А.В.П0ШРИ10В
ГЕОМЕТРИЯ
ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
z\z\
1 ПО ДВУМ СТОРОНАМ
И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ
2. ПО СТОРОНЕ
И ПРИЛЕГАЮЩИМ К НЕЙ
УГЛАМ
3. ПО ТРЕМ СТОРОНАМ
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ
ПРЯМЫХ
с||Ь, если:
Zi = Z2(Z3 = Z4)
или
Z1 4- Z4 = 180 е
(Z 2 4- Z3 = 180°)
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
ZB 4- _ € = 180"
СООТНОШЕНИЯ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
а2 ъ2 = С* (ТЕОРЕМА ПИФАГОРА]
а = с sin (ib с cos а а = b tg а
ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА
И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ УГЛОВ
функции	углх;					
	0°	30“	45е	60°	90°	180°
sin	0	1 т	1 л/2”	уз 2	1	0
cos	1	Уз~ 2	1 V2"	1	0	— 1
tg	0	1_ Vs	1	у/3	—	0
ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
1- РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
— X,)2 +- (у,- yj
1. КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
А.В.ПОГОРЕПОВ
ГЕОМЕТРИЯ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ДЛЯ
6---10 КЛАССОВ
С°ЕДНЕЙ ШКОЛЫ
ДОПУЩЕНО
МИНИСТЕРСТВОМ
ПРОСВЕЩЕНИЯ СССР
МОСКВА
„ПРОСВЕЩЕНИЕ" 1982
ББК 22.151я72
П43
4306020400—488
И133 (03) — 82
инф. письмо
Издательство «Просвещение», 1982
6 класс
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Геометрия — это наука о свойствах геометрических фи-
гур. Слово «геометрия» — греческое, в переводе на русский
язык означает «землемерие». Такое название связано с при-
менением геометрии для измерений на местности.
Примеры геометр: песких фигур: треугольник, квадрат,
окружность (рис. 1).
Геометрические фигуры бывают весьма разнообразн”.
Часть любой геометрической фигуры является геометриче-
ской фигурой. Объединение нескольких геометрических фи-
гур есть снова геометрическая фигура. На рисунке 2 фигура
слева состоит из треугольника и трех квадратов, а фи-
гура справа состоит из окружности и частей окружности.
Всякую геометрическую фигуру мы представляем себе со-
ставленной из точек.
Геометрия, которая изучается в школе, называется евкли-
довой, но имени древнегреческого ученого Евклида (III век
до н. э.), создавшего замечательное руководство по матема-
тике под наз заинек «Начала». В течение длительного времени
геометрию изучали по этой книге.
Мы начнем изучение геометрии с планиметрии. Плани-
метрия — это раздал геометрии, в котором изучаются фигу-
ры на плоскости.
Рис. 1
Рис. 2
3
ТОЧКА И ПРЯМАЯ
Основными геометрическими фигурами на плоскости яв-
ляются точка и прямая. На чэртеж точки и прямые нано-
сятся остро отточенным карандашом. Для построения прямых
пользуются линейкой. Точки принято обозначать прописны-
ми латинскими буквами: А, В, С, D, ... . Прямые обознача-
ются строчными латинскими буквами: a, b, с, d, ... .
На рисунке 3 вы видите точку А и прямую а.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ТОЧЕК
И ПРЯМЫХ
Посмотрите на рисунок 4. Вы видите прямые а, Ь и точ-
ки А, В, С. Точки А и С лежат на прямой а. Можно сказать
также, что точки А и С принадлежат прямой а или что пря-
мая а проходит через точки А и С.
Точка В лежит на прямой Ь. Она не лежит на пря-
мой а. Точка С лежит и на прямой а, и на прямой Ь.
Прямые а и Ъ пересекаются в точке €. Точка С является точке й
Рис. з
пересечения прямых а и Ь.
На рисунке 5 вы видите, как с по-
мощью линейки строится прямая, про-
ходящая через две заданные точки
А и В.
Основными свойствами
принадлежности точек и прямых на
плоскости мы будем называть следую-
щие два свойства:
Ij. Какова бы ни была прямая, су-
ществуют точки, принадлежащие этой
прямой, и точки, не принадлежа-
щие ей.
1г. Через любые две точки можно
провести прямую, и только одну.
Прямую можно обозначать двумя
точками, лежащими на ней. Наприме;,
прямую а на рисунке 4 можно обо-
значить АС, а прямую 6 молено обозна-
чить ВС.
4
Могут ли две различные прямые иметь более одной точки
пересечения? Не могут. Если бы они имели две точки пересе-
чения, то через эти точки проходили бы две различные пря-
мые. А это невозможно, так как через две точки проходит
только одна прямая. Таким образом, получается следующее
свойство:
1.1. Дее различные прямые либо не пересекаются, либо пе-
ресекаются только в одной точке.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЗАИМНОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ТОЧЕК
НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ
Посмотрите на онсунок 6. Вы видите прямую а и три точ-
ки А, В, С на этой прямой. Точка В лежит между точками А
и С, она разделяет точки А и С. Можно также сказать, что
точки АиС лежат по разные стороны от точки В. Точки Ан В
лежат по одну сторону от точки С, они не разделяются точ-
кой С. Точки В и С лежат по одну сторону от точки А.
Отрезком называется часть прямой,
’ юех точек этой прямой, лежащих меж-
ду двумя данными ее точками. Эти
точки называются концами отрезка.
Отрезок обозначается указанием его
концов. Когда говорят или пишут:
«отрезок АВ», то подразумевают отре-
зок с концами в точках Аи В.
На рисунке 7 вы видите отрезок АВ.
Он является частью прямой АВ. Эта
часть прямой выделена жирной ли-
нией. Точка X прямой лежит между
точками А и В. Поэтому она принадле-
жит отрезку АВ. Точка Y не лежит меж-
ду точками А и В. Поэтому она не при-
надлежит отрезку АВ.
Посмотрите на рисунок 8. Прямая
а разбивает плоскость на две полу-
плоскости. Это разбиение обладает
следующим свойством. Если концы ка-
кого-нибудь отрезка принадлежат одной
полуплоскости, то отрезок не пересека-
которая состоит из
Рис. 8
5
ется с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным по-
луплоскостям, то отрезок пересекается с прямой. На рисун-
ке 8 точки А п В лежат в одной из полуплос костей,
на которые прямая а разбивает плоскость. Поэтому отрезск
АВ не пересевается с прямой а. Точки С и D принадлежат
разным полуплоскостям. Поэтому отрезок CD пересекает
прямую а.
Основными свойствами расположения точек
на прямой и на плоскости мы будем называть следующиз
свойства:
П1. Из трех точек на прямой одна и только одна лгжит
между двумя другими.
Пг. Прямая разбивав! плоскость на две полуплоскости.
Задача (9). Дан л прямая и три точки А, В, С, не ле-
жащие на этой прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает
прямую, а отрезок АС не Пересе: :ает ее. Пересекает ли пря-
мую отрезок ВС? Объясните ответ.
Решение. Прямая разбивает плоскость на две полу-
плоскости. Точка А принадлежит одной из них. Отрезок АС
не пересекает прямую. Значит, точка С лежит в той же полу-
плоскости, что и точка А. Отрезок АВ пересекает прямую.
Значит, точка В лежит в другой полуплоскости. Таким обра-
зом, точки ВнС лежат в разных полуплоскостях. А это зна-
чит, что отрезок ВС пересекает нашу прямую.
Полупрямой или лучом называется часть прямой, которая
состоит из всех точек этой прямой, лежащих по одну сторону
от данной ее точки. Эта точка называется начальной течкой
полупрямой. Различные полупрямые одной и тей же прямой с
общей начальной точкой называются дополнительными.
На рисунке 9 зы видите прямую а и точку А на ней. Точка
А разбивает прямую а на две полупрямые. Одна из них выде-
лена жирной линией, а другая —
тонкой.
В/г	Полупрммые обозначаются строч-
ными латинскими буквами. Можно
обозначать полупрямую двумя точка-
Gми: начальной и еще какой-нибудь
'	точкой, принадлежащей полупрямой.
Рис. 9	При этом начальная точка ставится на
6
первом месте. Например, полупрямую, которая выделена жир-
ной линией на рисунке 9, можно обозначить АВ.
Задача (13). На отрезке АВ взята точка С. Среди полу-
прямых АВ, АС, С А и СВ назовите пары совпадающих полу-
прямых, дополнительных полупрямых. Объясните ответ.
Р е ш е н и е. Данные полупрямые имеют начальной точ-
кой либо точку А, либо точку С. Рассмотрим сначала полу-
прямые с начальной точкой А (полупрямые АВ и АС). Точка С
лежит между точками А и В, так как по условию задачи она
принадлежит отрезку АВ. Значит, точка А не лежит между
точками В и С, т. е. точки В и С лежат по одну сторону от
точки А. Поэтому полупрямые АВ и АС совпадающие.
Рассмотрим теперь полупрямые с начальной точкой С
(полупрямые С А и СВ). Точка С разделяет точки А и В. По-
этому точки А и В не могут принадлежать одной полупрямой,
а значит, полупрямые С А и СВ дополнительные.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ИЗМЕРЕНИЯ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ
Для измерения отрезков применяются различные изме-
рительные инструменты. Простейшим таким инструментом
является линейка с делениями на ней. На рисунке 10 отрезок
АВ равен 10 см, отрезок АС равен 6 см, а отрезок ВС равен
4 см. Длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.
Основными свойствами измерения отрезков
мы будем называть следующие свойства:
Illi. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую
нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он
разбивается любой его точкой.
Это значит, что если на отрезке АВ взять любую точку С,
то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.
Длину отрезка АВ называют также расстоянием между точ-
ками А и В.
Задача (16). Три точки А, В, С лежат на одной прямой.
Известно, что АВ = 4,3 см,
АС = 7,5 см, ВС — 3,2 см.
Может ли точка А лежать
между точками В и С? Может
ли точка С лежать между точ-
А	СВ
Рис. 10
1
ками А и Б? Какая из трех
точек А, В, С лежит между
двумя другими?
Решение. Если точка
А лежит между точками В и
С, то по свойству измерения
отрезков должно быть: АВ 4-
+ АС = ВС. Но 4,3 + 7,5 Ф
3,2. Значит, точка А не ле-
жит между точкам” В и С.
Если точка С ле.^зл.^ ножка
точками А и В, то должно
быть: АС + ВС = АВ. Но
7,5 + 3,2 =7^ 4,3. Значит, точ-
ка С не лежит между точка-
ми А и В.
Из трех точек на прямой
Рис. 13	X, В, С одна точка лежит
между двумя другими. Зна-
чит, этой точкой является В.
Углом называется фигура, которая состоит из двух раз-
личных полупрямых с общей начальной точкой. Эта точка
называется вершиной угла, а полупрямые — сторонами угла.
Если стороны угла являются дополнительными полупрямы-
ми одной прямой, то угол называется развернутым.
На рисунке 11 вы видите угол с вершиной О и сторонами
а, Ь. Угол обозначается либо указанием его вершины, либо
указанием его сторон, либо указанием трех точек: вершины
и двух точек на сторонах угла. Слово «угол» иногда заменя-
ют значком Z.. Угол на рисунке 11 можно обозначить тремя
способами: Z_O, Z_(ab), Z_AOB. В третьем способе обозначе-
ния угла буква, обозначающая вершину, ставится по-
середине.
Посмотрите на рисунок 12. Мы будем говорить, что луч с
проходит между сторонами угла (аЬ), если он исходит из его
вершины и пересекает какой-нибудь отрезок с концами на
сторонах угла.
В случае развернутого угла мы считаем, что любой
луч, исходящий из его вершины и отличный от его сторон,
проходит между сторонами угла.
а
Углы измеряются в градусах при помощи транспортира.
На рисунке 13 угол (аЬ) равен 120°, полупрямая с проходит
между сторонами угла (аЬ). Угол (ас) равен 90°, а угол (Ьс)
равен 30°. Угол (аЬ) равен сумме углов (ас) и (Ьс).
Основными свойствами измерения углов мы
будем называть следующие свойства:
Ш2. Каждый угол имеет определенную градусную меру,
большую нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера
угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разби-
вается любым лучом, проходящим между его сторонами.
Это значит, что если луч с проходит между сторонами угла
(аЬ), то угол (аЬ) равен сумме углов (ас) и (Ьс).
Задача (28). Может ли луч с проходить между сторо-
нами угла (аЬ), если Z_ (ас) = 30°, Z_(c£>) = 80°, A.(ab) —50?
Решение. Если луч с проходит между сторонами •
угла (аЬ), то по свойству измерения углов должно быть:
/ (ас) 4- / (cb) — Z_ (ab). Но 30° + 80° ф 50°. Значит, луч с
не может проходить между сторонами угла (аЬ).
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ОТКЛАДЫВАНИЯ ОТРЕЗКОВ И УГЛОВ
На рисунке 14 показано,
как с помощью линейки на
полупрямой а с начальной
точкой А можно отложить
отрезок данной длины (3 см).
Посмотрите на рисунок 15.
Полупрямая а, будучи про-
должена за начальную точку
А, разбивает плоскость на две
полуплоскости. На рисунке
показано, как с помощью
транспортира отложить от по-
лупрямой а в верхнюю полу-
плоскость угол с данной гра-
дусной мерой (60°).
Основными свой-
ствами откладывания от-
резков и углов мы будем
называть следующие свойства:
Рис. 14
Рис. 1б
9
IVi. На любой полупрямой от ее начальной точки можно
отложить отрезок заданной длины, и только один.
IV> От любой полупрямой в заданную полуплоскость мож-
но отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°,
и только один.
Задача (35). На луче АВ отложен отрезок АС, мень-
ший отрезка АВ. Какая из трех точек А, В, С лежит между
двумя другими? Объясните ответ.
Решение. Так как точки В и С лежат на одной полу-
прямой с начальной точкой А, то они не разделяются точкой
А, т. е. точка А не лежит между точками В и С. Может ли
точка В лежать между точками А и С? Если бы она лежала
между точками А и С, то было бы АВ -)- ВС = АС. Но это
невозможно, так как по условию отрезок АС меньше отрезка
АВ. Значит, точка В не лежит между точками А и С. Из трех
точек А, В, С одна лежит между двумя другими. Поэтому
точка С лежит между точками А и В.
СУЩЕСТВОВАНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВНОГО ДАННОМУ
Треугольником называется фигура, которая состоит из
трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков,
попарно соединяющих эти точки. Точки называются верши-
нами треугольника, а отрезки — его сторонами. На рисун-
ке 16 вы видите треугольник с вершинами А, В, С и сторо-
нами АВ, ВС, АС. Треугольник обозначается указанием его
вершин. Вместо слова «треугольник» иногда употребляют
значок А. Например, треугольник на рисунке 16 обознача-
ется так: ААВС.
Углом треугольника АВС при вершине А называется угол,
Рис. 16	Рис. 17
10
образованный полупрямыми АВ и. АС. Так же определяются
углы треугольника при вершинах В и С.
Два отрезка называются равными, если они имеют одина-
ковую длину. Два угла называются равными, если они имеют
одинаковую угловую меру в градусах. Треугольники АВС
и А1В1С1 называются равными, если у них А А — А А1г
АВ = ABt, АС = A Clt АВ = А1В1, ВС = BtClt АС =
= AiCt. Кратко это выражают словами: треугольники равны,
если у них соответствующие стороны и соответствующие уг-
лы расиы.
На рисунке 17 вы видите два равных треугольника: АВС
и А^В^С^. У них А А — АА±, АВ = A Blt АС = A Сг,
АВ = AtBlt ВС = BtClt АС = AjCi. На чертеже равные от-
резки обычно отмечают одной, двумя или тремя черточками, а
равные углы — одной, дзумя или тремя дужками.
Для обозначения равенства треугольников используется
обышый заак равенства: =. Запись А АВС = АА1В1С1 чи-
тается: «Треугольник АВС равен треугольнику А^^С^.
При этом имеет значение порядок, в котором записываются
вершины треугольника. Равенство А АВС — АА1В1С1 озна-
чает, что А А = AAltA В = A Bt, ... . А равенство ААВС =
= АВ1А1С1 означает уже совсем другое: АА = ABlt Ав =
= АА1г ... .
Задача (43). Треугольники АВС и PQR равны. Извест-
но, что сторона АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему рав-
ны сторона PQ и угол 1?? Объясните ответ.
Решение. Так как треугольники АВС и PQR равны,
то у них АС = AR, АВ — PQ. Значит, PQ = 10 м, AR =
= 90°.
Пусть мы имеем треугольник АВС и луч а (рис. 18). Пере-
местим треугольник АВС так, чтобы его вершина А совмести-
лась с нача им луча а, вершина В попала на луч а, а вершина
С оказалась в заданной по-
луплоскости, определяемой
лучом а и его продолжени-
ем. Вершины нашего тре-
угольника в этом новом
положении обозначим Аг,
Cl. Треугольник AlBlCl
11
равен треугольнику АВС. Существование треугольника
равного треугольнику АВС и расположенного ука-
занным образом относительно заданного луча а, мы относим
к числу основных свойств простейших фигур.
Это свойство мы будем формулировать так:
IV3. Каков бы ни был треугольник, существует равный
ему треугольник в заданном, расположении относительно дан-
ной полупрямой.
ОСНОВНОЕ СВОЙСТВО ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРЯМЫХ
Две прямые на плоскости называются параллельными, если
они не пересекаются. При этом прямые считаются неограни-
ченно продолженными в обоих направлениях.
На рисунке 19 показано, как с помощью угольника и ли-
нейки провести через данную точку В прямую Ъ, параллель-
ную данной прямой а.
Для обозначения параллельности прямых используется
значок ||. Запись а || Ь читается: «Прямая а параллельна
прямой Ь».
Основное свойство параллельных прямых со-
стоит в следующем:
V. Через точку, не лежащую на дан-
ной прямой, можно провести на плос-
кости не более одной прямой, парал-
лельной данной.
Задача (45). Может ли прямая,
пересекающая одну из двух параллель-
ных прямых, не пересекать другую?
Объясните ответ.
Решение. Обозначим через
а и b две параллельные прямые,
а через с обозначим прямую,
пересекающую одну из прямых а или
Ъ, например а. Обозначим через А точку
пересечения прямых а и с (рис. 20). Ес-
ли бы прямая с не пересекала прямую
Ъ, то через точку А проходили бы две
прямые, не пересекающие прямую Ь:
<2
прямая а и прямая с. Но по свойству параллельных прямых
это невозможно. Значит, прямая с, пересекая прямую а,
должна пересекать и прямую Ь.
АКСИОМЫ, ТЕОРЕМЫ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Правильность утверждения о свойстве той или иной
геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения.
Это рассуждение называется доказательством. Предложение,
выражающее свойство геометрической фигуры, которое до-
казывается, называется теоремой. Приведем пример.
Теорема 1.2. Если прямая, не проходящая ни через од-
ну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то
она пересекает только одну из двух других сторон.
Доказательство. Пусть прямая а не проходит
ни через одну из вершин треугольника АВС и пересекает его
сторону АВ (рис. 21). Прямая а разбивает плоскость на две
полуплоскости. Точки А и В лежат в разных полуплоскостях,
так как отрезок АВ пересекается с прямой а. Точка С лежит
в одной из этих полуплоскостей. Если точка С лежит в одной
полуплоскости с точкой А, то отрезок АС не пересекается с
прямой а, а отрезок ВС пересекается с этой прямой (рис. 21, а).
Если точка С лежит в одной полуплоскости с точкой В, то
отрезок АС пересекается с прямой а, а отрезок ВС не пересе-
кается (рис. 21, б). В обоих случаях прямая а пересекает толь-
ко один из отрезков АС или ВС. Вот и все доказательство.
Основные свойства простейших фигур, сформулированные
в данном параграфе, являются отправными в доказательствах
других свойств. Основные свойства не до-
казываются и называются аксиомами.	с
При доказательстве тпорем разреша-
ется пользоваться основными свойства- /	\
ми простейших фигур, т. е. аксиомами, _А__________\
« —	«л	я \	А
а также свойствами, уже доказанными,	\ а) м
т. е. доказанными теоремами. Никакими
Другими свойствами фигур, даже если они	f
нам кажутся очевидными, пользоваться s' тС?
нельзя.
При доказательстве теорем разреша- &-----у-----
ется пользоваться чертежом как геомет-
рической записью того, что мы выражаем Рис. 21
13
словами. Не разрешается использэзать в рассуждении свой-
ства фигуры, видные на чертеже, если мы не можем обосно-
вать их, опираясь на аксиомы и теоремы, доказанные ранее.
Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей.
В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется
условием теоремы. В другой части говорится о том, что долж-
но быть доказано. Эта часть называется заключением теоре-
мы. Условие теоремы 1.2 состоит в том, что прямая не прохо-
дит ни через одну из вершин треугольника и пересекает одну
из его сторон. Заключение теоремы состоит в том, что эта
прямая пересекает только одну из двух друхьх сторон тре-
угольника.
В геометрии наряду с такими словами, как аксиома и тео-
рема, используется также слово «определение». Дать опреде-
ление чему-либо — значит объяснить, что это такое. Напри-
мер, говорят: «Дайте определение треугольника». На это от-
вечают: «Треугольником называется фигура, которая состоит
из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков,
попарно соединяющих эти точки». Другой пример: «Дайте
о пределение параллельных прямых». Отвечаем: «Прямые на-
зыва ются параллельными, е зли они не пересекаются». Вы
уже знаете определения равенства отрезков, равенства углов
и треугольников.
ВОГ.?ОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Что такое геометрия?
2.	Приведите примеры геометрических фигур.
3.	Что такое планиметрия?
4.	Назовите основные геометрические фигуры на плоскости.
5.	Каким чертежным инструментом пользуются для прове-
дения прямых?
6.	Как обозначаются точки и прямые?
7.	Какие точки, отмеч энные на рисунке 4, лежат на прямой а,
какие точки — на прямой Ь? В какой точке прямые а и
b пересекаютсг?
8.	Сформулируйте основн ле свойства принадлежности точек
и прямых.
9.	Объясните, почему две различны s прямые не могут иметь
две точки пересечения.
10.	Какая из трех точек на рисунке 6 разделяет две другие?
Как расположены точки В и С относительно точки А?
11.	Объясните, что такое отрезок с концами в данных точках.
14
12	Какими свойствами обладает разбиение плоскости на две
полуплоскости?
13.	Сформулируйте основные свойства взаимного расположе-
ния точек на прямой и на плоскости.
14.	Что такое полупрямая или луч? Какие полупрямые на-
зываготся дополнительны ги?
15.	Как обозначаются полупрямые?
16.	Каким инструментом пользуются для измерения отрезков?
17.	Сформулируйте основное свойство измерения отрезков.
18.	Что называется расстоянием между двумя данными точ-
ками?
19.	Какая фигура называется углом?
20.	Назовите вершину и стороны угла на рисунке 11.
21.	Какой угол называется развернутым?
22.	Как обозначается угол?
23.	Объясните, что означает выражение: «Полупрямая про-
ходит между сторонами углаг.
24.	В каких единицах измеряются углы и с помощью какого
инструмента? Объясните, как проводится измерение.
25.	Сформулируйте основные свойства измерения углов.
26.	Сформулируйте основные свойства откладывания отрез-
ков и углов.
27.	Что такое треугольни::?
28.	Назовите вершины и стороны треугольника на рисунке 16.
29.	Что такое угол треугольника при данной вершине?
30.	Какие отрезки назывг-этся равными?
31.	Какие углы назы 'аются равными?
32.	Что означает выражение: «Треугольник АВС равен тре-
угольнику АуВуСу*? Как обозначается равенство тре-
угольников?
33.	Как на рисунке отмечаются у равных треугольников со-
ответствующие стороны и углы?
84.	Объясните по рисунку 18 существование треу: ольника,
равного данному.
35.	Какие прямые называются параллельными? Какой значок
используется для обозначения параллельности прямых?
36.	Сформулируйте основное свойство параллельных прямых.
37.	Что такое геометрическое доказательство?
38.	Что такое теорема?
39.	Приведите пример теоремы и ее доказательства.
40.	Сформулируйте аксиомы принадлежности точек и прямых.
41.	Сформулируйте аксиомы измерения отрезков и углов.
42.	Сформулируйте аксиомы откладывания отрезков и углов.
43.	Сформулируйте аксиому существования треугольна.^,
равного данному.
44.	В чем состоит аксиома параллельных?
45.	Какими свойствами геометрических фигур разрешаете я
пользоваться при доказательстве теоремы?
15
4G. Как используется чертеж при доказательстве теоремы?
47. Из каких двух частей состоит формулировка теоремы?
48. Что значит дать определение чему-либо? Дайте определе-
ния равенства отрезков, углов и треугольников.
УПРАЖНЕНИЯ 1
1.	Проведите прямую. Отметьте какую-нибудь точку А,
лежащую на прямой, и точку В, не лежащую на прямой.
2.	Проведите две пересекающиеся прямые а и Ь. Отметьте
точку С пересечения прямых, точку А на прямой а,
не лежащую на прямой Ь, точку D, не лежащую ни на
одной из прямых а и Ь.
3.	Отметьте на листе бумаги две точки. Проведите через них
от руки прямую. С помощью линейки проверьте правиль-
ность построения. Повторите упражнение.
4.	Отметьте на листе бумаги две точки. Отметьте теперь
третью точку на глаз так, чтобы она лежала на прямой,
проходящей через первые две точки. Проверьте правиль-
ность построения с помощью линейки. Повторите упраж-
нение.
5.	Проведите прямую а. Отмерьте на прямой две какие-
нибудь точки А и В. Отметьте теперь точку С так, чтобы
точка А лежала между точками В и С.
6.	Проведите прямую а. Отметьте на прямой две какие-
нибудь точки А и В. Отметьте теперь какую-нибудь
точку С отрезка АВ.
7.	Сколько точек пересечения могут иметь два отрезка,
если они не лежат на одной прямой? Объясните ответ.
8.	Проведите прямую и отметьте какую-нибудь точку А,
не лежащую на этой прямой. Отметьте теперь две точ-
ки В и С так, чтобы отрезок АВ пересекал прямую, а
отрезок ВС не пересекал ее.
9.	Даны прямая и три точки А, В, С, не лежащие на этой
прямой. Известно, что отрезок АВ пересекает прямую, а
отрезок АС не пересекает ее. Пересекает ли прямую от-
резок ВС? Объясните ответ.
10.	Даны прямая и четыре точки А, В, С и D, не лежащие
на этой прямой. Пересекает ли прямую отрезок AD,
если: 1) отрезки АВ, ВС и CD пересекают прямую;
2) отрезки АС и BD пересекают прямую, а отрезок АВ
не пересекает; 3) отрезки АВ и CD пересекают прямую,
а отрезок ВС не пересекает; 4) отрезки АВ и CD не пе-
ресекают прямую, а отрезок ВС пересекает; 5) отрезки
1 Многие упражнения настоящего учебника взяты из школьных учеб-
ников и задачников прошлых лет, в особенности лз < Геометрии  А. П. Кисе-
лева и «Сборника задач по геометрии» Н. Рыбкина.
16
АВ, ВС и CD не пересекают прямую; 6) отрезки АВ,
АС и CD пересекают прямую? Объясните ответ.
11.	Даны пять точек и прямая, не проходящая ни через
одну из этих точек. Известно, что три точки располо-
жены в одной полуплоскости относительно этой прямой,
а две точки — в другой полуплоскости. Каждая пара
точек соединена отрезком. Сколько отрезков пересе-
кает прямую? Объясните ответ.
12.	Отметьте две точки А и В. Проведите полупрямую АВ.
13.	На отрезке АВ взята точка С. Среди полупрямых АВ,
АС, С А, СВ назовите пары совпадающих полупрямых,
дополнительных полупрямых. Объясните ответ.
14.	Точка М лежит на прямой CD между точками С и. D.
Найдите длину отрезка CD, если: 1) СМ = 2,5 см,
MD = 3,5 см; 2) СМ = 3,1 дм, MD = 4,6 дм; 3) СМ ==
= 12,3 м, MD = 5,8 м.
15.	Отметьте на прямой две точки. Отметьте на глаз середи-
ну отрезка, соединяющего эти точки. Проверьте пра-
вильность построения измерениями с помощью линей-
ки. Повторите упражнение.
16.	Три точки А, В, С лежат на одной прямой. Известно,
что АВ — 4,3 см, АС = 7,5 см, ВС = 3,2 см. Может ли
точка А лежать между точками В и С? Может ли точка
С лежать между точками А и В? Какая из трех точек
А, В, С лежит между двумя другими?
17.	Точки А, В, С лежат на одной прямой. Принадлежит
ли точка В отрееку АС, если: 1) АС = 5 см, ВС = 7 см;
2) АС — 9,1 м, АВ - 9,2 м; 3) АВ = 3 дм, ВС — 4 дм,
АС = 7 дм? Объясните ответ.
18.	Точки А, В, С лежат на одной прямой. Может ли точка
В разделять точки А и С, если: 1) АС — 5 см, АВ =»
= 7 см; 2) АС = 7 м, ВС = 7,6 м? Объясните ответ.
19.	Могут ли точки А, В, С лежать на одной прямой, если
АВ — 1,8 м, АС — 1,3 м, ВС = 3 м? Объясните ответ ,
20. Расстояния от точки А до точек В и С раины 5 см и
7 см, а расстояние между точками В и С равно 6 см.
Могут ли точки А, В и С лежать на одной прямой?
Объясните ответ.
21.	Могут ли три точки А, В, С лежать на одной прямой,
если длина большего отрезка АВ меньше суммы длин
отрезков АС и ВС? Объясните ответ.
22.	Точки А, В, С лежат на одной прямой. Найдите длину
отрезка ВС, если АВ — 2,7 м, АС — 3,2 м. Сколько
решений имеет задача?
23.	На отрезке АВ взята точка С. Какой отрезок длиннее:
АВ или АС? Почему?
24.	Может ли точка X принадлежать отрезку АВ, если
АХ > АВ? Объясните ответ.
17
25.	На отрезке АВ длиной 15 м отмечена точка С. Найдите
длины отрезков АС и ВС, если: 1) отрезок АС на 3 к
длиннее отрезка ВС', 2) отрезок АС в два раза длин-
нее отрезка ВС; 3) точка С — середина отрезка АВ;
4) длины отрезков АС и ВС относятся как 2 : 3.
28.	Проведите из одной точки три произвольных луча.
Определите на глаз угли, образуемые этими лучами.
Проверьте ваши ответы, измеряя углы транспортиром.
Повторите упражнение.
27.	Луч а проходит между сторонами угла (cd). Найдите
угол (с<Ог если: 1) Z. (ас) = 35°, Z. (ad) = 75°;
2) А. (ас) = 57°, Z_(ad) = 62°; 3) А. (ас) = 94°, Z. (ad) =
= 85°.
23.	Может ли луч с проходить между сторонами угла (аЬ),
если: 1) А. (ас) = 30°, Z_ (cb) = 80°, Z. (аЬ) = 50°;
2) А. (ас) = 100°, Z-(cb) = 90°; 3) угол (ас) больше уг-
ла (аЬ)?
29.	Луч с проходит между сторонами угла (аЬ). Какой угол
больше: Z_ (ub) или 2_ (ас)? Почему?
80.	Между сторонами угла (аЬ), равного 60°, проходит луч
с. Нгйдите углы (ас) и (Ьс), если: 1) угол (ас) на 30°
больше угла (Ьс); 2) угол (ас) в два раза больше угла
(Ьс); 3) луч с делит угол (аЬ) пополам; 4) градусные ме-
ры углов (ас) и (Ьс) относятся как 2 : 3.
31.	Проведите прямую. Отметьте на ней какую-нибудь точ-
ку А. А теперь отметьте на глаз точку В этой прямой так,
чтобы АВ = 5 см. Проверьте точхх >сть построения точ-
ки В линейкой. Повторите упражнение для: 1) АВ =
— 3 см, 2) АВ = 7 см, 3) АВ = 10 см.
32.	Постройте на глаз углы 30°, 45°, 60°, 90°. Проверьте
точность построения транспортиром. Повторите упраж-
нение.
33.	Существует ли на полупрямой АВ та кая точка X, от-
личная от В, что АХ = АВ"1 Объясните ответ.
34.	Сколько существует точек X на прямой А. В, отличных
от В, для которых АХ = АВ? Объясните ответ.
35.	На луче АВ отложен отрезок АС, меньший отрезка АВ.
Какая из трех точек А, В, С лежит между двумя други-
ми? Объясните ответ.
36.	На луче АВ отмечена точка С. Найдите длину отрезка
ВС, если: 1) АВ = 1,5 м, АС = 0,3 м; 2) АВ = 2 см,
АС = 4,4 см.
37.	Постройте на глаз треугольник с равными сторонами
(равносторонний треугольник). Проверьте точность по-
строения измерением сторон.
38.	На стороне АВ треугольника АВС взята точка D. Чему
равна сторона АВ треугольника, если AD — 5 см, а
BD = 6 см?
и
39.	На стероне АВ треугольника АВС взята точка D. Че-
му равен угол С треугольника, если AACD — 30°, а
A BCD = 70°?
40.	Начертите какой-нибудь треугольник. Постройте от
руки, на глаз, равный ему треугольник. Проверьте пра-
вильность построения, измеряя соответствующие углы
и стороны. Повторите упражнение.
41.	Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что АВ =
= 5 см, ВС = 6 см, АС = 7 см. Найдите стороны тре-
угольника PQR. Объясните ответ.
42.	Треугольники АВС и PQR равны. Углы второго тре-
угольника известны*. А Р = 40°, A Q — 60°, A R = 80°.
Найдите углы треугольника АВС.
43.	Треугольники АВС и PQR равны. Известно, что сторо-
на АВ равна 10 м, а угол С равен 90°. Чему равны сто-
рона PQ и угол R? Объясните ответ.
44.	Треугольники ABC, PQR и XYZ равны. Известно, что
АВ = 5 см, QR = 6 см, ZX = 7 см. Найдит; (стальные
стороны каждого треугольника.
45.	Может ли пряная, пересекающая одну из двух парал-
лельных прямых, не пересекать другую? Объясните
ответ.
46.	Даны две пересекающиеся прямые. Можно ли провести
третью прямую, параллельную каждой из двух данных?
47.	Может ли прямая, не проходящая ни через одну из вер-
шин треугольника, пересекать каждую его сторону? По-
чему?
48.	Даны четыре точки: А, В, С и D. Известно, что точ-
ки А, В, С лежат на одной прямой и точки В, С, D так;
же лежат на одной прямой. Докажите, что все четырэ
точки лежат на одной прямой.
49.	Даны четыре прямые: а, Ь, с и d. Известно, что прямые
а, Ъ, с пересекаются в одной точке и прямые b, с, d так-
же пересекаются в одной точке. Докажите, что все че-
тыре данные прямые проходят через одну точку.
50.	Прямая АВ пересекает отрезок CD, а прямая CD пере-
секает отрезок АВ. Докажите, что отрезки АВ и CD
пересекаются.
51.	Дан треугольник АВС. На стороне АС взята точка Blt
а на стороне ВС — точка -41. Докажите, что отрезки
ААГ и BBt пересекаются.
52.	Отрезки АВ и CD, не лежащие на одной прямой, пере-
секаются в точке Е. Докажите, что отрезок АС не пере-
секает прямую BD.
rb
§ 2. УГЛЫ
СМЕЖНЫЕ УГЛЫ
Определение. Два угла на-
зываются смежными, если у них одна
сторона общая, а другие стороны эти"
углов являются дополнительными по-
лупрямыми.
На рисунке 22 углы (щб) и (а2Ь)
смежные. У них сторона Ъ общая, а
стороны ах и а2 являются дополнитель-
ными полупрямыми.
Пусть С — точка на прямой АВ, лежащая между точкам!
А и В, a D — точка, не лежащая на прямой АВ (рис. 23).
Тогда углы BCD и ACD смежные. У них сторона CD общая.
Стороны С А и СВ являются дополнительными полупрямы-
ми прямой АВ, так как точки А и В этих полупрямых разде-
ляются начальной точкой С.
Теорема 2.1. Сумма смежных углов равна 180°.
Д ^казательство. Пусть /_ (ctjb) и А (а2Ь) — дан-
ные смежные углы (см. рис. 22). Луч Ъ проходит между сторо-
нами аг и а2 развернутого угла. Поэтому сумма углов (щЬ)
и (а2Ь) равна развернутому углу, т. е. 180°. Теорема доказана.
Из теоремы 2.1 следует, что если два угла равны, то смеж-
ные с ними углы равны.
Задача (3). Найдите смежные углы, если один из них
в два раза больше другого.
Решение. Обозначим градусную меру меньшего из
углов через х. Тогда градусная мера большего угла будет 2х.
прямой угол
20
Сумма углов равна 180°. Итак,
х + 2.x = 180.
Отсюда х = 60. Значит, наши смежные углы равна 60° и 120°.
Угол, равный 90°, называется прямым углом. Ия теоре-
мы 2.1 следует, что угол, смежный с прямым углом, есть пря-
мой угол.
Угол, меньший 90', называется острым углом. Угол, боль-
ший 90° и меньший 180°, называется тупы; i. Так как сумма
смежных углов равна 180°, то угол, смежный с острым, туп >й,
а угол, смежный с тупым, острый. На рисунке 24 изображе-
ны три вида углов.
ВЕРТИКАЛЬНЫЕ УГЛЫ
Определение. Два угла называются вертикальны-
ми, если стороны одного угла являются дополнительными по-
лупрямыми сторон другого.
На рисунке 25 углы и (а„&2) вертикальные. Стороны
аа и &2 второго угла являются дополнительными полупря-
мыми сторон аъ и bi первого угла.
Теорема 2. 2. Вертикальные углы равны.
Доказательство. Пусть (а1Ь1) и (а2Ь2) — данные
вертикальные углы (рис. 25). Угол (<Zi&2) является смежным
с углом (Oi&i) и с углом (п2Ь2). Отсюда по теореме 2.1 заключа-
ем, что каждый из углов (а^) и (а2&2) дополняет угол (а^)
до 180°, т. е. углы (ajbi) и (а2Ь2) равны. Теорема доказана.
Задача (8). Сумма двух углов, которые получаются
при пересечении двух прямых, равна 50°. Найдите
эти углы
Решение. Два угла, которые
получаются при пересечении двух пря-
мых, либо смежные, либо вертикальные.
Данные углы не могут быть смежными,
так как их сумма равна 50°, а сумма
ci южных углов равна 180°. Значит, они
вертикальные. Так как вертикальные
углы равны и по условию их сумма 50°,
то каждый из углов равен 25°.
Рис. 25
21
Рис. 28
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ
Пусть а и Ь — две пересекающие-
ся прят.:ые (рис. 26). Они образуют
четыре угла. Пусть а — один из этих
углов. Тогда любой из остальных трех
углов будет либо смежным с углом а,
либо вертикальны л с углом а. Отсюда
следует, что если один из углов прямой,
то остальные углы тоже прямые. В
этом случае мы говорим, что прямые
пересекаются под прямым углом.
Определение. Две прямые
называются перпендикулярными, если
они пересекаются под прямы:.! углом
(рис. 27).
Перпендикулярность прямых обоз-
начается значком ±. Запись а ± b
читается: «Прямая а перпендикулярна
прямой &».
Определение. Перпендикуля-
рам к данной прямой называется от-
резок прямой, перпендикулярной дан-
ной, имеющий концом их точку пере-
сечения. Этот конец отрезка называет-
ся основанием перпендикуляра.
На рисунке 28 перпендикуляр АВ
проведен из точки А к прямой а. Точ-
ка В — основание перпендикуляра.
Теорема 2.3. Через кажду\о точку
прямой можно провести перпендику-
лярную ей прямую, и только одну.
Доказательство. Пусть
а — данная прямая и А — данная
точка на ней. Обозначим через щ одну
из полупрямых прямой а с начальной
точкой А (рис. 29). Отл )жим от полу-
прямой ах угол равный 90°. Тс г-
да прямая, содержащая луч blt будет
перпендикулярна прямой а.
22
Допустим, что существует другая прямая, тоясэ прохо-
дящая через точку А и перпендикулярная прямой а. Обозна-
чим через сх полупрямую этой прямой, лежащую в одной полу-
плоскости с лучом Ьх.
Углы и (fliCj), равные 90° каждый, отложены в одну
полупл. зкость от полупрямой щ. Но от полупрямой Ctj в
данную полуплоскость можно отложить только один угол,
равный 90°. Поэтому не может быть другой прямой, проходя-
щей через точку А и перпендикулярной прямой а. Теорема
д жызана.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОТ ПРОТИВНОГО
Способ доказательства, который мы применили в теореме
2.3, называется доказательством от противного. Этот способ
доказательства состоит в том, что мы делаем сначала предпо-
ложение, противоположное тому, что утверждается теоремой.
Затем путем рассуждений, опираясь на аксиомы и уже дока-
занные теоремы, приходим к выводу, противоречащему либо
условию теоремы, либо одной из аксиом, либо доказанной ра-
нее теореме. На этом основании заключаем, что наше предпо-
ложение было неверным, а значит, верно утверждение тео-
ремы.
Поясним это на примере доказательства теоремы 2.3. Тео-
ремой утверждается, что через каждую точку прямой можно
провести только одну перпендикулярную ей прямую. Допу-
стив, что таких прямых можно провести две, мы пришли к
выводу, что от данной полупрямой в данную полуплоскость
можно отложить два угла с одной и той же градусной мерой
(90°). А это противоречит аксиоме откладывания углов. Со-
гласно этой аксиоме от данной полупрямой в данную полуплос-
кость можно отложить только один угол с данной градусной
мерой.
УГЛЫ, ОТЛОЖЕННЫЕ В ОДНУ ПОЛУПЛОСКОСТИ
Теорема 2.4. Если от данной полупрямой отложить в од-
ну полуплоскость два угла, то сторона меньшего угла, отлич-
ная от данной полупрямой, проходит между сторонами боль-
шего угла.
23
Доказательство. Пусть Z_(ab) и Z-(ас) — углы,
отложенные от данной полупрямой а в одну полуплоскость, и
пусть угол (ab) меньше угла (ас) (рис. 30). Докажем, что луч
Ь проходит между сторонами угла (ас).
Обозначим через аг полупрямую, дополнительную к а.
Отметим на луче а какую-нибудь точку А, на луче aL точку В
и на луче с точку С.
Прямая, содержащая луч Ь, пересекает сторону АВ тре-
угольника АВС, а значит, пересекает одну из двух других
его сторон: АС или ВС. Пересечение
производится лучом Ь, так как допол-
нительный луч лежит в другой полу-
плоскости.
Допустим, что луч Ъ пересекает
отрезок ВС, а значит, проходит меж-
ду сторонами угла (atc) (рис. 30, а).
Тогда угол (а1с) больше угла (arb). А
для смежных им углов будет: угол (ас)
меньше угла (ab). Но это противоре-
чит условию теоремы. Итак, луч Ъ не
пересекает отрезок ВС. Значит, он пе-
ресекает отрезок АС (рис. 30, б) и
поэтому проходит между сторонами уг-
ла (ас). Теорема доказана.
Задача (16). От полупрямой АВ
в разные полуплоскости отложены уг-
лы Z. ВАС = 80° и Z_ BAD = 70°. Най-
дите угол CAD.
Решение. Так как точки С и D
лежат в разных полуплоскостях относи-
тельно прямой АВ, то отрезок CD пе-
ресекает эту прямую (рис. 31). Зна-
чит, луч АВ или дополнительный
луч АЕ проходит между сторонами уг-
ла CAD. Поэтому угол CAD равен ли-
бо сумме углов ВАС и BAD, либо сум-
ме смежных им углов ЕАС и EAD. В
первом случае он равен 80° + 70° =
=150°, а во втором (180°—80°)+(180°—
24
— 70°) = 210J. Второй случай невоз-
можен, так как градусная мера угла
не превосходит 180°. Итак, угол CAD
равен 150°.
Определение. Биссектрисой
угла называется луч, который исходит
из его вершины, проходит между его
сторонами и делит угол пополам.
На рисунке 32 вы видите угол
(аЬ). Луч с исходит из вершины угла,
проходит между его сторонами и д элит
угол пополам: Z_(ac) = Z_(&c). Луч с
является биссектрисой угла (а&).
Задача (20). Найдите угол меж-
ду биссектрисами смежных углов.
Решение. Пусть Z_ (ab) и
Z. («!&) — см ежные углы и с, сг — их
биссектрисы (рис. 33). Обозначим угол
(ас) через х. Тогда
Z_(ajc) = 180° — х, Z_ (а&) = 2х, Z. (а^) - 180 — 2х,
. .	.	180° —2* пг.о
Z. (ajcj =----- =90 — х.
Так как угол (агс) больше угла (а^), то луч с^ проходит
между сторонами угла (с^с). Значит,
Z_(ccO = Z_(arc) — Z_(a1C1) = (180° — х) — (90° — х) = 90°.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Какие углы называются смежными?
2.	Объясните, почему углы DC А и DCB на рисунке 23
смежные.
3.	Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.
4.	Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними
углы также равны.
5.	Какой угол называется прямым (острым, тупым)?
6.	Докажите, что угол, смежный прямому, есть прямой
угол.
7.	Какие углы называются вертикальными?
8.	Докажите, что вертикальные углы равны.
9.	Докажите, что если при пересечении двух прямых один
из углов прямой, то остальные три угла тоже прямые.
Ю. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой
значок используется для обозначения перпендикуляр-
ности прямых?
25
11.	Что такое перпендикуляр к прямой?
12.	Докажите, что через любую точку прямой можно про-
вести перпендикулярную ей прямую, и только одну.
13.	Объясните, в чей состоит доказательство от противного.
14.	Докажите теорему об углах, отложенных в одну полу-
плоскость.
15.	Что называется биссектрисой угла?
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Найдите углы, смежные с углами: 1) 30°, 2) 45°, 3) 60°,
4) 90°.
2.	Могут ли два смежных угла быть оба: 1) острыми; 2) ту-
пыми; 3) прямыми? Обоснуйте ответ.
3.	Найдите смежные углы, если один из них в два раза
больше другого.
4.	Найдите смежные углы, если: 1) один из них на 30°
больше другого; 2) их разность равна 40°; 3) один из
них в 3 раза меньше другого.
5.	Найдите смежные углы, если их градусные меры отно-
сятся как: 1) 2 : 3; 2) 3 : 7; 3) 11 : 25; 4) 22 : 23.
6.	Один из углов, которые получаются при пересечении.двух
прямых, равен 30°. Чему равны остальные углы?
7.	Чему равен угол, если два смежных с ним угла состав-
ляют в сумме 100°?
8.	Сумма двух углов, которые получаются при пересече-
нии двух прямых, равна 50°. Найдите эти углы.
9.	Один из углов, которые получаются при пересечении
двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите эти
углы.
10.	Один из углов, которые получаются при пересечении
двух прямых, на 50° меньше другого. Найдите эти углы.
11.	Найдите углы, которые получаются при пересечении
двух прямых, если сумма трех из этих углов равна 270°.
12.	Докажите, что если три из четырех углов, которые полу-
чаются прп пересечении двух прямых, равны, то пря-
мые перпендикулярны.
13.	Проходит ли луч с между сторонами угла (а&), если:
1) Z_ (ab) — 40°, Z_ (ас) = 50°; 2) углы (ас) и (&с) тупые?
14.	Из вершины развернутого угла (аа^ в одну полупло-
скость проведены лучи Ъ и с. Чеку равен угол (&с), если:
1) Z_(a&) = 50°, Z_(uc) = 70°; 2) Z. (a^) =50°, Z_ (ac) =
= 70°; 3) Z. (a&) = 60°, Z. (aLc) = 30°?
15.	Из вершины развернутого угла (aax) проведены лучи b
и с в одну полуплоскость. Известно, что /_ (аЬ) = 60°,
а Z_(ac) = 30°. Найдите углы (а^Ъ), (а^с) и (&с).
16.	От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены
углы А. ВАС = 80° и Z_ BAD = 70°. Найдите угол САП.
17.	От полупрямой АВ в разные полуплоскости отложены
26
углы ВАС и BAD. Нааднте угел
CAD, если: 1) Z. ВАС = 80°,
Z. BAD = 170°; 2) ABAC = 87°,
A BAD = 93°; 3) Z. ВАС = 140',
A BAD = 30°.
18.	Чему равен угол между биссект-
рисой и стороной данного угла,
равного: 1) 30°; 2) 52°; 3) 172е?
19.	Найдите угол, если его биссект-
риса образует со стороной угол,
равный: 1) 60°; 2) 75е; 3) 89°.
20.	Найдите угол между биссектри-
сами смежных углов.
21.	Докажите, что биссектрисы вер-
тикальных углов лежат на одной
прямой.
22.	Найдите угол между биссектри-
сой и продолжением одной из сто-
рон данного угла, равного: 1) 50°;
2) 90°; 3) 150°.
Рис. 35
23.	Докажите, что если луч, исходящий из вершины угла,
пер заекает отрезок АВ с концами на сторонах угла, то
он пересекает: 1) отрезок АС с концами на сторонах
угла (рис. 34); 2) любой другой отрезок CD с концами
на сторонах это”о угла (рис. 35).
§ 3. ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
П^РЗЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.1 (признак равенства треугольников по
двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол
между ними одного треугольника равны соответственно двум
сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие
треугольники равнь'.
Доказательство. Пусть у треугольников АВС
и АВ& А А = Z-A, ЛВ = АВ1, АС *= AiPi (рис. 36).
Докажем, что треугочьники равны, т. е. докажем, что у них
и АВ = АВ2, АС = AClt ВС = В&.
По аксиоме существования треугольника, равного дан-
ному, существует треугольник AtB3Cs, равный треугольни-
ку АВС, у которого вершина В2 лежит на луче AjB^ а вер-
27
Рис. 37
Рис. 36
шина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной Сх отно-
сительно прямой А1В1. Так как АХВХ = АХВ2, то по аксиоме
откладывания отрезков точка Ва совпадает с точкой Вх. Так
как Z. Bj^AiCj^ = Z_ B2AtC2, то по аксиом? откладывания уг-
лов луч АгС2 совпадает с лучом Д1СХ. И так как АХСХ = А±С2,
то вершина С2 совпадает с вершиной Сх. Итак, треугольник
АХВХСХ совпадает с треугольником АХВ2С'2, а значит, равен
треугольнику АВС. Теорема доказана.
Задача (1). Отрезки АВ и CD пересекаются в, точ-
ке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен
отрезок BD, если отрезок АС = 10 м?
Решение. Треугольники АОС и BOD равны по пер-
вому признаку равенства треугольников (рис. 37). У них
углы АОС и BOD равны как вертикальные, а ОА — ОВ и
ОС = OD потому, что точка О является серединой отрезков
АВ и CD. Из равенства треугольников АОС и BOD следует
равенство их сторон АС и BD. А так как по условию задачи
АС = 10 м, то и BD = 10 м.
ВТОРОЙ признак равенства треугольников
Теорема 3.2 (признак равенства треугольников по
стороне и прилежащим к ней углам). Если сторона и приле-
жащие к ней углы одного треугольника равны соответственно
стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то
такие треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и АХВХСХ — два
треугольника, у которых АВ = АХВХ, Z_A=Z_AX и А_В =
— А. Вх (рис. 38). Докажем, что треугольники равны, т. е.
докажем, что АС = АХСХ, ВС = В& и А. С = Z_ Сх.
28
По аксионе существования треугольника, равного дан-
ному, существует треугольник	равный треуголь-
нику АБС, у которого вершина В2 лежит на луче Ai-Bu а
вершина С2 лежит в одной полуплоскости с вершиной от-
носительно прямой А1В1. Так как ALB2 = ЛаЬ‘1, то верши-
на В2 совпадает с вершиной Вг. Так как Z_ В1А1С2 = АВ1А1С1
и AAlB1C2 = А А1В1С1, то по аксиоме откладывания углов
луч AxCi совпадает с лучом AtC2, а луч В1С1 совпадает с лу-
чом B±C2. Отсюда следует, что вершина С2 совпадает с вер-
шиной Cj. Итак, треугольник А1В1С1 совпадает с треуголь-
ником AiB2C2, а значит, равен треугольнику АВС. Теорема
доказана.
РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник называется равнобедренным, если у него две
стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми
сторонами, а третья сторона называется основанием тре-
угольника.
На рисунке 39 изображён равнобедренный треугольник
АБС. У него боковые стороны АС и ВС, а основание АВ.
Теорема 3. 3. В равнобедренном треугольнике углы
при основании равны.
Доказательство. Пусть АВС — равнобедренный
треугольник с основанием АВ (рис. 39). Докажем, что у него
А А = АВ. Треугольник С АВ равен треугольнику СВ А
по первому признаку равенства треугольников. Действитель-
но, С А = СБ, СВ — С А, АС = АС. Из равенства тре-
угольников следует, что А А = АВ. Теорема доказана.
Треугольник, у которого все стороны равны, называется
равносторонним.
Задача (13). Докажите, что у равностороннего тре-
угольника все углы равны.
Рис. 38	Рис. 39	Рис. 40
29
Решение. Пусть АВС — данный треугольник с рав-
ными сторонами: АВ = ВС = СА (рис. 40). Так как АВ =
=ВС, то этот тпоуголь 1ик равнобедренный с основание^ АС.
По теореме 3.3 А С = Z. А. Так как ВС — С А, то треуголь-
ник АВС равнобедренный с основанием АВ. По теореме 3.3
А А = АВ. Таким образом, АС = А А = АВ, т. е. все
углы треугольника равны.
Теорема 3. 4. Если в треугольнике два угла равны, то он
равнобедренный.
Доказательство. Пусть АВС — треугольник, в
котором А А = АВ (см. рис. 39). Докажем, что он равно-
бедренный с основанием АВ. Треугольник АВС равен тре-
угольнику ВАС по второму признаку равенства треуголь-
ников. Действительно, АВ = ВА, АВ = А А, А А = АВ.
Из равенства треугольников следует, что АС = ВС. Теорема
доказана.
Теорема 3.4 называется обратной теореме 3.3. Заключе-
ние теоремы 3.3 является условием теоремы 3.4. А условие
теоремы 3.3 является заключением теоремы 3.4. Не всякая
теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна,
то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на
примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно
сформулировать так: если два угла вертикальные, то они
равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла
равн ы, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два
равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными.
Задача (14). Сформулируйте и докажите теорему,
обратную утвер’ едению задачи 13.
Решение. В задаче 13 условие состоит в том, что тре-
угольник равносторонний, т. е. все его стороны равны, а за-
ключение — в том, что все углы треугольника равны. По-
этому обратная теорема должна формулироваться так. Если
у треугольника все углы равны, то у него все стороны равны.
Докажем эту теорему.
Пусть АВС — треугольник с равными углами: А А =
= АВ = АС. Так как АА = АВ, то по теореме 3.4 АС =
= СВ. Так как АВ = АС, то по теореме 3.4 АС = АВ.
Такт t образом, АВ — АС = СВ, т. е. все стороны треуголь-
ника равны.
30
МЕДИАНА, БИССЕКТРИСА И ВЫСОТА
ТРЕУГОЛЬНИКА
Высотой треугольника, опущенной
из данной вершины, называется пер-
пендикуляр, проведенный из этой вер-
шины к прямой, содержащей противо-
лежащую сторону треугольника. На ри-
сунке 41 вы видите два треугольника, у
которых проведены высоты из вершин
Ви Bv На рисунке 41, а основание вы-
соты лежит на стороне треугольника,
на рисунке 41, б — на продолжении сто-
роны треугольника.
Биссектрисой треугольника, прове-
денной из данной вершины, называет-
ся отрезок биссектрисы угла треуголь-
ника, соединяющий эту вершину с точкой
на противолежащей сторонэ (рис. 42).
Медианой треугольника, проведен-
ной из данной вершины, называется
отрезок, соединяющий эту вершину с
серединой противолежащей стороны
треугольника (рис. 43).
Теорема 3.5. В равнобедренном
треугольнике медиана, проведенная к
основанию, являете; биссектрисой и
высотой.
Доказательство. Пусть
АВС — данный равнобедренный тре-
угольник с основанием АВ (рис. 44).
Пусть СВ — медиана,. проведенная к
основанию. Треугольники С АВ и CBD
равны по первому признаку равенства
треугольников. (У них стороны АС и
ВС равны, потому что треугольник
АВС равнобедрентый. У глы С АВ и CBD
равны по теореме 3.3. Стороны АВ и ВВ
равны, потому что В — середина отре-
зка ЛВ.)
В
Рис. 42
В
Рис. 43
Рис. 44
31
Из равенства треугольников следует равенство углов:
Z_ ACD = /_ BCD, Z. ADC = A. BDC. Так как углы ACD и
BCD равны, то CD — биссектриса. Так как углы ADC и
BDC смежные и равны, то они прямые, поэт зму CD — высота
треугольника. Теорема доказана.
Задача (27). Докажите, что биссектриса равнобедрен-
ного треугольника, проведенная из вершины, противолежа-
щей основанию, является медианой и высотой.
Решение. Пусть АВС — равнобедренный треуголь-
ник с основанием АВ и CD — его биссектриса (см. рис. 44).
Треугольники ACD и BCD равны по второму признаку.
(У них стороны АС и ВС равны как боковые стороны равно-
бедренного треугольника АВС’, углы при вершине С равны
потому, что CD — биссектриса угла АС В, а углы при вер-
шинах А и В равны как углы при основании равнобедрен-
ного треугольника АВС.) Из равенства треугольников сле-
дует равенство сторон AD и BD. Значит, CD — медиана тре-
угольника АВС. По теореме 3.5 она является и высотой.
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Теорема 3.6 (признак равенства треугольников по трем
сторонам). Если три стороны одного треугольника равны
соответственно трем сторонам другого треугольника, то такие
треугольники равны.
Доказательство. Пусть АВС и А1В1С1 два тре-
угольника, у которых АВ = АС = А1С1, ВС = B^Ci
(рис. 45). Докажем, что эти треугольники равны.
По аксиоме существования
ному, существует треугольник
Рис. 45
треугольника, равного дан-
ZxBjCj, равный треугольни-
ку АВС, у которого вер-
шина С2 лежит в одной
полуплоскости с вершиной
Ci относительно прямой
ZiBt (рис. 45).
Допустим, что вершина
С2 не лежит ни на луче
AiCl, ни на луче В^.
Пусть D — середина отрез-
32
ка CjCg. Треугольники Л1С1С2 и ВгСхС2 — равнобедренные
с общим основанием С\С2~ По теореме 3.5 их медианы AtD и
являются высотами. Значит, прямые AtD и BL3 пер-
пендикулярны прямой CjC,. А так как через точку D прямой
можно провести только одну перпендикулярную ей
прямую (теорема 2.3), то эти прямые должны совпадать. Но
они различны, потому что точка D по построению не лежит
на прямой Ax-Bj. Мы пришли к противоречию. Значит, вер-
шина С„ лежит либо на луче AiClf либо на луче ВхСх. В пер-
вом случае точка С2 совпадает с Clt так как АгС! == АС. А
это значит, что треугольник АВС равен треугольнику АхВ^х-
Точно так же приходим к выводу о равенстве треуголь-
ников во втором случае. Теорема доказана.
Задача (28). У треугольников АВС и АхВхСх: АВ —
= АхВх, АС = АхСх, /-С = Z-C1 = 90°. Докажите, что
А АВС = ААхВхСх.
Решение. На продолжении стороны АС отложим от-
резок CD, равный АС (рис. 46). Треугольники АВС и DBC
равны по первому признаку. У них углы при вершине С
прямые, а значит, равны, сторона ВС общая, а стороны АС
и CD равны по построению. Из равенства треугольников
стедует равенство сторон АВ и DB.
Отложим на продолжении стороны А1С1 отрезок C^Di,
равный стороне А1С1. Так же, как и для треугольников
АВС и DBC доказываем, что треугольники АхВхСх и D^Ci
равны. Из равенства треугольников следует равенство
сторон: А-х-Вх = D^B^
Теперь по третьему признаку заключаем, что треуголь-
ники ABD и AlBlD1 равны. У них АВ = АхВг по условию,
BD = Вх2?х» так как = АВ, a B±DY = AxBj, наконец,
AD = AtDi, так как АС = АхСх- Из равенства треугольни-
ков АВР и АхВхРх следует ра-
венство их углов: Z.A = А. Ах.
Теперь приходим к вывод’
о равенстве исходных треуго-
льников АВС и AxBjCj по
первому признаку. У них
АВ = AiBi, АС = АхСх по ус-
ловию, a Z- А = Z- Ах по до-
казанному.
2 А. В. Погоре.-зв
Риз. 46
33
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Сформулируйте и докажите первый признак равенства
треугольников.
2.	Сформулируйте и докажите второй пр азнак равенства
треугольников.
3.	Какой треугольник называется равнобедренным? Ка-
кие стороны равнобедренного треугольника называются
боковыми сторонами? Какая сторона называется осно-
ванием?
4.	Докажите, что в равнобедренном треугольные yrj гы
при основании равны.
б. Какой треугольник называется равносторонним?
6.	Д око жиге, ЧхЮ если в треугольнике два угла равны, то
он равнобедренный.
7.	Объясните, что такое обратная теорема. Приведите
пример. Для всякой ли теоремы верна обратная?
8.	Что такое высота треугольника?
9.	Чго -акое биссектриса треугольника?
10.	Что такое медиана треугольника?
11.	Докажите, что в равнэбедре ином треугольнике г :едиа-
на, проведенная к основанию, является биссектрисой и
высотой.
12.	Докажите третий признак равенства треугольников.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая яв-
ляется серединой каждого из них. Чему равен отрезок
3D, если отрезок АС = 10 м?
2.	Через серсдзяу отрезка АВ проведена прямая, перпен-
дикулярная прямой АВ. Докажите, что каждая точка
згой прямой одинаково удалена от течек А и В.
3.	От вершины С равнобедренного треугольника АВС
с основанием АВ отложены равные отрезки: САГ — на
стороне С А и CBL — на стороне СВ. Докажите равен-
ство треугольников: 1) CABY и СЬАй 2) АВВ1 и ВЛЛП.
4,	На основании’ АВ равн-обедре^гного треугольника АВС
даны точки А1 и В±. Известно, что ЛВ[ = ВЛГ. Дока-
жите, что треугольники АВЛС и BAtC равны.
5.	На стороне АВ треугольника АВС взята точка D, а на
стороне AjBt треугольника A^Cl взята точка Dx.
Известно, что треугольники ADC и Л1Й)1С1 равны и
отрезки DB и D^B^ равны. Докажите равенстто тре-
угольников АВС и Л1В1С1.
6.	Чтобы измерить на местности расстояние между двумя
точками Л и В, между которыми нельзя пройти по
прямой (рис. 47), выбирают такую точку С, из которой
34
8.
9.
10.
11.
12.
можно пройти и к точке А, и к
точке Б и из которой гидны обе
эти точки. Провел. .воют1 рас-
етонния АС и ВС, продолжают
их за ют ty С и от» еряюг CD —
— АС и ЕС = СВ. Тогда отрезок
ED равэд искомому расстоянию.
Оледените почему.
Чтобы измерить на местности рас-
стояние гсежду дву_хя точками А и
В, из ко1 юрых с дна (точка А) не-
доступна, провешивают направле-
ние отрезка АВ (рис. 48) и на его
продолжении отмеряют произволь-
ный. отрезок BE. Выбирают на
же стногти тоску JD, из которой вид-
на точ »а А и 1 южно пройти к точ-
кам В и Е. Провел ивают прямые
BDQ и EDF и отмеряют FD = DE
и DQ =ED. Затем иду г по прямой
FQ, глядя на точку А, пока не
найду с точку /Г, которая лежит
на прямой AD. Тогда HQ равно
£	-О
Рьс. 47
Рис. 4 г
искомому расстоянию. Докажите.
Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Дока кит 
равенство треугильниооз АСО и DBO, е ’ли известно
что у> о л АСО рааеи углу DBO и ВО — СО.
Отрезки АС и BD пересекаются в точке О. Докажите
равенство треугольников В АО и DCO, если известно,
что угол ВАО равен углу DCO и АО = СО.
Периметр (сумма длин сторон) равнобедренного тре-
угод >кика равен 1 м, а основание равно 0,4 м. Найдите
длину боковой СТО] юны.
Перткетр равнобедренною треуголенчка равен 7,5 м, а
боковая сторона равна 2 м. Найдите основание.
Периастр равнобедренного треугольника равен 15,6 и.
Найдит; его стороны, если: 1) основание меньше боко-
вой стороны на 3 м; 2) осно. ание больше боковой сторо-
ны на 3 м.
13.	Докажите, что у равностороннего треугольника все уг-
лы ра 1ны.
14.	Сформулируйте и докажите теорему, обрат ауто утверж-
дению задачи 13.
15.	На сторонах АС и ВС треугольника АВС взяты точки
Сг и С2. Докажите, что треугольник АВС равнобедрен-
ный, если треугольники АВСГ и ВАС2 равны.
1 Отмечают направление шестами-вехами.
2'
3S
16.	Треугольники ACC! и BCCt равны. Их вершины А и В
лежат по разные стороны от прямей ССХ. Докажите,
что треугольники АВС и АВСг равнобедренные.
17.	Докажите, что середины сторон равнобедренного тре-
угольника являются также вершинами равнобедрен-
ного треугольника.
18.	Докажите, что серед'.ны сторон равностороннего тре-
угольника являются также вершинами равносторон-
него треугольника.
19.	Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) бис-
сектрисы, проведенные из вершин при основании, рав-
ны; 2) медианы, проведенные из тех же вершин, тоже
равны.
20.	Докажите, что у равных треугольников АВС и AjBiCt:
1) медианы, проведенные из вершин А и А1г равны;
2) биссектрисы, проведенные из вершин А и Лх, равны.
21.	Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причем отрез-
ки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что
если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием
АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с осно-
ванием CD.
22.	Докажите равенство треугольников по углу, биссект-
рисе этого угла и стороне, прилежащей к этому
углу.
23.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена медиана ВМ. На ней взята точка D. Дока-
жите равенство треугольников: 1) ABD и CBD', 2) AMD
и CMD.
24.	Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если
у него: 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD
является биссектрисой.
25.	На стороне АВ треугольн! на АВС взята точна D. Най-
дите длину отрезка CD, если периметры треугольни-
ков ABC, ACD и BCD соответственно равны 50 м, 45 м
и 35 м.
26.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена медиана BD. Найдите ее длину, если пери-
метр треугольника АВС равен 50 м, а треугольника
ABD — 40 м.
27.	Докажите, что биссектриса равнобедренного треуголь-
ника, проведенная из вершины, противолежащей ос-
нованию, является медианой и высотой.
28.	У треугольников АВС и ЛХВХСХ: АВ = А^В^, АС =
= ЛХСХ, Z_C = Z_CX = 90°. Докажите, что ДЛВС =
= АЛХВХСХ.
29.	Докажите, что у равнобедренного треугольника высота,
опущенная на основание, является медианой и биссект-
рисой.
36
30.	Треугольники АВС и ABCL равнобедренны'; с общий
основанием АВ. Докажите равенство треугольников
АССг и BCCt.
31.	Точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Докажите,
что если треугольники ABEi и АВЕ2 равны, то тре-
угольники CDE1 и CDE2 тоже равны.
32.	Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая
является серединой каждого из них. Докажите равен-
ство треугольников ACD и BDC.
38.	Докажите равенство треугольников по двум сторонам и
медиане, проведенной к одной из них.
31.	Отрезки АВ и CD пересекаются. Докажите, что если
отрезки АС, СВ, BD и AD равны, то луч АЬ является
биссектрисой угла CAD и луч CD — биссектрисой угла
АС В.
36.	Д скажите, что в задаче 34 прямые АВ и CD перпенди-
кулярны.
36.	Треугольники АВС и BAD равны, причем точки С и
D лежат по разные стороны от прямой АВ. Докажите,
что: 1) треугольники CBD и DAC равны; 2) прямая CD
делят отрезок АВ пополам.
37.	Отрезки равной длины АВ и CD пересекаются в точке
О так, что АО = OD. Докажите равенство треуголь-
ников АВС и DCB.
38.	Докажите равенство треугольников по двум сторонам и
медиане, исходящим из одной вершины.
39.	Докажите равенство треугольников по стороне, медиа-
не, проведенной к этой стороне, и углам, которые обра-
зует с ней медиана.
40.	Докажите равенство треугольников по медиане и углам,
на которые медиана разбивает угол треугольника.
§ 4. СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ
Теорема 4.1. Две прямые, параллельные третьей, парал-
лельны аруг другу.
Доказательство. Пусть прямые а и Ь парал-
лельны прямой с. Допустим, что прямые а и Ъ не параллель-
ны. Тогда они пересекаются в некоторой точке С. Значит,
через точку С проходят две прямые, параллельные прямой с.
Но это невоз! гожно, так как через точку, не лежащую на
данной прямой, можно провести не более одной прямой,
параллельной данной. Теорема доказана.
37
Пусть АВ и CD — две прямые.
Пусть АС — третья прямая, пересекаю-
щая прям! te АВ и CD {рис. 49). Пря-
мая АС по отношению к прямым АВ и
CD называется секущей. Углы, которые
образуются при пересечении пряепях
АВ и CD секущей АС, имеют специ-
альные названия. Если точки В nD ле-
жат в одной полуплоскости относи-
тельно прямой АС, то углы ВАС и
DCA называются внутренними одно-
сторонними (рис. 49, а). Если точки В
и D лежат в разных полуплоскостях от-
носительно прямой АС, то углы ВАС
и DCA называются внутренними нак-
рест лежащими (рис. 49, б).
Секущая АС образует с прямыми
АВ и CD две пары внутренних одно-
сторонних и две пары внутренних нак-
рест лежащих углов. Из свойства смеж-
ных углов следует, ч ю еалп внутренние
накрест лежащие углы одной пары рав-
ны, то внутренние накрест лежащие
углы другой пары тоже равны, а сумма
внутренних односторонних углов каждой
пары равна 180°. Обратно, если сумма
внутренних односторонних углов
одной пары равна 180°, то сумма внутренних одн осторонних
углов другой пары тоже равна 180°, а внутренние накрест ле-
жащие углы каждой пары равны. Поясним первое утверж-
дение.
Посмотрите на рисунок 50. Если внутренние накрест ле-
жащие углы 1 и 2 равны, то внутренние накрест лежащие
углы 3 и 4, как смежные углам 1 и 2, тоже равны. Углы 1 и 4
являются внутренними односторонними. Так как угол 4
допо.тняет угол 2 до 180°, а угол 2 равен углу 1, то сумма
углов 1 и 4 равна 180°.
Теорема 4. 2. Если внутренние накрест лежащие углы
равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180°,
то прямые параллельны (рис. 50).
38
Доказательство. Допустим, что прямые а и Ь не
параллельны; следовательно, они пересекаются в некоторой
точке С (рис. 51). Отложим на продолжении отрезка СА
отрезок AD, равный отрезку ВС, а на продолжении отрезка
СВ отметим какую-нибудь точку Е. Треугольники ВАС и
ABD равны по первому признаку равенства треугольников.
У них сторона АВ общая, углы СВ А и DAB равны по усло-
вию теоремы как накрест лежащие, a AD = ВС по пост-
роению.
Из равенства греугочы.иков следует равенство углов ABD
и ВАС. А. угол ВАС ра»ен накрест лежащему углу АВЕ.
