/
Автор: Лысенко Л.Н.
Теги: авиация и космонавтика летательные аппараты ракетная техника космическая техника общее машиностроение машиноведение военное оборудование учебное пособие баллистические ракеты
ISBN: 978-5-7038-2913-4
Год: 2007
Похожие
Текст
Л.Н. Лысенко
------------
Наведение
и навигация
баллистических
ракет
Издательство МГТУ
им.Н.Э.Баумана
Л.Н. Лысенко
Наведение
и навигация
баллистических
ракет
Допущено Учебно-методическим объединением вузов
по университетскому политехническому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлениям подготовки
«Ракетостроение и космонавтика»
и «Гидроаэродинамика и динамика полета»
Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2007
УДК 629.76(075.8)
ББК 34.4
Л886
Издано при финансовой поддержке
Федерального агентства по печати и массовым коммуникациям
в рамках Федеральной целевой программы «Культура России»
Рецензенты:
д-р техн, наук Э.П. Спирин,
чл.-кор. РАН, проф., д-р техн, наук О.М. Алифанов
(заведующий кафедрой Московского государственного авиационного
института (технический университет))
Лысенко Л.Н.
Л886 Наведение и навигация баллистических ракет: Учеб, пособие. - М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 672 с.: ил.
ISBN 978-5-7038-2913-4
Изложены научные и методологические основы наведения и нави-
гации летательных аппаратов баллистического типа. Рассмотрены вопро-
сы программирования движения (задачи наведения) и информационно-
навигационного обеспечения управления (задачи навигации), а также
проблемы статистической динамики полета — оценивание движения и опре-
деление точности стрельбы (задачи оценки точности возмущенного дви-
жения). Показаны направления решений соответствующих задач при
создании существующих ракетных комплексов тактического, оперативно-
тактического и стратегического назначений, возможные пути совершенство-
вания баллистико-навигационного обеспечения полета ракет последующих
поколений.
Для студентов технических вузов, слушателей военных академий, а так-
же аспирантов, инженеров и научных работников, специализирующихся в
области баллистики, динамики полета и управления движением летательных
аппаратов.
УДК 629.76(075.8)
ББК 34.4
ISBN 978-5-7038-2913-4
©Л.Н. Лысенко, 2007
© Оформление. Издательство МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2007
В «холодной войне» не было миллионов
убитых на полях сражений. Но в КБ, лаборато-
риях, засекреченных цехах и на полигонах на-
пряжение, а порой и трудовой героизм не усту-
пали тому, который проявляли люди, создавав-
шие оружие для фронта во время войны.
Б.Е. Черток
«Семерка» с ядерным зарядом представля-
лась некой прекрасной богиней, которая защи-
тит и прикроет страну от страшного заокеан-
ского врага.
Ядерное оружие — «простое» и водород-
ное — было уже создано. На нашей ракете Р-5
было впервые совмещено его фантастическое
могущество со скоростью достижения цели.
Но США пока оставались вне пределов дося-
гаемости «пятерки». «Семерка» должна была
лишить США неуязвимости.
Б.Е. Черток
ОТ АВТОРА*
Со времени принятия на вооружение в СССР первого страте-
гического ракетного комплекса (РК) с баллистической ракетой (БР)
Р-5М (8к51) в 1956 г. ракетные войска стратегического назначения
стали самым мощным видом Вооруженных сил, в составе которо-
го сосредоточено до двух третей ядерного потенциала государства
[43, 78, 83, 89].
Средства доставки ядерных боеголовок к цели, основу которых
составляют БР дальнего действия (БРДД), — наиболее эффективный
и, пожалуй, важнейший элемент ракетно-ядерного щита нашей Ро-
дины, служащий сдерживающим фактором, исключающим возмож-
ность развития мирового ядерного конфликта.
* Изложенные сведения основываются на доступных автору архивных мате-
риалах, воспоминаниях очевидцев, а также следующих работах:
Из истории развития ракетной техники и космонавтики / Сост. В.Л. Иванов,
Ю.И. Плотников и др. - М.: МО РФ, 1995;
Карпенко А.В., Уткин А.Ф., Попов А.Д. Отечественные стратегические ракетные
комплексы: Справочник / Под ред. В.Ф. Уткина, Ю.С. Соломонова, ГА. Ефремова. -
СПб.: Невский бастион - Гангут, 1999;
Кузница кадров оборонных специальностей / Под ред. В.В. Зеленцова,
В.В. Драгомира, Л.Н. Лысенко и др. - М.: Гелиос АРВ, 2003;
Черток Б.Е. Ракеты и люди. Мемуары: В 4-х т. - М.: Машиностроение,
1994-1999.
3
Достижения советской ракетной техники стали реальностью бла-
годаря успешному развитию многих областей науки и техники, в
частности теории полета ракет (баллистики ракет).
Первыми публикациями в области теории полета ракет, внес-
шими заметный вклад в данную науку, принято считать работы ан-
глийского ученого и изобретателя Уильяма Конгрева (1772—1828) и
русского специалиста в области артиллерии и ракетной техники
генерал-лейтенанта Александра Дмитриевича Засядко (1779—1837).
К числу важнейших теоретических результатов У. Конгрева от-
носят установление влияния скорости истечения газов и их расхода
на скорость полета ракеты, определение оптимального угла запуска
ракет на максимальную дальность, рекомендации по созданию ракет,
обладающих металлическим корпусом и боевой головной частью.
Основные результаты исследований А.Д. Засядко нашли отра-
жение в труде «О деле ракет зажигательных и рикошетных» (1817),
являющемся первым достаточно полным наставлением по изгото-
влению и боевому использованию ракет в русской армии.
Огромную роль в области разработки теоретических проблем
реактивной техники сыграли публикации другого нашего соотече-
ственника Ивана Всеволодовича Мещерского (1859—1935), заложив-
шего в своих работах «Динамика точки переменной массы» (1897)
и «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае»
(1904) основы теории динамики тел переменной массы.
Общепризнанным является вклад в динамику полета ракет
Константина Эдуардовича Циолковского (1857—1935), первым ре-
шившего задачу о движении ракеты в неоднородном гравитацион-
ном поле, приближенно оценившего влияние атмосферы на полет
ракеты и вычислившего требуемые запасы топлива для преодоле-
ния сопротивления воздушной оболочки Земли. Важное значение
имели и изложенные им в работе «Теория многоступенчатых ракет»
(1926—1929) результаты по рациональному расходованию энергети-
ческого запаса (топлива) для достижения максимальной дальности
полета и грузоподъемности.
Американский ученый Роберт Годдарт (1882—1945) считается
одним из пионеров создания теории жидкостных ракет. К тому же
он был талантливым изобретателем, получившим в 1914—1940 гг.
83 патента на изобретения в области ракетной техники. Над создани-
ем объектов ракетной техники Р. Годдарт работал до конца 1941 г. Им
впервые было обосновано и реализовано на практике использование
4
газовых рулей и гироскопических систем для управления полетом, а
в 1937 г. сформулирована и впервые практически решена задача авто-
матической стабилизации положения ракеты относительно ее центра
масс.
Особое место в истории развития ракетной техники и ракетоди-
намики занимает имя Юрия Васильевича Кондратюка (1897—1941).
Он заинтересовался проблемами ракетной техники еще будучи уче-
ником гимназии. В 1919 г. он заканчивает работу «Тем, кто будет
читать, чтобы строить», которая так и не была опубликована при
его жизни. В ней Ю.В. Кондратюк независимо от К.Э. Циолковско-
го получил оригинальный вывод основного уравнения движения
ракеты, привел схему и описание четырехступенчатой ракеты на
кислородно-водородном топливе. Именно он, задолго до Р. Годдар-
та, высказал идею построения гироскопических систем управления
угловым движением ракет, впоследствии реализованную американ-
ским специалистом. Огромен вклад Ю.В. Кондратюка и в теорию
космических полетов.
Не меньшую известность получил советский ученый и изобрета-
тель реактивных двигателей и конструкций летательных аппаратов
Фридрих Артурович Цандер (1877—1933), который, начиная с 20-х
годов прошлого века, выполнил ряд теоретических исследований
по оценке эффективности реактивных двигателей различных схем,
включая воздушно-реактивные и комбинированные.
Ф.А. Цандеру принадлежат и первые работы в области создания
возможных способов защиты от нагрева в атмосфере движущегося
со сверхзвуковыми скоростями аппарата.
Период с 20-х до конца 30-х годов XX столетия без преувеличе-
ния следует считать эрой немецких специалистов ракетной техники.
Не располагая крупными теоретиками, за исключением, может быть,
Эйгена Зенгера (1905—1964), выпустившего в свет известную рабо-
ту «Техника ракетного полета» (1933), отчасти Вернера фон Брауна
(1912—1977) и Германа Оберта (более известного все же в качестве
одного из пионеров космической техники), за счет высокого уровня
организации экспериментальных работ и постановки процесса со-
здания ракетной техники на промышленной основе уже к 1938 г. фа-
шистская Германия далеко обогнала в этой области другие государ-
ства.
Э. Зенгер оставил свой след в развитии ракетной техники преж-
де всего как последовательный сторонник создания ракетно-косми-
5
ческого самолета. Он обосновал возможность осуществления субор-
битального полета с последовательным рикошетированием от верх-
них слоев атмосферы. Эти идеи через десятки лет составили концеп-
цию аэробаллистических маневрирующих головных частей БРДД и,
в какой-то степени, многоразовых орбитальных аппаратов типа си-
стем «Зенгер—Хорус», американского «Спейс шаттл» и нашей си-
стемы «Энергия—Буран».
В. фон Браун — один из ведущих специалистов в области ракет-
ной техники Германии и США. Его первая научная работа «Теория
дальних ракет» (1929), написанная 19-летним студентом в результа-
те самостоятельного изучения трудов И. Кеплера, была посвящена
теории полета БРДД. Затем его интересы сосредоточились на прак-
тической деятельности по созданию первых образцов боевой реак-
тивной техники, где наиболее полно раскрылся его талант конструк-
тора и организатора. В 1930 г. он под руководством Г. Оберта при-
нял участие в полномасштабных экспериментальных работах по со-
зданию ЖРД «Кегельдюзе». Затем участвовал в создании армейско-
го ракетного исследовательского центра Пенемюнде. С 1937 г. и до
конца Второй мировой войны был его техническим руководителем.
В 1938—1942 гг. под руководством фон Брауна была создана бал-
листическая ракета А-4 («Фау-2») с дальностью полета до 300 км и
боевой частью из обычного взрывчатого вещества массой около од-
ной тонны. В Пенемюнде были разработаны и другие ракеты серии
А (баллистические ракеты): А-3, А-5 (прошли стадию летных испы-
таний), А-6, А-9, А-10. Первые испытательные пуски БР были осу-
ществлены осенью 1938 г.
Боевое применение ракет «Фау-2» было начато в сентябре 1944 г.
Из 4300 запущенных ракет 1402 были применены против Великобри-
тании, 517 из них достигли Лондона (по другим данным — 447).
21 сентября 1933 г. в СССР состоялось весьма значимое собы-
тие. На базе ленинградской Газодинамической лаборатории (ГДЛ)
и московской Группы изучения реактивного движения (ГИРД) в
Москве был создан Реактивный научно-исследовательский инсти-
тут (РНИИ) — научно-исследовательская и опытно-конструкторская
организация для теоретического и практического решения проблем
реактивного движения.
Если до этого времени работы в области реактивной техники
велись в стране в значительной степени на голом энтузиазме ис-
ключительно талантливых и безмерно увлеченных данной пробле-
6
мой Н.И. Тихомирова, В.П. Глушко, В,А. Артемьева, Б.С. Петропав-
ловского, Г.Э. Лангемака, Н.Я. Ильина в ГДЛ и С.П. Королева,
Ф.А. Цандера, М.К. Тихонравова, Ю.А. Победоносцева и других в
ГИРДе (хотя к началу 1933 г. ГДЛ насчитывала около 200 человек
и находилась в непосредственном подчинении Военно-исследова-
тельского комитета при Реввоенсовете СССР), то теперь эти работы
были поставлены на «плановые рельсы социалистического народно-
го хозяйства».
С этого времени к созданию БР были привлечены крупные кол-
лективы ученых и инженеров, обеспечивших достижение поставлен-
ных целей на базе «задействования» коллективного разума, таланта
многих, объединенных единой задачей, стремлением решить ее как
можно лучше и в возможно короткие сроки.
РНИИ в 1944 г. был преобразован в НИИ-1. Примерно в это же
время наши войска заняли полигон в Дембице близ Варшавы со стар-
товыми позициями ракет «Фау-2». В сентябре отдельные элементы
комплекса и части конструкции ракет были доставлены в Москву, в
НИИ-1.
По доставленным элементам конструкции, отдельным дета-
лям и по обломкам корпусов взорванных БР «Фау-2» группа кон-
структоров и инженеров-расчетчиков НИИ в составе А.М. Исаева,
А.Я. Березняка, Н.А. Пилюгина, Б.Е. Чертока, Л.А. Воскресенского,
М.К. Тихонравова, В.П. Мишина и других в кратчайший срок вос-
создала общий вид ракеты, рассчитала ее аэродинамическую схему,
определила основные тактико-технические характеристики.
Это явилось основанием для разработки предложения по созда-
нию и боевому применению на базе «Фау-2» более совершенной БР
с дальностью действия порядка 600 км.
Реализация этого проекта требовала модернизации двигатель-
ной установки «Фау-2». Главным конструктором КБ, которому было
поручено решить эту задачу, был назначен А.М. Исаев. Однако ак-
туальность сверхбыстрого создания в СССР БР на основе частично
воспроизведенной документации по «Фау-2» по мере приближения
конца войны становилась все менее очевидной. 5 мая 1945 г. войска
2-го Белорусского фронта заняли исследовательский центр Пене-
мюнде. И хотя в результате многочисленных налетов «летающих
крепостей» Б-29 и Б-17 американских и английских ВВС ракетный
полигон Пенемюнде был до основания разрушен (особенно в дни,
предшествующие его захвату Красной армией), в советской зоне
7
оккупации Германии оказалось достаточно предприятий и организа-
ций, имевших отношение к созданию фашистской ракетной техники.
С июля по август 1945 г. в Восточную Германию, в район го-
рода Нордхаузен, была направлена группа советских специалистов,
включавшая С.П. Королева, В.П. Глушко, В.П. Бармина, Н.А. Пилю-
гина, В.П. Мишина, М.С. Рязанского, В.С. Кузнецова, А.М. Исаева,
Б.Е. Чертока, ГА. Тюлина, М.К. Тихонравова, В.С. Будника и др.
Среди них находился молодой в ту пору преподаватель кафедры
сопротивления материалов МВТУ им. Н.Э. Баумана В.И. Феодосъев
(1916—1991), будущий декан специального факультета, руководи-
тель кафедры ракетной техники, крупнейший ученый, Герой Социа-
листического Труда, лауреат Ленинской и Государственной премий
СССР, член-корреспондент АН СССР. Как неоднократно признавал-
ся сам Всеволод Иванович, в ракетной технике он тогда «мало что
понимал». Для него эта командировка, как и для многих других, в
том числе профессора возглавляемой автором кафедры В. Ф. Устино-
ва (1920—2004), послужила своего рода образовательным универси-
тетом, в котором были получены исходные знания по аэродинамике,
баллистике, проектированию двигателей, конструкции ракет. Заме-
тим, что к этому времени нацист, кавалер рыцарского креста — выс-
шей награды рейха — штурмбан-фюрер СС Вернер фон Браун, сдав-
шийся к моменту окончания войны американцам, в числе 127 других
ведущих немецких ракетчиков уже находился в США, где приступил
к работам по воссозданию ракеты «Фау-2» на полигоне Уайт-Сейдз.
Правительство нашей страны, практически в одиночку сломав-
шей становой хребет фашистской Германии, не могло не принять
адекватных мер, связанных с созданием ракетной техники.
Под руководством командированных в Германию специалистов
при участии немецких ученых и инженеров в советской оккупаци-
онной зоне было создано несколько организаций по восстановлению
уничтоженной и утерянной конструкторской документации.
Одним из первых таких учреждений стал научно-исследователь-
ский институт «Рабе» (от сокращенного «ракетенбау» — строитель-
ство ракет), возглавляемый А.М. Исаевым и Б.Е. Чертоком. Позднее
он вошел в состав более крупного института «Нордхаузен», заме-
стителем начальника и главным инженером которого был назначен
С.П. Королев. Поиск материалов по баллистике и теории полета ра-
кет был возложен на В.П. Мишина.
8
К середине 1946 г. задачи, стоявшие перед группой советских
специалистов в Восточной Германии, в основном были решены.
Они вернулись на Родину, увозя с собой десять полностью готовых
к сборке комплектов «Фау-2», восстановленных на основе техни-
ческой документации, обнаруженной группой советских специали-
стов, возглавляемой В.П. Мишиным, в военно-техническом архиве
в Праге (серия Т), а также десять собранных на заводе «Клейнбо-
дунген» и прошедших технологические испытания ракет, готовых к
летным испытаниям (серия Н). Заметим, что американцы вывезли из
Германии в качестве трофеев более 100 готовых к отправке на фронт
ракет.
Вместе с нашими специалистами в СССР были отправлены и
некоторые немецкие специалисты-ракетчики (всего около 150 че-
ловек). Возглавлял эту группу один из ближайших сотрудников
фон Брауна по Пенемюнде (его заместитель по радиоуправлению
баллистическими ракетами) Гельмут Греттруп. В составе группы
находились довольно известные специалисты: профессор Упфен-
бах, доктора Хох, Магнус, Вольф, Альбринг, Андерс, Шефер и др.
Среди перечисленных обращают на себя внимание имена док-
торов Вольдемара Вольфа, бывшего главным баллистиком фирмы
«Крупп», Вернера Альбринга — известного аэродинамика, замести-
теля директора института аэродинамики в Ганновере, Ганса Хоха —
известного теоретика в области автоматического управления, а также
Курта Магнуса, ставшего впоследствии одним из крупных специали-
стов в области гироскопии.
Конечно, совершенно несерьезно говорить о том, что у «совет-
ских ракетных триумфов было немецкое начало», однако следует
признать несколько очевидных фактов:
— накопленный Германией опыт в создании БР, воспринятый на-
шими специалистами, позволил им сэкономить много лет творческой
работы и практически мгновенно (с исторической точки зрения) ли-
квидировать отставание в этой области;
— знакомство с постановкой работ в фашистской Германии по
созданию современных (на тот период) средств вооружения позво-
лило руководству страны сделать своевременный и исключительно
важный вывод о том, что создание ракетной техники не под силу
одной организации или даже крупному министерству; решение этой
проблемы требовало мощной общегосударственной кооперации;
9
— организация работ по «приоритетному захвату ракетных ин-
теллектуальных трофеев» фашистов помогла нашему правительству
создать «золотой запас» элитных специалистов в соответствующей
области и обеспечила качественный скачок, выразившийся в созда-
нии межконтинентальных баллистических ракет, позволивших Со-
ветскому Союзу занять лидирующее положение в мировой практике
ракетостроения и космонавтике.
В мае 1946 г. советское правительство принимает постановление
о создании ракетостроительной промышленности страны, сыграв-
шее определяющую роль в развитии ракетного вооружения дальнего
радиуса действия.
Этим постановлением были определены головные министерства,
предусмотрено создание специализированных конструкторских бю-
ро (СКВ), научно-исследовательских институтов и полигонов как в
системе Министерства обороны, так и в промышленности.
На основе постановления ЦК КПСС и Совета министров СССР в
Подлипках (ныне г. Королев) создается головной ракетный Институт
Министерства вооружения НИИ-88, начальником которого назна-
чается генерал-майор артиллерии Л.Р. Гонор, а главным инженером
Ю.А. Победоносцев. Заместителем главного инженера становится
Б.Е. Черток, возглавивший одновременно отдел систем управления.
С.П. Королев руководил отделом № 3 СКБ института и был назначен
главным конструктором автоматически управляемых БРДД. Он же
возглавил Совет главных конструкторов, в состав которого входили
В.П. Глушко, М.С. Рязанский, а несколько позднее Н.А. Пилюгин,
В.И. Кузнецов, В.П. Бармин и другие видные конструкторы ракетной
техники.
При создании НИИ-88, существующего по сей день под названи-
ем ЦНИИМаш, в его составе было только одно КБ. Однако вскоре от-
делы были реорганизованы в самостоятельные КБ в составе НИИ-88,
а затем КБ С.П. Королева и А.М. Исаева были выделены из НИИ-88
в самостоятельные организации ОКБ-1 и ОКБ-2. Немного позднее
было создано ОКБ-3 под руководством Д.Д. Севрука (жидкостные
тактические ракеты и жидкостные ракетные двигатели).
С именем Сергея Павловича Королева (1907—1966) — осново-
положника практической космонавтики — связаны первые успехи
нашей Родины в области создания боевых баллистических ракет.
В сентябре 1947 г. в НИИ-88 состоялось расширенное заседание
НТС под председательством директора НИИ Л.Р. Гонора, сыгравшее
10
в определенном смысле судьбоносную роль. На это заседание бы-
ло вынесено обсуждение проекта Г-1 (модернизируемого варианта
А-10), разработанного немецкими специалистами под руководством
Г. Греттрупа в качестве альтернативы проекту Р-1, над которым ра-
ботал С.П. Королев.
Своими разработками немцы гарантировали, в основном на сло-
вах, увеличение полетной дальности вдвое (без изменения размеров
ракеты по сравнению с А-4 и Р-1) и, самое главное, повышение точ-
ности попадания в цель по сравнению с королевскими разработками
как минимум на порядок.
Расширенное заседание НТС НИИ-88 должно было решить,
пойдет страна по пути создания отечественных РК, хотя и учитыва-
ющему опыт немецких специалистов, но все же ориентированному
на разработки советских инженеров, либо соблазнится возможно-
стью достижения быстрого и легкого (но кратковременного) успеха,
связанного с модернизацией конструкций, базирующихся на ино-
странном опыте.
Описание самого заседания и его последствий не входит в за-
дачу пособия. Заинтересованный читатель должен обратиться к ме-
муарам академика Б.Е. Чертока, непосредственного участника тех
событий. Здесь речь пойдет о составе участников расширенного
заседания НТС.
Очевидно, излишне было бы говорить, что на него были пригла-
шены все крупные специалисты, о которых сегодня принято вспоми-
нать исключительно как о «пионерах ракетной техники СССР».
Единственным представителем учреждений системы высшего
образования в списке был ректор МВТУ им. Н.Э. Баумана.
Наш вуз на заседании представлял проректор по научной работе
Георгий Александрович Николаев (впоследствии ректор, академик
АН СССР, Герой Социалистического Труда).
По прошествии более полувека практически невозможно доку-
ментально установить причины и мотивы приглашения ГА. Нико-
лаева на это заседание.
Хотя к тому времени ГА. Николаев уже считался крупным авто-
ритетом в области сварки, а также прочности сварных соединений и
конструкций в основном гражданского назначения, о проблемах со-
здания БР он не имел ни малейшего представления. Можно, конечно,
предположить, что включением в список ГА. Николаев был обязан
главному инженеру НИИ-88 Ю.А. Победоносцеву, который таким
11
образом решил «поспособствовать» повышению авторитета своего
непосредственного начальника по МВТУ. Но это вряд ли. Это были
люди, авторитет которых определяется не участием в заседаниях и
присутствием в составах их президиумов. К тому же список пригла-
шенных согласовывался с представителями «конторы» Л.П. Берия.
Видимо, руководство отрасли (и не только) понимало, что един-
ственным вузом, способным обеспечить кадровую поддержку со-
здания ракетного щита Родины, является МВТУ им. Н.Э. Баумана.
Это диктовало и соответствующее отношение и стремление обеспе-
чить всестороннее решение проблемы, в том числе и на кадровом
уровне.
Первый пуск баллистической ракеты из числа собранных на
опытном заводе НИИ-88 из агрегатов и деталей «Фау-2», вывезенных
из Германии (серия Т), состоялся 18 октября 1947 г. в 10 ч 47 мин на
полигоне Капустин Яр (начальник полигона генерал В.И. Вознюк).
Ракета пролетела 206,7 км и отклонилась от расчетной точки влево
на 30 км. Корпус ракеты не достиг поверхности и разрушился при
входе в плотные слои атмосферы.
Второй пуск ракеты той же серии был произведен 20 октября. Ра-
кета преодолела дальность 231,4 км, но отклонилась влево на 180 км.
Всего было испытано в полете одиннадцать ракет, пять из которых
были собраны в Германии и шесть на заводе НИИ-88.
Отметим важное обстоятельство, заключающееся в том, что бал-
листика БР «Фау-2» была обсчитана еще в Германии отечественны-
ми теоретиками-баллистиками, работавшими впоследствии в отделе
№ 3 СКБ, а затем ОКБ-1, С.С. Лавровым и Р.Ф Аппазовым совместно
с доктором Вольфом, приехавшим в составе группы немецких спе-
циалистов в СССР. Расчет установок по восстановленным таблицам
стрельбы при опытных пусках проводился немецкими специалис-
тами.
Так начиналась история создания в Советском Союзе управля-
емых баллистических ракет. Летные испытания 1947 г. позволили
сделать вывод, что советские военные и гражданские специалисты
овладели основами практического ракетостроения, получили необ-
ходимый опыт и готовы к самостоятельному развитию этой важней-
шей для обороноспособности страны области научно-технической
деятельности.
Полностью изготовленная из деталей и узлов отечественно-
го производства ракета Р-1 проходила летные испытания в 1948 г.
12
(10 пусков) и 1949 г. (12 пусков). В 1951 г. она была принята на во-
оружение. Ее полетная дальность составляла 270 км.
Вскоре начались летные испытания ракеты Р-2, затем Р-5. Ком-
плекс Р-2 был принят на вооружение со следующими тактико-тех-
ническими характеристиками: стартовая масса 20 т, максимальная
дальность полета 600 км. БР была снабжена системой боковой ра-
диокоррекции (СБРК) для повышения точности полета в боковом на-
правлении, что учитывало негативный опыт пусков первых ракет А-4
серии Т и ракет Р-1.
Первым стратегическим стал ракетный комплекс с баллистиче-
ской ракетой Р-5м (8к51), оснащенной ядерной боеголовкой. Ком-
плекс был принят на вооружение в 1956 г. с дальностью полета
1200 км. Боевые ракеты Р-1, Р-2, Р-5 и Р-5м были одноступенчаты-
ми жидкостными. Все они, кроме Р-1, имели отделяемые головные
части.
За десять лет (по 1956 г. включительно) под непосредственным
руководством С.П. Королева были созданы и испытаны 16 типов
жидкостных управляемых БР с дальностью полета до 1200 км и вы-
сотой в вершине траектории около 200 км. Из них семь были приняты
на вооружение, в том числе два РК с БР, оснащенными ядерными БЧ.
Один из комплексов был ориентирован на морское базирование.
Первой отечественной межконтинентальной баллистической ра-
кетой стала испытанная в 1957 г. ракета Р-7 (8к71), принятая на во-
оружение в 1960 г. в модификации Р-7А. Ракета Р-7, известная как
легендарная «семерка», выведшая в космос корабль Ю.А. Гагарина,
представляла собой двухступенчатую ракету, выполненную по па-
кетной схеме и состоящую из пяти блоков: одного центрального (вто-
рая ступень) и четырех боковых (первая ступень).
Модернизацией Р-7 явилась ракета 8к74 (Р-7А), имевшая более
совершенную систему управления с упрощенной наземной аппара-
турой и новую ядерную головную часть меньшей (чем у Р-7) массы.
Дальность БР Р-7А была увеличена с 9000 до 9500 км.
Однако созданный в ОКБ-1 под руководством С.П. Королева РК с
ракетой Р-7 не в полной мере удовлетворял условиям скрытности при
размещении ее на стартовой позиции в процессе боевого дежурства.
Это объяснялось тем, что жидкий кислород, используемый в ка-
честве окислителя в Р-7, требовал постоянной подпитки баков раке-
ты от демаскирующих высокоэнергетических источников, предусма-
тривающих к тому же наличие железнодорожного полотна, цистерн
13
и другого оборудования и устройств, скрыть которые от потенциаль-
ного противника, способного нанести упреждающий ядерный удар,
было практически невозможно.
В связи с этим уже в мае 1960 г. правительством СССР было при-
нято решение о разработке новой боевой МБР на топливе, обеспе-
чивающем ее скрытность при нахождении на старте в процессе дли-
тельного хранения.
Решение этой задачи было поручено главному конструктору
ОКБ-586 (позднее КБ «Южное») организованного в 1954 г. в г. Дне-
пропетровске производственного объединения «Южный машино-
строительный завод» (Южмашзавод) М.К. Янгелю (1911 —1971).
Днепропетровцы предложили использовать в качестве топлива БР
высококипящие компоненты: диметил гидразин и азотную кислоту.
Под руководством М.К. Янгеля были разработаны и созданы не-
сколько типов МБР различных видов базирования, принятых на во-
оружение и составляющих основу РВСН СССР. Среди них отметим
РК с ракетами Р-14 с дальностью действия 4000 км и МБР Р-16, на-
чало летно-конструкторских испытаний которой планировалось на
июль 1961 г. Еще ранее (в августе 1955 г.) М.К. Янгель добился вы-
хода постановления правительства о создании ракеты Р-12 с даль-
ностью действия 2000 км, превосходящей дальность действия Р-5М
на 800 км. Р-12 исключала необходимость использования радиоупра-
вления и имела полностью автономную систему управления движе-
нием, разработанную под руководством Н.А. Пилюгина. Она так же,
как и Р-5М, имела отделяющуюся головную часть, но не с атомным
(ядерным), а с термоядерным зарядом мощностью в одну мегатонну.
Во время Карибского кризиса основу боевого состава группы со-
ветских Вооруженных сил на Кубе должна была образовать 43-я ди-
визия РВСН, в которую входили три полка, вооруженных БР Р-12
(24 пусковые установки) и два полка с БР Р-14 (16 пусковых уста-
новок).
Впервые, как отмечал в своих мемуарах Б.Е. Черток, на чашу ве-
сов «война — мир» были положены только БР конструкции М.К. Ян-
геля. Это дало основание для весьма распространенной в то время
среди военных ракетчиков поговорки: «Янгель работает на нас, а Ко-
ролев на ТАСС».
Опыт по созданию Р-16 помог М.К. Янгелю в исключительно ко-
роткие сроки создать новую мощную МБР Р-36.
14
С 1961 г. другим выдающимся создателем ракетно-космичес-
кой техники — В.Н. Челомеем (1914—1984) — в возглавляемом
им ОКБ-52 стала разрабатываться МБР УР-200 (8к81). И хотя по-
сле девяти испытательных пусков ракеты УР-200, проведенных в
1963—1965 гг., дальнейшие работы по МБР были прекращены, на-
копленный опыт и огромное количество оригинальных наработок,
сопровождающих создание ракеты, оказали существенное позитив-
ное влияние и послужили базой для создания высокоэффективных
МБР следующих поколений. К их числу следует отнести легкую
ампулизированную МБР УР-100 (8к84), запускаемую из шахтной
пусковой установки (ШПУ). В связи с достаточно простой конструк-
цией ШПУ группировка развернутых в свое время БР типа УР-100
оказалась самой многочисленной из стоящих на вооружении МБР
стационарного базирования.
С начала 1970-х годов принимаются на вооружение модернизи-
рованные стратегические РК УР-100К, УР-100У и Р-36П (8к67П) с
кассетными боевыми частями без индивидуального наведения.
Ракетные комплексы третьего поколения с улучшенными ТТХ
начали приниматься на вооружение в 1975—1980 гг. К их числу отно-
сится и УР100Н (PC-18), созданный под руководством В.Н. Челомея
в ЦКБМ (с 1983 г. — НПО «Машиностроение»).
После смерти М.К. Янгеля КБ «Южное» возглавил В.Ф. Уткин
(1924—2000). В условиях «холодной войны» и жестокой конкурен-
ции между коллективами (а в большей степени возглавлявшими их
лидерами) подмосковных организаций днепропетровцы сумели от-
стоять завоеванные позиции, создав комплекс РС-20В, являющийся
очередной модернизацией ракеты Р-36 в варианте Р-36МУ. Вместо
одной боевой части она была оснащена десятью, каждая мощностью
по 0,5 Мт при максимальной дальности полета до 11 000 км. Точ-
ность наведения каждой боеголовки на свою цель определялась про-
махом, не превосходящим 500 м.
С моноблочной головной частью у этой БР, получившей назва-
ние «Воевода», достигалась дальность полета около 16000 км. По
существу это была не модификация снятого с вооружения комплекса
с БР Р-36, а принципиально новая ракета. Недаром американцы, при-
своившие ей в НАТО индекс СС-18, нарекли ее «Сатаной» и больше
всего настаивали во время переговоров о разоружении на ликвида-
ции этих «многоголовых» ракет.
15
Чтобы закончить со сверхдальними БР, следует вспомнить о ва-
рианте дооснащения королевской «девятки» (Р-9) третьей ступенью.
Названная С.П. Королевым «глобальной», такая БР имела неограни-
ченную полетную дальность, поскольку третья ступень давала воз-
можность вывода боевой части на орбиту искусственного спутни-
ка Земли (ИСЗ). Однако доведение глобальной БР 8к713 до летных
испытаний так и не было осуществлено в силу принятия междуна-
родных ограничений, запрещающих выведение в космическое про-
странство ядерных зарядов.
«Глобальная» ракета 8к713 была изготовлена в свое время в двух
экземплярах только для демонстрации на военных парадах, прово-
димых на Красной площади.
Параллельно (хотя и с некоторым сдвигом по времени) с создани-
ем жидкостных БР в стране велись и масштабные работы по созда-
нию твердотопливных ракетных комплексов. Работы по грунтовому
подвижному РК стратегического назначения с твердотопливной ра-
кетой «Темп-2с» («Темп-С2М») были начаты под руководством глав-
ного конструктора А.Д. Надирадзе во второй половине 1960-х годов
в соответствии с постановлением Совета министров СССР.
Этому предшествовало создание в организации, называемой в
настоящее время Московским институтом теплотехники (МИТ), при
непосредственном участии Б.Н. Лагутина, грунтового подвижного
РК оперативно-тактического назначения «Темп-С» с твердотоплив-
ной ракетой «Темп» и твердотопливной двухступенчатой ракетой
ТР-1 (с дальностью стрельбы до 900 км).
Комплекс был принят на вооружение в 1968 г. и некоторое время
находился в эксплуатации РВСН, после чего был передан в Сухопут-
ные войска.
В соответствии с Договором по ОСВ-2, подписанным в июне
1979 г. руководителями СССР и США, Советский Союз принял обя-
зательства не производить и не развертывать РК «Темп-2с», который
к этому времени прошел полный цикл испытаний (1972—1976) и
был принят на вооружение Советской армии (1976). Данное обстоя-
тельство послужило основанием для снятия с боевого дежурства РК
«Темп-2с» и его ликвидации.
В 1974—1977 гг. под руководством Б.Н. Лагутина в МИТе был
разработан и прошел летные испытания подвижный РК «Пионер» с
баллистической ракетой среднего радиуса действия РСД-10. В 1976 г.
16
сразу после принятия его на вооружение началось быстрое развер-
тывание комплекса. Достаточно сказать, что первый ракетный полк
заступил на боевое дежурство уже 30 августа 1976 г.
С июля 1977 г. по инициативе Б.Н. Лагутина были начаты работы
по улучшению тактико-технических характеристик РК «Пионер-
УТТХ», позволившие существенно повысить его точность и уве-
личить размеры района разведения боевых блоков. По результатам
летных испытаний в 1979—1980 гг. РК был принят на вооружение.
Дальнейшее совершенствование комплекса осуществлялось в рам-
ках ОКР «Пионер-3».
Велик вклад Генерального конструктора Б.Н. Лагутина и в разра-
ботку с последующей постановкой на вооружение подвижного стра-
тегического РК с твердотопливной баллистической ракетой межкон-
тинентальной дальности — МБР «Тополь».
Комплекс «Тополь» с трехступенчатой твердотопливной ракетой
РТ-2ПМ был принят на вооружение в 1985 г. Его разработка прово-
дилась в МИТе в 1980-е годы как модернизация МБР РТ-2П. В соот-
ветствии с Меморандумом к Договору по СНВ-1 к 1 сентября 1990 г.
в СССР было развернуто 208 пусковых установок комплекса «То-
поль», а к 1993 г. — около 340.
Важное значение имели и созданные под руководством Генераль-
ного конструктора Б.Н. Лагутина более совершенные ракетные ком-
плексы с малогабаритной МБР «Курьер» и ракетой «Скорость». Ко-
ренные изменения военно-политической обстановки, произошедшие
в начале 90-х годов из-за распада Советского Союза, вынудили фор-
сировать работы по модернизации РК «Тополь» в варианте создания
и развертывания только одной твердотопливной ракетной системы
стратегического назначения «Тополь-М», относящейся к числу РК
пятого поколения (по альтернативной классификации — четвертого
поколения). Указом Президента РФ № 275 от 1993 г. задача создания
РК «Тополь-М» с шахтными ПУ и подвижными грунтовыми ПУ с
единой БР как основной МБР Ракетных войск стратегического на-
значения РФ была возложена на головного разработчика МИТ и не-
посредственно на Генерального конструктора Б.Н. Лагутина. Основ-
ные работы по модернизации комплекса были осуществлены под его
руководством.
С марта 1997 г. работы были продолжены и завершены постанов-
кой комплекса на вооружение Российской армии нынешним дирек-
тором и Генеральным конструктором МИТ Ю.С. Соломоновым. Под
17
руководством последнего был создан и успешно испытан в варианте
морского базирования РК «Булава» (первый пуск БРПЛ «Булава-30»
был осуществлен 27 сентября 2005 г.).
Наконец, перечисляя выдающихся советских и российских со-
здателей высокоэффективных ракетных комплексов тактического
и оперативно-тактического назначения, нельзя не упомянуть та-
кие имена, как С.77. Непобедимый и 77.77. Гущин. Создание лучших
образцов ракет указанных назначений, осуществленное в КБ Ма-
шиностроения (КБМ), таких как «Точка» (1976), «Точка-У» (конец
80-х годов), «Ока» (1980), неразрывно связано с именем С.П. Непо-
бедимого. Под его же руководством были заложены основы созда-
ния наиболее современного и совершенного РК обсуждаемого типа,
получившего название «Искандер». Окончание работ по данному
комплексу, осуществленное уже в начале XXI века, легло на плечи
Н.И. Гущина.
Даже этот далеко не полный перечень созданных в СССР и в
Российской Федерации ракетных комплексов и принятых на воору-
жение управляемых баллистических ракет дает представление о
масштабности и сложности решенной нашими соотечественниками
задачи. Очевидно, что это решение потребовало колоссальных уси-
лий по кадровому обеспечению работ, осуществленному советской
системой высшего образования.
Не ставя под сомнение вклад, внесенный многими ведущими тех-
ническими вузами страны, такими как МАИ им. С. Орджоникидзе,
Военно-механический институт им. Д.Ф. Устинова, МФТИ и другие,
можно, очевидно, утверждать, что определяющий вклад в подготов-
ку гражданских специалистов в рассматриваемой области был вне-
сен Московским высшим техническим училищем (ныне Московский
государственный технический университет) им. Н.Э. Баумана. Дока-
зательством тому может служить тот факт, что подавляющее боль-
шинство упомянутых выше главных (генеральных) конструкторов,
включая С.П. Королева, в той или иной степени связали свою судьбу
с этим крупнейшим и старейшим техническим вузом страны.
Подготовка специалистов по ракетной тематике была начата в
МВТУ в 1948 г. после выхода постановления об открытии самостоя-
тельной специальности по проектированию реактивных снарядов и
управляемых баллистических ракет.
В приложении к соответствующему постановлению от апреля
1947г. отмечалось, что «...согласно ходатайства, направленного в
18
ГУУЗ машиностроения, предполагается выделение специализации
PC («Реактивные снаряды». — Прим, авт.) кафедры проектирования
боеприпасов (образованной приказом от 1938 г. на факультете Н. —
Прим, авт.) в особую кафедру проектирования реактивных снарядов
с утверждением заведующим ею профессора Ю.А. Победоносцева,
работающего с 1943 года на факультете».
Юрий Александрович Победоносцев (1907—1973), в прошлом
гирдовец, занимавший в то время должность главного инженера
НИИ-88 МВ, тесно связал свою жизнь с МВТУ, работая сначала
(с 1943 по 1946 г.) профессором-совместителем кафедры проектиро-
вания боеприпасов, затем заведующим кафедрой.
К этому времени «созрели» условия для масштабной реоргани-
зации учебного процесса и создания в МВТУ нового факультета —
факультета Ракетной техники (РТ).
Приказом № 122 от 26.01.1948 г. по МВО СССР было объявле-
но Постановление СМ СССР № 4132 от 30.12.1947 г. «О развитии
учебной и научной деятельности МВТУ им. Н.Э. Баумана и его ма-
териальной базы».
В этом постановлении, в частности, предписывалось:
— министерствам Вооружения, Авиационной промышленности
и др. (всего 12) поставить в МВТУ оборудование и материалы для
обеспечения современного уровня учебного процесса;
— с 1948 г. ввести в МВТУ подготовку специалистов по реактив-
ной, радиолокационной и инженерно-физической специальностям;
— разработать и утвердить в первом квартале 1948 г. техниче-
ский проект строительства новых учебных корпусов и студенческих
общежитий.
Ю.А. Победоносцева назначают заведующим кафедрой РТ-342к
(открытое название «Аэродинамика» (РТ-2)). Одновременно на
факультете была образована кафедра РТ-344к (открытое название
«Термодинамика» (РТ-4)). Указанные названия кафедр являлись в
определенном смысле условными (определяемыми режимными со-
ображениями) и не соответствовали содержанию и направлениям
подготовки специалистов.
Кафедра РТ-2 была призвана готовить специалистов по проекти-
рованию управляемых баллистических ракет с жидкостными реак-
тивными двигателями (ЖРД). По существу она являлась преемницей
созданной в январе 1947 г. кафедры реактивного вооружения, кото-
рую с февраля возглавлял Ю.А. Победоносцев.
19
Кафедра РТ-4 предназначалась для подготовки специалистов
в области проектирования ракетных двигателей твердого топлива
(РДТТ).
Интересно, что в качестве доцентов-почасовиков в штатном рас-
писании кафедры РТ-2 значились:
— С.П. Королев (расчет реактивных двигателей и проектирова-
ние ракет дальнего действия);
— Б.Е. Черток (управление полетом ракет);
— А.Л. Леймер (аэродинамика ракетных аппаратов).
Приказы — приказами, а жизнь вносит в них свои измене-
ния. Полностью прочитать свой курс в МВТУ С.П. Королев в си-
лу своей огромной загруженности по основному месту работы не
смог (он ограничился чтением первой и последней лекций). В каче-
стве «дублера» лектора Королева выступал его главный баллистик
С.С. Лавров. Уже значительно позднее, в 1951 —1952 гг. С.П. Королев
вернулся к проблеме подготовки кадров для ракетно-космической
отрасли, приняв непосредственное участие в организации Высших
инженерных курсов (ВИК) при МВТУ. Их задачей была переквали-
фикация «промышленников» — артиллеристов и авиаторов — на
разработку проблем ракетной тематики. Подготовленный С.П. Коро-
левым и несколько позднее опубликованный курс лекций «Основы
проектирования баллистических ракет дальнего действия» в течение
многих лет оставался единственным в своем роде курсом соответ-
ствующей специальности.
В 1950 г. Ю.А. Победоносцев передает кафедру РТ-2 молодому и
очень талантливому профессору В.И. Феодосьеву, получившему на-
чальное «ракетное образование» в Германии, где они и познакоми-
лись с С.П. Королевым.
В дальнейшем становлении и развитии кафедры Сергей Павло-
вич принимал весьма активное и заинтересованное участие. Этому
способствовали достаточно частые встречи С.П. Королева с В.И. Фе-
одосьевым, который по совместительству работал в ОКБ-1, выпол-
няя роль теоретика-консультанта по проблемам прочности.
В 1959 г. кафедра РТ-2 (к этому времени она уже называлась ка-
федрой МС-1) объединяется с кафедрой РТ-4 (МС-3), которая го-
товила специалистов по твердотопливным ракетам оборонного про-
филя.
К началу 1960-х годов на кафедре подобрался великолепный
коллектив специалистов, способный в полном объеме обеспечить
20
учебный процесс по всем смежным дисциплинам, необходимым
для подготовки элитных инженеров-проектантов в области ракетно-
космической техники. Достаточно назвать лишь некоторые
имена преподавателей-совместителей: В.Н. Челомей, В.П. Бармин,
Н.Ф. Краснов.
Позже курсы по динамике ракет ставил на кафедре профес-
сор доктор технических наук (позднее академик АН СССР и РАН)
К.С. Колесников.
Основной курс проектирования, поставленный С.П. Королевым,
и базирующийся на нем цикл вспомогательных дисциплин, разви-
вался и в определенной степени трансформировался при его чтении
преподавателями кафедры РТ-2 М.С. Флорианским, В.Ф. Разумее-
вым и Б.К. Ковалевым. Последние читали курс «Основы проектиро-
вания баллистических ракет на твердом топливе», который позднее
(в 1976 г.) вышел в издательстве «Машиностроение» в виде учебного
пособия для втузов. М.С. Флорианский читал курс «Проектирование
жидкостных баллистических ракет дальнего действия». Выпускник
МВТУ 1950 г. М.С. Флорианский был единственным студентом, за-
щитившим дипломный проект под непосредственным руководством
С.П. Королева.
Его дальнейшая деятельность в ОКБ-1 протекала в отделе бал-
листики, возглавляемом Р.Ф. Аппазовым. В 1951 г. С.П. Королев
поручил ему, тогда еще совсем молодому человеку, прочитать не-
сколько лекций по баллистическому проектированию на Высших
инженерных курсах. Почувствовав вкус к преподавательской ра-
боте, М.С. Флорианский постоянно развивал и совершенствовал
читаемую дисциплину, сохраняя все же при этом приверженность
приоритетному изложению расчетно-баллистических разделов.
В этой ситуации параллельно существовавшая на факультете М
(реорганизованном в 1959 г.) кафедра «Баллистика» (М-9) вынужде-
на была читать студентам кафедры М-1 (так стала называться кафе-
дра РТ-2) курс, который, откровенно говоря, заказывался по принци-
пу «прочитайте то, что мы сами не сумели или не успели прочитать».
Основания для такого отношения, впрочем, были достаточно веские.
Кафедра «Баллистика», которой в то время руководил профессор
А.А. Дмитриевский (работавший в военные годы главным конструк-
тором минометного завода), была образована в 1941 г. как кафедра
баллистики (внешней и внутренней) артиллерийских систем. Препо-
даватели старшего возраста к обсуждаемому времени еще недоста-
21
точно переквалифицировались, чтобы читать самостоятельно подго-
товленные курсы по баллистике управляемых ракет.
Молодежь кафедры М-9 еще только осваивала «баллистику упра-
вляемых ракет дальнего действия», главным образом по одноимен-
ной монографии* Р.Ф. Аппазова, С.С. Лаврова и В.П. Мишина [4].
Перечить же великим, тем кто уже создал ракетные комплексы, ко-
торым рукоплескал весь мир, она (эта молодежь) была просто не под-
готовлена морально.
Ситуация резко изменилась уже к 1963 г. Во-первых, квалифика-
ция преподавателей кафедры «Баллистика» в области динамики по-
лета ракет уже повысилась настолько, что из-под их пера начали вы-
ходить серьезные самостоятельные работы в этой области.
Во-вторых, многие основоположники уже не работали на кафе-
дре М-1. В.Н. Челомей, В.П. Бармин, Н.Ф. Краснов возглавили спе-
циально созданные отдельные кафедры. В то же время к работе на ка-
федре М-9 стали привлекаться такие крупные авторитеты в области
ракетной техники, как, например, Генеральный конструктор твер-
дотопливных РК стратегического назначения Герой Социалистиче-
ского Труда, лауреат Ленинской и Государственных премий Б.Н. Ла-
гутин (защитивший в свое время кандидатскую диссертацию под
научным руководством А.А. Дмитриевского).
И, наконец, кафедра «Баллистика» получила статус выпускаю-
щей и начала осуществлять самостоятельную подготовку инженеров
по специальности «Динамика полета и управление движением ракет
и космических аппаратов». Последнее обстоятельство стало опре-
деляющим фактором, оказавшим влияние на перепрофилирование
основного направления деятельности кафедры.
Именно в тот период трудами доцента (позднее профессора)
В.Ф. Устинова на кафедре были заложены основы нового фундамен-
тального курса «Динамика полета и управление движением ракет».
При его постановке В.Ф. Устинов максимально использовал тот за-
дел, который накопился в результате его командировки в Германию
и был осмыслен и развит в процессе работы (по совместительству) в
Центральном научно-исследовательском институте автоматики и ги-
дравлики (ЦНИИАГ) при создании методов управления движением
тактических и оперативно-тактических ракет первых поколений.
* Читателя не должно смущать, что указанная книга вышла в свет в издатель-
стве «Наука» позже обсуждаемого периода времени, поскольку ей предшествовал
опубликованный намного ранее секретный вариант.
22
Результаты этой работы нашли отражение в опубликованной
В.Ф. Устиновым монографии, подготовленной им совместно с на-
чальником научно-исследовательской лаборатории (НИЛ)
ЦНИИАГ ГА. Эфросом.
В 1984 г. вышла в свет еще одна монография В.Ф. Устинова, напи-
санная в соавторстве с С.А. Ковальчуком, Э.П. Спириным и другими
(под редакцией Б.С. Колесова и В.Ф. Устинова), отражающая транс-
формацию взглядов советских специалистов на управление дви-
жением твердотопливных тактических и оперативно-тактических
ракет.
Значительную роль в постановке и совершенствовании читаемо-
го курса (вопросы динамики самонаводящихся и телеуправляемых
ЛА) сыграл также доцент В.В. Грабин, старший сын выдающегося
конструктора артиллерии В.Г. Грабина, пришедший на кафедру по-
сле ликвидации в 1959 г. возглавляемого его отцом ЦНИИ-58.
Во второй половине 1970-х годов автором настоящей работы был
поставлен курс, получивший позднее название «Баллистика и нави-
гация ракет», основу которого составляли вопросы программирова-
ния опорного движения на основе решения оптимизационных задач
баллистики, статистической динамики полета и информационно-
навигационного обеспечения управления движением беспилотных
летательных аппаратов.
Некоторым промежуточным итогом подготовки материала, ис-
пользованного при постановке указанного курса и его чтении в тече-
ние нескольких лет, явилось написание (в соавторстве с А.А. Дмит-
риевским) монографии [28]. А.А. Дмитриевский выступил иници-
атором издания учебника (в двух частях) под общим названием
«Баллистика и навигация летательных аппаратов», в состав авторско-
го коллектива которого (помимо профессоров А.А. Дмитриевского и
Л.Н. Лысенко) был приглашен профессор Н.М. Иванов (ныне член-
корреспондент РАН), один из ведущих баллистиков ЦНИИМаш,
специализирующийся на проблемах динамики спуска аппаратов в
атмосфере. Обе части учебника [30, 31] вышли в свет в издатель-
стве «Машиностроение» в 1985 и 1986 г. Каждая из книг сохраняла
достаточно самостоятельный характер, что делало возможным их
независимое использование.
Вторая книга («Баллистика и навигация космических аппара-
тов») получила безоговорочно высокую оценку читательской ауди-
тории и нашла широкое применение в учебном процессе основных
профилирующих вузов.
23
Второе издание этого учебника состоялось в 2004 г. [35]. Что же
касается первой книги (в ее написании помимо указанных авторов
принял участие также кандидат технических наук С.С. Богодистов),
то оценка ее оказалась неоднозначной. При наличии многих поло-
жительных отзывов, начиная с отзывов рецензентов М.Д. Кислика,
А.А. Лебедева и ряда профессоров возглавляемой им в то время кафе-
дры МАИ, а также уважаемых авторами специалистов (Д.А. Погоре-
лова, Г.П. Леонова, В.С. Бирюкова, Б.С. Скребушевского, Э.П. Спи-
рина и др.), имели место и критические замечания, смысл которых
сводился к тому, что «авторы попытались совместить несовмести-
мое». В результате, по мнению критиков, не получилось ни учебника
по баллистике, ни учебника по навигации и управлению. К тому же
выяснилось, что ни в одном другом вузе, кроме МВТУ, не читается
курс, соответствующий в полной мере содержанию учебника. Дела-
лись замечания и по поводу неравнозначности материала, написан-
ного разными авторами, необоснованности привлечения в учебник
по баллистике раздела, касающегося методов самонаведения и т. д.
Безусловно, указанный учебник не был свободен от недостатков.
Вместе с тем, он представлял собой первую попытку сосредото-
чения внимания на комплексных вопросах, играющих определя-
ющую роль в формировании баллистического и информационно-
навигационного обеспечения управления движением БР. Возможно,
в какой-то степени этот учебник, вышедший в свет двадцать лет
назад, опередил свое время.
Действительно, на тот период ни термина, ни даже такого по-
нятия, как «навигационное обеспечение полета БР», а тем более —
«баллистико-навигационное обеспечение полета», в учебной литера-
туре не существовало. Оно еще только завоевывало право на суще-
ствование, прежде всего в области управления космическими поле-
тами (см. [31, 35]). Применительно к БР единый подход к определе-
нию предметной области баллистико-навигационного обеспечения
управления полетом, структуры и круга решаемых при этом задач
начал складываться только в 1990-х годах (см., например, [113]). Но
уже к 2000 г. понятие «информационно-навигационное обеспечение
полета БР» использовалось как общеизвестное и общепринятое.
Понимая перспективность обсуждаемого научного направления
и отдавая себе отчет о наличии в изданном в 1985 г. учебнике опреде-
ленных недостатков, автор все последующие годы стремился найти
возможность вернуться к работе над этой темой.
24
Вместе с тем следует подчеркнуть, что, не отказываясь от идеоло-
гии и принципов построения и частично используя материалы учеб-
ника [30], автор не ставил перед собой задачу подготовки его второго
издания. Более того, сознательно пошел на выпуск учебного издания,
не претендующего на гриф учебника.
В какой-то степени это давало основание менее строго следовать
требованиям к написанию работы, отражающим только устоявшиеся
общепринятые положения.
С другой стороны, гриф учебного пособия на данном труде от-
крывал автору возможность (естественно, при наличии соответству-
ющих ссылок) привлекать результаты других авторов, без учета кото-
рых подготовка специалистов в области динамики полета и управле-
ния движением баллистических ракет не могла быть полноценной.
Полагая исключительно важным донести до читателя свою позицию,
касающуюся жанра, к которому относится данная работа, автор счи-
тал бы необходимым сформулировать ее по возможности четко.
Как представляется, ценность учебного издания, в отличие от мо-
нографии, заключается не в объеме и качестве включенных в нее
собственных оригинальных научных результатов, а в объеме и ка-
честве привлекаемых для рассмотрения нашедших применение све-
дений и эффективных подходов, ознакомление с которыми могло бы
способствовать подготовке современного инженера в соответствую-
щей области деятельности.
Успех (или неуспех) такого издания в значительной мере опреде-
ляется способностью к безошибочной оценке (и, безусловно, квали-
фикацией) того, кто осуществляет отбор обобщаемых материалов.
Определенной гарантией качества при этом могут служить толь-
ко уровень методических наработок и степень признания той научно-
педагогической школы, которую представляет конкретный автор.
Вместе с тем, как любая индивидуально написанная работа, в
значительной степени базирующаяся на воззрениях и личных при-
страстиях, она в определенной степени, особенно в принципиально
новых вопросах, естественно отражает субъективную позицию ее ав-
тора. В этом смысле вполне допустимо, что отдельные положения
работы и высказанные утверждения носят полемический, отнюдь не
бесспорный характер.
Хотелось бы, однако, выразить надежду, что читатель, осилив-
ший данный труд, обнаружит в нем стремление создать полезную
книгу, по которой можно не только познакомиться с достигнутым,
25
но и задуматься о наиболее рациональных перспективах совершен-
ствования уже созданного.
Автору небезразлична оценка его работы коллегами и теми, кто
ознакомится с ней. Поэтому он будет благодарен всем, кто сочтет воз-
можным высказать свое мнение о прочитанном. Замечания и пожела-
ния просьба направлять по адресу: 105005, Москва, 2-я Бауманская
ул., 5, Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Динамика полета и управление движением баллистических ра-
кет — активно развивающийся и исключительно наукоемкий раздел
общей теории движения беспилотных летательных аппаратов (ЛА).
Специфичность этого раздела определяется тем обстоятель-
ством, что управляемые баллистические аппараты, или, более стро-
го, управляемые ЛА баллистического типа, характеризуются ярко
выраженными особенностями, отличающими их от ЛА других клас-
сов.
Эти особенности определяются наличием у них наряду с упра-
вляемыми баллистического участка движения. В простейшем случае
БР имеет один управляемый участок движения, совмещаемый с ак-
тивным восходящим участком траектории, на котором работает дви-
гательная установка (ДУ) ракеты.
Движение ЛА на этом участке осуществляется в результате целе-
направленного воздействия управляющих сил наряду с совокупно-
стью сил, природа и значение которых определяются характером и
условиями полета. В момент окончания активного участка действие
управляющих сил прекращается и дальнейшее движение происходит
по инерции за счет накопленного запаса кинетической энергии. Из-
менение параметров движения ЛА на баллистическом участке опре-
деляется наличием действующих сил, основной из которых является
сила гравитационного притяжения, а при полете в плотных слоях ат-
мосферы — еще и сила аэродинамического сопротивления.
Управление может осуществляться при полете по всей траекто-
рии, если она не выходит за пределы атмосферы, в процессе манев-
рирования головной части ракеты при ее входе в плотные слои
атмосферы, а также при самонаведении на цель на нисходящем
участке траектории. При этом необходимые свойства движения ЛА
баллистического типа будут достигаться как выбором соответству-
ющих начальных условий движения, так и организацией требуемой
структуры системы сил, действующих на аппарат.
27
Очевидно, что выполнению задачи полета, связанной с дости-
жением ракетой или ее головной частью поражаемой цели, находя-
щейся на заданной дальности на поверхности Земли, будет соответ-
ствовать в общем случае бесконечно большое количество траекто-
рий, определяемых бесконечным разнообразием возможных законов
управления. Множество таких баллистических траекторий, удовле-
творяющих цели управляемого полета БР, в баллистике называют
множеством попадающих траекторий.
Определение попадающих траекторий — результат решения
краевой задачи, в которой в общем случае граничные условия пред-
ставляют собой совокупность некоторых соотношений, устанавли-
вающих связь между параметрами движения ЛА в момент окончания
активного участка и параметрами движения в конце баллистического
участка.
Решение задач управления движением ЛА неразрывно связано с
информационным обеспечением управляемого полета, являющим-
ся одним из основных разделов навигации — науки о методах и
средствах определения текущего состояния объекта относительно
фиксированной системы отсчета и выбора траектории, обеспечива-
ющей его приведение в заданную точку пространства [30]. Получив-
шие первоначальное развитие для мореплавания, методы навигации
впоследствии были распространены на движение ЛА — самолетов,
ракет и космических аппаратов. Существенным стимулом дальней-
шего совершенствования методов решения навигационных задач по-
служило создание бортовых цифровых вычислительных комплексов
(БЦВК), способствовавших повышению гибкости и эффективности
реализации соответствующих навигационных алгоритмов [23]. При
проектировании навигационных систем и систем автоматического
управления полетом ЛА разработчику приходится не только исполь-
зовать уравнения возмущенного движения аппарата в окрестности
опорной траектории, но и создавать алгоритмы формирования в
БЦВК оптимальных стратегий навигационного определения состоя-
ния и управления движением относительно инерциальной системы
отсчета, реализуемых в темпе полета (т. е. в реальном времени).
Повышение точности полета управляемых БР, в качестве основ-
ных информационных средств систем управления которых исполь-
зуются инерциальные навигационные системы (ИНС), связано с
возможностью их комплексирования астросистемами, системами
коррекции и самонаведения или приемной аппаратурой спутниковой
28
навигационной системы. Такого типа системы могут функциониро-
вать как в режиме коррекции ИНС, так и в режиме наведения ЛА на
конечном участке полета.
Естественно, в одном, даже достаточно объемном труде не пред-
ставляется возможным отразить всю полноту проблематики, опреде-
ляющей круг задач динамики полета и управления движением БР.
Поэтому основное внимание в пособии сосредоточено на обсу-
ждении вопросов, играющих определяющую роль в формировании
баллистического обеспечения и информационно-навигационных ал-
горитмов управления движением ЛА рассматриваемого класса.
К числу таковых относятся прежде всего вопросы программиро-
вания движения (задача наведения) и получения требуемой измери-
тельной информации для осуществления управления (задача навига-
ции), замыкаемые вопросами статистической динамики полета (за-
дача оценки точности движения). В соответствии с этим определена
и структура учебного пособия, материалы которого поделены на пять
взаимосвязанных разделов: I — внешние условия полета ракет (гла-
вы 1 — 3); II — баллистическое обеспечение полета управляемых
БР (главы 4 — 6); III — методы наведения БР и их головных частей
(главы 7 — 10); IV — навигация баллистических ЛА (главы 11 — 15);
V — оценка точности полета БР (главы 16 и 17).
При подготовке данного учебного пособия автор стремился пре-
жде всего осветить методологические аспекты рассматриваемой
темы, что, естественно, исключало возможность сосредоточения
внимания на конкретике, свойственной, например, такой квалифи-
цированно написанной монографии, как относительно недавно вы-
шедшая в свет работа [91].
Было бы неправильным не упомянуть здесь и учебник, вышед-
ший в свет под редакцией профессора Г.Н. Разоренова, с которым
автора связывают давние творческие контакты.
Первый вариант этой работы [111] был опубликован в 2001 г., за-
тем переиздан в 2003 г. в издательстве «Машиностроение» под но-
вым названием [98] и с грифом учебника Минобразования РФ для
студентов вузов, обучающихся по специальности «Системы управле-
ния летательными аппаратами».
При идейной близости наших работ нетрудно обнаружить и их
существенные содержательные различия. Даже если оставить в сто-
роне то, что учебник [98] ориентирован только на вопросы управле-
ния БРДД и их головными частями, тогда как в настоящем пособии
29
предпринимается попытка обобщения материала на более широкий
класс ЛА баллистического типа, отличия все равно будут достаточно
заметными.
По мнению автора, они определяются различными акцентами
при изложении одного и того же материала.
Дело заключается в том, что учебник [98] написан в большей
степени учеными системщиками-управленцами, владеющими зна-
ниями по баллистике, тогда как настоящая работа — баллистиком,
ориентирующимся в вопросах управления.
Отбор материала, включенного в пособие, подчинен единой
цели — на основе анализа достигнутого показать имеющиеся (по
крайней мере с теоретической точки зрения) резервы и возможные
направления совершенствования баллистико-навигационного обес-
печения полета управляемых баллистических ракет.
Изложение фундаментальных проблем баллистики, содержа-
щихся, например, в работах [4,10,26,32,61,107,112,113], ограниче-
но здесь совокупностью сведений, необходимых и достаточных для
понимания исходных предпосылок обсуждаемых в пособии вопро-
сов. Именно с этих позиций следует подходить к оценке значимости
и целесобразности включения в работу гл. 1 —4.
Помимо основных сведений, составляющих содержание соот-
ветствующих разделов основного курса специальностей «Динамика
полета и управление движением летательных аппаратов», а также
«Баллистика», в настоящее учебное пособие включены некоторые
материалы для факультативного изучения. Этот вспомогательный
материал, непосредственно не связанный с основной обсуждаемой
темой и требующий для его восприятия и освоения, как правило,
расширенного уровня предварительной подготовки, выделен в тек-
сте мелким шрифтом.
Еще совсем недавно подобное пособие вряд ли имело шансы
выйти в свет в открытом варианте. Ситуация изменилась после
издания работ [43, 83, 91, 98, 102, 111, 114], безусловно свиде-
тельствующих о более высоком, чем в СССР, уровне открытости
постперестроечной России.
Тем не менее автор вынужден был чуть ли не дословно цитиро-
вать отдельные, ранее не публиковавшиеся в открытой печати, сведе-
ния, содержащиеся прежде всего в [43, 91, 98, 114], руководствуясь
принципом: что ранее опубликовано, то не может содержать не под-
лежащих опубликованию данных. Этими же соображениями объяс-
30
няется непривычно большое для учебного издания количество ссы-
лок на использованные при его написании источники, включенные в
приведенный в конце работы список литературы.
В процессе работы над книгой автор имел возможность консуль-
тироваться и обсуждать отдельные положения и результаты с многи-
ми специалистами, в том числе сотрудниками кафедры баллистики и
аэродинамики МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Пользу этих дискуссий трудно переоценить.
Автор считает необходимым выразить признательность всем то-
варищам, принявшим участие в обсуждении данного учебного посо-
бия и оказавшим помощь при подготовке его к изданию.
При написании отдельных параграфов автор использовал (см. со-
ответствующие сноски в тексте) материалы, любезно предоставлен-
ные ему доктором технических наук доцентом С.В. Беневольским.
Им же разработаны методики и выполнены расчеты по оценке вли-
яния априори неопределенных факторов на точность движения БР,
приведенные в главе 17.
В п. 10.3 книги использованы материалы, написанные доктором
технических наук, доцентом В.В. Грабиным. Естественно, автор счи-
тает своим долгом отдельно поблагодарить коллег за творческое со-
действие.
Создание исходного компьютерного варианта рукописи осуще-
ствлено Н.А. Шевелкиной и Н.И. Аникеевой, чей вклад далеко вы-
ходит за рамки чисто технического оформления данной работы.
Автор особенно благодарен глубокоуважаемым рецензентам,
взявшим на себя труд внимательно ознакомиться с рукописью и
сделать ряд полезных замечаний, способствовавших улучшению ее
содержания.
Определенную роль в стимулировании интенсификации работы
над рукописью сыграла директор Издательства МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана Т.П. Попенченко. Это автор не может не отметить, полагая, что
ее вклад в издание книги был значительным.
Наконец, автор считает себя обязанным выразить благодарность
за исключительно благожелательное и заинтересованное отношение
к его труду ректору МГТУ им. Н.Э. Баумана, члену-корреспонденту
РАН, профессору И.Б. Федорову, внимание которого к работе возгла-
вляемой автором кафедры «Баллистика и аэродинамика» постоянно
ощущается на протяжении времени руководства ее коллективом.
СПИСОК ОСНОВНЫХ СОКРАЩЕНИИ
АУТ — активный участок траектории
ББ — боевой блок
БГ — боеголовка
БИНС — бесплатформенная инерциальная навигационная
система
БНО — баллистико-навигационное обеспечение
БО — баллистическое обеспечение, боевое оснащение
БР — баллистическая ракета
БС — боковая стабилизация
БВК — бортовой вычислительный комплекс
БСП — боевая стартовая позиция
БЦВМ — бортовая цифровая вычислительная машина
ГПЗ — гравитационное поле Земли
ГСП — гиростабилизированная платформа
ГЧ — головная часть
ДУ — двигательная установка
ДУ С — датчик угловой скорости
ЖРД — жидкостной ракетный двигатель
ЗУ — запоминающее устройство
ИГД — исходные геодезические данные
ИИ — искусственный интеллект
ИИБ — инерциальный измерительный блок
ИНС — инерциальная навигационная система
ИСЗ — искусственный спутник Земли
КБЗ — краевая баллистическая задача
КВО — круговое вероятное отклонение
КИП — командно-измерительные приборы
ККП — комплекс командных приборов
КНС — космическая навигационная система
КСП ПРО — комплекс средств преодоления противоракетной
обороны
32
КЭНС — корреляционно-экстремальная навигационная система
ЛА — летательный аппарат
ЛЦ — ложная цель
МБР — межконтинентальная баллистическая ракета
МГС — мировая геодезическая система (сеть)
МГЧ — маневрирующая головная часть
ММД — математическая модель движения
МНК — матрица направляющих косинусов, метод наименьших
квадратов
НЗ — навигационная задача
НИС — навигационно-измерительная система
НС — нормальная стабилизация
ОЗЭ — общий земной эллипсоид
ОТП — отклонение точки падения
ОТР — оперативно-тактическая ракета
ОЧ — ось чувствительности
ПЗ — полетное задание
ПК — программный комплекс
ПН — полезная нагрузка
ПРО — противоракетная оборона
ПУ — пусковая установка
ПУТ — пассивный участок траектории
ПФЯВ — поражающие факторы ядерного взрыва
РГЧ — разделяющаяся головная часть
РДТТ — ракетный двигатель на твердом топливе
РК — ракетный комплекс
РКС — регулятор кажущейся скорости
РЛС — радиолокационная станция
СБРК — система боковой радиокоррекции
СБУ — система боевого управления
СК — система координат
СКО — среднее квадратическое отклонение
СН — система наведения
СПР — система прицеливания
СПРН — система предупреждения о ракетном нападении
ССД — система стабилизации движения
ССН — система самонаведения
СУ — система управления
СУД — система управления движением
33
СУОС — система успокоения, ориентации и стабилизации
СУС — система угловой стабилизации
ТИ — текущее изображение
ТЗП — теплозащитное покрытие
TH — терминальное наведение
ТТХ — тактико-технические характеристики
УББ — управляемый боевой блок
УГЧ — управляемая головная часть
УЛО — уклонение линии отвеса
ЦУ — целеуказание
ЧЭ — чувствительный элемент
ШПУ — шахтная пусковая установка
ЭИ — эталонное изображение*
* Расшифровка других сокращений, используемых в работе, приведена непо-
средственно в тексте по мере их появления.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Малые выделенные жирным шрифтом буквы обозначают векторы:
х, и. Выделение жирным шрифтом векторов сил и моментов, обозначен-
ных большими буквами, специально оговаривается в тексте. Строчечная и
столбцевая формы записи вектора в общем случае не различаются. Если
такое различие существенно, в тексте специально оговаривается, какая
форма представления вектора употребляется. Выделенные жирным шриф-
том большие буквы и частные производные суть матрицы: А, В и С или
df /<Эх и df /ди.
Скалярные или векторные функции скалярных или векторных перемен-
ных обозначаются заключением аргумента в скобки: х(£), f (я, u), f (х, и).
В общем случае функция указывается совместно с промежутком, на кото-
ром она определена: u(i), t0 tK.
Основные обозначения соответствуют ГОСТам: 10058-80. Динамика
летательных аппаратов в атмосфере; 4401-81. Атмосфера стандартная. Па-
раметры.
А — азимут
а — большая полуось земного эллипсоида, скорость звука, уско-
рение
b — малая полуось земного эллипсоида
С — баллистический коэффициент, константы интегрирования
(с индексами)
cr — аэродинамический коэффициент при результирующей силе
аэродинамического сопротивления
сТп, сУа, cZa — коэффициенты аэродинамических сил
с?м ’ с?а — динамические производные коэффициентов подъем-
ной и боковой сил
D — относительная дальность (расстояние по линии визирова-
ния)
D — скорость движения ЛА вдоль линии визирования
г — ошибка системы управления, бесконечно малая величина,
окрестность области
35
F — сила, знак функции
Q — сила тяжести
g — ускорение свободного падения
Н — геопотенциальная высота, функция Гамильтона (гамильто-
ниан)
h — высота над поверхностью Земли, давление воздуха в
мм рт. ст.
I — тензор инерции, критерий качества
Koj (j — V? Y) — коэффициент усиления соответствующего
канала управления
К — вектор кинетического момента тела переменной массы
L — дальность стрельбы вдоль поверхности Земли
I — характерный линейный размер ЛА
М — внешний момент, масса Земли
М — число Маха, символ математического ожидания
т — масса ЛА
тХ1 ту, mz — коэффициенты аэродинамических моментов кре-
на, рыскания, тангажа
тхх туу mz*z — безразмерные коэффициенты (вращатель-
ные производные) демпфирующих моментов крена, рыскания и
тангажа
п — перегрузка, размерность вектора или матрицы, число ком-
понентов (членов) суммирования
Р — тяга двигательной установки ЛА
р — давление воздуха
q — угол места, скоростной напор
q — угловая скорость линии визирования
7?з — радиус Земли
Ra — вектор полного аэродинамического сопротивления
г — радиус-вектор центра масс ЛА относительно начала базовой
СК
S — площадь (в том числе площадь миделевого сечения ЛА)
t, т — время ( т — дополнительно виртуальная температура)
Т — температура, полное время полета
и — вектор управления (управление)
V — скорость ЛА (в частном случае воздушная скорость)
Xa,Ya,Za — сила лобового сопротивления, аэродинамическая
подъемная сила, аэродинамическая боковая сила
36
х — вектор состояния
а — угол атаки, сжатие Земли
Р — угол скольжения
у — угол крена
5 — угол отклонения органа управления, символ вариации
у — угол рыскания (курса)
О — угол тангажа
Т — путевой угол (угол поворота траектории)
0 — угол наклона траектории (угол наклона вектора скорости к
местному горизонту)
X — долгота, коэффициент функции Лагранжа (лагранжиана),
параметр кватерниона
Г| — угол упреждения
р — массовая плотность воздуха
о — среднее квадратическое отклонение
ф — широта
Q3 — угловая скорость вращения Земли
со — угловая скорость ЛА
Нижние индексы:
3 — Земля
max — максимальное значение
к — конечная величина
min — минимальное значение
ц — цель
О — начальное значение, начальная точка
Верхние индексы:
о — единичный вектор (орт), оптимальное значение
т — знак транспонирования вектора или матрицы
* — номинальное значение, локальная производная
Прочие обозначения, принятые в пособии, непосредственно по-
яснены в тексте.
ВВЕДЕНИЕ
Ракета получила свое название от итальянского слова «рокка»,
впервые употребленного в 1379 г. (Мура Тори, Италия) и означающе-
го в переводе «веретено». Уменьшительное от этого слова, а именно
«рочетта», и послужило основанием для ввода в практику привычно-
го сегодня для специалистов (и не только) термина, определяющего
летательный аппарат, снабженный ракетным (реактивным) двигате-
лем.
Под баллистической ракетой принято понимать аппарат, движе-
ние которого хотя бы на части траектории подчиняется законам бал-
листики.
Строго говоря, «баллистика» (созвучно греческому слову, в пе-
реводе означающему «бросаю») характеризует свободное движение.
т. е. движение, не ограниченное никакими механическими связя-
ми. Этот термин пришел в ракетную технику из артиллерии, где он
означал науку о движении снаряда после потери им механической
связи со стволом («внешняя баллистика») [10, 32]. В этом смысле
распространение указанного термина на ракеты, а тем более упра-
вляемые (пусть даже баллистические ракеты), движение которых
сопровождается связями в виде реактивных сил и управляющих воз-
действий, представляется не вполне корректным.
Тем не менее за несколько последних десятилетий термин «бал-
листика» прочно укоренился в ракетной технике. Следует признать,
что этому в значительной степени способствовало издание одной
из первых работ по теории полета управляемых баллистических
ракет под названием «Баллистика управляемых ракет дальнего дей-
ствия» [4].
По мере развития содержание баллистики управляемых ракет как
науки постепенно трансформировалось. Уже начиная с 80-х годов
XX столетия ей в большей степени отвечало определение как нау-
ки, занимающейся изучением движения ЛА баллистического типа с
учетом действующих на них сил и моментов и разработкой методов
38
и алгоритмов управления, а также информационно-навигационного
обеспечения СУ БР в процессе полета [30].
Имея в виду данную формулировку предмета, современную бал-
листику управляемых ракет достаточно часто называют теорией
полета ракет [111 — 113], поэтому в настоящей работе не делается
различия между терминами «баллистика ракет» и «теория полета
ракет».
Баллистика ракет занимается решением четырех основных задач.
Первая задача — расчет траекторий движения ЛА по заранее
известным данным. Для решения этой задачи необходимо опреде-
лить силы, действующие на ЛА в полете. Далее следует составить
дифференциальные уравнения движения ЛА с учетом действующих
сил. В результате решения дифференциальных уравнений получают
все характеристики движения: скорость, углы, определяющие ори-
ентацию вектора скорости и ЛА в пространстве, время полета, коор-
динаты центра масс, по которым может быть построена траектория.
Первую задачу иногда называют основной или прямой задачей бал-
листики. Число сил, действующих на ЛА в полете, характер их изме-
нения, а также число уравнений и их вид зависят от назначения ЛА,
его конструкции, способа стабилизации, предполагаемой траектории
движения и принятых допущений.
Вторая задача — определение проектных баллистических ха-
рактеристик движения по заданным тактико-техническим требова-
ниям (ТТТ). Данная задача непосредственно связана с баллистиче-
ским проектированием систем, важным этапом которого является
отыскание оптимальных режимов движения и траекторий полета.
Исследование вопросов стабилизации ЛА различного назначе-
ния, определение условий управляемости и разработка баллистиче-
ских алгоритмов управления движением в темпе полета составляет
третью задачу баллистики.
Расчет траекторий на начальной стадии проектирования ЛА
ведется, как правило, в предположении идеально выполненного
аппарата при использовании параметров атмосферы, отвечающих
средним метеорологическим условиям. Однако в действительности
появляется ряд факторов, вызывающих отклонение ЛА в полете от
расчетной траектории. Рассеивание траекторий отдельных пусков
может зависеть как от конструктивных и технологических причин,
так и от отклонений условий полета от расчетных. Изучение факто-
ров, влияющих на рассеивание траекторий, рассмотрение способов
39
уменьшения рассеивания и повышения точности наведения отно-
сится к четвертой задаче баллистики.
Помимо перечисленных задач, баллистика дает основные данные
для разработки правил и приемов прицеливания ракет.
Перечень вопросов, составляющих содержание баллистики как
науки, позволяет выделить в ней по крайней мере два основных
направления, первое из которых называют баллистическим (или
баллистико-навигационным) обеспечением полета, второе — про-
ектной баллистикой. Баллистическое обеспечение полета ставит
своей целью выполнение совокупности операций, направленных на
непосредственное решение задач полета.
К числу таких операций может быть отнесено:
• определение и прогнозирование параметров движения ЛА по
результатам навигационных измерений;
• анализ соответствия реализуемых параметров конечной цели
полета;
• расчет корректирующих поправок или необходимых управля-
ющих воздействий для приведения движения ЛА в соответствие с
реализуемой программой полета.
В рамках постановки задач баллистики, решаемых при упра-
влении полетом, обычно стремятся к использованию математиче-
ской модели, наиболее полно отражающей не только основные, но
и второстепенные факторы, влияющие на движение ЛА (например,
«период последствия», эффекты, обусловленные разделением ступе-
ней, переходные процессы при отработке управляющих воздействий
и т. д.).
Назначением раздела науки, называемого проектной баллисти-
кой, является получение исходных данных для проектирования ЛА
на основе анализа условий движения без привязки траектории к кон-
кретным географическим координатам цели и точки старта, выбора
наивыгоднейшей схемы полета и определения требуемого управле-
ния, обеспечивающего решение поставленной задачи.
Проектные баллистические расчеты проводятся в несколько при-
ближений. Сначала при баллистическом проектировании определя-
ют характеристики идеальной траектории ЛА с учетом массы бо-
евой части и предполагаемых дальностей полета (максимальной и
минимальной). При проведении расчетов на стадии баллистического
проектирования считается уместным использование специально «за-
трубленных» упрощенных математических моделей, учитывающих
40
лишь основные факторы. В результате этих расчетов устанавливает-
ся целесообразность выбираемого метода управления, форма траек-
тории, ее кривизна, значение касательных и нормальных ускорений.
В процессе конструирования ракетного комплекса баллистические
проектные расчеты повторяются с введением в них уточненных дан-
ных об аппарате, его системах управления и стабилизации.
Динамика полета и управление движением баллистических ра-
кет, как уже отмечалось ранее, является разделом общей теории дви-
жения беспилотных ЛА, по отношению к которой баллистика упра-
вляемых ракет является составной частью.
Таким образом, обсуждаемая в пособии тема в значительной сте-
пени базируется на результатах решения сформулированных выше
задач, но в то же время, представляется более широкой по числу
обсуждаемых вопросов, выходящих за рамки чисто баллистических
проблем. Это «расширение» предмета определяется необходимо-
стью включения в него задач динамического проектирования упра-
вляемых ЛА баллистического типа, назначением которого является
выявление факторов, играющих определяющую роль в формирова-
нии облика систем управления движением (СУД) ЛА, включающих в
свой состав навигационно-измерительную систему (НИС), систему
наведения (СН) и систему стабилизации движения (ССД). Послед-
няя, в свою очередь, содержит систему угловой стабилизации (СУС)
и систему стабилизации движения центра масс (ССЦМ) ракеты.
Каждая из функциональных подсистем СУД имеет свое вполне
конкретное назначение:
• НИС предназначена для получения информации о движении
БР, достаточной для успешного функционирования СУД и достиже-
ния поставленной цели управления;
• СН решает задачу выработки разовых команд управления из
условия достижения конечной цели управления движением БР —
выведения ракеты, моноблочной ГЧ или боевых блоков РГЧ на по-
падающие траектории; в качестве дополнительных или промежуточ-
ных целей, достижение которых может быть возложено на СН, мо-
гут выступать построение заданных боевых порядков ББ в системе
боевого оснащения, совершение ракетой маневра уклонения на АУТ
или на рубежах перехвата средствами ПРО, обеспечение наведения
сбрасываемых элементов конструкции (отработавших ступеней, го-
ловного обтекателя и т. д.) в заданные районы отчуждения и др.;
41
• ССД обеспечивает отработку программных движений БР и га-
рантирует выполнение условий устойчивого полета (при этом СУС
решает задачу отработки программ углового движения, ССЦМ — от-
вечает за стабилизацию продольного движения, в частности, с помо-
щью регулятора кажущейся скорости (РКС), боковую и нормальную
стабилизацию (БС и НС) соответственно.
В зависимости от дальности стрельбы БР подразделяются на три
вида:
• ракеты малой дальности (с диапазоном дальности 500...
1000 км);
• ракеты средней дальности (с дальностью действия от 1000 до
5500 км);
• ракеты большой дальности, или межконтинентальные балли-
стические ракеты (с дальностью действия более 5500 км).
На всех современных БР средней и большой дальности боевая
часть (БЧ) размещается в отделяемом от корпуса ББ. В связи с этим
активный участок полета БР большой и средней дальности действия
завершается не только выключением двигательной установки, но и
отделением ББ, осуществляющих (осуществляющего) последующий
полет к цели либо по полностью баллистической траектории, либо
по траектории, сочетающей баллистическое движение с маневриро-
ванием, производимом в атмосфере. В последнем случае говорят об
управляемых ГЧ либо об управляемых боевых блоках (УББ). К чи-
слу наиболее характерных типов УГЧ или УББ относятся аппараты
баллистического, планирующего либо аэробаллистического типов.
Траектория ББ баллистического типа близка к траектории обыч-
ной моноблочной неуправляемой ГЧ. Отличия проявляются только
на атмосферном участке при подлете к цели, где ББ могут совершать
программные маневры преодоления ПРО.
Траектория ББ или УГЧ планирующего типа отличается от бал-
листической траектории на основном, маршевом, участке, который
проходит в верхних слоях атмосферы глубоким (длительным) пла-
нирующим полетом.
Траектория аэробаллистического ЛА относится к числу рикоше-
тирующих. Она содержит чередующиеся участки баллистического и
планирующего полета, чем достигается более полное (чем у аппара-
тов планирующего типа) использование накопленной на АУТ кине-
тической энергии, а следовательно, достигается большая дальность
полета. ЛА такого типа могут совершать маневры, обеспечивающие
42
работу системы коррекции навигационной информации типа выхо-
да на квазигоризонтальный режим полета, необходимый для функ-
ционирования систем, реализующих обзорно-сравнительный метод
навигации (управление по картам местности).
Перечисленные типы ГЧ и ББ должны иметь индивидуальные си-
стемы управления, близкие по принципам построения с СУ БР, но
имеющие некоторые технические отличия, обусловленные частич-
ным изменением их функций.
Так, в частности, ИНС должна обеспечить высокую точность
наведения в условиях накопившихся погрешностей построителей
базовых направлений и при высоких поперечных перегрузках (до
200 ед.), связанных с выполнением интенсивных маневров уклоне-
ния от средств перехвата.
Комплексирование основной информационной системы должно
быть осуществлено за счет применения навигационных систем, ис-
пользующих информацию, внешнюю по отношению к поставляемой
автономной ИНС.
Возможно применение систем навигации и наведения по сиг-
нальным характеристикам цели.
СН должны обеспечить программное управление, гарантирую-
щее возвращение на попадающую траекторию после выполнения ма-
невров преодоления ПРО, а также формирование разовых команд (на
сброс ложных целей, высотный подрыв ядерной боевой части и т. д.).
Наконец, СУС ГЧ должна выполнять более широкий спектр опера-
ций, таких как парирование возмущений после отделения от послед-
ней ступени БР, успокоение, ориентацию в заданном направлении
после отделения, при сбросе ложных целей, на интервалах навига-
ционных определений и т. д.
БР относительно малых дальностей, как правило, не имеют отде-
ляющихся ГЧ. Дело заключается в том, что большая часть траекто-
рии такого типа ракет проходит в плотных слоях атмосферы, а дви-
гательная установка заканчивает работу на малых высотах (поряд-
ка 10...40 км). В результате этого существенно возрастает влияние
параметров атмосферы на возмущенное движение аппарата, которое
практически не может быть компенсировано при отделении ГЧ. Для
ракет, хотя и относящихся к классу БР малой дальности, но имею-
щих высокие траектории (с высотой порядка 200 км), а также БР
средней дальности, конец активного участка которых лежит выше
границы атмосферы, что бывает, в частности, в случае применения
43
двухступенчатой конструктивной схемы и наличия паузы между ин-
тервалами работы ДУ 1-й и 2-й ступени (примерами могут служить
американская БР «Першинг-2» и отечественная «Волга»), подобные
ограничения отсутствуют. Это делает оправданным использование
отделяемой ГЧ, обеспечивающей более надежную доставку боевой
части к цели в условиях значительных силовых и тепловых воздей-
ствий, возникающих при движении ГЧ в атмосфере на нисходящем
участке траектории (помимо указанных выше отделяемые ГЧ имели
такие БР, как «Ока» и «Ока-У»).
По своему целевому назначению РК подразделяются на тактиче-
ские, оперативно-тактические и стратегические.
Тактические и оперативно-тактические РК относятся к сред-
ствам вооружения Сухопутных войск, стратегические — к средствам
вооружения Ракетных войск стратегического назначения (РВСН).
Очень важной тактико-технической характеристикой РК служит
такая, принадлежащая к числу баллистических, как диапазон даль-
ностей стрельбы.
В отличие от класса стратегических в классе ракет Сухопутных
войск практически невозможно создать единый образец для стрель-
бы во всем диапазоне требуемых дальностей. Это не только трудно
выполнимо технически, но и невыгодно экономически [91].
В связи с этим возникает необходимость создания несколь-
ких образцов ракет для стрельбы в различных диапазонах даль-
ностей. Число ступеней БР (совпадающее для тандемной схемы с
числом входящих в ее состав ракетных блоков) определяется дально-
стью действия, типом применяемых двигательных установок (ЖРД,
РДТТ), удельной тягой ДУ, а также относительной массой полезной
нагрузки, характеризующей энергомассовое совершенство ракеты.
Современные ОТР — это одноступенчатые ракеты на твердом
топливе без обнуления тяги [91]. Такого типа БР обычно управля-
ются на всей траектории в плотных и разреженных слоях атмосферы
(в качестве примера могут быть названы РК «Точка», «Искандер» и
др.). С увеличением дальности и высоты полета, как уже отмечалось,
ограничение, связанное с невозможностью отделения ГЧ, снимает-
ся. Соответствующие БР, имеющие отделяемую ГЧ, могут быть вы-
полнены как в одноступенчатом, так и двухступенчатом вариантах.
Естественно, в этом случае управление дальностью полета осуще-
ствляется только на АУТ, завершение АУТ определяется алгоритмом
управления, реализуемым системой обнуления тяги.
44
Стратегические РК, что следует из приведенного ранее исто-
рического обзора, могут иметь БР как с твердотопливным, так и
жидкостным ракетным двигателем.
Применение на ракетах Сухопутных войск жидкостных ракет-
ных двигателей не потеряло полностью своей актуальности, но ЖРД
обычно рассматривают в качестве дополнительного двигателя, пред-
назначенного для работы на отдельных участках траектории [91].
Стартовые комплексы стратегических БР могут быть выполне-
ны как в стационарном (в том числе и шахтном), так и мобильном
(подвижном) вариантах исполнения. Применительно к ракетам Су-
хопутных войск используют только нестационарные (подвижные)
варианты стартовых комплексов, предполагающих необходимость
топопривязки начальной точки маршрута пусковой установки (ПУ)
и навигационное определение пройденного пути до точки старта
ракеты.
При любом варианте используемой ПУ пуск БР возможен, как
правило, при ее неподвижном положении относительно поверхности
Земли.
В зависимости от местоположения точки пуска БР могут быть
наземного или морского базирования. БР морского базирования раз-
мещаются на борту подводных лодок, причем пуски могут произ-
водиться как из надводного, так и подводного положения [98]. В
качестве подлежащих поражению целей баллистических ракет (по
крайне мере, средней и большой дальности) всегда рассматривают-
ся только неподвижные объекты. Это означает, что их координаты,
определенные относительно поверхности Земли с требуемой точно-
стью до момента пуска ракеты, в дальнейшем не будут меняться. Это
делает возможным использование на борту БР измерительной систе-
мы, предназначенной для определения только параметров движения
самой ракеты [98, 111]. Речь идет о неподвижности точек старта и
цели относительно поверхности Земли.
В абсолютном же движении они не являются неподвижными и
перемещаются в силу наличия суточного вращения Земли. Указан-
ное движение, тем не менее, является прогнозируемым. Поэтому на
любой момент времени стрельба БР осуществляется по упрежден-
ному положению цели, т. е. по точке пространства, в которой цель
окажется к моменту подлета к ней ракеты или ее головной части.
При этом учет движения цели за счет вращения Земли и расчет
положения упрежденной точки могут осуществляться различными
45
способами в зависимости от выбранного закона и информационного
обеспечения управления полетом ракеты.
Таким образом, навигация ЛА баллистического типа является со-
ставной частью более широкого понятия, определяющего процесс
управления движением, а навигационная система входит в состав
СУД БР.
Навигационная система (НС) представляет собой комплекс тех-
нических средств, обеспечивающих решение навигационной задачи
за цикл навигации, т. е. за время непрерывной работы системы в ре-
жиме определения навигационных координат ЛА. Решение навига-
ционной задачи предполагает наличие навигационной информации,
складывающейся из первичной, начальной и исходной.
Первичная навигационная информация — это текущая информа-
ция о поступательном движении центра масс ЛА и вращательном
движении базисных направлений, в качестве источника которой мо-
гут выступать физические поля.
Начальная навигационная информация представляет собой пер-
вичную навигационную информацию, отнесенную к моменту начала
цикла навигации.
Исходная навигационная (баллистическая) информация — это
необходимая для обеспечения навигации баллистическая информа-
ция, непосредственно не связанная с движением конкретного ЛА и
не изменяющаяся в пределах одного цикла навигации. К ней относят-
ся сведения о физических полях, используемых в качестве источни-
ков первичной информации, априорная модель процесса движения,
алгоритмы пересчета обобщенных координат ЛА в его навигацион-
ные координаты и т. д. Исходная навигационная информация служит
основным элементом баллистического обеспечения полета.
Баллистическое обеспечение полета в совокупности с процессом
получения первичной и начальной навигационной информации со-
ставляет навигационное или баллистико-навигационное обеспечение
полета. Термин «навигационное обеспечение полета», вообще гово-
ря, более часто используют по отношению к неавтономной навига-
ции, т. е. к процессу навигации, реализуемому с помощью средств
наземного комплекса. При обеспечении навигации только бортовы-
ми средствами ЛА, работающими независимо от наземных систем
и средств связи, более употребительным является понятие автоном-
ная навигация.
46
Изложенное свидетельствует об органической взаимосвязи по-
становки и решения баллистических и навигационных задач на со-
временном уровне развития теории и практики управляемого полета.
Характерным примером сочетаний методов баллистики и нави-
гации может служить комплексная проблема формирования гибкой
приземной траектории при терминальном управлении. Разработке
теории терминального управления — управления конечным состоя-
нием — посвящено большое количество работ. Терминальные мето-
ды наведения реализуются с использованием так называемых много-
шаговых алгоритмов, при которых время движения ЛА разделяется
на фиксированные интервалы (шаги). В пределах одного шага ве-
дется расчет и коррекция траектории. В результате последовательно
повторяющейся на каждом шаге коррекции ЛА приводится в точку
(область) с заданными координатами. При этом на борту ЛА необ-
ходимо иметь БЦВМ, обладающую достаточным быстродействием
и объемом памяти.
Целью любого метода навигации является получение данных о
текущих координатах и скорости ЛА относительно выбранной си-
стемы отсчета. В основу классификации методов, в отличие от спо-
собов навигации, учитывающих физические принципы построения
навигационных систем, положена схема определения координат ме-
ста ЛА. В настоящее время все методы навигации укрупненно можно
подразделить на три группы:
позиционный метод, непосредственно реализующий линии
и (или) поверхности положений;
метод счисления пути, основанный на определении пройденно-
го пути посредством непрерывного или дискретного интегрирования
по времени измеряемых ускорений или скорости ЛА;
обзорно-сравнительный метод, позволяющий определить теку-
щее местоположение ЛА в результате сопоставления фактически на-
блюдаемых ориентиров с их заранее запомненным относительным
расположением.
Понятия о поверхностях и линиях положения используют в те-
ории навигации для задания местоположения движущегося объекта
в пространстве. При этом под поверхностью положения понимают
геометрическое место точек местоположения ЛА в пространстве, ха-
рактеризуемое постоянным значением измеряемого навигационного
параметра (НП). В качестве НП могут выступать углы места и ази-
мута, дальность, сумма или разность дальностей и т. д. Пересечение
47
двух поверхностей положения определяет линию положения. Соот-
ветственно пересечение двух линий положения или линии с поверх-
ностью положения дает положение точки в пространстве.
В позиционном методе навигации определение координат ЛА
осуществляется относительно небесных тел, наземных ориентиров,
а также на основании априорной информации о параметрах физи-
ческих полей Земли, возможно ее атмосферы и измерений их пара-
метров в процессе полета. В качестве наземных ориентиров могут
рассматриваться радионавигационные наземные станции, обеспе-
чивающие определение координат радиотехническими методами,
станции наведения и пр. При навигационных измерениях, прово-
димых в рамках позиционного метода, могут использоваться как
естественные, так и искусственные источники излучения или отра-
жения излучений от других объектов. Во всех случаях определение
координат ЛА здесь сводится к измерению расстояний, углов или
комбинации углов и расстояний в выбранной системе координат
относительно одного или нескольких источников излучения. Учет
пройденного ЛА расстояния в данном методе необязателен. Позици-
онный метод является основным методом навигации, реализуемым в
системах телеуправления и самонаведения, а также при построении
системы спутниковой навигации.
В методе счисления пути для определения текущего положения
ЛА проводятся измерения его перемещений относительно извест-
ного начального положения. Осуществление счисления требует на-
личия данных о направлении движения ЛА (его курсе), ускорении
или скорости относительно Земли либо в инерциальном простран-
стве. При измерении ускорения координаты определяются двукрат-
ным интегрированием, при измерении скорости — однократным
интегрированием. Он является основным методом, реализуемым в
автономных системах.
В обзорно-сравнительном методе навигации текущие координа-
ты ЛА определяют путем сопоставления фактически наблюдаемой
карты местности или неба с географической, звездной или какой-
либо иной картой. Данный метод нашел применение в так называ-
емых экстремальных и корреляционно-экстремальных навигацион-
ных системах управления движением ЛА по заданному курсу.
В отличие от метода, определяющего теоретическую основу
или путь математического решения (исследования) задачи, способ
48
навигации характеризует уже конкретное техническое решение по-
ставленной задачи. Естественно, один и тот же метод может иметь
множество различных технических решений, т. е. может быть реа-
лизован с помощью различных способов. Понятие способа, таким
образом, неразрывно связано с определением конкретного типа си-
стем, используемых для обеспечения навигации ЛА по выбранному
методу.
Навигационные системы, реализующие названные методы, кон-
структивно отличаются друг от друга в зависимости от того, какие
физические принципы положены в основу их работы.
В силу методического единства обсуждаемых проблем баллис-
тико-навигационного обеспечения рассматриваемого класса ЛА, из-
лагаемые общетеоретические результаты в той или иной степени
распространимы на всю совокупность возможных видов РК: от так-
тического до стратегического назначений. Вместе с тем отличия
их конструктивного исполнения и в большей мере условия боевого
применения приводят к наличию особенностей, целесообразность
учета которых обычно признается уместной при подходе, предпо-
лагающем все же более высокий уровень детализации конструкций
отдельных систем и всего комплекса в целом, нежели это принято в
настоящем пособии.
Имея это в виду, тем не менее подчеркнем, что при достаточно
высоком уровне универсализации содержательная сторона обсужда-
емых проблем ориентирована в большей степени (по крайней мере в
количественном отношении) на РК стратегического назначения. Там,
где учет указанных особенностей существен, вид РК оговаривается
специально.
РАЗДЕЛ I
ВНЕШНИЕ УСЛОВИЯ ПОЛЕТА РАКЕТ
Выбор траектории ЛА, его динамических характеристик, а также
решение всей совокупности задач баллистического и навигационно-
го обеспечения в значительной степени зависят от физических усло-
вий полета. Движение ракет осуществляется в поле тяготения Земли,
которое, с одной стороны, оказывает определяющее воздействие на
формирование траектории, с другой — является объектом получения
информации при синтезе навигационных систем.
При разработке навигационных систем используется информа-
ция не только о гравитационном поле. Создание комплексных систем
требует в ряде случаев знания характеристик магнитного поля Земли
(МПЗ).
Характер и интенсивность взаимодействия ЛА с воздушной сре-
дой определяются такими ее параметрами, как состав, плотность,
давление, температура, скорость распространения возмущений (ско-
рость звука) и т. п. Эти параметры атмосферы прежде всего являются
функциями высоты над поверхностью Мирового океана. На них ока-
зывают воздействие сезонные и суточные вариации, геофизические
факторы и многое другое. Значительное влияние на распределение
параметров атмосферы оказывает перемещение воздушных масс —
ветры. Ветры, кроме того, приводят к отклонению истинного зна-
чения воздушной скорости полета от значений скорости движения,
обеспечиваемой за счет работы двигательной установки. В совокуп-
ности все эти факторы обусловливают возмущенное движение ЛА,
существенно отличающееся от номинального (опорного), определя-
емого для нормальных условий полета, т. е. условий, не учитываю-
щих фактические отклонения физических условий полета от расчет-
ных значений. Эти отклонения надо уметь учитывать при подготов-
ке данных для пуска ракет и определении текущего местоположения
ЛА и решения иных баллистических и навигационных задач.
50
Г л а в a 1. ФИГУРА И ГРАВИТАЦИОННОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
1.1. Фигура Земли и ее модели
Проблема определения фактических размеров и формы Земли до
настоящего времени остается одной из важнейших в перечне факто-
ров, определяющих создание высокоточного навигационного обес-
печения полета БР.
Особенно актуальна эта задача для МБР, дальность действия ко-
торых составляет примерно 10000... 12000 км, а требуемый уровень
точности полета моноблочной неуправляемой ГЧ должен иметь уро-
вень порядка 300 м (по предельному отклонению). При таких даль-
ностях от точки старта до точки цели трудность их топопривязки бу-
дет определяться уже тем, что до сих пор отсутствуют возможности
абсолютно точной относительной привязки континентов на поверх-
ности земного шара.
Другая трудность связана с необходимостью вычисления на бор-
ту БР для решения задачи инерциальной навигации максимально
точного (по возможности) значения гравитационного ускорения,
определяемого на основе принятой к рассмотрению модели грави-
тационного поля Земли (ГПЗ).
Последняя, вычисляемая через константы, хранящиеся в БЦВМ,
будет зависеть от достоверности и точности знаний, определяемых
теорией фигуры Земли.
Необходимость аппроксимации реальных фигуры и гравитаци-
онного поля Земли их математическими аналогами объективно при-
водит к возникновению погрешностей гравиметрической и геодези-
ческой подготовки, выражающихся через ошибки:
• обусловленные погрешностями задания параметров фигуры
Земли;
• вызванные неточностью знания ГПЗ;
• геодезической привязки точек старта и цели.
Перечисленные типы ошибок проявляются в суммарном откло-
нении возмущенного движения ЛА от цели вследствие погрешно-
стей определения начальных условий и неточности расчета попада-
ющей траектории. Отметим важное обстоятельство, заключающее-
ся в том, что ошибки гравиметрической и геодезической подготовки
вызывают неустранимую погрешность вычисления исходных балли-
стических параметров (в частности, азимута прицеливания и време-
ни окончания активного участка траектории в методах управления,
51
предусматривающих «отсечку тяги») для предпусковой настройки
элементов СУ БР. Данный тип ошибок будет характеризовать (см.
гл. 17) нижнюю границу теоретически возможных отклонений, опре-
деляющих точность полета управляемой с использованием ИНС ра-
кеты.
Основоположником теории фигуры Земли, очевидно, следует
считать И. Ньютона, сформулировавшего закон всемирного тяготе-
ния и показавшего, что Земля, если предположить, что она состоит
из однородной идеальной жидкости, свободно перетекающей под
воздействием соответствующих сил, должна принимать форму элли-
псоида вращения. Исследования Р. Клеро, опубликованные в 1743 г.,
позволили создать вполне корректную картину взаимосвязи гравита-
ционного поля и уровенных поверхностей, которые образует жидкая
однородная или состоящая из однородных концентрических слоев
масса планеты. Р. Клеро удалось распространить на физическую мо-
дель, более приближенную к фигуре Земли, доказательство И. Нью-
тона, что фигура равновесия вращающейся однородной идеальной
жидкости представляет собой эллипсоид вращения малого сжатия.
Он показал, что такую же геометрическую поверхность будет иметь
Земля, состоящая из неоднородных масс, плотность которых изме-
няется по радиусу. Г. Стокс еще более расширил рамки ограничений
и создал в достаточной степени обобщенную теорию фигуры Земли,
не ограниченную условием распределения масс.
В 1873 г. немецкий геодезист Е. Листинг предложил рассматри-
вать в качестве фигуры Земли уровенную поверхность, совпадаю-
щую на океанах с невозмущенной поверхностью воды и продолжен-
ную под континентами по закону образования уровенных поверх-
ностей, т. е. ортогонально направлению полного вектора напряжен-
ности гравитационного поля. Такая поверхность получила название
геоида. Строго говоря, фигура с таким названием, означающим «по-
добная Земле», не может быть определена геометрически, поскольку
в геометрии отсутствует соответствующая поверхность и нет формул
для ее вычисления.
Дальнейшие исследования, тем не менее, позволили установить,
что геоид близок к эллипсоиду со сжатием 1/298,28 (где
под сжатием понимается отношение разности его наибольшей
и наименьшей осей к наибольшей) и большой полуосью, равной
6 378 160 м. Далее всего он отстоит от эллипсоида в области Тихого
океана северо-восточнее Австралии (140—160° в. д.) и в Атлантике,
52
над Срединным Атлантическим хребтом, в области 10—15° з. д. Это
в свое время дало основание принять, что в качестве более точной
аппроксимации геоида следует считать, трехосный земной элли-
псоид, у которого большая экваториальная ось проходит в области
указанных выше значений восточной и западной долготы.
Но и эта аппроксимирующая схема не обладает приемлемой
корректностью, поскольку на самом деле происходит как бы скру-
чивание геоида по часовой стрелке с севера на юг, если смотреть со
стороны Северного полюса. Расхождение большой и малой полу-
осей составляет около 150 м, причем наибольшее «вздутие» геоида
в западном и восточном полушариях не является строго симметрич-
ным [113].
Данное обстоятельство дало основание для принятия во всех раз-
витых странах еще задолго до появления спутниковой (космической)
гравиметрии моделей геоида в виде двухосного эллипсоида как наи-
более просто описываемого математически и относительно мало от-
личающегося (по точности) от геоида.
Естественно, все геодезические работы в соответствующих стра-
нах проводились для эллипсоидов, наилучшим образом удовлетворя-
ющих поверхностям территорий этих стран. Такого рода эллипсоиды
получили название референц-эллипсоидов, т. е. моделей, утвержден-
ных правительственными структурами этих стран.
Размеры, определяющие референц-эллипсоиды (их оси), вычи-
слялись на основании градусных измерений длин дуг меридианов.
Так как фигура Земли отлична от эллипсоида, а тем более сфероида
(фигуры, подобной сфере), то в разных местах на одной и той же
широте дуги меридианов имели разную кривизну. Поэтому опре-
деленные такими методами размеры эллипсоида зависели от места
проведения измерений. Этим и объяснялись имеющиеся различия
в численных значениях элементов земного эллипсоида, получен-
ных разными авторами. Советские геодезисты под руководством
Ф.Н. Красовского (1878—1948), используя градусные измерения в
СССР (к 1942 г. на территории нашей страны было выполнено более
20000 гравиметрических измерений), странах Западной Европы и
США, определили размеры двухосного эллипсоида, утвержденно-
го в качестве референц-эллипсоида СССР. Указанный референц-
эллипсоид, параметры которого были зафиксированы на основании
Постановления СМ СССР в 1964 г. для проведения всех геодези-
ческих работ на территории Советского Союза, был назван земным
эллипсоидом Красовского.
53
На основании тех же работ были получены данные и для трех-
осного эллипсоида.
Для двухосного эллипсоида Красовского большая полуось (сред-
ний радиус экватора) принимается равной а = 6378245 м, малая по-
луось в = 6356863 м, сжатие а = (а - Ь)/а = 1/298,3. Квадрат
первого эксцентриситета е2 = (а2 — 62)/а2 = 0,006693. Квадрат вто-
рого эксцентриситета е2 = (а2 - Ь2)/Ь2 — 0,006739.
В США и Канаде принят референц-эллипсоид Кларка, в Ита-
лии — референц-эллипсоид Хейфорда, Норвегии — Бесселя и т. д.
Появление искусственных спутников Земли (ИСЗ), использу-
емых для геодезических измерений, позволило, во-первых, под-
твердить целесообразность применения двухосного эллипсоида в
качестве одного из приемлемых вариантов аппроксимации геоида,
во-вторых, определить параметры «усредненного геоида».
Результатом такой работы, выполненной Центром космических
полетов НАСА им. Годдарта, явилось создание «карты геоида», на-
званной моделью GEM-8 [113].
Интернациональный характер работ в области спутниковой гра-
виметрии позволил решить задачу создания общего земного элли-
псоида (ОЗЭ), параметры которого непрерывно уточняются по мере
накопления статистических данных и совершенствования методов и
средств измерений.
Следует отметить, что координаты любой точки на территории
России, в частности координаты точки старта БР, выдаются на по-
верхности эллипсоида Красовского. Затем они пересчитываются по
конечным формулам на поверхность ОЗЭ, на которой определяются
координаты цели.
Считается, что ОЗЭ должен удовлетворять ряду требований,
определяющих его наилучшее соответствие поверхности геоида.
К их числу относят следующие:
• геометрические центры эллипсоида и геоида должны совпа-
дать, как и плоскости их экваторов;
• объем эллипсоида должен быть равен объему геоида;
• сумма квадратов отклонений поверхности эллипсоида от по-
верхности геоида должна быть минимальной.
Параметры ОЗЭ задаются в виде большой полуоси, соответству-
ющей среднему экваториальному радиусу ае, сжатия а (или знаме-
54
нателя сжатия £, поскольку £ = 1/а), задаваемого в относительных
единицах, гравитационной постоянной ц = fM, которая в отече-
ственных изданиях обозначается иногда через К (т. е. ц = К), и
экваториального ускорения силы тяжести ge.
Указанные параметры утверждаются соответствующими струк-
турами государства и являются обязательными для использования на
его территории.
В России таким утверждаемым документом является Государ-
ственный стандарт (ГОСТ) «Стандартная Земля» [94]. В США этот
документ утверждается Министерством обороны в виде издания
WGS (World Geodetic System) с указанием года принятия (см., на-
пример, [127]).
Характер и динамика уточнения параметров ОЗЭ по данным
WGS иллюстрируется табл. 1.1.
В ряде случаев может быть использована сферическая модель
Земли, радиус которой получается из условия равенства ОЗЭ и сфе-
роида. Этот радиус называется радиусом сферической Земли. Он чи-
сленно равен 7?з = 6371 км. Эта величина относится к числу основ-
ных геопостоянных параметров.
При использовании эллипсоида в качестве модели Земли линии
отвеса, применяемые при начальной выставке построителей базис-
ных направлений, задающих приборную систему координат, в кото-
рой решается задача наведения, заменяются нормалями к эллипсоиду.
Нормаль к поверхности эллипсоида из какой-либо точки Земли, во-
обще говоря, не будет совпадать с направлением линии отвеса. Соот-
ветствующий угол, называемый «уклонением», в среднем примерно
равен 4". Однако в ряде случаев практика свидетельствует, что вели-
чина «уклонения» может достигать нескольких десятков угловых се-
кунд для относительно небольших расстояний (особенно в гористой
местности). Так как при управлении движением БР (вне зависимо-
сти от того, используется ли в качестве построителей базисных на-
правлений платформенная или бесплатформенная системы) началь-
ная выставка моделируемой на борту системы отсчета «привязывает-
ся» к линии отвеса, а расчет попадающей траектории производится
в абсолютной стартовой системе координат, вертикальная ось кото-
рой совпадает с нормалью к ОЗЭ, то неучет уклонения в несколько
десятков угловых секунд приводит к значительным ошибкам.
55
Таблица 1.1
Геодезическая система Параметры ОЗЭ Порядок модели сферического гармонического потенциала ГПЗ
Большая полуось ае ,м Знаменатель сжатия Л отн.ед. Геоцентрическая гравитационная постоянная, включая атмосферу JM 109, м3/с2 Экваториальное ускорение силы тяжести #е, мГал
Геодезическая си- стема 1961г. (по В. Каула) 6378163 ± 15 298, 24 ±0,01 398602,8 ±0,8 978043, 6 —
Всемирная геоде- зическая система 1965 г. 6378144 ± 13 298,26 398602,6 ± 0,8 978041,3 ±4,4 —
МГС-66 (WGS-66) 6378165 298, 252 398603,2 978030, 6 15(24)
МГС-66, уточненная в 1968 г. 6378142 ±6 298, 255 ±0,005 398600,9 ± 0, 7 978031,1 ±3,2 15(24)
Оконч. табл. 1.1
Геодезическая система Параметры ОЗЭ Порядок модели сферического гармонического потенциала ГПЗ
Большая полуось ае,м Знаменатель сжатия 4 отн.ед. Геоцентрическая гравитационная постоянная, включая атмосферу /М 109, м3/с2 Экваториальное ускорение силы тяжести ge, мГал
МГС-72 (WGS-72) 6378135 ± 5 298, 26 ±0,06 398600, 5 ± 0,4 978033, 2 ±1,8 20 (учет аномалий по сетке 5x5°)
Всемирная геоде- зическая система 1985 г. 6378136 ± 1 298,257 398600,44 ±0,01 978032,4 36
MFC-84(WGC-84) 6378137 298,257± 0,00022 398600,5 36 (учет аномалий по сетке 5 х 5°); 180 (по сетке 1 х 1 °)
МГС-84, уточненная в 1988 г. 6378136,991 298,257 ± 0,00024 398600,463 - 360 (с использованием данных ИСЗ Geosat, Seasat, Geos-З и аномалий по сетке 30 х 30")
Завершая общий обзор понятия «фигура Земли», отметим, что
Земля совершает в пространстве сложное движение — годовое обра-
щение вокруг Солнца и суточное вращение относительно своей оси;
земная ось, в свою очередь, совершает нутационное и прецессионное
движения.
Однако при исследовании движения ракет ввиду относительной
кратковременности их полета считают, что движение Земли по орби-
те вокруг Солнца можно принимать за прямолинейное равномерное
поступательное движение.
Нутационные колебания Земли и ее прецессию не учитывают, так
как эти движения характеризуются очень малыми угловыми скоро-
стями (период прецессионного движения 26000 лет, период нутаци-
онных колебаний 18,6 года при амплитуде, не превышающей 9,2").
Учитывается только суточное вращение Земли, которое практически
равномерно; один оборот совершается за 23 ч 36 мин 4 с, угловая ско-
рость вращения, 1/с:
2 я _г
“ (23 • 60 + 56)60 + 4 “ 7’292'10
Периодическое изменение угловой скорости вращения Земли в
течение года и нерегулярные изменения скорости вращения приво-
дят к изменению длины суток на тысячные доли секунды.
1.2. Потенциал силы земного тяготения и его
классическое представление
Прежде всего, следует напомнить, что силовое поле, создаваемое
элементарной массой dM, взаимодействует с материальной точкой
единичной массы, удаленной на расстояние Z, причем это взаимодей-
ствие определяется с помощью соответствующей силовой функции
(потенциала), имеющей следующий вид:
dU = fdM/l, (1.1)
где f = (6,67 ± 0,01) • 10-11 — гравитационная постоянная (по-
стоянная тяготения), м2 • кг-1 • с-2; I — расстояние между точками с
единичной массой (точка Р) и элементарной массой dM (рис. 1.1).
Потенциал Земли для точечной единичной массы может быть
формально представлен в виде интеграла по всей массе Земли
dU = f / (L2)
(М)
58
Вычислить интеграл в выражении
(1.2) по всему объему геоида, не говоря уж
об объеме Земли, невозможно, поскольку
не существует ни математической модели
обсуждаемой фигуры, ни функции, опи-
сывающей изменение плотности масс в ее
объеме.
Положение точки Р вне объема Земли
и элементарной массы Земли dM опреде-
ляются сферическими координатами: для
точки Р — это г, (р, X; для элементарной
массы dM — р, ср', V.
Тогда выражение потенциала в функ-
Рис. 1.1. Координаты то-
чечной единичной массы,
находящейся вне объема
Земли
ции сферических координат может быть представлено в следующем
виде:
TTf и г f dM
U(г, Ф, X) = f / ----------------------
J l(r, ф, Л, р, ф', Л.)
(1.3)
Единственный путь получения обозримого решения для (1.3)
связан с использованием степенного разложения выражения (1.3) в
ряд с использованием сферических функций.
Обозначая угол между риг через \|/, получим
I = у/г2 + р2 — 2г р cos \|/.
(1.4)
В процессе полета БР относительно поверхности Земли будут ме-
няться величины г и \|/, а следовательно, и величина I. Очевидно, что
потенциал U будет меняться при движении ракеты в некоторых пре-
делах и может быть вычислен приближенно с помощью усеченного
степенного разложения при введении различного рода допущений.
Наиболее существенные допущения касаются формы Земли, ее
размеров и распределения масс.
Предварительно рассмотрим наиболее простой вариант вывода,
хорошо поясняющий физический смысл первых членов разложения.
Из (1.4) получим
59
Так как р < г, то функция-------—- может быть разложена в
г
биномиальный ряд по степеням малой величины 8 = р/r. Равно-
мерная сходимость этого ряда доказана М.Ф. Субботиным и Т.Н. Ду-
бошиным.
В результате получим, что
F ( 5, у) = - V (—) рп (cos у), (1.6)
г \ Г /
71=0
где Pn(cos ф) — многочлены Лежандра, а функция F ( 8, у) носит
название производящей функции многочленов Лежандра.
Подставляя (1.6) в (1.2), найдем
°° 1 Г
Щг, ф, к) = f У —- / ртРп (cos ф) dM. (1.7)
n + 1 J
71-0 (М)
Функция U в (1.7) будет зависеть от сферических координат точ-
ки Р (см. рис. 1.1).
Сферические функции обладают свойством ортогональности, со-
гласно которому после поворота координатных осей они сохраняют
свои свойства.
Поэтому, если ось у совместить с радиусом-вектором г, то основ-
ная сферическая функция Рп (cos ф) может быть представлена
в виде
(п — т)!
Рп (cos ф) = > -тгН------“ГТ X
io Мп + m)!
X Рпт (sin ф) Рпт (sin ф;) cos ( к - кг) , (1.8)
где
X — / 1’ если т = 0’
т [2, если т 0;
ф? и кг — широта и долгота положения элементарной массы dM,
задаваемая радиусом-вектором р = г7.
Учитывая полученное выражение (1.8), интеграл (1.7) преобра-
зуем к виду
60
r г со п 71
и(г, Ф, Х) = — ЕЕ (7) х
П=0 771=0
X (Спт cos т X + Snm sin т X) Рпт (sin ср), (1.9)
где г0 — наибольший радиус поверхности принятой к рассмотрению
физической модели Земли;
1 (ti — тп)1 Г
Cnm = nliif 7 i \7 I ?i ^>nm (sin Фг) cos Ш dM J (1.10)
r™M (n + m)l J
(M)
1 (ti — тп)^ Г
Snm =;-------------77 / r?Pnm (sin Ф;) sin m К dM- (1.11)
(M)
Pnm (sin ф) — присоединенные сферические функции (присоеди-
ненные функции Лежандра порядка п с индексом тп)\ Pn(sm ф) =
= Pno(sin ф) — главные сферические функции (основные много-
члены Лежандра).
Функции Лежандра вычисляются по следующим формулам
(при п ^2):
Pnm (sin ф) =
(?71<71)
_ (2п - 1) sin фРп 1>тп(бт ф) - (n + т - l)Pn-2,m(sin ф)
п — т
Рпт (sin ф) = (2п - l)cos фРп_1>п_1 (sin ф),
(т=?1)
Poo(sin ф) = 1, Рю (sin ф) = sin ф, Pi 1 (sin ф) = cos ф.
(1.12)
Физический смысл отдельных слагаемых силовой функции (1.9)
может быть уяснен в результате рассмотрения условий обращения в
нуль сферических функций.
Если положить т = 0, то получим Pn(sin ф), зависящую только
от широты. При этом, будучи полиномом n-й степени, она имеет п
нулей на интервале [— я/2; я/2].
Поэтому данная функция называется зональной (зональной гар-
моникой), образующей на сфероиде п + 1 зону, внутри которой она
будет сохранять свой знак. Зональные гармоники учитывают только
широтные эффекты ГПЗ и ее формы.
61
В случае т = п имеем
(2п)! п
P„n(sm ф) = cos” <р,
а функции Рпп (sin ф) cos п X и Pnn(sin ф) sin п X могут обращаться
в нуль (за исключением полюсов) только на меридианах, определяе-
мых уравнениями
cos п X = 0; sin п X = 0.
Указанные функции называются секториальными сферическими
функциями {секториальными гармониками), учитывающими чисто
долготные эффекты ГПЗ и ее формы.
При одновременном выполнении неравенств т ^0 и т / п
соответствующие функции, называемые элементарными сфериче-
скими функциями, Рпт (sin ф) cos п X и Рпт (sin ф) sin п X будут со-
держать как широтные, так и долготные члены и принимать нулевые
значения вдоль п параллелей и т меридианов. Поэтому на сфере
они сохраняют знак внутри криволинейных четырехугольников и
треугольников, образованных пересечением двух параллелей и двух
меридианов или двух меридианов и параллели. Данные функции
(гармоники) называются тессералъными гармониками, учитываю-
щими смешанные широтные и долготные аномалии ГПЗ. С увеличе-
нием п или т количество нулей у всех гармоник возрастает. Отсюда
следует, что общие закономерности, характеризующие форму Земли
и ее ГП, описываются гармониками низшего порядка. Локальные же
изменения определяются гармониками высшего порядка. При этом
с увеличением порядка амплитуды гармоник уменьшаются.
Физическая сущность изложенного хорошо иллюстрируется на-
глядной схемой рис. 1.2.
Силовая функция в виде (1.9) представляет собой ее физический
аналог, как угодно близко приближающийся к силовой функции Зем-
ли при п —> оо. Как следует из соотношений (1.10) и (1.11), коэффи-
циенты Спт и Snm, характеризующие собой амплитуды гармоник
(сферических функций), зависят от распределения масс внутри Зем-
ли и от ее формы, причем наглядный физический смысл они при-
обретают при п < 2 (координаты центра и моменты инерции).
Рассмотренная математическая модель силовой функции Земли
была предложена И.Д. Жонголовичем в 1957 г. [33] и достаточно ши-
роко и долго использовалась как в России, так и за рубежом. Позд-
нее, по рекомендации Международного Астрономического Союза,
62
Рис. 1.2. Типы гармоник потенциала поля тяготения Земли и расположение
на сфере областей изменения их знаков
для практического использования была введена несколько видоиз-
мененная модель, записываемая в виде
п=2 тп=1
X (Cnmcosm Х + SnTn sinm V)Pnm(sin ф) . (1.13)
Здесь главные сферические функции определяют по так называемой
формуле Родрига
1 dn (sin1 2 ф — 1)”
Рп = Pno (sm ф) = —— —V , (1.14)
2пп! dsmn ф
а присоединенные сферические функции находят по зависимости
dm Р
Рптп = Pnm (sin <р) = COS ф . т =
dsin ф
cosm ф dn+m (sin2 ф — l)n
2nn! dsinn+m ф *
При расчетах на ЦВМ эти функции, как правило, аппроксимируются
следующими рекуррентными зависимостями:
63
(2п - 1) sin (pP(n_i)m - (n + m - 1) P(n_2)m
p _ J ri — m
nm при n > m,
(2n - 1) P(n-i)(n-i) cos ф при n = m.
Первые три зависимости, необходимые для начала расчета, имеют
вид соотношений Pqq, Рю и Рп, содержащихся в (1.2).
Данная форма модели гравитационного потенциала, получившая
название «классической», предполагает, что центр масс Земли совпа-
дает с началом планетоцентрической гринвичской системы коорди-
нат. В отличие от (1.9) в выражении (1.13) зональные гармоники вы-
несены в отдельное слагаемое, Спо обозначено через Jn, а в качестве
наибольшего радиуса поверхности Земли принято значение эквато-
риального радиуса ОЗЭ, обозначенного, как следует из изложенного
ранее, через ае.
В настоящее время в качестве модели силовой функции, исполь-
зуемой при решении задач баллистического обеспечения полета БР,
получила наибольшее распространение модель потенциала, записы-
ваемая через нормированные коэффициенты и функции Лежандра:
Г = ^[1 +
г
77 = 1 771=0
71
X
X (Спт cos тп X + SnTn sin т X) Рпт (sin ср)
(1.16)
где Спт, Snm — нормированные коэффициенты, связанные с их не-
нормированными значениями соотношениями
Спт — NnmCnm, $пт — ^'пт^пт>
(1.17)
где нормирующий множитель Nnm определяется по формуле
N
1Упт
1
у/2п И- 1
А /г,/г, --7Т ' "7: при т / 0.
у 2(2n + 1) (п — т)!
при т — 0;
64
Как следует из выражения (1.16), число слагаемых степенного
разложения в нем ограничено п = т — 36. Это связано с тем, что
уровень точности коэффициентов Спт и SnTn при п > 36 не при-
водит при их учете к повышению точности моделирования силовой
функции ГПЗ.
В заключение отметим, что представляя силовую функцию ГПЗ
при решении практических задач баллистического обеспечения по-
лета БР в виде конечной суммы членов степенного разложения, мы,
естественно, допускаем ошибку, которая уменьшается с увеличени-
ем числа удерживаемых членов. Однако если определенный эффект
ГПЗ описывается комбинацией нескольких гармоник, то не всегда
прибавление слагаемых уменьшает ошибку приближения к истин-
ному полю [113].
Поэтому аппроксимировать геоид и его поле следует реальными
физическими телами, учитывая порядок малости и степень важно-
сти отбрасываемых и удерживаемых членов разложения для реше-
ния конкретной задачи.
Наибольшее распространение при этом получили следующие ма-
тематические выражения рассмотренных ранее моделей Земли:
• модель сфероида (модель ньютоновского потенциала) с сило-
вой функцией Uo = К/г, где К = fM = 398600, 5 • 109 м3/с2;
• модель эллипсоида вращения, учитывающая только полярное
сжатие Земли (эллипсоид Клеро) с силовой функцией UH — — 1 +
г
sin ф) ; коэффициент С20, определяющий
„ 2 < 1 гЛ
вую гармонику, вычисляется как G20 = — I ос----р I, где
3 \ 2 J
= Q2a3K-1, a P2o(sin ф) = | (3sin2 ф — 1) .
Учитывая последнее равенство, получим, что в точках
= ±35°15,52,/ силовая функция эллипсоида Клеро равна анало-
гичному значению для сфероида, а на экваторе и полюсах — соот-
пер-
<Р
ветственно больше и меньше, чем у сфероида, причем максимальное
отличие эллипсоида от сфероида пропорционально сжатию и дости-
гает 21 км;
• модель эллипсоида вращения, учитывающая квадрат полюсно-
го сжатия Земли, с силовой функцией
65
йн = — 1 + (—) С2ОР2о (sin ф) + (—) Сдо-Рдо (sin ф)
г \ г / \ г /
8 Л 2 5 \
в которой С4о = — - az - - а Р I;
иО \Z Z /
• модель трехосного эллипсоида, учитывающая экваториальное
сжатие Земли, с силовой функцией
F.3 — — 1 + f —^20-^20 (sin ф) +
г \ г /
(С22 cos 2 X + S22 sin 2 X) Р22 (sin ф)
где учитываемое второй секториальной гармоникой экваториальное
сжатие а* = 1/30000 имеет порядок квадрата полярного сжатия.
При этом любая из приведенных (и иных возможных) моделей
может рассматриваться как нормальная для решаемой задачи. Тогда
разность значений силовых функций геоида и нормальной силовой
функции будет называться аномальной.
Хотя подобный подход и имеет право на существование, тем не
менее существует установившееся понятие нормального потенциа-
ла Земли, под которым принято понимать потенциал «правильного»
эллипсоида вращения с равномерным распределением масс относи-
тельно оси вращения. Имея в виду, что Pno(sin ф) при п = 0,... ,4,
согласно (1.14), принимает вид
Poo (sin ф)
Рю (sin ф)
Р20 (sin ф)
Рзо (sin ф)
Р40 (sin ф)
и вводя стандартные обозначения геопостоянных До = К =
= 3,986005 • 1014м3/с2; л2 = Ка2еС20 = -1,76 • 1025 м5/с2; л4 =
= /Га2Сдо = 1,09 • 1036 м7/с2, получим
= 1,
— sin ф,
3.2 1
= - sm ф - -,
2 2
5.2 3 .
= 2 sm ф - - sin ф,
35 . 4 15 . 2 3
= sm ф sin ф+-
66
ин = — + (3sin2 Ф - 1) +
г 2т6
+ (35 sin4 ф - 30 sin2 ф + 3) . (1.18)
Именно это выражение силовой функции находит наиболее широ-
кое применение для определения составляющих вектора ускоре-
ния свободного падения при решении многих задач баллистико-
навигационного обеспечения полета БР.
1.3. Применение метода точечных масс
Классическое представление потенциала силы земного тяготения
получило широкое распространение при решении задач баллистиче-
ского обеспечения полета объектов различного назначения как в до-
статочной степени универсальный подход, позволяющий адаптивно
подходить к выбору структуры математического описания силовой
функции исходя из критерия «точность — сложность».
Однако при оценке достоинств и недостатков соответствующего
подхода следует иметь в виду два важных обстоятельства.
Первое заключается в том, что при потенциально высокой «гло-
бальной» точности он не обеспечивает необходимой оперативности
проведения расчетов, поскольку использование степенного разложе-
ния по сферическим функциям требует больших временных затрат
из-за необходимости учета весьма значительного количества членов
ряда.
Второе обстоятельство связано с тем, что рассмотренный подход,
обеспечивая, как уже отмечалось, потенциально высокую глобаль-
ную (или интегральную) точность, не позволяет представить геопо-
тенциал с требуемой точностью в отдельных региональных и локаль-
ных областях, особенно в районах, обладающих высоким уровнем
аномальности.
Когда боевая стартовая позиция (БСП) располагается в окрестно-
сти такого района, неучет в модели ГПЗ аномальных составляющих
гравитационного потенциала может привести к появлению не ком-
пенсируемых ошибок при пуске МБР [114].
Это побудило к применению при гравиметрической подготов-
ке, прежде всего для БСП, гравитационных моделей района пуска
(ГМРП), базирующихся на сочетании классического представления
геопотенциала с методом точечных масс [82].
67
Начало широкого практического использования такого типа мо-
делей как составляющей мероприятий по повышению точности пус-
ков МБР датируется концом 1970-х годов.
Целесообразность использования ГМРП и для БР меньшей даль-
ности, по-видимому, определяется следующими факторами:
1) профилем поверхности в конкретных точках расположения
БСП (чем выше уровень гористости местности, тем выше необходи-
мость перехода к ГМРП);
2) «весом» составляющей рассеивания от ошибок геодезической
и гравиметрической подготовки в общей составляющей достигну-
того уровня рассеивания конкретного ракетного комплекса (обычно
~ 20 % от суммарного рассеивания);
3) достигнутым в стране уровнем точности топогеодезических
работ.
Сущность процесса построения ГМРП сводится к представле-
нию модели ГПЗ в виде совокупности модели нормального потен-
циала Земли достаточно высокого (не ниже 8-го) порядка и массива
точечных масс, моделирующего местную аномалию.
Таким образом, с помощью модели точечных масс учитывает-
ся та или иная часть спектра гравитационных аномалий в районе
БСП. Точечные массы имеют физический смысл некоторых услов-
ных образований в виде совокупности «тяготеющих» тел, которым
приписывают такой потенциал и которые размещают относительно
референц-эллипсоида или ОЗЭ таким образом, чтобы создаваемое
ими поле совместно с полем гармонического потенциала соответ-
ствовали средним значениям гравитационного возмущения на эле-
ментах поверхности региона с центром на стартовой позиции ра-
кеты. Реализуемые практически в позиционных районах ракет сет-
ки элементов поверхности могут иметь размеры 5° х 5°, 1° х 1°,
15' х 15', 5' х 5'. Чем гуще сетка, тем более полно могут быть учте-
ны местные детали поля и тем меньше суммарное рассеивание за-
висит от нечеткого представления ГПЗ. Выбор размера сетки и диа-
пазона времени, в течение которого ГМРП используется в полете
для вычисления ускорения силы притяжения (например, при реали-
зации основного уравнения инерциальной навигации в платформен-
ных ИНС), определяется классом ракет и требованиями к точности
попадания в цель.
Для МБР переход от сетки 5 0 х 5 0 к сетке 10 х 1 ° дает уменьшение
погрешности попадания за счет действия аномалий ГПЗ в 2,1 раза, а
68
дальнейший переход к сеткам 15' х 15' и 5' х 5' — соответственно
в 3,6 и 9 раз. Для дальностей полета оперативно-тактических ракет
(ОТР) это влияние в несколько раз меньше, однако соответствующие
пропорции остаются примерно такими же.
Изложенное дает основание для обсуждения теоретических ос-
нов метода точечных масс и его практического использования.
Задача представления геопотенциала моделью потенциала огра-
ниченного числа притягивающих тел сводится к получению зависи-
мостей, позволяющих определить параметры (массу и координаты)
вводимого в рассмотрение ограниченного числа притягивающих то-
чечных масс, как аномальной части геопотенциала.
Аппроксимация аномальной части ГПЗ с помощью потенциала
ограниченного числа притягивающих точечных масс имеет опре-
деленные преимущества, позволяющие искать пути приближенных
аналитических или численно-аналитических решений уравнений
движения БР в нецентральном ГПЗ, учитывающем наличие гравита-
ционных аномалий.
В соответствии с методом точечных масс выражение потенциала
ГПЗ может быть представлено в виде
N
С/аН°М = (1Л9)
где f — гравитационная постоянная; mi — i-я точечная масса;
Mi — точка, в которой находится i-я масса; М — точка, в кото-
рой определяется потенциал; А — расстояние от точки Mi до точки
М; N — число притягивающих точечных масс.
Эквивалентом (1.19) является выражение
к
^аном = — Н-----з (хх0 + уу0 + гг0),
1=1 П Р
(1.20)
где п = Щх- Xi)2 + (у - Уг)2 + (z - Zi)2\
1 N i N i N
XO = -—y^KiXi-, y0 = ----S^Kiyi; ZQ = -—\\KiZi.
2=1 2=1 2=1
Здесь К — гравитационный параметр Земли; р — расстояние от
центра масс ОЗЭ до точки внешнего пространства, соответствую-
щего текущему (в частности, стартовому) положению центра масс
69
БР; Ki, Xi, yi, zi — гравитационный параметр и координаты г-й то-
чечной массы; х, у, z — координаты положения центра масс БР
( р = \Jx2 + у2 + г2).
В силу эквивалентности рассматриваемых силовых функций,
они должны обладать идентичными свойствами. Следовательно,
точечно-массовое представление внешнего ГПЗ не противоречит те-
ории силовых функций. Кроме того, при описании геопотенциала
системой точечных масс должно выполняться соотношение
(N м \
1 + Ел7 ’ (Е21)
г=1 /
где — аппроксимирующая масса ОЗЭ; М — масса Земли; Mi —
масса г-й точечной массы.
Поэтому, во-первых, величина Mi может иметь как положитель-
ный, так и отрицательный знак, и, во-вторых, перераспределение
масс не должно вызвать изменения силовой функции.
С помощью моделей точечных масс в принципе могут быть по-
строены не только локальные, но и региональные модели ГПЗ, ко-
торые, естественно, будут различаться количеством точечных масс в
выстраиваемой системе [113,114].
Г л а в а 2. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ЗЕМЛИ
2.1. Основные понятия и элементы земного магнетизма
Силовые воздействия магнитного поля Земли на постоянный магнит проявля-
ются в принудительной ориентации его (магнита) в определенном направлении от-
носительно Земли. Приближенное математическое выражение характеристики маг-
нитного поля Земли, отнесенной к ее поверхности, дает выражение магнитного по-
тенциала шара (сферы), равного потенциалу диполя [126],
тт а
UM = —т cos 0м,
где Яз — радиус Земли; Мз — магнитный момент Земли; 0М = 90° — Ф — допол-
нение к геомагнитной широте (рис. 2.1).
Точки пересечения магнитной оси диполя Земли с поверхностью сферической
модели Земли называются геомагнитными полюсами. Линия, соединяющая магнит-
ные полюса, называется магнитной осью диполя. Названия геомагнитных полюсов
70
Рис. 2.1. Координаты геомагнитного поля Земли:
1 - географический экватор; 2 - географический северный полюс; 3 - геомагнитный
южный полюс; 4 - Гринвичский меридиан; 5 - геомагнитный экватор; 6 - геомаг-
нитный меридиан; 7 - положение ЛА
противоположны названиям геофизических полюсов [126]. Геомагнитная ось от-
клонена от оси вращения Земли примерно на 11,5°. Геомагнитная ось служит по-
лярной осью геомагнитных координат; геомагнитной широтой Ф называют ши-
роту точки наблюдения, определенную относительно геомагнитного экватора. Со-
отношения между геофизическими и геомагнитными координатами определяются
следующим выражением:
sin Ф = sin ф sin ф0 + cos ф0 cos ф cos ( Хо — X) sin А =
sin ( Хо - X)
= cos ф------------(2.1)
cos Ф
где А — угол между геомагнитным меридианом места наблюдения и магнитным
меридианом географического полюса — геомагнитная долгота.
Основной характеристикой магнитного поля Земли является вектор Т его на-
пряженности.
В литературе по теории воздушной навигации вектор напряженности Т раскла-
дывают по направлениям прямоугольной системы координат OXrYrZr. Ось ОХГ
направляют по географическому меридиану на север, ось OYr направлена по ка-
сательной к параллели на восток, ось OZr направляют к центру шаровой модели
Земли. Проекции вектора Т на ось ОХГ называют северной составляющей Хг, а
на оси OYr и OZr соответственно восточной и вертикальной составляющими Yr
и Zr.
Проекции вектора Т на плоскость местного горизонта носят название горизон-
тальной составляющей Н (рис. 2.2). Вертикальная плоскость ZrOH представляет
собой плоскость магнитного меридиана. Угол между вертикальными плоскостя-
ми, проходящими через магнитный и географический меридианы, называется маг-
нитным склонением и обозначается буквой D. Угол между вектором Т и местной
71
Рис. 2.2. Элементы земного
магнетизма
горизонтальной плоскостью, в которой лежит
вектор Н, называется углом магнитного на-
клонения и обозначается буквой J. Составля-
ющие вектора напряженности магнитного по-
ля Xr,yr,Zr, Н вместе с углами D и J называ-
ются элементами земного магнетизма.
Если вертикальная плоскость, в которой
лежит вектор Т, отклонена от плоскости гео-
графического меридиана к востоку, то маг-
нитное склонение считается положительным,
если к западу, то отрицательным. Если в север-
ном полушарии вектор Т отклонен от местного
горизонта вниз, то угол наклона считается по-
ложительным. Если в южном полушарии век-
тор Т отклонен от местного горизонта вверх,
то угол наклона считается отрицательным.
Для каждой точки Земли между элемента-
ми земного магнетизма действуют следующие
элементарные связи (см. рис. 2.2):
Н = TcosJ; Yr = HsinP; Xr = HcosD; T2 = H2 + Z2-,
Y,
tgJ = ; Zr = H tg D = T sin J .
Ar
Элементы земного магнетизма определяются специальными опытами. По ре-
зультатам опытов составляют так называемые магнитные карты. На карты нано-
сят горизонтальную и вертикальную составляющие вектора напряженности маг-
нитного поля, называемые изодинами — соответственно изодиной Н и изодиной
Zr. Изолинии, соответствующие постоянному значению угла наклонения J — const,
называются изоклинами’, линии, отвечающие постоянному магнитному склонению
D = const, называются изогонами. Установлено, что среднее значение напряжен-
ности магнитного поля Тп сохраняется достаточно длительное время. Отклонение
напряженности поля от его среднего значения называется полем вариаций 5Т. Со-
стояние магнитного поля для данного момента времени определяется как векторная
сумма
Т = Тп + 5Т. (2.3)
Величины изменений среднегодовых значений элементов магнетизма называют ве-
ковым ходом этих элементов. Вековой ход различен в разных точках Земли и ото-
бражается в специальных картах, называемых картами изопор.
2.2. Математическое описание магнитного поля Земли
Кроме графического представления магнитного поля Земли в виде названных
выше карт изолиний при решении навигационных задач используют математиче-
ское представление геомагнитного поля в виде так называемого гауссова разложе-
ния потенциала поля в ряд по сферическим функциям, адекватным по структуре
рассмотренным в гл. 1:
72
где X и Ом — географическая долгота и дополнение к широте точки местоположе-
ния ЛА; Яз — радиус сферической модели Земли; г — расстояние от центра Земли
до ЛА; Я* = _R„(cos 0М) — квазинормированный по Шмидту полином Лежандра
первого рода:
Рп (cos 0„) = dn sin* 0М У P^cos" к 23 0М;
р* , .us; (2n — 2S) !
пк { 1 2"S!(n-S) !(n-2S-fc)!’
к _ / (n - fc) !
" V (n + fe)! ’
(2.5)
п — к
2
Ek = 1 кроме Ео = г, а предел Е
означает наибольшее целое положи-
п — к
2
тельное число, содержащееся в
; д„; hn — так называемые коэффициенты
Гаусса—Шмидта, характеризующие распределение магнитных масс относительно
системы координат OXrYrZr. Прогнозирование коэффициентов Гаусса—Шмидта
осуществляется с помощью формул
SnW =Sn(*o)+£»(<-to);
hk(t) = hk(t0) + hkn(t-t0),
где ^n(0’ ^n(0 — значения коэффициентов на данную эпоху t; p£(to); ^п(^о) —
принятые коэффициенты на эпоху to; д*; —скорости изменения коэффициентов
во времени [126].
Г л а в а 3. АТМОСФЕРА ЗЕМЛИ
3.1. Состав и свойства атмосферы
Основные параметры атмосферы — плотность воздуха, темпера-
тура воздуха, барометрическое давление, скорость звука и ветер —
существенным образом влияют на характеристики движения ра-
кет. Для изучения атмосферы создана широкая сеть метеостанций,
размещенных по всему земному шару. Исследования проводят с по-
мощью метеорологической аппаратуры, устанавливаемой на шарах-
пилотах, радиозондах, специально оборудованных самолетах, ме-
теорологических ракетах и спутниках Земли; результаты измерений
подвергаются статистической обработке и обобщаются.
Атмосферу Земли по химическому составу принято называть
азотно-кислородной, она содержит 76% азота, 21 % кислорода, 3 %
73
водяного пара, водорода, углекислого газа и ряда других газов. Из-
вестно несколько принципов построения схем атмосферы. По соста-
ву воздуха атмосферу подразделяют на гомосферу и гетеросферу.
В гомосфере, простирающейся до высот ~ 95 км, состав воздуха с
высотой почти не изменяется.
В гетеросфере азот, кислород и другие газы под действием
ультрафиолетового излучения Солнца диссоциируют и находятся
в атомарном состоянии. Поскольку температура воздуха является
основным параметром, определяющим характеристики состояния
атмосферы, наибольший интерес для баллистики представляет схе-
ма строения атмосферы по характеру распределения температуры в
зависимости от высоты. В этой схеме атмосферу Земли подразделя-
ют на пять основных слоев, названных сферами.
Нижний слой — тропосфера простирается в средних широтах
до высоты ~ 11 км, а в экваториальных областях до высоты ~16 км.
Высота тропосферы зависит от времени года, увеличиваясь летом и
уменьшаясь зимой. В тропосфере содержится ~75% всей массы ат-
мосферы и основная часть водяного пара. В тропосфере формируют-
ся все явления погоды. Отличительная черта тропосферы — пони-
жение температуры воздуха с высотой. Однако зимой и летом после
ясных холодных ночей могут наблюдаться температурные инверсии,
при которых температура с высотой сначала возрастает, а затем начи-
нает убывать. В тропосфере имеют место значительные горизонталь-
ные и вертикальные течения воздушных масс — ветры. Горизонталь-
ные ветры вызываются разностью давлений в разных местах земной
поверхности, вертикальные — разностью температур по высоте.
Следующий слой — стратосфера простирается в средних ши-
ротах от ~ 11 до ~ 50 км. Стратосфера до высот ~ 30 км харак-
теризуется постоянством температуры; на большой высоте, по мере
приближения к верхней границе стратосферы, температура возраста-
ет, причем происходят значительные суточные и межсуточные коле-
бания. Изменение температурного градиента между тропосферой и
стратосферой происходит в относительно узком слое, называемом
тропопаузой. Толщина слоя тропопаузы колеблется от нескольких
сотен до ~ 2000 м. В относительно узком слое, охватывающем тро-
попаузу, наблюдаются мощные перемещения воздушных масс (так
называемые струйные течения) с запада на восток, со скоростями,
доходящими до ~ 110 м/с 400 км/ч).
74
Область струйных течений в атмосфере характеризуется высо-
кими скоростными градиентами в вертикальном и горизонтальном
направлениях.
Над стратосферой расположена мезосфера, которая простирает-
ся от высоты ~ 50 до ~ 90 км. Она характеризуется понижением
температуры до верхней границы слоя и повышенной турбулентно-
стью.
Термосфера — это слой атмосферы от ~ 90 до ~ 500 км, харак-
теризующийся непрерывным повышением кинетической температу-
ры. В верхней части термосферы на высотах 400... 500 км кинетиче-
ская температура воздуха достигает ~ 1500 К.
Слой, расположенный на высоте от 500 км до внешней границы
атмосферы, т. е. примерно до 2000—3000 км, называется экзосферой.
В экзосфере воздух очень разрежен. Переходные слои между назван-
ными сферами носят соответственно названия стратопауза, мезопа-
уза и термопауза.
3.2. Стандартная атмосфера
Исследования показали, что физические параметры атмосферы
значительно изменяются в зависимости от климатических условий,
времени года и высоты. Например, в слое атмосферы высотой до 5 км
содержится около 50 % всей массы воздуха, а высотой до 20 км —
95 %. Баллистические расчеты проводят для нормальных метеоусло-
вий, соответствующих средним статистическим опытным данным
или так называемым стандартным атмосферам (СА). Отклоне-
ние метеоусловий от нормальных значений учитывается отдельно.
До настоящего времени в соответствии с ГОСТ 4401-81 действует
СА-81.
Стандартная атмосфера предназначена для использования при
расчетах и проектировании летательных аппаратов, при обработке
результатов геофизических и метеорологических наблюдений и для
приведения результатов испытаний ЛА и их элементов к одинаковым
условиям. В СА-81 установлены стандартные числовые значения
параметров атмосферы в функции геометрической h и геопотенци-
альной Н высот в диапазоне от 2 до 50 км. Для высот от 50 до 80 км
установлены рекомендуемые значения параметров атмосферы, а для
высот от 80 до 120 км приведены справочные данные параметров,
являющиеся переходными к средней международной справочной
75
атмосфере CIRA—1972 Комитета по космическим исследованиям
международного совета научных объединений.
В метеорологии геопотенциальную высоту выражают через так
называемые геопотенциальные метры. Для удобства изучения рас-
пределения давления в атмосфере в расчетные формулы вводят
потенциал силы тяжести или геопотенциал, характеризующий по-
тенциальную энергию частицы, расположенной в данной точке
Ф(я, ?/, z). Поверхность, соответствующая уравнению Ф(х, ?/, г) =
= const, называется изопотенциалъной, или геопотенциальной. Для
переноса единицы массы с поверхности, имеющей потенциал Ф1, на
близкую поверхность, имеющую потенциал Ф2, необходимо произ-
вести удельную работу с?Ф = g(h)dh, учитывая, что Ф2 = Ф1 + d$.
h
Интегрируя, получим Ф = f g (h)dh. Разделив Ф на стандартное (т. е.
о
соответствующее нулевой высоте) ускорение свободного падения gc,
получим потенциальную высоту, имеющую размерность длины,
h
Ф 1 Г
Н = - = - g(h)dh.
gc gc J
о
(3.1)
Для установления зависимости между геопотенциальной и гео-
метрической высотами необходимо найти зависимость g(h). В
СА-81 g(h) вычислялось без учета центробежного ускорения по
, а. - □ НИ2
формуле для сферической модели Земли g = gc —------
у Нзс + h J
После интегрирования (3.1) получим зависимости
_ R3ch , _ R3CH
~ R3c + h И “ R3c + Н
(3.2)
При вычислении параметров, помещенных в таблицах СА, принят
R3c = 6356766 м.
Формулы, определяющие изменение давления с высотой, осно-
ваны на гипотезе о вертикальном статическом равновесии атмосфе-
ры. По этой гипотезе все горизонтальные слои воздуха элементарной
толщины dh и единичной площади уравновешиваются элементарной
разностью dp давлений, действующих на верхнее и нижнее основа-
ния слоя,
dp = —gp dh.
(3.3)
76
Уравнение состояния для идеального газа
р = pR*T/M, (3.4)
где R* — универсальная газовая постоянная; М — молярная масса
воздуха.
Для высот до 94 км значение молярной массы остается постоян-
ным, и R* / М = R*/Мс = R, где R — удельная газовая постоянная.
Тогда
Р= pRT. (3.5)
В зависимости от характера изменения температуры атмосфе-
ра СА-81 по высоте разбита на ряд слоев; температура в каждом
слое аппроксимируется линейной функцией от геопотенциальной
высоты:
Т = Т* + р(Я-ЯД (3.6)
где Р = dT/dH — градиент температуры по геопотенциальной вы-
соте; Т* и Я* — температура и геопотенциальная высота нижней
границы соответствующего слоя. Используя уравнения (3.3), (3.4),
(3.5) и интегрируя (3.3), можно получить для изометрических слоев
( Р — 0) р о
= (3.7)
J/* -ZT-Z
ИЛИ ГР 1
р = р*ехр —-• (3.8)
L itl J
Для слоев с линейно изменяющейся температурой ( Р 0)
р* [ г*
или
го -1
Р z
Р = Р* 1 + ^(Я-Я*) . (3.9)
Плотность определяется из уравнения состояния
р = p/RT. (3.10)
Удельный вес
Y = pg. (З.Н)
77
Скорость звука
yqR*T г-
а = \ Р—— = 20,046796VT,
V м
(3.12)
где у0 = Ср/су = 1,4 — показатель адиабаты.
По приведенным формулам вычислены таблицы, содержащие
основные характеристики атмосферы: температуру (Т,Ки £,°С),
давление (р, Па и р, мм рт. ст.), плотность воздуха, ускорение сво-
бодного падения, скорость звука. Приведены также относительные
величины р/рс р/ рс и др. Индексом «с» отмечены значения пара-
метров для среднего уровня моря (нулевой высоты). Значения тем-
пературных градиентов для стандартизированной части атмосферы
СА-81 приведены в табл. 3.1.
Таблица 3.1
Я*, км т*,к р, град/км
-2 301,15 -6,5
0 288,15 -6,5
11 216,65 0,0
20 216,65 1,0
32 288,65 2,8
47 270,65 0,0
51 270,65 -
Зависимость температуры от геометрической высоты показана
на рис. 3.1.
Рис. 3.1. Зависимость распределения температуры от геометрической
высоты для стандартной атмосферы
78
3.3. Учет характеристик реальной атмосферы
Основные задачи баллистики решаются при исходных данных,
соответствующих техническим условиям на ракету, расчетным на-
чальным условиям и характеристикам стандартной атмосферы. Од-
ной из наиболее существенных причин, определяющих отклонение
реальной траектории от расчетной, является несоответствие реаль-
ных метеоусловий условиям стандартной атмосферы. Тяга двигате-
ля, аэродинамические силы и моменты в значительной мере опре-
деляются температурой, плотностью и давлением воздуха. Измене-
ние названных параметров вместе с движением воздушных масс (ве-
тром) существенно повлияют на ожидаемый результат пуска рдкеты,
соответствующий нормальным расчетным условиям.
В баллистике известны два основных метода учета реального со-
стояния атмосферы.
1. Расчет траекторий по известным начальным условиям или
определение начальных условий пуска по ожидаемым результатам
(дальности) при определенных перед пуском реальных метеоусло-
виях. Очевидно, метод может быть использован при полной метео-
подготовке (зондировании атмосферы).
2. Второй метод, применяемый при проектных расчетах, за-
ключается в использовании стандартной атмосферы и моделей ва-
риации ее параметров. Под вариациями понимаются возможные от-
клонения реальных параметров атмосферы от стандартной. Опреде-
ление моделей вариаций основывается на статистической обработке
многочисленных многолетних результатов зондирования атмосфе-
ры в различных районах земного шара. Методы построения моделей
вариаций плотности воздуха и моделей поля ветров изложены, на-
пример в [107] и в работах по рассматриваемой теме, перечисленных
в списке литературы.
Относительное изменение вариации плотности
8 Р = ( Р - Рса)/ Рса’ (3-13)
где р — рСА — отклонение плотности от данных стандартной атмо-
сферы рСА.
Суммарная вариация плотности
s Ре = s Реш + 5 Рс + 8 Рслуч, (314)
79
где 5 рсш — сезонно-широтная вариация плотности; 8 рс — суточ-
ная вариация; 8 рслуч — случайная вариация.
Сезонно-широтные вариации в первом приближении определя-
ются по функциональной зависимости
8рсш= 6рсш(м, <РЛ), (3.15)
где М — месяц; ф — широта места определения; h — высота.
Наименьшие рассеивания параметров траектории могут иметь
место применительно к данным апреля и октября, когда наблюдают-
ся наименьшие вариации плотности атмосферы. Наибольшие вари-
ации плотности наблюдаются в январе и июле, по ним определяют
наиболее неблагоприятные условия полета и наибольшее рассеива-
ние траекторий.
Помимо средних широтно-сезонных и суточных составляющих
полной вариации плотности наблюдаются случайные составляющие
вариаций ( 8 рслуч), определяемые изменением солнечной активно-
сти, возмущениями геомагнитного поля и др. Наименьшие случай-
ные отклонения происходят летом, наибольшие — зимой. Пример
предельного изменения вариации плотности представлен на рис. 3.2.
А, км
Рис. 3.2. Пример предельного изменения вариаций плотности
В соответствии со стандартной атмосферой траектория движе-
ния ЛА рассчитывается при отсутствии ветра. В действительности
всегда есть ветер, действие которого необходимо учитывать. Модель
поля ветров строится в двух взаимно перпендикулярных направле-
ниях и имеет меридианную составляющую (по меридиану) и
80
зональную составляющую W3 (по параллели). Суммарный вектор
определяется по формуле
W = Jw? - w£,
(3.16)
направление ветра с запада на восток
W
(ЗЛ7)
Зональный ветер определяется тремя составляющими — сезон-
но-широтной, суточной и случайной, меридианный ветер опреде-
ляется суточной и случайной составляющими. Пример профиля
зональных скоростей ветра приведен на рис 3.3, пример профиля
средней меридианной скорости ветра и отклонения от него приведен
на рис. 3.4 [3], где кривая 1 соответствует среднегодовому значению,
кривые 2 характеризуют значения средних квадратических отклоне-
ний ± Оц/М.
Рис. 3.3. Характер изменения профиля
зональных скоростей ветра по высо-
те в зависимости от времени года (зима,
лето)
Рис. 3.4. Изменение профиля сред-
ней меридианной скорости ветра
и СКО ветра WM в северном полу-
шарии
Введение в баллистический расчет функций изменения темпера-
туры, плотности атмосферы и ветра по высоте является трудоемкой
задачей [26, 29], целесообразность решения которой зависит от мно-
гих факторов, определяемых, главным образом, типом, назначением
и конкретной конструкцией РК.
