при k ~ n.

Для стационарных условий получи м следующую си­
стему алгебраических уравнений :
аР0 + (1 +~)Р1 =0,
k
-
[а+!с(1+ ~)]Pk+а~ asPk-s+(k+1)(1+~)P1i+1= 0
s=l
при 1 ..;;;:;;,. k < п,
(4.4 .11)
k
- [a+(n +~)] Pk+a~ a,P1i-s+ln+(k+l)~] P1i+ 1 . О
s=l
при k ;::; п.
Вероятность Р0 определяется из нормирующего условия
(4.4.12)
Вероятность отказа в обслуживании равна отноше­
нию плотности заявок, покидающих систему, I< плотно­
сти поступающего потока заявок
00
00
У), kP"-
......
~~ kP"-
Ротн= k =I
k=I
(4.4 .13)
00
-
со
}..,~ !ш"- а) lda" -
.......
k=l
k=I
Вероятность того, :что заявка п олучит отказ до начала
обслужива н ия ( «ч истый» отказ), равна
со
~), sPn+•
--
р
s=I
ОТl\Ч = -
- ,0---
а~ ka1i
k=l
(4.4 .14)
Отсюда вероятность того, что заявка покинет систему
неполностью обслуженной, равна
Рно = Ротк-Рот1{Ч·
(4.4 .15)
Вероятность полного обслуживания заявки равна
PQpc= 1-Роrк·
(4.4 .16)
\75

Пример 2
На информационно-логическую маш1шу ПJ •Jбработке информа-
11ии поступает простейший ·по гок труппоных сообщений. Число сооб­
щений в труппе может быть от одного до четырех. Закон распреде­
ления числа соо·бщений в группе равномерный, т. е. с вероятностью
0,2'5 в группе может быть одно, два, три или ·1~·:ыре сообщения:
а1 =а2=аз=а"=0,25.
П лотность поступлени я ·групп сообщен;rй р~вна (Л= 1) одной
группе в единицу ·времени. Машина может одновременно об р абаты­
ва ть два сообщеиип (n=2), а остальные, заст::нншrе оба 1,аиала об­
ра·боткн занятым и, становятсп в очередь. !vlашпна может в единицу
временн одним каналом обра•ботать в с.ре~не~1 дuа сообщения
(μ= '2). Информация со временем теряет ценность. Время, в течение
которого информация считается еще годч'Jй д.1я обрабоши , случай­
но и им еет показат ель ный зако н распределения с нар а метром v= 1.
Требуется оценить пропускную с110.:обаость инфор м ацио н но-логи­
ческой машнны.
Решение
Вероятности состояний определим из Сi'!Сте~1 ы алгебраических
уравнений (4.4.1 •1):
ит.д.
л
Р1=·-+ Ро,
/J. у
л+i.i.+v л
P2=2(i.i .+v) '(i.i.+v)Po-
л+ 2i.i.+ 2v
л
Рн1= 2,_.. + Зv
Р2- 2р.+ Зv (а1Р1+ а2Р0)
ПоСJ1 е подстановки числовых з н ачений получим:
Р1 =0,33Ро,
Р2 =0, 18Ро,
Р2+1 =0,12Ро,
Р2+2 = 0,07Ро,
Р2+з=О,02Ро.
Отсюда, используя нормирующее ус:ювrrе (4А. 12), лолу•rим ве­
р о ят н о с ть того, что мilшн11а с вобод н а от об~луживания:
1
Ро= 1,77 ~о,6.
Вероятность того, что машина обра5атьЕнет то.1ько одно сооб­
щение, равна
Р1""0,33 · О,6 ""0,20.
Вероятность того, что два сообщения uбрdбатываются одно­
временно и ни одного нет ·в очеред;~, равна
Р2""0,18 · 0,6~ 0,11.
Вероятности того, что в очереди ожндает обработки оцно, два
или три сообщения, равны
Р2+1=0, 12 · О,6""0.07;
Р2+2= 0,07 · O,G~0,04;
Р2+з = О,02 · О,б -"' 0,01.

Вероятност\ того, что информация будет обработана до того,
I<ак она потерпет\свою ценность, найдем по фоо~1уле
\
с.о
/J. (Р, +2~ Рнн)
k=O
Робе =о,25·Л(1 +2+3+4)=
2(0,2+0.22+0.14+0,08+0,02)""' 56
2,5
---.:;О, '
т. е. более половины поступающей информации ма шина сможет
переработать до того, как она устареет.
Вероятность того, что информация на•rнет обр<;батываться, но
обрабо11<а не будет зако1иена до коiща пз-за ее сrарl:1н1я, опреде­
лим по формуле
Вероятность потер11 н11формац ии из ,1чepe!It1 буде~ равна
Ротн " = 1-Роuс--Рн o=O,~ l.
Ограничение на длину очереди. На практике, 1<ак
праrвило, дJ!lина очереди огранич1ивается. Например, п а ­
мять (1ил1и внешний накопитель) электрот-шо-1вычисли ­
тель·ной машины имеет конеч1ный объем. Другим прим е­
ром может служить бункер или склад, который имеет
ограниченны е объемы для х•ранения деталей и изделий.
Рассмотрим систему массового обслуживания, в ко­
торой в очереди может находиться не более N заявок.
Если очередная заявка,. поступившая в систе му, заста ­
н ет в очереди уже N заяво1<, то она тер я ется. Диффе ­
ренциальные уравнения и конечные зависимост и, с по­
мощью 1<оторых определяютсл nеролтности состояний
системы массового обслуживания, мало чем отлнчаются
от полученных ран ее в предыдущих ра зделах . Для си­
стемы с ограниченным временем ожидания в очереди и
постоянным числом заявок в группе остаются с пр авед­
ливыми уравнения (4.4 .1) и (4.4 .2), но норм11рующее
условие запишется н есколько в ином п н де:
n+N
~ Рн=1.
(4.4 .17)
k=O
· Тогда
для определения вероятности состояний Pk
можно использовать зависимости (4.4.4), где величина
!2-1444
177

Р0 определяется из условия (4.4 .17) . Вероя!fность отка-
3а в этом случае можно определить по формуле (4.4 .5),
1
но вероятности P1t следует определять, 1 как отмечалось
выше, с учетом условия (4.4.17) . При рассмотрении за­
дачи по обслуживанию случайного неординарного пото­
ка заявок с ограниченным временем пребывания их в си­
стеме можно воспользоваться результатами, полученны­
ми выше. При этом надо иметь в виду, что нормирую­
щее условие будет записано так:
(4.4.18)
При определении вероятности отказа следует иметь
в виду, что заявка может быть потеряна не только по
истечении времени пребывания ее в системе, но и в ре­
зультате того, что в момент поступления ее в очереди
будет уже N заявок. Тогда вероятность отказа в обслу­
живании будет равна
n+N
п-1-N
OCJ
~LkP11.+аLР11.~san-1-N+s-k
р
k=I
k=O
s=I
OTll = --------
00--------
<Х L kak.
k=I
(4.4.19)
В формуле (4.4 . 19) вторая сумма числителя опреде­
ляет среднее число заявок, которое не попадет в систему
из-за того, что в очереди будет уже N заявок.
Отсюда вероятность от1<а з а из-за полной заг р уже н­
ности очереди равна
п+N
оо
'\", р" "\"
LJ "'LJ san-1 -N+s-k
р
_
k=O
s=I
OTlla -
оо
(4.4.20)
I: kari
k=I
Среднее число заявок в очереди определится из за­
висимости
178
N
Мож= L kPn+k. ·
k=l
(4.4 .2 1)

Cpeдfiee \~иc.Ji:o rтриборов, занятых обслуживанием,
равно
'
1Z
N
Nз =},: f<P.11 . + n LPn+N.
(4.4 .22) .
k=l
s=I
Коэффициент загрузки приборов
Кз=Nз •
/!
Коэффициент загрузки накопителя (очереди)
Пример 3
к Мож
н=-r:г-·
(4.4 .2 3)
(4.4 .24)
Рассмотрим использова1rие полученных зависимuстей приме·ни­
тельно к задаче, рассмотренной в примере 2, но считап, что в ма­
шине имеется накопитель для очереди ограниченной длвиы. Пусть
в очереди может находиться не более двух ·сообщений (N =2) .
Вероятности состояний системы l]Предел..~м ;10 формулам:
л
Р, =/J.+YPo,
л+fL+v
л
Р2= 2(fL+v) Р,- 2(fL+v) а,Ро,
л+ 2(-L+ 2v
л
Рн1= 2(-L+ Зv -Р2
-
2(-L + Зv (ai?, + а2Ро),
л+ 2f-L+ Зv
Л
Р2н = 2,.,_+ 4v Рн,- 2f-l-+ 4v (а,Рн1+а2Р2 +а1Р1 ).
Уч итывая нормирующее условие и подсгав.1яя численные зна-
чения лараметров, получим:
откуда
Тогда
Р1 =0,ЗЗРо,
Р2 =0,18Ро,
Р2+1=0,12Ро,
Р2н=О,07Ро,
1
Ро =п=О,59.
Р1 ""0,19,
Р2 =0,10,
Рzн""О,07,
Рн2"""0,04.
Вероятность того , что информация будет обрабJТана , опреде·
лим по формуле
μ[Р1+2(Р2+Рн1+Р2н)]
Робе= 0,25·Л·(1+2+З+4) ~0,49,
т. е. около 49% инфсрмаuии будет обработано свсе2ременно. Про­
!~
179

цент заявок, не nопавшнх в накопитель :tз-за
полностью з а·нят, получим из равенства
Рат>< н=Р2+2""0,04,
1
tdro, чtо он rоЫ.11
/
т . е . около 4% информации вообще не пщ1адет в машину из-за
того, что в накопителе будет не менее двух сообщений.
Вероятность того, что сообщения, ожидающие в очереди, поте­
ряют ценность до того, как нас111ется их обработка в машине, равна
Ратн ч= 1-Рабс-Роти п-Рn а""О,22.
Следовательно, 01<оло 22% информации потеряется из очереди
еще до того, как начнет обслуживаться.
Вероятность того, что информация не будет сnоевременно обра­
ботана до конца, равна
У[Р,+2(Р:+Рн,+Р2+2)]
Рно= 0,25-Л·(l +2+ 3+ 4) ~0•25•
4.5. Одноканальная система с переменным
временем обслуживания
В этом параграфе рассмотрены системы массового
обслуживания смешанного типа, в которых время обслу­
живания меняется с изменением длины очереди. На
практике при массовом обслуживании вызовов весьма
часто возникают ситуации, когда по мере увеличения
длины очереди или плотности поступающих заявок опе­
раторы (аппараты, приборы) увеличивают темп работы
до некоторого допустимого предела. Например, по мере
увеличения очереди к кассиру или к продавцу они начи­
нают несколько быстрее работать. При увеличении чи­
сла заказов в ателье, радиомастерской или комбинате
бытового обслуживания сроки выполнения заказов на­
чинают уменьшаться, правда иногда за счет качества.
Решение одной из подобных задач рассмотрим на
примере одноканальной системы с ограниченным време­
нем ожидания в очереди . Решение приведем в виде,
предложенном В. И. Мудровым [16].
Имеется одноканальная система, на которую посту~
пает простейший поток заявок плотности Л. Заявка, по­
ступив в систему и застав прибор занятым обслужива­
нием, становится в очередь в том случае, если время
ожидания начала обслуживани51 не будет превышать ве­
личину t. С увеличением длины очереди канал обслужи ­
вания увеличивает темп работы до некоторого предела.
Положим, что время обслуживания tобс изменяется п о
180

линейному закону в зависимости от времени пребывания
заявок в очереди
fобс = fобс :Маl\С - atO'IIH
где fобс манс - максимальное значение времени обслужи­
вания;
fож - время пребывания заявок в очереди.
Заявки не становятся в очередь и покидают систему,
если им предстоит 'Ожидать начала обслуживания боль­
ше некоторого времени. Для простоты рассмотрим слу­
чай, когда
t & fобс манr
""" '
1+а '
что соответствует условию
f ~ fобс МИН= fобс Mal\C - af,
где tобс мин - минимально необходимое время для обслу­
живания.
Для лучшего представления механизма функциони­
рования рассмотрим такую ситуацию. Пусть прибор за ­
нят обслуживанием очередной заявки. В конце обслужи ­
вания .занвки имеется интервал 'времени ,t (см .
рис. 4.5.1), когда возможно образование очереди. Если
в течение этого интервала не поступит ни одной заявки,
t
начало
Конец
оаслужи!Jания
аослужиfJанцл
Рис. 4.5 . l. Интервал времени
,f, в котором во з можно обра з ова11не
очереди.
то прибор, как только закончит обслуживание, начинает
простаивать до момента поступления очередной заявки.
Время обслуживания этой заявки как бы увеличится на
какую-то величину, равную времени простоя прибора.
1
В среднем это время составляет величину '[" · Пусть за
время t поступила одна заявка. Тогда па основании
свойства простейшего потока о независимости течения
процесса в непересекающихся интервалах времени эта
заявка будет распределена внутри интервала t с равной
181

!Зероятностью . Среднее время ожидания этой заявки бу-
t'
.
дет равно 2 , : а среднее время обслуживания ее составит
величину, равную
t
t
обемакс- а:z·
В общем случае, если за время t по ступит s заявок,
то каждая из них распределится внутри интервала t
с равной вероятностью . Расположенные в порядке воз­
растания, ·они образуют вариационный ряд. Распределе­
ние п ервого члена вариационного ряда, состоящего из
s членов, каждый из которых распределен по закону
f('т:), задается формулой
q('t)=C~.f('t)[l-F('t)]s-i
(4.5.I)
где
'1
F('t)= It('t)d't;
-оо
00
l -F('t)= I f('t)d't.
'
Если распределение случайной величины внутри от­
резка (О, t) равномерное, то получим
1
f('t)=-t .
't
t- 't
F('t)= -t. 1-F('t)= -t-,
()-
s.rrti- 't s-1
g't-- --)
.
t~\ t
Среднее время обслуживания заявки, принятой к об­
служиванию, при равномерном распределении равно
i
gs= I(f-'t)g('t)d't= 5 ~ 1 f.
(4.5.2)
о
Тогда время обслуживания
fобс:=fобсманс-а5~ 1f.
(4.5 .3)
Найдем среднее значение времени обслуживания .
При его определении принимается, что в случае отсут-
182

ствия заявок время обслуживания следующей заявки
увеличивается на время простоя прибора. Тогда, как по­
казано в [16] , среднее время обслуживания будет равно
-
f
+ 1 -ЛI+ \(l -ЛI)
tобеn= . обе мин
Те
аТ-е
·
(4.5.4)
Вероятность того, что заявка будет принята к обслу­
живанию, определится из отношения среднего темпа ор-
1
служивания --- и среднего темrпа поступления за­
t'обс· n
явок л
1
Робе=
лt
-
ЛI
Лtобсмин+е- +а(1- е- )
(4.5.5)
Средняя вероятность отказа в обслуживании равна
1
Рот!<= 1-Робс= 1-
-Лt
-ЛI
Лfоб•мин+е +а(1- е )
(4 .5 .6)
Среднее время обслуживания одной за пвки меняет­
сп в з ависимости от плотности поступления заявок в пре­
делах от fоб с ма1;с ДО fоб с МИН· Минимальные возможности
системы могут быть определены и з условия, что время
обслуживания равно fобс маис, а простоев нет. Аналогич­
но максимальные возможности будут определяться при
fобс мип и отсутствии простоев в ожидании очередных за­
явок . В силу предполож е нип потока заявок простейшим,
прибор часть времени будет простаивать. Это учитыва­
ется при определении· lпбс 11 кат< добавочное время
К fобс мn1сс В формуле (4.5.4).
На основании этого можно определить минимально
и максимально возможные коэффициенты простоп при­
бора, которые будут характ е ри зовать влияние случайно­
го появления заявок на возможчости системы по обслу­
живанию:
7/манс =
7/мин =
fобс манr:
i'обс п '
iобс мин
"fобс n
•
(4.5.7)
Рассмотрим частный случай системы с отказами, т. е.
t=O, при lпбс манс=fобс мин, когда время обслуживания
не изменпется в зависимости от плотности потока. Тог-
183

да среднее время обслуживания с учетом времени про­
стоя, приходящегося в среднем на одну заявку, будет
равно
7обсПI = {[tобс·Ч + 1} +,
где ( ] обозначают целую часть числа.
На следующем примере рассмотрим возможность ис­
пользования полученных зависимостей для системы с пе­
ременным временем обслуживания и ограничением на
время ожидания в очереди .
Пример 1
В мастерскую приходят клиенты с треб,1н.Н!11ем срочного ре­
монта обуви в прису1'ствии заказчика. Его выполняет один мастер,
тратя в среднем на ремонт одной пары обую~ tобс макс=20 лит.
Если образуется очередь, то в помощь мас<еру nаются ученики,
в результате чего произво д ительность увели 1 шаае1 ся, а сред:нее
минимальное время может стать tобс мин= 10 мшt. Клиент остается
в мастерской в том случае, если время ожид1ния в среднем не
превышает t= :lO щ1н .
Оценить пропускную способность масгера ~о ремонту обуви,
если в среднем поток з апросов на такой ремонт составляет Л=
=6 клиентов в час .
Решение
Определяем параметр а:
iобс манс - iобс мин
а=
=1.
Вероятность того, что клиент -будет обслужен с у<;етом ожида­
ния начала обслуживания не более 0,16 час, определим по форму­
ле (4.5 .5)
Робе=6-0,16+е-1+1(1 - е-1)= о,5.
Таким образом, полови.на клиентов, у кот.);)ЫХ во:о,никла необ­
ходимость в срочном ремонте обуви, будет удов;·1етворена . Если бы
мастер с кая не могла в случае r-rеобходиыа.:ти подк.1ючить в по­
мощь мастеру учеников, то вероя rность отказа з обслуживании
можно получить по формуле (4.1 .4) для однсжзнальной системы
с ограниченным временем ожидания.
184
Определим параметры:
(J-=
=1,
fобс макс
л
Q;=-=2
"'"
'
п _ fобс макс
_
2
~-
t
-
.
Тогда по табл. 6 приложения 5 для n= 1, а=2 и ~=2 получю1
Рот1с=О,6О

Вероятность того, что клиент будет обслужЕ'!i, рапна
Робе= 1-0,60=0,40.
Таю1м обра з ом, тол1:1ко 40О/0 1 всех кш1ентов, нуждающихся
в с ре д нем ремонте, будет удовлетворен·о . Это на 10% меньше, чем
в перв о м с J 1уча е , ког/1,а в мастерской имеет с я возможность у вели­
чить пр о изводительность ремонта за счет оказания помощи со сто­
ро11ы у чеников. Среднее время, которое ма~т~р затрачивает на ·ре­
монт об уви 11 ож 1щанне клиентов, в 11ерrим .:лучае со·ставляет
-
0,38 1
t'обсп=О,16+ - 6
- +5(1-0,38)=0,33 час.
Следовательно, несмотря на то, что мастер может при макси­
мальном темпе работы сохратить время ремонта одной пары обуви
до 0,16 час, среднее время, ,которое приходится на од н у отремон­
тированную пару обуви, со1ставляет 0,.13 час. Это :rроисходит за
счет · того, что часть времени мастер п;юста1нв~г нз-за ожидания
клиентов.
Пример 2
Протнвоздушная 0Gорош1 некоторого объекта обеспе ч ивается
о д ной зенитной установхой, у которой аре~11я шt .подготовку к об­
стрелу обнаруженнСJго самолета равно tпо;~г= 1 .чин. I!усть вероят­
ность поражения самолета за стрельбу !Практически равна l. Если
обстрел самолета производит.ся на дальней границе во н ы пораже­
ния, то по ,самолету будет выпущено больwе сн;_~р;1.г:,ов и время
обстрела будет равно fманс = ·l лщн. При обстре,k самоJ1ета на
бJiижней грашще зо н ы поражения время обстреJiа соста • вит 1fм 1111 =
=0,2 лшн. Противник совершает налет ·На объект со .Ср·ед н е й плот­
ностыо Л= l самолет в минуту. Вре~1я пребы~а11нн ·t:i"iмолетов про ­
тивн и ка в зоне стрельбы ра ·вно lf= ll мин . Требуется опредсю 1т ь
среднюю вероятность поражения самолетов против ни ка .
Решение
Определим максимальное и минимальное время, необходимое
зс11ип1 о му средству на обстрел самолетов ~противн и ка. Мак.с~-1ма J1 ь­
ное время обстр·ела будет в случае начала стрельбы при нахож­
дении само J 1етов на дальней границе зоны стрельбы
fобс манс=fпод 1·+f>1а«с=l+ l =2 МШl .
Минимальное время обстрела равно ;~ри об~ т р('ле самолета на
ближней границе зоны стрельбы
lобс мип=fподг+iмин= 1 +0,2 =1 ,2 Jlllli,
Определим параметр а:
2- 1,2
а=
1
= 0,8.
По формуле (4.5.5) определим вероятность пораже н ия само.11етоn
ПрОТИВ'НИКа
1
робе= 1,2+ О,38+ О,8•О,62::::,: О'5о.
185

Таким образом, oKo jJO 50 % саМJлеrов противника будет унич·
гожено средством ПВО объекта . Если бы зеннтное средство об­
стреливало 'самол е ты щю т11u1н1~;а ли бо на дэлы1сй rраннце зоны
с 1 рельбы, либо на ближн е й, то время о ж ида'! ая самслетом •нача ла
обстрела было бы рав1-10 l= O. Тог;~,а верт11н :J с1ъ поражения само­
лето·в противниха для шоб ого из этах случаев ~1ож но -определить
110 формуле Эрланrа при n= 1:
-
п р и обстреле самолетов на дальней rра!!ице зоны стрельбы
1
Робед= + 't
l /\ oбrмfti<c
1
l + 2 ::.:::::0,33;
-
при о'6стреле самолетов тол!:>ко ·на fiлюк ней границе зоны
1.'трельбы
Робеб=
1 + 'Аtобс ми11
1
1+1,2 ::.:::::0,45 .
Из примера видно, •по маневрнрование огнем по зоне пора-же·
н ия дает преимущества в первом случае на J 7%, а во втором на
5%,а всреднемна 11%.
4.6 . Система массового обслуживания,
состоящая из приборов разной
производительности
В главе, посвященной системам массового обслужи­
вания с отказами, уже рассматривались особенности
функционирования для тех случаев, когда системы состо­
яли из приборов разной производительности. И в сме­
шанных системах довольно часто могут встретиться слу­
чаи, когда приборы и м еют различную производите.r.ь ­
ность. Примером может служить п а ри кмахерская, где
обслуж и вание клиентов прои звод ит с я нескольк·ими ма ­
стерами. Каждый мастер имеет различн ую квалифика­
цию, оп ыт работы, поэтому производительность их раз ­
лична. Другим примером может служить работа вычис­
лительного центра по обслуживанию орг аниз аций вычис­
лительными работами. Как правило, крупный вычисли­
тельный центр имеет несколько разнотипных электрон ­
но-вычислительных машин с различным быстродействи­
ем и п амятью. Для оценки функционирования подобны х
систем рассмотрим работу системы массового обслужи­
вания с ограниченным временем ожидания заявок в оче­
реди. Пусть в систему массового обслуживания, состоя ­
щую из п приборов разной производительности, посту­
пает простей ш ий поток заявок с плотностью 'А. Время
обслуживания одной заявки для каждого прибора явля ·
!86

ется величиной случайной с показательным законом рас­
пределения. Законы распределения времени обслужива-
ния приборов характеризуются параметром !111t• где i-
номер прибора (i = 1, 2, ..., п) . Каждая заявка, прибыв­
шая в систему, остается в ней и начинает обслуживать­
ся немедленно, если только имеется хотя бы один сво­
бодный прибор. Бели нее приборы заняты, то заявка
становится в очередь, но может находиться в ней не б9-
лее некоторого времени Т. Если за это время она не
будет принята на обслуживание, то получает отказ.
Каждый вновь освободившийс51 прибор 1в ходе рабо­
ты системы начинает обслуживать любую заявку из
очереди с вероятностью, равной
1
j-n'
где j - число заявок в системе.
Вероятности состояний системы о п исываются диффе­
ренциальными уравнениями, вывод которых приводится
в [29]:
"
Р'о (t) = -А,р, (f) +I Р1 (ki/t) μki •
l=I
p'j(kн..., kj,t)=-(А.+tμ.ki) Pi {/lj, . . . ,
t=I
kj,t)+п+~+1~Pj-1(k1, .. ., kj,k~,t)+
ko
1
+~Рз+1(k1, · · ., k3,ki,t)μk
~
i
при j <n,
p'j (t)=-[д.+ ~1μ.kt+cj-n(T,t)] pj(t)+
+ [~11-'-kt+ Cj+1-n (Т, t)] Рj+1 (t) + lpj_ 1 (t)
при j~ п.
Переходя к пределу при t-+oo, получим
щую систему алгебраических уравнений:
1
J
(4.6 .1)
следую~
1!7

п
-
А.Р0 + ~ Р1 (k,) μ.ki =О,
k=i
+п-~+1~ Pj (/г1, •• • ,kj, k~)+
ko
L
- lА,+ ~1f1ki+ Cj-n (Т)] Pj+ [~1μ.ki +
+cj+i-n(T)]Pj+ 1 +A-Pj_ 1 =0 при j~n.
(4.6 .2)
Значение вероятностей С11. (Т), как показано в работе
А . А. Шахбазова [29] , равно
п
~ i"ki
i=I
С11.(Т) = f μ.ki (е-т-k-_ 1)-
1
(4 .6.3)
t=I
Отсюда решение системы (4.6 .2) дает следующую за­
висимость для определения вероятности того, что в си­
стеме массового обслуживания находится j заявок:
(nn-j)! ~
рj = -'------'--
"
1-'- ki
nl -Vсп_;
i=I
(4.6.4б)
188

где Li - суммирование распространяется по всем сочета­
сn-3
ниям.
Значения вероятности Р0 определим из нормирующе ­
го условия
Тогда
р-1 =
1
[', (п- j)! Х
о
пfLk· i..J
iП -z i=O
п.
л.п
х~
i=I
fLk f'-1, ••• /J<k
.
1
2
n-3 +
л.п- j
п
J-n
_.!_~l"k·
п/k.1i
~1- е
1
=
k=I
(4 .6 .5)
)]. (4.6.6)
Вчастномслучаеприμk. = μ(i=1,2, . . . , п) получаем
i
известную формулу Баррера
(~у
Р3-: .1
Р0 приj<п,
].
(~)1 J-n
-пμТ
P3 = n!пi-n Р0 П(1-е ) при i>n,
k=I
i
-пμ _!_
хП(~-е k)-
k=I
189

Пример
В вычислительный центр поступают заказы на проведени е
метеорологических расчетов . Так как прогноз пого.1ы имеет смысл
про-изводить по свежим ·метеоданным, поступающая информаrциЯJ
ео временем стареет. Пусть \ПО этой при•шtiе по,1учаемая информа­
ция ·сохраняет определенную достоверность в тzчение T= ·to <ta c ..
Плотность .поступления заказов на проведение )Нече тов составляет
Л=2 заказа в час. Вычис л ительный це:~тр дл>J проведения этих
работ может использовать электрою10-вы • 111с.1и гельные маши·ны
«Урал-!» и БЭОМ-QМ. Время ра·:чета на ~1зI..:.Iи11е «Урал-!» одной
зад ачи в среднем равно 5 час, а на БЭСМ-2М - 1 час. Учитывая,
что при работе машин ·происходят сбо;~, в ;:>емя проведения этих
ра с '!етов •будет колебаться в некоторых предс:1ах. Для простоты
поло жим, •1то это время имеет показателr,ный Зi!Кон раепределения.
Треб уется оценить работу вычислительного центра по пров еде нию
расчетов, необхо д имых для .прогноза погоды.
Решение
Определяем параметры для машины «Ypa.1 -l»
1
/-'-у =s=0,2,
для БЭСМ-2М
1
/J-б=т= 1.
По формуле (4.6.6) определяем вероятноr.ть того, что обе ма­
шины свободны от проведения расчетов:
р-1_ 1 [ (~)+(0,2+_1)+
о- о2·12
4
2
2
2-'-
4
10
(0,2+ 1)( -1(о,2+1)) ( 0,2+1)2
+
2
1-е
+2
Х
10
10
(
-
1 (0 ,2 +1})(
-
2 (0,2+1))
Х 1-е
1-е
+
10
( 0,2 + 1 )1( -т(О.21+1))
+
2
1-е
Х
JO
10
(
- 2(0,2+ 1))(
-3(0,2+ 1))
Х 1-е
1-е
+ ... =21,
откуда
Таким образом, около 5% всего времени машины бу­
дут свободны от расчетов.
190

Вероятность того, что одна из машин будет занята
расчетом, а другая свободна, определим по формуле
(4.6.4) приj~п
р-
1
~fL'Y+[Lб р о30
i-
'
о=,''
2 fL'yfLб
1\
л2
что составляет оI<оло 30 % времени.
Вероятность того, что обе машины будут работать
одновременно и не поступило новых данных для прове­
дения расчетов, будет равна
Р2= Р0 ~o.so.
2 fLJ!Joб
л2
Нужно определить вероятность того, что поступив­
шие данные для расчетов не будут сразу же использова­
ны. Это возможно в том случае, когда обе машины за ­
гружены расчетами
Рзаг= 1-Ро-Р1 =0,65.
Следовательно, две трети поступающей информации
будет некоторое время ожидать начала обработки.

5
УЧЕТ НАДЕЖНОСТИ РАБОТЫ
ОБСЛУЖИВАЮЩИХ ПРИБОРОВ
Разnнтие сопреме нн ой технню1 сд сJiало весима акту­
аль ной проблему надежности. Поэто~1у, рассматриван
функционирование различных систем массового обслу­
живания, нельзя обойти вопрос об учете возможности
выхода из строя в процессе работы обсJiуживающих
приборов. Как известно, время выхода из строя аппа­
ратуры (появление отказов) или время работы ее ме~<­
ду отказами представляет собой сJiучайные величины.
Это объясняется различными из гvrен ениями условий экс­
плуатации (нестабильностью питания, изменением па­
ра метров элементов и др.) , технологического процесса
работы аппаратуры и т. д. Так как отказы в аппаратуре
устраняются n течение определенного промежутка вре­
мени (стационарный режим), то онн образуют поток.
Анализ поток·ов отказов СЛО )ЕНОЙ аппаратуры показы­
вает, что они обладают свойствамн стационар .ности
(в течение большого промежутка времени) и орди­
нарности . СJiожнее обстоит дело со свойством отсут­
ствия последействия. Однако можно сдеJiать nывод
1[28] , что если все элементы сложной аппаратуры рабо­
тают одновременно , то их отказы им е ют мгнове нный ха ­
рактер появления. Отка з любого элсм с 11та ведет к отка­
зу в работе всей системы, старение элементов не проис­
ходит и процесс эксплуатации стабилизирован. Для та­
ких систем поток отказов можно считать простейшим.
В этой главе рассмотрены особенности фу1-11щиониро­
вания систем массового обслуживания, которые в процес­
се экоплуатации могут . выходить из строя, при этом
предполагается, что поток отказов явJiяется простейшим
с некоторой плотностью q. Примеров подобных ·систем
192

можно прив е сти мiюtо: работа автом3ти<iес1шх телефон­
ны х станщ:!r, слож:ной ко1-пролы-10-нзмер1 1 тельной аппа­
ратуры , электронно-вычислительных машин, а п паратов
поенного назначения и т. д. При рассмотренни фун1щr10-
r1ирования подобных систем массового обслужнвания
возможны различные ситуации, J<оторые имеют много
аналогов на пракпше. В связи с этим можно предло­
жить большое число задач, в которых необход 11 мо учи­
тr,1вать возможность nь1 хода нз рабочего состоп 11 1 1 п а 1-1 п <1-
ратуры обслуживания. В этих системах в одних случаях
заявки вынуждены ожидать обслуживания безгра н ично
д олго, а в других поступившая заявка покидает систему,
если прибор н е может начать ее обслуж:ивани е немед­
ленно. Возможны случаи, когда время пребывания за­
явки в системе или в очереди не превосходит некоторой
величины t.
Особенности функционирования могут проявлптьсп 11
в том, что обслуживающий прибор в одних случаях вы­
ходит из строя только во время работы, в других воз­
можно 'появление неисправности как в период обслужи­
вания, так и в н е рабочем состоянии. При организации
работы ,предприятия, на котором имеетсп рпд однотипных
аппаратов, возникает вопрос о целесообразном объеме
з апасных агрегатов или деталей, о необходимом числе
ремонтных бригад (мастеров) и т. д. С учетом надеж ­
но сти работы приборов связаны такж е задачи no оценке
вероятности выполнения прибором той или иной произ­
водственной задачи, если для повышения производитель ­
ности оборудования применяются различные схемы ре ­
зервирования.
Из сказанного видно, что круг задач массового об­
служивания, где необходимо учитывать возможность вы ­
хода приборов из строя и их восстановления, довольно
широк. Естественно, что дать решение всех возможных
вариантов задач не представляется возможным, поэтому
в дальнейшем будут рассмотрены некоторые типовые за­
дачи. Материал главы даст возможность читателю пред­
ставить себе методологию решения задач массового об ­
служивания с учетом надежности обслуживающих при­
боров и определить область возможных практических
применений предлагаемого математического аппарата.
13-1444
193

5.1 . Система ненадежных приборов с отI<азами
Пусть имеется система массового обслуживания с от­
казами. Но в отличи е от ранее рассмотренных случаев
(см. гл. 2) зд е сь каждая вновь поступившая в систему
з аявка теряется не только тогда, когда все приборы уже
заняты обслуживанием, но и тогда когда часть прибо­
ров з анята об служиванием, а остальны е на х одятся в со­
стоянии ремонта . При это м предполагается, что выход
прибора и з строя одина1<0во во з можен как в период ра ­
боты , так и \(ОГда он не обслуживает з аявку. Предполо­
жим , что система обслуживани н состоит и з п приборов
одного и того же тнnа . Для прнв еденшr !3 порядо 1( этих
приборов, I<огда они сами тр е буют обслуж11вания , име­
ется бригада из т рабочих. Каждый прибор обслужи­
ва ется одним рабочим. Приборы системы массового об­
служивания являются изделиями многократного дейст­
вия, поэтому происходят отказы в их работе . Так как
лотом эти приборы вновь восстанавливаются обслужи­
вающим персоналом , то наблю д ается поток отказов, ко­
торый обладает, как правило, свойствами ординарности
и отсутствием последействия и стационарности . Поэтому
можно полагать, что поток отказов является простейшим
с параметром q. Время, необходимое на приведение
прибора в порядок, распределено по показательному за­
J(ону с параметром у .
В свою очередь, на приборы для обслуживания по­
ступает простейший поток заявок с параметром Л. Вре­
мя обслуживания з аявки случайное с показательным з а­
коном распределения и параметром ~t . Если заявка по­
падет в систему тогда, когда приборы з аняты обслужи­
ванием или находятся в нерабочем состоянии, то она те­
ряется. В случае, если прибор вышел из строя в тот мо­
мент, когда он был занят обслуживанием, обслуживае­
мая им з аявка также т е ря е тся, даже если имелись дру­
гн е свободные исправные приборы .
Введем следующие обозначения: р1, (t) - вероятность
того, что в момент времени t обслуживанием заявок за­
няты k приборов; :rtk(t) - вероятность того, что k прибо­
ров в момент времени t находятся в нерабочем . состоя­
нии.
Дифференциальные уравнения для определения веро­
ятностей :п:k были получены в [8] и имеют вид :
194

1t1
0 (t)= - nq7t0(t)+pt1(t),
'lt'11. (t) = -
[(п- k)q+ kyJ7t11.(t)+
+ (п- k+ 1)q7t11._ 1(t)+ (k+ 1)'(7t11.+1(t),
при 1<k< т,
1
i
7t'11.(f)=-[(n-k)q+myJ тr11.(t)+
t
+ (n-/гj-~)rq'lt~-~: (t). :+т~7t11,~ 1 (f)~при:т ~ !:__~:!_· 1
[', _'lt n_(t),=~-Jn'(7tn_(t)_+H7tn-1 (t) .
J
(5.1.1) .
Вывод дифференциальных уравнений для определе­
ния вероятностей P1<(t) читатель может найти в [8], мы
приведем их только в окончательном виде:
)
Р'о(t)= - lp0(t)[1- 7t,. (t)]+(q+μ)Р1(t),
1
р'11. (t) = -
[1(1-
'ltn-11.(t))+ k(q+ μ)] Р11.(t)+ /
n-k
/
+ lp" _1(t)L'ltj(t)+ (!г+ 1)(q+ μ)Р11.+1(t) }
i=O
1
при 1 <k<п,
1
P'n (!)= ·- n (q+!!-)Рп(f)+/,7t0(t)PR.-1(f). J
(.5 .1 .2)
Полагая, что существуют пределы
7t11, = lim 7t11. (t),
1~00
Р11. = lim P11.(t),
1~00
получим для стационарных условий систему алгебраи­
ческих уравнений, описывающих вероятности л1, и Pfi.
Для определения uероятностей :тт1,
-
nq7to + 'f7t1 = О,
-
[(п-k)q+ky]7t11.+ (п - k+1)q1111._ 1 +
+(k+ 1) '(1t11.+1=О при 1< k < т,
-
[(п -/г) q +ту] 7t11. + (п -!г+ 1) q7t11,_ 1+
+ m'(7t11.+1=О при тп<!г<п,
-
m'('ltп + qтсп-1 =О.
1з•
)
1
1
} (5.1.3)
1
1
)
195

Для вероятностей P1i
n-k
-j -A - ~ 7tJP1i-1=0 при 1<k<п,
.:...J
j= .O
Нормирующие условия при этом имеют вид
"
и
(5.1 .4)
(5 . 1.5)
(5.1.6)
Решени е системы (5.1 .3) совместно с у равнением
(5.1 .5) даст следующие .за висимости для вероятно-
7r1;, = ~--~
-
при 1 <k<m
п! (_!!_у) h 7to
k!(п-k)!
(5.1.7)
и
Значение :n: 0 определится из нормирующего условия
(5.1.5). Последовательное решение системы (5.1 .4) со­
вместно с условием (5.1.6) даст значения вероятно­
стей Р1"
1. Вероятность того, что заявка не попала в систему
(так как либо приборы з аняты обслуживаннем, лнбо JJе­
и·оправны), равна
п
Рис= I Р,ттп-s•
s=O
(5.1.9)
2. Вероятность того, что заявка, обслуживание кото­
рой не было закончено до того , как прибор вышел из
196

строя, покинет систему неполностью обслуженной, равна
п
(5.1.10)
Отсюда общая nсроятность отказа в обслуживании за-
япок системой равна
Рnтн ==- Р" о-~ Рн с=
lt
(5 . 1.11)
s=O
3. Вероятность того, что заявка будет обслужена,
равна
Робе= 1-Р0 тн·
(5 . 1.12)
4. Математическое ожидание числа занятых прибо­
ров определится из зависимости
п
М з= )-, !~Р11..
,. _.
(5.1 .13)
k=l
5. Среднее число приборов, которые находятся в не­
рабочем состоянии, равно
п
Мн=). STTs.
......
s=I
(5.1 .14)
Отсюда среднее число исправных приборов, не заня­
тых обслуживанием, определится из формулы
М0 =n-М3 -Мн.
(·5 .1.15)
6. Коэффициент простоя свободных приборов из-за
того, что они свободны от обслуживания, равен
(5.1.16)
7. Коэффициент занятости приборов системы опре­
делится как отношение среднего числа занятых обслужи­
ванием приборов к общему числу
Кз= м••
п
(5.1.17)
8. Коэффициент надежности обслуживающей систе­
мы, который показывает среднюю долю неисправных
197

приборов, равен
Кн= Ми,п
(5.1.18)
В частном случае при n= 1 и m= 1, т. е. для однока­
нальной системы, получим довольно простые выражения
для определения величин Ро, Р1, :n:o и :n:1:
(5.1.19)
и
q+1-1-
p о = ---'----=-л_у_ ,
q+1-1 -+ q+y
(5.] .20)
P1 =(q+y)(:~f'-)+yл
(5.1 .21)
9. Вероятность того, что прибор либ о за нпт обслу ­
живанием, либо неисправен, равна
Pи c=P1+7t1= -+L+
qу
Лу
+(q + 1-' -) (q +'У) +лу"
(5.1.22)
Пример
На одноканальный коммутатор n= 1 пасrушнnт заявки на те­
лефонные разговоры с абонентами с '!латностыо Л.=0,5 заявок
в минуту. Пусть среднеР время вед е!ШЯ одного разговора равн о
tо бс=2 Atuн. Коммутатор может время от времени ·выходить и з
строя. Опыт работы показал, что среднее время 1иrаботки на один
отказ для коммутатора равно tн= 1 ООО ,~~ин. Времн, необходимое
для устранения неисправности, случаЙНQС "! :; среднем р ав но
tnoc = 100 мин . Если заявка на разговор ·п;:>ступнт u тот момент,
когда коммутатор занят HJ111 н еисправен, то З:J.'IBK::t теряется. Для
ремонта коммутатора имеется однн Jп~ ;ia гор (1n= · I). Требуетс51
определить основные характеристики фу ;~:с~!ЮfШрuвания коммута­
тора.
Решение
Определяем пара~1етры
1
1
q= tв = 1ООО=О'ОО\'
1
1
f.J .= --=-=05
i!обс 2
'
'
1
1
'(=Свое =1оо=О,О!.
19~

По формуле (5. 1.22) определяем nеро;~тность того, что .поступив­
u1ая заяв·ка на ведение разговора не будет удов.петвсрена:
о'001+
о'5 .о'о1
Рис= 0,011 (0,001+0,5) (0,001+0,01) + О,5·0,01 :::::О, 59•
Т аким образом, с вероятностью 0,59 раз;·оi!ор не .состоится
нз-за того, что ком ·мутi!тор ли·бо занят, ;1i1бо не11спр111.н:н. При этом
вероятнос тъ того, чт о коммутатор ;1еас:1разеа, раrн1а первому ела .
rаемому, т. с. 0,09, а nероят11ост1, того, 11ro 1<оы1.1утатор занят
о(JсJ1ужива11ием од11ого из nредше ствующ1-1 х разгоооров, равна второ­
му слагаемому, т . е. 0,5 . Из этого 13i1днn, 1 1то К<Jм~1утатср яв·но ле­
ре:гружен и для nо1Зышения его проnус;шой способности необходи­
мо увеличи ть число :каналов. Так как ;<0;1~1у ,- i ! ro r может выход1пь
11:1 строя и оо время обслуживаюrя paзrono~a. то !·1е1,оторая ч асть
разговороо будет прервана до их ;юлно»о оо:.Jн•rания. Оnредел11м
процент нео1<онче11иых разговоров из-за аыхода ·ком~1утатора из
строя . Для этого вос·пользуемся формулой (5. 1. 1О), полученной при­
менител ьно к одноканальной системе, т . е. при n= 1:
qP, О,5·0,001
Рно=т= 0.5
=0,001.
Таюrм образом, только 0,1 % разгоооров будет не заJ{ОJ111сно J(O
конца из-за выхода коммутатора нз строп.
5.2 . Пропускные способности систем
с запасными частями (блоками) на случай
выхода из строя приборов
Как только машина новой 1<онстру1щии поступает
в эксплуатацию, всегда возникает вопрос об определе­
нии необходимого количества запасных частей. Недоста­
ток их вызывает вынужденные простои машин из-за не­
возможности быстрой ликвидации неисправности. С дру­
гой стороны, завышение необходимого количества запас­
ных частей приводит к замораживанию капитала и по­
этому н е может быть экономнчески оправдано. Все это
требует серьезного экономичес1<ого подхода при обосно­
вании необходимого количества запасных частей.
При определении количества запасных частей надо
уч итывать статистику выхода из строя машины в про­
цессе ее эксплуатации, уровень подготовки обслуживаю­
щего технического п ерсо нала, возможнос ти по носста­
новлению вышедших из строя деталей, узлов, блоков
и т. д. и, I<он с чно, экономичестше показатели.
Рассмотрим две задачи. В первой задаче делается
попытка пок азать метод обоснования необходимого ко-
199

личества запасных частей для машины, состоящей из
большого числа одинаковых блоков. Примерами подоб ­
ных машин могут служить аналоговые электронные, ци­
фровые электронно-вычислительные машины и др.
Во второй задаче рассматривается зависимость чис­
ла запасных агрегатов от группы работающих машин,
а также количества ремонтных органов, обслуживающих
их. Примером может служить дублирование автомати­
ческих линий связи и др.
Обслуживающий аппарат состоит из т однотипных
блоков. Ра.оомотр!им постановку первой задач:и. Пусть
имеется некоторая непрерывно работающая машина, со­
стоящаSI из т одинакоuых блоков. В процессе ее рабо­
ты определенные блоки могут выходить случайным об­
разом из строя . Время наработки на один отказ примем
распределенным по показательному закону с парамет-
1
ром Л= -=-·Для замены неисправных блоков имеется п
t'в
запасных. Как только блок выходит ·из строя, его .сразу
заменяют запасным, если имеется исправный. Блок, ко­
торый был заменен из-за неисправности, поступает в ре­
монт. Машину обслуживают с операторов, которые мо­
гут восстанавливать неисправные блоки. Время восста­
новления каждого блока случайно, так как оно опреде­
ляется характером полученного повреждения. Однако на
ремонт каждого бло1са в среднем оператором тратится
время tобс· Примем, что время восстановления распре­
делено .по ПО!(азательному закону с 1параметром
1
11= -_ -.
tобс
Восстановленные блоки вновь идут на пополнение ре­
зервных.
ТребуетсSI рассмотреть особенности функционирова ­
ния подобной машины. Введем следующие обозначения:
p0 (t) - вероятность того, что в момент t все блоки
находятся в исправном состоянии и машина работает;
Pk (t) - вероятность того, что в момент t имеется k
неисправных блоков;
Рп+~ (t) - вероятность того, что машина не может ра­
ботать из-за отсутствия исправных блоков для замены
вновь вышедшего.
200

Вероятности возможных состояний системы описы­
вают·СЯ следующей системой дифференциальных уравне­
ний [22]
р'о (t) = - !сро (t) +ftP1 (t),
P'1t(t)= - (1+ k·μ)P1t(t)+ 1p1t_1(t)+
+(k+l)p,P1i+1(t) при O<k<c,
р',, (t) =
- (1+cr-) Рп (t) +1P1i-1 (t) +
+c11-P1t+1U) при с ~ !г<п+1,
р' пн (t) = -- CftPn+1 (t) + J..pn (t).
)
1
1
1
}
1
1
1
}
(5.2 .1)
Если обJз1-шч 1ть а= Ц1J, и учесть нормирующее уело-
вие
п+1
l:p,,(t) = l,
k=O
то ПОJ 1 учнм для стационарных условнй следующие решения .
1. Вероятность того, что k блоков машйны находятся
в ремонте:
ah
P1t=k!Р0 пр,1 /г~с,
(5.2 .2)
Р1,= -
-
1 Р0приc<k<n+].
(а)h-сас
с
с.
2. Вероятность того, что все п запасных бJ101<ов нахо­
дятся в исправном состоянни:
(5 .2 .3)
3. Машина не будет работать n том случае, если
п + 1 блок выйдет из строя. Вероятность этого состояния
опредешrется формулой (5.2 .2) при fl=n+ 1, т. е.
(
__'!____ y•-c+t :::._ _ _
с)
с!
роти = --с-=-----п---с-+~1-
(5.2 .4)
1+~~'~+;~~(7у
k ==1
k=I
201

4. Среднее чиt: .10 блоков, находящихся в ремонте при
бесперебойной работе машины, определится из завис и ­
мости
п
NP = ), kP1i.
-.1
k=I
5. Среднее число занятых ремонтом операторов
с
n+I
N3=IkP1i+c~P1i.
k=I
k = c-t-1
6. Коэффициент загрузки операторов равен
N"
Ка=-.
с
7. Среднее ч~-:сло блоков, ожидающих ремонта
n+I
'\' (k-c)P1i.
;'-1
k=c+ I
(5.2.5)
(5.2 .6)
(5.2 .7)
(5.2 .8)
Для опр еделенин экономически целесообразного ко­
личества запасных блоков и числа операторов, произ ­
водящих их ремонт, предлагается воспользоватьсн сле­
дующей: формулой, по которой среди всех вариа1поп
надо выбрать такой, который обеспечивает минимум по­
терь при эксплуатации машины:
где Сзап - стоимость запасных блоков (частей);
Спр - стоимость одной единицы времени простоя
машины;
Соп - стоимость содержания од н ого оператора
в единицу времени;
Та - среднее время амортизации запасного блока
(части).
Если число операторов вполне определенное (т . е. за­
дано), то оптимальное число запасных деталей, обеспе ­
чивающее минимум потерь , возникающих из-за простоя
,202

1\1 a ilш i-1ы !1' затрат на запасные блоки (детали), можно·
O llj) CДCJIИTb по формуле
miп Со= пСзап +СпрРOTR та ·
Приме:р 1
Электронио-пычислительная машнt1а со2тоJ-1т н:з 500 однотип­
ных блоков, каждый из ·которых имеет над'3.Ж11•.JС:ть работы, харак­
терн1уемую сре:\11-е й н<Jработкой на од:ш отк1:<, raE1Iuй 500 час/от-
1шз . Время выхол.а киждого блока из строя случайное. Прнме ;vr,
•1то 0110 11меет показательное распред~:1еt1ие. Вышс :штii из ·строя
блок поступает в ремонт. Время ремонта яв.1rrС'1 сн случайной ве­
личиной и зависит от ряда фак го ров: xa;iar;тe;:;a неисправности',
1шалификации оператора, наличия инстру,11опа н ремонтного ма ­
тернала и др . П оложим, что время ремонта имеет показательное
ра спределение с параметром 1μ= 1. Ремонт про:нво:r:ят два операто­
ра. Как только блок выйдет из строя, маш:ша остзнавливается и
11е работает до тех пор, п01:а не будет ,шбо устранена ие1юправ-
11ость, либо ·поставлен испрапный блсJК, ПРИ'I'?М нэ. замену блока
времени затрачивается мало и его можно практи 1 1сски считать рав­
ным нулю. Очевидно, для того чтобы машина работала без оста­
новок, необходимо и:vrеть запасные блоки, ксторыми мсжно было
бы сразу заменять вышедшие из строя блоки. Однако запасные бло-
1<и обходятся довольно дорого, поэтому нметь их много неэконо­
м11< 11-1 0. Необходимо определить число :; апз~_чых G:нжов, е с ли стои­
мость одиого блока Сзап= 100 ед. стои>1ост,-~. Стоимость одио1·0
ча с а простоя машины равна Спр=О,7 ед. <.тои'>!ости.
Решение
Определим плотность потока выхода из стр:-Jя б.!!оков. Так как
время выхода r<аждого из них имеет :юказательный закон распре­
деления, то и суммарный поток неист~рапных блокон будет иметь
показательное раепределение. Параметр его будет равен
где 11- число блоков;
'А; - плотность выхода из строя i-го бло:{а.
У•JИТЫ!JЗЯ, ЧТО средl!ЯЯ ПJIОТНОСТЬ Л; ВЬIХ'JЦа ИЗ СТf.'ОЯ каждого
блока одинаковая, получим
Плотность выхода нз строя одн::~го блоr:з будет равна
Тогда общая средняя плотi!ость
1
л= 500500= 1.
Отсюда параметр а равен
а.= Лtобс = 1-
203

'ётоимосiъ затрат, которъiе ПОJiучаютсЯ в rезулътате эkсilЛуа­
та;ции машины, определятся по формуле
С0 = nCsaп + СпрРотRТа.
Пр11мем, '!ТО Та= 5000 •tac.
Оптимальное ч11сло запасных •1астей бy:i:er п;:>н м и нимуме Со.
Найдем Ротн для различного числа зап.~~ных блокоd. Результаты
расчетов .представлены в табл. 5.2 .1 .
Таблица 5.2 .1
Таблица 5.2.2
17
2
3
4
п
2
3
4
----------
0,091 0,043 0,021
518,5 450,[ 473,5
Найдем стон:v1ость затрат. Ре з ультаты ргс•1етС\u сведены в
табл. 5.2 .2 .
Как видно из данных табл. 5.2.2 , наиболее рациональный запас
для обслуживания машины равен трем блокам. При этом среднее
премя простоя будет составлять 4,3% общего времени.
Обслуживание резервом группы однотипных машин
(агрегатный способ ремонта). Рассмотрим вторую зада ­
чу. Пусть имеется т однотипных машин. В процессе ра ­
боты агрегаты, привоютщие их в движение, могут вы­
ходить из строя. Естественно предположить, что агрега­
ты выходят из строя случайным образом и в данных
конкретных условиях эксплуатации машин с постоянной
плотностью .Л. Время выхода из строя распределено по
показательному закону со средним значением tн. Для
замены вышедших из строя неисправных агрегатов име­
ется п запасных. Как толы<о агрегат выходит из строя,
чтобы не простаивала машина, его сразу заменяют за­
пасным, если среди них имеется исправный. Неисправный
агрегат поступает в ремонт. Пункт ремонта неисправных
агрегатов обслуживает с операторов. Время восста н ов­
ления каждого агрегата определяется характером неис­
правности, опытом оператора и другими причинами, по ­
этому оно будет случайным. Примем время восстановле­
ния неисправных агрегатов распределенным п о показа­
тельному закону со средним временем tобс· При решении
следует учесть следующие состояния системы:
-
все запасные агрегаты исправны и все машины
работают;
-
k запасных агрегатов ( 1~ 1k~n) неисправны и
либо ремонтируются все, либо часть ремонтируется,
а часть ожидает ремонта;
204

