Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие - Ермаков В.И., Петров В.А., Матвеев В.И., Бобрик Г.И., Рудык Б.М., Сагитов Р.В., Смагина О.К., Шершнев В.Г., Гринцевичюс Р.К.

Автор: Ермаков В.И. Петров В.А. Матвеев В.И. Бобрик Г.И. Рудык Б.М. Сагитов Р.В. Смагина О.К. Шершнев В.Г. Гринцевичюс Р.К.
Теги: экономические науки основные понятия стоимость капитал фонды высшая математика математика экономика учебное пособие сборник задач
ISBN: 5-16-000301-0
Год: 2003
Похожие
Краткий курс математики для экономистов
Сборник задач по высшей математике
Высшая математика для экономистов
Текст
                    ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ__________________
серия оСнорана в 1 996 г.
Российская экономическая академия им. Г.0. Плеханова
i
СБОРНИК ЗАДАЧ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
для экономистов
Аналитическая геометрия • Линейная алгебра
Математический анализ • Теория вероятностей
Математическая статистика
Линейное программирование
Учебное пособие
Под редакцией проф. В.И. Ермакова
Рекомендовано
Министерством образования
Российской Федерации в качестве
учебного пособия для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по экономическим и
управленческим специальностям
Москва
ИНФРА-М
2003
УДК 330.115(075.8)
ББК 22.11я73
С23
Коллектив авторов:
В.И. Ермаков, Г.И. Бобрик, Р.К. Гринцевичюс, В.И. Матвеев,
В. А. Петров, Б.М. Рудык, RB Сагитов, О.К^Смагина, В.Г. Шершнев
Сборник задач по высшей математике для эконом истов:
С23 Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова, — М.: ИНФРА-М,
2003. — 575 с. — (Серия «Высшее образование»).
ISBN 5-16-000301-0
В соответствии с учебной программой подготовки экономистов в сборник
включены задачи по основным разделам общего курса высшей математики:
аналитическая геометрия, линейная алгебра, математический анализ, теория
вероятностей, математическая статистика, линейное программирование.
Специально выделен раздел, посвященный применению аналитической
геометрии и математического анализа в экономике.
Во всех разделах приведены краткие теоретические сведения, ряд задач
снабжен решениями. Задачник содержит типовые практикумы с контрольными
тестами.
Предназначен для студентов экономических специальностей.
ББК 22.11я73
ISBN 5-16-000301-0
© Коллектив авторов, 2001
ПРЕДИСЛОВИЕ
В начале обучения студенты экономических вузов изучают
курс высгцей математики, который служит фундаментальной
базой экономического образования. Для подготовки экономис-
тов требуются не только учебники и справочники по соответ-
ствующим разделам высшей математики, но и задачники, не-
обходимые для закрепления теоретического материала на
практических занятиях и при самостоятельной работе студен-
тов .	!
При подготовке задачника авторы стремились, с одной сто-
роны, тесно увязать предлагаемые для рассмотрения примеры
с соответствующими программами курса и, с другой стороны,
составить упражнения, наполненные экономическим содер-
жанием, чтобы показать возможность и целесообразность ис-
пользования математического аппарата в экономических ис-
следованиях.
Данный сборник задач непосредственно связан с учебником
по общему курсу высшей математики, выпущенным издатель-
ством «ИНФРА-М» в 1999 г., и охватывает материал по ана-
литической геометрии, линейной алгебре, математическому
анализу, теории вероятностей, математической статистике и
линейному программированию.
Материал по аналитической геометрии дан в сжатом виде,
он обеспечивает усвоение тех основных понятий и сведений,
которые наиболее часто востребуются как студентами во время
дальнейшей учебы, так и экономистами-практиками.
Более полно представлен материал по линейной алгебре, по-
скольку эт^от раздел широко используется в таких математи-
ческих курсах, как теория вероятностей и математическая
статистика, исследование операций и др.
Задачи ро математическому анализу как наиболее круп-
ному и достаточно сложному разделу высшей математики за-
3
нимают значительную часть сборника и представлены в пол-
ном, необходимом для усвоения курса, объеме.
В разделе, посвященном применению аналитической гео-
метрии и математического анализа в экономике, показы-
вается, как соответствующие формулы и методы, изучаемые в
курсе, используются в экономических исследованиях. Мате-
риал этого раздела может быть полезен при проведении эко-
номического анализа.
Разделы с задачами по теории вероятностей и математи-
ческой статистике, в первую очередь, обеспечивают про-
грамму подготовки студентов общеэкономических специаль-
ностей, но могут быть использованы и при изучении курса выс-
шей математики на других специальностях. Большинство за-
дач этих разделов имеет экономическое содержание.
Задачи раздела линейного программирования составлены на
основе Экономико-математических моделей, описывающих
поведение различных экономических процессов в линейной
или линеаризованной форме, что также говорит о возможнос-
ти их непосредственного применения в экономических иссле-
дованиях.
Особенностью данного задачника является введение в каж-
дый раздел практикумов, которые могут служить основой при
контрольной проверке знаний этих разделов студентами.
Задачник может быть использован студентами экономиче-
ских вузов и колледжей, а также студентами экономических
специальностей других вузов.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЕКТОРЫ
1.1. Линейные операции над векторами
Геометрическим вектором или просто вектором называется направ-
ленный отрезок.
. Вектор обозначается двумя буквами АВ с чертой или стрелкой над
ними, причем первая буква указывает начало вектора, а вторая — его
конец. Вектор может быть обозначен также одной буквой латинского
алфавита $,4. Длину или модуль вектора обозначают в виде |АВ |а |.
Суммой двух векторов а иЬ называется третий
вектор a +i b, который идет из начала первого век- “
тора а в конец второго b , если второй вектор вы-	—=—
О
ходит из конца первого (рис. 1.1).
Разностью двух векторов а и b называется тре-
тий вектор а - 6 , который представляет собой сумму
вектора а и вектора, противоположного вектору Ъ ,
т.е. а - b = а + (~Ь) (рис. 1.2).
Рис. 1.1
Произведением вектора 5 на число X называется
вектор, обозначаемый Ха , такой, что:
а
Рис. 1.2
1)|ла| -|л| |а|;
2) векторы а и Ха имеют одно направление, если X > 0, и противо-
положное, если X < 0.
Если вектор а составляет угол ф с осью Ох, то проекцией вектора на
эту ось называется произведение модуля вектора на косинус угла ф:
прха “=]а|созф.
5
Проекция суммы векторов а и b на ось Ох равна сумм® проекций
этих векторрв на эту ось:	:
	.	прх(а 4- Ъ ) = прга + npxi>.	.
В трехмерном пространстве Oxyz вектор а может быть представлен
разложением по координатному базису в виде '
а = xi + у j +zk,
где i , /, k — единичные базисные векторы, направление каждого из ко-
торых совпадает с положительным направлением соответ-
ствующей оси;
х, у, z — проекции вектора а на оси координат.
Длина (модуль) вектора определяется через проекции по формуле
|Й | “ -J*2 + i/2 + 2* .
Косинусы углов ос, р, у, образованных вектором а с осями координат,
находятся в виде отношений
cos а =	♦ cos В = т^т, cos у = г^т -
|о|	|а|	|а| 
Они называются направляющими косинусами.
Равенство а = (х, у, г) используется для выражения вектора а через
его проекции на заданные координатные оси.
Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых,
называются коллинеарными. Условие коллинеарности двух векторов
а = (jq, q) и & = (х2, </2* ^э) записывается в виде
а =
где /I — числовой множитель.
Через координаты это условие записывается в виде
xi _	=
хг у2 q '
1.1.	Найти длину вектора a = 2i + 3/ — 6 k и его направ-
ляющие косинусы.
1.2.	Даны точки М1(4; —2; 6), ЛГ2(1; 4; О). Найти длину и
направление вектора М2Мг .
1.3.	Найти вектор а, образующий с тремя базисными век-
торами i, j , k равные острые углы, при условии, что [а | = 2 */3 .
6
1.4.	Даны три вершины параллелограмма ABCD: А(3; —4; 7),
В(-5; 3; —2), С(1; 2; -3). Найти его четвертую вершину D.
1.5.	Даны вершины треугольника А(3; -1; 5), В(4; 2; ~5).
С(-4; 0; 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины А.
1.6.	Построить параллелограмм на векторах а = 2i + j и
b - h — 3j и определить длины его диагоналей.
1.7.	Определить длины сторон параллелограмма, диагоналя-
ми которого служат векторы с = 3i + 2J — /г и d = 2i — 2j + 4й.
1.8.	Определить модули векторов, на которых построен па-
раллелограмм с диагоналями с = 21 — j + 3fe,d = i + 2/ — k.
1.9.	Даны модули векторов |а| = 13, |b| ~ 19, |й +	= 24.
Вычислить |d ~ Ь|..
1.10.	Даны модули векторов = 11, jbj = 23, ja — b| = 30.
Определить |d + Ь|.
1.11.	Векторы а и Ь образуют угол ф = 60°, причем |а| = 3,
| = 8. Определить |а + b| и [a — b|.
1.12.	Определить, при каких значениях а и Р векторы
а = — 2i + 3/ + Р& и 5 = cu — 6j + 2 k коллинеарны.
1.13.	На плоскости даны три вектора а = 2i , b = 3/ + 3/ ,
с = 2i + 6j . Разложить вектор с по векторам а и b .
Решение. Представим разложение вектора с в виде с =• та + пЪ , где т и
п — неизвестные коэффициенты.
Выразим каждый из векторов а , b , с через единичные векторы:
2t + 6 j = m  2i + n(3i -H 3j ) — (2m + 3n)i + 3nj .
Откуда 2 = 2 m + 3n, 6 = 3n n = 2, m = -2.
Значит, c = -2a + 2b =2(5 - a ).
1.14.	На плоскости даны векторы a = i + 3j, b = 21 —2/,
c ~ 2i — 4j . Разложить вектор с по векторам а и Ъ.
1.15.	Дф.ны четыре вектора а = (2; 1; О), b (1; — 1; 2),
с = (2; 2; i-1), d = (3; 7; -7). Разложить вектор d по векторам
а, Ь, ё.
1.16.	При условиях задачи 1.15 разложить вектор а по век-
торам Б , с , d .
7
1.2. Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов называется произведение их мо-
дулей на косинус угла между векторами:
а • Б == [а| |&1 cos ф.
Из данного выражения можно найти cos <р:
cos tp =	.
ЙИ
Если векторы выражены через координаты в декартовой системе ко-
ординат а - (xlt ylt zj), b = (x2, у2»	скалярное произведение оп-
ределяется как сумма попарных произведений соответствующих коор-
динат:
а - b = хух2 + у 1У2 + 2i*2-
Условием перпендикулярности векторов а и Б является
равенство нулю их скалярного произведения:
а  b ~ О, или XjX2 4- У1У2 + 2?iZ2 = О.
Скалярное произведение может быть также представлено в виде
а  Ъ = (а|праБ =^Ь[пр^а»
где пр5 b»пр& а — проекций одного из векторов на направление второго
вектора.
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
1) а  Ъ — Б • а ;
2) (а + Б)  с = а • с 4- b * с .
Модуль вектора а может быть представлен в виде
где а 2 — скалярный квадрат вектора a t равный а • а -
1.17.	Определить скалярное произведение векторов а = 3/ 4-
+ 4/47йиЬ=21- 3 у + 2 fe.
1.18.	Определить угол между векторами а ~ i +2; + 3fe
и Б = 61 + 4/ — 2fe.
8
1.19.	Даны точки М*(2; О; О), Af2(0; 0; 4), М3(2; 0; 2),
0(0; О; 0)Р Построить векторы OAf3, МгМ2 и найти угол меж-
ду ними.
1.20.	Найти длины сторон и углы треугольника с вершина-
ми АЫ; —2; 4), В(-4; -2; 0), С(3; -2; 1).
1,21,	Найти угол между диагоналями параллелограмма» по-
строенного на векторах а = — 2j + jfe , Ъ = 2i + j .
1.22.	Найти угол между диагоналями параллелограмма, ес-
ли заданы три его вершины А(2; 1; 3), В(5; 2; -1), С(-3; 3; -3).
1.23.	Найти угол между диагоналями параллелограмма, по-
строенного на векторах а ~ (6; -1; 1), Б = (2; 3; 1).
1.24.	Даны векторы а 2т 4- 4п и Ъ = т — п г где пг и
п — единичные векторы, образующие угол в 120°. Найти угол
между векторами а и Б .
1.25.	Найти проекцию вектора а = i + j + 2k на вектор
b = i — j + 4k .
1.26.	В плоскости находятся три вектора d, Ъ, с. Даны
модули этих векторов |й| = 2, |6| = 3, |с| = 5 и углы между
векторами (d, Б) = 60е, (ё , ё) = 60°. Найти модуль вектора
й = -а + b -с.
1.27.	В плоскости находятся два вектора й и &. Даны моду-
ли этих векторов }d| = 3,	= 4 и угол между ними ср = 60°.
Найти модуль вектора й = 2а - Ь.
1.28.	Угол между двумя векторами d и Ь равен л/6. Извест-
ны длины векторов | а | — д/З , | Б | = 1. Определить угол между
векторами с ~ d + b, d а — Б.
1.29.	Определить, при каком значении т векторы
а = mi -I 3/ + 2k и ё = I +2/ - тк взаимно перпендику-
лярны. ;
1.30.	Даны вершины треугольника А(1; 2; 1), В(3; -1; 7),
С(7; 4; —2). Показать, что этот треугольник равнобедренный.
9
1.31.	Найти проекцию вектора а = 2i - 3j 4- 2 k на ось, со-
ставляющую с координатными осями равные острые углы.
1.32.	Даны вершины четырехугольникаЛ(1; -2; 2), В(1; 4; 0),
С(-4; 1; 1) и £>(-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали взаимно
перпендикулярны.
2. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
2.1.	Прямая на плоскости
Уравнение прямой, проходящей через точку ЛГ0(х0, j/0) и перпенди-
кулярной вектору п = (а , Ь), получают на основе использования скаляр-
ного произведения двух векторов.
Пусть М(х, у) — произвольная точка
прямой I (рис. 2.1). Тогда Af0Mi л ипо
условию перпендикулярности векторов
а(х - х0) + Ъ(у - у0) = О. (2.1)
Если в уравнении (2.1) раскрыть скоб-
ки, то получится общее уравнение пря-
мой
ах + by + с = 0,	(2.2)
где с - -ах0 - Ьу0.
Вектор п —(а, й) называется нормальным вектором прямой (2Л)или
(2.2).
Если Ь * 0, то из общего уравнения прямой
ах + by + с = 0 => у — —х — f
& &
или
у = kx + р,	(2.3)
где k = —а/b и JJ ’ ~с/Ь.
Уравнение (2.3) называется уравнением прямой с угловым коэффи-
циентом.
Параметр k равен тангенсу угла а наклона прямой к оси Qx (fe = tg а)
и называется угловым коэффициентом. Параметр р — ордината точки
пересечения прямой с осью Оу.
Если b * О, то из уравнения (2.1) получается уравнение пучка прямых,
Проходящих через данную точку М0(х0, у0):
у - yQ = k(x - х0),	(2.4)
где ft •* ~a/b.
10
Если даны две точки у^) и Af2(x2’ £/2)’ лежащие на прямой I, то
Л ~ (Уг " У1)/(*й _ х1)	(2.5)
и уравнение прямой принимает Вид	. (f.
У - Ух =	(* - *1)-	(2-6)
' х2 х 1
Если прямая проходит через две точки М(а, О) и Л^О, Ь), лежащие на
осях координат, то ее уравнение
f + £ = 1	'	(2.7)
а b
называется уравнением прямой, в отрезках на осях.
Угол <р, отсчитываемый против часовой стрелки от прямой
(рис. 2.2), заданной уравнением у — k^x +	, до прямой 12, заданной урав-
нением у = k2x + 02, определяется формулой
tgtp =
А2 “
1 + ’
(2.8)
Кроме того, для вычисления углов между
прямыми (рис. 2.3), заданными уравнениями
агх + Ьгу + Cj — 0 и а2х ч- Ь2у ч- с2 — О, справед-
лива формула
711  71.j
cos Ф1, 2 = ± гАтй *	(2 -9)
jnl||n2|
где п г = (аг, и п 2 = (п2т Ь2).
Условие параллельности прямых
имеет вид 
или аг/а2 — Ьг/Ь2‘ (2.10)
Рис. 2.3
Условие перпендику ля р и о с т и прямых выражается в виде
k2 — —l/felt или aTa2 -+- h1fo2 = 0.
Чтобы найти точку пересечения непараллельных прямых	+
+ сх = 0 и а2х + Ъ2у + с2 = 0, нужно решить систему уравнений
;	4- Ьгу + ci = 0,
а2х + Ъ2у + е2 = 0.
Расстояние от точки 1И0(х0, г/0) до прямой ах + by + с = О находится
по формуле
d = + _ (212)
11
2.	1. Построить прямые: а) х — 2у 4- 5 = О; б) 2х + Зу = О;
в) 5х — 2 = О; г) 2у + 7 = О.
Решение, а) Полагая в уравнении х — О, получаем t/~ Б/2- Следовательно,
прямая пересекается с осью ординат в точке В(0; &/2). Полагая у = О, получаем
х = -5, т.е. прямая пересекается с осью абсцисс в точке Л(-5; О). Проводим пря-
мую через точки Л и В (рис. 2.4).
В
Рис. 2.4
б)	Прямая 2х + Зу = О проходит через точку 0(0; О). Полагая х = 3, имеем
6 ч- Зр = 0, т.е., у = —2; получаем точку Af(3; —2), лежащую на прямой. Проводим
прямую через точки О и М.
в)	Разрешив уравнение прямой относительна х, получим х — г/5. Эта прямая
параллельна осц ординат и отсекает на оси абсцисс отрезок, равный г/5.
г)	Выразим уравнение прямой в виде у — — 7/2. Эта прямая параллельна оси
абсцисс.
2.2.	Построить прямые: а) Зх - у + 6 - 0; б) 5х + Ту = О;
в) Зх — 4 = О; г) 5у + 4 = О.
2.3.	Определить параметры k и [3 в уравнении (2.3) для каж-
дой из прямых: а) 2х — 5 г/ — 10 — О; б) 2х + 5у = О; в) у = 7;
2.4.	Уравнения прямых: а) Зх — 5г/ — 15; б) 5х — Зу + 10 == О
привести к виду уравнения в отрезках на осях.
Решение, а) Данное уравнение нужно привести к виду (2.7):
Зх - 5у =» 15 =>	= 1	£ 4- X = 1.
У	15	15	5	-3
2.5.	Дано общее уравнение прямой 12х - 5у - 65 = О. Напи-
сать: а) уравнение с угловым'коэффициентом; б) уравнение в
отрезках на осях.
^2.6. Можно ли уравнение прямой 19х + 98у = О записать в
виде уравнения в отрезках на осях?
12
2.7.	Какой угол образует с положительным направлением
оси абсцисс прямая 5х + 5у - 7 = О?
2.8.	Определить площадь треугольника, образованного пря-
мой 2х +5г/ - 20 = О с осями координат.
2.9.	Издержки производства 100 шт. некоторого товара со-
ставляют 300 руб., а 500 шт. — 600 руб. Определить издержки
производства 400 шт. товара при условии, что функция издер-
жек линейна.
Решение. Используем уравнение (2.6). Даны две точки прямой: Л11(100; 300)
и М3(5ОО; 600). Подставляя координаты точек Мг и М2 в уравнение (2.6), после-
довательно получаем
V - 300 - ^2 (х - 100), у -300 -	- 100),
500 -100'		'	3	400
у - 300 = 3/4х - 75, у = 3/4х I- 225.
Если х — 400, то у — 3/4 * 400 + 225 = 525, т.е. искомая величина составляет
525 руб.
2.10.	Прибыль от продажи 50 шт. некоторого товара состав-
ляет 50 руб., 100 шт. — 200 руб. Определить прибыль от про-
дажи 500 шт. товара при условии, что функция прибыли ли-
нейна.
2.11.	Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10 и
6 см, приняв большую диагональ за ось Ох и меньшую за
ось Оу.
2.12.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
М(4; 3) и отсекающей от координатного угла треугольник
площадью, равной 3.
У казанме. Использовать уравнение - 1 и формуду 5Д = |а  й|/2.
а &
2.13.	Даны точки 0(0; 0) и А(~3; 0). На отрезке ОА построен
параллелограмм, диагонали которого пересекаются в точке
В(0; 2). Написать уравнения сторон и диагоналей параллело-
грамма.
2.14.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
М(4; 6) и отсекающей от осей координат треугольник пло-
щадью, равной 6.
2.15.	Составить уравнения прямых, проходящих через точ-
ку АГ(4; —5) и параллельных осям координат.
13
2.16,	Написать уравнение прямой, проходящей через нача-
ло координат и составляющей с осью Ох угол 60°.
Решение. Будем искать уравнение прямой с угловым коэффициентом,
т.е. уравнение вида (2.3). Подставляя координаты точки 0(0; О) в уравнение, по-
лучим 0 ~ k  О + Р, т.е. р ~ 0. Но k - tg60° =	. Уравнение данной прямой,
имеет вид у */3 х.
2.17.	Определить параметры Аир прямой, проходящей че-
рез точку М(7; 5) и составляющей с осью Ох угол 45°. Написать
уравнение этой прямой.
2.18.	Определить острый угол между прямыми у = —5х 4- 3
и у = -2/3х + 7.
Решение. Используя формулу (2.8) и условие, где k1 = -5, k2 = -г/з> получаем
tgq) =
-У3-(-5)
l + (-V3)(-5)
5 - 2/3
1 + ю/3
= 1, т.е. <р — л/4.
2.19.	Показать, что прямые 2х - Зу + 5 = О и 14х - 21у ~ 13 = О
параллельны.
Решение. Приведя уравнение каждой прямой к виду с угловым коэффициен-
том, получим
У “ 2/з* + % и У = 2/з* " 13/21-
Угловые коэффициенты этих прямых равны: = k2 = 2/з> т-е- прямые па-
раллельны.
2.20.	Показать, что прямые 2х - 7у + 5 = О и 21х 4- бу — 2 = О
перпендикулярны.
Решение. Приведем уравнения к виду (2.3):
у = 2/тх + &/7 и у = "т/2х + 1/3,
т.е. kt 2/7, k2 =-~7/2' Так как	то прямые перпендикулярны.
2.21.	Определить острый угол между прямыми:
а) у — 2х - 3, у = l/zx + 1; б) 5х - у + 7 = О, 2х - Зу 4- 1 = 0;
в) 2х + у — 0, у = Зх — 4; г) Зх + 2у — 0, 6х + 4у + 9 = 0.
2.22.	Среди прямых Зх — 2у 4- 17 — О, 6х - 4у - 9 = О,
6х 4- 4у - 5 “ 0, 2х + Зу — 16 — 0 указать параллельные и пер-
пендикулярные.
14
2.23.	В точках пересечения.прямой 2х 4- 5 г/ - 10 = 0 с осями
координат восстановлены перпендикуляры к этой прямой. На-
писать их уравнения.
2.24.	Написать уравнения прямых, проходящих через точ-
ку 3) под углом 45° к прямой 5х + 2г/= 4.
Решение. Искомых прямы х будет две. На
рис. 2.5 показана данная прямая / и иске-
мые прямые и Будем искать уравнения
вида (2,4), т.е-	- дг0>. Используя <	/
условие задачи, получаем у “ 3 Л(х — 2)-	А^**'**'******^	/
Остается найти fe- Для данной прямой	/
= —5/3. Используем формулу \	X
(2-8). Получим	\	Z
tg 45й - |(Jz + 5М / (1 - g/2*01-
Далее нужно рассмотреть два случая:
1) 1 - (Л + 5/2) / (1 " я/2*).	\7
1	- /2А “ k + %,	\/
~3/2 “ k = "3/7,	J\
j-З = -3(х - 2)/7,	рис 2 5
7у - 21 = -Зх + 6, Зя + 7у - 27 = О;
2> 1 - -(А + %} / (1 “ 5М),
1	_ 5/gA _ _k _ 5/2т
7	/г~3/г^* ^ = 7/з’
у - 3 = 7(х “ 2)/3, Зу - 9 = 7х - 14, 7х - Зу - 5 = 0.
Искомые уравнения; Зг + Ту — 27 = 0 и 7х — Зу — 5 = 0.
2.25.	Написать уравнения прямых, проходящих через нача-
ло координат под углом 45° к прямой у = 14 — 2х.
2.26.	Показать, что прямые Зх — 2у 4- 1 = 0 и 2х + 5у — 12 = 0
пересекаются, и найти координаты точки пересечения.
Решение. Так как 3/а * _2/ь (т.е.	*&г)> то прямые пересекаются. Решив сис-
тему
Зх - 2у + 1 = 0,
2х + 5у — 12 — О,
находим, что х = 1, у = 2, т.е, прямые пересекаются в точке Af(l; 2).
2.27.	Издержки перевозки двумя средствами транспорта
выражаются функциями у  150 + 50х и у = 250 + 25х, где
15
х — расстояние перевозки в сотнях километров, & у — транс-
портные расходы в денежных единицах. Определить, начиная
с какого расстояния более экономичным становится второе
средство.
Решение, Решив систему уравнений
у ~ 150 + 50х,
у - 250 + 25х,
найдем точку пересечения прямых. Получаем ЛТ(4; 350). Сделаем чертеж
(рис. 2.6). Из рисунка видно, что при расстояниях, превышающих 400 км, более
экономичны перевозки вторым средством транспорта.
2.28.	Прибыль от продажи некоторого товара в двух магази-
нах выражается функциями у = ~2 + Зх и у = -3 + 16х/5, где
х — количество товара в сотнях штук, а у — прибыль в тыся-
чах рублей. Определить, начиная с какого количества товара
более выгодной становится продажа во втором магазине.
2.29.	Определить расстояние от точки Af(2; 1) до прямой
Зх + 4у — 98 — 0.
Решение, По формуле (2.12) имеем
d = |3 - 2 + 4  1 - 98 / 79 + 16 = 8S|/S - 17,6.
2.30.	Стороны треугольника описываются уравнениями:
х + Зу — 7 — 0 (АВ), 4х — у — 2 = 0 (ВС), 6х + Зу — 35 = 0 (АС).
Найти длину высоты, проведенной из вершины В.
16
Решение. Определим'координаты точки В. Решая систему уравнений
х + Зу - 7 — О,
4х - у “ 2 - О,
получаем: х == 1, у = 2, т.е. В(1; 2).
Находим длину высоты BD как расстояние от точки В до прямой АС:
- |б  1 + 8  2 - 35| / 7б2 + 82 =- 1,3.
2.31.	Определить расстояние между параллельными пря-
мыми Зх — 4у — 6 - О и 6х — Зу + 28 О.
Решение. Задача сводится к определению расстояния от произвольной точки
одной прямой до другой прямой. Полагая, например, в уравнении первой прямой
у = 0, получаем х = 2. Откуда 7И(2; 0} — точка на первой прямой. Расстояние до
второй прямой будет равно
d = |6  2 - 8 - 0 + 28| / 736 + 64 = 40/10 = 4.
2.32.	Показать, что прямые 15х + 36^ — 105 = 0 и 5х + 12{/ +
4- 30 = 0 параллельны, и найти расстояние между ними.
2.33.	Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами
А(5; 2), В(2; 3) и 0(0; -3).
2.2. Плоскость
Уравнение плоскости, проходящей через точку М0(х0, у0, z0) и пер-
Тогда ректору N = (а, Ь, с), получается на основе использова-
ности векторов *Т1*ния двух векторов. Пусть ЛГ(х, у, z) — произ-
0 7).
- х0) + Ь(у - у0) + e(z - z0) - _.
Уравнение (2.13) называется уравнением плоское
ти, проходящей через заданную точку. После
раскрытия скобок в уравнении (2.13) получается
уравнение
ах + by + cz +,d - О,	(2.14)
где d = — ах0 — dyD — с20. Уравнение (2.14) называется общим уравнением
плоскости в пространстве.
Вектор W = (a,,bt с) называется нормальным вектором плоскости
(2.13) или (2.14).
Если плоскость проходит через три точки Л/(а, 0, 0), МО, Ъ, 0) и
Р(0, О, с), лежащие на осях координат, то ее уравнение имеет вид
£+£+£= 1.	(2.15)
а о с
Уравнение (2.15) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.
У’ол, образованный двумя плоскостями, находится по формуле
cos tp =
±W, N2
(2.16)
а2 + ^1^2 + ^1^2
1^11*4
где ЛП1 и Лг 2 — нормальные векторы плоскостей агх + Ьгу + Cjz + </г = 0 и
a3x + bzy + c2z + d2 = 0.
Условие параллельности плоскостей имеет вид
ai _	1 _ £1
а2 &2
(2.17)
Условием перпендикулярности плоскостей является ра-
венств))
0^2 +	+ с1с2 =	(2.18)
Расстояние от точки М0(х0, у0, z0) до плоскости ах 4- by + cz + d — 0
опреде. 1яется по формуле
}ax0 + fry0 + CzG + d|
~----1^|------	(	1
2.34.	Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку М(5; 5; 0) и перпендикулярной вектору N = (4; 3; 2).
Решение. Используя уравнение (2.13), получаем
4(х - 5) + 3(0 -5)4 2(г - 0) = 0,
т.е.
4х + 3i/ + 2г - 35 = 0.
2.35.	Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку М(1; 2; 3) и перпендикулярной вектору ОМ .
2.36.	Написать уравнение плоскости, параллельной оси Ох
и проходящей через точки Мг(0; 1; 3) и ЛГ2(3; 4; 5).
Решение. Используя уравнение (2ЛЗ) и координаты точки Afp получа-
ем о(х - 0) + &(у - 1) + c(z - 3) = О. Так как плоскость параллельна оси Ох, то
18
a = 0. Искомое уравнение приобретает вид Ь{у -1)4- с(г - 3) = О, Подставляя в
последнее уравнение координаты точки Л12> получаем
6(4 - 1) + с(5 - 3) - 0, т.е. 3& + 2с - 0, Ь = -2с/3.
Искомое уравнение принимает вид -2с(1/ - 1)/3 + с(>г - 3) = 0. Поделив обе
части уравнения на с (с #0, так как если с = О, то и Ь = 0. Но jV = (а, Ь, е)
не может- быть нулевым вектором), получим ~2(у — 1)/3 + (г — 3) = 0,
~2у + 2 + Зг - 9 "= 0, 2у - Зг + 7 = 0, что и является искомым уравнением.
2.37.	Написать уравнение плоскости, параллельной оси Oz
и проходящей через точки Af1(3; 1; 0) и М2(1; 3; 0).
2.38.	Написать уравнение плоскости, параллельной оси Оу
и проходящей через точки М^З; 0; 3) и М2(5; 0; 0).
2.39.	Написать уравнение плоскости, проходящей через
ось Oz и точку М(2; -4; 3).
Решение. Используем уравнение плоскости для данного случая: ах + by 0.
Подставим в него координаты точки М. Получим 2л - 4Ь = 0, а = 2Ь. Уравнение
принимает вид 2bx + by = 0. Поделив на b (Ь * 0), получим 2х + у = 0.
2.40.	Написать уравнение плоскости, проходящей через
ось Ох и точку М(0; 5; 6).
2.41.	Написать уравнение плоскости, проходящей через
осьО^ и точку Af(6; 0; 4).
2.42.	Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку М(5; 4; 3) и отсекающей равные отрезки на осях коор-
динат.
Решение. Используем уравнение (2.15), в котором а = b = с:
— 4- — + ~ = 1, или х 4- у -I- z — а.
а а а
Координаты точки М удовлетворяют уравнению искомой плоскости, поэтому
выполняется равенство 5 + 4 4- 3 = а, откуда а = 12. Получаем уравнение х 4- у 4-
+ z - 12 =0.
2.43.	Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку ЛГ(2; -3; 3) и отсекающей на осях Оу и Oz вдвое большие
отрезки, чем на оси Ох.
2.44.	Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
М(2; 3; -1) параллельно Плоскости 5х — Зу + 2а — 10 ~ 0.
Решение. Используя уравнение (2.13) и условие., получаем
а(х - 2) + Ь(у - 3) + е(г + 1) - О.
19
Нормальный вектор искомой плоскости совпадает с нормальным вектором
N = (5; -3; 2) данной плоскости; следовательно, а = 5, Ь = -3, с = 2 и уравнение
искомой плоскости примет вид
5(х - 2) - 3(у - 3) + 2(z + 1)= О,
или
5х - Зу + 2г +1 = 0.
2.45.	Найти плоскость, проходящую через точку М(14; 2; 2)
и параллельную плоскости х - 2у - Зг = 0.
2.46.	Найти уравнение плоскости, проходящей через точки
М\(0; 2; 0) и М2(2; 0; О) и образующей угол 60° с плоскостью
х = 0.
Решение. Плоскость х = 0 имеет нормальный вектор N t = (1; 0; 0). Исполь-
зуя точку Мг и уравнение (2.13), запишем уравнение искомой плоскости
ах + Ь(у - 2) + cz - 0 с нормальным вектором N 2 = (<*,	<+ В это уравнение
подставим координаты точки М2'. 2а - 2Ь + 0  с = 0, т.е. а — Ъ. Возьмем о = 1,
& “ 1, тогда N 2 — (1 j 1; с)- Используя формулу (2 Л6), получаем
cos 60° —
N}N2
|я.| |я2| 
1 у _ 11 + 01+0'С
1  Jl + 1 + е2
с2 = 2, с = ±«/2.
1 + 1 + е2 = 4,
В итоге получаем искомую плоскость
^2 г - 2 = 0
х + у +
или
х + у - J2 2 - 2 = 0.
2.47.	Определить двугранные углы, образованные пересече-
нием следующих пар плоскостей:
а)	х - y*f2 + z- l = 0, х + i/a/2 —2 + 3 = 0;
б)	Зу — 2 = 0, 2у + 2 = 0;
в)	6х + Зу - 2г = 0, х + 2у + 62 - 12 — 0;
г)	х + 2у + 2z — 3 = 0,	16х + 12у - 15z - 1 = 0.