81
С точки зрения современных тенденций развития ракетной тех-
ники и исходя из задач сохранения времени готовности РК к боевому
применению, очевидной представляется целесообразность отказа от
необходимости проведения метеоподготовки и учета влияния откло-
нения метеофакторов от нормальных условий при возложении функ-
ций парирования данного типа возмущений на бортовую СУ БР при
наличии на борту специально предусмотренных, в том числе и для
этого, гарантийных запасов топлива [61, 112].
РАЗДЕЛ II
БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
ПОЛЕТА УПРАВЛЯЕМЫХ БР
Баллистическое обеспечение полета* управляемых БР — отча-
сти самостоятельный раздел, входящий в состав теории баллистико-
навигационного обеспечения управляемого полета ЛА баллистиче-
ского типа.
Целью баллистического обеспечения является систематизация, а
в случае необходимости, разработка отсутствующих сведений, явля-
ющихся источником исходной навигационной (баллистической) ин-
формации (см. Введение), необходимой и достаточной для решения
всей совокупности задач управления движением БР.
Как следует из приведенного ранее определения баллистической
информации, она непосредственно не связывается с движением кон-
кретного ЛА. В этом смысле создание баллистического обеспече-
ния должно быть ориентировано на достаточно обобщенные (если
не фундаментальные) подходы к разработке алгоритмов пересчета
координат, априорных моделей движения, используемых на стадии
баллистического проектирования, алгоритмов управления подготов-
кой и пуском ракеты, формированию плановых полетных заданий
(ПЗ), дорасчету неплановых ПЗ по вновь поступившим целеуказа-
ниям, методов управления движением БР на всех этапах АУТ и дви-
жением ступени разведения РГЧ при построении боевых порядков
ББ и элементов КСП ПРО, самонаведения ББ на цель при движении
на нисходящем участке ПУТ и т. д.
* Ссылаясь на точку зрения проф. С.К. Слезкинского (ВКА им. А.Ф. Можай-
ского), разделяемую автором, отметим, что термин «обеспечение» в данном случае
нельзя признать удачным. Своим появлением он обязан распространению понятия
«баллистическое программное обеспечение ЭЦВМ» на непосредственный процесс
решения самих баллистических задач [ИЗ]. Учитывая, однако, установившуюся
терминологию, автор не счел возможным отказаться от него, тем более учитывая,
что он сам «приложил руку» к его широкому распространению.
83
При этом баллистическое обеспечение управляемого полета БР
должно отражать особенности данного конкретного типа ЛА как
объекта управления. К числу основных особенностей относятся:
• различающиеся фазы полета — «активная» с работающей дви-
гательной установкой и пассивная (баллистическая);
• существенное отличие интервалов времени движения на упра-
вляемом и баллистическом участках (для МБР время пассивного по-
лета составляет примерно 35 мин, время управляемого полета при
выведении моноблочной ГЧ — 3...4 мин, с учетом разведения ББ
РГЧ — до 15 мин);
• вертикальный старт при соотношении дальности полета на ат-
мосферном восходящем участке 5... 10% и на внеатмосферном —
90... 95 % соответственно;
• формирование требуемого силового управляющего воздей-
ствия, необходимого для коррекции траектории путем изменения
пространственной ориентации корпуса БР;
• возможность регулирования тяги жидкостных РД БР и практи-
ческую невозможность (или, по крайне мере, весьма ограниченную
возможность) регулирования тяги твердотопливных ДУ БР;
• неполная управляемость твердотопливных ракет по параме-
трам продольного движения;
• статическая неустойчивость БР и малые запасы продольной
статической устойчивости ББ классического типа (конусообразной
формы).
Основу БО составляет его математическое обеспечение, а ра-
бочим инструментом служит программно-алгоритмическое обес-
печение.
Именно этим определяется повышенное внимание, которое уде-
ляется в данном разделе указанным аспектам БО.
Методы разработки части БО, непосредственно используемые
при управлении полетом конкретных БР (формирование плановых
ПЗ, дорасчет неплановых ПЗ, задание исходных данных на самонаве-
дение и др.), как требующие непосредственной привязки к конкрет-
ному виду РК, по понятным причинам здесь не рассматриваются.
Частично они будут обсуждаться в разделах, посвященных во-
просам навигационного обеспечения управления полетом БР.
Исключение составляют общетеоретические вопросы синтеза
программ управления движением БР на АУТ, а также методы и ал-
горитмы решения краевых задач баллистики, имеющие ключевой
84
общетеоретический характер для понимания проблем управления
положением точки падения при заданных энергетических возмож-
ностях РК и ограничениях на допустимое значение промаха.
Главные требования, предъявляемые к БО, определяются харак-
тером решаемых задач и сводятся к точности, достоверности и на-
дежности результатов и решений, а также к исключительно высокой
оперативности (т. е. к малым интервалам времени) их получения.
Г л а в а 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ ПОЛЕТА
4.1. Системы координат и методы их преобразований
Движение центра масс БР может рассматриваться относительно
инерциальной системы отсчета либо относительно поверхности вра-
щающейся Земли. Под инерциальной системой отсчета принято по-
нимать такую, в которой выполняется аксиома инерции, называемая
первым законом Ньютона. Системы координат (СК), позволяющие
определять движение относительно поверхности Земли, привязаны
к ней и участвуют в ее суточном вращении.
Инерциальные и неинерциальные системы координат, в осях ко-
торых определяется траектория БР (т. е. геометрическое место после-
довательного положения центра масс ЛА в функции времени), назы-
ваются базовыми. Относительно базовых СК определяется и ориен-
тация БР, т. е. ее угловое положение.
Среди базовых систем координат принято различать геоцентри-
ческие, начало которых совмещается с геометрическим центром Зем-
ли, и топоцентрические, начало которых расположено в какой-либо
точке поверхности Земли.
Помимо базовых систем широко используются также объектно-
центрические системы координат, начало которых совмещают с
центром масс ЛА (ГОСТ 20058-80).
Прежде чем перейти к описанию конкретных СК, сформулируем
общий принцип их построения: подавляющее большинство систем
координат являются правыми декартовыми, поэтому для определе-
ния ориентации их осей достаточно задать направление либо двух
осей, либо одной оси и положения «основной плоскости системы».
Третья ось, направление которой не оговаривается, всегда будет до-
полнять систему до правой. Если рассматривают достаточно дли-
тельные интервалы времени, в течение которых положение основной
85
плоскости и основной оси системы могут меняться, то в этом случае
должно быть указано, какому моменту времени они соответствуют.
Перейдем к рассмотрению конкретных систем. Начнем с базовых
СК (первая группа СК-1).
I-1. Абсолютная (инерциальная) геоцентрическая система коор-
динат (АГСК). Для исследования абсолютного движения, т. е. дви-
жения в инерциальном пространстве, применяется инерциальная
система координат 0ИХИУИ7И. В общем случае под инерциальной
понимают систему координат, которая занимает в пространстве не-
подвижное положение или движется равномерно и прямолинейно, а
ее оси не изменяют своего направления в пространстве. Инерциаль-
ная система координат участвует только в поступательном движении
Земли вокруг Солнца, и положение ее осей не зависит от суточно-
го вращения Земли (в отличие от систем координат, связанных с
Землей и вращающихся вместе с ней, используемых при изучении
относительного движения ракет).
1-2. Геоцентрическая система координат (ГСК). Положение ЛА
задается двумя углами: долготой Хгц и геоцентрической широтой
(ргц, а также радиусом-вектором г, соединяющим начало СК с цен-
тром масс ЛА. Долгота Хгц представляет собой угол между плоско-
стями начального (Гринвичского) меридиана и местного, проходяще-
го через текущую точку. Долготы точек, расположенных восточнее
Гринвичского (нулевого) меридиана, считаются положительными, а
западнее — отрицательными.
Геоцентрическая широта (ргц есть угол между радиусом-векто-
ром г, проведенным из центра Земли через текущую точку, и его
проекцией на плоскость экватора. Широты точек, расположенных се-
вернее экватора, считаются положительными, южнее — отрицатель-
ными.
ГСК применяют для определения положения точек (в частности,
старта и цели) на поверхности Земли. Связь между геоцентрически-
ми прямоугольными и геоцентрическими сферическими координа-
тами (рис. 4.1) выражают простыми соотношениями
х = г cos <ргц sin Хгц; у = г sin (ргц; z = г cos <prucos Хгц, (4.1)
где (ргц и Хгц — геоцентрические широта и долгота положения БР.
86
Рис. 4.1. Схема взаимного расположения геоцентрических прямоугольной
и сферической систем координат:
ГМ - Гринвичский меридиан; МЛА - местоположение ЛА; ПМЛА - пространствен-
ное местоположение ЛА; ММ - местный меридиан
1-3. Система координат ПЗ-90 является основной, используемой
при обработке информации, получаемой от спутниковой навигаци-
онной системы [91]. Ее начало совмещено с центром масс Земли.
Ось О2пз90 направлена к условному земному полюсу, ось ОХпзэо —
в точку пересечения плоскости экватора и нулевого меридиана, ось
ОУпзэо дополняет систему до правой.
1-4. Геодезическая система координат (ГДСК). В данной СК точ-
ка на поверхности ОЗЭ определяется двумя координатами: геодези-
ческой долготой X, которая аналогична Хгц в ГСК, и геодезической
широтой фгд, представляющей собой угол между плоскостью эква-
тора и нормалью к поверхности эллипсоида в заданной точке. Геоде-
зическим азимутом направления называют угол А, отсчитываемый
по часовой стрелке от северного направления геодезического мери-
диана данной точки до заданного направления. Геоцентрическая и
геодезическая широты связаны между собой соотношением
sin ( Фгд - Фгц) = е2 Sin Фгд cos Фгц> <4-2)
где е — эксцентриситет меридианного эллипса ОЗЭ.
Данная система является основной при осуществлении «топо-
привязки» точек старта и расположения цели.
1-5. Нормальная земная система координат. НЗСК (OoXgYgZg)
называют систему, начало которой Оо фиксировано по отношению
87
к Земле, ось OoYg направлена вверх по местной вертикали, а напра-
вление осей OqX^ и OoZg выбирается в соответствии с решаемой
задачей.
1-6. Стартовая система координат (ССК) представляет собой
разновидность топоцентрической прямоугольной системы коорди-
нат для стартовых систем ракетных комплексов (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Топоцентрическая стартовая система координат
Начало стартовой системы координат определяется положением
пусковой установки и совпадает с центром масс ракеты, подгото-
вленной к пуску. При этом координатная ось OqYc направлена верти-
кально вверх, а оси OqXc и OqZc лежат в плоскости стартового гори-
зонта, причем ОоХс указывает направление стрельбы. Вертикальная
плоскость OqYcXc, включающая в себя вектор начальной скорости,
называется плоскостью пуска или стрельбы, иногда — плоскостью
бросания. Положение плоскости пуска относительно Земли опреде-
ляется азимутом пуска или азимутом стрельбы Ас.
Для определения пространственного положения ракеты относи-
тельно Земли часто используют топоцентрическую сферическую си-
стему координат (рис. 4.3). Положение центра масс ракеты опреде-
ляется значением радиуса-вектора г, называемого наклонной даль-
ностью D, и двумя полярными углами: азимутом А, отсчитываемым
по часовой стрелке в местной горизонтальной плоскости от напра-
вления на север, и углом места q, отсчитываемым в вертикальной
плоскости. При составлении уравнений движения в сферической си-
стеме координат в ряде случаев удобнее для сохранения единства на-
правлений отсчета углов в горизонтальной плоскости вместо азиму-
88
та А вводить угол А* = —А. На рис. 4.3 координатными поверхно-
стями сферической системы координат являются сфера радиуса г;
вертикальная плоскость, проходящая через радиус г; конус с вер-
шиной в точке Oq и углом при вершине, равным 180° — 2q. Коор-
динатные линии: (г) — прямая радиуса-вектора; (д) — окружность
большого круга сферы, проходящая через заданную точку Р; q —
окружность от сечения сферы плоскостью, параллельной плоскости
O$XgZg, проходящей через заданную точку. Координатные оси [г],
[q] и [А] криволинейной системы координат касательны координат-
ным линиям.
Рис. 4.3. Топоцентрическая сферическая система координат
Переход от осей криволинейной системы координат к осям зем-
ной системы O$XgYgZg осуществляется с помощью матриц напра-
вляющих косинусов.
На плоских чертежах и схемах, изображающих траекторию ра-
кет, земная ось OoYg условно располагается вертикально, а ось
OoXg — горизонтально, независимо от действительной географиче-
ской широты места старта.
При решении плоских задач, связанных с расчетом характери-
стик движения баллистических ракет дальнего действия и спутников
Земли, пользуются земной полярной системой координат (рис. 4.4).
Положение центра масс ракеты Р в этом случае определяется ради-
усом г и полярным углом ф, отсчитываемым в плоскости чертежа.
В некоторых плоских задачах теории полета могут быть исполь-
зованы также криволинейные координаты: соответствующая углу ф
89
Рис. 4.4. Земная полярная
Рис. 4.5. Плоская криволи-
нейная система координат
система координат
очевидна:
№ +
Рис. 4.6. Целевая (есте-
ственная) система коор-
динат
дуга xq окружности на поверхности Земли, проходящей в плоскости
стрельбы, и часть радиуса-вектора yq, проведенного из центра Зем-
ли, между центром масс ракеты Р и условной поверхностью земной
сферы, определяемой радиусом 7?з (рис. 4.5). Связь между коорди-
натами точки Р в координатных системах криволинейной и O$XgYg
Vq) = (^3 + %) +
откуда
Vq = У+ %)2 + х% - 7?з, (4.3)
xq = 7гТ?з ср/180,
где (р — полярный угол, град. Если поляр-
ный угол дан в радианах, то xq = R3 сррад.
Из рис. 4.5 имеем tg ср = xg/(7?з + yg).
1-7. Целевая система координат
(ЦСК). Начало ЦСК совмещается с точкой
прицеливания Ц, ось ЦН направлена вверх
по нормали к поверхности, принимаемой в
проводимых расчетах за математическую
модель поверхности Земли. Направление оси Ц£ задается геоде-
зическим азимутом (рис. 4.6). Ось ЦВ дополняет систему до
правой. Оси ЦСК жестко фиксируются относительно поверхности
вращающейся Земли [10, 111, 112].
90
1-8. Естественная система координат (ЕСК). Если при построе-
нии ЦСК в качестве Al выбирается азимут линии естественного из-
менения дальности, получается система координат, которую называ-
ют естественной. Чтобы избежать путаницы, принято полагать при
использовании термина ЦСК, если не оговорен способ выбора А, что
геодезический азимут определен приближенно, т. е. рассматриваемая
СК не является «целевой» [111].
1-9. Система координат Гаусса — Крюгера. Данная система ко-
ординат относится к числу плоских. Она используется в качестве
основы построения единой общегосударственной системы. Это до-
стигается за счет разделения поверхности эллипсоида на идентичные
шестиградусные меридианные полосы (координатные зоны).
В качестве осей декартовых координат ОХГК и ОУГК использу-
ют прямолинейные изображения осевого меридиана и экватора. За
положительное направление указанных осей принимают направле-
ния на север и восток соответственно. Для того чтобы исключить из
обращения отрицательные координаты Угк, к этой координате приня-
то добавлять постоянное число 500 000 м, а слева приписывать номер
зоны. В результате получаем число, образующее собой условную ко-
ординату.
Данная СК используется для высокоточного задания координат
точек (исходных, реперных и т. д.) на поверхности Земли.
Большая группа подвижных систем объединена общим при-
знаком — расположением начала СК в характерной точке движу-
щегося ЛА. Такие СК, как уже отмечалось, называются объектно-
центрическими (вторая группа СК-П).
II-1. Опорная {основная) баллистическая система координат
(ОБСК). Начало данной системы расположено в центре масс бое-
вой ступени (ступени разведения) МБР, а оси, определяющие плос-
кость баллистического горизонта в точке начала ПУТ, направлены
по градиентным направлениям, третья ось, дополняющая систему
до правой, перпендикулярна плоскости баллистического горизонта
и задает направление баллистической вертикали.
П-2. Подвижные ориентированные системы координат. К чи-
слу указанных СК относятся: подвижная инерциальная система ко-
ординат ОХИУИХИ, в которой оси, коллинеарные осям АГСК, оста-
ются неизменными в пространстве (относительно звезд) при пере-
мещении начала СК вместе с центром масс ЛА; подвижная земная
ОХоУо^о и подвижная нормальная OXgYgZg.
91
Оси СК OXqYqZq направлены так же, как и соответствующие им
оси земной (неподвижной относительно Земли) системы координат
OqXqYqZq. В нормальной системе координат OXgYgZg, связанной
с летательным аппаратом, ось OYg направлена вверх по местной
вертикали и в отличие от оси OqY8 нормальной земной системы коор-
динат изменяет свое направление в пространстве в процессе движе-
ния ЛА относительно Земли. Оси OXg и OZg нормальной системы
координат параллельны плоскости местного горизонта и направлены
удобным для решения поставленной задачи образом.
П-3. Связанная система координат (СВСК). Оси связанной си-
стемы координат OXYZ направлены следующим образом: про-
дольная ось ОХ — в плоскости симметрии ЛА или в плоскости,
параллельной ей, если начало координат О помещено в плоскости
симметрии (для осесимметричных аппаратов ось направлена по оси
симметрии к носовой части ЛА). Нормальная ось OY располагается
в плоскости симметрии или параллельно ей и направлена к верх-
ней части ЛА. Поперечная ось OZ направлена вправо от движения
перпендикулярно плоскости симметрии.
П-4. Аэродинамическая {скоростная) система координат (АСК).
В аэродинамической (скоростной) системе координат OXaYaZa ско-
ростная ось ОХа совпадает с вектором воздушной скорости лета-
тельного аппарата (скорости ЛА относительно атмосферы V), ось
подъемной силы OYa лежит в плоскости симметрии или в плоско-
сти, ей параллельной. Боковая ось OZa дополняет две названные до
правой системы координат.
П-5. Траекторная (полускоростная) система координат (ТСК).
Начало траекторной системы координат OXKYKZK обычно поме-
щено в центре масс летательного аппарата, ось ОХК направлена
по вектору земной скорости ЛА (скорости ЛА относительно Земли
VK), ось OYK направлена вверх от поверхности Земли в вертикаль-
ной плоскости, проходящей через ось ОХК, ось OZK направлена
горизонтально. При безветрии направления скоростной оси ОХа и
оси ОХК траекторной системы координат совпадают, так как при
этом совпадают векторы воздушной и земной скоростей.
Связь между скоростной и связанной системами координат осу-
ществляется с помощью угла атаки а, угла скольжения р, про-
странственного угла атаки ап и аэродинамического угла крена (рп.
Угол атаки — угол между проекцией вектора воздушной скорости
на плоскость симметрии ЛА OXY и продольной осью ОХ. Угол
92
Рис. 4.7. Схема взаимного расположения системы координат, зависящей от
пространственного угла атаки, связанной системы координат и нормальной
земной системы координат при безветрии ( а - угол атаки; Р - угол сколь-
жения; осп - пространственный угол атаки; (рп - аэродинамический угол
крена)
скольжения — угол между вектором воздушной скорости и плоско-
стью симметрии ЛА. Пространственный угол атаки — угол между
продольной осью ЛА и вектором воздушной скорости. С простран-
ственным углом атаки непосредственно связана система координат
OXnYnZn, у которой плоскость OXnYn совпадает с плоскостью про-
странственного угла атаки (рис. 4.7). Ось ОХП системы совпадает с
продольной осью ЛА, ось OYn лежит в плоскости пространственного
угла атаки, ось OZn дополняет систему до правой. Угол между нор-
мальной осью OY и осью OYn называют аэродинамическим углом
крена.
Связь между нормальной OXgYgZg и связанной OXYZ система-
ми координат осуществляется с помощью углов рыскания, тангажа
и крена (рис. 4.8).
Угол рыскания \|/ — угол между осью OXg и проекцией про-
дольной оси ОХ на горизонтальную плоскость OXgZg. У некоторых
93
Рис. 4.8. Схема взаимного располо-
жения связанной и нормальной си-
стем координат при первом повороте
относительно оси OYK
Рис. 4.9. Углы рыскания, измеряе-
мые в горизонтальной и наклонной
плоскостях
ЛА угол рыскания может определяться в зависимости от прибор-
ной реализации измерений в плоскости, перпендикулярной плоско-
сти бросания O^XgYg и проходящей через продольную ось ЛА ОХ.
Если угол рыскания, определяемый в указанной наклонной плоско-
сти, обозначим через \|/н, то из рис. 4.9 sin \|/н = sin \|/cos 0. Оче-
видно, что при 0 = 0 получим \|/н = \|/.
Угол тангажа 0 — угол между продольной осью ОХ и гори-
зонтальной плоскостью. Следует различать угол тангажа по отно-
шению к стартовой горизонтальной плоскости, т. е. по отношению
к нормальной земной системе координат, и местный угол тангажа,
измеряемый от плоскости местного горизонта. Это различие целе-
сообразно учитывать при определении характеристик движения ЛА,
предназначенных для полета на большие дальности.
Угол крена 7 — угол между поперечной осью OZ и осью OZg,
смещенной в положение, соответствующее нулевому углу рыскания.
Связь между нормальной системой координат OXgYgZg и ско-
ростной OXaYaZa осуществляется с помощью скоростных углов
рыскания, тангажа и крена. Скоростной угол рыскания \|/а — это
угол между осью OXg и проекцией скоростной оси на горизонталь-
ную плоскость OXgZg. Скоростной угол тангажа — это угол
между скоростной осью ОХа и горизонтальной плоскостью OXgZg.
Скоростной угол крена — это угол между боковой осью OZa и
осью OZg, смещенной в положение, соответствующее нулевому ско-
ростному углу рыскания.
94
Положение траекторной системы координат относительно нор-
мальной определяется тремя углами: 0, 4х и 7с, 0—угол наклона
траектории (угол между земной скоростью летательного аппарата
и горизонтальной плоскостью); 4х —угол пути — угол между осью
OXg и проекцией земной скорости ЛА на плоскость OXgZg (путевой
скоростью Vn).
При безветрии векторы земной и воздушной скоростей совпадут.
Следовательно, угол наклона траектории 0 будет равен скоростному
углу тангажа 0а, а угол пути 4х — скоростному углу рыскания \уа.
Проекции вектора земной скорости VK на оси нормальной земной
системы координат определяются очевидными соотношениями:
VXe = К cos 0cos 4х; К = VKsin 0;
(4.4)
VZf, = — VKcos 0sin 4х.
При рассмотрении плоских задач, когда 4х = 0, горизонтальная
и вертикальная проекции скорости соответственно
VXf, = К cos 0; VyK = к Sin 0.
Углом ветра 4XW называется угол между осью OXg и проекцией
вектора скорости ветра W на горизонтальную плоскость. Наклоном
ветра 0W называется угол между вектором скорости ветра и его про-
екцией на горизонтальную плоскость.
Угловая ориентация одних координатных осей относительно дру-
гих, принимаемых за опорные, может быть осуществлена с помощью
эйлеровых углов поворота. При выборе в качестве опорных осей нор-
мальной земной системы координат OXgYgZg осью первого поворо-
та выбирается та, относительно которой система координат в про-
цессе полета может поворачиваться на больший угол. Для ЛА само-
летной схемы первой осью поворота будет ось OYg поворота на угол
рыскания \|/. Для ЛА с вертикальным стартом и программным изме-
нением угла тангажа первой осью поворота будет ось OZg поворота
на угол тангажа. Схема последовательности поворотов на углы Эй-
лера приведена на рис. 4.10.
Напомним, что углы Эйлера независимы между собой, т. е. при
изменении одного угла два других не меняются. Координатные пре-
образования, связанные с переходом от одной системы к другой,
95
Рис. 4.10. Схема взаимного расположения связанной и нормальной земной
системы координат при первом повороте относительно оси OZK
осуществляются с помощью матриц направляющих косинусов, ко-
торые иногда называют таблицами переходных косинусов. Матрицу
удобно обозначить двойным индексом, например А^2\ где нижний
индекс соответствует основной «неподвижной» системе координат,
верхний — системе, определяемой последовательным поворотом на
эйлеровы углы относительно неподвижной. Иногда удобно исполь-
зовать двойную нижнюю индексацию. Элементы матрицы, явля-
ющиеся функциями эйлеровых углов поворота, также обозначают
двойным индексом, например а^, где г — номер строки; j — номер
столбца:
АР =
х° х2 У2 7° z2
«11 «12 «13
«21 «22 «23
«31 «32 «33
X?
У? .
zi
Каждый элемент матрицы равен проекции единичного вектора, на-
правленного по одной координатной оси неподвижной системы на
соответствующую координатную ось другой (подвижной) системы,
т. е. каждый элемент матрицы есть произведение единичных векто-
ров, определяемых соответствующими строкой и столбцом, напри-
мер ац = xix2- Если надо осуществить переход от второй системы
координат к первой, то необходимо воспользоваться транспониро-
ванной матрицей. Сложный последовательный переход от первой
96
системы координат к второй и от
второй к третьей осуществляется
по правилу перемножения матриц
Aj3) = Aj2) • А^. Для вращающих-
ся ЛА положение связанной системы
координат относительно опорной, на-
пример подвижной ориентированной,
определяется тремя углами Эйлера:
углом собственного вращения относи-
тельно продольной оси ф, углом ну-
тации 8 и углом прецессии V. При
совмещении вектора кинетического
момента К с вектором земной ско-
рости центра масс VK получим схему
вращения Эйлера—Пуансо (рис. 4.11).
На схеме вместо углов ф и v пока-
заны векторы угловых скоростей ф и
V. Вектор угловой скорости вращения
связанной системы координат относи-
тельно инерциальной системы обозна-
Рис. 4.11. Схема углового
движения вращающегося ЛА:
ф - вектор угловой скорости
собственного вращения ЛА
относительно продольной
оси; V - вектор угловой ско-
рости прецессии; S - угол
нутации; К - вектор момента
количества движения; VK -
вектор земной скорости ЛА
чается Q, а вектор угловой скорости связанной системы координат
относительно выбранной системы, связанной с Землей, (О. Соста-
вляющие угловой скорости ю на оси связанной системы координат
представляют собой соответственно скорость крена шг, скорость
рыскания 0)^, скорость тангажа со2. Подобным образом обозначают
составляющие угловой скорости ЛА в других системах координат.
Матрицы направляющих косинусов для различных пар прямоуголь-
ных систем координат приведены, например, в [29, 59, 92].
Выбор системы управления часто накладывает ограничения на
приборную реализацию систем координат. Известно разделение в
этом смысле управления на декартово, т. е. управление, использую-
щее различного вида системы прямоугольных координат, и полярное.
Известно и совместное использование прямоугольных и полярных
координат. Примером могут служить системы координат, применя-
емые в бортовом комплексе самонаведения (рис. 4.12). Положение
цели относительно корпуса ракет определяется двумя системами
координат — системой прямоугольных координат OxKyKzK, опреде-
ляющих положение координатора относительно корпуса ракеты, и
97
Рис. 4.12. Схема совмещения прямоугольных и полярных систем
координат
полярной системы координат, определяющей положение цели отно-
сительно координатора. Ось Охк называется осью координатора.
Помимо описания ориентации и вращательного движения ЛА с
помощью угловых параметров и элементов матриц направляющих
косинусов широкое распространение в динамике полета БР (а в боль-
шей степени ГЧ и ББ) получил метод, базирующийся на использова-
нии параметров Родрига—Гамильтона.
Хотя описание ориентации ЛА в угловых параметрах требует ми-
нимального числа переменных, любая из этих систем подвержена
вырождению. Решение кинематических уравнений в окрестностях
этих особых точек оказывается неустойчивым, а в самой особой точ-
ке правые части этих уравнений обращаются в бесконечность.
Применение матриц направляющих косинусов свободно от это-
го недостатка, однако приводит к использованию избыточного числа
переменных — девяти элементов матрицы, связанных шестью усло-
виями связи.
Здесь отсутствует возможность вырождения как такового, но
трудности решения девяти кинематических уравнений при наличии
трех независимых параметров, остаются существенными.
Параметры Родрига—Гамильтона как компоненты кватерниона
представляют собой систему из четырех величин, подчиненных од-
ному условию связи, что делает их обладающими преимуществами
как перед угловыми параметрами, так и перед направляющими коси-
нусами.
Под кватернионом понимается гиперкомплексное число вида
X = Хо + Х121 + ^2^2 + А,з£з,
98
где Хо, Xi, Х2 и Хз — компоненты кватерниона — действительные
числа; й, 22, й — мнимые единицы, которые могут быть интерпре-
тированы как орты трехмерного пространства.
Параметры Родрига—Гамильтона подчиняются условию связи
вида
A,q + Aq + А*2 Н- A3 = 1,
определяемому свойством нормированное™ кватерниона вращения.
Связь между компонентами кватерниона и углами Эйлера может
быть выражена формулой
X — А7 о A о А ,
где А,у, А^и А7— кватернионы последовательных поворотов осей
координат; знак «о» означает операцию кватернионного умножения.
Применив собственные кватернионы, описывающие повороты
на углы \|/, О, 7, имеющие вид
Л* V • • V Л* О . . О 7 - . 7
^v = C0ST + z2Sin—; ^o = cos“T +z3Sin—; A7 = cos-+zism-
и и и и и и
и перемножив их в соответствии с предшествующим соотношени-
ем, содержащим операции кватернионного умножения, получим в
результате приравнивания компонентов произведения одноименным
компонентам кватерниона результирующего поворота
Хо
ш о 7 . ш . О . 7
= cos — cos — cos----sin — sin — sin —,
2 2 2 2 2 2’
. fl 7 . v . fl 7
Л.1 = cos — cos — cos — + sin — sin — cos —,
2 2 2 2 2 2’
. .4/ fl 7 W . fl . 7
Ал = Sin — cos — cos —cos — sin — sin —,
2 2 2 2 2 2’
. V . fl 7 . V fl . 7
Л3 = cos — sin — cos — — sin — cos — sin —.
2 2 2 2 2 2
(4.5)
Отметим далее, что если вектор угловой скорости (О выразить в про-
екциях на оси неподвижного базиса, то кинематическое уравнение
вращательного движения будет описываться соотношением
dX 1
— = - (О о Л,,
dt 2
99
которое соответствует системе кинематических дифференциальных
уравнений вращательного движения, выраженных непосредственно
в параметрах Родрига—Гамильтона,
2 Xq Xi CO# Х2 Му Х3 7
2 Х2 = — Хо сот/ + Х3 сох — Xi со2;
2 Xi = Xq CDz + Х2 C0z — Хз со^;
2 Х3 Xq со2 Xi юу ^2 ®х 1
где сох, (ду и со2 — компоненты вектора угловой скорости G) в про-
екциях на оси подвижного базиса.
4.2. Силы и моменты, действующие на БР в полете
Всю совокупность сил и моментов, действующих на БР и ГЧ в
полете, подразделяют в зависимости от их физической природы на
три группы:
• массовые силы, обусловленные действием силы притяжения
Земли;
• аэродинамические силы и моменты (включая силы и моменты,
создаваемые аэродинамическими органами управления);
• сила тяги и моменты силы тяги основной двигательной уста-
новки, а также моменты, создаваемые газодинамическими органами
управления.
Учитывая, что сведения, связанные с расчетом действующих на
ЛА сил и моментов, подробно обсуждаются в многочисленных ис-
точниках, посвященных вопросам динамики полета и баллистики ра-
кет, ограничимся здесь кратким обзором.
Сила тяжести и ее потенциал. Сила тяжести представляет со-
бой величину, вектор которой определяется суммой
F = FT + Fu, (4.7)
где FT — вектор силы земного притяжения; Fu — вектор центробеж-
ной силы инерции.
Зависимость (4.7) может быть представлена в эквивалентной
форме в виде
mg = m [gT + g„],
(4.8)
100
где т — масса ЛА, которая для пассивного участка траектории при-
нимает значение т = тк, тк = const — масса полезной нагрузки
(масса боевой части и «сухой» конструкции корпуса БР или отделя-
емой ГЧ (РГЧ)).
Для активного участка траектории т = varia:
t
т = то — |m|dt. (4.9)
о
Здесь mg — стартовая масса БР; \т\ — секундный массовый расход.
Если не рассматривать переходные процессы в работе ракетной
ДУ, для большей части АУТ можно считать \т\ = const, что позво-
ляет использовать упрощенную математическую модель изменения
массы БР . . л
т = то - \т\ t. (4.10)
В сферических геоцентрических координатах центробежная сила
инерции, действующая на тело т в направлении, перпендикулярном
оси вращения Земли, равна
Fu = mr Q2 cos Фгц, (4-11)
где Q — угловая скорость вращения Земли (индекс 3 здесь и далее
для упрощения записи опущен).
Направление силы тяжести совпадает с направлением отвеса.
Угол между нормалью п° к поверхности и экваториальной плос-
костью Земли называется географической широтой фг в отличие от
геоцентрической широты фгц (рис. 4.13). Связь между геоцентриче-
ской и географической широтами устанавливается по приближенной
формуле, соответствующей (4.2),
tg Фгц = g Фг (! - е1) • (4-12)
Разность между углами фг и фгц определяется зависимостью
Фг - (ргц = a sin2 <рг. (4.13)
Наибольшее значение ( фг — фгц) имеет место при фг = 45° и равно
11,5'.
Учитывая (4.7), потенциал силы тяжести приближенно предста-
вим также в виде
U = UT + UIX. (4.14)
101
Рис. 4.13. Схема определения положения местной вертикали при географи-
ческой широте (рг и разложения вектора ускорения силы тяжести по осям
косоугольной системы координат
При известном С7Т, заданном, например выражением (1.9), соста-
вляющие вектора ускорения от силы земного тяготения по направле-
ниям сферических координат г, (р и X находим как
* _ <^1. * _ _ ди^ 1
$r др ’ ф д ф г ’ дХ г cos ф ’
Тогда
gr
г ОО
/С f \ / ае\п
-7 1 + х
L п— 1
п
х (Cnm cos т X + Snm sin т X)
т=0
Рпт'ч
?*<Р = ^2 52 (7) 52 ^пт cos т + Snm sin т X) х
*(Ргф11+1) ~mPnmtg <р);
(4.15)
7 52 (7)” 52 cosm
n=l m=0
x-г • л \ rim
-Cnm sin m Л)-----.
COS ф
102
При использовании модели WGS-84 с учетом двух первых членов
разложения, рассматриваемые составляющие примут вид
* Л0 ^2 /о • 2 -| \
= ~~2 ~ ^гц ~
-|^(35sin4 Фгц - 30sin2 (ргц + 3),
= 37Г sin Фгц cos Фгц+ (4‘16)
+|рГ (7sin2 Фгц “ 3) sin Фгц cos Фгц,
4 = о-
Вернемся к определению потенциала центробежной силы инер-
ции. Учитывая, что dL\ = F[{dr[{, где гц = г cos фгц, получим выра-
жение С7ц, отнесенного к единичной массе, в виде
ии = ± Q2r2cos2 фгц. (4.17)
Определив составляющие С7Ц по тем же направлениям, что и первая
составляющая потенциала (г, фгц, Л.), получим окончательно
Я0 3 л2 /о . ? 1 \
Sr — ~~2 ~ Фгц ~
-|-r(35sin4 Фгц - 30 sin2 Ф + 3) + Q2rcos2 ф
8 тг (4.18)
г» ^2 . О Л4
£ф = 3-4- Sin фгц cos <ргц + - —X
/ Li /
х (7 sin2 Фгц - 3) sin Фгц cos фгц - - Q2r sin 2 фгц.
Вектор ускорения силы тяжести, соответствующий (4.18), отве-
чает зависимости
g = ^r° + g*(pS°<Pru’ <4-19)
где г° и s ф — орты, соответствующие направлениям отсчета при-
нятой к рассмотрению системы координат.
Для координатной системы «радиус-вектор г — вектор угловой
скорости вращения Земли Q» аналогично предыдущему можно за-
писать
g = g;r0+gb^°- (4-20)
103
Учитывая, что
8*П = £*<p/COS Фгц <4-21)
и члены разложения высоких порядков несоизмеримо меньше пер-
вых, получим
8т — ~~2 2~Й~ (5sin Фгц — 1)>
r Zr (4.22)
8 а = 37Tsin Фгц-
cos (n°r°), (4.23)
дпУ v '
В большинстве случаев, даже при необходимости достаточно
точного учета изменения ускорения от силы тяжести (соответствен-
но и самой силы тяжести) в функции широты, не принимают во
внимание различия между направлением радиуса-вектора к услов-
ному центру Земли и отвеса в точке старта.
~ OUt
Это дает основание для замены —7; соответствующей производ-
Эпи
ной по направлению г°.
Тогда
дЦт
Эг°
1 cos (п°г°) 0,999995,
причем 0,999995 соответствует наибольшему значению А <р = фг-
- <ргц = 11,5'.
Заменив в выражении, определяющем эллипсоид Клеро, функ-
ции Яг их значениями Яо = fM и 7t2 = f (А - В), придем к выра-
жению g в виде
8=^ + ^(А - B)(3sin2 Фгц - 1) - Q2rcos Фгц, (4.24)
где А и В — моменты инерции эллипсоида относительно главных
осей OqXo и OqYq соответственно.
Для сферической модели Земли, без учета ее вращения, получим
из (4.24)
fM
g ~ ~ #т-
В формулу (4.24) часто вводят величины
104
и
Q.2R3 _ Q?Rl
q ~ fM/Rl ~ fM ’
Величина ц имеет размерность массы, aq — безразмерный параметр
фигуры Земли, равный отношению ускорения центробежной силы к
ускорению силы тяжести в плоскости экватора. Расчеты показывают,
что р = О, ООП М; q = 0,003468. Подставив в (4.24) значения А и
В, выраженные через р и q, получим
+ - 3sin2 Фгц) - cos2 <ргц1 . (4.25)
В практике предварительных расчетов для определения ускорения
силы тяжести g0 на поверхности Земли находит применение формула
go = 80з (1 + psin2 Фгц) , (4-26)
где #Оэ — ускорение силы тяжести на экваторе при фгц = 0.
Величина р называется коэффициентом Клеро. Численно #Оэ =
= 9,78034 м/с2 и р = 0,00528001.
При точных расчетах учитывают местные значения ускорения
силы тяжести и его направление вдоль предполагаемой трассы поле-
та. Аномалии в поле притяжения Земли определяются различными
причинами [120], например наличием гор (рис. 4.14).
Рис. 4.14. Аномалия поля притяжения Земли, определяемая силой притя-
жения гор
105
По многочисленным измерениям, называемым гравиметриче-
скими, составлены мировые и более точные местные гравиметриче-
ские карты [120]. Для составления карт применяют абсолютные
и относительные методы измерения силы тяжести. Абсолютные
измерения выполняют в небольшом числе пунктов. За эталонные
принимают абсолютные измерения, например в маятниковом пунк-
те в Потсдаме. При относительных измерениях в какой-либо точке
земной поверхности находят отклонения от эталонных результатов,
полученных в пунктах абсолютных измерений.
В гравиметрии применяется внесистемная единица измерения
ускорения свободного падения 1 Гал = 1 см/с2 = 0,01 м/с2, названная
так в честь Галилео Галилея (1564—1642). Кроме того, применяют
дольную единицу — миллигал (1 мГал = 10-5 м/с2).
Если Землю рассматривать как сферу со средним радиусом 7?з,
в которой масса распределена равномерно по объему, то из изло-
женного ранее следует, что потенциальное (гравитационное) поле
Земли будет центральным, а ускорение свободного падения, дей-
ствующее в нем на тело единичной массы, может быть найдено как
gT = —dUy/dr = К/г2. Знак минус здесь показывает, что вектор г,
по направлению которого берется производная dU^/dr, и вектор gT
направлены в противоположные стороны.
Сравнивая значения gT для радиусов г и 7?з, получим зависимость
g^ = ту
£то \ r )
которая характеризует изменение ускорения свободного падения в
центральном гравитационном поле по мере удаления от его центра.
В тех случаях, когда можно принять g = const, его берут равным
9,81 м/с2 (981 Гал).
Аномалия силы тяжести не превышает десятые доли Гала и
уменьшается с увеличением высоты. На поверхности Земли относи-
тельное изменение силы тяжести не более 0,5 %.
Тяга ракетного двигателя. Тягой ракетного двигателя называет-
ся равнодействующая реактивной силы и сил давления окружающей
среды, действующих на его внешние поверхности, за исключением
сил внешнего аэродинамического сопротивления. Равнодействую-
щая газо- и гидродинамических сил, действующих на внутренние
поверхности ракетного двигателя при истечении из него вещества,
называется реактивной силой.
106
Определить тягу в полете можно только косвенным расчетно-
экспериментальным путем. Поэтому тяга определяется в статиче-
ских условиях на специальных стендах. Совместное действие сил,
включая кориолисовы, определяемые колебаниями ракеты, движе-
нием газов и перемещением центра масс при выгорании топлива,
может быть экспериментально определено в аэродинамической тру-
бе, где ракету (или ее модель) с работающим двигателем следует
закрепить шарнирно так, чтобы продольная ось модели могла совер-
шать колебания. Шарнирное крепление вносит значительные иска-
жения в обтекающий корпус внешний поток, чем снижает точность
результатов. Располагая продольную ось модели ракеты по потоку
так, чтобы из аэродинамических сил действовало только лобовое со-
противление, можно измерить на опорах суммарную действующую
силу, называемую эффективной тягой двигателя,
Рэф = Р-Ха-^, (4.27)
где Р — стендовая тяга.
Если принять скорость внешнего потока равной нулю, то на опо-
рах ракеты будет определена стендовая тяга двигателя.
Отдельно измерить реактивную силу не представляется возмож-
ным, и ее определяют вместе с силами статического давления, дей-
ствующими в направлении продольной оси ракеты.
Укрепленная на стенде ракета удерживается от перемещения осе-
вой силой Pf, которая равна тяге, но направлена противоположно:
Р' = —Р. На наружную поверхность ракеты действуют силы, опре-
деляемые атмосферным давлением р, соответствующим высоте, на
которой находится ракета. Они равны произведению давления на
площадь и направлены перпендикулярно той площади, на которую
действуют. Все силы, действующие на боковую поверхность ракеты,
уравновешивают друг друга. Но при работающем двигателе атмо-
сферное давление не действует на выходное сечение сопла, через
которое параллельно оси ракеты ОХ истекают газы со скоростью
Жотн> и появляется приложенная к корпусу неуравновешенная сила
pSa, направленная в сторону истечения газов (Sa — площадь выход-
ного сечения сопла). В выходном сечении сопла действует противо-
положно направленная сила paSa, где ра —давление истекающих из
сопла газов в этом сечении (сила сопротивления истечению газов).
107
Таким образом, применительно к стендовым испытаниям полу-
чим формулу для расчета тяги
р = -J7 Woth + Sa(pa - р). (4.28)
at
Заменив в уравнении (4.28)
тяги в другой форме:
dm
dt
QceK
=-----, найдем выражение для
g
P=—Wan + Sa(pa~P).
g
(4.29)
В случае, когда можно принять р ^0,
p = 9^WO1H + sapa.
g
(4.30)
Если ракета расположена у поверхности Земли на нулевом уров-
не, то для нормальных метеоусловий (у = 0; р = Pon) ее тяга
р = + Sa(pa - pON). (4.31)
g
Если условия отличны от нормальных, то при у = 0, Р = Pq.
Сравнивая формулы (4.29) и (4.31), получим
Р = Ро ~ SaPoN^ - p/ponY (4.32)
Так как = p/pon, найдем окончательно
Р = Pq - SapoN [1 ~ • (4.33)
Вынося в правой части формулы (4.29) за скобки QCQK/g, получим
упрощенную формулу для тяги
р = = тсек^е, (4.34)
g
где
we = W0T„ + ^-(ра-р)_ (4.35)
Ц/сек
величина, названная французским ученым П. Ланжевеном эффек-
тивной скоростью истечения газов.
108
Расчеты показывают, что в формуле (4.35) второе слагаемое по
сравнению с первым мало и составляет обычно не более 10... 15 %,
поэтому эффективная скорость истечения определяется в основном
скоростью газа в выходном сечении сопла Жэтн-
Если отнесем тягу к секундному расходу топлива, то получим
формулу, определяющую удельный импульс тяги,
Ру ~ Jy ~ лл • (4.36)
Ц/сек
Из (4.29) найдем
WoTH , Sa ,
Ру =--------+ 75— (Ра - р). (4.37)
g «Усек
Отсюда следует, что с уменьшением давления окружающего ра-
кету воздуха удельный импульс тяги увеличивается. Удельный им-
пульс тяги переменен по высоте и в безатмосферном пространстве
больше, чем на Земле на указанные выше 10... 15 %.
Выражение для удельного импульса Jy может быть также полу-
чено из общего выражения, определяющего импульс тяги, если взять
We = const и отнести полный импульс тяги к весу топлива QT, сго-
ревшего за время работы двигателя tK:
(4.38)
При QceK = const получим QceKdt = QceKtK = QT, и тогда
о
Jy = we/g. (4.39)
Из сопоставления (4.35) и (4.37) следует, что
We
Py = Jy = —- (4.40)
S
Аэродинамические силы и моменты. Аэродинамическая сила до-
статочно полно описывается формулой
R\ = QCrSm
109
при
CR = c#(M,Re, a, p),
V2 . _
где q = p—---скоростной напор набегающего невозмущенного по-
тока; Sm — площадь миделевого сечения корпуса ЛА; cr — безраз-
мерный аэродинамический коэффициент, зависящий от числа Маха
М, числа Рейнольдса Re, углов аир. Составляющие аэродинами-
ческой силы в скоростной системе координат*
Ya —
% а — ^ZaQ^M-
(4.41)
Составляющие аэродинамического момента Мд на связанные
оси координат
Мх — mxqSl, Му = myqSl, Mz = mzqSl. (4.42)
Проведенные в аэродинамике исследования показали, что для ко-
эффициента аэродинамического момента тангажа в связанной систе-
ме координат можно ограничиться зависимостью
mz = f( а, SB,“co2, a, 8В).
Линеаризуя ее, получим
ТПг = mz0 + a + mz* + m^z~^z + 771“ a + 5В. (4.43)
Здесь mZQ — значение коэффициента аэродинамического момента
тангажа при нулевых значениях a, SB, “со2, a, SB;
статические производные
а dmz 6 dmz
mz = ---5 ТПг =
2 да z д SB
безразмерные величины
— 1 • 1 Т ъ 1
(Oz = —; а= а—; 5В = 5В—;
* Здесь и далее термины и определения соответствуют ГОСТ 20058-80.
ПО
вращательные производные
1л дттъ 2 п дтп% X
m“2 = т°'
z даг’ 2 да z
dmz
Для коэффициента аэродинамического момента рыскания приме-
няют [8] формулу, аналогичную написанной выше, т. е. (4.43),
ту = ту Р + mv“ Зн + тух (f>x + гпуу (Оу + т£ Р + m 5Н. (4.44)
Здесь статические производные
ту =
дту
ж;
Шу" =
дту
вращательные производные
дтпу дту В дту 5„ дту
у д<^ д(йу у ар д5н
Коэффициент аэродинамического момента крена в значительной
степени определяется так называемыми перекрестными аэродина-
мическими связями:
mv = rnxo + т Р р + тп£" 5Н + т^х 5Х + f <* ₽+
д2тх Q д2тх П Q __
— ~ ot SH + ~ q ~ ~ Р 5В + тпх х + тх
дадон <ЭР<Эов
д2тх ___________________________ д2тх п
+ г. г.— a cd^ + (4.45)
д ад (ду у д р(Э со2
где mXQ — составляющая коэффициента аэродинамического мо-
мента крена, определяемая аэродинамической асимметрией ЛА;
тх р, т^н SH — составляющие коэффициента, определяемые сколь-
жением и отклонением руля направления; т^х дх — составляющая
коэффициента, определяемая отклонением рулей, управляющих кре-
д2т д2т д2т
ном ЛА; * а Р, ---* а Зн, дд - Р SB — составляющие ко-
д ад Р д ад он д Р<Э ов
эффициента момента крена, определяемые взаимным влиянием кры-
льев и оперения; тХХ~(ЬХ — коэффициент демпфирующего момента
111
крена, создаваемого оперением и рулями; т®х сог,
д2тх
д адТБу
а сою
д2тх п___
_____ р со2 — составляющие спирального момента крена, возни-
д рд со2
кающего при вращении ЛА вокруг осей OY и OZ.
В некоторых случаях вектор результирующего момента предста-
вляют суммой
Мд = Мст + Мд, (4.46)
где Мст — стабилизирующий или опрокидывающий момент; Мд —
демпфирующий момент.
В упрощенных моделях аэродинамические силы и коэффициен-
ты принимают не зависящими друг от друга и без учета угловых ско-
ростей вращения*, т. е.
Сх = Cxq “Ь Схг ( tt) >
СУ = сУ0 + с“ а + с.у5н 5Н, (4.47)
с2 = cf Р + с 5Н.
Кроме того, для ЛА осесимметричной аэродинамической схемы
(суо = 0), в некоторых случаях управляющие аэродинамические си-
лы можно отдельно не учитывать, а включать в составляющие аэро-
динамической силы корпуса (планера):
Уа = ^Sc“ a; Za = ^-Sc? р,
v2 v2 (4’48)
Mz = а; Му = р.
В баллистических расчетах принимают силу лобового сопротивления
равной
Xa = mCH(y)F(V\ (4.49)
id2
где С = —103 — баллистический коэффициент; Н(у) — функ-
ция изменения плотности атмосферы с высотой; F(V) — эталон-
ная функция сопротивления воздуха для подобного по аэродинами-
ческой форме ЛА.
* Индекс а опущен для упрощения записи.
112
Коэффициент пропорциональности
. _ сж(М)
г (М)
(4.50)
называют коэффициентом формы, причем сТ)Т(М) — коэффициент
лобового сопротивления для эталонного ЛА.
Управляющие силы и моменты. Зависимости для аэродинамиче-
ских сил и моментов (или их коэффициентов) управляемых ЛА опре-
деляют связи между углами поворота органов управления, углами
поворота корпуса ЛА и соответствующими угловыми скоростями.
Для учета в уравнениях движения управляющих сил и моментов не-
обходимо выделить составляющие аэродинамических коэффициен-
тов, определяемые поворотом управляющих органов. Например, для
рулей высоты (тангажа) и рыскания продольная и нормальные упра-
вляющие силы соответственно равны
= 5р<7(ОгРо + с&рв 8В + с&р 8Н);
— SpQCyp 5В; ^р — Spqcz" 8Н,
где Sp — характерная площадь рулей; q — скоростной напор; сжРо,
сДв, с^, с% — аэродинамический коэффициент руля и соответству-
ющие частные производные.
Моментные характеристики определяют обычно точнее с учетом
угловых скоростей поворота управляющих органов:
тУр = тур 5в + ту? ^в; тгр = т28р" 5Н+т^рн 8Н. (4.52)
Моменты управляющих сил
Мур = Spqlmyp- MZp = SpqlmZp, (4.53)
где I — расстояние от центра давления руля до центра масс ЛА.
Большое распространение получили газодинамические управля-
ющие органы (газовые рули, поворотные сопла, дефлекторы, упра-
вление вдувом во внутреннюю полость сопла и управление выдувом
на внешнюю поверхность ЛА и др.). Для газовых рулей продольную
Хгаз.р и нормальные СИЛЫ Угаз.р, Угаз.р можно рассчитать по прибли-
женным зависимостям
Угаз.р — 7г5*г.р Огг.р?
Угаз.р = Qr^r.pC^p 8В,
Угаз.р — QrSr.pCzr.p 5н.
(4.54)
ИЗ
Здесь qr — скоростной напор газового потока; SYp — характерная
площадь газового руля.
Выражения для управляющих моментов, создаваемых газовыми
рулями, имеют структуру, аналогичную (4.52).
Важной характеристикой управляющих органов являются шар-
нирные моменты
Мш = N?h, (4.55)
где Np — нормальная сила, действующая на руль; h — расстояние
от точки приложения нормальной силы до осевой линии шарнирной
оси руля.
Шарнирные моменты определяют мощность и массу рулевого
привода. В зависимости от назначения ЛА и их аэродинамической
компоновки управляющие органы могут размещаться в различных
местах корпуса. Вопросы динамики работы управляющих органов
подробно рассмотрены в [42, 54, 59].
Функционирование любого органа управления предполагает
угловые или линейные перемещения самого органа управления либо
исполнительного элемента сдвигающего его из нейтрального поло-
жения в прямом или противоположном направлении. Сформулируем
общее правило знаков, определяющее знак отклонения органа упра-
вления от нейтрального положения. Это правило состоит в следу-
ющем: отклонение органа управления от нейтрального положения
считается положительным, если при этом образуется отрицатель-
ный управляющий момент. Соответственно отклонение считается
отрицательным, если оно приводит к появлению положительного
управляющего момента. Знак самого управляющего момента опре-
деляется по общепринятому правилу механики: проекция момента,
приложенная к материальному телу, на направление, определяемое
единичным вектором е°, считается положительной, если она вызы-
вает вращение тела вокруг данного вектора против часовой стрелки
при условии, что это вращение наблюдается со стороны положитель-
ного направления вектора е°.
Перейдем к рассмотрению наиболее типичных схем органов га-
зодинамического управления ракет и головных частей.
Газодинамические органы управления. Принято различать [111]
шесть основных схем газодинамического управления.
Схема 1 (четырехкамерная двигательная установка). Данная схе-
ма является типичной для первых ступеней жидкостных баллистиче-
ских ракет. Двигательная установка представляет собой либо связку
114
Рис. 4.15. Крестообразная схема установки камер сгорания
из четырех автономных двигателей, либо двигатель с четырьмя ка-
мерами сгорания, при этом каждый автономный двигатель или ка-
ждая камера сгорания могут поворачиваться вокруг оси, лежащей в
плоскости кормового среза ракеты, чем достигается отклонение век-
тора тяги камеры сгорания от направления, параллельного продоль-
ной оси ракеты.
Предположим [111], что камеры сгорания установлены по так на-
зываемой крестообразной схеме в полуплоскостях I—IV, как это по-
казано на рис. 4.15. При такой схеме для создания момента по оси Z
(момента тангажа) необходимо отклонять камеры сгорания, располо-
женные в полуплоскостях II и IV, а для создания момента по оси Y
(момента рыскания) необходимо отклонять две другие камеры сго-
рания. Отклонение любой камеры сгорания от нейтрального поло-
жения создает момент по оси X (момент крена).
Направления отклонений камер сгорания на положительные
углы, при которых создаются отрицательные моменты тангажа и
рыскания, показаны на рис. 4.15 стрелками; здесь же изображены
проекции тяги каждой камеры сгорания на оси Y и Z связанной
системы координат. Полагая, что расстояние между осями камер
сгорания и продольной осью ракеты равно h, а расстояние между
плоскостью качения камер сгорания и центром масс ракеты равно d,
найдем выражения для управляющих моментов:
115
Мх = — (sin 81 + sin 82 — sin 83 — sin 84) Ph,
My = — (sin 81 + sin 83) Pd, (4.56)
Mz = — (sin 82 + sin 84) Pd,
где P — сила тяги каждой камеры.
Ввиду того, что тяга маршевых ДУ ракет велика, для создания
управляющих моментов достаточно отклонять камеры сгорания на
углы не более 3—5°. Малость этих углов позволяет записать выра-
жения (4.56) в линеаризованном виде:
Мх = - ( 81 + 82 - 83 - 84) Ph,
Му = 83) Pd, (4.57)
Mz = - ( 82 + 84) Pd.
Задав среднее значение углов отклонения органов управления по
каналам тангажа, рыскания и крена
8о = ^(52+ б4), 8V = J(51 + S3),
2 2 (4.58)
87 = ~ (81 + 82 — 83 — 84),
перепишем выражения (4.57) следующим образом:
Мх = -m*by,My = -m*bw,Mz = (4.59)
где введены коэффициенты управляющих моментов, зависящие от
тяги двигателя и геометрических параметров h и d. При полете ра-
кеты на активном участке траектории коэффициент тп^ изменяется
только за счет возможного изменения тяги ДУ, тогда как коэффициен-
ты Шу и rnf колеблются в более широких пределах из-за изменения
положения центра масс ракеты вследствие выработки запаса топли-
ва.
Рассмотренная выше крестообразная схема расположения камер
сгорания при повороте ее на 45 ° превращается в иксообразную схе-
му, в которой моменты тангажа и рыскания создаются согласован-
ным отклонением всех четырех камер сгорания. На рис. 4.16 пока-
зана схема отклонения камер при создании момента тангажа. Если
предположить, что все камеры сгорания отклонены на одинаковый
116
Рис. 4.16. Иксообразная схема установки камер сгорания
угол, то, как легко видеть, развиваемый при этом момент тангажа
больше в >/2 раз, чем при отклонении на тот же угол двух камер сго-
рания в крестообразной схеме. Аналогичный вывод справедлив и для
момента рыскания. Это означает, что коэффициенты моментов тан-
гажа и рыскания, фигурирующие в выражениях (4.59), при переходе
к иксообразной схеме увеличиваются в -\/2 раз. Таким образом, иксо-
образная схема более эффективна, так как для создания некоторого
момента тангажа или рыскания она требует меньших углов откло-
нения камер сгорания или, как говорят [111], меньшего «расхода ру-
лей». На практике для реализации этой схемы применяют разворот
ЛА вокруг его продольной оси в требуемое положение. Этот разво-
рот осуществляется непосредственно в полете сразу же после старта
ракеты.
Схема 2 (четырехкамерный рулевой двигатель). Данная схема
в принципиальном плане эквивалентна предыдущей. Отличие за-
ключается в том, что двигательная установка является комбиниро-
ванной и состоит из основного двигателя большой тяги, установлен-
ного на ракете неподвижно, и дополнительного двигателя меньшей
тяги с отклоняемыми камерами сгорания (рис. 4.17). Такой двигатель
называют рулевым. Подобные схемы применяют на вторых ступенях
жидкостных ракет. Ввиду того, что тяга рулевого двигателя обычно
невелика, углы отклонения камер сгорания здесь существенно боль-
ше, чем в предыдущей схеме, и могут достигать ±45°.
Схема 3 (газовые рули). Газовые рули представляют собой вы-
полненные из жаропрочного материала профилированные пласти-
117
Рис. 4.17. Комбинированная схема двигательной установки
ны, установленные попарно в двух взаимно перпендикулярных плос-
костях на срезе сопла ракетного двигателя в потоке истекающих из
сопла газов [56]. При отклонении газового руля от нейтрального по-
ложения его обтекание потоком газов становится несимметричным,
вследствие чего возникает поперечная газодинамическая сила, при-
ложенная в центре давления руля, а также происходит отклонение га-
зового потока от оси сопла. Оба эти явления приводят к появлению
управляющего момента. Дифференциальное отклонение всех четы-
рех рулей на углы S о, 8 и 87 подобно тому, как это происходит
в рассмотренных выше схемах и обеспечивает формирование упра-
вляющих моментов по всем трем осям ракеты:
Мх = -т^у, Му^-т^б^, Mz = —mzS$. (4.60)
Коэффициенты моментов определяются геометрическими харак-
теристиками сопла двигательной установки и газовых рулей, а также
скоростным напором истекающих газов. В процессе работы двига-
тельной установки эти коэффициенты уменьшаются по абсолютной
величине вследствие обгорания рулей под действием высокотемпе-
ратурного газового потока.
Газовые рули могут быть размещены относительно основной
плоскости симметрии ракеты по крестообразной или иксообразной
схеме [111]. Сделанный выше вывод о большей эффективности ик-
сообразной схемы полностью справедлив и в данном случае.
Газовые рули впервые были применены в качестве органов упра-
вления на баллистической ракете «Фау-2», а также на других
118
жидкостных ракетах первых поколений. В настоящее время газовые
рули используют на ракетах с твердотопливными двигателями, где
применение поворотных сопел нерационально по конструктивно-
технологическим соображениям [111].
Схема 4 (ракетный двигатель с отклоняемым соплом). Данная
схема позволяет создавать моменты тангажа и рыскания путем от-
клонения сопла двигательной установки (т. е. вектора тяги ДУ) в двух
взаимно перпендикулярных плоскостях (рис. 4.18). Тот же результат
достигается установкой всего ракетного двигателя или его камеры
сгорания в кардановом подвесе. При отклонении вектора тяги ДУ от
продольной оси ракеты на углы 8Т и 8р возникают моменты тангажа
и рыскания:
Myi = — Pd cos 8Tsin 8р, MZi = —Pdsin 8T. (4.61)
Линеаризация этих выражений, допустимая вследствие малости
углов 8Т и 8р, приводит к рассмотренным выражениям (4.59). По-
скольку данная схема не позволяет создать момент крена, с этой це-
лью используют дополнительный орган управления в виде двух пар
газоструйных рулей, установленных в кормовой части ракеты.
Схема 5 (отклонение вектора тяги от оси сопла ДУ). Рассматри-
ваемая схема реализуется на практике в нескольких вариантах и от-
личается конструктивным воплощением. На рис. 4.19 показаны два
типичных варианта этой схемы — применение сопловых насадков
(дефлекторов тяги) и вдув газа (впрыск жидкости) в закритическую
часть сопла. В обоих случаях для создания момента крена требует-
ся дополнительный орган управления. Подобные способы создания
управляющих моментов применяют на твердотопливных ДУ, где, как
уже было сказано выше, использование поворотных сопел нерацио-
Рис. 4.18. Ракетный двигатель
с отклоняемым соплом
Рис. 4.19. Применение сопловых на-
садков (а) и вдув газа (впрыск жидко-
сти) в закритическую часть сопла (б)
119
Рис. 4.20. Схема разме-
щения газоструйных ор-
ганов управления
Схема 6 (газоструйные рули). Органы
управления в виде газоструйных сопел ис-
пользуют на тех объектах, где управляю-
щие моменты сравнительно невелики, в
частности, в системах ориентации голов-
ных частей ракет при полете на внеат-
мосферном участке траектории. В послед-
нем случае сопловые блоки струйных ру-
лей размещаются на днище головной части
в двух взаимно перпендикулярных плоско-
стях (рис. 4.20). Для создания управляющих моментов по все трем
осям необходимо задействовать соответствующую комбинацию со-
пел, работающих, как правило, в импульсном режиме.
Аэродинамические органы управления. Аэродинамические рули
находят ограниченное применение на БР, в основном на первых сту-
пенях. Это обусловлено тем, что их эффективность существенным
образом зависит от значения скоростного напора. При движении в
плотных слоях атмосферы (непосредственно после старта БР) плот-
ность среды достаточно велика, но мала скорость. Увеличение скоро-
сти полета сопровождается быстрым набором высоты. В результате
резко (по экспоненте) уменьшается плотность. Это приводит к тому,
что аэродинамические рули на БР выполняют лишь вспомогатель-
ную роль и применяются только в комбинации с газодинамическими
органами управления.
Что же касается применения аэродинамических органов управле-
ния на МГЧ и ББ (особенно, если речь идет о планирующих ГЧ ра-
кет), то они принципиально не отличаются по схеме применения от
крылатых ракет или иных ЛА, совершающих полет в атмосфере. С
другой стороны, особенности их применения на ГЧ требуют отдель-
ного обсуждения [42].
4.3. Векторно-матричные представления уравнений движения
ракет как тел переменной массы
Под моделью понимают схематизацию реального процесса дви-
жения. В математической модели движения уточняется схема ЛА,
определяются параметры среды, в которой движется аппарат, силы и
моменты, действующие на ЛА. Конкретный вид математической мо-
дели зависит от допущений, положенных в основу модели, выбран-
ной системы координат и системы действующих сил.
120
При расчете различных моделей движения ЛА может быть ап-
проксимирован материальной точкой, твердым телом или схемати-
зированным упругим телом.
Уравнения движения ЛА, записанные в любых координатах, в
общем случае являются нелинейными дифференциальными. Поря-
док системы дифференциальных уравнений, описывающей движе-
ние материальной системы с конечным числом степеней свободы,
будет равен удвоенному количеству степеней свободы. Нелинейные
модели используют для прямых и проектных баллистических расче-
тов, линейные модели — для исследования систем управления, опре-
деления ошибок и характеристик точности стрельбы. Нелинейные
модели движения могут быть преобразованы в линейные методом
линеаризации, основанным на принципе малых отклонений.
Если уравнения, описывающие движение ЛА, не интегрируют-
ся в конечном виде, они относятся к группе так называемых диффе-
ренциальных моделей. Интегрируемые в конечном виде дифференци-
альные уравнения составляют группу аналитических, или конечных
моделей. К последним относят дифференциальные уравнения, опи-
сывающие движение материальной точки без учета сопротивления
среды (параболическая и эллиптическая теории) [29, 32].
Все перечисленные модели движения могут быть отнесены к
определенным, если известны (или заданы) все действующие фак-
торы и внешние условия. Случайные составляющие, дающие осно-
вание отнести соответствующую модель к числу стохастических
моделей, должны быть заданы в виде случайных функций или чи-
сел, причем с известными характеристиками распределения их ве-
роятностей. Движение при наличии априорной неопределенности в
условиях применения предполагает использование неопределенной
модели. В подобных случаях движение рассматривается при пред-
ставлении модели в виде выбранного формального разложения типа
т
xk(t) = <pkj(t)aj {к = 1,2, (4.62)
j=l
где <pkj(t) — произвольно выбираемая линейно независимая систе-
ма функций; a,j — постоянные коэффициенты — это формальная мо-
дель. При произвольном предполагаемом действии возмущающего
фактора модель называется факторной.
121
Указанные модели нельзя считать взаимно независимыми и стро-
го разграниченными. В зависимости от назначения баллистических
исследований движения реальные ЛА в разных условиях могут опи-
сываться разными дифференциальными и конечными уравнениями,
содержащими детерминированные и стохастические факторы. По-
добные комплексные модели относят к группе смешанных (комби-
нированных) моделей [14].
При составлении моделей, предназначенных для исследования
движения центра масс БР, следует иметь в виду следующее: силы,
действующие на ракету, приложены к ее корпусу; вместе с тем центр
масс всей системы (корпус — топливо — газы) перемещается отно-
сительно корпуса за счет расхода рабочего тела (выгорания топли-
ва и истечения газов). Обозначим скорость и ускорение центра масс
системы в абсолютном движении через Va и аа. Движение корпу-
са и жесткосвязанных с ним частей (т. е. и той точки тела, с которой
в данный момент времени совпадает центр масс) относительно не-
подвижной системы координат будет переносным. Скорость и уско-
рение центра масс корпуса в переносном движении обозначим че-
рез Vе и ае = dVe/dt. Скорость и ускорение центра масс системы
(корпус — топливо — газы) относительно корпуса ракеты обозна-
чим через Vr и аг. Из механики тел переменной массы известно, что
произведение массы тела на переносное ускорение центра масс рав-
но равнодействующей всех внешних и реактивных сил, действующих
на тело, т. е.
п т
тае = 52 F’ + 52 • (4-63)
г=1 j=l
Скорость и ускорение центра масс ракеты в абсолютном движе-
нии соответственно
Va = Ve + Vr; аа = ае + + 2( cd х Vr), (4.64)
где со — вектор угловой скорости вращения корпуса ракеты относи-
тельно неподвижной системы координат (с началом, совпадающим с
центром масс).
Из последнего равенства определим ае и подставим в (4.63). То-
гда уравнение движения центра масс системы (корпус — топливо —
газы), записанное в векторной форме, получим в таком виде:
п ТП
тпае = Fi + У2 Fpj + + 2m (со х Vr). (4.65)
i=l j = l
122
У ракет с двигателями на жидком и твердом топливе отделяю-
щиеся массы получают относительную скорость еще в камере сгора-
ния двигателя до момента выхода частицы за плоскость наружного
сечения сопла, т. е. до потери связи с основной массой ракеты. Кро-
ме того, у ракет на жидком топливе горючее и окислитель переме-
щаются в процессе работы двигателя внутри корпуса ракеты. При
взаимодействии движущихся потоков с корпусом, колеблющимся в
поперечном направлении, возникает кориолисова сила FKOp. Запишем
уравнение движения центра масс ракеты с учетом этой силы:
п тп
таа = Е f. + Е Гр7 + FKOp + таг + 2т( ox Vr). (4.66)
i=l j = l
Добавим в последнее уравнение слагаемое, учитывающее неста-
ционарность движения масс внутри ЛА. Пусть количество движения
топлива и газов, перемещающихся внутри корпуса, в момент време-
ни t равно qBap, а в момент времени t + dt равно qBap + 5qBap. Оче-
видно, за промежуток времени dt изменение количества движения
подвижных масс равно 5qBap и уравнение движения запишется в бо-
лее полной форме:
тай = y^Fs + y^Fpj + FKOp + 7mr + 2m( cd х Vr)+ ^ар. (4.67)
i=i j=i
Составляющую 8qBap/cZt принято называть вариационной силой.
Уравнение (4.67) соответствует принципу затвердевания [59]. В
соответствии с принципом затвердевания уравнение движения тела
переменного состава можно записать в виде уравнения движения тел
постоянного состава, имеющего мгновенно зафиксированную (за-
твердевшую) массу. В число сил, действующих на тело, включаются
внешние, реактивные, кориолисовы и вариационные. Вариационные
силы и моменты отражают нестационарность движения масс внутри
корпуса ЛА. Однако в большинстве случаев процесс перемещения
рабочего тела внутри ракеты можно принимать за квазистационар-
ный и не учитывать вариационные силы ввиду малости. Кориоли-
совы силы, действующие на активном участке траектории и обусло-
вленные движением масс внутри корпуса ракеты и ее колебаниями,
на движение центра масс почти не оказывают влияния. Кориолисовы
силы, появляющиеся при рассмотрении относительного движения
123
ракеты в связанной с Землей системе координат, действующие на
всей траектории, оказывают заметное влияние на ее полет только
при движении со скоростями, превышающими 2000... 3000 м/с и
будут учтены нами ниже.
В инерциальной системе координат уравнения движения центра
масс ЛА записываются в виде
п m
™^r = EF- + EFw <4<S8>
г=1 j=l
n m
где E F. “ E — векторы суммы внешних и реактивных сил.
i=l j = l
Уравнение движения центра масс ЛА относительно подвижной
связанной с Землей системы координат имеет вид
п тп
тла = 52 F’ + 52 FPJ + (-тапер) + (-твкор), (4.69)
г=1 j=l
где (—77Шпер) и (—7тшКОр) — переносная и кориолисова силы инер-
ции, определяемые вращением Земли.
Для прямоугольной системы координат с началом в условном
центре Земли при направлении вектора угловой скорости ее враще-
ния Q по оси OYq получим
Опер = X г + Qx(Qxr). (4.70)
Если принять Q = const, то переносное ускорение
впер = Q х (Q х г), (4.71)
а кориолисово ускорение, определяемое вращением Земли,
акор = 2(£2х V), (4.72)
где V — относительная скорость ЛА.
Очень часто возникает необходимость представления уравнений
движения центра масс в подвижной системе координат OX[Y[Z[*,
* В дальнейшем индексе I заменяется на индекс соответствующей выбранной
системы координат.
124
связанной с ракетой. Воспользуемся правилом перехода от непо-
движной системы координат к подвижной:
dVa dVai , , А А
m-у- = т~^Г + га[ (0 х Уаг] = Е F» + Е Fpj, (4.73)
(JLL CLL
г=1 j = l
dV.dl
где —------производная вектора скорости центра масс ракеты в по-
dt
движной системе координат.
Для земных систем координат
c/V 71 т
= Fi И- Fpj ТТШ’пер ™ЛКор- (4.74)
i=l j = l
Если (О — угловая скорость вращения осей подвижной системы ко-
ординат относительно осей, связанных с Землей, то
dV
dt
d*V
= + ш X V,
dt
(4.75)
где d*V/dt — локальная производная.
Тогда векторное уравнение движения центра масс ЛА с учетом
влияния вращения Земли будет иметь вид
т
Ьг + юх v =Ef> + Efpj
' ' г=1 j = l
ШДпер 77Ш-кор •
(4.76)
Для любой прямоугольной системы координат ОХ/У/Z/, начало
которой совмещено с центром масс ЛА, на основании (4.73) можно
написать три скалярных уравнения движения центра масс:
Vxi + ^у^ toZiVyi
Vyt H- ^Zt VXt ^Xt VZi
Vzi + Vyt (i)yl VXi
n 771
E Fx^ E
i=i j=i
m m
n J71'
E Fyii E Fpy‘i
i=l 2eL__
m m
П 771
EFz'’ Efp2^
i=l J=1
m m
(4.77)
125
где VXl, Vyi, VZl — проекции вектора скорости центра масс ракеты на
оси связанной с ним началом системы координат; —
проекции вектора угловой скорости вращения связанной (Z-й) систе-
мы координат относительно системы координат, также движущей-
ся с ракетой, у которой направление осей неизменно в пространстве
и совпадает с направлением осей неподвижной системы координат,
п п т т
на выбранные 1-е оси координат; FXli, У^ У^ FZlj, У^ FpXlj,
i=l i=l j = l j = l
m m
У^ Fpyij, У^ FpZlj — проекции действующих на ЛА внешних и ре-
j=i j=i
активных сил на оси системы координат OX/Y/Z/.
Для составления уравнений вращательного движения ракеты от-
носительно осей, проходящих через центр масс и вращающихся по
отношению к ракете с угловой скоростью (О* при движении самой
ракеты с угловой скоростью (О, надо воспользоваться известным
уравнением
/JTZ- J* ТС
5- = 5- + [(<0+<0*)хК], (4.78)
at at
где dK/dt — производная от кинетического момента, вычисленная
относительно неподвижной системы координат; d*H./dt — произ-
водная от кинетического момента, вычисленная относительно Z-й си-
стемы координат OXiYiZi (локальная производная).
Если система координат OXiYiZi не перемещается относительно
ракеты, то (О* = 0 и
+ йх К = Мй, (4.79)
dt dt
где Мд — результирующий момент системы сил.
Проекции векторного равенства (4.79) на оси координат, связан-
ные с ЛА, могут быть представлены через проекции на эти оси век-
тора кинетического момента К:
К(£) = A/(0(t), (4.80)
где А/ — тензор инерции ЛА, выраженный матрицей инерции,
1хх Ixy Ixz
А/ = — 1ух hy ~lyz
~lzx — Izy Izz
(4.81)
126
Если подвижные оси координат совместить с главными цен-
тральными осями инерции ЛА, совпадающими со связанными
(OXYZ\ то матрица (4.81) превратится в диагональную, у которой
lij = 0, а диагональные Ixx, Iyy, Izz будут главными центральными
моментами инерции. Проекции уравнения (4.79) на оси связанной
системы координат при этом запишутся в виде
А/ ©(f) + А ш(^)А/ (0(f) = Мд(£), (4.82)
где
0 - Wz (<) (0y(/)
А © (f) — <о2 (t) 0 (0 (4.83)
_ — (Оу (t) (Oz (i) 0
Определяя из (4.82) угловые ускорения, запишем динамические
уравнения вращательного движения симметричного ЛА относитель-
но центра масс в проекциях на оси связанной системы координат в
виде динамических уравнений Эйлера
Лгх ~ Мх + Л/рх (Лгг 1уу) ^У ^z'j
Iyy ^У — Му -|- Л/рту (Ixx Izz) ^х ^z-> (4.84)
Izz ^Z ~ Mz + Mpz — (Iyy ~ Ixx) <»У Ц)ж.
4.4. Системы скалярных дифференциальных уравнений
пространственного движения ЛА баллистического типа
на активном и пассивном участках траектории*
На практике удобно решать систему скалярных уравнений дви-
жения при записи этих уравнений в неподвижной стартовой системе
координат (НССК). В этом случае уравнения принимают вид
d 1
= ~ (^Хнс + ^Хнс) + &Хнс’
37 WHc = ~ (^*нс + ЛУнс) + &Унс’ (4.85)
CLL 11L
d 1 .
^НС — ~ + ^нс) + &2нс’
* Использованы материалы, предоставленные С.В. Беневольским.
127
где Rxhc > Вунс ’ ’ Рхнс ? -^Унс ’ нс и £^нс ’ ^Унс^нс соста-
вляющие полной аэродинамической силы, силы тяги и ускорения от
силы притяжения в проекциях на оси НССК.
В правых частях уравнений первые слагаемые представляют со-
бой кажущиеся ускорения, т. е. разность между абсолютным уско-
рением (определяемым по отношению к инерциальной системе ко-
ординат) и ускорением силы притяжения (абсолютным ускорением
свободного падения в данной точке пространства).
Для определения составляющих сил тяги и аэродинамических
необходимо знать высоту полета, а для определения составляющих
силы притяжения — геоцентрическую широту в зависимости от ко-
ординат БР и расстояния от центра ОЗЭ до текущего положения цен-
тра масс ракеты в данный момент.
Рассмотрим в НССК два единичных вектора, один из которых
направлен по радиусу-вектору Too, проведенному из центра ОЗЭ
в центр масс БР. Представим, что составляющие текущего радиуса-
вектора БР гнс и радиуса-вектора центра ОЗЭ г о нс в НССК извест-
ны. Запишем составляющие радиуса-вектора Too в той же системе
координат.
Если
гнс =
ХуНС
. Z-ZhC .
ГОНС =
ХОХнс
ХэУнс ’
%О ZHc .
ТО
ГООНС =
Хоо НС
Yoo НС
ZOO НС
-Хне -А'онс
Хне -ХЬнс
Хне -Zqhc
Следовательно,
Г° = (^оонс/Пь Yoohc/го, Zoohc/го), (4.86)
где г0 — у Xqohc + уоонс + ^оонс-
Составляющие единичного вектора угловой скорости вращения
Земли по осям НССК определяют по последнему столбцу матрицы
направляющих косинусов
= [cos Aq cos Bq sin Bq — sin Aq cos Bq]t , (4.87)
128
где Ao — азимут пуска; Bq — геодезическая широта точки старта.
Скалярное произведение введенных в рассмотрение векторов по-
зволяет определить текущую геоцентрическую широту:
ф = arcsin -------------cos Ao cos
\ r0
, л D \ /Л oox
4----------Sin Bq------------Sin Ao COS Bq . (4.88)
Го Го J
В формуле геоцентрическая широта фгц является функцией те-
кущих координат и расстояния tq вдоль радиуса-вектора г от цен-
тра ОЗЭ до центра масс ЛА. В начальном пункте, где геодезическая
широта фгд известна, геоцентрическая широта фгц определяется по
формуле
е2
Фгц = Фгд - ^2 Sin (2 Фгд) > <4-89)
где е — эксцентриситет эллипса в меридианной плоскости ОЗЭ.
Расстояние Rq от центра ОЗЭ до его поверхности в точке ее пе-
ресечения с г вычисляется по формуле
Rq = а а (1 - к (1 - 1,5fc)),
у/1 -e2cos2 Фгц
(4.90)
где а — большая полуось ОЗЭ; к =
0,5е2 . 9
i----2 Sm
1 — el
Фгц-
Тогда можно использовать известные значения текущих величин
геоцентрического радиуса-вектора г и геоцентрической широты фгц
для определения значений гравитационных ускорений, направлен-
ных соответственно по радиусу gr и угловой скорости вращения Зем-
ли g q по формулам (4.18).
Используя формулу гравитационного ускорения (4.20), получим
Яхнс = s q cos A cos Во - gr (Хне - Хо нс)/го,
gyHC = gas[nBo- gr(Xac- Конс)/го, (4.91)
#Zhc = g Q sin A cos Bq -gr(Znc - ^онс)/го-
Вычисленная величина го позволяет определить текущую высоту
относительно ОЗЭ,
h = т0 - Ro-
(4.92)
129
Составляющие вектора тяги маршевых двигателей Р заданы в
СВСК, а составляющие вектора полной аэродинамической силы Ra
(со своими знаками) задаются в АСК, однако их легко привести к свя-
занным осям, которые повернуты на углы атаки а и скольжения [3:
Rx
Ry
Rz
OXYZ
oxayaza
RXa
RYa
RZa
откуда
Rx = Rxa cos a cos P -I- Rya sin a — Rza cos a sin P,
Ry = —Rxa sin a cos P + Rya cos a + Rza sin a sin P, (4.93)
Rz = Rxa sin P + Rza cos p.
Используя матрицу перехода от СВСК к НССК, получим соста-
вляющие указанных векторов в НССК:
Rxhc
Рунс
_ Rzhc _
OhcXhcYhcZhc
OXYZ
Px + Rx
Py + Ry
Pz + Rz
или
PxK — (Px + Rx) COS Ocos \|/ + (Py + Ry)x
x (sin7 sin \|/ — cos7 sin 0cos \|/) -I- (Pz + Rz)x
x (sin 7 sin Ocos \|/+ cos 7 sin \|/),
Py„ = (Px + Rx) sin 0 + (Py + Ry) cos 7 cos 0—
(4.94)
— (Pz + Rz) sin 7 cos 1?,
PzK = ~(Px + Rx) sin у cos 0 + (Py + Ry) x
x (sin sin cos 7 + sin 7 cos y) + (Pz + Rz) x
x (cos 7 cos — sin \|/ sin 0 sin 7).
Для того чтобы вычислить аэродинамические силы и моменты,
необходимо определить функциональные связи углов a, Р и теку-
щих параметров движения БР.
130
Значения углов а и Р можно найти из скалярных проекций еди-
ничного вектора воздушной скорости V°TH = (VO°TH х, VO°TH Y, VO°THz),
задаваемого в СВСК:
Р = arcsin V°TH Z1 / V°TH X1; (4.95)
если КтнХг =°;
y°
- arctg ttF21 > если Ктн X1 > °;
%thXi
v°
л - arctg -2^-, если VO°TH Xx < 0.
%th Xi
Вектор воздушной скорости в НССК определяется
соотноше-
нием
VOThHC = Vhc - Q х гоонс, (4.97)
где составляющие абсолютной скорости центра масс БР Vhc =
= [VxHC VxYhc ^Zhc ]Т и составляющие упомянутого радиуса-век-
тора гоонс по осям НССК известны. Вектор угловой скорости вра-
щения Земли Q, разложенный по осям той же системы координат,
можно получить при умножении составляющих на значение Q
в формуле (4.87). Тогда
КтнХнс = VxHC _ Q [sin Во Zoo нс -f-sinAocosBoiooHc],
КтнУнс = WHC + Q[sin AocosBoXoohc+
(4.98)
+ COS Aq COS BqZooнс],
KthZhc = Vzhc — ^[cos Ao cos ВоУоонс — sinBoAooHc]-
С помощью матрицы направляющих косинусов Ao*cXhcYhcZhc
не представляет труда вычислить составляющие воздушной скоро-
сти в СВСК:
Voth = AoSicyHc^Hc(VHC - Ох Гоонс),
131
что соответствует следующей скалярной системе
УотнХ = КтнХнс COS О cos V + КтнУнс sin й-
-VothZhccos ^sin V,
Уотну = УотнХнс С8*117 sin V — cos 7 sin О cos \|/)+
+УотнУнс cos7cos 1З + VqthZhc (sin Vsin i3cos7+
(4.99)
+ sin 7 cos y),
KthZ = VOTHXHc(sin7sin ^cos у + cos 7 sin y)-
- УотнУнс sin 7 cos 0 + yOTHzHC (cos 7 cos y-
— sin у sin 0 sin 7).
Составляющие единичного вектора воздушной скорости имеют
вид
угО _ ^othXi ' угО _ К>тнУ1 .
V , .„У,- у . (4|о())
уО _ ^othZi
v othZi у ’
гае v = уЧтнХ + КтнУ + KthZ-
Уравнения движения, относительно центра масс БР обычно запи-
сывают в проекциях на связанные оси координат (предполагая, что
они совпадают с главными центральными осями инерции) для того,
чтобы избавиться от сложных вычислений учета изменения момен-
тов инерции.
Для осесимметричных ЛА динамические уравнения вращатель-
ного движения (4.83) можно представить в упрощенном виде:
~т. = у- (Мах + Мрх),
dt lx
— СОу = — [MaY + Mpy - (Jx - Iz) <^z] , (4.101)
at 1y
= [MaZ + Mpz - (Jy - lx) Wx COy] .
dt lz
При определении моментов, действующих на БР, мы уже записа-
ли выражения для аэродинамического момента Мд и момента силы
тяги Мр, заданные в проекциях на оси СВСК, но нужно еще опре-
делить моменты инерции.
132
При работающем двигателе моменты инерции будут переменны-
ми величинами в силу изменения массы БР из-за расхода топлива.
Численные значения ly, Iz для БЛА, как и для всякого слож-
ного тела, вычисляют на основании подробных чертежей конструк-
ции корпуса аппарата при известном законе изменения его массы в
полете. Расчеты по определению моментов инерции и их изменения
кропотливы и трудоемки. Поэтому изменения моментов инерции не-
обходимо строго учитывать только при точных расчетах, связанных
с исследованием устойчивости и управляемости БР. При приближен-
ных баллистических расчетах их часто считают постоянными на не-
котором интервале времени
mD2 ml2
ix = —; Iy =
ml2
'Z 12'
(4.102)
Для установления связей между производными О, \|/, 7 и угло-
выми скоростями со%, соу, со/ воспользуемся матрицей направля-
ющих косинусов для углов Эйлера:
d .
— V= C0ySin7+ СО/cos 7,
dt
-у- W = —- ((Oy cos 7 - со/ sin 7), (4.103)
dt cos v
d , .
— y = COx — tg V ( COy cos 7 — CO/ sin 7).
Необходимо отметить, что при О = л/2 второе уравнение не
имеет решения. В этом случае целесообразно использовать вспомо-
гательную систему координат. Проецируя уравнения поступательно-
го движения центра масс БР на оси вспомогательной системы коор-
динат, получаем простые соотношения для соответствующих пара-
метров в двух системах координат:
-^^нс Г ~yy 1 *HC
^Унс = X'x Анс 5
. ^нс . Z'7 L ^HC -
Ухнс Г -Vy 1 Унс о ' o' +
Whc = ^HC ; v = у
L VzHC J L ^Hc J L 7 J |_ у .
(4.104)
133
Кинематические уравнения движения центра масс БР в проекци-
ях на оси НССК Онс-^нс^нс^нс имеют вид
d d d
= Vxhc; ^Унс = Whc; ^hc = Vzhc- (4.105)
Добавляя к рассмотренным уравнениям уравнение, выражаю-
щее изменение массы, можно получить полную систему уравнений,
определяющую пространственный полет БР.
Динамические уравнения движения ГЧ на ПУТ, записанные в
НССК, имеют вид
d/*HC т +8Xi
d Мах
dtVYliC m + 8y»c'
d _ MaY lx - Iz
dt Y ~ IY Iy
TZ ____ -^^HC I „
dt HC m + gz"c’
d _ Maz Iy - lx
dt “ Iz Iz
d
co% co/;
cox coy;
(4.106)
Кинематические уравнения останутся без изменения.
Когда главной целью исследования является разработка метода
наведения на АУТ, можно принять несколько допущений, позволяю-
щих существенно упростить систему уравнений движения на ПУТ.
1. На внеатмосфнерном участке траектории можно пренебрегать
вращательным движением и рассчитывать только поступательное
движение центра масса ГЧ. Тогда система уравнений, записанная в
НССК, принимает вид
— <^Хнс’ — &¥нс’ — ^нс’
d d d
-X = VxKC, -tY = Vyhc, TZ = VZliC-,
CLL (JLL \JLL
d
—m = 0.
dt
(4.107)
134
2. На атмосферном участке движения БР можно использовать
баллистическую схему полета, т. е. считать, что углы атаки и сколь-
жения отсутствуют. Тогда
R — — cxSm 2Р^оТНVOTH« (4.108)
4.5. Упрощенные уравнения движения БР
Упрощение систем дифференциальных уравнений движения БР
возможно при разделении (декомпозиции) пространственного поле-
та на поступательное движение центра масс и вращательное корпуса
ракеты относительно центра масс, а также на продольное и боковое.
Подобное разделение движения приводит к существенному
упрощению математических моделей и методов исследования.
При строгом теоретическом подходе к решению задачи разделе-
ние уравнений, описывающих сложное пространственное движение,
на уравнения, описывающие только поступательное движение цен-
тра масс или только вращательное относительно центра масс, а так-
же на уравнения, описывающие отдельно продольное и поперечное
движения центра масс, очевидно, невозможно. При перемещении
тел в воздухе основная связь между этими видами движений осуще-
ствляется через реактивные и аэродинамические силы и моменты.
В зависимости от постановки задачи при составлении уравнений
пространственного движения ЛА учитывают инерционные, аэроди-
намические и реактивные перекрестные связи, а при составлении
уравнений пространственного движения в расширенной постановке
должны учитываться также перекрестные связи системы управле-
ния по каналам тангажа, рыскания, крена и связи, обусловленные
наличием управляющих сил.
В уравнениях движения инерциальные перекрестные связи про-
являются через слагаемые, содержащие центробежные моменты
инерции, и члены, содержащие произведения угловых скоростей.
К инерционным перекрестным связям можно отнести также связи,
определяемые кориолисовыми силами и моментами, возникающими
при перемещении масс относительно колеблющегося корпуса раке-
ты (см. уравнение (4.66)). Аэродинамические перекрестные связи
определяются несимметричностью обтекания ракеты в полете и за-
висящим от этого распределением скоростей по ее внешним обводам
[8, 42, 54].
135
Из выражений для составляющих реактивных сил по осям коор-
динат также видны перекрестные связи (см. уравнения (4.94)). Пе-
рекрестные связи системы управления заметнее всего проявляются
через разность показаний измерительных устройств и их реализаций
исполнительными устройствами.
Учет перекрестных связей в системах уравнений, описывающих
движение ЛА, усложняется тем, что действующие силы и моменты
инерции определяют относительно разных координатных систем, а
их связи выражаются сложными функциями, изменяющимися в про-
цессе движения ракет. Для баллистических ракет, как показывают
теоретические и экспериментальные исследования, разделение дви-
жения на поступательное движение центра масс и вращательное от-
носительно центра масс и разделение поступательного на продоль-
ное и боковое позволяют получить практически приемлемую точ-
ность расчетов, результаты которых хорошо согласуются с данными
опытных стрельб. При решении ряда баллистических задач «перво-
го приближения» часто возникает ситуация, когда отсутствуют точ-
ные сведения о силах и моментах, действующих на БР. Тем не менее
требуется получить решение, позволяющее ограничить область по-
следующих «уточняющих» вариантов. Если при определении пол-
ной дальности полета БР представляется возможным ограничиться
точностью расчета, характеризуемой ошибкой ~ 5 %, используют
упрощенные системы уравнений движения БР на АУТ, в которых не
учитываются члены в правых частях уравнений, оказывающие не-
значительное влияние на дальность полета [97].
При этом целесообразно рассматривать движение центра масс БР
относительно неподвижной Земли. Учет влияния на дальность поле-
та вращения Земли и географических координат точек старта и цели
удобнее производить всякий раз исходя из конкретных условий пус-
ка. Естественно, необходимо иметь в виду, что при данном подходе
действительная дальность полета БР может существенно отличаться
от расчетной.
Поскольку силы и моменты, вызывающие боковое движение БР,
малы, то ими можно пренебречь, и считать движение БР на АУТ
плоским. Влиянием вращательного движения БР на поступательное
движение центра масс также можно пренебречь.
Чтобы не учитывать влияние параметров системы управления на
движение БР, система управления считается идеальной. Принимаем,
что БР совершает движение строго по программной траектории.
136
Рис. 4.21. Схема движения БР на АУТ относительно земной системы
координат
При сделанных допущениях система уравнений движения БР на
АУТ в проекциях на оси земной системы координат (рис. 4.21) запи-
шется в форме
m(t)dVx/dt = F(/i)cos О — 7?%(V, Л, a) cos Он —
-Ry(V, h, а) sin Он -m(f)gsin Т|;
m(t)dVy/dt = P(h) sin О — 7?x(V, h, a) sin Он —
—Ry(V, h, a) cos Oh -m(f)gcos T|; (4.109)
dx/dt = K, dy/dt = Vy, V2 = V2 + V2\
r2 = x2 + (R + y)2, h = r — R; T| = arctg[x/(7? + y)];
Он = arccos(K/V), a= 0- 0H, 0= Onp(£).
В дальнейшем будем пренебрегать различием между ускорени-
ем силы притяжения (тяготения) Земли и ускорением силы тяжести,
полагая, что
g = g0 = 9,81 [м/с2]. (4.110)
137
Система (4.109) содержит 11 уравнений с 11 неизвестными:
К Иг, ^,2, у, г,/г, О, 0, а, т].
Она может быть решена, если известны масса БР m(t) и функцио-
нальные связи Р(/г), RX(V, h, а) и Ry(V, h, а).
В пределах АУТ г-й ступени БР интегрирование системы уравне-
ний удобнее производить [4, 97] по аргументу ц-, который связан со
временем полета БР следующим соотношением:
= mi (t - 4^-1) ttiq/, (4.111)
где mi — средний секундный расход топлива при работе двигате-
лей г-й ступени; ^,г-1 — момент выключения двигателей (г — 1)-й
ступени; — начальная масса г-й ступени; t — текущее значение
времени с момента старта.
Ниже приводится [97] система уравнений движения БР на АУТ
первой ступени, в которой аргументом является величина рг:
= Ai cos ft - А2сх (М) - А2с® (М)
a |li V у V
-A 8oR2r-
= Ai sin £ - А2сх (М) - А2с® (М) «у-
< -A3^^—(R + y); (4.112)
dx . Tr dy . тг
-— = A3VX, -— = A3Vy;
d Hi d Hi
v2 = v2 + v2-,
r2 = x2 + (P + y)2, h = r — R;
k a = d — arccos(Vx/V), d = dnp (t),
где
Al = ^-(Руд.Ог + ДРуд.г)[1 - Я(Л)];
1 ~ Hi
. 70952 . M2 n(h) . . v
A2 = 8o~b-----^з-:------; Лз = XoiPya.oi;
7уд.1 1 Hl
АРуд.1 — АР/Д.П1 — Pуд.01 = RpPуд. 015
138
я(/г) = Ph/PON — табличная функция изменения атмосферного да-
вления с высотой.
Коэффициент Кр, характеризующий приращение удельной тяги
на активном участке г-й ступени, может быть равным для первой
ступени Кр = 0,15 ... 0,18, для второй (и последующих) ступеней
Кр = 0.
Аэродинамические коэффициенты сх и с входящие в систему
уравнений (4.112), зависят от формы и размеров корпуса БР. На ста-
дии предэскизного проектирования для БР с конической головной
частью, все ступени которых имеют одинаковый диаметр, могут ис-
пользоваться следующие зависимости для определения сх и су\
10,29
М — 0, 51
0,091 +0,5м-1
0 М 0,8
0,8 М 1,068 ;
1,068 М
(4.113)
' 2,8 0 sCM ^0,25
2,8 + 0,477 (М-0,25) 0,25 < М 1,1
са = < у 3,18-0,66 (М- 1,1) 1,1 : М s' 1,6 (4.114)
2,85 + 0,35 (М- 1,6) 1,6 : м < : 3,6
3,55
3,6 м
Методика выбора программы движения БР на АУТ dnp(t) рас-
сматривается ниже.
Системы уравнений (4.109) и (4.112) решают на ЭЦВМ. При
дальнейшем упрощении решения баллистических задач используют
системы уравнений движения, получаемые при следующих допуще-
ниях:
1) движение является плоским;
2) ускорение силы тяжести в диапазоне высот АУТ может счи-
таться постоянным по абсолютной величине, но направленным к
центру Земли;
3) углы атаки малы, и поэтому sin ос ~ ос; cos а «1; Ra (V, /г, а)«
-Ra(V,hy,
4) программа движения БР на АУТ задается в виде зависимости
0np(t), гДе 0 — угол наклона вектора скорости к местному гори-
зонту.
139
Тогда система динамических уравнений движения БР в проекци-
ях на оси скоростной системы координат примет вид
dV
m(t)— = P(h) - Xa(V, h) - m(f)g0 sin 0,
at
= Р(Л) a - Ya(V, h)-
at
( V2 \
-m(t)g0 1------Б cos
(4.115)
dh _ r .
— = V sin 9;
dt
9 — 0np(^)-
dv\
dt
cos 9,
R + h
Если дальность АУТ не превышает 200 км, поле тяготения можно
считать постоянным. В этом случае удобнее пользоваться системой
уравнений вида
dV
m(i)— = P(h) - Xa(V,h) - m(f)g0 sin 0B,
at
dh „ . Л
— = Vsin 0H,
dt
dx
— = У cos 0B,
dt
6h — 6h.про-
(4.116)
движение полезной нагрузки на участке свободного полета со-
вершается под действием только силы притяжения Земли, посколь-
ку на высотах, превышающих 80—100 км, атмосфера практически
отсутствует. На конечном участке кроме силы земного тяготения на
полезную нагрузку действуют аэродинамические силы и моменты.
Началом атмосферного участка принято считать высоту 80 км над
поверхностью Земли.
Если не учитывать действия аэродинамических факторов на ат-
мосферной части ПУТ, то это приведет к ошибке в определении
полной дальности полета порядка 1—2%. Поэтому при проектных
баллистических расчетах можно рассчитывать весь ПУТ как участок
свободного полета.
Используя схему Кеплера [112], нетрудно определить дальности
пассивного участка Ln по известным параметрам конца АУТ, в том
140
числе высоты конца АУТ Лк, скорости К и угла наклона вектора ско-
рости к местному горизонту 0К (индексом «к» здесь обозначены па-
раметры в конце АУТ):
К2(Д + ^к) К Ло а = 27?(1 + tg2 0К) - (27? + /гк) vK, b = vK7?tg 0К, С = VK/iK, , ₽ц Ь+ \/Ь2 + ас tg 9 = 2 а Ln = R рц, (4.117) (4.118) (4.119) (4.120) (4.121) (4.122)
где vK — энергетический параметр кеплеровой траектории (орбиты),
представляющий собой безразмерное отношение удвоенной кинети-
ческой энергии к потенциальной энергии ЛА в точке траектории, со-
ответствующей началу пассивного участка.
4.6. Уравнения движения БР с учетом упругих колебаний ее
корпуса
Большинство ракет различных классов представляют собой механические кон-
струкции с большим удлинением и относительно малой изгибной жесткостью. Это
приводит к тому, что под действием тяги, сил, создаваемых органами управления,
аэродинамических сил в условиях атмосферной турбулентности (порывов ветра),
скачкообразного изменения массы, например, при разделении ступеней, и других
факторов возникают упругие деформации несущего корпуса. Для ракет с большим
удлинением особенно существенное значение имеет момент, пропорциональный тя-
ге основной двигательной установки.
У жидкостных ракет движение жидкости (горючего и окислителя) в топлив-
ных баках является источником дополнительных колебательных возмущений кор-
пуса. Как показывают подробные теоретические исследования и результаты экспе-
риментов, частоты колебаний жидкости значительно ниже частоты упругих колеба-
ний корпуса ракеты, поэтому при исследовании упругих колебаний корпуса коле-
бания жидкости обычно не учитывают, а рассматривают отдельно. Взаимодействие
колеблющейся жидкости с упругим корпусом составляет предмет самостоятельных
сложных исследований [45, 46] и нами здесь не рассматривается.
В общей системе сил, действующих в полете на ЛА, дополнительные возму-
щающие силы, вызванные изгибными деформациями ЛА, относительно малы и не
оказывают заметного влияния на поступательное движение центра масс упругой
ракеты, в подавляющем большинстве баллистических задач их не принимают во
141
внимание. Скорость движения центра масс определяют предварительно решением
системы уравнений движения ракеты как твердого тела.
Однако при решении навигационных задач, а тем более задач управления угло-
вым движением БР, представление о влиянии упругих колебаний корпуса ракеты в
полете как минимум не является лишним.
Дело заключается в том, что датчики углового движения (гироскопы) реаги-
руют на возникающие в полете угловые упругие деформации ракеты так же, как и
на угловые отклонения корпуса БР как жесткого тела. Вследствие этого возникает
связь между упругими колебаниями корпуса и работой контура угловой стабилиза-
ции. Кроме того, наличие изгибных колебаний корпуса БР обусловливает возник-
новение дополнительных аэродинамических нагрузок, вызывающих в свою очередь
формирование дополнительных упругих деформаций и т. д.
Для упругого ЛА при записи системы уравнений движения обычно ограничи-
ваются рассмотрением только поперечного движения ракеты, складывающегося из
перемещения ракеты вместе с ее центром масс в направлении нормали к оси ОХК
траекторной системы координат, из вращательного движения относительно центра
масс ЛА и его упругих деформаций. Воспользуемся известной системой уравнений
движения ЛА в вертикальной плоскости, исключая из нее первое уравнение, содер-
жащее в левой части dV/dt:
mV= (F + Yaa) а — mg cos 0 -I- AFPk ;
dt
=M?Z ^+<« + A/zM.+ ЬМг;
dt (4.123)
d$ a л
—— = cdz ; a = 1З - 0;
dt
S = Ко о (— i3np) И- A 5B-
Правые части написанной системы уравнений должны быть изменены с учетом
влияния изгибных колебаний корпуса ракеты. Слагаемые AFPk и АМ2 учитывают
соответствующие компоненты поперечной составляющей вектора тяги, определяе-
мые упругими колебаниями корпуса.
Для получения уравнений упругих поперечных колебаний ракеты ее корпус
обычно представляют в виде стержня переменного сечения с переменным распре-
делением массы по длине. Уравнение имеет вид
<4,24>
где ?/(x, i) — поперечное смещение стержня в сечении х по координате OYK
(рис. 4.22); F(x, i) — интенсивность внешней поперечной нагрузки; т(х) — пере-
менная распределенная масса, приходящаяся на единицу длины стержня; Е1(х) —
произведение модуля упругости Е на момент инерции 1(х) сечения ЛА, опреде-
ленного относительно продольной оси.
Частное решение уравнения (4.124) определяет вынужденные изгибные коле-
бания ЛА (ракеты), вызванные действием внешних сил,
п
y(x,t) = Y <Pi(®)^(0- (4.125)
142
Рис. 4.22. Поперечный изгиб корпуса БР в вертикальной плоскости
Здесь <рг(х) — функция формы г-й гармоники свободных изгибных колебаний.
Упругие колебания корпуса ракеты определяются функцией ^(i), т. е. измене-
нием во времени прогиба оси ракеты в рассматриваемом сечении для г-й гармоники
вынужденных колебаний. Функцию ^(i) находим, решая линейное неоднородное
уравнение с постоянными коэффициентами,
i
+ 2е (ог + со? ^(t) = ——- / F(x, i) <pt(x)dx. (4.126)
ТПгпр J
0
Слагаемое 2e сог ^(t) учитывает демпфирование изгибных колебаний в пред-
положении, что силы внутреннего трения пропорциональны скоростям деформаций
[46] и называется конструкционным демпфированием для г-го тона.
Приведенная обобщенная масса rrii пр определяется равенством
1к
тгпр = / ц(х) <tf(x)dx, (4.127)
о
где ц(х) — вес собственных колебаний, определяемый свойством ортогонально-
сти.
Переходя от декартовых координат к обобщенным, отметим, что левая часть
уравнения (4.126) представляет собой ускорение, следовательно, интеграл правой
части есть обобщенная сила, поддерживающая вынужденные упругие колебания
корпуса ракеты.
Связь между обобщенными и действительными силами определяется соотно-
шением
<?. = (4|28)
143
Здесь Srfc = 8Р — виртуальное (возможное) перемещение при вариации обобщен-
ной координаты 8дг = 8 Следовательно, обобщенная сила определяется как
ду „
действительная сила умноженная на фг = -г-. Это следует иметь в виду, записы-
вая правые части системы (4.123).
Найдем основные составляющие правой части уравнения (4.126).
Составляющая от тяги на направление изгибного перемещения определяется
упругим изгибом продольной оси ракеты в точке приложения тяги Р. Если обо-
значить угол прогиба продольной оси ракеты в месте крепления двигателя \|/д (см.
рис. 4.22), то на направление нормали будет проецироваться сумма сил Pi cos фд —
Psin фд.
Угол прогиба продольной оси в месте крепления двигателя найдем, дифферен-
цируя (4.125) по координате х,
г = 1
Полагая sin фд ~ фд, cos фд ~ 1, получим слагаемую тяги на направление нор-
мали к оси ракеты, находящейся в невозмущенном состоянии (по рис. 4.22 на на-
правление оси ОУК),
РУ1 =ра1фДа:д)-рЧ/р<рДЖд)£ (4130)
н ах
Подъемная сила Yay определится как функция интегральной величины произ-
ведения местного угла атаки а* (х ^)г на соответствующее значение частной произ-
водной по углу атаки коэффициента подъемной силы. Местный угол атаки найдем
по формуле [56]
* / ч , £цм — £цд у , ду
а(^)=а+—+
(4.131)
где а — угол атаки «жесткого» ЛА; со2 — угловая скорость продольных колеба-
ний; у(х, t) — прогиб упругой линии в процессе изгибных колебаний; —-угол
ох
поворота упругой линии. Тогда
Yay = Sp— j су(х) фДх) a’tx^dx.
О
(4.132)
Складывая найденные величины, получим уравнения (4.126) в развернутом виде.
Для упругой ракеты значение угла отклонения руля при использовании только
статического коэффициента усиления ко о будет иметь вид
8В — ко о
п
13- впр + Е
г=1
дф,(ж.)
дх
(4.133)
144
Здесь хг — координата установки гироскопического датчика для измерения угла
тангажа ракеты.
Теперь перепишем исходную систему уравнений движения с учетом действу-
ющих возмущений, определяемых упругими колебания корпуса ЛА. Правая часть
второго уравнения (4.123) может быть получена умножением нормальной соста-
вляющей всех сил, кроме веса, на координату (ггцм — яцд) — плечо приложения
суммарной нормальной силы:
/7 А 71
mV— = Р
dx
— тд cos 0;
О
дфДжд)
dx
= Л*им - жцд) «*(^0 ~ £г(0
at
у2 г
+S р— / с“(х)(хцм - Жцд) cC(x^)dx + Ур5в 8В;
о
= (Dz; а = О - 0;
at
(4.134)
8В = кое $ — ОПр + У2 £г(0—"
^) + 2ешЛ(0+ =
= Р ф,(®д) а’(х^) + фДяд) Е
i—1
I
V2 Г
+Sp— / Су(х)<рг(хг)а*(х()<1х.
О
Как видно, даже в рассмотренном относительно простом случае математиче-
ская модель возмущенного движения ЛА с учетом упругих колебаний корпуса ока-
залась достаточно громоздкой и сложной для исследования. Тем не менее даже в
таком виде она не является корректной в силу недостаточно полного учета эффек-
та упругих колебаний корпуса [73]. Для упрощения решения поставленной задачи
целесообразно уравнения системы (4.134) линеаризовать, используя метод малых
отклонений. Коэффициенты линеаризованной системы находят решением одной из
систем уравнений движения, не возмущенной колебаниями ракеты. Для более по-
дробного изучения проблемы в целом необходимо обратиться к специальной лите-
ратуре, например [45, 46].
4.7. Возмущенное движение БР и общая характеристика
методов его исследования
Математическая модель, описывающая движение, и результаты
полученного по ней расчета траектории всегда отличаются от харак-
теристик реального полета конкретной ракеты.
145
Траектория, полученная при определенных условиях (допущени-
ях), называется номинальной или расчетной, соответствующая ей ре-
альная траектория — возмущенной. Причины, определяющие откло-
нения движения от номинального, принято называть возмущениями.
Возмущенное движение может быть математически смоделировано
с теми или иными приближениями. Ошибки можно разделить по ха-
рактерным признакам на несколько групп.
Первая группа, определяется отклонениями конструктивных и
технологических величин от их номинальных значений. Примерами
могут служить:
— изменение внешних размеров, в пределах допусков приводя-
щее к малым отклонениям аэродинамических и массовых характе-
ристик;
— перекос отсеков корпуса ракеты; в частности, известны эффек-
ты «перекоса тяги» и «эксцентриситета тяги», определяемые несо-
осностью оси сопла с продольной осью ракеты, причем несоосность
определяет геометрический эксцентриситет, несимметричность га-
зового потока — газодинамический эксцентриситет;
— отклонение от расчетного количества заправленного топлива
и его единичного импульса;
— отклонения от номинала для каждой конкретной ракеты разме-
ров рабочей части сопла, приводящие к изменению секундного рас-
хода рабочего тела.
К второй группе следует отнести ошибки, определяемые систе-
мой управления. Например, инструментальные ошибки — ошибки
отсчета нулей, ухода гироскопов, накапливаемые системой управле-
ния в процессе движения ракеты за счет отклонения поля притяже-
ния Земли от расчетного, помех, действующих в контуре управления
и др.
Третья группа ошибок определяется отклонением реальных ме-
теорологических условий от стандартных (см. п. 3.3).
Четвертая группа ошибок охватывает отклонение начальных
условий полета от расчетных. Примером служат ошибки в опреде-
лении местоположения пусковой установки и цели, прицеливания
ракеты, установки программного угла тангажа и времени выключе-
ния двигателя tK, формирования полетного задания и др.
Следует иметь в виду, что полный перечень ошибок и доля ка-
ждой из названных групп в общей ошибке, определяющей точность
стрельбы, самым существенным образом зависят от используемой
146
системы управления. Возмущающие факторы могут иметь случай-
ный характер.
Учет названных возмущений возможен при использовании двух
различных подходов.
Первый подход определяется количеством учитываемых действу-
ющих факторов. Система уравнений, в которой учитывается боль-
шее число действующих факторов, может считаться возмущенной
по отношению к системе, учитывающей меньшее число факторов.
Например, система уравнений, учитывающая действие ветра, может
считаться возмущенной по отношению к системе, не учитывающей
действие ветра. В данном случае возмущающий фактор — ветер.
При втором подходе предполагаем, что интересующие нас фак-
торы учтены в основных дифференциальных уравнениях и необхо-
димо установить влияние их изменений на результаты расчета или
реального движения ЛА.
Для баллистических расчетов исследование возмущенного дви-
жения ракет проводится двумя методами: заданных возмущений и
малых отклонений.
В первом случае, желая установить влияние на траекторию како-
го-либо фактора, ранее не рассматриваемого, необходимо составить
новую систему дифференциальных уравнений, включающую инте-
ресующую нас величину. Сравнивая результаты расчета по невозму-
щенной и возмущенной системам уравнений, определяют влияние
возмущающего фактора на результаты расчета для фиксированно-
го момента времени. Так же следует поступить, если возмущающий
фактор уже учтен в основной системе уравнений, но его изменение
существенно. Влияние этого изменения на результаты расчета харак-
теристик движения и элементов траектории следует находить, решая
основную систему дифференциальных уравнений при новых изме-
ненных данных. Сравнение результатов решений, найденных при из-
мененных и нормальных данных, дает искомое отклонение. Описан-
ный путь учета влияния возмущений хотя и является теоретически
строгим, однако не всегда используется на практике из-за невозмож-
ности получения исчерпывающих данных обо всех возмущающих
факторах, например, действии порывов ветра, эксцентриситета тяги
и др.
На практике, как правило, приходится встречаться с небольшими
отклонениями определяющих параметров от их номинальных значе-
ний. В большинстве случаев малые отклонения параметров приводят
147
к малым изменениям элементов траектории. Это позволяет исполь-
зовать метод малых отклонений, соответствующий второму случаю.
Сами возмущающие силы и моменты и механизм их действия на ЛА
при этом не рассматривают. Изучают только изменение отклонений
характеристик движения уже после действия возмущающих факто-
ров в предположении, что эти отклонения незначительны. Метод ма-
лых возмущений позволяет уравнения возмущенного движения ЛА
свести к линейным дифференциальным уравнениям (уравнениям в
отклонениях), решаемым относительно просто.
Сравним характеристики невозмущенной и возмущенной траек-
торий. На рис. 4.23 показаны изменения элементов траектории, соот-
ветствующие моменту конца работы двигателя и вызванные откло-
нением какого-либо определяющего параметра или группы параме-
тров: §.гк — изменение координаты вызванное реальными усло-
виями; 6ук — изменение координаты ук\ §К— изменение скорости
движения центра масс ЛА; — изменение времени работы двига-
теля и т. д.
Рис. 4.23. Характер изменения элементов траектории движения центра
масс ЛА в зависимости от изменения определяющего параметра:
/ - невозмущенная траектория; 2 - возмущенная траектория
Изменения элементов могут также определяться для точки, за-
данной какой-либо характеристикой движения (временем, скоро-
стью, абсциссой, ординатой и пр.), одинаковой для основной и
возмущенной траекторий. Например, точке b невозмущенной тра-
ектории будет соответствовать точка е траектории возмущенного
движения, взятая для того же момента времени t, что и точка 6; при
148
этом возмущениями для траектории в точке b будут величины fact,
8Ц, tyt и т. д. При задании условия у = const точке а соответствует
точка с, и для траектории в точке а получим возмущения £>ху, bVy,
8еу.
Если принять условие х = const, то точке а соответствует точка d,
причем изменения элементов траектории в точке а равны &ух, §14,
И т. д.
Названные параметры траектории V, х, у и другие являются
функциями времени. Обозначим их и построим обобщенные гра-
фики для невозмущенной QTpz(^) и возмущенной qi(t) траектории
(рис. 4.24).
Рис. 4.24. Изохронные и полные вариации движения ЛА
Пусть точка а соответствует расчетному времени включения воз-
мущающего импульса, например, включению корректирующего дви-
гателя £гр.д. Разность ординат построенных кривых при фиксирован-
ном моменте времени 4р.д определяет так называемое изохронное
отклонение или изохронную вариацию функции qi(tk)-
В действительности момент включения возмущающего импуль-
са не совпадает с расчетным временем tk, отличается от него на
и соответствует возмущенной траектории qi(t), т. е. включение дви-
гателя происходит в точке Ь. Кривые #тр(£) и qi(t) мало различаются,
а время §£д представляет собой малую величину, поэтому измене-
ние ординаты qi определяют с небольшой ошибкой как <?Тр(£тр.д) &д-
Полное отклонение от номинальной траектории будет
^Qik = &Qik Н" 9тр 8 (^тр.д) Ч (4.135)
где \qik — изохронная вариация.
149
Производная определяется дифференцированием рассматривае-
мой характеристики траектории qi(t) для заданного момента време-
ни ^тр.К-
Для основных характеристик движения полные отклонения (ва-
риации) равны:
8К - 8К + К &к;
8хк = Дхк 4- хк 8tK; (4.136)
&ук = Д?/к + ук 8fK,
где ДУК, Джк, Аук — изохронные вариации в момент времени tK.
4.8. Линеаризация уравнений движения
Математический смысл линеаризации состоит в том, что искомое
отклонение элемента находится разложением соответствующей ему
функции в ряд Тейлора по степеням отклонения элемента. Напомним
формулу разложения в ряд Тейлора для функции многих аргументов
А = /(£1, £2, • • •, £>п), поскольку к такого рода функциям относятся
элементы траекторий ракет.
Формула разложения имеет вид
/(£i,£2,...,£n) = /(£i* + 8£i, •••,£«* + §£„) =
-| / г\ г\ г\ \
= / (£1*>£2*> • • >£п*) + тп 8£1 + 5£2 + ... + -77 3£п )х
х/(£i*>£2*, • • •,£п*)+тт (-х-г- 8£i + — 8£2 + • • • + -хт— 8£п) х
x/(£i*,• ••>£«*) + R, (4.137)
где — расчетные (номинальные) значения определяющих пара-
метров.
Отклонение функции / (£i, £2,•• •, £>п), вызванное отклонениями
параметров от расчетных значений 8£i, 8£2,..., 8£п, будет
8/(£1,£2,...,£н) =
= f(£i*+ 8Ci,...,U+ 8£n) - f (£1*,• • • ,£n*)• (4.138)
150
Первый член разложения (4.137) и второй (4.138) равны, имеют
разные знаки и сократятся, поэтому общая формула для отклонения
функции / (£ь £2, • • •, £,п) может быть получена в следующем виде:
Wi,e2,...,en) =
1 ( д д д \
-| / г\ г\ \ 2
• • ч ^n*)+^7 ( 3£i + —— 8£2 + -- - + 3£п ) х
2! \и£1* <^s2* /
* ж*,и)+ д. (4.139)
Число членов разложения, учитываемое при расчетах, зависит
от требуемой точности определения отклонения. Чаще всего при ре-
шении практических задач баллистики учитывают только линейные
члены разложения. В этом случае формула (4.139) примет вид
= 86 + 86 + -"+(Ж) 5и (4Л40)
\^S1 /* \^2 /* \ /*
е fd£\
Найдем выражение для отклонения производной вида о I — |.
\dt )
Так как 8
, а £ = £* 4- 8£, то получим
(4.141)
Таким образом, если мы имеем систему дифференциальных
уравнений возмущенного движения, составленную из п уравнений
вида
“ТГ = Л (СьСг, • • • ,Сп);
at
................................ (4.142)
= /п (6,6,-..,6г),
at
151
то на основании (4.140) и (4.141) она легко приводится к системе
уравнений в отклонениях
d К К + К + 4-(К
~Т. «б = I ^7“ I <41+1 ) <42 + • • • + I I О^п,
di \д£1Л \<42/* \dtnj*
................................................ (4.143)
d о, f 9fn\ , f ®fn \ Re । if cp
77 OU = ^7” <41 + -^T <42 + • • • + I 777“ I <>Cn-
\ ^sl / * \ / *
Если невозмущенное движение известно, т. е. элементы
^2*(^), Сз*(^) и другие заданы, то будут известны в функции време-
/а/д
ни и частные производные вида I —— 1 , стоящие в системе (4.143)
\ / *
при отклонениях элементов 8^- В этом случае (4.143) будет пред-
ставлять собой систему линейных дифференциальных уравнений, в
то время как исходные уравнения невозмущенного и возмущенного
движений (4.142) линейными не являются.
Используя изложенный подход, проведем линеаризацию систе-
мы дифференциальных уравнений, описывающих простой случай
продольного движения ЛА на активном участке траектории. Рассмо-
трим систему дифференциальных уравнений движения ЛА, считая,
что тяга направлена по оси ракеты и приняв Хр = Yp = 0,
dV „ „
тп— = Р cos а — Ха — Q sin 0;
dt
mV= Р sin а 4- Ya — Q cos 0; (4.144)
dt
T d(T)z
Iz—~ = Mz.
dt
При линеаризации не будем учитывать влияние на возмущенные
характеристики движения изменения массы 8m и момента инерции
8Д, т. е. будем считать, что масса и момент инерции для невозму-
щенного и возмущенного движений изменяются по времени одина-
ково: тп (t) = m* (t) и Iz (f) = (t).
Кроме того, пренебрежем влиянием отклонения высоты на аэро-
динамические характеристики и тягу. Для малых значений бу это
влияние несущественно, поскольку функции Н (у), р (у), я (у) и
а (у), через которые оно проявляется, изменяются медленно.
152
Поэтому можно записать
т [ ) = 8 (F cos а) - ЬХа — 8 (Q sin 0),
\ at at J
т \V~T~ ~ К—г- | = 8(Fsin а) 4- 8Уа — 8(Qcos 0), (4.145)
\ at at J
id (O2 d co2 \ ~,
Iz —:----------H- = 8Af2.
\ dt dt J
При принятых упрощениях отклонения аэродинамических сил и
моментов будут зависеть только от двух величин — отклонения ско-
рости полета 8V и угла атаки 8 а. Если обозначить
Ха. = /1 (К, а*) и Ха = А (V, а),
Ya. а*) и Ya = f2(V, а),
Ж =/3(К, а*) и Mz = fe(V, а),
то, разлагая последние зависимости в ряд по формуле (4.137), полу-
чим с учетом только линейных членов
8Ха — Ха — Ха* = 8а>
\ dV Д \ д а Д
/лу \ / яу \
8Ya = Ya-Yat = (^) 5V+(p) 8а,
ydV J* \daj*
(4.146)
8MZ = MZ- Mzt
Значок * показывает, что данная величина относится к невозму-
щенному движению в момент, соответствующий началу действия
возмущения. Введем сокращенную запись частных производных
/дА \
= А^1
и перепишем формулы (4.146) в таком виде:
8Ха = 8V + Х“ 8а; 8Уа = УД 8У + Уа“ 8а;
8MZ = 8V + Mza 8а.
153
Подобным же образом найдем отклонения для членов, содержа-
щих тягу Р,
8 (Рsin а) = Рcos а* 8 а; 8 (Рcos а) = —Рsin а* 8 а.
Считая вес ракеты Q на участке возмущения постоянным, полу-
чим 8 (Q sin 0) = Q cos 0* 8 0, 8 (Q cos 0) = —Q sin 0* 8 0. Для
dV dV* d
= — ov,
dt dt--dt
d 0 d 0* d ~ d 0* „ d ~ d „
= V-89 + SV-60~ V*-80
dt dt dt dt dt dt
(без учета членов второго порядка малости),
d(Oz
dt
d2b d2 &
dt2 ’ dt2
d2 &* d2 „
= -77т 8 0 и 8 0=80— 8a,
dtz dtz
а также, принимая, ввиду малости угла а*, что sin а* « а* и
cos а* « 1, получим следующую систему линеаризованных уравне-
ний:
md8V = _ху gv _ _ cqs ga_
JX CZ/ \ (X v /
dt
—Qcos 0* 8 0,
ТЛ /d 8 0 d 8 a\
mV —-------------— =
\ dt dt J
= Yav 8V + (P + Yaa - Q sin 0*) Sa + Q sin 0* 80;
= M* SV + 8 a.
dt2 z z
(4.147)
Эта система состоит из линейных однородных дифференциаль-
ных уравнений с коэффициентами, являющимися известными функ-
циями времени. Результаты линеаризации более сложной системы
приведены в работе [26].
Для определения отклонений характеристик возмущенного дви-
жения от невозмущенного на основе второго подхода, необходимо
в основную систему уравнений (например, (4.85) — (4.105)) доба-
вить члены, учитывающие возмущающие факторы вида Хав; Уав;
ZaB; Муъ\ MZB и найти параметры движения БР по возмущенной тра-
ектории.
154
Общая система нелинейных дифференциальных уравнений
пространственного движения рассматриваемого класса ракет в ре-
зультате ее линеаризации и упрощений распадается на две незави-
симые системы линейных дифференциальных уравнений движения
в отклонениях, причем одна из этих систем описывает продольное
возмущенное движение ракеты, происходящее в вертикальной плос-
кости, а другая — боковое возмущенное движение.
Очевидно, что две независимые системы линейных уравнений
могут быть решены значительно проще, чем единая исходная систе-
ма из нелинейных дифференциальных уравнений и геометрических
соотношений, особенно если будет использована ЭЦВМ. Однако яс-
но, что простота решения достигается в ущерб его точности. Следо-
вательно, при использовании метода линеаризации уравнений дви-
жения, в основе которого лежит условие достаточной малости воз-
мущений, необходимо знать, какова точность получаемых расчетом
результатов или, иначе, какими пределами должны быть ограниче-
ны исследуемые возмущения, чтобы ошибки расчета по уравнениям
в отклонениях не превосходили допустимых. Исчерпывающий от-
вет на этот вопрос может быть получен путем сравнения результа-
тов приближенного и точного решений, однако из-за уже отмеченной
трудоемкости последнего такой метод оценки точности не имеет ши-
рокого применения.
Поэтому часто используют менее строгие, но более простые кос-
венные или приближенные методы оценки погрешностей [26].
При получении приведенных выше линеаризованных уравнений
основные действующие факторы — тяга, аэродинамические характе-
ристики и другие — были представлены в обобщенном виде без ана-
лиза влияния факторов более низкого уровня, например, изменения
единичного импульса тяги, плотности среды и т. п. Учитывая слож-
ность задачи, в качестве примера получим дифференциальные урав-
нения в отклонениях для активного участка траектории, используя в
качестве рассматриваемой упрощенную систему уравнений
V • о о -geos 6
V------------=-----------g sin 0; 0 =-—-
т V
(4.148)
у — V sin 0; х = V cos 0.
Обозначим праву часть первого уравнения через ау и раскроем
входящие в нее величины. Примем, что сх — функция только числа
155
М и не изменяется с высотой. Будем считать также, что для данной
расчетной точки траектории изменение тяги не зависит от изменения
высоты у:
_ 1
ау то — \т\ t
|m| Ieag - SpV cXa (M) - g sin 0.
(4.149)
Последнее равенство может быть переписано в виде функциональ-
ной зависимости ау = /1 (V, 0, т/, р,сХа (М) , mo, |ш|). Обо-
значая правую часть второго уравнения через ао, запишем функ-
циональную зависимость = /2 (V, 0). Поступая подобным же
образом, можем написать для третьего и четвертого уравнений ау =
— /з (V, 0) и ах = /4(К 0). Используя формулу линеаризации
(4.143), получим систему дифференциальных уравнений в отклоне-
ниях
d / стм дау дау с дау е дау с
- ( 5У) = —^ 5У + 5 0 + —^ бу + —51ед+
at дV д 0 ду diQji
, &aV s ~ , ®av s 1 ^av s , &аУ s i • i
+-^— 5 p + dcXa + -— 5m0 + -т-j—г 6 m ;
д p дсх ото d |m|
>e) = ^> + ^8e;
>) = ^6v + ^Se;
jL(&) = ^5v + ^8e.
(4.150)
Нахождение баллистических производных да^/д^ во многих
случаях представляет хотя не сложную, но трудоемкую задачу. Для
принятой нами системы найдем
дау дау Р 1
avQ = “on" = _#cos е; аУ1ел = = —~г',
дъ д1ел т /ед
_ дау _ /ала др
аУу ~ О — о СХа (М) ~ ,
ду m2 ду
(4.151)
дау Ха 1 дау Ха 1
аур др т р’ aVCx дсХа т с1а(М)’
156
дау
aVm°= дто
дау 1
d|m| |m|
дае geos 0
a0V = ~dV = V2
ayv = ^ = sin 0;
dax
&xV = = cos °’ '
dv
P~Xal
m m'
P t |m|f(P-XQ)l
m m mJ’
_ da& _ gsin 0
; “”= 777Г ~r
day
ау^ = = vcos °;
so
dax rr . л
axQ = = ~V Sln °-
d 0
(4.151)
После этого систему дифференциальных уравнений в отклоне-
ниях запишем в таком виде:
— ( 8V) = ауу 8V + ay 0 8 0 -I- ауу 8у+
+aVIea Ыед + aV сХа &сха + aVm0 + aV|m| § |m| ,
^(80) = a0V8V + a00 8 0, (4.152)
= ayV 8V + ау 0 8 0,
37 ( 8z) = axV 8V + ах 0 8 0.
at
Систему уравнений в отклонениях при независимом переменном
t, пригодную для расчета изменения элементов движения и попра-
вочных коэффициентов для пассивных неуправляемых участков тра-
екторий, легко получить из системы уравнений (4.152). В этом слу-
чае масса ЛА постоянна; Р, 1ед> \т\ равны нулю. Первое уравнение
системы (4.150) можно написать так:
d / стл\ дау ст г ^av егч дау дау е дау с
5У = -^7 5V + 50 + 5Р + 8™о-
dt dV 9 0 9 р дсХа дгпо
Соответственно в формулах коэффициентов (4.151) надо взять
^Vm0 — Ха/тпц и в первой, третьей, пятой, шестой формулах при-
равнять тп = т0. В тех же уравнениях и формулах следует сделать
замену тп = тпп. Система дифференциальных уравнений с учетсм
этого будет иметь вид
157
— ( 8V) = aw 8V 4- ay 0 8 0 4- ayy 8y4-
+ay p 8 p 4- ayCxa 8cXa 4- aVmo 8m0,
^(80) = aQV 8V + a00 80, (4.153)
-^(8y) = ayV 8V 4- ayQ 80,
^-(8x) = axV 8V + ax q 80.
at
4.9. Общий подход к расчету попадающей траектории
В настоящее время существует множество подходов и методик
расчета «попадающей траектории», т. е. номинальной траектории,
проходящей через точку цели [4, 10, 61, 107, 111 — 113]. Данное об-
стоятельство делает нереальным в рамках настоящей работы доста-
точно подробно описать возможные пути решения указанной задачи.
В связи с этим ограничимся общей математической формулировкой
задачи и кратким изложением особенностей ее решения.
Будем полагать [87], что координаты точки падения задаются в
виде линейных сферических координат Dc и Zc, однозначно опре-
деляемых параметрами движения БР в момент времени tk подачи
команды на отделение последней ступени или головной части. Эти
координаты могут быть представлены функциональными зависимо-
стями
Dc — Dc[qai (tk)') Qa2(^fc), • • • •)
(4.154)
Zc ~ Zc[qai ЯаЪ^кУ • • • ч Яаб{^к)ч 1к\ч
где qai(tk) — значения параметров абсолютного движения в момент
(г = 1,2,..., 6) времени
Параметры движения qai(tk)Ла2(^), • • •, Яаб^к) при заданных
программах управления движением ракеты однозначно зависят от
координат точки старта Hq, Bq, Lq, азимута прицеливания Aq и вре-
мени th- В этом случае зависимости (4.154) можно представить в та-
ком виде:
Dc = Dc(Ho, Bq, Lo, Ao, tk); Zc = ZC(H$, Bq, Lq, Aq, ^). (4.155)
Для известной точки старта зависимости (4.155) принимают следу-
ющий вид:
Dc = Dc(Aq, ; Zc — Zc(Aq, tk)- (4.156)
158
Определение координат точки падения Dc, Zc при заданных
условиях полета и заданном времени tk является прямой баллисти-
ческой задачей [30, 32], которая решается путем численного инте-
грирования системы дифференциальных уравнений номинального
движения.
Определение исходных данных на пуск БР основывается на ре-
шении обратной баллистической задачи [4, 10, 112], заключающейся
в следующем. Для известных координат точки старта Hq,Bq,Lq и
цели Нц, Вц, Lu требуется определить такие значения азимута при-
целивания Ао и времени £&, которые удовлетворяют условиям равен-
ства линейных сферических координат точек падения и цели:
DC = D^ ZC = ZU. (4.157)
Учитывая функциональные зависимости (4.156), условия (4.157)
можно записать в виде системы двух нелинейных уравнений
Dc - Рц = Fd(Aq, — 0; Zc — = Fz(Aq, tk) = 0. (4.158)
Решая эту систему уравнений, можно определить искомые пара-
метры Ао и tk- Ввиду большой сложности получения функций
Fp(AQ,tk) и F/(Ao,^) решение обратной баллистической задачи
проводится исключительно с использованием численных методов.
Траектория, удовлетворяющая условиям (4.158) с заданной точ-
ностью, является попадающей. Определение попадающей траекто-
рии представляет собой краевую задачу. При этом краевыми услови-
ями служат координаты точки старта и цели.
Расчет попадающей траектории может проводиться методами по-
следовательных приближений путем решения прямой баллистиче-
ской задачи. Этот подход заключается в следующем. С помощью про-
стых приближенных зависимостей определяется первое приближе-
ние параметров Aq, tk- Затем решается прямая задача и на основе по-
лученных координат точки падения 7?с, Zc определяются поправки
5Ао, которые вводятся в величины Ао,^. Расчет повторяется
до выполнения условия (4.158) с заданной точностью.
Основными исходными данными для расчета попадающей траек-
тории наряду с множеством вводимых конструктивных ограничений
и условий задания параметров программы являются:
1) геодезические координаты точки старта Hq, Bq, Lq,
159
2) геодезические координаты цели Нц, Вц, £ц;
3) параметры модели фигуры Земли;
4) параметры модели гравитационного поля Земли;
5) параметры стандартной атмосферы Земли;
6) характеристики БР и ее системы управления;
7) допустимые ошибки ДРдоп, Л^доп расчета попадающей тра-
ектории по дальности и направлению.
Расчет попадающей траектории может производиться по следу-
ющей схеме.
1. Определяют линейную сферическую дальность до цели Вд и
сферический азимут прицеливания Лсф по известным геодезическим
координатам точки старта и цели Вц,£ц с использованием
формул
+ cos
А = <
Г 71 . Г .
= Rn&n = Bn у у — arcsin^sin (pusin (р0+
Фц cos ф0 cos (£ц - Lo)] |;
Г л
у - А* при sin (£ц - £0) > 0;
3 я
— + А* при sin (£ц - £0) < 0;
. / sin ф - sin ф0 cos Фц\
А* = arcsin ------------------—----- ,
\ COS Фо cos Фц /
(4.159)
где sin фг = - = (I = 0, Ц); Фц — сфериче-
V (1 - ef) sin2 Bi + cos Bi
ская условная дальность до цели.
2. Принимают сферический азимут Лсф в качестве первого при-
ближенного азимута прицеливания Ло = Лсф и определяют прибли-
женное значение времени подачи команды на отделение последней
ступени или головной части БР. Зная пределы изменения значений
времени ^min < tk ^Шах и соответствующие им пределы изме-
нения дальностей пуска Pmin D £)тах, можно путем линей-
ной интерполяции определить tk, соответствующее дальности Вц,
по формуле
tk = t*k + (7?ц - D*), (4.160)
^max ^min
160
где D* — дальность пуска, соответствующая времени t*k
( min при Dmm Du < (D
max + -Dinin)/2
\ ^fcmax При (Z?max H- Dmin)/2 Dn ^D max
3. Используя уравнения номинального движения БР, например,
(с) (с) (с)
приведенные выше, рассчитывают координаты xr , yr , Zr при за-
данных параметрах Ao,tfc и определяют координаты точки падения
DC,ZC по формулам
/ ~ (0) (с) , (0) (с)
г> zb г> I . хг %Г + Уг Уг
Dc — Rn&c = Rn — — arcsm----------------------------
у 2 rorc
Zc = -Я^Ес8тФс = -Rn (Ao - Ac) sin Фс,
(4.161)
где Ac — азимут точки падения;
- А* при ZrC) < 0;
+ А* при ZrC) > 0;
А* = arcsin
J0KW _ JC)J°)
Ху’ Jbp Jbp yr
2
+ Уг
2
; го =
г С =
^0) = (W3o + Ho) cos Bo; = [(Нэо + Ho) - e23NM] sin Bo;
пэ
Na° = /1 2 F'
yl - e; sin Bq
4. Проверяют выполнение условий
|DC Рц| ДВдоп; \ZC Zu\ Д^доп- (4.162)
Если эти условия не выполняются, то уточняют Aq и tk путем введе-
ния корректур по формулам
/г+1) = /1) + 5/0 л(1+1) = ДО + 5 ДО (4 163)
rv rV rv KJ KJ KJ
Корректуры 5Ло и 3tfc определяют разными способами.
161
В частности, эти коррективы могут быть определены на основе
решения системы двух линейных уравнений, полученных путем раз-
ложения функций (4.156) в ряд с точностью до членов второго поряд-
ка малости:
гч т-'к г\ гу
5Р - Ьк 6tk + —- 8А0; 8Z = Zk 6tk + —- 8А0, (4.164)
где Dk, Zk — полные производные от координат точки падения по
времени полета БР на АУТ; dD/dA$, dZ/дА$ — частные производ-
ные от координат точки падения по азимуту прицеливания Aq.
Производные Dk, Zk могут быть рассчитаны, например, по сле-
дующим формулам:
= = <4-165>
dq^ 3 dqf} 3
где dD/dq^\ dZ/dq'^ — частные производные от координат Dc,
Zc по параметрам движения q^ конца АУТ (обычно эти произвол-
ные называются баллистическими); q\ 7 — полные производные от
параметров движения по времени полета на АУТ.
Уточнение последовательных сближений по определению исход-
ных данных tk и Aq проводят до тех пор, пока не будут выполнены
условия (4.162).
4.10. Обзор возможных методов определения
баллистических производных
Входящие в выражения (4.165) баллистические производные, не-
обходимые для построения попадающей траектории нужны также и
для анализа характеристик рассеивания. В рамках решения рассма-
триваемой задачи они часто называются «функциями чувствитель-
ности» и имеют физический смысл весовых функций, определяю-
щих влияние единичного отклонения того или иного фактора, возму-
щающего движение, на изменение полной дальности, выраженной
через координаты точки падения.
Среди способов определения функций чувствительности наи-
большее распространение получили [28]:
162
dD/dq}
— численные (конечных разностей и вариаций);
— аналитический, базирующийся на использовании модели кеп-
лерова движения.
При определении искомых значений функций чувствительности
в большинстве случаев используется способ конечных разностей в
его упрощенном варианте (см. зависимости (4.167)). Учитывая, одна-
ко, важность обсуждаемого вопроса (с точки зрения получения тре-
буемой точности вычислений и допустимых затрат машинного вре-
мени, т. е. времени счета на ЭЦВМ), ниже даем краткое описание
всех распространенных способов определения баллистических про-
изводных.
Способ конечных разностей предусматривает многократное ин-
тегрирование системы уравнений с измененными начальными усло-
виями и последующее вычисление баллистических производных,
например по формулам
(Dc(q^ + Д^) - Dc(q™ - Д^))/(2 Д^)1 ,
... г/ \ 1 (4.166)
dZ/dq^ = [(ЗДГ’ + Д%) - Zc{q^ - Д^))/(2 Д^)] ,
где q^ = {gi(tfe),• • •, <7б(4)} — параметры движения (коор-
динаты и составляющие скорости) в момент выключения двигателя
tk\ Dc(q^ + qj \ Zc(q^ + qj) — координаты точки падения, соот-
ветствующие изменению параметров gj на + Аду при неизмен-
ных значениях остальных параметров движения; Dc(q^ — Aqj),
Zc(q^ — Mj) — координаты точки падения, соответствующие из-
(fc) А
менению параметра gj на — при неизменных значениях осталь-
ных параметров движения.
Точность расчета баллистических производных определяется
выбором шага дифференцирования Agj. Достоинство этого способа
заключается в его универсальности. Он легко может быть приме-
нен для расчета частных производных от координат точки паде-
ния по любым параметрам, характеризующим движение, например,
dD/dA$, dZ/dAo. Однако этот способ расчета связан с большими
затратами машинного времени, так как для получения расчетных
значений координат точки падения, соответствующих измененным
начальным условиям, потребуется 12 раз численно интегрировать
163
систему уравнений, описывающих номинальное движение БР. Кро-
ме того, возникает необходимость подбора оптимальных шагов Aqj
численного дифференцирования в смысле минимума ошибок расче-
та баллистических производных.
В целях сокращения затрат машинного времени расчета балли-
стических производных могут быть использованы более простые
формулы
dD/dqf = [(Wfc) + A<b) - Dc(q^})/qj\ ,
J LV J J J \ 167)
dZ/dq^ = [(zc(q<fc) + Aqj) - Zc(^fc)))/Qj] •
При тщательном подборе шага дифференцирования точ-
ность расчета баллистических производных по формулам (4.167)
может соответствовать точности расчета по формулам (4.166), а ма-
шинное время сократится примерно вдвое.
Если точность расчета баллистических производных по форму-
лам (4.166) не удовлетворяет потребностям практики, то могут быть
использованы более сложные формулы, например, такого вида:
dD 8 [Pc(Qjfe) + Aqj) - Dc(Qjfc) - Aty)] -
=> - [r>c(^fe) + 2 AqJ - Dc(qf - 2 Aq^
г 12Qj zm i (4.168)
dz 8 [Zc(qW + Agj) - Zc(qf - Agj)j - =>
=> - [Zc(9j(fc) + 2 A9j) - Zc(q^ - 2 A9j)]
12g7
где Dc(q^ + 2 AqJ, Zc(^fe) + 2AQj), Dc(q^ - 2 Aqj), Zc(qf -
—2Aqj) — координаты точки падения, соответствующие измене-
нию параметра на +2 и —2 Д^. В этом случае машинное
время расчета увелйчится вдвое по сравнению с машинным време-
нем расчета по формулам (4.166).
Способ вариаций основан на однократном интегрировании
СДУД, описывающих номинальное движение ЛА, и многократном
164
интегрировании линеаризованной СДУД при единичных начальных
условиях.
Дифференцируя уравнения системы, описывающей движение
ЛА на ПУТ, получим систему уравнений в вариациях
6
8^ = &qj(i = 1, 2,..., 6), (4.169)
j=i
где dqj — вариации текущих параметров движения, обусловленные
вариациями начальных условий 8qV^ в момент времени —
коэффициенты, являющиеся функциями времени.
Величины 8qi — вариации составляющих проекций скорости и
ускорения на оси системы координат, в которой описывается дви-
жение ЛА. Для получения искомых вариаций 8q7 уравнения (4.169)
должны содержать производные по времени от вариаций текущих
параметров движения — (8^)- Изменение порядка дифференциро-
dt
вания, т.е. 8(dqi/dt) = —( 8qt), допустимо, так как ускорение ЛА
dt
на ПУТ является непрерывной функцией параметров движения. В
этом случае система уравнений в вариациях (4.169) принимает вид
d 6
— ( dqj (г = 1,2,. ..,6). (4.170)
j=l
Задаваясь начальными условиями для интегрирования системы
уравнений в вариациях (4.170) в виде единичной матрицы и на-
чальными условиями для интегрирования системы уравнений, опи-
сывающей номинальное движение на ПУТ, и совместно интегрируя
указанные системы уравнений, получим частные производные от
(с) (с) (с)
координат точки падения q\ ', q^ , q% по начальным условиям
дд?
dgf
О'= 1,2,...,6).
Эти производные легко пересчитываются [10, 61, 87] в баллистиче-
ские dD/dq^\ dZ/dqW по следующим зависимостям:
dD_ dD_dq^_ dZ A dZ dgf
dqf ~ dq^ dq^ ’ dq^ ~ dq^ dq^ ’
165
Рис. 4.25. Пассивный участок траектории БР относительно поверхности
сферической модели Земли
где dD/dq^\ dZ/dq^ — производные от линейных сферических
координат точки падения Dc, Zc по координатам точки падения
qJc) (г = 1,2,3).
В отличие от численных методов аналитический позволяет [4,26]
получить решение на основе использования конечных аналитиче-
ских соотношений. Нахождение соответствующих соотношений воз-
можно только для достаточно простых моделей, к числу которых, в
частности относится модель Кеплера, полученная при следующих
допущениях: Земля принимается за неподвижную сферу радиуса
ее гравитационное поле определяется ньютоновским потенци-
алом U = По/r, где коэффициент Яо = fM = 3,986 • 1014м3/с2;
атмосфера отсутствует, ЛА рассматривается как материальная точка
с массой, равной массе ЛА и сосредоточенной в ее центре масс.
При принятых допущениях траектория движения на ПУТ, оче-
видно, будет представлять собой кривую, лежащую в плоскости, про-
ходящей через центр притягивающего тела. В этом случае она полно-
стью определяется параметрами движения гк, Ук, 0К в момент време-
ни tK (рис. 4.25) и в полярных координатах выражается общеизвест-
ными [26] аналитическими зависимостями:
г = р (1 — ecos ( Т| — Т|в)) 1
V = JVk2 + 2tc0 (- - -1
у \r rKJ
COS 0а = rKVK (rV)-1 cos 0ка,
(4.171)
166
где г — модуль радиуса-вектора текущего положения ГЧ; Т| — по-
лярный угол, отсчитываемый от выбранной полярной оси, Т|в — по-
лярный угол, определяющий положение вершины траектории; е —
эксцентриситет траектории; р — фокальный параметр траектории;
V — модуль абсолютной скорости ГЧ; 0а — угол наклона вектора
абсолютной скорости к местному горизонту.
Величины е,р, Т|в характеризуют траекторию отделяемого бал-
листического аппарата (головной части БР) и выражаются через па-
раметры движения в конце АУТ:
С2 = 1 — 4 V* (1 — V*)cos2 ек.а,
Р = VKrKCOS 6к.а> (д 172)
_ V* sin 2 6К а
g 1 - 2 V* COS2 0к а ’
где V* = 0,5 vK = VK2rK/2 Ло — безразмерный энергетический па-
раметр движения.
Поскольку точка падения принадлежит траектории, то ее коор-
динаты Г|с = фп а, гс = 7?дг (рис. 4.25) удовлетворяют уравнению
траектории. Сферическую угловую дальность Фп.а ПУТ определяем
из следующего выражения:
. 2 ^п.а о и. ^п.а >
Хк tg —------2 tg 0К а tg ---hK = 0
или
tg = Т (tg 0к.а + Vtg2 0к.а + Ж|Лк) , (4.173)
2 Хк V /
1 о £ ? гк-гс
где Хк = —-----о-й----2 ~ ^к! hK =---------.
v* COS2 0к.а гс
Боковое угловое отклонение Епя точки падения равно нулю, так
как траектория полета плоская. Для определения полных координат
Фа, Еа (рис. 4.26) используют матричные выражения координат точ-
ки падения в абсолютной основной земной системе координат и в
абсолютной системе координат участка баллистического полета:
4ЖСаТ = ^aMa7Va]Trc,
(4.174)
X6.a^6.a26.a = [T'n.aMi.aMi.a] гс,
167
Рис. 4.26. Определение полных координат Фа и Ей
где L^Ma,Na — проекции единичного вектора г^, направленного
по радиусу-вектору гс точки падения, на оси абсолютной основ-
ной земной системы координат La = sin0acosEa, Ма = cos^a,
Na = — sin Фа sin Ea; Ln.a, Мъа — проекции единичного векто-
ра на оси абсолютной системы координат участка баллистического
полета Ln.a = sin Фп.а, Мп а = cos#n.a, Mi.a = 0.
Эти матричные выражения связаны между собой следующим
образом:
[LaMaNaY = A [Ln.aMn.aNn.a]T. (4.175)
Координаты точки падения в относительной основной земной си-
стеме координат Ax^y^ZQ выражаются следующим матричным соот-
ношением:
[^С)?4С)4С)]Т = [LCMCNCY гс, (4.176)
где Lc, Мс, Nc — проекции единичного вектора г^, направленного
по радиусу-вектору гс точки падения, на оси относительной основ-
ной земной системы координат: Lc = sin^ccosE'c, Мс = созФс,
Nc = — sin Фс sin Ес.
Используя соотношения (4.174) и (4.176), запишем
[LCMCNC]T = Х.а.о [Ьама^]т . (4.177)
Время полета tc от точки старта до точки падения
1с — Т’к ( 81 + 82) ,
(4.178)
168
31 = ^- Рк + 7к; б2 = ~ Рс + 7с;
где
□ . l-2v* _ . 1 —2v*
р„ = arcsm---------; р. = arcsin---------;
к е е
yK = ecospK; yc = ecospc;
тк = (гк/8 Ло(1 - V*)3); v* = Vc2rc/2 л0-
Сферические линейные координаты Dc и Zc на Земле радиу-
са Rn
Dc = Rn(Pc, Zc = -RNEcsm<£c. (4.179)
Из анализа зависимостей (4.175), (4.177) и (4.179) следует, что
координаты точки падения Dc и Zc являются функциями параметров
гк, А. а, ^к.а’ ^к’ а’ Хк.а, Айв общем виде записываются так:
Dc — Dc (гк, /к.а? а’ ®к.а? Хк.а> А) >
(4.180)
Zc — Zc (Ло /к.а? ^к.а’ ®к.а» Хк.а? ^к) •
Для определения баллистических производных осуществим
дифференцирование уравнений (4.179). При этом для удобства обо-
значим буквой q переменные (параметры движения), по которым
будем вести дифференцирование, тогда
dD _ D ЗФС
dq N dq
dZ „ (дЕс . 8ФС
— = -Rn —— sin#c + Ec-^—cos£c
dq \ oq oq
Согласно выражениям (4.175) и (4.177), получим
1 дМс
дФс
169
Производную дФпл/dq находим на основе зависимости (4.174).
Она принимает вид
дФп.а
dq
2 Фп.а
COS ——
____________2
. Фп.а . q
Хк tg —------tg 0ка
/ . Фп.а
QhK + 2аек.а tg7T
dq dq cos2 0ка
&Хк . 2 Фп.а
w‘g ”2”
Эх* 1 dv* <Э0,
где ~я~ = ~~<—?2-----“л- cos 0к а “ 2
dq (v*)2cos3 0ка \ dq
'к.а
'к.а
. ft \ dhK
sin 0к.а - ——;
C/Q / dq
'к.а
1
dv*K = y^_d7\. dhK = drK
dq VK dq 2 Яр dq ’ dq rcdq
Q __
Производная — А определяется выражением
Ax = -A_x^ + _Lj& . " -
dq df^ dq d Ij,., dq >,, dq
Q _
Производная -z-A, входящая в соотношение (4.181), равна
d == _ d dtc
-A- — 777“ A-o.o.aT-,
oq otc oq
d §i d §2 \
W +W/
dtc dtK
где n- = Ъ- + Tk
dq oq
+ ( Si + 82);
dq
ddK
dq
3
2Tk
/ 1 dv*
x----------+
\ 1 - vj dq
1 drK
rK dq
d?>2
dq
d5i
dq
dv*
ecos PK dq
(1 + esin pK);
2v*
Vc2ecos pK
(1 + esin Pc)
no drK
rl dq
Следовательно, зная частные производные drK/dq, dfK.a/dq,
dt^ Jdq, dVK/dq, d^K.a/dq, dx^/dq, легко рассчитать баллисти-
ческие производные по приведенным аналитическим зависимостям.
170
На практике широкое применение нашли баллистические произ-
водные, представляющие собой частные производные от линейных
сферических координат точки падения по прямоугольным
координатам. Их можно получить, используя связь между пара-
метрами движения в абсолютной основной земной системе коор-
динат х^а7,?/о.а,^о.а, Vyo^vzoa и параметрами гк,/к.а, £ка,14,
®к.а? Хк.а-
Основное преимущество аналитического способа по сравнению
с численными сводится к сокращению затрат машинного времени,
потребного для реализации алгоритма расчета баллистических про-
изводных. Однако аналитический способ не лишен недостатков. Су-
щественный недостаток этого способа связан с ошибками, возникаю-
щими из-за недостаточно точной модели кеплерова движения. Кроме
того, аналитические зависимости, используемые для расчета балли-
стических производных, громоздки.
Выбор того или иного метода осуществляется, прежде всего, ис-
ходя из соображений обеспечения требуемой точности вычислений,
а при одинаковой точности (численные методы) — из соображений
удобства реализации.
Г л а в а 5. СИНТЕЗ ПРОГРАММ УПРАВЛЕНИЯ
ДВИЖЕНИЕМ БР НА ВОСХОДЯЩЕМ УЧАСТКЕ
ТРАЕКТОРИИ*
5.1. Требования, предъявляемые к программам управления
и оптимизация их модельных структур
В приведенных ранее уравнениях, описывающих движение БР
на АУТ, вектор тяги как его модуль, так и ориентация, определяе-
мая углами тангажа и рыскания, остаются неопределенными в силу
отсутствия связи (правила вычисления) с конечными условиями, со-
ответствующими движению по попадающей траектории.
С физической точки зрения задание ориентации вектора тяги дви-
гательной установки, жестко связанной с корпусом ракеты, и значе-
ния тяги в функции времени эквивалентно заданию формы и пара-
метров конца АУТ.
* При написании главы частично использованы результаты исследований
С.В. Беневольского.
171
Поскольку ориентация БР в полете осуществляется в начальной
стартовой системе координат, углы положения осей связанной СК от-
носительно ССК совместно с величиной \т\ и должны определять
программу управления движением БР на АУТ.
Поскольку протяженность АУТ такова, что БР, по крайней ме-
ре дальнего действия, за это время осуществляет полет как на атмо-
сферном, так и безатмосферном участках, это обстоятельство нахо-
дит отражение в структуре и типе реализуемых программ на каждом
из указанных участков.
На начальном работает только первая ступень БР, что дает осно-
вание назвать программу движения БР на атмосферном восходящем
участке полета «программой движения первой ступени». Для нее
обычно принимается y(t) = 7(f) = 0 и, следовательно, возника-
ет необходимость формирования программы углового движения БР
только по углу тангажа.
От формы траектории полета зависят все важнейшие летно-
технические характеристики БР: максимальная и минимальная даль-
ность пусков, рассеивание головных частей, управляемость на АУТ и
др. Таким образом, основным фактором, определяющим форму тра-
ектории, является именно программа угла тангажа. Программой угла
тангажа принято называть закон изменения угла наклона продоль-
ной оси БР (при этом считается, что данное направление совпадает
с направлением тяги двигателя) к плоскости стартового горизонта.
Этот закон может выражать зависимость требуемого значения угла
тангажа от времени или от какого-либо другого удобного аргумента,
например, кажущейся скорости.
При выборе программы тангажа пренебрегают различием между
положением оси БР, задаваемым программой, и положением, которое
может быть реализовано в полете, т. е. считают систему управления
идеальной.
Для БР с функциональным методом наведения (см. далее) вы-
бор программы тангажа является одним из важнейших вопросов
проектирования и штатного применения. Эта задача решается при
подготовке данных на пуск и выборе опорной траектории. Заблаго-
временно выбранная программа также используется на участке пер-
вой ступени и на дотерминальном участке траектории полета второй
ступени при выведении БР, реализующей метод терминального наве-
дения. Обычно в качестве признака начала полета с использованием
172
терминального наведения применяют условие t = tTH | Н > Натм
(Натм — условная граница атмосферы на АУТ).
Выбор программы тангажа в плотных слоях атмосферы ограни-
чен многими условиями, среди которых конструктивно-баллисти-
ческие структурные требования, а также оперативно-тактические
условия использования БР. Перечислим важнейшие требования, ко-
торые учитываются при проектировании и планировании примене-
ния БР [5, ПО].