Такны образом, углы ABD и АВЕ равны. А так как они
отложены от полупрямой В А в одну ьолупл оскость, то
прямые BD и BE совпадают. Но это невозможно, потому что
точка D нэ лежит на примой BE. Следовательно, исходное
предположение о том, что прямые а и Ь не параллельны,
неверно. Теорема доказана.
Теорег_ы 4.1 и 4.2 выражают признаки параллельности
прямых.
Задача (3). Даны прямая АВ и точка С, не лежащая
на этой прямой. Докажите, что через точку С можно провести
прямую, параллел >ную прямой АВ.
Решение. Прямая АС разбивает плоскость на две
полуплоскости (рис. 52). Точка В лежит в одной из чих.
Отложим от полупрямой С А в другую полуплоскость угол
ACD, равный углу С АВ. Тогда прямые АВ и CD будут па-
раллельны. В самом деле, для этих прямых и секущей АС
углы ВАС и DC А внутренние накрест лежащие. А так как
они равны, то по теореме 4.2 прямые АВ и CD параллельны.
Сопоставляя утверждение задачи 3 и аксиомы V (основного
свойства параллельных прямых), приходим к важному выводу:
з?
Ркс. 5?
через точцу, не лежащую на ванной
прямой, мхкно провести параллельную
ей прямую, и только одну.
Теорема4.3 (обратнаятеореме4.2).
Если две параллельные прямые пересе-
чены третьей прямой, то внутренние на-
крест лежащие углы равны, а сумма
внутренних односторонних углов равна
180\
Доказательство. Пусть прямые а и Ь параллель-
ны, а прямая с их пересекает. Проведем через точку А пря-
мую ai так, чтобы сумма внутренних односторонних углов,
образованных секущей с и прямыми аг и Ь, была равна 180°
(рис. 53). Тогда по теореме 4.2 прямая аг будет параллельна
прямой Ъ. Но через точку А проходит только одна прямая,
параллельная Ь. Следовательно, прямая а совпадает с пря-
мой ах. Итак, сумма внутренних односторонних углов, обра-
в_ьанных секущей с и параллельными а и Ъ, равна 180°, а
значит, накрест лежащие углы равны. Теорема доказана
полностью.
Из теорем 4.2 и 4.3 следует, что две прямые, перпендику-
лярные третьей, параллельны. Если прямая перпендикулярна
едной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и
другой (рис. 54).
Задача (7). Угол АВС равен 80°, а угол BCD равен
120е. Могут ли прямые АВ н CD быть параллельными? Обо-
снуйте ответ.
Решение. Для прямых АВ и CD и секущей ВС углы
АВС и BCD являются либо внутренними односторонними
40
(рис. 55, а), либо внутренними накрест лежащими (рис. 55, б).
Если бы прямые АВ и CD были параллельными, то либо
A ABC = A BCD, если углы накрест лежащие, либо
/ АВС + / BCD = 180°, если углы односторонние. Но 80°
^120° и 80" + 120° = 200° =И= 180°, Значит, прямые АВ и CD
не могут быть параллельными.
СУММА УГЛОВ ТРЕУ'ОЛЬНИКА
Теорема4.4. Сумма углов треугольника равна 180°.
Доказательство. Пусть АВС — данный тре-
угольник (рис. 56). Отметим середину О стороны ВС. Отло-
жим на продолжении отрезка АО отрезок OD, равный отрез-
ку ОА. Треугольники BOD и СОА равны, так как у них
углы при вершине О равны как вертикальные, а ОБ — ОС и
ОА = OD по построение. Из равенства треугольников сле-
дует, что угол DBO равен углу АСО.
Для прямых AC, BD и секущей ВС углы DBO и АСО
являются внутренними накрест лежащими. Действительно,
точки А и D лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой ВС, так как отрезок AD пересекает прямую ВС (в точ-
ке О). Из равенства внутренних накрест лежащих углов DE9
и АСО по теореме 4.2 следует, что прямые АС и BD парал-
лельны.
Для прямых AC, BD и секущей АВ углы DBA и С АВ яв-
ляются внутренними односторонними. Действительно, точки
С и D лежат в одной полуплоскости относительно прямой
АВ, именно в той полуплоскости, где лежит точка О. Так
как прямые АС и BD параллельны, то сумма внутренних
односторонних углов С АВ и DBA равна 18С‘°.
Угол DBA равен сумме углов DBC
и АВС, так как луч ВС пересекает от-
,	ВБ
резок AD с концами на сторонах угла -----------
ABD. По доказанному угол DBC равен
углу АСВ. Следовательно, сумма углов \ ^Х_Л?
треугольника АВС, т. е. А ВС А +	\
+ А АВС + АС АВ, равна сумме XZ* ^''Х.
внутренних односторонних углов при
параллельных АС и BD и секущей АВ,
т. е. равна 180°. Теорема доказана.	Рис. 66
41
Из теоремы 4.4 следует, что у люоо-
го треугольника хотя бы два угла ост-
рые.
Доказательство. Допус-
тим, что у треугольника только один
острый угол или вообще нет острых уг-
лов. Тогда у этого треугольника есть
дга угла, каящый из которых не мень-
ше 90°. Сумма этих двух углов уже не
меньше 180°. А это невозможно, так
как cyi [ма всех трех углов треугольни-
ка равна 180°.
Задача (12). Чему равны углы
равностороннего треугольника?
Решение. У равностороннего
треугольника, как мы знаем, все углы
равны (задача 13 § 3). Так как они в
сумме дают 180°, то каясдый из них
равен 60°.
Внешним углом треугольника при
данной вершине называется угол, смеж-
ный с углом треугольника при этой вер-
шине (рис. 57). Чтобы не путать угол треугольника при дан-
ной вершине с внешним углом при этой же вершине, его назы-
вают внутренним углом..
Теорема 4.5. Внешний угол треугольника равен сумме
двух внутренних углов, не смежных с ним.
Доказательство. Пусть АВС — данный тре-
угольник (рис. 58). По теореме 4.4 А А + АВ -f- АС =
= 180°. Отсюда следует, что А А -Ь Z. В = 1801 — АС.
В правой части этого равенства стоит градусная мера внеш-
него угла треугольника при перптине С. Теорема доказала.
Из теоремы 4.5 следует, что внешний угол треугольника
больше любого внутреннего угла, не смеж юго с ним.
Задача (28). В треугольнике АВС проведена высота
CD. Какая из трех точек А, В, D лежит между двумя дру-
гими, если углы А и В треугольника острые?
Решение. Точка В не может лежать между А и D.
Если бы она лежала между А и D (рис. 59), то остр! ш угол
С1
АВС как внешний угол треугольника CBD был бы больше
прямого угла CDB. Точно так же доказывается, что и точка
А не может лежать между В и D. Значит, точка D лежит
между А VL В.
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Треугольник называется прямоугольным, если у него есть
прямой угол. Так как сумма углов треугольника равна 180°,
то у прямоугольного треугольника только один прямой
угол. Два других угла прямоугольного треугольника ост-
рые. Острые углы дополняют друг друга до 90°. Сторона
прямоугольного треугольника, ппотиволежащая прямому уг-
лу, называется гипотенузой, две другие стороны называются
катетами (рис. 60).
Для прямоугольных треугольников, кроме трех известных
нам признаков равенства, имеются другие признаки. Вот
эти признаки:
1.	Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного
треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу
другого треугольна 1ка, то такие треугольники равны. (Приз-
нак равенства по гипотенузе и острому углу.)
2.	Если кате, и противолежащий ему угол одного прямо-
угольного треугольника соответственно равны катету и про-
гив^. лежащему углу другого треугольника, то такие треуголь-
ники равны. (Признак равенства по катету и противолежа-
щему углу.)
3.	Если гипотенуза и катет одного прямоугольного тре-
угольники. соответственно раьнъ: гипотенузе и катету другого
треугольника, то такие треугольники равны. (Признак равен-
ства по гипотенузе и катету.)
Доказательство. Пусть АВС п.
A^jCi — прямоугольные треугольники с
прямыми углами С и Ct (рис. 61), для кото-
рых выполняется одно из условия:
1)	АВ = A,BJt zLA = Z_Ap,
2)	ВС = BXCY, Z_A — Z_Ap,
3)	AB = A^, ВС = ByCi.
кате.-п
Рис. 60
43
Докажем, что треугольники равны.
Для доказательства первых двух признаков достаточно
заметить, что если АА = /_ Alt то /LB = А. В±. А тогда тре-
угольники в обоих случаях равны по второму признаку ра-
венства треугольников.
Доказательство признака равенства прямоугольных тре-
угольников по гипотенузе и катету было дано в решении
задачи 28 § 3.
Задача (35). Докажите, что в прямоугольном тре-
угольнике с углом 30° катет, противолежащий этому углу,
равен половине гипотенузы.
Решение. Пусть АВС — прямоугольный треуголь-
ник с прямым углом С и острым углом В, равным 30° (рис. 62).
Отложим на продолжении стороны АС отрезок CD, равный
АС. Треугольники АВС и DBC равны по первому признаку.
У них углы при вершине С прякые, сторона ВС общая, а
АС = CD по построению. Из равенства треугольников сле-
дует, что Z.P = Z.A = 60°, Z_CBD = /LCBA = 30°, а зна-
чит, AABD = 60°. Отсюда следует, что треугольник ABD
равносторонний. Поэтому АС = — AD = — АВ, что и тре-
2	2
бо за лось доказать.
СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ПРЯМОЙ
Теорема 4.6. Из любой точки, не лежащей на данной
прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и
только один.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и
А — не лежащая на ней точка (рис. 63). Проведем через точ-
<4
ку А прямую Ь, параллельную прямой
а (задача 3 § 4). Проведем теперь через
точку А прямую с, перпендикулярную
прямей Ъ. Она будет перпендикулярна
прямой а (теорема 4.3) и пересечет ее в
некоторой точке В. Отрезок АВ — пер-
пендикуляр, опущенный из А на прямую а.
Допустим, что из точки А можно опус-
тить на прямую а два перпендикуляра:
АВ и АС. Тогда у треугольника АВС
было бы два прямых угла, что невозможно.
Теорема доказана.
Длина перпендикуляра, опущенного
1*3 данной точки на прямую, называется
расстоян icm от точки во прямой.
Рис. £4
Задача (42). Докажите, что расстояния от любых двух
точек прямой до параллельной прямой равны.
Решение. Пусть а и & — параллельные прямые
(рис. 64). Отметим на прямой а две точки А и At к опустим
из них перпендикуляры АВ и на прямую Ь. Прямо-
угольные треугольники АВАХ и равны по гипотенуве
и острому углу. У них гипотенуза BAL общая, а острые углы
AAjB и BrBAk равны как внутренние накрест лежащие при
параллельных а и b и секущей ВЛ1- В самом деле, эти углы
либо внутренние накрест лежащие, либо внутренние одно-
сторонние. Они не могут быть внутренними односторсннипс,
так как, будучи острыми, не дают в сумме 180°. Из равенства
треугольников следует равенство сторон АВ и А1В1, т. е.
равенство расстояний от точек А и прямой а до пря-
‘ мой Ь.
Как видим, расстояния от всех точек прямой до парал-
лельной пряной равны. Поэтому говорят, что параллельные
прямые — равноотстоящие. Расстоянием между параллель-
ными прямыми называется расстояние от какой-нибудь точки
одной прямой до другой прямой.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Докажите, что две прямые, параллельные третьей, па-
раллельны друг другу.
2.	Объясните, какие углы называются внутренними ОДНО-
45
сторонними. Какие углы называются внутренними
накрест лежащт” ги?
3.	Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы
одной пары равны, то вкутоенние накрест лежащие
углы другой пары тоже равны, а сумма внутренних
односторонних углов каждой пары равна 18(А
Обратно, если сумма ] внутренних одно*лорсннях углов
одной пары равни 180°, то сумма внутренних односторон-
них углов другой пары тоже равна 180°, а внутренние
накрест лежащие углы каждой пары равны.
4.	Сформулируйте и докажите признак параллельности
прямых по их углам с секущей.
5.	Докажите, что через точку, не лежащего на данной
прямой, мэжно провести параллельную ей прямую.
С холько прямых, параллельных данной, можно про-
вести через точку, не лежащую на этой прямой?
6.	Докажите, что если две параллельные прямые пересе-
каются третьей прямой, то внутренние накрест лежащие
углы равны, а сумма внутренних односторонних углов
равна 180°.
7.	Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей,
параллельны. Если прямая перпендикулярна одной из
длух параллел >ных прямых, то она перпендикулярна и
другой.
8.	Вопросы к доказательству теоремы 4.4 о сумме углов
треугольника (см. рис. 56):
а)	объясните, почему утлы CBD и ВС А являются внут-
pei ними накрест лежащгд ей для прямы: AC, BD и се-
кущей ВС;
б)	объясните, почему углы ABD и ВАС являются внут-
ренними односторонними для прямых AC, BD и секу-
щей АВ;
в)	объясните, почему угол ABD равен суиме углов
АВС и DBC.
9.	Докажите, что у любого треугольника по крайней мере
два угла острые.
10.	Что такое внешний угол треугольника?
11.	Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме
двух внутренних углов, не смежных с ним.
12.	Докажите, что внешний угол треугольника больше лю-
бого внутреннего угла, не снежного с ним.
13.	Какой треугольник называется прямоугольным?
14.	Чему равна сумма острых углов прямоугольного тре-
угольника?
15.	Какая сторона прямоугольного треугольника называет-
ся гипотенузой? Какие сторон], называются катетами?
16.	Сформулируйте и докажите признаки рагенслва прямо-
угольных треугольников.
J6
17.	Докажите, что из любой точки, не лежащей на данной
прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр,
и только один.
18.	Что называется расстоянием от тючки до прямой?
19.	Объясните, что такое расстояние между параллельны^ щ
прямыми.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Докажите, что если некоторая прямая пересекает одну
из двух параллельных прямых, то она пересекает и
другую.
2.	Дан треугольник АВС. На стороне АВ отмечена точка
Bt, а на стороне А С — точка С\. Назовите внутренние
односторонние и внутренние накрест лежащее углы при
^прямых АВ, АС и секущей В1С1.
3.	Даны прямая АВ и точка С, не лежащая на этой пря-
мой. Докажите, что через точку С можно провести пря-
мую, параллельную прямой АВ.
4.	Докажите, что биссектрисы внутренних накрест лежа-
щих углов, образованных параллельными и секущей,
параллельны, т. е. лежат на параллельных прямых.
5.	Отрезки А В и CD пересекаются в точке Е и делятся
этой точкой пополам. Докажите, что прямые АС т BD
параллельны.
6.	Треугольники АВС и BaD равны. Точки С и D лежат
по разные стороны от прямой АВ. Докажите, что пря-
мые АС и BD параллельны.
7.	Угол АВС равен 80°, а угол BCD равен 120°. Могут
ли прямые АВ и CD быть параллельными? Обоснуйте
ответ.
8.	Разность двух внутренних односторонних углов при
двух параллельных прямых и секущей равна 30°. Най-
дите эти углы.
9.	Сумма двух внутренних нг крест лежащих углов при
двух параллельных прямых и секущей равна 150°.
Чему равны эти углы?
13.	Один из углов, которые получаю: ся при пересечении
двух параллельных прямых секущей, равен 72°. Най-
дите остальные семь углов.
11.	Один я» углов, которые получаются при пере зечении
двух паралле ^ных прямых секущей, равен 30°. Может
ли один из остальных семи углов равняться 70°? Объяс-
ните ответ.
12.	Чему равны углы равностороннего треугольника?
13.	Под иак~я * углом пересекаются биссектрисы двух внут-
ренних односторонних углов при параллельных пря-
мых?
14.	Найдите неизвестный угол треугольника, если у него
47
два угла равны: 1) 50° и 30°; 2) 40° и 75°; 3) 65° и 80°;
4) 25° и 120°.
15.	Найдите углы треугольника, если они пропорциональны
числам: 1) 1, 2, 3; 2) 2, 3, 4; 3) 3, 4, 5; 4) 4, 5, 6;
5) 5, 6, 7.
16.	Может ли в треугольнике быть: 1) два тупых угла;
2)	тупой и прямой углы; 3) два прямых угла?
17.	Может ли быть тупым угол при основании равнобед-
ренного треугольника?
18.	Найдите угол между боковыми сторонами равнобедрен-
ного треугольник^, если угол при основании у него
равен: 1) 40°, 2) 55°, 3) 72°.
19.	Найдите угол при основании равнобедренного треуголь-
ника, если угол между боковыми сторонами ризен:
1) 80°, 2) 120°, 3) 30°.
20.	Один из углов равнобедренного треугольника равен
100°. Найдите остальные углы.
21.	Один из углов равнобедренного треугольника равен 70°.
Найдите остальные углы. Сколько решений имеет за-
дача?
22.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
проведена биссектриса CD. Найдите углы треугольни-
ка, если угол ADC равен а.
23.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС
и углом при вершине В, равным 36°, проведена биссект-
риса AD. Докажите, что треугольники CD А и ADB
равнобедренные.
24.	В треугольнике АВС проведены биссектрисы из вершин
А и В. Точка их пересечения обозначена D. Найдите
угол ADB- если: 1) АА = a, АВ = 0; 2) АС = у.
25.	Один из "нешних углов равнобедренного треугольника
равен 70°. Найдите углы треугольника.
26.	Найдите углы треугольника, зная, что внешние углы
при двух его вершинах равны 120° и 150°.
27.	Два внешних угла треугольника равны 100° и 150°.
Найдите третий внешний угол.
28.	В треугольнике АВС проведена зысота CD. Какая
из трех точек А, В, D лежит между двумя другими,
если углы А и В треугольника острые?
29.	Из вершины прямого угла треугольника АВС проведена
высота BD. Найдите угол CBD, зная, что АА = а.
30.	Из вершины тупого угла В треугольника АВС проведена
высота BD. Найдите углы треугольников ABD и CBD,
зная, что А А = а, А В = 6.
31.	Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине
равнобедренного треугольника параллельна основа-
нию.	'
32.	Сумма внешних углов треугольника АВС при вершигах
43
А и В, взятых по одному для каждой вершины, равна
240°. Чему равен угол С треугольника?
33.	Д iH треугольник А ВС. На продолжении стороны АС
отложены отрезки AD = АВ и СЕ = СВ. Как найгч
углы треугольника DBE, зная углы треугольника АВС'
34.	У треугольника один из внутренних углов равен 30°, а
один из внешних 40°. Найдите остальные внутреняк э
углы треугольника.
35.	Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом
30° катет, противолежащий этому углу, равен половине
гипотенузы.
Зв. Найдите углы прямоугольного равнобедренного тре-
угольника.
37.	В равностороннем треугольнике АВС проведена медиа-
на AD. Найдите углы треугольника ABD.
38.	Высоты треугольника АВС, проведенные из вершин А
и С, пересекаются в точке М. Найдите АМС, если
Z. А = 70°, Z.C = 80°.
39.	В треугольнике АВС медиана ВО равна половине
стороны АС. Найдите угол В треугольника.
40.	Прямая а пересекает отрезок ВС в его середине. Дока-
жите, что точки В и С находятся на одинаковом рас-
стоянии от прямой а.
41.	Отрезок ВС пересекает прямую а в точке О. Расстояния
от точек В и С до прямой а равны. Докажите, что точка
О является серединой отрезка ВС.
42.	Докажите, что расстояния от любых двух точек щ ямой
до параллельной прямой равны.
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
ОКРУЖНОСТЬ
Определение. Окружностью называется фигура,
которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных
от данной точки. Эта точка называется центром окруж-
ности.
Расстояние от точек окружности до ее центра называется
радиусом окружности. Радиусом называется также любой
отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром (рис.65).
Отрезок, соединяющий две точки окружности, называэт-
ея хордой. Хорда, проходящая через центр, называется
диаметром. На рисунке 66 ВС — хорда, AD — диаметр.
Окружность называется описанной около треугольника,
если она проходит через все его вершины.
О
Центр окружности, описанной' около треугольника, явля-
ется точкой пересечения перпендикуляров к сторожам тре-
угольника, проведенных через середины этих сторон.
Доказательство. Пусть А ВС — данный тре-
угольник и О — центр описанной около него окружности
(рис. 67). Тре^гсльнгаг АС С разнобедречный; у него стороль.'
О А и ОС равны как радиусы. Медиана OD этого треуголь-
ника одновременно является его высотой. Поэтому центр
окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АС
и проходяще! через ее середину. Точно так же доказчваетсл,
что центр окружности лежит на перпзнди»:улярал к двум
другим сторонам треугольника.
Замечание. Прямую, проходящую через середину
отрезка перпендикулярно к нему, часто называют серединные
перпендикуляром. В связи с этим иногда говорят, что центр
окружности, описанной около треугольника, лежит на пере-
сечении серединных перпендикуляров к сторонам треуголь-
ника.
Прямая, проходящая через «чку окружности перпенди-
кулярно к paftej су, npoi зденному в эту
точку, называется кзсаюелъной. При
этом данная точка окружности называ-
ется тачкой лаеанил. На рисунке 63
прямая а проведена через то.ку ок-
ружности А перпен ~ярно к радиу-
су О А. Прямей а является касательной
к окружности. Точка А является точ-
кой касания. Можно сказать та кже,
что окружность касается прямой а в
точке А.
50
Окружности называется вписанной в треугольник, если
она касается всех его сторон.
Цент.) скоуясяости, вписанной в треугольник, является точ-
кой пересечения его биссектрис.
Доказательство. Пусть АВС — данный тре-
уголы лк, О — центр вписанной в него окружности, D, Е и
F — то пси касания окружности со сторонами (рис. 69).
Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипоте-
нузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и
ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует
равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О ле-
жит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины
А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух
других биссектрисах треугольника.
Говорят, что две окружности, имеющие общую точку,
касаются в этой точке, если они имеют в этой точке общую
касательную (рис. 70). Касание окруж истей называется
внутренним, если центры окружностей лежат по одну сторо-
ну от их общей касательной (рис. 70, а). Касание окружно-
стей называется внешним, если центры окружностей лежат
по разные стороны от их общей касательной (рис. 70, о).
ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ
В задачах на построение идет речь о построении геомет-
рической фигуры с помощью данных чертежных инструмен-
тов. Такими инструментами чаще всего являются линейка
и парку ль. Решение задачи состоит не столько в построение
фигуры, сколько в решении вопроса о том, как это сделать, и
соответствующем доказательстве. Задача считается решен-
51
, с ,	ной, если указан способ построения
b	фигуры и доказг.но, что в результате
о	выполнения указанных построений дей-
*	~~	1 ствительно получается фигура с тре-
буемыми свойствами.
С помощью линейки как инструмен-
V	та геометрических построений можно
\	провести произвольную прямую; про-
Q\ Q-невольную прямую, проходящую че-
б)	рез данную точку; прямую, проходящую
Рлс 71 чепез две данные точки. Hi каких дру-
гих операций выполнять линейкой нель-
вя. В частности, нельзя откладывать линейкой отрезки,
даже если на ней имеются деления.
Циркуль как инструмент геометрических построений по-
вволяет описать из данного центра окружность данного ра-
диуса. В частности, циркулем можно отложить данный отре-
вск на данной прямой от данной точки.
Рассмотрим простейшие задачи на построение.
ГеСГРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ
Задача 5. 1. Построить треугольник с Ванными сторона-
ми а, Ь, с (рис. 71, а).
Решение. С помощью линейки проводим произволь-
ную прямую и отмечаем на ней произвольную точку В
(рис. 71, б). Раствором циркуля, равным а, описываем ок-
ружность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее
пересечения с прямой. Теперь раствором циркуля, равным с,
описываем окружность из центра В, а раствором циркуля,
равным Ь, описываем окружность из центра С. Пусть А —
точка пересечения этих окружностей. Проведем отрезки АВ и
АС. Треугольник АВС имеет стороны, равные а, Ь, с.
Г ^СТРОЕНИЕ УГЛА, РАВНОГО ДАННОМУ
8 а д е ч а 5.2. Отложить от Ванной полупрямой в данную
полуплоскость угол, равный данному углу.
Решение. Проведем произвольную окружность с цент-
12
ром в вершине А данного угла (рис.
72, а). Пусть В л С —точки пересе-
чения окружности со сторонами уг-
ла. Радиусом АВ проведем окруж-
ность с центром в точке О — на-
чальной точке данной полупрямой
(рис. 72, б). Точку пересечения этой
окружности с данной полупрямой
обозначим Bi. Опишем окружность
с центром Bi л радиусом ВС. Точка
Ci пересечения построенных окруж-
ностей в указанной полуплоскости
лежит на стороне искомого угла.
Для доказательства достаточно заме-
нить, что треугольники АВС и OBtCi
равны как треугольники с соответст-
венно равн дми сторонами. Углы А и
О являются соответствующими уг-
лами этих треугольников.
ПОСТРОЕНИЕ БИСГЕСПРИСЫ УГЛА
3 а д а ч а 5. 3. Построить биссектрису данного угла.
Решение. Из вершины А данного угла, как из цент-
ра, описываем окружность произвольного радиуса (рис. 73).
Пусть В л С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из
точек В л С тем же радиусом описываем окружности. Пусть
D — точка их пересечения, отличная от А. Проводим полу-
прямую AD. Она делит угол ВАС пополам. Это следует из
равенства треугольников ABD и ACD, у которых углы ПАВ
л DAC являются соответствующими.
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ
3 а д а ч а 5. 4. Разделить отрезок пополам.
Решение. Пусть АВ — данный отрезок (рис. 74). Из
точек А ж В радиусом AJB описываем окружности. Пусть
С и Сг — точки пересечения этих окружностей. Они лежат
53
Рис. 74
в разных полуплоскостях относите льно
прямой АВ. Отрезок ССг пересекает пря-
мую АВ в Hei оторой точке О. Эта точка
и есть середина отрезка АВ.
Действительно; треугольники САСг
и CBCi pt вны по третьему признаку
равенства треугольников. Отсюда следует
равенство углов АСО и ВСО. Т реугольни-
ки АСО и ВСО равны по первому приз-
наку равенства треугольников. Стороны
АО и ВО этих треугольников являются
соотвэтствующгмг, а подтему онм равны.
Таким образом, С—середина отрезка АВ.
Рис. 75
Рис. 76
ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ
ПРЯМОЙ
3 а д а ч а 5. 5. Через данную точку О
провести прямую, перпендикулярную дан-
ной прямой а.
Решение. Возможны два случая:
1) точка О лежит на прямой а;
2) точка О не лежит на прямой а.
Рассмотрим первый случай (рис. 75).
Из точки О проводам произвольным
радиусом окружность. Она пересекает
прямую а в двух точках: А и В. Из
точек А н В проводим окружности радиу-
сом АВ. Пусть С — точка их пересече-
ния. Искомая прямая проходит через точ-
ки О и С. Перпендикулярность прямых
ОС и. АВ следует из равенства углов при
вершине О треугольников АСО и ВСО.
Эти треугольники равны по третьему
признаку равенства треугольников.
Рассмотрим второй случай (рис. 76).
Из точки О проводим окружность, пе{ есек «ощую пря-
мую а. Пустл А и В — точки ее пересечения с прямой а.
Из точек А и Е тем же рпдиусо: i проводим окружности.
Пусть Cl — точка их пересечении, лежания в полуплое-
£4
кости, отличной от той, в которой лэжит точка О Искомая
прямая проходит через точки О и Of Докажем это. ОЗозна-
чгли через С точку пересечения прямых АВ и ОО>. Треуголь-
ники АО В и АО±В равны по третьему признаку. Поэтому
угол ОАС равен углу О1АС. А тогда треугольники ОАС и
OiAC равны по первому признаку. Значит, их углы АС О и
ACOt равны. А так как они смежные, то они прямые. Таким
образом, ОС — перпендикуляр, опущенный из точки О на
прямую а.
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ МЕСТО ТОЧЕК
Одним из методов решения задач на построение является
метод геометрических мест. Геометрическим местом точек
называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости,
обладающих определенным свойством. Например, окруж-
ность можно опреде. (ить как геометрическое место точек,
равноудаленных от данной точки.
Важное геометрическое место точек дает следующая тео-
рема:
Теорема 5.6. Геометрическоз место точек, равноудален-
ных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к
отрезку, сездиняющзму эти точки, и преходяща^ через его
середину.
Доказательство. Пусгь А и В — данные точки,
а — пр “мая, проходяще я через середв ну О отрезка АВ пер-
индикулярно к нему (рис. 77). Мы должны доказать, что:
1) каждая точка прямой а равноудалена от точек А и В;
2) каждая точка D плоскости, равноудаленно я от точек А и
В, лежит на прямой а. То, ч-i п каж-
дая точка С прямой а находится на
одинаковом расстоянии от точек А
и В, следует из равенства треуголь-
ников АОС и ВОС. У этих треуголь-
ников углы при вершине О прямые,
сторона ОС общая, а АО = ОВ, так
как О — середина отрезка АВ. По-
кажем теперь, что каждая точка D
пчос1юсти, равноудаленная от то-
чек А и В, лежит на прямой а.
S3
Рассмотрим треугольник AD В. Он равнобедренный, так
как AD = BD. В нем DO — медиана. По свойству равнобед-
ренного треугольника медиа] и ., проведенная к основании,
является высотой. По теореме 2.3 прямая OD совпадает с а,
а значит, точка D лежит на прямой Л. Теорема доказана.
МЕТОД ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ МЕСТ
Сущность метода геометрических мест, используемого при
решении задач на построение, состоит в следующем. Пусть,
решая задачу на построение, нам надо найти точку X,
удовлетворявшею двум условия:.:. Геометрическое место то-
чек, удовлетворяющих первому условию, есть некоторая фи-
гура а геометрическое место точек, удовлетворяющих
второму условию, есть некоторая фигура Г2. Искомая точка
X принадлежит Fx и Fs, т. е. является их точкой пересечения.
Если эти геометрические места простые (скажем, состоят из
щ ям: IX и окружностей), то мы можем их построить и найти
интересующую нас точку X. Приведем пример.
Задача (38). Даны три точки: А, В, С. Постройте
точку X, которая одинаково удалена от точек А и В и на-
ходится на данном расстоянии от точки С.
Решение. Искомая точка X удовлетворяет двум
условиям: 1) она одинаково удалена от точек Л и В; 2) она
находится на данном расстоянии от точки С. Геометрическое
место точек, удовлеа воряющих первому условию, есть пря-
мая, перпендикулярная отрезку АВ и. проходящая через его
середину (рис. 78). Геометрическое место точек, удовлетво-
ряющих второму условию, есть окружность данного радиуса
с центром в точке С. Искомая точка X лежит на пересечении
этих геометрических мест.
У1ЛЫ, ВПИСАННЫЕ В ОКРУЖНОСТЬ
Угол, вегшина которого лежит на окружности, а сторо-
ны пересекают эту окружность, называется вписанным в
окружность (рис. 79).
Теорема б. 7. Все вписанные в < кружность углы, стороны
которых проходят черен две данные точки окружности, а вер-
56
Рис. 78
Рис. 80
шины лежат по овну сторону от прямой, соединяющг'й эти точ-
ки, равны (рис. 80).
Доказательство. Пусть АВС — угол, вписан-
ный в окружность с центром О (рис. 81). Проведем диаметр
ED. Треугольники АОВ и СОВ равнобедренные. По свойству
внешнего угла треугольника (теорема 4.5) Z. AOD = А. О АВЕ
+ А. ОБА — 2АОВА. Отсюда А.ОВА --- — A-AOD. Анало-
2
гично Z. ОВС = — Z. COD.
2
На рисунке 81 представлены различные случаи взаимного
расположения сторон вписанного угла, центра окружности О
к диаметра BD. На рисунке 81, а и в точки В и О лежат по
одну сторону от прямой АС, а на рисунке 81, б — по разные.
На рисунке 81, а и б диаметр BD проходит между сторонами
угла, а на рисунке 81, в не проходит между нкмл.
В случае, который представлен на рисунке 81,а,
Z. АВС = Z. A BD 4- Z. CBD = - (Z. AOD+A. COD) = —А. АОС.
2	2
Рис. 81
57
Рис. 83
В случае, представленном на рисунке
81, б,
ААВС = A ABD + Z. CBD	AOD 4-
+ zl COD) = 1 [(180° — zlАОВ) + (180° —
— zl СОВ)] = 180° — 4 А. АОС.
В случае, представленном на рисунке
81, в,
А АВС = ZL ABD — zL CBD =
= - (АЛОВ— ACOD) = - ААОС.
2	2
Если хорда AC является диаметром
(рис. 82), то
А АВС = A ABD + A CBD =
= - {A AOD + A COD) = 90’.
2
Мы видим, что если вершика вписан-
ного угла В и центр О лежат по одну
сторону от прямой АС, то ААВС =
= ААОС; если вершина В и центр О
лежат по разные стороны от прямой АС,
то ААВС = 180° — — ААОС.
2
Если хорда АС является диаметром, то
ААВС  90°.
Таким образом, все вписанное в окружность углы, стороны
которых проходят через две данные точки окружности, а
вершины лежат по одну сторону от прямой, соединяющей
эти точки, имеют одну и ту же градусную меру, а значит,
равны. Теорема доказана.
Задача (48). Точки А, В, С лежат на окружности.
Чему равен угол АВС, если хорда АС равна радиусу окруж-
ности? (Два случая.)
Решение. Если точка В лежит по одну сторону с цент-
ром О относительно прямой АС (рис. 83, а), то по свойству
вписанного угла А АВС = — А АОС. Так как по условию
2
хорда АС равна радиусу, то треугольник АОС равносторон-
58
ний, а значит, угол АОС равен 60°. Поэтому Z. АВС = 30°.
Если точки В и О лежат по разные стороны от прямой АС
(рис. 83, б), то по свойству вписанного угла Z. АВС = 180е—=
— - Z. АОС = 150°.
2
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Что такое окружность, центр окружности, радиус?
2.	Что такое хорда окружности? Какая хорда называется
диаметром?
8.	Какая окружность называется описанной около тре-
угольника?
4.	Докажите, что центр окружности» описанной около
треугольника, лежит на пересечении серединных пер-
пендикуляров к сторонам треугольника.
5.	Какая прямая называется касательной к окружности?
6.	Какая окружность называется вписанной в треуголь-
ник?
7.	Докажите, что центр окружности, вписанной в тре-
угольник, лежит на пересечении его биссектрис.
8.	Что значит: окружности касаются в данной точке?
9.	Какое касание окружностей называется внешним, ка-
кое — внутренним?
10.	Объясните, как построить треугольник по трем сторо-
нам.
11.	Объясните, как отложить от данной полупрямой в
данную полуплоскость угол, равный данному углу.
12.	Объясните, как разделить данный угол пополам.
13.	Объясните, как разделить отрезок пополам.
14.	Объясните, как через данную точку провести прямую,
перпендикулярную данной прямой.
15.	Что такое геометрическое место точек?
16.	Что представляет собой геометрическое место точек,
равноудаленных от двух данных точек?
17.	В чем состоит метод геометрических мест, используе-
мый при решении задач на построение? Приведите при-
мер.
18.	Какой угол называется вписанным в окружность?
19.	Сформулируйте и докажите теорему об углах, вписан-
ных в окружность.
20.	Чему равен вписанный в окружность угол АВС, если:
а) вершина угла В и центр окружности О лежат в одной
полуплоскости относительно прямой АС; б) вершина
угла В и центр О лежат в разных полуплоскостях отно-
сительно прямой АС; в) хорда АС является диаметром
окружности?
СЭ
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Докажите, что любой луч, исходящий из центра окруж-
ности, пересекает окружность в одной точке.
2.	Докажите, что прямая, проходящая через центр окруж-
ности, пересекает окружность в двух точках.
3.	Докажите, что диаметр окружности, проходящий через
середину хорды, перпендикулярен ей.
4.	Сформулируйте и докажите теорему, обратную утверж-
дению задачи 3.
5.	Из точки данной окружности проведены диаметр и
хорда, равная радиусу. Найдите угол между ними.
6.	Из точки данной окружности проведены две хорды!
равные радиусу. Найдите угол между ними.
7.	Может ли окружность касаться прямой в двух точках?
Объясните ответ.
8.	Докажите, что касательная к окружности не имеет
других общих точек с окружностью, кроме точки каса-
ния.
9.	Какие углы образует хорда АВ, равная радиусу окруж-
ности, с касательной в точке М?
10.	Найдите углы, под которыми пересекаются прямые, ка-
сающиеся окружности в концах хорды, равной радиусу.
11.	Окружности с радиусами 30 см и 40 см касаются. Най-
дите расстояние между центрами окружностей в случа-
ях внешнего и внутреннего касаний.
12.	Могут ли касагься окружности, если их радиусы рав-
ны 25 см и 50 см, а расстояние между центрами 60 см?
13.	1) Точки А, В, С лежат на прямой, а точка О — вне
прямой. Могут ли два треугольника АОВ и ВОС быть
равнобедренными с основаниями АВ и ВС? Обоснуйте
ответ.
2)	Могут ли окружность и прямая пересекаться более
чем в двух точках?
14.	1) Окружности с центрами О и перосэкаются в точ-
ках А и В. Докажите, что прямая АВ перпендикулярна
прямой ООГ.
2)	Докажите, что две окружности не могут пересекаться
более чем в двух точках.
15.	1) Через точку А окружности с центром О проведена
прямая, не касающаяся окружности. ОВ — перпенди-
куляр, опущенный на прямую. На продолжении отрез-
ка АВ отложен отрезок ВС — АВ. Докажите, что
точка С лежит на окружности.
2) Докажите, что если прямая имеет с окружностью
только одну общую точку, то она является касательной
к окружности в этой точке.
3) Докажите, что если две окружности имеют только
одну общую точку, то они касаются в этой точке.
60
Рис. 84
сторонами а, 6 и с,
16. 1) Из одной точки проведены
две касательные к окружнос-
ти (рис. 84). Докажите, что от- /
резки касательных МР и MQ I
равны.	\.
2) Докажите, чао через одну
точку не ыожет проходить боль-
ше двух касательных к окруж-
ности.
17. Постройте треугольник с данными
если: 1) а = 2 см, 6=3 см, с — 4 см; 2) а = 3 см,
6=4 см, с = 5 см; 3) а = 4 см, 6=5 см, с = 6 см.
18. Дан треугольник АВС. Постройте другой раглый ему
треугольник ABD.
19. Постройте треугольник по двум сторонам и радиусу
описанной окружности.
2Э.	Постройте окружность данного радиуса, проходящую
через две данные точки.
21.	Постройте треугольник АВС по следующим данным?
1) по двум сторонам и углу между ними:
а)	АВ	=	5 см,	АС = 6 см,	Z. А	=	40°;
б)	АВ	=	3 см,	ВС = 5 см,	ZL В	=	70е;
2)	по стороне и приле ,::ащим к ней углам:
а)	АВ	=	6 см,	Z. А = 30°,	Z. В	=	50°;
б)	АВ	=	4 см,	Z. А = 45°,	Z. В	=	60е.
22.	Постройте треугольник по двум сторонам и углу, про-
тиволежащему большей из них:
1)	а — 6 см,	6=4 см,	а = 70°;
2)	а = 4 см,	6 = 6 см,	р = 100°.
23.	Постройте равнобедренный треугольник по боковой
стороне и углу при основании.
24.	Разделите угол на четыре равные части.
25.	Постройте углы 60° и 30°.
26.	Постройте треугольник по двум сторонам и i гедиане,
проведенной к одной из них.
27.	Постройте треугольник по двум сторонам и медиане,
проведенной к третьей стороне.
28.	Дан треугольник. Постройте его медианы и высоты.
29.	Постройте треугольник по стороне, медиане, проведен-
ной к этой стороне, и радиусу описанной окружности.
3(». Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе
н катету.
31.	Постройте треугольник по двум сторонам и высоте,
опущенной на третью сторону.
32.	Постройте треугольник по стороне и проведенным к ней
медиане и высоте.
33.	Постройте треугольник по двум сторонам и высоте,
опущенной на одну из них.
ы
34.	Постройте равнобедренный треугольник по боковой
стороне и высоте, опущенной на основание.
35.	Постройте равнобедренный треугольн пс по основанию
и радиусу описанной окружности.
36.	Докажите, что геометрическое место точек, удаленных
от данной прямой на р< .сстояние Л, состоит ьз двух
прямых, параллельных данной к отстоящих от нее на Л.
37.	На данной прямой найди" в точку, которая находится
на данном расстоянии от другой данной прямой.
38.	Даны три точки: А, В, С. Постройте точку X, которая
одинаково удалена gt точек А и В и находится на дан-
ном расстоянии от точки С.
39.	На да:гной пропой нг_идите точку, равноудал.“иную от
двух данных точек.
43.	Даны четыре точк е: А, В, С, D. Найдите точку X, кото-
рая одинаково удалена от точек Ли В и ода та ово уда-
лена от ’ очек С и D .
41.	Постройте треугольник, если .аданы сторона, приле-
жащий к ней угол и сумм- двуд других старен.
42.	Постр опте треугольник, ес. ей заданы сторона, приле-
жащий к. ней угол и разность двух других сторон.
43.	Постройте прямоугольный треугольник по катету и
сумме другого галета и гипотенузы.
44.	Постройте треугольник по стороне, противолежащему
ей углу и высоте, проведенной из вершины этого угла.
45.	Постройте окружность, которая касается сторон дан-
ного угла, причем одной из них — в данной точке.
46.	Сторона треугольника равна 10 см, а противилежгщий
ей угол — 150°. Найдите радиус описанной окружности.
47.	Точки А, В, С лежат на окружности. Чеиу равна хорда
АС, если угол АВС равен 30°, а диаметр окружности
10 см?
48.	Точки А, В, С лежат на окружности. Чему равен угол
ЛВС, если хорда АС равна радиусу окружности? (Два
случая.)
49.	Докажите, что центром окружности, описачлон около
прямоугольного треугольника, является серэдина ги-
нотену ы.
50.	Докажите, что меди 1на прямоугольного треугс льника,
пповеде: пая к гипотенузе, разбивает его на два равно-
5 яренных треугольника.
51.	Постройте прямоугольный треугольник по гипоте! узе
и высоте, опущенной из верпглны прямого угла на ги-
потенузу.
52.	На окружности отпечены чзтыре точки: А, В, С, D.
Чему равен угол ADC, если угол АВС рален а? (Два
случая.)
62
X
53.	Хорды окружности AD и ВС пересекаются. Угол АВС
равен 10°, угол ACD равен £0°. Найдите угол CAD.
54.	1) Проведите через данную точку прямую, касающуюся
данной окружности.
2) Как построить касательную к двум окружностям?
55, 1) Через точку S проведены касательные £А и SB к
окр; жности (рнс. 8Е). Касательная t пересекает отрезки
SA и SB в точках Аг и В1. Докажите, что перьлетр
треугольника SAjBj не зависит от того, какая взята
касательная t, и равен SA Ч~ SB.
2)	Даны угол и точка. Как провести через эту точку
п^ял^то, чтобы она ожетсала от данного угла треуголь-
ник е данный' першютроас?
56.	1) Докажите, что серединные перпендикуляры к дв,м
сторонам треугольника пересекаются (не паралле тьны).
2) Докажите, что серединные перпендикуляры к трем
сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
3)	Докажите, что около .лсбого треугольника молено
огшеать окружность, и только одну.
57.	1) Через вершины треуго. жилка АВС приье,а.ны пря-
мые, параллельные протидоляжащи! i сторонам (рис. 86).
Точки их пересечения являются вершинами но-
вого треугольника. Докажите, что вершины данного
треугольника являю.ся серединами его сторон.
2)	Докажите, что прлыые, содержащие высоты тре-
угольника, пересекаются в одной точке.
58.	1) Докажите, что две биссектрисы треугольника пере-
секаются.
2)	Докажите, что три биссектрисы треугольника пере-
секаются в одной точке.
3)	Докажите, что в любой треугольник можно вписать
окружность, и только одну.
59.	Докажите, что геометрическое место вершин углов с
заданной градусной мерой, стороны которых проходят
через две данные точки, а вершины лежат по одну сторо-
ну от прямой, соединяющей эти точки, есть часть ок-
ружности с концами в этих точках (рис. 87).
63
7 «<пасс
§ 6. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
ВЫПУКЛЫЕ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ
Четырехугольником называется фигура, которая состоит
из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их
отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны
лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не долж-
ны пересекаться. Данные точки называются вершинами че-
тырехугольника, а соединяющие их отрезки — сторонами
четырехугольника. На рисунке 88 представлены три фигуры,
каждая из которых состоит из четырех точек А, В, С, D и
четырех последовательно соединяющих их отрезков АВ, ВС,
CD и AD. Четырехугольником является только третья фигу-
ра: у первой фигуры точки А, В, С лежат на одной прямой,
а у второй отрезки ВС и AD пересекаютс, i.
Вершины четырехугольника называются соседними, если
они являются концами одной из его сторон. Вершины, не
являющиеся соседними, называются противолежащими. От-
резки, соединяющие противолежащие вершины четырехуголь-
ника, называются диагоналями. У четырехугольника на ри-
сунке 89 диагоналями являются отрезки АС и BD.
Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины,
называются соседними сторонами. Стороны, не имеющие
64
общего конца, называются противоле-
жащими сторонами. У четырехуголь-
ника на рисунке 89 противолежа-
щими являются стороны АВ и CD,
ВС и AD.
Четырехугольник называется выпук-
лым, если он расположен в одной
полуплоскости относительно любой
прямой, содержащей его сторону. При
этом сама прямая считается принадле-
жащей полуплоскости. На рисунке 90, а
четырехугольник выпуклый, а на ри-
сунке 90, б — не выпуклый.
Четырехугольник обозначается ука-
занием его вершин. Е апример, четырех-
угольник на рисунке 89 обозначается
так: ABCD. В обозначении четырех-
угольника рядом стоящие вершины
должны быть соседними. Четырехуголь-
ник ABCD на рисунке 89 можно также
обозначить BCDA пли CDAB. Но
нельзя обозначить ABDC (В и D — не
соседние вершины).
Далее мы будем рассматривать толь-
ко «ыпуклые четырехугольники. Углом
выпуклого четырехугольника ABCD
при вершине А называется угол, обра-
зованный полупрямым.. АВ и AD.
Задача (1). Докажите, что если
диагонали четырехугольника пересе-
каются, то он выпуклый.
Решение. Пусть ABCD — четы-
рехугольник, у которого диагонали
пересекаются (рис. 91). Возьмем лю-
бую сторону четырехугольника, напри-
мер АВ. Прямая АВ разбивает плос-
кость на две полуплоскости. Точка
S — точка пересечения диагоналей —
лежит в одной из них. В той же
Рис. 90
Рис. 91
65
3 А. В Погорелов
полуплоскости лежат и вершины С и D. Поэтому стороны
ВС, CD и DA лежат в той полуплоскости, где лежит точка
S, т. е. по одну сторону от прямой АВ. То же самое можно
повторить для любой из трех остальных сторон четырехуголь-
ника. Значит, четырехугольник ABCD выпуклый.
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ
Параллелограмм — это четырехугольник, у которого про-
тиволежащие стороны параллельны, т. е. л°жат на парал-
лельных прямых (рис. 92).
Теорема 6.1. Если диагонали четырехугольника пересе-
каются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четы-
рехугольник — параллелограмм.
Доказательство. Пусть ABCD — данный четы-
рехугольник и О — точка пересечения его диагоналей
(рис. 93). Треугольники AOD и СОВ равны. У них углы
при вершине О равны как вертикальные, а О В = OD и О А =
= ОС по условию теоремы. Значит, углы ОВС и ODA равны.
А они являются внутренними накрест лэжащими при прямых
AD и ВС и секущей BD. По теореме 4.2 прямые AD и ВС
параллельны. Параллельность прямых АВ и CD доказывает-
ся с помощью равенства треугольников АО В н COD. Теорема
доказана.
Теорема 6.2 (обратная теореме 6.1). Диагонали паралле-
лограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство. Пусть ABCD — данный парал-
лелограмм (рис. 94). Проведем его диагональ BD. Отметим на
ней середину О и на продолжении отрезка АО отложим отре-
зок OClt равный АО. По теореме 6.1 четырехугольник ABCLD
есть параллелограмм. Следовательно, прямая BCt парал-
лельна AD. Но через точку В можно провести только одну
прямую, параллельную AD, Значит, прямая BCL совпадает
Рис. 92
Риз. 93
Рис. 94
66
с прямой ВО. Так же доказывается, что
прямая DC> совпадает с прямой ОС.
Значит, точка Ct совпадает с С. Парал-
лелограмм ABCD совпадает с ABC^D.
Поэтому его диагонали пересекаются
и точкой пересечения делятся попо-
Рис. Й6
лам. Теорема доказана.
Задача (и). Через точку пересечения диагоналей па-
раллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее,
заключенный между параллельными сторонами, делится в
этой точке пополам.
Решение. Пусть ABCD — данный параллелограмм
и EF — прямая, пересекающая параллельные стороны АВ
и CD (рис. 95). Треугольники ОАЕ и OOF равны по второму
признаку. У них стороны ОА и ОС равны, так как О — сере-
дина диагонали АС (теорема 6.2). Углы при вершине О рав-
ны как вертикальные, а углы ЕАО и ОСО равны как внутрен-
ние накрест лежащие при параллелг>пых АВ, CD и секущей
АС. Из равенства треугольников с идует равенство сторон
ОЕ = OF. Что и требовалось доказать.
Теорема 6.3. У параллелограмма противолежащие стеро-
ны равны, противолежащие углы равны.
Доказательство. Пусть ABCD — данный па-
раллелограмм (рис. 9S). Проведем диагонали параллело-
грамма. Пусть О — точка их пересечения. Равенство проти-
волежащих сторон АВ и CD следует из равенства треуголь-
ников АОВ и COD. У них углы при вершине О равны как
вертикальные, а ОА = ОС и OB = OD по теореме 6.2. Точно
так же из равенства треугольников AOD и СОВ следует ра-
венстве другой пары противолежащих сторон — AD и ВС.
Равенство противолежащих углов АВС и CD А следует из
равенства треугольников АВС и CD А (по трем сторонам).
У них АВ = CD и ВС — DA по доказанному, а сторона
АС общая. Точно так же равенство
противслез кащих углов BCD и DAB	________J
следует из равенства треугольников /	' /
BCD и DAB. Теорема доказана пол-
ностью.	/	/
Задача (15). Докажите, что ес- °	с
ли у выпуклого четырехугольника две	Рис. СЗ
3*
67
Рис. 97
стороны параллельны и равны, то он
является параллелограммом.
Решение. Пусть ABCD — дан-
ный четырехугольник, у которого сто-
роны АВ и CD параллельны и равны
(рис. 97). Проведем через вершину В
прямую Ь, параллельную стороне AD.
Эта прямая пересекает прямую DC в некоторой точке Ct. Точ-
ка Сх принадлежит лучу DC, так как дополнительный луч и
прямая Ъ лежат в разных полуплоскостях относительно
прямой AD. Четырехугольник ABC\D есть параллелограмм.
По теореме 6.3 CrD = АВ. А по условию AB=CD. Значит,
DC = DCt. Отсюда следует, что точки С и Сг совпадают.
Таким образом, четырехугольник ABCD совпадает с парал-
лелограммом АВСДЭ, а значит, является параллелограммом.
ПРЯМОУГОЛЬНИК. РОМБ. КВАДРАТ
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все
углы прямые (рис. 98).
Тео рема 6.4. Прямоугольник есть параллелограмм. Диа-
гонали прямоугольника равны.
Доказательство. Пусть ABCD — данный пря-
моугольник (см. рис. 98). Прямые AD и ВС, будучи перпен-
дикулярными прямой АВ, параллельны. Прямые АВ и CD
перпендикулярны AD и поэтому тоже параллельны. Следова-
тельно, прямоугольник —• параллелограмм.
Второе утверждение теоремы следует из равенства прямо-
угольных треугольников BAD и CD А. У них углы BAD и
CD А прямые, катет A D общий, а катеты А В и CD равны как
противолежащие стороны параллелограмма. Из равенства
треугольников следует, что их гипотенузы равны. А гипоте-
нузы есть диагонали прямоугольника. Теорема доказана.
Задача (21). Докажите, что если у параллелограмма
все углы равны, то он является прямоугольником.
Решение. Углы параллелограмма, прилежащие к од-
ной стороне, являются внутренними односторонними, поэтому
их сумма равна 180°. Так как по условию задачи эти углы
равны, то каждый из них прямс й. А параллелограмм, у
которого все углы прямые, есть прямоугольник.
68
Ромб — это параллелограмм, у ко-
торого все стороны равны (рис. 99).
Теорема 6.5. Диагонали ромба
пересекаются под прямым углом. Диа-
гонали ромба являются биссектрисами
его углов.
Доказательство. Пусть
ABCD — данный ромб (см. рис. 99),
О — точка пэресечения его диагоналей.
По свойству параллелограмма АО= ОС.
Значит, в равнобедренном треугольнике
АВС отрезок ВО является медианой.
По свойству равнобедренного треуголь-
ника медиана, проведенная к его ос-
нованию, является биссектрисой и вы-
сотой. А это значит, что диагональ BD
является биссектрисой угла В и пер-
пендикулярна диагонали АС. Теорема
доказана.
Задача (28). Докажите, что если
у параллелограмма диагонали перпен-
дикулярны, то он является ромбом.
Решение. Пусть ABCD — па-
раллелограмм с перпендикулярными
диагоналями и О — точка пересечения
диагоналей (рис. 1С0). Треугольники
АО В и AOD равны по первому призна-
ку равенства треугольников. У них
углы при вершине О по условию пря-
мые, сторона АО общая, а ОВ =
А	в
Рис. 99
Рис. 100
Рис. 101
= OD по свойству параллелограмма (теорема 6.2). Из ра-
венства треугольников следует равенство сторон: АВ = AD.
А по теореме 6.3 AD = ВС, АВ = CD. Итак, все стороны
параллелограмма равны, а значит, он есть ромб.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны
равны (рис. 101).
Квадрат является также ромбом, поэтому обладает свой-
ствами прямоугольника и ромба.
69
ТЕОРЕМА ФАЛЕСА
Теорема 6.6 (теорем! Фалеса)1. Если параллельные пря-
ные, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его сторо-
не равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на дру-
гой его стороне (рис. 102).
' Доказательство. Пусть А<. А2, А 3 — точки пе-
ресечения параллельных прямых с одной из сторон угла и
А2 лежит между Ах и А3 (рис. 102). Пусть Bj, В2, В3 — соот-
ветствующие точки пересечения этих прямых с другой сторо-
ной угла. Докажем, что если А±А2 = А2А3, то BiB2 = В2В3.
Сначала докажем, что точка В2 лежит между Вг и В„.
Точки Аг и А3 лежат по разные стороны от прямой АгВг,
так как отрез эк А±А3 пересекает эту прямую (в точке А2).
Точки Ах и В1 лежат по одну сторону от прямой А2В2, так
как отрезок AjBj параллелен прямой А2В2, а значит, не
пересекает ее. Точно так же точки А3 и В3 лежат по одну
стс рону от прямой А2В2. Значит, точки BL и В3 лежат по раз-
ные стороны от этой прямой, и поэтому отрезок В^з пересе-
кает прямую А2В2 (в точке В2).
Проведем через точку В2 прямую EF, параллельную пря-
мой AjA3. По свойству параллелограмма АХА2 = ВВ2,
А2А3 = В2Е. И так как AtA2 = А2А3, то ЕВ2 = В2Е.
Треугольники В2В^Р и B2BiE равны по второму призна-
ку. У них В2Е = В2Е по доказанному. Углы при вершине В2
равны кек вертикальные, а углы В2РВ1 и В2ЕВ3 рагны как
внутренние накрест лежащие при параллельных А1В1 и
А3В3 и секущей EF, Из равенства треугольников следует
раз энство сторон: BiB2 = В2В3. Теорема доказана.
Задача 6. 7. Разделить данный отрезок АВ на п равных
частей.
Решение. Проведем из точки А полупрямую с, ье
ле _:ащую на прямой АВ (рис. 103). Отложим на полупрямой
а равные отрезки: AAlt AjAa, А2А3, ..., А,,^ А„. Проведем
через точки А„ и В прямую Ь. Прямые, параллельные Ь, про-
ходящие через точки А,, Аа, ..., А^, пересекают отрезок
АВ в точках Вп В2, ..., Bn_lf которые делят отрезок АВ на
п равных отрезков (теорема 6.6).
Средней линией треугольника называется отрезок, соединя-
ющий середины двух его сторон.
1 Фалес Милетский — древнегреческий ученый, живший в VI г. до н. э.
7С
Рис. 102
Рис. 103
Теорема 6.8. Средняя линия треугольника, соединяющая
середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и
равна ее половине.
Доказательство. Пусть DE — средняя линия
треугольника АВС (рис. 104). Проведем через точку D пря-
мую, параллельную АВ. По теореме 6.6 она пересекает отре-
зок АС в его середине, т. е. содержит среднюю линию DE.
Первое утверждение доказано.
Проведем теперь среднюю линию DF. Она параллельна
стороне АС. Четырехугольник AEDF — параллелограмм.
По свойству паралл елограмма ED = AF, а так как AF =»
= FB, то ЕВ = АВ. Теорема доказана.
Задача (47). Докажите, что середины сторон четырех-
угольника являются вершинами параллелограмма.
Решение. Пусть ABCD — данный четырехугольник
и Е, F, G, Н — середины его сторон (рис. 105), EF — сред-
няя линия треугольника АВС. Поэтому EF || AC. GH —
средняя линия треугольника ADC. Поэтому GH || АС. Итак,
EF h GH, т. е. противолежащие стороны EF и GH четырех-
угольника EFGH параллельны. Точно так же доказывается
параллельность другой пары противолежащих сторон. Зна-
чит, четырехугольник EFGH — параллелограмм.
Рис. 105
71
ТР/ПГЦИЯ
Трапецией называется выпуклый четырехугольник, у ко-
торого только две противолежащие стороны параллельны
(рис. 106). Эти параллельные стороны называются основа-
ниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми
сторонами. Трапеция, у которой боковые стороны равны,
называется равнобокой. Отрезок, соединяющий середины
боковых сторон, называется средней линией трапеции.
Теорема 6.9. Средняя линия трапеции параллельна ос-
нованиям и равна их полусумме.
Доказательство. Пусть ABCD — данная трапе-
ция (рис. 107). Проведем через вершину В и середину Р бо-
ковой стороны CD прямую. Она пересекает прямую AD в
некоторой точке Е. Треугольники РВС и PED равны по
второму признаку равенства треугольников. У них СР — DP
по построению, углы при вершине Р равны как вертикаль-
ные, а углы РСВ и PDE равны как внутренние накрест ле-
жащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей CD.
Из равенства треугольников следует равенство сторон РВ =
= РЕ, ВС = ED. Значит, средняя линия PQ трапеции яв-
ляется средней линией треугольника АВЕ. По свойству
средней линии треугольника PQ || АЕ и отрездас PQ = — АЕ =
= ~ (AD 4- ВС). Теорема доказана.
А
Задача (60). Докажите, что отрезок, соединяющий се-
редины диагоналей трапеции, параллелен основаниям и
равен полуразности оснований.
Решение. Пусть ABCD — данная трапеция с боль-
шим основанием CD (рис. 108). Проведем через середину G
боковой стороны ВС прямую, параллельную основаниям.
Она пересечет диагонали в точках Е и
F, которые являются их серединами.
EG — средняя линия треугольника
DBC, FG — средняя линия треуголь-
ника АВС. Отрезок EF равен раз-
ности этих средних линий:
г,„ CD АВ	CD —АВ
= —— — — = ---------•
2	2	2
Что и требовалось доказать.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Какая фигура называется четырехугольником?
2.	Какая из трех фигур на рисунке 88 является четырех-
угольником? Почему две другие фигуры не являются
четырехугольниками?
3.	Какие вершины четырехугольника называются сосед-
ними, какие — противолежащими.
4.	Что такое диагонали четырехугольника?
5.	Какие стороны четырехугольника называются сосед-
ними? Какие называются противолежащими?
6.	Как обозначается четырехугольник?
7.	Какой четырехугольник называется выпуклым?
8.	Что такое угол выпуклого четырехуГОдЬника при дан-
ной вершине?
9.	Что такое параллелограмм?
10.	Докажите, что если диагонали четЫрехуГОЛЬника пере-
секаются и точкой пересечения делятся пополам, те он
является параллелограммом.
11.	Докажите, что диагонали параллелограмма пересека-
ются и точкой пересечения делятся пополам.
12	Докажите, что у параллелограмма противолежащие
стороны равны, противолежащие углы равны.
13.	Что такое прямоугольник?
14.	Докажите, что прямоугольник является параллелограм-
мом; диагонали прямоугольника Равны.
15.	Что такое ромб?
16.	Докажите, что диагонали ромба пеРесекаются под пря-
мым углом; диагонали ромба являются биссектрисами
его углов.
17.	Что такое квадрат? Перечислите свойства квадрата.
18.	Докажите теорему Фалеса.
19	Докажите, что средняя линия треугольника равна поло-
вине соответствующей стороны.
20.	Какой четырехугольник называется трапецИей?
21.	Докажите, что средняя линия трапеции равна полусум-
ме оснований.
73
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Докажите, что если диагонали четырехугольника пере-
секаются, го он выпуклый.
2.	Медианы треугольника ^.ВС, проведенные из вершил
А и С, пересекаются в точке М. Докажите, что четы-
рехугольник АВСМ новыяуклый.
3.	Сколько можно построит^ параллелограммов с верши-
нами в трех заданных точках, не лежащих на одной
прямой?
4.	Боковая сторона равнобедренного треугольника
равна 5 м. Из точки, взятой на основании этого
треугольника, проведаны две прямые, параллельные
боковым сторонам. Найдите периметр (сумму длин
всех сторон) получившегося параллелограмма.
5.	Четырехугольник ABCD — параллелограмм с пери-
метром 10 см. Найдите длину диагонали! BD, зная, что
периметр треугольника ABD равен 8 см.
6.	Через точку пересечении диагоналей параллелограмма
проведена пряма я. Докажите, что отрезок ее, заключен-
ный между параллельными сторонами, делится в этой
точке пополам.
7.	В параллелограмме ABCD через точку пересечения
диагоналей проведена прямая, которая отсекает на
сторонах ВС и AD отрезки BE == 2 м и AF — 2,8 м.
Найдите стороны ВС и AD.
8.	Сдин из углов параллелограммаЗравен 40°. Найдите
остальные углы.
9.	Найдите углы параллелограмма, зная, что один из них
больше другого на 50°.
10.	Может ли один угол параллелограмма быть равным
40°, а другой — 50°?
11.	Диагональ параллелограмма образует с двумя ело сто-
ронами углы 25° и 35°. Найдите углы параллелограмма.
12.	Найдите все углы параллелограмма, если сумма двух из
них равна: 1) 8СГ; 2) 100°; 3) 160°.
13.	Найдите все углы параллелограмма, если разнссть двух
из них равна: 1) 70°; 2) НО3; 3) 140°.
14.	В параллелограмме ABCD точка Е — середина стороны
ВС, a F — середина стороны AD. Докажите, что четы-
рехугольник BEDF — параллелограмм.
15.	Докажите, что если у выпуклого четырехугольника две
стороны параллельны и равны, то он является парал-
лелограммом.
16.	В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла
А, которая пересекает стерону ВС в точке Е. Чему
равны отрезки BE и ЕС, если АВ = 9 см, AD = 15 см?
74
17.	Две стороны параллелограмма относятся как 3 : 4, а
периметр его равен 2,8 м. На: гдите стороны.
18.	В параллелограмме ABCD перпендикуляр, опущенный
из вершины В на сторону AD, делит ее пополам. Най-
дите диагональ BD и стороны параллелограмма, если
известно, что периметр параллелогра_н«а равен 3,8 м,
а периметр треугольника AED ъаьен 3 м.
19.	Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и
диагонали; 2) по стороне и двум диагоналям.
20.	Постройте параллелограмм: 1) по двум сторонам и уг-
лу; 2) по диагоналям и углу между ними.
21.	Докажите, что если у параллелограмма все углы равны,
то он является прямоугольником.
22.	Докажите, что если у параллелограмма диагонали рав-
ны, то он является прямоугольником.
23.	Биссектриса одного из углов прямоугольника делит
сторону прямоугольника пополам. Найдите периметр
прямоугольника, если его меньшая сторона равна
10 см.
24.	В прямоугольнике точка пересечения диагоналей от-
стоит от меньшей стороны на 4 см дальше, чем от боль-
шей стороны. Периметр прямоугольника равен 56 см.
Найдите стороны прямоугольника.
25.	Из одной точки окружности проведены две взаимв о
перпендикулярные хорды, которые удалены от центра
на 6 см и 10 см. Найдите их длины.
26.	В прямоугольный треугольник, каждый катет которого
равен 6 см, вписан прямоугольник, имеющий с
треугольником общий угол. Найдите периметр
прямоугольника.
27.	В рг внобедрениыч прямоугольный треугольник вписан
прямоугольник так, что две его вершины находятся ва
гипотенузе, а две другие — на катетах. Чему равны
стороны прямоугольника, если известно, чтоони отно-
сятся как 5 : 2, а гипотенуза треугольника равна 45 см?
28.	Докажите, что если у параллелограмма диагонали пер-
пендикулярны, то он является ромбом.
29.	Докажите, что если диагональ параллелограмма яв-
ляется биссектрисой его углов, то он является ромбом.
30.	Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его
сторон, относятся как 4 : 5. Найдите углы ромба.
31.	Докажите, что четырехугольник, у которого все сторо-
ны равны, является ромбом.
32.	В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите
углы ромба.
33.	Постройте ромб: 1) по углу и диагонали, исходящей из
вершины этого угла; 2) по диагонали и противолежащему
углу.
75
31.	Постройте ромб: 1) по стороне и диагонали; 2) по двум
диагоналям.
35.	В равнобедренный прямоугольный треугольник, каж-
дый катет которого 2 м, вписан квадрат, имеющий с
ним общий угол. Найдите периметр квадрата.
36.	Дан квадрат ABCD. На каждой из его сторон отложе-
ны равные отрезки: ААг = ВВХ = СС± = DDV. До-
кажите, что четырехугольник А1В1С^1 есть квадрат.
37.	Диагональ квадрата равна 4 м. Сторона его равна диа-
гонали другого квадрата. Найдите сторону последнего.
38.	Дан квадрат, сторона которого 1 м, диагональ его равна
стороне другого квадрата. Найдите диагональ послед-
него.
ЗЭ. В квадрат вписан прямоугольник так, что на каждой
его стороне находится одна вершина прямоугольника
и стороны прямоугольника параллельны диагоналям
квадрата. Найдите стороны прямоугольника, зная,
что одна из них вдвое больше другой и что диагональ
квадрата равна 12 м.
40.	В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан
квадрат так, что две его вершины находятся на гипо-
тенузе, а другие две — на катетах. Найдите сторону
квадрата, если известно, что гипотенуза равна 3 м.
41.	Из внешней точки проведены к окружности две взаимно
перпендикулярные касательные; радиус окружности 10 см.
Найдите длины касательных (расстояние от данной
точки до точки касания).
42.	Стороны треугольника равны 8 см, 10 см, 12 см. Найдите
стороны треугольника, вершинами которого являются
середины сторон данного треугольника.
43.	Периметр треугольника равен 12 см; середины сторон
соединены отрезками. Найдите периметр полученного
треугольника.
44.	Средняя линия равнобедренного треугольника, парал-
лельная основанию, равна 3 см. Найдите стороны тре-
угольника, если его периметр равен 16 см.
45.	Как построить треугольник, если заданы середины его
сторон?
46.	Докажите, что вершины треугольника равноудал шы
от прямой, проходящей через середины двух его сторон.
47.	Докажите, что середины сторон четырехугольника яв-
ляются вершинами параллелограмма.
48.	Найдите стороны параллелограмма из предыдущей за-
дачи, если известно, что диагонали четырехугольника
равны 10 м и 12 м.
49.	У четырехугольника диагонали равны а и Ъ. Найдите
периметр четырехугольника, вершинами которого яв-
ляются середины сторон данного четырехугольника.
76
50.	Докажите, что середины сторон прямоугольника яв-
ляются вершинами ромба.
51.	Докажите, что середины сторон ромба являются верши-
нами прямоугольника.
52.	Боковая сторона трапеции разделена на три равные
части, и из точек деления проведены к другой стороне
отрезки, параллельные основаниям. Чему равны длины
этих отрезков, если основания трапеции равны 2 м и
5 м?
53.	Докажите, что у равнобокой трапеции углы при основа-
нии равны.
54.	Чему равны углы равнобокой трапеция, если известно,
что разность противолежащих углов равна 40°?
55.	В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м,
боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60°. Най-
дите меньшее основание.
56.	В равнобокой трапеции высота, проведенная из верши-
ны тупого угла, делит большее основание на отрезки
6 см и 30 см. Найдите основания трапеции.
57.	Меньшее основание равнобокой трапеции равно боко-
вой стороне, а диагональ перпендикулярна боковой
стороне. Найдите углы трапеции.
58.	По одну сторону от данной прямой даны две точки А и
Б на расстояниях 10 м и 20 м от нее. Найдите расстоя-
ние от середины отрезка АВ до данной прямой.
59.	По разные стороны от данной прямой даны две точки А
и В на расстояниях 10 см и 4 сгс от нее. Найдите рас-
стояние от середины отрезка АВ до данной прямой.
60.	Докажите, что отрезок, соединяющий середины диаго-
налей трапеции, параллелен основаниям и равен
полуразности оснований.
61.	Основания трапеции относятся как 2:3, а средняя
линия равна 5 м. Найдите основания.
62.	Концы диаметра удалены от касательной к окружности
на 1,6 м и 0,6 м. Найдите длину диаметра.
63.	Средняя линия трапеции равна 7 см, а одно из ее осно-
ваний больше другого на 4 см. Найдите основания тра-
пеции.
64.	Высока, проведенная из вершины тупого угла равно-
бокой трапеции, делит большее основание на части,
имеющие длины а и Ъ (а > Ь). Найдите среднюю линию
трапеции.
65.	Постройте трапецию по основаниям и боковым сторонам.
66.	Постройте трапецию по основаниям и диагоналям.
67.	1) В треугольнике АВС проведены медианы AAt
и BBlt которые пересекаются в точке М (рис. 109). В
треугольнике АМВ проведена средняя линия PQ. Дока-
жите, что четырехугольник
A-jJiPQ — параллелограмм.
2) Докажите, что любы е две
медианы треугольника пересе-
каются и точкой пересечения
делятся в отношении 2 : 1, счи-
тая от вершины.
3) Докажите, что все три ме-
дианы треугольника пересека-
ются в одной точке.
£> 68. Докажите, что у выпуклого
Bt	' четырехугольника диагонали
пересекаются.
Рис. 109	69. Докажите, что у вынутого че-
тырехугольнике , вписанн это в
окружность, сумма противолежащие углов равна 180°.
70. Дзкажите, что у четыр эх угольника, описанного около
окружности, суммы длин противолежащих сторон оди-
наковы.
§ 7. ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
КОСИНУС УГЛА
Косинусом, острого угла прямоугольного треугольника
называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
Косинус угла а обозначается так: cos а. Оказывается, что
косинус угла зависит только от градусной меры угла, но
не зависит от размеров треугольника и его расположения,
т. е. у двух треугольников с одним и тем же острым углом
косинусы этого угла равны.
Теорема 7.1. Косинус угла зависит только от градусной
меры угла.
Доказательство. Пуста АЪС и А'В'С — дза
пр ямоугольных треугольника с одним и тем же углом при
71
вершинах А и А', равным а (рис. 110). Требуется доказать,
что
А'С' лс	. .
