¦
щщ<Ш^

Министерство науки и образования Российской Федерации
Уральский государственный университет
им. A.M. Горького
Ф.А. Шолохович
ЛЕКЦИИ ПО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
(университетский курс)
Рекомендовано Учебно-методическим советом по математике
и механике УМО по классическому университетскому образованию
Российской Федерации, в качестве учебного пособия для студентов
высших учебных заведений, обучающихся по специальностям
с углубленной математической подготовкой
(математика, механика, физика и др.)
Екатеринбург
Уральское издательство
2005

УДК 51@75.8)
ББК я73
Ш78
Рецензенты
доктор физико-математических наук, профессор
В.Н. Ушаков,
член-корреспондент РАН, профессор
А.Г. Ченцов
Научный редактор
Ю.А. Меленцова
ISBN 5-93667-072-4 © Ф.А. Шолохович, 2005
© Уральское изд-во, 2005

Шолохович Ф.А.
Ш 78 Лекции по дифференциальным уравнениям (университетский курс). —
Екатеринбург: Уральское изд-во, 2005. — 232 с.
ISBN 5-93667-072-4
Читатель этой книги познакомится с обыкновенными
дифференциальными уравнениями на уровне общего университетского курса для
специальностей, в которых математика играет главную или одну из главных
ролей.
Программа традиционно читаемого курса не покрывается полностью
ни одним из существующих учебников (см. список основной литературы),
поэтому данное руководство составлено так, что необходимость
обращения к другим источникам отпадает (речь не идет об учебниках и
монографиях, используемых в специальных курсах по дифференциальным
уравнениям или их дополнительным главам).
Наряду с рассмотрением интегрирования уравнений и систем,
особенно линейных, значительное внимание уделяется качественной теории
дифференциальных уравнений (точки покоя, колеблющиеся решения,
устойчивость по Ляпунову, теория динамических систем, в том числе
абстрактных, и др.). В Добавлении 2 дается первоначальное представление об
аттракторах и хаотической динамике.
«Лекции», адресованы студентам и аспирантам, которым необходимо
изучить общий курс дифференциальных уравнений или сдать экзамен по
этому курсу (уместен ли здесь союз «или», — вопрос спорный).
УДК 51@75.8)
ББК я73

Оглавление
Предисловие 9
Введение 12
§ 1. Краткая историческая справка 12
§ 2. Основные понятия и определения 13
§ 3. Задача Коши 15
Глава I. Дифференциальные уравнения первого
порядка, разрешенные относительно
производной. Интегрируемые типы 16
§ 1. Теорема существования и единственности решения . . 16
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными 17
§ 3. Линейные уравнения 19
§ 4. Однородные уравнения 22
§ 5. Уравнения Бернулли и Риккати 24
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах 25
§ 7. Интегрирующий множитель 28
Глава II. Уравнения, не разрешенные относительно
производной 33
§ 1. Общий метод введения параметра 34
§ 2. Неполные уравнения 35
§ 3. Уравнения, разрешенные относительно х или у 36
§ 4. Уравнения Лагранжа и Клеро 37
Глава III. Доказательство теоремы Коши 41
§ 1. Вспомогательные понятия и предложения 41
§ 2. Доказательство существования решения 43
§ 3. Доказательство единственности решения 46
§ 4. Замечания 47

Оглавление
5
§ 5. Общее, частное и особое решения 48
1. Особые решения. Метод 1 (использование теоремы
Коши) 49
2. Особые решения. Метод 2 (использование огибающей) 53
Глава IV. Нелинейные системы дифференциальных
уравнений и уравнения высших порядков 55
§ 1. Задача и теорема Коши для системы и уравнения п-го
порядка. Определение общего решения 55
§ 2. Уравнения n-го порядка, интегрируемые в квадратурах 59
§ 3. Промежуточный интеграл. Уравнения, допускающие
понижение порядка 62
§ 4. Первые интегралы и понижение порядка.
Симметричная форма системы 66
§ 5. Сведение системы к одному уравнению 70
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения
n-го порядка 73
§ 1. Основные свойства линейных уравнений 73
§ 2. Линейные однородные уравнения 75
1. Определитель Вронского 75
2. Фундаментальная система решений 77
3. Понижение порядка уравнения с помощью частных
решений 80
Глава VI. Линейные уравнения с постоянными
коэффициентами 82
§ 1. Оператор дифференцирования L(p).
Характеристическое уравнение 82
§ 2. Линейные однородные уравнения 84
1. Случай простых корней характеристического
уравнения 84
2. Комплексные корни. Гармонические колебания ... 85
§ 3. Случай кратных корней характеристического уравнения 86
1. Две леммы 87
2. Теорема об общем решении 89
§ 4. Уравнения Эйлера и Бесселя 91

§ 5. Линейные неоднородные уравнения с постоянными
коэффициентами. Квазимногочлен в правой части.
Вынужденные колебания 93
Глава VII. Системы линейных дифференциальных
уравнений 100
§ 1. Свойства однородной системы. Принцип суперпозиции 101
§ 2. Определитель Вронского. Фундаментальная система
решений 103
§ 3. Формула Лиувилля - Остроградского 107
§ 4. Неоднородная система. Метод вариации постоянных.
Формула Коши 109
Глава VIII. Линейные системы с постоянными
коэффициентами 115
§ 1. Характеристическое уравнение. Случай простых корней 115
§ 2. Случай кратных корней 117
§ 3. Метод неопределенных коэффициентов 120
Глава IX. Динамические системы 124
§ 1. Фазовое пространство. Свойство группы. Точки покоя 124
§ 2. Абстрактные динамические системы 127
1. Однопараметрическая группа преобразований . . . . 127
2. Линейные динамические системы 128
Глава X. Точки покоя на фазовой плоскости
линейной однородной системы 129
§ 1. Корни характеристического уравнения
действительные и различные. Узел. Седло 129
§ 2. Корни характеристического уравнения комплексные.
Фокус. Центр 132
§ 3. Вырожденные случаи 134
1. Корни характеристического уравнения
действительные равные 134
2. Один или оба корня характеристического уравнения
равны нулю 136
§ 4. Фазовая плоскость нелинейной системы. Особые точки 138
1. Нелинейные системы 138
2. Особые точки 139

Оглавление 7
Глава XI. Устойчивость. Метод функций Ляпунова.
Управляемые системы 141
§ 1. Дифференциальные уравнения возмущенного
движения. Определение основных понятий 142
§ 2. Теоремы Ляпунова об устойчивости и
асимптотической устойчивости 146
§ 3. Устойчивость линейных систем с постоянными
коэффициентами 149
§ 4. Знакоопределенные квадратичные формы 151
§ 5. Устойчивость по первому приближению 153
§ 6. Управляемые системы 157
Глава XII. Зависимость решений от параметров
и начальных значений 161
§ 1. Непродолжаемые решения 161
§ 2. Вспомогательные предложения 164
§ 3. Непрерывная зависимость решений от параметров ... 166
§ 4. Дифференцируемость решений по параметрам 172
§ 5. Непрерывность и дифференцируемость решений как
функций начальных значений 177
§ 6. Уравнения в вариациях 181
Глава XIII. Линейные уравнения второго порядка 186
§ 1. Колеблющиеся решения 186
§ 2. Понятие о краевых задачах 192
Глава XIV. Уравнения в частных производных первого
порядка 199
§ 1. Линейные однородные уравнения в частных
производных первого порядка 201
§ 2. Линейные неоднородные уравнения в частных
производных первого порядка 203
§ 3. Характеристики. Задача Коши 205
1. Геометрическая интерпретация квазилинейного
уравнения в частных производных первого порядка 205
2. Решение задачи Коши 206
§ 4. Система двух уравнений в частных производных
первого порядка 209

8
Оглавление
Добавление 1. Продолжение решения по времени 213
Добавление 2. Аттракторы диссипативных систем.
Детерминированный хаос 216
Литература 228
Предметный указатель 230

Чем тщательней пишется книжка, тем
тоньше она получается и тем больше затрачивается
труда на ее писание.
Грубо говоря, если автор удваивает
тщательность, то одновременно он вдвое уменьшает
толщину книги.
Академик РАН
Л. С. Понтрягин
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дифференциальными называют уравнения, содержащие
независимые переменные, неизвестные функции и их производные или
дифференциалы этих функций и независимых переменных.
Дифференциальные уравнения включены в курсы высшей
математики различных вузовских специальностей. Объем и наполнение
программы по этому предмету зависят от числа часов, выделяемых
учебным планом, и потребностей профилирующих дисциплин.
Наиболее полно дифференциальные уравнения изучаются студентами-
математиками (а также механиками и физиками) университетов и
студентами некоторых технических вузов с углубленной
математической подготовкой. Настоящее руководство рассчитано именно на
таких читателей. Следует подчеркнуть: речь идет об общем курсе,
а не о специальных разделах теории дифференциальных уравнений,
излагаемых в дополнительных главах или отдельных книгах.
Курс дифференциальных уравнений, как и большинство
классических математических курсов, устоялся. Однако изменения пусть
не часто, но происходят. Один из примеров такого изменения
связан с появлением учебника Л.С. Понтрягина «Обыкновенные
дифференциальные уравнения» [1]. Этот учебник, получивший
всеобщее признание, внес существенные изменения в учебную
литературу. Претерпело модернизацию содержание курса, появились новые
формулировки казавшихся незыблемыми классических теорем,
снабженные к тому же оригинальными и красивыми доказательствами,
сместились акценты в приоритетах.
Вместе с тем учебник Л.С. Понтрягина не покрывает всей
стандартной программы курса. В нем отсутствуют, например, вопросы

10
Предисловие
интегрирования уравнений, не разрешенных относительно
производной, темы «Особые решения», «Линейные уравнения второго
порядка (колеблющиеся решения)» и др. Поэтому студентам приходится
пользоваться и иными пособиями ([2], [3], [4]). Последние годы
учебники по дифференциальным уравнениям почти не издаются и не
переиздаются (за исключением учебников Понтрягина и Арнольда),
в вузовских библиотеках их явно не хватает.
Высказанные обстоятельства послужили для автора толчком к
написанию предлагаемого руководства. Настоящий учебник
опирается на указанные выше книги и мой многолетний опыт чтения
лекций по дифференциальным уравнениям в Уральском
государственном университете.
Отведенного учебным планом количества часов недостаточно для
изложения всего материала, содержащегося в данных «Лекциях».
Поэтому те или иные разделы приходится опускать, некоторые
теоремы приводить без доказательства (к примеру, теорему о
дифференцируемое™ решений по параметрам). Преподаватель сам решит,
что включить в обязательный курс.
Дифференциальные уравнения, являясь по духу, по уровню
строгости классической математической теорией, играют очень большую
роль в приложениях математики, в решении актуальных задач
науки, техники, экономики. Признано, что дифференциальные
уравнения — это одно из основных орудий математического
естествознания, они служат аппаратом для конструирования математических
моделей в самых различных областях. Как сказано в [7], «Ббльшая
часть путей, связывающих абстрактные математические теории с
естественнонаучными приложениями, проходит через
дифференциальные уравнения». В книге [8] приведены примеры приложений
теории и методов дифференциальных уравнений в химии, биологии,
молекулярной биологии, медицине, экономике и др., не говоря уж о
приложениях в физике и технике.
Особенностью курса дифференциальных уравнений (неприятной
для некоторых студентов) является то, что его нельзя выучить за
несколько дней. Нужно регулярно заниматься весь год, и тогда успех
обеспечен.
В книге принята сплошная нумерация рисунков. Нумерация
формул в каждом параграфе своя. Примеры заканчиваются
символом Л, а доказательство — символом D.

Предисловие
11
План и содержание учебника обсуждались с академиком РАН
Н.Н. Красовским и профессором Н.Х. Розовым. Благодарю их за
полезные советы. Благодарю рецензентов — члена-корреспондента
РАН А.Г. Ченцова и профессора В.Н. Ушакова, а также профессора
В.Г. Пименова за ценные замечания.
При подготовке рукописи к опубликованию существенную
помощь оказал автору А.Б. Ложников. Ему и А.Ю. и О.О. Коврижных,
внимательно просмотревшим рукопись, выражаю искренную
благодарность. Особо признателен редактору книги Ю.А. Меленцовой, с
большой тщательностью прочитавшей книгу и указавшей места
возможных и необходимых улучшений текста.

Введение
§ 1. Краткая историческая справка
Дифференциальные уравнения возникли вначале при
рассмотрении отдельных конкретных задач в работах Непера, Декарта,
Галилея, Барроу (учитель Ньютона), Ферма, Кеплера*) и др. В то время
понятие производной еще не было введено, как и сам термин
<дифференциальное уравнение», однако уравнения, с которыми имели
дело упомянутые ученые, на современном математическом языке
называются дифференциальными.
История дифференциальных уравнений как самостоятельного
раздела математики начинается с работ И. Ньютона A643-1727) и
Г. Лейбница A646-1716), основателей дифференциального и
интегрального исчисления. Сам термин «дифференциальное уравнение»
введен Лейбницем. Ему принадлежат также и некоторые
используемые поныне обозначения.
Большой вклад в развитие теории дифференциальных уравнений
внесли братья Якоб и Иоганн Бернулли (ученики Лейбница),
потомки Иоганна Бернулли (особенно Даниил), Эйлер (ученик Иоганна
Бернулли), Лагранж, Лиувилль, Коши**).
С конца XIX века начала развиваться качественная теория
дифференциальных уравнений в трудах А. Пуанкаре, A.M.
Ляпунова, Дж. Биркгофа (качественная теория динамических систем),
А.А. Андронова, Л.С. Понтрягина***) и др. Значителен вклад в
эту теорию математиков Свердловской (Екатеринбургской) научной
*)Д. Непер A550-1617), Р. Декарт A596-1650), Г. Галилей A564-1642), И.
Барроу A630-1677), П. Ферма A601-1665), И. Кеплер A574-1640).
~>Я. Бернулли A654-1705), И. Бернулли A667-1748), Л. Эйлер A707-1783),
Д. Лагранж A736-1813), Д. Лиувилль A809-1882), О. Коши A789-1857).
***>А. Пуанкаре A854-1912), A.M. Ляпунов A857-1918), Дж. Биркгоф A884-
1947), Л.А. Андронов A901-1952), Л.С. Понтрягин A908-1988).

§ 2. Основные понятия и определения
13
школы, основанной И.Г. Малкиным, Е.А. Бар6ашиным*\ Н.Н. Кра-
совским, который возглавляет эту школу в настоящее время.
§ 2. Основные понятия и определения
Искомыми решениями дифференциальных уравнений являются
функции. Если они зависят от одного аргумента, уравнения
называются обыкновенными, если зависят от нескольких аргументов, то
употребляется термин «уравнения в частных производных». В
нашем курсе изучаются обыкновенные дифференциальные уравнения.
Мы немного коснемся уравнений в частных производных, так как
решение некоторых типов этих уравнений приводит к задачам из
теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Для
обыкновенного дифференциального уравнения введем следующее
определение.
Определение. Дифференциальным называется уравнение
вида
^у,у',...,у(п))=о, A)
где F — функция, определенная в некоторой области пространства
п + 2 переменных t,y,y\...,у^п\ у — искомая функция, t — ее ар-
гумент.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение,
называется порядком уравнения.
Функция у — <p(t), обращающая уравнение A) в тождество в
интервале (а,Р), называется решением уравнения A) в этом
интервале (интервал может быть и бесконечным).
Уравнение A) задает старшую производную у^ как неявную
функцию переменных tyy,y',...,2/^п~^. Вопрос о существовании и
тех или иных свойствах неявной функции рассматривается в
математическом анализе. Поэтому в теории дифференциальных
уравнений изучаются, как правило, уравнения, разрешенные относительно
старшей производной:
v(n) = /(t,v,v',-..,y<n-1)).
П р и м е р. В теоретической механике вводят понятие
материальной точки: вместо тела массы га, размерами которого мож-
*>И.Г. Малкин A907-1958), Е.А. Барбашин A918-1969).

14
Введение
но пренебречь, оперируют точкой массы т. Математическая модель
движения материальной точки под действием только силы тяжести
(сопротивлением среды пренебрегаем) записывается по Ньютону с
помощью уравнения mw = F, где F — сила тяжести.
Если в начальный момент времени tQ начальная скорость щ
точки направлена по вертикали, то точка М будет двигаться по
вертикали. Эту вертикаль примем за ось Ох. Требуется найти закон
движения точки М, т.е. функцию х = х(?), которая определяет
абсциссу точки М в момент времени t. Положим to = 0, а х@) = хо-
В нашем случае ускорение w = x(t), F = mg (m — масса точки,
g и 9,8^*), и мы приходим к уравнению тх — mg или
х = д. B)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго
порядка, разрешенное относительно старшей производной. Найти его
решение несложно. Интегрируя, сначала получаем
x-gt + Cu C)
а затем
х=1д(? + С^ + С2- D)
Оказалось, что дифференциальное уравнение B) имеет
бесконечное множество решений, зависящих от двух произвольных
постоянных С\ иС2-
При t0 = 0 скорость х точки М равна v0. Подставляя числа 0 и
vo в уравнение C), получим vq = Ci, а числа 0 и хо в уравнение D),
получим Хо = Сг-
Искомое решение имеет вид
х = -gt2 + v0t + x0. E)
Л
Решение D) называют общим (точное определение общего
решения дано позже). Решение E), получаемое из общего заменой
произвольных постоянных некоторыми числами, называется частным.
Выделение частного решения из общего произведено нами с
помощью чисел to = 0, хо и vo. Ниже вводится терминология, по которой
эти числа называются начальными данными, а равенства

§ 3. Задача Коши
15
x(t0) = хо, x{t0) = v0 F)
~ начальными условиями.
В большинстве случаев нахождение решений дифференциальных
уравнений связано, как в нашем примере, с вычислением интегралов.
Поэтому часто говорят не о решении, а об интегрировании
дифференциальных уравнений.
§ 3. Задача Коши
На практике и в теории возможны различные способы задания
условий, позволяющих находить частное решение. Позже мы
познакомимся и с так называемыми краевыми задачами. Однако главным
объектом изучения будет в нашем курсе начальная задача Коши.
Задача Коши для уравнения n-го порядка, разрешенного
относительно старшей производной, формулируется так:
Дано уравнение
У{п) =/(*,», У', ...,!/("-1)), A)
и функция /(t,y,y,,...,y*n~1)) определена в некоторой области Г
(п + 1)-мерного пространства с координатными осями,
обозначенными буквами tyyyy',... ,y(n_1) (сейчас эти величины
рассматриваются как независимые переменные). Задана также какая-нибудь
точка (*о, Уо> Уoi - - > У о )) принадлежащая области Г. Требуется найти
решение у = <p{t) уравнения A), удовлетворяющее условиям
<рЫ=Уо, f'(to) = y'o, -.., V(n-1)(to) = yi"). B)
Равенства B) называют начальными условиями задачи Коши, а
числа to,yo,y'o, •. ¦ ,Уо ~ начальными данными этой задачи.
Обращаю ваше внимание на то, что и в примере, и в общем случае число
начальных условий задачи Коши совпадает с порядком уравнения.
По установившейся математической традиции следует указать
условия, обеспечивающие существование и единственность решения
задачи Коши A)-B). Ниже будет сформулирована соответствующая
теорема для уравнения первого порядка.

Глава I
Дифференциальные уравнения
первого порядка, разрешенные
относительно производной.
Интегрируемые типы
§ 1. Теорема существования
и единственности решения
В этой главе теорема рассматривается для простого случая, когда
порядок уравнения п = 1. Случай произвольного п см. в главе IV.
Теорема Коши (о существовании и единственности решения
задачи Коши).
Дано уравнение
^ = /(*,*). A)
и функция f(t,x) определена и непрерывна вместе со своей частной
производной fx(t,x) в некоторой области Г плоскости Юх. Тогда
1. Для любой точки (to,xo) области Г существует решение
х = </?(?), определенное в некоторой окрестности точки to и
удовлетворяющее условию
<p(to) = *0. B)
2. Если два решения х = if{t) их = ip(t) уравнения A) совпадают
при t = to: ip{to) = t/>(*o)> mo они тождественны в том смысле,
что совпадают всюду, где оба определены.

§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
17
При чтении лекций доказательство теоремы принято обычно
рассказывать после изложения темы «Интегрируемые типы», чтобы на
практических занятиях было что решать. Мы также отложим
доказательство до главы III.
Часто употребляется выражение «дифференциальное уравнение
интегрируется в квадратурах». Это означает, что искомая функция
может быть выражена с помощью интегралов от известных
(заданных в уравнении) функций. Термин «квадратура» объясняется тем,
что интегралами выражают площади различных фигур, а задача
вычисления площади фигуры с древних времен называлась квадри-
рованием (например «квадратура круга»).
Выше уравнение A) названо простым. Это, однако, не
означает, что решать его просто. На самом деле уравнение A) в общем
случае не интегрируется, т.е. нет способа нахождения решения при
произвольной функции f(t,x). Поэтому приходится рассматривать
такие частные виды этой функции, при которых можно указать
способ решения. Такие уравнения относят к интегрируемым типам. В
следующих параграфах описываются некоторые из таких типов.
§ 2. Уравнения с разделяющимися
переменными
Удобнее обозначить сейчас переменные буквами х и у, любая из
них может оказаться искомой функцией. Уравнению придадим вид
& = f(x,y) или f(x,y)dx — dy = 0. Для симметрии будем
рассматривать уравнение
М(х, y)dx + N{x, y)dy = 0. A)
Не надо думать, что внесена значительная общность. Там, где
N(x,y) ^ 0, уравнение A) переделывается легко в уравнение вида
A) из §1. Мы будем предполагать, что функции М(ж,у) и N(x,y)
определены и непрерывны вместе с частными производными по х и
по у в области Г, причем в Г М2(а\ у) + №(х, у) ф 0. Этими
условиями гарантируются существование и единственность решения задачи
Коши в области Г (где-то относительно функции у = 2/(ж), а где-то
относительно х = х(у)).

18
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение A) называют уравнением с разделяющимися перемен-
ными, если оно имеет вид
M1(x)M2(y)dx + Nl(x)N2(y)dy = 0. B)
Вначале рассматриваются те точки области Г, в которых М2(у) Ф 0
и Ni (x) Ф 0. Разделением переменных называется операция деления
B) на произведение M2(y)Ni(x). Имеем
Mi(x) N2(y)
dx = - dy. F)
Ni(x) M2(y)
Проинтегрируем обе части равенства в предположении, что у есть
функция х:
Всякая функция у = у?(х), удовлетворяющая уравнению D),
обратит в тождество уравнение C), т.е. будет решением уравнения C),
а следовательно, и уравнения B). Чтобы убедиться в этом,
достаточно взять дифференциалы от обеих частей уравнения D).
Наоборот, всякое решение дифференциального уравнения C)
удовлетворит уравнению D) при подходящем значении произвольной
постоянной в этом уравнении.
Уравнение D) имеет вид F(x,y, С) = 0. Оно не содержит ни
производных, ни дифференциалов и определяет, вообще говоря, у
как неявную функцию х или х как неявную функцию у,
причем эти функции являются решениями уравнения B). Уравнение
F(xyyyC) = 0, задающее решение в неявной форме, называют
общим интегралом.
Можно проинтегрировать C), взяв определенные интегралы
обеих частей:
jNMdx=-jimdy'
20 УО
где #0, у о — начальные данные частного решения.
Получаем уравнение, называемое частным интегралом. Оно
определяет частное решение, удовлетворяющее начальному условию
у(хо) = уо или х(уо) = хо (предполагается, что вычисление интеграг
лов не выводит нас за пределы области Г).

§ 3. Линейные уравнения
19
Пусть теперь Мгй/) = 0. Тогда функция у = у удовлетворяет
уравнению B), в чем легко убедиться непосредственной
подстановкой в это уравнение. Если N\ (х) = 0, то решением является функция
х = х.
Сформулируйте самостоятельно требования, которые
обеспечивают для уравнения B) существование и единственность решения
задачи Коши.
П р и м е р. у* + ху2 = 2ху.
Сделаем преобразование ^ = ху{2 — у) и разделим переменные
B-у) = х&х (полагаем, вначале у ф 0, 2 - у ф 0). Тогда
f dy 1 /^-у + у
У уB - у) 2] уB-у) ау
2\J у ] у-2) 2 у 2
Отсюда
2 \ у) 2 2
х2, 1-- = Се-*\ - = 1-Се-х*
У У
Кроме того, имеем решения у = 0 и у = 2.
Введение произвольной постоянной в виде — | In С правомерно,
так как при 0 < С < +оо величина — \\ъС может принять любое
значение от — оо до +оо. Целесообразность записи произвольной
постоянной в указанном виде очевидна: упрощается формула общего
решения. Л
§ 3. Линейные уравнения
Уравнения этого типа имеют вид
y' + a(t)y = b(t). A)
Будем предполагать, что a{t) и b(t) — функции, непрерывные в
конечном или бесконечном интервале (а,/?). При этом
предположении, как легко видеть, условия теоремы Коши выполняются, если в
качестве Г взять полосу из точек (?,у), где а < t < /3, —оо < у < оо.

20 Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
В случае b(t) = 0 получается уравнение
у'+а(*)у = 0, B)
которое называется линейным однородным уравнением первого
порядка. Для уравнения A) уравнение B) с той же функцией a(t)
называется линейным однородным уравнением, соответствующим
данному неоднородному уравнению.
Однородное уравнение *$ + a(t)y = 0 допускает разделение
переменных. При у ф 0 выполняется ^ = -a(t)dt; J -^ = — / a(t) dt +
+ In С. (Вместо слагаемого С здесь целесообразно написано In С.
Такая замена также правомочна: при 0 < С < со будет -оо < In С <
< оо, т.е. множество решений не сузится.) \n\y\ = — / a(t) dt + In С;
и |у| = Ce~faWdt. Здесь С положительно и случаи у < 0 и у > 0,
отдельно не рассматриваются. Формула у = Се" i a^)dt
охватывает оба случая, если считать произвольную постоянную С не только
положительной, но и отрицательной.
Уравнение B) имеет еще одно решение, а именно: у = 0. Его
называют тривиальным или очевидным. Поэтому функция
у = Се-*аЮ* C)
является решением уравнения B) при любом значении С от — оо до
+оо, в том числе и при С = 0. Покажем, что формула C) содержит
все решения B), т.е. любое решение имеет вид C) при правильно
выбранном значении С.
t
Придадим формуле C) другой вид. Пусть J a(t) dt = J a(r) dr —
то
— ln|C|, где t,T0 € (а,/?) произвольны. Тогда из уравнения J ^ =
t
= — f a(t) dt получим In \y\ = — / а(т) dr 4- In |C7j и, полагая знаки С
то
и у одинаковыми, приходим к решению
- fa(r)dT
у = Се *° D)
Пусть теперь у = y>(t) — произвольно взятое решение
уравнения B) и to € (а,/?), а ip(to) = уо. Подставим начальные данные
(*(ьУо) в формулу D) и обозначим через Со решение уравнения

§ 3. Линейные уравнения
21
«о
- / а(т) dr
уо = Се т° . Очевидно, Со существует, так как показательная
-fa(T)dr
функция е г° в нуль не обращается. Два решения уравнения
- / a(t) dr
B), а именно у = y(t) и у = Сое г° , совпадают при t — to. В
силу теоремы о существовании и единственности они тождественны.
Итак, формула C) выражает общее решение уравнения B).
Существуют различные способы интегрирования неоднородного
уравнения A). Рассмотрим один из них — метод вариации
произвольной постоянной (метод Лагранжа). Ему отдается предпочтение
потому, что он обобщается на линейные неоднородные уравнения
n-го порядка и линейные системы.
Идея Лагранжа состоит в том, что находится такая функция
С = C(t), при подстановке которой в формулу C) получается
решение неоднородного уравнения A). С превращением постоянной
величины в переменную и связан термин «вариация постоянной».
Сначала решается уравнение
^+a(t)x = 0, E)
соответствующее неоднородному уравнению
?jL+a(t)y = b(t) F)
(решение уравнения E) не является искомой функцией, поэтому
вместо у ввели обозначение х). Получаем
x = Ce-SaWdt,
заменяем С на C(t). Вот теперь снова переходим к у:
y = C{t)e-SaMdt. G)
Подстановкой G) в уравнение F) покажем, что существует функция
С(?), превращающая G) в решение уравнения F), и найдем ее.
*Me-Ja(t)dt __ a{t)e-fa(t)dtC{t) + aW<7We-/•<«>* = b(t).
at

22
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Подчеркнутые члены взаимно уничтожаются. Получаем —^ =
= b(t)efaWdt (здесь важно, что eSa^dt ф 0). Отсюда C(t) =
= fb(t)efaWdtdt + D. Существование интересующей нас функции
C{t) доказано. Подставляя ее в G), приходим к общему решению
уравнения F):
y = De~feWd4e"/a(t>dt f b(t)eS*«>dtdt. (8)
Формулу (8) запоминать нет необходимости. Запоминают лишь
последовательность действий.
Формула (8) показывает, что решение линейного неоднородного
уравнения находится с помощью двух квадратур. Само уравнение
A) называют линейным потому, что искомая функция у и ее
производная у' содержатся в этом уравнении в первой степени.
Пример, х = 2zinz+z-r Обычно тип дифференциального
уравнения бывает замаскирован, и обнаружить его можно, проведя
какие-то преобразования. Данное уравнение перепишем в виде ^ -Ь
+| = 2 In х+1. Получилось линейное уравнение с искомой функцией
t =¦ t(x). Решаем однородное уравнение
dt t ^ f dt f dx , M . . - Л „I
_ + _ =0; / — = - / —; lnt = -lnx + lnC; t = C-.
dx x J t J x x
Варьируем постоянную: t = C(x)~. Подставляем в неоднородное
уравнение ^? - С 4* + C4j = 21nx + 1. Отсюда ^ = 2xlnx + x и
С = f 2x In х dx + J х dx.
Вычисляем по частям j2x\nxdx — [u = In х, dv = 2xdx,du =
= \dx,v = х2] = x2lnx - fxdx. Для С получается формула С =
= х21пх 4- D. Следовательно, t = D~ + xlnx. Здесь D — новая
произвольная постоянная. Л
§ 4. Однородные уравнения
Так называют уравнение у' = /(х,у), в котором функция f(x,y)
удовлетворяет условию f(tx,ty) = /(я, у), т.е. является однородной
функцией нулевого измерения. Заменяя в последнем равенстве t на
±, получим f{x,y) = /A, f) = <^(f )• Следовательно, уравнение у' =

§ 4. Однородные уравнения
23
= /0е»!/) называется однородным, если его можно привести к виду
Уравнения этого типа не следует путать с линейными
однородными уравнениями, что случается с отдельными студентами из-за
некоторого созвучия в названиях.
Сейчас мы впервые применим замену переменной: введем новую
искомую функцию и(х) вместо у(х) по формуле у = их. Относитель-
dxJ
но функции и(х) получится уравнение Ф*х + и = ip(u) или
а это уравнение с разделяющимися переменными. Имеются три
возможности:
1. <р(и) — и ф О, дело сводится к интегрированию уравнения
/f ц — if c разделяющимися переменными. Отметим, что замена
и = * предполагает необращение х в нуль.
2. При некоторых значениях и = и, tp(u) — и = 0. Очевидно,
функция и = и является решением уравнения B), а у = их — решение
уравнения A).
3. (р(и) - и = 0, а это означает, что (р(и) = иу или <р(*) = J.
Уравнение A) принимает вид ^ = J, и у = Сх — его общее решение.
На однородном уравнении прослеживается тенденция,
характерная для интегрирования многих типов дифференциальных
уравнений: тем или иным способом уравнение нового типа преобразуется к
типу, уже изученному.
П р и м е р. у1 = ?A + my - Ins). Придадим уравнению вид
у' = J?(i + lnJ).B правой части стоит однородная функция нулевого
измерения. Делаем замену у = их.
хЪ+и = и + и1пи> S Z&Z =/"т;т1пи = 1пх + 1пС, lnu = Cx,
и = в"*, у = xeCz(x > 0).
Кроме того, есть решение In и = 0, и = 1 и у = х. Случай и =
= 0, т.е. у = 0 не рассматривается, так как в исходном уравнении у
содержится под знаком логарифма. Л
Будьте готовы к ответу на вопрос о применении теоремы Коши
к однородному уравнению.

24
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнения первого порядка, приводимые к однородным
Рассматривается уравнение
<fy _ - fa\x + Ъгу + сЛ
dx \a2x + b2y + c2)
и следующие частные случаи:
1. с\ = с2 = 0. Уравнение C) является однородным.
2. det( д^ 62) ^ ^ (разумеется, cf 4- с^ ф 0). Делается замена а: =
= С + а>У=:77 + /?> гДе & и /3 находятся из системы
| a2a + 62/? + c2 = 0.
После этой замены получаем однородное уравнение
dq _ f (ait + biT)}
3. det(- I) = 0. Тогда ? = / f*^i±M±^Y где fc _
коэффициент пропорциональности для строчек определителя. Если
bi = 62 = 0, то переменные разделяются сразу. Положим Ь2 ф 0.
Делая замену а2х -\- Ь2у — и, снова получаем уравнение с
разделяющимися переменными. Действительно, а2 + Ь2%% — ^, откуда
? = ?(?-*>:?(?-«») = /№> ¦? = *»/(№)+•»•
§ 5. Уравнения Бернулли и Риккати
Уравнение Бернулли. Общий вид этого уравнения
v' + a(t)y = ft(%n, A)
п может быть любым вещественным числом. Функции a(?), b(t)
предполагаются непрерывными в промежутке (а,/?). Полезно
проанализировать, какой может быть область Г, в которой для уравнения A)
выполняются условия теоремы Кош и. Вид этой области зависит от
значения п.

§ 6. Уравнения в полных дифференциалах
25
Исключим случаи п = Оип= 1, так как при этих значениях
уравнение A) превращается в неоднородное или однородное
линейное уравнение.
Умножим обе части уравнение A) на A — п) и поделим на уп
A - п)±у' + A - n)a(f)l/1-n = A - n)b(t).
Вводя новую искомую функцию z = у1""", получим линейное
уравнение z1 + A — n)a(t)z — A - n)b(t).
Уравнение Риккати. Так называют уравнение вида
y' = P(t)y2 + Q(t)y + R(t). B)
В случае P(t) = 0 получается линейное уравнение. В случае
R(t) = 0 имеем уравнение Бернулли.
Следует сразу отметить, что уравнение Риккати в общем
случае не интегрируется в квадратурах. Если, однако, известно частное
решение уравнения, то интегрирование в квадратурах выполнимо.
Покажем это. Пусть у = у\(х) — частное решение уравнения B).
Перейдем к новой искомой функции z по формуле у = у\ + z
^ + ^L = Pyl + 2Pyiz + Pz2 + Qyi+Qz + R.
Учитывая, что у\ — решение и ^ = Ру2 Л- Qy\ + Ry получим
^f = BРу\ + Q)z 4- Pz2, а это уравнение Бернулли. Докажите
самостоятельно справедливость утверждения: если известны два
частных решения уравнения B), то его общее решение находится одной
квадратурой, а при трех известных решениях квадратуры вообще не
понадобятся. Много места рассмотрению уравнения Риккати
отведено в [2] и [4].
§ 6. Уравнения в полных дифференциалах
Если существует такая функция ?/(х, у), что левая часть
уравнения
М (х, y)dx + N(x, y)dy = О A)

26
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
является ее дифференциалом, то A) называют уравнением в полных
дифференциалах.
Функции М(хуу) и N(x,y) определены в некоторой области Г
плоскости хОу, и в этой области должны выполняться равенства
М(х,у) = ^, (I)
^(х,у) = ^- (II)
Напоминаю, что, по предположению, в области Г существуют и
непрерывны частные производные по х и у от функций М(х,у) и
Щх,у).
Уравнение A) может быть записано в виде
dU(x,y)=0. A')
Очевидным образом проверяется, что уравнение
Щх,у) = С
является общим интегралом уравнения A') или, что то же самое,
уравнения A). Дело теперь «за малым»: а) как установить, что то
или иное уравнение принадлежит к рассматриваемому типу, и б)
найти соответствующую функцию U(ж,у).
Теорема!. Для того чтобы уравнение A) было уравнением
в полных дифференциалах в односвязной*^ области Г, необходимо и
достаточно выполнение в этой области равенства
дМ{х,у) (х^ег dN(x,y)
ду — дх ' B)
Доказательство. Необходимость. Дано, что имеют
место равенства (I) и (И). Продифференцируем первое из них по у,
а второе по х
дМ(х)У) _ d2U dN(xiV) d2U
ду дхду' дх дудх
*)Односвязной называется область без «дырок». Точное определение такой
области и значение односвязности рассматривается в математическом анализе при
изучении криволинейных интегралов.

§ 6. Уравнения в полных дифференциалах
27
Здесь левые части равенств непрерывны, значит, непрерывны и
правые части, т.е. смешанные производные. Из этого следует, что они
равны. Раз равны правые части, то равны и левые. Необходимость
B) доказана.
Достаточность. Доказательство достаточности является
конструктивным: существование функции С/(х, у) будет установлено с
помощью ее построения. Рассмотрим функцию
X
Щх,у) = J M(x,y)dx + <p{y), C)
хо
где <р(у) — функция совершенно произвольная.
Очевидно, ^ = М(х,у) (продифференцировали интеграл по
переменному верхнему пределу). Таким образом, для функции C)
выполняется равенство (I). Односвязность обеспечивает
принадлежность всего отрезка с концами в точках (х0,у) и (х,у)
области Г, если вторая точка находится в достаточно малой
окрестности первой. Теперь потребуем выполнения равенства (II). Мы
увидим, что это реализуется с помощью подбора функции (р(у). Будем
считать ее непрерывно дифференцируемой. Итак,
дифференцируем равенство C) по у (при этом вычисляется производная от
интеграла по параметру у). atTj'y^ = / aAfj*'y' dx + у?'(у). Используя
хо
тождество B) и формулу Ньютона - Лейбница, получим —gj2^ =
х
= I дЫд*хУ) dx + Ч*{у) = Nfay) - N(x0,y) + <р'(у). Потребуем, что-
бы N(x,y) - N{x0,y) + ч>'(у) = N(x,y). Отсюда (р'(у) = N(x0,y), и
у
4>{у) - I N(x0>y)dy. Имеем
Уо
х у
U{x, у) = J M(x, y)dx+ I N(x0, у) dy + С.
хо Уо
Достаточно указать одну функцию U(x,у), поэтому можно
положить С = 0. ?
Известны ошибки, которые допускают недостаточно прилежные
и вдумчивые студенты. Считаю полезным упоминание об этих ошиб-

28
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
ках в соответствующих местах курса. Некоторые студенты
заканчивают решение примера выписыванием функции С/(х, у) и на вопрос:
«Каков же ответ?» — упрямо показывают на эту функцию. Указание
на то, что решение обыкновенного дифференциального уравнения не
может быть функцией двух переменных, не помогает. Поэтому
советую писать в конце решения, когда функция U(x, у) найдена, «Ответ:
Щх%у)=С>.
„ 2xdx у2 - Зх2 ,
Пример. —=—I т—ay — О
У У
dM 6х dN 6х тт
Найдем —— = 7 5 тг~ — г- Имеем уравнение в полных
ду у4 дх у4
dU 2х тт х2 , . 8U Зх2
дифференциалах. — = -j; [/ = —+^(у); — = _—+v(y) =
= -—г^~- °ТС1°да <S(v) = ~о; ч>{у) = —•
у4 yJ у
х2 1
Ответ: Общий интеграл —=¦ = С. Д
У3 У
§ 7. Интегрирующий множитель
Рассмотренное в предыдущем примере уравнение в полных
дифференциалах перестает быть таковым, если умножить обе его части
на у4, чтобы избавиться от знаменателя. Естественно возникает
обратное предположение: нельзя ли из произвольного уравнения вида
M(x,y)dx + AT(x,y)<fy = 0 (I)
получить уравнение в полных дифференциалах с помощью
специально подобранного множителя.
Функция /х(х,у), определенная в области Г, называется
интегрирующим множителем уравнения A), коэффициенты которого
М(х.у) и N(x,y) определены в области Г, если выполняются
условия:
1. Г Э Г;
2. /1(х,у)^0вГ;
3. ii!y(x,y) и р!х{х,у) существуют и непрерывны в Г;

§ 7. Интегрирующий множитель
29
4. уравнение fiMdx + fxNdy = 0 является уравнением в полных
дифференциалах.
Интересно, широк ли класс уравнений, допускающих
интегрирующий множитель, стоит ли тратить усилия на нахождение этого
множителя?
Теорема. Если существует общий интеграл U(x,y) = С
уравнения A), то существует и интегрирующий множитель для
этого уравнения.
Доказательство. Пусть точка (хо,г/о) ? Г произвольна,
у - ф(х) — решение уравнения A), ц>(х0) - у0 и U(x0,yo) = С0.
Подставив это решение в уравнение A) и в равенство С/(х, у) = Со,
получим тождества. Вычислим дифференциал функции U [х, у?(х)] :
dU dU ,, ч
au J эи J
ax = -0-ЯХ+ *л~/-
Но <^(x) — решение, ?/[х,<?>(х)] = C0, поэтому дифференциал левой
части равен нулю вдоль кривой у — <р(х):
Ж. dU . ft
Вдоль этой кривой выполняется и равенство M(xyy)dx + N(x,y)dy —
= 0. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
относительно dx и dy
( dUJ dUJ Л
to****^0' B)
^ М(х, y)dx + N(x, y)dy = 0.
Мы вправе считать dx ф 0, следовательно, линейная однородная
система B) имеет ненулевое решение (dx, dy) и, стало быть, ее
определитель равен нулю. Из этого следует пропорциональность строк.
Введем функцию /z(x,t/):
dU(x,y) dU{x,y)
п(Х у) = ?? _ ду
MX,W М(х,</) ЛГ(х,у)в
Это равенство выполняется при у = v?(x), и в частности, в точке
(хо, Уо)- Но точка (хо, уо) выбрана в области Г произвольно. Поэтому

30
Глава J. Дифференциальные уравнения первого порядка
в Г верны равенства:
ф,,)Щ,,у)=*!&&; ,{х,у)ЩХ,у) = ™^1.
Основное 4-е свойство интегрирующего множителя доказано. Не
будем касаться первых трех свойств. Посчитаем, что точек, в
которых они нарушаются, нет или исключим эти точки из области Г.
D
Мы получили ответ на поставленный вначале вопрос:
интегрирующий множитель имеют почти все дифференциальные уравнения.
Слово «почти» вставлено для перестраховки.
Нахождение интегрирующего множителя
Предположим, что интегрирующий множитель р(х,у) для
уравнения A) существует. По теореме 1 из §6 в области Г имеем
d(fiM) d(nN)
dy dx
Отсюда
M*-"te=4^~*7' C)
Это уравнение в частных производных с искомой функцией
/х(х, у). Решить его, вообще говоря, не проще, чем уравнение A),
однако нам, во-первых, достаточно найти хотя бы одно решение
уравнения C) и, во-вторых, возможны частные случаи, когда это уравнение
практически разрешимо. Некоторые из них мы сейчас рассмотрим.
Предположим, что р. есть сложная функция: р = р [о;(х, у)]. Тогда
te = ^Ш>^ ~ т?;Ъ%- Подставляя эти выражения в уравнение C),
получим
du _ дх ду /^ч
Рассмотрим четыре частных случая:
1. и = х (интегрирующий множитель зависит только от х).
Уравнение D) принимает вид

§ 7. Интегрирующий множитель
31
Как обнаружить, что существует интегрирующий множитель,
зависящий только от а:, не зная самого интегрирующего множителя?
В равенстве E) левая часть не содержит у. Такой же должна быть
и правая часть, сконструированная из известных функций. Поэтому
сначала вычисляется правая часть E). Если она зависит только от х,
то E) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение с
разделяющимися переменными, множитель ji(x) находится. Бели же
правая часть E) содержит у, нужно искать другой путь решения.
2. из — у. Множитель \х — //(у) существует в том случае, когда
выражение
М _ Ш.
дх ду
м
зависит только от у. Дальнейшие рассуждения аналогичны тем, что
проведены для случая 1.
3. и) = х + у, что будет тогда, когда выражение
dN _ дМ
дх ду
M-N
можно представить как функцию величины и = х + у.
4. и = ху. В этом случае рассматривается выражение
дх ду
Mx-Ny '
и если его удается представить в виде функции от произведения ху,
то можно искать интегрирующий множитель \i — fi(xy).
Пример. Bху2 - y)dx + (у2 + х - y)dy = 0.
дМ . BN dN дМ _ . _
Вычисляем -^— = 4ху - 1; -=— = 1; -= — = 2 - 4ху. Очевид-
ау ах ах ау
но, существует интегрирующий множитель, зависящий только от у.
Действительно,
dN дМ о/1 о \ о
Ж - W = 2A - 2ху) _ _2
М уBху-1) у*
Получаем уравнение — = --; — = ; In /i = -2 In у. Следова-
М У V У
телыю, /х=-г. Умножим исходное уравнение на —? и получим:
У2 У1

32
Глава I. Дифференциальные уравнения первого порядка
Bх )dx + A + -=¦ )dy = 0. Это уравнение в полных диффе-
У У У
ренциалах. Для него
— = 2х--; U = x2--+<p(y);
Эх у У
ду у2 у2 у
Отсюда ч>'{у) = 1 ; <р{у) = у — \пу. Искомый общий интеграл име-
У
ет вид х2 h у — In у = С. Д
У
Множество интегрирующих множителей бесконечно. Имеется
ввиду не тривиальный случай умножения /х на постоянное число,
т.е. C\i. Мы докажем, что наряду с интегрирующим множителем /х
множитель pi = ip(U)n, где ip{U) — произвольная
дифференцируемая функция, a U(x, у) — такова, что dU — fi(Mdx + Ndy)
также является интегрирующим. Действительно, pi(Mdx + Ndy) =
= (f(U)n(Mdx + Ndy) = ip(U)dU. Приходим к уравнению ip(U)dU =
0, общим интегралом которого является уравнение F[U(x, у)] = С,
где F(U) = f ip(U)dU. Несложно доказать, что любой
интегрирующий множитель /xi представим в виде /xi = ip(U)(x.