2.48.	Вычислить угол между плоскостями, проходящими
через точку Af(l; -1; —1), одна из которых содержит ось Ох,
а другая — ось Оз.
2.49.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Atf(—1; —1; 2) и перпендикулярной плоскостям х — 2у + z — 4 = 0
и х + 2у — 2z + 4 = 0.
Решение. Используя уравнение (2.13), получаем а(х + 1) + &(у + 1) + c(z - 2) = 0,
где = (а, 6. с). Остается найти и, с. Нормальные векторы двух данных плос-
20
костей N j = (1; -2; 1) и	2; -2). Из условия задачи имеем У - N 3 — 0 и
N ' N 2 = О, остается решить систему уравнений
а - 2d + с = 0	п
=> 2а - с = 0.
а + 2Ь - 2с = О
Возьмем а — 2, тогда с = 4, а из первого уравнения системы получаем b = 3.
Итак, а, b и с найдены. Искомое уравнение имеет вид 2х + Зу + 4z - 3 = 0.
2.50.	Составить уравнение плоскости, проходящей через
точку Af(3; -1; —5) и перпендикулярной плоскостям Зх - 2у +
+ 2z + 7 = О и 5х - 4у + 32 + 1 = О,
2.51.	Написать уравнение плоскости, проходящей через
точки Мг(-1; -2; 0) и Mz (1; 1; 2) и перпендикулярной плос-
кости х + 2у + 2z - 8 = 0.
2.52.	Найти плоскость, проходящую через ось Ог и состав-
ляющую с плоскостью 2х + у - 752 + 3 = 0 угол 60°.
2.53.	Найти расстояние от точки ЛГ(5; 1; —1) до плоскости
х - 2у - 2z + 4 = 0.
Решение. Используем формулу (2.19):
djj_|1.5-2.1-2.(-l),+ 4!_g_3.
VlZ + (-2)2 + (-2)2
2.54.	Найти расстояние от точки М(1;3;-2) до плоскости
2х — Зу - 4г + 28 = 0.
2.55.	Найти расстояние между параллельными плоскостя-
ми 4х + Зу - 5г - 8 = 0 и 4х + Зу - 5s + 12 — 0.
2.3.	Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана двумя пересекающимися
плоскостями (рис; 2.8), уравнения которых а^х + Ьгу + ср +	= 0 и
а2х + b2y + c2z + d2 = 0- Тогда уравнения прямой будут
ар: + Ь^у + с 12 + dj = 0,
а2х + Ь2у + c2z ч- d2 = 0.
(2.20)
Уравнения (2.20) называются общими
уравнениями прямой.
Уравнения прямой I, проходящей через
точку М0(х0, у0, z0) и параллельной век-
тору Я = (т, п, р), получаются на основе
21
Рис. 2.9
условия коллинеарности двух векторов
MQM и Л (рис. 2.9):
(2.21)
т	л	р
Уравнения (2.21) называются канонически-
ми уравнениями прямой.
Вектор Л = (m, п, р) называется направляющим вектором прямой.
Уравнения прямой, проходящей через точки М1(х1,	2г) и
ЛГ2(х2, У2* ^2), записываются в виде
*-*1 _ у~уг _ z-zl
х2 Х1 ^2~У1 z2 £1
(2.22)
Параметрические уравнения прямой получаются, если каждое из от-
ношений (2.21) приравнять к параметру t:
х == mt + х0,
У = nt + i/0,
Z — pt + Z0.
(2.23)
Угол между двумя прямыми' с направляющими векторами R А “
= (mlf «1»Р1) и R 2 = (т2, л2, Рг) определяется по формуле
COS ф =	- + —2L^^"?+pip*	.	(2.24)
Условие параллельности двух прямых имеет вид
= 21 = £1
^2 л2 Pi
(2.25)
Условие перпендикулярности двух прямых записывается
в виде
тп^тг + п^г + PiPz О.
(2.26)
2.56.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку
ЛГ(4; 3; 2) и параллельной вектору j? = (—1; 1; 1).
Указание. Использовать уравнения (2.21) или (2.23).
22
2.57.	Написать уравнения прямой, проходящей через точки
Mjf-l; 2; 3) и М2(2; 6; -2), и найти ее направляющие коси-
нусы.
Решение. Используем уравнения (2.22):
х + 1 = у- 2 = г - 3	х+ 1 = у-2 z - 3
2 + 1 6-2 -2-3’	3	4	-5
При этом направляющий вектор будет R - (3; 4; -5).
Направляющие косинусы находятся по формулам
т	п п	р
cos а = — ,	cos р = —j ,	cos у = X..
|Я|	I-RI
Откуда
сова = -Х_ = 0,372 ,	cos 0 = -Х_ = 0,4^2 >	cos у =	= -0,5 /2 .
J50	-/50	а/50
2.58.	Написать параметрические уравнения прямой: а) про-
ходящей через точку М(2; 1; -1) и параллельной вектору
j? = (1; -2; 3); б) проходящей через точки Л/}(3; -1; 4) и
М2(1; 3; 2).
2.59.	Уравнения прямой х = 2z - 1, у — -2z + 1 привести к
параметрическому виду.
Решение. Введем параметр t — г. Тогда получим параметрические уравнения
прямой х = 2/ - 1, у — -2t + 1, 2 = t.
2.60.	Вычислить углы, образованные с осями координат
прямой
х - 2у - 5 — 0,
х - 3z 4- 8 = 0.
Указание. Использовать решение задач 2.59 и 2.57.
2.61,	Найти угол между прямой х = 2г - 1, у = -2z + 1
и прямой, проходящей через начало координат и точку
М(1; -1; -1).
Указание. Использовать формулу (2*24) и решение задачи 2,59,
2.62.	Доказать, что прямая у ~	| перпендикулярна пря-
X , А о
МОЙ у = х+1,2 = 1”Х.
23
2.63.	Написать уравнения прямой, проходящей через точку
М(1; 4; —1) и параллельной прямой x-Ly = 2ty = 2z + l.
2.64.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из
точки Af(2; —8; 4) на ось Oz.
Указапив. Искомая прямая проходит еще через точку А(0; 0; 4).
2.65.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из
точки В(2; -3; 5) на ось Оу.
2.4.	Прямая и плоскость в пространстве
Угол между прямой ------- = ----= ——- и плоскостью ах 4* Ьу +
m	п.	р
4-	cz + d = 0 определяется выражением
sin 0 =
= 1а m +	+ cpj
’ |jv| |f?| ”
(2.27)
Условие параллельности прямой и плоскости имеет вид
ат + bn + ср = 0.
(2.28)
Условием перпендикулярности прямой и плоскости являют-
ся равенства
а _ b _ с
т п р ’
(2.29)
2.66.	Найти угол между прямой у = Зх - 1, z — -3/гх + 1 и
плоскостью 2х + у + z - 4 = 0.
Указание. Использовать формулу (2.27) и решение задачи 2.59-
2.67.	Показать, что прямая х 1 =	параллельна
2	15
плоскости 2х 4* у - z ~ О, а прямая у	*1 = “е~ лежит
2	1	О
в этой плоскости.
Указание. Если прямая параллельна плоскости, то ни одна точка прямой
не принадлежит плоскости, а если прямая лежит в плоскости, то каждая точка
прямой принадлежит плоскости. Этим можно воспользоваться при решении
задачи.
24
2.68.	Написать уравнение плоскости, проходящей через
точку М(2; 3; —4) и перпендикулярной прямой х — 2^ у — 2 = 1.
Указание. Ё качестве нормального вектора N искомой плоскости* йужно взять
направляющий вектор Я данной прямой.
2.69.	Написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую У Л.? = —и точку Af(3; 4; 5).
X	а	о
Решение. Точка М лежит на искомой плоскости. Следовательно, уравнение
искомой плоскости имеет вид а(х — 3) + Ь(у - 4) + с(г — 5) - 0. Остается найти
нормальный вектор Лг = (a, Ь, с). Точка А(2; 3; 4) лежит на прямой, а зна-
чит, и на плоскости. Подставим координаты точки А в уравнение плоскости:
-а — b — с = 0- С другой стороны, направляющий вектор прямой R = (1; 2; 3) пер-
пендикулярен вектору N , так как прямая лежит в плоскости. Следовательно,
Я  N = 0, а значит, 1а + 26+Зс = 0. Остается решить систему уравнений
а + 2Ь + Зс = 0,
' -а - Ъ - с = О.
Получаем Ъ + 2с — 0. Возьмем с — 1, тогда b — -2, а из второго уравнения
системы имеем а = 1. Подставляя найденные значения а, Ь, с в уравнение плос-
кости, получаем jc — 2р + г = 0.
2.70.	Написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую х ~ 1	~	— и перпендикулярной плоскости
2х + Зу — z + 7 = 0.
2.71.	Найти точку пересечения прямой х = 2t — 1, у = t + 2,
z = 1 - t с плоскостью Зх — 2у + г — 0.
Указание. Систему уравнений решаем подстановкой.
2.72.	Найти точку пересечения прямой
х
2
== у - 1 = г + 1
плоскостью х + 2у + Зя — 19 = 0.
2.73.	Найти проекцию точки Af(3; 1; —1)
на плоскость х 4- 2у + 3z — 30 = 0
(рис. 2.10).
Решение. Нужно найти координаты точки
т.е. основание перпендикуляра, опущенного из точ-
ки М на плоскость а. Составим параметрические
25
уравнения прямой L (пр"условию I ± а). Для этогд^озьмем J? -‘J/ -* (1;‘ 2; 3) и
, используем координаты точки JVf. Получаем х ** t + 3, у = 2f + 1, г = 3( - 1.
Решая систему
i х + 2у + 3? — 30 = О,
х = i + 3,
1 У - 2f + 1,
z“3(-l,
получаем t + 3 + 4/ + 2 + 9t - 3 - 30 = О, 14t = 28, f = 2. Тогда x = 2 + 3 = 5,
y-2-2 + l-6,i~3-2-l-S, т.е, Af0(5; 5; 5). :
2.74.	Найти проекцию точки M(l; 1; ~1) на плоскость
Зх + i/ + z 4- 8 = 0.
Рис. 2.11
2.75.	Найти проекцию точки
М(2; 3; 4) на прямую х = у = z
(рис. 2.11).
Решение. Чтобы свести решение задачи к уже
рассмотренным f нужно построить плоскость, про-
ходящую через данную точку М и перпендику-
лярную данной прямой. Составим параметриче-
ские уравнения данной прямой: х = Л ’-f, г “ L
Направляющий вектор прямой J? = (1; 1; 1). Возь-
мем нормальный вектор плоскости a: N = Й =
= (11 1; 1)- Тогда уравнение плоскости а имеет вид
1(х - 2) + 1(р - 3) + 1(г - 4) = 0 или х+И - 9 = 0. Получим систему уравнений
для определения координат точки Afoi x + j/ + 2“9=0lx = ttp = tI2 = £. Решив
ее» найдем 3t“- 9 = 0t t “3, х = 3» у = 3» 2 = 3, и искомая точка будет М0(3; 3; 3).
2.76.	Найти проекцию точки М(1; 2; 8) на прямую
х-1 = у = z
2	11’
2.77.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из
точки М(2; 1; 0) на прямую х = 3z - 1, у = 2з.
Указание. Предварительно нужно найти проекцию точки на прямую, как
в задаче 2.75.
2.78.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из
точки М(1; 0; -1) на прямую	.
2.79.	Показать, что прямые ~	=	и
д	X
г _ 2 у — 2	2 — 4
лежат в одной плоскости.
26
3.	КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Уравнение второй степени относительно двух переменных
Ах2 + Вху + Су2 + Dx + Еу + Г = О
при разных значениях постоянных коэффициентов А, В, С описывает
четыре вида линий на плоскости: окружность, эллипс, гиперболу и ра-
раболу. Это уравнение называется общиле уравнением кривых второго
порядка.
3.1.	Окружность
Окружностью называется геометрическое место точек, равноудален-
ных от данной точки (центра).
Нормальное уравнение окружности имеет вид
(х - х0)2 + (у - у0)2 = 7?2,
где х0, yQ — координаты центра окружности;
В — радиус окружности.
После раскрытия скобок в этом уравнении получается общее уравне-
ние окружности
х2 + у2 + Dx + Еу + F = О,
где D = -2х0, Е - "2у0, F = -х02 - у02 - R2.
3.1.	Написать уравнение окружности с центром С(-2; 3) и
радиусом, равным 5. Построить окружность. Определить при-
надлежность точек Mj(2; 6), Afz(l; 7), Af3(0; 4) окружности.
3.2.	Найти координаты центра и радиус окружности
х2 + у2 — 8х + Gy — 11 = 0. Построить окружность.
Решение. Сгруппируем члены, содержащие переменные х и у, и дополним каж-
дую группу до полного квадрата суммы или разности:
х2 - 8х + 16 ” 16 + у2 + бу + 9 - 9 - 11 = 0,
или
(х - 4)2 + (у + З)2 - 36.
Откуда получаем координаты центра С(4; —3) и радиус Я = 6. После этого мо-
жет быть построена окружность.
3.3.	Найти координаты центра и радиус окружности х2 + у2 +
+ 4х — 4у — 1 = 0.
27
3.4.	Построить окружности:
а)	х2 4- у2 4- 2х - 3 = 0;
б)	х2 4- у2 - 8х + бу = 0;
в)	х2 4- у2 4- 10х — 4у 4- 13 = 0.
3.5.	Написать уравнение окружности, касающейся осей ко
ординат и проходящей через точку Мг(2; 1).
3.6.	Составить уравнение окружности, проходящей через
точки Mi(l; 2), М2(0; -1), М3(~3; 0).
3.7.	Составить уравнение окружности, проходящей через
точки Afi(7; 7), Af2(-2; 4), если ее центр лежит на прямой
2х — у - 2 = 0.
3.8.	Составить уравнение окружности, проходящей через
точки пересечения окружности х2 + у2 + 4х - 4у = 0 с прямой
у = ~х и точку Мг(4; 4).
3.9.	Найти уравнение окружности, касающейся оси Оу в на-
чале координат и пересекающей ось Ох в точке ЛГ^б; 0).
3.10.	Определить траекторию точки М(х, у), движущейся
так, что сумма квадратов ее расстояний от точек М^-З; 0),
М2(0; 3), М3(3; 0) остается равной 27.
3.11.	Написать уравнение окружности, проходящей через
начало координат и точки пересечения прямой х 4- у 4- 2 = 0
с окружностью х2 4- у2 = 4.
3.12.	Написать уравнение линии, сумма квадратов расстоя-
ний от каждой точки которой до точек JVf1(-3; 0) и М2(3; 0)
равна 50.
3.2.	Эллипс
Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний
которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть постоянная
величина 2а, большая, чем расстояние между фокусами 2с.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
где = а2 — е2, если а > b и фокусы находятся на оси Ох. Параметры
а и b называются полуосями эллипса.
28
Отношение с/а = е < 1 называется эксцентриситетом эллипса.
Расстояния точки М(зс, у} эллипса до его фокусов (фокальные ради-
усы} находятся по формулам
г£ = а - еж» г2 = а + еж.
3.13.	Составить каноническое уравнение эллипса, проходя-
щего через точки	л/б/4), Af2(-2; У15 /5).
3.14.	Написать каноническое уравнение симметричного от-
носительно осей координат эллипса, который проходит через
точку Mj(5/4; 1) и имеет эксцентриситет е = 3/5.
3.15.	Написать каноническое уравнение эллипса, если его
эксцентриситет равен 1/2, а большая полуось равна 6.
3.16.	Определить эксцентриситет эллипса
2	2
*-+ = 1.
16	4
3.17.	Определить эксцентриситет эллипса, если его большая
ось втрое больше малой.
3.18.	На эллипсе, симметричном относительно осей коорди-
нат, даны точки М1(2; л/3), Af2(0; 2). Написать уравнение эл-
липса и найти расстояние точки М1 до фокусов.
3.19.	Написать уравнение эллипса, если расстояние между
фокусами равно расстоянию между концами большой и малой
осей. Определить эксцентриситет.
3,20.	Определить траекторию точки М, которая при своем
движении остается втрое ближе к точке Afj(l; О), чем к прямой
х = 9.
3.21.	Определить траекторию точек Mt расстояния которых
до точки А(0; 1) в 2 раза меньше расстояний до прямой у - 4 = О.
3,22.	Написать уравнение эллипса, если сумма фокальных
радиусов равна 2^5 , а фокусы расположены в точках ^(-Я; 0),
^2(2; 0).
3.23.	Построить кривые:
а)	х2 + 4у2 — 6х 4- 8у = 3;
б)	х2 + 2у2 - 4х + 4у + 2 = 0.
3,24.	Написать каноническое уравнение эллипса, если ма-
лая полуось его равна 5, а эксцентриситет равен 12/13.
29
3.3. Гипербола
Гиперболой называется геометрическое место точек, разность рас-
стояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть постоянная ве-
личина 2а, причем 2а < 2с, где 2с — расстояние между фокусами.
Каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно
осей координат, имеет вид
2	2
х _ У = 1
2	,2
а b
где Ь2 = е2 — а2.
Параметр а называется вещественной полуосью гиперболы и пред-
ставляет собой расстояние от начала координат до вершины гиперболы,
параметр Ъ называется мнимой полуосью.
Эксцентриситетом гиперболы называется величина £ = с/а > 1.
Расстояния текущей точки М(х, у) гиперболы до фокусов (фокальные
радиусы) определяются по формулам
= |ех - а|, г2 — |ех + а].
Прямые, заданные уравнениями у = ±-х, являются асимптотами
а
гиперболы.
3.25.	Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет
гиперболы
2	2
1.
16	4
3.26.	Написать каноническое уравнение гиперболы, если
с 5, а = 4. Определить эксцентриситет гиперболы.
3.27.	Написать каноническое уравнение гиперболы, сим-
метричной относительно осей координат, если она проходит
через точку Мг(*/3 ; л/2 ), а эксцентриситет равен */2 .
3.28.	Построить гиперболы:
а)	16х2 - 9уа - 64х + 54у - 161 -= О;
б)	9х2 - 16у2 + 90х + 32у - 367 - О;
в)	16х2 - 9е/2 - 64х - 18у	89 = О.
3,29.	Дан эллипс
Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся
в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса.
30
3.30.	Определить геометрическое место точек М(х, у), рас-
стояния от которых до прямой х = 1 вдвое меньше, чем до точ-
ки F(4; О).
3.31.	Составить^равнение гиперболы, симметричной отно-
сительно осей координат, если она проходит через точки
М)(2У7 ; -3), Мг(-7< -6 72 )..
3.32.	Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты за-
ч
даны уравнениями у = ±- х и гипербола проходит через точку
5
М(10; -ЗТЗ).
3.4. Парабола
Параболой называется геометрическое место точек, одинаково уда-
ленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
Каноническое уравнение параболы, проходящей через начало коор-
динат 41 симметричной относительно оси Ох, имеет вид
у2 — 2рх.
Уравнение вида
х2 2ру
описывает параболу, симметричную относительно оси Оу.
Фокальный радиус точки М(х, у), т.е. ее расстояние до фокуса на оси
Ох, находится по формуле
г = X -I- £ .
2
Парабола, ось которой параллельна оси Оу, описывается уравнением
у = ах2 + Ьх + с.
3.33.	Составить каноническое уравнение параболы, верши-
на которой лежит в начале координат и которая проходит че-
рез точку F(2; -4); Ох — ось симметрии.
3.34.	Составить уравнение геометрического места точек,
одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у — 2.
3.35.	Составить каноническое уравнение параболы, если ее
фокус находится в точке пересечения прямой 4х ~ Зу — 4 “ 0
с осью Ох.
31
3.36.	На параболе у2 = 4х найти точку, фокальный радиус
которой равен 4.
3.37.	Написать уравнение окружности, проходящей через на-
чало координат и точки пересечения параболы у = х%/3 — 2х + 3
с осями координат.
3.38.	Построить параболы:
а)	у2 - 8у = 4х;
б)	х2 + 6х + 5 = 2у;
в)	х2 + 4х + 2у + 4 = О.
3.39.	Выкопан котлован параболической формы с диа-
метром 80 м и глубиной 10 м. На каком расстоянии от нижней
точки котлована по центру находится фокус параболы?
3.40.	Написать уравнение параболы, если она проходит
через точки пересечения прямой х + у ~ 0 и окружности
х2 + у2 + 4у = 0 и симметрична относительно оси Оу.
ПРАКТИКУМ
ПО АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Задания
1.	Дан параллелограмм ABCD, три вершины которого зада-
ны (табл. 1). Найти четвертую вершину и острый угол парал-
лелограмма.
2.	Найти длину высоты AD в треугольнике с вершинами
А, В, С (табл. 2) и написать уравнение перпендикуляра, опу-
щенного из точки С на прямую АВ.
3.	Найти угол между плоскостью а и прямой, проходящей
через начало координат и точку М (табл. 3). Вычислить рас-
стояние от точки М до плоскости а.
4.	Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точ-
ки АГ на прямую I (табл. 4).
5.	Построить кривые по заданным уравнениям (табл. 5).
32
Таблица 1. Варианты задания 1
Вари- ант	А	В	С	Вари- ; ант	А	В	С
: 1	3)	(-4;1;2)	(5; 2; 7)	16	(-3; 5; -4)	(-5; 6; 2)	,(3;-5—2) :
2	(1; 2; 3}	(3;-4;-2)	(-4; -3; 2)	: 17	(2; -3; 4}	(6;-4;-5)	(-3; 4; -2)
з :	(2; -3; -1)	(-3; 5; 3) :	(4; 3; -4)	18	<5; -2; -4)	(-5; -8; -1)	(-2; 4; 8)
4	(3;-4;2)	!	(-5; 2—3)	М;7;-2)	19		(-4—5; 3)	(2;3; 4)
5	(“5; 2; 4)	<-3; -4; 2)	(6; "3; -3)	20	(2; 6; -3)	(-5; -2; ~4>	(-3; -5; 1)
6	(-4; -3; 5)	(2; -5; 6)	(-2; 3; -5)	21 j	(3—1; -2)	(2; -4; 1)	(V; 5; 2)
7	(4; 2; -3)	<~5; 6; ~4)	(-2; -3; 4}	22	(3; 1;2)	(“2; 3; “4)	> I '"ч-’г
8	(-4; 5; -2)	(-1; -5; -8)	(3; -2; 4)	23	(-1; 2; -3)	(3; -3; 5)	(“4; 4; 3>
9	(-5; -3; -2)	(3; -4; -5)	(4; 2; 3)	24	(2; 3; -4)	(-3; -5; 2)	С-2; -1; 7)
10	(-3; 2; 6)	(-4;-5; -2)	(1; ~3;-5)	25	(4; -5; 2)	(2; -3; -4)	(-3; 6; -3)
11 i	(-2; 3; “1) '	(1;2;-4)	<2; 7; 5>	;	26	(5;-4;-3) '	(6; 2; -5)	(-5; -2; 3)
12 	(2; 3; 1)	(“4; -2; 3)	(“3; 2; -4) :	: 27	<-3;4; 2)	(-4—5; 6)	(4; -2; -3)
13 ;	(-3;’1;2)	:(5;3; -3)	(3—4; 4) '	; 28	(-2—4; 5)	(-8; -1; -5)	(4; 3; -2)
14	(-4; 2; 3)	(2; -3; -5)	<7;-2; -1)	29	(-2; -5; -3}	(-5; 3; -4)	(3; 4; 2)
15	(2; 4; -5)	(-4; 2; -3)	(-3; -3; 6)	30	(6; -3; 2)	(-2;-4; -5)	(-5; I; -3) \
Таблица 2. Варианты задания 2
i Вари- ант	А	В	С	Вари- ант	А	В	с

<2;-1)
(3; 3)
(4;^3)
(-5; -4>
(-3; 4)
	(1; -7)	16	(3; 2)	(2; “5)	(-6г-1> ;
	(5; -2)	17	(6;-4)	(-3; —7)	(-1:2)
	(-2; Ч)	18	(“2; -1)	(7;3>	(4; -3)
	(~1; 6)	19	(3; 4)	(6; 7)	(1; 1)
	(~4; -2)	20	(Ч; -5)	(-2; 2)	(-7; 4)
	(6; -1)	21	(3; -4)	(2; 1)	(1; 7)
	(1; 3)	:	22	(-4; 5)	(3; -3)	<5; 2)
L. ‘;2 Сборник задач пс высшей математике
33
Окончание табл. 2
Вари- ант	4	5	с	Вари ант	4	£	С
8	(2; I)	(-7; 3)	(-4; -3)	23 :	(-3; -5)	(4; 3)	(-2; 4)	;
9	(-3; ’4)	(-6; 7)	(-!; 1)	24	(3;2>	(-5; 4)	•(-1; -6) :
10	(4; -5)	(2; 2)	(7; 4)	25	(2; -5)	(“3; —4)	(-4; 2)	?
11	(-3; 4)	(-2; -1)	:	(“1; -7)	26 .	("3; -2)	(-2; 5)	(6; 1)
12-	(4; -5)	(-з; з)	(-5; -2}	27 ;	(-6; 4)	(3; 7)	(1; -2)
13	(3; 5)	(-4; -3)	(2; -4)	:	28	(2; 1)	(-7; -3)	(-4; 3)
14	(-3; -2)	(5; -4)	(1; 6)	:	29	(-3; 4)	(-6; -7)	С-1; -1)
15	(-2; 5)	(3; 4)	(4; -2) I	30	(4; 5)	(2; -2)	(7; -4)
Таблица 3. Варианты задания 3
Вари- ант	м	а	Вари- ант	А/	а
1	(2; -1; 3)	3x-y + 2z-4 = 0	16	(-2; 4; -3)	х 4- 5у + 7г - 2 = 0
2	(2; -2; 4)	х - Зу + 5г - 10 = 0	17	(5; -3; 2)	-х + Зу + 2г + 14 = 0
3	(-4; 5; -1)	4х + у-2г + 5 = 0	18	(-3;-5;-4) J	-Зх + 2y + z- 4= 0
4	(~3; 2; 1)	2х-у + г + 5 = О	19	(-3; -2; 4)	х - 5у + 3z + 1 = 0
5	(2; 3; 1)	5х + 2у - z - 3 “ 0	20	(1; 3; 4)	2х + Зу 4- z - 6 = 0 .
6	(-3; —2; 4>	7х + у 4- 5г - 2 = 0	: 21	(3; 2; -1)	2х 4 Зу - г - 4 - 0 ;
7	(2; 5; -3)	2х - у + Зг + 14 = 0	22	(1: -3; 2)	:	x r 2у ~ z + 5	0
8	(-4; -3—5)	х- Зу + 2г - 4 = 0	23	(4; 2; -2)	.	!5х + у- Зг - 10 = 0
9	(4; -3; -2)	3x + y-5z + i — о ;	24	(-1; -4; 5) ,	-2х + 4y + z + 5 = 0
10	(4; 1; 3)	x+2y + 3z“6eO	25	(1; 2; 3)	-х + 5у + 2г - 3 = 0
11	(-1; 3; 2)	~х + 2у + 3z - 4 =* 0	’ 26	(4; -3; -2)	5х + 7у + г - 2 = 0
12	(2; 1; -3)	о I ' 1О : +  ы : -F За +- 1	: 27	(-3; 2; 5)	Зх + 2у - г + 14 - 0
Г	 13	(-2; 4; 2)	-Зх 4- 5у + z - 10 — 0	28	( 5; -4; -3)	2х + у - Зг - 4 ~ 0
14	£5; -1; -4)	х-2у + 4г+5 = 0	*29	(-2; 4; -3)	™5х + Зу + г + 1 = 0
: 15	(3; 1; 2)	2х — у + 5z - 3 0	30	(3; 4; 1)	Зх + у + 2z 6 = 0
34
Таблица 4. Варианты задания 4
1 Вари- ант	М	£	Вари- 1 ант	м	 г
1	(3;2; 1)	JC + 1 _ у + 1 _ Z - 1 1	3	-2	16	(-4; 5;-2)	1 1 W № to ll 1 1 fl  bj| 1 ] M 1
2	(2;-1;3)	х - 2 у -1 г + 3 3	2	1	17	(5; -2; 3)	x - 4 у + 1 аж z + 3 2	2	3
3	(1; -3; -2)	х — 3 = у + 2 _ z ~2 1	2	3	18	(—1; -3; -2)	1 1-c fl 1 CQ 11 + H
4	;(-4; 2; -3)	2	2	-1	19	(2; -5; -4)	+ ICO N 1 Й CO 1 1 ем 1 to
5	(-4; 5; 2)	х + 2 = У + % =, z ~ 1 1	2	~3~	20	(4; 3; -5)	x-3 _ у - 4 _ z - 2 1-3	3
6	(-2; -4; 5)	х - 2 = у + 3 = z - 4 2	1	2	21	(1;3;2)	X- 1 _,y+l = 2 + 1 -2	1	3
7	(3; 5; -2) i	; ж + 3 = у - 4 = г + 1 3	2	1”	22	(3; 2;-1)	1 CM II oq | 1 co H co + *"! Ж
8	(—2; -1; -3) :	х — 4 _ у + 1 _ z - 3 ' 1	2	3	23	('2; 1;-3)	x - 2 , у - 3 = z + 2 312
9	(-4; 2; -5) 1	х + 1 _ у - 2 = z - 3 3	2	1	24	(-3; -4; 2)	CO 1 cq If \ W |	‘ 1 Io9 5hl H C4| il'
10	(-5; 4; 3)	х “ 2 ие у,- 3 = z - 4 3	1	-3	25 :	(2; -4; 5)	x - 1 «•>„ у+ 2 = 2 + 2 3	12
11	(2; 1; 3)	X + 1 = У -1 = 2 +1 3	-2	1	26	(5; -2; -4)	x-4 _ y-2 = z + 3 2	2	1
12	(-1:3; 2)	х - 1 _ у + 3 e z - 2 2	13	27	(-2; 3; 5)	x+1	w+3	z-4 2	3	2
13	(-3; —2; 1>	Н м + м II l«sr ы | 1 to ; is N м 1 СС ’	28	(-3; -2; Ч)	x-3 . y- 4 ^2+1 3	1	2
14	(2; -3; -4)	х ~3 _ у + 2 z -1 2	-1	.2	29	(-5; -4; 2) '	H* 1 cc II , w + II N : Ы 1
15	(5; 2; -4)	х + 2 _ у- 1 _ 2 + 2 2	3	1	30	(3; —5; 4)	ip II : W 1 I u *4 M 1
35
Таблица 5. Варианты задания 5
Вари- ант	Уравнения	ВарИ’ ант	Уравнения	:
1	(х-2)2 + (у -3)2 = 9 2	2 ^+^=1 25	9 2	2 ;	49 25 у2 = Эх	16	(х - З)2 + (у - 2)2 = 9	; 2	2 L + L - 1 9	25	: 2	-2 1 _ L =1 25	49 у2 ’ -4х
2	(х + 3)2 + {JZ - 5)2 - 4 2	2 £_ + У. =1 49	4	: 2	2	; £_ _ У = I 25	16	: у2 = 7х	17	(х - 5)2 + (У + 3)^4 2	2 :	+ У_ «1 4	49 2	2 У _	= 1 16	25 у2 = -2х
3	(х + 1)2 + (у - 2)2 = 16 2	2 36	25 2	2 х _ у = 1 16	9 у2 = 5х	18	(х + I)2 + (у + I)2 »= 16 2	2 .25	36 2	2 У _ X	1 9	16 у2	6х
4	(х - З)2 + (у + 4)2 - 25 2	2 L+L-i 25	16 2	2 L - L 64	25 у2 = 16х	19	(х + 4)2 + (у - З)2 = 25 2	3 =Е_ + У_ ~1 16	25 2	2 SL - £_ = 1 25	64 у2 = -х
5	(х + З)2 + (у + 3)2 — 4 2	2 L+L-1 49	25 2	2 Х _ У «1 36	9 Уя - Зх	20	(х - З)2 + (у - З)2 = 4 2	2 £_ + у_	: 25	49 2	2 У _ х_ = I 9	36 у2 = -8х
6	(x-l)2+(j/ + l)M 2	2 16	4 2	2 * _ У_ = 1 9	4 У2 “ 4х	Й1	;	(х + 1)2 + (у-1)2-1 !	2	г :	=i 4	16 2	2 У _ Ж = I 4	9 х2 = 9у
36
Продолжение табл. 5
Вари- ант	Уравнения	Вари- ант	Уравнения
7	(л + 2)г + (у - I)2 = 36 2	2 =1 9	4 2	2 X _ у = , 16	4 у2 = 2л	22 .	(х - I)2 + (у + 2)2 =- 36 2	2 +2- -1 1	4	9 2	2 У _ *	= j 4	16 х2 = 7у
1 8	(х - 4)2 + (у + 2)2 = 49 2	2 £.. + У_ - 1 49	36 2	2 * _ У_ = 1 25	9 у2 ~ 6х	23	(х + 2)г + (у - 4)2 = 49 2	2 L+L-1 36	49 2	2 L-L.1 9	25 х2 — 5у
9	(х + 4)2 + (у -• 4)г = 9 2	2 L +	= 1 36	9 2	2 х _ у , 36	16 у2 = X	24	(х - 4)2 + (у + 4)г = 9 |	2	2 + У- =1 9	36 2	2 У _ £_ = j 16	36 X2 — 16у
10	,	(х — 5)2 + (у + I)2 “ 4 2	2 — + У- 1 16	9 2	2 ,	* , L = 1 49	9 ,	У2 - 8х	25	(х + I)2 + (у - 5)г = 4 2	2 *_ + й_ ^1 9-	16 2	2 У _ X = 1 9	49 х2 = Зу
11	(х + 5)2 + (у - б)2 = 16 2	2 * +iL -j 25	4 2	2 f_ _ У = 1 36	25 у2 = “9 х	26	(х - 6)2 + (у + 5)а = 16 2	2 + У- -1 4	25 I	2	2 У _ х = 1 25	36 х2 = 4у
12	(х-1>г + (у + 5)г-1 2	2 *- + JC =1 36	16 2	2 -У- =1 25	4 у2= -7х	27 '	।	(х + 5)2 + (у - I)2 = 1 2	2 + У^ » 1 16	36 2	2 1	£_ -2L =1 4	25 1	х2 = 2у
37
Окончание табл. 5
{Вари- ант	Уравнения	Вари- ант 1		т-—‘ '	i Уравнения
13	(х + 1)2 + (у ~ ЗЯ - 25 2	2 S +У- =1 49	9 2	2 - L, - 1 49	16 У2 - -5х	28	(х - З)2 + + I)2 - 25 2	2 L+L=l . 9	49 2	2 L-L-1 16 49 хг - 6jl
14	:	(х - 3)2 + (у - 2Я » 36 2	2 £, + £.-1 64	25 2	2 *_ _ У_ 36	4 у2 - -16х	29	(х - 2)z + (у - З)2 - 36 2	2 £_ + У- -1 16	49	। 2	2 У_ _ £_ = I 4	36 хг~У
15	(х + 2)2 + [у + 4)2 - 49 2	2	I 1+14 49	16 2	2 L -1^1 64	36 у2 - -Зх	30	(х + 4)2 + {у + 2)2 - 49 ' 2	2 25	64 2	2 ^-£=1 36	64 хг ” 8у
линейная алгебра
4.	ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
4.1.	Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида г = а + Ы, где а и
b — действительные числа, a i — символ, который называют мнимой
единицей. Два комплексных числа	+ b^i и z2 = а2 + b2i равны,
если aj = а2 и = Ь2.