-----= -—.	(а)
АВ' АВ
Отложим на луче АВ отрезок ABk, равный отрезку А' В', и
опустим перпендикуляр ВХС, на прямую АС. Треугольники
АВ,СХ и А'В’С рав! сы по гипотенузе и острому углу. По-
этому А'С — ACt. Следовательно, чтобы доказать равенство
(*), достаточно доказать, что
АС, _ _АС
АВ, ~ лв‘
тт	АС, , АС	АС. АС
Допустим, что ------	---, например, что -----а >---•
АВ, АВ	^4^3, *АВ
АС АС
Возьмем на опезке АС, точку С» так, чтобы -------- =---.
АВ, АВ
Разобьем отрезок АС на большое число п равных частей
и проведем через точки деления прямые, параллельные пря-
мой ВС. По теореме Фалеса эти пря: тые разбивают отрезок
АВ на п равных отрезков. При достаточно большом п на
отрезке ССг будут точки деления. Обозначим одну из них
через У, а соответствующую точку на стороне АВ — через X.
тт	АС , АВ
Пусть а = —, о = — и пусть т — число малых от-
п	п
резков разбиения, которые лежат на отрезке AY. Имеем:
АС — па, АВ =- nb, AY = та, АХ = mb. Мы видим, что
АС _ AY
АВ ~ АХ’
Заменим в правой части равенства величину -AY меньшей ве-
личиной АС2, а величину АХ — большей АВ,. Тогда
правая часть уменьшится, и мы получим: — >	. А по вы-
_	Л	АС АС, ..
бору точки Сг должно быть — = — Мы пришли к про-
АВ АВ ।
тиъоречию. Теорема доказана.
g
Задача (1). Постройте угол, косинус которого равен—.
б
Решение. Строим прямоугольный треугольник с ка-
тетом 3 единицы длины и гипотенузой 5 единиц. У этого тре-
угольника угол, противолежащий второму катету, будет
исковым.
T9
ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
Теорема 7.2 (теорема Пифагора1). В прямоугольном
треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов ка-
тетов.
Доказательство. Пусть АВС — данный прямо-
угольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту
СО из вершины прямого угла С (рис. 111).
По определению косинуса угла
cos А =	. Отсюда АВ  AD = АС2.
АС АВ
Аналогично
cos В =	Отсюда АВ  BD = ВС2,
вс АВ
Складывая полученные равенства почленно и замечая, что
AD 4* DB — АВ, получим:
АС2 + ВС2 = АВ (AD + DB) = АВ2.
Теорема доказана.
Из теоремы Пифагора следует, что в прямоугольном треуголь-
нике любой из катетов меньше гипотенузы. Отсюда, в свою
очередь, следует, что cos а<1 для любого острого угла а.
Задача (16). Найдите радиус окружности, описанной
около равнобедренного треугольника с основанием а и боко-
вой стороной Ь.
Решение. Находим высоту CD (рис. 112), опущенную
на основание. По теореме Пифагора
cd = Vac2—ad2 =
Обозначим радиус описанной окруж-
ности через R. Если центр О окружно-
сти лежит на высоте CD (рис. 112, а),
то OD = CD — R. Если центр окруж-
ности лежит на продолжении высоты
1 Пифагор — древнегреческий ученый, жив-
ший в VI в. до и. э.
ео
(рис. 112, б), то OD = И — CD. По тео-
реме Пифагора АО2 = OD2 -|- AD®, или
Отсюда находим:
Пусть БА — перпендикуляр, опущен-
ный из точки В на прямую а, и С—лю-
бая точка прямой а, отличная от А.
Отрезок ВС называется наклонной, про-
веденной из точки В к прямой а (рис. 113).
Точка С называетеч основанием наклон-
ной. Отрезок АС называется проекцией
наклонной.
Из теоремы Пифагора следует, что если
к прямой из одной точки проведены пер-
пендикуляр и наклонные, то наклонная
болыче перпендикуляра, равные наклон-
ные имеют равные проекции, из двух
наклонных больше та, у которой проекция
больше.
Рис. 112
Задача (21). Стороны треугольника а, Ь, с. Найдите
высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Решение. Обозначим проекцию стороны а на пря-
мую, содержащую сторону с, через х. Тогда проекция сторо-
ны Ь на эту прямую будет либо с — х (рис. 114, а), либо
с + х (рис. 114, б). По теореме Пифагора в первом случае
CD2 = а2 — х2, CD2 = Ь2 — (с — х)2
81
Отсюда получаем уравнение:
а2 — х2 = Ь2 — (с — х)2.
Ре лаем его:
а2 — х2 — Ь2 — с2 + 2сх — х2, а2 = Ъ2 — с2 + 2сх,
х = — (а2 — Ъ2 4- с2).
2с
Крходын высоту CD:
CD = 1 fа2 — — (а2 — Ь2 + с2)2 .
Во втором случае ответ получается такой же. Проведите вы-
числения самостоятельно.
СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ СТОРОНАМИ И УГЛАМИ
В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Пусть АВС — прямоугольный треугольник с прямым
углом С и острым углом при вер пине А, равным а (рис. 115).
Согласно определению cos а равен отношению катета, при-
лежащего к углу а, к гипотенузе.
Синусом, угла а (обозначается sin а) называется отноше-
ние противолежащего катета ВС к гипотенузе А В:
ВС
since =--.
АВ
Тангенсом угла а (обозначается tg а) называется отноше-
ние противолежащего катета ВС к прилежащему катету АС:
ЬС
^а~ ас '
Синус и ган^енс угла, так же как и косинус, зависят
только от величины угла.
Действительно, по теореме Пифагора
ВС = V АВ2 —АС2,
ВС , А /АС\г 1 -------------5-
sma= ——= 1/ 1— — =	1 — cos-а •
АВ	\АВ)
Так как cos а зависит только от вели-
зависит только от
АС___sin а
АВ cos а
82
□гстода видно, что и tg а зависят	С
только от величины угла.	/
Из определения sin се, cos а и tg а / х.
получаем следующие правила:	/	х.
Катет, противолезкащий углу a Ad ~i
равен произведению гипотенузы на	р
sin “•	Рис. 116
Катет, прилежащий к углу а, ра-
вен произведению гипотенузы на cos а.
Катет, противолежащий углу а, равен произведению второ-
го катета на tg а.
Эти правила позволяют, зная одну из сторон прямоуголь-
ного треугольника и острый угол, находить две другие сто-
роны; зная две стороны, находить острые углы.
Задача (31). В прямоугольном треугольнике даны ги-
потенуза с и острый угол се. Найдите катеты, их проекции
па гипотенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
Решение (рис. ИС). АС = АВ cos а = с cos а; ВС =»
=» АВ sin а = с sin а; BD = ВС sin а = с sm! а; AD =•
— AC cos а = с cos2 а; CD = AC sin а = с sin а cos а.
Из этих выражений получаются следу ощне соотношения:
АС = VАВ  AD, ВС = VAB  BD, CD =* VAD  BD.
Эти соотношения полезно помнить. Их выражают словами
так:
Катет прямоугольного треугольника есть среднгз пропор-
циональное между гипотенузой и его проекцией на гипо-
тенузу.
Высота прямоугольного треугольника, спущенная из вер-
шины прямого угла, есть среднее пропорциональное между
проекциями катетов на гипотенузу.
Название «среднее пропорциональное» оправдывается тем,
что число х = j/aF является средним членом пропорции
а : х = х : Ь.
КАК ПОЛЬЗОВАТЬСЯ ТАБЛИЦАМИ СИНУСОВ, КОСИНУСОВ
И ТАНГЕНСОВ
Для sin a, cos а и tg и составлены специал’ ные таблицы.
Эти таблицы позволяют по данному углу а найти sin а,
cos а и tg а или по значениям sin a, cos a, tg a найти соот-
83
Бедствующий угол. Поясним, как пользоваться этими та.ли-
цами на примере решения задачи 32.
Задача (32). 1) Пользуясь таблицами, найдите:
sin 22°, sin 22°36', sin 22 38', sin 22°41'; cos 68°, cos 68°18',
cos 68 20', cos 68 23'.
2) Найдите угол x, если sin x = 0,2840; sin x = 0,2844;
cos x — 0,2710.
Решение (см. таблицы В. М. Ерадиса, с. 52). 1) Найдем
sin 22°. В первой колонке таблицы ищем 22°. Рядом во вто-
рой колонке видим число 0,3746. Это и есть sin 22°.
Найдам sin 22°36'. Снова ищем 22° в первой колонке.
Затем, передвигаясь по строке, в которой стоит 22°, ищем
колонку, у которой вверху стоит 36'. В этой колонке и будет
sin 22°36'. Он равен 0,3843.
Найдем sin 22'38'. Ищем ближайшее к 38 число, кратное
6. Это будет 33. Находим sin 22°36' и прибавляем к нему
поправку на 2'. Поправки на 1', 2' и 3' даны в трех послед-
них колонках таблицы. В строке, где 22°, находим поправку
на 2'. Она равна 5. Теперь находим sin 22 38' = 0,3843 +
+ 0,0003 = 0,3848.
Найдем sin 22°41'. Ищем sin 22с42' и поправку на 1' вы-
читаем. Находим sin 22 41' = 0,3856.
Значения косинуса можно получить с помощью таблицы
синусов, пользуясь равенством cos се = sin (90° — а) (оно
будет доказано в теореме 7.3). Но можно найти косинус и
непосредственно. Найдем cos 68°. Ищем в четвертой колонке
с правой стороны таблицы 68°. Рядом слева от него стоит
число 0,3746. Это и есть cos 68°. Заметим, чти cos 68° =
= cos (90 — 22") = sin 22°. A sin 22° также равен 0,3746.
Найдем cos 68°18'. Ищем строку, где 68°. Перемещаемся
по этой строке влево. В колонке, где внизу стоит 18', нахо-
дим cos 68°18'. Он равен 0,3697.
Чтобы найти cos 68°20', берем cos 68°18' и учитываем по-
правку на 2'. Поправку надо вычитать. Получаем cos 68°20' =
= 0,3697 — 0,0005 = 0,3692.
Чтобы найти cos 68°23', берем cos 68°24' и учитываем по-
правку на 1'. Ее надо прибавлять. Получаем cos 68°23' =
= 0,3681 + 0,0003 = 0,3684.
При работе с поправками надо иметь в виду, что синус
при увеличении угла увеличивается, а косинус уменьшается
84
(см. теорему 7.4). Поэтому нетрудно сообразись, прибавлять
поправку или вычитать.
Значения тангенса по таблице тангенсов находятся так
же, как значения синусов по таблице синусов.
2) Найдем теперь угол х, для которого sin х = 0,2840.
Ищем в таблице синусов число 0,2840. Мы видим, что это
число стоит в строке, где слева стоит 16°, и в колонке, где
сверху стоит 30'. Значит, х = 16°30'.
Найдем х, для которого sin х = 0,2844. Ищем в таблице
синусов число 0,2844 или ближайшее к нему. Ближайшим
числом будет 0,2840. Это sin 16J30'. Если прибавить поправ-
ку на 1', то получим 0,2843. Если прибавить поправку на 2',
то получим 0,2846. Поэтому с точностью до 1' надо считать
х = 16°ЗГ.
Найдем х, для которого cos х = 0,2710. Ищем в таблице
число 0,2710 или ближайшее к нему. Это число будет 0,2706.
Оно есть cos 74°18'. Наше число больше. Значит, угол
меньше. Поправка на 1' будет 0,0003, а на 2' будет 0,0006.
Берем поправку на 1'. Получаем с точностью до 1* угол
х = 74°17'.
Угол по значению тангенса ищется с помощью таблицы
тангенсов так же, как угол по значению синуса с помощью
таблицы синусов.
ОСНОВНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Докажем следующие тождества:
sin2 а 4- cos2 а = 1,	1 + tg2 а = —*—,	1 + —— = —-—.
cos2 a	tg2 a sin2 а
Возьмем любой прямоугольный треугольник АВС с уг-
лом при вершине А, равным а (рис. 117).
Пифагора
ВС2 + АС2 = АВ2.
Разделим обе части равенства на АВ2. Полу-
чим:
/В£\2	/А£\2 = J
\АВ/
ВС	АС
Но — = sin а, — = cos се. Таким образом,
АВ	АВ
sin2 a -f- cos2 а = 1.
По теореме
В
Рис. 117
85
Это равенство есть тождество. Ойо зерно при лкюом а (а < 9С ).
Чтобы получить второе тождество, разделим обе части
полученного тождества на cos2 а. Получи™:
sin2 се . ,	1	, . . о	1
-------н 1 =----, или 14- tg® а -------.
cos2 а cos2 а	cos2 а
Если обе части тождества sin2 а 4- cos2 а = 1 разделить
на sin2 а, то получим третье тождество:
1 -f- — - =	.
tg?a	sin2 a
Значение этих тождеств заключается в том, что они поз-
воляют, зная одну из величин sin се, cos а или tg се, найти
две другие.
Задача (47). Вычислите значения sin а и tg а, если
cos а — —.
13
Решение. Так как sin2 a 4- cos4 се = 1, то
•	1 ------г—	ч /\	/ 5 \а	4.^ sin а 12
sin се = 1 1 — cos2 a =1/ 1 — I — = "• tg се =-= —.
у \13 	cos a 5
ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА НЕКОТОРЫХ
УГЛОВ
Теор ема 7.3. Для любого острого угла a sin (90° — a) —
= cos ce, cos (90° — a) — sin a.
Доказательство. Пусть ABC —прямоугольный
треугольник с острым углом се при вершине А (рис. 118).
Тогда острый угол при вершине В равен 90° — а. Согласно
определению
ВС	АС
sina-—, cos се =—,
АВ	АВ
sin (90° — a) = —, cos (СО — a) = —.
* АВ	АВ
Из второго и третьего равенств получаем: sin (90 — a) =
= cos а. Из первого и четвертого равенств получаем:
cos (90°— с:) = sin а. Теорема доказана.
Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°. Для этого
построим прямоугольный треугольник с острым углом 45°
(рис. 119). Второй его острый угол тоже 45°, поэтому тре-
угольник равнобедренный. Пусть катеты треугольника pan-
es
.3
ны а. По теореме Пифагора гипотенуза будет а] ^2. Ня ходим;
sin 45° = —=&
ауг2	У 2	2
cos 45° = —£_ =_L =2Л; tg45° = — = 1.
оу 2	У2	2	46 а
Найдем синус, косинус и тангенс угла 30°. Возьмем равно-
сторонний треугольник АВС (рис. 120). Проведем в нем ме-
диану AD. Она будет биссектрисой и высотой. Поэтому тре-
угольник ABD — прямоугольный с острым углом при вер-
шине А в 30°. Пусть а — сторона равностороннего треуголь-
ника. Тогда BD= По теореме Пифагора
2
ad = Vab2 — bds =]/~ О2_^у=Ц£.
Значит,
sin30° =-:а=-• cos30° =	: а =	tg30° = -—
2	2	2	2	у 3
По теореме 7.3
sin 60° = cos 30° = t-?-; cos 30" = sin 30° = —;
2	2
tg60° = ^^=FT.
cos 60°
ИЗМЕНЕНИЕ sin a, cos а и tga ПРИ ВОЗРАСТАНИИ УГЛА a
Теорема 7.4. При возрастании острого угла sin а и tg а
возрастают, a cos а убывает.
Доказательство. Пусть а и Р — острые углы,
причем a < р. Отложим углы а и р от полупрямой АВ в
одну полуплоскость (рис. 121). Проведем через точку В пэя-
муо, перпендикулярную АВ. Она пересекает стороны наших
угтов в точках С и D. Так как a < р, то точка С лежит
между В и D. Поэтому ВС < BD. А значит, по свойству нак-
87
лонных, проведе: шых из одной точки к
прямой, АС < AD. Так как
АВ	о	АВ
cosa=—, cosp = ——'
AC	1	AD
то eos a > cos P, т. e. при возрастании
угла косинус убывает.
Так как sin се =	1 — cos2^, а
cos а убывает при возрастании уг-
ла, то sin а возрастает.
Так как tg a = и
ccs a
sin а возрастает, a ccs се убы-
вает при возрастании се, то tg а возрастает при возраста-
нии се. Теорема доказана.
НЕРАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКА
Если то тки А и В различны, то расстоянием между ни ти
называется длина отрезка АВ. Если точки А и 3 совпадают,
то расстояние между ними принимается равным нулю.
Неравенством треугольника называется свойство расстоя-
ний между тремя точками, которое выражается следующей
теоремой:
Теорема 7.5. Каковы бы ни были три точки, расстояние
между любыми двумя из этих точек не больше суммы рас-
стояний от них до третьей. точки.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные
точки. Если две точки из трех или все три точки совпадают,
то утверждение теоремы очевидно. Если все точки различны
и лежат на одной прямой, то одна из них лежит между двумя
другими, например В. В этом случае АВ 4- ВС = АС. Отсюда
видно, что каждое из трех расстояний не больше суммы двух
других.
Допустим теперь, что точки не лежат на одной прямой
(рис. 122). Докажем, что АВ < АС + ВС. Опустим перпен-
дикуляр CD на прямую АВ. Так как в прямоугольном тре-
угольнике катит меньше гипотенузы, то AD < AC, BD < ВС.
По доказанному АВ С AD + BD. Следовательно, АВ <
< AC -f- ВС. Теорема доказана.
Заметим, что в случае, когда точки не лежат на одной
прямой, в игра зенстве треугольника — строгое неравенство.
Это значит, что в любом треугольнике каждая сторона меньше
суммы двух других сторон.
88
Задача (70). Докажите, что любая хорда окружности
не больше диаметра и равна диаметру только тогда, когда
сама является диаметром.
Решение (рис. 123). По неравенству треугольника
АВ О А + О В = 2R, причем если центр О не лежит на
отрезке АВ, то неравенство строгое. Равенство имеет место
только в случае, когда хорда проходит через центр, т. е.
является диаметром.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Дайте определение косинуса острого угла прямоуголь-
ного треугольника.
2.	Докажите, чю косинус угла зависит только от градус-
ной меры угла.
3.	Докажите теорему Пифагора.
4.	Докажите, что в прямоугольном треугольнике гипоте-
нуза больше любого из катетов.
5.	Докажите, что cos а < 1 для острого угла а.
6.	Докажите, что если из одной точки к прямой проведены
перпендикуляр и наклонные, то наклонная больше
перпендикуляра. Равные наклонные имеют равные про-
екции, из двух наклонных больше та, у которой проек-
ция больше.
7.	Дайте определение синуса и тангенса острого угла. До-
кажите, что они зависят только от градусной меры
угла.
8.	Как выражается катет прямоугольного треугольника
через гипотенузу и острый угол, через острый угол и
другой катет?
9.	Объясните, как по таблицам найти значение синуса
дачного угла. Как по таблицам найти значение коси-
нуса и тангенса данного угла?
10.	Объясните, как по таблицам найти угол, если задан его
синус, косинус или танг гнс.
11.	Докажите тождества: sin2 а + cos2 а = 1;
l-f-tg2a = —; 1 +
cos2 a.	tg2 a sin2 а
89
12.	Докажите, что для любого острого угла а
sin (90° — а) = cos а. cos (90° — а) = sin а.
13.	Чему равны значения синуса, косинуса и тангенса
углов 30°, 45°, 60°?
14.	Докажите, что sin а и tg а возрастают при возраста-
нии острого угла a, a cos а убывает.
15.	Докажите «неравенство треугольника».
16.	Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше
суммы двух других сторон.
УПРАЖНЕНИЯ
* „	3
1.	Построите угол, косинус которого равен —.
б
2.	Постройте угол, косинус которого равен: 1) —; 2) 0,5;
3) 0,8.
3.	Две стороны прямоугольного треугольника равны 3 м
и 4 м. Найдите третью сторону. (Два решения.)
4.	Найдите сторону ромба, если его диагонали равны:
1) 6 см и 8 см; 2) 16 дм и 30 дм; 3) 5 м и 12 м.
5.	Стороны прямоугольника равны 60 см и 91 см. Чему
равна диагональ?
6.	Диагональ квадрата рав га а. Чему равна сторона квад-
рата?
7.	Можно ли из круглого листа железа диаметром 1,4 м
вырезать квадрат со стороной 1 м?
8.	Катет прямоугольного треугольника равен 5 м, а его
проекция на гипотенузу 3 м. Найдите гипотенузу и
второй катет.
9.	Найдите катеты прямоугольного треугольника, если
их проекции на гипотенузу равны: 1) 9 см и 16 см;
2)	36 м и С4 м.
10.	Даны отрезки а и Ь. Как построить отрезок:
1)	Г 'о'2 4- Ь2-,	2) Va? — b2, а > Ь?
11.	Даны отрезки а и Ь. Как построить отрезок- с = аЬ?
12.	Между двумя фабричными зданиями устроен покатый
желоб для передачи материалов. Расстояние между
зданиями равно 10 м, а концы желоба расположены
на высоте 8 м и 4 м над землей. Найдите длину желоба.
13.	Стороны прямоугольника равны а и Ь. Найдите радиус
описанной окружности.
14.	В окружность вписан прямоугольник, стороны кото-
рого относятся как 8 : 15. Найдите эти стороны, если
р адиус окружности 34 см.
15.	В равнобедренном треугольнике боковая сторона 17 см,
а основание 16 см. Найдите высоту, опущенную на
основание.
9J
15.	Натднте радиус окружности, описанной около равно-
бедренного треугольника с основанием а и боковой
стороной Ь.
17.	В равностороннем треугольнике со стороной а найдите
высоту.
18.	В равнобокой трапеции основания ра (ны 10 см и 24 см,
боковая сторона 25 см. Найдите высоту трапеции.
19.	В равнобокой трапеции боковая сторона равна 41 см,
высота 40 см, а средняя линия 45 см. Найдите основа-
ния.
20.	Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см, а высота,
опущенная на основание, 2-1 см. Найдите основание1.
21.	Стороны треугольника а, Ь, с. Найдите высоту тре-
угольника, опущенную на сторону с.
22.	Боковые стороны треугольника 30 см и 25 см. Найдите
высоту треугольника, опущенную на основание, рав-
ное: 1) 25 см; 2) 11 см.
23.	Найдите высоты треугольника, у которого стороны
13 см, 14 см и 15 см.
24.	Периметр равнобедренного треугольника равен 64 см,
а его боковая сторона на 11 см больше основания. Най-
дите высоту, опущенную на боковую сторону.
25.	1) Из толки В к прямой а проведэиа наклонная. Дока-
жите, что из точки В к прямой а можно провести еще
одну наклонную той же длины.
2)	Можно ли провести из данной точки вне прямой три
наклонные равной длины? Объясните ответ.
26.	У прямоугольного треугольника один катет равен 8 см,
а синус противолежащего ему угла равен 0,8. Нг идите
гипотенузу и второй катет.
27.	Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедрен-
ный треугольник с основанием а и боковой стороной Ь.
28.	Найдите радиус г вписанной и радиус В описанной
окружностей для равнобедренного треугольника с ос-
нованием 10 см и боковой стороной 13 см.
29.	В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна а,
а один из острых углов а. Найдите второй острый угол
и катеты.
30.	В прямоугольном треугольнике катет равен а, а проти-
волежащий ему угол а. Найдите второй острый угол,
противолежащий ему катет и гипотенузу.
31.	В прямоугольном треугольнике даны гипотенуза с и
острый угол а. Найдите катеты, их проекции на гипо-
тенузу и высоту, опущенную на гипотенузу.
1 Иногда в произвольном треугольнике, не обязательно равнобедрен-
ном, сторона, проведенная горизонтально, называется основанием, а две
другие — боковыми сторонами, как в данной задаче.
91
32.	1) Пользуясь таблицами, найдите: sin 22°, sin 22°36 ,
sin 22°38', sin 22°4Г; cos 68°, cos 68э18', <a?s 68°20',
cos 68°23'.
2)	Найдите угол х, если sin х = 0,2840; sin х = 0,2844;
cos х - 0,2710.
33.	Найдите по таблицам значения синуса и косинуса уг-
лов: 1) 16°; 2) 24°3б'; 3) 70°32'; 4) 88э49'.
34.	Найдите по таблицам величину острого угла х, если:.
1)	sin х = 0,0175; 2) sin х = 0,5015; 3) cos х =
= 0,6814; 4) cos х = 0,0670.
35.	Найдите по таблицам значение тангенса угла: 1) 10°;
2) 40 40'; 4) 50°30'; 4) 70°15'.
36.	Найдите по таблицам острый угол х, если: 1) tg х —
= 0,3227; 2) tg х = 0,7846; 3) tg х = 6,152; 4) tg х =
= 9,254.
37.	Высота равнобедренного треугольника равна 12,4 м, а
основание 40,6 м. Найдите углы треугольника и боко-
вую сторону.
38.	Отношение катетов прямоугольного треугольника равно
19 : 28. Найдите его углы.
39.	Стороны прямоугольника равны 12,4 и 26. Найдите угол
между диагоналями.
40.	Диагонали ромба равны 4,73 и 2,94. Найдите его углы.
41.	Сторона ромба 241 м, высота 120 м. Найдите углы.
42.	Радиус окружности равен 5 м. Из точки, отстоящей от
центра на 13 м, проведены касательные к окружности.
Найдите длины касательных и угол между ними.
43.	Тень от вертикально стоящего шеста, высота которого
равна 7 м, составляет 4 м. Выразите в градусах высоту
солнца над горизонтом.
44.	Основание равнобедренного прямоугольного треуголь-
ника равно а. Найдите боковую сторону.
45.	Найдите неизвестные стороны и острые углы прямо-
угольного треугольника по следующим данным:
1) по двум катетам:
а) а = 3, b = 4;	б) а = 9, Ь = 40;
в) а = 20, b = 21;	г) а = 11, Ь = 60;
2)	по гипотенузе и катету:
а) с = 13, а = 5;	б) с = 25, а = 7;
в) с = 17, а = 8;	г) с = 85, а = 84;
3)	по гипотенузе и острому углу:
а) с = 2, а = 20°;	б) с = 4, а = 50°20';
в) с = 8, а = 70336';	г) с = 16, а = 76°21';
4)	по катету и противолежащему углу:
а) а = 3, а = 30°27';	б) а = 5, а = 40°48';
в) а = 7, а = 60°35';	г) а = 9, а = 68°.
46.	Упростите выражения: 1) 1 — sin3 а;
2)	(1 — cos а) (1 -{- cos а); 3) 1 + sin3 а + cos2 а;
92
4)	sin a — sin a cos2 a; 5) sin4 a + cos4 a+2 sin2 a cos2 a;
6)	tg2 a — sin2 a tg2 a; 7) cos2 a + tg2 a cos2 a;
8)	tg2a(2cos2a + sin2a — 1); 9) .1~t^2ct + te4”
cos2 a
47.	Вычислите значения sin a и tg a, если:
1)	cos a = —;	2) cos a = —;	3) cos a = 0,6.
13 17
48.	Найдите cos a и tg a, если:
1)	sin a = 4;	2) sin a = —;	3) sin a = 0,8.
5	41
49.	Постройте угол a, если известно, что: 1) cos a =—;
7
2)	sin a = 4? 3) sin a = 0,5; 4)tga = -; 5)tga = 0,7.
50.	В прямоугольном треугольнике с гипотенузой а л ост-
рым углом 60° найдите катет, противолежащий этому
углу.
51.	Найдите радиус г окружности, вписанной в равносто-
ронний треугольник со стороной а, и радиус В окруж-
ности, описанной около него.
52.	В треугольнике больший угол при основании паьед
45“, а высота делит основание на части 20 см и 21 см.
Найдите большую боковую сторону.
53.	У треугольника одна из сторон равна 1 м, а приле-
жащие к ней углы равны 30° и 45°. Найдите другие
стороны треугольника.
54.	Диагональ прямоугольник? в два раза больше одш й
из его сторон. Найдите углы между диагоналями.
55.	Диагонали ромба равны а и Найдите углы ромба.
53.	Какой из углов больше: а или р, если:
l)sina = —, sinf} = —; 2)sina = —, sinp = —;
3	4	3	4
3)cosa = —, cosp = —;	4) cos a = 0,75, cosp =0,74;
Q	К
5)tga=2,l, tgp=2,5; 6)tga = -|, tgp=-?
57.	У прямоугольного треугольника АБС угол А больше
угла В. Какой из катетов больше: АС или ВС1
58.	У прямоугольного треугольника ABC калек ВС больше
катета АС. Какой угол больше: А или В?
59.	У равнобедренного треугольника стороны равны 3 м
и 7 м. Какая из них является основанием?
60.	Докажите, что расстояние между любыми двумя точ-
ками, взятыми на сторонах треугольника, не бельке
наибольшей из его сторон.
61.	Д^ кажите, что точки А, В, С лежат на одной прямей,
если 1) АВ = 5 м, ВС — 7 м, АС = 12 м; 2) АВ =*
= 10,7, ВС = 17,1, АС = 6,4.
ФЗ
62.	Может ли у параллелограмма со сторонами 4 см и 7 см
одна из диагоналей быть равной 2 см?
63.	В треугольнике одна сторона равна 1,9 м, а другая 0,7 м.
Найдите третью стирону, зная, что ее длина равна це-
лому числу метров.
64.	Докажите, что м 'диана треугольника АЗС, проведен-
ная из вершины А, меньше полусуммы сторон АВ и АС.
65.	Докажите, что сумма высот треугольника меньшэ его
периметра.
68.	Известно, что диагонали четырехугольника пересекают-
ся. Докажите, что сумма их длин меньше периметра,
но больше полуперчметра четырехугольника.
67.	Даны четыре точки: А, В, С, D. Известно, что отрезки
АВ и CD пересекаются. Найдите точку, сумма рас-
стояний от которой до точек А, В, С, D наименьшая.
63.	Могут ли стороны треугольника быть пропорциональ-
ными числам 1, 2, 3?
G9. Докажите, что в треугольнике каждая сторона меньше
половины периметра.
70.	Докажите, что любая хорда окружности не больше
диаметра и раина эму только тогда, когда сама является
д] [аметром.
71.	Внутри окружности радиуса R взята точка на расстоя-
нии d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее
расстояния от етой точки до точек окружности.
72.	Вне окружности радиуса R взята точка на расстоянии
d от центра. Найдите наибольшее и наименьшее рас-
стояния от этой точки до точек окружности.
73.	Могут ли пересекаться окружности, центры которых
находятся на расстоянии 20 см, а радиусы 8 см и 11 см?
Объясните ответ.
74.	Могут ли пересекаться окружности, центры которых
находятся не расстоянии 5 см, а радиусы 6 см и 12 см?
Объясните отлет.
75.	Докажите, что в задаче 73 окружности находятся одна
вне другой, а в задаче 74 окружность радиуса 6 см
находится внутри окружности радиуса 12 см.
76.	Могут ли пересекаться окружности с радиусами Rt и Д2
и расстоянием между центрами d, если jRj + Р2 < d?
§ 8. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
ВВЕДЕНИЕ КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
Проведэм на плоскости через точку О две взаимно перпен-
дикулярные прямые х и у — оси координат (рис. 124). Ось х
(она обычно горизонтальна) называется осью абсцисс, а ось
у — осью ординат. Точкой пересечения О — началом коор~
91
У 11 (-,+)	1 (+,+)
а	X
in	IV
	(+.->
Гис.	12G
динат — каждая из осей разбиваемся на две полуоси. Усло-
вимся одну из них называть положительной, отмечая ее
стрелкой, а другую отрицательной.
Каждой точке А плоскости мы сопоставим пару чисел —
координаты точки — абсциссу (х) и ординату (у) по такому
правилу.
Через точку А проведем прямую, параллельную оси'орди-
нат (рис. 125). Она пересечен ось абсцисс х в некоторой точке
Ах. Абсциссой точки А мы будем называть число х, абсолют-
ная величина которого равна расстоянию от точки О до Ах.
Это число будет положительным, если Аж принадлежит поло-
жительной полуоси, отрицательным, если Ах принадлежит
отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси ординат
у, то полагаем х равным нулю.
Ордината (у) точки А определяется аналогично. Через
точку А проведем прямую, параллельную оси абсцисс х
(см. рис. 125). Она пересечет ось ординат у в некоторой точ-
ке А . Ординатой точки А мы будем называть число у, абсо-
лютная величина которого равна расстоянию от точки О до
Ау. Это число будет положительным, если Ау принадлежит
положительной полуоси, отрицательным, если принадле-
жит отрицательной полуоси. Если точка А лежит на оси аб-
сцисс х, то полагаем у равным нулю.
Координаты точки будем записывать в скобках рядом с
буквенным обозначением точки, например: А (х, у) (на пер-
вом месте — абсцисса, на втором — ордината).
Оси координат разбивают плоскость на четыре части —
четверти — I, II, III, IV (рис. 126). В пределах одной
четверти знаки обеих координат сохраняются и имеют зна-
чения, указанные на рисунке.
Точки оси х (оси абсцисс) имеют равные нулю ордина-
ты (у = 0), а точки оси у (оси ординат) имеют равные ну-
«5
лю абсциссы (х = 0). У начала координат абсцисса и орди-
ната равны нулю.
Плоскость, на которой введены описанным выше способом
координаты х и у, будем называть плоскостью ху. Произ-
вольную точку на этой плоскости с координатами х и у бу-
дем иногда обозначать просто (х, у).
Введенные на плоскости координаты х, у называются
декартовыми, по имени французского ученого Р. Декарта
(1596—1650), который впервые применил их в своих иссле-
дованиях.
Задача (9). Даны точки А (—3, 2) и В (4, 1). Дока-
жите, что отрезок АВ пересекает ось у, но не пересекает ось х.
Решение. Ось у разбивает плоскость ху на две полу-
плоскости. В одной полуплоскости абсциссы точек положи-
тельны, а в другой отрицательны. Так как у точек А и В
абсциссы противоположных знаков, то точки А и В лежат в
разных полуплоскостях. А это значит, что отрезок АВ пере-
секает ось у.
Ось х также разбивает плоскость ху на две полуплоскости.
В одной полуплоскости ординаты точек положительны, а в
другой — отрицательны. У точек А и В ординаты одного
знака (положительны). Значит, точки А и В лежат в одной
полуплоскости. А следовательно, отрезок АВ не пересекает-
ся с осью х.
КООРДИНАТЫ СЕРЕДИНЫ ОТРЕЗКА
Пусть A (xlf yj и В (х2, у2) — две произвольные точки и
С (х, у) — середина отрезка АВ. Найдем координаты х, у
точки С. Допустим,
что отрезок АВ не ьачаллелен оси у,
т. е. Xi #= х2. Проведем через точки А,
В, С прямые, параллельные оси у
(рис. 127). Они пересекут ось х в точ-
ках Аг (хо 0), Ву (х2, 0),	(х, 0). По
теореме Фалеса точка Ct будет сере-
диной отрезка Ai-Z^.
Так как точка С'1 — середина от-
резка AjtBn то А1С1= BLClt а значит,
|х — Xil = |х — х2|. Отсюда следует,
96
что либо х — Xl = х — х2, либо х — х,= —(х — х.,). Пер
вое равенство невозможно, так как xt х2. Поэтому верно
второе. А из него получается формула
х=_ *1 + *з
2
Если Xi = х2, т. е. отрезок АВ параллелен оси у, то все
три точки Alf Blt CL имеют одну и ту же абсциссу. Значит,
формула остается верной и в этом случае.
Ордината точки С находится аналогично. Через точки
А, В, С проводятся прямые, параллельные оси х. Получается
формула
,.= +
У 2	’
Задача (17). Даны три вершины параллелограмма
ABCD'. А (1, 0), В (2, 3), С (3, 2). Найдите координаты чет-
вертой вершины (D) и точки пересечения диагоналей.
Решение. Точка пересечения диагоналей является
серединой каждой из них. Поэтому она является серединой
отрезка АС, а значит, имеет координаты
1+3	о	0+2 -
х = —— =2,	у — —— = 1.
2	2
Теперь, зная координаты точки пересечения диагоналей, на-
ходим координаты х, у четвертой вершины D. Пользуясь тем,
что точка пересечения диагоналей является серединой отрез
ка BD, имеем:
2-f-x  g 3 +у __ J
2	’	2
Отсюда х — 2, у = —1.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ
Пусть на плоскости ху даны две точки: Aj с коорд”натами
xr, yt и А2 с координатами х2, у2. Выразим расстояние между
точками Aj и А2 через координаты этих точек.
Допустим, что х1 х2 и у 1 =/= у2* Проведем через точки
Ах и Аг прямые, параллельные осям координат, и обозначим
через А точку их пересечения (рис. 128). Расст эяние между
точками А и Aj равно |уг — у2|> а расстояние между точками
4 А. В. Погорелов
97
А и А2 равно ]xr — x2|. Применяя к
прямоугольному треугольнику AAjA2
теорему Пифагора, получим:
d2 = (xt — х2)2 + (i/i — J/2)2.	(*)
где d — расстояние между точками Aj
и А2.
Хотя формула (*) для расстояния
между точками выведена нами в пред-
положении Xi#=x2, i/i#=!/2» она остается
верной и в других случаях. Действительно, если хг = х2,
Vi J/2, то d равно [ i/i — 1/21- Тот же результат дает и фор-
мула (*). Аналогично рассматривается случай, когда х± #=
=?=х2, у! = уг. При xr = х2, yi = у2 точки .Ai и As совпадают
и формула (*) дает d = 0.
Задача (27). Найдите на оси х точку, равноудаленную
от точек (1, 2) и (2, 3).
Решение. Пусть (х, 0) — искомая точка. Приравни-
вая расстояния от нее до данных течек, получим:
(х — I)2 + (0 — 2)2 = (х — 2)2 + (0 — З)2.
Отсюда находим: х = 4. Таким образом, искомая точка есть
(4, 0).
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Уравнением фигуры на плоскости в декартовых коорди-
натах называется уравнение с двумя неизвестными х и у,
которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры.
И обратно, любые два числа, удовлетворяющие этому урав-
нению, являются
координатами некоторой точки фигуры.
Составим уравнение окружности с
центром, в точке Ао (а, Ь) и радиусом
R (рис. 129). Возьмем произвольную
точку А (х, у) на окружности. Расстоя-
ние от нее до центра Аи равно R.
Квадрат расстояния от точки А до Ао
равен (х — а)2 + (у — &)2. Таким об-
разом, координаты х, у каждой точки
А окружности удовлетворяют уравне-
нию
93
(х - аУ- + (у - ЬУ = R2.	О
Обратно: любая точка А, координаты которой удовлетво-
ряют уравнению (*), принадлежит окружности, так как рас-
стояние от нее до точки Ао равно R. Отсюда следует, что
уравнение (*) действительно является уравнением окруж-
ности с центром Ао и радиусом R.
Заметим, что если центром окружности является начало
координат, то уравнение окружности имеэт вид:
X2 + у2 = R2.
Задача (33). При каком условии окружности с радиу-
сами а и b и расстоянием между центрами с пересекаются?
Решение. Пусть О и О± — центры окружностей.
Примем точку О за начало декартовой системы координат, а
полупрямую ОО- — за положительную полуось х. Уравне-
ниями окружностей будут:
X2 + у2 = а2, (х — с)2 + у2 = Ъ2.	(**)
Если окружности пересекаются, то координаты х, у точ-
ки пересечения удовлетворяют обоим уравнениям (**). И
обратно, если система уравнений (**) имеет решение, т. е.
существуют х и у, удовлетворяющие обоим уравнениям, то
они являются координатами точки пересечения окружно-
стей. Число точек пересечения, если окружности Пересе* а-
ются, равно числу решений системы.
Будем решать систему уравнений (**). Для этого сначала
вычтем уравнения почленно. Получим: 2сх — с2 = а2 — Ъ2.
О2 + <.2_ bZ
Отсюда х — ——-------. Подставляя это значение х в первое
уравнение, получим:
2с
Отсюда
,	,	/а24-с2 —ЬЪ2
У~ = а2 1 п------------’
2с
Прее Зразу ем правую часть равенства как разность квадратов.
Получим:
V-
а —
\	2с / \	2с ]
= — (2ас + а2 Д- с2 — Ь2) (2ас — а2 — с3 + Ь2) =
4с2
4*
J7
Рис. 131
=Л г(«+<->2 -ь2з - (° -с)21=
4с~
= ~ (а + b + с) (а + с — 6) (6 + а — с) (6 — а -|- с).
Итак,
У2 = (а + Ъ + с) (а + с — 6) (а + Ъ — с) (Ъ + с — а).
4с2
Отсюда видно, что если а + с > Ь, а + Ь > с и Ь + с > а,
то правая часть равенства положительна и, следовательно,
система {**) имеет решения. Причем таких решений будет
два. Соответственно окружности пересекаются в двух точках
(рис. 130).
Если хотя бы один из сомножителей а + с — b,a + b — с,
Ь + с — а равен нулю, то система (**) имеет одно решение.
Окружности касаются (рис. 131).
Если один из сомножителей в правой части отрицателен,
то система (**) не имеет решений и окружности не пересе-
каются (рис. 132). Два сомножителя не могут быть отрица-
тельными, так как тогда их сумма отрицательна. А она за-
ведомо положительна. Например, если а + с — Ь <0 и
а+ Ъ — с < 0, то их сумма (а 4* с — 6)4- (а 4-6 — с) = 2а < 0.
А это невозможно. Точно так же будет и в других случаях.
ЮС
Таким образом, если одно из чисел а, Ь, с больше суммы
двух других, то окружности не пересекаются; если одно из
втих чисел равно сумме двух других, то окружности касаются;
если каждое из этих чисел меньше суммы двух других, то ок-
ружности пересекаются в двух точках.
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Докажем, что любая прямая в декартовых координатах
х, у имеет уравнение вида
ах -\Ьу с = 0.	(*)
Пусть h — произвольная прямая на плоскости ху. Про-
ведем какую-нибудь прямую, перпендикулярную прямой й,
и отложим на ней от точки пересечения С с прямой й равные
отрезки CAV и СА.2 (рис. 133).
Пусть alf — координаты точки Ах и а2, Ь2 — коорди-
наты точки А2. Как мы знаем, любая точка А (х, у) прямой
h равноудалена от точек At и А2. Поэтому координаты ев
удовлетворяют уравнению
(х — oj2 + (у — &J2 = (х — а2)2 + (у — Ъ2)2.	(**)
Обратно, если координаты х и у какой-нибудь точки
удовлетворяют уравнению (**), то эта точка равноудалена от
точек At и А 2, а значит, принадлежит прямой й. Таким обра-
зом, уравнение (**) является уравнением прямой й. Если
в этом уравнении раскрыть скобки и перенести все члены
уравнения в левую его часть, то оно примет вид (*):
2 (а2 — О1)х + 2 (Ь2 — bjy + (at + bt — at — bt) = 0.
Утверждение доказано.
Задача (47). Составьте уравнение прямой, которая
проходит через точки А (—1, 1), В (1, 0).
Решение. Как мы знаем, наша	,
прямая имеет уравнение вида ах \-by+	--
-|- с = 0. Точки А и В лежат на пря- \
мой, а значит, их координаты удовлет-	/
воряют этому уравнению. Подставляя \	/
координаты точек А и В в уравнение	\у
прямой, получим:	А*
—а + &Ч-с=О, а + с = 0.	Рис. 133
U1
L
Из этих уравнений можно выразить два коэффициента, на-
пример а и Ъ, через третий: а — —с, b = —2с. Подставляя
эти значения а и Ъ в уравнение прямой, получим:
—сх — 2су 4- с = О.
На с можно сократить. Тогда получим:
—х — 2у + 1 - 0.
Это и есть уравнение нашей прямой.
РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ ОТНОСИТЕЛЬНО СИСТЕМЫ
КООРДИНАТ
Выясним, как расположена прямая относительно осей
координат, если ее уравнение ах + by + с = 0 имеет тот
или иной частный вид.
1.	а — 0, b =0= 0. В этом случае уравнение прямой можно
переписать так:
с
У = ~~Ь
Таким образом, все точки прямой имеют одну и ту же орди-
Сс \
---1; следовательно, прямая параллельна оси х
ь I
(рис. 134, а). В частности, если и с = 0, то прямая совпадает
с осью х.
2.	b = 0, а =/= 0. Этот случай рассматривается аналогич-
но. Прямая параллельна оси у (рис. 134, б) и совпадает
с ней, если и с = 0.
3.	с — 0. Прямая проходит через начало координат,
Так как его координаты (0, 0) удовлетворяют уравнению
прямой (рис. 134, в).
Если в общем уравнении прямой ах by + с = 0 коэф-
102
фициент при у не равен нулю, то это уравнение можно раз-
решить относительно у. Получим:
Или, обозначая — — — к, — — — q, получим:
ь	ъ
у = kx + q.
Выясним геометрический, смысл коэффициента k в этом
уравнении. Возьмем две точки на прямой A (xlt уг), В(х2, у2)
(хх < х2). Их координаты удовлетворяют уравнению пря-
мой:
У1 = feXj + q, у2 = fex2 + q.
Вычитая эти равенства почленно, получим: у.2 — Vi =*
= к (х3 — Xj). Отсюда
к = Л*-?:.
Х2—
В случае, представленном на рисунке 135; а, ——— = tgcc.
«2—
В случае, представленном на рисунке 135, б, ——— = —tga.
Таким образом, коэффициент к в уравнении прямой с точ-
ностью до знака равен тангенсу острого угла, который обра-
зует прямая с осью х.
Коэффициент к в уравнении прямой называется угловым
коэффициентом прямой.
10J
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ
Рассмотрим вопрос о пересечении прямой с окружностью.
Пусть R — радиус окружности и d — расстояние от центра
окружности до прямой. Примем центр окружности за на-
чало координат, а прямую, перпендикулярную к данной, —
за ось х (рис. 136). Тогда уравнением окружности будет
х2 + у2 = -R2, а уравнением прямой х = d. Для того чтобы
прямая и окружность пересекались, надо, чтобы система
двух уравнений
х2 + у2 = R2, х = d
имела решение. И обратно, всякое решение этой системы
дает координаты х, у точки пересечения прямой с окруж-
ностью. Решая нашу систему, получим:
х = d, у = ± J/R2 — d2.
Из выражения для у видно, что система имеет два реше-
ния, т. е. окружность и прямая имеют две точки пересечения,
если R >d (рис. 136, а). Система имеет одно решение (прямая и
окружность касаются, рис. 136, б), если R = d. Система
не имеет решения, т. е. прямая и окружность не пересе-
каются, если R < d (рис. 136, в).
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА ДЛЯ ЛЮБОГО
УГЛА ОТ 0° ДО 180°
До сих пор значения синуса, косинуса и тангенса были
определены только для острых углов. Теперь мы определим
их для любого угла от 0° до 180°. Возьмем окружность на
Рис. 136
104
плоскости ху с центром в начале ко-
ординат и радиусом R (рис. 137).
Пусть а — острый угол, который об-
разует радаус ОА с положительной
полуосью х. Пусть х и у — координа-
ты точки А. Значения sin a, cos а и
tg а для острого угла а выражаются
через координаты точки А, а именно:
cosa = — , since = —, tga =
R	R	х
Определим теперь значения sin a, cos а
и tg а этими формулами для любого уг-
ла а. (Для tg а угсл а = 90° исключает-
ся.) При таксм определении sin 90'=1,
cos 90' = О, sin 180°= О, cos 180°= — 1.
Считая, что совпадающие лучи образу-
ют угол 0°, будем иметь: sin 0° = О,
cos 0° = 1, tg 0° = О.
Теорема 8.1. Для любого угла а,
0° < а < 180°, sin (180° — а) = sin а,
cos (180 — а) = — cos а. Для угла а Ф
90 tg (180 — а) = — tg а.
Рис. 137
Рис. 138
Доказательство. Треугольники ОАВ и ОАХВХ
равны по гипотенузе и острому углу (рис. 138). Из равенства
треугольников следует, что АВ = Aj-Bj, т. е. у = уг, ОВ *=*
= ОВ±; следовательно, х = —jq. Поэтому
sin (180° — а) = — = — = sin а,
R R
сос (180е — а) = — = —- = — cos а.
J? R
Разделив почленно равенство sin (180° — а) = sin а на ра-
венство cos (180° — а) = —cos а, получаем: tg (180° — а) =
=s —tg а. Теорема доказана.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Объясните, как определяются координаты точки.
2.	Какие знаки у координат точки, если она принадлежит
первой (второй, третьей, четвертой) четверти?
3.	Чему равны абсциссы точек, лежащих на оси ординат?
105
Чему равны ординаты точек, лежащих на оси абсцисс?
Чему равны координаты начала координат?
4.	Выведите формулы для координат середины отрезка.
5.	Выведите формулу для расстояния между точками.
6.	Что такое уравнение фигуры в декартовых координатах?
7.	Выведите уравнение окружности.
8.	Докажите, что прямая в декартовых координатах имеет
уравнение вида ах + Ъу + с = О.
9.	Как расположена прямая, если в ее уравнении ах +
4- Ъу + с — О коэффициент а — О (коэффициент Ъ=0,
к юффнциент с = О)?
10.	Какой геометрический смысл имеет коэффициент к в
уравнении прямой у = kx + q?
11.	При каком условии прямая и окружность не пересека-
ются, пересекаются в двух точках, касаются?
12.	Дайте определение синуса, косинуса и тангенса для
любого угла от 0° до 180°.
13.	Докажите, чтп для любого угла а, 0° < а < 180°,
sin (180° — а) = sin а, cos (180° — а) = —cos а,
tg (180° — а) = —tg а.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Проведите оси координат, выберите единицу длины на
осях, постройте точки с координатами: (1, 2), (—2, 1),
(-1, -3), (2, -1).
2.	Возьмите наудачу четыре точки ня плоскости ху. Най-
дите координаты этих точек.
3.	На прямой, параллельной оси х, взяты две точки. У од-
ной из них ордината у =* 2. Чему равна ордината другой
точки?
4.	На прямой, перпендикулярной оси х, взяты две точки.
У одной из них абсцисса х = 3. Чему равна абсцисса
другой точки?
5.	Из точки А (2, 3) опущен перпендикуляр на ось х.
Найдите координаты основания перпендикуляра.
6.	Через точку А (2, 3) проведена прямая, параллельная
оси х. Найдите координаты точки пересечения ее с
осью у.
7.	Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для
которых абсцисса х — 3.
8.	Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для
которых | х | =3.
9.	Даны точки А (—3, 2) и В (4, 1). Дока:ките, что отре-
зок АВ пересекает ось у, но не пересекает ось х.
10.	Какую из полуосей оси у (положительную или отрица-
тельную) пересекает отрезок АВ в предыдущей задаче?
11.	Найдите расстояние от точки (—3,4) до: 1) оси х; 2) оси у.
105
12.	Найдите расстояние от точки (—3, 4) до начала коор-
динат.
13.	На биссектрисе первой четверти взята точка с ордина-
той у = 2. Чему равна абсцисса этой точки?
14.	Решите предыдущую задачу, если точка находится на
биссектрисе второй четверти.
15.	Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для
которых х = у.
16.	Найдите геометрическое место точек плоскости ху, для
которых х — —у.
17.	Даны три вершины napaj лелограмма ABCD : А (1, О),
В (2, 3), С (3, 2). Найдите координаты четвертой вер-
шины D и точки пересечения диагоналей.
18.	Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в
точках А (—1, —2), В (2, —5), С(1, —2), D{~2,1) явля-
ется параллелограммом. Найдите точку пересечения
его диагоналей.
19.	Найдите координаты середины отрезка с концами (2, О) и
(О, 2).
29. Даны один конец отрезка (1, 1) и его середина (2, 2).
Найдите второй конец отрезка.
21.	Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в
точках А (4, 1), В (0, 4), С(—3, О), D (1, —3) является
квадратом.
22.	Докажите, что четыре точки (1, 0), (—1, 0), (О, 1),
(О, —1) явлт ются вершинами квадрата.
23.	Найдите расстояние между точками: 1) (1, О) и (3, 0);
2) (1, 0) и (—3, О).
24.	Докажите, что расстояние между течками (xlt О) и
(х2, 0) оси х при любых Xj и хг определяется по фор-
муле d = | х2 — Xj J.
25.	Даны три точки: А (4, —2); В (1, 2); С (—2, 6). Найдите
расстояния между этими точками, взятыми попарно.
26.	Докажите, что точки А, В, Св задаче 25 лежат на од-
ной прямой. Какая из них лежит между двумя другими?
27.	Найдите на оси х точку, равноудаленную от точек (1, 2)
и (2, 3).
28.	Найдите точку, равноудаленную от осей координат и
от точки (3, 6).
29.	Какие из точек (1, 2), (3, 4), (—4, 3), (0, 5), (5, —1) ле-
жат на окружности, заданной уравнением х2 + у =25?
30.	Найдите на окружности, заданной уравнением х2 + у2 =
= 169, точки: 1) с абсциссой 5; 2) с ординатой —12.
31.	Даны точки А (2, 0) и В (—2, 6). Составьте уравнение
окружности, диаметром которой является отрезок АЕ.
32.	Даны точки А (—1, —1) и С (—4, 3). Составьте урав-
нение окружности с центром в точке С, проходящей
через точку А.
«07
33.	При каком условии окружности с радиусами а я Ъ и
расстоянием с между центрами пересекаются?
34.	Докажите, чго если каждое из грех положительных
чисел а, Ь, с меньше суммы двух других, то существует
треугольник со сторонами, равными а, Ь, с.
35.	Можно ли построить треугольник со сторонами:
1)	а = 1 см, b = 2 см, с = 3 см; 2) а = 2 см, Ъ = 3 см,
с = 4 см; 3) а = 3 см, b = 7 см, с = 11 см; 4) а =
= 4 см, b = 5 см, с = 9 см?
36.	Найдите центр окружности на оси х, если известно,
что окружность проходит через точку (1, 4) и радиус
окружности равен 5.
37.	Найдите координаты точек пересечения окружности
х1 2 3 + у2 — 8х — 8у + 7 = О с осью х.
38.	Найдите координаты точек пересечения двух окружно-
стей:
х2 + у2 + 8х — 8у — 8=0,
х2 + у2 — 8х + 8у — 8=0.
33.	Составьте уравнение окружности с центром в точке
(1, 2), касающейся оси х.
40.	Составьте уравнение окружности с центром (—3, 4),
проходящей через начало координат.
41.	Докажите, что окружность х2 4* у2 + 2ах 4* 1 = 0 не
пересекается с осью у.
42.	Докажите, что окружность х2 + у2 + 2ах = 0 касает-
ся оси у.
43.	Составьте уравнение геометрического места точек, рав-
ноудаленных от двух данных точек (0, 1) и (1, 2).
44.	Найдите точки пересечения с осями координат прямой,
заданной уравнением: 1) х + 2у + 3 = 0; 2) Зх + 4у =
= 12; 3) Зх — 2у + 6 = 0; 4) 4х — 2у — 10 = 0.
45.	Найдите на прямой, заданной уравнением Зх + 4у = 1,
точку с абсциссой х = —1; точку с ординатой у = —2.
46.	Найдите точку пересечения прямых, заданных урав-
нениями:
1) х 4 2у 4 3 — 0,
2) Зх — у — 2=0,
3) 4х 4- 5у 4- 8 = 0,
4х 4-	4- 6 = 0;
2х 4- у — 8=0;
4х — 2у — 6 = 0.
47.	Составьте уравнение прямой, которая проходит через
точки А (—1, 1), В (1, 0).
48.	Составьте уравнение прямой, проходящей через две
точки с координатами: 1) (2, 3) и (3, 2); 2) (4, —1) и
(—6, 2); 3) (5, —3) и (—1, —2).
49.	Чему равны коэффициенты а и b в уравнении прямой
ах 4* by = 1, если известно, что она проходит через
точки (1, 2) и (2, 1)?
103
50.	Чему равен ко„1 фициент с в уравнении прямой х -\- у -\-
+ с = 0, если она проходит через точку (1, 2)?
51.	При каком значении с прямая х + у с = 0 касается
окружности х2 + у2 = 1?
52.	Докажите, что три прямые х + 2у = 3, 2х — у = 1
и Зх + у = 4 пересекаются в одной точке.
Докажите, что прямые х + 2у = 3 и 2х + 4у = 3 не
пересекаются.
Составьте уравнение прямой, зная, что она параллельна
оси х и проходит через точку (2, 3).
Составьте уравнение прямой, зная, что она преходит
через начало координат и точку (2, 3).
Найдите синус, косинус и тангенс углов 120°, 135°, 150°.
Пользуясь таблицами, найдите: 1) sin 160°, 2) ccs 140°,
3) tg 130°.
Пользуясь таблицами, найдите значения синуса, коси-
нуса и тангенса углов: 1) 40°; 2) 14°36'; 3) 70°20';
4) 80с16'; 5) 145°; 6) 150°30'; 7) 150°33'; 8) 170°28'.
Пользуясь таблицами, найдите углы, для которых:
1) sin и, = 0,2, 2) cos а2 = —0,7, 3) tg а3 = —0,4.
Найдите значения sin а и tg а, если: 1) cos а = — ;
3
2)	cos а = —0,5; 3) cos а =	4) cos а = —	.
Найдите значения cos а и tg а, если: 1) sin а = 0,6,
0° < а < 90°; 2) sin а = -, 90° < а < 180°; 3) sin а =>
3
= -Д=, 0° < а < 180°.
Г2	б
62.	Известно, что tg а =-----. Найдите sin а и cos а.
3
63.	Постройте угол а, если известно, что sin а = —.
5
__	3
64.	Построите угол а, если известно, что cos а ™--—.
б
65.	Докажите, что если cos а = cos 0, то а = 0.
G6. Докажите, что если sin а = sin 0, то либо а = 0, либо
а = 180° — 0.
53.
54.
55.
58.
57.
58.
59.
69.
61.
§ 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР
ПРИМЕРЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ФИГУР
Если каждую точку данной фигуры сместить каким-ни-
будь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что
эта фигура получена преобразованием из данной. Приведем
несколько примеров.
109
Рис. 143
Первый пример. Пусть О — фикси-
рованная точка и X — произвольная
точка плоскости (рис. 139). Отложим
на продолжении отрезка ОХ за точ-
ку О отрезок ОХ', равный ОХ. Точка
X' называется симметричной точке
X относительно точки О. Точка, сии-
метричная точке О, есть сама точка О.
Очевидно, что точка, симметричная
точке X', есть точка X.
Преобразование фигуры F в фигу-
ру F', при котором каждая ее
точка X переходит в точку X', симмет-
ричную относительно данной точки О,
называется преобразованием симметрии
относительно точки О. При этом фи-
гуры F и F' называются си?-,метрич-
ными относительно точки О (рис. 140).
Если преобразование симметрии от-
носительно точки О переводит фигу-
ру F в себя, то она называется цент-
рально-симметричной, а точка О назы-
вается центром симметрии. Например,
параллелограмм является центрально-
симметричной фигурой. Его цент”эм
симметрии является точка пересечения
диагоналей (рис. 141).
Второй пример. Пусть g — фикси-
рованная прямая (рис. 142). Возьмем
произвольную точку X и опустим пер-
пендикуляр XX на прямую g. На
продолжении этого перпендикуляра за
точку X отложим отрезок XX', рав-
ный отрезку XX. Точка X' называет-
ся симметричной точке X относитель-
но прямой g. Если точка X лежит на
прямей g, то симметричная ей точка
всть сама точка X. Очевидно, что точ-
ка, симметричная точка X', есть точ-
ка X.
11*
Преобраз< i ание фигуры F в фигу-
ру F', при котором каждая ее то~ка
X переходит в точку X', симмет-
ричную относительно данной прямой
g, называется преобразованием симмет-
рии относительно прямой g. При
этом фигуры F и F' называются сим-
метричными относительно прямой g
(рис. 143).
Если пр ^образование симметрии от-
носительно прямой g переводит фигуру
F в себя, то эта фигура называется сим-
метричной относительно прямой g, а
прямая g называется осью симметрии
фигуры. Например, прямые, проходя-
щие через точку пересечения диаго-
налей прямоугольника параллельно его
сторонам, являются осями симметрии
прямоугольника (рис. 144). Прямые,
на которых лежат диа.’онали ромба,
являются его осями симметрии (рис. 146).
Задача (6). Докажите, что пря-
мая, проходящая через центр окруж-
ности, является ее осью симметрии.
Решение. Пусть О — центр ок-
ружности и а — прямая, преходящая
через точку О (рис. 146). Очевидно,
преобразована е симметрии относитель-
но прямой а переводит точку С окруж-
ности в точку С , а точку О оставляет
на месте. Возьмем произвольную течку
X на окружности и построим точку X',
в которую переходит точка X при сим-
метрии относительно прямой а.
Треугольники ОАХ и ОАХ' равны
по первому признаку. У них углы при
вершине А прямые, сторона ОА общая,
а стороны АХ и АХ' равны по опреде-
лени о симметрии. Из равенства тре-
угольников следует равенство сторон
Рис. 1.46
111
ОХ и OX', т. e. точка X' лежит на окружности. А это
значит, что окружность при симметрии относительно
прямой а переходит в себя. Значит, а есть ось симметрии
окружности.
Третий пример. Пусть F — данная фигура и О — фик-
спр званная точка (рис. 147). Проведем через произвольную
точку X фигуры F луч ОХ и отложим на нем отрезок ОХ',
равный k • ОХ, где ft — положительное число. Преобразо-
вание фигуры F, при котором каждая ее точка X переходит
в точку X', построенную указанным способом, называется
гомотетией относительно центра О. Число k называется
коэффициентом гомотетии. Фигуры F и F' называются го-
мотетичными.
ДВИЖЕНИЕ
Преобразование фигуры F в фигуру F' называется дви-
злением, если оно сохраняет расстояние между точками, т. е.
переводит любые две точки X и Y фигуры F в точки X',
Y' фигуры F' так, что XY — X'Y'.
Теорема 9.1. Преобразование симметрии относительно
точки является движением,
Доказательство. Пусть X и Y — две произволь-
ные точки фигуры F (рис. 148). Преобразование симметрии
относительно точки О переводит их в точки X' и Y'. Рас-
смотрим треугольники XOY и X'OY'. Эти треугольники
равны по первому признаку равенства треугольников. У них
углы при вершине О равны как вертикальные, а ОХ = ОХ',
OY — OY' по определению симметрии относительно точки О.
Из равенства треугольников следует равенство сторон XY =
= X'Y'. А это значит, что симметрия относительно точки О
есть движение. Теорема доказана.
Теорема 9.2. Преобразование
X	симметрии относительно прямой явля-
Гч. -SI ется движением.
I	I Доказательство. Примем
I	I данную прямую за ось у декартовой
систэмы координат (рис. 149). Пусть
Y	' произвольная точка X (х, у) фигуры F
Рис. 148	переходит в точку X' (х , у') фигуры F'.
112
Из определения симметрии относитель-
но прямой следует, что у точек X и X'
равные ординаты, а абсциссы отлича-
ются только знаком: х' = —х.
Возьмем две произвольные точки
Xt (Xi, ух) и Х2 (х2, у2). Они перейдут
в точки Xi (—xlt у,) и Х2 (—х2, у2).
Имеем:
XtXl = (xz - хх)2 + (у2 - У1)2,
х[х22 = (—х2 + х,)3 + (у2 — У1)\
Отсюда видно, что ХхХ2 = Х1Х2.А0Т0
значит, что преобразование симметрии
относительно прямой есть движение.
Теорема доказана.
Поворотом около данной точки назы-
ваете а такое движение, при котором
каждый луч, исходящий из этой точки,
поворачивается на один и тот же угол в
одном и том же направлении (по часо-
вой стрелке или против часовой стрел-
ки) (рис. 150).
Задача (14). Постройте равно-
сторонний треугольник, у которого
одна вершина задана, а две другие вер-
шины лежат на двух данных прямых.
Решение. Пусть ОАВ — иско-
мый треугольник, у которого верши-
на О задана, а вершины А и В лежат
на данных прямых а
и Ъ (рис. 151). Выполним поворот прямой Ъ около точки О
на 60°. При этом она перейдет в прямую Ь', проходящую
через точку А. Таким образом, чтобы найти вершину А,
достаточно построить прямую Ь'. Вершина А будет точкой
пересечения прямых а и
Для построения прямой Ь' достаточно взять любые две
точки прямой Ъ и построить точки, в которые они переходят
при повороте. Прямая Ъ' будет проходить через эти точки,
Построив вершину А, строим вершину В. Она совпадает
с точкой пересечения серединного перпендикуляра к отрезку
ОА и прямой Ь. Соединял точки О, А, В отрезками, полу-
чаем искомый треугольник.
ш
СВОЙСТВА ДВИЖЕНИЯ
Теорема 9.3. При движении точки, лежащие на прямой,
переходят в точки, леэкс щие' на прямой, и сохраняется поря-
док их взаимного расположения.
Это значит, что если точки А, В, С, лежащие на прямей,
переходят в точки Аг, Вц Су, то эти точки также лежит на
прямой; если течка В лежит между точками А и С, то точка
Вх лежит между точками Ау и Су.
Доказательство. Пусть точка В лежит между
точками А и С. Если точки Ау, By, Су не лежат на прямой,
то они являются вершинами треугольника.
Поэтому АгСу < AjBi + ВуСу. По определению движения
отсюда следует, что АС < АВ Ц- ВС. Однако по свойству
измерения отрезков АС = АВ + ВС.
Мы пришли к противоречию. Первое утверждение теоре-
мы доказано.
Покажем теперь, что точка By лежит между Ау и Су. До-
летим, что Ау лежит между By и Су. Тогда AxBj 4- АуСу =
= ВуСу и, следовательно, АВ + АС = ВС. Но это проти-
воречит равенству АВ + ВС = АС. Таким образом, течка
Ау не может лежать между By и Су. Апат этично доказывает-
ся, что точка Су не может лежать между Ау и By. Так как из
трех точек Ay, By, Су одна лежит между двумя другими, то
этой точкой может быть только By. Теорема доказа ia пол-
ностью.
Из теоремы 9.3 следует, что при движении прямые перехо-
дят в прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в от-
резки.
Поясним это на примере отрезка. Пусть АВ — данный
отрезок. При движении точки А и В переходят в некоторые
В
s' / У
Рис. 152
точки А‘ и В' (рис. 152). Покажем, что
отрезок АВ переходит в отрезок А'В'.
Возьмем произвольную точку X на от-
резке АВ. Она переходит в некоторую
точку X' прямой А'В', лежащую меж-
ду точками А' и В' (теорема 9.3), т. е.
точка X отрезка А В переходит в
точку X' отрезка А'В'. Для всякой
ft4
ли точки X' отрезка А'В' найдется точка X отрезка АВ, ко-
торая при нашем движении переходит в точку Х'1 Да, для
всякой точки. Если взять такую точку X на отрезке АВ,
что АХ = А'X', то она как раз и переходит в точку X'.
Пусть АВ и АС — две полупрямые, исходящие из точки
А, не лежащие на одной прямой (рис. 153). При движении
эти полупрямые переходят в некоторые пс пугрямые AiBt
я А1С1. Так как движение сохраняет расстояния, то треуголь-
ники АВС и AxEiCi равны по третьему признаку равен-
ства треугольников. Из равенства треугольников следует ра-
зенство углов ВАС и В1А1С1. Следовательно, при движении
сохра няются углы между полупрямыми.
Пусть фигура F переводится движением в фигуру F',
а фигура F' переводится движением в фигуру F" (рис. 154).
Пусть при первом движении точка X фигупы F переходит в
точку X' фигуры F', а при втором движении точка X' фигуры
F’ переходит в точку X" фигуры F". Тогда преобразование
фигуры F в фигуру F", при котором произвольная точка
X фигуры F переходит в точку X" фигуры F", сохраняет
расстояние между точками, а значит, является также дви-
жением. Это свойство движения выражают словами: два,
движения, выполненные последовательно, дают снова дви-
жение.
Пусть преобразование фигуры F в фигуру F' переводит
различные точки фигуры F в различные точки фигуры F'.
Пусть произвольная точка X фигуры F при этом преоб-
разовании переходит в точку X' фигуры F'. Преооразоза-
ние фигуры F' в фигуру F, при котором точка X' перехо-
дит □ точку X, называется преобразованием, обратным дан-
ному. Движение сохраняет расстояние между точками,
<15
поэюму перегодит различные точки в различные. Очевидно,
преобразование, обратное движению, является также движе-
нием.
РАВЕНСТВО ФИГУР
Фигуры F и F' называются равными, если они движе-
нием переводятся одна в другую.
Для обозначения равенства фигур используется обычный
знак равенства. Запись F = F' означает, что фигура F рав-
на F'. В записи равенства треугольников: Д АВС = Д АХВХСХ—
предполагается, что совмещаемые при движении вершины
стоят на соответствующих местах-При таком условии равен-
ство треугольников, определяемое через их совмещение дви-
жением, и равенство, как мы его понимала до сих пор, выра-
жают одно и то же. Докажем это.
Пусть треугольник АВС совмещается движением с тре-
угольником AjBiC!, причем вершина А переходит в вершину
Ai, В — в BY n С — в Сг. Так как при движении сохраняются
расстояния и углы, то для наших треугольников АВ =
= ABi, ВС = BiCi, АС = AiCi, Z. А = Z_An Z_ В = /-Б„
Z-C = /-Сг, т. е. треугольники равны в том смысле, как мы
это понимали до сих пор.
Пусть теперь у треугольников АВС и А^В^ АВ = AiB^
ВС = B^i, АС = A^i, /_А =Z-Ai,/_B = /LBlt /_ С =
= /-Ci. Докажем, что они совмещаются движением, причем
вершина А переходит в вершину Alt В — в Вг в С — в Cj.
Подвергнем треугольник АВС преобразованию симметрии
относительно прямой а, перпендикулярной к отрезку AAt
и проходящей через его середину (рис. 155). Получим тре-
угольник А1В2С2. Подвергнем его симметрии относительно
прямой Ь, соединяющей точку
Рис. 155
Ai с серединой отрезка ВлВ2.
Получим треугольник AiBiC3.
Если точки Ci и Сз лежат
по одну сторону прямой AiBi,
то они совпадают. Действитель-
но, так как углы BiAiCi и
В1АгС3 равны, то лучи А^± и
А1^з совпадают, а так как от-
резки AiCi в AiC3 равны, то
совпадают точки Ct и С3.
1U
Таким образом, треугольник ЛВС движ^ ни ом переведен
в треугольник
Если точки Ct и С3 лэжат по разные стороны прямой
то надо еще применить симметрию относительно пря-
мой AiBi.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ
Преобразование фигуры F в фигуру F' называется прео-
бразованием подобия, если при этом преобразовании рас-
стояния между точками изменяются (увеличиваются или
уменьшаются) в одно и то же число раз (рис. 156). Это зна-
чит, что если произвольные точки X, Y фигуры F при пре-
образовании подобия переходят в точки X , Y' фигуры F',
то X'Y' = k  XY, причем число h одно и то же для всех
точек X, Y. Число k называете я коэффициентом подобия.
Теорема 9.4. Гомотетия есть преобразование подобия.
Доказательство. Пусть О — центр гомотетии и
k — коэффициент гомотетии (рис. 157). Введем декартовы
координаты х, у, приняв точку О за начало координат. Рас-
смотрим преобразование, при котором произвольная точка
(х, у) переходит в точку (kx, ky). Мы утверждаем, что это и
есть наша гомотетия.
Пусть А (хо yi) — произвольная точка фигуры. Она пе-
реходит в точку A' (fexit kyj). Прямая ОА проходит через на-
чало координат, а значит, имеет уравнение вида ах + by = 0.