Глава II
Уравнения, не разрешенные
относительно производной
Рассмотрим уравнения вида
F(x,y,y') - 0 или F(x,y,p) = 0.
(I)
В теории таких уравнений часто обозначают у' через р.
Функция F(x,y,p) определена в некоторой области G переменных х,у,р.
Если для точки (хо,уо,ро) этой области выполнены условия
теоремы о неявной функции, то существует явная функция р =
— f{x,y) (где ро = /(хо,уо)M соответствующая уравнению (I). А
если уравнение F(x0,yo,p) = 0 имеет несколько корней: ро,РьР2, • • •,
то уравнений, разрешенных
относительно производной может
получиться несколько: р = fo(x>y), p =
= /i(z52/)>P = ЛО^у),---.
Возможная геометрическая интерпретация
уравнения F(x,2/,p) = 0
представляет собой многозначное поле
направлений в некоторой области Г
плоскости хОу (см. рис. 1).
Числа ро, pi, р2, • • • задают
направления касательных к
интегральным кривым в точке (ачьУо)-
Количество направлений может меняться от точки к точке.
Множество корней ро,РьР2» ¦ • • может быть конечным, бесконечным,
пустым.
Пример 1. Проиллюстрируем сказанное примером
Рис. 1
{у'J -2{х + \)у' + ix = 0.
(И)
2 Ф.А. Шолоховпч

34 Глава II. Уравнения, не разрешенные относительно производной
Находим явное выражение производной у': у1 = х+1±^/(х + IJ — 4х =
= х +1 ± (х — 1). Имеем два уравнения: у1 = 2х и у' = 2 с решениями
(а) у = х2 + С и 09) у = 2х + D.
Через произвольную точку (хо,уо) проходят две интегральные
кривые (а) у = х2 4- уо - Xq и (/?) у = 2х + у0 - 2х<>. В точках прямой
х = 1 направления этих кривых совпадают, и имеется лишь одно
направление у' = 2.
Если х0 Ф 1, то в точке (х0,уо) поле имеет два направления:
у' = 2хо и у' = 2. Полезно начертить эскиз этого поля с двумя
семействами интегральных кривых. Л
Перейдем к вопросу об интегрировании уравнения F(x,y,p) = 0.
§ 1. Общий метод введения параметра
Уравнению F(x,y,p) = 0 в системе координат х,у,р
соответствует поверхность (см. рис. 2).
Предположим, что удалось найти уравнение этой поверхности в
параметрической форме:
x = a(u,v), y = ?(u,v), p = -y(u,v).
A)
Pt
Рис. 2
Равенство dy — pdx примет
вид
— du+—dv =
OU OV
(da _
= р — du +
ЧЛ
da
dv
dv\.
у Отсюда
du M~Dd<*'
B)
Если найдено решение v =
= cji(w,C) (или « = LJ2{v, С)), то получим решение
х = а[щ (л (и, С)], у = Р [и, ел (и, С)]

§ 2. Неполные уравнения
35
(или
х = a [uJ{v, С), v], г/ = 0 [w2(v, С), v])
уравнения (I). Если найдем общий интеграл ft(u, v, С) = 0 уравнения
B), то решение уравнения (I) можно выразить тремя равенствами
x = a(u,v), у = 0(u,v), ft(u,v,C) = 0.
Что дает рассмотренный метод? Он позволяет свести решение
уравнения F(x,y,p) — О, не разрешенного относительно
производной, к решению уравнения B), разрешенного относительно
производной. Далее можно применить весь арсенал средств, наработанных
для интегрирования таких уравнений.
При реализации метода встретятся две проблемы, две трудности:
первая — получение параметрических уравнений A), вторая —
интегрирование уравнения B). В §3 указаны два случая, когда первая
из этих трудностей легко преодолевается.
§ 2. Неполные уравнения
Так называются уравнения, вида F(x,p) — О, F(y,p) = 0 и F(p) =
О, где р = у'. Начнем с последнего. Пусть имеется действительный
корень ро, т.е. F(po) = О, тогда у — рох + С — решение. Находим
ро = Jt^ и получаем общий интеграл F(^^-) = 0.
В оставшихся уравнениях F(x,p) = 0 и F(y,p) = 0 решения
ищут в виде функций, заданных параметрически. Из уравнения
F(x,p) = 0 либо выражают х через р, х = /(р), либо находят
параметрическую связь между х и р, т.е. такие функции х = ?>(*)>
р = ^/>(?), что F[y>(*),^@] = 0" Из равенства dy = pdx получаем
Ф = Pf'ip) dp; У= Pf'ip) dp Л-С
или
dy = tl>(tL>'{t)dt\ у = /il>(t)<p'(t)A + C.
Общее решение имеет вид
х = /(р),
У = У* Р/'(Р) dp + С
2*

36 Глава II. Уравнения, не разрешенные относительно производной
или
У= fil>(t)v'(t)dt + C.
Пример. х(у'K = 1 + у#;
после традиционной замены имеем х = ——. Проще ввести пара-
Р3
метр * = -. Тогда х = t3 + *2; rfy = pdx = -C«2 + 2*)<ft; у =
= ^2+2* + С.
3
Ответ. x = t3 + t2,y= -t2 + 2* + С. Л
§ 3. Уравнения, разрешенные
относительно х или у
Речь идет об уравнениях вида у — /(х,р), х = /(у,р). Пусть
дано уравнение у — f(x,p). Ему можно поставить в соответствие
параметрические уравнения х — и, у = /(и, и), р = v. На практике
обозначения и и v не вводят. Роль параметров приписывается
переменным х и р. Из формулы dy — pdx получаем -rfedx + Qzdp — pdx
или, поделив на dx,
p = 2i + d?dp
dx dp dx
К этому уравнению на практике приходят таким формальным
приемом: уравнение у = /(х,р) дифференцируют по х, считая р
функцией х.
Если уравнение A) имеет решение р — cj(x, С), то у = / [х, cj(x, С)]
есть решение исходного уравнения у = /(х,р).
А если нам удалось найти решение A) в виде х = w(p,C), то
решение исходного уравнения запишется параметрически
х = w{p,C),
у = f(w(p,C),p).

§ 4. Уравнения Лагранжа и Клеро
37
В случае уравнения х = f{y,p) за параметр принимают у и р, и
дифференциальное уравнение, связывающее у и р, получают,
дифференцируя х = /(у,р) по у в предположении, что р является функ-
чр«* »;•* = *:* = * + «*•
Пример. р4= 4у(хр - 2уJ. Из уравнения следует, что у ^
^ 0. Функция у = 0 уравнению удовлетворяет. Далее считаем у > 0.
Извлечем корень из обеих частей уравнения, р2 = ±2у/у(хр — 2у).
Выразим х = ±25l/ "*" ^р CДесь Р Ф 0> так как ПРИ Р = 0 получим из
исходного уравнения 0 = 4у • 4у2, т.е. у = 0, что уже учтено).
Дифференцируем обе части по у, считая р функцией у.
1 _ 1 dp p 2 2у dp
р 2y/ydy 4уу/у р р2 dy'
1
Р *Уу/У
= f?? -J-Л *. 4Уу/у^Р2 _ ^Уу/У^Р2 dP
\р2 2у/у) dy' ±РУу/у 2р*^/у dy'
л л г, х 1 up ар 1 сш
= -^ж4. Проинтегрируем уравнение — = - —; — = -—;р = Ci^y/y.
1 ldp
После сокращения на общие множители получаем —- = - —, причем
2у pdy
из условия 4уу/у ± р2 = 0 следует взять лишь р2 = 4уу/у, или р =
= ±2у3/4. Подставляя это выражение в формулу для х, приходим к
равенствам х = ±у1/4 ± у1/4, откуда либо х = 0 (при этом исходное
уравнение теряет смысл (у' — р — оо)), либо х — ±2у1/4, т.е. у =
1 __ 1 dp dp _ Idy
2у ~ pdy' p 2 у
Подставляем в формулу для х: х = ±\С\ + -g-y/y- Обозначим
Id =Си разрешим С принимать отрицательные значения и нуль.
Тогда получим общее решение
у = С2(х-СJ
(оно содержит и решение у = 0).
Кроме этого имеется решение у = jqX4. Л
Укажем один тип уравнений, для которого и вторая трудность
преодолевается, так как уравнение A) решается в квадратурах.
§ 4. Уравнения Лагранжа и Клеро
Уравнение Лагранжа. Это имя носит уравнение, линейное
относительно хну. Его общий вид А(р)х + В(р)у = С(р). В проме-

38 Глава II. Уравнения, не разрешенные относительно производной
жутке, где В(р) ^ О, можно рассматривать уравнение
У = ?>(р)я + ^(р); A)
т.е. уравнение, разрешенное относительно у. Уравнение Лагранжа
замечательно тем, что интегрируется в квадратурах, потому что
дифференциальное уравнение A) из §3 преобразуется для него в
линейное уравнение.
Применяя изложенный выше метод, получим р = 4>{p)+X4>' (р)-?+
+V'(P)? или
^[V(p)+^(P)]=P-V(p). B)
Возможны три случая:
1. Пусть р — ф(р) ф 0. В соответствующем промежутке равенство
B) преобразуется в уравнение
dx у>'(р) ф'(р)
dp р- ч>{р) р - ip(p)'
линейное относительно х. Пусть найдено его решение х =
= ш(р,С). Решение уравнения A) получается в
параметрической форме
х = и>(р,С),
У = <р{р)ь)(р,С)+ф(р).
2. Уравнение р — <р(р) — 0 имеет корень р = ро- Докажите сами,
что функция у = рох + ф{ро) удовлетворяет уравнению A).
3. Остался случай р—ф{р) = 0. Это означает, что у>(р)
тождественно равно р, и B) записывается в виде у — рх+ф(р) (исследуется
ниже).
Пример. 2хт/' — у = In у1. Выражаем искомую функцию у =
= 2хр — 1пр, дифференцируем по х, считая р функцией х. Имеем
p = 2p+Bx-i)g.
Н)
dp + pdx = 0.

§ 4. Уравнения Лагранжа и Клеро
39
Для этого уравнения р. = р является интегрирующим множителем.
Получится уравнение в полных дифференциалах Bрх—l)dp+p2dx =
= 0. Его решением является р2х — р = С. Теперь получаем решение
исходного уравнения.
Ответ, х = 2J*. у = *i?td - In p. Л
Уравнение Клеро. Так называется уравнение
2/=px + V>(p). C)
Дифференцируя по х, получаем
р = р + х-? + V>'(p)^ или J?(* + V'(p)) = 0.
1. Пусть gf = 0, следовательно р = С, и приходим к решению
у = Сх + ф(С),
которое является общим решением уравнения Клеро. Если
отойти немного от серьезного тона книги, можно назвать
уравнение Клеро самым лучшим из дифференциальных
уравнений — оно само себя решает: достаточно заменить у1 = р на
С. Можно и этого не делать, объявив, что р считается
произвольной постоянной.
2. Теперь приравняем к нулю второй множитель
s + ^(p)=0. D)
а) Пусть ф'(р) Ф const. Рассмотрим промежуток строгой
монотонности этой функции. Из D) выразим р через х: р = ш(х).
Подставляя и(х) в уравнение C), получим у = хш(х) + ф[ш(х)].
Это решение уравнения C) называют особым. Его можно
представить и в параметрическом виде
х = -</>'(р),
У = -Р0'(р)+^(р)-
Доказывать, что особое решение уравнения Клеро является его
решением, мы здесь не будем. Зато докажем, что оно не
получается из общего ни при каких значениях С. Более того, это

40 Глава II. Уравнения, не разрешенные относительно производной
решение не является линейной функцией, как все частные
решения уравнения Клеро. Предположим противное, что хи(х) +
V>[u(?)] = лхЧ-6. Учтя, что ф' [ш(х)] = —х*\ и выполнив
дифференцирование, получим: и(х) + жи/(ж) +ф' [ш(х)] ш'(х) =
= a, uj(x) + xlj'(x) — xu'(x) = а или u(x) = а. Это противоречит
предположению, что функция ф'(р) Ф const и является строго
монотонной, поэтому функция х = —ф'(р) также должна быть
строго монотонной.
Ь) Пусть теперь г/>'(р) = a(const). Это значит, что ф(р) —
линейная функция, гр(р) = ap + j3 (а и /^-конкретные числа), и
уравнение Клеро имеет вид
у = рх + ар 4- /3.
Но х — — гр'(р) — —а, следовательно у — /3. Точка (—а,/?)
называется особой точкой уравнения Клеро. Все интегральные
прямые у = Сх Н- аС + 0 проходят через эту точку.
Действительно, при подстановке х = — а получается у = ($. В
дальнейшем темы «Особые решения» и «Особые точки» будут изучены
подробно.
Пример, у = рх + р — р2. Общим является решение у = Сх +
+С—С2. Особое решение находим с помощью соотношения х =
= -ф'(р). Имеем х = -1 4- 2р, р — ^^. Подставляем в
уравнение у = ^х + ^ - ^~рЦ I/ = ^"^ . Как видим, особое
решение не является линейной функцией. А
Предупреждение. По идее метода, найдя из уравнения A) §3
функцию р = cj(x,C), мы должны подставить ее в уравнение
и получить у = f[x,ij(x)]. Но некоторые студенты поддаются
следующему соблазну: от уравнения р = ш(х,С) переходят к
уравнению у' = ш(х, С) и находят у = J u)(x,C)dx + D. Это
фактически означает, что решается уравнение второго
порядка у' = |? + •?у", не имеющее никакого отношения к нашей
задаче.
* ^Функция р — &{х) определяется из уравнения х + ^'(р) = 0 или ^'(р) = ~х*
Поэтому при подстановке ы(х) в последнее уравнение получается тождество.

Глава III
Доказательство теоремы Коши
Теорему о существовании и единственности решения можно
считать основной теоремой курса дифференциальных уравнений.
Формулировка теоремы для уравнения
^ = /«.*) (I)
с начальным условием
x(to) = хо (II)
приведена в главе I.
Задача нахождения решения х = <p(t) уравнения (I),
удовлетворяющего начальному условию (II) по заранее заданным начальным
данным ?(ь Хо, называется, как мы знаем, начальной задачей Коши,
или просто задачей Коши A)-(И). Поэтому данную теорему можно
назвать теоремой о существовании и единственности решения задачи
Коши.
§ 1. Вспомогательные понятия
и предложения
Лемма. Начальная задача Коши A)-(П) равносильна
интегральному уравнению
t
x(t)=x0 + J Дт,х{т)]Aт. A)
to
В уравнении A) неизвестная функция x(t) содержится и под
интегралом, поэтому уравнение A) называется интегральным.

42
Глава IIL Доказательство теоремы Коши
Доказательство. Пусть вначале х = x(t) —
непрерывное решение уравнения A)*^ Подставим это решение в A). По
теореме о производной от интеграла по переменному верхнему пределу
правая часть A) дифференцируема. Следовательно,
дифференцируема и левая часть. Получаем ^ = /[?, ж(?)], т.е. выполняется первое
требование задачи Коши. При t = to равенство A) превращается в
равенство x(to) = хо, т. е. выполняется и второе требование.
Пусть теперь х — x{t) — решение задачи A)-(П). Можно записать
dx(t) = f[t,x(t)]dt. B)
Интегрируя B) в пределах от to ДО ?, получаем
x{t)-x{to)= [ f[r,x{r)]dr.
Осталось заменить x(t0) на х0 и перенести xq направо. D
Оператор на множестве функций
Пусть х — x(t) — непрерывная функция, определенная на отрезке
[п > *]> график которой не выходит за пределы некоторого открытого
множества Г и tQ € [ri,r2]. Поставим ей в соответствие функцию
x*(t) по формуле C),
t
X*(t)=X0 + jf[T,x(T)]dT, C)
to
где f(tyx) — функция, определенная и непрерывная в области Г.
Очевидно, функция x*(t) непрерывна в промежутке [тч,^].
Обозначим отображение x(t) в x*(t) через А : Ах(-) = ж*().
Принцип сжатых отображений
В курсе математического анализа доказывается следующая
теорема (принцип сжатых отображений).
Бели оператор (отображение) А, определенный на полном
метрическом пространстве R, удовлетворяет двум требованиям:
*) Функция х = x(t) должна быть дифференцируемой как решение уравнения
(I), поэтому требование ее непрерывности не является надуманным.

§ 2. Доказательство существования решения
43
1. Ух € R Ах € R;
2. ЗА;, 0 < к < 1, Ух, у € R р(Ас, Лу) < кр(х,у);
(р(х>у) — расстояние от х до у),
то существует, и притом единственная, точка а? € К,
удовлетворяющая уравнению
Ах = х. D)
Эту точку называют неподвижной точной оператора А, Оператор
А называют сжимающим.
§ 2. Доказательство существования решения
Впишем в область Г прямоугольник D с центром в точке (to,xo)
и сторонами, параллельными осям координат.
D = {{t,x)/\t - t0\ ^ <?, I* - х0| < а}.
Рис. 3
Функции f(t,x) и ffx{t,x) ограничены на замкнутом множестве D.
Существуют такие числа М > 0 и К > 0, что |/(?,я)| ^ М,

44
Глава IIL Доказательство теоремы Коши
!/?(*>#)| ^ К на. D.B дальнейшем мы сузим прямоугольник D,
симметрично урезав его с обеих сторон, т.е. абсцисса t точек
прямоугольника будет удовлетворять условию \t -10\ ^ г, где 0 < г ^ q. Более
определенно укажем число г позднее. Урезанный прямоугольник
назовем Dr. Семейство {x(t)} непрерывных функций, определенных
на отрезке [to — г, *о + *"], графики которых не выходят за пределы
прямоугольника ?>г, назовем G>. Очевидно, Vx(?) € Gr справедливо
неравенство \x(t) — xq\ ^ а.
Будем рассматривать Gr как подпространство пространства С =
= C[t0 — г, to + г] непрерывных функций, заданных на отрезке [to —
—г, t0 +r] с метрикой p[x\(t),X2{t)] = max |xi($) — X2(t)\.
\t-to\^r
Докажем замкнутость Gr. Пусть xn(t) ->• x(?) и Vn x„(?) € Gr.
Сходимость в пространстве С есть равномерная сходимость,
поэтому функция x(t) непрерывна. Переходя к пределу при п —> оо в
неравенстве |хп@ — хо| ^ a для произвольного фиксированного
t e [to — г, t0 + г], получим |х(?) — Хо\ ^ а. Замкнутость Gr
доказана.
Далее семейство Gr будем считать самостоятельным
метрическим пространством. Из его замкнутости вытекает полнота.
Введем на множестве Gr оператор А :
t
Ax(t) = x* (t) = xo + / /[г, х(т)] dr. A)
to
Оператор А можно сделать сжимающим путем уменьшения числа г.
Обеспечим выполнение двух упомянутых выше требований.
1. Поскольку для любой функции x(t) € Gr ее образ x*(t) есть
функция непрерывная, достаточно установить, что график x*(t) не
выходит за пределы прямоугольника G>, т.е. что \x*(t) — Хо\ ^ а на
промежутке [*о — г,to + г].
|х*(*)-*о| = |/'/[т,х(т)]А-|<
Jt0
^1 / \f[TMr)]\dT\^M\t-tQ\^Mr.
J to

§ 2. Доказательство существования решения
45
Достаточно положить Mr ^ а, т.е. считать, что
a
гй
М'
2. Пусть x\(t),X2(t) G Gr- Оценим разность x\(t) - x2(t). Имеем
W(*)-«5(t)l =
Jf[T,Xl(T)]dT-jf[T,X2{T)]dT
to
t
||/[t,*i(t)]-/[t,X2(t)]|A-
B)
Если зафиксировать переменную г, то к функции /(т,х) одной
переменной х можно применить формулу Лагранжа конечных
приращений (проверьте выполнение всех условий теоремы Лагранжа).
Согласно этой формуле
/ [т,Х1(т)) - f [т,ха(т)] = ?(тА) Ыт) - х2(т)].
C)
Число 0Т находится между х\{т) и х2(т), поэтому точка (т,0г)
принадлежит Gr и справедлива оценка |/х(т,0г)| ^ К (Vr € [to — г, to + *"])
Продолжая оценку B) для t таких, что \t — tQ\ ^ г, получаем
K(*)-*SWI<
I l
\jK\xl(T)-x2(r)\dT
1*0
^K\t-t0\x
х max|xi(r) -x2(r)| ^ Krp[xl(t),x2{t)\. D)
Можно записать теперь, что maxlx^t) -х2(?)| ^ /fp[xi(t),x2(?)]r;
p[ytxi(?),Ar2(?)] ^ A;p[xi(t),x2(t)]. Здесь k = Кг. Для того, чтобы
выполнялось второе требование к сжимающему оператору,
достаточно положить к = Кг < 1 или считать, что г < j^.
Выбрав г > 0, удовлетворяющим неравенствам

46
Глава III. Доказательство теоремы Коши
мы превратим А в сжимающий оператор на полном метрическом
пространстве Gr. Равенство Ах = х в подробной записи имеет вид
t
*W=*o + J f[r,x(T)]dr.
to
По лемме функция x(t) является решением задачи Коши A)-(И).
§ 3, Доказательство единственности решения
Опираясь на принцип сжатых отображений, можно заключить,
что на промежутке [t0 — г, t0 + г] функция х = x(t) является
единственным решением задачи Коши. Назовем это локальной
единственностью. Ее можно сформулировать так: если два решения х\ (t)
и X2(t) совпадают при t = to, то они совпадают и в некоторой
окрестности этой точки. Свойство единственности решения, указанное в
формулировке теоремы Коши, назовем глобальной единственностью.
Пусть интервал (а, /3) является пересечением областей
определения решений х = Xi(t) и х — Хг@ уравнения (I) и xi(to) = ?2 (to)-
Предположим от противного, что существует значение t = t* 6 (a, ft)
и xi(t*) ф X2(t*). Для определенности будем считать t* > t0. Введем
множество N тех точек 9 отрезка [?<ь**]> в которых х\(9) — Х2@).
Множество N не пусто, to ? N.
Докажем замкнутость N. Пусть для любого п 9п G N и 9п ->• 9.
Так как все члены этой последовательности принадлежат
замкнутому промежутку [?(>>**]> то и 9 € [?о>2*]- С другой стороны, переходя
к пределу при п -> оо в равенстве х\{9п) — Х2{9п), получим с учетом
непрерывности этих функций, что х\{9) — Х20). Итак, 9 Е N.
Ограниченное множество N имеет точную верхнюю границу.
Обозначим ее 9. Очевидно, 9 G N, так как N замкнуто, и 9 ^ t*.
Равенство 9 = t* исключено, потому что x\{t*) ф X2(t*), axi@) = Х2(9),
поэтому в < t*. В силу локальной единственности вместе с 9
множество N содержит и некоторую окрестность (9 — 6,9 + <5), что
противоречит свойству 9 = sup N. Теорема Коши доказана полностью.
D

§ 4. Замечания
47
§ 4* Замечания
В связи с теоремой Коши следует сделать некоторые замечания.
1. Оказывается, доказать существование решения можно,
опираясь лишь на непрерывность функции /(*, х) в области Г. В этом
состоит теорема Пеано [см.[5]]. Условие непрерывности f'x(t, x) в
теореме Коши обеспечивает единственность. Мы использовали его и для
доказательства существования, чтобы упростить рассуждения.
2. Имеются теоремы, в которых единственность обеспечивается
условием более слабым, чем непрерывность функции /?(t,x). Таким
является, в частности, условие Липшица. Применительно к функции
двух переменных /(?, х) оно формулируется следующим образом.
Функция f(t,x) удовлетворяет условию Липшица по переменой
х в области Г, если существует такое число L > 0 (константа
Липшица), что для любых двух точек (?i,xi), (?i,X2) € Г выполняется
неравенство
\f(tux1)-f(tux2)\^L\x1-x2\.
Если f'x(tyx) непрерывна в Г, то в любом замкнутом ограниченном
множестве, принадлежащем Г и выпуклом по переменной х,
функция /(?, х) удовлетворяет условию Липшица. С другой стороны,
выполнение условия Липшица не дает оснований для утверждения о
существовании /i(t,x).
Теорема Коши с использованием условия Липшица доказывается,
например, в учебниках В.В. Степанова, Н.М. Матвеева.
3. Вводится понятие продолжения решения. Пусть решение х =
= x\(t) определено в интервале (ri,r2), решение х = x2(t) в
интервале (si,S2), а точка to находится в пересечении этих интервалов и
si(*o) = ^2(^0)- Возможное расположение интервалов и
соответствующие интегральные кривые изображены на рис. 4.
По теореме Коши в промежутке [зьгг] интегральные кривые
совпадают, решение х = x2(t) называется продолжением решения
х = Xi(t) на промежуток (г2,«2)> а решение х = x\(t) называют
продолжением решения х = X2(t) на промежуток (ri,Si).
Позже мы докажем, что всякое решение может быть продолжено
до решения, далее непродолжаемого.

48
Глава III. Доказательство теоремы Коши
хк
Si
Рис. 4
§ 5. Общее, частное и особое решения
Рассмотрим уравнение
dx
= /(*.*)¦
A)
в котором функция f(t,x) определена в области Г. Семейство х =
= <p(t,C) функций, зависящее от параметра (произвольной
постоянной) С называется общим решением уравнения A) в области Г,
если:
А. Для любой точки (to,xo) ? Г существует такое значение С =
= Со произвольной постоянной, что выполняется равенство
<p(to,C0) =x0.
Б. Функция х = у>(?,Со) является решением уравнения A) в
некоторой окрестности точки ?0«
Всякая функция, являющаяся решением уравнения A) и
получаемая из общего решения заменой произвольной постоянной
конкретным числом, называется частным решением.
Существуют вместе с тем и решения, не являющиеся ни общими,
ни частными. В следующем пункте рассматриваются так называв-

§ 5. Общее, частное и особое решения
49
мые особые решения. Мы увидим также, что возможны
интегральные кривые, изображающие решения, не принадлежащие ни одному
из указанных выше типов.
1. Особые решения. Метод 1
(использование теоремы Коти)
В учебниках встречаются два различных определения этого
понятия.
1. Особым называется такое решение уравнения F(x,y,yf) = О,
которое ни при каком значении произвольной постоянной С не
получается из общего.
Мы примем другое определение.
2. Особым называется такое решение уравнения F(a;,y,i/') — О,
когда через каждую точку соответствующей ему интегральной
кривой проходит другая интегральная кривая этого уравнения, не
совпадающая с первой ни в какой окрестности указанной точки и
имеющая с ней общую касательную (в случае уравнения ^ = f{x,y)
упоминание об общей касательной излишне. Почему?).
Суть второго определения, коротко говоря, в нарушении
единственности. Множества особых решений в смысле первого и второго
определений пересекаются, но не совпадают. Рассмотрим методы
нахождения особых решений. Один из них использует теорему Коши,
другой — понятие огибающей семейства кривых.
Сначала рассмотрим уравнение ^ = /(я, у) и предположим, что
в области Г, где определена функция /(х,у), существует конечная
или бесконечная производная fy(x,y), причем там, где fy(x,y)
конечна, она непрерывна вместе с функцией f(x,y). При этих
условиях интегральная кривая, соответствующая особому решению, может
состоять лишь из точек, удовлетворяющих уравнению fy{x,y) = со.
Нахождение таких кривых является 1-м этапом в отыскании
особых решений, и эти кривые можно назвать подозрительными на
особые решения;
2-й этап - проверка того, является ли подозрительная кривая
интегральной;
3-й этан — проверка нарушения единственности.
Третий этап нужен потому, что условия теоремы Коши,
достаточные для единственности, не являются необходимыми.

50
Глава HI. Доказательство теоремы Коши
Пример. з*= V ^ у2; f(x,y) = Vlyy . Полагаем у ф 0, так
как при у = 0 /(х, у) не определена.
1-й этап. f'y(x,y) = а I1 a; /^(ж,у) = оо при у = 1 и у = -1.
Эти функции «подозрительны», их нужно проверить.
2-й этап. Данному уравнению функции у = 1 и у = — 1
удовлетворяют.
3-й этап. Нужно проверить нарушение единственности. Для этого
найдем общее решение. Разделяем переменные dx = УЛЧ п; х — С =
Сделаем два преобразования этой формулы. Возведем обе части
в квадрат (ж — СJ — 1 — у2, (ж — СJ + у2 = 1. Другое преобразование
— х = С — у/1 — у2. Легко увидеть, что интегральными кривыми
являются полуокружности х = С — \/1 — у2 радиуса 1 с центром
в точке (С,0). Нужно проверять либо уравнение *j* = ^ у , либо
уравнение Ф^ = уу а (в точках у = 0 касательная к интегральной
кривой параллельна оси Оу.)
Пример станет более интересным, если рассмотреть уравнение
(у'J = —-%-. В этом случае графической иллюстрацией станет рис. 5.
К семейству х = С — у/1 — у2 добавится семейство х = С + у/1 — у2.
Нарушение единственности в точке М или ей подобных не будет, так
как пересекаются интегральные кривые разных уравнений.
Итак, в каждой точке прямых у = 1 или у = — 1 нарушается
единственность, поэтому указанные решения являются особыми.
Обратите внимание на обязательность 2-го этапа. Так, для
уравнения з| = * ~у + 5 функции у=1иу = —1 являются
«подозрительными», но уравнению не удовлетворяют. Л
Как видно из рис. 5, существуют интегральные кривые, не
соответствующие ни частным, ни особым решениям (жирная кривая).
Перейдем к рассмотрению метода в случае уравнения F(x, у,р) =
= 0, не разрешенного относительно производной. Предположим, что
этим уравнением задается р = /(ж, у) как функция х и у, но f(x,y)
нам неизвестна. Из математического анализа Ф = — piuJ^) (B связ-
ке с уравнением F(x>y>p) = 0). «Подозрительные» кривые
получаются, когда $? = оо.

§ 5. Общее, частное и особое решения
51
Рис. 5
Имеются две возможности:
l)F*p(x,y,p) =0;F(x,y,p) -0
или
2)^(х,г/,р) =oo;F(x,y,p) =0.
Исключая р из данных уравнений, приходим к уравнению «
подозрительной» кривой у?(ж, у) = 0, она называется р-дискриминантпной.
После этого выполняются 2-й и 3-й этапы.
Пример 1. g = У(у - 2хJ + 2.
Сделаем замену и = у — 2х,
du
dx
dx
du
dx
+ 2 =
о ~ du 2
2+2; — =из
dx
Находим производную по и от правой части. f(u) =«з, ^ = ^-?=;
|? = оо при и = 0, т.е. при у = 2х. Ищем общее решение. Разделяем
переменные u~*du = dx. Получаем Зиз = х - С\ 27и = (х - СK;
у = ±(х-СK+2х.
2-й этап. Проверяем, будет ли «подозрительная» функция у = 2х
решением. Да, дифференциальному уравнению она удовлетворяет.
3-й этап. Проверяем нарушение единственности. Берем
произвольную точку на прямой у — 2х. Это будет точка с координатами
(жо,2хо). Найдем кривую семейства, проходящую через эту точку:
2хо = ^(#о ~ С)г + 2хо. Отсюда хо - С — 0, т.е. С = хо- Искомая
кривая у — ~(х - х0K + 2х. Проверять, будут ли кривые касаться,

52
Глава III. Доказательство теоремы Коши
нет необходимости, так как исходное уравнение разрешено
относительно производной.
Итак, у = 2х — это особое решение нашего уравнения. Полезно
изобразить решения на чертеже. Л
Пример 2. х -у + |гр3
|р2=о.
уравн
4
*р = I**2 ~~ §Р' ^р — 0 при р = О и р = 1. Рассматриваем системы
уравнений
р = 0, fp=l,
8 3 4 2 о Б 4 8342Л
У+27Р 9Р =0; 1*-*+27Р "9Р =°-
Из (А) у — ж; у' = р = 1. Эта функция уравнению не
удовлетворяет. Из (Б) х - у + ? - | = 0; у = х - ^, у' = р = 1.
Имеем решение, возможно особое. Найдем общее решение.
Дифференцируем обе части по х, считая р функцией х. Получили уравне-
/8 2 8 \ dp Л , 8 ,, . dp _,
ние 1 - р -|- I-р^ - -р ) — = 0, 1 - р = -рA -р) —.
Сокращаем на 1 — р (случай р = 1 уже рассмотрен). Теперь 8pdp = 9dx;
4р2 = 9х — 9С. Умножим исходное уравнение на 9, чтобы было
проще исключить р. 9х - 9у + |р3 — 4р2 — 0. Заменим 4р2 = 9ж — 9С,
9х - 9у + |р3 - 9х + 9С = 0; 9у - 9С = |р3. С одной стороны,
(у - СJ = (?)V- С ДРУГОЙ стороны, (ж - СK = (f)У.
Следовательно, (у — СJ = (х — СK. Это семейство полукубических парабол.
Итак, р-дискриминантная
кривая состоит из двух
прямых: у = х — геометрическое
место особых точек
(вершины полу кубических парабол)
и у = х — ^ — это особое
решение.
Исходное уравнение
является кубическим
относительно производной у' = р. Вся
плоскость делится на три
зоны: полоса между
прямыми и две полуплоскости вне
этой полосы. В полу плоско-
Рис.6
стях уравнение имеет один действительный и два комплексных
корня. Внутри полосы — три действительных различных корня. На пря-

§ 5. Общее, частное и особое решения
53
мых у — х у = х — 7ft — два действительных корня, один из которых
второй кратности.
На рис. 6 видно, что в каждой точке прямой у = х — ^
нарушается единственность. Через точки внутри полосы проходят три
интегральные кривые (см. точку М). Л
2. Особые решения. Метод 2
(использование огибающей)
Второй метод нахождения особого решения опирается на то, что
огибающая семейства интегральных кривых, если она существует,
изображает особое решение. По-видимому, следует сказать здесь
несколько слов об огибающей, изучаемой в курсе
дифференциальной геометрии.
Определение. Пусть семейство кривых задается
уравнением Ф(х,у,С) — О, где С — параметр. Кривая ф(х,у) = 0 называется
огибающей этого семейства, если через каоюдую ее точку проходит
кривая семейства, имеющая общую с ней касательную, но не
совпадающая с кривой </р(х, у) = О ни в какой окрестности упомянутой
точки.
Для нахождения огибающей исключают С из системы.
ФЬ(*,у,с) = о,
Ф(ж1у,С)=0.
Полученную кривую называют С-дискриминантной. Она может
быть геометрическим местом особых точек на кривых, одной из
кривых семейства или огибающей.
Пусть теперь F(x,y,C) = 0 — общий интеграл, задающий
семейство интегральных кривых. Сравнивая определения особого
решения и огибающей, приходим к выводу: если огибающая является
интегральной кривой, то она изображает особое решение. Последнее
легко доказать, ведь в каждой своей точке огибающая имеет
направление поля, так как у нее и у интегральной кривой, проходящей через
эту точку, касательная общая.
П р и м е р 1. Уравнение Клеро у = рх+ф(р) имеет общее решение
у = Сх + ф(С); С-дискриминантная кривая получается исключением
С из системы
x + V'(C)=0i
у = Сх + гр(С).

54
Глава III. Доказательство теоремы Коши
Функция, выражающая С через х из первого уравнения,
совпадает с функцией р = и(х), выражающей р через х из
уравнения х + ф'(р) = О, т.е. С = ш(х). С-дискриминантная кривая
имеет вид у = xw(x) + ф [и(х)]. Интегральными кривыми семейства
у = Сх + Ф(С) являются прямые линии, следовательно, особых
точек на них нет. Выше доказано, что функция у = хш(х) + ^[^(х)] не
получается из общего решения ни при каком значении С. Остается
одно: этой функцией задается огибающая, а значит, особое решение.
Таким образом, решение уравнения Клеро, названное особым,
удовлетворяет общему определению особого решения. Л
П р и м е р 2. Выше для уравнения р4 = 4у(хр-2уJ было найдено
общее решение у = С2(х — СJ. Применим 2-й метод,
дифференцируем по С.
О = 2С(х - СJ - 2(х - С)С2, 2{х - С)С(х - 2С) = 0.
Исключением С находим С-дискриминантную кривую. В
случаях С = 0кх-С = 0, (т.е. С = х) получаем у = 0. При х - 2С — 0
или С = | будет у = (§J ¦ (§J, т.е. у = f^. Решения у = 0 и у - ^
были получены ранее. Они являются особыми. Л

Глава IV
Нелинейные системы
дифференциальных уравнений и
уравнения высших порядков
§ 1. Задача и теорема Коши для системы и
уравнения n-го порядка. Определение общего
решения
В общем случае система т уравнений с т искомыми функциями
имеет вид
Fi(t,yuy[,...,y[kl\y2,y'2,...,y{2k:i\...,
Ут,У^,..-,УЙ"))=0> (t=I^S). A)
Порядком системы называют число п = к\ + к2 +... + кт, В
курсе математического анализа указываются условия, при которых из
системы A) можно явно выразить старшие производные, т.е.
разрешить систему относительно у[ ,у2 2\--*->Ут . Введением новых
искомых функций a:i,a:2,...,xn легко получить систему,
содержащую лишь первые производные х\, х2,.. •, хп. Чтобы избежать
громоздкой записи, продемонстрируем эту идею замены переменных на
одном уравнении n-го порядка
У(п) =f(t,y, у', ...,У(п-1)). B)
Пусть у = xi, у' = xi = 12, У" = х2 =х3,..• ,У(п_1) = in-i = хп.

56 Глава IV. Нелинейные системы дифференциальных уравнений
Приходим к системе уравнений
Xi = Х2,
Х2 = Х3,
< :
C)
Хп—\ — Хп,
I Хп = f{t,Xi,X2,...,Xn).
Если имеется не одно, a га уравнений с га неизвестными, то
получится га групп уравнений вида C). Таким образом, оказывается
оправданным и целесообразным изучать системы
дифференциальных уравнений в так называемой нормальной форме Коши
-g = fi(t,xi,x2,...,xn) (i = l,n).
D)
Иногда используют векторную запись. Рассматривают п-мерные
векторы
X{t) = {xl(t),x2(t),...,xn(t)},
F(t, X) = {/i(t, xi,..., xn), /2(t,xi,..., x„),..., /n(t,xi,..., xn)}
и системе D) придают векторную форму
= *U*).
E)
Определение. Совокупность функций xi (?), х2(?),..., яп@
называется решением системы D) в интервале (ri,r2), если при
подстановке в уравнения системы этих функций получаются
тождества в интервале (ri,r2).
Задача Коши для системы в нормальной форме
Дана система D), правые части которой определены в области
Г (п + 1)-мерного пространства неременных ?,xi,x2,... ,xn. Пусть
(?0,я?7Я2,- ¦• ,#п) - заранее назначенная точка области Г (она
может быть любой). Требуется найти решение xi = xi(t), x2 =
= ж2(?),... ,х„ = xn(t) системы D), удовлетворяющее условиям
xi(t0) =х", x2(to) = х2
xn(to) — хп-
F)

§ 1. Задача и теорема Коши для системы
57
Координаты упомянутой точки называются начальными
данными задачи Коши, а равенства F) ее начальными условиями.
Сейчас нужно установить условия существования и
единственности решения задачи Коши.
Теорема (Коши). Если функции Л(?,?i,?2>-• • ,хп) (г = 1,п)
непрерывны вместе с частными производными -^- (i,k = l,n) в
дхк
области Г пространства переменных t, Х\, ж2, • • •> ^п? то
1. Для любой точки {tn,x\, х%,... ,х^) ? Г существует решение
Xi(t),X2{t),..., xn(t) системы D), удовлетворяющее условиям
*i(*o) = *?, Я2(*о) = ^2,...,жп(«о) = я°-
2. ^сл« два решения удовлетворяют одним и тем же
начальным условиям, то они совпадают всюду, где оба определены
(единственность в глобальном смысле).
Имеется полная аналогия с теоремой Коши для уравнения
первого порядка. Доказательство теоремы для системы уравнений
отличается от доказательства для одного уравнения лишь технически,
а не идейно. Поэтому рассматривать доказательство теоремы
Коши для системы мы не будем. Замечания о теореме Пеано, условии
Липшица, продолжении решения остаются в силе и для системы D).
Задача Коши для уравнения n-го порядка
Она приведена в §3 введения и формулируется так. Дано
уравнение
У(п) =/(*,», у\- ..,У{"-1)) G)
с начальными условиями
y(t0)=yo,y'(to)=y'0,...,y{n-1)(t0) = y{on-1).
Требуется найти решение у — y(t) уравнения G), удовлетворяющее
указанным начальным условиям.
Теорему существования и единственности этой задачи мы
получим как следствие теоремы Коши для системы уравнений. С этой
целью преобразуем уравнение G) в систему уравнений C).
Обратимся к теореме Коши. Правые части первых (п — 1) уравнений системы

58 Глава IV. Нелинейные системы дифференциальных уравнений
C) удовлетворяют условиям теоремы во всем пространстве,
поэтому ограничения коснутся только последнего уравнения. Приходим к
очевидному следствию для уравнения:
Если функция f(t,y,y',. ..,у(п~^) непрерывна в области Г
переменных t, у, у',..., у(п~1^ вместе со своими частными производными
щ» а^"'* * * » a </-о» то задача Коши имеет решение для любой точки
этой области, единственное в глобальном смысле.
Соответствие между уравнением G) и системой C) можно
назвать равносильностью в следующем понимании: всякому решению
системы x\(t),X2(t),... ,xn(t) соответствует решение у = x\(t)
уравнения; всякому решению у = y(t) уравнения соответствует решение
xi = у(е), х2 = y'(t),..., хп - y(n~l) (t) системы.
Сформулируем определение общего решения системы
дифференциальных уравнений.
Определение. Совокупность функций
xi = xi(fc,Ci,C2,... ,Cn),
Z2 = Z2(t,C\,C2i--.,Cn),
Zn = Xn(t,Ci,C2,- • -,Cn),
зависящих от п параметров С\, C2,. -., Cn, называется общим
решением системы D) в области Г, если выполняются два условия:
1. Для любой точки (*о,я?,Я2>-• • >жп) € Г существуют такие
значения параметров (произвольных постоянных) С^, С2, - • •, С!Ц,
что
*i(«»,C?,C5,...,C°) = *? (i = M).
2. При этих значениях параметров совокупность функций
ari(*,C?,C§,... ,С$) (з = 1,я) является решением системы D)
в некотором интервале, содержащем точку Iq.
По этому образцу формулируется и определение общего решения
уравнения n-го порядка, что полезно сделать самостоятельно.
Произвольные постоянные, для которых выполняется условие 1,
называются существенными.

§ 2. Уравнения п-го порядка, интегрируемые в квадратурах 59
§ 2. Уравнения n-го порядка,
интегрируемые в квадратурах
Ограничимся рассмотрением трех типов уравнений n-го порядка,
решение которых можно выразить с помощью квадратур.
l.F(x,y(n))=0. A)
а) Уравнение разрешается относительно п-й производной
У{п) = fix). B)
Искомая функция находится n-кратным интегрированием
у<-1>= Г f(x)dx + CU
3,<«-2) = Г dx Г /(:с) <& + С, (х - хо) + С2,
Jx0 J xq
гХ гХ пХ
у = I dx I dx... f(x)dx+
JIn J Xn J Xn
C)
n интегралов
(x-Xq)-1 (x-x0)"-2
+Cl (n-1)! +°2 (n-2)! +- + C7»-
В некоторых учебниках первое слагаемое преобразуется в
однократный интеграл, зависящий от параметра. Это преобразование не
упрощает решения, поэтому здесь оно не приводится. В формуле C)
определенные интегралы можно заменить неопределенными.
Пример, у"' = у/х.
y" = jx^dx = lx^+Cu
y' = j (|*з/3 + Ct) dx = | • ?х5/2 + dx + С2,

60 Глава IV. Нелинейные системы дифференциальных уравнений
б) Связь между х и у^п\ даваемую уравнением A), можно
выразить в параметрическом виде:
x = <p(t); y{n)=m-
Применим формулу dy^n"^ = y^dx.
dyl"'1* =ф(г)<р'Ю&,у1п~1) = [iP(t)<p'(t)dt + d.
Дальнейшие действия очевидны.
Пример. [у"']2 + х2 = 1.
Удобно ввести параметр х = sin t, у'" = ± cos t. Проведем решение
для случая у1" ~ cost;
у" = J у'" dx = I cos2 tdt = | + - sin2* 4- Ci;
y'= y"dx- I (- + -sin2t + C1)costdt =
3 1 1
= - cos t + -tsin t + C\ sin ? - — cos3? + C2-
8 2 24
/37 1
yfdx- —*+—sin2?- -*cos2*-
- -C\ cos2t + C2 sin t - —- sin 4* + C3.
4 192
Полученная формула для у вместе с формулой х = sint задает
искомую функцию в параметрической форме. Л
2.F(y(n-1),y(n)) = 0. D)
Связь между у^*) и у^ может быть выражена с помощью
параметра: t/(n-1) = </?(?), t/n) = i)(t). Тогда из соотношения dy^n~1^ =
ы. J (p'(t)dt f<p'(t)dt „
= yKn)dx получаем dx = —, . ч , x = —,, ч . Приходим к случаю
\j){t) J ф(г)
16. Мы рассмотрим частный случай: у^п "^ = z, y^ = f(z)
(уравнение D) можно разрешить относительно у^). Очевидно, dx = т4§у,
х = J -4^, и дело свелось к случаю 16 с параметром z.