Действия над комплексными числами. Правила сложения, умноже-
ния и деления комплексных чисел zt — aj + bti и z2 = а2 + b2i:
1)	21 + *2 = («1 + *10 + (а2 + *г0 ~ («1 +	+ (*1 + *2>0
2)	*1*2 = (сцвг - *1*2> + (“1*2 + «2*1№
3)	если г = а + bi, то z = а — bi (комплексное число z называется
сопряженным для z);
4)	*i = *1*2 = («1 + Ь1О(аг-Ь2*) = а1а2 + *1*2 + a2&l"alft2 z
Z2 Z2Z2	(а2 + *2О(«2 ~ *2*)	а? + Ь2	а2 + bg
Тригонометрическая форма комплексного числа. Комплексное чис-
ло z = а + bi можно изобразить точкой М(о, Ь) плоскости или ее ради-
усом-вектором ОМ . Длина этого вектора г = Ja2 + b2, называется моду-
лем комплексного числа г и обозначается через |z|, т.е. |z| = г, а угол ср
между вектором ОМ и осью Ох называется аргументом комплексного
числа z и обозначается через arg z, т.е. ср = arg z.
Тогда
z = а + Ы = а/я2 + Ъ2 |	+ - b— i ] = r(cos ср 4- i sin ср),
+	7e2 + b2 )
где г = л/а3 + Ъ2 , а <р — решение системы
Ja2 + b2
= cos ср,
= sm ф.
39
Действия над комплексными числами в тригонометрической
форме:
1)	= гДсое <pj + isin Ф1)г2(сов Фа + isin ф2) = 
= nrgfcosfq»! + <р2) + isinftp! + ф2)];
лх г1 rjcostpi + isincpi) г, г	.	. . ,
2> Г2 - ^-озф2-151пф-> - Г2	+ lsln(4,‘ - ’г”:
3) формула Муавра:
г1п ’ [г(соэ ф + isin ф)]'1 = г'Чсоз «ф + isin Пф), где п — целое число;
4) Л/z — л/г(сояф + 1ё1пф) — 1/r (cos Ф 4- isin У ,
X	ft	7Х /
где k»0, 1, 2,	1.
Корин квадратных и биквадратных уравнений. Корни квадратного
уравнения ах2 + Ьх +• с = О с действительными коэффициентами, у ко-
торого D — Ь2 - 4ас < О, находятся по формулам
v _ - b ± (л/4яс ~ й2
*1- 2 " ----Zi------ 
Корни биквадратного уравнения .г4 + рх2 + q = О с действительными
коэффициентами, у которого D = р2 — 4q < 0, находятся по формулам
4.1.	Выполнить указанные действия:
а)	(2 + 3i) + (4 - 70; 6) (1 - 0(3 + 20; В) kil*.
Решение.
а) (2 + 3i) + (4 - 7i) = (2 + 4) + (3 - 7)i - 6 - 4i;
б)	(1 - i)(3 + 20 - 3 + 2i - 3i - 2ia = 3 - i + 2 = 5 - i;
bTi 1 + 3* = (1 + 30(1-0 _ 4 + 2i = 2	-
1	1 + i (1 + 0(1-0	2
4.2.	Выполнить действия:
a) (3 - 4i)t;	6) (7 - 20(1 - i); в) i3; r) (5 - 302; д)
e) (1 + 2i)3; ж) tn, где re — целое число.
4.3.	Вычислить:
a) i_l .	6) (1-*J3)2 .	B) 3 - .	r) (1+0° . j 2±3i
’ i ’	} 73-i ’	’2 + 4;’	> d-о2’	д' i-i ‘
40
б)-3[ cos7* +isin~]
к 4	4/
г) 5| cos J + isin f тс
e) cos^ + isin^ ;
тгу
-5Д
4.4.	Заданы ли следующие комплексные числа в тригоно-
метрической форме:
а) 2(cos ? + i sin ;
k 6	6/
в) J2 cos 1-^1 + *sin
L \
fl)4fcos£ - isin^ ;
k	о	о У
q	q
ж) sin^	n + icos - n.
4	4
4.5.	Записать в тригонометрической форме комплексные
числа:
а)	-1 + Кл/З ;	б) —3 - 41.
Решение.
а) —1 + i73 = 7(—I)2 + (л/3f- х +	= 2f cos?я + isin?kj ;
122/ к 3	3 )
б)	— 3 “ 4т = 7(~3)г + (—4)г f - - -i I = 5(соз ф +~гб1п ф), где ф — угол третьей
К о о )
3
четверти, косинус которого равен -- .
□
4.6.	Представить в тригонометрической форме следующие
комплексные числа:
а) 2; б) “5; в) 3i;
ж) -|L
72
Д)А +4;
Л 72
з)-А -I»;
72	72
(3	3 л
к) 2 sin- я + icos- п ;
к 4	4 7
г) ~2г;
-4=
72
м) sin а + (1 - cos a)L
e)-® +iA;
Л 72
2	2
и) cos - к - isin- я;
<5	3
л) 1 + cos + isin^ ;
3	3
4.7.	Вычислить, используя тригонометрическую форму
комплексного числа:
irM10	г- с
+ isinj I ; б) (1 + ij3 Г5.
□ 7J
a) 2[cos^
1_ к 5
Решение.
isin-ЛW = 2Wfcosl§^ + isin	= 210(cos 2я + iein 2я) = 210;
57 J	к 5	5 /
7Г . .
cos- + ism
41
4.8.	Вычислить, используя тригонометрическую форму
комплексного числа:
7	. . 7
cos —я + I sin —п	,,
а) -----------12  б) <A±iL6;
cos—-я — t sin-—я	1
12	12
— - isin —
12	12
в)(1 + ;7§)(1 + 0[ СОВ
г) (!- 'J3) . Д) (2 + tV12)(l - i)fcos||n + isinlA	;
е) (1 -	(2 +	)12; ж) ^1 - cos^ + isin-p ;
z	_	_x	6
з)	I 1 + cos- + isin-I .
<	3	37
4.9-	Найти все значения корней:
а) 2 =	; б) 2 = Vi -
Решение.
.	f----„	„ я + 2Ля L . . Tt + 2feTt
a) z = v-l = -7 cos я + 131ПЛ = cos-------------+ ism—— -------;
k = 0:
я
z0 = cos-
+ ism- = i;
2
k = 1: z. = cos 2— + isin 2— — -i;
1	2	2
Tt	ТЕ
------------------	2 + 2йп £ч-2Ля
ч г I я . . я 2	, .  2
6)2= vi = 3COS- + isin- = cos——------- + ism— -----
V 2	2	3	3
. __ a	_ 7t .  . 7t ^/3 . 1 
я = 0: z0 - cos- + ism- “	+ - i;
6	6	2	2
k — 1: z = cos — + i sin ~	-i i;
1	6	6	2	2
3	3
k = 2: го = cos- л + isin— я = — i.
2	?	2
4.10.	Найти все значения корней:
a) Vi ; б) ; в) V2 + 2г ;
д) </=4 ; е) 6Л -
г) V- 8 + 8iV3 ;
4.11.	Доказать, что:
a) + z2| |zT| + |z2|, если разность аргументов этих чисел
fjaBHa 2 л A, k — целое число;
Zi +	= l^il _ 1г21> если разность аргументов этих чисел
равна тс + 2тсй, k — целое число;
в) расстояние между точками 2г и z2 равно \zr - 22|.
42
4.12.	Построить на плоскости множество всех точек z, для
которых:
a) [z| = 2; б) arg г = ~ ; в) |z| < 3; г) |z - z0| < 5.
dr
4.13.	Решить уравнения:
а) х2 + 1 = О; б) х2 + 4 = О; в) х2 — 2х + 10 = О;
г) х2 — 6х 4- 18 = О; д) х4 — 6х2 + 25 = 0;
е) х4 - ЗОх2 + 289 = О.
4.2. Определители матриц второго и третьего порядка
Определителем матрицы второго порядка называется число
11 1Z = ап а22 ~ л21 а12.
а21 a2Z
Определителем матрицы третьего порядка называется число
а11 а12 а13
° 21 а22 а23	”
а31 *82 “33
“ П11О22аЗЗ + а31а12а23	а21Л32°13 — а13й22а31 — а21Л12аЗЗ — Л32а23<х11- (4-1)
Правая часть формулы (4.1) представляет собой алгебраическую сум-
му шести слагаемых, каждое из которых является произведением трех
элементов, расположенных в разных строках и разных столбцах матри-
цы. Соединив линией элементы каждого произведения, получим две лег-
ко запоминающиеся схемы, которые позволяют определить знаки сла-
гаемых и элементы, входящие в них сомножителями:
* + *	4—»
4.14. Вычислить определитель матрицы
12 3
4 5 6
7 8 9
Решение. Используя приведенные выше схемы, получаем
43
Вычислить определители матриц:
4,18.	1 i		4.19.	х + 1 х 	1	.	4.20.	COS а ;	sin а	
	i 1			X X +	1		sin а -	costx	
	5 2	3		w СП			9 8 7		
4.21.	4 3	2	.	4.22.	10 3 16	р	4*23.	6 5 4	#	
	2 3	1		4 2 6			3 2 1		
111
1 i —г
1 — i t
4.3. Разложение определителя матрицы
по элементам строки и столбца
Минором Му элемента ау определителя n-го порядка называется оп-
ределитель (п — 1)-го порядка, который получается я результате вычер-
кивания в определителе п~го порядка строки и столбца, содержащих эле-
мент ау.
Алгебраическим дополнением Ау элемента ау называется его минор,
умноженный на (—1)*+Л
А„ -
Каждый определитель равен сумме произведений элементов любой
его строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е.
а11 °12 а1л
аа  ain
—	a/2^-t2	где i — 1, 2, ...» п; (4.2)
ап1 ап2 №пп
“11 -** “1/ а1п
°21	а2/ “ и2л
= а-туАи + a2/A2j + ••• + ап/^пр где / - 1, 2, ...» п. (4.3)

Равенства (4.2) и (4.3) называются соответственно разложениями оп-
ределителя матрицы по элементам i-й строки и /-го столбца. Формулы
(4.2) и (4.3) можно использовать для вычисления определителей матриц.
44
4.27. Найти минор элемента а32 в
определителе четвертого
порядка.
Решение-
	«11	«]	.2	«13	«14		«и	«13	“14
м32 —	«21		2	«23	«24		«21	а2Э	«24
									
	гЧ*ЗГ			“зз			«41	«43	«44
	«41	а<	:Й	«43	«44				
4.28. Вычислить определитель,						разлагая его по элементам		
третьего столбца:				2 2 0 1 2 13 4 110 2 5 2 10				
Решение.	2 2 0 1							
	2 13 4 110 2	— а1дА13 + «23^23				+ «33^33 + 1	З 43^43 “	-
	5 2 10							
=	= (-1)1 + 3	 0 	2 1	1 4 1 2	+ (”	1)2+3 • 3 	2 2 1 1 1 2	+
			5	2 0			5 2 0	
+ (-1)3 + 3		• 0-	2 2	2 1 14	+ (-]	L)4+3 . ! .	2 2 1 2 1 4	
			5	2 0			112	
	- -3  9 -	1(-3) =		-24.				
4.29. Разлагая по третьему столбцу, вычислить определители:
	5 1x8		1	1 а-1	
а)	-4 -1 у -5	;	б)	-1 —2 b 1	4
	8 -1 z 12		-2 0 с 1	
	4 -1 t 7		0 1 d 0 !	
4.30. Вычислить определитель матрицы путем разложения
его по элементам второй строки:
	3	0	1 1		3			3	2	2	..
а)	а	ь	с	d		б)	X	У	Z	t	*
	1	1	1	1			2	3	3	2	
	1 -1	-3	2	-4			1 ”2	~2	0	-1	
45
4.31. Вычислить определители матриц, разлагая их по стро-
ке или столбцу:
-1 -3 10
3 0 4 1
3 2 2 2
ап	0	0	...	0
«21	а22	0	'*
Л31	а32	Лзз		О
» * 	Г Ч  в в ч ч й й
«л1	ап2	ллЗ	йпл
	Х1	*2	хз	*4	хь
	а1	а	аз	0	0
в)		0	t>3	0	0
	С1	0	с3	0	0
	У1	Уг	Уз	У4	Уз
	0	р 	0	0	&1л
	0	F » *	0	^2 п-1	&2п
д)	0	А  	*Зл-2	^3 п-1	Ь3п
	 НВ	А  *	в • Ч	в в в	
	&П1	  V	п-2		Ъпп
2 0 3 1
4.4» Свойства определителей п-го порядка
Вычисление определителя матрицы с помощью формул разложения по
строке или столбцу — достаточно трудоемкое дело. Используя свойства
определителя матрицы, можно значительно упростить его .вычисление .
Свойства определителя матрицы:
1. При замене каждой строки определителя столбцом с тем же самым
номером значение определителя не изменяется, т.е.
а11	«12 •"	«1л		Д11	«21	 °П1
а21	а22 	а2п	=	«12	«22	" «д2
 в 	« » 	4,  			 Ч »	и  	  »	4 Г 
“л1		ддл		а1п	а2я	
2. Общий множитель всех элементов строки (столбца) определителя
можно вынести за знак определителя, т.е.
«11 " aLk + «Ifc ” «1п
«21	«2* + «2* ” а2п
II I V V	V  	     *
"VI	V  	    й i
а 1 ... а . + о . + л
л1	гай	яп
«11	«1*	«1д
«21 ” «2Й " а2п
Л 4  I И 	  й * № й -
«л!	йяп
«11  «1й	«1л
«21 * a2k *- «2л
А А  А А  А Ч А  V * А  I
««i ...	... «пл
46
т.е. если каждый элемент й-го столбца определителя представлен в виде
суммы двух слагаемых aift = aift + aik, то этот определитель равен сумме
двух определителей, у которых все столбцы, кроме Л-го, те же самые,
что и в исходном определителе, й-й столбец в первом слагаемом состоит
из элементов aiflt i = 1, 2, ,п, а во втором слагаемом — из элементов
а^, I - 1, 2, .п. Аналогичное утверждение справедливо и для строк.
4. Определитель/ содержащий две одинаковые строки (столбца), ра-
вен нулю.
5. Определитель не изменяется, если к элементам одной из его строк
(столбцов) прибавить соответствующие элементы другой строки (столб-
ца), умноженные на одно и то же число, т.е.
а11	а12 ..				а11	а12					
	ai2 ••		а.п	1		.					
* * '			'  * * *+₽ 1 ’ 1 1 ’ +		 1 	а а а	' * *	 >	। а	а, т ф	- а а	* а а	
«Л	aj2 -	„ * й 	  Ci		‘ а/1	“/2			. *	а а **	Й ’	
► * ’				FT*	Т Г »		F Т Т		  	а а а	» * v  1	 а	» ф t	. ч ж	а , ,	
	ал2 *	+ 				a;t2			' 		*	
4.32.	Доказать следующие свойства определителей:
а)	определитель, у которого какая-либо строка (столбец) со-
стоит из нулей, равен нулю;
б)	определитель с двумя пропорциональными строками
(столбцами) равен нулю;
в)	при перестановке двух строк (столбцов) определитель ум-
ножается на — 1.
4.33.	Используя только свойства определителей, показать,
что следующие определители равны нулю:
	2	3	4	2х + Зу + 4		1 + X	1-х	2	4
а)	5	6	7	5х л бу + 7	б)	1 + X	1-х	3	9
	8	9	10	8х + 9у + 10		1 + X	1-х	4	16
1	11	12	13	Их + 120 + 13		1 + X	1-х	5	25
в) определитель, у которого сумма столбцов с четными но-
мерами равна сумме столбцов с нечетными номерами.
4.34.	Как изменится определитель n-го порядка, если его
подвергнуть одному из следующих преобразований:
а)	у каждого элемента изменить знак на противоположный;
б)	первый столбец переставить на последнее место;
47
в)	строки определителя записать в обратном порядке;
г)	к каждой строке, кроме последней, прибавить последу-
ющую строку.
4.5. Вычисление определителей
Если а определителе порядка п имеется столбец (строка), все элемен-
ты которого равны нулю, кроме одного, то, разложив определитель по
этому столбцу (строке), сведем вычисление определителя лг-го порядка
к вычислению единственного определителя порядка (и - 1).
Если же в определителе n-го порядка нет столбца (строки), все эле-
менты которого равны нулю, кроме одного, то, используя свойство 5 оп-
ределителей (см, с. 47), можно, не изменяя величины определителя,
преобразовать его так, чтобы в выбранном столбце (строке) все элементы,
кроме одного, обратились в нуль.
4.35. Вычислить определитель:
а)	-2 -5 -1 3 2-5 9	1 3-15 -5 2 18 -7 -10	;	б)	-11 101 0 0-133 -1 2-113 0-1131 -2 2 2 3 1
Решение. а)К третьей строке прибавим первую:
-2 -5 -1
2-5 9
1 -6 4
2 18 -7
Прибавляя к первой строке удвоенную третью, ко второй — третью, умно-
женную на —2, а к четвертой строке — третью, умноженную на -2, получим
О -17 7 -1
0 7	15
1 -6 4 -2
0 30 -15 -6
-17 7 -1
7	15
30 -15 -6
-17 7 -1
7	15
10 -5 -2
- 3 -
-17 7 -1
-78 36 0
44 -19 0
~-3*
-78 36
44 -19
-13 6
44 -19
= -18 - (247 - 264) = 306;
= - 3 6 
48
-Ill 0’1
0 0-133
-12-113
0-1131
-22 231
-11 10 1
О 0-133
О 1-212
0-1131
О 0 0 3 -1
0-133
1-212
-113 1
0 0 3 -1
0-13 3
1-212
0-143
0 0 3 -1
0 3-1
-1 3 3
0 10
0 3-1
1 О
3 -1
Вычислить следующие определители:
	1110					1 1	1 1						0 12 3		
4.36.	1 1 0 1 ।			4.37.		1 2	1 1	•	4.38.				113 5		
	10 11					1 1 :	3 1						5 3 11		
	0 111					1 1	1 4						3 2 10		
	4 3 2	1				13 14 15		► 13				14 3		1	
4.39.	-111	1		4.40. <		18 18 23		1 22 ;	. 4.41.			13 19 6		9	
	111-	1				5 €	> 7	7				6 17 11		3	
	123-	1				25 29 30 26 ,						3 6 3		2	
	9 9 1:	} -	17				27	44	40 55						
4.42.	10 15 21		3	4.43.			20	64	21 40						
	5 9 1;	}	6				13	-20	-13 24						
	9 15 21	L	17				46	45	-55 84						
	-2 7 4	2	3				5	-6 ]	10-7-2						
	-1 -3 2	9	-2				-3	4 -	-2 2 -2 ।						
4.44.	-3 7 5	2	3		4.45.		• -2	2 -	-4 5-3						
	-1 -2 2	3	-2				6	-8	7 -4 -1						
	-1 -4 1	1	-2 1				2	1	7 0 5						
	-2 5 4	4	0 i												
	'-273	5	-1												
4.46. ।	-4 -2 5	-2	1 -4		*										
	-6 4 5	2	—4												
	СЧ СО СО 1	1	-2												
49
5. МАТРИЦЫ
5.1. Действия с матрицами
Прямоугольная таблица чисел» содержащая т строк и п столбцов,
называется матрицей размера т х гг.
f	\
	“n	«12	...	“in 
A =	“21	“22 •”	“2л
	+ ..	.bi	* * 	
			amn )
Каждый элемент матрицы снабжается двумя индексами; первый ука-
зывает номер строки, а второй — номер столбца, в которых расположен
этот элемент.
Две матрицы называются равными, если числа их строк и столбцов
равны и если равны элементы, расположенные на соответствующих мес-
тах этих матриц.
Если число столбцов матрицы п равно числу ее строк, то матрицу на-
зывают квадратной матрицей порядка л. Элементы а1?, а22> > апп
квадратной матрицы порядка п образуют ее главную диагональ.
Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы,
расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Диагональная мат-
рица называется единичной, если все ее элементы, расположенные на
главной диагонали, равны единице.
Сложение матриц и умножение матрицы на число. Чтобы умно
жить матрицу на число, надо каждый элемент матрицы умножить на
это число.
Суммой матриц А и В одинаковых размеров называется матри-
ца, элементы которой равны суммам элементов матриц А и В, располо-
женных на соответствующих местах:
( ! >
°н “1л ,
< aml  атп >
&11
.. 0lrt	“11 + °11  “1н + “1л
ikfariA	г rib 4	  4	Г  
“	\ ал» 1 + &irt 1 “ атл+^лл>
Матрицу А можно умножить на матрицу В только в том случае, когда
число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. В результате
умножения получится матрица С, у которой столько же строк, сколько их
в матрице А, и столько же столбцов, сколько их в матрице В:
“11 “12  “1л
। аЛ “i2 ”•
4 11		4 11	 V V
6ц ...	... blk
^21	^2j	^2k !
^л1 “ ^nj “ ,j
^11	 	clj		cl*	;
 44		  ri	1-4 4	  
*
ri” 4 4	  4	 ri 	И ri 	  
1 —	Cfnk J
а элементы матрицы С вычисляются по формуле
ci/ “ ацЬ1/ ai2^2j	atnPnp
50
т.е. для получения элемента с^, расположенного в i-строке и /м столбце
матрицы С, надо элементы i-й строки матрицы А умножить на соответ-
ствующие элементы /-го столбца матрицы'В и полученные произведения
сложить.
5.1. Выполнить следующие действия:
( X	(	\
3 -1 4	_ з .	12 3
< 2 5 О J	<214;
Решение.
о. f 3 -1 4 ] _ Q . f 123
I 2 5 0 ) I 2 1 4
6 -2 8 ] _ [ 3 6 э К f 3 -8 -1 '
4 10 0 J I, 6 3 12 J t -2 7 -12 /
5.2. Найти элемент c32 матрицы AB = (О,). если
3 2 4 5
э 2-34 ;;
ч -1 -5 3 11 y
Решение. Элемент c32 равен сумме-произведений элементов третьей строки
матрицы А на соответствующие элементы второго столбца матрицы В, т.е.
сэг - (-D ' 2 + ("б) * (-D + 3  (-3) +11-5-49.
5.3. Вычислить произведение матриц
(	А
2 3 4 -5
1 2-3 4 |»
-1-2 3 1 z
3 2 1
4 1-1
13 2
2 0 1
Решение. Так как сомножители имеют размеры 3 х 4 и 4 х 3, то их произ
ведение определено и имеет размеры 3x3. Следовательно,
' f
 2-3 + 34 + 41-5 2
= i 1-3 + 2-4-31 + 42
1-3 —2-4 + 3-1 + 1- 2
cu ci2 c13
AB -	c21 cZz с2з ”
X C31 C32 c33 j
2 2 + 3- 1+4 -3-5 0
1 -2 + 2- 1—3-3+40
-12-21+33 + 10
12 19 2
' =	16 -5 -3
-6 5 8 ;
21-31 + 4-2-51
1 - 1-2 1-3 2 + 4-1
-1  1 +2  1 + 3- 2+1  1;
51
5,4. Даны матрицы:
f	\
7 2 15
А =	3-2 4-3
I 2 1 1 2 J
(	Л
5 4 3 0
2 3-21 
. 1 0 2 4 ,
Решить уравнение 5А + 2Х - В = О.
Найти произведение матриц:
2 6 ) V -3 2
5.6. Г 2 -1
I 1 1 J
1 11
ч 2 -1 ) '
9 6
5Д5. Выполнить действия:
а)
5.16. Дана матрица А =
О
Найти все матрицы В, переста-
новочные с матрицей А, т.е. такие, для которых АВ ~ ВА.
5.17.	Доказать, что если для матриц А и В оба произведения
АВ и В А определены, причем АВ = ВА, то матрицы А и В —
квадратные и имеют одинаковый порядок.
52
5.18,	Как изменится произведение АВ матриц А и В, если:
а) переставить i-ю и j-ю строки матрицы А;
б)	к i-й строке матрицы А прибавить j-ю строку, умножен-
ную на число k; ‘
в)	переставить i-й и /-й столбцы матрицы В;
г)	к i-му столбцу матрицы В прибавить j-й столбец, умно-
женный на число /г?
5.19,	Показать, что если А и В — квадратные матрицы од-
ного и того же порядка, причем АВ В А, то:
а)	(А + В)2 * А2 + 2АВ + В2;
б)	А2 - В2 (А - В)(А + В).
5.20.	Доказать, что диагональные матрицы перестано-
вочны.
5.21.	Доказать, что если А — диагональная матрица и все
элементы ее главной диагонали различны между собой, то лю-
бая матрица, перестановочная с А, тоже диагональна.
5.2.	Обратная матрица
Матрица А”1 называется обратной для квадратной матрицы А, если
АА1 = А^А = Е.
Квадратная матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда
ее определитель не равен нулю. Квадратная матрица А, определитель
которой не равен нулю, имеет единственную обратную матрицу
	Ап	А21	 А1
А-1=1	^12	Аг	" Аг
д	Ф Ф г		  	Ф Ф V
	v “^1 rt	^2л	Лпп
где А — определитель матрицы А;
Ац — алгебраическое дополнение элемента матрицы А.
Элементарным и преобразованиями строк (столбцов) матрицы на-
зываются следующие преобразования:
а)	умножение i-й строки (столбца) матрицы на число k * 0;
б)	прибавление к i-й строке (столбцу) j-й строки (столбца), умножен
ной на число k;
в)	перестановка i-й и j-ik строк (столбцов) матрицы.
53
Алгоритм построения обратной матрицы с помощью элементарных
преобразовании строк матрицы:
1.	К данной матрице А приписать справа единичную матрицу
“11 ” “in 1 ♦♦♦ О
V V I I Р V V 1 V 111* V V 4 I 4 й
< ап1 " алг) О ... 1
2.	С помощью элементарных преобразований объединенной
матрицы привести матрицу А к единичной матрице
Г 1 ... О Ьп ...
<0-1	- ь„п,
3.	Матрица А-1 имеет вид
Обратная матрица позволяет найти решения следующих матричных
уравнений:
АХ С, ХВ = С, АХВ = С.
Решением этих уравнений являются соответственно матрицы
X = Аи1С, X - СВ-1,	X - АЧЗВ"1,
если А и В имеют обратные матрицы.
5.	22. Найти матрицу, обратную к матрице
7 3
4 2 J
Решение. Определитель Д матрицы А равен 2, т.е. А = 2. Алгебраические
дополнения ее элементов: Ап = 2; А12 ” -4;	“ -3; А22 = 7. Следовательно,
2
2 -з 1 =
-4 7 J
1 -3/2 '
-2 % ,
5.	23. С помощью элементарных преобразований строк най-
ти матрицу, обратную к матрице
д
12 3
2 2 3 ! -
3 3 4 ;
54
Решение. Припишем к матрице А справа единичную матрицу и будем вы
поднять элементарные преобразования строк объединенной матрицы до тех пор
пока матрица А не превратился в единичную:
12 3
2 2 3
3 3 4
10 0
0 10
0 0 1,
12 3
0 -2 -3
0 -3 -5
10 0
-2 10
-301,
12.3
0 12
0 -3 -5
г! 0 0
11-1
-3 0 1
®ёП
10-1
О 1 2
0 0 1
-1-2 2 -
1 1 -1
0 3-2
1 00
О 10
к 0 0 1
ч
-110
1-5 3	
0 3-2
У
Таким образом.
А'1 = '
к
-110
1-5 3	
0 3—2,
Найти обратную матрицу для следующих матриц:
5.24. ( 1 2 L 5.25 к 2 3 ) ( \ 4-12 5.28.	11-2- ,0-13; [	Л 5 2 5 5'31- 3 5-3 * 1 -2 3 J ' 1 1 1 -Г 5.34. 1 -1 1 -1 1 . 11-11 L-i11 1j 1 0 ... 0 5.37.	0 2 ... 0	. f 31 ‘<5 2; 5.29. 5.32. 5.35. * . 5.38.	. 5.26. Г 3 2 к 4 3 (	Л '15 1 13 2 1- h ~21J (	Л 3 13 5 -2 2  1 2 2 3 J (1 4	2	3 1-2 1-2 1-1 1 1 ! < 0 -10 -2 -5, 0 ... 0 1 0 ... 2 0	.	QI	СП	Сл	СИ w	со	«	к 05	СО	О 	*	»	* ;-;О О О н Д W Д	MOI-* м 1	w ° °	03 • О Ю W	Q J-J |р_1	<]	СП 1 LJ 1	1 н* н» н м 4				Ы w w 		« W	N Н
10 0 ... п >		< п ... 0 0 >	
Решить матричные уравнения:
5.39.
Х =
1 -1 .
2 -3 ,
к 4 3 J
f \
1-2 1
3-11
1-1-3 2)
2 -3
3 0 
2 4 )
1 4
2 3>
5.48.
/
5.49.
(
5.50.
3 4 1 X •
4 5 j
11-2
-1 -1 3
12-4,
-2-1 О
2 2-1
3 1 1 ,
1 1
О -3
О 3
3
2 •
5.51.	Матрица называется невырожденной t если ее опреде-
литель не равен нулю. Доказать, что если А — невырожденная
матрица, то:
а)	из А2 = А следует А = Е;
б)	из А2 = Е следует А = А-1.
5.52.	Доказать, что если А — квадратная матрица и
(А + Е)2 = О, то матрица А имеет обратную. Найти обратную
для А матрицу.
56
5.53.	Пусть А и В — невырожденные матрицы одного и того
же порядка. Показать, что четыре равенства
АВ = ВА, АВ^В^А, А^В-ВА1, А^В^В^А1
равносильны между собой.
5.54.	Как изменится обратная матрица А-1, если-в матрице А:
а)	переставить i-ю и у-ю строки (столбцы);
б)	i-ю строку (столбец) умножить на число k О;
в)	к i-й строке (столбцу) прибавить у-ю строку (столбец), ум-
ноженный на число fe?
5.55.	Найти все матрицы второго порядка, для которых
А^1 - А.
5.3.	Ранг матрицы
Выберем в матрице А размера т х и произвольные k строк и k столб-
цов, k < min(m, и). Элементы, стоящие на пересечении выделенных
строк и столбцов, образуют квадратную матрицу fe-ro порядка, опреде-
литель которой называется минором k-го порядка матрицы А. Элементы
матрицы являются минорами первого порядка.
Если в матрице А имеется минор fe-ro порядка, не равный нулю,
а все ее миноры (Л + 1)-го порядка, окаймляющие этот минор (т.е. содер-
жащие минор fe-ro порядка целиком внутри себя), равны нулю, то ранг
матрицы равен k.
Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров:
1.	Найти ненулевой элемент матрицы (если такого нет, то ранг мат-
рицы равен нулю).
2.	Вычислить миноры второго порядка, которые окаймляют выбран-
ный элемент.
3.	Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отлич-
ный от нуля, рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие
какой-нибудь минор второго порядка, не равный нулю. Продолжать так
до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор Z-ro поряд-
ка, не будут равны нулю. В этом случае ранг матрицы равен I.
Матрица размера т х п называется трапецеидальной t если она имеет вид
/
"и	"12	"1г	••
О	а22	...	а2г	..
О	О	...	аГГ	..
о	о	...	О	..
<00 ... о ..
"in .
a2rt '
"rn ’
о
о )
где аи, о22» агг отличны от нуля.
57
Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований строк и
столбцов можно превратить в трапецеидальную.
Так как элементарные преобразования не* Изменяют ранга матрицы
и ранг трапецеидальной матрицы равен числу ненулевых строк, то для
отыскания ранга матрицы надо:	'
1) элементарными преобразованиями превратить матрицу в трапеце-
идальную;
2) подсчитать число ненулевых строк в трапецеидальной матрице.
5.56. Вычислить методом окаймления миноров ранг мат-
рицы
12 14-37
4 15 8 7 1-
, 2 17 4 13 -9
Решение. Так как матрица содержит ненулевые элементы, то ее ранг не
меньше 1. Минор второго порядка d г
2 1
4 15
отличен от нуля и, значит, ранг
матрицы не меньше 2. Вычислим окаймляющие d миноры третьего порядка:
2 14	@
4 15 8
2 17 4
2 1 4
О 11 О
2 17 4
= О,
2 1-3
О 13 13
О 16 16
= О,
2 17
О 13 -13
О 16 -16
= 0.
Итак, все миноры, окаймляющие минор d, равны нулю. Следовательно, ранг
данной матрицы равен 2.