Ему удовлетворяют координаты точки А', так как акхг 4~
4- bkyx = k (axj + Ъуь) = 0. Значит, точка А' лежит на
прямой ОА. А так как xt и kxlt yY и kyY одного знака, то
луче О А.
А лежит на
117
Имеем:
О А = Ух2! + у2! , О А' = У(кХ1у + (ky}y=k] xi + У?.
Отсюда ОА' = kOA. Следовательно, преобразование дей-
ствительно является гомотетией относительно центра О с
коэффициентом гомотетии k.
Возьмем теперь две произвольные точки A (хх, yt) и
В (хг, у2). Они переходят в точки A' (fexlt ky^, В' (Тгх2, ky2).
Имеем:
АВ2 = (х2 — xj2 4- (у2 — у,.)2,
АВ'2 = (kx2 — йхЛ2 4- (ky.2 — kyLV =
, ==fc2 [(x2 - x,)a + (y2 - У1)2] = k2AB2.
Отсюда A'В' = kAB. А сто и значит, что рассматриваемое
преобразование есть преобразование подобия. Теорем^ до-
казана.
Так же, как и для движения, доказывается, что при пре-
образовании подобия три точки А, В, С, лежащие на одной
прямой, переходят в три точки Ах, Blt Clt также лежащие
на одной прямой. Причем, если точка В лежит между точ-
ками Л. и С, то Вх лежит между точками А2 и Сх. Отсюда сле-
дует, что преобразование подобия переводит прямые в
прямые, полупрямые — в полупрямые, отрезки — в отрезки.
Докажем, что преобразование подобия сохраняет углы
между полупрямыми. Действительно, пусть угол АВС пре-
образованием подобия с коэффициентом ft переводится в
угол	(рис. 158). Подвергнем угол АВС преобразо-
ванию гомотетии относительно его вершины В с коэффици-
ентом гомотетии k. При этом точки А и С перейдут в точки
А2 и С2. Треугольники А2-ВС2 и A^B^Ci равны по третьему
признаку. Из равенства треугольников следует равенство
углов А2ВС2 и	Значит, углы АВС и А1В1С1 равны.
Что и требовалось доказать.
118
Задача (36). Даны угол (ab) и внутри него точка А.
Постройте окружность, касающуюся сторон угла и прохо-
дящую через точку А.
Р е ш е н и е. Строим какую-нибудь окружность, каса-
ющуюся сторон угла (рис. 159). Проводим прямую через
вершину угла и точку А. Пусть В — точка пересечения
этой прямой с построенной окружностью. Гомотетия отно-
сительно вершины угла, переводящая точку В в точку Л,
переподит построенную окружность в искомую.
ПОДОБИЕ ФИГУР
Две фигуры F и F' нггываются подобными, если они пере-
водятся друг в друга преобразованием подобия. Для обозна-
чения подобия фигур используется специальный значок:
с/э. Запись F co F' читается так: «Фигура F подобна фигуре
F'*. В записи подобия треугольников: А АВС со ^А1В1С1 —
предполагается, что вершины, совмещаемые преобразованием
подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. А переходит
в В в BL и С в Сг.
Из свойств преобразования подобия следует, что у подоб-
ных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие
отрезки пропорциональны. В частности, у подобных треуголь-
ников АВС и yljBjC]
АЛ = АЛХ, АВ = ABr, А С = А Cf,
АВ  ВС	АС
А^В^	В,Ci АгСг
Признаки подобия треугольников дает следующая теорема:
Т е о р е м а 9. 5. Два треугольника подобны:
1)	если два угла одного соответственно равны дв^м углам
другого;
2)	если две стороны одного пропорциональны двум сторо-
нам'другого и углы, образованные этим-л сторонами, равны;
3)	если стороны одного треугольника пропорциональны
сторонам другого.
Доказательство. Пусть АВС и AjBjCi — два
треугольника, для которых выполняется одно из условий:
1) АЛ = АЛП АВ = АД; 2)AA=AA, — = —;
АВ = АС = ВС	1 1
XiBj A-iPi
119
с
Докажем, что треугольники подобны. Пусть h =	
Л1В1
Подвергнем треугольник А1В1С1 какому-нибудь преобразо-
ванию подобия с коэффициентом подобия Ъ, например пре-
образованию гомотетии (рис. 160). При этом получим не-
который треугольник А2В2С2. равный треугольнику АВС.
Действительно, в первом случае имеем:
Z-A = АД = А.А2, А_В = АВг - А В2,
А2В2 = kA1B1 = АВ.
Треугольники АВС и А2В.2С2 равны по второму признаку
равенства треугольников.
Во втором случае
АЛ = АД, А2В2 = АВ, А2С2 = АС.
Треугольники равны по первому признаку равенства тре-
угольников.
В третьем случае
А2В2 = АВ, В2С2 = ВС, А2С2 = АС.
Треугольники равны по третьему признаку равенства тре-
угольников. Так как треугольник А2В.гС2 равен треугольни-
ку АБС, то он переводится в него движением. Значит, тре-
угольник А1В1С1 переводится в треугольник АВС последо-
вательным выполнением преобразования подобия и движе-
ния, а это есть преобразование подобия. Признаки подобия
треугольников доказаны.
Задача (37). Хорды АВ и CD окружности пересе-
каются в точке S. Докажите, что AS  BS — CS  DS.
Решение. Проведем прямую BD (рис. 161). Точки
А и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой
BD, именно в полуплоскости, где лежит точка S.
120
Значит, вписанные углы DCB и
DAB равны. Таким же способом до-
казываем равенство вписанных углов
АВС и ADC. Из равенства указан-
ных углов следует, что треугольники
ASD и CSB подобны (теорема 9.5) Из
подобия треугольников следует про-
порция
DS AS
BS ~ cs’
Отсюда AS  BS = CS • DS.
Рис. 161
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Объясните, какие точки называются симметричны ли
относительно данной точки.
2.	Какое преобразование называется симметрией относи-
тельно данной точки?
3.	Какая фигура называется центрально-симметричной?
4.	Что такое центр симметрии фигуры? Приведите при-
мер центрально-симметричной фигуры.
5.	Какие точки называются ст*метричными относительно
данной прямой?
6.	Какое преобразование называется симметрией отно-
сительно данной прямой?
7.	Какая фигура называется симметричной относительно
данной прямой?
8.	Что такое ось симметрии фигуры? Приведите пример.
9.	Каксе преобразование называется гомотетией? Что та-
кое центр гомотетии, коэффициент гомотетии?
10.	Какое преобразование фигуры называется движением?
11.	Докажите, что симметрия относительно точки есть
движение.
12.	Докажите, что симметрия относительно прямой есть дви-
жение.
13.	Объясните, что такое поворот.
14.	Докажите, что при движении точки, лежащие на пря-
мой, переходят в точки, лежащие на прямой, и сохра-
няется порядок их взаимного расположения.
15.	Во что переходят прямые, полупрямые, отрезки при
движении?
16.	Докажите, что при движении сохраняются углы.
17.	Какие фигуры называются равными?
18.	Докажите, что отрезки равной длины и углы с равной
градусной мерой совмещаются движением.
19.	Что такое преобразование подобия?
20.	Докажите, что гомотетия есть преобразование подобия.
121
21.	Докажите, что преобразование подобия сохраняет углы.
22.	Какие фигуры называются подобными?
23.	Сформулируйте и докажите признаки подобия треуголь-
ников.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Постройте точки, симметричные точкам А (1, 1), В (2, 3),
С (—3, 1), D (—2, 2), Е (—3, —4), F (2, —1) относи-
тельно начала координат.
2.	Постройте точки, симметричные двум вершинам тре-
угольника, относительно третьей его вершины.
3.	Докажите, что центр окружности является ее центром
симметрии.
4.	1) Постройте точки, симметричные точкам А (1, 1),
В (—2, 3), С (О, —1) относительно оси х.
2)	Постройте точки, симметричные точкам D (2, О),
Е (—4, 1), F (—2, —2) относительно оси у.
5.	Дан треугольник АВС. Постройте точку С, симметрич-
ную С относительно прямой АВ, пользуясь циркулем.
6.	Докажите, что прямая, проходящая через центр окруж-
ное ги, является ее осью симметрии.
7.	Постройте точки, в которые при гомотетии с центром в
начале координат переходят точки А (1, 2), В (2, 2),
С (—1, 1), D (3, —1), если коэффициент гомотетии ра-
вен: 1) 2, 2) 3.
8.	При гомотетии точка X переходит в точку X', а точка
Y — в точку У'. Найдите центр гомотетии, если точки
X, X', У, У' не лежат на одной прямой.
9.	При гомотетии точка X переходит в X'. Постройте центр
гомотетии, если k равен: 1) 2; 2) 3; 3) 4.
10.	При симметрии относительно некоторой точки точка X
переходит в точку X'. Постройте точку, в которую при
этой симметрии переходит точка У.
11.	При симметрии относительно некоторой прямой точ-
ка X переходит в точку X'• Постройте точку, в которую
при этой симметрии переходит точка У.
12.	Расстояние между любыми двумя точками одной фи-
гуры меньше 10 см, а расстояние между некоторыми
двумя точками другой фигуры больше 10 см. Могут
ли эти две фигуры быть симметричными относительно:
1) точки; 2) прямой?
13.	Постройте фигуру, в которую переходит треугольник
АВС при повороте его сколо вегшины С на угол 60э:
1) по часовой стрелке; 2) против часовой стрелки.
14.	Постройте равносторонней треугольник, у которого
одна вершина задана, а две другие вершины лежат на
двух данных прямых.
15.	Может ли у треугольника быть центр симметрии?
122
16.	Докажите, что четырехугольник, у которого есть центр
симметрии, является параллелограммом.
17.	Докажите, что прямая, содержащая медиану равно-
бедренного треугольника, проведенную к основанию,
является осью симметрии треугольника.
18.	1) Докажите, что если у треугольника есть ось сим-
метрии, то она проходит через одну из его вершин.
2)	Докажите, что если у треугольник а есть ось симмет-
рии, то он равнобедренный.
3)	Докажите, что если у треугольника есть две оси сим-
метрии, то он равносторонний.
19.	Докажите, что прямая, содержащая биссектрису угла,
является его осью симметрии.
20.	Даны отрезок АВ и точка О, не лежащая на прямой АВ.
Что представляет собой фигура, симметричная отрезку
АВ относительно точки О? Постройте ее.
21.	Даны прямая а и точка О, не лежащая на этой пря-
мой. Что представляет собой фигура, симметричная
прямой а относительно точки О? Постройте ее.
22.	Сколько центров симметрии у фигуры, состоящей из
двух параллельных прямых? Где они расположены?
23.	Сколько осей симметрии у равностороннего треуголь-
ника?
24.	Докажите, что у параллелограмма точка пересечения
диагоналей является центрам симметрии.
25.	Сколько осей симметрии имеет отрезок?
26.	Сколько осей симметрии имеет прямая?
27.	Докажи ге, что прямые, проходящие через точку пересе-
чения диагоналей квадрата параллельно его сторонам,
являются осями симметрии.
28.	Докажите, что диагонали ромба являются его осями
симметрии.
29.	Даны пересекающиеся прямые и точка, не лежащая на
этих прямых. Постройте отрезок с концами на данных
прямых и серединой в данной точке.
30.	Даны три попарно пересекающиеся прямые: а, Ъ, с.
Постройте отрезок, перпендикулярный к прямой Ъ,
с серединой на пряной Ъ и концами на прямых а и с.
31.	У параллелограммов ABCD и	АВ = А}В^
AD = A .D, и / А = Z- Докажите, что параллело-
граммы равны, т. е. совмещаются движением.
32.	Докажите, что два ромба равны, если у них равны диаго-
нали.
33.	Докажите, что дво окружности одинакового радиуса
равны, т. е. совмещаются движением.
31.	Докажите, что фигура, подобная окружности, есть ок-
ружность.
35.	Найдите геометрическое место точек, которые делят в
123
отношении т : п все хорды, имеющие общим концом дан-
ную точку окружности.
36.	Даны угол и внутри него точка А. Постройте окруж-
ность, касающуюся сторон угла и проходящую через
точку А.
37.	Хорды окружности АВ и CD перезэкаются в точке 8.
Докажите, что AS • BS = CS  DS.
38.	Впишите в данный треугольник квадрат, у которого
две вершины лежат на данной стороне.
39.	Стороны треугольника относятся как 4:5:6. Найди-
те стороны подобного треугольника, если меньшая из
них равна 0,8 м.
40.	Стороны треугольника относятся как 2:5:4. Най-
дите стороны подобного треугольника, если его пери-
метр равен 55 м.
41.	Докажите подобие равнобедренных треугольников с
равными углами при вершинах, противолежащих ос-
нованиям.
42.	У двух равнобедренных треугольников углы между
боковыми сторонами равны. Боковая сторона и основа-
ние одного треугольника равны 17 см и 10 см; основание
другого равно 8 см. Найдите его боковую сторону.
43.	У треугольников АВС и	Z_A = Z_AX, А. В =
= Z_ Ви АВ — 5 м, ВС = 7 м, = 10 м, —
= 8 м. Найдите остальные стороны треугольников.
44.	Решите задачу 43 при условии, что АВ = 16 см, ВС =
= 20 см, AtBi = 12 см, АС — AtCt = 6 см.
45.	Докажите, что высота прямоугольного треугольника,
опущенная из вершины прямого угла, разбивает его
на два треугольника, подобных исходному.
46.	Основание высоты прямоугольного треугольника, опу-
щенной на гипотенузу, делит ее на отрезки 9 см и 13 см.
Найдите стороны треугольника.
47.	Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 25 см,
а один из кач етов равен 10 см. Найдите проекцию дру-
гого катета на гипотенузу.
48.	У подобных треугольников АВС и AlBiCl проведены
высоты BD и B,D,. Докажите, что -—.
А1в1
49.	В треугольник с основанием а и высотой h вписан
квадрат так, что две его вершины лежат на основании
треугольника, а другие две — на боковых сторонах.
Вычислите сторону квадрата.
50.	Углы В и Bj треугольников АВС и A^Ci равны. Сто-
роны треугольника АВС, прилежащие к углу В, в
2,5 раза больше сторон треугольника А^^, приле-
жащих к углу 2?t. Найдите АС и ALClt если их сумма
равна 4,2 м.
114
61.	В треугольнике АВС сторона АВ = 15 м, а сторона
АС = 20 и. На стороне АВ отложен отрезок AD = 8 м,
а на стороне АС — отрезок АЕ = 6 м. Подобны ли
треугольники: 1) АВС и ADE; 2) АВС и AED?
52.	Решите предыдущую задачу при AD = 9 м и АЕ — 12 м.
53.	Подобны ли два прямоугольных треугольника, если у
одного из них есть угол 40°, а у другого — угол, равный:
1) 50°; 2) 60е?
54.	Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС,
пересекает сторону АС в точке Р, а сторону ВС — в
Q. Докажите, что треугольники АВС и PQC подобны.
55.	Прямая, параллельная стороне АВ треугольника АВС,
дели.1 его сторону АС в отношении т : п, считая от
вершины С. В каком отношении она делит сторону ВС?
58.	В треугольнике АВС проведен отрезок DE, параллель-
ный стороне АС (конец D отрезка лежит на стороне
АВ, а Е — на стороне ВС). Найдите AD, если АВ^
= 16 см, АС = 20 см и DE — 15 см.
57.	В задаче 56 найдите отношение AD : BD, если извест-
но, что АС : DE = — : —.
7	11
58.	Найдите длину отрезка DE в задаче 56, если:
1)	АС = 20 см, АВ = 17 см и BD = - 11,9 см;
2)	АС = 18 дм, АВ = 15 дм и AD = 10 дм.
59.	Даны отрезки а, Ъ, с. Постройте отрезок х = —.
ъ
60.	Подобны ли два равносторонних треугольника?
61.	Подобны ли треугольники АВС и А ВLCt, если:
1)	АВ — 1 м, АС — 1,5 м, ВС = 2 м; А1В1 = 10 см,
AiCj = 15 см, В1С1 = 20 см;
2)	АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,5 м; А^! = 8 дм,
AjCj = 16 дм, ВАСг = 12 дм;
3)	АВ = 1 м, АС = 2 м, ВС = 1,25 м; = 10 см,
А,СГ = 20 см, В1С1 = 13 см?
62.	Стороны треугольника равны 0,8 м, 1,6 м и 2 м. Най-
дите стороны подобного ему треугольника, периметр
которого равен 5,5 м.
11
63.	Периметр одного треугольника составляет — пери-
метра подобного ему треугольника. Разность двух соот-
ветствующих сторон равна 1 м. Найдите эти стероны.
64.	Длина тени фабричной трубы равна 35,8 м; в это же вре-
мя вертикально воткнутый в землю кол высотой 1,9 м
дает тень длиной 1,62 м. Найдите высоту трубы.
65.	Постройте треугольник с заданным периметром, по-
добный данному.
12S
66.	В треугольник АВС вписан ромб ADEF так, что угол
А у них общий, а вершлнс. Е находится на стороне
ВС. Найдите сторону ромба, если АВ — с и АС — Ь.
67.	Найдите отношение отрезков диагонали трапеции, на
которые она разбивается другой диагональю, если ос-
нования трагедии относятся как т : п.
68.	Прямая, проходящая через точку пересечения диаго-
налей трапеции, делит одно основание в отношены l
т : п. В каком отношении она делиг другое основание?
69.	В трапеции ABCD с диагональю АС углы АВС и ACD
равны. Найдите диагональ АС, если основания ВС и.
AD соответственно равны 12 м и 27 м.
70.	Лилия, параллельная основаниям трапеции, делит од-
ну боковую сторону в отношении т : п. В каком отно-
шении делит она вторую боковую сторону?
71.	Продолжения боковых сторон АВ и CD трапеции ABCD
пересекаются в точке Е. Найдите стороны треугольни-
ка AED, если АВ = 5 см, ВС — 10 см, CD = 6 см,
AD = 15 см.
72.	Найдите высоту треугольника AED из задачи 71, если
ВС — 7 см, AD = 21 см и высота трапеции равна 3 см.
73.	У равнобедренного треугольника АВС с основанием
АС и противолег ;ащим углом 36° проведена биссектри-
са AD. 1) Докажите подобие треугольников АВС и
CAD. 2) Найдите основание треугольника АВС, если
его боковая сторона равна а.
74.	Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в
точке М. Докажите, что около четырехугольника мож-
но описать окружность, если AM • СМ = ВМ • DM.
75.	Из точки А, лежащей вне окружности, провэдены две
секущие, которые пересекают окружность в точках Bt
и Ci, В2 и С2 (В± лежит между А и Clt а В2 — между А
и С2). 1) Докажите подобие треугольников АВуС2 и
AB^Ci. 2) Докажите, что АВг • АСг = А32 • АС2.
76.	Из точки М проведены секущая, пересекающая окруж-
ность в точках А и В, и касатзльпая с точкой касания
С. Докажите, что квадрат отрезка касательной равен
произведению отрезков секущей, т. е. МС2 — МА  МВ.
77.	Как далеко видно из самолета, летящего на высоте 4 км
над Землей, если радиус Земли 6370 км?
78.	Вычисли! е радиус горизонта, видимого с вершины те-
лебашни в Останкино, высота которой 533 м.
8 класс
§ 10. ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
параллельный перенос
Введем на плс скости декартовы координаты х, у. Пре-
образование фигуры F, при котором произвольная ее точка
(х, у) переходит в точку (х + а, у + Ъ), а и Ь постоянные,
называется параллельным переносом (рис. 162). Параллельный
перенос задается формулами
х'= X + а, у' = у-Ь Ь.	(*)
Эти формулы выражают координаты х', у’ точки, в которую
переходит точка (х, у) при параллельном переносе.
Параллельный перенос есть движение. Действительно,
две произвольные точки A (xt, yj и В (ха, у2) переходят в
точки А' (хх + а» + Ъ), В' (ха + а, у2 + Ь). Поэтому
АВ2 = (ха - Xj)2 + (уа - У1)2,
А'В' = (ха - х±)2 + (у2 - У1)\
Отсюда АВ = А'В’. Таким образом,
преобразование сохраняет расстояния,
а значит, является движением.
Название «параллельный перенос»
оправдывается тем, что при параллель-
ном переносе точки смещаются по па-
раллельным (или совпадающим) пря-
мым на одно и то же расстояние. Дейс-
твительно, пусть точки А(хх, У1) и
В(х2,уа) переходы в точки А'(хг+а,yi+b)
и В’ (х2 + а, у2 + Ь) (рис. 163). Сере-
дина отрезка АВ' имеет координаты
Xi+Хг + а	„ _ У1 + Уч + &
Л	9	У —-	•
2	2
Те же координаты имеет и середина
127
отрезка А'В. Отсюда следует, что диаго-
/нали четырехугольника АА'В'В пересе-
каются и точкой пересечения делятся по-
полам. Значит, этот четырехугольник —
параллелограмм. А у параллелограмма
противолежащие стороны АА' и ВВ па-
раллельны и равны.
Рис. 164	Заметим, что у параллелограмма
АА'В'В параллельны и две другие про-
X	X' тиволежащие стороны АВ и А'В . Отсю-
\	S да следу гт, что при параллельном переносе
прямая переходит в пари п дельную пря-
s'y.	мую (или в себя).
\ ,	Замечание. В предыдущем до-
Л	Л	п
казательстве предполагалось, что точка В
Рис. 165 не лежит на прямой АА'. В случае, ког-
да точка В лежит на прямо:"! АА', точка
В тоже лежит на этой прямой, так как середина отрезка АВ'
совпадает с серединой отрезка ВА' (рис. 164). Значит, все
точки А, В, А', В' лежат на одной прямой. Далее,
АА' = /(*1 + а —*1)2 + (У1 + & - УЙ* = У & + Ъ\
ВВ’ = |/(х2 + а — х2)2 + (у, + Ь — у2)2 = уга2 + &2 .
Таким образом, в этом случае точки А и В смещаются по
прямой АВ на одно и то же расстояние У а- + Ь2, а прямая
АВ переходит в себя.
Теорема 10.1. Каковы бы ни были две точки А и А’,
существует и притом единственный параллельный перенос,
три котором точка А переходит в точку А'.
Доказательство. Начнем с доказательства един-
ственности. Пусть X — произвольная точка фигуры и X' —
точка, в которую она переходит при параллельном перено-
се (рис. 165). Как мы знаем, отрезки ХА' и АХ' имет от общую
середину О. Задание точки X однозначно определяет точку
О — середину отрезка А'X. А точки А и О однозначно опре-
деляют точку X', так как О являемся серединой отрезка АХ'.
Однозначность в определении точки X' и означает единствен-
ность параллельного переноса.
Докажем существование параллельного переноса, пере-
водящего точку А в А'. Введем дэкартовы координаты на
128
плоскости. Пусть at, а2 — координаты точки А а щ, а2 —
координаты точки А'. Параллельный пер гное, заданный
формулами
х = х + а[ — ам, у' = у + а2 — а2,
переводит точку А в А'. Действительно, при х = и у = а2
получаем: х' = alt у’ = а2. Теорема доказана полностью.
Задача (3). При параллельном переносе точка (1, 1)
переходит в точку (—1, О). В какую точку переходит нача-
ло координат?
Решение. Любой параллельный перенос задается
формулами х' = х + а, у' = у + Ъ. Так как точка (1, 1)
переходит в точку (—1, О), то —1 = 1 + в, 0 = 1+6.
Отсюда а = —2, Ъ = —1. Таким образом, наш параллель-
ный перенос, переводящий точку (1, 1) в (—1, О), задается
формулами х' = х — 2, у' = у — 1. Подставляя в эти фор-
мулы координаты начала (х = О, у = 0), получим: х = —2,
у' ——1. Итак, начало координат переходит в точку (—2, —1).
Теорема 10.2. Преобразование, обратное параллельному
переносу, есть параллельный перенос. Два параллельных пе-
реноса, выполненные один за другим, дают снова параллель-
ный перенос.
Доказательство. Любой параллельный перенос
задается формулами вида
х' - х + а, у' = у + Ь.
Обратное преобразование задается формулами того же вида:
х -- х’ — а, У = у' — Ъ,
а следовательно, является параллельным переносом. Первое
утверждение доказано.
Пусть теперь имеем два параллельных переноса, заданные
формулами
х’ = х + а,	у’ = у + 6;
х" = х + с,	у" = у'+ d.
Преобразование, которое получается в результате после-
довательного выполнения этих параллельных переносок,
задается формулами
х" = х + а + с, у" = у + Ь + d.
Это преобразование есть параллельный перенос. Теорема
доказана полностью.
5 А. В. Погорелов	129
ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА
Некоторые физичес кие величины (сила, скорость, уско-
рение и др.) характеризуются не только величиной, но и
направлением. Например, для того чтобы охарактеризовать
движение тела в данный момент, недостаточно сказать, что
оно движется со скоростью 60 км'ч, надо еще указать на-
правление его движения, т. е. направление скорости. Р свя-
зи с этим указанные физические величины удобно изображать
направленными отрезками. Такой способ изображения фи-
зических величин отличается не только наглядностью, но
имеет также и другие основания. Приведем пример. Опыт
показывает, что если к телу А приложены две силы а и Ъ
(рис. 166), то их действие равносильно действию одной си-
лы с, которая изображается диагональю параллелограмма,
построенного на отрезках а и Ъ. Можно было бы привести
и другие примеры, где операции над физическими величи-
нами при изображении их направленными отрезками сво-
дятся к простым геометрическим построениям, как в дан-
ном примере.
Направленный отрезок называется вектором (рис. 167).
Для обозначения векторов будем пользоваться строчными
латинскими буквами а, Ь, с, ... . Иногда вектор обозначают
указанием концов отрезка, изображающего вектор. Напри-
мер, вектор а на рисунке 167 можно обозначить АВ. При
тиком способе обозначения вектора а точка А называется
началом, а точка В — концом вектора а. При обозначении
вектора посредством указания концов изображающего его
отрезка на первом месте всегда ставится начало вектора.
Иногда вместо слова «вектор» над буквенным обозначением
вектора ставится стрелка или черта, например, запись а
читается: «вектор а».
130
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА И НАПРАВЛЕНИЕ ВЕКТОРА
Две полупрямые называются одинаково направленными,
если они совмещаются параллельным переносом. То есть
существует параллельный перенос, который переводит одну
полупрямую в другую.
Если полупрямые а и Ь одинаково напра злепы и полупря-
мые Ьи с одинаково направлены, то полупрямые а и с тоже
одинаково направлены.
Действительно, так как а и & одинаково направлены, то су-
ществует параллельный перенос, который переводит полу-
прямую а в Ъ. Так как & и с одинаково направлены, то су-
ществует параллельный перенос, который переводит полу-
прямую Ъ в с. Эти два параллельных переноса, выполненные
послед' вательн э, дают параллельный перенос, который пе-
реводит полупрямую а в с. Следовательно, полупрямые а
и с одинаково направлены.
Две полупрямые называются противоположно направ-
ленными, если каждая из них одинаково направлена с полу-
прямой, дополнительной к другой.
Задача (5). АВ и CD — параллельные прямые. Точки
А и D лежат по одну сторону секущей ВС. Докажите, что
лучи ВА и CD одинаково направлены.
Решение. Подвергнем луч CD параллельному пе-
реносу, при котором точка С переходит в точку В (рис. 168).
При этом прямая CD совместится с прямой ВА. Точка D,
смещаясь по прямой, параллельной СВ, остается в той же
полуплоскости относительно прямой ВС. Поэтому луч CD
совместится с лучом ВА, а значит, эти лучи одинаково на-
правлены.
Векторы АВ и CD называются одинаково направленными,
если полупрямые АВ и CD одинаково направлены. Абсолют-
ной величиной (или модулем) вектора называется длина от-
резка, изображающего вектор. Абсолютная
величина вектора а обозначается |а|.	д
Два лектора называются равными, если /	/д
они совещаются параллельном переносом. ^1	]„
Это означает, что сущ ютвуе^ параллель- "
ный перенос, который переводит начало и Рис. 168
5*	«1
/ конец одного вектора соответственно в на-
В / чало и конец другого вектора. Отсюда сле-
дует, что равные векторы одинаково направ-
пены и равны по абсолютней величине. Об-
Рис. 169 ратно, если векторы одинаково направле-
ны и равны по абсолютной величине, то
d________они равны. Действительно, пусть АВ и
I	I CD — одинаково направленные векторы,
/	/ равные по абсолютной величине (рис. 69).
X________ /	Параллельный перенос, переводящий точ-
&	с	ку С в точку А, совмещает полупрямую CD
Рис. 170 с полупрямой АВ, так как они одинаково
направлены. А так как отрезки АВ и CD
равны, ас при этом точка D совмещается с точкой В, т. е.
параллельный перенос переводит вектор CD в вектор АВ.
Значит, векторы АВ и CD равны.
Задача (9). ABCD — параллелограмм. Докажите ра-
венство векторов АВ и DC.
Решение. Подвергнем вектор АВ параллельному
переносу, при котором точка А переходит в точку D (рис.
170). При этом переносе точка А смещается по прямой AD,
а значит, точка В смещается по параллельной прямой ВС.
Прямая АВ переходит в параллельную прямую, а значит,
в прямую DC. Следовательно, точка В переходит в С. Та-
ким образом, наш параллельный перенос переводит вектор
АВ в вектор DC, а значит, эти векторы равны.
Начало вектора может совпадать с его концом. Такой
вектор будем называть нулевым вектором. Нулевой вектор
обозначается нулем с черточкой (О). О направлении нуле-
вого вектора не говорят. Абсолютная величина нулевого век-
тора считается равной нулю. Все нулевые векторы равны
по определению.
Из свойств параллельного переноса (из теоремы 10.1)
следует, что от любой точки можно отложить вектор,
равный данному вектору, и только один. Для доказательст-
ва достаточно выполнить параллельный перенос дан-
ного вектора, при котором его начало перейдет в задан-
ную точку.
132
КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
Пусть вектор а имеет началом точку At (хп у а концом—
точку А2 (х2, у2). Координатами вектора а будем называть
числа аг = х2 — xlf а2 = у2 — У1- Координаты вектора бу-
дем ставить рядом с буквенным обозначением вектора, в
данном случае a (alt а2), или просто (flx, аг). Координаты ну-
левого вектора равны нулю.
Из формулы, выражающей расстояние между двумя точ-
ками через их координаты, следует, что абсолютная вели-
чина вектора с координатами at, а2 равна lAif 4- а2.
Теорема 10.3. Равные векторы имеют равные соответст-
вующие координаты. И обратно, если у векторов соответствую-
щие координаты равны, то векторы равны.
Доказательство. Пусть At (xlt yj и А2 (х2, у2)—
начало и конец вектора а. Так как равный ему вектор а'
получается из вектора а параллельным переносом, то его
началом и концом будут соответственно: Ai (хх + с, ух + d),
А2 (х2 + с, у2 4- d). Отсюда видно, что оба вектора
а и а' имеют одни и те же координаты: ха — хх, у2 — yt.
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть соответ-
ствующие координаты векторов и А{А2 равны. Дока-
жем, что векторы равны. Пусть Xi и yi — координаты точки
Ai, а х2, уz — координаты точки А2. По условию теоремы
Х2 — Xj = х2 — Хь у2—Уг = У2 — У\. Отсюда х2 = х2 4-
4- Xi — xt, у2 = у2 4~ yi — У1- Параллельный перенос, за-
данный формулами
х' = х 4- xj — хо у' = у 4- y'i — У1,
переводит точку At в точку At, а точку Аа в точку А2, т. е.
векторы АгАй и А[а1 равны. Теорема доказана.
Задача (13). Даны три точки: А (1, 1), В (—1, 0\
С (0, 1). Найдите такую точку D (х, у), чтобы векторы АВ
и CD были равны.
Решение. Координатами вектора АВ будут —2, —1.
Координатами вектора CD будут х — 0, у — 1. Так как АВ =
= CD, то х — 0 = —2, у — 1 = —1. Отсюда находим коор-
динаты точки D: х = —2, у = 0.
133
СЛОЖЕНИЕ EfcnTOPOB
Суммой векторов а и & с кссрдинв гамм alt а2 и blt b2 на-
зывается вектор с с координатами ах + &п а2 + 62» т- е-
МО1» °=) + 6 <&1»	= с (О1 + bi» “а + Ь2).
Для любых векторов а (а1г а2), Ь (bY, Ь2), с (clt с2)
a -J- b = Ъ о-,
л 4" (Ь 4" О — (л 4“ ь) 4~ с*
Для доказательства достаточно сравнить соответствующие
координаты векторов, стоящих в правой и левой частях ра-
венств. Мы види и, что они равны. А до теореме 10.3 векторы
с соответственно равными координатами равны.
Теорема 10.4. Каковы бы ни были точки А, В, С, ишет
место вектсрное равенство
АВ^ВС=ГаС.
Доказательство. Пусть A (rlf yt), В (х2, у2),
С (х3, у3) — данные точки. Координатами вектсра АВ бу-
дут х2 — xlt у2 — уи координатами вектора ВС будут х3 —х2,
Уз — У2’ Следовательно, координатами вектора АВ 4* ВС
будут х3 — х1г уз — yt. А это ес^ь координаты вектора АС.
По теореме 10.3 векторы АВ 4- ВС и АС равны. Теорема
доказана.
Теорема 10.4 дает следующий способ построения суммы
произвольных векторов а и Ъ. Надо от конца вектора а от-
а+Ь Рис. 171 В	 А	* D Рис. 172	дожить вектор Ь', равный вектору Ь. Тог- да вектор, начало которого совпадает с на- 4 чалом вектора а, а конец — с концом вектора Ъ', будет суммой векторов а и &(рис. 171). Задача (16). ABCD — параллелограмм. Докажите векторное равенство АЬ 4~ AD = =АС (оправило параллелограмма* сложе- ния векторов). Решение. Имеем: АВ 4- ВС = АС (рис. 172). Но векторы ВС и AD равны (см. задачу 9). Поэтому АВ + AD —АО. Разностью векторов а (а1г а2) и b (6lt Ь2)
134
называется такой вектор с (си с2), который
в сум1®*' с вектором Ь дает вектор а: Ъ +
_|- с = а- Отсюда находим координ ггы век-
тора с = а — b : Ci = aL — Ьс, с2 = а2—&2.
Задача (19). Даны векторы с общим
началом: АВ и АС (рис. 173). Докажите,
что АС — АВ = ВС.
Решение. Имеем: АВ + ВС — АС.
что АС — АВ = ВС.
А это значит,
УМНОЖЕНИЕ ВЕК ГОРА НА ЧИСЛО
Произведением вектора (ао а2) на число А называется
вектор (AaL, Аа2), т. е.
(а^, а2) А — (Аа^, Аа2).
По определению (ап а2) А = А (ах, а2).
Из определения операции умножения вектора на число
следует, что для. любого векторе и и чисел р
(А + р) а = Аа + ра.
Для любых двух векторов а и Ьи числа А
А (а + о) = А а + АЬ.
Теорема 10.5. Абсолютная величина вектора Ъа равна
|А| | а |. Направление вектора А а при а =£ О совпадает с на-
правлением вектора а, если А>0, и пр гтиво по ложно направле-
нию вектора а, если А < 0.
Доказательство. Построим векторы ОА и ОВ,
равные а и Аа соогдетстзеняо (О — начало координат). Пусть
ах и а2 — координаты вектора а. Тогда координатами точки
А будут числа at и а2, а координатами точки В будут Аан
Аа2. Уравнение прямой ОА имеет вид:
ах 4- pz/ = 0.
Тчк как уравнению удовлетворяют координаты точки
A (alf a2), то ему удовлетворяют ч координаты точки
В (Aat, Aa2). Отсюда следует, что точка В лежит на прямой
ОА. Координаты с*, са любой точки С, лежащей на полупря-
135
мой ОА, имеют те же знаки, что и координаты fllt а2 точки
А, а координаты любой точки, которая лежит на полупря-
мой, дополнительной к ОА, имеют противоположные знаки.
Поэтому если Л > О, то точка В лежит на полупрямой О А,
а следовательно, векторы а и Ла одинаково направлены.
Если Л < О, то точка В лежит на дополнительной полупря-
мой, векторы а и Ла противоположно направлены.
Абсолютная величина вектора Ла равна | Ла | =
|Ла1|2+|Ла2|2 = | Л|Ка? + а2 = | Л ||’а|. Теорема доказана.
Задача (22). Даны различные точки: A (xn ih) и
В (х2, z/2). Докажите, что векторы АВ и ВА противоположно
направлены.
Решение. Координатами вектора АВ будут х2 — хг
и у 2 — ух. Координатами вектора В А будут xt — х2 и ух—у2.
Мы видим, что АВ = (—1) ВА. А значит, по теореме 10.5
векторы АВ и ВА противоположно направленье
Два отличных от нуля вектора называются коллинеарны-
ми, если они лежат на одной прямой или на параллельных
прямых.
Теорема 10.6. У коллинеарных векторов соответствующие
координаты пропорциональны. И обратно, если у двух векто-
ров соотзетствующие координаты пропорциональны, то векто-
ры коллинеарны.
Доказательство. Пусть а (ап а2) и Ь (&ь &2) —
данные векторы. Допустим, что векторы коллинеарны Рас-
смотрим вектор с = -4- -=^- Ъ, где берется знак ♦+», когда
_ _ Iь I
векторы а и & одинаково направлены, и знак «—», когда они
противоположно направлены. Вектор с равен вектору а,
так как по теореме 10.5 они одинаково направлены и имеют
одну и ту же абсолютную величину. Приравнивая коорди-
наты векторов а и с, получим:
а2 = ±-Щ-&,.
1»1	_	|Ь|
Отсюда - = ± Лю-» — = ± Лю-- Значит, \ т. е. клорди-
°i | а |	| а |	aj "g
наты векторов а и 6 пропорциональны.
Пусть теперь у векторов а и & координаты пропорцио-
нальны. Докажем, что векторы коллинеарны. Имеем:
136
__ .
°i fla
Обозначая общее значение этих отношений через А, получим:
bx = Лап Ъ2 = Ля2. Отсюда следует, что Ъ = Ха. А это зна-
чит (теорема 10.5), что векторы коллинеарны.
Задача (31). Известно, что векторы а (1, —1) и
Ъ (—2, т) коллинеарны. Найдите, чему равно т.
Решение. У коллинеарных векторов координаты
пропорциональны. Следовательно, ~ Отсюда /п=2.
Вектор называется единичным, если его абсолютная ве-
личина равна единице. Единичные векторы, имеющие на-
правления положительных координатных полуосей, назы-
ваются координатными векторами или ортами. Мы будем
их обозначать е, (1, О) на оси х и е2 (О, 1) на оси у.
Любой вектср а (а}, а2) допускает представление в виде
0 = 0.!®! + а2е2.
Действительно, (at, a2) — (Oj, О) + (О, а2) = а1 (1, О) ~f- я2(0, 1)=
= а^е^ -|- а2е2.
Задача (35). Даны векторы а (1, О), b (1, 1), с (—1, 0).
Найдите такие числа Лир, чтобы имело место векторное
равенство с = Ля + pb.
Решение. Приравнивая соответствующие коорди-
наты векторов с и Ля pb, получим два уравнения, из ко-
торых находим Лир: —1 = Л 1 + р • 1, 0 = Л • О
+ р • 1. Отсюда р = О, Л — —1.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Скалярным произведением векторов a (alf я2) и Ъ (blt b2)
называется число а^Ь^ 4* я2Ь2. Для скалярного произведения
векторов используется такая же запись, как и для произ-
ведения чисел. Скалярное произведение аа обозначается а2.
Очевидно, а2 = |а|2.
Из определения скалярного произведения векторов сле-
дует, что для любых векторов а (а1г а2), Ъ (&г, &2)> с (сц с2)
(с + Ь) с = ас + Ъс.
137
у, Действительно, левая часть равенст-
.	X ва есть (at + bL) с, 4- (а2 + Ьг) с2, а
у / if правая aLcL + агсг + bLc2 + Ь2с2. Оче-
X. / b	видно, они равны.
у /	Углом между ненулевыми векторами
х. X	АВ и АС называется угол ВАС. Уг-
лом мэжцу любыми двумя векторами
а и 6 назугва этся угол между равны-
Рис. 174	ми им векторами с общим началом.
Угол между одинаково направленны-
ми векторами считается равным нулю.
Теорема 10.7 Скалярное произведение векторов ровно
произведению их абсолютных величин на косинус угла меж-
ду ними.
Доказательство. Пусть а и & — данные векторы
и ф — угол между ними. Имеем:
(т 4- Ь)2 = (а + Ь) (а + Ъ) — (а 4- b) а 4- (а 4~ Ь) b
= аа 4- Ьа 4- ab 4- ЪЪ = а2 4- 2аЬ 4- Ь2,
или
|а 4- &Г = |а]2 4- I&T 4- 2аЪ. _
Отсюда видно, что скалярное произведение аЬ выражается
через длины векторов а, Ъ и а 4- Ъ, а поэтому не зависит от
выбора системы координат, т. е. скалярное произведение
не изменится, если систему координат выбрать специальным
образом. Возьмем систему координат ху так, как показало
на рисунке 174. При таком выборе системы координат коор-
динатами вектора а будут | а | и О, а координатами вектора Ъ
будут |&| cos ф и |&| sin ф. Скалярное произведение
аЪ = \а || Ь| cos ф 4-0 |&| sin ф = \а || &| cos ф.
Теорема доказана.
Из теоремы 10.7 следует, что если векторы перпендикуляр-
ны, то их скалярное поои^зеСгние разно нутю. И обратно, ес-
ли скалярное произведение отличных от нуля векторов рав-
но нулю, то векторы перпендикулярны.
Задача (4?). Данывекторь а (1, 0) и b (1, 1). .Найдито
такое число А, чтобы вектор а 4- АЬ был перпендикулярен
вектору а.
Решение. Имеем: a (a -f-Ab)=O, а2 + k (ab) = 0.
Отсюда А = —	—!_= — 1.
ab 1
138
ЕОПРОСЫ ДЛГ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Объясните, что такое параллельный перенос.
2.	Докажите, что параллельный перенос есть движение.
3.	Докажите, что при параллельном переносе точки фи-
гуры смещаются по параллельным (или совпадающим)
прямым на одно и то же расстояние.
4.	Докажите, что при параллельном переносе прямая
переходит в параллельную прямую (или в себя).
5.	Докажите существование и единственность параллель-
ного переноса, переводящего данную точку А в данную
точку А'.
6.	Докажите, что преобразование, обратное параллель-
ному переносу, есть параллельный перенос. Два па-
раллельных переноса, выполненные один за другим,
дгют снова параллельный перенос.
7.	Что такое вектор?
8.	Какие полупрямые называются одинаково направлен-
ными?
9.	Докажите, что если полупрямая а одинаково направле-
на с полупрямыми Ь и с, то полупрямые Ъ и с тоже оди-
наково направлены.
10.	Какие полупрямые называются противоположно на-
правленными?
11.	Что значит: векторы АВ и CD одинаково направлены?
12.	Чю такое абсолютная величина вектора?
13.	Какие векторы называются равными?
14.	Д< кажите, что от любой точки можно обложить вектор,
равный данному вектору, и только один.
15.	Докажите, что равные векторы одинаково направлены
и равны по абсолютной величине. И обратно, одинако-
во направленные векторы, равные по абсолютной ве-
личине, равны.
16.	Что такое координаты вектора?
17.	Докажите, что равные векторы имеют соответственно
равн! te координаты, а векторы с соответственно равны-
ми координатами равны.
18.	Дайте определение сложения векторов.
19.	Докажите, что для любых векторов а и Ъ
а + Ъ = Ь + а.
20.	Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с
а + (Ь + с) = (а + &) + с.
21.	Докажите векторное равенство АВ + ВС =
22.	Докажите, что для получения суммы вектсров а и Ь
надо от коя ца вектора а отложить вектор Ь', ратный Ь.
Тогда вектор, начало которого совпадает с началом
139
вектора а, а конец — с концом вектора Ь’, будет равен
о 4" Ь.
23 ’ Дайте определение разности векторов.
24.	Дайте определение умножения вектора на число.
25.	Докажите, что абсолютная величина вектора Ха ра з-
на | X || а |, направление вектора Ха при а =^=0 совпадает
с направлением вектора а, если X > О, и противопо-
ложно направлению вектора а, если X < 0.
26.	Какие векторы называются коллинеарными?
27.	Докажите, что векторы (alt a2) и (&lf b2) коллинеарны
Gi Со
тогда и только тогда, когда — =
Z>i Ь2
28.	Какой вектор называется единичным?
29.	Докажите, что любой вектор a (at, а2) допускает пред-
ставление а — а^ 4- а2е2, где е± и ег — единичные
векторы координатных осей.
30.	Дайте определение скалярного произведения векторов.
31.	Докажите, что для любых трех векторов а, Ь, с
(а 4- &) с = ас 4- Ьс.
32.	Как определяется угол между векторами?
33.	Чему равен угол между одинаково направленными
векторами?
34.	Докажите, что скалярное произведение векторов равно
произведению их абсолютных величин на косинус
угла между ними.
35.	Докажите, что если векторы перпендикулярны, то их
скалярное произведение равно нулю. И обратно, если
скалярное произведение отличных от нуля векторов
равно нулю, то векторы перпендикулярны.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Параллельный перенос задается формулами х' = х 4-1,
у' = у — 1. В какие точки при этом параллельном
переносе переходят точки (0, 0), (1, 0), (0, 2)?
2.	Найдите величины а и b в формулах параллельного
переноса х = х	а, у’ — у + Ь, если известно, что:
1)	точка (1, 2) переходит в точку (3, 4); 2) точка (2, —3)
— в точку (—1, 5); 3) точка (—1, —3) — в точку (0, —2).
3.	При параллельном переносе точка (1, 1) переходит в
точку (—1, 0). В какую точку переходит начало коор-
динат?
4.	Существует ли параллельный перенос, при котором:
1) точка (1, 2) переходит в точку (3, 4), а точка (0, 1)—
в точку (—1, 0); 2) точка (2, —1) переходит в точку
(1, 0), а точка (—1, 3) — в точку (0, 4)?
140
5.	АВ и CD — параллельные прямые. Точки А и D ле-
жат по одну сторону от секущей ВС. Докажите, что
лучи ВА и CD одинаково направлены.
6.	Докажите, что в задаче 5 лучи ВА и CD противополож-
но направлены, если точки А и D лежат по разные сто-
роны от секущей ВС.
7.	Четырехугольник ABCD — параллелограмм. Среди лу-
чей АВ, ВА, ВС, СВ, CD, DC, AD, DA назовите пары
одинаково направленных и противоположно направ-
ленных лучей.
8.	На прямой даны три точки: А, В, С, причем точка В
лежит между А и С. Среди векторов АВ, АС, ВА и
ВС назо гите одинаково направленные и противополож-
но направленные.
9.	ABCD — параллелограмм. Докажите равенство век-
торов АВ и DC.
10.	Докажите, что для векторов АВ, ВС и АС имеет место
неравенство |АС| <1 |АВ| + |ВС|.
11.	Докажите, что для любых векторов а и Ъ имеет место
неравенство |a + b|^|a| + |b|.
12.	Дапы точки А (С, 1), В (1, 0), С (1, 2), D (2, 1). Дока-
жите равенство векторов АВ и CD.
13.	Даны три точки: А (1,1), В (—1, 0), С(0,1). Найдите такую
точку D (х, у), чтобы векторы АВ и CD были равны.
14.	Абсолютная величина вектора а (5, т) равна 13. Най-
дите т.
15.	Абсолютная величина вектора Ъ (п, 24) равна 25. Най-
дите п.
16.	ABCD — параллелограмм. Докажите векторное равен-
ство АВ + AD = АС.
17.	Найдите сумму векторов: 1) а (1, —2) и Ь (2, —3);
2) а(—3, 4) и b"(2, — 3); 3) а (3, 1) и Ъ (—2, — 1);
4) а (—5, 4) и b (2, — 2); 5) а (—1, 1)_и Ь (2, 4).
18.	Найдите вектор а — Ь, если: 1)_ а (1,4), b (1, 3);
2) а (—3, 2),_Ь (2, —1); 3) а (5, 3), Ъ (4, 4); 4) а (3, 3),
b (4, 2); 5) а (1, 5), b (2, 7).
19.	Даны векторы с общим началом: АВ и АС. Докажите,
что АС — АВ = ВС.
20.	Найдите абсолютную величину вектора а + Ъ, если:
1) <Г(1, —4); b (—4, 8); 2) а (2, 5), Ъ (4, 3); 3) а (10, 7),
Ъ (2, —2).
21.	Найдите абсолютную величину вектора а — Ь, если:
1) а (1, —4), Ъ (—4, 8);	2) а (—2, 7), ~Ь (4, —1);
141
S) a (15, 0), b (0, —8).
22.	Даны различные точки: A (xn yL) и В (x.2, у2)- Дока-
жите, 4io векторы AB и BA противоположно направ-
лены.
23.	Докажите, что векторы а (1, 2) и Ь (0,5; 1) одинаково
направлены, а векторы с (—1, 2) и d (0,5; —1) проти-
воположно направлены.
24.	Дан вектор а (3, 4). Найдите вект >р b (blt Ь2), имею-
щий в два раза большую длину и направленный с век-
тором а: 1) одинаково; 2) противоположно.
25.	Даны векторы а (3, 2) и b (0, —1). Найдите вектор:
1)	—2ft + 4Ь; 2) За — Ь; 3) 4а + Ь.
26.	Даны векторы а (3, 2) и Ъ (О, —1). Найдите абсолют-
ную величину вектора: 1) —2а + 4Ь; 2) 4а 4- ЗЬ;
3)	5<Г +
27.	На йдите абсолютную величину вектора За, если:
1) а (3,4); 2) ft (—5, 12); 3) а (—6, — 8).
28.	Абсолютная вел шина вектора %а равна 5. Найдите %,
если: 1) а (—6, 8), 2) а (3, —4); 3) а (5, 12).
29.	Даны векторы а (2, —4), b (1, 2), с (1, —2), d (—2, —4).
Укажите пары коллинэарных векторов.
30.	Какие векторы задачи 29 одинаково направлены, а
какие — противоположно направлены? Какие из этих
векторов имеют равные абсолютные величины?
31.	Известно, что векторы а (1, —1) и Ь (—2, т) колли-
неарны. Найдите, чему равно т.
32.	При каком значении и векторы а (п, 1), b (4, п) колли-
неарны и одинаково направлены?
33.	Среди векторов а (— —, —V Ъ — j, с (0, —1),
_/3	4\	„	”5)	\3	3/
а —,----на едите единичные и укажите, какие из
\ 5	5 /
них коллинеарны.
34.	Найдите единичный вектор, коллинеарный вектору
а (6, 8), одинаково с ним направленный.
35.	Даны векторы а (1, 0), b (1, 1) и с (—1, 0). Найдите
такие числа Аир, чтобы имело место векторное ра-
венство с = а 4- р Ь.
35.	Точки М и 2V являются серединами отрезков АВ и CD
соответственно. Докажите векторное равенство MN ==
--(АС 4- HD).
37.	Ci (1,0) и е2 (0, 1) — координатные векторы. Чему рав-
ны координаты вектора 2сх — Зс2?
142
38.	Чему равны Я, и у в представления вектсра а (—5, 4):
а = к €?х + р е2?
39.	Докажите, что для любых векторов а и Ъ (аЪ)* а"Ьг.
40.	Найдите угол между в жторами а (1, 2), 6 1, — i-k
\ 2/
41.	Даны векторы а и Ъ. Найдите абсолютную величину
вектора а + Ь, если известно, что абсолютные величины
векторов а и Ь равны 1, а угол между ними 60е.
42.	Найдите угол между векторами а и а + b предыдущей
задачи.
43.	Даны вершины треугольника А (1, 1), В (4, 1), С (4, 5).
Найдите косинусы углов треугольника.
44.	Найдите углы треугольника с вершинами А (0, 1^3),
в (2, Кз), с (1, у
45.	Докажите, что векторы а (т, п) и Ъ (—п, т) перпен-
дикулярны или равны нулю.
46.	Даны ректоры а (3, 4) и Ъ (т, 2). При каком значении
т эти векторы перпендикулярны?
47.	Даны векторы а (1, 0) и b (1, 1). Найдите тг кое число
к, чтобы вектор а + к Ъ был перпендикулярен век-
тору а.
48.	При каком значении к вектор а + X Ъ в задаче 47 пер-
пендикулярен вектору Ь?
49.	Дока жите, что если а и b — единичные неколлинеар-
ные векторы, то векторы а 4- Ъ и а — Ь отличны от
нуля и перпендикулярны.
50.	Единичные векторы а и b образуют угол 60°. Докажи-
те, что вектор 2Ь — а перпендикулярен вектору а.
51.	Векторы а + b и а — Ъ перпендикулярны. Докажите,
что |а| = | &|.
52.	Докажите с помощью векторов, что диагонали ромба
перпендикулярны.
53.	1) Даны три точки: С, А, В. Точка X делит отрезок
АВ в отношении к : р, считая от точки А. Выразите
вектор ОХ через векторы ОА = а и ОВ = Ъ. 2) Дока-
жите, что медианы треугольника пересекаются в одной
точке, которая делит их в отношении 2:1, считая от
соответствующих вершин.
54.	Даны четыре точки: А (1, 1), В (2, 3) С (0, 4), D (—1, 2).
Докажите, что четырехугольник ABCD — прямоуголь-
ник.
55.	Дата четыре точки: А(0, 0), В(—1, 1), С (0, 2), D (1, 1).
Докажите, что четырехугольник ABCD — квадрат.
КЗ
§ 11. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ
Теорема 11.1 (теорема косинусов). Квадрат любой
стороны треугольника равен сумме квадратов двух других
сторон без удзоенного произведения этих сторон на косинус
угла между ними.
Доказательство. Пусть АВС — данный тре-
угольник (рис. 175). Докажем, что ВС2 = АВ3 4- АС2 —
— 2АВ  АС  cos А.
Имеем векторное равенство АВ + ВС = АС. Отсюда
ВС = АС — АВ. Возводя это равенство скалярно в квадрат,
получим:
ВС2 = АВ2 + АС2 — 2АЗ  АС.
Отсюда
| ВС|2 = | АВ|а 4- |АС|2—2| АВ || АС\ cos А.
Теорема доказана.
Заметим, что |AC|cosA равно по абсолютной величине
проекции AD стороны АС на сторону АВ (рис. 175, а) или
ее продолжение (рис. 175, б). Знак | AC | cos А зависит от
угла А: «+», если угол А острый, «—», если угол А тупой.
Отсюда получается следствие: квадрат стороны треуголь-
ника равен сумме квадратов двух других сторон «+*
удвоенное произведение одной из них на проекцию другой.
Знак «+» надо брать, когда противолежащий угол тупой,
а знак «—», когда угол острый.
Задача (1). Даны стороны треугольника а, Ь, с.
Найдите высоту треугольника, опущенную на сторону с.
Решение. Имеем: а2 = Ъ2 + с2 ± 2с • AD (рис. 176).
а2__fr2 _ с2
Отсюда AD = ±------------------. По теореме Пифагора
со = Клс2 —AD2
Из теоремы косинусов следует, что сумма квадратов
диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сто-
рон. Действительно, пусть ABCD — параллелограмм (рис.
177). Применим теорему косинусов к треугольникам АВС
и ABD, получим:
АС2 = АВ2 + ВС2 — 2АВ • ВС cos 0,
BD2 = АВ2 + AD2 — 2АВ • AD cos a.
Складывая эти равенства и замечая, что cos 0 = —cos a,
АВ = CD, получим:
AC2 4- BD2 = AB2 + ВС2 + CD2 + AD2.
Что и требовалось доказать.
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Теорема 11.2 (теорема синусов). Стороны треуголь-
ника пропорциональны синусам противолежащих углов.
Доказательство. Пусть АВС — треугольник со
сторонами а, Ъ, с и противолежащими углами а, 0, у (рис.
178). Докажем, что
sin a sin (J-sin у
a	b	с
Опустим из вершины С высоту CD. Из прямоугольного
треугольника ACD, если угол а острый, получаем: CD =
== Ь sin а (рис. 178, а). Если угол а тупой, то CD —
145
— b sin(180e — a)=bsin a (рис. 178, б). Аналогично из треу-
гольника BCD получаем: CD —a sin р. Итак, a sin p=b sin а.
Отсюда
sin р	sin a
b а
Аналогично доказывается равенство
’	ein Р ein у
Ь с
Для доказательства надо провести высоту треугольника
из вершины А. Теорема доказана.
Задача (9). Докажите, что биссектриса угла треуголь-
ника делит противолежащую сторону на отрезки, пропор-
циональные прилежащим сторонам.
Решение. Пусть АВС—данный треугольник и BD —
его биссектриса (рис. 179). Докажем, что — = -—-.
CD ВС
Применим теорему синусов к треугольникам ABD и
CBD-.
АР  AD СР _ ВС  ВС
Bin р Bin a ein р ein (189° — a) sin a
Если первое равенство разделить на второе, то получим:
АР _ АВ
СР ~ ВС’
Что и требовалось доказать.
Из теоремы синусов следует, что если в треугольнике
со сторонами а, Ъ и противолежащи-
ми им углами a, р Судет а > р, то а >&.
И обратно, если а > Ь, то a> р. Ко-
роче говоря, в треугольнике против
большего угла лежит большая сторо-
на, против большей стороны лежит
больший угол.
Действительно, если углы аир
острые (рис. 180, а), то при а > р
будет sin а > sin р. А так как
ein а   ein р
а	Ь *
146
то a > Ъ. Если угол а ту-
пой (оба угла не мо гут быть
тупьши), то угол 180° —а
острый (рис. 180, б). При-
чем 180 — а больше р, кап
внешний угол треугольни-
ка, не смекнай с р. Поэ-
тому sin а = sin (180° —
—а) > sin р. И мы снова
заключаем, что а > Ъ. Об-
ратное утверждение дока-
зывается от противного.
Задача (21). Дока-
жите, что в теореме синусов
каждое из трех отношений:
sin sin В sin у
I	у — равно
аде
1	г.
—, где R — радиус окруж-
ности, описанной около
Рис. 180
треугольника.
Решение.
Проведем диаметр BD (рис. 181). По
свойству углов, вписанных в окружность, угол при верши-
не D прямоуголы.огэ треугольника BCD равен либо а, ес-
ли точки А и D лежат по одну сторону от прямой ВС
(рис. 181, а), либо 180° — а, если они л жет до разные
стороны от прямой ВС (рис. 181, б). В первом случае
ВС = BD sin а, во втором ВС = BD sin (180° — а). Так
хак sin (180° — а) = sin а, то в любом случа э а = 2R sm а.
„	sin а
Следовательно, -----
а
— . Что и требовалось доказать.
2R
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Решение треугольников состоит в нахождении неизвест-
ных сторон и углов треугольника по известным его углам и
сторонам. Будем обозначать стор алы треугольника через
а, Ь, с, а противолежащие им углы через а, р, у.
Задача I. Даны сторона и два угла треугольника. Найти
третий угол и остальные две стороны.
147
Способ решения. Так как сумма углов треуголь-
ника равна 180°, то третий угол выражается через заданные
углы. Имея сторону и все три угла, по теореме синусов на-
ходим две остальные стороны. Задача всегда имеет решение,
и притом единственное. Конечно, сумма двух данных углов
должна быть меньше 180°. Единственность решения следует
из второго признака равенства треугольников.
Задача II. Даны две сторсны, например а и Ъ, и угол у
между ними. Найти остальные два угла и третью сторону.
Способ решения. По теореме косинусов находим
сторону с. Теперь, имея три стороны, по теореме косинусов
можно найти косинусы остальных углов и сами углы. Проще,
однако, воспользоваться теоремой синусов и найти синусы
неизвестных углов. Но при этом надо иметь в виду, что для
данного значения синуса получается два угла. Поэтому из
полученных углов надо взять те, которые удовлетворяют
известным соотношениям: сумма углов треугольника равна
180°, против большей стороны лежит больший угол. Задача
всегда имеет решение, и притом единственное. Единствен-
ность решения следует из первого признака равенства тре-
угольнике! .
Задача III. Даны две стороны, например а и Ъ, и угол,
противолежащий одной из них, например а. Найти остальные
два угла и третью сторону.
Способ решения. По теореме синусов находим
sin 6. По sin р находим отвечающие ему углы рг и р2. Выби-
раем из них один или оба, имея в виду, что против большей
из сторон а и Ь лежит больший угол. Зная углы аир, на-
ходим угол у = 180° — а — р, а затем находим сторону
с по теореме синусов. Эта задача в отличие от двух предыду-
щих может не иметь решения, иметь одно решэние или два
решения.
Задача IV. Даны три стороны треугольника. Найти его
углы.
Способ решения. По теореме косинусов находим
один из углов. А затем поступаем, как во второй задаче.
Эта задача имеет решение, если большая из сторон меньше
суммы двух других Единственность решения следует из
третьего признака равенства треугольников.
148
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Сформулируйте и докажите теорему косинусов.
2.	Докажите, что квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон удвоенное
произведение одной из этих сторон на проекцию дру-
гой. От чего зависит знак «+» или «—»?
3.	Докажите, что сумма квадратов диагоналей паралле-
лограмма равна сумме квадратов его сторон.
4.	Докажите теорему синусов.
5.	Докажите, что в любом треугольнике против большей
стороны лежит больший угол и против большего угла
лежит большая сторона.
6.	Даны сторона и два угла треугольника. Как найти
третий угол и две остальные его стороны?
7.	Даны две стороны треугольника и угол между ними.
Как найти остальные два угла и третью сторону?
8.	Даны две стороны и угол, противолежащий одной из
них. Как найти остальные два угла и третью сторону?
9.	Даны три стороны треугольника. Как найти его углы?
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Даны стороны треугольника а, Ъ, с. Найдите высоту
треугольника, опущенную на сторону с.
2.	Даны стороны треугольника а, Ь, с. Найдите медиа-
ны та, ть, тс, проведенные к этим сторонам.
3.	Даны диагонали параллелограмма с и и угол между
ними а. Найдите стороны параллелограмма.
4.	Даны стороны параллелограмма а и Ъ и один из углов
а. Найдите диагонали параллелограмма.
5.	а, Ъ, с — стороны треугольника. Докажите теорему,
обратную теореме Пифагора: если а2 -|- 62 = с2, то
треугольник поямоугольный с прямым углом, противо-
лежащим стороне с.
6.	а, Ъ, с — стороны треугольника. Докажите, что если
а2 + Ъ2 > с2, то угол, противолежащий стороне с,
острый. Если а2 + 62 < с2, то угол, противолежащий
стороне с, тупой.
7.	У треугольника две стороны равны 20 м и 21 м, а синус
угла между ними равен 0,6. Найдите третью сторону.
8.	Стороны треугольника 13 м, 14 м, 15 м. Найдите ко-
синусы углов треугольника.
9.	Докажите, что биссектриса угла треугольника делит
противолежащую сторону на отрезки, пропорциональ-
ные прилежащим сторонам.
10.	Из вершины С треугольника АВС проведена биссек-
триса CD. Сторона АС больше стороны ВС. Какой из
отрезков больше: AD или BD?
149
11.	Дан треугольник ABC. CD — его биссектриса, прове-
денная к сторсне АВ. Докажите, что если угол САЕ
больше угла СВА, то AD меньше BD.
12.	В треугольнике АВС АА — 40°, АВ = G0°, Z.C = 80°.
Какая из сторон треугольника наибольшая, какая —
наименьшая?
13.	У треугольника АЗС стороны АВ = 5,1 м, ЕС — 6,2 м,
АС = 7,3 м. Какой из углов треугольника наиболь-
ший, какой — наименьший?
14.	Что больше: основание или боковая сторона равно-
бедренного треугольника, если прилежащий к осно-
ванию угол больше 60е?
15.	У треугольника АВС угол С тупей. Докажите, что
если те ша X лежит на стороне АС, то ВХ < АВ.
16.	У треугольника угол С тупой. Докажите, что
если точка X лежит на стороне АС, а точка Y — на
стороне ВС, то XY < АВ.
17.	На стороне АВ треугольника АВС отмечена точка D.
Докажите, что отрезок CD меньше по крайней мере
одной из сторон: АС или ВС.
18.	Дан треугольник ABC. CD — медиана, проведенная к
стероне АВ. Докажите, что если АС > ВС, то угол
ACD меньше угла BCD.
19.	Докажите, что биссектриса треугольника не меньше
высоты и не больше медианы, проведенных из той же
вершины.
20. Как изменяется сторона АВ треугольника АВС, если
угол С возрастает, а стороны АС и ВС остаются без
изменений?
21. Докажите, что в теореме синусов каждое из трех от-
„ sin a sin В Bin у	1	„
ношении ---, —-, —1 равно —, где Л — радиус
а	о	с	2Р
окружности, описанной около треугольника
22. У треугольника две стороны равны 5 см и 6 см. Может
ли угол, противолежащий стороне 5 см, быть тупым?
23. У треугольника АВС АВ= 15 см,
Рис. 182
g
АС - 10 см Может ли sin В =—Ч
4
24.	Объясните, как найти расстояние
от точки А до недоступной точки
В (рис. 182), зная расстояние АС
и углы аир.
25.	Объясните, как найти высоту х
здания (рис. 183) по углам а и
Р и расстоянию а.
26.	Даны сторона и два угла тре-
угольника. Нал див е третий угол
и остальные две стороны, если:
13
2Л.
28.
23.
30.
1) a = 5 ,
2) a = 20,
3) a = 35,
4) b = 12,
P = 30°,
a = 75°,
P = 40°,
a = 36°,
a = 64°,
5) c = 14,
Даны дге стороны и
T = 45°;
P = 60°;
T = 120°;
P = 25°;
P = 48°.
угол, npo-
тпволежащий третьей стороне.
Найдите остальные два угла и
третью сторону, если:
1)	а = 12,
2)	а = 7,
3)	Ъ = 9,
4)	Ь = 14,
5)	а = 32,
6)	а = 24,
Ь = 8,
b = 23,
с = 17,
с = 10,
с = 23,
с = 18,
у = 60°;
У = 130°;
а = 9-5°;
а = 145°;
Р = 152°;
Р = 15°.
Рис. 183
треугольника заданы две стороны а, Ь и угол а,
противолежащий стороне а. Натдите остальные углы
и сторону треугольника, если:			
1)	а = 12,	b = 5,	а = 120°:
2)	а = 27,	b = Э,	а = 133 :
3)	а = 34,	b = 12,	а = 164е:
	а — 2,	Ь = 4,	и = 60°;
5)	а = 6,	Ъ = 8,	а = 30°.
Даны три стороны треугольника. Найцитэ его углы,
если:			
1)	а = 2,	b = 3,	с = 4;
2)	а = 7,	& = 2,	с = 8;
3)	а = 4,	Ъ = 5,	с = 7;
4)	а = 15,	Ъ = 24.,	с = 18;
5)	а = 23,	Ь = 17,	с = 39;
6)	а = 55,	Ъ - 21,	с = 38.
Докажите, что геометрическое место точек, сумма
квадратов расстояний от кэторыт до двух данных точек
постоянна, есть окружность с центром в середине от-
резка, соединяющего данные точки.
§ 12. МНОГОУГОЛЬНИКИ
ЛОМАНАЯ
Ломаной А1А2А3...Ая называется фигура, которая состоит
из точек А2, .... Ап и соединяющих их отроков ^4LA2,
А2А3, .... Ап^Ап. Точки Alt А2, .... Ап называющая верши-
нами ломаной, а отрезки AiA2, А2А3, ..., An_iAn— звень-
ями ломаной. Ломаная называется простой, если она не
имеет самопересечений. На рисунке 184, а показана простая
151
ломаная, а на рисунке 184, б — ломаная с самопересече-
нием (в точке В). Длиной ломаной называется сумма длин
ее звеньев.
Теорема 12.1. Длина, ломаной не меньше длины отрезка,
соединяющего ее концы.
Доказательство. Пусть Л1Л2Л3 ... А„ — дан-
ная ломаная. Заменим звенья ломаной АкА2 и А2А3 одним
звеном -Ai-Аз. Получим ломаную АХА3А4 ... Ап. По нера-
венству треугольника она имеет длину, не большую, чем
исходная ломаная. Заменяя таким же способом звенья А1А3
и А3А4 звеном А4А4, переходим к ломаной А-ЛА4А5 ... Ап.
И так далее. В конце концов мы придем к отрезку А1 Ап,
соединяющему концы ломаной. Отсюда следует, что исход-
ная ломаная имела длину, не меньшую длины отрезка AiA„ .
Теорема доказана.
Задача (1). Дапы две окружности с радиусами Rt
и Л2 и расстоянием между центрами d >	+ R2. Чему
равны наибольшее и наименьшее расстояния между точка-
ми X и Y этих окружностей?
Решение. Для ломаной O4XYO2 по теореме 12.1
ОХО2 OiX + XY -J- YO2 (рис. 185). Значит, d +
+ XY + R2. Отсюда XY d — — R2. Так как АС —
= d — R4 — R2, то наименьшее расстояние между точками
Рис. 185
окружностей равно d — RL —
— R2.
Для ломаной XOLO2Y
XY -Rj + d + В2. Так как
B-D = d + Rl + R2, to наи-
большее расстояние между
точками окружностей равно
d + Ri + Л г-
152
Рис. 186
Рис. 187
ВЫПУКЛЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Ломаная называеся замкнутой, если у нее концы сов-
падают. Простая замкнутая ломаная называется многоуголь-
ником, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой
(рис. 186). Вершины ломаной называются вершинами мно-
гоугольника, а звенья ломаной — сторонами многоугольника.
Отрезки, соединяющие не соседние вершины многоугольника,
называются диагоналями. Многоугольник с п вершинами, а
значит, и с п сторонами, называется п-угольником.
Плоским многоугольником ила многоугольной областью
называется конечная часть плоскости, ограниченная много-
угольником (рис. 187).
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит
в одной полуплоскости относительно любой прямой, содер-
жащей его сторону. При этом сама прямая считается при-
надлежащей полуплоскости. На рисунке 188, а изображен
выпуклый многоугольник, а на рисунке 188, б — невыпук иый.
Углом выпуклого многоугольника при данной вершине на-
зывается угол, образованный его сторонами, сходящимися
в этой вершина.
Теорема 12.2. Сумма углов выпуклого п-угольника рав-
на 180° (п — 2).
153
Доказательство. Пусть Р: АКА2 ... Ап— дан-
ный выпуклый многоугольник (рис. 189). Проведем диаго-
наль AtA3. Получим треугольник AiA«A3 и многоугольник
с п — 1 вершинами Pi: AtA3 ... Ап. Углы при вершинах
At и Аз многоугольника Р равны сумме углов многоуголь-
ника Pi и треугольника А1АгА3 при этих вершинах. Отсю-
да следует, что сумма углов многоугольника Р равна сумме
углов многоугольника Р3 плюс сумма углов треугольника
АхАоАз, т. е. 180°. Далее таким же способом заключаем,
что сумма углов многоугольника Рг равна сумме углов
многоугольника P2: AiA4 ... Ап плюс 180°. А значит, сумма
у гл оз многоугольника Р равна сумме углов многоугольника
Р2 плюс 180° • 2
Продолжая таким же образом, на (и — 3)-м шаге мы при-
дем к треугольнику А1Ап_1Ап . А сумма его углов равна 180 •
В итоге сумма углов многоугольника Р равна 180 (п — 3) f-
4- 180° = 180° (г — 2). Теорема доказана.