11- за пасных aгperat6iз i-iеисправнЬт ti s ~1ailiИi-1 не
работает (l~s ~ m) .
Обозначим вероятности этих состояний в момент вре­
ме ни t соот ~:: етственно через р0 (t); рп (t) и Р1чs (t). Полу­
чим следующую систему дифф еренциальных уравнений:
р'0 (t) =
-- 1.. ро (t) + f1P1 (t),
\
р'п (t) =
-
(2+fl'c'- )Рп(t)+А.рп_1(t)+
+(fi+ 1) f11t+i (t) пр:r 0 <: fi <С,
р'п(t)= - (Л. +сμ) Рп(t)+ Л.р,,_1 (t)+
+с11Рп+ 1 (t) при c < k<n+I,
(5.2 .10)
Р'чs (t) = - (Л. +сμ.) Рп+s (t) +
1
+).. Рп+s-1 (t) + CIJ-Pп +s+ 1 (t)
при1<s<т,
1
Р'п+т (/) = -CfLPn+m (t) +АР1чт - 1 (t). )
Введем обозначение а= 2-.
Тогда, учитывая 1-юрмир;ю ­
μ.
п+т
щее условие L Рп (t) = 1, получим для стационарн ы х
k=O
условий следующие решения:
1. Вероятность того, что все агрегаты исправны:
[ iiа.1< а.сrz~+I(а. )'' _j_
Р0= 1+l.J k!+ст f..J с 1
ll==I
k=I
+(2)п-с ~ii (~\'']-1 •
с
с!l.J\с)
k=2
(5.2 .11)
2. Вероятность того, что вышло из строя !i агрегатов :
P1i=1-
-
1 Р0 прr c<fl<n+I,
(а.)k-са.с
\с
с.
(5.2 .] 2)
P1i = (2)'' -c_c;-P 0 при п+I<k<т+п.
с
с.
3. Среднее число неисп равных машин, ожидающих
ремонта:
т
No =) flPn+n·
- '-'
k=I
(5.2. 13)
205

4. Коэффициент простоя машин
Ко =N°;
т
5. Среднее число неисправных агрегатов
п+т
Np= \"""' kРп..
"' -!
11= 1
(5.2 .14)
(5.2.15)
6. Среднее число занятых _;\ ремонтом операторов или
среднее число ремонтируемых агрегатов
с
111
N3 = ~ !гРп.+с У Pn+R.·
'-"
.._
(5.2 .16)
k=I
lг=I
Пример 2
Для повышения · производительности ·•ру д1 на производстве
устанавливается автоматизированная система управления лроцес­
сами, которая состоит из четырех звен1,ев ( m= 4). Каждое звено
имеет электронно-вычислительную машину и пункгы сбора и обра­
бuтки информации. Питание ЭВМ производ;пся от отдельных агре­
гатов питания. Во время работы а;-регаты пит;~ния могут выходить
из строя н требовать некоторого вре:vrени на ремон r . Среднее время
наработки на однн отка з равно lн = 100 •юс. Ремонт произво д ится
одной бригадой (с= 1). Среднее время восс-:-ановJН:'ПИ5! одного не­
исправно.го агрегата равно tобс= 10 '/ас. 1 !тобы нз-за выхода из
строя агрегата литании ЭВМ меньше простаива.пи, имеются два
запасных (п = 2), ·которые в случае выхода из строя любого из
агрегатов ·п и тания могут мгновенно заме!iять их. Если нет исправ­
ных запасных агрегатов, то машина !IростанвilеТ.
От того, сколько в среднем машины будут простаивать, зави­
сит процент увеличения производи т ельности труда. Положим, ч то
повышение :производи гельности труда про·ilорционально числу ра­
ботающих ЭВМ и выражается зависимостью (в %)
m-N0
лп= т 100,
г .1е N о - сре :и1ее число ЭВМ, простаивающ;1х I'З-за того, 'ПО нет
запасных исправных агрегатов .питан ·ия; т -- число ЭВМ.
Требуется определить процент увеличсн11я r:рuнзводительности
тру да от введенной автомати з ации процес~.;в .
Решение
Величи н у N о О'пределим по формуле (5.2 .13). Но для этого
предварнтельно надо определить Рз, Р," Ps и Рв. Эти вероятности
определпются по формуле (5.2 .12). Сре·~няя плотность потока не­
исправностей равна
Тогда
а=О,04 · 10=0,4.
206

П о формуле (5.2.11) опре.J.елим
1
ро = l+0,4+0,4 (0,4+О,16) +О,4·0 ,4(0, 16 + О,064+0,0256) :::::::О. 5.
Вероятности Р3 , Р4, Р5 и Р6 равны:
р3 = о '16.о '4.о '6:::::::о'038 '
Р4 = (0,4)3 ·0,4 ·0,6 :::::::0,015,
Р5 =(О ,4)4 ·0,4 ·0,6 ~О,006,
Р6 =(0 ,4) 5 ·0 ,4 ·0 ,6::::::: 0,0025.
Отсюда среднее чн cJiD ЭВМ, простаивающ 11 х :1.1-з а выхода из
строя агрегатов nитання, равно
No= 1Р з +2Р ,, +3Р5 +4Р6"'°'0,096.
Тогда пр о ц ент повыш е ния пр о н зводительности труда рао е н
4 -0 ,096
ЛП= --
4- --. 100 =97, 6о/о.
Е сли бы агрега ты не выходИJJИ :в с:тро;~, то прои з nо,:u1 тель­
ность труда увеличила сь бы 11а 100 %. След')r,ате.1ьно, 2,4% поте­
ряно нз-за того, что агрегат ы рабо гают :1 е вполне ·н адежно .
По·смотрим, ка·к уDеличилсn бы 11р о ц~ ; rт nр оизводите11 ьно стн
труда, если работа ЭВМ nро н зз однла с ь без 2я•па 02;-1 ых ·и.сточников
nнтаиия, но на каждой ЭВМ была бы с пон рем о111наn брига да .
В этом случае на каждый источник пита:·I ,·r я ( агрr. га г), как ука за ­
но в задаче, поступает поток неисправно с тей с пл отност ыо
1
Л.0 = 100= 0,01.
Времn восстанов,1ения t.ooc = 1О ~юс. Вер •;н Г111J~т ь выхо д а каж­
.:~ой ЭВМ из строя и з - за н еис пра ано с ти -1г;)·~rата :111та11ия можн о
определить п о фор:11ул е Эрланга, где пара ;.1~тр ао равЕ1"
О:о= Ао·tобс = 0,01·10=О,1.
Тотда
О,1
рOTI< =
-, --
1-+~о~,~1- :::::::0 0, 09.
Отс ю;rа ср е.'lнес •111сло маш·и11, ·np ol:Til!И : 1 1011\11x 11J -:1~ оыхо:\а из
ст роп а г ре rатоп n11т;~пиn, раr,но
No = 4Р0тн = 0,36.
Процент повышения произоодитеJiьности тр уда в этом cJryчa e
буде т равен
4-0,36
дП = 4 · 100:::::::9lo/o .
Таким образом, видно, что произ во.J.нтел ыюс гь труда в этом
случае будет на 6',6% ниже, чем в случае с двумn запасными агре­
гатами питания . .!(роме того, число ремонтных бр и гад буд ет •В че­
тыре раза больше. Имея экономические показаiел11 ( с тоимость з;~­
пасных агрегатов, затраты на содержание ремонтных бригад, ;10 -
ход от увеличения производительное rи ·•ру:r:з), МJ ЖНо опреде:11пь,
какоii из эт11х способов целr.сuобразеп с Ji\о;ю мнческой тсчкн
зрен и я.
~07

5.3. Среднее время работы рабочего элемента до
появления отказа в системе со скользящим
резервом
Для повыш ения надежности систем на практике ч а ­
сто применяют скользящий резерв, при котором в случае
выхода любого из последовательно соединенных элемен­
тов из строя производится замена его запасн ым из им е ю­
щих ся в резерве. Заме н ять неисправные элементы ре­
зервными, восстанавливать их опять и заме нять можно
по-разному. Мы рассмотрим некоторые примеры, наибо­
лее часто встречающиеся на пра ктике . Разновидностей
систем с элементами, которые могут выходит ь из строя
в ~п роцессе работы, и скользпщим рез ервом из п элемен­
тов много. Например:
--
система, в которой при выходе элемента из строя,
производится замена (дублирование) элементом из
имеющихся в резерве. После восстановления неисправ­
ного элеме н та он вновь становится на сво е мес т о, а за­
мещающий его элемент вновь возвращается в рез е рв;
-
система, у которой при восстанов лен ии вышедше­
го из строя элемента обрат 1-1GJп замена происходит толь-
1<0 в том случае, когда дублируемый выйдет из строя;
-
система, у которой 1<аждый резервный элемент
закре п лен за определен н ыми н омерами последовательно
распределенны х элементов.
Для иллюстраци и возможности испо л ьзова ния мето­
дов теории массового обслужива11ия в реше н ни п одоб­
ных пр актических задач рассмотрим приме р по опреде­
лению надежности только одного из п рабочих эле мен­
тов в с н стсме со С!\ользпщнм ре зе рвом 11з т. элеме нт ов
при усло вии , что ре зерв ны е эJ1 еме11ты нсnоJ1ь зуются длп
замены любого другого о т1<азапше rо эJ1е~1е11та_ В ре зул ь­
тате реш ения н еобходимо выяснить, что дает скользп­
щий резерв для повышения надежности выбра нного эле­
мента. Будем в дальнейшем называть его пыделен1-ю~"1
подсистемой. За I<ритерий оценI<и 1<ачестпа фу!l1щиони­
рования прим ем средн ее время работы рассматрива емо й
п одсистемы до получ ен ии отказа. На рис . 5.3 .1 пок азСJ­
на принципиальная схема таJ<ой системы . Решение по ­
добной задачи может встретиться, напри ме р, при орга­
ни за 1\ии связи по п I<аналам, которые раз 11 есе ны терри­
ториально; для повыш е ния н адежности всей системы и
J( а il\ДОГО I<a нал а ИСПОJIЬЗ)lе ТСЯ т рез ер ВНЬ!Х кан ацов .
~08

В этом случае при выходе какого - либо узла из строя
его можно замен ить резервным, если такой имеется.
Канал надолго может выйти из строя, если не будет
13 наличии ни одного резервного.
Пусть расс матриваемая система состоит из п одина-
1<овых элементов . Все они характеризуются одной и той
Ри с. 5.3.1. Схема фующионировання системы со скс; J 1ь зя111. 11 м резер­
вом .
же инт е нснв11 остыо от 1<азов .А.=-1- где l" -
сред11ее
tн'
время н а работ1<и 11а оди11 отI<аз. Рассмотрим парнант
зада чи , t <orдa время восста11опления 13ышедшего 11 з строя
элемента -- веJ1ичина сJiучайная, распределен11ая по по-
1
казательному зю;о н у с 'Пар аме тром ~l= - _- -,
гдеl00~--
t обе
среднее время восста11овления. Для повышення надеж­
носп1 системы 11местся р езерв, состоящий н з т элемен­
тов . При выходе любого элемента из строя его замt-няют
ре зе рвным, если такой имеется . Необход 1в·10 определить
11 адежность работы од н ого канаJ1а с учетом р;~боты эле­
м е нтов о;ользяшеrо резерва . Припсдс\ ·1 рсше11нс, прсд­
JJОженное Б. А. Коз.попы!\1 [l l]. Рассмотрим снача ,'IJ си­
стему с одним резервным элеме 11том, т. е . m= 1. На
рис. 5.3 .2 показана схема такой снстемы .
Введем обозначения:
po(t) - вероятность того, что с11стс!\1а находится
IЗ 11cпpanIJ0!\ 1 состояшш , т . е . псе элементы испрапны;
14 -1444
209

р 1 (t) - вероятность того, что в системе имеется один
(любой из п + 1) отказавший элемент;
Р2 (t) - вероятность того, что в системе имеется два
отказавших элемента, причем среди них нет выделенно­
го элемента;
р; (t) - вероятность того, что в системе имеется i от­
казавших элементов (2~i~n-l), причем среди них
нет выделенного элемента;
Рис. 5.3 .2 . Схема функциощ1ровзния системы с одним резервным
элеме нтом .
Роп,(t) - вероятность того, что выделенный элемент
отказал, а резервный уже работает вместо одного из
ранее отказавши х невыделенных элементов и потому не
может заменить его.
Условия обслуживания примем следующие: при лю ­
бом числе отказавших элементов одновременно восста­
навливаться может только одни из них, т. е. это соот­
ветствует тому , что для ремонта имеется один опера­
тор. Система дифференциальных урав нений , отвечающих
данной постановке задач и, им еет вид:
Р'о (t) =
-
(п+1)J.po(t)+f1P1(t),
Р'1 (t) = -(пА.+ f!-) Р1 (t) + (n+I) ,i .. Ро (t) + fLP2 (t),
р'; (t) = --{[п -(i --1)] J.+ μ} р; (t)+
+ [п -(i - 1)] Лр;_1 (t) + f1Pi+1 (t)
2
t (5.3.1)
при <i<п- 1,
(
Р'п(t)= - (А.+tt)Рп(t)+АРп-1(t),
п
р'0Т1' (t) =А~ pj (t).
i=I
В качестве основной характеристики функционирова­
ния элемента (щщсистемы) принято среднее время его
210

paбdthi Дд fio~iвJiei-rИЯ отi<аЗа . В работе [11] полученьr
следующие з аписимости для среднего премени работы
до отказа выдел енной подсистемы :
п
п n-j
п \1a.i
\1'{l ai
п+ 1 I.JТ!+ L-.J 1J Т!
т
i=O
i=l i=O
1 ==: ---"-
_
-,------
где а=_!::__=~.
Л
Тобс
-
\1 (н- i)ai
лi..J - i-1-
i=O
(5 .3.2)
Форм ул у (5.3 .2) можно упростить, если впссти функ­
цию
\l t-"- as
1(а, р)=I.J - 5
-
1-
•
s=O
Тогда
п-1
11~1l(а,11)+~l(а, i)
Т =-1-
i=O
1
Л nl(а, 11-1)-al(а, 11-:Z)
(5.3 .3)
Функцию l (а, р) можно выразить чере з 11зпестную
неполную гамм а-функцию
l (а, р)= l --[f(u, р),
.где
а
u=---
tfp+I
Функшr11 [f(u, р) является табулиропанной , значения ко­
торой можно опредеJiить по табJiицам (24].
Если отношение rзремени наработки на один отказ
к rзосстановле11ию по много раз превышает число посJiе­
довательно соединенных элементоп, т . е . н::Рn, то из
(5.3 .3) можно по л учить приближенную оценку для
з +а.
Т1=Л(п+!).
(5 .3 .4)
А бсолютная ошибка формулы (5.3.4) имеет порядок
л ~ 2 (-2112 + 511-З)
-
Ла(п+ !)
·
14*
2)1

Пример '1
Н а лредnрияти11 1н1еется пять аrрегатов (n = tJ) . .которьiе имеют
свои идентичные источн ики электропитанш1. Время от временн
н сточни1ш могут выходить из строn. Опыт ПО!{П.Зil .1, что в среднем
в ремя наработкн н а однн отказ для каждого .ю н их равно fн =
=
ЮО час. Время во сстанов л е ния вышещше:о из с1ро я источн и.ка
электроп ит а н ия распр еделен о по показател ыrо:vrу зако ну. Оно зави­
сит от множества случайных факторов : х;~рактерз аенсправности,
ква л ификацнн ра бочих ремонт ной бриг;щы и ч:руг 11Х. Среднее зна­
чение параметра μ = 0,1 .
Когда нс т очн;тк электропи тания неиспра з=н, arpe· raт н е рабо ­
тает . Для повы 1.1.1 е н 1н1 общего времени работы с,_грегатов р ешен о
иметь один нсто1 ; 11 1 1 к п:пан·ня в ка 11естче ско;r1,.шщс;-о резер ва. Тре­
буется о предел и ть на ;\ежн ость 01абж ен"ш ''~'"'"сс р опн т ани ем каждо­
го агрегата .
Решение
Опред ел11м пара.1r етры
1
А=~=ОО!
fн
'
μ.
о'1
а= т =о,01= 10·
По формуле (5.3 .3) .находим среднее во.см:~ ра1бот ы агр егата до
е г о оста н от<и из-з а IJыхода из строя r!СТ>J'1 ника ·ri.:i1 юшя и н евоз­
можнос т и заме ны его резерв нurм11 , так v.ак он у же исп ользован
вместо ра н ее вышедшего:
[5(
1ООО 1ОООО 100ООО )
т1 = 1со 6 1+ 10+ 50+-6-+"2-Г+120 +
(
1ООО 1ОООО) (
1ООО)
+ 1+ 10+50+-5-+"2.Г + 1+10+ 50+ -5 - +
+< 1+ 10+50)+(1+10)+1]: [o.01(s+4· I0 +3 -5o+
1ООО 1ОООО)]
+ 2-6
- +24 ~267 час.
Этот расче т п оказа л преимущество .:колпзпщесо рtз ерва . То л ь­
ко один дО'ГIОЛН JПеJiЬНЫЙ ИСТ0 1 !Н И К электро«lИ Тi!ННЯ, СJl уж а щ 11й в ка­
ч естве С1(Оль з ящег о р езерва дш1 шпи дrрег<t Г'JIJ, :IОi!ы ша е т сре ;\ нее
время работы хаждого ·из агрегатов со 100 до 267 час, т. с. более
чем в 2,5 раза . Определ им, насколько уменьшн;1 зсь !3ероятность вы ­
х од а и з с троя аrре:-ата при введении одного аrrега. та в ·качестве
с кольз ящег о резерв а . Средняя вероятно сть :JЫХl)Да из строя агрег а ­
та может быть опре,-1.елена по формуле
itoбc
Ротн= - +
tiн t'обс
Тогда вероятность отка з а агре гата для <:луч ая, когда нет резерв­
но го ж регата, будет равна
10
Ротн = ПQ "':::О ,099.
212

hри на.тiичии одного источнИ1{а питания в качестве скользящего
резерва вероятность в ы хода из строя :5удет соовстств е нно р авна
10
Ротi<р = 267 + lO :=:::::: 0,036.
Т аюгм образом, при введе шн1 с;ильзящi:~о резе~;ва из одного
источниха питан·ия вероятность отказа уменьш :iлас:, с 9,9 до 3,6%
Если •провести расчет ·по прнбл иженн о 1~1 1_j.>0 р~1уле (5.3.9), то nоJJу­
чим, что средне е время до выхода агрегата ра;з ,10
13
Т:=:::::о Ol-6=217 'laC.
С увеличением а ошибка уменьшается . Следователь­
но, для примерных расчетов можно использовать прибли­
женную формулу . При числ~ резервных элементов бо­
лее одного, т . е. т> 1, среднее время работы до отказа
выделенной подсистемы (рассматриваемого элемента)
определится из за висимости
T={lea[nl(a, n-I)-al(a, п-2)]}- 1 Х
X jl(a, п+т)-l(а, п) · ll( -!)+
\
п.а,п
\
an
п-1
+e" ~l(a, i)+[ : - l(a, n-I) -
i=O
п+1п
-l( _ 2)] ~ l(a, п+т)-l(а , i) ·rt
а,п
.
i.
1..
t..J
(J.1
(5.3.5)
t=:.n
Если выпол ня ется условие
a» n+m,
то из (5.3 .5) можно получить приближенн у ю формулу
для определения Т:
nl ат
( !+2+т\
Т~ А(п.+т)I
а)'
(5.3.6)
Абсолютнап ошибка формулы (5. 3 .6) при m > 2 име­
ет порядок
п!am-2 (пт+т2+т- 4n2+!2п-5)
л~
()
.
лп+т!
При m=2 абсолютная ошибка имеет порядок
-Зп 2 + 17п+з
д:::::::: Л (п + !) (п +2)
21::\

f'1ро ил.тi1острир уем примеI-iенr1е полученных зависиМJ"·
стей на примере.
Приме,р 2
На з аводе установлен сложный компл·!;<с ра!шоэ.1Е·1про1нюii ап­
паратуры по управлению десятью автоматизированными линиями,
который и меет для каждой и з них блок уrJравл:.>ння. Эти блоки
могут выхо;~11ть из строя и требовать неко 1·oporo u1Jеме11и па ре­
~!о нт . Опыт эксп.11уатац11и :п о казilл, что время наработкн н а один
отказ Lп= 1 ООО 1шс. Сред1rее время поссг.:~ ;r овJJе11.;н1 олноrо блока
раоно lвnc = 1О 1ta.c . EcJ111 не работает хотя бы одна а1'томатизнро­
ванная лнння, то нарушается технологич~ский щ1оuесс. Для повы­
шения надежности решено ввести сколь1н11пй резерв. Требует·ся
определнть, какое миню1алы10е количе;:тво блоК(IВ у правления не­
обходимо использовать дополнительно в ка r г: пе с:'ользнщего ре­
зерва, чтобы вероятность нарушен·ия технолсJГИчt>ского ·процесса не
превышilла 1% (т.е.Ротн=О,01).
Решение
Определяем параметры системы
1
Л =-=-=О 001
t'н
'
'
1
fJ.= --- = 0,1.
rвос
На вероятность наруше!lня
ты каждого блока. Прн этом
nроце;:са пл;1;1ет надежность рабо­
можно )аn •·1 :а.-ь (: ледующую зави-
сим ость:
(5.3.7)
где Ротн - вероятность нар ушен ия технологического процесса;
Poт1t l - вс р оят н ос1ъ выхода из строя отдельного блока у прав­
ления, которая определяется по формуле
tвое
Рат~<1 = +-
t'н Ьвос
(5.3.8)
п - число автоматических линий (и,1н чи.;:: ;rо :;ло!,ов управления,
приводящих в работу автоматическ;~е лиюr;i).
Из формулы (5.3.7) определим верояТ'!,хть отказа одного бло­
ка управления, которая обеспечит общую вер;,ятно;::ть технологиче­
ского процесса, равную 0,01:
0,01=1- (l -Ротн1) 10 ,
откуда
Ротн 1 = 0,001.
Тогда ·no формуле (5 .3. 13) имеем
10
0,001= t•+10
Отсюда среднее время выхо;~а одной j JJШl!И из сроя из-за от­
каза блока управления должно быть равно
_t•н =9090 час.
214

Таким образом, з а дача свелась к следующему: определить чис­
ло блок ов управления в скользящем резерве, чтобы выход из строя
каждой и з обслуживающейся л инии наступал :з с р сд11ем не ранее,
чем через f*н=9 090 час. Для это.го, зада1н1я ря ;1 -:.на чений в ели ­
•1ииы m= 1, 2 ..., по формуле (5.3.6) о,пред<>лчм Rеличину Т в за­
висимост и от числа резервных -блоков т. Ilpи т~ 1
10! 100 (
3)
Т= О'001.11! 1+100 ~9364 час.
Следовательно, наличи е уже одного дополнительного блока управ ­
J1ения, включенного в скользящий резерв, дает повышение надеж­
ност и работы автомати зирова нного ком пл екса до з ад анн о го уровни .
5.4 . Учет надежности приборов в смешанной
многоканальной системе
Рассмотрим примеры решения вопро сов оценки на­
дежности функционирования многок аналь ных систем
массового обслужива ния. Математич еский аппарат для
определения основны х х арактеристик функционнрования
систем разработан применительно к различным огран и ­
чениям, налаг аемым на поведение поступивших за я вок
в очереди или сист еме. Такие ограничения могут б ыть
следующими:
на время пребывания заявю1 в о чер еди ,
-
на время пребывания заяв ки в с ис те м е,
-
на длину очереди и др.
Выход приборов и з· строя одина1<ово воз мож е н как
в период обслуживания, так и в период бездействия.
При этом могут встретиться следующие раз новидности .
Обслуживаемая за я в 1<а при выходе п ри бо ра и з строя
может покидать систему даже при услови и, что были
др угие свободные приборы, или т а1<ая зая вка может
быть передана на дообслужи ва ни е любому свободному
прибору. Первая ра знов идность зада ч н для системы с от­
казом была решена Т. П. Марьяноn ичем [15] . Рассмо­
трим случай, I<огда по ступившая заяnка , заст ав nce при­
боры за нятыми или находящимися в состоянии ремон ­
та, остается ожидать обслуживания, прич ем время ожи­
дания ограничено некоторой величино й.
Ограничение на время пребывания в очереди. Пуст ь
зада на с истема обслуживания, состоящая и з п одина-
1щвых по прои з водительности приборов , в которую по-
215

ступает простейший поток требований с интенсивностью
'А. Заявка, застав все приборы занятыми, становится
в очередь и ожидает начала обслуживания. Время ожи­
дания ограничено случайной величиной, которая распре­
делена по показательному закону с параметром v =
1
-
=-~--, где t 0 ш - среднее значе ни е времени ожидания.
t·ош
Время обслуживания од ной заявки также случайно и
распределено по показ ател ьн ому закону . Среднее зна ­
чение времени обслуживания для всех приборов одина­
ковое и равно lобс ·
Для удобства и простоты решения принимается пред­
положение о показат ель ном распр еделении nремени об­
служивания и ожидания. Однако в дальнейшем методом
статистических испытаний будет показана справедли­
вость конечных форм ул, полученных для ст ационарных
условий, в тех случаях, когда величины fоб~ и fom под­
чинены законам распределения, отличным от показа­
тельного. Обслуживающие приборы время от времени
выходят из строя и сами требуют некоторого времени
на восстановление. Вероятность выхода обслуживающе­
го прибора и з рабочего состояния за время Лt равна
аЛt +О (.Лt). Эта вероятность стационарна по оси вре­
мени, не за висит ни от того, сколько приборов находит­
ся в ремонте, ни от того, обслуживает ли в данный мо­
мент прибор заявку или тоже свободен, ни от того, когда
прибор начал работать. Вышедший из строя прибор вос ­
станавливается одной бригадой (оператором). Одновре­
мешю может ремонтироваться только один прибор,
остаJ1ы-1ые 11 е и с пр аnные приборы ожидают своего ре­
монта. Время, необходимое на приведение вышедшего и з
стро51 прибора в рабочее положение, расп ределено по
1
-
показательному зако н у с параметром у= _--, где tnoc -
tлос
среднее время р емо нта прибора. Если прибор вышел и з
строя в момент , когда он был за ня т, то обслуживаемая
им заявка теряется.
Введем следующие обозначении:
Pij ( t) - вероятность того, что в момент t в системе
обслуживания им еется i заявок и j приборов на ходится
в ремонте;
Pi(t) - вероятность того, что в момент t в системе
имеется i заявок.
216

Тогда, очевидно :
и
00п
~.),PiJ(t)=1
..............
i=O j=O
п
2.: Pij(t)= Pi(t).
j=O
Вероятностные состояния описываются следующей
системой дифференци ал ьных уравнений, в ывод которых
приведен в приложении 3:
Р'о(t)= - А.ро(t)+[Р1(t) - P1,n (t)](f1+а)+Лр1,n(f),
п-I
п-1
p'i(t)= -A.pi(t)- itJ-2:Pi,j(t)- ia~ Pi,j(t)-
j=O
j=O
п
п
-f1 ): Pi,j(t)(n-j)-v L Pi,j(t)(j-п+I)-
j=n-i+I
j =n-i+I
п
,..,
-
а 1...J
j= n-i+I
Pi,j (t)(п- j)+J..pi-1(t)+
n-i-I
+11-(i+l) У Pi+1,j(t)+
~
j=O
п-1-1
п
+a(i+I) L Pi+1,j(t)+f1 2: pi,j(t)(n-j)+
J=O
/=n -i
п
+а L: Pi+i.j(t)(п- j)+
j=n- 1
п
+ v ~ Pi+1,j(t)U-n+i+l)
(5.4 .1)
j= n-i
при l~i<п,
п
P'n+s (t) .
-
},Pn+s (/) - 1-1 ~ Pn+s,j(t)(n- j)-
j=O
п
п
-
V LРп+s,j (t) (s+j)-аLPn+s,; (t)(n-j)+
i=O
i=O
217

п
+'APn+s - 1(f)+1.1 ~ Рп+s+1, j (t) (n - j) +
i=O
п
j=O
п
+аLРчs+1.j(t)·(п - j)
i=fl
при s~!,
1
где μ.= fобс .
Обозначим чере з :rf..i (t) вероятность того , что в мо­
мент t ровно j приборов находятся в нерабочем состоя­
нии. Тогда можно за писать:
Pij(t)= Pi(t)1tj(t).
(5.4.2)
Для стационарного решения, т. е. после предельного
перехода при t--+= , имеем
Pi=limPi(t)
f_,,, c/,J
и
1tj = liш 1tj (t).
t ~CJ:J
Тогда производные будут равны нулю и м ы получю1
следующую систему алгеб раических уравнений:
1.
-
},р0+Р1 [μ. (l - тrп) +а(!
-
тс11) + V7tn] ==О,
2.
-Pi{л.+iμ.~>J+ ixg:1tj+
п
п
+fL ~ 11J(n-j)+v ~ 7tJU-n+i)+
/=n -i+I
i =n-i+I
+а i=~i+l 7ti(n-j) }+л.Pi-i+
+ Pi+1 {μ (i + !) n~~-I 1tj+ и+1) а n~~I ТСj+
п
п
+μ I тcJ(n--j)+v ~ тcj(j-n+i+I)+
j=n-i
i=n-i
+а .~
. 7tj(п- j)}=О, О.;;;;;i<п,
1=11-1
(5.4.3)
218

3. -Рпн{~+I' to '1t;(n-j)+vt
0
тc;(j+s)+
+а t0
'1t; (n - j)} + A.Pn+s-i +
+ Рп+s+1{μto1tj(п- j)+ V~о 'ltj(j+ s+ 1)+
+а~о'ltj(п- j)}=О, s~О.
Введем обозначения:
п
+v ~ 'ltj(j-n+l)+
j=n-i+l
+ ia~i'ltj+ а t теj(п~-j)11,
j=O
IJ=n-i + 1
Zn+s == A.Pn+s- 1
-
Pn+s{μto'ltj(п- j)+
+v)", 'ltj(j+s)+а{,'ltj(п-j)}·
-
~
j=O
.
i=O
Тогда систему уравнений (5.4.3) можно записать в виде:
21 =0,
)
Zi=Zi+t•
Zn+s = Z11+s+1·
(5.4 .4)
Отсюда решение системы (5.4.3) получится следую-
ш.им:
Pi= п-1
п
ЛРt-1
п
... _.
ifJ- ~ 7t:J+fL ~ п;1(п- j)+v ~ п;(j-n+i)+
J=O
J=n-1+1
f=n -1+1
-+•. ·-----------
п
n-i
(5.4.5)
+а ~ 7tj(n-i)+ia ~ 7tj
J=n-l+l
j=O
219

р
ЛРп+• . 1
n+s==---------'-'-'--'-~-------~
п
п
п
~
~,
~
/J.~ 'ltj(п- j)+у2..J 7tju+s)+а~ 'ltj(п- j)
j=O
j=O
i=O
Введем обозначения:
л
р-­
-~,
а
q=~,
~= -v'/J.
o==_l_·
Р·
(5.4 .6)
То гда можно за писать следующую зав исимость для
определения вероятности состояний систе мы:
-+·..-
----------' 1<i.,;;;;; п,
+~ ~ '-j(k+j- п)}
j=n-k +I
(5.4. 7)
р_
pn+ sp0
n+s-п{
n-k
~1 k(l+q) ~o'ltJ+(I+q) Jlk+litj(n-j)+
... _.
п
п
}х
+ ~J=~k+Iitj(!г+ j - п)
~···
х
l
~1{ (!+ q) toitj(n-j)+~~оitj(r + i)}
(5.4.8)
Значение вероятности Р0 определяется из нормирую­
щего условия
Вероятность того, что j приборов находятся в неис­
правном состоянии, можно определить по формуле, при-
220

веденной в работе Б. В. Гнеденко, И. Н . К:оваленко [8]:
(+У
'ltj= ___ п
_______
(5.4 .9)
(п - j) ~ (+У -o(_n_k~)-,-!
k=O
Вероятность того, что заявка поюшет систему об­
служенной неполностью, определим как отношение сум­
мы среднего числа заявок, уходящих в единицу преме­
ни из очереди по окончании времени ожидания и поки­
дающих 01ктему в результате выхода из строя тех
приборов, которые заняты обслуживанием, к среднему
числу заявок, поступающих в единицу времени в систе­
му:
р -~[M(i)+M(s)]+qM(q)
от11-
Р
,
(5.4 .10)
п
п
м ~р ''·.
('+.
)
где
i=2.
,;l
i
J - п 'ltj -среднее число зая-
i= 1 i=n-i+I
вок в очереди, когда общее число их не более п;
M(s)=c ~1 Pn+s [s+ ~/'ltj]
-
среднее число заявок в очереди, когда общее чи­
сло их в системе более п;
00
п
+~Pn+s~(n- j) 'IVj
s=I
j=O
-
среднее число · обслуживаемых системой заявок
в каждый момент времени.
На рис . 5.4.1 . и 5.4 .2 показано влияние надежности
и ремонтоспособности на пропускные способности рас­
сматриваемой системы при n= 1, ~=0,5 и р= 1. К:ак
видно из рисунков, увеличение отношения среднего вре­
мени обслуживания к среднему времени выхода прибора
из строя
резко ухудшает пропускные
221

способности системы. Увеличение отношения среднего вре­
мени обслуживания к среднему времени восстановления
от О до 0,5 сначала значительно снижа ет вероятность
отказа, а затем увеличение этого отношения н а чина ет
все меньше сказываться на уменьшении вероятности от-
атt
____ .__
о
0,5
1~
Рис. 5.4 .1 . Вл~1пш1е е:ред11 его
времени выхода прибора из
строя на его пропускную спо -
собность.
__......
о
0,5
1(j
Рис. 5.4.2. В л иян и е работоспо­
соб1юсти прнбо ра на его про­
пускную способность.
каза, которая приближается к вероятности отказа для
абсолютно надежных приборов.
Если за ранее рассчитать по формуле (5.4.1 О) зависи ­
мости вероятностей отказа от параметроn надежности
и ремонтоспособности и построить графики, аналогич­
ные предст авле нным на рис. 5.4.1 и 5.4.2, то можно до­
вольно просто и быстро решать большой класс задач
с учетом выхода обслужиnающих приборов из строя .
Полученные зависимости были выведены в пр едположе ­
нии показательного распредеJiения времени обслужива­
ния fобс и времени ожидания заявки в очереди l0 н1 .
Однако, 1<а 1< показали исследования, проведенные мето­
дом ·статист ических испытаний, результаты, получаемые
по формулам (5.4 .7), (5.4.8) и (5.4 .1 О), остаются спра­
ведливыми в некотором диапазоне изменения параме­
тров и при распределении времени fобс и t 0 m по законам,
отличным от пока зательн ого, но с конечным математи­
ческим ожиданием.
222

Исследования проводились в следующем дна1н1-
зо 11е и зме нения величин: 0,1::::;;р::::;;10; 0,3 ::::;; ~::::;; 10;
O,l ::::;; q::s;;l; O,l::::;;o::s;;I.
В табл. 5.4.1 представлены некоторые варианты рас­
четов при 11.=I, Л=l,14 и 1~=0,33, выполненных мето ­
дом статистических испытаний и по полученным форму­
лам .
Как видно из таблицы, результа ты расчетов, получе1!-
111,1с методом статистичес~шх испытаний длп других за­
тюнов распределенип Lобс и f 0 m, показыuают, что исполь­
зова ние полученных зависимостей в этом случае дает
вполне приемлемую для практики точность.
Таблица 5.4 . 1
Варианты
Закон распределе-
q=0 ,24; а=О,56 р= 1,14
q=O , 12; а=О,28; р=О,57
ния времен
tобс и tош
1
1
статисти( 1.
по формуле
статнстич.
по формуле
(5.4. 10)
(5.4 .10)
р
Показательный
0,451
1
0 ,276
авномерный
0,453
0,284
Нормальный усе-
0,441
0,443
0,279
0,297
ченны~'i
р елея
0,449
0,294
При постоянном
0,444
0,298
з начении
Пример 1
Длн управления прои>GодстGенным : 1р;щ еr.с:> м используется
ЭВМ, которая обрабатывает. поступающую 1 111r\101)ма~111ю о Т1роте-
1<анн11 'Прои з водственного проц е сса и реш<1ет в соответствии с по­
лученной информацией зада ч у об измененни пэ1иметров ~процесса
для дост ижения максимяльной производителы101: ги. !IoтO'I< инфор­
мации пуассонов с кий ·С параметро'11 Л= 1 ш1ф/ 1юr:. I:::сли информа­
ция застанет машину . занятой обработкой г1 рс ;1ше~т~ующей инфор ­
мации, то она ·становится в о ч ередь (заа!1сыuзе г сR :i память). Вре­
мя ожидания в очереди огранис1ено некот'Jрой не.'iи•1иной t ош =
=0,2 •1ас, так как информация со времсасм тсμяе" свею ценность.
Время обрабо11ки одной группы информации и решения задачи по
корректировке ·про ц есса з ависит от многих факторов: характера
п оступаю щей информации, времени решен;1я з'l,:~:зчи ло данной
информации и т . д. Примем, что время обработ"и информации
имеет пока з ательное распределение с параметром μ= 10, т. е. tобс =
= 0,l час. ЭВМ время от времени д ает сбои 11 ныходит из строя.
Среднее время наработки на один отказ ;~а~зно tп = 1 час. ~Время
на устранение неисправносги сос тои г в ос11ов 11 0:\1 нз времени по­
иска неисправности, так как ремонт произ1JО J, ится методом замены
неисправного блока, и равно tn oc= 1 час. Как в..~д но , Рремя вос­
становления очень большое и его необходимо уменьшит ь . Для это-
223

r·o может быть использован метод автоматического Поиска не1i с­
пра пности, что знач1пельно сокращает ;зре\·1я r,ссс1а11овлепи51 i11а­
шины. Однако этот метод свнзан с увеличе н ием обы:i11а радиоэж~\(­
тронной аппаратуры, который приводит к У:\О/J•)Жанню ремон т а.
Прим ем, что стоимость дополнитель ного объема аппаратуры, ко­
тора51 может быть исп о.%зована для осуществлення а1Зтомап1чсс;и ­
rо поиска , зависит о 1· времени понска
100
Сдоп=
"*
,
• вое
2,3 + ln -:: --1}
1ЗQ 1.;
(а)
rде l"нос - время на восстановление в ~Jе зу льтнте применения не­
ко т орой а ппаратуры для осущести.с,ен:н1 э11томнта•1fJСJ{оrо поиска.
Есю1 будет обраGота на вся 1юступаю11\ая на ЭВМ ннфоро~ а­
ци п, то автоматическое уп равление процессом даст мa 1 (Clli1Ia.11ы-10e
попыше1н1е проfl зводительност и труда. При у"с1 1 ы1 1Е·1;ни 1\0.личества
обрабатываемой информации процесс ;цет · i·ieн~e эффективно по
сравнению с ма](снмальными возмож;-10.ссн">•IИ !J пре .:щμшпие терпит
убыток. Зависимость величины nонесенiJЫХ убыткоIJ от вероятности
обработки каждой порции инфор мац ии мож1ш орие 1-пнро1юч1-10 (д..·111
примера) предс тавить в пиде
CyG = !00 · Ротr<,
' (б)
rде Ротк - вероятносгь отка з а в об ра бот"е ипфор:,1а ц и и.
Требуетсн определить степень аIЗтома 1;н Щ!IИ п:>ис'l<а возн1шаю­
щ1·1 х неисправност ей, ч т обы суммарные затраты на производст13е
были миннмальнымн.
Решение
Суммарные затраты производства будут ('О~тоять из потерь,
возникающих в результате невоз:.1ожности оGр<J.б.1.r3ть всю посту­
пающую ин·формацию, и затрат на ре:v10;1т ЭB!VI. От сюд а можно
зап исать следующую зав иси мость для суммарных зат р ат в р езут,­
тате ненадежной работы ЭВМ:
С=Сдоп+300Ротн.
(в)
Определим составляющие стоимости. Для этоrо [;ыч н сли:11 па­
раметры системы:
tобс О, 1
р=Лtобс=l·О,1 =0,1; ~=-"-=-
0=05;
tош ,2
'
f oGc
О,]
q= tн
=l
=
О' l.
Начальный параме тр
ЭВМ, до осу щ ествлення
равен
о , хараi<тер;1зующ;1i1 f1<:"•101псс п особ11ость
автомат11ческо•о 11011:ка 11еисправност: 1
о= ~обе =°-J. =О, !.
t'.вос
1
Очевидно, что с уменьшением врс:v~ени восста 1-10r<ле ния будет
увеличиваться величина о, поэтому, задавая ряд з н ачений .б , рас­
сч ита ем вероя тн ость отказа в обработке информации. Результаты
расчетов предстаплены на рис. 5.4.3 . 3ависшюст:1 Jатрат на до-
224

IJОлнительную аппаратуру, осуществляющую автоматический
поиск неисправности, и убытков от потери информduии, рассчитан­
ные соответственно 'ПО формулам а) и б), представлены на
рис. 5.4.4 и 5.4.5. Используя полученные з11зисимости, определим
по формvле в) суммарные издержки. Резу.1ьтаты расчетов пред -
Рот к
0,5
"--
---'-----'-----'------'----_.L__,,__
о
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5 о
Рис. 5.4 .3 . Зависнмость вероятности отказа Рот" от времени 13ОС­
становления.
Саоп
?.50
100
/
50
/
___
L,____l _ _. __ __....J__
-->о--
о
0,7
0,2
о,з
о,ч
о
Рис . 5.4 .4 . Заоисимость дополнительных з атрат на аппаратуру аото­
ма т нческого поиска от времени поиска неиспраоности и ее оос ­
·станооления.
15-1444
225

ставлены 11а рнс. 5.4 .6 . Как видно из ги~у<l!{а, на:~более подходя­
щ им зна ч ением для времен·и по и ска не;fс!1рамюстн является ~пара ­
метр . с5=0,3, что соотвектвует зремени нос~г:шов ления tвос =
=0,33 час. Таким образом, объем а:шараrуры автоматическо го по­
ис1<а неисп равности должен быть таК;fМ, <; rобы зремя восстанов ­
леrr1нт было равно 0,33 •tac, т. е. в З Dаэа м~нLше по сравнению
720 -
80
чо ~-- ~-----'---__JL__
О
О,7
0,2
0,З
_
J______ - L-- --
0, <1
U,5 о
Рис. 5.4 .5 . :Jавнснмость сто 11111 ости потерянной инфо рм ации от време­
ни понска неисправности и ее посстановления.
с
150
""U N
100 ____l ---~---е-----'--- _J _ _
0
0,1
0,2
о,з
0, '-1
0,5 rJ
Рис. 5.4.6 . .Jавис11мость суммарных издержек от времен и поиска
неисправности и ее восстановления.
с имеющимся . Дальнейшее уменьшенае времен;~ Fосстановления,
если стоимость аппаратуры определяется зависимостью а), нецеле­
сообразно, так как эю обходится очень дорого .предщриятию.
Ограничения на длину очереди. На практике довольно
часто встречаются случаи, когда обслуживающая систе­
ма имеет ограничения на число клиентов, ожидающих
начала своего обслуживания. Примером может служить
226

мастерская, в которой количество принимаемой в ре ­
монт аппаратуры ограничивается из - за ограниченного
объема складского помещения для ее хранения. Дру·
гим примером может быть бензозаправочная колонка
с ограниченной площадкой для стоянки машин в очере·
ди. Поэтому возникает необходимость в решении зада­
чи по оценке функционирования систем с ненадежными
приборами, в которых поступающие заявки на обслу ­
живание становятся в очередь только тогда, если в них
имеется менее N заявок. В противном случае заявки по ­
кидают систему и считаются потерянными. Если же за ­
явr<и попалн в очередь, то они дожидаются начала об­
служивания . Остальные параметры системы , касающие­
ся надежности, ремонтоспособности и производительно­
сти, остаются аналогич.ными параметрам систем с огра ­
ниченным временем ожидания заявок в очереди для
ненадежных приборов .
На основании приведенных условий фушщионирова­
ния системы каждая заявка, попавшая в очередь, не
покинет ее до начала своего обслуж:ивания. Тогда v =О.
Вероятностные состояния этой системы в стационарном
режиме могут быть описаны такой системой алгебраиче­
с ких уравнений:
-
АР0+Р1[ft(1 -
'1tn) +а (1 -- '1tn)] =О,
- Pi { i+i (μ+а) %>j +(μ+а) J=~i+I'ltj (п-j)}+
+A.Pi-1+Pi+i {(а+р.)(i+1)n~-I'ltj+
\
}=0
+(μ.+а) J~-IТСj (n-j)} = О
при O~i<n,
(5.4 .11)
-Рп+s {i+ (ft+ а) t '1t;j (п - n1+
i=O
J
п
+APn+s-i+Pп+s+ 1 (μ.+a)~ тr:3(n-j)=O
J=O
при O~s<N,
п
-Pn+N(p.+a)Y, 1tj(n-j)+A-Pn+N- 1=0 .
/""'О
227

Решение системы уравнений (5.4.11) даст следующие
зависимости:
1. Вероятность того, что в системе находится i заяво!<
(O~i~n+N):
при 1< s< N. (5.4.13)
2. Значение вероятности Р0 определится из норми­
рующего условия
n+N
~ Pk.=l.
(5.4 .14)
k=O
3. Вероятность того, что заявка не будет обслужена,
равна вероятности потери ее либо из-за выхода обслу­
живающего прибора из строя, либо из-за наличия за­
явок в очереди
р - qM[q]+рРп+N
от11-
Р
'
(5.4.15)
где M[q]- математическое ожидание числа заявок, ко­
торые находятся на обслуживании в данный момент.
4. Величина M[q] определяется из зависимо сти
М[q]= ~1ph.[k~:7tj+l=~k+1(п- j)7tj]+
N
п
+LPn+s L(п- j)7tj.
(5.4 .16)
s=I
]=0
5. Вероятность того, что заявка не попадет в очередь
из-за наличия в ней уже N заявок, равна
(:5.4 .17)
228

6. Вероятность того, что заявка попадет в систему,
но не будет обслужена до конца из-за выхода обслужи­
вающего ее прибора из строя, определяется по формуле
р =qM [q]
(5418)
но
р
•
••
7. Среднее число заявок, находящихся в системе,
определится по формуле
п
N
Nc= ~ kPkтrп-k+ 1 sPk+
k=I
s=I
N
п
+L Pn+s 1: kтrn-k•
(5.4.19)
s=I
k=I
Пример 2
Для выборо 1 1 ной проверки качества выпускаем ых изделий на
пред приятии имеется автоматизированный контроль но -проверочный
комплекс. Он устроен так, что в нем одновременн о могут находить­
ся не более трех изделий, одно и з которых нах одс: тся на проверке
(n= 1) соответствия основных параметров издел ня за данным, а два
ожидают проверки (N = '2) . Если очередное выпускаемое издели е
застанет в контрольно-проверочном комплексе три изделия, то 0110
поступает на склад без проверки .
Время mровер1<и одного изделия в срецнем t,,Gc =0,5 час. Пред­
п риятие выпус1<ает в среднем около двух нзделий в час ('Л.=
=2 изд/<tас).
Контрольно-проверочный комплекс время от време нн выходит
из строя. Сред н ее время безотказ ной работы равно 10 час. При вы­
ходе из строя контрольно-проверочного комплекса изделие, кото­
рое находилось на проверке, поступает на склад неполностью про­
веренным.
Среднее время восстановлення контрольно-:проверочного ком­
nлек<:а равно одному часу (lnoc = 1 час) . Требуе1'ся определить:
а) средний процент nро аерен ных издел:-~й;
б) средний ~процент неполность'о 11ров,~l) епных изделий из-за
выхода КПК из строя;
в) среднее число изделий, находящих:я в }(ПК.
Решение
·Определяем ·параметры системы
Р= Лi1обс = 2·О,5= 1,
i'-обс 0,5
q=&=w=o,o5,
а=i1обс=0,5=о 5.
F.иос 1
'·
229

По формуле (5.4 .9) определяем зt0 и п1 :
1
тс0 = ---::::,;О 9
q
'
'
~+т
ТС1= 1 - ТС0:::::00,1.
Для определения вероятности отказа ао формуле (5.4 .15) не­
обходимо знать величины Р1, Р1+1 и Рн2, которые определим по
формулам (5.4 .12) и (5.4.13):
рРо
Р,=(l+q)тто :=::::1,05Р0 ,
р-
р2Ро
1+1- (l+q)no(I+q)no :=::::l,J2Po,
р-
раРо
на- (l+q)зп~ :=::::1,20Р0•
Вероятность Ро определим из нормирующего условия (5.4 .14)
1=Ро+Р1+Рн1+Р 1+2=Ро+1,05Ро+ 1,12Po+l,20Po=4,37P0 ,
откуда
1
ро= 4 37~о'23.
'
Тогда
Р1=0,24, Рн1""0,26, Р1н~О.28.
Определим величину M[q] по фор"1уле (5.4 .:6)
M[q]=0,24 · О,9+'(0,26+0,28)0,9~0,7 1 .
Тогда вероятность отказа в проведении контро.~я будет равна
р 0,05. 0,71+1 ·0,28
от~=
l
:=::::0,32.
а) Таким образом, ср едне е число проверенных изделнй будет
равно
Робе= (1-0,32)· 100 = 68о/о.
б) Средний процент неполностью обслуж<>ННЫ'( нзделий опре­
делим по формуле (5.4 .18)
0,05. 0,71
Рно =
1
=-:::: О,04,
т. е . около 4% изд ел ий покинет КПК: неполностью проверенными
из-за возникновения неисправности.
в) Среднее число изделий, которое наход!пся в контрольно­
проверочном комплексе, определим по формуле (5.4.19)
Nc = Р1п0+ Р1+1 + 2Р1+2+ P1+11t0+Рн2п::::::1,53,
т. е. около J ,~3 11здел11я r< сре.1. 11е~1 будет нахо.:щться в rковтрольно­
пров ер очном ком-плексе. Из них 1153-0,71 =0,82 изде.1ий будет ожи ·
дать в О'череди нач .ала пров~рк11 .
~30

5.5 . Повышение надежности системы путем
резервирования с восстановлением
Компле1<сная автоматизация производственных про­
I(Сссоrз стаrзит пер ед управляющими устройствами исклю­
чителы-ю ответственные задачи, которые должны ре­
шаться безупречно в течение всего периода работы авто­
мати11еской линии, аrзтоматизированного цеха или пред­
приятия. Перерыв в работе того или иного узла мщкет
привести к частичному, а часто и к полному прекраще­
нию работы производственного процесса. Поэтому сле­
дует стремиться к тому, чтобы крупные комплексные ав­
томатические агрегаты (машины) были максимально
безотказны в работе. При этом следует обратить вни ­
мание на то, что с усложнением аппаратуры для повы­
ш ения ее безотказной работы резко увеличивается ее
стоимость. Отсюда возникает вопрос: каким путем це­
лесообразней повы сить надежность аппаратуры:
повышением надежности отдельных элементов,
-
выбором режимов работы,
-
резервированием и пр.
Рассмотрим последний путь. Резервирование являет­
ся одним из основных методов повышения надежности,
который позволяет по крайней мере теоретически безгра­
нично повышать надежность. В зависимости от того,
в каком состоянии находятся резервные элементы до
момента их включения в работу, резервирование элемен­
та делится на несколько типов:
а) Нагруженный резерв. Резервные элементы
находятся в том же .режиме, что и основной элемент,
их .надежность не зависит от того, в какой момент они
включались на место основного.
б) Облегченный резерв. Резервные элементы
находятся в облегченном режиме до момента их вклю­
чения на место основного. Во время ожидания в резерве
они могут отказать , но с вероятностью меньшей, чем ве­
роятность отказа основного элемента.
в) Не нагруженный резерв. Резервные элемен­
ты находятся в выключенном состоянии и по условию
до момента включения 'ИХ на место основного не могут
отказать.
В работе [10] А. Д. Соловьевым было рассмотрено
функционирование некоторой системы, состоящей из на­
груженного, облегченного и ненагруженного резервов.
231

Г!ри13едем некоторы е зависимос·rн, хараi<тернзующие ра­
боту такой системы. Рассмотрим постановку зад ачи.
Пусть имеется система, состоящая из N=n+m +l+ s
одинаковых элеме~п;ов или приборов. Время безотказ ­
ной работы каждого элемента распределено по показа ­
тельному закону, п элементов находятся в рабочем со­
стоянии и имеют опасность отказа, равную "л, т эле­
ментов находятся в нагруженном резерве с той же опас­
ностыо отказа "л, l элементов составляют облегченный
резерв и имеют опасность отказа v и, наконец, s эле­
ментов находятся в ненагруженном резерве и в этом
сос"Тоянии не отказывают .
К:аждый отказавший элемент мгновенно поступает
в ремонтное устройство, которое состоит из r ремонтных
единиц. К:аждая ремонтная единица может одновремен ­
но ремонтировать один элемент. Время ремонта эле­
мента случайное и распределено по показательному за­
кону с па·раметром μ. Если все ремонтные единицы за ­
няты, то отказавший элемент становится в очередь и
ожидает начала своего ремонта.
К:аждый отказавший рабочий элемент мгновенно за ­
меняется из нагруженного резерва, каждый отказавший
или п е решедший в рабочее состояние элемент из нагру­
женного р езе рва мпю13енно заме ня ется элементом из
облегченного резерва, а каждый отказавший или пе­
решедший в нагруженный резерв элемент из облегчен­
ного резерва мгновенно заменяется элементом из нена­
груженного ~резерва. Каждый восстановленный элемент
поступает в ненагруженный резерв. Структурная схема
системы !Показана на рис. 5.5.1 . Система работает ис­
правно, если число исправных элеме нто в не меньше п.
Обозначим через P,,(t) вероятность того, что в си­
стеме в момент t ·неиС'правно /, элеме н то1:1.
К:ак показано в [10], работа такой систем ы описы­
вается процессом гибели и размножения, причем пара ­
метры процесса ("л!i. и μ1,) выражаются формулами:
232
1
(n+m)Л.+vt,
если O~k~s,
A.k= (n+mP.+v(l+s-k) если s<k~s+l,
,(п+m+L+s-k)Л., если t+s<k~N,
{ kμ, если k~r,
P.k=
rμ, если k>г.
(5.5.1)
(5.5.2)

Тогда вероятность того, что в ,системе неисправно k
эле ментов, может быть определена по формуле
р л;л.1 •. . Л1t-1
р
1t=/J-1/J-2
...
/J-k -1
••
(5.5.3)
где параметры Л; и μ; (i=O, 1, .. " ,fl-1) определяютсп
И З УСЛОВИЙ ( 5"5.1) И ( 5.5.2).
т
Нагруженный
резер!J
Облегченный
резер!J
S Ненагр1jженныЦ
резер(J
Рис. 5.5.1. Схема функционирования системы с !-!аrруже1111;,1м, облег­
ченным и ненагруженным резервами.
Значения величины Р 0 определится из нормирующего
условия
(5.5.4)
k=O
Вероятность того, что система работает исправно, равна
N-n
Рабе= ~ Pk.
(5.5 .5)
'-J
k=O
Вероятность того, что система находится в нерабочем
состоянии, равна
Рати= 1-Рабс·
(5.5 .6)
Приведем для ряда случаев конечные формульные
зависимости для определения вероятностей P1t.
а) Система состоит из п элементов. Из них (п-т)
находятся в рабочем состоянии и т - в нагруженном
ре::~ерве. Число ремонтных единиц (операторов) r~n.
Тогда параметры системы имеют вид
A1t= (п - k)А.,
/11? = k:J. ,

Вероятность того, что в системе k элементов неис­
правно, равна
k "}.J< μn-k
Р11.= Сп(Л. + fJ.)n .
(5.5.7)
Если число ремонтных единиц (операторов) равно
единице, т. е. r= 1, то вероятность Р1, определяется по
формуле
(п lk)!(~y-k
PR,=---п------
(5.5 .8)
1]-ii- ( i )'
l=O
б) Система состоит из п рабочих элементов и неогра­
шrченного ненагруженного резерва. Число ремонтных
единиц таюке неограниченно. Параметры системы в этом
случае имеют вид
Веронтность того, что в системе k элементов нахо­
дятся в неисправном состоянии, равна
(пЛ)в
~
P11.=-~k-i-е
(5.5.9)
Если число ремонтных единиц равно еди нице, т. е.
r= 1, то формула для вероятности Р1, примет вид
(пЛ)k( пЛ)
P1i~ ---. ;:
l- --;;:- при nl.<μ..
(5.5 .10)
Определим вероятность безотказной работы в тече­
ние времени t. Очевидно, что система будет работать
безотказно до момента t, если ни разу до этого чи_сло
отказавших элементов не превысило N-n. Здесь пред­
полагается, что вначале все элементы системы исправ­
ны. Тогда вероятность безотказной работы системы рав-
на
P(t) = 1 -PN-n +I (f),
(5.5 .11)
где PN- n+I (t) может быть определено из систем LI диф-
234

ференциальных уравнений , состав л енных для процесс а
гибели и размножения .
Если величина N-n+ 1 большая, то вероятность без­
от1<азной работы может быть получена по формуле
t
р (t);::::::; е -TN-n+I'
(5 .5 .12)
где Тн-п+1 - среднее время безот к азной работы N-tH-
+1 элемента.
Для случая а) отказ системы наступает, когда число
отказавших элементов становится равным (m+ 1). Тог­
да среднее время безотказной работы системы равно
т
~[c;;-i(;)1
+
1
z~i +т+11- z]
Т
l=O
m+1==-~~~~~-(Л~+~~-)-с_:_+_1~~~~~~
(5.5 .13)
В частности, если имеется только один рабочий эле­
мент, то
_п(1+~У
Т,,.-Е (Л+f-1-)k
(5 .5 .14)
k=I
Для случая б) отказ системы наступает, как и в слу­
чае а), когда выходит из строя m+ 1 элемент. Тогда
среднее время безотказной работы выражается форму­
лой
п
п
(5.5 .15)
Пример
На автоматизнрованном предпр11яп1и им Р.ется сJ1ожный комп­
лекс радиоэлектронной аппаратуры, состоящш'f нз п яти однотипны х
блоков. Из них три (п=З) находятся в рабоч ем состС'янии и осу ­
ществляют управление процессом произgодсrJ а , а два (m=2) на ­
ходятся в нагруженном ре з ерве.
Блоки могут выходить нз строп. CpeдiI~e время безотказно й
работы равно 100 час (lн = 100 час). Выше ТJ: ШИЙ из строя блок вос­
станаБливается ремонтной бригадой (r= 1). Есл и один блок нахо­
дится уже на ремонте и выйдег из сгроя еще один, то последний
будет ожидать своего ремон т а .
Время восстановления - величина случаvт а я и заЕисит от ряда
факторов: характера неисправности, налич ия за пасных деталей,
235

квал ификации оператор.ов в ремонтной бриr-.1:~:е и др. Опыт экс ­
плуатации пока зал, что в среднем время ,Jюостановления равно
10 час (tвoc=lO час).
Требуется определить, что 1производспо рабо1 ает исправно .
Решение
1. Определяем параметры си,стемы
2. Веронтность того, что производство не работает, определим
по формуJ1е (5 . 5.Jб)
Робс=Ро+Р1+Р2,
где величины Ро, Р1 и Р2 определяются по формуле (5.5 .8), так
как r=ll .
3. Вероятность того, что нет ни одного неисправного 'блока,
равна
236
р о= /.J.
1(fJ.)2 l(/.J.)з~0,732.
1 +т+2 т. +зт -=л
4. Вероятность того, что неисправен один блок, равна
1
2100
228 ~0,220.
5. Вероятность того, что неиспрзвны ;~:ва блока, равна
10
Р1 = 228 ~0,040.
6. Отсюда вероятность безотказной ра·боrы ·nредприятия равна
Робс=О,732+0,220+0 ,040=0,992.