5.57. Найти с помощью элементарных преобразований ранг
матрицы
' 5 2 13
3-112
1 2 4 8 *
<3-112,
Решение. Превратим данную матрицу в трапецеидальную с помощью эле^
58
ментарных преобразований:
5 2
। 3 -1
! 1 2
I з -1
1 2 J-*
' 5
-2
-19
I 2
2 13^
-3 О -1
-6 0-4:
-3 О -1 J
1 2
О -3
О -6
< О -3
5
-2
19
-2
3
-1
-4
-1 /

Z
1
!	о
о
I	о
2
-3
О
о
-2 -1
-15 -2 '
О О J
Таким образом, ранг матрицы равен 3-
Найти ранг матрицы:
5.58. f 1 2 “3 5
V 14 28 -42 70 )
4-517
7 -2 -1 15
5.59а ' g
^2-18-31
	41 1 2 '			' 13 14 1
5.60.	12 0 3		5.61.:	11 3 5 52
	23 15			5 5 3 17 12
	< 11-21,		1	< 4 2 2 3 1
				(
	-5 15	2 1		10 24 20 -44
5.62.	6 -2 -1С	* -4 1	5.63.	2 3	6	12
	k 7 1	5	2 -8 ,		5 10 -10 10
5.64. Определить ранг матрицы
а3 а4
-10
17
25
а1 а2
О о
о о
о о
О а5
О ае
О
в зависимости от чисел ар ...» а7.
5.65. Определить ранг матрицы
all
j lai
1 la
в зависимости от числа а.
59
5.66.	Доказать, что если к матрице приписать одну строку
(или один столбец), то ее ранг либо не изменится, либо изме-
нится на единицу.
5.67.	Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от
приписывания к ней каждого столбца матрицы В с тем же чис-
лом строк, то он не меняется от приписывания к матрице А
всех столбцов матрицы В.	,
5.68.	Доказать, что если ранг матрицы А не изменяется от
приписывания к ней всех столбцов матрицы В с тем же числом
строк, то ранг А больше или равен рангу В.
6. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Система линейных уравнений имеет вид
 аих1 + “12*2 +	+	= *1,
< Agl*! +	+ •<• + °2лхп “
1 amlxl + am2x2 + « *• "l"	™
где aif — коэффициенты при неизвестных;
bt — свободные члены (i = 1, 2, m; j - 1, 2,	п).
Прямоугольная таблица чисел
лн а12	а1«
°21 °22 ••• Л2*	,
 Ь Ь	-14В	В Bl' V 4 -В -
к,	^й»2 “	j
составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матри-
цей системы.
Расширенной называется матрица
/	ч
; йЦ й12	а1п
а21 а22	а2п ^2
“ml “m2 "	>
которая получается приписыванием к матрице системы столбца свобод-
ных членов.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы
одно решение. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг
60
матрицы равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронекера—Ка-
пелли). Совместная система уравнений имеет либо одно, либо бесконеч-
но много решений. В первом случае она называется определенной, а во
втором — неопределенной.
Система уравнений, не имеющая решений, называется несовмест-
ной. Если система уравнений содержит уравнение
OXj 4- 0х3 4- ... 4- 0хп — bt b О,
называемое противоречивым, то она несовместна.
Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют
одни и те же решения. Если в системе вычеркнуть одно или несколько
уравнений
0хг 4- Ох^ 4- ... 4- 0х„ “» 0,
называемых тривиальными, то получим систему уравнений, равно-
сильную исходной.
Следующие преобразования системы линейных уравнений, называ-
емые элементарными, не изменяют множества решений системы:
1) умножение какого-либо уравнения системы на отличное от нуля
число;
2) прибавление к обеим частям i-ro уравнения соответствующих час-
тей у-го уравнения, умноженных на число fe.
6.1.	Формулы Крамера
Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно чис-
лу неизвестных и определитель матрицы системы не равен 0, имеет един-
ственное решение, которое определяется по формулам Крамера:
где А — определитель матрицы системы; -
Afe — определитель, получаемый из определителя А заменой fc-ro
столбца столбцом свободных членов.
’6-1. Решить систему уравнений
2хх 4- х2 — х3 = 5
< Зх^ + Зх2 — 2х3 = 8
Х1 + х2 + Х3 = 6
61
Решение. Вычислим определитель матрицы системы уравнений:
	! 2	1 -1		; 3	2 0		3 2 5 5	
д =	3	3 -2	Е	.	1 5	5 0	^в.		- 5.
	1	1 I		1	1 1			
Следовательно, сист с помощью формул Кра Вычислим определи Д,-	ома име< мера. тели: 5 1-1 8 3-2 6 11		ГГ е;		1,ицстнен 11 2 0 20 5 0 6 11	иое	решен! 1 И 2 1 20 5		не, которое можно яарти = 15;	
Да =	2 5-1 3 8-2 16 1	I			3 11 0 5 20 0 16 1	— ,		3 11 5 20	= 5;	
Дз -	2 15 3 3 8 116				2 15 -3 0 -7 -10 1	= -		-3 - -1 :	7 1	- 10.
По формулам Крамера находим:
Д,	Д,	До
X! = - = 3; ха - - = 1; х3 = - = 2.
Решить системы уравнений:
Х1 ~ х2 + х3 = 6,
6.2. 4 xt - 2х2 + х3 = 9,
I хт - 4х2 “ 2х3 = 3.
I 3xj 4- х2 + Зл'з = 2,
6.4. 4 5хг - 2х2 + 2х3 = 1,
2xj 4- 2х2 + Зх3 = 1.
4xt + 2х2 - х3= 1,
5х^ 4” Зх2 — 2х3 — 2,
Зх! 4- 2х2 - Зх3 = 0.
17хт 4- 6х2 4- Зх3 4- 7х4 = 3,
Xj - 2х2 4- Зх3 - х4 = 9,
Зх» 4- 5х2 + 7xq + 2х4 = -1,
6.6./	1	2 d 4
5xr 4- 4х2 4- Зх3 4- 5х4 = 1,
6.7. <
4хг 4- Зх2 - х3 4- 2х4 = 5,
2Xi - 5х2 4- Зх3 4- х4 — 16,
5х| 4- 6х2 4 5х3 + 4х4 = 2.
4х1 4- 6х2 4- 2х3 - х4 - 5.
6.8. <
2xj + 5х2 4- 4х3 4 Зх4 = -19,
4х1 + 6х2 + х3 - 2х4 = -12.
Xj 4- 2х2 4- Зх3 4 4х4 =11,
, 2хг 4- Зх2 4- 4х3 4- х4 = 12,
3xj 4* 4х2 4- х3 4- 2х4 = 13,
4xj 4- х2 4- 2х3 4- Зх4 = 14.
62
6.2.	Общее решение системы линейных уравнений
Неизвестное хк называется разрешенным, если какое-нибудь уравне-
ние системы содержит хк с коэффициентом единица, а во всех остальных
уравнениях системы неизвестное хй не содержится, т.е. содержится с ко-
эффициентом нуль.
Система уравнений называется разрешенной , если каждое ее уравне-
ние содержит разрешенное неизвестное. Например, система уравнений
+ 2х3	—	~ 2,
7 Зх2 + «а + бх4	= 1,
-х2	+ 2х4 + х5 = О
является разрешенной, так как неизвестные хг, х3 и — разрешенные.
Если из каждого уравнения разрешенной системы уравнений вы-
брать по одному разрешенному неизвестному, то получим набор разре-
шенных неизвестных. Все неизвестные, не входящие в набор разрешен-
ных неизвестных, называются свободными. В приведенной выше разре-
шенной системе х2 и	—- свободные неизвестные.
Общим решением совместной системы уравнений называется равно-
сильная ей разрешенная система, в которой разрешенные неизвестные
выражены через свободные. Если в общем решении свободным неизвест-
ным придать какие-нибудь числовые значения, то получим решение
данной системы, называемое частным. Придавая свободным неизвест-
ным всевозможные числовые значения, можно получить все решения
данной системы линейных уравнений.
Общее решение системы уравнений можно получить с помощью фор-
мул Крамера или методом Гаусса.
Построение общего решения с помощью формул Крамера:
1.	Выяснить совместность данной системы уравнений, т.е. выяснить,
совпадают ли ранги матрицы и расширенной матрицы системы уравне-
ний.
2.	Найти один из миноров матрицы А системы уравнений, порядок
которого равен рангу А.
3.	Выписать все уравнения данной системы, которые содержат стро-
ки минора М. В этих уравнениях оставить в левых частях только те не-
известные, коэффициенты при которых являются столбцами минора Л/,
а остальные неизвестные перенести в правую часть.
4.	Решить систему уравнений, полученную в пункте 3, по формулам
Крамера.
Метод Гаусса состоит из ряда шагов. При выполнении очеред-
ного шага используют следующий алгоритм.
63
Построение общего решения методом Гаусса:
1.	Проверить» имеется ли в системе противоречивое уравнение. Если
такое уравнение в системе есть, то она несовместна и не имеет общего
решения.
2.	Вычеркнуть все тривиальные уравнения в системе, если они есть.
3.	Выяснить» является ли система уравнений разрешенной. Если она
разрешенная, то построить общее решение, выражая разрешенные не-
известные через свободные.
4.	Найти уравнение в системе, не содержащее разрешенного неиз-
вестного. С помощью элементарных преобразований получить в этом
уравнении неизвестное с коэффициентом единица, а затем исключить
это неизвестное из остальных уравнений системы.
5.	Выполнить следующий шаг, т.е. перейти к выполнению пункта 1.
Через конечное число шагов процесс остановится и будет установлена
несовместность системы или получено общее решение системы линей-
ных уравнений.
6.10. Исследовать совместность, найти общее решение и од-
но частное решение системы уравнений
хг + Зх2 + 5х3 + 5х4 = 5,
2Xi + 5х2 + 8х3 + 9х4 = 9,
xt 4- 2х2 + Зх3 + 4х4 = 4.
Решение. 1. Выпишем расширенную матрицу, найдем ее ранг и одновре-
менно ранг матрицы системы уравнений:
1 3 5 5	5 2 5 8 9	9 ,1234	4		-ч f	А	( У	1355	5	1355	5 01211	0121 Г (.0121 1	*	1 0 0 0 0 0 .
Итак, ранги матрицы и расширенной матрицы совпадают и равны 2. Следо-
вательно, система совместна.
1 3
1 2
2. Выберем минор М —
, составленный из коэффициентов при неизвест-
ных Xj и х2 первого и третьего уравнений. Этот минор отличен от нуля и его
порядок равен рангу матрицы системы.
3. Выпишем первое и третье уравнения данной системы, которые содержат
строки минора ЛГ:	.
xt + Зхг + 5х3 + 5х4 — 5,
Xj 4- 2х2 + Зх3 + 4х4 ' 4.
64
В этих уравнениях оставим в левой части неизвестные и -Т2, коэффициенты
при которых являются столбцами минора М, а остальные неизвестные перенесем
в правую часть:
Xi + Зх2 - 5 - 5х3 — бх4.
л*! + 2х<£ = 4 - Зх3 — 4х4.
4. Решим полученную систему по формулам Крамера:
5 - 5х3 - бх4
4 - Зх3 - 4х4
-	4- 2х3 + х4.
Теперь имеем
2 4~ х3 2х4,
— общее решение данной системы.
= 1 - 2х3 - х4
Неизвестные х3 и х4 — свободные неизвестные. Если положить х3 = 1, х4 — О,
то из общего решения находим Xj — 3, х2 "* — 1. Следовательно, х^ = 3, х2 = -1,
х3 = 1, х4 = 0 — частное решение исходной системы уравнений.
6.11. Найти общее решение и одно частное решение системы
уравнений
Xi + 2хй + х3 + 4х4 + х5 = -4,
3xj+2х2+ х3 + х4-3х5=1,
I х2 + 2х3 + 2х4 + 6х5 — -1,
5хг + 6х2 + Зх3 + 9х4 - х5 = -7.
Решение. Запишем систему уравнений в виде таблицы:
	*2	1	*3	!	*4	*5	ь	
1 3 0 5	2 '	2 1 6	1 1 2 3	4 1 ' 2 9	1 ' 1 -3	1 6 -1	1	-4	@ С 1 -1 ।	-7	*		5
и найдем общее решение системы методом Гаусса.
Шаг 1. Данная система уравнений не содержит противоречивых и тривиаль-
ных уравнений. Первое уравнение не содержит разрешенного неизвестного.
3 Сборник задач по высшей математике
65
Неизвестное jq входйт в это уравнение с коэффициентом единица. Исключив jq
из других уравнений с помощью элементарных преобразований, получим систе-
му уравнений
Xj 1	;	Х2 2	*3 1	*4 4	х5 1	1 ь ।	-4	-«	
о 0 0	:	-4 > 1 -4	-2 2 -2	-11 2 -11	-6 6 -6	1	13 -1	©в)® 13		J
Шаг 2. Полученная после первого шага система не содержит противоречивых
и тривиальных уравнений. Ни одно из уравнений, кроме первого, не содержит
разрешенных неизвестных, но третье уравнение содержит неизвестное х2 с ко-
эффициентом единица. Исключим неизвестное х2 из остальных уравнений с по-
мощью элементарных преобразований;
*1	х2	хэ	х4	*5	b
1	0	-3	0	-11	-2
0	0	6	-3	1	18	9
0	1	2	2	6	-1
0	0	6	-3	18	9
Шаг 3. Система уравнений, полученная после второго шага, не содержит про-
тиворечивых и тривиальных уравнений. Она не является разрешенной, так как
второе уравнение не содержит разрешенного неизвестного. Разделим это уравне-
ние на —3:
Х1	х2	хз I	1	х5	b
1	0	-3	|	1 0	-11	-2
0	0	—2	|	1 1	-6	© <ч 1
0	1	2	2	в	-1	I
0	0 	6	1	1	-3	18	9	-«	
Теперь с помощью элементарных преобразований исключим неизвестное х4
из третьего и четвертого уравнений:
Х1 1	х2	х3	*4	х5	• ь
1 0 0 0	0 0 1	1 о	j	-3 -2 6 G	0 1 0 0	-11 -6 18 0	-2 -3 5 0
6$
Итак, получена разрешенная система
- Зхэ -11х5“-2,
-!	- 2х3 + х4 - 6х5 = -3,
^2 + 6х3	+ 18х3 = 5,
у которой xj, х2, х4 — разрешенные неизвестные, а х3, х5 — свободные неизвест-
ные. Общее решение исходной системы имеет вид
' X] - -2 + Зх3 + 11х3,
< х4 = —3 ~ 2х3 + 6x5,
I. х2 - 5 ~ 6х3 - 18х5.
L
Если положить х3 = хй “ 0, то х, = -2, х4 = ~3. х2 — 5, т.е. Xj = -2, х2 = 5,
х3 0, х4 -3, х3 = 0 — частное решение исходной системы.
Исследовать совместность, найти общее решение и одно ча-
стное решение следующих систем уравнений:
6.12.	X} + х2 + х3 = 1.
6.13.	2xj + Зх2 + х3 - х4 ~ 2.
2xj + х2 + 2х3 - Зх4 = 1,
6.14.
xi + xz ~ хз + 2х4 — 2.
2xi 2х2 Зх3‘ 2х4 О,
6-15. 1	л 	' Л
хх + х2 + 2х3 - х4 - 0.
[5Х] + 12х2 4- 5х3 4- Зх4 = 16,
6.16. >4xi + Зх2 хз Зх4 = 2,
! 11хт + 11х2 + 4х3 + 8х4 8.
хх - х2 - Зх3 - 4х4 = 1,
6.17. < 2хх - 2х2 + 2х3 4- Зх4 = 2,
-Xj + х2 - 13х3 - 18х4 = "1.
Xi - х2 4- Зх3 4- х4 = 6,
6.18. < 7хх 4- 5х2 - 7х3 “ х4 = 8,
Xj + 8х2 - 18х3 - 5х4 = -6.
х4 + Зх2 ~ Зх3 = 2,
6.19.
4xi + 4х2 - 4х3 = 5,
-Xj - 5х2 4- 7х3 - “1.
Х| 4- 2х2 4~ Зх3 — О
6.22.
6.20
6.21.
2ху 4- Зх2 4- 4х3 = 0,		
2ху	+	“1“ -^з	1	
2ху	+ 2х2	4- Зх3 = 1.
ЗХу	4- 2х2	— х3 — 6х4 = О,
4хг	- *2 -	х3 - 4х4 = О,
Ху 4- 4х2 4		- Зх3 ~ 2х4 = О.
Зху	4- 2х2	+ х3 — х4 = 4,
2ху	4 5х2	4- Зх3 4- 2х4 = —
Зху	4- 4х2	4- 2х3 + х4 = 2.
в: 23.
6.24.
ху 4- 2х2 — Зх3 — 4г4 = 4,
2х^ 4- Зх2 — 4х3 — 5х4 = 4,
хг 4- х2 — 2х3 — 2х4 = 2,
4ху 4- Зх2 — 4х3 — 6х4 = 3.
Ху + 2х2 — 2х3 4- х4 = 3,
2ху + Зх2 — Зх3 4- 5х4 = 3
Ху — х2 4- х3	— — 2,
2ху - х2 4- х3 —- Зх4 = 4.
2ху — х2 + 4х3 4- х4 — 9»
Ху - 2х2 - Зх3 - х4 = — 1,
2ху 4г х2 4- 4х3 — х4 = 11,
Зху — 2х2 4- х3 — х4 = 9.
	2ху	+	7х2 4 Зх3 — х4 — 12х5 =	0,
6.26.	Ху 4- 6х2 4- 4х3 4- 2х4 4- 1Ох$ = Зху 4- 1Ох2 4- 4х3 - 2х4 — 21х5 Зху 4- х2 + 4х3 4- 2х4 — 7,			о, = О.
6.27. <	со сл н н ы и*	4-	2х2 4- 7х3 4 х4 = 9, 2х2 4- 5х3 — 5х4 = 19.	
168
2х1 4- х2 - х3 - х4 4- Зх5 = 3,
6.28.	< 5х1 + 4х2 ~ 4хз - 4х4 + 15х5 = 9,
Зхх + 2х2 ~ 2х3 - 2х4 4- 7х5 _ 5.
7xj - 2х2 + 2х3 - 2х4 4- Зх5 = 12,
6.29.	<2хг - х2 + х3 - х4 + Зх5 = 3,
Xj + х2 - х3 + х4 - 6х5 = 3.
Xi +х2 + х3-х4 + х5= 1,
6.30.	+ *2 + Зх3 “ 2х4 + х5 = 8>
Xj + х2 - 5х3 + х4 + 2х5 = -10.
2хт - х2 - Зх3 - 2х4 - х5 = 3,
14x1- х? - 9хч - 7хе = 6,
6.31.	< л л
Xj 3xg Ч" lOxg 4х4 + 6xg — 3?
Зхх - 6x3 — x4 — 4x5 == 4.
6.32.
6.33.
2Xi 4- x2 - x3 - 2x4 + 2x5 = 0,
3xi 4- x2 - x3 4- 3x4 + 2x5 - 0,
3xi + 2x2 - 2x3 - 3x4 + 4xs = 0,
2xi + x2 ~ x3 + 4x4 + 2x5 = 0.
Xi 4- 2x2 - x3 + 4x4 - 21xs = 0,
Xi + x3 - 4x4 - 3x5	= 0,
Xi - x2 + 2x3 - 2x4	= 0,
2xi " x2 + Зхз + 3x4 - 12x§ = 0.
Найти решение системы уравнений в зависимости от пара-
метра а:
а%1 + х2 + Хд = 1»
6.34. М +ах3 + х3 = 1,
Xi + х2 + ах3 = 1.
6.35 J
axj + х2 4- х3 + х4 = 1,
Xi + ах2 + х3 + х4 — 1,
Xi + х2 + ах3 + х4 == 1,
Xi + х2 4* х3 + ах4 = 1,
(1 +а)х4 + х2 + х3= 1,
6.36. sXi “Ь i[l 4“ а^х2 4“ х3 cif
хх + х2.4- (1 + а)х3 = а2.
69
7. СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ И УРАВНЕНИИ
Система линейных уравнений
' ац*! + а12хг 4- ... 4- а1лх„ = Ь1(
«21*1 + а22х2 + ... + а2лхп = Ь2,
aml*l + ат2х2 +	+ атпхп —
в векторной форме имеет вид
+ А2х2 + •" + Аихя = В,
	( ат '		
А =	а2л	, в =	ь2
	< втя >		<	j
столбцы коэффициентов при неизвестных х1; х2, .... хл и столбец сво-
бодных членов.
Последовательность чисел ftp k2.kn является решением системы
уравнений тогда и только тогда, когда справедливо векторное равенство
А1*1 4- А2А2 4- ... 4-A„fen - В.
7.1. Разложение вектора по системе векторов
Вектор AtAt + &2А2 + ... + АдАп называется линейной комбинацией
векторов Aj, А2, ..., Ап с коэффициентами klt fe2, ..., kn.
Вектор В линейно выражается через векторы AlfA2, Ал, если
В =" fejAj +	+ ... 4- fe„A„.
В этом случае говорят также, что В разлагается по векторам
Ар Лг, ..., Ал. Каждый n-мерный вектор В — (bL, б2, ..., 6Л)разлагается
по диагональной системе
£1 = (1,0...О),
В2-(0, 1, ..., О),
Еп = (О, 0..1)
с коэффициентами, которые равны координатам вектора В:
В 4* &2В2 4- ... 4* ЬпВп.
70
Разложения вектора В по системе А1г А3, Ал
В —	+ AgAg + ... + ЙдАп,
В — ^Aj + igA3 + ... + i„An
называются различными t если ki - lit хотя бы при одном значении it
1< i С п.
Чтобы найти разложение вектора В по системе векторов Ар-Аз, •••» At>
достаточно найти какое-нибудь решение системы уравнений
АРгг + А2х2 + ... + Artxrt - В.
7.1.	Выяснить, разлагается ли вектор В по системе векторов
^1» ^•2’ -Аа'
В = (2,7,17,0), At = (2, 4, 3, 0), А2 - (-3, 0, 1, 3),
А3 = (1,-1, 10, -3).
Решение. Найдем общее решение системы уравнений
методом Гаусса:			AjXj + А2х2 + А3х3 =В				=
*1		*3	b	*1	х2	*3	ь
2	-3		2	2	-з	1	2
4	0	-1	1	7	6 ।	<э>	0	9
3	1	10	17	-17	31	0	-3
0	3	-3 ,	1 0	6 1	6	0	6
Х1	*2	х3	ъ	*1	1 х2	1 *3	&
-4	0	1	-7	0	0	1	1
-2	1	0	-з	0	1	0	1
	0	0	90	1	0	0	2
т-6	0	о !	-12	0	0	0	0
Исходная система равносильна системе - 1					., х% =	= 1, ХЛ	2, которая
имеет единственное решение 2, 1, 1. Следовательно, В - 2Aj + Аг + А3.
Выяснить, разлагается ли вектор В по
^1» ^2»
7.2.	В = (2, 2, 3, 3), Aj (1, 2, 3, 1),
А3 = (3, 2, 4, 4).
7.3.	В = (4,1, 3, 1), А1 = (2,0, 1, 1),
А3 = (2, 1, 3, -3).
системе векторов
А2 = (2,1,2, 3),
А2 = (1,1,2,-2),
71
7.4.	В = (-1, 1, 3» 1), Aj ₽ (1, 2, 1, 1), А2 = (1, 1, 1, 2),
А3 - (-3, —2, 1, -3).
7.5.	В = (1, О, О, 1), А1 = (2, 1, 1, 3), Л2 = (3, О, -1, 2),
А3 = (1, -1, О, 1), А4 = (1, О, —2,-1).
Найти все значения при которых вектор В разлагается по
системе Ап А2,  Ал:
7.6.	В -(2, а,3), Аг = (1,2,1), А2 = (3, 4, 5), А3 = (4,5,7).
7.7.	В = (15, 6, а), Ах = (5, 2, 1), А2 = (10, 4, 2).
7.8.	В = (3, 5, а), А4 = (2,4,3), А2 —(1,6, 5), А3=(1,5,4).
7.9.	Доказать, что каждый n-мерный вектор разлагается по
системе векторов, содержащей в качестве части диагональную
систему векторов.
7.10.	Доказать, что дектор В =	й2, ..., 5^, &А+1) разлага-
ется по системе векторов
А| = (1, О, ...» О, О),
А2 = (О, 1...О, О),
Afc = (О, 0..1,	0)
тогда и только тогда, когда Ьк+1 = О.
7.11.	Разложить каждый вектор системы А1У А2, ..., Аот по
ее векторам.
7.12.	Дано, что вектор В разлагается по системе векторов
Ах, А2, ..., Ат. Верно ли, что он разлагается по каждой части
этой системы?
7.13.	Доказать, что если векторы и Во разлагаются по
системе векторов Аг, А2, ..., Ат, то векторы В1Ч-В2,
l^Bl + 12В2 также разлагаются по векторам Аг, А2, Ат,
7.14.	Показать, что ни один из векторов диагональной сис-
темы не разлагается по остальным ее векторам.
7.15.	Вектор В разлагается по системе векторов Alf А2,
Ат. Доказать, что каждый вектор системы В + Аг, В + А2, ...,
В + Ат разлагается по системе А1ж А2, ...» Ат.
72
7.16.	Дано, что В = 2Аг - 5А2 + ЗА3 и ни один из векторов
Alt А2, А3 не разлагается по остальным векторам этой системы.
Доказать, что вектор В не разлагается ни по каким двум век-
торам системы Аг, А2, А3.
7.17.	Вектор В разлагается по системе Aj, А2, А3, но не раз-
лагается ни по каким двум векторам этой системы. Доказать,
что ни один вектор системы Alt А2, А3 не разлагается по ос-
тальным ее векторам.
7.18.	Вектор В не разлагается по системе векторов А15
А2, ..., Ат, и ни один из векторов системы А1?А2, Ат не раз-
лагается по остальным векторам этой системы. Доказать, что
вектор В не разлагается по системе A j 4- В, А2 + В, ..., Ат 4- В.
7.2.	Линейная зависимость
Система векторов А1т Д2,	А„ называется линейно зависимой, если
можно подобрать такие числа	...» kn, не все равные нулю, что
4* ... 4*	" 9, где 9 — (О, О, .О).
Система векторов АД2» ..., Ап называется линейно независимой, ес-
ли из каждого соотношения вида fe]At 4-	+ ... + k„An = 9 следует
=	= &п = О’
Система векторов линейно зависима тогда и только тогда,
когда система уравнений А1х1 + А2х2 4- ... + Artjcrt = имеет ненулевое
решение. Система векторов линейно независима тогда и только
тогда, когда система уравнений Ai-^1 4- А2х2 4-... + Artx„ = 9 имеет только
нулевое решение.
Вектор В разлагается по линейно независимой системе А1т А2, Ал
тогда и только тогда, когда Alt А2> >-•» Ап, В — линейно зависимая сис-
тема векторов.
Система векторов линейно зависима, если количество коор-
динат у векторов системы меньше, чем векторов в системе.
Если каждый вектор системы В2, .... Вп разлагается по векторам
А1, A2t .... и п > т, то Вг, В2, ..., Вп — линейно зависимая система
векторов.
73
7.19.	Выяснить, является ли данная система векторов ли-
нейно зависимой или линейно независимой:
Ai = (3, 5, 1, 4), А2 = (-2, 1, -5, -7), А3 = (-1, -2, О, -1).
Решение. Преобразуем систему линейных уравнений + Агхг + Л3х3 = 6
методом Гаусса. Столбец свободных членов системы состоит только из нул^й и
не изменяется в процессе преобразований, поэтому его можно не записывать.
Итак,
*1	х2	*3	*1		х3	*1	: *2	*3
3	1 ' -2	Q	3	! 2	1	0	-13	1
5	1	-2	-		5 '	0	—j.	х	-5	0
1 ।	-5	0	1	-5	1 б	0	0	0
. 4 Общее I	-7 мешение	-1 1 ! исходной системы		-5 : имеет 1	0 аид	0	0 .	0
х3 - 13х2,
*1 - бх2.
Эта система имеет ненулевое решение (5, 1, 13). Следовательно, векторы Alf А2,
А3 линейно зависимы.
7.20.	Выяснить, является ли данная система векторов ли-
нейно зависимой или линейно независимой:
Л = (-20,-15, -4), А2 = (-7, -2^ -4), А3 « (3, -1, -2).
Решение. Преобразуем систему:уравненHi¥'Aixi + -^гха + -^зхз “ 0 методом
Гаусса:
*1	*2	х3	Х1	*2	*3	Xi	х2	х3	*1	х2	1 хз
-20	-7	3	-26	0	0	2	1	0	0	1	о’
-15	-2 I	-1	-13	0	0		0	0	1	°	0
-4	-4		2	2	1	-2	0	1	0	0	1
Общее решение исходной системы имеет вид xt = 0, л2 = 0, х3 = 0. Эта сис-
тема, а следовательно, и исходная система уравнений имеет только нулевое ре-
шение. Таким образом, векторы АЛ2, линейно независимы.
Выяснить, является ли данная система векторов линейно
зависимой или линейно независимой:
7.21.	Ai = (-4, 2, 8), А2 = (14, -7, -28).
7.22.	Ai = (2, -1, 3, 5), А2 - (6, -3, 3, 15).
74
7.23.	Ai = (-7, 5, 19), A2 = (-5, 7, -7), A3 = (-8, 7, 14).
7.24.	Ax - (1,	2, -2),	A2	=	(О, -1,	4),	A3	=	(2, -3, 3).
7.25.	Ai = (1,	8, -1),	A2	=	(—2, 3,	3),	A3	=	(4, -11, 9).
7.26.	Aj = (1,	2,3),	A2	=	(2, —1,	1),	A3	=	(l, 3, 4).
7.27.	Ax = (0,	1, 1, 0),	A2	=	(1, 1, 3, 1),	A3	=	(1, 3, 5, 1),
A4 = (0, 1,1, -2).
7.28.	Ах = (-1, 7, 1, -2), A2 = (2, 3, 2, 1), A3 = (4, 4, 4,-3),
A4 = (1, 6, -1, 1).
7.29.	Установить, что система векторов будет линейно зави-
симой, если она содержит:
а)	два равных, вектора;
б)	два пропорциональных вектора.
7.30.	Ненулевой вектор В разлагается по системе Аг, А2, А3
и по системе А4, А5, Ag. Доказать, что Ах, А2, А3, А4, А5, Ag —
линейно зависимая система векторов.
7.31*	Вектор В разлагается по системе Ах, А2, ..., Ап. Дока-
зать, что вектор В можно двумя различными способами раз-
ложить по системе векторов Аг, А2> ..Ап тогда и только тогда,
когда векторы Aj, А2, ..., А„ линейно зависимы.
7.32.	Доказать, что векторы А2 - Ах, А3 - Ах не пропорцио-
нальны, если Ах, А2, А3 — линейно независимые векторы.
7.33.	Векторы Аг и А2 не разлагаются по остальным векто-
рам системы Ах, А2, А3, а вектор А3 ненулевой. Доказать ли-
нейную независимость системы Av А2, А3.
7.34.	Известно, что вектор В единственным образом разла-
гается по системе Ах, А2, А3, А4. Доказать, что система Ах + А2,
А2 + А3, А3 + А4, А4 Линейно независима.
7.35.	Три вектора Ах, А2, А3 линейно зависимы и вектор А3
не разлагается по векторам Ах, А2. Доказать, что А> и А2 —
пропорциональные векторы.
75
7,36.	Каждый вектор системы Вр В2, ..., Вп разлагается по
векторам линейно зависимой системы .Ар А2, ..., Ад. Доказать,
что система Вр В2> ...» Вп линейно зависима.
7.37,	Доказать, что система векторов Alt А2, А3, А4 линейно
независима, если каждый вектор этой системы не разлагается
по предшествующим векторам и At * 0.
7.38.	Система векторов Ар А2, ...» Ап линейно независима
и вектор В не разлагается по этой системе. Доказать, что сис-
тема векторов Aj + В, А2 + В, ..., Ап + В линейно незави-
сима.
7.39.	Вектор В единственным образом разлагается по систе-
ме векторов Ар А2, ..., Аге, но В не разлагается по ее части
Ар А2, ..., Ak, k< п. Доказать, что Ар А2, ..., Аа, В — линейно
независимые векторы.
7.40.	Известно, что А, В, С — линейно независимые векто-
ры, Выяснить, линейно зависимы или линейно независимы
следующие системы векторов:
а) А, А + В, А + С;	б) А + В, С — В, А + С;
' в) А + В, А — В, А + С, А - С; г) А + В, В + С, А + В + С.
7.41.	Дана система п-мерных векторов Ар А2,..., Ап. Вычер-
кивая у каждого вектора этой системы одни и те же k коорди-
нат, получим систему (п — /г)-мерных векторов Вр В2, ..., Вп.
Доказать, что:
а)	если Ар А2, ..., Ал — линейно зависимая система векто-
ров, то и система Вр В2, ..., Вп линейно зависима;
б)	если Вр В2...Вп — линейно независимая система век-
торов, то и система Ар А2, ..., Ал линейно независима.
7.42.	Система векторов Ар А2, ..., Ап называется егпупенча-
той, если из условия: первая отличная от нуля координата
вектора Ak имеет номер lt — следует, что у всех векторов Aif
I > первые I координат равны нулю, k= 1, 2, .... п- 1.
Доказать, что ступенчатая система векторов линейно незави-
сима.
76
7.3. Базис и ранг системы векторов
Часть системы векторов называется базисом этой системы, если;
1) часть является линейно независимой системой векторов;
2) каждый вектор системы разлагается по векторам части.
Диагональная система векторов является базисом каждой системы,
которая содержит ее в качестве части.
Если система уравнений
+ А2х2 + ... + Апхп = 0
является разрешенной, то векторы - коэффициенты при неизвестных, со-
ставляющих набор разрешенных неизвестных, образуют диагональную
часть системы векторов Ар Аг, Ап.
Векторы системы разлагаются по базису этой системы единст-
венным образом.
Каждую линейно независимую часть системы векторов можно допол-
нить до базиса этой системы.
Все базисы данной системы векторов состоят из одного и того же чис-
ла векторов.
Рангом системы векторов называется число векторов в любом ее ба-
зисе. Если ранг системы векторов равен г, то каждая линейно независи-
мая часть этой системы, состоящая из г векторов, является ее базисом.