Первым из них является условие вертикального старта.
Необходимость обеспечения этого требования вызвана просто-
той и надежностью реализации данного типа старта.
В начале полета энерговооруженность БР минимальна потому,
что масса максимальна (топливо еще не израсходовано), а двигатель-
ная установка только выходит на рабочий режим. Поэтому необходи-
мо обеспечить вертикальный полет до полного набора тяги. При этом
существует реальная угроза опрокидывания БР.
В процессе набора скорости такая полетная характеристика, как
маневренность, постоянно ухудшается. Последнее означает, что чем
позже начинается разворот вектора скорости в направлении, обеспе-
чивающем попадание в цель, тем больше энергии будет затрачено на
реализацию этого маневра. Поэтому продолжительность вертикаль-
ного участка выбирается по возможности малой. Минимально до-
пустимая продолжительность вертикального полета, определяемая
условиями безопасности старта, обычно задается в качестве исход-
ных данных.
При движении в плотных слоях атмосферы полетные характе-
ристики в значительной мере зависят от аэродинамических харак-
теристик БР. Последние претерпевают существенные изменения на
начальном участке полета при достижении скорости, близкой к ско-
рости звука (явление «волнового кризиса»). При резком возраста-
нии частной производной от подъемной силы по углу атаки на этом
участке возникает угроза потери устойчивости. Для предотвращения
этой опасности требуется, чтобы к указанному моменту программа
тангажа обеспечивала полет с практически нулевым углом атаки.
После достижения БР сверхзвуковой скорости аэродинамиче-
ские характеристики становятся более стабильными, но БР подвер-
гается воздействию большого скоростного напора. В результате да-
же при небольших углах атаки возникают значительные поперечные
перегрузки. Это увеличивает нагрузку на исполнительные органы
173
системы управления. Поэтому при полете на сверхзвуковых и гипер-
звуковых скоростях необходимо продолжать движение с программой
тангажа, обеспечивающей близкие к нулю углы атаки.
Решение рассматриваемой задачи, как правило, осуществляет-
ся в условиях, когда предварительный выбор программы уже осу-
ществлен, т. е. уже известны упомянутые значения углов атаки на
начальном участке полета, которые обеспечивают управляемость и
устойчивость полета с учетом конструктивных ограничений по на-
грузкам на корпус, нагреву и т. п. Поэтому можно считать заданным
диапазон допустимых (с точки зрения выполнения конструктивных
ограничений) углов атаки на всем протяжении АУТ.
Таким образом, практически весь комплекс требований к про-
грамме тангажа, перечисленных выше, может быть формализован
путем задания ограничений
| а| < £i при Уотн < &азв,
С^ДОП ~ < (5*1)
I а| < е2 при (Уотн fca3B) П (Н Натм),
где Натм — высота снятия ограничения; как правило, Ei пример-
но на порядок превышает е2. Строго говоря, эти ограничения ка-
саются полного угла атаки, но на участке полета, соответствующем
действию нижнего из условий (5.1), программа рыскания, задающая
характер бокового движения, выбирается постоянной (\|/ = const,
часто у = 0), чтобы обеспечить при идеальной работе системы ста-
билизации движение с нулевым углом скольжения. Далее будем рас-
сматривать способы удовлетворения указанных ограничений приме-
нительно к обычному углу атаки, полагая, что этого достаточно.
Физический смысл коэффициента к в (5.1) понять легко: слиш-
ком поздно было бы учитывать явление «волнового кризиса» после
того, как он наступил. Кроме того, необходимо предусмотреть воз-
действие возмущающих факторов, неизбежно приводящих в полете
к отклонениям параметров вращательного движения от расчетных.
Поэтому в ограничения (5.1) и принято вводить рассматриваемый
эмпирический коэффициент к, обеспечивающий упреждение фикса-
ции момента наступления «волнового кризиса» в полете (приемлемо
к = 0,8 ~ 0,9, причем для твердотопливных БР предпочтительнее
задать к = 0,9).
Еще один момент требует пояснения в очень простых внешне
выражениях (5.1). Если для моделирования геофизических условий
174
полета используют математическую модель атмосферы, отличную
от так называемой изотермической атмосферы, то скорость звука
является функцией высоты. Однако практически нет необходимо-
сти в столь строгом учете упомянутого обстоятельства, потому что
зависимостью скорости звука от высоты в диапазоне высот, на ко-
торых обычно достигается скорость звука, можно пренебречь с уче-
том задания коэффициента к. В силу этого можно ввести параметр
1/тр = /с*азв и считать его постоянным для всех траекторий, при-
надлежащих трубке расчетных траекторий. Тогда ограничения (5.1)
трансформируются в ограничения
\а\ < £1 при Уотн < Кр,
С^ДОП ~ < (5«2)
|а| < £2 При (14)тн Кр) А (Н ^атм) •
Такая совершенно незначительная трансформация позволяет
весьма существенно упростить математическую постановку задачи
выбора программы тангажа, так как условия (5.2) включают только
явно выраженные ограничения.
Ограничения угловой скорости разворота БР по углу тангажа,
обусловленные особенностями работы системы стабилизации и воз-
можностями исполнительных органов СУ, задаются обычно в явном
виде:
I »l «L- (5-3)
где j — номер ступени, т. е. для каждой ступени задается своя пре-
дельно допустимая угловая скорость разворота по тангажу.
С учетом того, что в момент разделения (речь пока идет об отде-
лении второй ступени от первой) действует второе из ограничений
(5.2), можно считать, что по углу атаки предусматриваются вполне
благоприятные условия разделения ступеней. Необходимость малых
угловых скоростей для безударного разделения также косвенно пре-
дусматривается этим условием, так как его реализация физически
возможна только при очень медленном развороте БР по тангажу. Тре-
буется дополнительно учесть только один фактор: в момент разде-
ления аэродинамические силы должны быть малы. Рассмотренный
фактор учитывают с помощью ограничений на скоростной напор
q < Ять* при Ф(г) = Ф*(гр). (5.4)
175
Здесь Ф — управляющий функционал, с помощью которого фикси-
руется момент разделения ступеней (звездочкой помечено соответ-
ствующее расчетное значение этого функционала). В простейшем
случае
t
Ф(() = /™Сфг.
to
т. е. фиксируется момент выгорания рабочих запасов топлива.
Конкретное численное значение допустимых граничных значе-
ний скоростного напора gmax определяется на этапе проектирования.
Задание ограничений, связанных с обеспечением безопасного
разделения последующих ступеней, аналогично условию (5.4) с до-
полнением его условием
I й| йтах при Ф (t) = Ф* (tp) (5.5)
либо оно вообще не требуется, так как разделение происходит прак-
тически в разреженных слоях атмосферы. Условие (5.5) выражает
требование предельного уменьшения угловой скорости разворота БР,
чтобы избежать в момент разделения ступеней дополнительных (вы-
званных центробежными силами) нагрузок на направляющих эле-
ментах механизма разделения и уменьшить угрозу соударения сту-
пени с отделившейся частью вследствие инерции вращения послед-
ней. Необходимость такой дополнительной меры предосторожности
зависит от конкретной реализации схемы разделения ступеней.
Значение параметров входа ГЧ в атмосферу должны удовлетво-
рять области условий входа, допустимых с точки зрения прочности,
температурных режимов и условий работы автоматики. Эти условия
задаются разработчиком в форме замкнутого многоугольника.
Обозначим через {Д} область допустимых условий входа. В
исходных данных эта область задается в форме последовательно-
сти пар координат точек определяющих ее вершины (14, — 0$) для
i = 1,..., N (N — количество вершин многоугольника). Координа-
ты вершин задаются строго в порядке их обхода, чем обеспечивается
однозначное задание конфигурации области. Условие соблюдения
всех конструктивных ограничений на полет ГЧ принимает вид
(V, Qi) е {Д}.
(5.6)
176
Обеспечение максимальной дальности часто является одним из
важнейших требований, предъявляемых к программе угла тангажа.
Однако из перечисленных условий следует, что в плотных слоях ат-
мосферы выбор программы для увеличения дальности полета в зна-
чительной степени ограничен. Более рациональный подход к реше-
нию этой задачи состоит в выборе программы максимальной даль-
ности на внеатмосферной части АУТ.
Кроме изложенных отметим еще два требования, иногда относя-
щиеся к числу дополнительных, но которые не становятся от этого
менее значимыми.
Речь идет об обеспечении непрерывности программных функ-
ций и ограниченности их вторых производных. Разрыв программных
функций противоречит их физическому смыслу, а их первых произ-
водных — соответствует возникновению бесконечно больших значе-
ний управляющих моментов, что недопустимо.
Ограниченность вторых производных программных функций
диктуется возможностями органов управления, максимальные от-
клонения которых отвечают максимальным значениям производных.
На остальных участках полета условия (5.3) формализуют, учи-
тывая ограниченные возможности рулевого привода при выполне-
нии угловых маневров, связанных с управлением крутизной траекто-
рий промежуточных дальностей (особенно это характерно для БРДД
без отсечки тяги).
Второе из дополнительных требований формулируется как вы-
полнение условия проведения стрельб на любую из допустимых даль-
ностей с одной или минимальным количеством программ. Для БР,
обладающих широким диапазоном дальностей стрельбы, невозмож-
но выбрать одну универсальную программу. Это делает необходи-
мым разбиение всего диапазона на несколько более мелких. Но при
этом число диапазонов должно быть минимальным.
Анализ общей структуры программы углового движения БР на
восходящем участке траектории может быть осуществлен на осно-
ве решения задачи оптимального управления с учетом ограничений,
определяемых технически реализуемыми возможностями конкрет-
ной системы.
Следует иметь в виду, что в точной постановке задача выбора
оптимальной программы тангажа БР очень сложна и не имеет ана-
литического решения. Получение же частных решений не обеспе-
чивает желаемой наглядности и не позволяет сделать необходимые
обобщения.
177
Поэтому с учетом задачи анализа общей структуры програм-
мы вполне допустимо ограничиться рассмотрением упрощенного
модельного варианта, ориентируясь на решения, приведенные в
[61,97, 107, ИЗ].
Наличие вертикального старта БР и участка гравитационного
разворота, «искривляющего» траекторию, обусловлены оговорен-
ными выше ограничениями и техническими характеристиками, дик-
тующими выбор соответствующих режимов полета.
Если активный участок достаточно продолжителен и в его завер-
шающей части после выхода из области интенсивного аэродинами-
ческого воздействия допустимо дальнейшее движение с ненулевыми
углами атаки, возникает естественный вопрос, как оптимально сфор-
мировать эту часть программы угла тангажа.
Принципиальный ответ на этот вопрос дает решение задачи, от-
вечающей упрощенной модели движения, удовлетворяющей следу-
ющим предположениям:
— «остаточная атмосфера» не оказывает существенного влияния
на движение БР;
— поле тяготения является однородным;
— суточное вращение Земли не учитывается.
Если дальность АУТ не превышает 200 км, поле тяготения можно
считать постоянным. В этом случае удобнее пользоваться системой
уравнений вида
dV
т (<) — = Р (/г) - т («) g0 sin 0Я,
at
dh TZ . Л
— = Vsm ен,
at
dx т/ a
— = V COS 0Я,
dt
&н = 0яПр (t)
(5.7)
Выбор приближенной программы движения управляемой БР на
АУТ является одной из частных задач баллистического проектиро-
вания. Вообще говоря, под программой может пониматься одна из
зависимостей: O(t), 0(t) или a(t). Для баллистического проекти-
рования достаточно ограничиться приближенным решением задачи
выбора оптимальной программы по тангажу.
Проиллюстрируем соответствующий подход на основе примене-
ния методов классического вариационного исчисления.
178
Примем упрощающие предположения, соответствующие изло-
женным выше, а именно: поле тяготения постоянно; суточное враще-
ние Земли не учитывается; аэродинамические силы пренебрежимо
малы по сравнению с тягой двигателей; расход топлива является из-
вестной функцией времени (в частности, расход топлива может быть
постоянным).
Движение центра масс БР рассматривается в стартовой системе
координат, при этом система уравнений движения на АУТ имеет вид
• Р
Vx = — cos v,
т
• р • Л
< ^ = -sin^-£o, (5.8)
У = Vy, X = Vx,
< Ф = $пр (0 •
Известно, что при постоянном запасе топлива на борту скорость
VK в конце АУТ зависит от программы изменения угла тангажа по
времени полета 0(f). Следовательно, задача отыскания оптималь-
ной программы по тангажу, обеспечивающей максимально возмож-
ную скорость Ук, является типично вариационной задачей. При ее ре-
шении прежде всего необходимо выбрать выражение для основного
функционала, минимум которого обеспечивает искомая функция.
Выберем в качестве соответствующего функционала величину
(—Ук2), которая может быть записана в интегральной форме так:
£/с tk
J = -К2 = - 12 (vxVx + VyVy) dt = I Fdt. (5.9)
0 0
Сформулируем задачу следующим образом: найти закон регули-
рования угла тангажа О, обеспечивающий экстремум скорости по-
лета БР в конце АУТ при условии, что на БР действуют только тяга
двигателей и сила притяжения Земли.
В качестве дополнительных связей, отражающих систему сил,
действующих на БР в полете, используем уравнения системы в
виде р
Ф1 = Vx-----cos О, (5.10)
т
$2 = Vy - — Sin O + g0- (5.11)
т
179
Запишем выражение для подынтегральной функции вспомога-
тельного функционала
G = F + Х1(£)Ф1 + ^2(0^2-
(5.12)
В развернутом виде подынтегральная функция запишется так:
G = -2 (1414 + V^) + Xi (t) (vx - cos fl) +
+ X2(t) ( - — sin d + g0. ] (5.13)
Неизвестными функциями являются Vx, Vy, О, и fa, а отно-
P
шение — согласно допущению о постоянстве расхода топлива пред-
т
ставляет собой известную функцию времени.
Вычислим производные, необходимые для составления уравне-
ний Эйлера—Лагранжа,
dG
dVx
dG
dVy
-2VX- = —2VX + Xx; 4 (-^4) = -2K + Хц
dVx dt \dVj
SF = -2V»+ 57 (жП = “2l?»+
dVy dt \dVy/
dG P ,, . n , dG
—— = — ( Xi sin 0 — X2 cos 0); —- = 0.
<90 mv ’ dQ
Уравнения для определения X$ имеют вид
Xi = 0, (5.14)
Х2 = 0, (5.15)
Xi sin 1З — Х2 cos 1З = 0. (5.16)
Решая уравнения (5.14) — (5.16), получим
Xi = G; Х2 = С2; tg fl = = tg а0- (5.17)
Л1 С1
Таким образом, оптимальная программа тангажа предполагает,
что угол наклона оси БР к горизонту остается постоянным на всем
АУТ. Величина О* = const определяется из граничных условий.
180
Таким образом, на основании решения рассмотренной вариаци-
онной задачи получен классический, лежащий в основе построения
любой программы управления движением на АУТ БР, вывод о том,
что на рассматриваемом этапе движение должно осуществляться с
постоянным углом тангажа.
«Модельность» задачи в данном случае не требует коррекции
данного вывода при построении реальных программ, поскольку на
высотах порядка 60 км действие атмосферы, как отмечалось, про-
является незначительно, а поле тяготения мало отличается от одно-
родного.
Для выявления общих закономерностей синтеза программы для
внеатмосферного участка несколько расширим постановку ранее
рассмотренной задачи, вспомнив, что программа управления дви-
жением БР на АУТ не ограничивается только программированием
изменения угла тангажа.
При построении математической модели движения примем сле-
дующие допущения, несколько отличающиеся от использованных
ранее:
• движение БР осуществляется в центральном гравитационном
поле;
• вращение Земли, как и ранее, не учитывается;
• влияние атмосферы отсутствует;
• сила тяги совпадает с продольной осью ракеты и является ли-
нейной функцией секундного массового расхода топлива.
Поскольку под программой движения понимают зависимости,
определяющие закон целенаправленного изменения модуля тяги и
ориентации ее вектора относительно базовой системы координат,
в качестве последней удобно выбрать стартовую. В силу неучета
вращения Земли выбранную СК следует рассматривать как инерци-
альную.
Матрица направляющих косинусов между связанной и стартовой
СК имеет вид
А ф А о А/у —
cos О cos
sin О
— cos О sin
sin sin 7 — sin О cos cos 7
cos О cos 7
cos sin 7 + sin $ sin cos 7
sin cos 7 + sin 0 cos sin 7
— cos 0 sin 7
cos cos 7 — sin 0 sin \|/ sin 7
(5.18)
181
Очевидно, что ориентация вектора тяги в стартовой СК не зави-
сит от угла крена 7, что дает основание положить в (5.18) 7 = 0.
Тогда, обозначив через х\ = х, = у. х% — г, х± = ii = i,
^5 = ^2 = У, ^6 = = г и учитывая, что Р направлена по оси ОХ
связанной СК, получим
d . d Р л0
— XI = X] — Х4 = — COS v COS Ш------^-Xi;
dt dt m r6
d . d P . Jig / __ ч /с
37^2 = y; 37^5 =------Sin О cos V-----т (x2 + Я3); 0.19)
dt dt m r6
d . d P . л0
—x3 = г; — хв = - sin V-------7^x3,
dt dt m r'5
где P = И4ф|т|; г = ^x\ + (R3 + xz)2 + X3; m = m0 - \m\t.
В рамках обсуждаемой задачи должно быть введено ограничение
вида
|^|min |^| |^|шах? (5.20)
отражающее технические возможности ДУ БР.
При этом следует иметь в виду, что предельным значением | т | min
может быть нулевое, соответствующее «обнулению» тяги двигателя.
В качестве функций управления, определяющих программное дви-
жение ракеты выступают Onp(t), VnpW и l^lnp(i), т.е.
и = [£(£), y(f),|m|(f)]T. (5.21)
В качестве минимизируемого критерия качества управления примем
значение
J = тк, (5.22)
где тк = то — |m|tfc, что отражает минимизацию энергетических
затрат на выведение полезной нагрузки заданной массы.
Таким образом, задача сводится к выбору оптимального управле-
ния (5.21) для динамической системы, состояние которой описыва-
ется уравнениями вида (5.19) при наложенном ограничении (5.20) с
экстремумом критерия вида (5.22). В такой постановке рассматрива-
емая задача представляет собой задачу Майера на условный экстре-
мум с дифференциальными связями в виде уравнений движения, ре-
шение которой методами классического вариационного исчисления
связано с определенными трудностями.
182
Наиболее продуктивно эти трудности могут быть преодолены
при применении принципа максимума Л. С. Понтрягина.
Используя формализованную процедуру решения [113], запишем
выражение гамильтониана для системы (5.19) в виде
Н = \|Л । — cos О cos Ш —
\ т г6
~ V2
Р . Ло
— sin О cos у Ч—т (Яз + Хъ)
т г6
IР . л0 \
+ у3 — sin у Ч—Тх$ +
\ т г6 )
+ у4х4 + у5х5 + убх6 - у7ш, (5.23)
где у = [ ур у2, Жз> Жб> V?]T — вектор сопряженных
(вспомогательных) переменных.
Определяем вектор сопряженных переменных на основе извест-
ного соотношения
dy- _ дН
dt dxi ’
(г = 1,... ,п),
(5.24)
г /т-i \ л 3 л0
[ Vi^i + V2 (-йз + ®г) + Жз^з]
- [ + V2 (#з + Х2) + Уз^з] х
(5.25)
где п = 7. Тогда
Vi = - V4-
V2 = - 4%,
Уз = - V6>
До
V4= Vipr-
Ло
V5 = V273-
х-^Г (д3 + х2),
л0 г / т-» \ 1 3 Ло
Уб = Уз^Г ~ + V2 (Лз + Х2) + УИз^з] ~^~х3,
Р
у7 = —2 ( Vi cos cos V — V2 s^n cos V + V3 s^n V) •
Анализ гамильтониана свидетельствует, что его структура позво-
ляет представить Н в виде
н = Я1 (x(f), u(i), v(0) + Н2 (х(*)> V(0) > (5-26)
где Hi — часть гамильтониана, зависящая от управления.
183
Очевидно, что
Р Р
Hi = Wi — cos О cos Ш — — sin О cos Ш +
тп тп
Р
+ \|/3—sin у — \|/7т. (5.27)
Из условия абсолютного максимума гамильтониана по управлению
нетрудно получить выражения, характеризующие ориентацию век-
тора тяги (программ тангажа и рыскания) в стартовой системе коор-
динат,
ая, ^ = о.
дЪ ' ду
После соответствующих преобразований, окончательно запишем
tg О = —
tg ш = —- cos О.
Vi
(5.28)
(5.29)
Исследование гамильтониана по переменной \тп\ сложнее в силу
введенного ограничения (5.20).
Поскольку при этом все переменные, кроме |т|, можно считать
фиксированными, то, как вытекает из структуры Hi и неравенства
(5.20),
Г Птах при 8(0 > 0,
I Hmin при 8(f) < 0,
(5.30)
где 8(f) — функция переключения, определяемая соотношением
8(f) = W3$m х( cos О cos \|/-
— \|/2sin О cos \|/ + \|/3 sin \|/) — \|/7- (5.31)
Момент переключения тяги с режима максимальной на мини-
мальную (нулевую) тягу или наоборот определяется из условия
8(f) = 0.
Тогда, подставив в (5.31) значения \|/2 и \|/3, полученные из
(5.25), после преобразований будем иметь
^эфШ-1 (cos Ocos \|/)-1 - Х7 = 0. (5.32)
184
Условие (5.30) позволяет определить оптимальный режим рабо-
ты ДУ БР только в неособом случае, когда 8(f) / 0. Значение \т\
будет находиться внутри допустимого интервала изменения секунд-
ного массового расхода, определяемого (5.30), при 8(f) = 0 только
на нулевом интервале времени. В случае, когда 8(f) = 0 на нену-
левом интервале [113], минимизируемый функционал не зависит от
\т\, и решение не является единственным.
Таким образом, оптимальная траектория движения БР вне плот-
ных слоев атмосферы с точки зрения энергетических затрат может
состоять не более чем из трех участков, чередующихся в такой по-
следовательности: максимальная, нулевая, максимальная.
Из полученных условий оптимального управления следует, что в
принципе возможна реализация двух типов программ движения БР
на АУТ:
• программы максимальной непрерывной тяги (P(t) = Ртах);
• программы, состоящей из двух участков максимальной тяги,
разделенных временной паузой.
При этом в обоих случаях ориентация вектора тяги подчиняется
одним и тем же программным соотношениям (5.29). Для БР наибо-
лее широкое применение нашел первый вид программы движения
как наиболее простой, надежный и рассчитанный на относительно
малые интервалы атмосферного участка движения.
Однако для высоких траекторий выведения он становится энер-
гетически невыгодным. В этом смысле предпочтительным считается
второй вид программы, соответствующий схеме выведения полезной
нагрузки «с дожитом топлива», которой соответствует траектория
АУТ с пунктирным участком.
Особенно широкое применение данная схема получила при упра-
влении движением ракет-носителей космических аппаратов. Однако
она была использована и при синтезе программ управления движе-
нием БР комплексов оперативно-тактического назначения. Приме-
ром в какой-то степени может служить БР «Першинг-2».
Для относительно небольших по протяженности участков АУТ
БР вполне допустимо дальнейшее упрощение модели, связанное с
принятием допущения об однородном гравитационном поле, как это
было сделано в ранее рассмотренном примере. В этом случае систе-
185
ма сопряженных переменных примет вид
V1 = - V4> V4 = О,
V2 = - V5> V5 = °, (5.33)
V3 = -V6, V6 = °-
Уравнение для определения \|/7 можно не учитывать, поскольку вид
программ тангажа и рыскания от него не зависит.
Система вида (5.33) допускает возможность получения аналити-
ческого решения.
Нетрудно показать [113], что в этом случае имеем
tg О = а — bt,
z ч (5.34)
tg V — \~с + dt) cos О,
где а, Ь, с и d — постоянные коэффициенты, выраженные через на-
чальные значения компонентов вектора сопряженных переменных.
Их отыскание эквивалентно решению краевой задачи для систе-
мы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих
движение БР и системы сопряженных переменных.
5.2. Особенности и различия в выборе программ движения БР
на атмосферном и внеатмосферном участках АУТ
Полученные выше результаты дают основание для краткого ре-
зюме, касающегося схем выбора программ движения на атмосфер-
ном и внеатмосферном участках АУТ.
Поскольку на атмосферном участке АУТ активно работает толь-
ко первая ступень БР, то программу движения на этом участке часто
называют, как уже отмечалось, программой движения первой ступе-
ни. Возможности вариаций параметров программного движения на
этом участке весьма ограничены жесткими требованиями, сформу-
лированными выше.
На этой части АУТ значение тяги ДУ выбирается исходя, прежде
всего, из обеспечения допустимых значений скоростного напора и
нагрева, а программа по углу рыскания принимается тождественно
равной нулю (\|/(^) — 0).
Таким образом, выбор программы движения БР на атмосферной
части АУТ сводится к следующей традиционной и в достаточной сте-
пени тривиальной процедуре.
186
1. Осуществляется расчет вертикального участка траектории до
некоторого момента ti. Это время можно варьировать при выборе
параметров траектории движения и поэтому его рассматривают как
один из свободных параметров.
2. Расчет траектории от момента ti продолжается при условии,
что ненулевые углы атаки а могут допускаться только до значения
числа Маха, не превышающего 0,9. После этого должно выполняться
требование а « 0 до момента, когда влияние атмосферы, выражаю-
щееся через скоростной напор д, не окажется малым (q ддоп).
Такому условию удовлетворяет зависимость вида
а(«) = 4 anpea(tl-t) - 1] , (5.35)
где апр — предельное значение угла атаки на дозвуковом участке
полета; а — некоторый постоянный коэффициент для рассматрива-
емого типа БР.
Заметим, что траектория наиболее чувствительна к величине
апр, которая и рассматривается как второй параметр семейства про-
грамм движения.
Для получения связи между аПр и Отт необходимо исследовать
функцию (5.35) на экстремум, т. е. найти
= 4anpea(tl-t) + 4anpea(tl_f)aea(tl_t).
da
Приравняв — = 0, получим в результате
dt
1п2
^экстр — 11 Н 1 (5.36)
а
т. е. момент достижения min а зависит от времени завершения конца
вертикального участка полета 11 и параметра а. При замене е61^1 в
выражении (5.35) ее значением при экстремальном t (т. е. £Экстр) най-
дем, что при ea^1-t,KCTp) = 0, 5, Omin = — апр. Таким образом, кри-
вая, задающая график изменения угла а, довольно быстро достига-
ет своего минимального значения, затем столь же быстро возрастает,
а по мере увеличения времени — медленнее, стремясь к нулю при
t ос.
Для одноступенчатых БР, АУТ которых целиком проходят в атмо-
сфере, семейство программ изменения угла тангажа, следовательно,
зависит только от двух параметров, т. е. является двухпараметриче-
ским.
187
Рис. 5.1. Программа угла тангажа для одноступенчатой БР и график изме-
нения угла атаки
При составлении программного уравнения предполагаем, что
продольная ось ракеты идеально выполняет намеченные програм-
мой угловые повороты. Типичные графики Опр(£) и оспр(^) для ак-
тивного участка траектории при вертикальном старте одноступен-
чатой баллистической ракеты дальнего действия представлены на
рис. 5.1 [4].
На первом участке 0 < t < полета ракеты Опр = 90° = const.
На втором участке программы (ti < t < t'3) угол тангажа плавно из-
меняется от 90° до значения Опрь соответствующего заданной даль-
ности хс, причем угол а здесь меняется согласно (5.35); время t2 ха-
рактеризует момент достижения чисел М = 0,7... 0,8. Третий участок
программы (£з < t < tk) — это участок движения ракеты в относи-
тельно разреженных слоях атмосферы при небольших q = рУ2/2,
когда можно принять а > 0, необходимый для обеспечения програм-
мы движения с Onpfc = const. В интервале времени t'3 — t3 происхо-
дит переход программы на прямолинейные участки с углами Опрь,
обеспечивающими диапазон дальностей zCmin • • • zCmax-
Программа Onp(t) для криволинейного участка траектории хоро-
шо описывается уравнением
МО = 90° + (90° - dnpfc)(£2 - 2t), (5.37)
188
где t =---------относительное (безразмерное) время полета раке-
h —
ты на втором (криволинейном) участке программы, которое меняется
от нуля до единицы.
При движении БР на безатмосферном участке АУТ при \|/ = О
программа угла тангажа может быть аппроксимирована линейными
функциями или даже выбрана из класса линейных функций, что ча-
сто и осуществляется на практике.
Определение конкретных числовых значений функций, которые
зависят от конкретно поставленной перед БР задачи, связанной с по-
паданием ГЧ в цель, требует решения краевой задачи. Решение па-
раметрических краевых задач будет рассмотрено позже.
5.3. Программы максимальной дальности
Проблемы синтеза программ максимальной дальности уже бы-
ли частично затронуты в 5.1. Выбор критерия в форме (5.9) по су-
ществу предопределял соответствующую постановку задачи. Одна-
ко ее решение было ориентировано на этап баллистического проек-
тирования. Здесь же предполагается иной, несколько более высокий
уровень строгости постановки задачи. Анализ начнем, как и ранее, с
обсуждения модельной задачи оптимального управления, позволяю-
щей оценить «предел возможного», к которому следует стремиться
при решении практических задач.
Предположим отсутствие заметного влияния атмосферы на дви-
жение БР, постоянство ускорения силы тяжести, а поверхность Земли
на интервале АУТ будем считать плоской.
Тогда, приняв обозначения xi = х, х^ = ii = i, х3 = у,
х4 = х3 = у, х$ = т, запишем исходную систему состояния в виде
d
~ТХ1 = ^2,
at
d ^эф |m|
— Х2 =--------COS V,
dt Х5
d
dt
d И^фН .
—x4 =------1--sin 0 - g,
dt x5
d
—x5 = -m;
dt
(5.38)
189
для системы заданы начальные условия (НУ) в виде
(г = 1,...,5); (5.39)
конечные условия
яз(*к) = 0, x5(tK) = тк, (5.40)
где tK — Т — полное полетное время по рассматриваемой ветви тра-
ектории.
Кроме того, введено ограничение 0 < \т\ |m|max , которое в
совокупности с тривиальным соотношением
sin2 О + cos2 0=1 (5.41)
определяет область допустимых управлений u = [cos О, sin О, |m|]T.
Требуется найти такое управление u(t), при котором бы дости-
галась максимальная дальность полета zi(T), причем полное время
Т и составляющие скорости в момент достижения цели полета на
рассматриваемом интервале движения заранее не фиксируются.
Как и ранее, гамильтониан представим в виде суммы двух соста-
вляющих:
Н (x(t), u(t), v(t)) = Н\ (u(t), ¥(t)) + Я2 (x(t), Y(t)), (5.42)
где
Hi (u(t), y(t)) = |m| [И^эф^1 (\|/2 cos i3 + \|/4sin d) - Vs], (5-43)
Я2 (x(t), v(t)) = V1^2 + V3Z4 - V4Z5- (5.44)
Систему дифференциальных уравнений для определения соста-
вляющих вектора сопряженных переменных запишем в виде
V1 =0, Жз = О,
V2 = -V1, v4 = -v3, (5.45)
(|/5 = И/Эф|т|х5 2 ( v2 cos + V4 sin ^)-
Терминальные условия для системы сопряженных переменных
представим как
V1(T) = -1, V2(T) = 0, V4(T) = 0, (5.46)
190
где полное время полета Т, соответствующее достижению макси-
мальной дальности, может быть определено из соотношения
Я[х(Т), у(Т),и(Т)] = 0.
(5.47)
Функция Н [х(Т), у(Т), u(T)] будет достигать абсолютного мини-
мума на множестве допустимых управлений при выполнении следу-
ющих условий:
cos О =
У2
У V2 + Ч>4
(5.48)
|m| =
I | max i
°’
если
если
5(f) >0,
5(f) < 0,
(5.49)
sin 13 =-------
где функция переключения
8(f) = ^эфХ5 1 У + V4 + v5-
(5.50)
Таким образом, программа максимальной дальности полета допус-
кает, как и ранее полученная, наличие только интервалов работы ДУ
с максимальной тягой и выключенным двигателем.
Для разработки программы d(t), определяющей ориентацию
вектора тяги, проинтегрируем первые четыре уравнения сопряжен-
ной системы с учетом терминальных условий:
Vi =-1, y2 = -(T-t), \И3 = Сз, \|/4 = C3(T-t). (5.51)
Отсюда следует, что полученное решение не противоречит классиче-
скому результату, касающемуся постоянства оптимального угла тан-
гажа, поскольку
ЛН1’’ С (5.52)
cos О у2 (Т — t)
Оптимальная траектория может быть найдена в результате инте-
грирования системы дифференциальных уравнений движения с уче-
том полученного оптимального управления и значений компонент
191
вектора сопряженных переменных
d
dix'=x2’
d_x _ Жэф |m| ( 8)
dt 2 x5 y/1 + C% ’
= x4, (5.53)
d C3W^ |m| ( 8)
dtXi x5VTT^ 81
—x5 = - |m| ( 8).
Последнее уравнение сопряженной системы (5.45), определяющее
величину \|/5, легко преобразуется [107] к виду
. (5.54)
Остается исследовать нули функции переключения с помощью ее
производной
= (5.55)
Из приведенного соотношения вытекает, что 8(f) < 0, следователь-
но, сама функция 8(f) монотонно убывает и может иметь не более
одного нуля.
Для определения возможных режимов работы ДУ на интервале
[0, Т] необходимо рассмотреть две возможных ситуации, связанные
с поведением функции переключения.
Первый вариант отвечает 8(0) 8(Т) > 0. Функция переключе-
ния не меняет своего знака. При 8(t) > 0 ДУ должна работать до
окончания полета в режиме максимальной тяги. Очевидно, что при
этом располагаемого запаса топлива не хватит. Если же 8(t) < 0, то
двигатель не включается, т. е. полет невозможен. Таким образом, де-
лаем вывод, что в рамках рассматриваемой задачи данный вариант
не представляет практического интереса.
Второй вариант соответствует 8(0) 8(Т) < 0, т. е. функция пе-
реключения будет менять свой знак с плюса на минус в момент вре-
мени £к, что соответствует реализации схемы полета БР.
192
Наконец отметим, что особое управление здесь невозможно, по-
скольку 5(t) Ф 0.
Еще раз подчеркнем, что рассмотренная задача является модель-
ной. При этом все приведенные рассуждения касались только одной
ступени БР. Однако они обладают достаточной общностью и пред-
ставляют интерес с точки зрения общего подхода к синтезу программ
максимальной дальности (МД).
Применительно к практически значимым ситуациям процедура
синтеза программы МД сводится к следующему. Прежде всего от-
метим, что эта задача решается на этапе, когда БР уже создана, т. е.
известны все конструктивные, массовые и другие ее характеристики,
в том числе и выступающие в качестве ограничений.
Задача выбора программы угла тангажа подразделяется, как и ра-
нее, на две части. Сначала выбирается программа для атмосферной
части АУТ (т. е. для первой ступени), затем для внеатмосферной (для
второй ступени).
Для готовой БР значение времени tK фиксировано. Следователь-
но, варьированию может быть подвергнут только один свободный па-
раметр апр, изменение которого влияет на параметры конца АУТ.
Учитывая, что
К
0= ос + 0 = a + arctg-^, (5.56)
* X
можно считать программу в виде anp(t), удовлетворяющей предъ-
являемым требованиям; для нахождения dnp(t) следует проинтегри-
ровать систему дифференциальных уравнений движения БР.
Программу anp(t) легко перестроить в программу апр(М), кото-
рую затем аппроксимируют аналитическими зависимостями
a = - апр/(М), (5.57)
причем /(М) в свою очередь может быть представлена [113] в виде
экспоненты или параболы
,/к<ч (М — MJ(M — 0,8)2
/(М)=“ (0,8-М,)3 1 (5'58’
где а — константа, М и Mi — текущее значение числа Маха и соот-
ветствующее концу вертикального участка полета БР.
193
Используя зависимости максимально допустимых значений ско-
рости для различных высот, учитывающих необходимый уровень пе-
регрузочного и теплового режимов, устанавливают максимально до-
пустимый угол сХдоп, при котором требования к программе будут удо-
влетворяться.
Понятно, что если принимать апр разными, соблюдая условие
оспр< адоп> то значения параметров движения в конце работы первой
ступени будут отличаться, соответственно будет различаться и даль-
ность полета.
Для достижения оптимальной комбинации параметров движения
в конце интервала работы первой ступени необходимо выбирать про-
грамму изменения угла тангажа второй ступени.
При ее решении можно, как отмечалось ранее, не учитывать вли-
яние сопротивления внешней среды. Однако трудности решения все
же остаются существенными, поскольку рассматриваемый тип за-
дач ищется в классе краевых, рассмотрению которых будет посвя-
щена гл. 6.
5.4. Выбор программы движения БР с учетом характеристик
точности
К числу важных требований, предъявляемых к выбору програм-
мы тангажа, относится обеспечение минимального рассеивания не-
управляемой ГЧ у цели. Поэтому соответствующий тип программ
получил название программ минимального рассеивания. Строго го-
воря, данное название сугубо условное. Минимизировать рассеива-
ние, объективно существующий случайный процесс, невозможно.
Речь идет о выборе программы, реализующей такую траекторию,
точность полета по которой будет априори выше, чем при исполь-
зовании программ МД. При этом повышение точности полета по-
чти всегда несовместимо с достижением максимальной дальности
стрельбы. Программы МД соответствуют траекториям, относящим-
ся к классу настильных. Если для той же самой ГЧ требуется обеспе-
чить дальность меньше максимально возможной, появляется избы-
ток энергетического запаса (топлива), который можно использовать
для формирования более крутых (навесных) траекторий. Углы входа
в атмосферу ГЧ на нисходящем ПУТ будут существенно больше, а
скорость входа выше, чем для траекторий МД. На крутых траектори-
ях ошибки выбора параметров в конце АУТ, а тем более возмущения,
194
действующие при спуске в атмосфере, значительно меньше влияют
на точность полета, чем на пологих траекториях.
Поэтому полагаем, что предельная ошибка стрельбы для про-
грамм минимального рассеивания всегда меньше предельно допу-
стимой ошибки полета по траекториям максимальной дальности.
В первом приближении можно записать, что
AL = ^qn, (5.59)
raeqn = [VXK,VyK,xK,yK]T- ц’ = [ ц'4, ц*4, |Гф
Так как координаты вектора р5 зависят от выбранной программы
движения, то и продольные отклонения по дальности будут зависеть
от той же программы.
Для решения задач выбора соответствующих программ могут
быть использованы графоаналитические методы и методы перебора
параметров конца АУТ, минимизирующего значение предельного
отклонения ГЧ у цели. На практике, однако, отдается предпочтение
другому, максимально простому, способу решения.
Поскольку известно, что наиболее крутая траектория, реализуе-
мая с учетом располагаемых энергетических характеристик ракеты и
заданной дальности стрельбы, всегда оказывается траекторией наи-
меньшего рассеивания, задача сводится, по крайней мере для БРДД
(для ОТР такой путь неприменим из-за существенного возрастания
инструментальных погрешностей (см. ниже)), к выбору параметров
конца АУТ, удовлетворяющих условиям решения краевой задачи и
позволяющим получить такую наиболее крутую траекторию.
Отметим, что более крутым траекториям в конце АУТ отвеча-
ют большие перегрузки, следовательно, и большие погрешности
измерительных элементов ИНС, поэтому траектория минимального
рассеивания все же несколько ниже самой крутой. Соответствующие
ей оптимальные углы бросания 0К определяют численно на осно-
ве совместного моделирования большого количества возмущающих
факторов и ограничений.
5.5. Особенности выбора и реализации программ
движения БР с РДТТ
БР с РДТТ отличаются от ракет с ЖРД тем, что ступени таких ра-
кет являются практически камерами сгорания, в которых размещено
195
все топливо, выполненное в виде заряда. РДТТ обычно работает до
полного выгорания топлива, при этом изменение тяги обусловлено
конкретным законом горения топлива.
Это отличие приводит к появлению ряда особенностей, влияю-
щих на выбор и реализацию программ движения для ракет с РДТТ.
Они сводятся к следующему:
• интервал времени работы каждой ступени БР с РДТТ намного
меньше интервала времени работы ступени с ЖРД и не превышает,
как правило, одной минуты;
• в силу использования несущих корпусов, допустимая пере-
грузка, испытываемая БР с РДТТ, существенно выше, чем у жидкост-
ных ракет;
• регулирование тяги в полете практически отсутствует, в то вре-
мя как ее отклонение от номинала может достигать значений, при-
мерно равных 10... 15 % (на современных БР несколько меньше).
Первые две особенности влияют на выбор программы дви-
жения, последняя — на ее реализацию. Очевидно, что более прочный
корпус БР в значительной степени расширяет возможности увели-
чения апр для первой ступени и, кроме того, снимает ограничение
по углу атаки, который может быть не равным нулю ( а ^0) на всем
АУТ, за исключением тех участков, где t t\ и t = t*2 (рис. 5.2).
В ряде случаев параметр апр специально уменьшают, увеличи-
вая время разворота БР с РДТТ [113], поскольку высота конца АУТ
мала из-за его небольшой продолжительности.
Отсутствие регулируемости тяги РДТТ
и ее большой разброс в совокупности с
управлением дальностью полета за счет от-
сечки (обнуления) тяги при «наборе» функ-
ционалом заранее рассчитанного значения
делает практически невозможным исполь-
зование на БР с РДТТ временных программ
типа ОПр(^). Более предпочтительно зада-
ние программы параметрического типа Опр(дп). Последние часто
называют гибкими в отличие от временных программ, называемых
жесткими.
Задача определения границ применимости навесных и настиль-
ных траекторий для управления дальностью полета БР с РДТТ
решается, как правило, численным методом на основе предвари-
тельного проведения большого объема вычислений. Формирование
Рис. 5.2. Ограничения по
углу атаки БР на АУТ
196
программных траекторий при такого типа вычислениях в заданном
диапазоне дальностей, кроме максимальной, производится при раз-
личных сочетаниях угла тангажа и программных значений управля-
ющих функций в конце АУТ. При выборе конкретного вида настиль-
ных и навесных траекторий на промежуточные дальности в качестве
критерия обычно используют максимальную высоту конца АУТ.
При управлении БР с РДТТ на всей траектории предпочтитель-
ным считают применение настильных траекторий, обеспечивающих
более высокую точность полета. Это обусловлено наличием в рас-
сматриваемом варианте только инструментальной составляющей,
которая существенно зависит от времени полета, так как в этом слу-
чае ошибки на пассивном участке компенсируются СУ БР.
Г л а в а 6. РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ БАЛЛИСТИКИ
УПРАВЛЯЕМЫХ БР*
6.1. Формулировка и общая характеристика краевых задач
баллистики
Решение краевых задач — одно из важнейших направлений бал-
листического обеспечения управления движением БР. В этом легко
убедиться, если еще раз вернуться к предшествующему материалу, в
котором достаточно часто указывалось, что нахождение соответству-
ющего результата требует обращения к методам решения краевых
задач. Это касалось синтеза программ управления движением БР на
АУТ, но не только. Важнейшим результатом решения краевых задач
баллистики (КЗБ) является определение так называемых установоч-
ных данных для систем управления ракеты и прицеливания.
Под установочными данными, иначе установками, для проведе-
ния стрельб или пусков баллистических ракет принято понимать
совокупность данных, предназначенных для настройки контура
управления БР такими, чтобы обеспечить прохождение средней тра-
ектории возможно ближе к конечной точке движения (в частности, к
цели) в конкретных условиях полета.
Процесс нахождения установок, таким образом, всегда в той или
иной степени связан с расчетом «попадающей» траектории.
* При написании данной главы использованы материалы, предоставленные
С.В. Беневольским.
197
В отличие от классического расчета попадающих траекторий, от-
носящихся к классу задач Коши, в рамках которых частное решение
ищется для известных начальных параметров движения, известных
исходных данных и известного времени окончания расчета, опреде-
ление исходных данных на пуски управляемых баллистических ра-
кет относится к классу обратных задач.
Последние отличаются от задач Коши («прямых» задач) тем, что
движение ракеты рассчитывается исходя из требования определения
управляющих параметров (азимута прицеливания, времени обнуле-
ния тяги ДУ, программ управления или некоторых их параметров) по
оговоренным краевым условиям. В качестве краевых условий могут
быть заданы координаты точек старта и цели. Дополнительно в каче-
стве граничных условий могут задаваться координаты точек прице-
ливания для отделяющихся ускорителей, ступеней ракеты, головного
обтекателя.
По математическому содержанию задача расчета попадающей
траектории является краевой задачей (в общем случае — многото-
чечной с подвижным из-за вращения Земли правым концом). Осо-
бенности использования в процессе решения этой задачи программ-
ных функций и ориентация ее на баллистическое обеспечение (БО)
подготовки данных на пуски ракет привносят в характер задачи не-
которую специфику.
С точки зрения существующей классификации обратные задачи
БО относят к краевым задачам или задачам поиска экстремума функ-
ции многих переменных.
Вообще говоря, обсуждаемые задачи в рассматриваемой поста-
новке не полностью соответствуют строгому математическому опре-
делению краевой задачи [113].
Действительно, если в теории дифференциальных уравнений
под краевой задачей для уравнения, например, 2-го порядка вида
/(х, i, ж, С, t) = 0 понимают, как следует из указанной выше рабо-
ты, задачу решения этого уравнения при заданных значениях зави-
симой переменной х = xq при t = to (на левом конце) и х — при
t — tK (на правом конце), а также константы С, то в БО под краевой
задачей для этого же уравнения понимается уже задача отыскания
константы С при заданных граничных условиях.
В связи с этим краевые задачи БО, обычно понимаемые в обоб-
щенном смысле (см. выше), иногда называют обобщенными краевы-
ми задачами [10, 32, 113].
198
Подобные двухточечные краевые задачи в подавляющем боль-
шинстве случаев приводят к необходимости решения систем транс-
цендентных уравнений.
К числу обычно применяемых при этом численных методов от-
носят метод Ньютона и его модификации, градиентные методы с ли-
нейным и квадратичным прогнозом шага, метод Стеффенсона и др.
В качестве критериальной функции (экстремум которой должен
быть гарантирован в результате поиска решения), как правило, вы-
ступает величина минимизируемого суммарного расхода топлива.
Анализ состава исходных данных дает основание предположить,
что среди них присутствуют две группы данных:
— определяемые в процессе решения задачи нахождения попа-
дающей траектории (азимут прицеливания До, настроечные параме-
тры программ управления углами тангажа Опр и рыскания \|/пр, тяга
двигателя Р и др.);
— определяемые при известных параметрах попадающей тра-
ектории (расход компонентов топлива по ступеням, значения част-
ных производных конечного промаха по параметрам движения в кон-
це активного участка, априорные характеристики точности полета и
др.).
Если обозначить все исходные данные, устанавливаемые на ста-
дии разработки предполетного БО, через N, то данные, определяе-
мые только в процессе расчета попадающей траектории, без которых
она не может быть найдена (называемые установочными данными),
будут характеризоваться вектором п, причем п с N.
Если размерность вектора-столбца п установочных данных к со-
ответствует размерности вектора-столбца граничных условий q, рав-
ного Р т. е. (к = Ру то имеем краевую задачу. Если же к > Р то при-
ходим к постановке задачи поиска условного экстремума функции
многих переменных. Если к < Р решение задачи отсутствует, и что-
бы сделать ее корректной, необходимо уменьшить число граничных
условий до выполнения условия к Р
Помимо указанных, в вектор установочных данных будут вхо-
дить также счетное количество значений аргументов прицеливания
Лол настроечные параметры управляющей функции Ф*, по которой
формируется главная команда на обнуление тяги ДУ, и ряд других
величин, зависящих от реализуемого принципа и закона управления.
Их количество для различных типов БР будет разным.
199
Следующим важным аспектом решаемой задачи является опре-
деление влияния установочных данных на конечный промах. Влия-
ние того или иного параметра из множества параметров п на какую-
либо функцию этих параметров в первом приближении можно оце-
нить на основе методов теории чувствительности с использованием
баллистических производных.
Поскольку вектор граничных условий в конце активного участ-
ка выведения однозначно определяется (в детерминированной поста-
новке) алгебраически заданными функциями вектора установочных
данных, т. е. q = q(n), то оценивать влияние установочных данных
на граничные условия наиболее удобно с помощью квадратной ма-
гл Г d(li 1 . ,
трицы влияния вида Qn = < —— > при z, j = 1,..., к для слу-
I ® nj)
_ ( dqi 1
чая краевой задачи и прямоугольной матрицы Qn = < 7г— > при
)
г = 1,..., /с и j = 1,..., ^ — для решения задачи поиска условного
экстремума заданной функции.
Методы построения соответствующих матриц влияния рассмо-
трены ранее (см. п. 4.7.). Далее будет более подробно описано прак-
тическое применение алгоритмов решения задач определения уста-
новочных данных и дана полная характеристика математических и
технологических методов решения краевых задач БО пуска ракет.
Здесь мы ограничимся кратким изложением общей схемы наибо-
лее употребительного подхода к определению установочных данных
методом Ньютона применительно к решению краевой задачи (k — I).
Поскольку задача определения попадающей траектории для дан-
ной постановки относится к числу обратных задач баллистики, т. е.
задаче определения обратной функции n(q) какого-то одного вари-
анта задания вектора q, обозначаемого q3a4, то она сводится, по суще-
ству, к решению задачи нахождения корней системы трансцендент-
ных уравнений вида
ф(п) = q(n) - Чзад.
Положим, что в некоторой выпуклой области Ф, содержащей ре-
шение п(*) системы трансцендентных уравнений, функции фДп),
г = 1,..., к непрерывны, имеют непрерывные частные производные
/ ч Г Ф? 1 f д qi 1
первого порядка и в точке n = it*' матрица Оп = < —— > = < -— >,
[onj) [дп3)
200
i, j — 1,..., к не вырождена. Тогда в окрестности п она будет иметь
обратную матрицу Q”1.
В этом случае решение п(*) будет и решением векторного урав-
нения n = n(*) — Qn 1 ф(п). Если n<°) есть некоторое начальное при-
ближение для решения п(*\ то для отыскания последнего с некото-
рой наперед заданной точностью е можно построить итерационный
процесс типа
n(m+l) = n(m) _ Q-l(nM)
Итерационный метод поиска решения, в котором используют схе-
му последовательных приближений указанного типа, называется ме-
тодом Ньютона.
Посредством обратных преобразований записанное выше век-
торное уравнение может быть приведено к системе линейных алге-
браических уравнений, разрешаемых относительно элементов век-
тора n(m+1h
/ \ к / \
Е > = £ - Г и
J=1 х J/ х J/
i = 1,..., к; тп = 0,1, 2,...
Процесс определения корней п(*) системы трансцендентных
уравнений, к которому, таким образом, сводится расчет установоч-
ных данных, заканчивается, когда q(n) — q3a;i е.
При подготовке исходных данных на пуски баллистических ра-
кет дальнего действия считают заданными координаты точек старта
и цели относительно поверхности (схематизирующей форму поверх-
ности Земли): широта фг, долгота X* и высота h. При известных
координатах точки старта иногда удобно координаты цели задавать
посредством азимута геодезической линии «старт — цель» Асф и
дальности 1/сф, заданных на сфере с радиусом, равным среднему ра-
диусу Земли. Это позволяет упростить математическую формализа-
цию задачи обеспечения попадания ББ в цель и разработать универ-
сальные схемы решения этой задачи, не зависящие от конкретной
математической модели фигуры Земли. Алгоритм вычисления пара-
метров Асф и 1/сф по заданным координатам старта и цели (обрат-
ная геодезическая задача, сокращенно ОГЗ) рассматривается ниже.
Условно обозначим этот алгоритм оператором
[л*Ф^:Ф]т = For3( фГц1, x*i, фгц2, х*2).
(6.1)
201
Здесь индекс «1» указывает на принадлежность соответствую-
щей координаты к точке старта, а «2» — к точке цели.
В операторе (6.1) отсутствуют параметры hi и h<2, так как при ре-
шении ОГЗ вместо реальных точек старта и цели рассматривают их
проекции на поверхность сферы заданного радиуса. Заметим, что в
операторе используют геоцентрические широты точек старта и цели,
однозначно связанные с исходными геодезическими широтами этих
точек.
Необходимо отметить, что совокупность тактико-технических
требований, предъявляемых к тому или иному типу БР, а также кон-
кретное построение системы управления полетом, обеспечивающее
выполнение этих требований, обусловливают разнообразие мето-
дов подготовки исходных данных на пуски. Детальная разработка
этих методов производится при проектировании ракеты с учетом ее
конкретных особенностей. Поэтому ниже рассмотрим только общие
понятия о методах расчета установочных данных на пуски.
В качестве меры отклонения конечной точки попадающей тра-
ектории от заданной точки прицеливания удобно использовать про-
екции расстояния между указанными точками на два ортогональных
направления: направление увеличения дальности (отклонение по
дальности AL) и перпендикулярное ему направление, отсчитывае-
мое в плоскости горизонта точки прицеливания по часовой стрелке
от направления изменения дальности (боковое отклонение АВ).
Различные подходы к определению отклонений AL и АВ будут
рассмотрены позже, а пока ограничимся обозначением простейшего
варианта вычисления этих отклонений в форме оператора
[ ДВЦ, ДВЦ] = F д(Лсф, Всф, Лсф ммд, 1/сф ммд). (6.2)
Заметим, что оператор (6.2) устанавливает реальную размер-
ность решаемой краевой задачи Л^кьз = 2, хотя точки старта и це-
ли рассматриваются в трехмерном пространстве. Суть кажущегося
уменьшения размерности задачи в том, что, по определению, попа-
дающая траектория завершается в точке пересечения ею уровенной
поверхности цели. Высота полета, равная высоте цели для траек-
торий, имеющих восходящий и нисходящий участки, без решения
КБЗ всегда может быть достигнута с нужной точностью в процессе
моделирования полета, хотя и не всегда при этом конечная точка
траектории будет находиться в требуемой окрестности цели. Этот
факт и нашел отражение в операторе (6.2).
202
Принципиальных отличий между задачей расчета попадающих
траекторий для отделяющихся частей ступеней ракеты и головного
обтекателя в соответствующие им точки прицеливания и задачей рас-
чета попадающей траектории для ББ нет, хотя требования к точности
выполнения краевых условий отличаются существенно. Еще более
очевидна родственность задачи расчета попадающей траектории од-
ного ББ с многоточечной КБЗ расчета семейства попадающих траек-
торий для нескольких ББ одной разделяющейся ГЧ. В связи с этим
более подробно рассмотрим основы постановки и решения КБЗ на
примере задачи расчета попадающей траектории для моноблочной
ГЧ БР, приняв ее в качестве базовой. Для остальных КБЗ ограничим-
ся кратким рассмотрением их отличий от базовой задачи.
Расчет попадающей траектории, обозначенной в качестве ба-
зовой, проводится для определения азимута прицеливания и вре-
мени подачи команды на выключение двигателя и отделение ББ,
обеспечивающей прохождение с заданной точностью номинальной
траектории через точку старта и точку цели. Для ракет с ЖРД обыч-
но характерно выключение ДУ в две стадии путем подачи предва-
рительной (ПК) и главной (ГК) команд, связанных соотношением
^гк = ^пк + At. Но для номинальной траектории At — постоянная
величина, поэтому и в данном случае задача сводится к определению
только азимута и времени подачи главной команды.
6.2. Требования, предъявляемые к математическим моделям
движения краевых задач баллистики
Основные исходные данные для расчета попадающей траектории
должны содержать:
• характеристики атмосферы, гравитационного поля силы при-
тяжения и фигуры Земли (т. е. параметры соответствующих матема-
тических моделей, рассмотренных в разд. 1 настоящего пособия);
• аэродинамические, геометрические, центровочные и массовые
характеристики ракеты в целом и двигателей, включая переходные
участки набора и спада тяги, для всех ступеней;
• характеристики системы управления (в том числе, особенности
реализованного метода наведения, задержки включения приборов и
другие особенности работы СУ);
• временную схему работы двигателя и других систем БР (ци-
клограмму полета);
203
• программу изменения во времени углов тангажа, рысканья и
кажущейся скорости (если конструкция БР предусматривает воз-
можность регулирования кажущейся скорости, что характерно не
для всех типов ракет);
• геодезические координаты точек старта и цели.
Перечисленные исходные данные условимся называть параме-
трами математической модели движения БР.
Система дифференциальных уравнений, описывающая движе-
ние центра масс ракеты на активном и пассивном участках траекто-
рии, составляется с учетом требований по допустимому значению
ошибок в определении данных на пуск. Этим определяется выбор
перечисленных выше конкретных частных математических моде-
лей, входящих в состав единой математической модели движения
(ММД), составляющей основу для решения рассматриваемой КБЗ.
Как правило, считается, что погрешность расчета точки падения,
вычисляемой в результате совместного решения указанной системы
дифференциальных уравнений, не должна превышать 30 метров.
Влияние вращательного движения ракеты на ее поступательное дви-
жение при решении рассматриваемого класса БО задач пусков не
учитывается; считается, что СУ способна практически мгновен-
но отрабатывать заданные программы вращательного движения на
протяжении всего полета (используется идеальная схема СУ).
При разработке такой ММД необходимо учитывать два чрезвы-
чайно важных обстоятельства. Первое состоит в том, что при мо-
делировании полета на активном участке траектории требования к
точности задания поверхностных сил (тяги ДУ и аэродинамических)
могут быть не очень существенны. Как правило, вполне достаточно
использовать модель стандартной атмосферы, т. е. усредненной ат-
мосферы по всем временам года и широтам. Дело в том, что инер-
циальная навигационная система, которая входит в состав СУ всех
современных БР, может измерять степень обусловленных этим фак-
тором отклонений фактической траектории от расчетной. С другой
стороны, конструктивно очень сложно обеспечить отклонения удель-
ной тяги и секундного расхода топлива ДУ относительно их расчет-
ных значений, а также отклонения коэффициентов аэродинамиче-
ских сил, которые приводили бы к меньшим возмущениям траекто-
рии, чем рассматриваемое влияние моделей атмосферы. Но нельзя
допускать слишком грубых упрощений при моделировании поверх-
ностных сил (моделировать полет совсем без учета атмосферы или
204
с изотермической атмосферой), так как тогда может понадобиться
слишком много топлива на соответствующую коррекцию траекто-
рии.
Важно понимать, что влияние рассмотренных погрешностей
ММД касается, в первую очередь, не точностных характеристик БР, а
энергетических (при пусках на предельные дальности некорректный
учет рассмотренных факторов может привести к нештатному завер-
шению полета из-за недостатка топлива). Наряду с этим необходимо
помнить, что состав ММД, используемых при решении КБЗ, должен
быть увязан со структурой возмущающих факторов, учтенных при
проектировании БР в составе так называемых гарантийных запасов
топлива. Таким образом, существует функциональная связь меж-
ду исходными данными, используемыми при решении различных
задач БО пусков БР на различных этапах создания, эксперименталь-
ной отработки и планирования боевого применения РК. Первыми
замечать диспропорции и неточности при решении этого вопроса
должны специалисты по баллистике и динамике полета. Это область
их профессиональной компетенции.
Второе важное обстоятельство, которое необходимо учитывать
при разработке ММД для решения КБЗ, состоит в том, что ИНС
принципиально не могут измерять возмущения, связанные с приро-
дой гравитации. Поэтому математические модели гравитационного
поля Земли, используемые при расчете попадающих траекторий,
должны быть как можно более точными. Любое отклонение траек-
тории, вызванное неадекватностью математического моделирования
гравитационного ускорения, не будет зафиксировано навигацион-
ными приборами и приведет к отклонению точки падения от точ-
ки прицеливания. С учетом того, что гравитационное ускорение в
процессе вычисления координат центра масс ЛА дважды интегри-
руется, погрешность его моделирования будет носить нарастающий
характер. Все сказанное по поводу моделирования гравитационного
ускорения на активном участке следует отнести ко всем частным
математическим моделям пассивного участка. На этом участке по-
лета отклонения поверхностных сил от их расчетных значений уже
не компенсируются работой СУ. В результате необходимо пользо-
ваться моделями атмосферы, учитывающими сезонные изменения
климата, а также учитывать локальные особенности атмосферы,
обусловленные географическим положением объекта поражения и
соответствующих ему точек прицеливания. Кроме того, требуется
205
как можно более точно моделировать значения аэродинамических
сил и процесс изменения формы и массы ББ в процессе воздействия
на него аэродинамического нагрева.
Последнее усугубляется природой алгоритма решения КБЗ. Рас-
чет попадающей траектории основан на многократном численном
интегрировании упомянутой выше системы уравнений движения
БР на активном и пассивном участках траектории. Обеспечение по-
падания моделируемой в результате этого точки падения в требуе-
мую окрестность точки прицеливания осуществляется направлен-
ным подбором номинального времени выключения двигателя tK и
азимута прицеливания Ао с последовательным уточнением этих па-
раметров от одной итерации к другой. По результатам ее решения
можно будет подготовить все необходимые установочные данные на
пуск. А в реальном пуске, если предположить, что этот пуск будет
происходить в геофизических условиях, отвечающих номинальной
траектории, ББ отклонится от точки прицеливания именно на такое
расстояние, которое соответствует ошибке, допущенной при моде-
лировании сил, действующих на пассивном участке полета.
Поэтому расчет попадающих траекторий, осуществляемый непо-
средственно в интересах подготовки установочных данных на пуски
ракет, требует специальных мер по контролю адекватности ММД, ис-
пользуемых для решения КБЗ. Решение проблемы реализации такого
контроля на практике далеко выходит за рамки данного пособия, но
о существовании указанной проблемы читателю следует знать.
6.3. Типовая схема решения краевой баллистической задачи
полета БР с моноблочной ГЧ
Перейдем теперь к обсуждению математической формализации
рассмотренного класса задач баллистического обеспечения пусков
БР. Задача расчета попадающей траектории моноблочной ГЧ БР мо-
жет быть сформулирована следующим образом.
Заданы:
• координаты точек старта и цели относительно поверхности, ап-
проксимирующей форму поверхности Земли: широта срг?, долгота
X** и высота hi для i — 1,2;
• Р — параметры ММД;
• оператор решения обратной геодезической задачи (6.1);
• системы дифференциальных уравнений движения на активном
и пассивном участках полета, результат последовательного решения
206
которых с применением к координатам точки падения оператора (6.1)
представим как
[Аф.ммд? -^сф.ммд] ~
= Гммд(^к, Ао, Р, фг1, фг2, Х*2,^2); (6.3)
• оператор вычисления отклонений точки падения от точки при-
целивания (6.2), который с учетом (6.3) запишем в более компактной
форме:
[ ДВц]т = F д(^к, А))* (6.4)
Требуется решить систему уравнений (6.4) относительно пара-
метров tK, Ао с погрешностью, отвечающей соотношению
У AL2 + АД2 < ед. (6.5)
Поскольку система уравнений (6.4) в качестве промежуточного
элемента включает последовательное интегрирование двух систем
нелинейных дифференциальных уравнений (на активном и пассив-
ном участках полета), ясно, что решение поставленной задачи может
быть только численным и должно включать итерационный процесс
последовательного уточнения искомых параметров tK и Ао- В свою
очередь это означает, что успех решения в значительной мере зависит
от того, насколько удачно будет выбрано первое приближение этих
параметров и насколько эффективной будет процедура их последо-
вательного уточнения.
Типовая схема решения КБЗ ракет с моноблочной ГЧ представ-
лена на рис. 6.1.
Информационно-логическая схема алгоритма решения КБЗ. В
дополнение к ранее оговоренным обозначениям на рис. 6.1: г2 — ко-
ординаты точки прицеливания в геоцентрической системе координат
(ГСК); Г2 — координаты точки падения в этой же системе координат.
Индексом «к» обозначены кинематические параметры движения в
конечной точке активного участка. Рассмотрим основное содержа-
ние операций, соответствующих элементам схемы [10].
Входные данные. Параметры ММД Р соответствуют описанию
их в постановке задачи. Для краткости, геодезические координаты
старта и цели обозначены НД (начальные данные).
207
Рис. 6.1. Схема решения типовой КБЗ
Предварительные вычисления. Вычисляются радиус-векторы
старта и цели (и, г^) в ГСК по их геодезическим координатам из НД
с помощью стандартного алгоритма, принятого в геодезии, с уче-
том того, что в качестве математической модели Земли принимается
общий Земной эллипсоид (ОЗЭ), а геодезические координаты стар-
та и цели задаются на референц-эллипсоиде Красовского. Сначала
вычисляют координаты радиус-векторов относительно референц-
эллипсоида, затем они пересчитываются на ОЗЭ. Компоненты век-
тора ri используют также в качестве начальных условий для ин-
тегрирования системы дифференциальных уравнений движения на
АУТ одновременно с вектором начальной скорости, вычисляемым
по формуле
Vi = Q х п.
Решается ОГЗ в постановке (6.1). Полученные в результате зна-
чения А*ф, £*ф используют для выбора первого приближения ис-
комых параметров Ао и по алгоритму, общий вид которого [Aq,
fK]T = Г(А*ф, Ь*ф). Существует большое количество конкретных
реализаций таких алгоритмов, но общий принцип их построения
состоит в следующем:
208
• перебором возможных для конкретной БР значений tK и зна-
чений Ao 6 [0, 2 л] создается множество соответствующих каждой
паре Ao, tK пар значений А*ф, L*^ путем прямого моделирования по-
лета БР на АУТ и полета ГЧ на ПУТ с решением после этого ОГЗ;
• разрабатывается достаточно простой алгоритм интерполяции
значений Ao, tK по известным А*ф, L*^ на сформированном указан-
ным образом множестве взаимно соответствующих паросочетаний.
Для решения ОГЗ с помощью (6.1) в геодезии имеется стандарт-
ный алгоритм, но в данном конкретном случае целесообразно вос-
пользоваться его модификацией. Она не использует структуру опе-
ратора (6.1) в явном виде, а позволяет вычислять параметры А*ф и
5*ф непосредственно по координатам старта и цели в ГСК, т. е. име-
ет вид
[Л*ф,Ь*ф]т = Еогз(г1,г^). (6.6)
Это вызвано тем, что алгоритм решения ОГЗ в данном случае
включается также в итерационный процесс для получения отклоне-
ний точки падения от точки прицеливания, т. е. должен использо-
ваться многократно. Пересчитывать же геоцентрические координаты
точки падения в сферические на каждой итерации было бы не совсем
рационально.
На рис. 6.2 показан геометрический смысл основных параметров
модифицированного и традиционного алгоритмов решения ОГЗ.
Различать векторы и Г2 в рамках решения ОГЗ не будем, так как
безразлично, какой из этих векторов подставлять в формулу (6.6).
Легко заметить, что искомая сферическая дальность 5*ф связана с
угловой дальностью Ф соотношением
5с*ф = ИФ. (6.7)
Здесь R — радиус условной сферы, на которой решается ОГЗ для
сферической модели Земли. Однако выше отмечалось, что по сообра-
жениям точности в качестве математической модели Земли принима-
ется эллипсоид вращения. Модули векторов и и в общем случае
различны. Векторы разной длины, которые выходят из единого цен-
тра, не могут заканчиваться на одной общей сфере. Поскольку речь
идет о выборе первого приближения управляющих параметров tK и
Ао, а не вспомогательных — А*ф и 5*ф, — то это не имеет практи-
ческого значения, но требует уточнения величины R: что принимать
209
Рис. 6.2. Геометрический смысл постановки ОГЗ
за ее значение. Ответ на этот вопрос зависит от того, каким образом
предполагается использовать искомые вспомогательные параметры.
Если мы намерены использовать их для сравнения достижи-
мых дальностей полета различных БР одного класса, то целесо-
образно использовать в качестве значения R средний радиус Земли
RCp = 6371210 м. Это позволит с минимальной потерей точности ре-
шить проблему неоднозначного толкования различия в дальностях
полета ракет, точки падения которых имеют одинаковую высоту7 над
ОЗЭ, но находятся на разных широтах. Напомним читателю, что
для i = 1; 2 могут быть вычислены по формуле
г\ — а
1 — е2
1 — е2 cos2
(6.8)
----И Ы,
Фн
где а и е — большая полуось и эксцентриситет ОЗЭ соответственно.
Из формулы (6.8) видно, что при одинаковых hi на разных широтах
г* будут отличаться. Например, п — 7*2 > 8 км, если фг1 = 45°, а при
Фг2 — 70° максимальная разница превышает 21 км.
В связи с этим понятие сферической дальности и получило такое
широкое применение на практике, хотя простота расчета такой даль-
ности по сравнению с вычислением длины геодезической линии на
поверхности эллипсоида, конечно, еще важнее. Однако когда нас ин-
тересует величина сферической дальности в качестве вспомогатель-
ного параметра для вычисления всего лишь разности расстояний до
210
точек падения, полученных на разных итерациях решения КБЗ, кор-
ректнее использовать в качестве радиуса условной сферы величину
гц. Она больше соответствует радиусу кривизны поверхности Земли
в окрестности цели, чем средний радиус Земли.
Возвращаясь к рис. 6.2, из свойства скалярного произведения
векторов гс и Гц получим выражение для расчета искомой угловой
дальности:
Ф — arccos(r°r2), (6.9)
где r° = n/ri, Г2 = Г2/Г2. Формула (6.9) определяет искомую вели-
чину однозначно, так как для всех современных БР
Ф < 7Г. (6.10)
Искомый азимут А*ф является углом между плоскостью, образо-
ванной векторами и и Г2, и плоскостью меридиана старта, отсчиты-
ваемый по часовой стрелке. Поскольку А*ф е [0, 2тг], для однознач-
ного определения этого угла необходимо (и достаточно) знать значе-
ния его синуса и косинуса, либо одну из этих функций и знак второй.
Из стандартного алгоритма имеем
. cos Фr„2sin( Х*2 - Х*1)
sin АС(Ь =-----у---—-------------;
ф sm Ф
cosAc%- (6.11)
= cos фгц, sin фгц2 - sin фгц| cos фгц2 cos( Х„2 - W
sin Ф
Из рис. 6.2 легко заметить, что
cos фп11 = + (Z?)*,
cos Фп12 = + (Z2“)2, (6.12)
sin ФГЦ1 = У1°,
sin фГц2 = ^2°-
Из того же рисунка угол ( Х*2 — X*i) может быть определен, как угол
между проекциями векторов г!> и на плоскость экватора. Рассмо-
трим эти проекции как двумерные векторы = [Xf, Z®]т и =
211
= [Х°, Так как г®э = cos фгц1 и И,, = cos фгц2, получаем из
скалярного произведения г° и г2:
cos( Х*2 - М = (^1°^2 + Z?z£)/(cos фгц1 COS фгц2),
------------------- (6.13)
sin( Х*2 - Х*1) = у/1 - COS2( Х*2 - ^*1).
Знак перед корнем в нижней формуле (6.13) принят положительным
из-за того, что заведомо разность долгот не может превысить тг при
Ф < 7Г.
Подставляя (6.12) и (6.13) в (6.11), получаем после тривиальных
алгебраических преобразований
sin А*ф =
уО уО _ уО уО
Aj zS2 А2 Zg .
sin Фу/1- Y° ’
совА*ф =
[1 ~ СТ2] У2° - (Х°Х2° + Z°Z°)Y°
sin Фу/1 - У?
(6.14)
Для реализации алгоритма решения ОГЗ на ЭВМ целесообразно
представить его в еще более компактной окончательной форме:
sa = X(jZ% - X$Z?,
са = [1 - (У!0)2] У2° - (Х°Х2° + Z^Y?,
4* S(1
Асф = arctg-
при sign(sin А*ф) = sign(sa), sign(cos А*ф) = sign(ca).
(6.15)
Формулы (6.9) и (6.15) дают удобный для реализации и обладающий
требуемым быстродействием алгоритм решения ОГЗ.
6.4. Особенности постановки и решения краевой
баллистической задачи полета БР с разделяющейся ГЧ
С точки зрения анализа особенностей решения КБЗ принципи-
альное значение имеют два отличия БР с РГЧ от рассмотренной вы-
ше БР с моноблочной ГЧ:
• РГЧ представляет собой совокупность нескольких ББ, каждый
их которых в общем случае должен быть наведен на свою индивиду-
альную точку прицеливания;
212
• совместно с каждым ББ, как правило, в ту же самую точку при-
целивания могут следовать несколько элементов комплекса средств
преодоления (КСП) ПРО (ложные цели, станции активных помех и
др.).
Баллистические аспекты решения КБЗ на участке разведения бу-
дем рассматривать применительно к БП типа цепочка (более подроб-
но см. в гл. 8).
Для уяснения смысла маневров, реализуемых БС на участке раз-
ведения (УР), познакомимся предварительно с несколькими специ-
альными понятиями, которые будут детально обсуждены позднее
(п. 8.3). Рассмотрим частные баллистические производные от даль-
ности и бокового отклонения по скорости полета в момент начала
dL дБ
ПУТ: Lv = 7777; Bv = 7777. Эти частные производные могут рас-
ОУ ОУ
сматриваться как градиенты указанных функций. Поэтому в теории
10
полета ракет соответствующие им единичные векторы XV = ~— и
Ly
Х^ = —— получили название градиентных направлении по дально-
Ву
сти и направлению соответственно.
Плоскость, однозначно определяемая этими двумя векторами,
называется плоскостью баллистического горизонта. Направление,
перпендикулярное этой плоскости, называется баллистической вер-
тикалью. Единичный вектор V0, ориентированный вверх или вниз
по баллистической вертикали, и векторы Х£, Х^ образуют базис
декартовой системы координат. Поэтому векторы Х£, Х^ и V0 на-
зывают опорными баллистическими направлениями. Систему коор-
динат, начало которой расположено в ЦМ БС, а оси ориентированы
по опорным баллистическим направлениям, называют опорной бал-
листической системой координат (ОБСК).
Из факта совпадения Х^ с направлением градиента дальности
следует, что для достижения максимального приращения дальности
при движении БС на УР от одной точки прицеливания к другой не-
обходимо вектор тяги ДУ ориентировать в полете строго в направле-
нии Xl.
Векторы Х° и Х^ ортогональны, поэтому приращение скорости
AV£, обусловленное выполнением такого маневра (т. е. AV^II Х^),
не вызовет отклонения в боковом направлении (так как AVl Х^ = 0).
Можно также утверждать, что для обеспечения маневра в боко-
вом направлении целесообразно ориентировать вектор тяги по на-
правлению Хр. При этом не возникнет отклонений по дальности, но
213
будет обеспечено максимально возможное отклонение в боковом на-
правлении.
Если требуется изменить только крутизну траектории полета
(или полетное время), не изменяя при этом положение точки паде-
ния, то необходимо ориентировать вектор тяги по направлению V0.
Приращение скорости AVv в процессе выполнения маневра будет
тогда перпендикулярно плоскости баллистического горизонта, а его
проекции на Х^ или Хв будут равны нулю. В связи с рассмотрен-
ным свойством V0 часто называют инвариантным или останавли-
вающим направлением. При полете боевой ступени (БС) ориентация
тяги в этом направлении позволяет формировать боевой порядок
(БП), так как последовательное отделение ЭБО с некоторым интер-
валом приведет к запаздыванию выхода на заданную высоту этих
элементов, но не приведет к отклонению их траекторий от точки
прицеливания. Подбором этого интервала можно обеспечить необ-
ходимое расстояние между ЭБО на заданной высоте.
Для обеспечения рационального по затратам энергии маневра от
одной точки прицеливания к другой, смещенной относительно пер-
вой по дальности и в боковом направлении, требуется ориентиро-
вать тягу в плоскости баллистического горизонта в направлении X,
занимающем некоторое промежуточное положение между Х^ и X#
(рис. 6.3). Угол между векторами Х^ и X, отсчитываемый против ча-
совой стрелки, если смотреть с конца вектора V, будем обозначать К.
Рис. 6.3. Ориентация век-
тора тяги в плоскости бал-
листического горизонта
Процесс полета БС на УР можно те-
перь представить как последовательность
маневров, связанных поочередно с поле-
том в инвариантном направлении (для по-
строения БП) и полетом в плоскости бал-
листического горизонта (для такого изме-
нения скорости ЦМ БС, которое позволит
переместить точку падения ББ на требуе-
мое расстояние между соседними целями).
Очевидно, что понадобятся еще промежу-
точные маневры для разворота вектора тяги ДУ
Пренебрежем здесь техническими деталями, не имеющими пря-
мого отношения к идеологии решения КБЗ, оставив их для после-
дующего обсуждения (см. гл. 8) и предположим, что задан алгоритм
расчета всех параметров Ри угловых программ, обеспечивающих
214
развороты из Vi-направления в ^-направление и обратно:
PH = Fi(vbKJ. (6.16)
Параметрами управления перенацеливанием БС при решении
КБЗ на УР уже не могут быть iK и Ао, но очевидным аналогом
азимута в рассматриваемой задаче является угол К. Он определя-
ет плоскость, в которой преимущественно должна находиться про-
дольная ось БС при перенацеливании, т. е. управляет изменением
направления полета. Аналогом tK в данном случае является мо-
мент завершения разворота продольной оси БС (или вектора тяги) в
Vi-направление перед выполнением построения очередного БП (хо-
тя ДУ БС в этот момент не выключается, дальность полета всех
отделяемых ЭБО перестает зависеть от времени ее работы). Этот
момент принято называть моментом окончания г-го обратного раз-
ворота. Имеется в виду, что разворот из Vi в N*, определяющий на-
правление перенацеливания, — прямой разворот (т. е. отвечающий
решению главной задачи), а разворот из в V$+i — обратный ему
по смыслу. Тогда момент начала прямого разворота определяет нача-
ло перенацеливания. Начало и конец прямого разворота условимся
обозначать tHnp? и tKnpz, а начало и конец обратного разворота — tHopz
И ^корг соответственно. Наконец, момент отделения ББ в процессе
формирования БПг будем по аналогии с tK обозначать tKi.
Таким образом, в качестве параметров для управления выполне-
нием концевых условий при решении КБЗ на УР можно принять
и tKOpi. Иногда так и поступают, однако целесообразно отдать пред-
почтение другой комбинации управляющих параметров: и ДИ^-
Здесь ДРИкг — приращение проекции вектора кажущейся скорости
БС на направление К за время от tHnpi до ^корг- Обе комбинации па-
раметров функционально взаимосвязаны. Преимущество последне-
го варианта в том, что параметры и ДИ7^ обычно входят в со-
став установочных данных, используя их, вычисляют параметры Рц
и моменты f норг и ^корг в алгоритмах СУ. Поэтому схема решения КБЗ
во втором варианте получается более рациональной и точнее соот-
ветствует реальному процессу управления полетом с БС на УР, чем
схема с использованием и £Корг-
Сформулируем теперь задачу расчета попадающей траектории
БР с РГЧ следующим образом.
215
Заданы:
• время tHnp2 и кинематические параметры движения гНПр2, VHnp2
в момент tHnp2 ?
• координаты целей относительно поверхности, аппроксимиру-
ющей форму поверхности Земли: широта (рг^, долгота X** и высота
hi для i = 1,..., TV, заданные в требуемой последовательности их
поражения;
• параметры, формализующие требования к построению БП* для
i = 1,...,7V;
• Р — параметры ММД;
• алгоритм расчета параметров угловых разворотов (6.16);
• Р2г — алгоритм расчета параметров формирования БП* (счи-
таем, что tKi и tHnp(i+i) являются двумя компонентами многомерного
вектора ₽2г);
• системы дифференциальных уравнений движения на УР и пас-
сивном участке полета, результат последовательного численного ин-
тегрирования которых на участке г-го перенацеливания с пересчетом
координат точки падения в ГСК представим в форме
[Ттпг,ГТПг]Т = ДЖкг,Р,Р1г,Р2г); (6.17)
оператор вычисления отклонений точки падения от точки прицели-
вания с учетом (6.17) представим в сокращенной форме
[ ALm, дад = FyJ (Ki, АИ%). (6.18)
Требуется последовательно решить системы уравнений (6.19)
относительно параметров ДИ^г для i — 2,..., N с погрешно-
стью, отвечающей соотношению
х/д£2г+ ДВ2< Ед. (6.19)
Как и в предыдущем случае, решение этой задачи может быть
только численным и должно включать итерационный процесс после-
довательного уточнения искомых параметров.
Отметим, что определение оптимальной последовательности по-
ражения заданной группы целей БР с РГЧ также представляет собой
одну из задач баллистического обеспечения пусков.
Возможная схема решения рассмотренной КБЗ представлена на
рис. 6.4.
216
Рис. 6.4. Схема решения КБЗ для БР с РГЧ
Параметры ММД Р соответствуют описанию в п. 6.2. Начальные
данные включают координаты старта для N целей и параметры, схе-
матизирующие требования к построению БП, обычно: 1) требуемое
расстояние между ЭБО в момент прохождения одним из них задан-
ной высоты, условие непоражения двух ЭБО одной противоракетой;
2) расстояние между точками падения ЭБО, следующих в одну точку,
условие неразличимости траекторий.
Параметры Рп, необходимые для вычисления программ упра-
вления на участке первых прямого и обратного разворотов рассчи-
тывают в соответствии с (6.16), а параметры первого БП1 — по со-
ответствующему алгоритму, указанному при постановке задачи.
Расчет первого приближения управляющих параметров осуще-
ствляется в импульсной схеме сообщения дополнительной энергии
для перевода фазовых координат БС от одной точки прицеливания
217
к последующей. Схема строится при принятии следующих допуще-
ний:
• время работы ДУ на сообщение импульса требуемой скорости
полагается равным бесконечно малому значению;
• изменения пространственного положения ЦМ БС в процессе
маневра не происходит.
Из этих допущений, в частности, следует, что приращение скоро-
сти, в процессе маневра сообщаемое боевой ступени ДУ, полностью
совпадает с приращением кажущейся скорости за это же время. Это
позволяет получить очень простые математические соотношения для
вычисления искомых параметров:
(6.20)
sin Ку = , cosNjj = J,
x> r sin^O
Nij = arctg —-A
cosNi?
Как и азимут пуска, параметр вычисляют в (6.20) с учетом
знаков синуса и косинуса этого угла.
Порядок вычисления остальных параметров, используемых в
формулах (6.20), следующий:
1) по алгоритму, имеющему структуру
[Byi, Вуг, A Li] — fqn(^нпрп гнпрп VHnpi)>
(6.21)
вычисляются частные баллистические производные и азимут линии
естественного изменения дальности
2) по алгоритму, имеющему структуру
[ALzjl ДВг/ = f ддИ^Х-пГ*), (6.22)
вычисляют координаты точки прицеливания i в целевой системе ко-
ординат с началом в точке (г — 1) при j- = 1.
3) по формулам
ДВ71
bWLij = —±, bWBlj = —^
Lyi
(6.23)
вычисляют требуемые приращения кажущейся скорости в проекци-
ях на оси ОБСК, соответствующие моменту £Нпрг-
218
Алгоритмы определения f4n, Гдя и особенности построения це-
левой системы координат рассмотрены далее.
Численное интегрирование системы дифференциальных уравне-
ний на УР отличается от соответствующей операции при решении
КБЗ п. 6.3 только алгоритмом расчета правых частей этих уравнений,
и дополнительных пояснений не требует. Алгоритм интегрирования
уравнений движения на ПУТ ничем не отличается от рассмотренного
в 6.3. Особенность заключается только в том, что момент завершения
интегрирования на УР в рассматриваемом фрагменте алгоритма ре-
шения КБЗ не является моментом окончания перенацеливания. При
реализации данного алгоритма на ЭВМ необходимо позаботиться о
сохранении в памяти ЭВМ кинематических параметров движения в
момент tKi.
Пересчет отклонений точек падения в целевую систему коор-
динат отличается от рассмотренного ранее аналогичного элемента
алгоритма решения КБЗ. Во-первых, для БР с моноблочной ГЧ це-
левая система координат строилась для одной точки прицеливания,
а в рассматриваемом случае она строится для каждой очередной
точки прицеливания после завершения очередного перенацелива-
ния БС. Во-вторых, используется другая формульная схема расче-
та отклонений, не связанная с решением ОГЗ, — алгоритм (6.22):
[ SLij, — f дя(Л£г, г*). Вспомним, что ранее мы услови-
лись помечать символом «*» радиус-вектор точки прицеливания, а
без такой пометки — записывать радиус-вектор точки падения, вычи-
сленной по результатам расчета ПУТ. Для пересчета координат точки
падения из абсолютной системы координат, в которой часто моде-
лируется движение на ПУТ, в относительную используется полное
время полета ТИ?, обозначенное на схеме. Единственное предназна-
чение символа разности 8 вместо ранее использовавшегося символа
А — исключить возможность путаницы между координатами точки
i в целевой системе координат точки (г — 1) и отклонениями точки
падения от точки прицеливания.
Проверка условия завершения итерационного процесса на г-м пе-
ренацеливании, включая рассмотренную в 6.3 особенность задания
допустимой погрешности для отклонения «в плане», для очередной
точки прицеливания не имеет никаких существенных отличий.
Рассмотрим ситуацию, когда условие этой проверки не выполня-
ется. В данном случае необходимо определить поправки в требуемые
219
приращения кажущейся скорости AW$7 = [AIV^j, AIV^]7 и скор-
ректировать эти значения. Для этого:
1) вносят поправки в координаты (г + 1) точки прицеливания в
целевой системе координат: AL™ = AL*7 + 5L*7, АВ™ = ДВ^- +
+ 8Вг7;
2) вычисляют новые (т. е. скорректированные неявным способом)
значения требуемых для перенацеливания приращений кажущейся
скорости AWli7, AWb^j по формуле (6.23).
После этого наращивается значение счетчика итераций и выпол-
няется переход в точку начала итерационного процесса по индексу j.
Процесс повторяется до выполнения условия е д-
После выполнения этого требования продолжается моделирова-
ние полета на УР с начальными условиями tKi, гк^, VK;, т. е. интегри-
рование системы дифференциальных уравнений движения. В общем
случае это включает моделирование процесса отделения от БС еще
нескольких ЭБО (но не ББ в их числе). Следует понимать, что некото-
рое количество ЭБО могло быть отделено до момента tKi. Вспомним,
что в рассматриваемой постановке задачи состав БП, т. е. количество
ЭБО и порядок их следования друг за другом, задают в исходных дан-
ных. Поэтому не возникает никаких трудностей с тем, какой из фор-
мируемых моментов отделения ЭБО необходимо зафиксировать в ка-
честве момента отделения ББ, — tKi. Момент завершения текущего
перенацеливания и начала следующего определяется по алгоритму
разработчика СУ БР. Смысл его состоит в том, чтобы в момент от-
деления последнего ЭБО в «цепочке» формируемого БП определить
интервал времени А£пр, после которого можно безопасно начинать
следующий прямой разворот. Опасность в данном случае состоит в
том, что при развороте продольной оси БС факел ДУ может внести
возмущения в только что сформированный БП. Для этого и требуется
небольшая пауза А£пр перед началом очередного разворота.
Прежде чем начинать вычисление управляющих параметров для
очередного перенацеливания БС необходимо убедиться, что смоде-
лированное перенацеливание не было последним. В этом и заключа-
ется смысл очередного оператора рассматриваемой информационно-
логической схемы. Если г < N (здесь N — заданное в ИД количество
перенацеливаний), то наращивается значение счетчика точек прице-
ливания г, возвращается в начальное состояние значение счетчика
220
итераций j и возобновляется итерационный процесс для следующе-
го перенацеливания. В противном случае фиксируется факт заверше-
ния решения КБЗ.
6.5. Специфика решения краевых задач
для БР без отсечки тяги
Для БР с РДТТ технологически трудно обеспечить отсечку тяги
до полного выгорания топлива. ГЧ получает динамические возмуще-
ния из-за влияния импульса последействия отделившейся ступени,
на которой продолжается процесс горения топлива. Эта технологи-
ческая трудность успешно преодолевается на ряде современных БР в
том смысле, что удается найти технические решения, приводящие к
приемлемым значениям возмущений. Однако представляет практи-
ческий интерес решение, когда при пусках на любую дальность вы-
полняется полное расходование всех запасов твердого топлива, т. е.
самым радикальным образом снимается проблема «отсечки тяги».
Чтобы избыток скорости не приводил в данном случае к перелету
при пусках на промежуточные дальности, последними двумя сту-
пенями выполняется маневр, обеспечивающий попадание в цель за
счет выбора соответствующей крутизны траектории и одновременно
компенсацию части приращения скорости в процессе угловых разво-
ротов БР. Очевидно, что в этом случае приходится решать КБЗ, су-
щественно отличающуюся по постановке от предыдущих.
Рассмотрим в общих чертах возможный состав управляющих па-
раметров для такой КБЗ и подходы к ее решению, не пытаясь полу-
чить, как ранее, замкнутую схему решения задачи, поскольку этого
не позволяют объем и характер данной работы.
Обычный вид программы управления для пуска на максималь-
ную дальность [61] представлен на рис. 6.5.
На рисунке крестиком обозначены типовые моменты разделения
ступеней, а высокими пунктирными линиями отделены участки по-
лета каждой из ступеней. Пунктирами, ограниченными соответству-
ющим значением угла тангажа обозначены границы характер-
ных участков программы управления. На обозначенном дозвуковом
участке осуществляется такой разворот БР, чтобы к моменту выхо-
да на сверхзвуковой полет угол атаки был достаточно мал. После
преодоления звукового барьера на значения угла атаки накладыва-
ются жесткие ограничения. Это связано, как уже отмечалось, с тем,
221
Рис. 6.5. Типовой вид программы тангажа для пуска БР на максимальную
дальность:
I - дозвуковой участок; II - полет при малых углах атаки а; III - момент выхода из
плотных слоев; IV - волнообразная программа; V - программа крутых траекторий;
VI - оптимальная по дальности программа
что при наличии угла атаки возникает большой опрокидывающий
момент, способный при значениях а > адоп привести БР к поте-
ре устойчивости. В несколько менее жесткой форме ограничения
сохраняются до выхода БР из плотных слоев атмосферы.
Начиная с этого момента, выполняется разворот БР (см. сплош-
ную линию на участке 6) на участок программы, обеспечивающий
полет на максимальную дальность, обозначенный утолщенной пря-
мой (участки 7, 8*). Количество участков программы реально бывает
существенно больше, чем показано на рисунке, но мы ограничиваем-
ся только теми фрагментами программы, которые минимально необ-
ходимы для методического обсуждения решаемой задачи.
Легко догадаться, что любое отклонение от программы макси-
мальной дальности приведет к недолету. Однако нас интересует си-
туация, когда нужен очень большой недолет (на тысячи километров
от максимально достижимой дальности). Самый простой путь реше-
ния задачи заключается в значительном увеличении крутизны траек-
тории. Тогда, очевидно, дальность можно значительно уменьшить.
Участки программы, соответствующей этому подходу, обозначены
тонкой штрихпунктирной линией. А если воспользоваться рассмо-
тренным в п. 6.4 свойством инвариантного направления и завершить
* Можно считать, что участков 9 и 10 для этой программы нет, они — продол-
жение 8-го участка.
222
6-й разворот при развороте БР на соответствующий угол, то мож-
но предположить, что увеличение дальности с момента конца 6-го
участка вообще прекратится.
Приведенные варианты решения задачи верны в части принци-
пиальной возможности управления дальностью полета с помощью
изменения крутизны траектории. Однако при движении с большим
углом тангажа в течение продолжительного времени будет получе-
на крайне высокая, крутая траектория. При этом не будет обеспече-
но допустимое значение угла входа ББ в атмосферу, блок может фи-
зически разрушиться. Если вместо крутых траекторий использовать
очень пологие (развернуть ось ракеты не вверх, а вниз), то ББ может
сгореть в плотных слоях атмосферы, как метеорит, из-за нарушения
допустимого угла входа уже с другой стороны. В связи с этим целесо-
образно принять иной подход к управлению полетом в разреженных
слоях атмосферы.
Простейшая схема маневрирования вне атмосферы БР с ДУ без
отсечки тяги изображена утолщенной штрихпунктирной линией,
включая предшествующий ей участок тонкой штрихпунктирной ли-
нии. Сразу после выхода в разреженные слои атмосферы (обычно
это высоты 70...80 км) ракета совершает разворот по тангажу с
максимально допустимой угловой скоростью. Значение угла танга-
жа О7 на момент окончания маневра является одним из параметров
программы тангажа. Достигнув этого значения угла тангажа, некото-
рое время требуется СУ БР для компенсации возникших колебаний.
Программа О7 = const для этого хорошо подходит. Целесообразно
сохранить такую программу до отделения второй ступени (конец
7-го участка) и некоторое время после него (для создания безопас-
ных для отделения ступени условий и компенсации возмущений
после него). Отсюда следует минимально возможная продолжитель-
ность движения на первой «полке» программы тангажа (с углом
О7). После этого возможен следующий быстрый разворот до зна-
чения Ок). Осуществляется он аналогично предыдущему, но для
третьей ступени допустимая угловая скорость разворота может быть
иной. Рассмотренный волнообразный маневр по тангажу обеспечи-
вает, с одной стороны, частичную компенсацию (на участках 7, 8 и 10
вертикальная составляющая продольного ускорения имеет разный
знак) значения вектора скорости в конце АУТ, с другой стороны, воз-
можность сохранить угол наклона скорости в конце АУТ в пределах
223
требуемого значения. Первое позволяет уменьшить дальность поле-
та, второе — выполнить ограничения на угол входа ББ в плотные
слои атмосферы.
Таким образом, путем соответствующего подбора параметров Оу
и Ою можно обеспечить решение рассматриваемой КБЗ. Возникает
краевая задача, внешне очень похожая на КБЗ п. 6.3: выбор азимута
пуска обеспечивает управление попаданием в плоскость, в которой
находится цель в момент окончания полета, а с помощью О7 и Ою
обеспечиваем выполнение краевого условия по дальности. При этом
ДУ выключается в момент полного выгорания топлива.
Несмотря на выявленную аналогию с КБЗ п. 6.3 возникшую в
рассматриваемом случае краевую задачу решить значительно труд-
нее. Перечислим особенности, которые необходимо при этом учесть:
1) развороты до углов $7 и $ю должны выполняться с учетом
ограничений на допустимую угловую скорость, а это ограничение
может войти в противоречие с требуемым для обеспечения решения
КБЗ изменением одного из этих углов (или обоих);
2) существует обусловленное рассмотренными особенностями
разделения ступеней ограничение «снизу» на продолжительность
полета с углом $7, что также может воспрепятствовать сходимости
краевой задачи при определенных исходных данных;
3) ограничение «сверху» на продолжительность участка 8 также
существует, так как ограничен запас топлива на борту (с точки зре-
ния дальности полета есть «лишнее» топливо, но для компенсации
изменения угла входа ББ в атмосферу его может не хватить);
4) кроме ограничения на угол входа ББ в атмосферу существу-
ет также ограничение на скорость входа (физические причины этого
ограничения примерно совпадают с рассмотренными в связи с огра-
ничением на угол);
5) при отсутствии препятствий к заданию нужных для решения
КБЗ углов 1З7 и $10, а также протяженностей участков 8 и 10, суще-
ствует неоднозначность формирования программы, поскольку мож-
но решать задачу увеличением протяженности верхней «полки» про-
граммы, но можно вместо этого изменять протяженность нижней.
Избыток свободы в управлении параметрами программы не препят-
ствует решению задачи, но усложняет алгоритм, порой существенно;
6) рассмотренная структура программы — не единственно воз-
можная, очевидно, что преодолеть перечисленные в пп. 1—4 про-
блемы можно введением дополнительного разворота по тангажу, но
224
Рис. 6.6. Иллюстрация неоднозначности решения КБЗ для БР без отсечки
тяги при реализации волнообразной программы угла тангажа
тогда возникнут новые неопределенности из-за избытка управляю-
щих параметров;
7) рассматриваемая задача, как правило, имеет не одно решение,
что иллюстрирует рис. 6.6. Это дает возможность выбора лучшего
в некотором смысле варианта из возможных, но усложняет алгоритм.
На рис. 6.6 отображены результаты моделирования полета БР без
отсечки тяги с реализацией так называемой [10] волнообразной про-
граммы тангажа (см. п. 8.5). Диапазон значений управляющих пара-
метров Оу и дю, в котором осуществлялось моделирование, пока-
зан на осях контурных графиков. Для каждой пары О7 и Ою вы-
числены сферическая дальность полета 5сф и угол входа ББ в атмо-
сферу на ПУТ, а точки с равными значениями дальности соедине-
ны сплошными изолиниями, точки с равными значениями угла вхо-
да соединены пунктирными изолиниями. Легко видеть, что изолиния
5сф = 9000 км пересекается с изолинией 0ВХ = —25° в двух точках,
которые помечены крестиком. Это означает, что КБЗ с такими крае-
выми условиями имеет два решения. Азимут принимался в данном
случае равным 0, однако понятно, что можно получить аналогичные
контурные графики для любого значения азимута. Возможно нахо-
ждение соответствующих значений управляющих параметров и без
графиков — путем интерполяции по двумерным таблицам.
225
Трудности решения КБЗ для БР без отсечки тяги, перечислен-
ные здесь, вовсе не означают, что задача не имеет решения. Просто
это более сложный класс краевых задач, требующий создания более
«умных» алгоритмов. Такие алгоритмы в настоящее время успешно
разрабатывают и внедряют в практику баллистического обеспечения
пусков БР и ракет-носителей.
В заключение обратим внимание на то обстоятельство, что с из-
менением крутизны траектории существенно меняется и полное по-
летное время. Поэтому в процессе решения рассмотренной краевой
задачи целесообразно прекращать итерационный процесс не в мо-
мент, когда обеспечено удовлетворение краевого условия по дально-
сти и условиям входа ББ в атмосферу, а в момент, когда достигается
условие обеспечения заданного полетного времени.
Нетрудно догадаться, что алгоритм для вычисления точек пере-
сечения изолиний дальности с изолиниями полного полетного вре-
мени мало отличается от алгоритма вычисления точек пересечения
изолиний дальности с изолиниями угла входа ББ. Чтобы представить
себе, как выглядят изолинии полного полетного времени, достаточ-
но мысленно повернуть изолинии дальности относительно большой
полуоси фигур, похожих на эллипсы, на 20—30° и сместить точку
экстремума вверх и вправо.
6.6. Вычисление баллистических производных в краевых
задачах баллистики
При рассмотрении алгоритмов решения КБЗ мы неоднократно
сталкивались с интуитивно понятным термином «точка падения ББ».
Дадим строгое определение этому понятию.
Будем называть поверхностью точки прицеливания геометриче-
ское место точек, получаемых переносом каждой точки поверхности,
аппроксимирующей поверхность Земли, вдоль нормали, проведен-
ной из этой точки, на расстояние, равное высоте точки прицеливания.
Точка падения ББ, или конечная точка траектории, есть точка пере-
сечения траектории полета ББ с поверхностью точки прицеливания в
случае наземного взрыва или точка этой траектории в момент време-
ни, заданный датчиком подрыва, во всех остальных случаях. Отсю-
да следует, что если при наземном взрыве по той или иной причине
высота точки падения не совпадает с высотой точки прицеливания,
226
то для вычисления отклонений точки падения от точки прицелива-
ния необходимо расчетным путем вычислить точку пересечения тра-
ектории полета ББ с поверхностью точки прицеливания. Причиной
указанного несовпадения высот могут быть, например, особенности
рельефа местности в окрестности точки прицеливания, ошибка сра-
батывания датчика подрыва и т. п.
В наиболее часто встречающемся случае, когда в качестве моде-
ли фигуры Земли используется эллипсоид вращения, для вычисле-
ния точки пересечения траектории полета ББ с поверхностью точки
прицеливания необходимо решить следующую систему уравнений:
г = \Jx2 (t) + у2 (t) + z2 (f),
— ^ТП)
где
9 (t)
cos2 (0=1--------z—. (6.25)
r2
Аналитические методы решения системы (6.24) отсутствуют,
поэтому можно говорить только о приближенном численном опре-
делении координат точки падения, хотя имеется возможность по-
лучить такое решение с любой требуемой для практических нужд
точностью. При этом обычно принимают дополнительное
допущение (ртп « <рц. После чего, для вычисления координат точки
падения достаточно вместо системы уравнений (6.24) решить одно
уравнение:
у/х2 (i) + У2 (i) + Z2 (t) = гц. (6.26)
В этом уравнении гц не зависит от времени, а заранее рассчиты-
вается по координатам цели. Однако пользуясь рассмотренным до-
пущением, необходимо всякий раз отдавать себе отчет, что оно мо-
жет иметь приемлемую точность только на расстоянии в несколько
километров от цели. Для более точной оценки в широком диапазоне
расстояний можно воспользоваться табл. 6.1.
227
Таблица 6.1
S, км фГц’ град
5 15 25 35 45 55 65 75 85
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 6 17 26 32 34 31 26 17 6
20 12 34 52 63 67 63 51 33 11
30 18 51 78 95 101 94 77 50 17
40 24 68 104 127 134 126 102 66 22
50 31 85 130 158 168 157 127 82 28
60 37 103 156 190 201 188 153 99 33
70 44 120 182 222 235 219 178 115 38
80 50 138 209 254 268 251 203 131 43
90 57 155 235 286 302 282 228 147 48
100 64 173 261 318 336 313 253 163 53
В табл. 6.1 приведены погрешности вычисления высоты точки
падения (в метрах) вследствие принятия допущения (ртп « <рц в
зависимости от геоцентрической широты точки прицеливания ((ргц
в градусах) и отклонения от нее точки падения на расстояние S
(в километрах) вдоль меридиана на север. Соответствующие от-
клонения по дальности можно рассчитать по формулам, учитыва-
ющим угол встречи ББ с целью. При расчетах на ЭВМ разумнее
контролировать погрешность по формуле (6.24). Значения в ячей-
ках таблицы представляют собой разность гтп (<ргц, = 0) — гтп
(<ргц + S/6371.21, Лц = 0), где оператор гтп (<ргц, Лц) представляет
собой вторую формулу из (6.26).
Рассмотрим сферические координаты точки падения (КТП)
(рис. 6.7), где гн — радиус-вектор точки старта Он; гц — радиус-
вектор точки прицеливания Ц; гс — радиус-вектор точки падения С;
О — центр Земли.
Дуга ОНЦ образуется в результате пересечения сферы радиусом
7?Ср или Гц с центром в точке О с плоскостью, которую однозначно
определяют пересекающиеся векторы гн и гц. Эта дуга измеряется
углом Фц между указанными векторами и определяет угловую даль-
ность до точки прицеливания.
228
N
Рис. 6.7. Сферические координаты точки падения
Двугранный угол между плоскостями ООНЦ и ООН С, обозначен-
ный на рисунке как Ес, измеряется плоским углом ЦО'С, где точка
О' получена как основание перпендикуляра, опущенного из точки Ц
на радиус-вектор гн. Очевидно, что проекция радиус-вектора гс на
гн совпадет с 00' только в том случае, когда точки Ц и С принад-
лежат одной и той же поверхности сферы, которой образована дуга
ОНЦ, и находятся на равном угловом расстоянии от точки Он. Ранее
уже рассматривалась аналогичная ситуация при решении ОГЗ. Тогда
вместо векторов гн и гц вводились условные векторы, заканчиваю-
щиеся в точках, совпадающих с проекциями этих векторов на сферу,
аппроксимирующую поверхность Земли. Этот прием оказался удоб-
ным для решения определенного круга задач, в частности, КБЗ для
БР, оснащенных моноблоком. Поэтому применим условное измене-
ние длины векторов гн и гц и в данном случае. Разность же угловых
дальностей цели и точки падения ББ в общем случае не должна при-
ниматься нулевой. Следует отметить, что на рис. 6.7 допускается не-
которая условность. В общем случае вместо прямой, соединяющей
точки О' и С, следует рассматривать перпендикуляр к линии, зада-
ваемой гн, восстановленный из точки О' в плоскости ООН С в сторо-
ну точки С. Именно этот перпендикуляр и образует с О'Ц плоский
угол Е’с, равный одноименному двугранному углу. Точка О', которая
будет фиксировать длину отрезка О' С' = гц sin Фц на рассматривае-
мом перпендикуляре, обеспечивает равенство отрезков О'Ц = О' С'.
Только в указанном выше случае Фц = Фс и гн = гц = гс точка С'
229
совпадает с С, но угол Ес от этого не зависит, так как он вообще не
зависит от О' С", если она не равна 0.
При тех расстояниях между точками Ц и С, которые имеют прак-
тическое значение для решения большинства задач баллистическо-
го обеспечения, эти тонкости не играют существенной роли. Однако
следует понимать, что в ряде случаев они существенны. Расчетные
формулы, связанные с этими координатами настолько просты, что
проверка их пригодности, как это было сделано в случае с допуще-
нием фтп ~ (рц, не составляет труда.
Угол Ес принято называть угловым отклонением точки падения
от точки прицеливания. Положительное направление углового от-
клонения, как и для азимута, отсчитывается по часовой стрелке от
исходного направления старт — цель. Пары углов [Фц, Вц] и [Фс, Ес\
принято называть угловыми сферическими координатами точки цели
и точки падения соответственно. Очевидно, по определению Вц = О,
поэтому всегда Ес — Е1{ = Ес. Из рис. 6.7 следует, что угол между
плоскостями OOhN и ООнЦ есть сферический азимут дуги ОНЦ, а
угол между плоскостями OOnN и ООНС — сферический азимут ду-
ги ОНС. Поэтому Ес = Асфс — Лсфц.
На практике иногда нагляднее и удобнее пользоваться не угловы-
ми (измеряемыми в радианах), а криволинейными (измеряемыми в
метрах или в километрах) сферическими координатами точки цели
и точки падения. Ранее уже использовалась для решения КБЗ сфери-
ческая дальность б'сф = ВсрФ. По аналогии вводится сферическая
координата точки в боковом направлении Всф = RcpE sin Ф. Отсюда
возникают пары сферических криволинейных координат [5сфц> Всфц]
и [5'сфс, Всф ]. Поскольку тройная индексация громоздка, чаще при-
меняются обозначения [£ц, Вц] и [Lc, Вс]. Иногда в технической ли-
тературе используется символ Z или z вместо В для обозначения бо-
ковой координаты, но мы будем использовать для указания коорди-
нат «дальность» и «боковое направление» символы L и В. Обратим
внимание на то, что радиусом дуги ЦС" является величина Вср sin Фс,
а не Вср. Поэтому длина дуги Ес (криволинейная координата) изме-
ряется указанным образом. С учетом сделанных выше пояснений бу-
дем вместо С' использовать С.
В качестве меры отклонения точки падения от точки прицелива-
ния иногда можно использовать разности криволинейных координат
AL = Lc — £ц и АВ = Вс — Вц. Формулы
230
М = Ги(Фс- Фц),
А ТЭ • л: / А А \ W«27)
АВ = Гц sin Фц(Асфс - Асфц)
с учетом (6.24) представляют собой алгоритм (6.4), для краткости за-
писанный ранее в символической форме [ Д£ц, ДВЦ]Т = F\(tK, Aq).
При малых значениях отклонений AL и ДВ можно пренебрегать
кривизной осей и рассматривать отклонения в качестве модуля дву-
мерного вектора с компонентами [ ДВЦ, ДВЦ]Т.
Учтем приведенный в п. 6.3. алгоритм решения ОГЗ с исполь-
зованием координат точек старта и падения в ГСК, тогда формулы
(6.24) и (6.27) дадут замкнутый алгоритм расчета отклонений точки
падения от точки прицеливания. Однако иногда необходимо полу-
чить в конечной точке полета геодезические или геоцентрические,
а не сферические координаты точки падения. Приведем расчетные
формулы для вычисления их по геоцентрическим координатам точки
падения, которые всегда известны в результате моделирования поле-
та на ПУТ либо легко пересчитываются по известному времени по-
лета Тп из абсолютных геоцентрических координат, если интегриро-
вание велось в АГСК.
Итак, известные координаты г = [X, У, Z]T заданы в ГСК. Не-
обходимо вычислить (ргц, X*, h (для сферической модели Земли —
рис. 6.8, а) или (pr, X*, h (когда в качестве модели применяется эл-
липсоид вращения — рис. 6.8, б). Индекс принадлежности коорди-
нат к точке падения будем опускать как для краткости записи, так и
с учетом универсальности алгоритма, пригодного для расчета иско-
мых координат в любой точке траектории.
Алгоритм для сферической модели Земли имеет вид
г = \/Х2 + У2 + Z2,
У
(р = arcsin —,
г (6.28)
h = r - Rep,
Л.» = arctg + ^(1 - signZ),
231
Рис. 6.8. Схема вычисления координат местоположения БР
для сферической (а) и эллипсоидальной (б) моделей Земли
где
signZ = <
1 при Z > О,
— 1 при Z < О,
причем X*
0,5тг, если (Z = 0) и (X > 0);
1,5тг, если (Z = 0) и (X < 0).
(6.29)
Алгоритм расчета высоты для эллипсоида вращения имеет вид
У2
cos2 <ргц = 1 -
N = а3
1 ~ ез
1 - el cos2 фгц
(6.30)
Яц = г - N,
где радиус г и долгота X* вычисляют согласно (6.28) и (6.29), а гео-
дезическая широта определяется по алгоритму
Y
фг = arctg-------------------ттг-. (6.31)
Vz2 + X2 • ( 1 - е\— )
\ r J
В формулах (6.30) и (6.31) аз и е2 — большая полуось и квадрат
эксцентриситета принятого в качестве модели Земли эллипсоида вра-
щения.
232
Отметим, что формулы (6.28) и (6.29) являются точными в рам-
ках принятой схематизации, а формулы (6.30) и (6.31) — приближен-
ными. До высот 2000 км погрешность определения по ним высоты
Д/г < 9 м, а погрешность определения широты Д ср < 0,0002°. В
пределах высот, для которых чаще всего используется этот алгоритм
(до 100 км), Д/г < 0,5 м, а Д (р < (10-5)°. Поэтому нестрогость
алгоритма практического значения не имеет.
Кроме того, когда требуется особенно высокое быстродействие,
применяют несколько более грубые, но более оперативные алгорит-
мы вычисления геодезических координат:
h = г - аз (1 — к (1 - 1, 5/с)),
(pr = arctg------------------------г-г-у, (6.32)
VZ2 + X2 • ( 1 - el | 1 + - ) )
\ \ r / /
7 ,Z2 , 0,5 -el
где к = ee = -------------y- — константа, которая рассчитывает-
r2 1 - ез
ся заблаговременно один раз. Расчет параметров г и X* выполняется
по формулам (6.28) и (6.29). Алгоритм предложен в 1979 г. Ю.С. Со-
ловьевым и Б.Н. Степановым и публикуется в варианте, предложен-
ном С.В. Беневольским [10], с незначительными изменениями по
сравнению с оригиналом.
Изложенное выше позволяет считать, что с помощью величин
Д£ и ДВ можно приблизительно оценить расстояние от точки па-
дения до цели. Из сферического треугольника ОНАЩ (см. рис. 6.7)
легко определить по формулам сферической тригонометрии угол
ОНЦДГ. Однако проще и удобнее воспользоваться имеющимся ал-
горитмом решения ОГЗ. Для этого достаточно в исходных данных
поменять радиус-векторы старта и цели местами, т. е. представить
(6.6) в виде [С, £*ф] = Еогз(г2,Г1), где С — краткое обозначение
угла ОнЦА^. Тогда угол Al = тг — С будет азимутом дуги ОНЦ, про-
долженной далее точки Ц, определенным в точке Ц, т. е. азимутом
введенной криволинейной оси L. Для математических преобразо-
ваний отклонений точки падения удобнее ввести прямоугольную
декартову систему координат, названную целевой (ЦСК).
Рассмотренный выше способ определения азимута Al приемлем
для решения КБЗ, но для анализа причин, вызвавших отклонения
точки падения, им пользоваться нельзя, так как оси ЦСК введены
чисто геометрически и со свойствами полета БР связаны достаточно
233
Рис. 6.9. Положение век-
тора VKac относительно
направлений 1м и 1п
грубо. Например, не учитывается враще-
ние Земли при выборе ориентации оси Ц£.
По этой причине азимут пуска может на
несколько градусов отличаться от сфери-
ческого азимута цели. Желательно для ана-
лиза отклонений координат точки падения
выбрать такую систему координат, в кото-
рой ориентация осей полнее учитывала бы
особенности полета.
Направление изменения дальности по-
лета в точке прицеливания должно быть близко к направлению век-
тора относительной скорости ББ в момент попадания его в эту точку.
Поэтому в качестве Al можно принять азимут вектора относитель-
ной скорости ЦМ ББ в точке падения (7, — Ау. Замена Ц на С связа-
на с тем, что при решении КБЗ на всех итерациях, кроме последней,
траектория еще не проходит через цель, т. е. параметры требуемой
траектории в точке цели неизвестны. Рассмотрим, как определить
ось Ц£ ЦСК в данном случае.
В процессе расчета ПУТ вычисляют векторы точки падения г с и
относительной скорости N с в этой точке. Сферические или геодези-
ческие координаты точки падения вычисляют по формулам (6.28)—
(6.31) через проекции г^. Проекции на оси ГСК единичных векторов
направления касательной к меридиану 1м и касательной к паралле-
ли 1п легко найти из (рис. 6.8, а), если заметить, что угол между 1м и
проекцией вектора г с на плоскость экватора есть фгц + тг/2, а угол
между 1п и той же проекцией есть X* 4- тг/2. Тогда
1м — [—sin cprcos X*, —sin (prsin X*,cos (pr]T,
< (6.33)
ln = [-sin X*,cos X.*,0]T.
На рис. 6.9 изображено взаимное положение вектора VKac (проек-
ции V с на плоскость, касательную к поверхности Земли в точке па-
дения) и вычисляемых с помощью (6.33) направлений 1м и 1п. Умно-
жая Ус на орты 1м и 1п, получим проекции относительной скорости
на направления касательной к меридиану и касательной к параллели
в точке падения. Угол между VMep и VKac представляет собой азимут
вектора относительной скорости Ау. С учетом этого получаем алго-
ритм (6.34)—(6.36) для расчета Ау и проекций основных осей ЦСК
на оси ГСК:
14iep — Vc'Im, V^ap — Vc'ln;
(6.34)
234
Ay = arctg при sign(sin Ay) = sign(Vnap),
^MeP (6.35)
sign(cosAv) = sign(VMep);
L = 1M cos Ay + ln sin Ay,
< В = —1M sin Ay + ln cos Ay, (6.36)
h = rc/rc-
Этим алгоритмом обычно пользуются для расчета отклонений
точки падения при решении КБЗ на участке разведения по форму-
лам
AL = L(rc - гц), АВ = В(гс - гц). (6.37)
Рассмотрев два возможных подхода к приближенному определе-
нию ориентации направления изменения дальности в точке прице-
ливания, логично задаться вопросом: а каково естественное положе-
ние этого направления. При решении КБЗ на АУТ мы столкнулись
с тем, что изменение времени выключения ДУ приводит к измене-
нию дальности полета. Мысленно представим себе ситуацию, когда
изменяется только время tK, а азимут пуска и все параметры моде-
ли движения остаются неизменными. Тогда можно представить себе
множество точек падения, соответствующих множеству значений tK.
Если интервалы At между соседними значениями tK достаточно ма-
лы, то рассматриваемые точки сольются в сплошную линию. В на-
шем мысленном эксперименте зафиксировано направление пуска и
не вводится никаких факторов, способных изменять направление по-
лета. Разумно считать, что при At —> О рассматриваемое множество
точек образует линию естественного изменения дальности. Эта ли-
ния не является плоской, как на рис. 6.7. Причина в том, что из-за
вращения Земли, действия силы ее притяжения и аэродинамических
сил, которые в общем случае не совпадают с мгновенной плоскостью
движения ЦМ БР, происходит искривление траектории полета отно-
сительно поверхности Земли в боковом направлении даже в том слу-
чае, когда вектор тяги все время находится в одной плоскости.
Касательная к линии естественного изменения дальности, по-
строенная в точке прицеливания, задает естественное направление
изменения дальности в данной точке. Азимут этой касательной назы-
вается азимутом линии естественного изменения дальности. Если
235
при построении ЦСК в качестве Al выбирается азимут линии есте-
ственного изменения дальности, получаем систему координат, кото-
рая ранее была названа естественной системой координат (ЕСК). В
п. 6.4 формально были введены частные производные от дальности
и бокового отклонения по скорости полета Ly, By, под которыми
понимались модули векторов Ly, By. Теперь важно заметить, что
эти векторы будут разными в зависимости от того, какая из рас-
смотренных систем координат используется при их вычислении —
естественная или целевая. Дело в том, что малое изменение модуля
вектора скорости при использовании естественной системы коорди-
нат, по определению, должно приводить к малому отклонению даль-
ности, но не вызывать бокового отклонения. Соответственно малое
изменение ориентации вектора скорости только по направлению без
изменения его модуля должно приводить в данном случае только к
боковым отклонениям без изменения дальности. Математически та-
кое возможно, если Ly перпендикулярен By. Тогда равенство нулю
скалярного произведения этих векторов может служить признаком
того, что азимут Al является строго азимутом линии естественного
изменения дальности. Если же для расчета Ly и By использует-
ся приближенное значение Al, отличающееся от азимута линии
естественного изменения дальности на некоторую величину АЛ, то
Ly • By 0. В этом случае оси ОБСК, используемой для организа-
ции маневров на участке разведения, не будут ортогональными.
Рассмотренное свойство частных баллистических производных
(ЧБП) иногда используется для того, чтобы ввести определение ЕСК,
отличное от рассмотренного выше. В этом случае «естественной» на-
зывают прямоугольную декартову систему координат \\lhb с началом
в точке прицеливания, осью Ц/г, напра-
вленной вверх по нормали к поверхности,
принимаемой за математическую модель
поверхности Земли, а оси Ц/ и Ц6 выби-
раются так, чтобы выполнялось условие:
1у • by = 0. Обозначение дальности и
бокового направления осуществляется ма-
лыми буквами для отличия производных в
ЕСК от производных в ЦСК.
ЛА=AL-А у
Рис. 6.10. Взаимное поло-
жение ЕСК и ЦСК
На рис. 6.10 оси ЕСК повернуты отно-
сительно осей ЦСК на угол, соответствую-
щий погрешности задания Al при ориен-
236
тации осей ЦСК по азимуту Ау. Из рисунка следует, что отклонения
точки падения в проекциях на оси ЕСК и ЦСК связаны между собой
соотношениями
А/ = AL cos АА + АВ sin АА,
< (6.38)
Ab = — AL sin АА + АВ cos АА.
Продифференцируем по V обе части выражений (6.38):
ly = Ly cos ДА 4- By sinAA,
< (6.39)
by = —Ly sin ДА + By cosAA.
По определению ЕСК левые части (6.39) связаны соотношением
1у • by = 0. Отсюда следует
(Ly cos ДА + By sin ДА)(—Ly sin ДА + By cos ДА) = 0. (6.40)
Раскроем скобки в (6.40) и алгебраически упростим результат:
2 sin ДА cos ДА (Ly — By) = 2LyBy • (cos2 ДА — sin2 ДА)
или с помощью тригонометрических формул двойного аргумента
sin 2 ДА (Ly — By) = 2LyBy • cos 2 ДА.
Обе части последнего равенства разделим на cos 2 ДА. Получаем
tg 2 ДА =
2Ly By
L2V-B^
или ДА = | arctg
2LyBy
(6А1)
Выражение (6.41) позволяет по известным частным производ-
ным Ly и By вычислить азимут линии естественного изменения
дальности и по формулам (6.39) строго определить взаимно орто-
гональные производные 1у и by.
Вернемся теперь к понятию частных баллистических производ-
ных.
Под ЧБП принято понимать частные производные от параметров
движения ББ в характерных точках пассивного участка расчетной
траектории по начальным условиям пассивного полета. Такими ха-
рактерными точками могут быть точки падения, подрыва, входа ББ
в плотные слои атмосферы и др. В качестве параметров движения в
237
этих точках чаще всего рассматривают дальность, отклонение в бо-
ковом направлении, время полета, скорость и угол входа ГЧ в атмо-
сферу. ЧБП характеризуют степень влияния НУ полета на соответ-
ствующие параметры движения в характерных точках ПУТ.
Правые части системы дифференциальных уравнений движения
ЛА на ПУТ зависят только от фазовых координат и гравитационного
ускорения g(r). Поэтому продолжительность полета и фазовые ко-
ординаты в конечной точке однозначно определяются начальными
условиями полета. Они не зависят от условий полета на АУТ, про-
граммы управления и т. п. Такая однозначная связь НУ полета с ко-
нечными условиями, определяющими степень его успешности, по-
зволяет широко использовать ЧБП при решении большого круга за-
дач баллистики ЛА, в том числе краевых задач.
Необходимо учитывать, что если моделирование полета на ПУТ
осуществляется в инерциальной системе координат, то отклонения
точки падения от точки прицеливания зависят еще от времени начала
полета на ПУТ, поскольку точка прицеливания связана с поверхно-
стью вращающейся Земли. Поэтому значения ЧБП в значительной
мере зависят от того, в какой системе координат заданы конечные
условия и НУ полета — инерциальной или неинерциальной.
Для обозначения векторов, часто применяющихся на практике
ЧБП, принято условно опускать знаки дифференцирования, предста-
вляя
dL
= Ly — производную от дальности полета по вектору VK;
дТ
ЭУ = Ту — производную от времени полета на ПУТ по векто-
РУ VK;
dL
= Ly — производную от дальности полета по модулю век-
тора VK;
dL т
— = Lt — производную от дальности полета по времени начала
ПУТ tK и т. п.
Здесь VK — скорость в момент начала полета на ПУТ, равная ско-
рости в конце АУТ. Такие сокращения легко распространить далее
на все остальные параметры, для которых определяют те или иные
ЧБП.
238
Чаще всего на практике требуется вычислять ЧБП от некото-
рых параметров (П), заданных в неинерциальной системе координат
(поскольку они связаны с вращающейся Землей) по параметрам
q в инерциальной системе координат. Пусть, например, П1 = L,
П2 = В, П3 = Тп, a qou = qiu = V^u(t/<), Я‘2и —
ЯЗи — Я4и — ЯЗи — Яби — Здесь
индекс и подчеркивает принадлежность соответствующих параме-
тров к инерциальной системе координат. Те же самые параметры
в неинерциальной системе координат будем обозначать qn без до-
полнительного индекса. Для сокращения записи введем матрицы
П = [П1? П2, Пз] , €[и = Я1и, Я2и-> ЯЗи, Я1и, Я5и-> Яби\ , Qntz = [-^пи,
Qiu(rn), Q2u(rn), ЯЗи(Тп), Ш(ТП), 35и(Тп), ^би(Гп)]т. Матрица qnu
включает в себя время и фазовые координаты ГЧ в конечной точке
полета.
Будем считать известной ММД на ПУТ, позволяющую вычислять
параметры движения в инерциальной системе координат. Результат
расчета ПУТ с учетом обсуждавшейся выше однозначной связи па-
раметров в конечной точке полета с НУ движения обозначим опера-
тором
qn« = Fnu(qJ- (6.42)
Алгоритм пересчета параметров движения в конечной точке из инер-
циальной системы координат в неинерциальную и вычисления гео-
дезических или геоцентрических координат (в соответствии с требу-
емой точностью расчета ЧБП) и азимута Ау обозначим
[Фп, Хп,Ау]т = Гф(дпи). (6.43)
Алгоритм вычисления параметров, по которым находим ЧБП, обо-
значим как
п = Fn(qnu). (6.44)
Информационно-логическая схема алгоритма расчета ЧБП мето-
дом двусторонних конечных разностей изображена на рис. 6.11.
Блок предварительных вычислений на этой схеме включает:
— запоминание (для последующего восстановления) начальных
условий: q0 = qu;
— расчет номинальной траектории ПУТ qn0 = Fntz(qo);
239
Рис. 6.11. Логическая схема алгоритма расчета ЧБП
методом двухсторонних конечных разностей
— вычисление сферических (или геодезических) координат точ-
ки падения;
— расчет азимута вектора относительной скорости в точке паде-
ния Ау, а также векторов L и В;
— обнуление счетчика номеров параметров, по которым берутся
производные, т. е. п = 0, инициализация счетчика параметров, от
которых берутся производные, т. е. т — 1;
— задание значений вариаций AqI]u для каждого компонен-
та qI]u вектора начальных условий (подбор подходящих для это-
го значений выполняется экспериментально, часто можно принять
AqI]u = 0,005qnu, — «правило половины процента», которое не-
приемлемо, если qnu = 0).
В следующем блоке схемы п-я компонента вектора начальных
условий увеличивается на значения соответствующей вариации
AqI]u. Зависящие от нее параметры помечаются верхним индек-
сом +.
240
Затем выполняется моделирование полета на ПУТ с вычислени-
ем параметров движения в конечной точке и расчетом в этой точке
вектора параметров, по которым берут частные производные. Если
ЧБП вычисляется от параметра, связанного с другой точкой пассив-
ного участка (например, от скорости входа ББ в атмосферу), то следу-
ет добавить фиксацию значения этого параметра в процессе расчета
ПУТ в операторе FI]u(qu), что не меняет сути рассматриваемого ал-
горитма.
Далее n-я компонента восстановленного вектора начальных
условий уменьшается на значение соответствующей вариации Aqnu.
Зависящие от нее параметры помечают верхним индексом -.
Повторяется моделирование полета на ПУТ с вычислением па-
раметров движения в конечной точке и расчетом в этой точке векто-
ра параметров, по которым берут частные производные. Замечание
о производной от параметра, связанного с другой точкой пассивного
участка, остается в силе.
Независимо от знака вариации параметров qmi отклонения точ-
ки падения от точки прицеливания вычисляют по формулам AL =
= L(rc — гц) и АВ = В (гс — гц) с учетом соответствующих зна-
чений Т~с и г“.
Для численного дифференцирования используется стандартная
формула второго порядка точности, приведенная в следующем блоке
схемы. Вычисления по этой формуле повторяют для каждой компо-
ненты матрицы П.
После того как вычислены все производные, зависящие от
тг-й компоненты qu, повторяют все рассмотренные операции, кро-
ме предварительных вычислений, для всех оставшихся параметров
начальных условий. В результате наряду со всеми остальными иско-
мыми ЧБП становятся известными векторы Ly и By. Все производ-
ные вычислены при этом с использованием ЦСК. Если не требуется
очень высокая точность расчета ЧБП (как в случае с выполнением
итерационного процесса при решении КБЗ), то задача может счи-
таться решенной.
В общем случае после этого выполняется процесс ортогонали-
зации вычисленных ЧБП по формулам (6.40) и (6.38). Аналогично
ортогонализируют оставшиеся производные:
241
(6.45)
lr = Lr cos ДА + Br sin ДА,
br = —Lr sin ДА +’ Br cos ДА,
It = Lt cos ДА + Bt sin ДА,
bt = — Lt sin ДА + Bt cos ДА.
Естественно, что ортогонализации подвергают только параме-
тры, определявшиеся относительно осей ЦСК. Производные типа
Ту, Тг, 0у и т. п. не требуют ортогонализации (под 0 здесь пони-
мается угол входа ББ в плотные слои атмосферы).
6.7. Связь между ЧБП, задаваемыми в различных
прямоугольных системах координат
При решении КБЗ, рассмотренных выше, удобно моделировать
движение в АГСК и в этой же системе рассчитывать необходимые
ЧБП. При расчете полетных заданий на пуск обычно требуются ЧБП,
рассчитанные по параметрам в начальной стартовой системе коорди-
нат в силу особенностей инерциальной системы навигации. Рассмо-
трим общий подход к получению связи между ЧБП, вычисленными
в двух любых декартовых прямоугольных системах координат.
Пусть задана матрица направляющих косинусов М = [т^], свя-
зывающая параметры движения в инерциальных системах коорди-
нат 1 и 2. Будем обозначать соответствующими индексами векторы
скорости и радиус-векторы центра масс ракеты. Тогда
Vi =М V2 (6.46)
Запишем выражение для дифференциала от дальности полета:
через параметры системы 1
cZZ/ = Lyx\dVx\ “Ь Lyy\dVyi “Ь +
-h Lx\dx\ -|- Ly^dyi + Lzidzy (6.47)
через параметры системы 2
dL = LVx2dVx2 + Lyy2dVy2 + Lyz2dVz2 +
+ Lx2dx2 T- Ly2dy2 + Lz2dz2. (6.48)
Если нас интересует частная производная по скорости, то следу-
ет принять dr = 0 и рассматривать только вариации составляющих
242
скорости. Поскольку dVi = McfV2, то в соответствии с (6.46) выра-
жению dL = LvX]dVxi + LyyidVyi + LyzidVzi эквивалентно
dL = LVxi(mndVx2 + mi2dV?/2 + Ш1зс?Уг2) +
+ LVyi(m2idVx2 + m22dVy2 + m^^dV z^) +
+ LVzi(m^dVx2 + mwdVy2 + m?adV Z2Y (6.49)
Раскроем скобки и перегруппируем члены в (6.49) следующим
образом:
dL = (Ьух1ГПц + Lyy\m2\ + Ьу21Шз1)с?Ух2 +
+ (LyxiTTli2 + Lyyim22 + LyzlTTl32)dVy2 +
+ (Lvximi3 + LVylm23 + LVzlm^dVz2. (6.50)
С другой стороны
dL = Lyx2dVx2 + Lyy2dVy2 + Lyz2dVz2-
(6.51)
Поскольку левые части (6.50) и (6.51) тождественны, их правые
части должны совпасть. Так как компоненты вектора V2 — незави-
симые переменные, то это возможно только при одновременном вы-
полнении трех равенств:
Lyximu + Lyyim2i + Lyzim^ = LyX2,
Lyximi2 + LyyiTri22 + Lyzim^2 = Lyy2,
Lyximis + Lyyyrri23 + by2im33 = LVz2. ,
или Ly2 = MTLyi.
Аналогичным образом выводится соотношение
Lyi = MLy2,
а также соотношения
Lri — MLr2,
Lr2 = MTLrl. ,
(6.52)
(6.53)
(6.54)
243
Для неинерциальных систем координат матрица направляющих
косинусов зависит от времени. В этом случае из дифференцирования
по времени соотношения ri = М • Г2 получаем
dri
dt
dr<2
= M-^+Mtr2,
dt
(6.55)
а л- dM
где Mj = ——.
dt
С учетом (6.55) соотношения между ЧБП принимают вид
Lyi = MLy2? Ly2 — MTLyi,
>
Lri = MLr2 + MfLy2, Lr2 — MTLri + MJLyj.
(6.56)
Они отражают особенности вычисления координат в относитель-
ном движении.
РАЗДЕЛ III
МЕТОДЫ НАВЕДЕНИЯ БР И ИХ ГОЛОВНЫХ
ЧАСТЕЙ
В соответствии с установившейся терминологией, наведение
представляет собой составную часть общей задачи управления дви-
жением БР, включающей подзадачу регулирования положения ЦМ,
решение которой ставит целью выведение ГЧ на попадающую тра-
екторию, и подзадачу стабилизации, заключающуюся в отработке
сформированных системой наведения программ управления в кон-
туре стабилизации.
Следуя [87, 98], под методом наведения (МН) будем понимать
некоторую обобщенную стратегию, сформулированную в виде пра-
вила, в соответствии с которым осуществляется выработка программ
управления движением и разовых команд наведения (в частности, ко-
манды на отделение ГЧ). Данное правило, выраженное в замкнутой
математической форме, пригодной для практической реализации в
СУ, называют алгоритмом наведения. Всю совокупность МН приня-
то подразделять на две группы в зависимости от содержания принци-
па формирования программ управления, т. е. принципа программи-
рования движения, реализуемого данным методом. Различают прин-
ципы предварительного и текущего программирования движения.
Принцип предварительного программирования движения за-
ключается в том, что программы управления формируют заблаго-
временно, до пуска БР, и в процессе полета не изменяют. Такие
программы определяются для номинальных (расчетных) условий
полета БР и являются по своему смыслу программами разомкну-
того управления, так как обратная связь по текущим параметрам
движения в формировании программ управления не участвует.
Принцип текущего программирования движения заключается в
том, что программы управления определяются непосредственно в
полете и их формируют по принципу обратной связи, т. е. они явля-
ются программами замкнутого управления. Программы управления,
245
формируемые при текущем программировании движения, получили
название свободных программ управления, а сам принцип текущего
программирования именуется принципом наведения по свободным
траекториям.
Разовые команды наведения вырабатывают в обоих случаях как
команды замкнутого управления, таким образом, они являются функ-
циональными командами, обычно называемыми базовыми. Для ре-
ализации отделения ББ или разделения ступеней СУ ракеты выдает
различным исполнительным органам целую группу команд. Эти
команды следуют в жесткой временной последовательности относи-
тельно базовой и называются присоединенными.
Г л а в а 7. МЕТОДЫ НАВЕДЕНИЯ
БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ
7.1. Общая характеристика методов наведения БР
Наличие у БР пассивного участка движения приводит к следую-
щим важным особенностям управления их полетом:
1) отсутствует (без дополнительных средств самонаведения на
ББ) возможность явного управления попаданием в точку прицели-
вания;
2) из-за жесткой функциональной связи между начальными усло-
виями полета на ПУТ и координатами точки падения в невозмущен-
ном полете управление попаданием в точку прицеливания и выведе-
нием ББ на попадающую траекторию (см. п. 6.1) эквивалентны.
Поэтому удобно пользоваться термином выведение ББ на поверх-
ность концевых условий в конце АУТ. Для уяснения методов наведе-
ния БР дальнего действия важно понять физический и математиче-
ский смысл этого термина.
Угловую дальность полета БР на ПУТ можно представить как не-
линейное уравнение общего вида
Ф = /(Г1,У1, 01). (7.1)
Из (7.1) следует, что для каждого фиксированного значения
(или для каждой высоты полета, так как h = r\ — R) существует
семейство траекторий с угловой дальностью Ф = /r(Vi, 0i). Каж-
дому значению требуемой для попадания в цель дальности может
246
соответствовать бесчисленное количество паросочетаний Vi и 0Ь а
следовательно, бесчисленное множество траекторий. Можно пока-
зать, что существует следующая закономерность: время полета Тп
по траекториям семейства монотонно увеличивается с ростом угла
бросания 01. Это в свою очередь означает, что если дополнительно
зафиксировать требуемую крутизну траектории ( 01 = 0зад) или вре-
мя полета до цели (Тп = Тзад), то останется всего одна траектория,
отвечающая заданным концевым условиям. Иначе говоря, концевые
условия 01 = 0зад и Тп = Тзад взаимно однозначно связаны, поэто-
му нельзя задавать произвольно одно, если другое уже задано.
С учетом физического смысла сферических координат цели и
рассмотренного свойства семейства траекторий одинаковой дально-
сти можно для любого положения центра масс БР, характеризуемого
вектором и, формализовать требование попадания в цель с коорди-
натами Г2, назначив три концевых условия:
Ф(«,г1,У1) = Фц,
F(t,r1,V1) = Eu, (7.2)
ШЛ1) = Тц.
В (7.2) допустимо заменить третье концевое условие на эквива-
лентное ему 0(t, г 1, Vi) = 0ц либо на иное условие, но это не имеет
принципиального значения. Важно то, что требуется задать именно
три концевых условия. Следует заметить, что использование пара-
метра Ец в контексте условий (7.2) подразумевает задание некото-
рой опорной плоскости с помощью сферического азимута цели или
иного базового направления, определяющего эту плоскость.
В терминах многомерной геометрии каждое из равенств (7.2)
представляет собой гиперповерхность (поскольку в левой части
имеется семь независимых переменных). Возможно упростить [87]
восприятие такого специфического объекта, как гиперповерхность,
если воспользоваться широко распространенным приемом «замора-
живания» некоторых координат. Так, если рассматривать полет ББ
в начальной точке ПУТ, то момент времени t совпадает с моментом
окончания АУТ tK, т. е. фиксируется. Аналогично можно зафиксиро-
вать положение центра масс ББ: ri = гк. Тогда любое из выражений
(7.2) можно рассматривать, как уравнение поверхности относитель-
но оставшихся трех координат. Например, первое выражение можно
247
Рис. 7.1. Фазовая траектория, соответствующая изменению
компонент вектора скорости
записать в форме
Ф{Ух, Vy, Vz) = Ф‘-г или L(Vx,Vy, Vz) = iff (7.3)
с учетом (6.27). Индекс «£, г» показывает, что поверхность соответ-
ствует частному случаю фиксации указанных в нем параметров. Дан-
ная поверхность условно изображена на рис. 7.1 и обозначена симво-
лом, совпадающим со значением требуемой дальности полета.
Кривая OS обозначает на рис. 7.1 фазовую траекторию, вдоль ко-
торой в процессе полета изменялись соответствующие компоненты
вектора V, a S — точка его пересечения с поверхностью, на которой
выполняется первое концевое условие в любой форме, соответству-
ющей (7.3).
Подобно (7.3), второе концевое условие можно записать в форме
E(Vx, VY, Vz) = Е^г или B(VX,VY, Vz) = В? (7.4)
с учетом (6.27).
Одновременному удовлетворению первым двум условиям соот-
ветствует принадлежность точки S кривой OS обеим поверхностям
(7.3) и (7.4) (рис. 7.2). Линия пересечения рассматриваемых поверх-
ностей обозначена SlSb- Если ограничиться введением двух геоме-
трически произвольных поверхностей, то точки пересечения может
вообще не быть либо поверхности могут совпасть. Однако обсужда-
емые поверхности имеют вполне определенный физический смысл,
из которого ясно, что линия пересечения существует.
248
Рис. 7.2. Сответствие концевым (терминальным) условиям
Не будем усложнять рис. 7.2 добавлением поверхности вида
Тп(Ух, Vy, Vz) = ТцГ, поскольку несложно догадаться, что линия
SlSb может пересечь эту поверхность в одной или в двух точках.
С учетом однозначного соответствия условий 01 = 0зади Тп = Тзад,
из рисунка понятно, что в достаточно широком практически значи-
мом диапазоне есть допустимые решения. В случае двух пересече-
ний можно воспользоваться первым из них либо из анализа допол-
нительных задач полета выбрать наилучший вариант.
Выбранная указанным образом точка в пространстве составля-
ющих начальной скорости полета определяет единственную траек-
торию полета, удовлетворяющую всем краевым условиям. Снимая
условную фиксацию координат центра масс и времени, увидим, что
реально существует не одна точка, а поверхность (строго — гипер-
поверхность, так как она имеет четыре измерения), каждая точка ко-
торой удовлетворяет всем трем краевым условиям. Ее и принято на-
зывать поверхностью концевых условий (ПКУ). Физический смысл
ПКУ в том, что если кинематические параметры движения центра
масс ББ и время полета соответствуют этой поверхности, то при от-
сутствии возмущений ББ продолжит полет по траектории, заданной
параметром Тп (или 0Ц) крутизны проходящей через точку цели тра-
ектории.
Таким образом, математический смысл любого метода наведения
состоит в обеспечении полета ракеты в направлении ПКУ и отделе-
нии ББ строго в момент, когда все фазовые координаты ЦМ принад-
лежат этой поверхности.
249
7.2. Принципы построения алгоритмов
функционального наведения
Из указанных выше принципов программирования движения
наиболее простым в реализации оказался первый. Его суть в том, что
программы управления формируют заблаговременно, до пуска БР, а
информация о них вводится в СУ в составе данных на пуск. Функ-
ция СУ в этом случае сводится, главным образом, к обеспечению
полета в окрестности заранее выбранной попадающей траектории и
своевременной фиксации момента достижения ПКУ
Для уяснения наиболее рациональной стратегии решения за-
дачи о принадлежности параметров движения к ПКУ рассмотрим
степень их влияния на каждое из концевых условий. Ранее было
показано, что удобным средством для этого являются частные бал-
листические производные. В табл. 7.1 приведены значения модулей
векторов ЧБП, позволяющих непосредственно провести интересую-
щий нас анализ. Приведенные производные вычислены для случая
энергетически оптимальных траекторий полета на ПУТ с учетом
вращения Земли.
Таблица 7.1
5Сф, км Ту, с Ву, с Ту, с2/м Ьг Br Тг, с/м
1000 659,4 468,5 0,2143 1,3656 0,8420 0,00052
2000 1079,6 648,9 0,2932 1,6333 0,6911 0,00056
3000 1496,6 779,0 0,3741 1,9121 0,5407 0,00063
4000 1939,4 876,0 0,4640 2,2289 0,3926 0,00071
5000 2423,6 946,8 0,5649 2,5941 0,2483 0,00081
6000 2961,9 994,5 0,6782 3,0163 0,1107 0,00092
7000 3567,8 1021,3 0,8046 3,5049 0,0488 0,00104
8000 4257,1 1028,5 0,9456 4,0726 0,1664 0,00118
9000 5050,7 1017,4 1,1026 4,7361 0,2881 0,00132
10000 5976,7 989,3 1,2781 5,5190 0,4031 0,00148
11000 7075,4 945,3 1,4762 6,4558 0,5098 0,00166
Из табл. 7.1 следует, что одинаковые вариации скорости в конце
АУТ сильнее влияют на отклонения по дальности, чем на отклоне-
250
ния в боковом направлении. Отклонения времени полета нельзя не-
посредственно сравнивать с отклонениями по дальности. Ясно, что
промах в 3...7 км (см. второй столбец таблицы для межконтинен-
тальных дальностей) несоизмеримо хуже для выполнения задач пус-
ка, чем подлет ББ к цели с отклонением на 1,0... 1,5 с. Отклонение
модуля вектора скорости 1 м/с приводит к таким же отклонениям со-
ответствующих концевых условий. Влияние отклонений координат
примерно в 1000 раз слабее.
Отсюда следует идея метода наведения, исторически получивше-
го название функциональное наведение. Сначала рассмотрим этот ме-
тод применительно к ракетам с моноблочной ГЧ. Суть идеи состо-
ит в том, чтобы принципиально разделить управление полетом на
управление дальностью и боковыми отклонениями. Управление вре-
менем осуществляется при этом только при заблаговременном рас-
чете попадающей траектории путем выбора ее крутизны. Разумеет-
ся, при этом учитывают имеющиеся ограничения на условия входа
ББ в плотные слои атмосферы. В процессе полета непрерывно осу-
ществляется стабилизация полета ракеты относительно расчетной
плоскости, обеспечивающей при невозмущенном движении выпол-
нение концевого условия (7.4). Управление дальностью сводится к
проверке условия достижения ПКУ, а при фиксации этого момента
выдается команда на выключение двигательной установки и отделе-
ние ББ. На современных ракетах для повышения точности прогнози-
руют момент достижения ПКУ с упреждением на один такт решения
задачи наведения в БЦВМ, что позволяет уменьшить влияние им-
пульса последействия и динамических погрешностей процесса от-
деления ББ.
Для фиксации момента достижения ПКУ используют разложение
функции, определяющей зависимость сферической дальности поле-
та от времени и параметров движения, в ряд Тейлора. При этом на
жидкостных ракетах, для которых характерны меньшие разбросы па-
раметров движения в конце АУТ (или, как принято говорить, более
узкая трубка возмущенных траекторий), ограничиваются линейны-
ми членами разложения. В этом случае с учетом (7.2) можно запи-
сать
L(^r*,V*) + LTVK[V(0 - V^] +
+ L;K[r(t)-r:] + L*(i-t*) = Lu. (7.5)
251
Здесь индексом «*» отмечены значения параметров движения на рас-
четной попадающей траектории в момент окончания АУТ £*; L* —
баллистическая производная от дальности по времени начала пас-
сивного участка полета. Все ЧБП вычисляют по значениям г*, V*.
По своему математическому смыслу выражение (7.5) представляет
собой гиперплоскость, касательную к ПКУ в точке пересечения с ней
попадающей траектории в момент t*.
Из определения структуры ряда Тейлора следует, что
L(t*, г*, V*) = £ц, поэтому
Ltvk[V(«) - V*] + LTrK[r(t) - г*] + L*(t - t*) = 0. (7.6)
Раскроем скобки в (7.6) и сгруппируем отдельно все члены, соот-
ветствующие возмущенному движению БР, и все члены, содержащие
только расчетные параметры. Тогда
LtVkVC0 + LTrKr(^) + - J*L = 0, (7.7)
где
j£ = LTVKv:+L;Kr: + L:c. (7.8)
Момент времени, в который выполняется равенство (7.7), мож-
но приближенно считать моментом выполнения первого концевого
условия (7.2). В левой части (7.7) первые три слагаемые предста-
вляют собой функционал, а вычитаемое соответствует значению
этого функционала при реализации в полете расчетной попадающей
траектории. Этим и объясняется общепринятое название рассматри-
ваемого метода наведения. Все ЧБП и значение рассчитывают
заблаговременно и в составе других параметров полетного задания
вводят в СУ ракеты до старта. Параметры r(t), V(t) определяют
в полете инерциальной навигационной системой путем решения
основного уравнения инерциальной навигации (см. [30], [87]), а вре-
мя t, прошедшее от момента старта, измеряется бортовым таймером.
Вычисление в полете первых трех слагаемых левой части (7.7) ока-
залось возможным даже на первых БР, еще не оснащенных БЦВМ,
правда, с некоторыми дополнительными упрощениями, подробно
рассмотренными в [4, 36, 37, 87].
Основной недостаток рассмотренного метода наведения отра-
жен на рис. 7.3. Здесь для простоты изображены проекции ПКУ и
гиперплоскости (7.5) на оси трехмерной системы координат. В соот-
ветствии с табл. 7.1 выбраны координатные оси, отвечающие пара-
метрам, существенно влияющим на дальность полета. Кривая OS*
252
Рис. 7.3. Геометрическая иллюстрация недостатков метода
функционального наведения
соответствует отображению на выбранные оси расчетной траекто-
рии полета, а кривая OS — отображению на них возмущенной тра-
ектории полета БР. При отсутствии возмущений замена поверхности
1/цГ на плоскость Р, касающуюся ее в точке S*, не приводит к от-
клонению по дальности, так как точка пересечения расчетной тра-
екторией этой плоскости принадлежит и ПКУ. Но для возмущенной
траектории OS точка 5" пересечения плоскости Р, отвечающая вы-
полнению условия (7.7), не принадлежит реальной ПКУ. Расстояние
вдоль кривой S'S характеризует методическую ошибку наведения в
рассматриваемом случае. Легко догадаться, что чем шире «трубка
траекторий» конкретной БР (т. е. чем больше расстояние S'S), тем
больше будет погрешность наведения этой ракеты на цель при про-
чих равных условиях.
Влияние указанного недостатка можно уменьшить, если перед
каждой проверкой условия (7.7) в процессе решения задачи наве-
дения уточнять расчетное значение управляющего функционала J£.
Рассмотрим, как это можно сделать на практике.
Параметры г*, V* и момент времени t* вычисляют в процессе
решения КБЗ. По своему физическому смыслу они являются началь-
ными условиями для расчета траектории полета на ПУТ, отвечаю-
щей всем концевым условиям. Система дифференциальных уравне-
ний полета на ПУТ в окрестности момента времени t* имеет вид
f dV r z Ч1
I -dt=g[r(()l’
(7.9)
253
В правых частях (7.9) нет аэродинамических сил, так как отделе-
ние ББ на всех БР дальнего действия происходит на высотах порядка
150 км и более. На относительно небольшом интервале времени (ва-
риации момента tK для современных БР не превышают 30 с, обычно
гораздо меньше) можно представить решение системы дифференци-
альных уравнений (7.9) в форме отрезка ряда Тейлора вида (для крат-
кости записи далее производную по времени обозначаем точкой)
/ V*(t) = V* + gK At + l/2gK At2 + l/6gK At3,
r* (t) = r* + V* At + l/2gK At2 + l/6gK At3.
В (7.10) gK = g(r*), At = t — £*, а производные от gK по времени
вычисляют по правилу дифференцирования сложных функций:
' gK = G(t*)r(t*), т.е. gK = GKV*;
< gK = G(t*)V*(t*) + GK(t*)V(t*), (7.11)
. т.е. gK - GKV* + GKgK,
Для вычисления матрицы G в данном случае совсем не обяза-
тельно брать производную от выражения g(r), соответствующего
модели гравитационного поля, используемой при интегрировании
(7.9). Можно ограничиться моделью центрального гравитационного
поля:
(7.12)
Тогда
(7.13)
и матрицу GK можно считать нулевой, так как ее самый большой
элемент имеет порядок 10-9. Количество членов разложения в (7.10)
необходимо выбирать исходя из протяженности АУТ и размеров
«трубки траекторий» конкретной БР. Следует учитывать, что мы рас-
сматриваем возможный подход к уменьшению методической ошиб-
ки функционального наведения, а не метод наведения конкретной БР.
254
Теперь разложим в ряд Тейлора оба вектора ЧБП, входящих
в (7.7):
Ly(f) = Ly(fK) + Ly(fK) At + l/2Ly(fK) Af2,
(7.14)
Lr(f) = Lr(fK) + Lr(fK) Af + l/2Lr(fK) AJ .
В [112] показано, что можно представить производные по време-
ни от ЧБП, входящих в (7.7) следующим образом:
Ly = —Lr и Lr = —GLy. (7.15)
Тогда
d •
Ly = —Ly, а с учетом (7.15)
(7.16)
Ly = —(—Lr) или Ly = GLy.
dt
Аналогично
Lr = —GLy — GLy или Lr = GLr. (7.17)
Теперь подставим в (7.8) вместо расчетных значений параметров
движения на момент t* значения параметров движения в произволь-
ный момент движения t на ПУТ из (7.10) с учетом (7.11) и (7.13).
Вместо ЧБП, вычисленных на момент £*, подставим значения этих
же ЧБП, соответствующие произвольному моменту t полета на ПУТ
из (7.14) с учетом (7.16) и (7.17). После громоздких, но несложных
алгебраических преобразований получаем
J'^(t) — Jo И- Ji At + At2 + J$ At3, (7.18)
где
Slv = GLvK; gv = GV*; g/r = GL,K; = GgK;
Jo = lVkv* + LrKr; + L;t*K,
JI IJV/KgK —
J2 = l/2(gvLVl< + gL,.r* - gKLrK - gLv V*);
J3 = l/6(gxLVK + 3gLrV;).
255
Выражения для производных принимают в этом случае вид
Lv(t) — LyK — LrK At + l/2g£y At2;
Lr(f) = LrK - gLv M + l/2gLr M2.
Параметры Jq, Ji, gv, gLr, g^ так же как и расчетные
значения ЧБП на момент tK, являются постоянными и могут быть
введены в СУ заблаговременно. Тогда вместо условия (7.7) в полете
можно проверять условие
Lv(t)V(t) + Lr(t)r(t) + L*t - J*L(t) = 0. (7.20)
Математический смысл (7.20) достаточно прост. По-прежнему
ПКУ аппроксимируется гиперплоскостью, но точка касания теперь
соответствует не моменту времени t*, а текущему моменту времени
полета t. Для учета данного обстоятельства в (7.20) уточнено тре-
буемое расчетное значение управляющего дальностью функционала
и соответственно повернута в пространстве нормаль к гиперплоско-
сти. Однако и ориентация нормали и значение J£(t) по-прежнему
соответствуют расчетной попадающей траектории, так как все рас-
четные параметры движения, участвующие в формировании коэф-
фициентов нормали и J^t), пересчитаны вдоль траектории полета
на ПУТ, отвечающей той же самой попадающей траектории, что ис-
пользовалась для формирования условия (7.7).
Понятно, что на возмущенной траектории, находящейся в пре-
делах «трубки траекторий», относительно которой выбрано подхо-
дящее количество членов разложения в ряд параметров движения и
ЧБП, расстояние от точки S' на изменившей свое положение в про-
странстве гиперплоскости Р до ПКУ должно существенно умень-
шиться по сравнению с S'S на рис. 7.3.
Для того чтобы не утратить из-за большой погрешности прогноза
момента выполнения (7.20) в полете преимущества от использования
(7.20) вместо (7.7), необходимо обеспечить учет нелинейного изме-
нения левой части (7.20) в ближайшей окрестности точки, где это
условие выполняется. Для этого можно сформировать таблицу зна-
чений ti( 8J для i = 1, 2, 3. Здесь 8г —левая часть (7.20) при t = ti.
Интервал времени, с которым в полете решается задача наведения,
— hu = ti — ti-i, — называется шагом (или тактом) решения задачи
256
наведения. На каждом шаге i значения таблицы обновляются. Начи-
ная с третьего шага, можно построить аппроксимирующий функцию
t( 8) интерполяционный полином второго порядка [112] вида
t = 81, 82, 83, 8). (7.21)
Тогда искомое значение времени обращения 8 в ноль вычисляется
по формуле
tK = ШЛЛ, 8Ь 82, 83,0). (7.22)
Величина hH и порядок разложения в ряды Тейлора ЧБП и пара-
метров движения на ПУТ выбирают таким образом, чтобы обеспе-
чить приемлемую методическую ошибку наведения.
Обеспечения высокой точности прогноза выполнения концево-
го условия по дальности полета недостаточно для выполнения задач
пуска БР, так как надо с требуемой точностью выполнить и второе
концевое условие. Рассмотрим возможный способ решения этой за-
дачи с учетом уже приведенного выше алгоритма управления даль-
ностью.
Очевидно, что аналогично (7.20) можно получить выражение
8B(f) - Bv(f)V(£) + Br(f)r(f) + B*t - (7.23)
Здесь выражения для вычисления ЧБП и расчетного значения упра-
вляющего функционала могут быть получены из (7.18) и (7.19) пу-
тем замены в соответствующих формулах индекса L на индекс В.