6
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ
УПРАВЛЕНИЯ РАБОТОЙ СИСТЕМ
Рассмотрим некоторые важные вопросы, связанные
с организацией, выбором и управлением работой прибо ­
ров систем массового обслуживания. В системах, 1юто­
рые мы рассматривали до сих пор, говорилось об упоря ­
доченных обслуживаниях, где заявка обслуживалась
одним прибором. Как правило, заявки были равнознач­
ны для приборов и обслуживались в зависимости от по ­
рядка поступления или случайным образом.
Однако на практике довольно часто встречаются бо­
лее сложные случаи организации работы системы, J<огда
поступ ающую заявку начинают обслуживать либо все
приборы, либо часть из них. Примером обслуживания
системы ·с такой организацией может служить прием
радиоI1рамм группой радиоприемны х станций. Обслужи­
вание в этом случае заканчивается, как только одна из
станций примет радиограмму . Другим примером может
служить поиск геологор азведывательной па рти н, по­
п а вшей в беду, группой вертолетов (самолетов). Задача
поиска будет решена, как только один из вертолетов
(самолетов) найдет потерявшуюся партию.
Кр.оме задач, в которых организовано групповое об­
служивание, встречаются довольно часто задачи с при­
оритетными пото1<ами. Работа так·их систем ·организо­
вана так, что наиболее важные заявки обслуживаются
в первую очередь. Например, телеграмма с грифом «мол­
ния» передается в первую очередь независимо от того,
какое тшличество простых телеграмм имеется для пере­
дачи.
В некоторых случаях может возникнуть необходи­
мость в определении порядка приоритетов рпда потоков,
237

/
поступающих в систему. Так, при орrанизации работы
пунктов ремонта крупных автохозяйств, имеющих раз­
личные транспортные средства, небезразлич н о, какие
машины ремонтировать в первую очередь, какие - во
вторую и т. д" так как от этого будет зависеть эффек­
тивность использования этих средств и прибыль, кото­
рую получает автохозяйство.
Работа ранее рассмотренных спстсм практичес1ш не
зависела от эффективности обслуживания прибором
заявки. Но могут встретиться случаи, когда от того, как
будет удовлетворено требование заявки, зависит даль­
нейшая 1работа прибора. Примером могут служить зе­
нитные средстnа при отражении налета воздушного про ­
тивника на объект, когда непораженная цель может
обстрелять зенитные средства и вывести их из строя.
Рассмотрим некоторые виды организации работы
приборов.
6. 1 . Групповое обслуживание
Как уже отмечалось, работа некоторых систем мо ­
жет быть организована так, что поступающая заявка
обслуживается несколькими приборами. Рассмотрим та­
кую организацию управления работой приборов, при ко ­
торой всякую вновь поступающую заявку обслуживают
все п приборов системы и обслуживание заканчиваетсп
в том случае, когда один из них обслужит заявку.
Работа системы массового обслуживания с отказами,
в которой каждая в новь поступившая заявка обслужи­
вается всеми приборами системы, подробно описана
Б. В. Гнеденко . Суть ее состоит в следующем.
Имеется п-канальная система массовпго обслужива­
н ия с отказами. В момент поступления очередной заяв-
1ш в 'Систему к ее о бслужи ванию ·немедленно приступа ­
ют все п свободных приборов, причем каждый из них
действует независимо др уг от друга. Обслуживание счи­
тается законченным, как только его закончит один из
обслуживающих приборов, как показано в приложении
4, эта система заменяется одинаковой по производитель­
ности одноканальной, у которой математическое ожида ­
ние времени обслуживания определяется из зависимости
t*
1
обе=+++,
(6.1 .1)
/J-1 /J -2
•••
fl-n
где μ; (i = 1, 2, .. " п) - производительность i-го прибора.
238

Отсюда
\
\
μ* =nμ.
(6.1 .2)
\.
Вероятность того, ,что вновь поступившая заявка бу-
дет обслужена, :равна
·Х- л
где а =-- ;j;"' ·
/J.
1
Ро=1 +а••
Вероятность отказа в обслуживании равна
а•
РотR1=1 +а*"
(6.1.3)
(6.1.4)
Коэффициент производительности такой системы
можно определить из зависимости
Кп=-.!:..р.!__
(6.1.5)
\-
O'fl<n'
r де РотRп - вероятность отказа в обслуживании, если
каждую заявку будет обрабатывать только один прибор.
Пример 1 [17]
<Соединение надво дных кораблей, имеющ~е средства протнво­
катерной обороны в колнчестве n=6 еднн:-~ц, !l од;н'р rа лось на~па ;~:е­
нию катеров противника.
Управление организовано так, что ;JбСт::J~Л КD1еров ·ведется
сосредото ч ен н ым огнем всех средств ло одно.,,1у ка т еру. Требуется
определить процент обстреле11ных катеров противника в завис имо ­
сти от плотности их боевого порядка.
~Время, необходимое одной един ице 1юоружен•1я на обстрел ка­
тера, равно 0,1 ;,1ш1.
В зависимости от построения бое1юго парилка нападающих
катеров условии для пх обстрела меняю·:ся. Пусть плотность п о­
ступлении ·к~теров в зону обстрела кораблей разная и равна
Л=2, 5, 10, 20 катеров п минуту.
То гда з11а<1е11и>1 111араметров будут со;:тзеrствесшо равны:
а=О,2; 0,5; 1; 2,
011куда приведенные значения пара'l!етра ра;щы
•
0,2,0.5. 1 2
а =т· (6"•
б· т·
По формуле (6. 1 .3) определяем иеро;~тн•Jсть того, что каждый
катер лротивннка -будет обстрелен. Резулыа гы р:~счета, выра·жен­
ные в працентах, приведены в табл. 6.1.1 .
Таблица 6.1 .1
'Л, цель/мин
2
510
20
---- ------- - -- ---
--- ---
Вероятность обстрела, "/о 97 92
86 75
239

!
/
/
Если ·принять, что каждое средство И.\-1еет вероятность пора-
жения катера за стрельбу !<1=0,3, то вероя9/остъ поrажения одной
цел и lJСеми шестью единицами за стрельбlсогласио {7] р авна
R6= l-(l-R1) 6 ~0,88.
/
Отсюда средняя вероятность по111же!~.:1я кзждой цели будет
равна (табл. 6.1.2).
Таблица 6.1 .2
Л, цель/АtиН.
2
51020
---------- ---
- ----
Вероятность поражения, о/о 85
81
76
66
Система с ограниченным временем ожидания заявок
в очереди. Результаты, полученные для системы массо­
вого обслуживания с ОТJ(азами, справедливы и для си­
стемы ·с ·ограниченным временем ожидания заявок
в очереди t0 н,.
Рассмотрим п-канальную систему, обслуживающую
простейший поток заявок плотности Л. Организация ра ­
боты приборов такая, что поступающую в сис тему заяв ­
ку обслуживают сразу все п приборов. Конец обслужи ­
вания, как и прежде, будет в момент окончания его
одним из приборов.
Если заявка застанет приборы занятыми, то она
становится в очередь и ожидает начала своего обслу ­
живания. Время ожидания случайное и распределено по
показательному закону со средним значением па р аме-
1
тра V=-"-.
По окончании времени ожидания заявка
tош
покидает систему необслуженной.
Система дифференциальных уравнений, описываю ­
щих все вероятностные состояния, как показа н о в при­
ложении 4, имеет вид
240
Р'0 (t) = -/..Р0 (t) +\L*Pi (t),
(6.1.6)
P'i+s (t) = -(/..,+ μ:* + sv) P 1+s (t) +
+/..,Pi+(s-iJ (t)+ [μ·х + (s+ 1) v] P 1 +<s+1J (t), S :;;::;: О.
Нормирующее условие равно
00
LРп=1.
(6.1 .7)
k=O

\
\
Рассмотрим р~ение дифференциальных уравнений
при стационарном режиме работы системы . В этом слу­
чае дифференциалыiые уравнения (6.1 .6) п ревращают ­
ся в алгебраические.
В результате решения получены следующие зависи­
мости для определения основных параметров работы си­
стемы массового обслуживания.
Вероятность того, что приборы свободны от обслуж·и­
вания, равна
Ро = ___оо
______
_
(6.1.8)
\1
о.*"
1 + .:J -k.,-
_
_ ,1,-----
k=I п (!+i~*)
1=0
гдеа*·-Л•R*- v
-i):*, t-'
-i):*·
Вероятность того, что в системе одна заявка обслу­
живается всеми приб орами, а в очереди заявок нет,
равна
или после подстановки значения Р0 из (6.1 .8) получаем
(6.1 .9)
Вероятность того, что одна заявка обслуживается и
в очереди находится s заявок, равна
16-1444
п(!+ip*)
i=O
P1+s==---00
-------
1+~
k=I
о.*"
k-1
п(1+i~*)
1=0
(6.J .10)

Математическое ожидание числа заявок, находящих­
ся В очереди, определится ИЗ заВИСИМОСТИ
/
(Х!
Мож= 2: sP1 +s·
(6.1 .11)
s=l
Вероятность отказа в обслуживании заявки равна
(6.1 .12)
Вероятность отказа можно определить и по формуле
Пример 2
ротн= 1- !..-=*ро •
а
(6.1.13)
В бюро прогнозирования погоды пост1пзет информация с ряда
пунктов, ~производящих систематическае замеры ме т еоданных. По­
ток информации будем С 'I и тать простсйш 11м ~ пж> тностью Л=2
сводки информации в час. Для обработки ннфор м аций в отделt:
имеется 5 сотрудников. Время на Jбработку кс:ждой сводки метео­
данных в общем сл учае - в ели•шна случайная, з ависящая от мно ­
гих причин. Пусть э то время имеет локаззте ;п,ныii закон распре­
деления. Как пока з ал опыт работы, среднее знqчrнне времени об ­
работки о:нrой сводки данны х сотрудrш .<ом бюро раено 1,25 час.
Информац1нr со временем быстро стареет. Среднее время, в тече­
ние которого информацию еще можно испJльз~>в~ть, равно 30 мин
(или 0,5 час). Требуется определить проц~нт с 1юе11ременно исполь­
зованной информации, если одновременно ее на чин ают обрабаты­
вать все операторы.
Решение
Опре,>\еляем :параметры системы:
1
1
fJ.• =nfJ.=n -. ,,-- =5 -- =4
t·обс
1,25
'
л2
а•=-=-=0 5
/Jo.
4
••
у
1
Q•--=- - -0 5
~ - р.• Voж/Jo*
-
'
'
По формуле •(6.1.8) определяем величину Ро:
1
Р0=
0,25 0,125
0,0625
~О.б .
1 + 0•5 +тт+1,5.2+i .5.2.2.5+ "·
Вероятность того, что :информация не будет использована из-за
того, что до окопчання об р або тки он а уже потеряла свою ценн ос ть ,
242

определим 1по формулЕ\{6.1.13)
Роти= 1-
1-0 6
о5'
=0,2.
'
Таким ·О'бразом, 80% информаuии будет испол ьзова но, остальная
nропадет . Увеличить процент исnользованной и нфо-р маuни можно
либо увеличением числа сотрудника.в, либо ·существ енным уменьше­
нием времени, необходимого одному -сотруднику н а об работку каж­
дой сводки данных, за счет механизации труда .
6.2 . Обслуживание случайным числом
свободных приборов
Существуют -системы, где вновь поступившую заявку
обслуживает только часть всех приборов системы, ко­
торые в силу сложившихся обстоятельств м о гут принять
участие в совместном обслуживании и эти приборы до ­
водят обслуживание до конца . Прим е ром может служить
техническое обслуживание автомобиля, 1<огд а группе ре­
монтников (число их в группе может быть случайным)
ставится задача обслуживания машины, причем каждо­
му дается индивидуальное задание. Обслуживание счи­
тается в э11ом случае законченным тогда, 1югда все ре­
монтники выполнят свои задания. Анало гичных приме ­
ров можно привести много.
Система с отказами . Рассмотрим систе му массового
обслуживания, состоящую из п одинаковых по средней
производительности приборов. Время обслужив а ния за­
явки, которое затрачиnает прибор , случайное с показа"
тельным зако н ом распр еделения и параметром
1
μ.-:- too , ·
В систему поступает простейшнй поток заявок с пара­
метром "л. Работа системы орrани з оnана та к , что посту­
пившую заявку начинают обслуживать одновременно все
свободные в этот момент при боры.
Обозначим через р1, (t) вероятпость того, что в мо ­
мент t в системе k приборов из п зоняты о б служивани ­
ем. Тогда система дифференциальных уравнений, опи ­
сывающих верояпюсти состоя1111(1 снс тем ы (см. при л о ­
жение 4), запишется в виде
16*
P'1t (t) = - (4+kμ.) P1t (t)+(k+ 1) μpii+1 (t),
k=О,1,""п-1,
п-1
P'n (t) = - n11·Pn(t)+АLPi(t).
(6.2.1)
243

Поскольку Pk(t) (k= O, 1, . .. , п) я вл я е тся распреде­
лением вероятностей состояний r.истемы, то JlO.nжнo вы­
полняться у словие
(6.2.2)
Рассмотрим стационарное состояние системы. Torд;:i
система (6.2.1) превращается в систему алгебраических
уравнен и й
п-1
щРп=А.},:Pi.
(6.2 .3)
i=O
Решая последовательно систему (6 .2 .3), принимая а=
Л
=~· получи м:
1. Вероятность того, что k приборов системы заняты
обслуживани ем
k-1
П (а.+ т)
m=O
2
P11.=--~k1---P0 , k = 1,
, ... , п. (6.2.4)
2. Вероятность того, что все приборы свободны от
обслуживания
р==[ ~1(а.+т) ]-1
о
п!
(6.2.5)
3. Вероятность того, что в н о в ь п о ст у пившая заявка
получит отказ, равна в е роятности того, что все приборы
заняты обслуживанием
а.
Рот11=Рп=-+ ·
п
а.
(6.2 .6)
4. Вероятность того, ч то в но в ь поступившая заявка
будет обслужена r=n -1~ при б орами, равн а в ероят­
ности Р 1,
(6.2.7)
244

5 . Среднее число приборов, свободных от обслужи­
вания, равно
n-1
N0 =~ (n-k)P11,.
k=O
6. Математическое ожидание числа занят1,r х обслу­
живанием приборов можно определить из зав и симости
п
Nз= ~ kP11,.
(6.2.8)
k=I
Следует отметить, что при работе такой системы ма­
тематическое ожидание числа занятых приборов не рав­
но числу обслуживаемых в данный момент заявок, так
как ряд заявок будет обслуживаться несколькими при­
борами.
7. Коэффициент загрузки системы равен
Кз=Nз.п
(6 .2.9)
8. Коэффициент простоя приборон определитсп по фор­
муле
К n-N.
п=п
(6.2.lО)
Для удобства использования полученных зависимо ­
стей рассчитаны и состав л ены таблицы вероятностей P1i,
которые ~помещ е ны в приложении 5 (табл. 9) .
Пример 1
Налет самолетов противника производится в н екоторой полосе.
Чтобы .пройти в глубину, самолеты должны прео долеть зону ПВО,
которая состо1ит из n=З зенитных средств, более менее равномерно
расположенных в пределах этой полосы. В зависи:v~ости от на:прав­
ления полета самолета противни'Ка в его обстреле может принять
участие различное чис.по зенитных средств. Зона поражения зе­
нитных средств очень мала и по?тому , есл1и при появлении в ней
самолета все средства будут заняты, он пройдет безнаказанно в
глубину. Пусть на обстрел каждого самолета зе нитному средству
тре·буется в среднем одна минута to бс = 1 мин. Плотность налетаю­
щнх самоле тов равна Л=2 самолета в минуту . Требуетсн оценить
эффективность ПВО .
245

Решение
Определяем параметры системы. Пра плотности /,=2 самолета
в минуту и foвc= 'l мик получаем
По формулам (6.2 .4) и r(6.2.5) определяем вероятности состоя­
r111й системы. Результаты расчетов сведены в табл. 6.2 . 1.
Таблица 6.2 .1
k
о
1
2
3
~
р,,_
О,1
0,2
0,3
0,4
1,0
kP,,_
о
0,2
0,6
1,2
2,0
Как видно из та-блицы , вероятность того, что все зенитные сред­
ства будут заняты обстрелом, равна 0,4. Таким образом, вновь по­
яв,ившийся в зоне ПВО самолет будет обстрелян с вероя т ностью 0,6 .
Определим математнческое ожидание числа зан ятых О·бстрелом
зенитных средств
3
Ma=~kP'fl.=2.
k=I
Отсюда коэффициент участия зенитных среде rв в отражении
налета равен
2
Кз=3=0,67.
т . е. 67% времеrrн каждый образец вооружения будет занят стрель­
бой и одна треть временrи может быть использована для ·перезаря­
жания.
Представляет известный интерес знание среднего числа зенит­
ных средств, которое начнет обстрел налетающих самолетов.
На основа н ии формулы (6.2.7) и данных табл. 6.2.1 вероят-
н ость того, что обстрел начнет:
-
одно зенитное средство равна 0,3: 0,6=0,5,
-
два зенитн ых средства равна 0,2: О,6=0,33,
-
все зенитные средства равна 0, 1 : О,6=0, 1 7.
Отсюда среднее число зе н итных средств, участвующих в обстре­
ле каждого из самолетов, которые приходятся на их доJrю
(т. е. из 67% обстрелянных самолетов), оавно
Мз1=0,5+2 · 0,33+3·0,17=1,67 ,
т. е. в среюrем п оловина всех средств будет занята обстрелом одн ого
самолета.
246

Система с ограниченным временем ожидани я. Рас ­
смотрим систему, состоящую из п 1щентичных прибо­
ров, обслуживающих простейший поток заявок плотно ­
сти 'А.
Время обслуживания одной заявки прибором явля­
ется величиной случайной, гаспределенной по показа-
1
тельному закону с параметром μ.= Rоб с • Управление
работой приборов огранизовано ·так, что поступающую
заявку обслуживают все свободные приборы (если та­
кие имеются в данный момент) . Если же все приборы
заняты, то заявка «становится» в очередь, время ожи­
дания в которой ограничено определенным сроком , по ­
сле чего заявка покидает очередь необслуженной. Про­
должительность ожидания будем считать случайной
величиной, распределенной по показательному закону
-·
..
1
с параметром ."! V= ---
.
'·-'
1
fom
Система дифференцнальных уравII е ний, опи сы в аю­
щих вероятности состоттний такой системы , име е т вид :
Рн (t) = -- (:t+!цi.) Рн (t) + (k + 1) !l-P1t+1 (t),
O< k<n-1,
п-1
+(пμ+v)Рч1(t),
р'nн (L) =
--
(:t +nμ+S\')Рп+s(t)+
+АРп+(s-1) (t)+ [nμ+(s+ 1) v] Рп+(s+1) (t),
l ;:;:;;~s <со.
При этом выполняется нормирующее условие
со
~ P1i(t)= 1.
k=O
(6.2.11)
(6 .2.12)
Рассмотрим стационарное решение . Тогда система
(6 .2. 11) превращаетстт в систему алгебраических у р а в-
247

нений
s;;;;. 1 .
(6.2.13)
Обозначив а.=_!:___ и ~ = _!_ ,
получим решение этой
!J.
!J.
системы уравнений :
1. Вероятность того, что обслужива ни ем занято k
приборов и нет очереди, равна
k'-
1
n(а+т)
P1i=m=O kl
(6.2 . 14)
2. Вероятность того, что вс е п приборов заняты об­
служиваннем и в очереди находится s заявок, равна
п-1
а•П(а+т)
Pn+s =
m=O
р
1
_
S____ О>S_о?-•
(6 .2 .15)
п!П(п+rP)
r=I
3. Вероятность тог о, что все приборы свобод н ы от
обслуживания Ро, определится из нормирую ще го усло ­
вия (6 .2 .12)
Po=-
.. -n
---
-
-
n--1----- --
-
-
(6 .2 .16)
i' n(а+т) п(а+т) С>О
_т_=_I~--- +m=O
п!
n!
lJs а•
s=I ~(п+гр)
r=1
Формулы, по которым можно определ ить вероя тно­
сти различных состояний системы P1i, пол учиJ!ИСЬ слищ·
24&

ком сJiОЖ!-!Ымн для расчетов. Для нх ytrpoщe i1HЯ состав­
лена табл. 11, которая помещена в приложении 5.
4. Вероятность того, что заявка получит отказ в об­
служивании, будет равна
п-1
П(а+m) ос
r_n_=_O_nl--~ s sa•
s=IП(ll+r~)
~
r=I
Роти =а _n
_____
n___
I ----------
(6.2.17)
"
(а+т) Л (а+т) ос'{1
as
l,,Js-
П<п+ r~)
_m _=_I ___+т =0
nl
11!
r=I
5. Вероятность того, что заявка будет обслужена,
равна
Робе= 1 -Роти·
(6.2 .18)
6. Математическое ожидание числа пр иб оров, заня­
тых обслуживанием, равно
N з = f ~kР11.:+~п ( 1,- f 1!Р11.).
(6.2 .19)
k=I
k=O
7. Коэффициент загрузки приборов системы опреде­
лится ·из зависимости
К3=Nз •
(6.2 .20)
ll
8. Среднее число свободных от обсл ужив ания при­
биров
Na=n-Nз.
(6.2.21)
9. Средняя доля времени, в течение которого прибор
свободен от обслуживания :
ко=~.
(6.2 .22)
ll
1О. Среднее число заявок, находящихся в очереди :
Пример 2
ос
Маш=~ sPs·
s=I
(6 .2 .23)
На крупном строительстве имеется растворный узел по за мес у
бетона. На один замес объемом 10 м3 затрачивается в среднем около
249

:toyx часов. После того как бетон готоо, он выливается в ковшн,
из них производится затрузка автомашин-самосвалов. В самосвал
вмещается 2 At 3 ·бетона. Загрузка производится автоматически, по­
этому временем загрузки можно пренебреLIЬ. Бетон выдается в пер­
вую очередь машинам, снабжающим данную стройку. Всего на пе­
репозхе бетона на этой стройке за нято четыре самосвала (п = 4).
Если же машин с данной стройки для .погрузки бетона в момент
окончания замеса нет, то ожидают в течение двух часов. Если за
это время не 1пр1идет ни одной машины данной стройхи, то бетон
выдается другим организациям. После тото как из какого-либо
очередного замеса за.гружено некоторое количество машин этой
стройки, остаток также отдается другим ор•ганизациям. На один
рейс самосвал затрачивает в среднем около одного часа .
Определить: а) I<акое количество бетона будет ~израсходовано
на ·свою стройку; б) среднюю загрузку и простой самосвалов.
Решение
Определим параметры системы:
1
1
0,5
л=т=о,5, f.L=-
1-=1, а=-1-=о,5.
1
0,5
У= z=0,5, ~= -1-=О,5.
а) Величины Р,, в д анной задаче апределшот вероятность того,
что п-./1 машин данной стройки возьмут бетон нз замеса. Тогда
сред нее количество -бетона, которое берется из любого замеса дм1
стройки, определ ится по запнаимостн
n-l
Мер=2~(п- k)P11. м3•
k=O
По параметрам а=О,5; iB=0,5 и n=4 из табл . Ы приложения
5 определим величины Pk, которые приведены в табл . 6.2.2.
к
о
1
1
2
3
Рп.
0,401
0,201
О, 150
О, 125
(n-k) Рп. 1,604
0,603
0,300
О, 125
kPn.
о
0,201
0,300
0,375
Используя данные табл. 6.2 .2, получим
Мср=2 · 2,632=5,3 т.
Таблица 6.2 .2
00
~P4+s !;
s=O
О, 123
1,00
2,632
0,492
1,368
Таким образом, немного более половины бетона 1из каждого за­
меса будет идти на стройку, а остальное (т. е. около 4,7 т) заберут
другие строительные организации.
250

'6) Средняя за·rрузка самосвало·в О1пределяется по формуле
(6 .2 .20)
1,368
Ка=-4
-
=0,342
т. е. около 34% машин стройки используется для перепозки бетона,
а остальное время будут ·простаивать в ожидан~ии. Следовательно,
коэффициент использования машин нед ос га точен и необходимо при­
нять меры к его повышению.
6.3. Учет противодействующих факторов
со стороны заявок
Нередко возникают ситуации, когда необслуженная
полностью заявка !У[ОЖет остановить работу прибора.
Особенно много примеров можно привести из области
военного дела (система ПВО, противокатерная оборона
и т. д.), когда нелораженная цель, достигнув объекта,
поражает его, а вместе с объектом и средства обороны.
В ряде практических задач возникает необходимость
определить среднее число полностью обслуженных за­
явок до того момента, пока хотя бы одна покинет си­
стему необслуженной. Например, если происходит об­
работка изделий на конвейере, то необходимо знать,
какое число изделий при заданной скорости движения
конвейера будет обработано полностью и какое число
изделий может сойти с конвейера неполностью обра­
ботанных (или проверенных).
Покажем подход к определению зависимостей рабо­
ты такого рода систем ..
Имеется одноканальная система массового обслужи­
вания, в которую поступает регулярный поток занвок
с интервалом d единиц. Обслуживание первой заявки
начинается в момент, когда время пребывания ее в си­
·стеме осталось равным .k единиц. Время одного акта
обслуживания случайное и вероягность того, что это
время имеет длительность т единиц, равна ,оqт- 1 ,
где m= 1, 2, ... В результате каждого акта обслужива­
ния потребности заявки удовлетворяются полностью
с вероятностью R.
Если в результате первого аюа обслуживания потреб­
ности заявки не были удовлетворены полностью и еще
не истекло время пребывания этой заявки в системе, то
производится повторное обслуживание и т. д . После то­
rо как в результат~ одного тт~ актов обслуживания по-
251

rребности заявки полностью удовлетворены, начинает
обслуживаться следующая. Требуется определить веро­
ятность того, что до момента, когда какая - либо заявка
покинет систему необслуженной до конца, потребности
п заявок были удовлетворены - Р (п, k).
Величину Р (п, k) можно также трактовать как веро­
ятность того, что будет полностью обслужено подряд
п заявок, если п ервая начала обслуживаться в момент,
когда ей осталось находиться в системе k единиц вре­
мени.
Она равна
Р (п, k) = (RP)n (1 - RP)l<+n(d-1> Х
k(k+nd -1 )1
Х n![k+n(d-1)]1
(6.3 .1)
Математическое ожидание числа полностью обслу­
женных заявок, если всего на обслуживание поступи­
ло N заявок, равно
N-1
[
N-1
]
тп= ~1iP(i,fl)+N 1- ~оР(i,k). •
(6.3.2)
Коэффициент эффективного использования системы
определится из соотношения
к
тп
эФ=7J·
(6.3.3)
Пример
На J<онвейере, скорость движения которого 2 мiмин., располо ­
жены изделия на расстоянии 2 м друг от друга . Автомат,
стоящий на конвейере, производит настрой:<у ицелнй. Время на ­
стройки зависит от ряда факторов: качества изделия, рассогласо­
вания .контура и т. д. ~Примем, что закон рсt~преде.1ения времени
иастроЙ1<И имеет вид рqт- 1 , где m= 1, 2 ... :.щн. и р=О,7.
Изделия на конвейере расположены партиями по 5 шт. Между
партиями интервал 5 м .
Вероятность того, что изделие будет соответствовать своим
техническим ха·рактеристикам в результате выполнения настройки,
равна R= 1. Определить, какой процент па;ний будет обрабаты­
ваться своев·ременно, не вызывая задержек конвейера.
Решение
Если очередное изделие не будет настроено до того, как по­
дойдет следующее, т. е. за одну минуту, то производится останов
конвейера для того, чтобы закончить настрой1<у этого .изделия,
после чего он о·пять пускается. Из уело-пай зяда•111 . известно, что
после того, как пройдет последнее i-!Зде-1'1\! rырщи (т. е. пят-ое),
:;!52

·-rерез 5 м: 2 м/мин=2,5 .лшн поступит !!ервJе иэJе.1ие следующей
партии.
На настройку одного изделия в среднем з;~трачи&ается
~ mpqm- 1 = 1,43 1>1un.
m=I
Значит, после настройки пос леднего изделия ~имеется еще в за­
пасе
2;5 мин-1,43 MU!-l=l,07 MUl-l.
Это вр~мя может быть затрачено на остановки конвейера в том
случае, если некоторые изделия не будут свое-временно на·строены.
Определим, на 'Кахое в среднем время будет останавливаться
конвейер. Приближенно это можно определить следующим обра­
зом.
Изделия в группе поступают через 1 MUl-l, 3 среднее время
равно 1,43 ,иuн. Следовательно, на задержку в среднем будет ухо ­
дить
1,43 мин-1 МШt=О,43 .+lUl-l.
Отсю да следует, что можно :произвести не более двух остано­
rюк, так как 1,07: 0,43=2,5.
Опре делим вероятно~ть того, что будет сделано более двух
остановок Это произойдет, если:
а) после настройки каждого ~изделия будет производиться оста­
новка; вероятность этого события равна
[Р(О,1)] 4 ;
б) если первое изделие настроено без сстаношш, а после вто­
рого, третьего и четвертого были задержки
P(l, 1НР(О, l)]з;
та ·rшх комбинаций может быть 3;
в) если после каждого из тре х первых изделий необходимо
производить остановку
{Р(О, 1)]3[1-Р(О, 1)].
Та11шм образом, вероятность того, что :;се изделия не будут
своевременно настроены до поступления очередной партии, · равна
Rn=[P(O, 1)]4 +3P(I, l)[P(O, l)]Ч[Р(О, 1)]'[1-Р(О, 1)].
Определим вероят ности Р (0,1) и Р (1,1) ·по формуле (6.3.1).
Параметры системы равны:
2
d=y=l, q=1-P=0,3.
Тогда
Р(О,1) = (1-0,7) =0 ,3,
P(l,I) =0,7(1-0,7) =0,21,
откуда
Rн=О,0081 +0,0171 +О,0189=0,0441.
Значит, около 95,6% па'РтиiI будет обрабатьшаться с1зоевремен­
но и только 4,4% партий змержат работу rшнвейера ,
253

6.4. Эффективность полного обслуживания
ПР'и анализе работы систем массового обслужива­
ния с отказами или с ограниченным временем ожида­
ния становится ясно, что не все пришедшие в систему
заявки обслуживаются . Часть из них получает отказ.
Иногда очень важно знать, сколько заявок будет пол­
ностью обслужено, прежде чем некоторые из них полу­
чат отказ. Это качество системы массового обслужива­
ния наиболее явно проявляется в военном деле. Возь­
мем для примера функционирование системы ПВО объ­
екта при отражении воздушного налета. При современ­
ном развитии ядерного оружия даже прорыв одиноч­
ного самолета-носителя ядерного оружия может стать
роковым для прикрываемого объекта. Поэтому важно
оценить, ка~<ова вероптность прорыва самолета к объ­
екту.
Решение подобных задач рассмотр·им на системах
с обслуживанием заявок группой приборов по пример у
тех систем, которые уже описаны в первых двух пара­
граф ах этой главы.
Эффективность системы с отказами. Примем, что
в результате обслужив а ния заявки одним прибором ее
потр е бности удовлетворяются с вероятностью R. В во­
енном де ле это равносильно тому, что, участвуя в отра­
жении налета, зенитное средство в результате обстрела
поразит самолет с вероятностью R.
Рассмотрим систему с отказами, где работа прибо­
ров организована так, что поступающу ю заявку начи­
нают обслуживать все свободные в этот момент при­
боры. Для этоfI системы была (см . § 6.2) определена
вероятность того, что вновь по ступающая заявка будет
обслужена r=n-k приборами; эта вероятность равна
Pr=n-k=Pk.
Исходя из этото, вероятность полного обслужи вания
П7л заявки в этой системе, если один прибор полностью
обслуживает с вероятностью R, равна [17] сумме произ­
ведений вероятностей состояний системы и условных
вероятностей полного обслуживания при соответствую­
щем состоянии системы
п-1
Wл = ~ [l -(1-R)n- k] Pk,
k=O
где Р,, определяется по фо р~1 уле (6 .2.4) .
254
(6.4.1)

Эффективность системы с ограниченным временем
ожидания в очереди . ДJJя системы с ограниченным вре ­
менем ожидания в очереди произведения вероятностей
состояний системы на условную вероятность полного
обслуживания при соответствующем состоянии системы
равны:
при k<n
приk?3:-п
[
п-1 ]
1-Р0тн- I P1i R,
1<=0
где Р,, определяется но формулам (6.2 . 14), (6.2 . 15).
Здесь сделано естественное предположение, что за­
явку из очереди (при наличии таковой) на обслужива­
ние принимает только один прибор, так как вероятIIость
одновременного освобождения от обслуживания двух и
более приборов является величиной очень малой.
Отсюда вероятность полного обслуживания равна
(6.4 .2)
Для удобства использования формул (6.4 .1) и (6.4 .2)
рассчитаны и составлены табл . 10 и 12, 1<оторые поме­
щены в приложении 5.
При выводе вероятностей Р1, (см . § 6.2) предполага­
лось, что время обслу :живания прибором заявки слу­
чайное с показа те льным законом распределения. Одна­
ко, как показали нсследования, проведенные методом
статистических испытаний, результаты, получаемые по
зависимостям (6.1.4), (6.1.5), (6 .2 .4)-(6.2 .6) и (6.4 .1),
(6.4.2), справедливы и для тех случаев, когда распреде­
ления времен ·tобс и t0 ж подчиняются иным за,конам, .но
с конечными и равными математическими ожиданиями.
Для иллюстрации в табл. 6.4 .1 и 6.4 .2 приведены ре­
зультаты некоторых вариантов расчетов при tож=О и
toж=FO соответственно.
255

Таблица 6 . 4.1
Варианты
Закон распределения
1
n=IO; «= 5;
tобс
n=2; «=!; 1 n=4; о:=О,5:
R=0,4
R=0,5
R=0 ,75
По формуле (6. 4 . 1)
0,35
0,74
0,58
Релея
0,38
0,71
0,54
Равномерны~~
0,34
О, /3
0,56
1lормальный усе-
0,37
0,72
0,53
ченный
Постоянное значе-
0,32
0,75
0,57
ние
Таблиц а 6.4 .2
Варианты
Закон распределения
времени tобс и t ож
n=2; «=!; ~=0,5; ln=З; «=0,5; ~=0,3; 1 n=5; «=5; ~= 1;
R=0,5
R=0,7
R=0,3
По формуле (6.4.2 .)
0,52
0,88
0,25
Релея
0,51
0,87
0,25
Равномерный
0,52
0,86
0,26
Норма.1ьный у с е-
0,50
0,88
0,29
11еннь11"1
Постоя111юе значе-
0,53
0,87
0,26
нне
Сравнительная о ц енка орган и зации работы систем и
граничные з н ачения. При рассмотрении систем, работа
которых организоrзана так, что обслуживать заявки мо­
гут несколько приборов, возникает вопрос: насколько
целесообразна такая организация и в каких условиях
ее применять?
Чтобы ответить на этот вопрос; проведем сравни­
тельную оценку . Для этого разделим системы на два
типа .
1
Под системой массового обслуживания первого тн п а
будем понимать такую, управление которой осущест­
вляется так, что поступившая заявка обслуживается
только одним прибором даже при наличии нескольких
свободных.
256

Для этой системы вероятность полного обслужива­
ния равна
(6.4 .3)
где Р Г- вероятность отказа в обслуживании;
отк.
R - вероятность ·вы полнения необходимых функций
[при обслуживани/1 заявки одним прибором.
Дл( систеfl'ы с отказами Ротк, определяется по формуле
Эрланга, Га для системы с ограниченным::::временем ожида­
ния -по формуле (4.1 .4).
Под системой массового обслуживания второго ти­
па будем понимать систему, управление которой органи­
зовано таким образом, что каждая поступающая заявка
обслуживается всеми свободными в данный момент при­
борами.
Вероятность полного обслуживания такой системы
определяется по формулам (6.4.1) для системы с отка­
зами и (6.4.2) для системы с ограниченным временем
ожидания.
Сравнительную оценку рассматриваемых систем про­
ведем с учетом изменения различных параметров и по­
кажем, в каких случаях выгоднее применять тот или
иной тип системы.
Влияние вероятности обслуживания одним прибо­
ром 1R найдем, если приравняем полные вероятности
обслуживания
Wл,=Wл.
(6.4 .4)
В результате разрешения этого равенства относи­
телыю tR получим его критическое значение, которое
обозначим Rнр· Смысл вероятности Rнр заключается
в том, что если Rнp<'R, то выгоднее применять систему
первого типа, при этом вероятность полного обслужива­
ния будет выше, а если Rнp>R, то- систему второго
типа, для которой вероятность полного обслуживания
будет больше.
При п = 2 для системы с отказами получается сле­
дующая зависимость для Rнр:
где а= ;цобс·
17-1444
2+а.
Rнр= 2+2а.+а.•'
(6.4 .5)
257

Для с УiстеМы с 6 гр а ннче1-iны м в p e м e1-ieNi ожида1-iИй
в очереди и при n ?;= З для си с темы с отказами опреде­
лять Rнр из равенства (6.4 .4) следует численными ме ­
тодами.
Rкр t
\
0,75
О.50
"'1~~~~~~----'--~~~-~~~----'--~~~~~-~
о
2
ба
Рис. 6.4 .1 . За1Jисимость nероятности Rнv от параы етр2 а для системы
С OTJ\d ЗaJ\'IH.
fiа
Рис. 6.4.2 . За1Jисимость в е роятности Rнv от п а раметра а для системы
с ограниченны м временем ожидания .
На рис. 6.4.1. и 6.4.2 показана зависимость Rнр от
параметра· а для ряда значений п . Графики, изображен­
ные на этих рисунках, показывают, что если точка
с координатами R и а л ежит ниже линии rRнp, то целе-
258

сообразне~ применить второй тип управлвния работой
системы, если выше - то, наоборот, первый тип.
Таким образом, при организации работы системы
необходимо прежде всего определить те значения пара­
метров, при которых целесообразно менять управление
работой, чтобы получать максимальную эффективность
от имеющихся в системе приборов . Изложенный выше
метод сравнительной оцеюш эффективностей работы
системы массового обслуживания позволяет в ряде
случаев определить наиболее выгодный способ органи­
зации работы приборов и выработать требова 1111 я к уп­
равлению в зависимости от изменения потока занвок
либо эффективности отдельных приборов.
Применение полученных результатов по 1<ажем на
примере, приведенном в [17] .
Пример
Пусть •1етыре автономных зенитных ком11ле1с:::а (п=4) прш<ры­
вают объект от воздушного противнши. Пре.Jдоложим, что время
стрельбы комплек,са по одной цели fooc=l иин, а вероятность по­
ражения цели одним комплексом за стрельбу R = Р,7. Требуется
определить вид управления системой, об.сс11ечиаающнй максималь­
ную эффективность отражения воздушного налета противника.
Решение
Задавая рпд значений плотности налета Л, по формуле (6.4.1)
определпем вероптность поражения i<aJK .1:0Й цели, участвующей
в на ле т е, в зависимости от плотности, ког.та упраn :rение организо­
вано так, •по по ~появляющейся цели сосредоточивают огонь все сво­
бодные от стрельбы комплексы. Результаты расчета представл ены
на рис. 6.4.3 пунктирной линией. Сплошной линией показана ве­
роятно~zть поражения цели в том случае, rснда каждая появляю­
щаяся цель обстреливается только одним комплексом даже при на­
ли чии нескольких свободюях. Эта вероя rность вычислялась по
формуле (6.4.3).
На рис. 6.4 .3 видно, что при ~плотностях налета больше 1,24 са­
молета в минуту в данном слу,rае выгоднее нримснвть управление
первого типа, т. е . обстреливать каждую поп.шяющуюся цель толь­
ко одним комплексом. Если же налет со1Jершастся с :.1еньшей плот­
ностью (длп данного ·примера меньше 1,24 самолета i; минуту), то
наибольший эффеrп дает сосредото ч ение огня всех спободн ых ком­
плексов по каждой пьявляющейся цели, т. е. выгоднее ·применить
управление второго т ипа.
Приведенный пример носит иллюстративный харак­
тер, однако из него видно, что использование методов
теории массового обслуживания позволяет не только
определять параметры, характеризующие функциониро­
вание системы, но и проводить анализ и выбирать наи­
более выгодный вид управления с11стемой в зависнмостн
от конкретных условий, определять необходимые пара-
11•
259

метры системы для заданных условий и с учетом эко­
номичесю1х показателей прогнозировать целесообраз­
ность вида организации работы.
0,50
,,
1 .........
1
.........
1
"
.. .... _
1
-
...... _
1
--
--
1
---
1
---
1
---
1
Рис . 6.4 .3. Влияние способа управ J1 ения на эффективность.
6.5 . Работа системы по обслуживанию заявок
группой приборов в нестационарном режиме
Выше были рассмотрены системы, в которых работи
приборов была организована так, что обслужиnание
вновь поступившей заявки начиналось либо всеми при­
борамн, либо частью приборов, свободных в момент
прихода заяв1ш . Для оценки качества функционирова­
ния эт 1 1х систем в стационарном режиме были получены
конечные зависимости. Однако не всегда отрезок време­
ни, в течение которого рассматривается работа систе ­
мы, достаточно велик, чтобы в системе установилось
стационарное состояние. Если отрезок невелик, то при­
нятие ги п отезы о стационар ности процесса в системе
может привести к ошибке. Определим ошибку из - за того,
что принято допущение стационарности процесса, на
примере системы с отказами, состоящей из двух прибо­
ров (п=2). Пусть на два однотипных прибора с вр1::ме­
нем обслуживания, распределенным по показательному
закону с параметром ~t, поступает простейший поток
заявок с плотностью Л. При поступлении новой заявки
260

·обслуживание одновременно начинают все
11риборы. Введем следующие обозначения :
Ро (t) - вероятность того, что в момент
приборы свободны от обслуживания,
Р1 (t) - вероят н ость того, что в момент
один из приборов занят обслуживанием ,
P2(t) - вероятность того, что в момент
оба прибора за н яты обслуживанием.
Систему дифференциальных уравнений,
щих все состояния системы, запишем в ви д е :
р'0(t)= - lp0(t)+ftP1 (t), 1
р'i (t) = - (l+μ) Р1(t)+2μр2(t),
Р'2 (t) = - 2μр2 (t)+lp1 (t)+lp0 (t).
Нормирующее условие равно
Po(t) +Р1 (t) +P2(t) = 1.
свободные
времени t
времени t
времени
описываiо-
(6.5 . 1)
(6.5.2)
Начальными условиями для решения уравнений при­
мем
Ро(О) =1, Р1(О) =р2(О) =0.
Решение системы (6.5 .1) дает следующие формулы для
определения вероятносте й состояний системы :
1. Вероятность того, что все приборы в момент вре­
мени свободны :
2fJ.2
Ро(t)= (Л+ /J.)(Л+ 2fJ.)
Л е-<л+2μ.)t -се-(Л+μ.)t
1'+2fJ.
1
'
(6.5.3)
где
С1=-
4ЛfJ.+ 2Л2
2Л
(Л + JJ-}(Л + 2fJ.)
=-
Л+fJ. '
2. Вероятность того, что в момент времени t оба
прибора заняты обслуживанием:
(f)- _Л
___
Л._, -(Л+ 2μ.)/
Ра - л+2tL л+2f" _е
•
(6.5 .4)
261

3. Вероятность того, что в 'Момент времени t один
п рибор занят обслуживанием:
+2Л -(A+2μJt
л+2tJ- е
·
(6.5.5)
На рис. 6.5 .1 представлен вариант расчета вероят ­
ностей состояний системы в зависимости от длительно-
P(t)
1,0
0,5
~33
о
-
-
·- ··--' ·-----
- - '--·-
_...L____ t
7
2
З
T=-
t-
o6c
Рис. 6.5.1 . За вис и м ость вероятностей состояний системы от длитель­
ности процесса при Л= 1 и μ= 1.
сти процесса, полученных для значений параметров
Л= 1 и it = 1. Для сравнения на рисунке пунктирными
линиями показаны результаты, полученные для тех же
исходных данных в предположении стационарного про­
цесса. Как видно из рис. 6.5 .1, процесс устанавливается
довольно быстро и уже nри Т~Зtобс результап,1 прак ­
тически совпадают .
262

Абсолiотные ошибки определяются Для различных
состояний системы из следующих соотношений:
М =р (t)-p -~е-<л+μ)t_
о
о
о-л+,,.
Л -(Л+2μ)t
-л.+2,,. е
'
(6.5.6)
М =р (t)-p =~е-<л+2μ)t -
i
1
.
1
л+2,,.
2А -(Л+μ) t
-,._+,,. е
'
(6.5 . 7)
М =р (t)-p =--"-е-(Л+2μ)t
2
2
2
л+z,,.
.
(6.5 .8)
Относительная ошибка равна:
-
для вероятности того, что оба прибора свободны
от обслуживания:
(6.5.9)
-
для вероятности того, что один прибор занят об­
служиванием:
(6.5.10)
-
для вероятности того, что оба прибора заняты об­
служиванием:
(6.5 . 11)
На рис . 6.5 .2 . пред·:тавлены зависимости абсолют­
ных ошибок от величины п, рассчитанные при Т =0,5.
Из рис. 6.5.2 видно, что ошибка вначале возрастает,
а затем при дальнейшем увеличении а уменьшается.
При больших значениях а ошибка от допущения ста­
ционарности процесса становится практически незначи­
тельной .
Для проведения практических расчетов при анализе
работы двухканальной системы с отказами можно ис­
пользовать формулы, полученные для стационарного
режима, и полученный результат исправлять в зависи­
мости от длительности процесса работы системы. В этом
263

5
10а
Рис. 6.5.2 . Зависимость абсо11ютных ошибок Мо, М 1 и М2 от велнч и ­
иы параметра а при Т=О,5tовс .
Таблица 6.5.1
Tlloбc
"'
М;
0,01
1
0,1
1
0,5
1
1
1
2
1
3
О,1 м. О,133
О, 124
1
0,019 0,007
0,088 ; 0,055
М1 -0,087 -0,086 -0,072 1 -0,049 -0,019 -0,007
М2 - 0,046 -0,038
- 0,016 -0,006
0,5 Мо 0,462 0,418
0,258 0, 132 0,032 0,007
М1 -0,267 -0,262 -0,200 -0,116 -0,031 -0,007
М2 -0, 195 -0,156 -0,058 -0,016 -0,001
1 Мо 0,657 0,572 0,294 О, 119 0,018 0,003
м, -0,333
- 0,325 -0,216 -0, 102 -0,017 -0,002
М2 -0 ,324 -0,247
- 0,078 -0 ,017 -0 ,001 -0,001
5 Мо 0,904 0,559 0, 062 0,003
М1 -0,238 -0,205 -0,040 -0,002
М2 -0,666
- 0,354 -0,022 - 0,001
10 м. 0,890 0,354 0,025
м, -О, 151 -О, 103 - 0,021
М2 -0,739 -0 ,251 -0,004
случае вероятности р; (t) можно рассчитывать по фор­
м:у'ле
264

где Рi-вероятность i-го состояния (i=O , 1, 2), вы­
численная по фор·мулам, полученным для ста ­
ционарного режим3.;
Mi - абсолютная ошибка .
Величину Mi можно определить по табл . 6.5.1 .
6.6 . Выбор последовательности приоритетов,
максимизирующей вероятность полного
обслуживания
В различных научно-исследовательских организа-
циях довольно ча·сто иопользуются разные устрой­
ства по сбо р у и обработке информации, которая и:v~еет
различную ценность и необходимое время на свою об­
работку. При этом возникает вопрос, как организовать
работу системы сбора и обработки информации, чтобы
извлечь максимум информации из потоков сообщений
разной интенсивности, длительности и значимости при
условии, что поступающая информация, если заняты
обрабатывающие ее приборы, теряется. Аналогичные
задачи могут возникнуть и в других областях человече­
ской жизни. Например, при организации работы круп­
ной торговой организации следует учитывать потреб -
1-юсть в том лли ином товаре в данное время года, спрос
населения или организаций и другие факторы .
Подобные задачи встречаются и в военном деле.
Например, на некоторый пункт управления поступают
различные потоки информации. Для каждого вида ин­
формации требуется различное время на обработку и
принятие по ней определенного решения. При этом
штаб стремится так организовать работу, чтобы сум­
марная ценность всех принятых решений по поступив­
шей информации была максималь н ой, т. е . стремятся
максимизировать выражение
N
'°' !.
.
.1
2' 'N
1..J ai"'i.'Тri, t==
,
,'...,
,
1=1
где ai - ценность информации i-го типа;
Ai - плопюсп, поток·а информации i-го типа;
Лi - вероятность полного обслуживания информа­
ции из i-го типа потока;
N - число типов потоков .
265