§ 2. Уравнения п-го порядка, интегрируемые в квадратурах 61
Пример. у"' = v/l + fa"J-
Пусть у11 — z. Тогда dx — -щ^ ¦ Удобно воспользоваться
гиперболическими функциями и формулой ch2t — sh2t = 1. Сделаем
chtdt
подстановку z = sht, dx = —г—; x = t + C\. Сменим параметр z на
cat
t, получим у" — sht x = t + C. Далее решаем задачу типа 16:
dy1 = у11dx; у' = fshtdt = cht + С2, у = /(c/i* + C2)dL
Ответ, х = t + Сь у = sht + C2* + С3. Л
3.F(y(n-2>jy(n))=0. E)
Из соотношений dy(n~1^ = yW dx, dy^n~2^ = y(n~V dx, поделив
первое равенство на второе, получаем у^п~1^ dy(n~1^ = уМ dy^n~2\
Интегрируя, находим ^ ~ ' — f у^ dy(n~2K Если из уравнения
E) удалось найти параметрическую зависимость у(п~2) — ip(t),
у(п) = ijj(t), то получаем г/"-1) — J 2 j ^{t)ip( {t) dt + C\ и вместе
с у(п-2) _. y^ ПрИХОдИМ к ТИпу 2. Остановимся на частном
случае: уравнение zn — f(z). В механике такой вид имеют уравнения
движения материальной точки, когда на нее действует сила,
зависящая только от положения (координат) этой точки. Применяется
искусственный прием. Левая часть уравнения умножается на 2z' dx,
а правая — на равную величину 2dz.
2z*z"dx = 2f(z)dz, d{z'J = 2f(z)dz;
ff-
*' = ? = \/2 / f(z)dz + Cli
dz f dz _,
dx = ==; x = / r= + C:
y/2jf(z)dz^Cl J sj2jf{z)dz^Cl
При мер. у" = ^=.
Умножаем обе части на 2у'dx = 2dy; ^(з/J = 2;%-
Интегрируем: (у'J = 4^ 4- Ci. Отсюда

62 Глава /V. Нелинейные системы дифференциальных уравнений
Делаем замену переменной. Пусть 4у/у + С = t2.
Дифференцируем: ^ = 2tdt. Из формулы замены у/у = \{t2 -C\),ady = ty/ydt =
= \(t2-Cl)tdt.
Подставляем в интеграл:
Г dy 1 ftf-CQtdt lft3 r\.r
Получаем
±i= 1D^I _1W + Ci)i+C, д
§ 3. Промежуточный интеграл. Уравнения,
допускающие понижение порядка
Предположим, что для уравнения n-го порядка
F(x,y,y',...,yM) = 0 A)
указано уравнение
Ф(х,у,у',...,у(к\Ск+и...,Сп)=0 B)
A ^ к < п), в котором С*+1,...,СП - произвольные постоянные
числа.
Определение. Если каждое решение уравнения B)
удовлетворяет уравнению A), а каоюдое решение уравнения A) является
решением одного из уравнений B), то B) называют
промежуточным интегралом уравнения A) (п - к)-го порядка. При k = п — 1 B)
»4азывают первым интегралом (ниже будет дано другое
определение первого интеграла).
В процессе решения примеров предыдущего параграфа
сначала появлялись прюмежуточные интегралы. Сейчас мы рассмотрим
некоторые типы уравнений n-го порядка, для которых существуют
методы нахождения промежуточных интегралов. С их помощью
интегрирование уравнения n-го порядка приводится к интегрированию
уравнений порядков рид,р + (/ = п.В некоторых случаях это
упрощает решение задачи.

§ 3. Промежуточный интеграл
63
1. Уравнение
F(i>j/(*)Iy(*+1),...,j/(")) = 0, C)
не содержащее искомой функции и нескольких ее производных.
Замена yW = z, F{x,zyz\,.. ,2(n~*)) = 0 понижает порядок
уравнений на А: единиц, а общий интеграл Ф(ж, z, С\,..., Сп_*) = О
уравнения F(x, z, z',..., 2<n~*)) = 0 после замены z на у^
становится промежуточным интегралом (п — А;)-го порядка для уравнения
C).
П и м — = - —
dx х dx
Положим у'" - г; z1 = \z\ & = ^f; z = Схх. Тогда у = Схх-
промежуточный первый интеграл.
У"' = С1Х; у" = С^ + С72; у' = d? + С2х + С3; у = dfj +
2
+Сг%- + С3Х + С4. В процессе решения появилось три
промежуточных интеграла. Решением данного уравнения является любой
многочлен 4-й степени, не содержащий 3-й степени х. А
2. Уравнение
F(y,y',y",...,y(n)) = 0, D)
не содержащее явно независимой переменной. Вводится новая
искомая функция р и новый аргумент у по формуле у1 = р(у).
Получим выражение для старших производных
dPy dp dy __ dp
dx2 dy dx dy
da;3
d (dp \ d (dp \ dy (<Pp (dp\2\
= di W) = dy W) Tx = \dfP+ \Ty) ) P*
Можно доказать (мы доказательство опускаем), что выражение
производной %J? будет содержать производные функции р(у) не
выше (к - 1)-го порядка. Таким образом, порядок уравнения D) будет
понижен на единицу.
Пример, уу" - {у'J - (у'K = 0.
Замена у1 = р(у);
У"=Р% УР^-Р2-Р*=0; р = 0; у' = 0; у = Сц
dy dy

64 Глава IV. Нелинейные системы дифференциальных уравнений
Сокращаем на р: у% - рA + р) = 0; ^^ = **;
р=-1; I/'=-1; 2/ = -х + С2;
/* A+р)-рd [ ^У Г &_ [ Ф [ !Jy_
J P(l+p) Р J у' J Р J 1 + р / у'
lnp-lii(l-j-p) = In I/ + In С;
1+р 111. Су
_ 1; р-
р Су' р Су ' у 1-Су'
dy Су 1 - Су
dx 1 - Су' Су
-dy — dx\
I
dy n 1,
— -у = x + D; — lny-y-?> = x.
Получаем следующие решения: 1) у = Ci, 2) у — —х 4- Сг, 3) х =
= ?lny-y-D. Л
3. Уравнение вида
^Ф(х,у1у',...,у("-1») = 0, E)
левая часть которого является точной производной по х некоторой
функции Ф.
Очевидно, функция у = р(х) является решением уравнения E)
в интервале (г1,гг) тогда и только тогда, когда Ф(х,</?(х), <р'(х),...,
<^п-1)(х))н С в этом интервале. Получаем первый интеграл Ф(х,у,
у',... ,у*п-1)) = С уравнения E) и понижаем его порядок на
единицу-
Пример, уу" - (у'J = 0.
Решение у' = 0, т.е. у = С, очевидно. Положив у ф 0, поделим
обе части на у2:
=*т
""-У -О; ^=0; *=С,; *=СА
у- ax \y J у у
lny = Ciar + lnC2; у = C2eClX.
Решение у — С входит и в это выражение при Ci «= (). А

§ 3. Промежуточный интеграл
65
4. Уравнение вида A), левая часть которого есть однородная
функция переменных у,у',у",... ,у(п), т.е. F(x,ty,ty'',... ,*у(п)) =
= tmF(x,y,y',...,y(»>).
Формулой у' = yz или у — е^ zdx вводится новая искомая
функция Z.
у" = у'* + у*' = yz2 + у*' = у(г2 + z');
y'» = y'(z2 + z') + yBzz' + z") =
= yz(z2 + z') + уBгг' + z") = y(z3 + 3zz' + л").
Замечаем, что в выражениях для производных от у по х
порядка fc величина у выносится за скобки, а в скобках
содержатся только функция г и ее производные порядка, не
превышающего А: - 1. Мы ограничились сделанной проверкой этого утверждения
для А: = 1,2,3. После замены за скобки вынесется ут, а в скобках
останется выражение, содержащее z и ее производные порядка не
выше п — 1. При m > 0 имеем решение у = 0 и дифференциальное
уравнение (п — 1)-го порядка относительно искомой функции z.
Пример, хуу" + x(yfJ - уу' — 0.
Делаем замену yf = yz7 у" = y(z2 + 2'), подставляем в уравнение:
xy2(z2 + z1) + xy2z2 — y2z = 0. Одно решение у = 0. При у Ф 0
получаем уравнение 2а:22 + xz1 — 2 = 0, или z' — \z — — 2z2(x ^ 0), а
это уравнение Бернулли.
Делим на г2: имеем |у — ^г-1 — —2. Замена м = г-1 приводит к
уравнению -и' - ^и - -2. Решаем его: %? + ^и = 2, ^ = -~ (дая
однородного уравнения) In и = — In х + In С; и = ^.
Подставляем в неоднородное уравнение и — -~; С'(х)^ —
-ОД? + ^ = 2; f = 2х; С = х2 + С,; и = *^;
- I - х
Z ~ u "" х2 + d ;
у = <•/*** = J^TcldX = gilnl^+Ctl+lnCb = С2Л/1«2+С,1|.
Получили второе решение. Л
3 Ф. А. Шолохович

66 Глава IV. Нелинейные системы дифференциальных уравнений
§ 4. Первые интегралы и понижение порядка.
Симметричная форма системы
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений.
f = F(X). A)
Ее правые части не зависят от t. Такая система называется
автономной. В скалярной форме система A) имеет вид
Xi = Л(хьх2,...,хп), г = Т~й. B)
Будем считать функции /t(xi, ...,хп) непрерывными вместе с
частными производными Jj*- (г, к = 1,п) в некоторой области Г
пространства переменных xi, х2, •.., хп.
Введем новое определение первого интеграла.
Определение. Функция E/(xi,...,xn) = U(X)
называется первым интегралом системы A) в области G С Г, если
она определена и непрерывна вместе со своими частными
производными в этой области и при подстановке вместо X любого
решения X — <p(t) системы A), траектория которого не выходит
из области G, получается постоянная относительно t величина:
U[<p(t)] — const.
Замечание1. Предполагается, что U(X) не равна
тождественно постоянной величине.
Замечай ие2. При замене одного решения X = ip(t) другим
величина U [ip(t)] может измениться.
Замечание 3. Если U(xi, х2,.-., хп) — первый интеграл, то
первым интегралом называют также уравнение t/(xi,X2,...,xn) =
= С, что соответствует понятию первого интеграла, введенному
в§3.
Имеет место следующий критерий полного интеграла.
Теорема 1. Функция J7(xi,x2, ...,x„), определенная и
непрерывная вместе со своими частными производными в области G,
тогда и только тогда является первым интегралом системы B),
когда в области G тождественно выполняется равенство
±«ШШ)=:0. C)

§ 4. Первые интегралы и понижение порядка
67
Доказательство. Обозначим X = tp(t, ?) решение системы
B), с начальными данными @,0, т.е. <р@,?) — ?.
Очевидно,
^^ = /.-Ыи),...,Ы*,0].
Поэтому
^иыш = ±ШШМшш. {4)
Пусть теперь f произвольная точка области G, a ip(t, f) G 6?. Если
правая часть формулы D) равна нулю, то ^U[(p(t,^)] = 0,
следовательно, U[<p(t,?)] = С, и U(X) — первый интеграл. Обратно, если
t/(X) ¦— первый интеграл, то левая часть, а значит, и правая часть
равенства D) равны нулю тождественно. Подставив t = 0 в D),
получим равенство C) с X = f (напомним, что ? произвольная точка
области С?). ?
Если Xq 6 Г и -Р(Хо) = 0, точка ^о называется точкой покоя или
равновесия. Дело в том, что система A) имеет решение X = Х0. С
такими точками мы будем иметь дело в других главах, ja сейчас изучим
первые интегралы в окрестности точки Хо, для которой F(Xq) ф 0.
Определение. Первые интегралы U\ (X), U2{X), ..., Um(X)
(т < п), определенные в некоторой окрестности тонки Хо,
называются независимыми в точке Хо, если функциональная матрица
( дх )» * ~ 1>ш> fc = 1, п имеет ранг т.
Теорема2. Если известно т (га < п) первых интегралов,
независимых в точке Хо, то в некоторой окрестности этой точки
можно понизить порядок системы па т единиц.
Доказательство. Пусть Ui(X),U2(X),. ..,Um(X) — первые
интегралы, о которых говорится в теореме. Не умаляя общности,
можно считать, что отличный от нуля определитель т-го порядка
составлен из первых т столбцов матрицы ( —^ °' J . Воспользуемся
заменой неременных хг на yi но формулам

68 Глава IV. Нелинейные системы дифференциальных уравнений
yi=Ul(X),y2 = U2(X),...,ym = Um{X)i
2/m+l = Zm+i,...,yn =Xn.
E)
Эта замена осуществима, если якобиан преобразования отличен
от нуля в некоторой окрестности точки Xq.
Якобиан имеет вид
| Wi(*o)
дхх
dU2(Xo)
\dUm{Xo)
дхх
0
0
0
dUijXo)
дх^
dxm
dUm{X0)
dxm
0
0
0
1
0
0
0 .
1
0 .
dUi(Xo) 1
Эх*
дЩрСр)
дхп
dUm(Xo)\
дхп
0
0
1
dUi(Xp)
дхх
dUi(Xp)
dxm
dUm(X0)
дц
dUm(X0)
dxm
#o.
Якобиан отличен от нуля не только в точке Хо, но и в некоторой
ее окрестности, так как элементы якобиана являются непрерывными
функциями.
В переменных у\, у2,..., уп система B) примет вид
Уг =9i(yi,y2,--<>yn)-
Выясним, что представляют собой функции #»(уь2/2> • • * >2/п) ПРИ
г — 1,2, ...,т. По теореме 1 имеем
* _**(*> =? еда)/iW=0.
dt
dt
dXi
Поэтому у\ = С\, у2 = С2,... ,2/m = Cm. Систему E) можно теперь
переписать так:

§ 4. Первые интегралы и понижение порядка
69
Ут+1 = 0m+l(Cb С2, • • . , Cm, Ут+Ь • • • »Уп)>
Ут+2 =Pm+2(C'i,C,2,.. • , Сщ> J/m+b • -^Уп),
Уп = Pn(Ci,C2,-.. ,Cm,ym+i,...,yn).
Получилась система (п - т)-го порядка.
Если т = п — 1, система превратится в одно уравнение
F)
D
Уп = 9п{С\, С2,..., Cn-i, уп),
которое интегрируется в квадратурах.
Одним из основных путей нахождения первых интегралов
является преобразование системы дифференциальных уравнений к виду,
называемому системой в симметричной форме.
Рассмотрим автономную систему в нормальной форме Коши.
— = Xi(xi,x2,...,xn),
d,X2
~dt
= Х2(хх1Х2,.-.,Хп),
G)
1 —JT ~ Xn(x1,X2,...,Xn).
\ at
Для любого i = l,n выполняется dt ~ Xi(xx ^,..,>в)> поэтому
вместо системы G) можно написать
dx\
dx2
Xi(xi,X2,...,xn) X2(xi, я2,..., xn)
dxn
Xn(Xi,X2, • • • yXn)
(8)
Такая форма системы называется симметричной.
При работе с системой (8) точки, в которых все делители
одновременно обращаются в нуль, исключаются. Для системы G) эти
точки суть точки покоя или равновесия.

70 Глава IV. Нелинейные системы дифференциальных уравнений
dx\
имеет решение Xi = Asin(t + 6),X2 = Acos(t + <5),
где А и S - произвольные постоянные. Запишем эту систему в
симметричной форме
dx\ _ dx2
Отсюда xidxi -\-x2dx2 = 0; х\ +х\ — С. Мы получили первый
интеграл U = х\ + х\. Убедимся, что выполняется определение первого
интеграла: и - [Asin(t + б)]2 + [Acos(t + б)]2 = А2. Л
Полезным может оказаться следующее утверждение: если У(щ,
t*2»---»ttm) — это функция, определенная и непрерывная вместе с
частными производными в некоторой достаточно широкой области
D переменных щ, и2, ..., um, a ui(-X"),M2pO,. . .,um(A") — первые
интегралы системы B) в области G, то V [ui(X),U2(X),... ,um(X)]
также является первым интегралом этой системы в области G
(почему?). Предполагается, что для любой точки (х^,х2,. •. ,х°) G G
точка
(ul(xo1,x02,...,xon),u2(x01,x02,...,x0n),...,un(x01,x02,...,x°n))^D
(в этом смысл слов «достаточно широкая область»).
Отметим, что в теоретической механике основные законы
движения системы материальных точек выражаются первыми
интегралами соответствующей системы дифференциальных уравнений.
§ 5. Сведение системы к одному уравнению
В §2,3 настоящей главы приведены некоторые сведения об
интегрировании или понижении порядка уравнения n-го порядка.
Эти сведения можно использовать и для систем
дифференциальных уравнений, если заменить систему уравнением, равносильным в
некотором смысле этой системе.
Пример. Система

§ 5. Сведение системы к одному уравнению
71
Пусть дана система
( <&±
dt
dx2
A)
dxn t u v
и ее правые части обладают частными производными по ?, Х\, хг,..., хп
до п-го порядка включительно. Возьмем любое из уравнений A),
например первое, и продифференцируем его п раз, заменяя
производные ^зь. (г = 1,п) правыми частями системы A):
<Рхх dfx A dh dxi dh Ав/,
dt2
«=i
dii'
Л.Л^^-М + ^/.-г^,, x)
дз - ^ +^dXi dt ~ dt +1?аг/»-/з(*.*ь»а.-,«»)
и так далее. Получим dn~dtXx = fn-i(^xi>х2> • • • , ^п) и
dnxi
efen
Рассмотрим систему
= fZ(tiZl,X2,'..,Xn).
B)
— = /Н1,Ж1,Х2,...,жп)»
Л2
= Ж^ь^,..- ,хп),
C)
{ dtn-.i = /n-l(Ul^2,...^n).
Предположим, что выполнены условия, при которых система C)
определяет Х2,хз,... ,хп как неявные функции остальных
переменных и мы нашли выражения этих функций. В общем случае написать

72 Глава IV. Нелинейные системы дифференциальных уравнений
соответствующие формулы невозможно, но мы обозначим их (*).
Подставив в уравнение B) формулы (*), получим уравнение п-го
порядка
cfcn
D)
Пусть найдено общее решение х\ = ??(*>СьС2,---7Сп)
уравнения D). Подставляя эту функцию в формулы (*), вычисляем
^2,хз,--.,х„ как функции ?,Ci,C2,... ,СП. Вместе с функцией х\ =
= ^(^,Ci,C72,...,Cn) они составляют общее решение системы A).
Для нахождения решения уравнения D) может пригодиться один из
методов, изложенных в §2, 3.
ax z
dz 1
Продифференцируем второе уравнение, z" — \v*\z1l — \^.
Из уравнения z' — \у находим у = 2z' и подставляем в уравнение
z" = ^; z" = ^г' . Уравнение не содержит явно х.
Положим z1 = p(z). Тогда p^f = 2j?.
1. р = 0, z = C,y = 2z' = 0.
2- Й = ?; ? = 2Т5 lnP = 21nz+lnC,p = dz2, ар = z', поэтому
g = C,z2, ff = ddr, -I = Cix + Ca, откуда z = -g^; У = 2?;

Глава V
Линейные дифференциальные
уравнения п-го порядка
§ 1. Основные свойства линейных уравнений
Рассмотрим уравнение вида
»<"> + o,(t)y(B-1) + • ¦ • + an(t)y = f(t). A)
Если f(t) = О, то уравнение A) называют линейным однородным,
в противном случае — неоднородным (или, соответственно,
уравнением без правой части, уравнением с правой частью). Однородное
уравнение имеет решение у = 0, называемое тривиальным.
Для неоднородного уравнения A) уравнение
y(n)+a,(%<n-1) + ...+a„(t)y = 0 B)
с теми же коэффициентами a{(t) (г — 1,п) называется однородным
уравнением, соответствующим данному неоднородному.
В дальнейшем будем считать функции а*(?) и f(t) непрерывными
в промежутке (п,Г2). Тогда в области Г: Г\ < t < г2; —оо<у<
< оо; —оо < у' < оо; ...; —оо < у(п~1) < оо будут выполняться
условия теоремы Коши, т.е. начальная задача Коши с любой точкой
(te,!to,^,-..,yin"l))er (*o€(rbr2))
однозначно разрешима.
Всякое решение уравнения A) может быть продолжено на весь
интервал (n,^). Это утверждение примем без доказательства.
Рассмотрим несколько свойств уравнения A).

74
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения
Теорема1 (принцип суперпозиции). Пусть дано уравнение
т
A), f(t) = ? otkfk(t), где а* — постоянные числа. Если у = (pk(t)
k=l
есть решение уравнения
У(п) + aiW»^ + • • • + an(t)y = fk(t), (к = I^i),
m
mo 2/ = S a* ?>*(*) является решением уравнения A).
m
Доказательство. Подставим у = ? a*^*(t) в уравнение
A) и учтем, что <р[п) + oi(t)^"'0 + ... + о„(*)у>* = Д(*).
= ? a* (*>*° + а1<Р{Г1) + • • - + *n*>*) = ? a* Д = /•
D
Следствие 1. Линейная комбинация решений однородного
уравнения B) является решением этого уравнения.
Следствие 1 вытекает из теоремы 1, если положить Д = 0, и,
следовательно, / = 0.
Следствие2. Разность двух решений неоднородного
уравнения является решением соответствующего однородного
уравнения.
Следствие 2 получается из теоремы 1, если положить
т = 2; Д=/2; аг = 1; а2 = -1, т.е. / = 0.
Следствие 3. Пусть в уравнении
*<»> + ai(t)z<n-l> + ... + an(t)z = fx{t) +1/2@ C)
функции ojb(<),/i@»/2@ действительные, i2 = — 1. В этол< случае
функция z = (p\(t) + 1V2W удовлетворяет уравнению C) тогда и
только тогда^ когда действительные функции у — <pj(t) j — 1,2
удовлетворяют соответственно уравнениям
У(п) + ai(t)y^-^ + ... + an(t)y = ft{t) (j = 1,2).

§ 2. Линейные однородные уравнения 75
Прямое утверждение вытекает из теоремы 1 при ai = 1, 0.4 = г,
а обратное — из условия равенства двух комплексных чисел.
§ 2. Линейные однородные уравнения
Напомним, что функции
называются линейно зависимыми в интервале (г\, Гг), если
существуют такие числа С\, Сг,..., Ст, не все равные нулю, что в интервале
(ri,r2) выполняется тождество
m
?Cto@=0. B)
t=l
Если равенство B) выполняется тождественно в промежутке
(г1,Г2) только при Ci = C2 = ... = Cm = 0, то функции A)
называются линейно независимыми на промежутке (п,^).
1. Определитель Вронского
Важную роль в теории линейных дифференциальных уравнений
играет определитель Вронского**. Этот определитель составляют из
п функций у = <р\ (t), у = ip2(t), • •., г/ = (pn(t) следующим образом:
Ч>\{*) ЫО ... ipn(t) I
4fx(t) <p'2(t) ... <f/n(t)
v{rl)(t) <pin'l)(t) ... ^я}(о1
Имеет место интересное свойство W(t).
Теорема!. Если
<М*),Ы*),-..,?>п@ C)
*>Ю.Г. Вронский A776? 1853).
W(t) = W[<fUip2l...)(pn] =

76 Глава V. Линейные дифференциальные уравнения
линейно зависимы в (гьГ2), то W(t) тождественно равен нулю в
этом промежутке. Если функции C) являются решениями
уравнения B) из § 1 и линейно независимы, то W(t) не обращается в
нуль ни в одной точке промежутка (гх,Г2).
Доказательство. Пусть вначале существуют постоянные
С\, С2,..., СП) не все равные нулю и такие, что
Ciifxit) + C2<p2(t) + ... + Cn<pn(t) = 0. D)
Продифференцируем это тождество (п - 1) раз. Получим
совокупность уравнений
( п
?Сг^(*)=0,
I t=l
I п
V cup'iit) = о,
\ h E)
\ytci<p<r-1\t) = o.
\ 1=1
Будем рассматривать E) как систему линейных алгебраических
уравнений относительно С\, С2,..., Сп. Она имеет ненулевое
решение, следовательно, ее определитель равен нулю для всех t ? (г\, г2),
а это, как нетрудно видеть, определитель Вронского.
Пусть теперь функции C) являются решениями уравнения B)
из § 1 и они линейно независимы. Предположим от противного, что
существует точка ?0 ? (г\,г2), в которой W(to) = 0. Рассмотрим
систему E) с неизвестными С\, С2, •.., Сп.
Определителем системы E) является определитель W[to). Он, по
предположению, равен нулю, следовательно, система E) при t = to
имеет ненулевое решение, например, С\л С2, • •«>Сп-
Функция у = Ci(fi(t) + C2ip2(t) -f • •. + Cn(fn(t) является
решением однородного уравнения B) из §1 (как линейная комбинация
решений) и в силу E) удовлетворяет нулевым начальным условиям:
У(*о)=0, 5%) = 0, ..., у(п'1)(<о) = 0. F)
Однако уравнение B) из §1 имеет тривиальное решение у = 0,
удовлетворяющее, как и y{t), нулевым начальным условиям F).
Исходя из единственности решения начальной задачи Коши, можно

§ 2. Линейные однородные уравнения
77
утверждать, что указанные решения тождественно совпадают, т.е.
<?i1Pi@ +?аЫ*) + ••• + Cn<pn(t) = 0.
Последнее, вопреки условию, означает линейную зависимость
решений C). ?
Подчеркнем особо альтернативу, содержащуюся в теореме 1.
Следствие. Определитель Вронского, составленный из
решений однородного уравнения, либо тождественно равен нулю,
либо не обращается в нуль ни в одной точке промежутка (гх,Г2).
2. Фундаментальная система решений
Определение. Фундаментальной системой решений
(сокращенно ФСР) уравнения п~го порядка yW +a>i(t)y(n~1) + .. .+an(t)y —
= 0 называют совокупность любых его п линейно независимых
решений.
Теорема 1 с учетом следствия является критерием
фундаментальности системы. Критерий может эффективно применяться на
практике: если при некотором t = to W(to) ф 0, то система решений
фундаментальна, если W(to) = 0, — то система фундаментальной не
является.
Теорема 2. Любое уравнение
У(п) + «1(*)У(П_1) + ¦ • ¦ + an(t)y = 0 G)
обладает фундаментальной системой решений. Если
<М*)> 4>2(t),...,ipn(t)
какая-нибудь фундаментальная система решений, то любое
решение y(t) уравнения G) представимо в виде
п
У№ = ?<?<?><(*). (8)
где Ci — постоянные числа.

78
Глава У. Линейные дифференциальные уравнения
Доказательство. Сначала докажем существование ФСР.
Берем произвольный определитель До, отличный от нуля.
А0 =
an ai2 ... aik ... a\n
^21 <*22 •. 0-2к • • • 02n
l^ni a„2 ••• Q»nk
Начальная задача с условиями
Vk(to) = «и,
</>'*(to) = a2*,
an
Ч>\ (*о) = о>пк
однозначно разрешима. Так мы получаем, давая к значения 1,2,..., п,
ровно п решений <pi(t)y<f2(t), ...,<pn(t) уравнения G). Определитель
Вронского W(t) для этих решений при t = to совпадает с Ао и,
следовательно, отличен от нуля. Поэтому наши решения линейно
независимы и образуют ФСР. Очевидно, что фундаментальных систем
бесконечное множество, так как определитель Ао выбирается
произвольно.
Пусть теперь
Vi @, ?*(*). ¦••.?>»(*) (9)
— какая-нибудь ФСР, а у = y(t) — произвольное решение уравнения
G).
Составим систему уравнений для нахождения величин С\, Сг,. • *,
Сп, ВЗЯВ ПРОИЗВОЛЬНО to (Е (Г1,Г2).
^Cufiito) =y(*o),
i=l
п
?с^('о) = у'('о),
t=i
A0)
Ec^"_,)«o)=i7(n-1)(to).
v t=l

§ 2. Линейные однородные уравнения
79
Определитель этой системы отличен от нуля как определитель
Вронского линейно независимой системы решений (9). Поэтому
существует решение С1э Сг,..., Сп системы A0). Очевидно, решения у = y(t)
п
и У = ? Ct^tW совпадают, так как в силу A0) удовлетворяют од-
*=1
ним и тем же начальным условиям задачи Коши. О
Замечание1. Теорема2 показывает важное значение ФСР,
позволяющей получать любое решение как линейную комбинацию ее
решений,
Замечание2. Из доказательства второй части теоремы
видно у что если (9) суть ФСР, то
п
V = ?Cte(«) A1)
t=l
является общим решение уравнения G). Однако возможность
получения любого решения из формулы A1) есть свойство более
сильное, чем свойство быть общим решением. Эти свойства равно-
сильны в области, где выполняются условия существования и
единственности решения.
В заключение сформулируем теорему, относящуюся к
неоднородному уравнению, но вытекающую из рассмотренных выше теорем
для однородного уравнения.
ТеоремаЗ (об общем решении неоднородного уравнения).
Пусть дано уравнение
У{п) + в!@у(п-х) + • - - + an(t)y = f(t)
и у = Tp(t) какое-нибудь его частное решение, a 4>\(t), <P2(t)? •••,
V^nM — ФСР соответствующего однородного уравнения. Тогда
любое решение y(t) неоднородного уравнения представимо в виде
п
y(t) = ?w + ?<7iv><w-
Доказательство. Пусть y(t) и Tp(t) — решения
неоднородного уравнения. Их разность, по следствию 2 из теоремы 1, является
решением соответствующего однородного уравнения, а по теореме 2
п
y(t)-?(t) = J2cm(t).
«=i

80 Глава V. Линейные дифференциальные уравнения
Еще раз подчеркнем, что общее решение неоднородного
уравнения можно получить как сумму какого-нибудь частного решения
этого уравнения и общего решения соответствующего однородного
уравнения. D
3. Понижение порядка уравнения с помощью частных
решений
Пусть дано дифференциальное уравнение
У{п) + МО*01* + • - • + an(t)y = 0 A2)
и известно его нетривиальное решение у = ip{t). В этом случае можно
свести решение уравнения A2) к решению линейного же уравнения
(га — 1)-го порядка. Для этого делаем замену
У = 4>(t)z, A3)
вводя новую неизвестную функцию г.
Докажем, что уравнение относительно переменной z имеет вид
&о(Ф(п) + bi(t)z{n-l) + ... + &n-i(*y + МО* = 0, A4)
причем bo(t) = <p(t); bn(t) = 0.
Мы должны подставить выражение A3) в уравнение A2) и
сгруппировать слагаемые, содержащие производные от z одного порядка.
Достаточно заметить, что по формуле Лейбница yW = (p(t)z^ +...,
где в ненаписанных членах содержатся z и его производные не выше
(А; — 1)-го порядка. Отсюда и вытекает, что уравнение для z примет
вид A4), причем b0(t) = <p(t).
Докажем, что bn(t) = 0. Если у — ip{f)z является решением
уравнения A2), то очевидно, что z есть решение уравнения A4).
При z = 1 получаем у = ip(t). Эта функция является решением
уравнения A2). Значит, z = 1 — это решение уравнения A4).
Подставим в A4) z = 1. Получаем bn(t) 1=0, т.е. bn(t) = 0.
Если мы желаем получить уравнение со старшим коэффициентом
1, то поделим A4) на bo(t) = <p(t), рассматривая промежуток, где
?>(*) Ф 0.
Приведенные рассуждения принадлежат Л.С. Понтрягину.
Чтобы оценить их красивую простоту, сравните с доказательством этого

§ 2. Линейные однородные уравнения
81
же факта в других учебниках. Делая замену z' = ub уравнении A4),
получим
ip(t)u(n-V + hWu^-V + ... + 6n_lU = о, A5)
т.е. линейное уравнение (п — 1)-го порядка. Можно привести его к
стандартному виду, поделив на ip(t) в промежутке, где ip{t) ф 0.
Если найдено нетривиальное решение и — фA) уравнения A5),
то вычисляется z = fil>(t)dt, у = ip(t) f rp(t) dt. Это новое решение
уравнения A2) и решение y>(t) линейно независимы, так как ф(Ь)
нетривиально.
Зная два линейно независимых решения ifi(t) и <^г(^) уравнения
A2), можно понизить его порядок на две единицы. Действительно,
функция z, определяемая соотношением </>г@ = 4>i{t)z{t)i должна
быть решением уравнения A4). Поэтому и = z' = (*р) явится
известным нетривиальным решением уравнения A5), что позволит
понизить на единицу его порядок, сохраняя линейность.
Знание г линейно независимых решений (г ^ п — 1) дает
возможность понизить порядок на г единиц, ну а при г — п сразу получаем
общее решение уравнения A2).
Отметим, что линейное уравнение порядка выше первого в общем
случае не интегрируется в квадратурах.

Глава VI
Линейные уравнения с
постоянными коэффициентами
Эта тема имеет особую важность и для приложений, и для
теории. Во-первых, такими уравнениями (и их системами) описываются
математические модели многих практических задач. Во-вторых, при
изучении нелинейных уравнений зачастую проводят так называемую
«линеаризацию», доставляющую существенную информацию об
изучаемом нелинейном уравнении. Этот тезис найдет подтверждение в
последующих лекциях.
§ 1. Оператор дифференцирования L(p).
Характеристическое уравнение
Рассмотрим уравнение
*W + alZ(n-V + ... + anz = f(t), A)
в котором ai,a2,...,an — постоянные числа, действительные или
комплексные, а функция f(t) действительного аргумента t
определена в интервале (г1,гг) и может быть комплекснозначной. Для
удобства воспользуемся обозначениями из операционного
исчисления, применяемого в инженерных приложениях.
Производную з| обозначим pz, р называют оператором
дифференцирования. Для производной га-го порядка применяется
обозначение
Операторным многочленом L(p) называют выражение
Ир) = <ЮРп + oipn_1 + ... + ап,

§ 1. Оператор дифференцирования L(p)
83
в котором oo,ai,...,an — постоянные числа, действительные или
комплексные. В соответствии с правилами дифференцирования
L(p)z = (a0pn + o1pn_1 + ... + an)z = a0z{n) + ai*(n_1) + ... 4- anz.
Легко доказываются следующие свойства операторных
многочленов (функции z,z\,z% дифференцируемы достаточное число раз,
L(p) и М(р) — операторные многочлены):
1. L(p)(zi + z2) = L(p)zl + L(p)z2.
2. [L(p) + M{p)\ z = L(p)z + M(p)z.
3. L(p)[M(p)z\ = [L(p)M(p)]z.
4. L(p)ext = L(X)ext.
Полезно проделать эти доказательства на бумаге или хотя бы
мысленно.
Уравнение
z(n)+ai2(n-1} + ... + auz = 0
можно записать теперь в виде
L(p)z = 0. B)
Уравнение B) является линейным однородным. Оно имеет
тривиальное решение z = 0. Коэффициенты многочлена L(p) = pn + a\pn~l +
+... + an будем считать в дальнейшем действительными. Условия
теоремы Коши выполнены во всем пространстве
—оо < t < оо, —оо < z < оо, —оо < z' < оо, ..., —оо < z^n~1^ < оо.
Оказывается, решения уравнения B) можно искать среди функций
z — ext. Подставляя в уравнение B) эту функцию, получим
L(p)ext = L(\)ext = 0.
Поскольку показательная функция ext в нуль не обращается,
приходим к выводу: функция z = ext может удовлетворять уравнению B)
тогда и только тогда, когда Л является корнем уравнения L(\) = 0.
Уравнение
L(A) = 0 или An + oiAn_l + ... + an=0 C)
называется характеристическим. Оно играет определяющую роль
в решении уравнения B).

84 Глава VI. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
§ 2. Линейные однородные уравнения
1. Случай простых корней характеристического
уравнения
Теорема. Пусть характеристическое уравнение L(X) = О
имеет корни Ai, А2,..., Ап, среди которых нет кратных. Положим
zl=ex*\z2 = ex*ti...izn = ex»t. A)
Тогда функция
z = dzi +C2z2 + --.+ Cnzn
является общим решением уравнения
L(p)z = 0.
B)
Доказательство. Каждая из функций A) удовлетворяет
уравнению B), поэтому остается доказать, что система A) является
фундаментальной. Для этого достаточно установить, что
определитель Вронского W(t) системы A) отличен от нуля, например при
* = 0,
W(t) =
ex,t
Xit
Х\е
ех2?
А2ел"
e\nt
AneA«<
Kn-ieAit \n~leX2t An_1eAnll
При t = 0 определитель W(t) становится определителем Ван-дер-
Монда. Известно, что этот определитель не равен нулю, когда числа
Ai, А2,. • •, Ап попарно различны. П
Однако в случае кратных корней характеристического
уравнения такие рассуждения не проходят, и приходится применять другой
метод, идею которого легче продемонстрировать в случае простых
корней. Поэтому снова докажем, что W@) ф 0. Предположим от
противного, что W@) = 0. Тогда между строками определителя
существует линейная зависимость.
*i@)
*i@)
*2@)
4@)
(п-2)
>-1)
@)
@)
Ап-2)
h
@)
@)
Zn@)
<@)
.(п-2)
@)
@)
о,
Ьп-1
Ьп-2
bo

§ 2. Линейные однородные уравнения
85
Пусть 6n-ii&n-2>--- ,&ь&о ~~ коэффициенты соответствующей
линейной комбинации строк определителя:
Ьо^п_1)@) + &i4n~2)@) + ... + *п-2*1@) + bn-i««@) = 0 C)
Обозначим М{р) = Ьорп~г + &ipn~2 +... + ЬП_2Р+bn-i • Соотношение
C) можно записать в виде
M(p)Zi(t)\t=o=0.
Но Af(p)zi = M{p)eXit = М(А<)еЛ<<, поэтому M(Ai)eAit|t=0 =
= М(А<) = 0, г = T~n.
Мы пришли к противоречию, которое заключается в том, что
многочлен М(А) степени п — 1 имеет п различных корней. Таково
второе доказательство фундаментальности системы A).
2. Комплексные корни. Гармонические колебания
Напомню: коэффициенты уравнения B) — это
действительные числа и решения уравнения B) должны быть
действительнозначными функциями. Как быть, если характеристическое
уравнение L(X) = 0 имеет комплексный корень а -I- /?г?
Этому корню будет соответствовать комплексно сопряженный
корень а — pi. Нужно заменить комплекснозначные функции е(а+0*)*?
e(a-pt)t действительнозначными решениями, причем линейно
независимыми. Воспользуемся формулами Эйлера
e(a±0i)t = еЫ [CQS р% ± i gin до _ u ± {^ D)
где u = eQtcos/ft, r = eQ*sin/ft. По следствию C) из теоремы 1 u
и v — решения уравнения B). Их линейная независимость следует
из того, что sin 0t и cos fit линейно независимы. После умножения на
eat ф О это свойство не исчезнет. Легко доказать, что при замене ком-
плекснозначных решений D) на и и v фундаментальность системы
сохранится. Таким образом, вместо слагаемых Cie^+^+C^e^*"*^*
в общее решение записывают выражение eat(C\ cos/ft + С2 sin fit).
Пример 1. Гармонические колебания.

86 Глава VI. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Если пренебречь сопротивлением среды, то колебание груза,
подвешенного на пружине, колебание вагона на рессорах и др.
описываются уравнением х + к2х = 0. Коэффициент к2 определяется
упругостью пружины или рессоры.
Характеристическое уравнение Л2 + к2 = 0 имеет корни Л^г =
= ±гк: поэтому общее решение имеет вид
х — С\ cos kt + С2 sin kt или х — A sin (kt + 6),
где А = \JC\ +C2, a S таково, что
. г С\ Съ
sinд — . n . cosfl = :.
VcfTc2 у/с2 + с2
Число А называется амплитудой колебаний, kt + 6 — фазой
колебаний, 6 — начальной фазой. А и 6 играют роль произвольных
постоянных в общем решении. Движение, описываемое формулой
х = A sin (kt -f J), согласуется с нашим обыденным представлением
о реальном движении груза, подвешенного на пружине. Л
П р и м е р 2. Колебания с сопротивлением среды,
пропорциональным первой степени скорости.
Этот процесс описывается уравнением х + 2пх + к2х = 0.
Коэффициент п определяет количественно сопротивление среды.
Характеристическое уравнение Л2 + 2пА + к2 = 0 имеет корни X\t2 =
= —п ± у/п2 — к2. Полагаем п ф к, так как случай кратных корней
еще не рассмотрен.
1. Если сопротивление велико, n > fc, то корни Ai и Л2
действительные, колебаний не будет. Движение с уравнением х = C\eXlt +
Ч-С^е*2' называется апериодическим. Точка х = 0 может быть
пройдена не более одного раза.
2. Если сопротивление мало, п < к, то Ai,2 = —n ± iy/k2 — п2 и
х = e~ntAsin(y/k2 - n2? + 8). Получаются затухающие колебания,
так как их размах описывается величиной Ae~nt. Л
§ 3. Случай кратных корней
характеристического уравнения
Если среди корней характеристического уравнения имеются
кратные и попарно различны всего тп (тп < п), то решений вида eXit (i =

§ 3. Случай кратных корней характеристического уравнения 87
= 1,т) не хватит для получения фундаментальной системы. Мы
увидим, что недостаток решений, связанный с наличием корня
Л кратности к, можно восполнить функциями вида text,t2ext,...,
?*_1еА<, число которых равно количеству потерянных решений вида
eAt, обусловленных кратностью корня Л.
1. Две леммы
Л е м м а 1. Справедлива следующая формула смещения:
Hp)[eMf(t)]=extL(p + X)f(t).
Здесь L(p) — произвольный многочлен, А — комплексное число,
f(t) — любая, достаточное число раз дифференцируемая функция.
Доказательство (по индукции). Пусть вначале L(p) = р.
р [extf(t)] = \extf(t) + extpf(t) = eM(p+ A)/(t).
Положим теперь L(p) = a\p -f а2.
(aip + a2)extf(t) = alPextf(t) + a2extf{t) =
= axeXi{p + A)/(t) + a2extf(t) = ext [ax(p + А) + а2] /(*).
Мы убедились, что формула верна для многочлена Цр) первой
степени. Предположим, что формула годится для многочлена степени
не более п — 1, и докажем ее справедливость для многочлена степени
n (n ^ 2).
Многочлен L(p) степени п > 1 разложим на два множителя L\(p)
и L2(p). Степень каждого будет меньше п.
Up) [extf(t)] = Li(p)La(p) [eAI/W] = Lib) [ЪДОе^/Ю] =
= Lx(p) [e^La(p + X)f(t)] = eA%(p + A) [L2(p + A)/(t)] =
= eA%(p + A)L2(p 4- A)/(*) = eAt?(p + \)f(t).
Формула смещения доказана. D
Л е м м а 2. Пусть L(p) — произвольный многочлен, А —
комплексное число, г ^ 0 — ^елое число, a;r(t) — функция
действительной переменной t, определяемая формулой
Ur(t) = L(p)trext. A)
Справедливы следующие утверждения:

88 Глава VI. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
1. Если А — к-кратный корень многочлена L(p), то функции
a>o(*)>k>i(*)>..., Uk-x {t) тождественно равны нулю;
2. Если функции u)Q(t))U)i (?),..., ujk-i (t) равны нулю хотя бы для
одного значения t = to, то X — корень многочлена L(p),
имеющий кратность не менее, чем к.
Доказательство. По формуле смещения
ujr(t)=extL(p + \)tr.
1. Пусть Л — корень многочлена L(p) кратности к. L(jp) —
= М(р)(р — А)*, где М{р) — многочлен. В этом тождестве
заменим р на р + A: L(p + А) = М(р + А)р*. Тогда ur(t) =
= extM(p + \)pktr — О при г < к, так как pktr = О при г < к.
2. Пусть u)o(to) = uji(to) = ... = u)k-\(t0) = 0. Разложим L(p + A)
по степеням p: L(p 4- A) = &o + b\p + • • • + bnpn. При г = 0
LJ0(t0) = ext°L{p + \)l.
HoL(p4-A)l = (bo + bip+... + bnpn)l = Ы, так как pi = p2l =
= ... = pnl = 0. Поэтому 0 = a;0(^o) = ext°b0. Отсюда b0 = 0.
Предположим для общности, что Oq — b\ — ... — bg—i — 0, и
докажем, что b8 — 0 (s ^ A: — 1). Сейчас L(p 4- А) имеет вид:
Цр 4- A) - b8p8 + ЬЯ+1РЯ+1 + ... + bnpn.
uj8(t) = extL{p 4- X)ts = extbss\, так как p*t* = в!, а р3+Н8 =
= ... = pn*s = 0. При t - t0 имеем 0 = u)s(t0) = еА'°Ь,*!.
Отсюда 6S = 0. Итак, b0 = &i = • • • = b*-i = 0. Следовательно,
I(p + А) = bkpk + ... + 6npn = F* + 6*+1p + ... + bnpn-k)pk,
что можно записать в виде L(p+A) = М(р)рк. В этом тождестве
заменим р на р — А:
L(p) = M(p-A)(p-A)*. B)
Из формулы B) видно, что А, как корень многочлена L(p),
имеет кратность не менее, чем А;.
?