С учетом данных табл. 7.1 ясно, что без ущерба для точности реше-
ния задачи наведения можно несколько упростить алгоритм, если для
(7.23) взять число членов разложения в ряд на единицу меньше.
Но нельзя в один и тот же момент обеспечить строгое выполне-
ние (7.20) и равенство нулю 8S(t) в (7.23). Поэтому стратегия ре-
шения задачи наведения, в соответствии с принятым выше приори-
тетом управления дальностью, состоит в том, чтобы обеспечить в мо-
мент выполнения (7.20) минимально возможное значение величины
8В(£). Этого можно добиться, если $B(t) использовать в качестве
управляющего рассогласования в канале системы боковой стабили-
зации.
257
Реализация непрерывной боковой стабилизации на БР с функци-
ональным наведением требует учета другой важной особенности ал-
горитмов типа (7.23). Замена ПКУ касательной к ней плоскостью,
даже с учетом рассмотренной выше модификации способа проверки
выполнения концевого условия, приемлема только в достаточно уз-
ком временном интервале относительно момента t*. В случае упра-
вления выключением двигательной установки и отделением ББ этот
недостаток никак не проявляется. До наступления условий работо-
способности алгоритма левая часть (7.20) заведомо отрицательна, а
вблизи ПКУ алгоритм успешно работает.
Когда боковое отклонение используется в процессе всего полета
в качестве управляющего рассогласования в канале боковой стабили-
зации, ситуация принципиально отличается от предыдущей. Если на
ранней стадии полета СУ ракеты вместо реально существующего бо-
кового отклонения станет с помощью исполнительных органов пари-
ровать мнимое отклонение БР, обусловленное повышенной ошибкой
прогноза величины 5B(t), в конце полета могут возникнуть очень
большие боковые отклонения. Это может привести к аварийному за-
вершению полета из-за нехватки топлива или потере устойчивости.
Однако нет необходимости на протяжении всего полета поль-
зоваться рассогласованием 5B(t) для решения задачи боковой
стабилизации. Исходной посылкой функционального наведения
является использование заранее рассчитанных программ управле-
ния. Очевидно, что именно в начале полета (пока не накопились
значительные отклонения от расчетной траектории из-за действия
возмущений) хорошую точность управления боковым движением
позволяет обеспечить отработка программы рыскания. На заверша-
ющем участке полета возникает необходимость учета накопившихся
в боковом направлении рассогласований, которые не могли быть
заранее учтены в программе рыскания. Именно для этого и приме-
няется управляющий функционал (7.23). При проектировании СУ
на основе имитационного моделирования с учетом конструктивных
особенностей конкретной БР выбирают временной интервал, в пре-
делах которого формула (7.23) может быть использована в контуре
боковой стабилизации. Технологические подробности выбора этого
интервала выходят за рамки обсуждаемых принципов построения
алгоритмов наведения.
258
7.3. Упрощенные линейные методы управления
выключением ДУ БР
Рассматриваемые ниже подходы к построению упрощенных ли-
нейных методов управления выключением ДУ БР, базирующиеся на
использовании теории линейных управляющих функционалов, доста-
точно широко применялись на БР первых поколений, ДУ которых
имели узлы отсечки тяги.
Объяснением тому является исключительная простота техниче-
ской реализации соответствующей группы методов, не требующих
на борту ЦБК. Возможность их использования в контуре управления
дальностью полета аналоговых СУ БР отрыла дорогу практическо-
го применения не только для твердотопливных БР с отсечкой тяги,
обладающих относительно малой дальностью полета, но и для неко-
торых жидкостных БР с дальностью действия до 11 тыс. км, осна-
щенных ДУ с регулируемой тягой и системой РКС.
Целесообразность краткого обсуждения здесь указанных мето-
дов диктуется «прозрачностью» физической трактовки и методиче-
ской логичностью их построения, позволяющей лучше уяснить су-
щество обсуждаемых проблем.
Итак, задачу инерциального управления дальностью и направле-
нием полета, решаемую в рамках упрощенных линейных методов
функционального управления, сформулируем как задачу выбора мо-
мента отсечки тяги ДУ путем формирования на борту некоторой
функции управления, обеспечивающей выполнение БР полетного
задания [30, 37, 87], при непрерывной стабилизации бокового дви-
жения, ставящей целью удержание центра масс ракеты в плоскости
стрельбы вплоть до момента отсечки тяги.
В линейной постановке отклонение точки падения по дальности
полета от расчетного значения представим в виде
= <7-24)
г=1
где А — отклонение параметра движения от номинального
значения в конце активного участка.
В выражении (7.24) верхний предел суммирования является пе-
ременной величиной, причем он равен шести, если параметры дви-
жения БР в точке выключения ДУ определяют в относительной си-
стеме координат (т. е. системе, связанной с вращающейся Землей),
259
Рис. 7.4. Определение протяженности полета БР малой дальности
и семи, если параметры точки, соответствующей концу активного
участка, задаются в инерциальной системе координат. В последнем
случае к трем отклонениям составляющих скорости и трем отклоне-
ниям координат прибавляется еще отклонение (вариация) момента
времени отсечки тяги ДУ. Наиболее просто решение поставленной
задачи может быть получено для случая управления дальностью по-
лета ракет малой дальности (рис. 7.4). В этом случае вращением Зем-
ли и кривизной ее поверхности можно пренебречь. Соответственно
можно не учитывать и влияние бокового движения на изменение пол-
ной дальности. Тогда, учитывая
Д*Гс = *^с.н (7.25)
где £с.н’ ^с.д — соответственно номинальная и действительная даль-
ности полета, выражение (7.24) представим в виде
_ дХс АТ/ , дХс ЛТ7 , дх^ А , дХс А П7ЛЛ
З'С.Н ^С.Д — Д^КТ “Ь птг ДТкт/ п Д^К Н- ГА Д?/к- (7.26)
dVKX dVKy дхк дук
Условие достижения требуемой дальности эквивалентно выпол-
дх
нению требования а:с.н = хс.д- Введя обозначения = |j.v ,
9укх х
дхс дхс дхс А t е
air = az = и уч"™вая'чт0 А - -
— получим для Дя?с = 0:
+ цхх + \1уу —
— ЦухИск.н + + М^З/к.Н- (7.27)
Обозначим левую часть равенства через Фт, а правую часть че-
рез Фжн, причем Фт будем называть линейной управляющей функци-
ей или линейным функционалом управления дальностью полета, а
260
Рис. 7.5. Схема АУД, формирующего управляющую функцию вида (7.27)
Фян — его настроечным значением. Естественно, что в общем слу-
чае он будет иметь смысл введенного ранее в рассмотрение
(см. (7.8)). Из (7.27) следует, что условие заданной дальности по-
лета выполняется в случае, когда отсечка тяги ДУ происходит при
выполнении условия
Фх = Фхн. (7.28)
Настроечное значение функционала управления дальностью пред-
ставляет собой известную величину, постоянную для заданной даль-
ности полета и вводимую в систему наведения БР в виде начальной
установки перед стартом. Она задается в виде числа или какого-либо
физического параметра, например напряжения, пропорционального
конкретному числу. Из изложенного следует, что структура АУД в
рассматриваемом случае (рис. 7.5) будет определяться исходя из не-
обходимости формирования на борту ЛА текущего значения Фж(£) и
сравнения его с расчетным значением настройки Фжн(£к.н)-
Задача боковой стабилизации относительно плоскости стрельбы,
моделируемой на борту с помощью соответственно выставленной
ГСП, либо с помощью ККП «россыпного автопилота», здесь может
рассматриваться как независимая. Применительно к управлению
точкой падения баллистической ракеты дальнего действия (БРДД)
все оказывается значительно более сложным. Вращение Земли и
кривизна ее поверхности уже начинают играть определяющее зна-
чение. Причем проявление данных эффектов многогранно. Начнем
с того, что наличие временных вариаций отсечки тяги, объективно
присутствующих в рассмотренном алгоритме управления дально-
стью, приводит (в силу вращения Земли) к боковому отклонению
261
точки падения от цели, которое остается ничем не скомпенсирован-
ным. Далее, отклонение по времени полета от номинала, связанное
с вариациями высоты точки окончания работы ДУ при наборе функ-
ционалом его настроечного значения, вызовет погрешности опре-
деления компенсационной величины ускорения от силы тяжести.
Нецентральность поля тяготения, наличие гравитационных анома-
лий и тому подобное приведут при этом к возникновению погреш-
ностей, хотя и менее значительных, чем указанные ранее. Наконец,
решение задачи управления дальностью полета БРДД выдвигает
требование выбора базовой системы отсчета, обеспечивающей при
соответствующей начальной выставке ГСП наилучшие результаты.
Обсудим, из каких же соображений следует исходить при выборе
такой системы. Очевидно, определяющим должно служить условие
нечувствительности боковых отклонений к небольшим изменени-
ям времени полета БР на активном участке траектории. Определить
базисные направления, отвечающие данному условию, можно на-
хождением геометрического места точек падения, обусловленного
изменением времени отсечки тяги ДУ в сторону увеличения дально-
сти при неизменном направлении прицеливания. Линия, касательная
к полученному геометрическому месту точек падения, проведенная
из точки цели, будет характеризовать одно из рассмотренных ранее
направлений, называемое направлением мгновенно-временного или
естественного изменения дальности полета. Для определения ази-
мутального направления А^, необходимого для начальной выставки
базовой системы, спроецируем составляющие скорости БР в точке
dxL dyL dzL
падения ——, —— и ——, заданные в осях геоцентрической системы
dtK dtft dtft
координат, на географические базисные направления. Отношение
соответствующих проекций даст tg Al, т. е.
Al = arctg
dxL , . dzL .
' sin * cos Л„
_________dtK ц dtK u___________________
dxL , , dzL . \ . dyL
--7— cos Лц + — sin Лц sin ф + —— cos <p
dtK dtK / dtK
(7.29)
где Хц — долгота цели относительно меридиана стартовой позиции;
фц — широта местоположения цели.
В естественной системе координат отклонения точки падения
определяются величинами AL и Аг = АВ, причем применительно
262
к конкретной номинальной траектории и для расчетного момента
времени отсечки тяги, отвечающего заданной точке прицеливания,
производная по времени от продольного отклонения —- ( AL) мак-
симальна, а производная от бокового отклонения — (Аг) = 0.
То обстоятельство, что возмущенная (реальная) траектория полета
может проходить выше или ниже номинальной траектории учиты-
вается посредством введения в рассмотрение изохронных вариаций
силы тяжести.
Отклонение дальности полета, называемое продольным, наибо-
лее удобно фиксировать в естественной системе координат,
параметры же конца активного участка определяют относительно
абсолютной стартовой системы координат. Взаимосвязь их задается
уравнением управления дальностью полета, условно называемым
основным баллистическим уравнением [37]:
(о + (() + g w + т =
~ <7-30)
где V£ и Vy — проекции кажущейся скорости на направления осей
стартовой абсолютной системы координат; и &tSy — откло-
нения от номинальных значений проекций кажущегося пути на те
же оси; V£H (tK.H) и VyH (tK.H) — программные номинальные соста-
вляющие скорости в стартовой системе координат, вычисленные на
номинальный момент окончания активного участка.
Уравнение (7.30) является приборно реализуемым, поскольку
оно оперирует измеряемыми (кажущимися) параметрами движе-
ния.
Отметим, что переход к кажущимся параметрам связан с исполь-
зованием изохронных вариаций составляющих ускорений
\tVx = &tax + А^ж;
A^V^ = &tay + &tgy
(7.31)
при допущении о малости изохронных вариаций ускорения силы тя-
жести. Для формирования текущего значения управляющей функ-
ции в виде левой части уравнения (7.30) необходимо иметь на борту
263
БР два интегрирующих акселерометра или гироинтегратора (ГИ) ли-
нейных ускорений, стабилизированных с помощью ГСП относитель-
но соответствующих осей абсолютной системы координат, вычисли-
тельное устройство (ВУ), осуществляющее операции интегрирова-
ния, умножения и алгебраического суммирования, и запоминающее
устройство (ЗУ). Схема приборной реализации основного баллисти-
ческого уравнения, заданного в форме (7.30), приведена на рис. 7.6.
Приборная реализация основного баллистического уравнения
может быть упрощена путем специального выбора ориентации осей
чувствительности интегрирующих акселерометров или используе-
мых вместо них гироинтеграторов. Анализ схем, изображенных на
рис. 7.5 и 7.6, дает основание сделать вывод о том, что независимо
от того, какая модель Земли используется при расчете траектории,
в выражение управляющей функции (по крайне мере четырехчлен-
ной) всегда будут входить две суммы произведений составляющих
скорости и пути на их баллистические производные соответственно.
Если теперь расположить ось чувствительности одного из акселеро-
метров под постоянным углом X к оси ОХ стартовой абсолютной
системы координат, то в силу несовпадения в общем случае напра-
вления Ук с ^-направлением получим (рис. 7.7), что проекция Vfc
на это направление запишется в виде
cos X + Vyk sin X. (7.32)
Рис. 7.6. Схема реализации основного баллистического уравнения, задан-
ного в форме (7.30)
264
Рис. 7.7. Определение Х-направления
По аналогии представим
dL
dV^
dL
cos X + —— sin X =
(7.33)
Разделив почленно (7.33) на выражение, записанное в правой части,
найдем
9L
Совершенно очевидно, что соотношение (7.34) будет справедливо
для любых X только в случае, когда
9L
= cos X;
= sin X.
265
Действительно, только при этом условии будем иметь
cos2 X + sin2 X = 1.
Тогда
X = arctg
dL / dL V1'
\dVyJ
(7.35)
Модуль функции, аргумент который отвечает зависимости (7.35),
(7.36)
Следовательно, сумма произведений скоростных составляющих на
их баллистические производные может быть определена с помощью
только одного интегратора ускорений, ось чувствительности которо-
го совпадает с Х-направлением:
AV£ (t) = A [cos LVk (i) + sin LVk (i)] •
(7.37)
Аналогичным образом найдем второе направление ( ^-направле-
ние), позволяющее при постоянной ориентации оси чувствительно-
сти второго акселерометра к оси ОХ, определить сумму произве-
дений путевых составляющих на их баллистические производные.
Получим
|1 = arctg
dL f dL
дук \dxt
и соответственно
t
MSky (t) = M у* Vkdt = M [cos (t) + sin pSj (t)]. (7.38)
о
266
Для сокращения числа операций умножения на постоянные множи-
тели введем в рассмотрение отношение
м р=^-- (—Х + (—У = у + . (7.39) (—\2 + fdL у У\дхк) \дук)
Теперь основное баллистическое уравнение (7.30) может быть пред-
ставлено как
t
V* <t)+p I [vf (t) - VjH (t)] dt = Vt (7.40)
0
Левая часть данного выражения представляет собой модифика-
цию управляющей функции (функционала), получившую название
X — \1-функционала. Приборная реализация, как это следует из
рис. 7.8, проще предыдущей (см. рис. 7.6). К числу ее достоинств
относится то, что отклонения кажущейся скорости БР вдоль X-
направления и отклонения кажущегося пути вдоль ц-направления
максимально влияют на продольное отклонение, а отклонения в
плоскости, нормальной X — ^-направлениям, не вызывают отклоне-
ний по дальности.
Однако данной схеме присущ и очевидный недостаток, связан-
ный с тем, что значение углов X и ц должны рассчитываться для
Рис. 7.8. Схема приборной реализации X— ц-функционала
267
Рис. 7.9. Схема АУД БР малой дальности, реализующей %-направление
каждой конкретной дальности полета и вводиться в систему наведе-
ния непосредственно перед стартом. Естественно, установка углов
X и ц в условиях стартовой позиции может быть осуществлена ме-
нее точно, чем в заводских условиях, а следовательно, будет расти
инструментальная ошибка управления дальностью.
Рассмотрим вариант построения АУД для БР с использовани-
ем только одного наклонного инерциального измерителя, устано-
вленного на ГСП. Пусть в качестве информации, применяемой при
вычислении основного баллистического уравнения, используют-
ся наклонная скорость и наклонный путь. Данному условию будет
отвечать схема приборной реализации (рис. 7.9), в которой ось чув-
ствительности ГИ совпадает с так называемым ^-направлением,
определяемым из условия [87]
( dL\
X = arctg — . (7.41)
\9ук /
С учетом проекции ускорения силы тяжести (g — const) на %-
направление, текущее значение управляющей функции Фх пред-
ставим в виде
гч т
= Sх(*) + ду- (Ух(*) + sin X) + °’5^2 sin X- (7.42)
Переход от действительных к кажущимся параметрам движения БР
позволяет учесть влияние проекции ускорения силы тяжести при
расчете настроечного значения управляющей функции. Тогда (7.42)
может быть представлено как
(7.43)
268
что отвечает представленной схеме. Выставка ГИ по /-направлению
здесь также проводится перед стартом ракеты [87].
Наконец, обсудим возможности простейших методов управле-
ния дальностью, применяемых в случае, когда использование ГСП
по каким-либо причинам представляется нецелесообразным. В ка-
честве наиболее характерного метода рассмотрим управление по
проекции кажущейся скорости на направление продольной оси БР.
Естественно, речь здесь идет об управлении дальностью полета ра-
кет, предназначенных для пусков на небольшие дальности. Идея
использования информации о скорости для управления дальностью
полета представляется вполне обоснованной, поскольку при полете
БР на максимальную дальность именно скорость в конце активного
участка траектории является доминирующим фактором, определяю-
щим запас кинетической энергии, а следовательно, и протяженность
полета. Однако при отсутствии ГСП автономно измерить абсолют-
ную скорость ЛА не представляется возможным. Установленный на
борту БР акселерометр, ось чувствительности которого совпадает
с продольной осью ракеты, при полете БР без угла атаки (а = 0)
будет давать информацию о проекции кажущегося ускорения на на-
правление продольной оси. Очевидно, можно было бы построить
метод управления дальностью, положив в его основу требование
отсечки тяги ДУ по выполнении условия Vn = Vk = VkH = const.
Однако равенство соответствующего значения кажущейся скоро-
сти его номинальному, рассчитанному для конца активного участ-
ка, будет гарантировать всего лишь равенство суммы, а не отдель-
ных слагаемых, которые могут отличаться от расчетных значений.
Полная дальность полета определяется не кажущейся, а истинной
скоростью. Напрашивается идея компенсации величины g sin 0 с
помощью вычислительного устройства, формирующего компенса-
ционную поправку gsin dnp(t). В данном случае реализуется од-
ночленная управляющая функция (рис. 7.10), настроечное значение
которой в виде конечной номинальной скорости полета на актив-
ном участке траектории рассчитывается для 0к н и вводится в АУД
в виде начальной установки перед стартом ракеты. Данный метод
был впервые реализован еще в 1942 г. на баллистической ракете
ФАУ-2, но в качестве измерителя кажущейся скорости был исполь-
зован ГИ линейных ускорений [30, 115, 116].
269
Рис. 7.10. Схема реализации одночленной управляющей функции
при установке акселерометра вдоль продольной оси БР
7.4. Возможные подходы к реализации терминального
наведения
Методы терминального наведения (TH) реализуют принцип те-
кущего программирования движения. Их суть в том, что программы
управления формируются в процессе полета, т. е. наведение осуще-
ствляется относительно реальной, а не расчетной траектории полета
БР. Существует много подходов к реализации этого класса методов
наведения, однако самое широкое распространение получила группа
методов наведения по вектору требуемой скорости. На них и будет
сосредоточено основное внимание.
Воспользуемся введенным в п. 7.1 понятием поверхности конце-
вых условий и вернемся к рис. 7.2. На этом рисунке линия пересе-
чения поверхностей концевых условий £цГ и Вц г в точке S пересе-
кается с поверхностью третьего концевого условия Тц’г (последняя
поверхность не изображена, чтобы не загораживать линию пересече-
ния). В системе координат с декартовыми осями Vy, Vy, Vz точка S
изображает ПКУ, на которой выполнены все концевые условия. Это
означает, что если в момент t при текущих координатах r(t) ББ име-
ет скорость VK(t), то при полете по баллистической траектории он
попадет в точку с криволинейными координатами и Вц за время
Гц. В этом случае задача пуска ракеты будет выполнена. Заметим,
что ПКУ отображается в точку S только при конкретных значениях
расширенных* фазовых координат t и г. В другой момент времени
точка S займет другое положение в изображенной на рисунке систе-
ме координат, т. е. потребуется уже другая скорость для решения той
же задачи. При других координатах центра масс (даже в тот же самый
* Т. е. пространство фазовых координат Vx, Vy, Vz, X, Y, Z расширяется вве-
дением еще одной независимой переменной t.
270
момент времени) скорость VK окажется иной. Потому мы и говорим
в общем случае о поверхности, а не о точке. В рассматриваемой ситу-
ации логично называть вектор VK требуемой скоростью и обозначать
VTp. С учетом того, каким образом получена точка S, заметим, что в
самом общем случае
VTp = VTp(t,r,Lu,Bu,Tu). (7.44)
Очень важно, что требуемая скорость не зависит от того, по ка-
кой траектории ракета попала в точку с координатами г. Более то-
го, не имеет значения, находится ли вообще в этой точке в момент
t какой-либо объект. Если в данную точку поместить ББ, совершаю-
щий баллистический полет, то в конечной точке его траектории будут
выполнены все требования, формализованные с помощью концевых
условий L = Гц, В = Вц и Т = Гц. Таким образом, понятие требу-
емой скорости характеризует свойство фазового пространства соот-
ветствовать либо не соответствовать заданным концевым условиям.
По этой причине можно воспользоваться данным понятием для раз-
работки метода наведения по принципу текущего программирования
движения.
Пусть в некоторый момент времени t центр масс БР находится в
точке с координатами r(t). Будем считать, что в этот момент текущая
скорость БР отображается на рис.7.2 точкой V(t). Из рисунка следует,
что ББ в случае отделения в момент t не выполнит поставленную за-
дачу, так как его скорость отличается от VTp. Введем в рассмотрение
вектор
VK0M(t, г, V, Вц, Гц) = VTp(t, г, Вц, Вц, Гц) - V(t). (7.45)
По определению будем называть вектором командной скорости
любой вектор, удовлетворяющий условию (7.45). Очевидно, модуль
вектора командной скорости количественно характеризует расстоя-
ние от текущей точки расширенного фазового пространства до по-
верхности концевых условий (ПКУ). Отсюда следует, что условие
фиксации пересечения траекторией расширенных фазовых коорди-
нат с ПКУ можно записать в форме
|VK0M(t,r,V,Lu,Bu,Tu)| =0. (7.46)
Условие (7.46) решает первую часть задачи разработки метода
терминального наведения — определяет способ фиксации момента
271
Рис. 7.11. Кинематиче-
ская связь программных
углов тангажа и рыскания
с ориентацией продоль-
ной оси БР в полете
окончания полета на АУТ и отделения ББ.
Вторая часть состоит в том, чтобы по-
лучить алгоритмы вычисления программ,
при отработке которых системой управле-
ния в полете будет гарантированно умень-
шаться значение модуля вектора команд-
ной скорости (ВКС).
Для обеспечения устойчивого полета
во всех случаях в состав программ упра-
вления должны быть включены програм-
мы пространственной ориентации ракеты
[111]. На рис. 7.11 показана кинематиче-
ская связь программных углов тангажа О
и рыскания \|/ с ориентацией продольной
оси ракеты в полете.
По известным проекциям орта продольной оси ракеты в на-
чальной гироскопической системе координат можно определить тре-
буемые значения этих углов.
Пусть X? = [х^н, х° н, х° н]т. Тогда
COS О COS \|/ = Х^н ИЛИ COS О = хХн/ COS V’
sin О = Хун,
- cos Osin у = х° н, или tg \|/ = -xZh/XXh
(7.47)
Из (7.47) сначала вычислим \|/с учетом \|/ е (— тг/2, л/2), затем
— угол О по известным значениям его синуса и косинуса. Реаль-
ные значения программы рыскания \|/пр(t) обычно значительно мень-
ше границ указанного диапазона, так как, во-первых, значительные
отклонения продольной оси ракеты от плоскости ХнОнУн требуют
очень больших энергетических затрат, во-вторых, часто аппаратур-
ная реализация инерциальной навигационной системы накладывает
ограничения на этот угол.
Существует много способов определения ориентации продоль-
ной оси ракеты, обеспечивающей гарантированное убывание моду-
ля ВКС. Их различают по сложности аппаратурной реализации СУ и
требуемому количеству топлива, расходуемого в процессе наведения
с учетом всех концевых условий. Самый простой способ описывает-
ся соотношением
272
X? = VK0M(t,r, V, £ц,Вц,Тц)/УК0М, (7.48)
где Ком — модуль ВКС.
Физический смысл (7.48) состоит в следующем. При ориентации
продольной оси ракеты вдоль ВКС вектор тяги двигательной уста-
новки также будет совпадать с направлением ВКС, так как на АУТ
поперечная составляющая тяги, используемая для создания момен-
тов управляющих сил, во много раз меньше ее продольной соста-
вляющей. Поэтому вектор кажущегося ускорения будет практически
полностью совпадать с продольной осью, что приведет к убыванию
ВКС на значение интеграла по времени от продольного кажущегося
ускорения.
С учетом (7.47) формула (7.48) задает правило вычисления в поле-
те программных функций по текущей требуемой скорости. Оно за-
ведомо не является энергетически оптимальным, поскольку не учи-
тывает искривления траектории полета ракеты под действием силы
тяготения. Для дальностей, при пусках на которые можно пренебречь
изменением направления силы притяжения Земли, данное правило
применялось на практике (ракеты США «Тор» и «Поларис»).
Правило вычисления программных функций по вектору конечной
требуемой скорости позволяет более рационально использовать
запасы топлива. Идея данного подхода состоит в том, чтобы за-
благовременно выбрать траекторию, удовлетворяющую концевым
условиям. Способы решения этой задачи рассмотрены в гл. 6. В
процессе интегрирования системы дифференциальных уравнений
движения на АУТ скорость движения БР всегда можно представить
в виде суммы кажущейся скорости и интеграла от гравитационного
ускорения:
t t
V(i) - V(to) + I w( T)d т + I g [r( t)] d T, (7.49)
to to
ИЛИ
V(t) = W(t) + Vg(t), (7.50)
где Vg(t) — второй интеграл в правой части (7.49). Для этого в со-
став системы вводят три дополнительных уравнения, правые части
которых соответствуют составляющим кажущегося ускорения. Тогда
273
на последней итерации решения КБЗ значение вектора W(t*) пред-
ставляет собой вектор требуемой кажущейся скорости.
Теперь аналогично (7.46), можно ввести вектор конечной ко-
мандной кажущейся скорости
WK0M(t*, rK, VK, Ьц, Вц, Тц) =
= WTp(t*,rK,Lu,BluTu) — W(t), (7.51)
а для выбора программных функций воспользоваться (7.47) с учетом
соотношения
X? = WK0M(t:,rK,VK,Lu,Bu,Tu)/WK0M. (7.52)
Пока что мы рассмотрели типичный фрагмент процесса подготовки
данных на пуск ракеты с функциональным наведением, но на этом
аналогия заканчивается.
Рассмотрим существо подхода к построению алгоритма метода
наведения по вектору конечной командной (требуемой) кажущей-
ся скорости. Будем рассматривать только внеатмосферную часть
активного участка полета БР. В этом случае можно считать, что ка-
жущееся ускорение полностью определяется одной силой тяги. Со-
ответственно предполагаем, что до выхода ракеты из плотных слоев
атмосферы полет проходил с использованием заранее выбранных
программ управления, т. е. по методу предварительного программи-
рования движения. Таким образом, рассматривается комбинирован-
ный метод наведения. Отметим, что комбинированными являются
все методы наведения по вектору требуемой скорости. Дело в том,
что требуемая скорость, по определению, не зависит от текущей ско-
рости ракеты и ее угловой ориентации. Поэтому невозможно прин-
ципиально на основе таких методов наведения выбирать программы
управления с учетом ограничений по углам атаки и скольжения,
характерных для атмосферного участка полета ракет всех классов.
Рассмотрим основные этапы вычислений, связанных с определе-
нием программных функций и фиксации момента tK, в который вы-
полняют все концевые условия. Начнем с некоторого момента вре-
мени t = £тмн, соответствующего началу терминального наведения.
Считаем в этот момент известными из решения задачи навигации
кинематические параметры движения центра масс БР r(t), V(t) и
W(t), а также вектор WTp(t*,rK,Lu,Bu,T'u).
274
1. На участке [t, tK] по формуле К.Э. Циолковского имеем
/ / vl I/ у 9 9
(7.53)
Заметим, что выражение в левой части (7.53) по физическому смыслу
есть модуль вектора WK0M (как и ранее, для краткости записи аргу-
менты будем опускать), который легко вычисляется с помощью (7.51)
по имеющимся данным, а т = tK — t. Разрешим уравнение (7.53) от-
носительно т. Тогда
m(t)
тп
1 — ехр
^КОМ \
Руд&О /
и tK = t 4- т.
(7.54)
Здесь руд и секундный массовый расход топлива — параметры мате-
матической модели БР.
2. Используя параметры математической модели движения, вы-
полняем прогноз параметров движения на момент tK по формуле
(7.49) и формуле
«к т tK Т
г(У = Г(т//*(^ + /Д[ г( т)] d т2. (7.55)
т to Т to
Вычислить интегралы в формулах (7.49) и (7.55) можно, если извест-
ны программы тангажа и рыскания, от которых зависит кажущееся
ускорение. Именно эти программы мы и хотим определить. Однако
на промежуточном этапе сделаем допущение о том, что на участке
[t, tK] углы Опр и \|/пр постоянны. Тогда указанные интегралы вы-
числим даже в аналитической форме. Вообще говоря, существуют
способы задания зависящих от времени функций Onp(t) и ynp(t),
для которых можно аналитически проинтегрировать выражения, сто-
ящие в левых частях (7.49) и (7.55), но остановимся на простейшем
варианте задания программ в связи с тем, что нас интересует принци-
пиальная возможность построения рассматриваемой разновидности
алгоритма терминального наведения.
3. После вычисления параметров r(tK) и V(tK) проверим значе-
ние невязок концевых условий, вызванных принятыми выше допу-
щениями. Для этого решим систему дифференциальных уравнений
движения на ПУТ, поскольку имеем все необходимые начальные
275
условия и параметры математической модели движения. Будем счи-
тать, что система решена и вычислены значения интересующих нас
невязок AI/ц, ДВц, ДТЦ.
4. На следующем этапе выполняем контроль допустимости полу-
ченных невязок
| ДЛц| < eL Л I ДВЦ| < гв Л I ДТц| < еТ) (7.56)
где El, — предельные значения допустимых погрешно-
стей выполнения соответствующих концевых условий. Если условие
(7.56) выполняется, переходим к п. 6, иначе — п. 5.
5. Составляем системы из трех линейных алгебраических урав-
нений с тремя неизвестными относительно составляющих вектора
требуемой командной скорости, которым мы пользовались для про-
гноза параметров движения в конце АУТ:
f Lv AWTp = ДЬЦ,
< Bv AWTp = ДВЦ, (7.57)
Tv AWTp = ДТЦ.
Здесь векторы ЧБП вычисляют по параметрам r(tK) и V(tK) в со-
ответствии с методами, рассмотренными в гл. 6. Из аналитического
решения этой системы определяют все компоненты вектора AWTp.
Уточняется значение требуемой кажущейся скорости по формуле
W7rp = W-1 + AWyp, где i — номер итерации. Вычисляем новое
значение требуемой кажущейся скорости, после чего итерационный
процесс повторяется, начиная с п. 1.
6. Выполнение (7.56) с требуемой точностью означает, что вектор
требуемой кажущейся скорости соответствует попадающей траекто-
рии для параметров в конце АУТ r(tK) и V(tK). С другой стороны,
в момент t вектору WTp, полученному на последней итерации, со-
ответствуют программные углы dnp(t) и \|/np(t), обеспечивающие
полет на оставшейся части АУТ за время tK — т в точку пространства
расширенных фазовых координат tK, r(tK) и V(tK), принадлежащую
ПКУ. Заметим, что эти программы углового движения получены в
момент t для траектории возмущенного движения БР, которой со-
ответствовали параметры движения r(t), V(t) и W(t). Отсюда сле-
дует, что рассматриваемый алгоритм действительно обеспечивает
276
текущее программирование движения, а не использует заранее рас-
считанные программы. Заблаговременно подготовленная программа
потребовалась только для первичного расчета вектора WTp. Опре-
делив программные углы dnp(t) и ynp(t), осуществляют полет на
интервале одного шага решения навигационной задачи.
7. Прежде чем продолжать весь цикл вычисления программ упра-
вления, необходимо убедиться, что момент фиксации окончания
управляемого полета произойдет не ранее завершения следующего
шага наведения. Для этого можно воспользоваться интерполяцион-
ным полиномом (7.21), подставив в него значения модулей команд-
ной кажущейся скорости Wt = Ик0М(^) вместо соответствующих
значений 67. Технология обновления узловых значений таблицы для
вычисления методом обратной квадратичной интерполяции значе-
ния tK = t2, Wi, W2, W3, 0) полностью совпадает с опи-
санной в п. 7.2, включая подход к выбору значения шага решения
задачи наведения. Принципиальной особенностью становится удо-
влетворение в момент tK всех трех концевых условий одновременно,
так как вектор WTp, по сути, является трехмерным функционалом.
Если оставшееся до tK время составляет менее одного шага реше-
ния задачи наведения, то итерационный процесс прекращается и с
помощью бортового таймера в момент tK выдается базовая команда
на отделение ББ и выключение двигательной установки. В против-
ном случае весь цикл решения задачи начинается с п. 1 с той лишь
разницей, что вместо заранее рассчитанного значения WTp в конце
АУТ в качестве первого приближения значения требуемой кажу-
щейся скорости теперь целесообразно использовать величину WTp,
полученную на предыдущей итерации.
Обратим внимание на важные особенности рассмотренного под-
хода к построению алгоритма терминального наведения. Прежде
всего заметим, что кажущееся грубым допущение о постоянстве про-
граммных углов оказалось вовсе не грубым, поскольку реально на
каждом шаге наведения эти значения уточняют с учетом действую-
щих возмущений и обеспечивают монотонное приближение фазовой
траектории к ПКУ. Погрешность же прогноза временного интерва-
ла т до окончания АУТ по формуле К.Э. Циолковского непрерывно
уменьшается по мере приближения к реальному моменту tK.
277
7.5. Алгоритмизация процедур расчета типового варианта
метода терминального наведения
Основу методов TH составляет решение рассмотренной ранее
краевой задачи.
Обычный путь решения краевой баллистической задачи с ис-
пользованием методов численного интегрирования требует значи-
тельных затрат машинного времени, если учесть, что в каждой ите-
рации требуется с достаточно малым шагом численно интегрировать
уравнения движения ракет на АУТ и многократно интегрировать
систему уравнений движения ГЧ на ПУТ для расчета частных про-
изводных методом конечных разностей. Поэтому при подготовке
данных на пуски БР с TH обычно КБЗ решается комбинированным
методом: на первом этапе используют аналитические зависимости
для приближенного построения опорной траектории, на втором эта-
пе подключают более точные, но все равно упрощенные «борто-
вые» алгоритмы прогноза точки падения для уточнения параметров
опорной траектории, а на третьем этапе с помощью высокоточных
«наземных» алгоритмов численного интегрирования определяют
поправки к координатам точки падения на влияние неучитываемых
в бортовых алгоритмах геофизических факторов.
Построение опорной траектории включает определение азимута
плоскости пуска Ао и значений параметров попадающей траектории
в интересующих нас точках: конечной точке траектории 1-й ступе-
ни; точке траектории 2-й ступени, с которой начинается TH; точках,
с которых начинается TH последующих ступеней; конечной точке
участка выведения. Параметрами, необходимыми для проверки вы-
полнения всех ограничений и организации работы системы наведе-
(7) w(7)
ния, являются: координаты Гк и вектор скорости в конце участ-
ка траектории полета 1 -й ступени; значения параметров движения на
момент начала TH г(<Нтн), ^(£Нтн) и ТУ(£Нтн); значение командной
кажущейся скорости на момент начала TH ^Нтн — (И/Ком)нтн; значе-
ния координат и вектора скорости на моменты начала TH последую-
щих ступеней; координаты и скорость в конечной точке участка вы-
ведения гк и VK. Параметры движения в перечисленных точках зада-
ют начальные условия для работы алгоритмов прогноза траектории
полета, реализуемых в системе наведения. Необходимо еще раз под-
черкнуть, что вектором командной кажущейся скорости называется
векторная разность между требуемым значением кажущейся скоро-
сти в конце активного участка и текущей кажущейся скоростью.
278
В основу построения опорной траектории на первом этапе закла-
дывают результаты предварительных расчетов траекторий ракет при
некоторых усредненных геофизических условиях: среднем для ре-
гиона положении точки старта, стандартной атмосфере, централь-
ном поле притяжения Земли. Такой подход принят для заблаговре-
менных расчетов нужной зависимости искомых параметров от гео-
физических условий пусков БР.
Методы TH по вектору требуемой скорости подразделяют на две
группы: вектор требуемой скорости в одной из них задается на ле-
вом, в другой — на правом конце прогнозируемой части АУТ (т. е.
той части АУ на которой реализуется «текущее программирование»
движения). Относительно расхода топлива второй вариант реализа-
ции TH более рационален. Поэтому ниже рассматривается схема ал-
горитма, реализующего именно эту разновидность TH.
Итерационная процедура включает в себя:
1) расчет параметров движения БР в конечной точке участка вы-
ведения по специальному алгоритму прогноза движения на АУТ (по
методу коррелированной траектории [17, 18]) VK, гк;
2) расчет параметров траектории на момент входа в плотные слои
атмосферы VBX, 0ВХ на высоте Лвх;
3) определение координат точки падения в целевой системе ко-
ординат ЩКЬ rc{lc,bc} и промаха Дгс{ Д/с, АЬС};
4) расчет поправки к начальной скорости пассивного участка VK,
исходя из представления промаха в виде линейной части разложения
в ряд Тейлора
МЧп AWkom ~ [ Д7>тп? А-^ТП, Д^тп]
ИЛИ
[Д£тп, Д-^тп? Д^тп] — [Ly5 By; Tv] AWKOM, (7.58)
где матрица частных производных рассчитывается по аналитиче-
ским зависимостям кеплеровой теории;
5) определение нового, исправленного, значения начальной ско-
рости пассивного участка, принимаемой за требуемую скорость в
данной итерации,
VTp = VK + ДА¥КОМ; (7.59)
279
6) определение требуемой кажущейся скорости
WTP = VTP - I g(r)<ft (7.60)
to
и ее проекций на оси гироскопической системы координат (И/тр)хг,
(ivTp)yr,(ivTp)zr;
7) расчет командной кажущейся скорости в текущий момент.
Рассмотрим алгоритм прогноза параметров в конце АУТ, необхо-
димый для использования данной схемы решения задачи наведения.
Решение задачи прогноза включает следующие этапы.
1. Для каждого текущего момента определяется точка S*, для ко-
торой время пассивного полета до точки К равно времени активно-
го движения ступени БР из текущей точки S до той же точки Кпр,
а скорости в точке К для активного и пассивного участков движе-
ния совпадают как по величине, так и по направлению (рис. 7.12),
т. е. выполняется пересчет параметров траектории в текущей точке
S{r, V} в соответствующие параметры новой, баллистической тра-
ектории во вспомогательной точке S'*{г*, V*}. Траекторию полета,
соответствующую зависимости r*(t), принято называть коррелиро-
ванной.
2. Интегрирование СДУД пассивного полета от точки S* до точ-
ки выключения ДУ проводится за один шаг из любой точки участка
выведения.
Рис. 7.12. Прогноз движения БР на АУТ:
Он S - пройденная часть АУТ; SK - оставшаяся часть АУТ; S* К - соответствующий
участок SK по времени полета и по значениям параметров в точке К ПУТ
280
Формулы для пересчета параметров г и V в текущей точке тра-
ектории S в параметры г* и V* в точке S* можно получить из следу-
ющих соображений. Сопоставим между собой формальные решения
двух систем дифференциальных уравнений:
. W
г = V
(7.61)
от точки S до точки К при заданных W и WKOM и
' V = g(r),
<
г = V,
(7.62)
от неизвестной пока точки S* (г*, V*) до точки К за то же время, что
и для (7.61). Обозначим это время через hay (шаг интегрирования
уравнений на активном участке от текущего момента t до конечно-
го£к).
Формальная запись решения системы (7.61) имеет вид
VK = V + wKOM + I g(r)df,
о
гк = г + Vhay + SKOM + У У g(r)dt2,
о
(7.63)
(7.64)
где SKOM — формально записанный интеграл от вектора командной
кажущейся скорости WKOM-
Формальная запись решения системы (7.62) имеет вид
j g(r)dt,
VK = V* +
rK = г* + V*hay
+ / / e^dt2-
о
(7.65)
(7.66)
281
Приравняв левые и правые части (7.63) и (7.65), а также (7.64) и
(7.66), получим
V* = v + WKOM +
Ag( Дг)«Й,
(7.67)
Г —Г + SKOM ^№KOMhay hay
hay hay
У Ag(r)<ft+y у* Ag(r)dt2. (7.68)
о о
Полагая изохронную вариацию ускорения силы притяжения
Ag( Аг) пренебрежимо малой и считая, что вектор WKOM на ин-
тервале [t, tK] имеет постоянную ориентацию, получим окончатель-
ные выражения для пересчета параметров в точке S в параметры
S*, служащие начальными условиями при интегрировании системы
уравнений (7.65):
V*=V + WKOM + g(r),
W
; vv KQM _ w h
'ком |ттг I КОМ'bay,
| Иком I
hay и SKOM определяются по схеме К.Э. Циолковского:
hay — tK t —
m(0 I ( ^KOM
—— 1 - exp --------
\m\ . \PyaSo
n2 Г w
Skom = -a P + (P-1)-
W I U
(1.69)
(7.70)
(7.71)
где ue = pyago — эффективная скорость истечения; P = 1 —
-exp(-WKOM/ue).
При расчете опорной траектории начальный момент интегриро-
вания уравнений (7.62) с начальными условиями (7.63) принимают
за момент начала терминального наведения БР £Нтн-
Начальными условиями для прогноза пассивного участка траек-
тории являются значения кинематических параметров движения БР
в конечной точке АУТ — точке К.
В результате численного интегрирования системы уравнений
движения на ПУТ получаем траекторию пассивного участка. Прежде
282
всего, нужно определить алгоритм вывода БР на заданную высоту
входа в атмосферу и вывода ее на высоту точки прицеливания.
Из-за того что число точек, требующих расчета выхода на задан-
ную высоту, ограничено (обычно на высоту входа в атмосферу и точ-
ку прицеливания), можно принять простой алгоритм. Суть его в сле-
дующем: после начала процесса выхода на заданную высоту на ка-
ждом шаге интегрирования сравнивают текущую высоту с заданной.
Если текущая высота больше заданной, то восстанавливают параме-
тры предыдущего шага интегрирования, иначе — выполняют оче-
редной шаг интегрирования; шаг интегрирования делится пополам
и интегрирование продолжается до тех пор, пока разница между те-
кущей и заданной высотами не станет больше заранее выбранного
критерия (рис. 7.13).
Недостаток этого алгоритма — необходимость многократных
итераций. Для БР средней дальности в самом неблагоприятном слу-
чае количество итераций составляет 12—13. Такое количество ите-
раций можно считать приемлемым.
Поскольку при предстартовом расчете для вычисления требуе-
мой скорости используют алгоритмы прогноза и расчета поправки
AVK с использованием невязок ДЬС, ДВС, ДТП, необходимо рас-
считывать баллистические производные для этих параметров. Для
алгоритмов наведения требуется более быстродействующий метод.
Рис. 7.13. Схема алгоритма расчета выхода БР на заданную высоту
283
Такой метод строится на основе применения аналитических зависи-
мостей теории кеплеровых движений. Методическая погрешность
определения баллистических производных по аналитическим зави-
симостям, справедливым только для центрального поля притяжения
и при отсутствии атмосферы, большого значения не имеет, поскольку
точность попадания определяется не точностью определения попра-
вок Д VK или точностью величины и направления требуемой скоро-
сти VTp, а значением прогнозируемого промаха Дгк = { ДЬС, ДВС},
который определяют, используя высокоточные модели и алгорит-
мы численного интегрирования. Роль баллистических производных
скромнее: они организуют итерационную процедуру определения
попадающей траектории в нужном направлении, обеспечивая сбли-
жение точек падения с точкой прицеливания. Поэтому их значения
могут быть вычислены приближенно.
Однако это не значит, что не следует заботиться о максимально
возможной точности их расчета. Для обеспечения требуемой точно-
сти расчетов баллистические производные в алгоритмах наведения
рассчитывают по формулам Кеплера, но с учетом вращения Земли.
Рассмотрим схему получения необходимых аналитических зависи-
мостей, связывающих отклонения точки падения от цели с начальной
скоростью пассивного участка AVK. Пусть К* — проекция началь-
ной точки пассивного участка на поверхность сферы радиуса 7?з+/1ц
(рис. 7.14). Оси целевой системы координат ЦЬНВ проведены по ка-
сательной к дуге К*Ц (ось LJL) и перпендикулярно ей (ось ЦВ). Пред-
положим, что положение точки падения в одной из итераций в про-
цессе решения краевой баллистической задачи подготовки данных (а
в полете — по результатам прогноза) совпадает с точкой С и фикси-
руется в абсолютном пространстве вектором Дгс. Представим его в
виде
Дгсс = Аге1’ + Дгс2), (7.72)
где Дгс1) — составляющая, рассчитанная без учета вращения Земли;
Дгс2) — составляющая, обусловленная только вращением Земли за
время ДТ продолжительности пассивного участка, если начальная
скорость в точке К отлична от требуемой на ДУК.
Значение Дгс2^ можно вычислить по формуле
Дг<2) = ((Оз X Гц) ДТ, (7.73)
где (Оз — угловая скорость вращения Земли.
284
со3
Рис. 7.14. Связь между линейными и угловыми параметрами, характеризу-
ющими отклонение точки падения от точки прицеливания:
{ ALC, АВС} - линейные отклонения; { АФС, Хс} ~ угловые отклонения точки С от
точки Ц
Непосредственно из рис. 7.14 следует, что
Дгс1) = Гц ДФ1° + Гц 8шФ %Ь°, (7.74)
где Ф — угловая дальность между точками К* и Ц; % — угловое
боковое отклонение точки падения.
Продифференцируем выражение (7.74) по VK с учетом того, что
значение Ф в нем неизменно как угловая дальность между точками
Он и Ц, а варьируемыми являются только ДФ и %:
Ж' (7-75>
Величина ДФ при заданном Дгк есть функция только ДУК и
Д 0к- Следовательно,
дФ _ дФ dVK дФ 5 0к
&vK ~ dvKdvK + doKdvK-
Производные дФ/дУк и дФ/д 0к получают дифференцированием
известной формулы для определения угловой дальности по кеплеро-
вой теории:
ЭФ =___________1________4л08ш2(Ф/2)
dVK tg ек + hK ctg(<₽/2) rKVK3 cos2 9K ’
где hK = (rK - гц)/гц;
285
d± = v
д 0К 2 По
ctg
- tg 0К
дФ_
дУк
(7.77)
Производные дУк/д\1к получают обычно по компонентам векто-
ра VK в абсолютной геоцентрической системе координат OXaYaZa,
в которой
V, = |(K)x.,(V,)r„(K)z.]’, (7.78)
= #*. + TO. + №.
Таким образом,
дУ* = Г(Ук)хо (К)уа (К)иа~
dVK [ VK ’ Ук ’ VK
(7.79)
(7.80)
Производную д 0K/<9VK, точнее ее составляющие д QK/(dVK)xa'
dQK/(dVK)ya, д QK/(dVK)za^ получим из геометрических постро-
ений. Введем в рассмотрение прямоугольную систему координат
Кху так, чтобы ось Ку была направлена по продолжению радиуса-
вектора гк, а ось Кх так, чтобы плоскость Кху содержала вектор
VK (рис. 7.15).
Рис. 7.15. Положение век-
тора VK в системе коорди-
нат Кху
Из рисунка 7.16, отображающего по-
ложение VK в пространственной прямо-
угольной СК, видим, что
0К = arctg , (7.81)
(ИПх
где (К)х = VKx° = (VK)Xa(x°)xa +
+(VK)yo(x°)yo + (VK)zQ(x°)Za, (К)у =
= VKy° = (К)хо(у°)хо + (К)уоУ°)уо +
+(VK)za(y°)zo, а орты системы коорди-
нат Kxyz в проекциях на оси абсолютной геоцентрической системы
координат OXaYaZa определяются выражениями
286
Рис. 7.16. Положение вектора VK в системе координат Kxyz
гк и VK находят через проекции на оси системы OXaYaZa в процессе
интегрирования системы уравнений движения полезной нагрузки.
Из (7.81) с учетом (7.82) получим искомые производные:
аек (УкЬ(х°к - (Ук)х(у°)ха
5(Vk)xo к2
I дек _ (vK)y • (х°)к - (vK)x • (у>а
a(v^- ’ (7‘83)
двк (Ук)/х°)7а - (ук)/у°/а
I d(yK)za к2
Определим теперь входящую в выражение (7.75) производную
д^/дУк (или dx/d(VK)xa, 5х/5(Ук)уа, dx/d(VK)za) из следу-
ющих соображений. Если вариация скорости AVK в точке К при-
водит к появлению бокового отклонения точки падения, т. е. к по-
явлению % т^О, то, следовательно, возмущенное значение скорости
AV'K = VK + AVK в проекциях на оси прежней системы коорди-
нат Kxyz будет иметь третью составляющую (V'K)z = V'K • z°. Из
рис. 7.16 непосредственно следует, что
(Ук + АУК) • z°
(V'K)x
(7.84)
С учетом Ук • z° = 0, а Ук = [(Ук)хо, (Ук)уа, (К)за]т получим
дХ = (z°)xa дх = (z°)K
d(VK)xa (Ук)/ <Э(Ук)к (Vk)/
дх. = (*°)za
5(VK)za (Ук)х '
(7.85)
287
Подставим (7.76), (7.77), (7.80), (7.83) и (7.85) в (7.76) и (7.75),
найдем в явном виде выражения для элементов матрицы дт^/д\к,
первой составляющей матрицы баллистических производных
arc/avK.
Вторую составляющую дг^/<9VK, обусловленную вращением
Земли за время АТ продолжительности пассивного участка, если на-
чальная скорость в точке К отлична от требуемой на AVK, получим
путем дифференцирования (7.73):
М? = (МзХГс)^;’ <7-86)
где
9Т = эт 9VK ат аок
dvK dvK' avK аок‘ avK’
Производные dVK/dVK и 50K/<9VK рассчитывают по формулам
(7.80), (7.83).
Частные производные дТк/дУк и дТк/дВк можно получить диф-
ференцированием зависимости Т = Т(УК, Ок), которая в рамках кеп-
леровой теории приведена к виду [112]
Т=(-1)тТР[т1 + (-1)т т2], (7.88)
Тр = 03/тго, (7.89)
а = 0,5rK/(l — v:), (7.90)
Ti = 7г/2 + Yi - Ек, (7.91)
т2 = 7г/2 + у2 - Ес, (7.92)
Y1 = е0 - рр (7.93)
у2 = 60- р2, (7.94)
тп = 0, если rKVK 0, (7.95)
m = 1, если rKVK < 0, (7.96)
Pi = (1 - 2 v*)/e, (7.97)
р2 = (1 - 2 Пс)/е, (7.98)
Ек — arcsin Р1? (7.99)
Ес — arcsin Р2, (7.100)
Пк = ( V* + /1к)/(1 + hK), (7.101)
288
hK = (rK - rc)/rc, (7.102)
e = x/l-4v:(l- v£)cos2 0K, (7.103)
v: = гкУк2/(27г0), (7.Ю4)
где e — эксцентриситет орбиты (пассивного участка траектории); Ек
и Ес — эксцентрические аномалии точек К и С; hK — приведенная
высота точки К; V* — энергетический параметр кеплеровой орбиты.
Выражения для расчета искомых производных приводятся ниже:
dT/dVK = l/VK[3v*T/(l- v*) + (—l)m2Tp( v* у3 — Рз)], (7.105)
дт/дек = (-1)ттР1ё eK[i +1/( р16)] р3, (7.Ю6)
Рз = 2 Pi v; cos2 ек [( Pj + е)/ Y1 + (-1Г( Р2 + е)/у2], (7.107)
Тз = 4(1 - v;) [1/ Y1 + (-1/7 у2(1 + hK)]. (7.108)
Таким образом, все составляющие матрицы баллистических про-
изводных вида
(7.109)
дгс Эгс1) дг^
д\Гк = av7+ Ж
определены по аналитическим зависимостям кеплеровой теории.
Следовательно, вместо Агс и матрицы производных дтс/дУк сле-
дует иметь невязки в виде ALC, АВС, АТ и производные в виде
dLc/дVK, дВс/дVK, дТ/д\\. Определение ALC и АВС проводится
в той системе координат, в которой задание направлений 1°, Ь° про-
ще. Дело в том, что для алгоритмов наведения неважно, как выбирать
направления отсчета отклонений по дальности и боковых, поскольку
при терминальном наведении нет управления дальностью отдельно
от управления боковым отклонением, как при функциональном наве-
дении. Поэтому невязки ALC и АВС можно рассчитывать, например,
в направлениях
.о гц X z° 0 1° х Гц
|гцхг°|’ |1°хгц|’
(7.110)
где Zp — единичный вектор оси OHZr начальной гироскопической
системы координат:
ALC = (гс - гц)1°,
(7.111)
289
АВС = (гс - гц)Ь°,
(7.112)
а невязка
АТ = Тп - Т™. (7.113)
Пересчет производных из формы (7.109) в форму dLc/VK, дВс/Ук
проведем с помощью выражения
Дгс = 1° • АТС + Ь° • АВС. (7.114)
Дифференцируя (7.114) по VK, получим
В выражении (7.115) существенные для дальнейшего порядка запи-
си сомножители — в правой части. Приравнивая правые части вы-
ражений (7.109) и (7.115), можно вычислить искомые производные
dLc/dVK и дВс/дУк. С этой целью представим выражение (7.115)
в форме матричного произведения двух блочных матриц:
' <9гс ' - Г1°1ь°1 дьс/д\к П 1 1 м
- L1 lD J
V к . двс/д\к
С помощью операции псевдообращения неквадратной матрицы
из (7.116) получим
Напомним, что операция псевдообращения матрицы S осуще-
ствляется в форме следующей последовательности обычных дей-
ствий над матрицей:
S+ = (7.118)
В выражении (7.117) матрица S = [1° |Ь°] такова, что STS = Е.
Тогда по правилу (7.118) получим S+ = E ^ST = ST. Следователь-
но, вместо (7.117) для расчета искомых баллистических производ-
ных можно пользоваться выражением
дьс/д\к - Г1°1Ь°Г ’ дгс
. dBc/dvK - [1 |о ] ^vj
(7.119)
290
Рис. 7.17. Связь между векторами требуемой и командной скорости
при терминальном наведении
Таким образом, вместо матрицы [<?rc/(?VK], входящей в выраже-
ния для определения поправки к скорости VK в каждой итерации при
решении краевой баллистической задачи, найдена несколько другая
матрица:
OLc/dVK
ЭВс/дУк
дТ/дУк
(7.120)
Она удобнее, поскольку в качестве невязок краевой задачи ис-
пользует значения Д£с, ДВС и ДТП, сведение которых к нулю (на
практике к допустимым значениям) обеспечивает попадание в цель
и требуемую форму траектории.
Обсуждение рассматриваемого в параграфе вопроса завершим
изложением метода формирования программ управления и прогно-
зирования момента окончания наведения.
Командной скоростью WK0M называется потому, что ее значение
и направление служат для выработки команд управления движением,
действующих в течение одного цикла наведения (рис. 7.17).
Полагая, что направление требуемого приращения кажущейся
скорости совпадает с требуемым направлением продольной оси БР,
т. е. с направлением вектора тяги, вычислим параметры требуемой
ориентации аппарата — углы тангажа и рыскания — через проекции
вектора Wkom (i — индекс «шага» решения задачи TH):
= arctg -—, (7.121)
\ (W"koL)x + (Wkom)z
= - arctg. . (7.122)
291
Рис. 7.18. Выбор опор-
ных точек при экстрапо-
ляции вектора WK0M
Теперь рассмотрим метод фиксации ну-
левого значения модуля вектора командной
скорости в конце АУТ.
По сути TH управление завершается
при условии PVKom = 0. Это условие
требует точной фиксации момента убы-
вания величины РТком до нуля. Исполь-
зуя последние три значения И7КОм(£г)> т.е.
wSm = WKOM(tJ, w^-1’ = WKOM(tJ_1)
и Wkom2) = WKOM(/j_2), можно прогнозировать значение t (Wkom =
= 0) методом обратной квадратичной экстраполяции (рис. 7.18).
Обычно используя последние три значения Жком(<г), т.е. Wi —
= WK0M(ti), Wi = И Wi = IVKOm(^-2), можно получить
прогноз значения
Д/к = -2hH - ДцЖ-i + M0Wi^Wi-2, (7.123)
где «разделенные разности» Дю и Д20 вычисляют по формулам
Дю =
____hn___. . _ hH
Wi-! - Wi-2 ; 11 ~ Wi-Wi-i ’
(7.124)
. Au - Д10
20 _ Wi-Wi-2;
AtK — прогнозируемое время от ti до tK. На практике иногда в (7.123)
рассматривают дополнительные задержки, учитывающие время сра-
батывания конкретной аппаратуры процесса отделения, но обсужде-
ние таких деталей возможно (и целесообразно) только на этапе тех-
нического проектирования конкретной системы управления.
7.6. Метод требуемой скорости в варианте «Q-наведения»
Значительный вклад в разработку данного варианта метода тре-
буемой скорости был внесен американскими специалистами под ру-
ководством Р. Бэттина [17, 18]. В США рассматриваемый метод раз-
рабатывался первоначально в варианте так называемой Q-системы, а
затем в несколько измененном виде применялся в системе управле-
ния различного типа МБР и космических объектов. Алгоритмиче-
ская простота метода Q-системы позволила реализовать его в анало-
говых СУ без применения БЦВМ на баллистических ракетах ранних
292
поколений «Тор» и «Поларис». Однако это достоинство Q-системы
в значительной мере обесценивалось существенным недостатком,
заключавшимся в чрезвычайной трудоемкости решения задачи под-
готовки данных на пуск и большом объеме полетного задания, что
усложняло применение названного метода для ракет мобильного
базирования.
С появлением БЦВМ появились возможности существенного ви-
доизменения алгоритмического содержания метода требуемой ско-
рости и значительного упрощения задачи расчета полетного задания,
что позволило решить проблему эффективного применения данного
метода наведения на мобильных ракетных комплексах, способных
осуществлять пуски ракет с любой точки маршрута боевого патрули-
рования [98, 111].
Хотя сам по себе вариант Q-системы в настоящее время следу-
ет считать устаревшим, изложение его основ не потеряло методиче-
ского значения [98, 111] для уяснения особенностей рассмотренного
метода требуемой скорости и его основных качеств.
Идея наведения по методу требуемой скорости является по сво-
ей сути достаточно простой. Однако ее практическая реализация
сталкивается с серьезной трудностью, связанной с необходимостью
рассчитывать текущие значения требуемой скорости в реальном мас-
штабе времени, при этом допустимое запаздывание в определении
требуемой скорости не должно превышать сотых долей секунды.
Если учесть, что для расчета требуемой скорости необходимо решать
соответствующую краевую задачу для системы дифференциальных
уравнений, описывающих полет ГЧ на ПУТ с учетом движения в
атмосфере, то станет очевидной трудность решения за время, не
превышающее допустимое запаздывание в расчете требуемой ско-
рости, даже с применением современных высокопроизводительных
бортовых ЦВМ.
Эту трудность удалось преодолеть в варианте метода, получив-
шем в американской литературе название Q-системы («Q-наведе-
ния»). Рассмотрим сущность данного варианта наведения по требу-
емой скорости.
В последующем изложении термин «требуемое приращение ско-
рости» принято заменять [98] более коротким выражением дополни-
тельная скорость, AVTp в связи с этим будем обозначать как Уд.
293
Основу метода Q-системы составляет следующее дифференци-
альное уравнение для дополнительной скорости:
= -W - QVa,
at
(7.125)
где W — кажущееся ускорение БР за счет силы тяги ДУ; Q — ква-
дратная матрица третьего порядка, образованная частными произ-
водными от компонент вектора текущей требуемой скорости по ко-
ординатам текущей точки пространства,
' жтр dv? ov? '
dx dy dz
dVyTp 0VyTp dV^ (7.126)
dr dx dy dz
dV^ Угтр dVjp
dx dy dz
Выбор авторами метода матрицы Q для обозначения матри-
цы частных производных (7.126) предопределил название систе-
мы наведения, основанный на применении уравнения (7.125), как
Q-системы (а метода — как метода Q-наведения).
Справедливость уравнения (7.125) при движении БР на внеатмо-
сферном участке траектории ясна из следующих математических по-
строений [98]. Рассмотрим полную производную от требуемой ско-
рости по времени. С учетом явной зависимости требуемой скорости
от г и t эта производная выражается следующим образом:
dVTp _ <9VTp dr
dt dr dt
<9VTp
dt
(7.127)
С учетом обозначения (7.126) имеем
dVTp dr
---- = Q---h
dt--^dt
<9VTp
dt
(7.128)
Для случая движении БР на АУТ справедливо соотношение
dvTp avTp
dt dt
(7.129)
294
где V(i) — текущая скорость, удовлетворяющая уравнению движе-
ния вида
dVTp
-j-=W + g. (7.130)
at
С другой стороны, при движении ГЧ на ПУТ ее текущая скорость
является, по определению, требуемой скоростью в каждый текущий
момент времени, т. е. для пассивного участка справедливо уравнение
dVTp
~dt~ -g’
(7.131)
а уравнение (7.129) для случая движения на ПУТ принимает вид
dVTp
dt
VTp
= QVTp + —.
dt
(7.132)
Следовательно, справедливо равенство
QVTp +
<ЭУтр
dt
= g-
(7.133)
Рассмотрим теперь выражения (7.131), (7.132) и (7.133) в один
и тот же текущий момент времени. Вычитая почленно уравнение
(7.130) из уравнения (7.131), получаем
dt dt
-W-g.
Исключим из последнего уравнения гравитационное ускорение с
помощью формулы (7.133). В результате приходим к уравнению
—^ = QV - W - QVTp, (7.134)
dt
откуда вытекает [98] доказываемое уравнение (7.125).
Уравнение (7.125) представляет собой линейное дифференциаль-
ное уравнение относительно вектора дополнительной скорости. С
его помощью можно рассчитывать текущие значения вектора допол-
нительной скорости, причем без нахождения самой требуемой скоро-
сти. Для этого следует интегрировать данное уравнение в реальном
масштабе времени с соответствующим начальным условием Уд(<о),
определяемым начальными и терминальными условиями наведения.
295
Для интегрирования уравнения необходимо располагать результата-
ми измерений вектора кажущегося ускорения БР и информацией о
значениях элементов матрицы Q в текущих точках траектории дви-
жения. Ввиду практической невозможности рассчитывать элементы
матрицы Q непосредственно в ходе полета данная задача должна
быть решена заблаговременно перед пуском БР, а данные об элемен-
тах матрицы Q введены в память бортовой СУ в составе полетного
задания.
Важной особенностью уравнения (7.125) является то, что оно не
содержит вектора гравитационного ускорения. Это создает обманчи-
вое впечатление независимости задачи расчета дополнительной ско-
рости от модели гравитационного поля. На самом деле информация
о модели гравитационного поля отражена в элементах матрицы Q.
Задача наведения теперь сводится к нахождению направления
вектора W.
Очевидно, что вектор W следует направить так, чтобы обеспе-
чивалось в соответствии с принципом управления по требуемой ско-
рости уменьшение модуля дополнительной скорости и сведение ее к
нулю. Этим условием является отрицательность его производной
Vfl<o = (7.135)
\ at J
Связь между Уд и направлением вектора W определяется из сле-
дующих соображений.
Очевидно, что
V V
Ул = ^^, (7.136)
Ид
в числителе использовано скалярное произведение соответствую-
щих векторов. Подставив в формулу (7.136) выражение для Уд из
уравнения (7.125), получим
Уд = Ыд - W1;1. (7.137)
В последнем выражении вектор 1д есть единичный орт вектора
V4,a
b = -QVa. (7.138)
Выражение (7.137) показывает, что отрицательность модуля до-
полнительной скорости будет обеспечена, если выполнено нера-
венство
Х¥1Д>Ь1Д,
(7.139)
296
Рис. 7.19. Геометрическое
представление выполнения
неравенства Wl;i > Ыл
Рис. 7.20. Определение на-
правления вектора W
т. е. если проекция вектора W на направление вектора дополнитель-
ной скорости превышает проекцию на это направление вектора Ь.
Неравенство (7.139) иллюстрируется [98] рис. 7.19, где показано,
что допустимые направления вектора W, при которых выполнено
условие (7.135), ограничены углом AS В.
Среди допустимых направлений вектора W целесообразно вы-
брать энергетически оптимальное по критерию минимума расхода
топлива при управлении движением БР на АУТ или, что эквивалент-
но, по критерию минимума времени, потребного на сведение моду-
ля дополнительной скорости к нулю. С этой целью авторами метода
требуемой скорости предложено выбирать направление вектора W
таким, чтобы вектор Уд был противоположен направлению вектора
Уд (рис. 7.20). Поскольку данное условие может быть сформулиро-
вано как равенство нулю векторного произведения
Удх Уд = 0, (7.140)
в американской литературе способ определения направления векто-
ра W из условия (7.140) довольно часто называют «управлением по
векторному произведению».
В общем случае управление по векторному произведению не
является оптимальным по расходу топлива. Однако энергетические
показатели данного метода управления можно улучшить [18, 111]
путем введения в алгоритм метода специального параметра упра-
вления, с помощью которого воздействовать на направление вектора
W. Существо подхода сводится к следующему [111].
Обозначим параметр управления у и введем его как коэффици-
ент при векторе Ь. Выбором параметра управления в пределах 0... 1
297
можно соответствующим образом изменять длину вектора Ь. Таким
образом, производная вектора дополнительной скорости будет опре-
деляться как
dV
—^ = -W+yb. (7.141)
at
Пусть ew — единичный орт вектора W. Исходное уравнение для
определения вектора имеет в соответствии с формулой (7.140)
вид
1д х ( yb - Wew) = 0. (7.142)
Для разрешения данного уравнения относительно вектора еи-
следует умножить его векторно слева на :
1Д х 1Д х (yb-VKe^) =0 (7.143)
и, преобразуя двойное векторное произведение
у[1д(1д • b) - b] - W [1д(1д • е^) - е^] = 0, (7.144)
имеем
evv = 7Fb + V <7-145)
W L И/ _
Для исключения из последнего уравнения произведения 1д •
следует умножить это уравнение скалярно на вектор еи/:
I У
ewew = 1 [ +
(1де1у)
1д [ eVV-
(7.146)
Тогда
(1де^) = а/1--^[Ь2-(1дЬ)2].
V
(7.147)
Здесь перед радикалом должен стоять знак «+», так как > 0. Из
формул (7.145) и (7.146) окончательно получим
eiv = тТ( yb -|- р1д),
W________________________________
р = 0V2 - у2 [62 - (1ДЬ)2] - у(1дЬ).
(7.148)
Определив компоненты вектора в абсолютной стартовой си-
стеме координат, нетрудно рассчитать программные значения углов
298
тангажа и рыскания. Заметим, что при у = 0 получаем управление,
при котором продольная ось БР направляется непосредственно по
вектору дополнительной скорости, а при у = 1 исходное управле-
ние без коррекции модуля вектора Ь. Оптимальное по критерию ми-
нимума расхода топлива значение параметра у находим, моделируя
процесс управления для заданных условий пуска. Расчеты показы-
вают [98], что при пусках на дальность 10 тыс. км у = 0,4, причем
оптимум в диапазоне 0 ... 1 весьма пологий.
Решение задачи наведения по методу требуемой скорости в вари-
анте Q-системы осуществляется следующим образом:
— программные значения углов тангажа и рыскания определяют
в процессе полета по ориентации вектора е^, задаваемого выраже-
нием (7.148), где W — измеренное значение модуля вектора кажу-
щегося ускорения;
— момент обнуления тяги ДУ и отделения ГЧ определяется усло-
вием равенства нулю модуля дополнительной скорости.
Обращает на себя внимание исключительная простота алгорит-
ма выработки команды на отделение ГЧ. Здесь не возникает про-
блемы раздельного управления дальностью и направлением полета.
Более того, обеспечивается одновременная реализация трех терми-
нальных условий наведения.
Теперь нужно решить, каким образом, имея Уд, сформировать
команды для системы угловой стабилизации. Для этого, по извест-
ному правилу, необходимо повернуть вектор тяги в сторону Уд, т. е.
следует придать такое угловое положение ЛА, чтобы угол между век-
торами W и Уд стремился к нулю. Для этого
W х V
<0КОм = /< • * (7.149)
• Уд
где К — коэффициент усиления контура наведения, который опреде-
ляют на основе математического моделирования базовой математи-
ческой модели, описывающей движение ЛА. Существуют и другие
методики формирования команды для системы угловой стабилиза-
ции, которые в силу ограниченного объема работы здесь не рассма-
триваются.
Итак получили вектор командной угловой скорости в инерциаль-
ной системе координат. При этом предполагалось, что система угло-
вой стабилизации принимает команды в связанной системе коорди-
нат.
299
Для практического применения рассмотренного метода наве-
дения необходимо провести заблаговременный расчет элементов
матрицы Q, обладающей свойством симметричности [98]. Данное
свойство может быть использовано для контроля правильности рас-
чета этой матрицы численными методами.
В заключение, ориентируясь на работу [111], приведем общую
характеристику свойств метода наведения по текущей требуемой
скорости. Результаты анализа его достоинств и недостатков сводятся
к следующему.
1. Ввиду замкнутости программ управления метод не требует
жесткой стабилизации движения БР вблизи номинальной траекто-
рии. Это упрощает систему управления за счет исключения систем
нормальной и боковой стабилизации и регулирования кажущейся
скорости.
2. Данному методу наведения свойственна исключительная про-
стота алгоритма выработки команды на прерывание АУТ и отделение
головной части по признаку обнуления модуля требуемого прираще-
ния скорости. При этом обеспечивается одновременная реализация
трех терминальных условий наведения ГЧ (двух координат точек це-
ли и дополнительного условия наведения в виде полного времени
полета или угла входа ГЧ с более широким спектром свойств по срав-
нению с функциональным методом наведения.
3. Энергетические показатели метода требуемой скорости за-
висят от условий его применения. При наведении на безатмосфер-
ном участке траектории метод близок к оптимальному по критерию
минимума расхода топлива. Однако с учетом условий движения БР
в атмосфере на начальном этапе полета энергетические показате-
ли данного метода наведения существенно хуже соответствующих
показателей метода наведения по принципу предварительного про-
граммирования движения.
4. Метод требуемой скорости не позволяет учесть специальные
требования к траекториям полета (в частности, требование верти-
кальности начального участка полета БР), а также многочисленные
ограничения на параметры движения в атмосфере. В этом смысле ме-
тод требуемой скорости не универсален, вследствие чего при наведе-
нии БР целесообразно его применение в комбинации с методом пред-
варительного программирования движения. Управление полетом БР
на участках работы первой и второй ступеней целесообразно осуще-
ствлять по жестким или гибким программам управления, позволяю-
300
щим учесть все ограничения на параметры движения и сформиро-
вать оптимальные траектории выведения, а к управлению по методу
требуемой скорости переходить на участке полета последней ступе-
ни или ступени разведения.
5. Методические ошибки метода требуемой скорости слабо за-
висят от размеров трубки возмущенных траекторий движения БР на
АУТ и определяются, главным образом, погрешностями расчета век-
тора требуемого приращения скорости. При применении этого мето-
да наведения в комбинации с методом управления по жестким или
гибким программам возможные отклонения параметров возмущен-
ного движения БР от их номинальных значений, накопившиеся к мо-
менту начала наведения по требуемой скорости, воспринимаются си-
стемой наведения как возмущения начальных условий и компенси-
руются в контуре обратной связи на завершающем этапе полета при
формировании программ замкнутого управления. Вследствие этого
указанные отклонения мало влияют на методические ошибки наве-
дения.
6. В варианте Q-системы бортовая реализация алгоритмов мето-
да текущей требуемой скорости достаточно проста и сводится к ин-
тегрированию уравнения наведения. При этом не требуется решать
навигационную задачу, связанную с интегрированием основного
уравнения инерциальной навигации. Простота бортовых алгорит-
мов позволила в свое время реализовать этот метод на ряде ракет
США с аналоговыми СУ без применения БЦВМ.
7. Существенным недостатком метода наведения в варианте
Q-системы является сложность расчета элементов матрицы Q, что
затрудняет применение этого метода на БР мобильного базирования,
так как для обеспечения пусков с любой точки маршрута боевого
патрулирования носителя РК и оперативного расчета полетного за-
дания нужны мощные высокопроизводительные ЦВМ. В противном
случае пуски должны проводиться с заранее назначенных пунктов,
для которых полетные задания рассчитывают заблаговременно.
8. Другим недостатком данного метода наведения является боль-
шой объем полетного задания, содержащего информацию об элемен-
тах матрицы Q, и соответственно большой объем информации, хра-
нимой в бортовой СУ. Для уменьшения объема указанной информа-
ции применяют аппроксимацию элементов матрицы Q полиномами,
а для БР небольшой дальности — константами, что приводит к су-
щественным методическим ошибкам наведения. Так, при пусках на
301
дальность 2800—3000 км методические ошибки наведения в случае
аппроксимации элементов матрицы Q константами оцениваются ве-
личиной порядка 2 км.
7.7. Особенности реализации метода конечной требуемой
скорости
Метод наведения по конечной требуемой скорости предста-
вляет собой последующую модификацию [98, 111] метода теку-
щей требуемой скорости. Цель модификации состоит в том, чтобы
преодолеть главный недостаток, препятствующий практической ре-
ализации метода текущей требуемой скорости, заключающийся в
необходимости высокоточного определения требуемой скорости в
реальном масштабе времени с минимальным запаздыванием, кото-
рое не должно превышать сотых долей секунды.
Теоретические основы метода конечной командной (требуемой)
скорости были рассмотрены в п. 7.4. Здесь мы остановимся на об-
суждении некоторых особенностей реализации этого метода и сфор-
мулируем, основываясь на работах [98, 111], его достоинства и недо-
статки.
Задача расчета требуемой скорости VTp(r, t) при заданных тер-
минальных условиях наведения и известных г, t, вообще говоря, не
представляет алгоритмической проблемы. Она может успешно ре-
шаться таким эффективным методом, как метод Гаусса—Ньютона.
Трудность, как уже отмечалось, состоит в том, что задача должна ре-
шаться на БЦВМ за время, не превышающее допустимое запаздыва-
ние в расчете текущего значения требуемой скорости.
В методе Q-наведения указанная проблема была решена благода-
ря тому, что вычисления требуемого приращения скорости сведены
к интегрированию уравнения (7.125), однако за это пришлось запла-
тить необходимостью проведения громоздких предварительных рас-
четов элементов матрицы Q и существенным увеличением полетно-
го задания. Полиномиальная аппроксимация элементов этой матри-
цы к тому же порождает методические ошибки наведения.
Обсуждаемый вариант модификации метода требуемой скорости
свободен от недостатков метода Q-наведения. Принципиальной осо-
бенностью данного подхода является то, что требуемое приращение
скорости БР соотносится не с текущей требуемой скоростью, а с тре-
буемой скоростью, определенной на момент tK окончания АУТ. Эту
302
скорость принято называть конечной требуемой скоростью. Реали-
зация подхода связана с необходимостью осуществлять периодиче-
ский прогноз ожидаемого значения конечной требуемой скорости и
проводить его уточнение. Поскольку эта скорость определяется на
момент окончания АУТ, появляется интервал времени М = tK — t,
достаточный для того, чтобы в процессе полета БР на АУТ много-
кратно с некоторым периодом Т решать задачу коррекции конечной
требуемой скорости с помощью БЦВМ вполне приемлемого быстро-
действия.
Проанализируем сущность метода конечной требуемой скорости
применительно к внеатмосферному участку полета БР на АУТ. В
этом случае, как было показано ранее, вектор кажущегося ускорения
W совпадает по направлению с вектором тяги ДУ, а программные
значения углов тангажа и рыскания однозначно определяются на-
правлением вектора W. Предположим, что для заданных условий
пуска определены расчетные значения параметров ее движения г£
и V£ на расчетный момент t% окончания АУТ, при которых обеспе-
чиваются заданные терминальные условия наведения, т. е. условия
нулевого промаха по дальности и в боковом направлении ( AL = О,
АВ = 0), а также третье терминальное условие, вид которого будет
сформулирован позднее.
Рассмотрим разность скоростей
AVTp = VP-V(£), (7.150)
где V(t) — текущая скорость БР, AVTp — требуемое приращение
скорости. Выбор направления вектора кажущегося ускорения W и
соответственно программных значений углов тангажа и рыскания
осуществляется таким образом, чтобы свести к нулю требуемое при-
ращение скорости, а отсечку тяги ДУ и отделение ГЧ осуществить в
момент обнуления вектора AVTp.
Для практической реализации метода наведения следует задать
такой закон управления, при котором определяется текущая ориен-
тация вектора W. При фиксированных начальных условиях движе-
ния на момент to, известных характеристиках БР и среды полета для
трех терминальных условий наведения программная траектория БР
на АУТ определяется тремя параметрами управления: углами ,
^"апр и временем &
303
Принимая во внимание, что вследствие допущения постоянства
априорных программ управления вектор AWg(t) сохраняет неиз-
менным свое направление при любом t е [to,t\ и коллинеарен век-
тору W, получим, что при управлении полетом БР на АУТ вектор
кажущегося ускорения W следует ориентировать по направлению
вектора требуемого приращения кажущейся скорости'.
W||AW₽(*) te [i0, tK]- (7.151)
Несмотря на внешнюю тривиальность многократно полученно-
го для номинальных условий наведения вывода, правило управле-
ния (7.151) является исключительно важным, поскольку обеспечи-
вает решение по методу конечной командной (требуемой) скорости
задачи наведения и в условиях возмущенного полета.
Таким образом, вместо требуемого приращения действительной
скорости AVTp(£) будем рассматривать требуемое приращение ка-
жущейся скорости AW£(t). В связи с этим и правило выработки ко-
манды на отсечку тяги ДУ целесообразно формулировать [98] как
условие обнуления вектора AW£(t) либо как условие минимизации
его модуля
AWP(fK) = 0 либо | AW£(f)| min. (7.152)
Если ввести обозначение tK = t+tOcT, где t0CT — время, оставшее-
ся от текущего момента t до конца АУТ, то определение момента tK из
условия (7.152) равносильно определению t0CJ как времени, необхо-
димого для требуемого приращения кажущейся скорости AW£(t) за
счет ускорения W, развиваемого под действием тяги ДУ. При номи-
нальных условиях полета момент обнуления требуемого прираще-
ния кажущейся скорости совпадает с расчетным моментом при
этом из условия AWP(t) —> 0 при t —> получаем предельные ра-
венства AVTp(f) —> 0, Ag}1 —> 0. Программы управления, определя-
емые по текущей ориентации вектора AW£(i), постоянны и совпа-
дают с априорными, а конечные параметры движения БР совпадают
с их расчетными значениями.
В условиях возмущенного полета основными возмущающими
факторами на внеатмосферной части АУТ являются эксцентриситет
вектора тяги и отклонения модуля тяги от номинала, составляющие
для твердотопливных ракет величину порядка 5—10 %. В этих усло-
виях становится очевидным, что управление, которое обеспечивает
304
набор требуемого приращения кажущейся скорости, рассчитанного
для номинальных условий, не будет гарантировать решения задачи
наведения при действии возмущений. В частности, момент отсечки
тяги t'K, определенный из условия (7.152), не совпадет с расчетным
моментом tx, вследствие чего параметры движения г'к и V'K на мо-
мент t'K не будут соответствовать условиям попадания в цель, что
приведет к промаху.
Данный промах можно свести к достаточно малому значению
(теоретически — к нулю), если в процессе полета БР на АУТ пе-
риодически прогнозировать (см. ранее) момент отсечки тяги tKf и
параметры движения r'K, V'K на момент t'K, ожидаемый промах по
терминальным условиям наведения и корректировать конечную ско-
рость БР так, чтобы компенсировать ожидаемый промах, сводя его к
нулю.
После коррекции конечной скорости она становится равной тре-
буемой скорости для параметров r'K, t'K:
VTp(r',<) = V' + AVK. (7.153)
Используя поправку AVK для коррекции конечного значения ка-
жущейся скорости, можно найти
W'K(<) = WP + AVK. (7.154)
Тем самым будет скорректировано и требуемое приращение ка-
жущейся скорости
W'K(f) = AWP(f) + AVK. (7.155)
Дальнейшее управление полетом будем осуществлять в соответ-
ствии с выражениями (7.151) и (7.152), где вместо AW£(£) следу-
ет использовать скорректированную величину AWZK(£). Для умень-
шения промаха до приемлемого значения процедуру коррекции ко-
нечной скорости следует повторять, как было показано ранее, в про-
цессе движения БР на АУТ многократно с некоторым периодом Т.
Вследствие этого метод наведения по своей алгоритмической сути
приобретает характер процесса итерационного уточнения концевых
параметров движения БР и момента отсечки тяги ДУ, при которых
обеспечивается нулевой промах по терминальным условиям наведе-
ния, а алгоритмы метода имеют циклически повторяющуюся струк-
туру.
305
По функциональному содержанию систему, реализующую алго-
ритм метода наведения удобно подразделять [98] на две части, кото-
рые называют контуром коррекции и контуром наведения. В контуре
коррекции, функционирующем циклически с периодом Т, проводят
расчеты по прогнозированию параметров движения БР на прогнози-
руемый момент окончания АУТ и решают краевую задачу по опре-
делению корректирующей поправки AVk в требуемое приращение
кажущейся скорости (здесь j — номер цикла коррекции).
В контуре наведения с малым периодом, кратным такту работы
БЦВМ, производят расчет программных значений углов тангажа и
рыскания по текущей ориентации вектора требуемого приращения
кажущейся скорости AW^ (t). Параллельно с этим проверяют усло-
вие I AWkJ'\j)
£, при выполнении которого начинается выполне-
ние команды на отсечку тяги ДУ и отделение ГЧ.
Метод конечной требуемой скорости при его применении на без-
атмосферной части ПУТ квазиоптимален, так как реализует траекто-
рии выведения, близкие к оптимальным по энергетическому крите-
рию минимума расхода массы БР при пусках на заданную дальность.
При его применении на всем участке наведения, включая участок
полета в атмосфере, формируемые программы управления заметно
отличаются от оптимальных. Кроме того, возникает проблема уче-
та многочисленных ограничений на допустимые траектории выве-
дения. В связи с этим метод наведения по конечной требуемой ско-
рости, как и все методы данной группы, целесообразно применять
в сочетании с методом наведения по предварительно заданным про-
граммам управления.
Расчет данных полетного задания для метода конечной требуе-
мой скорости сопоставим по объему с функциональным методом на-
ведения и сводится к определению установочного значения конечной
кажущейся скорости W£. Однако в отличие от функционального ме-
тода, где требуется высокая точность расчета установочного значе-
ния функционала управления дальностью и других данных ПЗ, уста-
новочное значение конечной кажущейся скорости может быть опре-
делено приближенно с невысокой точностью, поскольку затем это
значение многократно корректируется в процессе полета в рамках
самого алгоритма наведения.
Для расчета вектора гравитационного ускорения g в рассматри-
ваемом методе следует использовать наиболее полную модель ГПЗ,
306
доступную для хранения в памяти бортовой СУ и приемлемую по
быстродействию БЦВМ. При этом основная часть ГПЗ задается мо-
делью номинального гравитационного поля, а поле аномалий моде-
лируется системой точечных масс.
В уравнениях движения ГЧ на атмосферной части ПУТ не тре-
буется столь высокая точность расчета вектора g, и в качестве моде-
ли ГПЗ можно использовать модель нормального гравитационного
поля. Однако при этом применяют довольно точную модель пара-
метров атмосферы, погрешности которой существенно увеличива-
ют погрешности расчета движения ГЧ на атмосферной части ПУТ.
С этой целью используют модели «локальной» и «сезонной» атмо-
сферы (целесообразность чего уже отмечалась выше), отражающие
отличия среднестатистических значений параметров атмосферы в
районе точки цели (плотности, давления, скорости звука и скорости
ветра) от их средних значений, задаваемых моделью стандартной
атмосферы. Для уменьшения ошибок вычислений интегрирование
уравнений движения должно вестись достаточно точным методом,
например методом Рунге—Кутта четвертого порядка.
В качестве третьего дополнительного терминального условия на-
ведения, задание которого необходимо для однозначного определе-
ния конечной требуемой скорости, могут быть использованы [111]
такие параметры, как полное время полета ГЧ, угол входа ГЧ в плот-
ные слои атмосферы и др. Выбор того или иного параметра зависит
от требований, предъявляемых к траекториям ГЧ в конкретной зада-
че наведения. Далее в качестве дополнительного условия наведения
задают тангенс угла наклона траектории на момент tK отделения ГЧ
от носителя:
tgOK = tgO™ (tg0K = ^M. (7.156)
\ ^хк /
Задание условия наведения (7.156) преследует ту же цель, что и
стабилизация угла входа ГЧ в атмосферу — уменьшение атмосфер-
ного рассеивания точек падения ГЧ путем сужения трубки возму-
щенных траекторий движения в атмосфере. Преимущество условия
наведения (7.156) по сравнению с условием заданности угла входа
ГЧ в атмосферу заключается в упрощении выражений для частных
производных, используемых в алгоритме коррекции конечной ско-
рости.
307
Невязка, соответствующая условию наведения (7.156), опреде-
ляется на момент окончания АУТ по компонентам вектора скоро-
сти VK:
Atg ек = - tgo^.
VxK
Объединение величин AL , АВ и Atg0K дает вектор невязок
терминальных условий наведения
Д = [AL, АВ, Atg 0К]Г.
(7.157)
Для расчета корректирующей поправки AVK в конечную кажу-
щуюся скорость остается решить так называемое уравнение коррек-
ции, которое в рассматриваемой задаче имеет вид
dQ
Д+^-АУк = 0.
5VK
(7.158)
, dQ
Здесь ------матрица частных производных компонент векторного
u V к
функционала Q = (В, В, tg 0К), характеризующего регулируемые
терминальные параметры (дальность, боковое отклонение, угол на-
клона) по компонентам вектора скорости VK в конце АУТ. Обозначим
элементы этой матрицы следующим образом:
Lvx LVy Lvz
&у~к = Bvx BVy Bvz (7.159)
. (tg бк)^ (tg 9K)vy (tg0K)v, _
Элементы последней строки этой матрицы вычисляют аналитически
с помощью простых выражений, приведенных ранее.
В контуре наведения должен проводиться расчет программных
значений углов тангажа и рыскания для ориентации вектора требуе-
мого приращения кажущейся скорости AW® (t) и определяться мо-
мент отсечки тяги ДУ по признаку малости модуля вектора AW® (t)
в этот момент времени. Здесь и далее под t понимается текущее вре-
мя полета БР на АУТ. Поскольку AW® представляет собой кажущу-
юся скорость, которую остается набрать до момента окончания АУТ,
обозначим эту величину AWOCT(i)‘ Полагая, что продольная ось БР
308
совпадает с направлением вектора тяги, запишем следующие выра-
жения для программных углов тангажа и рыскания:
I VVOCT]X
У?Р(О = - arctg-----й--------JWoct]°z----X-------.
[W0CT]^ • cos ^p(*) + [W0CTft • sin ^P(Z)
(7.160)
В этих формулах фигурируют компоненты орта вектора скорости
AWoct(0-
Выдача команды на отсечку тяги ДУ может производиться, как
уже отмечалось, по признаку малости модуля скорости AWOCT(£).
Однако для минимизации динамической ошибки наведения, вызван-
ной эффектом «перекоса» тяги ДУ на момент отделения ГЧ, выдачу
данной команды целесообразнее производить [111] в момент обну-
ления следующей функции окончания наведения:
Ф = (w0CT(t), W*r) • (7.161)
Здесь — значение вектора W0CT(t), зафиксированное в БЦВМ
при первом нарушении условия t0CT > i*CT, где £*ст — малая окрест-
ность момента tK. По своей структуре функция Ф принимает нулевое
значение, когда вектор W0CT(t) становится равным нулю (что соот-
ветствует отсутствию динамической ошибки наведения, связанной с
выдачей команды на отсечку тяги), либо, когда модуль этого вектора
становится минимальным (что соответствует минимальной ошибке
наведения, обусловленной «перекосом» тяги ДУ).
Время t0CT, остающееся до указанного момента отсечки тяги,
определяют по формуле
^ост = — •> (7.162)
Ф
в которой оценку Ф скорости изменения функции окончания наведе-
ния вычисляют по алгоритму
Ф =-----Т-----’ (7.163)
где Ф^ Фг—1 — два смежных по времени значения функции Ф; Т —
период ее вычисления в БЦВМ.
309
^ост
Ат
Далее оценка (7.162) преобразуется к виду, удобному для реали-
зации в таймере БЦВМ,
[^ост] = ent
Здесь А х — дискретность таймера; ent — операция вычисления це-
лой части.
Параметр [£Ост] «заряжается» в таймер, который отсчитывает це-
лое число [t0CT] временных интервалов с шагом Ах, по окончании
чего выдает разовую команду на исполнительное устройство отсеч-
ки тяги.
В завершение подведем итоги и сформулируем, следуя [98], об-
щие свойства метода наведения по конечной требуемой скорости.
1. По своей сущности методы наведения по текущей и конеч-
ной требуемой скорости родственны и являются вариантами одного
и того же метода. Поэтому все характерные свойства метода текущей
требуемой скорости, перечисленные ранее, присущи в равной мере
и методу конечной требуемой скорости. Однако алгоритмическое со-
держание обоих методов существенно различно.
2. Бортовые алгоритмы метода конечной требуемой скорости
достаточно трудоемки, поскольку предусматривают периодический
прогноз точки падения ГЧ и решение КБЗ в целях коррекции ко-
нечной требуемой скорости. Для решения задачи прогноза точки
падения ГЧ необходима информация о действительных текущих
параметрах движения БР на АУТ, что в свою очередь требует реше-
ния навигационной задачи с интегрированием основного уравнения
инерциальной навигации. Таким образом, реализация алгоритмов
метода наведения возможна только с применением высокопроизво-
дительной бортовой ЦВМ.
3. Методические ошибки метода конечной требуемой скорости
зависят главным образом от погрешностей модели ГПЗ на различных
участках полета, погрешностей модели движения ГЧ на атмосфер-
ном участке траектории, а также от длительности интервала коррек-
ции конечной требуемой скорости. Для уменьшения этой части ме-
тодической ошибки наведения следует снижать длительность интер-
вала коррекции, что требует соответствующего повышения быстро-
действия БЦВМ.
310
4. Высокая трудоемкость бортовых алгоритмов метода конеч-
ной требуемой скорости может рассматриваться как недостаток это-
го метода по сравнению с методом текущей скорости в варианте
Q-системы. Однако этот недостаток компенсируется относительной
простотой расчета ПЗ. Действительно, в данном случае основной
задачей при расчете ПЗ является определение значения конечной
требуемой скорости на расчетный момент отделения ГЧ и азимута
пуска. По своему содержанию эта задача близка к решаемой в функ-
циональном методе наведения при расчете установочного значения
функционала управления дальностью и также азимута пуска. Хотя в
обоих случаях приходится решать КБЗ, трудоемкость ее существен-
но меньше, чем задачи расчета и аппроксимации элементов матрицы
Q. Следует также учесть, что если в функциональном методе наве-
дения требуется высокая точность расчета установочного значения
функционала управления дальностью, то установочное значение ко-
нечной требуемой скорости достаточно определить приближенно,
так как это значение будет уточнено и скорректировано в рамках
самого алгоритма наведения. Таким образом, трудоемкость подго-
товки данных ПЗ в методе конечной требуемой скорости меньше,
чем в функциональном методе наведения, что делает этот метод до-
статочно эффективным при использовании на ракетных комплексах
мобильного базирования.
Г л а в а 8. УПРАВЛЕНИЕ ПОЛЕТОМ СТУПЕНИ
РАЗВЕДЕНИЯ ПРИ ПОСТРОЕНИИ БОЕВЫХ
ПОРЯДКОВ ЭЛЕМЕНТОВ БОЕВОГО ОСНАЩЕНИЯ
8.1. Боевое оснащение МБР
Боевое оснащение МБР определяется числом и тротиловым
эквивалентом моноблочной ГЧ и (или) боеголовок РГЧ, а также
комплексом средств преодоления (КСП) ПРО, которыми оснащается
ракета [114]. При создании БР стратегического назначения, есте-
ственно, стремятся, чтобы доля боевого оснащения в общей массе
полезной нагрузки была максимальной.
Одновременно должны обеспечиваться точность попадания,
стойкость ББ к ПФ ядерного взрыва, размеры зоны разведения ББ и
характеристики боевых порядков, включающих боеголовку и КСП
311
ПРО, движущихся к одной цели. Для каждого типа МБР существу-
ет оптимальное соотношение между числом и мощностью боего-
ловок, составом и характеристиками КСП ПРО, обеспечивающее
максимальную эффективность поражения определенного типа це-
лей. Оптимизация боевого оснащения МБР — трудоемкая задача,
при решении которой учитывают большое число исходных данных
и ряд внешних по отношению к боевому оснащению факторов [114].
Сложность выбора боевого оснащения обусловлена и тем, что МБР,
являясь универсальным оружием, должна обладать высокой эффек-
тивностью поражения различных типов целей в разных условиях
применения. Так как создать универсальную БР с максимальной эф-
фективностью поражения любого типа целей невозможно, правиль-
нее говорить о выборе рационального состава боевого оснащения
на основе решения частных оптимизационных задач. Постановка
соответствующей оптимизационной задачи сводится к следующему:
необходимо определить вектор характеристик боевого оснащения
1бо, обеспечивающий максимум эффективности РК Ирк при за-
данных характеристиках ракеты 1р и условиях боевого применения
ракетного комплекса 1рк:
Wpk [1ьо, Ip, 1рк] = WpKmax; Ip = 1рзад; 1рк = 1ркИ1Д-
Решение задачи оптимизации боевого оснащения МБР в иссле-
довательском плане позволяет проследить влияние на его характери-
стики различных факторов, в том числе точности попадания и вы-
бранной структуры БП.
В настоящее время создано и находится в разработке большое чи-
сло различных типов боеголовок и КСП ПРО. Их можно классифи-
цировать [114] по отдельным признакам, в частности, как показано
на рис. 8.1.
В результате варьирования исходных данных (массы полезной
нагрузки ракеты, характеристик объектов поражения, системы ПРО
и др.) можно придти к выводу, что каждому из условий боевого при-
менения соответствуют вполне определенные рациональные значе-
ния числа и мощности заряда ББ в РГЧ, состава и характеристик
средств преодоления ПРО и точности попадания. Но поскольку МБР
должна быть достаточно эффективной при поражении любых ти-
пов целей, прикрытых и не прикрытых системой ПРО, то в конеч-
ном счете выбирают средние значения мощности заряда боеголов-
ки. На выбор числа и мощности полезной нагрузки ББ и ГЧ кроме
312
С программным
маневром
С уклонением от
противоракеты
С зарядами на
основе реакции
деления ядер
тяжелых
элементов
я
я
S- j
09
3 g о §
я - р
я
По информации
от космической
навигационной системы
А я о
° яс
По информации от астро-
навигационной системы
По радиолокационным
картам местности
По рельефу местности
С зарядами на \ । :
основе реакции \1 g
синтеза ядер kj о я £
легких элементов L 1 g о
(термоядерные) н Sc
Комбинированные
(деление-
синтез-деление) |
Д
Я
Рис. 8.1. Классификация типов БГ и КСП ПРО
С коррекцией траектории
и противоракетным
маневром
По радиолокационному
портрету цели
По портрету цели в
видимом диапазоне волн
По тепловым
излучениям цели
Проникающие в грунт
Наводимые на РЛС
С бактериологическим
снаряжением
С бактериологическим
снаряжением
С бактериологическим
снаряжением
С повышенным
выходом
отдельных
ПФ ЯВ
С переключаемой
мощностью
Маневрирующие
Корректируемые
Самонаводящиеся
Специальные
Неядерные
Ложные цели
объемно-распре-
деленного типа
(диполи и др.)
Станции
Станции прицельных помех -Г шумовых помех
Станции заградительных
помех
Легкие
Тяжелые
О
ta
я
я
j- Ложные цели
Радиопоглощающие
покрытия
Ложные
боеголовки
я
Маневрирующие
ложные цели
Ложные цели,
прикрепляемые
тросом
к боеголовкам
Станции имитационных
помех для искажения
сигнальных
характеристик БГ
□
Я
Обломки
корпуса
последней
ступени МБР
Ложные цели
с разгонным двигателем
§ -|
2
£
- ge-
Е о
S3
я
3
Е
3
я
0
я
о
ж рз
0 °
а я
U3 L
Превентивный ядерный
взрыв в атмосфере
указанных условий и характеристик оказывают влияние также дого-
ворные ограничения на общее число ракет и боеголовок, потребные
затраты массы топлива на разведение и т. д. Важное условие — эф-
фективное поражение высокозащищенных целей минимальным чи-
слом ББ. С учетом всех этих факторов рациональные значения мощ-
ности зарядов неуправляемых ББ существующих МБР, оснащенных
РГЧ, принято принимать в пределах 0,3.. .0,6 Мт [114].
В состав боевого оснащения МБР кроме ББ входят средства пре-
одоления системы ПРО. Назначение этих средств — затруднить про-
тивнику обнаружение и распознавание боеголовок, дезинформиро-
вать его в отношении истинности подлежащих перехвату ББ и их чи-
сла. Конечная цель КСП ПРО — обеспечение высокой вероятности
преодоления ББ системы эшелонированной противоракетной оборо-
ны с нанесением максимального ущерба поражаемым целям.
Средства, применяемые для преодоления ПРО, принято подраз-
делять на активные и пассивные. К активным КСП ПРО относят
станции, создающие шумовые или имитационные помехи работе
РЛС ПРО, а также средства воздействия на элементы ПРО. Создавая
сложную фоновую обстановку или поглощая излучения РЛС, пас-
сивные средства принимают тем самым участие в решении задачи
маскировки ББ и дезинформации системы ПРО.
Наибольшее распространение среди средств преодоления ПРО
получили ложные цели, которые также могут быть подразделены на
активные и пассивные. К активным относят ложные цели, которые
генерируют сигналы или производят другие действия, имитирующие
физические явления, сопровождающие полет ББ. Примером их мо-
гут служить ложные цели с разгонным двигателем или маневрирую-
щие ложные цели. Такие ложные цели при полете в атмосфере долж-
ны обладать максимальным подобием ББ по совокупности показа-
телей, прежде всего, по эффективной поверхности рассеяния (ЭПР)
и значению баллистического коэффициента. Важным требованием
является обеспечение величины рассеивания ложных целей, близко-
го к рассеиванию точек падения ББ относительно точки прицели-
вания. Поэтому организация процесса отделения от ступени разве-
дения и формирование баллистических характеристик ложных це-
лей выполняют так же тщательно, как и для ББ. Кроме того, лож-
ная цель, работоспособная в атмосфере, должна обладать такой же,
как ББ, интенсивностью плазмообразования. Полностью имитиро-
вать явления, сопровождающие полет ББ во всех частотных диапазо-
нах — радиолокационном, инфракрасном и оптическом — очевидно,
314
не может ни одна ложная цель, отличающаяся от ББ по габаритно-
массовым и частотным характеристикам. Идеальной ложной целью
мог бы служить ложный ББ, имеющий массу, геометрические разме-
ры и покрытия такие же, как у истинного, что, как вполне очевидно,
осуществить невозможно.
Применение пассивных ложных целей относится к числу наи-
более простых способов маскировки ББ и дезинформации системы
ПРО. Пассивные ложные цели делят на легкие и тяжелые. Легкие
ложные цели работоспособны до входа в атмосферу, после чего раз-
рушаются и сгорают. В сложенном состоянии они занимают объем в
несколько кубических дециметров и имеют небольшую массу — не-
сколько килограммов. Тяжелые ложные цели, как и активные ложные
цели, более эффективны и имеют более протяженный участок поле-
та в атмосфере. Их масса может составлять десятки килограммов.
Тяжелая ложная цель может быть оснащена специальными плазмо-
образующими зарядами, при горении которых выделяется количе-
ство энергии, соизмеримое с энергией, выделяемой при торможении
боеголовки.
При построении боевого порядка местоположение ББ среди лож-
ных целей должно быть случайным и для противника неопределен-
ным. На траектории полета расстояние между элементами боевого
порядка необходимо выбирать так, чтобы в зоне действия средств
ПРО исключалось поражение двух соседних элементов одной про-
тиворакетой.
После разведения ББ и ложных целей и формирования боевого
порядка производится увод (либо подрыв) корпуса последней ступе-
ни ракеты (или ступени разведения) с траектории полета к цели. В
противном случае создаются условия, благоприятные для дальнего
обнаружения ложной цели и сопровождения ее радиолокационными
средствами ПРО, поскольку ЭПР корпуса ступени ракеты на порядок
больше, чем у ББ.
К пассивным средствам преодоления ПРО относят дипольные
отражатели, воздействие которых на РЛС сопровождения и распо-
знавания целей проявляется путем создания шумового фона, мас-
кирующего сигнал, отраженный от истинной цели, а также путем
поглощения электромагнитной энергии. Использованию облаков ди-
польных отражателей для повышения эффективности преодоления
ГЧ или ББ системы ПРО уделяется существенное внимание. Облако
315
дипольных отражателей представляет собой множество металличе-
ских и металлизированных элементов малого диаметра, изготовлен-
ных, как правило, из алюминиевой фольги, стекловолокна с алюми-
ниевым покрытием или из медной проволоки. Диаметр диполя со-
ставляет 0,025 • 10"3 м, длина 0,3.. .0,5 м [114].
К пассивным помеховым средствам, предназначенным для дез-
информации системы ПРО, относят и поглощающие покрытия, при-
меняемые на боеголовках. Они служат для уменьшения эффектив-
ной поверхности рассеивания радиоволн, а следовательно, для со-
кращения дальности обнаружения боеголовки. Кроме того, приме-
нение радиопоглощающих покрытий позволяет снизить требования
к энергетическим характеристикам передатчиков помех и открывает
возможности для применения малогабаритных ложных целей.
Возвращаясь к активным средствам преодоления ПРО, следует
подчеркнуть особую роль, которую играют маневрирующие ББ РГЧ
ракет. По мнению американских специалистов, маневрирующие бо-
еголовки являются наиболее эффективным средством преодоления
систем ПРО [114]. Однако с началом маневра боеголовка выходит из
боевого порядка и тем самым демаскирует себя среди ложных целей.
Чтобы этого не произошло, большое внимание уделяют [114] разра-
ботке маневрирующих ложных целей, которые должны дезинформи-
ровать противника относительно движения маневрирующей боего-
ловки на атмосферном участке траектории.
В качестве одного из эффективных средств, решающих задачу
преодоления системы ПРО, специалисты США рассматривают воз-
можность использования на ГЧ средств, предназначенных для актив-
ного подавления РЛС, в виде малогабаритных ракет, рассчитанных
на вход в атмосферу и снабженных системой самонаведения на РЛС.
Эти аппараты могут быть оснащены ядерным зарядом малой мощно-
сти или неядерной боевой частью. Для создания помех РЛС может
производиться предварительный (до подхода боеголовок) ядерный
взрыв в атмосфере [114].
Информационные космические системы, предназначенные для
обнаружения и распознавания ГЧ БР, а также для наведения на них
средств поражения, могут быть «ослеплены» ядерными взрывами
в верхних слоях атмосферы. Поскольку система ПРО представляет
собой работающую в боевой обстановке в автоматическом режиме
сложную систему с большим числом взаимодействующих элемен-
тов, для прекращения ее функционирования достаточно вывести из
строя отдельные элементы или нарушить связь между ними.
316
8.2. Построение боевых порядков
Применительно к ракетному оружию под БП принято понимать
взаимное пространственно-временное расположение элементов бо-
евого оснащения БР на траекториях их полета [98].
Из множества возможных вариантов построения на практике
наибольшее распространение получили следующие типы БП:
• боевой порядок «цепочка»;
• изовысотный боевой порядок;
• высотно-синхронизированный боевой порядок;
• боевой порядок «синхронизированные цепочки»;
• боевой порядок «несвязанные цепочки».
Первый из указанных типов БП однозначно определяется его на-
званием. Применяется при поражении высокозащищенной одиноч-
ной малоразмерной цели. Расстояние между ББ, включенными в БП,
определяется условием взаимного непоражения двух и более ББ при
подрыве одного из них и, как уже отмечалось ранее, условием невоз-
можности одновременного поражения двух ББ одной противораке-
той. Изовысотный БП применяется, когда несколько ББ предназна-
чены для поражения площадной цели. Это диктует необходимость
близкого по времени прилета ББ к цели, приводящего к наибольшим
трудностям перехвата ПРО групповой цели.
Высотно-синхронизированный БП отличается от предыдущего
тем, что моменты подлета ББ к цели, хотя и могут быть различны-
ми, но синхронизируются между собой из условия невозможности
поражения двух ББ одной противоракетой.
Последние два типа БП образуют посредством сочетания уже
рассмотренных вариантов построения. В первом случае совокуп-
ность ББ РГЧ делится на несколько подгрупп, образующих син-
хронизированные по времени подлета к разным целям цепочки, во
втором — удаленные друг от друга на большие расстояния цепочки
не синхронизируются по времени прибытия к цели.
Рассмотренные БП характеризуют порядки построения боевых
блоков, но их конфигурации и принципы построения сохраняются
и для ложных целей. В этом случае ставится цель максимального
усложнения функционирования системы ПРО в части выявления ис-
тинной цели среди элементов боевого оснащения. Именно из этих
соображений строится и случайный порядок взаимного размещения
ББ и ЛЦ в структуре БП.
317
Последовательность разведения ББ и ложных целей рассмотрим,
ориентируясь на работу [114], применительно к МБР третьего поко-
ления типа «Минитмен-3» и MX (США).
Построение БП производится последней, по существу четвертой
ступенью МБР, представляющей собой несущий корпус РГЧ с укры-
тыми обтекателем элементами боевого оснащения, системами наве-
дения, управления угловым движением и отделения БО.
Маршевый двигатель ступени служит для изменения вектора ско-
рости. Два двигателя управляют угловым положением ГЧ по тан-
гажу, два других предназначены для управления положением ГЧ в
плоскости рыскания, остальные четыре двигателя управляют углом
крена.
В качестве средства преодоления ПРО на платформе ракет «Ми-
нитмен-3» используют дипольные отражатели массой 30 кг, а на
платформе ракет MX — дипольные отражатели, тяжелые и легкие
ложные цели.
Для индивидуального наведения на цель каждого ББ и обеспече-
ния построения боевых порядков по точкам прицеливания на участке
разведения боеголовок осуществляют последовательные простран-
ственные маневры последней ступени с ориентацией ее продольной
оси в инвариантном направлении. Это такое направление, при дви-
жении в котором приращение кажущейся скорости не приводит (см.
ранее) к отклонениям точки падения по дальности и в боковом на-
правлении.
Двигательные установки платформы ракет «Минитмен-3» и MX
допускают многоразовое включение, что расширяет возможности
решения задачи построения БП.
Движение последней ступени во время разведения БГ можно рас-
сматривать состоящим из последовательного чередования практиче-
ски одинаковых участков (рис. 8.2). На каждом из участков можно
выделить три отрезка характерных движений:
— отрезок траектории I, на котором производится движение в на-
правлении прицеливания;
— отрезок траектории II, на котором совершается маневр с целью
придания последней ступени требуемой ориентации;
— отрезок траектории III, на котором производится движение в
инвариантном направлении и построение боевого порядка.
Движение в направлении прицеливания от точки А до точки В
осуществляется с максимально возможным ускорением. При этом
318
Рис. 8.2. Схема маневров РГЧ на участке разведения боеголовок:
lb V - баллистическая система координат; % - направление перенацеливания
работают как основной, так и рулевые двигатели. Кроме обеспечения
требуемого приращения скорости рулевые двигатели стабилизируют
ступень по каналам тангажа, рыскания и вращения (крена).
После достижения точки В, соответствующей условию попада-
ния в очередную цель, производится разворот в направлении, инва-
риантном изменению дальности и направления по скорости (отрезок
II траектории). Перед началом разворота маршевый двигатель вы-
ключается и маневрирование совершается за счет рулевых двигате-
лей. Угловая скорость разворота продольной оси ступени составляет
12... 25 %. Разворот длится 4... 8 с.
При маневрировании с поворотом на большие углы может проис-
ходить складывание карданных рамок ГСП относительно промежу-
точной оси карданова подвеса. Во избежание этого, последняя сту-
пень (РГЧ) может производить не только попеременные повороты,
но и одновременные вращения вокруг двух и даже трех осей на раз-
ные углы. По окончании выхода ступени в инвариантное направле-
ние (точка С отрезка III траектории) начинается построение боевого
порядка по типу «цепочка», состоящего из ложных целей и облаков
дипольных отражателей, формируемых в виде цилиндров, вытяну-
тых вдоль направления движения боевого порядка. В одном из обла-
ков дипольных отражателей находится ББ. Всего на трех «цепочках»
319
для трех боеголовок ракет может образовываться 16 таких облаков.
Число облаков в каждой цепочке произвольно. Дипольные отража-
тели размещают в контейнерах. Отделение их производят в напра-
влении, перпендикулярном инвариантному, с малой скоростью. Ско-
рость отделения определяет толщину облаков (не выше 5.. .7 км), а
время движения в инвариантном направлении — протяженность ци-
линдра (десятки километров). Постепенно облака дипольных отра-
жателей сливаются друг с другом. Во время построения боевого по-
рядка может проводиться подворот последней ступени вокруг про-
дольной оси.
Маневрирование при построении боевого порядка происходит
при работе основного двигателя ступени в непрерывно-импульсном
режиме. Этот двигатель обладает возможностью смещения перпен-
дикулярно-продольной оси с целью создания управляющего момен-
та по тангажу. В это время рулевой двигатель управления по тангажу
выключается и, таким образом, устраняется воздействие факела дви-
гателя на формирующееся облако диполей. После выброса очеред-
ного облака основной двигатель выключается на несколько секунд.
При необходимости последующего маневрирования для увода по-
следней ступени от облака основной двигатель включается вновь и
только после этого производится ее разворот.
Далее после завершения в точке D построения боевого порядка
по цели Ц1 включаются рулевые двигатели для разворота ступени в
очередное направление на цель и маневрирование продолжается
аналогичным образом. Этот процесс завершается после отделения
всех элементов боевого оснащения.
На погрешность, вносимую участком разведения ББ в суммарное
рассеивание, влияют отклонения от расчетных значений и направле-
ния вектора скорости ББ в момент отделения от ступени. Возмуща-
ющими факторами, вызывающими такие отклонения, являются ди-
намические колебания боевой ступени в момент отделения ББ, по-
грешность срабатывания механизма отделения и воздействие газо-
вых струй двигательной установки ступени разведения при ее отво-
де от отделившейся ББ, приводящие к дополнительному импульсу, а
также сам дополнительный импульс, получаемый боеголовкой при
срабатывании механизма закрутки ББ (если предусматривается) во-
круг продольной оси.
Оценка уровня погрешностей, обусловленных участком разведе-
ния ББ, производится моделированием процесса полета и разведения
на этом участке траектории.
320
Уровень погрешностей участка разведения ББ МБР третьего по-
коления оценивается на уровне 50...90 м. Минимальная предель-
но достижимая величина погрешности составляет примерно 40 м
[98, 111, 114].
8.3. Баллистическое обеспечение построения
боевых порядков
Построение конфигурации БП характеризуется в основном пара-
метрами относительного движения элементов боевого оснащения.
Необходимо из всей совокупности элементов выделить опорный.
Обычно в качестве опорного принято рассматривать первый ББ, на-
правляемый в цель с заданными координатами. Траектория опорного
элемента однозначно определена начальными условиями движения
го и Vo, заданными на момент разделения. Для создания БО по-
строения требуемой конфигурации БП достаточно поставить в со-
ответствие каждому элементу БП относительные координаты его
точки падения на поверхность Земли, привязанные к координатам
точки падения опорного элемента, и разность моментов времени
прилета соответствующих элементов БП по отношению к тому же
опорному элементу. Координаты точек падения при этом следует
рассматривать в прямоугольной целевой СК (ЦСК), начало которой
совмещается с точкой цели опорного элемента. В качестве такой
системы принимается к рассмотрению естественная СК (ЕСК).
Напомним, что оси L и В этой системы лежат в плоскости, каса-
тельной к поверхности ОЭЗ в указанной точке, причем ось L напра-
влена по касательной к линии естественной дальности.
Таким образом, основной задачей баллистического обеспечения
построения БП является определение значения и направления требу-
емого приращения скорости ДУ, отвечающей заданным терминаль-
ным условиям AL, АВ и АТ.
Поскольку программы движения ступени разведения, как и са-
мой БР, задают в виде изменения углов тангажа и рыскания в плат-
форменной СК, начальная ориентация осей которой совпадает с ори-
ентацией осей инерциальной (абсолютной) ССК, составляющие век-
тора AV также удобно определять относительно той же системы.
Приняв очевидное допущение о суперпозиции влияния соответ-
ствующих составляющих AV на AL, АВ и А Т, правомерность ко-
торого определяется относительной малостью величины прираще-
ния скорости AV по отношению к начальной скорости ББ, получим
321
в линейной постановке
AL = Lyx \VX + Lyy \Vy + Lyz AI4,
AB = BVx \VX + BVy \Vy + BVz \VZ, (8.1)
AT = Tyx AI4 + Ту у \Vy + Tyz AI4,
где через Ly, By, Ту (г = x,y,z) обозначены соответствующие
dL „ дБ
частные производные по параметрам Ly = ——;
Uvx OVy
дТ
Тц = 7й7’ Векторы Ly, By и Ту имеют (см. п.6.4) геометриче-
u vz
ский смысл градиентных направлений соответствующих изофунк-
ционал ьных поверхностей в пространстве скоростей. В общем слу-
чае введенные в рассмотрение векторы взаимно неортогональны и
образуют в трехмерном пространстве косоугольный базис. Ортонор-
мирование их с помощью единичных векторов Х°, ц° и Т° позво-
ляет задать X, ц и т — направления, определяющие ориентацию
осей исходной баллистической СК.
Если теперь обозначить через матрицу М — матрицу соответ-
ствующих баллистических производных, получим
[ДК, AVy, дк]т = М-1 [ \L, ДТ, ДВ]Т. (8.2)
Таким образом, для нахождения значений составляющих вектора
AV прежде всего требуется определить обратную матрицу М-1.
Введя в рассмотрение единичные векторы a0, v°n Р°, задаю-
щие ориентацию двойственной системы координат,
= Tv X By , = Bv х Lv = Lv х Ту
|TvxBv|’ |BvxLv|’ Р |LvxTv|’ k ’
получим, что определить матрицы М можно одним из трех указан-
ных ниже равенств:
|М| = Lv • (Ту х Bv) = Lv |TV х Ву| Х° а0,
|М| = Ту • (Ву х Lv) = Ту |BV х Lv| T°v°,
|М| = By • (Lv х Ту) = By |LV x Tv| g° 0°.
Тогда
322
AV = —— [(Ту х BV) AL + (BV х Ly) АТ+
|М| Lv
(8.4)
или в эквивалентной форме записи
AV (X°-a°)Lva + ( t° • v°) Tv V +
+ (g°- P°)BV P° (8'5)
Зависимость (8.5) дает основание для анализа баллистических
решений построения различных типов БП.
Предварительно рассмотрим схему ортонормирования двой-
ственной баллистической СК (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Двойственная баллистическая система координат
Для построения БП «цепочка», состоящего из ГЧ (или ББ) и не-
скольких (г = 1,...,п) ложных целей необходимо, чтобы \Li =
= = 0, т. е. выполнялось условие прохождения траекторий лож-
ных целей через точку прицеливания. При этом приращения скоро-
стей, сообщаемые ЛЦ, должны быть ориентированы по направлению
баллистической вертикали.
Обеспечение одинаковых расстояний между элементами БП до-
стигается за счет выбора Wi кратными некоторому минимальному
приращению скорости AVmin, соответствующему интервалу време-
ни АТ прибытия последовательных элементов БП в точку прицели-
вания, т. е.
AV, = г • AVmin,
(8.6)
(г = 1,..., п).
323
При построении изовысотного БП необходимо выполнить усло-
вие АТ; = 0, т. е. условие одновременности подлета ББ к целям.
Кроме того, необходимо обеспечить требуемые значения ALj и АВ^
определяющие координаты г-й цели в системе координат, связанных
с опорной целью.
Из условия ATi = 0 следует, что приращения скорости, сообща-
емые ББ, должны быть ортогональными градиентному направлению
Т°. Другими словами, AVj в этом случае должны лежать в плоско-
сти, образованной единичными векторами а0 и Р°.
В частном случае при AL = 0 приращение скорости должно
быть ориентировано по направлению Р°, а при АВ — 0 — по на-
правлению орта а0 [98].
8.4. Управление переориентацией ступени разведения на этапе
построения боевого порядка
Из предшествующих материалов следует, что одной из задач, решаемых СУ
ступени разведения при построении БП, является разворот вектора тяги в простран-
стве, что достигается разворотом ступени разведения. Представляет интерес рас-
смотрение задачи оптимального управления переориентацией ступени разведения,
реализующей управление угловым движением по моментной схеме. Учитывая фа-
культативный характер (по отношению к теме «наведения») данного вопроса, огра-
ничимся показом путей решения простейшей модельной задачи.
Математическая модель переориентации ступени разведения, осуществляемой
вне области атмосферного воздействия в фиксированной плоскости, может быть
представлена в виде
(8.7)
d w _ M(t)
~dt ~ I
d ф
—L = to,
dt
где I — момент инерции ступени относительно указанной оси вращения (его мож-
но считать постоянным на протяжении всего разворота); M(t) — закон изменения
управляющего момента; to и ф — соответственно угловая скорость и требуемый
угол разворота. Естественно, на закон управления должно быть наложено ограни-
чение |M(t)| Л7тах, где Мтах — предельно допустимое значение управляющего
момента. Краевые условия задачи определения оптимального по быстродействию
управления в данном случае могут быть записаны в виде ф(£о) = 0, to(to) = О,
ф(£к) = 0, to(fK) = 0, t0 = 0. Значение общего времени разворота tK зависит от
искомого закона управления и, разумеется, неизвестно.
Решение этой задачи может быть найдено на основании принципа максимума
Л.С. Понтрягина.
1. Функция Гамильтона для исходной системы с учетом указанного ограниче-
ния записывается в форме Н = ^(1) ^(t) _|_ w(t) \g2(t) + I \|/3(t), поскольку
dt _ j.
dt
324
2. Присоединенная система (или система сопряженных переменных) имеет вид
' d _ дН ( d'Vi
dt д со’ -dT = ~^
d ф2 дН d ф2
—_ т;—, или < —— = 0,
dt Эф dt
d ф3 _ дН < dt dt d —p- = 0. 1 dt
Решение этой системы дифференциальных уравнений очевидно: = С\ —
-C2t, ф2 = ^2, Уз = С'з.
3. Функция Гамильтона достигает максимума, когда первое слагаемое в нем
положительное и максимальное, так как значения присоединенных параметров
в остальных слагаемых неизвестны. Из физических соображений следует, что
co(t) > 0, но тогда и С2 >0, т. е. С2 co(t) > 0. Аналогично Ci > 0 и Сз >0.
Тогда при выполнении условия Ci — C2t > 0 управляющий момент должен быть
положительным и максимально большим. Поскольку фх(£) в момент tn — С\/Съ
меняет знак, необходимо сменить знак на противоположный и у момента. Отсюда
следует оптимальный закон управления:
{Л/тах при С\ — Crf > 0, т. е. при 0 t < tn',
-Mmax при Ci - C2t < 0, т. е. при tn t < tK.
4. Проинтегрировав первое уравнение исходной системы с учетом полученного
закона управления, находим
при 0 t < tn — tMmax/I и co(in) = (£>п = tnMmax/1\
«к «к
f Mmax f
при tn t < tK , / d co =----— / dt, t. e. coK — con = —Mm&x(tK - tn)/I-
(On tn
Проинтегрировав с учетом этого второе уравнение исходной системы, получим
Фп ^71 Фк (к
У dq=^-j— f tdt, откуда фп = 0,5i„Mmax//, а также f d(p = j* (d(t)dt
oo фп tn
'f J Mmax z 4 Mmax t ч2
или фк - фп = / (Dndt------- (t- tn) dt = (On (tK - tn) H-(tK - tn) .
71 71
Складывая последнее выражение с определенным выше выражением для фп,
находим
фк — (On (tK — tn) Н — [tn — (1к — tn) ] •
Аналогично, складывая выражения для ( фк — фп), находим сок = Mma’x[tn —
-(tK — tn)]/1, откуда, с учетом краевого условия сок = 0, имеем tn = 0, 5tK.
Mmax Mmax
Тогда (с учетом фк = Д ф) con = tK и из Дф = tK следует
_ /4/ Д ф
к V л/тах
Все параметры программной функции определяются по известным характери-
стикам РГЧ.
325
8.5. Основные виды маневров, осуществляемых
при управлении вращательно-поступательным движением
последней ступени БР
Из приведенного описания процедур построения БП боевого
оснащения сделаем вывод, что типовые маневры ступени разве-
дения, совершаемые на внеатмосферном восходящем участке тра-
ектории состоят из ряда последовательных участков управляемого
вращательного и поступательного движений. В силу отсутствия
аэродинамического сопротивления внешней среды и при исполь-
зовании моментной схемы управления указанные виды движений
взаимно независимы.
Маневры, совершаемые на восходящем внеатмосферном участке
траектории, условно могут быть подразделены на:
• плоские, или маневры, осуществляемые в плоскости пуска;
• пространственные, характеризуемые условием выхода про-
дольной оси ступени разведения из плоскости пуска;
• комбинированные, представляющие собой совокупность плос-
ких и пространственных маневров.
К числу наиболее известных обычно относят [98] маневры типа
«боевой разворот», «змейка», «волна» и «спираль». При этом первые
два вида неразрывно связаны с управлением движением ступени раз-
ведения при построении боевых порядков ББ и ЛЦ, а два последних
— к числу так называемых маневров уклонения.
Поскольку реализация маневров типа «змейка» и «боевой раз-
ворот» осуществляется в малой окрестности опорного движения,
обычно используют линеаризованную модель движения ступени
разведения при записи исходных уравнений движения ее центра
масс в плоскости маневра, образованной единичными векторами Х°
и V0, с которыми связаны оси ох и оу плоской прямоугольной СК.
Будем считать [98], что управляющий момент ступени разведе-
ния создается с помощью пары синхронно отклоняемых сопел ДУ
(рис. 8.4).
Тогда
х = Wx = — cos( О + 8),
У (8.8)
у = Wy, Wy = — sin( О + 8),
где Р — суммарная тяга ДУ.
326
Рис. 8.4. К выводу уравнений движения ступени разведения
Уравнения вращательного движения по углу тангажа имеют вид
Р (xs — хс) sin 8
£ = (0, co = v 7-------------, (8.9)
где О — угол тангажа, со — угловая скорость, xs и хс — координаты
центра масс ступеней разведения и оси поворота сопел ДУ; IZ1 —
поперечный момент инерции ступени.
В дальнейшем изменениями массы и момента инерции пренебре-
гаем. Введем [98] следующие обозначения:
(8.И)
(8.12)
Линеаризованные уравнения вращательно-поступательного дви-
жения приобретут вид
Д± = ДИ^, \WX — —asin( Он + 8Н)( Д О + Д 8);
Ду = ДИ^, \Wy = acos( Он + 8Н)( Д О + Д 8);
Д О = Д со, Д со = 6 cos 8Н Д 8.
В качестве опорного рассмотрим поступательное движение, со-
вершаемое ступенью разведения вдоль направления баллистиче-
ской вертикали при построении боевого порядка «цепочка», т. е. при
Он = —90°, 8Н = 0. В этом случае линеаризованные уравнения
(8.11) и (8.12) принимают вид [98, 111]
\х= \WX, ДЙ^ = а(ДО+ Д8);
\у= \Wy, \Wy = 0] (8.13)
Д О = Д со, Д со = Ь Д 8.
327
Полученные уравнения дают основания для построения рассма-
триваемых ниже алгоритмов управления. Начнем анализ с рассмо-
трения алгоритма управления маневром типа «змейка».
Маневр данного типа осуществляется в тех случаях, когда тре-
буется обеспечить последовательное отделение двух или более ББ,
образующих боевой порядок «цепочка», при дополнительном усло-
вии ориентации продольной оси ступени разведения и отделяемых
ББ в направлении, параллельном вектору скорости ББ при входе в ат-
мосферу. Соблюдение данного условия необходимо для осуществле-
ния продольной закрутки ББ после его отделения и обеспечения тем
самым стабилизированного входа ББ в атмосферу с нулевыми угла-
ми атаки и скольжения для уменьшения атмосферного рассеивания.
При совершении маневра типа «змейка» в данной схеме созда-
ния управляющего момента происходит занос центра масс ступени
разведения вдоль оси х в плоскости баллистического горизонта и по-
является приращение скорости ступени разведения в этом направле-
нии, которое к концу маневра должно быть обнулено. Уравнения дви-
жения ступени, согласно [98], имеет в этом случае вид
AWX = а(ДО + Д8),
ДО= Дсо, (8.14)
Дсо = b Д8.
Поскольку изменением координаты х в процессе маневра можно
пренебречь, соответствующее уравнение в системе (8.14) опущено.
Начальные и терминальные условия управления при совершении
маневра типа «змейка» задают следующим образом:
bWx(to) = O, ДО(£0)=ДО*, Дсо(^0) = 0;
ДИ<Г(^К) = О, ДО(£К)=ДО*, Дсо(£к) = 0.
(8.15)
В дальнейшем полагают to = 0, tK = Т. Момент Т окончания ма-
невра определяется временем набора заданного приращения скоро-
сти ступени разведения вдоль баллистической вертикали при постро-
ении боевого порядка «цепочка»:
ДИ?ад . Р
Т= —W = —
W ТП
(8.16)
328
Маневр типа «боевой разворот» представляет собой вращательно-
поступательное движение ступени разведения, при котором ее про-
дольная ось переводится из плоскости баллистического горизонта в
положение плоскости, параллельное баллистической вертикали.
Воспользуемся приведенными выше линеаризованными уравне-
ниями вращательно-поступательного движения (8.14). Терминаль-
ные условия управления при совершении маневра «боевой разворот»
задаются следующим образом:
AW№) = 0, ДтЭ(£к) = О, Дсо(£к) = 0, А8(£к) = 0. (8.17)
В данном случае в состав терминальных условий управления
включено требование равенства угла 8 (угла отклонения поворот-
ных сопел управляющей ДУ) заданному значению. В частности, при
8(tK) = 0 вектор тяги ДУ на момент окончания маневра будет ориен-
тирован по продольной оси ступени, а управляющий момент равен
нулю. Это обеспечит наиболее благоприятные условия отделения ББ
от ступени разведения.
Помимо маневров рассмотренного типа, выполняемых на восхо-
дящем участке траектории ступенью разведения, на внеатмосферном
АУТ могут осуществляться маневры последней ступенью БР, осна-
щенной моноблочной ГЧ, которые получили наименование маневров
уклонения. Маневры уклонения разрабатывались главным образом в
целях уменьшения вероятности перехвата МБР на АУТ в основном
при применении лучевых и пучковых средств поражения, планиро-
вавшихся к созданию в рамках программы СОИ [114]. Однако они
могут служить и для затруднения прогнозирования траектории ГЧ
при использовании спутниковых систем раннего обнаружения пус-
ков БР [98], а также реализации, как отмечалось, траекторий с задан-
ными свойствами.
При пусках БР на дальности, существенно меньшие максималь-
ной, траекторные маневры, приходящиеся на внеатмосферный уча-
сток движения, сводятся в ряде случаев к реализации программы
тангажа типа «волна». Реализация волнообразной программы танга-
жа позволяет (см. ранее) получить различные траектории, значитель-
но отличающиеся один от другого по таким параметрам, как время и
дальность полета ББ на пассивном участке.
Хотя угол входа в атмосферу достаточно жестко связан с време-
нем полета и не является свободным параметром, имеется достаточ-
329
но много возможностей по управлению всеми характеристиками тре-
буемой траектории с использованием соответствующих параметров
программы угла тангажа.
Примерная схема маневрирования БР при использовании про-
граммы указанного типа сводится [98] к следующему:
— сразу после выхода из атмосферы (условно эта граница прини-
мается на высотах 70... 90 км) ракета совершает разворот по тангажу
с максимально возможной угловой скоростью. Значение угла танга-
жа на момент окончания маневра является одним из параметров про-
граммы тангажа и задается в СУ БРК в качестве одного из параме-
тров управления;
— достигнув этого значения угла тангажа, некоторое время
БР осуществляет компенсацию возникших колебаний, двигаясь с
0 = 0. Обычно выход из атмосферы происходит, когда заверша-
ет работу первая или уже работает вторая ступень. Но к моменту
окончания первого разворота по программе типа «волна», топлива
во второй ступени остается не так много. Вследствие этого топливо
второй ступени БР «дожигается» при движении БР с О = const.
Это во многом определяет продолжительность движения на первой
«полке» программы тангажа;
— после разделения второй и третьей ступеней СУ БР также
требуется некоторое время на парирование возмущений разделения.
Лишь после этого возможна реализация следующего быстрого раз-
ворота. Осуществляется он так же, как и предыдущий, но в связи
с уменьшением общей массы конструкции, угловая скорость разво-
рота может существенно превышать рассмотренную в предыдущем
случае;
— последним маневром программы типа «волна» является выход
БР в инвариантное направление, хотя этот этап и не является обяза-
тельным. Отделение боевого блока (ББ) может быть осуществлено
и при иной ориентации оси ракеты, все зависит от принятой схемы
последующего атмосферного маневрирования (на нисходящем атмо-
сферном участке траектории) или же от желаемых условий входа ББ
в атмосферу.
Наложение маневров «змейка» и «волна» приводит к наиболее
сложному комбинированному маневру типа «спираль», при котором
может быть достигнуто сложное прецессионное движение продоль-
ной оси последней ступени МБР относительно вектора скорости
опорной попадающей траектории.
330
При оценке целесообразности реализации маневров уклонения
следует исходить из следующих соображений:
1) в связи с отказом США от масштабной реализации программы
СОИ вероятность перехвата МБР на АУТ маловероятна;
2) эффективное осуществление маневров уклонения возможно
только в случае гарантированного достижения последней ступенью
МБР располагаемой поперечной перегрузки не менее двух;
3) осуществление маневров уклонения неизбежно ведет к суще-
ственному усложнению систем управления как последней степени
МБР, так и ГЧ, которая должна обеспечить при атмосферном манев-
рировании на нисходящем участке траектории возвращение на попа-
дающую траекторию;
4) разрабатываемые первоначально как «маневры управления»,
отдельные виды программ, например волнообразная программа тан-
гажа, оказались весьма перспективными с точки зрения их приме-
нения на БР без системы отсечки тяги, когда получение различных
по дальности траекторий оказывается возможным только в результа-
те изменения пространственных координат точки отделения боевой
ступени и ориентации вектора ее действительной скорости при фик-
сированном расчетном времени окончания АУТ.
8.6. Постановка задачи оптимизации маршрута обхода целей
Оснащение современных БР разделяющимися ГЧ с большим числом ББ, пред-
назначенных для поражения соответствующего количества индивидуальных целей,
выдвинуло новую для ракетной техники задачу — определение наилучшей после-
довательности разведения ББ по совокупности целей.
Сущность данной задачи излагается здесь в постановочном плане по материа-
лам работы [98].
Предположим, что за некоторой ракетой, оснащенной РГЧ с п боевыми бло-
ками, закрепляется группа из п целей, расположенных в некотором районе земной
поверхности, не выходящем за пределы области досягаемости данной ракеты. Пред-
положим также, что конструктивная схема ступени разведения позволяет осуще-
ствить последовательное отделение боевых блоков, при этом порядок отделения ББ
от ступени разведения задан. Возможная последовательность направления отделя-
емых ББ на индивидуальные цели показана на рис. 8.5, где первый отделяемый ББ
направляется на цель Ц1, второй — на цель Щ и т. д. Стрелки, соединяющие пары
целей, показывают последовательность направления отделяемых ББ на индивиду-
альные цели. Таким образом, ломаная на рис. 8.5 представляет собой графическое
изображение этой последовательности.
Эта последовательность называется маршрутом обхода целей, или маршрутом
разведения. Термины «обход», «маршрут обхода» заимствованы из теории решения
331
так называемых задач о коммивояжере. Применительно к рассматриваемой задаче
ломаную на рис. 8.5 можно трактовать как условное изображение маршрута движе-
ния ступени разведения, состоящего из ряда последовательных участков, каждый
из которых заканчивается отделением очередного ББ, направляемого на г-ю цель.
Рис. 8.5. Последователь-
ность разведения ББ
Очевидно, что при заданной последовательно-
сти отделения ББ от ступени разведения существу-
ют различные варианты целераспределения ББ, т. е.
различные варианты закрепления за каждым ББ
индивидуальной цели. Соответственно существуют
различные маршруты обхода целей.
Нетрудно определить, что общее количество
различных маршрутов разведения при направлении
п боевых блоков на индивидуальные цели равно
п! Действительно, если для первого отделяемого от
ступени разведения возможны п вариантов закреп-
ления его за п целями, то для второго возможны
п — 1 вариантов закрепления за оставшимися после
первого п — 1 целями, для третьего ББ возможны
п — 2 вариантов закрепления за п — 2 целями, остав-
шимися после первых двух ББ, и т. д., чем и определяется общее число различных
вариантов:
п! = п(п — 1)(п - 2)... 2 • 1.
(8.18)
Среди возможных вариантов следует выбрать единственный маршрут, лучший
в смысле некоторого критерия оптимальности. Этот лучший маршрут и подлежит
реализации в ходе планируемого пуска ракеты. На практике возможно примене-
ние двух основных критериев оптимальности — минимума времени разведения
(быстродействия) и минимума расхода массы (запаса топлива) ступени разведения.
Последний критерий называется также энергетическим. Рассмотрим [98] практи-
ческие ситуации, когда целесообразно применение одного из названных критериев
оптимальности.
Оптимизация маршрута обхода целей по критерию быстродействия. Крите-
риальной функцией в данном случае является интервал времени между моментом
отделения ступени разведения от ракеты-носителя и моментом отделения послед-
него ББ от ступени разведения. Этим интервалом времени определяется время раз-
ведения.
Выбор маршрута разведения по критерию быстродействия целесообразен в тех
случаях, когда существует опасность поражения ступени разведения средствами
дальнего перехвата системы ПРО непосредственно в процессе построения боевых
порядков. В этих условиях желательно сократить время разведения до минималь-
но достижимого уровня, уменьшив тем самым вероятность уничтожения ступени
разведения с неотделившимися ББ средствами ПРО.
Оптимизация маршрута обхода целей по энергетическому критерию. Задача
оптимизации маршрута обхода целей по энергетическому критерию обладает по
своему содержанию существенной особенностью по сравнению с задачей оптими-
зации по критерию быстродействия: целью решения задачи является не нахождение
маршрута, строго оптимального по энергетике, а лишь маршрута, реализуемого по
332
энергетике. При этом найденный маршрут может и не быть оптимальным. Поясним
указанное обстоятельство.
Выбор маршрута разведения по энергетическому критерию осуществляется
для решения задачи досягаемости. Названная задача заключается в том, чтобы
найти такой маршрут разведения, при котором гарантировалась бы досягаемость
целей, назначенных для поражения данной ракетой. Условием досягаемости явля-
ется достаточность имеющегося запаса топлива ступени разведения для данного
маршрута. Маршрут разведения считается реализуемым по энергетике, если требу-
ющийся расход топлива ступени разведения не превышает имеющегося на ступени
разведения запаса топлива. Задача досягаемости полагается решенной, если най-
ден некоторый маршрут, реализуемый по энергетике. При этом совершенно не
обязательно, чтобы найденный маршрут был строго оптимален по энергетике, т. е.
требовал для своей реализации минимального расхода топлива в данных условиях
разведения, поскольку сама по себе экономия топлива ступени разведения в про-
цессе пуска ракеты не имеет практического смысла. Однако на практике возможны
ситуации, когда условию реализуемости удовлетворяют лишь маршруты, весьма
близкие по требуемому расходу топлива к оптимальному, либо лишь единственный
маршрут, строго оптимальный по расходу топлива. Поскольку заранее невозможно
определить, каким окажется решение конкретной задачи досягаемости и будет ли
найденный маршрут строго оптимальным по энергетике или он будет неоптималь-
ным, но реализуемым, задача определения маршрута обхода по энергетическому
критерию ставится в любом случае и решается как оптимизационная задача.
Если при решении задачи досягаемости выяснится, что оптимальный марш-
рут нереализуем (т. е. требует большего суммарного расхода, чем имеющийся за-
пас топлива ступени разведения), то рассматриваемая совокупность целей считает-
ся недосягаемой и пуск данной ракеты по этой группе целей невозможным. В этих
условиях, очевидно, потребуется изменить конфигурацию целей, назначенных для
поражения данной ракетой.
В этой связи обычно отмечают [98] следующие обстоятельства.
1. Энергетический критерий и критерий быстродействия в общем случае не
эквивалентны, и оптимизация маршрутов разведения по этим двум критериям при-
водит к различным результатам, т. е. маршрут, оптимальный по энергетике, может
не быть оптимальным по быстродействию и наоборот. Неэквивалентность данных
критериев определяется многими факторами: переменностью тяги ДУ ступени раз-
ведения; изменением массово-инерционных характеристик ступени разведения в
процессе построения боевых порядков как из-за выработки топлива, так и вслед-
ствие отделения ББ; переменностью поля баллистических производных и др.
2. При решении практических задач выбора маршрутов разведения энергетиче-
ский критерий имеет приоритет перед критерием быстродействия, так как выбирае-
мый маршрут должен быть безусловно реализуем по энергетике. Поэтому маршрут,
оптимальный по быстродействию, выбирают из числа реализуемых. Таким обра-
зом, задача выбора маршрутов разведения должна решаться в два этапа: сначала по
энергетическому критерию, а затем по критерию быстродействия.
3. Досягаемость или недосягаемость группы назначенных целей определяется
двумя основными факторами — энергетикой ступени разведения и качеством ре-
ализуемых алгоритмов управления, оцениваемым также по энергетическому кри-
терию. Поэтому алгоритмы управления вращательно-поступательным движением
333
ступени разведения должны быть оптимальными по энергетическому критерию ли-
бо близкими к оптимальным.
4. На практике выбор совокупности целей, назначаемых для поражения данной
ракетой, осуществляют не произвольно, а из условия их принадлежности некоторо-
му ограниченному району, не выходящему за пределы так называемого располагае-
мого прямоугольника разведения ББ данной ракеты. Располагаемый прямоугольник
разведения определяется при проектировании ракеты и ступени разведения для не-
которых типовых условий пуска БР (дальность, азимут) и типовых конфигураций
целей. Однако в реальных условиях возможны конфигурации, отличные от типо-
вых, которые, хотя и принадлежат располагаемому прямоугольнику разведения, мо-
гут быть недосягаемыми при некоторых маршрутах. Таким образом, маршрут, удо-
влетворяющий условию досягаемости совокупностей целей, имеющих нетиповые
конфигурации, может быть найден только в процессе решения задачи оптимизации
разведения по энергетическому критерию.
Более подробно проанализируем содержание задачи оптимизации маршрутов
разведения и охарактеризуем возможные пути ее решения.
Заданы конструктивные и энергетические характеристики ракеты и ступени
разведения, а также:
• алгоритмы управления движением ступени разведения на всех этапах мане-
врирования при построении боевых порядков;
• координаты точки пуска БР и точек целей, число которых полагается равным
числу боевых блоков РГЧ;
• критерий оптимизации (энергетический критерий или критерий быстродей-
ствия).
Требуется найти маршрут разведения, оптимальный (приемлемый) в смысле
заданного критерия.
Из постановки задачи следует, что одним из возможных способов ее решения
может быть полный перебор всех вариантов решения, общее число которых конеч-
но и определяется формулой (8.18). Схема решения задачи выглядит в этом случае
следующим образом.
Все возможные варианты маршрутов разведения упорядочивают таким обра-
зом, чтобы каждому варианту соответствовала одна конкретная перестановка из п
чисел, общее количество которых равно п\. Таким образом, каждая перестановка из
п чисел определяет номера целей, в которые направляются ББ в порядке их отде-
ления от ступени разведения, и тем самым — маршрут разведения. Упорядоченные
варианты нумеруются от 1 до N — п\. После этого каждому j-му варианту решения
задачи (т. е. J-му маршруту разведения, где j — 1,2,..., ЛГ) должна быть поставле-
на в соответствие «цена» в виде значения критериальной функции, принятой при
решении данной оптимизационной задачи — суммарный расход топлива ступени
разведения или время разведения. Вариант с минимальной «ценой» является опти-
мальным и представляет собой решение поставленной задачи.
При внешней простоте данный подход к решению чрезвычайно трудоемок.
Действительно, для определения «цены» каждого анализируемого варианта марш-
рута разведения необходимо провести полное математическое моделирование про-
цесса разведения ББ и построения боевых порядков всех элементов боевого осна-
щения, включая ложные цели, отделение которых влияет на программу разведения.
334
В общем случае моделирование процесса разведения требует интегрирования урав-
нений вращательно-поступательного движения ступени разведения, проведения
расчетов баллистических производных и ориентации осей баллистических систем
координат с учетом их переменности в процессе разведения, интегрирования урав-
нений движения ББ на ПУТ вплоть до момента попадания в цели и т. д. Если расчет
одного варианта потребует незначительных затрат времени, суммарные затраты
времени расчета всех вариантов могут оказаться чрезмерными. Например, если
число ББ и соответствующих им целей равно 10, то общее количество различных
маршрутов разведения составляет [98] в данном случае 10! = 3 628 800. Предполо-
жим, что моделирование процесса разведения ББ в одном варианте и определение
его «цены» требует 1 с машинного времени, то перебор всех вариантов потребует
1008 ч.
Из приведенного примера следует, что проблема сокращения затрат времени на
решение задачи оптимизации маршрутов разведения весьма актуальна даже в усло-
виях применения современных высокоэффективных ЦВМ. Актуальность ее еще бо-
лее взрастает в связи с тем, что на современных ракетных комплексах задачи оценки
досягаемости и выбора оптимальных маршрутов разведения могут решаться как за-
благовременно, так и оперативно по информации о целеуказаниях, переданных на
пусковую установку по каналам системы боевого управления. Требование опера-
тивности боевого применения ракетных комплексов накладывает наиболее жесткие
временные ограничения на решение задачи оптимизации маршрутов разведения.
Проблема сокращения общих затрат времени на рассматриваемую задачу опти-
мизации решается по ряду направлений. Одно из этих направлений заключается в
разработке и применении упрощенных моделей движения ступени разведения, что
позволяет сократить время на моделирование разведения и определение «цены»
анализируемого варианта. Другое направление состоит в применении более эффек-
тивных в вычислительном отношении процедур поиска оптимального решения по
сравнению с методом полного перебора.
Г л а в а 9. УПРАВЛЕНИЕ МАНЕВРИРОВАНИЕМ ББ
НА НИСХОДЯЩЕМ УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИ
9.1. Содержание возможных видов атмосферного
маневрирования
Достаточно эффективным средством поражения объектов, при-
крываемых наземными средствами системы противоракетной обо-
роны (ПРО), считается оснащение БРДД управляемыми ГЧ или бое-
выми блоками (боеголовками), способными совершать атмосферное
маневрирование на достаточно больших дальностях от защищаемого
объекта, преследующее решение двух задач [72, 81].
Прежде всего это маневрирование предназначено для исключе-
ния возможности (либо, как минимум, существенного затруднения)
335
высокоточного прогноза терминального состояния ГЧ, необходи-
мого для перехвата и создания динамических условий уклонения,
увеличивающих вероятность промаха противоракеты в процессе ее
самонаведения.
Первые попытки создания маневрирующих ГЧ (МГЧ), соверша-
ющих запрограммированный маневр преодоления системы ПРО от-
носятся к началу 1970-х годов, когда в США была создана и отработа-
на боеголовка МК-500 для подводных лодок типа «Трайдент-1». Ма-
неврирование осуществлялось путем разворота боеголовки за счет
аэродинамических сил вокруг поперечной оси и создания момента
крена с помощью балансировочного устройства. При этом боеголов-
ка начинала двигаться к цели по спиральной траектории. Управля-
емые ГЧ, совершающие более сложные противоракетные маневры,
начали разрабатываться примерно с середины 1970-х годов [114]. В
частности, в США эти работы велись в рамках программы AMARV,
EPMARV, HWT и др.
Диапазон высот начала выполнения защитного противоракетно-
го маневра определяется требованием необходимой эффективности
применения аэродинамических органов управления (аэродинамиче-
ских щитков), используемых для создания подъемной силы корпуса,
обеспечивающей маневрирование. Последняя зависит от аэродина-
мической формы, геометрических размеров ГЧ и, главным образом,
pV2 _
скоростного напора q = . Последний, с учетом жестких огра-
ничений на конструкцию ГЧ, обычно может быть обеспечен на вы-
сотах, не превышающих 40 км. При этом время начала и тип про-
граммного маневра выбирают случайным образом из множества до-
пустимых реализаций. При разработке программы маневра, как пра-
вило, необходимо введение ограничений по предельно допустимым
поперечным перегрузкам (на уровне порядка 100 ед. для аппаратов
баллистического типа), минимальному запасу статической устойчи-
вости (порядка 1,5%) и предельно допустимому времени полета в
зоне действия ПРО (в зависимости от ТТХ противоракет потенци-
ального противника).
При рационально выбранном запасе статической устойчивости
и органах управления, гарантирующих достижение необходимо-
го уровня располагаемой перегрузки, реализация программного
маневра осуществляется на основе метода требуемых ускорений
336
[25, 98, III]. Системы «разомкнутого управления», осуществляю-
щие программный противоракетный маневр, обладают всеми недо-
статками, присущими системам рассматриваемого класса.
Прежде всего для них характерна методическая ошибка наведе-
ния, определяемая длительностью интервала управляемого движе-
ния и уровнем возмущений, зависящих от времени нахождения ГЧ в
атмосфере, состояния атмосферы на этот период и характера реали-
зуемого движения.
Справедливости ради, следует отметить, что существуют некото-
рые пути уменьшения указанной методической ошибки, базирующи-
еся на периодическом пересчете соответствующих коэффициентов
программы разомкнутого управления по текущей навигационной ин-
формации, поставляемой инерциальной системой с некоторым ша-
гом, изменяемым от десятка до долей секунды. Данный подход, при-
водящий к квазизамыканию системы, тем не менее, как будет пока-
зано ниже, обеспечивает лишь частичное повышение эффективно-
сти решения задачи преодоления ПРО (в части повышения точности
управления), не решая проблему в целом.
Естественно, существенно более эффективным было бы созда-
ние маневрирующей ГЧ, способной отслеживать полет противора-
кеты и осуществлять уклонение от встречи с ней, используя инфор-
мацию об относительных параметрах движения. Теоретически со-
здание такого типа ГЧ, оснащенных бортовым координатором и ре-
ализующих алгоритмы адаптивного уклонения от встречи с высоко-
скоростными средствами перехвата, разработаны достаточно полно.
Однако трудности их практического создания столь очевидны, что
до настоящего времени отсутствуют даже опытные образцы такого
типа МГЧ.
Рассмотренные виды маневрирования, естественно, не решали
задач предотвращения высокоточного прогноза терминального со-
стояния ГЧ по результатам измерений параметров ее движения на
восходящем участке траектории с использованием различного типа
систем раннего предупреждения опасности нападения (СРПОН).
Задачи дезинформирования противника в отношении истинных
координат, предназначенных для поражения целей и маскировки бое-
головок на траектории полета к цели, до настоящего времени реша-
лись иными средствами с использованием в составе боевого оснаще-
ния межконтинентальных БР (МБР) активных и пассивных средств
информационного противодействия (см. гл. 8).
337
Рис. 9.1. Аэродинамическая схема МГЧ баллистического типа
Систем, обеспечивающих интенсивное и «глубокое» аэродина-
мическое маневрирование ГЧ для того, чтобы ввести противника в
заблуждение в отношении истинных намерений и координат подле-
жащих уничтожению целей, до настоящего времени не существова-
ло. Это объясняется прежде всего тем, что выполнение обсуждаемо-
го типа маневра возможно только при использовании МГЧ планиру-
ющего и аэробаллистического типов.
В отличие от традиционных МГЧ баллистического типа
(рис. 9.1), выполняемых, как правило, в форме конуса с относитель-
но небольшим аэродинамическим качеством, обладающих весьма
ограниченными маневренными возможностями, МГЧ планирую-
щего и аэробаллистического типов (рис. 9.2) способны реализовать
траектории полета, существенно отличающиеся от баллистических.
Траектория МГЧ планирующего типа отличается от баллисти-
ческой на основном, маршевом, участке, который проходит в верх-
них слоях атмосферы, где МГЧ совершает длительный планирую-
щий полет (рис. 9.3). Траектория аэробаллистической МГЧ является
рикошетирующей (рис. 9.4) и содержит чередующиеся участки бал-
листического и планирующего полета, чем обеспечивается наиболее
полное использование кинетической энергии, накопленной БР на ак-
тивном участке траектории.
Проблемы разработки и боевого применения аппаратов указан-
ных классов давно и широко обсуждались в специальной литературе.
Сложность практического решения проблемы оказалась столь вели-
ка, что их создание оказалось возможным только в начале XXI в.
338
Рис. 9.2. Аэродинамическая схема МГЧ планирующего и аэробаллисти-
ческого типов
Граница атмосферы
Рис. 9.3. Траектория МГЧ
планирующего типа
Рис. 9.4. Рикошетирующая
траектория аэробаллистиче-
ской МГЧ
Наконец, последней из возможных разновидностей аэродина-
мического маневрирования является управляемое (корректируемое)
движение ГЧ в атмосфере, предназначенное для повышения точно-
сти ее наведения на цель. Данный вид маневра в весьма незначи-
тельной степени связан с преодолением ПРО противника. Он ре-
шает совершенно иную задачу — обеспечение условий получения
необходимой информации и компенсацию на ее основе ошибок или
отклонений, накопившихся на предшествующих интервалах движе-
ния.
Для совершения требуемого маневра ГЧ оснащается системой
управления, основными элементами которой являются [30, 91, 98]:
339
инерциальная навигационная система, предназначенная для модели-
рования на борту опорной системы координат и определения теку-
щих инерциальных координат ГЧ; корреляционно-экстремальная на-
вигационная система, используемая для устранения ошибок ИНС и
наведения ГЧ на конечном участке траектории; БЦВМ, необходи-
мая для обработки навигационной информации и выработки команд
управления, а также исполнительные органы управления. Траекто-
рия полета может корректироваться несколько раз, причем в каждый
сеанс коррекции должна производиться юстировка пространствен-
ного положения ГЧ, чтобы минимизировать отклонение точки паде-
ния от цели. Принцип действия такого типа систем основан на срав-
нении эталонного профиля рельефа местности, хранящегося в блоке
памяти коррелятора, с профилем рельефа местности, получаемым в
процессе полета. В качестве информационных признаков, как прави-
ло, используют границы контрастов [75, 76, 114], разделяющих од-
нородные контрастные зоны подстилающейся земной поверхности
в совокупности с профилем рельефа. Последовательность измере-
ний сравнивается с программными (эталонными) значениями, а их
разность с учетом кривизны рельефа, получаемой по оцифрованной
модели местности, обрабатывается фильтром Калмана для получе-
ния погрешностей определения каждой из координат местоположе-
ния ГЧ [91, 114].
Функционирование корректируемых ИНС от внешних источни-
ков информации (КЭНС) наиболее эффективно при наличии квази-
постоянных по высоте участков траектории на этапе подлета к райо-
ну нахождения цели.
После отделения от последней ступени БР ГЧ ориентируется
в направлении цели или направлении комплекса ПРО, находяще-
гося на пути к цели, чтобы уменьшить эффективную поверхность
(площадь) рассеяния (ЭПР). В таком положении ГЧ баллистиче-
ского типа должна совершать полет по баллистической траектории
до высот приблизительно 60... 70 км. Именно с этих высот жела-
тельно начинать первые маневры, обеспечивающие гашение скоро-
сти полета, выход на квазигоризонтальный участок движения для
обеспечения эффективной работы КЭНС, а также, отчасти, дезори-
ентации средств ПРО. В реальных условиях, однако, выполнение
соответствующего маневра с использованием средств аэродинами-
ческого управления возможно, как уже отмечалось, лишь на высотах,
340
не превосходящих 40 км, что существенно снижает эффективность
указанной дезориентации.