Решение такой задачи при разных значениях ai для
каждого потока :шалитическим путем пока не представ­
ляется возможным .
Для удобства и облегчения понимания читателями
методов подхода к решению подобных задач мы рас­
смотрим частный случай общей задачи, решение кото ­
рого предложено в [3], а именно для равноценной ин­
формации.
Пусть на вход одного обслуживающего прибора без
устройств памяти (система с отказами) поступает N
простейших потоков. Интенсивность каждого потока
lч,i=1,2, ..., N.
Длительность обслуживания заявки i-го потока прибо ­
ром-величина случайная, распределенная по показательному
1
-.
закону с параметром р. = -t--' где
106с . - среднее время
обсi
z
обслуживания заявки i- го типа. Ценность каждой за­
явки характеризуется некоторой величиной а.
При этом в системе вводится приоритет для каждого
типа потока, по которому предоставляе т ся право перво­
очередного обслуживания заявок из потока с меньшим
номером. Значит, если в момент поступления заявки
j-го потока прибор занят обслуживанием заявки i-го по­
тока, причем j<_i, то последняя замещается вновь при­
шедшей заявкой.
Требуется так организовать работу системы и вы­
брать последовательность приоритетов (пронумеровать
потоки), чтобы в установившемся режи м е максимизи­
ровать суммарную ценность всех полностью обслужен­
ных заявок в единицу времени, т. е . максимизировать
выражение
N
~al111t'i.:
1=1
Выражение (6.6 .1) можно представить в виде
N
aANЕ~:'1ti. -
aANРп0,
i=I
(6.6.1)
(6 .6 .2)
где Р0 0 - вероятность полного · обслуживания
N
заявки из
суммарного потока с интенсивностью Ан= L .А+
ij=;: .1

Отсюда видно, что задача сводится 1< определению
последовательности приоритетов , которая максимизи ­
рует вероятность полного об служивания заявки из сум­
марного потока Рпо· Это объясняется тем, что все заяв ­
ки имеют равную ценно сть, и поэтому б езразлично, ка ­
кая заявка будет об сл ужена, главное , чтобы вероят­
ность полного обслvживанип была макси м альной.
Введем обозначёния:
pa(t) -- прибор свободен от обслуживания в мо­
мент t,
Pi (t) - -nрнбор в момент t за IJ пт обслуживанием за­
пвки из i-го ПОТОI<а.
Обозначим потоки номерам и от 1 до N (l~i~N).
Тогда система дифференциальных уравнений, описы­
вающих вероятности состояни й системы, запишется
в виде:
N
N
Ро'(i)= - I liPo(t)+Lf1iPi (!),
l=I
l=I
N
pi'(t)= - f11P1(t) + А1Ро(t)+ 11~ Pr(t),
r=2
i-1
N
р/(t) = - L(12+ !-'-i) Pi(t)+А;Р0(t)+А; ~ р,.(!),
r=I
r =l+I
при2<i<N,
N-1
рN'(t) =- ~ (Лr +f1N) PN (t)+AN Ро(t).
r=I
(6.6.3)
Д.пп с таци онарного -режима работы система (6.6.3)
пр еврат ится в систему алгебраических уравне ни й:
N
N
\
-
~ Л;Р0 + Lμ;Р; =О,
i=I
i=l
со
-μР1+ 11Ро+л1 У Pr=O,
,.;. .J
i-1
N
-
L(Лr +11;) Р; + 1;Р0+лi, 2: Pr: =О,
1· =1
r =i+I
при 2< i<N,
N-1
-
L (Л1.+f1N)PN +лN Ро=О.
r=I
(6.6.4)
267

Нормирующее условие имеет вид
N
),Pi=l .
-
i=O
(6 .6 .5)
Подробное изложение хода решения системы (6.6.4)
читатель найдет в [3], мы приведем лишь конечные ре-
зулыаты.
1. Вероятность того, что прибор
живания, будет равна:
свободен от обслу-
i
N
п Лi-1 +1-Li
Ро=
Лi + fJ.i
l=I
где лi.=LЛ,1"i= l,2, .. "N;
r=l
Л0 =0.
(6.6 .6)
2. Вероятность того, что прибор занят обслужива­
нием заявки из i-го потока, определитс я из зависи­
мости
1
р._
Лt п Лr- , +/J-1·
i- Лi-1+1-Li
Лr-1+1J.r+л" ·
(6.6 .7)
r:=I
Интересно отметить, что, как видно из равенств
(6.6 .6) и (6.6 .7), вероятность Р0 зависит от парам етров
Ai и μi всех N потоков, а вероятность Pi -только от па­
раметров потоков от 1-го до i-го включительно.
В частности, для потока с высшим приоритетом, т. е .
1 -го потока, вероятность обслуживания его любой за­
явки будет выражаться известной формулой Эрланга
для одноканальной системы
р_
Л1 (Л0 + /J-1)
i-
(Л0+!J-1)(Л0+/J-1 + Л,)
л,
Знание стационарных вероятностей состоя ний систе­
мы дает возможность вычислить вероятность полного
обслуживания заявки из i-го потока (:п: ; ) и вероятность
полного обслуживания заявки из суммар ного пото­
ка (Рпо).
268

3. Вероятность полiюго обслуживания заявки i-го
потока будет зависеть от вероятности того, что занвка
из i - го потока будет принята к обслуживанию Робсi, и
веронтности того, что принятая к обслуживанию заявка
из i - го потока за время обслуживания не будет поте­
ряна Pнni·
Следовательно, веронтность полного обслуживания
заявк и из i-го потока будет равна произведению этнх
вероят н остей
:rt; = Р обсiР нпi·
(6.6 .8)
4. Вероят н ость того, что заявка из i-го потока будет
п р и ннта к обслуживанию, определится из равенства
Робе= 1- ~ Рr·
(6.6 .9)
r=I
В свою оче р едь вероятност ь того, что прин я тая к об­
еоТJуживанию заЯ1:1ка из i - го потока за время обслужи­
вания не будет потеряна, может быть записана в виде
00
~-Л· t
- μ·t
fJ- "
Pнrni= е z- 1 d(l-e z )=л · +.· (6.6.10)
z-1
fJ-z
о
Отсюда вероятность пол н о го обслужива н ия занвки
i-го потока будет равна
Лi
где ai=-.
f.li
f.li
(
\,\
Pi
'11i= Лi-i+rч 1 - ,~pi) = -;;,
(6.6 .11)
5. Вероят н ость 110лного обслуживания заявки из
суммарного потока Рио мож н о оп ределить п о фор:v1 уле
NJ
'1 Лi
Pu о= '1J Лн тсi,
i=I
ко т о р ая после подстанов 1ш з н ачения :rt; из (6.6.11) бу­
дет и меть вид
N
Рпо=П
i=I
(6.6 .12)
269

Таким образом, вероятность полного обслуживания
заявки из суммарного потока равна вероятности того,
что прибор будет свободе н от обслуживания.
Расс1мотрим теперь основной вопрос о том, какую
последовательность приоритетов в обслуживании зая­
вок следует уста но вить, чтобы вероятность полного об­
служивания за явки из сумма рного потока была макси­
мальной. Как пока зано в [З], оказывается, что незаnи си­
мо от интенсивно сти по сту пающи х потоков право
первоочередного обслуживания должно предоставля ться
той заявке, среднее время обслуживания которой l\·Iень­
ш е или интен сивно сть обслуж1 1ван1 1я больше, т. е. н:пк­
но установить приорит ет ы потоl\ОВ в таком порндке,
чтобы
(6.6 .13)
Известный интерес представляет сравнен ие следую­
щих вариантов организации обслуживания:
а) обс.~уживание производится с выбором приорите­
тов согласно правил у (6.6.13);
б) обслуживание производится с выбором приорите­
тов в обратном порядк е, чем указано в (6.6 .13);
в) обслуживание производится без приоритетов.
При с равнении этих вариантов организации обслу­
живания получа ем, что ~1аl\снмалы1ая вероятность об­
служивания заявки из сум марного потока будет в ва­
рианте а), наихудшая -- в варианте б), а для варианта
в) - промежуточная, т. е.
ра) :;;:, рв) ~ рб) .
no
по
по
(6.6 .14)
Из выражения (6.6.14) видно, что рав енство возмож­
но лишь в случае, когда все ~t; равны (μ;=~t) . Тогда
все системы с приоритетам и э 1<вивал ент1-1ы системе без
приоритетов и
Из сказа нного можно сделать выводы:
1) при правильном выборе последовательности при­
оритетов система с лриоритетами лучше, чем система
без них, однако посл едняя может оказаться лучше си­
стемы с приоритетами, если выбор последова гельности
приоритетов осуществлен неправиJJьно;
270

2) ·правило выбора наилучшей посл едователыюстн
приорит етов определяется соотношением (6.6 . 13).
Математическое ожидание числа заявок, обслужен­
ных из i-го потока за время Т, равно
(6.6.15)
Коэффициент простоя системы будет равен в ероят­
ности того, что система свободна от обслуж ивания, т. е.
(6.6 .16)
Математическое ожидание общего числа заявок, об­
служенных за время Т, равно
Nij
N
Nобщ= Т}: A{iti = Т ~1чРi.
(6.6.17)
i=I
i=I
Коэффициент, сравнивающий возможности системы
по обслуживанию заявок j-го потока по сра внению с за ­
явками i-го потока, равен
Пример 1
'ltj
Кч=-.
•
1'i
(6.6.18)
На и н формационно-логическую маши!·!у лосту11ае1 пять типов
потоков информации (N =5). :Каждый поток является простейшим
с п лот н·остыо:
Л.1= ! ; Л.2=2;· Лз=О,5; Л.1,=1,5 и Лs=З.
Время обра.ботки поступающей инфоrмации ·показательное со
средним временем соответственно:
toбct= ! ; tобс2= ·2; tобсз=О,5; to5c1o=2,5; lоб::~=О,67.
При обработке постушнощей информац:щ управляющая про­
грамма осуществляет выбор порядка обслуж;ннния информации .
При составлении управляющей iПрограммы требуетсн определить:
а) порядок ·пр иоритетов сре;rи потоков тilк, чтобы в результате
работы машины было обслужено наиболь'uсе кол ичество посту­
пающей информации, б) вероятность полной обработки информа­
ции каждого типа, в) вероятность пол!Iой .):5рзботк н ин.формации
из общего потока.
Решение
Эта зада'rа эквивалентна только что ра.::r;~ю•!)~Нной с выбором
приоритетов, обеспечивающих максимальную нt>роятнссть полного
обслуживания информации из суммарНl)ГО поrок:э.. Поэтому можно
для решения и спользоватf:! зав и симости, .10лучечныr; nыше.

Определим параметры системы:
1
11-1=-1 -=1;
1
fJ-2=2 = 0,5;
1
1
11-з=OJ)= 2; f.1-4 = 25= О,4;
1
~5= о'67=1'5;
5
л= LAi= 1+2+о'5+1'5+3= 8.
l=I
а) Приоритеты среди потоков выберем н а основании пра&ила
(6 .6 .13) . Таким образом, наивысший приоритет будет иметь поток,
интенсивность обработки информац:ии у которого наибольшая, т. е.
μз=2. Этот лоток имеет плотность Лз = О,5.
За ним следуют потоки с интенсивность!о обрабоши информации
в таком порядке :
Или соответственно ПОТОКИ с ПЛОТНJСТЯМИ
Лs=3; Л1=I ; /,2=2; Л;.=1,5.
Прон умеруем их п о порядку, считая, что нанвы.:ший приоритет
имеет поток с номером 1:
Л*1=0,5; Л*2=3; ·Л* з =l; Л.*;,=2; Л.*s=l,5.
Тогда соответствующие им интен·савносг'1 обработки информа­
ции расположатся в таком порядке:
μ*1=2>μ*2= 1,5>1μ*з= 1>μ*;,=0,5>μ*s=0,4.
б) Вероятность полной обра·ботки информации каждого . потока
определится ло формуле (6.6.11)
Результаты расчетов представлены в т а бл. 6.6 .1 .
Поток с плотностью
(Л*) .
Вероятность (7ti)
0,5
0,80
3
0,24
Таблица 6.6 . 1
2
1,5
0,043
0,012
0,006
Из таблицы видно, что 80% информ ации буJ.ет обслужено из
потока Л*1=0,5; ·24% - из потока с плотностью Л,*~=3; 4,3% - из
27~

потока с плотностью "л,*з = 1; 1,2 % - и з .потока с плотностью .Л*, = 2
и только 0,6%-из потока с :плотностью /.,*s=l,5.
Вероятность полной обрабоnш информации из потока с выс­
шим приоритетом, как отмечалось выше, может быть определена
и по формуле Эрла•нrа для одноканальной с:истемы. Проверим:
т. е. мы получили тот же результат, что и в табл. 6.6.1 для потока
с высши м приор ·итетом.
в) Вероятность полной о·бработки любой информации из сум­
марного потока определим по формуле (6.6.12)
N
*
•
ПЛ*i-1+/J-*i_
р1.О=ро= А*i+f'"*i
-
i=I
( 2 ·. (0,5 + 1,5) .1 3,5+ 1 \ 14,5+0,5) ( 6,5+0,4\
=
о,5+2} з,5+1,5 \ 4,5+1)\6,5+о,5 \ s+o,4,:::::::o, i5 .
Та•ким образом, около 15% всей поступающей 1ннформации бу­
дет обработа·но . Интересно сравнить с э тим результатом, 1<оторый
явюrеrся максималь н ым из-за выбора :порядка пμноритета по пра­
вилу (6.6.13), ту вероятность полного обслуж и вания, · которая полу ­
чилась бы, если бы приоритет не выбирался оптималыным образом,
а остался в том порядке, в котором был задан по услопию за ­
дачи .
Для этого определим вероятность полной обработкн информа­
ц·ии из суммарното ·потока для начальной ·нумерации пото·ков
N
р -п Лi-1+ /J-i =
лО--:- Лi + f'"i
i=I
Так1им образом, если при составле1-ши управляющей программы
не произвести оптимальный выбор :приор:петов среди потоков, а об ­
служивание лроизводить с начальным порядком приоритета, то в
среднем может б ы ть обработано охоло 9,7%, т. е. лриблиз•1пельно
в 1,5 раза меньше информации.
На этом примере ясно видна необходимость правиль­
ного выбора приоритетов, что может значительно по­
высить производительность системы.
Следует отметить, что не всегда в подобных систе­
мах может быть при.орюет потоков. Могут возникнуть
задачи, в которых система должна обслуживать не-
1~-1444
~73

сколько потоков, не имеющих приоритетов друг пс:ред
другом, но отличающихся плотностями и необходимым
временем на обслуживание заявки в каждом потоке.
В подобных задачах может представлять интерес ре­
шение следующих вопросов :
-
какова вероятность обслуживания заявок каждо­
го типа потока?
-
как необходимо изменить параметры обслужива-
1-1ня заявок того или иного потока, чтобы вероятность
обслуживания была не ниже заданной?
-
различные коэффициенты работоспособности си­
стемы и т. д.
Примером может служить работа почтового отделе­
ния, куда поступают различные потоки корреспонден­
ции: телеграммы, письма, бандероли, посылки, газеты
и т. д. Корреспонденция каждого вида требует различ­
ного времени для обработки и доставки адресатам.
Другим примером может служить АТС, на которую по­
ступают заявки на телефонный разговор от предприятий
по служебным телефонам, от частных граждан по до­
машним телефонам и т. д. При этом работа АТС пред­
ставляет собой систему с отказами, так как, если все
линии заняты, то очередной абонент получает отказ.
Для улучшения организации работы АТС или при опре­
делении необходимого объема для ее расширения не­
обходимо знать пропускные способности как в целом
по всем заявкам на разговор, так и по отдел?ным ви­
дам.
Если заявки каждого потока имеют свою ценность,
то может возникнуть вопрос, какие потоки целесооб­
разнее обслуживать в первую очередь, чтобы общий
экономический эффект был наибольшим.
Таким образом, имеет смысл показать подход к ре­
шению подобI-1ых задач и практическое их использова­
ние.
Рассмотрим одноканальную систему с отказами.
Пусть на прибор обслуживания поступает N простей­
ших потоков заявок с плотностями Л;, i= 1, 2, . .., N .
Время обслуживания заявки из i-го потока случай­
ное и распределено по показательному закону с пара­
метром μ; . Если поступившая заявка застанет прибор
за нятым обслуживанием ранее ПGJСтупившей заявкн, TQ
она считается потерянной.
274

Введем обозначения:
Po(t) - вероятность того, что в момент ,f прибоr
свободен,
Pi(t) - вероятность того, что в момент t прибор за­
нят обслуживанием заявки i-го потока.
Тогда система дифференциальных уравнений, описы­
вающих вероя т ност'l!ые состояния ·системы, ·будет иметь
вид
N
N
Р1о(t)= -
L: AiPo (t) + L μ;р; (f),
i=I
i=I
r'; (t) = -μip; (t) + А;Ро (t)
при 1< i<N.
(6.6 .19)
Для стационарного режима получается система алге­
браичес1шх уравнений
N
N
-
~)_ipo + L μ;Р; =О,
i=I
i=I
-
μ;Р; + )_ipo =О
при 1<i<N.
Нормирующее условие имеет вид
N
(6.6.20)
~P1t=1.
(6 .6.21)
.; ...J
k=O
Решение системы (б.6.20) с учетом нормирующего
условия дает следующие зависимости:
-
вероятность того, что прибор свободен от обслу­
живания:
где
_
"Лi.
а;--,
1.1 .i
Po=--
-N--
(6.6.22)
1+~ai
i=I
-
вероятность того, что прибор занят обслужива­
нием заявки из i-го потока:
18*
CJ.i
P;=
--N--.
1+2:at
i=I
(6.6.23)
275

Вероятность того, что заявка i-го потока будет об­
служена, определится как произведение отношения
плотности обслуживания заявки из i-го потока к плот­
ности поступления их на вероятность того, что прибор
занят обслуживанием заявки i-го потока, т. е.
----N~-- = Ро.
(6.6.24)
!+ \"'1,,.,; G.i
i=I
Таким образом, из равенства (6.6 .24) видно, что ве­
роятность обслуживания заявки из любого потока оди­
на~<ова и равна вероятности того, что она застанет при­
бор свободным.
Отсюда вероятность отказа в обслуживании будет
равна
Ротн= 1-Р0•
(6.6 .25)
Пример 2
В крупную мастерскую 1ю μемон;-у j)адrюпрнборов посту1пают
три типа разлнчной аппаратуры с разл;иными плотностями :
1) Л.1 = l прибор/ед. времени,
2) Л2=З прибора/ед. времени,
3) Лз =0,5 п рнбора/ед. времени .
Время, нео'6ходимое мастеру на ремснт 'Прнбора каждого тил а,
ка·к показал опыт ра·боты мастерской, разли,rное и можно считать
в п е рвом приближении распределенным по по;,азне;:ьному закону.
Будем считать, что если мастер занят ремонто~I ранее п рння­
того при·бора, а в это время в мастер~;<ую посгу:шт следующий,
то этот последний прибор отдадут другому мастеру, т. е . считать,
что · число :11астеров достаточное.
Каждый мастер, к;~к правило, нв,1яется .:пг циа :1нстом .по одному
типу приборов.
Так как потоки неисправных приборов яв .1яютсн случайными,
у мастера будут ,перерывы в ·работе нз-за отсутстuня неисправных
приборов да н1юго тила. Однако он мо·жет лринимзть в свободное
время на ремонт и приборы других гипов, но на и х [:;емонт он за ­
тратит более длители11ое nремп. Рассмотрим д.м1 Пf1НМера .прои з по­
д1 1 телыrость од 11 ото из мастероп, являющегося спе•\!1;:~листом по при­
борам третьего типа, у которого произ!юдительность выражается
следующими средними значениями:
] ) ~t1=0,5,
2) μz=l,
3) μз=О,2.
276

За ремонт О'Плата мастеру сдельна я и зави·сит от типа при160 -
ра. Предположим, что .мастеру платят за ·р емонт прибора (в ед.
стоимости):
1) а1=5,
2) а2=1,
3) аз= 10.
Возникает вопрос, как и е типы приборnв кр ом е третьего еще
целесообразно мастеру ремонтировать, •1тобы меныuе простаивать
без ра•боты и иметь при этом больший здработок .
Решение
Для мастера могут быть приемлемы следующ,1е вари а нты ра ­
боты:
-
принимать в ·ремонт, если свобо;J,е н, г;р нб оры всех типов;
-
принимать в ремонт только приборы п ;е рво rо и третьего ти-
·11 01>;
-
принимать в ремонт толыко приборы второ ;-о и третьего ти­
пов·
'-
принимать в ремонт только приборы третьего типа.
Определим средний зара·боток рабочего в единицу в·ремени для
каждого ·ИЗ указанных четырех вариантов, который рассчитаем п о
следующим зави·симостям :
-
для первого варианта
С1 = (а1 Л1 +а2Л2 +аяЛз)Ро;
-
для второго варианта
С2= (а1!,1+аз/,з)Ро;
-
для 1'ретьего варианта
Сз= (а2Л2+азЛз)Ро ,
где Ро определяется по формуле (6.6.22);
-
для четвертого варианта
С1,=азЛзРо,
где Ро определяется по формуле Эрланга для о ди ок а иальной си­
стемы.
Результаты расчетов сведены в табл. 6.6 .2 .
Таблица 6.6 .2
Номер варианта
2
3
4
at Л.1
5
5
а2 Л.2
3
аз Аз
5
5
Г.аi'Лi
13
JO
3
5
5
8
5
Ро
О, 12
О, 18
0, 15
0,29
Ci
1,56
1,80
1,20
1,45
Анализ ре з ультатов по следней строки табл. G6.2 пок а зывает,
что мастеру целесообразней применять вирой а~р и п1т, т. е. при­
нимать только ~приборы третьего и nepвoro тиа о'3.
Аналогичным путем можно решать з а дачи по опре­
делению путей организации труда для достижения мак­
симум а производительности.
277

6.7 . Нестационарный процесс в системе
с выбором nоследовательности приоритетов
Необходимость изучения нестационарного процесса
при оценке качества функционирования систем массово­
го обслуживания неоднократно отмечалась при рассмо­
трении систем с отка з ами, смешанных и др . Рассмотрим
влияние нестационарности на системы с выбором по­
следовательности приоритетов и с несколькими пото­
ками .
Аналитическое решение получить для таких систем
в общем виде очень трудно. Рассмотрим частный слу­
чай работы одно1<аналыюй системы по обслуживанию
двух потоков.
Система с приоритетными потоками. Пусть на одно­
канальную систему поступают два простейших потока
с плотностями tЛ 1 и :Л2• Первый поток (Л1) и м еет приори­
тет перед вторым потоком. Если в момент прихода
заявки первого потока прибор будет обслуживать заяв­
ку второго пото1<а, то, независимо от того , з акончено ли
ее обслуживание или н ет, заявка второго потока осво­
бождает прибор, а з аявка первого поток а поступает на
обслуживание . Время обслуживания за явки для каждо ­
го потока различное и имеет пока з ательный закон рас­
пределения с параметрами соответственно ~t 1 и μz. Си ­
стема диффере нциа льных уравнений , описывающих Fе­
роятностные состояния системы, .пол у чит'СЯ из оистемы
(6.6.3) при N =2:
(6.7 .1)
Нормирующее условие равно
Po-(t) +Р1 (/) +p2(t) = 1.
(6.7.2)
Решени е системы дифференциальны х уравнений про­
ведем при начальных условиях :
Ро·(О) = 1, Р1 (О)= Р2(О) =0 .
Тогда получим следующие значения для вероятно­
стей состояний системы в зависимости от времени про­
текания процесса обслуживания:
278

1. Вероятность того, что прибор занят обслужива­
нием заявки первого потока
P1(t)=c1e-o,,+ μ,)t+ "'л,
(6.7.3) ·
fJ-1+ 1
Л1
где С1=- fJ-1+-X -1- .
2. Вероятность того, что прибор свободен от обслу­
живания:
Po(t)= Л ~1(/J-2~~1) Л)+с2е-сл,+1,+μ,)t+
(1+ 2+/J-2 fJ·1+ 1
(6.7.4)
где
3. Вероятность того, ч то прибор за нят обслужива­
нием заявки второго потока:
P2(t) = 1 -po(t) - pi (t).
(6 .7 .5)
Для стационарного режима получа ем следующие за­
висимости :
Л,
P1= ---
Л1+fJ-1'
/J-1 (f12 + Л1)
Ро= (Л1+fJ-1)(Л1+Л2+ fJ-2) '
A2f11
(6.7.6)
Таким образом получили зависимости, аналогичные
тем, что получаются по формулам (6.6.6), (6 .6.7).
Абсолютные ошибки от допущения стационарности
процесса будут равны :
M0 =p0(t)-P0 =
=
С1 (fJ-1 - fJ-2) е-(Л,+μ,)1 +с2е-( Л,+Л,+μ, )/'
Л2+ fJ-2- fJ-1
М1 = Р1 (t) --Pi = С1е-сл,+μ,) t •
М2=Р2(t)-Р2=
= - с~е-(Л,+μ,) 1 ( А2 )- С2е-(Л,+ Л~+μ,) t .
,Л2+fJ-2-fJ-1
(6.7 .7)
(6.7 .8)
(6.7.9)

Относительные ошиб1<и определятся по следующим
з ависимостям:
ЛМ0 = ~о•о
(6 .7.10)
(6.7 .11)
(6.7 . 12)
На рис. 6.7.1 пока за н вариант расчета вероятностей
состояний системы, выполненный по формулам (6.7.3)-
(6.7 .5) для следующих значений:
PJt)
1,0
0,07
о
μ1= 1, μ 2= 2, /ч=l и Л.2=0,5.
Р,
-- -!;;;;.-: : -. =. . -:: . . . . -==--=---=--=
2
3
1/ t,1 "1UH
Рис. 6.7 . l. Зав н си'V1 ость вероятностеi-'1 состоs~нн1:1 с11стем ы Р; (t) от
дли телы1осп1 процесса t при ~t1=l; μ2 = 2; A1=l и Л.2= 0,5.
Обозна чения: --вероят 1-юсть того, Ч 'IО с1н~тема нс занята обслуживанием;
-
-
--
ве роятность того. что с 1-1 стема за нята обслуживанием зня1Зки nepвort)
11отока; -
·-
· вероят 11 ость
того, что систем а за 11нт;1 обсJ1у;10111а 1н1ем эnя вi<Jt
в1о рого потоt< а.
Как видно из рисунка, начальный период включ е ния
13 работу системы значительно влияет на величину ве­
роятностей состояний в первый момент работы. В даль­
нейшем с увеличением продолжительности функциони ­
рования системы процесс постепенно устанавливается
н вероятности p;(t) стремятся к вероятностям Р;, вычи-
280

сленным для стациоиарноrо режима (на р ис . 6.7 .1 обо­
значены соответствующими прямыми) .
Величина абсолютной ошибки в процентах для рас ­
сматриваемого прим ера приведена в табл. 6.7.1 .
Таблица 6.7.1
t (мин]
М;
О,1
0,5
2
3
4
м.
44, 1
20,4
8,2
l,2
О, !4 0,03
М1
-40,9
-18,4
-6,8
-0 ,9
-0,!0 -0,02
М2
- 3,2
- 2,0
- 1,4
-0 ,3
- 0,04 -0,01
Из данных таблицы видно, что если плотности пото­
ков будут Л1 =1 заявка/м ин ·и Л2=0,5 заявки/мин, а сред­
нее время обслуживания для заявок первого потока
1 мин и для заявок второго потока 0,5 мин, то абсолют ­
ные ошибки в определении вероятностей по формулам,
полученным для стационарного процесса, при длитель­
ности процесса более 2 мин не будут превосходить 1 %.
Следует учесть фактор довольн о быстрого установ­
ления процесса и при расчета х ; если длительность про­
цесса более (2 + 3) tобс , можно оценивать функциониро­
вание систем ы в первом приближении, пользуясь форму ­
лами стационарного процесса .
Система обслуживания двух неприоритетных пото­
ков. Расомотрим одноканаль·ную систе му массового об­
служивания, на которую поступают два прост ейших по­
тока с параметрами ,Л, 1 и Л2 , не имеющих приоритетов .
Работа прибора организована так, что если он з анят
обслуживанием, то независимо от того, из какого пото­
ка поступит заявка, она получает отказ в обслужива­
нии . Время обслуживания заявок каждого потока рас­
пределено по показательному закону с параметрами μ 1
и μ 2 соответственно.
Систему дифференциальных уравнений, описываю ­
щих вероятностные состояния системы , получим из
(6.6 .19) при N =2:
' Р'о (t)= - Р·1+ д.2) Ро(t)+f11P1(t)+f12P2(t),
Р11 (t) = -- f11P1 (t) +д.1Ро (t),
Р'2 (t) = -"tJ.2P2 (t) + д.2Ро (t).
(6.7 .13)
281

Нормируiоще е усл ов ие имеет вид
Po(t) +p1(i) +p2(t) = 1.
Начальными условиями, очевидно, будут
Ро(О) = 1, Р1(О) =р2(О) =0.
(6.7 .14)
Тогда решение системы (6.7 . 13) с учетом нормирую­
щего условия и начальных условий даст следую щие
значения для вероятностей состояний системы при не­
стационарном режиме:
1. Вероятность того, что прибор занят обслужива­
нием заявки первого потока (т. е. пото ка с плотностью
Л1):
где
А•/А2
•
K1=-2+r т-с.
А= !L1+f12+А.1+Л1;
с = f.L1/L2 + A1f.L1 + Л,μ.1;
/г2 =
-
~-у~2-с;
(6.7 . 15)
2. Вероятность того, что прибор занят обслуживани­
ем заявки из второго потока
_
[C2k2 + (Л;1+ /.1 -1) С2 ] ek•t ;
(6.7.16)
3. Вероятность того, что прибор свободен от обслу­
живания заявок
(6.7.17)
282

При стационарном режиме, т. е. при t-+oo, пол учаем
известные формулы (см . 6.6 .22) - (6.6 .23) :
Ро= 1+0:1 +0:2 '
(6 .7 .18)
Р1= a;I
(6.7.19)
1 +0:1+0:2 '
Р2=
а;2
(6.7 .20)
l+a1+<X2
,
Л1
Л2
где а1=
-
иа2=
-
.
/-1 -1
/-1-2
Абсолютная ошибка от допу ще ния стационар; 1о сти
процесса равна
М1= Р1(t)-Р1= c1ek/+c2ek,t,
(6.7.21)
М2=Р2(t)-Р2= - [ c,ll,+(~,1+f.11)с1 ]е''·1 -
_
[ C2k2+(~~+f.11)С2]ek,t '
(6 .7.22)
м- (t) р-( fl1+/-1-1)
k,1 +
о-Ро - о-
л,
с1е
+(k2+f'-2 ) !г,t
--Л-,- С2е
Отсюда относительные ошибки будут равны
дМ1= ~1 ,1
(6. 7 .23)
(6.7 .24)
(6.7 .25)
(6.7.26)
Проследим процесс функционирования с11сте~1ы и
определим, как долго он будет устанавливаться на при­
мере, рассчитанном для следующих значений параме­
тров системы:
μ1=1, μ2=2, Л1=l и /.2=0,5 .
Результаты расчета вероятностей системы прещ:гав­
лены на рис. 6.7 .2. Соответствующими прямыми обозна­
чены вероятности, Вf:1!'Нlс.l!енные при условии стацио­
нарности процесса .
283

Из рис. б.7.2 видно, что при длительности процесса
более (2 + 3) f обс вероятности Pi (t) с11рем ятся к стацио­
нарным и процесс практически устанавливается.
Такие же результаты мы наблюдали и в предыдущих
главах, и это позволяет .сделать важный для практики
вывод о том, что, как !lравило, для большинства систем
1,0
Р2
P2 (t)
о, 11 -:;"i-=---------------_-_-:i--...=-_--=---~-----=---
/
'1
о
2
3
t' мин
Рис. 6.7 .2. Зависимость веронтностеf! состояний системы Р; (t) от
длительности процесса обслуживания двух непри ор ит етных потоков
при μ1= !; ~L2=2; /ч= 1 и Л.2=0,5 . Пунктиром обозначена вероят-
ность того, что система занята обслуживан и ем з аявки второго
потока.
массового обслуживания переходный процесс довольно
быстро затухает, а значения вероятностей р; (t) стремят­
ся I< вероятностям, вu1чи сле нным для ста ционарных
условий. Это положение значительно облегчает анализ
работы систем массового обслуживания, так как по­
зволяет производить многочисленные расчеты по более
простым формулам.
6.8. Системы с переменной структурой
Существуют системы массового обслуживания, в ко­
торых число обслуживающих приборов переменное, т. е.
284

число приборов в системе может изменять ся в завJ:Iси­
мо.сти от условий работы. Наприм е р, число работаю11.1.их
приборов в системе может зависеть от длины очереди
зая•вок; так организуется работа касс в метро. Здесь
с увеличением потока пассажиров в часы пик работает
большее число касс, чe:vr в другие часы.
Организация обслуживания в системе может быть
связана с обеспечением некоторых подготовительных
работ, предшествующих основному проце ссу обслужива­
ния, или с обеспечени е м получения инф о рмации для
поступившей заявки . Наттрнмер, в химчистке вещь под­
вергается сначала нек·оторой предварительной чистке
(удаление крупных пятен специфического хара юера
и др.), а затем только проводится общая чистка.
Известный интерес для решения практических задач
может представить рассмотрение работы систем, у ко­
торых производится управление длиной очереди перед
приборами . В них возможен пер еход заявок из очереди
в очередь для обеспечения более равномерной загруз­
ки приборов, уменьшения времени ожидания и т. д.
Возможны и другие разновидности систем с перем ен ной
структурой. Мы рассмотрим лишь указанные выше си­
стемы.
Переменное число обслуж.ивающих приборов. Р ассмо­
трим функционирование .системы ма·ссового обслужива­
ния, в которой количество работающих приборов обслу ­
живания зависит от длины очереди. Примером подобной
системы может служить работа инстр ументал ьной J<ла -
довой в цехе. Утром, в начале работы, все кладовщи ки
выдают рабочим необходимый инструмент . Некоrорое
время спустя объем работы кладовой резко уменьшает­
сп. В это время работают только часть кладовщиков:
остальные используются для других подготовительных
работ . Если по какой-либо причине потребность в инст­
рументе возрастет и очередь в кладовую увеличится, то
х выдаче подключаются остальные кладо вщики. По­
а.обные ситуации могут встретиться в работе банков,
магазинов, ремонтных мастерских и т. д .
Рассмотрим систему с просте йшим входящим r-ото­
ком с параметром Л и экспоненциальным распределением
времени обслуживания с параметром μ. Минимальное
число приборов равно единице и растет с увеличением
числа ожидающих заявок. Число каналов у величивается
только после того, как достигается максимально допу-
285

стимая длина очереди, т. е. как только число заявок,
находящихся в очереди, становится больше N, новый
прибор приступает к обслуж иванию заявки, стоящей
в очереди первой. Если ожидающих заявок нет, то по
окончаниии обслуживания число прибор ов уме ньшает ся,
и только один прибор остается готовы м к обслужива­
нню все время .
Введем обозначения:
Рп (т, t) - вероятность того, что в момен т времени t
в очереди 11аход1 1 тС'я п за пвок и т заявок обслуж ива ет­
ся (чи сло их равно чн слу действующих приборов).
В [22) длн данной систем ы полу чена сл еду ющая си­
стема дифференциальны х уравнений, описывающая ве­
роятностные состояния :
р'0(О.t)=
-
"Лр0(О.t)+fJ-Po(l,t),
)
р'0(1,t)=
-
("Л+ fJ-)Ро(l,t)+ "Лр0(О,t)+
+fJ-P1 (l. f)+2fJ-p0 (2, t).
р'0(т,t)=
-
(Л+11ZfJ-)Ро(т,t)+
+ mfJ-p , (т, t)+ (т+ \) fJ-Po (т+ l, t),
P'N(т,t)=
-
("Л + lnfJ-)PN (т, t) +
+ "ЛрN(т - 1, i) + "ЛpN-I (т, t),
Р'п(т,t)=
-
(Л+ 11l/J-)Pn (т, t) +
+ЛРп-1(т, t) +mfJ-Pп+1(т, t).
J
(6.8 .1)
Сумма всех вероятно стей состояний системы должна
равняться единице .. Уравнения для стациона рного со ­
сто яния, определяющие вероятностн Рп (т), находят сн
обычным путем, решен·ие 11:оторы х дает следую щи е за ­
висимости:
1. Вероятность того, что в очер еди 11аходится п за ­
явок и работает только один прибор, равна
286
Рп(1)=
N- 11
(1 ~ (1-h
k=О
N
(N +l ) e"+ ~(N-k+l)Ct-п
k=.c !
n ~N.
(6.8 .2)
2. Вероятность того, что в очереди 1цходится п за ·

sruoi< 1i 111 приборов за1iяты обслуЖиванй е м, раина
ат
тт
Pn (т) = ----"""""N_____
(N + 1) е"+~ (N -k+ l)a-1<
~
k=l
(6 .8.3)
Если положить N =0, то система превратится в си­
стему с бесконечным числом приборов и вероятность
Рп (т) определится по формуле
()ат-а
Pn т =-,е
.
т.
(6.8 .4)
3. Среднее число заявок, находящихся на обслужи-
вании, равно
со
N
Nобс = I т ~Рn(т).
(6.8.5)
m=I n=O
Работу аналогичной системы массового обслужива ­
ния, но при условии, что максимально возможное число
работающих приборов ограничено некоторой величиной
М, ·рассмотрел Филлипс {22]. В этом случае очередь мо­
жет возрастать безгранично. Моментом присоединениq
к работе дополнительного п рибо р а является н аличие
в очереди N заявок (а не N + 1, как в предыдущей си­
стеме).
Вероятности состояний системы определяются после­
дующим зависимостям:
1. Вероятность того, что в очереди наход и тся п з ая­
вок (О::::;;;п::::;;;N+ 1) и один прибор занят обсл уживанием:
Pn(1)=
an+t(1- aN- n)
1-an
Ро(О),
(6.8.6)
где
{
а
NaN-1
Ро(О)= 1+-1--
N+
-а
1-а
N (1 -а) aN-l
+ 1-aN
х
Х [~:•;, + (M-l~~M-•) ]}~•
(6.8 .7)
287

2. Веро>Iтность того , что в очереди находится п за­
пвок (O~n~N-1) и т приборов (2~т~М - 1) заня­
то обслуживанием
aN +m-1 (!-а)
P11(tn)=
N Ро (О).
m!(l-a.)
(6.8.8)
3. Вероятность того, что в очереди находится п за­
явок (O~n~N - 2) и заняты все М приборов
М _ aN+M-1(\ - а) (Mn+1 _ an+')
Pn( ) - М"М! (! -aN) (М -а) Ро (О) (6.8.9)
иприN- 1,,;;;,_ п<оо
а11+М (\ - а) (М;у
-
aN)
Рп(М)=
N
Ро (О).
MnM!(\-a )(М- а)
(6.8 .10)
Пример 1
На кру пн ом предприятии имеется инструмен тальн ая кладовая,
в ·Которой выдается рабочим всевозможный инструмент . Для {:О­
кр ащения непрои зводительнаго простоя при получении инструмента
определено, что наибольшее число рабочих, « от,1рые могут стоять
в О'Череди, не должно превышать двух челочек (N =2). Опыт пока­
зал, что в среднем за инстр уме нтом обращается два челове ка в ми­
нуту (Л.=2). Время, затрачиваемое кладовщн.i<uм на выдачу инстру­
мента одному заказчику, случайное и завмсит от ряда факторов:
количества зап р ашиваемого инст рум ента, .VIecт a хранения его в кла­
довой , усталости кладовщика, е го сноровки и т. д. В среднем это
время составляет 0,5 мин. (tобс= О,5). У окошка для выда<rи всегда
находится не менее одного кладовщика, даже ~' с~•учае, если нет
потребителей. Если в очереди появляется более двух рабочих, то
подклю•rается к выдаче еще один кладовщ 11к и т. д. В остальное
время, т. е. когда очередь ме ньше двух, свободные о т выдачи ин­
струмента кладовщики выполняют ряд подrо·,·он и тельных работ:
получение на складе инстр уме нта, который нужн о обновить в кла ­
довой, оформление учетных д окументов, проверка ис правного .:о­
стояния инструмента и др . Тре буе т ся опр едел1 пь, ско :1 ько в среднем
необходимо кладовщиков, чтобы обеспечить ·обслуживание ра1бо<1их
в заданн ы х условиях с гарантийной вероя Г'Юс:тью не ниже 0,95, т. е .
чтобы в 95 случаях из 100 очередь в инструментальную кладовую
не превышала двух человек.
Решение
Определяем параметры
11 = ;\iioбc = 2·0,5 = 1,
1
/.J . = i7обс-= 2•
Опре делим вероятност ь того, что выд ачей ин ст румента з анят
один к л адов щик
N
Р1= ~ Рп(I)= 1 16, 1~0.54.
n=O
288

Из первого уравнения ·с11с темьt (6.8 .1) hрн l-+oo нахоiим ве ,
1ю>пн ость того, что у разд аточ ного ою1а инструм ептал ьн о й кладо во й
ш11\uго из рабочи х нет и дежурный КJ1адовщик с1Jободе н от выда•ш :
fJ.
3
Ро(О)=ТРо(1)= ТТJ~0,26.
.
По формуле (6.8.3 ) опр еделяем вероятности того, ч то н а р аз­
Jl аче инструмента будет занято два, три, четыре 11 т. д . 1(Ладовщик а .
З н ачения этих вероятностей представлены в табл . 6.8.1.
Таблица 6.8 . 1
т
2
3
5
G
7
Pn ( т) 0,045 0,015 0,0036 0,0007 0,00015 0,0000 2
2
~ Pn (т) О, !35 0,045 0,О\08 0, 0021 0,00045 0,00006
n=O
2
т\'Pn (т)
... ...
0,405 0,135 0,0324 0,0063 0,0027 0,00042
n=O
Прин и мая во в н имание, что оди н кладовщ ик всегд а должен
J( е жур;ить , вероятности того, что о ч ередь ·не будет п ревыш ать дlJyx
ч елояек в завис·имости от обще го числ а кладовщ i11< ОВ , равны:
-
при одном кла д овщИJ(е
2
Ро(О)+~Рп(1)= 0,26+0,54= 0 ,80,
n=O
-
прн двух кладовщиках
2
2
Ро(О)+~р~(1)+ ~Рп(2)= 0,935,
n=O
n=O
Гi ри трех кладо·вщиках
2
2
2
Ро(О)+~Рп(1)+ ~ Pn(2)+ 2:Рп(3)= 0,98.
n=O
n=O
n=O
Следователь н о, уже Гiрн н али ч ии в кладо во й т~;е х кладовщlll(О~
uероя т нос т ь своевремен11ого полу 1 1 е111 1 н рабочими инструмента будет
11е ни же зада'Нной, т. е . не ниже 0,95. При этом в среднем выдач ей
и11струмента .будет заниматься 1 +О,405+0,135=1,54 кладовщик а ,
т. е. около половины временн они буду r заняты выда<1ей инстру ­
мента, а остальное время - внутрен·ней работой.
На примере можно наглядно убедиться в целесооб­
разности испо льзования при организации работы об­
служивающих органов предприятий методов теории мнс-
19-1444
289

~6вого обслуживания, которьiе Позволяют пр6а1-1атtЗИ­
ровать деятельность этих органов и более обоснованно
выработать требования к организации их работы и
определить в ряде случаев их структуру. .
Ориентирование заявок перед обслуживанием. Перед
тем как принимать заявку на обслуживание, может воз­
никнуть потребность в ее предварительной обработке.
Например, на пункте технического обслуживания авто­
машины сначала подвергаются мойке, чистке, предва­
рительному осмотру и т. д. Эти операции выполняются
частью рабочих пункта обслуживания. Число рабо'IИХ,
занятых на этих операциях, меняется, так как после
предварительной обработки машина проходит более
тщательный осмотр и профилактический ремонт, для
выполнения которых могут привлекаться рабочие, осво­
бодившиесн от предварительной обработки. Аналогич­
ная задача с ориентированием заявок перед обслужива­
нием рассмотрена в {22]. Суть постановки задачи заклю­
чается в следующем.
В систему массового обслуживания с п приборами
поступает простейший поток заявок с плотностью Л.
Перед обслуживанием необходимо определенное нремя
для орие11тирования (предварительной обработки) за­
явки . Время, необходимое для ориентирования заявки,
величина случайная с показательным законом распреде­
ления . Среднпя длительность ориентирования равна top·
Время обслуживания заявки - также величина случай­
ная, распределенная по показательному закону. Для
удобства выводов конечных зависимостей примем мате­
матическое ожидание времени обслуживания за11вки
в системе равным одной временной единице.
Введем обозначения:
Pi - вероятность того, что i(O~i~n) приборов дей­
ствительно заняты обслуживанием;
Qj - вероятность того, что работают п приборов, при­
чем (j-1) приборов заняты обслуживанием, а (п-j +
+ 1) - ориентированием заявок.
Если все приборы заняты, то заявка получает отказ
в обслуживании. Основные вероятностные показатели,
характеризующие качество функционирования системы
в стационарном состоянии, были получены в [22].
1. Вероятность того, что все приборы заняты обслу­
живанием заявок, равна
290

где
л
Pn= Л+(1+liopЛ)k'
(6.8 .12)
k=(п;1)+ (п- 1;2)(1+ t~p+ 1;1)(t~p)+
(
1
)'t )2
+(п -2;3\1+ top-+1; 2 ( ~Р + ... +
+(l;n) (.i+ t:p +l;n- 1)( t'~p )",
(N,Nl)= N(N+1)...(N+м-1).
При lop - О получаем известную фор мулу Эрланга
n!
Рп =--п--
1+~~;;
k=I
2. Вероятность того, что заявка по лучит отказ в об­
служивании из-за того, что уже все приборы ЗаiНIТЫ
(либо обслуживание\<!, либо ориентированием), опреде­
ляется по формуле
р
Л(l-tt0pfl)
OTII = Л+(1+ topA)fг"
(6.8.13)
3. Вероятность того, что j приборов з анято ориен­
тированием заявок, рав }\а
qj= t0pPn(n+ 1; n-- j+l)[(п+л.+
+__; __ _; 1J( fop )n-J - (11-j
-
.!i_!_L Х
top
;
Л
(1; 1)
х(п+1+f~p;2)(t~p)11- j
-
1+
+ (j-3;2) (п+1+-1_. з)(fop)n- J-2_
(1; 2)
top •
л
_ (i-5;2) (п+л.+-'- · 4) ( top)n-;
-•L
(1;3)
top'
\Л
Т···
(6. 8 .14)
19*
291

4. Математическое ожидание чисJ1а приборов, заня­
тых ориен тированием, равно
"
Мор=~ jqj.
(6.8.15)
i=I
Тогда коэффициент за н ятости приборов в предвари­
тель н ой обработке заявок (ориентировании) определит­
ся по формуле
Мор
Кор=-п-.
(6.8 .16)
5. Вероят н ость того, что заявка будет обслужена,
равна
Робе= 1-Ротн·
(6.8 .17)
Пример 2
На тран~спортере автомат и ческой линии установлено три комп­
J1скта контроль но-проверочных п риборов для контроля качества то ­
товой продукции. Скорость движения транспор тера рассчита·на та-
1шм образом, чтобы в среднем в течение одной м:и н1уты ч ерез конт ­
ролыно-проверочиые 1к ом·п лексы проходило четыре изделия. Контроль
качества продукции произв одн тся в два этапа. Вначале про·водится
внешний осмотр изделий, на который затрачивается в среднем около
од н ой м1н нуты. Второй эта п , основной, за кшо 11а ется в провер1<е ·соот­
в етств ия основны х характеристик изделия требованиям ГОСТа . Н а
это затрачивае·rся в среднем то же од:на минута. Требуетс я опреде­
лить , 1<акое ·коли ч ество изл_елий будет полностью проверен о прн за -
1ан110й скорости конвейера.
Решение
Так ка~< время основной л р опе1ж111 в ср еднем равло од н ой ми­
нуте, то целесообраз1ю ее взять в качест11е ед1·1·ницы и змерения.
Тогда
Л=4, tor = 1.
По формуле (6.8 . 13) опредеJ1яем верояп1ость ОТ'!< аза в обелуж иuа-
1111и заявки
4(1 + \k)
Ротн=4+(1+1·4)k
где k=(З; 1)+(2;2)(4+1+1;1)(+)+
(1)2
1
1
+ (1;3)(4+ 1+ !;2) т =3·6·6·4 +6·42·Тб=27,75,
откуда Ротн "" О,80.
Тогда веропт н ость тог о , 1 1 то ·и здел ие буде~ п·роверено на ·соо т­
ветствие ГОСТу, равна
Роб е = l-Ротн=О,20,
т. е. в среднем будет пров ерено иколо 20°/о ' ncex и зд елиt1 .
292

УправJ1ение длиной очереди заявок перед прибора­
ми. На пра.ктик·е .вст,речаются случаи, когда для ра!вно­
мерной загрузки приборов системы об служ ивания целе­
сообразно заявки переадресовывать из одной оче·реди
в другую. Решение задачи по оценке ф у нкционирова- ·
ния систем общего вида представляет бол ьшие трудно­
сти, поэтому работу подобной системы рассмотрим на
примере двухканальной системы .
Пусть имеется два прибора, на которые поступает
простейший поток заявок с плотностью Л . Время об сл у ­
живания заявок прибором случайное и подчиняется
показательному закону распределения с параметрами
~L1 и μz соответственно. Управление очередями перед
приборами организовано таким образом, что их длина
отличается не более чем на одну заявку . Если разница
длин очередей составляет более одной заявки, то по­
следняя из более длинной очереди немедл енно переме­
щается в более короткую. Всякая вновь п рибывшая за­
явка становится в более короткую очередь, если оче­
реди не равны по длине. Если очереди одинаковы, то
вновь прибывшая заявка с равной вер оятностью зани­
мает место в одной из них.
Для получения расчетных формул введем обозначе-
ния: 1
Р (п; п-п1) - вероятность того , что в п ервом прибо­
ре находится n1 заявок (включая и об служиваемую) ,
а во втором приборе п-п1 заявок ; п - число заявок в
системе .
Тогда можно записать следующую систему алгеб­
раических уравн е ний, при помощи которой описывается
стационарный режим работы системы м ассового обслу­
живания:
-
lP (О, О)+ 11.1Р (1,0) + f1 2P (О, 1) =О,
л
-(1+ r-1)Р(1,О)+2 Р(О,О)+r-P(1, 1)=О, (6.8 .18)
л
-
(.:t+ r-2)Р(О,1)+ 2 Р(О,О)+ !1-1Р(1,1)= О.
При п > 2, если п = 2п1, т. е. очереди равны:
- ( .:t+r-1+r-2)P(n1; n-n1)+
+-} rР(п1 -1; п-п1)+Р(п1; п-п1 -1)]+
+r-1P(n1+1; n-n1 )+f12P(n1 ;n - n 1 +l). (6 .8.19)
293

При n=2n1+1, если перед вторым прибором в очереди
находится больше на одну заявку, чем перед первым:
-(1+fJ.1 +112)Р(п1;п- n1)+
л
+2 P(n1;n-111- l)+
+111Р(п1+1; п - 111) =О
(6.8 . 20)
При n=2n 1- I , есл и перед nер~ым прибором в оче­
реди н аходится больше на одну заявку, чем перед rпо­
рым прибором:
-(А.+ !11+112) Р (п1; п - n1) +
л
+2 P(n1-l;п-п1)+
+μ.2Р(п1; п-п,+1).
(6 .8.21)
Подробное решение системы урав н ений мы приво­
дить не будем. Дадим лишь ко н ечные за висимости, по
которым можно оценить J\аче ство функционирова~1ия
системы.
1. Вероятность того, что п ервый прнбор системы сво­
боден, а второй занят обслуживанием, равна
(6.8.22)
2. Вероятность того, что второй прибор свободен от
обслуживания. а первый занят, равна
(6.8.23)
Из формул (6.8 .22) и (6.8 .23) можно сделать важный
для практики вывод о том, что занятость приборов, ~юг­
да перед ними 11ет очередей, пропорциональна их про­
изводительно сти. Отсюда коэффициенты занятости при­
боров относятся между собой ка к их прои зводительно -
сти:
3. Вероятность того, что заняты обслуживанием оба
прибора и перед нюш нет очереди заявок, определится
29l

~rз завr!симости
(6.8.24)
4. Вероятность то1·0, что все ~риборы с вободны, опре ­
деляется из нормирующего условия:
а) при неограниченной длине очереди
б)
со
со
со
~ Р",;",+ ~ Pn,;1Z,+I + ~ Pn,+l;IZ, = 1,
n, =0
n,=O
n1=0
при ограниченной длине очереди
N+I
N
N
~ Pn,;11,+ LРп,;п-1-I-+ Li
п1 ~0
n1= 0
n1=-0
(6.8 .25)
(6.8 .26)
где N - максимальное число заявок, которые могут на­
ходиться в очереди перед каждым прибором. В этом
. случае
вероятность того, что вновь поступившая заявка
получит отказ, будет равна вероятности событ ия, в ко­
тором оба прибора заняты и перед каждым из них имеет­
ся очередь в N заявок:
(6.8 .2 7)
Пример 3
Мастерскаи по тех ннч ескому обслужи в анию автомоб ил ей им еет
д13а пото 1<а . rПрои з водств е нны е возмож1-1осп1 на 1<аж до м потоке по ­
зволяют од 1-1 оареме1 1 1 1 0 вме1 1 tап на кю1<r\ом и з них 11е более двух
машин . При э том одну из 11н х могут обслуж.шап" а дμу.1· аи может
ожидать . Еслн оба ~п отока полностью за груж ~ны, то новые машины
н а обслуживание пе приннмаются. Второй поток оборудо ван бо­
лее современными средствам и ремонта, лоэто:.1у о6служивание авт о ­
машин на нем :производится быстрее . Пусrь nро нзr: одительность
первого потака равна одной машине в смену (J.1-1=1), а ·вто'роrо -
двум машинам в смену (μ2=2). Маш11пы поступают в ремонт
в случайные проме жуши времени. Опыт показы.•ает, что ~поток по­
сту пающих в ремонт машин по сsоим ха·рактеристикам близок
к •простейшему. Так как о·ба .потока подчинены рук он uдству мастер ­
ской, поступающие на обслуживание ма1шшы распределяются по
п отокам таким о•бразом, что·бы они были оба загружены ремонтом.
Тр ебуекя оценить пропускную способность мастерской, если в сред ­
нем в течение дня ·с заказами на техю111еокое о·6с.r.уживание обра­
щается до трех владелЬ'цев авт омашнн (Л=З ~в тома~ш 1ны в день).
295

Решение
По формулам (6. 8 .22) ~ (6 .!:> .24) опр ~ делп~~t :
3
Ро , 1=4Роо•
3
Р1, 0 =2Роо •
9
Р1,1 =4 Роо•
Из урап11е11ий (6.8. IR) нJXOJJ!IIM:
81
-3Ро0+Р1+1,1+2Р1,ч1=О,
27
-6Р1,1+1+8 Р00+Р1+1. 1+1 = О,
Решая эту систему уравнений, получаем:
135
Р1+1, 1+1=16 РОО•
189
Р1, 1+1 = 99 РОО>
162
Р1+1,1 = 48 Роо·
Из нормирующего усJювия (6 . 8.26) н меем
96
Роо = 1 851 ""'=:0,05.
Тогда
Р0,1 =0,04; Р1,0 =0,08; Р,,1 = 0,12; Р1,н1 =0,11;
Р1+1, 1 = О,17, Р1+1, 1+1 = 0,43.
Вероятность того, что в ладельцы автомашин, об ~.1н1 1Jшнсь JJ ма­
ст е р•скую с з ака зом на техн и ческое обслужнва1н1е, получат отказ
из-за перегрузки мастерской, равна
Ротн = Рн-1, 1+1 = 0,43,
отку д а вероятность того, что зака з будет принят, р а gна
Робе= 1 -Ротн =0,57.
Следопательно, в сред н ем около '57% з аказов мастерская мо­
жет удо1Зл с тв о ритu с разу.
296

Опре дел им з агруженно с ть 1<~ж дu 1 о технол О1rическо го потока .
Дли перuого nото!(а она равны
дли второго
Из сравнения полученных 'Коэфф1ицнентов видно, что затру з.к а
обоих технологических потоков примерно одинако ва. Среднее число
машин, ожидающих лачала обслуживании в пер во м технологи·ч е ­
С J(ОМ п отоке, равно
во втором
П р иведенный пример носит иллюстративный ха рак­
тер, но он п оказывает возможность использования мето­
дов теории массового обслужипания для оце н ки работы
ремо нтн ых мастерских и других обслужи в ающих орга­
ни з аций . Использование :при а r rализе работ ы этих орга­
низаций экономически х показателей может 0 1<а з ать су­
щественную помощь в выработке реко менда ц и й по пла­
нированию, оборудова н ию и другим вопросам, сш1зан-
1-1 ым с пов ыш ением эффектив н ости их работы.