§ 3. Случай кратных корней характеристического уравнения 89
2. Теорема об общем решении
Теорема. Пусть
L(p)z = 0 C)
линейное однородное уравнение п-го порядка с постоянными
коэффициентами, a Ai, Л2,.. •, Am (т ^ п) — все попарно различные корни
характеристического уравнения и корень Х3 имеет кратность ka
(s = l,m), так что k\ 4- &2 + • • • + km = л.
Обозначим
Zl=eXlt, z2 = teXl\ ..., zkl =tki~leXlt
z*l+i = ел*<, **1+2 = teA*<, ..., zkl+k2 = tk*-lex*1
D)
i*m 1e
Тогда каждая из функций D) является решением уравнения C), а
функция
z = C\Z\ + С222 + ... + Cnzni
где Ci,C2,... ,СП — прог«зволь«ые действительные или
комплексные постоянные, является общим решением уравнения C).
Доказательство. Утверждение о том, что каждая из
функций D) является решением уравнения C), вытекает из первой части
леммы. Действительно, равенство wr(t) = 0 означает (см. формулу
A)), что функция trext представляет собой решение уравнения C).
Для корпя Ai при г = 0,1,..., fci — 1 получится, что решениями бу-
дутеЛ1< = zi,teXlt = Z2>...,tkl~leXlt = zkl. Для корня А2 решениями
будут ех*1 = zkl+uteX2t = z*1+2,. • • ,**2_1еЛ2' = zkl+k2 и т.д.
Докажем, что
= Х>*
г=1
есть общее решение. Достаточно убедиться в том, что определитель
Вронского, составленный из решений D), отличен от нуля. Пусть
при некотором t — to W(to) = 0, что означает линейную
зависимость строк определителя. Прообразом последующих рассуждений
является доказательство, проведенное для случая простых корней.
Изобразим определитель W(to) и справа выпишем коэффициенты

90 Глава VI. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
линейной комбинации строк, которая показывает их линейную
зависимость.
I *i (<о) z2{t0) ... za(t0) ... zn(tQ) I \Ьп-1
Z[(t0) Z'2(t0) ... Z'8(t0) ... Z'n(t0) pn-2
\4n-X)(to) 4П)(^о) ... zin-l)(t0) ... zt?-l)(to)\ I 60
Справа выписаны коэффициенты линейной комбинации. Для
произвольного столбца с номером s получим
boz{3n~l)(to) + blZ^-2\t0) + ... + Ь.-2*:(*о) + b»-i*.(«b) = 0. E)
Введем многочлен М(р) — bopn~l + 6ipn~2 + ... + 6n_2P + 6n_i- С его
помощью формулу E) можно записать коротко:
w(p)*.(«)Lt„=o. (в)
Заменим L(p) на М(р) в формуле A), т. е. положим u)r(t) —
= M(p)tTeXi. Пусть вначале Л = Ль s — 0,1,2, ...,fci - 1.
Формулу F) можно переписать в виде
M(p)z,(t)\t=t0 = M(p)t'ex%=to=wg(to)=0,
следовательно
ь>о(*о) = wi(*o) = • • • = wjbj-i^o) = 0.
По второй части леммы 2 число Ai является корнем многочлена
М(р) кратности не менее, чем к\. Аналогичным образом
заключаем для остальных корней А2,Аз,..,Ат многочлена L(p), что они
также являются корнями многочлена М(р) с кратностями не
меньшими, чем Агг, А?з,... ,fcm. Если считать корни многочлена М(р) с
их кратностями, то получается, что у него корней не меньше, чем
к\ + fo + • • • + &т = п. Этого не может быть, так как многочлен М(р)
имеет степень всего лишь п — 1. Итак, W(to) ф 0 и
фундаментальность системы D) доказана.
Получение решения в действительной форме в случае наличия
кратных комплексных корней характеристического уравнения
производится так же, как и для простых корней: берутся
действительная и мнимая части комплекснозначного решения. Если a±ifi корень

§ 4. Уравнения Эйлера и Бесселя
91
кратности А;, то вместо слагаемых
Cie(«+<W + Cite^+W + ... + С***-1е<в+*>'+
4- C7*+1e(e-W« + Cfc+2te<e-W« + ... + Са***-1^--^
в общее решение вписывается выражение
eQ* [(Ci + C2t + ... + С***-1) coej8t+
+(С*+1 + CW 4-... 4- Сз***-1)^^] .
?
Пример. Решить уравнение
Ayv - SyIV + V - V + у' - 2y = 0.
Характеристическое уравнение 4Л5 — 8А4 4- 4А3 — 8А2 4- А — 2 = 0
преобразовывается: 4А4(А - 2) 4- 4А2 (А - 2) + А - 2 = 0.
(А - 2)DА4 + 4А2 + 1) = 0; (А - 2)BА2 + IJ = 0.
Корни А! = 2; А2,з = *^j; *4,5 = ~^-
Пишем общее решение
у = de21 + (С2 + C3t) cos -p 4- (С4 4- Cbt) sin -p.
\/2 V2
§ 4. Уравнения Эйлера и Бесселя
Уравнение Эйлера имеет вид
где а],а2,...,ап — постоянные числа, и приводится к линейному
уравнению с постоянными коэффициентами с помощью замены х —
— с1 аргумента х на аргумент t. При рассмотрении уравнения A) в
области х < 0 делается замена х = -ее.

92 Глава VI. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Перейдем к производным от у по t, зная, что t = Inx.
Последовательно получаем равенства
dy __ dy dt _ dy 1^
dx dt dx dt x'
d2^ _ d_ (dy l\ _ fy^dt^ I_^JL-
dx2 dx \dt x) dt2 dx x dt x2
- d*2x2 d*x2*
Подставляем эти выражения производных в уравнение A) и
получаем уравнение с постоянными коэффициентами:
Пусть Л — корень характеристического уравнения для
дифференциального уравнения B), а у = tp(t) — соответствующее ему решение.
Переходя к старой переменной, получим у = <рAпх). Метод
нахождения решения неоднородного уравнения с правой частью вида f(x)eXx
(см. §5) можно применить к неоднородному уравнению Эйлера с
правой частью /Aпх)хЛ.
Описанный способ применим и к обобщенному уравнению
Эйлера:
(ах + 6) Vn) + (ax + Ь)п-У n-L> + ... + any = 0.
Делается замена ax + 6 = е* или ах + Ь = —е1.
В математической физике важную роль играет уравнение
Бесселя:
хУ + ху' + (х2 - п2)у = 0. C)
Для произвольного значения параметра п оно не интегрируется в
квадратурах, однако есть исключения (например, когда п равно
половине нечетного числа). Мы рассмотрим случай п = \> когда
уравнение Бесселя приводится к линейному уравнению с постоянными
коэффициентами. Сделаем замену у — zx~%, у' = г'х~ъ — |zx~2,
у" = г"х~5 — 2'х~5 + |zx~2. Подставляя в уравнение, получим
г"х5 -f zx5 = 0, z" + 2 = 0 -- уравнение с постоянными
коэффициентами.
„ ^ . _ cosx „ sinx
z = С\ cosx + Сгsinx; у — С\ —=- 4- С2—т=~-
V^ vx

§ 5. Линейные неоднородные уравнения
93
§ 5. Линейные неоднородные уравнения
с постоянными коэффициентами.
Квазимногочлен в правой части.
Вынужденные колебания
Рассмотрим уравнение
*<n> + cnz^-V + ... + anZ = F(ty (!)
Здесь ai,a2,...,an — постоянные действительные числа, F(t) —
функция, непрерывная в промежутке (»ч,Г2). По теореме 4 общее
решение линейного неоднородного уравнения складывается из
общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-
нибудь частного решения неоднородного уравнения. Решать
однородное уравнение с постоянными коэффициентами мы научились,
поэтому нужно сосредоточиться на нахождении частного решения
неоднородного уравнения. Несколько позже мы познакомимся с
универсальным методом Лагранжа решения этой задачи при помощи
вариации произвольных постоянных, а сейчас научимся находить
частное решение для функции F(t) специального вида. Несмотря на
кажущуюся узость класса этих функций, он заслуживает
отдельного рассмотрения, так как класс соответствующих прикладных задач
весьма широк и важен. Итак, рассмотрим уравнение
L{p)z = f(t)ext. B)
Теорема. Если в уравнении B) f(t) — многочлен
степени г с комплексными коэффициентами, А — комплексное число, то
уравнение B) имеет решение вида
z = tkg(t)eM, C)
где g(t) — многочлен той же степени, что и f(t), a k = 0, когда X не
является корнем характеристического уравнения (нерезонансный
случай), или, когда А - корень, к равно кратности этого корня
(резонансный случай). Коэффициенты многочлена g(t) могут быть
найдены методом неопределенных коэффициентов.
Доказательство. Оно будет единым для к ф 0 и к = 0. Мы
покажем, что для неопределенных коэффициентов многочлена g(t)

94 Глава VI. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
получатся уравнения, решение которых существует и единственно.
Вначале произведем некоторые преобразования.
Кратность корня А в точности равна к, поэтому L(p) = М{р){р-
-А)*, причем М(А) ф 0. Заменим в этом тождестве р на р + А:
L(p + A) = M(p + A)p*.
М(р + А) можно представить в виде М(р + А) = рМ*(р) + М(А)
(М@ + А) = М(Х) — свободный член и вынесем общий множитель
р). Подставив C) в уравнение B), получим:
L(p)tkg(t)ext = f(t)ex\ extL(p + X)tkg(t) = f(t)ext или
Hp + \)tkg{t)=f(t). D)
Нам понадобится еще представление многочленов f(t) н g(t) в виде:
/(*) = aotr + /*(t), g(t) = b0tr + </*(*)
(степень многочленов /*(?) и <?*(?) не выше г — 1). Левую часть
равенства D) преобразуем следующим образом:
L(p+ X)tkg(t) = L(p+\)tk [b0tr + g*(t)] = L(p+ A)*V(t)+
+ M(p + X)pktkb0tr - L(p + А)*У (t) + [pAf *(p) + M(A)]p*M*+r.
Равенство D) примет вид:
L(p+\)tkg*(t) + 60M*(p)p*+1**+r 4- M(AN0p***+r = a0tr + /*(t).
Левая и правая части являются многочленами относительно
переменной t. Укажем степень каждого из трех слагаемых левой части.
Степень первого не выше степени многочлена М(р+ X)pktkg*(t), т.е.
г — 1, так как многочлен tkg*(t) имеет степень А; + г — 1, а
дифференцируется он к раз. Степень второго не выше г — 1, так как tk+r
дифференцируется fc+1 раз. Степень третьего равна г. Приравнивая
слагаемые степени г, мы получим уравнение
M(\)b0pktk+r = а0Г,
из которого вычисляется bo. Вспомним, что М(А) ф 0. Уничтожив
члены степени г, придем к уравнению
L(P + A)tV(t) = /*(t) - 6oM*(p)p*+1t*+r, E)

§ 5. Линейные неоднородные уравнения
95
в котором правая часть — известный многочлен степени не выше
г — 1. Эту же степень припишем искомому многочлену g*(t).
Фактически доказательство закончено. Действительно, уравнение E)
имеет такой же вид, как и уравнение D), только степени многочленов
стали меньше. Следовательно:
1. По доказанному однозначно находится коэффициент при
старшей степени t многочлена g*(t).
2. Найдя этот коэффициент, приходим к уравнению вида D).
Так, вычисляя один за другим коэффициенты многочлена g*(t), мы
дойдем наконец до свободного члена.
На практике записывают частное решение в виде z = tkg(t)ext и
подставляют в уравнение. Для неопределенных коэффициентов
многочлена g (t) получается система линейных алгебраических
уравнений с треугольной невырожденной матрицей. Из первого уравнения
находится Ьо, из второго — 6i и т.д. D
Замечание 1. Используя принцип суперпозиции, можно
находить частные решения для уравнений с правой частью вида
т
п*) = ?л(*)еЛ",
t=i
где fi(t) — многочлены. Такие функции F(t) называют
квазимногочленами.
Замечание 2. Если правая часть имеет вид f(t)t т. е.
f(t)eot, то роль А играет число 0. Мы должны посмотреть,
является ли А = 0 корнем уравнения L(X) = 0 и какой кратности.
Замечание 3. Если коэффициенты многочленов L[p), f(t) и
число А — действительны, то коэффициенты многочлена g(t)
таксисе будут действительными.
Замечание 4. Наиболее общим является уравнение B) вида
L(p)z = eat [Рг (t) cos pt + P2 (t) sin 0t]. F)
Интересно рассмотреть этот случай, когда коэффициенты
многочленов L(p), Pi(t), /МО и числа а и /? действительны. Заменяя

96 Глава УТ. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
cos (ft и sin/Jt по формулам Эйлера через экспоненты, получим
eni [Pi(t)cmpt + P2(t) sin/3t] =
= I [Pi(t) - iP2(t)) е<°+*>' + \ [Л@ + iP*(t)] e{a~i0)t. G)
При решении уравнения
m'=\lPi(t)-iP2(t)\el°+#)t (8)
роль числа Л в теореме играет a -f i/З. Поэтому выясняем, является
ли число a 4- tj3 корнем уравнения Х(Л) — 0 и если да, то какова его
кратность к. Затем ищем решение
* = **?, («)«<«+*>'.
Полученному многочлену pi (?) всегда можно придать вид
9i(t) = l[Qi(t)-iQ-2(t)},
где Qi (t) и (?2@ многочлены с действительными коэффициентами, а
их степень равна наибольшей из степеней многочленов Pi @ и Рг@-
С уравнением
Hp)z = ^[P1(t)+iPt{t)]e^-^t (9)
проделываем то же самое. Правые части уравнений (8) и (9)
комплексно сопряжены, поэтому для многочлена рг@ получим
z = tkg2(t)eS«-*>' = it* [Q,(t) +tg2@1e(e_Wl.
Частным решением уравнения (б) будет функция
^ = \tk [Qi(t) - iQ2{t)\ e{a+il3)t + \tk [Qi (t) + iQ2(t)} e^-W. A0)
Преобразование G) назовем прямым. Делая с A0) обратное
преобразование, получим
Z = tk€at \Ql(t) COS (It + Q2@ Sill 0t] • (П)

§ 5. Линейные неоднородные уравнения
97
Именно в таком виде следует искать частное решение уравнения
F). помня, что к это кратность корня Л = a ± i/З, а степень
многочленов Qi(t) и Q2(t) с неопределенными коэффициентами равна
наибольшей из степеней многочленов P\(t) и Рг@-
П р и м е р. у" - 2у' + у = 25sin2x - Fа; + 12)е*.
Для однородного уравнения у11 - 2у* 4- у — О решаем
характеристическое уравнение Л2 - 2А + 1 = 0 или (Л - IJ = 0. Корни Ai>2 = 1.
Общее решение однородного уравнения у ~ (С\ + C2x)ez.
Частное решение неоднородного уравнения у" - 2у'+у = 25 sin 2дг
ищем в виде у{ — a cos 2а: 4- &sin2x. К этой формуле приходим
следующим образом. Правая часть данного уравнения получается из
выражения tkeat [Pi(t) cos/3t 4- Pz{t) sin/ЭД при a = 0, P\{t) = 0,
/^@ — 25, # = 2. Число a 4-1/3 не является корнем
характеристического уравнения, поэтому А: — 0. Наибольшая из степеней
многочленов P\{t) и Рг@ равна 0, поэтому в качестве многочленов Q\(t)
и Q>z{t) взяты а и ft (неопределенные коэффициенты). Подставляем
частное решение в уравнение, вычислив вначале у1 и у".
у[ = —2a sin 2а; 4- 26 cos 2а:; у" = —4a cos 2а; — 46sin2x.
—4a cos 2x —46 sin 2x4- 4a sin 2x—46 cos 2x 4-a cos 2x4-6 sin 2a: = 25sin2x;
(-3a - 46) cos 2x 4- (-36 4- 4a) sin 2x = 25 sin 2x.
Так как sin 2x и cos 2x линейно независимы, приравниваем
коэффициенты при синусах и косинусах в левой и правой частях:
-За - 46 = 0,
-3ft 4-4а = 25.
3 3 25
6= --а; 3--а 4-4а = 25; — а = 25;
4 4 4
а = 4; ft =-7 -4 = -3.
4
Итак, i/L = 4 cos 2а; - 3sin2x.
Решим уравнение г/"-2у' + у = -Fх4-12)ех. Сейчас правая часть
имеет вид f(x)eXj:. Число А — 1 и является корнем
характеристического уравнения второй кратности, т. е. к - 2. Степень многочлена
— Сух — 12 равна единице. Частное решение ищем в виде
у2 гг. х2(ах 4- Ь)сх ~ (а:Г Ч- Ьх2)сг.
4 Ф. А. Шолохонич

98 Глава VI. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
у'2 = (ах3 + Ьх2 + Заж2 + 2Ьх)ех;
у% = (ах3 + Ьх2 + Зах2 + 2Ъх + Зах2 + 2Ьх + бах + 26)ez.
Подставляем у2 в уравнение
(ах3 + 6х2 + Зах2 + 26х + Зах2 + 2Ьх + бах + 26)ех-
- 2(ах3 + 6х2 + Зах2 + 26х)е* + (ах3 + Ьх2)ех = -(far + 12)ех.
Сокращаем на ех и приводим подобные. Многие члены
уничтожаются. Получается бах + 26 = — 6х — 12. Отсюда а = — 1; 6 = —б.
Итак,
у2 = -x2(x + 6)ez.
Общим является решение
у = (Ci + С2х)ех + 4cos2x - 3sin2x - х2(х + 6)ex.
Л
Вынужденные колебания с периодической
возмущающей силой
Так называют уравнение
х 4- fc2x = Hsinujt.
Этим уравнением описываются, например, колебания фундамента
станка с вращающимся ротором. Число к называют циклической
частотой собственных колебаний (фундамента), a и) - частотой
возмущающей силы (возникающей от вращения ротора). Необходимо
рассмотреть два случая.
1. Нерезонансный случай, к фи).
Найдем вид частного решения. Проверяем, является ли
число 0 + %ш корнем характеристического уравнения Л2 + к2 — 0.
Корни Ai,2 = ±tfc. Так как из ф к, то гиз корнем не является.
Частное решение
х = acosujt + bsinujt.
После подстановки в уравнение приравниваем коэффициенты
при синусах и косинусах:
Ь{-из2 + к2) = Я, а(и2 -I- А;2) = 0.

§ 5. Линейные неоднородные уравнения
99
Отсюда а = 0, 6 = къ_шъ. Общее решение имеет вид
Н
х = A sin(Art + 6) + ТТ5 ~ smart.
fc2 -or
Первое слагаемое описывает собственные колебания, второе —
вынужденные колебания. Амплитуда вынужденных колебаний
тем больше, чем ближе друг к другу частоты к и о>.
Рассмотренный случай является нерезонансным.
2. Резонансный случай, к — о/.
Перепишем уравнение: х + ш2х — #smart. Теперь частное
решение должно иметь вид х — t(a cos art + fc sin art). Проделав
самостоятельно вычисления, вы получите a = —|?; 6 — 0.
Ответ:
х — A sin(art + 6) - — t cos art.
Мы видим, что размах вынужденных колебаний растет со
временем. Интересно, что такого роста нет, когда имеется
сопротивление среды (например, трение). Исследуйте
математическую модель вынужденных колебаний с трением:
х + 2пх + к2х = Н sin art.
Установите, при каких условиях амплитуда вынужденных
колебаний будет наибольшей.
4*

Глава VII
Системы линейных
дифференциальных уравнений
Линейная система в нормальной форме Коши имеет вид
dxi
~dt
или в векторной форме
—j- =^2aik(t)xk +fi{t), г = l,n
at *=t
^^AW + Fit),
где X — X(t) и F(t) — n-мерные векторы, A(t) — матрица
размерности n x п.
Если F(?) = 0, систему называют однородной, в противном
случае -¦¦• неоднородной. Однородная система
dX .. ч,,
- = A{t)X
имеет тривиальное решение X = 0. Функции а»*(?) и /,(?) (г = 1,п)
предполагаются непрерывными в промежутке (ri,r2), который
может быть и бесконечным. При этом требовании в области Г: гу <
< t < Г2, —оо < ху < +оо,..., — оо < хп < +оо выполняются условия
теоремы Коши, и задача Коши A)-(П)
^ = A(t)X + F(t), (I)
X(t0) = X°
(И)

§ 1. Свойства, однородной системы. Принцип суперпозиции 101
однозначно разрешима при ri < to < тъ и произвольном векторе
Х° = {^i,^,... ,х?}. Как и в случае линейного уравнения n-го
порядка, всякое решение X = X(t) системы (I) можно продолжить
на весь промежуток (г1,гг). Систему (I) мы будем иногда называть
уравнением, считая искомой вектор-функцию X = X(t).
§ 1. Свойства однородной системы.
Принцип суперпозиции
Теорема1 (принцип суперпозиции). Пусть в системе (I)
m
F(i) = 5>.F.(t),
8=1
и X = Xs(t), s = l,m является решением системы X = A(t)X 4- F8.
Тогда вектор-функция
т
x = Yla*x*w
8-1
есть решение системы (I).
Доказательство труда не представляет. Нужно воспользоваться
определением производной вектор-функции
I *2
X(t) = .
W
и свойством
m m
Проведите это доказательство самостоятельно.
Следствие!. Линейная комбинация решений однородной
системы есть решение этой однородной системы (следует
положить Fs ~ 0 Vs = 1, т).

102 Глава V1L Системы линейных дифференциальных уравнений
С л е д с т в и е 2. Разность двух решений неоднородной
системы является решением соответствующей однородной системы
(нужно принять т = 2, F\ = F2, ai = 1, 0:2 = — 1)-
Следствие 3. Если в системе (I) F(t) = F\(t) + iF2(t),
вектор-функции Fi(t), F2(t) и матрица A(t) действительны, то
вектор-функция X = U{t) + iV(t), где U(t) и V(t) действительны,
удовлетворяет системе (I) тогда и только тогда, когда U(t)
является решением системы X — A(t)X+Fi, a V(t) является решением
системы X — A(t)X + F2. Если система (I) однородна: F(t) = 0, то
U uV будут решениями этой однородной системы вместе cU+iV.
Рассмотрим систему n-го порядка
X = A(t)X
и п ее решений
Xi =
Х21
Хо =
\X„l/
Образуем из них матрицу
140 =
х22
хп
(Xln\
I Х2п I
\XnnJ
A)
B)
S21
^12
^22
^21
\Xnl Хп2
C)
»/
Теорема2. Если каждая из вектор-функций B) является
решением векторного уравнения A), то матрица Y(t)
удовлетворяет матричному уравнению
У = A(t)Y.
D)
Обратно, если какая-либо матрица C) удовлетворяет матричному
уравнению D), то ее столбцы являются решениями уравнения A).
Доказательство. Пусть k-я вектор-функция Х^ является
решением векторного уравнения A). Тогда тождественно
выполняются равенства
Xik - ^2a.ij(t)Xjk.
E)
j=r.l

§ 2. Определитель Вронского
103
В этих равенствах i = l,n, a к — фиксировано, но произвольно.
Если матрица Y(t) удовлетворяет матричному уравнению D), то
для любых г = 1,пиА: = 1,п выполняются тождества E). Прямое
утверждение получается из равенств E), если перебрать все
значения к — 1,п. Обратное утверждение вытекает из равенств E), если
фиксировать индекс к, придавая ему значения от 1 до п. ?
Определение. Вектор-функции
Xl(t),X2(t)^..,Xm(t) F)
называются линейно зависимыми на интервале (ri,r2), если
существуют такие постоянные числа С\, С2,..., Ст, не все равные
нулю, что в промежутке {ri,r2) выполняется тождество
т
?<7Л=0. G)
Если равенство G) выполняется тождественно только при С\ =
= С2 = - - • = Cm — 0, то вектор-функции F) называются линейно
независимыми.
Полезно представить себе ситуацию, при которой линейно
независимые в {г\,г2) вектор-функции F) линейно зависимы как
постоянные векторы при каждом фиксированном t 6 {г\,г2).
Для случая т = п из вектор-функций F) можно составить
матрицу Y(t). Тогда
п
УA)С = ^С(Х{1
где С — столбец постоянных чисел С\, С2л • • •, Сп. Условие G)
запишется так:
Y(t)C = 0.
§ 2. Определитель Вронского.
Фундаментальная система решений
Определителем Вронского W(t) для вектор-функций
х,@,л-2(*),...,-М0
A)

104 Глава VII. Системы линейных дифференциальных уравнений
называется определитель матрицы Y(t), составленный из функций
A):
W(t)=detY(t).
В скалярном представлении
fxu\ |
Х{ =
X-2i
Urn У
, i = l,n, W(t) = \
Хц Xi2
*21 *22
X2v
Znl Xn2
Определение. Система решений
Xi(t)Mt),...,Xn(t)
B)
п-мернои системы
X = A(t)X
C)
называется фундаментальной, если решения B) линейно
независимы.
Матрицу Y(t), составленную из решений фундаментальной
системы, также называют фундаментальной. Еще ее называют
нормальной, если при некотором t — to справедливо Y(to) == Е (единичная
матрица).
Теорема!.. Если вектор-функции A) линейно зависимы в
промежутке (г1,Г2), то W(t) = 0 в этом промежутке. Если вектор-
функции A) являются решениями уравнения C) и линейно
независимы в (г1,гг), то определитель Вронского W(t) не обращается в
нуль ни в одной точке промежутка (гьгг). Таким образом, для
решений системы C) имеет место альтернатива: либо \ft € (п,г2)
W{t) ф 0, либо W(t) = 0.
Доказательство. Если вектор-функции A) линейно
зависимы, то найдутся такие числа
СиСг,...,Сп, ?с?#0,

§ 2. Определитель Вронского
105
п
что 2^,CiXi =0 в (ri,r2). Распишем это равенство покоординатно
»=1
( Cxxu + C2xi2 + ... + Спхы = 0,
I Схх2\ + С2я22 4- ... 4- Спж2п = 0,
I Сххп1 4- С2хп2 + ... + С„хпп = 0.
Линейная алгебраическая однородная система D) с неизвестными
С\, С2, • • •, Сп имеет ненулевое решение, следовательно, ее
определитель при любом t 6 (ri,r2) равен нулю. А это и есть определитель
Вронского.
Пусть теперь A) являются решениями уравнения C) и они
линейно независимы. Предположим от противного, что существует такое
число t0 € (п,Г2), при котором W(t0) = 0. Подставим в систему
D) t — to, и ее определитель станет равным нулю. Поэтому система
будет иметь ненулевое решение Ci, С2, • ¦ •, Сп. Вектор-функция
п
во-первых, является решением уравнения C), а во-вторых, в силу
системы D) удовлеворяет нулевым начальным условиям задачи Ко-
ши. Этим же условиям удовлетворяет тривиальное решение X = 0.
По теореме Коши указанные два решения совпадают:
п
Y,CiXi=0.
1=1
Последнее означает линейную зависимость решений A), вопреки
условию теоремы 1. ?
Как и для уравнения n-го порядка, критерием
фундаментальности системы является неравенство нулю определителя Вронского
хотя бы в одной точке.
Т е о р е м а 2. Для всякого уравнения C) существует
фундаментальная система решений. Если Y{t) — какая-нибудь
фундаментальная матрица уравнения C), то всякое решение этого урав-

106 Глада VII. Системы линейных дифференциальных уравнений
нения предстпавимо в виде
п
X = Y(t)C (шш X = ? CiXi^
«=i
где С — столбец произвольных постоянных.
Доказательство. Рассмотрим постоянную матрицу
... хх
ь11 х12 • ¦ х1п
О _ | х21 х22 • • • Х2п
сп1 хп2 • • * Лпп
Матрица может быть любой, но с условием det У0 ф 0. Введем
обозначения для столбцов: Х°, Х\,..., X®. Для каждого А: = 1,п найдем
решение начальной задачи Л*(to) — Х% и составим из этих решений
матрицу
(xu{t) xl2(t) ... xln(t)\
*2l(t) X22(t) ... X2n(t)
Y(t) =
\xnl(t) xn2(t) ... xnn(t)J
При t = tQ detK(*o) = detK0 ф 0. Этим доказана
фундаментальность матрицы Y(t) и, что то же самое, фундаментальность системы
составляющих ее решений Л*(?), к = 1,п.
Докажем вторую часть теоремы. Пусть Y(t) -—
фундаментальная матрица для уравнения C), а X = X(t) произвольно взятое его
решение и X(to) = Х°. Потребуем, чтобы столбец С произвольных
постоянных удовлетворял равенству
Y(t0)C = X°.
Умножим обе части равенства слева на невырожденную матрицу
Y-^tc): С = Y~l(to)X°. Тогда вектор-функция X(t) = Y(t)C =
= Y(t)Y"x(to)X^ совпадает при t = to с Х°. В силу единственности
X = X(t) и X = У(*)С тождественны:
Х(«) = гюг-Ч*,)*0. E)
D

§ 3. Формула Лиувилля - Остроградского
107
Матрицу Y(t)Y x(t0) обозначают K(t,tQ) и называют
импульсной матрицей или матрицантом. Формула E) примет вид
X = K{t,t0)X°.
Матрица K(t,to) является не только фундаментальной для
уравнения C), но еще и нормальной, так как K(t0,t0) = Е. Как всякая
фундаментальная матрица, она удовлетворяет по аргументу t
матричному уравнению
jtK(t,t0)=AK(t,t0).
§ 3. Формула Лиувилля — Остроградского
Не будем выписывать названную формулу заранее. Она появится
как результат некоторых преобразований и рассуждений.
Пусть задана линейная система
Xi -ai\(t)xi + ai2(t)x2 + . • • + ain{t)xn, i = l,n
A)
и n ее решений Х\, X2,..., Xn. Рассмотрим определитель Вронского
для этих решений
W(t) =
Xu(t) X12{t) ... Xin{t)
X2l{t) ?22@ .-. X2n{t)
Xnl(t) Xn2(t) ... Xnn(t)
Обозначим его строку Z, = (хц,Х{2,...,Х{п). Подставим поочередно
решения Х\, Х2,..., Хп в уравнение A)
хц = ацхп 4 ai2x2i 4 ... 4- ainxnU
Xil — ацХ\2 + 0,2X22 + • . . + 0-inXn2,
. Х{П — ацх\п 4 о,{2х2п 4... + aj„xnn.
Систему B) запишем в векторной форме
Zi = aaZ\ 4- ai2Z2 4 ... 4 ainZn.
B)
C)

108 Глава VIL Системы линейных дифференциальных уравнений
Для вычисления производной определителя Вронского
воспользуемся известным правилом
w = wl+w2 + ^. + wn,
где Wi отличается от определителя W тем, что его г-я строка
заменена строкой производных. Вычислим Wt, воспользовавшись
формулой C) и условным, но достаточно понятным обозначением
определителя.
Wi(t) =
Z2
dZj
dt
Zl
Z2
duZi + aaZ-2. + ... + a.inZn
Zn
= 0+.
Zx
Zi
auZi
Zn
+...+0.
Всего слагаемых должно быть п. Каждый из ненаписанных п — 1
определителей равен нулю, так как одна из его строк
пропорциональна другой строке этого же определителя. Получается
п
Wi = aiiW, W = Y,aiiW = 5< W)>
1=1
т. е. определитель W(t) является искомой функцией в линейном
дифференциальном уравнении первого порядка W = S(t)W, где S(t) —
след матрицы A(t). Решение этого уравнения в виде
IS(r)dT IS(r)dr
W(t) = W{t0)e?° или W{t) = Се D)
называют формулой Лиувилля - Остроградского для линейной
системы
я» = 5Jat*z*, i = l, п.
*=i
Выведем формулу Лиувилля - Остроградского для линейного
уравнения
У(п) + МОу*"-1* + 02(t)y(n-2) + ... + an(t)y = 0.
E)

§ 4. Неоднородная система. Метод вариации постоянных 109
Это уравнение известным приемом приводится к линейной системе.
Полагаем
У = *ьУ = хх =z2,...,y(n 1)=хп_1=жп
F)
и приходим к системе
{ ±\ =Я2,
Х2 - ^3>
Хп— I = ХПу
(xn = -anxi - an-ix2 - ... - a2xn_i - axxn.
G)
Из формул F) можно заключить, что определители Вронского
уравнения E) и системы G) совпадают. Действительно, столбец
определителя Вронского имеет вид
для уравнения
/ Ук \
У'к
wrl))
для системы
*2*
\хпк/
Равенства F) показывают, что это одно и то же. Легко заметить,
что матрица A(t) для системы G) имеет след S(t) — —a\(t). Поэтому
формула Лиувилля - Остроградского для линейного уравнения п-го
порядка принимает вид
t
- J ai(r)dr _ Г ai{r)dr
W(t)=W(t0)e '° или W(t) = Ce
§ 4. Неоднородная система* Метод вариации
постоянных. Формула Коши
Т е о р е м а 1. Если X = X(t) является частным решением
неоднородной системы X = A(t)X + F, a Y(t) —
фундаментальная матрица соответствующей однородной системы, то всякое
решение X(t) неоднородной системы представимо в виде X(t) =

110 Глава VIL Системы линейных дифференциальных уравнений
= Y(t)C +JC(t), где С — подходящим образом подобранный столбец
постоянных.
Доказательство. Разность X(t) — X(t) двух
решений неоднородной системы является решением однородной системы
(следствие 2 из теоремы 1 §1), следовательно, X(t) - X(t) = Y(t)C
(теорема 2, §2), и
п
X(t) = X{t) + Y(t)C или X(t) = Y, CiXi(t) + JC(t).
i=l
D
T e о р е м а 2. Если известна фундаментальная матрица Y(t)
для однородной системы
X = A(t)X, A)
соответствующей неоднородной системе
X = A[t)X + F(t), B)
то общее решение системы B) находится с помощью квадратур.
Доказательство (метод Лагранжа вариации
постоянных). Метод Лагранжа уже применялся для линейного
уравнения первого порядка. Его идея, которую мы используем и сейчас,
состоит в замене произвольных постоянных функциями
независимой переменной. Пусть X = Y(t)C — общее решение системы A),
Xi(?),X2(?),... Дп@ — решения, из которых образована
матрица Y(t). Ищем такие функции Ci(t),C2(t),... ,СП(?), составляющие
столбец C(t), чтобы вектор-функция
X = Y(t)C(t) = J?Ci(t)Xi(t) C)
i-l
явилась общим решением системы B). Подставляем C) в систему
B)
Y(t)C(t) + Y(t)C(t) = A(t)Y(t)C(t) + F(t).
По теореме 2 из §1 Y = AY, поэтому первые слагаемые левой и
правой частей взаимно уничтожаются. Получаем
Y(t)C(t) = F(t).
D)

§ 4. Неоднородная система. Метод вариации постоянных 111
Отсюда C(t) = Y-l(t)F{t),
г
C(t) = C + JY-\r)F{T)dT,
to
где С — столбец новых произвольных постоянных. Подставляем C(t)
в формулу C):
X = Y(t)
г
С + JY~l{T)F{T)dT
to
или
с
X = Y(t)C + Y(t) JY-l(j)F(T)dT.
to
E)
Общее решение найдено. ?
Сделаем некоторые преобразования формулы E). Переменная t
не является переменной интегрирования (таковой является
переменная г), поэтому Y(t) позволительно внести под знак интеграла.
YW1^) = K{t, т) (это матрицант).
Если задано начальное условие X(to) = Х°, то слагаемое Y(t)C
можно заменить на K(t,to)X°. Окончательно получим
г
X = K(t, to)X° + f K(t, t)F(t) dr.
to
F)
Равенство F) называют формулой Коши. Эта формула дает
выражение частного решения неоднородной системы B) с начальным
условием X(to) = Л. Формула Коши часто применяется в теории
линейных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим практическое применение метода вариации
произвольных постоянных. Распишем векторное уравнение D) в скаляр-

112 Глава VII. Системы линейных дифференциальных уравнений
ной форме
*n(*)Ci + *ia(t)Cb + • • • + xin(t)Ca = /i(«).
x2i(t)Ci + xaa(t)^a + • • • + x2n(t)Cn = f2(t),
x„i(t)Ci + xn2(t)C2 + ... + xnn(t)Cn = /„(*)•
G)
Определитель этой линейной алгебраической системы с
неизвестными С\, С2,..., Сп есть определитель Вронского фундаментальной
системы решений. Поэтому существует решение С{\ = <Pi{t)> г = 1,п и
t
Ci(t) = Ci+J(pi(r)dr,
to
где С{ — произвольные постоянные. Подставляя найденные С*(?) в
формулу C), получим
П П р
общее решение
однородной системы
to
у * '
частное решение
неоднородной системы
Для уравнения n-го порядка t/n> -ha\(t)y^n ^ +... + an(t)y = f(t)
система G) будет иметь следующий вид:
( yi(t)Ci + y2(t)C2 + ... + y„(t)C„ = О,
ylWCi + yi(t)& + • • • + VnWCn = 0,
y|n)(t)Ci 4- y{2n-2)(t)c2 +... + y?n-a,wc?» = o,
12/AП_1)(*)Ci + ^n}(t)C2 + ... + y^l>(*N„ = /(*)•
(8)
Чтобы понять переход от системы G) к системе (8), нужно
посмотреть в §3 на уравнения F) и систему G). Уравнения F)
объясняют происхождение коэффициентов системы (8) данного параграфа,

§ 4. Неоднородная система. Метод вариации постоянных 113
а из G) видно, почему правые части первых п — 1 уравнений
равны 0. В случае неоднородного линейного уравнения в правой части
последнего уравнения системы G) из §3 появится слагаемое f(t).
Пример. Проинтегрировать линейную неоднородную систему
fi; = y + tg2*-l,
[у = -ж + tgi.
Соответствующей однородной будет система
С:
У= -X.
Несколько позже мы научимся решать линейные системы с
постоянными коэффициентами, а сейчас выпишем вектор-функции
\— sin tj у cos tj
и убедимся в том, что Х\ и Х2 образуют фундаментальную систему
решений для нашей однородной системы. То, что Х\ и Х2 являются
решениями, проверяется в уме. Определитель Вронского
cos t sin t
— sin t cos t
равен 1, следовательно, решения X\ и X2 линейно независимы и
общее решение имеет вид
х = С\ cos t + С2 sin t,
у = —С\ sin t + С2 cos t.
Применяем метод вариации произвольных постоянных (см.
систему G))
f Ci cos* + С2 sin* = tg21 - 1,
1 - C2 sin t + C2 cos t = tg t.

114 Глава VII. Системы линейных дифференциальных уравнений
Основной определитель этой линейной алгебраической системы
равен 1. По формулам Крамера
С2 =
tg2t - 1 sin t
tg t cos t
cost tg2t-l
-sin* tgt
sin t sin t
- cost = - cost;
cos t cos t
= sint+ tg2 tsint -sint
Vcos2* /
Ci(t) = - /costdt = -sint + Ci;
<й(*) = /(-^--sint) dt= — +cost + C2.
J \cos2t / cost
Функции C\(t) и Ci(t) подставляем в формулы (9)
x = (-sint + Ci)cost + f -hcost + Сг ) sint,
\cost /
у = -(- sint + Ci) sint + ( hcost + C2 1 cost.
\cost /
После упрощения решение принимает вид
х = Ci cost + С2 sin t + tgt,
у = -Crisint + C?2COst + 2.
sint;

Глава VIII
Линейные системы с постоянными
коэффициентами
В главе VII выписан общий вид линейной системы с
коэффициентами aik(t), приведены некоторые свойства. Сейчас рассмотрим
частный случай — систему
^ = ?****+дю (»"=та ш
в которой коэффициенты а»* — постоянные действительные числа.
Она, разумеется, обладает всеми свойствами системы с переменными
коэффициентами. Однако ее решение может быть доведено до конца.
Достаточно изучить однородную систему.
-jf = ^2aikZk, (II)
к=1
или в векторной форме
f=AX, (III)
так как к неоднородной системе можно применить метод вариации
произвольных постоянных или другой способ решения. Условия
теоремы Коши выполняются для системы (II) во всем пространстве
*,Ж1,Ж2,...,ХП.
§ 1. Характеристическое уравнение.
Случай простых корней
h
Пусть Л — собственное значение матрицы А из уравнения (III),
— соответствующий собственный вектор. Тогда вектор-функция

116 Глава VIII. Линейные системы с постоянными коэффициентами
X = hext является решением системы (III). Действительно, по
условию Ah = АЛ, поэтому X = Xhext = Ahext = АХ. Уравнение
det(A — ХЕ) = 0 называется характеристическим. Запишем его в
развернутом виде
«11 ~ X <Х\2 «13 • • • «In
«21 022 ~А «23 ••• «2п _п (л\
I «п1 Оп2 «пЗ • • • 0>пп - Ц
Решение системы (III) определяется через корни этого уравнения.
Рассмотрим сначала случай простых корней.
Теорема. Пусть Ai,A2,...,An попарно различные корни
характеристического уравнения. Тогда общее решение системы (П)
записывается в виде
X = C1/i1eAlf + С2Л2еА2< + ... + Cnhnex"\
здесь hi, Л2, • • • j hn — соответствующие собственные векторы.
Доказательство. Для обоснования этого утверждения
установим, что определитель Вронского решений /iieAlt, Л2еА2',..., hneXnt
не равен нулю при t = 0. В самом деле, столбцами этого
определителя станут векторы hi, Л2, • • •, Лп, а они линейно независимы, как
собственные векторы, соответствующие различным собственным
значениям. D
Бели матрица А действительная, а среди корней
характеристического уравнения имеется комплексный корень А, то имеется и
корень, ему комплексно сопряженный А. Для получения решения,
соответствующего этим двум корням, в действительной форме можно
взять комплексно сопряженные собственные векторы h и Л, а
также сопряженные произвольные постоянные С и С (ImC Ф 0). В
общем решении появится слагаемое Chext + Chext, которое в
конечном счете действительно. Другой способ состоит в том, что вместо
комплексных вектор-функций U ± iV в фундаментальную систему
решений включаются действительные вектор-функции U и V, где
tf = Re/ieAt, V = lmhext.