Системы векторов называются эквивалентными, если векторы одной
системы разлагаются по векторам другой системы и наоборот. Ранги эк-
вивалентных систем равны.
Вектор В тогда и только тогда разлагается по системе векторов
Ар А2, Ат, когда ранги систем Ар Д2, ..., Ат и Ар Д2, Ат, В
равны.
Построение базиса системы векторов Ар Д2, .А„ и разложений
векторов по базису:
1.	Рассмотреть систему уравнений AxXj + А2х2 + ... + Алхл = 0 и найти
равносильную ей разрешенную систему уравнений
Aj xL + А2 х2 + ... + А„ хп = 0.
2.	Найти диагональную часть системы векторов Ар А2 , ---, Ал.
3.	Отметить векторы системы Ax, А2, ..., Ап, соответствующие диаго-
нальной части системы Ар А2.....А”г; они образуют базис системы
Ар А2, ..., Ап.
4.	Разложить вектор Aj по диагональной части системы А[ , А'2 ,
Ал вектор А}, 1 < j С п, разлагается по базису, найденному в пункте 3,
с коэффициентами, которые совпадают с коэффициентами разложения
А'} по диагональной части системы Ар А2 , ...» Ал.
77
7.43. Найти базис системы векторов и векторы, не входящие
в базис, разложить по базису:
Aj = (5, 2, -3, 1),	А2 - (4, 1, ™2, 3),	А3 — (1, 1, -1, -2),
А4 = (3, 4, -1, 2),	А5 = (13, 8, -7, 4),
Решение. Рассмотрим систему линейных уравнений AjXj + А2х2 + Адл:3 +
+ А4х4 + АБх5 — 0 и методом Гаусса найдем разрешенную систему уравнений:
	ха		*3 j		х4		*5	. 11	*2		*3		^4		*5	
5	4		О		; з		13	5	4		1		3		13	
2	1		1		4		8	—*	-3	-3		0		1		-5	—>
-3	—2		-1		-1		—7		2 ।		0		2		б	
1	3		-2		2		4	11	11		0		8		зо	
	*1	*2		*3		*4		х5	*]	*2		*3		*4		*5
	0	“1		1		-2		-2	0	-1		1		0		0
—>	0	0		0				4	Т*	.0	0		1 о		1		1
	1	1		0		1		3	1	1		0		0		2
	0	0		0		-3		-3	0	0		0		0		°
Разрешенная система уравнений, равносильная исходной, имеет вид
А\ jcj + А'2 х2 + А'г хя + Л'4 х4 + А3 = 6,
где
	( > 0		(	1 -1		( ) 1	1	( > 0		н	
^1 -	0	*	^2	0	• А3 -	0 ।		1	, А' =	1	*
	1 * J		1 1J		1 °J		1 °J		к 2 /	
Векторы Ai, А3 , А			4 образуют диагональную систему. Следовательно,							век-
торы А3» А3, А* — базис системы векторов А1Г А3, А3, А4, А§.
Разложим теперь векторы Л2 И А3 по базису Ад, А3, А4, Для этого, сначала
разложим соответствующие векторы А2 и А5 по диагональной системе Ад , А3 ,
А4 , имея ввиду, что коэффициентами разложения вектора по диагональной сис-
теме являются его координаты:
Л2 - А] - А3 + 0А4 ,	;	'
А3 ж 2.А4 _ 0j43 “Ь А4 *	*	 j’
Векторы Аг и А6 разлагаются по базису Ад, А3, А4 с теми же коэффициентами»
что и векторы А2 и А3 по диагональной системе Ад » А3 , А4 ;
А3 = Aj ~~ A3 4- 0А4,
Аб - 2Aj + 0А3 + А4.
78
Найти базис системы векторов и векторы, не входящие в ба-
зис, разложить по базису:
7.44.АХ = (1, 2, 1),
А2 (2 > 1 > 3)»
А3 = (1, 5, О),
А4 = (2, -2,4).
7.45.4 = (1,	2),
А2 = (О, 1, 2),
А3 = (2, 1, -4),
А4 = (1, 1, О).
7.46. Ах =(1, -2, 3), А2 = (0, 1,-1),
А3 = (1, 3, О),
Д4 = (0, -7, 3),
А5 = (1, 1, 1).
7.47.	Найти базис системы векторов
Ах = (1, 1, 4, 2), А2 = (1, -1, -2, 4), А3 = (О, 2, 6, -2),
А4 = (-3, 3, 3, -12), А5 = (-1, О, -4, -3),
содержащий вектор А5, и все векторы, не входящие в этот ба-
зис, разложить по базису.
7.48.	Найти базис системы векторов
А4 = (1, 3, 0, 5),	А2 - (1, 2, О, 4),	А3 = (1, 1, 1, 3),
А4 = (1, О, -1, 2),	А5 = (1, -3, 3, -1),
содержащий векторы А2 иА3, и векторы, не входящие в этот
базис, разложить по базису.
7.49.	Найти два базиса системы векторов
Ах = (1, 1, О, О),	А2 (1, О, 1, О),	А3 = (1, О, О, 1),
А4 = (О, 1, 1, О),	А5 = (О, 1, О, 1), Аб - (О, 0, 1, 1),
единственными общими векторами которых служат А2 и А4.
Найти все базисы системы векторов:
7.50.	Ах = (1, 1, 2), А2 = (3, 1, 2), А3 = (1, 2, 1),
А4 = (2, 1, 2).
7.51.	Aj = (1, 1, 1), Д2 = (-3, -5, 5), А3 = (3, 4, -1),
А4 = (1, -1,4).
7.52.	Ах = (1,1, 0,-1), А2 = (1, 2, 1, О), А3 = (1, 3, 2, 1),
А4 = (1, 4, 3,2).
7.53.	Ах = (1, 0, 1, О), А2 = (-2, 1, 3, -7), А3 = (3,-1, О, 3),
А4 = (-4, 1, -3, 1).
79
7.54.	Доказать, что линейно зависимая система ненулевых
векторов содержит два различных базиса.
7.55.	Доказать, что система векторов, имеющая только один
базис, линейно независима.
7.56.	Вектор Л4 разлагается по остальным векторам системы
Ар А2, .... Аш, которая не содержит нулевых векторов. Дока-
зать, что система Ар А2, ...» Ат обладает базисом, который
не содержит вектора Ар
7.57.	Вектор Ах не разлагается по остальным векторам сис-
темы Ар А2, Ат, которая не содержит нулевых векторов.
Доказать, что каждый базис системы векторов Др А2, ..., Ат
содержит вектор А2.
7.58.	Каждый вектор системы Alf А2, ...» Ат разлагается по
своей части Вр В2, ..Bk. Доказать, что каждый базис системы
векторов Вр В2, ВА является базисом системы Ар А2, ...,Ат.
7.59.	Найти какой-нибудь базис системы ненулевых векто-
ров Ар А2, A3, Ар если каждый вектор этой системы разлага-
ется по предыдущим векторам.
7.60.	Доказать, что если в системе Ар Аг, ..., Ат, А1 0, вы-
черкнуть все векторы, которые разлагаются по предыдущим
векторам, то получится базис системы Ар А2 Ат.
7.61.	Каждая линейная комбинация векторов В р В2, ..., Вт,
отличная от нулевого вектора, не разлагается по системе век-
торов Ар А2, ..., АЛ. Доказать, что объединение базисов систем
векторов Ар А2, ..., Art и Вг, В2, ...» Вт будет базисом объеди-
ненной системы Ар А2, АЛ, Вр В2, ..., Вт.
7.62.	Найти все различные базисы системы ненулевых век-
торов Др Д2, A3, Ар если каждый вектор этой системы разла-
гается по предыдущим векторам.
7.63.	В системе векторов Ар А2, А3, Ар Д5 ранга 3 векторы
Ах и A3, а также А2 и А4 пропорциональны. Найти все базисы
этой системы.
80
7.64.	В системе Ар А2, А3, А4 ранга 3 векторА4 = 2АХ — А3.
Найти все базисы этой системы векторов,
7.65.	Система ненулевых векторовAlt А2, ...»Ад+1, содержа-
щая два пропорциональных вектора, имеет ранг fe. Сколько
различных базисов содержит эта система?
7.66.	Система векторов Ах — А%, А2 — А3, А3 - А4, А4 + Ах ли-
нейно независима и вектор В не разлагается по этой системе.
Найти ранг системы векторов А1} А2, А3, А4, В.
7.67.	Доказать, что ранг системы Ах + Вр А2 + В2,'
Ап + Вп не превосходит ранга системы векторов Ар А2, ...» Ал,
®1> ^2’ ••• ’
7.68.	Ранг системы векторов Ар А2, ..., А„ равен г. Найти
ранг системы векторов Ар А2 - Ар ..., Ал - Ап _ х.
7.69.	Пусть ранг системы векторов Ар А2, .... Ат равен k.
Доказать, что каждая часть системы векторов Ар А2, ..., Ат,
содержащая более k векторов, линейно зависима.
7.70.	Ранг некоторой части системы векторов равен рангу
всей системы векторов. Доказать, что каждый базис этой части
является базисом всей системы векторов.
7.71.	Доказать, что ранг системы векторов Ар А2, ...» Ад,
Аа + 1, ..., Ат не превосходит суммы рангов ее частей Ар А2, ...,
А^. и Ад + р ..., Ат.
7.72.	Пусть ранг системы векторов Ар А2, Ат равен г и
вектор В не разлагается по системе Ар А2, ...» Ат. Доказать,
что ранг системы векторов Ар А2, ...» Ат, В равен г + 1.
7.73.	Каждый вектор системы Ар А2, Ат ранга г разла-
гается по векторам системы Вр В2,..., Вп ранга г + 1. Доказать,
что в системе Вр В2, ..., Вл найдется такой вектор, который
не разлагается по системе Ар А2, Aw.
7.74.	Векторы Вр В2, .... Вг образуют базис системы Ар
А2, ..., Ат иАу — ненулевой вектор, не входящий в этот базис.
Доказать, что в системе Вр В2, ..., Вг найдется такой вектор Bt,
81
1 < I < г, что Bj, В2> Вг,г, Bi+1, ...» Вг — новый базис
системы Аг, A2t	Сколько таких векторов Вг в базисе Въ
В2> ВГЧ
7.75.	Доказать, что если система ненулевых векторов
ранга г имеет ровно два базиса, то она содержит г + 1 вектор,
из которых два пропорциональны.
7.76.	Доказать, что если система содержит т векторов и
имеет ранг г, то ранг любой ее части из s векторов не меньше
г + s - т.
7.4. Векторы и матрицы
Произведением тхп~матрицы А на п-мерный вектор К ~ (fej, k2,/гл)
называется m-мерный вектор АК, равный линейной комбинации столб-
цов Alt А2, ...,.АД матрицы А с коэффициентами /г2, ..., kn, т.е.
АХ = ^Aj + ftgAg + ... + k„An.
Например,
2 1 5 (3, -4, 1) = 3 21 -4 1
I 3 1 4 J	I 3 J V 1 )
7
9
+ 1 5
I 4
Умножение матрицы А на вектор К производится точно так же, как
умножение матрицы А на матрицу, состоящую из одного столбца с эле-
ментами k2, kn.
Произведением т-мерного вектора L — (lif 12, ..., 1т) на тхп-мат-
рицу А называется л-мерный вектор LA, равный линейной комбинации
строкА1, А2, ..., Ат матрицы с коэффициентами (lf 12, ..., 1^, т.е.
LA = ЦА1 + l^Al 4- ... + 1тАт. -
Например,
(1, -1)( 2 1 5 | - 1(2, 1, 5) - 1(3, 1, 4) - (-1, О, 1).
I 3 1 4 J
Умножение вектора L на матрицу А производится точно так же, как
умножение матрицы, состоящей из одной строки с элементами t2,
(m, на матрицу А.
Справедливы следующие равенства (й, I — числа):
1) А(Х + L) = АХ + AL;	2) А((Х) - ((АХ);
3) (X + Ь)А = ХА 4- LA;	4) (kL)A - k(LA);
5) (£А)Х = L(AX).
82
Столбцы (АВ\ и строки (АВУ матрицы АВ вычисляются по формулам
(АВ); = АВ;, (АВУ - А1В,
где В;— i-й столбец матрицы В;
А? — у-я строка матрицы А.
Ранг матрицы равен рангу системы ее строк, а также рангу системы
ее столбцов. Ранг mx п-матрицы А равен рангу системы векторов AK\,
AJf2> ..., АКП, гдеХ1, К2, ...» Кп - линейно независимая система л-мер-
ных векторов.
7.77.	Даны матрица
f 5 2-3 1
А = 4 1 -2 3 j
< 1 1 -1 -2 J
и векторы = (2, —1, 3, 2), ЛГ2 = (3, -4, 1, 2), Li — (3, -2, —5),
L2 = (-2, 1, 3). Найти координаты векторов AJf1T АХ2>
L2A.
7.78.	Доказать, что если можно матрицу А умножить на век-
тор К и вектор К умножить на матрицу А, то А — квадратная
матрица.
7.79.	Даны тпхп-матрица А и система n-мерных векторов
JCp К2* ...» Доказать, что:
а)	из линейной зависимости системы векторов К2>
Кт следует линейная зависимость системы векторов АКр
АК2, AJCm,
б)	из линейной независимости системы векторов АКр
ЛК2>   » АКт вытекает линейная независимость векторов
^1» ^2* **•> ^т'
7.80.	Подобрать такие матрицы А и В и вектор К, чтобы
А(ХВ) * (AJf)B.
7.81.	Даны mxn-матрица А, столбцы которой линейно неза-
висимы, и и-мерный вектор К. Доказать, что:
а)	если А.К = в, то и К =* 0;
б)	если К # 0, то и АК * в.	Л	!
83
7.82.	Дана тпхп-матрица А. Доказать, что:
a)	m > п, если ранг матрицы А равен п;
б)	и > in, если ранг А равен тп.
7.83.	Ранг тихп-матрицы А равен т и п > т. Построить два
таких вектора К и L, что К L, а АХ — А£.
7.84.	Даны квадратная матрица А порядка п и линейно не-
зависимая система векторов Х1? Х2, ..., Кп. Доказать, что А —
невырожденная матрица, если векторы АХ1( АХ2, ..., АХП ли-
нейно независимы.
7.85.	Дано, что АВ = О. Доказать, что:
а)	ранг матрицы А меньше я, если В — ненулевая nXfe-мат-
рица;
б)	ранг матрицы В меньше п, если А — ненулевая тхп-мат-
рица.
7.86.	Столбцы матрицы В линейно зависимы. Доказать, что
столбцы матрицы С линейно зависимы, если С = АВ.
7.87.	Строки матрицы С линейно независимы. Доказать, что
строки матрицы А линейно независимы, если С  АВ.
7.88.	Даны mxn-матрица А, nxZ-матрица В, причем АВ = О.
Доказать, что:
а)	А = 0, если ранг В равен п;
б)	В = О, если ранг А равен п;
в)	сумма рангов матриц А и В не превосходит п.
7.89.	Пусть А — mxn-матрица, Кг, К2, Кр — линейно не-
зависимая система п-мерных векторов и А_К\ = О, АХ2 = 9.
АХр — 8. Доказать, что ранг матрицы А не превосходит раз-
ности п - р.
7.90.	Даны тхп'матрица А и линейно независимая система
ц-мерных векторов Х1? Х2, ..., Хр Доказать, что ранг А мень-
ше п, если векторы АКр АХ2, ..., AKt линейно зависимы.
7.5. Ортогональные системы векторов
Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произ-
ведение равно нулю. Система векторов называется ортогональной, если
векторы этой системы попарно ортогональны. Ортогональная система
ненулевых векторов линейно независима.
84
Процессом ортогонализации системы векторов А1т А2, ..., Аот+1 на-
зывается построение системы векторов Вг, В2, ..., Bm+j по следующим
формулам:
#1 = А2,
в2=а2-
31В1
— А3 -

*1^3 п _ ^2^3 н
ггг-Г”1 Х> 1 'ZJ’--tJ *>
+ 1 д
n r-- т-
ат^т
Справедливы следующие утверждения:
1, Система векторов Bv В2, ...» Bm+1 является ортогональной.
2. Если векторы А1( А2, ...» Ат + 1 линейно независимы, тоВг, В2,
Вт+1 — ортогональная система ненулевых векторов.
Система векторов называется ортонормированнойг если она ортого-
нальна и векторы системы имеют длину, равную единице.
7.91.	Применяя процесс ортогонализации, построить орто-
гональную систему векторов:
At - (2, О, 1, 1), А2 - (1, 2, 0, 1), А3 = (О, 1, -2, 0).
Решение. Полагаем Bi = Ар Затем строим векторы В2 и В3;
Вй - А2 - В2 = Аг - 1 В3 = (1, 2, 0, 1) - (1, 0, V2. V2) = (0, 2, -1/2. V2)f
£> j-О j	А
-В г Ао	ВпАо	1	9
В3 = А3 - -ДЗ В1 - В2 = А3 + ь ~ i В2 =
3	3	BjBj	1	В2В2	3	3	1	3	2
= (0, 1, -2, 0) +	(%,	0, 1/з, v3) - (0,	4/з.	- Vs, %) - (2/з> -Vs. -4/з, 0)-
Таким образом, векторы Bj = (2, 0t 1, 1), В2 — (0, 2t	1/a)t
Sg = (2/з> “1/з1	0) являются результатом ортогонализации данной системы
векторов.
Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональ-
ную систему векторов:
7.92.	(0, 1, 1),
7.93.	(1,-1, 1),
7.94.	(1,-2, 1),
(1, 1, 1),
(2, 1, 2),
(0, 1, -4),
(-3, 3, 1).
(3, 1, 1).
(2, -3, -2),	(7, 4, 1). .
7.95.	(1, 2, 1, 3),	(12, 3, 3, 3), (7, -1, 40, 0).
7.96.	(-1, 1, 1, 1), (0, 2, 1, 1),	(1, 1, 1, 3).
7.97.	(~1, О, 3, 2), (1, 2, 3, 3),	(-3, -2, 3, 1).
7.98.	Доказать ортогональность системы векторов AjAp
fegA2, ...» А„АП, если Ар А2, А„ — ортогональная система
векторов, a Ар /г2, ..., Ап — произвольные числа.
7.99.	Преобразовать систему векторов (1, -1,1,1), (-1,1,1,1),
(1, 1, 1, -1) в орто нормированную.
7.100.	Вектор В разлагается по ортогональной системе Ар
А2, ...»Ат ненулевых векторов: В =« Ар^ 4- ^2^2 + *.. + *тАт.
Доказать, что = BAj/A^Aj, 1 < i < m.
7.101.	Дана ортогональная система векторов Аг = (1, 1,1,1),
А2 = (1, —1, -1, 1), А3 = (1, “1, 1, -1). Выяснить, разлагается
ли вектор В по системе А1? А2, А3:
а) В = (2, 0, 4, -2); б) В = (1, 2, -1, 2).
7.102.	Система и-мерных векторов Ар А2, ..., Ап линейно не-
зависима, и «-мерный вектор В ортогонален каждому вектору
этой системы. Доказать, что В — нулевой вектор.
7.103.	Доказать, что если вектор В разлагается по системе
векторов Ар А2, ..., Ап и о'ртогоналён каждому вектору этой
системы, то В — нулевой вектор.
7.104.	Дана система ненулевых векторов Ар А2, ..., Ат, и
из каждого равенства В == AjAj + AgA^ + • * • + следует, что
ft. == BAJAfA^ i = 1, 2, ...» т. Доказать ортогональность сис-
темы Ар А2, ...,Ат.
7.105.	Доказать, что ортогональная система «-мерных век-
торов Ар А2, .... Ak будет содержать нулевой вектор, если
к > п.
7.106.	Известно, что нулевой вектор — единственный A-мер-
ный вектор, который ортогонален каждому вектору системы
A-мерных векторов А^, Аг, ..., А*. Доказать линейную незави-
симость этой системы.
86
7.107.	Даны две линейно независимые системы векторов
А1,А2, .... АкиВ1,В2, ..., Вь причем A^Bj = 0 при i = 1, 2, ...» ft;
j = 1, 2, ..., L Доказать, что система векторов Alt А2, ...» Aft,
В1( В2	Вг линейно независима-
7.108.	Система векторов В1? В2, .Вт получена в результа-
те ортогонализации системы векторов Ар А2, Ат. Доказать,
что:
а)	системы векторов Ар А2, Ат и Вр В2, Вт эквива-
лентны;
б)	если система Вх, В2, ...» Вт содержит нулевой вектор; то
векторы Ар А2, ...»Ат линейно зависимы;
в)	если система Вр В2, Вт не содержит нулевых векто-
ров, то Ар А2, ...,Ат —линейно независимая система век-
торов.
7.6.	Системы линейных уравнений
Система линейных уравнений
AjXi + А2х2 + ... + Апх„ - В
совместна тогда и только тогда, когда ранги систем векторов
Аг, А2, .  -, Ап и Ар Д2, В совпадают.
Совместная система линейных уравнений имеет единственное реше-
ние, если ранг системы векторов Ар А2, ..., Ап равен числу неизвестных
в системе. Если же ранг этой системы векторов меньше числа неизвест-
ных, то совместная система уравнений имеет бесконечно много решений.
Система линейных уравнений называется однородной, если все сво-
бодные члены системы равны нулю.
Каждая однородная система линейных уравнений имеет нулевое ре-
шение = х2 — .-. = х„ = 0 и, значит, совместна. Всякая однородная
система линейных уравнений, у которой число уравнений меныце числа
неизвестных, имеет ненулевое решение.
Любое решение Xj — fej, х2 ~ fe2’ хп ~ системы уравнений с
п неизвестными можно рассматривать как л-мерный вектор с координа-
тами /гр k2.knt а поэтому имеют смысл такие понятия, как линейная
комбинация, линейная зависимость решений. Произвольная линейная
комбинация решений однородной системы уравнений является решени-
ем этой системы.
87
Линейно независимые решения F2t ...» F^ однородной системы
уравнений называются фундаментальной системой решений, если
каждое решение системы является линейной комбинацией решений
F2, ...» Fk.
Если ранг г системы векторов Ар А2, ..., Ап меньше числа неизвест-
ных п в однородной системе уравнений
AiXt + Аах2 + ... + Адхл - 6,
то эта система уравнений имеет фундаментальную систему решений. Ли
нейно независимая система решений FL, F2.Fk однородной системы
уравнений будет ее фундаментальной системой решений тогда и только
тогда» когда k = п - г.
Если в системе уравнений
+ А2х2 + ... + Алхя = В	(7.1)
заменить все свободные члены нулями» то получим однородную систему
AjXj +А2х2 + ... + Алхд - 0,	(7.2)
которую называют приведенной для системы уравнений (7.1).
Произвольное решение X совместной системы уравнений (7.1) опре-
деляется формулой
X = Fg + tjFj + t2F2 + ... +	(7.3)
где Fq — какое-нибудь решение системы уравнений (7.1);
Fp F2, ...» Fm— фундаментальная система решений системы
уравнений (7.2);
tlf t2..tm — произвольные действительные числа.
Формула (7.3) называется общим решением в векторной форме сис-
темы уравнений (7.1).
Построение фундаментальной системы решений:
1.	Найти общее решение однородной системы уравнений.
2.	Взять систему п - г линейно независимых (л - г)-мерных векторов.
Например, = (1, 0, ...» О)» Е2 = (0» 1, ...» 0)» ...» £д^г = (б, 0» ...» 1).
3.	Подставить в общее решение вместо свободных неизвестных ко-
ординаты вектора Ер а затем найти значения разрешенных неизвест-
ных. Полученная совокупность значений неизвестных является реше-
нием Fp
Аналогично с помощью векторов Е2, ...» Еп~г найти решения F2, ...»
F
д-г-
Полученные решения Fp F2, Ф.., F„ _г образуют фундаментальную сис-
тему решений.
88
7.	109. Нейти фундаментальную систему решений однород-
ной системы уравнений
3xj - 2х2 + 2х3 -	*4	+ 4х5 = 0.
5xj + х2 + 4х3 -	2х4	+ 7х5 = 0
хх - 5х2		+ Хк = 0 J’
4xj - 7х2 4- 2х3 -	х4	+ 5х5 = 0
Решение. Общее решение данной системы имеет вид
-13х2 - 2х3 + х4 -	= 0.
Xj - 5х2	+ х5 ~ 0.
Выбирая для свободных неизвестных х2, х31 х5 значения, равные координатам
векторов Ег = (1, 0, 0), Е2 = (0, 1, О), Е3 ~ (0, 0, 1), находим фундаментальную
систему решений: F] = (5, 1, 0, 13, 0), F2 = (0, 0, 1, 2, 0), F3 — (-1, 0, 0, 1, 1J.
7.	110. Найти общее решение в векторной форме системы ли
нейных уравнений
2х^ + х2 + 4х3 + х4 = 4,
хг — х2 + х3 + 2х4 == 4,
2хг + 7х2 4- 8х3 - 5х4 — -4.
Решение, Общее решение данной системы имеет вид
Х1 &/2Х2	+ 7/2*4 = 6,
3/гхг + х3 - 3/гх4 - -2.
Вектор (6, 0, -2, 0) является решением этой системы.
Система уравнений
'х1”5/ех2	+ "7гх4 =
3/ахг + *з ~ 3/г*4 = 0
является общим решением приведенной системы. Выбирая для свободных неиз-
вестных х2 и х4 значения, равные координатам векторов — (1, 0},	- (0т 1),
находим фундаментальную систему решений приведенной системы уравнений:
Fi = (5/2, 1, — 3/г. 0), Fz =• (~7/г, 0, 3/g. 1). Следовательно, общее решение в век-
торной форме данной системы уравнений имеет вид
X = (6, 0, -2, 0) + tje/g, 1, -3/г, 0) + i2(-72> о* 72> 1).
где г1Ф t2 — произвольные действительные числа.
89
Найти фундаментальную систему решений для систем урав-
нений:
7.111.
2хх - х2 + х3 + х4 = О,
Ху + х2 + х3 - 2х4 = О.
2хп + Зх? + 2х<* - х4 = О,
7 112 J
]Х1 + Зх2 + 10хЗ ” 8х4 = °-
Эху — Зх2 +- 2х3 + 4х4 = О,
7.113. 2ху - х2 + Зх3 + бх4 - О»
: 4ху - Зх2 - 5х3 - 7х4 = 0.
2ху + х2 + 4х3 - 2х4 = О,
7.114. < 2ху - х2 - 4х3 + 4х4 = О,
бху - х2 - 4х3 + 6х4 = О,
Ху + х2 + х3 + х4 = о,
7.115. Зх2 + 2х2 + х3 + х4 = О,
Зху + х2 - х3 - х4 = 0.
Зх, + х2 - х3 + х4 = О,
Ху + Зх2 + х3 - х4 = О,
7.116.	+ х2 + Зх3 + х4 О,
 *1 “ *2 + х3 + Зх4 — 0.
Зху + 2х2 — 5х3 + 4х4 = О,
Зхг - х2 + Зх3 - Зх4 = О,
7 117 S
Зху + бх2 - 13х3 + 11х4 = 0т
~3ху + 4х2 ~ 11*з + Ю*4 = О*
Зху — х2 + Зх3 + 2х4 + 5xg =^= О,
7.118. < 5хг - Зх2 + 2х3 + Зх4 + 4х5 = О,
Ху - Зх2 - 5х3	- 7х5 = 0.
13xj - 4х2 — х3 — 4х4 - 6х5 — О,
7.119. <
llxi _ Зх2 + х3 - 2х4 — Зх5 = О,
5xi + 4х2 -I- 7х3 + 4х4 + 6х5 = О,
7хх + 2хй + 5х3 + 2х4 + Зх5 = 0.
до
Найти общее решение в векторной форме для следующих
систем уравнений:
7.120.	< Зхх 4- 5х2 - 11х3 = 3,
3xj + 4х2 - 10х3 = 3.
5xj 4- х2 4- Зх3 + 5х4 = 5,
7.121.	<4xj + х2 + 2х3 + Зх4 = 4,
X! - х2 + х3 + х4 - 3.
хх — х2 - Зх3 - х4 = 1,
7.122. < 3xj - 4х2 - 11х3 - 7х4 = 2,
3xi - 5х2 - 13х3 - 11х4 = 1.
2xi ” х2 Зх3 - 2х4 = 3,
7.123.	J4xi - 2х2 4- 5х3 + х4 — 8,
2х: - х2 4- х3 4- 8х4 = 7.
7.124.
2xj + 7х2 4- Зх3 4- х4 = 6,
Зхг 4- 5х2 4- 2х3 4- 2х4 = 4,
9xi + 4х2 4- х3 4- 7х4 = 2.
хг - 2х3 4х4 4 х5 = О,
7.125.	J-Xi 4- х2 — х3*	- х5 = О,
Х1 + х2 - х4 = 0.
-хх 4- Зх2 4- Зх3 + 4х4 4- 5хб *= О,
6хх 4- 2х2 4- 2х3 4- х4 = О,
-3X1 4" х2 + хз + %х4 + Зхб = О»
11X1 + Зх2 + Зх3 + х4 “ х5 = 0.
7.127.	Образует ли система векторов (1, 2, -2, -1),
(3, 1,-1,	3) фундаментальную систему решений системы
уравнений
Xi 4- х2 + х3 4- х4 *= О,
X! “ Х2 “ Х3 4- Х4 = О,
91
7.128.	Если система векторов (3, 1,1, 5), (1, 2, 3, 4) образует
фундаментальную систему решений системы уравнений, то:
а)	будет ли вектор (3, -4, -7, —2) решением этой системы
уравнений?
б)	образуют ли векторы (9, -2, -5, 8), (2, -1, -2, 1) фунда-
ментальную систему решений этой системы?
7.129.	Доказать, что система уравнений однородна, если два
ее различных решения линейно зависимы.
7.130.	Доказать, что любые два решения однородной системы
пропорциональны тогда и только тогда, когда п = г + 1, где п —
число неизвестных, аг — ранг матрицы системы уравнений.
7.131.	Строки матрицы Q образуют фундаментальную сис-
тему решений однородной системы уравнений. Доказать, что
строки матрицы PQ образуют фундаментальную систему ре-
шений этой системы уравнений тогда и только тогда, когда
Р — квадратная невырожденная матрица.
7.132.	Столбцы матрицы Q образуют фундаментальную сис-
тему решений однородной системы уравнений. Доказать, что
столбцы матрицы QR образуют фундаментальную систему ре-
шений этой системы уравнений тогда и только тогда, когда
R — квадратная невырожденная матрица.
7.133.	Столбцы (строки) матриц А и В образуют фундамен-
тальные системы решений однородной системы уравнений.
Доказать, что найдется такая квадратная невырожденная мат-
рица С, что А = ВС (А = СВ).
7.134.	Доказать, что неоднородная система уравнений будет
совместной, если ее тхп-матрица имеет ранг т.
7.135.	Доказать, что система уравнений с квадратной мат-
рицей будет совместной, если ее приведенная однородная сис-
тема уравнений имеет единственное решение.
7.136.	Доказать, что определитель расширенной матрицы
совместной системы линейных уравнений равен нулю, если
число неизвестных в системе на единицу меньше числа урав-
нений.
7.137.	Доказать, что система уравнений, у которой число не-
известных на единицу меньше числа уравнений, будет сов-
92
местной, если ранг ее матрицы равен числу неизвестных, а оп-
ределитель расширенной матрицы равен нулю.
7.138.	Доказать, что для любых решений К1( Ка, К3 совмест-
ной системы уравнений векторы - К2 й^- К3 пропорци-
ональны тогда и только тогда, когда п = г + 1, где п — число
неизвестных, а г— ранг матрицы системы уравнений.
8. ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Числовым полем Р называется подмножество всех комплексных чи-
сел, которое обладает следующими свойствами:
1)	если а, Р е Р, то а 4- р е Р и ар е Р;
2)	если а е Р, то -а е Р;
3)	если а е Р и а 0, то 1/а е Р.
Множества всех рациональных чисел, всех действительных чисел и
всех комплексных чисел являются числовыми полями.
Множество V элементов х, у, z, ... называется векторным простран-
ством над числовым полем Р, если для каждых двух элементов х, у из
V определена сумма х + у е V и для каждого х е К и каждого числа а из
Р определено произведение ах е V, причем справедливы следующие ра-
венства:
1)	х + у =* у + х;
2)	(х 4- у) + г •- х 4- (у 4- г);
3)	существует такой элемент 0 е V, называемый нулевым, что х + 0 = х
для каждого х из V'r
4)	для каждого х из V существует такой элемент -х, называемый про-
тивоположным к х, что х + ( х) — 0;
5)	1  х - х, 1 из Р, для всех х из V;
6)	а(рх) = (ар)х для всех а, 3 из Р и х из V;
7)	(а 4- Р)х = ах + рх для всех а, Р из Р и х из V;
8)	а(х 4- у) = ах + ау для всех а из Р и х, у из V.
Элементы векторного пространства называются векторами.
Векторное пространство V над полем Р называется действительным
или комплексным, если Р — соответственно поле действительных или
комплексных чисел.
Множество всех n-мерных векторов с действительными (комплекс-
ными) координатами обозначается через 2?“(СЛ).
Операции сложения л-мерных векторов и умножения л-мерного век-
тора на число:
(ttj, а2, ..., ай) + (Pi, р2> ..., ря) ™ (ах 4- рр ад 4- р2> ап 4- р„),
1(ап а2> .	^2....*а«>
превращают эти множества в векторные пространства.
93
8.1.	Выяснить, какие из нижеприведенных множеств явля-
ются числовыми полями:
а)	множество всех целых чисел;
б)	множество всех чисел вида а + Ь л/3, где а и b— рацио-
нальные числа;
в)	множество всех чисел вида иг + ri j?, где тип — целые
числа;
г)	комплексные числа вида а + bi с рациональными а и Ь.