7
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ
И МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ
СИСТЕМ МАССОВОГО
ОБСЛУЖИВАНИЯ
7.1 . Оценка точности результатов расчетов
по формулам теории массового обслуживания
При оценке качества функционирования различных
систем массового обслуживания приходится сталкиnать­
сн с двумя видами причин, вызывающих ошибки nри
определен и и расчетных критериев:
-
н еточностью определения исходных данных,
-
необходимостью принимать различные доnущення,
связан н ые с упрощением моделируемых явлений и не­
учетом тех или иных факторов.
Таким образом, суммарнап ошибка складывается из
двух видов ошибок и может быть определена по фор ­
муле
(7 .1.1)
где ciE - суммарная с реднеквадратическая ошибка;
k - критерий, определяемый при расчетах (веро­
ятность какого - то события, математическое
о:жидание какой-лнбо величины и др . );
ci х . - среднеквадратическая ошибка определения исход­
~
11ых величин xi;
Xi -- факторы, определяющне величину критерия ;
ам - методическая ошибщ1,

Методическая ошиб1<а зависит oi· Принятых Допуще­
ний при описании реальных физических процессов вы­
бранными математиче с т<ими моделями и в связи с этим
от того, что не учитывается влият-ше некоторых факто­
ров. Очень 1 1асто ошибку трудно определить теоретиче ­
ским путем, 110 это можно сделать другими с по собами :
испытанием соответствующей физической модеJiи, оцен­
кой результатов при крайних допущениях, расчетами на
статистических моделях при большом числе реализаIJ.ИЙ,
в которых удалось учесть большее число факторов и др .
Иногда определяю1цая доля в суммарной ошибке мо ­
жет принадл ежать ошибкам опрсделе1iия и сходных д ан­
ных, необходимых для проведения расчетов. Особенно
значительна эта доля , когда методическая ошибка i-1 еве­
лика.
Как уже говорилось пыше, величину ошибок опре­
деления критери ев можно оценить при помощи м е т ода
статистических испытаний, используя для этого модель
изучаемого явления.
В этом случае необходимо знать законы распределе­
ния случайных величин, от 1<0торых зависит величина
определения критерия. Если будет сделано достаточно
большое число реализаций, то можно определить закон
распределения критерия, по величине которого ведетсн
uцeIJкa качества функционирования систем массового
обслуживания.
Другим методом оценки точности определе ния кри­
т ериев качеств<1 фу1!1i цно1-111рования систем массового
обсJJуживания может служ ить метод линеаризации
фун((ЦИЙ и1 у ч ай 11 ых аргументов. Этот метод дает
ос-обенно хо роши е резу.лыаты, если откJJоне ни я в значе­
ния х исходных да н11ы х от и х истинных зна чений сравни­
тел ьно невеJJик н и :::<1внсимость 1<ритерия от исходных
пар<!метров н~ нс следуемом участке бм1з1<а 1< линейной .
В обще:м виде зависимости, по которым произв1Jдит­
сн определение критериев качества функционирования
сис тем ма ссово го обслуживания, могут бытъ записаны
следующим образом:
k=f(x1. Xz,
. .. , Х;, ..., х,.,),
где !г - определяемый критерий;
Х; - l! СХОДIIЫЙ па раметр.
В обще~~ вн;..:,е формулу для определенип дисперсии
н сследуемиго 1\р1першт /г в заnнсимост11 от дисперсий
299

Исходньiх величин D xi можно записать "tak:
п
D - '1(-5!L)2D +
~-/,Jдхtтxi
i=l
+2\l(дf)(дf\ k
/,J дхt т дхj)т ij•
l<J
.
r де Dх. - дисперсия исходной величины xi;
z
kij - корреляционная функция;
(7.1 .2)
(:;i) - величина первой производной "от функции f (х1 ,
т х2, "., Xi, "., Xn) по переменнои xi.
Очень часто величины Х; и Xj не коррелированы, и
тогда формула (7.1 .2) значительно упрощается:
(7. 1.3)
Определение ошибок, связанных с неточностью по­
лучения исходных данных, показано на примерах не1<0-
торых видов систем массового обслуживания .
Системы с отказами. Рассмотри:м простейшую систе­
му массового обслуживания с отказами, состоящую из
п однотипных приборов, в которую поступает пуассо ­
новский п оток заявок. Время обслуживания заявок при ­
борами является величиной случайной с показательным
законом распределения.
Вероятность состояния, при котором все приборы за­
няты обслуживанием и каждая вновь поступившая за­
явка получит отказ, определяется по известной формуле
Эрланга
nli...
Р---''""
п-п
)
{'\ ~
i,J k!
k=I
(7.1.4)
где Рп - nерО$!ТНость того, что все приборы системы за­
·няты обслуживанием. Как уже гоnорилось выше, эту
вероятность называют е1це вероятностью отказа n об­
служивании Рп =Ро·гн:
300

h - число обслужю!аю!Цих приборов в системе;
Л - плотность поступающи х заявок в систе·му;
tобс - среднее время, необходимое для обслуживания
одной заяв ки.
Формула (7 . 1.4) справедлива для уста новиnн.rегосп
процесса. Вероятность того, что кажд::iп запвка будет
обслужена, равна
Робе= 1-Ротн·
(7.1 .5)
Основной исходной характеристикой , 1\Оторап необхо­
дима длн расчетов, является
а = Л-tобс·
Входящие в нее величины lnr. c и "л определпются на
практике с ош ибками, да и сами величины в течение
некоторого времени могут принимать различные зна­
чения в пределах некоторой области . На величину парi1-
метров "л, и lобс влияет большое количество разли<1ны х
факторов. Анализ работы некогорых систем массоnого
обслуживания показывает, что они часто подчиншот ся
н ормальному закону распределения.
Рассм·отрим, как влияют ошибки в определении Л 11
tобс на точ н ость получения значения вероятности Рот"·
Если отклонения величин "л и tобс сравнитель н о малы, то
можно воспользоваться методом линеаризации фун 1щиi·1
случайных аргументов·.
Тогда
(7 . 1.6)
где D,_, D_
-
дисперсии величин Л. и tобс;
ioGC
(дРп)
дЛ ' ( :~;" ) - частныеспроизводные от фую{ции Р,п =
= f (Л., ·. /обе) по аргументам Л. и /обе·
Функция Р" = f ('А, tабс) непрерывна и дифференци­
руема. В н ачале целесообразно определить производн ую
от этой функции по аргументу а
дРn =п-а р +Р2.
да
ап
"
(7 .1.7)
301

Оtсюда дисперсия DР равна
n
(7.1 .8)
Обозначим
Этот коэффициент зависит от величины а и числа прибо­
ров п. С увеличением 1<оэффициента А увеличивается и
дисперсия D Р • Поэтому представляет интерес найти его
71
экстремальное значение. Необходимое условие экстремума
определяется выражением
дА
да =0,
дА= _
_!!___р+п-а(п -ар+р2)+
да
а2n
а
а
n
n
·
+2Рn('1ааРn+Р~)-
(7.1 .9)
После преобразований получаем квадратное уравне-
ние
Решение квадратного уравнения дает значения а*,
для которых функция А =А (а) достигает экстремума
-п(ЗР"-2)±V п2(3Рп-2) 2,--4(2Р~ -ЗРп+ 1)11 (п - 1)
a.·X ·t, 2 ==
2(2Р;,- ЗРп+1)
(7 .1 .11)
Как видно из посл ед него равенства, экстремум функ­
ции А =.4 (а) определяется выражением, заданным в не­
явной форме. Можно показать, что а* является корнем
уравнения 2 (п + 1) степени, решение которого связано
с определенными трудностями. Как •видно из рис. 7.1.1,
функция А =А (а) уже при n> l имеет максимум, а при
n = 1 значение А равно
1
А= (l+a)2 ,
(7.1.12)
302

т. е.
А-
-
1
-
(l+a)2
при а--+О и не имеет экстремума в области О<а<оо.
1\ак следует из рис. 7.1 .1, с увеличение м а и п величина
А, а значит, и дисперсия DPn уменьшаются. Максимумы
А находятся в области малых значений а и п, где влия­
нне отклонений величины а особенно сильно сказывает­
сп на велнчинЕ; 1<р1перия Рп=Ротн·
А
0,2
n:1 \
О,1
П=20
5
10
15
20
25
3Оа :
Рис. 7.1.1. Зависимость экст ре мума фу1-11щ1-11-1
.4 =А (а) от вели­
чины а.
Пусть
a"' = Ra,
(7.1.13)
где
O< R<I.
Тогда
ар_ = ARa.
оос
(7.1.14)
На рис. 7.1.2 показано изменение О'Робс в зависимости
от величины а и числа п при ,R=O,l .
Как правило, распределение величины Poтrt и Р<>ос=
=
1-РРТ" подчинено нормаль!iому за коiiу распределения .
303

Тогда можно оценить величину ма1<симальн ых отклоне­
н1:й величины
ЛР ::::::::ЗсrР =3(n-rJ.Pп+P2 )Ra, (7 .1 .15)
Обе ма~:с
обс
а.
ii
причем
5
то
!5
20
25
30а
Рис. 7. 1.2 . Графнк нзмене1-:11я среднеквадратическuй ошибки а г о бс
от величины а и числа каналов п.
Величина относительной ошибки равна
дРо.бсм-аi<с =3 (/l-f1.Pn+P2)~
Робе
f1.
n \-Рп
или
дРобс мВI«· = ЗR [n-a (1 - Pn)] ~.
Робе
1 -Рп,
х
дРобсманс
арактер изменении __Р
_
_
.
-
по1<а зан на рис.
обе
(7.1.16)
(7.1.17)
7.1.3.
Если известны cr, и cr_
,то
не представляет большого
~
t обе
труда оценивать ошибки в определении параметра по фор ­
муле (7.1.8).
Системы с ожиданием. Рассмотрим простейшую систе­
м у с ожиданием, в которую· поступает неограниченный
g04

поток заявок на обслуживание. Время ожидания заявок,
как и размер очереди, неограничен. Система массового
обслуживания состоит из п приборов, однотипных по
прои зводительности. Система может находиться в ста ­
ционарном состоянии при условии а<п . Если это усло­
nие не выполняется, то очередь нео1·раниченно растет.
/JP АOvC мак_~ ЮО °/о
Роьс
JO
zo
20
5
10
15
20
2'S
Зоа
ЛРобе манс
Ри с. 7.1 .3. Зависимость относительной ошибки
-
-- --
Робе
личины Gt.
от ве-
Для этих <:истем вероятность того, что k приборов
будут заняты обслуживанием, определяется из выражения
al<
Тt
р/1. = _п_______
где а<п, O<k<n.
20-1444
(7,] .t8)
305

Для оценки точ!10 сти получения пар аметра Р,, в за­
висимости от ошибо к исходных данных воспользуем с я
методом линеариз ации . Для этого определим зна.чение
п е рвой производной от парам етра
п+а.(п -1)
др
J
1+ (п_а.)2 Рэ\
_ k=Pk }!__
,
Ja.
1а.
а.
J
(7.1.19)
1+ п-а.Рэ
где
a.n
п!
Рз = -,-,- - - вероятность отказа по формуле Эрланга .
~ ~::
k=O
Вероятность того, что все п прибор ов заняты и s
заявок стоят в очереди, равна
a,n +s
~
Pn+s =
- ,-,----
'\l a.IL
a.n+ 1
j,J Тt+ nl (п -а)
k=O
После дифференцирования получаем
первой производной
п+а.(п-1)
дР,,,+s -Р {п+s_ 1+ (п- а.)2 Рэ
да.
-
n+s
а.
а.
1 + п-а.Рэ
Тогда
-
tа
"'а_ ,
D -(rJPk)2("2 2+122)
P1i
iJa.
oGe Л
1 oGc
D
= (дР ,,,+• ) 2 0'2 cr2 +л.2сr:_ ),
Р"+• \ да.
обе Л
/обе
(7.1.20)
выражение
)· (7.1.21)
(7.1.22)
(7.1.23)
откуда средние квадратические отклонения мо жно
определить по формулам
в V~2 2+122
ар=n+s
1 Ci cr,_
"'а_ ,
n+•
0с
1 об~
(7.1 .24)
(7.1 .25)

tде обоз н ачено
~----------
а
а
(7 . J.26)
k
п+а(п-1)
1+ (п- а)2 Рэ
1+п-аРэ
п+а(п-1)
11+s 1+ (п-а)2 Рэ
Вп+s = Pn+s -а--
а
(7.1 .27)
1+11_аРэ
Чтобы дать п редставление о величинах ошибок при
расче тах критериев оценки функционирования системы,
в табл. 7.1.1 и 7.1.2 приведены результаты расчетов, по ­
лучен н ые для величины среднеквадратического откло ­
не н ия пар аметра ·О' = О, l1a и различных вероятностей
состояний системы:
Pk,Pn+s(n=1И5, S=1,2,3,
n=l
Таблица 7.1 .1
лрМ (:ШС
дрМЭ !(С
дрмакс
дрМ<Н<С
----:--100 %' ~100%. ~100%, ~100%,
а
,,
Pn+s
Pn+s
Pn+s
''= '
s=I
s=2
S=. 1
-
0,1
26,6
56,7
87,7
118
0,2
22,7
52,5
84,3
115
0,3
18
48,1
77,8
110
0,4
12
41,9
72,6
101
0,5
3,7
33,8
63,8
94
0,6
8,5
21,4
51,3
8J ,7
0,7
29,7
0,0002
30,3
60
0,8
74,6
44,5
14,7
15,4
0,9
213
183
153
123
Эти расчеты показывают, что с приближением a-+n
величины ошибок резко возрастают, поэтому 'В данной
области использование для расчетов формул (7.1 .18),
(7.1 .20) нецелесообразно. Это хорошо иллюстрируют
графи1ш изменений В1,, B11+s в зависимости от парамет­
ров а (рис . 7.1.4)
20•
307

-~ ...
а.
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
n=5
.--
-
.
дрk
дрk
дрk
Pk lOO %. PklOO %.
-
-100%
pk
О•
k=I
k.= 3
k=5
14,8
73,8
187
о
!)9,7
116
5,25
44,6
105
22,3
28,3
88
66
8,2
68
154
23,3
36,5
371
87,6
27,8
992
266
196
3380
900
840
8
0,8
С',6 -
О, 11
0,2 .
~о
о
о
~1~+ +
i:: i:: -
С>. С>. 11
<]
~
150
133
117
98,3
65,4
2,3
166
810
Таблица 7. 1.2
~о
о
о
1+i:: i::""'
С>. С>. 11
<]
"'
300
169
147
128
102
32,4
136
780
1
1
1
~о
о
о
1"'
++
i:: i::"'
С>. С>. 11
<]
"'
198
!83
159
121
62
106
7!)0
--'---"----'--~~~-----J _ __"~
0,2
0,4
О,б
о.в
1ои
Р 11с. 7.1 .4. Зав1 1сн мосп, коэффнцнента В от вел нчнны а.
Системы с ограниченным временем ожидания. Рас ­
смотрим систему массового обслуживанип с о г ранн ч ен ­
ным в р еменем ожидания заявок в очереди. Время ожи ­
дания случайное, подчине н о п оказательному зако н у рас­
пределения с ограниченным по величине средним
з н ачением. В систему поступ ает неограниче нны й пуас ­
соновский п оток заявок, который обслуживается п при ­
бора м и си стемы. Время обслуживания каждой заявки
прибо р ами системы случайное и подчинено показатель ­
ному закону распределения.
308

В каtiеств~ основi-iого i<ритерия оценки функцнониро·
вания системы взята вер.оятность того, что приш едшая
в систему заявка уйдет из нее не обСJr ужен ной. Форму­
ла для определения этой вероятности может быть запи­
сана в виде
00
сх.11 \l sаз
п\ 1.J _s
__
_
_
s= I П(11+т~)
р_-~-
___ _____
m_
= _I_
___
н-а~~~+~~~_s
__
a_•__
k=O
s=I П (11+т~)
,~
R _ tfoбc
.
где а=л.fабс; t' - ., ,
,
t.Q)H
занвки в очереди.
При п =const
m=I
fиш - среднее
Рн=f (а, В).
время
(7.l.28)
ожидания
Ка1< и в предыдущи х случаях, для оценки ourнбo1z
определения параметров, характеризующих I<ачсство
фу 1 1кционирования системы, воспользу емсн методо:11 ли­
неаризацни. Для этого нужно определить nыраженнн
длн частных производных по параметра м t0ш и tобе·
Дисперсип величины Рн определяется по формуле
где
(7. l .30)
дРн_ дРн да+дРн d~
d1fo11c - ~ д13оис.
~ d/3011< •
(7.l.31)
Здесь
да_
.
да_
.
- d--1,
-d- -0,
~обе
fож
309

Тогда
(7. 1 .32)
(7.1 .33)
Значения nроизводных п о параметра м а и В полу ­
чены в виде
где
дРн =r11-1+_1 '1
52o;s- 1 ljp_
до:
о:
'Хl.J s
н
s=I П(11+ т~)
17!=1
п-1
- r-x~-~-~_-,- ~ o:k~ +
k=O
w
1 11~
О:'
1 ]р2
1 xr~L. s
+-~- н'
s=I n(11+m~)
m=I
дРн = r-1__
1ii
'"''
]р+
д~
~
'Х /..J s
н
s= I П (п+т~)2
m=I
w
+:~~_s
__
o:•_v __
_
p~,
s=I П(11+т~)2
m==I
со
'1
scx s
z=l.J s
s=I П (п+ т~)
m=I
s
s П т(11+т~)
v = }J n.z_=_l_11_+_11~2~-­
m=I
(7.1 .34)
(7. 1.35)
Чтобы дать представление о размере возможных
ошибок в определении nараметра в зависимости от п
в табл. 7.1 .3 и 7.1 .4 приведены результаты расчетов.
310

Дляа106с=О,ltoбcприtoGc = 1, Л = 10, 'toiн = 1
Таблица 7.1 .3
др'13КС
Рн
сrр н
макс
-f--100 %
п
ЛР 11
11
1
0, 890
0,0 15
0,045
5,05
5
0,492
0,048
О, 142
28 ,9
10
О, 125
0,037
О, 11
88
Д11я а~обс= О,21t'0бс при tioбc= 2, Л = 5, fош = l
Таблица 7.1 .4
ЛР~акс
дрМаJ<С
п
Рн
арн
-;-юо %
н
1
l
0,895
0,01
0,03
3,35
5
0,507
0,04
О, 13
26
10
О, 150
0,04
О, 12
83
В таблицах даны :
аРн- среднее квадратическое отклонен ие вероят-
1-10сти того, что заявка уйдет из системы необслуж ен ­
ной,
др:акс - Noаксимальное значение ошибки,
др макс
- -- -/};- 100° / 0 - величина относительно й ошибки в про-
центах.
Из прив еде нных р езультатов можно закл ючить, •по
с увеличени ем чи сла о бсл ужив ающих приборов п отно­
дР '""'с
сительная ошибка __н_ у вст 1чнв ается .
Р ,.,
Исследования пока з ыпают, что эта ошиб к а упели­
ч1шается при малых значениях параметра и стреюпсп
кОприrJ. -+оо.
7.2. Решение задач массового обслуживания
с помощью физической модели
Одн и м нз сам ы х распростраr1енных методо п реш е ­
ния задач массового обслуживания являе тс п аналi!ти­
ческий, который о бладает рядом положительных ка-
3!1

честв. Получаемо е решение нс привязано к определен­
ным числовым значениям параметров потока и системы
обслуживания, позволяет находить оптимальные реше­
ния и делать общие заключения .
Однако аналитические методы, разработанные до
J-Iастоящего времени, позволяют находить решения за­
дач, сводящихся в основном к простым ситуациям.
Усложнение постановки задач приводит либо к боль­
шому числу дифференциальных уравнений, I<оторые
имеет СМЫСJ! решать ТОЛЬКО с ПОМОЩЬЮ ЭЦВМ, Jiибо
к невозможности (пока) их математичес1<ого описания .
Попьmш упрощения усJiовий задач вызывают ряд до­
пущений, которые не всегда согласуются с физической
сущностью процесса .
Эти трудности и ограничения в значительной степе­
ни можно преодолеть, используя для решения задач
метод статистических испытаний . Самым важным при
этом является моделирование самого процесса обслужи·
вания. Здесь возможны два ;пути . Первый - алгоритмиче­
ский - заключается в представлении процесса обслужи­
вания в нид е совокупности математических н J1огr1че­
ских правил и оr·раничений. Второй предполагает нали­
чие физической модели исследуемого процесса.
Реализация статистических испытаний в первом ва­
рианте для самых простых задач может осуществляться
вручную, решение сложных задач немыслимо без по­
мощи ЭЦВМ . Необходимо указать на два существен­
ных недостатка этого метода. Первый обусловлен боль­
шой трудоем костью реализации статистических испыта­
ний . Второй связан со спецификой работы ЭЦВМ,
затрудняет возможность проследить влияние тех или
нных параметров на полученные результаты в ходе мо­
делирования.
Суть его заключается в том, что в процессе расче­
тов трудно проследить влия1-111е тех или иных исходных
параметров на конечные результаты моделирования,
так как э то связано с обработкой болишого J<оличества
результатов по отдельным вариантам расчетов . Мы не
будем рассматривать подробно особенности применения
метода стати стически х испытаний длн решения задач
массового обслуживания, так ка1< они хорошо и доста­
точно полно изложены в литературе [4, 5]. Методам
физического моделирования задач массового обслужи­
f1ания уделено меньше вниманю1. Им присущи свои до-
312

.;тuннства и неJJ.оста 1·1\н. К 'ШCJIY особенных досто1tасtв
этих методов следует от н е сти наг Jшдно с ть получа е мых
результатов и даже хода протекания процесса, особенно
если использовать для этого средства отображения .
Реа.пнзаци51 испытаний на основе физич ес кого моде­
лирова11ш1 позволяет видеть весь проце сс в целом, про­
слеж и вать его по этапам и достаточно оператив 11 0 в не -
1·0 вмешиваться. Этот метод также имеет свои недо стат­
ки: недостато 1 шая точность воспроизведе н ия парамет­
р ов процесса, отсутствие универсальности в смысле
п одобия модели определенному классу систем массово ­
го обслужива н ия и др. Одн ако отсутствие требования
иметь математическое описание процесса в большин ­
стве случаев я вляется определяющим критерием выбора
метода решения.
Рассмотрим ряд физических моделей м ассового об ­
служивания, режимы их работы, а также возможности
синтеза обслуживающих систем со сложной структурой .
Вначале остановимся на общих принципах построе­
ния физической модели обслуживания. Для этого впол ­
не достаточно уяснить схему функционирования элемен ­
тов системы обслуживания на частных примерах. Об­
щим между кассовым аппаратом, об сл уживающим
п о1<уnателей, рабочим, ремо н тирующим неисправные
станки, каналом линии связи, который занят переда11ей
инфо р мации, является режим работы, сводящийся к схе­
ме «за н ят-незанят» или «да-1 1 ет». Поэтому основным
элементом модели должен быть элемент с двумя устой­
чивыми состояниями . с.ледует оговорить ся , что сущест­
вует и третье состояние режима работы - «вышел и з
строя», однако его моделирование может осущест­
вляться независимо от основной сх е мы. В н екоторых
случ аях этому состоянию можно припи сат ь значение
«занято».
Для реализации модели необходимо еще устрой­
ство, управляющее длительностью режи м ов «занят ­
не занят», которые моделируют соответствие в реаль­
ной системе скорости обслуживания и параметры вход­
ного потока заявок.
Поэтому существующие физические модели массо­
вого обслуживания отличаются друг от друга только
схемным решением отдельных узлов. Среди них можно
выделить с п ециализированные модели и модели, строя­
щиеся на базе серийных а н алоговых вычислительных
313

маши11. Специализирова1-tнЬiе модеJiН нспользу!От эле­
менты как дискретной, так и аналоговой техники.
Рассматриваемая модель является специал изирова н­
ной, в которой в качестве основного элемента взято
электромеханическое рел е постоянного тока, а р еали ­
зация случайного потока заявок и времени обслужива­
ни я осуществляется с помощью аналог овых элементов.
1Р!
~ЗРrк~11
~ 7P1r
Рн с . 7.2 . 1. Прющ ш1 11а J11,11ап с хема моде.п11 обслуж нвання:
а - ка11ал обсJ1уж1ш:н111я з;ннюк 1- ro пг, 11о рнт ета: б - канал обслу)1..;ио а 1-1ия
зсишо1..; :?- го пр11ор11тета ; в - т мест очереди .
Принципиальная схема модели обслуживания приведе­
на на рис. 7.2 . 1 . Ка ждая ячейка схемы (канал обслу­
живания , место очереди) работает по принципу «да­
н ет» . Р ежим «да» соответствует самоудерживанию ре­
ле, «нет» - обесточенному состоянию.
Принцип работы схемы поясня ется для случан, ко­
гда входной поток заявок включает в себя заявки двух
видов: а) заявки, обсл уживае мые в общем по рядке (не
дается пр едпочтения ни одной заявке) и б) те, котоrые
треб у ют в11 еочеред11ого об служивания. Обычно разный
характ е р заяuок различают по показателю ,приорите та,
который приписывается каждому виду заявок. Следуя
этой общ е й схеме, б удеr~ считать, что заявки, требую­
щие внеочередного обслуживания, имеют I приоритет,
а остальные - I I. На рис. 7.2.2 представлены схемы
формирования потока заявок 11 приоритета и времени
их обсл у живания. Однако предполагается наличи е по­
добных сх ем и для заявок 1 приоритета .
Входной поток заявок имитируется замыка ниями
контактов реле РЛ (lP,Лr для заявок 1 п риоритета,
;314

!Р,Лп для заявок И приоритета) . Замыкание этих кон­
тактов приводит к срабатыван и ю и самоудерживанию
реле ка на ла обслуживания либо м еста очереди, если
канал обслуживания занят. Время, в течение которого
реле канала обслуживания са~·1оудерживаются, долж­
но соответствовать врем е ни обслуживания од ной заяв -
1ш. Поэтому в цепь самоудерживания эт и х реле введе-
о)
Рис. 7.2 .2 . Схема реалнзацн н с.Тiу•1 э1"1 111,1х п а р ~м етроn:
а - J~J1н 110то10:1 заявок; б - · дJ1я
вр сl\1 С11 11 оби1 уж11ва 1 1ш1 с у•1стоГ11 11р с 1н"111а111 1 н
oбCJI Y il\llBi.11111}1 JЗHl.IOI\ 2 - 1·0 11р11 ор 1пета: ДС// - Д3ТЧ111\ СJ1 у чай111.1 .\' 11 а 11р 11ж с 1111 1'i:
GN - 6J101< 11е;шнсi'11-юс111.
ны нормально-зам кнутые контакты реле Рtабс, котоrое
включено в схему формирования случайного времени
обсл ужива ния (рис. 7.2 .2 ,6 ).
В момент размыкания контактов lРtоб сп все реле
схемы обесточиваются и возвращаются в исходное со­
стояние. Если места очереди были заняты, то после от­
падания контактов 2P4-т-2P(·k-l) конденсаторы Сока­
зывают с я подключенными 1< реле ячеек очереди с мень­
шими номерами, а конденсатор первого места очереди -
1< р еле канала обслуживания. В результате происходит
п е редвижение заявок в очереди и н а обслуживание.
315

В с.nучае поступления заявки I приоритета, требую­
щей немедле1-111 ого обс .nу живания, схема работает ~ле­
дующим образом. Замыкание контакта lP.)cr (см .
рис . 7.2 .1), поступление заявки I приоритета приводят
к срабатыванию реле Plr и его самоудерживанию по
цепи !Plr, lP.foгp, IPt обс r. ОдновР'еменно другими контак­
тами реле Р 11 запускается схема формирования вре ­
мени обслуживания заявки I при оритета, которая ана­
логична схеме 6 на рис. 7.2.2. Кроме того, контакты
2Р1 1 разрывают цепь интегрирования в схеме формиро­
вания времени обслуживания заявки 11 приоритета
(рис. 7.2 .2,6), что означает прерывание обслуживания
этой заявки. Возобновление обслуживания начнется по­
сле освобождения канала I приоритета , т. е когда
разомкнутся контакты lPtoбcI (см. рис . 7.2 .1) и за­
мкнутся 2Plr, с того момента, на котором было прер­
вано обслуживание.
Возможности модели можно расширить, вводя кон ­
такты ЗР1 1 реле Plr параллельно контактам 2Pt (на
рис. 7.2 .2,6 изображено пунктиром) . Это приведет к то­
му, что в момент поступления заявки I приоритета и
замыка нин контактов ЗР l 1 выходное напряжение УПТ-2
сбрасывается до нуля .
Тогда обслуживани е заявки II приоритета начнется
сначала, так как напряжение на реле Рtобслп после вос­
становления входной цели будет нарастать с нуля .
Когда речь идет об исследовании неко торых инфор­
мационных процессов, появляется необходимость уче та
обесценения информации, например, для заявок I при­
оритета. Для этого контакты IPfoгp р еле Рfогр, включен­
ного на выходе интегрирующего УПТ аналогично
рис. 7.2.2,б , вводятся в цепь самоудерживания реле
Plr (см. рис. 7.2.1). Размыкание этих контактов через
интервал вре:vrени, соответствующий времени ограниче ­
ния ожидания или времени о-бесценения информации,
приводит к обесточиванию реле Plr, т. е . к прекращению
обслуживания этой заявки . Контакты lPtoгp можно ис­
пользовать только для индикации потерянной заявки
n результате обесценения информации в ней, хотя ;з об­
щем режиме времени она потребовала полного времени
обслуживания. Аналогично учитывается надежность ра­
боты узлов и отде.пы1ых элементов r еалы-юй системы
мacconorn обслуживаннп. В этом сл у 11ае необходима
схема, уnравлшощап 1<01-1тактами выходного реле, часто-
316

та ра з ~.1ык ания которы х соответствовала бы ч астоте
отказов, а время разомкнуто г о со с тоянип их - врем е ни
восстановления.
Метод реали за ции случайного пото ка за явок н вре ­
мени обсJJуживания с да нным законом распр едел ения
основан на использовании случайных чисел Ri с равно­
мерным распределени ем в интервале (О , 1) и интеграль­
ной функции это го распределения. Чтобы полу чит ь
случайные числа х; с зада нн ой функцией плотносtи
f (х), необ ходимо разрешить. относительно xi уравнение
xi
.\ f (х)dx~="Rъ-
(7. 2 .1)
-оо
Для плотности инте рвалов м ежду заявкам и Xi для
простейшего потока имеем
-Лх·
f(х)=Ле
i,
откуда п с илу (7 .2 .1) получим
1
xi=
-
"Г'Г ln (1 - R;).
(7.2 .2)
"'
Аналоги чн о . для времени обсл уживания в случа е по­
ка з ательного закона
.
i1
zi=--
n(1- R;).
/J.
(7.2.3)
В общем случае для любой функции плот но сти слу ­
ч айной величины
У; = kF (R;),
(7 .2 .4)
где F(R ; ) - нелин ейная· фующия , реализуемая на вспо­
могателы-rом блоке нелинейности либо с помощью спе­
циали зированной схемы .
В качестве датчика слу чайной величины и сп ользу ­
ется устройство, пр еоб р азу ющее случайное число 11 на­
пряж ение, кото р ое далее подаетсп на вход блока н ели­
нейно сти . Выходное напряже ни е будет слу чайной ве ­
личиной , распр еделе н ной по зако н у соотве тствующей
функции Р (R ;) , реализуе мой на блоке н елинейност 11.
Результаты модели р ова ния фиксируют с я с по мощью
ш лейфового осщ1J1лографа. На осциллогра м ме записы ­
ваются и з менения пот ен ци а лов схемы в точ ка х, отме­
ченны х з н аком*. Вид ос ци ллограммы пр едстаnлен на
рнс. 7.2.3, !13 I\Oтopoi"1 запнсаrr пporrecc длп одного ка­
нала обслужива ния и двух мест о череди . На прн~1ер е
317

этой осциллограммы рассмотрим методику расшифроn­
ки результатов моделирования. Первая заявка попадает
в канал обслуживания. Последующие заявки стано­
вятся в очередь. Порядок заполнения мест очереди ука­
зан цифрами, соответстпующими номерам заявок. Вре­
мя пребывания в очереди зависит от времени обслужи­
вания заявки в 1<анале обслуживания. Следовательно,
время ожидания для за явки на п е рвом месте оч е реди
nпвно ннт е рваJiу вр еме ни от момента занятия \Н'ста
а_) ___..
---
Р 11 с. 7.2 .3. Часть осциллограммы с за писью процесса обслуживан и я :
а - nре11,1я обслуживания: б - пот оt< заявок; в - со1..:тоя1-111е t<анг.ла обслужива ­
ния; г - состояние l ·ro места очер ед и; д - состояние 2 - го места очереди;
е - - необслуженные заявии.
очереди до момента 0 1<0 11 ча 11 ия обслуживания очеред ­
ной заяв~ш. Для заявки н а 2-м месте очереди это время
складывается из суммы двух интервалов, соответствую­
щих времени ожидания на 2-м и 1-м местах очереди,
и т. Д. Суммарно е вре:\JЯ обсJ1уживання tr. обе i можно
получить из выражения
т
fГ.обсi = )..,, fош ij+toбci'
(7.2 .5 )
i=I
где foшij- время ожидания i-й заявки в очереди с но­
мером j;
foбci - время обслуживания i-й заявки.
318

13 случае запош1е1нiп всех м ест очереди (реле Рlп,
Р2н, Р3, ... Pk, PL находятся в сработанном состоянии)
поступающие заявк н поки д ают систему по цепи 1Р2п,
1Р4, ... , 1Pl и фиксируются на осциллограмме соответ­
с твующим шлейфом (рис. 7.2 . 3,е), что значительно
у прощает под счет числа необслуженных заявок.
Описанная методика опrеделения характеристик ис­
следуемой системы соответствует порядку обслужива­
ния, осуществляемого по принципу «первым пришел -
первым обслужен». Однако с помощью этой же осцил­
лограммы можно получить ха рактеристики системы,
н которой обслуживание осуществляется по принципу
«п ришел последним - обслужен первым», который до­
вольно часто встречается в ,практике.
Для обоснования этого утверждения необходимо ло­
нному представить порядок заполнения очереди. Пред­
положим, что очередная заявка, застав канал обслужи-
13а1111я занятым, занимае т 1-е место в очереди. Следую-
1цая заяв 1<а сме щает пр едыду щ ую на следующее л1есто,
н т. д. Процесс передвижения заявок 11 а обслуживание
о-::уществляется в соответствии с номером занимаемого
М(;Ста очереди. Определение характеристик обслужива-
1нш для этого случая показано на рис. 7.2.3, где зна­
ч сr 1 ия fom, t~ обе указаны со штрихом, а номера сме ща е­
~ 1ы х зая13ок · -- - 13 скобках.
В качестве пр н мера прнведем результаты модслнро­
ва 11 ня длн систе\1Ы с од11и м каналом обслужr,1 ва11 1 1>1 и
двумя местами очереди. Обслуживание осущестuляется
по пр инципу « п ервым . пришел - первым обслужен».
Входной поток простейший, состояrцн 1"1 11 з заявок т о "1 ько
1! приоритета с парам ет ром Л=29 J/rtac. Закон распре­
деления времени обслуживания был принят показа­
тельным с параметром μ= 17 1/час. Были по строен ы
гнстограм:\1Ы для tош и tr обе (ри с. 7.2 .4), а также полу­
чены следующие характеристики:
а) М* (tот) =5 лшн; б) М* (tE обе) =7,4 мин; в) ста­
тнстическая вероятность обслуживания одной заявки
Р*обе =0,52'6; г) ста1'истическая вероятность отказа в об-
служивании одной зая'вки Р*о1·н=О,474.
Последнюю вероятность можно вычислить аналити ­
чески по формуле (4.2 .7) (см. § 4.2), из которой для
n= 1 и m=12 Ротк=О,46-8.
319

На рис . 7.2 .4 пр1iвсде t1ы 1·а1{)ке и теореtИЧес iш е ш:iоi' ­
ности вероятностей, посnюенные при усJiовии
р. =р.-Х· и р. -! -'-*
1ош
tош
tEобе-
tEобе•
Запись одного часа работы реаJiьной системы зани­
мает на ocциJIJiorpaммe oкoJio 120 слt при масштабе
времени т 50 се~к · реал Расшифровка одного часа ра-
.
·
t=
сек-.моd •
<
·
боты .системы занимает около 15 .мин .
0.1
0.05
р.1'
l.~i
0,08
О,Об
O,O't
0,02
о3бg72toж.MUHо5101520
aJ
tf1
Р11с. 7.2 .4. Гистограммы:
JO tнDc, мин
{l -- ДJJ Я 11реме1111 OiKllДaJ-IШl; (j ·- для СУ:\.1М[l\)НОГО вр еме 1-111 об слу:;.к1-11J311Шl.
Точность поJiучаемых ха ра ктеристи к о бсJiужива ния
зависит от точности реаJiизации законов распредеJiения
сJiучайных парам ет ров и от количества реаJiизаций.
Метод физического моделировапия пр едс тавляет со­
б о й видоизменение метода статистических испытаний,
поэтому и круг задач, которые могут быть решены с по­
мощью этих методов, приблизительно одинаков и обу­
словлен одними и темl'i же соображения ми. Сюда отно­
сятся задачи, в которых входящий поток заявок и вре­
мя обслуживания могут подчиняться любым законам
распределения, а организация обслуживания может но­
сить сложный многофазный характер с учетом харак­
теристик надежно сти элементов системы и показателей
приоритета в обслуживании поступающих заявок. Одна­
ко, исходя из преимуществ физического моделирования,
можно говорить о предпочтительности некоторому
320

классу задач массового обслуживания, которые харак ­
теризуются более слож ной по с равн е нию с другими
задачами ст руктурой исследуемой системы и неболь­
шим количеством входных параметров. В этом случае
число узлов, определяющих точность пол уч аемых резуль­
татов (схемы реализации случайных параметров), сво ­
дится к минимуму, а ос тальная ча сть модел и п ракти ­
чески не вносит ошибок .
Необходимо отметить с равнительную простоту Ис­
следования переходных проце ссов обслуживания, что
особенно важно при ограниченном времен и функцнони­
рования системы об служиrзания J1нбо при длительной
эксплуатации, прерыва емой отказами эл ем ентов систе­
мы. Эти отказы могут носить разный характер в зави­
симости от ситуаu:ии, в которой данная система обслу­
живания функционирует: отказы, связанные с саl\lоnро ­
извольны м выходом из строя элементов технич еских
устройств или с н еп р ер ывным ухудшением их парам е­
тров; отказы, обусловливаемые внешними воздействия­
ми, которые характерны для военных зада ч исследова­
ния систем обслуживания при воздействии на ни х про­
тивника .
К достоинствам физических моделе й следует е ще
отнести их гибкость: можно быстро п е рестраивать струк­
туру в соответствии с требованиями анало гии р еальной
схеме.
В се пер е численны е преимущества фи зи ческого моде­
лирования не ставят этот метод на перво е место среди
существующих, так как возможности е го огра1-1и•rены
определенной сложност·ыо структуры модели, реал113уе ­
мой организацией обслуживания, точностью получаемы х
результатов . Поэтому метод физического моделиро вапш1
следует рассматривать 1<ак дополнение к имеющимся,
разумное сочетани е которых по зволит з а минимальное
время решать сложные зада чн массо•вого обслужива­
ния.
21-1444

Прил.ожение 1
(к § 2.2)
Вывод математического ожидания числа
обслуженных заявок за время t
Для определ ения математического ожндания числа
заявок, ~принятых на обслуживание одноканалыюй сн­
стемой с отказами, в зависимости от длительности про­
цесса рассмотрим следующую задачу.
Прибор обслуживает заявки, которые начинают по­
ступать с некоторого момента t=O с плотностью Л. Дли­
тельность потока tп . Время обслуживания прибором
одной заявки - величина постоянная и равная tабс·
К моменту начала поступления заяво к прибор 1 отав
к обслуживанию .
Рассмотрим интервал времени Q-;-- 1foбc· Прибор по
условию к моменту t=O был свободен, следовательно,
как только в мо '\1ент t=O поступит первая заявка, он
начнет ее обслуживать. Длительность обслуживания бу ­
дет tпб с - Значит, в момент времени lаб с прибор освобо­
дитсн .
Математическое ожидание чи с ла заявок, принятых
на обслуживание за время от О до tаб с, будет ра1вно
m1=l .
(П . 1.1)
Рассмотрим интервал времени l o бc -7- 2l 0 5c .
Математическое ожидани е чи сл а з аявок m1i, кото-
рые начнут обслуживаться з а время t 1 - foбc, где
toбc~.i1~2foбc, будет равно в ероятности поступл ения з а­
явки за это время
где а=Лfобс·
11- 1обс
-а---
1об"
т1 =1-е
.
.
(П.1.2)
Отсюда математическое ожидание числа заявок, об­
служивание которых началось на интервале временп от
одоf1,
322

равно
t, - toG1·
IJll' = 2-е
-а. -т;;;-
(П.1.3)
где 1foбc~ ·fc::;;;_2toбc·
Определим математическое ожидани е числа заявок,
принsпых на об сл у живание в интервал е време н и '2toбc-7-
3tonc·
t'
о
t о6с
2tобе
Зtобс
Рис. П.1.1. График . интер вы1а времени toбc-7-f2-toбc, в котором
иачало сu обслуживание заявк и .
Начало обслуживания заявки на интервале вр с i\1ени
от 2tобс до t', где
2tобс~t'~Зtобс, осуществится в сле­
дующих несовместных случаях:
1. За интервал вре:1-rени от fо бс до 2 fобс заявка не
поступила на обслужипание , а на интервале 2toбc-7-f 1
поступила. Вероятность этого события равна
2. За 1штервал вр е мени от 2fобс до t' заявка была
принята на обслуживание при условии, что прибор на­
чинал обслуживание некоторой заявки и на интервале
времени от fобс до i'-fибс· Определим вероятность это­
го события .
Допустим, что заявка начала обслуживаться в ин­
тервале времени от tа бс до f2-foбc, где 2fобс~t2~Зfобс
(см. рис . П.1.1). Тогда вероятность того, что некоторая
заявка начала обслуживаться и на интерва.пе f2+t'
будет равна произведению следующи х вероятностей:
-
пероятности того, что заявка попала на обслу­
живание на интервале времени tобс+ (t2-taбc):
t,-21oбr
-с.---
1обс
1-е
;
21•
323

-
'Вероят:но·С1'И того, что заявка поступит на интер­
вале времени t2-7- t':
1-е
l'-la
-а. to15c
Событие, состоящее в том, что начало обслуживан·ия
заявки попадет в элементар ный участок времени dt2,
примЫ1кающ11й к моменту .времени t 2 , будем рассматри­
nать как г ип отезу, нм еющую вероятность
t,-2toбc
-а.---
а
1oGc
-t-e
dt2•
обе
Услов11ая вероятность интересующ~о нас события,
т . е. начало обслуживанип на интер&а'ле времени tг- t',
при этой гипотезе будет равна
1'-1 ,
1 - е-о. tобс
Отсюда полная вероятность этого события опреде­
лится по формуле
где
2fобс<t2< l';
2fобс < t' < Зtобс;
t2 <t'.
После интегрирования получим
1' - 21обс
w2= 1- е-о.~[1+to:e(t' -
2tобс)}
Тогда математическое ожидание числа заявок, об­
служивание которых было начато в интервале вре!V!ени
от Эfобс до t', где 2tобс ~ t' ~ Зtобс, ра,вно
1' -21обе
-a.---
m2t
-'-f'= (1-е-0.)(1- е
/обе )-
обе·
1' - 21обе
-а.---
а
1обе
--t- е
(t' -
2tобс)·
оОс
(П.1.4)
324

Таким образом, математическое ожидание числа за­
явок, обслуживание которых было начато за время от
О до ,f', где 2toбc~t'~31f0бc, равно сумме (П . 1.1), (П.1.2)
и (П.1.4):
1 '- 1обс
-
-а~
т1 , =3-е
1'-21обс
-e-a~[I+-tcx (t'-2toбc)J.
обе
(П.1.5)
Рассмотрим интервал времени Зtобс + 4tобс·
Вероятность того, что заявка начнет обслуживаться
на интервале времени Зiобс+i', где 3ioбc~i'~4toбc, сла­
гается из следующих вероятностей:
! . Вероятности \f11 того, что на инт ервале времени
iобс +'3:tобс заяв.ка на обслуживание не ~посту~пала, а на
интервале времени Зtобс + 1t' поступила:
_
2"[
_,/ ' ~:cour·J
W1= е
1-е
·
2. Вероятности W2 т.ого, что заявка принималась на
обслуживание в интервале времени .fобс+2.fобс, прибор
освободился 1< моменту З1fобс, а на интервале вреиени
Зtобс+·t' поступила заявка:
1'-21обс
1 '- 21обс
X(l -о: ~)-[1 -o:t;;";;;:- ] -о:
-е
-
-е
ае,
где Зtобс< t' < 4tобс·
3. Вер.оятнос1'и того, что заявка принята на обсJJу­
живание в интервале времени Зfобс +t' при условии, что
на интервале 2fобс+- (t'-foбc) также начинаJJось обслу-
328

живание некоторой заявки
t1 -f2
+ ае-"(f2- fобс)][1- е-а.~]dt2=
\ fобс
_
t' -2toб r
=
1 +е-"- е-"~ [1 + _a_(t' -Зtобс)]-
fобс
t'-Зtоб с
-!Х---
-е toGc [а t'-ЗfoGc +l+
fобс
+~(t'-
3foбr) 2 ]
2
211
'
tобс
._
,
где
Зtобс < t' < 4fобс·
Отсюда математическое ожидание числа заявок , на ­
чало обслуживания которых прои зошло за время от О
до t1, где 3foбc~t'~4toбc равно
t' -toбr
-ct---
toбc
mt1 =4-е
t'- 21обс
-ct-t-.-
-
е обе r1+t:бс(t'-
2tобе)] -
1' -Зfобс
-e-"~[1+-to; (t'-Зtобс)+
обе
+~ (t1 -Зf05,)2 ]
2
21
'
tобс
·
где Зt06с < t' < 4tобс·
(П.1.6)
Аналогичными рассуждениями можно получить за·
виси мости:
326

~ д.пя ИJ-Ii'e pвa.na времени 0 7 5 fобс
t'-1обс
1 '- 21обс
-а -1-об_с _
-а. 1обс
т 1 ,=5-е
-
е
х
1' -Зlо бс
-<Х -1--
х[1+i-(t' -
2tобе)] - е
ofic Х
ouc
Х [\+_а_ (t' -
Зtобс) +~ (i' -3iaoc)2 ]-
fо бс
t~бс
2!
1'-41обс
-а.-1--
-
е обе [1+t:бс(t' -
4tобе)+
+~(t' -
4lабс)2 +~ (t' -
4tаб1 )3 l
t2
21
tз
3!
•
(П.1 . 7)
обе
·
обе
где 4tобе < t' < 5tобе;
-
для интервала времени О+ бtобе
t' -tоб с
-<Х ---
1обс
т1 , =6-е
1 '-21обс
-<Х ---
tо бс
-е
Х
1' -Зtобс
- а. -1--
Х[1+ t:бс (f' -
2fобе)] - е обе Х
х[l+_а_(f' _ Зf )+~ (t' -
3lобс)2 ]-
t.
обе t2
21
обе
обе
.
t' -4tоб с
-<Х -t- -
-
е обе [ 1+ to:c(t' -4tобе) +
+-~ (i'-4loбc)2 +~ (l'-4foбr )3 j-
t2
2!
tз
3\
обе
обе
-
1' -5tоб с
- <X---
t
-
е ouc [1+tоа.бс(t' -
5tобс) +
+~(i'-
5tooc)2 +~- (t' -
Бtоб< )3 +~ (t' -
5tобс)4 ,
1
tJбe 2!
t~бе 31
t~бе 4!
'
(П.1.8)
327

Анализ уравнений (П.1.1 )- (П.1.8) поз·воJtяеr запи ­
сать следующую зависимость мат е матиче ск ого ожида­
ния числа обслуженных заяв ок т06 сtд дл я потоков 1<0-
нечной производительно сти
р-1
т_ =1+ -~е-а:(т-k -1 ) Х
о:осlп
р~
k=O
(П.1.9)
где р = 1+ 1[т] (в квадратных скобках выражена целая
часть числа);
fп
т= -t-
-
длительность пото1<а заявок, 13ы раженная в
обе
единицах tобс·
Приложение 2
(к § 2.6)
Решение системы с накопителем
Введем обозначения :
Ро (t) - вероятность того, ч·ю в момент времени t
в накопителе нет ни одной заявки;
Р1 (t) - вероятность того, что в на~юпителе имеется
одна заявка;
Р,, (t) -вероятность того, что в накопи те ле имеетсп
k заявок, k~n.
Составим дифференциальные уравнения для все х
вероятн остей Pli (t) .
Найдем вероятность po(t+Лt). Она будет равна сум ­
ме следующих вероятностей*:
-
вероятности того, что в момент t в накопителе не
находилось запвок и за время л,t ни одна из них не по­
сту пила
(1 +ЛЛt)Ро(t);
-
вероятности того, что в момент времени t в нако­
пителе находнлось k заявок и за время Лt они были
* С точностью до бесконе• 1 но малых более высок о го поря дка,
чем Лt.
328

взяты прибором для обслуживания:
п
μлt ~ Рп (t),
k=I
откуда
п
Р0(t+лt)= (1-).лt)Р0(t)+μлt ~P1i (t).
k=I
Перенося P 0 (t) в левую часть, деля на 1Л1t и переходя
к пределу при М-+0, получим дифференциальное урав­
нение для Ро (t) :
п
Р'0 (t) =-J..P0 (t) + f1 ), P1i (t).
.....
k=I
(П.2 . 1)
Аналогично дифференциальные уравнения могут
быть ·составлены ·и для вероятностей Р,, (t), где 1~:k<n.
Вероятность P1,( 1t+1M) при l~k<п ра;вна сумме сле­
дующих вероятностей:
-
вероятности того, что в момент времени i в Н'1КО­
пител е было k заявок и за время 1Лlt либо ни одной не
по ступило, либо прибор не закончил обслуживание пре­
дыдущих заявок:
(1-J..лt) (l-tJ-лt) pk (t);
-
вероятности того, что в момент времени i в чако­
пителе было k - 1 заяво_;\ и за время Лt поступила еще
одна заявка
откуда
P1i(t+лt)= (1 - J..лt)(1 - μлt)P1i (t)+).P1i_ 1 (t).
Следовательно, дифференциальное уравнение имеет
ВИД
Р~ (t) = - (J..+11)P1i (t)+J..P1i_ 1(t), 1~k<п. (П.2.2)
Вероятнпсть P111 (1t+ ,Лlt) равна сумме следующих веро­
нтностей :
-
вероятности того, что в момент времени ,f в на­
копителе было п заявок и за время ,Лrt прибор .не закон­
чил обслуживание предыдущих заявок:
( 1 -μЛt)Рп (t);
329