§ 2. Случай кратных корней
117
§ 2. Случай кратных корней
Начнем с небольшого отступления в область линейной алгебры.
Вспомним известные вам понятия, но посмотрим на них под нужным
углом зрения и с нужной терминологией, которую не всегда можно
услышать на лекциях по линейной алгебре (имею в виду термин
«серия»).
Пусть в fc-мерном пространстве задано линейное преобразование
А с единственным собственным значением Айв базисе fti,/*2, • • >ft*>
где
hi =
/1\
0
0
VV
> h2 =
/0\
1
0
W
.., hk =
М
О
о
W
/Л 1 0 .
0 Л 1 .
0 0 0.
\0 0 0 .
. 0
. 0
. Л
. 0
0\
0
1
соответствующая матрица имеет жорданову форму,
представляющую собой одну клетку Жордана. Тогда в этой системе координат
матрица имеет следующий вид:
А =
Легко проверить равенства
Ahi = Aftb Ah2 = Aft2 + hi, ..., Ahk = Aft* + ft*-i. A)
В любом другом базисе равенства A) сохраняются, хотя
преобразование А и векторы hi, /12,..., ft* изменят свое матричное
изображение. Совокупность векторов fti, /12, ..., ft* называют серией. В ней
fti — собственный вектор, а Лг, Лз> • • •, ft* называют
присоединенными, или ассоциированными векторами.
Перейдем к общему случаю. Предположим, что в n-мерном
пространстве задано линейное преобразование Лив базисе fti, /&2, • • •, hn
соответствующая матрица имеет жорданову форму, содержащую

118 Глава VIII. Линейные системы с постоянными коэффициентами
несколько клеток. Каждой клетке соответствует инвариантное
подпространство, и те векторы базиса, которые принадлежат этому
подпространству, образуют серию. Одному и тому же корню Л
характеристического уравнения может соответствовать несколько клеток и,
следовательно, несколько серий.
Для каждой матрицы А (форма Жордана не требуется)
существует базис, состоящий из серий. Если матрица А действительная,
то эти серии можно выбрать так, чтобы серии с действительными
собственными значениями были действительными, а серии с
комплексными собственными значениями были попарно сопряженными.
При доказательстве теоремы об общем решении используется
следующее утверждение.
Лемма. Пусть дана линейная система (III)
Х = АХ
и h\, /12,..., /ijb — серия с собственным значением А.
Рассмотрим к векторных функций
Wr@=G^^1 + G^/l2 + --- + /lr <r = I^
Тогда
1. Векторные функции ХГ = (jr(t)ext являются решениями
системы (III).
2. Выполняются начальные условия Хг@) = Лг.
Доказательство. Имеют место формулы
Awr(t) = Xur(t) +o;r_i(*),
LJr(t) =CJr_i(*),
в которых г = 1,*, (полагаем wo(t) = 0).
Вторая из них очевидна, первую выведем. Имеем
tr-l tr-2
AUr{t) = (^Tj!Ml + G^2)!Ak2 + *' * + Akr'

§ 2. Случай кратных корней
119
Далее воспользуемся равенствами Ah\ = АЛ1, ЛЛ2 = АЛ2+Ль ..., Ahr
= АЛГ + Лг-1- Получаем
A"r(t) = 7 тг.Лкг + ТутЛАЬ + fti) + ... + Ahr + br_i =
jr-1 jt-2 fT-2
= А(ГЛ)!Л1 + Л(Г^)!/12 + ¦ • • + А*г + G^2)!Л1+
г-3
+ (г-З)!*3 + '" + Лг = AWrW + Wr-1 W'
Покажем, что вектор-функция Л"г = ur(t)ext является решением
системы (III).
Xr = Аыг(*)еА< + u)r{t)ext = [Awr(t) + u>r(*)]eAt = [Awr(t) +
-h*_i(t)leAI = A*;r(*)eAt = AXr. D
Теорема. Пусть дана линейная система (III)
и J*i, Л2,.. ¦, Лп ~ базис, cocmoAti^tiu г» серий относительно
матрицы А. Предположим, что h\, Л2, • ¦ •, Л*А ~ ^^о серия с собственным
значением Ai, Л^+^Л^+г,...,/!*^^ — это серил с собственным
значением Лг и т.д. Обозначим
[ Хх =hxe^\X2 = (t/ц + /i2)eA*V..,
Xkl+i = Л^-це*»', ДГ*1+а = (tfc*l+1 + hkx+2)e>*\..., F)
Тогда каждая из вектор-функций F) является решением
системы (III), а их совокупность составллет д^ундалсенталъную
систему решений.
Доказательство. Каждая из функций F) может быть
записана в виде ur(t)ext и по лемме удовлетворяет системе (Ш). При
вычислении определителя Вронского в точке t = 0 получим в
качестве столбцов /ii,/i2, -,hn (по лемме Хг@) = /ir), а эти векторы

120 Глава VIII. Линейные системы с постоянными коэффициентами
образуют базис. Определитель Вронского отличен от нуля, так как
столбцы линейно независимы. D
Комплексные решения, коль скоро они появляются, заменяют их
действительными и мнимыми частями, как об этом говорилось выше
в случае простых корней характеристического уравнения.
Следствие. Общее решение системы (III) имеет вид
п
X = у С8Х8,
где Х8 — вектор-функции совокупности F). Получается, что
координаты вектора X являются квазимногочленами
Ы = /ii(t)eAie + Ы*)еЛ2' + - -. + fim(t)ex-1 (i = Г^).
Здесь т ^ п -~ число различных корней характеристического
уравнения.
Если у вас есть потребность обосновать следствие более
убедительно, распишите ?СвХя в координатной форме, подставив
несколько вектор-функций Х8.
§ 3. Метод неопределенных коэффициентов
Пользуясь следствием, можно на практике избежать
вычисления серий при решении системы. Для каждого корня Л
характеристического уравнения имеется решение X = {х\,Х2,•¦• >?п}> ГД?
%\ = /i(*)eAt, a fi(t) — многочлен с неопределенными
коэффициентами степени А: — 1 (А: — кратность корня Л). После подстановки
Х{ в уравнения системы следует выбрать какие-то А; коэффициентов,
чтобы выразить через них остальные коэффициенты. Эти А;
коэффициентов рассматриваются далее как произвольные постоянные. Если
известна длина k ^ к наибольшей серии, соответствующей корню Л,
то многочлен fi(t) может иметь степень А: — 1, что видно из формулы
F) (большей степени ?, чем к — 1, взяться неоткуда).
Иногда в случае кратных корней нет необходимости применять
метод неопределенных коэффициентов. Так получается, когда
координаты собственного вектора, соответствующего корню кратности к,
можно выразить с помощью к существенных произвольных
постоянных. Эта ситуация будет проиллюстрирована в примере 1.

§ 3. Метод неопределенных коэффициентов
121
П р и м е р 1.
( dx
- = -x + y + z;
Ф
-=x-y + z;
dz
I
dt
= x + y - z.
Составим характеристическое уравнение
-1-A
1
1
1
-1-A
1
1
1
-1-A
= 0.
Его корни Ai = 1, A2 = — 2, A3 = — 2. Сначала найдем
собственный вектор {а1,а2,аз}, соответствующий Ai = 1.
(-,2-1, ;)ЬUs, ь-.:—:
\l 1 -2/ W W l а1-2а2 + а,=0.
Третье уравнение не выписываем, оно является следствием этих
двух. Вычитая, получим —3qi + 3tt2 = 0, значит, Qi = Q2. Из
первого уравнения а\ = аг — аз = С\. Корню Ai соответствует решение
x = Clet,y = Ciet; г = Схе*.
Теперь найдем собственный вектор, соответствующий корню
Аг,з = ^2,
/1 1 1\ /аЛ /0\
1 1 1 а2 = 0 , ai + а2 + а3 = 0.
\1 1 1/ \а3/ \°/
Остальные уравнения такие же. Можно положить а2 = Сг; аз =
— Сз; «1 = — Сг — Сз, и получится общее решение:
а: = С1е^(С2 + С3)€-2<,
y = Cie4 + C2e-2e,
s = Cie4 + C3e-2t.
Здесь ранг г матрицы системы для нахождения ai, a2, a3 равен
1, кратность корня А = —2 равна 2, число уравнений п равно 3.
Оказалось, что г =n — k. При выполнении такого равенства не требуется
применять метод неопределенных коэффициентов. В случае, когда
г > п — к, необходимо применять этот метод. Л

122 Глава MIL Линейные системы с постоянными коэффициентами
П р и м е р 2.
dx
dy
-1-А 1 О
0 -1-А 4
1 О -4 - А
= 0.
Уравнение преобразуется к виду А(А + ЗJ = 0.
Простому корню А = 0 соответствует собственный вектор (а\, а2, а3),
координаты которого находятся из системы
Г -ai + a2 = 0
< , . n, ai=a2= 4a3.
У -a2 + 4a3 = 0
Положим аз = С\, тогда а\ = \С\; a2 = 4Ci.
Получается решение х = \С\л у = ACu z = С\ (прямая х = 4t,
у = 4t, z = t состоит из неподвижных точек).
Для корня А2,з = —3 кратность к = 2. Ранг матрицы
/-1 + 3 1 0 \
0 -1 + 3 4
\ 1 0 -4 + 3/
равен 2, п = 3.
Здесь г > п — к, и нужно применять метод неопределенных
коэффициентов. Будем искать решение в виде
х = ((ц +b!*)e~3t; y= (a2+M)e~~3'; z = (a3 + Ы)е~3'.
Подставляя в систему, получим после сокращения на e~3t :
b\ — 3ai — 3b\t = — a\ — b\t + a2 + b2ty
^ - 3a2 - 3M = -a>2 - M + 4o3 + 463t,
63 - 3a3 - 3b3* = ai + b\t - 4a3 - 4M-
Приравнивая коэффициенты при t, придем к уравнениям
-2&i=62; -2Ь2 = 4Ь3; Ьз=Ьь
Приравниваем свободные члены,
bi — 2а\ = а2; Ь2 — 2а2 = 4а3; 63 + а3 = ai.

§ 3. Метод неопределенных коэффициентов 123
Положим Ь\ = 63 = С2, тогда ^ = -2Сг-
Положим oi = Сз, а2 = Сг - 2Сз, оз = Сз - Сг-
Общее решение выражается формулами.
а; = 4С1 + (Сз+С2*)е-3',
y = 4Cl + (C2-2C3-2C2t)e-3ti
z = Ci + (Сз - С2 + C20e~3i.
Л

Глава IX
Динамические системы
§ 1. Фазовое пространство. Свойство группы.
Точки покоя
А. Нам известна геометрическая интерпретация решений
системы
X = F(t,X) A)
как интегральных кривых в пространстве Rn+1 переменных ?,Xi,X2,
..., хп.
Полезна и часто используется механическая (или динамическая)
интерпретация системы A). В этом случае аргументу t
приписывают роль времени, компоненты решения X = X(t) = {x\(t),X2(t),...,
?„(?)} называют уравнениями движения точки и рассматривают
линии, которые описывает точка в пространстве W1 переменных
х\уХ2,... , хп. Пространство Rn называют фазовым, а линии в этом
пространстве с уравнениями xi(t),X2(t),... ,xn(t) — фазовыми
траекториями. Систему A) при такой трактовке естественно назвать
динамической. Сама система задает в каждый момент времени t
скорость движущейся точки V = {xi(t),X2(?)> •••»?»*(*)}> проходящей в
этот момент t через пункт с координатами {xi(t),X2(<)>••• >xn(t)}-
Иногда решение X = X(t) системы A) называют движением.
Соответствие между интегральной кривой и фазовой траекторией для
системы Xi = /i(?,xi,X2), (г = 1,2) можно представить наглядно
как проекцию интегральной кривой в пространстве R3(?,xi,X2) на
фазовое пространство (плоскость) R2(xi,X2).
Если для системы A) существует такая точка {xj, х§, ..., х° } =
= Х0, что jF(?,Xo) = 0, то система A) имеет решение xi = х°, x2 =
= х«2,... ,хп = х°. Точку Xq называют в этом случае точкой покоя
или равновесия.

§ 1. Фазовое пространство. Свойство группы. Точки покоя 125
Б. Важным классом динамических систем являются системы
X = F(X), B)
у которых правые части не зависят явно от времени t. Такие системы
называют автономными. Они обладают так называемым свойством
группы, которое мы сейчас рассмотрим.
Пусть X = (p(t) — решение автономной системы B), определенное
на всем интервале (—оо,+оо). Докажем, что вектор-функция
X = ?>(« +С) = tf(i),
где С — произвольная постоянная, также удовлетворяет системе B).
Равенство <pt(t) = ^[^@] является тождеством. Заменим в нем t на
t + С, получим — — <p(t + С) = F[<p(t + С)]. Нужно от функции
d\t "f* С)
ip(t) перейти к функции ф{1). Правая часть преобразуется просто:
F[(p(t + C)] = F[tp(t)]. Обратимся к левой части. Сначала
продифференцируем по t равенство tp(t + С) = ф(Ь) ((p(t + С) дифференцируем
как сложную функцию):
d<p(t + C) d(t + С) } dip{t + C) ;
'ЩГТсУ'-^Г'-^ или WfcT-**®'
Это означает, что -^ 7sr?>(t + C) = Ф(^)- Для функции ф(Ь) по-
d(t + С)
лучаем уравнение ^@ = ^[^(ОЬ из которого следует, что вектор-
функция X = (p(t + С) = V>W является решением уравнения B).
Введем обозначение X = ip(t,?) для решения системы B),
удовлетворяющего начальному условию </?@, f) = ?, где ? —
произвольная точка фазового пространства Г С Еп, на котором определена
функция F(X) и выполняются условия теоремы Коши. По смыслу
обозначения <р(J, ?) С Г.
Положим y>(s,0 = *?. Рассмотрим решение ip(t,rj). На основании
вышеизложенного заключаем, что при s равном постоянному числу
вектор-функция <p(t 4- s, О также является решением. При t = 0 два
решения X = <р(?, tj) и X = <p(t + s,?) совпадают: <p{0,r)) = т/ и
<р@ + 5,7?) = *?• В силу единственности эти решения совпадают при
любом ?, что выражается тождеством
ч>[ЪФ,0] = ?>(* + *, О-
О)

126
Глава IX. Динамические системы
Каждому числу t поставим в соответствие преобразование y>(t, ?)
(t — фиксировано, f € Г произвольно). Удобно это преобразование
обозначать (p(t, •). В множестве преобразований {<?(*>)} введем
операцию произведения двух преобразований, как последовательное их
применение <p[ti,(p(t2, •)]. По равенству C) v?[*b?>(*2> *)] = <P(h + *2, •)•
Видно, что эта операция не выводит за пределы множества {<p(ty •)}.
Введенная операция превращает данное множество в группу. Легко
проверяется выполнение всех аксиом группы, в частности, единицей
группы является тождественное преобразование </>@, •)•
Преобразование ф(—t, •) обратно преобразованию у>(?, •). Переменная t
выполняет роль параметра. Группу {<?>(?,•)} называют однопараметриче-
ской. Очевидно, она абелева.
Траектории разных решений пересекаться не могут, так как
существование у этих траекторий одной общей точки приводит к их
полному совпадению. Действительно, пусть <p(?i,?i) = 4>{t2,€2), а* ~"
произвольное число. Применим преобразование y>(t, •): ip(t\ + f,?i) =
= ?>(*2 + 1,?г)- Истолковать это можно так: каждый пункт
соответствующей траектории точки ?i и & проходят, но в разное время.
Следовательно, их траектории совпадают.
Возможны три типа траекторий:
1. Точка покоя, когда для любого t выполняется равенство (p(t, f) =
= ?, т.е. точка ? не движется.
2. Замкнутая кривая, когда существуют такие числа t\,t2,t3
(попарно различные), что ip(tu() = tp(t2lQ ф ?>(*з,0-
Обозначим t2-ti= Т. Тогда <p(*i,f) = ip(h + T,f). Применим
преобразование ip(t—t\, •), где t — произвольное число, получим
Число Г называется периодом движения. Доказывается (см.
[1], §15, с. 106), что при сформулированных условиях (? — не
является точкой покоя) существует наименьший период,
который является числом положительным. Решение называется в
этом случае периодическим, а траектория замкнутой или
циклом.
3. Траектория без самопересечений, когда для любых t\ и t2 (h ф
Ф t2) имеет место y>(fi,?) ф <^(*2,?)-

§ 2. Абстрактные динамические системы
127
§ 2. Абстрактные динамические системы
Начиная с конца XIX века предпринимаются попытки
использовать аксиоматический метод для построения теории
дифференциальных уравнений. Всю теорию перевести на аксиоматические
рельсы, очевидно, невозможно. Вместе с тем для изучения некоторых
свойств фазовых траекторий динамических систем созданы и
разрабатываются аксиоматические теории. Познакомимся с примерами
таких теорий.
1. Однопараметрическая группа преобразований
Пусть R— n-мерное или бесконечномерное метрическое
пространство, f(t,p) — отображение произведения I xR, где / = (—оо, +оо),
наИ
f(t,p) называют абстрактной динамической системой на
пространстве R, если выполняются следующие аксиомы:
1- /@»р) — Р (начальное условие);
2- f(t,p) — функция, непрерывная по совокупности переменных
*ир;
3- Я*ь/(*2,р)] = f(h +t2,p) (свойство группы).
Постулируемые свойства выполняются, как мы видели, для
автономных систем B) (свойство 2 будет доказано в гл. XII). Однако
аксиомы 1-3 учитывают не все важные свойства системы B). Так, не
учитывается свойство гладкости траекторий. Дело в том, что в той
аксиоматике, которая введена выше, изучают топологические
свойства траекторий, а гладкость кривой топологическим свойством не
является (она не сохраняется при топологических, т. е. взаимно
однозначных и взаимно непрерывных, отображениях). В абстрактных
динамических системах изучаются такие свойства траекторий, как
периодичность, почти периодичность, рекуррентность, устойчивость
по Пуассону, устойчивость в смысле Ляпунова и др., а также
соотношения этих свойств (см. [9], гл. 5). Абстрактная динамическая
система является однопараметрической группой преобразований f(t, •)
пространства. Траектории же получаются, когда фиксируется не ty
ар.

128
Глава IX. Динамические системы
2. Линейные динамические системы
К трем перечисленным выше аксиомам абстрактной
динамической системы можно добавлять и другие, например свойство
линейности. Для этого нужно рассматривать в качестве R линейное
пространство с операциями сложения, умножения на число, т. е. р\ +Р2,
Ар, и, разумеется, метрикой, например нормой ||р||. Часто в качестве
такого пространства рассматривают банахово пространство В. В
качестве дополнительной аксиомы иногда рассматривают условие
линейности, упомянутое выше: /(*, Aipi + А2Р2) = Ai/(?,pi) + A2/(?,P2)-
Доказан любопытный факт: абстрактной линейной
динамической системе в конечномерном пространстве всегда можно поставить
в соответствие конкретную динамическую систему X = АХ с
постоянной матрицей А. Поэтому интерес представляет лишь изучение
линейных систем в бесконечномерных пространствах. Здесь
целесообразно ввести иное обозначение системы: /(*)р, вместо f(t,p), при
этом под f(t) понимается ограниченный линейный оператор,
отображающий банахово пространство В на себя. Ограниченность
оператора /(?) обеспечивается выполнением аксиомы 2, а из аксиомы 3
вытекает, что множество {/(?)} является однопараметрической
группой.
Особый интерес представляет случай, когда множество {/@}
является полугруппой, т. е. параметр t принимает значения t > 0 или
t > 0 (см. [12]). Такая динамическая система соответствует
уравнению X = АХ с неограниченным оператором А над банаховым
пространством В (А определен на множестве, всюду плотном в В).
Примером может служить совокупность решений u(t,x) некоторого
линейного уравнения в частных производных. Эту совокупность
решений можно интерпретировать как динамическую систему X = АХ.
В качестве пространства В рассматривается пространство
непрерывных функций {<р{х)}, а А — это неограниченный оператор
дифференцирования. Роль точки р 6 В играет функция р = u@,x). Ее
траекторией будет f(t)p = u(t, x). Каждому фиксированному
значению t соответствует своя точка u(i, x) в пространстве В.
В §2, как мы видим, исходным предметом изучения являются не
дифференциальные уравнения, а объекты, описываемые свойствами
траекторий. Такие объекты называют иногда фазовыми потоками.
Это понятие используется в Добавлении 2.

Глава X
Точки покоя на фазовой плоскости
линейной однородной системы
Изучение точек покоя, точнее, фазовых траекторий в
окрестности этих точек представляет собой сложную задачу. Мы
ограничимся одним из простейших случаев.
Исследуем систему
Г хх = апхх + а12х2 .
< . или Л = АХ, A)
у Х2 = «21^1 + ^22^2
где X = {х\,х2} — искомая вектор-функция, А — постоянная
действительная матрица. Фазовым пространством этой системы
является плоскость Е: х\Ох2, а начало координат есть точка покоя.
Изображение фазовых траекторий в окрестности точки покоя будем
называть фазовым портретом.
Сначала рассмотрим систему A) в предположении, что det А ф 0.
Это значит, что корни характеристического уравнения Ai и \2
отличны от нуля (свободный член в характеристическом уравнении равен
det А). Определяющую роль в исследовании будут играть,
разумеется, корни характеристического уравнения.
§ 1. Корни характеристического уравнения
действительные и различные. Узел. Седло
Обозначим собственные векторы, соответствующие корням Ai, Лг,
через h\,h2. Общее решение имеет вид:
X = ciftieAl?+C2h2eAarl.
5 Ф. А. Шолохович

130
Глава X. Точки покоя на фазовой плоскости
Целесообразно от плоскости Е перейти к плоскости Е* с помощью
такого аффинного преобразования, при котором векторам h\ и Л2
будут соответствовать единичные векторы е\ и е2, направленные по
осям прямоугольной системы координат ?\0%2 в плоскости Е*.
Фазовые траектории в плоскости Е* будут иметь более простой вид.
Вместе с тем нетрудно представить себе, какому изменению они
подвергнутся при обратном преобразовании (векторы h\ и h2 в общем случае
не ортогональны и не равновелики). Так, к примеру, окружность в
плоскости Е* при обратном преобразовании может превратиться в
эллипс. И вообще, топологические свойства фазовых траекторий
сохраняются, а именно они отражают качественную картину, которая
только и интересует нас в данной главе.
Положим ?i = c\eXlt, & = с2еЛ2*. Тогда точке X е Е будет
соответствовать точка ? с декартовыми координатами & и & в Е*.
Исследуем траектории на плоскости Е*. Их тоже назовем
фазовыми. При любых действительных и различных Ai и А2 имеются, в
частности, следующие траектории:
1. Начало координат @,0) — точка покоя (при с\ = с2 = 0).
2. Прямолинейные траектории, расположенные на
положительных и отрицательных частях координатных осей 0?i и 0?2.
Заметим, что, установив вид траектории в первом квадранте,
можно получить весь фазовый портрет с помощью симметричных
отображений относительно осей 0?\ и 0?2 (поочередно меняя знак
у чисел с\ и с2).
Узел. Пусть корни Ai и А2 имеют одинаковые знаки. Для
определенности положим |Ai| < |А2|.
a) Ai < 0, А2 < 0. При t -> +оо f 1 -> 0 и ?2 -* 0, но ?2 стремится к
нулю быстрее, так как |А2| > |Ai|. Если условно присоединить точку
@,0) к траектории, то можно сказать, что в этой точке траектория
касается оси Of i. Придавая постоянным с\ и с2 различные значения,
получим семейство траекторий в первом квадранте, а затем и на
всей фазовой плоскости. На рис. 7а стрелками указано направление
движения точек.
При t -> — оо траектории уходят в бесконечность быстрее в
направлении оси f2 > нем в направлении оси fi.

§ 1. Корни характеристического уравнения действительные 131
а б
Рис. 7
6) Ai > О, А2 > 0. Траектории остаются теми же, но меняется на
противоположное направление движения точек. Соответствующий
фазовый портрет изображен на рисунке 76.
В случае а фазовому портрету присваивается название
устойчивый узел, в случае б — неустойчивый узел.
Рис. 8
5*

132
Глава X. Точки покоя на фазовой плоскости
Седло. Пусть корни Ai и А2 имеют противоположные знаки,
например Ai < 0 < А2. Легко установить, что в плоскости Е*
фазовый портрет, именуемый седлом, имеет вид, изображенный на рис. 8.
§ 2. Корни характеристического уравнения
комплексные. Фокус. Центр
Фокус. Пусть Ai = А = /х + ti/, тогда А2 = А = \х - iv. Будем
считать v > 0. Соответствующие собственные векторы возьмем
комплексно сопряженными ft и ft. Выделяя действительную и мнимую
части, полезно представить вектор ft в виде ft = |(fti — ift2).
Действительные векторы fti и ft2 линейно независимы. В самом деле,
предположив, что fti = fcft2, получим
h= -{k -i)h2, ft = -z(k + i)h2,
что означает линейную зависимость собственных векторов ft и ft,
соответствующих различным собственным значениям А и А. Такого,
как известно, быть не может.
Для представления решения X в действительной форме следует
взять произвольные постоянные комплексно сопряженными с Im с ^
X = chext + chext. A)
Обозначим cext = ft + ift, тогда cext = ft — «ft, и преобразуем
формулу A):
X = \ Ui + ib)(hi - ih2) + (ft - i6)(fti + ift2)] =
= q^1^1 + 6^2 +fifti +&Л2) = 6*1 +6*2-
Таким образом, на плоскости Е в базисе fti,ft2 числа ft и ft
являются координатами точки фазовой траектории. Простой путь к
выяснению вида фазовой траектории состоит в следующем.
Плоскость Е аффинным преобразованием переводим в
комплексную плоскость Е* так, чтобы вектору fti соответствовало число 1, а
вектору ft2 — число г. Тогда вектор X перейдет в комплексное число

§ 2. Корин характеристического уравнения комплексные 133
? = fi + *f2- Используя введенное выше соотношение cext = f i + if2,
получим:
f = ceAt. B)
Перейдем к полярным координатам. Положим f = pei(p,c = Яе"*.
Тогда по формуле B)
? = ре{« = Яе^е^1^ или f = Re^e***^. C)
Отсюда радиус-вектор точки f р = Яе***, полярный угол у? = а +1/?.
Фазовая траектория является логарифмической спиралью (рис. 9).
а) При |х<0и?-4+оо спираль с возврастанием t накручивается
на начало координат.
б) При /х > 0 и t —> +00 точка уходит в бесконечность.
В случае а фазовый портрет называется устойчивым фокусом, а
в случае б — неустойчивым фокусом.
Отметим, что рисунки выполнены с учетом возрастания
полярного угла у? = а 4- vt (было условие v > 0) и, следовательно, вращения
точки против часовой стрелки (в правой системе координат).
Центр. При /х = 0 фазовыми траекториями в плоскости Е*
являются окружности (т. е. циклы). Фазовый портрет называется

134
Глава X Точки покоя на фазовой плоскости
центром. Все движения являются периодическими с периодом Т =
2*. На рис. 10 а,б изображены фазовые портреты центра в плоскости
Е* иЕ.
а б
Рис. 10
§ 3. Вырожденные случаи
При исследовании системы A) вырожденным называют такой
случай, когда как угодно малым изменением коэффициентов
матрицы А можно качественно изменить фазовый портрет. Примером
служит центр. Он получается, когда в характеристическом
уравнении отсутствует член с Л, т. е. след матрицы А равен нулю.
Достаточно чуть-чуть изменить один из диагональных элементов, чтобы
получилось ац+ &п Ф 0. Все следующие случаи будут
вырожденными.
1. Корни характеристического уравнения
действительные равные
Пусть матрица А имеет единственное собственное значение
второй кратности, т. е. Ai = Л2 = Л ф 0. Возможны два случая.

§ 3. Вырожденные случаи
135
А. В плоскости Е существует базис h\, /12, состоящий из
собственных векторов числа А. Общее решение имеет в этом случае вид
X = cihiext + c2h2ext = (С1/ц + c2h2)ext = X0ext.
Придавая различные значения постоянным с\ и с2у можно
получить любой вектор Xq. Траектория лежит на луче, проведенном из
начала координат в бесконечность и содержащем вектор Xq. При
А < 0 и t —> +00 точки по лучам движутся к точке покоя @,0).
Если А > 0, то при t -у +оо точки движутся по лучам в
бесконечность. Фазовый портрет называют в этом случае дикритическим
узлом, устойчивым при А < 0 (см. рис. 11а) и неустойчивым при
А > 0 (см. рис. 116).
а б
Рис. 11
Б. В плоскости Е существует базис hi,h2, представляющий собой
серию для собственного значения A: Ah± = Xh\,Ah2 = Xh2 + hi.
Мы знаем, что общее решение в этом случае выражается формулой
X = cih\ext + c2(th\ +h2)ext. Обозначим & = (ci +c2t)ext,?2 = c2ext.
Тогда JC = fifti+ &/i2.
Изобразим фазовый портрет в плоскости Е*. Достаточно
установить вид фазовых траекторий в верхней полуплоскости, так как
имеет место симметрия относительно начала координат (смена знака
с\ и с2 приведет к смене знака у ?i и ?2 с сохранением их
абсолютной величины). При с2 — 0 на оси 0?i лежат три траектории вида
?1 = c\ext {c\ > 0,ci = 0,ci < 0). Пусть теперь с\ — 0, а с2 > 0:
Zi=c2text,?2=c2ext.
Если А < 0, то при t изменяющемся от нуля до +оо абсцисса fi
движущейся точки сначала возрастает от нуля, а после числа t =

136
Глава X. Точки покоя на фазовой плоскости
Рис. 12
= — j начнет убывать и стремиться к нулю; & монотонно стремится
к нулю и быстрее, чем ?i, поэтому траектория касается оси 0?\. При
t ->> —оо точка уходит в бесконечность, причем & -> —со, а & -> +оо
и |^i | возрастает быстрее, чем l&l- Фазовый портрет изображен на
рис. 12а. Его часть, находящаяся ниже оси 0?\, дорисована, исходя
из симметрии относительно начала координат.
На рис. 126 изображен фазовый портрет в случае Л > 0. Фазовый
портрет на рис. 12а называют устойчивым вырожденным узлом, а
на рис. 126 — неустойчивым вырожденным узлом.
Квадратное уравнение имеет одинаковые корни, когда его
дискриминант равен нулю. Это условие можно нарушить как угодно
малым изменением коэффициентов матрицы А. Поэтому узлы
называются вырожденными.
Осталось рассмотреть случай det >1 = 0. Совершенно очевидно,
что этот случай вырожденный.
2. Один или оба корня характеристического
уравнения равны нулю
A. Ai = 0, А2 Ф 0. Общее решение имеет вид X = c\h\ + c^h^e*1.
Точки движутся по прямым параллельным оси 0&- При Аг < 0 они
неограниченно приближаются к оси 0?\. При Аг > 0 точки
удаляются в бесконечность. Все точки оси 0?i являются точками покоя.
Б. Ai = A2 = 0. Здесь две возможности, как и при Ai = A2 Ф 0.

§ 3. Вырожденные случаи
137
Рис. 13
а) Имеется базис, состоящий из собственных векторов hx и h2
матрицы А, т. е. Ah\ = О, Л/12 = 0. С учетом линейной независимости
векторов h\ и /i2 отсюда следует, что А — 0. Система A) имеет вид
f xi = 0,
\Х2=0.
Ее решение х\ = С\ и х2 = С2- Вся плоскость состоит из точек покоя.
б) Имеется базис, образующий серию: Ah\ — 0, Ahi = h\. Из
формулы X = c\hiext+C2{th\+h2)ext для кратного корня А получаем
при А = 0:
X — cihi + C2(thi + /i2) = (ci + c2t)hi + c2/i2-
Точки движутся равномерно по прямым & = С2> и чем ближе к
оси Of 1, тем медленнее. Ось Of 1 состоит из точек покоя. На рис. 13
изображены фазовые портреты, получившиеся после обратного
преобразования плоскости Е* в Е.

138
Глава X. Точки покоя на фазовой плоскости
§ 4. Фазовая плоскость нелинейной системы.
Особые точки
1. Нелинейные системы
Результаты, полученные для линейной системы, оказываются в
ряде случаев полезными при исследовании нелинейной системы
ух2 - M2(xi,x2).
Предположим, что функции Mi(xi,x2) и M2(xi,x2)
удовлетворяют следующим условиям:
а) Mi @,0) = М2@,0) = 0, т. е. начало координат является точкой
покоя;
б) с помощью формулы Тейлора можно представить функции
Mi(xi,x2) и М2(хьХ2) в некоторой окрестности точки @,0) в виде
Afi(x1}x2) =aiiXi+ai2x2 + ??i(sbS2) иМ2(хьх2) = a2iXi + a22x2 +
+Y>2(si,x2).
Здесь y>i(xi,X2) и <Р2(х\,Х2) — остаточные члены формулы
Тейлора, щ @,0) = <р2 @,0) = 0.
Перепишем систему A):
Г xi = anxi + ai2x2 + y?i(xi,x2), ,.
I X2 = A2lXi + C22^2 + ДО(&11^2)-
Систему
xi = anxi -l-ai2^2, . v
X2 = 021^1 + ^22^2
называют укороченной по отношению к системе A') (или системой
первого приближения, или линеаризацией системы A)). Функции
<Pi(xi>X2),<P2(xi,X2) называются добавками.
Справедливо следующее утверждение (без доказательства): если
корни характеристического уравнения укороченной системы
различны и их действительные части отличны от нуля (т. е. имеет место
невырожденный случай), то траектории систем A') и B) по
поведению качественно не отличаются друг от друга. Таким образом, если
укороченная система B) имеет узел, седло или фокус, то же самое

§ 4. Фазовая плоскость нелинейной системы. Особые точки 139
будет и у полной системы (]/). Для вырожденных случаев
укороченная система подобной информации не доставляет. Так, например,
фазовый портрет « центр» укороченной системы может
соответствовать или фокусу или центру в системе с добавками.
2. Особые точки
Рассмотрим уравнение
J =/(*,»)• C)
Точка М(х,у) называется обыкновенной точкой уравнения C),
если в некоторой ее окрестности для уравнения C) или *
перевернутого» уравнения
dx _ 1
dy " f(x,y)
выполняются условия теоремы существования и единственности.
Остальные точки плоскости называются особыми.
Если через особую точку не проходит ни одна интегральная
кривая или их проходит несколько, то точку называют существенно
особой.
Особая точка называется изолированной, если в некоторой ее
окрестности других особых точек нет. Примером неизолированной
существенно особой точки может служить точка особого решения.
Удобнее придать уравнению C) вид
dxi _ Mi(xux2) ,
dx2 M2(xi,x2)'
Точка (х^х®), в которой Mi и М2 обращаются в нуль,
является особой. Параллельным переносом системы координат можно
сместить начало координат в эту точку. Будем считать, что Mi @,0) =
= М2@,0) = 0. Перейдем к системе
—! =Mi(xbx2),
dx2 E)
--^ = М2(хих2).

140
Глава X. Точки покоя на фазовой плоскости
Бели выполняется условие б, указанное выше в п. 1, то можно
перейти к укороченной системе B), которая соответствует
укороченному уравнению
dXi _ ацХх + Qi2^2 /gs
dX2 0>2lxl + ^22^2
Для уравнения F) получатся те же кривые, что и для системы
B) в п. 1, только движения по траекториям не будет. Сохраняются
те же названия (без упоминания об устойчивости). Случай det A = 0
не интересен, так как уравнение F) примет вид
dxx
-.— = const,
0X2
а такое уравнение не имеет особых точек.

Глава XI
Устойчивость. Метод функций
Ляпунова. Управляемые системы
В дальнейшем задача теории устойчивости будет
конкретизирована, формализована, а сейчас, не вдаваясь в детали, опишем кратко
суть задачи. Предположим, что параметры, характеризующие
некоторый процесс, должны подчиняться заданным ограничениям. На
эти параметры влияют какие-то факторы. Бели ограничения не
нарушаются, когда упомянутые факторы находятся в определенных
пределах, говорят об устойчивости процесса. Бели параметры
выходят за установленные ограничения даже при исчезающе малом
влиянии факторов, говорят о неустойчивости процесса.
В приложениях возникает вопрос об устойчивости всевозможных
процессов в технике, физике, химии, биологии и т. п. Для
различных по природе процессов математическая модель может быть одной
и той же. Удобна, наглядна, понятна механическая интерпретация,
поэтому употребляют название «Теория устойчивости движения».
Основы этой теории были разработаны А. М. Ляпуновым*) и
изложены в его докторской диссертации «Общая задача об
устойчивости движения» A892), поэтому используют также название «Теория
устойчивости по Ляпунову».
Востребованной для нужд практики теория оказалась в 30-х
годах прошлого века. С тех пор она активно развивается.
Существенный вклад в ее развитие вносят ученые нашей страны, в частности
математики Екатеринбургской (Свердловской) научной школы.
Повышенный интерес, проявленный математиками к проблемам
устойчивости, вызван тем, что начиная с 1930-х годов, наметился
*) Александр Михайлович Ляпунов A857-1918) — выдающийся русский
математик и механик.

142 Глава XI Устойчивость. Метод функций Ляпунова
прогресс в создании и применении аппаратов автоматического
регулирования и управления работой всевозможных машин. Для их
конструирования стала применяться электроника, позволившая
изготавливать более совершенные, более сложные устройства,
призванные обеспечивать устойчивость процесса.
По теории устойчивости движения имеется обширная
литература в виде монографий, статей в научных журналах, учебников.
Рассматриваются различные аспекты и постановки задач. Мы изучим
только устойчивость по отношению к так называемым «начальным
возмущениям».
Представим себе реальное техническое устройство, которое
должно обеспечивать стабильность, устойчивость некоторого процесса. В
момент запуска устройства, т. е. в начальный момент времени to,
следует установить значения каких-то технических параметров
(начальные значения). На практике погрешность при установке начальных
значений неизбежна, что вызовет отклонения параметров
реального процесса от их расчетных значений. Эти отклонения называют
«возмущениями». Употребляют термины: «возмущенное движение»
и «невозмущенное (т. е. расчетное) движение».
§ 1. Дифференциальные уравнения
возмущенного движения.
Определение основных понятий
Для удобства простым приемом сводят задачу устойчивости
движения к задаче устойчивости равновесия. Предположим, что
интересующее нас движение описывается частным решением г/* = ^(*)
(г = 1,п) системы дифференциальных уравнений
d\]' ———
-? =0*(*,Уь2/2,...,2/п), (г = 1,п). A)
Это решение и является невозмущенным. Любое другое решение у^ =
= yi(t) называют возмущенным. Функции xi(t) = yi(t) — il>i(t) (i =
= l,n) называют возмущениями. Они удовлетворяют системе
dxi _ dyi difti _
~dt ~ ~dt " ~df "
= 9i{t,xi+ fa,x2 + ^2,..., xn + фп) - gi{t,фг,ф2, •. •,фп)-

§ 1. Дифференциальные уравнения возмущенного движения 143
Мы воспользовались тем, что и функции у,(?) и функции $i(t)
удовлетворяют системе A). Для правых частей введем обозначение
fi(t,xi,x2,...,хп). В системе
(j[Xi
--? =Л(*,Х1,ж2,...,яп), (» = 1,п) B)
правые части удовлетворяют условию
Л(*,0,0,...,0) = 0,
следовательно, начало координат является точкой покоя, точкой
равновесия системы B). Невозмущенному движению системы A)
соответствует в фазовом пространстве точка равновесия @,0,..., 0)
системы B). Функции Xi(t) называют возмущениями, числа х»(*о) =
= х? — начальными возмущениями, а систему B) —
дифференциальными уравнениями возмущенного движения. Мы ограничимся
изучением устойчивости автономной системы, которую запишем в
векторной форме
X = F(X). C)
Определение (устойчивость по Ляпунову). Тривиальное
решение X = 0 системы C) называется устойчивым по Ляпунову,
если выполняются два условия:
1. Существует такое число а > 0, что для любой точки ?,
удовлетворяющей условию |?| < о, решение X = (p(t, f) системы
C) определено для всех t^O (неограниченно продолжаемо
вперед).
2. Для любого е > 0 можно указать такое положительное
число 6 ^ о, 6 ^ е, что для всякой точки ? из условия |?| < 8
вытекает неравенство \y>{t,?)\ < е, каково бы ни было t ^ 0.
Определение (асимптотическая устойчивость). Тривиальное
решение X = 0 системы C) называется асимптотически
устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и выполняется условие:
3. Существует такое число р^<т, что для любой точки f,
удовлетворяющей условию |?| < р, имеет место lim </?(*> О = 0.

144
Глава XI. Устойчивость. Метод функций Ляпунова
В доказательствах используются функции Ляпунова и их полные
производные по времени в силу системы.
О предел ение (функций Ляпунова V(xi,Z2,...,xn)). Общим
для различных видов этих функций является непрерывность самих
функций V(xi,X2,... ,а:п) и их частных производных Jjj? (iI = l,n)
в некоторой области D, содержащей начало координат.
A. Функция V(xbX2,. .,хп) = V(X) называется знакоопреде-
ленной, если она обращается в нуль только в начале координат,
а в остальных точках области D сохраняет знак. Если V ^ О,
функцию называют определенно положительной, если V ^ 0, —
определенно отрицательной.
Б. Функцию V(x) называют знакопостоянной, если она
обращается в нуль не только в начале координат, а в остальных точках
области D сохраняет знак. Если V ^ 0, ее называют постоянно
положительной, если V ^ 0, — постоянно отрицательной.
B. Функцию V(x) называют знакопеременной, если в любой
окрестности начала координат она принимает как
положительные, так и отрицательные значения.
Примеры функций Ляпунова на плоскости:
A. V(xux2) = х\ + х\; Б. V{xux2) = (m - х2J; В. V(xux2) =
= х\ — х\. Заметим, что функция V(xi,X2i Х3) = х\ + х\ определенно
положительной не является.
Предположим,что в области Г переменных xi,X2,...,xn
правые части системы C) удовлетворяют условиям теоремы Коши
о существовании и единственности решения и задана функция
G(xbX2,...,xn), непрерывная вместе с частными производными в
этой области. Пусть X — произвольная точка области Г, а <рA) =
~ {^iW>V'aWi • • • »^n(*)} ~ решение системы C), траектория
которого проходит через точку X: ip(to) = X.
Определение. Функция
GC)(X)= ^G [?,(«),?*(*),..., ?„(«)]
D)
t-to
называтся полной производной по времени в силу системы C).