Внешним углом, выпуклого многоугольника при данной
вершине называется угол, смежный внутреннему углу мно-
гоугольника при этой вершине.
Задача (8). Ч ему равна сумма внешних углов выпук-
лого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине?
Решение. Сумма внутреннего угла шюгоугольнпка
и смежного с ним внешнего равна 18Э°. Поэтому суыша всех
внутренних и внешних углов равна 180°  п. Но сумма всех
внутренних углов по тэореме 12.2 равна 180°  (п — 2).
Значит, су имя внешних углов, взятых по „дчому при каж-
дой вершине, равна 180° п — 180° (п — 2) = 360°.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Вылуклый в ногэуголыглк называется правильным, если
у него все стороны равны и все углы равны.
х Многоугольник называется вписан-
0_______\с ным в окружность, если все его вер-
/\	/ шины лежат на некоторой окружнос-
/ \	/ ти. Многоугольник I азываетс.ч описан-
х /	о\^_/ ным около окружности, если все его
\/\2	~2 (\f	стороны каса»этся некоторой окруж-
А	В	ности.
Рис. 160
154
Теорема 12.3. Правильный выпуклый многоугольник яв-
ляется вписанным в окружность и описанным около окруж-
ности.
Доказательство. Пусть А и В — две соседние
вершины многоугольника (рис. 190). Проведем биссектрисы
углов многоугольника из вершин А и В. Пусть О — точка
их пересечения. Треугольник АОВ равнобедренный с осно-
ванием АВ и углами при основании, равны’ ш —, где а —
2
угол многоугольника. Соединим точку О с вершиной С, со-
седней с В. Треугольники АВО и СВО равны по первому при-
знаку равенства 'хреуголььиков. У них сторона ОВ общая,
стороны АВ и ВС равны как сторош 1 многоугольника, а
углы при вершине В равны -у. Из равенства треугольников
следует, что треугольник ОВС равнобедренный с углом при
вершине С, равным А значит, СО есть биссектриса уг-
ла С многоугольника.
Теперь соединяем точку О с вершиной D, соседней с
С, и доказываем, что треугольник COD равнобедренный и
DO — биссектриса угла D многоугольника. И 1ак далее.
В итоге получается, что каждый треугольник, у которого
одной стороной является стерона многоугольника, а про-
тиволежащей вершиной — точка О, является равнобедрен-
ным. Все эти треугольники имеют равные боковые стороны.
Оююда следует, что лее вершины многоугольника находятся
на окружности с центром О и радиусом, равным боковым
сторонам треугольников, а все сторо 1ы многоугольника
касаются окружности с центром О и радиусом, равным вы-
сотам треугольников, проведенным из вершины О. Теорема
доказана.
Найдем радиус В описанной окружности и радиус г впи-
санной окружности для правильного многоугольника со сто-
роной а и числом сторон п (рис. 191). Имеем:
|О (п — 2) 180°	_18О_ е
2п	п ’
т = ОС = — =-------—.
п
в = 90 — — = 90'
1	2
СВ	а
В ~ 08 ~  и” ~ iro° ’
8ХП₽ 2ып28°_
п
Для правильного треугольника
п=3, -- = 60°,
8
155
с
Рис. 191	Рис. 192
„ а	а	а	а
а ~~—— t: г —• -	.—-*
2 sin 60° Уз	2 tg 60°	2 УЗ
Для правильного четырехугольника (квадрата) п = 4,	= 45°,
4
/? = °	= ° • Г --- °	—. °
2 sin 45°	У 2'	2 tg 45°	2‘
Для правильного шестиугольника п = 6,	= 30°,
6
т,	О	О-	И У 3
R =-------= а; г= --------= ——•
2 sin 30°	2tg30°	2
Задача (23). Докажите, что сторона правильного
восьмиугольника вычисляется по формуле ав = R К2 — У 2,
где R — радиус описанной окружности. '
Решение. Пусть АВ — сторона вписанного квад-
рата, АС — сторона восьмиугольника (рис. 192). Имеем:
АС = У AD2CD2 , AD = — = — —, CD = ОС — OD =
2	2
о яУг
— R--------—, и поэтому
aa = AC^Ir^ + (в-В^ = В]У^Уг.
ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
Наглядное представление о длине окружности получается
следующим образом. Представим себе нить в форме окруж-
ности. Разрежем ее и растянем за концы. Длина получен-
ного отрезка и есть длина окружности. Как найти длину
окружности, зная ее радиус? Из нагля щых соображений
ясно, что длина окружности сколь угодно мало отличается
1S6
от периметра вписанного в нее выпуклого многоугольника
с достаточно малыми сторонами. Исходя из этого, докажем
некоторые свойства длины окружности.
Теорема 12.4. Отношение длины окружности к ее диа-
метру не зависит от окружности, т. е. одно и то же для любых
двух окружностей.
Доказательство. Возьмем две произвольные ок-
ружности. Пусть J?! и Т?2 — их радиусы, a Ц и 12 — длины
окружностей. Допустим, что утверждение теооемы неверие
г1 . h
и — =7^=—, например
22?!	2.Л2
-Ь- < а.
2R, 2Ла'
Впишем в наши окружности правильные выпуклые мно-
гоугольники с большим числом сторон п. Если п очень ве-
лико, то длины наших окружностей будут очень мало отли-
чаться от периметров рг и р2 вписанных многоугольников.
Поэтому неравенство (*) не нарушится, если в нем заменить
lt на р1г а 12 на р2:
(•)
27?!	22?а	'	’
Выразим периметры рх и р2 через радиусы окружностей.
Из формулы R =--------—— для ради за окружности, опи-
180°
2 sin--
п
санной около правильного многоугольника, следует,. что
180°
стороны вписанных многоугольников равны 2Rt sin-----------,
n
180°
2R2 sin---. Поэтому периметрами многоугольников будут рг —
п
. 180°	. 180°	„ Pi . 180° р2
=2R, п sin--, р, = 2R2 п sin--. Отсюда = п sin------, — =
1 п	П	22?!	п 22?а
= nsin-^-, т. е.— = —. А это противоречит неравенству (**).
л	22?,	22?а
Теорема доказана.
Отношение длины окружности к диаметру принято обо-
значать греческой буквой л (читается «пи»):
I
— = л.
22?
Число л — иррациональное. Приближенное значение
л « 3,1416.
Таким образом, длина окружности вычисляется по формуле
1 = 2лЬ.
157
Рис. 193
Рис. 194
ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ И ДУГА
ОКРУЖНОСТИ
Плоским углом называется часть
плоскости, ограниченная двумя различ-
ными лучами, исходящими из одной
точки. Эти лучи называются сторона-
ми угла. Существует два плоских угла
с данными сторонами. Они называют-
ся дополнительными. На рисунке 193
заштрихован один из плоских углов
со сторонами а и Ь.
Если плоский угол является час-
тью полуплоскости, то его градусной
мерой называется градусная мера обыч-
ного угла с теми же стеронами. Если
плоский угол содержит полуплоскость,
то эго градусная мэра равна 360“ — а,
где а — градусная мера дополнительного плоского угла.
Центральным углом в окружности называется плоский
угол с вершиной в ее центре. Часть окружности, располо-
женная внутри плоского угла, называется дугой окружности,
соответствующей этому центральному углу (рис. 194). Гра-
дусной мерой дуги окружности называется градусная мера
соответствующего центрального угла.
Найдем длину дуги окружности, отвечающей централь-
ному углу в п°. Развернутому углу соответствуем длина полу-
окружности nR. Следовательно, углу в 1° соответствует
HR	о
дуга ---; а углу в п соответствует дуга
180
, nR
I - —п.
180
Радианной мерой угла называется отношение длины соответ-
ствующей дуги к радиусу окружности. Из формулы для дли-
ны дуги окружности следует, что
I п
— = —п,
R 180
т. е. радианная мера угла получается из градусной умноже-
нием на В частности, радианная мера угла 180° равна
180°
п
л, радианная мера прямого угла равна —.
2
158
Единицей радианной меры углов является радиан. Угол
в один радиан — это угол, у которого длина дуги равна
радиусу. Градусная мера угла в один ргдиан раяна « 57°.
л
ВОПРОСЫ ДГЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Что такое ломаная, длина ломаной?
2.	Докажите, что длина ломаной не меньше длины от-
резка, соединяющего ее концы.
3.	Что такое многоугольник, выпуклей многоугольник?
4.	Что такое угол выпуклого многоугольника при данной
вершине?
5.	Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?
6.	Выведите формулу для суммы углов выпуклою много-
угольника.
7.	Докажите, что правильный многоугольник является
вЕизаш.ым в окружность и описанным около окружно-
сти.
8.	Выведите формулы для радиусов вписанной и описан-
ной окружностей правильного п-угольника.
9.	Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей
для правильного треугольника, квадрата, шестиуголь-
ника.
10.	Докажите, что отношение длины окружности к ее диа-
метру не зависит от окружности, т. е. одно и то же
для всех окружностей.
11.	По какой формуле вычисляется длина окружности?
12.	Что такое плоский утл?
13.	Что такое центральный угол?
14.	Что такое дуга окружности, отвечающая данному цент-
ральному углу?
15.	По какой формуле вычисляется длина дуги окружно-
сти?
16.	Что такое радианная мера угла?
17.	Чему равны радианные меры углов 180° и 90°?
УПР/.ЖНЕНИЯ
1.	Даны две окружности с радиусами и Т?2 и расстоя-
нием между Ц( нтрами d > 7?i + Вг. Чему равны наи-
большее и наименьшее расстояния между точками
Y и X этих окружностей?
2.	Решите "адачу 1 при условии, что d < Rj — R%.
3.	Докажите, что если вершины ломаной не лежат на
одной прямой, то длина ломаной больше длины отрез-
ка, соедиг яющего ее концы.
159
4.	Докажите, что у замкнутой ломаной расстояние меж-
ду любыми двумя вершинами не больше половины дли-
ны ломаной.
5.	Докажите, что у замкнутой ломаной длина каждого зве-
на не больше суммы длин остальных звеньев.
6.	Может ли замкнутая ломаная иметь звенья длиной 1 м,
2 м, 3 м, 4 м, 11 м? Объясните ответ.
7.	Длкя жите, что если концы ломаной лежат по разные
стороны от данной прямой, то она пересекает эту пря-
мую.
8.	Чему равна сумма внешних углов выпуклого п-уголь-
ника, взятых по одному при каждой вершине?
9.	Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны
числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
10.	Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каж-
дый из внутренних углов которого равен: 1) 13Ь°,
2) 150°?
11.	Сколько сторон имеет правильный многоугольник, ес-
ли каждый из внешних его углов равен: 1) 36°, 2) 24°?
12.	Докажите, что взятые через одну вершины правильного
2п-угольника являются вершинами правильного п-уголь-
ника.
13.	Докажите, что середины сторон правильного п-уголь-
ника являются вершинами другого правильного п-
угольника.
14.	Докажите, что правильные n-угольники с одинаковыми
сторонами равны, т. е. совмещаются движением.
15.	Докажите, что правильные n-угольники подобны, т. е.
переводятся друг в друга преобразованием подобия.
16.	Сколько диагоналей у п-угольника?
17.	Хорда, перпендикулярная радиусу и проходящая че-
рез его середину, равна стороне правильного вписан-
ного треугольника. Докажите.
18.	У правильного треугольника радиус вписанной окруж-
ности в два раза меньше радиуса описанной окружно-
сти. Докажите.
19.	Сторона правильного вписанного в окружность тре-
угольника разла а. Найдите сторону квадрата, вписан-
ного в эту окружность.
20.	В окружность, радиус которой 4 дм, вписан правильный
треугольник, на стороне которого построен квадрат.
Найдите радиус окружности, описанной около квад-
рата.
21.	Конец валика диаметром в 4 см опилен под квадрат.
Определите наибольший размер, который может иметь
сторона квадрата.
22.	Конец винта газовой задвижки имеет правильную трех-
гранную форму. Какой наибольший размер может
150
иметь каждая грань, если цилиндрическая часть винта
имеет диаметр 2 см?
23.	Докажите, что сторона правильного 8-Угольника вы"
числяется по формуле ав = R	гДе -R — Ра"
диус описанной окружности.
24.	Докажите, что сторона правильного 12-!’гольника LbI'
числяется по формуле а1г = Д1 2 —J/3, где R — ра-
диус описанной окружности.
25.	Найдите стороны правильного пятиугольника и пРа"
вильного 10-угольника, вписанных в окружность ра-
диуса R.
26.	Сторона правильного многоугольника равна а, а ра-
диус описанной окружности R. Найдите радиус впи-
санной окружности.
27.	Сторона правильного многоугольника равна а, а ра-
диус вписанной окружности г. Найдите радиус описан-
ной окружности.
28.	Выразите сторону Ъ правильного описанного много-
угольника через радиус R окружности и сторону а
правильного вписанного многоугольника с тем же чис"
лом сторон.
29.	Выразите сторону а правильного вписанного много-
угольника через радиус R окружности и сторону Ь
правильного описанного многоугольника с тем же
числом сторон.
30.	Впишите в окружность правильный 12-ууольник.
31.	Опишите около окружности правильный 8-угольник.
32.	Вычислите длину окружности, если радиус равен:
1) 10 м; 2) 15 м.
33.	На сколько изменится длина окружности, если радиус
изменится на 1 мм?
34.	Найдите отношение периметра правильного вписан-
ного 8-угольника к диаметру и сравните его с прибли-
женным значением л.
35.	Решите задачу 34 для правильного 12-угольника.
36.	Найдите радиус земного шара, исходя из того, что 1 метр
составляет одну 40-миллионную долю длины экватора.
37.	На сколько удлинился бы земной экватор, если бы
радиус земного шара увеличился на 1 см?
38.	п равных окружностей, расположенных внутри ок-
ружности радиуса R, касаются между собой и данной
окружности. Найдите радиус этих окружностей, если
число их п равно: 1) 3; 2) 4; 3) 6.
39.	Решите предыдущую задачу, если окружности распо-
ложены вне данной окружности.
40.	Шкир имеет в диаметре 1,4 м и делает 80 оборотов в
минуту. Найдите скорость точки на окружности шкива.
6 А. В. Погорелов
Рис. 196
площадь большого квадрата равна сумме площадей малых
квадратов. Так как площадь большого квадрата равна еди-
нице, а число малых квадратов равно 102", то площадь ма-
1
лого квадрата
Так как числа а : — = а  10" и Ъ : — — Ъ • 10"
10"	10"
целые, то стороны прямоугольника можно разбить на целое
число частей, равных На стороне а их будет а  10",
а на стороне Ъ их будет b  10". Проведем через точки де-
ления сторон прямые, параллельные сторонам прямоуголь-
ника. При этом мы получим разбиение прямоугольника на
малые квадраты со стороной —. Число их будет а  10’х
X Ъ  10". Площадь прямоугольника равна сумме площадей
содержащихся в нем малых квадратов. Так как площадь
малого квадрата равна а число их равно аЬ • 102",
то площадь прямоугольника равна аЪ  102" 	= ab.
102п
Пусть теперь хотя бы одна из сторон прямоугольника а
и Ъ выражается бесконечной десятичной дробью. Обозначим
через Bi и с2 приближенные значения числа а с недостатком
и с избытком с точностью до п десятичных знаков. Прибли-
женные значения числа Ь с той же точностью обозначим через
и Ь3. Прямоугольник со сторонами at и имеет площадь
меньшую, чем данный, так как его можно поместить внутрь
164
данного. Прямоугольник со сторонами а2 и Ь2 имеет площадь
большую, чем данный, так как данный прямоугольник можно
поместить внутрь него. По доказанному площадь прямоу-
гольника со сторонами а± и Ьг равна atbi, а площадь пря-
моугольника со сторонами а2 и Ь2 равна а2Ъ2. Таким образом,
площадь S нашего прямоугольника заключена между
и а2Ь2. Так как aybi и а2Ь2 дают приближенное значение ab
с любой наперед заданной точностью, если п достаточно ве-
лико, то S = ab. Итак, площадь прямоугольника вычисляет-
ся по формуле
S = аЬ.
ПЛОЩАДИ ПРОСТЫХ ФИГУР
Найдем площадь параллелограмма. Пусть ABCD — дан-
ный параллелограмм (рис. 197). Если он не является прямоу-
гольником, то один из его углов, А или В, острый. Пусть для
определенности угол А острый, как изображено на рисунке
197. Опустим перпендикуляр АЕ из вернины А на прямую
CD. Площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей па-
раллелограмма ABCD и треугольника ADE.
Опустим перпендикуляр BF из вершины В на прямую
CD. Тогда площадь трапеции АВСЕ равна сумме площадей
прямоугольника ABFE и треугольника BCF. Прямоуголь-
ные треугольники ADE и BCF равны, а значит, имеют рав-
ные площади. Отсюда следует, что площадь параллелог-
рамма ABCD равна площади прямоугольш ка ABFE, т. е.
равна АВ  BF. Отрезок BF называется
высотой, параллелограмма, соответствующей
сторонам АВ и CD.
Итак, площадь параллелограмма равна
произведению его стороны на высоту, про-
веденную к этой стороне.
Найдем площадь треугольника. Пусть
АВС — данный треугольник (рис. 198).
Дополним этот треугольник до параллелог-
рамма ABCD, как указано на рисунке.
Площадь параллелограмма равна сумме пло-
щадей треугольников АВС и CDA. Так как
эти треугольники равны, то площадь парал-
лелограмма равна удвоенной площади тре-
‘65
угольника АВС. Высота
параллелограмма, соответ-
ствующая стороне АВ, рав-
на высоте треугольника
АВС, проведенной к сто-
роне АВ.
Отсюда следует, что пло-
щадь треугольника раина
половин'? произведения его
стороны на высоту, прове-
денную к этой стороне.
Задача (16). Докажите справедливость формулы для
площади треугольника ABC: S = ~АВ  АС  sin А.
Решение. Проведем в треугольнике АВС высоту
BD (рис. 199). Имеем: S = ~^АС ‘	прямоугольного
треугольника ABD BD = АВ • sin а, если угол а острый
(рис. 199, а), BD — АВ sin (180J — а), если угол а тупой
(рис. 199, б). Так как sin (180° — а) = sin а, то в любом
случае BD = АВ sin а. Следовательно, площадь треуголь-
ника S = —АС - АВ sin А.
2
Задача (37). Выведите формулу Герона1 для площади
треугольника:
<5 =Ур(Р — а)(р — Ъ)(р — с) ,
где а, Ь, с — длины стприн треугольника, а р — полз пери-
метр.
Решение. Имеем:
с 1 к •
Л = — ab sin у,
2
где у — угол треугольника, противолежащий стороне с. По
теореме косинусов
са = а2 + Ъг — 2ab cos у.
1 Героя Александрийский — древнегреческий учень"й. и.ившгй в I
в. я. в.
166
Отсюда
а* 4 Ь* — с*
cos v = —!----------
2аЬ
sin2 у = 1 — cos2 у = (1 — cos у) (1 4- cos у) =«
= Л _ °2 + Ь1 — са \ Л а*+ Ь* с»\ _
\	2ab / \	2аЬ /
= 2аЬ — а2 — Ь2 4- с» 2аЬ 4- с2 4- Ь2 — са _
2аЬ	2аЬ
_ с2 — (с — Ь)а . (о 4- Ъ)2 — с2 _
2аЬ	2сЬ
=	a + b)(c + a — b)(a + b — с)(а4-&4-с).
Замечая, что (а + b + с) = 2р, а + b — с — 2р — 2с,
а + с — b = 2р — 2Ь, с — а 4- Ъ = 2р — 2а, получаем:
siny= -2-}Лр(р —а)(р —b)(p —с).
ао
Таким обрезом,
S = у ab sin у = Vр(р — а) (р — ЬЦр — с) •
Найдем площадь трапеции. Пусть ABCD — данная тра-
пеция (рчс. 200). Диагональ трапеции АС разбивает еэ на
два треугольника: АВС и CDA. Следовательно, площадь
трапеции равна сумме площадей этих треугольников. Пло-
щадь треугольника АВС равна АВ  СЕ, площадь треу-
гольника ACD равна i DC  АЕ. Высоты СЕ и AF этих
треугольников равны расстоянию между параллельными пря-
мыми АВ и CD. Это расстояние называется высотой трапеции.
Следовательно, площадь трапзции равна произведению по-
лусуммы ее оснований на высоту.
167
Задача (38). Выведите следующие формулы для ра-
диусов описанной (7?) и вписанной (г) окружностей треу-
гольника:
„ abc	2S
R = — , г =-------,
4S а + Ь + с
где а, Ь, с — стороны треугольника, aS — его площадь.
Решение. Начнем с формулы для R. Как мы знаем,
R — —-—, где а — угол, противолежащий стороне а тре-
2 s’” а
угольника (задача 21 § 11).
Умножая числитель и знаменатель правой части на Ьс
1	,	.	„	г, аЬс
и замечая, что —be sin а = S, получим: R = —.
2	4S
Выведем формулу для г (рис. 201). Площадь треугольника
АВС равна сумме площадей треугольников ОАВ, ОВС и
ОСА-.
S = — сг — аг + — Ьг.
2	2	2
Отсюда
2S
г = —-----.
а -f- b с
ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ ФИГУР
Пусть и Р2 — две подобные простые фигуры. Выясним,
как относятся площади этих фигур. Так как фигуры подобны,
то существует преобразование подобия, при котором фигура
1?! переходит в фигуру F2.
Разобьем фигуру F± на треугольники а;, А', Д'......
Преобразование подобия, переводящее фигуру Ft в Fit
переводит эти треугольники в треугольники А], А2, А3, ...
разбиения фигуры Fa. Площадь фигуры F± равна сумме пло-
щадей треугольникоп AJ, А2, ..., а площадь фигуры F2
равна сумме площадей треугольников Aj, А2, ... .
Если коэффициент подобия равен k, то размеры треуголь-
ника А„ в h раз больше соответствующих размеров треуголь-
ника Ап. В частности, стороны и высоты треугольника Д„
168
в к раз больше, чем соответствующие стороны и высоты тре-
угольника А„. Отсюда следует, что S (А^) = A2 S (А,^).
Складывая эти равенства почленно, получим:
S (FJ = A2S (Л).
Коэффициент подобия к равен отношению соответствую-
щих линейных размеров фигур F2 и Псэтому площади
подобных фигур относятся как квадраты их соответствуй щих
линейных размеров.
ПЛОЩАДЬ КРУГА
Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек
плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного,
от данной точки. Эта точка называется центром круга, а дан-
ное расстояние — радиусом круга. Границей круга является
окружность с тема же центром и радиусом. Найдем формулу
для площади круга.
Прежде всего докажем, что площадь выпуклого многоуголь-
ника, описанного около круга, вычисляется по формуле
S =
2
где р — периметр, т. е. сумма длин сторон многоугольника,
аг — радиус круга.
Проведем отрезки, соединяющие центр круга с вершина-
ми многоугольника (рис. 202). Они разбивают наш много-
угольник на треугольники AjOAj,, А2ОА3, ... . Площадь
многоугольника равна сумме площадей треугольников. Пло-
щади треугольников:
S (АОА2) =	• г, 5 (А2ОА3) = 4 АА3 - г.
Л	а
Складывая площади треугольников,
получим площадь многоугольника:	д3
5 = 4	 г +	• г + ... =
= — (AjA2 + А2А3 + ...) г.
В скобках стоит периметр многоуголь- N /и\
ника. Формула доказана.	V /	\ А
Найдем теперь площадь S круга
радиуса R. Опшпеи около круга пра-	А}
вильный п-угольник Рг и впи—ел в	рис. 202
169
круг правильный n-угольник Р2 (рис.
203). Многоугольник Pj содержит
круг, а следовательно, имеет площадь,
большую площади круга. Многоуголь-
ник Р2 содержится в круге, а поэтому
имеет площадь, меньшую площади кру-
га. Площади многоугольников Р, и Р2:
S', = — ptR, S2 = per,
z	z
где r — радиус окружности, вписанной
в многоугольник Pv a Pj и р2 — пери-
метры многоугольников Pt и Р2.
Пусть Ъ и а — стороны многоугольников Р± и Р2. Из
треугольника АСВ (рис. 203) получаем:
а
. „ АС	Ь 2	, -л 180’
А В =----, или — =------> где а = Z. ВАС =---.
cos а	2 cos а	п
Отсюда nb = —а , т. е. рг = --• Из треугольника О АС по-
cos a	cos а
лучаем: г = ОС — R cos а. Теперь
с 1 R с 1
Si =-р2.-----, <S2 = — р2Р cos а.
2 cos а	2
При достаточно большом п периметр р2 рколь угодно
мал отличается от длины окружности круга, cos а сколь
угодно мало отличается or 1, так как угол а сколь угодно
мал. Следовательно, Si сколь угодно мало отличается от
—, где I — длина окружности круга. По тем же соображениям
2
„	/я „
и S2 сколь угодно мало отличается от —. Площадь круга
S заключена между Sx и S2, поэтому и она сколь угодно ма-
ло отличается от —. А это может быть только в том случае,
когда S = —.
Итак, площадь круга вычисляется по формуле
S = — = лЯ2.
2
Круговым сектором называется часть круга, лежащая
внутри соответствующего центрального угла (рис. 204).
170
Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:
яЯа
360 а'
8—
где R — радиус круга, а а — градусная мера соответствую-
щего центрального угла.
Круговым сегментом называется общая часть круга и полу-
плоскости (рис. 205). Площадь сегмента, не равного полукру-
гу, вычисляется по формуле
S =----а + S..
360 — д*
где а — градусная мера центрального угла, который содержит
дугу этого кругового сегмента, a S& — площадь треуголь-
ника с вершинами в центре круга и концах радиусов, огра-
ничивающих соответствующий сектор. Знак «—» надо брать,
когда а < 180°, а знак «т» надо брать, когда а > 180°.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Сформулируйте свойства площади.
2.	Докажите, что площадь прямоугольника со сторонами
а и Ъ равна ab.
3.	Докажите, что площадь параллелограмма равна про-
изведению его стороны на высоту, проведенную к
этой стороне.
4.	Докажите, что площадь треугольника равна полоьине
произведения его стероны на высоту, проведенную
к этой стороне.
5.	Докажите, что площадь трапеции равна произведению
полусуммы оснований на высоту.
6.	Докажите, что площадь описанного выпуклого много-
угольника равна произведению его полупериметра на
радиус круга.
7.	Как относятся площади подобных фигур?
8.	Выведите формулу площади круга.
9.	По каким формулам вычисляются площади кругового
сектора и кругового сегмента?
171
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Докажите, что сумма площадей квадратов, постро энных
на катетах прямоугольного треугольника, равна пло-
щади квадрата, построенного на гипотенузе.
2.	Стороны двух участков земли квадратной формы равны
100 м и 150 м. Найдите сторону квадратного участка,
равновеликого им.
3.	Найдите площадь квадрата S по его диагонали а.
4.	Во сколько раз площадь квадрата, описанного около
окружности, больше площади квадрата, вписанного
в ту же окружность?
5.	Как изменится площа ць квадрата, если каждую его
сторону увеличить в 3 раза?
6.	Во сколько раз надо уменьшить стороны квадрата, что-
бы его площадь уменьшилась в 25 раз?
7.	Чему равны стороны прямоугольника, если они отно-
сятся как 4:9, а его площадь 144 м2?
8.	Чему равны стороны прямоугольника, если его пери-
метр 74 дм, а площадь 3 м2?
9.	Параллелограмм и прямоугольник имеют одинаковые
стороны. Найдите острый угол параллелограмма, если
площадь его равна половине площади прямоугольника.
10.	Квадрат и ромб имеют одинаковые периметры. Какая
из фигур имеет большую площадь? Объясните ответ.
11.	Найдите п ющадь ромба, если его высота 10 см, а ост-
рый угол 30°.
12.	Найдите площадь ромба, если его высота 12 см, а мень-
шая диагональ 13 см.
13.	Докажите, что площадь ромба равна половине произ-
ведения диагоналей.
14.	Найдите сторону ромба, зная, что его диагонали от-
носятся как 1 : 2, а площадь ромба равна 12 см2.
15.	Докажите, что если диагонали выпуклого четырех-
угольника перпендикулярны, то его площадь равна
половине произведения диагоналей.
16.	Докажите справедливость формулы для площади треу-
гольника АВС:
/
S= — АВ- AC sin А.
2
17.	У треугольника АВС АС = а, ВС = Ь. При каком
угле С площадь треугольника будет наибольшей?
18.	Найдите площадь равнобедренного треугольника, у
которого боковые стороны равны 1 м, а угол между
ними равен 70°.
19.	Найдите площадь параллелограмма, если его стороны
2 та и 3 м, а один из углов равен 70°.
172
20.	Наедите площадь треугольника по стороне а и приле-
жащим ь ней углам а и ₽.
21.	Докажите, что площадь параллелограмма равна полови-
не произведения диагоналей на синус угла между ними.
22.	Докажите, что среди всех параллелограммов с данны-
ми диагоналями наибольшую площадь имеет ромб.
23.	Разделите данный треугольник на три равновеликих
части прямыми, проходящими через одну вершину.
24.	Решите предыдущую задачу, взяв вместо треугольника
параллелограмм.
25.	Чему равна площадь равнобедренного треугольника,
если его основание 120 м, а боковая сторона 100 м?
26.	Найдите площадь равнобедренного прямоугольного тре-
угольника с гипотенузой а.
27.	У треугольника со сторонами 8 см и 4 см проведены вы-
соты к этим сторонам. Высота, проведенная к стороне
8 см, равна 3 см. Чему равна высота, проведенная к
стороне 4 см?
28.	Докажите, что стороны треугольника обратно пропор-
циональны его высотам, т. е.
„ . . . „ 1 1 1
а : о : с = — : — : —.
29.	Найдите площадь равностороннего треугольника со
стороной а.
30.	Найдите площадь правильного треугольника, вписан-
ного в круг радиуса Л.
31.	Чему равна площадь прямоугольного треугольника,
если его высота делит гипотенузу на отрезки 32 см и
18 см?
32.	Чему равны катеты прямоугольного треугольника, ес-
ли его гипотенуза равна 73 см, а площадь равна 1320 см2?
33.	Найдите площадь треугольника по трем сторонам: 13,
14, 15.
34.	Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами
13, 14, 15.
35.	Найдите площадь трапеции, у которой параллельные
стороны 60 см и 20 см, а непараллельные — 13 см и
37 см.
36.	В равнобокой трапеции большее основание равно 44 м,
боковая сторона 17 м и диагональ 39 м. Найдите пло-
щадь трапеции.
37.	Выведите формулу Герона для площади треугольника:
$ = КХр —°) (р —*») (/> — «) »
где а, Ь, с — длины сторон треугольника, ар — полу-
периметр.
1/3
38.	Выведите следующие формулы для ра-
диусов описанной (J?) и вписанной
(г) окружностей треугольника:
_ abc	2S
R = ~г =-----------.
4S	а + Ъ + с
где а, Ь, с — стороны треугольника,
aS — его площадь.
39.	Найдите радиусы описанной (Р) и впи-
санной (г) окружностей для треуголь-
ника со сторона: щ: 1) 13, 14, 15;
2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7.
40.	Боковая сторона равнобедренного треугольника равна
6 см, высота равна 4 см. Найдите радиус описанной
окружности.
41.	Докажите, что в прямоугольном треугольнике радиус
вписанной окружности равен половине разности между
суммой катетов и гипотенузой.
42.	Катеты прямоугольного треугольника равны 40 см и
42 см. Найдите радиусы описанной и вписанной окруж-
ностей.
43.	Найдите площадь круга, если длина окружности I.
44.	Найдите площадь кругового кольца (рис. 206), заклю-
ченного между двумя окружностями с одним и тем же
центром и радиусами: 1) 4 см и 6 см; 2) 5,5 м и 6,5 м;
3)	а и Ь (а > &).
45.	Во сколько раз увеличится площадь круга, если его
диаметр увеличить: 1) в 2 раза ; 2) в 5 раз; 3) в т раз?
46.	Найдите отношение площади круга к площади вписан-
ного в него: 1) квадрата; 2) правильного треугольника;
3) правильного шестчугольн лка.
47.	Найдите отношение площади круга, вписанного в пра-
вильный треугольник, к площади круга, описанного
около него.
48.	Найдите отношение площади круга, описанного около
квадрата, к площади круга, вписанного в него.
49.	Нлидите площадь сектора круга радиуса Л, если соот-
ветствующий этому сектору центральный угол равен:
1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
50.	Дана окружность радиуса R. Найдите площадь секто-
ра, соответствующего дуге с длиной, равной: 1) R", 2) I.
51.	Наедите площадь кругового сегмента с основанием
„ а
и высотой —.
2
52.	Найдите площадь той части круга, которая располо-
жена вне вписанного в него: 1) квадрата, 2) правильного
треугольника, 3) правильного шестиугольника. Ра-
диус круга R.
9 класс
СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 14. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изу-
чаются фигуры в пространстве. В стереометрии так же, как
и в планиметрии, свойства геометрических фигур устанав-
ливаются нуте I доказательства соответствующих теорем.
При этом отправными являются свойства основных геометри-
ческих фигур, выражаемые аксиомами. Основными фигурами
в пространстве являются точка, прямая и плоскость. Вве-
дение нового геометрического образа — плоскости — застав-
ляет расширить систему аксиом. А именно мы вводим группу
аксиом С, которая выражает основные свойства плоскостей в
пространстве. Эта группа состоит из следующих трех ак-
сиом:
Cv Какова бы ни была плоскость, существуют точки, при-
надлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то
они пересекаются по прямой.
Этой аксиомой утверждается, что если две различные
плоскости аир имеют общую точку, то существует прямая с,
принадлежащая каждой из этих плоскостей. При этом если
точка С принадлежит обеим плоскостям, то она принадлежит
прямой с.
С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то
через них можно провести плоскость, и притом только
одну.
Это значит, что если две различные прямые а и Ъ имеют
общую точку С, то существует плоскость у, содержащая
прямые а и Ъ. Плоскость, обладающая этим свойством, един-
ственна.
Таким образом, састема аксиом стереометрии состоит
из аксиом планиметрии и группы аксиом С. Для удобства
изложения напомним аксиомы планиметрии первой
группы.
I,. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принад-
лежащие этой прямой, и течки, не принадлежащие ей.
It. Через люиые две точки можно провести прямую, и толь-
ко одну.
17J
НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ АКСИОМ СТЕРЕОМЕТРИИ
Теорема 14.1. Через прямую и не лежащую на ней точ-
ку можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть а — данная прямая и
В — не лежащая на ней точка (рис. 207). Отметим на прямой
а какую-нибудь точку А. Такая точка существует по аксиоме
I*. Проведем через точки А и В прямую Ъ (аксиома 12). Пря-
мые а и Ь различны, так как точка В прямой Ъ не лежит на
прямой а. Прямые а и Ъ имеют общую точку А. Проведем
«врез прямые а и Ь плоскость а (аксиома Сз). Эта плоскость
проходит через прямую а и точку В.
Докажем теперь, что плоскость а, проходящая через пря-
мую а и точку В, единственна. Допустим что существует
другая, отличная от а, плоскость а', проходящая через
прямую а и точку В. По аксиоме С2 плоскости а и а’, буду-
чи различными, пересекаются по прямой. Следовательно, лю-
бые три общие точки плоскостей а и а' лежат на прямой.
Но точка В и две точки прямой а заведомо не лежат на одной
прямой. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана пол-
ностью.
Задача (5). Четыре точки не лежат в одной плоско-
сти. Могут ли какие-нибудь три из них лежать на одной пря-
мой? Объясните ответ.
Решение. Допустим, что какие-нибудь три точки
лежат на одной прямой. Проведем через эту прямую и чет-
вертую точку плоскость (теорема 14.1). В этой плоскости ле-
жат все четыре точки. А это противоречит условию задачи. Зна-
чит, никакие три точки не могут лежать на одной прямой.
Теорема 14.2. Если две точки пря-
мой принадлежат плоскости, то вся пря-
мая принадлежит этой плоскости.
Доказательство. Пусть а —
данная прямая и а — данная плоскость
(рис. 208). По аксиоме It существует
точка А, не лежащая на прямой а. Про-
ведем через прямую а и течку А плос-
кость а'. Если плоскость а' совпадает с
а, то плоскость а содержит прямую а,
что и утверждается теоремой. Если пло-
скость а' отлична от а, то эти плоско-
сти пересекаются по прямой а , содер-
жащей две точки прямой а. По аксиоме
I., прямая а' совпадает с а и, следова-
тельно, прямая а лежит в плоскости а.
Теорема доказана.
Из теоремы 14.2 следует, что плос-
кость и не лежащая на ней прямая либо не
Рпс. 207
176
пересекаются, либо перес каются в одной
точке.
Задача (7). Даны две различные
прямые, пересекающиеся в точке А. До-
кажите, что все прямые, пересекающие
две данные и не проходящие через точку
А, лежат в одной плоскости.
Р е ш е н и е. Проведем через данные
прямые а и Ь плоскость а (рис. 209). Эго
можно сделать по аксиоме С3. Прямая с,
пересекающая данные прямые, имеет с
плоскостью а две общие точки М и N
(точки пересечения с данными прямыми).
По теореме 14.2 эта прямая должна ле-
жать в плоскости а.
Теорема 14.3. Через три точки, не лежащие на прямой,
можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть А, В, С — три данные
точки, не лежащие на одной прямой (рис. 210). Проведем
прямые АВ и АС; они различны, так как точки А, В, С не
лежат на одной прямой. По аксиоме С3 через прямые АВ и
АС можно провести плоскость а. Эта плоскость содержит
точки А,В,С.
Докажем, что плоскость а, проходящая через точки А,
В, С, единственна. Действительно, плоскость, проходящая
через точки А, В, С, по теореме 14.2 содержит прямые АВ
и АС. А по аксиоме С3 такая плоскость единственна.
Задача (11). Можно ли провести плоскость через три
точки, если они лежат на одной прямой? Объясните ответ.
Решение. Пусть А, В, С — три точки, лежащие на
прямой а. Возьмем точку D, не лежащую на прямой а (аксио-
ма IJ. Через точки А, В, D можно провести плоскость (тео-
рема 14.3). Эта плоскость содержит две точки прямой а —
точки А и В, а значит, содержит и точку С этой прямой
(теорема 14.2). Следовательно, через три точки, лежащие
на одной прямой, всегда можно провести плоскость.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Что такое стереометрия?
2.	Сформулируйте аксиомы группы С.
3.	Докажите, что через прямую и не лежащую на ней точ-
ку можно провести плоскость, и притом только одну.
4.	Докажите, что если дзе точки прямой принадлежат
плоскости, то вся прямая принадлежит плоскости.
5.	Докажите, что через три точки, не лежащие на одной
прямой, можно провести плоскость, и притом только
одну.
177
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Дока-
жите, что прямые АВ и CD не пересекаются.
2.	Можно ли через точку пересечения двух данных пря-
мых прсвэсти третью прямую, не лежащую с ними в
одной плоскости? Объясните ответ.
3.	Точки А, В, С лежат в каждой из двух различных пло-
скостей. Докажите, что эти точки лежат на одной прямой.
4.	Даны три различные попарно пересекающиеся плоско-
сти. Докажите, что если две из прямых пересечения
этих плоскостей пересекаются, то третья прямая про-
ходит через точку их пересечения.
5.	Четыре точки не лежат в одной плоскости. Могут ли
какие-нибудь три из них лежать на одной прямой?
Объясните ответ.
6.	Даны две не пересекающиеся плоскости. Докажите,
что прямая, пересекающая одну из ьгих плоскостей,
пересекает и другую.
7.	Даны две различные прямые, пересекающиеся в точке
А. Докажите, что все прямые, пересекающие данн ле и
не проходящие через точку А, лежат в одной плоскости.
8.	Докажите, уто все прямые, пересекающие данную пря-
мую и проходящие через данную точку вне прямой,
лежат в одной плоскости.
9.	Докажите, что если прямые АВ и CD не лежат в едной
плоскости, то прямые АС и BD также не лежат в одной
плоскости.
10.	Даны четыре точки, не лежащие в одной плоскости.
Сколько можно провести различных плоскостей, про-
ходящих через три из этих точек? Объясните ответ.
11.	Можно ли провести плоскость через три точки, если
они лежат на одной прямой? Объясните ствет.
12.	Можно ли через три точки, лежащие на одной прямой,
провести две различные плоскости? Объясните ответ.
13.	Даны четыре точки. Известно, что прямая, проходящая
через любые две из этих точек, не пересекается с пря-
мой, проходящей через другие две точки. Докажите,
что данные четыре точки не лежат в одной плоскости.
§ 15. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
ПАР АЛЛЕЛЕ НЫЕ ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
Две прямые в пространстве называются параллельными,
если они лежат в одной плоскости и не пеоесекают< я. Пря-
мые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости,
называются скрещивающимися.
178
Задача (1). Докажите, что все
прямые, пересекающие две данные
параллельные прямые, лежат в одной
плоскости.
Решение. Так как данные пря-
мые а и Ъ параллельны, то через них
можно провести плоскость (рис. 211).
Обозначим ее а. Прямая с, пересека-
ющая данные параллельные прямые,
имеет с плоскостью а две общие точ-
ки — точки пересечения с данными
прямыми. По теореме 14.2 эта прямая
лежит в плоскссти а. Итак, все пря-
мые, пересекающие две данные парал-
лельные прямые, лежат в одной пло-
скости — плоскости а.
Т г о р е м а 15.1. Через точку вне
данной прямой можно провести прямую,
параллельную этой прямой, и притом
только одну.
Доказате л ь с т в о. Пусть
а — данная прямая и А — точка, не
лежащая на этой прямой (рис. 212).
Проведем через прямую а я точку А
плоскость а. Прочедем через точку А
в плоскости а прямую а1г параллель-
ную а. Докажем, что прямая щ, параллэчьная а, единственна.
Допустим, что существует другая прямая а2, проходящая
через точку А и параллельная прямой а. Через пря-
мые а и а2 можно провести плоскость а2. Плоскость а2 проходит
через прямую а и точку А; следовательно, по теореме 14.1
она совпадает с а. Теперь по аксиоме параллельных прямые
щ и а2 совпадают. Теорема доказана.
Задача (2). Прямые а и Ь пересекаются. Докажите,
что все прямые, параллельные прямой Ъ и пересекающие
прямую а, лежат в одной плоскости.
Решение. Пусть с — прямая, параллельная прямой
Ь и пересекающая прямую а (рис. 213). Проведем через пря-
мые а я Ъ плоскость а. Проведем через точку С пересечения
прямых а и с в плоскости ct прямую с , параллельную Ь.
По теореме 15.1 через точку С можно провести только одну
прямую, параллельную Ь. Отсюда следует, что прямая с
совпадает с прямой с', а значит, лежит в плоскости а. Итак,
любая прямая с, параллельная Ь и пересекающая прямую
а, лежит в плоскости а. Что и требо валось доказать.
Теорема 15.2. Две прямые, параллельные третьей пря-
мой, параллельны.
179
Доказательство. Пусть
прямые Ь и с параллельны прямой а.
Докажем, что прям! ie Ъ и с парал-
лельны.
Случай, когда прямые а, Ь, с ле-
жат в одной плоскости, был рассмот-
рен в планиметрии. Поэтому предпо-
ложим, что наши прямые не лежат в
одной плоскости. Пусть р— плоскость,
в которой лежат прямые а и b, а у—
плоскость, в которой лежат прямые а и
с. Плоскости Р и у различны (рис. 214).
Отметим на прямой Ь какую-нибудь
точку В и проведем плоскость че-
рез прямую с и точку В. Она пересе-
чет плоскость р по прямой Ь1#
Прямая bj не пересекает плоскость -у.
Действительно, точка пересечения дол-
жна принадлежать прямой а, так как
прямая bj лежит в плоскости р. С другой стороны, она должна
лежать и на прямой с,так как прямая b! лежит в плоскости
Но прямые о ис как параллельные не пересекаются.
Так как прямая bi лежит в плоскости р и не пересекает
прямую а, то она параллельна а, а значит, совпадает с Ь
по аксиоме параллельных. Таким образом, прямая Ь, совпа-
дая с прямой blt лежит в одной плоскости с прямой с (в плос-
кости Yi) и не пересекает ее. Значит, прямые Ь и с параллель-
ны. Теорема доказана.
Задача (13). Докажите, что середины сторон про-
странственного четырехугольника являются вершинами па-
раллелограмма .
Решение. Пусть ABCD — данный пространствен-
ный четырехугольник (вершины четырехугольника не ле-
жат в одной плоскости) (рис. 215). Пусть Ах, Вх, Clt Dx —
середины его сторон. Тогда АХВХ — средняя линия треуголь-
ника АВС, параллельная стороне AC, CXDX — средняя ли-
ния треугольника ACD, тоже параллельная стороне АС.
По теореме 15.2 прямые -A!#! и CXDX параллельны, а значит,
лежат в одной плоскости. Точно так же доказывается парал-
лельность прямых AXDX и ВХСХ. Итак, четырехугольник
A1B1C1JD1 лежит в одной плоскости и его противолежащие
сгороны параллельны. Следовательно, он — параллелограмм.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Прямая и плоскость называются параллельными, если
они не пересекаются.
Теорема 15 3. Если прямая, не принадлежащая плоско-
сти, параллельна какой-нибудь прямой в этой плос-
180
кости, то она параллельна и самой плос-
кости.
Доказательство. Пусть а—
плоскость, а — не лежащая в ней пря-
мая и aL — прямая в плоскости а, парал-
лельная прямой а. Проведем плоскость
ах через прямые а и аг (рис. 216). Она
отлична от а, гак как прямая а не лежит
в плоскости а. Плоскости а и tZj пере- Рис. 216
секаются по прямой аг. Если бы прямая
а пересевала плоскость а, то точка пере-
сечения принадлежала бы прямой а1. Но 
это невозможно, так как прямые а и aL
параллельны. Итак, прямая а не пересе-
кает плоскость а, а значит, параллельна
плоскости а. Теорема доказана.
Задача (16). Докажите, что через
любую из двух скрещивающихся пря-
мых можно провести плоскость, парал- Рис. 217
лельную другой прямой.
Решение. Пусть а и b — две скрещивающиеся пря-
мые (рис. 217). Возьмем на прямой а любую точку и прове-
дем через нее прямую Ь', параллельную прямой Ь. Прове-
дем через прям ле а и Ъ' плоскость а. По теореме 15.3 она
будет параллельна прямой Ь.
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
некоторой пря-
Рис. 218
Две плоскости называются параллельными, если они не
пересекаются.
Теорема 15.4. Две плоскости параллельны, если одна из
них параллельна двум пересекающимся прямым, лежащим
в другой плоскости.
Доказательство. Пусть аир — данные плос-
кости и &2 — Две пересекающиеся прямые в плоскости р,
параллельные плоскости ос (рис. 218). Плоскости аир раз-
личны. Допустим, что они пересекаются по
мой с. Прямые Ь1 и &2 не пересекают плос-
кость а; следовательно, не пересекают
прямую с этой плоскости. Но это невоз-
можно по аксиоме параллельных, так как
прямые bit b2 ис лежат в одной плос-
кости — плоскости р. Мы пришли к про-
тиворечию. Теорема доказана.
Зад а ч а (19). Даны Две скрещиваю-
щиеся прямые. Как провести через них
две параллельные плоскости?
181
Рис. 220
Рис. 219
Решение. Пусть а и & — данные скрещивающиеся
пряьдыэ (рис. 219). Через произвольную течку прямой а
проведем прямую & , параллельную Ь, а через произвольную
точку прямой Ъ проведем прямую а', параллельную а. Теперь
проведем две плоскости—одну через прямые а и Ь', а другую
через прямые & и о'. По теореме 15.4 эти плоскости параллель-
ны. В первой из них лежит прямая а, а во второй — прямая Ь.
Тес рема 15.5. Через точку вне данной плоскости мож-
но привести плоскость, параллельную данной, и притом толь-
ко одну.
Доказательство. Проведем в данной плоскости
«"какие-нибудь две пересекающиеся прямые а и Ъ (рис. 220).
Через данную точку А проведем параллельные им прямые
аг и Плоскость р, проходящая через прямые и Ь1г по
теореме 15.4 параллельна плоскости а.
Допустим, что через точку А проходит другая плоскость—
Р', параллельная плоскости а. Плоскость параллельных
прямых а и ах пересекает плоскость Р' по прямой а'. Пря-
мая а' не пересекает прямую а, так как она не пересекает
содержащую а плоскость а. Поэтому прямая а' параллельна
прямой а п, значит, по аксиоме параллельных совпадает с
прямой Я]. Плоскость параллельных прямых & и 2ц пересекает
плоскость Р' по прямой Ь'. Прямая Ь' не пересекает прямую Ъ.
Поэтому прямая Ь' параллельна прямой Ъ, а значит, совпадает
с прямой bv. Так как по аксиоме Сз через прямые и 2>i можно
провести только одну плоскость, то плоскость р' совпадает с
плоскостью р. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Задача (23). Плоскости аир параллельны плоскости у.
Могут ли плоскости аир пересекаться?
Решение. Плоскости а и р не могут пересекаться. Если
бы плоскости аир имели общую тс чку, то через эту точку
проходили бы две плоскости (а и Р), параллельные плос-
кости у. А это противоречит теореме 15.5.
182
Т е о р ема 15.6. Если две парал-
лельные плоскости пересекаются треть-
ей, то прямые пересечения параллельны
(рис.221).
Доказательство. Согласно
определению паралл. льные прямые —
это прямые, которые лежат в одной
плоскости и не пересекаются. Наши
прямые лежат в одной плоскости — се-
кущей плоскости. Они не пересекают-
ся, так как не пересекаются содержа-
щие их параллельные плоскости. Зна-
чит, прямые параллельны. Теорема
доказана.
Задача (33). Даны две параллельные плоскости
и а2 и точка А, не лежащая ни в одной из этих плоскостей.
Через . точку А проведена произвольная прямая. Пусть
Хг и Х2 — точки пересечения ее с плоскостями а, и а4. До-
кажите, что отношение длин отрезков АХ2 : АХ2 не зависит
от взятой прямой.
Решение. Проведем через точку А другую прямую
и обозначим через и Y2 точки пересечения ее с плоско-
стями at и а2 (рис. 222). Проведем через прямые АХ2 и
плоскость. Она пересечет плоскости at и а2 по параллельным
прямым X2Y2 и X2Y2 (теорема 15.6). Отсюда следует подобие
треугольников AXjYt и AXZY2. А из подобия треугольников
следует пропорция
АА\ _ AY,
АА2 ~ AY2
т. е. отношения АХг: АХ2 и AY L : AY2 одинаковы для обеих
прямых.
Теорема 15.7 Отрезки параллельных прямых, заклю-
ченные между двумя параллельными плоскостями, равны.
Доказательство. Пусть и а2 — параллельные
плоскости, а и b — пересекающие их параллельные пря-
Рис. 223
183
мые, Ац As и Blt В2—точки пересечения прямых с плос-
костями (рис. 223). Проведем через прямые а и b плоскость.
Она пересекает плоскости и а2 по параллельным прямым
ALB± и АаВ2. Четырехугольник А1В1В2А2 — параллелог-
рамм, так как у него противолежащие стороны параллельны.
А у параллелограмма противолежащие стороны равны. Зна-
чит, AjAs = В^. Теорема доказана.
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
НА ПЛОСКОСТИ
Для изображения пространственных фигур на плоскости
обычно пользуются параллельным проектированием. Этот спо-
соб изображения фигуры состоит в следующем. Берем произ-
вольную прямую й, пересекающую плс жость чертежа, и прово-
дим через произвольную точку А фигуры прямую, параллель-
ную й. Точка Ах пересечения этой прямой с плоскостью чертежа
будет изображением точки А (рис. 224). Построив таким обра-
зом изображение каждой точки фигуры, получим изображение
самой фигуры. Такой способ изображения пространственной
фигуры на плоскости соответствует зрительному восприятию
фигуры при рассматривании ее издали.
Отметим некоторые свойства изображения фигуры на
плоскости, вытекающие из описанного ее построения.
Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на пло-
скости чертежа отрезками (рис. 225). Действительно, все
прямые, проектирующие точки отрезка АС, лежат в одной
плоскости, пересекающей плоскость чертежа а по прямой
АгСк. Произвольная точка В отрезка АС изображается точкой
BL отрезка AjCj.
Замечание. В только что доказанном свойстве и да-
лее предполагается, конечно, что проектируемые отрезки не
параллельны направлению проектирования.
Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоско-
сти чертежа параллельными отрезками (рис. 226). Дейст-
184
вительно, пусть АС и А'С— параллель-
ные отрезки фигуры. Прямые Жс\ и
AiCi параллельны, так как они полу-
чаются при пересечении параллельных
плоскостей с плоскостью а. Первая
из этих плоскостей проходит через пря-
мые АС и AAjt а вторая — через пря-
мые А'С и А'А1.
Отношение отрезков одной прямой
или параллельных прямых сохраняется
при параллельном проектировании.
Покажем, например, что (рис. 227)
ЛД __ Л1В1	. .
ВС В1С1 	1 7
Проведем через точку В прямую, параллельную А^С^
Треугольники ВАА2 и ВСС2 подобны. Из подобия треуголь-
ников следует пропорция (•).
Задача (39). Дана параллельная проекция треуголь-
ника. Как построить проекции медиан этого треуголь-
ника?
Решение. При параллельном проектировании со-
храняется отношение отрезков прямой. Поэтому середина
стороны треугольника проектируется в середину проекции
этой стороны. Следовательно, проекции медиан треуголь-
ника будут медианами его проекции.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Какие прямые в пространстве называются параллель-
ными?
2.	Какие прямые называются скрещивающимися?
3.	Докажите, что через точку вне данной прямой можно
провести прямую, параллельную этой прямой, и при-
том только одну.
4.	Докажите, что две прямые, параллельные третьей, па-
раллельны.
5.	Что значит: прямая и плоскость параллельны?
6.	Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая
параллельны, если в плоскости найдется прямая, па-
раллельная данной прямой.
7.	Какие плоскости называются параллельными?
8.	Докажите, что две плоскости параллельны, если одна
из них параллельна двум пересекающимся прямым,
лежащим в другой плоскости.
9.	Докажите, что через точку вне данной плоскости можно
провести плоскость, параллельную данной, и притом
только одну.
185
10.	Докажите, что если две параллельные плоскости пере-
секаются третьей, то прямые пересечения парал-
лельны.
11.	Докажите, что отрезки параллельных прямых, зак-
люченные между двумя параллельными плоскостями,
равны.
12.	Перечислите свойства параллельного проектирования.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Докажите, что все прямые, пересекающие две данные
параллельные прямые, лэжат в оцн эй плоскости.
2.	Прямые а и & пересекаются. Докажите, что все пря-
мые, параллельные прямой Ъ и пересекающие прямую
а, лежат в одной плоскости.
3.	Докажите, что если плоскость пересекает одну из двух
параллельных прямых, то она пересекает и другую.
4.	Через концы отрезка АВ и его середину М проведены
параллельные прямые, пересекающие некоторую пло-
скость в точках Alt Вг и Мх. Найдите длину отрезка
MMlt если отрезок АВ не пересекает плоскость и если:
1) АА. =5 м, BBX=7 м; 2) аА l =3v6 дм, BBl = 4,8 дм;
3) AAl = 8,3 см, ВВХ = 4,1 см; 4) АА = a. ВВХ = b.
5.	Решите предыдущую задачу при условии, что отрезок
АВ пересекает плоскость.
6.	Через конец А отрезка АВ проведена плоскость. Че-
рез конец В и точку С этого отрезка проведены парал-
лельные прямые, пересекающие плоскость в точках Вх и
Сх. Найдите длину отрезка ВВХ, если: 1) ССХ = 15 см,
АС:ВС =2: 3; 2) ССХ=8,1 см, АВ : АС=11 : 9; 3) АВ =
= 6 см, АС : CCt = 2 : 5; 4) АС = а, ВС = &, ССГ =с.
7.	Даны параллелограмм ABCD и не пересекающая его
плоскость. Через вершины параллелограмма прове-
дены параллельные прямые, пересекающие данную
плоскость в точках Alt BL, Ci,Dt. Найдите длину отрезка
DDL, если: 1) AAL =2 м, ВВ, =3 м, CCt =8 м; 2) ААХ =4 м,
ВВХ = 3 м, CCL = 1 м; 3) ААХ = a, BBi=b, ССх=с.
8.	Прямые а и & не лежат в одной плоскости. Можно ли про-
вести прямую с, параллельную прямым а и &? Объясните
ответ.
9.	Т эчки А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Дока-
жите, что прямая, проходящая через середины отрез-
ков АВ и ВС, параллельна прямой, проходящей через
середины отрезков AD и CD.
Ю. Докажите, что середины сторон пространственного че-
тырехугольника являются вершинами параллелограмма.
11.	Даны четыре точки А, В, С, D, не лежащие в одной плос-
кости. Докажите, что прямые, соединяющие середины от-
186
резков АВ и CD, АС и BD, AD и ВС, пересекаются в одной
точке.
12.	Дан треугольник АВС. Плоскость, параллельная пря-
мой АВ, пересекает сторону АС этого треугольника
в точке Л], а сторону ВС — в точке Вх. Найдите дли-
ну отрезка Л1В1, если: 1) АВ = 15 см, ААг : АС =
= 2:3; 2) АВ = 8 см, АА} : А^С =5:3; 3) BjC =
= 10 см, АВ: ВС.= 4 : 5; 4) AAL = а, АВ = Ь, А,С = с.
13.	Через данную точку проведите прямую, параллельную
каждой из двух данных пересекающихся плоскостей.
14.	Докажите, что если прямые АВ и CD скрещивающиеся,
то прямые АС и BD тоже скрещивающиеся.
15.	Прямые АВ и CD пересекаются. Могут ли прямые
АС и BD скрещивающимися?
16.	Докс.жите,что через любую из двух скрещивающихся пря-
мых можно провести плоскость, параллельную другой
прямой.
17.	Докажите, что если две плоскости, пересекающиеся по
прямой а, пересекают плоскость а по параллельным
прямым, то прямая а параллельна плоскости а.
18.	Докажите, что если прямая пересекает одну из двух
параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
19.	Даны две скрещивающиеся прямые. Как провести
через них две параллельные плоскости?
£0. Через данную точку пространства проведите прямую,
пересекающую каждую из двух скрещивающихся пря-
мых. Всегда ли этс возможно?
21.	Докажите, что геометрическое место середин отрезков с
концами на двух скрещивающихся прямых есть'плоскость.
22.	Даны четыре тгчки А, В, С и D, не лежащие в одной
плоскости. Докажите, что любая пл эскость, парал-
лельная прямым АВ и CD, пересекает прямые АС,
AD, BD и ВС в вершинах параллелограмма.
23.	Плоскости аир параллельны плоскости у. Могут ли
плоскости аир пересекаться?
21.	Плоскости аир пересекаются. Докажите, что любая
плоскость у пересекает хотя бы одну из плоскостей а, р.
25.	Докажите, что все прямые, проходящие через данную точ-
ку параллельно данной плоскости, лежат в одной плоскости.
23.	Через данную точку проведите плоскость, параллель-
ную каждой из двух пересекающихся прямых» Всегда
ли это возможно?
27.	Параллелограммы ABCD и ABCxDy лежат в разных
плоскостях. Докажите, что четырехугольник CDD^i
тоже параллелограмм.	>
23. Через вершины параллелограмма ABCD, лежащего в
одной из двух параллельных плоскостей, проведены
паралл эльные прямые, пересет яющпе вторую плоскость
187
в точках -Alf Byt Clt Dt. Докажите, что четырехуголь-
ник AiB1ClDl тоже параллелограмм.
29.	Через вершины треугольника АВС, лежащего в одной из
двух параллельных плоскостей, проведены параллельные
прямые, пересекающие вторую плоскость в точках Аг, Blt
Докажите равенство треугольников АВС и A1-BtC'1.
30.	Три прямые, проходящие через одну точку, пересекают
данную плоскость в точках А, В, С, а параллельную
ей плоскость в точках AIt Blt С1. Докажите подобие
треугольников ЛВС и А1В1Сг.
31.	Докажите, что если четыре прямые, проходящие через
точку А, пересекают плоскость а в вершинах паралле-
лограмма, то они пересекают любую плоскость, па-
раллельную а и не проходящую через А, тоже в вер-
шинах параллелограмма.
32.	Даны две параллельные плоскости. Через точки А и
В одной из этих плоскостей проведены параллельные
прямые, пересекающие вторую плоскость в точках Ах
и By. Чему равен отрезок А1В1, если АВ = о?
33.	Даны две параллельные плоскости aL и а2 и точка А,
не лежащая ни в одной из этих плоскостей. Через точ-
ку А проведена произвольная прямая. Пусть Ху и
Х2 — точки пересечения ее с плоскостями а.у и а2.
Докажите, что отношение длин отрезков АХу : АХЪ не
зависит от взятой прямой.
34.	Точка А лежит вне плоскости а, X — произвольная
точка плоскости а, X' — точка отрезка АХ, делящая
его в отношении т : п. Докажите, что геометрическое
место точек X' есть плоскость, параллелиая плоскости а.
35.	Даны три параллельные плоскости: ах, а2, «з- Ху,
Х2, Х3 — точки пересечения этих плоскостей с про-
извольной прямой. Докажите, что отношение длил от-
резков ХуХ2: Х2Х3 не -зависит от прямой, т. е. оди-
наково для любых двух прямых.
36.	Даны четыре параллельные прямые. Докажите, что
если какая-нибудь плоскость пересекает эти прямые
в вершинах параллелограмма, то любая плоскость, не
параллельная данным прямым, пересекает их в верши-
нах некоторого параллелограмма.
37.	Даны две параллельные плоскости, пересекающая их
прямая и окружность в одной из плоскостей. Через
каждую точку X окружности проводится прямая, па-
раллельная данной прямой и пересекающая вторую
плоскость в некоторой точке X'. Что представляет со-
бой геометрическое место течек X"i Объясните ответ.
38.	Даны две параллельные плоскости, т< гка вне этих
плоскостей и окружность в одной из плоскостей. Через
каждую точку X окружности и данную точку проводит-
1Е I
ся прямая, пересекающая вторую плоскость в неко-
торой точке X'. Что представляет собой геометрическое
место точек Х'*1 Объясните ответ.
39.	Дана параллельная проекция треугольника. Как по-
строить проекции медиан этого треугольника?
40.	Дана параллельная проекция треугольника. Чем изо-
бразится проекция средней линии треугольника?
41.	Может ли при параллельном проектировании парал-
лелограмма получиться трапеция? Объясните ответ.
42.	Может ли проекция параллелограмма при параллель-
ном проектировании быть квадратом?
43.	Докажите, что параллельная проекция центрально-
симметричной фигуры также является центрально-сим-
метричной фигурой.
44.	Дана параллельная проекция окружности и ее диаметра.
Как построить проекцию перпендикулярного диаметра?
§ 16. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ
И ПЛОСКОСТЕЙ
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ
Так же, как и на плоскости, две прямые называются пер-
пендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.
Теорема 16.1. Пересекающиеся прямые, параллельные
перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.
Доказательство. Пусть а и
Ъ—перпендикулярные прямые, а± и bj —	,
параллельные им пересекающиеся пря-______1	,,_,
мые. Докажем, что прямые аг и Ьг пер-
пендикулярны. Если прямые a, b, аг, bi
лежат в одной плоскости, то они облада-	с	1
ют указанным в теореме свойством (рис.	_.
228). Действительно, так как прямые Ь и	— > I -	———
bi параллельны, то прямая а, будучи пер-	b
пендикулярна прямой Ь, будет перпенди-
кулярна и прямой Так как прямые о
непараллельны, то прямая &ц будучи
перпендикулярна а, будет перпендику-
лярна и е-
Допустим теперь, что наши прямые
не лежат в одной плоскости. Тогда пря-
мые а и Ъ лежат в некоторой плоскости а,
а прямые е и Ъг—в некоторой плоскости
оц (рис. 229). По теореме 15.3 прямые а
и Ъ параллельны плоскости аг. По тео-
реме 15.4 плоскости а и ах параллель-
189
ны. Пусть С — точка пересечения пря-
мых а и ft, а Сд — точка пересечения
прямых и bi. Проведем в плоскости
параллельных прямых а и прямую,
параллельную прямой CC-i. Она пересе-
чет прямые а и в точка с А и Ai.
В плоскости прямых Ъ и bi проведем
прямую, параллельную прямой CCit и
обозначим через В и Вг точки ее пе-
ресечения с прямыми Ъ и bi.
Четырехугольники CAAtCt и
СБВ1С1 — параллелограммы, так как
у них противолежащие стороны параллельны. Четырехуголь-
ник ABBtAi также параллелограмм. У него стороны ААц
BBi параллельны, потому что каждая из них параллельна
прямой CCi. Таким образом, четырехугольник лежит в плос-
кости, проходящей через параллельные прямые AAi и BBi.
А она пересекает параллельные плоскости а и по парал-
лельным прямым АВ и A^Bi.
Так как у параллелограмма противолежащие стороны
равны, то АЗ = А,В1, АС — AiClt ЕС = B^Ci- По третьему
признаку равенства треугольников треугольники АВС и
А1В1С1 равны. Следовательно, угол А1С1В1, равный углу АСВ,
прямой, т. е. прямые и &л перпендикулярны. Теорема
доказана.
Задача (1). Докажите, что через любую точку прямой
в пространстве можно провести перпендикулярную ей пря-
мую.
Решение. Пусть а — цанная прямая и А — точка на
ней (рис. 230). Возьмем любую точку X вне прямой а и прове-
дем через эту точку и прямую а плоскость а (теорема 14.1).
В плоскости а через точку А можно провести прямую Ь, пер-
пендикулярную прямой а. Что и требовалось доказать.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ и плоскости
Прямая, пересекающая плоскость,
называется перпендикулярной этой
плоскости, если она перпендикулярна
любой прямой в плоскости, проходя-
щей через точку пересэченит данной
прямой и плоскости.
На рисунке 231 прямая а перпенди-
кулярна плоскости а.
Теорема 16.2. Если прямая, пере-
секающая плоскость, перпендикулярна
двум прямым в этой плоскости, прохо-
дящим через точку пересечения, то она
перпендикулярна плоскости.
Рис. 231
190
Доказательство. Пусть
а — прямая, пересеке ющая плоскость
а в точке А и перпендикулярная пря-
мым Ъ и с в этой плоскости, которые
проходят через точку А (рис. 232). До-
кажем, что прямая а перпендикуляр-
на пло скости а.
Проведем произвольную прямую х
через точку А в плоскости а и пока-
жем, что она перпендикулярна пря-
мой а. Можно считать, что прямая х
отлична от прямых Ь и с. Проведем в
плоскости а произвольную прямую, не
проходящую через точку А и пересе-
кающую прямые 6, сих. Пусть точками
пересечения будут В, С и X.
Отложим на прямой а от точки А в
разные стороны равные отрезки: AAj
и ААг. Треугольник AtCAi равнобед-
ренный, так как отрезок АС является
высотой по условию геор жы и медиа-
ной по построению (AAt = АА3). По
той же причине треугольник AiBAa
тоже равнобедренный. Следователь-
но, треугольники AiBC и А2ВС равны
по третьему признаку равенства тре-
угольников.
Рис. 233
Из равенства треугольников ALBC
и А2ВС следует равенство углов AtВX, АгВХ и, следовательно,
равенство треугольников АгВХ и А2ВХ по первому призна-
ку равенства треугольников. Из равенства сторон АгХ и
А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник АхХА2
равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также
высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а.
Теорема доказана.
Задача (4). Докажите, что через любую точку данной
прямой можно провести перпендикулярную ей плос-
кость.
Решение. Пусть а — данная прямая и А — точка на
ней (рис. 233). Проьедем через точку А две различные перпен-
дикулярные ей прямые (см. задачу 1). Проведем через эти
прямые плоскость а (аксиома С3). Плоскость а проходит через
точку А и перпендикулярна прямой а (теорема 16.2).
Теорема 16.3. Если плоскость перпендикулярна одной
из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и дру-
гой.
Доказательство. Пусть^иаг—две параллельные
прямые и а — плоскость, перпендикулярная прямой at
191
Рис. 236
(рис. 234). Докажем, что эта плоскость перпендикулярна и
прямой а2. Проведем через точку пересечения прямой а2
с плоскостью а произвольную прямую х2 в плоскости а.
Проведем через точку пересечения прямой аг с плоскостью
а прямую Хц параллельную прямой х2. Она лежит в плос-
кости а. Так как прямая перпендикулярна плоскости
а, то прямые и xt перпендикулярны. А по теореме 16.1
параллельные им пересекающиеся прямые а2 и х2 тоже
перпендикулярны. Таким образом, прямая а2 перпендику-
лярна любой прямой х2 в плоскости а. А это значит, что
прямая а2 перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана.
Задача (6). Докажите, что через любую точку А
можно провести прямую, перпендикулярную данной плос-
кости а.
Решение. Проведем в плоскости а две пересекаю-
щиеся прямые Ъ и с (рис. 235). Через точку их пересечения
проведем плоскости р и у, перпендикулярные прямым & и с со-
ответственно. Они пересекаются по некоторой прямой а.
Прямая а перпендикулярна прямым b и с, а значит, и пло-
скости а. Проведем теперь через точку А прямую d, парал-
лельную а. По теореме 16.3 она перпендикулярна плос-
кости а.
Теорема 16.4. Дее прямые, перпендикулярные одной и
той же плоскости, параллельны.
Доказательство. Пусть а и & — две прямые,
перпендикулярные плоскости а (рис. 236). Допустим, что
прямые а и & не параллельны. Проведем через какую-нибудь
точку С прямой b прямую параллельную прямой а. Пря-
мая Ь' перпендикулярна плоскости а (теорема 16.3). Пусть В
и В' — точки пересечения прямых Ь и Ъ' с плоскостью а. Тог-
да прямая ВВ' перпендикулярна пересекающимся прямым Ъ
и Ъ'. А это невозможно. Мы пришли к противоречию. Теоре-
ма доказана.
<92
ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ
Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную
плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку
с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикуляр-
ной плоскости. Конец этого отрезка, лежащий в плоскости,
называется основанием перпендикуляра. Расстоянием от
точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опу-
щенного из о той точки на плоскость.
Наклонной, проведенной из данной точки к данной пло-
скости, называется любой отрезок, не являющийся перпен-
дикуляром к плоскости, с одним концом в данной точке, а
другим — на плоскости. Конец отрезка, лежащий в плоско-
сти, называется основанием наклонной. Отрезок, соединяющий
основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из
одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
На рисунке 237 из точки А проведены к плоскости а пер-
пендикуляр АВ и наклонная АС. Точна В — основание пер-
пендикуляра, точка С — основание наклонной, ВС — про-
екция наклонной АС на плоскость а.
Задача (9). Докажите, что если прямая параллельна
плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоя-
нии от плоскости.
Решение. Пусть а — данная прямая и а — данная
плоскость (рис. 238). Возьмем на прямой а две произвольные
точки X и У. Их расстояния до плоскости а — это длины
перпендикуляров XX' и YY’, опущен-
ных на эту плоскость. По теореме 16.4
прямые XX' и YY' параллельны; сле-
довательно, лежа, в одной плоскости.
Эта плоскость пересекает плоскость а
по прямой X'Y’. Прямая а параллель-
на прямой Х'У', так как не пересе-
кает содержащую ее плоскость а.
Итак, у четырехугольника XX'Y'Y
противолежащие стороны параллельны.