-
вероятности того, что в момент времени t в нако­
пителе было n-I заявок и за 1время Лt поступила еще
одна:
ЛМРп-1 (t),
откуда имеем следующее дифференциальное уравнение:
(П.2.3)
Таким образом, .полуЧJили систему (П . 2. 1) -(П . 2.3)
дифференциальных уравнений, которая при t--+= пре­
вращается в систему алгебраических уравнений:
/!
-ЛР 0 +μ ~Pk=O,
k=I
(П.2.4)
Так как
то
п
}= Pk= 1-Р0•
k=I
Тогда из первого уравнения системы (П.2.4) опреде­
лим Р0:
где
330
Р--1_
о-а+1'
л
а=-.
μ
Решение для других значений Pk будет
(П.2.5)
(П.2.6)
(П.2.7)

fipuЛoЖeнue j
(к § 5.4)
Вывод уравнений длsr смеша,нной системы
с ненадежными приборами
I. Определим дифференциальные уравнения, описы­
вающие вероятностные состояния многоканальной си­
стемы с ненадежными прибора:-.1И при ограниченн0м
ожидании в очереди. При выводе уравнений использу­
ются обозначения, введенные в § 5.4.
Вероятность того, что в момент t + Л.t в системе об­
служивания н е будет находить с я ни од11ого требования,
равна сумме следующих вероятностей с точаостью до
бесконечно малых более высокого порядка, чем Лt:
1. Вероятности того, что в момент ;f в системе обслу­
живания ни одного требования не было и за Лt ни од­
ного не поступило
п
2:P0j(t)(1-
.lbl)= Р0(t)(1 - .lлt).
i=O
2. В момент t в системе находилось одно требованае
и хотя бы один из обслуживающих приборов был в ра­
бочем состоянии. За время Лt не поступило ни одного
требования и имеющееся требование либо было oбCJJ у­
жено, либо обслуживающий прибор вышел из строя
[to P1j(t)-P1п(t)J (1-.lлt)(μлt+aлt)=
=
[Р1 (t) ~ Р111 (t)] (μ+а) лt.
3. В момент t в системе обслуживания имелось одно
требовани~ и все приборы были неисправны. За время
Лt не поступило ни одного требования и имеющееся
требование покинуло систему
Р1п (t) (1 - .lлt) vлt = Р1п (t) vлt.
Отсюда
Р0(t+ Лt)= Р0(t)(1 - .lлt)+ [Р1(t)- Р1п(t)](μ+
+a)лt+Pш(t)vлt.
Устремляя Лt к нулю, получим дифференциальное урав­
нение
Р~ (t) = -. lP0 (t) + [Р 1 (t) -Рш (t)] (μ+a)+vP 111 (t). (П.3.1)
331

Определим в·е·роятносттт состояний д.1п1·1 ~i<1i.
Вероятность того, что в момент ,f + Лt в системе на ­
ходилось i требований, с точностью до бесконечно ма­
лых более высокого порядка, чем л,f, равна сумме веро­
ятностей:
1. В момент t в системе находилось i требований,
при этом либо хотя бы i обслуживающи х приборов были
в ра·бочем состоянии и все i требований обслуживались,
либо j(j= n __:_ j+1, .. " п) приборов были не исправны и
n-j требований обслуживалось, а i-n+ j требований
находиJюсь в очереди. З а время Лt не поступило ни од­
ного требования, ни одно из ожидающи х 11е пою1нул о
си·стему, ни одно не было об служено и ·ни од и н из об­
служивающих прибор·ов не вышел из строя
(1 - J..лt) {%~ Pij (t) [l -11лt)i (! - aлt) i] +
п
+ ~ P;j(t)[(l-11Лf)"-;(l -- aлt)n -j(l-
i=11-i+ I
} in-i
-vM)i-n+i] = (l-J..Лf) ~ Pц(t)(1-i11лt-iaлt)+
1=0
п
+ L P;j(t)[1- (п-j)11лt-(j- п+i)vлt-
i =n-i+I
-
(п- j) алt]}·
2. В момент
·t в системе обслуживания находилось
i-1 требований, при этом хотя бы i-1 приборов были
в рабочем состоянии и все i- 1 тр е бования обслужив а ­
лись либо j (j=n-i+2, .. " п) приборов вышли из строя
и n-j требований обслуживались, а i-l -n+ j требова­
ний стояли в очереди на обслуживание . За Лt поступи­
ло одно требование, ни одно из ожидающих обслужива­
ния не покинуло систему, ни одно из требований не бы·
332

ло обслужено , ни один прибор не вышел из строя
п
-a.Лf) i- I+ L Pi-ij(l)(l -μ.дt)n -J (l-
J=n - i+2
}
п
-vлt)j - "+i- 1 (1-aлt)"-; =А. дt~0 Pi - i,j(t) =
=
A.лtPi - 1 (t).
3. В момент t в системе обслуживания находилось
i + 1 требований, при этом либо хотя бы i + 1 приборов
исправны и все i + 1 требование обслуживались, либо
j(j=n- i, ..., п)
приборов вышли и з строя и n - j тре­
бований обслуживались, а i- n + j тр е бований стояли
в очереди. За время Лt не поступило ни одного требова­
ния, и либо одно требование было обслужено, но ни
одно не покинуло очередь, либо ни одно не было обслу­
жено, но одно покинуло очередь, не дождавшись обслу­
живания, либо ни одно не обслужено, ни одно не ушло
и з очереди, но один прибор, з анятый обсл у живанием,
вышел из строя
(1- А.дt){"~~1Pi+"J(t)[i+1)μ.лt+ (i+ 1)а.лt]+
п
+ I Pi+i,J(t)[(п- j)μ.лt+(п- j)алt+
j=n-i
п
+u+1)a.лtJ+ ~ Pi+1j(t)[(n-j)μ.+~11-j)a.+
j= n-i
Отсюда
Pi(t+лt)= (1 -А.Лt){%01
PiJ (t) (1 - iμ.лt
-
iaдt) +
333

11
+ '2.: Pij(t)[1-(п-j)~Лt-(п- /)адi- (j - п+
i=n- i+ l
+ i) vЛf]}+ 'AдtPi-i(t) + ni~-lPi+1,j(t)[(i+ 1)(μ+
п
+а)лt] + ~ Pi+i.J(t)[(п- j)(μ+а)лt+(j-
j~n.-i
Устремляя дt к нулю, получим дифференциальное урав­
нение
п-1
п-1
Р;(t)= - 'APi(t)- iv·~ Pij(t)- ia ~Ри(t)-
i=о
j=0
п
п
- μ ~ Pij(t)(n-j)-v I Pij(t)U-n+1)-
1=n-i+ 1
j=n-i+l
11
-а ~ Pij(t)(11-j)+'APi-1(t)+μ(i+l)X
j=n-i+I
n-i -1
n-i -1
Х ~ Pi+i,j+a(i+ 1) ~ Piнj(t) +
i=O
i=J
п
п
+μ ~ P;j(t)(n - j) + a ~ P,i+ i,j(t)(n-j)+
j=n-i
j==n-i
IZ
+v ~ Pi+i.JU)U - n+i+1).
(П.3.2)
/=n-i
Определим вероятности состояний для n+s, где s=:;::: ! .
Вероятность того, что в системе в момент t + Лf мо­
жет н аходиться n + s требований, равна сумме ,следую­
щих вероятностей, с точностью до б е скон еч н о малых
более высокого порядr<а, чем Лt:
1. В момент t в системе обслуживания находились
n+s требова н ий . При этом j(j=O, !, .. "
п) приборон
были в нерабочем состоянии и за время Лt в систему не
п оступило ни одного требования, ни один из работаю­
щих приборов не закончил обслуживание, ни одно из
334

ожидающих обслужи~аниЯ требований не покинуло си­
стему, ни один прибор\ не выш ел из строя
(1 - 'АЛf) {tOРn+s,j (f) [(1 - tJ-дt)n- j (1 -
-
vлt)•+J (1 - алt)п - ;]} = Рп+s (t)- 'AлtPп+• (t) -
п
-
'}2рn+•,j(t) [μдt (п - j)+vлt(s +j)+алt(п- j)].
i=O
2. В момент t в системе обслуживания находилось
n+s- 1 требований . При этом j(j=O, !, .. "п) приборов
были в рабочем ·состояни и и за л,t поступило одно тре­
бование, ни одно из ож1щающих обслуживания тр ебо ­
вание не покинуло систе му , н!1 один н е закончил об слу ­
живание, ·ни один не вы шел и з строя
п
лмLРп+s-1,j(t)(1 - μлt)n- j (1 - vлt)·+J- J х
i=O
Х (1 - aдt)n-j = 'АЛfР n+в-t (t).
3. В момент t в систем е обсJ1уживания находилось
n+s+1 требование и при этом j(j=O, 1, . . " п)
прибо­
ров были в рабоч ем состо янии, за Лt не поступил о ни
одного требования и либо одно было обслужено, Jiибо
одно покинуло с и стему, не дождавшись обслуживания,
либо прибор вышел из ст роя
п
(1 - лм)LРn+s+•.5(t)[(п- i)μлt+и+s+1)vлt+
i=O
п
+(п- j)алt= ~Рn+s+1,j(t) [(п- j)tJ-Лl+
j=O
+и+s+ 1)vЛt+(п- j)аЛt].
Отсюда
Рn+s (f+Лf)= Рп+s(f) - 'АЛРп+•(f) -
п
-
~Pп+s,j(t)[μЛt(п- Л+(s + j)vлt+ (п-j)аЛt]+
i=O
п
+ 'АЛfРn+s- 1(!) + L Рп+s+1.5 (f) [(n - j)μЛf +
i=~
+и+s+1)vлt+(п- j)аЛt].
335

Устремляя Лt к нулю, получим .п,йфференЦиальное урав-
нение
/1.
"
P:z+s (f) = - 'АРп+s(i)- μ.LРп+в,j(f)(n - j)-
i=O
n
1Z
-V LPn+ s,j(t)(s+ j)-a L~n+s,j(f) (n-j)+
i=O
/=О
п
+ЛРп+s_, (i)+11- ~ Р"+8+1,j(t)(n - j)+ (П.3.3)
i=O
IZ
n
+VLР"+•+1,;(t)(j+S+1)+аLРп+s+~.з(t)(п- j).
i=O
i=O
Таким образом, получаем систему дифференцналь­
ных уравнений (П.3.1.)-(П.3.3), описывающих вероят­
ностные состояния системы.
II. Вывод дифференциальных уравнений для мно­
гоканалыюй системы с ненадежными прибора 'ми при
ограниченной длине очереди (N) и невозможности ухо­
да из очереди тех заявок, которые попали в нее до на­
чала своего обслуживания проводится аналогично вы­
воду уравнений (П.3.1) -7-'(П.З.3). При этом следует
учесть, что парамеrгр v, определяющий время ожидания
в очереди, равен нулю .
Тогда первые n+N-1 уравнений запише~1 в виде:
1) Р~(t) = -'АР0(t) +[Р1(t)-Р1,п(t)] Х
Х (11 +а)+ vP1,n (t),
п-1
2) р; (t) = -1Р, (t)- i (11-+ а) 1: Pi,j (t)-
i=o
п
-(μ.+а) :L Pi, 3 (t)(п-n+лPi-1(t)+
j=n-i+l
n-1-l
п
(П.3.4)
+(11-+а) и+ 1) r Pi+1.3(t)+(μ.+a) L Pi,j(t)(n-j)
при 1 <i<n,
336.
i=ri-i

\
п
. 3) p;z+s(t)= -
),рn~ s (t)- (μ+а)~ Pn+s,j (t) (n - j) +
i=O
п
+ ').рп+s-1(f)+ (μ+1)LPn+s+1,j(f)(n- j)
приО<s<N.
J=O
Кроме того, прибавится еще одно уравнение
"
4) P;нN(t) =- (μ+a)L Pп+ ,,;(t)(n-j)+A-P11+м- i (t).
i=O
Таким образом, система дифференциальных ураюн>
ний (П.3.4) описывает ·вероятностные со стоя ния сист е мы
с ненадежными прибора м и при ограниченной дли н е оче­
реди.
Если обозначить через :rtj (1t) вероятнос ть того, что
в момент t ровно j приборов находятся в н е рабочем со -
стоянии, то можно записать
(П.3.5)
Тогда для ·стационарных условий пол уч им сл едую­
щую систему алгебраич ес ких уравнений :
1) -1P0 +P1 [μ.(l-7tn)+a(l -7tn)} = O,
2) -Pi{A-+i(p,+a)~: 'ltj+(11-+a)i=t-l+l7t;(n-
- j)} +A-Pi- 1+ Pi+1 {(а+μ) (i + 1) "1:-'тсj +
J=O
+ (11-+а) l=t_/'j (n-j) =0}
при О<i<п,
3) -Рп+ s {А-+(11-+а) to 'ltj (п - j)} + А-Р"+• -1 +
при O<s<N,
п
4) -Pп+N(μ+a)l: '1tj(n-j)+A-Pn+N-l=0.
j=O
Z2-1444

/
/ Пр~iложение 4
/
(к§6.lи6 . 2)
Вывод уравнений для сИстемы, ,обслуживающей заявку
группой приборов
1.Обслуживание за·явок заканчивает-
еявмоменто1«0нчаrтия его любым излри-
боров.
Рассмотрим функцио11ирование системы с отказами,
работа nриборов которой организована так, что при по­
стуnлении заявки все nриборы начинают ее обслуживать
н езависимо друг от друга. Обслуживание считаетсп за ­
кончен н ым тогда, когда хотя бы один из nриборов за­
кончит его.
Примем закон обслуживания заявки каждым nриб::>­
ром показательным со сред ним временем обслуживанин
соответственно для каждого прибора
~
1~
1'
~
1
/"обе === -
:tобе==-,;···;f"обс==-
·
'
fJ.1
•
fJ.2
п fLn
Определим закон времени обспуживания все"ти п
прнб орами.
Предположим,что Т 6 , Г 6 , ... ,
fобс - время обслужи -
оС1 ОС2
n
вания заявки соответственно 1-м; 2-м; ...; п-м приборами.
Тогда вероятность того, что время обслуживани11
fобс ОI<ажется больше Т, будет равна
Р{tобс>Т}= Р{min(tобс,' t06c/· ."., fобс" )>Т}.
Так как обслуживание будет закончено в тот мо ­
мент, как только его закончит один из приборов, оче­
видно, что
р {rпin (tобс,' tобс,' · · • 'fобсп) > Т} = р {tобс, > Т; fобса >
>Т,... , fобс11>Т}.
Последняя вероятность без особого труда может быть
вычислена ·по теореме умножения вероятностей. Так как
75,1,
, . . . , 7обе в нашем примере не зависят друг от
О С1 ООС,а
?1.
друга,
Р{tобс1>Т;fобс2>Т;···;fобсп>Т}=
п
=ПР {foбci > Т}.
(П.4.1)
i~l
338

Но, так как Зако1;1 распределения времени обсл ужи ­
вания показательный, 'fo
\
р {foбci > Т}= e-μi toбci.
Подставив это значение величины Р{tо~с ; > Т} в ра­
венство (П.4.1), получим
р{t ' Т} - е-(р.,+μ,+
...
+μ")tобс
обе,.,..> -
•
(ll.4.2)
Обозначив сумму μ.1 +μ.2 + .. .+μ.п через JJ;\ получим
т. е. закон распределення времени обслужива н ия заяв­
ки, поступающей в нашу систему, при обслуживании ее
всеми п приборами независимо друг от друга - тоже
п оказательный закон с математическим ожиданием вре­
мени обслуживания
>
1
1
fобс = ~- = ---~----
f.1-*
f.1-1 +f.1-2+·•·+f.1-п
(П.4.3)
Отсюда видно, что среднее значение t'''обс будет тем
меньше, чем большее количество 'Приборов п римет уча ­
стие в обслуживании.
Если все обслуживающие прибо р ы одного типа, то
μ*=nμ,
(П . 4.4)
т. е. среднее время уменьшается в п раз по срав н е н ию
с обслуживанием одним прибором.
Таким образом, задача сводится к рассмотрению од­
ноканалы-1ой системы, у которой математическое ожи­
дание времени обслуживания определяется зависимо­
стыо (П.4.3).
Составим дифференциальные уравнения, описываю­
щие вероятностные состояния системы.
Вероятность того, что в момент t в системе нет на
обслуживании заявки, с точностью до бесконеч н о ма·
лых более высокого порядка, чем Лt, равна сумме еле·
дующих вероятностей:
-
веронтности того, что в момент ,f в системе не бы­
ло заявок на обслуживании и за время Лt не поступило
ни одной:
( 1-ЛЛt) Ро (t);
22*
339

-
веройтно,сrй toro, что в мьмент .f в системе нахо­
дилась на обслуживании заявка и за Л1t один из прибо­
рпв закончил обслуживание
μ*MP1(i) .
Отсюда вероятность Po(i+Лt) равна
Ро (t + лt) = (1 -Алt) ро (t) + >r""ЛtP1 (t).
Пере11ес5l Ро (t) 13.'Jево и разделив на Лt, при Л,f ~ О
110 J1 у чим следу10Lнее дифференциальное уравнение:
Р~(t) = - АР0(f)+ir·'P1 (t).
(П.4.5)
Аналогично получим дифференциальное уравнение
для вероятности
(П.4.6)
Таким образом, мы получим систем у дифференци­
альных уравнений (П.4.5) - (П.4.6), опи сывающих ве­
роятностные состояния рассматриваемой си,стемы. Нор­
мирующее условие имеет вид
Для системы с ограниченным временем ожидания
заявки в очереди (tон< ) при том же услов и и, что посту­
пившую заявку начинают обслуживать в се п приборов,
справедливость полученного закона времени обслужи­
вания остается в силе. Так как все .лри'боры одновремен­
но начинают обслуживание, то уже следующая заявка,
застав все приборы за габотой, становится в очередь.
После окончания обслуживания все приборы пере 1<лю­
ч а ются на обслуживание заявки из очереди.
Следовательно, лри ограниченном времени ожидания
заявки в очереди п-канальная система для определения
в е роятностных состояний может быть 'Пр едставлена од-
1юлинейной системой с ~араметром обслуживания
μ* = 'μ1+ ,μ2+ ... +~L11.
Составим систему дифференциальных уравнений,
описывающих вероятностные состояния системы.
Первое диффёренциальное уравнение, определяющее
вероятность Ро (t), ничем не отличается от соответст-
340

вующеrо уравнения,~ полученного для системы с отка-
зами, т. е.
(П.4.7)
Выведем дифференциальное уравнение для вероят -
1юсти Р1 (t) .
Вероятность того, что в момент ,f+Лt в системе бу­
дет находиться на обслvживании одна заявка, с 'точно­
стыо ДО бесконечно малi)IХ боле\.~ ВЫСОJ\ОГО пор ;:rд ка, Че 1\1
Л t, равна сумме следующих веро>пностей: .
-
вероятности того , что в момент t приборы обсJiу­
живали заяв1<у, а в очереди и х 11е было, и за время ЛL
ни один из приборов ·н е закончил обслуживание и не
поступило ни одной заявки:
-
вероятности того, что в момент времени .t в си­
стеме не было ни одной заявки, а за время Лt лосгупи­
ла одна заявка и все приборы стали ее обслуживать :
''лРо (t) ,;S t;
-
вероятности того, что в момент време'Ни t одна за­
нnка обслуживалась и одна была в очереди, а за вреМ51
Лit либо один из приборов закончил обслуживание за­
явки, либо стоя щая в очереди заявка покинула систему
гто окончании времени ожидания:
1
где v =--.
tloн<
Отсюда
Р1(t+ лt)=(!--А.лt)(!- i-t·x·лt)Р1(t)+ АР0(t)лt+
+ (i-t":· + v) Рн, (t) лt.
Перенося P1(t) влево и деля на .М, при лt--+0 полу­
чнм дифференциальное уравнение для вероятности
Р1 (t):
р; (t) = -(1 + μ·х}Р1 (t)'+;1P0~(t)~+~(11.-X+ v) Р,+ 1 (t) . (П.4.8)
Выведем дифференциальное уравнение для вероят­
ности P 1+s(t), где s--число заявок в очереди.
Вероятность того, что в момент времени t+ .Лt одна
заявка будет обслуживаться, а s заявок ожидать в оче-
341

редИ, с тоЧностыо до бесконечно малых более 11ысокоrо
порядка, чем .Л,f, равна сумме сл едующих вероятностей :
-
вероятности того, что в момент времени t в систе­
ме одна заяв1<а обслуживалась всеми приборами и s
заявок находилось в очереди, а за время Лt не посту­
пило ни одной заявки, не закончил обслуживание ни
один из приборов и ни одна заявка не покинула оче­
редь:
(1 ~ J..дt) (1 - f!o-x·дt) (1 - svдt) P, + s(t);
-
вероятности того, что в м.омент времени t одна
заявка обслуживалась 11 s --1 заявок 11аходил нсь в оче­
реди, а за время ·Л,f поступила еще одна заявка
-
вероятности того, что в момент времени t одна
3аявка обслуживалась, s+ 1 заявок находились в оче­
реди, а за время Л·t либо одна заявка покинула оче ­
редь, л и бо один из приборов закончил обсл уживание
откуда
Р1н(t+лt)= (1 - Алt)(1 -tL·x·дt)(1 - svлt)Р1+•(t)+
+},,ЛfP1+(s-i) (t) +ffL·x +(s + 1) vj дtP1+(s+i> (t).
Перенося Рнs (i) влево и деля на лt, при .М-0 п о­
лучим следующее дифференциальное уравнение:
P;+s(t)= - (},,+fL·X·+sv)P1+s (t)+lP1+(s- i) (t)+
+ffL·x +(s +1) \'J P 1+<•+i> (t),
(П.4.9)
где s::;;:, 1.
Нормирующее условие запишем в виде
со
Р0(t)+Р1(t)+\'Р1+•(t) = 1.
kJ
(П.4.10)
s=I
2.Обслуживание зака1-1чивается тогда,
когда оно выполняется всеми лриборами.
Рассмотрим систему с отказами, в которой посту­
п ающую заявку начинают обслуживать все свободные
к этому моменту приборы. Причем обслуживание дою~<-
342

ны выполнить все приб о ры, которы е начали обслужи­
вание независимо друг от друга.
Введем обозначения состояний ·системы :
А 0 - ни один прибор не занят обслужива нием ;
Ai - один прибор занят обслуживанием;
Ап - обслуживанием з анято
.
k приб оров 1(1! ~1k<п);
Ап - все приборы заняты об служ ива нием .
Вероятности каждого и з этих состояни й обозначнм
соответственно P0 (t), P1( t), .. ., P,, (t), . . ., Р л (t).
Выведем дифференциально-разностные уравнения,
из которых можно определить вероятнос ти Р,, (t).
Вероятность того, что система в момент t+ ,Лlt будет
находиться в состоянии А 0 , с точно стью до бесконечно
малых более вы сокого порядка, чем ,Л:t, равна су мм е
следующих вероятност ей:
-
вероятности того, что в момент времени t сист ема
находилась в состоянии Ао и за время ;Лlf не поступило
заявки
( 1-ЛЛt ) Ро (t);
-
вероятности того, что в момен т вр емен и t система
н а ходилась в состоянии Ai и за время Л t прибор зако н­
чил обслуживание:
Таким образом
P0 (t+ 1Л:t) = · (1 ---'ЛЛt)Ро(t) + μЛtР1 (t).
Перенося Ро (·t) влево и деля на .л.t, при лt --. О нолу ­
чим дифференциальное у равнение, описывающее состо>r ­
ние системы Ао:
Р'о ('t) = -;ЛРо (t) + μР1 (t).
(П.4.11)
Определим вероятно сть состояни>r систе мы А,, (О <
<k<n).
Вероятность того, что система в моме нт вре\<1ени
t+Лt будет находиться в состоянии А,, (O<k < n), с точ­
ностью до бескон ечно м алых более высокого поря дка,
чем rЛ!t, равна сумме следующих вероятностей:
-
вероятности того , что в момент времени t систе ·
ма находила·сь в состоянии А" и за время .л:t не посту­
пило ни одной новой заявки и ни ·один из обслуживаю­
щих приборов не освободился:
(1 -ЛМ) (1-k~tлt) Рп (t);
343

-
вероятности того, что в момент времени t система
находилась в состоянии А1,+1 и за время Лt один из при­
боров закончил свое об служивание:
(k + 1) μРн1 (t),
откуда
Перенося Рт,(i) влево и деля на Лt, при Лf ___. Q полу­
ч им следующее дифференциальное уравнение для опре ­
деления вероятности Р,, (f):
Р;, (t) =-= -(l+!гμ) Pk (t) +uг+ 1) μPk+t (t), (П.4. 12)
k=1,2,...'11-1.
Вероятность ·состояния системы А11 в момент t+Лt
может быть получена аналогичным образом :
п-1
Рп(t+Лf)= А.Дf) Pk(f}+(1 -11μ.Лf)Рп(f),
k=O
от куда получаем следующее дифференциальное уравне­
ни е, описывающе е состояние А11:
п-1
Р;, (t) = -11μ.Рп(t)+l ~ Pt1. (t).
.. ;..J
(П.4.13)
k=O
Услов н е нормировки для вероятностей данной си­
стемы запишем в виде
(П.4.14)
Таким образом, мы ~получили систему дифференци­
альных уравнений (П.4 . 11)-(П.4.13), описывающих все
вероятностные состонния системы .
Рассмотрим аналогичную систему с ограниченным
време н ем ожидания заявки в очереди, которое рас­
пределено по показательному закону с параметром
l
v-~-
-
tож ·
Составим дифференциальные уравнения для вероят ­
ностей состояний систе~1ы .
344

Для этого введем дополнительно следующие обозна­
чения состояний систе\11ы: A n+s - заняты все 11 прибо­
ров и s заявок стоят в очереди (s ~ 1).
Вероятности этих состояний обозначим через
Рп+' (t).
Очевидно, что вероятности P,,(t+Лt) для O::=:;;rk::=:;;n-1
не будут отличаться от вероятностей состояний системы
с отказами. Следовательно, для первых п-1 ·состояниi1
системьi можно записать следующую систему дифферен­
циальных уравнений:
Р;, (t)_
·=-
(1+ kμ)Р11.(t)+ (!г+ 1)μР11.+,(t),О~
~k<.n-1.
(П.4.15)
Найдем вероятность Рп (t+Лt), которая будет рав­
на с точностью до бесконечно малых более высокого
порядка, чем Д1t, сумме следующих вероятностей:
-
вероятности тоrо, что в момент t все 11 приборов
были заняты, в очереди заявок не было и за время Лt
ни один из приборов не освободился н не поступило ни
одной новой зая1вки: ( 1-ЛМ) ( 1-щvМ) Р п ('f);
-
вероятности того, что в момент t было занпто k
приборов (k=O, !, ..., п-1), а за
время rЛi поступила
новая заявка:
п-1
~ 1MP11.(t);
k=O
-
вероятности того, что в момент времени t все n
приборов были заняты обслуживанием и одна заявка
находилась в очереди, а. за время л,t либо освободило~
один прибор, либо стоящая в очереди заявка по истече­
нии срока ожидания покинула систему (11μ +v) ЛtРпн (t).
Таким образом,
Pn(t+лt)= (1 -1Лl)(1 - 11μЛl) Pn(t)+
"_,
+ 1.лt ') Р11.(t) + (1111 + v)ЛtРп+~(t).
......
k=O
Перенося Рп (t) влево и деля обе части равенства на
Лt, при .Л.f _,. Q получиrv1 дифференциальное уравнение,
описывающее состояние Ап:
п-1
Р~(t) =
-
(1+ пμ)Pn(t)+ 1~Р11.(t)+ (пμ+
k=O
+v)Pn+i(t).
(П.4.16)
345

Веромность Pn+s (t) состояния Ап+s ДJ1я $~ 1 с точ­
ностью до бесJ<онечно м"лых более высокого порндка,
чем л.t, равна сумме следующих вероятн остей:
-
вероятности того, что в момент времени t в систе­
ме все п приборов было занято обслуживанием и s за­
явок находилось в очереди и за время Лi не поступило
ни одной 11овой заявки, ни один прибор не закончил об­
служивания и ни одна заявJ<а не покинула очереди:
(1--А-лt) (1- пμ.Лt)(1- svлt)!Pn+• (t);
-
вероятность того, что в момент времени ,f все при­
боры был и заняты обслужю1анием и s - 1 заявок нахо­
дились в очереди, а за время Лt поступила еще одна
заявка:
"ЛМРn+s-1 (1t);
-
вероятности того, что все приборы системы были
заняты обслуживанием и s + 1 заявок находились в оче­
реди, а за время ·Л1f либо одна из них по истечении сро­
ка ожидания покинула систему, либо один из приборов
закон·чил обслуживание :
[пμ.лt + (s + 1) vлtJ Pn+•+t (t) .
Таким образом,
Р"+•(t+лt)= (1 - А-лt)(1 - nμ.Лi)(1 - svлt) Рn+s (t)+
+ А.лtР"+, _, (t) +!n11-+ (s + 1) v] лtРп+s+1 (t), s ~ 1.
Отсюда получим следующие дифференциальны~
уравнения для состояний системы An+s :
P;,+s (t) = - (1+пμ.+ sv)Рп+• (t)+А.Рп+•-1 (t)+
+[nμ. +(s+ 1) v) рn+•+t (t)
(П.4.17)
приs~1.
Мы получили для вероятностей состояний систему
бесконечного числа дифференциальных уравнений
(П.4.15)-(П.4.17) .
Нпрмирующее условие имеет вид
00
\--, Pk(t)= 1.
"-'
k=O
(П.4.18)
Решение системы уравнений (П.4.15)-(П.4.17) сов­
местно с нормирующи м условием (П.4 . 18) позволит
определить вероятности состояний системы в любой мо-
мент времени.
346

Прило:J1cение 5
Таблиц а
Значения Х,2 в 3ависимости от w и р
р
w
О, 99
1
0,98
1
О, 95
1
0,90
1
О,ВJ
1
0,70
1
0,5)
1
0,000
0,001 n,004 0,016 0,064 0, 148 0,455
2
0,020 0,040 О, 103 0,211 0,446 0,713 1,386
3
О, 115 0, 185 0,352 0,584 1,005 1'4 24 2 ,3 7
4
0,297 0,429 0,711 1,064 1,649 2, 20 3 ,36
5
0,554 0,752 1, 145 1,610 2,34 3 ,00 4,35
6
0,872
1, 134 1,635 2,20 3 ,07 3,83 5,35
7
1,239
1,564 2, 17 2,83 3,82 4,67 6,35
8
1,646
2,03 2,73 3,49 4,59 5,53 7,34
9
2,09
2,53 3,32 4, 17 5,38 6,39 8,34
10
2,56
3,06 3,94 4,86 6, 18 7,27 9,34
11
3,05
3,61 4,58 5,58 6,99 8, 15 10,34
12
3,57
4, 18 5,23 6,30 7,81 9,03 11,34
13
4, 11
4,76 5,89 7,04 8,63 9,93 12,34
14
4,66
5,37 6,57 7,79 9,47 10,82 13,34
15
5,23
5,98 7,26 8,55 10,31 11,72 14,34
16
5,81
6,61 7,96 9,31 11, 15 12,62 15,34
17
6,41
7,26 8,67 10,08 12,00 13,53 16,34
18
7,02
7,91 9,39 10,86 12,86 14,44 17,34
19
7,63
8,57 10, 11 11,65 13,72 15,35 18,34
20
8,26
9,24 10,85 12,44 14,58 16,27 19,34
21
8,90
9,92 11,59 13,24 15,44 17, 18 20,3
22
9,54
10,60 12,34 14,04 16,31 18, 10 21,3
23
10,20
11,29 13,09 14,85 17, 19 19,02 22,3
24
10,86
11,99 13,85 15,66 18,06 19,91 23,3
25
11,52
12,70 Jtl '61 16,47 18,94 20,9 24,3
26
12,20
13,41 15,38 17,29 19,82 21,8 25,3
27
12,88
14, 12 16, 15 18, 11 20,7 22,7 26,З
28
13,56
14,85 16,93 18,94 21,6 23,6 27,3
29
14,26
15,57 117,71 19,77 22,5 24,6 28,3
30
14,95
16,31 18,49 20,6 23,4 25,5 29,3
Продолжение табл. 1
-
р
w
1
1
1
1 0,02 1 0,01
1
0,30
0,20
О, 10
1
0,05
0,001
1
1,074
1,642 2,71 3,84 5,41 6,64 10,83
2
2,41
3,22 4,60 5,99 7,82 9,21
13,82
3
3,66
4,64 6,25 7,82 9,84 11 ,34 16,27
4
4,88
5,99
7,78 9,49 11,67 13,28 18,46
б
6,06
7,29
9,24 11,07 13,39 !5,09 20,5
347

0,0
О,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
348
w
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
lG
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
1,0000
9048
8 187
7408
6703
6065
5488
4966
4493
4066
Г1родолжение табл. 1
р
0,30
1
0,20 lО,1010,05l0,0210,01
1
0,001
7,23
8,56 10,64112,59 15,03 16,81 22,5
8,38
9,80 12,02 14,07 16,62 18,48 24,3
9,52
11,03 13,36 15,51 18, 17 20, 1 26, 1
10,66
12,24 14,68 16,92 19,68 21, 7 27,9
11,78
13,44 15,99 18, 31 21, 2 23,2 29,6
12,90
14,63 17,28 19,68 22,6 24,7 31,3
14,01
15,81 18,55 21 ,0 24, 1 26,2 32,9
15, 12
16,98 19,81 22,4 25,5 27,7 34,6
16,22
18,15 21,1 23,7 26,9 29,1 36,1
17,32
19,3 1 22,3 25,0 28,3 30,6 37,7
18,42
20,5
23,5 26,3 29,6 32,0 39,3
19,51
21,6
24,8 27,6 31,0 33,4 40,8
20,6
22,8
26,0 28,9 32,3 34,8 42,3
21, 7
23,9
27,2 30, 1 33,7 36,2 43,8
22,8
25,0
28,4 31,4 35,0 37,6 45,3
23,9
26,2
29,6 32,7 36,3 38,9 46,8
24,9
27,3
30,8 33,9 37,7 40,3 48,3
26,0
28,4
32,0 35,2 39,0 41,6 49,7
27, 1
29,6 33,2 36,4 40,3 43,0 51,2
28,2
30,7 34,4 37,7 41, 7 44,3 52,6
29,2
31,8 35,6 38,9 42,9 45,6 54, 1
30,3
32,9 36,7 40, 1 44, 1 47,0 55,5
31,4
34,0
37,9 41,3 45,4 48,3 56,9
1
32,5
35, 1 39, 1 42,6 46,7 49,6 58,3
33,5
36,2
40,3 43,8 48,0 50 ,9 59,7
Таблица 2
Значения функции е-х
9900 9802 9704 9608 9512 9418 9324 9231 9139
8958 8869 878 1 8694 8607 852 1 8437 8353 8270
8206 8025 7945 7866 7788 77 10 7634 7558 7483
7334 7261 7 189 71 18 7047 6977 6907 6839 6771
6636 6570 6505 6440 6376 63 13 6250 6188, 6126
6005 5945 5886 5827 5769 5712 5655 5599 5543
5433 5379 5326 5273 5220 5168 5117 5066 50 16
4916 4867 48 19 477 1 4724 4677 4630 4584 4538
4449 4404 4360 4317 4274 4232 4189 4148 4107
4025 3985 3945 3906 3867 3829 379 1 3753 3716

1,0
1,1
1,2
l,3
l,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
,О
2
')
-.1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
4
4
5
5
5
5
5
,О
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
,О
,1
,2
,3
,4
,5
,6
,7
,8
,9
,О
,I
,2
,3
,4
3679
3329
3012
2725
2466
2231
2019
1827
1653
1496
1353
1225
1108
1003
0907
0821
0743
0672
0608
0550
0498
0450
0408
0369
0334
0302
0233
0247
0224
0202
0183
0166
0150
0136
0123
0112
0101
0091
0082
0074
0067
0061
0055
0050
0045
3642 3606 3570
3296 3263 3230
2982 2952 2923
2698 2671 2645
2441 24 17 2393
2209 2187 2165
1999 1979 1959
1809 1791 1773
1636 1620 1604
1481 1466 1451
1340 1327 1313
1212 1200 1188
1097 1086 1073
0993 0983 0973
0898 0889 0880
0813 0805 0797
0735 0728 0724
0665 0659 0652
0602 0596 0590
0545 0539 0534
0493 0488 0483
0446 0442 0437
0404 0400 0396
0365 0362 0358
0330 0327 0324
0299 0296 0293
0271 0268 0265
0245 0242 0240
0221 0219 0217
0200 0198 0196
0181 0180 01 78
0164 0162 0161
0148 0147 0146
0134 0133 0132
0122 0120 0119
0110 0109 0108
0100 0099 0098
0090 0089 0088
0081 0081 0080
0074 0073 0072.
0067 0066 0065
0060 0060 0059
0055 0054 0054
0049 0049 0048
0045 0044 0044
Пр одолжение табл.
3534 3499 3465 3430 3396 3362
3198 3166 3135 31 04 3073 3042
2894 2865 2836 2808 2780 2753
2618 2592 2567 2545 2524 2503
2369 2346 2332 2299 2276 2254
2144 2123 2101 2080 2060 2039
1940 1920 1901 1882 1864 1845
1755 1738 1720 1703 1670 1661
1588 1572 1557 1541 1526 1511
1437 1423 1409 1395 1381 1367
1300 1287 1275 1262 1249 1237
1177 1165 1153 1142 1130 111 9
1065 1054 1043 1033 1023 101 3
0963 0954 0944 0935 0926 0916
0872 0863 0854 0846 0837 0829
0789 0781 0773 0765 0758 0750
0714 0707 0700 0693 0686 0679
0646 0630 0633 0627 0620 0614
0584 0578 0573 0567 0561 0556
0529 0523 0518 0513 0508 0503
0478 0474 0469 0464 0460 0455
0433 0429 0424 0420 04 16 04 1'2
0392 0388 0384 0380 0376 0373
0354 0351 0347 0344 0340 0337
0321 0317 0314 0311 0308 0305
0290 0287 0284 0282 0279 0276
0263 0260 0257 0255 0252 0250
0238 0235 0233 0231 0228 0226
0215 0213 0211 0209 0207 0204
0194 0193 0191 0189 0187 0185
0176 0174 0172 017 1 0 169 0167
0159 0158 0156 0155 0153 0151
0144 0143 0141 0140 0138 0137
0130 0129 0128 0127 0125 0124
0118 0117 0116 0114 0113 0112
0107 0106 0105 0104 0103 0102
0097 0096 0095 0094 0093 0092
0087 0086 0086 0085 0084 0083
0079 0078 0078 0077 0076 0075
0072 0071 0070 0069 0069 0068
0065 0064 0063 0063 0062 0062
0059 0058 0058 0057 0056 0056
0053 0052 0052 0051 0051 0050
0048 0047 0047 0047 0046 0046
0043 0043 0043 0042 0042 0141
349

ПродоJIже11ие табJI. 2
х1011121314\ 5 ! (;17\819
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6,0
6,2
6,4
6,6
6,7
7,О
7,2
7,1
7,6
7,8
0041
0037
0033
0030
0027
0025
0020
00 17
00 14
00 11
0009
0007
0006
0005
0004
0041 0040 0040 0039 0039 0039
0037 0036 0036 0036 0035 0034
0033 0033 0032 0032 0032 0031
0030 0030 0029 0029 0029 0029
0027 0027 0027 0026 0026 002G
0025 0024 0024 0024 0024 0023
0020 0020 0020 0019 0019 0019
0016 0016 0016 0016 0016 0016
0013 0013 0013 0013 0013 001 3
0011 00 11 0011 0011 0010 0010
8,0 0003
8,3 0002
8,6 0002
8,9 ООО!
9,0 0001
a.k e-r1.
Значения функций P1t (а.) =КГ
0038 0038 0037
0034 0034 0034
003 1 0031 0031
0028 0028 . 0028
0026 0025 0025
0023 0023 0023
0019 0019 0019
0015 0015 0015
00 13 0013 0012
0010 0010 00 10
ТабJIица 3
k \~---,--------,.--"--
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
о 0,904837 0,818731 0,740818 О,6703'Ю 0,605530 0,548812
1 0,090484 0, 163746 0,222245 0,268128 0,303265 0,320287
2 0,004524 0,016375 0,033337 0,053626 0,0758 16 0,098786
3 0,000151 0,00 1091 0,003334 0,007150 0,012636 0,019757
4 0,000004 0,000055 0,000250 0,000715 0,001580 0,002964
5
0,000002 0,000010 0,000057 0,000158 0,000356
6
0,000001 0,000004 0,0000 13 0,000035
7
0,000001 0,000003
k1
---;----,--------;---(1.~.---
0,7
0,8
0,9
1,0
2,0
3,0
о 0,496585 0,449329 0,406570 0,367879 О, 135335 0,049787
1 0,3476 10 0,359463 0,365913 0,367879 О, 27067 1 О, 14936 1
2 о' 121663 О, 143785 О, 164661 О, 183940 0,270671 0,224042
3 0,028588 0,038343 0,049398 0,061313 О, 180447 0,224042
4 0,004968 0,007669 0,011115 0,0 15328 0,090224 О, 168031
5 0,000695 0,001227 0,002001 0,003065 0,036089 0, 100819
6 0,000081 0,000164 0,000300 0,000511 0,012030 0,050409
7 0,000008 0,0000!9 0,000039 0,000073 0,003 137 0,02 1604
8
0,000002 0,000004 0,000009 0,000859 0,008 101
9
0, 000001 0,00019 1 0,002701
10
0,000038 0,000810
11
0,000007 0,000221
12
0,000001 0,000055
13
0,000013
14
0,000003
15
0,000001
350

f_a блilца 4
Вероятности Рн. системы с отказами
п\k\--~"--
O;I
0,25
0,5
0,75
2
1 о 0,9191 0,8000 0,6667 0,5714 0,5000 0,3333
1 0,0909 0,2000 0,3333 0,4286 0,5000 0,6667
-
-- ---
о 0,9050 0,7805 0,6154 0,4923 0,4000 0,2000
2 1 0,0905 О, 1951 0,3077 0,3692 0,4000 0,4000
2 0,0045 0,0244 0,0769 О, 1385 0,2000 0,4000
~
--
о 0,9048 0,7789 0,6076 0,4759 0,3750 О, 1579
3
1 0,0905 О, 1947 0,3038 0,3568 0,3750 0,3158
2 0,0045 0,0244 0,0760 о, 1338 О, 1875 0,3158
3 0,0002 0,0020 0,0 126 0,0335 0,0625 0,2105
-
о 0,9049 0,7788 0,6066 0,4729 0,3692 0, 1429
1 0,0905 О, 1947 0,3033 0,3547 0,3692 0,2857
4 2 0,0045 0,0243 0,0758 0,1330 О, 1846 0,2857
3 0,0001 0,0020 0,0127 0,0332 0,0616 О, 1905
4
0,0002 0,0016 0,0062 0,0 154 0,0952
-
о 0,9048 0,7788 0,6065 0,4724 0,3681 0, 1376
1 0,0905 0, 1947 0,3033 0,3543 0,3681 0,2752
5 2 0,0045 0,0243 0,0758 о, 1329 О, 1841 0,2752
3 0,0002 0,0020 0,0126 0,0332 0,0613 0, 1836
4
0,0002 0,0016 0,0063 0,0 153 0,0917
5
0,0002 0,0009 0,003 1 0,0367
--
о 0,9048 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 О, 1360
1 0,0905 О, 1947 0,3033 0,3543 0,3679 0,2719
2 0,0045 0,0244 0,0758 О, 1329 О, 1840 0,2719
6 3 0,0002 0,0020 0,0126 0,0332 0,0613 О, 1813
4
0,0001 0,0016 0,0062 0,0153 0,0906
5
0,0002 0,0009 0,0031 0,0362
6
0,0001 0,0005 0,0121
-
-0 - 0,9048 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 О, 1354
1 0,0905 О, 1947 0,3033 0,3543 0,3679 0,2710
2 0,0045 0,0244 0,0758 0, 1329 О, 1839 0,2710
7 3 0,0002 0,0020 0,0126 0,0332 0,0613 О, 1806
4
0,0001 0,0016 0,0062 0,0153 0,0903
5
0,0002 0,0009 0,0031 0,0363
6
0,0001 0,0005 0,0120
7
0,0001 0,0034
-
о 0,9048 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 О, 1354
1 0,0905 0,1947 0,3033 0,3543 0,3679 0,2707
2 0,0045 0,0244 0,0758 0, 1329 О, 1839 0,2707
3 0,0002 0,0020 0,0126 0,0332 0,0513 О, 1805
84
0,0001 0,0016 0,0062 0,0153 0,0902
5
0,0002 0,0009 0,0031 0,0361
6
0,0001 0,0005 0,0121
7
0,0001 0,0034
8
0,0009
351

Продолжение табл. 4
1 о 0,2500 0,2000 О, 1667 О, 1429 О, 1250 О, 1111
1 0,7500 0,8000 0,8333 0,8571 0,8750 0,8889
-
--
о О, 11 77 0,0769 0,0540 0,4000 0,0308 0,0244
2 1 0,3529 0,3077 0,2703 0,2400 0,2 154 О, 1951
2 0,5294 0,6154 0,6757 0,7200 0,7538 О, 7805
-
--
о 0,0769 0,0423 0 ,0254 0,0164 0,0 11 2 0,0079
3 1 0,2308 О, 1690 О, 127 1 0,0984 0, 078 1 0,0633
2 0,346 1 0,3380 0 ,3 178 0, 2950 0,2732 0,2533 .
3 0,3462 0,4507 0, 5267 0,5902 0,6375 0,6755
-
-
о 0,06 11 0,0291 0,0 153 0,0087 0,0053 0,0034
l о, 1832 о, 1165 0,0765 0,0522 0,0369 0,0269
4 2 0,2748 0,2330 О, 1912 О , 1565 О, 1292 О, 1078
3 0,2748 0,3107 0,3 187 0,3 130 0,30 13 0,2873
4 0,206 1 0,3 107 0,3983 0,4696 0,5273 0,5746
-
--
о 0,0544 0,0233 0,0109 0,0056 0,0030 0,0018
l О, 1630 0,0933 0,0547 0,0334 0,0212 0,0140
5 2 0,2446 0, 1866 О, 1367 О, 100 1 0,0743 0,0561
3 0,2446 0,2488 0,2279 0,2002 О, 1734 О, 1497
4 О, 1834 0,2489 0,2849 0,3003 0,3034 0,2994
5 О, 1100 О, 1991 0 , 2849 0,3604 0,4247 0,4790
-
о 0,0515 0,0205 0,0089 0,0041 0,0020 0,00 11
l О, 1545 0,0824 0, 0442 0,0245 0,0 142 0,0087
2 0,2318 О, 1648 О , 1105 0,0736 0,0497 0,0343
6 3 0,2318 0,2197 О, 1842 О, 1472 О, 1159 0,0913
4 О, 17 39 0,2197 0,2302 0,2208 0,2029 О, 1826
5 О , 10 43 О, 1757 0,2302 0,2649 0,2840 0,2923
6 0,0522 О, 1172 О, 19 18 0,2649 0,33 13 0,3897
-
--
-
о 0,0503 0,0193 0,0077 0,0030 Q,0 020 0,0007
1 О, 15 12 0,0772 0, 0389 0,0200 0,0 106 0,0059
2 0,2268 О, 1545 0,0972 0,0600 0,0373 0,0237
7 3 0,2268 0,2059 О , 1620 О, 1200 0,0870 0,06:32
4 О, 1704 0,2059 0,2025 О , 1800 О, 1523 О, 1264
5 0, 10 16 О, 1647 0 ,2025 0,2160 0,2132 0,2022
6 0,0510 О, 1098 О, 1687 0,2160 0,2487 0,2697
7 0,0219 0,0627 0, 1205 О, 1851 0,2489 0,3082
--
о 0,0499 0,0187 0,0072 0,0029 0,00 13 0,0006
1 О, 1499 0,0749 0,0362 0,0176 0, 0088
' 0,0045
2 0,2249 О, 1498 0,0904 0,0527 0,0306 0,0181
3 0,2249 О, 1996 О, 1506 О, 1053 0,0735 0,0483
8 4 О,1687 О,1996 О,1883 О,1580 О,1251 0,0966
5 О, 1012 О, 1597 О, 1883 О, 1896 О, 1727 О, 1546
6 0,0506 О, 1065 О, 1569 0, 1896 0,2048 0,2061
7 0,02 18 0,0608 О, 1121 0, 1624 0,2044 0,2356
8 о 0081 о 0304 о 7000 О, 1219 О, 1788 0,2356
352

Продолжение табл. 4
1 о О, 1000 0,0909 0,0625 0,0476 0,0385 0,0323
1 0,9000 0,9091 0,9375 0,9524 0,9615 0,9677
-
о 0,0197 0,0164 0,0078 0,0045 0,0030 O,OQ20
2 1 0, 1783 О, 1639 0, 1167 0,0905 0,0738 0,0624
2 0,8020 0,8197 0,8755 0,9050 0,9232 0,9356
-
--
о 0,0058 0,0044 0,0015 0,0007 0,0003 0,0002
3 1 0,0523 0,0439 0,0217 0,0128 0,0085 0,0060
2 0,2355 0,2196 0, 1628 0, 1287 О, 1062 0,0904
3 0,7064 0,7321 0,8140 0,8578 0,8850 0,9034
-
-- ---
о 0,0022 0,0015 0,0004 0,0001 0,0001
1 0,0202 0,0155 0,0054 0,0022 0,0013 0,0008
4 2 0,0910 0,0776 0,0401 0,0245 0,0162 0,0116
3 0,2728 0,2587 0,2009 0, 1623 О, 1355 0, 1162
4 0,6138 0,6467 0,7532 0,8109 0,8469 0,8714
-
--
о 0,0011 0,0007 0,0001
1 0,0096 0,0068 0,0016 0,0006 0,0002 0,0001
5 2 0,0432 0,0338 0,0123 0,0057 0,0031 0,0019
3 О, 1296 О, 1128 0,0617 0,0382 0,0259 0,0187
4 0,3916 0,2819 0,2311 О, 1911 0, 1618 О, 1399
5 0,5249 0,5640 0,6932 0,7644 0,8090 0,8394
-
--
о 0,0006 0,0003
1 0,0054 0,0035 0,0006 0;0002 0,0001
2 0,0242 0,0175 0,0045 0,0016 0,0007 0,0004
6 3 0,0725 0,0582 0,0226 0,0108 0,0059 0,0036
4 0, 1632 О, 1454 0,0845 0,0539 0,0370 0,0269
5 0,2936 0,2906 0,2537 0,2154 0, 1851 О, 1615
6 0,4405 0,4845 0,6341 0,7181 0,7712 0,8076
-
--
о 0,0004 0,0002
1 0,0034 0,0021 0,0003
1
0,0001
2 0,0154 0,0103 0,0019 0,0005 0,0002 0,0001
7 3 0,0463 0,0344 0,0096 0,0035 0,0016 0,0009
4 0, 1042 0,0859 0,0358 0,0177 0,0099 0,0060
5 0, 1875 О, 171 8 О, 1075 0,0706 0,0493 0,0362
6 0,2812 0,2863 0,2688 0,2353 0,2054 О, 1810
7 0,3616 0,4090 0,5761 0,6723 0,7336 0,7758
-
--
о 0,0003 0,0001
1 0,0024 0,00 13 0,0001
2 0,0110 0,0068 0,0009 0,0002 0,0001
3 0,0329 0,0227 0,0046 0,00 13 0,0005 0,0002
8 4 0,0740 0 , 0568 0,0172 0,0066 0,0030 0,0015
5 0, 1333 О, 1137 0~0517 0,0264 0,0150 0,0093
6 0, 1999 0, 1895
1
О, 1292 0,0877 0,0624 0,0463
7 0,2570 0,2708 0,2770 0,2508 0,2227 0, 1985
8 0,2892 0,3383 0,5193 0,6270 0,6963 0,7442
23-1444
353

Вероятности Р1< системы массового обслужи
k
О,1
0,25
0,50
0,75
1
2
о
0,9031 о, 7711 0 , 5831 0,4330 0,3150 0,0753
1
0,0903 0, 1930 0,2923 0,3248 0,3150 О, 1506
0,5
00
~Рп 0,0066 0,0359 0, 1146 0,2422 0,3700 0,7741
lг=2
--
о
0,9040 0,7760 0,5964 0,4560 0,3460 О, 1106
1
0,0904 О, 1938 0,2995 0,3420 0,3460 0,2212
0,75 ""~P1i 0,0056 0,0302 0, 1041 0,2020 0,3080 0,6682
k=2
-
-
о
0,9053 0,7789 0,6072 0,4730 0,3692 О, 1360
1
0,0905 О, 1951 0,3038 0,3548 0,3692 0,2720
11
00
~P1i 0,0042 0,0260 0,0890 0, 1722 0,2616 0,5920
lг=2
о
0,9062 0,7862 0,6291 0,4900 0,4151 О, 1979
1
0,0906 О, 1969 0,3138 0,3675 0,4151 0,3958
200
~P1i 0,0032 0,0179 0,0571 0, 1425 О, 1698 0,4063
lг=2
--
о
0,9086 0,7963 0,6558 0,5550 0,4773 0,2942
1
0,0909 О, 1988 0,3281 0,4162 0,4773 0,5884
10
""
~Рп 0,0005 0,0049 0,0161 0,0288 0,0454 О, 1174
ll=2
--
о
0,9048 0,7786 0,6044 0,4671 0,3592 0, 1174
1
0,0905 0 , 1946 0,3022 0,3503 0,3592 0,2348
0,5
2
0,0045 0,0241 0,0756 0, 1313 0, 1796 0 , 2348
""
~Рп 0,0002 0,0027 0,0178 0,0513 0, 1020 0,4130
!г=З
о
0,9048 0,7788 0,6055 0,4704 0,3690 0, 1292
1
0,0905 0, 1947 0,3027 0,3528 0,3690 0,2584
2 0,75
2
0,0045 0,0241 0,0757 О, 1322 0, 1845 0,2584
00
~ Рп 0,0002 0,0024 0,0161 0,0446 0,0775 0,3540
!г=З
о
0,9050 0,7791 0,6064 0,4726 0,3704 О, 1412
1
0,0905 0, 1948 0,3032 0,3544 0,3704 0,2824
1
2
0,0045 0,0241 0,0758 0,1328 0, 1852 0,2824
00
~P1i
0,0020 0,0146 0,0402 0,0740 0,2940
lг=З
354