§ 1. Дифференциальные уравнения возмущенного движения 145
Сделаем преобразование
dxt dt
t=to
^?^^fiЫt),ыt)^ыt))
i=i dx*
t=t0
Получаем следующую формулу полной производной по времени
в силу системы C):
t=i ax%
Сформулируем важное свойство, на которое опирается метод
функций Ляпунова.
Лемма. Пусть дана знакоопределенная функция V с областью
определения D. Не умаляя общности, будем считать V ^ 0. Ее
поверхности уровня V(xi,Z2> • • • ,хп) = V(X) = с замкнуты в
следующем смысле. Для любой сферы S С D с центром в начале координат
существует такое число К, что при любом с < ft всякая
непрерывная кривая, соединяющая начало координат с произвольной точкой
сферы, пересекает поверхность уровня V(xi,x2j... ,хп) = с.
Доказательство. Пусть сфера S С D произвольна и
min V(X) = ft.
xcs
Очевидно, ft > 0. Возьмем любое с < ft и докажем замкнутость
поверхности уровня V(X) = с. Пусть X = i/>(s), 0 ^ s ^ а —
произвольная непрерывная кривая, ф@) — 0, ф(а) 6 5. Функция v(s) = V[t/>(s)]
непрерывна, и@) = 0, v(a) ^ ft. По тгореме Больцано - Коши v(s)
принимает любое промежуточное значение между 0 и ft, в
частности, существует такое число s @ < s < ft), что v(s) = с. Пересечением
поверхности V(x) — с и непрерывной кривой X = ip(s) будет точка

146 Глава XL Устойчивость, Метод функций Ляпунов*
§ 2. Теоремы Ляпунова об устойчивости
и асимптотической устойчивости
Далее будем предполагать, что для каждой системы X = F(X),
рассматриваемой ниже, в некоторой области Г выполнены условия
существования и единственности решения задачи Коши, а также
условия, при которых решения этой задачи определены на всем
промежутке [0,+оо) (см., например, Добавление 1). Следующие ниже
теоремы Ляпунова об устойчивости, асимптотической устойчивости,
неустойчивости выражают достаточные условия, при которых
выполняются соответствующие свойства. Они относятся к так
называемому второму методу, использующему для исследования
устойчивости функции Ляпунова.
Теорема 1. Если существует функция Ляпунова V(X), зна-
коопределенная в области D С Г, полная производная которой по
времени в силу системы X = F(X) есть функция
знакопостоянная знака противоположного V(x) или тождественный нуль, то
тривиальное решение этой системы устойчиво.
Доказательство. Для определенности положим V ^ 0, а
V ^ 0. Возьмем е > 0 настолько малым, чтобы замкнутый шар Зс =
= {X | \Х\ ^ е} принадлежал области D. Его поверхность обозначим
5е. Положим
I = min V{X).
X€St
Очевидно, / > 0. Подберем столь малое число 6 > 0 F < е), чтобы
при \Х\ < S выполнялось V(X) < I (V(X) — функция непрерывная
и V@) = 0).
Пусть X = <p(tf ?) — произвольное решение системы X = F(X) с
условием |?| < S. Пока <р(?, ?) С D функция V [<p{t, f)] не возрастает,
так как ее производная V < 0. Следовательно,
V[p(t,Q]ZV(Q<L A)
Из этого вытекает, что |у>(*,01 < е Для всех * > 0- Действительно,
допустим, что это не так и при некотором t = Т > 0 точка <p(t,?)
попадает первый раз на сферу 5е, т. е. окажется, что |у>(Т,?)| = ?•
Но тогда будет V [<р(Т} Q] ^ /. С другой стороны, в промежутке 0 ^
^ t $С Т точка (p(t, ?) находится внутри замкнутого шара Je С D и,

§ 2. Теоремы Ляпунова об устойчивости
147
следовательно, в силу A) выполняется неравенство V(y(T,f)] < '•
Наше допущение привело к противоречию. ?
Геометрическая интерпретация
доказательства позволяет в этом
простом случае уяснить идею
второго метода Ляпунова. Рассмотрим
ситуацию на плоскости. Для
достаточно малых с < I поверхности
(линии) уровня с уменьшением с
вложены друг в друга и при с —У 0
стягиваются в точку (начало
координат).
Рис. 14 показывает, что точка ?,
для которой |?| < <5, не может
достичь границы S? шара Je, так как
для этого нужно было бы пересечь
поверхность уровня V(X) = с изнутри наружу, что означало бы
переход на поверхности уровня V(X) — с с возрастающими числами с,
т. е. возрастание функции V [<?>(?,?)]> вопреки условию V ^ 0.
Теорема 2. Если для системы
Рис. 14
X = F(X)
существует знакоопределенная функция Ляпунова V(X), полная
производная которой по времени в силу этой системы есть
функция знакоопределенная знака противоположного V(X), то
тривиальное решение системы асимптотически устойчиво.
Доказательство. Устойчивость решения X = 0
вытекает из предыдущей теоремы, так как требование, чтобы производная
V(X) была знакоопределенной, сильнее, чем требование, чтобы она
была знакопостоянной. Поэтому достаточно доказать существование
такого числа г > 0, что для любой точки ?, для которой |?| < г, имеет
место
lim И*,0|=0.
t—юо
Проведем рассуждения, следуя доказательству Е. А. Барбашина
(см. [10]).
Пусть замкнутый шар Jц радиуса R принадлежит области D. Из
устойчивости тривиального решения X = 0 следует, что существует

148 Глава XI. Устойчивость. Метод функций Ляпунова
такое число г > 0 (г < R), что при |?| < г неравенство |fp(t,()i <
< R выполняется для всех t ^ О (R играет роль ?, г — роль S из
определения устойчивости). Покажем, что при |?| < г (здесь г играет
роль р из определения асимптотической устойчивости)
lim fo>(t,OI=0,
t—юо
т. е. для любого е > 0 существует Г > 0 и при ? > Т |<p(t,?)l < е.
Используя вновь устойчивость решения X = О, подберем по е
такое число E (<$ < i?), чтобы из неравенства |т;| < S вытекало
\(p(ty п)\ < е для всех t > 0. Докажем, что существует момент времени
t = Т, в который траектория, выпущенная из точки ?, |f | < г,
попадает в открытый шар J&. Предположим, что это не так и для всех
t > 0 эта траектория будет находиться в замкнутом множестве —
шаровом слое Jr\J& = К. На этом множестве функция V(X)
ограничена сверху отрицательным числом: тахУ(Х) = —т < 0. По
формуле Ньютона-Лейбница
t
V Mt, 0] = V@ + j V [<p(t, 0} dr ^ V@ - mt.
0
При достаточно большом t правая, а тем более и левая часть станут
отрицательными, что противоречит определенной положительности
функции V(X).
Итак, существует такое число Т, что |y?(T,f)| < J, если |?| < г.
Обозначим г) = <р(Т,?). Если \п\ < 6, то |у?(*>*7I < ? при всех t ^ 0.
Но <p(t,n) = (p(t + Г,О. Таким образом, \(p(t + Т,?)| < е при * > 0
или |<р(*,?I < ? ПРИ * > ^\ что и требовалось доказать. D
Эта теорема также допускает понятную геометрическую
интерпретацию с учетом того, что функция V [</?(?, f)] строго убывает и
траектория пересекает поверхности уровня снаружи во внутрь.
Приведем без доказательства теорему Ляпунова о
неустойчивости (см. [10, с. 26J).
Теорема. Если для системы
X = F(X) B)
можно указать такую функцию V(X)y что ее полная производная
по времени V^)(X) является знакоопределенной, а сама функция V

§ 3. Устойчивость линейных систем
149
в любой окрестности точки О не является знакопостоянной знака
противоположного с V(X), то тривиальное решение системы B)
неустойчиво.
§ 3. Устойчивость линейных систем
с постоянными коэффициентами
Рассмотрим систему
X = АХ, A)
где А — действительная постоянная матрица п х п.
Л е м м а 1. Пусть Х\, Аг,..., Ат (т ^ п) все попарно различные
корни характеристического уравнения для системы A). Если для
всех s = l,m Re А, < 0, то всякое решение X = X(t) системы A)
стремится к нулю при t -> оо.
Доказательство. Нам известно, что координаты
всякого решения X(t) = {xi(i)^X2(t),...,xn(t)} системы A) имеют вид
квазимногочлена:
Xi(t) = /<i(*)eAl* + fi2(t)e^ + ... + Дт(«)вА-'.
Поэтому справедлива оценка
taWKEl/fcWIe"**'*.
»=1
Так как Re А, < 0, каждое слагаемое данной суммы стремится к
нулю при t -» оо (многочлен /»*(?) стремится к оо медленнее, чем
экспонента eReA*t стремится к нулю). Но
_ \
\X(t)\
¦Ё*0)'-
поэтому \X(t)\ стремится к нулю при t -> оо. D
Л е м м а 2. Пусть для системы A) Re As < —a (s = l,m,a > 0).
7Ьг<?а существует такое число М > 0, что <?лл любой точки ?
Mt,i)\$M\t\e-at, *S?0 B)

150 Глава XL Устойчивость. Метод функций Ляпунова
u M не зависит от ?.
Доказательство. Перейдем от переменной X(t) к
переменной Y(t) с помощью формулы X — e~atY. Делаем замену в
системе A)
Ye-Qt - ae~atY = Ae'atY.
После сокращения на e~at получаем Y = AY + aY, т. е.
Y = {А + а?)У, C)
где Е — единичная матрица.
Через iis обозначим корни характеристического уравнения для
системы C). Очевидно, /л3 = Х8 + а и Re/x, = Re As + а < 0.
Следовательно, по лемме 1
lim \Y{t)\ = 0
t-юо "
для любого решения Y(t) системы C).
Пусть {Yj}, j = l,n — фундаментальная система решений для
системы C) и соответствующая фундаментальная матрица
нормальна (т. е. jfcj@) — Sj). Из условия |Vj(?)| ~* 0 вытекает
ограниченность этой функции, и для каждого j = l,n существует такое число
Mj > 0, что при t^ 0 |У}(*)| ^ Mj- Если Y(J) — произвольное
решение системы C),
(? можно считать произвольной точкой пространства), то
Y(t) = 6П (t) + &Y2(t) + ...+ tnYn(t);
\?(t)\ < E i6i ir» wi * ki E M- = M№-
Мы воспользовались тем, что в прямоугольной системе координат
|&| ^ |?| (модуль проекции не превосходит длины вектора).
Вернемся к старой переменной: X(t) = e"atF(*), \X(t)\ ^ e~at \Y(t)\ ^
^ М|^|е"ае. Ho f = F@) = X@). Поэтому X(t) = y>(t,0, и
окончательно получаем |</?(^f)l ^ M\?\e~at. D
Справедливо следующее утверждение.
Теорема Для того, чтобы тривиальное решение системы A)
было асимптотически устойчиво, необходимо и достаточно,
чтобы действительные части всех корней характеристического
уравнения были отрицательными.

§ 4. Знакоопределенные квадратичные формы
151
Доказательство. Достаточность вытекает из
формулы B). Докажем необходимость. Предположим, что имеется корень
А* характеристического уравнения и Re A* ^ 0. Рассмотрим частное
решение X(t) = с*Л*еЛ**, где Л* — собственный вектор,
соответствующий собственному значению А*. Это решение получится, когда все
множители С{ в формуле общего решения, кроме с*, равны нулю.
Очевидно, что при Re А* = 0 \X(t)\ = |с*| • |Л*| и X(i) при t -> оо
не стремится к нулю при как угодно малом |с*|. Бели же Re А* > 0,
то \X(t)\ —> оо при t —> оо. Значит, при Re A* ^ 0 асимптотической
устойчивости быть не может. D
Верна и следующая теорема.
Теорема. Решение X = 0 системы A) устойчиво тогда и
только тогда, когда все корни характеристического уравнения
имеют неположительные действительные части: Re А, ^ 0, s = l,m,
причем для корней А, у которых Re A = О, число линейно
независимых собственных векторов равно кратности корня (вытекает из
структуры общего решения).
§ 4. Знакоопределенные квадратичные формы
Рассмотрим положительно определенную квадратичную форму
п
W(X) = ]Г wikXiXk (wik = wki).
Теорема1. Для любой положительно определенной
квадратичной формы W(X) существуют такие числа р > 0 и v > 0, что
неравенства
у\Х\2 ^ W(X) ^ и\Х\2 A)
выполняются для произвольного вектора X € Rn.
Доказательство. Обозначим
и. = min W(?)y и = maxW(?).
Kl=i i*l=i
Произвольный вектор X можно представить в виде X = af, где
|?| = 1, а a = \Х\. Неравенства /i ^ W(?) ^ i/, справедливые при
|?| = 1, умножим на а2 = |А"|2. С учетом соотношения a2W(?) =
= W(a?) = W(X) получим неравенства A). D

152
Глава XI. Устойчивость. Метод функций Ляпунова
Следствие. Имеют место неравенства
\Х\2 > \w(X), B)
Ы < )J-w(x) C)
(здесь X = {xi,x2,...,a:n} и использовано неравенство |ж*| ^ \Х\
между модулями вектора и его проекций).
Т е о р е м а 2. Если все корни характеристического уравнения
для системы
Х = АХ D)
имеют отрицательные действительные части, то существуют
число Р > 0 и определенно положительная квадратичная форма
W(X), производная которой W^){X) в силу системы D)
удовлетворяет неравенству
Щ)(Х) ^ -pw(x),
где X € Шп — произвольный вектор.
Доказательство. Пусть {Ф*(?)}, i = l,n — нормальная
фундаментальная система решений уравнения D),
*<(*) = М*),Ы0> ¦¦¦,?>».<(*)}, ?>«(<>) = it-
Для произвольного вектора f = {fi, ?г> • • • > fn} € ^п можно записать
п
Очевидно,
Положим
W@ = j \ч>Ы)\2*г E)
о

§ 5. Устойчивость по первому приближению
153
или
+оо
mt) = ? б& / (•*w,»*(r)) *. (б)
Несобственные интегралы в формулах E) и F) сходятся в силу
неравенства B) из §3. Вместе с тем F) показывает, что W(?) является
квадратичной формой, а E) — что W(f) ^ 0 и W(?) = 0 только при
? = 0, т. е. эта форма определенно положительная.
Вычислим производную WD)@- По определению
df
ИГD)(б=^М«-{)]|
lt=0
+<Х> +00
W[p(t,®\ = J \<р(тМШ\2 *r= f M< + r,0|2 dr.
о о
Сделаем замену переменной, положив 0 = t + т. Имеем
t
ВЫЧИСЛИМ ПРОИЗВОДНУЮ WD)@ = ftW [^^Ш^О =
+оо I
= |/|*М)|'*
t I
Используя неравенство B), получим И^4)(?) ^ -?W^(f) (т. е. /? = ?).
?
§ 5. Устойчивость по первому приближению
Перейдем к рассмотрению нелинейной системы
X=F(X) или Xi = fi(xi,x2,.-.,xn) (t=I7n). A)
Будем считать Л@,0,... ,0) = 0, т. е. начало координат является
точкой покоя или равновесия. Предположим также, что в некоторой
\t=0
i=0

154
Глава XI Устойчивость. Метод функций Ляпунова
окрестности Г начала координат функции fi{x\, Х2,..., хп) дважды
непрерывно дифференцируемы. Тогда можно с помощью формулы
Тейлора провести линеаризацию системы A) подобно тому, как это
делалось в §4 главы X.
Д(*1,ха,..мхп) = Л@Д...,0) + Е Ao>0,...,0)*»+
1 Л ?Й f
+ 2 Е вхЖ^1'**2""''**"^**1 @<в<1)-
Обозначим ??@,0,... ,0) = aik;
Система A) запишется в виде
п
Xi = ^2а*ХЬ+Ъ' B)
Линеаризацией системы B), или системой первого приближения,
называется система
п
Xi^^CLikXk. C)
Теорема. Если все корни характеристического уравнения
для системы C), являющейся линеаризацией системы B), имеют
отрицательные действительные части, то тривиальное решение
системы B) асимптотически устойчиво.
Доказательство. По теореме 2 из §4 для укороченной
системы C) существует определенно положительная квадратичная форма
W(X), для которой выполняется неравенство W^)(X) ^ —f)W(X).
Вычислим ее производную в силу системы B).
i=i °Xt *=i i=iaXi i=i °Xx

§ 5. Устойчивость по первому приближению
155
Отсюда
3W
*т<-/^ + ?^Я«-
х-\
дх{
D)
Дальнейшие действия будут направлены на то, чтобы найти
окрестность начала координат, определяемую неравенством W(X) ^ с, в
которой справедливо неравенство
для любого X из указанной окрестности.
Функция W(X) непрерывная, W@) = О, поэтому существует
такое число b > О, что замкнутый эллипсоид W(X) ^ b принадлежит
области Г. Частные производные э ^ ' непрерывны в Г,
следовательно, в эллипсоиде W(X) ^ b они ограничены: Q*dx ^ ^ь
М\ > 0. С помощью оценки \х{\ ^ \Х\ получаем (с учетом того, что
при 0 ^ О ^ 1 точка ОХ принадлежит эллипсоиду)
т =
1 п
&M0X)
2fcJ^l дхкдХ1
хкц
< м2 ? lx*IN < мя-ЩХ)
к,1=1
(см. формулу C) из §4). Поэтому
|Д*| ^ M4W(X).
E)
Значения положительных постоянных Мг,Мз,М4 нас не
интересуют, важно, что такие числа есть, например Мг = \п2М\.
Приступим к оценке величины ^ • ^ет необходимости
подсчитывать число слагаемых в этой линейной форме. Коэффициенты
ненулевых членов обозначим 6*. Это все слагаемые, не содержащие
а:», и одно слагаемое с Х{.
3W
дх{
Здесь
к к
B = max\bk\,
F)

156
Глава XL Устойчивость. Метод функций Ляпунова
и использовано неравенство C) из §4.
Перейдем к оценке второго слагаемого правой части неравенства
D), используя неравенства E) и F)
\Ri\ < ^MbJW{X)MAW{X).
В итоге получаем
^NW*{X).
За N можно принять пМ^Ма- Тем более
Теперь мы, возможно, еще уменьшим окрестность начала
координат, включив в нее только те точки X, для которых W(X) ^ с,
где с ^ b выбрано так, чтобы Ny/c ^ |.
В новой окрестности
? f^ Ri ^ Ny/W(X)W(X) ^ NyTcW{X) ^ %W{X).
Используя эту оценку в неравенстве C), получим
WW(X) $ -0W{X) + ?w(X) = -%W(X).
Следовательно, функция W(X) удовлетворяет условиям теоремы об
асимптотической устойчивости тривиального решения X = 0. D
В этой теореме рассмотрен случай, когда достаточное условие
устойчивости опирается на информацию, доставляемую
укороченной системой, т. е. членами первого порядка. Случаи, когда решение
задачи устойчивости требует привлечения членов более высокого
порядка, называются критическими. К ним относятся, например,
системы, у которых характеристическое уравнение для укороченной
системы имеет нулевые или чисто мнимые корни. Критические
случаи в общем курсе дифференциальных уравнений не изучаются.
TT9WIL
^Е
dW
dXi
Etn*

§ 6. Управляемые системы
157
§ 6. Управляемые системы
1. Управляемость. Рассмотрим автономную систему
дифференциальных уравнений
X = F(X,u), A)
где X G Rn, a u = u(t) — m-мерная вектор-функция, называемая
управлением, значения которой принадлежат области управления
U в т-мерном пространстве. Предположим, что система A)
описывает движение какого-либо объекта в фазовом пространстве Rn
и требуется переместить объект из точки Xq в точку Х\ с
помощью управления u(t). При этом иногда на u(t) налагаются
определенные ограничения. Такова задача управляемости. Она возникает
как часть задачи оптимального управления, в которой находят
наилучшее в некотором смысле решение задачи управляемости. С этой
целью вводят критерий качества, например продолжительность
процесса, затрата ресурсов управления и т. п. Оптимальность состоит
в минимизации величины, задающей критерий качества. В
частности, управление, сопровождающее переход из Xq в Х\ за наименьшее
время, называют оптимальным по быстродействию.
Обычно роль управлений играют кусочно-непрерывные или
измеримые функции u(t). Ограничения могут иметь вид ||u|| ^ M, где
||и|| — норма в соответствующем пространстве. Критерием качества
может служить функционал
J(u) = Jg[X(t)Mt)]dt.
to
Неотрицательная функция д выбирается так, чтобы критерий
качества отражал изменение оптимизируемого параметра. Оптимальным
называют управление uo(t), для которого выполняется неравенство
J(u0) < JM,
где и — любое другое управление.
Для иллюстрации часто приводят такой простой пример:
тележка массы га движется без трения по горизонтальной прямой Ох под

158 Глава XI. Устойчивость. Метод функций Ляпунова
воздействием управления u(t). Дифференциальное уравнение
движения тпх = ti(?), начальные условия x(to) = ж0; x(to) = х0.
Требуется найти управление в классе кусочно-непрерывных функций,
переводящее тележку из начального положения в заданное x(t\) = х\,
x{t\) = 0 (*i > t0) за наименьшее время при ограничении \u(t)\ ^ 1.
Решением задачи является управление txo(*)> принимающее
значения +1 и —1 с одной точкой переключения.
Постановка задачи об оптимальном управлении возможна
только для управляемых систем, т. е. систем, для которых существует
управление, переводящее объект из точки Xq в точку Х\.
Рассмотрим систему
X = АХ + fox, B)
в которой А — постоянная матрица nxn,b — постоянный п-мерный
вектор, u(t) — скалярное управление.
Определение. Система B) называется вполне управ-
ляемой, если для любых точек Хо, Х± и любых моментов времени
*о, *i (h > to) существует измеримое управление u(t) на отрезке
[to,ti], переводящее начальную точку X(t0) — Xq в конечную точку
X(t\) = X\. Ограничения на значения чисел u(t) при to ^t ^t\ не
накладываются.
Критерий полной управляемости системы B) (теорема Калма-
на) гласит: система B) полностью управляема тогда и только тогда,
когда ранг матрицы [Ь,АЪ, А2В,..., Ап~~1Ь] равен п.
Управление u(t) в уравнении A) называется программным. Оно
заранее рассчитано и вставлено в уравнение. Рассматриваются,
однако, задачи, в которых управление вырабатывается в процессе
движения в зависимости от положения движущейся точки в фазовом
пространстве, т.е. u(t) = v(X(t)). Такое управление формируется с
помощью обратной связи — сигнала о местонахождении объекта в
данный момент. Нахождение функции v(X) называют синтезом в
задачах управления. Обычно исследуется задача перемещения
точки Л" в начало координат.
С учетом критерия качества ищется такая функция V = V(X),
определенная в фазовом пространстве со значениями в области
управления ?/, что система
X = f(X,V(X))
C)

§ 6. Управляемые системы
159
определяет оптимальные траектории, ведущие в начало координат.
Эта функция называется синтезирующей. Решение системы C) с
начальным условием X(t0) = Xq заведомо является оптимальным,
переводящим точку Хо в начало координат. Случайные, не
поддающиеся учету факторы могут нарушить оптимальность решения системы
A) с программным управлением. Система C) является
самонастраивающейся на оптимальность, и ее решения лишены указанного
недостатка. Для решения задач оптимального управления разработаны
методы: принцип максимума Понтрягина, динамическое
программирование и др.
2. Наблюдаемость. Представим себе движущийся объект и
устройство, обеспечивающее оптимальность его движения.
Устройство вырабатывает значение V(X), поэтому оно должно обладать
информацией о положении движущегося объекта в каждый момент
времени, т. е. значением X = X(t). Путем наблюдения, измерения
с помощью каких-то приборов поступают сведения в виде
переменной Y = Y(x\,X2,.-- ,Xn) о нахождении объекта в данный момент
времени. По разным причинам может оказаться невозможным
определить по сведениям о величине Y в данный момент все координаты
xi, жг, •. • 1 хп. Некоторые из них могут не иметь физического смысла
или быть не наблюдаемыми. В связи с этим возникает задача о так
называемой наблюдаемости. Для ее решения используются значения
Y(t) и u(t) не только в данный момент времени, но и на некотором
промежутке.
Пусть дана система
X = f(t,X,u). D)
Предположим, что непосредственно измерять можно лишь
некоторые из координат вектора X, а о других координатах поступает
только косвенная информация. В итоге становятся известными какие-то
функции
yk=Vk[xi(t),X2(t)9...,zn(t)]1 fc=l7m, m < n, E)
или, в векторной форме Y(t) — Y [t, X(t)]. Функция Y[t, X] считается
известной.
Так как m < п, то выразить величины x\(t),X2{t),
...,жп(?) из системы E) по полученным в результате наблюдения

160
Глава XL Устойчивость. Метод функций Ляпунова
величинам у\ (?), уг@> - • • > Vm{t) (их значениям в момент t)
невозможно. Поэтому учитывают не только одномоментные значения
функций yk(t), но и их значения на промежутке [t - 0,t], в —
постоянное число. Задача наблюдения сводится к нахождению такого
оператора Ф [t, У(г)], который на основании знания Y(t) на промежутке
t — в ^ г ^ t выдавал бы значения всех величин Xi(t), % = 1,п в
данный момент t:
<^[*,Г(*)] ==*,(*).
3. Стабилизация. Рассмотрим уравнения возмущенного
движения D). Для системы D) ставится задача обеспечения устойчивости
или асимптотической устойчивости тривиального решения X = 0,
так сказать, в «принудительном порядке», т. е. с использованием
управляющих воздействий u*(t, Х\, #2,..., хп), к = 1, га. Эту задачу
называют задачей стабилизации. Невозмущенное движение X = 0
соответствует управлению u* = u^t, xi,X2,... ,хп), к = 1,га.
Рассматривается также задача оптимальной стабилизации, в которой
требуется осуществить стабилизацию с наилучшим результатом в
смысле заданного критерия качества. Критерий обычно имеет вид
интеграла
оо
J = Jg[tiX(t)M*,X)]<U,
to
где д -~ неотрицательная функция. Управление u(t) должно быть
выбрано так, чтобы величина интеграла была минимальной.
Подробно теория оптимального управления, наблюдаемости,
стабилизации излагается в специальных курсах и специальной
литературе (см. [11]).

Глава XII
Зависимость решений от
параметров и начальных значений
§ 1. Непродолжаемые решения
Пусть дана система уравнений
f = /«,*), а)
и X = <p(t) — некоторое ее решение, определенное в промежутке
ri < t < Г2- Как мы знаем, решение X = ip(t) той же системы A),
определенное в промежутке Si < t < $2» называется продолжением
решения X = <p(t), если интервал («ь^г) содержит интервал (гх,Г2)
и на интервале (гх,Г2) решения ip(t) и ip(t) совпадают (в частности,
si=ru s2 = г2).
Решение X — <p{t) называется непродолжаемым, если не
существует никакого отличного от него решения, являющегося его
продолжением.
Будем считать, что правые части /*(?, X) системы A) определены
и непрерывны вместе со своими частными производными **?*' ' в
некоторой области Г.
Оказывается, каждое решение может быть продолжено до
решения, далее непродолжаемого.
Докажем справедливость следующих трех утверждений, трех
свойств непродолжаемого решения.
1. Какова бы ни была тонка (to,Xo) € Г, существует непродол-
жаемое решение X — ф{Ь) системы A), удовлетворяющее
начальному условию ip(to) — Хо,
6 Ф. А. Шолохович

162
Глава XII. Зависимость решений от параметров
2. Если некоторое непродолжаемое решение системы A)
совпадает с некоторым другим решением этой системы хотя бы при
одном значении t, то первое решение является продолжением
второго.
3. Если два непродолжаемых решения совпадают хотя бы для
одного значения t, то они совпадают полностью.
Доказательство. Займемся вначале пунктом 1.
A. Построение решения X = fi(t).
Пусть точка (to^Xo) G Г произвольна. Рассмотрим все решения
с начальными значениями (to,Xo). Каждому из них соответствует
свой интервал определения. Обозначим через R\y множество всех
левых концов этих интервалов, а через Лг — множество их правых
концов. Точную нижнюю границу первого множества назовем mi, a
точную верхнюю границу второго — шг (возможно mi = — со и/или
ТП2 = +00).
Построим решение X = <p(t) с начальным условием ф(Ьо) = Хо,
определенное в интервале (тьгпг). Допустим, что t = t —
произвольная точка из (mi,m2). Для определенности будем считать, что
i > to (т.е. будем строить ф(€) справа от to)- Поскольку тп2 — точная
верхняя граница, найдется такое решение X = ф(Ь) (rj)(to) = Хо),
интервал определения которого содержит число t. Положим <p(t) =
= *©.
Очевидно, значение фA) не зависит от случайного выбора
решения tp(t). Если бы вместо него мы взяли решение X = ф\(Ь)
{ф\(М = ^о)» то в силу единственности фA;) = ф\$) (так как они
удовлетворяют одному начальному условию ф(^) = ^i(*o))-
Наконец, <p{t) является решением нашей системы потому, что у
любой точки t € (т1,тг) существует окрестность, в которой ф(Ь)
совпадает с некоторым решением.
Б. ф(Ь) является продолжением любого решения X = (p(t)
системы A) с начальным условием </?(?о) = ^о-
Действительно, если (ri, г2) — интервал определения <р(?), то т\ €
€ J?i, г2 € i?2- Поэтому ri ^ mi, r2 ^ тг, а в силу единственности
ф{1) и (p(t) совпадают в интервале (г1,гг).
B. ф(Ь) непродолжаемо.
Допустим, решение ф(Ь) есть продолжение ф(Ь). Тогда to,Xo
можно принять за начальные значения и решения t/>(t). По пункту Б)
ф{{) является продолжением ф(Ь). Следовательно, ф{1) и ф{€) полно-

§ 1. Непродолжаемые решения
163
стью совпадают (так как совпадают интервалы их определения). Из
проведенных рассуждений ясна и единственность непродолжаемого
решения с начальными значениями ?о,Хо-
Пункты 2 и 3 доказываются аналогичным образом. Достаточно
только значение t, при котором два решения совпадают, принять за
to, а соответствующее значение решений — за Xq и рассматривать
их как решения с общими начальными значениями (t0,^o)- П
Нам понадобится также следующее, четвертое свойство непро-
должаемых решений.
4. Пусть Е С Г — замкнутое ограниченное множество в про-
странстве переменных t, Х\, хъ,..., хп; X = (p(t) — непродолжаемое
решение системы A), определенное в интервале {т\,тг)- Тогда
существуют такие числа г\ и т^: т\ < Т\ < Тъ < тпг, что точка
(ty<p(t)) находится вне множества Е, когда t находится вне от-
резка [гьг2]*^
Доказательство. Проверим его лишь для правой стороны.
Справедливость утверждения очевидна для случая тг — оо, так как
ограниченность множества Е означает и ограниченность множеств
координат точек (t,X) G Е по всем осям, в частности, и по оси t.
ПуСТЬ Ш2 < ОО.
Предварительные рассуждения. Обозначим буквой р расстояние
от множества Е до границы дополнения множества Г, т.е. СТ.
Очевидно, р > 0, так как Е и СТ не пересекаются и Е компактно. С
другой стороны, р < оо. Окружим множество Е замкнутой
окрестностью Е*у состоящей из точек, удаленных от Е не более, чем на \р.
Е* компактно и Е* С Г. Существуют такие положительные числа
М < оо и К < оо, что на множестве Е* выполняются неравенства
1/(ажм,
д№Х)
дхк
^К (i,*=l,n). B)
Возьмем какую-нибудь пару таких положительных чисел диа,
чтобы выполнялось неравенство q2 + а2 < ~р2.
Дальнейшие построения и рассуждения будут напоминать
соответствующие места из доказательства существования решения
уравнения первого порядка. Пусть (t0lX0) — произвольная точка
множества Е. Роль прямоугольника D, который фигурирует в доказа-
*)Это значит, что точка (t, ф(Ь)) подходит как угодно близко к границе
множества Г.
6*

164
Глава XII. Зависимость решений от параметров
тельстве теоремы для уравнения х = /(t, x), будет играть замкнутая
окрестность П точки (to,Xo), задаваемая неравенствами \t —10\ ^ g,
\Х — Xq\ ^ а. По оси t урежем окрестность П, положив \t — t0\ ^ г,
г > 0, г ^ д, г ^ ^ и, наконец, г < ^т^ (для уравнения х = /(t, х)
получали с помощью формулы Лагранжа г < ^. Сейчас вместо
этого используется лемма 1 из §2 (см. ниже) и появляется множитель
п2). Число г не зависит от точки (to, Xq).
Основные рассуждения. Обратимся к решению X = <p(t).
Покажем, что в качестве числа Г2 можно взять Г2 = шг — г. Допустим,
что это число не подходит, т.е. существует такое to > гг, что
точка (to><p(to)) принадлежит Е. Примем эту точку за начальную для
решения X = <p(t). Тогда это решение должно быть определено в
промежутке \t — t0| < г и, следовательно, этот промежуток
должен принадлежать интервалу A711,9712). Но to > г2 = m<i — г, откуда
to + г > Ш2. Последнее означает, что решение ф(Ь) продолжаемо за
Ш2, вопреки условию. ?
§ 2. Вспомогательные предложения
Л е м м а 1. Пусть в выпуклой области G n-мерного
пространства задана векторная функция
9{Х) = {9l(Xi,X2> . • . ,Xn),g2(Xi,X2, . . • ,Хп), . . . ,дп(х1,Х2, •. . ,Хп)}
векторного аргумента X — {xi,x2, • • ¦ >хп) и в этой области
существуют и ограничены частные производные ¦?-: lg?4 ^ К (i,k =
= 1,п). Тогда справедливо неравенство
\g(X)-g(Y)\^n2K\X-Y\ A)
для любых X,Y eG.
Доказательство. Отрезок, соединяющий точки X и У,
описывается уравнением Z(s) = Y + s(X - К), 0 ^ s ^ 1. Очевидно,
Z(s) € G, a гДз) = у, + s(xi - г/*). Применяя формулу Лагранжа к
функции §i [Z(s)], получим
|л(л-)-л(У)| = ыад-л[я(о)]| =

§ 2. Вспомогательные предложения
165
п
*=i
(в прямоугольной системе координат |ж* - у*| < \Х — Y\). Для
каждого i обе части неравенства
\gi(X)-9i{Y)\^nK\X-Y\
возвысим в квадрат, полученные неравенства сложим и извлечем
квадратный корень из обеих частей. Получим \g(X) — 9(Y)\ ^
<^n*K\X-Y\. Прип^1 n2^7ii. D
Л е м м а 2. Пусть задано непрерывное отображение f(X,Y)
замкнутого ограниченного множества F пространства
переменных (xi, х2, •.., Хк, у 1,3/2 > • ¦ • , У1) в некоторое пространство.
Существует такая неотрицательная монотонная функция /3F) у
определенная для S > О и стремящаяся к нулю при 6 -> 0, что для любых
точек (X, У), (X, К*) 6 F выполняется неравенство
\f(X,Y)-/(X,Y*)\<0(\Y-Y*\). B)
Рекомендуем детальные рассуждения провести самостоятельно.
Функцию /3(8) можно определить формулой
/?(<*) = max \f(X,Y) - f{X,Y')\.
\Y—Y*\^d
Л е м м а 3. Если функция u(t) непрерывна в промежутке [to, t\],
а > О, Р > 0 и при t € [to,t\], выполняется неравенство
и(*К I [*ч{т)+Р]йт, C)
J to
mo выполняется и неравенство
u(t) ^ ? [еа(*-<°) - l] . D)
t
Доказательство. Обозначим V(t) = / [аи(т) + ($\ dr. По
*°
условию u(t) ^ V(t). Дифференцируя, получаем V(t) — otu(t) + /?,

166
Глава XII. Зависимость решений от параметров
откуда u(t) = ^V(t) - |, следовательно, ?V(t) - § ^ V(t). Умножим
обе части на ae'. Ve~at - aVe-at ^ /3e"at, j\Ve"Qt] < Ре~Ы*
Интегрируем в пределах от t0 до t. Ve~at ^ -f e~Qt\t0 (Учли> чт0
V{t0) = 0). Умножим неравенство на еаК V ^ -§ [1 - еа('-'°>].
Неравенство D) доказано, так как u(t) ^V(t), D
§ 3. Непрерывная зависимость решений
от параметров
В приложениях встречаются задачи, математической моделью
которых являются дифференциальные уравнения, содержащие
параметры. Будем рассматривать эту модель в виде системы
дифференциальных уравнений.
x = nt,x,v). A)
Здесь X = {xi,rr2,..., хп} — это n-мерный вектор, t — аргумент,
А* = {^Ij/^j . • -,М/} ~ некоторый вектор параметров,
принадлежащий /-мерной области, /(*,X,р) = {fx(t, X,/х), /2(*, X,р),..., /„(*,X,
Запись A) можно истолковать как совокупность систем
обыкновенных дифференциальных уравнений, в каждой из которых
параметр р сохраняет постоянное значение. Мы будем
придерживаться другой точки зрения на объект A), считая, что
искомая вектор-функция зависит не только от t, но и от аргументов
РьМг,"-,/*!: X = ip(t,p) = {угг(?,//),у72(*,А0,. ¦ ¦ i?>n(*>/*)} или ^ =
= <Pi{t,p,iyP2,- — ilJ>i), (i = l»**). Предстоит изучить характер этой
зависимости, а именно: условия, обеспечивающие непрерывность
функций v>i(tiMb/*2>--->/Ji) по совокупности переменных, их диф-
ференцируемость по параметрам Мь /*2> • •, М/-
Задача Коши для системы A) формулируется так: найти решение
X = (p(t, p) этой системы, удовлетворяющее условию
<p(to,fi)=X0. B)
Здесь toyXo — заранее заданные значения, а р произвольно, но с
условием: точка (to,Xo,p) ? Г, где Г — это область в
пространстве переменных (?, х\, х2,..., х„, р\, ^2, ¦ •., щ), в которой
определена вектор-функция /(?,X,/i).

§ 3. Непрерывная зависимость решений от параметров
167
В дальнейшем будем считать, что правые части системы A),
т.е. функции fi(t, х\, Х2,..., xn, /ii, /12, • • •, /*/), непрерывны по
совокупности всех своих переменных вместе с частными производными
^?- (j,fc = l,n) в открытой области Г.
В этих условиях имеет место равносильность задачи Коши A)-
B) и интегрального уравнения
<p(t, /х) = Х0 + / /[г, ф, /х), /х] dr. C)
Jto
Доказательство, которое мы опускаем, использует рассуждения,
приведенные в §1 главы III для уравнения х = /(t,x).
а) Проекция области Г б) Область определения
на плоскость Юх решения </?(?, /х)
Рис. 15
Пусть значения ?о> -^о таковы, что множество М = {/х|(?о> -^о» А*) €
? Г} не пусто. Простейший случай, когда х и /х одномерны,
иллюстрируется рисунком 15.
Пусть ip(t,n) — непродолжаемое решение A) с начальными
условиями (p(toyfi) = Xq. Область Т его определения, состоящая из пар
(t,/x), описывается следующим образом: каждому /х € М
соответствует интервал (mi(/x),m2(/x)), на котором определено это
непродолжаемое решение, и t берется из этого интервала.

168
Глава XII. Зависимость решений от параметров
Теорема. Множество Т nap (t,n), на котором определена
функция ip(t,fi), являющаяся непродолжаемым решением системы
A) с начальным условием ip(to,fi) = Xq, открыто в пространстве
переменных ?, /xi, /Х2,..., /х/. Функция <^B, /х) непрерывна по
совокупности переменных на этом множестве.
Доказательство. Проводя общие рассуждения, можно для
наглядности обращаться к простейшему случаю, изображенному на
рис. 15, для одномерного параметра хх. Наибольших усилий
потребует, как мы увидим, доказательство того, что множество Т открыто
в пространстве переменных ?, /xi, /Х2,..., /х/.
Пусть (t*,u*) ? Т — произвольная точка. Докажем, что она
входит в множество Т с некоторой окрестностью. Вначале рассмотрим
случай t* ^ to.
Интервал определения решения X = ip(t, и*) обозначается (mi(/i*),
m2(xx*)), и, так как (?*, /х*) G Т, имеет место неравенство t* < тп2(ц*)-
to t' r, т2<цг)
_—, «—„t
Рис. 16
Через Г2 обозначим какое-нибудь число, удовлетворяющее
неравенству t* < r2 < т2(хх*) (см. рис. 16).
Решение X = у?(?,/х*) определено на отрезке [*о>^2] С (mi(/la*),
т2(и*)). Это, в частности, означает, что при изменении t от to до
Г2 точка (*,^(*,/i*),/!*) опишет кривую 0, не выходящую за
пределы открытой области Г. Можно указать поэтому столь малые числа
а > 0 и Ь > О, что все точки (t, Х,/х), у которых t,X, и /х
подчинены неравенствам: t0 ^. t ^i r2l \Х - у?(?,/х*)| ^ а и |хх - /х*| < 6,
принадлежат области Г. Множество этих точек обозначим буквой
П*). По теореме Вейерштрасса существует такое число К > О, что
на множестве П выполняются неравенства
^К {i,k=l~n).
Оценим величину у>(?,/х)-</?(?, хх*). Воспользуемся равенством C).
*)Пусть это выглядит вульгарно, но для наглядности множество П можно
представить в виде сосиски, осью которой является кривая в.
dMt,X,n)
дхк

§ 3. Непрерывная зависимость решений от параметров
169
Имеем
М«,м)-<р(*,/01 =
D)
= 1/ /[т.^т,/!),,*]*-- f f[TMr,lf),lf]dT
\Jto J t0
I tl I
< / |/[т^(г,м),м]-/[г^(г,/х*),Л|Н-
l-/*o I
Перейдем к оценке подынтегральной функции
-/[т,?>(т,/Г),р]| + I/[t,?>(t,/0,,i] " /[т,^(т,/Л,/х*]|.
Настал черед воспользоваться леммами 1 и 2. При фиксированных
т и /х множество \Х — <р(ту[л)\ ^ а выпукло. В простом случае для
двумерного X = (xi,x2) сечение является кругом. Далее под ХиУ
подразумеваются обозначения, применяемые в леммах 1 и 2.
Полагая X = у?(т,^), &Y = <р(г, //*), по лемме 1 получим
^n2%(r,/i)-^r,/i*)|.
E)
Желая применить лемму 2, примем X = (г, </з(т,/*)), а У = р. По
формуле 2 из §2
|Яг,у>(т,^М - Лг,*?(т,/Л,М*]| ^/Ы1/* - Л)
F)
(почему целесообразно писать fa вместо /?, тг вместо г и т.п., станет
понятно позже). Воспользуемся E) и F) для преобразования
неравенства D).
t
<k j[n2K\^(r^) - <p(r,f)\ + А(|м - /x*|)]dr.
to
Если в лемме 3 заменить u(t) на |у?(т,/х) — у?(т,/1*)|, то получим
ИЫ - <,(',м*I < АAУ'1) [еК(<) "^

170
Глава XII. Зависимость решений от параметров
В правой части поменяем t на гг, что лишь усилит неравенство,
и перепишем его в виде
en7K(r2-t0)
М*,м) -ip(t,/i*)| ^ n2R ft(|ji-j**|)
или, для сокращения,
И*,м) - ?>(*,*01 < Ciftd/i - /i*|). G)
Докажем существование столь малого числа рг (р2 > 0 и /?2 <
< 6), что для любого ц, удовлетворяющего неравенству |/i —^*| < р2,
решение <p(t,p) определено во всем промежутке [?о,Г2]. Убедимся,
что в качестве ръ можно взять какое-нибудь решение неравенства
<?2&Ы < а-
Рассмотрим точку P{t) = (?, <p(t, р), р) при фиксированном /п. Эта
точка при изменении t описывает кривую в области Г. При любом
р с условием \р — р*\ ^ Ь точка P(to) принадлежит множеству П.
Действительно, при t = to <p(to,p) = <p(t0,p*) = Хо, поэтому для
точки (Ьо,<р(Ьо,1л),1а) выполняются три неравенства, определяющие
множество П:
to^t^rr, \X-<p(t,if)\^a; |#* - #**| < Ь. (8)
Пусть теперь \р — р*\ < /?2. Для такого р |<p(*,/i) - ^>(t,A**)| ^
^ Сг^2(р2) < о.. Поэтому с изменением t для точки P(t) =
= (t,y?(?,/*),/*) будут выполняться неравенства \<p(t, р) — tp(t, р*)\ < а,
и \р — р*\ < р2 < Ь независимо от величины t € [^о^г]- В силу 4-го
свойства непродолжаемого решения (роль множества Е играет
сейчас П) точка P(t) окажется на границе П, когда хотя бы одно из
неравенств (8) превратится в равенство.
Пусть *2 — это значение t, при котором точка P(t) впервые
попадает на границу множества П. Из трех неравенств (8) в равенство
может превратиться только t = гг.
Таким образом, доказано, что каково бы ни было р из рг-
окрестности точки р*, решение <p(t,p) определено по крайней
мере для всех t из промежутка [Jo,*^], т.е. точка (t,p), где J0 ^ t ^
^ **2> |/* — М*| < Р2, принадлежит множеству Т.
В случае строгого неравенства t* > to вопрос с построением
окрестности точки (?*,//*), принадлежащей Т, решен. Она задается

§ 3. Непрерывны зависимость решений от параметров
171
неравенствами *о ^ t ^ *, |м — А**| < Р2- Если же t* = <o,
построенное множество окрестностью не является. В простейшем случае
получаем картину, изображенную на рис. 17.
н
Г2 t
(tV)
г. f-te t
Рис. 18
Для случая t* ^ t0 проводятся аналогичные рассуждения,
получаются соответствующие числа г\, р\, С\, функция /?i (J) так, что
при ri ^ ? ^ *о> |ах — /х* | ^ р\ точка (?,/i) принадлежит Т и
выполняется неравенство \<p{t,p,) — <?>(?,А**)| ^ С\Р\{\р, — /х*|). Картинка для
одномерного /х и случая t* = to изображена на рис. 18.
В случае t* = to (см. рис. 19)
окрестность точки (?*,//*),
принадлежащую множеству Т, можно описать
неравенствами
н
ц**р.
Ц'Р»
(t>*)
\t-t0\<r, \(i-ii*\<p,
to-Г t=to
Рис. 19
где г = min[*0 - ri,r2 - t0], p =
_i ^. = min[pi,p2]- Кроме этого положив
t'+r t С = mm[d,C2], 0F) = min[/3i(<J),
02F)], придем к неравенству
И*,^) - <p(t,(i*)\^ C0(\fi - (л'\) < a.
(9)
Перейдем к доказательству непрерывности функции <p(t,p,) на
множестве Т. Пусть (t*,p,*) € Т, а точки (?,/х) и (?,/i*) принадлежат
выпуклой окрестности точки (t*,/A*).
Рассмотрим неравенство
И*,/i) -<p(t\pm)\ ^ \<p{t,p) - ч>№)\ + И*,м*) -?>('*,/OI-

172
Глава XII. Зависимость решений от параметров
Зададим произвольное е > 0. С помощью неравенств (9) найдем
<$i ^ рх так, чтобы при |/i-/i*| < Su выполнялось \{р(т,р)-<р(т,р*)\ <
< |, когда t € [to - г, t0 + г]. Непрерывность по t функции <p(t,ji)
вытекает из того, что <p(t,/i) — решение системы A). Найдем 6ъ ^г
так, чтобы при \t — t0\ < <Ь выполнялось неравенство |y>(t,/i*) -
-y?(t*,ji*)| < |. Доказательство непрерывности функции y?(*,/i) по
совокупности переменных завершено: при |/i - /**| < 6х и |t — tn| < ^2
выпЬлняется неравенство \(p(t, fx) — <p(t*, /**)| <e. ?
§ 4. Дифференцируемость решений
по параметрам
Рассматриваем систему
¦^ = /t(^xi,x2,...,xn,^1,/i2,...,/i/) (t = l,n). A)
Мы сохраним условия, наложенные в §3 на функции /*(?,X,ji), и
введенные там обозначения: X = y>(t, /x) — непродолжаемое решение
с начальным условием у?(to, /i) = Xq, a T — область определения
этого решения. Ниже мы сформулируем добавочные условия, которые
обеспечат существование производных от функций X = <р(^А*) по
параметрам. В доказательстве основной теоремы используем
вспомогательные предложения.
Лемма (Адамар). Пусть д — функция, зависящая от перс-
менных, разбитых на две группы
g(si, s2,..., sp,«!, w2,. • •, wg),
и область ее определения А выпукла по переменным tii,tJ2,...9u9.
Для сокра!цвнш1 записи положим $ = (si,..., sp); и = (г*1,..., wg) и
9 = g(s,u)*l
Если функция g(s, и) и ее частные производные ^*'ц' (к = 1,д)
непрерывны в Д, то для любых точек (s,u^) и («,г*^2^) из области
*)Область А называется выпуклой по переменным «i,U2,. • •,«д, если вместе с
точками (s,!^1)) и (s,ti*2)) области Д принадлежит весь отрезок, соединяющий
эти точки.