8.2.	Выяснить, являются ли векторным пространством сле-
дующие множества с обычными операциями сложения эле-
ментов этих множеств и умножения элементов на числа:
а)	все квадратные матрицы порядка, п с действительными
или комплексными элементами;
б)	все многочлены, имеющие степень п;
в)	множество всех многочленов /(t), удовлетворяющих ус-
ловию f(2) = О;
г)	множество всех мнагочленов^Д!)., удовдетворяющихусло-
; вию /(2) = 1;	‘ ч >	7	;
д)	все многочлены, степень которых меньше или равна п;
е)	все непрерывные на отрезке [а, 6] функции;
ж)	все действительные числа;
з)	все комплексные числа-	;
8.1.	Подпространства
Подмножество Ltвекторного продДОйНЭТва Сказывается подпрост-
ранством, если выполняются следующие два условия:
1)	для каждой пары векторов х и у. из L их сумма х + у принадлежит L;
2)	для каждого вектора х из £ и любого числа а вектор сис принадле-
жит L.
Множество всевозможных линейных комбинаций векторов х2.
из пространства V образует его подпространство, которое называется
линейной оболочкой системы векторов хг, х2, ...г _г:п.
8,3.	Выяснить, являются ли следующие множества векто-
ров подпространством соответствующего векторного простран-
ства:
а)	все векторы пространства Rn с рациональными координа-
тами;
б)	все матрицы n-го порядка, у которых сумма элементов
равна нулю;
94
в)	все решения однородной системы уравнений; .
г)	все решения неоднородной системы уравнений;
д)	все радиусы-векторы плоскости, концы которых лежат в
первой четверти системы координат;
е)	все радиусы-векторы плоскости, концы которых лежат на
одной из осей координат;
ж)	множество всех многочленов, рассматриваемое как
подмножество всех непрерывных на отрезке [а, Ь] функ-
ций.
8.4.	Доказать, что сумма двух векторов не принадлежит
подпространству, если один из них принадлежит этому под-
пространству, а другой не принадлежит.
8.5.	Доказать, что множество решений системы однородных
линейных уравнений является линейной оболочкой фунда-
ментальной системы решений этой системы уравнений.
8.6.	Выяснить, принадлежат ли векторы — (-1, -5, 8, 4),
у2 — (—3,	5, 3, 1) линейной оболочке системы векторов
— (3, 0, 5, 2), х% = (3, 6, 4, 3), Xg = (—4, 1, 2, З).
8.7.	Доказать, что линейная оболочка первой системы век-
торов содержится в линейной оболочке второй системы векто-
ров тогда и только тогда, когда каждый вектор первой системы
разлагается по векторами второй системы.
/•
8.2. Размерность и базис
Векторы Хр х2,	пространства V называются линейно зависи-
мыми, если можно подобрать такие числа аг, а2, ..., ат, не все равные
нулю, что
«1*1 + а2х2 + ... + amxm - 0,
и линейно независимыми — в противном случае.
Линейно независимая система векторов ег, е2, .... по которой раз-
лагается каждый вектор пространства V, называется базисом этого про-
странства. Векторное пространство называется конечномерным, если
оно имеет базис, и бесконечномерным — в противном случае.
Все базисы конечномерного пространства V содержат одно и то же
число векторов. Число векторов в базисе пространства называется его
размерностью и обозначается dim V,
Каждую линейно независимую систему векторов конечномерного
пространства V можно дополнить до базиса V.
95
8.8.	Найти базис и определить размерность пространства Rn
всех п-мерных векторов.
Решение. Векторы диагональной системы Ci = (1, 0,	0), е2 - (0, 1. -..О).
(0, О, 1) линейно независимы, и каждый п-мерный вектор разлагается
по системе е,. е2, .... еп. Следовательно, е2, е%, .... е„ — базис Rn и dim Rn = п.
8.9.	Найти базис и определить размерность пространства
Pn(t) всех многочленов, степень которых не превосходит п.
Решение. Многочлены 1, f, t2, .... tn образуют линейно независимую систе-
му, и каждый многочлен степени не выше л разлагается по этой системе очевид-
ным образом. Следовательно, 1, t, i2,	— базис пространства и
dim Р„(() — п + 1.
8.10.	Доказать, что пространство P(f) всех многочленов бес-
конечномерно .
Решение. В пространстве P(i> еяетема многочленов 1, t, t2, tn линейно
независима при любом, сколь угодно большом л. Следовательно, прострвнспо
P(t) не может иметь базиса.
8.11.	Доказать, что векторное пространство совпадает с ли-
нейной оболочкой своего базиса.
8.12.	Доказать, что базисом линейной оболочки системы
векторов xlf %2, ..., хт является базис этой системы.
8.13.	Доказать, что базисом пространства, заданного систе-
мой однородных уравнений, является ее фундаментальная
система решений.
8.14.	Выяснить, являются ли базисом соответствующего
пространства Rn следующие системы векторов:
а) (1, 1), (-1, 1);
б)(1, 1, 1), (1,0, 1), (2, 1, 2);
в)(1, 1, 1, 1), (1, О, 1, 0), (0, -1, 0, 1), (1, 0, 0, 1).
8.15.	Выяснить, является ли пространство К4 линейной обо-
лочкой следующих систем векторов:
а)	(1, 1, 1, 1), (1, 1, -1, -1), (1, -1, 1, -1), (1, -1, -1, 1);
б)	(1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (-1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 1).
96
8.16.	Найти базис подпространства, заданного системой од-
нородных уравнений:
аМ
Xi - х3 + х5 = О,
х2 - х4 + хб = О;
2xt — бх2 + Зх3 4- х4 = О,
б) J 5xj - 8х2 + 5х3 4- Зх4 = О,
хг + 2х2 — х3 + х4 ~ 0.
8.17.	Найти базис линейной оболочки систем векторов:
а)(1, -2, 1), (1,0, 1), (1, —4, 1);
б)х/=(1,-1, 1,-1), х2=(1, 1,-1, 1), х3=(1, -3, 3,-3),
х4=(1, 1, 1, -1);
в)	Xj = (1, 2, —1), х2 = (3, 0, 1), х3 = (1, 2, 1),
х4 = (1, 3, —1), х§ = (2, —I, —2);
г)	X! = (1, 4, 2, 1), х2 - (1, 1, 1, 1), х3 = (1, 2, 2, -1),
х4 = (0, -2, -1, 1), х5=(1,-1, 1,-1).
8.18.	Доказать, что следующие множества векторов образу-
ют подпространства пространства Rnf найти их базис и размер-
ность:
а)	все п-мерные векторы, у которых координаты равны меж-
ду собой;
б)	все п-мерные векторы вида (а, Р, у, а, Р, у, ...);
в)	все п-мерные векторы, у которых координаты, кратные
трем, равны нулю.
8,19,	Найти размерность и базис пространства Сп:
а)	как действительного пространства;
б)	как комплексного пространства.
8.20.	Дополнить вектор у = (1, 0, 1, 0) до базиса линейной
оболочки системы векторов х4 = (1, 1, 1, 1), х2 ' (1, -1, 1, -1),
*3 =	1)’
8.21.	Систему многочленов t3 4- Z2, t2 + t, t 4- 1 дополнить
до базиса пространства многочленов степени не выше третьей.
8.22.	Доказать, что в и-мерном пространстве V для каждого ft,
0 < ft < п, можно найти подпространство размерности ft.
8.23.	Дано, что и L2 — подпространства пространства V,
причем Zq < L2, и х4, х2, ..., хт — векторы из причем х4,
х2, ..., хт — базис Ь2. Доказать, что х4, х2, хт — базис £*.
4 Сборник задач по вьющей математике
97
8.24.	Даны подпространства и Л2 пространства V, при-
чем < 12 и ^1* ^2- Построить такой базис подпростран-
ства Х2:
а)	чтобы все векторы этого базиса, лежащие в Llt образовы-
вали базис LT;
б)	каждый вектор которого не лежит в Lr.
8.25.	Пространство V имеет размерность иг. Доказать, что
ранг системы векторов хг, х2, xk из Уне больше /п.
8.26.	Доказать, что пространство V является линейной обо-
лочкой системы векторов из И тогда и только тогда, когда раз-
мерность У равна рангу системы векторов.
8.27.	Подпространство содержится в подпространстве Ь2,
и х1т х2, Хь — линейно независимые векторы из .Lp Дока-
зать, что LT = Х2, если размерность Z2 равна /г.
8.28.	Выяснить, совпадают ли подпространства и L2 про-
странства Л4, где Lj задано системой уравнений
2хх - х2 4- 5х3 + 7х4 = О,
<4xj — 2х2 + 7х3 + 5х4 = О,
2xj — х2 4- х3 — 5х4 = О,
a Lz — линейная оболочка системы векторов хг — (1, -6, —3, 1),
х2- (1, 10, 3, -1).
8.3. Координаты вектора
Фиксируем в пространстве V базис et, е2* еп- Каждый вектор х из V
единственным образом разлагается по базису:
х = oti^i + а2е2 + ... + °LnefT
Числа «1, сс2, ..., ап называются координатами вектора х в базисе
ег, eZT..., ея. Координаты вектора х записывают в виде п-мерного вектора
хя = («1, сс2, ..., <Хл).
98
8.29.	Доказать, что каждая система матриц А1т А2, А3, А4
является базисом в пространстве матриц второго порядка, и
найти в этом базисе координаты матрицы X:	л
а) Ах =	1 < 1	1' 1,	> а2 —	/	1 -1 1 -1,	» -^3 =	'-1 <? ч 1 *bj			^0 1 <0 -1	]’х =	Г1 V3	ч 2 4>	f
б)Ах =	2	X 2	f , а2 		2 3^	’ ^3 =	0 1^1	г а4 —		L “3 1	( ,х- -	3 -	"ч -6	?
в) Аг = (	<3 2	1> 1"	, А 2 	Л 3J < 1 3		ч , А3 =	1 1J f 2 -V	9 А.^ “	к 2 -i; 41		' V А ' ( ,Х=;	0 г*	2.; 3^	5
г) Ах =	ч3 го	2; 1		V	-2 -1 1 о5	> А3 =	<1 1, 1 Й	f д.4		<-1 0	/ \ X	.8 f 1	4> 4^	
	11	1			U 1,		lo 1J			11		12	2J	
Решение, а} Рассмотрим произвольное равенство
ajA| + ct2A3 + otgAa + ot4A4 = О
или
-1 ol + „ fo
1 о J ( О -1 J I о о J
Отсюда
(
«] + «2 - а3
«! + а2 + гх3
“1 “W2 + Ct4
“1 а2 ~ а4
0 О
О о
Приравняв соответствующие элементы матриц, получим систему уравнений
: «1 + а2 — аа = О,
otj - а2 + а4 = О,
<
Otj. 4- Ct2 + (Xg = О,
«I - «2 “ а4 = О,
которая имеет единственное решение ctj =* а* = <х$ — (х4 •• О. Следовательно, мат-
рицы Aj, А2, А3, А4 линейно независимы. Так как размерность пространства
матриц второго порядка равна четырем, то система матриц Aj, А3, Ад, А< явля-
ется базисом этого пространства.
Теперь определим координаты матрицы X в этом базисе, для чего найдем ко-
эффициенты разложения X по системе А19 А2, Аа, А4:
X ” PiAi + Р2А2 + Р3А3 + ?<А4
или
1 2 | = Р1 + 32- Рз
34J [р^Зг + Рз
Pj — Рг + Р4
Pi _Рг ~ Р4 J
99
Следовательно, для определения координат матрицы X получим систему
уравнений
Pi + Рг-Р3 = 1.
Р1 — Рг + = 3,
|Р1 + Рг + Рз^3,
Pi _ Рг Р* = 4>
которая имеет единственное решение Pi — й/2, Р2 = _1/г« Рз “ 1» Р4 = ™1. Итак,
матрица X в базисе Aj, Л2, А3, имеет координаты 5/2, “Vs» 1» -1-
8.30.	Установить, что многочлены еп в2, е3, е4, е5 образуют
базис пространства многочленов степени не больше четырех,
и найти координаты многочлена t4 — i3 + t2 — t + 1 в этом базисе:
а)	ег - 1, е2 = t, е3 = f2, е4 - г3, е5 = г4;
б)	в]. = 1, е2 = 1 + £, е3 = t + f2, е4 = t2 + f3, е5 = f3 + г4;
в)	Si = 1, е2 = 1 + i» е3 = 1 + t + f2, е4 = 1 + t + t2 + £3,
e5 = 1 + t + t2 + t3 + i4.
8.4.	Пересечение и сумма подпространств
Пересечением ZT л L2 подпространств Iq и L2 пространства V назы-
вается множество всех векторов из V, принадлежащих и Lif и Z2.
Суммой 1ц + L% подпространств Lr и L2 пространства V называется
множество всех векторов вида Xj + х2, где е Lv х2 £2. Сумма под-
пространств называется прямой, если их пересечение равно в.
Пересечение и сумма подпространств являются подпространствами
векторного пространства.
Если х1? хА и yit .... у, — базисы соответственно подпространств
Zq и L2, то базисом суммы L1 + L2 является базис системы векторов
#1, хк, У1,
Построение базиса пересечения подпространств и L2-
1.	Найти базисы хг, хк и уг, yt соответственно подпространств
£q и L2 и дополнить систему Хр .... хА до базиса системы векторов
хь xkt plf	Пусть для определенности х1т ..., хк, ylt ....
ys — базис системы xlt ..., xk, ..., yt.
2.	Разложить векторы	не вошедшие в базис х15 .... хА,
У1» ...» по этому базису;
У* “	+  + atkxk +•	+ " + Pises’ / - а + 1, ..., I.
100
3.	Выписать векторы Zp z;_e:
*"*	 3 't- 1»
которые и образуют базйс пересечения 2^ П L2.
8.31.	Найти базис суммы и размерность пересечения под-
пространств £г и L2:
a)	Iq — подпространство решений системы уравнений
ti — 4f2 ~~	= О,
s 5t2 3tg — О,
[	" 2#2 — £3 = 0;
L2 — линейная оболочка векторов хг = (1, 1, —1), х2 = (2, 3, -1);
б)	и L2 — линейные оболочки соответственно систем век-
торов х: = (1, 1, О, 2), х2 = (1, 0, 1, 1) и уг =* (1, -1, 0, 1),
У‘2 ~ (1» 2, 1, 2), Уз == (1, 0, 1, 2);
в)	Lj и L2 — подпространства решений соответственно сис-
тем уравнений
Xi + х2 + 2х3 - Зх4  О,
х^ + 2х2 + Зх3 - 5х4 = О,
хг — х2 - 2х3 + 2х4 = О,
2хг + х2 — х3 + х4 = О.
8.32.	Найти базис пересечения линейных оболочек систем
векторов хг, xft и ylt ...» yf:
a)	Xj = (1, ~1, 3), .х2 — (1» 1» 2), х3 — (1, —3, — 8);
Уг = (0, 2, 1), у2 = (-1, 5, 1), у3 = (1, 3, 3);
б)	Xi = (1, 1, If 1), х2 - (1, -1, 1, -1), х3 = (If Of If 0);
У1 = (2, -I,1,1), y2 = (1,1, -1, 2), y3 = (1, -1 f -1, -3).
8.33.	Выяснить, является ли прямой сумма линейных обо-
лочек систем вёкторов Xj = (О, —1, 2, 1), х2 = (1, 1, —1, 1),
х3 = (2, 1, 0, 3); уг = (1, 1, 2, -1), у2 == (-1, 1, 4, 1),
Уз = (-1, 0, 1, 1).
8.34.	Доказать, что L + L = L для каждого подпространства L.
8.35.	Ни одно из подпространств Xls L2 не содержит другого
подпространства. Доказать, что в bj + Lz имеется вектор, не
принадлежащий ни Zq, ни L2.
101
8.36.	Доказать, что следующие условия равносильны:
-^1	^2’	-^2’ в) ^2	^1’ ГДС Zj И Z»2 *—
подпространства.
8.37.	Векторное пространство является суммой подпрост-
ранств Li и Z2- Подпространство L содержит Z1, Доказать, что
Z.= Zj Z2-. 	.  
8.38.	Доказать, что пересечение линейных оболочек соот-
ветственно систем векторов xlf ..., хд и ylt ..., yt равно нулю
тогда и только тогда, когда ранг системы векторов хъ ..., xfe,
У1, yi равен сумме рангов систем xlt xk и ylt ...» yt.
8.39.	Размерность векторного пространства равна четырем.
Доказать, что два его подпространства имеют общий вектор,
если их размерности равны двум и трем.
8.40.	Система векторов xlt .xft, уи yt линейно незави-
сима. Доказать, что сумма линейных оболочек соответственно
систем xlf xk и .... yt является прямой.
8.41.	Доказать, что для каждого подпространства Zj про-
странства V найдется такое подпространство Z2, что Кесть пря-
мая сумма этих подпространств.
8.42.	Доказать, что сумма подпространств и Z2 будет пря-
мой тогда и только тогда, когда объединение базисов этих под-
пространств будет линейно независимой системой.
8.5.	Евклидовы и унитарные подпространства
Евклидовым Е (соответственно, унитарным U) пространством назы-
вается векторное пространство над полем действительных (соответствен-
но, комплексных) чисел, в котором каждой паре векторов х, у постав-
лено в соответствие действительное (соответственно, комплексное) чис-
ло, которое обозначается через ху и называется скалярным произведе-
нием векторов х та у, причем выполниются следующие условия:
1)	ХУ ~ ух (соответственно, ху = ху);
2)	(х + y)z = xz + yz;
3)	<ах)у = а(ху);
4)	хх > 0, если х * О.
Векторное пространство Лл, в котором скалярное произведение век-
торов х = («р а2> ”» и у = (pj, р2» ••• Рл) определяется по формуле
ху =«!&! + «202 +...+ ал₽д,
является евклидовым пространством.
102
Векторное пространство Сч будет унитарным, если
*У = а X 4- а2р2 + ... + а,Х-
Векторы х и у называются ортогональными, если ху= 0. Система
векторов называется ортогональной, если каждая .пара векторов этой
системы ортогональна.
Процессом ортогонализации линейно независимой системы векторов
хп х2, ..., хт называется построение системы векторов у1г у2, ут по
следующим формулам:
= *1’
У1*2

Уз = хз ’
У1 -
У2Х3
УгУг
У2>
Ут хт
У1*т „ _ У2*т „
У1//1 У2У2 У2
Ут-1**
У т-1Ут-1
Система векторов у2, ..., ут ортогональна и не содержит нулевых
векторов.
Базис elt е2» •••» еп называется ортогональным, если = 0 при i * j.
Длиной вектора х называется число fx| = Jxx . Вектор, длина которого
равна единице, называется нормированным. Для векторов х и у евкли-
дова пространства выполняется неравенство Коши—Буняковского:
|х//| С |х| у\.
Ортогональный базис называется ортонормированным, если векторы
базиса нормированы.
Вектор х ортогонален к подпространству L, если он ортогона-
лен к каждому вектору из L.
Множество всех векторов пространства, ортогональных к подпрост-
ранству L, обозначается через L1 и называется ортогональным дополне-
нием подпространства L. Ортогональное дополнение является подпро-
странством. Пространство есть прямая сумма подпространств L и L1.
Для каждого подпространства L справедливо равенство: (L1)1 = L.
8.43.	Доказать, что вектор из подпространства L ортогона-
лен к L тогда и только тогда, когда'он нулевой.
8.44.	Доказать, что вектор ортогонален к подпространству
тогда и только тогда, когда он ортогонален к каждому вектору
базиса этого подпространства.
103
8.45.	Доказать» что в результате ортогонализации базиса
подпространства L получится ортогональный базис L.
8.46.	Применяя процесс ортогонализации, построить орто-
гональный базис линейной оболочки данной системы векто-
ров:
а)(1, 1, 1), (2, 1,0);
б)(1, -1, 1, -1), (3, 0, -1, 1), (1, 0, 1, 1).
8.47.	Установить, что следующие системы векторов ортого-
нальны, и дополнить их до ортогональных базисов:
а) (2,-1, 1,0), (1,1,-1,1);
б) (-1,0, 2, 1), (1,1, 1,-1).
8.48.	Дополнить следующие системы векторов до ортонор-
мированного базиса:
б)(
2*
1 В fl 1
2 * 2J ’ I 2*2*
В .
3,! ’
1 _11
2 ’ 2j '
0 ? ?
’ 3’ 3
1
2
8.49.	Выяснить, ортогонален ли вектор х линейной оболоч-
ке системы векторов (2, 1, 1, -1), (1, 0, 2, 1), (2, 1, 3, -1):
а)х = (1, 1, 1,4); б)х = (1, -3, 0, 1).
8.50.	Выяснить, ортогонален ли вектор х:
а) х = (1, -4, -1, -2); б) х = (3, 2, 1, -1)
подпространству решений системы уравнений
+ 2t2 ~ 3t3 + 4£4 = 0,
21х + t2 - 5t3 + 6(4 = 0.
8.51.	Пусть xlf ..., xA, xk+i, xn — ортогональный базис
пространства. Доказать, что ортогональным дополнением ли-
нейной оболочки системы векторов Хр ..., xft является линей-
ная оболочка системы хЛ+1, ..., хп.
8.52.	Доказать, что xlt ...» xm, ..., У/— ортогональный
базис пространства, если х1э ..L, хт иylt..., у1 — ортогональные
базисы соответственно подпространств L и ZA
104
8	53. Доказать, что ортогональное дополнение линейной
оболочки системы векторов (alf а2, am)» (&i> ^2» *••*	...»
(q, c2> cm) совпадает с подпространством решений системы
уравнений
+ a2t2 + ... + amtm = О,
< ^1^1 + ^2^2	”• +	34
.с1^1 *" с2^2	+ ст^т ~ 0.
8.54.	Доказать, что ортогональное дополнение подпростран-
ства решений системы уравнений
; Дц?! + а12£2 + ... + alntn = О,
< a2l/l + а22^2 + •• + а2п^п =
aml/l ат2^2 + А апп^и = ®
совпадает с линейной оболочкой системы векторов
(^11» ®12» »	(^21 ’ ®г22>	’	®m2> •••, ®/nn)-
8.55.	Подпространство L задано системой уравнений
+ t2 - 2t3 + 2t4 =0,
|2Ji - tz + t3 - 5?4 = 0.
Задать IA:
а)	линейной оболочкой системы вектсфов;
б)	системой однородных уравнений.
8.56.	Выяснить, принадлежит ли вектор х:
а) х = (1, 1, -1, 1); б) х = (2, 3, 2, 3)
ортогональному дополнению подпространства решений систе-
мы уравнений
if + £2 + tg + t4 = О,
^1 — ^2 + ^3 ~ ^4 ~ 0’
8.57.	Показать, что в пространстве всех многочленов степе-
ни не больше п с действительными коэффициентами от одного
неизвестного t скалярное произведение многочленов х(£) и y(t)
может быть задано формулой
ъ
ху = J x(£)y(f)d£.
а
(Проверить выполнение всех свойств евклидова пространства.)
105
9. МАТРИЦЫ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
9.1.	Собственные значения и собственные векторы
матрицы
Число Л называется собственным значением квадратной матрицу А
порядка п, если можно подобрать такой ненулевой л.-мерный вектор х,
что Ах = Хх. Множество всех собственных значений матрицы А совпа-
дает с множеством всех решений уравнения [А — ХЕ| = 0, которое назы-
вается характеристическим уравнением матрицы А.
Ненулевой вектор х называется собственным вектором квадратной
матрицы А, принадлежащим ее собственному значению К, если Ах = Хх.
Множество всех собственных векторов матрицы А, принадлежащих ее
собственному значению X, совпадает с множеством всех ненулевых ре-
шений системы однородных уравнений (А - ХЕ)х = 9. Множество реше-
ний этой системы обозначим через А(Х).
Пусть Хь Х2> ..., Хт — попарно различные собственные значения мат-
рицы А и пусть в каждом из множеств А(Хх), А(Х2), ..., А(ХШ) выбраны
линейно независимые системы векторов. Тогда объединение этих систем
будет Линейно независимой системой.
9.1.	Найти собственные значения матрицы
Решение. Найдем характеристическое уравнение матрицы А. Так как
|А - ХЕ| =
-X 1 1
1 -X 1
= -X3 + ЗХ + 2.
1 1 -X
ТО
-V + 31 + 2-0
— характеристическое уравнение матрицы А. Разложив левую часть уравнения
на множители, получим
-(X - 2)(Х 4 I)2 ₽ 0.
Следовательно, матрица А имеет два собственных значения:
к-|	2, Лз — *1-
106
0 11
10 1 
9.2.	Найти собственные векторы матрицы
-
Решена е. В Задаче 9.1 были найдены собственные значения матрицы А:
Xi = 2, Xj “* -1. Теперь найдем множества А(2) и	Система линейных ^яв-
лений (А - 2Е)х " Q, х - (xj, х2, имеет вид
Ее фундаментальная система решений сострит из одного вектора (1, 1, 1).
Следовательно, вектор а(1, 1, 1), а € R,— произвольный собственный вектор
из А(2).
Теперь найдем множество А(— 1). Векторы (“1, 1, 0) и (-1, 0, 1) образуют
фундаментальную систему решений системы уравнений (А + Е)х — 0, и, зна-
чит, ос(-1, 1, 0) + 0(-1, 0, 1), а, р е Я, — произвольный вектор из мно-
жества А(-1).
Найти собственные значения и собственные векторы мат-
риц:
9.3. 9.7.	/ 1 1 -1		2 4 > 1 2 1 3 1 2 -6	• 0	9.4. 9.8. ч	f 1 2 < 0 1 J -1 1 ( -4 3 ( -2 1 1 |Г1 0 (		
		1 - 1 - 1 - ( -4						
							) ) )	f
9.11.		3	5	0	.9.12.	0 0 0		0
		□	А			0 0 0		0
		1 3	о	-1>		<10 0		1>
9.5.	f	0-11 -10 1		. 9.6.	( > 10 1 110	
	ч	1 1 0;			I 011,	
9.9.		3-3 1 3-3 1	•	9.10.	-1 -2 o ' 0-2 0	
	I	3 -3 1>			2 2 1	J
		f 1 0 0 0			10 0 0	A
9.13.		0 0 0 1 10 0 0		. 9.14.	1111 10 10	
		<00 0 1		)	lo 1 0 1J	
9.13.	Доказать, что собственные значения диагональной
матрицы равны ее диагональным элементам.
9.16.	Найти собственные значения треугольной матрицы.
107
9.17.	Доказать, что нуль является собственным значением
матрицы А тогда и только тогда, когда А — вырожденная мат-
рица.
9.18.	Доказать, что собственные значения матрицы А-1 об-
ратны собственным значениям матрицы А.
9.19.	Доказать, что в; пересечении множеств A(Xj) и А(Х2) со-
держится только нулевой вектор, если собственные значения
Xj и Х2 матрицы А различны.
9.20.	Всасобственные значения матрицы А равны , Х2, ..., Хт.
Найти все собственные значения матриц:
а) ЗА; б) А - 2Е.
9.21.	Доказать, что матрица А порядка п имеет единствен-
ное собственное значение, если каждый п-мерный вектор яв-
ляется собственным вектором матрицы А.
9.22.	Доказать, что все п-мерные векторы тогда и только
тогда являются собственными векторами матрицы А, когда
\ Л 0 ... 0
Л о к ... О
ко О ... X J
9.23.	Доказать, что собственные значения матриц А иТ^1АТ
совпадают. Найти связь между собственными векторами этих
матриц.
9.2.	Приведение квадратной матрицы
к диагональному виду
Матрица А приводится к. диагональному виду, если можно подобрать
такую невырожденную матрицу Т, что Т1 АТ — диагональная матрица.
Матрица А порядка п приводится к диагональному виду тогда и только
тогда, когда в пространстве Rn имеется базис, состоящий из собственных
векторов матрицы А. Столбцами матрицы Т являются координаты век-
торов этого базиса.
В пространстве Rn имеется базис, состоящий из собственных век-
торов матрицы А, тогда и только тогда, когда объединение базисов
108
подпространств А(А1), А(Х2), ...» А(Ат) является базисом простран-
ства Ип„ где Х1} А2,	— все различные собственные значения
матрицы А.
Правило построения матрицы Т, приводящей матрицу А порядка п
к диагональному виду:
1.	Найти все собственные значения матрицы А.
2.	Для каждого собственного значения \ найти фундаментальную сис-
тему решений однородной системы линейных уравнений (А — А,-Е)х = 0.
3.	Построить матрицу Т, столбцами которой являются координаты
решений всех найденных фундаментальных систем.
4.	Если полученная матрица Т является квадратной, то она приводит
матрицу А к диагональному виду. Если же матрица Т не будет квадрат-
ной, то матрица А не может быть приведена к диагональному виду.
9.24. Найти матрицу Т, которая приводит матрицу
к диагональному виду. Найти матрицу В = Т ААТ.
Решение. Вычислим определитель матрицы А — АЕ:
А - ХЕ| =	1 М * w М 1 ( 1 о м	=	2-А	-1	0 -3	2-А	А-2 ;	4	2	2-А	=
-1
4-А
= (2 - А)(А -З)2.
Собственные значения матрицы А равны 2 и 3.
Теперь надо найти фундаментальные системы решений систем уравнений
(А - 2Е)х -би (А — ЗЕ)х ~ 0. Фундаментальная система решений первой системы
состоит из одного решения (О, -1, 1), а второй — из одного решения (1, -3, 2).
Следовательно, матрица Т имеет вид
х
1
-3 •
2
Полученная матрица не является квадратной, поэтому матрица А не приво-
дится к диагональному виду.
109
Найти матрицу Т, которая приводит данную матрицу А
к диагональному виду» и матрицу В = Т гАТ:
3 2 2
-1 -2 О
-2 -2 -1
9.28.
9 -8 0 -
10 -9 О
-12 12 1
0 0 0 -1
О 0-10
0-100
.-10 о о >
9.3.	Ортогональные и симметрические матрицы
Матрица А’, столбцами которой являются строки матрицы А, назы-
вается транспонированной к А.
Свойства операции транспонирования матрицы:
1)	(А + В)т - Ат + Вт;
2)	(АВ)Т = ВТАТ;
3)	(ЙА)Т - ftAT;
4)	(А-1)т = (Ат)-1,
где k — число, а А и В — матрицы.
Матрица А называется симметрической^ если А = Ат.
Ортогональной называется матрица А, для которой
Ат = А"1.
Следующие три условия равносильны:
1)	матрица А ортогональна;
2)	матрица А-1 ортогональна;
3)	столбцы матрицы А образуют ортонормированную систему векто-
ров.
Ортогональная матрица может не иметь действительных собствен-
ных значений.
Симметрическая матрица всегда имеет действительное собственное
значение, и все ее собственные значения — действительные числа.
110
Собственные векторы симметрической матрицы, принадлежащие раз-
личным собственным значениям, ортогональны.
Для каждой симметрической матрицы А существует такая ортого-
нальная матрица Q, что Q 1AQ - диагональная матрица. Построение
этой ортогональной матрицы осуществляется следующим образом:
1)	строят невырожденную матрицу Т, которая приводит матрицу А
к диагональному виду;
2)	подвергают столбцы найденной матрицы Т процессу ортогонали-
зации, а затем нормируют полученные векторы;
3)	строят ортогональную матрицу Q, столбцами которой являются
координаты полученной в пункте 2 ортонормированной системы век-
торов.
9.33. Привести к диагональному виду с помощью ортого-
нальной матрицы симметрическую матрицу
( \
1	2 2 ।
2	12 •
I 2 2 1 J ,
Решение. Характеристическое уравнение матрицы А имеет вид
= (5 - Х)(1 + X)
1-Х
= (5 - Х)(1 + Х)г = 0.
2	-1
Отсюда следует, что матрица А имеет два собственных значения: - -1;
= 5.
Фундаментальная система решений системы уравнений (А + Е)х = 0 состоит
из двух векторов: (-1, 1, О), (-1, О, 1), а системы уравнений (А - 5Е)х =0 — из
одного вектора (1, 1, 1).
Матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, имеет вид
-1
-1
0
1
( о 1 1J
111
После ортогонализации и нормирования столбцов этой матрицы получим ор-
тогональную матрицу
I
1
Q =
/3
1
2
0
Матрица» обратная к Q, совпадает с QT, т.е.
	а Ml 1 	
	2	2
II 1 о	.1 ih । | сс г
	•/& Тб Тб
	ill
—V— 		
	wl wl 0?
q~1AQ =
-10 0
0-10
0 0 5
Нетрудно проверить, что
Привести к диагональному виду с помощью ортогональной
матрицы Q следующие симметрические матрицы:
0 11
10 0 
1 1 0 >
5 -4 -2 ^1
-4 5 2	•
-2 2 2 ;
9.42.	Доказать, что матрица А = (а^) порядка п будет сим-
метрической тогда и только тогда, когда а1} = при любых
h j 1, 2, * * •, л.
9.43.	Доказать, что матрицы А 1 и ААТ будут симметриче-
скими, если А — симметрическая матрица.
112
9.44.	Доказать симметричность матриц А + В и АВА, если
А и В — симметрические матрицы одинакового порядка.
9.45.	Матрицы А и В называются перестановочными, если
АВ = В А. Доказать, что симметрические матрицы А и В пере-
становочны тогда и только тогда, когда АВ — симметрическая
матрица.
9.46.	Доказать, что произведение ортогональных матриц
будет ортогональной матрицей.
9.47*	Доказать, что произведение ортогональной матрицы
на число k будет ортогональной матрйцей тогда и только тогда,
когда |й] — 1.
9.48.	Построить две ортогональные матрицы порядка п,
сумма которых не является ортогональной матрицей.
9.49.	Доказать, что определитель ортогональной матрицы
равен ±1.
9.50.	Доказать, что собственные значения ортогональной
матрицы равны ±1.
9.51.	Найти необходимое и достаточное условие, чтобы сим-
метрическая матрица А была ортогональной.
9.52.	Доказать, что А — ортогональная матрица, если АВ
и В — ортогональные матрицы.
9.53.	Доказать, что если АВ и А — ортогональные матрицы,
то и В — ортогональная матрица.
9.54.	Доказать, что матрица А тогда и только тогда будет
ортогональной, если ее строки образуют ортонормированную
систему векторов.