Таблица 5
вания с ограниченнь:м в~;еменем ожидания
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
0,0149
0,0027
0,0005
~"' -·
0,0001
0,0449
0,0107
0,0023
0,0004
0,0001
0,9402
0,9866
0,9972
0,9995
0,9999
1,0
0,0328
0,0095
0,0027
0,0008
0,0002
0,0001
0,0985
0,0379
0,0135
0,0045
0,0015
0,0004
0,8687
0,9526
0,9838
0,9947
0,9983
0,9995
0,0503
0,0185
0,0068
0,0025
0,0009
0,0003
0, 1510
0,0738
0,0339
0,0149
0,0064
0,0027
О, 7987
0,9077
0,9593
0,9826
0,9927
0,9970
0, 1016
0,0540
0,0290
0,0163
0,0092
0,0052
0,3048
0,2160
О,1450
0,0979
0,0639
0,0414
0,5936
0,7300
0,8260
0,8858
0,9269
0,9534
0,2021
О, 1478
0, 1125
0,0879
0,0700
0,0567
0,6063
0,5912
0,5625
0,5272
0,4899
0,4533
О, 1916
0,2610
0,3250
0,3849
0,4401
0,4900
0,0315
0,0073
0,0015
0,0003
0,0001
0,0944
0,0294
0,0080
0,0018
0,0004
0,0001
0, 1417
0,0588
0,0199
0,0053
0,0013
0,0003
Ы·~·1
0,7324
0,90,15
0,9706
0,9926
0,9982
0,9996
0,0383
0,0134
0,0041
0,0012
0, 0004
0,0001
О, 1150
0,0534
0,0204
0,0072
0,0025
0,0008
О, 1724
О, 1069
0,0509
0,0216
0,0086
0,0032
0,6743
0,8263
0,9246
0,9700
0,9885
0,9959
0,0505
(),0187
0,0068
0,0025
0,0009
0,0003
О,1514
0,0749
0,0342
0,0150
0,0064
0,0027
0,2270
0, 1498
0,0855
0,0449
0,0224
0,0108
0,5711
0,7566
0,8735
0,9377
0,9703
0,9862
355

а
k
0,1
0,25
0,50
0,75
1
2
о
0,9050 о' 7794 1 о. 6093 0,4782 0,3776 о, 1543
1
0 ,0905 о .1948 о .3046 0, 3586 0,3776 0,3086
2
2
0,0045 0,0241 0,0762 О, 1344 О, 1888 0,3086
00
~ р,,
0,0017 0,0099 0,0288 0,0560 0,2285
2
k=З
--
о
0,9050 0, 7803 0,6 134 0,4883 0,3921 О , 1838
1
0,0905 0, 1951 0,3067 0, 3662 0,3921 0,3676
10
2
0 ,0045 0,0242 0,0767 '0, 1372 О, 1960 0,3676
00
~Рн
0,0004 0 ,0032 0,0083 0,0198 0,0810
k=З
--
о
0,9085 О, 7701 0,6061 0,47 29 0, 3667 О, 1297
1
0,0908 О, 1908 0,3029 0, 353 1 0,3667 0,2594
2
0,0005 0, 0332 0 , 0758 О, 1334 О, 1834 0,2594
0,5
3
0,0002 0,0045 0,0126 0,0326 0 , 06 11 О, 1769
00
~Pk
0,0014 0,0026 0,0080 0,0221 О, 1746
1<=4
--
о
0,9085 0,770[ 0,6061 0,4729 0,3675 О, 1337
1
0,0908 О, 1908 О,3029 0,3531 0,3675 0,2674
2
0,0005 0, 0332 О,0758 О, l 334 О, 1838 0,2674
0,75
3
0 , 0002 0, 0045 О,0126 0,0326 0,0613 О, 1782
00
~Рн
0,0014 0,0026 0,0080 0 , 0199 О, 1533
k=4
--
о
0,9085 о, 7701 0,6061 0,4729 0,3681 О, 1365
1
0,0908 О, 1908 0,3029 0,3531 1 0,3681 0,2730
2
0,0005 0, 0332 0,0758 О, 133 4 О, 184 1 0,2730
31
3
0,0002 0,0045 0,01 26 0,0326 1 0,0614 О, 1820
00
0,0080 1 0,0 183
~Рн
0, 0014 0,0026
О, 1355
k=4
--
о
0,9085 0,7701 0,6061 0 ,4729 0,3697 О, 1418
1
0,0908 О, 1908 0,3029 0,3531 0,3697 0,2836
2
0 , 0005 0, 0\332 0,0758 О, 1334 О, 1849 0,2836
2
з
0,0002 0,0045 0,0126 0,0326 0,06 16 О, 1890
00
~P1i
0,0014 0,0026 0,0080 0,0141 О, 1020
k=4
о
0,9085 0,770 1 0,606 1 0,4729 0, 3733 О, 1525
1
0,0908 О, 1908 0,3029 0, 3531 0,3733 0,3050
2
0,0005 0,0332 0,0758 О, 1334 О, 1861 0,3050
10
3
0,0002 0 ,0045 0,0126 о ,0326 1 о ,0619 0,2033
00
~Рн
0,0014 0,0026 о' 0080 о' 0054 0,0342
k=4
356

Продолжение табл. 5
3
5
6
7
в
0,0694
0,0338
0,0164
0,0084
0, 0044
0,0023
0,2083
О, 1353
0,0818
0,0503
0,0305
0,0184
0,3124
0,2706
0,2045
0, 1509
О, 1068
0,0736
0,4099
0,5603
0,6973 1 0,7904
0,8583
0,9057.
О, 1021
0,0627
0,0398
0,0270
0,0191
0,0139
0,3063
0,2510
О, 1990
О,1619
О, 1336
0, 1110
0,4594
0,50 19
0,4975
0,4856
0,4677
0,4438
О, 1322
0, 1844
0,2637
0,3255
0,3796
0,431 3
0, 0421
0,0121
0,0031
0,0007
0,0002
О, 1261
0,0482
0,0154
0,0043
0,0011
0,0003
0, 1892
0,0965
0,0384
0,0 128
0,0037
0,0010
0, 1892
О,1287
0,0640
0,0256
0,0087
0,0027
0,4534
0,7145
0,8791
0,9566
0,9865
0,9960
0,0468
0,0158
0,0051
0,0016
0,0005
0,0001
О, 1404
0,0630
0,0254
0,0096
0,0034
0,0012
0,2106
О, 1261
0,0636
0,0288
0,0120
0,0047
0,2106
О, 1682
0, 1060
0,0576
0,0280
0,0124
0,3916
0,6269
0,7999
0,9024
0,9566
0,9816
0,0504
0,0 185
0,0068
0,0025
0,0009
0,0003
0, 1512
0,0738
0,0339
0,0149
0,0064
0,0027
0,2268
О, 1477
0,()847
0,0448
0,0224
0,0108
0,2262
О, 1970
о, 1411
0,0896
0,0523
0,0287
0,3448
0;5630
0,7335
0,8482
0,9188
0,9575
0,0580
0,0250
0,0113
0,0053
0,0026
0,0013
0, 1740
0, 1000
0,0565
0,0319
0,0181
0, 0103
0,2610
0, 1998
0, 1412
0,0957
0,0633
0,0412
0,2610
0,2665
0,2354
О, 1914
0, 1477
О, 1200
0,2460
0,4087
0,5556
0,6757
0,7683
О,8272
0,0706
0,0363
0,0204
0,0121
0,0076
0,0050
0,2116
0, 1453
О, 1018
0,0725
0,0531
0,0397
0,3175
0,2906
0,2546
0,2176
О, 1859
0, 1588
0,3175
1
0,3876
0,4243
0,4352
0,4337
0,4233
0,0828
О, 1402
0, 1989
0,2626
0,3197
0,3732
1
1
357

k
0,1
0,25
0,50
0,75
1
2
о
0,90481 0,77882 0,60654 0,47230 0,36769 о, 13383
1
0,09048 о, 19471 0,30327 0,35422 0,36769 0,26766
2
0,00452 0,02433 0'07582 О, 13283 О, 18384 0,26766
0,5
3
0,00015 0,00202 0 ,0 1264 0,03321 0,06128 О, 17844
4
0,00001 0,00012 0,00158 0,00623 0,01532 0,08922
со
~P1i 0,00003 0,00003 0,00015 0, 00121 0,00418 0,06319
k=5
--
о
0,90481 0,77882 0,60654 0,47234 0,36780 О, 13468
1
0,09048 О, 19471 0,30347 0,35426 0,36780 0,26936
2
0,00452 0,02433 0,07582 0, 13285 О, 18390 0,26936
0,75
3
0,00015 0,00202 0,01264 0,03321 0,06130 О , 17957
4
0,00001 0,00012 0 , 00158 0,00622 0,01533 0,08979
со
~P1t 0,00003 0,00008 0,00015 0,00112 0,00387 0 ,05724
k=5
о
0,90481 0,77882 0,60654 0,47237 0,36789 0, 13548
1
0,09048 О, 19471 0,30327 0,35428 0,36789 0,27 096
2
0,00452 0,02433 0,07582 о . 13285 О, 18394 0,27096
41
3
0,00015 0,00202 0,01264 0,03321 0,06132 О, 18064
4
0,00001 0,00012 0,001 58 0,00623 0,01533 0,09032
со
~ P1t 0 , 00003 0,00008 0,00015 0, 00106 0,00363 0,05164
k=5
--
о
0,90481 о. 77882 0,60658 0,47248 0,36816 0, 13719
1
0,09048 0 , 19471 0,30329 0,35436 0,36816 0,27438
2
0,00452 0,02433 0,07582 О, 13289 О, 18408 0,27438
2
3
0,00015 0,00202 0,01264 0,03322 0,06136 О, 18292
4
0,00001 0,00012 0,00158 0,00623 0,01534 0,09146
со
~P1t 0,00003 0,00008 0,00009 0,00082 0,00290 0,03967
k=5
--
о
0,90481 0,77882 0,60660 0,47272 0,36881 о, 14099
1
0,09048 О, 19471 0,30330 0,35454 0,36881 0,28198
2
0,00452 0,02433 0,07582 о, 13295 о, 18440 0,28198
10
3
0,00015 0,00202 0,01264 0,03324 0,06147 О, 18798
4
0,00001 0,00012 0,00155 0,00623 0,01537 0,09399
со
~P1t 0,00003 0,00008 0,00009 0,00032 0,00115 0,01308
k=5
1
358

Продолжение табл. 5
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
в
0 , 04706 0,01542 0,00459 0,00128 0,00031
0,00012
о, 14118
0,06169 0,02293 0 , 00767 0,00214 0,00093 .
0,21177
О, 12338
0,05733 0,02300 0 , 00751
0,00371
0,21177
О, 16451
0,09556 0,04600 0,01751
0,00990
О, 15882 О, 16451
О, 11945 0,06899 0,03065 0,01978
0,22940 0,47049 0,70014 0,85306 0,94188 0,96556
1
0,04864 0,01717 0 , 00585 0,00193 0 , 00062 0,00019
О, 14592 0,06869 0 , 02926 0, 01161
0,00434 0,00156
0,21888
О , 13738 0,07316 0,03482 0,01519 0,00625
0,21888
О, 18317 0,12193
0,06964
0,03544 0,01666
О, 16416
О, 18317
О, 15242
О, 10446 0,06202 0,03333
0,20352 0,41042 0,61738
о, 77754 0,88239 0,94201
0,49978
0,01847 0,00677
1
0,00250 0,00092 0,00034
0, 14993
0, 07386 0,03387 0,01501
0,0064 2 0,00271
0,22490
0,14773
0,08468 0,04501
0,02247 0,01082
0,22490
О, 19698 О, 14114
0,09003 0,05243 0,02886
О, 16868 О, 19698 0,17642
О, 13504 0,09176 0,05773
О, 18 161
0,46598
0, 55712 0,71241
0,82600 0,89954
0,05282
0,02132 0 , 00899 0,00398 0,00181
0,00085
О, 15845 0,08529
0,04494 0,02389 0,01269 0,00681
0,23768
О, 17058 О, 11235 0,07167 0,04441
0,027 23
0,23768
0,22745 0,18725
О, 14333
о , 10362 0,07262
О, 17826
0,22745 0 , 23407 0,21500 О, 18 132 0,14525
О, 13511
0, 26791
0,41240
0 , 54213 0,65615 0 , 74724
0,05815
0,02635 0,01300
0,00689 0,00389 0 , 00230
о, 17445
О, 10540 0,06502 0,04139 0,0272U 0,01840
0,26168
0,21081
О, 16255
О, 1241 8 0,09521
0,07362
0,26168 0,28109 0,27091
0,24836 0 , 22216
О, 19631
О, 19626 0,28109 0,33865
0,37254 0,38878 0,39263
0,04778 0,09526
О, 14987 0,20664 0,26276 0,31674
359

0,1
0,25
0,50
0, 75
1
2
1
о
0,9048 0,7788 0,6065 0,4724 0,3678 1 О, 1350
1
1
0,0905 0, 1947 0,3033 0,3543 0,3678 0,2700
2
0,0045 0,0243 0,0758 0, 1329 О, 1839 0,2700
3
0,0002 0,0020 0,0 126 0,0332 0,0613 0, 1800
0,5
4
0,0002 0,0016 0,0062 0,0153 0,0900
5
0,0002 0,0009 0,003 1 1 0,0360
со
~ P1t
0,0001 о.0008 о.о190
k=6
--
о
0,9048 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 0, 1352
1
0,0905 0, 1947 0,3033 0,3543 0,3679 0,2704
2
0,0045 0,0243 0,0758 0, 1329 О, 1839 0,2704
3
0, 0002 0,0020 0,0126 0,0332 0,0613 0, 1803
0,75
4
0,000 2 0,00 16 0,0062 0,0153 0,0901
5
0 ,0002 0,0009 0,0031 0,0361
со
~ P1t
0,0001 0,0006 0,0175
k=R
--
о
0,9048 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 0, 1354
1
0,0905 О , 1947 0,3033 0,3543 0,3679 0,2708
2
0,0045 0,0243 0,0758 О, 1329 0, 1839 0,2708
5
3
0,0002 0,0020 0,0126 0,0332 0,0613 0, 1805
1
4
0,0002 0,00 16 0,0062 0,0153 0 , 0903
5
0,0002 0,0009 0,0031 0,0361
со
~ P1t
0,0001 0,0006 0,0161
k=6
-
-
о
0,9048 0,7788 0,6065 0,4724 0,3679 0, 1358
1
0,0905 0, 1947 0,3033 0,3543 0,3679 0,2716
2
0,0045 0,0243 0,0758 О, 1329 О, 1840 0,2716
3
0,0002 0,0020 0,0126 0,0332 0,0613 0, 1811
2
4
0,0002 0,0016 0,0062 0,0153 0,0905
5
0,0002 0,0009 0,0031 0,0362
00
~P1t
0,0001 0,0005 0,0132
k=G
-
-
о
0,9048 0,7788 0,6065 0,4724 0,3680 0, 1367
1
0,0905 0, 1947 0,3033 0,3543 0,3680 0,2734
2
0,0045 0,0243 0,0758 0, 1329 О, 1840 0,2734
3
0,0002 0,0020 0,0 126 0,0332 0,06 13 0, 1826
10
4
0,0002 0,00 16 0,0062 0,0 153 0 , 0911
5
0,0002 0,0009 0,0031 0,0365
со
~ P1t
0,0001 0,0003 0,0066
/г=:: З
360

Ilродол}!<ение табл. 5
"
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
&
0,0490
0,0171
О,С057
0,0017
0,0005
0,0001
0, 1469
0,0685
0,0283
0,0104
0,0034
0,0010
0,2203
0, 1370
0,0745
0,0312
0,0120
0,0040
0,2202
0, 1827
О, 1179
0,0625
0,028 1
0,0108
0, 1652
О, 1827
О, 1474
0,0937
0,049 1
0,0215
q, 0991
О, 1462
О, 1474
О,1124
0,0628
0,0345
0,0992
0,2658
0,4788
0,6881
0,8381
0,928 1
0,0495
0,0179
0,0063
0,0022
0,0007
0,0002
О, 1484
0,0715
0,03 17
0,0131
0,005 1
0,001 9
0,2225
О, 1430
0,0793
0,0392
0,0179
0,0076
0,2225
О, 1906
О,1322
0,0785
0,04 17
0,0203
О, 1669
О, 1906
О, 1652
О, 1177
0,0730
0,0407
О,1001
О, 1525
О, 1652
О, 1412
О, 1022
0,065 1
0,0901
0,2339
0,4201
0,608 1
0,7594
0,8642
0,0498
0,0184
0,0068
0,0025
0,0009
0, 0004
О, 1495
0,0735
0,0339
0,0150
0,0066
0,0030
0,2243
0, 1470
0,0847
0,0450
0,0229
0,011 9
0,2243
О, 1959
О,1411
0,0901
0,0535
0,031 8
0, 1682
О, 1959
О,176~
О, 1351
0,0936
0,0636
О, 1009
О, 1567
О,1764
О, 1621
О,1311
О,1018
0,0830
0,21 26
0,3808
0,5502
0,69 14
0,7875
0,0509
0,0196
0,0079
0,0033
0,00 14
0,0008
О, 1528
0,0785
0,0394
0,0196
0,0099
0,0060
0,2292
О, 1570
0,0985
0,0589
0,0345
0,024 2
0,2292
0,2093
О, 1642
О,1178
0,0805
0,0645
0, 1719
0,2093
0,2052
О, 1767
о, 1408
О, 1290
О, 1031
О, 1674
0,2052
0,2120
О, 1911
0,2064
0,0629
О, 1589
0,2796
0,4117
0,5358
0,5691
0,5335
0,0223
0,010 1
0,0049
0,0025
0,00 14
О, 1600
0,0891
0,0503
0,0293
0,0177
0,01 11
0,2407
О, 1782
О, 1258
0,0879
0,0620
0,0443
0,2407
0,2376
(),2096
О, 1759
О, 1446
0, 1181
О, 1805
0,2376
0,2620
0,2638
0,2530
0,2362
О, 1083
О, 1900
0,2620
0,3166
0,3542
0,3779
0,0173
0,0452
0,0802
О, 1216
О, 1660
0,2110
3GJ

Вероятности отказа системы с ограни
а.
!1
~
1 0,25
1
1
1
1
1
1
1
0,1
0,5
О, 75
1
2
3
4
5
0,5 0,032 0,084 О, 164 0,245 0,3i2 0,490 0,614 0,710 0, 755
0,75 0,039 0,095 О, 190 0 ,272 0,341 0,520 0,639 0,739 0,779
1
0,045 О, 105 0,210 0,294 0,367 0,555 0,670 0,754 0,793
12
0,056 о , 125 0,234 0,335 0 ,420 0,604 0,700 0,763 0,800
3
0,070 О, 140 0,256 0,360 0,438 0,610 0,708 0,771 0,807
5
0,080 О , 165 0,285 0,390 0,460 0,630 0,720 0 ,779 0,81 3
10
0,090 О , 190 0,320 0,405 0,470 0, 632 0,726 0,787 0,819
-
--
----
.--
-
-
-
-
-----
-
0,5
0,004 0,022 0,046 0,074 0,225 0,370 0,506 0,567
0,75
0,006 0,025 0,059 0,095 0,248 0,396 0,530 0,590
1
0,007 0 ,032 0,067 О, 103 0,260 0,408 0,540 0,608
22
0,010 0,043 0,089 О, 133 0,288 0,428 0 ,550 0,610
3
0,013 0,051 0,099 О, 147 0 ,305 0,440 0,562 0,620
5
0,020 0,060 о, 115 О, 165 0,326 0,457 0,576 0,630
10
0,020 0,061 О, 120 О, 180 0,340 0,477 0,595 0,645
-
--
-- --
-
-
-------- -
-
-
--
0,5
0,007 0,015 0,080 О, 180 0, 300 0,405
0,75
0,012 0,020 0 ,087 О, 190 0,3 15 0,435
1
0,015 0,023 0,095 0,200 0,330 0,455
32
0 ,016 0,029 О, 115 0,225 0,361 0,466
3
0,020 0,039 О, 123 0,242 0,378 0,481
5
0,023 0,046 О, 130 0,255 0,390 0,500
10
0,027 0,052 О, 150 0;281 0 ,430 0,520
·-
----
-------- ---
-
---
-
0,5
0,002 0,025 0,075 О, 148 0,230
0,75
0,003 0,035 0,090 О, 175 0, 257
1
0,004 0,038 О, 105 О, 195 0,280
42
0 , 007 0,050 О, 130 0,227 0,312
3
0,008 0,060 О, 140 0,244 0,320
5
0,009 0,068 О, 160 0,262 0,340
10
0,010 0,080 О, 175 0,285 0,365
-
------ ---------
-
---
-
0,5
0,007 0,034 0,080 0, 146
0,75
0,009 0,043 0,092 О, 156
1
0,011 0,050 О, 103 о, 176
52
0,015 0,073 О, 140 0,224
3
0,020 0,080 О, 165 0,235
5
1
0,024 0,095 0 , 167 0,245
10
0,029 О, 105 О, 180 0,257
362

Таблица 6
ченным временем ожидания в очереди
6
j7
:1
8
1
9
1
10
1
15
1
2•)
1
1
25
1
за
0,790 0,818 0,840 0,855 0,870 0,901 0,926 0,945 0,960
0,810 0,833 0,855 0,868 0,885 0,910 0,940 0,955 0,965
0,821 0,846 0,866 0,880 0,895 0,920 0,950 0,960 0,967
0,830 0,850 0,870 0,882 0,896 0,924 0,950 0,960 0,967
0,835 0 ,856 0,876 0,886 0,900 0,925 0,950 0,960 0,967
0,840 0,860 0,879 0 , 890 0,902 0,930 0,950 0,961 0 ,967
0,844 0,863 0,880 0 ,894 0,904 0,930 0,950 0,962 0,968
·--- -
-
-
-
-
-
---
-
-
-
0,620 0,665 0 , 700 0,730 0,760 0,816 0,860 0,897 0,923
0,655 0,698 0,73 1 0,760 0,785 0,832 0,873 0,904 0, 926
0,665 0,710 0,750 0,780 0,800 0,843 0,885 0,908 0,930
0,667 0,7[5 0,754 0,782 0;80 1 0,860 0,895 0,9 15 0,935
0,670 0 , 717 0 , 755 0,785 0,802 0,865 0,899 0,920 0,935
0,680 0,725 0,760 0,789 0 ,805 0,866 0, 899 0,920 0 ,936
0,685 0,727 0,766 0,790 0,808 0,875 0,903 0,921 0,936
----- -- -
-
---
-
--
0,480 0 , 530 0,567 0,600 0,623 0,710 0,788 0,840 0,886
0,514 0 ,565 0,601 0 , 633 0,652 0,735 0,799 0,85 1 0,890
0,535 0,585 0,623 0,650 0,673 0,750 0,810 (1,860 0,895
0 , 540 0,590 0,625 0,658 0,68 1 0,771 0,835 0,878 0 ,896
0,550 0,595 0,636 0,666 0,690 0,774 0,845 0,879 0 ,897
0,567 0,615 0,656 0,683 0,706 0,782 0,848 0,880 0,900
0 , 580 0,625 0 , 658 0,690 0,7 [6 0,795 0,853 0,880 0,900
------ -
-
-
---
-
-
-
0,315 0,390 0,460 0,5 15 0,560 0,667 0, 740 0 ,802 0,850
0,340 0,413 0,487 0,540 0,585 0,680 0,755 0,8 10 0,855
0,360 0,434 0,503 0,555 0,600 0 , 695 0,763 0,820 0,858
0,390 0,460 0,5 15 0,565 0,608 0,715 0,785 0,830 0,864
0,395 0,465 0,525 0,575 0,620 0,720 0,790 0,83 1 0,866
0,411 0,475 0,538 0 ,590 0,635 0,730 0, 800 0,840 0, 868
Q,434 0,495 0,549 0,600 0,645 0,740 0, 802 0,841 0, 877
--
;_;__
---- -- -- --
0,2 16 0,283 0,350 0,405 0,460 0,560 0,654 0,740 0,815
0,233 0,306 0 ,378 0,426 0,478 0,585 0,673 0,757 0,820
0,250 0,323 0,398 0,443 0,490 0,603 0, 689 0,767 0, 824
0,290 0 , 350 0,410 0 , 465 0,514 0,630 0,790 0 ,795 0,830
0,300 0,360 0,42 1 0 , 475 0,519 0,640 0,746 0,800 0, 832
0,310 0,375 0,435 0,487 0,527 0,655 0,750 0,800 0,835
0,325 о ,405 0, 455 0,505 0,539 U,665 0,754 0,801 0,835
363

Таблица 7
Вероятность Р1< системы массового о5служивания с отказами
при потоке групповых заявок
о 0,862 0,495 0,273 0,0 18 0,004 0,001
з 2 1 0,086 0,248 0,273 0,092 0,035 0,0 11 0,006
2 0,047 О, 185 0,273 0,276 О, 195 О, 119 0,084
3 0,005 0,072 О, 18 1 0,614 0,766 0,869 0,910
-
-
--
---
---
--- -
-
-
-
-
-
---
о О,8бl Q,479 0,245 0,009 0,001
1 0,086 0,240 0,245 0,043 0,010 0,002 0,001
2 2 0,047 О, 180 0,245 О, 13 1 0,057 0,020 0,011
3 0,005 0,070 О, 163 0,29 1 0,225 О, 146 О, 112
4 0,00 1 0,031 О, 102 0,526 0,707 0,832 0,876
4-
----- ---- --- --- ------
о 0,834 0,428 0,211 0,008 0,001
1 0,084 0,2 14 0,211 0,040 0 , 010 0,002 0,001
3 2 0,046 О, 161 0,2 11 О, 120 0,055 0,020 0,010
3 0,032 О, 134 0,2 11 0,281 0,221 О, 145 О, 106
4 0,004 0,063 О, 156 0,551 0,71 3 0,833 0,883
-
-
-
-
--
-
--- --- -
----- -
--
о 0,860 0,460 0,233 0,005
1 0,086 0,23 1 0,233 0,023 0,003
2 2 0, 047 О, 172 0,233 0,070 0,019 0,004 0,002
3 0,004 0,067 О, 154 О, 156 0,074 0,030 0,015
4 0,002 0,050 0,097 0,307 0,240 О, 171 О, 128
5 0,00 1 0,020 0,050 0,439 0,664 0,795 0,885
-
-- --
-
------ -
-
-
--- -
--
о 0,834 0,413 О, 189 0,004 O,COl
1 0,083 0,206 О, 189 0,021 0,003 0,00 1
3 2 0,046 О, 155 О, 189 0,061 0,01 8 0,003 0,001
5
3 0,032 О, 129 О, 189 О , 144 0,074 0,029 0,016
4 0,004 0,062 О, 140 0,283 0,240 О, 167 О, 126
5 0,001 0,035 О, 104 0,487 0,664 0,800 0,857
-
-
-
-
------
-- --
-
------
о 0,816 0,383 О, 172 0,004 0,001
1 0,082 О, 192 О, 172 0,020 0,003 0,00 1
4 2 0,045 О, 144 О, 172 0,060 0,018 0,004 0,001
3 0,029 О, 120 О, 172 О, 140 0,073 0,030 0,015
4 0,024 О, 105 О, 172 0,279 0,238 О, 164 О, 126
5 0,004 0,056 О, 140 0,497 0,667 0,80 1 0,858
364

Пр одолжение таб л. 7
п 1т 1k 1---,-------,---"'-----,-----------,--
0,11о,51
s
101~о
1зо
1
о 0,838 0,473 0,227 0,003
1 0,083 0,236 0,227 0,015 0,001
2 0,048 0, 177 0,227 0,044 0,008 0,001
2 3 0,030 0,069 0, 151 0,098 0,032 0,007 0,003
4 0,001 0,031 0,095 0, 191 0, 102 0,041 0,022
5
0,010 0,049 0,274 0,260 О, !89 0, 145
6
0,004 0,014 0,375 0,597 0,762 0,830
-
--
--
----
-
-
---- --
о 0,833 0,406 О, 176 0,002
1 0,083 0,203 О, 17 6 0,016 0,001
2 0,046 0, 152 О, 176 0,035 0,007 0,001
3 3 0,032 О, 127 О, 176 0,082 0,028 0,007 0,002
4 0,004 0,061 0, 132 О, 160 0,091 0,039 0,025
5 0,002 0 ,034 0,097 0,277 0,253 0, 185 О, 144
6
0,017 0,067 0,428 0,620 0,768 0,829
6-
-- -------
-
-- ----
о 0,813 0,370 О, 155 0,002
1 0,081 0, 185 О , 155 0,017 0,001
2 0,045 0, 139 О, 155 0,032 0,007 0,001
4 3 0,031 О, 116 О, 155 0,077 0,028 0,007 0,003
4 0,024 0, 101 О, 155 0, 154 0,089 0,039 0,021
5 0,004 0,054 О , 124 0,278 0,250 О, 186 0, 143
6 0,002 0,035 0, 101 0,450 0,625 о. 767 0,833
-
--
------
-- --
-- --
о 0,799 0,351 0, 146 0,002
1 0,080 О, 176 О, 146 0,008 0,001
2 0,044 0, 132 О, 146 0,033 0,007 0,001
5 3 0,031 0, 110 0, 146 0,076 0,028 0,007 0,002
4 0,024 0,096 О, 146 О, 152 0,089 0,039 0,021
5 0,020 0,086 О, 146 0,273 0,250 О, 184 О, 143
6 0,002 0,049 О, 124 0,456 0,625 0,769 0,834
-
-- ----
---
----
---
-
о 0,839 0,473 0,225 0,002
1 0,084 0,236 0,225 0,010 0,001
2 0,046 0, 177 0,225 0,041 0,004 0,001
7 2 3 0,028 0,069 0, 150 0,068 0,014 0,003 0,001
4 0,002 0,031 0,094 0, 133 0,046 0,018 0,004
5 0,001 0,010 0,048 0, 190 О, 118 0,086 0,027
6
0,003 0,023 0,261 0,271 0,348 О, 158
7
0,001 0,010 0,305 0,546 0,544 0,810
365

Продолжение табл. 7
1
"'
п
1
т
k
1
1
1
1
1
1
О,1
0,5
1
5
10
20
30
1
1
1
1:
о 0,831 0,402 О, 168 0,002
,
1 0,083 0,201 о. 168 0,013 0,001
2 0,046 О, 151 О, 168 0,024 0,003 0,001
3 3 0,032 0, 126 О, 168 0,051 0,012 0,002 O,OOI
4 0,004 0,060 0, 126 0,099 0,048 0,010 0,004
5 0,002 0,034 0,092 0, 163 О, 100 0,048 0 , 027
6 0,001 0,018 0,065 0,267 0,258 о, 199 О, 157
7 0,001 0,008 0,045 0,381 0,578 0,740 0,81 1
-
-- --------
-- --
---
о 0,814 0,368 О, 144 0,001
1 0,081 О, 189 О, 144 0,007 0,001
2 0,045 О, 134 0, 144 0,021 0,003 0,001
4 3 0,030 О, 112 О, 144 0,049 0,011 0,002 0,00 1
4 0,023 0,098 0, 144 0,099 0,037 0,010 0 , 005
5 0,004 0,062 О, 115 О, 176 0, 103 0,048 0,027
6 0,002 0,033 0,093 0,288 0,257 0,197 о, 157
7 0,001 0,004 0,072 0,359 0,588 0,742 0 ,810
7-
-
------ --
---- ---
о 0,797 0,339 о, 133 0,001
1 0,079 О, 180 О, 133 0,006 0,001
2 0,044 О, 137 О, 133 0,019 . 0,003 0,001
5 3 0,030 О, 116 О, 133 0,045 0,011 0,002 0,00 1
4 0,024 0,093 О, 133 0,089 0,037 0,010 0 ,003
5 0,020 0,083 О, 133 О, 160 О, 102 0,048 0,027
6 0,004 0,038 О, 114 0,266 0,256 О, 199 0,157
7 0,002 0,014 0,098 0,414 0,590 0,740 0,812'
-
----- ---- ---------
о 0,786 0,325 О, 125 0,001
1 0,079 О, 162 О, 125 0,006 0,001
2 0,043 О, 122 О, 125 0,019 0,003 0,001
6 3 0,030 О, 102 о, 125 0,044 0,011 0,002 0,00 1
4 0,024 0,089 О, 125 0,088 0,037 0,010 0,004
5 0,019 0,080 О, 125 О, 159 О, 103 0,048 0,027
6 0,016 0,073 О, 125 0,265 0,257 О, 199 О, 157
7 0,003 0,047 О, 125 0,418 0,588 0,740 0,81},
-
-
----- --------
--
о 0,839 0,473 0,224 0,001
1 0,084 0,236 0,224 0,007 0,001
2 0,046 О, 177 0,224 0,021 0,002
3 0,030 0,069 О, 149 0,047 0,007 0,001
8 2 4 0,001 0,031 0,094 0,093 0,023 0,004 0,001
5
0,010 0,048 О, 133 0,058 0,017 0,00&
6
0,004 0,024 О, 183 О, 133 0,070 0,035·
7
0,010 0,213 0,263 о, 110 0,175
8
0,003 0,302 0,513 0,798 О, 78З;
366

Продолжение табл. 1
"
п
т
k
1
1
1
1
1
1
О,!
0,5
1
5
10
20
30
1
о 0,831 0,401 0, 164 0,001
1
1 0,083 0,201 О, 164 0,005 0,001
2 0,046 0, 150 О, 164 0,014 0,002
3 0,032 0, 126 0, 164 0,033 0,005 0,001 1
3 4 0,005 0,060 о, 123 0,065 0,017 0,003 0,00 1
5 0,002 0,034 0,090 О, 111 0 ,048 0,014 0,006
6 0,001 0,018 0,063 О , 176 О, 119 0,057 0,033
7
0,008 0,041 0,256 0,268 0,215 О, 173
8
0,002 0,027 0,339 0,540 0,710 0 ,787
-
-- -- ------
--
о 0,812 0,353 О, 137 0,001
1 0,081 О,176 О,137 0,004
2 0,045 О, 132 О, 137 0,013 0,001
3 0,031 О, 110 О, 137 0,030 0,005 0,001
4 4 0,024 0,097 О, 137 0,061 0,017 0,003 0,001
5 0,004 0,061 О, 110 О, 180 0,045 0,0 14 0,006
6 0,002 0,033 0,087 0, 176 О, 116 0,056 0,033
7 0,001 0,026 0,068 0,219 0,265 0,2 13 О, 172
8
0,012 0,050 0,316 0,551 0,713 0,788
-
-- --
--
--- --
о 0,796 0,332 О, 123 0,001
1 0,080 0, 166 О, 123 0,004
2 0,044 0, 124 0, 123 0,012 0,001
8
3 0,031 О, 104 О, 123 0,028 0,005 0,001
5 4 0,024 0,091 О, 123 0,055 0,016 0,003 0,001
5 0,019 0,082 О, 12 3 0,099 0,046 0,014 0,006
6 0,003 0,047 О, 103 О, 165 О , 115 0,057 0,033
7 0,002 0,033 0,086 0,259 0,264 0,213 О, 1 72
8 0,001 0,021 0,073 0,377 0,553 0,712 0,7 88
-
--
--
·
о 0,784 0,315 О, 115
l 0,078 О, 158 О, 115 0,004
2 0,043 О, 118 О, 115 0,012 0,001
3 0,030 0,097 О, 115 0,027 0,005 0,001
6 4 0,023 0,086 О, 115 0,054 0,016 0,003 0,001
5 0,019 0,078 О, 115 0,098 0,047 0,013 0,006
6 0,016 0,071 О, 115 0, 164 О, 114 0,059 0,033
7 0,004 0,044 О, 111 0,259 0,263 0,2 13 О, 172
8 0,002 0,033 0,084 0,382 0,554 0,71 l 0,788
-
-
-
-
----- -
о 0,775 0,305 О, 113
l 0,077 О, 152 О, 113 0,002
2 0,043 О, 114 О, l 13 0,012 0,001
3 0,030 0,096 О, 113 0,027 0,005 0,001
7 4 0,023 0,084 О, 11 3 0,054 0,016 0,002 0,001
5 0,019 0,075 О, 113 0,098 0,046 0,014 0,005
6 0,016 0,069 О, 113 О, 164 О, 115 0,057 0,026
7 0,014 0,064 О, 113 0,258 0,261 0,211 о, 134
8 0,003 0,041 0,096 0,385 0,556 0,715 0,834
367

п
3
--
4
5
--
6
--
'1
--
8
3G8
Таблица 8
Вероятности Ротн сист~мы с отказами при потоке
групповых заявок
171
2
3
4
5
6
8
2
3
4
5
6
8
2
3
4
5
6
8
2
3
4
5
6
8
2
·3
4
~5
'6
"3
2
3
4
5
6
8
0,1
10,51115110120130
0,028 О, 165 0,318
0,091 0,333 0,500
0,318 0,500 0,625
0,454 0,600 - 0,700
0,545 0,667 0,750
0,659 0,750 0,8 13
--
0,004 0,066 О, 184
0,041 О, 158 0,306
0,096 0,333 0,500
0,273 0,467 0,600
0,394 0,556 0,667
0,545 0,657 О, 750
-- --
0,001 0,055 0,099
0,015 О, 119 0,262
0,043 0,23 1 0,396
0,09 1 0,333 0,500
0,238 0,445 0,584
0,432 0,581 0,688
----
0,009 0,048
0,004 0,061 О, 176
0,025 О, 154 0,308
0,054 0,247 0,405
0,091 0,333 0,500
0,313 0,500 0,625
--
0,002 0,022
0,002 0,032 О , 116
0,010 О, 109 0,234
0,032 О, 181 0,341
0,059 0,260 0,436
0,204 0,416 0,562
----
0,001 0,009
0,001 0,015 0,072
0,003 0,066 О, 172
0,017 О, 127 0,274
0,038 О, 199 0,372
0,091 0,333 0,500
1
0,751 0,864
0,834 0,909
0,875 0,931
0,900 0 , 943
0,9 18 0,956
0,935 0,966
----
0,673 0,819
0,778 0,878
0,833 0,909
0,870 0,931
0,885 0,944
0,916 0,955
----
0,594 0,784
0,725 0,848
0,791 0,885
0,833 0,909
0,861 0,926
0,897 0,945
-- --
0,513 0,728
0,670 0,814
0,752 0,863
0,800 0,892
0,833 0,909
0,875 0,930
-- --
0,435 0,684
0,621 0,784
0,687 0,841
0,770 0,872
0,808 0,896
0,855 0,920
-- --
0,409 0,661
0,569 0,760
0,667 0,819
0,734 0,856
0,795 0,878
0,833 0,909
0,928
0,952
0,962
0,971
0,976
0,981
--
0,904
0,936
0,952
0,961
О, 968
0,977
--
0,881
0,921
0,940
0,952
0,961
0,970
--
0,853
0,904
0,930
0,942
0,952
0,961
---
0,860
0,889
0,916
0,935
0,947
0,956
--
0,853
0,873
0,905
0,922
0, 933
0,952
0,954
0,968
0,979
0,980
0,985
0,988
0,938
0,959
0,968
0,972
0,978
0,985
0,9 19
0,945
0,960
0,968
0,971
0,981
0,904
0,935
0,951
0,961
0,968
0,975
0,890
0,925
0,944
0,956
0,963
0,971
0,873
0,914
0,934
0,948
0,958
0,967

Продолжение табл. 8
п
171
О,1 1 0,5
5
10
20
30
1
2
0,004 0 , 384 0,652 J 0,830 0,858
3
0,006 0,046 0,510 0,730 0,856 0,903
9
4
0,001 0,040 0,128 0,634 0,794 0,891 0,926
5
0,008 0,086 0,217 0,704 0, 837 0,915 0,'942
6
0,023 О, 140 0,309 0,749 0, 870 0,929 0,951
8
0,064 0,273 0,454 0,814 0 ,880 0,947 0,963
---
-
---- ---
2
0,004 0,319 0 ,570 0,786 0,844
3
0,003 0,027 0,445 0 ,693 0,832 0,875
10
4
0,001 0,019 0,090 0,612 0 ,777 0,882 0,918
5
0,003 0,058 О, 169 0,670 0,817 0,903 О,'ЭЗ G
6
0,012 0, 107 0,254 0,723 0,841 0,922 0,946
8
0,044 О, 169 0,392 0,782 0,883 0,941 0,960
Таблица 9
Вероятность Р1, системы с отказами, когда поступающую
заявку обслуживают все свободные при5оры
п
1
k \--------.,.---,-- -,- -- -- --; -",-- - --,- - -- -.,.--
0,110,51
2
5
10
20
30
о
0,8560 0,5330 0,3330 О, 1670
2
1
0,0866 О, 2650 0,3330 0 , 3330
2
0 ,0414 0,2010 0 , 334] О, 50JO
---
-
-
----- --
о
0 , 8380 0 ,4570- 0,2500 О, !ООО
3
1
0,0840 0 ,2280 0 ,2500 0,2100
2
0,0460 0 ,17!0 0 ,2500 0,3000
3
0,0320 0 ,1440 0 ,2501 0,4000
---- --
-
-
-
--
о
0,8175 0,4060 0,2000 0 ,0667
1
0,0817 0 ,2030 0,2000 0 , 1330
4
2
0,0449 0, 1520 0,2000 0 ,2000
3
0,03 15 О, 1270 0,2000 0 ,2670
4
0,0244 0,1 120 0,2000 0,3333
-
---
-
-
---
-
--
о
0,8010 0 ,3700 О, 1667 0,0476
1
0,0801 О, 1850 0,1667 0,0952
5
2
0,0441 О, 1390 0,1667 О, 1480
3
0,0308 0 ,1150 0,1667 0,19JO
4
0,0239 0, 1010 0 ,1667 0 ,2380
5
0,0201 0 ,0900 0, 1665 0,2862
-- ---- --
о
о, 7880 О, 8420 0,1433 О,ОЗ56
'1
0, 0788 0 , 1710 О, 1433 О,С724
б
2
0, 0433 0,1280 0 ,1433 0 ,1070
3
0,0303 0,1070 0 , 1433 О, 1430
4
0,0235 0,0934 0,1423 0 ,1780
5
0;0193 0,0821 0 ,1423 0 ,2140
.
'
6
0,0168 0 ,0765 0,1422 0 ,2500
24-1444
О,0476 0,0150
0,2380 О, 1520
о,7144 О,8330
--
-
--
0,0180 0,0040
0,0890 0,0350
0,2680 О, 192,1
0,6250 о,7690
----
0,0079 0,0010
0,0397 0 , 0100
0,1190 0,0549
0,2780 0 ,2200
0,5554 0,7141
-
-
-
-
-
0,0040 0, 0003
0,0198 0,0023
0,0595 0 , 0185
0,1390 0 , 0738
0,2790 0,2380
0,4985 0,6671
-- --
0,0022 0 ,0001
0,0108 0,0012
0,0324 0, 0069
0,0755 0,0275
О, 1510 0,0893
0,2720 0 ,2500
0,4560 0, 6250
0,0040
0,08RO
0,9100
--
о 0010
0,0110
О, 1190
0,8590
--
0,0002
0,0045
0,0454
0,1170
0,8331
--
0,0007
0,0039
0,0290
О, 1660
0,8004
--
0,0001
0,0010
0,0067
0,0384
О, 1840
о, 7698
0 ,002о
о
о
0,06 1
0,937
0,005о
о
о
0,085
0,910
0,000
0,010
6
о
о
4
О, 107
0,882
0,0002
7
о
0,003
0,020
0,1191
о
0,857
0,0002
6
0,002
0,021
О, 144
1
о
1
О,832
369

п
7
8
9
10
п
2
370
t1род6лженИе таt3л. D
1 k 1-.--------с-----;------;-"",--------
0,1 1 0,5
2
5
10
20
30
о
0,7780 0 , 3190 0 , 1250 0 ,0278 0,0013 0 ,0001
1 0,0778 0,1600 0 ,1250 0,0555 o,oor;3 0,0005
2
0,0428 0 ,1200 0 , 1250 0 ,0834 0 ,0189 0,0)28 0,0002
3
0,0300 о ,0995 0,1250 О, 1110 о ,0·141 0 ,0 113 0,0017 0,0105
4
0, 0232 0 ,0871 О, 1250 О, 139'J 0,0882 0 ,0363 0 ,010) 0,0040
5
0,0190 0,0!1!6 0 ,1 250 0 , 1670 О, 1590 О, 1030 о ,0481 0 ,0265
(i 0,0152 о,п11 1 О, 1250 0,19:i0 о. 265"1 0 ,2580 0 ,200J О, 1580
7
0,0140 0 , 0 jfi7 О, 1250 0,2212 0 ,4172 0,588ry 0,7401 0,8110
--- --- --
-
--- --- --- --- ---
о
о, 7670 О,30 )0 0,1111 0,0221 0,0)08
1 0 , 0737 O,IMO 0,1111 о ,0444 0 ,0089 0, 00)2
2
0 , 0422 О, 1120 0,1111 0 ,0666 0 ,0117 0,0015 0 ,0001
3
0,0295 о ,0945 0,1111 0,0888 o ,n272 0,0051 0,0005 0,0101
4
0,0229 0,0819 0,1111 0 ,1110 0 ,0544 O,OI A9 0 , 0028 0 ,0008
5
0,0188 0 ,0720 0,1111 О, 1330 о ,0978 0,0458 0,0137 0,0057
(j
O,U lliO 0,0678 0,1111 0 , 1550 О, 1680 О, 1151 0,0570 0,038 1
7
0,0 139 0,0627 о, 11 IJ О, 1790 0,25)0 0,2100 0 ,2120 О, 17•\Q
8
0,0130 0 ,0590 о, 1112 0,2001 О,3352 0,5553 0,7131 0,7853
-- --- --- --- --
-
--- --- ------
о О , 7GOO 0,2840 О, 1000 0,0018 0,0905
1 о ,0760 О, 1420 0,1000 0 ,0366 0 ,0025 0 ,000 1
2
0,0417 0, 1060 0 , 1000 0,0548 0,0075 0,0006
3
0,0292 0,0885 О, 1000 0 ,0788 0,0175 О,0024 0,0002
4
0,0226 0 ,0775 O, IO JO 0 ,0910 0,0349 0,0177 0,0009 0,0002
·5
0,018) 0,0382 0 ,1090 О, 1090 0,0529 0 ,0216 0 ,0043 0,00 13
G 0,0148 О,0642 0,1000 О, 1370 О, 1050 0,0541 о 0177 0,0077
7
0,0137 О,05 94 О, 10 )0 о. 1150 0,1650 0 ,1240 0 ,0657 0,0394
8
0,0122 0,0557 0,1 000 О, 1640 0,201J о ,2630 0 , 2220 О, 1820
9 0,0112 0,0544 О, 1000 0 , 1820 0 ,3572 0,5265 0 ,6892 0,7694
--- ------ --- ---
---
---
---
---
о
О ,752ry о .~11 0 0,0909 0,0152 0,00)3
1 0,0752 О, 13 50 0,0909 0,0304 0 ,0017
2 0,0414 О, 1020 о ,09J9 0,0453 0 ,0050 0,0003
3
0,0290 0,0843 0 ,0909 0 ,05 13 0 ,0117 0,0012 о 0001
4
0,0224 0 ,0741 0,0909 0,0760 0,0233 0 ,0039 0, 0003
5
0 , 0 184 О,0550 0,0909 0,0912 0 , 0420 0 ,0108 0 ,0014 0 ,0)03
6
0,0 15; 0,0610 0 ,0909 0,1030 0,0699 0,0271 о ,0059 0,0019
7
0,0126 0 ,0565 0 ,09J9 0,1220 О, 1101 0,0617 о ,02~0 o ,n098
8
0,0121 0 ,0521 0 ,0909 0 , 1370 о, 1650 0,1320 0 ,0722 0,0455
9 0,0109 0,0501 0 ,0909 0,1520 0 ,2381 0 ,2630 О,2ЗIО О, 1920
)
о0104 о0476 о0910 о1638 о3330 0,5JOO о6671 о7504
Таблица 10
Вероятности W системы с отказами
0,5
2
5
10
0,90
0,767 0,630 0,465 0,261
0, 152
0,75
0,698 0,562 0,406 0,228
О, 128
0,50
0,583 0,416 0,291
О, 155 0,087
0,40
0,447
0,346 0,240
о, 125 0,071
0,30
0,352 0,270
о, 185 0,095 0,054
0,20
0,245
о, 187 О, 127 0,065 0,035
О, 10
О, 128 0,096 0,065 0,039 0,018

Продолжение табл. 10
0,5
2
5
10
0,90
0,835
0,722
0,568
0,347 0,212
0,75
0,792 0,667 0,510
0,302
О, 181
0,50
0,656 0,53 1 0,387
0,217
О, 126
3
0,40
0,572
0,456 0,326
о, 178
о, 102
0,30
0,467 0,366 1 0,257
О, 137 0,079
0,20
0,339 0,262
О, 181
0,095 0,053
О, 10
О, 184
О, 140
0,095
0,049 0,027
0,90
0,873 0,781
0,635
0,415
0,268
0,75
0,841
0,734 0,585 0,368
0,227
0,50
0,735
0,612 0,461
0,270
О, 160
4
0,40
0,671
0,540 0,389 0,243
О, 131
0,30
0,572 0,443
0,310
О, 173
О, 100
0,20
0,430
0,326 0, 223
О, 119 0,070
О,10
0,238
О, 179
О, 122
0,060 0,037
0,90
0,899 0,818 0,690 0,470
0,318
0,75
0,868 0,781
0,641
0,422
0,268
0,50
0,786 0,672 0,522
0,317
О, 196
5
0,40
0,726 0,594 0,458
0,264
О, 160
0,30
0,625 0,495 0,370
0,206 О, 123
0,20
0,480
0,369 0,269
0,140
0,085
О, 10
0,277
0,2 14 О, 149
0,079 0,043
0,90
0,9 14 0,841
0,726 0,515 0,344
0,75
о ,'895 0,810 0,681
0,463 0,296
0,50
0,824 0,713
0,571
0,357 0,210
6
0,40
0,754 0,638 0,506 0,305
О, 173
0,30
0,656 0,527 0,422 0,241
О, 134
0,20
0,517 0,381
0,315
О, 170
0,094
О, 10
0,330
О, 196 О, 172 0,090 0,049
0,90
0,923 0,861
0,755 0,552 0,390
0,75
0,906 0,832 0,716 0,500 0,349
0,50
0,850 0,750 0,613 0,395 0,262
7
0,40
0,786 0,695
0,548 0,341
0,220
0,30
0,694 0,616 0,462 0,275
О, 171
0,20
0,561
0,482 0,349 0,200
О, !20
О, !О
0,369 0,285 0,201
О, !Об 0,062
0,90
0,935 0,876 0,779
0,587 0,414
0,75
0,921
0,852 0,744
0,540 0,364
0,50
0,876 0,778
0,644 0,430 0,264
8
0,40
0,835 0,716 0,580 0,371
0,219
0,30
0,765 0,628 0,494 0,300 О, 171
0,20
0,641
0,500 0,378 0,221
О, 120
0, 10
0,406 0 , 320 0,225
О, 121
0,063
248
371

Продолжение табл. 10
0,5
2
5
10
0,90
0,941
0,888 0,800 0,618 0,440
0,75
0,929 0,867 0,762 0,564 0,334
0,50
0,886 0,802 0,661
0,450 0,296
9
0,40
0,791
0,740 0,596 0,392 0,249
0,30
0,760 0,650 0,517 0,320
О, 198
0,20
0,630 0,515 0 , 4!8 0,232 О, 142
О, 10
0,440
0,350 0,265 О, 133 0,076
0,90
0,973 0,896 0,818 O,Ei33
0,478
0,75
0,960 0,878 0,786 0,.581
0,440
0,50
0,903 0,818 0,700 0,489
0,345
10
0,40
0,845 0,770 0,640 0, 420
0,293
0,30
0,760 0,685 0,564 0,345 0,238
0,20
0,644 0,560 0,458 0,255
О, 174
О, 10
0,474 0,374 0,293 О, 145 0,092
Таблица 11
Вероятности Р" системы с ограниченным временем ожидани
в очереди, когда поступающую заявку обслуживают
все свободные приборы
а.
k
0,1
0,5
5
110
2 0,3
о
0,864 0,508 0,272 0,001
1
0,086 0,254 0,272
0,001
00
~ Р11. 0,050 0,238
0,456 0,998 1,0
k=2
---
-
2
0,5
о
0,846 0,510 0,280 0,001
1
0,085 0,255 0,280 0,006
со
~ Р11. 0 , 069 0,235 0 ,440 0,963 1,0
k=2
--
2
1
о
0,864 0,5 14 0,291
0,006
1
0,086 0,257 0 ,29 1 0,028
со
~ Р11. 0,050 0,229
0,418
0,966 1,0
k=2
372
1.., .

k
0,1
i
1
о
0,861
:2
2
1
0,086
00
~ Р11. 0,053
k=2
----
о
0,862
1
0,086
00
2
5 ~ Р11, 0,052
k=2
--
---
о
0,865
2
10
1
0,086
00
~ Р11, 0,049
k=2
----
---
о
1
0,837
3
0,3
!
0,084
2
0,046
""
h Р11, 0,033
k=З
--
о
0,837
1
0,084
3
0,5
2
0,046
!
со
~ Р11. 0,033
k=3
-
-
--
о
0,837
3
1
0,084
1
2
0,046
00
~ Р11. 0,033
k=З
,__
--
о
0,837
1
0,084
3
2
2
0,046
00
~ Р11, 0,033
k=3
Продолжение табл. 11
"
0,5
0,519 0,303
0,260 0,303
0,221
0,394
0,526 0,317
0,263 0,317
0,211
0,366
0,529 0,324
0,264 0,324
0,207 0,352
----
0,446 0,227
0,223 0,227
О , 167 0,227
О, 164 0,319
0,436 0,229
0,218
0,229
0, 164 0,229
О, 182 0,313
0,448
0,232
0,224
0,232
О, 168 0,232
О, 160 0,304
0,450 0,238
0,225 0,238
О , 169 0,238
0, 156 0,286
5
110
0,014
0,068
0,918
0,026
0, 132
0,842
0,034
0, 170
0,796
0,001
0,004
0,012
0,983
0,002
0,012
0,046
0,940
0,004
0,021
0,064
0,911
0,007
0,036
О, 107
0,850
0,001
0,006
3
0,99
--
0,00
0,03
0,95
0,00
4
7
9
7
0,071
0,922
1,0
1,0
0,002
8
0,99
0,003
4
0,01
0,983
373