§ 4. Дифферешщруемость решений по параметрам
173
А справедливо равенство
g(a,uW)-g(89uM) = ?М'.«(^«(а))(«Г - и?) B)
(щ ' — координаты вектора и^2\ и^ ' — координаты вектора и^O в
котором функции hj(s,u^l\u^) определены и непрерывны при всех
значениях з, и(*\иB\ лишь бы (e,^^),(s,u^) G Д. В случае и^ =
— и№) = и положим hj(s,u,u) = 0~-0(s,«).
Доказательство. Отрезок z(t) = и^ +т{и^ -цС*)), о ^
^ г ^ 1, принадлежит множеству Д, так как это множество выпукло
по переменным и.
По формуле Ньютона-Лейбница
5(*,«B)) - Р(*,«A)) = g(s,z{l))-g(a,z@)) = ? |-р(«,х(т)) dr,
но
0^9(*,*(т)) = ^(s,^(r),... ,zq(r)) =
_ ^дд(з,г(т))дг5 A 8g{a,z{r)) t B) (ik
J=l ' J=l '
Поэтому J %*%&± dr - J (u<2> - u«) J fiUgfett dr.
0 J=l 0 J
Сравнив с формулой B), получаем
ldg(s,z(T))
JO VUj
Из непрерывности функций ^*'.tt' заключаем, что функции hk(s,u^l\
v№) непрерывны. D
Теорема. Пусть дана система ±{ = /j(t,X,^), (i = l,n),
ее непродолжаемое решение X = <p(t,n) с начальными условиями
<p(to, А*) = Х° и в области Г переменных *, Х\,...,хП9ц\,...,щ
выполняются условия теоремы Коши о непрерывности /«(*, X,/i) u
дх
k

174
Глава XII. Зависимость решений от параметров
Если существуют и непрерывны в области Г частные
производные §?• (i = 1,п), то частные производные yffiy' (i = l,n,к -
фиксировано) определены и непрерывны на всем открытом
множестве Ту где определена функция <p(t,p).
Смешанные частные производные ^э» »(* = 1>п) сугцеству-
ют, непрерывны и не зависят от порядка дифференцирования на
всем множестве Т.
Доказательство. Вначале нужно воспользоваться леммой
Адамара, указав при этом, какие функции будут играть роль g(s7 и),
какое множество будет играть роль А.
Переменные t, х\, х2 > • • • > хт Mi > А*2 > • - • > Щ разобьем на две группы:
положим s = ?, а и = (xi,... , xn,/ai,... ,щ) = (Х,ц). В качестве
функции g рассмотрим g(t,u) = /*(?, X,/i).
Перейдем к вопросу о А. Пусть (?*,м*) ~ произвольная точка
открытого множества Т. Решение ip{t,p*) определено и при ? = t0
и при t = ?*, поэтому существует отрезок [гьГг], который
принадлежит интервалу определения решения <?>(?,/х*) и содержит внутри
себя точки г\ и г2. При изменении ? от г\ до г2 точка (t,<p(t,/x*),/x*)
вычерчивает непрерывную кривую, принадлежащую множеству Г.
Эту кривую можно заключить в замкнутую окрестность, состоящую
из точек (?, X, р) :
ri^t^r2] \X-tp{t,9A*)\^a; |/i-/i*|0, C)
подобрав столь малые числа а > О и b > О, чтобы указанная
окрестность содержалась в открытом множестве Г. В качестве множества
А рассмотрим открытое множество точек (t, X, р) с условиями
rx<t<r2; \X-ip(t,p,*)\<a; \р-р*\<Ь.
Обычным приемом можно убедиться в том, что А выпукло по
переменным и = (Х,р).
Для получения частной производной ^д'**' в точке (t,p) ? Т
нужно составить частное приращение вдоль оси /i*. Сделаем это
следующим образом. Пусть вектор р^ удовлетворяет условию \р^ —
-р,*\ < ~Ь, е* — единичный вектор пространства МьА*2,- ->Мь
направленный вдоль оси jiki т — число, \т\ < ^Ь. Обозначим р№ =
= pSl>> +те*. Этот вектор характеризует .смещение вектора р^ вдоль

§ 4. Дифференцируемость решений по параметрам
175
оси Цк- Очевидно, \pS2^ - /i*| < 6, поэтому неравенства
lrt*,/iA))-rt*.*OI<a
И«,Л-?>(«,Л*)|<а
выполняются для любого t G [ri,r2] (см. (9), §3) и кривые
принадлежат открытому множеству А.
Вот теперь применим лемму Адамара к функции /i(?,X,/i):
MtMt,»w),vw) - fi(tMt,n{1)),t*{1)) =
= ?>5(*.MA),r)te(*,M(a)) - ^«,лA>))+
+ЕЛп+,(*^A)^)Ц2)-^1))- D)
По лемме Адамара, функции Л*-, j = l,n + / непрерывно зависят
от ^уК*,;!^)»^1*»^»/^2*)»/^ и> следовательно, от величин t,faT.
Введем функции *(«,*.A),т) = »»(«,PW) ЧмМ») (< = ^
т
определенные при г ^ 0. Вычислим производные по t этих функций,
учитывая, что <р(*,/х<2)) и <p(t,iil1)) удовлетворяют системе A).
= ;W(«,v(«,|.m),/.m) - /.«.(Р».*10),*10)].
С помощью формулы D) получим
Ыи№1\т) _ ^.,,. uA) >^(«,^)-^(«,мA>),
j=i
' uB) - «A)

176
Глава XII. Зависимость решений от параметров
Так как ц\ ' = ц^ + г при j = А; и р,у = //^ при j ф к, то можно
записать
а*у,т) = g; ^(t>y(i)>r)^((ttM(i)>T) + ^ (t>M(i)>r)>
г = l,n.
Равенство E) можно рассматривать как систему линейных
уравнений
* = ЕЧ<^A1»т)й + ^(^(^), F)
для которой функции ipi(t,pSx\r) составляют решение при т ф 0.
Начальные условия для системы A) имеют вид ipito, /*) = Х°*
Поэтому для функций ^(t,/i^\r) получаются нулевые начальные
условия:
*ft,M<V) = ^^B))-^^A)) = ±z? = 0.
г т
Правые части системы F) определены и непрерывны на множестве
точек (Ь,р^1\т) с ограничениями г\ < t < r2, |/i - /х*| < ?&, \т\ < \Ъ.
Эти ограничения обеспечивают существование и единственность
решения yi = Уг(^^1\т) (i = l,n) системы F) с начальными
условиями 2/г(*0,МA\т) =0.
Итак, мы имеем две функции tl>i(t,ii(l\r) и у*^,^1^,^), которые
непрерывны и совпадают в выколотой окрестности точки (?*,/j*,0),
т.е. при т ф 0
V'iMVHyiMV) (г = М). G)
При г —> 0 предел правой части существует, значит, существует
и предел левой части. Имеем
Э^я'МA)) = lirntMt.^r) = lim y«(t,/i(V) = y«MI),0). (8)
Мы доказали существование и непрерывность частной произ-
водной —^—-— (г,? = 1,тг) на открытом множестве ri < t <

§ 5. Непрерывность и дифференцируемость решений
177
< Г2, |/х — /х*| < |б, в том числе и в точке (?*,^*), принадлежащей
этому множеству.
Займемся смешанными производными. Порядок рассуждений
таков: обосновываем существование и непрерывность частных произ-
водных т—х— и -—— и ссылаемся на теорему из анализа о сме-
atdfik dfikut
шанных производных.
Установлено, что функции —* удовлетворяют системе F)
ОЦк
при г = 0 на множестве г\ < t < Г2, |/i — fi*\ < \Ь (см. (8)),
следовательно, их производные по t существуют и непрерывны на указанном
множестве, а это есть производные тг^— •
dtdiik
С другой стороны, соотношение
можно дифференцировать по Цк • Действительно, по доказанному
существуют и непрерывны частные производные -^-. Поэтому
производная правой части (9) по /х*, как производная сложной функции,
существует и непрерывна, следовательно, существует и производ-
д2(р{
ная по fik левой части. Здесь речь идет о производной ———. По
OflkOt
теореме о смешанных производных их непрерывность на множестве
T*i < t < Г2, |/i — /i*| < \b обеспечивает совпадение этих производных
на указанном множестве и, в частности, в точке (?*, д*). D
§ 5. Непрерывность и дифференцируемость
решений как функций начальных значений
Пусть X = (p(t) — решение системы
X = f(t,X), A)
удовлетворяющее начальным условиям
ip(t0) = Х0.
Измененным начальным условиям будет соответствовать, вообще
говоря, другое решение. Обозначим это решение, указывая явно его

178
Глава XII. Зависимость решений от параметров
зависимость от начальных значений
X = (p(t,to,Xo).
По смыслу обозначения <p(to,to,X°) = Х°.
Сейчас нам нужно изучить зависимость функции <р от to^x^x^
. ..,х?. Величины to,Xo становятся, таким образом, переменными.
Для удобства введем для них обозначения т и ? = (fi, &,••¦, 60-
Решение примет вид
В координатах х* = ^(t, т, ft,..., fn).
С помощью замены переменных мы придем к рассмотрению
решения с постоянными начальными значениями, а начальные
значения ги{ превратим в параметры. Это даст возможность применить
теоремы из §3 и §4.
В процессе доказательства первой из теорем нам потребуется
следующий хорошо известный факт.
Преобразование
п
Уг = $^«tjSj + h (t = hn)
J=l
пространства переменных (xi,..., xn) в пространство {y\,..., уп),
называемое аффинным, непрерывно. Если матрица А = (а^) —
невырожденная, то существует обратное преобразование, также
являющееся аффинным и, следовательно, непрерывным. В этом
обратном преобразовании прообраз открытого множества открыт.
Поэтому прямое преобразование переводит открытое множество
в открытое.
Будем считать, что fi{t^x\^...,xn) в системе A) определены и
непрерывны вместе с частными производными по х\,..., хп в
области Г.
Каждой точке (г, ?) € Г соответствует непродолжаемое решение
X = <р(*,г,0> Ч>{ТчТА) = ?> определенное на интервале mi(r,f) <
< t < Ш2(т,?). Через S мы обозначим множество всех точек (?,r,f),
для которых функция <p(t, r, f) определена. Описывается S так:
сначала берется произвольная точка (г, ?) € Г, затем указывается
значение t e (mi(r,OiWi2(T,0)-

§ 5. Непрерывность и дифференцируемость решений 179
Теорема1. Множество S всех точек (*,т,?), на котором
определена функция <p(t,T,?), являющаяся непродолжаемым
решением уравнения A) с начальным условием
?>(*">!•, О =?»
есть открытое множество в пространстве переменных ?, r,fi,f2>
...,fn. Функция </>(?, т,?) непрерывна по совокупности переменных
на этом множестве.
Доказательство. Сделаем замену переменных. От
переменных t и X переходим к новой независимой переменной s и
новой искомой функции У по формулам:
* = в + т;-Г = У + ?. B)
Здесь ги( следует рассматривать как параметры (т.е.
постоянные). Поэтому dt = ds\ dX = dY.
Система A) примет вид
^=/E + г,У + 0. C)
Область определения функции f(s + т, Y + f) обозначим Г. Она
описывается так: для произвольной точки (г, f) € Г берутся
всевозможные s и У с условием (s + t,Y + ?) € Г. Легко доказывается,
что Г открытое множество. Очевидно, что функция f(s + т, У + f)
непрерывна на Г, а компоненты этой вектор-функции имеют
непрерывные частные производные по у\,..., уп (по &,..., fn тоже, но это
понадобится лишь в следующей теореме).
Мы можем применить теорему из §3. Роль параметров /ц,... ,/i/
будут играть величины т, &,..., ?п. Точке (to, хо) в указанной
теореме из §3 будет соответствовать точка so = 0 nY° = 0,
Возьмем точку @, т, 0, ?)• Так как (т, f) € Г, то точка @+г, 0+0 €
€ Г и, следовательно, @,т,0, ?) € Г для всех (т,?) ? Г (Г — аналог
множества М в упомянутой теореме из §3).
Пусть У = rf(s,T, ?) — непродолжаемое решение системы C),
удовлетворяющее начальным условиям
Wo,t,o = o.
D)

180
Глава XII. Зависимость решений от параметров
Как видим, начальные значения so = 0, Y° = 0 здесь
фиксированы. По теореме, на которую мы ссылаемся, функция ф($, т, ?)
определена на некотором открытом множестве Т пространства
переменных s,r,f и непрерывна на этом множестве. Если перейти к
старым переменным, мы получим решение системы A)
X = ф(Ь - т, т, f) + f = v?(?, r, f) (по определению) E)
с начальными условиями
Очевидно, решение (p(t, r, ?) непродолжаемо, так как если бы его
можно было продолжить, то можно было бы продолжить и
решение ф(з,т,?). Как получить множество 5, на котором определено
решение </?(?, т, ?)? Параметры ги( берутся те же самые, что и для
получения множества Т, т.е. (г, f) € Г, а ? = s + r (s изменяется в
своем максимальном интервале).
Таким образом, этот переход от Т к S осуществляется с помощью
аффинного преобразования
с невырожденной матрицей
/1 1 0
0 10
\0 0 0 ... 1;
Следовательно, 5, как образ открытого множества, само является
открытым.
Так как функция у>(*,т,?) выражается через функцию ф по
формуле E), то ф непрерывна на 5. D
Теорема 2. Пусть X = <р(Мо,0 = <f(t,?) - {v>i(t>0>--->
?**»(*> О} ~~ непродолжаемое решение уравнения A) с напольными
значениями t0f? : <p{to,Q = ?• Тогда функция <?>(*,?) определена
и непрерывна на некотором открытом множестве S' в
пространстве переменных t, &,..., fn.
На всем этом множестве S' существуют и непрерывны
частные производные

§ 6. Уравнения в вариациях
181
а смешанные производные
существуют, непрерывны и не зависят от порядка
дифференцирования.
Доказательство. Из теоремы 1 следует открытость
множества 5' (это есть сечение множества S при г = *о- В пространстве
переменных ?, &,...,fn такое сечение будет открытым множеством).
С помощью замены X = Y + f придем к уравнению
f=л^+е F)
Так как правые части этой системы имеют непрерьганые частные
производные по f i,..., f n, то по теореме из §4 для решения У =
= ^(t,?) системы F) с начальным условием V(to>0 = 0, как частные
производные
так и смешанные производные
dtdz.
(tfj = l,n)
определены и непрерывны на всем множестве 5', причем последние
не зависят от порядка дифференцирования. Из формулы
видно, что функция (f{ty ?) действительно обладает теми свойствами,
о которых говорится в теореме. D
§ 6. Уравнения в вариациях
1. Уравнения в вариациях по параметрам
Пусть имеется решение X — ip(t, /i) системы
X = f(t,X,ri,
A)

182
Глава XII. Зависимость решений от параметров
и нам необходимо вычислить функции
дцк
= «(*). B)
которые называются вариациями по параметрам. Мы покажем в
дальнейшем, как можно найти функции ^?(?)> не зная решения
</?(?, /х) при переменном /х.
Какую пользу могут принести вариации? Допустим, что нам
известно решение X = <р(?,/х*). Требуется приближенно вычислить
<p(t, /х* + Д/х) при малых Д/х. Применяется формула Тейлора
v<(tlp*+AM) = ^(tl^) + ^?^M
Д/х* =
/
= ^*,/х*) + ?^(*)Д/х*.
Часто существует такое значение /х = /х*, что решение <p(f,/x*)
находится легко, тогда как при произвольном /х задача является
сложной.
Как пример, укажем уравнение: х" + Ъх — cos2? + fix2.
При /1 ф О имеем нелинейное уравнение второго порядка,
которое не интегрируется в квадратурах. Однако, при /х = 0 уравнение
упрощается и легко интегрируется.
Сейчас мы рассмотрим способ нахождения вариаций, при
котором не требуется знание решения X = p(t, /х) при переменном /х, а
достаточно знать X — <р(?,/х*) при фиксированном /х = /х* и решить
систему линейных дифференциальных уравнений с известными
начальными условиями.
Пусть (p(t, и) = {ц>1 (?, /х),..., <pn(t, /x)) — непродолжаемое решение
уравнения A) с начальным условием (р(Ь0,ц) = Х0 (<р*(*<ъ/*) = я?)-
Допустим, что при /х = /х* интервалом определения решения
</?(?,/х*) является (ш^тг). Будем считать, что в области Г частные
производные -— непрерывны. Тогда по теореме из §4 частные про-
d/Xjk
d(pi(t,fi)
изводные — определены и непрерывны на всем открытом
множат
жестве Т, следовательно, фк{Ь) определены и непрерывны на всем
интервале (mi,m2).

§ 6. Уравнения в вариациях
183
Введем для сокращения записи следующие обозначения
fj(t,x,ri = дМд^'^; № = WMt,S),rt (з)
9i(t,x,,x) = dfi{g*k,fi); gi(t) = gi[tMt,S),S]. D)
Решение (p(t,fi*) непрерывно на всем интервале (mi,m2).
Поэтому функции fj(i) и glk(t) непрерывны на этом интервале.
Линейная система
E)
(к — фиксированно, i = l,n), с коэффициентами fj(t) и g%k(t),
определенными на интервале (mi,m2), называется системой уравнений
в вариациях (по параметрам) для системы A) при р. — /i*.
Докажем, что система функций у\ = ^?(?), уг = V'jfcWi • • ¦ > !/п =
= V>?(*) является решением системы E) при начальных условиях
Для этого подставим в систему A) решение X = ip(t>p) и получим
тождество
dt
= 1г&<р(Ь,1А),1л).
F)
По условию и теореме из §4, существуют производные по р* от
обеих частей. Дифференцируем по Цк, переставляем слева порядок
дифференцирования, подставляем вместо ц величину ц' и получаем
dtpi(t,(i)
дцк
9/i[t,^(t,/x),M]
dxj
?>Д*,м)
/*=/i*
d/i*
/*=***
д№МЪйМ
dfik
(t = l,n).
м=/**
Причем эти равенства выполняются на всем интервале (га^гаг).
Осталось применить введенные обозначения B), C) и D). Для
проверки начального условия достаточно продифференцировать по Hk
равенства <Pi(to,p) = я?-

184
Глава XII. Зависимость решений от параметров
2. Уравнения в вариациях по начальным значениям
Теперь рассмотрим непродолжаемое решение
^,0 = (^(*,0>---^n(t,0)
системы
X = f(t,X)
с начальными значениями t0, f.
Условия теоремы Коши считаем выполненными.
Пусть mi < t < rri2 — интервал определения решения X =
= <р(Ь,Хо) при фиксированном значении ? = Xq. Введем
обозначения
!-*"<«>
— Фк @ ? ^? @ непрерывны в (mi, тг);
fj(t) также определены и непрерывны в (т 1,7712).
Оказывается, система функций у\ = ф\(?),... ,уп = ^?@
удовлетворяет линейной системе
п
определенной на интервале (mi,m2), называемой системой
уравнений в вариациях по начальным значениям, и начальным условиям
Фк(к)=*к («'¦* = T^)- G)
Доказывается это утверждение как в п. 1 (подставляем решение,
дифференцируем, меняем порядок дифференцирования, заменяем f
на Х0).
Равенства G) получаются путем дифференцирования по &
начальных условий

§ 6. Уравнения в вариациях
185
Воспользуемся функциями фхк(Ь) для приближенного отыскания
решения <p(t, Хо + АЛ"), если известно решение (p(t, Xq). Можно
применить приближенную формулу
п
ipi(t,x0l+Ax1,...,x°n + Axn)=vi{t,x(l,...,xl)+Y,il>k(t)*Zj
j=i
(t = l,n).

Глава XIII
Линейные уравнения второго
порядка
§ 1. Колеблющиеся решения
Приступим к изучению уравнения вида
ao(t)y" + ai(t)y' + <i2(t)y = 0 A)
с коэффициентами, непрерывными в промежутке (ri,r2).
Выполнение условий теоремы Коши будет гарантировано, если ао(?) ф 0 в
(гь**2)- В этом случае можно поделить обе части A) на ао и
получится уравнение
y#,+PiW0l+ft(Ol/ = O. B)
Уравнение A) можно преобразовать к уравнению вида
z" + Q{t)z = О C)
заменой переменной у = u(t)z, где
u = e-*f%$>dt (oo(t)#0).
У решений y(t) и z[t) нули одни и те же.
Уравнения A),B),C), вообще говоря, в квадратурах не
интегрируются, и мы не будем изучать здесь вопросы их решения.
Следующие ниже теоремы устанавливают качественные свойства решений,
поэтому они относятся к качественной теории дифференциальных
уравнений.
Дадим определения нескольких понятий.

§ L Колеблющиеся решения
187
Определение. Нуль функции у = ip(t) (т.е. такое число
t0f что ip(t0) = 0) называется изолированным, если существует
окрестность числа to, не содержащая других нулей функции (p(t).
Определение. Функция у = (f(t) называется
неколеблющейся в промеоюутке (п,^), если она имеет в этом промежутке
не более одного нуля. В противном случае функцию называют
колеблющейся в (ri,r2).
Определение. Два нуля функции <p(t) называются
последовательными, если между ними нет нулей <p(t).
Лемма. Пусть у = <p(t) — нетривиальное решение уравнения
B). Тогда любой нуль tp(t) является изолированным.
Доказательство (от противного). Если в любой
окрестности точки to находится нуль решения <p(t), то существует
последовательность нулей ?п, сходящаяся к to* Функция у = <p(t) обладает
производной (p'(t), поскольку является решением
дифференциального уравнения. Коль скоро это так, предел в определении производной
можно вычислять, выбирая стремление At к нулю по своему
желанию. Мы положим Atn = tn — to,
^o)=lim^)"y(to)-Um-^--0-
n-юо tn — to n-»oo tn — to
Оказалось, что решение <p(t) удовлетворяет нулевым начальным
условиям задачи Коши для уравнения B): (p(to) = О, <р'(*о) = 0.
Этим же условиям удовлетворяет тривиальное решение у = 0. В
силу единственности (p(t) = 0, вопреки условию леммы. D
Следствие. Между любыми двумя нулями t0 и t\ решения
(p(t) уравнения B) (ip(t) ф 0) существуют последовательные нули
этого решения.
Доказательство от противного приводит к существованию в
промежутке (*o>*i) неизолированного нуля решения ip(t). Детальные
рассуждения проведите самостоятельно.
Изучению свойства колеблемости решений посвящены
приводимые ниже теоремы.
Пример. Рассмотрим уравнение у"+ау = 0 и случаи а > 0, а <
< 0. Через Ai,2 обозначим корни характеристического уравнения.
1. При а > 0 корни характеристического уравнения Ai,2 = ±iy/a,
значит, решение имеет вид у = Asin(y/at + S). Период функ-

188
Глава XIII. Линейные уравнения второго порядка
ции у равен Т = Щ=. Решение будет колеблющимся во всяком
промежутке, длина которого больше Т.
2. При a < О корни характеристического уравнения Ai,2 = ±\/H>
значит,
у = CieV^I' + С2е-л/Й< = ey/W(Cl + С2е~2^1).
Выражение в скобках либо не обращается в нуль, если СуС2 >
> 0, либо обращается в нуль при С\ • С2 < 0, но только один
раз. Решение не колеблющееся в любом промежутке.
Л
Теорема1 (Штурма*)). Между любыми двумя
последовательными нулями t\,t2 € (п,г2) всякого решения <p(t) уравнения
B) имеется в точности один нуль каждого решения у = ф(Ь) этого
уравнения} линейно независимого ap(t).
В формулировке теоремы нет упоминания о том, что tp(t) и ф(Ь)
отличны от тривиального решения, так как тривиальное решение
линейно зависимо с любым другим.
Доказательство. Вначале докажем существование хотя бы
одного нуля. Предположим от противного, что нашлось решение у =
= (p(t) и такие его два последовательных нуля t\ и t2y что отыскалось
решение ф(Ь)у не обращающееся в нуль в интервале (?г, t2). Покажем,
что решение у = ф(Ь) не обращается в нуль и в точках t\ и t2.
Действительно, определитель Вронского для линейно
независимых функций не равен нулю в точках t\, t2.
W(t) =
i>'(t) <f'(t)
= tf(ty(t)-rtW(t)#0. D)
Если же предположить, что $(t\) — 0 или ф{12) = 0, то обратится
в нуль первое слагаемое в правой части формулы D). Второе
слагаемое будет равно нулю, так как </?(?i) = ^(?2) = 0, и окажется, что
W(tx) = W{t2) = 0. Итак, ф(Ьг) ф 0, ф(Ь2) ф 0. Полагая t € [tut2],
поделим оба части равенства D) на т/,2@:
m<p'(t) - утю WW
ф2ю wt)
*>Ж.Ш. Штурм A803-1855)

§ 1. Колеблющиеся решения
189
1 М*I _ Ш AА
Интегрируем равенство E) в пределах от t\ до t2
h _ f* W(t)
В равенстве F) уже заключено противоречие. Левая часть равна
нулю, так как <p{t\) = (pfo) = 0, тогда как правая часть нулю не
равна. Действительно, определитель W(t) не обращается в нуль и, как
функция непрерывная, сохраняет знак. Тот же знак имеет
подынтегральная функция и интеграл (считаем t\ < t2).
Теперь докажем, что больше одного нуля решение \j)(t) иметь не
может. Если допустить, что в промежутке (t\, ?2) находятся два нуля
т\ и т2 решения tp(t), то, меняя ролями решения (p(t) и ф(Ь) и
пользуясь уже доказанным, заключаем: между т\ и т2 лежит хотя бы один
нуль решения (p(t). Но это противоречит условию теоремы. ?
Теорему Штурма можно проиллюстрировать простым примером.
Для уравнения х + х = О решения х = sin t и х = cos t линейно
независимы, и расположение их нулей соответствует теореме Штурма.
Теорем а2 (признак отсутствия колеблющихся решений).
Пусть дано уравнение
y" + Q(t)y = o G)
и в промежутке (ri,r2) Q(t) ^ 0. Тогда все решения этого
уравнения, отличные от тривиального, являются неколеблющимися в
промежутке (ri,r2).
Доказательство. Предположим от противного, что
нашлось нетривиальное решение у = tp(t) уравнения G), которое
имеет в промежутке (ri,r2) два нуля t\ и t2. Не умаляя общности,
можно считать t\ и t2 последовательными нулями, а знак функции
</>(?) в промежутке (ti,t2) положительным (непрерывная функция
ip(t) знака в промежутке (t\, t2) не меняет, и если бы оказалось (p{t) <
< 0, мы бы взяли решение у = —ip(t)).
Покажем, что 4>'{t\) > 0. Эта производная существует, поэтому ее
можно вычислять как правую производную. Пусть At > 0nti+At <
< t2. Тогда (p{ti + At) > 0,
lim y(fl+A*)-^l)= lim **+*)
д<-*+о At де-и-о At
ml

190
Глава XIII. Линейные уравнения второго порядка
Очевидно, что <p'(*i) Ф 0, так как в противном случае ip(t) = 0
(в силу единственности решения задачи Коши). Из уравнения G)
<p"(t) = -Q(t)ip{t) > Ов промежутке [*i,t2], следовательно, в этом
промежутке ip'(t) не убывает. По формуле конечных приращений
4>{t2) - rth) = v'@)(t2 - tx) > v'(ti)(t2 - M > o.
Пришли к противоречию, так как (p(t2) — ?>(*i) = 0 — 0 = 0. П
Пример, разобранный выше, иллюстрирует эту теорему в случае о <
<0.
ТеоремаЗ (сравнения). Пусть даны два уравнения
2/" + Qi(*)y = 0, (8)
2/" + Q2(*)y = 0 (9)
и пусть Qi(t) ^ Q2(t) в промежутке (п,^). Тогда между любыми
двумя нулями t\ и t2 всякого решения уравнения (8), отличного
от тривиального, находится нуль каждого решения уравнения (9)
при условии, что существует точка t € (^i,*гM в которой Q\(t) Ф
#Q2(t).
Доказательство. Пусть у = (p(t) произвольное решение
уравнения (8), a t\ и t2 какие-нибудь его нули. Предположим, что
нашлось решение у = il>(t) уравнения (9), не обращающееся в нуль
в промежутке (ti,t2). He умаляя общности, можно считать нули t\
и t2 последовательными, а знак tp(t) положительным в интервале
(t\,t2). Проводя такие же рассуждения, как в предыдущей теореме,
устанавливаем, что ip'(t\) > 0; v^'fo) < 0.
Рассмотрим тождества
?>"(*)+ Qi(*M*) = 0,
4>"(t) + Q2№(t)=o.
Помножим первое уравнение на ф{Ь), второе на <p(t) и вычтем из
верхнего нижнее:
v"№(t) - i>"(tW(t) = mt) - Qi(t)MW)-
Левую часть представляем в виде -г^р'ф — Ф'{1)ф\ и интегрируем
равенство в пределах от t\ до t2,
уют - ф'{1ыщ\\\ = Г [Q2(t) - QMMwwdt.

§ 1. Колеблющиеся решения
191
Учтем, что <p(ti) = <p(t2) = 0, и получим
<p'(t2)tj>(t2) - ?>'(*iM*i) = / [Q2(t) - Qi(t)Mt)iKt)A.
Выясним знак левой части: <р'(t2)t/>(t2) ^ 0, a <p'(ti)ifi(ti) ^ 0,
поэтому ^'(Ы^СЫ — ^'(*i)!K*i) ^ 0. Подынтегральное выражение
неотрицательно, но в некоторой окрестности р — <$,? + S] G (ti,t2)
Q2(t) - QiW > 0, поэтому f?[Q2(t) - Gi(t)M*M0* > °-
Полученное противоречие доказывает теорему. D
Замечание. Если при условиях теоремы число t0 будет
общим нулем решений tp(t) utp(t), то следующий вправо нуль
решения ф({) будет лежать левее, чем t\. Поэтому решение xjj{t) можно
назвать более колеблющимся, чем решение ip(t).
Теорему сравнения применяют для оценки расстояния между
нулями решений уравнения у" + Q(t)y = 0, когда известны такие числа
т и М, что 0 < т ^ Q(t) ^ М. Пусть р — расстояние между
последовательными нулями решения. Сравнивая данное уравнение с
уравнением у" + ту = 0, заключаем, что р ^ -?«. Действительно, у
всякого нетривиального решения уравнения у" 4- ту = 0 расстояние
между последовательными нулями равно -4= (половина периода).
Если предположить, что нашлось решение у" + Q{t)y = 0 и такие два
его последовательных нуля t\ и t2, для которых t2—t\ > -^,то
можно будет указать решение у = A sin (y/mt + S) уравнения у" +my = 0,
два нуля которого попадут внутрь отрезка [ti, *г]*^» что
противоречит теореме. Аналогично устанавливается, что р ^ -?==.
Выскажем некоторые суждения по поводу расстояния между
нулями уравнения Бесселя
х2у" + ху' + (х2 - п2)у = 0.
С помощью замены
получим уравнение
*)Это достигается подбором начальной фазы S.

192 Глава XIII. Линейные уравнения второго порядка
Сравнив с уравнением z" + z = 0, делаем следующие выводы:
1. Если \п\ > |, то расстояние между нулями решения уравнения
Бесселя больше 7Г (за М берется 1).
2. Если \п\ < |, то указанное расстояние меньше 7г (за m берется
1).
3. При достаточно больших значениях х расстояние между
нулями становится как угодно близким к 7Г.
§ 2. Понятие о краевых задачах
Начальные условия задачи Коши позволяют выделить из общего
решения частное. Возможны и другие условия, приводящие к этому
результату, например краевые или граничные условия.
Мы ограничимся линейными дифференциальными уравнениями
второго порядка и случаем, когда областью определения искомой
функции y(t) является промежуток [0, /], на концах которого заданы
значения y(i):
У@) = 2/о, УA)=У1-
В общем случае задаются не сами эти значения, а какие-то
функции от них (чаще всего линейные).
К краевым задачам сводятся математические модели многих
физических задач:
— полет снаряда из точки А в заданную точку В;
— определение состояния статического равновесия упругой
балки, закрепленной в граничных сечениях, под действием
распределенной внешней силы /(ж) и др.
Пример. Найти решение уравнения
у" + у = о,
удовлетворяющее условиям: у@) = 0, уA) = yi (у\ ф0\1 ф гиг).
Общее решение уравнения у = Cicost + C^sin*. При С\ = О
2/@) = 0. Найдем Сг, чтобы удовлетворялось второе граничное
условие
C2sinJ = ^, С2 = -^-г
sin/
Получили единственное решение нашей краевой задачи у = ^j sin t.

§ 2. Понятие о краевых задачах
193
Случай Z = пп (yi = 0 или yi ф 0) проанализируйте сами. Л
Остановимся на изучении краевой задачи для линейного
дифференциального уравнения второго порядка.
y"+Pl(t)y'+P2(t)y=P3(t),
У@) =t/0) y(l) = yj.
Линейной заменой z = у — уо — yi~yot краевые условия
приводятся к нулевым z@) = z(l) = 0. При этом сохраняется линейность
уравнения. Поэтому будем считать, что у о = yi = 0.
Умножив обе части уравнения A) на p(t) = е-* Pl^df, приводим
его к виду
|(Р(%')+9@» = /(*),
в котором принято рассматривать это уравнение. Здесь q(t) =
= p2(t)efpi{t)di; л f{t) =рз@е/р1(')л.
Итак будем изучать краевую задачу
|(p(*)»')+9@tf = /(*), B)
»@) = 2/@ = 0. C)
Этот ее вид называется каноническим.
А) Краевая задача для однородного уравнения
Краевая задача для однородного уравнения (т.е. f(t) = 0) с
однородными граничными условиями (т.е. у@) = уA) = 0) называется
однородной. Однако неоднородной называется задача, в которой f(t)
обязательно не является тождественным нулем (о граничных
условиях не говорится, так как любые граничные условия можно привести
к нулевым).
Однородная задача всегда имеет тривиальное решение y(t) = 0.
Особый интерес с точки зрения существования нетривиальных
решений имеют задачи на собственные значения: определить значения
параметра Л, при которых существуют нетривиальные на [0, /]
решения задачи
i Шу') + я(*)У + Ар(*)у = 0,
dt
2/@) = 0, у@ = 0.
7 Ф. А. Шолохович

194 Глава XIII. Линейные уравнения второго порядка
Здесь p(t) заданная непрерывная на [0, /] функция.
Такие значения Л называют собственными значениями, а
соответствующие им нетривиальные решения — собственными функциями
краевой задачи на собственные значения. К задачам на собственные
значения приводятся, например, задачи о поперечных колебаниях
упругого стержня, о звуковых колебаниях в трубах и др.
Б) Краевая задача для неоднородного уравнения.
Функция Грина
Как мы увидим, решение задачи B)- C) легко выражается через
так называемую функцию Грина G(t, s), с областью определения t ?
б [o,q; «е @,0.
Определение. Функцией Грина G(t, s) краевой задачи B)-
C) называется функция, обладающая следующими четырьмя
свойствами:
1. При каждом фиксированном s G @,/) функция G(t,s)
непрерывна по t в промежутке [0,/].
2. G(t,s) как фупк ^ия переменной t удовлетворяет уравнению
^0К«)у')+ «(*)» = о D)
на всем отрезке [0,/], за исключением точки t — s.
3. G(?, s) удовлетворяет граничным условиям
G{Q,8) = G(l,8) = Q.
4. В точке s = t производная G't(t,s) имеет разрыв 1-го рода со
скачком ^у (т.е. G[(t + 0Л) - G[(t -0,e) = ^).
Укажем метод построения такой функции. Она будет
определенным образом сконструирована из двух решений у\ (t) и уг@
соответствующего однородного уравнения D).
Решение y\(t) определим как решение задачи Коши для
однородного уравнения с начальными условиями
2/i@) = 0, у[@)=у[^0.
Будем считать, что у\ (/) ф 0. Как правило, так и бывает: случай
2/1 @) = 2/i (/) = 0 реализуется в виде исключения. Если случилось,
что t/i(/) = 0, изменим у\.

§ 2. Понятие о краевых задачах
195
Находим нетривиальное решение yi{t), удовлетворяющее 2-му
граничному условию
Ы*)=о.
Очевидно, что Ciyi(O) = 0, Сг2/2@ = О ПРИ любых С\ и С2. Ясно
также, что ух(t) и yi{t) линейно независимые функции, так как yi(l) ф О
(две линейно зависимые функции обращаются в нуль в одних и тех
же точках).
Осуществим подбор произвольных постоянных С\ и С2 так,
чтобы функция
пи ч /Ciyi(t) при 0^*0, /СЛ
С2У2(*) При S^*^/
обладала всеми четырьмя свойствами функции Грина. Собственно,
2-е и 3-е условия выполняются при любых С\ и Сг, поэтому
уравнения для нахождения С\ и Съ получатся из условий 1 и 4.
Из 1-го:
Из 4-го:
С2У2{8) = С1У1C) \
C2y'2(s)-Ciy[(s) = 1fc ]• W
Определитель системы F) есть определитель Вронского линейно
независимых решений y\{t) и уг@- Заменим букву t буквой s и
обозначим этот определитель W(s). Очевидно, W(s) ф 0. Из системы
F) находим
с 2/2 (*) . с yi(s)
1 p(s)W(s)' 2 p(s)W(s)' У }
Докажем, что знаменатель p(s)W(s) есть постоянная величина,
не зависящая от s.
А А
~dspW = ~ds ^УхУ'2 " У2У^ = p'(yiy2 ~ 2/2y'i)H-
+ Р(У[У12 + У1У2 - У2У1 - У2У1) = Р'{У\У2 - У2У[) +PB/i2/2 - У2У1) =
= 2/1 (У2/2 + РУ%) - У2(р'у[ +РУ") = 2/i(P2/2)' - 2/2(P2/i)'-
Итак, мы получили следующее тождество (переменную 5 снова
переименуем для удобства в переменную t):
lp(t)W(t)=y,(t)jt \p{t)y'2{t)] -Уа(*)| b(<)y'i(<)]- (8)

196
Глава XIII. Линейные уравнения второго порядка
Но г/1 (t) и у2@ — это решения однородного уравнения D)
^[Р2/2]+92/2 =0,
^Ь2/1]+?У1 =0.
Умножим первое уравнение на t/i(?)> второе на уг@-
2/1^[Р2/2] + 92/22/1 = 0, У2-^\ру[] + 92/12/2 = 0-
Вычтя из первого уравнения второе, мы увидим, что правая часть
равенства (8) равна нулю, следовательно, p(s)W(s) есть величина
постоянная. Обозначим p(s)W(s) — j^. Подставляя G) в формулу
E), получим
t,s) = KV
G(t,s) = KtMt)y2{s)> °^°'
1 «2@*1 W. S^t^l.
Построение функции Грина закончено.
Легко усмотреть и доказать симметричность функции: G(t, s) =
= G(s,t).
С помощью функции Грина решается неоднородная краевая
задача с нулевыми граничными условиями. Уравнение ^[р2/;] + ЯУ =
= f(t) распишем в виде
py"+p'y' + qy = f(t) (9)
i
и покажем, что функция у — f G(t,s)f(s)ds является решением это-
о
го уравнения.
При вычислении производных учтем особенности функции Грина
в точках t — s.
Воспользуемся формулой дифференцирования интеграла, зави-
0(t)
сящего от параметра. Если J(t) = / F(t,s)ds, то
а@
0(t)
^it) = J F[(t,s)ds^flf(t)F[tJ(t)}-a,(t)F[t,a(t)}.

§ 2. Понятие о краевых задачах
197
Поэтому
y'(t)= f G't(t,s)f(s)ds= f G[(t,s)f(s)ds + f G't(t,s)f(s)ds.
Jo Jo Jt
s\
I
0
к •
t<5 /\
/t>5 ;
/
t
Рис. 20
Прежде чем вычислять вторую
производную, заметим, что к прямой t = s
функция G'(t,s) подходит с разными
значениями из нижнего и из верхнего
треугольников (см. рис. 20). Из
нижнего это будет G[(t -f 0,?), а из
верхнего — G[(t — 0,?). Кроме этого учтем,
что в промежутках [0, t) и (t, /] функция
G(t,s) обладает первой и второй
производными (она построена с помощью
решений yi(t) и 2/2@)
дифференциального уравнения второго порядка.
+
!/"(*)= / G^(t,s)f(s)ds + l.G't(t,t-0)f(t)-
Jo
+ f G'^(t,s)f(s)ds-l-G't(tyt + 0)f(t).
В точке t = s вторая производная не существует, но интеграл
но всему промежутку [0,1] существует. Кроме этого воспользуемся
равенствами G't(t, t - 0) = G't(t + 0, t) и G[{t, t + 0) = G[(t - 0, t).
Поэтому можно записать
y"{t)= [ G,;2(t,s)f(s)ds + G't(t + 0,t)f(t)-G'l(t-0,t)f(t),
Jo
y"(t)=fG'Mt,s)f(s)ds+^.
Подставим функцию y(t) в уравнение (9)
p(t) (j'G^t,s)f(s)ds + ^\ +p'(t)^G't(t,e)f(s)ds+
+ q(t) f G(t,s)f(s)ds = f(t).
Jo

198
Глава XIII. Линейные уравнения второго порядка
Аргумент t не является переменной интегрирования, поэтому
p(t), p'{t), q(t) можно внести под знак интеграла. Получим
/ WW*(t, s) + p'@Gj(*, a) + q(t)G(t, з)] f(s) ds + f(t) = f(t).
Jo
Выражение в квадратных скобках есть тождественный нуль, так
как G(t, s) удовлетворяет по свойству 2 однородному уравнению D).
Мы доказали, что функция у = J G(t, s)f(s) ds является решени-
0
ем неоднородной краевой задачи. Она удовлетворяет также и
нулевым граничным условиям (см. свойство 3).

Глава XIV
Уравнения в частных
производных первого порядка
В этой главе будут рассмотрены отдельные типы уравнений в
частных производных первого порядка, решение которых опирается
на методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Общий вид уравнения первого порядка, разрешенного
относительно одной из частных производных:
dz _ dz dz dz dz
— — /^Xi, . . . , Xnj Z, — , . . . , — , — , . . . , — ). {I)
axk oxi oxk-i axjt+i oxn
Укажем сразу на одну особенность, отличающую уравнения в
частных производных от уравнений обыкновенных. Эта особенность
выявляется на простом примере.
Уравнение ^х = У' ^г0 Решение z — ХУ + ф(у) содержит
произвольную функцию (р(у)у в то время как общее решение
обыкновенного дифференциального уравнения содержит произвольные
постоянные, а не произвольные функции. Для выделения конкретного
решения из всей совокупности решений уравнения A) нужны
дополнительные условия. Их мы и сформулируем.
Задача Коши. Задано уравнение A), функция
z = ц>(х\,..., хк-и xk+i,..., хп) B)
и число
х°к. C)
Требуется найти решение z — Ф(х1,...,хп) уравнения A),
удовлетворяющее условию
<?(xb...,Xfc_i,x^x*+1,...,xn) = ^(xb...,xfc__1,x*.H,...,xn). D)

200
Глава XIV. Уравнения в частных производных
Здесь B), C) называют начальными данными задачи Коти, а D)
ее начальным условием.
Если искомая функция z зависит от двух переменных х и у, то
уравнение A) превращается в уравнение |~ = /(x,y,z, щ) (или щ =
= f(x,y,z, §^)), задается число х0 (или у0) и функция z = ц>(у) (или
z = </?(х)).
Искомой функции z = z(х, у) соответствует поверхность,
которую мы назовем интегральной. Задача состоит в отыскании
интегральной поверхности, проходящей через заданную кривую,
лежащую в плоскости х — xq (или у = уо). Естественной является замена
плоской начальной кривой на произвольную кривую пространства
Oxyz. Задачу в такой постановке называют обобщенной задачей Ко-
ши. В ней начальная кривая может быть задана как линия
пересечения двух поверхностей
(Fl(z,y,z)=0
\F2(x,y,z) = Q.
Ниже, в §3, излагается решение этой задачи в случае линейного
уравнения с искомой функцией z = z(x,y).
Уравнение вида
_ _ . ч dz __ . ч dz
А1 (я?1,..., хп) -г— + Х2 (хг,..., хп) •— + ... +
ох\ ах2
Bz
+Xn(xu...,xn)—=0 (I)
называется линейным однородным уравнением в частных
производных первого порядка, а уравнение вида
хг / ч dz „ , ч dz
Xx{xi,...,xn,z)-z— +Х2(хь...,яп,2)?— +...+
дхх ^ дх2 (Щ
+Xn{xu...,xn,z)— = Z(xb...,xn,z)
называется линейным неоднородным уравнением первого порядка.
Будем считать, что в соответствующей области переменных xi,...,
п п
хп или Xi,...,xn,2 Y1 X? Ф 0 для уравнения (I), ^2 Xf Ф 0 для
уравнения (И) и входящие в уравнение функции Xi и Z непрерывно
дифференцируемы.