На рассматриваемом участке ГЧ должна совершать почти го-
ризонтальный полет, причем не исключен выход ее из плоскости
стрельбы. Наибольшие располагаемые возможности управления для
ГЧ баллистического типа реализуются при этом на настильных тра-
екториях, соответствующих программам управления «максимальной
дальности». Программы управления «минимального рассеивания»,
которым отвечают навесные подлетные траектории, приводят к дви-
жению ГЧ на нисходящем участке траектории с углами 0, близкими
к 90°. Перевод с них ГЧ на квазипостоянные по высоте участки
деформируемой баллистической траектории практически нереали-
зуем.
С другой стороны, для участка самонаведения подобные траек-
тории наилучшие как с точки зрения обеспечения минимальных от-
клонений при движении на предшествующем баллистическом участ-
ке, так и с точки зрения условий «захвата» цели бортовым коорди-
натором и последующего управления, минимизирующего мгновен-
ный промах. Наличие подобного типа противоречий требует поиска
разумного компромисса с учетом условий боевого применения БР,
практического осуществления комплексирования СУ ГЧ (либо БР
оперативно-тактического назначения) и использования комбиниро-
ванных систем коррекции.
По завершению маневра выхода с квазигоризонтального участка
движения ЛА должен переходить на участок спуска к цели с коррек-
цией боковых отклонений либо осуществлять маневр «ввода в метод
наведения» при использовании системы самонаведения на конечном
участке траектории.
Последний участок должен обеспечить ликвидацию последствий
отклонения от предшествующих маневров, в том числе и восходяще-
го участка траектории, а также возмущений реальной траектории от
номинальной попадающей траектории.
Осуществление маневров уклонения, вне зависимости от исполь-
зуемой системы управления, неизбежно ведет к усложнению страте-
гии управления на нисходящем участке траектории, которая должна
обеспечить при атмосферном маневрировании возвращение ЛА на
попадающую траекторию.
341
9.2. Постановка задач управления атмосферным
маневрированием
Анализ возможных видов атмосферных маневров на нисходящем
участке траектории должен осуществляться в контексте задач, обу-
словливаемых их целевым назначением.
Как следует из содержания предшествующего обзора, в качестве
таковых могут служить:
— ликвидация последствий защитных маневров уклонения на
восходящем участке траектории, в результате которых осуществля-
ется пассивный полет по траектории, отличающейся от попадающей;
— деформация баллистической траектории для получения пол-
ноценной информации по коррекции ИНС, например с помощью
корреляционно-экстремальной навигационной системы;
— защитные маневры уклонения, снижающие вероятность пере-
хвата МГЧ средствами ПРО;
— ввод в метод (согласование характеристик движения с требуе-
мыми кинематическими параметрами, отвечающими данному мето-
ду) на этапе, предшествующем участку самонаведения;
— реализация перенацеливания и собственно самонаведения (ко-
нечного участка корректируемого полета при наведении на цель) при
необходимости поражения точечных целей.
Последний вид маневра относят к классу позиционных, т. е.
предполагают наличие обратной связи по относительному состо-
янию МГЧ (относительно конечной точки наведения), другие типы
относят к классу программных маневров, т. е. осуществляемых по
разомкнутой схеме.
В ряде случаев при выполнении отдельных типов маневров уда-
ется обеспечить частичное совмещение их целевых функций. В
частности, при определенном типе маневра можно одновременно
достичь и выведения МГЧ на попадающую номинальную траекто-
рию, отклонение от которой произошло из-за выполнения маневра
уклонения на восходящем участке траектории, и выполнение проти-
воракетного маневра.
Как было показано ранее, выполнение маневра движения на ква-
зипостоянной высоте, необходимое для обеспечения работы КЭНС,
может сопрягаться с последующим выходом МГЧ на направление
местной вертикали в момент, предшествующий началу самонаведе-
ния и т. д.
342
Каждый из рассматриваемых типов маневров обладает своими
особенностями и в значительной степени зависит от вида попадаю-
щей траектории, применяемого метода управления дальностью по-
лета, конструктивных характеристик МГЧ и ее системы управления,
определяющих уровень располагаемой перегрузки при выполнении
маневра и его точность.
В связи с изложенным практически невозможно дать детальное
описание каждого типа маневров, тем более для достаточно широко-
го круга схем конструктивного выполнения МГЧ. Поэтому ограни-
чимся анализом общих принципов и требований, справедливых для
всего обсуждаемого множества программных и позиционных манев-
ров, осуществляемых МГЧ в атмосфере.
Вопросы маневрирования ГЧ планирующего и аэробаллистиче-
ского типов требуют специального обсуждения и здесь не рассматри-
ваются.
Основное внимание уделяется маневрам ГЧ баллистического
типа.
Для такого типа ГЧ, способных совершать интенсивные маневры
уклонения от перехвата, существенным является выполнение двух
основных условий:
— способность реализовывать поперечные перегрузки порядка
200... 250 единиц;
— обладать рациональным запасом статической устойчивости,
гарантирующим, с одной стороны, устойчивое движение на всех ре-
жимах за счет динамических свойств корпуса, с другой — обеспечи-
вающим максимальную управляемость для всех возможных органов
и методов управления.
Задача определения рациональных запасов статической устойчи-
вости неразрывно связана с особенностями программного углового
движения на пассивном участке траектории, а также с точностью
расчета коэффициентов центра давления и центровки.
Одним из важнейших факторов устойчивого движения ГЧ на
атмосферном участке траектории является гарантированное обес-
печение минимального запаса статической устойчивости. Другим
существенным фактором является стабильность запаса статической
устойчивости на всей траектории управляемого спуска в атмосфере,
позволяющей уменьшить разброс требуемых моментов управления
от исполнительных органов.
343
Определение рациональных запасов статической устойчивости
движения ГЧ на пассивном участке траектории рассмотрим при сле-
дующих предположениях и ограничениях:
• на атмосферном участке движение управляемое и осуще-
ствляется с помощью аэродинамических и (или) газодинамических
средств для ориентации системы координат, жестко связанной с кор-
пусом, относительно вектора скорости поступательного движения
центра масс (ЦМ) ГЧ (другими словами, управление предназначено
для создания управляющих моментов относительно ЦМ);
• в исходном состоянии органы управления не оказывают влия-
ния на газодинамику обтекания корпуса;
• когда органы управления находятся в исходном состоянии,
форма ГЧ представляет собой тело вращения — конус со сфери-
ческим притуплением, плавно сопрягаемым с конической частью и
задается углом полураствора конической части Рк и безразмерной
длиной (или относительным притуплением тОТн);
• искривление траектории полета ГЧ при наведении на цель осу-
ществляется воздействием на корпус аэродинамических сил;
• при определении программного углового положения ГЧ отно-
сительно вектора скорости ЦМ нестационарные составляющие аэро-
динамических сил и моментов не учитываются;
• задача аэрогазодинамики для рассматриваемой формы ГЧ с
учетом сделанных предположений решается в диапазоне 2 М^
20 и определяет движение аппарата на всем участке наведения на
цель;
• рациональные запасы статической устойчивости ГЧ иллюстри-
руются на примере управления по тангажу при движении в одной
плоскости.
При этих условиях в соответствии с канонической формой пред-
ставления структуры аэродинамических коэффициентов, коэффици-
ент момента тангажа относительно ЦМ ГЧ находим по следующей
зависимости:
mz = ocnm2a + 3im251 = апСу(С^ - Q) + (9.1)
где индексом «1» отмечен орган управления по тангажу. При исполь-
зовании газодинамических средств управления структура последне-
го слагаемого в (9.1) может быть иной.
344
Рис. 9.5. Определение балансировочного угла атаки ГЧ
Предположим, в соответствии с рис. 9.5, что 81 ^0 и т251 < 0.
Программное значение балансировочного угла атаки (ап)бал опре-
деляется исходя из условия обеспечения максимально возможного
значения (по модулю) аэродинамического качества и, в соответствии
с (9.1), при отсутствии запаса статической устойчивости (Ст = Cd)
не может быть реализовано. Более сложная, но аналогичная ситуация
складывается при отрицательном запасе, когда Ст > С^. В этих двух
случаях при отказе системы управления неизбежно разрушение ГЧ.
Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что Ст < С^, т. е. ГЧ
обладает запасом статической устойчивости на всем рассматривае-
мом участке траектории.
При этом балансировочный угол атаки определяется соотноше-
нием
81Ш‘‘ . <92>
C“(Cd -
где для тел вращения всегда Суа > 0.
Из соотношения (9.2) следует, что при фиксированном управля-
ющем воздействии 81 т251 управляемость ГЧ будет наиболее эффек-
тивной при min[C2/a(C(/ — Ст)]. Уменьшение значений С* нецелесо-
образно, так как приводит к уменьшению аэродинамического каче-
ства и, как следствие, снижению маневренности ГЧ. Следовательно,
рациональным запасом статической устойчивости является условие
АС = min(Cd - Ст) > 0, (9.3)
что гарантирует некоторый минимальный запас статической устой-
чивости на всей траектории управляемого движения.
( ^п)бал
Ст
345
Рассмотрим вопросы, связанные со стабильностью положения
центра давления относительно носика ГЧ при значениях чисел Маха
2 Mqq 20 для различных значений угла полураствора кони-
ческого тела. В табл. 9.1 представлены коэффициенты положения
s-ч ^^с/М—15
центра давления Cd и его изменения оС<уОТн — —----------- по
CrfM=15
отношению к значению Cd для Моо = 15, так как на значительной
части траектории ГЧ движется при указанных числах Маха.
Таблица 9.1
N-U Рк = 7,5° Рк = Ю° Рк = 12,5°
cd бСс/отН cd бС'с/отн cd бС'с/отн
2 0,6541 -0,1114 0,6658 0,0016 0,6842 -0,0055
4 0,6638 -0,0982 0,6704 0,0086 0,6872 -0,0012
6 0,6779 -0,0791 0,6762 0,0143 0,6859 -0,0031
10 0,7070 -0,0395 0,6769 0,0183 0,6847 -0,0047
15 0,7361 0 0,6647 0 0,6880 0
20 0,7420 0,0080 0,6581 - 0,0099 0,6897 0,0025
Анализ относительных отклонений коэффициента, проведенный
проф. Г.Г. Скибой (табл. 9.1), показал, что разница между максималь-
ными и минимальными отклонениями существенно зависит от угла
полураствора конического аппарата:
для тела с рк = 7,5° 8Qmax
для тела с рк = 10,0° 8Cdmax
для тела с рк = 12,5° 8Qmax
8Qmin = 0,1194;
8Qmin = 0,0282;
8Qmin = 0,0080.
Таким образом, конический корпус с углом Рк = 10,0° в четыре
раза стабильнее положения центра давления при движении на участ-
ке самонаведения, чем аппарат с Рк = 7,5°. Конический корпус с
углом Рк = 12, 5° имеет большую стабильность положения центра
давления по сравнению с аппаратом с Рк = 10,0°. Это наглядно
видно на рис. 9.6.
Однако важнейшей аэродинамической характеристикой ГЧ, оп-
ределяющей ее маневренные свойства, является производная аэро-
динамического коэффициента подъемной силы Су. По этому пока-
зателю в диапазоне чисел Маха 2 < М^ < 20 явное преимущество
имеет конический корпус с углом Рк = 10,0°.
346
Например, при = 10:
для тела с 0К = 7,5° Су = 1,9114;
для тела с 0К = 10,0° Су = 1,9716;
для тела с 0К = 12,5° Су = 1,9226.
На основе комплексного подхода к выбору угла полураствора
конического аппарата получаем, что корпус с 0К = 10,0° имеет
наибольшее значение производной аэродинамического коэффициен-
та подъемной силы, обеспечивающее максимальные маневренные
свойства и достаточно стабильное положение центра давления на
всем участке атмосферного спуска.
Рис. 9.6. Характер изменения положения центра давления в функции числа
Маха для различных углов полураствора корпуса конической ГЧ
Для ГЧ заданной формы ( 0К = 10°, = 65) минимальное
значение коэффициента центра давления в рассматриваемом диапа-
зоне чисел Маха равно min Cd — 0,6581. В рамках соответствующей
математической модели точность расчета Cd при 0К = 10° не хуже
\Cd — 0,6 %. Следовательно, можно рекомендовать значение цен-
тровки для данной ГЧ Cd — 0,6486. Запас статической устойчивости
будет минимальным при числе Маха 20 и составит АС = 0,0095
(1,5 %). Для остальных чисел Маха запас статической устойчивости
будет больше. На рис. 9.7 представлен график значений коэффици-
ента центра давления для Рк = 10° при различных числах Маха и
график коэффициента центра масс.
Из рис. 9.7 следует, что запас статической устойчивости доста-
точно стабилен при различных числах Маха и по значению относи-
тельно небольшой.
Таким образом, для рассматриваемого конического аппарата дли-
ной, например, 3,7 м рекомендуемое положение центра масс относи-
тельно носика получается равным 2,4 м.
347
Рис. 9.7. Коэффициенты запаса статической устойчивости ГЧ
при различных числах Маха
При рационально выбранном запасе статической устойчивости и
органах управления, гарантирующих необходимый уровень распола-
гаемой перегрузки, программный маневр осуществляется на основе
метода требуемых ускорений.
9.3. Теоретические основы метода требуемых ускорений
Метод реализует концепцию управления, основанную на реше-
нии обратной задачи баллистики. Обратная задача баллистики в
контексте обсуждаемой проблемы состоит в том, чтобы найти закон
изменения приложенных к объекту сил, при котором реализуется
заданное движение. Именно так ставится и решается задача упра-
вления в рассматриваемом случае — по заданному в виде программы
изменению его ускорения с помощью динамических уравнений дви-
жения требуется найти управляющие силы, которые совместно с
другими действующими на объект силами реализуют заданное дви-
жение объекта.
Содержание метода требуемых ускорений рассмотрим примени-
тельно к следующей математической модели объекта управления, за-
данной в виде совокупности кинематических и динамических урав-
нений движения:
Х1 = х2,
(9.4)
Х2 = f(xi,x2,u) +
где Xi — вектор состояния ГЧ; х2 — вектор ее скорости; х2 — уско-
рение объекта, определяемое приложенными к нему силами, среди
которых управляющие определяются fc-мерным вектором параме-
тров управления и; £ — вектор случайных возмущений.
В общем случае на параметры управления наложены ограниче-
ния в виде двусторонних неравенств
Uj j = 1,..., к. (9.5)
348
Задача управления заключается в переводе объекта из начального
состояния хо = {хю, Х20}, соответствующего начальному моменту
времени to = 0, в конечное хк = {xiK, Х2К} за время Т, которое в
зависимости от постановки задачи может быть как фиксированным,
так и свободным.
Решение данной задачи управления по методу требуемых уско-
рений состоит из двух этапов [111]. На первом этапе находится тре-
буемая опорная траектория движения объекта управления в фазовом
пространстве, удовлетворяющая заданным краевым условиям, кри-
терию оптимальности и ограничениям на управление. Требуемую
траекторию движения, определяемую законом изменения параме-
тров Xi и Х2, обозначим как
XIPW = <Р1 (хо, Хк, 0 ,
(9 .6)
x2p(i) = ф2(хо, хк, О-
В силу кинематических уравнений справедливо равенство
x}pt(f) = xT2p(f). (9.7)
Продифференцировав вектор x2p(t) по времени, получим закон
изменения ускорения объекта, отвечающий требуемой траектории
его движения,
x2p(t) = ~^(Х°’ Хк, t)- (9-8)
Функцию x2p(t) принято называть программой требуемых уско-
рений.
На втором этапе решения задачи необходимо найти значения
параметров управления u(t), формирующих такие управляющие си-
лы, при которых обеспечивается программное изменение требуемых
ускорений и движение ГЧ по траектории, ведущей в заданную точ-
ку хк.
При этом будем иметь в виду, что точная реализация програм-
мной траектории может быть обеспечена только в том случае, если
параметры управления удовлетворяют динамическим уравнениям, в
которых учтено действие возмущений:
x2p(t) = f [х?, X?, u(t)] + £(t). (9.9)
349
Очевидно, нахождение параметров и из уравнений (9.9) невоз-
можно, так как возмущения £ априори неизвестны и, как правило,
не поддаются непосредственным измерениям. Вместо этого может
быть измерено действительное ускорение объекта и поставлена за-
дача определения управления u(t) по информации о разности про-
граммного и действительного ускорения объекта, Дх2 = ~
• изм
-х2 .
Алгоритм определения управления u(t) по информации о Дх2
записывается условно в виде следующего оператора:
u(f) = F1[Ax2(f)]. (9.10)
Построение алгоритмов управления вида (9.10), обеспечиваю-
щих достаточно точную реализацию программной траектории, в
принципе возможно, однако не находит применения из-за чрезмерно
жестких требований, предъявляемых к СУ ГЧ.
Более предпочтителен подход, основанный на решении динами-
ческих уравнений невозмущенного движения:
х2р = f [xi(f), x2(t), u(i)]. (9.11)
Зависимость (9.11) называют определяющим уравнением. В отли-
чие от (9.9) в нем не учитывают действующие возмущения. Алгоритм
решения определяющего уравнения задают в виде оператора
u(t) = F2 [xT2p(i), x(t)] . (9.12)
При этом учет действия возмущений осуществляется косвенным
образом путем непрерывного или периодического пересчета требу-
емой траектории движения и программы требуемых ускорений по
информации о действительных параметрах движения, получаемой
от навигационно-измерительной системы. В этом случае требуемое
движение определяется зависимостями
х1р(0 = Ф1 (х(0, хк, о,
X2PW = Ч>2 (х(*)> хк, 0 ,
а программа требуемых ускорений
х2Р(0 = (х(0> хк, 0 • (9-14)
350
Рис. 9.8. Структурно-математическая схема алгоритма управления
с законом, формируемым по принципу обратной связи
В результате может быть получен замкнутый закон управления,
формируемый по принципу обратной связи и обеспечивающий пе-
ревод объекта в заданное конечное состояние за конечное время.
Структурная схема алгоритма управления приведена на рис. 9.8.
При непрерывном пересчете программы требуемых ускорений
без запаздывания метод управления обеспечивает теоретически точ-
ное достижение заданного конечного состояния. При периодическом
пересчете программы ускорений появляется методическая ошибка
управления, значение которой определяется длительностью периода
пересчета программы и уровнем возмущений.
Наиболее простым решение рассматриваемой задачи оказывает-
ся в том случае, когда программы требуемых ускорений задаются
степенными полиномами. Но применение формальных моделей в ви-
де степенных полиномов всегда связано с оценкой реализуемости
программ управления при имеющихся ограничениях на управляю-
щие воздействия. Необходимо построение областей управляемости
и достижимости, в пределах которых могут решаться задачи наведе-
ния по синтезированным программам.
9.4. Практические аспекты применения метода требуемых
ускорений
При использовании метода требуемых ускорений, теоретические
основы которого изложены в предшествующем параграфе, необхо-
димо учитывать [111] следующие обстоятельства.
1. Разомкнутым программам управления присуща методическая
ошибка наведения, определяемая интервалом управляемого движе-
ния и уровнем возмущений. Для того чтобы уменьшить методиче-
скую ошибку до приемлемого значения, программы разомкнутого
351
управления применяют только при периодическом пересчете их ко-
эффициентов по текущей навигационной информации с некоторым
периодом ДТ. Обратная связь включается в формирование про-
грамм управления не непрерывно, а периодически. В зависимости
от содержания конкретной задачи управления ДТ может меняться
от десятка до долей секунды.
2. Программам замкнутого управления свойственна общая осо-
бенность: в реальных условиях применения программные значения
ускорений могут неограниченно возрастать при приближении к тер-
минальной точке. Некоторые способы устранения указанной особен-
ности приведены в [111].
Первый способ заключается в том, что в некоторый момент Т —
— АТ, предшествующий расчетному моменту Т прибытия в тер-
минальную точку, программа замкнутого управления заменяется
программой разомкнутого, коэффициенты которой вычисляют по
параметрам движения на момент Т — АТ. Величина АТ должна
быть определена заблаговременно из условия реализуемости про-
граммных ускорений при имеющихся ограничениях на управляю-
щие воздействия.
Второй способ состоит в том, что программа замкнутого упра-
вления формируется по терминальной точке, вынесенной вдоль фа-
зовой траектории невозмущенного движения за пределы интервала
[О, Т] и достигаемой в момент Т + АТ. Проиллюстрируем этот спо-
соб на примере задачи управления с двумя терминальными услови-
ями и программой ускорений. Зададим АТ и определим из диффе-
ренциального уравнения х = со + c\t измененные терминальные па-
раметры хк = хк + Ахк, Ухк = Кк + AVXK:
Кк = VXK + со(Т + ДТ) + ^С1(Т + АТ)2 ;
in = х0 + Ко(Т + ДТ) + |с0(Т + ДТ)2 + ^сЦТ + ДТ)3,
А о
где коэффициенты с$ и с\определены по исходным концевым усло-
виям. В данном случае программа замкнутого управления приобре-
тает следующий вид:
= 6[iK-^)] _ 2[Кк + 2Щ]
х (Т+ДТ-t)2 Т+ДТ-t ' k }
352
Задача управления по-прежнему считается выполненной в мо-
мент t = Т.
Очевидно, что обоим рассмотренным способам присуща методи-
ческая погрешность управления.
Имея в виду изложенные общие положения, перейдем к непо-
средственному обсуждению возможностей построения алгоритмов
наведения управляемой ГЧ на атмосферном участке траектории,
приведенных в работах [98, 111].
В качестве управляющей будем рассматривать полную аэроди-
намическую силу, изменяемую по значению и направлению путем
придания корпусу ГЧ соответствующей пространственной ориента-
ции с помощью управляющих моментов, создаваемых аэродинами-
ческими или газодинамическими органами управления.
Пусть положение центра масс ГЧ задается радиусом г и углами X
и ф (географические долгота и широта), определяющими взаимную
ориентацию осей относительной геоцентрической и местной геогра-
фической СК. Взаимная ориентация осей полускоростной и связан-
ной систем координат определяется углами атаки а и скольжения Р
(см. рис. 9.1) либо пространственным углом атаки апр и углом крена
у (см. рис. 9.2).
Кинематические и динамические уравнения движения ГЧ будут
иметь вид
тг . V л : Vcosm/cosG
г = V sin 0, ф = — cos ф cos 0, Л =--------------; (9.16)
г г cos ф
X
V = —- — gr sin 0 — g w(cos ф cos ф cos 0+
m
+ sin ф8Ш 0);
0 = “ 77 cos 9 — cos Ф cos ф sin 0+
mV V V V <9.17)
+ sin ф cos 0)4-cos 0 — 2 CO3 cos ф sin ф;
r
. _ Za _ g COS ф sin ф
mV cos 0 V cos 0
V
4— tg ф sin ф cos 0 4-2 соз(со8 фсо8 фtg 0 — sin ф).
г
Здесь (Оз — угловая скорость вращения Земли; gr и g ш — проекции
ускорения силы притяжения Земли на радиус-вектор г и вектор (0;
353
Xa, Ya,Za — составляющие полной аэродинамической силы в про-
екциях на оси полускоростной системы координат.
Для первой системы органов управления эти составляющие зада-
ют в виде (индекс «а» у проекций силы и их коэффициентов опущен
с целью упростить запись)
X = -CxS^l Y = Cyd.S^—, Z =
2 y 2 z 2
Для второй схемы органов управления имеем
X = -CXS^, Y = Суа anpS-^ cos у,
oV2
Z = -С “ anpS-^- sin у.
Ограничения на параметры управления обычно задают в форме
| а| атах
max
апр| атах
Данные неравенства косвенным образом ограничивают управля-
ющие силы Ya и Zа, зависящие как от параметров управления, так и
от скоростного напора, т. е. от высоты и скорости полета. Ограниче-
ния на допустимые значения угла крена, как правило, не накладыва-
ются.
Особенностью рассматриваемого объекта управления является
его неполная управляемость — в то время как подъемная и боковая
силы Ya и Za могут менять знак при изменении знаков углов а и
Р (или углов апр и у), сила лобового сопротивления слабо зависит
от углов атаки и скольжения и не меняет знак в процессе движения.
Вследствие этого параметры продольного движения ГЧ (скорость V
и ускорение V) неуправляемы.
Из-за неполной управляемости ГЧ формирование попадающих
траекторий при маневре возможно только за счет изменения движе-
ния в плоскости, нормальной к вектору скорости. Это движение ГЧ
управляемо. Для того чтобы ввести удобные переменные для пара-
метров управляемого движения, необходимо доопределить условия
задачи, задав направление вектора скорости ГЧ в точке цели. Данное
направление принято называть [111] линией пикирования ГЧ на цель.
354
Оно задается двумя углами: уц и 0Ц. Эти углы определяют в гео-
графической системе координат, фиксируемой на момент окончания
движения, когда ее начало совпадает с точкой прицеливания.
Путем введения линии пикирования ГЧ и задания тем самым
ориентации нормальной к ней плоскости, в которой движение ГЧ
управляемо, получим возможность определить [111] переменные
для управляемого движения и выразить терминальные условия на-
ведения в этих переменных.
Введем целевую прямоугольную систему координат
ЦХц Уц Zu, ось Хц которой направлена по линии пикирования. Свя-
жем с ней единичный вектор е т, при этом ось Уц лежит в плоскости
векторов гц иет, а ось Zu дополняет оси Хц и Уц до правой (рис. 9.9).
Через еп и обозначим единичные векторы, направленные по осям
Уц и Zu.
Рис. 9.9. Положение плоскостей пикирования и картинной плоскости
Плоскость ортов ет и еп, содержащую линию пикирования, на-
зывают плоскостью пикирования, а плоскость векторов еп и е& —
картинной плоскостью.
Спроецируем далее вектор
Ar(t) = r(t) - гц
(9.18)
на картинную плоскость. Обозначим данную проекцию р. Вектор р
характеризует положение в картинной плоскости точки S' — проек-
ции центра масс ГЧ на эту плоскость (рис. 9.9). Данный вектор од-
нозначно описывается своими проекциями на оси Уц и Zu. Выразим
355
эти проекции как скалярные произведения вектора Дг и единичных
векторов еп и е&:
Рп=Лг(*)еп, Pb=Ar(i)eb. (9.19)
Введя следующие обозначения для производных от переменных
рп и рь по времени: Pn = Vn, Pb = H, (9.20)
Vn = V5 = db, (9.21)
нетрудно получить, Vn = Nen, Vb = Veb, (9.22)
Vn = Vfr ~ &&bi (9.23)
где V и а — скорость и ускорение ГЧ. Отсюда видно, что простран-
ственному движению центра масс ГЧ (точка S), описываемому со-
ответствующими дифференциальными уравнениями, отвечает дви-
жение его проекции (точка S') в картинной плоскости, описывае-
мое дифференциальными уравнениями (9.20) и (9.21). В окрестности
точки цели это движение полностью управляемо.
Можно воспользоваться величинами pn, pb, Vn и 14 как новы-
ми переменными. С их помощью терминальные условия наведения
записывают в виде следующих равенств:
рп(Т) = рь(Т) = О, (9.24)
К(Т) = Vb(T) = 0. (9.25)
Равенства (9.24) соответствуют требованию попадания ГЧ в точ-
ку прицеливания, а равенства (9.25) — требованию направленности
вектора конечной скорости ГЧ по заданной линии пикирования.
Из уравнений (9.21) следует, что для решения задачи наведения
необходимо управлять проекциями вектора ускорений ГЧ на оси Уц
и Zu целевой системы координат, поэтому для использования метода
требуемых ускорений необходимо задавать две программы требуе-
мых ускорений: а? и а?.
Программы требуемых ускорений. Время Т прибытия ГЧ в точку
цели, которое условиями задачи не задано, может быть определено
356
из прогноза движения ГЧ от ее текущего положения r(t) на момент t
до момента выполнения терминальных условий. Для того чтобы осу-
ществлять непрерывный прогноз Т в реальном масштабе времени,
примем простейшую модель прямолинейного движения ГЧ с посто-
янной скоростью V(t) на направление вектора Дг(<) через скалярное
произведение этих векторов:
V(t) Ar(t)
Гдг — -----------
| Аг|
Разделив длину вектора Дг на скорость Удг, получим следующее
выражение для времени движения ГЧ до точки цели:
I Аг|2
V(i)- Аг(г)'
(9.26)
Погрешность прогноза времени Т по формуле (9.26) уменьша-
ется по мере приближения к точке прицеливания и в пределе равна
нулю.
Из уравнений (9.20), (9.21) и терминальных условий (9.24), (9.25)
следует, что программы требуемых ускорений имеют одинаковую
структуру. При наведении ГЧ могут быть применены программы
как замкнутого, так и разомкнутого управления с периодическим пе-
ресчетом коэффициентов по текущей навигационной информации.
Запишем [98] выражения для простейших программ разомкнуто-
го управления, задаваемых полиномами второй степени. Через ДТ
обозначим период пересчета коэффициентов программ, через ti —
моменты пересчета. Прогноз времени движения осуществляется ци-
клически с тем же периодом ДТ. Через 7} обозначим оценку времени
Т, получаемую в г-м цикле прогноза времени движения по формуле
(9.26)
Ti-ti = (tj Ar(ii), i = 0,l,...,N. (9.27)
Тогда программы разомкнутого управления будут иметь следую-
щий вид:
птр/.\ 6 Рп(^) _ 2Vn(£j) . 12 Pn(tj) 6Vn(tj)
nU~ m-ti)2 Ti-t^^Ti-ti)^ (Тг-иу
„ЧУП— Pfr(tz) _ 214(^г) 12 Pb(tj) 614(А)
(Ti-tiY Ti-ti
где t G [ti+i, ti], ti+i -ti= AT, i = 0,1,..., N.
357
Программы замкнутого управления записываются [98] в виде се-
мейства программ, учитывая возможность их изменения в процессе
наведения ГЧ,
_ (2 + 3fc + fc2)pn(0 _ 2(fc + l)Vn(Z)
п U (T-ty T-t ’
тр (2 + ЗА: + A:2) pb(i) 2(fc + l)Vb(t)
«bW- (r_t)2 T_t •
При снижении ГЧ в атмосфере скоростной напор возрастает, по-
этому можно реализовать большие требуемые ускорения по мере
приближения ГЧ к точке прицеливания. Следовательно, в процессе
управления параметр к в (9.29) может ступенчато расти от началь-
ного значения к при полете ГЧ на большой высоте до достаточно
больших значений, определяемых условием реализуемости теку-
щих требуемых ускорений при полете ГЧ на средних высотах. На
завершающем этапе подлета к цели значение параметра к снова
целесообразно уменьшить до к = 1 и применить один из возмож-
ных способов устранения особенности программ замкнутого упра-
вления, чтобы обеспечить реализуемость требуемых ускорений в
окрестности цели [98].
Для нахождения явных выражений для параметров управления
следует записать определяющие уравнения, получаемые подстанов-
кой в левые части динамических уравнений движения требуемых
ускорений.
Для этого следует предварительно упростить исходные динами-
ческие уравнения, сохранив в их правых частях только члены, со-
держащие аэродинамические силы и радиальную составляющую си-
лы притяжения Земли. Полученные в результате данного упрощения
уравнения записываем в форме, где слева стоят проекции ускорения
на оси полускоростной системы координат:
О' • z\
ах =------gsm 0,
т
av = — — g cos 0, (9.30)
т
_ Za
dz —
т
При записи левых частей этих уравнений учтены равенства
ах — V, ау = V 0, az = —V cos 0 \|Л Аэродинамические силы в
правых частях подставляются со своими знаками.
358
Объединим правые части динамических уравнений (9.30) в вектор-
столбец:
Г Ха п g sm 0 т
f а I = g cos 0 т Zq _ т (9.31)
Для нахождения проекций этого вектора на оси целевой системы
координат следует воспользоваться матрицей перехода от полуско-
ростной к целевой системе координат
fu = Anc,uf. (9.32)
В результате (индекс у аэродинамических сил опущен)
X У Z
= —CZ-21 Н----^22 Н---^23 — geos 0Ц,
X Y Z (9.33)
а!р = —аз1 Н-----^32 Ч----пзз,
т т т
где
0-21 = — cos 0 sin 0ц cos ( V — уц) + sin 0 cos 0Ц,
0-22 — sin 0 sin 0ц COS ( V — Уц) + COS 0 COS 0ц,
a23 = - sin 0ц sin ( v - Vu) ,
a3i = - cos 0ц sin ( у - vu) ,
a32 = sin 0 sin ( у - \|/ц) ,
азз = - cos ( у - \|/ц) .
Подставляя в (9.33) выражения для аэродинамических сил, най-
дем, следуя [98, 111], два линейных уравнения для определения па-
раметров управления а и [3:
а _ ТП /1^33 ~ /2^23
D
т /1П32 - /2^22 v 7
Р " Сhs D ’
X X
Лтр а . л г тр а
= ад----o2i + geos 0ц, /2 = аь---азь
т т
D = cos 0 cos 0ц cos( у — \уц) + sin 0 sin 0Ц. (9.35)
359
Данные формулы совместно с приведенными выше выражения-
ми для программ требуемых ускорений полностью описывают алго-
ритм наведения ГЧ по методу требуемых ускорений.
При движении ГЧ вблизи плоскости пикирования текущий кур-
совой угол y(t) можно считать совпадающим с углом уц. Полагая
у = уц, получаем
_ т off + gcos0u _с^ _
c^qS cos( 0 - 0Ц) c«tg ц ’
о "I тр
₽ = ~^аь-
Cz qS
(9.36)
Наконец, на завершающем этапе наведения, когда направление
вектора скорости ГЧ близко к заданному направлению пикирования,
в алгоритме наведения можно положить у = уц, 0 = 0ц, в резуль-
тате имеем
(9.37)
а = (an + geos 0ц),
R ТР
₽ = -~^ab-
CzqS
У статически устойчивых ГЧ стабилизация по углам атаки и
скольжения обеспечивается только с помощью статических аэроди-
намических моментов без применения системы угловой стабили-
зации. При больших запасах устойчивости можно пренебречь пе-
реходными колебательными процессами по углам атаки и скольже-
ния, возникающими при отклонении рулей, и выразить программы
управления непосредственно в углах отклонений рулей с помощью
балансировочных зависимостей
тп а ТП
5Т =-----^-а, 5р = -^-р.
(9.38)
В рассматриваемой схеме органов управления ГЧ 5ти 5р — углы
отклонений управляющей юбки по каналам тангажа и рыскания; тп “
и тпу\ — коэффициенты статических аэродинамических моментов;
тД и тп^ — коэффициенты управляющих моментов.
Решение определяющего уравнения для второй схемы органов
управления ГЧ может быть найдено при подстановке в (9.33) вы-
ражения для аэродинамических сил, выраженных через параметры
360
управления апр и у. Разрешая эти уравнения, можно получить
апр _ Ш /1а33 ~ /2Д2З
c^qS Deos у
/2Д22 ~ /1^32 \
/1^33 — /2^23/
(9.39)
На завершающем этапе наведения, когда справедливы прибли-
женные равенства V = \|/ц и 0 = 0ц, формулы (9.39) принимают
[98] простой вид
т anP + #cosOu
а р =-------------------
с “ • qS cos у
а?
у = arctg 4р.
ап
(9.40)
При данной схеме управление координированным разворотом
корпуса ГЧ по углам атаки и крена требуется применение двух-
канальной системы угловой стабилизации, поэтому, в отличие от
предыдущей схемы, выразить программы управления непосред-
ственно в углах отклонений рулевых органов оказывается невоз-
можным [111].
Г л а в а 10. САМОНАВЕДЕНИЕ ПРИ ПОДЛЕТЕ К ЦЕЛИ
10.1. Предпосылки необходимости и технической
реализуемости процессов самонаведения БР и их ББ
Повышение точности БР с неуправляемой ГЧ, оснащенной ав-
тономной некорректируемой (см. далее) СУ возможно при комплек-
сировании инерциальных навигационных систем (см. раздел IV),
обеспечивающем коррекцию ИНС, в случае непосредственного дви-
жения по информации от навигационных искусственных спутников
Земли либо от автономных систем коррекции по картам местности.
Однако даже столь сверхточные системы, относительная ошиб-
ка наведения которых составляет (см. гл. 17) величину порядка
0,1
—= 10 °, не в состоянии обеспечить решение ряда актуаль-
ных задач. Речь идет о возможности нанесения точечных неядерных
361
ударов по «гнездам терроризма» на межконтинентальных дально-
стях [78].
Потребная мощность заряда ББ для поражения точечной цели,
как известно, пропорциональна среднеквадратическому отклонению
точки падения от цели в третьей степени. В соответствии с этим при
повышении точности полета резко снижается потребный тротило-
вый эквивалент боевой части (БЧ) для поражения цели заданной за-
щищенности. Это в равной степени относится не только к МБР, но и
кОТР.
Так, если предельная ошибка составляет 200 м, цель, характери-
зуемая уровнем защищенности порядка АРф=10 МПа, поражается
с вероятностью 0,9 при мощности ядерной БЧ порядка 0,1 Мт, при
обеспечиваемой точности доставки полезной нагрузки к цели поряд-
ка 100 м для поражения такой цели уже будет достаточно 0,01 Мт, а
при точности 50 м — 1,5 кт.
При предельном отклонении 10 м цель может быть пораже-
на неядерной БЧ (с тротиловым боезарядом) массой в несколько
тонн [114].
Таким образом, на современном уровне развития ракетной тех-
ники возникает необходимость обеспечения ракетных ударов по це-
лям на дальностях действия ОТР и МБР, исчисляемых метрами (т. е.
фактически при достижении прямого попадания) [78, 79, 114].
Решение таких задач возможно только при реализации процес-
са самонаведения на заключительном участке полета. Используемые
для этих целей головки самонаведения (ГСН) принято подразделять
[91] на системы прямого наведения и наведения по эталонам мест-
ности.
В свою очередь ГСН прямого наведения образуют две группы:
• работающие по физическому контрасту цели;
• обеспечивающие наведение по образу цели.
Различие этих систем заключается в том, что системы первой
группы воспринимают цель в виде энергетически яркой точки, а
второй — в виде совокупности точек, образующих характерный для
определенного типа цели контур, выделяющийся на фоне других эле-
ментов местности. Последнее обстоятельство дает основание отдать
предпочтение системам самонаведения данной группы.
Идентичность задач коррекции траектории по картам (этало-
нам) местности на подлетных участках траектории и на ее завер-
шающем участке дает основание рассматривать корреляционно-
362
навигационные системы (см. ниже) как системы, способные одно-
временно решать как задачи сужения размеров трубки траектории
на подлете к цели, так и задачи самонаведения.
Трудность создания такого типа систем заключается в решении
задач навигационного обеспечения.
Основное внимание сосредоточим на вопросах алгоритмизации
самонаведения с использованием систем прямого наведения.
Наиболее широкое распространение в ракетной технике в насто-
ящее время получили ГСН, работающие в оптическом и радиодиапа-
зонах электромагнитных излучений.
Чувствительные элементы (ЧЭ) координаторов в рассматривае-
мом случае, как правило, должны быть «развязаны» по отношению
к корпусу, что обеспечивается за счет применения карданова подве-
са. Ориентация и стабилизация ЧЭ осуществляется гиростабилиза-
тором или следящей системой, работающей по информации от ав-
тономной системы управления. Теоретически не исключается также
возможность применения координаторов флюгерного типа.
Как известно [30], существует достаточно большое количество
методов самонаведения, не все из которых, тем не менее, приемле-
мы для решения задач самонаведения БР или их ББ. Какому отдать
предпочтение, можно понять, проведя в достаточной степени обоб-
щенный кинематический анализ определяющих свойств траекторий
наведения.
10.2. Кинематический анализ основных свойств траекторий
наведения и общие сведения о методах самонаведения
Исследование процессов наведения или самонаведения, как пра-
вило, начинается с разработки упрощенной аналитической модели,
когда принимают следующие предположения:
— система управления ракетой безынерционная, динамические
уравнения ракеты заменяют уравнениями связи;
— внешние случайные возмущения в расчет не принимают;
— ракета рассматривается как материальная точка, обладающая
определенной скоростью;
— модуль вектора скорости известен, а изменение его задано в
функции времени.
Расчет, выполненный с учетом этих предположений, позволяет
получить кинематическую траекторию невозмущенного движения
363
ракеты для выбранного закона управления. Смысл идеализирован-
ной постановки и решения задачи состоит в определении возможно-
стей ракеты и проведении сравнительного анализа различных мето-
дов. При этом оценивают перегрузки, время наведения, дальность
действия, области достижимости, энергетические характеристики,
особенности реализации и т. п. Динамику системы управления и точ-
ность наведения (промах) оценивают путем анализа линеаризован-
ных уравнений возмущенного движения ракеты относительно опор-
ной (кинематической) траектории. Отметим еще одну характерную
особенность изучения методов наведения. Управлять ракетой мож-
но активно — с использованием тяги двигателя или пассивно — с
использованием аэродинамических сил.
Необходимость аэродинамического управления возникает, если
двигатель установлен жестко относительно оси аппарата и тяга по-
стоянна. Закон изменения, например, угла атаки и, как следствие, ко-
эффициента подъемной силы су(М), определяется кинематической
схемой наведения. Не исключены случаи, когда закон управления
углом атаки может оказаться неприемлемым из-за больших нормаль-
ных перегрузок пу или потребных больших угловых скоростей вра-
щения ракеты, которые не смогут обеспечить органы управления. В
силу этого при рассмотрении движения ракеты в режиме самонаве-
дения уравнения кинематической связи каждого метода необходимо
решать совместно с динамическими.
Рассмотрим движение ракеты в режиме наведения в вертикаль-
ной плоскости. Используя упрощенные уравнения движения, запи-
санные в проекциях на оси траекторной системы координат через
составляющие вектора перегрузки, и учитывая, что Су = Су а, най-
дем
„ _ rng
Р + c“Sqnyk
(10.1)
или
_ mg
Су ~ Р(су^ + Sqnyk-
(Ю.2)
Анализ уравнений для перегрузок и приведенных простых соотно-
шений позволяет сделать ряд выводов.
1. При известной скорости полета ракеты (см. принятые допу-
щения) кривизна траектории определяется нормальной перегрузкой
(с точностью до cos 0 ) и наоборот.
364
2. Для каждой конкретной траектории полета ракеты угол атаки
может быть определен через нормальную перегрузку.
3. При известной скорости полета составляющая вектора пере-
грузки на касательную к траектории практически известна (с точно-
стью до sin 0).
Таким образом, нетрудно установить, что при построении и ис-
следовании кинематической траектории наведения решающую роль
должна играть нормальная составляющая вектора перегрузки.
Основной информацией, используемой при самонаведении, слу-
жат данные о параметрах относительного движения ракеты и цели.
Рассмотрим рис. 10.1, на котором изображены соотношения пара-
метров для общего случая наведения ракеты на перемещающуюся
цель [30].
Рис. 10.1. Общая кинематическая схема наведения
В первом достаточно грубом приближении будем считать, что на-
ведение происходит в плоскости векторов скорости ракеты V и цели
Vu. На рис. 10.1 обозначено: РЦ — линия визирования цели; Т| —
угол упреждения (угол между вектором скорости ракеты и линией
визирования); е — угол пеленга (угол между продольной осью раке-
ты и линией визирования); О — угол тангажа; а — угол атаки; q —
угол наклона линии визирования к местному горизонту; D — рас-
стояние между ракетой и целью (относительная дальность до цели).
На рис. 10.2 представлена упрощенная схема системы самонаве-
дения. Нетрудно видеть, что закон управления ракетой в общем виде
может быть записан как
Зр = / (V, 0, О, a, D, q, . . ,
где Зр — угол отклонения руля.
365
Рис. 10.2. Упрощенная схема системы самонаведения
Анализ рис. 10.1 и 10.2 позволяет укрупненно выделить три груп-
пы систем самонаведения.
1. В системах первой группы в процессе сближения меняется по
определенному закону угол пеленга цели в связанных осях ракеты.
В простейшем случае угол пеленга е сводится системой управления
к нулю. Такой метод называется прямым наведением.
2. В системах второй группы меняется по определенному зако-
ну угол упреждения Т| = varia. В частном случае угол упреждения
поддерживается нулевым (метод погони) или равным некоторой по-
стоянной величине (наведение с постоянным углом упреждения).
3. В системах третьей группы при управлении движением ракеты
обеспечивается определенное положение линии визирования цели
относительно некоторого направления, фиксированного в простран-
стве. В частном случае q = const. Это метод параллельного сближе-
ния.
Следует отметить, что для случаев, когда связи накладываются на
закон изменения углов Т| или q, траектории (по крайней мере, иде-
альные) можно рассчитывать, не прибегая к уравнениям динамики
объекта, так как даже одни кинематические соотношения составля-
ют замкнутую систему. Динамические же уравнения объекта в этом
случае характеризуют лишь маневренные свойства ракеты. Для слу-
чая, когда связи накладываются на угол пеленга е, необходимо учи-
тывать и кинематические и динамические уравнения, так как необхо-
димо контролировать угол атаки а, а следовательно, рассматривать
и уравнения движения ракеты.
При выборе метода наведения необходимо учитывать следующие
особенности самонаведения БР и ББ:
1. Самонаведение осуществляется на неподвижную цель, что да-
ет основание отдать предпочтение методам, наиболее приспособлен-
ным для наведения ракет на неподвижные или малоподвижные цели.
366
2. Скорость движения БР или ББ на нисходящем участке траек-
тории достаточно велика, а время наведения слишком мало для вы-
бора больших начальных промахов, что делает необходимым пред-
варительное сужение области неопределенности положения ЛА на
момент начала самонаведения.
3. Применение в качестве БЧ зарядов обычного снаряжения (не-
ядерного) наиболее эффективно по цели при движении по подлетной
вертикальной траектории, что определяет выбор схемы подвеса ко-
ординатора цели и углов его прокачки.
Из всех возможных методов самонаведения для решения рассма-
триваемых задач могут быть рекомендованы адаптированные к про-
блемам наведения ЛА баллистического типа, методы погони и про-
порционального наведения (пропорциональной навигации), причем
последнему (его модификации) обычно отдается предпочтение.
10 .3. Теоретические основы метода пропорциональной
навигации в общем случае учета маневра цели
Предварительно получим общие соотношения методов наведе-
ния с углом упреждения как основы метода параллельного сближе-
ния и его обобщения — метода пропорциональной навигации.
Сущность этого метода состоит в том, что в течение всего про-
цесса наведения вектор скорости ЛА направлен под углом к линии
визирования. Благоприятный случай — упреждение в сторону мгно-
венной точки встречи ракеты с целью. В частном случае угол упре-
ждения может быть постоянным во все время наведения (наведение
с постоянным углом упреждения).
На рис. 10.3 для частного случая (Уц = const, 0ц = 0, V = const)
приведены траектории наведения при разных постоянных углах
упреждения, включая Г| = 0. Видно, что с увеличением угла упре-
ждения кривизна траектории уменьшается и в некоторых случаях
возможны прямолинейные траектории.
Проведем аналитическое исследование траекторий наведения.
Рассмотрим случай Т|* = const (рис. 10.4):
dD тг
—— = Уц cos q — V cos Т|,
dt
dq -Vising + V sin T|
dt D
(10.3)
(Ю.4)
367
Рис. 10.3. Траектории наведения при различных значениях постоянных
углов упреждения
Разделив первое уравнение на второе,
получим выражение для метода наведения
с углом упреждения
dD cos g — p cost]
—— = ----;-------;---dq. (10.5)
D — sm q + p sm T|
Рис. 10.4. Схема наведе-
ния с постоянным углом Рассмотрим условия существования
упреждения прямолинейных траекторий при наведении
с постоянным углом упреждения. В этом случае 0 = const и соответ-
ственно до = 6 + Л* = const, т.е. q = 0. Таким образом, как следует
из (10.4), при полете по прямолинейным траекториям линия визи-
рования перемещается параллельно самой себе: Vusingo = V sin Г|-
При заданных значениях р и Г| существует два угла qo, обеспечива-
ющих прямолинейные траектории,
Qoi = arcsin(psin Т|),
.... (Ю-6)
Q02 = л — arcsm(psm Т|)-
Очевидно, что прямолинейные траектории возможны при
psin Т| < 1. По мере увеличения psin Т| > 1 прямолинейных траек-
торий не будет, все они примут спиралевидную форму.
368
Проинтегрируем для случая р sin Т| = const уравнение (10.5)
D q q
f dD Г cos q Г V cos T|
J D J — sin q + V sin T| J — sin q + p sin T|
Do qo <7o
/ • \V-1
_ _ / sin q — p sin n \
D = Dq [ ---------—-------* 1 x
\ sin qo — psm T| J
(1 — p sin T| sin qo + cos qo \/l — p2 sin2 T| \
/— —------------------------------------ — I ,
1 — p sin T| sin q + cos gyl — p2 sin2 T| J
(Ю.7)
pcos T|
где v = . —постоянная действительная величина для
у 1 — р2 sin2 Г|
рассматриваемых условий. В результате получили кинематическую
функцию связи D и q при выбранном угле упреждения Г| и началь-
ных условиях Dq и qo. Если Г| = 0, приходим к выражению метода
погони, так как v = р и уравнение (10.7) вырождается в уравнение
кривой погони.
Проанализируем теперь характер и определим устойчивость тра-
екторий наведения с постоянным углом упреждения. При заданных
постоянных значениях V, Г| (при этом р sin Т| < 1) всегда можно
найти такое значение qo, при котором обеспечивается прямолиней-
ная траектория, т. е. выполняется условие
.=0=_VuSin<,„, + Vsinn (|08)
при 2 = 1,2.
Если имеют место вариации переменных относительно прямоли-
нейной траектории, то получим
Ад =
- К sin(g0 + Ад) + V sin Т|
D+ AD
Пренебрегая величиной второго порядка малости, положив
Дд ДТ? = 0, cos Дд « 1, sin Дд « Дд и принимая во внимание
выражение (10.8), найдем, что
D Дд = — cos до Дд
или
D Дд + К cos до Дд = 0.
(Ю.9)
369
Очевидно, что для qo < — cos qo > 0 и при отклонении ЛА от пря-
молинейной траектории на угол Aq появляется производная Aq про-
тивоположного знака, ликвидирующая Aq, в результате чего раке-
~ тс
та стремится к устойчивой прямолинейной траектории qoi < — В
точке встречи с целью, когда D —>0, в соответствии с уравнением в
вариациях и учитывая, что q ± оо, Aq —> 0, a q —> Qoi, т. е. в кон-
це наведения угол q асимптотически стремится к углу Qoi, практиче-
ски почти любая траектория на конечном участке будет касательной
к устойчивой прямолинейной траектории. Соответственно прямоли-
нейная траектория при q > л/2 неустойчива, и ракета сходит с нее,
сближаясь с устойчивой прямолинейной траекторией при q = Qoi -
Выполним анализ зоны возможных атак применительно к методу
наведения с постоянным углом упреждения, используя все то же вы-
V0
ражение нормальной составляющей вектора перегрузки пу «--.
g
Поскольку Г| = const, то е = Q, т. е.
V (— VusinQ + V sin Т|\ УУц z . . ч
Пу = — --------7S------ = S1HQ - psin Т] .
g \ D J gD
D
Если максимально допустимая перегрузка равна пкр, то Ркр =
=-----(sin (р — Ь), где b = psin Г|.
£ПкР
На рис. 10.5 представлена граница зоны возможных атак. Видно,
что область пространства, где перегрузки превышают критические,
меньше, чем для метода кривой погони. При этом для прямолиней-
ной траектории Ркр = 0. Отметим, что при маневре цели по скоро-
сти граница зоны расширяется, но это дает существенно меньший
эффект по сравнению с методом погони. То же можно сказать и про
маневр цели по направлению. Однако как и при наведении по методу
погони, наиболее эффективным маневром цели будет направленный
в сторону движения наводимого ЛА.
Отдельно остановимся на определении перегрузки ЛА на траек-
тории при наведении с углом упреждения. Для метода погони имеем
vo vvu .
пу пог =---=------77 sin q. Для наведения с углом упреждения
_ ve
ПУУПР “
6
V / Уц sin q — V sin Т|
7 k D
(10.10)
370
Рис. 10.5. Границы зоны возможных атак
Пт/упр Л psin Г|\
при этом = 1----------------< 1, т. е перегрузки, действующие
Пу пог \ Sing J
на ракету при наведении по методу последовательного упреждения,
меньше, чем при наведении по методу погони.
Абсолютное значение нормальной составляющей вектора пере-
грузки можно получить, если подставить в (10.10) значение D из
формулы (10.7). При этом если v < 2 (psin T| < 1), то при сбли-
жении с целью перегрузка убывает (ракета приближается к устой-
чивой прямолинейной траектории). При v > 2 перегрузка неогра-
ниченно растет в конце траектории, даже при соблюдении условия
psin Г| < 1. Случай psin T| > 1 вообще не дает положительного ре-
зультата в смысле достижения цели.
Сформулируем некоторые выводы по результатам анализа рас-
смотренного метода.
1. Достоинства и недостатки метода наведения с постоянным
углом упреждения те же, что и у метода погони с тем различием,
что нормальные перегрузки в обсуждаемом случае меньше, чем при
погоне.
2. При угле упреждения, меняющимся на дистанции наведения,
он должен рассчитываться с учетом дальности до цели, угла линии
371
Мгновенная точка
встречи
Иц sin T|u(z)
Мгновенная точка
о встречи
Рис. 10.6. Схема метода параллельного сближения
визирования и соотношения скоростей ракеты и цели.
3. С точки зрения кинематических траекторий скорость ракеты
должна удовлетворять условию р > 1, psin Г| < 1, т.е. скорость
ограничена сверху, как в методе погони.
При параллельном сближении в процессе наведения ракеты на
цель линия визирования должна перемещаться в пространстве па-
раллельно самой себе (g = qo = const). На рис. 10.6 представлена
схема параллельного сближения. При построении считались задан-
ными траектория цели и Vu(t), а также V(t). Как нетрудно устано-
вить, линия визирования будет оставаться в процессе наведения па-
раллельной самой себе, если вектор скорости ракеты в любой момент
времени будет направлен в мгновенную точку встречи. Для выполне-
ния этого условия необходимо, чтобы
V sin T|(t) = Уц sin Т|ц(t)
(10.11)
или
psin Т| = sin ф.
Тогда вектор относительной скорости всегда направлен на цель.
Если цель не маневрирует, а скорости ракеты и цели постоянны,
то траектории наведения с оптимальным постоянным углом упре-
ждения и параллельного сближения совпадают. В общем же случае
траектории различны. Кинематические соотношения для определе-
ния параметров движения в методе параллельного сближения имеют
372
вид
V sin n — К sin n,.
q= -------(10.12)
D = Vucosr|u — V cost]. (10.13)
В приведенных уравнениях взаимосвязанными являются T|(t) и
Пц(«)-
В общем виде при произвольных маневрах цели аналитическое
решение уравнений (10.12), (10.13) невозможно. Для неманеври-
рующей цели при постоянной скорости ракеты решение тривиаль-
но — это прямолинейная траектория при любом начальном ракурсе
стрельбы, включая и переднюю полусферу, что определяет и зону
возможных атак, которая практически не ограничена ввиду малости
перегрузок. Ограничения по зоне наступают прежде всего по углу
пеленга
sin Птах = Sin фтах.
Если максимальный угол пеленга позволяет обеспечить макси-
мальный угол упреждения т\тах, то максимальный ракурс стрельбы
Фтах = arcsin(psin Птах)-
Если цель не маневрирует и скорости постоянны, то траектория
ракеты прямолинейна. В этом случае
sin т] = р-1 sin Т|ц. (10.14)
Поскольку Уц = const, V = const, Т|ц = const, то т] = const. По
условию q = 0, а следовательно, 9 = 0. Соответственно пу = 0.
Рассмотрим случай стрельбы по маневрирующей цели. Не нарушая
общности, предположим, что решаем уравнение связи T|(t) и Т|ц(£)
в малых приращениях:
cos п П = v~1 2 (к sin Т|ц + Уц T|ucos Пц) - vvusin т]ц} •
(10.15)
1. Рассмотрим маневр цели по скорости |VU| 7^ const; V = const;
Т|ц = const; Т|ц = 0. Поскольку q — 0, то из (10.15) имеем f| = (Э =
373
Sin Пц
= —---------. Следовательно, маневр цели по скорости вызывает
нормальную перегрузку ракеты, но эта перегрузка тем меньше, чем
больше скорость ракеты.
2. Маневр цели по направлению. При | Vu| = const; V = const;
Т|ц const; q = О
_ Д _ ^UCOS ПцПц _ 1 д V1 Sin Пц
П - 0 - Vcos Т| - р 0Ц / 1 . 2 :
^/i-^sin2 Пц
Естественно, при q = const; Т|ц = 0 ц
i] = 0 = ёц
\/1 — sin2 ф
у/р2 — sin2 ф
Отсюда
0 0Ц 1 = ^/1 — sin2 ф (р2 — sin2 ф) 2 . (10.16)
Из (10.16) следует при обычном условии р > 1, что угловая скорость
ё меньше угловой скорости ё ц маневрирующей цели. Следует от-
ё 1
метить, что при стрельбе вдогон, когда ф = 0, lim При
ф^о 0Ц р
0
стрельбе под боковым ракурсом lim — = 0, т. е. и здесь маневр
к 6ц
*^7
цели практически бесполезен с точки зрения снижения эффективно-
сти ее поражения. В этом одно из основных преимуществ метода па-
раллельного сближения.
Проанализируем влияние неравномерности скорости ракеты на
собственные нормальные перегрузки при параллельном сближении.
Предположим, что ракета движется равноускоренно V / const;
V = const; при этом = const, Г|ц = const. Тогда из выражения
(10.15) получим
V .
VKsinn„_ V'l' Ksm11_
П V2cosr| V2 ц cost) Vtgn’
374
При выводе соотношения использовалась зависимость (10.14). Со-
(v) v ё v
ответственной^ = ------ =-----tg Т| = — пх tg Т|. Итак, даже при
g g
равномерном и прямолинейном движении цели ракета на параллель-
ном сближении будет иметь нормальную перегрузку, зависящую от
ее переменной скорости. Эта перегрузка пропорциональна продоль-
ной перегрузке и углу упреждения и при боковых ракурсах стрельбы
может достигать больших значений. Для уменьшения влияния про-
дольной перегрузки на ее нормальную составляющую нужно иметь
максимально большую скорость ЛА и поддерживать ее постоянной.
Для этого на борту ракеты требуется установка маршевого двигателя,
поддерживающего скорость движения постоянной.
Основные выводы по результатам анализа сводятся к следую-
щему:
1) при параллельном сближении атака цели возможна в направле-
нии как задней, так и передней полусфер;
2) время наведения минимально, так как траектории сближения
практически всегда имеют прямолинейный характер;
3) перегрузки ракеты в процессе наведения сравнительно неве-
лики и, как правило, меньше перегрузок цели.
Однако этот метод сложен в реализации, требует установки слож-
ной и часто громоздкой бортовой аппаратуры.
Кинематическая связь, накладываемая на движение ракеты этим
методом, определяется тем, что в процессе наведения отношение
угловой скорости поворота вектора скорости ЛА к угловой скоро-
сти линии визирования цели остается постоянным. При наведении
с постоянным углом упреждения устойчивы только прямолиней-
ные траектории задней полусферы <?оь а прямолинейные траектории
передней полусферы <?02 неустойчивы. Поэтому все траектории пе-
редней полусферы отходят в сторону от прямолинейной и переходят
в заднюю полусферу, асимптотически приближаясь к устойчивой
прямолинейной траектории задней полусферы. Возникает вопрос,
нельзя ли каким-то образом сделать устойчивым и прямолинейные
траектории передней полусферы? Для достижения этой цели следует
ввести дополнительные условия. На заданных V, qo и получен-
ном Т|о для прямолинейных траекторий справедливо равенство
dq _ -Vusin<7o + V sin Т|о _ п
dt~ D
(10.17)
375
В вариациях, если малые приращения имеют переменные д, д,
Г|, Р, запишем
_ Уц sin (go + Aq) + V sin ( По + A T|)
q~ D + AD
D Aq + AD Aq — —Уц sin qo cos Aq — Vu cos qo sin Aq+
+V sin T|o cos A T| 4- V cos T|o sin A T|.
Используя обычные допущения, получим
D Aq = — (Vucosqo) + (V cos T|o) Ar|. (10.18)
Напомним, что при наведении с постоянным углом упреждения
T| = const, (V cos Т|о) Av\ = 0nDAq=— (cos go) Ag.
Неустойчивость прямолинейных траекторий в передней полу-
сфере в этом случае связана с изменением знака cosgo при переходе
до через 7г/2, что приводит к однозначным вариациям угла и угло-
вой скорости линии визирования. Введем дополнительные условия
и попытаемся сделать устойчивыми прямолинейные траектории пе-
редней полусферы с помощью соответствующего изменения угла
упреждения, компенсирующего эффект неустойчивости. Изменять
Т| будем в функции от угла наклона линии визирования q. Мож-
но, например, на вариацию А Т| наложить такую функциональную
связь:
А Т| = (1 - к) Aq. (10.19)
Это удобно, так как надлежащим выбором коэффициента к, на-
зываемым навигационной постоянной, можно получить А Т| соответ-
ствующей величины и знака для обеспечения устойчивости прямо-
линейных траекторий. Подставим (10.19) в (10.18):
Ад — [—Vucosgo + V cos T|o) (1 - к)] Aq = 0.
Видно, что если выражение в квадратных скобках будет все-
гда меньше нуля, независимо от знака до (с учетом изменения зна-
ка cosgo при переходе до через тг/2), то вариации Ад и Ад бу-
дут противоположного знака и прямолинейные траектории все-
гда будут устойчивыми независимо от полусфер. Итак, потребуем
— Vu cos go + V cos T|o — kV cos T|o < 0, т. е.
376
k > 1 _ к COS go _ 1 _ cos go _
V cos T|q p cos T|q
cos Qo cos an
= 1.................. = 1----- (10.20)
PV1 - sin2 T|o VP2 - sin2 g0
Следовательно, (10.20) определяет необходимое значение коэф-
фициента к для получения устойчивых прямолинейных траекторий.
Нетрудно видеть, что знаменатель — величина всегда положитель-
ная, ибо р > 1, а его минимум соответствует до = п/2. На рис. 10.7
для различных р приведены значения к в зависимости от до.
Рис. 10.7. График изменения минимальных значений навигационной по-
стоянной в функции до для различных отношений скоростей цели и ракеты
Обобщая полученные результаты, можно отметить, что:
1) при к > 2 прямолинейные траектории устойчивы;
2) к = 1 соответствует наведению с постоянным углом упрежде-
ния, так как А Г| = (1 — к) Ад = 0;
3) поскольку д = 0 + Т|, т. е. А 0 = к Ад, то А Г| =
1-к
к
АО.
Тогда при А: —> оо А Г| = — А 0, т. е. Ад = 0. Следовательно, к = оо
соответствует случаю параллельного сближения, откуда также сле-
дует, что траектории метода параллельного сближения устойчивы;
4) разделив обе части выражения А 0 = к At на At и перейдя к
пределу, получаем кинематическую связь метода пропорциональной
навигации
0 = kq или 0 q — к.
В заключение обсудим характер траекторий, отвечающих методу
пропорциональной навигации. Для их анализа запишем уравнение
прямолинейной траектории и уравнение связи в следующем виде:
V sin T| — V sin Т|ц = V sin Г| — Vusin(g - 0ц) = 0, (10.21)
п = По + (1 - fc)(9 - 90). (10.22)
377
Введем (10.22) в (10.21):
—Vusin(g— 0ц) + V sin [ Т|о + (1 - k)(q - g0)] = 0. (10.23)
Начальное значение Г|о определим из соотношения V sin Т|о -
-Vusin(<7o - 0Ц) = 0.
Предположим, что при выбранном угле упреждения Т|о для дан-
ного Qo, стреляем по цели под углом, отличном от Qo- Проверим, не
будет ли в этом случае других прямолинейных траекторий. Наложим
условия ^действ = Q*; Уц = const; V = const; 0ц = 0цо = const. Тогда
уравнение (10.23) перепишется в виде
—Vusin(g*— 0цО)+У sin [ Т|о + (1 - A;)q* + (А; - 1)qo] = 0. (10.24)
Для выбранных конкретных значений А;, Оцо, Т|0 HQo последнее урав-
нение дает несколько решений. Например, при к = 3, 6цо = 0; Г|о +
+(fc — 1)qo = л/3; УцУ1 = 0,6, как видно из рис. 10.8, имеем че-
тыре решения (gj ... Q4) и соответственно четыре прямолинейные
траектории. Следует помнить, что найденные траектории получены
побочно при определенной основной траектории, для которой рас-
считывался угол Г|о при некотором Qo- При пропорциональном сбли-
жении существуют устойчивые прямолинейные траектории. Все
другие располагаются в секторах между ними, т. е. качественно кар-
тина такая же, как при методе погони или наведении с упреждением,
только нормальные перегрузки в рассмотренном случае меньше, так
как секторы между прямолинейными траекториями уже и кривиз-
на траекторий меньше. Чем больше fc, тем больше прямолинейных
траекторий. Наконец, при А; —> оо все траектории прямолинейны и
устойчивы.
Рис. 10.8. Определение значений q*(i = 1,..., 4)
378
Выполненный анализ устойчивости траекторий касался общего
случая наведения по движущейся (маневрирующей) цели.
Наведение ГЧ БР может осуществляться только на неподвижную
цель, находящуюся на поверхности Земли. Тем не менее вопросы
устойчивости траекторий, в значительной степени зависящие от зна-
чений углов qi и выбранного значения навигационной постоянной,
остаются актуальными и для обсуждаемого типа ЛА.
Дело заключается в том, что схема наведения для них будет зада-
ваться начальными условиями, зависящими от того, использовалась
ли недолетная либо перелетная траектория на момент захвата цели
бортовым координатором.
10.4. Динамика самонаведения при реализации метода
пропорциональной навигации*
Учитывая учебно-методический характер данного пособия, при
рассмотрении методик синтеза и анализа динамики самонаведения
ГЧ будем ориентироваться на некий гипотетический ЛА с корпусом
в виде кругового конуса, имеющего баллистический обтекатель с те-
плозащитным покрытием, отстреливаемый на момент начала само-
наведения. Будем считать, что аппарат оснащен всепогодным гиро-
стабилизированным БКЦ радиолокационного типа с синхронно сле-
дящими приводами в двух ортогональных плоскостях — тангажа и
рыскания (курса). Эти плоскости определяются расположением ор-
ганов управления (щитков или закрылков) на конической поверхно-
сти корпуса аппарата (рис. 10.9).
На баллистическом нисходящем участке траектории в фиксиро-
ванный момент времени, соответствующий требуемой высоте, бор-
товая система управления должна подать команду на начало самона-
ведения. В момент исполнения этой команды происходит сброс бал-
листического обтекателя, как показано на рис. 10.10. Предполагая,
что в этой точке траектории тепловые потоки в материале радиопро-
зрачного обтекателя не превосходят допустимого уровня, а степень
ионизации окружающего воздуха не затрудняет процесс функциони-
рования БКЦ, будем считать, что с этого момента начинается селек-
ция и идентификация цели.
* Параграф написан по материалам, предоставленным автору В.В. Грабиным.
379
Радиопрозрачный обтекатель
Органы
управления
по курсу
Органы
управления
по тангажу
Синхронно
следящий
привод антенны
в плоскости
тангажа
РЛС-антенна
БКЦ
Баллистический обтекатель
Рамки карданова подвеса антенны БКЦ
Синхронно
следящий
привод антенны
в плоскости курса
(условно повернут)
Центр масс
ЛА
Рис. 10.9. Расположение органов управления на конической поверхности корпуса ГЧ
^777Т777‘777777777У77Т7777777777777777У77Т777л7777777777/7Г777У77Т777а777Т777777777777\
Рис. 10.10. Схема сброса баллистического обтекателя и этапы процесса самонаведения
Рис. 10.11. Структурная схема БКЦ с синхронно следящим приводом
После захвата цели БКЦ начинается собственно процесс самона-
ведения. Для определенности будем считать, что структурная схема
БКЦ имеет вид, изображенный на рис. 10.11. Эта структурная схе-
ма предусматривает получение на выходе БКЦ сигнала, пропорцио-
нального угловой скорости линии визирования, путем дифференци-
рования его на выходе синхронно следящего привода. Заметим, что
при предварительном анализе, когда не учитывают все корректиру-
ющие фильтры, в том числе и фильтр нижних частот, на выходе БКЦ
учет действия шумов [60] нецелесообразен, поэтому эффект «под-
черкивания» шумов операцией дифференцирования на обсуждаемом
этапе анализа можно проигнорировать.
Состав и структура бортовой системы автоматического управле-
ния полетом для рассматриваемой системы иллюстрируется функци-
ональной схемой, представленной на рис. 10.12.
Всю систему можно подразделить на две крупных подсистемы:
— формирования сигнала наведения;
— угловой стабилизации, выступающей как объект управления
для первой.
В совокупности они образуют единую следящую систему ав-
томатического самонаведения рассматриваемого типа гипотетиче-
ской ГЧ.
В соответствии с рис. 10.12 в состав бортовой системы управле-
ния полетом входят линейные блоки формирования сигнала ошибки,
блок формирования сигнала наведения с корректирующим фильтром
и нелинейный блок ограничения сигнала наведения по уровню (ли-
нейное звено с насыщением).
382
A
Блок
ограничения
Угловые координаты
продольной оси ЛА
Углы тангажа
и рыскания
Свободный
гироскоп
К5
Кинематика
Летательный
аппарат
Рулевые
приводы
Демпфирующие
гироскопы
Угловые скорости
по тангажу
и рысканию
Корректирующие
фильтры
Сумматор
Скорость полета,
углы положения
вектора скорости
Изменение
положения
органов
управления
Сигналы
перемещения
органов
управления
Акселерометры
Блок
усилителей
В
Входной
сумматор
автопилота
Нормальные ускорения
Сигналы
наведения,
очищенные
от шума
Система стабилизации
Рис. 10.12. Состав и структура бортовой системы управления
Фильтр
нижних
частот
Схема рис. 10.12 соответствует достаточно общему случаю авто-
пилота, когда в обратные связи системы стабилизации включены не
только демпфирующие гироскопы и акселерометры, но и свободный
гироскоп, принципиально позволяющий формировать на борту сиг-
нал, пропорциональный углу тангажа.
Эта схема определяет состав и структуру каналов управления
продольным движением: каналы тангажа и курса. Функциональная
схема канала стабилизации по углу крена у = 0 стандартна и здесь
не обсуждается.
В соответствии со схемой наведение ГЧ на цель осуществляет-
ся путем формирования сигналов наведения. Изменение относитель-
ных координат цели и ГЧ приводит к появлению соответствующе-
го сигнала на выходе координатора цели. Этот сигнал использует-
ся блоком формирования требуемого положения ГЧ в соответствии
с выбранным алгоритмом метода наведения. Но реальное значение
сигнала может отличаться от требуемого. В этом случае путем срав-
нения требуемого и реального сигналов, определяющих угловое по-
ложение ГЧ, на выходе блока формирования сигналов ошибок по-
является сигнал, пропорциональный им.
Так как рассматриваемая схема является следящей, то в ней пре-
дусмотрен блок формирования сигналов управления на основе по-
лученных сигналов ошибок в соответствии с принятым при синтезе
системы алгоритмом закона управления. Например, в простейшем
случае — управление по ошибке и скорости ее изменения и т. д.
Уровень получаемого сигнала может оказаться выше допустимо-
го для контура управления. Поэтому практически всегда последова-
тельно с блоком формирования сигнала управления включается ли-
нейное звено с насыщением (ограничением по уровню).
На входе координатора действует шум самой различной природы,
в том числе и искусственные шумы, предназначенные для маскиров-
ки цели. Чтобы уменьшить их влияние на работу автопилота перед
его входом включается интегродифференцирующий фильтр нижних
частот, очищающий низкочастотный сигнал управления от шума.
Входом в автопилот является суммирующий усилитель или его
аналог в случае использования цифровой системы управления. На
его входы поступают как сигнал наведения (со знаком «+»), так и
сигналы обратных связей (со знаком «—»). В результате на выходе
формируется сигнал ошибки системы стабилизации.
384
Блок усилителей с первыми каскадами усиления по напряжению
и с выходными каскадами усиления по току обеспечивает согласова-
ние блоков управления с исполнительной частью автопилота в виде
рулевых приводов.
Изменение положения органов управления приводит к появле-
нию управляющих моментов, изменяющих ориентацию ГЧ отно-
сительно набегающего воздушного потока. В результате создаются
нормальные управляющие силы, приложенные к центру масс ГЧ и
изменяющие направление его полета.
Кинематическое преобразование изменения ориентации вектора
скорости поступательного движения ГЧ и положения центра масс са-
мой ГЧ приводят к изменению координат, воспринимаемых БКЦ.
Таким образом, кинематические отношения являются как бы
обратной связью в рассматриваемой системе самонаведения.
С учетом изложенного функциональная схема системы самона-
ведения в рассматриваемом случае будет иметь вид, показанный на
рис. 10.13.
Геометрический смысл кинематических преобразований коорди-
нат для плоскости тангажа для наиболее общего случая наведения в
вертикальной плоскости поясняется рис. 10.14.
Рис. 10.13. Функциональная схема гипотетической системы
самонаведения ГЧ
При формировании математической модели процесса самонаве-
дения на конечном участке траектории учитывалось, что он являет-
ся весьма коротким по дальности (перемещение относительно Земли
не превышает 40... 70 км). Это позволяет рассматривать поверхность
Земли на участке наведения как плоскую, а поле ускорения силы тя-
жести как постоянное и плоскопаралельное по высоте.
Для описания свойств окружающей среды обычно принимается
стандартная атмосфера (ГОСТ 4401-81).
385
Рис. 10.14. Кинематические преобразования координат в плоскости
тангажа
Аппарат рассматривается как абсолютно твердое тело с неизмен-
ными массой т и моментами инерции относительно трех координат-
ных осей — Ix, Iy,Iz- Так как он представляет собой коническое тело
вращения без характерных внешних признаков положения плоско-
сти продольной симметрии, то плоскость OXY ССК зафиксирована в
плоскости равного сечения щитков управления по тангажу.
Начальные условия процесса самонаведения считают полностью
определенными, т. е.:
— задана область возможных положений ГЧ в момент начала са-
монаведения в виде эллипса с известными полуосями, находящегося
над поверхностью Земли на постоянной высоте Я;
— в каждой точке этого эллипса известны координаты точки на-
чала самонаведения (Хо, ^о) и составляющие скорости движения ГЧ
в виде компонент Vxq, Vyq и V^o;
— углы атаки и скольжения ГЧ на момент начала самонаведе-
ния, как и угловые скорости его вращения относительно центра масс,
принимают нулевыми для номинальной невозмущенной траектории
либо определенными в некоторой области возможных значений на-
чальных возмущений, выбранных априори;
— задана область возможных начальных положений цели, в пре-
делах которой она может находиться с равной вероятностью, что от-
ражает неопределенность в целеуказании.
Схема отсчета координат для участка самонаведения поясняется
рис. 10.15.
386
Рис. 10.15. Схема отсчета координат для участка самонаведения
Аэродинамические характеристики полагаем полностью опреде-
ленными и зависящими только от числа Маха, углов атаки и сколь-
жения. В качестве органов управления будем рассматривать щитки
или поворотные органы управления (рули).
Пусть
Сх = СХ(М);
Су = С«(М) а + С^(М) 8Т;
С2 = С2Р(М)р + С28"(М, ап) 8Н;
тх = т®х(М)^ сох + т8’(М) 8Э;
ту = т|(М) р + т“у(М)^г (Лу + т8н(М) 8Н;
mz = т®(М) а + т“г(М)^- w2 + т8г(М) 8Т,
у V
где 5Э — угол поворота (перемещения от нулевого положения) орга-
на управления по крену; 8Н — угол поворота (перемещения от ну-
левого положения) органа управления по направлению полета (по
курсу); 5Т — угол поворота (перемещения от нулевого положения)
органа управления по высоте полета (по тангажу);
В общем случае на ГЧ могут быть установлены органы упра-
вления другого типа. Тогда в описываемую модель следует ввести
387
формулы приведения исполнительного перемещения (изменения
расхода рабочего тела и т. д.) к углам поворота органов управле-
ния или просто предварительно выполнить пересчет коэффициентов
управляющих моментов. Эти формулы легко получают в каждом
конкретном случае из условия эквивалентности воздействия на ГЧ
поворотного аэродинамического органа управления и органа упра-
вления другого типа. Например, если на ГЧ установлены не пово-
ротные, а линейно перемещающиеся исполнительные органы, тогда,
например для канала тангажа, имеем равенство
(т^) 8утга = (тМ 8™н.
X / угл X /лин
Отсюда следует, что величина искомого аэродинамического ко-
эффициента определяется справедливой, например, для максималь-
ного изменения положения управляющего устройства в предположе-
нии линейности его свойств в пределах малых изменений, зависимо-
стью:
(елни \
) • (10.25)
дт / max
Если создание управляющего воздействия связано с изменением
расхода рабочего тела (например, вдув рабочего тела в набегающий
поток), то
(т^)угл 5ТГЛ = (тг&Г)гд9рТ;
, , . , . . / 9рт \ (Ю.26)
(тУ) = )
X 2 / гд X 2 /угл \ ЯУГЛ /
X vt / max
Очевидно, что при выполнении этих соотношений приведенный
расчетный аэродинамический коэффициент автоматически приобре-
тает соответствующую размерность. Получающийся формальный
угол поворота эквивалентного органа управления в дальнейшем бу-
дем называть приведенным углом поворота органов управления.
Уравнения движения ГЧ записывают в проекциях на оси НССК
в виде (4.106).
Для установления связи между угловыми скоростями сот, со^,
со2 и углами О, у, у могут быть применены параметры Родрига—
Гамильтона (кватернионы), значения которых в начальный момент
времени определяются соотношением (4.5).
388
Рис. 10.16. Направления отсчета углов атаки и скольжения
Для задания углов атаки и скольжения, отсчитываемых так, как
показано на рис. 10.16, используют выражения
(10.27)
(10.28)
где V — модуль вектора скорости поступательного движения цен-
тра масс; Vx — проекция вектора скорости на продольную ось;
Vy — проекция вектора скорости на ось ординат связанной системы
координат; Vz — проекция вектора скорости на аппликату связан-
ной системы координат; V — yjvx + Vy + К2 — полная скорость
движения.
В системах самонаведения с следящим БКЦ координаты цели из-
меряют в связанной системе координат, как показано на рис. 10.17
(положение цели представлено условно так, чтобы вектор относи-
тельной дальности г был положителен).
Для вычисления значений ф и % рассматривают вектор относи-
тельного расстояния между центром масс ГЧ и целью, удовлетворя-
ющий уравнению
dr
-77=VU-V. (10.29)
at
Проецируя г на оси г, ф, %, получаем
Vr у.
= г ф
^х г % cos ф
(10.30)
389
Рис. 10.17. Отсчет углов в системе координат БКЦ
С другой стороны,
r Vxgu Vxg
=В
— К/?
(10.31)
где В — матрица [3x3] с элементами:
6ц = cos (pcos %;
bi2 = sin ф;
61з = cos 9sin %;
621 = — sin ф cos х;
622 = cos ф;
623 = sin ф8т х;
631 = sin х;
632 = 0;
Ьзз = cos х-
Приравнивая (10.30) и (10.31), найдем
г К)?
г • ф = в Vyg
г • X • cos Ф - Vz£ .
(10.32)
При этом г, ф и х определяют следующим образом:
г = у/(Ххц - Х?)2 + (Ухц - У.)2 + (Zxu - ZJ2
(10.33)
390
ф = arcsin ( ----
\ г
X = arctg v-------тг
\А^ц А^
(10.34)
(10.35)
Пропорциональная навигация. Уравнения метода пропорцио-
нальной навигации записываются следующим образом:
Ti = Л * ”
(10.36)
^ = KlX, (10.37)
где 0 — угол наклона траектории; Т — угол пути; ф и % — угло-
вые скорости вращения линии визирования в вертикальной и гори-
зонтальной плоскостях; К ф и К % — коэффициенты усиления.
Прямое самонаведение. Уравнения метода прямого самонаведе-
ния записываются в виде
£?/т —
ZT
£
(10.38)
(10.39)
где Е^т, е2Т — требуемые значения угловых координат, характеризу-
ющих взаимное положение г и оси координатора O# Aj<, а еу и е2—
измеренные значения тех же координат, как показано на рис. 10.18.
При записи уравнений управления в математической модели при-
нято допущение о безынерционном характере измерительной (КСГ,
КдГ) и формирующей (Ку, 7fpn) аппаратуры контуров системы стаби-
лизации. Расчетные структурные схемы контуров соответствующих
Рис. 10.18. Схема отсчета углов и относительной дальности в сфериче-
ской СК ПГк1
каналов, использованные при этом, показаны на рис. 10.19, 10.20 и
10.21.
Рис. 10.19. Расчетная схема канала тангажа
Рис. 10.20. Расчетная схема канала курса
Рис. 10.21. Расчетная схема канала крена
В соответствии с этими схемами уравнения управлений могут
быть записаны так:
(10.40)
8Н = Ку2Kpn2Un2 - Ку2Kpn2Каг2 v, (10.41)
5, = Ку3Крп3Каг3 у - Ку3Крп3Кст у. (10.42)
Введем следующие обозначения:
— для случая реализации пропорционального сближения
5В = - Ку\Кь \ (10.43)
8Н = kx - (10.44)
где к ф — Ку[КрП\ К у] к = — Ку ] /СрП1 Кдг1; к
~ ^у2^рп2^дг25
392
— для случая реализации прямого самонаведения
5В = КеуЕу- (10.45)
5Н = Keztz + (10.46)
глеКеу = [lzyKylKpni; KEZ = р.г2Ку2Крп2\ Цеу и ц£2 —мае-
штабные коэффициенты каналов тангажа и рыскания.
Соотношение (10.42) при этом однозначно трансформируется к
виду
8Э = Ку'у+Куу, (10.47)
где К у — Клг3Ку3Крп3 5 7С у — Ку3Крп3 Ксг3.
В процессе моделирования на параметры движения ЛА — углы
поворота рулей 8В, &н и 8Э — должны быть наложены естественные
ограничения, которые в математической модели формулируются сле-
дующим образом:
-1 &вН SB max 5 (10.48)
-|sh| = SH max? (10.49)
-1 max J (10.50)
-1^ ^max’ (10.51)
где £ — угол пеленга, вычисляемый по формуле cos £ =
а0 и Ь° — единичные векторы,
а°Ь°
|а°|-|Ь°|’
1
0
0
ь° = в
1
о
о
а0 • Ь° — условная запись скалярного произведения векторов.
При этом полагаем, что, начиная с некоторого расстояния |г| =
= Тосл, определяющего мертвую зону самонаведения, информация с
головки самонаведения прекращает поступать в систему управления
ЛА, т. е.
&в = М^осл);
&в = SB(£0CJ1) При t > £осл,
где <осл — момент времени, соответствующий событию |г| = госл.
393
В качестве одного из модельных примеров, приведем данные ци-
фрового моделирования динамики самонаведения рассматриваемого
гипотетического типа ГЧ при следующих начальных условиях дви-
жения:
высота начала самонаведения — 40000 м;
начальное положение цели относительно точки начала самонаве-
дения — 20 000 м;
начальное значение угла наклона траектории 0о = —40°;
начальная скорость на участке самонаведения Vo — 4806 м/с;
ускорение силы тяжести g = 9, 81 м/с2.
В расчетах определялись следующие дополнительные выходные
данные:
требуемый угол атаки
mV 0 + mg sin 0
0Ст =-----------о------------—о-----Я--------- (10-52)
С«(М) - СДМ) ф
и угол пеленга = ф — (Ху — 0.
Значения переменных зависят от аэродинамических характери-
стик ЛА. Поэтому ниже приводим характеристики, использованные
на всех этапах проведения расчетов.
Коэффициент силы лобового сопротивления
м 2 4 8 12 14 18 19 20
СХ 0,3285 0,1575 0,0912 0,0774 0,0741 0,0702 0,0695 0,0689
Производная коэффициента подъемной силы по углу атаки
М 2 4 8 12 14 18 19 20
Ьу 1,8055 1,7998 1,9365 1,9913 1,9999 1,9921 1,9856 1,9775
Производная коэффициента продольного момента по углу атаки
М 2 4 8 12 14 18 19 20
-0,03098 -0,03917 -0,05670 -0,0512 -0,04465 -0,0702 -0,02809 -0,01876
Производная коэффициента подъемной силы органов управле-
ния по приведенному углу поворота принималась равной 0,1С^ «
394
« 0,1(7^, а производная коэффициента продольного момента по при-
веденному углу отклонения органов управления определялась из со-
ш $
отношения —— = 1,5. Все аэродинамические силы и моменты зада-
ть
вались в связанной системе координат и были отнесены к характер-
ной площади S = 1, 54 м2 и характерной длине I — 3, 704 м.
Числовые значения параметров траектории самонаведения, при-
веденные в табл. 10.1, получены для коэффициента пропорциональ-
ности = 8. Звездочкой в таблице помечены технически нереа-
лизуемые значения углов отклонения руля (перемещения щитков) и
углов атаки при учете инерционности контура самонаведения и до-
пущении о идеальности и безынерционное™ системы угловой ста-
билизации.
Из таблицы следует, что при практически прямом попадании в
«точечную» неподвижную цель рассмотренный вариант схемы (и
параметров) самонаведения гарантирует возможность обеспечения
в точке встречи угла наклона траектории 0С « 85,36° при конечной
скорости, равной Vc = 2832,6 м/с (число М = 8,56).
Г л а в а 11. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
АЛГОРИТМИЗАЦИИ ОБЗОРНО-СРАВНИТЕЛЬНОГО
МЕТОДА ПРИ НАВЕДЕНИИ ПО ЭТАЛОНАМ
МЕСТНОСТИ
11.1. Принцип построения и классификация
корреляционно-экстремальных навигационных систем
(КЭНС)
В предыдущей главе отмечалось, что повышение точности поле-
та ЛА баллистического типа на завершающем этапе движения требу-
ет использования систем, способных обеспечить самонаведение ап-
парата на цель на основе применения методов прямого наведения ли-
бо наведения по эталонам местности.
Здесь мы обсудим основные принципы построения систем, реа-
лизующих последний из указанных способов.
Для формирования эталонного и наблюдаемого ориентиров в
обзорно-сравнительном методе навигации могут быть использова-
ны как искусственные (оптическое, радиолокационное и др.), так и
естественные геофизические поля, такие, например, как гравитаци-
онные аномалии, магнитное поле Земли и т. д. В выбранной системе
395
Таблица 10.1
Числовые значения параметров идеальной траектории пропорционального сближения
для случая начальной дальности до неподвижной цели, равной 20000 м
t М V R Ф 6 X У а 8
0 15,2116 4806,00 44721,4 -1,10715 -6,9813е-01 -8,56369 0 40000,0 -7,86556* 11,7983*
1 15,5119 4803,54 40273,3 -1,14988 -7,8359е-01 -4,45508 3544,41 36758,0 -3,67149* 5,50723*
2 15,7708 4798,22 35755,2 -1,19258 -8,6899е-01 -2,54309 6796,78 33228,2 -1,67411* 2,51116*
3 15,9471 4786,57 31179,7 -1,2352 -9,5424е-01 -1,71289 9731,56 29440,4 -0,758651* 1,13798*
4 15,9857 4761,22 26564,8 -1,27767 -1,0392е+00 -1,38695 12324,2 25431,6 -0,34777 0,521655
5 15,8135 4707,61 21939,0 -1,3198 - 1,2134е+00 - 1,28767 14551,1 21251,6 -0,164232 0,246349
6 15,3369 4600,25 17351,2 -1,36124 - 1,2063е+00 - 1,28776 16390,5 16971,6 -0,0814441 0,122166
7 14,457 4403,04 12881,7 -1,40136 -1,2865е+00 -1,32981 17827,7 12697,3 -0,0432674 0,0649011
8 13,1196 4082,27 8647,73 -1,43919 -1,3622е+00 - 1,3873 18865,1 8572,94 -0,0250965 0,0376448
9 11,3906 3633,68 4787,27 -1,47358 — 1,4310ен-00 -1,4471 19535,3 4764,67 -0,0161109 0,0241664
10 9,4716 3099,19 1417,82 -1,50356 - 1,4909е+00 -1,50243 19904,7 1414,62 -0,0114803 0,0172205
10,47 8,5573 2832,60 -2,8107 -1,51620 -1,5162е+00 -1,52630 20000 -2,8065 -0,010108 0,0151610
отсчета положение эталонного изображения ориентира соответству-
ет требуемому курсовому направлению движения. Сопоставляемая
информация может сниматься в точке, с линии или площади соответ-
ствующего поля. При этом точечное зондирование не накладывает
ограничений на вид зондируемого поля, тогда как съем информации
с линии или площади исключает возможность использования про-
странственных полей и базируется только на поверхностных (поле
рельефа, оптического или радиолокационного контраста и др.). По-
следнее обусловлено тем, что ЛА имеют обычно несоизмеримо ма-
лые размеры по сравнению с так называемым радиусом корреляции
пространственного поля.
Вне зависимости от принципов разработки алгоритмов и систем,
строящихся на использовании обзорно-сравнительного метода нави-
гации, все они обладают общностью, заключающейся в реализации
вычислительной процедуры, сходной с вычислением взаимной кор-
реляционной функции и определением экстремума этой функции.
Навигационные системы данного типа получили название корре-
ляционно-экстремальных навигационных систем. Если априори из-
вестно, что в процессе полета могут происходить относительно не-
большие отклонения параметров движения ЛА от номинальных, при
которых рассогласование между текущим и эталонным изображени-
ем не превзойдет радиуса корреляции их взаимной пространствен-
ной корреляционной функции, предпочтение отдается беспоисковым
КЭНС. Поисковые КЭНС, обладая свойством инвариантности по от-
ношению к начальным ошибкам, более универсальны, но в то же вре-
мя и более сложны по сравнению с беспоисковыми. Теория КЭНС
как для поисковых, так и беспоисковых систем развита в основном
трудами советских (российских) ученых [9, 11, 12, 55, 84].
Принципы функционирования поисковых КЭНС основываются
на теории статистических решений и сводятся к заданию множества
гипотез об истинном движении ЛА на некотором временном интер-
вале, предшествующем текущему. Каждой гипотезе ставится в соот-
ветствие конкретная реализация, которая сопоставляется с наблюда-
емым изображением.
Признаки, по которым классифицируются КЭНС [11, 55], опре-
деляют возможные виды реализации их составных элементов (датчи-
ков поля, блоков памяти, корреляторов, вычислительных устройств
и др.) и особенности используемых алгоритмов обработки информа-
ции — методы вычисления корреляционной функции и определения
397
Признаки классификации
Виды и классы КЭНС По виду используемого физического поля По виду рабочей информации По объему используемой априорной информации По способу хранения и обработки информации По методу определения экстремума корреляци- онной функции
КЭНС, использующие пространствен- ные поля: - аномальное магнитное - аномальное гравитацион- ное КЭНС-1 Системы «без памяти» Аналоговые КЭНС Поисковые КЭНС
Системы со сканированием
КЭНС, использующие поверхностные поля: -рельефа местности - радиолокаци- онного контраста - оптического контраста - радиотспловые - естественной радиоактив- ности - нестабильные во времени (естественные и искуствен- ные) кэнс-п
Системы «с памятью» Цифровые КЭНС Рекуррентно- поисковые КЭНС
КЭНС - Ш
Беспоисковые КЭНС
Рис. 11.1. Классификация корреляционно-экстремальных навигационных
систем
ее экстремума, объем и способы использования априорной инфор-
мации и т. д. По виду зондируемого физического поля КЭНС можно
разделить на системы, использующие пространственные и поверх-
ностные поля (рис. 11.1). По виду рабочей информации, снимаемой
датчиком поля в текущий момент времени, КЭНС делятся на систе-
мы, в которых информация снимается в точке (КЭНС-I), с линии
(КЭНС-П) и площади (КЭНС-Ш). По объему начальной информа-
ции, используемой в системе, выделяют системы «без памяти» и
системы «с памятью». Первые в отличие от вторых не имеют эта-
лонного изображения поля в районе навигации и могут определять
лишь скорость изменения координат ЛА относительно ориентиров,
используя любые, в том числе и нестабильные во времени, поверх-
ностные поля (например, облачный покров). По способу хранения
398
и обработки информации выделяют классы аналоговых и цифровых
систем.
Основная задача КЭНС состоит в определении текущих коорди-
нат местоположения ЛА и (или) их производных. Одна из первых
корреляционно-экстремальных систем была разработана для упра-
вления движением самолета и предназначалась для удержания его
на заданной траектории при многократных полетах по одному и то-
му же маршруту. Во время первого полета фиксируется изображение
подстилающей местности. Оно служит эталоном для последующих
полетов, при которых управление самолетом проводится так, чтобы
эталонное и текущее изображения совпадали. В этом состоит идея
управления движением ЛА по заданному курсу с использованием
карт местности [84].
Автоматические системы данного типа могут реализовывать раз-
личные алгоритмы работы. Так, автоматическое управление движе-
нием ЛА по «карте заданного курса» может быть организовано не-
прерывно на всей траектории движения. Иногда целесообразно лишь
периодически корректировать эту траекторию в отдельных навига-
ционных районах (рис. 11.2). При этом не требуется карта местно-
Рис. 11.2. Вид траектории при использовании информации
о рельефе местности в районах коррекции
399
сти всего маршрута, а только карты местности районов коррекции.
Корреляционно-экстремальная система может использоваться, как
уже многократно отмечалось, в качестве средства коррекции других
навигационных систем, в частности, инерциальных.
Читателя не должен смущать вид летательного аппарата (в фор-
ме крылатой ракеты) на рис. 11.2. Следует иметь в виду, что практи-
ческая реализация рассматриваемой схемы полета (с периодической
коррекцией), если и возможна, то только при примененных МГЧ пла-
нирующего и аэробаллистического типов (см. рис. 9.2), не отличаю-
щихся, как отмечалось в последнем абзаце п. 4.2, по принципу упра-
вления от крылатых ракет.
Применение КЭНС либо близких к ним по принципу действия на
ГЧ БР, реализующих чисто баллистические траектории спуска (при-
мером может служить ГЧ БР «Першинг-2»), предполагает наличие
КЭНС, работающей в режиме головки самонаведения (см. гл. 10).
Проблему создания автоматического управления по картам мест-
ности можно рассматривать, как частный случай проблемы распо-
знавания образов. Решение задачи получения оценок фазовых коор-
динат ЛА с использованием корреляционно-экстремальных алгорит-
мов, реализуемых КЭНС, имеет ряд особенностей, отличающих ее
как по постановке и математическому описанию, так и по методам
решения. Остановимся на некоторых из них.
Во-первых, КЭНС использует информацию о значениях некото-
рого параметра физического поля, изменяющегося в зависимости от
точки зондирования (или от положения ЛА и соответственно датчи-
ка поля). При этом датчик измеряет некоторую случайную функцию
/ii, аргументом которой является некоторая пространственная коор-
дината х (в общем случае векторная величина), и только «развертка»
(за счет естественного движения датчика ЛА или каким-либо искус-
ственным способом) этой пространственной координаты во време-
ни x(t) преобразует функцию /и(х) в случайную функцию времени
Здесь следует подчеркнуть, что оценка координат ЛА ведется
на основе сравнения реализаций (на некотором интервале времени)
случайных функций, воспроизводимых датчиком поля /ц(х) и бло-
ком памяти /ii (хп). Именно реализации функций, а не отдельные их
значения (соответствующие текущему моменту времени) сопоста-
вляются в КЭНС, т. е. в общем случае системы совмещения изобра-
жений необходимо рассматривать как системы с бесконечномерным
вектором наблюдения.
400
Во-вторых, сама по себе информация о параметрах зондируемо-
го поля, которую выдают чувствительные элементы КЭНС (датчики
поля), не содержит никаких данных о фазовых координатах ЛА как
объекта управления. Только сопоставление измеренных значений па-
раметров физических полей с их эталонными значениями из блока
памяти позволяет оценить значения координат самого ЛА, т. е. фак-
тически только в блоке памяти имеется соответствие (установлена
функциональная связь) между измеряемыми параметрами физиче-
ских полей и оцениваемым местоположением ЛА. Выходными коор-
динатами корреляционно-экстремальной системы являются коорди-
наты, извлекаемые из блока памяти. На их основе строится оценка
действительных координат ЛА: х = хп + Ьх, где Ьх — рассогласо-
вание координат, выявленное КЭНС в результате сопоставления ре-
ализаций Л1(х) и Л1(хп).
В-третьих, необходимо, подчеркнуть, что даже при отсутствии
шумов в измерениях датчика поля (и того, который дает текущие из-
мерения, и того, с помощью которого записана карта в блоке памяти),
т. е. при идеальных измерениях проблема совмещения реализаций
функций остается. Другими словами, точность получаемых оценок
координат будет зависеть не только от интенсивности шумов изме-
рений, но и от качества совмещения эталонного и текущего изобра-
жений.
Пусть, например, априори известно, что при движении ЛА над
районом зондирования возможны только боковые смещения 82 тра-
ектории ЛА от заданного маршрута (соответствующего z — zn). Зада-
чей КЭНС является получение оценки этого отклонения 32. Пусть в
памяти КЭНС хранится карта эталонных реализаций поля hi(x,z)
(рис. 11.3), полученная с интервалом дискретизации по z, равным
Аг. Если датчиком поля при движении ЛА над районом навигаци-
онного определения получена реализация hi(x, z) (см. рис. 11.3), то
задачей КЭНС будет выделение наиболее похожей эталонной реа-
лизации из блока памяти, и тогда соответствующее значение 32 бу-
дет наилучшей (по выбранному критерию «сходства» реализаций)
оценкой истинного рассогласования 32. Соответственно наилучшей
оценкой бокового смещения ЛА будет z = zn 4- 8П.
Естественно, возникают вопросы о критерии близости или сход-
ства реализаций, о принципах разработки алгоритмов автоматиче-
ского поиска наиболее похожих реализаций, т. е. вопросы, решаемые
401
h(x, z)
z a
Рис. 11.3. Изображение карты реализаций поля:
а - эталонная карта fo(x,z); 6 - текущая реализация, полученная датчиком поля
(ж, г)
в теории распознавания образов. Основой для разработки алгорит-
мов распознавания образов, а в нашем случае совмещения эталон-
ного и текущего изображений (реализаций функций hi (х) и hi (хп)),
служат конструктивные методы, разработанные в теории статисти-
ческих решений.
11.2. Основы реализации многоальтернативных задач теории
принятия решений в КЭНС
Пусть существует некоторый источник, реализующий выбор од-
ной из N возможных гипотез g2, ..., gN, которые образуют мно-
жество возможных гипотез G. Существует также некоторая систе-
ма, которая для каждой гипотезы gt вырабатывает сигнал кото-
рый определяет вид гипотезы. Однако выходной сигнал этой систе-
мы недоступен непосредственному наблюдению, иначе не было бы
проблемы выбора решения. Наблюдению доступен только резуль-
тат преобразования выходного сигнала системы некоторым устрой-
ством, таким, что между входом Si и его выходом существует толь-
ко вероятностная связь. Устройство определяет вероятностный ме-
ханизм перехода, т. е. преобразования сигнала Si в наблюдение yt.
Выходной сигнал можно рассматривать как точку из пространства
наблюдений. По полученным наблюдениям с помощью правила вы-
бора решения необходимо установить, какая из возможных гипотез
использована в данном случае.
402
Рис. 11.4. Неопределенность зависимости гипотезы $г и наблюдения у^:
а - функциональная связь наблюдения и гипотезы; б - функциональная связь
множества наблюдений и гипотезы; в - стохастическая взаимосвязь части гипотез
и множеств наблюдений; г - стохастическая взаимосвязь всех гипотез и множеств
наблюдений
Возможная неопределенность зависимости сигнала Si и наблюде-
ния показана на рис. 11.4. Ситуация, изображенная на рис. 11.4, а,
соответствует случаю, когда сигналу Si соответствует единственно
возможное наблюдение и в теории решений не рассматривается.
Рис. 11.4, б иллюстрирует случай, когда сигналу Si соответствует це-
лое множество возможных наблюдений у^, но эти множества не име-
ют общих элементов. Проблемы статистического различия гипотез
по результатам наблюдения в случаях а и б как таковой нет, посколь-
ку всегда может быть принято правильное решение. В случае, по-
казанном на рис. 11.4, в, наблюдение yi может соответствовать сразу
нескольким гипотезам, так что в случае реализации одной из них для
идентификации ее по результатам наблюдения нужно принять нетри-
виальное решение. Рис. 11.4, г иллюстрирует ситуацию, когда любое
из наблюдений могло иметь место при любой из возможных гипо-
тез. Правило выбора решения должно учитывать не только результа-
ты наблюдений, но и априорные вероятности различных гипотез, а
также условные вероятности, характеризующие вероятностный ме-
ханизм перехода. На рис. 11.5 показаны элементы многоальтерна-
тивной задачи теории решений. Например, если в качестве источни-
ка гипотнез рассматривается ЛА, а гипотеза, подлежащая определе-
нию, — это используемая в конкретном полете траектория из множе-
ства допустимых, то довольно часто можно утверждать, что траекто-
403
Принять
gl
Принять
81
Принять
8n
Рис. 11.5. Элементы многоальтернативной задачи
теории принятия решений
рии с малыми отклонениями координат от заданных будут более ве-
роятны, чем траектории с большими отклонениями. Следовательно,
допустимо задать априорные вероятности (распределение вероятно-
стей) реализации различных траекторий из допустимого множества.
Задание вероятностного механизма перехода будет эквивалентно за-
данию вида комбинации помехи и сигнала и плотности вероятностей
помехи, статистические характеристики которой в общем случае за-
висят от того, какая из гипотез реализована в данном случае.
В большинстве практических задач однократное наблюдение
не позволяет обеспечить решение поставленной задачи. Возникает
необходимость многократного повторения наблюдений, т. е. задача
проверки гипотез по выборкам фиксированного объема — некоторой
совокупности наблюдений из пространства наблюдений. Именно та-
кая задача должна быть решена при синтезе оптимальных поисковых
алгоритмов работы корреляционно-экстремальных систем.
В соответствии с рис. 11.5 основными объектами, фигурирующи-
ми в многоальтернативной задаче теории решений, будут: простран-
ство гипотез G (или решений, так как решением является принятие
одной из гипотез), элементами которого в общем случае являются
векторы гипотез gT = [gn... ,gk\; пространство сигналов S', эле-
ментами которого являются векторы сигналов sT = [«i,..., sk] \ про-
странство наблюдений (выборок) Y с элементами ут = [yi,..., ук\.
Статистические характеристики помехи (шума измерений) пред-
полагают известными. Каждой реализации принятого наблюдения,
искаженного шумом измерений, у Е Y должно быть поставлено в
соответствие некоторое решение (гипотеза) g G G. Это можно ин-
терпретировать, как преобразование пространства Y в G. Правило
такого преобразования называется в теории решений стратеги-
ей решающего устройства, решающим правилом или решающей
функцией F(g|y) : У —> G. При реализации г-й гипотезы gi зада-
на функция распределения плотности вероятности наблюдений на
404
пространстве наблюдений /Ду). Эта функция рассматривается как
условная плотность вероятности выборки (совокупности наблюде-
ний у) при реализации рассматриваемых гипотез. Если эти функции
(Л (у), i = 1? • • • Л) полностью заданы и не зависят от неизвестных
параметров, то гипотезы называются простыми. Если условные
плотности вероятности выборки при рассматриваемых гипотезах за-
висят от неизвестного (в общем случае случайного) параметра, то
гипотезы называются сложными. Методы, используемые при реше-
нии задач теории проверки гипотез, рассмотрим последовательно
для случаев проверки двух, а затем нескольких простых гипотез.
Пусть выбор одной из двух возмож-
ных гипотез (gi и g2) основывается на ре-
зультатах измерений ут = [yi,..., уп]-
При этом, каждую из выборок можно
представить как точку в n-мерном про-
странстве (рис. 11.6). Стратегия принятия
решения может быть представлена как раз-
деление пространства наблюдений на две
области: Yi и Y^. Решающее устройство
(см. рис. 11.5), выбирает гипотезу gp когда
точка, соответствующая выборке у, попа-
дает в область Yi, т. е. когда у е Y\, и гипо-
Рис. 11.6. Разделение про-
странства наблюдений Y
поверхностью решения G
тезу g2, если у е Y2. Области Y\ и Y2 разделены некоторой поверх-
ностью, называемой поверхностью решения g. При таком способе
принятия решения можно сделать два рода ошибок: при реализации
гипотезы gj сделан вывод о наличии гипотезы g2 и наоборот. Если
можно в числах выразить цену этих ошибок или потери, нанесенные
решающим устройством, то можно сформировать таблицу или ма-
w2i "
О
О
трицу потерь Wij{i, j = 1;2);W =
. Величина Wij в
_ W12
ней характеризует потери, связанные с принятием г-й гипотезы, ко-
гда на самом деле справедлива j-я гипотеза. Пусть известны априор-
ные вероятности реализации гипотез gj и g2, равные соответственно
qi и и условные плотности вероятности выборки у при реализа-
ции этих гипотез — fi(y) и /2 (у).
Если при попадании выборки в область Y\ принимается решение
gp то вероятность правильного решения при условии, что действи-
405
тельно имела место гипотеза равна
Рп = fi(y)dy, (11.1)
Vi
где dy = dyidyz ... dyn, а вероятность неправильного решения при
гипотезе
Р21 = У fi(y)dy. (11.2)
Ъ
Аналогично вероятность правильного решения при гипотезе g2
равна
Р22 = У h{y)dy, (11.3)
Y2
а вероятность неправильного решения при у2
Р12 = У fa{y}dy. (11.4)
П
Так как априорная вероятность реализации гипотезы gT равна
то вероятность соответствующего наблюдения и правильного реше-
ния будет Qipn, т. е. это вероятность ситуации, соответствующей ле-
вому верхнему элементу матрицы W. Вероятности ситуаций, соот-
ветствующих трем другим элементам, равны gi/?2b 92Р12 и Q2P22-
Средние потери, или математические ожидания потерь, связанных
с неправильным решением, будут равны сумме цен каждого непра-
вильного решения, умноженного на вероятность такого решения, т. е.
W21P21Q1 + W12P12Q2 или с учетом (11.2) и (11.4)
W2191 У /1 (у)dy + W12Q2 У h{y}dy. (11.5)
Y2 Yt
Формула (11.5) выражает средние потери, которые подлежат мини-
мизации. Таким образом, пространство наблюдений Y необходимо
разделить на две области Yi и Y? так, чтобы математическое ожи-
дание потерь было минимально. Среднее значение потерь (11.5) на-
зывают байесовским риском, а метод, который обеспечивает мини-
мум (11.5) при заданных априорных вероятностях q\ и называется
406
методом Байеса, или байесовым правилом решения. Оно сводится к
следующему: для полученного наблюдения у вычисляется коэффи-
циент правдоподобия (отношение правдоподобия)
Л(3/) =/1(у)//г(у) (11.6)
и сравнивается с Ао = ^12^2/^21^1.
Если /1(у)//2(у) > Ао, то принимается гипотеза
>
Если /i(y)//2(y) < Aq, то принимается гипотеза g2-
(И.7)
Уравнение fi(y) /Л(у) = Ао является уравнением поверхности ре-
шений (см. рис. 11.6). Байесова стратегия может быть определена как
выбор гипотезы, дающей меньший условный риск. Условная веро-
ятность гипотезы gx при том, что результатом наблюдения является
выборка у,
Ж1у)=п fM + HM' (1L8)
QiJi(y) + Q2j2(y)
где qifi (у) + 92/2(у) — полная плотность вероятностей наблюдения
у при всех возможных реализациях. Вероятность гипотезы g2 при
этом же условии
f(g2 |У) =
<?2/г(у)
<71/1 (У) + Q2/2 (у)'
(И.9)
«Условный риск», сопровождающий выбор гипотезы g1, определя-
ется соотношением
Wl2/(^2 |У),
а условный риск при выборе g2
™21/(#1 |У)-
С учетом выражений (11.8) и (11.9) видим, что байесовское прави-
ло выбора решения (11.7) выбирает гипотезу, для которой условный
риск при наблюдении у оказывается меньшим.
Таким образом, выбор гипотез g1 и g2 и соответствующее разби-
ение пространства наблюдений Y на две области: Y\ и У2 — в соот-
ветствии с байесовским правилом решений может быть записано в
виде
у . /1(У) > »;12<?2. у . /1(У) < W12<72
’ /2 (у) W21Q1’ ’ /2(у) W21Q1'
(11.10)
407
Пусть теперь необходимо выбрать одну из N гипотез g2, ...,
gN, для которых заданы условные плотности вероятностей наблю-
дений (ут = [j/i, ..., уп]) при реализации этих гипотез /1(у), ...,
/n (у) соответственно. Задача состоит в том, чтобы разбить про-
странство наблюдений Y на N попарно непересекающихся областей
Yi, У2, • • •, Yn- Если наблюдение попадает в область Y$(y е Yi), то
можно сделать вывод о том, что была реализована гипотеза g^ Пусть
цена ошибочного выбора гипотезы g7, в то время как на самом деле
имела место гипотеза gj, равна Wji. Вероятность этого ошибочного
решения
Pji =
Предположим, что известны априорные вероятности реализации со-
ответствующих гипотез gi,Q2> • • •, Qn- Тогда математическое ожида-
ние потерь
N
N
У wppp
j = 1
j Ф 1
Области Yi,..., Удг требуется выбрать так, чтобы сделать (11.11)
минимальным.
Так как нам известны априорные вероятности реализации ка-
ждой из гипотез, то можно определить условную вероятность того,
что наблюдение проводилось при реализации некоторой гипоте-
зы с условием, что компоненты вектора у имеют данные значения.
Условная вероятность того, что наблюдение осуществлялось при
реализации гипотезы g^ равна
<7гЛ(у)
N
Е 9fcA(y)
к=1
Если будет принято решение, что принята гипотеза gi9 то математи-
ческое ожидание потерь
(11.12)
(11.13)
i = 1 Е %А(у)
i ± j fc=1
408
Мы получим минимум математического ожидания потерь, если вы-
берем j так, чтобы (11.13) было минимальным. Для этого достаточно,
чтобы для всех j сумма
N
52 (И->4)
i — 1
г + j
была минимальной. Таким образом, данную выборку у относим к од-
ной из областей Yj, на основании чего можем принять решение о вы-
боре гипотезы gj. Следовательно, к-я область пространства наблюде-
ний Yk состоит из тех точек у, для которых выполняется неравенство
N N
52 < 52 (11.15)
i = 1 i = 1
i Ф к г j
где j — 1,2, ..., TV; j k.
Рассмотрим случай простейшей матрицы потерь, когда Wij = 1
для всех i и j (г / J), т. е.
0 W21 W/V1 0 1 1
W = W21 0 W/V2 = 1 0 1 . (11.16)
. W1/V W2N 0 1 1 0
Тогда для точек области Yk выполняется условие
N N
52 9г/г(у) < 52 91Л(У) , (j / *0- (П.П)
i = 1 г = 1
i^k 1фj
N
Вычитая из обеих частей неравенства (11.17)
i = 1
к, j
получим
Qjfj(y) < Qfc/fc(y) , (11.18)
В этом случае точка у принадлежит Yk, если к есть индекс, для кото-
рого qifi(y) максимальна, т. е. gk, соответствующая области Yk, есть
наиболее вероятная гипотеза.
409
Стратегия принятия решений при двух гипотезах. Рассмотрим,
как реализуется стратегия принятия решений, описываемая форму-
лами (11.7), если распределение вероятностей наблюдений /1(у) и
/2 (у) при условии реализации соответствующих гипотез подчиняет-
ся нормальному закону, т. е. для вектора наблюдений ут = [yi, у?.,...,
уп] заданы плотности распределения вероятностей
1 — ~~(у—ту^)‘К“ Г(У—туЬ
,___е 2кУ у у кУ у\ (Ц.19)
/2 (у) =
1 -2<У-ту’)гку‘(у-ту2))
(11.20)
/ (1)\Т Г (1) (1)1 I (2)\т Г (2) (2)1
где (mJ, ')т = тЩ , (mJ,') = [mJ/,..., mjn'j — ма-
тематическое ожидание вектора у соответственно при реализации
гипотез #1 и g2 ; — корреляционная матрица вектора у (считаем,
что она постоянна для обеих гипотез). В соответствии с правилом
решения (11.7) найдем отношение
/1(у) ехр -“у1’)
Г Ъ (2)\тт^-1/ (2)\
ехр —-(у — my )тКух(у - mJ,7)
( 1г /п ,n J (Н-21)
= ехр| - - [(у - mJ, ’)тКу \у - mJ,1’)—
-(У - ту’)т - (У - mJ,2’)TKy \у - mJ,2’)] |.
От неравенства вида (11.7) мы можем перейти к эквивалентному,
если прологарифмируем обе его части (так как логарифмическая
функция монотонно возрастает). Тогда с учетом (11.21) получим,
что следует выбрать гипотезу если
(y-mJ^Kj^y-mi1’)-
- (у - mJ,2’)TK;1 (у - mJ,2’) >1п^, (11.22)
J Q1W21
и гипотезу g2, если знак неравенства противоположный. Левую часть
неравенства можно преобразовать к виду
yT^mJ,1’ — mJ,2’) — ^(mj,1’ + mJ^K^mJ,1’ -mJ,2’). (11.23)
410
Первое слагаемое (11.23) является линейной функцией компонент
вектора наблюдения и называется дискриминантной функцией. Та-
ким образом, в случае нормального распределения вероятностей на-
блюдений разбиение пространства наблюдений Y на области У1 и Y^,
и соответственно выбор гипотез gr и g2 проводится по следующему
правилу:
Y1 : У^уЧт^ - т$,2)) - + т$,2))Тх
хКАт^т^^
У <71™21
V • V'TK' — 1 fm(1) 1 i m^)\T v
у2 • У Ry (.ту -ту )- -(ту + ту ) х
хК-Чт(1) -т(2)) <1п^
у Q1W21
(11.24)
Стратегия принятия решений при нескольких гипотезах. Покажем,
как реализуется стратегия принятия решения, задаваемая условием
(11.15), когда по измерению ут = [yi, ..., уп] необходимо сделать
выбор одной из N гипотез g2, ..., g^ при распределении вероят-
ностей выборок, подчиняющемуся нормальному закону. В этом слу-
чае условные плотности наблюдений /г (у) имеют вид
ш = (^)"Ик^х
х ехр -1 (у - Шу ’ )тКу 1 (у - mJ’)
(11.25)
где г = 1, 2, ..., TV; (niy))T = ..., — соответствую-
щий вектор среднего значения; Ку — корреляционная матрица, как
и ранее постоянная при всех гипотезах. Если априорные вероятно-
сти реализаций каждой из N гипотез заданы и равны соответственно
<71, <72, • • •, Qn, можно определить N функций, задаваемых форму-
лой (11.14) и провести разбиение пространства наблюдений Y так,
что область Yi, будет совокупностью точек у, в которых j-я функция
оказывается минимальной. Как в случае двух гипотез, введем функ-
ции
Xjfc(y) = In Ajk = In =
А (у)
= У- |(my)+m;
jfe)) KyVm^-i4fe)). (11.26)
411
Учитывая (11.3), условие (11.18) разбиения пространства наблю-
дений и выбора j-й гипотезы можем записать в виде
Yj Ыу) >ln—, k = l,...,N, k/j. (11.27)
Условие (11.27) предполагает равные цены ошибочных решений, т. е.
матрицу потерь вида (11.16).
11.3. Корреляционно-экстремальный алгоритм фиксации
прохождения ЛА района, характеризуемого аномалией
геофизического поля
Пусть задачей навигационной системы ЛА является фиксация
прохождения им района, характеризуемого аномалией зондируемого
геофизического поля. В памяти системы хранится дискретная реа-
лизация сигнала sT = [si, ..., sn], описывающего аномалию поля
в данном районе, представляющую собой результат предваритель-
ного зондирования поля в п равноотстоящих точках Si =
измеренный в п равноотстоящих моментах времени ti в интервале
Т
наблюдения ti = i At = i— (1 i n), At = Ax/V, где Ax — ин-
72
тервал между точками зондирования, V — скорость ЛА. Измерения
датчика поля при прохождении аномалии представляют собой сумму
ожидаемого сигнала и гауссового шума с нулевым средним значе-
нием у = s(t) + n(t), фиксируемую соответственно в дискретные
моменты времени так, что вектор наблюдения ут = [т/i, ..., уп]- Все
остальное время (при движении ЛА вне района аномалии) выход-
ным сигналом датчика поля является шум измерений (ожидаемый
сигнал отсутствует). Таким образом, анализируя результаты измере-
ний, навигационная система должна принять одно из двух решений,
т. е. выбрать одну из двух гипотез: — ожидаемого, описывающего
аномалию, сигнала, нет и ЛА не прошел через заданный район; g2 —
ожидаемый сигнал получен и ЛА прошел через заданный район.
Если интервал At между измерениями превышает величину со”1,
обратную ширине шумового спектра, то компоненты вектора наблю-
дения т/i = y(ti) можно считать статистически независимыми, и при
гипотезе плотность вероятности их совместного распределения
(11.19) будет иметь вид
412
/1 (у) = Р11(ш)Р12(У2) • • -Pln(j/n) =
= (2ло2) 2 ехр(-^-у2 Су2), (11.28)
где о2 —дисперсия случайной величины гц.
Когда ЛА проходит аномалию и ожидаемый сигнал присутству-
ет в наблюдении, часть вектора у, обусловленная шумом измерений,
равна yi — Si. Поэтому при гипотезе g2 функция совместного распре-
деления измеряемых величин будет иметь вид
/г(у) = Р21(ш)Р22(У2) • • -Р2п(Уп) =
= (2 л о2) 2 exp -
(У2 ~ S»)2
9
(11.29)
Правило принятия решений дается соотношениями (11.7) или
(11.24). Коэффициент правдоподобия (см. (11.6))
Решающее устройство принимает гипотезу если А(у) > Aq или
с учетом (11.24), если
+ gvln Ло\ (11.31)
'г=1 ' г=1 '
Таким образом, выбор решения может осуществляться на основе
анализа величины
AZ^2s(ii)y(iJ
(11.32)
путем сравнения ее с некоторым фиксированным значением, опреде-
ляемым правой частью неравенства (11.31). В n-мерном простран-
стве наблюдений с координатами у\ (см. рис. 11.6) поверхность ре-
шений представляет собой гиперплоскость
siyi = const,
(11.33)
413
перпендикулярную вектору с компонентами «р При большом числе
зондируемых точек поля и наличии белого шума в измерениях вели-
чина, определяемая формулой (11.32) (при п —> ос), будет равна
т
У s(i)y(t)df, (11.34)
О
т. е. решение о выборе одной из двух гипотез основывается на вычи-
слении взаимной корреляции наблюдения y(t) и ожидаемого сигнала
s(t) (т. е. функции, записанной в памяти системы в виде карты поля)
и сравнении с некоторым пороговым значением.
11.4. Оптимизация поисковых алгоритмов работы КЭНС
Возможности применения поисковых алгоритмов в КЭНС во
многом связаны с использованием БЦВМ, решающих задачу совме-
щения реализаций случайных функций. В качестве примера синте-
за поискового алгоритма КЭНС-1 на основе изложенных результа-
тов теории статистических решений (и в частности, правила выбо-
ра вида (11.27)), рассмотрим алгоритм, предложенный в [11]. Его
реализация предполагает использование вспомогательной «грубой
навигационной системы», которая выдает приближенные значения
текущих фазовых координат ЛА. Будем считать, что карта поля запи-
сана в блоке памяти КЭНС с шагом дискретизации по координатам
А/ = \х = Аг. Пусть датчик поля (соответственно ЛА) движется с
постоянной скоростью вдоль оси ох (рис. 11.7). Грубая измеритель-
ная система выдает координаты = [жп, гп], которые отличаются от
истинных на величину 8J. = [ 8Х, 32 ] — [х — хп]т = [х - хп, z - zn].
Выбирается «длина» реализации сигнала датчика L = n &1. Вокруг
координат (ж„, гп), которые можно рассматривать как оценку истин-
ных координат, полученную грубой системой, строится доверитель-
ный прямоугольник со сторонами (2т+1) А/и(2п+1) AZ (рис. 11.7).
Величины т &1 и к &1 выбирают большими, чем возможные ошибки
грубой системы.
Из блока памяти последовательно извлекают реализации той же
длины, что и сигнала датчика, которые заканчиваются соответствен-
но в первой клетке первой строки доверительного прямоугольника,
затем во второй и т. д. до конца первой строки. Затем данные датчика
414
Рис. 11.7. Построение доверительного прямоугольника
в координатах грубой системы
сопоставляют данным из памяти, заканчивающиеся в клетках вто-
рой строки и т. п. В результате перебора выбирается та реализация
из блока памяти, которая более всего похожа на реализацию датчи-
ка. Координаты клетки (i, z), в которой она заканчивается, являются
наилучшей (по выбранному критерию) оценкой истинных координат
ЛА. Перейдем теперь к математической постановке задачи на язы-
ке теории решений. Система должна принять решение об истинных
значениях координат ЛА. В качестве таких оценок у нас выступа-
ют координаты клеток доверительного интервала (при этом считаем,
что AZ так мало, что погрешность такого порядка несущественна для
целей управления ЛА) Zj, где г — —к, ..., fc; j = —m, ..., т.
Таким образом, имеем N = (2m + l)(2fc + 1) гипотез об истинном
местоположении ЛА — > 8n (принимая при нумерации ги-
потез построчную развертку соответствующих клеток). Каждой из
гипотез gj соответствует свой «ожидаемый» сигнал из блока памя-
ти sj = [s71, ., Sjn] (j = 1, 2,..., TV). Сигнал содержит дискрет-
ные значения параметра зондируемого поля h(x, z). Например, сиг-
нал, оканчивающийся в клетке, стоящей на пересечении г-й строки и
j-ro столбца (г = — к, ..., fc), (j = —m, ..., m), будет иметь номер
г = (fc + г)(2т + 1) + (т + j) и содержать компоненты
5Г1
sr<2
Srn
h(xn + г AZ; zn + j AV)
h [хп + (г — 1) AZ; zu + j AZ]
h [хп + (г — n -I- 1) AZ; zn + j AZ]
415
Пусть наблюдение у содержит сумму сигнала, соответствующего
реализовавшейся гипотезе и шума 5Л,
У1
У2
Уп
h(x, z) + 5h(x, z)
h(x — Al, z) + Sh(x — Al, z)
h(x - (n - 1) Al, z) + Sh(x - (n - 1) Al, z)
где Sh(x, z) — ошибки измерения датчика в соответствующих точ-
ках.
Рассмотрим случай, когда наблюдение содержит гауссов шум с
нулевым средним значением. Предположим также, что шумы датчи-
ка поля являются высокочастотным случайным процессом, чье время
корреляции меньше интервала At = Al/V, за который движущийся
объект проходит расстояние А1. При этом корреляция между сосед-
ними измерениями датчика отсутствует и часть вектора у, обусло-
вленная шумом измерений, равна у — s7 (при реализации гипотезы
gj). Тогда при гипотезе gj условная плотность распределения веро-
ятности наблюдения будет иметь вид
Л (у) = Pji(yi)Pj2(y2) Pjn(yn) =
— (2 л о^) 2 ехр
При гипотезе gk
А(у) = Pk\{yi)Pk2{y2) • • -Ркп^Уп) =
= (2 я 2 ехр
^Уг ski)
2
Считая, что априорные вероятности реализации гипотез заданы —
Qi, Q2^--^Qn (они могут быть рассчитаны на основе знания стати-
стических характеристик ошибок грубой измерительной системы),
воспользуемся полученным выше правилом разбиения пространства
наблюдений У, предварительно определив в соответствии с (11.26)
Xjfc(y):
416
Му) = 1>17т4
Ыу)
A (yi - Sji)2 ^(yi- Ski)2
2^ 9 гу2 2——2
2=1 2=1
yi$ji lli^ki
2 o2
s2 - s2
Ski Sji
2 Q2
(11.35)
Запишем теперь условие выбора j-й гипотезы gj и соответствующего
выделения области Yj пространства наблюдений (11.27)
п п 1 п п
Yj : Е ViSji > Е Уг8ь + z Е («Лг - 4) + a£ln “ ’ н 1
г=1 г=1 г=1 Qj (11.30)
= 1,... Л, k^j.
Заметим, что решение можно основывать на значении величины
п
(11.31): At 52 которая в пределе (при п ос) дает вза-
г=1
имную корреляционную функцию наблюдения у и ожидаемого сиг-
нала Sj. Предпочтение отдается той гипотезе gj и тому сигналу,
взаимная корреляционная функция которого максимальна, т. е. нера-
венство (11.36) выполняется для всех к = 1, ..., N(k ± j). Каждая
из функций Xjfc(y) является линейной относительно наблюдения у.
Следовательно, область Yj ограничена гиперплоскостями. Второе
слагаемое в правой части неравенства (11.36) зависит от статистиче-
ских характеристик зондируемого поля h(x, z), и если оно стацио-
п
нарно и эргодично, то можно считать, что 52 (ski ~ sji) = const.
г=1
Таким образом, показано, что поиск наилучшего по критерию мини-
мума средних потерь алгоритма совмещения реализаций случайного поля
приводит к корреляционно-экстремальному алгоритму.
Упрощенная функциональная схема корреляционно-экстремальной си-
стемы показана на рис. 11.8. Блок памяти в системе предназначен для хра-
нения эталонных значений измеряемого параметра физического поля h, со-
ответствующих движению ЛА по возможным траекториям из заданного
множества траекторий с координатами хп. Датчик поля измеряет текущее
значение параметра физического поля hi, соответствующее реальной тра-
ектории полета ЛА, характеризуемой вектором состояния х. Коррелятор
осуществляет вычисление взаимной корреляционной функции сравнивае-
мых реализаций случайных функций /г(хп) и /и(х). Вычисляемая взаим-
ная корреляционная функция R( 8Х) имеет максимум при 8Г = х — хп = О,
417
Рис. 11.8. Функциональная схема корреляционно-экстремальной системы
т. е. при совпадении желаемых (или предсказанных грубой системой) и дей-
ствительных значений координат ЛА. Автоматический оптимизатор обес-
печивает поиск экстремума взаимной корреляционной функции и опреде-
ление соответствующих отклонений координат реальной траектории от же-
лаемой, т. е. формирует некоторую оценку 8Х, на основе которой могут
быть определены действительные координаты ЛА х = хп 4- 8Х, что по-
зволит автоматическому регулятору (автопилоту) вернуть ЛА на требуемую
траекторию полета.
РАЗДЕЛ IV
НАВИГАЦИЯ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ
И ИХ ГОЛОВНЫХ ЧАСТЕЙ
Навигационное обеспечение полета является составным (если не
важнейшим) элементом баллистико-навигационного обеспечения,
определяющего качество и эффективность управления движением
ЛА баллистического типа.
Перед навигационно-измерительной системой ставится задача
получения информации, необходимой и достаточной для функцио-
нирования любой системы автоматического управления полетом.
Однако когда речь идет о таком виде вооружения, как баллисти-
ческие ракеты, к их навигационно-измерительным системам предъ-
является ряд требований специального характера.
К их числу, прежде всего, относятся:
• абсолютная автономность работы, т. е. независимость их
функционирования от внешних источников информации;
• скрытность работы путем исключения использования каких-
либо излучений, способных быть обнаруженными средствами на-
блюдения потенциального противника;
• всепогодное применение при инвариантности к неопределен-
ным условиям состояния атмосферы на любых вплоть до межконти-
нентальных дальностях действия;
• высокая помехозащищенность по отношению к средствам ра-
диоэлектронного противодействия;
• высокая точность навигационных измерений на относительно
небольших интервалах времени, определяемых временем движения
на АУТ;
• малые масса, габариты и электропотребление при одновремен-
ной высокой надежности и значительном ресурсе непрерывной рабо-
ты в режиме боевого дежурства.
Всем этим требованиям в наибольшей степени удовлетворяют
инерциальные навигационные системы (ИНС) [1, 38, 95, 100, 117].
419
Основой инерциальной навигации служит метод счисления пу-
ти. Местоположение ЛА в рамках данного метода определяется пу-
тем двукратного интегрирования составляющих его ускорения. По
существу можно считать, что при инерциальной навигации коорди-
наты ЛА вычисляются в результате решения уравнений движения его
центра масс, записанных относительно абсолютной (инерциальной)
системы координат. Инерциальная система, т. е. система, для которой
справедливы законы Ньютона (в том числе и закон инерции), являет-
ся основной системой отсчета данного метода навигации. Значение
ее состоит в том, что в ней ускорение и силовое взаимодействие тел
являются взаимно-однозначно определенными. Данное обстоятель-
ство позволяет в качестве необходимой для решения задачи опреде-
ления координат ЛА информации использовать вектор результиру-
ющей силы, измеряемой с помощью специальных датчиков удель-
ной силы (акселерометров) в виде проекций вектора на направления
их осей чувствительности. Ориентация датчиков при этом осуще-
ствляется с помощью гироскопов либо по показаниям акселероме-
тров, установленных на стабилизированной площадке.
Создание основ отечественной теории гироскопических при-
боров и инерциальных систем связано прежде всего с именами
А.Н. Крылова, Б.В. Булгакова и А.Ю. Ишлинского [37, 38]. После-
дующим развитием теория инерциальной навигации обязана трудам
многих отечественных ученых [1,2, 24, 48, 95, 99, 104, 117 и др.].
При построении инерциальной навигационной системы (ИНС)
существенным представляется выбор схемы моделирования реали-
зуемой отсчетной базы, методов учета гравитационного ускорения
и начальных параметров движения, способов измерения навига-
ционных параметров ЛА, вида ориентирования акселерометров и
др. Указанные обстоятельства послужили причиной возникновения
широкого многообразия существующих и принципиально возмож-
ных схем конструктивного выполнения ИНС. Рассмотрение этих
конструктивных решений, а тем более вопросов проектирования
ИНС, не входит в задачу настоящего учебного пособия. Обсуждение
данных вопросов предполагается здесь лишь на уровне влияния на
алгоритмические аспекты теории инерциальной навигации.
Еще совсем недавно, 15 — 20 лет назад, ИНС рассматривались
исключительно в виде единственного источника навигационной ин-
формации БР и их ГЧ, применяемых без привлечения каких-либо
корректирующих или комплексирующих систем и средств.
420
Вместе с тем следует иметь в виду, что принцип инерциальной
навигации не свободен от недостатков, которых лишены два дру-
гих метода навигации: поверхностей и линий положения и обзорно-
сравнительный [30].
Главным из этих недостатков, как это ясно из изложенного, явля-
ется то, что инерциальные датчики не позволяют непосредственно
измерять истинные параметры движения — координаты, скорость,
ускорение ЛА баллистического типа.
Инерциальные измерительные приборы способны зафиксиро-
вать только ту часть полного ускорения объекта, которая обусловлена
действием всех приложенных к нему сил, за исключением силы гра-
витационного притяжения. Эта часть полного ускорения получила
название кажущегося ускорения (иначе, псевдоускорения).
Таким образом, первый и второй интегралы от кажущегося уско-
рения дают не истинные, а кажущиеся значения скорости и пути. На-
хождение истинных значений по измеренным кажущимся возможно
только при расчетном учете влияния ускорения силы притяжения с
помощью достаточно точной модели ГПЗ. Это и определяет второй
существенный недостаток инерциальной навигации.
Наконец, последний из весьма значимых недостатков — неустой-
чивость основного уравнения инерциальной навигации, приводящая
к быстрому возрастанию погрешностей расчета действительных па-
раметров движения.
До тех пор пока ИНС использовалась для решения навигацион-
ных задач БР только на АУТ (при применении неуправляемых ГЧ),
последний недостаток не оказывал существенного влияния и не при-
нимался во внимание.
Когда же возникла необходимость в управлении ГЧ на нисходя-
щем участке траектории, стало ясно, что применение ИНС на интер-
валах полетного времени ГЧ, составляющих при дальностях порядка
10000 км 35 мин и более, практически невозможно без использова-
ния корректируемых навигационных систем [2, 114].
К числу корректирующих систем относят главным образом кор-
реляционно-экстремальные системы, реализующие обзорно-срав-
нительный метод навигации.
В ряде случаев (требующих специального обсуждения) в каче-
стве корректирующих навигационных систем могут быть использо-
ваны астронавигационные и спутниковые навигационные системы,
реализующие метод поверхностей и линий положения.
421
Изложенное дает основание для рассмотрения применительно к
решению задач навигационного обеспечения полета БР не только ме-
тода счисления пути (и ИНС как варианта его технического воплоще-
ния), но и других существующих методов навигации.
Последнее, на что хотелось бы обратить внимание в данном ввод-
ном материале, это то, что в реальных условиях функционирования
любая навигационная система не позволяет получить абсолютно точ-
ные детерминированные сведения о состоянии динамической систе-
мы, коей является рассматриваемый ЛА баллистического типа. Рабо-
та любого измерительного тракта всегда сопровождается наличием
действующих в канале случайных шумов.
Это приводит к необходимости привлечения при их анализе и
синтезе стохастических методов.
Особо выделим проблему синтеза статистически оптимальных
НС. Сущность отвечающего ей подхода заключается в отыскании
оператора преобразования или алгоритма, доставляющего наилуч-
шую (в смысле выбранного критерия) статистическую оценку нави-
гационных параметров, полученную в процессе обработки резуль-
татов измерений.
Значительную роль в развитии и совершенствовании теории ста-
тистических (стохастических) динамических систем сыграли совет-
ские ученые А.Н. Коломогоров, В.С. Пугачев, Н.И. Андреев, И.А. Бо-
гуславский, Б.Г. Доступов, И.Е. Казаков, Р.Ш. Липцер, А.В. Солодов,
Р.Л. Стратонович, С.С. Ривкин, И.Б. Челпанов, А.Н. Ширяев и др.
В настоящее время в теории статистического синтеза НС сформи-
ровалось два основных взаимно дополняющих направления. Первое
связано с построением фильтра, оптимального в установившемся ре-
жиме. Второе базируется на использовании динамических фильтров,
получивших название фильтров Калмана (ФК) по фамилии амери-
канского ученого Р. Калмана, положившего начало развитию соот-
ветствующего раздела науки. В отличие от фильтров первого типа
они обеспечивают возможность получения по результатам измере-
ний оптимальных оценок вектора состояния системы в каждый те-
кущий момент времени.
Теоретической предпосылкой, на которой основывается возмож-
ность достаточно широкого использования ФК в системах управле-
ния ЛА, служит [30] принцип эквивалентности, базирующийся на те-
ореме разделения.
422
Достоинством НС, включающих в свой состав ФК, является пре-
жде всего то, что они позволяют не только получить оптимальные
оценки навигационных параметров, но и оценить такие случайные
переменные, как скорость дрейфа гироскопов и смещение нулей
акселерометров в ИНС. В результате можно существенно умень-
шить требования по точности чувствительных элементов ИНС без
снижения требований по точности определения навигационных па-
раметров. Следует отметить, однако, что нахождение достоверных
оценок параметров движения ЛА с помощью ФК возможно только
при условии адекватности используемой априорной математической
модели реальному физическому процессу.
Г л а в а 12. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИИ
12.1. Кажущееся ускорение и кажущаяся скорость БР
Для измерения ускорений применяются акселерометры — при-
боры, использующие принцип инерции. Акселерометры, устано-
вленные на борту ракеты, измеряют не абсолютное, а кажущееся
ускорение, под которым понимают разность между ускорением от-
носительно инерциальной системы координат и ускорением силы
тяжести. Измерители кажущихся ускорений иногда называют нью-
тонометрами [37].
Рассмотрим принципиальную схему работы акселерометра. Не-
большой груз, подвешенный на пружине, может перемещаться вдоль
направляющих (рис. 12.1). Перемещение груза пропорционально
ускорению по направлению его движения. Линия, вдоль которой
перемещается груз, называется осью чувствительности акселеро-
метра. Если принять, что ось чувствительности акселерометра со-
впадает по направлению с продольной осью ракеты и угол атаки
а = 0 ( 0 = О), то ускорение, измеряемое акселерометром, будет
равно разности продольного ускорения движения ракеты dV/dt и
проекции ускорения силы тяжести на направление оси ракеты, т. е.
можно написать
dV , ч dV
ап = — - (-gsmty = — + gsmQ. (12.1)
at at
423
Рис. 12.1. Схема акселерометра для измерения псевдоускорения
(кажущегося ускорения) ракеты
Ускорение Оп носит название псевдоускорения (кажущегося ускоре-
ния), так как, согласно формуле (12.1), оно отличается от истинно-
го продольного ускорения ракеты на величину указанной составля-
ющей ускорения силы тяжести. Таким образом, акселерометр, уста-
новленный и ориентированный по продольной оси ракеты, все время
измеряет псевдоускорение ракеты. Значение псевдоускорения в виде
электрического напряжения подается на вход интегратора. В резуль-
тате интегрирования получаем кажущуюся скорость ракеты
t t t
Vn = f andt = f ^-dt + f g sin Qdt. (12.2)
0 0 0
Первое слагаемое в уравнении (12.1) есть истинная скорость дви-
жения ракеты. Следовательно, можно написать
t
Vn = V + I gsinBdt. (12.3)
о
Таким образом, псевдоскорость (кажущаяся скорость) в момент
t
времени t отличается от истинной на величину g sin 0 dt.
о
Понятие «кажущиеся параметры движения» может быть уточ-
нено при более корректном представлении математических моделей
рассматриваемых кажущихся параметров.
424
Пусть ап, Vn и гп — векторы кажущегося ускорения, скорости
t t
и пути, тогда Vn = J* a.ndt, а гп = j* Vndt. Вектор Vn с учетом
о о
применения однокомпонентных измерителей удобно представить в
форме
t t t t
Vn = У an(ft = x°y anxdt + y° j* anydt + z° f anzdt, (12.4)
oooo
где x°, y°, z° — орты декартовой системы координат, с осями кото-
рых совпадают оси чувствительности акселерометров.
В целях упрощения будем считать, что на рассматриваемом
участке гравитационного разворота БР движется с постоянной угло-
вой скоростью со при anz = 0.
Введем в рассмотрение начальную стартовую (инерциальную) и
приборную (гироскопическую), движущуюся поступательно вместе
с центром масс БР, системы координат.
Поскольку в сформулированной постановке движение является
плоским, будем считать, что на борту БР имеется два акселерометра,
ориентированных по осям гироскопической СК, и один, ориентиро-
ванный по оси 01 х СК, отслеживающей движение вектора ап.
Поскольку на практике все акселерометры стремятся поместить
в районе центра масс БР (по крайней мере одноступенчатых), что-
бы избежать ошибок, обусловленных переносным ускорением, вы-
зываемым вращением в полете ракеты относительно центра масс, бу-
дем считать, что все рассматриваемые акселерометры расположены
в точке 01.
Требуется вычислить значения Vn и гп в принятых к рассмотре-
нию системах отсчета О\ху и 01а?гир^гир-
Так как в неинерциальной СК О\ху акселерометр неподвижен и
ориентирован по оси О\х, то, очевидно,
^2- (12.5)
В гироскопической СК 01^ГИрУгир измеряемые проекции ап будут
иметь вид
— ап cos cof; апУа = ansin cof, (12.6)
425
t
tinx — VllX — ГПх — j
0
где величина со = 1,2415 • 10 Зрад/с связана с периодом Шулера
ч 2 я
(см. далее) соотношением со = —.
' ш
Кажущееся движение, происходящее под действием ускорений
(12.6), соответствует перемещению гироскопической СК относи-
тельно начальной стартовой СК. Следовательно, соответствующие
ускорение, скорость и путь будут абсолютными, в то время как зада-
ваемые формулами (12.5) — относительными.
Опуская, хотя и элементарные, но достаточно громоздкие пре-
образования, приведенные, например в [113], запишем зависимости
для определения модулей векторов кажущейся скорости и кажуще-
гося пути в следующей форме:
У„а = — х/2(1 - cos cot), (12.7)
СО
гПа = /4sin2 + co2f2 - 2 cof sin cot (12.8)
co V 2
С учетом принятых на практике правил отсчета в ИНС угла тангажа
я
0= - - cof (12.9)
зависимости (12.7) и (12.8) могут быть представлены в следующей
эквивалентной форме:
УПа = >/2(1 - sin О), (12.10)
г„а = ^^2(1 — sin Ы) + (-^ — о) — 2 (-^ — о) cos О.
(12.11)
12.2. Принцип инерциальных измерений и основное уравнение
инерциальной навигации
Итак, из изложенного выше следует, что функционирование на-
вигационных приборов в ИНС базируется на принципе инерциальных
измерений, сущность которого заключается в возможности наблю-
дения факта ускоренного движения объекта навигации и определе-
ния параметров этого движения в абсолютном (инерциальном) про-
странстве с помощью устройств, чувствительным элементом кото-
рых является инерциальная масса, укрепленная на упругом подвесе
426
и имеющая возможность смещаться из своего нейтрального положе-
ния вследствие ускоренного движения объекта навигации. При этом
инерциальный базис технически воплощается с помощью некоторой
гироскопической системы, выставляемой по осям принятой к рас-
смотрению базовой СК. Реализация принципа инерциальных изме-
рений позволяет, как было показано, измерять лишь кажущиеся пара-
метры поступательного движения БР. Определение действительных
параметров движения требует решения основного уравнения инерци-
альной навигации, в котором действительное ускорение объекта вы-
ражается в виде суммы кажущегося ускорения и ускорения от силы
притяжения:
dp
—^r(t) = an(t) + g(r), (12.12)
atr
где г — радиус-вектор центра масс БР в выбранной СК; g(r) — век-
тор ускорения силы тяжести, определяемый принятой к рассмотре-
нию моделью ГПЗ. Уравнение (12.12) представляет собой векторное
дифференциальное уравнение второго порядка. Используя метод по-
нижения порядка, представим его в виде системы двух уравнений
первого порядка:
4v(i) = an(i) + g(r),
(12.13)
^r(t) = V(t).
at
Для определения текущих параметров движения БР, его координат
и скорости, требуется проинтегрировать систему уравнений (12.13)
с начальными условиями (£о = 0), соответствующими заданным
V(t0) = 0 иг(*о) = 0.
Формальный результат интегрирования может быть представлен
в виде
V(t) = V0 + у an(t)dt + g(r)dt,
to
an(t)d Tdt +
t т
r(t) = Го + V0(t - to) +
to to
(12.14)
t T
+ // g(r(0H
to to
Tdt.
427
Согласно (12.4), вектор кажущегося ускорения, измеряемый тремя
взаимно ортогонально расположенными одностепенными акселеро-
метрами, оказывается отнесенным к системе координат, начало ко-
торой совмещено с центром масс ЛА, а оси совпадают с осями чув-
ствительности акселерометров. Реализация указанной системы от-
счета осуществляется на борту с помощью гиростабилизированной
платформы (ГСП). Такую приборную систему координат, модели-
рующую выбранные отсчетные направления, принято называть со-
провождающим координатным трехгранником либо просто сопро-
вождающей системой.
В реальных условиях работы плоскость платформы с устано-
вленными на ней акселерометрами может несколько отклоняться от
требуемой. В связи с этим вводят понятие правильной сопровожда-
ющей системы. Оси правильной сопровождающей системы вос-
производят направление осей стабилизированной платформы при ее
идеальной работе. При получении алгоритмов инерциальной навига-
ции будем исходить из предпосылки, что рассматриваемые сопрово-
ждающие системы являются правильными. Сначала обсудим самый
общий случай, согласно которому сопровождающий трехгранник,
определяющий положение измерительной системы в пространстве,
изменяет свою ориентацию при движении ЛА относительно поверх-
ности Земли с угловой скоростью (0, задаваемой в осях подвижной
земной системы координат OqXqYqZq. В свою очередь, система ко-
ординат OoXqYqZq поворачивается с угловой скоростью вращения
Земли Q относительно оси OqKi геоцентрической инерциальной си-
стемы координат. Положение ЛА относительно системы ОИХИУИ^И
зададим г. С учетом изложенного, абсолютная угловая скорость со-
провождающей системы OXcnYcnZcu определяется* как
Ша = <0+ Q3, (12.15)
а выражение для нахождения абсолютной скорости ЛА приобретает
вид
4На = 37г+(й+ <») хг> (12.16)
at at
где d*r/dt — условное изображение производной вектора г относи-
тельно системы координат OXcnYcnZcn (локальная производная г).
*Далее для упрощения записи индекс 3 у Q опущен.
428
Дифференцируя (12.16), найдем выражение для абсолютного уско-
рения ЛА, которое с учетом Q = const запишем, приводя его к гео-
центрической инерциальной системе координат, в форме
и d И* 1
Найдем выражения производных — —г
dt dt
L J d
d г >
и — [ Ш]а. Очевидно,
d г , d* ,n 4 d*
- |(ol = - ю + (Ox <0)x = 3- <o + £2 x co.
dt dt dt
(12.18)
(12.19)
Осуществив подстановку (12.18) и (12.19) в (12.17) и произведя пе-
регруппировку членов, получим
d r„ d d* п d л
37 [г] = 3-3Г + 2 £2 х 37Г + 2(0 х —г + £2 х (£2 х г
dt 1 Ja dt2 dt dt
d*
+ (Ox (cox r) + 3- (0 x r + £2 x ((0 x r)+
dt
+ (£2 x (o) xr + (Ox (£2 x r). (12.20)
Или, учитывая, что (£2 x co) x r + (0 x (£2 x r) = £2 x ((0 x r),
запишем окончательно
dr., d* d n d d
3- rL = r + 2 £2 X 3-r + 2(0 X 3-r + - (О X r+
dt 1 Ja dt2 dt dt dt
+ 2Qx((0xr)+ (0 x ((0 x r) + £2 x ( £2 x r). (12.21)
Последнее слагаемое в (12.21) представляет собой переносное уско-
рение апер = £2 х ((О х г). Векторная сумма ускорения от силы тя-
готения и ускорение центробежной силы инерции, равное обратной
429
по направлению величине переносного ускорения, т. е. gT — апер, дает
вектор ускорения от силдя тяжести g. Поэтому учитывая — [г]а = Va,
dt
после подстановки (12.21) в (12.12) найдем, что в рассматриваемом
общем случае вектор ап будет определяться как
d*2 d* „ d*
ап = "Л2 г + 2 Q х —г + 2 (О х —г +
dtz dt dt
d*
+ - (0 x r+ 2Q x (ш x г) + ш х (ш х г) - g. (12.22)
dt
Выражение (12.22) представляет собой основное векторное уравне-
ние инерциальной навигации относительно вращающейся Земли.
Рассмотрим, какой физический смысл имеют слагаемые, входя-
о d*2
щие в его правую часть. Вторая локальная производная —харак-
dtz
теризует составляющую ускорения ЛА вдоль радиуса-вектора г. При
движении ЛА на постоянной высоте (при стабилизации высоты no-
ri*2
лета) можно считать, что г = const и, следовательно, —z-r = 0.
dtz
d*
Слагаемое — (О х г представляет собой тангенциальную составляю-
сь
щую вектора ускорения, связанную с движением ЛА в горизонталь-
ной плоскости. Член (О х ( СО х г) есть не что иное, как центростре-
мительное ускорение, обусловленное горизонтальной составляющей
скорости ЛА относительно Земли. Члены, содержащие удвоенные
произведения угловых скоростей, представляют собой ускорения Ко-
_ d*
риолиса, причем слагаемое 2 Q х — г обусловлено вращением Земли
dt
d*
и вертикальной составляющей скорости ЛА, 2 (О х —г — вращени-
ем
ем сопровождающей системы координат при наличии вертикальной
составляющей движения ЛА, 2 Q х ( СО х г) — вращением Земли при
наличии горизонтальной составляющей движения.
12.3. Общая характеристика и классификация
платформенных ИНС
Решение навигационной задачи с использованием ИНС требу-
ет применения нескольких систем координат, а именно, основной
инерциальной СК, в которой записывается основное уравнение инер-
430
циальной навигации, измерительной СК, связанной с осями чувстви-
тельности измерительных приборов, геоцентрической относитель-
ной СК, в которой задается принятая к рассмотрению модель ГПЗ и,
наконец, навигационной СК, в которой ищется собственно решение
навигационной задачи.
В том случае, когда ось О1Хгир измерительной СК направлена в
сторону северного полюса и лежит в плоскости меридиана, систе-
ма называется касательным координатным трехгранником. Причем
различают вращающийся и постоянно ориентированный касатель-
ные координатные трехгранники. По мере перемещения ЛА из одной
точки в другую вращающийся касательный трехгранник будет пово-
рачиваться в инерциальном пространстве, но сохранять при этом два
базисных направления: определяющие плоскость местного мериди-
ана и местной вертикали. При использовании его в качестве сопро-
вождающего, представляется возможным получить на выходе ИНС
широту и долготу, т. е. географические координаты. Поэтому враща-
ющуюся касательную координатную систему, моделируемую на бор-
ту ЛА с помощью ГСП, называют также географической.
Для формирования управляющих воздействий, обеспечивающих
непрерывную требуемую ориентацию осей чувствительности аксе-
лерометров, при которой к тому же достигается настройка ГСП на
период невозмущаемости по каналам горизонтирования, необходимо
знать проекции СО на оси сопровождающей системы. Под горизонти-
рованием платформы понимают совокупность действий, направлен-
ных на совмещение ее рабочей поверхности с плоскостью горизонта,
перпендикулярной направлению местной вертикали. Традиционным
устройством, моделирующим направление местной вертикали, явля-
ется маятник. Если масса маятника и его точка подвеса находится в
состоянии относительного покоя, то плечо такого маятника устана-
вливается строго по направлению местной вертикали. При наличии
вертикальных ускорений положение равновесия маятника нарушать-
ся не будет. Однако при горизонтальных ускорениях точки подвеса
он начнет совершать колебательное движение, даже если до этого
находился в состоянии покоя. При этом говорят, что маятник воз-
мущается ускорением точки подвеса. Изучая проблему построения
невозмущаемой вертикали, профессор механики М. Шулер в рабо-
те [124], опубликованной в 1923 г., пришел к достаточно очевидному
с позиций сегодняшних представлений выводу, что математический
431
маятник не будет возмущаться ускорением точки подвеса, если его
плечо равно расстоянию от точки подвеса до центра Земли.
Действительно, если плечо маятника примерно равно радиусу
Земли, то это означает, что масса маятника будет размещаться в гео-
метрическом центре Земли и поэтому любое перемещение точки
подвеса вдоль земной поверхности с любым ускорением не вызо-
вет отклонения плеча маятника от направления вертикали. Приня-
тие допущения о том, что Земля имеет форму сферы с радиусом
7?з = 6371 км позволяет достаточно просто определить период ко-
лебаний невозмущаемого математического (в отличие от физически
реализуемого или просто физического) маятника, который будет ра-
вен
Tul = 2n.S = 6.28./637n181ltf\8MMH„.
V g0 V 9’81
Естественно, возникает вопрос о технической реализуемости маят-
ника, имеющего указанный период колебаний.
Принцип работы такой системы рассмотрим на примере обыч-
ного одноосного гиростабилизатора с интегральной коррекцией
(рис. 12.2). Пусть в начальный момент времени платформа выста-
влена в плоскость местного горизонта, т. е. ось у направлена строго
по местной вертикали. В результате перемещения объекта вдоль по-
Рис. 12.2. Гироскопическая система для моделирования
невозмущенного маятника
432
верхности Земли (вращение Земли не учитывается) истинная мест-
ная вертикаль повернется от своего начального положения на угол
<р. Приборная вертикаль должна отслеживать поворот истинной, т. е.
за тот же промежуток времени она должна повернуться на такой же
угол <р = фпр. Однако это произойдет только при выполнении ряда
условий. Найдем эти условия. Будем считать, что фпр / <р и имеет
место ошибка, равная Р = ф — фпр, причем Р = ф — фпр. Угловое
ускорение ф = Vr-1, где г — расстояние между началом геоцентри-
ческой базовой системы координат и гиростабилизатором (точнее,
точкой подвеса акселерометра). Необходимо определить значение
фпр. Для идеального регулятора
Ч>пр = МкН-\ (12.23)
где Мк — корректирующий момент, создаваемый датчиком момен-
та (ДМ) гироскопа Г2 по информации, снимаемой с акселерометра
Fx, Нг — кинетический момент гироскопа. Как следует из рис. 12.2,
t
Мк = k J* axdt или
о
t
MK = kf (y + g^dt. (12.24)
О
Подстановка (12.24) в (12.23) дает
t
о
Дифференцируя полученное выражение и подставляя его в выраже-
ние для Р, найдем
• к /1
(12.25)
Выражение (12.25) представляет собой дифференциальное уравне-
ние движения приборной вертикали идеального одноосного гироста-
билизатора относительно истинного направления местной вертикали
сферической Земли.
433
Для выполнения условия невозмущаемости платформы ускоре-
нием ее движения относительно Земли необходимо, чтобы выполня-
лось условие
(1 к \ •
_ у = 0? (12.26)
г HrJ
откуда однозначно вытекает соотношение
к = г-1Яг, (12.27)
называемое условием технической реализации принципа невозмуща-
емости.