Следовательно, он параллелограмм, а
значит. XX' = YY’, что и требовалось
доказать.
Теорема 16.5 (теорема о трех пер-
пендикулярах). Прямая, проведенная
на плоскости через основание наклон-
ной перпендикулярно ее проекции, пер-
пендикулярна и самой наклонной.
И обратно, если прямая на плоскости
перпендикулярна наклонной, то она
перпендикулярна и проекции наклон-
ной.
7 А В Погорелов
193
Доказательство. Пусть
АВ — перпендикуляр к плоскости а,
АС—наклонная и с—прямая в плоскос-
ти а, проходящая чер ез основание С
наклонной (рис. 239). Проведем прямую
СА , перпендикулярную плоскости а.
Она параллельна прямой АВ (теорема
1€.4). Проведем через прямые АВ п А'С
плоскость р. Прямая с перпендикуляр-
на прямой СА'. Если сна перпендику-
лярна прямой СВ, тс JHa перпендику-
лярна плоскости р, а значит, и пря-
мой АС.
Аналогично, если прямая с перпен-
дикулярна наклонной СА, то она, бу-
дучи перпендикулярна и прямой СА',
перпендикулярна плоскости р, а значит,
и проекции наклонной ВС. Тесрема
доказана.
Задача (32). Через центр впи-
санной в треугольник окружности
проведена прямая, перпендикулярная
плоскости треугольника. Докажите,
что каждая точка этой прямой равно-
удалена от сторон треугольника.
Р е ш е н и е. Пусть А, В, С—точки касания сторон тре-
угольника с окружностью, О — центр окружности и S—точка
на перпендикуляре (рис. 240). Так как радиус ОА перпен-
дикулярен стороне трерголг ника, то по теореме 16.5 отрезок
SA есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина—расстоя-
ние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора
SA = К АО2 4- OS2 = ]/г2 + OS2, где г — радиус вписанной
окружности. Аналогично находим: SB = У г2 OS2,
SC = / г2 + OS2, т. е. все расстояния от точки S до сто-
рон треугольника равны.
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
Две пересекающиеся плоскости называются перпендику-
лярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой
пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендику-
лярным прямым.
На рисунке 241, а вы видите две перпендикулярные плос-
кости а и Р, пересекающиеся по прямой с. Плоскость у, пер-
пендикулярная прямой с, пересекает плоскости а и р по пер-
пендикулярным прямым а и Ь. Определение перпендикулярнос-
ти плоскостей не зависит от выбора плоскости у. Действитель-
но, если взять другую плоскость у', перпендикулярную прямой
194
с, то она пересечет плоскости аир
по п эягтытт а' и д', которые параллель-
ны прямым а и д соответственно (рис.
241, б). Но теореме 16.1 из перпендику-
лярности прямых а и д следует перпен-
дикулярность прямых о и д'.
Теорема 16.6. Если плоскость про-
ходит через прямую, перпендикуляр-
ную другой плоскости, то эти плоскости
перпендикулярны.
Доказательство. Пусть
а — плоскость, д — перпендикулярная
ей прямая, р— плоскость, проходя-
щая через прямую д, и с — прямая,
по которой пересекаются плоскости а
и р (рис. 242). Докажем, что плоскости
аир перпендикулярны. Проведем в
плоскости а прямую а через точку пе-
ресечения прямой b с плоскостью а,
перпендикулярную прямой с. Проведем
через прямые а и Ь плоскость у. Сна
перпендикулярна прямой с, так как
прямая с перпендикулярна прямым а
и д. Таге как прямые а и д перпенди-
кулярны, то плоскости аир перпен-
дикулярны. Теорема доказана.
Задача (52). Даны прямая а и
плоскость а. Проведите через прямую
а плоскость, перпендикулярную пло-
скости а.
Решение. Через произвольную
точку прямой а проводим прямую Ь
(рис. 243), перпендикулярную плоско-
сти а (задача 6). Через прямые а и Ь
проводит.; плоскость р. Плоскость р пер-
пендикулярна пл оскости а по теоре-
ме 16.6.
Теорема 16.7. Если в одной из
двух перпендикулярных плоскостей
провести прямую, перпендикулярную
прямой их пересечения, то она будет
перпендикулярна и другой плос-
кости.
Доказательство. Пусть а и
р—данные перпендикулярные плоскос-
ти, пересекающиеся по прямой с, и а —
прямая в плоскости а, перпендикуляр-
ная с (рис. 244). Докажем, что прямая а
Рис. 242
195
7'
перпендикулярна плоскости р. Через
точку С пересечения прямых а и с про-
ведем прямую Ь в плоскости р, перпен-
дикулярную прямой с. Плоскость у,
проходящая через прямые а и Ь, перпен-
дикулярна прямой с, так как лежащие
в ней прямые а и & перпендикулярны
прямой с. Так как плоскости аир пер-
пендикулярны, то прямые а и & перпен-
дикулярны. Кроме того, прямые а и с
перпендикулярны (по условию), поэтому прямая а перпен-
дикулярна плоскости р. Теорема доказана.
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ
Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых
называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся
перпендикуляром к каждой из них.
Докажем, что две скрещивающие прямые имеют общий
перпендикуляр, и притом только один. Он является общим
перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих че-
рез эти прямые.
Доказательство. Пусть а и & — данные скрещи-
вающиеся прямые (рис. 245). Проведем через них парал-
лельные плоскости аир (задача 13 § 15). Прямые, пере-
секающие прямую а и перпендикулярные плоскости а, ле-
жат в одной плоскости (у). Эта плоскость пересекает пло-
скость р по прямой а', параллельной а. Пусть В — точка пе-
ресечения прямых а' и Ь. Тогда прямая АВ, перпендикуляр-
ная плоскости а, перпендикулярна и плоскости р, так как р
параллельна а. Отрезок АВ — общий перпендикуляр плоскос-
тей а и Р, а значит, и прямых а и Ъ.
Допустим, что у прямых а и Ь есть другой общий перпен-
дикуляр CD. Проведем через точку С прямую параллель-
ную Ь. Прямая CD перпендикулярна прямой Ъ, а значит, и
Так как она перпендикулярна пря-
мой а, то она перпендикулярна плоскос-
ти а, а значит, параллельна прямой АВ.
Выходит, что через прямые АВ и CD,
как через параллельные, можно провес-
ти плоскость. В этой плоскости будут ле-
жать наши скрещивающиеся прямые АС
и BD, а это невозможно. Теорема доказана.
Расстоянием между скрещивающи-
мися прямыми называется длина их
общего перпендикуляра. Оно равно рас-
стоянию между параллельными плоскос-
тями, проходящими через эти прямые.
196
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Какие прямые в пространстве называются перпенди-
кулярными?
2-	Докажите, что пересекающиеся прямые, параллельные
перпендикулярным прямым, сами перпендикулярны.
3.	Дайте определение перпендикулярности прямой и пло-
скости.
4.	Докажите, что если прямая, пересекающая плоскость,
перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, то
она перпендикулярна плоскости.
5.	Докажите, что если плоскость перпендикулярна одной
из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна
и другой.
6.	Докажите, что две прямые, перпендикулярные одной и
той же плоскости, параллельны.
7.	Что такое перпендикуляр, опущенный из данной точки
на плоскость?
8.	Что называется расстоянием от точки до плоскости?
9.	Что такое наклонная, проведенная из данной точки к
плоскости? Что такое проекция наклонной?
10.	Докажите теорему о трех перпендикулярах.
11.	Какие плоскости называются перпендикулярными?
12.	Докажите, что если плоскость, проходит через пря-
мую, перпендикулярную данной плоскости, то она пер-
пендикулярна этой плоскости.
13.	Докажите, что если в одной из двух перпендикулярных
плоскостей провести прямую, перпендикулярную пря-
мой их пересечения, то она будет перпендикулярна дру-
гой плоскости.
14.	Что такое общий перпендикуляр скрещивающихся пря-
мых?
15.	Докажите, что скрещивающиеся прямые имеют общий
перпендикуляр, и притом только один. Он является об-
щим перпендикуляром параллельных плоскостей, про-
ходящих через эти прямые.
16.	Что называется расстоянием между скрещивающимися
прямыми?
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Докажите, что через любую точку прямой в пространстве
можно провесги перпендикулярную ей прямую.
2.	Докажите, что через любую точку прямой в пространстве
можно провести две различные перпендикулярные ей
прямые.
3.	Прямые АВ, АС и AD попарно перпендикулярны. Най-
дите отрезок CD, если: 1J АВ = 3 см, ВС — 7 см,
AD = 1,5 см; 2) BD = 9 см, ВС = 16 см, AD = 5 см;
197
3) AB = Ь, ВС = a, AD - d; 4) BD с, ВС = а,
AD = d.
4.	Докажите, что через любую точку данной прямой мож-
но провести перпендикулярную ей плоскость.
&.	Докажите, что через любую точку плоскости можно про-
вести перпендикулярную ей прямую.
6.	Докажите, что через любую точку А можно провести
прямую, перпендикулярную данной плоскости а.
7.	Докажите, что через точку, не лежащую в данной пло-
скости, нельзя провести более одной прямой, перпен-
дикулярной плоскости.
8.	Точка А находится на расстоянии а от вершин равно-
стороннего треугольника со стороной а. Найдите рас-
стояние от точки А до плоскости треугольника.
9.	Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то
все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от
плоскости.
10.	Докажите, что расстояния от всех точек плоскости до
параллельной плоскости одинаковы.
11.	Найдите геометрическое место оснований наклонных
данной длины, проведенных из дачной точки к пло-
скости.
12.	Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные
10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна
9 см. Найдите проекции наклонных.
13.	Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна
из которых на 26 см больше другой. Проекции наклей-
ных равны 12 см и 40 см. Найдите наклонные.
14.	Из точки к плоскости проведены две наклонные. Найдите
длины наклонных, если они относятся как 1 : 2 и про-
екции наклонных равны 1 см и 7 см.
15.	Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные
23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плос-
кости, если проекции наклонных относятся как 2 : 3.
16.	Через центр описанной около треугольника окружно-
сти пре ьедена прямая, перпендикулярная плоскости
треугольника. Докажите, что каждая точка этой пря-
мой равноудалена от вершин треугольника.
17.	Из точки S вне плоскости а проведены к ней три равные
наклонные SA, SB, SC и перпендикуляр SO. Докажите,
что основание перпендикуляра О является центром ок-
ружности, описанной около треугольника АВС.
18.	Расстояние между двумя параллельными плоскостями
равно а. Отрезок длины b своими концами упирается
в эти плоскости. Найдите проекцию отрезка на каждую
из плоскостей.
19.	Два отрезка длин а и Ь упираются концами в две парал-
лелт ные плоскости. Проекция первого отрев ка (длины о)
158
на плоскость равна с. Найдите проекцию второго от-
резка.
20.	Концы данного отрезка, не пересекающего плоскость,
удалены от нее на 0,3 м и 0,5 м. Как удалена от плоско-
сти тоска, делящая данный отрезок в отношении 3 : 7?
21.	Через середину отрезка проведена плоскость. Докажи-
те, что концы отрезка находятся на одинаковом расстоя-
нии от этой плоскости.
22.	Через диагональ параллелограмма проведена плоскость.
Докажите, что концы другой диагонали находятся на
одинаковом расстоянии от этой плоскости.
23.	Найдите расстояние от середины отрезка АВ до плоско-
сти, не пересекающей этот отрезок, если расстояния от
точек А и В до плоскости равны: 1) 3,2 см и 5,3 см;
2) 7,4 см и 6,1 см; 3) а и Ь.
24.	Решите предыдущую задачу, считая, что отрезок АВ
пересекает плоскость.
25.	Отрезок длиной 1 м пересекает плоскость, концы его
уделены от плоскости на 0,5 м и 0,3 м. Найдите длину
проекции отрезка на плоскость.
26.	Телефонная проволока длиной 15 м протянута от теле-
фонного столба, где она прикреплена на высоте 8 м от
поверхности земли, к дэму, где ее прикрепили на вы-
соте 20 м. Найдите расстояние между домом и столбом,
предполагая, что проволока не провисает.
27.	Через основание трапеции проведена плоскость, отстоя-
щая от другого основания на расстояние а. Найдите рас-
стояние от точки пересечения диагоналей трапеции до
этой плоскости, если основания трапеции относятся
как т : п.
28.	Чэрез сторону параллелограмма проведена плоскость на
расстоянии а от противолежащей стороны. Найдите
расстояние от точки пересечения диагоналей параллело-
грамма до этой плоскости.
29.	Из точек А и В опущены перпендикуляры на плос-
кость а. Найдите расстояние между точками А и В, если
перпендикуляры равны 3 м и 2 м, расстояние между их
основаниями равно 2,4 м, а отрезок АВ не пересекает
плоскость.
30.	Верхние концы двух вертикально стоящих столбов,
удаленных на расстояние 3,4 м, соединены переклади-
ной. Высота одного столба 5,8 м, а другого 3,9 м. Найдите
длину перекладины.
31.	Расстояния от точки А до вершин квадрата равны а.
Н айдите расстояние от точки А до плоскости квадрата,
если сторона квадрата равна Ь.
32.	Через центр вписанной в треугольник окружности про-
ведена прямая, перпендикулярная плоскости тре-
«99
угольника. Докажите, что каждая точка этой прямой
равноудалена от сторон треугольника.
33.	К плоскости треугольника из центра вписанной в него
окружности радиуса 0,7 м восставлен перпендикуляр
длиной 2,4 м. Найдите расстояние от конца этого пер-
пендикуляра до сторон треугольника.
34.	Расстояние от данной точки до плоскости треугольника
равно 1,1 м, а до каждой из его сторон 6,1 м. Найдите
радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
35.	Из вершины равностороннего треугольника АВС вос-
ставлен перпендикуляр AD к плоскости треугольника.
Найдите расстояние от точки D до стороны ВС, если AD=
= 13 см, ВС — 6 см.
36.	Через конец А отрезка АВ длины b проведена плоскость,
перпендикулярная отрезку, и в этой плоскости прове-
дена прямая. Найдите расстояние от точки В до прямой,
если расстояние от точки А до прямой равно а.
37.	Расстояния от точки А до всех сторон квадрата равны а.
Найдите расстояние от точки А до плоскости квадрата,
если диагональ квадрата равна d.
38.	Из вершины квадрата восставлен перпендикуляр к его
плоскости. Расстояния от конца этого перпендикуляра
до других вершин квадрата равны а и Ь (а < Ь). Найдите
длину перпендикуляра и сторону квадрата.
39.	Из вершины прямоугольника восставлен перпендикуляр
к его плоскости. Расстояния от конца этого перпенди-
куляра до других вершин прямоугольника равны а,
Ъ, с (а, < с, Ь < с). Найдите длину перпендикуляра и
стороны прямоугольника.
40.	Точка М, лежащая вне плоскости данного прямого угла,
удалена от вершины угла на расстояние а, а от его сто-
рон на расстояние Ь. Найдите расстояние от точки М
до плоскости угла.
41.	Из вершины А прямоугольника ABCD восставлен
перпендикуляр АК к его плоскости, расстояния от
конца К которого до других вершин равны 6 м, 7 м и
9 м. Найдите длину перпендикуляра АК.
42.	Из данной течки к плоскости проведены две равные на-
клонные длиной 2 м. Найдите расстояние от точки до
плоскости, если наклонные образуют угол 60°, а их
проекции перпендикулярны.
43.	Из точки, отстоящей от плоек» сти па расстояние 1 м,
проведены две равные наклонные. Найдите расстояние
между основаниями наклонных, если известно, что на-
клонные перпендикулярны и образуют с перпендику-
ляром к плоскости углы, равные 60°.
44.	Через вершину прямого угла С прямоугольного тре-
угольника АВС проведена плоскость, параллельная
хоз
гипотенузе, на расстоянии 1 м от нее. Проекции катетов
на эту плоскость равны 3 м и 5 м. Найдите гипотенузу.
45.	Через одну сторону ромба проведена плоскость на рас-
стоянии 4 м от противолежащей стороны. Проекции
диагоналей на эту плоскость равны 8 м и 2 м. Найди1: в
проекции сторон.
46.	Стороны равностороннего треугольника равны 3 м.
Найдите расстояние до плоскости треугольника от точ-
ки, которая находится на расстоянии 2 м от каждой из
его вершин.
47.	Дан равнобедренный треугольник с основанием 6 м и
боковой стороной 5 м. Из центра вписанного круга вос-
ставлен перпендикуляр к плоскости треугольника дли-
ной 2 м. Найдите расстояние oi конца этого перпендику-
ляра до сторон треугольника.
48.	В равнобедренном треугольнике основание и высота
равны 4 м. Да иная точка находится на расстоянии 6 м
от плоскости треугольника и на равном расстоянии от
его вершин. Найдите это расстояние.
49.	Из концов отрезка АВ, параллельного плоскости, про-
ведены перпендикуляр АС и наклонная BD, перпенди-
кулярная отрезку АВ. Чему разно расстояние CD, ес ли
АВ = а, АС = Ъ, BD = с?
50.	Из вершины острого угла прямоугольного треугольника
АВС с прямым углом С восставлен перпендикуляр AD
к плоскости треугольника. Найдите расстояния от точ-
ки D до вершин В и С, если АС = а, ВС = b, AD = с.
51.	Из вершины прямого угла С треугольника АВС вос-
ставлен перпендикуляр CD к плоскости треугольника.
Найдите расстояние от точки D до гипотенузы треуголь-
ника, если АВ = а, ВС = Ь, CD = с.
52.	Даны прямая а и плоскость а. Проведите через прямую
а плоскость, перпендикулярную плоскости а.
53.	Даны прямая а и плоскость а. Докажите, что все пря-
мые, перпендикулярные плоскости а и пересекающие
прямую а, лежат в одной плоскости, перпендикулярной
плоскости а.
54.	Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных
плоскостях, опущены перпендикуляры АС и BD на пря-
мую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка
АВ, если: 1) АС = 6 м, BD = 7 м, CD = 6 м; 2) АС =
= 3 м, BD = 4 м, CD = 12 м; 3) AD = 4 м, ВС =
= 7 м, CD = 1 м; 4) AD = ВС = 5 м, CD = 1 м;
5) АС = a, BD = b, CD = с; 6) AD = а, ВС = Ь,
CD = с.
55.	Точка находится на расстояниях а и Ъ от двух перпен-
дикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой
точки до прямой пересечения плоскостей.
201
53.	Из вернин А и В равностороннего треугольника АВС
восставлены перпендикуляры АА~ и BBV к плоскости
треугольника. Найдите расстояние от вершены С до
середины отрезка А1Д, если АВ = 2 м, CAL = 3 м,
CBt = 7 м и отрезок А1В1 не пересекает плоскость тре-
угольника.
57.	Из вершин А и В острых углов прямоугольного тре-
угольника АВС восставлены перпендикуляры и
ВВг к плоскости треугольника. Найдите расстояние от
вершины С до середины отрезка AiBl, если. AtC = 4 м,
AtA — 3 м, BLC = 6 м, BiB = 2 м и отрезок AtBt не
пересекает плоскость треугольника.
58.	Плоскости аир перпендикулярны. 3 плоскости а взята
точка А, расстояние от которой до прямой с (линки пере-
сечения плоскостей) равно 0,5 м. В плоскости р прове-
дена прямая Ь, параллельная прямой с и отстоящая на
1,2 м от нее. Найдите расстояние от точки А до прямой Ъ.
59.	Перпендикулярные плоскости аир пересекаются по
прямой с. В плоскости а проведена прямая а || с, в пло-
скости Р — прямая b || с. Найдите расстояние между
прямыми а и Ъ, если расстояние между прямыми а и с
равно 1,5 м, а между прямыми Ъ и с 0,8 м.
60.	Через точку А прямой а проведены перпендикулярные
ей плоскость р и прямая Ь. Докажите, что прямая Ь
лежит в плоскости р.
§ 17. ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ И ВЕКТОРЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
ВВЕДЕНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ В ПРОСТРАНСТВЕ
Возьмем три взаимно перпендикулярные прямые х, у. г,
пересекающиеся в одной точке О (рис. 246). Проведем через
каждую пару этих прямых плос-
кость. Плоскость, проходящая через
прямые х и у, называется плоскостью
ху. Две другие плоскости называют-
ся соответственно хг и уг. Прямые х,
у, г называются координатными ося-
ми (или осями координат), точка их
пересечения О — началом координат,
а плоскости ху, уг и хг — коор-
динатными плоскостями. Точка О
разбивает каждую из осей координат
на две полупрямые. Условимся одну
из них называть положительной, а
другую — отрицательной.
202
Возьмем теперь произвольную точ-
ку А и проведем через нее плоскость,
параллельную плоскости уг (рис. 247).
Она пересечет ось х в некоторой точ-
ке Ах. Координатой х точки А будем
называть число, равное по абсолютной
величине длине отрезка САГ: положи-
тельное, если точка Ах лежит на поло-
жительной полуоси х, и отрицательнее,
если она лежит на отрицательной по-
луоси. Если точка At совпадает с точ-
кой О, то полагаем х — О. Аналогично
определяются координаты у и г точки
А. Координаты точки будем з< писы-
вать в скобках рядом с буквенным обо-
значением точки: А (х, у, г). Иногда
будем обозначать точку престо ее ко-
ординатами (х, у, г).
Задача (1). Даны точки А (1, 2, 3),
В (О, 1, 2), С (О, О, 3), D (1, 2, С).
Какие из стих точек лежат: 1) в пло-
скости ху; 2) на оси г; 3) в плоскости уг?
Решение. У точек плоскости ху
координата г равна нулю. Поэтому
только точка D лежит в плоскости ху.
У точек плоскости уг координата х
равна нулю. Следовательно, точки В и С лежат в плоскости
уг. У точек на оси г две координаты (х и у) равны нулю.
Поэтому точка С лежит на оси г.
Выразим расстояние между двумя точками А2 (xlt ylt kJ
и A2 (x2, у2, zj через координаты этих точек.
Рассмотрим сначала случай, когда прямая АгА2 не парал-
лельна оси г (рис. 248). Проведем через точки Аг и Аг прямые,
параллельные оси г. Они пересекут плоскость ху в точках Аг
и А2. Эти точки имеют те же координаты х, у, что и точки
Аг, А2, а координата г у них равна нулю. Проведем теперь
плоскссть через течку А2, параллельную плоскости ху. Она
пересечь г прямую АгАх в некоторой точке С. По теореме Пи-
фагора
AjAf = AjC2 Сл$.
Отрезки СА2 и АгАа равны, а
AiA2 = (х8 — xj2 + (у2 — У1)2.
Длина отрезка AjC равна ]гг — z2\. Псэтоиу
A±Ai = (х2 — xj2 + (уг — yi)2 4- (z2 — *i)a.
/03
Если отрезок AtA3 параллелен оси г, то AtA2 — \г1 — z2|.
Тот же результат дает и полученная формула, так как в этом
случае xL = х2, yt — уг.
Задача (4). В плоскости ху найдите точку D (х, у, 0),
равноудаленную от трех данных точек: А <0, 1, —1),
В (—1, 0, 1), С (0, —1, 0).
Решение. Имеем:
AD2 = (х — О)2 + (у — I)2 + (0 + I)2,
BD2 = (х + I)2 + (у — 0)г + (0 — I)2,
CD- = (х — О)2 + (у + I)2 + (0 — О)2.
Приравнивая первые два расстояния третьему, получим два
уравнения для определения х и у.
—4у + 1=0, 2х — 2у + 1 = 0.
Отсюда г/= —, х=— —. Искомая точка d[——, о\
4	4	\	4	4	/
Пусть (Xj, yt, 2i) и А2 (х2, у2, г2) — две произвольные
точки. Выразим координаты х, у, г середины С отрезка А2А2
через координаты его концов Ai и А2 (рис. 249). Для этого про-
ведем через точки А1г А3 и С прямые, параллельные оси г.
Они пересекут плоскость ху в точках Ai (xlt yt, 0),
А2 (ха, Ун 0) и С(х, у, 0). По теореме Фалеса точка С явля-
ется серединой отрезка ALA2. А мы знаем, что на плоскости
ху координаты середины отрезка выражаются через коорди-
наты его концов по формулам
Xt+X,	У1+Уъ
2	’ У~ 2
Для того чтобы найти выражение для г, достаточно вместо
плоскости ху взять плоскость хг или уг. При этом для г полу-
чается аналогичная формула:
д_г1~Ьг2
2
Задача (8). Докажите, что че-
тырехугольник ABCD с вершинами в
точках А (1, 3, 2), В (0, 2, 4), С (1, 1,4),
D (2, 2, 2) — параллелограмм.
Решение. Как мы знаем, четы-
рехугольник, у которого диагонали
пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам, есть параллелограмм.
Воспользуемся этим для решения за-
дачи. Координатами середины отрезка
АС будут:
204
Г=Ш=1, у =1+2= 2, г = £±^=3.
2	2	2
Координатами середины отрезка BD будут:
ж=”+3-1,	у=2-+-2_2,	2=1±-?=з.
2*2	2
Мы видим, что координаты середин отрезков АС и BD одина-
ковы. Значит, эти отрезки пересекаются и точкой пересечения
делятся пополам. Следовательно, четырехугольник ABCD —
параллелограмм.
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФИГУР В ПРОСТРАНСТВЕ
Понятие преобразования для фигур в пространстве опре-
деляется так же, как и на плоскости (§ 9). Так же, как и на
плоскости, определяются преобразования симметрии отно-
сительно точки и прямой и гомотетия.
Кроме симметрий относительно точки и прямой в простран-
стве рассматривают преобразование симметрии относительно
плоскости. Зго преобразование состоит в следующем (рис. 250).
Пусть а — произвольная фиксированная плоскость. Из точ-
ки X фигуры опускаем перпендикуляр XX на плоскость а
и на его продолжении за точку X откладываем о^резокХЛГ',
равный XX. Преобразование, которое переводит точку X в
симметричную ей точку X', называется преобразованием
симметрии относительно плоскости а. Если преобразование
симметрии относительно плоскости а переводит фигуру в
себя, то фигура называется симметричной относительно
плоскости а, а плоскость а называется плоскостью симметрии.
Задача (15). Даны точки (1, 2, 3), (0, —1, 2),
(1, 0, —3). Найдите точки, симметричные данным относи-
тельно координатных плоскостей.
Решение. Точка, симметричная точке (1, 2, 3)
относительно плоскости ху, лежит на прямой, перпенди-
кулярной плоскости ху. Поэтому у нее
те же координаты х и у. х = 1, у — 2.
Симметричная точка находится на том
же расстоянии от плоскости ху. Поэто-
му координата г у нее отличается толь-
ко знаком, т. е. г — —3. Итак, точка,
симметричная точке (1, 2, 3) относи-
тельно плоскости ху, будет (1, 2, —3).
Для других точек и других координат-
ных плоскостей решение аналогично.
Так же, как и на плоскости, опреде-
ляется понятие движения в пространст-
ве. А именно: движением называется Рис. 250
205
преобразование, при котором сохраня-
ются расстояния между точками.
Преобразования симметрии относитель-
но тонки, прямой и плоскости в прост-
ранстве являются движениями.
Дословно так же, как и для движе-
ния на плоскости, доказывается, что
при движении в пространстве прямые
переходят в прямые, полупрямые — в
полупрямые, отрезки — в отрезки и
сохраняются углы между полупрямы-
ми.
Новым свойством движения в прос-
транстве является то, что движение-
переводит плоскости в плоскости. Дока-
жем это свойство.
Пусть а — произвольная плоскость
(рис. 251). Отметим на ней любые три
точки А, В, С, не лежащие на одной
прямой. При движении они перейдут
в три точки А', В', С', также не лежащие
на одной прямой. Проведем через них
плоскость а'. Докажем, чти при рассматриваемом движении пло-
скость а переходит в плоскость а'. Пусть X — произвольная
точка плоскости а. Проведем через нее какую-нибудь прямую а
в плоскости а, пересекающую треугольник АВС в двух точках
У и Z. Прямая а перейдет при движении в некоторую прямую
а'. Точки Y и Z прямой а перейдут в точки Y' и Z принадле-
жащие треугольнику А'В’С’, а значит, плоскости а'. Итак,
пр кмая а’ лежит в плоскости а'. Точка X при движении пере-
ходит в точку X' прямой а', а значит, и плоскости а'. Утвер-
ждение доказано.
Параллельным переносом в пространстве называется такое
преобразование, при котором произвольная точка (х, у, г)
фигуры переходит в точку (х + а, у + Ь, г + с), где а, Ь,
с — постоянные. Параллельный перенос в пространстве зада-
ется формулам I
х = х + а, у' = у + Ь, г = г 4- с,
выражающими координаты х', у', г' точки, в которую перехо-
дит точка (х, у, г) при параллельном переносе. Так же, как
и на плоскости, доказываются следующие свойства параллель-
ного переноса:
1.	Параллельный перенос есть движение.
2.	При параллельном переносе точки смещаются по па-
раллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же рас-
стояние.
206
3.	При параллельном переносе каждая прямая перехсдит
в параллельную ей прямую (или в себя).
4.	Каковы бы ни были точки А и А', существует единст-
венный параллельный перенос, при котором точка А пере-
ходит в точку А'.
5.	Два параллельных переноса, выполненные последова-
тельно, дают параллельный перенос.
6.	Преобразование, обратное параллельному переносу,
есть параллельный перенос.
3 а дача (17). Найдите значения а, Ъ, с в формулах парал-
лельного переноса х' = х + а, у' = у 4- Ь, г' *= г 4- с, если при
этом параллельном переносе точка А (1, 0, 2) переходит
в точку А' (2, 1, О).
Решение. Подставляя в формулы параллельного перено-
са координаты точек А и А',т. е. х=1, у=0, г=2, х =2,у' =1,
2 =0, получим уравнения, из которых определяются а, Ь, с:
2=14-а, 1=04- Ь, 0=24- с.
Отсюда а = 1, Ь = 1, с = —2.
Новым для параллельного переноса в пространстве явля-
ется следующее свойство:
7.	При параллельном переносе в пространстве каждая плос-
кость переходит либо в себя, либо в параллельную ей плос-
кость.
Доказательство. Пусть а — произвольная пло-
скость. Проведем в этой плоскости две пересекающиеся пря-
мые а и Ь. При параллельном переносе прямые а и Ъ переходят
либо в себя, либо в параллельные прямые а' и &'. Плоскость а
переходит в некоторую плоскость а', проходящую через пря-
мые а’ и Ъ'. Если плоскссть а' не совпадает с а, то по теореме
15.4 она параллельна а. Утверждение доказано.
Так же, как и на плоскости, определяются гомотетия и
преобразование подобия в пространстве. Дословно так же,
как и на плоскости, доказывается, ч^о гомотетия в простран-
стве является преобразованием подобия.
УГЛЫ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ и плоскостями
Две пересекающиеся прямые образуют смежные и верти-
кальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные углы
дополняют друг друга до 180 . Углоьая мера меньшего из
них называется углом между прямыми. Угол между перпен-
дикуляр ними прямыми равен 90е пс определению. У гол меж 
ду параллельными прямыми считаем равным нулю.
Углом между скрещивающимися прямыми называется
угол между пересекающимися параллельными им прямы-
207
Рис. 252
Рис. 253
ми. Этот угол не зависит оттого, какие
взяты пересекающиеся прямые. Дока-
жем это.
Пусть а, и аг — пересекающиеся в
точке А прямые, параллельные дан-
ным скрещивающимся прямым (рис.
252). Пусть и Ь2 — другие, пересе-
кающиеся в точке В прямые, парал-
лельные данным. По теореме 15.2 пря-
мые Oj и Ь, параллельны (или совпада
ют) и прямые аг и Ь2 параллельны (или
совпадают). Выполним параллельный
перенос, при котором точка А перехо-
дит в точку В. Так как при параллель-
ном переносе каждая прямая переходит
либо в себя, либо в параллельную
прямую, то указанный параллельный
перенос переводит прямую ai в пря-
мую bi, а прямую аа в прямую Ь2- Так
как параллельный перенос сохраняет
величину угла, то угол между прямы-
ми и а2 равен углу между прямыми
требовалось доказать.
bi и 62. А это и
По данному ранее определению перпендикулярными на-
зываются прямые, пересекающиеся под прямым углом. Одна-
ко иногда скрещивающиеся прямые тоже называют перпенди-
кулярными, если угол между ними равен 90°.
Определим понятие угла между прямой и плоскостью.
Пусть а — плоскость и а — пересекающая ее прямая (рис.
253). Основания перпендикуляров, опущенных из точек пря-
мой а на плоскость а, лежат на прямой а. Эта прямая назы-
вается проекцией прямой а на плоскость а. Углом между пря-
мой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее
проекцией на плоскость. Угол между параллельными прямой
и плоскостью считается равным нулю, а угол между перпен-
дикулярными прямой и плоскостью — равным 90s. Так как
прямая а, ее проекция а на плоскость а и перпендикуляр к
плоскости а в точке ее пересечения с прямой а лежат в оДпой
плоскости, то угол между прямой и плоскостью дополняет
до 90° угол между этой прямой и перпендикуляром к плос-
кости.
Задача (20). Точка А отстоит от плоскости на рас-
стояние h. Найдите длины наклонных, проведенных из этой
точки под следующими углами к плоскости: 1) 30°, 2) 45°, 3) 60°.
Решение. Опустим перпендикуляр АА' на плоскость
(рис. 254). Треугольник АА' В — прямоугольный с прямым
углом при вершине А'. Острый угол этого треугольника,
противолежащий катету АА', равен 30э (соответственно 45°,
203
60°). Поэтому в первом случае наклонная АВ = АА = 2#. Во
sin 30'
втором случае АБ = h\ 2 , в третьем АВ=
У 3
Определим понятие угла между плоскостями. Угол между
параллельными плоскостями считается равным нулю.
Пусть данные плоскости пересекаются. Проведем пло-
скость, перпендикулярную прямой их пересечения. Она пере-
секает данные плоскости по двум прямым. Угол между этими
прямыми называется углом между данными плоскостями
(рис. 255). Определяемый так угол между плоскостями не за-
висит от выбора секущей плоскости. Докажем это.
Пусть аир — данные плоскости, пересекающиеся по
прямой с. Проведем плоскость у, перпендикулярную прямой с.
Она пересечет плоскости а и р по прямым а и Ъ. Угол между
плоскостями аир равен углу между прямыми а и Ъ. Возьмем
другую секущую плоскость у', перпендикулярную прямой с.
Пусть а' и Ь' — прямые пересечения этой плоскости с плоско-
стями а и р. Выполним параллельный перенос, при котором
точка пересечения плоскости у с прямой с переходит в точку
пересечения плоскости у' с прямой с. При этом параллельном
переносе прямая а переходит в прямую а', а прямая Ъ — в
прямую Ъ'. Это значит, что углы между прямыми а и Ъ, а' и
Ъ' равны. Утверждение доказано.
Задача (24). Две плоскости пересекаются под углом
30°. Точка А, лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от
второй плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от
этой точки до прямой пересечения плоскостей.
Решение. Пусть аир — данные плоскости и А —
точка, лежащая в плоскости а (рис. 256). Опустим перпенди-
куляр АА' на плоскость Р и перпендикуляр АВ на прямую с,
по которой пересекаются плоскости. По теореме о трех пер-
пендикулярах A'BLc. Угол при вершине В прямоугольного
треугольника АВА' равен 30 . Имеем:
АА' 1 о
АВ = ——- = а : — = 2а.
sin 30	2
Расстояние от точки А до прямой с равно 2а.
109
ГТОЩАДЬ ОРТОГОНАЛЬНОЙ ПРОЕКЦИИ
МНОГОУГОЛЬНИКА
Ортогональной проекцией фигуры на данную плоскость
называется ее параллельная проекция в направлении, пер-
пендикулярной этой плоскости.
Теорема 17.1. Площадь ортогональной проекции много-
угольника на плоскость раина произведению его площади на
косинус угла между плоскостью мпогоугольника и плоскостью
проекции.
Доказательство. Рассмотрим сначала треуголь-
ник и его проекцию на плоскость, проходящую через одну из
его сторон (рис. 257). Проекцией треугсльчдка АВС является
треугольник АВСХ в плоскости а. Проведем высоту CD тре-
угольника. По теореме о трех перпендикулярах отрезок
CjZ) — высота треугольника АВС1. Угол СЛС1 равен углу
между плоскостью треугольника АВС и плоскостью проекции
а. Имеем: CTD = CD  cos ф,
S.ABr = А АВ  CD, S. .ВГ = —АВ  CrD.
АтЧдС	cf	*	/\/i Д f j	А
Отсюда	«дЛВГ1 = «AZBvcos <р.
Таким образом, в рассматриваемом случае теорема верна.
Теорема верна и в случае, когда вместо плоскости а взята лю-
бая параллельная ей плоскость. Действительно ,при проектиро-
вании фигуры на параллельные плос-
кости ее проекции совмещаются парал-
лельным переносом в направлении
проектирования. А совмещаемые па-
раллельным переносом фигуры равны.
Рассмотрим теперь с бщий случай.
Разобьем данный многоугольник на
треугольники. Каждый треугольник,
у которого нет стороны, параллель-
ной плоскости проекции, мы разо-
бьем на два треугольника с общей
стороной, параллельной плоскости
проекции, как это показано для
четырехугольника ABCD на рисун-
ке 258.
Теперь для кг ж до го треугольни-
ка А нашего разбиения и его про-
екции А запишем равенство S- —
= cos ф. Сложим все эти равенства
почленно. Тогда получим слева пло-
щадь проекции многоугольника, а
справа площадь самого многоуголь-
1 ика, умноженную на cos ф. Теорема
доказана.
210
ВЕКТОРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
В пространстве, как и на плоскости, вектором называется
направленный отрезок. Буквально так язе, как и на плоско-
сти, определяются основные понятия для векторов в про-
странстве: абсолютная величина вектора, направление век-
тора, равенство векторов.
Координатами вектора с началом в точке At (xlf ylt zj
и концом в точке А3 (х2, у2, г2) называются числа хг — xlt
Vi — yL, г2 — гг. Так же, как и на плоскости, доказывается,
что равные векторы имеют соответственно равные координаты,
и обратна, векторы с соответственно разными координатами
равны. &то дает основание для обозначения вектора его ко-
ординатами: a (at, аг, а3) или просто (а^ а2, а3).
Задача (32). Даны четыре точки: А (2, 7, —3), В (1, 0, 3),
С (—3,—4, 5), D (—2, 3, —1). Укажите среди векторов АВ,
ВС, DC, AD, АС и BD равные векторы.
Решение. Надо найти координаты указанных векторов
АВ, ВС, ... и сравнить соответствующие координаты. У рав-
ных векторов соответствующие координаты равны. Например,
у вектора АВ координаты: 1 — 2 =—1, О — 7 = —7, 3 —
— (—3) = 6. У вектора DC такие же координаты:—3 —(—2) =
= —1, —4 — 3 = —7, 5 — (—1) = 6. Таким образом, век-
торы АВ и DC равны. Другой парой равных векторов будут
ВС и AD.
Так же, как и на плоскости, определяются действия над
векторами: сложение, умножение на число и скалярное про-
изведение.	_
Суммой векторов а (а1г а2, а3) и Ъ (bt, Ъ2, Ь3) называется
вектор с (at + blt а2 + Ъ2, а3 + Ь3).
Так же. как и на плоскости, доказывается i екторное ра-
венство АВ + ВС = АС.
Произведением вектора а (а^, аг, а3) на число X называется
вектор Xa = (Хап Хаг, Ха3). Так же, как и на плоскости, до-
казывается, что абсолютная величина вектора Ха равна
|Л| |а|, анаправление совпадает с направлением вектора а, ес-
ли X >0, и противоположно направлению вектора а, если X <0
Задача (35). Дан ектор а (1, 2, 3). Найдите коллине-
арный ему вектор с началом в точке А (1, 1, 1) и концом В
на плоскости ху.
Решение. Координата г точки В равна нулю. Коорди-
наты вектора АВ‘. х — 1г У — 1» 0 — 1 = Из коллине-
арности векторов а и АВ получаем пропорцию
х —1 _ у — 1 = —1
12	3 '
2111
Отсюда находим координаты х, у точки В:
Скалярным произведением векторов (а,, а2, а3) и (6П 621 Ь3)
называется число а1Ь1 + а2Ь2 + а3Ь3. Буквально так же, как
и на плоскости, доказывается, что скалярное произведение
векторов равно произведению их абсолютных величин на ко-
синус угла между векторами.
Задача (40). Даны четыре точки: А (0, 1, —1),
В (1, —1, 2), С (3, 1, 0), D (2, —3, 1). Найдите косинус
угла <р между векторами АВ и CD.
Решение. Координатами вектора АВ будут:
1 — 0=1, —1 — 1 = —2, 2 — (—1) = 3;
| АВ | = ]/Г+(-2)2 + 32 = V 14-
Координатами вектора CD будут 2—3= —1, —3—1=—4,1—0=1;
| CD | = К(—I)2 +(—4)2 + 1’ = К18.
Значит,
АВ • CD 1 • (—1) + (—2) (—4) 4-3-1	5
COS (р = ————— = --------—----—----------—•
| АВ 11 CD I	/ы K‘s	К63
Подобно тому как для векторов на плоскости, в простран-
стве имеет место разложение
О (Oj , О2> ®з) ~	+ ^2^2 “Ь Озбз,
где е;, е2 и е3 — единичные векторы, имеющие направления
координатных осей. Действительно,
(Он а2, а3) = (а„ 0, 0) + (0, а.2, 0) + (0, 0, а3) =
= «1 (1, 0, 0) + а2(0, 1, 0)4- а3 (0, 0, 1)=а1е1+ а2е24- а3е3.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Составим уравнение плоскости. Пусть Ао (х0, yQ, г0) —
какая-нибудь точка плоскости и п (а, Ь, с) — вектор, перпен-
дикулярный плоскости (рис. 259). Пусть А (х, у, г) — произ-
вольная точка плоскости. Векторы А0А и п перпендикулярны.
Поэтому их скалярное произведение равно нулю. Координа-
ты вектора А0А равны х — х0, у — Уо> г — г0. Так как
 п = 0, то
а (х — х0) + Ъ (у — у0) + с (г — г0) = 0.	(*)
Обратно, если точка А (х, у, г) удовлетворяет этому урав-
нению, то А0А п = О. А значит, точка А лежит в плоскости.
Таким образом. уравнение(*) есть уравнение нашей плоскости
212
Заметим, что коэффициенты а, Ь, с
в уравнении плоскости
ах + by + сг -f- d = О	\
являются координатами вектора, пер-	\
пендикупарного плоскости.	\ Aq--------
Задача (49). Даны точки	\	—
А (1, 2,3) иВ (О, 1, —1). Найдите урав-
нение плоскости, которая проходит
через точку А и перпендикулярна пря- ис‘
мой АВ.
Решение. Вектор АВ перпендикулярен плоскости.
Его координатами будут —1, —1, —4. Поэтому уравнение
плоскости можно записать так: (—1)х+(—1)у- (—4)z+d=0.
Так как точка А лежит в плоскости, то ее координаты должны
удовлетворять этому уравнению:
(—1)  1 + (—1)  2 + (—4) • 3 + d = О.
Отсюда d = 15. Уравнение искомой плоскости:
—х — у — 4г + 15 = О.
Как мы знаем, любая прямая полностью определяется,
если заданы две плоскости, проходящие через эту прямую.
Отсюда следует, что любая прямая в пространстве задается
двумя линейными уравнениями—уравнениями плоскостей,
проходящих через эту прямую:
atx + а2у + а3г + а4 = О,
biX + b2y + Ь3г + Ь4 = О.
Точка (х, у, г), удовлетворяющая этим двум уравнениям, при-
надлежит каждой из плоскостей, а значит, принадлежит пря-
мой. Обратно, координаты каждой точки прямой удовлетво-
ряют обоим уравнениям, так как точка принадлежит каждой
из плоскостей.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЬНИЯ
1.	Где лежат те точки пространства, для которых коорди-
наты х ну равны нулю?
2.	Выразите расстояние между двумя точками через ко-
ординаты этих точек.
3.	Выведите формулы для координат середины отрезка че-
рез координаты его концов.
4.	Что такое преобразование симметрии относительно точ-
ки? Какая фигура назывв этс.ч центрально-симметричной?
5.	Объясните, что такое преобразование симметрии отно-
сительно плоскости. Что такое плоскость симметрии
фигуры?
6.	Какое преобразование фигуры в азывается движением?

7.	Докажите, что преобразование симметрии относительно
точки есть движение.
8.	Докажите, что преобразование симметрии относительно
координатной плоскости ху задается формулами х' = х,
у' = у, г' — —г. Докажите, что преобразование сим-
метрии относительно плоскости есть движение.
9.	Докажите, что движение в пространстве переводит пло-
скость в плоскость.
10.	Дайте определение параллельного переноса.
11.	Докажите, что при параллельном переносе в простран-
стве каждая плоскость переходит либо в себя, либо в
параллельную плоскость.
12.	Дейте определение угла между прямыми.
13.	Докажите, что угол <р между прямыми, содержащими век-
торы а и Ъ, определяется из уравнения
| а • Ь| = | а| | Ъ|  cos <р.
14.	Дайте определение угла между прямой и плоскостью.
15.	Дайте определение угла между плоскостями.
16.	Что такое ортогональная проекция фигуры на плоскость?
17.	Д< кажите, что площадь ортогональной проекции мно-
гоугольника на плоскость равна произведению его пло-
щади i:a косинус угла между плоскостью многоуголь-
ника и плоскостью его проекции.
18.	Дайте определение координат вектора с началом в точ-
ке (xlt Уц и концом в течке А2 (х2, у2, г2).
19.	Что такое абсолютная величина вектора? Какие векто-
ры называются одинаксво направленными?
20.	Дайте определения действий над векторами: сложения,
умножения на число, скалярного произведения.
21.	Докажите, что любой вектор а (а1г а2, с3) можно пред-
ставить в виде 0=0^] -}-а2е2-}-азез, где е2, е3—единич-
ные векторы, имеющие направления координатных
осей.
22.	Выведите уравнение плоскости.
23.	Какой геометрический смысл имеют коэффициенты с, Ь, с
в уравнении плоскости ах + ty + сг + d = О?
24.	Какими уравнениями задается прямая в пространстве?
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Даны точки А (1, 2, 3), В (О, 1, 2), С (О, О, 3), D (1, 2, 0).
Какие из этих течек лежат: 1) в плоскости ху, 2) на
оси г; 3) в плоскости у г?
2.	Дана точка А (1, 2, 3). Найдите основания перпендику-
ляров, опущенных из этой точки на координатные оси
и координатные плоскости.
214
3.	Найдите расстояния от точки (1, 2, —3) до: 1) коорди-
натных плоскостей, 2) осей координат, 3) начала ко-
ординат.
4.	В плоскости ху найдите точку D (х, у, 0), равноудален-
ную от трех данных точек: А (0, 1, —1), В (—1, 0, 1),
С '0, -1, 0).
5.	Найдите точки, равноотстоящие от точек (0, 0, 1),
(О, 1, О), (1, О, О) и отстоящие от плоскости уг на рас-
стояние 2.
6.	На оси х найдите точку С (х, О, О), равноудаленную от
двух точек А (1, 2, 3), В (—2, 1, 3).
7.	Составьте уравнение геометрического места течек про-
странства, равноудаленных от точки А (1, 2, 3) и нача-
ла координат.
8.	Докажите, что четырехугольник ABCD с вершинами в
точках А (1, 3, 2), В (О, 2, 4), С (1, 1, 4), D (2, 2, 2) есть
параллелограмм.
9.	Докажите, что четырехугольник ABCD является парал-
лелограммом, если: 1) А (О, 2, —3),	В (—1, 1, 1),
С (2, —2, —1), D (3, —1, —5);	2) А (2, 1, 3),
В (1, О, 7), С (—2, 1, 5), D (—1, 2, 1).
10.	Докажите, что четырехугольник ABCD является ром-
бом, если: 1) А (6, 7, 8), В (8, 2, 6), С (4, 3, 2),
Z)(2, 8, 4); 2) А(0, 2,0), В(1.0, О), С(2, О, 2), D (1, 2, 2).
11.	Даны один конец отрезка А (2, 3, —1) и его середина
С (1, 1, 1). Найдите второй конец отрезка В (х, у, г).
12.	Найдите координаты вершины D параллелограмма
ABCD, если координаты трех других его вершин извест-
ны: 1) А (2, 3, 2), В (О, 2, 4), С (4, 1, О); 2) А (1, —1, О),
В (О, 1, —1), С (—1, О, 1); 3) А (4, 2, —1), В (1, —3, 2).
С (—4, 2, 1).
13.	Докажите, что середина отрезка с концами в точках
А (а, с, —Ь) и В (—a, d, Ъ) лежит на оси у.
14.	Докажите, что середина отрезка с концами в точках
С (a, i>, с) и D (р, q, —с) лежит в плоскости ху.
15.	Даны точки (1, 2, 3), (0, —1, 2), (1, О, —3). Найдите
точки, симметричные данным относительно координат-
ных плоскостей.
16.	Даны точки (1, 2, 3), (0, —1, 2), (1, О, —3). Найдите
точки, симметричные им относительно начала коорди-
нат.
17.	Найдите значения а, Ъ, с в формул ix параллельного пе-
реноса х' = х + а, у’ = у + Ъ, г = г + с, если при
этом параллельном переносе точка А (1, О, 2) переходит
в т >чку А’ (2, 1, О).
18.	При параллельном переносе точка А (2, 1, —1) перехо-
дит в точку А' (1, —1, О). В какую точку переходит на-
чало координат?
215
19.	Существует ли параллельный перенос, при котором точ-
ка А переходит в точку В, а точка С — в точку D, если:
1) А (2,	1, О),	В (1, О, 1), С (3, —2. 1), D (2,	—3,	О);
2)	А (—2, 3, 5), В (1, 2, 4), С (4, —3, 6),	D (7,	—2,	5);
3)	А (О,	1, 2),	В (—1, О, 1), С (3, —2, 2),	D (2,	—3,	1);
4)	А (1,	1, О),	В (О, О, О), С (—2, 2, 1), D	(1 1,	1)?
20.	Точка А отстоит от плоскости на расстояние Л. Найдите
длины наклонных, проведенных из нее под следующи-
ми углами к плоскости: 1) 30 ; 2) 45°; 3) 60°.
21.	Наклонная равна а. Чему равна проекция этой наклон-
ной на плоскость, если наклонная составляет с плос-
костью угол, равный: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?
22.	Отрезок длиной 10 м пересекает плоскость; концы его
находятся на расстояниях 2 м и 3 м от плоскости. Най-
дите угол между данным отрезком и плоскостью.
23.	Два равнобедренных треугольника имеют общее основа-
ние, а их плоскости образуют угол 60°. Общее основание
равно 16 м; боковая сторона одного треугольника 17 м,
а боковые стороны другого перпендикулярны. Найдите
расстояние между вершинами треугольников.
24.	Две плоскости пересекаются под углом 30°. Точка А,
лежащая в одной из этих плоскостей, отстоит от второй
плоскости на расстояние а. Найдите расстояние от этой
точки до прямой пересечения плоскостей.
25.	Равнобедренные треугольники АВС и ABD с общим ос-
нованием АВ лежат в разных плоскостях, угол между
которыми равен сс. Найдите cos а, если: 1) АВ = 24 м,
АС = 13 м, AD = 37 м, CD = 35 м; 2) АВ = 32 м,
АС — 65 м, AD = 20 м, CD = 63 м.
26.	Найдите угол между плоскостями, если точка, взятая
на одной из них, отстоит от прямой пересечения плоско-
стей вдвое дальше, чем от второй плоскости.
27.	Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, про-
ведены две наклонные, образующие с плоскостью углы в
45° и 30°, а между собой прямой угол Найдите расстоя-
ние между концами наклонных.
28.	Из точки, отстоящей от плоскости на расстояние а, про-
ведены две наклонные, образующие с плоскостью углы
45°, а между собой угол 60°. Найдите расстояние между
концами наклонных.
29.	Через катет равнобедренного прямоугольного треуголь-
ника проведена плоскость под углом 45° ко второму ка-
тету. Найдите угол между гипотенузой и плоскос-
тью.
30.	Из точки, отстоящей от плоскости на а, проведены две
наклонные под углом 30° к плоскости, причем их проек-
ции образуют угол 120°. Найдите расстояние между кон-
цами наклонных.
216
31.	Катеты прямоугольного треугольника равны 7 м и 24 м.
Найдите расстояние от вершины прямого угла до пло-
скости, которая проходит через гипотенузу и составляет
угол 30° с плоскостью треугольника.
32.	Даны четыре точки: А (2, 7, —3), В (1,0,3), С (—3, —4,5),
-О (—2, 3, —1). Укажите среди векторов АВ, ВС,
DC, AD, АС и BD равные векторы.
33.	Даны три точки: А (1, 0, 1), В (—1, 1, 2), С (0, 2, —1).
Найдите точку D (х, у, г), если известно, что: 1) век-
торы АВ и CD равны; 2) сумма векторов АВ и CD рав-
на нулю.
34.	Кри каких значениях тп, и п данные векторы коллинеарны:
1) а (2, п, 3), b (3, 2, ту, 2)а(т,2,5), Ь (1, — 1, п)\
3) а (т, п, 2), b (6, 9, 3)?
35.	Дан вектор а (1, 2, 3). Найдите коллинеарный ему век-
тор с началом в точке А (1, 1, 1) и концом В на плоско-
сти ху.
3S.	При каком значении п данные векторы перпендикулярны:
1)	а (2, —1, 3), b (1, 3, пУ, 2) а (п, —2, 1), Ъ (и, —п, 1);
3)	а (и, —2, 1), Ъ (п, 2п, 4); 4) а (4, 2п, —1),
b (—1, 1, и)?
37.	Даны три точки: А (1, 0, 1), В (—1, 1, 2), С (0, 2, —1).
Найдите на оси г такую точку D (0, 0, с), чтобы векторы
АВ и CD были перпендикулярны.
38.	Векторы а и Ъ образуют угол 60\ а сектой с им перпен-
дикулярен. Найдите абсолютную величину вектора
а + Ъ + с.
39.	Векторы а, Ъ, с единичной длины образуют попарно уг-
лы 60°. Найдите угол ф между векторами 1) а и b + с;
2) а и Ь — с.
40.	Даны четыре точки: А (0. 1, —1), В (1, —1, 2),
С(3, 1, 0), D(2, —3, 1). Найдите косинус угла ф между
векторами АВ и CD.
41.	Даны три точки: А (0, 1, —1), В (1, —1, 2), С (3, 1, 0).
Найдите косинус угла С треугольника АВС.
42.	Из вершины А треугольника АВС восставлен перпен-
дикуляр AD к плоскости треугольника. Найдите ко-
синус угла <р между векторами ВС и BD, если угол ABD
равен а, а угол АВС равен Р.
43.	Наклонная образует угол 45° с плсскостью. Через ос-
нование наклонной проведена прямая в плоскости под
углом 45° к проекции наклонной. Найдите угол ф меж-
ду этой прямой и наклонной.
217
44.	Из точки вне плоскости проведены перпендикуляр и две
равные наклонные, образующи э углы а с перпендикуля-
ром. Найдите угол <р между проекциями наклонных,
если угол 11вжду наклонньп и р.
45.	Найдите единичный вектор, коллинеарный вектору
а (2, 1, —2).
46.	Даны две точки: А (1, О, 2) и В (—1, 1, 1). Найдите ко-
ординаты единичного вектора е (а, Ь, с), коллинеарного
вектору АВ и одинаково с ним направленного.
47.	При каком услозии вектор a (alt а2, Да) параллелен оси г?
48.	При каком условии плоскость, заданная уравнением
ах + by + сг + d = О, параллельна плоскости ху?
49.	Даны точки А (1, 2, 3) и В (О, 1, —1). Найдите уравне-
ние плоскости, которая проходит через точку А и пер-
пендикулярна прямой АВ.
50.	Составьте уравнение плоскости, которая проходит через
точку А и перпендикулярна прямой АВ, если:
1) А (—1, 1, 2), В(2, 0, 1); 2) А (1, 0, —1), В(4, 3, —3);
3) А (3, —4, 5), В (2, 1, 2).
51.	Найдите отрезки, которые плоскость ax4~by -f-cz-j-d=0 от-
секает на осях координат, если а, b, с, d не равны нулю.
52.	Докажите, что прямая пересечения плоскостей, за данных
уравнениями aLx + bLy = dlt а2х 4- b2y ~ dt, парал-
лельна оси г,
53.	Докажите, что плоскости, заданные уравнениями
ах + by + сг 4- d = О, ах + by 4- сг 4- dv = О, не име-
ют общих точек, если d dx.
54.	Докажите, что любая плоскость, параллельная плоско-
сти ах 4- by 4~ сг 4- d = О, задается уравнением вида
ах 4- by 4- сг 4- d' — 0, где d' d.
55.	Плоскость задана уравнением ах 4- by 4- сг 4- d = О.
Какому условию должны удовлетворять координаты
точки Р (k, I, т), чтобы прямая, проходящая через эту
точку и начало координат, была перпендикулярна пло-
ское ги?
56.	Дана точка Р (k, I, т). Найдите уравнение плоскости,
которая проходит через начало координат О и перпен-
дикулярна прямой ОР.
57.	Найдите точку пересечения трех плоскостей, заданных
уравне п’ями:
1)	х 4- У	4- а = 1,	х — 2у = О,	2х	4-	у 4- Зг 4-	1 = О;
2)	х — у	= 3,	у 4- г = 2,	х	—	2=4;
3)	х -t- 2	= О,	2х — у = 3,	Зх	4-	2у — 2=8;
4)	х 4- 2у	4- Зг=1,	Зх 4- у 4- 2г =	2,	2х	4-	Зу 4- *	= 3.
58.	Докажите, что плоскости, заданные уравнениями
х + У + г = 1, 2х 4- У 4- Зг 4- 1 = О, х 4- 2г 4- 1 = О,
не имеют ни одной общей точки.
218
59.	При каком условии плоскость, заданная уравнением
ах + by + сг + d — 0, 1) параллельна оси г; 2) про-
ходит через ось г?
60.	При каке м условии плоскость, заданная уравнением
ах + Ъу + сг + d = О, перпендикулярна плоскости ху?
61.	Плоскость задана уравнением 2х + Зу + г = 1. Ука-
жите какой-нибудь вектор, параллельный плоскости.
62.	Прямая является пересечением плоскостей 2х 4- Зу +
-+-2 = 1, х + у + г — 1. Укажите какой-нибудь век-
тор, параллельный прямой.
Ю класс
§ 18. МНОГОГРАННИКИ
МНОГОГРАННЫЕ УГЛЫ
Двугранным углом называется фигура, образованная дву-
мя полуплоскостями с общей ограничивающей их прямой
(рис. 260). Полуплоскости называются гранями, а ограничи-
вающая их прямая — ребром двугранного угла.
Плоскость, перпендикулярная ребру двугранного угла,
пересекает его грани по двум полупрямым. Угол, образован-
ный этими полупрямыми, называется линейным углом двугран-
ного угла. За меру двугранного угла принимается мера со-
ответствующего ему линейного угла. Все линейные углы
двугранного угла совмещаются параллельным переносом,
а значит, равны. Поэтому мера двугранного угла не зависит
от выбора линейного угла.
Задача (1). Из точек А и В, лежащих в гранях дву-
гранного угла, опущены перпендикуляры AAt и BBt на реб-
ро угла. Найдите длину отрезка АВ, если AAt = a, BBt —
= b, AjBj = с и двугранный угол равен а (рис. 261).
Решение. Проведем прямые АгС || ВВХ и ВС || А1В1.
Прямая AjBj перпендикулярна плоскости треугольника AALC,
гак как она перпендикулярна двум прямым в этой плоскости
AAl и CAl. Следовательно, параллельная ей прямая ВС то-
же перпендикулярна этой плоскости. Значит, треугольник АВС
прямоугольный с прямым углом С. По теореме косинусов
АС2—АА1 + AiC2 — 2AAt- AtC-cos a = n2+ b2— 2ab cos a.
220
Пэ теореме Пифагора
ab = Va& + bc2 =
= ] а- 4- Ъ2 — 2ab cos а 4- с2 .
Трехгргнным углом (abc) называется
фигура, составленная из трех плоских
углов: (аЬ), (Ьс) и (ас) (рис. 262). Эти уг-
лы называются гранями трехгранного
угла, а их стороны — ребрами. Об-
щая вершина плоских углов называ-
ется вершиной трехгранного угла. Дву-
гранные углы, образуемые гранями и
их продолжениями, называютсядвугран-
ными углами трехгранного угла.
Аналогично определяется понятие
многогранного угла (ага2а3 ... ап) —
как фигуры, составленной из плоских
углов (а^г), (а2а3), (а3а^, ..., (anai).
Для многогранного угла определяются
понятия граней, ребер и двугранных
углов так же, как и для трехгран-
ного угла (рис. 263).
3 а д а ч а (3). У трехгранного уг-
ла один плоский угол равен у (у < л),
а прилежащие к нему двугранные углы равны
Найдите два других плоских угла а и угол |3, котор: гй
образует плоскость угла у с противолежащим ребром.
Решение. Опустим из произвольной точки S ребра,
противолежащего углу у, перпендикуляр SA на плоскость
угла у и перпендикуляпы SB и SC на его стороны (рис. 264).
По теореме о трех перпендикулярах отрезки АВ и АС перпен-
дикулярны сторонам угла у. Прямоугольные треугольники
SCA и SBA равны по катету и противолежащему углу. По-
этому АВ = АС. Прямоугольные треугольники АОВ и АОС
равны по катету и гипотенузе. Поэтому Z_ АОС = Zh. АОВ =•
= —. Имеем: 2 SC*=—, Е1П (р	АС = —, ОА = — = —AS - , Sin-^ tg q sln-~- oc = ^~ ™ .
Отсюда	tgy tg<ptgy . Y . Y
SC tg а =	= 6	ОС	tgqp-tg—	tg—- 	— =	, tg p = tg <p • sin sin <j)	cos <p	2
221
МНОГОГРДННИК
Многогранником называется тело, огра-
ниченное конечным числом плоскостей. Гра-
ница многогранника называется его поверх-
ностью (рис. 265).
Многогранник называется выпуклым, ес-
ли он лежит по одну сторону от каждой
из ограничивающих плоскостей. Общая
часть поверхности выпуклого многогранника
и ограничивающей его плоскости называется
гранью. Стороны граней многогранника на-
зываются ребрами, а вершины — вершина-
ми многогранника.
Поясним данное определение на приме-
ре знакомого вам куба (рис. 266). Куб есть
выпуклый многогранник. Его поверхность со-
стоит из шести квадратов: ABCD, BEFC,.... Они являются его
гранями. Ребрами куба являются стороны этих квадратов АВ,
ВС, BE, ... . Вершинами куба являются вершины квадратов
А, В, С, D, Е, ... . У куба шесть граней, двенадцать ребер
и восемь вершин.
ПРИЗМА
Призмой называется многогранник, образованный заклю-
ченными между двумя параллельными плоскостями отрезками
всех параллельных прямых, которые пересекают плоский
многоугольник в одной из плоскостей. Грани призмы, лежащие
в этих плоскостях, называются основаниями призмы. Другие
грани называются боковыми гранями. Все боковые грани —
параллелограммы. Ребра призмы, соединяющие вершины ос-
нований, называются боковыми ребрами. Все боковые ребра
призмы параллельны.
На рисунке 267 изображена призма. Она образована от-
резками XX' параллельных прямых, пересекающих много-
угольник Р: AiA^A-i ... Ап в плоскости а. Основаниями
призм а являются многоугольник Р и равный ему многоуголь-
ник Р' в плоскости а'. Боковыми гранями призмы являются
параллелограммы AjAcA'AJ, A2A.jAjA', ... . Боковыми реб-
рами призмы являются отрезки AjAJ, АгА'2, АзА'3, ... .
Высотой призмы называется расстояние между плоскостя-
тги ее оснований. Отрезок, соединяющий две вершины, не
принадлежащие одной грани, называется диагональю призмы.
Диагональным сечением призмы называется сечение плоско-
стью. проходящей через два боковых ребра, не принадлежа-
щих одной грани. Призма называется прямой, если ее боковые
222
ребра перпендикулярны основаниям. В противном случае
призма называется наклонной. Прямая призма называется
правильной, если ее основания являются правильными много-
угольниками.
Задача (8). Основанием призмы является правильный ше-
стиугольник со стороной а, а Соковые грани — квадраты. Най-
дите диагонали призмы и площади ее диагональных сечений.
Решение. Диагональные сечения призмы представ-
ляют собой прямоугольники (рис. 268), у которых основания-
ми являются диагонали оснований призмы, а высотой —
высота призмы. Диагонали основания равны: большая 2а и
меньшая а]/3. Так как высота призмы равна стороне основа-
ния а, то площади диагональных сечений равны 2а2 и с2 ]/3.
Диагонали призмы являются диагоналями диагональных се-
чений. По теореме Пифагора диагонали призмы равны
V(2а)2 + с2 = а Кб, V(аКЗ)2 + а2 = 2а.
Боковой поверхностью призмы (точнее, площадью боковой
поверхности) называется сумма площадей боковых граней.
Полная поверхность призмы равна сумме боковой поверхно-
сти и площадей оснований.
Теорема 18.1. Боковая поверхность прямой призмы рав-
на произведению периметра основания на высоту призмы, т. е.
на длину боковом. ребра.
Доказательство. Боковые грани прямой приз-
мы — прямоугольники. Основания этих прямоугольников
являются сг" 'нгми многоугольника, лежащего в основании
призмы, а в- ' J гы равны дл ине боковых ребер. Отсюда сле-
дует, чго боковая поверхность призмы равна
S = аг1 + a2Z + ... + anl = pl,
где р — периметр основания призмы, & I — длина боковых ре-
бер. Теорема доказана.
Задача (17). В наклонной призме проведено сечение,
перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее все Со-
223
ковые ребра. Найдите боковою поверхность призмы, если
периметр сечения равен р, а боковые ребра равны I
Решение. Плоскость проведенного сечения разбива-
ет призму на две части (рис 269). Подвергнем одну из них
параллельному переносу, совмещающему основания призмы.
При этом получим прямую призму, у которой основанием слу-
жит сечение исходной призмы, а боковые ребра равны /. Эта
призма имеет ту же боковую поверхность, что и исходная. Та-
ким образом, боковая поверхность исходной призмы равна pl.
ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
В стереометрии нередко приходится рассматривать сечения
тел, в частности многогранников, различными плоскостями.
Мы уже имели дело с такими сечениями в простейших случа-
ях, решая задачи 8 и 17. Обычно задача состоит в том, чтобы
построить сечение, имея параллельную проекцию тела. При
ведем некоторые соображения, которыми пользуются при
построении сечений многогранников.
Прежде всего заметим, что сечение выпуклого многогран-
ника есть выпуклый плоский многоугольник, вершины которо-
го в общем случае являются точками пересечения секущей плос-
кости с ребрами многогранника, а стороны — с его гранят. i.
Для построения прямой пересечения плоскостей обычно
находят две ее точки и проводят через них прямую. Для по-
строения точки пересечения прямой и плоскости находят в
плоскости прямую, пересекающую данную. Тогда искомая
точка получается в пересечении найденной пр й с данной.
Приведем пример, из которого видно, ка:; эти общие со-
ображения применяются.
Задача (9). В правильной шестиугольной призме, у
которой боковые грани — квадраты, проведите плоскость
через сторону нижнего основания и противолежащую ей сто-
рону верхнего основания. Сторона основания равна а. Найди-
те площадь построенного сечения.
J24
Решение. Сечение проходит через параллельные пря-
мые АВ и (рис 270). Ребра AjB и E^D^ являются сторо-
нами многоугольника в сечении. Найдем сторону DLX этого
многоугольника, лежащую в грани CCtDtD. На прямой D±X
мы знаем одну точку — точку Dt. Другой точкой является
точка Р пересечения прямых АВ и CD. Она лежит в плоско-
сти грани CC\D\D и в плоскости сечения, а значит, и на пря-
мой их пересечения DrX. Соединяя точки D± и F прямой,
получим точку X. Отрезок DtX есть сторона сечения в грани
CCiDyD. Аналогично находим точку Y. Искомый многоуголь-
ник в сечении есть ABXDxE^Y.
Найдем теперь площадь сечения. Шестиугольник в осно-
вании призмы является ортогональной проекцией шестиуголь-
S
ника в сечении. Поэтому площадь сечения 8 = ——, где
cos а
So — площадь основания призмы, а а — угол, который обра-
зует секущая плоскость с плоскостью основания.
Так как ЕА _1_ АВ, то ElA ± АВ (теорема о трех пэрпен-
дикулярах). Поэтому а = Z. EAEt. А так как ЕЕ± = а,
АЕ = а ]/3 (сторона правильного треугольника, вписанного
в окружность радиуса а),_то AEt — а2 (а ]/3)2 = 2с.
„	а I/'З V 3	—
Поэтому cos а = —i— =	Площадь основания призмы
Ad	А
равна So = 6 • —a2 sin 60° = 3° Итак, площадь
2	2
S =	= За2.
сор а
сечения
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД
Если основание призмы есть параллелограмм, то она
называется параллелепипедом. У параллелепипеда все грани
параллелограммы. На рисунке 271, а изображен наклонный
8 А. В. Пого’.глов
215
параллелепипед, а на рисунке 271, б — прямой параллеле-
пипед.
Теорема 18.2. Диагонали параллелепипеда пересекают-
ся в одной точке и точкой пересечения делится пополам.
Доказательство. Рассмотрим какие-нибудь дне
диагонали параллелепипеда, например AiA^ и А4 А'2(рис. 272).
Так как четырехугольники А^зАцА^ и АзА^А'3А3 — парал-
лелограммы, то четырехугольник А^А^^А^ гоже параллело-
грамм. Диагонали параллелепипеда Ах А' и A4Aj являются
диагоналями этого параллелограмма. Поэтому они пересе-
каются и точкой пересечения О делятся пополам. Аналогично
доказывается, что диагонали AjA' и А2А', а также диагонали
А.А', и A3AJ пересекаются и точкой пересечения делятся по-
полам. Отсюда заключаем, что все четыре диагонали паралле-
лепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения де-
лятся пополам. Теорема доказана.
Из теоремы 18.2 следует, что точка пересечения диагоналей
параллелепипеда является его центром симметрии.
Рис. 273
Задача (24). В прямом парал-
лелепипеде стороны основания 3 см и
5 см, а одна из диагоналей основания
4 см. Найдите большую диагональ пара-
ллелепипеда, зная, что меньшая диаго-
наль образует с плоскостью основания
угол 60° (рис. 273).
Решение. Находим вторую
диагональ основания. Так как основа-
нием служит параллелограмм, а у па-
раллелограмма сумма квадратов диа-
гоналей равна сумме квадратов его
сторон, то вторая диагональ основания
равна У"2 З2 + 2  52 — 42 = J/52 >
> 4. Боковое ребро равно 4 tg 60° =
= 4 Большая диагональ па-
раллелепипеда равна!7 (У^ 52)2+(4)/ 3)2=
= 1Э (см).
Грани параллелепипеда, не имею-
щие общих вершин, называются при-
m иволежащими.
Тео рема 18.3. У параллелепипеда
противолежащие грани параллельны и
равны.
Доказательство. Рассмот-
рим какие-нибудь две противолежащие
грани параллелепипеда, налример
226
АхАгА^А' и А3А4Л'А' (рис. 274). Так как все грани паралле-
лепипеда — параллелограммы, то прямая AtAt параллельна
прямой А3А4, а прямая параллельна прямой А4А'.