§ 1. Линейные однородные уравнения в частных производных 201
§ 1. Линейные однородные уравнения
в частных производных первого порядка
Вместе с уравнением (I) рассмотрим систему обыкновенных
дифференциальных уравнений
— = Xi{xi,...,xn),
— = X2(xi,...,?n),
A)
dxn
dt
= Xn(xi,...,xn).
Воспользуемся критерием для первого интеграла из главы IV. По
критерию функция U = U(xi,... ,хп) будет решением уравнения в
частных производных (I) тогда и только тогда, когда эта функция
является первым интегралом системы обыкновенных
дифференциальных уравнений A).
Замечание В главе IV отмечено, что произвольная
(непрерывно дифференцируемая) функция от первых интегралов сама
является первым интегралом. Для решений щ (х\,..., хп),..., ит(х\,
..., хп) уравнения (I) это означает, что U\u\{х\,..., хп),..., иш(х\,
..., хп)], где Щщ,..., ит], — произвольная непрерывно
дифференцируемая функция с достаточно широкой областью определения,
также является решением уравнения (I).
Для нахождения первых интегралов полезно записать систему
A) в симметричной форме
dx\
dxo
dxn
Xi (xi,..., xn) X2(xi,...,xn)
Xn(xi,...,xn)'
Решения щ(xi,..., xn),..., wn_i{x\,..., xn) уравнения (I) называют
независимыми в точке, если в этой точке ранг матрицы
/ ЙН1
дхх
8 Ф. А. Шолохович
1 ди*-1
\ дхх
дщ
дХ2
диц
дх2
дип.
дх2
дих
дхп
§U2
дхп
\
дип.
дх,
B)
V

202
Глава XIV. Уравнения в частных производных
равен п — 1. Элементы матрицы — функции непрерывные,
поэтому ранг матрицы равен п-1в некоторой окрестности упомянутой
точки.
Оказывается, знание п - 1 независимых решений уравнения (I)
позволяет выразить произвольное решение этого уравнения.
Действительно, подставим в уравнение (I) произвольное решение U =
= U(x\,...,хп)и известные независимые решения щ (xi,..., хп),...,
un-i(si,. • • ,яЛ)- Получим систему
1dxi
±*<к=°-
i=l
C)
5>
v t=i
dxi
о,
которую можно рассматривать как линейную алгебраическую
систему относительно величин Х\л..., Хп. Эта система имеет
нетривиальное решение Х\(х\,..., хп), ..., Хп(х\,..., хп) в любой
точке (xi,..., хп) упомянутой выше окрестности, так как по условию
п
? X? ф 0. Поэтому определитель системы C) равен нулю, что озна-
«=i _
чает зависимость между функциями E7,ui,.. .,wn. Итак,
определитель матрицы
/
аи
dm
dxi
dU
0X2
dm
Эх2
dU \
dxn %
dxn
\
Attn-!
dxi
dun-
dx2
dxn I
равен нулю, в то время как функции щ (xi,..., х„), ..., ttn-i(sb • • • >
хп) независимы. Из теории неявных функций известно, что U
выражается в этом случае через функции щ,... ,ип-ъ те- существует
такая функция Ф(щ,... ,un_i), что
[7 = Ф[и1(хь...,хп),...)ип-1(х1,...,хп)].

§ 2. Линейные неоднородные уравнения в частных производных 203
Пример. Найти вид произвольного решения уравнения
у/*Ы+ >/$$? + >/*% = о-
Выписываем соответствующую систему в симметричной форме
dx _ dy _ dz
\fe ~ у/У " у/г'
Из уравнений 4| = Щ± и ^ = ^| получаем два независимых
первых интеграла: щ (х, у) = у/х - у/у и и2(з/> z) = у/у - yfz.
Ответ: / = Ф(у/х — у/у, у/у — y/z), где Ф — произвольная функция
двух переменных, обладающая указанными выше свойствами. Л
§ 2. Линейные неоднородные уравнения
в частных производных первого порядка
Обратимся к уравнению (II). Его еще называют почти линейным,
или квазилинейным. Обратите внимание на то, что искомая функция
z может входить в уравнение (II) нелинейно.
Уравнение (II) решается путем сведения к однородному
уравнению, правда, искомая функция получается при этом в неявном виде.
Предполагаем, что функция z(x\,..., хп), удовлетворяющая
уравнению (II), задается как неявная функция уравнением
и(хь...,жп,2;) =0 A)
и jf* ф 0 в соответствующей области. По известным формулам
я Mil
OXt Ж
Подставим эти выражения в уравнение (II), умножим на jf*,
перенесем все слагаемые в одну часть. Получится уравнение
^ / \ 9и „ . ч du
Ai(zb...,xn,2)— + ... + Лп(л,...,хп,г)-— +
du
+Z(xu...,xn,z)— =0, B)

204
Глава XIV. Уравнения в частных производных
которое является однородным с искомой функцией
«(*!,..., xn,z).
C)
Осталось, казалось бы, найти эту функцию, приравнять ее к
нулю и на этом закончить решение. Следует, однако, обратить
внимание на следующее обстоятельство. Назовем область переменных
2i,...,xn,?, в которой рассматриваются коэффициенты уравнения
B), буквой G. Применяя обычные приемы нахождения решения
(например, с помощью первых интегралов системы в симметричной
форме), мы получаем функцию C), удовлетворяющую уравнению
B) во всей области G.
Вместе с тем функцию z мы находим из уравнения A), поэтому
достаточно, чтобы функция и удовлетворяла уравнению B) только
в точках гиперповерхности и(х\,..., хП1 z) =0.
Уяснить эту ситуацию мож-
z 4 но с помощью рис. 21 и при-
Область G
мера, в котором имеет ме-
\ поверхность «-« сто описанная ситуация. Ре-
шения уравнения B),
удовлетворяющие этому уравнению
только на поверхности и = 0,
i называют специальными.
Пример.
Рис. 21
dz
dz
-(l + N/^T^) + _ = 2.
Ищем решение z в виде и(х,у, z) = 0. Для функции u(x,yyz) = 0
получаем уравнение
k ди ди „ди
D)
Выписываем систему в симметричной форме
dx _ dy __ dz
l + y/z-x^ ~ T ~~ T'
Из уравнений ^ = 4f получаем 2y — z = C\. Вычитая из 3-го отно-
•Х-У + С2-

§ 3. Характеристики. Задача Коти
205
Произвольное решение уравнения D) имеет вид и = ФBу — z,z +
+4y/z — х — у), а г следует находить из уравнения
ФBу - г, г 4- V* - х - у) = 0.
Существует, однако, и специальное решение. Функция и = г — х — у
удовлетворяет уравнению D) только на поверхности (плоскости)
z — х — у = 0, в чем легко убедиться непосредственно. Специальным
является решение z = ж + у. Как видим, оно не содержит ничего
«произвольного», что помогло бы удовлетворить каким-то
добавочным условиям. Л
§ 3. Характеристики. Задача Коши
1. Геометрическая интерпретация квазилинейного
уравнения в частных производных первого порядка
Чтобы получить наглядное представление, рассмотрим
уравнение
Х(х,у,г)-? + Г(я,у,г)^ = Z(x,yyz), (l)
в котором искомая функция зависит всего от двух аргументов ж и у.
На коэффициенты уравнения накладываются обычные
требования: в некоторой области G они непрерывно дифференцируемы и
X2+F2 + Z2#0.
Вектор F = Х(х, у, z)i + Y(x, у, z)j + Z(x, у, z)k задает векторное
поле в области G. Гладкая кривая, в каждой точке которой
направление касательной совпадает с направлением поля, называется
векторной линией или линией тока. Пусть х = x(t), у — у(?), z = z(t) —
такая линия. Вектор т = idx + jdy + kdz лежит на касательной,
поэтому он коллинеарен вектору F:
dx _ dy _ dz
Х(хЛуЛг) Y(x,y,z) Z(x,y,z)'
Мы пришли к системе обыкновенных дифференциальных
уравнений. Оказалось, что фазовые траектории этой системы являются
линиями тока. Для уравнения A) линии тока называются
характеристиками.

206
Глава XIV. Уравнения в частных производных
Предположим, что функция z = z(х, у) является решением
уравнения A). Вектор N = {||; |j; — 1} направлен по нормали к
поверхности z = z(x,y).
Уравнение A) означает в этом случае равенство нулю скалярного
произведения векторов F и N: (F, N) = 0, т.е. ортогональность
векторов F и N. Очевидно, верно и обратное: если для гладкой
поверхности z = z(x,y) в каждой точке выполняется условие {F,N) = 0,
то функция z = z(x, у) является решением уравнения A). Из
сказанного вытекает, что любая гладкая поверхность, составленная из
характеристик, является интегральной.
Если уравнение поверхности записано в виде u(x,y,z) = 0, то
условие (F, N) — 0 превращается в уравнение
X(x,y,z)— + Y(x,y,z) — + Z(x1yiz)— = 0,
что соответствует уравнению B) из предыдущего параграфа.
2. Решение задачи Коши
Сначала обратимся к геометрическим представлениям. Система
уравнений B) задает множество характеристик для уравнения A) в
области G. Начальная кривая, нанизывая на себя характеристики,
выделяет поверхность, которая будет интегральной при условии, что
начальная кривая гладкая и не является характеристикой. В
противном случае либо не существует решения, либо этих решений
бесконечно много (и тогда все гладкие поверхности, составленные из
характеристик и содержащие начальную характеристику, будут
интегральными). Для получения семейства характеристик находятся два
независимых первых интеграла ipi(x,yyz) = с\ и <p2(x,y,z) = С2
системы B). Каждой паре чисел (сьёг) соответствует характеристика
в области G, задаваемая пересечением поверхностей ipi(x,y,z) = с\
и <p2(x,y,z) = с2.
Возможно, облегчит понимание такая интерпретация. Вообразим
сечение множества G плоскостью с координатными осями Ос\ и 0^2-
Пусть каждая характеристика пересекает плоскость в точке со
своими координатами с\ и сг- Соединить характеристики в поверхность
можно с помощью кривой Ф(с1,сг) = 0 на упомянутой плоскости.
Для получения нужной кривой следует каждую точку начальной

§ 3. Характеристики. Задача Коши
207
кривой спроектировать по пересекаемой ею характеристике на
плоскость с\Ос2. Заметим, что если начальная кривая является
характеристикой, в плоскости с\ Ос2 ее проекцией будет одна точка.
Произвольные гладкие кривые, проходящие через эту точку плоскости
С1ОС2, выделят бесконечное множество интегральных поверхностей,
решающих данную начальную задачу Коши.
Перейдем к аналитическому решению задачи Коши. Рассмотрим
систему (III), объединяющую две системы (I) и (II).
} (Ш)
(Fl(x,y,z) = 0A
()\F2(xyyJz) = 0] |
,nxfv>i(s, У, *) = -*,
\ip2(x,y,z) = c2.)
Задана начальная задача Коши. Система (I) определяет
начальную кривую. Вычислены независимые первые интегралы <pi(xyyyz)
и <p2(x,y,z) системы B) (см. (II)). Предположим, что хотя бы
теоретически возможен нижеследующий порядок действий.
Из системы (I) выражаем у = у(х) и z = 2B:), т.е. находим
параметрические уравнения для начальной кривой. Подставляем у(х)и
~z(x) в уравнения системы (II) и обозначаем получаемые слева
функции от х через Ф\(х) и Ф2(х) :
Фх(х) = <pi[x,y(x),z(x)] = ci;
Ф2(х) = ip2[x,y(x),z(x)] = с2.
C)
Исключаем х из уравнений Ф\(х) = с\ и Ф2{х) = с2 и приходим к
уравнению
Ф(сьс2)=0. D)
Искомое решение z = z(xyy) начальной задачи Коши задается как
неявная функция уравнением
*[<Pi(x,y,z),tp2{x,y,z)] = 0- E)
Нужно показать, во-первых, что (в соответствии с §2) функция
и = Ф[(р\(я,t/,z), ц>2(#>У'» z)} удовлетворяет уравнению
du 3xl du
X(x,y,x)—+Y(x,y,x) — + Z(x,y,x)j? = 0 F)

208
Глава XIV. Уравнения в частных производных
и, следовательно, уравнение E) определяет решение z уравнения A)
как неявную функцию х и у, а во-вторых, что поверхность E)
содержит начальную кривую.
Первое доказывается с помощью Замечания из §1: интересующая
нас функция u = $[<Pi{x,y,z)ytp2(x1y>z)] является некоторой
функцией от двух решений уравнения F) и, следовательно, сама является
решением уравнения F).
Докажем второе. Подставим функции у = у(х) и z = г(х),
задающие начальную кривую, в уравнение E). В принятых обозначениях
получаем
= Ф[Ф1(х),Ф2(ж)] = Ф(с1>ра) = 0.
Это тождество относительно х, так как х в последнем выражении
вообще отсутствует. Изменяя х, мы движемся по начальной кривой,
а проекция движущейся точки не сходит с линии Ф(с1,С2) = 0 в
плоскости CiOc2- Можно рассуждать и так: уравнение Ф(сх,С2) = 0
получилось исключением х из уравнений Фг(х) = сь Фг(х) = С2-
Если вместо Ci подставить Ф1(х), а вместо с2 подставить Фг(х), то
получится тождество Ф[Ф1(х),Ф2(х)] = 0.
На практике поступают следующим образом: из каких-нибудь
трех уравнений системы (III) выражают х,у и z через с\ и С2,
после чего находят связь между с\ и сг с помощью оставшегося 4-го
уравнения.
Пример. Решим задачу Коши для уравнения
ndf -df ,-df Л
с начальным условием: при х = 1/ = у — z. В§1 найдены два
независимых решения данного уравнения.
Выписываем 4 уравнения системы (III)
х = 1,
y/x-y/y = ci,
Из последних трех уравнений выражаем х,у и z через с\ и С2.
Получаем у/у = 1 - с\\ y/z = 1 - ci - с2; / = A - ciJ - A - a -.c2J-

§ 4. Система двух уравнений в частных производных
209
Прежде чем заменять С\ и сч левыми частями первых интегралов,
упростим последнее выражение:
/ = A - сгJ - A - ClJ + 2A - сх)с2 -4= с2B - 2d - с2).
/ = (v/У- \Г*){>/У + уД+ 2 - 2v?).
Окончательно
/ = у - z + 2A - y/i~)(y/y - yfz).
Видно, что полученное решение удовлетворяет начальному
условию. А
§ 4. Система двух уравнений в частных
производных первого порядка
Произвольное уравнение в частных производных первого
порядка для функции z от двух переменных х и у имеет вид F(x, у, z, ||, щ)
= 0. Если потребовать, чтобы функция z удовлетворяла еще и
другому уравнению ?(я,2Л<г, §§, fj) = 0, то система F = 0 и G = 0,
как правило, окажется противоречивой. Если, однако, эти
уравнения совместны, то нахождение их общего решения является более
простой задачей, чем определение искомой функции z — z(x,y) no
одному уравнению F = 0.
Найдем условие совместности двух уравнений. Предположим,
что систему
', dz dz.
F(w'^'%)=0'
dz dz
можно разрешить относительно производных, и запишем ее в виде
dz At \
— =A(x,y,z),
dz V
Будем считать функции A(x1y^z) и B(x,y,z) непрерывными в
области G вместе со своими частными производными %?, ^4, ^~, ^.

210
Глава XIV. Уравнения в частных производных
Выведем необходимое условие совместности. Допустим, что система
A) имеет решение z = z(x,y) и это решение подставлено в ее
уравнения. С учетом высказанных условий существуют производные от
правых частей уравнений системы — первой по у, а второй по х.
Значит, существуют и соответствующие производные от левых частей.
Имеем
_&z__dA дА dz_ Я^_дВ_ дВ_ dz_
дхду ду dz ду1 дудх дх dz дх'
Левые части непрерывны, так как непрерывны правые части.
Поэтому смешанные производные равны. Можно приравнять правые
части, заменив || на В и || на А. Получаем необходимое условие
совместности системы A):
дА дА dz__<№ сШ dz_
ду dz ду дх dz дх
Условие B) является конечным (т.е. не дифференциальным)
уравнением, связывающим х, у и z. Вначале предположим, что
равенство B) не является тождеством, тогда оно определяет z как одну
или несколько неявных функций от х и у. Каждую нужно
подставить в систему и отобрать те из них, которые удовлетворяют обоим
уравнениям системы A). Если же таковых не окажется, то система
A) несовместна, так как всякое ее решение A) должно удовлетворять
условию B). Если из условия B) найдется решение системы A), то
оно не будет содержать ни произвольных постоянных, ни
произвольных функций, что делает его мало интересным (нечем
распорядиться, чтобы удовлетворить дополнительным условиям).
Приходим к выводу: для того чтобы решение системы A)
зависело хотя бы от одного произвольного параметра, необходимо, чтобы
равенство B) выполнялось тождественно в области G.
Тождественное выполнение равенства B) является достаточным условием
совместности системы A) (см [2]). Опишем алгоритм поиска решения в
этом случае.
В первом уравнении системы A) считаем у параметром и
интегрируем обыкновенное дифференциальное уравнение ^| = А(х, у, z).
Заменяем произвольную постоянную функцией и(у). Полученное
выражение для z подставляем во второе уравнение системы A) и

§ 4. Система двух уравнений в частных производных
211
приходим к обыкновенному дифференциальному уравнению с
искомой функций и(у). Решаем это уравнение, находим функцию и(у)
и подставляем в выражение для z. Полученное решение будет,
очевидно, содержать произвольную постоянную. Можно описанные
действия начинать со второго уравнения системы A).
П р и м е р 1. Среди функций, удовлетворяющих уравнению а;§§ +
~*~УЪу = ®' наити такие, которые удовлетворяют и уравнению (|^) -I-
(«г-
2
Разрешим систему данных уравнений относительно
производных. Находим из первого уравнения || = — ^fe и подставляем во
второе
(•¦$)«)'
+ Уг
Отсюда
dz ax
dy х2 + у2
Получаем систему уравнений
dz ay
dx x2 + у2'
ЭЛ_ ax2 - ay2 OB ay2 - ax2 дА ^ (W =
ду ~Т(х2+у2J' dx ~~ (x2 + y2J'' dz ~ dz" *
dz _
ay2 -
ax
х^Ту2"'
- ax2 dA
Равенство B) оказалось тождеством. Интегрируем уравнение Ц =
= Т а?ь получаем z — =ра • arctg - + u(y). Подставляем z во второе
х -\-у у
уравнение
Та- — \ —^ 1 4- уЦу) = ±^—
У
ах
^2'
Отсюда г/'(у) = 0, u(i/) = С.
Искомой функцией является z = та • arctp * + С
Пример 2. ff=2 + t/z, If = z2 + 2x2r*
Для этой системы условие B)
z + A + y)(z2 + 2xz) = 2г + 2(z + ж) • гA + у)

212
Глава XIV. Уравнения в частных производных
тождеством не является. Имеется решение z — 0. Сократив на г,
получим
1 + A + y){z + 2х) = 2 + 2(г + *)A + у),
A + y)(z + 2x-2z- 2x) = 1, A + j/X-г) = 1.
Отсюда z = —утг- Эта функция решением не является. При
подстановке в первое уравнение получаем 0 = — 1. Л

Добавление 1.
Продолжение решения по времени
В теории устойчивости по Ляпунову, в других разделах теории
дифференциальных уравнений решения должны быть
«неограниченно продолжаемы вперед», т.е. существовать на бесконечном
промежутке [t0, +oo). Простой пример показывает, что это свойство
может не выполняться. Дифференциальное уравнение ^ = 1+ж2 имеет
частное решение х = tgt, не существующее в точках \ + птг.
Для доказательства теоремы о продолжимости решения по
времени понадобится вспомогательное утверждение.
Лемма (Грануолл - Беллман). Если выполняется неравенство
u(t)^C+ [ u(r)v(r)dT, A)
Jto
еде С ^ 0; u(t) ^ 0, v(t) ^ 0, t ^ to, то выполняется и
неравенство
u(t)^Cef'ov{T)dT. B)
Предполагается, что написанные интегралы существуют.
Доказательство. При u(t) = 0 лемма очевидна, поэтому
предполагаем в дальнейшем u(t) > 0.
Пусть вначале С > 0. Обе части неравенства A) делим на правую
часть и умножаем на v(t):
С + ?«(тМт)с*г
Числитель левой части есть производная знаменателя. Интегрируем
в пределах от to до t.
In\С+ J u(t)v(t)\ dr-lnC< / v(t)cLt,
I Jto I Jto
отсюда
C+ / u{T)v{T)dT^Cer«>v{T)dT.
Jto

214
Добавление I. Продолжение решения по времени
По неравенству A) u(t) не превосходит левой части данного
неравенства. Для С > 0 лемма доказана.
Теперь положим С = О, и A) превращается в неравенство u(t) ^
^ ft u(r)v(r)dT. Это неравенство лишь усилится, если при S > О
записать u(t) ^&+Jto u(r)v(r) dr. По доказанному u(t) ^ Se^'o w*r' r.
Здесь S может быть как угодно малым. Но u(t) ^ 0, поэтому u(t) = 0.
Этот случай уже разобран вначале. Лемма доказана. D
Говорят, что векторная функция /(?, X) = {/i (t, X),..., fn(t, X)}
при \Х\ ~? оо растет не быстрее линейной функции в
промежутке (а,/3), если существует такая непрерывная в этом промежутке
функция F(t) > О, что выполняется неравенство
f>(*,x)|^F(t)h+?>(*)!J • О)
(Смысл названия можно уяснить, рассмотрев неравенство C) для
функции /(х). Получится \f(x)\ ^ аA + |х|) = а + а|х|, где а —
постоянное число.)
Назовем Г* область переменных t, хь..., хп, определенную
неравенствами а < t < /3, —оо < Х{ < 4-оо, z = 1,п (для а и /? не
исключаются бесконечные значения).
Теорема. Пусть дана система
-^ = Ш,хи ... ,хп)(г = М) или — = F(*,X) D)
и функции /j(?,xi,... ,xn), M ,Xb...,zw) ^ д. = ^ п^ определены и
непрерывны в области Г*. Предположим, что функция F(?, X) при
\Х\ —> оо растет не быстрее линейной. Тогда каждое непродолжа-
емое решение системы D) определено на всем интервале (а,/?).
Доказательство. Проведем его для правой стороны.
Допустим от противного, что нашлось непродолжаемое решение {xi(t)} с
интервалом определения (mi, тг) и шг < 0- Пусть to —произвольное
число интервала (тьтг). Существует такое число К > О, что на
отрезке [?о,тп2] F{t) ^ К. Пользуясь леммой о равносильности задачи
Коши и интегрального уравнения, можно записать
*?+ / Л(г,*!
•/to
a?tW=«?+/ Л^х^г),...,^^))*, *>*o, a?? = «t(«b).

Добавление 1. Продолжение решения по времени
215
MOI ^ |«?|+ /*|/«(^*1(г),...,*л(т))| dr.
Суммируя по г от 1 до п, получим
Х>«(«I $ 5>?(*)| + Г |Ё|Л(г'*ь-,*п)|] dr^
t=i i=i •''о Li=i J
< Е l*?wi+ Г F^ A+fl мт)\) dr^fl l*?wi+
t=l •/t<> \ t=l / t=l
+ Г * f1+E i*«(t>i)dT < E l*?wi+
•''o \ i=l / »=1
4^-«o) + jf*(El*«(T)l)*--
Усилим неравенство, заменив ? на rri2, и введем обозначения
Е i*<wi < Е Wwi+*<Ш2 - *) + Л*Л Е Mr>i)dr-
n(t) С u(t)
По лемме Грануолла - Беллмана для t € [to, тг] имеем
Е i*«wi < [Ё l*?wi+*(™2 - *>>] е**-»-^ = м.
Рассмотрим замкнутое ограниченное множество Е С Г*
Я = \{t,X)\t € [<o,m2], E|*«| ^ *4 •
t=i
Точка (t,X(?)) для непродолжаемого решения X(t) = {xi(t),...,
zn(?)} не покидает множество ?7, что противоречит свойству 4
непродолжаемого решения. Это противоречие доказывает теорему. D
Следствие 1. Пусть дана автономная система
^ =/,(*,,..., *„)(< = Т^) «д« ^ = f(X) E)

216
Добавление 2. Аттракторы диссипативных систем
и функции /t(a?i,...,яп), * oxk (*> * = 1>п) определены и
непрерывны во всем пространстве W1. Кроме этого векторная функция
f(X) растет не быстрее линейной при \Х\ -4 со.
Тогда решение любой задачи Коши для системы E) определено
на всей оси t, т.е. в промежутке (—со,-Ьсо).
Легко увидеть, что в уравнении ^ = 1 -1- х2 правая часть растет
быстрее, чем линейная функция.
Следствие2. Всякое решение линейной системы
п
Xi = ^а**(*)х*+/«(*), i = T^n
k=\
продолжаемо на весь интервал (а, 0), в котором определены и
непрерывны функции а^ (t), fa (t), (i, к = 1, n).
Ясли /t(?) = 0 и коэффициенты а** постоянные, то всякое
решение продолжаемо на всю числовую ось (—со, +со).
Следствие 2 неоднократно использовалось в лекциях по теории
линейных уравнений.
Добавление 2. Аттракторы диссипативных
систем. Детерминированный хаос
В 80-е годы прошлого столетия существенно возрос интерес к так
называемой хаотической динамике. Исследования по этой тематике
нашли отражение во многих журнальных статьях и монографиях.
Познакомимся кратко с явлениями динамического хаоса в теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Мы будем
рассматривать фазовое пространство G С Шп автономной системы
дифференциальных уравнений.
Группу (—со < t < со) или полугруппу @ ^ t < со)
отображений ф{Ь,Х) области G в себя назовем фазовым потоком.
Предположим, что в фазовом пространстве определен класс измеримых
подмножеств {Q}, мера jz(fi), и фазовый поток переводит измеримое
множество в измеримое множество. Меру //(П) называют фазовым
объемом. Пусть образом множества П в фазовом потоке является
множество (If Если /х(П*) = ^(П), поток называют консервативным,
или лиувиллевым, если же u(Qt) — функция убывающая, то поток
называют диссипативным.

Добавление 2. Аттракторы диссипативных систем 217
Для фазового потока, порожденного системой
дифференциальных уравнений X — f{X) или
*i = /t(«i,X2,...,a;„), г = 1,п,
критерием консервативности является условие
В случае div(/) < 0 система является диссипативной и ее фазовый
объем с течением времени сокращается. Все фазовые траектории
притягиваются к некоторому множеству Л, называемому
аттрактором*).
Примем определение: аттрактором по Лэндфорду называется
множество AcG, удовлетворяющее условиям:
1. А инвариантно относительно фазового потока, т. е. состоит из
целых траекторий.
2. Существует окрестность множества А (область притяжения),
которая стягивается к А под действием фазового потока.
3. А нельзя разложить на два непересекающихся инвариантных
множества.
Основываясь на главе X, можно указать уже известные нам
аттракторы:
При п = 1 (фазовым пространством является прямая) возможен
только один вид аттракторов — устойчивые точки покоя.
При п = 2 возможны только два вида аттракторов: устойчивые
точки покоя (точка имеет нулевую размерность) и устойчивые
предельные циклы (размерность равна 1).
При n ^ 3 появляются также аттракторы в виде устойчивых
инвариантных торов.
*)В дополнении 2, имеющем описательный характер, доказательства не
приводятся.

218
Добавление 2. Аттракторы диссипативных систем
Опишем торы и траектории на них
в пространстве К3. Поверхность тора
получается при вращении
окружности, изображенной на рис. 22, вокруг
оси Oz. Точка на поверхности тора
задается двумя координатами: <рх — по
меридиану шр2~по параллели, а
траектория — параметрическими
уравнениями ipi = ait, <p2 = CL2t. Числа a\
и с*2 называются частотами. Если а\
и a<i соизмеримы (число ^ является рациональным), получится
замкнутая кривая на торе, т. е. цикл. В случае, когда частоты
несоизмеримы (их отношение — число иррациональное), получится
траектория так называемого почти периодического решения, она обвивает
поверхность тора бесконечное число раз и не замыкается. Такие
частоты называют также рационально независимыми.
Аттракторы указанных трех видов называют простыми. В
системах размерности ^ 3 возможны аттракторы другого вида. Их
называют странными.
Мы изучали системы дифференциальных уравнений с
параметрами. Значения параметров, при которых один режим движения
переходит в другой, качественно отличный от первого, называются
бифуркационными значениями, а сама перестройка режима —
бифуркацией. Обратимся к примеру, иллюстрирующему введенные
понятия.
Модель Лоренца
Некоторая реальная физическая задача описывается системой
дифференциальных уравнений
х — оу- ах,
y-rx-y-xz, A)
i = ху — bz.
Истолкование физического смысла уравнений и их коэффициентов
нам не потребуется. Исследование проводится при а — 10, Ь = | и
изменяющемся параметре г > 0.
div(/) = -a ~ 1 - b = -(а + 1 + b) < 0,

Добавление 2, Аттракторы диссипативных систем
219
следовательно, система диссипативна. Точки покоя системы A)
находятся из уравнений ay—ax = 0, тх—y—xz = О, ху—bz = 0.
Получается точка О @,0,0) при всех значениях параметра г и еще две точки
при г > 1 Oi(y/b(r - 1), у/Ь(т - 1),г-1), 02{-ф{г - 1),->/Ь(г - 1),
г — 1). Значение параметра г = 1 является бифуркационным.
Для системы первого приближения характеристическое
уравнение [Л2 + (а + 1)Л + (тA-г)]F +А) = 0 имеет при г < 1
отрицательные корни. Действительно, у трехчлена в квадратных скобках
все коэффициенты положительны, и из условий Ai + А2 < 0; А1А2 > 0
вытекает, что Ai < 0 и А2 < 0, а Аз = —Ь. Поэтому при г < 1 точка
О устойчива.
Дальнейшее исследование системы Лоренца показывает, что
точки 0\ и Ог устойчивы, если <7>6 + 1и1<г<г* — а^*ь**' • При
г > г* точки 0\ и 02 становятся неустойчивыми.
С помощью численного исследования системы устанавливается
(приближенно) еще несколько бифуркационных значений.
С возрастанием г эволюция системы проходит несколько этапов.
В нашу задачу не входит их подробное описание и наглядное
изображение фазовых траекторий*). Отметим лишь два промежутка
значений параметра г:
Рис. 23. Проекция аттрактора Лоренца на координатную плоскость xOz при
с = 10, Ь - 8/3, 24,06 < г < 24,74
*)Подробнее описание эволюции системы Лоренца, снабженное рисунками,
можно прочитать в книге: Лоскутов Л. Ю., Михайлов А. С. Введение в
синергетику. ™ М.: Наука, 1990.

220 Добавление 2. Аттракторы диссипативвых систем
1. 24,06 < г < 24,74. Точки 0\ и 02 устойчивы. Кроме них
имеется предельное множество А, которое называют
аттрактором Лоренца. Его проекция на плоскость xOz изображена
на рис. 23.
В зависимости от положения начальной точки фазовая
траектория притягивается к одному из трех аттракторов: либо к
точке Oi, либо к точке 02, либо переходит случайным образом
от вращения вокруг точки 0\ к вращению вокруг точки Оъ-
Первые два режима называются стационарными, а третий —
хаотическим. Таким образом в системе имеются два простых
аттрактора и один странный.
2. 24,74 < г < 28. Все стационарные точки 0,01,02
становятся неустойчивыми. Аттрактор Лоренца является единственным
устойчивым предельным множеством. Для всех начальных
точек (кроме точек множества меры нуль) осуществляется
хаотический режим движения.
На рис. 24 изображена хаотическая траектория при a = 10; 6 =
= |; г = 28. Горизонтальная плоскость, изображенная на
чертеже, имеет уравнение z = 27.
Рис. 24

Добавление 2. Аттракторы диссипативных систем
221
Критерии динамического хаоса
Движение системы, соответствующее простому аттрактору,
называют регулярным. В противоположность этому динамика
системы со странным аттрактором является хаотической. Хаотичность
проявляется тогда, когда точки фазового пространства, близкие в
начальный момент, в дальнейшем расходятся.
Пусть x\(t) — фазовая траектория системы, х\@) = xj, f € Rn —
произвольный вектор. Обозначим X2(t) решение с начальным
условием х\ Н- <$?, где & — достаточно малое число. Положим d(t) =
= ||xi(t) — Ж2@Н« Характеристическим показателем Ляпунова
называется величина
А@= Ит гЧп-^. B)
VSy *->(М-юо \6\\\?\\ V '
Мы опускаем рассуждения, доказывающие, что Л(?) изменяется
скачками, принимая одно из значений Ai,A2, ..., Л„ (см.
упомянутую книгу Лоскутова, Михайлова). В физической литературе
максимальный показатель Ляпунова обозначают ks или h и называют
энтропией Колмогорова-Синая (КС-энтропией). Глядя на формулу
B), можно сделать следующие выводы:
- если динамика системы периодическая или почти
периодическая, то d(t) не возрастает и h = 0;
- если система имеет устойчивую точку покоя, то d(t) -* 0 и
величина h будет отрицательной;
- в случае хаотичной динамики h > 0.
Таким образом, КС-энтропия h служит критерием хаотичности
движения.
В диссипативной системе со странным аттрактором наблюдается
явление, называемое перемешиванием: начальная область
расплывается по предельному подмножеству фазового пространства. За время
перемешивания принимается величина tmiX = h~l. Считается, что
при t » tmiX описание системы может быть только вероятностным.
С помощью показателей Ляпунова можно провести
классификацию аттракторов диссипативных систем. В скобках будем указывать
знак показателя: — ,0, +.
Одномерные системы:
(—) устойчивая точка покоя.

222
Добавление 2. Аттракторы диссипативных систем
Двумерные системы:
(—, —) устойчивая точка покоя;
(-,0) устойчивый предельный цикл.
Трехмерные системы:
(—,—,—) устойчивая точка покоя;
(—, — ,0) устойчивый предельный цикл;
(—,0,0) устойчивый инвариантный тор;
(—,0,+) странный аттрактор.
Введем понятие фрактальной размерности. Множества в
линейных пространствах имеют целочисленную размерность п или
являются бесконечномерными (например, в функциональных
пространствах). В топологических пространствах размерность, вводимая с
помощью покрытий или индуктивно, также выражается целым
числом, начиная с —1 (для пустого множества). Размерность множества
X обозначается dim X. Случай dim X = оо рассматривается и в
топологии.
Познакомимся с еще одним способом введения понятия
размерности в конечномерных пространствах, используемым при изучении
аттракторов.
Ограниченное множество Лс1п покрывается n-мерными
кубиками со стороной е так, чтобы все точки множества принадлежали
данному покрытию. Наименьшее число кубиков, достаточное, чтобы
множество А было покрыто полностью, обозначим iV(e).
Фрактальной размерностью, обозначаемой d(A), называется
_, ,ч ,. lnN(e) /ЛЧ
d(A) = hm -утгА C)
е-юо ln(j)
если этот предел существует.
Рассмотрим некоторые примеры.
1. Допустим, минимальное покрытие квадратами плоского (в
смысле обычной размерности) множества А имеет площадь
5. Тогда N(e) — р-. Для покрытия трехмерного множества
N(e) = ^. Применяя формулу C), получим в первом случае
d(A) = hm - = 2,
е-уо -lne

Добавление 2. Аттракторы диссилативных систем
223
во втором:
d(A) = \imhlV-zln?=3.
е->0 -1П?Г
В этом примере фрактальная размерность совпадает с
обычной.
2. Найдем фрактальную размерность канторова совершенного
множества, содержащегося в отрезке [0,1]. Положим еш =
= (|)т. При е = 1 N = 1, при е\ = \ N = 2, при е2 = |
JV = 4 и т.д. (см. рис. 25). Покрывать нужно незаштрихован-
ные отрезки. Вообще, при em = (^)m N = 2т и
J/iX ,. 1п2т In2 Л ^0<
dM) = lira —— = — « 0,631.
V ' m->ooln3m 1пЗ
0 1/3 2/3 1
Рис. 25
3. Найдем фрактальную размерность ковра Серпинского.
Начальные этапы его построения изображены на рис. 26
(удаляются заштрихованные квадраты)
Рис. 26
При ei = \ N = 8, при е2 = | N = 82 и т. д., при ек = ?
N = Sk и
_,, .ч .. In 8* In 8 , ОЛО

224 Добавление 2. Аттракторы диссипативных систем
Рассмотрим вопрос о размерности аттрактора диссипативной
динамической системы. Пусть Ai ^ Л2 ^ ... ^ Лп — показатели
Ляпунова, упрорядоченные по убыванию. Найдем такой номер к, что
Аг + Л2... + Л* ^ 0, a Ai + Л2 ... + Ак + Ак+г < 0.
Формула
носит название гипотезы Каплана - Йорке. По гипотезе
фрактальная размерность совпадает с ляпуновской размерностью,
вычисляемой по правой части формулы. Гипотеза выполняется в некоторых
частных случаях.
Для странного аттрактора А в системе Лоренца при a — 10, Ь = |,
г = 28 вычисленная по формуле d{А) = 2 + AKf"fe размерность равна
приблизительно 2,05.
На примере системы Лоренца можно проследить качественную
перестройку диссипативных систем. Эта перестройка приводит к
хаотической динамике, когда поведение фазовых траекторий
становится неустойчивым по отношению к малым возмущениям. Эффект
неустойчивости является свойством, внутренне присущем системе и
не связан с внешними воздействиями.
Мы не будем прослеживать все этапы перестройки,
соответствующие различным возрастающим значениям параметра г, начиная с
г < 1 и кончая г = 28. По прежнему положим a = 10, Ъ = |.
Обозначим ri « 13,926, г2 » 24,06, г3 « 24,74, г4 » 28.
При ri < г < г2 точки Oi и 02 устойчивы. Появляются кривые,
образующие некоторое одномерное множество В\, не являющееся
аттрактором. С приближением г к г2 число колебаний сильно
возрастает. Поведение системы называют в этом случае метастабильным
хаосом.
При г = Г2 устойчивость точек 0\ и 02 сохраняется, а на месте В\
возникает множество B%, которое при г > Г2 становится устойчивым
и притягивающим. Его называют аттрактором Лоренца.
При г2 < г < гз точки 0\ и Оч еще устойчивы. В зависимости
от положения начальной точки фазовые траектории стремятся
либо к точке Oi, либо к точке 02, либо случайным образом переходят

Добавление 2. Аттракторы диссипативных систем
225
от вращения вокруг одной точки к вращению вокруг другой. Таким
образом, для некоторых начальных условий режим будет
стационарным, для других — хаотическим.
При г = Гз точки 0\ и Ог становятся неустойчивыми. При
гз < т ^ Г4 неустойчивыми становятся все стационарные точки
0,0i,02. Остается одно предельное множество-аттрактор Лоренца.
Для любых начальных точек, кроме точек множества меры нуль,
режим динамической системы является хаотическим.
Некоторое наглядное, но приблизительное представление о
хаотической траектории на аттракторе Лоренца дает рис. 24. Рисунок
сделан на основании численного интегрирования уравнений
Лоренца. Хаотическая траектория расчитана для нулевых начальных
условий х@) = у@) = z@) = 0.
Те части траектории, которые находятся ниже плоскости z = 27,
изображены пунктиром. Условно можно считать, что все
траектории находятся в плоскости х = у. На самом деле они расположены
на бесконечном множестве поверхностей, не сливающихся, но тесно
примыкающих друг к другу, что позволяет траекториям избежать
пересечения.
Фазовая траектория, начальная точка которой находится левее
оси Oz, оборачивается вокруг точки О2 по часовой стрелке.
Раскручиваясь по спирали, она попадает на ось 02, после чего станет
оборачиваться вокруг точки О против часовой стрелки до тех пор,
пока снова не попадет на ось Oz. Дальше все повторяется.
Времена перехода с одной половины плоскости на другую не подчиняются
никакой закономерности. Движение является хаотическим.
Для исследования динамических систем используется
отображение Пуанкаре. Поясним построение этого отображения на фазовом
потоке в трехмерном пространстве. Предположим, что существует
двумерная поверхность 5 (возможно, плоскость), которую фазовые
траектории пересекают (не касаясь) в одном направлении. 5
называют секущей поверхностью. На рис. 27 изображены сечения
периодического и почти периодического движений.
В случае периодического движения траектория пересекает
поверхность S в конечном числе точек, в случае почти периодического
движения на поверхности тора в сечении получается окружность и
на ней почти всюду плотное множество точек. На рис. 28 показано
отображение Пуанкаре при хаотическом режиме движения.

226
Добавление 2. Аттракторы диссипативных систем
Рис. 27
+
1 + -Hfci +
*
+
+
/*
¦г
5
- +
< i
++ !
Бели в уравнениях Лоренца
изменять параметр^приняв п = Ь+
+l+v/2(fc + l)F + 2) и г = гс = 23,
то получится последовательность
точек бифуркации: до Ь < Ъ\ «
» 0,1397 существует одна
периодическая траектория с периодом т\.
При 6 = Ъ\ этот цикл
превращается в устойчивый предельный цикл
с периодом 2т\, затем появится
точка бифуркации 62, цикл периода
22Ti. Процесс продолжится,
получится последовательность с общим
членом bm и соответствующим
циклом периода 2mri, сходящаяся к
числу, которое мы назовем б^. При b > Ь^ движение становится
хаотическим. Однако за этим числом будут появляться интервалы
аттракторов с различными периодами. Подобная картина
наблюдается и в других системах, например для системы Реслера,
описывающей динамику некоторой химической реакции.
Фейгенбаумом открыта важная закономерность для всех
систем, в которых наблюдается ситуация, подобная описанной, и
Mij М2, • • •, Рп, • • • — соответствующая последовательность
бифуркационных значений параметра /i. Оказывается, для таких систем оста-
Рис. 28

Добавление 2. Аттракторы диссипативных систем
227
ется постоянной величина
n->oo //п+1 - /in
называемая константой Фейгенбаума.
Обстоятельное, подробное изложение вопросов, связанных с
динамическим хаосом, можно прочитать в книгах: Лоскутов А.Ю.,
Михайлов А.С. Введение в синергетику: Учебное руководство. — 1990.
272 с; Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. — 1988. 240 с.
и др. Там же содержится обширная библиография.

Литература
Основная
[1] Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные
уравнения. 6-е изд. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая
динамика», 2001. — 400 с.
[2] Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. 5-е изд. —
М.: Наука, 1950. - 460 с.
[3] Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г.
Дифференциальные уравнения. 2-е изд. — М.: Наука, 1985. — 231 с.
[4] Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений. 3-е изд. — М.: Высшая школа, 1967. —
564 с.
Дополнительная
[5] Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. 4-е изд. — М.; Л.: ГИТТЛ, 1952. — 232 с.
[6] Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
3-е изд. - М.: Наука, 1984. - 271 с.
[7] Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 304 с.
[8] Эрроусмит Д., Плейс К. Обыкновенные
дифференциальные уравнения. Качественная теория с приложениями/ Пер. с
англ. - М.: Мир, 1986. - 243 с.

Литература
229
[9] Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория
дифференциальных уравнений. 2-е изд. — М.; Л.: ГИТТЛ, 1949. —
550 с.
[10] Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. - М.: Наука,
1967. - 224 с.
[11] Красовский Н.Н. Теория управления движением. — М.:
Наука, 1968. - 447 с.
[12] Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в
банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967. — 464 с.
[13] Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным
уравнениям. 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — 128 с.

Предметный указатель
Адамара лемма, 172
Аттрактор, 217
- Лоренца, 220, 224
Аттракторов классификация, 221
Бифуркация, 218
Вполне управляемая система, 158
Вронского определитель, 75, 103
Грануолла - Беллмана лемма, 213
Грина функция, 194
Динамический хаос, 221
Дифференциального уравнения
порядок, 13
- решение, 13, 56
Дифференциальное уравнение, 13
Интеграл общий, 18
- первый, 66
- промежуточный, 62
- частный, 18
Калмана теорема, 158
Канторово совершенное
множество, 223
Каплана-Йорке гипотеза, 224
Квадратура, 17
Клеро уравнение, 39
Ковер Серпинского, 223
Колеблющееся решение, 188
Коши задача, 15, 56, 57, 199
- теорема, 15, 41, 57
- формула, 111
Краевая задача, 192
- канонический вид, 193
Критерий качества, 157
Лагранжа метод, 21
- уравнение, 37
Линия тока, 205
Липшица условие, 47
Лоренца модель, 218
Ляпунова функция, 144
- характеристические
показатели, 221
Матрица импульсная, 107
- фундаментальная, 104
- нормальная, 104
Матрицант, 107
Наблюдаемость, 159
Начальные данные, 15
Начальные условия, 15
Независимые первые интегралы,
67
Непродол жаемое решение, 47,161
Нормальная форма системы, 56
Нули последовательные, 187
Нуль изолированный, 187
Огибающая, 53
Отображение Пуанкаре, 225

Предметный указатель
231
Полная производная по времени,
144
Принцип сжатых отображений,
42
- суперпозиции для уравнения,
74
- системы, 101
Продолжение решения, 47
Решение общее, 14, 58
- особое, 49
- системы, 56
- специальное, 204
- частное, 14
Серия, 117
Стабилизация, 160
Узел вырожденный, 136
- дикритический, 135
- неустойчивый, 131
- устойчивый, 131
Управляемость, 157
Уравнения первого порядка,
приводимые к
однородным, 24
Условие совместности, 209
Фазовый объем, 216
- поток, 128, 216
- диссипативный, 216
- консервативный (лиувиллев),
216
Фейгенбаума константа, 227
Фрактальная размерность, 222
Фундаментальная система
решений (ФСР), 77, 104
Характеристическое уравнение, 83,
116
Цикл, 126
Энтропия Колмогорова-Синая
(КС-энтропия), 221
Характеристики, 205

Фридрих Акимович Шолохович — профессор Уральского
государственного университета им. A.M. Горького, академик Академии
информатизации образования, автор учебников и многих учебных
пособий. Имеет более 50 опубликованных научных работ по теории
динамических систем.
ЛЕКЦИИ ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
(университетский курс)
Учебник для вузов
Шолохович Фридрих Акимович
Редактор Е.В. Черняк
Корректор М.Ф. Худякова
Компьютерная верстка Е.А. Корабельникова, И.А. Лещев
Лицензия на издательскую деятельность ИД JV« 00069, выдана 10.09.1999 г.
Подписано в печать 01.11.2004. Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16.
Гарнитура Computer Modern Roman. Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,5.
Уч.-изд. л. 18. Тираж 1200 экз. Заказ № 961.
ООО «Уральское издательство», 020017, г. Екатеринбург, а/я 822
e-mail: izdatel@mail.ur.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов и ГУН I'M J
•Марийский полиграфическо-издательский комбинат».
424000. г. Йошкар-Ола. ул. Комсомольская. 112