9.55.	Доказать, что матрица А порядка п будет ортогональ-
ной тогда и только тогда, когда |Ах| = |х| для всех х из Rn.
9.56.	Дана матрица А порядка п. Доказать равносильность
следующих условий:
а)	А — ортогональная матрица;
б)	если Хц х2, .... хп — ортонормированныйбазисЯп, то Аху,
Ах2, ..., Ахп — ортонормированный базис
в)	Ах Ау = ху для любой пары п-мерных векторов г и у.
113
9.57,	Даны два п-мерных вектора х и у одинаковой длины.
Доказать, что существует ортогональная матрица А порядка л,
для которой Ах = у.
9.4.	Квадратичные формы
Переход от системы п неизвестных Xj, х2, хн к системе п не-
известных уг, у2, Уп по формуле х = Sy, где х = (хь х2, ..., хл),
У^(У1>У2> •”> ул), 8— квадратная матрица порядка п, называется
линейным преобразованием неизвестных. Если S -— невырожденная
матрица, то линейное преобразование неизвестных также называется
невырожденным.
Квадратичной формой ^(Xj, х2, ...» хп) от п неизвестных х-j, х2,
хп называется сумма, каждое слагаемое которой является или квадратом
одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвест-
ных. Квадратичную форму можно записать в виде F(x) — хАх, где
х —	х2, хл), А — симметрическая матрица порядка п, которая
называется матрицей квадратичной формы F(x).
Две квадратичные формы называются эквивалентными, если одна
из них переводится в другую посредством невырожденного линейного
преобразования.
Если в квадратичной форме F(x) = хАх неизвестные подвергнуть ли-
нейному преобразованию х — Sy, то получится квадратичная форма
F(y) яв y(STAS)y с матрицей STAS.
Каноническим видом данной квадратичной формы называется экви-
валентная ей форма, не содержащая произведений неизвестных. Каж-
дую квадратичную форму можно привести к каноническому виду с по-
мощью линейного преобразования неизвестных х = Sy с ортогональной
матрицей S.
Если F(x) > 0 (<0) для всех х * О, то квадратичная форма Е(х) назы-
вается положительно (отрицательно) определенной. Квадратичная
форма положительно (отрицательно) определена, если в каком-нибудь
ее каноническом виде нет отрицательных (положительных) коэффици-
ентов при квадратах неизвестных.
Следующие условия равносильны:
1)	квадратичная форма F(x) = хАх положительно определена;
2)	собственные значения матрицы А положительны;
3)	угловые миноры матрицы А положительны.
Следующие условия равносильны:
1)	квадратичная форма /'(х) = хАх отрицательно определена;
2)	собственные значения матрицы А отрицательны;
114
3)	все угловые миноры матрицы А нечетного порядка отрицательны,
а все угловые миноры четного порядка положительны.
9.58.	Написать матрицу квадратичной формы
2	2	2
F == 2хх - 5х2 + 8х3 + 4хгх2 - 2x^3 + 6х2х3.
Решение. Обозначим коэффициент при произведении х,хА = (I * А) через
aiA + uAi, причем ait[ aftf. Член (п£А + aki}xixk запишем а виде а;Лх£хй + п^хАх£.
Тогда квадратичную форму F можно записать в виде
Г = 2x'i + 2х^х2 - xLx3 +
+ 2x2xi - 5*2 + Зх2х3 -
2
- х3Х] -ь Зх3х2 + 8х3 .
Теперь матрица А квадратичной формы F имеет вид
/ \
2 2-1
2-5 3 -
<-13 8 ,
Написать матрицу следующих квадратичных форм:
9,59.	^ = -Xj + 2х2 - Зх3 + 2Х}Х2 + 2х2х3.
9.60.	F = 2xjX2 + 4х1х3 - 6х2х3.
9.61.	Привести к каноническому виду квадратичную форму
2	2	2
F = Xj + 2х2 + 7х3 + 2xtx2 + 2xjX3 + 4х2х3.
Решение. Сгруппируем все члены, содержащие неизвестное jq, и дополним
их до полного квадрата:
F“(x? + 2xtx2 + 2xix3) + 2х2 + 7х3 + 4х2х3 - (х^ + 2xj(x2 + х3) + (х2 + х3)2} -
- (х2 + х3)2 + 2х| + 7х3 + 4х2ха - (Xj + х2 + х3)2 + х2 + 6ха + 2х2х3.
В дальнейшем полный квадрат* содержащий неизвестное не изменяется.
Среди оставшихся членов сгруппируем все, содержащие х2> и дополним их до
полного квадрата:
F = (Xj + х2 + х3}2 + (х2 + 2х2х3 + х|) - х3 + 6х3 =
= (Х1 + хг +	-I- (х2 Ч- Х3Я + 5х3 .
115
Теперь перейдем от неизвестных xlf х3 к неизвестным у21 по фор-
мулам	
i/i -	+ ги
< J/й =	^2	^3*
Уз=
В результате этого перехода получим канонический вид данной квадратичной
формы*.
= !71 + У2 + 5^3 "
Привести к каноническому виду квадратичные формы:
9.62.	F = xf 4- Зх2 + 4х3 + %xix2 + 2ххх3 + 6х2х3.
9.63.	F — 2хх - Зх| - 4ххх2 + 4хгх3 - 8х2х3.
9.64.	F “ xf 4- 2хуХ2 + 2х2х3.
9.65.	F = Xj - 4х2х3 + х|.
Найти все значения параметра 1, при которых положитель-
но определены следующие квадратичные формы:
2	2	2
9.66.	2Х| + х2 4- А.х3 + 2х^х2 - 2ххх3 - 2х2х3,
9.67.	Ххх 4- 2х2	4-	Зх3	+ 2xtx2	4- 2ххх3 4-	4х2х3.
9.68.	2kxf 4- х2	4-	2х^	4- 2xjXs	+ 2х2х3.
9,69.	2xf + Хх2	4-	2х3	4- 2хгх2	4- 6ххх3 4-	4х2х3.
Найти все значения параметра X, при которых отрицательно
определены следующие квадратичные формы:
9.70.	-хх 4- Хх2 4- Зх| 4- 4ххх2 + 2ххх3 4- 2х2х3.
9.71.	-2X1 “ %xz +	+ 2ххх2 4- 4xiX3 - 2х2х3.
9.72.	2кХ} 4- х2 4- х3 - 4ххх2 4- 2хгх3 4- 2х2х3.
9.73.	-X]2 - 2х2 4- 2Хх3 4- 2ххх2 4- 2ххх3 - 6х2х3.
116
Найти ортогональное преобразование неизвестных, приво-
дящее следующие квадратичные формы к каноническому ви-
ду, и записать полученный канонический вид:
9.74.	+ 4х2 4- х3 4- 2хуХ2 + 8x^X3 4- 2х2х3.
9.75.	ЗХ| — х2 + Зх3 4- 6ххх2 — 2X3X3 + 6х2х3.
9.76.	— 6xj “ ^х2 + 2хз + 4хтх2 + 6x3X3 + 12х2х3.
9.77.	5xi 4- 5х2 + 5х3 4- 2хдХ2 4- 2xiX3 4- 2х2х3.
9.78.	17X1 4- 17х2 4- 11х| - 16xiX2 4- 8x^3 - 8х2х3.
ПРАКТИКУМ 1
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Задания
1.	Вычислить определитель матрицы А (табл. 1).
2.	Найти произведение матриц А и В:
/	ч	(	.
12 2-1
2 3 4 5
113 2 5
. 3 2 4 -3
2 -1
-1 fe2 3
-2 4 /г3
В =
I 1 з 2 )
(табл. 2).
3.	Дана матрица А (табл. 3). Найти матрицу А-"1 и устано-
вить, что АА~2 = Е.
4.	Дана система векторов ах, а2» аз* а4’ а5» аб» в которой
а3 = (О, 1, 1, 2),	а4= (I, 1, 1, 3), а5 = (1, О, -2,-1),
а6 = (1, О, I, 2). Дополнить линейно независимую часть alt a2
(табл. 4) до базиса системы векторов alf a2, a3, a4, ot5, a6 и все
векторы, не вошедшие в базис, разложить по базису.
5.	Найти общее решение' системы линейных уравнений
(табл. 5) методом Гаусса.
6.	Найти фундаментальный набор решений однородной сис-
темы линейных уравнений (табл. 6).
117
Таблица 1. Варианты задания 1
Вариант	Матрица A	t					Вариант	Матрица А				
1		/ > 1 2 3 4 5 । 23 7 10 13 3 5 11 16 21 ,2-77 7 2 ч 1 4 5 3 10 ,				16		Ст)	ьо ел 1	1	1	1	ей СЛ	СП	-q	«	щ М 00 ЬЭ W	Ф	ьо	I <3	00	Со	ит			
2			3 6 5 6 4 5 9 7 8 6 6 12 13 9 7 4 6 6 5 4 2 5 4 5 3,			17 -		3 4-3-12 -56523 4-9-3 7 -5 -1-4 1 1 -2 <-3 7 5 2 3 ,			
3		2 11 2 6 ' 0 1-21 1 231 2-1 151-10 .-114 2 1 ,				18			1 4 8 4 5 2 8 7 10 13 2 '5 6 13 11 2 -2 7 7 2 J 8 5 3 10		
4			.113 5 4 052 18' 14 0-15 3 5 3 0 7 12-1 3 1 ,			19			' 3 3 5 3 7 ' 5 4 7 3 10 6 6 13 3 13 4 2 6 1 6 к 2 3 4 3 6 j		
5	1 /	-23 0-13 1 1 3 10-2 3 2 0 5 -5 2 8-4-3 2 0-3-11 3 ,				! 20			' 9 2 -1 3 10 ' | 2 6-10 1 ,13 12 1 16 5 12 < 0 1 4 2 3 >		
6				1	2	3	4	5	1	! 2 1 2 3 4	{' 32123	' 4 3 2 1 2 ,	5	4	3	2	1	J			21			4 5 6 5 11 ' 1 4 2 0 13 110-1 5 1 3 2 3 0 7 ,4123 8,	1	
118
Продолжение табл. 1
Вариант	Матрица А							Вариант	Матрица А				
7		( \ -412-21 -4 4 2 -1 -4 । 2-31-31 -1 -12-1 0 ч -1 3 3 1 5 ,,						22			3 3 5 7 9 ' 2 12 3 4 5 3 3 5 7 4 3 2 1 2 1 3 7 5 3 3;		
8				1 2 3 4 5 > 23451 3 4 5 1 2 4 5 12 3 , 5 1 2 3 4 ;				23			6 5 1 2 4 5 5 3 3 7 5 5 5 4 1 4 7 2 3 5 , 3 3 2 2 3;		
9			(	.	'I 2 14 3 5 5	5	4	8	5 3	4	5	2	1 1	5	2	4	3 < 5	11	2	11	3 j					24		Н	Tf	Сч °	1	1	1	1 Ю	<М	тН с*3 1О Й	сч ю	t-	’Т	со СМ	М	ф	СО 1	1	t	1	1			
10			( 7 2 1 3 4 8 2 3 3 7 10 2 5 3 11 1 63245 1 5 1 2 2 3 ;					25 г		7 7 7 7	| *	OJ	1Л	Q О	м	«f 1	>-< J (	1 ®	41	и	» Ю	”	X	м			/
11				1	2	3	4	5 1	8	3	8	6 2 4 13 5 1	3	5	2	4 , 1	8	5	5	6,				26		f	\ -	2 7 4 2 3 -	1 -3 2 9 -2 -	3 7 52 3 -	1 -2 2 3 -2 ,-1-411-2;			-J
12		2-13 4-5 4-27 8-7 -6 4 -9 -2 3 . 3-24 1-2 -2 6 5 4 -3 ,						27 1	/	4 6 8 1 2 -1 -7 2 3 1 2 -8 12 7 4 7 9 17 27 -6 8 3 6 2 37.			
119
Окончание гпабл, 1
Вариант	Матрица А			Вариант	Матрица А		
13		5-5-3 4 2 -4 4 3 6 3 3-15-9 -5 -77684 5-32-1-2,		28		3 12 -6 -1 2 -3 -10 6 1 1 -2-5430 2 -10 10 -9 15 ,9 -7-4-4 9 ,	
14		„ w	04 М 1	1	1	1 00	ИЗ	CM	W CM	t>	Tt*	со .	cq	(D	со 1(11 СМ	00 То ц*	см		29		2	10	2	1	5 -1	-3	2	9	-2 3	-13	-12	8	-7 1	6	3	2	3 ч -4	4	7	11	1	j	
15	1	2-35-21 3 2 5 -4 -3 -23-42 -3 6 4 7 -8 -1 .2-17 1 5 ,		' 30	f	1	3	3	111 1	3	6	7	2	3 7	3	6	2	-2 0	-4	7	2	-5 t	-2	7	5	1	7	J		
Таблица 2. Варианты задания 2
Вариант	1		fe3	Вариант	fet		
1	-5	7	-3 .	16	-2	7	3
2	2	5	-3	' 17	1	5	3
1	3	-2	3	1	18	2	3	4
h 4	4	3	-3	19	3	1	2
5 _ ..	2	3	—2	20	2	।	5	3
6 Г	I	4	„4	-3	21	1	2	1	7
7	-1	-2	3	22	-3 |	-4	4
8 :	2	-4	1	23	3	3	-4
9	3	-5	2	24	5	4	2
10	5	2	-3	25	3	-4	2
11	1	3	-1 i	26 ।	з 1	2	5
12	2	2	/-1	27	-1	0	4
13	3	-4	5	; 28	0	-1	2
14	2	-3	1	29	2	1	0
15	3	4	3	30	-3	2	-1
120
Таблица 3. Варианты задания 3
Вариант	Матрица А			Вариант	Матрица А		
1 1	/ X	2 2 3 1-10 -1 2 1		16 .	/ к	2 2 7 -3 -2 5 4 3 -1	
।	2		4 2 3 ' .110, < 3 2 2,		। 17	/	6 -3 4 4 4-3 1-4 4	
3		( 2 11 465 3 5 4,		18		3 4 4 -2 4 3 t 4 5 5J	
4		( > 2 3 4 । 1 2 3 , 1136,		19		( \ 2 3 2 2 4 1 . 3 2 6,	
5		(	х 1 0 i । 0 12, 11 з 4;		20		6 5 5 ? 2 6 7 1-3 2 3 ,			  1
6	/ к	17 10 4 110 2-3 3	)	21	-	(	X 4 5 5 1 4 5 4 . 3 4 5;	
7		( X 3 3 2 ' 4 3 2' 1 22 1 J		22		' 3 2 4 5 3-2 ч 2 1 -5 ,	
8		( \ 2 14 3 2 4 1 2 1 3 J		23	/ i	1	2 1 3 4 -5 -2 3 2 5	
9		г	> 4 2-1 & 3-2 .32-1,		24		/	X 3 1 3 5-2 2 . 2 2 3,	
10	г	1 2 -3 3 2-4 2-10	V >	1 25		(	'i 4 4 1 13 4 1 2 5 6 J	
121
Окгон'ла5
Вариант	Матрица А					Вариант	Матрица А		
11		5 3 1 1 -5 -2 к ~5 2 1 J				26	'	f	СМ Ю	! 1 1 1 ft *f CSI	7	I
12			2-3 1 4—5 2 <5-73,			27	1	ill -1 8 10 4 -1 -2	7
13			2 6 3 3 2 3 ( 4 3 4у			28		со ba м N М •-* । 1 1 1 ЬО М I-* 1	——-	
14			см а см 7 7 о гс гс			29		/ \ ! 1 0 1 1111 < 2 3 1 /	
15			к	' 1	7	7	Т М	сф	ю т?	см	ю ! V	J			30		12 2 3 2-1 ч —2 1 5 }	
Таблица 4. Варианты задания 4
Вари- ант	«1	«2	Вари ант	а1	
1	|{2, -4, 5, 3)	(12, 2, -5, 9)	16	(2, -3, 2, 1)	(3, 2, 0, 5)
2	(7, 0, 9, 16)	(3, 1, 4, 8)	17	(3, 3, 2, 8)	(0, 4, -3, 1)
, 3 ’	(4, 1, 3, 8)	(7,-1, 0,6)	!	18	(5,4, -2, 7)	(1,0. 2, 3)
1	4	(5, 2, 7, 14)	(2.11.-10,3)	!	! 19	(2, 7, -3, 6)	(5, 8, -5, 8)
5	(6, 12, -7, 11)	(2, 3,3, 8)	।	20	(4, 5, -3, 6)	(1, -4, 5, 2)
6	(9, 11,-1, 19)	(5. 3, -5, 3)	21	(3, 5, -5, 3)	(4, 8, -6, 6)	।
7	(2, 4, 1, 7)	‘(3, -7, 8, 4)	22	(1, 3, -3, 1)	(2, -1, 3, 4)	1
8	(1, 6. -7. 0)	(5, -3, 9, 11)	23	(4, 5, ~2Т 7)	(Г -5, 4. 0)
9	(1Ф 3, 0, 4)	;<2, -1, -2, -1)	24	(2» 8, -1, 9)	(3, 16, -6S 7>
10	(1, 2Ф -5. -2)	(2, 9, -7, 4)	25 |	(—4, 2, 1, 3)	(-1, 4, 2» 5)
11	(1, 7, -2. 6)	(4. -1, 1,4)	26	(1, 7, -2, 6)	(2, 3. -4, 1)
12	(5, 1, -4, 2)	।	(1, -4,-2, -5)	27	(3, 2» -1, 1)	(0, 1, -3, -1)
13	(2, 3f 0, 5)	(4, 1, 0, 5)	1 28	(2, 1, 3. -1)	(1, 2, -1, 3)
Г 14	(0, —1, 2* 1)"	(Зэ 2Г 1, 6)	29	(-1,1,-2,1)	!	(3, 1, 1, 1)
! 15	(3, 1, 3, 7)	(5, 6, 1, 6)	30	(2, -1, 3, 5)	।	(—2, 1» -1, 3)
122
Таблица 5. Варианты задания 5
Ва- ри- ант	Система уравнений	Ва- ри- ант	Система уравяеяяй
1	Х1 + х2 + Зх3 * 2*4 + Зх5 = 4, 2xj + 2xz + 4x3 — x4 4- 3x5 = 6, + 3x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 * 6, , 2xt + 2xs + 8x3 - 3x4 + 9x5 = 14	16	Г 1 2xi - 2x2 + xa - x4 + x5 = 1, Xj + 2x2 - x3 + x4 - 2x5 = 1, 4xi “ Юх2 + 5x3 - 5x4 + 7x5 = 1, ' 2xi “ 14хг + 7x3 - 7x4 + llxs = -1
2 ;	5xj + 7x2 + 4x3 + 6x4 + 6x5 — 2, 15x! + 30x2 + 7x3 + 8X4 + 3x5 = -13, 9xi + 6»2 + 5x3 + 8x4 + 9x6 - 9, 6x1 + 9x2 + 3x3 + 4x4 + 3x5 = -1	17	! 2*1 + x2 “ x3 “ x4 + x5 = 1> j Xj - x2 + x3 + x4 - 2xs = 0, 3xi ”1” 3x2 * Зхз ” 3x4 + 4x3 = 2, 4xi + &xa “ ^x3 - 5x4 + 7x6 *» 3
I 3	6xt + 5x2 + 7x3 + 5x4 + 3x§ = 6, 14xj + 5x2 + 3x3 + 9x4 - x5 = 2, 4Xi + 5x2 + 8x3 + 4x4 + 4x5 — 7, 8x1 + 5x3 + 4x3 + 7x4 + 2x5 = 2	18	Xj - 2x2 + x3 - x4 + x5 = 0, 2xi + x2 - x3 + 2x4 - 3xa = 1, 3xi - 2x2 " x3 + x4 ~ 2x5 ' 2xi “ ^x2 + хз ~ 2x4 + 2x5 ~ -2
4	: 15Xi + 2xa + 4x3 - 3x4 + 9x5 = 23, 3xi + 2Ox0 + 5xg ~ 2x4 + 6x5 = —8, 3xj + 6x2 + 2x3 - x4 + 3x5 = 1, 9xi +	+ Зхз ~ 2X4 + 6xa = 12	19 !	2xj + x2 + x3 - 2x4 + 4x5 = 1, 13xi + 8x2 + 4x3 — 3x4 + 6xa = 9, 5xj 4- 4x2 + 2xg - 3x4.+ 6x5 = 3, 3xj + 2x2 + x3 - x4 + 2x6 — 2
5	13xt - 4x2 - xa - 4x4 - 6X5 = 8, 1 Ixj - 2x2 + x3 - 2x4 - 3x& = 7, 5xj + 4x2 + 7x3 + 4X4 + 6X5 — 4, 7xi + 2x2 + 5x3 + 2x4 + 3x5 = 5	20	। 2xi + 3x2 + x3 + 6x4 + 9xfi = 2, x2 — 2x3 + 2x4 + 3x5 = -7, 2x! -1- x2 + ^x3 + 2x4 + 3xa « 3, i 3xi + 3x2 + 8x3 + 4x4 + 6x5 - 1
 6	3xL - X2 + 3x3 + 3x4 + 5x5 ” 5X1 - 3x2 + 2x3 + 3x4 + 4x5 _ 7, X1 ~ 3x2 " 5x3 " 7x5 = "*• 7X1 “ 5X3 + Xg + 4x4 + x5 = 6	21	2xj + 3x2 + 7x3 + x4 + 2x5 = 1, . Xj + 2xa + 3x3 + 2x4 + 4x5 ™ 0, । 3xi + 3x2 + хз + 2x4 + 4x5 = 4, 4xt + 3x2 + 2x3 + 3x4 + 6x5 - 5
7	-Xi + 3x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 - 7, 6xj + 2x2 + 2x3 — x4 = -2, -3xt + x2 + x3 + 2x4 + 3xs - 5, llXi + 3x2 + 3x3 + x4 - X5 “ -5	22	1 2x,-х2 + Зх3 + 4х4-хб = -1, Xj + 2x2 - 3x3 + x4 + 2x5 — 1, 1 5xt - 5x3 + 12x3 + llx4 - 4x5 — -4 Xj — 3x2 + 6x3 + 3x4 — 3xg = —2
123
Продолжение табл. 5
Ва- ри- ант	Система уравнений	Ва- ри ант	Система уравнений
8	X] + х2 - Зх3 - х5 = -2, Х1 - х2 + 2х3 - X4 = 1, 4xj ~~ %х2 + 6х3 + Зх4 — 4х5 = 7, 2х] _ 4х2 — 2х3 + 4х4 - 7х6 — 1	। 23	3xj + хг - 2х3 + х4 - хй — 4, 2Xj — хг + 7х3 — Зх4 + 5хь = б, < X] + Зх2 - 2х3 + &х4 - 7xs — 2, 3xj - 2хг + 7х3 - 5х4 + 8хь = 5
9	x-j + 2хг + Зх3 - 2х4 + х3 - 4, 3xi + 6х2 + 5х3 — 4х4 + Зх8 — 5, х: + 2хг + 7х3 - 4х4 + хй = 11, 2xi + 4х2 + 2х3 — Зх4 + ЗхБ = 6	1	24	• Xj + 2х2 - Зх3 + 2х5 2, Xj - х2 - Зх3 - 4х4 - Зх5 -= -4, < 2xi + &х2 + х3 ~ 5*4 + 2*5 ”* 1 > Xj - 2х2 - 2х3 - Зх4 - 5xs = -7
10	Эх] + 7х2 4- 5х8 + 6х4 + 9ха = 10, 8xi + 4хг 4- 2х4 + Зх5 = 5, 5Х] + Зх2 + х3 + 2х4 + ЗхБ — 4, 7xi + 5хг + Зх3 + 4х4 + 6х5 — 7	25	! xj - 2х3 + Зха - 4х4 + 2х5 = 0, хj + 2хг - х3 - х5 = 1, Xi - х2 + 2х3 - Зх4 = “1, х2 ~ х3 + х4 “ 2х5 = -I
1 11	Ох» + хг - Зх3 4 9х4 + 5х3 = 0, 6Xj + 5х2 — Зх3 + 9х4 + 7х5 = 6, 2xi + ^х2 ~	+ Зх4 + 2х& = 4, 4X1 + Тх2 “ 2х3 + 6х4 + бх5 ~ 8	26	2х3 + Зх2 + 5х3 - 4х4 + х5 = 3, Х1 “ х2 + 2-*з + Зх4 + 5х5 = 8, Зх3 + 7х2 + 8х3 - 11х4 - Зх6 ~ -2Т , 2xi + 3*2 + 5ха - 4х4 + х6 = 3
12	! Xj “ 4x-g	-^4 “ ^-^5	”3j Xj 4 Tx2 4 6х3 ” 2х4 4 6хй = 2, 9ха + 8х2 4 4хй “ Зх4 + 9х& == ~7, + 5х2 + 2х3 ™ 2х4 + 6х5 = -6	27	. 8%1 ~ ^х2 + ^хз + 6х4 + 8х5 = 5, 10X1 — 5*2 + 6*3 + 9*4 + 16х5 —10, 4xi — 2х2 + х3 + 2х4 + 2х8 = 1, 2xj ~ х2 + Зх3 + 7х4 + 11х5 — 8
13	5xj 4- 6х2 4 х3 4 10х4 + 7х5 = 3t 5xt 4 х2 + 2х3 4 5х4 + 4х5 = 7, 4xj 4 Зхг 4 х3 4 7х4 4 5xg = 4, 3Xj 4 2х2 4	4 4х4 4	= 3	28 ,	2х3 4 х2 4й Зх3 “ Зх4 = 3, х’1 - Зхг + х3 - х5 - -2, 4х3 - 7хг + 5х3 - х4 - 2ха = -1, хг - 4х2 + х3 + х4 - х5 - -2
14	Х1+ 2х2 + хэ - Зх4 + 2х& = 3, 2x1 + х2 Ч" х3 х4 ™ ЗхБ = 2, X) + х2 + 2х3 + 2х4 - 2х5 — 4, 2Х] + Зх2 - 5х3 - 17х4 + 10х5 = -7	29	Xj - 3^2 4 5х3 + 4х4 4 6хй — 5, Зх1-х2-х3= 1, 2xj + 2х2 + 2х3 + 2х4 + 3xg — 3, j 4xj - 4х3 - 2х4 - Зх5 = -1
124
Окончание табл. 5
Ва- ри- ант 	Система уравнений	Ва- ри- ант	Система уравнений
15	+ Зх2 + 2х3 - 2х4 4 х5 = 5, *1 - 2х2 4 х3 “ х4 - х5 = -2, ] х3 - 4х2 + х3 4 х4 - х5 = -2, ЗХ]	2^4 ^5 =	30	1	К ГО	СП со “ НН н	+ - ~ X 1	1 + N М X 1 W	w 1 ? £ 4 + * с?	ьз	к	+ +	Н	*	W ‘	СП-	1	н к	|i	Т И	и	|| II	11 11	*	Il	1 1	*
Таблица 6. Варианты задания G
Ва- ри- ант		Система уравнений	Вй- ри- ант	Система уравнений
1		Зх । х2 4 3xg 4 2х4 4 5хЕ = 0t 5xt - Зх2 4 2х3 + Зх4 + 4х5 = 0, Xj - Зх2 - 5х3 - 7х5 = 0, 7xj - 5х2 + х3 4- 4х4 4 х5 = 0	16	2xj 4 Зх2 4 7х3 4 х4 4 2х5 = 0, X] 4 2х2 4 Зх3 4 2х4 4 4х3 “ 0, ЗХ] 4 2х2 4 Х3 4 2х4 4 4хз = 0, 4X1	2х3 4 Зх4 4 6x5 ” 0
2		—xj 4 Зх2 4 Зх3 4 4х4 4 5х5 = 0, бХ] 4 2х2 + 2х3 4 х4 = 0, -xj 4 х2 4 х3 4 2х4 + ЗхЕ = 0, llxj + Зх2 4 Зх3 + х4 - х5 = 0	17	2xj - х2 4 Зх3 4 4х4 - х5 — 0, X! 4 2х2 “ Зх3 4 х4 4 2х5 = 0, 5хх - 5х2 4 12х3 4 11х4 — 5х$ = 0, ' X] - Зх2 4 6х3 4 Зх4 - Зх5 = 0
3	.	Xj + х2 - Зхэ - хе 0, xi “ хг + 2*з - х4 = 0, 4Х] — 2х2 + 6х3 + Зх4 - 4х5 = 0, 2xj + 4х2 “ 2х3 4 4х4 - 7х§ = 0	18	3xj 4 х2 - 2х3 4 х4 - х5 - 0, 2xi - х2 + ^хз ~ 3*4 + 5хй = 0, х2 4 Зх2 - 2х3 4 5х4 - 7х5 = 0, Зх! - 2хг 4 7х3 - 5х4 4 8x5 = 0
4		xt + 2х2 4 Зх3 — 2х4 4х5 = 0, Зх3 4 6х2 + 5х3 - 4х4 4 Зх5 = 0, Х1 + 2х2 + 7х3 - 4х4 + 5xfi = 0,	, 2х3 + 4х2 4 2х3 - Зх4 4 Зх5 = 0	19	X] 4 2х3 - Зх3 4 2х4 = 0, Х1 “ *2 ~ Зл:з “ ^х4 - Зх5 = 0, 2xj 4 Зх2 4 х3 - 5х4 + 2х5 = 0, х3 — 2х2 - 2х3 — Зх4 — 5хй — 0
5		9xj + 7х2 4 5х3 + 6х4 4 9xg = 0, ЙХ] + 4хг 4 2х4 4 3xs = 0, 5Х} 4 Зхг 4 х3 4 2х4 4 Зх5 = 0, 7xj 4 5хг + Зх3 4 4х4 4 6х5 = 0	20	Xj - 2хг 4 Зх3 - 4х4 4 2х5 — 0, ' Х1 4 2хг - х3 - ХЕ - 0, Xj - хг + 2х3 - Зх4 = 0, х2 ~ х8 + *4 “ 2xs = 0
125
Продолжение табл. 6
Ва- ри акт	Система уравнений	Ва ' рИ л ант		Система уравнений
&	Xj - 4х2 - 4х3 + х4 - Зх5 — 0, xt + 7хг + 6х3 — 2х4 + 6х5 — 0, 9хг + 8х3 + 4ха - Зх4 + Эх5 — 0, 7Xj + 5х2 4- 2х3 — 2х4 + 6х9 = 0	21	4	2хг 4- Зх2 4- 5х3 - 4х4 4- xs — 0, xi ” *а + 2х3 + Зх4 + 5х§ = 0,	' 3X1 + ?х2 +	“ 11*4 “ Зх& = 0, 2xj 4- Зх2 4- 5х3 — 4х4 4- ха — 0
7	бх^ + х2 — Зх3 + ftx4 + 5х3 — 0, ' 6xj + б«2 - Зхз + 9х4 + 7х6 — 0,	1 2Х] + 4хг — ха + Зх4 4- 2х3 =* 0,	 4xL 4- 7х2 — 2ха + 6х4 + 5xs = 0	22		Х1 - 2х2 + х3 ' х4 + XS “ 0. 2xi 4- х2 - х3 + 2х4 - Зх5 == 0, 3xj " 2х2 - ха 4- х4 - 2х6 — 0, 2xj - 5х2 4- х3 - 2х4 4- 2х5 — 0
8	5Xj + 6х2 + х3 + 10х4 4- 7х5 — 0, 5xi + *г + 2хд + 5х4 + 4х5 — 0, 4xi 4- Зх2 + *з + 7х4 + 5х5 - 0, 3X1 + Зх2 + *з + 4х4 + 3*6 в 0	23		2Xj + х2 “ х3 ~ х4 + х& = 0’ X] - Хг 4- Х3 4- х4 - 2х5 — 0, 3X1 + Зх2 — Зх3 — Зх4 4- 4хв = 0, 4X1 + ^х2 бх3 — бх4 + 7x5-0
9	13X1 - ^х2 “ х3 ~ 4х4 — 6х3 — 0, llXi - Zx2 4- х3 - 2х4 - Зх5 — 0*	! 5xj + 4х2 + 7х3 4- 4х4 4- 6х3 — 0, ,k7Xj + 2хг 4- 5х3 4- 2х4 + Зх$ = 0	24		2X1 ” Зхй 4- хэ - х4 4- ха = 0, । Xj 4- 2х2 - х3 4- х4  2х5 — 0, 4X1 ~	+ 5*3 ~ 5х4 4- 7х& = 0, 2xi — 14*г + 7х3 - 7х4 4- 11ха = 0
10	15xt + 2х2 + 4х3 - Зх4 + 9х5 — 0, 3xj + 20хг + 5х5 - 2х4 4\6х5 = 0» Зхт + 6x2 + 2х3 — х4 + Зх5 = 0, 9xj + 4х2 — Зх3 — 2х4 + 6х5	0	'25	<	Xj 4- Зх2 4- 2х3 - 2х4 4- xs = 0г Xj - 2х2 4- х3 - х4 - хв = Q, Х1 - 4*2 + х3 + *4 - х5 - 0, 3xj — Зх2 + 4х3 — 2х4 — х5 — 0
11	6хг 4- 5хг + 7х3 4- 5х4 + Зха ” 0, । 14Х] 4- 5х2 4- Зх3 + 9х4 — хБ = 0, • 4хг + ®х2 ”+' ®х3 + ^х4 + ^xs * 0’ 8xj + 5х2 4- 4х3 4- 7х4 + 2х3 = 0	26		Xj + 2хй + х3 - Зх4 -4- 2х&	0, 2xt + х2 Н" + х4 — Зх5 и 0, Xj + х2 + 2хэ + 2х4 — 2х5 ™ 0> 2х; + Эх2 - 5х3 - 17х4 4- 10х£ ™ 0
12	Эх-! 4- 7хг + 4х3 + 6х4 4- 6х5 = 0, 15xi + 30х2 + 7х3 + 8х4 4- Зх6 — 0, 9xj 4- 6х2 4- 5х3 4- 8х4 + 9х5 — 0, 6X1 4- 9х2 4- Зх3 4- 4х4 4- Зх& — 0	27		2хг + х2 - Зх3 - 7х4 - х5 — Oi. 3xj + 2х2 - 2х3 - 9х4 - х5 = 0, 2х| + Зх2 + х3 - 5х4 + 2х5 ^ 0, 3xj + х2 ” х3 — 8х4 — Зх5 = □
126
Окончание табл. 6
Ва- ри- ант	Система уравнений	Ва- ри : ант i	Система уравнений
13	х1 4- х% + Зх3 — 2х4 + Зх5 = 0, 2xj + 2х2 + 4х3 - х4 + Зх5 и 0, 3Xj + Зх2 4- 5х3 — 2х4 4- Зх6 = 0, 2.Г! 4- 2хг + 8ха ~ Зх4 + 9х5 — 0	28	Xi + 2хе - ха - 2х4 - Зх5 = 0, ЗХ] - Зх2 + 2х3 + 4х4 — 6х5 = 0, 3xj - 12х2 + х3 - Зх5 =’ 0, ?Xj + 11х2 + 2х3 + 2х4 = 0
14	2Xj + х2 + *з - 2х4 + 4х5 = 0, 13*! 4- 8х3 + 4х3 - Зх4 + 6х5 = 0, 5xt + 4х2 + 2ха - Зх4 + 6х5 — 0, 3Xj 4- 2хг 4- х3 - х4 + 2х5 = 0	29	X) - х2 - 6х3 + х4 + 2х5 = 0, Xj 4- х2 + х3 + х4 + 2х5 = 0, 4xj + х2 - 5х3 + Зх4 + 6х5 = 0, 2х! 4- Зх2 4- 4х3 4- Зх4 4- 6х£ = 0
15	2Х] + Зх2 4- х3 — 6х4 + 9х& — 0, х2 - 2х3 ч- 2х4 + Зх5 = 0, 2xt + х2 + 4х3 4- 2х4 + Зх5 = 0, 3xt + -2х% + 5х3 + 4х4 + 6х5  0	30	х^ - Зха + вх3 + Зх4 — Зхй = 0, 2х] - х2 + Зх3 + 4х4 - х5 = 0, 3xj - 4х2 4- 8х3 4- 7х4 - 4х5 0, 4Xj - 7х3 4- 14х3 + 10х4 ~ 7х5 = 0
ПРАКТИКУМ 2
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
Задания
1.	Дана линейная оболочка = R(alt ос2, а4), где
ctj = (1, 1, 1, 3), сс2 = (1, 2, 2, 5), а3 = (2, 1, —1, 2), ct4 = (2,1, 2, 5).