Отсюда следует, что плоскости рассматриваемых граней па-
раллельны. Из того, что грани параллелепипеда — паралле-
лограммы, следует, что все отрезки: А1А4, А,А', А'А' и
А2А3 параллельны и равны. Отсюда заключаем, что грань
А1А2А',А' совмещается парал цельным переносом вдоль ребра
А±А4 с гранью А3А4А'4А'у Значит, эти грани равны. Ана-
логично доказывается параллельность и равенство лю-
бых двух противолежащих граней naj аллелепипеда. Теоре-
ма доказана.
Задача (28). У параллелепипеда три грани имеют
площади 1 №, 2 м2 и 3 м2. Чему равна полная поверхность
параллел пипэдг?
Решение. Так как у параллелепипеда противолежа-
щие грани равны, а следовательно, имеют равные площади,
то у нашего параллелепипеда есть две грани с площадью по
1 м2, две гран i — по 2 м2 и две грани — по 3 м2. Так как у
параллелепипеда ровно шесть граней, то его полная поверх-
ность равна 2-1-|-2'24-2-3 = 12 м2.
Прямой параллелепипед, у которого основанием является
прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипе-
дом. У прямоугольного параллелепипеда все грани — пря-
моугольники.
Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра
ра вны, Нс зывается кубом.
Длины непараллельных ребер прямоугольного паралле-
лепипеда называются его линейными размерами. У прямо-
угольного параллелепипеда три линейных размера.
Теорема 18.4. В прямоугольном параллелепипеде квад-
рат любой диагонали равен сумме квадратов трех его линей-
ных размеров.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный
параллелепипед ABCDA’B’C'D' (рис. 275). Из прямоуголь-
ного треугольника АС'С по теореме Пифагора получаем:
АС" = АС2 + СС".
Из прямоугольного треугольника Л СВ по
теореме Пифагора получаем: АС2—АВ"-1гВС2.
Отсюда
АС" = СС" + АВ2 + ВС2.
Ребра АВ, ВС и СС' не параллельны, а
следовательно, их длины являются линей-
ными размерами параллелепипеда. Теорема
доказана.
Рис. 275
8*
227
Задача (33). Диагонали трех граней
прямоугольного параллелепипеда, сходящи-
еся в одной вершине, равны а, Ь, с. Найдите
линейные размеры параллелепипеда.
Решение. Обозначим через х, у, г ли-
нейные размеры параллелепипеда(рис. 276).
Имеем: х2+у2 = с2, у2 + z2 = a2, z2+ х2= Ь2.
Почленно складывая первые два уравнения
и вычитая третье, получим: 2у2 =с2+а2—Ь2.
Отсюда у =	(с2 + а2 — Ь2) • Аналогично
Г±(Ь2 + С2_ а2), г = 1/ | (а2 + Ъ2 - с2).
ПИРАМИДА
Пирамидой называется многогранник, образованный все-
ми отрезками, соединяющими данную точку — вершину пи-
рамиды — с точками плоского многоугольника — основания
пирамиды. Поверхность пирамиды состоит из основания и
боковых граней. Каждая боковая грань — треугольник. Одной
из его вершин является вершина пирамиды, а противолежа-
щей ей стороной — сторона основания пир амиды. Боковыми
ребрами пирамиды называются ребра, соединяющие вершину
пирамиды с вершинами основания. Высотой пирамиды
называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирами-
ды на плоскость основания.
На рисунке 277 изображена пирамида. Ее основанием
является многоугольник AjA2 ... Ап , вершина пирамиды — S,
боковые ребра — SA.!, ЯА2,..., SA„ , высота пирамиды — SX.
Пирамида называется п-угольной, если в ее основании лежит
n-угольник. Треугольная пирамида называется также тет-
раэдром.
228
Задача (35). Основанием пирамиды является прямо-
угольник со сторонами 6 см и 8 см. Каждое боковое ребро
пирамиды равно 13 см. Вычислите высоту пирамиды.
Решение. Так как все боковые ребра равны, то вер-
шины основания одинаково удалены от основания высоты
пирамиды (рис. 278), т. е. АО = ВО = СО = ВО. Значит,
основанием высоты пирамиды является центр окружности,
описанной около основания, т. е. точка пересечения диагона-
лей прямоугольника. Поэтому высота пирамиды равна кате-
ту прямоугольного треугольника, у которого другой катет
равен половине диагонали основания, а гипотенузой явл яется
боковое ребро. Диагональ основания АС = рб2 + 82 = 10 см.
Поэтому высота пирамиды SO = ]/132 — 52 = 12 см.
Теорема 18.5. Плоскость, параллельная основанию пира-
миды и пересекающая ее, отсекает подобную пирамиду.
Доказательство. Пусть Я — вершина пирамиды,
а — плоскость ее основания и а' — секущая плоскость
(рис. 279). Возьмем две произвольные точки X л Y на основа-
нии пирамиды. Плоскость а' пересекает отрезки XS и YS
в точках X' и Y'. Прямые XY и X'Y' параллельны, так как
лежат в одной плоскости, плоскости треугольника XYS, ч не
пересекаются. Из подобия треугольни-
ков SXY и SX’Y' следует, что отноше-
Xr S	Уr S
ния--- и----- равны, т. е. отношение
XS YS
X'S
--- = k не зависит от взятой точки X.
XS
Отсюда следует, что отсекаемая пло-
скостью а' пирамида получается из
данной пирамиды преобразованием го-
мотетии относительно точки Я с коэф-
фициентом гомотетии k. А гомотетич-
ные фигуры подобны. Теорема дока-
зана.
Задача (36). Высота пирамиды
разделена на четыре равные части и
через точки деления проведены пло-
скости, параллельные основанию. Пло-
щадь основания равна 400 см2. Най-
дите площади сечений (рис. 280).
Решение. Сечения подобны ос-
нованию пирамиды с коэффициентами
подобия —, — и —. Площади подоб-
4	4	4
Рис. 280
ных фигур относятся как квадраты лд-
229
нойных размеров. Поэтому отношения площадей сечений к
С1 \2 / 2 \2	/ 8 \2 «
—),(—) и I—। . Следо-
4/	\ 4 /	\ •» /
вательно, площади сечений равны
400 (i)2 = 25 см®, 400 •	= 100 см3, 400 •	= 225 свГ.
Пира -ида нязыггегзя правильной, если ее основанием яв-
ляется правильный многоугольник, а основание высоты сов-
падает с центром этого многоугольника. Осью правильной пи-
ра—иды называется прямая, содержащая ее высоту. Очевидно,
у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно,
боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Вы-
сота боковой грани правильной пирамиды, проведенная ьз
ее вершины, называется апофемой. Боковой поверхностью пи-
рапиды называется сумма площадей еэ боковых граней.
Теорема 18.6. Быъваяппверхноегьнравилъчойпирами-
8ы равна произведению полупериметра основания на апофему.
Доказательство. Если сторона основания а,
а число сторон п, то боковая поверхность пирамиды будет:
о! ml pl ,	,
— п = — = где I — апофема, а р — периг-етр основания.
Теорема докатана.
Найдите боковую поверхность пир амиды,
основания Q, а двугранные углы при ос-
---. Или S. , , „ =
COS ф
s
ДД.Д.0
А'М.м-----и т-fl-
сез <р
Рис. 281
Задача (51).
у которой площадь
новании равны <р.
Решение. Пусть AtAs ... Ап — многоугольник в
основании пирамиды (рис. 281). Проведем высоту пирамиды
МО и высоту МВ грани МА±А 2. До теореме о трех перпенди-
кулярах GB — высота треугольника ОА!А2. Имеем: МВ —
= -°L. Отсюда - А^  МВ = - ДЛ2 • °" т’-~ с
со; ф	2	2
g
= —— - —. Аналогично получаем: 5
“ ‘--I-’," cos<p
Складывая эти равенства почленно, в ле-
вой части получим боковую поверхность
пирамиды, а в правой — площадь осно-
вания Q, деленную на сов <р. Итак,
площадь боковой поверхности пирамиды
Q
равна -----.
сов ф
По теореме 18.5 плоскость а', парал-
лельная плоскости а основания пирамиды
и пересекающая пирамиду, отсекает от нее
подобную пирамиду. Другая часть также
представляет собой многогранник, ко-
торый называется усеченной пирамидой
(рис. 282). Грани усеченной пирамиды,
ue
лежашие в пяоаллельш ix плоскостях а и	----74
а', называются основаниями пирамиды", ос-	/ \
тальные грани называются боковыми гра-	/ / J ( _\
нями. Основания усеченной пирамиды /	\	/
представляют собой подобные (более то-	\ /
го, гог'итэтичные) многоугольники, боко-	____у
вые грани — трапеции. Усеченная пира-
мида, которая получается из правильной Рис‘ 282
пирамиды, также называется правильной.
Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные
равнобокие трг пеции; их высоты называются апофемами.
Задача (58). Докажите, что боковая поверхность пра-
вильной усеченной пирамиды равна произведению полусум-
мы периметров оснований на апофему.
Решение. Боковые гран; t пирамиды — трапеции с
одним и тем же верхним основанием а, нижним Ъ и высотой
(апофемой) I. Поэтому площадь одной грани равна — (а +
2
+ Ъ)1. Площадь всех граней, т. е. боковая поверхность, равна
— (ап + Ьп',1, где ап и Ъп — периметры основа ний.
2
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Выпуклый многогранник называется правильным, если его
грани являются правильными многоугольниками с одним и
тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника схо-
дится одно и то же число ребер.
Существует пять типов правильных въи -уклых многогран-
ников (рис. 283): правильный тетраэдр, куб, октаэдр, доде-
каэдр, икосаэдр.
У правильного тетраэдра грани — правильные треуголь-
ники; в каждой вершине сходится по три ребра. Тетраэдр
представляет собой треугольную пирамиду, у которой все
ребра равны.
Рис. 283
231
S	У куба все грани — квадраты; в каждой
вершине сходится по три реора. Куб пред-
УуД'Ч сбавляет собой прямоугольный параллеле-
/М \	пипед с равными ребрами.
/ /!'\	\ октаэДРа грани — правильны'; треу-
\	__гольники, но в отличие от тетраэдра в каж-
\ ZW-i \ / дой ег0 веРшине сходится по четыре ребра.
У додекаэдра грани — правильные пя-
I Уд тиу гольники. В каждой вершине сходится
\/у<	по три ребра.
У икосаэдра грани — правильные треу-
Рнс. 284 гольники, но в отличие от тетраэдра и октаэ-
дра в каждой вершине сходится по пять ребер.
Задача (70). Найдите двугранные углы правильного
тетраэдра.
Решение. Проведем из вершины S тетраэдра высоты
SA, SB, SC его граней, сходящихся в этой вершине, и высоту
SO тетраэдра (рис. 284). Если ребро тетраэдра обозначить че-
„ „	а| 3 „
рез а, то высоты граней будут равны ~2 -. Из равенства вы-
сот SA, SB, SC следует равенство отрезков ОА, ОВ, ОС. А
они перпендикулярны сторонам треугольника в основании
тетраэдра (теорема о трех перпендикулярах). Отсюда следу-
ет, что точка О является центром окружности, вписанной в
основание тетраэдра. Следовательно, отрезки ОА, ОВ и ОС
аУ^З	„	г
равны —. Обозначим чорез <р двугранный угол при реб-
ре, содержащем точку А. Тогда
ОА а /3 с 3	1
cos w = — = —'— : —-— =—, (р ~ 7U оА .
v AS 6	2	3
Очевидно, двугранные углы при остальных ребрах тетраэдра
такие же по величине.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Что такое двугранный угол (грань угла, ребро угла)?
2.	Что такое линейный угол двугранного угла?
3.	Почему мера двугранного угла не зависит от выбора
линейного угла?
4.	Объясните, что такое трехгранный угол (грани и ребра
трехгранного угла).
5.	Объясните, что такое плоские и двугранные углы трех-
гранного угла.
6.	Что такое многогранный угол?
7.	Что такое многогранник (поверхность многогранника)?
8.	Какой многогранник называется выпз клым?
9.	Что такое грань выпуклого многогранника, ребро, вер-
шина?
232
10.	Что такое призма (основания призмы, боковые гранп,
ребра)?
11.	Что такое высота призмы?
12.	Что такое диагональ призмы? Что такое диагональное
сечение?
13.	Какая призма называется прямой (наклонной)?
14.	Ка кая призма называется правильной?
15.	Что такое боковая поверхность призмы (полная поверх-
ность призмы)?
16.	Докажите, что боковая поверхность прямой призмы
равна произведению периметра основания на высоту
призмы.
17.	Какими соображениями пользуются при построении
плоских сечений многогранников?
18.	Что такое параллелепипед?
19.	Докажите, что диагонали параллелепипеда пересекают-
ся в одной точке и точкой пересечения делятся по-
полам.
20.	Докажите, что точка пересечения диагоналей паралле-
лепипеда является его центром симметрии.
21.	Докажите, что у параллелепипеда противолежащие гра-
ни параллельны и равны.
22.	Какой параллелепипед называется прямоугольным? Что
такое линейные размеры прямоугольного параллелепи-
педа?
23.	Что такое куб?
24.	Докажите, что в прямоугольном параллелепипеде квад-
рат любой диагонали равен сумме квадратов трех его
линейных размеров.
25.	Что такое пира^ гида (основание пирамиды, боковые гра-
ни, ребра, высота)?
26.	Докажите, что плоскость, параллельная основанию
пирамиды, отсекает от нее подобную пирамиду.
27.	Какая пирамида называется правильной? Что такое ось
правильной пирамиды?
28.	Что такое апофема правильной пирамиды? Докажи-
те, что боковая поверхность правильной пирамиды
равна произведению полупериметпа основания на
апофему.
29.	Объясните, что такое усеченная пирамида. Докажите,
что боковая поверхность правильной усеченной пира-
миды равна произведению полусуммы периметров ос-
нований на апофему.
30.	Какой многогранник называется правильным?
31.	Перечислите пять типов правильных многогранников
и опишите их.
233
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Из точек А и В, лежащих в гранях двугранного угла,
опущены перпендикуляры AAt и ВВ1 на ребро угла.
Найдите длину отрезка АБ, если ААХ = а, ВВ1 = Ъ,
А1В1 = с и двугранный угол равен а.
2.	В задаче 1 найдите двугранный угол а, если ЛЛГ = 3,
BBL = 4, AlBl = 6, АЗ = 7.
3.	У тр эхгра^ного угла один плоский угол равен у (у <
< л), а прилежащие к нему двугранные углы равны
<р ^<р < -j-j. Найдите два других плоских угла а и угол Р,
который образует плоскость угла у с противолежащим
ребром.
4.	У трекгранного угла два плоские угла острые и равны а,
а третий угол равен у. Найдите двугранные углы <р,
противслежащие плоским углам а, и угол р между пло-
скостью у и противолежащим ребром.
5.	В прямой треугольной призме стороны основания рав-
ны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 ем. Найдите
площадь сечения, проведенного через боковое ребро и
меньшую высоту основания.
6.	Боковое ребро наклонной призмы равно 15 см и накло-
нено к плоскости основания под углом 30°. Найдите
высоту призмы.
7.	В наклонной треугольной призме расстояния между
боковыми ребрами равны 37 см, 13 см и 40 см. Найдите
расстояние между большей боковой гранью и противо-
лежащим боковым ребром.
8.	Основанием призмы является правильный шестиуголь-
ник со стороной а, а боковые грани — квадраты. Найдите
диагонали призмы и площади ее диагональных сечений.
9.	Внутри правильной шестиугольной призмы, у которой
боковые грани — квадраты, проведите плоскость через
сторону нижнего основания и противолежащую ей сто-
рону верхнего основания. Сторона основания равна а.
Найдите площади построенного сечения.
1Э. Через сторону нижнего основания правильной треуголь-
ной призмы проведена плоскость, пересекающая боко-
вые грани по прямым, составляющим угол а. Найдите
угол наклона этой плоскости к основанию призмы.
11.	В правильной четырехугольной призме через середины
двух смежных сторон основания проведена плоскость,
пересекающая три боковых ребра и наклоненная к пло-
скости основания под углом а. Сторона основания рав-
на а. Найдите площадь полученного сечения.
12.	В правильной четырехугольной призме площадь осно-
вания 144 см2, а высота 14 см. Найдите диагональ призмы.
234
13.	В правильной четырехугольной призме площадь боко-
вой грани равна Q. Найдите площадь диагонального
сечения.
14.	Сторона основания правильной четырехугольной приз-
мы равна 15, высота равна 20. Найдите кратчайгпеэ
расстояние от стороны основания до не пересекающей
ее диагонали призмы.
15.	В прямой треугольной призме все ребра равны. Боко-
вая поверхность равна 12 м®. Найдите высоту.
16.	Боковая поверхность правильной четырехугольной приз-
мы равна 32 м2, а полная поверхность 40 м2. Найдите
высоту.
17.	В наклонной призме проведено сечение, перпендикуляр-
ное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра.
Найдите боковую поверхность призмы, если периметр
сечения равен р, а боковые ребра равны I.
18.	Расстояния между бокеьыми ребрами наклонной тре-
угольной призмы равны 2 см, 3 сл и 4 см, а боковые
ребра 5 см. Найдите боковую поверхность призмы.
19.	По стороне основания а и боковому ребру Ь найдите пол-
ную поверхность правильной призмы: 1) треугольной;
2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
20.	Плоскость, проходящая через сторону основания пра-
вильной треугольной призмы и середину противоле-
жащего ребра, образует с основанием угол 45°. Сто-
рона основания I. Найдите боковую поверхность
призмы.
21.	Найдите диагонали прямоугольного параллелепипеда
по трем его измерениям: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.
22.	Бокогое ребро прямого параллелепипеда равно 5 м,
стороны основания равны 6 м и 8 м, а одна из диагоналей
основания равна 12 м. Найдите диагонали параллелепи-
педа.
23.	Ребро куба равно а. Найдите расстояние от вершины
куба до его диагонали.
24.	В прямом параллелепипеде стор >ны основания 3 см и
5 см, а одна из диагоналей основания 4 см. Найдите
большую диагональ параллелепипеда, зная, что меньшая
диагональ образует с плоскостью основания угол 60°.
25.	Найдите диагонали прямого параллелепипеда, у кото-
рого каждее ребро равно а, а угол основания равен С0°.
26.	В прямоугольном параллелепипеде стороны основания
7 дм и 24 дм, а высота параллелепипеда 8 дм. Найдите
площадь диагонального сечения.
27.	В прямом параллелепипеде боковое ребро равно 1 к,
стороны основания равны 23 дм и 11 дм, а диагонали
основания относятся как 2 : 3. Найдите площади диа-
гональных сечений.
235
28.	У параллелепипеда три грани имеют площади 1 м2,
2 м2 и 3 м2. Чему рачка полная поверхность параллеле-
пипеда?
29.	Найдите поверхность прямоугольного параллелепипе-
да по трем его измерениям: 10 см, 22 см, 16 см.
30.	Найдите боковую поверхность прямоугольного парал-
лелепипеда, если его высота ft, площадь основания Q,
а площадь диагонального сечения Л/.
31.	В прямом параллелепипеде стороны основания 6 м и
8 м образуют угол 30°; боковое ребро равно 5 м. Найдите
полную поверхность этого параллелепипеда.
32.	В прямом параллелепипеде стороны основания 3 см и
8 см; угол между ними 60°. Боковая поверхность равна
220 см2. Найдите полную поверхность.
33.	Диагонали тоех граней прямоугольного параллелепи-
педа, сходящиеся в одной вершине, равны а, Ь, с. Най-
дите линейные размеры параллелепипеда.
34.	Основание пирамид д — равнобедренный треугольник,
у которого основание равно 12 см, а боковая сторона
10 см. Боковые грани образуют с основанием равные
двугранные углы, содержащие по 45°. Найдите высоту
пирамиды.
35.	Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами
6 см и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно
13 см. Вычислите высоту пирамиды.
36.	Высота пирамиды разделена на четыре равные части и
через точки деления проведены плоскости, параллель-
ные основанию. Площадь основания равна 400 см2.
Найдите площади сечений.
37.	Высота пирамиды равна 16 м. Площадь основания рав-
на 512 м2. На каком расстоянии от основания находится
сечение, параллельное ему, если площадь сечения 50 м"?
38.	Основанием пирамиды является правильный треуголь-
ник; одна из боковых граней перпендикулярна основа-
нию, а две другие наклонены к нему под углом а. Как
наклонены к плоскости основания боковые ребра?
39.	В основании пирамиды лежит прямоугольный треуголь-
ник с гипотенузой а. Каждое боковое ребро образует с
плоскостью основания угол 0. Найдите высоту пира-
миды.
40.	Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с
катетами 6 см и 8 см. Все боковые грани наклонены к
плоскости основания под углом 60°. Найдите высоту
пирамиды.
41.	В правильной треугольной пирамиде через сторону ос-
нования проведена плоскость, перпендикулярная про-
тиволежащему боковому ребру. Найдите площадь се-
чения, если сторона основания а, а высота пирамиды ft.
236
42.	Высота правильной четырехугольной пирамиды равна
7 см, а сторона основания 8 см. Найдите боковое ребро.
43.	Основание пирамиды — параллелограмм, у которого
стороны 3 см и 7 см, а одна из диагоналей 6 см; высота
пирамиды проходит через точку пересечения диагона-
J ей, она равна 4 см. Найдите боковое ребро пирамиды.
44.	В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол
при вершине равен а. Найдите двугранный угол х при
основании пирамиды.
45.	По данной стороне основания а и боковому ребру Ь
найдите высоту правильной пирамиды: 1) треугольной;
2) четырехугольной; 3) шестиугольной.
46.	По данной стороне основания а и высоте b найдите апо-
фему правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) четы-
рехугольной; 3) шестиугольной.
47.	По стороне основания а и высоте h найдите полную по-
верхность правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) че-
тырехугольной; 3) шестиугольной.
48.	Найдите полную поверхность правильной шестиуголь-
ной пирамиды, если ее боковое ребро а, а радиус окруж-
ности, вписанной в основание, — г.
49.	В правильной четырехугольной пирамиде боковая по-
верхность равна 14, 76 м2, а полная поверхность 18 м2.
Найдите сторону основания и высоту пирамиды.
50.	По стороне основания а найдите боковую поверхность
правильной четырехугольной пирамиды, у которой диа-
гональное сечение равновелико основанию.
51.	Найдите боковую поверхность пирамиды, у которой пло-
щадь основания Q, а двугранные у^лы при основании
равны <р.
52.	Найдите двугранные углы при основании правильной
пирамиды, у которой площадь основания равна Q, а
боковая поверхность — S.
53.	Найдите сторону основания и апофему правильной тре-
угольной пирамиды, если ее боковое ребро равно 10 см,
а боковая поверхность равна 144 см2.
54.	В правильной четырехугольной пирамиде найдите сто-
рону основания, если боковое ребро равно 5 см, а пол-
ная поверхность 13 см2.
55.	Основание пирамиды — ромб с диагоналями 6 м и 8 м;
высота пирамиды проходит через точку пересечения диа-
гоналей ромба и равна 1 м. Найдите боковую поверх-
ность пи >амиды.
56.	Основание пирамиды — равнобедренный треугольник со
сторонами 40 см, 25 см и 25 см. Высота пирамиды про-
ходит через вершину угла, противолежащего стороне
40 см, и равна 8 см. Найдите боковую поверхность пи-
рамиды.
237
57.	Основание пирамиды — квадрат, ее высота проходит
через одну из вершин основания. Найдите боковую по-
верхность пираыиды, если сторона основания равна
20 дм, а высота 21 дм.
58.	Докажите, что боковая поверхность правильной усечен-
ной пирамиды равна произведению полусуммы перимет-
ров оснований на апофему.
59.	Высота правильной четырехугольной усеченной пира-
миды равна 7 см. Стороны оснований равны 10 см и 2 см.
Найдите боковое ребро пирамиды.
60.	Стороны оснований правильной усеченной треугольной
пирамиды 4 дм и 1 дм. Боковое ребро 2 дм. Найдит е вы-
соту пирамиды.
61.	В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
высота равна 2 см, а стороны оснований 3 см и 5 см. Най-
дите диагоне ль пирамиды.
62.	Стороны оснований усеченной правильной треугольной
пирамиды 2 см и 6 см. Боковая грань образует с боль-
шим основанием угол 60°. Найдите высоту.
63.	В правильной усеченной треугольной пирамиде сторона
большего основания а, сторона меньшего Ь. Боковое
ребро обпазует с основанием угол 45°. Найдите площадь
сечения, проходящего через боковое ребро и ось* 1 пира-
миды.
64.	Высота правильной четырехугольной усеченней пира-
миды равна 4. Стороны оснований равны 2 и 8. Найдите
площади диагональных сечений.
65.	В правильной треугольной усеченной пирамид^ стороны
основания 8 м и 5 м, а высота 3 м. Проведите сечение че-
рез сторону нижнего основания и противоположную вер-
шину верхнего основания. Найдите площадь сечения и
двугранный угол между сечением и нижним основанием.
66.	В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
стороны оснований 8 м и 2 м. Высота равна 4 м. Найдите
полную поверхность.
67.	Найдите полную поверхность правильной усеченной
пирамиды: 1) треугольной; 2) четырехугольной; 3) ше-
стиугольной, если высота Л, а стероны оснований а и Ъ.
68.	Докажите, что центры граней куба являются вершинами
октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершина-
ми куба.
69.	Докажите, что концы двух непараллельных диагоналей
противолежащих граней куба являются вершинами
тетраэдра.
70.	Найдите двугранные углы прав] гльного тетраэдра.
71, Нд'Адите двугранные углы октаэдра.
1 Ось правильноусеченной пирамиды совпадзет с осью соответст-
вующей полной пирамиды.
238
§ 19. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ
ЦИЛИНДР
Цилиндром (точнее, круговым цилиндром) называется
тело, образованное заключенными между двумя параллель-
ными плоскостями отрезками всех параллельных прямых,
пересекающих круг в одной из плоскостей. Отрезки с одним
концом на окружности этого круга на-
зываются образующими цилиндра.
Поверхность цилиндра состоит из
оснований цилиндра — двух равных кру-
гов, лежащих в параллельных плоско-
стях, и боковой поверхности.
Цилиндр называется прямым, если
его образующие перпендикулярны пло-
скостям оснований. В дальнейшем мы
будем рассматривать только прямой
цилиндр, называя его для краткости
просто цилиндром.
На рисунке 285 изображен прямой
цилиндр. Он образован отрезками XX'
параллельных прямых, заключенными
между параллельными плоскостями а
и а . Его основаниями являются круги
К и К' в этих плоскостях.
Прямой цилиндр можно рассматри-
вать как тело, полученное при враще-
нии прямоугольника вокруг его сторо-
ны как оси (рис. 286).
Радиусом цилиндра называется
радиус его основания. .Высотой ци-
линдра называется расстояние между
плоскостями оснований. Осью цилиндра
называется прямая, проходящая через
центры оснований. Она параллельна
образующим. Сечение цилиндра пло-
скостью, проходящей через ось цилин-
дра, называется осевым сечением. Пло-
скость, проходящая через образу ощую
цилиндра и перпендикулярная осево-
му сечению, проведенному через эту
образующую, называется касательной
плоскостью цилиндра.
Задача (2). Осевое сечение ци-
линдра — квадрат, площадь которого Q.
Найдите площадь основания цилиндра.
Рис. 285
Рис. 286
239
Решение. Сторона квадрата равна VQ. Она равна
диаметру основания. Поэтому площадь основания равна
Я \ 2 /	4 '
Теорема 19.1. Плоскость, перпендикулярная оси ци-
линдра, пересекает его боковую поверхность по окружности,
равной окружности основания.
Доказательство. Пусть р — плоскость, перпен-
дикулярная оси цилиндра (рис. 287). Эта плоскость парал-
лельна основаниям. Параллельный перенос в направлении
оси цилиндра, совмещающий плоскость 0 с плоскостью осно-
вания цилиндра, совмещает сечение боковой поверхности
плоскостью р с окружностью основания. Теорема доказана.
Призмой, вписанной в цилиндр, называется такая призма,
основания которой — равные многоугольники, вписанные в
основания цилиндра. Ее боковые ребра являются образующи-
ми цилиндра (рис. 288, а). Призма называется описанной
около цилиндра, если ее основания — равные многоуголь-
ники, описанные около оснований цилиндра. Плоскости ее
граней касаются боковой поверхности цилиндра (рис. 288, б).
3 а д а ч а (7). В цилиндр вписана правильная шести-
угольная призма. Найдите угол между диагональю ее боковой
грани и осью цилиндра, если радиус основания равен высоте
цилиндра.
Решение. Боковые грани призмы — квадраты, так
как сторона правильного шестиугольника, вписанного в ок-
ружность, равна радиусу (рис. 289). Ребра призмы параллель-
ны оси цилиндра, поэтому угол между диагональю грани и
осью цилиндра равен углу между диагональю и боковым реб-
ром. А этот угол равен 45°, так как грани — квадраты.
КОНУС
Конусом (точнее, круговым конусом) называется тело,
образованное всеми отрезками, соединяющими данную точ-
ку — вершину конуса — с точками некоторого круга — осно-
240
Рис. 292
вания конуса. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками
окружности основания, называются образующими конуса. По-
верхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вер-
шину конуса с центром основания, перпендикулярна плоско-
сти основания. В дальнейшем мы будем рассматривать только
прямой конус, называя его для краткости просто конусом.
На рисунке 290 изображен прямой конус. Его вершиной
является точка S, а основанием — круг К в плоскости а.
Конус образован всеми отрезками SX, соединяющими верши-
ну S с точками X основания.
Прямой конус можно рассматривать как тело, получен-
ное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его
катета как оси (рис. 291).
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный
из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса
основание высоты совпадает с центром основания. Осью пря-
мого конуса называется прямая, содержащая его высоту. Се-
чение конуса плоскостью, проходящей через его ось, называет-
ся осевым сечением. Плоскость, проходящая через образующую
конуса и перпендикулярная осевому сечению, проведенно-
му через эту образующую, называется касательной плоскостью
конуса.
Задача (12). В равностороннем конусе (в осевом се-
чении — ттррничьи--й треугольник) радиус основания В. Най-
дите площадь сечения, проведенного через две образующие,
угол между которыми равен ос.
Решение. Сечение представляет собой равнобедренный
треугольник с боковыми сторонами, равными диаметру осно-
вания (27?), и углом между ними, равным а (рис. 292). Пло-
щадь этого треугольника равна — (27?) (27?) sin а = 27?а sin а.
241
Тео рема 19.2. Плоскость, перпендикулярная оси кону-
са, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность — по
окружности с центром на оси конуса.
Доказательство. Пусть 0 — плоскость, перпен-
дикулярная оси конуса и пересекающая конус (рис. 293).
Преобразование гомотетии относительно вершины конуса,
совмещающее плоскость 0 с плоскостью основания, совмещает
сечение конуса плоскостью 0 с основанием конуса. Следова-
тельно, сечение конуса плоскостью есть круг, а сечение боко-
вой поверхности — окружность с центром на оси конуса.
Плоскость, перпендикулярная оси конуса, отсекает от
него меньший конус. Оставшаяся часть называется усеченным
конусом (рис. 294).
Задача (15). Конус пересечен плоскостью, параллель-
ной основанию, на расстоянии d от вершины. Найдите площадь
сечения, если радиус основания конуса В, е высота Н.
Решение. Проведем осевое сечение конуса (рис. 295).
Из подобия треугольников SAB и SAjBt получаем:	=
SO
= Так как АВ = 2R, ALEL = 2г (г — радиус круга в
сечении), OS — Н, OjS = d, то
2> _ d _ Rd
2R~ н' ~ н'
Площадь сечения яг2 = л
Пирамидой, вписанной в конус, называется такая пирамида,
основание которой есть многоугольник, вписанный в окруж-
ность основания конуса, а вершиной является вершина кону-
са (рис. 296). Боковые ребра пирамиды, вписанной в конус,
являются образующими конуса. Пирамида называется опи-
санной около конуса, если ее основанием является многоуголь-
ник, описанный около основания конуса, а вершина совпада-
ет с вершиной конуса (рис. 297). Плоскости боковых граней
описанной пирамиды
конуса.
являются касательными плоскостями
Рис. 298
Задача (27). У пирамиды все боковые ребра равны.
Докажите, что она является вписанной в некоторый конус.
Решение. Опустим перпендикуляр SO из вершины
пирамиды на плоскость основания (рис. 298) и обозначим дли-
ну боковых ребер пирамиды через I. Вершины основания уда-
лены от точки О на одно и то же расстояние R =	— OS2.
Отсюда следует, что наша пирамида вписана в конус, у ко-
торого вершиной является вершина пирамиды, а основание —
круг с центром О и радиусом R.
ШаР
Шпром называется тело, кэторое состоит из всех точек
пространства, находящихся на расстоянии, не большем дан-
ного, от данной точки. Эта точка называется центром шара,
а данное расстояние — радиусом шара. Граница шара назы-
вается шаровой поверхностью или сферой. Таким образом, точ-
ками сферы являются все те точки шара, которые удалены от
центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, со-
единяющий центр шара с точкой шаровой поверхности, также
называется радиусом. Отрезок, соединяющий две точки шаро-
вой поверхности и проходящий через центр шара, называется
диаметром. Концы любого диаметра называются диаметраль-
но противоположными точками шара.
ТПар так же, как цилиндр и конус, является телом враще-
ния. Он получается при вращении полукру-
га вокруг его диаметра как оси (рис. 299).
Теорема 19.3. Всякое сечение шара /	 '
плоскостью есть круг. Центр этого круга
есть основание перпендикуляра, опущен-
ного из центра шара на секущую плос-	О'
кость.	\	J
Доказательство. Пусть а —
секущая плоскость и О — центр шара
(рис. 3G0). Опустит перпендикуляр из рис. 299
243
Рис. 301
Рис. 302
центра шара на плоскость а и обозначим
через О' основание этого перпендикуляра.
Пусть X — произвольная точка шара,
принадлежащая плоскости а. По теоре-
ме Пифагора ОХ2 = ОО'2 + О'Х2. Так
как ОХ не больше радиуса R шара, то
О'Х jAfi2—ОО'2, т. е. любая точка
сечения шара плоскостью а находится от
точки О' на расстоянии, не большем
]AR2 — ОО'2, следовательно, она принад-
лежит кругу с центром О' и радиусом
R2—ОО'2. Обратно, любая точка X
этого круга принадлежит шару. А это зна-
чит, что сечение шара плоскостью а есть
круг с центром в точке О'. Теорема дока-
зана.
Из доказательства теоремы следует,
что радиус круга, который получается в
сечении шара плоскостью, можно вычис-
лить по формуле
R' = |AR2 — ОО'2.
Отсюда видно, что плоскости, равноуда-
ленные от центра, пересекают шар по
равным кругам. Круг в сечении плоскостью
а будет тем больше, чем ближе плоскость
а к центру шара, т. е. чем меньше расстоя-
ние ОО'. Наибольший круг получается в
сечении плоскостью, проходящей через
центр шара. Радиус этого круга равен
радиусу шара.
Плоскость, проходящая через цент> шара, называется диа-
метральной плоскостью. Сечение шара диаметральной пло-
скостью называется большим кругом (рис. 301), а сечение
сферы — большой окружностью.
Задача (29). Через середину радиуса шара проведена
перпендикулярная ему плоскость. Как относится площадь
полученного сечения к площади большого круга?
Решение. Если радиус шара R (рис. 302), то радиус круга
в сечении будет 7?2 — j =R Отношение площади
“(чАГ .
этого круга к площади большого круга равно —------ =
пЯ2	4
Теорема 19.4. Любая диаметральная плоскость шара
является его плоскостью симметрии. Центр шара является
его центром симметрии.
244
Доказательство. Пусть
а — диаметральная плоскость и X —
произвольная точка шара (рис. 303).
Построим точку X', симметричную точ-
ке X относительно плоскости а. Отре-
зок XX' перпендикулярен плоскости а
и пересекается этой плоскостью посе-
редине (в точке А). Из равенства пря-
моугольных треугольников О АХ и
О АХ' следует, что ОХ' — ОХ. Так
как OX R, то и ОХ' 7?, т. е. точ-
ка, симметричная точке X, принадле-
жит шару. Первое утверждение теоремы
доказано.
Пусть теперь X" — точка, оиммет-
ричная точке X относительно центра
шара. Тогда ОХ"= ОХ^. В, т. е. точ-
ка X" принадлежит шару. Теорема до-
казана полностью.
Плоскость, проходящая чер^з точ-
ку А шаровой поверхности и перпен-
дикулярная к радиусу, проведенному
в точку А, называется касательной пло-
скостью. Точка А называется точкой ка-
сания (рис. 304).
Теорема 19.5. Касательная плос-
кость имеет с шаром только одну об-
щую точку — точку касания.
Доказательство. Пусть
а — плоскость, касательная к шару,
и А — точка касания (рис. 305). Возь-
мем произвольную точку X плоскости а,
отличную от А. Так как О А — перпен-
дикуляр, а ОХ — наклонная, то ОХ > О А = В. Следова-
тельно, точка X не принадлежит шару. Теорема доказана.
Прямая, проходящая через точку А шаровой поверхности
перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, назы-
вается касательной.
•
Теорема 19.6. Через любую точку шаровой поверхности
проходит бесчисленное множество касательных, все они ле-
жат в касательной плоскости шара.
Доказательство. Действительно, пусть а — ка-
сательная плоскость шара в точке А (см. рис. 305). Тогда любая
прямая в плоскости а, проходящая через точку А, перпенди-
кулярна радиусу ОА и, следовательно, является касательной.
Любая касательная, проходящая через точку А, перпендику-
лярна радиусу ОА, а следовательно, лежит в плоскости а.
245
Задача (38). Шар радиуса R
касается всех сторон правильного тре-
угольника со стороной а. Найдите рас-
стояние от центра шара до плоскости
треугольника.
Решение. Пусть А, В, С — точки
касания шара со сторона_ш треуголь-
ника (рис. 306). Опустим из центра О
шара перпендикуляр ОО на плоскость
треугольника. Отрезки ОА, ОБ и ОС
Рис. 303	перпендикулярны сторонам. По теореь е
о трех перпендикулярах отргзки ОгА,
OtB и OlC тоже перпендикулярны соответствующим сторонам
треугольника. Из равенства прямоугольных треу гольникоя
OOtA, OOtB, OOiC (у них катет OOi общий, а гипотенузы рав-
ны радиусу) следует равенство сторон: OjA = OtB = ОгС.
Следовательно, — центр окружности, ^писанной в тре-
угольник. Радиус этой окру ясности, кек мы знаем, равен
°	. По теореме Пифагора находим искомое расстояние. Оно
равно
У О А2 — О^ =
УРАВНЕНИЕ СФЕРЫ
С эставим уравнение сферы в декартовых кс эрдинарах
х, у, г. Пусть центр сферы находится в точке А (а, Ь, с), а
радиус сферы R. Точками сферы являются те й только
те точки пространства, расстояния от которых до точки А
равны R. Квадрат расстояния от тачки (х, у, г) до точки А
равен
(Х _ ау -]-(,- Ъ)2 + (г - с)2.
Поэтому уравнение сферы имеет вид:
(х — а)2 + (у - &)2 -+ (г — с)2 = В2.
Если центром сферы являв! ся начало координат, то уравне-
нием сферы является •
xz + у ‘ + г2 = R2.
Задача (43). Найдите уравнение сферы, которая
проходит через топки (0, 0, 0), (0, 0, 1), СО, 1, 0), (1, 0, 0).
Решение. Мы знаем, что уравнение сфепы имеет в-тд:
(х — а} 4- [у — Ь)2 + (z — с)2 = R2. Координаты данных
точек должны удовлетворять этому уравнению. Подставляя
их в уравнение, получаем систему уравнений относительно
неизвестных а, Ь, с и R:
246
ar + Ь2 + c2 = R2,
a2 + b2 + (1 — c)2 = R2,
a2 + (1 — I)2 + c2 = R2,
(1 _ a)2 + b2 +c2 = R2.
Почленно вычитая первое уравнение из остальные, полу-
чим. 2с — 1 =0, 2& — 1=0, 2а — 1=0. Отсюда
а = —, Ь = -, с = —, R = V а-5  I - fe- -1 - с’ = “1/ - .
2	2	2 г 1	1 V 4
Искомое уравнение сферы:
Теорема 1 L7. Линия, пересечения дв х ^фер есть окруж-
ность.
Доказательств.. Примем прямую, соеди-
няющую центры сфер, за ось х. Пусть точка (а, 0, 0) —
центр первой сферы, а — ее радиус. Точка (Ъ, 0, 0) —
центр второй сферы, a J?2 — ее радиус. Уравнениями сфер
будут:
(х - а)2 + у2 4- г2 = Rj,	(1)
(х — Ь)2 + у2 + г2 = R2.	(2)
Точками пересечения сфер я з чаются те точки простран-
ства, которые удовлетворяют уравнениям (1) и (2). Поэтому
они удовлетворяют уравнению, которое получается почлен-
ным вычитанием уравнений (1) и (2), т. е. уравне1хию
2(Ь — а)х = I?2 — Я2 — а2 + Ь2.	(3)
Это уравнение является уравнением плоскости, параллель-
ной плоскости уг. Таким образом, пересечение наших сфер
совладает с пересечением плоскости, заданной уравнением
(3), с любой из данных сфер. А это пересечение, как мы зна-
ем, является окружностью. Теорема доказана.
Задача (45). Два равных шара р£диуса R распо-
ложены т ак, что центр одного лежит на нозер^ности другого.
Найдите длину линии, по которой пересекаются их по-
верхности.
Р е ш е н и е. Про: «дем сечение через
центры шаров (рис. 307). Линия, о кото-
рой идет речь в задаче, есть окруж-
ность ^теорема 19. 7). Ее радиус равен
высоте равностороннего треугольника
OAOt со сторонами, равными R. Вы-
сота равна Д  Следовательно, длина
линии равна nRt 3.	Рьс. 307
2*7
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Объясните, что такое круговой цилиндр (образующая
цилиндра, основания и боковая поверхность цилинд-
ра).
2.	Какой цилиндр называется прямым?
3.	Что такое радиус цилиндра, высота цилиндра, ось ци-
линдра, осевое сечение цчлиндра, касательная плос-
кость цилиндра?
4.	Докажите, что плоскость, перпендикулярная оси ци-
линдра, пересекает его боковую поверхность по окруж-
ности, равной окружности основания.
5.	Что такое призма, вписанная в цилиндр (описанная
около цилиндра)?
6.	Что такое круговой конус, вершина конуса, образую-
щая конуса, основание конуса, боковая поверхность ко-
нуса?
7.	Какой конус называется прямым?
8.	Что такое высота конуса, ось конуса, осевоэ сечение
конуса, касательная плоскость конуса?
9.	Докажите, что плоскость, перпендикулярная оси ко-
нуса, пересекает боковую поверхность по окружности
с центром на оси конуса.
10.	Что такое усеченный конус?
11.	Какая пирамида называется вписанной в конус (описан-
ной около конуса)?
12.	Что такое шар (шаровая поверхность или сфера)?
13.	Что такое радиус шара, диаметр шара? Какие точ-
ки шара называются диаметрально противополож-
ными?
14.	Докажите, что пересечение шара с плоскостью есть
круг.
15.	Какая плоскость называется диаметральной плоскос-
тью шара? Что такое большой круг?
16.	Докажите, что любая диаметральная плоскость шара
является его плоскостью симметрии. Центр шара яв-
ляется его центром симметрии.
17.	Какая плоскость называется касательной к шару?
18.	Докажите, что касательная плоскость имеет с шаром
только одну общую точку — точку касания.
19.	Какая прямая называется касательной к шару? Дока-
жите, что через любую точку шаровой поверхности про-
ходит бесчисленное множество касательных прямых,
все они лежат в касательной плоскости шара.
20.	Выведите уравнение сферы.
21.	Докажите, что линия пересечения двух сфер есть
окружность.
248
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Радиус основания цилиндра 2 м, высота 3 м. Найдите
диагональ осевого сечения.
2.	Осевое сечение цилиндра — квадрат, площадь которо-
го Q. Найдите площадь основания цилиндр! .
3.	Высота цилиндра 6 см, радиус основания 5 см. Найди-
те площадь сечения, проведенного параллельно оси ци-
линдра на расстоянии 4 см от нее.
4.	Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Ци-
линдр пересечен плоскостью так, что в сечении полу-
чился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения
до оси.
5.	Высота цилиндра 6 дм, радиус основания 5 дм. Концы
данного отрезка длиной 10 дм лежат на окружностях
обоих оснований. Найдите кратчайшее расстояние от
него до оси.
6.	В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте ци-
линдра) точка окружности верхнего основания соедине-
на с точкой окружности нижнего основания. Угол между
радиусами, проведенными в эти точки, равен 60°. Найдите
угол х между проведенной прямой и осью цилг гдра.
7.	В цилиндр вписана правильная шестиугольная приз-
ма. Найдите угол между диагональю ее боковой гра-
ни и осью цилиндра, если радиус основания равен
высоте цилиндра.
8.	Высота цилиндра 2 м. Радиус оснований 7 м. В этот
цилиндр наклонно вписан квадрат так, что все верши-
ны его лежат на окружностях оснований. Найдите сто-
рону квадрата.
9.	Радиус основания конуса 3 м, высота 4 м. Найдите об-
разующую.
10.	Образующая конуса I наклонена к плоскости основа-
ния под углом 30°. Найдите высоту.
11,	Радиус основания конуса В. Осевым сечением являет-
ся прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.
12.	В равностороннем конусе (в осевом сечении — правиль-
ный треугольник) радиус основания В. Найдите пло-
щадь сечения, проведенного через две образующие,
угол между которыми равен а.
13.	Высота конуса 20, радиус его основания 25. Найдите
площадь сечения, проведенного через вершину, если
расстояние от него до центра основания конуса равно
12.
14.	Радиус основания конуса В, а образующая наклонена
к плоскости основания под углом а. Через вершину
конуса проведена плоскость под углом <р к его высоте.
Найдите площадь полученного сечения.
249
15.	Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию,
на расстоянии d от вершины. Найдите площадь сече-
ния, если радиус основания конуса R, а высота Н.
16.	Высота конуса Н. На каком расстоянии от вершины на-
до провести плоскость, параллельную основанию, что-
бы площадь сечения была равна половине площади осно-
вания?
17.	Через середину высоты конуса проведена прямая па-
раллельно образующей I. Найдите длину отрезка пря-
мой, заключенного внутри конуса.
18.	Образующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пере-
сечен прямой, параллельной основанию; расстояние от
нее до основания равно 6 см, а до высоты 2 см. Найди-
те отрезок этой прямой, заключенный внутри конуса.
19.	В конусе даны радиус основания R и высота Н. Най-
дите ребро вписанного в него куба.
20.	В конусе даны радиус основания R и высота Н. В него
вписана правильная треугольная призма, у которой
боковые грани — квадраты. Найдите ребро призмы.
21.	Радиусы оснований усеченного конуса Зм и 6м, высо-
та 4 м. Найдите образующую.
22.	Радиусы оснований усеченного конуса R и г; образую-
щая наклонена к основанию под углом 45°. Найдите
высоту.
23.	Образующая усеченного конуса равна 2а и наклонена к
основанию под углом 60°. Радиус одного основания
вдвое больше радиуса другого основания. Найдите каж-
дый из радиусов.
24.	Радиусы оснований усеченного конуса 3 дм и 7 дм, об-
разующая 5 дм. Найдите площадь особого сечения.
25.	Площади основании усеченного конуса 4 дм2 и 16 дм2.
Чэрез середину высоты проведена плоскость, парал-
лельная основаниям. Найд гте площадь сечэния.
26.	Площади оснований усеченного конуса Мит Найди-
те площадь среднего сечения, параллельного основаниям.
27.	У пирамиды все боковые ребра равны. Докажите, что
она является вписанной в некоторый конус.
28.	Шар, радиус которого 41 дм, пересечен плоскостью на
расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.
29.	Через середину радиуса шара проведена перпендику-
лярная ему плоскость. Как относится площадь полу-
ченного сечения к площади большого круга?
36.	Радиус шара R. Через конец радиуса проведена плос-
кость под углом 60° к нему. Найдите площадь селения.
31.	Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхнос-
ти проведены две плоскости: первая — каса1 'ельная к
шаРУ. вторая — под углом 30° к первой, иайдлте пло-
щадь сечения.
250
32.	Радиус земного лара R. Чему равна длина параллели,
если ее широта 60°?
83.	Город N находится на 60° сегерной широты. Какой
путь ссверштэт этот пункт в течение 1 ч вследствие
вращения Земли вокруг своей оси? Радиус Земли при-
нять равным 6Э00 км. •
34.	На поверхности шара даны три точки. Прямо лилейные
расстояния между ни :и 6 ем, 8 см и 10 см. Радиус шара
13 см. Найдите расстояние от центра до плоскости, про-
ходящей через эти тонки.
35.	Диаметр шара 25 см. Па его понерхносэ и даны точка
А и окружность, все точки которой удалены (по прямой)
от А на 15 см. Найдите радиус стой окружности.
ЗС. Паку пар и вписанный в него конус имеют общее осно-
вание и общую высоту. Черес середину высоты прове-
дена плоскость, ьараллэльная основанию. Докажите,
что площадь сечения, заключенного между боковой
поверхностью .сонуса и поверхностью полушера, рав-
на половине площади основания.
37.	Тело ограничено двумя концеш рическими шаровыми по-
верхностями (полый шар). Докажите, что его сечение
плоскостью, проходящей через центр, ра вновелпко сече-
нию, касательному к внутренней шаровой поверх-
ности.
38.	Шар радиуса R касается всех сюрои правильного тре-
угольника со стороной а Найдите расстояние от цент-
ра шара до плоскости треугольнике..
39.	Са эропы треугольника 13 см, 14 см и 15 см. Найдите
расстояние от плоскости треугольника до центра ша-
ра, касающегося всех сторон треугольника. Радиус ша-
ра 5 см.
40.	Диагонали ромба 15 см и 20 см. Шаровая поверхность
касается всех его сторон. Радиус шара 10 см. Найдите
расстояние от центра шара до плоскоети ромба.
41.	Через течку, лежащую на поверхности шара, проведены
две взаимно перпендикулярные плоскости, которые пе-
ресек нот шар по кругам радиусов rt и г2. Найдите
радиус шара R.
42.	Радиус шара 7 см. На его поверхности даны две
равные окружности, имеющие общую хорду дли-
ной 2 см. Найдите радиусы окружностей, зная, что
их плоскости перпендикулярны.
43.	Найдите уравнение сфе эы, которая проходит чеоез точ-
ки (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0).
44.	Найдите уравнение сферы радиуса 3, проходящей
через Т0ЧГ.И (0, 0, 0), (4, ( 0), (0, 4, 0).
45.	Два равный шара радиуса R расположены так, что
центр одного лежит на поверхности другого. Найди-
251
те длину линии, по которой пересекаются их поверх-
ности.
46.	Радиусы шаров равны 25 дм и 29 дм, а расстояние меж-
ду их центрами 36 дм. Найдите длину линии, по которой
пересекаются их поверхности.
47.	Найдите радиус шара, описанного около куба со сто-
роной а.
48.	Найдите радиус шара, описанного около правильного
тетраэдра с ребром а.
49.	Шар радиуса R вписан в усеченный конус. Угол накло-
на образующей к плоскости нижнего основания кону-
са равен а. Найдите радиусы оснований и образую-
щую усеченного конуса.
50.	Правильная n-угольная призма вписана в шар радиу-
са R. Ребро основания призмы равно а. Найдите высо-
ту призмы при: 1) п = 3; 2) п = 4; 3) п = 6.
51.	Сторона основания правильной n-угольной пирамиды
равна а, двугранный угол при основании равен <р. Найди-
‘ те радиус шара, вписанного в пирамиду.
52.	Найдите радиус шара, описанного около правильной
n-угольной пирамиды, если сторона основания равна
а, а боковое ребро наклонено к плоскости основания
под углом «.
53.	В правильной четырехугольной пирамиде сторона ос-
нования равна а, а плоский угол при вершине равен
а. Найдите радиусы вписанного и описанного шаров.
54.	В шар радиуса R вписана правильная треугольная
пирамида с плоскими углами а при ее вершине. Най-
дите высоту пирамиды.
§ 20. ОБЪЕМЫ ТЕЛ
ПОНЯТИЕ ОБЪЕМА
Представим себе два сосуда: один в форме куба, а вто-
рой произвольной формы (рис. 308). Пусть оба сосуда до-
верху наполняются жидкостью. Допустим, что для наполне-
ния первого сосуда потребовалось т кг
жидкости, а для наполнения второго
сосуда п кг жидкости. Естественно
считать, что второй сосуд в — разболь-
ше первого. Число, указывающее, во
сколько раз второй сосуд больше пер-
вого, мы будем называть объемом вто-
рого сосуда. Первый сосуд является
здесь единицей измерения. Из этого
определения понятия объема получают-
252
ся следующие его свойства. Во-первых, так как для запол-
нения каждого сосуда требуется определенное количество
жидкости, то каждый сосуд имеет определенный (положи-
тельный) объем. Во-вторых, для заполн эния равных сосу-
дов требуется одно и то же количество жидкости. Поэтому
равные сосуды имеют равные объемы. В-третьих, если дан-
ный сосуд разделить на две части, то количество жидкости,
необходимое для заполнения всего сосуда, состоит из коли-
чества жидкости, необходимого для заполнения его частей.
Поэтому объем всего сосуда равен сумме объемов его частей.
По данному нами определению для того, чтобы узнал,
объем сосуда, надо заполнить его жидкостью. В жизни, од-
нако, требуется решать как раз обратную задачу. Требуется
узнать количество жидкости, необходимое для заполнения
сосуда, не производя самого заполнения. Если бы мы знали
объем сосуда, то количество жидкости мы получили бы,
умножая объем сосуда на количество жидкости, необходи-
мое для заполнения единицы объема. Как же узнать объем
сосуда?
Мы будем называть тело простым, если его можно раз-
бить на конечное число тетраэдров, т. е. треугольных пира-
мид. В частности, такие тела, как призма, пирамида, вообще
выпуклый многогранник являются простыми. Сейчас мы най-
дем формулы для вычисления объема простых тел и тем са-
мым докажем, что отмеченные нами три свойства объема пол-
ностью его определяют.
ОБЪЕМ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Найдем объем прямоугольного параллелепипеда. На ри-
сунке 309 изображены куб, являющийся единицей измерения
объема, и прямоугольный параллелепипед, объем которого на-
до измерить. Единицей длины служит ребро куба.
Рассмотрим сначала случай, когда длины ребер паралле-
лепипеда а, Ь и с выражаются конечными десятичными дро-
бями и число десятичных знаков после запятой не более п.
Разобьем ребра куба, исходящие из одной вершины, на
10" равных частей и проведем через точки деления плоскости,
перпендикулярные этим ребрам. При этом куб разобь-
ется на 10" • 10"  10- = Ю3” малых кубов с ребрами, равны-
1
ми --.
10^
Найдем объем малого куба. По свойству объема объем
большого куба равен сумме объемов малых кубов. Так как
объем большого куба равен единице, а число малых кубов
равно 103", то объем малого куба равен
253
Так как числа — = аЮ", — = ЫОп,	= cl') це-
1	1	i
10"	М"	10"
лые, то ребра парялле^зпипеда можно разбить на целое
число частей, равных На ребре а их будет а10" , на реб-
ре b будет 610я , на ребре с будет с10я . Проведем через точки
деления ребер перпендикулярные ребрам плоскости. При этом
мы получаем разбиение параллелепипеда на малые кубы со
стороной — Число их равно аЮ"  Ь10п  с10я = abcl03\
Объем параллелепипеда равен сумме объемов содержащихся
в нем малых кубов. Так как объем малого куба равен
а их число равно abc • 10зя, то объем параллелепипеда ра-
вен аЬс • IO3" • —-- = abc.
Рассмотрим теперь случай, когда длина хотя бы одного
из ребер а, Ь, с выражается бесконечной десятичной дробью.
Обозначим через и аъ приближенные значения числа а
с недостатком и с из бытком с точностью до п десятичных
знаков. Приближенные значения чисэл Ь и с с той же точнос-
тью обозначим через и t>s, с± и с2. Параллелепипед с ребра-
ми th, bt и Ci имеет объем меньший, чем данный параллелепи-
пед, так ке к его можно поместить внутрь данного. Параллеле-
пипед с ребрами а2, Ь2, с2 имеет объем больший, чем даннз i«
параллелепипед, так как данный параллелзгцпед можно по-
местить внутрь него. По доказанному объем параллелепипе-
да с ребрами alt blt Cl равен а^Сц а объем параллелепипеда
с ребрами а2, Ь2, с2 равен а.£Ъ2с2. Таким образом, объем дан-
254
ного параллелепипеда заключен между alblcl и агЬгс2- Так
как и а2Ь.2с2 дают приближенное значение числа аЪс
с “юбой наперед заданной точностью, если п достаточно ве-
лико, то V = аЬс. Итак, объег: прямоугольного параллелепи-
педа вычисляется по формуле
V = аЪс.
Задача (3). Если каждое ребро куба увеличить на
2 ом, то его объем увеличится на 98 см3. Чему равно ребро
куба?
Решение. Обозначим ребро куба через х, тогда
(х -|- 2)3 — х3 = 9е, т. е. х2 4- 2х — 15 = О. Уравнение име-
ет два корня: х = 3, х = —5. Геометрический смысл име-
ет только положительный корень. Итак, ребро куба равно
3 см.
ОБЪЕМ НАКЛОННОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
Найдем объем наклонного параллелепипеда (рис. 310, а).
Проведем через ребро ВС плоскость, перпендикулярную
основанию ABCD, и дополним параллелепипед треуголь-
ной призмой BBiB^CCiCz. Отсечем теперь от пслутенного
тела треугольную призму плоскостью, проходящей через
ребро AD и перпендикулярной основанию ABCD. Тогда по-
лучим снова параллелепипед. Этот параллелепипед имеет
объем, равный объему исходного параллелепипеда. Дей-
ствительно, достроенная призма и отсекаемая совмещаются
параллельным переносом на отрезок АВ, следовательно,
имеют одинаковые объемы. При описанном преобразовании
параллелепипеда сохраняются площадь его основания и вы-
сота. Сохраняются также плоскости двух боковых граней,
а две другие становится перпендикулярны: ги основанию.
Применяя еще раз такое прэобразование к наклонным гра-
ням, получил параллелепипед, у кого эогэ все боковые грани
перпендикулярны основанию, т. е. прямой параллелепипед.
Полученный прямой параллелепипед подвергнем аналогич-
ному преобразованию в прямоугольный параллелепипед, до-
255
b
Рис. 311
полняя его сначала призмой 1, а затем
отсекая призму 2 (рис. 310, б). Это преоб-
разование также сохраняет объем парал-
лелепипеда, площадь основания и вы-
соту.
Объем прямоугольного параллелепипе-
да равен произведению его линейных раз-
меров. Произведение двух линейных раз-
меров есть площадь основания параллеле-
пипеда, а третий размер — его высота.
Таким образом, у прямоугольного парал-
лелепипеда объем равен произведению площади основания
на высоту. Так как при описанном выше преобразовании
данного параллелепипеда в прямоугольный каждый раз
сохраняются объем, площадь основания и высота, то и у ис-
ходного параллелепипеда объем равен произведению пло-
щади основания на высоту.
Итак, объем любого параллелепипеда раззн произведе-
нию площади основания на высоту.
Задача (9). В прямом параллелепипеде стороны ос-
нования а и b образуют угол 30°. Боковая поверхность рав-
на S. Найдите его объем.
Решение. Обозначим высоту через х (рис. 311). Тогда
(2а	2’>) х = S. Отсюда х = ----. Площадь основания парал-
2 (а + Ь)
лелепипеда равна ab sin 30° = —. Объем равен - аЬ-~—.
2	4 (а + Ь)
ОчЪЕМ ПРИЗМЫ
Найдем объем призмы. Рассмотрим сначала треугольную
призму (рис. 312). Дополним ее до параллелепипеда, как
указано на рисунке. Точка О является центром симметрии
параллелепипеда. Поэтому достроенная призма симметрична
исходной относительно точки О, следовательно, имеет объ-
ем, равный объему исходной'призмы. Таким образом, объем
построенного параллелепипеда равен удвоенн -му объему дан-
ной призмы.
Объем параллелепипеда равен произведению площади
его основания на выс -гу. Площадь его основания равна удвоен-
ной площади треугольника АВС, а высота равна высоте ис-
ходной призмы. Отсюда заключаем, что объем исходной приз-
мы равен произведению площади ее основания на высоту.
Рассмотрим теперь произвольную призму (рис. 313).
Разобьем ее основание на треугольники. Пусть А — один из
этих треугольников. Проведем через произвольную точку X
треугольника А прямую, параллельную боковым ребрам.
256
Пусть ах — отрезок этой прямой, принадлежащий призме.
Когда точка X описывает треугольник А, отрезки ах запол-
няют треугольную призму. Построив такую призму для каж-
дого треугольника А, мы получим разбиение данной приз-
мы на треугольные. Все эти призмы имеют одну и ту же вы-
соту, равную высоте исходной призмы.
Объем данной призмы равен сумме объемов треугольных
призм, ее составляющих. По доказанному объем треуголь-
ной призмы равен произведению площади ее основания на
высоту. Отсюда следует, что объем данной призмы равен
V = SJI + S2H + ... + SnH =
- (Sx + Sa + ... + Sn)H,
где Sj, S2, ..., Sn— площади треугольников А, на которые
разбито основание призмы, а Н — высота призмы. Сумма пло-
щадей треугольников А равна площади S основания данной
призмы. Поэтому
V =• SH.
Итак, объем любой призмы равен произведению площади
ее основания на высоту.
Задача (21). В наклонной призме проведено се-
чение, перпендикулярное боковым ребрам и пересекающее
все боковые ребра. Найдите объем призмы, если площадь
сечения Q, а боковые ребра равны I.
Решение. Плоскость проведенного сечения разбивает
призму на две части (рис. 314). Подвергнем одну из них па-
раллельному переносу, совмещающему основания призмы.
При этом получим прямую призму, у которой основанием
служит сечение исходной призмы, а высота равна I. Эта приз-
ма имеет гот же объем. Таким образом, объем исходной приз-
мы равен QI.
9 А. В. Погорелов	2S7
ОБЪЕМ ПИРАМИДЫ
Для того чтобы найти объем треуголь-
ной пирамиды, естественно было бы по-
пытаться дополнить ее равными пирами-
дами до параллелепипеда и, таким обра-
зом, зная объем параллелепипеда, най-
ти объем пирамиды. К сожалению, это
в общем случае сделать нельзя. Поэто-
му мы применим другой способ.
Разобьем высоту пирамиды на п рав-
—, поэтому объем
п
содержит слой пирамиды,
Имеем:
ных частей и через точки деления про-
ведем плоскости, параллельные основанию
пирамиды (рис. 315). Кри этом пирамида
разобьется на слои. Для каждого такого
слоя построим две призмы: призму, со-
держащую слой, и призму, содержащую-
ся в слое, как показано на рисунке 315.
Обозначим через Vm объем т-го слоя
пирамиды, считая от вершины. Основа-
ние призмы, содержащей слой пирамиды,
подобно основанию пирамиды, и поэтому
„ 1т\2	~
его площадь равна S ( — I , где S — пло-
хи/
щадь основания пирамиды. Высота призмы
SHm3 т
призмы равен -----. Так как призма
п3
то она имеет больший объем.
SHm3
п3
— [(/и + 1)3 —/га3],
сП1
потому что
(m + I)3 — т3 _ Зт3 + 3m 4-1
3	“	3
> /га2 при /га 0.
Объем пирамиды равен
+	... + VD < [(га + I)3-1] =
_ ЯЯ Г/ 1 \3	11 SH /	. 1 \з
+	«Г
Так как объем призмы, содержащейся в слое, меньше
объема слоя, то при т > 1
Vra>- >g[(m-l)3-(/n-2)3],
258
потому что
(m —1)» —(m —2)3 = (л—1)3 —[(и —1) — 1]3
3	3
= (т — I)2 — (т — 1) -]— < (т — I)2 при т > 1.
3
Отсюда получаем:
v = v1 + va + vs+ ... -f-V„>^-(n-l)3 =
= тН)’
Таким образом,
SU /	1 <3	ЯЯ ,	1 \3
— (1-----1 < V <С — I1 Ч- — 1 •
3 \	п}	3 \	п /
При достаточно большом п правая и левая части неравен-
ства сколь угодно мало отличаются от —, а значит, заклю-
з
ченная между ними величина V также сколь угодно мало
SH „
отличается от —. Но это может быть только тогда, когда
3
Итак, объем любой треугольной пирамиды рав-гн одной
трети произведения площади основания на высоту:
V = - SH.
3
Пусть теперь имеем любую, не треугольную пирамиду.
Разобьем ее основание на треугольники Alt А2, .... Ап.
Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольни-
ки, а вершинами — вершина данной пирамиды, состав-
ляют данную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумме
объемов составляющих ее пирамид. Так как все они имеют ту
же высоту Н, что и данная пирамида, то объем данной
пирамиды равен
V=^H(S1 + S2+ ... +SJ = ^SH.
3	*5
Итак, объем любой пирамиды равен од-
ной трети произведения площади ее осно-
вания на высоту.
Задача ( 42 ). Найдите объем
усеченной пирамиды с площадями осно-
ваний Qt и е2 (Q > И высотой h.
Решение. Дополним данную усе-
ченную пирамиду до полной (рис. 316).
Пусть х — ее высота. О 5ъем усеченной
9*
259
пирамиды равен разности объемов двух полных пирамид:
одной — с площадью основания и высотой х, другой —
с площадью основания Qz и высотой х — h.
жа-	-	Q1 ( X \2
Из подобия этих пирамид находим х: — = I---I .
___	Qa \х — Л/
Отсюда х = — k	Объем усеченной пирамиды равен
уа-г*?.’
3L	Ч4-/е2 Л
= 1Л	= 1 a + &.)•
3	- Ге2 3
ОБЪЕМЫ ПОДОБНЫХ ТЕЛ
Пусть Т и Т' — два простых подобных тела. Это значит,
что существует преобразование подобия, при котором тело
Т переходит в тело Т'. Обозначим через k коэффициент по-
добия.
Разобьем тело Т на треугольные пирамиды Р}, Р2, ...
..., Рп. Преобразование подобия, которое переводит тело Т в те-
ло Т', переводит пирамиды Plt Р2, ...» Рп в пирамиды Р'и
Р'2, ..., Р'. Эти пирамиды составляют тело Т’, и поэтому
объем тела Т' равен сумме объемов пирамид PJ, Р2, ..., Р'.
Так как пирамиды Р'. и Р£ подобны и коэффициент по-
добия равен к, то отношение их высот равно k, а отношение
площадей их оснований равно /г2. Следовательно, отноше-
ние объемов пирамид равно k3. Так как тело Т составлено
из пирамид Pf, а тело Т' составлено из пирамид Р'., то от-
ношение объемов тел Т' и Т тоже равно i3.
Число k — коэффициент подобия — равно отношению
расстояний между любыми двумя соответствующими парами
точек при преобразовании подобия. Следовательно, это чис-
ло равно отношению любых двух соответствующих линейных
размеров тел Т' и Т. Таким образом,
мы приходим к следующему выводу:
Объемы двух подобных тел относят-
ся как кубы их соответствующих ли-
нейных размеров.
Задача (48). Через се дедину
высоты пирамиды проведена плоскость,
параллельная основанию. В каком от-
ношении она делит объем пирамиды?
Решение. Как мы знаем, про-
веденная плоскость отсекает подобную
пирамиду (рис. 317). Коэффициент подо-
260
бия равен отношению высот, т. е.—. Поэтому оЗъе лы пирамид
( 1 \3
относятся как — | : 1. Следовательно, плоскость делит нашу
\ 2 /
пирамиду на части, объемы которых относятся как
1 ; (1 —2) = 1:7.
8	8/
ОБЪЕМЫ ЦИЛИНДРА И КОНУСА
Найдем объем V цилиндра с радиусом основания R
и высотой Н.
При выводе формулы для площади круга (§ 13) были
построены два многоугольника: один — содержащий круг,
второй — содержащийся в круге, с площадями, как угодно
мало отличато'Ц"мися от площади круга. Построим такие
многоугольники для круга в основании цилиндра. Пусть
Р — многоугольник, содержащий круг, а Р' — многоуголь-
ник, содержащийся в круге. Пусть площади этих многоуголь-
ников отличаются от площади круга меньше чем на е.
Построим две прямые призмы с основаниями Р и Р' и
высотой Н, равной высоте цилиндра. Первая призма содер-
жит цилиндр, а значит, имеет объем, больший объема цилинд-
ра. Вторая призма содержится в цилиндре, а следователь-
но, имеет объем, меньший объема цилиндра.
Площадь основания первой призмы меньше л7?2 + е,
поэтому ее' объем не больше (лД2 + е) Н. Площадь основания
второй призмы больше лЦ2 — е, а ее объем не меньше
(лЯ2 — е)Н. Объем цилиндра заключен между объемами
призм:
Н (Пд2 _ е) < v < (лБ2 4- е) Н.
Отсюда
—Не < V — лП2Н < Не,
т. е. величина |К — л7?277| сколь угодно мала. А так как она
имеет вполне определенное значение, то V — лН2Н = О.
Таким образом, объем цилиндра с радиусом основания R
и высотой Н равен
V = nR2H.
Таким же способом для объема конуса получается фор-
мула
V =- nR2H,
3
где д — радиус основания конуса, а Н — высота. При вы-
воде этой формулы строятся две пирамиды с основаниями
Р и Р' и вершиной в вершине конуса.
261

Задача (56). Найдите объем
усеченного конуса, у которого радиусы
оснований 7?! и Hs (.Ro < Rj,), а высота Л.
Решение. Дополним данный
усеченный конус до полного (рис. 318).
Пусть х — его высота. Объем усеченного
конуса равен разности объемов двух пол-
ных конусов: одного — с радиусом осно-
вания Ri и высотой х, другого — с радиу-
сом основания R, и высотой х — Л.
х Ri
Из подобия конусов находим я:----- = —,
X Л
Рис. 318
x = - —-—* Объем усеченного конуса равен .
Hi — R2
AR,
г = -[лК1—----------пВ2г
3 L R, - R2
t	рЗ R®	i
= - nh —------ = -nh (fl? + RJ^ +
3	л, — Rg	3
Rj — R?
ОБЩАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ ОБЪЕМОВ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
Телом вращения в простейшем случае называется такое
тело, которое плоскостями, перпендикулярными некоторой
прямой (оси вращения), пересекается по кругам с центрами
на этой прямой. Круговой цилиндр, конус, шар являются
примерами тел вращения. Найдем формулу для вычисления
объема тела вращения.
Введем декартовы координаты х, у, г, приняв ось тела за
ось х. Плоскость ху пересекает поверхность тела по линии,
для которой ось х является осью симметрии. Пусть y=f (х)—
уравнение той части линии, которая расположена над осью
(рис. 319).
Проведем через точку х оси абсцисс плоскость, перпенди-
кулярную к ней, и обозначим через V (х) объем части тела,
лежащей слева от этой плоскости, тогда V (х) является фун-
кцией от х. Найд ом ее производную.