Достоинством систем, реализующих широтно-долготный прин-
цип навигации, является простота определения азимута (поскольку
ось ОХСП непосредственно направлена на север) и возможность
измерения угловой ориентации ЛА относительно Земли (точнее от-
носительно вертикали и горизонта) по показаниям гироскопических
датчиков платформы. Недостаток заключается в том, что при распо-
ложении ЛА в высоких широтах корректирующие сигналы, подавае-
мые на датчики момента гироскопов для отслеживания платформой
требуемого направления, становятся очень большими.
Использование географической сопровождающей системы ко-
ординат, конечно, не исчерпывает всех возможных вариантов моде-
лирования на борту ЛА координатных базисов. Выбор координат-
ной системы для конкретного приборного оснащения определяется
многими соображениями. Основным из них является обеспечение
простоты вычислений координат ЛА по выходным сигналам акселе-
рометров, естественно, при прочих равных условиях. В силу суще-
ственного различия задач управляемого движения возможных типов
ЛА универсальное решение проблемы в этом смысле отсутствует.
В отдельных случаях оказывается удобным применение посто-
янно ориентированного касательного координатного трехгранника.
Ориентация осей этой системы, как и большинство других, задается
в точке старта, называемой основной точкой. Начальное ортонорми-
рование осей аналогично направлению осей географической сопро-
вождающей СК. Особенностью же данной системы является то, что
для рассматриваемого интервала полета при вращении системы вме-
сте с Землей ориентация ее осей остается параллельной координат-
ным осям в основной точке. Достоинством приборной реализации
434
постоянно ориентированного касательного координатного трехгран-
ника является то, что скорость вращения его осей постоянна и мо-
жет быть определена и введена в систему в виде установки (уставки)
в период предстартовой подготовки. В результате достигается более
высокая точность работы системы. Существенный недостаток свя-
зан с тем, что рассматриваемый координатный базис не держит на-
правления местной вертикали и, следовательно, ориентацию ЛА от-
носительно поверхности Земли не представляется возможным опре-
делять по непосредственным измерениям, получаемым с гироско-
пических устройств, обеспечивающих ориентацию платформы. При
решении ряда навигационных задач необходимо, чтобы оси сопрово-
ждающей не совпадали с осями выбранной базовой системы. В част-
ности, это происходит при реализации так называемой свободной в
азимуте системы координат. Такая система, сохраняя ориентацию
в плоскости местного горизонта, может поворачиваться по азиму-
ту. Особенность ее — при отсутствии вертикальной скорости объек-
та нет необходимости управлять ориентацией оси чувствительности
вертикального гироскопа, а сигналы на ориентацию горизонтальных
гироскопов берут с интеграторов выходных каналов акселерометров.
Возможность использования свободной в азимуте системы для бал-
листических ракет связана с необходимостью коррекции навигаци-
онного алгоритма в целях учета в нем существенной вертикальной
составляющей вектора скорости.
Рассмотрим схему получения уравнений приборной реализации
свободной в азимуте сопровождающей системы. В отличие от (12.16)
выражение для определения абсолютной скорости ЛА применитель-
но к рассматриваемому случаю будет иметь вид
4 На = 4Г + Q X г- (12.28)
(JLL CLL
Соответственно абсолютное ускорение зададим в форме
4 На = 4 Н + “ х [г]а (12.29)
at at at
или с учетом (12.28)
4 На = 4 Н + “ х V + (О х (Q х г), (12.30)
at at
xr d* d* г-l w
где V = —r, a — [r] = V.
at at
435
Имея в виду первое уравнение системы (12.13), получим
На = ап + gT - <0 X V - (О X (Q х г). (12.31)
Выбор того или иного алгоритма навигации определяется такими
соображениями, как назначение ЛА и дальность его полета, требуе-
мая точность решения навигационной задачи, особенность выполне-
ния соответствующих математических операций в вычислительном
устройстве, условия пуска ракеты и т. д. С точки зрения приборной
реализации эти соображения определяют необходимость выбора ко-
личества рамок карданова подвеса, типа применяемых гироскопов,
количества акселерометров, наличия или отсутствия обратных свя-
зей и пр. В свою очередь, способ построения цепи обратной связи
определяется способом реализации на ЛА горизонтальной системы
координат ИНС.
Именно по этому признаку инерциальные системы разделяют
на три типа: полуаналитические, геометрические и аналитические
[44, 95, 118].
В ИНС полуаналитического типа измерительные оси гироско-
пов и акселерометров расположены в одной плоскости, что обеспе-
чивается установкой акселерометров на ГСП прецизионной курсо-
вертикали с интегральной коррекцией. Цепь местной обратной свя-
зи в каждом из двух горизонтальных каналов системы образуется
за счет подачи на ДМ соответствующих гироскопов сигналов, про-
порциональных значению интеграла выходного сигнала акселероме-
тра. В азимуте платформа ориентируется в соответствии с выбран-
ной системой отсчета. Она может корректироваться в азимутальном
направлении непосредственно в процессе полета. В отличие от гори-
зонтальных каналов азимутальный, как правило, разомкнут. Отличи-
тельным признаком системы является использование классического
варианта устранения в ней скоростных и баллистических погрешно-
стей (девиаций). Устранение скоростной девиации, обусловленной
движением с постоянной скоростью вдоль поверхности Земли, обес-
печивается за счет применения интегральной коррекции. Исключе-
ние баллистических девиаций, связанных с приобретением системой
свойства невозмущаемости силами инерции при полете с ускорени-
ем, достигается соответствующей настройкой коэффициентов усиле-
ния. Карданов подвес ИНС полуаналитического типа состоит из трех
436
рамок, что делает ее наиболее компактной по отношению к ИНС дру-
гого типа.
В ИНС геометрического типа реализован иной по сравнению с
рассмотренным вариант построения системы, не возмущаемой си-
лами инерции. Сущность его заключается в том, что акселерометры
с взаимно ортогональными осями чувствительности, ориентиро-
ванными в географической системе координат, поворачиваются в
процессе движения ЛА так, что все время остаются в плоскости
местного горизонта, а оси ГСП сохраняют неподвижную ориента-
цию относительно инерциального пространства. Поворот измери-
тельных осей акселерометров относительно ГСП осуществляется
с угловой скоростью, равной сумме скоростей вращения Земли и
относительного движения ЛА. Разворот платформы с акселероме-
трами в процессе полета ЛА относительно ГСП достигается за счет
дополнительного карданова подвеса, обеспечивающего три степени
свободы относительно платформы гиростабилизатора. В качестве
исполнительных органов используют интегрирующие электродви-
гатели (ИД), установленные по осям дополнительного карданова
подвеса. С учетом дополнительного подвеса ИНС геометрического
типа будет иметь пять рамок. Первая из них связана с корпусом ЛА
рамкой крена, вторая — рамкой тангажа, третья — корпуса, четвер-
тая и пятая — широты и долготы соответственно.
Принципиальной особенностью ИНС аналитического типа яв-
ляется то, что акселерометры в ней располагают на гиростабили-
зированной платформе, выставленной относительно заданной инер-
циальной системы координат. При этом горизонтальная плоскость
системы на борту физически не моделируется, а вся необходимая
информация получается в результате вычислений на БЦВМ. Други-
ми словами, ИНС аналитического типа не предполагает физического
моделирования маятника с шулеровским периодом. Физическое мо-
делирование здесь заменяется математическим.
В процессе полета акселерометры будут измерять проекции
вектора кажущегося ускорения на оси инерциального сопровождаю-
щего трехгранника. Для определения проекций вектора абсолютно-
го линейного ускорения ЛА на его оси необходимо учесть
проекции вектора гравитационного ускорения. Соответствующие
сигналы компенсации формируются в БЦВМ. Как и предыдущие ти-
пы систем, ИНС аналитического типа относится к числу замкнутых
динамических систем с отрицательной обратной связью через ВУ.
437
К вычислительному устройству таких систем предъявляют суще-
ственно более высокие требования (по объему памяти, быстродей-
ствию и т. д.), чем к ВУ рассмотренных ранее типов ИНС.
12.4. Особенности решения задач навигации
при использовании БИНС
Несмотря на определенные различия в схемах построения ИНС
геометрического, полуаналитического и аналитического типов все
они обладают общностью, обусловленной необходимостью исполь-
зования в них стабилизируемых платформ. Погрешности работы
платформенных ИНС во многом определяются ошибками стаби-
лизации ГСП относительно осей земного или инерциального ко-
ординатных трехгранников. Создание же прецизионных платформ
представляет собой задачу большой технической сложности. Кро-
ме того, ГСП ИНС обладают общими недостатками, связанными
со сравнительно большими интервалами времени, затрачиваемы-
ми на их подготовку к работе, значительной массой и габаритными
размерами, а главное, ограниченными перспективами повышения
надежности. В этом смысле представляет интерес возможность по-
строения инерциальной системы связанного типа, которую также
называют бесплатформенной, или бескарданной инерциальной на-
вигационной системой (БИНС). Чувствительные элементы в такой
системе устанавливают непосредственно на корпусе ЛА, что при-
водит к совпадению в БИНС измерительных триэдров со связанной
системой координат ракеты. При этом изменение ориентации отсчет-
ной базы (стабилизированной платформы) полностью моделируется
математическими методами на БЦВМ. Очевидно, что такой под-
ход к построению ИНС позволяет в принципе повысить точность и
надежность системы и значительно упростить технологию ее изго-
товления. Это дало основание отечественным специалистам еще в
конце 1940-х годов вплотную заняться разработкой теории бесплат-
форменных ИНС. Однако практическая реализация их оказалась
столь сложной, что даже в настоящее время трудности технического
воплощения БИНС не решены еще в полной мере. Дело заключает-
ся в том, что на точность работы БИНС в первую очередь влияют
погрешности чувствительных элементов. Последние в варианте по-
строения ИНС связанного типа при размещении их непосредственно
на корпусе ЛА находятся в существенно более тяжелых условиях,
438
чем в случае установки на стабилизированной платформе. Они ока-
зываются подверженными прямому воздействию высоких угловых
скоростей, возникающих в процессе полета ракеты, а главное, влия-
нию угловых и совместно угловых и линейных вибраций. Особенно
неприятны в этом смысле вибрации, действие которых не совпадает
с направлением осей чувствительности приборов. Появление гиро-
скопов с электростатическим подвесом, а особенно оптических (ОК-
гироскопов, лазерных или, иначе, гирометров), основанных на при-
менении кольцевых оптических квантовых генераторов, позволило
отчасти решить проблему. Успехи, достигнутые в области микро-
миниатюризации, обеспечившие качественный скачок в разработке
бортовых ЦВМ, также в значительной мере способствовали этому.
Отсутствие ГСП в БИНС приводит к необходимости расчета
параметров ориентации ЛА по соответствующим кинематическим
уравнениям. В практике решения навигационных задач нашли при-
менение почти все существующие параметры ориентации [16, 111].
Как известно, все параметры ориентации в информационном от-
ношении эквивалентны и могут быть пересчитаны из одной сово-
купности в другую. Отличие усматривается только в удобстве их
использования при интегрировании соответствующих кинематиче-
ских уравнений.
Первичная измерительная информация в БИНС получается в свя-
занной СК, вращающейся вместе с ЛА с угловой скоростью G). Как и
в платформенных ИНС, результатом решения навигационной задачи
должно быть нахождение навигационных параметров V(t) и r(t) в
абсолютной СК.
При этом интегрирование основного уравнения инерциальной
навигации возможно в любой из рассматриваемых систем. Есте-
ственно, что при получении решения в связанной (приборной) СК
потребуется его последующий пересчет в абсолютную. В качестве
примера приведем здесь заимствованный из [98] вариант алгорит-
ма интегрирования уравнений инерциальной навигации в связан-
ной СК.
При интегрировании уравнений навигации в относительной свя-
занной системе координат необходимо учесть, что данная система
не является инерциальной и вращается с угловой скоростью G). Вос-
пользуемся известными соотношениями, выражающими полную
производную вектора в виде суммы локальной и вращательной про-
изводных, и запишем с помощью этих соотношений следующие
439
формулы для абсолютного ускорения и абсолютной скорости объек-
та навигации:
(12.32)
dVV0K
Здесь ( —— и ( — ) — относительное ускорение и относи-
у dt J у dt J
тельная скорость объекта навигации. Это позволит записать уравне-
ния навигации (12.13) в виде
= W + g [г (t), t] + [V X G>] ,
(12.33)
= V + [г х со].
Полагая, что переход от базиса I к базису Е задается кватернио-
ном Л, запишем соотношения для отображения перечисленных ни-
же векторных величин:
R,e = Л о R/ о Л, Ge = Л о G/ о Л, Ре — Л о Р/ ° Л.
WE= Л О V/о Л, Се= Л О С/О Л, Ve= AoV/o л.
(12.34)
С учетом выражений (12.32)
V е — Ао V/ о А +V# х С0е-
(12.35)
Подставляя значение производной Ve в полученное равенство,
можно получить
Ve= Ao(G/ + P/)oA+Vexg)e = Ge+Pe+Vex(Oe- (12.36)
Данное соотношение определяет алгоритм первого интегрирова-
ния в связанных осях (в связанной системе координат). Он может
быть представлен в интегральной форме в виде
VE = У°Е + / [Ge + РЕ + Уе х Ше)] dt. (12.37)
о
440
Рис. 12.3. Блок-схема алгоритма решения уравнений навигации
в подвижном базисе с применением кватернионов
Алгоритм второго интегрирования, определяющий положение
объекта, выражается аналогичным образом:
Re = AoV/o Л + Re х сое = V е + Re х со#.
В интегральной форме этот алгоритм представляется следующим
образом:
t
Re = Re + j* [Ve + (Rex (Ое)]<Й- (12.38)
о
Полученные в результате интегрирования величины Ve и Re
определяют навигационные параметры в связанном базисе Е. Для
определения навигационных параметров в инерциальном базисе не-
обходимо использовать соотношения перепроецирования
V / = AoVe° A, R/ = Л о Re ° Л. (12.39)
Блок-схема алгоритма интегрирования представлена на рис. 12.3.
В представленной схеме информация о гравитационном поле
также задается в проекциях на связанный базис, т. е. в виде кватер-
ниона Ge- Анализ алгоритма интегрирования основного навигаци-
онного уравнения в связанных осях свидетельствует, что по срав-
нению с интегрированием в инерциальном базисе рассматриваемая
схема вычислений оказывается более громоздкой, так как в ней ин-
формация о вращении объекта управления используется не только в
441
виде кватернионов Л, которые также необходимо рассчитывать, но
и в виде вектора угловой скорости JIA (О. Тем не менее в целом этот
подход обеспечивает более точный результат.
Процесс первого интегрирования может быть организован и ина-
че, а именно — на основе использования разделения действительной
скорости на кажущуюся и скорость свободного движения. Для ка-
ждой из них имеем соотношения перепроецирования (12.34). Диф-
ференцируя первое из них, можно получить
XV £ = Л о XV / о Л + XV е х (&е .
С учетом равенства Р/ = XV/, последнее выражение представля-
ется в виде
XV# = Ре + XV# х (&Е,
откуда после интегрирования
t
WE = + / [PE + (WE x <oE)] dt. (12.40)
0
Аналогично для скорости свободного движения
Се — Л ° С/ оА + С^х (&е =
= А о G/ о Л + Се х (&е — Сге + Се х
а в интегральной форме
t
СЕ = С°Е + I [Ge + (СЕ х <ое)] dt. (12.41)
о
Очевидно, что равенства (12.40) и (12.41) в совокупности экви-
валентны соотношению первого интегрирования (12.37). Однако ин-
тегрирование кажущейся скорости и скорости свободного движения
могут быть выполнены раздельно, что позволяет каждое интегриро-
вание выполнить как в связанном, так и в инерциальном базисе.
Таким образом, действительная скорость может быть определе-
на [98] при использовании любого алгоритма интегрирования сум-
мированием кажущейся скорости и скорости свободного движения в
442
одном базисе:
V/ = W; + С/ - W; + ЛоСЕо Л =
= Л о Wе о Л + С/ = Л о (AVе + &е) ° А;
\Е — AVЕ + &Е — AV£ + Ао С/ о А =
= Л о W/ о Л + Се — А о (AV/ + С/) о Л.
Схемы интегрирования основного навигационного уравнения
в БИНС в связанных осях, для которой параметрами ориентации
JIA являются направляющие косинусы, аналогичны рассмотренным
выше вариантам интегрирования при использовании параметров
Родрига—Г амил ьтона.
При алгоритмизации задачи и ее численного решения в любой
схеме интегрирования необходимо осуществить переход к скаляр-
ным величинам и соотношениям. В этом смысле кватернионные ра-
венства уже являются алгоритмическими соотношениями и поэтому
дают выигрыш по времени при их реализации на БЦВМ [98].
Основное навигационное уравнение в БИНС интегрируется с
использованием традиционных численных методов, применяемых в
платформенных СУ, с учетом особенностей интегрирования кажу-
щегося ускорения и ускорения силы притяжения. Алгоритм опреде-
ления кажущейся скорости в БИНС учитывает необходимость уста-
новления связи между приращением кажущейся скорости AW/п в
инерциальном базисе и приращением кажущейся скорости AWЕп
в связанном базисе в момент времени tn. Используя формулу пре-
образования, можно получить данное соотношение для пошагового
процесса интегрирования в виде
AW/n = An-i о AWEn о Лп_ь (12.42)
где An-i, An-i — значения кватернионов в момент времени tn_i.
В этом случае алгоритм интегрирования кажущегося ускорения
в инерциальном базисе запишется следующим образом:
W/n = W/n_i + An-i о AWЕп ° An_i, (12.43)
где W/n, W/n_i — кажущаяся скорость в инерциальном базисе в
момент времени tn и tn-i соответственно.
443
Алгоритм определения кажущейся скорости в связанном базисе
сводится к следующему. По аналогии с (12.34) имеем
Еп = ° In ° ^п-
Умножая соотношение (12.42) справа на Лп = An~i о Nn, а сле-
ва — на сопряженное значение Лп = Nn о An_i, получим
Ап о AV о Лп — Лп о АУ in—1 о А-п Н- А-п ® АЛУ jn о Л7?.
Тогда
АУ £п = Nno An_ioW/п—1° AnoNn+Nno Лп_ io АЛУ /и—1° AnoNn,
(12.44)
WEn = Nn о (Wrn_! + AWrn4) о Nn,
где Nn, Nn — значения кватернионов на интервале времени 0 т
tn — tn-i внутри шага.
12.5. Основные источники и характер эволюций ошибок ИНС
Метод счисления пути весьма чувствителен к ошибкам приборно-
реализуемых систем. Поэтому полезно иметь представление об
основных источниках ошибок в ИНС и характере их изменения.
Ошибки в инерциальных навигационных системах могут воз-
никать по различным причинам: из-за неточностей изготовления
измерительных приборов (гироскопов и акселерометров); рассогла-
сования осей приборов, смонтированных на платформе; начальных
ошибок в горизонтировании и ориентировании платформы; оши-
бок вычислений и используемых аппроксимаций при приборной
реализации уравнений системы. Исходя из характера ошибок раз-
делим их на две категории: инструментальные и методические. К
первой категории относят все ошибки, которые определяют способ-
ность ИНС к выдаче точной навигационной информации. В их число
включим ошибки чувствительных элементов и начальной выставки
(начального ориентирования). Эти ошибки наиболее весомы с точки
зрения обеспечения требуемой точности работы системы. К второй
категории ошибок относят погрешности, обусловленные бортовой
инструментовкой реализуемого алгоритма навигации. Как правило,
они возникают из-за стремления к упрощению навигационной си-
стемы. Сюда входят прежде всего ошибки, связанные с загрублением
444
математическом модели процесса за счет принятия различного рода
допущений. К ошибкам данного типа относят и ошибки собственно
вычислений, возникающие из-за округлений, использования различ-
ного рода аппроксимаций, а также ограниченности разрядной сетки
БЦВМ.
Применительно к БИНС, в дополнение к указанным выше ин-
струментальным ошибкам, приводящим к погрешностям измерений,
должны быть отнесены и ошибки измерений, обусловленные упру-
гой деформацией корпуса ЛА. Действительно, в случае размещения
приборов непосредственно на корпусе, особенно в вариантах их раз-
несенной установки, измерительный сигнал будет содержать инфор-
мацию не только об истинных параметрах движения жесткого ЛА,
но и об упругих колебаниях корпуса ЛА (см. разд. II). В большин-
стве случаев факторы, влияющие на образование ошибок системы,
особенно инструментальных, носят случайный характер. Однако в
рамках данного анализа, ставящего целью качественную оценку вли-
яния ошибок на точность решения навигационной задачи, ограни-
чимся детерминированным подходом.
При проектировании ИНС основное внимание уделяется инструментальным
ошибкам, что связано в первую очередь с их наибольшим вкладом в общую суммар-
ную погрешность ИНС и с тем, что они сложным образом зависят от изменяющихся
в процессе полета условий, а также от различных действующих на ЛА возмуще-
ний. Методическим ошибкам обычно уделяется меньшее внимание, поскольку их
влияние с появлением современных БЦВМ объективно стало менее весомым. Од-
нако при большой дальности и длительности полета они становятся соизмеримыми
с инструментальными и должны учитываться. Это приводит к необходимости при
исследовании процесса накапливания ИНС ошибок в определении местоположения
рассматривать погрешности ориентирования платформы не относительно ее истин-
ного положения, а относительно углового положения, определяемого в ВУ с учетом
методических ошибок.
Итак, введем в рассмотрение некоторую базовую систему координат, например,
постоянно оториентированный касательный координатный трехгранник и отвечаю-
щую ему сопровождающую систему, моделирующую на борту ЛА выбранный ба-
зис. Угловую скорость реальной (подверженной уходам) сопровождающей системы
относительно инерциального пространства обозначим через <ор, скорость ориента-
ции отвечающей ей правильной системы — через СОц, а скорость изменения углово-
го положения сопровождающей системы, рассчитываемую в ВУ, СОв Естественно,
будем рассматривать случай, при котором угловые отклонения между этими тре-
мя координатными системами малы. Тогда они могут быть представлены в виде
векторов, абсолютные величины которых равны угловым отклонениям, а направле-
ние перпендикулярно плоскости этого углового отклонения и образует со сторо-
нами угла правую систему координат. Введем следующие обозначения. Пусть Ф —
вектор угла между реальной и правильной системами координат; 8 0 — вектор угла
445
между правильной системой и положением системы, определяемым ВУ; 8 4х — век-
тор угла, характеризующий рассогласование между вычисляемой и реальной ори-
ентацией платформы. Инерциальная угловая скорость осей реальной платформы
будет
Юр = юп + ф (12.45)
С другой стороны, с точки зрения сигналов, пропорциональных угловой скорости
Юв, формируемых в ВУ для подачи их на ДМ гироскопов, получим
юв = ШП + 8 0. (12.46)
Данное значение вектора угловой скорости раскладывается на составляющие по
осям правильной системы координат. Но (как было принято) между осями правиль-
ной системы и системы, определяемой ВУ, существует угловое рассогласование, за-
даваемое вектором 8 0. Учитывая к тому же, что ориентация реальной системы от-
носительно правильной определяется углом Ф, результирующая угловая скорость
реальной платформы при наличии угловой скорости ухода гироскопов £ будет
Шр = ф-1 х [юв - 8 0 х Юв + £] (12.47)
или, что аналогично [36],
Юр = Юв+Фх юв- 80х юв + Ф х (80 х юв) + £ + Ф х £. (12.48)
Поскольку 80, Фи £ есть малые величины, можно пренебречь членами Ф х £ и
Ф х ( 80 х Юв), как имеющими второй порядок малости. Тогда
Юр = юв + (Ф - 80) х Юв + £. (12.49)
Подставляя в (12.49) значение Юв из (12.46) и пренебрегая произведением (Ф —
— 8 0) х 80, как имеющим второй порядок малости, найдем
Юр = юп + 80 + (Ф - 80) х юГ| + £. (12.50)
Теперь приравняем (12.45) и (12.50). В результате получим
Ф- 80+ Юп х (Ф- 80) = £. (12.51)
Наконец, имея в виду, что Ф — 8 Т = 80 или
Ф-80=8Т, (12.52)
а Ф — 80 = 8 Т, запишем окончательно
8Т+ юп х 8Т = £. (12.53)
Векторное уравнение (12.53) характеризует накопление со временем угловой ошиб-
ки, определяющей рассогласование ориентации осей реальной платформы по отно-
шению к их вычисляемой ориентации.
446
Нетрудно заметить, что эта ошибка не зависит от ошибок определения место-
положения ЛА.
Теперь перейдем к анализу ошибок местоположения. Для рассматриваемого ко-
ординатного базиса ш = Q. Поэтому, учитывая (12.16), запишем
dr., d d*
dt Г d dt dtT
d*
+ 2Q x —г + Q x (Q x r).
(12.54)
Теперь, учитывая (12.13), а также
g = gT - Qx(Qxr),
получим
an = -^-V + 2Q x V -gT+ a x (Q x r) = ^V + 2fl x V - g. (12.55)
dt dt
Отметим, что ускорение от силы тяжести есть функция текущего радиуса-вектора г.
В связи с этим (12.55) более строго следует записать как
an=S + 2QxV-g(r). (12.56)
at
Применительно к правильной системе координат и точном вычислении соста-
вляющих кориолисова ускорения (2Q х V) и ускорения свободного падения в
проекциях на эти оси, предварительно скомпенсированный на величину указанных
слагаемых, выходной сигнал акселерометра после его двукратного интегрирова-
ния будет определять местоположение ЛА, т. е. даст величину г. На самом деле,
из-за имеющих место ошибок ап г. Эти ошибки будут складываться из ошибок
ориентирования платформы по сигналам ВУ, обозначаемых как 84* х ап, соб-
ственно ошибок акселерометра 8ап (смещение нуля, ошибки масштабирования и
т. д.) и ошибок в определении компенсирующей поправки в силу возникновения
погрешности в определении г (рис. 12.4). Тогда
ап - 8Т х ап + 8ап + g(r + Аг) - 2 Q х (г + Аг) = г + Аг. (12.57)
Рис. 12.4. Схема ИНС, иллюстрирующая возникновение ошибок
в определении местоположения объекта
447
Заменив ап его выражением из (12.55), найдем
г 4- 2 £2 х г - g(r) — 5 Т х ап + 8ап 4-
+ g(r + Дг) — 2 £2 х (г + Дг) - г — Дг = О
или иначе
Дг + 2 £2 х Дг 4- g(r) - g(r 4- Дг) = 8ац - бТх ап. (12.58)
Очевидно, что Дг является малой величиной по отношению к г. Поэтому будем
считать, что
g(r 4- Дг) = g(r) + Ag. (12.59)
Проведя замену в (12.58) с учетом (12.59), найдем
Дг 4- 2 £2 х Дг - Ag = 8ап — 8Т х ац. (12.60)
Для коротких по отношению к 24-часовому периоду вращения Земли интервалов
времени движения ЛА кориолисовым ускорением можно пренебречь. В этом случае
g = gT и согласно сведениям, изложенным в разд. I, g = —-г, где К = fM. Тогда
с учетом степенного разложения Г
Ag = ^-( Дг • г)г - Дг (12.61)
р О
для правильной ( 8 Т = 0) сопровождающей системы координат получим
Дг = 8ац - Дг + ( Дг • г) г. (12.62)
рЛ рО '
Уравнение (12.62) представляет собой основное уравнение ошибок при использова-
нии в качестве базового координатного трехгранника геоцентрической инерциаль-
ной системы координат. Оно может быть преобразовано к виду
(12.63)
Г г2
Считая, что составляющие кажущегося ускорения измеряют без
погрешностей, положим 8ац = 0. Переходя далее от векторного
уравнения (12.63) к системе скалярных уравнений ошибок в осях
инерциальной геоцентрической СК, получим, ограничившись при-
нятием модели центрального ГПЗ, следующую систему дифферен-
циальных уравнений в вариациях:
И = - 3^) 8i + Зад, 59 + 821
8 j) = 8. + ’I°(r2 7 3g2) + 8г, (12.64)
x.. _ 3 nozx 3 7ipzy Яо(г2 - 3г2)
448
Анализ полученной системы дает основание сделать вывод о при-
чинах неустойчивости решения основного уравнения инерциальной
навигации.
12.6. Свойство неустойчивости решения основного уравнения
инерциальной навигации
Обсуждаемое свойство при всей эвристической очевидности
данного результата было строго математически доказано в рабо-
те [98]. Ориентируясь на результаты данного доказательства, вос-
произведем его основные следствия.
«Заморозив» коэффициенты в системе (12.64) и учитывая, что
у = г = й3, я — х = 0, запишем ее для последующего качественно-
го анализа в виде е.. 9 е
о х + со2 ох = О,
8у + 2<о28у = 0, (12.65)
8 z + (О2 8г = О,
где (0 = = 1,2415 10-5 рад/с.
Первое и третье уравнения идентичны по структуре, поэтому и
результат их интегрирования идентичен, а сами решения представля-
ют собой гармонические колебания с периодом Шулера:
Sx(t) = &ro cos (Ot + — 8VXo sin cot,
® (12.66)
8z(f) = 8zo cos wt + — 8I40 sin wi.
Решение второго уравнения с использованием гиперболических
функций может быть представлено в виде [98]
8y(t) = 8у0 ch У2 (Dt + 43^ sh V2 (Dt. (12.67)
у2 со
Полученные уравнения свидетельствуют, что погрешности решения
основного уравнения инерциальной навигации, вызванные погреш-
ностями задания начальных условий движения, имеют разный вид
по координатам х и г, т. е. в горизонтальной плоскости, и по коорди-
нате у, т. е. по высоте полета. При этом соотношения погрешности
решения основного уравнения в горизонтальной плоскости имеют
449
характер гармонических колебаний, что хорошо известно, в частно-
сти, из анализа эволюций ошибок одноосного гиростабилизатора с
интегральной коррекцией [30,48], а погрешности решения по высоте
и вертикальной скорости возрастают по экспоненциальному закону.
Причиной неустойчивости уравнений навигации является струк-
тура модели ГПЗ, наглядно отражаемая градиентной матрицей [98],
вытекающей, в частности, из (12.64).
ftp 0 0
г = 0 2л0 гз 0
0 0 ftp
Данная матрица дает основание для вывода, что градиент гра-
витационного ускорения положителен по высоте, тогда как в гори-
зонтальной плоскости отрицателен. В результате начальная положи-
тельная погрешность в определении высоты полета будет приводить
к заниженному расчетному значению гравитационного ускорения и,
в силу уравнений навигации, к завышенному значению вертикальной
скорости. На следующих циклах численного интегрирования урав-
нений навигации эта зависимость сохраняется, что и приводит к мо-
нотонному возрастанию погрешностей навигации по высоте.
В совокупности со скоростной девиацией ГСП данное явление
позволяет сделать фундаментальный вывод о принципиальной огра-
ниченности допустимого времени высокоточной работы ИНС без
коррекции навигационной информации.
12.7. Начальная выставка ИНС
Поскольку стабилизированная платформа ИНС должна удержи-
вать в полете заданное угловое положение осей чувствительности
акселерометров либо разворачивать их по некоторому закону, непо-
средственно перед стартом ЛА оси инерциальных элементов, уста-
новленных на ГСП, должны быть соответствующим образом соори-
ентированы. Кроме того, учитывая, что скорости и координаты ЛА
определяют интегрированием показаний акселерометров, как и при
всяком интегрировании должны быть известны начальные условия,
т. е. в систему должна быть введена информация о начальной ско-
рости и координатах точки пуска, а также данные о цели. Выстав-
450
ка ИНС относительно используемой базовой системы координат за-
ключается в горизонтировании платформы, т. е. в совмещении вер-
тикали платформы с направлением вертикали базовой системы и в
ориентировании по азимуту. Для повышения точности выставки при-
ведение платформы в горизонт и ориентирование по азимуту про-
водится, по возможности, одновременно. Следует иметь в виду, что
предельная точность, которую обеспечивает ИНС при наведении ЛА,
не может превышать точности выставки платформы, поскольку по-
грешности, возникающие при выставке в подавляющем большин-
стве случаев, не компенсируются, более того, в процессе полета, как
было показано выше, они вызовут нарастающие ошибки в опреде-
лении местоположения ЛА. Начальная выставка в принципе может
быть осуществлена как на Земле (до старта), так и в условиях ав-
тономного полета. Для горизонтирования платформы неподвижного
относительно Земли ЛА используют, как правило, акселерометры го-
ризонтальных каналов ИНС. Выставка платформы в азимуте может
быть осуществлена оптическими средствами или с помощью гиро-
компаса.
Подготовка к работе ИНС в условиях движущегося относитель-
но Земли ЛА представляет собой существенно более сложную зада-
чу. В процессе полета, например, носителя РК отсутствует непосред-
ственная связь между положением платформы относительно верти-
кали места БР и показаниями акселерометров горизонтальных кана-
лов. При движении объекта горизонтальная составляющая угловой
скорости отклоняется от направления на север и меняется по величи-
не. Вместе с тем от успешного решения задачи начальной выставки
ИНС в нестационарных условиях во многих случаях (прежде всего
при пуске ЛА с подвижного носителя) зависит точность решения за-
дачи навигации в целом. Данная проблема, получившая специальное
название выставки ИНС на подвижном основании [65], составляет
специальную задачу прикладной теории инерциальной навигации*.
С точки зрения средств, применяемых для выставки ИНС, разли-
чают три основных метода начальной выставки:
а) с использованием внешних по отношению к инерциальной си-
стеме навигационных устройств;
* Применительно к МБР данная схема была подвергнута экспериментальной
проверке в США при пусках в 1970-х годах БР «Минитмен» с воздушного носителя,
но в дальнейшем не использовалась.
451
б) по информации от инерциальных измерителей выставляемой
ИНС;
в) при комбинированном использовании как внешних навигаци-
онных устройств, так и своих инерциальных измерителей.
В качестве навигационных устройств, применяемых при реали-
зации первого метода, могут быть использованы геодезические ре-
перные знаки, отвесы, уровни, пеленгаторы небесных светил, радио-
секстанты и т. п. Использование для решения рассматриваемых задач
внешних навигационных устройств делает процесс выставки ИНС
неавтономным. Это же присходит при реализации комбинированно-
го метода. Исключение составляет выставка комплексных систем, в
частности, астроинерциальных, в которых, как и во всех системах,
реализующих второй из перечисленных методов, обеспечивается ав-
тономная автоматическая выставка. Следует отметить, что под на-
чальной выставкой не всегда обязательно понимается электромеха-
ническая подготовка ИНС к работе, связанная с пространственной
переориентацией стабилизированной платформы. Так, для ИНС, по-
строенной по аналитической схеме, начальная выставка в традици-
онном ее понимании потребуется лишь тогда, когда к сопровождаю-
щей системе предъявляют какие-то специальные требования по ори-
ентации. Что же касается БИНС, то начальная электромеханическая
выставка для них вообще не требуется. Она заменяется так называе-
мой электронной выставкой ВУ, заключающейся во вводе информа-
ции о начальной ориентации координатных осей, задаваемой, напри-
мер, матрицей направляющих косинусов.
Все существующие способы выставки платформенных ИНС
основаны на измерении естественных или искусственных физиче-
ских процессов как векторных величин. Собственно для реализации
процесса выставки нет необходимости в измерении модуля соответ-
ствующего вектора, достаточно знать его направление. Постановка
задачи выставки ИНС как задачи измерения направления векторов
позволяет получить ясное представление о том, что точность вы-
ставки в значительной степени определяется точностью измере-
ний. Определение угловой ориентации трехкомпонентной ИНС при
помощи измеряемых направлений векторных величин требует как
минимум двух неколлинеарных векторов. В частности, для гори-
зонтирования платформы используют направление силы тяжести, а
для установки по азимуту — направление вектора угловой скорости
452
вращения Земли. Условию наличия для выставки не менее двух не-
коллинеарных векторов не удовлетворяет, как правило, измерение
двух векторов одной и той же физической природы, если измерения
их проводить одновременно. Это действительно так, поскольку два
вектора, имеющие одинаковую физическую природу, существующие
одновременно и измеряемые одинаковыми способами, будут сумми-
роваться и восприниматься чувствительными элементами в виде
одного результирующего вектора. Неодновременные измерения по-
зволяют не только использовать два различных вектора, имеющих
одну и ту же физическую природу (при условии их неодновремен-
ного существования), но допускают и использование всего лишь
одного переменного вектора. Однако при этом требуется, чтобы на-
правление вектора менялось по времени как в базовой, так и в вы-
ставляемой сопровождающей системе координат. Наличие векторов,
удовлетворяющих условию решения задачи выставки ИНС, приво-
дит к широкому разнообразию технически реализуемых способов.
К их числу относят: а) выставку вертикали; б) гирокомпасирова-
ние; в) выставку по астрономическим наблюдениям; г) векторное
согласование; д) согласование углов кардановых подвесов систем.
Обсудим методологические основы указанных способов.
Как известно, направление вертикали совпадает с направлением
силы тяжести и задается отвесом, закрепленным на неподвижном
относительно Земли основании. Таким образом, вертикаль сама по
себе не является вектором. Она характеризует направление, совпада-
ющее с направлением вектора силы тяжести, представляющим собой
один из двух неколлинеарных векторов, необходимых для выставки.
В качестве чувствительных элементов, используемых при выстав-
ке вертикали, могут применяться акселерометры, расположенные в
плоскости платформы. Ее горизонтирование будет проводиться при
подаче выходных сигналов акселерометров через соответствующие
преобразователи на сервоприводы рамок карданова подвеса. Оче-
видно, что выходные сигналы горизонтальных акселерометров Fx и
Fz будут равны нулю только тогда, когда их оси чувствительности
окажутся перпендикулярными направлению силы тяжести, что от-
вечает выставке платформы в горизонт. Отгоризонтированная плат-
форма, однако, еще не является носителем трехмерной отсчетной
базы. Для того чтобы она стала таковой, необходимо в дополнение
к выставке вертикали провести азимутальную выставку. Для ази-
мутальной выставки платформы, а следовательно, и азимутального
453
Рис. 12.5. Схема ориентирования гироскопов и акселерометров
на гироплатформе
прицеливания ракеты, при котором вертикальная (основная) плос-
кость симметрии ЛА, совпадающая с плоскостью стабилизации, со-
вмещается (рис. 12.5) с плоскостью стрельбы, необходимо на стар-
товой позиции зафиксировать направление стрельбы. При условии
совпадения основной плоскости симметрии (плоскости рулей I — III;
см. [116 с. 393]) с плоскостью стрельбы процесс совмещения плос-
кости стабилизации с основной плоскостью симметрии ЛА, осуще-
ствляемой при азимутальном приведении, называется юстировкой
гироплатформы. Для того чтобы зафиксировать на стартовой по-
зиции направление стрельбы, обычно используют так называемые
ориентирные направления. Под ними понимают направление какой-
либо зафиксированной прямой, геодезический азимут которой за-
ранее известен. Ориентирное направление может формироваться
от геодезической сети на основе астрономических наблюдений или
с помощью гироскопических приборов (внешних, либо входящих
непосредственно в состав ИНС).
Автономно азимуты ориентирных направлений проще всего
определить с помощью гирокомпаса. Гирокомпас представляет со-
бой маятниковое гироскопическое устройство, предназначенное для
отслеживания направления горизонтальной составляющей вектора
454
угловой скорости вращения Земли. Процесс автоматического ориен-
тирования ГСП в заданном азимутальном направлении с помощью
гирокомпаса называется гирокомпасированием. Применение гиро-
компасирования как метода азимутальной выставки, предваритель-
но отгоризонтированной по направлению силы тяжести платформы,
ограничено областями, исключающими полярные области, где век-
торы, используемые для полной выставки, оказываются близки к
коллинеарным.
Наиболее распространенными способами начальной выставки
платформы при пуске ракеты с носителя (например, подводной лод-
ки) являются способ согласования углов кардановых подвесов си-
стем и способ векторного согласования. Обычно носитель имеет бо-
лее совершенный навигационный комплекс, который и используется
как базовая система при выставке сопровождающей системы раке-
ты. Кроме применения в качестве опорной системы ИНС носителя
обеспечивает и определение начальных условий (местоположения)
ракеты в момент старта. При реализации способа согласования углов
кардановых подвесов систем могут использоваться как оптические,
так и электромеханические варианты выставки. Ограниченность
применимости данного способа связана с тем, что из-за изгибных
деформаций носителя, погрешностей установки его навигационной
системы, необходимости обеспечения канала прямой видимости
(при оптической выставке) возникают трудности обеспечения тре-
буемой точности выставки за счет согласования платформы. В этом
смысле более предпочтительным является способ векторного согла-
сования. Принцип векторного согласования состоит в приведении
выставляемой системы в положение, при котором она будет иметь
то же угловое положение относительно измеряемого вектора, что
и система носителя. Данный принцип применим при любой физи-
ческой природе измеряемого вектора (инерциальной, магнитной,
электромагнитной).
Г л а в а 13 СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА
НАВИГАЦИОННЫХ СИСТЕМ
13.1. Элементы системного анализа задач навигации
и управления движением
Управляемый полет при наведении ЛА, в том числе и ЛА балли-
стического типа, предполагает принудительное изменение характе-
ристик движения его центра масс в пространстве по определенному
455
закону. Технически этот закон реализуется с помощью системы на-
ведения. Последняя по принципу действия может относиться к клас-
су разомкнутых или замкнутых систем. Отличие замкнутой системы
от разомкнутой связано с наличием в ней обратной связи, обеспечи-
вающей передачу измерений выходной величины на вход устройства
управления. Задача системы наведения состоит в том, чтобы возмож-
но точнее воспроизводить на выходе задаваемый закон входного воз-
действия (задающего) и полнее подавлять влияние на движение цен-
тра масс ЛА возмущающего воздействия. Измеренная выходная ве-
личина при этом сравнивается с задающим воздействием (входной
величиной), и получаемое рассогласование (ошибка) используется
в качестве источника воздействия на систему [60]. Очевидно, если
измерения сопровождаются погрешностями, формируемое воздей-
ствие на систему не позволит точно отслеживать требуемые параме-
тры движения ЛА. С другой стороны, часто прямым измерениям не
поддаются те параметры, сравнение величин которых с задаваемыми
формируют сигнал ошибки.
Именно поэтому обработка результатов измерений относится к
ключевым моментам обеспечения высокоточного управляемого дви-
жения ЛА.
Таким образом, задача заключается в том, чтобы извлечь макси-
мум информации из результатов проводимых измерений и наилуч-
шим образом использовать ее при формировании управления. Под
информацией в данном случае будем понимать совокупность сведе-
ний, полученных в результате принятия решения по итогам обработ-
ки данных измерений или, иначе, реализации процедуры оценивания
(рис. 13.1). Понятие оценивание — наиболее общий термин из числа
используемых для характеристики любых преобразований результа-
тов прямых измерений. В подавляющем большинстве задач упра-
вления полный вектор состояния измерить не представляется воз-
можным. Технически реализуемой оказывается операция измерения
лишь некоторой, обычно линейной, комбинации переменных состо-
яния. Задачу нахождения вектора состояния или определения его ап-
проксимаций по наблюдаемой переменной будем называть восста-
новлением, а получаемое в результате фазовое состояние объекта —
восстановленным.
В статистической динамике возникает необходимость в устано-
влении по результатам наблюдений, сопровождаемых шумами, наи-
более правдоподобного состояния системы, подверженной действию
456
Объект управления
Входное =
воздействие
Состояние;
Параметры
Динамика
системы
Шум
измерений
И Априорная
А информация
=>
Измеренная
выходная
величина
£> Оценивание <J==
Оценки состояния
Рис. 13.1. Общая схема процедуры оценивания
случайных возмущений. Это состояние может оцениваться на осно-
вании измерений всех или части фазовых переменных на временном
интервале Операция определения наиболее вероятных значе-
ний переменных состояния в момент времени t или выделения по-
лезной информации о сигнале при наличии случайных помех назы-
вается фильтрацией.
К задаче фильтрации примыкает задача предсказания, или про-
гнозирования (экстраполяции) — наиболее вероятного состояния
системы в наперед заданный момент t\ > t при наличии измерений
на интервале Наконец, третьей частной задачей статистиче-
ской обработки измерений является задача сглаживания и интер-
поляции, т. е. определения наиболее правдоподобных значений пе-
ременных состояния, которые объект имел на прошедший момент
времени t\ < t. Требование достижения правдоподобных значе-
ний переменных состояния предполагает необходимость конкрети-
зации критерия качества оценивания, или иначе, функции потерь. В
каждом частном случае на выбор критерия качества оценивания ока-
зывают существенное влияние цель анализа, возможность числовой
реализации выбранного критерия и объем необходимой априорной
информации. Специфической особенностью обработки измерений
в задачах наведения является относительно малый объем распола-
гаемых априорных данных, что заставляет использовать достаточно
простые критерии. К их числу прежде всего относят квадратич-
ные критерии. Для их применения достаточно иметь информацию
о вторых моментных функциях составляющих динамических ха-
рактеристик, а также вторых начальных и взаимных моментов для
шумов. Это не означает, что применение квадратичных критериев
457
единственно возможное. В принципе прикладная теория последова-
тельного оценивания допускает использование множества различ-
ных критериев типа /(х, х), задающих меру отклонения оцененного
значения х от истинного х. Математическое ожидание функции по-
терь называют риском. Минимальный риск {minM [/(х,х)]} явля-
ется наиболее общим критерием теории статистических решений,
объединяющей все многообразие статистических методов интер-
вального и точечного оценивания.
Задача оценивания состояния динамической системы тесно свя-
зана с условием восстанавливаемости или более часто используемым
понятием наблюдаемости системы. В детерминированной теории с
физической точки зрения под наблюдаемой понимается система, для
которой по измерениям части или всех ее координат или перемен-
ных, связанных с координатами, можно за конечное время опреде-
лить полностью ее состояние. Различие между понятиями наблюда-
емости и восстанавливаемости усматривается только для нестаци-
онарных систем. Что касается стационарных систем, то указанные
понятия для них совпадают и поэтому могут использоваться как
эквивалентные. Данное обстоятельство имеет вполне объяснимый
физический смысл. Действительно, для стационарной системы вре-
менной фактор не играет никакой роли, тогда как для нестационар-
ной — он существен. Отличие же между решением задач наблю-
дения и восстановления как раз связано с временным фактором.
Восстановление состояния осуществляется по данным о реализации
входных и выходных переменных, известных на прошедший момент
времени, тогда как задача наблюдения трактуется как задача опреде-
ления состояния по измерениям, проведенным позднее момента, для
которого производится оценка состояния.
Управляемый ЛА представляет собой сложную многоуровенную
систему. Под системой принято понимать совокупность взаимосвя-
занных элементов, взаимодействующих с внешней средой. Связь с
последней осуществляется системой через входы и выходы.
Выходные воздействия, которые не поддаются измерениям, на-
зывают возмущениями. Следует различать понятия возмущений, ис-
пользуемые в баллистике и теории систем. Если в баллистике под
возмущением понималась любая причина, вызывающая отклонение
параметров движения ЛА от их расчетных значений, то в теории
систем под возмущением (или возмущающими входами) понимают
лишь те воздействия (факторы), которые не могут быть измерены и
458
учтены при формировании управления. Полная совокупность вход-
ных воздействий характеризует состояние системы в данный и по-
следующие моменты времени. В теории систем входное воздействие
<o(t) принято относить к некоторому определенному множеству их
мгновенных значений, обозначаемому, как правило, через Q, при-
надлежащему m-мерному пространству Rm. Это множество может
быть всем пространством Rm либо его частью, т. е. Q С Rm. Обыч-
но принимается, что Q — замкнутая область пространства Rm.
Ограничения, накладываемые в каждом конкретном случае на (0(f),
диктуются условиями решаемой задачи, характеристиками внеш-
ней среды и др. При этом Q называют множеством допустимых
входных воздействий.
Поэтому состояние системы в общем случае можно представить
как
х(7) = ф[£; £o,x(fo), (0(f)] при G) е Q, (13.1)
где точкой с запятой отделен главный аргумент функции, по кото-
рому происходит развитие процесса. Множество значений вектора
x(t), характеризующее состояние системы, а следовательно, и ее
траекторию движения в пространстве, называется пространством
состояний. Его принято обозначать через X. Если далее положить,
что все моменты времени, в течение которых происходит развитие
процесса, принадлежат множеству Т, то выражение для определения
состояния системы в более общей форме можно представить как
Ф = { ф : Т х Т х X х Q -> X} , (13.2)
означающее, что на множестве X и множестве, образованном произ-
ведением ТхТхХх Q, задано соответствие (правило) ф такое, что
новое множество (представляющее собой произведение множеств)
отображается в множество X, образуя множество отображений Ф.
Поскольку ф устанавливает функциональную связь упорядоченных
четверок в виде f, to, <o(t) с множеством X, содержащим пе-
ременные состояния то по своему физическому смыслу ф
— есть переходная функции состояния системы. Для обеспечения
однозначности введенного понятия переходная функция состояния
должна удовлетворять ряду требований, сводящихся к следующему.
1. Переходная функция состояния определяется для всех t to,
а при t = to должно быть справедливо равенство
459
<p[io,x(to), <»(io)] = x(io)
(13.3)
для всех t eT; x eX; (D e Q.
2. Текущее состояние системы должно быть однозначно опреде-
лено, если известно ее начальное состояние и входное воздействие
на рассматриваемом интервале времени, т. е.
x(i) = q>[i;io,x(/o), to(t0,t)]. (13.4)
Систему, отвечающую данному условию, принято называть динами-
ческой.
3. Одно и то же входное воздействие (О должно определять со-
стояние системы на конце рассматриваемого интервала времени не-
зависимо от конкретного времени приложения его внутри этого ин-
тервала, т. е.
ф [^кч ф [t-i Ъч x(to), ч (13.5)
для всех хеХ; (О G Q и to < t < 6 Т.
При известной переходной функции состояния системы и задан-
ном входном воздействии не представляет труда найти выходную ве-
личину или вектор выходных переменных системы y(t). Поскольку
y(t) зависит от входного воздействия, запишем
y(0 = ¥[*;x(i)], (13.6)
где ф — оператор выхода системы.
Хотя на выходные переменные и не накладывают особые ограни-
чения, отображение ф должно принадлежать некоторому множеству
Т, которое в общей форме может быть представлено в виде
Ф = {ф:ТхХчУ}, (13.7)
где У — множество, которому принадлежат все yi(t).
Отметим далее, что динамическую систему называют свободной,
если множество допустимых входных воздействий содержит только
один элемент, т. е. если движение системы происходит только в силу
наличия начальных отклонений.
Значительное место в теории систем занимают системы, для ко-
торых множество моментов времени Т представляет собой числовую
ось вещественных чисел, а множества допустимых значений вход-
ных воздействий и состояний системы есть векторные пространства.
460
Потребуем также, чтобы переходная функция состояния (13.2) была
непрерывным отображением в любой точке х е X для каждого t е Т.
Переходная функция такой системы, называемой обыкновенной ди-
намической системой, будет представлять собой решение дифферен-
циального уравнения вида
^x(t) = F[t;x(i), <o(i)] (13.8)
at
с начальными условиями x(to) = хо для всех ^6Т,хеХише Q.
Заметим, что функция F[t; x(t), <o(t)] в (13.8), определяемая
д
как — ф[<; t0, x(i0),
«>(<)], называемой производящей. В отдель-
ных случаях отображение (13.7), характеризующие выход системы,
не зависит от t и, следовательно,
y(i) = ф(х).
(13.9)
Такого рода динамические системы называют стационарными
или системами с независимыми параметрами.
Динамические принято подразделять на системы с непрерывным
и дискретным временем в зависимости от того, является ли Т мно-
жеством всех вещественных чисел или множеством только целых чи-
сел.
Если из совокупности входных воздействий выделить те, кото-
рые предназначены для изменения состояния системы некоторым
предписанным образом, то в отличие от возмущений они будут на-
зываться управлением. Вектор управления обозначают через u(t).
При этом динамическую систему, подверженную действию управле-
ния, принято рассматривать как объект управления. Под объектом
управления может пониматься и ЛА и корректируемая навигацион-
ная система. В теории систем под управлением понимается осуще-
ствление целенаправленного действия, в результате которого объект
управления совершает изменение своих параметров (в том числе
движения) так, что обеспечивается экстремум наперед заданного
критерия. Для того чтобы более строго сформулировать задачу упра-
вления, введем предварительно ряд новых понятий. Прежде всего
отметим, что целенаправленное изменение состояния объекта упра-
вления приводит и к изменению вектора выходных переменных.
Другими словами, на множестве Т х X х Y может быть выделено
множество Go С Т х X х Y, называемое целевым множеством,
461
элементами которого являются значения х, у, t. По аналогии из Q
выделим множество U, являющееся множеством допустимых упра-
влений.
В качестве количественной оценки эффективности управления в
теории систем выступает функционал, называемый критерием или
показателем качества управления. Указанный функционал в общем
случае зависит от значений входных и выходных величин, состояния
объекта и его свойств, определяемых переходной функцией и опера-
тором выхода системы,
I = /(и,у,х, ф, y,t). (13.10)
В случае придания t значения времени достижения t^, т. е. вре-
мени, при котором происходит пересечение множества значений
(p[to, x(to)u], x(t)] со множеством Go и выборе u(t) из множе-
ства допустимых управлений, функционал I принимает конкретное
значение Д. Имея в виду сформулированные вводные понятия, мож-
но дать определение общей задачи управления как задачи нахожде-
ния для каждой из точек (£о,хо), называемых фазой динамической
системы, допустимого управления u(t) 6 U, преобразующего фазу
таким образом, что
{ф[£; t0, x(t0), u(i)], x(t) ]} ПС0 (13.11)
и минимизирующего функционал I на момент времени достижения.
Символ П в (13.11) обозначает пересечение множеств.
Свойством, определяющим возможности целенаправленного из-
менения координат, является управляемость. Управляемость дина-
мической системы характеризует условия, при которых переходная
функция ф: Т х Т х X х Q —> X для текущего состояния системы,
задаваемого зависимостью (13.4), существовала бы и была отлична
от нуля для всех управлений u(t) Е Qo- Другими словами, задача
определения управляемости заключается в нахождении условий, при
которых имеет место управление u(t), способное перевести систему
из состояния x(to) в состояние x(t^). Нетрудно предположить, что
далеко не все из возможных управлений u(t) способны обеспечить
полное решение рассматриваемой задачи. Более того, может оказать-
ся, что вообще будет отсутствовать непустое множество Qo, т. е. си-
стема будет неуправляемой.
462
Реализация управления (в частности, управления по принципу
обратной связи) требует знания текущего состояния системы x(t),
определяемого по значениям наблюдаемой выходной переменной
y(t). Задача анализа наблюдаемости динамической системы — уста-
новление условий, при которых существует отображение i|f: Y —> X
и оно отлично от нуля для всех y(t) е Y и x(t) 6 X.
Процедура наблюдения технически реализуется с помощью ка-
нала измерений, который по аналогии с теорией автоматического ре-
гулирования часто называют обратной связью. Принято различать
полную, неполную и стохастическую обратные связи. Наличие пол-
ной обратной связи предполагает, что в каждый момент времени t все
координаты x(t) можно измерить абсолютно точно, т. е. y(t) = x(t).
Сюда же относят и случай, когда в (13.6) размерность вектора выход-
ных (измеряемых) переменных системы больше или равна размерно-
сти вектора состояния (р г) и для (13.6) существует такое обрат-
ное преобразование, что x(t) = f [y'(t)], где y'(t) — р-мерный век-
тор, составленный из компонент y(t). Для неполной обратной связи
в соотношении (13.6) размерность р < г либо, если р г, пре-
образования типа x(t) = f [y'(t)] не существует. При наличии сто-
хастической обратной связи правая часть соотношения (13.6) будет
содержать слагаемое в виде р-мерного вектора шумов измерений, ха-
рактеризующего случайный процесс с известными вероятностными
характеристиками.
С математической точки зрения определение условий наблю-
даемости динамической системы адекватно исследованию вопроса
существования и единственности решения задачи нахождения век-
тора оцениваемых параметров по вектору измеряемых параметров.
Под условием наблюдаемости будем понимать такое, при котором
единственное решение задачи определения и анализа движения су-
ществует. Термин наблюдаемость был впервые введен Р. Калманом
[7, 41]. Им же был сформулирован в самом общем виде критерий
наблюдаемости для линейных систем. Несколько позднее Н.Т. Ку-
зовковым [57] был предложен простой критерий наблюдаемости
для стационарных динамических систем, а Ю.М. Костюковский
[52] — разработал локальный критерий наблюдаемости для нели-
нейных систем.
Следуя подходу, использованному в работе [14], предварительно
рассмотрим процедуру определения наблюдаемости как структурно-
го совокупного свойства модели движения и измеряемых функций на
463
примере простых частных случаев. Пусть движение ЛА описывается
системой нелинейных дифференциальных уравнений
^-Xn(t) = Fn(t; Xi, Х2, , хк) (n = 1, ..., k), (13.12)
at
а измерениям подлежат все компоненты вектора состояния x(t), при-
чем измеренные значения точно соответствуют их истинным, т. е.
Ут = = l,2,...,fc). (13.13)
В данном случае со всей очевидностью можно утверждать, что в си-
лу тождественности (13.13) выполнение условия наблюдаемости бу-
дет зависеть только от модели движения. Исходя из условий теоремы
существования и единственности решения дифференциальных урав-
нений движение будет наблюдаемым, если правые части уравнений
системы (13.12) и их частные производные dFn/dxm существуют и
они непрерывны на интервале наблюдения [О, Т]. Несколько услож-
ним задачу. Будем считать, что модель движения не задана, а измеря-
емые параметры являются функциями фазовых координат:
Ут = ^(ii,^,...,^;*) (m = 1,2,..., fc). (13.14)
В этом случае условие наблюдаемости будет совпадать с условием
теоремы существования неявных функций
ут- Xlfm(.X1,X2,...,Xk-,t) =0, (13.15)
оговаривающем возможность выполнения обратного однозначного
соответствия между x(t) и y(t).
Для этого достаточно, чтобы матрица
’ ду]_ дуг ду\ '
9у"1т дх\ дХ2 дхк
о (13.16)
_(7Xj дук дук дук
. дх\ дХ2 dxki -
была бы невырожденной на интервале [О, Т]. Напомним, что ква-
дратная матрица А называется невырожденной (неособенной), если
имеет обратную матрицу А-1, определяемую условиями АА-1 =
464
= A-1 A = E, где E — единичная матрица, диагональные элемен-
ты которой равны единице. В качестве следующего модельного слу-
чая обсудим ситуацию, отвечающую неодинаковой размерности фа-
зового пространства и пространства измерений. Пусть, как и ранее,
движение ЛА описывается системой дифференциальных уравнений
(13.12), а измерениям подлежит только один т-й параметр у из чи-
сла значений, задаваемых зависимостью (13.14). Тогда измеряемый
параметр ут = Ут^хю, ..., xko;t), зависящий от к начальных усло-
вий, следует рассматривать как решение обыкновенного дифферен-
циального уравнения к-го порядка
1” Jik-1-!"••• + Оо^Ут = 0. (13.17)
dtK----------------------------------------dtK 1
Уравнение (13.17) путем понижения порядка может быть приве-
дено к системе к уравнений первого порядка, в результате реше-
ния которой получим все компоненты фазового вектора ym(t), т. е.
(dym dk~1ym\
ут, —г~, ••• , bi . Поскольку исходное дифференциальное
at dtK 1 /
уравнение и отвечающая ему система эквивалентны, между их ре-
шениями должно существовать взаимно-однозначное соответствие,
т. е.
(,\ ? ( dym
Ут\1) I Ут, dt ’
dk
dtk~r
(13.18)
Тогда уравнения движения и уравнения измерений можно заменить
некоторой системой функций, построенных следующим образом:
Ут(1} — Ym,l (^К ’ , %к‘, 0,
dym=^ 9^п,1±
dt n=i дхп
d^ym = Д
dtk~r П=1 дхп Хп dt
Ут,к ,
, %к, •
Полученные зависимости представляют собой систему неявных со-
отношений
Ут,тЛ^,--- ,Xk’t) = 0 (n = 1, 2, ..., fc), (13.19)
465
для которой условием наблюдаемости служит условие невырожден-
ности матрицы теперь уже вида
9Чт,1
4х — 1 т — dxi 9 Ут,к дх2 9 Ут,к 9xk 9 Ут,к (13.20)
dxi дХ2 дхк .
на интервале времени [О, Т]. Здесь недостающая размерность про-
странства измерений по сравнению с фазовым пространством состо-
яния компенсируется за счет информации о динамике ЛА, содержа-
щейся в уравнениях его движения.
Рассмотрев частные случаи, перейдем к получению искомого ре-
зультата для общего случая. Систему модели движения и измеряе-
мых функций представим в виде
^-xn(t) = Fn(xi, Х2, • • •, xr; t), (13.21)
at
Ут = vm(zi, Х2, Xr, t) (т = 1, ..., р,), (13.22)
причем г — р характеризует число неизмеряемых параметров движе-
ния.
Для любого измеряемого параметра из числа ут{т = 1,..., р)
может быть составлена матрица типа (13.20). Объединив р таких ма-
триц, получим матрицу наблюдаемости для вектора-функции y(t)
¥= Vm,p]T- (13.23)
Теперь можно сформулировать условие наблюдаемости для систе-
мы, задаваемой в форме уравнений (13.21), (13.22): система будет
наблюдаемой на интервале [0, Т] тогда, когда правые части урав-
нений {13.21) удовлетворяют условиям теоремы существования и
единственности решения и ранг матрицы {13.23) равен г. Следует
подчеркнуть, что сформулированный критерий характеризует усло-
вие локальной наблюдаемости нелинейных систем, т. е. действие его
распространяется лишь на некоторую окрестность исследуемой точ-
ки фазового пространства.
Таким образом, получение условий наблюдаемости для линей-
ных стационарных систем уже не вызывает особых трудностей. Из
466
выражения вектора наблюдаемых координат y(t) = Cx(t) и уравне-
ния состояния —х (t) = Ax(t) + Bu(t) найдем
dt
y(t) = Cx(t),
y(t) = CAx(i) + CBu(i), (1324)
y(i) = CA2x(t) + CABu(i) + CBu(i),
где y(t), y(t), y(t) характеризуют реализацию вектора y( т) и его
производных на интервале наблюдения.
Если теперь составить матрицу
Н= [Ст, АТСТ, (Ат)2Ст, (АТ^С7/, (13.25)
то система будет наблюдаемой тогда, когда в матрице Н имеется г ли-
нейно независимых столбцов, что эквивалентно случаю, когда ранг
матрицы будет равен размерности вектора состояния. Именно в этом
случае матрица Н будет невырожденной.
Рассмотрим простейший пример, иллюстрирующий возмож-
ность установления условия наблюдаемости для стационарной ди-
намической системы посредством анализа матрицы Н, задаваемой
зависимостью типа (13.25). Проанализируем два варианта невоз-
мущенных моделей линейных систем, состояние которых отвечает
уравнению вида
О
О
1 1 Г <Е1 (<)
О
1
£ *1 (О
dt Х2 (f)
О J Х2 (t)
u(i),
а различие заключается в виде представления вектора наблюдаемых
координат y(t), точнее, в содержании матрицы наблюдения С. Для
первого варианта С = [1,0] и, следовательно, измерению подлежит
компонента xi(t), для второго — С = [0,1], что соответствует изме-
рению производной от a?i(t), т. е. ii(t) = xz(t). Конкретизацией дан-
ной схемы может служить, например, сближение ЛА с целью вдоль
линии визирования при измерении на борту в первом случае величи-
ны относительной дальности D, во втором — только скорости сбли-
жения D без измерения D.
467
Найдя для первого варианта значения транспонированных
матриц
Ст =
, АТСТ =
представим матрицу Н =
Ранг матрицы — такое число Ji, где, по крайней мере один
определитель Ji-ro порядка, получаемый из этой матрицы при вы-
черкивании некоторых столбцов и (или) строк, отличен от нуля, а
все определители (Ji + 1)-го порядка равны нулю. Очевидно, что для
рассматриваемого случая Ji = г = 2, что свидетельствует о полной
наблюдаемости системы.
Если ранг квадратной матрицы Н равен ее размерности, т. е. если
Ji = г, она является невырожденной, следовательно, ее детерминант
не должен равняться нулю (det Н ± 0).
0 0
Для второго варианта Н =
детерминант равен нулю.
1 0
Поэтому система не является полностью наблюдаемой. Действитель-
но, по наблюдениям только скорости сближения и при отсутствии по
крайней мере начальной относительной дальности определить теку-
щую величину D не представляется возможным.
Наличие взаимосвязи условий управляемости и наблюдаемости
динамических систем также впервые было установлено Р. Калманом.
Согласно доказанной им теореме при полной управляемости сопря-
женной системы исходная полностью наблюдаема и наоборот.
Данное обстоятельство позволяет при анализе наблюдаемости
стационарных динамических систем использовать критерий Н.Т. Ку-
зовкова, а также разработанный им достаточно простой алгоритм,
отвечающий применению данного критерия [57].
Суть условия полной управляемости, отвечающего критерию
Н.Т. Кузовкава, заключается в следующем.
Система будет полностью управляемой, если имеет место невы-
полнение тождества
Д1 + (>2 Д2 + ... + Сг — о,
(13.26)
468
где Ci — произвольно выбираемые постоянные, среди которых хо-
тя бы одна отлична от нуля; Л* — определители, отвечающие ка-
ждой из переменных состояния. Их получают из определителя систе-
мы заменой столбца, соответствующего рассматриваемой перемен-
ной, столбцом из правых частей системы —x(t) = Ax(t) + Bu(t).
dt
Другими словами, если определитель Д5 представляет собой опреде-
литель системы, записанный для скалярных уравнений, полученных
переходом от матричного уравнения к скалярной системе в области
изображений по Лапласу
S — <2ц Я12 <11г
Д? = -Я21 S - Я22 — Д2г , (13.27)
&rl аГ2 s dj'j'
Ai (г = 1,..., г) будут иметь вид
то частные определители
Ьц2/1 + . . . + b\pUp, —<112, • • • , <11г
^21^1 + • • • + bzpUp, ($ — <122), • • • , —^2r
Ьр 1*111 H- • • • brpUp, О'г2ч • • • , CLtt')
(13.28)
S ~ <111, _ ^12? • • • ? ^11^1 ••• b\pUp
-Д21 = (s - ^22) , • • • , ^21^1 + • • • + bipUp
<lpl, <lr2, • • • , bj' 1U1 -j- . . . brpUp
Достоинством подхода, базирующегося на применении критерия
Кузовкова, является то, что он позволяет не только ответить на во-
прос, наблюдаема система или нет, но и определить основные напра-
вления, следуя которым можно обеспечить условие наблюдаемости.
13.2. Наблюдающие устройства и алгоритмические
аспекты их синтеза
Рассмотрим общую постановку задач синтеза наблюдающих
устройств в вариантах построения асимптотических r-мерных вос-
становителей состояния линейных стационарных систем и восста-
новителей состояния размерности меньше г.
469
При решении многих задач, в том числе и задач наведения БР,
часто приходится иметь дело с ситуацией, когда далеко не все ком-
поненты вектора состояния доступны прямым измерениям.
Цель анализа заключается в том, чтобы для стационарной систе-
мы восстановить вектор состояния x(t) или найти замену (оценку)
этого вектора по данным о входах u(t) и выходах у (£) системы. Оцен-
ку вектора состояния системы обозначим x(t). Близость оценки x(t)
к истинному значению вектора x(t) будем трактовать как стремление
ошибки оценки к нулю, т. е. x(t) — x(t) —> 0 при t —> ос, либо как
точное совпадение x(t) с x(t) в момент t = to после наблюдения вы-
ходных переменных системы в течение конечного отрезка времени.
Математической основой построения динамической системы,
называемой восстановителем состояния, служит априорная ин-
формация о взаимосвязи измеряемых параметров и определяемых
компонент вектора состояния объекта.
Поскольку для стационарной системы матрицы состояния А,
управления В и наблюдения С известны, естественной является
мысль использовать в качестве такой априорной информации ма-
тематическую модель системы, формирующую восстанавливаемый
вектор состояния xB(t) по данным о его входе и выходе. Предвари-
тельно обсудим недостатки простейшего восстановителя состояния,
работающего по информации о входе системы, не корректируемого
информацией о ее выходе (рис. 13.2, сплошная линия). При совпа-
дении начальных состояний системы и восстановителя ее состояния
и подаче на вход последнего того же воздействия, что и на вход
реальной системы, на выходе восстановителя будем иметь иско-
мое значение xB(t) = x(t). Вопрос заключается только в том, как
обеспечить идентичность начальных состояний. Хотя он в принци-
пе и решается [6], восстановитель, у которого начальное состояние
должно вычисляться и фиксироваться в каждый момент времени
его функционирования, весьма неудобен в работе. Более существен-
ным недостатком рассматриваемого восстановителя является его
неустойчивость, под которой понимается следующее. Если матрица
А имеет характеристические числа с положительной вещественной
частью, то даже незначительное расхождение между хв(^о) и x(to)
приведет к последующему росту рассогласования, тем большему,
чем больше величина положительной вещественной части характе-
ристических чисел А. По этой причине разомкнутые восстановители
470
Рис. 13.2. Математический аналог схемы восстановителя
фазового состояния динамической системы
состояния (без обратной связи) не удовлетворяют предъявляемым к
ним требованиям.
Использование информации о выходе системы y(t) дает возмож-
ность сформировать обратную связь (см. рис. 13.2, пунктирная ли-
ния) в целях повышения точности определения восстанавливаемого
состояния. На вход замкнутого восстановителя поступает инфор-
мация как о входном воздействии, так и о реакции системы на это
воздействие, т. е. информация о выходе системы. Выход системы
y(t) = Cx(t) сравнивается с сигналом восстанавливаемой реакции
yB(t) = CxB(t) и их разность используется для формирования кор-
ректирующего воздействия. Предварительно полученное значение
рассогласования умножается на матрицу коэффициентов усиления
К, от выбора значения которой существенно зависят динамические
свойства систем.
Математическая модель рассматриваемого восстановителя со-
стояния линейной стационарной системы —x(t) = Ax(t) + Bu(t),
dt
y(t) = Cx(t) будет иметь вид
= AxB(t) + К [y(t) - Cx(t)] + Bu(t). (13.29)
dt
Элементарные преобразования приводят к следующей форме
представления уравнения (13.29):
^xB(t) = [А - КС] xB(t) + Ky(t) + Bu(t).
dt
(13.30)
471
Если потребовать теперь, чтобы все собственные числа матрицы
[А — КС] имели отрицательные действительные части меньше — о,
то компоненты вектора ошибки xB(t) будут стремиться к нулю с
градиентом не меньшим, чем 1ог. Данное обстоятельство дает осно-
вание отнести рассматриваемый восстановитель состояния к числу
асимптотических.
Желаемая динамика восстановителя может быть обеспечена
только при условии, если стационарная линейная система наблю-
даема. Наконец обратим внимание на то, что размерность данного
восстановителя будет равна размерности системы, т. е. будет иметь
место r-мерный восстановитель состояния.
Очевидно, что при разработке восстановителей состояния следу-
ет стремиться к понижению их размерности, если при этом будут со-
храняться или незначительно ухудшаться их свойства в части оценки
требуемого количества компонент вектора состояния динамической
системы. Восстановители размерности (г — р) где р — число линей-
но независимых выходов, часто связывают с именем Д. Луенбергера,
одного из основоположников теории наблюдения линейных детер-
минированных систем.
Краткий обзор ее выводов, касающихся построения (г — р)-
мерных восстановителей, приведем для модели восстановителя
состояния однородной стационарной системы —x(t) = Ax(t) с
at
уравне-
нием наблюдения y(t) = Cx(t). В качестве такой модели выступает
векторно-матричное уравнение вида
4z(t) = Дг(<) + QCx(i), (13.31)
at
где Q — матрица размерности q х р, Д — (q х д)-мерная матрица.
Можно предположить, что существует такая матрица Т размерности
q х г, для которой справедливо равенство
ТА-ДТ = С}С. (13.32)
Тогда решение (13.31) может быть представлено в форме
z(t) = Tx(t) + ед< [z(0) - Tx(0)] (13.33)
и, следовательно, если Д — устойчивая матрица, то z(t) —> Tx(t)
при t —> оо для любых z(0) и х(0), причем Т — решение уравнения
472
(13.32). Итак, задача заключается в том, чтобы выбрать Д и Q таки-
ми, при которых решение Т имело бы заданный ранг (г — р). В этом
случае р компонент вектора выхода и г — р переменных состояния
восстановителя дают г линейно независимых комбинаций перемен-
ных состояния системы. Их решение относительно г неизвестных
приводит к получению всех компонент восстанавливаемого вектора
состояния. При формировании управления u(t) решение уравнения,
эквивалентного (13.31), для соответствующей модели системы выра-
жается в форме
j
-z(f) = Hz(t) + QCx(£) + TBu(t) (13.34)
dt
при том же условии удовлетворения матрицы Т уравнению (13.32).
13.3. Теорема разделения и ее применение при решении задач
навигации и управления
Известно, что в детерминированной теории оптимального упра-
вления не делается различий между системой с обратной связью
и разомкнутой. Это связано с тем, что сигнал ошибки, определя-
емый в виде разности между текущим и требуемым значениями
регулируемого параметра, в детерминированных системах прини-
мается равным точным неслучайным значениям вне зависимости от
того, находится ли соответствующая разность при использовании
программного или измеренного значения параметра. В этом случае
система, оптимальным образом отреагировавшая на сигнал ошибки,
будет оптимальной. Совсем иначе дело обстоит в стохастических
системах или системах со стохастической обратной связью. Нали-
чие помех уже создает существенные различия между замкнутыми
и разомкнутыми системами с точки зрения получения оптималь-
ного решения. Успешное решение задачи наведения в этом случае
возможно только при совместном определении как оптимального за-
кона управления, так и оптимального выделения полезного сигнала
при измерениях, проводимых на фоне шумов. В общем случае во-
просы оптимизации измерительной и формирующей частей системы
наведения неразделимы. Однако общей теории синтеза такого рода
оптимальных систем пока еще не создано. Преодоление имеющихся
трудностей может быть осуществлено на основе использования тео-
ремы разделения и базирующегося на ней принципа стохастической
эквивалентности.
№
Поскольку указанный результат имеет для решения задач наведения фундамен-
тальное значение, попытаемся разобраться в его существе. Предварительно полу-
чим выражение оптимального закона управления для линейной системы при пол-
ной обратной связи. Другими словами, будем считать, что располагаем абсолютно
точно измеренными детерминированными (неслучайными) компонентами вектора
состояния x(i). Известно [28,40], что линейной оптимальной системе отвечает ква-
дратичный критерий качества, функциональное выражение которого соответствует
зависимости (13.10). Для определенности воспользуемся квадратичным критерием
смешанного типа:
tk
I = i [ [xT(Z)Q](t)x(Z) + ur(Z)Q“(13.35)
Z Z J
to
где Qfc и Qj — симметричные, положительно-полуопределенные матрицы; Q2 —
положительно-определенная матрица.
Первое слагаемое в (13.35) представляет собой терминальную или финитную
составляющую критерия, принимающую конкретное значение, соответствующее
моменту времени окончания процесса управления t = tk. Интегральное слагаемое
характеризует переходный (текущий) критерий, для которого экстремум ищем в ка-
ждый текущий момент времени t, зависящий от управления u(i) и вида переходной
функции состояния ф.
Для нахождения оптимального закона управления, минимизирующего крите-
рий (13.35), необходимо записать функцию Гамильтона, в общем случае предста-
вляемую в форме
Яу(ф, х, и) = (р(х,и)+фгх (13.36)
. дНУ о г
и наити оптимальное значение и из условия экстремума функции = 0. Со-
пряженные (вспомогательные) переменные в (13.36) определяют при этом из диф-
ференциального уравнения
(13.37)
где A(i) — матрица состояния объекта.
Для рассматриваемого случая, отвечающего линейной модели системы
^x(i) = A(t)x(t) -I- B(i)u(i) , x(t0) = x0, (13.38)
at
имеем
Hy( ф, x, u) = (xTQxx + uTQ2 tu) + фг(Ах + Bu). (13.39)
Здесь и далее аргумент t опущен для упрощения записи. Вектор вспомогательных
переменных, определяемый из сопряженной системы (13.37), запишем в форме
у = —Ат у - 2QTx при y(tfc) = 2Qfcx(tfc).
(13.40)
474
Из условия экстремума Ну по и имеем
=BTy + 2Q;1u = 0, (13.41)
du
откуда
u° = - ^Q2Bt V. (13.42)
Подставив полученный результат в исходное уравнение состояния, найдем
^х = Ах-|bQ2BtY; x(to) = х0. (13.43)
В итоге получена система уравнений (13.40) и (13.43), позволяющая установить ли-
нейное соотношение между вектором состояния ЛА x(i) и соответствующим век-
тором сопряженных переменных у(£) в форме
y(i) = 2X(i)x(i), (13.44)
где X(i) — некоторое обобщенное матричное преобразование, a y(i) и х(£) —
векторные функции, удовлетворяющие уравнениям (13.40) и (13.43). Множитель
2 введен в (13.44) для того, чтобы исключить появление дробей при последующей
записи полученных соотношений. Продифференцировав по t правую и левую части
уравнений (13.44), найдем
у = 2Хх + 2Хх. (13.45)
Подстановка (13.45) в (13.40) с учетом (13.43) дает после соответствующих пре-
образований
2 (х + ХА + АТХ - XBQ2BtX + Q,) х = 0. (13.46)
В силу того, что требуется найти преобразование X(t), справедливое для любого
x(i), условие (13.46) будет удовлетворено, если матрица коэффициентов при х то-
ждественно равна нулю. Это будет иметь место при X, удовлетворяющих диффе-
ренциальному уравнению
X = -ХА - АТХ - Qi + XBQ2BtX, (13.47)
называемому матричным уравнением Риккати. Граничные условия для его ре-
шения однозначно вытекают из (13.43), (13.40) и (13.45). Учитывая, что у(£/с) =
= 2Qfcx(Zfc), получим X(ifc) = Qfc. Тогда, имея в виду (13.47), вследствие сим-
метрии Qfc найдем, что матрица X(i) симметрична при всех значениях t. Данное
обстоятельство приводит к следующему выражению для оптимального управления:
u° = —Q2BtXx (13.48)
или, обозначив матрицу коэффициентов усиления Q2BTX через К, запишем окон-
чательно
и° = —Кх. (13.49)
475
Так как Q2 — положительно-определенная матрица, оптимальное управление явля-
ется единственным из числа возможных.
Теперь перейдем к обсуждению системы со стохастической обратной связью.
На первый взгляд представляется, что стохастическая модель может быть получена
простым добавлением случайной составляющей к правой части детерминирован-
ного уравнения состояния системы (13.8). Однако это не так. Действительно, рас-
смотрим для общности детерминированную модель состояния системы
^x(t) = F[t; x(t), ©’(«)], (13.50)
at
где (О* (t) представляет собой вектор детерминированных входных воздействий, а
также «стохастическую» модель
4x(t) = F[t;x(t), ©*] + 1](х, t), (13.51)
at
где T)(x, t) — случайный процесс с заданными свойствами. К числу таких свойств
должны быть отнесены: независимость T](t) и Т|( т) при t / т, равенство нулю
его математического ожидания М[ T|(t)] = 0, непрерывность и наличие конечной
дисперсии. Почему выбраны именно эти свойства? Условие конечной дисперсии
вытекает из реальных свойств действующих на ЛА возмущений; непрерывность
есть следствие выбора класса модели в виде системы дифференциальных уравне-
ний. Требование равенства нулю математического ожидания не является слишком
строгим. Оно не ограничивает общности рассуждений и всегда может быть выпол-
нено за счет выбора функции F[«]. Наконец, требование независимости Т| (t) и Т| (г)
диктуется тем, что в противном случае вероятностное распределение dx./dt будет
зависеть не только от текущего состояния (что необходимо для данной модели), но
и от его предыстории.
При оговоренных условиях интеграл от Т|( т) существует, а его математическое
ожидание равно нулю, т. е. М Т|( т)с/ т = 0. Существует и средний квадрат произ-
водной, который в силу ограниченности дисперсии и независимости T](t) и Т|( т)
будет также равен нулю, M[r|2(i)] = 0, на основании так называемого неравен-
ства Шварца. Следовательно, траектории движения, отвечающие моделям (13.50) и
(13.51), полученным в результате интегрирования рассматриваемых уравнений, бу-
дут совпадать в среднем квадратическом. Таким образом, модель системы в форме
(13.51) не будет удовлетворять стохастической модели состояния с желаемыми ста-
тистическими свойствами. Для получения корректной стохастической модели со-
стояния системы с непрерывным временем следует использовать стохастические
дифференциальные уравнения. При этом ослабляется требование конечности дис-
персии действующего возмущения. Это приводит к снижению уровня адекватности
получаемой модели по отношению к реальному процессу, но позволяет упростить
исследование. Поскольку Т)(£) в стохастических моделях не имеет конечной диспе-
рсии, то не будет ее и у производной dx./dt. Следовательно, ожидать существование
процесса dx./dt мы не можем. В связи с этим стохастические дифференциальные
уравнения записываются в форме
dx = F(x, t)dt + о(х, t)dx\. (13.52)
476
Векторную функцию F(x, t) при этом называют вектором сноса (коэффициентом
сноса для одномерного случая), а матрицу о(х, t) — матрицей диффузии (коэф-
фициентом диффузии). При этом среднее направление траекторий процесса х(/),
прошедших в момент т через соответствующую точку х( т), характеризует вектор
сноса, а степень разброса случайных траекторий диффузионного процесса (размы-
тость траекторий) определяет матрицу диффузии.
Стохастическое дифференциальное уравнение будет называться линейным,
если функция F линейная по х и о не зависит от х. В канонической векторной
форме это уравнение, являющееся стохастическим эквивалентом модели (13.38),
имеет вид
dx = [Ах -|- Bujcit + с/Т),
(13.53)
где Т)(/) — r-мерный винеровский процесс с нулевым средним значением и ко-
вариацией приращения Rnc//, причем Rn — симметричная и неотрицательно-
определенная ковариационная матрица, элементы которой могут быть кусочно-
непрерывными функциями времени.
Решение (13.53) приведет к получению множества траекторий, исходящих из
начальной фазы х(/о).
Критерий (13.35) для рассматриваемого случая будет теперь также стохастиче-
ской переменной, по которой непосредственно нельзя определить, что понимается
под его минимальным значением. В этом смысле от критерия в форме (13.35) здесь
целесообразно перейти к его математическому ожиданию, т. е. записать
M[Z] =
+ У [*r(t)Qi(t)x(t) + uT(t)Q2 '(t)u(t)] dt\. (13.54)
В отличие от детерминированного случая, для которого оптимальное управление
и° было определено в функции точно известного состояния х(£), в случае стоха-
стической обратной связи u°(t) уже является функцией Yt = {у( т), to т t}.
Причем условное распределение х(/) относительно Yt будем считать нормальным,
характеризуемым средним значением х(/) и ковариационной матрицей P(t).
Покажем, что терминальный член (13.54) может быть записан при этом в виде
XfcQfcXfc = xT(t0)X(t0)x(t) + f d(x'Xx).
(13.55)
Данная форма записи вполне справедлива, учитывая, что X(/fc) = Qfc, а
XfcXfcXfc = хг (t0)X(t0)x(t) + у* d(xTXx).
to
(13.56)
477
Так как x(i) представляет собой решение стохастического дифференциального
уравнения (13.53), дифференциал под знаком интеграла не подчиняется правилам
обычного исчисления. Значение его, полученное в ряде источников (см., например,
[93, с. 313]), приведем здесь без вывода
d(xTXx) = [ — utQ2”1ii — xTQxx + (u + Q2BTXx)Tx
х 1 (и + Q2BTXx)j dt + SpRXdi + dnTXx + xTXdn, (13.57)
где n(i) — вектор ошибок измерений (измерительный шум), а через Sp обозначен
след (шпур) соответствующей квадратной матрицы, под которым принимают сумму
ее диагональных элементов, т. е. Sp R = ^2( бд)«. Подставив (13.57) в (13.55),
г=1
получим
tk
x*Qfcxfc = xT(«o)X(to)x(to) - / [xTQjX + uTQ2 lu] dt+
to
tk
+ y”(u + Q2BtXx)tQ71 (u + Q2BtXx) dt+
to
tk tk tk
+ SpRXdf + У dnTXx + У xTXdn. (13.58)
to to to
Перенеся в левую часть равенства второй член, стоящий в правой части, найдем
окончательно
tk
XfcQfcXjt + У [xTQjX + utQ2 ги] df = XqX(Zo)xo+
«о
«к
+1 (u + Q2BTXx)TQ2’1(u + Q2BTXx)dt+
to
tk tk tk
+ У SpRXdZ + У dnTXx + yxTXdn. (13.59)
to to to
Для детерминированной системы T|(i) = n(i) = 0 и в силу единственности опти-
мального управления и0 = — (ЗгВтХх получим, что при реализации и0 критерий
(13.35) примет минимальное значение
tk
mini = xlQfcxfc + У [xTQxx + ifQ^u] dt = XoX(io)xo +
to
478
tk
+ y\u° + Q2BTXx)TQ2 ^u0 + Q2BTXx)dt = xJ,X(t0)x0. (13.60)
to
Для случая же неполной стохастической информации о состоянии системы мини-
мальное значение квадратичной функции потерь M[Z] будет равняться [93]
minM[/] = minM xiQfcXfc +
tk
У [xTQjX + ifQ^u] dt
to
tfc
= M [xToX(£o)xo] + SpX(fo)Ro + y*(SpXR)df+
to
tfc
+ У (SpXBQ2XP)dt. (13.61)
to
В (13.61) первое слагаемое определяет вклад в minM[Z] начального состояния си-
стемы. Второе слагаемое, содержащее в виде множителя начальную ковариацион-
ную матрицу Ro, обусловлено неопределенностью начального состояния. Третий
член связан с действием на систему случайных возмущений, а последний — с не-
определенностью в оценке состояния.
Указанное минимальное значение М[1] будет достигаться при Р, не зависящем
от u(i), тогда и только тогда, когда оптимальное управление, являющееся един-
ственным, как и для детерминированного случая, определяется в форме
и° = —Кх = -KM[x(t)|Y(]. (13.62)
Сопоставление (13.49) с (13.62) дает основание считать обсуждаемую теорему до-
казанной.
Из теоремы разделения следует допустимость декомпозиции
общей задачи стохастического управления на задачу синтеза опти-
мального фильтра, формирующего оценки состояния системы в виде
условного среднего при заданных наблюдениях выходных сигналов,
и задачу формирования линейной обратной связи системы управле-
ния (наведения) при использовании матрицы коэффициентов уси-
ления, полученной для детерминированной системы. Следствием,
вытекающим из этой теоремы, является возможность использова-
ния схем последовательной оптимизации управления и наблюдения.
Согласно данной схеме сначала определяют оптимальное управле-
ние, минимизирующее выбранный критерий качества для случая,
когда шумы наблюдений отсутствуют. Затем решается задача опти-
мального оценивания вектора состояния, минимизирующая соот-
ветствующую функцию потерь. Полученные оптимальные оценки
479
Возмущения и помехи
от внешней среды
Рис. 13.3. Схема, иллюстрирующая принцип использования
теоремы разделения
фазовых координат вводят (рис. 13.3) в часть системы, формирую-
щую управление, вместо непосредственно измеряемых параметров
движения. Полученная таким образом система наведения будет обес-
печивать требуемое качество процесса управления и одновременно
использовать оптимальным образом переработанную измеритель-
ную информацию. Теорема является строго доказанной, если функ-
ция наблюдения представляет собой линейную функцию величин,
определяющих состояние системы, а сама система линейна. Теоре-
ма может быть распространена при малых ошибках измерений и на
нелинейный случай.
13.4. Введение в теорию оптимальной фильтрации
Под оптимальной фильтрацией обычно принято понимать про-
цесс определения наиболее вероятных значений полезного сигнала,
сопровождаемого при измерениях случайными искажениями (поме-
хами, шумами).
Стохастическая навигационная система, как и любая другая си-
стема, будет называться оптимальной по некоторому критерию, если
структура и значения ее параметров доставляют экстремум (мини-
мум или максимум в зависимости от физического смысла) этому кри-
терию. Однако применительно к НС существуют частные особенно-
сти, на которые уместно обратить внимание. Первая из них заключа-
ется в том, что речь идет о статистической оптимизации. Поэтому в
рассматриваемом случае мы можем говорить о системе, оптималь-
ной только по отношению к множеству реализаций процесса изме-
рений. Вторая особенность обусловлена выбором критерия. Форму-
лировка его неразрывно связана с использованием понятия ошибки
480
У«
Рис. 13.4. Определение ошибки оптимальной многомерной
линейной системы обработки измерительной информации
преобразования входного сигнала. Под ошибкой будем понимать век-
торную величину, определяемую как
A(f) = y*(f)-y(f), (13.63)
где y(t) — вектор наблюдаемых параметров, отражающий только по-
лезную составляющую обрабатываемого сигнала (рис. 13.4); у* (£) —
фактический вектор наблюдаемых параметров на выходе системы,
представляющий собой результат преобразования полного входного
сигнала, включающего как полезную составляющую y(t), так и по-
меху n(t). Сама ошибка A(t) является случайной функцией време-
ни, поэтому непосредственно не может служить критерием оценки
точности системы. Обычно в качестве критерия выбирают одну из
числовых характеристик этой случайной функции. Наиболее прием-
лемо [39 — 41] использование среднего квадрата ошибки, имеющего
для векторной случайной функции A(t) вид
/(/)= M[AT(t) А(<)]-
(13.64)
Ошибка A(t) может быть выражена через математическое ожидание
Мд(£) и ее центрированное значение A(t)
А(0 = MA(f)+ A(f). (13.65)
Тогда
I(t) = MA(f) + M AT(f) A(f) .
(13.66)
Второе слагаемое в (13.66) — скалярная величина, равная следу
(шпуру) корреляционной матрицы Кд(£), т. е. сумме ее диагональ-
ных элементов. Следовательно, для каждой фазовой координаты
выражение (13.66) будет характеризовать средний квадрат ошибки,
определяемый зависимостью вида
Л(«)= %.(«) = М%(«)+ 4^(0. (13.67)
481
II n(z)
У(') X z(r)
с
-------У*(О=У(О
Рис. 13.5. Схема преобразования входного сигнала
Поскольку при М дг = 0, системы, обладающие ми-
нимальным средним квадратическим отклонением, называют опти-
мальными в смысле минимума среднеквадратической ошибки.
Применение этого критерия делает возможным получить реше-
ние задачи отыскания оптимального оператора преобразования вход-
ного сигнала с помощью математического аппарата корреляционной
теории, используя линейную, а следовательно, технически наиболее
просто реализуемую систему.
Пусть имеется некоторая многомерная система обработки изме-
рительной информации, носителем которой является сигнал
z(t) = y(f) + n(f). (13.68)
Требуется найти оптимальный оператор С, характеризующий эту си-
стему (рис. 13.5), позволяющий выделить полезный сигнал y(t) из
измерительного z(t) путем нахождения оптимальной оценки
y(t) = y*(t) = Cz(f), (13.69)
для которой подходило бы минимальное из всех возможных значе-
ний среднего квадрата ошибки. Очевидно, если выбранный оператор
линейного преобразования не обеспечивает минимума выбранного
критерия, то в отличие от (13.69) на выходе такой системы получим
сигнал Ух(<), представляющий собой результат преобразования z(t)
любым произвольным отличным от С оператором D, принадлежа-
щим тому же классу, что и оптимальный оператор
yj(i) = £>z(Z). (13.70)
Теперь, используя понятие ошибки (13.63), запишем условие мини-
мума среднего квадрата ошибки оптимальной системы как
M[(y*(i)-y«(y*W-y(0)]^
^M[(yJ(i)-y«(yt(i)-y(i))]. (13.71)
482
По существу в квадратных скобках записан квадрат модуля действи-
тельного вектора ошибки оптимальной (слева) и неоптимальной си-
стем. Известно, что минимизация математического ожидания ква-
драта модуля вектора ошибки эквивалентна минимизации математи-
ческого ожидания квадрата каждой компоненты вектора ошибки. Не
приводя здесь соответствующих математических выкладок доказа-
тельства, изложенного в [40, 96], укажем, что условие оптимально-
сти (13.71) идентично выполнению требования
M[(y*(i)-y(t))(ytW)T] = 0 (13.72)
иначе, заменив y*(t) и y|(t) их выражениями (13.69) и (13.70), най-
дем
M[(Cz(f)-y(f))(Pz(<] =0. (13.73)
Условие (13.73) является не только необходимым, но и достаточным.
Исходя из него можно найти выражение искомого оператора.
Линейная система может быть полностью охарактеризована ин-
тегральным оператором [40], который через весовые матрицы физи-
чески реализуемой системы выражается в виде
t
Cz(t) = У H(f, T2)z(T2)dT2;
to
t
Dz(t) = y*Hi(f, Ti)z(xi)dTi,
to
где H(t, T2) и Hi(t, Ti) — весовые матрицы или матрицы весовых
функций соответственно оптимальной и неоптимальной систем.
Напомним, что под физически реализуемой системой понимается
система, удовлетворяющая условию H(t, т) = 0 при х > t, огова-
риваемому при введении понятия весовой или импульсной переход-
ной матрицы системы [7]. Это условие отражает тот факт, что ника-
кая реальная система не может отреагировать в момент времени t на
входное воздействие, приложенное к ней позже этого момента. На
практике нет смысла учитывать все значения входного сигнала z(t),
начиная с момента включения системы в работу. В связи с этим
целесообразно ограничить класс рассматриваемых систем только та-
кими, память которых имеет ограниченную длительность Т. Для та-
ких систем весовые матрицы будут принимать нулевое значение при
483
всех т < t — T. Это приведет к изменению нижнего предела интегри-
рования в исходных выражениях, которые представим в следующем
виде:
t
Cz(i) = У H(i, t2)z( T2)dT2;
t-T
t
Dz(t) = У Hi(f, Ti)z( Ti) d Ti.
t-T
Подстановка (13.74) и (13.75) в (13.73) дает
г t
(13.74)
(13.75)
М
lt-т
t
= 0. (13.76)
t-т
Данное условие должно выполняться при любых значениях матрицы
Hi(t, Т1).
Следуя [90], внесем выражение в первых фигурных скобках под
знак второго интеграла и почленно умножим его под знаком второго
интеграла на z( Ti):
t t
M У H(i, T2)zT(T2)z(Ti)d
t-T t-T
T2-
-y(*)zT(Ti) TjdTi =0. (13.77)
Очевидно, что выполнение условия (13.77) при любой Hi (t, воз-
можно только тогда, когда равно нулю выражение в фигурных скоб-
ках. Осуществив операцию нахождения математического ожидания
под знаком интеграла, окончательно получим
t
У H(i, т2)М [zT( t2)z( Ti)] d т2 - M [y(i)zr( тх)] = 0
t-T
(t-T
t). (13.78)
484
Приведенное уравнение (13.78) представляет собой обобщенное
уравнение Винера—Хопфа для многомерной, в общем случае не-
стационарной, линейной системы.
Для реализации процесса фильтрации (имея в виду его традици-
онную трактовку) необходимо найти решение (13.78). Это в принци-
пе возможно, если известны матрицы
Kz(Ti, т2) = М [zT( r2)z( тО]; (13.79)
Ryz(f, T1) = M[y(f)zT(T1)]. (13.80)
По своему физическому смыслу Kz( Ti, т2) представляет собой кор-
реляционную матрицу входного сигнала, a Ryz(t, Ti) — матрицу
взаимных корреляционных функций составляющих полезной ком-
поненты и полной суммарной величины входного сигнала. С учетом
обозначений (13.79) и (13.80) уравнение Винера—Хопфа имеет вид
t
У KZ(T1, T2)H(t, = Ryz(t, Ti). (13.81)
t-T
На его основе можно получить матрицу весовых функций, с помо-
щью которой затем построить алгоритм оптимальной обработки сиг-
налов в форме
H(f, t2)z( T2)dx2.
(13.82)
Обработка результатов измерений на основе использования винеровских филь-
тров (ВФ), соответствующих по структуре зависимости (13.82), может потребовать
в ряде случаев для определения некоторого навигационного параметра выполнения
операции дифференцирования сигнала в присутствии шумов. Это приводит к необ-
ходимости дополнительного обсуждения условия реализуемости рассматриваемо-
го фильтра. Прежде всего это касается достаточности выполнения условия (13.78)
с точки зрения оптимальности линейной системы, определяемой весовой матри-
цей H(t, т2). Если предположить, что входной сигнал z(t) подвергается диффе-
ренцированию р раз, то весовые матрицы H(t, т2) и Hi(t, Ti) могут содержать
[90] 5-функции и их производные до порядка р включительно. Полагая в (13.77)
Hi(t, Ti) = 5fc(i - Тз - Ti), запишем, следуя [90], что
[ rd*Kz(Ti т2)1 .. pfcRyz(t, Т1)1
/ ------H(t, x2)dx2---------------------------------L = 0.
di-'- ° 1 -l’i=t-T3 L aTl Jll = t-T3
(13.83)
485
Здесь величина Хз может принимать любое значение в пределах 0 Хз С Т.
Заметим, что тождественное выполнение равенства (13.81) внутри интервала
(t — Т С Ti С t) повлечет за собой и автоматическое выполнение равенства (13.83)
для всех к внутри интервала t — Т < Xi < t, т.е. при всех Хз в пределах
0 < Тз < Т. Невыполнение же равенства (13.83) происходит только на концах
интервала [t — Г, i], т. е. при Тз = 0 и Тз = Т. Для исключения этого в дополнение
к условию (13.81) необходимо потребовать выполнения граничных условий
~dfcKz(Ti, т2)~
xH(t, x2)dx2 -
~dfcRyz (t, Ti)~
dxf
= 0,
(13.84)
'd*Kz(ti, t2)~
d xf
H(t, x2)dt2- ^fcRyz (<’ T1)
= 0
d Tj
(k =
Поскольку весовая матрица H(t, т2) также может включать допустимые 8-функции
и их производные, то уравнения (13.84) будут содержать [90] смешанные
/ ч d2p(Kz)tJ(xi, х2) _
производные компонентов матрицы Kz ( Ti, х2) до порядка- р\р-• От-
о т j о х£
сюда видно, что наибольшее целое число р, при котором смешанные производные
продолжают оставаться непрерывными при Xi = т2, определяет наивысший поря-
док допустимого дифференцирования входного сигнала. Итак, окончательно имеем,
что для того чтобы H(i, х) была весовой матрицей оптимальной линейной систе-
мы, необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла обобщенному уравнению
Винера—Хопфа в замкнутом интервале t — Т Xi t и содержала 8-функции
и их производные не выше р-го порядка, если р — наибольшее целое число, при
с^СКДДт!, х2)
котором смешанные производные--- п -р - р-- непрерывны.
О Х$
Задача определения оптимальной линейной системы для выделе-
ния желаемого сигнала из смеси полезного и помехи впервые была
решена А.Н. Колмогоровым для дискретных процессов (1941) и зна-
чительно позднее Н. Винером для непрерыных процессов. Поэтому
ее часто называют задачей Коломогорова — Винера [6J.
Ограниченность применения винеровских фильтров (ВФ) обу-
словлена рядом специфических особенностей преобразования сиг-
нала, вытекающих из постановки задачи Колмогорова—Винера. К
числу таких особенностей следует прежде всего отнести следующее.
Интегральная форма уравнения (13.81), предназначенного для
отыскания матрицы весовых функций оптимальной системы, в об-
щем случае не позволяет найти точного решения. Практически речь
может идти о решении, получаемом при принятии допущения о
486
том, что полезный сигнал и помеха являются стационарными слу-
чайными процессами. При этом оптимальные оценки находят при
t ос. Другими словами, решение отыскивается в классе стаци-
онарных линейных систем, а минимизация критерия достигается
в установившемся режиме их работы. Данное обстоятельство —
основной сдерживающий фактор широкого распространения вине-
ровских фильтров. Кроме того, к характерным недостаткам рассма-
триваемых фильтров относится трудность определения большого
количества числовых характеристик случайных процессов, необхо-
димых для решения уравнения Винера—Хопфа, и относительное
неудобство реализации алгоритма на БЦВМ.
С точки зрения формулировки целевого назначения рассматри-
ваемого здесь подхода, она практически не отличается от подхода,
отвечающего методу Колмогорова—Винера. Действительно, как и
в предыдущем случае, задача заключается в определении алгорит-
ма обработки некоторого случайного сигнала, поступающего с изме-
рителей, который обеспечивал бы нахождение оптимальной оценки
x(t) полезного сигнала х(£). Оптимальность понимается в смысле
минимизации критерия
I(t) = М [(x(i) - x(f))T(x(f) - x(t))] • (13.85)
На первый взгляд может показаться, что и в данном случае мы име-
ем дело с традиционной задачей оптимальной фильтрации, на самом
деле это не совсем так. Прежде всего дело заключается в том, что в
подходе Колмогорова — Винера мы пытались найти оптимальную
оценку y(t) = y*(t) именно того сигнала, который поступал с изме-
рителей. Размерность векторов z(t) и y*(t) была одинаковой. При
рассматриваемом подходе предполагается, что на интервале (<о,£)
измерениям подлежит вектор размерности р г, связанный с век-
тором x(t) линейным матричным уравнением
y(f) = C(f)x(f) + n(f), (13.86)
где n(t) — вектор шумов измерений.
Матрица измеряемых (наблюдаемых) координат C(t) в общем
случае не равна единичной и, следовательно, измерениям подлежат
не все компоненты вектора x(t), а только часть из них. При этом
правомерна постановка задачи получения оценок всех компонентов,
т. е. полного вектора х(£). Здесь рассматривается вопрос, который
487
не возникает при обсуждении подхода Колмогорова—Винера: воз-
можно ли это? Очевидно, утвердительный ответ допустим, но дале-
ко не всегда. Прежде всего необходимо, чтобы оценивался не любой
произвольный вектор измерений, а вектор фазовых координат не-
которой линейной динамической системы, описываемый векторно-
матричным уравнением стандартного типа. Вторым обязательным
условием при этом должно быть требование наблюдаемости динами-
ческой системы. Учитывая отмеченные существенные отличитель-
ные особенности обсуждаемого подхода, будем трактовать процесс
оптимальной обработки результатов измерений при привлечении для
этих целей априорной динамической модели в виде дифференциаль-
ных уравнений, описывающих фазовое состояние системы как дина-
мическую или последовательную оптимальную фильтрацию.
В исходной постановке задачи [41] как возмущения, действую-
щие на систему, так и аддитивные (прибавляемые, иначе суммируе-
мые) шумы измерений предполагались многомерными случайными
процессами типа белого шума, некоррелированными между собой и
имеющими нулевые математические ожидания.
Обсудим, сколь существенны эти ограничения с точки зрения
практической применимости ФК. Прежде всего отметим, что тре-
бование M[T)(t)] = 0 не является определяющим. Вспомним, что
математическое ожидание является неслучайной характеристикой
случайной величины. Поэтому, если М[Т)(£)] ± 0, соответствую-
щее значение математического ожидания случайного возмущения
может быть учтено (со своим «весом») в детерминированном век-
торе управляющего входного воздействия. Несколько сложнее дело
обстоит, когда возмущающие функции являются случайными про-
цессами, отличающимися от белого шума. Однако и эта ситуация
разрешима. Использование априори известной модели процесса в
виде дифференциальных уравнений состояния динамической систе-
мы и уравнения наблюдений (уравнения обратной связи) позволяют
для формирования требуемого входного сигнала применить в отли-
чие от задачи Колмогорова—Винера фиктивную линейную динами-
ческую систему, называемую формирующим фильтром (рис. 13.6).
Действительно, если возникает необходимость воспользоваться мо-
делью системы j
—x(f) - A(f)x(f) + W(f), (13.87)
dt
где W(t) — коррелированный во времени шум (иногда в отличие от
белого его называют цветным или окрашенным), то для приведения
488
возмущений,
отличающийся от
процесса типа
белого шума
Рис. 13.6. Схема преобразования белого шума в коррелированный
по времени (окрашенный) шум с помощью формирующего фильтра
(13.87) к стандартному виду при Т)(£) — случайном процессе типа
белого шума — надо, чтобы формирующий фильтр отвечал уравне-
нию
^W(i) = Kw(i)W + П1(«), (13.88)
at
где Kw(t) — матрица коэффициентов усиления формирующего
фильтра; T|i (t) — возбуждающий (порождающий) белый шум. Объ-
единение векторов х и W(t) в хр(£) = [x(f);W(f)]T приведет к
получению расширенного вектора состояния [28], для которого
справедливо уравнение, содержащее в качестве входного случайного
воздействия белый шум. Математический аналог функциональной
схемы системы, изображенной на рис. 13.6, приведен на рис. 13.7.
Формирующий
фильтр
Система, отвечающая
уравнению состояния
(13.87)
Рис. 13.7. Математический аналог схемы, изображенной на рис. 13.6
(С(0 = Е)
Наиболее строго алгоритм Калмана—Бьюси может быть полу-
чен [40] на основе уравнения Винера—Хопфа, что свидетельствует
о единых основах двух рассматриваемых схем оптимальной филь-
трации. С целью упростить выкладки предварительно положим, что
u(t) = 0. Тогда случайный действительный векторный г-мерный
489
процесс x(t), порождаемый случайным возмущением, аппроксими-
руемый векторным белым шумом T](t), будет решением дифферен-
циального уравнения
= A(t)x(t) + T](t); x(t0) = x0. (13.89)
at
Пусть
M[x]=0; M[n(0] = 0, aM[T](t)T]T(T)] = G(t)S(t- t), (13.90)
где G(t) — симметричная положительно-определенная матрица ин-
тенсивности вектора
Гауссов векторный белый шум измерений в (13.86) охарактери-
зуем как
М [n(t)] = 0, М [n(t)nT( т)] = Q(t) S(t - т), (13.91)
где Q(t) — симметричная матрица интенсивности шумов измере-
ний. Нетрудно заметить, что в рамках рассматриваемых предположе-
ний структуру формирующего фильтра (рис. 13.8) будут определять
непосредственно уравнения (13.89) и (13.86). Так как начальное со-
стояние системы x(to) не зависит от возмущений и помех, действу-
ющих в моменты времени t < to, запишем
М [x(to) 1Г(0] = 0; М [x(to)nT(t)] - 0. (13.92)
Рис. 13.8. Схема формирующего фильтра для модели типа (13.89), (13.86)
Воспользуемся уравнением Винера—Хопфа, представив его с
учетом принятых обозначений как
t
[ H(t, т2)М[ут(т2)у(Т1)] d т2 - М [x(t)yT( т2)] = о
t-T
(t-T T2 t).
490
Учитывая (13.89), после дифференцирования (13.93) при изменении
порядка выполнения операций взятия частной производной и опре-
деления математического ожидания найдем
t
I аН^Т2)м[УТ(Т2)у(Т1)] dT2 + [y(t)yT( T2)] -
t-T
- A(i)M [x(t)yT( т2)] - M [n(t)yT( T2)] = 0.
(13.94)
Так как T)(t) не коррелировано c n(t) и x(t) для всех t > т2, a x(t)
не коррелирован с n(t) для всех t (т2 > = t — Г), то в силу взаи-
мосвязи, определяемой зависимостью (13.68), T}(t) не коррелирован
и с y(t) и, следовательно,
М[ц(*)ут(т2)] =0. (13.95)
Теперь рассмотрим выражение M[r](t)yT( т2)]• Учитывая (13.68), за-
пишем
м [y(t)yT( Т2)] = м [C(t)x(t) + n(t)yT( т2)] =
= C(i)M [x(i)yT( т2)] + М [n(t)yT( т2)]. (13.96)
Но М [n(t)yT( т2)] = М [n(t)xT( т2)] CT(i) + М [n(t)nT( т2)] = 0 в
силу коррелированное™ векторов x(t) и n(t) и с учетом того, что
n(t) является белым шумом, для которого взаимосвязь между зна-
чениями п, отвечающими различным временным сечениям (t и т2),
отсутствует.
Таким образом,
м [у(0уТ( *2)] = C(f)M [x(t)yT( т2)]. (13.97)
Возвращаясь к (13.94), запишем
t
I dH(dt Т2)м[ут(т2)у(Т1)] dx2+H(t,t)C(t)M[x(t)yT(T2)]-
t-T
491
t
- A(t)M [x(t)yT( т2)] = у T2^M [ут( т2)у( tO] d t2+
t-T
+ M[x(f)yT(T2)] [H(M)C(t) - A(t)] = 0. (13.98)
Преобразуем (13.82) при введенных обозначениях к виду
t
x(t) = У H(t, т2)у( т2) d т2, (13.99)
t-T
тогда
М [x(t)yT( т2)] = У H(t, т2)М [ут( т2)у( Ti)] d т2. (13.100)
t-T
В результате подстановки (13.100) в (13.98) найдем
t
У {-A(i)H(t, т2) + aH(J’ Т2) +Н(М)С(<)Н(«, т2)|х
t-T
X м [ут( т2)у( Ti)] dx2 = 0. (13.101)
Поскольку М [ут( т2)у( Ti)J — произвольная величина, она должна
быть отлична от нуля. Для выполнения равенства (13.101) необходи-
мо, чтобы нулю равнялось выражение в фигурных скобках:
A(t)H(t, т2) - Т2) - H(i,i)C(f)H(t, т2) = 0. (13.102)
Продифференцировав (13.99), получим
t
^(t') = [ T2^y(T2)dT2 + H(t,t)y(t). (13.103)
at J ot
t-т
T dH(t, t2)
Теперь подставив выражение----—----
из (13.103) в (13.102) и введя
обозначение H(t,t) = K(t), найдем
492
t
= f [A(t)H(t, T2)y(t2)-
t-T
- K(t)C(t)H(t, T2)y( T2)]dT2 + K(f)y(t) =
t
+ K(f)y(f) + [A(t)-K(t)C(i)] I H(t, T2)y(T2)dT2. (13.104)
t-T
t
Вспомним, что f H(t, T2)y( T2 = x(i), поэтому окончательно
t-т
имеем
^x(f) = A(t)x(f) + K(f) [y(t) - C(t)x(t)]; x(t0) = 0. (13.105)
Полученное уравнение представляет собой векторно-матричное
дифференциальное уравнение оптимального оценивания вектора
состояния x(t) или уравнение оптимального линейного динамиче-
ского фильтра (фильтра Колмана—Бьюси). Исходя из структуры
уравнения (13.105) определим, что оптимальный фильтр являет-
ся системой с отрицательной обратной связью, обусловленной со-
множителем, стоящим при матрице коэффициентов усиления K(f)
(рис. 13.9). Указанная матрица пока не найдена. Для ее получения
вновь воспользуемся уравнением Винера—Хопфа, записав его в
функции ошибки оценки
Дх(0 =x(t) -x(t). (13.106)
Рис. 13.9. Схема оптимального непрерывного многомерного
фильтра Калмана—Бьюси
493
Имея в виду (13.106), запишем
У H(t, т2)М [ут( т2)у( Ti)] d т2-
t-T
- М [x(t)yT( т2)] + М [ Ax(f)yT( Т2)] = 0. (13.107)
С учетом (13.99) получим, что
М [x(t)yT( т2)] - М [x(i)yT( т2)] + М [ Дх(£)ут( Т2)] = 0. (13.108)
Тогда М [ Дх(£)ут( т2)] = 0, но
М [ Дх(г)ут( т2)] = М [x(t)yT( т2)] - М [x(t)yT( т2)] =
t
= у H(t, Ti)M [хД Ti)xJ( т2)] d Ti +
t-T
+ H(t, t2)Q(t2) - м [x(f)x:(T2)] = 0. (13.109)
Здесь через x*(t) обозначено произведение C(t)x(t). Перейдем в
выражении (13.109) к пределу при т —> t Данный предельный
переход правомерен, поскольку все члены рассматриваемого соот-
ношения непрерывны по т2 при любом t. Сделав соответствующие
преобразования и имея в виду зависимости (13.89) и (13.99), а также
принятое обозначение K(t) = H(t, t), найдем
K(t)Q(t) = M[x(t)xT*(t)] - У H(t, Ti)M[y( Ti)x*(t)]dTi+
t-T
t
+ у H(i, тОМНтОх^)]^!. (13.110)
t-T
В силу некоррелированности n(ti) и x(f) последнее слагаемое в
(13.100) равно нулю, а предпоследнее, учитывая (13.99), есть не что
иное, как М [x(t)x*(t)], тогда
K(t)Q(t) = M[x(t)x;(t)] -M[x(t)x;(t)], (13.111)
494
что эквивалентно, согласно выражению ошибки оценки Ax(t), ра-
венству
K(f)Q(t) = -M[Ax(t)xT(t)]C(t). (13.112)
Подставляя в (13.112) x(t) = xT(t) - А£(£), найдем
K(f)Q(f) - -M[Ax(t)xT(f)]CT(f) +
+ M[Ax(t)ATx(t)] CT(t). (13.113)
Первое слагаемое в правой части (13.113) равно нулю, поскольку
М [ Ax(t)yT( Т2)] = 0, a y(t) связано с x(t) линейной зависимостью
(13.86). Следовательно,
K(t)Q(f) - М [ Ax(t) д;(£)] Ст = R(t)CT(f), (13.114)
где R(t) = М [ Ax(t) Ax(t)] представляет собой ковариационную ма-
трицу ошибок оценивания; Q(t) — матрица, положительно-опреде-
ленная и потому невырожденная. Невырожденность Q(t) дает осно-
вание считать, что обратная матрица Q-1 (t) существует, тогда
K(t) - R(t)CT(t)Q-1(t). (13.115)
Таким образом, матрица коэффициентов усиления ФК найдена. Од-
нако не ясен алгоритм вычислений ковариационной матрицы R(t).
Для его получения составим дифференциальное уравнение, основы-
ваясь на соотношении (13.105) при учете (13.86) и (13.89). Запишем
Ax(i) = A(t) Ax(t) - K(t) (C(t) Ax(t) - n(t)] + n(0; ... . _
at (13.116)
Ax(to) = -xo-
Теперь возьмем производную от матрицы R(t) по t, имея в виду ее
выражение, приведенное ранее,
R(t) = М [ Ах(£) А£(£)] + М [ Ax(t) Ax(t)] . (13.117)
Заменяя Ах(£) и А*(£) их выражениями, найдем
R(i) = A(t)R(t) - K(i)C(t)R(t) - K(t)M (n(t) A^(t)] +
+ M [n(i) Ai(t)] + R(t)AT(t) - R(t)CT(t)KT(t)-
495
- М [ Ax(f)nT(O] K(f) + M [ Ax(f) nT(t)] (13.118)
Можно показать [40], что
М [ Ax(t)nT(t)] = —0,5K(i)Q(i),
M[Ax(t)nT(t)] = 0,5G(t),
M [N(i) Ai(t)] = —0,5Q(£)KT(£),
M [n(t) ATx(t)] = 0,5G(t).
После подстановки получим
R(t) = [A(t) - K(i)C(i)] R(t) + R(t) [A(t) - K(£)C(t)]T +
+ K(t)Q(t)RT(i) + G(t). (13.120)
Ранее было показано, что K(t) = R(i)CT(£)Q-1(i), поэтому окон-
чательно
R(i) = A(i)R(t) + R(f)AT(f)-
-R(t)CT(t)Q-1(t)C(t)R(t) + G(t); (13.121)
R(to) = Ro,
где Ro — априори известная ковариационная матрица вектора со-
стояния x(t), соответствующая начальному моменту времени t = to-
Уравнение (13.121) совпадает по форме с уравнением (13.47) и пред-
ставляет собой нелинейное дифференциальное матричное уравнение
Риккати. Решение (13.121) является единственным при всех t = to,
если Ro — неотрицательно-определенная матрица. В частном слу-
чае стационарной устойчивой системы и для значений возмущений
и шумов, аппроксимируемых белыми шумами, при to -> -ос уравне-
ние (13.121) имеет предельное установившееся решение, определя-
емое из алгебраического матричного уравнения Риккати. Последнее
получаем из (13.121) путем приравнивания R = 0:
AR* + R*AT - R*C'Q CR* + G = 0. (13.122)
Каждое решение стационарного уравнения Риккати при отлич-
ных от нуля значениях Ro и to —> — оо будет равномерно стремиться
к R*. Оптимальный фильтр в этом случае описывается, согласно за-
висимостям (13.105) и (13.115), стационарным уравнением
4x(t) = [А - R*CTQ1C1 x(t) + R*CTQ“1y(t). (13.123)
at L J
496
Это уравнение определяет асимптотически устойчивый фильтр, со-
впадающий по свойствам со стационарным ВФ.
Полученные соотношения были найдены в предположении, что
полезный сигнал, характеризующий значение вектора состояния
x(t), порождается только белым шумом, и входное воздействие не
содержит детерминированной составляющей в виде вектора упра-
вления u(t) с матрицей управления B(t). Данное обстоятельство не
снижает общности рассуждений и выводов. В этом случае уравнение
оптимального фильтра (13.105) должно быть скорректировано [105]
введением в его правую часть слагаемого B(t) u(t). В результате
уравнение (13.105) примет вид
^x(t) = A-(t)x(t) + K(f) [y(t) - C(t)x(t)] + B(i) u(f). (13.124)
Уравнения (13.121) и (13.115) при этом останутся без изменения. Для
того чтобы полностью завершить описание алгоритма непрерывной
калмановской фильтрации, необходимо сделать несколько замеча-
ний по заданию начальных условий для интегрирования (13.105)
или (13.124). Начальное условие при (13.105) было записано в ви-
де x(to) = 0, что может вызвать недоумение. В общем случае при
выборе значения x(to) следует исходить из требования несмещен-
ности оценки x(t) относительно полезного сигнала. Данное условие
эквивалентно выполнению равенства М [x(t)] = М [x(t)]. Нетрудно
показать, что это равенство будет иметь место, если x(to) — М [хо],
что даст М [ Ax(t)] = 0. Таким образом, если не оговорено нулевое
значение математического ожидания вектора x(to), что было сдела-
но нами при выводе (13.105), в качестве х(^о)должно быть принято
М [хо] ± 0.
Использование в совокупности с алгоритмом фильтра Калмана
переходной матрицы фазовых состояний либо матрицы влияния по-
зволяет решить задачу упреждения [прогнозирования) оцениваемо-
го фазового состояния. Она сводится к нахождению оценки x(ti\t) в
некоторый момент времени ti по данным наблюдений на интервале
(to, t), причем ti > t. Соответствующая расчетная зависимость будет
иметь вид
x(ti|t) = <D(ti,t)x(t|t). (13.125)
Матричная структурная схема непрерывного фильтра Калмана с про-
гнозатором показана на рис. 13.10.
497
Рис. 13.10. Схема непрерывного фильтра Калмана с прогнозатором
При решении навигационных задач, как правило, приходится
иметь дело с достаточно высокой размерностью вектора состояния
x(t). Реализация соответствующего фильтра в виде непрерывной
(аналоговой) системы при этом оказывается весьма сложной, к то-
му же не удается обеспечить и требуемой точности решения задачи
из-за погрешностей работы элементов аналоговой вычислительной
техники. В связи с этим весьма важным становится переход от алго-
ритма непрерывной оптимальной фильтрации к дискретному алго-
ритму, имеющему вид рекуррентных соотношений, весьма удобных
с точки зрения их использования на БЦВМ.
Многошаговые алгоритмы оптимальной фильтрации предпола-
гают использование дискретной формы представления моделей. Воз-
можность соответствующего перехода неразрывно связана с эквива-
лентностью дискретного представления непрерывных систем. Если
для детерминированных систем достаточным условием эквивалент-
ности является совпадение реакций систем на аналогичные воздей-
ствия, т. е. эквивалентность во временной области, то для стохасти-
ческих дискретных систем, как и для непрерывных, эквивалентность
должна рассматриваться и во временном, и в статистическом отно-
шениях. Рассмотрим данное требование подробнее. В общем случае
детерминированная r-мерная система с дискретным временем, отве-
чающая непрерывной модели типа (13.8), описывается разностным
уравнением
x(fc + l) = F[x(fc),fc], teT, (13.126)
где k — номер такта, принимающего целочисленное значение
0, 1, 2, ..., N.
Очевидно, что движение такой системы в будущем однозначно
определяется значением х в момент времени t, отвечающий fc-му так-
ту и не зависит от предыстории x(fc — 1). Если реакция детермини-
рованной дискретной (13.126) и непрерывной (13.8) систем на одно
498
и то же воздействие окажется идентичной, то преобразование мож-
но считать эквивалентным. Теперь выясним, каким образом модель
(13.126) может быть представлена в форме стохастической модели
состояния. Для этого предположим, что x(fc + 1) не определяется од-
нозначно x(fc), а является случайной величиной, зависящей от x(fc)
и к. Тогда можем записать
x(fc + 1) = F [x(fc), к] + Т](х(/с), к). (13.127)
В данном соотношении первое слагаемое представляет собой
условное среднее от x(fc + 1) при заданном x(fc), а второе — случай-
ную величину (возмущение) с нулевым математическим ожидани-
ем. При этом необходимо потребовать, чтобы процесс (13.127) был
марковским. В противном случае в вероятностном смысле процесс
x(fc + 1) будет зависеть не только от x(fc), но и от предшествующих
значений, т. е. от x(fc — 1), x(fc — 2) и т. д. Если дополнительно пред-
положить, что T)(fc) при заданном x(fc) подчиняется нормальному
закону распределения, то случайная величина Т](/с) всегда может
быть нормирована так, что
Т|г = г1г(х, fc)= Ог(х, fc)Wi(fc), (13.128)
где q?(x, fc) — дисперсии г-х компонент независимых одинаково
распределенных гауссовых случайных векторов с нулевым матема-
тическим ожиданием и ковариационной матрицей Rw В линейной
постановке, т.е. при линейной зависимости F[x(fc),fc] от х и неза-
висимости Qi от х стохастическое разностное уравнение (13.127)
принимает вид
x(fc + 1) = Ф(£ + l,fc)x(fc) + T(fc)W(fc). (13.129)
Уравнение (13.127) в рассматриваемом случае может быть записано
как
x(fc + l) = Ф(& + 1, fc)x(fc) + T](fc). (13.130)
Здесь уже T](fc) будет представлять собой последовательность не-
коррелированных с х(0) независимых гауссовых векторов с нуле-
вым математическим ожиданием и ковариационными матрицами
G = Rn = r(fc)Rw TT(fc).
499
Имея в виду изложенное, разобьем отрезок времени (to,t) на N
интервалов дискретности так, что
NT = t-t0, (13.131)
полагая
K.(t)\t-t0=kT ~ x(fc) для к = 0,1,... ,N. (13.132)
Тогда аппроксимация линейного непрерывного уравнения (13.89) ли-
нейным дискретным аналогом даст
x(t + Г) = [Е + A(t)T] x(t) + (13.133)
Сопоставление (13.130) и (13.133) приводит к мысли, что
0(fc + l,fc)= Ф/г(Т) = [Е + АЖЬо=,т. (13.134)
Обычно элементы матрицы A(t) в (13.134) на интервале дискретно-
сти считают постоянными и тогда [Е + A(t)T]t_t кт представляет
собой линейно усеченную матричную экспоненту [28]:
Ф(Т) = еАТ = Е + АТ + А2^ + ... + АПТ^. (13.135)
2! п\
Таким образом, по своему физическому смыслу Ф(& + 1, к) —
дискретный аналог переходной матрицы фазовых состояний. При
допущении о стационарности матрицы А в пределах интервала дис-
кретности матрица Ф(Т) также будет постоянной, поэтому
Ф(кТ,0) = Ф(Т)Ф[(&-1)Т,0]. (13.136)
Теперь надо решить вопрос, что же следует понимать под матрицей
ковариаций процесса Т|к при аппроксимации непрерывного процес-
са белого шума Для которого М [r](t) Т)т( т)] — G(f) 8(f — т),
является дискретным белым шумом. Если непрерывный белый шум
имеет физический аналог, то дискретный белый шум с матрицей ко-
вариаций
М[ПгП}] (13.137)
является математической абстракцией. В (13.137) через 8^ обозна-
чена функция (символ) Кронекера:
500
е Г 1 ПРИ i = j,
(0 при г ± j.
Очевидно, что G; будет зависеть от величины Т, а ее выбор будет
определяться условием вида
R(i)|t-to=fcT~R(fc), fc = 0,l,...,^ (13.138)
Дискретная аппроксимация уравнения (13.121), соответствующего
случаю отсутствия шумов измерений, приводит к
R(f + Т) - R(t) = A(t)R(t)T + R(f)AT(i)T + G(i)T. (13.139)
Но, с другой стороны,
R(fc + 1) = Ф(к + l,k)R(k)<bT(k + 1,к) + G(fc). (13.140)
Подставляя (13.134) и (13.138) в (13.140), найдем
R(t + Т) - R(t) = A(t)R(t)T + R(t) AT(t)T+
+ A(£)R(t)AT(£)T2 + [G(e)T] T. (13.141)
Для того чтобы (13.141) соответствовало (13.139) с точностью до
членов первого порядка по Т, необходимо
G(t)\t_t0=kT = G(fc)T (13.142)
или, обратно,
G(t) = Ппз [G(fc)T]. (13.143)
Теперь можно попытаться сформулировать классическую постанов-
ку задачи оптимальной динамической фильтрации в дискретной фор-
ме. Она сводится к следующему: имея последовательность векторов
измерений у0, уь у2, ..., принадлежащих множеству Y и отвечаю-
щих модели измерения
у(А?) = C(fc)x(fc) + n(fc), (13.144)
определить оценку состояния системы на момент к, представля-
ющую собой условное математическое ожидание x(fc|fc — 1) =
501
= M[x(fc)|Yfc_i] и обеспечивающую минимальную дисперсию
ошибки оценивания.
Нетрудно показать [28], что алгоритм непрерывного фильтра
Калмана, приведенный ранее, может быть также получен путем фор-
мального предельного перехода из уравнений дискретного фильтра
(при устремлении Т к нулю). Данное обстоятельство дает основа-
ние полагать, что структуры непрерывного и дискретного фильтров
Калмана в принципе должны совпадать. Поэтому есть смысл искать
оптимальную оценку x(fc|fc — 1) = x(fc) в форме, соответствующей
(13.105), но учитывающей отличия в модели процесса:
х(А?) = Ф(к, к - l)x(fc - 1) + K(fc) [y(fc) - C(fc)x(fc)] (13.145)
при начальном условии
х(0|0) =х(0) = х(0). (13.146)
Матрица K(fc) в уравнении (13.145) представляет собой (г х р)-
матрицу коэффициентов усиления дискретного фильтра на fc-м ин-
тервале дискретности. Характер зависимости (13.145), определяю-
щий рекуррентную форму выработки оценки x(fc), свидетельствует
о необходимости использования для ее нахождения значения преды-
дущей оценки x(fc — 1). Так как x(fc — 1) и, следовательно, у (к — 1)
зависит от Т| (j — 1) только для j — 1 < к — 1, то пространство на-
блюдений Y(к — 1) не содержит информации о дискретном белом
шуме т\(к — 1). Поэтому для предсказания значения x(fc) по наблю-
дениям у (к — 1) достаточно предсказать значения x(fc — 1) на один
шаг вперед, полагая т\(к — 1) = 0, т. е.
х(А?) = x(fc|fc - 1) = Ф(к, к - l)x(fc - 1). (13.147)
Выражение матричного коэффициента усиления в рассматриваемом
случае записывается в форме
К(А?) = Ф(к,к + 1)К(к + 1,к) = Ф(к,к + 1)Ф(к + 1,к)х
х R(fc|fc - l)CT(fc) [C(fc)R(fc|A: - l)CT(fc) + Q(fc)]"1. (13.148)
Или, учитывая, что Ф(&, к + 1) = Ф-1(А: + 1, к), получим оконча-
тельно
502
K(fc) = R(fc|fc- 1)Ст(/г)х
x [C(fc)R(fc|A: - l)CT(fc) + Q(fc)]“1. (13.149)
Уравнение для определения дискретной ковариационной матрицы
ошибок оценивания вектора состояния системы будет при этом
иметь вид
Щк + l|fc) = Ф(к + 1, к)Щк\к - 1) Фт(& + 1, £)+
+ G(fc) - Ф(£ + 1,к)Щк\к- l)CT(fc)x
х [C(fc)R(fc|fc - l)CT(fc) + Q(fc)]-1 C(fc)R(fc|fc - 1) ФТ(А: + 1, к).
Учитывая (13.149), его можно представить также в следующей фор-
ме:
Щк + 11 fc) = [ Ф(к + 1, к) - Щк + l)C(fc)] х
х R(fc|fc - 1) Фт(£ + 1, к) + G(fc). (13.150)
Матрица R(fc + l|fc) носит название априорной ковариационной ма-
трицы ошибок оценивания в отличие от R(fc) — апостериорной ма-
трицы, поскольку R(fc + l|fc) характеризует числовые характеристи-
ки ошибок оценивания составляющих вектора состояния до момента
проведения измерений. Выражение (13.150) удобно записать в функ-
ции апостериорной матрицы
R(fc) = [Е - K(fc)C(fc)] R(fc|fc - 1). (13.151)
С учетом (13.151) уравнение (13.150) может быть преобразовано
[105] к виду
R(fc + 1|А?) = Ф(£ + 1, fc)R(fc) Фт(&-h l,fc) + G(fc). (13.152)
Отметим, что эволюция матрицы ковариаций ошибки оценива-
ния (13.152) и (13.151) не зависит от наблюдений. Поэтому, если
заданы параметры динамической системы, включая процесс на-
блюдений, матрицу ковариаций, а следовательно, и K(fc) можно
вычислить заранее и записать в память БЦВМ. Это позволит су-
щественно сократить время решения задачи фильтрации. Анализ
структурно-матричной схемы дискретного оптимального фильтра
503
п(£) Наблюдение
(модель измеряемого
дискретного сигнала)
Рис. 13.11. Схема дискретного оптимального фильтра
(рис. 13.11) свидетельствует, что в нем реализуется идея «предсказа-
ния — коррекции». Предыдущая оценка x(fc - 1) экстраполируется
(предсказывается) на один шаг вперед и затем используется для по-
лучения наилучшей оценки нового наблюдения y(fc), основанной на
всех предыдущих наблюдениях. Ошибка оценивается с весом K(fc),
учитывающим значение ковариаций входного процесса, измерения
и ошибки оценивания для формирования сигнала коррекции. Сиг-
нал коррекции складывается с предсказанной оценкой и в результате
получается новая оценка.
Практическая реализация алгоритма дискретной оптимальной
фильтрации в цифровых вычислительных машинах в ряде случаев
сопровождается явлением, называемым расходимостью (неустой-
чивостью) процесса фильтрации. Под расходимостью дискретного
фильтра в узком смысле понимается, главным образом, накопление
ошибок округления малых чисел, характеризующих элементы кова-
риационной матрицы, вследствие ограниченности длины разрядной
сетки машины и рекуррентной процедуры вычислений. Следствием
накопления отмеченных ошибок является потеря матрицей ковари-
аций ее основного свойства — симметричности, а из-за увеличения
разности соответствующих элементов возникает и потеря неотри-
цательной определенности, связанной с появлением отрицательных
значений дисперсий. В связи с этим одной из проблем, требующих
разрешения при воспроизведении алгоритмов оптимальной после-
довательной фильтрации в БЦВМ, является ограничение ошибок
округления. Для этого могут быть использованы как конструктив-
ные решения типа увеличения длины разрядной сетки БЦВМ, так и
504
программно-математические методы. Конечно, причиной неустой-
чивости (расходимости в широком смысле) ФК служат не только
ошибки округления. Широкое привлечение априорной информации
при решении задачи фильтрации предполагает, что эта информация,
по крайне мере, соответствует реальному физическому процессу. От-
сутствие данных о реальной физической задаче, всякого рода упро-
щающие предположения при математическом описании процесса,
ошибки, связанные с моделированием вероятностных характери-
стик шумов и возмущений могут вызвать серьезные возражения и
по поводу целесообразности применения ФК. Однако все это имеет
отношение скорее к общим недостаткам подхода, а не к частностям
его реализации. Тем не менее об одной из перечисленных причин
«глобального» характера, тесно связанной с вопросами практиче-
ской реализации фильтра, стоит сказать несколько слов отдельно.
Речь идет о расходимости, обусловленной неточным заданием моде-
ли наблюдения (измерения). Дело в том, что исходя из теоретических
принципов построения фильтров элементы матрицы коэффициентов
усиления очень быстро стремятся к нулю при увеличении времени,
особенно когда шум входных возмущений мал по сравнению с шума-
ми измерений. В результате оценка вектора состояния со временем
оказывается все менее зависимой от последовательности проводи-
мых измерений и растущая ошибка наблюдений, обусловленная не-
адекватностью модели и реального процесса измерений, на нее не
влияет. Средством борьбы с этим нежелательным явлением, называ-
емым иногда насыщением информацией, является введение ограни-
чения снизу значений матрицы коэффициентов усиления фильтров
для исключения возникновения нечувствительности фильтра к по-
ступающим измерениям.
Теперь подведем некоторые итоги нашего обсуждения метода
динамической фильтрации. К числу несомненных достоинств его
следует отнести возможность решения задачи фильтрации приме-
нительно к многомерным нестационарным системам как при конеч-
ном, так и при бесконечном времени наблюдения, а также хорошую
приспособленность к реализации на ЦВМ. Основной недостаток
связан с необходимостью обладания полными априорными сведени-
ями о структуре формирующего фильтра, т. е. использовании ранее
известных данных о статистических свойствах входного сигнала и
действующих помех. Если эти сведения не вполне достоверны, то
применение фильтра Калмана либо теряет смысл (тогда отдается
505
предпочтение фильтрам Винера) либо должно одновременно сопро-
вождаться существенным усложнением алгоритма за счет реализа-
ции принципа адаптации.
Известно, что подавляющее большинство встречающихся на
практике динамических систем и систем измерений являются не-
линейными. Речь до сих пор шла о линейных фильтрах, предполага-
ющих наличие линейных моделей состояния динамической системы
и линейных уравнений наблюдения. Возникает вопрос о степени
практической применимости линейной теории, тем более, что совет-
скими учеными разработана [66] достаточно строгая теория опти-
мальной нелинейной фильтрации как для случая непрерывных, так и
для дискретных систем. В настоящее время практическое примене-
ние находят все же исключительно линейные фильтры. С чем же это
связано? Во-первых, возможности даже самых современных БЦВМ
существенно отстают от требований, отвечающих условию примене-
ния теории нелинейной фильтрации для решения прикладных задач
навигации и управления ЛА. Во-вторых, уравнения линейных опти-
мальных фильтров могут быть эффективно использованы в целом
ряде важных прикладных задач, если осуществить линеаризацию
нелинейной модели процесса. При этом разложение функций в сте-
пенной ряд может осуществляться либо относительно номинальной
траектории, вычисленной на основе априорных данных, либо отно-
сительно оценки, получаемой непосредственно в процессе фильтра-
ции результатов измерений. В первом случае алгоритм фильтрации
будет проще, так как уравнения для определения R решают раз-
дельно (аналогично канонической схеме) от уравнений получения
оптимальной оценки х. Если же номинальная траектория неизвестна
или отклонения от прогнозируемой номинальной траектории нельзя
полагать малыми, приходится использовать второй подход. При раз-
ложении функций в ряд относительно оценки системы уравнений
для R и х будут взаимосвязанными. При рассмотрении методов
оценивания состояния нелинейных систем с использованием об-
суждаемой схемы ограничимся случаем непрерывных процессов.
Нелинейной системой, соответствующей линейной модели (13.89),
(13.86), является
^x(t) = F[x(t);i]+ n(*)> (13.153)
y(i) = y(x(i);f) + n(t) (13.154)
506
при тех же обозначениях и предположениях в отношении априорных
сведений и статистических характеристиках возмущений и шумов,
что и принятые ранее.
Одним из возможных вариантов фильтра для нелинейной систе-
мы (13.153), (13.154) может служить очевидная модификация линей-
ного фильтра из предыдущего раздела
= F(x(0; t) + R(t) (Yer1 (t) X
at \ (7X )
x [y(0 - v(x(i);t)]; x(<o) = XO; (13.155)
A w=(£) r w+R(t> (SУ R(t) Уx
x + R(fo) = R°- (13.156)
Здесь частные производные dF/dx и Эх|//Эх|/ — матрицы, вычисля-
емые вдоль номинальной траектории.
Рассмотренный алгоритм фильтрации, основанный на разложе-
нии нелинейных зависимостей в ряд Тейлора в окрестности номи-
нальной траектории, имеет ряд существенных недостатков, основ-
ным из которых является то, что при больших дисперсиях шумов он
может давать расходящиеся результаты вследствие эффекта «под-
черкивания» шума операциями дифференцирования. Кроме того,
применение процедуры разложения справедливо только для непре-
рывных нелинейных функций, что ограничивает применимость ме-
тода. От первого из указанных недостатков свободен подход, бази-
рующийся на использовании метода статистической линеаризации.
В рассматриваемом варианте метода будем осуществлять предста-
вление нелинейностей полиномами по степеням ошибки оценки
(13.106), для которой М [ Ax(t) A*(t)] — а выбор коэффици-
ентов полиномов проводить из условия минимума среднего ква-
дратичного отклонения ошибки аппроксимации, т. е. на основе ис-
пользования второй формы задания критерия точности оценивания.
Расчетные соотношения алгоритма получим для случая аппроксима-
ции (приближения) второго порядка, учитывающего квадратичные
члены разложения:
F(x; t) = a(t) + b(t) Ax(t) + |c(t) Ax(t) A^(f), (13.157)
507
y(x; t) = d(i) + 1(f) Ax(t) + |m(f) Ax(t) A£(f), (13.158)
£
где коэффициенты при четных степенях Ax(t) — векторы, а при не-
четных — матрицы размерности г х г (здесь г — размерность вектора
Ax(t)). Вид уравнений состояния нелинейной динамической систе-
мы и наблюдения прежний — (13.153), (13.154). В отличие от преды-
дущего варианта линеаризованного фильтра коэффициенты полино-
мов здесь, согласно методу статистической линеаризации, должны
представлять собой неслучайные функции, зависящие от статисти-
ческих характеристик случайного процесса. Поэтому
/ \ т^/-/ \ \ 1 / \ <9F(x,t) d2F(x,t)
a(t) = F(x(f);t); b(t) = , c(t) =
1/X /-/ x x 1/X <9w(x, t) z . <92 w(x, t)
d(t) = y(x(f);f); 1(f) = ——— , m(f) =—,
где для получения оценок могут быть использованы расчетные за-
висимости линеаризованного фильтра Калмана, приведенные ранее.
По аналогии с методикой построения линейного фильтра Калмана
искомый алгоритм будем строить [40, 105] на основе использования
априорной оценки вектора состояния М [x(t)J и поправочного члена
y(t) — C(t)x(t), в котором C(t)x(t) представляет собой априорную
оценку измерения М [y(t)J. Для нахождения их выражений необхо-
димо определить соответствующие значения математических ожи-
даний, воспользовавшись уравнениями (13.153) и (13.154) с учетом
(13.157) и (13.158). Предварительно определим значение математи-
ческого ожидания некоторой функции f [ £(t), t\. Для этого разложим
ее в ряд Тейлора относительно среднего значения М [ £(t)] = пц(<)
процесса При ограничении числа членов ряда слагаемыми вто-
рого порядка имеем
f [^(t),t] ~f [£(0-«Ц(0] +
+ 2 .S [ - "MO] [ ^(0 -
= f [m5(t),t] + [£(0 - «MO] +
508
+ ^sp
<92f [m^(t), t]
{dm ^(t))2
(13.159)
где Re — ковариационная матрица случайного процесса l;(£); Sp —
след матрицы. Имея это в виду, получим
М [x(f)] = a(f) + ^Sp [с(t)R(i)], (13.160)
M[y(i)] = d(i) + |sp [m(f)R(t)]. (13.161)
Равенство нулю М[т)(<)] и М [n(t)] вытекает из принятых ранее
предположений (см. 13.90 и 13.91), но, вообще говоря, требование
М [nW] = 0 не является сколь-нибудь принципиальным.
Учитывая (13.160) и (13.161), представим
= a(t) + |sp (c(t)R(t)] +
dt 2
+ 1ОД |y(0 - d(t) - |sp[m(^)R(i)] j ; x(t0) = x0, (13.162)
где
11(f) = R(t)l(i)Q-1(i). (13.163)
Уравнение для определения ковариационной матрицы примет
вид
R(t) = b(f)R(f) + R(f)bT(f) - R(t) l^Q-^r^R^) + G(t)+
+ |R(f)mT(Z)Q-1(i)
y(t) - d(t) - ^Sp [m(f)R(t)]l R(f);
J
R(t0) - Ro. (13.164)
Заметим, что полученные зависимости по форме мало отличаются от
соотношений линейного непрерывного фильтра Калмана. На первый
взгляд различие усматривается в том, что в уравнение для R(t) вхо-
дит дополнительный член, зависящий от текущего измерения. Одна-
ко здесь есть принципиальные различия. Еще раз обратим внимание
на то, что в силу зависимости коэффициентов разложения от x(t) и
R(t) соответствующие уравнения при реализации данного алгорит-
ма должны решаться совместно. Некоторые другие варианты постро-
ения линеаризованного ФК рассмотрены в [28, 40, 57, 105].
509
13.5. Способы включения оптимального фильтра в контур
навигационной системы
Вопрос о включении оптимального фильтра в контур навигаци-
онной системы (НС) может показаться тривиальным, не требующим
специального обсуждения. Действительно, следуя общей схеме про-
цедуры оценивания (см. рис. 13.1), не составляет никакого труда
составить и схему «информационного потока» при стохастическом
управлении, определяющего место ФК в контуре (рис. 13.12). Как
следует из рисунка, ФК в общем случае включается в контур по-
следовательно по отношению к измерительному устройству. Таким
образом, приходим к схеме последовательного включения фильтра,
характерной для некорректируемых НС.
Рис. 13.12. Распределение информационных потоков при стохастическом
управлении (с учетом принципа эквивалентности)
Проиллюстрируем особенности работы схемы на простом примере стационар-
ной системы первого порядка, допускающей возможность аналитического решения
уравнения Риккати.
Рассмотрим схему получения оптимальной оценки угловой скорости линии ви-
зирования при наведении самонаводящегося ЛА на цель. Будем считать, что для
получения измеренного значения угловой скорости линии визирования q исполь-
зуется ДУ С, связанный с осью чувствительного элемента развязанного следящего
координатора. Математическим аналогом рассматриваемого процесса при этом мо-
жет служить скалярное уравнение вида
^q(t) = aq(t) + br\n(t),
где а = —2DD~X; b = D~X ', r|n — отрабатываемое ЛА в процессе наведения нор-
мальное по отношению к линии визирования возмущающее ускорение, например
обусловленное действием ветра; D — дальность до цели.
510
Для упрощения анализа введем допущение, что на интервале проведения не-
прерывного измерения, описываемого уравнением
|/(<) = g(t) + n(t),
коэффициент а = —2DD~1 изменяется незначительно. Это позволит принять
а = const. Положим, что входное возмущающее воздействие представляет собой
случайный процесс типа белого шума с М[ T|(t)] = 0 и М[ г|(£) г|( т)] = — т).
Причем = b2 о2пт1, где о2пп —дисперсия случайного процесса r|n(t).
Аналогичные предположения введем в отношении числовых характеристик из-
мерительного шума и начальных условий углового движения:
М [n(t)] = 0; М [n(t)n( т)] = qn 8(t — т),
М [<?(М = 0; М [q2(i0)] = r0.
В приведенных соотношениях #n, qn и г0 суть постоянные величины. Тогда урав-
нение для определения дисперсии принимает вид
4r(t) = +2ar(t) + g - r(t0) = r0.
at 1
Решение данного скалярного уравнения может быть представлено в форме
r(t) = Qn {( а + а) + 2 а [nr^1 ехр(2 at) - 1] 1} ,
где а = а2 + 1; И = r0 + qn а - qna\ г2 = то - qn a -I- qna. Легко заметить,
что r(t) определяется через заданные и не связанные с измеряемыми параметры,
поэтому данную функцию времени можно вычислить заранее. Выражение ФК для
рассматриваемого случая сводится к уравнению
^g(t) = ag(t) + r(t)q~1 - g(t)] ; g(«o) = 0.
Схема формирования оптимальной оценки угловой скорости линии визирования це-
ли представлена на рис. 13.13. Сделаем к ней некоторые пояснения. Так как осно-
вание следящего привода развязанного координатора цели установлено на корпусе
ракеты, ориентирование оси его чувствительного элемента по линии визирования
сводится к слежению за угловым относительным движением цели в осях, связан-
ных с корпусом ЛА, определяемым изменением угла пеленга е. Связь между е и q
имеет вид q = е + О, где О — угол тангажа.
Рис. 13.13. Последовательное включение ФК при определении
оптимальной оценки угловой скорости линии визирования цели
511
Применительно к корректируемым НС рассмотренная схема по-
следовательного включения ФК, как правило, не в состоянии обес-
печить ожидаемого эффекта. С чем это связано? При использовании
ФК в задачах коррекции НС, в частности ИНС, казалось бы, схема
последовательного включения фильтра не только применима, но и
вполне оптимальна. При таком включении в качестве фазовых ко-
ординат вектора состояния будут непосредственно задействованы
измеряемые параметры движения ЛА и, как будто, задача фильтра-
ции решена. Но если предположить, что получаемые в результате
оптимальной обработки данные измерений, снимаемые с нестабиль-
ных измерителей, характеризуют истинное (в пределах допуска)
движение ЛА, модель процесса должна в точности соответствовать
модели идеальной работы ИНС. Реализовать это практически не уда-
ется. Во-первых, даже по одному внешнему виду алгоритма инерци-
альной навигации, приведенного выше, нетрудно сделать вывод о
его существенной нелинейности и сложности, фактически исключа-
ющей проведение любого вида линеаризации. Во-вторых, входное
внешнее воздействие в виде вектора кажущегося ускорения, будучи
зависимым от конкретной траектории движения ЛА, представляется
непрогнозируемым с требуемой точностью. Поэтому представле-
ние его в виде совокупности детерминированной составляющей
и шума с заданными статистическими характеристиками оказыва-
ется невозможным. В качестве подлежащего фильтрации вектора
фазовых координат корректируемых НС удобно принять не навига-
ционные параметры, а параметры, характеризующие погрешности
функционирования НС, статистические характеристики которых,
как правило, хорошо изучены, а уравнения являются линейными ли-
бо поддающимися линеаризации. Получение оптимальных оценок
ошибок должно идти параллельно с решением основной навига-
ционной задачи. Таким образом, приходим к схеме параллельного
включения фильтра в контур НС. При этом принято различать схе-
мы параллельного включения с прямой корректирующей связью и
со смешанной оптимальной структурой. Сущность первого варианта
включения, называемого [100] также разомкнутой схемой, сводится
к реализации компенсационной схемы обнуления ошибок измере-
ний основного (базового) измерителя. Оптимальный фильтр в таком
варианте включения вводится в схему вместо полосового. Приме-
нительно к корректируемой ИНС разомкнутую схему включения
иллюстрирует рис. 13.14. При использовании многомерного ФК на
512
ИНС
Выход
с учетом
коррекции
Внешняя
информация
ФК
Оценка ошибок
на выходе
Рис. 13.14. Параллельное включение ФК с прямой
корректирующей связью
выход фильтра будет поступать векторный сигнал Ai, а ошибки
вектора навигационных параметров с учетом коррекции не будут
превосходить ошибки оптимальных оценок
8х = Ai — Ai.
(13.165)
Покажем, что это действительно так. Поведение ошибки Ai может
быть описано, согласно (13.89), уравнением вида
= A(f)Ai(f) + Т](<)-
at
(13.166)
Соответственно оценка ошибки определяется на основании уравне-
ния оптимального фильтра как
АД<) = A(f) Ai(t) + K(t) [y(t) - C(t) A(t)] . (13.167)
Проведя почленное вычитание, найдем выражение, характеризую-
щее изменение ошибки 8х во времени,
4 [ Al (t) - Al (<)] = [ 5х(<)] =
at L J at
= [A(t) - K(f)C(t)] 5x(t) + n(t), (13.168)
что в полной мере отвечает (13.116).
Поскольку коэффициенты усиления ФК зависят от времени, дис-
персия сигнала на его выходе будет убывать со временем, тогда как
дисперсия фильтра с постоянными коэффициентами (неоптималь-
ного) является постоянной. Рассмотренная схема включения ФК не
накладывает каких-либо жестких ограничений на состав измерений
и на выбор базового измерителя. Однако ей присущ определенный
513
ИНС
Выход с учетом
коррекции
Корректирующее
управление
ФК
| Внешняя
I информация
Рис. 13.15. Параллельное включение ФК с обратной корректирующей
связью
недостаток: для обеспечения минимальных ошибок навигационных
параметров фильтр должен работать непрерывно как обязательный
функциональный элемент в составе НС.
Особенность схемы параллельного включения фильтра с обрат-
ной корректирующей связью (или иначе [100], замкнутой схемы)
заключается в том (рис. 13.15), что ФК выступает в этом случае
как управляющее устройство, формирующее корректирующие сиг-
налы, подаваемые в соответствующие точки системы, отвечающие
конкретным точкам выработки компонент вектора навигационных
параметров. Как и в первом варианте включения ФК в схему, вход-
ным воздействием может служить разностный сигнал Ai(t) — A2(t),
но может использоваться и сигнал, несущий информацию о любой
иной совокупности параметров. Однако определение оптимальных
оценок всех параметров здесь не требуется. Вместо этого в соответ-
ствии с (13.62) формируется оптимальное линейное управление
u(t) = —K(t)y°(t), (13.169)
корректирующее работу отдельных элементов НС, например выход-
ных сигналов акселерометров и гироскопов в ИНС. Смысл введения
корректирующих сигналов заключается в изменении алгоритма ра-
боты соответствующих измерителей так, чтобы изменилась струк-
тура уравнений ошибок, а следовательно, и характер их поведения.
Отличительной особенностью такой схемы включения ФК в контур
НС является то, что после отключения коррекции погрешность НС
будет увеличиваться не скачкообразно, а плавно, начиная со значе-
ний, равных значениям этих ошибок в момент прекращения работы
фильтра (рис. 13.16). Поэтому данная схема включения ФК позволяет
осуществлять периодический режим коррекции НС. Применимость
замкнутой схемы, однако, ограничена только классом НС, в которых
514
Предельно допустимое
Периоды значение ошибки измерения
*0 *3 Г4
Рис. 13.16. График изменения погрешности работы НС при периодической
коррекции
все компоненты управления u(t) имеют физически существующие
точки приложения.
Последнее понятие удобно обсудить при рассмотрении конкретного частно-
го примера. Рассмотрим включение ФК по замкнутой схеме в контур инерциаль-
ной вертикали при демпфировании ИНС. Инерциальная вертикаль (ИВ) — один
из основных элементов ИНС. Она одновременно выполняет функции построителя
вертикали места и измерителя составляющей линейной скорости ЛА. В целях упро-
щения анализа и повышения наглядности результатов ограничимся, следуя [100],
рассмотрением одноканальной ИВ (северный канал). Ошибки, а следовательно, и
их дисперсии при отсутствии демпфирования колебательно либо монотонно возра-
стают со временем. К числу возмущений, которые могут вызвать возрастание оши-
бок недемпфированной ИВ, относят погрешности начальной ориентации, дрейф ги-
роскопа, смещение нуля акселерометра и т. д. На рис. 13.17 показана качественная
картина изменения среднего квадратичного отклонения угла наклона ИВ относи-
тельно геоцентрической вертикали p(i) при отсутствии демпфирования. Кривая
СКО угловой погрешности наглядно иллюстрирует [100] колебательный характер
реакции недемпфированной ИВ на случайные возмущения при общей тенденции к
постепенному смещению кривой вверх. Нижняя кривая (пунктирная) соответству-
ет случаю нулевой начальной ошибки выставки ИВ и иллюстрирует монотонный
рост СКО пропорционально времени. Повышение точности ИВ и ИНС в целом до-
стигается за счет демпфирования собственных колебаний системы. Обеспечение
демпфирования (в частности, при привлечении внешней информации о скорости
движения ЛА) является следствием изменения динамических характеристик КНС.
С другой стороны, использование ФК, включенного по параллельной схеме, также
приводит к требуемому изменению структуры ошибок и, как следствие, изменению
динамических характеристик системы. Напрашивается мысль о возможности ис-
пользования ФК для демпфирования ИНС. Это тем более очевидно, что известна
схема демпфирования ИВ с внутренними связями, предложенная Е.Б. Левенталем,
в которой демпфирующий сигнал формируется пропорционально измеренному ак-
селерометром F ускорению и прикладывается к ДМ гироскопа Г.
Для демпфирования ИВ с помощью ФК надо рассмотреть погрешности не-
демпфированной ИВ и построить ее математическую модель.
515
%=о₽
УШ-
О t
Рис. 13.17. Характер изменения СКО недемпфированной ИВ
Уравнение северного канала недемпфированной ИВ с интегральной коррекци-
ей по координате P(i) может быть получено из уравнения прецессионного движе-
ния ГСП по этому каналу, которое имеет вид [100]
тт ( х Vcos \1А _ _ _ ,
Нг I [3 Ч---) — Мку + Мзу,
\ г /
где Нг — кинетический момент гироскопа; Vcos \|/ — северная составляющая отно-
сительной скорости ЛА; г — модуль радиуса-вектора ЛА; Мку — момент интеграль-
ной коррекции; Мзу — возмущающий момент на оси подвеса гироскопа. Заменив
значения момента их выражениями и продифференцировав правую и левую части
уравнения прецессии гироскопа, после преобразований с учетом условия невозму-
щенности получим
Т? р + р = S-1 [/1 SVsin V + /2 8 Ф + By(t) + n(t)] + Т2 e(t).