0,1
о
0,837
3
5
1
0,084
2
0,046
00
~ P1i
1
0,033
k=З
-
-
-
-
о
0, 837
3
10
1
0,084
3
0,046
со
~ P1i 0,033
k=4
-
-
--
о
0,817
1
0,082
4
0,3
2
0,045
3
0,031
со
~ P1i 0,025
k=4
----
'
о
0,818
1
0,082
4
0,5
2
0,045
3
0,030
со
~ P1i 0,025
k=4
---- ·-
о
0,818
1
0,082
2
0,045
4
1
3
0,030
со
~ P1i 0,025
k=4
374
1
1
Продолжение табл. 11
0,5
0,453 0,242
0,226 0,242
О, 170
0,242
О, 151
0, 274
0,455 0,245
0,228
0,245
О, 171
0,245
О,146 0,265
0,401
О, 189
0,200
О, 189
О, 150 О, 189
О, 125
О, 189
О, 124
0, 244
0,401
О, 190
0,201
О, 190
О, 150 О, 190
0,125 0, 190
О, 123 0,240
-
--
0,402 О, 191
0,201
О, 191
О, 151 0, 191
О, 125 0, 191
О, 121
0,236
5
110
0,011
0,056
О, 168
0,765
0,014
0,068
0,206
0,712
1
0,001
0,006
0,018
0,043
0,932
0,002
0,009
0,028
0,065
0,896
0,003
0,014
0,043
О, 101
0,839
0,00
0,01
0,05
0,93
0,00
0,01
0,09
ь
о
7
2:
2
8
9
0,881
1,0
1,0
0,00
0,01
0,04
0,93
2
2
7
9

Продолжение табл. 11
0,1
0,5
5
110
о
0,818 0,402 О, 193 О,СО4
4
2
1
0,082 0,20 1 О, 193
0,020 0,002
2
0,045
О, 151
О,193
0 ,060 0,006
3
0,030
О,125
О, 193
О, 140 0,026
со
~ Р11, 0,025
о, 121 0,228
О , 776 0,966
k=4
·--
---
----
1
---
1
о
0,818 0,404 О, 195
0,006
4
5
1
0,082 0,202
О, 195
0,027 0, 004
2
0,045
О, 152
О, 195
0,082 0,019
з
0, 030
О, 126
О, 195
О , 190 0,078
с,~
~ P1i 0,025
о, 116 0,220
0,695 0,899
k=4
--
о
0,818 0,205 О, 197
0,006
1
0,082 0, 202
О, 197 0, 032 0,006
10
2
0,045
о, 152
О, 197
0,096 0,030
i
!з
0,030
О, 126
О,197
0,222 0, 12 2
4
со
~ Р11, 0,025
О, 11 5 0,212
0,644 0,842
k=4
----
--
--
о
0,801 0,366 О,161
0,006
1
0,080
о, 183
О, 161
0,01 9
0,3
2
0,044
о, 137
О, 161
0,043
3
0,031
О, 114
О, 161 0 ,087
5
4
0,024 о, 100
О, 161 О, 156
со
~ Р11, 0,020
О, 100
О, 195
0,689 1,0
k=5
---
--
о
0,801
0,366 О, 161
0,001
1
0,080 О, 183
О, 161
0,007
5
0,5
2
0,044 О, 137
О, 161
0,022
3
0,031
о,114
О, 161
0, 052
4
0,024 0,099 О, 161
О , 105 0,003
со
~ Рн. 0,020
О, 101
О, 195 0,813 0,997
k=5
375

k
0,1
о
0,801
1
0,080
5
1
2
0,044
3
0,031
4
0,024
00
~ P1i
0,020
k=5
-----
о
0,801
1
0,080
2
0,044
5
2
3
0,031
4
0,024
00
~ Р11. 0,020
k=5
-- --
о
0,801
1
0,080
5
5
2
0,044
3
0,031
4
0,024
00
~ Р11. 0,020
k=5
-- --
о
0,801
1
0,080
5
10
2
0,044
3
0,031
4
0,024
00
~ Р11. 0,020
k=5
376
Продо:лжение табл. 11
"'
0,5
0,366 О, 161
0, 183 0, 161
0, 137 0, 161
0, 114
0,161
0,099 О, 161
О, 101
О, 195
0,367 О, 160
О, 184
О, 160
о.138 0, 160
O,l14 0,160
0, 100 0, 160
0,097 0,200
0,368 О, 164
0, 184
О, 164
0, 138
0,164
0,115
О, 164
О, 100 О, 164
0,095 О, 180
---
0,368 0, 165
О, 184 О, 165
0, 138
0, 165
О, 115 О, 165
О, 100 0, 165
0,095 О, 175
5
110
0,002
0,009
0,028
0,065
0, 130
0,766
0,002
0,012
0,035
0,083
0, 165
0,703
0,003
0,014
0,043
О, 102
0,203
0,635
0,003
0,016
0,048
О, 112
0,224
0,597
0,001
0,00
О, 11
0,98
0,00
0,00
0,01
0,04
0,94
4
4
1
3
3
2
0,002
7
9
3
0,00
0,02
0,09
0,869
-
-
0,002
0,011
0,04
О, 14
4
2
0,801

Таблица 12
Вероятности W системы с ограниченным временем
ожидания в очереди
п 1 ~ 1 ят /-о-.1 ...., ---1-о.-5 ,----[-1- -, ..1-;
----, -1-з_,l,_5
-.-\- 10 -
1,0
2 0,5
0,9
0,7
0,5
0,3
О,1
---
-
1,0
0,9
0,7
2
2
0,5
0,3
0,1
--- --
---
1,0
0,9
3 0,5
0,7
0,5
0,3
0,1
-
-
-
-
-
-
-
1,0
0,9
3
2
0,7
0,5
0,3
0.1
-
-
--
·--
1,0
0,9
4 0,5
0,7
0,5
0,3
О,1
.-- -
-
·--
1,0
0,9
4
2
0,7
0,5
0,3
О,1
о. 989 1 о.949 0,898
0,967 0,900 0,827
0,873 0,770 0,682
0,710 0,602 0,515
0,478 0,392 0,326
0,177 0,141 0,114
-
-
--
0,975 0,887 0,788
0,956 0,844 0,737
0,864 0,729 0,615
0,704 0,573 0,470
0,474 0,375 0,300
0,176 О,135 0,106
------
0,995 0,975 0,946
0,986 0,942 0,894
0,943 0,848 0,773
0,832 0,708 0,616
0,615 0,497 0,413
0,250 О, 193 О, 154
-
-
-
-
--
0,987 0,936 0,874
0,978 0,907 0,831
0,937 0,825 0,725
0,828 0,693 0,584
0,613 0,489 0,396
0,249 О, 191 0, 149
-
-
----
-
0,995 0,991 0,972
0,990 0,962 0,931
0,973 0,893 0,830
0,90 1 0,781 0,694
0, 712 0,583 0,490
0,317 0,256 О, 191
0,778 0,658 0,434 0,200
0,704 0,596 0,390 0, 180
0,551 0,464 0,304 О, 140
0,409 0,336 0,217 О, 100
0,251 0,203 О, 130 0,060
0,085 0,068 0,043 0,020
---
-
-
-
--
0,639
0,586
0,46 1
0,351
0,217
0,074
-
-
0,865
0,798
0,640
0,494
0,314
0, 111
--
0,762
0,709
0,574
0,456
0,293
О, 105
--
0,930
0,864
0,712
0,576
0,361
О, 136
0,495 0,215
0,45 1 0, 180
0,349 О, 142
0,2G2 О, 103
0, 160 0,063
0,055 0,021
---
-
О, 774 0,565
0,705 0,514
0,555 0,393
0,412 0,281
0,254 О, 169
0,087 0,058
--
--
0,662 0,508
0,608 0,461
0,454 0,365
0,369 0,266
0,232 О, 163
0,081 0,055
-- --
0,873 0,712
0,801 0,654
0,646 0,509
0,493 0,372
0,310 0,219
О, 107 0,074
О, 194
О, 175
0, 136
0,097
0,058
0,019
--
0,289
0,261
0,203
О, 145
0,087
0,029
0,28
0,25
5
7
о
3
6
9
0,20
О, 14
0,08
0,02
0,40
0,37
0,29
3
2
4
1
3
о
0,20
0,09
0,04
---
-
---
-
---
-
0,992 0,959 0,911 0,837
0,986 0,937 0,881 0,786
0,965 0,875 0,796 0,634
0,885 0,758 0,664 0,531
0,702 0,570 0,477 0,356
0,312 0,242 0, 189 0, 133
0,759 0,623
0,703 0,619
0,570 0,495
0,446 0,364
0, 288 0,225
О, 104 0,078
0,383
7
1
0,34
0,27
о,1
0,1
о.о
95
27
39
377

5
--
5
о
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1,0
0,9
0,5
0,7
0,5
0,3
0,1
--
1,0
0,9
2
0,7
0,5
0,3
0,1
nродолжение табл. 12
О,110,511121315/10
0,999 0,990 0,980 0,952
0,994 0,970 0,945 0,900
0,980 0,917 0,859 0,770
0,934 0,827 0,737 0,640
0,784 0,649 0,545 0,486
0,378 0,291 0,229 О, 185
-- ------
0,994 0,971 0,929 0,882
0,990 0,958 0,899 0,835
0,976 0,904 0,824 0,710
0,932 0,818 0,71 8 0,591
0,783 0,644 0,532 0,408
0,377 0,289 0,225 0, 160
0,9 16
0 ,840
0,718
0,558
0,364
0,238
--
0,824
0,769
0,634
0,507
0 ,337
0, 126
0,812
0,734
0,589
0,432
0,267
0,092
--
0,705
0,646
0, 524
0,393
0,266
0,087
0,49
0,44
0,34
0,24
О, 12
0,09
0,46
0,41
9
9
9
9
8
о
0, 32
8
8
8
6
3
8
0,23 ·
0, 14
0,04
Таблиц а 13
Вероятности Р11, системы с накоrштелем для k<.n
0,1
10,210,51
2
5
1
0,909 0,833 0,667 0,500 0,333 0,250 0,200 0, 167
0,082 0, 139 0,222 0,250 0,222 О, 186 О, 160 0, 139
0,007 0,023 0,074 О, 125 О, 148 О, 141 0, 128 О, 114
0,001 0,004 0,025 0,063 0,099 О, 105 о, 102 0,097
0,001 0,008 0,031 0,066 0,079 0,082 0,081
0,003 0,015 0,044 0,060 0,065 0,067
0,001 0,008 0, 029 0,045 0,054 0,056
0,004 0,020 0,033 0,042 0,047
0,002 0,013 0,025 0,033 0,038
0,001 0,009 0,019 0,027 0,032
k \-G--l-1 ____s _ __9_' _" _1_o_i _1 _s_l__2o_l__зo-
1
о О, 143 О, 125 О, 111 О, 100 0,091 0,063 0,047 0,032
1 0, 122 О, 109 0,099 0,090 0,083 0,058 0,046 0,031
2 О, 105 0,095 0,088 0,081 0,075 0,055 0,044 0,030
3 0,090 0,085 0,078 0,073 0,068 0,051 0,042 0,029
4 0,077 0,074 0,069 0,066 0,062 0,048 0,040 0,029
5 0,066 0,064 0,062 0,059 0 ,056 0,046 0,038 0,027
6 0,057 0,056 0,055 0,053 0,052 0,042 0,036 0,026
7 0,049 0,049 0,048 0,048 0,047 0,04 0 0,034 0,025
8 0,042 0,043 0,043 0,043 0,042 0,038 0,033 0,024
9 0,035 0,038 0,038 0,039 0,038 0,036 0,030 0,024
378

п
l
2
3
4
5
6
7
8
9
10
п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Таблица 14
Вероятности Рот11 системы с накопителем
а
0,1
10,210,5
2
3
4
5
0,09! О, 1671 0,333 0,500 0,667 0,750 0,800 0,833
0,009 0,028 O, l 11 0,250 0,445 0,564 0,640 0,694
0,001 0,005 0,037 О, 125 0,297 0,423 0,512 0,580
0,001 0,012 0,062 О, 198 0,318 0,410 0,483
0,004 0,031 О, 132 0,238 0,328 0,402
0,001 0,016 0,088 О, 178 0,263 0,335
0,008 0,059 0, 133 0,209 0,279
0,004 0,039 О, 100 О, 167 0,232
0,002 0,026 0,075 О, 134 0, 194
0,001 0,017 0,056 о, 107 0,162
6
7
8
9
101
15120130
0,857 0,875 0,889 0,900 0,909 0,937 0,953 0,968
0,735 0,766 0,790 0,810 0,826 О,879 0,907 0,937
0,630 0,671 0,702 0,729 0,751 0,824 0,863 0,907
0,540 0,586 0,624 0,656 0,683 0,773 0,821 0,878
0,463 0,512 0,555 0,590 0,621 0,725 0,781 0,849
0,397 0,448 0,493 0,531 0,565 0,679 0,743 0,822
0,340 0,392 0,438 0,478 0,513 0,637 0,707 0,796
0,291 0,343 0,390 0,430 0,466 0,597 0,673 0,771
0,249 0,300 0,347 0,387 0,424 0,559 0,640 0,747
0,214 0,262 0,309 0,348 0,386 0,523 0,610 0,723
Таблица 15
Математическое ожидание числа о5служенных заявок
одноканальной системы с отказами за время Т при
неустановившемся процессе (время оSслуживания случайное)
т
О,1
0,5
2
О,1
0,0951
0,0952
0,0953
0,0955
0,5
0,3950
0,4012
0,4080
0,4196
1
0,6422
0,6786
0,7162
0,7723
1,5
0,7040
0,8976
0,9876
1, 1099
2
0,9166
1,0890
1,2454
l ,4441
2,5
1,0009
1,2673
1,4983
1,7777
3
1,0686
1,4395
1, 7494
2, 1111
3,5
1, 1270
1,6088
1,9998
2,4444
4
1, 1800
l ,77бG
2,2499
2,77 78
5
1,2775
2, 1108
2, 7500
3,4444
379

hродолжеиие табл. 15
т
5
10
20
30
О,1
0,0958
0,0964
0 ,0972
0, 0978
0,5
0,4431
0,4627
0,4785
0,4849
1
0,8610
0,9174
0,9547
0,9687
1,5
1,2778
1,3719
1,4309
1,4526
2
1,6945
1,8264
1,9070
1,9364
2,5
2, 1111
2,3553
2,3832
2,4203
3
2,5278
2,7355
2,8595
2,904 2
3,5
2,9444
3, 1901
3,3356
3,3880'
4
3,3611
3,6446
3,8118
3,8719
5
4, 1945
4,5537
4,7642
4,8397
Таблица 16
Математическое ожидание числа заявок, принятых на
обслуживание~ одноканальной системой с отказами за время Т
при неустановившемся процессе (время обслуживания
постоянное)
т
0,5
2
4
10
1,0
1,000
1,000
1,000
1,000
1,000
1,1
1,049
1,095
l, 181
1,330
1,632
1,2
1,095
1, 181
1,329
1,551
1,865
1,3
1,139
1,259
1,451
1,699
1,950
1,4
1, 181
1,330
1,551
1, 798
1,982
1,5
1,220
1,394
1,632
1,865
1,993
1,6
1,260
1,451
1,699
1,909
1,996
1,7
1,295
1,503
1, 753
1,939
1,997
1,8
1,330
1,551
1, 798
1,959
1,998
1,9
1,362
1,593
1,835
1,973
1,999
2,0
1,395
1,632
1,865
1,983
1,999
2,1
1,424
1,672
1,907
2, 049
2,264
2,2
1,456
1,712
1, 971
2, 183
2,594
2,3
1,488
1, 769
2,048
2,332
2,801
2,4
1,521
1,815
2, 130
2,471
2,908
2,5
1,554
1,867
2,214
2,592
2,960
2,6
1,588
1,920
2, 297
2,690
2,983
2,7
1,621
1, 973
2,375
2,768
2,993
2,8
1,655
2,006
2,448
2,823
2,997
2,9
1,689
2,078
2,515
2,874
2,998
3,0
1,722
2, 129
2,576
2,908
2,999
380

1а,
0,01
0, 05
О,1
0,2
0,3
0,5
1
2
3
5
10
20
а,
0,01
0,05
О,1
0,2
0,3
0,5
1
2
3
5
10
20
tаблица 17
Вероятно ст и Ротi• Двухфазной одноканальной
системы с отказами
0,01
0,05
0,10
0,20
0,30
0,50
0,015 0,049 0,092
О, 167
0,231
0,333
0,049 0,070 0, 105 О, 175
0,236 0,336
0,092 О, 105
О, 132
О, 192
0,248
0,344
0, 167 0, 175 0, 192 0,236
0,282 0,365
0,231
0,236 0,248
0,282 0,290
0,391
0,333 0,336 0,344 0,365
0,39 1 0,432
0,500 0,501
0,504 0,514 0,527 0,556
0,667 0,667 0, 668 0,672 0,677 0,689
0,750 О, 750 0,751
0,753 0,755 0,762
0,833 0,834 0,834 0,835
0,836 0,838
0,909 0,909 0,909 0,909 0,910 0,910
0,952 0,952 0,952 0,953 0,953 0,953
Пр одолжение та б ,л. 17
а,
2
·1
3
5
10
20
0,500 0,667 0,750 0,833 0,909 0,952
0,501 0,667 0,750 0,834 0,909 0,952
0,504 0,668 0,751
0,834 0,909 0,952
0,514 0,672 0,753 0,835
0,909 0,953
0,527 0,677 0,755
0,836 0,910 0,953
0,556 0,689 О,762 0,838 0,910 0,953
0,625 0,722
0,781
0,847 0,913 0,954
0,722
0,778
0,8 17 0,865 0,919 0,955
0,781
О,817 0,844 0,880
0,925 0,957
0,847 0,865 0 ,8 00 0,908
0,934 0,960
0,9 13 0,919 0,925 0,934
0,950 0,967
0,954 0,955 0,957 0,960 0,967 0,975
1
381

382
Таблица
Вероятности Ротн трехфазной одноканальной системы
с отказами
л=0,5
,,,
-
μ.,
fL2
1
1
1
1
n,1
0,[)
1
2
1п
О, 1 1 0,074 0,095 0,096 0,097 0,098
0,5
О,09с)
о, 144
О, 150 О, 152
О, 153
О,1
1
0,096 О, 150 о, 158 о, 160 О, 162
2
0,097
О, 152
О, 160 О, 163
О, 164
10
0,098 О, 153
о, 162
О, 164
О, 166
О,1
0,077 О, 144
О, 150 О, 152
О, 153
0,5
О, 144 0,312 0,352 0,369 0,375
0,5
1
О, 150 0,352 0,358 0,432 0,442
2
О, 152 0,369 0,432 0,464 0,479
10
О, 153 0,375 0,442
0,479
0,492
-
---
О,1
0,099
О, 150
О, 157
О, 160 О, 162
0,5
0, 150 0,352 0,408 0,431
0,444
1
1
О, 157 0,408
0,489 0,534 0,555
2
о. 160 0,431
0,534 0,603 0,620
10
О, 16 2 0,444
0,555 0,620 0,635
-----
О,1
0,099 О , 152
О,160 О,163
О, 165
0,5
О, 152 0,369 0,431
0,464 0,480
2
1
О, 160 0,431 0,515 0,590 0,620
2
О, IG3
0,464 0,520 0,669 0,7 17
10
О , 164 0,480
0,620 0,7 17
0,788
-
·-----
О,1
0,097 О, 153 О, 162
О, 164
О, 166
0,5
0, 153 0,374 0,442
0,480 0, 498
10
1
0, 162 0,442
0,555 0,620 0,66 1
2
О, !64 0,480
0,620 0,718 0,788
10
0, 166 0,498
0,661
1
0,788
0,9 13
1

\
Продолжение табл. 18
\
Л=I
μ,
f'-3
μ,
1
1
1
1
1.о
0,5
1
2
10
О,1
0,037 0,048 0,049 0,049 0,050
0,5
0,048 0,075 0,079 0,080 0,081
О,1
1
0,049 0,079 0,084 0,086 0,087
2
0,049 0,080 0,086 0,088 0,089
10
0,050 0,081
0,087 0,089 0,091
О,1
0,046 0,075 0,079 0,080 0,081
0,5
0,075
О, 176 0,204 0,216 0,222
0,5
i
1
0,079 0,204 0,245 0,267 0,277
2
0,080 0,216 0,267 0,295 0,310
1
10
0,081
0,222
0,277 0,310 0,326
О,1
0,049 0,079 0,084 0,086 0,087
0,5
0,079 0,204 0,244
0,267 0,277
1
1
0,084 0,244
0,312 0,352 0,374
2
0,086 0,267 0,352 0,424
0,442
10
0,087 0,277
0,374 0,442
0,456
0,1
0,049 0,080 0,086 0,088 0,089
0,5
0,080 0,216 0,267 0,295 0,310
2
1
0,086 0,267 0,296 0,407 0,442
2
0,088 0,295 0,407 0,491
0,551
10
0,089 0,310 0,442
0,551
0,648
-----
0,1
0,050 0,081
0,087 0,089 0,091
0,5
0,081 0,221
0,277
0,310 0,331
10
1
0,087 0,277
0,374 0,442
0,492
2
0,089 0,310 0,442
0,551
0,648
10
0,091
0,331
0,492 0,648 О,839
1
383

Л=5
(
μ.,
f'-з
μ.,
.,
1
1
1
0,1
0,5
1
2
10
о,1
0,007 0,010 0,010 0,010 0,010
0,5
0,010 0,015 0,016 0,016 0,017
0,1
1
0,010 0 ,016 0,017 0,0 18 0,018
2
0,010 0,017 0,018 0,019 0,019
10
0,010 0,017 0,018 0,019 0,019
--
-
---
О,1
0,010 0,015 0,016 0,016 0,017
0,5
0,015 0,037 0,044 0,045 0,049
0,5
1
0,016 0,044 0,055 0,062 0,065
2
0,016 0,048
0,062 0,078 0,077
10
0,017 0,049 0,065 0,077
1
0,080
0,1
0,010 0,016 0,017 0,018 0,018
0,5
0,016 0,044 0,055 0,062 0 , 065
1
1
0,017 0,055 0,074 0,087 0,097
2
0,018 0,062 0,087 0,097 0, 126
10
0,018 0,065 0,097 0, 126 0, 127
---
----
--
0,1
0,010 O,OlG
0,018 0,019 0,019
0,5
1 0,016 0,04~
0,062 0,071
0,077
2
1
0,018 О,Об2 0,083 0, 108
О, 126
2
0,019 0,071
0, 108
О, 144
О, 180
10
0,019 0,077 0, 126 О, 180 0,258
----· --
-
О,1
0,010 0,017 0,018 0,019 0,019
0,5
0,017 0,049 0,065 0,077 0,088
10
1
0,018 0,065 0,097 0, 126 0, 158
2
0,019 0,077 0, 126
О, 180
0,258
10
0,019 0,088 0, 158 0,258 0,491

Продолжение табл. 18
1
Л= 10
μ.,
μ.3
μ.,
1
1
1
1
0,1
1
0,5
1
2
10
О,1
0,004 0,005 0,005 0,005 0,005
0,5
0,005 0,008 0,008 0,008
О,СО8
О,1
1
0,005 0,008 0,008 0 ,008 0,009
2
0,005 0,008 0,009 0,009 0,009
10
0,005 0,008 0,009 0,009 0,010
О,1
0,005 0,008 0,008 0,008 0,008
0,5
0,008 0,019 0,022 0,024 0,025
0,5
1
0,008 0,022 0,028
0,031
0,033
2
0,008 0,024 0,031
0,(136 0,039
10
0,008 0,025 0,033 0,039 0,041
•
О,1
(),005 0,008 0,009 0,009 0,009
0,5
0,008 0,022 0,028 0,031
0,033
l
l
0,009 0,028 0,037 0,044 0,049
2
0,009 0,031
0,044 0 ,04 9 0,065
10
0,009 0,033 0,049 0,065 0,066
О,1
0,005 0,008 0,009 0,009 0,009
0,5
0,008 0,024 0,031
0,036 0:039
2
1
0,009 0,031
0,044 0,055 0,065
2
0,009 0,036 0,055 0,074 0,095
!О
0,009 0,039 0,065
0 ,095 О, 144
--
---
О,1
0,005 0,008 0,009 0,009 0,010
0,5
0,008 0,025 0,033
1
0,039 0,046
10
l
0,009 0,033 0,049 0 ,065
0,084
2
0,009 0,039 0,065
0,095 О, 144
10
0,010 0,046 0,081
1
О, 144 0,313
~5-1444
385

Критические значения Rнр
Таблица/19
для системы с отказами
а
/
п
0,5
2
5
101
2
0,769
0,600
0,400
О, 189
0,008
3
0,830
0, 675
0,460
0,200
0.110
4
0,873
0,750
0,550
0,235
О, 145
5
0,896
0,805
0,600
0,27S
0, 168
6
0,917
0,830
0,655
0,315
0,190
7
0,925
0,850
0,709
0,3SO
0,229
8
0,940
0,875
0,743
0,400
0,255
9
0,955
0,887
0,769
0,445
0,28S
10
0,975
0,896
0,800
0, 485
0,305
Таблица 20
Случайная nоследовательность чисел,
равномерно распределенных в интервале 0-99999
57705
13094
60835
36014
35950
71618
35193
42323
38612
03235
73710
64560
25732
93857
73606
70 131
64559
93364
33749
66 090
16961
68008
63407
0892 1
31842
53324
39848
72028
07721
22807
43 166
33851
25406
58577
41476
26275
80586
83761
39303
74473
05926
69939
58568
19302
78489
66289
98351
27409
17068
14142
35483
32673
64789
59201
75975
09393
12949
78992
18688
55604
30304
14644
67388
73449
80702
55186
66887
75316
41734
11027
64003
43042
73673
17033
34559
20514
49110
21681
18664
73345
00188
18170
32763
94722
02783
55709
19187
50983
55024
54095
86977
02464
98359
85143
29373
31303
55739
38440
28594
96006
11578
52992
78142
76086
69351
93045
86513
25730
97570
07995
93011
10480
30454
26292
00900
42844
56437
19106
07120
293%
52906
13647
58222
11851
17727
J86

Продолжение t а б л. 2о
--
··--·
09461
57910
45818
24806
25424
99602
54062
96748
90506
38695
169962
23767
45732
39116
02624
31311
43191
91542
35745
36522
27004
03283
78115
82713
56461
65339
46250
18 186
07938
62250
93382
28366
61450
51275
73071
05750
16074
74582
32203
59362
00336
98951
80604
51925
98178
88222
54686
49538
24693
40526
98585
87615
22917
16837
744 12
52103
44968
99 135
78155
79033
91827
27709
58274
97412
62192
07069
59560
01940
09892
96942
13928
00799
87397
84299
34623
66674
76151
84445
96036
48259
99279
617\6
86012
48472
12634
24202
59298
51625
42687
93997
940 10
89923
71881
89434
32799
60981
20327
64466
67912
04011
Таблиц а 21
Вероятности отказа Ратн си стемы с отказами двух
последовательно расположенных приборов
разной производительности
'"
CL1
0,01
0,05
О, 10
0,25
0,50
0,0 1 0,00005 0,00009 0 ,00010 0,0001 1 0,00012
0 ,05 0,00039 0,00119 0,00 163 0,00227 0,00292
О, 10 0,00082 0,00298 0,00452 0,00699 0,00940
0, 25 0,00191
0,00806 0,01366 0,02439 0,03529
0,50 0,00324 0,01455 0,02601
0,0505 1 о, 10828
1
0, 00 490 0,02278 0,04198 0,0862 1 О, 13636
2
0,00657 0,03104 0,05820
О, 12346 0,20000
3
0,00740 0,03518 0 ,06635 О, 1424 1 0,23276
4
0,00790 0,03767 0,07126
О, !5385 0,25263
5
0,00823 0,03933 0,07453 О, 16 150 0,26596
!О
0,00899 0,04309 0,08197
О, 17895 О,29645
15
0,00928 0,0445 1 0,08476
О, 18552 0,30794
20
0,00942 0,04525 0,08622 О, 18896 0,31397
25
0,00952 0,04570 0,087 13 О, 19108 0,31769
30
0,00958 0,04601
0,08774 О, 19252 0,32020
387

hро'д:олжение ",,/ 21
"'
1
"•
3
4
5
0,01
0,00019 0,00028 0,00038 0,00047
0,00055
0,05 0,00285 0,00583 0,00752 0,00907 0,01050
О, 10 0,01299 0,0 1881
0,02372 0,02797 0,03l71
0,25 0,05000 0,07060 0,08572 0,09756 0,10714
0,50 О, 11111 О, 15985 О, 18182 0,20202 0,21739
1
0,20000 0,27272
0,31580 0,34483
0,36586
2
0,29630 0,40000
0,45714 0,49383
0,51948
3
0,34615 0,46553 0,52941
0,56962 0,59733
4
0,37647 0,50526 0,57315
0,61538 0,64430
5
0,39683 0,53191
0,60240 0,64599 0,67568
10
0,44346 0,59287 0,66925 0,71582
0,74722
15
0,46107 0,61588
0,69444 0,74208
0,77407
20
0,47031 0,62794 0,70765 0,75586 0,78818
25
0,47601 0,63538
0,71579 0,76434 0,79686
30
0,47987 0,64043
0,72127
0,77009
0,80271
Продолжение табл. 21
"'
"•
10
15
20
25
30
0,01
0,00097 0,00135 0,00170 0,00203 0,00232
0,05 0,01632 0,02056 0,02378 0,02632
0,02837
О, 10 0,04525 0,05374 0,05957 0,06381
0, 06705
0,25
О, 13664 0,15189
О, 16123
О, 16752
О, 17206
0,50 0,26005 0,27973 0,29106 0,29844 0,30362
1
0,41985 0,44279
0,45554 0,46363 0,46924
2
0,58201 0,60722 0,62084 0,62939 0,63524
3
0,66352 0,68966 0,70367 0,74:236 0 , 71833
4
0,71254 0,73917 0,74627 0,77101
0,76820
5
0,74525 0,77220
0,79282 0,79539 0,80144
10
U,81967 0,84731
0,86192 0,87093
0,87704
15
0,84762 0,87549 0,89017 0,89921
0,90536
20
0,86224 0,89025
0,90498 0,91406
0,92022
25
0,87125 0,89933 0,91409 0,92319 0,92937
30
0,87736 0,90549 0,92026 0,92938
0,93555
388

1,0
az=zb
10
5
2
0.5
~
0,5
~---·-o.zо. 7
о
5
70
15
Рис. П .5.1. Вероятность отказа системы двух приборов разной
производительности.
Рот к
о
5
о
5
-aзdтro~.zc====t====;;==;;~
jv
О:г=О,2
70
70
а)
75
15
а'
а,
Рис. П.5.2 . Вероятность отказа системы трех приборов разной про­
изводительности (а).
389

Ротк
q:;Ь:1 а,1~'
1
а2 =0,5
0,2
011
о
5
10
15
а,
Ротк
а3 =1,0
1,0
ql~1 ~л
о,1
о
б
10
f')
75
а,
_!!!J.ц.:: ! ._
2.1
Ротк
1,0
а.1=10
Cl.z= 10
s
О,5
2
0,5
0.2
0.1
~--
о
5
!О
в) 15
ZO а,
Ратк
7;()
а3=20
сх.2=20
-
10
5
2
0,5
1
:: 0,5
0,2
0.1
о
5
70
z)
75
20 а,
Рис. П.5 . 2. Ве роятность от1<аз а системы трех прибо ров
производительности (б, в, г) .
разной
3~0

ЛИТЕРАТУРА
1. Баш ар ин Г. П. Таблицы вероятностей и средю1х квад,ратиче­
ских отклонений .потерь на .полнодостуrЕюм пучке J1иний. Изд-во
АН СССР, 1962.
2. Бел я ев Ю. К. Предельные теоремы для редеющих потоков.
«Теория вероятно·стей и ее при'v!е1·1 ення», 1963, вып. 2, IN'o 8.
3.БронштейнО.И"РайкинА.
-1"РыковВ.В.Ободно­
линейной системе массового обслужа'За.чня с потерями. ·«Изве­
стия АН СССР», Техническая кибернеrика, 1965, No 4.
4. Бус л е н к о Н. П" Ш р ей дер 10. А. ,'1<\ето.1 статистичес1<их ис­
пытаний (Монте-Карло) и его реализация на цифровых вычисли­
тельных ~'!ашинах. Физматгиз, 1961.
5. Б у с лен к о Н. П. Математическое мо дr~лиров ание прои звод­
с тв ен ных процессов, Изд-во «Нау~<а», 1964.
6. Б у с лен к о Н. П . К теории сложчых систем. «Известия АН
СССР», Те хн ическая •кwбернетик,а, 1963, No 5.
7. Вен т цель Е. С. Теория вероятно~тсй. Фнз•м ;н г11з , 1962.
8. ГнеденкоБ.В"КоваленкоИ.Н. Пе:щинпотеориимас­
•сового обслуживания. КВИРТУ, Киев, 1953 .
9. Г не :\ е н к о Б. В. Заме11аннн к ·статье Петухова С:. И. «Решение
ОJ. н ой задачи теории. массового обс,1уж·.шанr1я» . «Мсрской сбор­
ник», 1962, No 2.
1О.гнеденкоБ.в"БеляеIJ Ю.к"солорьеБА.Д.Мате­
матические методы в теории надежности. Изд-во «Нау](а», 1965.
11. К о зло IJ Б. А. Надежность пыделенных под~нсте ;"1 .п резерви.ро­
ван но~"1 с11стеме с восстановж~ 11 ием. «Изпе-.:тш1 .'\Н СССР», Техш1-
ч ескан кибернетика, 1965, No 6.
12. К овален к о И. Н. О 11ек оторых кл11ссс. х с.с10.-!<· НЫ Х систем. «Из ­
вестия АН СССР», Тех1·1i1·1 еская кибер11етнка, 1964, No 6, стр. 3.
13. К о ф м ан Л" Кр ю он Р. Массовое о5служиван~;е. Теория и
приложение. Изд-во «Мир», 1965 .
14.ЛаврентьевМ.А"Ш-абатБ. В.Методытеории функций
комплексного .переменного. Физ:v~атгиз, 1958.
15. М а р ь я но в и ч Т. П. Обобщение форму.~ Эрланга на случай,
когда приборы могут выходить из строя и воrеанавливаться.
«Украинский математический журнал», 1960, т. 12 , No 3.
1G. Мудр о в В. И. Очередь с « н етсрпелrшыми» клиентами и пере­
менным пременем обслуж1шанин, ли;;сйно зави~ящим от временн
пребьшания клиента в очсредil. Сб. «Пр;Jблсмы кибернет1-1ки».
Фазматrиз, 1961, вып. 5.
391

17.Новиков О. А., Ви·Сков О. В. О ;злиянии управления на
пропускные способности систе~~ы массового обслуж ивания с от­
казами. «Морской сбарнию>, 1964, No 9.
18. Розенбе ;рг В. Я ., Прохоров А. И. Что таксе теория мае.
со·вого о·бслужнвания? Свя зьиздат, 1962.
19. Петух о .в С. И. Решение одной .задачи Т•'ории ма·ссового об­
служив.ания. «Мо·рской ~сборник», 1962, .No 2.
20. Р и о р д ан Д. )!\. ВерояТ!ностные системы обслуж и вания. Связь­
издат, 196'3.
21 . С а ат и Т. Л. Математи ческие м е тоды иссл е'!,ов ания операций .
Воениздат, 1963.
22. С а ат и Т. Л. Элементы т еории "11;:i ccoвo·ro ::>бслу живания и ее
приложения. Изд-во «Со·ветс·кое радио», 1965.
23. Се в а ст ь я но в Б. А. Эргодическая теория для марковских
процесса.в и ее прилож ение к телефонным систем а~~ с отказами .
« Теория вероятностей и ее примененае », r . 2 , в ы п. 1, 1957.
24 . Слуцкий Е. Е. Та.блицы д;~я выч~ сл о;ннй н еполн ой Г-функци и
и вероятности у,,2. Изд-во АН СССР , 1950.
25. У и т те к ер Э. Т., Ватсон А. Н. Курс современного анализа.
Физматгиз, 1963.
26.Чуев Ю.В.,МельииковП.М.,ПетуховС.И.,Степа­
н о в Г. Ф., Шор Я. Б. Основы иссле,.\опания операций .в воен­
ной технике. Изд-во « Советское радио», 1965.
27. Хин чин А. Я . Рабо ты .по математической теор ии массового
обслуживания. Физ·ма 'Г'rиз , 1963.
28. Шор Я . Б. Статистическ ие методы анализа и к онтроля качеств а
и надежности. И з д-во « С о в е тское радно», 1962.
29. Шах ба з о в А. А. Обслуживание прибора ~1и р а зной прои з.во­
днтельности. «Ученые з ап ис.ки АзербайJ:;1«1 ~1скоrо госуда.рстве н ­
·Ноrо универ с итета», сер. физико-мат е м а т!1ч е.:к :1х и химических
наук, 1962, No 3.
30. F о г t е t R. Calcul d es probabllites. Сепtге national de !а recher-
che scientifique, 1950.
31 . Та k а с s L. Iпvestigation о[ \Vaitiпg time proЫe m s Ьу redu ction
to Markov processes. Act a Math. Hung. 6, •1955, No 1-2 .

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алзаров Т. А. 27
Баррер 189
Бронштейн О. И. 266, 268,1.270
~усленко I-I. П. 4, 6, 7, 312
Вентцель Е. С. 3, 136, 138
150, 240
Висков О. В. 239, 254, 259
Гнеденко Б. В. 4, 6, 12, 24,
52, 57, 89, 97, 174, 194,
238
Камнев Б. П. 4
Кармазин А. I-1 . 121
Коваленко И. I-1 . 6, 7, 11, 12,
24, 57, 89, 97, 194
Козлов Б. А. 232, 209
Кофман Л. 6, 30, 120, 127
Крюон Р. 6, 30, 120 , 127
Лаврентьев М. А. 209
Марьянович Т. П. 215
Мелик-Саркисян В. П. 4
Мудров В. И. 180, 183
Новиков О. А. 4, 239, 254,
259
Петухов С. И. 4, 48, 49, 71,
170
Прохоров А. И. 89, 97, 132
Райкин А. Л. 266, 268, 270
Рыков В. В. 266, 268, 270
Розенбер1' В. Я. 89, 97, 132
Саати Т. Л. 6, 35, 89, 97, 103,
i120, 123, 127, 132, 201, 286,
287, 290
Севастьянов Б. А. 25, 35, 49
Слуцкий Е. Е. 24
Соловьев А. Д. 231
Ф.иллипс 287
Форте 35
Хайт 127
Хинчин А. Я. 6, 12, 15, 27
Чавкин А: М. 27
Чистов Э. А. 121
Чуев Ю. В. 48, 49, 71
Шахбазов А. А. 67, 188, 187
Шор Я. Б. 48, 49, 71, 17, 192
Шрейдер Ю. А. 312
Эрланг А. К. 23, 25, 33, 35,
Зе, 40, 42, 57, 67, 207, 268,
277, 291

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
дгрегатныii
204
способ ремонта
Вероятность Gезот1<а з н ой ра-
боты 234
-
обсл уживания 13 двухфа з -
ной системе 76
-
заявки при прохождении
ею ряда последовате JJ ьно
распоJJожен ны х групп при­
борсв 56
Вероятность ошаза в обсJJужи -
ваиии 50
-
системы двух прибороr!
разной
прои з водите.1ьно­
сти 389
Р" системы массового об­
служива ния с ограни<1енны" 1
временем ожида11 1 1я 355
-
-
массоно го обслужи­
вания с оп<азами при п о­
токе групповых заявок 50,
55, 364, 368
состояний системы p3(t) н
po(t) при n=З 85
-
-
трех приборов разной
прои 2 водительности 390
Время обслужива ния 22
Входящl'lй п оток 8, 1О
-
-
с п уассо н овским распре­
делением 18
Выбо р оч ны й коэффициент кор­
реляции 17
Выходящий поток 7, 9, 26
Зависимость абсолютных оши­
бокМо,М1,М2ота264
вероятностей состоя ний си­
стемы от длительности про­
цесса 262, 280
-
-
-
системы р; (t) от дли­
тельности процесса обслу-
394
жи1За11ия двух неприоритет­
ных потоков 284
веронтности отказа от вре­
щ:ни восста но1ЗJ1ения 225
-
-
-
Ротк от производи­
т ел ьности t обс приборов 147
-
состояний одноканаль ­
ной си стем ы от длительно­
сп1 пр оцесса обсл у живания
167
объе м а r.амяти от временн
обслу ж и вания iобс 73
относит ел ьн ой
ошибки
лробс маис/Робе от а 305
-
Ро б е от п ара метра произво­
дительности п ервого прибо­
ра 65
Задачи с ориентированием за ­
явок пер ед обслуживанием
290
с при оритетны ми потоками
237
Интенси1Зн ост ь п о тока 12
Ко эффици е н т за нятости аппа ­
ратов 29
-
простоя ап па ратов 29
Математическое ожида ни е чис­
ла заявок, принятых на об­
сл у живание одноканальной
системой с отк азами 44, 380
-
числа обслуженных за­
явок 43, 322, 379
Метод прибл иженной оценки
пр о пускных
способност е й
м н огоканальной мно гофаз­
н ой системы 74
Многоканал ьная многофазная
система 74
Надежность приборов в сме­
шан ной многоканальной си­
стеме 275

-, ее повышение путем
резер­
вированш1 с восстановле­
нием 231
работы
обслуживающих
приборов 192
Обслуживание 9
-
групповое 238, 338
заявок группой приборов
в нестационарном режиме
260
многофазовое с отказами 70
-
резервом группы однотип­
ных машин 204
-
системы 20
- , показатели
эффективно-
сп1 27
случайным числом свобод­
ных приборов 243, 338
Ограниченный поток требова­
ний 106
Показатели эффективност и об ­
служивающих систем 27
Примеры задачи на выбор при­
оритетов 271, 276
определения
пропускной
способности систем обслу­
живания 44, 94, :109, 1(З,
116, 123, 159, 176, 179, 185,
239, 241, 271, 276
-
-
необходимого объема за­
пасных деталей 199, 203,
212, 214
-
основных параметров си­
стем при проектировании 37 ,
54, 80, 84
оценки организации работы
ремонтных органов 92, 134,
184, 221' 224 , 295
обслуживающих
организаций 36, 92, 105, 125,
140, i141 ' 1'57, 198, 206, 236,
250, 259, 288
-
-
работы
контрольных
приборов 46, 229, 252, 292
-
эффективности обслужи­
вающих систем 53, 64; 148,
163, 245
систем с ограничением на
время пребывания заявки
в системе 145, 147, 172
-
с ограниченной длиной
очереди 152
Процессы нестационарные 48
Пуассоновский (простейший)
поток 110
Резернирование эJ1 еме11 то в 231
Система двух приборов разной
производительности 61
с накопителями заявок 77,
3·28
ненадежных приборов с от ­
казами 194
с неограниченным потоком
заявок 103
-
одноканальные 8, 20, 33
с ограничением на время
пребывания заявки в си­
стеме 149, 169
с ограниченной длиной оче ­
реди и временем пребыва­
ния заявки в системе 149,
154, 159
-
с отказами 370
с последовательно располо­
женными приборами 56
с приоритетными потоками
278
-, состоящая
из нескольких
неодинаковых приборов 11 О
-
со скользящим р езе рвом 208
Системы с бесконечным числом
одинаковых приборов 13·1
-
двухфазные с блокировко ii
первой фазы 126
Системы массового обслужиRа-
ния
двух неприоритетных
потоков 281
-
-
двухфазные 102, 125
-
-
, когда
число заявок
в группе случайное 51
-
-,в
которых количест­
во работающих приборов
зависит от длины очереди
285
-
-
-, ограничение
на вре­
мя пребывания в очереди
215
-
~. ограничение на длину
очереди 177, 226
-
-
-
од1rоканальные с пе ­
ременным в р еме н ем обслу­
живания 11\0
-
-
-, орг анизац ия
256
работ
-
-
-
с о тка зами (потеря­
ми) 20. 33, 243, 254, 300
-
-
- , оценка
влияния не­
стационарности 164
395

-
-, оценка
точности и
моделирования 298
-
-
с поступлени ем груп­
повых заявок 48
-
-
в случае двух групп
последовательно
р асполо­
женных приборов разной
производительности 66
-
-
смешанного типа 20,
2 1, 135, 168, 215
-
-, состоя щи е
из при бо­
ров р азной пр оизводитель-
1юсти 1186
-
-, среднее
чнсл о заня­
тых обслуживанием прибо­
ров 35
-
-, схема
работы при
гру пп овом поступлении тре ·
бован ий 122
-
-, упра вле ние 237
-
-, управлени е
длис~ой
о ч ереди заявок перед при­
борами 293
-
-
-, учет
надежност и
приборов 45, 331
, учет
н ачального пе·
риода работы 39
, учет
противодейст-
вующих факторов со старо·
ны заявок 251
-
-, эффективность 27, 63
-
-, эффективность
пол-
н о го обслуживан ия 254
-
многоканальные 8, 20, 33,
168, 215
-
-
.1.шоrофазные 69
Среднее вре мя работы рабо·
чего элемента до появления
отказа 208
число занятых приборо в 50
Ста 1~ионарность 108, 244, 275,
279
Теор11я массо вого обслуЖива­
ния 3, 143, 298
Эффективность обслуживаю-
щих систем 27
системы с ограниченным
вр еменем ожидания в оче ­
реди 255, 370, 372
системы с отказами 254

ОГЛАВЛЕНИЕ
П ред и словие
3
ГЛАВА
Содержание предмета, задачи и методы теории массового
обслуживания
5
Введение .
5
1. 1 . Основ н ые элементы системы массового обслуживания.
7
1.2. Входящий поток т р ебований (заяоок)
10
1.3 . Обслуживающие системы
20
1. 4. В р емя обслуживания
22
1.5. Выходящий поток
26
1.6 . Показатели эффективности обслуживающих систем
27
ГЛАВА 2
Системы массового обслуживания с потерями
2.1. Формулы Эрланга
2.2 . Неустановившийся процесс в системах массового обслу-
живания с отказами . .
.
2.3 . С и стемы с поступлением групповых заявок
.
2.4 . Системы с последовательно распо.1оженными приборами
2.5 . Од н оканальная многофазная система с отказами. Метод
приближенной о ценки пропускных способностей многока­
нальной многофазной системы
2.6. Системы с накопителем заявок
.
2.7. Пропускные с п особности системы с накопителем в не­
стационарном режиме
ГЛАВА 3
33
33
38
48
56
69
76
82
Системы массового обслуживания с ожиданием
87
3.1. Система с неограниченным потоком требований (разомкну-
тые системы)
.
87
3.2. Системы с ограниченным потоком требований (замкнутые
системы)
.
.
.
96
3.3. Двухфазные системы массового обслуживания с ожиданием 102
3.4. Система, состоящая из нескольких неодинаковых приборов 110
3.5. Работа системы массового обслуживания при поступлении
смешанного потока требований
.
114
3.6. Неустановившийся режим работы в разомкнутой системе
массового обслуживания с ожидаfшем
118
3.7. Групповое поступление заявок
.
.
.
121
3.8. Системы, в которых перед второй фазой невозможно уста-
новление очереди .
•
125
3.9. Системы с бесконечныNr числом одинаковых приборов
131
4.1 .
4.2.
ГЛАВА 4
Задачи обслуживания в смешанных системах
Системы с ограниченным средним временем ожидания
заявок в очереди
.
Системы с ограниченной · длиной очереди .
135
136
149
~97

4.3 . Оценка влиш1ия нестационарности на вероятност11ые со-
стояния системы
164
4.4. Особенности функционирования мно 1·окана л ьн ых систем
массо вого обслуживания смешанного типа при посту:r-
лен ии потока групповых заявок
168
4.5. Одноканальная система с переменным временем обслу-
живания .
180
4.6. Система массового обслуживания, состоящая из прибо -
ров разной производительности
186
ГЛАВА 5
Учет надежности работы обслуживающих приборов
192
5. 1. Система ненадежных приборов с отказами
194
5.2 . Пропускные способности систем с запасными частями
(блоками) на случай выхода из стрnя приборов .
199
5.3 . Среднее время раб оты рабочего элемента до появления
отказа в системе со скользящим резервом
208
5.4. Учет над еж но сти приборов в смешанно1~1 много канальной
системе
.
215
5.5 . Повышение надежности с истемы путем резервирования
с восстановлением
231
ГЛАВА 6
Некоторые вопросы управления работой систем
237
6.1 . Групповое обслуживание
238
6.2 . Обслуживание случайным числом с~::ободных приборов 243
6.3 . Учет противодействующих факторов со сторо ны заявок 251
6.4 . Эффективность полного обслуживания
254
6.5 . Работа системы по обслуж иванию заявок гру ппой при-
боров в нестационарном режиме .
260
6.6. Выбор последователь ности приоритето в, макс имизир ую -
щей вероятность полного обслуживания
265
6.7 . Нестационарный процесс в системе с ·выбором после-
довательности приоритетов
.
278
6.8 . Системы с пере менной структурой
284
ГЛАВА 7
Оценка ТО'lности и моделирование работы систем массового
обслуживания
298
7.1 . Оценка точности результатов расчетов по формулам тео-
рии массового обслуживания
298
7.2 . Решение задач массового обслуживания с помощью фи-
зической модели
311
Приложения
Приложение (к § 2.2). Вывод математическо1·0 о жида н н н чнс-
.11а 06сJ1уженны х з аявок за времн t
.
.
.
.
322
ПрнJ1ожение 2 (к § 2.6). Решение системы с накопителем
.
.
328
ПриJ1ожеиие 3 (1< § 5.4). Вывод уравн ений для с ме шанн ой си-
стемы с н енад ежными приборами
331
Приложение 4 (к § 6.1 и 6.2). Вывод у ра внений для системы,
обслуживающей заявку группой прибор ов
33R
Прилож ение 5 (таблицы и графики) .
347
Таблнца 1. Значение х2 в зависимости от w и р
347
Таблица 2. Значение функции е-х
.
348
а е-"
Таблица 3. Значение функций Рк (а)= 2кг-
350
398

.1'аблиЦа 4. Вероятности Р,, системы с отказа.ми
351
Таблица 5. Вероятности Ph системы массового обслужи-
вания с ограниченным временем ож идания
354
Таблица 6. Вероятности отказа системы с огр аниченным
временем ожидания в очереди .
362
Таб,1ица 7. Вероятно сть Ph системы массо вого обсJiужи-
вания с отказами при потоке групповы х заявок .
364
Таблица 8. В е роятност11 Ротн с истемы с отказам и п ри
потоке rpynnor.ыx заяво1<
368
Таблица 9. BepOllHIOCТI> Р1, системы с отказами, когда
посту пающую з аив1<у 0GсJJуж1шают все свободные прибор 1,1 369
Таблица 10. Вероятности W системы с отказам и
370
Таблица 11. Вероятности Ph системы с огран иченным
временем ожидания в очереди, когда по ступа ющую за-
явку обслуживают все сuобод11ые при боры
372
Таблица 12. Вероитн ости \\7 с1 1 стемы с огр аю!'1е1111ым
временем ожидания в uчереди
377
Таблиц а 13. Вероятн ост и Р 1, системы с н а копителем ДJJЯ
k<n
378
Таблица 14. Вероятност и Ротн системы с накопителем 379
Табл и ца 15. Математич еское ожидание чи сла обслужен-
ных заявок одноканальной снстемы с отказами за вре-
мя Т при неустан ов ивше мс я проце ссе (вр емя обслужи-
ван и я случайное) .
379
Таблица 16. Математическое ож и дание числ а заяв ок,
принятых на обслужива н ие одно1<ана ль ной с истемои
с отка з ами з а время Т при н еуст ановившемся процессе
(время обсJ1 уж ивания посто51нное)
380
Таблица 17. Всроятносп1 Р отн двухфазн ой од но1<э 1 1аль-
ной системы с отказа м и
381
'Табюща 18. Вероятности Ротн трехфазной одноканальной
системы с отказами
382
Таблица 19. Критические з н ач е ния Rнр для системы с от -
казами
386
Табли ца 20 . Случайная последоват ел ьность чисе.~, равно -
мерно рас п ределенных в интсрIJале 0 -; - 99999
.
.
.
.
3Е6
Таблица 21. Вероятности ОП<аза Рот" системы с отказами
двух последовательно расположенных приборов разной про-
'Изводительности........
387
Графики вероятностей отказа системы двух и трех при-
боров разной прои з водительности . .
389
Литература
391
И мен ной указатель
393
П редметщ,1 й указатель
394

олп Антонович новиков
СЕРГЕй ИВАНОВИЧ ПЕТУХОВ
Прикладные вопросы теории массового обслуживания
Редактор Н. Я. Гут чин а
Художествеш1L1Й редактор В. Т. С и до ре н к о
Технический ре:~,актор 3. Н . Рат 11 и к о в а
КорректорыТ. Л.К11язева, Г.М.Денисова
Т - 00536
Сдано в набор 16.VIII. -68 г .
Подписано в печать 11 .11. -69 г .
Формат 84Xl08fl6
Бумага типографс к ая ,N; 1
Объем 21 усл. п. л.
Тираж 14 200 экз.
Уч. изд. л . 21,31
Зак. 1444 ·
Издательство , Совет с кое радио • , Мо с ква, Главпочтамт, п/ я 693 .
Московская типография No 10 Гла вполиграфпрома
К:омитета по печ а ти при Совете Министров СССР
Москва, III.люзовая наб . , д. 10
Цена1р.29к.

J.
1·
'
j,
.
!
11
"
l

1р.29~·:
«СОВЕТС!<'()_ РАДИО»