По определению
у/(х) = Ит-^+-й>-Г^.
7:-»0	А
Разность V (х + h) — V (х) представ-
ляет собой объем слоя тела толщиной
h между двумя плоскостями, перпенди-
кулярными оси х, проходящими че-
рез точки с абсциссами х и х -|- h.
Пусть М — наибольшее, а тп — на-
именьшее значение функции f (х) на
262
отрезка [х, к Ц-й]. Тогда рассматриваемый слой тела содержит
цилиндр с радиусом т, высотой й и содержится в цилиндр0
с радиусом М и той же высотой й (см. рис. 319). Поэтому
лт2й < V (х + й) — V (х) < лЛГй,
„т2< Пх+^-vw
л
Если / (х) — непрерывная функция, то при й -> О левая и
правая части последнего неравенства стремятся к одному и
тому же пределу л/2 (х). К тому же пределу стремится
и отношение, заключенное между ними, т. е. производная
V (х) = л/2 (х).
По известной формуле анализа
ь
V (Ь) — V (л) = J nf2 (x)dx, а < b.
а
Эта формула и дает объем части тела, заключенной между
параллельными плоскостями х = а и х = Ь.
ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ
Применим полученную формулу для объемов тел вращения
к вычислению объема шара и его частей: шарового слоя и
сегмента.
Шарооым сегментом называется часть шара, отсекаемая
от него плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара,
расположенная между двумя параллельными плоскостями,
пересекающими шар (рис. 320).
Введем декартовы координаты, приняв центр ш ipa за на-
чало координат. Плоскость ху пересекает шар радиуса R по
окружности, которая, как известно, задается уравнением
х 2 + у2 = R2.
Полуокружность, расположенная над осью х, задается урав-
нением
у = /(х) = + V R2 — х2, — 7?<х<Б.
Поэтому объем шарового слоя между
плоскостями х = а и х = Ь определя-
ется по формуле
ь
v = V (6) — V (а) = л j (В2 — X2) dx =
= л(R2x -	лВ2 (Ь - а)	а3).
\ з Да	8
Для объема всего шара надо взять а=
~ —R, b =R. Тогда получим объем шара:
У==-лВ3.
3
263
Для получения объема шарового сегмен-
та высотой Н надо взять а = R — Н,
b — R. Получим объем шарового сегмента:
V = iiH2(r — -у).
Шаровым сектором называется тело, ко-
торое получается из шарового сегмента и
конуса следующим образом. Если шаровой
сегмент меньше полушара, то шаровой сег-
мент дополняется конусом, у которого вер-
шина в центре шара, а основанием является
основание сегмента. Если же сегмент больше
полушара, то указанный конус из него уда-
ляется (рис. 321). Объем шарового сектора
получается сложением или вычитанием объемов соответству-
ющих сегмента и конуса. Для объема шарового сектора по-
лучается следующая формула:
V=-nR2H,
3
где R — радиус шара, а Н — высота соответствующего ша-
рового сегмента.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Сформулируйте основные свойства объема.
2.	Докажите, что объем прямоугольного параллелепипе-
да равен произведению его линейных размеров.
3.	Докажите, что объем любого параллелепипеда равен
произведению площади его основ 1ния на высоту.
4.	Докажите, что объем любой призмы равен произведе-
нию площади ее основания на высоту.
5.	Выведите формулу для объема треугольной пирамиды.
6.	Докажите, что объем любой пирамиды равен одной тре-
ти произведения площади ее основания на высоту.
7.	Докажите, что объемы подобных тел относятся как ку-
бы соответствующих линейных размеров.
8.	Выведите формулу для объема цилиндра (конуса).
9.	Выведите общую формулу для объемов тел вращения.
10.	Что такое шаровой сегмент, шаровой слой, шаровой
сектор?
11.	Выведите формулы для объема шара, шарового сегмен-
та, шарового сектора.
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Три латунных куба с ребрами 3 см, 4 см и 5 см переплав-
лены в один куб. Какую длину имеет ребро этого куба?
244
2.	Металлический куб имеет внешнее ребро 10,2 см и мас-
су 514,15 г. Толщина стенок равна 0,1 см. Найдите
плотность металла, из которого сделан куб.
3.	Если каж; цве ребро куба увеличить на 2 см, то его объем
увеличится на 98 см3. Чему равно ребро куба?
4.	Если каждое ребро куба увеличить на 1 м, то его объем
увеличится в 125 раз. Найдите ребро.
5.	Кирпич размером 25 X 12 X 6,5 см имеет массу
3,51 кг. Найдите его плотность.
6.	Требуется установить резервуар для воды ем-
костью 10 м3 на площадке размером 2,5 X 1,75 м, слу-
жащей для него дном. Найдите высоту резервуара.
7.	Измерения прямоугольного параллелепипеда 15 м, 50 м
и 36 м. Найдите ребро равновеликого ему куба.
8.	Измерения прямоугольного бруска 3 см, 4 см и 5 см.
Если увеличить каждое ребро на х сантиметров, то
поверхность увеличится на 54 см2. Как увеличится его
объем?
9.	В прямом параллелепипеде стороны основания а и b
образуют угол 30°. Боковая поверхность равна S.
Найдите его объем.
10.	В прямом параллелепипеде стороны основания 2 )^2 см
и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ паралле-
лепипеда равна 7 см. Найдите его объем.
11.	Основание прямого параллелепипеда — ромб, площадь
которого 1 м2. Площади диагональных сечений 3 м2 и
6 м2. Найдите объем параллелепипеда.
12.	Ре.пиге предыдущую задачу в общем случае, если пло-
щадь ромба Q, а площади диагональных сечений М и N.
13.	Основание наклонного параллелепипеда — квадрат,
сторона которого равна 1 м. Одно из боковых ребер
равно 2 м и образует с каждой из прилежащих сторон
основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда.
14.	Грани параллелепипеда — равные ромбы со стороной
a w. острым углом 60°. Найдите объем параллелепипеда.
15.	По стороне основания а и боковому ребру найдите объем
правильной призмы: 1) треугольной; 2) четырехуголь-
ной; 3) шестиугольной.
16.	Деревянная плитка в форме правильного восьмиуголь-
ника со стороной 3,2 см и толщиной 0,7 см имеет массу
17,3 г. Найдите плотность дерева.
17.	Чугунная труба имеет квадратное сечение, ее внешняя
ширина 25 см, толщина стенок 3 см. Какова масса 1 по-
гонного метра трубы (плотность чугуна 7,3 г/см3)?
18.	Диагональ правильной четырехугольной призмы рав-
на 3,5 см, а диагональ боковой грани 2,5 см. Найдите
объем призмы.
19.	Сторона основания правильной треугольной призмы
26S
равна а, боковая поверхность равновелика су^.ме ос-
нований» Найдите ее объем.
20.	В правильной шестиугольной призма площадь наиболь-
шего диагонального сечения 4 м2, а расстояние между
двумя противолежавшими бокозышг гргнями 2 м. Най-
дите объем призмы.
21.	В наклонной призме проведено сечение, перпендикуляр-
ное боковым ребрам и пересекающее все боковые ребра.
Найдите объем призмы, если площадь сечения Q, a
боковые ребра равны I.
22.	Боковые ребра наклонной треугольной при® гы равны
15 м, а расстояния между ними 2G м, 25 м и 17 м. Най-
дите объем призмы.
23.	Вычислите пропускную способность (в кубических мет-
рах за 1 ч) водосточной трубы, сечение которой имеет вид
равнобедренного треугольника с основанием 1,4 м и вы-
сотой 1,2 м. Скорость течвхгчя 2 м/с.
24.	Сечение железнодорожной насыпи имеет вид трапеции
с нижним основанием 14 м, верхним 8 м и высотой 3,2 м.
Найдите, сколько кубических метров земли приходится
на 1 км насыпи.
25.	В прямой треугольной призме стороны оснований рав-
ны 4 см, 5 см и 7 см, а боковое ребро равно большем вы-
соте основания. Найдите объем призмы.
26.	Площадь основания прямой треугольной призмы рав-
на 4 см2, а площади боковых граней 9 см2,10 см2 и 17 см2.
Найдите объем.
27.	Основание призмы — треугольник, у которого одна сто-
рона равна 2 см, а две другие по 3 см. Боковое ребро
ргвно 4 см и составляет с плоскостью основания угол
45°. Найдите ребро равновеликого куба.
28.	Основанием наклонной призмы является равносторон-
ний треугольник со стороной а; одна из боковых граней
перпендикулярна основанию и представляет собой ромб,
у которого меньшая диагональ равна с. Найдите объем
пр азмы.
22. Чему равен объем прямоугольного параллелепипеда,
диагональ которого а составляет с плоскостью основа-
ния угол а, а с боковой гранью — угол р?
39. Каждое ребро параллелепипеда равно 1 см. У одной из
вершин параллелепипеда все три пло ?ких угла ост-
рые, по 2а каждый. Найдите объем параллелепипеда.
31.	В параллелепипеде длины трех ребер, исходящих из
одной вершины, равны а, Ь, с. Ребра а и Ь взаимно пер-
пендикулярны, а ребро с образует с каждым из них
угол а. Найдите объем параллелепипеда.
32.	Чему равен объем прямой четырехугольной призмы,
если ее высота h, диагонали наклонены к плоскости ос-
166
нованмя под углами а и ₽ и острый угол между диа-
гоналями основания равен у?
33.	Но стороне осноганяя а п боковому ребру Ъ найдите
объем правильной пирамиды: 1) треугольной; 2) че-
"ырехугольной; 2) шестиугольной.
34.	Сторона основания правильной шестиугольной пира-
миды а, а двугранный угол при основании ра^ен 45°.
Найдите объем пира ...иды.
35.	Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпенди-
кулярны, каждое из них равно Ь. Найдите объема пигакиды.
36.	Чему равен объем правильной треугольной пирамиды,
у которой сторона основания а, а боковые ребра взаим-
но перпендикулярны?
37.	По ребру а правильного тетраэдра найдите его объем.
38.	По ребру а октаэдра найдите его объеи:.
39.	Основание пиргммды — прямоугольник со сторонами
9 м и 12 м; все боковые ребра равны 21,5 ы. Найдите
объем пирамиды.
40.	Основание пирамиды — равпобепреиный треугольник со
сторонами 6 см, 6 см и 8 см. Все боковые ребра равны
9 см. Найдите объем пирамиды.
41.	Одно ребро треугольной пирамиды равно 4 см, каждое
из остальных 3 см. Найдите объем пипамиды.
42.	Найдите объем усеченной пирамиды с площадями осно-
ваний 01 и Q2 <Qi > Qz) и высотой Л.
43.	В пирамиде с площадью основания QL проведено сече-
ние, параллельное основанию, на расстоянии Л от него.
Пло’дадь сечения равна Q2. Найдите высоту пирамиды.
44.	В правильной усеченной четырехугольной пираи* де
стороны нижнего и верхнею осн званий равны а и Ь, а
двугранный угол при ребре нижнего основания равен а.
Найдите объем пирамиды.
45.	Решите предыдущую задачу в случае правильной усе-
ченной треугольной пирам, ды.
46.	В основании пирамиды лежит прямоугольник. Каждое
боковое ребро пирамиды равно I и составляет со смеж-
ными сторонами прямоугольника углы аир. Найдите
объем пира миды.
47.	Найдите объем пирамиды, имеющей основанием тре-
угольник, два угла которого аир, радиус о писание го
круга R. Боковые ребра пирамиды наклонены к плос-
кости ее основания под углом у.
48.	Через середину высоты пирамиды проведена плоскость,
параллельная основанию. В каком отношении она де-
лит объем пирамиды?
49.	Высота пирамиды й. На каком расстоянии от вершины
находится сечение, параллельное осн^ванш > и делящ« е
ее объем пополам?
267
50.	25 метров медной проволоки имеют массу 100,7 г. Най-
дите диаметр проволоки (плотность меди 8,94 г/см3).
51.	Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два во-
дяных цилиндра. Диаметры цилиндров 80 мм, а ход
поршня 150 мм. Чему равна часовая производитель-
ность насоса, если каждый поршень делает 50 рабочих
ходов в минуту?
52.	Во сколько раз надо увеличить высоту цилиндра, не
меняя основание, чтобы объем увеличился в п раз? Во
сколько раз надо увеличить радиус основания цилинд-
ра, не меняя высоту, чтобы объем увеличился в п
раз?
53.	В цилиндр вписана правильная треугольная призма,
а в призму вписан цилиндр. Найдите отношение объе-
мов цилиндров.
54.	Найдите объем цилиндра, вписанного в правильную
шестиугольную призму, у которой каждое ребро равно а.
55.	Свинцовая труба (плотность свинца 11,4 г/см3) с тол-
щиной стенок 4 мм имеет внутренний диаметр 13 мм.
Какова масса 25 м этой трубы?
56.	Найдите объем усеченного конуса, у которого радиусы
оснований Hi и R2 (Т?2 < KJ, & высота й.
57.	Сосновое бревно длиной 15,5 м имеет диаметры концов
42 см и 25 см. Какую ошибку (в процентах) совершают,
вычисляя объем бревна умножением площади его сред-
него поперечного сечения на длину?
58.	Радиусы оснований усеченного конуса R и г; образую-
щая наклонена к плоскости основания под углом 45°.
Найдите объем.
59.	Площадь осевого сечения усеченного конуса равна раз-
ности площадей оснований, а радиусы оснований R и г.
Найдите объем конуса.
60.	Усеченный конус, у которого радиусы оснований 4 см
и 22 см, требуется превратить в равновеликий цилиндр
такой же высоты. Чему равен радиус основания это-
го цилиндра?
61.	По данным радиусам оснований R и г определите от-
ношение объемов усеченного конуса и полного конуса.
62.	Куча щебня имеет коническую форму, радиус основа-
ния которой 2 м, а образующая 3,5 м. Найдите объем
кучи щебня.
63.	О 2эвым сечением конуса является равнобедренный пря-
моугольный треугольник, площадь которого 9 м2. Най-
дите объем конуса.
64.	Длина образующей конуса равна I, а длина окружнос-
ти основания с. Найдите объем конуса.
65.	Образующая конуса I составляет с плоскостью осно-
вания угол а. Найдите объем конуса.
2G8
66.	Стог сена имеет форму цилиндра с коническим верхом.
Радиус его основания 2,5 м, высота 4 м, причем цилин-
дрическая часть стога имеет высоту 2,2 м. Плотность
сена 0,03 г/см3. Определите массу стога сена.
67.	Жидкость, налитая в конический сосуд 0,18 м высоты
и 0,24 м в диаметре основания, переливается в цили i-
дрический сосуд, диаметр основания которого 0,1 м. Как
высоко будет стоять уровень жидкости в сосуде?
68.	Равносторонний треугольник вращается вокруг своей
стороны а. Найдите объем полученного тела вращении.
69.	Прямоугольный треугольник с катетами а и & вращает-
ся около гипотенузы. Найдите объем полученного
тела.
70.	Чугунный шар регулятора имеет массу 10 кг. Найди-
те диаметр шара (плотность чугуна 7,2 г'см3).
71.	Требуется переплавить в один шар два чугунных ша-
ра с диаметрами 25 см и 35 см. Найдите диаметр нового
шара.
72.	Имеется кусок свинца массой 1 кг. Сколько шариков
диаметром 1 см можно отлить из куска? (Плотность
свинца 11,4 г/см3.)
73.	Из деревянного цилиндра, высота которого равна диа-
метру основания, выточен наибольший шар. Сколько
процентов материала сточено?
74.	Внешний диаметр полого шара 18 см. Толщина стенок
3 см. Найдите объем материала, из которого изготов-
лен шар.
75.	Сосуд имеет форму полушара радиуса R, дополненного
цилиндром. Какой высоты должна быть цилиндричес-
кая часть, чтобы сосуд имел объем V?
76.	Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит
его на части 3 см и 9 см. На какие части делится объем
шара?
77.	Какую часть объема шара составляет объем шарового
сегмента, у которого высота равна 0,1 диаметра шара?
78.	Два равных шара расположены так, что центр одного
лежит на поверхности другого. Как относится объем
общей части шаров к объему целого шара?
79.	Диаметр шара, равный 30 см, является осью цилиндра,
у которого радиус основания равен 12 см. Найдите объем
части шара, заключенной внутри цилиндра.
80.	Чему равен объем шарового сектора, если радиус ок-
ружности его основания равен 60 см, а радиус шара
равен 75 см?
81.	Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается
около одного из боковых радиуссв. Найдите объем по-
лученного тела.
269
§21. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ТЕЛ
ПОНЯТИЕ ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим одну практическую задачу. Представим себе
купол здания и плоский лист железа в форме квадрата со сторо-
ной 1 м. Пусть купол здания и льет железа окраши-
ваются. Если на окраску купола пошло Vj л краски, а на
окраску листа железа V2 л краски, то естественно считать,
у
что площадь купола здания в — раз больше площади листа
железа. Величина — характеризует величину площади по-
^2
веркности купола в сравнении с единицей площад i в
1 м2. Количество Va краски, необходимое для окраски листа
железа, примерно равно объему параллелепипеда с квадра-
том 1 X 1 м в основании и высотой Л, разной толщине кра-
сочного покрытия. Поэтому для оценки площади поверхнос-
у
ти купола получается величина —.
h
Перейдем теперь к геометрическому определению пло-
щади поверхности. Пусть F — данная поверхность. Построим
тело Fk, состоящее из всех точек пространства, для каждой
из которых найдется точка поверхности F на расстоянии,
не большем Л. Наглядно тело F можно представить себе как
тело, заполненное краской при окрашивании поверхности
с обеих сторон елеем краски толщиной h.
Пусть Vh — объем тела Fk. Площадью поверхности F иы
будем называть предел отношения — при h -> О, т. е.
2h
S = lim
Л-.0 2Л
Можно доказать, что для таких простых выпуклых по-
верхностей, как боковая поверхность приз’иы и пирамиды,
данное определение дает прежнее значение площади поверх-
ности — сумму площадей боковых граней.
Рис. 322
ПЛОЩАДЬ СФЕРЫ
Найдем площадь сферы. Пусть F — дан-
ная сфера радиуса R. Тело Fh, о котором
идет речь в определении площади поверх-
ности, представляет собой слой между дву-
мя концентрическими сферами радиусов Л+
4- h и R — h (рис. 322). Объем этого тела
равен разности объемов шаров радиусов
R + h и R — h, т. е.
270
V,. = 4n[(B + ft)s-(B-ft)3].
О
Имеем:
= — (6ЛВ2 + 2Л3) = 4лВ2 /14- —\
2i з а	\ ' 3R2 )
При Л -> 0 отношение — стремится к пределу 4лВ2. Таким
2Л
образом, площадь сферы радиуса R равна 4 лВ2.
БОКОВАЯ ПОВЕРХНОСТЬ ЦИЛЧНДОА
Найдем площадь боковой поверхности цилиндра радиуса
R и высоты Н. Тело Fh, о котором идет речь в определении
площади поверхности, в данном случае заключено между
цилиндрическими поверхностями радиусов R + Л, R — h
и двумя плоскостями, перпендикулярными оси цилиндра,
отстоящими на расстояние Н + 2ft 'рис. 323). Часть этого
слоя, расположенная между двумя плоскостями оснований,
отстоящими на расстояние Й, целимом принадлежит телу
Fh. Отсюда следует, что
Vh < [л (В + ft)2 — л (В — Л)2] (Я + 2Л),
У„ > [л (В + Л)2 — л (В — Л)2] Н.
Ига
4лВЛЯ < Vh < 4nRh (Н + 2ft).
Отсюда
2лВЯ < —л < 2лВЯ + 4лВЛ.
2Л
При Л -> 0 правая часть неравенства стремится к 2лВН. Сле-
довательно,
Ит—Л = 2лВЯ.
h-,0 2Л
Таким образом, площадь боковой поверхно-
сти цилиндра определяется по формуле
S = 2лВЯ,
где В — радиус цилиндра, а Я — высота.
Аналогично можно найти площадь боко-
вой поверхности конуса и сферического
сегмента.
Площадь боковой поверхности конуса
равна
S=nRl,
271
где R — радиус основания конуса, а I — длина образующей.
Площадь поверхности сферического, сегмента равна
S = 2лВН,
где R — радиус сферы, а Н — высота сегмента.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
1.	Что такое площадь поверхности тела?
2.	Выведите формулу для площади поверхности шара.
3.	По какой формуле вычисляется площадь поверхности
шарового сегмента?
4.	Выведите формулу для боковой поверхности цилиндра.
5.	По какой формуле находится площадь боковой повер-
хности конуса?
УПРАЖНЕНИЯ
1.	Поверхности двух шаров относятся как m : п. Как от-
носятся их объемы?
2.	Гипотенуза и катеты являются диаметрами грех шаров.
Какая существует зависимость между их поверхностями?
3.	Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65 см име-
ет высоту 18 м. Сколько жести нужно для ее изготовле-
ния, если на заклепку уходит 10% материала?
4.	Полуцилиндрический свод подвала имеет 6 м длины и
5,8 м в диаметре. Найдите полную поверхность под-
вала.
5.	Из круглого листа металла выштампован цилиндри-
ческий стакан диаметром 25 см и высотой 50 см. Предпо-
лагая, что площадь листа при штамповке не изме-
нилась, найдите диаметр листа.
6.	В цилиндре площадь основания равна Q, а площадь
осевого сечения М. Чему равна полная поверхность ци-
линдра?
7.	Конусообразная палатка высотой 3,5 м с диаметром
основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадрат-
ных метров парусины пошло на палатку?
8.	Крыша силосной башни имеет форму конуса. Высота
крыши 2 м, диаметр башни 6 м. Найдите поверхность
крыши.
9.	Площадь основания конуса S, а образующие наклоне-
ны к основанию под углом а. Найдите боковую поверх-
ность конуса.
10.	Как относятся между собой боковая и полная поверх-
ности равностороннего конуса (в сечении — правиль-
ный треугольник)?
11.	Полукруг свернут в коническую поверхность. Найдите
угол между образующей и осью конуса.
27’.
12.	Радиус кругового сектора равен 3 м, его угол 120°.
Сектор свернут в коническую поверхность. Найдите ра-
диус основания конуса.
13.	Сколько квадратных метров латунного листа потребу-
ется, чтобы сделать рупор, у которого диаметр одного
конца 0,43 м, другого конца 0,036 м и образуощая
1,42 м ?
14.	Сколько олифы потребуется для окраски внешней по-
верхности 100 ведер конической формы, если диаметры
ведер 25 см и 30 см, образующая 27,5 см и если на 1 м?
требуется 150 г олифы?
15.	Полная поверхность равностороннего конуса равнове-
лика поверхности шара, построенного на его высоте как
на диаметре. Докажите.
16.	Поверхность тела, образуемого вращением квадрата
около стороны, равновелика поверхности шара, имею-
щего радиусом сторону квадрата. Докажите.
17.	Радиус шара 15 см. Какую площадь имеет часть его по-
верхности, видимая из точки, удаленной от центра на
25 см?
18.	Шар радиуса 10 см цилиндрически просверлен по оси.
Диаметр отверстия 12 см. Найдите полную поверхность
тела.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ
5 1.
7. Не более одной. 10. 1), 2), 4) Пересекает; 3), б), 6) не пер^екает.
11. 6 отроков. 14. 1) 6 см; 2) 7,7 дм; 3) 18,1 м. 17. 1), 2} Не принад; ежит,
3) принадлежит. 18. 1), 2) Не может. 19. Не могут. 20. Не могут. 21. Не
могут. 22. 0,5 м или 5,9 м. 23. Отрезок ЛВ. 24. Не может. 25. 1) АС = 9 м,
ВС = 6 м; 2) АС = 10 м, ВС = 5 м; 3) АС = ВС = 7,5 м; 4) АС = 6 м,
ВС = 9 м. 27. 1) 110°; 2) 119°; 3) 179' . 28. 2), 3) Не может. 29. Угол (яЬ)
больше. 30. 1) /(яс) = 45°, /(Ьс) = 15°; 2) /(яс) = 40°, /(Ьс) = 20°;
3) /(яс) = /(Ьс) = 30°; 4) /(яс) = 24°, /(Ьс) = 36°. 33. Не существует.
34. Одна. 36. 1) 1,2 м; 2) 2,4 см. 38. 11 см. 39. 100°. 41. PQ = б см, QR =
= 6 см, PR = 7 см. 42. /А = 40?, /В = 60°. /С = 80°. 4ч. В ДЛВС:
АВ = 5 см, ВС — 6 см, АС = 7 см. 46. Нельзя. 47. Не может.
§ 2.
1. 150“, 135е, 120°, 90°. 2. 1), 2) не могут; 8) могут. 4. 1) 105° и 75°;
2) 110° и 70°; 3) 45й и 135°. Б. 1) 72° и 108°; 2) 54° и 126°; 3) 55° и 125°; 4) 88°
и 92°. 6. 150°, 160', 30°. 7. 130°. 9. 144“ и 36°. 10. 65° и 115°. И. Все углы
прямые. 13. 1) Не может; 2) не^ожет. 14. 1) 20°; 2) 60°; 3) 90°. 15. /(fljb)=
= 120°, /(я^) = 150°, /(Ьс) = 30°. 17. 1) 110°; 2) 175°; 3) 170°. 18. 1) 15°;
2) 26°; 3) 86°. 19. 1) 120°; 2) 150°; 3) 178°. 21. У к а з а г и е. Воспользуй-
тесь результатом задачи 20 и теоремой 2.3. 22. 1) 155°; 2) 185°; 3) 105°.
23. 2) Указание. Соедините отрезком точки А и С и воспользуйтесь
утверждением задачи 23, 1).
§ 3.
10. 0,3 м. 11. 3,5 м. 12. 1) 3,2 м, 6,2 м, 6,2 м; 2) 7,2 м, 4,2 м, 4,2 м.
21. Указание. Воспользуйтесь свойством медианы в равнобедренном
треугольнике. 25. 15 м. 26. 15 м. 29. Указание. Воспользуйтесь ут-
верждением задачи 28. 38. Указание. Продлите медианы на их длину.
40. Указание. Продлите медианы на их длину.
§ 4.
2. Углы ABiCf и ACjBi и углы BBtCt и CCjB, внутренние односторон
ние, а углы АВ/?! и CC^i и углы ВВ1С1 и ACjBj внутренние накрест лежь
щие. 8. 105° и 75°. 9. 75°. 10. Три угла по 72° каждый и четыре угла по 108°
каждый. 11. Не может. 13. 90°. 14. 1) 100°; 2) 65°; 3) 35°; 4) 35°. 15. 1) 30°,
60°, 90°; 2) 40°, 60°, 80°; 3) 45°, 60°, 75°; 4) 48°, 60°, 72°; 5) 50°, 60°, 70°.
16. Не может. 17. Не может. 18. 1) 100°; 2) 70°; 3) 86°. 19. 1) 60°; 2) 30°;
3) 75°. 20. 40°, 40°. 21. 70° и 40° или 55° и 55°. 22. Два угла равны 120° —
2	4	1	V
— —а и один—а — 60°. 24. 1) 180° — — (а + Р); 2) 90° + —. 25. 110°,
36°, 36°. 26. 60°, 30° и 90°. 27. 110°. 29. а. 30. Углы ДАВИ: /А = а, /В =
- 90°, /В = 90° — а, углы ДСВВ. /В = 90°, /В = а + р — 90°, /С =
= 180° — а — Р. 32. 60°. 33. /В = у/А, /В = ~ZC, /ВВВ = /В +
+ ~ (Z.A + /С). 34. 140°, 10°. 36. 90°, 45°, 45°. 37. /В = 90°, /В = 60°,
/А = 30?. 38. 150°. 39. 90°.
274
§ Б.
1. Указание. Отложите на луче отрезок, равный радиусу. 2. См.
задачу 1. 5. 60°. 6. 120-. 7. Не может. 9. 30°. 10. 60° и 120°. 11. 70 см, 10 см.
12. Не могут. 13. 1) Не могут; 2) не могут. 25. Указание. Начните с
построения равностороннего треугольника. 27. Указание. В искомом
треугольнике продлите медиану ла ее длину. 32. Указание. Начните с
построения высоты. 36. См. задачу 42 § 4. 37. См. задачу 36. 45. Указа-
ние. Центр искомой окружности лежит на биссектрисе угла. 46. 10 см.
47. 5 см. 50. См. задачу 49. 52. а иль 180°— а. 53. 150°. 54. Указание.
1) Точка касания, данная точка и центр окружности является вершинами
прямоугольного треугольника. 2) Сведите решение задачи к предыдущей,
пострс ив вспомогательную окружность, концентричную одной из данных,
радиусом, равны « сумме или разности радиусов данных окружностей. 59.
Указание. Воспользуйтесь свойством углов, впи"чиных в окружность.
§ 6.
3. Три. 4. 10 м. 5. 3 см. 7. ВС = AD = 4,8 м. 8. 40°, 140°, 140°. 9. 115°
и 65°. 10. Не могут. 11. 60°, 60°, 120°, 120°. 12. 1) 40°, 40°, 140°, 140°; 2) 50°,
50°, 130°, 130°; 3) 80°, 80°, 100°, 100°. 13. 1) 55°, 55°, 125°, 125°; 2) 35°, 35°, 145°,
145°; 3) 20°, 20\ 160°, 160°. 16. BE = 9 см, СЕ = 6 см. У к а з а н и е. До-
кажите, что треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АЕ. 17. 0,6 м
и 0,8 м. 18. АВ — ВВ — 1,1 м; АВ = 0,8 м. 23. 60 см. 24. 10 см и 18 см.
25. 12 см, 20 см. 26. 12 см. 27. 10 см и 25 см или 7,5 см и 16,75 см. 30. 80°
и 100°. 32. 60° и 120°. 35. 4 м. 37. 2 м. 30. 2 м. 39. 4 м, 8 м. 40. 1 м. 41.
10 см. 42. 4 см, 5 см, 6 см. 43. 6 см. 44. 6 см, 5 ем, 5 см. 48. 5 м, 6 м. 49, а +
+ Ь. 52. 3 м, 4 м. 54. 70° и 110°. 55. 1,7 м. 56. 24 см, 36 см. 57. 60° и 120°.
58. 15 м. 59. Зсм. 61. 4 м, 6 м. 62. 2,2 м. 63. 9 см и 5 см. 64. а. 65. Указа-
ние. Постройте сначала треугольник, две стороны которого равны боковые
сторона л трапеции, а третье — разности основан-й. 66. Указание.
Постройте скачала треугольник, две стороны которого равны диагоналям
трапеции, а третья — сумме ее оснований. 68. Указание. Восвэлььуй-
тесь свойством углов, отложенных в одну полуплоскость (теорема 2.4).
§ 7.
а
3. 5мили/7м. 4. 1) 5см; 2) 17 дм; 3) 6,5м. 5. 109 см. 6. ^=-. 7. Нель-
8. — —. 9. 1) 15 см, 20 см; 2) 60 м, 80 м. 11. У к а и а н и е. Искомый
*3*3
отрез' к — высота прямоугольного треугольника, оснозание которой делит
гипотенузу на отрезки а и 5.12. /116 м = 16,8 м. 13. —у^а2	Б2. 14. 32 см,
60 см. 15. 15 см. 17.	3 18- 24 см. 19. 36 см, 54 см. 20. 25 см или 11 см.
2
22. 1) 24 см; 2) 24 см. 23. 12 см, 11,2 см, — см. 24. 13,44 сы. 25. 2) Нельзя.
26. 10 см, 6 см. 27. f28- R = см’ r = I СМ’ 29’ 0О° “
27S
a cos a, a sin a. 30. 90° — a, -° ,-. 33. 1) sin 16° = 0,2756, cos 16° =
tg a sin a
= 0,9613; 2) sin 24°36' = 0,4163, соз 24°36' = 0,9092; 3) sin 70°32' = 0,9428,
соз 70°32' = 0,3333; 4) sin 88°49’ = 0,9998, соз 88°49' = 0,0203. 34. 1) x =
= 1°; 2) x = 30 6'; 3) x = 47°3'; 4) x = 86°9'. 35. 1) tg 10° = 0,1763;
2) tg 40°40' = 0,8591; 3) tg 50°30' = 1,213; 4) tg 70°15' = 2,785. 36. 1) x =
= 17c53'; 2) x = 38°7'; 3) x = 80°46'; 4) x = 83°50'. 37. 31°25'; 31°25';
117°10'; 23,8 cm. 38. 34°10' и 55c50'. 39. 51°. 40. 116°16' и 63°44'. 41. 29°52'
и 150°8'. 42. 12 m, 45°14'. 43. 60°16'. 44.	45. 1) a) 5; 36°52'; 53°8';
/2
6) 41; 12°41'; 77J19'; в) 29; 43°36'; 46°24'; r) 61; 10°23'; 79°37'. 2) a) 12; 22°37';
67°23'; 6) 24; 16°16'; 73°44'; в) 15; 28c4'; 61°56'; r) 13; 81°12'; 8°48'. 3) a) 70°;
0,68; 1,88; 6) 39°40'; 3,08; 2,55; в) 19°24'; 7,55; 2,66; r) 13°39'; 15,55; 3,78.
4) a) 59°33'; 5,92; 5,10; 6) 49°12'; 7,65; 5,79; в) 29°25';8,04; 3,95; r) 22°; 9,71;
3,64. 46. 1) cos8 a; 2) sin8 a; 3) 2; 4) sin3 a; 5) 1; 6) sin8 a; 7) 1; 8) sin8a;
12	12	8	8
9) 1 + tg6 a. 47. 1) sin a= —, tg a= —; 2) sin a= —, tg a = —; 3) sin a=0,8,
13	5	1<	15
4	4	3	9	40
tg a = —. 48. 1) cos a = —, tg a = —;	2) cos a = —,	tg a = —;
3	54	41	9
4 n	a	a
3) cos a = 0,6, tg a — —. 50. —l—. 51. r = —7=, R = —. 52. 29 cm.
6	3	2	2^3
,_	V3 —1
53. (1'3 —1) м ~ 0,732 m, '-— м =s 0,517 m. 54. 60° и 120°. 55. 60°, 60°,120°,
K2
120°. 56. 1), 6) a; 2), 3), 4), 5) p. 57. BC. 58. /А. 59. 3 m. 62. He может.
63. 2 м. 67. Точка пересечения отрезков AB и CD. 68. He могут. 71. R — d,
R + d. Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника. 72.
d + J?, d — R. Указание. Зоспользуйтесь неравенством треугольника.
73. Не могут. 74. Не могут. 75. Указание. Сравните расстояние между
центрами окружностей с их радиусами. 76. Не могут.
S 8.
3. 2. 4. 3. 5. (2, 0). 6. (0, 3). 7. Прямая, параллельная оси у. 8. Две
прямые х = 3 и х = —3. 10. Положительную. 11. 4 (3). 12. 5. 13. х = 2.
14. х = —2. 15. Прямая, содержащая биссектрисы I и III четвертей. 16.
Прямая, содержащая биссектрисы II и IV четвертей. 18. (0, —2). 19. (1, 1).
20. (3, 3). 23. 1) 2; 2) 4. 25. АВ =5, АС = 10, ВС = 5. 26. Точка В.
28. (3, 3) и (15, 15). 29. (3, 4), (—4, 3), (0, 5). 30. (5, 12) ч (5, —12); (5, —12)
и (-5, -12). 31. х2 + (у — З)8 = 13. 32. (х + 4)8 + (у — З)8 = 25. 34. См.
задачу 33. 35. 1), 3), 4) нель"я, 2) мсжго. 36. (—2, 0) или (4, 0). 37. (7, 0)
и (1, 0). 38. (2, 2) и (—2, —2). 39. (х — I,8 + (У — 2)8 = 4. 40. (х + З)2 +
+ (У — 4)8 = 25. 43. х + у = 2. 44. 1) (—3, 0), (0; -1,5); 2) (4, 0), (0, 3);
3) (—2, 0); (0, 3); 4) (2,5; 0), (0, —5). 45. (—1, 1); (3, —2). 46. 1) (1, —2);
2) (2, 4); 3) (0,5; —2). 48. 1) х + у = Б; 2) Зх + «у = 2; 3) х + бу = —13.
49. а = Ь = —. 50. —3. 51. ±1^2. 52. Указание. Найдите точку
3
пересечения двух прямых и проверьте, лежит ли она на третьей прямой.
54. у = 3. 56. sin 120° - IjL, cos 120° = — —, tg 120° = — уПГ; sin 135° =
2	2
276
= cos 135° = — —L tg 135° =—1; sin 150° = —, ccs 150 = —
F2	У 2	2	2
tg 150° =	• 57. sin 160°= 0,3420; cos 140°= —0,7660; tg 130°=—1,192.
58. 1) sin 40° = 0,6428; cos 40° = 0,7660; tg 40° = 0,8391; 2) sin 14°36' =
= 0,2521; cos 14°36' = 0,9677; tg 14°36' = 0,2605; 3) sin 70°20' = 0,9417;
cos 70°20' = 0,3365; tg 70°20' = 2,798; 4) sin 30°16' = 0,5040; cos 30°16' =
= 0,8637; tg 30°16' = 0,5836; 5) sin 130° = 0,7660; cos 130° = —0,6428;
tg 130° = —1,192; 6) sin 150°30' = 0,4924; cos 150°30' = —0,8704; tg 150°30' =
=—0,5658. 59. Oj = 11°32' или 168°28'; a2 134°26'; a3 = 158°12'. 60. 1)
3
sin a= —V—, tg a = 2 ),Л2; 2) sin a = 15L, tg a = —1/"3; 3) sin a = -tL
2	У2
tg a =1; 4)
1,1	3
sin a — —, tg a = —	61. 1) cos a = 0,8, tg a = —; 2) cos a=
2	у 3	4
= _2^2
3 ’
tg a = —	; 3) cos a = ——==
2V2	/2
5	12 
tg ex — 1. 62. sin a = —, cos <x = ——.
13	13
tg a -—1 или cos a =
r 2
§ 9.
12. 1) He могут, 2) не могут. 15. He может. 20. Отрезок. 21. Прямая.
22. Бесконечное множество. На прямой, параллельной данкы», и равноот-
стоящей от них. 23. Трн. 25. Две. 26. Бесконечное множество. 29. Ука-
зание. Воспользуйтесь преобразованием симметрии относительно данной
точки. 30. Указание. Воспользуйтесь симметрией относительно пря-
мой Ь. 35. Окружность. Указание. Воспользуйтесь гомотетией отно-
сительно общего конца хорд. 38. Указание. Воспользуйтесь гомоте-
тией относительно вершчны треугольника, противолежащей данной стороне.
39. 0,8 м; 1 м; 1,2 м. 40. 10 м, 25 м, 20 м. 42. 13,6 см. 43. АС = 4 м, BiCx =
= 14 м. 44. АС — 24 см,	= 18 см, В^ — 15 см. 46. 15 см, 20 см, 25 см.
ah
47. 21 см. 49. -----. 50.	= 1,2 м; АС = 3 м. 51. 1} Не подобны;
а + h
2) подобны. 52. 1) Подобны; 2) не подобны. 53. 1) Подобны; 2) не подобны.
27
55, —. 56. 4 см. 57. —. 58. 1) 14 см; 2) 6 дм. 59. Указание. На одной
п	28
стороне угла отложите от его вершины отрезки а и Ь, а на другой — отрезок е.
Проведите через конец отрезка а прямую, параллельную прямой, которая
проходит через концы отрезков Ь и с. 60. Подобны. 61. 1) да; 2) да; 3) нес.
Ьс
62. 1 м, 2 м, 2,5 м. 63. 6,5 м, 5,5 м. 64. =42 м. 66. --. 67. т : п. 68. п ;
о —с
: т. 69. АС = 18 м. Указание. Треугольники ACD и СВА подобны.
70. т : п. 71. 15 см, 18 см. 72. 4,5 см. 73. -	77. =225,8 км (см.
Л.
задачу 76). 78. =82,4 км (сы. задачу 76).
277
§ 10.
1. (1, —1), (2, —1), (1, 1). 2. 1) a = Ь = 2; 2) a = — 3, Ь = 8; 3) a =
= b = 1. 4. 1) He существует; 2) существует. 7. Одинаково направленные
лучи: АВ и DC, ВС и AD, CD и ВА, DA и СВ. Противоположно ьанравленш' а
лучи: АВ и CD-, ВС и DA, DC ъ. ВА, AD и СВ. 8. Векторы АВ, АС и ВС оди-
н„ково неправлены, вектоп ВА и лкбой и» векторов АВ, лС, ВС противо-
г -ложно направлен! г. II. См. зад»чу 10. 14. т = ±12. 15. п — ±7. 17. 1)
(3,-^5); 2) (—1ГТ); 3) (1Г0); 4) (-Л?2)е 5) (1Д|. 18. 1) (бЛ)- 2) (-5, 3);
3) (17"—1); 4) (—1?Т); 5) (—1; -2)- 20. 1) 5; 2) 10; 3) 13. 21. 1) 13; 2) 10;
е) 17. 24. 1) Ъ(Ъ, 8); 2) Ъ(—6, —8). 25. 1) (—бГ^8); 2) (9, 7); 3) (12, 7).
1	5
28. 1) 10; 2) 13; 3) 15. 27. 1) 15; 2) 39; 3) 30. 28. 1) ±—; 2) ±1; 3) ±—.
2л	13
20. Венгры а я с одинаково нагргвлены, векторы Ъ и d противоположно
направлены; |а| = |d|, |b| ~ |с|. 32. и = 2. 33. Единичные векторы а, с, d;
векторы «я d коллинеарны. 34. (0,6; 0,8). 37. [2, —3). 38. А = —5, р = 4.
40. 00°. 41. УГ.42. 30°. 43. cos А = 0,6; cos В = 0; cos С = 0,8. 44. А А =
g	1	___
= 30°, /В = 60°, Z.C -- 90°. 46. т = —. 48. X = —-. 53. 1) ОХ =
3	2
_ ра + 7В •
М + А
§ 11.
2. та = ~1’2(Ь2 -,|-с2) — и2, ть = ±У 2 (а2 + с2) — 62, тс =
= — У~2 (а2 ± Ь2) — с\ 3. —У с2 ± d2 ± 2c<J cos а. 4. У а2 + Ь* dz 2al cos а.
2	2
____	5 33 з
7.	13 г иле ] г1513 м ~ 38,9 м. 8. —, —, —. 1О. Еслыпе отрезок AD. 12. Сто-
К 65 5
рона АВ наибольшая, сторона ВС наименьшая. 13. Угол В наибольший,
угол С 'вкизвекыплй. 14. Боковая сторона больше. 20. Сторона АВ увели^н-
—~	AC sin Р
ьаетсл 22. Н« —ожет. 23. Нс ьожет. 24. АВ ------------------------. 25. х =
sin (а + Р)
а sin а sin Р
sin (а — Р)
26. 1)	а = 1С5°,	Ъ х 1,59,	с =; 3,66;
2)	а = 45е,	Ь z=. 17,93,	с = 14,64;
3)	а = 20°,	Ь 65,78,	с 88,62;
4)	Т = 119е,	а == 16,69,	с =: 24,83;
5)	У = 68°,	a zs 13,57,	Ъ =: 11,22.
27. 1)	а = 74г6',	Р = 40е54 ,	с =: 10,58;
2)	а ~ 11°2',	Р = 38°58',	с =: 28,02;
3)	Р == 26°45',	у ~ 58°15',	а =: 19,92;
4)	Р = 20°30',	у К°30',	а = 22,92;
278
5)	а ~ 16°20',	Т=11°40',
6)	а ~ 129°б0', у ~ 35°10',
28. 1)	с = 8,69,	р — 21°9',
2)	с = 19,63,	р ~ 12°53',
3)	с ~ 22,30,	Р — 5°3б',
4)	Решения не имеет.
5)	с =11,40,	Р = 41°49',
или С :	~ 2,46,	р ~ 138°1Г,
29. 1)	а = 28J57', Р — 43”34',
2)	а = 53°35', Р = 13°18',
3)	а = 34°3’,	Р = 44°25',
4)	а = 38°Г8', р ~ 92°50',
5)	а = 14°58', Р ~ 11°,
6)	а = 135°35', Р ~ 15°30',
ь = 53,41;
Ь = 8,09.
у = 38°бГ;
у = 20 7’;
V = 10°2б'.
30. Указание. Воспользуйтесь задачей 2.
у = 108°11'
у = 11°49'.
Т = 104°29';
у = 113°7';
у = 101°32 ;
у = 48г32';
у ~ 154°2';
у = 28°55'.
§ 12.
2. R^R^-d, Rj -Л,—d. 6. Не южет. 9. 36°, 72°, 108 , 144°. 10. 1) 8;
2) 12. 11. 1) 10 сторон; 2) 15 сторон. 12. Указание. У этого
n-угелы ”ка все стороны равны, все углы равны. 13. Указание. У этого
тг-угольника все стороны равны, вее углы равны. 16. —п (п — 1). 18. У к а-
2
з а н и е. Выразите оба радиуса через сторону треугольника. 19. а
Указание. Найдите сначала радиус окружности. 20. 2 дм. 21. 2 1^2 см.
22. /Зсм.24. Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов. 25. У к а.
з а н и е. Сначала с помощью задачи 73 § 9 найдите сторону 10-угольника,
а затем по теореме кослнусов — сторону 5-угольннка.
26.
27. 1 А» । —.	28. Ь = 2aR .	29. а = - 2bR -  _
У ^4	/4Д2—а2	М^2 + Ь2
30. Указание. Впишите сначала правильный шестиугольник. 31. Ука-
зание. Опшдите сначала квадрат. 32. 1) 62,8 м; 2) 94,2 м. 33. 6,28 мм.
84. ~ 3,06. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 23. 35.
—. 3,11. Указание. Воспользуйтесь результатом задачи 24.
R УЗ"	R R
S6. = 6366,2 км. 37. =6,3 см. 38. 1) ---—; 2)------—; 3)—. Ука-
2 + ) 3	1 + /2	3
з а н и е. Центры кругов являются вершинами празпльного л-уго.оьнпкз.
3&. 1) R (3 + 2 УЗ)-, 2) R (1 + рл2); 3) R. Указание. Центры кругов
являются вершинами правильного п-угольника. 40. = 351,9 м/мин. 41.
1) 300 и 60 °; 2) 230° и 130°; 3) 190° и 170J. 42. 1) 120°, 2) 90?; 3) 72°; 4) 60°;
5) 240°; 6) 270°. 43. 31". 44. 1) = 0,79 м; 2) = 0,52 м; 3) = 2,09 м; 4) = 0,80 м;
ла ла 2ла
5) =1,06 м; 6) =2,63 м. 45. 1) —; 2) —=; 3) —==. Указание.
'	а 2 у & V f V
279
По хорде и соответствующе" у центральному углу найдите радиус окружно-
сти. 46. 1) —2; 2) 3	2; 3) 3 • — . Указание. Найдите сначала ра-
Л л	2л
л	л	л
диус окружности. 47. 1)	—;	2)	—;	3)	—.
6	4	3
§ 13.
1. Указание. Примените теорему Пифагора. 2. ~ 180 м. 3. S = —.
4. В два раза. 5. Площадь увеличится в 9 раз. 6. В 5 раз. 7. 8 м, 18 м.
8. 12 дм, 25 дм. 9. 30°. 10. Квадрат. 11. 200 см2. 12. 202,8 см2. 14. /15 см.
17. /С = 90°. 18. ~ 0,47 м2. 19. 5,64 м2. 20. - S1-a -ln . 21. Указа-
2 sin (а 4- 0)
о2
н и е. Воспользуйтесь утверждением задачи 16. 25. 4800 м2. 26. -. 27. 6 см.
29. 0,2. 30. ЗД2 *3-  31. 600 см2. 32. 55 см, 48 см. 33. 84. 34. 11,2.
4	4
35. 480 см2. 36. 540 м2. 39. 1) R = —, г = 4; 2) R = —, г = 1,5; 3) R =
8	8
= 145 6 '	7 , г = —; 3	35 4) Я = -7= « /96	3,6;	г =	~ 1,2. 40. 4,5 см. 42. Я = 2
= 29	СМ, г =	Z2 12 см. 43. —. 4л	44.	1)	20 л си2; 2) 12 л м2; 3) л (а2 — Ь2).
45. 1)	В 4 раза; 2) в 25 раз;		3) в	тг	Л	. 4л	2Л раз. 46. 1) —; 2) —7=; 3) —7=. 2	3/3	З/З
1 47-7	ля2	ля2 . 48. 2. 49. 1) —2) ——; 9	4			3)	5лЯ2	2ЛЯ2	5ЛЯ2	11ЛЯ2 1 4)	; 5)	; 6)	. 12	3	6	12
50. 1)	к2 Т 2)	Rl	г, —. 51. а2 — 2	\ 3	-	/Т'| 4 )	|. 52. 1) (л — 2) Я2; 2) | л — -К3) Я2; \	4 /
3) ^л	_ 3 /3 j 2 )	Я2.			
§ 14.
2. Можно. 6. Указание. Возьмите точку в другой плоскости и
проведите через нее и данную прямую плоскость. Примените к этой плоско-
сти аксиому параллельных. 10. Четыре плоскости. 12. См. задачу 11.
§ 15.
4. 1) 6 м; 2) 4,2 дм; 3) 6,2 см; 4)	5. 1) 1 м; 2) 0,6 дм; 3) 2,1 см;
, | а — ЬI	i	Ь \
4) —~—L- 6. 1) 37,5 см; 2) 9,9 см; 3) 15 сы; 4) с /1 + — . 7. 1) 7 м; 2) 2 м;
2	\	а)
3) а + с — Ь. в.Нельзя. 12. 1) 5 см; 2) 3 см; 3) 8 см; 4) ———. 1Б. Не мо-
а + с
гут. 19. См. задачу 16. 20. Не всегда. См. задачу 16. 26. Решения нет, если
280
точка лежит в плоскости прямых 32.	= а. 35. Указание. Сравни-
те отношение отрезков двух произвольных пряных: ХгХ3Х3 и Y,YSY3.
37. Окружность. 38. Окружность. 40. Средней линией. 41. Не ножет.
42. Может. 43. Указание. Отношение отрезков сохраняется. 44. У к а-
з а н и е. Проекция перпендикулярного ди; метра проходит через середины
хорд, параллельных проекции данного диаметра
§ 16.
2. См. задачу 1. 3. 1) 6,5 см; 2) 15 см; 3) }<«2 — Ь2-|-d2;
4) У а2 — с2 + 2d2. 8. я 1/к- И. Окружность. 12. 6 см, 15 см. 13. 15 см,
Г о
41 см. 14. 4 см, 8 см. 15. 9 см. 18. рЛ1>2 — а2.19. рЛЬ8 + с2 — а2. 20. 0,36 м или
д Ч- д
0,44 м. 23. 1) 4,25 см; 2) 6,75 см; 3)	. 24. 1) 1,05 см; 2) 0,65 см;
|а — b |	ат
3) —~-----. 25. 0,6 м. 26. 9 м. 27. ——— (т соответствует основанию, через
которое проведена плоскость). 28.	29. 2,6 м. 30. ~3,9 м. 31. а2—
33. 2,5 м. 34. 6 м. 35. 14 см. 36. /я2 + 62. 37. j/а2—?L. 38. Длина
перпендикуляра У 2я2 — Ь2, длина стороны |ЛЬ2 — я2. 39. ] я2 + Ь2 — с2,
/с2 — я2, /с2 — Ь2. 40. У2Ь2 — я2. 41. 2 м. 42. У 2 м. 43. 2 У 2 м. 44. 6 м.
45. 5 м, 3 м. 46. 1 м. 47. 2,5 м. 48. 6,5 м. 49. У я2 + с2 — Ь2. 50. BD =
= /я2 + Ь2 + с2, CD = У а2 + с2. 51. 1/ Ь2 + с2 — Ъ-. 53. Указ а-
Т	а2
н и е. Прямые, перпендикулярные плоскости, параллельны. 54. 1) 11 м;
2) 13 м; 3) 8 м; 4) 7 м; 5) /я2 + Ь2 + с2; 6) /я2 + Ь2 — с2. 55. У а2 + Ь2.
56. У~23 м. 57. 4 м. 58. 1,3 м. 59. 1,7 м.
§ 17.
2. (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3); (1, 2, 0), (1, 0, 3), (0, 2, 3). 3. Расстояние
от плоскости ху равно 3, от плоскости хг равно 2, от плоскости уг разно 1;
расстояния от осей х, у, г соответственно равны ] 13, УТб, У 5; расстояние
от начала координат равно У14. 5. (2, 2, 2) и (—2, —2, —2). 6. С (0, 0, 0).
7. х + 2у + За = 7. 11. В (0, —1, 3). 12. 1) D (6,2, —2); 2) D (0, —2,2);
3) D (—1, 7, —2). 16. (—1, —2, —3), (0, 1, —2), (—1, 0, 3). 18. (—1, —2, 1).
19. 1), 2), 4) не существует;
3) существует. 21. 1) -у=; 2)	3)
У 2	2	2
22. 30° 23. 13 м. 25. 1) cos а =
12	г—
—; 2) cos а =—. 26. 30°. 27. я I 6. 28. а 12.
14	21
29. 30°. 30. Зя. 31. 3,36 м. 33. 1) D (—2, 3, 0); 2) D (2, 1, —2). 34. 1) п =
= —, т = ; 2) т = —2, п ="—2,5; 3) т = 4, и = 6. 36. 1) п = —;
3	2	3
281
2) я = —1; 3) n = 2; 4) n = 4. 37. e = 1. 38. Ya2 + b» + «» + |a| • 1Ы-
39. 1) cos <p — -4=-; 2) ф = 90°. 41. cos C =	42. cos <p=cos a  cos ₽.
i	1/ 3	f 15
cos 6 — cosaa	л -f2	1	2\	-f	2	1 2\
43. 50°. 44. cos <p =----•—--------• 45. e —.	— или e —	-).
sin2 a	\ 3	3	3}	\	3	33/
1 \
/6 J’
—/2	1
e (~ /6 ’ /6 ’
47. at = я2 = 0, a3 Ф 0. 48. a - b = 0, c =/=0,
d Ф 0. 50. 1) 3x — у — г + 6 = 0; 2) 3x + 3y — 2z — 5 = 0; 3) x — 5y +
+ 3z — 38 = 0. 51. I—|, I—I, 1—1. 55. k = Xa, I = Xb, m = Xc, X =/= 0.
| a | | b | | c |
53. kx + ly 4- mz = 0. 57. 1) (2, 1, —2); 2) (4,5; 1,5; 0,5); 3) (—2, —7, —28);
4) I —, —, ——). 58. Указание. Сложите почленно первое и третье
\ 3 3	3}
уравнения. 59. 1) с = 0, d =/= 0: 2) с = d = 0. 60. с = 0 (см. задачу 59).
61. Указание. Найдите какой-ниоудь вектор, перпендикулярный век-
тору (2, 3, 1). 62. Указание,
торам (2, 3, 1) н (1, 1, 1).
Найдите вектор, перпендикулярный век-
§ 18.
2	cos a
2. 60°. 4. cos п> =-----, cos В = ------• 5. 144 см2. 6. 7,5 см. 7. 12 см.
tga	у
cos—
2
a 7a2	,—
9. Зя2.10. cos x = /3 tg —. 11. --------. 12. 22 cm. 13. Q У2.14. 12.15. 2 m.
2	8 cos a
16.	4 m. 18. 45 cm2. 19. 1) ЗяЬ + ?	2) 4ab + 2я2; 3) 6ab + 3a2 /3.
20. 3/2 ]/T. 21. 1) 3; 2) 7; 3) 11. 22. 13 m, 9 m. 23. я
25. 2я, a/Y.
26.	2 m2. 27. 2 m2, 3 m2. 29. 1464 cm2. 30. 2 /M2 + 3Qb2. 31, 188 m2.
32.	=262 cm2. 34. 3 cm. 37.11 m. 38. tg щ = — tg a, tg a2 = tg a3 = tg a.
a tg В	r—	_ 2a2h
39.	----. 40. 2р^З cm. 41. —-— — —. 42. 9 cm. 43. 5 cm, 6 cm. 44. cos x =
2	4}<a2+3ft2
= tg-^-.45.1) 1/b2-	2). l/A —	3) /b2 - a2. 46.1) 1/Л2 + —;
2	r	3 f	2	f	12
2)	jA2 +	3) j/л2 +	47. 1) CL^ (a + /я2 + 12Л2); 2) a (я +
+ /a2 + 4Л2); 3) у (я + /Зя2 + 4й2). 48. 2г (г /Т+ Зя2 — г2).
49.	1,8 м, 4 м. 50. Зя2. 52. cos Ф = —. 53. 16 см и 6 см или 12 см и 8 см.
54.	}Г2 см. 55. 26 м2. 56. 540 см2. 57. 10 м2. 59. 9 см. 60. 1 дм. 61. 6 см.
62.	2 см. 63.	~ Ь . 64. 20 /2. 65. 24 м2, 30°. 66. 168 м2. 67. 1)	(я2 +
4	4
282
+ Ь® + (a + Ь) У12A2 + (a — b)2); 2) я® + Ь® + (a + Ь) V4h2 + (a — bp,
3) (Уз (я® + 5®) + (a + Ь) /4Л® + 3 (o — b)2). 71. 109°28'. Указа-
ние. Докажите сначала, что в каждой вершине октаэдра сходится две пары
перпендикулярных ребер. Затем примените формулу задачи 4.
§ 19.
11.
16.
23.
31
1.	б м. 3. 36 см®. 4. 3 дм- 5. 3 дм. 6. tg х = —. 8. 10 м. 9. 5 ы. 10. —
2	2
В® tg а г------------------
13.	500. 14. --------У1 — tg® a . tg2 а;, если а 4- w < 90°
cos<p	*
Л2.
Н 3!	НЯ/2 „ НРУЗ
-у=. 17. —. 18. 3 см. 19. --—=. 20. ---. 21. 5 м. 22. В—г.
V 2	4	Я + В/2 Ь' + В/З
а. 2а. 24. 30 дм®. 25. 9 дм®. 26. — (УМ + V т)2. 28. 16л м®. 30. —.
4	4
лв®
-----. 32. лВ. 33. =:785 км. 34. 12 см. 35. 12 см. ЗЭ. 3 см. 40. 8 см.
4
41.	+ л2. 42. 5 см. 44. (ж — 2? + (у — 2)® + (г ± 1)® = 9. 46. 4л и.
47. а^. 48.-121. 49. В tg —; —50. 1) 2 Т/в® — —;
2	4	2 a sin a	г 3
tgT
______	otgT’
2)2 J/ Л--^3)2Л 51. -------^.S2.K--------
2 tg-	2 sin 2a • sin-
n	я
§ 20.
1. 6 см. 2. = 8,4 г/см8. 4. 25 cm. 5.1,8 г/см8.6. = 2,29 м. 7. 30 м. 8. Вдвое.
10. 60 см8. И. 3 м8• 12.	13. У 2 1А 14.	15. 1)	2) я®Ь;
r—	а3
8) 3^3п®5. 16. 0,5 г/см8. 17. =192,72 кг. 18. 3 см8. 19. -. 20. 6 ы».
22. 3060 м8. 23. 60-18 м8/час. 24. 35 200 м8. 25. 48 см8. 26. 12 см8. 27. 2 см.
28. —вс У 12я2—Зс2. 29. о8 sin a  sin 0 У cos2 a—sin2 ₽. 30. 2V" sin 3a  sin8 a.
8
/>3 ciri v	G2 G2
M.
gi ?1уз (Ь2__a2). 34. —a3. Указание. Высота пирамиды равна радиусу
2 '	4
283
окружности, вписанной в основание. 35. ~Ь3- 36.
о3
12/2 ’
37.
522.38.
12
а3У‘2
3
Указание. Разбейте октаэдр на две правильные четырехугольные пираг".ъ-
ды. 39. 360 м3. 40. 48 см3. Указание. Основание высоты пирамиды совпа-
дает с центром окружности, описанной около основания пирамиды.
41. У11 см3. 43. ——. 44. — (а3 — Ь3) tg а. Указание. Восполь-
у^-Уё, 6
1	4
зуйтесь формулой задачи 42. 45. — (а3 — b3)tg а. 46. —Р cos а • cos 0Х
24	3
49.	2-.
^2'
__	з
50.	=0,75 мм. 51. =4500 л. 52. В п раз; в У и раз. 53. 4:1. 54. —ли3.
4
2
X У sin2 а — cos2 р. 47. —В3 sin а sin 0 . sin (а + 0) tg у.
3
л	л2
55.	=61 кг. 57. =2%. 58. — |В9 — г3). 59. — |В3 — г3!- 60. 14 см.
3	3
I г v
61. 1 — | — I , е алп г < В. 62. 2л
\ В /
Высота конуса равна радиусу
м3. 63. 9л м3. У к а з а н и е.
его основания. 64. ------ У4л2Р — с2.
Р4П2 '
1	ла3
65. — яР sin acos2 a. 66. =1,6 т. 67. =0,35 м. 68. —. 69.
3	4
Ла2Ь3
3 Уя2+Ь2'
70. = 14 см. 71. = 39 см. 72. 167. 73. 33-^-%.
О
Указание. Диаметр шара
равен диаметру цилиндра.
„ v 2
74. =2148 см3. 75.------В.
лВ3 3
76. 45л см3,
243л см3. 77. 0,028. 78. 5 : 16. 79. 3528л см3. Указание.
Разбейге ука-
занную часть шара иа цилиндр и два сегмента. 80. 112,5л дм3 или 450л дм3.
81.	— пВ3 (2 — УЗ). Указание. Тело является шаровым сектором.
§ 21.
1.	У т3 : У и3. 2. Большая поверхность равновелика сумме двух других.
3. = 40,4 м2. 4. = 116 м8. 5. 75 см. 6. яМ + 2Q. Указание. По площади
g
основания найдите его радиуз. 7. = 25,3 м2. 8. = 33,98 м2. 9. -. У к а-
cosa
з а н и е. По площади основания найдите его радиус. 10. 2 : 3. 11. 30°.
12. 1м. Указание. Длина окружности основания равна глине дуги
сектора. 13. = 1,04 м2. 14. = 4,3 кг. 15. Указание. Выразите объев ы
шара и конуса через длину образующей конуса. 16. Указание. Выразите
обе поверхности через сторону квадрата. 17. 180л см2. 18. 512л см2.
СОДЕРЖАНИЕ
6 КЛАСС
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1.	Основные свойства простейших геометрических фигур
Точка и прямая 4. Основные свойства принадлежности точек и прямых 4.
Основные свойства взаимного расположения точек на прямой и на плоско-
сти 5. Основные свойства измерения отрезков и углов 7. Основные свойства
откладывания отрезков и углов 9. Существование треугольника, равной»
данному 10. Основное свойство параллельных прямых 12. Аксиомы, теоремы
и доказательства 13. Вопросы для повторения 14. Упражнения 16-
§ 2.	Углы
Смежные углы 20. Вертикальные углы 21. Перпендикулярные прямые 22.
Доказательство от противного 23. Углы, отложенные в одну полуплоскс сть
23. Вопросы для повторения 25- Упражнения 26.
§ 3.	Признаки равенства треугольников
Первый признак равенства треугольников 27. Второй признак равенства
треугольников 28. Равнобедренный треугольник 29. Медиана, биссектриса
и высота треугольника 31. Третий признак равенства треугольников 32.
Вопросы для повторения 34. Упражнения 34.
§ 4.	Сумма углов треугольника
Признаки параллельности прямых 37. Сумма углов треугольника 41. Пря-
моугольный треугольник 43. Существование и единственности перпендику-
ляра к прямой 44. Вопросы для повторения 45. Упражнения 47.
§ 5.	Геометрические построения
Окружность 49- Что такое задачи на построение 51. Построение треугольника
с данными сторонами 52. Построение угла, равного данному 52. Построение
биссектрисы угла 53. Деление отрезка пополам 53. Построение перпендику-
лярной прямой 54. Геометрическое место точек 55. Метод геометрических
мест 56. Углы в окружности 56. Вопросы для повторения 59. Упражнения оО.
7 КЛАСС
§ 6.	Четырехугольники
Выпуклые четырехугольники 64. Параллелограмм 66. Прямоугольник. РомЗ.
Квадрат 68. Теорема Фалеса 70. Трапеция 72. Вопросы для повторения 73.
Упражнения 74.	’
785
§ 7.	Теорема Пифагора
Косинус угла 78. Теорема Пифагора 79. Соотношения между сторонами и
углами в прямоугольном треугольнике 82. Как пользоваться таблицами сину-
сов, косинусов и тангенсов 83. Основные тригонометрические тождества 85.
Значения синуса, косинуса и тангенса некоторых углов 86. Изменение sin «,
cos а и tg а при возрастании угла a 81 Неравенство треугольника 88- Вопро-
сы для повторения 89- Упражнения 90
§ 8.	Декартовы координаты на плоскости
Введение координат на плоскости 94. Координаты середины отрезка 96. Рас-
стояние между точками 97. Уравнение окружности 98. Уравнение прямой
101. Расположение прямой относительно системы координат 102. Пересече-
ние прямой с окружностью 104. Определение синуса, косии} са и тангенса
дли любого угла от 0° до 180р 104- Вопросы для повторения 105. Упражне-
ния 106.
§ 9.	Преобразования фигур
Примеры преобразований фигур 109. Движение 112. Свойства движения 113.
Равенство фигур 116- Преобразование подобия 117. Подобие фигур 119. Во-
просы для повторения 121. Упражнения 122.
8 КЛАСС
§ 10.	Векторы на шюскоети
Параллельный перенос 127. Понятие вектора 130. Абсолютная величина и
направление вектора 131. Координаты’вектора 133. Сложение векторов 134.
Умножение вектора на число 135 Скалярное произведение векторов 137.
Вопросы для повторения 139. Упражнения 140.
§11.	Решение треугольников
Теовема косинусов 144. Теорема синусов 145. Решение треугольников 147.
Вопросы для повторения 149- Упражнения 149-
§ 12.	Миогоуотьники
Ломаная 151. Выпуклые многоугольники 153. Правильные многоугольни-
ки 154. Длина окружности 156. Центральный угол и дуга окружности 158.
Вопросы для повторения 159. Упражнения 159
§ 13.	Площади фигур
Понятие пощади 162. Площддь прямоугольника 163- Плошади простейших
фигур 165. Площади подобных фигур 168. Площадь круга 169. Вопросы для
повторения 171. Упражнения 172.
9 КЛАСС
СТЕРЕОМЕТРИЯ
§ 14.	Аксиомы стереометрии
Некоторые следствия аксиом стереометрии 176. Вопросы для повторения 177.
Упражнения 178.
§ 15.	Параллельность прямых и плоскостей
Параллельные прямые в пространстве 178. Параллельность прямой и пло-
скости 180. Параллельность плоскостей 181 Изображение пространственных
фигур на плоскости 184. Вопросы для повторения 185. Упражнения 186.
286
§ 16.	Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых 189. Перпендикулярность прямой и плоско-
сти 190. Перпендикуляр и наклонная 193. Перпендикулярность плоскостей
1У4. Расстояние между скрещивающимися прямыми 196. Вопросы для повто-
рения 197. Упражнения 197.
§ 17.	Декартовы координаты и векторы в пространстве
Введение декартовых координат в пространстве 202. Преобразования фигур
в пространстве 205 Углы между прямыми и плоскостями 207. Площадь орто-
гональной проекции многоугольника 210. Векторы в пространстве 211. Урав-
нение плоскости 212. Вопросы для повторения 213. Упражнения 214.
10 КЛАСС
§ 18.	Многогранники
Многогранные утлы 220. Многогранник 221. Призма 222. Построение пло-
ских сечений 224. Параллелепипед 22Е Пирамида 228 Правильные много-
гранники 231. Вопросы для повторения 232. Упражнения 234
§ 19.	Тела вращения
Цилиндр 238. Конус 240. Шар 243. Уравнение сферы 246. Вопросы для пов-
торения 248. Упражнения 249.
§ 20.	Объемы тел
Понятие объема 252. Объем прямоугольного параллелепипеда 253. Объем на-
клонного параллелепипеда 255. Объем призмы 256. Объем пирамиды 258.
Объемы подобных тел 260. Объемы цилиндра и конуса 261. Общая формула
для объемов тел вращения 262. Объел шара и его частей 263. Вопросы для
повторения 264. Упражнения 261-
§ 21.	Площади поверхностей тел
Понятие площади поверхности 270. Площадь сферы 270. Боковая поверх-
ность цилиндра 271. Вопросы для повторения 272. Упражнения 272.
Ответы и указания к упражнениям 274.
СВЕДЕНИЯ О ПОЛЬЗОВАНИИ УЧЕБНИКОМ
№	Фамилия и имя ученика	Учебный год	Состояние учебника В начале года | В конце года	
1				
2				
3				
4				
5				
Алексей Васильевич Погорелов
ГЕОМЕТРИЯ
Учебное пособие
для 6—10 классов
средней школы
Спец, редактор А. М. Зубков
-	Редактор Т. А. Бур...истрсва
Оформление худоцанлса Б- Л. Николаева
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор Н. А. Бипкина
Корректор О, В. Изашкина
ЛБ № 7315
Сдано в набор 03.11.81. Подписано к печати 12.03.82. Формат бОхЭО1/^. Бум.
типограф. А6 1. Гар’шт. школьн. Печать высокая. Усл. печ. л. .184-0.25 форз.
Усл. кр. от. 18,6875 л. Уч.-изд. л. 16,384-0,43 Лорз. Тираж.-3302000 экз.
Заказ 227. Цена 30 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государ-
ственного комитета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной
торговли. Москва, 3-й проезд Марьиной рощи, 41.
Саратовский ордена Трудового Красного Знамени полиграфический комбинат
Росглавполиграфпрома Государственного комитета РСФСР по делам изда-
тельств, полиграфии н книжной торговли. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
СООТНОШЕНИЯ
В ПРОИЗВОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
(ТЕОРЕМА СИНУСОВ1
(ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ)
S = — ab sin у
sin а sin р sin у
а
- Ь2 + с2 — 2 Ьс cos а
S = Vp'p~a)(p-b)(p-c), где* р^±(а + Ъ + с)
'ФОРМУЛА ГЕРОНА)
R = а^с
4.S
ь
ЛАТИНСКИМ АЛФАВИТ
ПЕЧАТ- НЫЕ Б> КВЫ	РУКО- ПИСНЫЕ Б> КВЫ	НАЗВА- НИЯ БЛ КВ
Аа	jrf a	3
ВЬ	в в-	бэ
Сс	С с	ПЭ
Dd	Dd	дэ
Ее	В г	3
Ff	Н	эф
Gg		же
Hh	Н А	аш
И	J i	и
Jj	77	йот (жи)
Kk	К k	ка
LI	а	эль
Mm	Tim	эм
ПЕЧАТ- НЫЕ БУКВЫ	РУКО- ПИСНЫЕ БУКВЫ	НАЗВА- НИЯ БУКВ
Nn	jVr,	ЭИ
Оо	0 a	О
Рр		ПЭ
Qq	Q q	ку
Rr	Rr	эр
Ss	Si	эс
Tt	Tt	тэ
Uu	U u	У
г»	Uv	вэ
Ww	Шит	дубль-вэ
Xx	X, x	икс
Yy	4*	игрек
Zz	7.Z	зэт
НЕКОТОРЫЕ БУКВЫ ГРЕЧЕСКОГО АЛФАВИТА
буквы	а	₽		ИМ	X	Н
названия	альфа	бета	гамма	дельта	ламбда	мю
буквы	Л	с	т	<F	’t-	
названия	ли	ро	тау	фи	пси	омега
30 к.
$