Здесь кроме оговоренных ранее приняты следующие обозначения: Tv = V-1 —
постоянная времени, соответствующая частоте Шулера; \|/ — курсовой угол; SV и
5 (р — ошибки в определении скорости и широты; By(t) — ошибка в определении
случайной составляющей ухода нуля акселерометра; n(t) — помехи на выходе ак-
селерометра; e(t) — угловая скорость дрейфа гироскопа; /1 « 2r-1 V sin \|/tg ср,
/2 ~ V2sin2 \p(rcos2 (р)-1 — функциональные множители, зависящие от пара-
метров движения ЛА, которые на малом интервале времени проведения измерений
допустимо считать постоянными величинами. Теперь введем в рассмотрение ста-
тистические характеристики входящих в уравнение недемпфированной ИВ случай-
ных факторов. Для шума измерений оставим без изменений все ранее оговоренные
стандартные предположения. Уходы гироскопа за длительные интервалы времени
наиболее корректно представляют в виде стационарного случайного процесса с экс-
поненциальной корреляционной функцией. Такая модель аппроксимации процесса
с помощью цветного шума требует при оптимальной фильтрации использования
формирующего фильтра, который, следуя (13.88), для нашего случая представим в
виде
e(t) = - ае e(t) + ое\/2 аеп(£).
Аналогичные предпосылки используем и при рассмотрении случайного ухода
нуля акселерометра Ву и ошибки измерения скорости SV. Кроме случайного сме-
щения нуля акселерометра учитывают [100] и случайную систематическую соста-
вляющую Ву с известной дисперсией , характеризующей разброс смещений
516
нуля в данной партии приборов. Ошибка счисления S ф связана с SV известным
соотношением
S ф(£) = г-1 SV cos ф.
Изложенное позволяет перейти к формированию используемого вектора со-
стояния. Предварительно, сделаем небольшое отступление. Кроме рассмотренных
ошибок е, S ф, BLy, Ву и SV, а также собственно угла Р в число компонентов век-
тора состояния должен быть включен и непосредственно измеряемый параметр. Та-
ким непосредственно измеряемым параметром является составляющая интегриру-
емого кажущегося ускорения, снимаемого с выхода акселерометра. Ее выражение
будет иметь вид Xi = Т^Н,-1 pav(i), где Оу — выходной сигнал акселерометра; |1
— коэффициент пропорциональности. Итак, семимерный вектор состояния кроме
непосредственно получаемого по результатам измерений х\ будет включать в себя
Х2 = P(t); £з = е(0’ х4 — 5ф(0’ xq = By(t) и Х7 = 5V(t). Ма-
тематическую модель системы, отвечающую принятому к рассмотрению вектору
состояния, представим в форме
^x(t) = Ax(t) - ГТ|(О,
at
y(t) = Cx(t) + n(i).
Под T](i) здесь понимают четырехмерный вектор входных белых шумов с соста-
вляющими T|i(0 — п(0’ Л2(0 = ni(0’ Лз(0 = пг(£) и T]^(i) = nz(t), где
пг(1) — три белых шума с единичной интенсивностью, являющиеся входными
0 = 1,2,3)
воздействиями формирующих фильтров для e(i), By(t) и SV(t). Структура матри-
цы С размерности (1x7) представляется очевидной:
с = [ т~2 о о о о о 0].
Также нетрудно составить матрицу Г порядка (7 х 4):
1 0 0 0 0 0 0
0 0 \/2 о2 ае 0 0 0 0
гт = 0 0 0 0 0 х/20^ «В, 0
_ 0 0 0 0 0 0 \/2 О ot sv _
Несколько сложнее получить [100] матрицу состояния
' 0 -1 0 £-1/2 8 1 8 1 g sin ф
0 0 1 0 0 0 0
0 0 - аЕ 0 0 0 0
А- 0 0 0 0 0 0 г-1COS ф
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 - Ctsv
517
Рис. 13.18. Схема демпфирования ИВ с помощью ФК
В уравнении оптимального фильтра (13.105) обозначим, имея в виду рассма-
триваемую модель измерений,
[y(i) - Cx(i)] = С [x(i) - x(i)] + n(i) = C Дх(£) + n(i) = y°(i).
Величина y°(i) будет представлять собой ни что иное, как вектор входных сиг-
налов ФК, включенного в ИВ по замкнутой схеме, образованный ошибками пре-
образования вектора x(t). Изменение динамических свойств ИВ при этом осуще-
ствляется за счет формируемых в фильтре корректирующих сигналов ui (i) и U2(t),
показанных на рис. 13.18 пунктирными линиями, прикладываемых к физически су-
ществующим точкам коррекции схемы выработки навигационных параметров. Та-
кими точками в ИВ являются ДМ и выход акселерометра. Подача корректирующе-
го сигнала на ДМ заставляет гироскоп прецессировать и таким образом изменять
положение стабилизированной платформы, определяемое выходным сигналом ДК,
а введение корректирующего сигнала в выходной сигнал акселерометра непосред-
ственно влияет на его значение. Корректирующие сигналы определяют [100] по за-
висимостям
U1(t) = 7V(t) + kiy0(t),
w2(t) = e(t) + fc2y°(t).
Здесь N(t) — оптимальная оценка величины N(i), определяемой по формуле
N(t) = SV sin \|/ Т- Л 5 Ф + Bv(i)) + n(C] ki и k? — оптималь-
ные коэффициенты усиления ФК (компоненты матрицы K(t)).
Для рассмотренной схемы построения ИВ график СКО значений погрешно-
сти будет иметь вид, изображенный на рис. 13.19. Нетрудно показать, что это так.
нения СКО, демпфиро-
ванной с использованием
ФК инерциальной верти-
кали
При /с2 < 0, что необходимо для придания системе
устойчивости, как это следует из характеристическо-
го полинома
Д(з) = s2 + - к2т;2,
будет происходить демпфирование шулеровских ко-
лебаний. Но, с другой стороны, ИВ с включенным по
обсуждаемой схеме ФК, приобретая свойства демп-
фированной ИВ, теряет свойство невозмущаемости.
Это вполне объяснимо. В выражении ut(t) (г = 1,2)
в явном виде присутствуют члены, зависящие от ско-
рости и ее производной. Ничего в этом смысле не
518
изменит и введение дополнительной прямой связи с выхода интегратора на вход
ДМ (рис. 13.18). Данное обстоятельство ограничивает применимость рассмотрен-
ной схемы включения ФК, по крайней мере, в задачах обсуждаемого типа. Другим
более общим недостатком замкнутой схемы включения ФК является то, что в случае
неадекватности реализуемой модели реальному физическому процессу выработан-
ные в фильтре коэффициенты усиления могут привести к формированию коррек-
тирующих сигналов, недопустимых с точки зрения нормальных режимов функци-
онирования системы (подача на ДМ сигнала сверх допустимого уровня в нашем
примере).
Для значительного числа практически важных навигационных
задач не все обратные связи Ui(t) имеют физически существующие
точки приложения, что заставляет обращаться к смешанной схе-
ме включения ФК, содержащей элементы как разомкнутой, так и
замкнутой структур. Примером могут служить, в частности, демп-
фированные ИНС, обладающие одновременно свойством невозму-
щаемости. Как известно, это возможно только при использовании
внешней информации о скорости и ее производной, получаемой
от устройств, не входящих в состав ИНС. Особенно широко сме-
шанная схема используется в КНС, сочетающих метод счисления с
комплексным использованием позиционного метода.
Подводя итоги, можно сделать следующие выводы:
а) схема последовательного включения ФК в навигационный кон-
тур применяется обычно в некорректируемых НС, модель которых
линейна либо достаточно просто поддается линеаризации;
б) схема параллельного включения ФК с прямой корректирую-
щей связью (разомкнутая) находит применение, главным образом,
при комплексировании измерителей одного навигационного параме-
тра и условии относительно небольшого времени непрерывной ра-
боты НС;
в) включение ФК по замкнутой и смешанной схемам целесо-
образно, когда получена полная и надежная информация об ошибках
функционирования длительно работающих НС при комплексирова-
нии измерителей нескольких навигационных параметров.
13.6. Понижение размерности фильтра в навигационных
системах на основе наблюдающих устройств
минимальной размерности
Анализ уравнений ФК показывает, что расчет оптимальных оце-
нок вектора состояния требует выполнения большого числа матема-
тических операций над матрицами и векторами. При этом очевидно,
519
что объем вычислений, приходящихся на один такт работы БЦВМ,
будет определяться прежде всего размерностью вектора состояния.
По данным работы [100] для системы, имеющей десять переменных
состояния (г = 10), пять входных белых шумов и скалярное измере-
ние, решение задачи оптимальной фильтрации на одном такте потре-
бует выполнения 4091 операции умножения и 3711 операций сложе-
ния. При увеличении числа измерений до трех объем вычислений со-
ставит 4717 операций умножения и 4297 операций сложения. Таким
образом, увеличение числа измерений не вызывает существенного
увеличения объема вычислений, тогда как увеличение размерности
вектора состояния всего лишь на две компоненты (г = 12) приводит
к резкому росту объема вычислений: до 6290 операций умножения и
5762 операций сложения.
Поэтому весьма важным и актуальным становится вопрос о воз-
можности упрощения алгоритма оптимальной фильтрации при до-
пускаемой незначительной потере точности результатов оценивания
вектора состояния. Фильтры, которые по сравнению с оптимальны-
ми обеспечивают более низкую точность в переходном, а в боль-
шинстве случаев и в установившемся режимах, но характеризуются
более простой структурой, получили название субоптимальных.
Синтез субоптимальных фильтров представляет собой довольно
сложную задачу [28], входящую в состав общей проблемы про-
ектирования оптимальных НС. Наиболее перспективным методом
понижения порядка оптимальных фильтров представляется подход,
связанный с использованием наблюдающих (восстанавливающих)
систем пониженной (или минимальной) размерности, элементы тео-
рии которых были рассмотрены ранее. Основываясь на этих матери-
алах, обсудим принципы синтеза соответствующего алгоритма для
дискретной модели процесса. В качестве последней воспользуемся
разностным уравнением (13.130) с уравнением наблюдения (13.144).
В соответствии с (13.31) (г-р)-мерный вектор состояния, формируе-
мый наблюдающим устройством, должен удовлетворять уравнению,
которое применительно к дискретной модели процесса будет иметь
вид
z(fc + 1) = 4(fc)z(fc) + Q(fc)C(fc)x(fc), (13.170)
где Д(/с) и Q(fc) — матрицы, подлежащие определению. Выбор этих
матриц, как уже отмечалось, не является произвольным. Необходи-
мо, чтобы матрицы Д(/с) и Q(fc) были такими, при которых матрица
520
T(fc) в уравнении (13.32) имела бы заданный ранг r-р. В этом случае
р < г измеряемых компонент и r-р переменных состояния, восста-
навливаемых с использованием математических соотношений, да-
дут г линейно независимых комбинаций переменных состояния, от-
вечающих условию полной наблюдаемости динамической системы.
К матрице T(fc), преобразующей при нулевых начальных условиях
вектор состояния x(fc) в вектор z(fc) с помощью линейного преобра-
зования
z(fc) = T(fc)x(fc), (13.171)
предъявляется требование, заключающееся в том, что матрица Т* (fc),
образованная из компонентов матриц T(fc) и C(fc), должна быть не-
особенной. Тогда матрица T*(fc) будет иметь обратную, такую что
подматрицы W(fc) и V(fc), входящие в ее состав как
[T*(fc)]-1 = [W(fc) |V(fc))], (13.172)
позволят получить оценку вектора x(fc) в виде
x(fc) = w(fc)z(fc) + V(fc)y(fc). (13.173)
Приведенная зависимость характеризует работу фильтра понижен-
ной относительно вектора состояния ЛА размерности. Входом филь-
тра являются измерения меньшего чем г числа компонентов вектора
y(fc), а выходные переменные z(fc) совместно с измеряемыми обра-
зуют оценку полного вектора состояния. Условием, гарантирующим
существование фильтра с наблюдающей системой (устройством) по-
ниженной размерности, является выполнение соотношений для ма-
триц Д(/с) и Q(k), задаваемых в виде
Д(£) = Т(£)Ф(/с + l,fc)W(fc), (13.174)
Q(fc) = T(fc) Ф(к + 1, k)V(k)C-\k). (13.175)
Схема построения фильтра с наблюдающим устройством пони-
женной размерности приведена на рис. 13.20. Отметим, что синтез
субоптимальных фильтров менее полно формализуем [68], чем син-
тез оптимальных фильтров, в силу предполагаемого компромисса
для соотношения «сложность — точность оценивания».
521
Рис. 13.20. Схема субоптимального фильтра с наблюдающим устройством
пониженной размерности
13.7. Беспоисковые и рекуррентно-поисковые алгоритмы
оценивания навигационных координат в КЭНС
Теоретической основой синтеза алгоритмов беспоисковых кор-
реляционно-экстремальных систем служит современная теория оп-
тимального оценивания, идентификации и управления. Применение
соответствующих методов для создания алгоритмов КЭНС встречает
определенные трудности. Прежде всего это связано с тем, что есте-
ственные навигационные поля, такие как поле рельефа местности,
аномальное магнитное или гравитационное поля описываются весь-
ма сложными функциями координат, напоминающими реализации
случайных функций. Вектор наблюдения, используемый для оцени-
вания координат ЛА, задается нелинейной, трудно поддающейся ана-
литическому описанию, функцией. Так что строгое разделение алго-
ритмов оптимального управления и оценивания, базирующееся на
использовании теоремы разделения, в данном случае невозможно.
Тем не менее на практике такое разделение проводят, перехо-
дя к приближенно оптимальным (субоптимальным) алгоритмам.
При этом оптимальное управление строится на основе оптимальной
оценки вектора состояния ЛА, формируемой фильтром Калмана.
Обоснование такого подхода при синтезе беспоисковых алгоритмов
работы КЭНС дается, например, в [55]. Движение ЛА описывается
522
уравнениями вида (13.153) и (13.154). Фильтр Калмана для соотно-
шений (13.153) и (13.154), описывающих модели объекта и измере-
ний, имеет вид (13.155) и (13.156).
Значение параметра Лп(х) зондируемого поля, соответствующее
оценке (х), извлекается из блока памяти КЭНС. Для оптимальной
оценки координат в соответствии с (13.155) и (13.156) необходимо
вычислять значения элементов матрицы дЕ/дх, которые являются
функцией Лп(х) и могут быть получены численным дифференци-
рованием в процессе работы алгоритма либо вычисляться заранее
и храниться в блоке памяти. Причем x(t) здесь может принимать
значения как фазовых координат, отвечающих номинальной траек-
тории, так и оценки x(t) = x(t). При этом для обеспечения устой-
чивой работы алгоритма погрешности линеаризации в пределах
ошибок оценки должны быть невелики. Линеаризация функций,
описывающих физические поля, возможна лишь в пределах радиуса
корреляции поля.
Рекуррентная форма алгоритма фильтра Калмана позволяет су-
щественно сократить объем вычислений, необходимых для получе-
ния текущей оценки фазовых координат. Описанные выше поиско-
вые процедуры оценки теоретически не имеют ограничений на до-
пустимые начальные рассогласования координат ЛА. Но чем больше
эти рассогласования, тем большим оказывается объем вычислений.
Так, если линейные размеры доверительного прямоугольника возра-
стают в к раз, то количество гипотез, подлежащих проверке (при не-
изменной точности оценки), увеличивается в к2 раз. При этом вы-
числение текущей оценки координат может потребовать от БЦВМ
слишком больших затрат времени. В итоге работа алгоритма в ре-
альном масштабе времени, необходимом для управления движением
ЛА, окажется невозможной. Совместное использование дискретной
калмановской фильтрации и теории проверки статистических гипо-
тез привело к разработке алгоритмов рекуррентно-поискового оце-
нивания [12, 55]. Такой подход направлен прежде всего на сокра-
щение объема вычислений при увеличении допустимых начальных
рассогласований. Рекуррентная форма алгоритма позволяет сопоста-
влять гипотезы, не дожидаясь проведения всех необходимых наблю-
дений, в темпе измерений.
Для каждой из возможных гипотез моделируется соответству-
ющий ей оптимальный фильтр, с помощью которого вычисляется
оптимальная при данной гипотезе и данном векторе наблюдения
523
оценка состояния. На ее основе вычисляют значение некоторого
функционала (критерия сравнения гипотез). Гипотезу gj, при кото-
рой достигается экстремум функционала, и соответствующую ей
оценку вектора состояния выбирают в качестве оптимальных.
Для формулирования задачи рекуррентно-поискового оценива-
ния в КЭНС воспользуемся результатом, полученным в [55]. Каждая
из возможных гипотез gj G G характеризуется априорной вероятно-
стью qj(j = 1,..., TV). Дискретная динамическая система описыва-
ется уравнением, по аналогии с (13.130) в виде
x(fc + 1) = Ф(к + 1, fc|g)x(fc) + T](fc), (13.176)
в котором переходная матрица состояния зависит от реализовавшей-
ся гипотезы: Ф(к + 1, k\gj) = ФЦк + 1, к). В дискретные моменты
времени наблюдается сигнал
у(к + 1) = C(fc + l|g)x(fc + 1) + F(fc + 1|#) + п(к + 1)
(13.177)
(к — 0,1,... ,т),
где матрицы С(к + 1|^) = Cj(k + 1) и F(fc + 1|^) = FJ(fc + 1)
также зависят от реализованной гипотезы gj.
Заметим, что матрица F(fc + 1 |g) в уравнении (13.177) описывает
составляющую наблюдаемого сигнала, зависящую от реализованной
гипотезы и не зависящую от текущих значений фазовых координат.
Статистические характеристики возмущений — дискретных белых
шумов (последовательностей) ll(fc), n(fc + 1) и начального значения
вектора состояния х(0) — зависят от гипотезы на интервале наблю-
дения (Л = 0,1,..., т):
M[nWnT(%] =GJ(*№;
М [n(fc + 1)пт(г + 1)|^.] = (?(к + 1) bki.
Шумы объекта и измерений в дальнейшем считают некоррелирован-
ными: М [n(fc) Т|т(г)|gy] = 0.
В качестве критерия оптимальности оценивания принимают [55]
I = max p(xm, j|ym). (13.178)
xm j
524
Величина p(xi,j|ym) обладает свойствами вероятности по отноше-
нию к гипотезе gj и свойствами плотности вероятности по отно-
шению к вектору состояния х$, т. е. оптимальными считаются такие
оценка и гипотеза (xj,gy), которые имеют наибольшую вероятность
совместного появления при проведенных наблюдениях ут.
Так как множество гипотез конечно, общий максимум (13.178)
можно вычислять последовательной максимизацией [55] критерия
I = max( maxp(xm,j|ym)), т. е. для каждой из возможных ги-
\ хт 7
потез g,j необходимо найти х^, доставляющее максимум функции
p(xm,j|ym). В [55] показано, что критерий можно привести к виду
I = maxbm ехр(—J^/2), (13.179)
^3
где bi =
>. Тогда макси-
7=1
мум (13.179) будет достигаться при min Значение функционала
вычисляют рекуррентно по формулам
J\k + 1) = J\k)+ /^(k + V)(^j(k + V^ \
х A>(fc + 1)+ EJ(fc + l);
Д^(А: + 1) = y(fc + 1) - Cj(k + 1) + 1, k)*j(k\k)-
-Fj(k + 1);
&\к +1) = in(|G>(fc)IIQJ(fc + i)l IПЖГ1);
, (13.180)
(njW-1MRW)) +
+ Ф?т(£ + l|fc)(GJ' (fc))-1 &>(k + l|fc));
(£> + 1))-1 = (Qj(£ + l))-1 E - C^k + 1)X
x W(k + l|fc + l)CJT(fc + l)(Qj(fc + l))-1 •
В качестве наиболее вероятной выбирают гипотезу gj, минимизиру-
ющую функционал Jlm = min J^. Оценка х^, полученная отвечаю-
щим этой гипотезе фильтром Калмана, будет оптимальной оценкой
вектора состояния х.
525
Таким образом, оптимальный в указанном смысле алгоритм оце-
нивания вектора состояния и выбора гипотезы будут включать три
группы уравнений [55]: оценок в форме (13.145), (13.149); корреля-
ционной матрицы типа (13.152) и функционалов (13.180). Последние
решаются при следующих начальных условиях:
j>(0)= Д^Т(О)(£ЛО))ТДТ(О)+ ej(o),
£>(0) = ln(|R^| |Qj(0)|q-2),
(Е Л°))-1 = (QJ(°))-1 [Е - C-7(O)R'7(O|O)CJT(O)(Q'7(O))-1]
Три указанные группы уравнений описывают в общем виде алго-
ритм рекуррентно-поискового оценивания.
Г л а в а 14. КОРРЕКЦИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛА
БАЛЛИСТИЧЕСКОГО ТИПА
И БАЛЛИСТИКО-НАВИГАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ
ИХ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ
ОТ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ ИСТОЧНИКОВ
НАВИГАЦИОННОЙ ИНФОРМАЦИИ
14.1. Общая постановка задачи коррекции
Метод счисления пути с точки зрения его возможных конкретных
реализаций в ИНС не свободен, как ранее отмечалось, от недостат-
ков, обусловленных, прежде всего, возрастанием со временем оши-
бок определения координат.
Системы, базирующиеся на других методах, также не обладают
свойством абсолютно точного определения местоположения ЛА. Но
в том смысле, в котором эти погрешности присущи ИНС, эти си-
стемы более предпочтительны. Однако такого рода НС не облада-
ют достоинствами ИНС. Если говорить об измерителях, реализую-
щих, в частности, позиционный метод, то они в целом менее универ-
сальны, не обладают аналогичной ИНС помехозащищенностью, на-
конец, не обеспечивают в большинстве случаев автономность нави-
гации. Естественно, возникает мысль о целесообразности сочетания
при построении НС позиционного или какого-либо другого метода с
526
методом счисления пути. Число возможных вариантов указанных со-
четаний при этом может оказаться достаточно большим. Обычно на-
вигационные системы, сочетающие метод счисления пути с позици-
онным, подразделяют на две группы: комбинированные и комплекс-
ные.
К числу комбинированных принято относить системы, в ко-
торых используется независимая комбинация конструктивно обо-
собленных подсистем. Примером такой комбинированной НС мо-
жет служить инерциальная система в составе АУД в сочетании с
радиотехнической системой, обеспечивающей получение данных
для управления движением центра масс БР в боковом направлении
и предназначенной для удержания ракеты в расчетной плоскости
стрельбы (система боковой радиокоррекции), использовавшаяся на
отечественных ракетах дальнего действия первых поколений.
К числу комбинированных могут быть отнесены также системы,
сочетающие ИНС с КЭНС, используемыми для разовых коррекций
автономных СУ или непосредственно параметров движения ГЧ на
подлете к цели. То же можно сказать и о БКЦ, входящих в состав
КЭНС и систем прямого наведения, сочетающихся с ИНС.
Сложнее обстоит дело с навигационными комплексами.
Комплексными (иначе навигационными комплексами) обычно
называют системы со структурной избыточностью. Согласно опре-
делению [2, 30, 100, 121], под структурной избыточностью в НС
понимается возможность решения навигационных задач несколь-
кими способами параллельно, с использованием идентичной по ха-
рактеру информации от нескольких измерителей, построенных на
различных физических принципах действия. Так, например, теку-
щие координаты ЛА могут быть определены двукратным интегри-
рованием сигналов, снимаемых с акселерометров, вычислены по
сигналам измерителя воздушной скорости и доплеровского изме-
рителя скорости и т. д. Отличительной особенностью комплексных
систем является наличие перекрестных связей между отдельными
измерителями для компенсации и изменения характеристик системы
в целом. Задача организации рационального взаимодействия отдель-
но взятых измерителей в навигационном комплексе трактуется как
задача комплексирования бортового навигационного оборудования.
Одно из центральных мест в ней занимает коррекция ИНС, ставящая
целью уменьшение ошибок инерциальной системы за счет исполь-
зования дополнительной информации о текущих координатах ЛА
527
и их производных, получаемых от внешних по отношению к ИНС
источников. В отличие от других способов повышения точности НС
коррекция не требует ни изменения внутренней структуры основной
навигационной системы [2], ни увеличения инструментальной точ-
ности входящих в нее элементов. Сущность работы корректируемых
ИНС можно пояснить на основе проведения аналогии принципа дей-
ствия с процессом автоматической начальной выставки ИНС. Дей-
ствительно, внешняя информация в системах начальной выставки
предназначена для приведения сопровождающей системы координат
ИНС к базовой, т. е. к ликвидации рассогласования между рассматри-
ваемыми трехгранниками в начальный момент времени. Коррекция
ИНС преследует решение той же задачи только уже не в начальный,
а в некоторый текущий момент времени, когда накопленные ошиб-
ки, приводящие к рассогласованию систем координат, превзойдут
допустимые. Вопросы коррекции неразрывно связаны с одним из
структурных свойств ИНС как сложной динамической системы, а
именно, со свойством наблюдаемости ее ошибок [28, 30, 100]. Здесь
оно рассматривается с точки зрения информационного обеспечения
корректируемых ИНС. Вопрос может быть поставлен так: можно
ли, располагая данными об ошибках определения одной из соста-
вляющих вектора фазовых координат, оценить другие ошибки, не
проводя соответствующих эталонных измерений? Очевидно, ответ
на данный вопрос будет играть определяющую роль при комплекси-
ровании навигационных систем на стадии их синтеза.
Частным, но достаточно характерным примером решения такого
типа задач могут служить ИНС, комплексированные астроследящим
устройством.
Информация от астроследящего устройства в астроинерциаль-
ной системе навигации (АИСН) о направлении на небесное свети-
ло используется для коррекции ухода гироскопов ИНС. В свою оче-
редь информация, снимаемая с выходов ИНС, позволяет сформиро-
вать сигналы наведения телескопов на выбранные светила вне зави-
симости от эволюций траектории ракеты.
Целесообразно обратить внимание на то, что один автомати-
ческий пеленгатор не может выделить пространственные угловые
ошибки визирования, поэтому для трехосной коррекции платфор-
мы необходимо обеспечить слежение, по крайней мере, за двумя
астроориентирами. В некоторых системах для этой цели использу-
ют несколько телескопов. Однако может быть использован и один
528
телескоп, попеременно визирующий две звезды. Возможны два ва-
рианта построения АИСН: 1) астроследящее устройство устана-
вливают на инерциальной платформе; 2) на повторителе вертикали.
Первый вариант более предпочтителен, однако реализация его не
всегда возможна по конструктивным соображениям. Использование
второго варианта построения схемы связано с ухудшением точности
из-за ошибок дистанционной передачи углов крена, тангажа и рыска-
ния на повторитель вертикали и из-за упругих деформаций корпуса
ЛА. Точность работы АИСН зависит главным образом от ошибок
астроследящего устройства, скорости ухода гироскопов, ошибок ак-
селерометров, а также от погрешностей ввода начальных данных
(угла наклона платформы, скорости и координат). При этом в каче-
стве ориентировочного критерия требуемой точности визирования
астроориентиров можно использовать тот факт, что ошибка ориента-
ции телескопа в 1", как правило, приводит к ошибке в определении
местоположения ЛА в несколько десятков метров.
На рис. 14.1 показана схема модели ошибок для недемпфирован-
ной системы с астрокоррекцией, где вход 8 д представляет собой по-
грешность измерений астропеленгатора. Наличие 8д для недемп-
фированной системы приводит к возрастанию ошибки в определе-
нии местоположения ЛА пропорционально корню квадратному из
времени. Этот рост ошибки можно интерпретировать как ожидае-
мое увеличение амплитуды колебаний с периодом Шулера. Введение
демпфирования будет способствовать устранению ошибки в опре-
делении местоположения в установившемся режиме работы. Схема
модели ошибок демпфированной ИНС с астрокоррекцией приведена
на рис. 14.2. Целесообразно обратить внимание на противоречивые
требования, предъявляемые к коэффициенту усиления k± или коэф-
фициенту демпфирования С одной стороны, его надо увеличивать
для уменьшения ошибки за счет шумов следящего астропеленгатора,
с другой — необходимо уменьшать для снижения влияния шумов в
измерении скорости.
Приведем еще один пример, связанный с реализацией позицион-
ного метода навигации (метода поверхностей и линий положения)
спутниковыми радионавигационными системами [30, 35, 49].
Определение пространственного положения ЛА с помощью ра-
диотехнических средств требует в общем случае использования
достаточно большого числа наземных станций, соответствующим
образом расположенных относительно траектории ЛА, что не всегда
529
Рис. 14.1. Модель ошибок одного канала недемпфированной ИНС
с астрокоррекцией
Рис. 14.2. Модель ошибок одного канала демпфированной ИНС
с астрокоррекцией
возможно. Появление искусственных спутников Земли (ИСЗ) от-
крыло новую эру в развитии теории и практики навигации подвиж-
ных объектов. При установке радионавигационной точки (РНТ) на
ИСЗ удается создать систему навигационных искусственных спут-
ников Земли (НИСЗ), способную обеспечить эффективное решение
задач навигации подвижных объектов, особенно в безориентирной
местности. Эксплуатация спутниковых радионавигационных систем
(СРНС) первого поколения, появившихся в начале 1960-х годов и
предназначавшихся первоначально исключительно для обеспечения
высокоточного морского судовождения, позволила оценить возмож-
ности применения СРНС также и для навигации ЛА [44]. Если СРНС
первого поколения представляли собой системы дискретного дей-
ствия, продолжительность измерений которых определялась вре-
менем нахождения НИСЗ в зоне видимости потребителя, то СРНС
второго поколения стали сетевыми системами непрерывного дей-
ствия, обеспечивающими глобальное определение вектора состоя-
530
ния подвижного объекта. Определение навигационных параметров
с использованием СРНС имеет много общего с определением ме-
стоположения ЛА на основе нахождения точки пересечения линий
положения, определяемых с помощью наземных радиотехнических
систем навигации. Отличительная особенность СРНС — устано-
вленные на борту спутников системы РНТ флуктуируют, т. е. откло-
няются случайным образом относительно расчетных значений их
координат. Данное обстоятельство вынуждает создавать специаль-
ные службы, предназначенные для определения и прогнозирования
на длительный период параметров орбит НИСЗ.
Применительно к наиболее распространенному дальномерному
способу, реализуемому с помощью СРНС, местоположение ЛА опре-
деляется в результате измерений наклонных дальностей до одного
или нескольких одновременно видимых спутников. Каждой из изме-
ренных дальностей будет соответствовать сферическая поверхность
положения с центрами в точках расположения НИСЗ в моменты из-
мерения. Пересечение двух сферических поверхностей даст линию
положения в виде окружности, расположенной в пространстве, а
также ее проекцию на поверхность Земли. Определение геоцентри-
ческой высоты позволит получить третью поверхность положения,
которая, пересекаясь с полученной линией, дает искомую точку ме-
стоположения ЛА. При одновременном измерении дальностей двумя
НИСЗ для определения координат ЛА относительно геоцентриче-
ской связанной системы координат необходимо решить следующую
систему алгебраических уравнений:
(а:с1 - х)2 + (ус1 - у)2 + (гС1 - г)2 = D2;
(хс2 - х)2 + (ус2 - у)2 + (zC2 - z)2 = D%; (14.1)
х2 + у2 + z2 = (R + Я)2,
где Хс, Ус^с и х, у, z — геоцентрические координаты НИСЗ и ЛА
на момент проведения измерений; R — модуль радиуса-вектора ис-
пользуемой модели Земли; Н — высота полета ЛА над поверхно-
стью Земли на момент обсервации.
В рассматриваемом способе на НИСЗ устанавливается аппара-
тура для приема и переизлучения импульсов запроса с ЛА. При ис-
пользовании суммарно- и разностно-дальномерных способов опре-
деления местоположения ЛА с помощью СРНС основной проблемой
531
стало оптимальное размещение НИСЗ на орбитах. Под оптимальным
в данном случае следует понимать возможность размещения НИСЗ
на орбитах, перекрывающих рабочими зонами необходимые районы
Земного шара (в идеале — глобальные перекрытия) и обеспечиваю-
щих расстояния между линиями положения, отвечающие достиже-
нию заданной точности навигации в пределах дальности действия
соответствующих средств.
Строго говоря, СРНС в данном случае могут выступать как сред-
ство комплексирования ИНС и как дополнительный внешний высо-
коточный источник информации, используемый для разового «спи-
сания» накопившихся ошибок движения БР или ГЧ, управляемых на
длительном интервале по информации от ИНС.
Учитывая такого рода неопределенность в классификации си-
стем коррекции движения ЛА баллистического типа, сформулируем
понятие коррекции и попытаемся ранжировать возможные виды
коррекций, используя иные критерии.
Итак, под коррекцией движения ЛА баллистического типа в
общем случае будем понимать изменение его координат по инфор-
мации от дополнительных аппаратных средств, ставящее целью
«списание» накопившихся ошибок при управлении от ИНС или реа-
лизацию программного управления, недостаточно адаптированного
к реальным полетным условиям.
В рамках данного определения будем подразделять возможные
виды коррекций на две группы:
• проводимые по разомкнутой схеме, предполагающей коррек-
цию движения без учета положения относительно цели или ее за-
данных координат;
• проводимые по замкнутой схеме, т. е. коррекцию координат
баллистического ЛА относительно наблюдаемой цели или ее коор-
динат.
Следует иметь в виду, что первый вид коррекции может прово-
диться на любом участке и даже на всей траектории полета (для ОТР
и отдельных БР средней дальности с управлением полета как на АУТ,
так и на пассивном восходящем и нисходящем участках траектории),
второй же — только на ее конечной части.
14.2. Градиентная и параметрическая коррекция
программного движения
Рассматриваемый тип коррекции относится к первому виду при-
веденной классификации. Изложение его сущности проведем на при-
532
мерах коррекции движения БР с РДТТ, ориентируясь на данные и ме-
тодические положения, содержащиеся в [91].
Как следует из указанной работы, разбросы параметров ТДУ и
характеристик атмосферы приводят к движению БР в широкой труб-
ке изменений параметров. На отдельных участках траектории эти от-
клонения могут достигать значительных величин, что может сказать-
ся и на конечной цели управления, а именно точности стрельбы. Так,
для ОТР «Точка», «Искандер-Э» и других подобного типа разброс
характерной для них наклонной дальности на момент начала упра-
вления на конечном участке [ AD(tHy)] в зависимости от дальности
стрельбы достигает значений АР = АР(£ну)/РНом = 25... 30 %.
На рис. 14.3, заимствованном из [91], приведена зависимость АР =
= f(L), где L = L/Lmax, Lmax — максимальная дальность для дан-
ного класса БР. Для БР «Ока» (/), «Першинг-2» (2) и аналогичных им
разброс характерного параметра — высоты окончания АУТ в зависи-
мости от дальности— достигает АН = АЯК/ АЯКНОм = 15 ... 30%.
На рис. 14.4 приведены [91] графики изменения АН = f(L).
20
15
10
5
0
Рис. 14.3. Зависимость отно-
шения наклонной дальности
на момент начала управле-
ния к Dh0M в функции отно-
сительной дальности стрель-
бы для БР с РДТТ
Рис. 14.4. Графики измене-
ния ЛЯ = /(L) для БР
«Ока» (7) и «Першинг-2» (2)
Для БР обсуждаемого типа разброс координат и высоты на мо-
мент начала управления на НВ ПУТ в плотных слоях атмосферы, в
зависимости от дальности, достигает значений: Ахну/хну = 0,5 ...
1,0%, АНну/Нну = 5,0... 7,0 %. Аналогичный эффект, причем в
ряде случаев, существенно более ощутимый в количественном выра-
жении, характерен и для МБР. Приведенные выше значения отклоне-
ний присущи совокупности возмущений, определяющих некоторые
предельные траектории. Разброс координат в момент начала упра-
533
вления характеризует динамическую ошибку управления. Соответ-
ствующие отклонения координат на момент окончания работы ДУ в
значительной мере определяют составляющую рассеивания за счет
факторов, действующих на ПУТ.
Для компенсации влияния отклонений параметров движения на
рассеивание требуется синтезировать новые программные траекто-
рии, относительно которых и осуществляется последующее упра-
вление. С точки зрения потребной энергетики такое управление не
вызывает особых трудностей для БР, управляемых на ПУТ при по-
мощи аэродинамических органов. При управлении относительно но-
вых программных траекторий на ПУТ потребуется дополнительный
запас топлива, гарантирующий достижение необходимой дальности.
При этом уменьшение высот разделения потребует ДУ с повышен-
ными энергетическими параметрами: увеличенным секундным мас-
совым расходом, более эффективным удельным импульсом.
Определяемый при этом запас топлива должен служить физиче-
ской гарантией того, что при изменении программной траектории
масса используемого топлива не превысит гарантийного запаса.
Твердотопливные ДУ с большим разбросом параметров вызыва-
ют рассеивание и в боковом направлении. Рассеивание в боковом на-
правлении возникает из-за значительных вариаций полного полетно-
го времени 8 Г, поскольку точка прицеливания за время 8 Г изменит
свое положение, т. е. изменится прицельный азимут пуска.
Для рассмотрения возможных видов коррекции представим про-
граммное управление для всех формализованных моделей БР упро-
щенно в виде следующих блоков и каналов [91]:
— объект управления (ОУ);
— блок измерений (БИ);
— замкнутый контур управления, включающий блоки программ
рассогласования и формирования законов управления;
— разомкнутый канал управления, включающий блоки программ
управляющих функций и формирования команд.
Формализованная схема реализации программного управления
приведена на рис. 14.5.
Для обеспечения требуемой точности стрельбы коррекции под-
лежат программная траектория (программы управления) и управля-
ющие функции.
Коррекция программных траекторий и управляющих функций
состоит в изменении параметров программ управления и коррекции
534
Рис. 14.5. Схема формирования программного управления общего типа
с коррекцией программ управления и управляющих функций
вида управляющих функций в замкнутом и разомкнутом контурах
СУ. Частично эту коррекцию можно проводить при подготовке ис-
ходных данных на пуск. Коррекция программ в полете основана
на измерении вектора состояния в фиксированный или некоторые
дискретные моменты времени. Для проведения коррекции на старте
необходимо измерять параметры ДУ или использовать их паспорт-
ные данные (например, формулярную скорость горения топлива) и
параметры атмосферы (например, наземную температуру воздуха).
Таким образом, можно выделить коррекцию программ управления
(А\, 7<з) и коррекцию управляющих функций (JQ, см. рис. 14.5).
На рис. 14.6 приведена блок-схема видов коррекции: из-за откло-
нений формулярной скорости горения топлива /, температуры возду-
ха 2, адаптивная 3 и параметрическая 4 структуры программ 5, упра-
вляющей функции 6, программ бокового движения 7 и программной
дальности 8.
Анализ результатов воздействия возмущений на отклонение эле-
ментов движения свидетельствует, что в ряде случаев эти воздей-
ствия неадекватны по траектории даже при допущении постоянства
знака случайных возмущений. Это особенно характерно для двухре-
жимных ТДУ и двухступенчатых МБР. Отметим, что с увеличением
535
Рис. 14.6. Блок-схема вариантов возможных видов коррекции
высот уменьшается влияние аэродинамических возмущений и откло-
нений параметров атмосферы.
В основе адаптивной коррекции лежит прогнозирование откло-
нений элементов движения на заданный момент времени т в пред-
положении, что начиная с этого момента, возмущения отсутствуют.
Общая схема адаптивной коррекции программ управления, включа-
ющая и коррекцию управляющих функций в канале без обратной
связи, приведена на рис. 14.7.
Математическая постановка задачи адаптивной коррекции про-
грамм управления имеет следующий вид. Пусть движение БР опи-
сывается системой уравнений заданного вида. Управление состоит
из формирования траектории для вывода ракеты в область гранич-
ных условий при помощи программного управления (например, про-
граммы тангажа) и отсечки тяги ТДУ для обеспечения попадания
Рис. 14.7. Схема адаптивной коррекции программ управления
536
БР либо неуправляемой ГЧ в цель или в область начала управления
на конечном участке ПУТ при достижении управляющей функцией
F(y) заданного значения Fq. Предполагается, что программа извест-
на и имеет вид uq = /(у, с), где у — вектор измерений; с — вектор
коэффициентов.
На участке F(t) « Fo программа uq изменяется незначительно,
т. е. uq « const, и скорость ее изменения во времени du^/dt зависит
от у. При случайных разбросах характеристик ТДУ и действии дру-
гих возмущений возникают вариации элементов движения
на момент выполнения условий F(t) — Fq и uq « const, где tk
соответствует этому моменту времени. Возмущенные значения у^
могут значительно отличаться от номинальных ykN, т. е. вариации
tyk — Ук ~ VkN могут быть большими. Задача состоит в необходи-
мости корректировки в полете программы uq или значения Fq, чтобы
при действии возмущений вариация 8г/& (£&) была минимальна:
&Ук(!к) min. (14.2)
ио
Рассмотрим вариант адаптивной коррекции программы без изме-
нения ее структуры /, т. е. через вектор коэффициентов с [91]. Пред-
положим, что в качестве функции F принята текущая прогнозиру-
емая дальность до точки падения. Тогда Fq будет характеризовать
дальность стрельбы. Весь интервал управления [to, tk] разбивается
на п интервалов коррекции протяженностью At : tk — tQ + п №.
Количество интервалов п определяют из условия Ui(t^) —
—uo(tfc) 8u, где Au — допустимая ошибка отработки програм-
мы в момент tfc. С дискретностью Ат At измеряется вектор
состояния у. На интервалах коррекции проводится прогнозирование
движения БР с управлением:
а) на 1-м шаге — относительно программы до выполнения
условия F(t) = Fq;
б) на последующих шагах — относительно скорректированной
программы Uq.
Прогноз осуществляется путем интегрирования системы диффе-
ренциальных уравнений по измеренным в начале интервала коррек-
ции начальным условиям уп и при отсутствии возмущений.
В результате находим локальную невязку
АУп(^) = [Уп(^) - Ул-(^)|2 • (14.3)
537
В качестве tk применим и любой другой момент времени в зави-
симости от постановки задачи.
Требуется, чтобы локальная невязка достигла минимума, т. е.
АУп(^)-> min, (14.4)
Дсп
где Дсп — матрица корректирующих коэффициентов.
Задача коррекции параметров с состоит в изменении их таким
образом, чтобы осуществить перевод БР на оптимальную траекто-
рию для случайных на интервале коррекции характеристик ТДУ, кор-
пуса аппарата и т. д.
Алгоритм коррекции учитывает информацию о состоянии ТДУ
через измеренный вектор состояния у и имеет рекуррентный харак-
тер:
сп+1 = сп + Асп(у, сп). (14.5)
Выражение (14.5) означает, что на интервале коррекции в каче-
стве параметров сп должны выбираться такие, которые при их мини-
мальном изменении дают наибольший эффект изменения локальной
невязки Ду*2(сп + Дсп). Такая коррекция носит название градиент-
ной.
Для конкретных видов функциональных зависимостей программ
управления адаптивный алгоритм значительно упрощается.
Эффективным способом уменьшения разбросов параметров дви-
жения в заданный момент времени является коррекция структуры
программ управления, под которой понимается переход от одной
функциональной зависимости к другой из числа заданных. Харак-
терным примером будет изменение порядка полинома, аппроксими-
рующего программу.
Пусть задано конечное число структур программы управления
ит = /о(у, Со); «01 = /1(у, С1); иок = /А.(у, сА.). (14.6)
В качестве критерия обычно принимают усредненную невязку
j-ro параметра движения от требуемого на интервале [f?, ^+1] £
6 [to, tk], т. е. невязку Qj на г-м шаге при к-й структуре:
538
Наилучшей будет та структура программы, которая обеспечивает
минимум невязки
minQk _>min. (14.8)
J tk
Основным принципом параметрической коррекции является
компенсация влияния возмущений на отклонение элементов движе-
ния при помощи прогнозирования этих отклонений и одноразовой
коррекции программ управления. Для этого может использоваться
как априорная, так и апостериорная информация. При прогнози-
ровании отклонений применяют принцип декомпозиции возмуще-
ний [91].
Предполагается, что возмущения не меняют характер воздей-
ствия на элементы движения в полете, т. е. не изменяют своего знака.
Для БР тактического и отчасти оперативно-тактического назначения
такими возмущениями являются прежде всего отклонения параме-
тров ТДУ от расчетных. На начальном участке движения под посто-
янным углом, равным углу старта, влиянием остальных возмущений
можно пренебречь. Таким образом, на начальном участке движения
следует выбрать такой момент т, постоянный для всех дальностей
стрельбы, в который отклонения элементов движения будут полно-
стью определяться отклонениями параметров ТДУ. Отсюда следует
и общая схема параметрической коррекции программ управления в
полете:
1) по значениям элементов движения центр масс БР, измеренным
в некоторый момент т, определяется параметр коррекции, наиболее
полно характеризующий отклонение заданного элемента движения
в момент времени
2) априори определяют зависимости, характеризующие отклоне-
ние параметров программ управления в функции параметра коррек-
ции, аппроксимируют и вводят в память бортовой ЦВМ;
3) по отклонению параметра коррекции от расчетного значения в
момент т корректируют программы управления.
Общая схема параметрической коррекции приведена на рис. 14.8.
Математическая постановка задачи параметрической коррекции
совпадает с постановкой задачи адаптивной коррекции.
Синтез программ управления с учетом параметрической коррек-
ции включает решение следующих наиболее важных задач:
1) выбор параметра коррекции ц из условия корреляции его от-
клонения от расчетного значения в момент т с вариацией одного из
элементов у в момент
539
X
Рис. 14.8. Общая схема параметрической коррекции
2) определение оптимальных значений корректирующих попра-
вок к параметрам программ управления, обеспечивающих выполне-
ние задачи управления.
Корректирующие поправки программ управления вводят в па-
мять БЦВМ полиномами и вычисляют в полете в зависимости от от-
клонений от расчетного значения параметра коррекции ц:
5 ц( %) = ц( т„, е) - ц( tv, 0), (14.9)
где ц( ту, е), ц( т„,0) — соответственно значения параметра кор-
рекции в момент при возмущенном и номинальном движениях.
Изменение программ путем коррекции ее параметров вы-
зывает отклонение элементов движения центра масс БР на всем
интервале изменения. При действии всего комплекса возмущений
скорректированные программы будут несущественно отличаться от
исходных. Поэтому можно записать следующее выражение для от-
клонений элементов движения:
5Укор(*) = ад 5иок, (14.10)
где C(t) — матрица-столбец (mxl), характеризующая влияние из-
менения программы на отклонение элементов, компоненты которой
определяют из выражения q = cyt\ су — постоянные для каждой
дальности коэффициенты, определяемые по результатам расчетов
номинальных траекторий при вариациях программы.
Значения вариаций программы 5?z0K определяют в зависимости
от отклонения параметра коррекции 5 ц( tv):
— ки 5 Ту),
(14.11)
540
где ku — постоянный для момента xv и выбранной дальности коэф-
фициент, значение которого находят из условия обеспечения мини-
мума дисперсии отклонения соответствующего элемента движения
от расчетного значения у*к.
Отклонение элементов движения в момент tk от расчетного зна-
чения при действии возмущений с учетом коррекции программ со-
ставит
Ьуь= Ьуь.кор- Sy*k- (14.12)
Оптимальное значение коэффициента /cuopt определяется из
условия
«ЭД [ 5vl
= 0, (14.13)
дки
где Д[ 5у] — дисперсия значения отклонения 5у.
Аналогично можно построить параметрическую коррекцию про-
грамм управления по измерениям на старте и априорной информа-
ции. В этом случае в качестве корректирующего параметра ц может
быть использован любой измеренный или априори задаваемый пара-
метр, например, данные метеоподготовки, паспортные и т. д.
Коррекция управляющих функций состоит в изменении их струк-
туры согласно критерию уменьшения рассеивания. При программ-
ном управлении к управляющим, прежде всего, относится функция
отсечки тяги ТДУ Ф.
Если для простоты реализации в качестве управляющей функ-
ции отсечки тяги ТДУ принять линейную часть разложения функции
дальности в ряд Тейлора по элементам движения в окрестности но-
минальной точки окончания работы ТДУ, неучитываемые нелиней-
ные слагаемые разложения дадут одну из составляющих методиче-
ской ошибки программного управления. Значение этой составляю-
щей зависит от разброса элементов движения в конце АУТ, и для БР
с ТДУ может быть недопустимо большим. Один из способов умень-
шения методической ошибки состоит в однократной коррекции про-
граммного значения управляющей функции в полете.
Выражение для нелинейных слагаемых разложения дальности в
общем виде можно записать так:
AL = AyTQ Ду + О(?/3), (14.14)
где Ду = ( Ду1,..., Аут) — матрица-строка (1 х тп), составлен-
ная из отклонений фазовых координат на момент окончания АУТ;
541
Q = {Qij) — симметричная квадратная матрица (т х т), компо-
нентами которой являются частные производные 2-го порядка, вы-
численные в момент (tk) окончания АУТ для номинальной траекто-
рии.
В выражении (14.14) слагаемые О(?/3), как правило, не учиты-
вают, но даже в этом случае для формирования поправки необходи-
мо заранее вычислять и задавать (тп = с^) элементы матрицы Q и
т значений фазовых координат на момент окончания АУТ на но-
минальной траектории. Это усложняет метод подготовки данных к
пуску и бортовые алгоритмы, реализующие корректирующее выра-
жение.
Значительно более простой в реализации является однокомпо-
нентная поправка в управляющую функцию отсечки тяги ТДУ.
При формировании однокомпонентной нелинейной корректиру-
ющей поправки и выборе ее параметров применяют статистический
метод, заключающийся в использовании данных моделирования
движения БР при действии совокупности возмущений для оценки
нелинейной составляющей отклонения дальности ALh- Универ-
сальным способом оценки ALh, обеспечивающим высокую досто-
верность результатов, является метод статистических испытаний.
Однако он требует больших затрат времени при получении стати-
стических характеристик рассеивания при помощи ЭВМ. В целях
сокращения времени используют приближенный метод, основан-
ный на декомпозиции совокупности возмущений, проведении чи-
сленных расчетов и аппроксимации фазовых координат (выходных
переменных) в функции случайных возмущений.
Анализ соответствующих результатов свидетельствует, что в
формировании нелинейной составляющей отклонения дальности
доминирующую роль для ОТР типа «Ока» и «Першинг» играет от-
клонение высоты АУТ. Это предопределяет целесообразность фор-
мирования корректирующей поправки в виде некоторой комбинации
вариаций высоты окончания АУТ.
В качестве такой корректирующей поправки может быть исполь-
зована
АФкор = Кт Ат|,
/ Ау \ (14.15)
ДТ] = , Кт = (fci, fc2),
\ Ду /
542
где Ду = у(/£, и, е) — у(/ок, и*, 0) — отклонение высоты оконча-
ния АУТ.
Выражение для вычисления корректируемого значения отклоне-
ния дальности при этом будет иметь следующий вид:
Д£кор = £фКтАт],
(14.16)
г dL
где L ф = —------частная производная дальности по программно-
О Фцр
му значению управляющей функции.
Выражение (14.16) может быть преобразовано следующим обра-
зом:
ДЬкор = Лф( ДПТКЬ+ Дт|тК Дп), (14.17)
где Дт)т = (0, Ду); bT = (1,0); Д Т| = Г 6;
/00
К =
\ &1 k2
/ 0 0
г =
\ h h
, дук
1г = —----частные
dzj
мущениям.
Отклонение дальности с учетом ввода корректирующей поправ-
ки (14.17) записывается в форме
производные высоты окончания АУТ по воз-
5L = vT£+ етЕе-£ф( ArfKb- AifKAr]). (14.18)
Оптимальные значения компонент матрицы К выбирают из усло-
вия обеспечения минимума дисперсии центрированного отклонения
дальности.
При реализации нелинейной поправки вида (14.15) слагаемое с
коэффициентом k\ можно учесть в линейной управляющей функции.
Тогда корректирующая нелинейная поправка имеет вид однокомпо-
нентной
ДФкор = к2 &yl, (14.19)
где 8?/i = у\ ( т ф) — у»; у\ ( т ф); у® — соответственно текущее и но-
минальное значения координаты у в момент проведения коррекции
т в окрестности окончания АУТ.
Применение поправки вида (14.19) к управляющей функции от-
сечки тяги ТДУ позволяет упростить бортовой алгоритм, поскольку
543
для ее реализации необходимо задавать в бортовую ЭВМ лишь числа
У®-
При параметрической коррекции программ управления одна из
фазовых координат будет близка к номинальному значению. Однако
все остальные имеют большие отклонения по сравнению с некоррек-
тируемыми траекториями. Это приводит к существенному влиянию
нелинейной составляющей отклонения дальности, которая не полно-
стью компенсируется за счет коррекции управляющей функции вида
(14.19).
В зависимости от глубины коррекции программ управления,
уровня и характера действующих возмущений возможны следую-
щие варианты компенсации этого отклонения, которые и определяют
сущность еще одного вида коррекции управляющей функции:
1) коррекция в полете коэффициентов линейной управляющей
функции и ее программного значения в зависимости от отклонения
параметра 6ц(тг);
2) коррекция в полете только управляющей функции в зависимо-
сти от 5 ц( tv).
Первый вид коррекции наиболее универсален и применяется при
существенной деформации траектории в условиях действия возму-
щений, вызывающих большие отклонения элементов движения цен-
тра масс БР.
При коррекции программ управления с использованием линей-
ной управляющей функции с коррекцией вида (14.19) отклонение
дальности 5L* можно оценить по формуле
\L* = ST Дук кор + AyJ KopQ Ауккор + О3( Ауккор), (14.20)
где Н, Q — матрицы частных производных, аналогичные использу-
емым в формулах для оценки линейной и нелинейной составляющих
отклонения дальности;
Л?/к.кор — Ук(ипр, Е) — 0); (14.21)
Ук^пр, е),?/А:(ппр? 0) — элементы конца АУТ на номинальной траек-
тории и на траектории, полученной при коррекции программ упра-
вления в условиях возмущенного движения.
Коррекцию программ управления можно рассматривать как фор-
мирование в полете новой программной траектории, обеспечиваю-
щей требуемую точность стрельбы. Для этой траектории коэффици-
енты управляющей функции и ее программное значение, вычислен-
ные по номинальной траектории, будут неоптимальными. Поэтому
544
компенсацию отклонения AL* целесообразно проводить за счет кор-
рекции в полете компонент матрицы управляющей функции и ее про-
граммного значения Фпр.
При реализации этого способа коррекции управляющей функции
поправки в компоненты матрицы К можно записать в виде
5К' = Ст5ц(тД (14.22)
где GT = {gi} — матрица (1 xm) корректирующих коэффициентов.
Отклонение дальности, скомпенсированное за счет коррекции
коэффициентов в соответствии с (14.20), составит
ALKKOp = 5К А?/К КОр. (14.23)
Отклонение дальности (14.20) по аналогии с зависимостью
(14.18) можно представить в виде
AL = S* £ + £TlPc, (14.24)
где ¥ = BTQB; 2* = Е*В, В = KvcATRu + R(^); k„cATRv —
матрица, характеризующая отклонение дальности за счет коррек-
ции программы управления и программного значения управляющей
функции; R(tjt) — матрица, полученная из R(t) при условии t =
Тогда для отклонения дальности вследствие коррекции коэффи-
циентов управляющей функции можно записать
О т
ALK.Kop = — £TR,AGTB £. (14.25)
Сравнение выражений (14.25) и (14.23) показывает, что коррек-
ция коэффициентов управляющей функции позволяет скомпенси-
ровать нелинейную составляющую отклонения дальности, которая
является определяющей в условиях возмущений и коррекции про-
грамм.
Описанные подходы, разработанные в основном для БР опера-
тивно-тактического назначения, могут быть распространены и на БР
дальнего действия, правда, с несколько меньшей эффективностью.
Для вариантов оснащения БР однорежимными ТДУ с незначи-
тельными разбросами параметров топлива отклонение дальности,
вызванное коррекцией программ управления, также будет значи-
тельно меньшим. В этом случае коррекцию управляющей функции
545
можно проводить при помощи введения поправки в ее программное
значение.
Отклонение дальности за счет коррекции программ управления
в этом случае записывается в виде
ДЬ = /(5ц). (14.26)
Для получения выражения (14.26) проводят расчеты для дискрет-
ных значений эквивалентного возмущения еэ и аппроксимацию не-
которой зависимостью в функции 5 ц. Соответственно и корректи-
рующую поправку в программное значение управляющей функции
можно записать
АФпр = /5ц(тг?) + б(5ц2(тг,), (14.27)
где I, d — коэффициенты, полученные при аппроксимации ALj =
= /(5|1); 8ц = ц( т^)-ц°; ц° — постоянное для всех дальностей
число.
Коррекция программного значения управляющей функции про-
водится в полете согласно выражению (14.27), для ее реализации не-
обходимо задать два числа в ПЗ [91].
14.3. Коррекция движения с использованием
эталонов местности
Коррекция движения по эталонам местности проводится путем
корреляционно-экстремального сравнения эталонного изображения
местности с текущим при известном расположении цели относитель-
но характерной точки эталона.
Математические основы алгоритмизации обзорно-сравнитель-
ного метода при наведении по эталонам местности были достаточно
подробно рассмотрены в гл. 11 и 13. Здесь мы сосредоточим вни-
мание на примерах конкретной технической реализации подхода,
ориентируясь на опыт разработок, выполненных в США [114].
На рис. 14.9 приведена схема полета ГЧ МБР, оснащенной много-
лучевым радиовысотомером (МРВ) в канале коррекции. Коррекция
движения может осуществляться несколько раз, причем цель первого
сеанса измерений — уточнение направлений визирования. СУ опре-
деляет время начала сеансов по результатам решения навигационной
задачи, обеспечивает условия для нормальной работы СК и выдает
в БЦВК текущие данные о пространственном и угловом положении
546
1
Рис. 14.9. Схема полета ГЧ МБР, оснащенной МРВ
ГЧ на каждый цикл измерений. Полученная информация сравнива-
ется с эталонными данными. По результатам сравнения вычисляют
координаты ГЧ и поправки к траектории (главным образом курсо-
вые), которые отрабатывают с помощью СУ. Каждый сеанс коррек-
ции юстирует пространственное положение ГЧ таким образом, что-
бы минимизировать отклонение точки падения от цели.
Радиолокаторы с синтезированной апертурой (РСА) антенны
применяют в радиотехнических СК с коррекцией по радиояркост-
ным картам местности. Данный тип датчика внешней информации
(ДВИ) предназначен для получения текущей радиояркостной карты
в виде цифровой голограммы, представляющей последовательность
пар квадратурных составляющих отраженного сигнала. В состав
аппаратуры входят антенно-фидерная система, радиопередающее и
радиоприемное устройства.
Радиотехнические датчики типа МРВ и РСА хорошо освоены
в производственно-техническом отношении. Научно-технический
уровень их разработки удовлетворяет современным требованиям
применения в составе СУ ЛА со сложными динамическими услови-
ями полета [114].
Системы коррекции на основе МРВ и РСА имеют достоинства
и недостатки, отраженные в табл. 14.1. Если не исключить полно-
стью, то существенно ослабить отмеченные недостатки можно путем
создания комбинированных радиотехнических СК (КСК), включаю-
щих одновременно рельефометрический и радиояркостный каналы
547
Таблица 14.1
Качественное сравнение рельефометрических и радиояркостных систем коррекции
Тип СК Достоинства Недостатки
Рельефометри- ческая на базе МРВ Высокая стабильность во времени используемого поля рельефа Малая зависимость измеряе- мых параметров поля от сезонно- погодных условий Отработанность методов и техно- логии получения эталонной инфор- мации с использованием штатных ци- фровых карт местности Малая пространственная вы- раженность (информативность) поля высот рельефа для ряда типов ландшафтов
Радиояркостная на базе РСА Высокая разрешающая спо- собность в азимутальном направле- нии Высокая степень скрытности функционирования, обеспечиваемая малой излучаемой мощностью, крат- ковременностью функционирования, а также геометрией визирования Зависимость измеряемых параметров поля от сезонно- погодных условий Сравнительная сложность реализации обработки, обусло- вленная когерентностью РЛС, большими скоростями движе- ния УБГ, стабилизационными колебаниями и ограниченными размерами антенны
измерения. Наличие в КСК таких каналов расширяет их корректи-
рующие возможности, обусловленные ландшафтными особенностя-
ми участков земной поверхности, и позволяет в 2—3 раза повысить
точность определения местоположения управляемого боевого бло-
ка (УББ). Датчиками внешней информации в КСК служат комбини-
рованный многолучевой радиовысотометр (КМРВ) и комбинирован-
ный радиолокационный визир (КРЛВ).
Датчик КМРВ представляет некогерентную трех-, пяти- или семилучевую ра-
диолокационную систему большей частью миллиметрового диапазона, обеспечи-
вающую измерение наклонной дальности и радияркости по каждому лучу. Антен-
на датчика обычно двухзеркальная с управлением плоскостью поляризации лучей.
Приемоизлучающая решетка антенны строится из трех, пяти или семи пирамидаль-
ных рупоров. Зондирование поверхности проводится модулированными импульса-
ми. В приемно-преобразующем канале датчика имеется два тракта, один из которых
служит для выработки сигналов, пропорциональных времени задержки, а другой —
для измерения радияркости (радиолокационного контраста) каждого луча. Особен-
ность последнего состоит в том, что в качестве информативного признака использу-
ются границы радиояркостных контрастов, разделяющих однородные контрастные
зоны. Дело в том, что земная поверхность имеет зонную структуру, на которой впол-
не определенно выделяются протяженные объекты с хорошо выраженными грани-
цами (лес, луг, водоем, река, дорога и т. п.). Границы объектов образуют устойчивые
548
конфигурации, при использовании которых влияние сезонных, погодных, антропо-
генных и прочих факторов оказывается существенно меньшим. Границы аппрокси-
мируют отрезками прямых линий, а само поле представляют в виде радиояркостных
линейчатых ориентиров.
Комбинированный радиолокационный визир позволяет проводить измерение
высот, когерентное и некогерентное радиояркостное картографирование и опреде-
ление полетных координат УБГ, а также картографирование рельефа местности.
Этот датчик строится на основе когерентной РЛС миллиметрового диапазона. Обра-
ботка отраженных сигналов может быть синфазной или асинфазной. Среди других
ДВИ датчик КРЛВ обладает наибольшими функциональными возможностями при
работе на атмосферном участке траектории полета УББ. Множественность режимов
работы обусловливает соответствующее усложнение радиоприемного устройства и
блоков обработки сигналов.
С помощью КМРВ и КРЛВ удается корректировать не только курс, но и ориен-
тацию УББ по тангажу и крену. Для систем коррекции с КМРВ и КРЛВ выбирают
участки местности, наиболее информативные по рельефу и (или) контрасту.
Миллиметровый диапазон волн привлекает все большее внимание разработчи-
ков систем управления УББ. Интерес к нему обусловлен прежде всего уникальными
особенностями данного диапазона, позволяющими получать высокие ТТХ СК при
работе в неблагоприятных условиях (ночью, в тумане, при дожде, дыме и пылевых
облаках).
В интересах создания высокоточных управляемых средств поражения во мно-
гих странах развернуты широкомасштабные работы и проводятся испытания си-
стем коррекции различных типов. Существующие и создаваемые СК рассчитаны в
основном на использовании карт местности.
В качестве примера в исторической ретроспективе приведем описание некото-
рых наиболее известных систем, созданных в США [114].
Радиояркостные системы коррекции. Система RADAG (Radar Guidance) ис-
пользовалась в СУ БР «Першинг-2» с 1983 г. Система содержит радиолокационную
станцию и коррелятор. РЛС системы работает в режиме измерения высоты и ре-
жиме сканирования. В первом режиме уточняются высоты УБГ и корректируется
вертикальная ошибка ИСУ перед началом основных сеансов коррекции. В режиме
сканирования формируется текущее изображение, а также измеряется высота поле-
та. Система реализует способ коррекции, базирующийся на решении уравнений
(я - тпд)2 + (у - уххг)‘2 + (z - £пг)2 = Я2,
•Т ~ _ у - упг _ z - zxxl
lt тг пг
Определяемыми параметрами на борту являются расстояние Яг до г-го элемен-
та привязки и угловое положение этого элемента, характеризуемое направляющими
косинусами /д, тд, пд вектора Яг в местной системе координат.
Получение радиолокационной станцией изображений осуществляется на
участке пикирования УББ в диапазоне высот 10...0,9 км после завершения ма-
невра по снижению скорости до 1 км/с. Текущее изображение (ТИ) представляет
двумерное круговое радиояркостное изображение. Тангенциальная развертка осу-
ществляется за счет механического сканирования антенны, а радиальная — за
549
счет стробирования во время прихода отраженного сигнала. Полученное текущее
изображение местности преобразуется в цифровую матрицу размером 128 х 128
элементов. При формировании матрицы ТИ учитывается масштаб, определяемый
высотой полета. После формирования матрицы ТИ в корреляторе производится
поиск его положения относительно матрицы эталонного изображения, соответ-
ствующего экстремуму решающей функции.
Эталонное изображение местности представляет собой матрицы размером
256 х 256 элементов. Всего в ЗУ содержится четыре эталонных изображения, соот-
ветствующих четырем диапазонам высот: 10... 5,5, 5,5... 4, 4... 2 и 2... 0,9 км. При
сравнении текущих и эталонных изображений используют две скорости: высокую
при малом соответствии сравниваемых матриц и низкую при совпадении матриц
для более точного определения их взаимного положения.
Оптические системы коррекции. В качестве основных примеров оптических
систем коррекции укажем на системы SMAS (Scene Matching Area Correlator) и
DSMAC (Digital SMAC). Система SMAC является оптической корреляционной си-
стемой коррекции, работающей по принципу сравнения оптического изображения
местности, получаемого телевизионной камерой на борту, с фотографической кар-
той на фотопленке, хранящейся в бортовой аппаратуре. В системе DSMAC теку-
щая и эталонная информация представляется в цифровой форме. Система DSMAC
используется совместно с системой TERCOM в СУ крылатых ракет морского ба-
зирования BGM-109C (1986), обеспечивая в целом точность коррекции на уровне
20...30 м.
Обзор показывает, что экспериментальному проектированию и летной провер-
ке в США были подвергнуты системы коррекции различных типов. Многие из них
нашли применение в «малых» системах ракетного оружия — тактических и крыла-
тых ракетах наземного, воздушного и морского базирования, а также баллистиче-
ской ракете «Першинг-2».
Повышенный интерес к корректируемым системам управления обусловлен по-
требностями ряда проектов программы ASMS (ПЭ 63311F), связанных с разработ-
кой целого семейства УББ стратегических носителей, в частности:
боеголовки PGRV по типу управляемой боеголовки ракеты «Першинг-2»;
маневрирующей боеголовки с наведением на стационарные цели (проект
AMARV);
маневрирующей, проникающей в грунт, ядерной боеголовки с наведением на
конечном участке траектории (проект EPMARV);
проникающей в грунт планирующей управляемой боеголовки с наведением на
конечном участке траектории (проект SWERVE/EPW программы HWT по созданию
аэробаллистической МБР);
маневрирующей боеголовки типа КР с управляемыми самонаводящимися сна-
рядами для мобильных стратегических объектов (в рамках программы создания
стратегических разведывательно-ударных систем).
Большинство из этих управляемых боеголовок прошли демонстрационные ис-
пытания еще в середине 1980-х годов и в настоящее время находятся на завершаю-
щей стадии опытно-конструкторских работ и испытаний. Освоенный уровень точ-
ности попадания, который продемонстрирован системами RADAG, ROCS и PDMM,
составляет 70... 90 м. В ходе опытно-конструкторских работ по указанным выше
УББ в период до 2000 г. уже был реализован потенциал этих СК, оцениваемый в
550
пределах 40.. .60 м. Одновременно ведется поиск наиболее эффективных датчиков
для систем самонаведения, способных обеспечить отклонения точек падения УББ
от целей, не превышающие единиц метров. Решить эту задачу планируется ком-
плексными СУ, включающими средства коррекции, работающие на участке подле-
та к целям, и средства самонаведения, работающие непосредственно у цели по ее
образу и портрету местности.
14.4. Коррекция движения от спутниковых навигационных
систем
В п. 14.1 были приведены общие соображения, определяющие
роль и место НИСЗ при решении задач навигации подвижных объ-
ектов.
Теория и методология применения спутниковой навигации за го-
ды, прошедшие с момента создания в США первой СНС «Транзит»
(1964) и выведения на орбиту в СССР первого ИСЗ «Космос-192»
СНС «Цикада» (1967), получили исключительно широкое развитие.
Результаты соответствующих исследований нашли отражение в
многочисленных публикациях (см., в частности, библиографию в
[35, 70]). Вместе с тем следует отметить, что основное внимание при
этом уделялось вопросам построения, разработки баллистического
обеспечения и эксплуатации собственно СНС.
Проблемам алгоритмизации навигационного обеспечения потре-
бителей навигационной информации, поставляемой СНС, уделялось
значительно меньшее внимание. При этом работы, непосредственно
отражающие опыт применения СНС для решения задач навигацион-
ного обеспечения полета БР, вообще можно пересчитать по пальцам
одной руки.
Одной из наиболее квалифицированных из них является моно-
графия [91]. Данное обстоятельство явилось причиной изложения в
настоящем пособии вопросов применения СНС для коррекции дви-
жения БР в виде материалов, заимствованных из указанной работы.
Одним из важных элементов структуры СНС является навига-
ционная аппаратура потребителя (НАП), которая предназначена для
приема сигналов от ИСЗ, измерения навигационных параметров и
обработки результатов измерений в специализированной ЭВМ.
Решение навигационной задачи основывается на использова-
нии функциональной связи между навигационными параметрами
Ri и определяемыми координатами qj точек m-мерного простран-
ства. Поэтому зависимость, устанавливающую навигационные па-
раметры через координаты точек m-мерного пространства, принято
551
называть навигационной функцией. На вид этой функции влияют ха-
рактер измеряемого навигационного параметра, система координат
qj, закономерности движения потребителя, система параметров Qj,
описывающих движение ИСЗ, а также совокупность поправок 8^
на выявленные методические погрешности.
Выражение навигационной функции обычно представляют как
Ri = (&,..., Q6; Qi, • • •, <Эб; 8u, 8ь, h), где ti — время г-го изме-
рения.
Для навигационной системы, работающей по ИСЗ, основными
навигационными функциями будут зависимости, определяющие D
и Ь.
Имея в виду (14.1), реальную скорость относительного движения
представим в виде
Ь — D1 [(яс — х)(хс — ±)+
+ (Ус - у)(ус - у) + (^С - z)(zc - ^)] • (14.28)
Входящие в (14.28) величины должны относиться к одному мо-
менту времени. Поэтому если бортовая шкала потребителя привязы-
вается к временной метке с ИСЗ, то для расчета координат потре-
бителя, соответствующих измерениям в момент tu по шкале потре-
бителя, координаты ИСЗ следует брать для момента (tu — D/c), где
с — скорость света.
При переходе к другим координатным системам меняется вы-
ражение навигационной функции. Однако известно, что расстояние
между двумя точками евклидова пространства оказывается инвари-
антом координатных преобразований, не меняющих метрику про-
странства. Поэтому для D и D обычно используемые координатные
преобразования являются инвариантными.
Поскольку в СНС применяется, как правило, дальномерный ме-
тод с хранением начала отсчета, измеряемая псевдодальность будет
отличаться от истинной на величину, зависящую от смещений отно-
сительно системного времени временной шкалы ИСЗ Д£дг и времен-
ной шкалы потребителя Af/. Кроме того, при распространении ра-
диоволн в атмосфере возникает задержка сигнала Мд по сравнению
с временем распространения его в свободном пространстве. В связи
с этим измерению навигационного параметра будет соответствовать
не дальность D, а псевдодальность D, выражение для которой будет
содержать поправочные члены:
552
Г 11/2
Di = - х)2 + (yCt - у)2 + (zc, - z)2j +
+ cMAi+c( Мс, - Atn), (14.29)
где i = 1, ..., 4.
Из (14.29) следует, что определяемыми параметрами являются
координаты х, у, z и поправка к временной шкале потребителя.
Остальные пять величин должны сообщаться потребителю в составе
служебной информации, переданной с каждого ИСЗ (в составе кадра
навигационного сигнала, см., например, [35, 70]).
Дискретная модель движения управляемой БР, как следует из ра-
нее изложенного, в общем случае может быть представлена в виде
векторного нелинейного уравнения
Xj = F(xj_i, и)+ В^_1, (14.30)
где х — вектор фазовых координат БР; В — матрица входа; и —
вектор управляющих воздействий; £ — вектор возмущений.
Решение навигационной задачи сводится к определению вектора
фазовых координат в заданный момент времени ti. При навигаци-
онных определениях с помощью СНС, основанных на беззапросном
методе измерения дальности и радиальной скорости, в состав векто-
ра оцениваемых параметров должны быть включены фазовый и ча-
стотный сдвиги опорного генератора НАП.
Тогда вектор оцениваемых параметров примет вид
x(t) = [х, у, z, vx, Vy, vz, 5 <р, S/]T.
Уравнение измерений также нелинейно:
Уг = YT(xj, x,i) + ^i, (14.31)
где YT(xj, x3i) = [у]г, у?2г, y^, y^];
Uij = [i’ji-D] , j = 1,4.
Здесь Dji, D — псевдодальность и радиальная скорость j-ro ИСЗ из
состава рабочего созвездия [35];
— вектор ошибок измерений. Обработка измерительной информа-
ции может быть осуществлена на основе использования рекуррент-
ных схем обработки информации типа фильтра Калмана.
553
Наиболее простым способом применения фильтра Калмана в
нелинейных задачах оценивания является, как отмечалось, линеари-
зация уравнений состояния и наблюдений относительно некоторой
номинальной траектории, когда вместо соответствующих нелиней-
ных функций используют их производные, а коэффициент усиления
фильтра зависит только от априорных данных и параметров опорной
траектории. Неоптимальность линеаризованного фильтра Калмана
приводит к неустойчивости и ухудшению точности фильтрации.
Поэтому при экстраполяции вектора состояния и вычислении невя-
зок измерений принято использовать соответствующие нелинейные
уравнения. При экстраполяции и уточнении корреляционной матри-
цы ошибок оценок и коэффициентов усиления фильтров применяют
линеаризованные уравнения относительно наилучшей оценки векто-
ра состояния БР. При этом приходят к так называемому обобщенному
(расширенному) фильтру Калмана [28, 57].
Алгоритм навигационной задачи на основе расширенного филь-
тра Калмана описывается известными (см. ранее) уравнениями:
= F(xi-1, u°);
Pj/i-l = Фг/i-lPi-l + BQBT;
кг = Pi/i-iCT [QP^-iCI + R] -1; (14.32)
Хг = У-i/i-X + Ki [yi - y(Xi/i_i, x,i)] ;
-Рг = Рг/г-l — ?
где Хг — оценка вектора состояния; x^/i-i — оценка экстраполируе-
мого вектора состояния; Рг/г-i — корреляционная матрица ошибок
экстраполяции; Р^ — корреляционная матрица ошибок оценивания;
Кг — матричный коэффициент усиления фильтра Калмана; С, —
матрица измерений; Фг/г-i — переходная матрица; Q, R — корре-
ляционные матрицы ошибок состояния и измерения соответственно.
Матрицы Ci и Фг/г-i имеют вид
Ci = [CH , си, C3i, C4. d; (14.33)
дЬд dbjj dbg Л Л 1 0
dXi дуг dzi U U U 1U
с]г = (14.34)
dbjj db3i dbj. dbjj db3i dbn Л1
- dxi дуг dzi di dy dz U1
554
(14.35)
где т = ti - ti-r, Фт =
1 т
О 1
(0<nXm> — нулевая матрица соответствующей размерности);
’ dxj dxj dxj dxj dxj dxj ‘
dxi-i dyi-i dzi-i dii-i dyi-i dzi-i
дуг dyi dyi dyi дуг dyi
Фг = dxi-i dyi-i dzi-i dii_i dyi-i dzi-i . (14.36)
dzj dzj dzj dzj dzj dzj
dxi-i dyi-i dZi-i dii-i dyi-i dzi-i
Будем считать, что ошибки измерений представляют собой слу-
чайные независимые нормально распределенные величины. Тогда
7? = diag { Орр c2D2,..., o2D4,
где Орр <5^ — дисперсии ошибок измерения псевдодальности и
радиальной скорости J-ro ИСЗ.
Предположим также, что траектория движения БР является де-
терминированной и уравнение (14.30) точно описывает процесс дви-
жения, тогда Q = 0.
Рассмотренный выше алгоритм решения навигационной задачи
при соответствии используемой модели реальному движению БР по-
зволяет получить требуемые характеристики точности навигацион-
ных определений с помощью СНС для конкретных начальных усло-
вий.
В [91] отмечается, что на основе фильтра Калмана разработаны
различные типы алгоритмов решения навигационной задачи, соот-
ветствующие различным принципам построения бортовой аппарату-
ры потребителя СНС. Наибольшее применение нашли три типа ал-
горитмов и соответствующая им аппаратура потребителя.
555
1. Четырехканальная (либо мультиплексная) аппаратура. В ка-
ждый момент времени обрабатываются измерения текущих нави-
гационных параметров (ТНП) Dj всех четырех ИСЗ из состава
рабочего созвездия с помощью параллельного фильтра Калмана.
2. Одноканальная аппаратура, в которой цикл измерений соста-
вляет 4 с, причем псевдодальность и радиальная псевдоскорость ка-
ждого из ИСЗ измеряются в течение 1 с. Обработка измерений осу-
ществляется последовательно во времени.
3. Одноканальная аппаратура, в которой измерение ТНП также
осуществляется последовательно во времени, но переход с одного
ИСЗ на другой производится не после каждого измерения, а после
цикла измерений по одному ИСЗ. Для обработки измерений исполь-
зуется последовательный фильтр Калмана.
Все три алгоритма обеспечивают примерно равную точность, но
имеют различное время сходимости процесса оценки. Предпочте-
ние, основываясь на этих критериях, следует отдать первым двум ал-
горитмам.
Оптимальное оценивание параметров движения с помощью
фильтра Калмана возможно только при использовании математи-
ческой модели, адекватной реальному процессу движения БР. Если
в уравнении движения (14.30) принять вектор возмущений £ = 0,
то матричный коэффициент усиления фильтра при неограниченном
возрастании времени наблюдения будет стремится к нулю, т. е. по-
лоса пропускания фильтра ki бесконечно сужается. Известно (см.
выше), что фильтр Калмана формирует оценку вектора состояния в
виде взвешенной суммы оценки экстраполяции и невязки измере-
ний, полученной на очередном шаге. При /с? —> 0 новые измерения
перестают оказывать влияние на процесс фильтрации и в качестве
текущей оценки может быть использована оценка экстраполяции
В этих условиях любое отличие модели фильтра от реальной
динамики системы вызывает появление ошибки, которая, постоянно
увеличиваясь, приводит к расходимости фильтра, т. е. к многократ-
ному превышению фактическими ошибками оценивания их теоре-
тических значений.
При комплексировании ИНС и аппаратуры потребителя СНС мо-
жет быть получен ряд эффектов, наиболее важными из которых явля-
ются:
— повышение долговременной точности ИНС путем периодиче-
ской коррекции с помощью информации СНС;
556
— калибровка инструментальных погрешностей ИНС во время
движения ракеты;
— повышение точности решения навигационной задачи с помо-
щью СНС путем использования информации ИНС для коррекции мо-
дели движения;
— повышение помехозащищенности и кратковременной точно-
сти НАП при сбоях синхронизации, маневрировании и т. п.;
— повышение надежности блока решения навигационной зада-
чи путем комплексирования навигационных систем, работающих на
различных физических принципах и способных функционировать
независимо один от другого.
В настоящее время все большее распространение приобретает
точка зрения, что в связи с широким использованием при опреде-
лении навигационных параметров ЦВМ применение классических
схем компенсации, фильтрации и других нецелесообразно, так как
преимущества каждой из этих схем зависят от типа навигационно-
го параметра, конкретной конструкции ИНС и НАП, характеристик
ЦВМ и т. д.
Более оправданной признается программная реализация этих
схем в виде навигационного фильтра, позволяющая изменять тип
входных и выходных сигналов в зависимости от типа, конструкции
и параметров подсистем, входящих в блок навигационных алго-
ритмов. Обобщенная структурная схема комплекса ИНС — НАП
показана на рис. 14.10.
Как видно из рисунка, комплексирование осуществляется на
основе навигационного фильтра, реализуемого в бортовой ЦВМ.
Для улучшения помехоустойчивости, точности и временных харак-
теристик НАП в комплексе предусмотрен блок прогнозирования на-
вигационных параметров, выходными сигналами которого являются
априорные значения дальности и радиальной скорости, а также па-
раметры ориентации БР, позволяющие облегчить пространственный
поиск и слежение за сигналами ИСЗ при использовании направлен-
ных антенн.
Акселерометры ИНС измеряют ускорение воздействующих на
объект сил, неопределенность величины которых и является главной
причиной снижения точности решения навигационной задачи с по-
мощью СНС (в первую очередь скорости БР). Следовательно, если
при экстраполяции вектора положения и скорости БР или ББ на оче-
редном шаге фильтрации для компенсации ошибок модели движения
557
Дальность, радиальная скорость, ориентация
Рис. 14.10. Обобщенная функциональная схема комплекса ИНС—НАП
использовать разность между измеренным и расчетным ускорени-
ем, точность экстраполяции будет определяться только ошибками
модели гравитационного поля, инструментальными ошибками ак-
селерометров и погрешностями вычислений. Все эти погрешности
оказываются несущественными по сравнению со значениями возму-
щающих ускорений.
По существу можно вообще отказаться от экстраполяции поло-
жения и скорости в фильтре на основе математической модели и
использовать для этой цели соответствующую информацию ИНС.
Однако при этом теряется возможность автономного функциониро-
вания НАП, что снижает общую надежность решения навигацион-
ной задачи. Рассмотренная схема может быть обобщена на случай
включения измерений акселерометров ах, ау, az в состав вектора
измерений yf. Тогда
[~7~7~7~7 "1Т
^1,г? -^2,г? ^2,г? -^3,г?-^3,г ^1,г? ^yi ? ?
а матрицу измерений записывают в виде Ci =[Сп, С2?, Сзг, С^, Со]1,
где Со = [0<3хб> |Е<3хз>| 0<3х2>]; Е —единичная матрица.
При комплексной обработке информации различных навигаци-
онных подсистем целесообразно использовать последовательный
фильтр Калмана. Тогда алгоритм совместной обработки измерений
НАП и ИНС будет состоять из последовательности операций обра-
ботки измерений Dj, Dj, j = 1,4 и аналогичной совокупности опе-
раций по обработке вектора измерений трех акселерометров ИНС.
558
При создании базового навигационного комплекса (БНК) необхо-
димо, как отмечалось в [91], решить задачу рационального взаимо-
действия входящих в его состав навигационных подсистем. Можно
выделить следующие возможные варианты решения рассматривае-
мой задачи.
1. Периодический сброс (обнуление) ошибок ИНС в вычисле-
нии составляющих положения и скорости БР и (или) ББ, например,
с использованием схемы компенсации. Это наиболее очевидный и
простой, но не самый рациональный путь построения БНК. Интер-
вал времени между коррекциями должен выбираться исходя из допу-
стимых значений ошибок определения навигационных параметров и
скорости нарастания этих ошибок с течением времени. Однако эти
скорости могут быть достаточно большими даже в ИНС с малыми
инструментальными погрешностями. Это приводит к необходимо-
сти частой коррекции ИНС, следовательно, значительно снижает ав-
тономность системы навигационного обеспечения полета.
2. Формирование на основе информации СНС некоторых коррек-
тирующих операторов, построенных, например, на основе полино-
миальных моделей изменения ошибок навигационных параметров.
В данном случае появляется возможность прогнозирования ошибок
ИНС и частичной их компенсации в промежутках между коррекци-
ями. Такой вариант обеспечивает более высокую точность при оди-
наковых интервалах автономности по сравнению с первым. Однако
построение математических моделей, адекватно описывающих из-
менение ошибок ИНС на длительных интервалах времени, затруд-
нительно.
3. Оценивание на основе информации от СНС всех основных
параметров, характеризующих ошибки ИНС, и использование полу-
ченных оценок для динамической компенсации ошибок в пределах
интервала автономности. Введение поправок целесообразно осуще-
ствлять не физически (с помощью прецессии гироскопов и т. д.), а
математическим путем в вычислителе ИНС. В этом случае, если ока-
зывается возможным оценить эти параметры, адекватность ошибок
ИНС реальным процессам позволяет получить более высокую точ-
ность функционирования ИНС в промежутках между коррекциями.
Смысл коррекции сводится к операциям, аналогичным начальной
выставке ИНС.
4. Построение демпфируемых ИНС с помощью информации от
СНС. В данном случае дополнительные измерения вводятся непо-
559
средственно в контур работы ИНС, что приводит к изменению диф-
ференциальных уравнений, описывающих ее функционирование.
При выборе схемы взаимодействия подсистем в БНК необходи-
мо учитывать требования по обеспечению высокой точности, поме-
хозащищенности и надежности. Анализ показывает [91], что наи-
более полно указанным требованиям удовлетворяет третий вариант
комплексирования навигационных подсистем, обеспечивающий бо-
лее высокую точность по сравнению с первыми двумя. Четвертый
вариант, позволяющий достичь наиболее высокой точности, требует
в то же время непрерывного поступления информации от СНС, что
неприемлемо с точки зрения требований по помехозащищенности,
автономности и особенностям движения БР и ББ. Когда эта информа-
ция используется не постоянно, а периодически, четвертый вариант
сводится по существу к третьему.
Г л а в а 15. ЭЛЕМЕНТЫ ИСКУССТВЕННОГО
ИНТЕЛЛЕКТА В СИСТЕМАХ НАВИГАЦИИ
И УПРАВЛЕНИЯ ПОЛЕТОМ БР
И ИХ АППАРАТНО-АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ
15.1. Определения, основные задачи применения
и классификация
В условиях принятия концепции неядерного решения боевых за-
дач к ракетным комплексам (РК) оперативно-тактического назначе-
ния, впрочем (в большей или меньшей степени) также и к балли-
стическим ракетам дальнего действия (БРДД), предъявляется тре-
бование поражения точечных и малоразмерных площадных целей
без проведения предварительного топогеодезического и метеороло-
гического обеспечения. Более того, достижение указанного резуль-
тата должно гарантированно обеспечиваться при вероятном эффек-
тивном противодействии противника и недостаточно надежном це-
леуказании (возможно при наличии подвижной, т. е. перемещающей-
ся относительно поверхности, цели). Последнее особенно актуально
для головных частей БРДД, применительно к которым представля-
ется проблематичным (по сравнению с ОТР) организация информа-
ционного обеспечения с каналом передачи целеуказания в процессе
полета.
Таким образом, можно констатировать, что функционирование
высокоточных современных РК, а тем более вновь создаваемых ком-
560
плексов ближайшей перспективы, должно быть ориентировано на
условия высокого уровня неопределенности и непредсказуемости.
Это, в свою очередь, предопределяет необходимость создания
[78, 79, 114] систем управления (СУ) для БР оперативно-тактическо-
го назначения или ГЧ БРДД, обладающих достаточно широким на-
бором функций искусственного интеллекта (ИИ).
С теоретической точки зрения СУ с ИИ необходимы прежде все-
го для задач, требующих принятия решения или оценки состояния
сложной динамической системы, функционирующей при высоком
уровне неустранимой неопределенности. Такого типа системы пред-
назначены для решения задач более четкого и определенного апо-
стериорного анализа топологии образа, распознавания элементов и
облика «нечеткого» объекта.
Наконец, ИИ неоценим в СУ высокого уровня с точки зрения ре-
конфигурации ее структуры и синтеза соответствующего программ-
но-алгоритмического наполнения с учетом неопределенных внеш-
них условий при оптимизации принятой целевой функции.
Применительно к БР наибольшее распространение получили
СУ, классифицируемые как СУ с интеллектуально-экспертными и
интеллектуально-расчетно-логическими функциями [114].
Имея в виду данную классификацию и учитывая многофактор-
ность решаемых задач боевого применения БР, СУ обсуждаемого
типа следует рассматривать как распределенную, состоящую из на-
земного сегмента, входящего в общую интеллектуализированную
систему управления оружием, и бортового сегмента, непосредствен-
но решающего в темпе полета задачи целеуказания и наведения. К
числу основных направлений использования ИИ в бортовом сегмен-
те СУ БР принято относить [114]:
— формирование рациональной структуры комплексированных
резервированных СУ с коррекцией и адаптацией, в частности с
учетом условий действия поражающих факторов ядерного взры-
ва (ПФ ЯВ);
— повышение эффективности действия систем самонаведе-
ния высокоточных управляемых средств поражения, в том числе
с неядерным оснащением, функционирующих в сложной фоново-
целевой обстановке;
— контроль и диагностирование состояния аппаратуры СУ и дру-
гих подсистем БР.
561
Каждому из перечисленных направлений соответствует свой пе-
речень решаемых задач.
Для первого направления применения ИИ в бортовом сегменте
СУ характерны следующие основные задачи:
— адаптивный выбор канала управления в комплексирован-
ной СУ;
— распознавание изображений, эквивалентных эталонным, в
процессе коррекции базисных направлений СУ при применении
обзорно-сравнительного метода (в частности, при сравнении наблю-
даемой подстилающей поверхности с эталонной картой местности)
в корреляционно-экстремальных навигационных системах.
Второе направление сопряжено с решением задач выявления це-
лей на фоне мешающих их визуализации факторов, таких как адап-
тация к помеховой обстановке, выбор режимов визирования целей,
распознавание изображений маскируемых целей с нечеткими при-
знаками, фильтрация естественных помех при обнаружении цели,
доразведка и классификация целей.
Наконец, круг задач третьего направления так или иначе связан с
повышением надежности функционирования СУ, а именно, прогно-
зированием состояния подсистем, в том числе, корректируемой инер-
циальной навигационной системы, и реализацией принципа эксплу-
атации по фактическому состоянию системы.
15.2. Структура и возможные принципы действия бортового
сегмента интеллектуальных СУ БР
Выполнение указанных выше функций в СУИИ возлагается на
высокоразвитые вычислительные средства, способные работать с
числовой и символьной информацией. В качестве средств получе-
ния информации, обрабатываемой бортовым вычислителем, должна
применяться аппаратура, условно подразделяемая на четыре группы
датчиковых средств [114]:
— датчики (сенсоры и эффекторы) параметров внешней среды и
воздействий;
— датчики параметров движения (командные приборы, чувстви-
тельные элементы ИНС и др.);
— датчики средств коррекции базисных направлений (элемен-
ты КЭНС, приемники сигналов спутниковых навигационных систем,
астродатчики в кардановом подвесе и т. д.);
562
Рис. 15.1. Схема построения вычислительных средств СУИИ
— контрольные датчики состояния агрегатов и систем БР.
Обобщенная схема построения вычислительных средств СУИИ,
приведенная в частности в [114], может быть представлена в форме,
изображенной на рис. 15.1.
Достижение феномена ИИ невозможно без введения в структуру
дополнительных функциональных блоков. К их числу прежде всего
должны быть отнесены блоки баз данных и знаний, реализуемые ап-
паратными средствами БЦВК, а также блоки когнитивной логики и
принятия решений, реализуемые программно.
Причем под базами данных (БД) принято понимать массивы чи-
словой информации и совокупность программных средств для их об-
работки. База знаний (БЗ) обычно содержит описания наборов обра-
зов, характерных ситуаций и состояний, правила и критерии пред-
метной идентификации и другую подобного типа информацию, без
использования которой невозможно моделирование работы интел-
лектуальной системы.
С использованием соответствующей информации, составляю-
щей содержание БЗ, формирующей каркас знаний (информационных
признаков) наблюдаемого объекта (образа, ситуации, состояния), на
основе системы логических выводов блок когнитивной логики по-
зволяет воссоздать текущий облик предмета (сложившейся ситуа-
563
ции). Под обликом предмета принято понимать обозреваемую среду
коррекции (участок местности, звездного неба, «созвездие спутни-
ков» радионавигационной системы, конфигурацию искусственно
образованных лазерных отражателей и др.), функциональное со-
стояние аппаратуры объекта, состояние окружающей среды, вид и
уровни воздействующих маскирующих или поражающих факторов
и т. п. По воссозданной картине блок принятия решений должен
произвести оценку текущей ситуации и сформировать программу
целенаправленных действий, гарантирующих выполнение боевой
задачи.
Эта программа может предусматривать необходимость измене-
ния режимов работы аппаратуры и элементов СУ, проведение до-
полнительного поиска цели бортовым координатором, перестройку
структуры контура управления либо реализуемого алгоритма, если
предусмотрено, осуществление дополнительной коррекции траек-
тории движения БР и т. д. При этом функции организации работы
ЦВМ, сбора, переработки и переадресации поступающей информа-
ции возлагают на управляюще-преобразующий блок, выполняющий
роль интерфейса.
Бортовой сегмент СУИИ БР предполагает наличие в его соста-
ве контура наведения и (или) системы самонаведения, предназначен-
ных как для определения текущего местоположения БР и коррекции
траектории, так и непосредственного наведения на цель на конечном
участке полета.
В зависимости от решаемой задачи (коррекция траектории или
наведение на цель) меняется и вид информационных сигналов, под-
лежащих сравнению. Они могут служить источником информации
об изображении местности в виде фотографий, радиолокационного
изображения, идентичного фотографическим изображениям, в виде
пространственного распределения отсчетов (дискретов) каких-либо
информационных величин (радиотеней, ярких точек и т. п.), про-
странственных сигнатур отражающих свойств тех или иных предме-
тов с учетом отражений от подстилающей поверхности и т. д.
Информационные системы (ИС) бортового сегмента СУИИ,
предназначенные для получения навигационных данных о положе-
нии и скорости ОТР либо отделяемой управляемой ГЧ БРДД отно-
сительно поля коррекции естественной или антропогенной природы
могут быть подразделены [91] на три основных типа (класса):
564
— радионавигационные, реализующие метод поверхностей и ли-
ний положения, позволяющие определить собственные географиче-
ские координаты в системе Гаусса—Крюгера по сигналам от назем-
ных или спутниковых навигационных радиосистем;
— корреляционно-экстремальные, реализующие обзорно-срав-
нительный метод и позволяющие уточнить свои координаты по мест-
ным (относительно цели) геофизическим полям;
— системы прямого самонаведения, определяющие относитель-
ные координаты цели (т. е. координаты цели в собственной системе
координат) одноступенчатой ОТР или ГЧ БРДД.
Причем системы первых двух типов в состоянии обеспечить кор-
рекцию движения БР при наведении на цель, не имеющую физиче-
ского контраста. Системы же последнего типа могут эффективно ра-
ботать только по контрастным относительно фона целям.
Вообще в состав бортового сегмента СУ ИИ БР могут входить ин-
формационные системы всех трех типов, хотя аппаратурно любые
две из них оформляют как единое целое с перестраиваемыми про-
граммными функциями.
ИС первого типа предназначены для решения задач коррекции
траектории. В настоящее время считается весьма проблематичным
использование их для наведения на цель в условиях ведения боевых
действий.
ИС второго типа могут обеспечить решение как задач коррекции
конечного участка траектории, так и наведения на цель.
Системы третьего типа предназначены исключительно для реше-
ния задач непосредственного наведения на цель, обладающую, как
уже отмечалось, контрастом относительно общего фона.
Главной характеристикой, обеспечивающей эффективность при-
менения, а следовательно, приоритетность выбора той или иной си-
стемы, является помехоустойчивость к различным видам противо-
действия. В этом смысле системы первого типа к тому же существен-
но зависят от воздействия так называемых шумовых помех, которые
характерны для одноканальных приемных систем.
Системы второго и третьего типов, хотя и не обладают абсолют-
ной помехозащищенностью, в силу своей автономности более пред-
почтительны.
Действительно, ИС второго типа по виду представления инфор-
мационного поля (изображения местности) и проведению измерений
565
своего положения относительно выбранной базовой системы коор-
динат представляет собой достаточно помехоустойчивую систему.
Причем даже если предположить, что потенциальному противнику
известны алгоритмы проведения корреляционной обработки теку-
щего и эталонного изображений (что маловероятно) и он сможет
сформировать эффективную помеху, приводящую к срыву работы
системы, увода ОТР или ГЧ БРДД от цели не произойдет. Инерци-
альная система будет продолжать функционировать как некорректи-
руемая, т. е. в этом случае будет иметь место лишь ухудшение (по
сравнению с системой, в которой осуществлено списание накоплен-
ных ошибок) конечной точности наведения на цель.
Для систем третьего типа в случае захвата координатором цели
(особенно стационарной или квазистационарной) постановка эффек-
тивной помехи тем более проблематична, учитывая размеры цели и
естественный дефицит времени, отводимый на принятие мер, мини-
мизирующих ущерб от результатов нанесенного удара.
При безусловной приоритетности помехозащищенности как
основной характеристики достижения требуемого уровня эффек-
тивности боевого применения рассматриваемых типов РК весьма
важным являются вопросы траекторного обеспечения коррекции и
введения ОТР или ГЧ в метод наведения, т. е. выведения аппарата в
область начальных условий наведения после захвата цели бортовым
координатором, при которых достигается максимально полное ис-
пользование его возможностей по уровню располагаемой перегрузки
для отработки начального промаха.
Данная проблема неразрывно связана с выбором вида траектории
и программы управления движением БР на восходящем (в частности,
активном для БРДД) и нисходящем атмосферном участках траекто-
рии (полет ОТР полностью происходит в плотных слоях атмосферы
при работе двигательной установки до полного выгорания топлива).
Система коррекции должна начинать свою работу при появле-
нии области неопределенности по положению и скорости, обусло-
вленной ошибками активного участка и ошибками, накопленными к
моменту коррекции. Целью системы коррекции является сокраще-
ние размеров области неопределенности до минимально допусти-
мых размеров. При этом возможно использование, что уже неодно-
кратно подчеркивалось, систем коррекции для решения двух типов
задач:
566
— непосредственной коррекции параметров движения (обычно
курса) по измеренным отклонениям текущих параметров движения
от номинальных значений;
— коррекции базисных направлений ИНС за счет списания на-
копленных ошибок гироскопическими построителями путем форми-
рования на борту высокоточного эталонного построителя и компен-
сации уходов гироскопов, моделирующих соответствующие напра-
вления.
В первом случае управление движением осуществляется авто-
номными некорректируемыми СУ с функционально-номинальным
составом аппаратуры в комбинации с самостоятельно функциониру-
ющими системами коррекции. В качестве последних могут высту-
пать достаточно подробно рассмотренные выше спутниковые нави-
гационные системы, корреляционно-экстремальные навигационные
системы коррекции курса БР (отделяемых управляемых головных
частей или боевых блоков) либо бортовые координаторы цели, осу-
ществляющие самонаведение по образу цели и ее окрестности.
Уменьшение исходной области рассеивания баллистического
участка БРДД при этом направлено на обеспечение гарантированно-
го захвата цели координатором, начинающим функционировать по-
следовательно (по времени) по отношению к некорректируемой СУ.
Корректируемые СУ, являющиеся, как отмечалось, по определе-
нию комплексированными системами, строятся по принципу аппа-
ратурно и (или) функционально избыточных систем, т. е. управление
движением ОТР и ГЧ БРДД должно осуществляться непосредствен-
но с использованием СУ, скорректированной от внешних источников
информации, в том числе, и на участке непосредственного наведе-
ния.
Системы управления, использующие в своем составе систему са-
монаведения (ССН) на цель, реализуют (см. гл. 10) метод квазине-
прерывного визирования цели и управления полетом практически до
момента попадания ОТР или ГЧ в цель. Процесс функционирования
ССН, обладающей функциями искусственного интеллекта, состоит
из двух этапов. На первом решается задача распознавания цели, за-
ключающаяся в получении датчиком внешней информации (ДВИ)
текущего изображения, сравнении текущего и эталонного изображе-
ний и определении местоположения аппарата. На втором этапе ре-
ализуется задача автосопровождения цели. Задача первого этапа ре-
шается так же, как и в корреляционно-экстремальных системах, с тем
567
отличием, что постоянное изменение условий требует многократно-
го визирования цели и уточнения местоположения ОТР или ГЧ с кор-
рекцией эталона в зависимости от характеристик ДВИ и степени из-
менения масштаба портрета цели. Решение задачи сводится к уточ-
нению углового положения цели в системе координат, связанной с
ДВИ, и формированию управления. Эталонное изображение в этом
случае представляет шаблон, повторяющий конфигурацию цели.
В качестве внешней информации могут использоваться излуча-
тельные и отражательные характеристики цели и окружающей мест-
ности, фиксируемые ДВИ в видимом (0,4...0,7 мкм), инфракрасном
(8... 12 мкм) и миллиметровом (3,2; 8,6 мкм) диапазонах длин волн.
Выбор варианта построения и режима работы ССН определяется
конкретными возможностями ее размещения на борту, габаритно-
массовыми характеристиками аппаратуры и типами поражаемых
целей.
При проектировании систем самонаведения с функциями ИИ
приходится учитывать тот факт, что по мере приближения к цели ме-
няется ее масштаб по отношению к ДВИ, повышается разрешающая
способность и уменьшается поле обзора (зрения) датчика. Поэтому
тонким проблемным вопросом для ССН является правильное форми-
рование эталонного изображения. Оптимальным считается эталон,
подготовленный под заданный ракурс визирования в фиксированной
координатной сетке с минимально возможным размером дискрета.
Текущее изображение строится как проекция полученного с помо-
щью ДВИ изображения на эту сетку с учетом текущих значений
ориентации датчика и его разрешения.
Наиболее проработанными для применения в СУ ГЧ БРДД явля-
ются радиометрические ССН, использующие миллиметровый диа-
пазон длин волн. Используя внешнюю информацию о радиотепло-
вом поле (X = 8 мкм), такие ССН способны [114] обнаруживать
и классифицировать отдельные корабли и корабельные соединения,
искусственные бетонные и металлические сооружения, в том числе
заглубленные асфальтобетонные поверхности дорожных сетей и т. п.
Системы самонаведения, использующие оптический и инфракрас-
ный диапазоны длин волн, обладают более высокими точностными
характеристиками по сравнению с радиотехническими, но обладают
рядом функциональных ограничений по применению.
Отображение обстановки, адекватное информации, снимаемой с
выходов ДВИ, предполагает ее последующую обработку. Особое ме-
сто среди других типов отображающей информации ДВИ отводится
568
видеоинформации. Несмотря на определенные сложности обработ-
ки информации соответствующего типа, данный подход считается
перспективным. ССН БР, включающие средства видеонаблюдения,
будем в дальнейшем называть средствами видеонаведения (СВН).
Задача, стоящая перед СВН, формулируется следующим обра-
зом.
На нисходящем участке баллистической траектории требуется:
• обнаружить объект (цель или совокупность целей) заданного
класса (классов);
• при обнаружении совокупности целей выбрать в качестве по-
ражаемого объекта цель, обладающую приоритетом среди обнару-
женных;
• обеспечить процесс наведения на выбранную цель с учетом ди-
намических свойств аппарата и цели.
Отметим, что основными факторами, ограничивающими приме-
нение перспективных инфракрасных ССН на ГЧ БРДД, движущими-
ся со скоростями более 900 м/с на участке функционирования ССН,
являются недостаточно высокие тепловые и прочностные свойства
существующих в настоящее время оптических обтекателей и боль-
шой температурный градиент, возникающий из-за сильного разогре-
ва конструкции аппарата при его перемещении в атмосфере и влия-
ющий на нормальную работу бортового координатора.
15.3. Применение систем видеонаведения и условия
их эксплуатации*
Итак, будем исходить из того, что в общем случае комплексная СУ, выполняю-
щая совместные функции коррекции — самонаведения, предназначена для решения
двух задач [79]:
• автоматического обнаружения объектов по видеоизображению при коррек-
ции движения (сужения возможной области неопределенности положения) и обна-
ружения (распознавания) среди них цели (ОРЦ);
• наведения ББ на выбранную приоритетную цель.
При этом первая задача (подзадача ОРЦ) может быть поставлена следующим
образом:
1. На основной вход системы поступает пакет изображений. В частных случа-
ях пакет может состоять из одиночного изображения, набора одномоментных спек-
тральных изображений, последовательности таких изображений или их наборов,
полученных через равные промежутки времени.
* При написании п. 15.3— 15.7 использованы материалы, любезно предоста-
вленные проф. М.Ф. Яфраковым.
569
Кроме того, в систему может поступать дополнительная информация двух ти-
пов:
• изобразительная (например, маскирующая заведомо неинформативные обла-
сти);
• неизобразительная (навигационная, масштабная и пр.).
Поступление дополнительной информации может быть как однократным (на-
пример, перед началом работы), так и регулярным (с частотой, равной поступлению
основной информации или меньшей).
2. Используя поступившую к данному моменту информацию, система должна
автоматически обнаружить и классифицировать (распознать) объекты с заданны-
ми характеристиками (принадлежащие заданным классам) в зависимости от преду-
смотренных настроек системы. При обнаружении более одного объекта необходимо
ранжировать их в соответствии с заданными приоритетами и выбрать один, являю-
щийся целью (например, наиболее ценный или опасный среди достижимых).
3. Выходом системы считают координаты обнаруженной цели в системе коор-
динат видеоприемника (экранной).
Подсистема наведения, получив информацию от подсистемы ОРЦ, должна:
1) вычислить реальные координаты цели;
2) спрогнозировать траекторию относительного перемещения цели и ее про-
странственное положение относительно БР с учетом программы полета;
3) рассчитать (скорректировать) программу управления ББ для попадания в
цель.
К особенностям решаемой задачи, в значительной мере определяющим облик
создаваемой системы, можно отнести следующие моменты.
Необходимо обеспечить выделение и распознавание целей при нечетком зада-
нии их образов в широком диапазоне изменения таких параметров, как:
масштаб изображения;
раскраска (яркость) цели;
характеристики подстилающей поверхности;
атмосферные условия;
ракурс цели.
Требование осуществить наведение ББ определяет необходимость решать за-
дачу обнаружения цели в крайне сжатые сроки. Эти сроки определяются отрезком
полетного времени ББ с момента реализации условий возможности обнаружения и
до встречи с целью (составляющим десятки, а иногда и единицы секунд), а также
динамическими свойствами ББ или ОТР.
Таким образом, требуется решить в реальном времени задачу обнаружения це-
лей по образам при нечетком задании самих образов и сильноветвящемся логиче-
ском дереве принятия решения.
Способ описания целей (классов целей) в значительной мере определяет каче-
ство решения поставленной задачи.
Традиционно классификация целей представляет собой многоступенчатую ие-
рархическую процедуру. Так, например, цели делятся на классы, классы, в свою
очередь, — на типы и т. д. В известных приложениях многоуровневую классифика-
цию целей по результатам дистанционного зондирования осуществляет специаль-
но подготовленный человек-оператор. Автоматическое распознавание в настоящее
время удается реализовать, как правило, только в одноуровневых системах.
570
В данном случае — в задаче видеонаведения ББ — представляется возможной
реализация автоматической одноуровневой классификации (только до уровня клас-
сов).
При практической реализации схемы одноуровневой классификации удается
выделить два основных направления описания целей:
• описание характерных особенностей целей, принадлежащих заданным клас-
сам;
• описание уникальных свойств каждой из целей.
Второй путь требует описания всего многообразия целей при всех возможных
вариантах раскраски и ракурсов. Именно поэтому наибольшие перспективы связа-
ны с первым путем. При этом предполагается, что классы описываются при помощи
образов — наборов характерных особенностей целей, принадлежащих различным
классам.
Следует отметить, что создание подобных образов — вычленение характер-
ных особенностей, присущих анализируемым классам целей, — является отнюдь не
простой задачей. Следует учитывать, что используемый набор таких особенностей
должен быть исчерпывающим для выделения и распознавания целей, относящихся
к заданным классам.
Эффективность решения рассматриваемой задачи в значительной мере опреде-
ляется возможностями обнаружения цели и точностью определения ее координат
средствами, размещенными на борту.
Используемый автономный источник информации о цели должен удовлетво-
рять следующим требованиям:
• обеспечение пространственной разрешающей способности, требуемой для
решения поставленной задачи;
• получение в реальном времени информации, достаточной для обнаружения
заданного набора классов целей;
• возможность размещения на борту всей необходимой аппаратуры.
Анализ характеристик существующих средств дистанционного зондирования
приводит к следующему выводу — наиболее перспективными в рассматриваемом
случае средствами обнаружения являются пассивные устройства (приемники) ви-
димого и ИК-диапазонов.
Обоснование этого положения сводится к следующим моментам:
• применение указанных диапазонов обеспечивает пространственную разре-
шающую способность для выполнения поставленной задачи;
• указанные диапазоны (особенно при их комплексировании) позволяют по-
лучать информацию, требуемую для распознавания существенного набора классов
целей;
• в настоящее время существуют приемные устройства указанных диапазонов,
допускающие их размещение на борту ББ и ОТР и обладающие требуемыми харак-
теристиками.
Однако при оценке их эксплуатационных свойств должны быть учтены многие
факторы, осложняющие обнаружение и распознавание объектов.
При прохождении светового потока, отраженного от поверхности удаленных
объектов, через атмосферу отметим следующие явления, влияющие на работу си-
стемы видеонаведения: ослабление излучения из-за поглощения и рассеяния света,
снижение контраста изображения в результате его засветки дымкой и зашумление
571
т0(Х)
Рис. 15.2. Рассеяние и поглощение излучений молекул газов,
входящих в состав атмосферы
изображения из-за неоднородности дымки. Рассмотрим эти три явления более по-
дробно.
Атмосфера представляет собой среду, содержащую мелкие частицы (молекулы
газов и водяного пара, капли воды, дым, кристаллы льда и морской соли), рассе-
ивающие и поглощающие лучистую энергию. Спектральная интенсивность луча,
прошедшего слой атмосферы толщиной L, определяется законом Бугера:
/2( Л) = Л( Л) т( X) = Л( Л)[ То( Х)]ь, (15.1)
где То( X) = е~ — спектральный коэффициент пропускания слоя атмосферы
единичной толщины; а( X) — спектральный коэффициент ослабления, равный
сумме коэффициентов ослабления, обусловленных рассеянием и поглощением;
/1 ( X) — первоначальная спектральная интенсивность луча.
Рассеивается излучение любой длины волны, а поглощается излучение, кото-
рое приходится на сравнительно узкие полосы спектра поглощения молекул газов,
входящих в состав атмосферы (рис. 15.2).
В видимой части спектра полос поглощения практически нет, здесь ослабление
обусловлено только рассеянием, и коэффициент преломления меняется мало. В ин-
фракрасной части спектра имеется целый ряд полос поглощения, обусловленных,
главным образом, молекулами водяного пара.
В авиации для характеристики замутненности атмосферы используют понятие
метеорологической дальности видимости Sm, под которой понимают наибольшую
дальность видимости днем на фоне неба у горизонта темных объектов с угловыми
размерами, большими 0,5°. Между метеорологической дальностью видимости Sm
и коэффициентом пропускания атмосферы т0 существует связь, которая иллюстри-
руется данными табл. 15.1.
Эти данные позволяют приближенно определить коэффициент пропускания ат-
мосферы в видимой части спектра для различных ее состояний, характеризуемых
баллом видимости или дальностью видимости.
В пределах видимой части спектра коэффициент пропускания приближенно
можно считать постоянным и равным (в соответствии с законом Бугера)
_ h/ cos Ф
т — т0
(15.2)
572
где <р — угол между линией наблюдения и вертикалью; h — приведенная высо-
та полета, определяемая высотой однородного столба воздуха, масса которого рав-
на массе воздуха под ЛА при атмосферном давлении, равном давлению на уровне
моря. Значения приведенной высоты даны в табл. 15.2 (Н — фактическая высота
полета).
Таблица 15.1
Состояние атмосферы Балл * то Sm
Туман:
очень сильный 0 менее 10-34 менее 50 м
сильный 1 10-34 - 10-8’5 50 - 200 м
заметный 2 10"8’5 - 10"3’4 200 - 500 м
слабый 3 10"3’4 -0,02 500- 1000 м
Дымка:
очень сильная 4 0,02-0,14 1 - 2 км
сильная 5 0,14-0,38 2 - 4 км
заметная 6 0,38 - 0,68 4 - 10 км
слабая 7 0,68 - 0,82 10 - 20 км
Хорошая видимость 8 0,82 - 0,92 20 - 50 км
Отличная видимость 9 более 0,92 более 50 км
Таблица 15.2
Я, км 1 2 4 8 16 32
h, км 1 1,77 3,1 5,1 6,7 7,5
Мелкие частицы, находящиеся в атмосфере, вызывают рассеяние излучения
и как следствие свечение атмосферы. Светящаяся атмосфера имеет определенную
яркость, называемую яркостью дымки. При наблюдении за объектом с борта ЛА
яркость дымки суммируется с яркостью объекта и фона, в результате чего контраст
объекта уменьшается. При наблюдении с большой высоты дымка существенно
уменьшает контраст объекта, что снижает вероятность его правильного обнаруже-
ния и различения.
В аэрофотографии существуют формулы для расчета средней яркости дым-
ки. Точных данных об интенсивности переменной составляющей дымки нет. Ниже
(рис. 15.3) приведен примерный график зависимости спектральной интенсивности
излучения дымки в относительных единицах, из которого видно, что с увеличением
длины волны интенсивность излучения дымки резко падает. Из этого можно сделать
важный вывод, что при видеонаблюдении с больших высот, когда дымка сильная,
для ее ослабления целесообразно работать в инфракрасном диапазоне.
573
Расчет освещенности Е$к первичного преобразователя (матрицы ПЗС) выпол-
няется по формуле
Ефк — 0,25£?м р ^атм То (D/f)2,
(15.3)
где Ем — освещенность наблюдаемого участка земной поверхности; р — средний
по площади коэффициент отражения земной поверхности; татм и то — коэффици-
енты пропускания атмосферы и объектива; D — диаметр отверстия объектива; f —
фокусное расстояние объектива.
Формула (15.3) используется при решении следующих задач.
Определение возможности использования данного преобразователя, харак-
теризуемого требуемым значением освещенности ЕфК.тРеб в заданных услови-
ях. Для решения этой задачи по формуле (15.3) производится расчет ЕфК. Если
ЕфК > ЕфК. треб, то можно использовать данный преобразователь.
Определение условий, при которых можно использовать данный преобразо-
ватель. В этой задаче по формуле (15.3) рассчитывается требуемая освещенность
местности, а затем (табл. 15.3, рис. 15.4) определяются условия освещенности зем-
ной поверхности, при которых возможна работа системы видеонаведения. В та-
бл. 15.3 приведены данные освещенности в ночное время (см. три последних строки
табл. 15.3).
Отметим, что существуют аппаратные средства частичной компенсации по-
стоянной составляющей яркости дымки подбором соответствующего смещения
Рис. 15.3. График зависимо-
сти спектральной интенсив-
ности излучения дымки
в относительных единицах
Рис. 15.4. Определение усло-
вий освещенности земной
поверхности
электрического сигнала. Компенсация осуществляется видеоприемным устрой-
ством путем фиксации уровней черного и белого. Переменная составляющая яр-
кости дымки не может быть скомпенсирована в системе видеоконтроля, так как
является случайной. Эта составляющая вызывается двумя причинами: неравно-
мерным распределением частиц, рассеивающих свет, и их мерцанием. Она носит
характер шума и маскирует мелкие малоконтрастные объекты.
Одно из перспективных направлений совершенствования систем видеонаве-
дения — автоматическая регулировка усиления, обеспечивающая сохранение кон-
трастности изображения при считывании кадра. Применение этого метода позво-
ляет повысить разрешающую способность в условиях быстрых изменений уровней
574
Таблица 15.3
Условия наблюдения Освещенность, лк
Полная Луна на безоблачном небе 0,2
Полная Луна при средней облачности 0,05-0,1
Безлунная безоблачная ночь 0,001 -0,002
Безлунная ночь при средней облачности 0,0005-0,001
Безлунная ночь при плотной облачности 0,0002
освещенности от кадра к кадру или при широком диапазоне освещенности в пре-
делах одного кадра. Такие условия возникают при обзоре сложной фоновой обста-
новки. Применение метода автоматической регулировки усиления позволяет рас-
ширить динамический диапазон изменений освещенности до 105 — 106.
При невозможности, неэффективности или недостаточности применения аппа-
ратных средств используют методы цифрового улучшения изображений.
Предобработка призвана обеспечить снижение дефектов исходных изображе-
ний и создание благоприятных условий для последующих этапов. Представляется
возможным использование предобработки для:
• устранения локальных дефектов изображения, таких как царапины на фото-
графии, дефекты отдельных элементов фотоприемной матрицы ит.п.;
• устранения дефектов передачи телевизионного изображения, таких как на-
рушение строчной синхронизации;
• уменьшения влияния на получаемое изображение среды распространения
оптического излучения (уменьшения влияния облачной дымки и т. п.);
• максимально полного использования имеющегося динамического диапазона
в целях уменьшения погрешности при вычислениях в процессе дальнейшей обра-
ботки;
• уменьшения влияния теней и отражений.
Ниже перечислены наиболее распространенные способы предобработки теле-
визионных изображений и пути их реализации. К ним относят: а) сглаживание изо-
бражений; б) повышение резкости изображений.
Возможны следующие способы сглаживания изображений:
• усреднение яркости точки по ее окрестности;
• сглаживание яркости при помощи полиномов;
• линейная низкочастотная фильтрация с использованием фильтров, отлича-
ющихся формой спада частотной характеристики, в том числе, квазиидеального,
Баттерворта, экспоненциального, трапецеидального;
• нелинейная низкочастотная фильтрация на основе медианного фильтра,
сигма-фильтра, фильтра Наго.
Кроме стандартных существует несколько частных методов улучшения изобра-
жений (повышения контрастности, удаления шумов), основанных на применении
вторых пространственных производных.
Первый представляет собой простое вычитание из изображения лапласиана,
умноженного на некоторую постоянную (такая постоянная присутствует и в осталь-
ных методах, поэтому больше не будем о ней упоминать); во втором, носящем имя
575
Габора, вычитается уже вторая производная в направлении градиента, в третьем —
добавляется еще одна треть производной в перпендикулярном к предыдущему (тан-
генциальном) направлении. Существует улучшенный вариант последнего метода.
В нем усредняют картинку многократным вычислением производных и добавлени-
ем второй тангенциальной производной, после чего вычитается вторая градиентная
производная.
Повышение резкости телевизионного изображения достигается:
• пространственным дифференцированием, в том числе с использованием со-
гласованной фильтрации (масок по направлениям), а также таких локальных опера-
торов, как разностный, максимальной разности, Лапласа, Уоллиса, Кирша, Роберт-
са, Превитта, Собела, Дэвиса, Фри-Чена, гауссовские;
• фильтрацией с использованием высокочастотных вариантов фильтров (см.
выше), отличающихся формой спада частотной характеристики, и статистическим
дифференцированием.
15.4. Характеристики системы видеонаведения
Основные характеристики системы видеонаведения условно можно разделить
на две группы: общие (технические) и специальные. К первой обычно относят
разрешающую способность системы, ее световую чувствительность, световую ха-
рактеристику, число передаваемых градаций яркости и др. Общие характеристики
определяются в основном совокупностью свойств входящих в систему элементов
и особенностями ее построения. Некоторые из общих характеристик зависят так-
же от параметров полета (высоты и скорости) летательного аппарата, на котором
установлены видеоприемники системы.
Специальными характеристиками системы видеонаведения являются зона за-
хвата на местности, масштаб изображения, время и дальность наблюдения объектов
и др. Специальные характеристики в основном зависят от параметров полета. Кроме
того, на них влияют свойства среды между ЛА и целью, а также свойства элементов
видеоприемной части (объектива и первичного преобразователя).
Существенное влияние на многие характеристики системы оказывают соб-
ственные шумы и внешние помехи, которые, смешиваясь с видеосигналом, иска-
жают его и вызывают тем самым искажение воспроизводимого видеоизображения.
Далее кратко рассмотрим общие характеристики систем видеонаведения, пред-
ставляющихся перспективными в контексте обсуждаемых задач.
К числу важнейших из них относится разрешающая способность.
Под разрешающей способностью системы понимается ее способность воспро-
изводить с предельной или заданной различимостью изображение мелких деталей.
Разрешающая способность оценивается либо максимальным числом v чередую-
щихся тонких черных и белых линий равной ширины, укладывающихся на отрезке,
равном ширине кадра и наблюдаемых на экране с заданной различимостью, либо
наименьшим углом ф0, под которым еще различимы с помощью системы две близ-
корасположенные точки изображения. Величина, обратная ф0, называется разре-
шающей силой s видеосистемы.
Связь между v и s определяется выражением v = s tg а, где а — половина
угла зрения видеоприемника. Из последнего соотношения следует, что при заданной
576
разрешающей способности v большее значение s может быть получено при малом
угле поля зрения и наоборот.
Часто разрешающую способность системы характеризуют минимальным рас-
стоянием Ло между двумя точками (границами объекта) в районе объекта наблюде-
ния, при котором они еще различаются раздельно.
Разрешающая способность уменьшается из-за смещения изображения за вре-
мя построения кадра. Движение ЛА относительно наблюдаемого объекта является
сложным. Помимо поступательного движения, несмотря на наличие системы стаби-
лизации, происходят и угловые колебательные движения около собственного центра
масс.
Поэтому время экспозиции кадра Тэ должно удовлетворять условию
т < ______________ 615 4)
VOTH/H + швр’
где <р0 — разрешающая сила системы; VOth — относительная скорость объекта на-
блюдения и ЛА в плоскости наблюдения; совр — угловая скорость вращения аппа-
рата относительно центра масс.
При значении Тэ, не удовлетворяющем условию (15.4), изображение объекта
будет сильно искажено, что затруднит или сделает невозможным его обнаружение
и тем более распознавание.
Если распознавание объекта выполняется по нескольким кадрам, появляется
дополнительное требование по стабилизации изображения объекта в поле видео-
изображения на время распознавания. Так как стабилизация проблематична, вме-
сто нее можно использовать систему, способную распознавать различные ракурсы
объектов (см. ниже).
Для сохранения требуемой разрешающей способности и обеспечения уверен-
ного распознавания и слежения за объектом необходимы автоматическая компен-
сация смещения видеоизображения путем поворота угла зрения видеоприемников
или инвариантность системы к смещению объекта в поле зрения.
По существу задачи обнаружения и распознавания сводятся к одной — обна-
ружению самого объекта или его характерной детали на окружающем фоне.
В идеальном случае объект будет обнаружен на видеоизображении, если его
проекция на матрице окажется соизмеримой с одним элементом разложения. Прак-
тически установлено, что объект на видеоизображении может быть обнаружен
лишь в том случае, когда его проекция перекрывает три—четыре, а для распозна-
вания объекта сложной конфигурации — до 15 пикселей в обоих направлениях.
Разрешающая способность системы видеонаведения зависит от многих фак-
торов и, в частности, от принятого стандарта разложения относительной скорости
перемещения ЛА и объекта наблюдения, высоты полета, времени экспозиции (фор-
мирования изображения кадра), световых характеристик оптической системы и ви-
деоприемников и др.
Наблюдаемый объект будет обнаружен или опознан на видеоизображении, если
его проекция на рабочую поверхность матрицы видеоприемника при достаточной
световой контрастности перекроет необходимое число пикселей AZ. Необходимое
значение AZ выбирается на основе экспериментальных данных. Так, например,
при обнаружении объекта необходимо, чтобы AZ = 3 ... 4, а при распознавании
577
объекта AZ = 10... 20. Если известны число активных (в выбранном направле-
нии) пикселей в кадре Za, линейный размер рабочей поверхности /фк, угол поля
зрения оптической системы 2 а, расстояние до объекта Н и необходимое число AZ
перекрываемых проекцией изображения, то может быть получено выражение для
разрешающей способности системы видеонаведения
Ло = 2Я AZtga/Za. (15.5)
Из выражения (15.5) следует, что повышение разрешающей способности
(уменьшение Ло) возможно при уменьшении угла поля зрения оптической си-
стемы (2а) или, что то же самое, при увеличении фокусного расстояния объектива.
При распознавании объекта размером 1 м на расстоянии 8 км угол поля зрения
составляет 2а ~ 1 °.
Второй не менее важной характеристикой является чувствительность систе-
мы. Под чувствительностью понимают способность системы воспринимать видео-
изображение заданного качества при низкой освещенности наблюдаемого объекта.
Обычно чувствительность оценивается величиной, обратной минимальной осве-
щенности Еоб.мин наиболее яркого участка в плоскости объекта, при которой обес-
печиваются необходимая четкость (качество воспроизведения мелких деталей и рез-
ких границ) и число передаваемых градаций яркости. Если освещенность объек-
та становится меньше ЕОб. мин, то происходит уменьшение отношения сигнал/шум
на выходе системы, что сопровождается снижением ее разрешающей способности.
Поэтому часто в качестве критерия чувствительности системы принимают отноше-
ние сигнал/шум \|/.
Значение у в конкретной системе зависит в основном от типа используемого
преобразователя. Допустимое значение \|/ определяется требованиями к качеству
изображения. В свою очередь для обеспечения заданного качества видеоизображе-
ния необходимо, чтобы \|/ было не меньше некоторого порогового значения \gnop.
В соответствии с данными табл. 15.4 часто принимают упор = 41 дБ.
Таблица 15.4
Влияние шума Не влияет Едва заметен Еще допустим
у, дБ > 50 41 -49 30-40
Известно, что освещенность объекта на местности может быть пересчитана в
освещенность Ефк. мин его проекции на видеоприемнике по соотношению (15.3). В
идеализированных условиях, когда шумы создаются только дробовыми флуктуаци-
ями фотоэлектронного тока и полностью реализуется эффект накопления, чувстви-
тельность видеоприемника определяется выражением
-ЕфК.МИН — kZ2 Vnop/ (15.6)
где зфк — рабочая площадь видеоприемника; к — коэффициент пропорционально-
сти; е — чувствительность.
Из этого выражения следует, что чувствительность системы, оцениваемая вели-
чиной Ефк. мин, зависит от разрешающей способности (характеризуемой величиной
578
Рис. 15.5. Типовая структура системы обработки видеоизображений
Z), порогового значения отношения сигнал/шум \|/пор и времени экспозиции кадра
Т3. При заданных значениях Z, у и Тэ чувствительность может быть увеличена
в результате повышения эффективности фотоэлектронного преобразователя е или
увеличения рабочей площади матрицы зфк.
Практически оказывается, что зависимость (15.6) сохраняет свой общий вид
для любого типа преобразователя, при этом изменяются лишь показатели степени
у Z и значения Z, у и Тэ. Это означает, что при прочих равных условиях всякое
стремление к увеличению чувствительности (к уменьшению ^фк.мин) связано с не-
обходимостью уменьшения разрешающей способности или отношения сигнал/шум
Упор- Уменьшение упор в свою очередь уменьшает разрешающую способность
и число различимых градаций яркости. Поэтому требования по чувствительности
определяются такими качественными показателями, как разрешающая способность
и число передаваемых градаций яркости.
При визуальном наблюдении количество градаций яркости т, которое может
различать человеческий глаз в идеализированных условиях, зависит от диапазона
яркостей (контраста) изображения К
К — яркость макс. / яркость мин., (15.7)
а также пороговой контрастной чувствительности глаза /Спор
/Спор = изменение яркости / яркость. (15.8)
Учитывая малое значение /Спор, тп « 1п(/С)//СПоР. При контрасте К = 100 и
пороговой контрастной чувствительности глаза Кпор = 0,05 количество различимых
градаций составляет тп « 9115. В реальных условиях количество передаваемых
градаций яркости ограничивается многими причинами и главным образом шумами.
При машинной обработке видеосигнала, применяемой в системах видеонаве-
дения, удается зафиксировать значительно большее количество пороговых уровней
видеосигнала. Это позволяет более тщательно анализировать передаваемое изобра-
жение и выявлять менее значительные изменения его контраста, которые могут не-
сти важную информацию при проводимых исследованиях. При машинной обработ-
ке видеосигнал представляется в цифровой форме. Количество разрешаемых уров-
ней изменения в этом случае определяется чувствительностью используемого пре-
образователя типа аналог/цифра, которая у современных преобразователей этого ти-
па достигает 0,1 % от максимального значения преобразуемого сигнала (количество
различимых в этом случае уровней сигнала тп = 1000).
Оптическая система видеонаведения критична к таким явлениям, как нагрев,
обледенение, запотевание и загрязнение оптики. В связи с этим должны быть при-
менены известные методы защиты, в частности, фильтры, защитные экраны и по-
крытия.
Система видеонаведения должна выполнять обнаружение и слежение за уда-
ленным объектом малых размеров, что требует масштабного увеличения принима-
емого изображения с сохранением его четкости, приводящим в свою очередь к рез-
кому сокращению объемного угла захвата изображения. Даже незначительный по-
ворот видеоприемника относительно направления на объект наблюдения приведет к
579
резкому смещению изображения объекта вплоть до его выхода из зоны наблюдения
и прекращению режима слежения.
К особым ограничивающим характеристикам относятся уровни вибраций, осо-
бенно при смене курса, и воздействия внешних неблагоприятных факторов среды.
При проектировании системы должны быть учтены высокие требования по
обеспечению надежности.
15.5. Особенности реализации алгоритмического обеспечения
систем наведения
Типовая структура системы обработки видеоизображений, ставящая целью об-
наружение и сопровождение объектов, может быть представлена приведенной ниже
блок-схемой (рис. 15.5). Здесь приняты обозначения, несущие следующую смысло-
вую нагрузку.
Исходное изображение — цифровое изображение (видеокадр), полученное
от ДВИ через блок сопряжения — устройство преобразования видеоизображения
(оцифровщик, фреймграббер). Предполагается, что кадр имеет структуру Windows
bitmap (заголовок + последовательно расположенные строки от 8 до 32 бит на пик-
сель). Поэтому если оцифровщик передает данные в закодированном (сжатом) виде,
их необходимо раскодировать, что может занять довольно значительное время.
Предобработка — общее название процедур цифровой фильтрации изображе-
ний, предназначенных для улучшения качества изображения и (или) приведения его
характеристик (яркости, контрастности, динамического диапазона и др.) к задан-
ным значениям.
Нормализованное изображение — изображение, основные характеристики ко-
торого находятся в заданных пределах.
Обнаружение — нахождение объектов на изображении.
Идентификация — сопоставление объектов, обнаруженных на последователь-
ных кадрах, и нахождение соответствий между ними.
Гиперобъекты — объекты с предысторией и прогнозом поведения.
Селекция — выделение среди множества объектов тех, которые могут предста-
влять интерес для наблюдателя.
Классификация — отнесение объекта к одному из заданных классов, при этом
считается, что объект может принадлежать только к одному классу.
Цели — объекты, представляющие интерес для наблюдателя, и (или) объекты
с указанием их принадлежности к одному из классов.
Обнаружение может быть в свою очередь разделено на подэтапы (см. рис. 15.6).
Особенностями рассматриваемой системы, которые необходимо в первую очередь
учитывать при проектировании и выборе ее алгоритмической основы, являются:
необходимость обеспечения работы в реальном времени, требуемые высокие точ-
ностные характеристики, массогабаритные характеристики, гарантирующие борт-
овую инструментовку.
Из этого вытекают жесткие требования к ресурсозатратам при выборе подходов
к решению поставленной задачи. Особенно большое внимание, несмотря на стре-
мительный рост вычислительной мощности современной техники, стоит уделить
выбору алгоритмических методов как для всей задачи в целом (что отражается на
580
Рис. 15.6. Подэтапы процесса обнаружения
структуре системы), так и для отдельных подзадач. Более того, с ростом скорости
вычислений значимость правильного выбора эффективного алгоритма не убывает, а
возрастает. Учет вышеперечисленных требований возможен, если при построении
системы руководствоваться следующими принципами:
• отказ от процедур, приносящих незначительное увеличение качества работы
при существенном увеличении временных затрат;
• наискорейшее (для каждого кадра) и, по возможности, предельное умень-
шение размерности задачи (т. е. объема данных, подлежащих обработке на каждом
этапе);
• использование временной фильтрации информации об объектах, т. е. разде-
ление процесса принятия решения (а значит и затрат на него) между несколькими
кадрами;
• приоритет времени над памятью — отдание предпочтения увеличению объ-
ема хранимых данных (в сжатом виде) перед увеличением времени их получения;
• перенесение основной тяжести адаптации параметров на нерабочее время,
иными словами — подготовка и настройка системы с помощью обучаемых нейро-
582
подобных алгоритмов на основе баз данных видеофильмов и программных модулей
с сохранением оптимальных настроек (например, в виде весовых коэффициентов).
15.6. Формирование структуры системы наведения и анализ
основных алгоритмических операций
Изложенное дает основание сделать вывод, что для выделения и распознавания
целей при нечетком задании их образов рациональнее использовать схемы, облада-
ющие способностью к обучению и обобщениям. Подобные возможности присущи,
в частности, нейроподобным алгоритмическим схемам. Это обстоятельство опре-
деляет перспективность их использования как элемента алгоритмического обеспе-
чения интеллекгуализированных систем наведения.
Необходимость решения задач выделения целей, их классификации, наведения
БР при жестком лимите времени определяет использование аппаратной поддержки
вычислений. В наибольшей степени это относится к задачам выделения целей и их
классификации. Следует отметить, что при использовании для решения указанных
задач искусственных нейросетей для этого имеются хорошие возможности, обусло-
вленные наличием определенного выбора средств аппаратной поддержки нейровы-
числений.
Представленная выше схема, используемая в системах видеонаведения, соот-
ветствует классическому подходу к построению систем технического зрения. Су-
ществует и альтернативная точка зрения, когда применяют заранее построенные
модели объектов. Сначала на изображении выделяют интересные области — те, где
можно что-то обнаружить. Потом в этих областях находят объекты, соответствую-
щие хранящимся в памяти.
Нейросети естественным образом находят применение при любой схеме по-
строения системы.
Наиболее разумным представляется использование нейросетей для решения
задач предобработки и выделения особенностей (со структурой, соответствующей
исходному изображению и размеру фильтра), сегментации (формирования текстур-
ных признаков и объединения похожих элементов в области) и идентификации, а
также распознавания (на основе сетей персептронного или кохоненовского типа).
Соответственно различные элементы (блоки) системы видеонаведения при тех
же выполняемых функциях могут быть реализованы принципиально разными ме-
тодами. Правильнее будет говорить о разных подходах к решению, от применения
которых зачастую зависят быстродействие, экономичность и другие характеристи-
ки системы.
Начнем обсуждение возможных подходов к решению задачи обнаружения цели
с дискриминантного. Данный подход, пожалуй, первый по времени возникновения
(и по частоте применения), а также наиболее простой по своей идеологии.
В его основе лежит предположение о том, что представляющий интерес объект
может быть заменен конечным набором признаков (поэтому данный подход можно
назвать еще признаковым). Чаще всего это неграфические информационные (коли-
чественные или качественные) характеристики, позволяющие сделать обоснован-
ное заключение о типе объекта и соответственно отделить объекты от не-объектов
(фона, помех, объектов, не представляющих интереса). Различают первичные при-
583
знаки, доступные непосредственному наблюдению и измерению, и вторичные, по-
лучаемые как функции первичных. Само заключение вырабатывается на основе
определенных решающих правил или с помощью разделяющих функций.
Способ задания разделяющих функций определяет особенность того или ино-
го метода в рамках признакового подхода. Наиболее распространенными методами
считают:
статистический, сводящийся к восстановлению многомерных плотностей ве-
роятностей объектов и их признаков;
корреляционный, базирующийся на оценках совпадения с заранее определен-
ными эталонами искомых объектов;
спектральный, основанный на применении интегральных преобразований (Фу-
рье, Адамара, Уолша, Хаара, «малых волн» (wavelets) и др.);
нечеткий, связанный с принятием решений на основе анализа качественных
признаков по законам нечеткой логики.
Особо следует выделить методы, использующие не аналитическое вычисление
параметров разделяющих функций, а обучение.
Если при дискриминантном подходе решение принимается на основе различ-
ных типов сочетания информации о наличии (отсутствии) определенных признаков,
то в структурном делается попытка учета сложных соотношений между составны-
ми частями объекта. При этом в отличие от предыдущего подхода нет нужды заме-
нять распознаваемый объект неким другим, например вектором признаков, вообще
говоря, ему чуждых, неестественных и, как правило, подобранных специально. На-
оборот, объект пытаются представить в виде иерархической совокупности более
мелких объектов той же природы, образующих как бы подобъекты. Структура этой
совокупности и типы подобъектов отражаются в описании объекта, которое и явля-
ется предметом дальнейшей обработки.
Возможно построение и других структур, анализируемых методами, не отно-
сящимися к математической лингвистике, например, теории иерархических и мно-
гоуровневых систем. Но говорить об их широком и продуктивном применении при
обработке изображений в СУ БР пока еще рано.
Все рассмотренные выше методы опираются на предположение (довольно
сильное и не всегда справедливое), что имеющейся до начала работы информации
достаточно для принятия решения об отнесении объекта к одному из классов, во
всяком случае, в них не предусмотрена возможность извлечения дополнительной
информации из поступающих данных.
Наличие такой возможности делает систему способной к обучению, т. е. изме-
нению своих параметров и (или) структуры в зависимости от экспериментальных
данных. Конечное множество таких данных называется обучающей выборкой.
Таким образом, принципиальное отличие обучаемых классификаторов состо-
ит в том, что границы между классами образов (разделяющие гиперповерхности)
определяются не непосредственным вычислением соответствующих коэффициен-
тов в разделяющих функциях, а итеративно.
Типичными для данной категории классификаторов являются искусственные
нейронные сети, для которых свойство обучаемости естественно и неотъемлемо.
Одной из первых успешно работающих нейросетей был и есть ныне часто ис-
пользуемый персептрон — нейронная сеть, имеющая простейшую слоистую струк-
туру.
584
Обучение подобной сети производится с помощью процедур, представляющих
собой разновидность градиентного спуска, где минимизируемой функцией служит
ошибка — разность между текущими и требуемыми значениями выходной сети.
Ни один из рассмотренных подходов в отдельности не может претендовать на
полное решение задач обнаружения и распознавания целей в СУИИ БР, даже в пер-
спективе. Более эффективным является объединение различных методов, при ра-
зумном использовании преимуществ каждого из них с тем, чтобы они дополняли
друг друга. Степень использования того или иного подхода зависит, как правило, от
конкретной задачи и свойств рассматриваемых объектов.
К. Фу предложил следующую схему подобной комбинированной системы,
включающей два уровня: на первом для распознавания элементов, наиболее чув-
ствительных к искажениям, используют дискриминантные методы, на втором,
когда синтаксический анализ облегчен тем, что подобразы ясно обозначены, —
структурные.
Оптимальным представляется внешнее комбинирование методов, когда ка-
ждый из них используется для достижения локально наилучшего результата в своей
области. Остается лишь правильно организовать взаимодействие на уровне мето-
дов, т. е. выбрать архитектуру системы и соответствующим образом распределить
задачи между подсистемами, указав границы деятельности и функционал оптими-
зации, а после получения от подсистем промежуточных результатов — оценить
достоверность и осуществить адекватное сочетание.
На основе сформулированных принципов и анализа свойств методов обработки
информации проанализируем типовую структуру системы видеонаведения и ука-
жем возможные пути решения с учетом особенностей данной системы.
Прежде всего необходимо определиться с подходом при решении задач обна-
ружения. Небольшие видимые размеры и отсутствие составных частей (нерасчле-
нимость) объектов в задачах видеонаведения БР крайне затрудняют использование
структурных методов. Следовательно, нужно выбирать только среди признаковых
методов. Причем основным следует считать статистический метод, использующий
распределения яркости изображения и нахождение пространственных неоднород-
ностей. Такие неоднородности (перепады яркости) соответствуют, как правило, гра-
ницам объектов.
Процедуры поиска перепадов по своей природе локальны, а значит, не потре-
буют слишком много времени на реализацию.
Среди анализируемых признаков наибольшее значение имеют яркостные (в том
числе моментные) и геометрические признаки, характеризующие размер и форму
объекта.
На анализе текстуры (пространственно-статистических особенностей изобра-
жения) часто основана сегментация (выделение близких по своим характеристикам
областей). Это помогает лучше узнать контекст изображения и получить дополни-
тельную информацию о возможных положениях объектов. Например, осуществить
обнаружение выделяющегося из своего окружения объекта или определить, что ви-
деодатчик бортового координатора смотрит «не туда» (несовпадение текущих ха-
рактеристик с заданными) и т. п. Однако представляется целесообразным отказать-
ся от этой ветви как ресурсоемкой (большой объем промежуточных данных и вы-
числений). К тому же наличие предварительных оценок местоположения объекта
585
(с использованием навигационной информации) позволяет решить ту же задачу ме-
нее затратными средствами без заметного ухудшения качества.
Следующим важным процессом будет процедура сопровождения выделенной
цели.
Ввиду того что процедура сопровождения объектов имеет дело уже не с изо-
бражением, а с выделенными объектами, представленными векторами параметров
небольшой размерности, ее доля в общих затратах времени невелика (при разумном
числе обнаруженных объектов).
Принципиальное значение имеют две позиции.
• Временная глубина обработки (т. е. число кадров, учитываемых при иден-
тификации и формировании гиперобъектов) ограничивается исходя из допустимых
вычислительных затрат, одним — двумя кадрами. Иными словами, в первом при-
ближении наблюдаемый процесс можно считать марковским.
• Установление соответствия между объектами на разных кадрах осуществля-
ется локально, т. е. поиск нового положения происходит в сравнительно небольшой
области вокруг предыдущего положения. Это может приводить, по сравнению с гло-
бальными методами поиска, к возникновению ошибок идентификации. Однако ве-
роятность таких ошибок, учитывая небольшое число наблюдаемых объектов, оце-
нивается как чрезвычайно низкая.
Поиск перепадов яркости на изображениях выполняется с использованием та-
ких приемов, как пространственное дифференцирование, частотная фильтрация,
обеспечивающая стабилизацию решения, релаксационная разметка на базе опера-
тора Розенфельда, использование моментов распределения яркости в круглом окне,
функциональная аппроксимация, в том числе с использованием алгоритма Хюкке-
ля. На практике, как правило, применяют комбинации перечисленных приемов.
Обычно выделение границ предполагает проведение последовательного ана-
лиза набора элементарных областей, на которые разбивается анализируемое изо-
бражение. Это позволяет говорить о том, что подобные методы выделения границ
являются апертурными. Другими словами, толщина выделенных границ зависит от
размеров используемой апертуры — элементарной области.
Эффективность способов обнаружения обычно демонстрируется разработчи-
ками на некотором изображении, которое трудно охарактеризовать как сложное.
В итоге вопрос устойчивости работы рассмотренных способов обнаружения при
сложных исходных данных все еще не решен.
На основе накопленного опыта компьютерного моделирования и анализа до-
ступных источников можно сделать следующие выводы:
максимально допустимый размер апертуры фильтра — 5x5 пикселей (если
больше — теряются детали объекта);
следует использовать операторы Собеля или Робертса (уточняется в процессе
разработки) как наименее ресурсоемкие при достаточном качестве результатов;
использование направленных операторов или многомасштабного анализа не-
целесообразно;
наиболее эффективный путь нахождения объекта — выделение прямолиней-
ных участков границ с последующим их объединением;
при использовании контрастной окраски объекта следует провести предвари-
тельную яркостную (пороговую) сегментацию изображения.
586
Как показывает анализ, в части идентификации и селекции цели принципы по-
строения системы не должны существенно отличаться от аналогичных систем со-
провождения объектов по видеоизображению. Кроме того, из-за незначительного
потока данных (координаты и свойства структурных элементов объектов вместо
изображения) временные затраты на выполнение операций с такими данными не-
велики и не могут повлиять на общее быстродействие системы. Поэтому вполне
допустимо применение ранее опробованных методов и приемов, обеспечивающих
требуемое качество идентификации и необходимую устойчивость системы.
Поскольку система предназначена для работы в реальном времени, для
реализации алгоритмов обработки входных изображений требуется по предва-
рительным расчетам до нескольких десятков миллисекунд (на современных уни-
версальных процессорах) на один видеокадр. Применение специализированных
процессоров не обеспечивает значительного ускорения.Таким образом, время об-
работки достигает, а в некоторых случаях и превышает период поступления видео-
изображений (40 мс для системы PAL). В таких условиях нерационально включать
в контур обработки дополнительные алгоритмы, в частности, для подстройки па-
раметров системы. Вместе с тем жесткая фиксация значений параметров на этапе
проектирования приводит к неудовлетворительным результатам. Решить эту про-
блему позволяет исключительно лишь применение нейроподобных обучаемых
алгоритмов.
Для обучения нейроподобной системы необходима база данных (БД) обучаю-
щих примеров. Чем полнее БД и точнее примеры соответствуют рабочим режимам
системы, тем точнее впоследствии система будет работать.
Предполагается, что используемые методы обнаружения объектов инвариант-
ны к раскраске и ракурсу объектов, масштабу изображения. Однако следует по-
мнить, что в реальной системе инвариантность ограничена, что должно учитывать-
ся при построении БД для обучения.
Состав БД для обучения определяется набором используемых для выделения
объектов, методов и признаков для их распознавания.
Наиболее перспективной является БД, представляющая собой комбинацию в
виде набора изображений объектов в различных ракурсах, зависимости признаков,
используемых для выделения объектов, от условий наблюдения.
При этом необязательно изображения, входящие в рассматриваемую БД, долж-
ны точно имитировать получаемые при реальной работе данные.
Исходя из необходимости получения рабочего варианта СВН в сжатые сроки
(и учитывая высокую стоимость и сложность натурных испытаний) обычно приме-
няется следующая схема формирования БД для обучения системы.
На первом этапе в качестве обучающих примеров используют цифровые изо-
бражения, полученные моделированием фоноцелевой обстановки или оцифровкой
подходящих по сюжету фрагментов видеофильмов или телепередач. Изображения
хранятся на жестком диске компьютера. При этом привлекают экспертов для оценки
адекватности используемых изображений поступающим на вход системы. На дан-
ном этапе происходит отработка алгоритмов в псевдореальном времени.
Второй этап отличается от первого тем, что используют аналоговые входные
сигналы — те же фрагменты видеофильмов или телепередач, но хранящиеся на маг-
нитной ленте. Оцифровка происходит непосредственно во время работы. Кадры по-
ступают с заданной периодичностью, обработка производится в реальном времени.
587
Третий этап — окончательная проверка и дообучение системы — проводят на
основе реальных съемок фоноцелевой обстановки в условиях, максимально при-
ближенных к боевым.
15.7. Аппаратная реализация
Как уже отмечалось, необходимость реализации алгоритмов управления поле-
том БР, в том числе обнаружения (распознавания целей), в реальном времени —
один из главных ограничивающих факторов при создании СУИИ.
Оставляя в стороне вопросы надлежащей сертификации и надежности аппара-
туры в жестких условиях полета БР либо их ГЧ, остановимся на взаимном влиянии
аппаратуры и программного обеспечения (ПО).
Для обеспечения нормального функционирования СУ в реальном времени при
минимуме затрат (финансовых и технических) необходимо добиться адекватности
программ и аппаратуры, т. е. максимально возможного соответствия между архи-
тектурой вычислителя и структурой прикладного ПО. Существуют два пути дости-
жения этой цели: выбирать аппаратуру в зависимости от ПО (в конечном счете —
от решаемых задач) или адаптировать алгоритмы под архитектуру, в наибольшей
степени используя особенности аппаратуры. Более рациональным считается ком-
промиссный итерационный подход, включающий следующие этапы:
• построение прототипов алгоритмов;
• реализацию и испытание их на ПК;
• анализ и оценку вычислительно трудных блоков и других узких мест;
• поиск подходящей аппаратуры и модификацию алгоритмов под аппаратуру;
• моделирование и повторение предшествующих пунктов.
Рассмотрим кратко различные варианты аппаратной реализации интеллектуа-
лизированной системы наведения БР.
Элементной базой подобных систем являются заказные кристаллы, встраивае-
мые микроконтроллеры, процессоры общего назначения, программируемая логика
(FPGA — ПЛИС), транспьютеры, цифровые сигнальные процессоры (DSP) и ней-
рочипы. Наибольшее распространение получили ПЛИС, DSP и нейрочипы.
Различные расширения наборов команд: MMX, SSE — Streaming SIMD (Single
Instruction Multiple Data) Extensions и SSE2, 3DNow! и Enhanced 3DNow! — позво-
ляют разработчикам оптимизировать выполнение специфических задач, не жертвуя
общей совместимостью (процессоры, не поддерживающие упомянутые разреше-
ния, также могут выполнять аналогичные инструкции, но менее эффективно).
В результате Pentium 4 и Athlon позиционируются даже не как универсальные,
а как мощнейшие процессоры именно для современных задач с минимальным коли-
чеством ветвлений — обработки изображений, распознавания объектов в реальном
времени, физического ЗВ-моделирования и шифрования.
Цифровые сигнальные процессоры (ЦСП), обладая мощной вычислительной
структурой, позволяют реализовать различные алгоритмы обработки информации.
Главным преимуществом систем на ЦСП является гибкость, возможность реализа-
ции адаптивных и обучающих алгоритмов.
Выбор того или иного процессора — многокритериальная задача, однако сле-
дует отметить предпочтительность процессоров Analog Devices для приложений,
588
требующих выполнения больших объемов математических вычислений (таких как
цифровая фильтрация сигналов, вычисление корреляционных функций и т. п.).
Вместе с тем ЦСП имеют ряд недостатков, которые следует учитывать при
оценке возможностей их применения в СУИИ БР. Во-первых, каждое семейство
ЦСП имеет собственные коды команд, что делает практически невозможным пе-
ренос реализованного алгоритма на ЦСП других семейств или создания универ-
сальных библиотек алгоритмов. Существующие же компиляторы с языков высоко-
го уровня, например с Си, также ориентированы на конкретные ЦСП и не реша-
ют данной проблемы. Во-вторых, при реализации сложных параллельных структур
приходится увеличивать число процессоров и обеспечивать их нормальную рабо-
ту в мультипроцессорном режиме. Наконец, в-третьих, ЦСП, как правило, требуют
внешних навесных элементов для реализации интерфейса с источниками и прием-
никами данных.
Низкая тактовая частота ЦСП пока ограничивает максимальную частоту обра-
батываемого аналогового сигнала уровнем в 10—20 МГц, но программное управле-
ние позволяет достаточно легко изменять не только режимы обработки, но и функ-
ции, выполняемые ЦСП. Помимо обработки и фильтрации данных ЦСП могут осу-
ществлять маршрутизацию цифровых потоков, выработку управляющих сигналов
и даже формирование сигналов системных шин ISA, PCI и др.
Стоит рассмотреть возможность создания параллельных вычислителей (в том
числе и нейро) на базе ПЛИС (программируемых логических интегральных схем).
В последнее время получили широкое распространение гибридные нейровычисли-
тели, когда блок обработки данных реализуется на ЦСП, а логика управления — на
ПЛИС.
Программируемая логика способна работать на более высоких частотах, чем
ЦСП, но поскольку управление реализовано аппаратно, то изменение алгоритмов
работы требует перепрограммирования ИС, при этом существенно малы возмож-
ности создания многовариантных алгоритмов, самостоятельно выбирающих ту или
иную стратегию решения в зависимости от ситуации (определяемой входными дан-
ными).
Область применения нейропроцессоров не огранивается только поддержкой
нейроалгоритмов. На них достаточно эффективно можно реализовать и другие
операции, представимые в нейросетевом базисе, например цифровую фильтрацию
сигналов, спектральные преобразования, векторно-матричные операции и др. Это
сближает нейропроцессоры с ЦСП. Соответственно и недостатки — общие, осо-
бенно в части специфики системного ПО и совместимости прикладных программ.
Таким образом, определение оптимальной структуры и параметров системы
информационного обеспечения современных СУ БР является сложной, многокри-
териальной задачей, тем не менее вполне решаемой на достигнутом уровне созда-
ния систем, обладающих свойствами искусственного интеллекта.
15.8. Возможности применения обучаемых сетей
Второй подход, получивший широкое распространение в последнее десятиле-
тие, основывается на применении обучаемых искусственных нейросетей (ИСНС)
и позволяет совместить в едином алгоритме обучения выделение значимых при-
589
знаков и синтез оператора распознавания без участия человека. В процессе обуче-
ния ИСНС сама создает модель явления и выделяет значимые признаки образа, ис-
ключая незначимые и мешающие параметры без ведома исследователя. Это суще-
ственно упрощает получение оптимального алгоритма распознавания по сравнению
с подходом, основанном на статистической теории распознавания, требующей, как
правило, знания законов распределения.
Обучающиеся системы с помощью вычислительных машин создают алгорит-
мы обучения и распознавания в виде соответствующих программ.
Целью обучения ИСНС в общей форме является достижение состояния, в кото-
ром она наилучшим образом решает поставленную задачу, по крайней мере, на эле-
ментах обучающей выборки. При этом получаемая нейросетью информация фикси-
руется в виде структуры и значений элементов матрицы синаптических связей меж-
ду нейронами. Процесс обучения ИСНС заключается в том, что на входной слой
нейронов подается множество наборов образов, по каждому из которых известен
желаемый результат обработки. Это позволяет корректировать по определенному
правилу вес синаптических связей по мере предъявления образов обучающей по-
следовательности до достижения сходимости.
Для достижения сходимости веса связей зачастую требуется большое число
итераций, поэтому процесс обучения нейросети (НС) может занимать длительное
время: от нескольких секунд до десятков часов в зависимости от архитектуры сети,
сходимости задачи и производительности ЭВМ. Существенно, что после обучения
при работе в режиме распознавания ИСНС решает задачи практически мгновенно.
Особый интерес представляет использование НС в задачах, связанных с распо-
знаванием радиолокационных сигналов или сформированных из параметров этих
сигналов пространств признаков при наличии неполной или зашумленной инфор-
мации о них.
Обучаемые алгоритмы подразумевают два возможных варианта обучения —
«с учителем» и «без учителя». Для варианта с учителем имеется обучающая вы-
борка портретов, для которых известна принадлежность к распознаваемым клас-
сам. При этом обучение производится, как правило, на реальных либо на смоде-
лированных выборках портретов. Обучение с учителем полностью адекватно зада-
че распознавания в радиолокации, поскольку при радиолокационном наблюдении
отсутствует возможность обучения в процессе работы. Обучение без учителя (кла-
стеризация портретов), имеет большое значение при решении некоторых задач ра-
диотехнического наблюдения, когда при приеме сигналов необходимо определить
индивидуальные особенности излучающего средства и провести их разбиение на
подмножества по тем или иным признакам.
Рассмотрим математическое описание многослойного перцептрона — универ-
сального и исключительно важного средства для распознавания любых одномерных
или двумерных радиолокационных портретов, имеющих действительные значения.
Слоем нейронов называют группу из р нейронов, каждый из которых имеет не-
которое число входов и один выход, причем нейроны в этой группе-слое не имеют
связей между собой. Рассмотрим слоистую сеть (рис. 15.7), состоящую из несколь-
ких слоев нейронов, в которой на входы последующего слоя подаются сигналы с
выходов предыдущего.
Выходной сигнал каждого индивидуального нейрона записывается в общепри-
нятой форме:
590
(р
Y^WijXj + 6,
J=1
(15.9)
где i — номер нейрона; шгз — весовой коэффициент или элемент матрицы синапти-
ческих связей (индекс г обозначает элемент, к которому идет связь), j — элемент,
от которого отходит связь); 9г — порог срабатывания нейрона; f(x) — функция
реакции нейрона, в данном случае одинаковая для всех нейронов.
Обычно в многослойном перцептроне, структура которого показана на
рис. 15.7, используют нейроны, описываемые исходя из соображений математи-
ческой простоты полулинейной пороговой функцией вида
Ж) = ГГ^- (15-10>
Входным сигналом сети является подающийся на входы первого слоя, выход-
ным — сигнал выхода последнего слоя. Входной слой осуществляет тождественное
преобразование и может быть охарактеризован как слой приемных датчиков сети,
на который отображается одномерный портрет объекта. Выходной слой сети в слу-
чае распознавания М классов (или типов) может содержать М нейронов. Причем
на т-й класс указывает единичный уровень выхода т-го нейрона при близких к
нулевым выходам остальных нейронов.
Эффективность многослойной НС или перцептрона обусловлена тем, что с уве-
личением числа слоев перцептрон получает возможность при обучении проводить
в пространстве признаков все более сложные поверхности, разделяющие заданные
классы, и тем самым достигать меньших ошибок классификации.
Рис. 15.7. Элемент слоистой сети перцептрона
591
Увеличение числа скрытых (внутренних) слоев перцептрона, расположенных
между входным и выходным слоями, более двух нецелесообразно. Тем не менее
для общности может быть рассмотрена многослойная НС с произвольным числом
слоев и нейронов в каждом слое.
Примем следующие обозначения: N- число слоев сети; р(п) — число нейро-
нов в n-м слое, п = 0,1,..., N — Г, Wn = — матрица синаптических
связей между n-м и (п + 1)-м слоями размера р(п + 1) х р(п), п = 0,1,..., N — 2;
h — входной вектор сети размерности р(0); хп — выходной вектор n-го слоя раз-
мерности р(п), п = 0,1,..., TV — 1; х77-1 — выходной вектор сети размерности
p(N — 1); hn — вектор суммарного входного сигнала нейронов на (п + 1)-м слое,
п = 0,1,..., JV — 2.
Приведем алгоритм НС в режиме распознавания в простейшем случае, когда
каждый нейрон в слоях 0, 1, 2, ..., N — 1 описывается формально-логической мо-
делью с нулевым порогом, а все нейроны нулевого слоя осуществляют тождествен-
ное преобразование. Предположим также, что известна матрица НС. Тогда исходная
структура алгоритма работы НС должна отвечать следующей структуре:
х° = h;
h" = W"xn; (15.11)
xn+1 =Fp(„+1)(hn), n = 0,1,..., N — 2.
Здесь Fp(h) = [f(ho), /(/ii), • •., f(hn_i)]T — вектор-функция специального ви-
да, размерность которой зависит от числа нейронов в слое р.
Алгоритм минимизирует квадратичный функционал ошибки по элементам ма-
трицы синаптических связей Wn
i
где e77-1 = ti — xf"1, а вектор [т^-1]т = x77-1 рассчитывают с помощью
(15.11).
Синтез алгоритма обучения основан на методе градиентного спуска по весу си-
наптических связей (элементов матрицы W) и приводит к следующим рекуррент-
ным соотношениям, также представленным для компактности и удобства програм-
мирования в матричной форме:
en~1 =t-xN“1, (15.13)
en = (Wn)T [F;(n+1)(hn) ® en+1], (15.14)
AWn = T| [en+1 ® Fp(n+1)(hn)] [xn]T, n = AT - 2,0. (15.15)
Здесь en — вектор рассогласований на n-м скрытом слое; Fp(h) = [f'(ho), f'(hi),
..., — вектор-функция производных; AWn — приращения межслой-
ной матрицы Wn, 0 — символ прямого произведения векторов; т| — параметр
темпа обучения; хп — вектор реакций на n-м скрытом слое.
Далее с помощью полученных по формуле (15.15) приращений межслойных
матриц на текущем шаге обучения, которому мы придадим номер к, отвечающий
592
к-й обучающей паре S(k) — {h(k), t(k)}, модифицируются межслойные матрицы,
заполненные на предыдущем к — 1-м шаге:
Wn(fc) = Wn(fc- 1)+ AWn(fc) k = 1,2,3,... (15.16)
Отметим, что для эффективной реализации алгоритма обучения НС в зависи-
мости от характера задачи экспериментально подбирают число скрытых слоев, ней-
тронов в каждом слое, а также начальную матрицу Wn(0) и параметр обучения т|.
15.9. Эталонная информация и базы данных для обучения
системы
До определенного времени разработки систем самонаведения БР по наземным
целям велись в значительном отрыве как от характерных свойств самой цели, так
и от условий ее поражаемости. Начало работ по созданию комплексов четвертого
поколения изменило само понятие поражаемости цели, так как появилась возмож-
ность точечного поражения ключевых элементов, приводящих к прекращению их
функционирования полностью или на длительный срок, т. е. цель с ее критически-
ми точками становится главным элементом процесса самонаведения и выбора типа
системы наведения [91].
С другой стороны, эффективность нанесения точечного удара в значительной
степени зависит от выбранного информационного поля, с помощью которого можно
осуществить достоверное обнаружение цели на фоне подстилающей поверхности
и выделить требуемую критическую точку на объекте.
Следующая компонента — эта собственно БР, ее динамические характеристи-
ки, которые должны учитываться при рассмотрении возможности тех или иных
принципов формирования информационного сигнала, особенно значений распола-
гаемых перегрузок для реализации требуемого маневра.
Наконец, последняя из требующих обсуждения компонент процесса наведе-
ния — целеуказание, с которым связаны вопросы обеспеченности первичными ин-
формационными материалами, данными разведки и доразведки, так как на осно-
вании этих материалов оценивается возможность выделения критической точки на
объекте поражения, определение условий полета БР и соответственно выбор типа
траектории.
Все четыре элемента процесса самонаведения находятся в тесном взаимодей-
ствии друг с другом и эта взаимосвязь наиболее полно проявляется при формирова-
нии как конкретных задач каждого этапа процесса самонаведения, так и при оценке
потенциальной точности наведения и обеспечения результирующей эффективности
поражения заданной цели.
Под термином «эталонная информация» обычно понимается весь комплекс ин-
формационных материалов, необходимых и достаточных для обеспечения функци-
онирования систем самонаведения (ССН) и удовлетворения предъявляемых к ним
требований по точности и эффективности. При этом не исключено использование
в качестве одного из видов эталонной информации как текущего изображения, так
и статистически обработанных экспериментальных данных.
Достаточно подробно эти вопросы изложены в работе [91]. Здесь же, основы-
ваясь на результатах указанной работы, дадим лишь конспективное изложение их
основ.
593
Формирование эталонной информации предполагает выработку требований к
первичным информационным материалам и создание для различных ССН своей ба-
зы исходных данных — первичных информационных материалов, позволяющих ре-
шать все специфические вопросы процесса самонаведения, включая решение задач
целеуказания (ЦУ) и оценку потенциальной точности наведения.
В процессе формирования эталонной информации, т. е. при выборе номенкла-
туры первичных информационных материалов (ПИМ), выработке требований к их
содержательной части и виду представления, должен учитываться ряд факторов,
влияющих на точностные параметры ССН. Эти факторы определяются процессом
получения текущего изображения (тип информационного поля, способ его форми-
рования, величины зон неопределенности, динамические характеристики БР, виды
искажений текущей информации (ТИ)).
В основе построения современных корреляционно-экстремальных навигаци-
онных систем (КЭНС) лежит класс систем, в которых процедура определения ис-
тинных координат ББ для последующей коррекции траектории полета и наведения
на цель осуществляется с помощью естественных физических полей Земли путем
корреляционного сравнения ТИ определенного участка земной поверхности или
образа цели, получаемого на борту, с эталонными изображениями (ЭИ) тех же эле-
ментов, построенных в наземных условиях по ПИМ.
Как правило, совмещение ТИ и ЭИ для оценки текущих координат ракеты осу-
ществляется в условиях априорной неопределенности ее положения. Если эта не-
определенность будет больше радиуса корреляции навигационного поля (НП), то в
силу случайного характера функционала сравнения изображений его боковой экс-
тремум может оказаться больше главного экстремума, что приведет к ложной кор-
рекции координат и, возможно, полному срыву функционирования КЭНС [9, 11].
В основе явления ложного захвата лежит увеличение дисперсии распределе-
ния главного и боковых экстремумов функционала сравнения под влиянием аппа-
ратурных шумов, погрешностей измерений, априорной неопределенности величин
эффективных поверхностей рассеивания (ЭПР), закладываемых в ЭИ, и других фак-
торов, а также из-за уменьшения главного экстремума решающего функционала под
влиянием таких геометрических искажений ТИ, как размасштабирование и разво-
рот ТИ относительно ЭИ.
Рассмотрим этот вопрос более подробно.
Характерной особенностью таких КЭНС является то, что в течение всего про-
цесса наведения точка цели находится вне поля зрения системы, т. е. наведение осу-
ществляется по окружающей цель местности.
При этом в СУ периодически выдается информация о координатах проекции
центра масс БР или ББ в данный момент времени либо в базовой системе координат,
либо в местной относительно цели.
Корреляционная обработка поступающей информации при наличии объективно-
стохастической взаимосвязи между принятым параметром и элементами двумер-
ного массива хранимых параметров, как правило, требует распараллеливания вы-
числительных средств.
Оценка времени вычислительных затрат на каждый цикл навигации и требуе-
мого быстродействия вычислений могут быть грубо осуществлены, исходя из сле-
дующих соображений.
594
Будем считать, что размеры хранимых массивов (эталонных значений параме-
тров геофизического поля), определяются произведением п х тп параметров, а из-
меритель характеризуется наличием к каналов. Типовая длительность сеанса при-
ема информации с датчиков геофизических полей составляет примерно 20 мс. Один
цикл корреляционной обработки предполагает необходимым выполнение порядка
500 арифметико-логических преобразований.
Следовательно, за время 20 мс потребуется осуществление п х тп х к х 500 опе-
раций, что при стандартном значении к = 5 потребует использования вычислителя
с быстродействием не менее 25 млн оп/с.
Уменьшение цикла реализации основной процедуры КЭНС, обусловливаемое
необходимостью повышения частоты съема информации с датчика, обычно свя-
зывают с созданием специализированных функционально-ориентированных вычи-
слителей (ФОБ). При этом объем памяти таких ФОБ должен составлять не менее
260 Кбайт, а пропускная способность ФОБ с центральным вычислителем при их
последовательной связи порядка 200 Кбит/с.
В свою очередь функционирование системы прямого самонаведения (СПН),
как правило, основано на получении ТИ путем сканирования местности в районе
цели, анализе для обнаружения, классификации и захвата цели с последующим ее
сопровождением, периодической выдачей данных о расстоянии до цели и углах ви-
зирования в азимутальной и угломестной плоскостях. В этом случае цель всегда
находится в поле зрения системы до последнего этапа наведения.
Независимо от характера задач, решаемых с помощью вычислительных средств
систем видеонаведения, для всех них характерны наличие двух этапов: внутрика-
дровой и межкадровой обработки.
Характерной особенностью внутрикадровой обработки является значительный
объем обрабатываемой информации, составляющий для современных ПЗС-матриц
массивы 16-разрядных пикселей с размерностью кадров 512 х 512 каждый (при-
чем начальные этапы внутрикадровой обработки производятся над двумя такими
матрицами).
Учитывая требуемое быстродействие обработки, скорость объема при этом со-
ставляет около 20 Мбайт/с.
Межкадровая обработка требует от процессора быстродействия не более
10 млн оп/с над 16-разрядными числами. В редких случаях может потребоваться
обработка 24- или 32-разрядных слов и примерно двукратное увеличение быстро-
действия.
Каждая ССН имеет свои особенности, преимущества и недостатки. Выбор в
пользу той или иной системы может быть сделан только на основе априорной ин-
формации о контрастных характеристиках заданных целей и окружающей их зем-
ной поверхности и антропогенной инфраструктуре.
Как было показано ранее, одним из главных элементов технологического цикла
определения на борту БР (или их ГЧ) координат цели с помощью корреляционного
сравнения ТИ с ЭИ является создание на базе первичных информационных мате-
риалов (цифровая карта местности, фотоснимки, банки данных и т. п.) эталонных
изображений местности района цели или образа самой цели с учетом фоноцелевой
обстановки, погодных и сезонных условий.
В зависимости от типа системы наведения (КЭНС или СПН) информационное
поле может быть навигационным полем или помеховым фоном.
595
Таким образом, для всех систем, работающих по наземным целям, необходимо
иметь информацию о местности и цели в терминах датчика (координатора) ССН,
установленного на борту БР, а сам подход к процессу подготовки эталонной инфор-
мации должен строиться с учетом выбранного навигационного поля.
Исходная информация о местности, служащая основой для построения этало-
нов, может быть разбита на три группы:
стабильная, полученная заблаговременно и реализуемая в виде топокарт, фото-
планов, а также каталогов характеристик НП;
квазиоперативная, полученная с использованием космических средств;
метеорологическая.
Кроме этого используется уже обработанная информация, где содержатся дан-
ные о местности и цели [91].
Для того чтобы использовать всю имеющуюся исходную информацию, пре-
образованию подвергается каждый ее вид, содержащий данные о типе цели и эле-
ментах ландшафта вокруг нее с сохранением максимума информации о каждом эле-
менте объекта и его расположении на местности относительно цели.
Для некоторых ССН параметрами служат геометрические характеристики по-
верхности и ее оптические или электрофизические характеристики.
Из исходных материалов получают не все характеристики, а общий состав и
размеры объектов и их взаимное расположение относительно друг друга и цели.
Более точные характеристики объектов и ландшафта должны составлять содер-
жание каталога данного навигационного поля. Каталог создается на основе много-
численных и многолетних исследований теоретического и экспериментального пла-
на и позволяет определять значения сигналов, отраженных от тех или иных объек-
тов местности и инфраструктуры, и тем самым определять информативность мест-
ности и возможные точностные параметры всего процесса наведения.
Наличие каталога позволяет при идентификации объектов местности получать
эталонные изображения с достаточно высокой степенью разрешения.
Главная задача — получение возможно более точной информации о местности
вокруг цели. Начало сбора информации о местности начинается с анализа топогра-
фических материалов или аэрокосмических снимков. При этом производится пер-
вичная привязка цели и ее отдельных элементов к местности, определяются размер
участка местности, подлежащей каталогизации, и точность привязки границ объ-
ектов к местной системе координат. После этого уточняются параметры объектов
с помощью всей имеющейся информации. Картографическая информация позво-
ляет определить мезорельеф местности, состав и характеристики лесных массивов
(среднюю высоту, густоту, породу деревьев), ширину и покрытие автодорог, количе-
ство путей на железной дороге, ширину и высоту мостов, стационарный объектовый
состав местности.
Оперативные фотоснимки дают информацию для уточнения границ объектов,
их изменений, связанных с сезонными особенностями.
Инфракрасная съемка позволяет выделить объекты с тепловым излучением.
Радиолокационная съемка делает возможным определить объекты, находящи-
еся под покровом растительности, а в ряде случаев — объекты, лежащие под слоем
грунта.
596
Полученные данные, сведенные воедино, позволяют получить подробный пор-
трет местности с точным перечнем объектов на ней и их привязкой один к другому
и цели.
После этого формируют квантовые или так называемые эталонные изображе-
ния местности вокруг цели для КЭНС и определяют помеховые отражения от эле-
ментов местности.
Структура базы данных должна обеспечить хранение различных типов и видов
данных, которые необходимы для функционирования СУ и эффективного выполне-
ния задач, поставленных перед ракетным комплексом.
На основании содержания БД разрабатывают структуру, которая позволяет хра-
нить все необходимые сведения и обеспечивает эффективный доступ и их выборку.
При разработке структуры БД важно отслеживать следующие моменты [91]:
избыточность БД: следует избегать хранения избыточной и дублирующей ин-
формации, поскольку это затрудняет работу СУБД, приводит к увеличению размера
и усложняет процедуру контроля целостности;
создание больших таблиц БД: большие таблицы требуют значительного объ-
ема оперативной памяти, хотя в некоторых случаях могут ускорить время доступа
к конкретной информации;
создание перекрестных связей: при наличии избыточного числа перекрестных
связей контроль целостности БД может оказаться невозможным;
минимизация размеров полей таблиц БД: чрезмерная минимизация размеров
полей таблиц приводит к снижению их универсальности и повышению сложности
сопровождения программ.
РАЗДЕЛ V
ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОЛЕТА БР
Обеспечение высокой точности полета БР относится к числу важ-
нейших проблем, возникающих при их разработке и боевом приме-
нении.
Невозможно решить эту проблему без понимания сущности и
знания методов анализа причин рассеивания траекторий, порожда-
емых множеством возмущающих факторов, обусловленных различ-
ными погрешностями изготовления и эксплуатации ракет и ракетных
комплексов в целом.
Под рассеиванием траекторий ракет (или просто рассеивани-
ем) принято понимать явление несовпадения действительных (воз-
мущенных) траекторий с номинальной, проходящей через точку, за-
дающую координаты цели. Такую траекторию мы ранее договори-
лись называть попадающей траекторией.
Тогда мерой точности* полета БР может служить отклонение те-
кущих или конечных кинематических параметров возмущенной тра-
ектории от значений соответствующих параметров попадающей тра-
ектории.
Ориентируясь на основное назначение БР как средства достав-
ки боевого заряда к расположенной на большом удалении цели, пре-
дельное отклонение точки падения от заданных номинальных коор-
динат цели вполне можно считать достаточно информативным ин-
тегральным показателем точностных свойств РК.
Однако в ряде случаев этот показатель требует детализации и
уточнения. Необходимость этого определяется следующими обсто-
ятельствами.
* В некоторых курсах теории вероятностей в качестве характеристики рассеи-
вания для нормального закона распределения под мерой точности понимают вели-
чину, обратно пропорциональную среднему квадратическому отклонению (СКО),
определяемую как h — ( а%/2)-1, где о — СКО. Здесь в контексте обсуждаемой
проблемы данному понятию придано более широкое смысловое значение, не про-
тиворечащее, впрочем, указанному в принципиальном отношении.
598
Во-первых, даже в простейшем варианте полета ОТР с неотделя-
емой ГЧ либо полета МБР с отделяемой неуправляемой моноблоч-
ной ГЧ следует учитывать, что в общем случае траектория движения
рассматриваемого типа ЛА не является однородной. Она имеет, по
крайне мере, два участка, существенно различающихся по характеру
формирования и структуре действующих возмущающих факторов.
На активном участке, где реализуется управляемое движение БР,
отклонения фактических параметров движения от номинальных обу-
словливаются в основном погрешностями функционирования систе-
мы управления.
На пассивном участке, где происходит неуправляемое движение,
оно будет прежде всего функцией начальных условий, соответству-
ющих концу АУТ. Последние же, как было показано ранее, опреде-
ляются в возмущенном движении не только отклонениями кинема-
тических параметров, но и вариациями времени, от которых зависит
дальнейшая продолжительность полета.
На этот вид возмущенного движения дополнительно накладыва-
ются собственно возмущения ПУТ и особенно возмущения нисходя-
щего атмосферного участка.
Главными причинами возникновения этой группы возмущаю-
щих факторов служат погрешности изготовления БР или ее отде-
ляемой ГЧ, обгар и унос теплозащитного покрытия корпуса при
движении в атмосфере, отличия фактического состояния атмосферы
от номинального и разбросы начальных условий углового движения
аппарата при входе в атмосферу.
Все это вызывает необходимость применения различных подхо-
дов к определению точности движения БР и ГЧ на АУТ и ПУТ соот-
ветственно, а также необходимость оценки рассеивания пространст-
венно-временных характеристик движения ЛА, в качестве которых
выступают векторы положения и скорости движения центра масс со-
вместно со скалярным параметром — временем полета.
Во-вторых, введенное в рассмотрение понятие предельного от-
клонения, будучи детерминированной (неслучайной) характеристи-
кой случайного (стохастического) процесса, не отражает в полной
мере всех влияющих на точность попадания факторов и их природу.
Помимо случайных отклонений следует учитывать влияние на
точность стрельбы БР систематических отклонений. Примером мо-
гут служить методические ошибки, вызываемые, например, непол-
нотой учета в алгоритме управления полетом конкретного типа БР
возмущающих факторов, влияющих на точность стрельбы.
599
Систематические ошибки не влияют на количественные характе-
ристики рассеивания, но смещают положение центра группирования
[32], т. е. воздействуют на значение предельного отклонения точки
падения от цели.
Из известных схем наиболее распространенными являются схе-
мы определения рассеивания применительно к одиночным пус-
кам и оценки рассеивания для группы пусков однотипных ракет
[51,91, 101, 125].
Методами теории случайных процессов (случайных функций)
возможные виды закона изменения какой-либо величины могут быть
представлены с достаточной степенью точности в виде семейства,
зависящего от нескольких случайных параметров. Эти параметры
наравне с постоянными величинами, задающими номинальные зна-
чения основных характеристик движения БР, а также их влияние,
могут быть исследованы однотипными методами.
Что касается учета методических ошибок, то в силу особенно-
стей структур, индивидуальных для каждого конкретного случая,
они требуют разработки и применения специальных методов.
Г л а в а 16. ОБЩЕТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ОЦЕНКИ
ТОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИЖЕНИЯ БР
16.1. Исходные положения статистической схемы анализа
рассеивания
При анализе рассеивания БР различного рода ошибки (возмуще-
ния) не могут быть точно спрогнозированы для конкретного пуска
ракеты.
Они могут быть лишь формально представлены в виде случай-
ных величин либо случайных функций.
Под последними будем понимать функции, которые в реальном
движении БР могут принимать конкретные формы из множества воз-
можных, а при фиксированных значениях своих аргументов прини-
мают значения случайных величин.
Отличия случайных функций, описывающих соответствующие
возмущения, от случайных функций, определяющих кинематиче-
ские параметры, заключаются в том [51], что первые представляют
собой входные (причинные) функции, а вторые — выходные (след-
ственные), причем вторые связаны с первыми оператором диффе-
ренциальных уравнений движения ракет.
600
В первом приближении принято полагать, что описываемые слу-
чайными величинами и функциями исходные возмущения являют-
ся статистически независимыми между собой. Это дает основание
аппроксимировать их скалярными значениями. Однако подобное до-
пущение не является корректным по отношению к кинематическим
параметрам движения, образующим в совокупности векторную слу-
чайную функцию статистически зависимых составляющих.
Для лучшего понимания существа обсуждаемого вопроса необ-
ходимо привести ряд элементарных основополагающих сведений из
аппарата теории случайных функций [19, 96, 103].
Случайной функцией X(t) называется такая функция своего ар-
гумента, которая является случайной величиной при любом неслу-
чайном t € Т. При этом принято различать два случая:
а) аргумент случайной функции t может принимать любые зна-
чения в заданном интервале (конечном или бесконечном);
б) аргумент случайной функции может принимать только опре-
деленные дискретные значения.
В первом случае X(t) обычно называют случайным процессом, во
втором — случайной последовательностью. Если для определения
X(t) провести п независимых опытов, то их итогом будут определен-
ные функциональные зависимости Xi(t) (г = 1,... ,п), называемые
реализациями случайной функции X(t). Исчерпывающей характери-
стикой случайного процесса служат соответствующие ему функция
распределения и плотность распределения вероятности:
F(xi,...,xk; = P[X(ti) <xi,...,X(tk) <xk]; (16.1)
. x _ dkF(xi,...,xk- ti,...,tk)
f (^1 •) • • • 1 ^1 > ••• о О О •) (16.2)
OXi,OX2, • • • ,OXk
где 0 P 1 — вероятность события, характеризующая степень
возможности его появления.
Таким образом, функция плотности распределения вероятности
(или просто плотность распределения) случайного процесса X(t)
определяет вероятность того, что данный процесс в момент времени
ti находится в диапазоне х\ < X(ti) < Х[ + dxi, в момент — в
диапазоне х% < X (t2) < ^2 + dx2 и т. д. Естественно, чем больше чи-
сло к, тем полнее описываются статистические свойства случайного
процесса.
601
Важную роль в теории случайных процессов играют стацио-
нарные случайные процессы. Случайный скалярный или векторный
процесс X(t) называется стационарным в широком смысле, если его
математическое ожидание есть величина постоянная (тх — const),
корреляционная функция Kx{t\,t2) не зависит от значений аргу-
ментов ti и t2, а определяется их разностью т = /2 — т.е.
Кг (£1^2) — Kx(t2 — ti) = Кх{х). При т = 0 корреляционная
функция скалярного стационарного процесса
Кх( т) = Kx(t -t) = Кх(0) = ох = const. (16.3)
Если взаимная корреляционная функция является функцией разно-
сти аргументов двух случайных процессов
= КХ2Х1{ т), (16.4)
то такие процессы называют стационарно связанными.
В дополнение к использованному ранее понятию безусловной
плотности распределения вероятности, отвечающей (16.2), вве-
дем в рассмотрение понятие условной {переходной) плотности
распределения вероятности f{xk, ^|^i, й; ^2^2; • • •
где вертикальная черта означает «для данного» или «при условии,
что». Если безусловная плотность распределения определяла ве-
роятность последовательного прохождения одних и тех же реали-
заций процесса X(t) через заданные интервалы соответственно в
моменты ti,t2,-- • ,tk, то условная плотность характеризует рас-
пределение вероятностей реализации процесса X(t), если значения
ординат случайного процесса в предшествующие моменты времени
/1,^2, • • • , tk-1 известны.
Процесс X (t) называется абсолютно случайным, если случайные
величины x(ti) и x(tj) независимы при сколь угодно малом At = tj —
—ti. Поскольку плотность распределения вектора со взаимно незави-
симыми компонентами
к
.. ,хк; = Ц/(£гЛ), (16.5)
г=1
абсолютно случайный процесс будет полностью характеризоваться
одномерным распределением с плотностью f{x,t). Белый шум, та-
ким образом, представляет собой ни что иное как абсолютно случай-
ный процесс X{t) с нормальной одномерной плотностью. Для ма-
тематической формулировки основного свойства марковского про-
цесса необходимо рассмотреть условную плотность распределения.
602
В общем случае эта плотность зависит от значений xi, х?,..., Xk-i
ординат случайного процесса в моменты времени ti, ^2, • • •Од-
нако для марковских процессов существенным является только зна-
ние ординаты процесса в момент времени, ближайший к рассматри-
ваемому моменту tk. Поэтому в качестве определения марковского
процесса можно записать следующее условие: если для любых мо-
ментов времени 11 < . < tk-\ < Ik,
f(xk\xi, Xk-1) = /(xfc|zfc_i), (16.6)
t. e. если плотность распределения f(xk, зависит только от орди-
нат этого процесса в момент времени tk-i и совершенно не зависит
от их значений в прошлом, то такой процесс называется марковским.
Именно в этом смысле марковский процесс иногда называют «про-
цессом без последствия». Исчерпывающими характеристиками его
являются начальная одномерная плотность (плотность вероятно-
сти первой ординаты) /(xi) и переходная плотность f(xk\xk-i)-
Марковский процесс с независимыми приращениями у ко-
торого переходная плотность гауссовская, называется винеровским
случайным процессом (процессом случайного блуждания). С точки
зрения свойств совместной плотности распределения стационарные
процессы следует трактовать как процессы, у которых плотность
распределения вероятностей инвариантна временному сдвигу.
Если теперь вспомнить, какие требования предъявляют свой-
ствам стохастических дифференциальных уравнений, нетрудно ус-
тановить, что процессы, определяемые такими уравнениями, отно-
сятся к числу марковских. Достоинство подхода, базирующегося на
использовании теории марковских процессов, заключается в том,
что в отличие от случайных процессов общего вида использование
их существенно упрощает методы анализа процессов и динамики
стохастических систем, для исследования которых аппарат корре-
ляционной теории, т. е. теории, оперирующей моментами не выше
второго порядка, оказывается недостаточным.
В отличие от линейных стохастических дифференциальных
уравнений, для которых условная плотность распределения при
заданном нормальном предшествующем состоянии будет отвечать
гауссовскому распределению, в нелинейных системах данное усло-
вие в общем случае не выполняется. Для нахождения соответству-
ющих условных плотностей распределения используют дифферен-
циальные уравнения в частных производных параболического типа,
603
получившие название прямого и обратного уравнений Колмогоро-
ва. Прямое уравнение Колмогорова еще до его строгого вывода в
работе [47] было использовано П. Фоккером и М. Планком при ис-
следовании диффузионных процессов, поэтому его также называют
уравнением Фоккера — Планка — Колмогорова. Применительно к
многомерному диффузионному процессу, описываемому векторным
стохастическим дифференциальным уравнением, при соблюдении
условий гладкости переходная плотность распределения / (под ко-
торой понимается плотность вероятности состояния x(t) при усло-
вии, что в предшествующий момент to, принимаемый за начальный,
процесс характеризуется состоянием хо) будет удовлетворять обрат-
ному уравнению Колмогорова
af _ i а2/
at - 2 a‘ka’taIidI1 ’ ’
с начальным условием
/(x, Z|xo,to) = 8(x - x0).
В функции аргументов т(т > t) ит( т) изменение переходной плот-
ности описывается прямым уравнением Колмогорова
= + а Ё д-Ё—(16.8)
д т дх xi 2 . дх Xidx xj
при том же начальном условии.
Переходя к стохастическому нелинейному уравнению первого
порядка, запишем
dx = F(x, t)dt + <s(x,t)dv\. (16.9)
Относительная безусловная плотность распределения /(ж, t) для не-
го, вытекающая из уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова,
будет иметь вид
+ [о2(т,2)/(т,2)] . (16.10)
СУ U (J JU & (J JU
604
Из (16.10) можно получить [30, 109] уравнения, характеризующие
изменение математического ожидания и дисперсии процесса x(t) в
функции времени:
оо
= [ Р(х,1)/(х,^х, (16.11)
at J
— оо
оо
= 2 У (х - rnx)F(x, t)f(x, t)dx+
—ОО
оо
+ и2(х, t)f(x, t)dx. (16.12)
—оо
В общем случае нелинейной системы приведенные соотношения
являются незамкнутыми, так как входящая под знаки интегралов
плотность /(z, t) диффузионного процесса x(t) неизвестна.
Для линейной системы они превращаются в уравнения относи-
тельно mx(t) и Дд.(^) и становятся замкнутыми. Действительно, для
линейной одномерной системы
(X)
у* F(x,t)f(x, t)dx = a(t)mx(t) + b(t),
— ОО
оо
У (z - mx)F(x,t)f(x,t)dx =
— ОО
оо
У (J2(z, t)f(x, t)dx = <J2(t).
-оо
Поэтому
= a(t)mx(t) + b(t), (16.13)
dt
-^О) = 2а(0О) + o2(f). (16.14)
dt
Интегрирование полученных дифференциальных уравнений при за-
данных начальных условиях тж(/о) и Дж(<о) приводит к нахожде-
605
нию расчетных зависимостей изменений математического ожидания
и дисперсии в функции времени. Распространение зависимостей
(16.13) и (16.14) на многомерную линейную марковскую систему
дает
4mx(t) = A(t)mx(t) + b(t), (16.15)
at
^Kx(i) = A(f)Kx(i) + Kx(t)AT(t) + oT(f)G(i) o(t), (16.16)
at
где G(t) — интенсивность входного возмущающего воздействия, ап-
проксимируемого, в частности, белым шумом. В совокупности урав-
нения (16.15) и (16.16) составляют корреляционную систему уравне-
ний. Будучи независимыми они могут интегрироваться раздельно.
Методику практического использования корреляционной систе-
мы уравнений рассмотрим на примере вычисления характеристик
рассеивания нисходящих пассивных участков траектории полета ра-
кет и снарядов малой дальности. В качестве исходной воспользуемся
моделью движения ЛА как материальной точки:
dV
тп—— = — Ха — mg sin 0,
dt
de
mV— = —mg cos 0,
dt
= V sin 0,
dt
= V cos 0.
dt
Будем считать, что в момент времени t = £0, принятый за началь-
ный, известны значения постоянных m, g, SM. Значения V, 0, х, у,
сж(М), а также р(у) будем рассматривать как случайные переменные
с заданными начальными статистическими характеристиками. Обо-
значим V = 0 = Х2', у = ад х = ад Тогда вектор состояния
x(t) = [ададада^]1", а нелинейная правая часть исходной нели-
нейной модели
4*(<) = f(x,t),
dt
606
где fi = -сХа(xi,х3) p(x3)^5M(2m) 1 -gsinх2; f2 = -gxx 1 cosz2;
/3 = SH1Z2; /4 = ^1 COSZ2-
Представим вектор состояния ЛА в виде суммы x(t) = mx(t) +
+ Ax(t). Далее, используя рассмотренные правила линеаризации
дифференциальных уравнений движения, линеаризуем вектор-функцию
f (х, t) в окрестности x(t) = mx(t). В результате получим
f(х, t) f(mx, t) + A(mx, t) Ax(£),
где A(mx,t) = [df(x, t)/dx]x=rTlx — квадратная (4 x 4) матрица
частных производных (якобиан) вектор-функции f (х, t) по составля-
ющим x(t).
Тогда
4(тх + Дх) = f(mx,i) + A(mx,Z) Ax(t),
at
откуда в результате усреднения непосредственно находим
^mx(t) = f(mx,t).
at
Определив значения математических ожиданий для опорного движе-
ния, переходим к уравнению возмущенного движения в окрестности
средней траектории
y;x(t) = A(mx,t) Ax(t),
at
на основе которого составляем уравнение для расчета корреляцион-
ной матрицы вектора состояния x(t):
4Kx(f) = A(mx, t)Kx(t) + Kx(i)AT(mx, t).
at
При заданных начальных условиях mx(io), Kx(to) совместное инте-
грирование корреляционной системы уравнений позволяет получить
mx(t) и Kx(t) для любого текущего момента времени, а также для
t = fc, соответствующего точке падения.
Если ЛА в процессе полета находится под воздействием случай-
ных возмущений, которые по своей природе существенно отличают-
ся от процессов типа «белый шум», аппроксимация их стационарным
случайным процессом с постоянной спектральной плотностью при-
водит к слишком большой ошибке. Возникает необходимость разра-
ботки алгоритма, позволяющего преобразовать процесс типа «белый
607
шум» в случайный £(i) с заданными статистическими характеристи-
ками. Данная задача известна (см. гл. 13) как задача построения фор-
мирующего фильтра и сводится (см. ранее) к следующему. Если тре-
буется сформировать некоторый коррелированный по времени слу-
чайный процесс £(t) с заданными характеристиками (математиче-
ским ожиданием, корреляционной функцией или спектральной плот-
ностью), воздействующий на динамическую систему, удовлетворяю-
щую модели вида
4х(0 = A(f)x(t) + £(f), (16.17)
at
воспользуемся некоторой дополнительной моделью, отвечающей
дифференциальному уравнению
^(Z) = K^(t) + Bg9(Z). (16.18)
Динамическая система, состояние которой описывается уравнением
(16.18), называется формирующим фильтром (см. п. 13.4). В урав-
нении (16.18) приняты следующие обозначения: — матрица ко-
эффициентов усиления формирующего фильтра; q(t) — возбуждаю-
щий (порождающий) процесс; J;(i) белый шум.
Наиболее полно и наглядно достоинства метода формирующего
фильтра проявляются [122] при анализе движения ЛА в турбулент-
ной атмосфере [123].
При решении подавляющего большинства баллистических задач
можно принять, что в пределах некоторой области пространства, в
которой рассматривается движение ЛА, поле турбулентности будет
изотропным. В рамках корреляционной теории исчерпывающе ха-
рактеризуют изотропное поле корреляционные функции поперечно-
го (бокового) и продольного перемещений — Kz( т) и Кх( т). Их вы-
ражения имеют вид
КДт) = о?ехр(-|т|Т-1), (16.19)
Kz{ Т) = [1 - I Т| (2Т)-1] ехр(— I т| Г-1), (16.20)
где характеризует интенсивность турбулентности; Т = LV~X —
время прохождения ЛА участка с масштабом турбулентности L.
Масштаб турбулентности определяет уровень корреляции между
воздушными порывами в различных точках пространственного поля
608
турбулентности. До высот Н « 500 м величина L « Н при поле-
те над равниной и L « 2Н — над холмистой местностью и горами.
При движении ЛА на больших высотах L существенно зависит от
климата и метеорологических условий в рассматриваемой области
воздушного пространства над земной поверхностью. Принято счи-
тать, что при от < 0,5 м/с турбулентность является слабой, а при
От > 2,5 м/с — сильной.
Соотношениям (16.19) и (16.20) отвечают выражения для спек-
тральных плотностей продольной и поперечной составляющих тур-
булентности
Л(1 + Т2 СО2) ’ _ ст2Т(1 + ЗТ2 со2) г( } 2 л(1 + Г2 со2)2 ’ (16.21) (16.22)
где со — частота, имеющая размерность с-1. Уравнения формиру-
ющего фильтра, моделирующего поле турбулентности атмосферы и
соответствующие (16.21) и (16.22), будут иметь вид
для продольной составляющей:
^1(0 =
(16.23)
2Г2(<) = ±1(<) = + blQ(t),
где = -Г-1; Ьг = cTV2T~\
для поперечной (боковой) составляющей:
Х1(0 = £(t),
±i(t) = х2 + biq(t), (16.24)
x2(t) = K^Xi + K^x2 + b2q(t),
где = —Т-2; = -2Т”1; Ьг = с^ЗТ”1; b2 = (1 - 2^) х
х сттТ-3/2.
Выгоды применения метода формирующего фильтра особенно
проявляются при реализации его на ЭЦВМ, в частности, при опреде-
лении характеристик рассеивания на основе метода статистических
испытаний. Вместе с тем следует подчеркнуть, что обсуждаемый
метод относится к числу приближенных методов моделирования
609
случайных процессов. Наиболее надежным способом контроля точ-
ности моделирования случайного процесса на основе алгоритма
формирующего фильтра принято считать статистическую обработку
моделируемых реализаций [122].
16.2. Характеристики точности попадания в цель
Непрерывная случайная величина может принимать любое зна-
чение на числовой оси. Не имеет смысла говорить о вероятности,
с которой она принимает то или иное отдельное значение. Вместо
этого целесообразно рассматривать вероятность попадания значения
величины в соответствующий интервал числовой оси. При этом слу-
чайная величина будет считаться заданной, если для любого задан-
ного интервала числовой оси известна вероятность нахождения ее в
этом интервале.
Если ориентироваться на введенное ранее допущение о неза-
висимости отклонений AL и АВ, а также учесть, что при проек-
тировании СУ аппаратов баллистического типа следует обеспечить
«развязку» каналов управления для исключения взаимной корреля-
ции отклонений по указанным направлениям, то в отсутствие сме-
щения центра группирования, обусловливаемого систематическими
ошибками, выражение плотности вероятности двумерного нормаль-
ного распределения, имея в виду (16.5), может быть представлено
[51, 101, 114] в виде
1 Г AL2 АВ2"
Л ДЬ, ДВ) = ехр -—у - -2- • (16.25)
2 7t О 2 В
Возможность использования приведенного выражения в практи-
ке расчетов подтверждается большим опытом обработки результа-
тов пусков БР, доказывающим справедливость применения к обсу-
ждаемому явлению рассеивания центральной предельной теоремы
(ЦПТ) теории вероятностей (строго говоря, речь идет о группе те-
орем, известных под названием «центральной предельной теоре-
мы»). Суть ее заключается в том, что при суммировании достаточно
большого числа случайных величин, подчиняющихся различным
законам распределения, закон распределения суммы неограничен-
но приближается к нормальному (закону Гаусса) при соблюдении
некоторых условий. Эти условия, которые математически формули-
руются различным образом, в более или менее общем виде сводятся
610
к требованию, чтобы влияние на сумму отдельных слагаемых было
равномерно малым, т. е. чтобы в состав суммы не входили члены,
явно преобладающие над совокупностью остальных по своему вли-
янию на рассеивание суммы. Возможные формы ЦПТ отличаются
между собой теми условиями, для которых устанавливается это пре-
дельное свойство суммы случайных величин [19].
Следствием принятия гипотезы о нормальном распределении
является справедливость следующих утверждений:
• для нормального закона математическое ожидание и дисперсия
(либо эквивалентная ей характеристика СКО, о = у//Д(ж)), явля-
ются исчерпывающими характеристиками, т. е. они полностью опре-
деляют этот закон, тогда как в случае других законов распределе-
ния кроме этих двух характеристик необходимо определять моменты
третьего и более высоких порядков;
• за максимальное (предельное) отклонение может быть принято
такое значение, когда вероятность Р получения больших по абсолют-
ной величине отклонений достаточно мала и составляет для приня-
того в практике проектирования БР правила трех сигм (тх ± 3 ах)
Р = 0,003 (при более строгом подходе имеем 2,698 о 2, 7 о с
вероятностью Р = 0,007);
• предельное отклонение для закона Гаусса удобно характеризо-
вать не СКО (универсальной характеристикой рассеивания вне зави-
симости от рассматриваемого закона распределения), а вероятным
{срединным) отклонением Е, под которым понимается половина ши-
рины полосы (участка), симметричной относительно оси ординат,
проходящей через центр группирования, вероятность попадания в
которую составляет 0,5;
• сечениями поверхности плотности двумерного нормального
распределения плоскостями, параллельными MLB (где М — точка,
определяемая математическими ожиданиями отклонений), являются
эллипсы Ек равной плотности.
Вероятные отклонения Ек, отнесенные к направлению дальности
и боковому, в теории стрельбы принято обозначать через Вь и В#.
Тогда, переходя от СКО к вероятным отклонениям, перепишем
(16.25) в виде
р2 Г о/ ль2 дв2\1
Л д£'дв) = ^вГХ|Тр w + <,6'26)
611
гдеВь = ру/2сь,Вв = рл/2ав, a p = ВД = 0,4769 —
аргумент функции Лапласа Ф(р), для которого она равна 0,5.
Эллипс с полуосями Bl и В в называют эллипсом рассеивания.
Вероятность попадания в этот эллипс равна 0,203. Если рассматри-
вать полный эллипс, полуоси которого определяются предельными
значениями 4В^ и 4B# (правило четырех В), то вероятность попа-
дания в него будет равна 0,974.
Рассмотренные эллипсы равной плотности должны удовлетво-
рять уравнению
АВ \2 / АВ У _ х
кВвJ \кВв)
(16.27)
где параметр к — отношение полуосей эллипса к вероятным откло-
нениям.
Вероятность попадания ГЧ в область ЕК может быть представле-
на в виде
Р [( АВ, АВ) G Вк] = УУ /( AB, АВ), d( AB)d( AB) =
(Вк)
р2 ff Г 2/дв2 дв2\
" пВьВв JJ ехр Р \2В1 + 2В%)
(Вк)
х d( AL)d( ДВ).
(16.28)
„ р AL р ДВ
Произведя замену переменных ——— = и и —— = v и используя
Bl Вв
полярные координаты и = г cos 0, О = г sin 0 с якобианом преобра-
зования В (г, 0) = г, перейдем от эллипса рассеивания Ек к кругу
Ск, для которого
Р [( ДВ, АВ) € вк] = 1 - ехр [-(к р)2] .
(16.29)
Используя методику, изложенную, в [114], покажем порядок перехо-
да к часто используемому в практике оценки точности БР круговому
рассеиванию.
За меру точности принимают радиус R предельного рассеивания
по вероятности Р(Ва) = эквивалентного попадания БГ в полный
эллипс рассеивания, для которого а = 0,974.
612
Для кругового рассеивания Cl = &в = о и Впл = Впв = Вп.
В таком случае k = R/Вп = R/ рл/2 а и, согласно (16.29),
/ Д \ 1 2
В(Л) = 1 — exp -I р— 1
\ _
/ е>2 \
-1 77^)
откуда для Р = 0,974 следует, что R =4 Вп = 2,7а. Величина 4ВП на
уровне 2,7а называется предельным отклонением.
Пусть Cl & в- Перейдя к введенным в рассмотрение поляр-
ным координатам AL = г cos 0, ДВ = г sin 0, D(r, 0) = г, опреде-
лим радиус R эквивалентного круга
С = -J AL, AB : Vх AL2 + AB2 =
Вероятность попадания в круг С равна
Р(Л) = Ц (AL, AB)d( AL)d( AB) = /(г, 0)B(r, &)drde =
(С)
(С)
1
2 л о в
о о
2л R
г2(<^1+ °в)'
4<>le2B -
х exp
cos 2 0 drdS. (16.30)
Л&ь - ав)
X
Обозначим amax = тах( cL, св), Omin = min( cL, св), а =
= <5min/ атах и для определенности примем Cl > <5В. Тогда
Р(Я) = —L- f
а ^тах J
0
4а2
а2
47 max J
х
х Io
r2(l — а2)
4а2 а2
umax
dr, (16.31)
Г г2(1 — а2)
где 10
4а2 а2
° шах
r2(l — a2) "I
cos 2 0 а 0 — моди-
4а2 а2
4:0, v>max
фицированная функция Бесселя нулевого порядка. Полагая в (16.31)
613
1
1 2 л
2 л
г2(1 — а2)
и = ----z-Z--- , получим
4а2 а^ах
21
Iq(u) du,
(16.32)
1 — a2
14 a
p(’‘) = (dW'
0
B2(l —a2)
ГДе?Ха“ 4a2Q2iax ’
Уравнение (16.32) решается численными методами и сводится к
нахождению такого значения независимой переменной и = и а для
каждого выбранного параметра а в диапазоне от 0 до 1, при котором
величина Р(и^) будет достигать заданного уровня вероятности £,
т. е. Р(и^) = [144].
Величину Iq(u) в уравнении (16.32) можно получить [114] из ре-
шения дифференциального уравнения
- - /о(«) = 0
и du
при начальных условиях 7о(О) = 1, = 0.
du
Кроме того, решение может быть получено, если воспользоваться
и2"
2, ограничиваясь значениями
d2Ip(u)
du2
v=n
разложением в ряд Iq(u) =
v=0
п = 5 ... 7.
При —>0 двумерное нормальное распределение вырождается в
одномерное для AL или АВ и в этом случае
,2\
- ) du,
о
где и^ — R/ В частности, полагая Р( AL < В) = 0,974, имеем
и = 2, 223 hR = u^Gl = 2, 223 <Т£.
Радиус круга R = R^, вероятность попадания в который равна
определяется из выражения для и^:
ut
1 Gmax = fc(fl) Ощах-
1 — or
(16.33)
614
Как следует из (16.33), точные значе-
ния предельного радиуса R эквивалентно-
го кругового рассеивания нелинейно про-
порциональны Птах- Функция k(d) ДЛЯ
Р(Я), принимающих значения = 0,974; 0,9
и 0,5, показана [ 144] на рис. 16.1.
Для практического использования
функцию к (а) приводят к более просто-
му выражению R = 4ВП через средние
квадратические величины и с в или
предельные отклонения ALn = 2,7ol
и ДВП — 2,7 &в- Среди линейных ап-
проксимаций наиболее употребительной
является простейшая зависимость [114]
Рис. 16.1. Зависимости
к (а) для различных ве-
роятностей P(R)
4Вп = 1,35(1 + а) отах = 2,7 Д£п + ДВП).
(16.34)
Кроме того, иногда применяют более точные зависимости:
4ВП = 1,75(1 + 0,526а) отах, (16.35)
4ВП = 1,91 \/1 + а2 Отах, (16.36)
4ВП = 2,09у/1 + 0,667а2 отах (16.37)
и другие. Зависимость (16.35) — наилучшее среди линейных функ-
ций приближение к(а) по критерию максимального правдоподобия
в диапазоне изменения а от 0,6 до 1, характерном для всех известных
систем ракетного оружия.
Из табл. 16.1, в которой приведены [114] относительные (в про-
центах) погрешности аппроксимаций к(а) в соответствии с (16.34) —
(16.37), следует, что наилучшее приближение в рассматриваемом
диапазоне значений а обеспечивает выражение (16.35). Средняя по-
грешность приближения выражения (16.34), чаще других применяе-
мого на практике, не превышает 2,5 % для 0,6 < а 1.
Соотношения (16.34) — (16.37) являются выражениями критерия
точности попадания МБР. В большинстве случаев значение критерия
принимается на уровне 4ВП ~ 2, 7 о, где а — суммарное СКО точек
падения, вычисляемое в соответствии с критерием и получаемое для
МБР расчетно-экспериментальным путем.
615
Таблица 16.1
Вид аппроксимации Значения а Средняя погрешность в диапазоне 0,6 а 1
0,65 0,75 0,85 0,95
1,35(1 + а) 5,47 2,57 0,75 0,06 2,43
1,75(1 + 0,526а) 0,34 0,64 0,64 0,36 0,61
1,91г/1 + а2 3,31 1,55 0,36 0,02 1,77
2,090 + 0,667а2 0,42 1,07 1,11 0,43 0,67
В качестве основного критерия точности попадания МБР в США
принято [114] круговое вероятное отклонение (КВО), представляю-
щее собой радиус круга, вероятность попадания в который равна 1/2.
Иначе, КВО — радиус круга, в который попадает 50 % от числа за-
пущенных боеголовок.
Между 4ВП и КВО существует связь, которая в диапазоне 0,6^
а 1 со средней относительной погрешностью 0,5 % предста-
вима в виде 4ВП = 1,306ехр(0,609 КВО). На практике пользуются
[114] упрощенной зависимостью 4ВП = 2,36 КВО, дающей в том же
диапазоне погрешность 2,4 %.
16.3. Определение характеристик рассеивания методом
статистических испытаний
Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло), на-
зываемый в литературе также методом статистического моделиро-
вания, является наиболее универсальным методом вероятностного
анализа динамических систем вообще и определения характеристик
рассеивания ЛА в частности. Метод основывается на так называемом
законе больших чисел, утверждающем, что результат усреднения, вы-
численный по п реализациям случайного процесса при п —> ею, пе-
рестает быть случайным и может рассматриваться в качестве оценки
соответствующей числовой характеристики исследуемого процесса.
Естественно, реализовать на практике бесконечное большое число
испытаний не удается. Однако в этом не возникает необходимости.
Достаточно обеспечить относительно большое число реализаций.
При этом частота случайного события будет приближаться к вероят-
ности этого события, причем степень приближения будет зависеть
от количества реализаций (опытов).
616
Применительно к задачам баллистики, решаемым в рамках апри-
орного статистического анализа, рассматриваемый метод заключает-
ся в проведении с использованием средств вычислительной техники
статистических экспериментов, имитирующих движение исследуе-
мого ЛА при действии случайных факторов, и в последующей обра-
ботке полученных в экспериментах результатов с помощью методов
математической статистики.
Применение данного метода требует:
— выявить всю совокупность случайных факторов, влияющих на
движение ЛА;
— установить (насколько это возможно) законы распределения
этих факторов;
— составить наиболее полную математическую модель движе-
ния ЛА, корректно отражающую воздействие на процесс выявлен-
ных факторов.
При невозможности обеспечения полного адекватного математи-
ческого описания функционирования отдельных элементов систем
ЛА статистическим испытаниям может быть подвергнута полуна-
тур ная .модель, т. е. модель, включающая наряду с математическими
соотношениями, реализуемыми, как правило, на АВМ, образцы кон-
кретных приборов и устройств, включенных в расчетную схему.
Реализация метода статистических испытаний возможна как в
непрерывном, так и в дискретном вариантах. Дискретный вариант
сводится к проведению на ЭВМ многократно повторяемых вычисле-
ний параметров моделируемого случайного процесса. Моделирова-
ние процесса движения ЛА, происходящего при действии случайных
факторов, требует формирования физическими или программными
методами реализации случайных величин (функций) с заданным
распределением. Физические датчики случайных последовательно-
стей (генераторы случайных шумов), как правило, применяют при
проведении исследований случайных процессов и решении стати-
стических задач на аналоговых и гибридных аналогово-цифровых
вычислительных машинах.
При моделировании реализации случайных величин на универ-
сальных ЭВМ предпочтение отдается программным методам форми-
рования случайных последовательностей. С некоторой долей услов-
ности соответствующие стандартные подпрограммы называют про-
граммными датчиками псевдослучайных чисел. Псевдослучайность
формируемой ими последовательности обусловливается тем, что в
617
датчике каждое последующее случайное значение вычисляется с по-
мощью рекуррентной зависимости при использовании в качестве
аргумента нескольких чисел, полученных в процессе предыдущих
обращений к подпрограмме. Количество вычислительных реализа-
ций при статистическом моделировании определяется характером
решаемой задачи, требуемой точностью и надежностью получения
оценок числовых характеристик. Достоинствами метода являются
его универсальность и высокая точность, недостатками — громозд-
кость и трудоемкость.
Кратко рассмотрим основные элементы методики статистиче-
ского моделирования при проведении баллистических расчетов.
Существенным здесь является форма задания случайных функций
при проведении вычислений. В том случае, когда в отношении дей-
ствующих возмущений имеется достаточно полная информация,
представление их может быть осуществлено либо в виде опытных
конкретных реализаций, полученных при испытаниях, либо в виде
реализаций, полученных при каноническом разложении случайных
функций, описывающих изменение каждой из характеристик. Одна-
ко нередки ситуации, когда исследователь не обладает такой инфор-
мацией и потому не имеет возможности представить моделируемый
случайный процесс в виде суммы случайных процессов более про-
стого вида. Это обстоятельство вынуждает прибегать к различного
рода аппроксимациям, базирующимся на принятии некоторых гипо-
тез в отношении статистических характеристик аппроксимирующе-
го процесса. В качестве последнего, в частности, может выступать
процесс типа белого или коррелированного (окрашенного) шума.
Предварительно обсудим вариант использования метода канони-
ческого разложения. Случайная функция X(f) заменяется некото-
рой линейной комбинацией неслучайных (координатных) функций
<pj(t), коэффициентами которых служат случайные величины Vj,
взаимно некоррелированные между собой и обладающие нулевым
математическим ожиданием, т. е. удовлетворяющие соотношениям
М(^) = 0; M(V7Vfc)= (j,fc = 1,2...), (16.38)
где <5jk — символ Кронекера, определяемый условием
—
1,
О,
если j = к,
если j к.
(16.39)
618
Доказательство правомерности указанной замены основывается на
теореме, согласно которой для любой непрерывной случайной функ-
ции X(f) справедливо разложение
ОО Л /уЛ
X(i) = M[X(i)] + (16.40)
j=l V
где и — собственные числа и собственные функции инте-
грального уравнения
t2
ф(£) = X у* Kx(t, т) ф( t)cJ т. (16.41)
ti
Ряд (16.40) является бесконечным. Если произвести его усечение,
ограничив конечным (небольшим) числом слагаемых, то задача ма-
тематического моделирования X(t) может быть сведена к замене
его истинного значения системой случайных величин Vj. Естествен-
но, степень приближения модели к действительному процессу будет
определяться числом учитываемых членов разложения. При этом
для нахождения канонического разложения (16.40) не обязатель-
но решать интегральное уравнение (16.41). Можно воспользовать-
ся различными приближенными способами. Заменим, в частности,
случайную функцию X(t) линейной комбинацией произведений
неслучайных функций 9j(t) на случайные коэффициенты Aj, выби-
раемые с наилучшим (например, в смысле среднего квадратичного)
приближеним аппроксимирующей зависимости к X(t). Однако вы-
ражение
п
(16.42)
7 = 1
еще не будет характеризовать каноническое разложение, поскольку
при выбранном способе аппроксимации случайные коэффициенты
Aj не являются некоррелированными случайными величинами, а
имеют ковариационную матрицу, определяемую видом Kx(ti,t2) и
выбранным способом аппроксимации. Для того чтобы перейти от
(16.42) к каноническому разложению, необходимо представить Aj в
виде линейной комбинации новых случайных величин Vk, условие
619
некоррелированности которых обеспечивается в результате соот-
ветствующего выбора коэффициентов ajk при указанных значениях
случайных величин, т. е.
п п
X(t) = ^2^2ajkVk (16.43)
j=l k=l
В качестве частных примеров возмущающих воздействий рассмо-
трим влияние на полет ЛА атмосферных возмущений — порывов ве-
тра W и отклонение плотности атмосферы от стандартной А р(Н).
Указанные выражения, рассматриваемые как нестационарные
стохастические процессы, представим, используя каноническое раз-
ложение, в виде
п
W = '£vWt<pWi(H), (16.44)
г=1
п
Др(Я) = £УдрЛдРг(Я). (16.45)
г=1
Данным разложениям соответствуют корреляционные функции вида
п
я^(я1;я2) = ф^ДЯОф^ДЯг), (16.46)
г=1
п
Ядр(Я1,Я2) = £ фдр^ЯОфдрДЯг). (16.47)
г=1
Характер изменения корреляционных функций, полученных в ре-
зультате статистической обработки процессов зондирования атмо-
сферы, приведен, например, в работе [26].
Случайную функцию для ветра целесообразно представить в ви-
де двух функций:
в направлении север — юг
т
Wc.n(H) = ЖС.Ю(Я) + £ VW^ Ф^.н)г(Я);
г=1
в направлении восток — запад
т
wB.3(ff) = + £ vw^ <?Wb^h).
1=1
620
Здесь ЖС.Ю(Я) и — изменения по высоте средних значе-
ний проекций скорости ветра; Vw^Vw^i — случайные величи-
ны; ф^ -(Я), ф^ ДЯ)— координатные функции, определяющие
случайные составляющие скорости ветра в соответствующем напра-
влении по высоте.
В каждом конкретном расчете траектории используется по одной
из реализаций случайных функций И/С.ю (#) и ^в-з (И). Случайные
величины и координатные функции определяют в результате весь-
ма трудоемкого вероятностного анализа большого количества опыт-
ных данных, полученных при метеорологическом зондировании ат-
мосферы. При баллистических расчетах число слагаемых в правых
частях разложений случайных функций определяется располагаемы-
ми опытными данными, их достоверностью и количеством. В боль-
шинстве случаев оказывается возможным взять 10— 15 членов раз-
ложения.
Рассмотрим примерный порядок использования разложений при
расчете характеристик рассеивания ракет. Характеристики случай-
ных величин Vi и координатные функции ф; считаются известными.
Предположим, что имеется по п координатных функций для опре-
деления Жс.ю и и по п таблиц случайных коэффициентов.
Взяв по одному случайному числу Vi из каждой таблицы, умножив
каждое из них на свою (совпадающую по номеру) координатную
функцию и просуммировав полученные члены, находим конкретную
кривую (реализацию), которая характеризует закон изменения ско-
рости ветра в зависимости от высоты, характеризуемый функциями
И с-к) (Я) и И4-з (Я). Для облегчения расчетов проецируют вектор
скорости ветра на направление стрельбы и боковое направление, в
результате чего получают Wx (Я) и Wz (Я). Найденные реализа-
ции Wx (Я), Wz (Я) используют при решении системы уравнений
движения ракет для первого пуска. Совершенно так же вычисляют
реализации Wx (Я) и Wz (Я) для второго, третьего и т. д. пусков.
Используя полученные значения случайных параметров и слу-
чайных функций, проводим расчеты траекторий (опыты) на ЭЦВМ
или АВМ. Аналоговые вычислительные машины дают результаты с
большими ошибками, однако они выгодны в тех случаях, когда опи-
сать математически явление полностью не представляется возмож-
ным и приходится включать в цепь машины реальные узлы изделия.
Результаты расчета, полученные в первом испытании, вносятся
в таблицу. Затем таким же образом производится второе испытание,
621
третье и так вплоть до последнего. Когда проведены все опыты, из
таблицы выбирается интересующая нас величина (например, даль-
ность, высота полета и др.), устанавливается закон ее распределения
и числовые характеристики закона. Таким образом, в результате ис-
пытаний получаем полное описание исследуемой величины с веро-
ятностной точки зрения.
При моделировании на ЭЦВМ уравнений формирующего филь-
тра приходится сталкиваться с двумя проблемами:
— получением дискретного белого шума с единичной спектраль-
ной плотностью из последовательности псевдослучайных чисел и
вырабатываемых стандартной подпрограммой, входящей в состав
математического обеспечения;
— выбором оптимального шага интегрирования дифференциаль-
ного уравнения формирующего фильтра.
Дискретный белый шум с матрицей ковариаций
М [q,qj] = Qt 5^. (16.48)
В (16.48) через 8^ обозначена функция Кронекера. Для получения
дискретного белого шума на ЭЦВМ используется подпрограмма
формирования нормально распределенных псевдослучайных чисел
с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией.
Интенсивность шума, снимаемого с такого программного датчи-
ка, G = Д^, где Дд — массив дисперсий случайных величин,
формируемых программой; ht — шаг по времени обращения к про-
грамме. Спектральная плотность и интенсивность белого шума свя-
заны между собой соотношением 2яс = Q, где с = const. Чтобы
сформировать белый шум с единичной спектральной плотностью
из последовательности псевдослучайных чисел, вырабатываемых
программой, необходимо дополнительно подвергнуть эту последо-
вательность преобразованию (рис. 16.2), пропустив через звено с
коэффициентом передачи к = yj^Tt/^qht. Учитывая, что Дд = Е,
где Е — единичная матрица, окончательно получим к = у/2 n/ht.
Выбор шага интегрирования уравнений формирующего фильтра
зависит от условий обеспечения заданной точности воспроизведе-
ния спектральной плотности процесса в установленном диапазоне
частот.
При h -> 0 и фиксированном диапазоне частот со е [0, 0)о1 функ-
ция Sh( со) стремится к постоянной спектральной плотности, причем
622
Рис. 16.2. Логическая схема реализации метода
статистического моделирования
максимальное по о) отклонение достигается на конце промежутка
при со = (Oq. Относительная погрешность в имитации свойств не-
прерывного белого шума как процессов типа дискретного белого шу-
ма характеризуется величиной
bh\v)
где 6* — наперед заданная величина предельной погрешности. Из
неравенства (16.49) имеем [122] неравенство для выбора шага ht'.
ht h* 2у^3е* 0)д (16.50)
Применительно к уравнениям формирующих фильтров (16.23) и
(16.24) значения ht должны быть взяты [122] соответственно равны-
ми 0,1Т и 0,66Т.
Кроме того, при программной реализации формирующих филь-
тров следует иметь в виду, что требуемый случайный процесс на
выходе фильтра можно получить с требуемой точностью только по-
сле затухания переходного процесса. Поэтому дифференциальные
уравнения фильтра необходимо интегрировать раньше, чем уравне-
ния динамики полета ЛА, для исключения влияния переходных про-
цессов фильтра на точность расчета характеристик рассеивания.
Пусть в рамках решения задачи боковой стабилизации поле-
та требуется определить точностные характеристики процесса при
учете поперечной составляющей турбулентности атмосферы.
623
Вектор состояния системы в рассматриваемом случае
х(£) = [z, z, V, Р]Т •
Линеаризованная модель возмущенного управляемого движения
ЛА для обсуждаемого случая будет иметь вид
dz
— = z;
dt
dz . о , о
— = a,22Z — Д25 р + 02 Оу;
d ш
— &44 (Dy + (Z45 Р + 64 8у + Q45 Р]д/5
= V + а55 Р + Ь5 8у + (Х55 Pw;
Po^WV"1;
by = ( а — ’
а = kzz + kzz + к уц + к у ф,
где Т\ — постоянная времени системы.
Данную модель необходимо дополнить уравнениями формирую-
щего фильтра, заданными в форме (16.24). Расширяя вектор состоя-
ния
хр(£) = [z,z, \|/, V, Р, 8у, xi, х2]т,
переходим к дискретной модели вида
Хр(/с + 1) = A(fc)xp(/c) + B(fc + l)q(fc + 1),
в которой A(fc) и В(/с + 1) — матрицы размерности (8 х 8); q(fc +
+ 1) — нормально распределенная псевдослучайная последователь-
ность с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперси-
ей, вырабатываемая соответствующей стандартной подпрограммой.
Статистическая обработка получаемых случайных реализаций дает
основание определить значение корреляционной функции (матрицы)
характеристик процесса стабилизации с учетом боковых (попереч-
ных) флюктуаций атмосферы.
624
Достоверность результатов при применении метода статистиче-
ских испытаний в значительной мере зависит от числа проведенных
опытов и корректности математического описания исследуемого
процесса. Необходимое число п, обеспечивающее заданную точ-
ность и надежность результата, определяется по известным [109]
формулам, устанавливающим зависимость между искомым значени-
ем, доверительной вероятностью и доверительным интервалом. Для
приближенного вычисления п при определении корреляционной ма-
трицы нормально распределенных случайных величин может быть
рекомендовано соотношение
п = 2о^ае-1, (16.51)
где 6 а — величина, характеризующая значение доверительного ин-
тервала; ta — параметр распределения Стьюдента; его значения в за-
висимости от числа степеней свободы и доверительной вероятности
приведены в специальных таблицах, имеющихся в литературе по те-
ории вероятностей [19].
Г л а в а 17. ВЛИЯНИЕ ТРЕБОВАНИЙ ПО ПОВЫШЕНИЮ
ТОЧНОСТИ БР НА СОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ
БАЛЛИСТИКО-НАВИГАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ
ПОЛЕТА
17.1. Общая характеристика основных ошибок и априори
неопределенных факторов, влияющих на точность
движения БР
В силу функциональной разнотипности основных подсистем
БР, подверженных влиянию случайных возмущающих факторов,
есть основания для рассмотрения составляющих рассеивания в ви-
де статистической суммы отдельных физически независимых ве-
личин, причем стратифицированным уровням структуры точности
попадания соответствуют вполне определенные конструктивно-
агрегированные уровни систем БР.
В силу данного обстоятельства результирующую величину рас-
сеивания принято представлять [ 114] в виде аддитивный суммы трех
составляющих:
5 = 5г п + 5тп + 5ид, (17.1)
где 5[ п — составляющая, обусловленная ошибками гравиметриче-
ской и геодезической подготовки; 8тп — составляющая, вызванная
625
ошибками технической подготовки; Зид — составляющая, возника-
ющая вследствие ошибок подготовки данных на пуск БР.
К ошибкам гравиметрической и геодезической подготовки отно-
сят (см. разд. 1 п. 1.1):
1) ошибки, обусловленные погрешностями знания параметров
фигуры Земли;
2) ошибки, обусловленные погрешностями знания гравитацион-
ного поля Земли (ГПЗ);
3) ошибки геодезической привязки.
Отмеченные типы ошибок характерны тем, что проявляются в
суммарном отклонении БР от цели вследствие погрешностей опре-
деления начальных условий движения и неточности расчета попада-
ющей траектории, относительно которой определяется трубка траек-
торий, характеризующая предельные размеры эллипса рассеивания.
Отметим важное обстоятельство, заключающееся в том, что ошиб-
ки гравиметрической и геодезической подготовки обусловливают не-
устранимую погрешность вычисления исходных управляющих бал-
листических параметров (в частности, азимута прицеливания и вре-
мени выключения двигательной установки) для предпусковой вы-
ставки и настройки элементов СУ. В связи с этим данный тип ошибок
будет определять нижнюю границу теоретически возможного умень-
шения рассеивания БР с некорректируемой ИСУ.
Под ошибками технической подготовки принято понимать до-
пускаемые в процессе проектирования, изготовления и эксплуатации
методические и технологические погрешности элементов и систем
комплекса, приводящие к возмущениям движения и, в частности, к
отклонению точки падения от точки цели при отсутствии ошибок
гравиметрической, геодезической подготовки и подготовки данных
на пуск БР.
Обычно считается целесообразным подразделять ошибки техни-
ческой подготовки на следующие [51, 114]:
1) методические ошибки управления отклонением точки падения
(ОТП);
2) инструментальные ошибки системы управления ОТП;
3) ошибки ориентирования ГСП для платформенных ИНС и
ошибки ориентирования осей чувствительности бортового ККП для
БИНС;
4) ошибки пассивного участка траектории.
626
Указанная систематизация ошибок, обусловливающих техни-
ческое рассеивание, объясняется особенностями их проявления в
суммарном отклонении точки падения от цели. Например, при иде-
альной работе системы угловой стабилизации БР ошибки ориенти-
рования осей чувствительности измерительных систем проявляются
только через изохронные вариации параметров движения и не зави-
сят от закона управления ОТП, а следовательно, и от методических
ошибок управления. ОТП, вызванное инструментальными ошибка-
ми системы управления, в первом приближении определяется толь-
ко инструментальной составляющей вариации времени выключения
двигательной установки, возникающей вследствие погрешностей
работы всех элементов этой системы. Что касается методической
ошибки, то она практически не зависит ни от инструментальных
ошибок СУ ОТП, ни от ошибок ориентирования осей чувствитель-
ности приборов. Для большинства методов управления эта ошибка
проявляется в ОТП через изохронное отклонение параметров дви-
жения, а также методическую составляющую вариации времени
выключения ДУ.
Наконец, ошибки (возмущения) пассивного участка, главным
образом, этапа последействия, участка разделения и нисходящего
участка движения в атмосфере, проявляются в ОТП, можно считать,
независимо от рассмотренных групп. При этом разброс импульса
последействия после отсечки тяги ДУ, возмущения разделения, от-
клонение направления вектора скорости и отклонение углов атаки
и скольжения от номинальных значений при входе в плотные слои
атмосферы обычно классифицируются как возмущения начальных
условий движения, а возмущения термодинамических параметров
атмосферы (отклонения от нормальных условий): ветер (скорость и
направление), отклонение параметров, характеризующих распреде-
ление массы последней ступени МБР (смещение центра масс, угло-
вое рассогласование главных осей инерции), отклонение формы, а
следовательно, и коэффициентов аэродинамических сил и моментов
БР (либо ББ) рассматриваются как внешние возмущения определен-
ной структуры.
В отличие от внешних, действующих на активном участке тра-
ектории и проявляющихся в рассеивании точек падения и времени
движения через методическую ошибку управления, возмущения на
пассивном участке траектории проявляются непосредственно в рас-
сеивании движения.
627
Ошибки подготовки данных на пуск БР непосредственно связаны
с погрешностями решения обратной краевой задачи, заключающей-
ся в определении баллистических управляющих параметров. Они
сводятся прежде всего к ошибкам расчета попадающей траектории,
ошибкам расчета данных настройки приборов СУ и ввода данных на
борт БР при ее подготовке к пуску.
Поскольку указанные ошибки имеют расчетный характер, воз-
никновение их может быть обусловлено:
— методическими погрешностями расчетных зависимостей и со-
отношений;
— погрешностями методов вычислений (ошибки интерполяции,
численного интегрирования и т. д.);
— вычислительными ошибками (конечное представление чисел
в разрядной сетке БЦВМ, округление величин в процессе вычисле-
ний и т. д.);
— погрешностями хранения и ввода данных.
Считается, что ошибки подготовки данных могут быть доведены
до пренебрежимо малых значений. Это дает основание ограничить-
ся рассмотрением только составляющих, обусловленных ошибками
гравиметрической, геодезической и технической подготовок.
17.2. Погрешности геодезической привязки боевой стартовой
позиции и оценка численных значений их составляющих
При анализе структуры погрешностей геодезической и гравиме-
трической подготовки следует иметь в виду, что ошибки геодезиче-
ского обеспечения проявляются двояко:
— во-первых, входящие в состав исходных геодезических дан-
ных (ИГД) параметры и коэффициенты гравитационного поля Земли
(ГПЗ) определяются со случайными ошибками, которые проявляют-
ся через априорную математическую модель движения, используе-
мую при вычислении исходных управляющих баллистических пара-
метров вне зависимости от координат конкретной стартовой пози-
ции;
— во-вторых, ИГД, фиксируемые в точке старта (на боевой стар-
товой позиции (БСП)), характеризуются случайными ошибками гео-
дезической привязки, приводящими к ошибкам расчета попадающей
траектории, обусловленным погрешностями определения координат
точки старта и цели, а также азимутов исходных направлений для
прицеливания МБР, находящейся на конкретной БСП.
628
Как ранее отмечалось при использовании эллипсоида в качестве
модели Земли, линии отвеса заменяются нормалями к эллипсоиду.
Средняя величина уклонения линии отвеса (УЛО) составляет при-
мерно 4". Причем она носит случайный характер. Поскольку при
управлении движением БР вне зависимости от того, используется ли
платформенная ИС (ГСП) или БИНС, начальная выставка осей чув-
ствительности ККП привязывается к линии отвеса, а расчет попа-
дающей траектории производится в абсолютной стартовой системе
координат, вертикальная ось которой совпадает с нормалью к ОЗЭ,
неучет уклонения линии отвеса приведет к ошибкам расчета попада-
ющей траектории.
Учет уклонения обычно осуществляется с помощью двух углов,
характеризующих взаимную ориентацию осей абсолютной старто-
вой и абсолютной прицельной систем координат.
Точность определения исходных данных для получения параме-
тров ОЗЭ и ГПЗ в значительной степени определяется используемы-
ми при этом методами, а точность определения ИГД на БСП зависит
от методов и точностных характеристик применяемых в них измери-
тельных средств.
Так, ошибки определения коэффициентов разложения потенциа-
ла ГПЗ Сп,т и dn,m характеризуются соответствующими значениями
корреляционных матриц, которые зависят от метода обработки и по-
лучения исходной информации. Предельные ошибки ОЗЭ в задании
Дге, Д р и Д#е приведены в используемой модели WGS.
Имея в виду версию WGS-84 и ее уточненный в 1988 г. вариант
(с учетом неопределенности знаменателя сжатия, равного 0,00024),
модуль предельной ошибки | Дге| может быть принят равным 0,1 м
(| Дае| = 0,01 м) при ае = 6378137 м, а | Дц| = 0,4 • 10“7 м3/с2
при ц = 398600,5 • 109 м3/с2. Значение &ge может быть принято
примерно равным 0,2 мГал.
Наличие ошибок при пуске МБР, обусловленных неучетом в мо-
дели ГПЗ составляющих гравитационного потенциала в окрестности
БСП, где чувствительность к ошибкам модели является наибольшей,
побудило, как указывалось ранее, к применению при гравиметриче-
ской подготовке гравитационных моделей района пуска (ГМРП).
По понятным причинам ГМРП конкретной стартовой установ-
ки в данной работе построена быть не может. Поэтому приводимые
ниже оценки носят качественный обобщенный характер, базирую-
щийся на известных данных по гравитационному обеспечению МБР,
629
имеющей полетную дальность 10 000 км: КВО, равное 0,4—0,5 км,
(8В \
——- I, равную 0,00021. Для подобного
типа МБР используется ГМРП, включающая 2500 точечных масс, по-
строенных по средним значениям аномалий силы тяжести по сетке
5' х 5' (9 х 9 км), что приводит к предельной составляющей рассе-
ивания, равной 50... 60 м. Если ограничиться представлением гра-
витационного потенциала совокупностью 13 точечных масс, то для
указанной МБР составляющая рассеивания будет 270 м; расширение
массива до 75 точечных масс уменьшит ее до 160 м.
Наличие ошибок геодезического обеспечения старта приводит к
появлению составляющей промаха, которая может быть оценена для
заданной дальности полета.
Для этого необходимо вычислить значения функций чувстви-
тельности (баллистических производных) по дальности и направле-
нию для рассматриваемых составляющих ошибки.
Подробно изложим сущность соответствующей методики для
частного случая, соответствующего опорной траектории с дально-
стью полета L = 4 тыс. км с некоторыми гипотетическими коор-
динатами точки старта: долгота 70°, широта 0°, превышение над
ОЗЭ — 200 м.
При среднем значении точности определения азимута порядка
Опр — 30" погрешность пространственного угла УЛО должна быть
не более 15", а астрономические наблюдения выполнены с точно-
стью не хуже 6". Для масштабирования гироинтеграторов с невы-
соким значением 8мк = (6 ... 8) 10~6 требуется знание ускорения
силы тяжести с погрешностью 8А, = 2 ... ЗмГал, а для масштаби-
рования серийно выпускавшихся в 1960—1970-х годах акселеро-
метров (с погрешностью масштабного коэффициента (МК) порядка
5 • 10“5 ... 10“4) - 8^ = 20... 30 мГал.
Обычно используемый при подготовке ИГД пусков БР уровень
точности топогеодезических работ приводит к погрешности опреде-
ления превышения геоида над ОЗЭ со значением СКО, составляю-
щим 3.. .4 м.
Поэтому можно ориентировочно оценить (для указанного гипо-
тетического уровня точностей измерений и приведенных ранее зна-
чений неопределенностей современного знания основных параме-
тров моделей ОЗЭ и ГПЗ) составляющую рассеивания, обусловлен-
ную случайными ошибками ИГД, определяемых на БСП.
630
Для этого необходимо прежде всего на основе изложенной ра-
нее методики вычислить значения функций чувствительности (бал-
листических производных) по дальности и направлению для рассма-
триваемых составляющих ошибки.
Как уже отмечалось, эти функции зависят от конкретного поло-
жения точки старта, вида траектории и дальности полета.
Здесь они определены только для опорной траектории с заданной
полетной дальностью и условий пуска, соответствующих некоторым
гипотетическим координатам точки старта, равным, как отмечалось,
долготе точки старта L = 70°, широте В = 0°, высоте (превышению
над ОЗЭ) Н = 200 м.
Численные данные помещены в табл. 17.1 и 17.2. Дополнитель-
ные особенности вычисления приведенных в этих таблицах частных
производных состоят в следующем.
1. Формально параметры, по которым вычисляют частные произ-
водные в табл. 17.1 (параметры ОЗЭ и ГПЗ), инвариантны к системе
координат, используемой для описания движения центра масс (ЦМ)
БР, так как особенности вращения Земли при моделировании по-
лета принято учитывать в структуре дифференциальных уравнений
движения (СДУД) путем включения (либо невключения) в правые
части СДУД членов, соответствующих значениям составляющих
переносного и кориолисова ускорения. Однако само понятие откло-
нения по дальности AL и связанного с ним бокового отклонения ДВ
(координаты точки падения в целевой или естественной системах ко-
ординат), от которых вычисляют интересующие нас частные
производные, определены именно на поверхности вращающейся
Земли. Поэтому в случае решения СДУД в относительной СК (напри-
мер, в геоцентрической СК) данное обстоятельство учитывается ав-
томатически, но при решении СДУД в инерциальной СК необходимо
обеспечить пересчет координат точки падения в неинерциальную си-
стему и корректно учесть изменение времени полета на траекториях,
соответствующих положительным и отрицательным приращениям
аргумента.
2. Из параметров, применяемых для математического описания
поверхности Земли и соответствующего гравитационного поля, в
случае использования модели нормального гравитационного по-
ля Земли (ГПЗ) независимыми являются только четыре параметра
(большая полуось, эксцентриситет меридианного эллипса, грави-
тационный параметр До и угловая скорость вращения Земли), а
остальные параметры (коэффициенты разложения НПЗ в ряд по
631
сферическим функциям для гармоник 2- и 4-го порядков, эквато-
риальная постоянная ускорения силы тяжести и т. п.) должны быть
вычислены из соответствующих уравнению эллипсоида вращения
соотношений, аналитически связывающих эти параметры между со-
бой. Это должно учитываться при определении соответствующих
частных производных, т. е. следует различать действительно незави-
симые переменные, по которым осуществляется дифференцирова-
ние, и аналитически функционально связанные с ними параметры,
не являющиеся свободными при том или ином базовом наборе неза-
висимых переменных. Неучет этого обстоятельства может привести
к абсурдным результатам. В примечаниях к табл. 17.1 и 17.2 поме-
щены соответствующие пояснения.
3. Особенность учета вращения Земли, рассматриваемая по от-
ношению к параметрам ОЗЭ и ГПЗ, в равной степени относится и к
ИГД, производные по которым помещены в табл. 17.2.
4. Для учета влияния уклонений линии отвеса от нормали к по-
верхности ОЗЭ на отклонения точки падения в табл. 17.2 использо-
вался алгоритм, не требующий характерного для принятых коорди-
нат точки старта условия В = 0, о котором идет речь в сноске. Суть ал-
горитма состоит в подстановке в матрицу направляющих косинусов
(МНК) для перехода от начальной гироскопической СК к геоцентри-
ческой значений астрономических широты, долготы и азимута вме-
сто геодезических. Указанная МНК имеет вид (обозначения соответ-
ствуют обозначениям в таблице, кроме А, записываемого вместо Ао):
— sin В cos L cos А — sin L sin A cos В cos L
— sin В sin L cos A + cos L sin A cos В sin L =>
cos В cos A sin В
sin В cos L sin A — sin L cos A
=> sin В sin L sin A + cos L cos A
— cos В sin A
Соответствующие астрономические координаты: (pa = В + £,
Xa = L + T| sec (pa> «a = A + T| tg B.
5. Моделирование полета для вычисления частных производных
(функций влияния) осуществляется в предположении выполнения
номинальной программы управления.
Функции чувствительности ошибок задания параметров моделей
ОЗЭ и ГПЗ на отклонение (в метрах) по дальности и направлению
сведены в табл. 17.1.
632
Таблица 17.1
Параметры ОЗЭ и ГПЗ Значение и единица измерения, вариация Функции чувствительности, м
по дальности по направлению
А£(д+ Ад) Д£(д- Дд) dL/dq AB(q + Ад) ДВ(д - Дд) dB/dq
Большая полу- ось ОЗЭ а 6378137 м, \q -л 0,01 % 781,76 -781,64 1,226 -23,09 23,174 -0,036
Эксцентриситет меридианного эллипса е 0,0818191908, отн.ед., Ад* —> 1 % 1,970* -1,884* 4709,5 0,0252* 0,0797* -66,61
Экваториальная постоянная ускорения силы тяжести g3 978032,53 1 мГал - - -2.,879** - - 0,1769**
Коэффициенты нормального ГПЗ
Яо 3,986004418х хЮ14, м3/с2, Ад -> 0,01 % -281,54 281,67 —7,065 • 10-9 17,348 -17,256 4,341 • 10“10
*2** -1,7555187х хЮ25, м5/с2 - - 2,7685 • 10~22 - - -1,534 10-23
Окончание табл. 17.1
Параметры ОЗЭ и ГПЗ Значение и единица измерения, вариация Функции чувствительности, м
по дальности по направлению
ДЛ((7+ Дд) AL(g- Дд) dL/dq ДВ(д + Дд) ДВ(д- Дд) dB/dq
(С2, о) —4,84166775 х х10-4м3/с2, Дд —> 1 % -48,558 48,646 1,004- 107 2,745 -2,640 -556110
1,56397007х х1036, м7/с2 - - —7,7495 • ю-36 - - 4,194 • 1037
(С4, о) 7,903037335х хЮ-7, Дд 10% -1,168 1,256 -1,534- 107 0,118 -0,013 0,083 • 107
, 9L 9L 9е2
* Возмущение задавалось для е , производная вычислялась при этом по формуле —— = ——- ——, так как непосредственно в математической
де де2 де
э
модели движения используется только величина е .
dL dL / dg3 дВ дВ / dg3 dg3 _14
** Производные по L и В вычисляют по формулам = —— / ——, = -— / ——. Здесь -— = 2.45367 • 10 14 из
dg3 д Uq ' д Ко dg3 д Ко ' дпо д Ко
g, = -^(1 + а - l/5g + а2 — - ад + а3), а = 1/298.257223563 , д =
0^2 7 g3 &
***Так как по определению К2 = \/5 а2 коС20 и Кд = За4 К0С40, то - 2 = \/5 а2 Ко и - 4 = За4 Ко, откуда
дС20 0С40
dL _ dL 1 д П2 дВ _ дВ / Э Кд
д К2 ' дС2о ' д К4 dC^Q / дС\$
Таблица 17.2
Параметры игд, определяемые на БСП Значение и единица измерения, вариация Функции чувствительности, м
по дальности по направлению
AL(q4- Aq) Д£(д- Дд) dL/dq &B(q 4- Aq) ДВ(д - Дд) дВ /dq
Широта точки старта, В 0, Дд = 10"(1") 198,03 -197,95 19,799(1,980) 1,511 -1,409 0,146 (0,015)
Долгота точки старта,L 70, \q = 10"(1") 88,98 -88,93 88,96 (0,890) 275,48 -275,38 27,543 (2,754)
Высота точки старта, Hq 200 м Дд = 10 м (1 м) 227,94 -228,18 22,806 (2,28) -15,62 15,74 -1,568 (-0,16)
Составляющие УЛО* £ п Дд = 10"(1") 0 0 198,03 88,98 -197,95 -88,93 19,799(1,980) 8,896 (0,890) 1,511 275,48 -1,409 -275,38 0,146 (0,015) 27,543 (2,754)
Ускорение силы тяжести** в точ- ке старта, g0 978032/8 1 мГал - - -2,879 - - 0,1769
* Отклонения, вызываемые составляющими УЛО для точки, расположенной на экваторе, с точностью до произведения ^Т| совпадают с откло-
нениями из-за вариаций геодезических координат старта, так как астрономические координаты и азимут определяются формулами фл = В 4-
Хд = L 4- T|sec фл и аА = Ао + П tg В.
**С учетом g0(B = 0) = ge.
Для независимых случайных величин справедлив принцип су-
перпозиции, поэтому суммарное значение составляющей рассеива-
ния, обусловленной рассматриваемыми факторами, может быть вы-
числено по зависимости
(17.2)
где
— функция чувствительности для возмущающего
фактора, вычисленная относительно параметра Aj номинальной тра-
ектории, значения которых при различных приведены в табл. 17.1
и 17.2; oi —дисперсия соответствующего случайного возмущаю-
щего фактора; j — определяет отклонения по дальности (j = 1) и в
боковом направлении (j = 2).
В первом приближении обсуждаемые возмущающие факторы,
за исключением коэффициентов нормального ГПЗ к? и Я4, могут
рассматриваться как независимые. Выражения Л2 и Я4, задаваемые
приведенными ранее соотношениями, включают в себя коэффици-
енты С*2,о и С4,о, численные значения которых даны в табл. 17.4 и
являются взаимно коррелированными.
Ошибки определения коэффициентов разложения потенциала
ГПЗ, представленные в виде среднеквадратических ошибок и эле-
ментов нормированных корреляционных матриц, указаны в
табл. 17.3, 17.4 и 17.5.
Данное обстоятельство делает необходимым (по крайней ме-
ре, формально) для определения СКО искомой случайной функции
Aj ~ ^2’ • • • > £п) использовать соотношение вида
0 = 1,2)
0d
'от
0 + 1-2)
(17.3)
где — соответствующие значения коэффициентов корреляции,
причем в силу симметрии матрицы, задаваемой табл. 17.4, гс2,оС4,о =
^^4,0^2,о —0? 60-
Составляющие рассматриваемой ошибки являются нелинейны-
ми функциями полетной дальности.
636
Таблица 17.3
Ос2.о = 0,60 10-8 аСз о = 0,20 • IO"7
Ос4,() = 0,16 • 10-7 стс5.о = 0,25 • IO"7
ОСв.о = 0,30 • 10-7 ас7,0 = 0,39 • IO"7
стСв 0 = 0,50 • 10-7 Ос9,о = 0,60 • 10-7
aCl(, 0 = 0,50 • 10-7 аС11 о = 0,35 • 10-7
ОС12.() = 0,44 • IO’7 стС13,о = 0,84 • IO"7
ОС14 0 = 0,63 • ю-7
Таблица 17.4
С*2,0 С4,о Сб,о Св,о Сю,о С12,0 С14,0
С*2,0 1,00 -0,60 0,80 -0,89 0,79 -0,71 0,83
С4,о 1,00 -0,86 0,80 -0,85 0,91 -0,47
Сб,о 1,00 -0,79 0,96 -0,88 0,60
С*8,0 1,00 -0,80 0,84 -0,84
Сю,о 1,00 -0,80 0,70
С12,0 1,00 -0,50
С14,0 1,00
Таблица 17.5
Сз,о ^5,0 С?,о Сд,о Сц,о Сю,о
Сз,о ^5,0 С?,о Сд,0 Сц,о Сид 1,00 -0,93 1,00 0,98 -0,96 1,00 -0,94 0,86 -0,92 1,00 0,48 -0,69 0,57 -0,27 1,00 -0,86 0,75 -0,82 0,97 -0,12 1,00
В табл. 17.6 приведены в качестве иллюстрации значения ошиб-
ки для дальностей полета МБР порядка 8... 10 тыс. км, соответству-
ющие данным работы [114].
Требования к точности определения ускорения силы тяжести на
БСП обычно устанавливают, исходя из точности масштабирования
измерителей ГСП системы управления. Если точность измерите-
лей характеризуется предельной относительной ошибкой Дмк, то
637
Таблица 17.6
Параметры ОЗЭ и ГПЗ Значение и единица измерения (1 о) Функции влияния, м
по дальности по направлению
Большая полуось ОЗЭ а 1 м 4,8... 5,2 0,5
Квадрат эксцен- триситета мери- дианного эллипса ё2 1 отн.ед. (1,3... 1,5)107 — (0,75... 0,85)106
Угловая скорость Земли Q3 1 рад/с 0,1 • Ю10 1,5 • 1О10
Экваториальная постоянная ускоре- ния силы тяжести Se 1 мГал 26,5 -12
Линейные элемен- ты ориентирования эллипсоида Кра- совского относи- тельно ОЗЭ: 1 м -0,3 0,02
&У 1 м -0,2 0,65
&z 1 м 0,45 -0,03
Коэффициенты нормального ГПЗ: л0 1 м3/с2 — (0,65... 0,7)107 — (0,27... 0,3)108
л2 1 м5/с2 -(1300... 1400) 1024 150 • 1024
л4 1 м7/с2 3,2 • 1035 0,2 • 1035
ей соответствует ускорение силы тяжести Дмк£ в мГал (1 мГал =
= 10~5 м/с2). Эталонное значение ускорения силы тяжести для мас-
штабирования измерителей МБР наземного базирования, в СУ кото-
рых применяют гироинтеграторы, целесообразно устанавливать бо-
лее точным (в 2—3 раза).
638
Таблица 17.7
Параметр ИГД, определяемый на БСП Значение и единица измерения (1 о) Функции влияния, м
по дальности по направлению
Широта точки старта В 1" 30 —(3...4)
(1 М) (1) (0,1...0,12)
Долгота точки старта L 1" -1 -25
(1 М) (-0,03) (-0,8)
Высота точки стар- та Н 1 м 8...9 0
Составляющие уклонения отвес- ной линии:
1" 42... 48 —4
п 1" 5...7 16... 20
Ускорение силы тя- жести в точке стар- та £о 1 мГал Влияние такое же, как и экватори- альной постоянной ускорения си- лы тяжести в табл. 17.5
17.3. Влияние начальных ошибок выставки
Для нахождения «статических» составляющих ошибок изме-
рителей на рассеивание БР предварительно получим математиче-
скую модель ошибок начальной выставки осей чувствительности
приборов относительно базовой номинальной системы координат
OXHYHZH, Будем исходить из того, что перед пуском БР требует-
ся осуществить механическую выставку акселерометров (соответ-
ственно ДУ С) в плоскость горизонта и в азимут.
Пусть OXhYh — горизонтальная плоскость БСП. Будем считать,
что ось чувствительности хи акселерометра Ах в результате погреш-
ностей выставки отклонена от требуемого направления в горизон-
тальной плоскости на постоянный угол ан и относительно нее на
постоянный угол Рн. Ось чувствительности уи акселерометра Ау от-
клонена от требуемого направления только в горизонтальной плос-
кости на угол ан. В этом случае ось чувствительности ги акселеро-
639
метра Az будет занимать положение Оги, смещенное от оси ОУН на
угол рн.
Номинальные составляющие ускорения БР в любой момент
времени в предположении о начальном совпадении осей связан-
ной системы координат с соответствующими осями измерительной
системы в сочетании с информацией о составляющих вектора угло-
вой скорости БР, снимаемой с выходов ДУ С, должны обеспечить
реализацию терминального наведения в соответствии с принятым
алгоритмом управления.
Непосредственно из принятой к рассмотрению схемы погреш-
ностей выставки с учетом малости углов ан и рн следует, что ма-
трица направляющих косинусов перехода из системы координат, свя-
занной с акселерометрами (далее — измерительной СК), к базовой
номинальной системе координат (начальной гироскопической СК,
далее — НГСК) записывается в форме
Мн4_и
1 <*Н Рн
- ан 1 О
(17.4)
-Рн 0 1
Матрица направляющих косинусов перехода от НГСК к измеритель-
ной системе координат принимает вид
Ми4_н
1 - ан - рн
ан 1 О
Рн 0 1
(17.5)
Поскольку параметры кажущегося движения вычисляют непо-
средственно в НГСК, имитация влияния ошибок выставки осей чув-
ствительности акселерометров (и соответствующих им ДУС) на ука-
занные углы ан, Рн осуществляется очень просто исходя из следу-
ющих соображений.
При полете с погрешностями выставки акселерометров ан и
Рн система управления (в отсутствие иных возмущающих факто-
ров) не зафиксирует никаких отклонений параметров движения от
номинального. Номинальным значениям кажущихся параметров (а
именно эти параметры физически измеряют приборы СУ) в конце
640
активного участка полета (АУТ) — Wh S — в НГСК соответствуют
их проекции на оси измерительной системы координат:
[Wu Su ] = Ми4_н( ан = О, РН = О) [ W S ], (17.6)
так как при ан = 0 и рн = 0 (с точки зрения системы управле-
ния погрешности выставки измерителей ускорения отсутствуют), но
Ми4_н( осн = О, рн = 0) = Е (единичная матрица).
Эти значения и будут реализованы системой управления в рас-
сматриваемом случае. Однако с учетом погрешностей ан и рн ре-
альные значения параметров БР можно определить по формуле
[ W* S* ] =мн^и[ W„ Su ]. (17.7)
С учетом (17.6) получаем
[aw as ] = [ w* s<t)]-[w s] =
= мн4_ие [ w s ] - e [ w s ] =
= M„«_„-E[ W S ] . (17.8)
Подстановка полученных выше матриц в (17.8) дает
Мн^и Е —
0 ан рн
- ан 0 0
-Рн о о
(17.9)
Окончательно оценки искомых составляющих рассматриваемой со-
вокупности инструментальных погрешностей с учетом частных бал-
листических производных
AB = ^AW + ^AS.
&V 3R
(17.10)
Подстановка в (17.10) с учетом (17.8) и (17.9) значений ан и рн,
соответствующих СКО, дает оценочные значения СКО соответству-
ющих отклонений по дальности и в боковом направлении.
Дополнительно необходимо учесть погрешность азимутальной
выставки самой пусковой установки в процессе прицеливания БР.
641
Отклонения, обусловленные погрешностью азимутального прицели-
вания, традиционно оценивают через соответствующие баллистиче-
ские производные по формулам
AL = (дЬ/дА) ДА0; ДВ = (дВ/дА) ДА0. (17.11)
При численной оценке составляющих рассеивания, обусловлен-
ных рассматриваемой группой инструментальных погрешностей,
принимались следующие гипотетические значения:
— предельной погрешности выставки акселерометров в азиму-
тальной плоскости рн = 30";
— предельной ошибки горизонтирования (вертикализации) ан =
= 40".
Предполагалось, что указанные погрешности включают и по-
грешности взаимной выставки ОЧ измерителей, поскольку послед-
ние очень жестко зависят от технологии изготовления и предстарто-
вой подготовки комплекса командных приборов (ККП) БР и разде-
ление данных погрешностей без учета указанных технологических
особенностей и комплексирования бортовых приборов с астрономи-
ческими, оптическими и другими приборами принципиально невоз-
можно.
Погрешность взаимной выставки обычно определяется уровнем
калибровки точностных параметров ККП с привлечением внешних
по отношению к ККП БР измерителей опорных астрономических
направлений. При этом максимальная точность достигается в плат-
форменных системах. В частности, для ККП систем управления
NS-17C и NS-20A (США) она соответственно равна 10 и 6". Счи-
тается, что для бесплатформенных систем аналогичная точность
достигнута быть не может. Уровень погрешности калибровки точ-
ностных параметров ККП в БИНС и, в частности, неортогонально-
сти ОЧ измерителей, определяется многими факторами и колеблется
в пределах 100 — 200 % по отношению к соответствующей характе-
ристике платформенной системы. В связи с этим в расчетах приняты
осредненные (типовые) суммарные значения для ан и рн.
Результаты оценки рассмотренных составляющих инструмен-
тальных ошибок представлены в табл. 17.8.
В качестве оценок СКО для представленных эквивалентных от-
клонений могут быть приняты абсолютные величины этих отклоне-
ний: о? = 11,0м, нН = 155,8м, ой = 91,7м, ой = 10,5 м,
адл° = 56,1М, ОпАо = 155,4м.
L/ 7 7 О 7
642
Таблица 17.8
Составляющие инструментальной погрешности, обусловленные неточностью выставки измерителей Величина возмущения q, соответ- ствующая СКО Эквивалентное отклонение точки падения, м
по дальности в боковом направлении
Погрешность выставки ОЧ измери- теля рн 30"/2,7 -11,0 -155,8
Погрешность горизонтирования <хн 40"/2,7 91,7 10,5
Погрешность азимутального прицеливания* ДАо 30"/2,7 56,1 155,4
Суммарные - 108,1 220,3
* С учетом значений частных производных, вычисленных методом двусторонних конечных
разностей; дЬ/дА$ = 5, 048 м/угл. с, дВ/дАо = 13, 987 м/угл. с.
17.4. Техническое рассеивание БР и влияние методических
ошибок
Методической ошибкой наведения условимся называть отклоне-
ния траектории движения БР по дальности и в боковом отклонении
в фиксированной конечной точке пространства, обусловленные не-
адекватностью алгоритмов определения управляющих воздействий
реальным условиям полета. Мерой этой ошибки, согласно опреде-
лению, будем считать 8Вд/, обусловленные влиянием соот-
ветствующих факторов, порождающих методическую ошибку (при
отсутствии влияния всех остальных факторов).
В основу типового алгоритма терминального наведения заложе-
но, как было показано выше, свойство вектора кажущейся требуемой
скорости WTp при достижении ее в текущей точке пространства
обеспечивать выполнение концевых условий наведения при даль-
нейшем полете по баллистической (неуправляемой) траектории (см.
разд. II). Это фундаментальное свойство вводится по определению.
Для практического использования этого свойства, также по опреде-
лению, вводится (см. ранее) понятие вектора командной скорости
WKOM = WTP - w,
где W — текущая кажущаяся скорость центра масс (ЦМ) МБР.
643
Напомним, что если известно (задано на начальный момент ре-
шения задачи наведения или заимствовано из предыдущего шага ре-
шения этой задачи в любой другой момент) первое приближение зна-
чения WKOM, окончательное значение этого вектора может быть по-
лучено по формуле
W* = Wi-1 + AW1
т т КОМ т т КОМ ' ▼ ▼ ком,
где поправочный вектор AW*OM определяется из решения системы
линейных уравнений
Г LV AWLm = ДД
j By • AWlKOM = AB,
I Tv • AW’OM = AT.
(17.12)
В (17.12) AL, AB, AT — невязки концевых условий (по дально-
сти, в боковом направлении и по полному времени полета), получае-
мые путем прямого расчета баллистического участка траектории по
начальным условиям V, г до заданной высоты. Система (17.12) ре-
шается (всякий раз после соответствующего пересчета параметров
VK, гк) до тех пор, пока указанные невязки по абсолютной величине
не достигнут требуемой точности выполнения концевых условий.
Алгоритм прогноза параметров VK, гк по заданным начальным
значениям V, г в текущий момент времени и прогнозируемому на
текущей итерации i значению WTp, а также алгоритм вычисления
невязок по известным значениям кинематических параметров Vu, гц
в точке падения, рассмотрены ранее.
К источникам методической ошибки наведения для этого алго-
ритма следует отнести:
— погрешность определения вектора требуемой скорости WTp в
конечной точке наведения, обусловленную погрешностью решения
навигационной задачи;
— погрешность фиксации нулевого значения модуля вектора ко-
мандной скорости в конце активного участка траектории;
— вынужденные упрощения алгоритма расчета баллистического
участка траектории при прогнозе значений невязок концевых усло-
вий, обусловленные ограничениями на производительность БЦВМ и
объем ее оперативной памяти.
644
Используемые в алгоритме решения системы (17.12) для расчета
частных производных и невязок значения VK, гк являются началь-
ными условиями (НУ) интегрирования уравнений движения на бал-
листическом ПУТ, поэтому погрешность их определения непосред-
ственно приводит к ошибке вычисления координат точки падения.
Эти НУ содержат, однако, инструментальную ошибку (AW и AS)
определения системой навигации кажущихся параметров движения
W и S. Поскольку указанная инструментальная ошибка не фиксиру-
ется системой управления, последняя во всех алгоритмах управле-
ния, включая алгоритмы наведения, использует значения кажущих-
ся параметров WH = W — AW и SH = S — AS вместо их дей-
ствительных значений, как бы сдвигая бортовую траекторию полета
относительно действительной.
Прямое влияние этого сдвига обычно учитывается при оценке
инструментальных погрешностей СУ. Но косвенное влияние состо-
ит еще в том, что реальные НУ VK, гк, сдвинутые на AS, используют
для формирования значения WKOM, на основании которого форми-
руется команда на отделение. Это приводит к тому, что с помощью
системы уравнений (17.12) удовлетворяющая концевым условиям
(попадающая) траектория определяется не из той точки, в которой
реально будет находиться ЦМ БР при отделении, а из точки с коор-
динатами гкф = гк + AS. Поэтому при расчете ПУТ, соответствую-
щего таким начальным условиям, на каждом шаге интегрирования
системы дифференциальных уравнений движения (СДУД) должно
рассчитываться значение гравитационного ускорения g [r(t)] вместо
соответствующего действительности g [г ф(£)]. Очевидно, это поро-
ждает составляющую методической ошибки наведения, имеющую
вид двойного интеграла от вариации Ag = g [гф(£)] — g [r(t)] по
времени продолжительности ПУТ.
Для учета данного обстоятельства представим СДУД на ПУТ в
виде
| V при НУ на момент tK | (17.13)
1 г = V н [ г0 = r(fK)
Поскольку нас интересуют только отклонения фиксированной
терминальной точки AL, АВ, обусловленные рассмотренной выше
645
Рис. 17.1. Вариация уско-
рения А#(£)
вариацией гравитационного ускорения
Ag(rK) на ПУТ, прямое интегрирование
СДУД можно заменить оценкой искомых
отклонений с использованием частных
баллистических производных
ALo = Ly AV о + Lp Аг»;
S g * (17.14)
\BS = Bv AVg + BR Ar>,
где AVg и Аг^ — отклонения НУ, соответствующие указанной ва-
риации Ag(rK).
Для оценки отклонений НУ AVg и Arg предположим, что на
всем активном участке траектории (АУТ) вариация Ag(rK) накапли-
валась равномерно. Тогда (рис. 17.1) можно записать выражение для
Ag(t) в любой момент полета на АУТ:
Ag(t) = Ag(rK)^. (17.15)
Величину AVg(t) находим, интегрируя (17.15),
t
[ Аё(гк)Ди = А^2. (17.16)
О
Соответственно Arg(t) находим, интегрируя (17.16),
t
^rg(t) = [ AVs(T)dT = ^f^t3. (17.17)
J OtK
0
Тогда
AVg(tK) = Arg(tK) = -Ц^2. (17.18)
Zl О
Очевидно, значение Ag(rK) можно непосредственно вычислить
по формуле Ag(rK) = g [гф(£)] - g[r(£)] с учетом гф = гк + AS
после того, как оценка величины AS выполнена в соответствии с
методикой оценки инструментальных погрешностей. Но для иссле-
довательских целей удобнее получить приближенную формулу для
646
расчета Ag(rK), обеспечивающую возможность оперативно уточ-
нять значения методических погрешностей AL^ и АВ^ при измене-
ниях исходных данных, используемых для оценки инструменталь-
ных погрешностей. Необходимость многократного уточнения этих
данных на этапе проектирования достаточно очевидна.
В связи с этим продифференцируем по г выражение g[r] для слу-
чая, когда гравитационное ускорение рассчитывается с использова-
нием математической модели центрального гравитационного поля
Земли (ГПЗ). В этом случае
7Со
откуда
dg _ Яр " 3
дт г2
— • гт • г - Е ,
(17.19)
где Е — единичная матрица. Очевидно, что
Ag(rK) = Gr(rK) AS.
(17.20)
Подставляя (17.20) с учетом (17.19) в (17.18), а затем — результат в
(17.14) и группируя соответствующие члены, получаем окончатель-
ные выражения для оценки составляющих методических ошибок
первого типа:
= 14 AS и АВЛ, = В* AS,
(17.21)
где
'S
2
и
(17.22)
В*
Ву + ^в;
о
:: _
's ~ I
Очевидно, что подстановка в правые части (17.21) дисперсий
соответствующих компонент вектора AS вместо самих отклонений
кажущегося пути позволяет сразу вычислить дисперсии искомых
составляющих методических ошибок (с учетом свойства дисперсии
647
D[CX] = C2D[X]). Переходя, по традиции, к среднеквадратическим
отклонениям, получаем окончательно
<7 al, = J 22 aAS. и = 22 (’7-23)
У i=x,y,z м i=x,y,z
Значения частных производных для исходных данных, соответ-
ствующих опорной траектории полетной дальности 4000 км, будут
ц =
-0,08426
0,13530
-0,00260
В® —
0,00018
-0,00520
-0,05651
Значения отклонений кажущегося пути, соответствующие влия-
нию ошибок выставки ОЧ акселерометров и ошибки прицеливания
по азимуту, приведены в табл. 17.9.
Таблица 17.9
Возмущающий фактор ASxH, м Д5?/н, м ASzH, м
Предельная ошибка выставки ОЧ а (абсолютная величина) 34,1 23,7 0
Предельная ошибка выставки ОЧ р (абсолютная величина) 0 0 17,8
Предельная азимутальная ошибка (абсолютная величина) 0 0 17,8
Предельная ошибка погрешностей измерений инерциальных чувстви- тельных элементов* 61,2 58,9 2,2
Геометрическая сумма ошибок 70,1 63,5 25,3
* Алгоритм вычисления этих параметров представлен ниже.
По формулам (17.21) получаем ALg = 10,4 м, ДВд = 1,5 м. От-
сюда = 3,9 м, адв* = 0,6 м.
Физический смысл данной погрешности заключается в том, что
во всех современных СУ БР задача наведения решается дискретно,
с некоторым «шагом решения» hH, из-за чего невозможно непосред-
ственно реализовать правило фиксации момента окончания АУТ (мо-
мента отделения) по условию равенства нулю модуля вектора ко-
648
мандной скорости (WKOM). Поэтому приходится по нескольким по-
следним из рассчитанных значениям WKOM(ti) заблаговременно про-
гнозировать (см. рис. 7.18, п. 7.5) момент, когда выполнится условие
Wkom(£k) — 0. Естественно, это приводит к появлению методических
ошибок прогноза Д£фИ ДВф.
Обычно используют последние три значения Жком(^), т. е. —
= Wi-i = Wi^2 = И^ком^г-г). Тогда формула
прогноза (обратной квадратичной экстраполяции) имеет вид
Д*к = —2hH - Дю^-2 + A2o^-i^-2, (17.24)
где разделенные разности Дю и Д20 вычисляют по формулам
Л ___ Ьн л _____________
10 “ Wi-1 - Wi-2 ’ 11 ” Wi - Wi-1'
г г ъ— 1 F F Z—Z F F Z F F Z— 1
An - Дю ( }
20 Wi-W^’
AtK — прогнозируемое время от ti до tK.
На практике иногда прибегают к учету в (17.24) дополнительных
задержек времени срабатывания конкретной аппаратуры, реализую-
щей процесс отделения, но обсуждение таких деталей возможно (и
целесообразно) только на этапе технического проектирования кон-
кретной СУ (см. п. 7.5).
Для вычисления статистических оценок рассматриваемых по-
грешностей может быть использован метод статистического имита-
ционного моделирования. При моделировании обычно учитывают
только возмущения конструктивных параметров, приводящие к са-
мым значительным отклонениям возмущенной траектории полета
от расчетной. Анализ математической модели БР свидетельству-
ет, что такими параметрами являются массовый секундный расход
топлива т, удельная тяга в пустоте Руд и начальная масса раке-
ты mg. В силу достаточно высокой неопределенности выбора кон-
струкции БР нецелесообразно включать большое количество воз-
мущающих факторов, необходимо только обеспечить достаточно
полный охват ожидаемой «трубки траекторий» в целях проверки
возможного характера изменения совокупности векторов WKOM(fJ,
WKOM(ti-i), WKOM(£j_2). По этой же причине можно принять оди-
наковыми относительные значения погрешностей указанных па-
раметров для каждой из ступеней МБР. Обобщенные сведения о
649
Таблица 17.10
Погрешности ТПо m -Руд
Расчетные
ступень 1 17370 204,4 258,53
ступень 2 4920 71 291,6
Относительная* 0,002 0,03 0,01
2,7 Qi 34,74 6,132 2,585
2,7 о2 9,84 2,13 2,916
* Соответствует величине предельного отклонения (2,7 СКО).
вариациях конструктивных параметров для имитации движения ги-
потетической БР в различных областях трубки траекторий приведе-
ны в табл. 17.10.
Блок-схема программы статистического имитационного модели-
рования изображена на рис. 17.2.
Рис. 17.2. Блок-схема программы статистического имитационного
моделирования
Статистические оценки составляющих методической ошибки ре-
шения задачи наведения вычисляют по формулам
650
=
В первой формуле (17.26) чертой обозначено математическое
ожидание искомого параметра. Формулы для получения оценок
ДВ ф и о двф получают из (17.26) заменой символа L на В.
Значение параметра, как правило, выбирается эксперименталь-
но в процессе статистического моделирования результатов анализа
статистических характеристик возмущений, вычисляемых по тем же
самым формулам, что и оценки методических ошибок.
Упрощения алгоритма расчета баллистического участка исполь-
зуют, как правило, чтобы:
• повысить его оперативность при реализации в БЦВМ;
• обеспечить повышение надежности при незначительном ухуд-
шении точности;
• удовлетворить специальным требованиям, предъявляемым
конкретной БЦВМ.
Указанные и любые другие отличия алгоритма расчета балли-
стического участка от алгоритма, принятого в качестве эталонного,
приводят к дополнительным методическим погрешностям наведе-
ния. Все отличия такого рода связаны с особенностями представле-
ния в бортовых алгоритмах математических моделей ГПЗ и атмосфе-
ры Земли.
Схему оценки влияния инструментальной составляющей по-
грешностей СУ БР или ББ рассмотрим на примере ее построения в
варианте бесплатформенной или бескарданной инерциальной нави-
гационной системы (БИНС). Чувствительные элементы в такой си-
стеме устанавливают непосредственно на корпусе ЛА, что приводит
к совпадению в БИНС измерительных триэдров со связанной си-
стемой координат. При этом изменение ориентации отсчетной базы
(стабилизированной платформы) полностью моделируется матема-
тическими методами в БЦВМ. Очевидно, такой подход к построению
ИНС позволяет в принципе повысить точность и надежность систе-
мы и значительно упростить технологию ее изготовления. Однако
651
практическая реализация БИНС представляет, что отмечалось выше,
сложную задачу. Это связано с тем, что на точность работы БИНС
в первую очередь оказывают влияние погрешности чувствительных
элементов. Последние в варианте построения ИНС связанного ти-
па при размещении их непосредственно на корпусе ЛА находятся в
существенно более тяжелых условиях работы.
Блок-схема такого типа системы управления приведена на
рис. 17.3.
Рис. 17.3. Общий вид расчетной блок-схемы БИНС
В рамках постановки задачи обсуждению подлежат влияния по-
грешностей БИНС из-за несовершенства чувствительных элементов
системы (дрейф датчиков угловой скорости, смещение нуля акселе-
рометров и ошибки масштабных коэффициентов), влияющих на точ-
ность автономного управления движением.
Для решения необходимо сформировать математическую мо-
дель, которая содержала бы уравнения движения управляемого ЛА,
уравнения кинематики БИНС и модель ошибок чувствительных эле-
ментов.
Анализ влияния инструментальных погрешностей чувствитель-
ных элементов БИНС на точность полета БР на АУТ может быть при-
ближенно осуществлен по схеме, изображенной на рис. 17.4.
Обычно предполагают, что составляющие ошибок акселероме-
тров и датчиков угловых скоростей представляют собой независи-
мые случайные величины.
652
<>x(zbz4)
ay(z2,z5)
Mz3.z6)
Математическая
юх (z7> Z1O’ 21з)^ модель
<MZ8’ Zn,Z|4)
©z(z7,Z12,Zl5)
X{x,y, z, 0, \|/}
Рис. 17.4. Расчетная блок-схема анализа влияния инструментальных
погрешностей ЧЭ БИНС на точность полета БР на АУТ
Характеристики рассеивания траектории в данной постановке
определяют методом статистических испытаний.
17.5. Комплексный анализ составляющих рассеивания,
обусловленных действием возмущающих факторов
и ошибок управления
С повышением точности попадания в цель изменяется соотноше-
ние составляющих рассеивания, что отражает результативность ме-
роприятий по уменьшению абсолютного вклада отдельных составля-
ющих в суммарное рассеивание [91, 114]. Так, на этапах модерниза-
ции МБР уменьшаются доли рассеивания, обусловленные ошибками
полета боеголовок на атмосферном участке траектории и погрешно-
стями геодезического обеспечения пусков. С созданием МБР третье-
го поколения, оснащенных высокоточными СУ, резко уменьшилась
доля ошибок в суммарном рассеивании, вносимых системой упра-
вления. Это привело к увеличению относительной величины рассе-
ивания, определяемого погрешностями движения боеголовок в атмо-
сфере и ошибками геодезической подготовки. Интегральные оценки
составляющих точности МБР третьего поколения на примере МБР
MX (США) приведены [114] в табл. 17.11.
Содержание таблицы дает основание для ряда очевидных выво-
дов. Прежде всего обращает на себя внимание, что уже на уровне РК,
принятых на вооружение [43, 83, 89, 102] в 1985—1987 гг., типа «То-
поль» (СС-25), PC-22 (СС-24), MX достигнута близкая к предельной
точность полета МБР с некорректируемыми ИНС. Достижение от-
клонений, обусловленных инструментальной составляющей КП на
653
Таблица 17.11
Составляющие рассеивания Отклонение по дальности AL, км Отклонения по направлению АВ, км Приведенное круговое отклонение
Техническое рассеивание, в том
числе погрешности: 0,29... 0,32 0,23... 0,29 0,26... 0,30
инструментальная КП 0,16...0,18 0,13...0,15 0,15...0,17
прицеливания 0,02... 0,04 0,09... 0,16 0,06... 0,10
методическая СУ 0,07... 0,08 0,05... 0,06 0,06... 0,07
разведения боеголовок 0,08... 0,10 0,04... 0,05 0,06... 0,08
полета ГЧ в атмосфере 0,21... 0,23 0,15...0,17 0,18... 0,20
Рассеивание вследствие ошибок
геодезической подготовки 0,11...0,13 0,07... 0,09 0,09... 0,11
Суммарное рассеивание 0,31... 0,35 0,24... 0,30 0,28... 0,32
уровне КВО, равного 0,15 км, и отклонений, вызванных методиче-
ской составляющей, на уровне 0,06 км, дают основание полагать, что
традиционные пути совершенствования некорректируемых ИНС и
существующего алгоритмического обеспечения управления дально-
стью полета, реализуемого в БЦВМ МБР, практически исчерпаны.
Более того, характеристики суммарного рассеивания на уровне
КВО порядка 0,3 км для моноблочных неуправляемых ГЧ с ядерным
зарядом следует считать приемлемыми и не требующими дальней-
шего совершенствования.
Однако данный вывод справедлив лишь в том случае, если при
этом не учитывается возможное противодействие, связанное с ис-
пользованием средств ПРО [114].
Наиболее эффективные методы преодоления ПРО любого уровня
в той или иной степени всегда связаны с атмосферным маневрирова-
нием.
Чем выше интенсивность и глубина аэродинамического маневра,
тем выше вероятность преодоления системы ПРО. Но справедливо и
другое. Чем больше по продолжительности действие на МГЧ внеш-
ней среды (атмосферы), тем объективно выше составляющая рассе-
ивания, связанная с полетом в атмосфере. Причем без специальных
мер рассеивание, обусловленное атмосферным воздействием, может
увеличиваться в разы, а в пределе и на порядок.
654
Уже только одно это делает необходимым сочетание аэродинами-
ческих маневров преодоления ПРО с коррекцией движения от внеш-
них источников.
Причем предпочтение среди всех возможных средств коррекции
должно быть отдано корреляционно-экстремальным системам (си-
стемам коррекции по эталонам местности). В связи с этим важно
иметь представление об уровне погрешностей подготовки эталонной
информации в виде эталонной карты рельефа и (или) эталонного ра-
диолокационного изображения, которые должны быть включены в
состав ПЗ БР (маневрирующей ГЧ).
Основными источниками исходной информации для построения
эталонной карты рельефа местности являются цифровые карты ре-
льефа в форме дискретного цифрового поля, построенные в виде от-
счетов относительного превышения высот над фиксированной уро-
венной поверхностью, либо цифровая карта объектового состава в
форме поля кодов элементов местности.
Ошибки составления эталонов местности, которые могут быть
использованы в КЭНС, принято подразделять на три группы:
— погрешности собственно составления цифровых карт рельефа
и карт объектового состава;
— погрешности формирования матриц высот рельефа и объекто-
вого состава, обусловленных ошибками восстановления горизонта-
лей, полученных в результате оцифровки, и интерполяции рельефа
на выбранную регулярную сетку;
— погрешности воспроизведения эталона на основе цифровых
матриц, вызванные ошибками в знании характеристик отражения от
конкретных элементов земной поверхности, выбора и задания напра-
вления визирования и т. д.
На современном уровне развития предельные погрешности кор-
рекции с использованием эталонных карт принято оценивать на
уровне 80... 120 м с прогнозом дальнейшего улучшения их при асим-
птотическом пределе на уровне [114] порядка 40... 60 м.
При этом можно ожидать, что при существенном перераспреде-
лении составляющих рассеивания, прежде всего инструментальной
и обусловленной движением МГЧ в атмосфере, для ГЧ и ББ, совер-
шающих маневры преодоления ПРО, удастся сохранить достигну-
тый уровень точности, характерный для моноблочных неманевриру-
ющих ГЧ БР третьего поколения.
655
Уровень точности, соответствующий предельным отклонениям
порядка 30.. .40 м (а в пределе исчисляемый метрами), необходимый
для использования БР в качестве средств нанесения точечных ударов
по «гнездам терроризма» на межконтинентальных дальностях ГЧ с
боевыми частями обычного (не ядерного) оснащения, может быть
достигнут только при применении корректируемых ИНС (ИНС, ком-
плексированных КЭНС либо средствами СНС) в сочетании с пря-
мым самонаведением на завершающем участке полета.
Если для МБР составляющие рассеивания при стрельбе (пусках)
на минимальную и максимальную дальности хотя и различаются, но
все же не слишком, то для ОТР эти различия (особенно инструмен-
тальной составляющей и топопривязки) могут составить разные по-
рядки.
Вторым важным отличием современных ОТР от МБР является
сопоставимость для первых инструментальных ошибок и ошибок
подготовки ПЗ, что определяется существенным различием в типе
реализуемых траекторий движения и как следствие невозможностью
столь же точного, как для МБР, решения КБЗ для ОТР.
Существует, правда, точка зрения, что при необходимости ошиб-
ки подготовки ПЗ ОТР всегда могут быть доведены до пренебрежимо
малых величин.
Представляется, однако, что данная точка зрения, как минимум,
не бесспорна. Дело заключается в том, что для МБР, например, ошиб-
ки подготовки ПЗ, не принято выделять в самостоятельную составля-
ющую.
Они обычно отождествляются или учитываются при оценке ме-
тодической ошибки управления, включаемой в число составляющих
технического рассеивания, иначе ошибки технической подготовки
пуска БР.
В этом есть определенный смысл, поскольку ошибки подготовки
ПЗ — это не просто погрешности расчетных зависимостей, методов
вычислений, аппроксимации зависимостей и других чисто математи-
ческих операций. Ошибки подготовки ПЗ — это погрешности опре-
деления тех чисел, которые будут закладываться в СУ БР перед пус-
ком. В реальных же пусках ОТР, как уже отмечалось, значительную
роль (во всяком случае, существенно большую, чем для МБР) играют
факторы, обусловленные влиянием атмосферы. Это в свою очередь
приводит к расширению области неопределенности (неоднозначно-
сти) при задании аэродинамических, тяговых характеристик и харак-
656
теристик состояния атмосферы, требуемых при решении КБЗ. Не-
определенность задания исходных данных даже при использовании
идеального с методической точки зрения инструмента не в состоянии
обеспечить точного формирования ПЗ. Таким образом, относительно
высокий уровень ошибок подготовки ПЗ ОТР (по сравнению с МБР)
является объективным следствием условий их применения.
Наконец, отметим последнее важное обстоятельство. Как извест-
но, МБР могут быть как стационарного, так и мобильного базирова-
ния. ОТР по своему назначению являются мобильными РК.
Для такого типа комплексов специального обсуждения требует
значение ошибки топопривязки.
Ошибка топопривязки МБР (как стационарного, так и мобильно-
го базирования) учитывается в составляющей геодезической (топо-
геодезической) подготовки и составляет примерно 30 % от суммар-
ного рассеивания (для наиболее неблагоприятных условий). Для РК
стратегического назначения стационарного базирования она суще-
ственно меньше.
Ошибка топопривязки РК мобильного базирования в свою оче-
редь определяется неточностью привязки начальной точки марш-
рута пусковой установки (ПУ) и навигационными погрешностями
топопривязки. Естественно, они зависят от используемых при этом
средств и систем, в частности, важно, предусматривается ли при
этом использование СНС.
Поэтому единственное, что можно сказать здесь о количествен-
ной оценке этой составляющей, что она существенно и нелинейно
зависит от того, применительно к какому случаю оценивается: к
стрельбе на минимальную или максимальную дальности. Причем
это отличие для ОТР будет значительно большим, чем для МБР
(в силу существенного различия относительных составляющих со-
ответствующих величин).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации (автономные систе-
мы). - М.: Наука, 1966.
2. Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации (корректируемые си-
стемы). - М.: Наука, 1967.
3. Андреевский В.В. Динамика спуска космических аппаратов на Зем-
лю. - М.: Машиностроение, 1970.
4. Аппазов Р.Ф., Лавров С.С., Мишин В.П. Баллистика управляемых ра-
кет дальнего действия. - М.: Наука, 1966.
5. Аппазов Р.Ф., Сытин О.Г. Методы проектирования траекторий носи-
телей и спутников Земли. - М.: Наука, 1987.
6. Астапов Ю.М., Медведев В. С. Статистическая теория систем автома-
тического регулирования и управления / Под ред. Е.П. Попова. - М.:
Наука, 1982.
7. АтансМ., ФалбП. Оптимальное управление. - М.: Машиностроение,
1968.
8. Аэродинамика ракет / Н.Ф. Краснов, В.Н. Кошевой, А.Н. Данилов и
др.; Под ред. Н.Ф. Краснова. - М.: Высш, шк., 1968.
9. Баклицкий В.К., Юрьев А.Н. Корреляционно-экстремальные методы
навигации. - М.: Радио и связь, 1982.
10. Баллистика: Учебник для курсантов и слушателей вузов ГРАУ МО
РФ / С.В. Беневольский, В.В. Бурлов, Л.Н. Лысенко и др.; Под ред.
Л.Н. Лысенко. - Пенза: ПАИИ, 2005.
11. Белоглазов И.Н., Тарасенко В.П. Корреляционно-экстремальные си-
стемы. - М.: Сов. радио, 1974.
12. Белоглазов И.Н. Рекуррентно-поисковые алгоритмы оценивания И
Докл. АН СССР. - 1977. - Т. 236. - № 2.
13. Бобнев М.П., Кривицкий Б.Х., Ярлыков М. С. Комплексные системы ра-
диоавтоматики. - М.: Сов. радио, 1968.
14. Брандин В.Н., Васильев А.А., Худяков С.Т. Экспериментальная косми-
ческая баллистика / Под ред. Д.А. Погорелова. - М.: Машинострое-
ние, 1974.
15. Брандин В.Н., Разоренов ГН. Определение траекторий космических
аппаратов. - М.: Машиностроение, 1978.
16. Бранец В.Н., Шмыглевский И.П. Применение кватернионов в задачах
ориентации твердого тела. - М.: Наука, 1973.
17. Бэттин Р.Х. Замкнутые и универсальные методы управления КА И
Астронавтика и ракетодинамика. - 1968. - Т. 6, № 19.
658
18. Бэттин Р.Х. Развитие методов наведения в космосе // Аэрокосмиче-
ская техника. - 1983. - Т. 1, № 3.
19. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. 3-е изд., испр. - М.: Наука, 1964.
20. Воробьев Л.М. К теории полета ракет. - М.: Машиностроение, 1970.
21. Гантмахер Ф.Р., Левин Л.М. Теория полета неуправляемых ракет. -
М.: Физматгиз, 1959.
22. Геофизические условия полета. Ч. 1: Математические модели ГПЗ /
В.Г. Кузнецов и др. - М.: Изд-во ВАД, 1993.
23. Горелик АЛ., Бутко Г.И., Белоусов Ю.А. Бортовые цифровые вычи-
слительные машины. - М.: Машиностроение, 1975.
24. Горенштейн И.А., Шульман И.А. Инерциальные навигационные си-
стемы. - М.: Машиностроение, 1970.
25. Горченко Л.Д. Метод терминального наведения по требуемому ускоре-
нию аэродинамически управляемых летательных аппаратов И Полет.
1999. №6.
26. Движение ракет (Введение в теорию полета ракет) / А.А. Дмитриев-
ский, В.П. Казаковцев, Л.Н. Лысенко и др.; Под ред. А.А. Дмитриев-
ского. - М.: Воениздат, 1968.
27. Динамика систем управления ракет с бортовыми цифровыми вычи-
слительными машинами / В.Д. Аренс, С.М. Федоров, М.С. Хитрик и
др.; Под ред. М.С. Хитрика и С.М. Федорова. - М.: Машиностроение,
1972.
28. Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н. Прикладные задачи теории опти-
мального управления движением беспилотных летательных аппара-
тов. - М.: Машиностроение, 1978.
29. Дмитриевский А.А. Внешняя баллистика. - М.: Машиностроение,
1979.
30. Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н., Иванов Н.М. и др. Баллистика и на-
вигация ракет / Под ред. А.А. Дмитриевского. - М.: Машиностроение,
1985.
31. Дмитриевский А.А., Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навига-
ция космических аппаратов. - М.: Машиностроение, 1986.
32. Дмитриевский А.А., Лысенко Л.Н. Внешняя баллистика. 4-е изд. - М.:
Машиностроение, 2005.
33. Жонголович ИД. Потенциал земного тяготения // Бюл. ин-та теор.
астрон. АН СССР. 1957. Т. 6, № 8.
34. Иванов Н.М., Лысенко Л.Н., Мартынов А.И. Методы теории систем в
задачах управления космическим аппаратом / Под ред. А.А. Дмитри-
евского. - М.: Машиностроение, 1981.
35. Иванов Н.М., Лысенко Л.Н. Баллистика и навигация космических ап-
паратов. 2-е изд. - М.: Дрофа, 2004.
36. Инерциальные системы управления / Под ред. Д. Питтмана. - М.: Во-
ениздат, 1964.
37. Иишинский А.Ю. Инерциальное управление баллистическими ракета-
ми. - М.: Наука, 1968.
38. Ишлинский А.Ю. Ориентация, гироскопы и навигация. - М.: Наука,
1976.
659
39. Казаков И.Е., Доступов Б.Г Статистическая динамика нелинейных
автоматических систем. - М.: Физматгиз, 1962.
40. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в простран-
стве состояний. - М.: Наука, 1975.
41. Колман Р, Бьюси Р. Новые результаты в линейной фильтрации и те-
ории предсказания И Тр. амер, об-ва инженеров-механиков. Сер. Д.
1961. Т. 83, № 1.
42. Калугин В.Т. Аэрогазодинамика органов управления полетом лета-
тельных аппаратов. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.
43. Карпенко А.В., Уткин А.Ф., Попов АД. Отечественные стратеги-
ческие ракетные комплексы: Справочник / Под ред. В.Ф. Уткина,
Ю.С. Соломонова, ГА. Ефремова. - СПб.: Невский бастион - Гангут,
1999.
44. Кирст М.А. Навигационная кибернетика полета. - М.: Воениздат,
1971.
45. Колесников КС. Жидкостная ракета как объект регулирования. - М.:
Машиностроение, 1969.
46. Колесников КС., Сухов В.Н. Упругий летательный аппарат как объект
автоматического управления. - М.: Машиностроение, 1974.
47. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей И
Успехи математических наук. Вып. 5. - М.: Изд-во АН СССР, 1938.
48. Командно-измерительные приборы / Под ред. Б.И. Назарова. - М.:
Изд-во МО СССР, 1987.
49. Космические радиотехнические комплексы / С.И. Бычков, Д.П. Лу-
кьянов, Б.Н. Назимок и др. - М.: Сов. радио, 1967.
50. Космодемьянский А.А. Курс теоретической механики: Ч. II. - М.: Про-
свещение, 1966.
51. Костров А.В., Ситарский Ю.С. Рассеивание управляемых баллисти-
ческих ракет. - М.: Машиностроение, 1977.
52. Костюковский Ю.М. О наблюдаемости нелинейных управляемых си-
стем И Автоматика и телемеханика. 1968. № 9.
53. Кочетков В.Т., Половко А.М., Пономарев В.М. Теория систем теле-
управления и самонаведения ракет. - М.: Наука, 1964.
54. Краснов Н.Ф. Аэродинамика: Ч. I, II. - М.: Высш, шк., 1980.
55. Красовский А.А., Белоглазов И.И., ЧигинГ.П. Теория корреляционно-
экстремальных навигационных систем. - М.: Наука, 1979.
56. Кузовков Н. Т. Системы стабилизации летательных аппаратов (балли-
стических и зенитных ракет). - М.: Высш, шк., 1976.
57. Кузовков Н. Т., Карабанов С.В., Салычев О.С. Непрерывные и дискрет-
ные системы управления и методы идентификации. - М.: Машино-
строение, 1978.
58. Лахтин Л.М. Свободное движение в поле земного сфероида. - М.:
Физматгиз, 1963.
59. Лебедев А.А., Чернобровкин Л.С. Динамика полета беспилотных ле-
тательных аппаратов. - М.: Машиностроение, 1973.
60. Лебедев А. А., Карабанов В.А. Динамика систем управления беспилот-
ными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1965.
660
61. Лебедев А. А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет (Некоторые задачи
баллистики ракет дальнего действия). - М.: Машиностроение, 1970.
62. Летов А.М. Динамика полета и управление. - М.: Наука, 1969.
63. Летные испытания ракет и космических аппаратов / Е.И. Кринецкий,
Л.Н. Александровская, А.В. Шаронов и др.; Под ред. Е.И. Кринец-
кого. - М.: Машиностроение, 1979.
64. ЛоккА. Управление снарядами. - М.: Физматгиз, 1958.
65. Липтон А. Выставка инерциальных систем на подвижном основа-
нии.-М.: Наука, 1971.
66. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов (нели-
нейная фильтрация и смежные вопросы). - М.: Наука, 1974.
67. Лысенко Л.Н., Панкратов И.А. Обработка результатов измерений в
задачах управления движением / Под ред. Л.Н. Лысенко. - М.: Изд-во
МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1980.
68. Лысенко Л.Н., Властовский О.М. Новый подход к оцениванию функ-
ционалов переменных состояния наблюдателем минимальной размер-
ности в присутствии шумов И Техническая кибернетика. 1986. № 4.
69. ЛысенкоЛ.Н., Кушнарев В.И. Методы восстановления вектора состоя-
ния нелинейной динамической системы по результатам наблюдений И
Автоматика и телемеханика. 1987. № 2.
70. Лысенко Л.Н., Панкратов И.А. Основы спутниковой навигации. - М.:
Воениздат, 1988.
71. Лысенко Л.Н. Основы теории идентификации управляемых летатель-
ных аппаратов по наблюдаемым параметрам их движения И Оборон-
ная техника. 1992. № 7/8.
72. ЛысенкоЛ.Н. Проблемы алгоритмизации оптимальных стратегий сто-
хастического управления спускаемым аппаратом И Оборонная техни-
ка. 1994. № 1.
73. Лысенко Л.Н., Кравец В.В. Симметризованный подход к представле-
нию тензора инерции составных асимметричных объектов ракетно-
космической техники И Вести. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностро-
ение. 1996. № 1 (22).
74. Лысенко Л.Н., Кравец В.В. Алгоритмические проблемы математи-
ческого моделирования движения летательных аппаратов И Вести.
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Машиностроение. 1997. № 2 (27).
75. Лысенко Л.Н., Кыонг НТ. Применение байесовского подхода при
разработке адаптивных мультиструктурных алгоритмов оптималь-
ной фильтрации в условиях неизвестных интенсивностей смены
структур И Вести. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Приборостроение. 1997.
№ 4 (28).
76. Лысенко Л.Н., Кыонг Н.Т. Теоретические и прикладные аспекты син-
теза мультиструктурных схем рекуррентной обработки информации в
навигационных системах летательных аппаратов И Изв. АН РФ. Тео-
рия и системы управления. 1997. № 6.
77. Лысенко Л.Н., Кыонг Н.Д., Ты Ф.В. Интерактивный синтез законов
управления движением летательных аппаратов в условиях неопреде-
ленности на основе теории нечетких множеств И Полет. 2000. № 5.
661
78. Лысенко Л.Н. Анализ тенденций и приоритетов в разработке
баллистико-навигационного обеспечения управления полетом ракет
дальнего радиуса действия И Известия РАРАН. 2003. № 1.
79. Лысенко Л.Н., Яфраков М.Ф. Аппаратно-алгоритмическое обеспече-
ние интеллектуализированных систем наведения баллистических ра-
кет И ВПК. 2004. № 2, 3.
80. Лысенко Л.Н., Надер Альхав М. Модифицированный фильтр Калма-
на для оценивания движения боеприпасов в условиях прогнозируе-
мого возникновения явления параметрического резонанса И Известия
РАРАН. 2004. 1(38).
81. Лысенко Л.Н. Анализ эффективности применения аэродинамическо-
го маневрирования ГЧ БРДД в качестве средства преодоления систем
противоракетной обороны И ВПК. 2005. № 1 (61).
82. Марченко А.Н. О некоторых теоретических аспектах представления
геопотенциала потенциалом системы точечных масс И Изв. вузов. Гео-
дезия и аэрофотосъемка. 1982. № 3.
83. Межконтинентальные баллистические ракеты СССР (РФ) и США /
Под ред. Е.Б. Волкова. - М.: РВСН, 1996.
84. Медведев Г.А., Тарасенко В.П. Вероятностные методы исследования
экстремальных систем. - М.: Наука, 1967.
85. Механика полета (инженерный справочник) / С.А. Горбатенко,
Э.М. Макашов, Ю.Ф. Полушкин и др. - М.: Машиностроение, 1969.
86. Мещерский И.В. Работы по механике тел переменной массы. - М.:
Гостехиздат, 1952.
87. Могилевский В.Д. Наведение баллистических летательных аппара-
тов. - М.: Машиностроение, 1976.
88. Одинцов В.А. Радионавигация летательных аппаратов. - М.: Машино-
строение, 1968.
89. Оружие России. - М.: Издат. дом «Военный парад», 2000.
90. Основы автоматического управления / В.С. Пугачев, И.Е. Казаков,
Д.И. Гладков и др.; Под ред. В.С. Пугачева. - М.: Наука, 1974.
91. Основы теории систем управления высокоточных ракетных комплек-
сов Сухопутных войск / Б.Г. Гурский, М.А. Лющанов, Э.П. Спирин и
др. / Под ред В.Л. Солунина. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2001.
92. Остославский И.В., Стражева И.В. Динамика полета. - М.: Маши-
ностроение, 1969.
93. Острем К. Введение в стохастическую теорию управления. - М.:
Мир, 1973.
94. Параметры Земли 1990 г. - М.: Координац. науч.-инф. центр, 1998.
95. Пельпор Д.С., Ягодкин В.В. Гироскопические системы. Ч. I: Системы
ориентации и навигации / Под ред. Д.С. Пельпора. - М.: Высш, шк.,
1971.
96. Пугачев В.С. Теория случайных функций и ее применение к задачам
автоматического управления. - М.: Физматгиз, 1962.
97. Проектирование и испытание баллистических ракет / Под ред.
В.И.Варфоломеева и М.И. Копытова. - М.: Воениздат, 1970.
662
98. Разоренов ГН, Бахрамов Э.А., Титов Ю.Ф. Системы управления ле-
тательными аппаратами (баллистическими ракетами и их головными
частями) / Под ред. ГН. Разоренова. - М.: Машиностроение, 2003.
99. Ривкин С.С. Теория гироскопических устройств. - Л.: Судпромгиз,
ч. I., 1962., ч. II, 1964.
100. Ривкин С.С., Ивановский Р.И., Костров А.В. Статистическая оптими-
зация навигационных систем / Под ред. И.Б. Челпанова. - Л.: Судо-
строение, 1976.
101. Россер Д., Ньютон Р., Гросс Г. Математическая теория полета неупра-
вляемых ракет / Пер. с англ. - М.: Мир, 1950.
102. Российское ракетное оружие. 1943—1993 гг.: Справочник / Под ред.
А.В. Карпенко. - СПб.: ПИКА, 1993.
103. Свешников А.А. Прикладные методы теории случайных функций. -
М.: Наука, 1968.
104. Селезнев В.П. Навигационные устройства. - М.: Машиностроение,
1974.
105. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и
управлении. - М.: Связь, 1976.
106. Сетевые спутниковые радионавигационные системы / В.С. Шебшае-
вич, П.П. Дмитриев, Н.В. Иванцевич и др.; Под ред. П.П. Дмитриева,
В.С. Шебшаевича - М.: Радио и связь, 1982.
107. Сихарулидзе Ю.Г. Баллистика летательных аппаратов. - М.: Наука,
1982.
108. Сосновский А.А., Хаймович И.А. Авиационная радионавигация (спра-
вочник). - М.: Транспорт, 1980.
109. Статистическая динамика управляемого полета / А.А. Лебедев, В.Т.
Бобронников, М.Н. Красильщиков и др. - М.: Машиностроение, 1978.
110. Теоретические основы авиа- и ракетостроения: Ч. 1 / А.С. Чумадин,
В.И. Ершов, В.А. Барвинок, Л.Н. Лысенко и др. - М.: Дрофа, 2005.
111. Теоретические основы управления полетом баллистических ракет и
головных частей. Ч. 1 / Под ред. ГН. Разоренова. - М.: МО РФ, 2001.
112. Теория полета. Ч. I и II / Под ред. Д.А. Погорелова. - М.: Изд-во МО
СССР. 1974.
113. Теория полета ракет-носителей / ГИ. Кудин, В.П. Насонов, С.К. Слез-
кинский и др. - СПб.: МО РФ, 1994.
114. Точность межконтинентальных баллистических ракет / Л.И. Волков,
А.И. Прокудин, В.С. Гаврилов, ГН. Мохоров; Под ред. Л.И. Волкова. -
М.: Машиностроение, 1996.
115. Феодосьев В.И., Синярев ГБ. Введение в ракетную технику. - М.: Обо-
ронгиз, 1960.
116. Феодосьев В.И. Основы техники ракетного полета. - М.: Наука, 1979.
117. Фридлендер ГО. Инерциальные системы навигации. - М.: ГИФМЛ,
1961.
118. Фролов В.С. Инерциальное управление ракетами. - М.: Воениздат,
1975.
119. Фролов В.С. Радиоинерциальные системы наведения. - М.: Сов. ра-
дио, 1976.
663
120. Цубои Т Гравитационное поле Земли. - М.: Мир, 1982.
121. Челпанов И.Б. Оптимальная обработка сигналов в навигационных си-
стемах. - М.: Наука, 1967.
122. Шалыгин А.С., Палагин Ю.И. Прикладные методы статистического
моделирования. - Л.: Машиностроение, 1986.
123. Школьный Е.П., Майборода Л.А. Атмосфера и управление движением
летательных аппаратов. - Л.: Гидрометеоиздат, 1973.
124. Шулер М. Возмущение маятников и гироскопических приборов уско-
рениями точки подвеса / Пер. с нем. И Физ. периодический журнал.
Т. 24. 1923.
125. Экспериментальная баллистика ракетно-космических средств / Под
ред. Л.Н. Лысенко, В.В. Бетанова, И.В. Лысенко. - М.: Изд-во ВА
РВСН, 2000.
126. Яновский Б.М. Земной магнетизм. - М.: Гостехиздат, 1953.
127. World Geodetic System 1994, Technical Report NIMA, TR 8350.2, Third
Edition, 1997.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора................................................. 3
Предисловие............................................... 27
Список основных, сокращений............................... 32
Основные обозначения...................................... 35
Введение.................................................. 38
РАЗДЕЛ I. ВНЕШНИЕ УСЛОВИЯ ПОЛЕТА РАКЕТ................ 50
Глава 1. Фигура и гравитационное поле Земли 51
1.1. Фигура Земли и ее модели..................... 51
1.2. Потенциал силы земного тяготения и его классиче-
ское представление................................ 58
1.3. Применение метода точечных масс.............. 67
Г л а в а 2. Магнитное поле Земли .................... 70
2.1. Основные понятия и элементы земного магнетизма . 70
2.2. Математическое описание магнитного поля Земли . 72
Г л а в а 3. Атмосфера Земли.......................... 73
3.1. Состав и свойства атмосферы................. 73
3.2. Стандартная атмосфера....................... 75
3.3. Учет характеристик реальной атмосферы....... 79
РАЗДЕЛ II. БАЛЛИСТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ПОЛЕТА
УПРАВЛЯЕМЫХ БР........................................... 83
Г л а в а 4. Математические основы баллистического обеспе-
чения полета.......................................... 85
4.1. Системы координат и методы их преобразований . . 85
4.2. Силы и моменты, действующие на БР в полете . ... 100
4.3. Векторно-матричные представления уравнений дви-
жения ракет как тел переменной массы.............120
4.4. Системы скалярных дифференциальных уравнений
пространственного движения ЛА баллистического
типа на активном и пассивном участках траектории . 127
4.5. Упрощенные уравнения движения БР............135
665
4.6. Уравнения движения БР с учетом упругих колебаний
ее корпуса........................................141
4.7. Возмущенное движение БР и общая характеристика
методов его исследования .........................145
4.8. Линеаризация уравнений движения..............150
4.9. Общий подход к расчету попадающей траектории . . 158
4.10. Обзор возможных методов определения баллистиче-
ских производных..................................162
Глава 5. Синтез программ управления движением БР на
восходящем участке траектории..........................171
5.1. Требования, предъявляемые к программам управле-
ния и оптимизация их модельных структур...........171
5.2. Особенности и различия в выборе программ движе-
ния БР на атмосферном и внеатмосферном участках
АУТ...............................................186
5.3. Программы максимальной дальности.............189
5.4. Выбор программы движения БР с учетом характери-
стик точности ....................................194
5.5. Особенности выбора и реализации программ движе-
ния БР с РДТТ ....................................195
Г л а в а 6. Решение краевых задач баллистики управляе-
мых БР.................................................197
6.1. Формулировка и общая характеристика краевых за-
дач баллистики ...................................197
6.2. Требования, предъявляемые к математическим мо-
делям движения краевых задач баллистики...........203
6.3. Типовая схема решения краевой баллистической за-
дачи полета БР с моноблочной ГЧ...................206
6.4. Особенности постановки и решения краевой балли-
стической задачи полета БР с разделяющейся ГЧ ..212
6.5. Специфика решения краевых задач для БР без отсеч-
ки тяги...........................................221
6.6. Вычисление баллистических производных в крае-
вых задачах баллистики ...........................226
6.7. Связь между ЧБП, задаваемыми в различных прямо-
угольных системах координат.......................242
РАЗДЕЛ III. МЕТОДЫ НАВЕДЕНИЯ БР И ИХ ГОЛОВНЫХ
ЧАСТЕЙ ..............................................245
Г л а в а 7. Методы наведения баллистических ракет.....246
7.1. Общая характеристика методов наведения БР .... 246
7.2. Принципы построения алгоритмов функционально-
го наведения......................................250
7.3. Упрощенные линейные методы управления выключе-
нием ДУ БР .......................................259
666
7.4. Возможные подходы к реализации терминального
наведения ........................................270
7.5. Алгоритмизация процедур расчета типового вариан-
та метода терминального наведения.................278
7.6. Метод требуемой скорости в варианте «Q-наведе-
ния» .............................................292
7.7. Особенности реализации метода конечной требуе-
мой скорости......................................302
Гл ава 8. Управление полетом ступени разведения при по-
строении боевых порядков элементов боевого
оснащения..............................................311
8.1. Боевое оснащение МБР.........................311
8.2. Построение боевых порядков...................317
8.3. Баллистическое обеспечение построения боевых по-
рядков ...........................................321
8.4. Управление переориентацией ступени разведения на
этапе построения боевого порядка..................324
8.5. Основные виды маневров, осуществляемых при
управлении вращательно-поступательным движе-
нием последней ступени БР.........................326
8.6. Постановка задачи оптимизации маршрута обхода
целей.............................................331
Г л а в а 9. Управление маневрированием ББ на нисходящем
участке траектории.....................................335
9.1. Содержание возможных видов атмосферного манев-
рирования ........................................335
9.2. Постановка задач управления атмосферным манев-
рированием .......................................342
9.3. Теоретические основы метода требуемых ускоре-
ний ..............................................348
9.4. Практические аспекты применения метода требуе-
мых ускорений.....................................351
Глава 10. Самонаведение при подлете к цели..............361
10.1. Предпосылки необходимости и технической реали-
зуемости процессов самонаведения БР и их ББ ... 361
10.2. Кинематический анализ основных свойств траекто-
рий наведения и общие сведения о методах самона-
ведения ..........................................363
10.3. Теоретические основы метода пропорциональной
навигации в общем случае учета маневра цели .... 367
10.4. Динамика самонаведения при реализации метода
пропорциональной навигации........................379
Глава 11. Математические основы алгоритмизации обзор-
но-сравнительного метода при наведении по эта-
лонам местности........................................395
667
11.1. Принцип построения и классификация корреля-
ционно-экстремальных навигационных систем
(КЭНС)............................................395
11.2. Основы реализации многоальтернативных задач те-
ории принятия решений в КЭНС .....................402
11.3. Корреляционно-экстремальный алгоритм фиксации
прохождения ЛА района, характеризуемого анома-
лией геофизического поля .........................412
11.4. Оптимизация поисковых алгоритмов работы КЭНС 414
РАЗДЕЛ IV. НАВИГАЦИЯ БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ
И ИХ ГОЛОВНЫХ ЧАСТЕЙ ......................................419
Глава 12. Теоретические основы инерциальной навигации . 423
12.1. Кажущееся ускорение и кажущаяся скорость БР . . . 423
12.2. Принцип инерциальных измерений и основное урав-
нение инерциальной навигации......................426
12.3. Общая характеристика и классификация платфор-
менных ИНС........................................430
12.4. Особенности решения задач навигации при исполь-
зовании БИНС......................................438
12.5. Основные источники и характер эволюций ошибок
ИНС ..............................................444
12.6. Свойство неустойчивости решения основного урав-
нения инерциальной навигации......................449
12.7. Начальная выставка ИНС......................450
Глава 13. Статистическая динамика навигационных
систем.................................................455
13.1. Элементы системного анализа задач навигации и
управления движением..............................455
13.2. Наблюдающие устройства и алгоритмические аспек-
ты их синтеза.....................................469
13.3. Теорема разделения и ее применение при решении
задач навигации и управления......................473
13.4. Введение в теорию оптимальной фильтрации .... 480
13.5. Способы включения оптимального фильтра в контур
навигационной системы ............................510
13.6. Понижение размерности фильтра в навигационных
системах на основе наблюдающих устройств мини-
мальной размерности ..............................519
13.7. Беспоисковые и рекуррентно-поисковые алгоритмы
оценивания навигационных координат в КЭНС . . . 522
Глава 14. Коррекция движения ЛА баллистического типа и
баллистико-навигационного обеспечения их ав-
тономных систем управления от дополнительных
источников навигационной информации....................526
668
14.1. Общая постановка задачи коррекции...........526
14.2. Градиентная и параметрическая коррекция про-
граммного движения.................................532
14.3. Коррекция движения с использованием эталонов
местности..........................................546
14.4. Коррекция движения от спутниковых навигацион-
ных систем.........................................551
Глава 15. Элементы искусственного интеллекта в систе-
мах навигации и управления полетом БР и их
аппаратно-алгоритмическая реализация....................560
15.1. Определения, основные задачи применения и клас-
сификация .........................................560
15.2. Структура и возможные принципы действия борто-
вого сегмента интеллектуальных СУ БР ..............562
15.3. Применение систем видеонаведения и условия их
эксплуатации ......................................569
15.4. Характеристики системы видеонаведения ......576
15.5. Особенности реализации алгоритмического обеспе-
чения систем наведения 580
15.6. Формирование структуры системы наведения и ана-
лиз основных алгоритмических операций 583
15.7. Аппаратная реализация.......................588
15.8. Возможности применения обучаемых сетей......589
15.9. Эталонная информация и базы данных для обучения
системы .....................................593
РАЗДЕЛ V. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПОЛЕТА БР...................598
Глава 16. Общетеоретические основы оценки точностных
характеристик движения БР....................600
16.1. Исходные положения статистической схемы анализа
рассеивания........................................600
16.2. Характеристики точности попадания в цель....610
16.3. Определение характеристик рассеивания методом
статистических испытаний...........................616
Глава 17. Влияние требований по повышению точности БР
на совершенствование баллистико-навигацион-
ного обеспечения полета ................................625
17.1. Общая характеристика основных ошибок и априори
неопределенных факторов, влияющих на точность
движения БР........................................625
17.2. Погрешности геодезической привязки боевой стар-
товой позиции и оценка численных значений их со-
ставляющих ........................................628
17.3. Влияние начальных ошибок выставки ..........639
669
17.4. Техническое рассеивание БР и влияние методиче-
ских ошибок.........................................643
17.5. Комплексный анализ составляющих рассеивания,
обусловленных действием возмущающих факторов
и ошибок управления.................................653
Список литературы .......................................658
Учебное издание
Лысенко Лев Николаевич
НАВЕДЕНИЕ И НАВИГАЦИЯ
БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РАКЕТ
Редактор В.М. Царев
Корректор Р.В. Царева
Художник С.С. Водчиц
Компьютерная верстка В.И. Товстоног
Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ
им. Н.Э. Баумана
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.008880.09.06 от 29.09.2006 г.
Подписано в печать 31.08.07. Формат 60x90/16. Печать офсетная.
Бумага офсетная. Печ. л. 42. Уч.-изд. л. 39,58.
Тираж 2000 экз. (2-й завод 1000 — 2000 экз.). Заказ № 1697
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5
Отпечатано с готовых диапозитивов в ГУП ППП «Типография
«Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6
Для заметок