Выяснить, содержится ли линейная оболочка L2 = 2?(pi, Р2)
(табл. 1) в линейной оболочке Lp
2.	Найти систему линейных уравнений, подпространство
решений которой совпадает с линейной оболочкой системы
векторов ар а2, а3 (табл. 2).
3.	Найти ортогональный базис подпространства L, заданно-
го системой уравнений (табл, 3), и базис подпространства £х.
4.	Найти собственные значения и собственные векторы мат-
риц (табл. 4).
127
5.	Найти линейное преобразование неизвестных, приводя-
щее квадратичные формы, заданные своими матрицами
(табл. 5), к каноническому виду. Выяснить, является ли квад-
ратичная форма знакоопределенной.
блица I. Варианты задания 1
Вариант	Pj	₽2	Вариант	Pi	•	02
1	(2, 3, 0, 5)	(0,-1, 2, 1)	16	(5, 1,-4, 2)	1(4,-1, 1,4)
2	(3, 2, 1, 6)	(4, 1, 0, 5)	17	(1, 2, -5, -2)	(6, -3, -6, -3)
3	(3, 1, 3, 7)	(2,-3, 2, 1)	18	(1,3, 0, 4)	(2, 9, -7, 4)
4	(6,4,0,10)	(5, 0,1,6)	-	19	(1,6,-7,0)	(3, -7, 8, 4)
5	(3, 3, 2, 8)	(1. 0, 2, 3)	20	(2,4, 1, 7)	(5, -3, 9, 11}
6	(5, 4, -2, 7)	(0,4, -3, 1)	21	(2, -4, 5, 3)	(2, 11, -10, 3)
7	(2, 7, -3, 6)	(-1, 4. -5, —2)	22	(7, 0, 9, 16)	(2, 3, 3, 8)
8	(4, 5, -3, 6)	(5, 8, -5, 8)	23	(4, 1,3,9)	(5, 3,-5, 3}
9	(1, 2, -5, -2)	(1, 6, -8, -1)	24	(9, 11, -1, 19)	(7, -1,0, 6)
10	(3, 5, -5, 3)	(2, -1, 3, 4)	25	(6, 12, -7, 11)	(3, 1, 4, 8)
11 ।	(1,3,-3,1) ,	(4, 8, -6, 7)	।	26	(5, 2, 7, 14)	।	(12, 2, -5, 9)
12	(4, 5, -2, 7)	(3, 10, -6, 7)	27	(1, 3, 6, 10)	(2, 0, 5, 7)
13	(2, 8,-1,9)	(1, -5, 4, 0)	28	(1,-2,-1,-2)	(3, 5, “1, 6)
14	(3, 3, 3, 9)	(2, 3, -4, 1)	29	(-2,3,4, 1)	р 1 1
15	(1, 7, -2, 6)	(1,-4, -2, —5)	30	(1, -1, -4, -4)	(-4, 3, 11, 10)
Таблица 2. Варианты задания 2
Вариант	«1	«2	«3
1	(1,0,2, 1)	(2, 1, 2, 3)	(0, 1, -2, 1)
2	(1, 1, 1, И	(1,-1,-1, 1)	(2, 1, 1,3)
3	(1, —2, 2, 3)	(2, -3, 2, 4)	(2, 2, 1, 0)
4	(5,-2, -6,-1)	(2, 2, 1, 0)	(9,-2,-4, -1)
5	(1, -2, 2, -3)	(3, -5, 4, 1)	(1, -1, 0, 7)
6	(2, -3, 2, 4)	(4, -1, 3, 4)	(0, 5, -1, -4)
7	{6, —4, -4, -4)	(4, 0, -8, 2)	(1, —2, 2, -3)
8	(1, 1, 1, 2)	(1,2, 3,-2)	(1, —2, 1, 0)
9	।	(2,0, 4,-3)	(0, 4, 2, -3)	(23, 0, -21, -9)
10	(-1,6, 1.-3)	(1, 2, 5, -6)	(2, 0, 4, -3)
128
Окончание табл. 2
: Вариант	«1	(Xg	
11	(21, 0, -21, -10)	(1.1, 1.2}	(26, 5, -16, -4) ;
12	(2, -1, 2, 2)	(0, 3, 0, 2)	i	(-1, 8, -1, 4)	'
13	(2, 3, 5, -4)	(1, -1, 2, 3)	(3, 7, 8, -11)
14	(2.-1, 3.4)	(1, 2,-3, 1)	(5,-5,12,11)
15	!	(2, 2, 7, -1)	(	(3,-1, 2,4)	1	(5, 1, 9, 3)
16	(2, 1, -1. 1)	j	(1.2, 1,-1)	,	(1, -4, -5, 5)
17	(1, 2, 3, -4)	(2,—1,2,5)	1	(8, 1, 12, 2)
18	(2,-1,5,-4}	j	(2, 3, -4, 1}	(6, 1, 6, -7)
19	(8, -5, -6, 3)	(4,-1, -3, 2)	(4, -4, -3, 1)
! 20	(5,-3, 2, 4)	(2,-1,3, 5)	.	(4, -3, -5, -7)
21	(8, 7, 4, 5)	(3,2, 1,4)	(2, 3, 2, -3)
22	(2, -3, 4, -5)	(1,-2, 7,-8)	(3,-4, 1,-2)
23	(2, 3, 1, 2)	(2,5,1,1}	i	(2, 1, 1. 3)
24	(2, 3, 5, 6)	(3, 1, 1, 4)	(-1, 2, 4, 2)
. 25	(1, 2, 4, -3)	;	(2, 1,-1, 5)	1	(1, -1, -5, B)
26	(3, -5, 2, 4)	'	(7,-4, 1,3}		(-4,-1, 1, 1)
1 27	(1, 1, -1, 1)	(2, 3, —2, -3)	(2, 1, —2, -1)
28	(-7, -2, 5, -1)	(-9, 4, 5, 1)	(-3, -2, 5, -5)
29	(5, -3, -2, 3)	,	!	(1,1,-6, 7)	!	(1,-1, 1,-1)
30	(6, -6, -5, 1)	(12, 12,-1,-1) ।	(6, 10, 1, -1)
Таблица 3. Варианты задания 3
Ва- ри- ант	Система уравнений	Ва- ри- ант	Система уравнений
1	Xj + хг + 2x3 - Зх4 + Зх3 = 0, 4 X! + 2xs + 3x3 - 5x4 = 0	|	16	Xj х2 — ЗХд Зх4 ** 0, 1 —xL + 11х2 4- Зх3 - 7х4 + 10х5 ~ 0
2	f xt + x3 + x4 + 9xs — 0, j Xj 4- хй - x4 +- 6x6 = 0	17	[xj — Зхг + х3 — Зх4 -1- х3 = 0, 4 Xj + х2 + х4 + 5х3 = 0
1 3	Г 2xi + xz + 2x3 + 3x5 = 0, 1 3xj + 2хй + 4x3 - x4 + 9x3 = 0	18	X] + хй - х3 + х4 + 2х6 — 0, —X] + 2хй + х3 - 2х4 + х5 = 0
5 Сборник задач по высшей математике
129
Окончание табл. 3
Ва .ри- ант		- -	Система уравнений	Ва- ри ант	Система уравнений
. 4		[«! + х2 + х8 + 12х5 = 0, । х, - х2 _'Зх3 + 4х4 = 0	।	19	2х] - Хц + Ха + xi> ~ О’ 4-	- х4 — 2х5	0
5	<	Xj н- 4хг - 26х3 + х4 + х5 = 0, 5xj - 12ха + 22х3 + х4 - х5 = 0	20	1 Xj + х2 + х3 + х4 + х5 = 0, j jc j — 2х2 + 2х3 + х4 — 2х5 “ О
6		-3xj - 4х2 + х3 + х4 - 9х5 = 0, —Х| + х3 — х4 + Зхй = 0	21	5xj + 2х3 + 2х4 + х5 = 0, " -X] + Х2 + Зх3 - х5 - 0
7		*1 + Х3 - *4 “ 21*5 = 0» Xj + 4х2 - х3 - 9х4 + 9х5 — 0	22	2Х) + 2х2 - ха + х4 - хй = 0, 1 -Xj + 2х2 + 2х3 + х4 + х5 « 0
8	4	Xj +2х2 — х3 + х4 + 15х& =0, Xj + 4х2 — 5х3 - Х4 + Эхд “ 0	23 ।	Xj _р _ Хз + 2х4 +	= 0» —2Xj + хг +	- х5 — 0
9	4	Xj 4- 2х2 + х3 - 6х4 - 9xs = 0, 2xj + 5х2 + Зх3 - 16х4 - 28х5 = 0	24	1^н’ Н “* + + + я н “	1 + и и 8 + 1 2* N + £ 8 1 " i 11 О *
10	4	-4Xj + х2 “ 6х3 + 6х4 - 2хб = 0, -Зхг + х2 - 4х3 - х3 - 0	25	; Xj - 2х3 + х4 + х5 = 0т ’ -Xj + х2 - х3 - xs = 0
11	<	—3х1 + хг - 4х3 + 2х4 “ Эх5 = 0т Sx|  2х2 4-	Зх4 Н" 15xg. = 0	26	f~Xj + 2х2 + х3 + 2х4 + Х5*0, j X] - х2 + х3 + х4 * 0
12	р	Х1 - Зх2 + 5х3 + 4х4 - 12х5 = 0, -xj + х2 + Зх3 + х4 = 0	27	f 3xj - х2 + х3 - 2х4 - Зхб = 0,	। 15Xj - Зх2 + 2х3 - 5х4 - 6хй = 0
13 1		хг + х2 - х3 + х4 + х5 - 0, хг + х2 — х3 — 4х4 + хБ “ 0	।	28	5xj + Зх2 •+ 6х3 - х4 + 12х5 - 0, " Xj + х2 + 2х3 - х4 + 6х5 = 0
14 1		Xj + х2 + х3 - х4 - 2х5 = 0, xj — х2 — Зх3 — Зх4 = 0	29	f 7xj — 2х2 + Юх3 — 6х4 + Зх5 ~ 0, | Xj + 2х3 — 6х4 + х5 = 0
15		-Xj + Зх2 + х3 + х4 “ 0, 3xj Xi Ч- 2х3	2х4 И- хй = 0	30	2xj + Зх2 + х3 - 8х4 - 9х& = 0, Xj + Зх2 + 2ха - Юх4 - 18x5 ~ 0
130
Таблица 4. Варианты задания 4
Вариант	Матрица				Вариант	Матрица				
1	к	1111' 1 1-1-1 1 -1 1 -1 1-1-1 1 .			16			' 1 1 0 Р 10 11 1110 1 <10 11,		
2		( 0 1 1 о" 10 0 1 10 0 1 L о 1 io,			17			( 10 10^ 0 10 1 10 10 10 10 1;		
3	/	0 1 0 0 ' 10 0-1 -10 0 1 , 0 1 1 0 J			18		( > 0-11 11 -10 11 110-1 < 1 1-10;			
4		0 0 0 1 0 0 10 0 10 0 < 1 0 0 0 J			19		1-11 0 -110 1 10 1-1 < 0 1-11,			
5		1 0 0 Р 0 110 0 110 Л 001;			20		f' 0 1 -11 10 1-1 -11 0 1 <1-11 0 ;			
6		3 -1 0 0 > 110 0 3 0 5 -3 .4-13-1;			21		( -1 1 1 0 ' 1-10 1 10-11 < 0 1 1-1;			
7		1 -1-11' -11-11 -1-111 1 111,			22		1 1 -1 0 ' 110-1 -1 0 1 1 | 1 0 -1 1 1 ,			
8		< 1 1 1 Р 0 10 1 10 10 <1111;			23		' 0 1 1 1' 10-11 1-10 1 <-11 1 0 ;			
181
Окончание табл. 4
Вариант	Матрица					Вариант	Матрица			
9			( 0 1 1 1 ' 10 11 110 1 <1110;			24	f		1 1 -1 o' 1-10 1 10-11 o-i t i у	
10			/	А 1110 110 1 '10 11 1 0 1 1 1 >			25	1		O-l 1 1 ' 10-11 1-10 1 . 1 1-10,	
11		г 1 -1 -1 1 1 -11 1-1 -11 1-1 <1-1-11.				26			r 1011' 110 1 10 11 < 1 1 0 1 >	
12			1 1 1 1s 10 10 0 10 1 11111.			27		' 1-10-1 -10 10 0 11-1 <-10-10		7
13		( -1 1 1 -1' 1-1-1 1 1-1-1 1 <-11 1 -1,				28			( 1 1 0 0 s 10 10 0 111 < 0 0 0 1 .	
14		"10 2 -1 S 01 4 —2 • 2-10 1 1 <2-1-1 2 )				29		1-11-1 -11-11 1-11-1 <-11-11		J 
15			Г 0 10 1s 10 10 0 10 1 к 10 10.			30 '			1 1 1 -1s 010 1 | 10 10 kill 1	—
132
Таблица 5. Варианты задания 5
Вариант	Матрица				Вариант	Матрица		
1	1	2-10 -1 2 -1 0-11			16		( > 2 1-1 112 1-121,	
; 2		12-3 2 3 2 .-32-1,			I 17	Г	3 1 -2 1-2 4 -2 4 -1	J	;
3		( 12 0 2 0 3 1 03 3,			18		12 2^ 2 1 -2 2-2 1 ;	
4		7	> 3 2 1 2 5 3 1 132,			19	/	2 3-2 3 1 -2 -2 -2 3	/
5	/	4-3 2 -3 2 1 2 1-1			20	1	f	5 -4 -2 -4 5 2 -2 2 2	"1 7
6		( 3-2 2 -2 1 2 к 2 2 3 ,			21		( \ 3 2 1 2 12 t 1 2 1 }	
I 7		4 —2 -1 -2 3 1 -11 2			22		Г	> 1-2 2 -2 12 2 2 1 ,	
8		г	\ 5 1-1 14 2 . -1 2 1 J			23		г	. -1 2 -3 2 3 2 1 -3 2 -7 ;	
9		2 1-1 13 1 . -1 1 2 J			24		(	'i 2	3	1, j	3	5	2 ч	1	2	3 J	
133
Окончание табл. 5
Вариант	Матрица			Вариант	Матрица			
10		1 2 2 2 1 -2 2*2 1 к		25	(	1 -1 0 -1 2 -1 0-12		/
11		( \ 1 2 3 2 3 1 l311J		26		2 1 -1 13 1 .-и d		
12		S2O 2 4-2 0-2 5	1 1	27		12 1 2 3 1 U13;		
13	/ к	2 2-2 2 5-4 -2-4 5	)	. 28		г \ 2-10 -1 2 1 , 0 1 2)		
14 - 1		/ \ 2 1 3 1-12 И 2 1J		29		f	\ 1 2 1 2 5 0 11 0 1J		
15		( А 1 2 1 212 U23J		30		-1 2 1 2 12 .12-ь		
математический анализ
10.	ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
10.1.	Функциональная зависимость
и способы ее представления
Если некоторому числу х из множества X поставлено в соответствие
согласно некоторому правилу / единственное число у — f(x), то говорят,
что на множестве X задана функциональная зависимость или функ-
ция. При этом величину у называют зависимой переменной, а величину
х — независимой переменной или аргументом. Множество X называют
областью определения функции и обозначают D(f) — X, а множество чи-
сел у = f(x) объединяют в множество У и называют множеством значе-
ний функции. Это множество обозначают также E(f) ~ Y.
Наиболее распространены следующие способы задания функции:
формульный, Или аналитический, логический, или словесный, таблич-
ный, а также графический.
Область определения и множество значений аналитически за-
данных функций являются подмножествами множества действитель-
ных чисел.
Если функция задана таблично, то область определения и мно-
жество значений функции представляют собой конечное множество зна-
чений аргумента и соответствующих им значений функции.
Логические функциональные зависимости в различных частях
области определения задаются различными формульными соотноше-
ниями.
Функция называется четной., если она задана на симметричном от-
носительно начала координат промежутке и если ft—х) = ftx), и нечет-
ной, если f(-x) = — ftx).
Для того чтобы установить четность или нечетность функции, требу-
ется определить, является ли область определения функции интерва-
лом, симметричным относительно начала координат, и выполняется ли
одно из условий: ft—х) = ftx) или ft—х) = —ftx).
Функция называется периодической с периодом Г, если ftx) = ftx + Tn),
ntZ.
135
Найти область определения и множество значений функ-
ции:
10.1.	у - 716-х2 .
Решение. Учитывая, что подкоренное выражение должно быть не отрица-
тельным, получаем
D(f) = {х | 16 - х2 0} - (х | г е [-4; 4]}.
Для нахождения множества значений заметим, что арифметический корень
всегда не отрицателен, т.е. у > 0; с другой стороны, у достигает своего наиболь-
шего значения, когда х — 0, у — ,/16 — 4, следовательно,
ЖП - {у 1 у € £0; 41).
10.2.	Фирма «Алые паруса», выпускающая компьютер-
ную технику, провела опрос дилеров и получила следующие
сведения о спросе Q на свою продукцию в зависимости от
цены Р:
Р, тыс. руб.	1,7	1,9	2,0	2,1
тыс. шт.	27	25	19	9
Решение. Область определения данной функции — значения Р, множество
значений — величины Q.
10.3.	Величина подоходного налога h с физического лица в
зависимости от его годового дохода q представлена функцией
А(<7):
Годовой доход тыс, руб.	Величина налога Л(д). тыс. руб.
0 < q < 12,0	h(g) = 0,12g
12,001 < q С 24,0	Л(д) = 1,44 + 0,2g
24,001 С q < 36,0	ft(g)- 3,04 + 0,25g
36,001 < 9 < 48,0	Л(д) - 6,04 + 0,3g
48,001 < q < 60,0	h(g) = 10,24 + 0,35g
60,001 < q	Л(д) - 14,44 + 0,4g
Решение. Область определения и множестве значений этой функции — все
положительные действительные числа.
136
Определить множества значений х, удовлетворяющих нера-
венствам:
10,4.	И < 9-	10.5. х2 < 9.
10.7.	(|х - 2| + 3) (|х| - 2) < О.
10.9.	х2 - 10х + 16 < О.
10.11.	(х 4- З)2 < 4.
10.13.	(2х + 7)(х - 2) > О.
10.6. х2 > 4.
10.8. х2 + 5х - 6 > О.
10.10. х - Зх2 > О.
10.12. -Зх2 < 48.
Найти области определения функций, заданных форму-
лам и;
10.14.	Ях) = 74-х2 . 10.15. /(х) - 7^5 + 7^ .
10.16.	Ях) -	*	. 10.17. Ях) = —.
7х2 — 5х	х- J2x2 - 9
10.18.	f(x) = 7х2 + 10х + 16 . 10.19. /(х) = 7х-3 + 75-х .
10.20.	/(х) = 74 - 5х + 3 arccos 2^+3	ю,21. /(х) = ^-^4 
6х	5х+ 3
1
10.22.	Ях) - зТг2 + ах-15 , Ю.23. /(х) = 5Х + 2 .
10.24.	Ях) - log2(2 - х) + 2 logx5. 10.25. /(х) = 1о*5<х2 + 4*)
725 - х2
10.26.	Ях) = —Qtg  ----, если х G [—л; л].
Зх-* - 2х - 1
10.27.	/(х) = log0r5log3x. 10.28. /(х) = log3 (х2 + 2х - 8).
10.29.	Дх) - logx + у (3 + 5х - 2х2).
2х
Найти множество значений функций:
10.30.	/(х) = |х + 1| - 3. 10.31. f(x) = 79 - X3 .
10.32.	Ях) =	- 10.33. Ях) = 5 + 4х - х2.
10.34.	Ях) = 3*г + 4*"12 . 10.35. Ях) = logo,5 (х - 2)-
10.36.	Ях) = 5~Л** + * .
137
10.37, /(х) =
X + 2,	если О х < 3,
№ + 10.г — 16, если 3 < х < 8.
10.38.	fix) = 2 — cos х.
10,39.	Показать, что /(х) = V16 — х4 — четная функция.
Решение. Действительно, область определения функции 16 - х4. > 0 =>
=* (4 + х2)(2 - х)(2 + х) > 0 => х £ [-2; 2] — отрезок, симметрично расположенный
относительно начала координат, и условие /"(—х) = и/16 - Fx)4 - 716-х4 - f(x)
выполняется. Следовательно, /(х) — 716 — х4 — четная функция.
10.40.	Определить, четная или нечетная функция
7(х) = >/х4- 13х2+ 36 :
а)	в области определения; б) на полуотрезке [—2 ; °°)-
Решение- а) Найдем область определения функции ftx) ~ 7х4-13х2 + 36:
1ХП = {х | х4 - 13х2 + 36 > 0}	(х2 - 4Кх2 - 9) > 0 => (х + 3)(х + 2)(х - 2)(х - 3) > 0=>
=? £>(/) — {х е “3] U [—2; 2] и [3; °0)} — интервал симметричен; условие
/(“х) = 7(—- 13{-х)2 + 36 = а/х4 - 13х2 + 36 = ftx) выполняется, Следователь-
но, в области определения функция четная.
б)	Если х 6 [-2; °°), функция ftx) = Vx4 - 13х2 + 36 не является ни четнойр
ни нечеткой, так как полуотрезок [-2; оо) не симметричен относительно начала
координат и условие ft-х) = ftx) выполняется не для всех х, для которых сущест-
вует данная функция.
Установить четность или нечетность функции:
10.41.	/(х) — cos 2х + xsin х.
10.43.	/(х) = |х + 1| + 2.
/ 1 уг2
10.45.	/(х) = ( |] .
\О/
10.47.	/(х) = log2 (х2 — 4),
10.49.	у = х2 - х.
10.42.	/(х) = x2sin Зх.
10.44.	/(х) = |х] - 3.
10.46.	Дх) = 3|х| - 5 л/х4 .
1
10.48.	/(х) = 5 х .
10.50. у - 5жх.
Найти основные периоды функций:
10.51.	f(x) = sin 4х.	10.52. /“(х) = cos2 Зх.
10.53.	f(x) = 1g cos 2х.	10.54. /(х) = |соа 2х].
10.55.	/(х) - sin 2х + cos Зх.
Указание. Основной период функции, приведенной в задаче 10.55, есть
наименьшее общее кратное чисел я/2 и п/3.
138
10.2. Элементарные функции.
Преобразование графиков функций
Основные элементарные функции:
а) степенная: у = хл, п € Я;
б) логарифмическая: у = loga xt а > О, а * 1,
W) = {х | х > О}, E(f) = {у \y€R};
в) показательная: у — о1, а > О, а * 1,
O(f) = {х I х € К), E(f) = {у | у > О};
г) тригонометрические: у = sin х» у = cos х, у — tg х, у = ctg х;
д) обратные тригонометрические: у ~= arcsin х, у = arccos х, у = arctg х,
у = arcctg х.
Показательные и логарифмические функции находят применение в
финансовых вычислениях. Большинство банковских операций состоит
в выдаче денег «в рост» или «под процент». Наращенный (конечный)
капитал 5К вычисляется по формулам
SK=SH(1 Ч-ni)	(10.1)
или
SK = Sa (1 4- 0л.	(10.2)
где <SH — начальный капитал;
п •— период начисления процентов;
I — процентная ставка.
По формуле (10.1) начисляют простые проценты, по. формуле
(10.2) — сложные. В формуле (10.1) используется линейная зависи-
мость, в формуле (10,2) — показательная.
Множество точек плоскости с координатами (х, /(х)) называется гра-
фиком функции у *= 7(х). Для построения графиков функций используют
следующие приемы: построение по точкам; действия с графиками (сло-
жение» вычитание, умножение на число); преобразование графика
(сдвиг, растяжение и сжатие по осям). Так, например, если известен гра-
фик функции у — Дх), можно построить графики функций:
1) у == /(х — а) — сдвиг графика функции у = /(х) по оси Ох;
2) у = /(х) + b — сдвиг графика функции у — /(х) по оси Оу;
3) у = /(ах) — растяжение или сжатие графика у = Дх) по оси Ох;
4) у — с/(х) — растяжение или сжатие по оси Оу;
5) у — ДЩ) — график совпадает с графиком у -= /(х) для х > 0 и явля-
ется его симметричным отображением относительно осн Оу для х < О;
6) у = }f(x)f — график совпадает с графиком у = /"(х), если у = /(х) > О,
и является его симметричным отображением относительно оси Ох, если
fOO < 0.
139
10.56.	Пусть вклад £>ц помещен в банк под годовую процент-
ную ставку i. Требуется выяснить, сколько лет должен проле-
жать вклад в банке, чтобы наращенная по сложным процентам
сумма составила величину £>к.
Решение. Логарифмируя обе части формулы (10.2), получаем
lgSK = lg S„ + nlg(l + t),
откуда
л
lg(l+O '
10.57.	Сбербанк начисляет ежемесячно по сложной Про-
центной ставке (с капитализацией накоплений) 24% годовых.
Определить сумму вклада после 8 месяцев хранения, если пер-
воначальный вклад составил 360 руб.
Решение.
= SH 1 4-
i А8
12>
/ Л
= 360 1 +	- 360  1,028 = 421,8.
I 12 )

10.58.	Построить график функции
у = |2(х - I)2 - 4|х - 1| -1б| + 3.
Решение. Вначале построим график функции у ” х2 - 2х - 8. Известно, что
это парабола с вершиной в точке х0 = -
= 1; у0 = I2 - 2  1 — 8 = —9.
& * JL
Точки пересечения параболы с осями координат находим из условий: 1) у = 0;
х2 - 2х - 8 = О => Xj -2; х2 = 4; 2) х = 0; у == -8. График этой параболы приведен
на рис. 10.1, о.
График параболы у = (х - I)2 - 2(х - 1) - 8 получим, сместив на единицу
вправо по оси Ох график функции у — х2 - 2х —8 (рис. 10-1, б). График параболы
у = 2(х - I)2 — 4(х - 1) — 16 получим путем «растяжения» параболы у = (х - I)2 -
— 2(х - 1) - 8 по оси Оу (рис. 10.1, в).
Рис. 10.1
140
График функции у = 2(х - I)2 - 4jr - 1| - 16 совпадает с графиком
у = 2(х - I}2 - 4(х - 1) - 16 для всех х > О, а в случае х < 0 график симмет-
ричен относительно оси Оу (рис. 10.2, а). На рис. 10.2, б приведен график
функции у = |2(х - I)2 - 4|х “ 1[ - 16|, а на рис. 10.2, в — график функции
у - |2(х - I)2 - 4|х - 11 -16| + 3.
Построить графики функций:
10.59.	у - 2х + 8. 10.60. у = |х - 2. 10.61. у = |2х - 1|.
10.62.	у » -3[х - 2\. 10.63. у = 2|х| - 3. 10.64. у = 2|х| - 2х.
10.65.	у = х2 - 5х + 6. 10.66. у = (х - 5)2 - 5(х - 5) + 6.
10.67.	у = -2(х - 5)2 + 10(х - 5) - 12.
10.68.	у = х2 - 5|х| + 6. 10.69. у = (х2 - 5|х| + 6| - 2.
10.70.	у = л[х-~2 . 10.71. у = 72-Зх. 10.72. у == i + 1.
10.73.	у =	- - 2.	10.74.	у = Д + 2.	10.75. у =	.
*	х	*	|х|	№	х+1
10.76.	у =	Зх+2.	10.77.	у = 3 * + 1.	10.78. у = ЗН+2.
10.79.	у -	log2 (х	- 1).	10.80.	у = 2 log2 (х + 1).
10.81.	у = 2|log2 |х - 1||.	10.82. у = log05 |2 - Зх|.
10.83.	у = sin Зх. 10.84. у = 2 sin (Зх - 1) + 1.
10.85.	Построить график таблично заданной функции:
Цена пачки сигарет, руб.	2	3	3,5	4	5	6	7
Количество про да иных задень пачек сигарет, шт.	70	65	63	60	60	50	25 s	
141
11. ПРЕДЕЛЫ
11.1.	Числовые последовательности и пределы
Функция натурального аргумента /г, заданная на множестве -7V, на-
зывается числовой последовательностью хп = f(ri) и обозначается {хп}.
Число а называется пределом последовательности (хл), если V е> О
3 JVp такое, что при л >	— а] < £. Это обозначается следующим
образом: liin хп = а или хл —> а при п —>
-* Ort
Последовательность {«„.} называется бесконечно малой, если ее пре-
дел равен нулю. Последовательность {хп} называется ограниченной свер-
ху (снизу), если 3 К € Ц (3 JTj £ 72), такое, что V л: xn < JE" (хл > A"i)-
Если последовательность ограничена сверху и снизу, она называется
ограниченной: {хд} G [7Cj, KJ-
Свойства бесконечно малых:
1.	Сумма бесконечно малых является бесконечно майой.
2.	Произведение бесконечно малой на величину ограниченную явля-
ется бесконечно малой.
Величина, обратная бесконечно малой, называется бесконечно боль-
шой, т.е- хЛ = l/ocft — бесконечно большая величина.
Предел бесконечно большой величины обозначается +оо(оо) или
Бесконечно большие величины могут и не иметь определенного предела.
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходя-
щейся,	•- -
Алгебраическими композициями последовательностей {*„), {уп} назы-
ваются последовательности {zn} вида хп + уп, хп ~ уп, хл  уп> хп/уп*
п — 1, 2, ...
Если последовательности {хл} и {ул} имеют конечные пределы а и Ь,
то последовательность {гд} имеет пределы а + b, а — £?, а;Ь, а/b (Ь * О)
соответственно.
В случае когда последовательности {хл}, {t/^} являются бесконечно
большими или бесконечно малыми, могут возникать неопределенности
вида оо—со (разность бесконечно больших), О  00 (произведение беско-
нечно малой и бесконечно большой), 5 , Ц (отношения бесконечно ма-
лых и бесконечно больших).
Найти пределы последовательностей при п
11.1. Jn + 3 “ Vn - 3 .
Решение. Преобразуем выражение путем умножения на сопряженное и пе-
рейдем к пределу:
lim +	""	— 3)(*/п + 3 + а/п — 3) = jjш  rt + 3 — п + 3	_
л — ™	Jn + 3 +	- 3	n — “ Vrt + 3 + ./л-З
= lim	6—=0.
«  ’ °° Jn + 3 +	— 3
142
112 (Зп + 2)1™
(Зп-1)98(л + 2)2 '
Решение. Вынесем за скобки в числителе и знаменателе члены, содержащие
переменную, и перейдем к пределу;
3100га1ОТ(1 +А-1
J,	\	м Д/
Л (Xj	/	1 \ О В	О\ 2
3в8п100[ 1 _ *1	1 + В1
V 3?v k /V
z 9 \ 10(1
[l+-A|
1- n	3n^
h m 9-------------------
. I \98Г1 2>2
1 - 5—	1 + -
V зга,/ v n)
= 9.
11.3. а) -2— ;
л -h 1
11.4. 1 + (-1)".
11.6. Jn2 + п + 1 — Jn2 - П .
11.5. V-Гэп - п.
11	1 + 2 +	+ л _ п
' и+2 '	2
11.8. Jn2 + 1 - Jn2 -4п .
11.9.
1 + 3 + ... + (2л- 1)
п + 3
- п.
11.10. 1 ~10" .
1 + 10п+1
11.12.	(1 + 3*Р°°
(Зя - 2)97(л + 2)3
11.11. <^й1)5°-
(2л- 1)48(п + 2)2
11.13.
(2 л + 3)Э8(2 л - 1 )2
(2л + 4)100
11.14. Дана последовательность хп
1
2*
п = О, 1, 2, ...
Определить номер члена последовательности п, начиная с
которого величина хп станет и будет оставаться; а) меньше дан-
ного положительного числа е; б) меньше 0,001.
Решение. Составим неравенства:
а) А. С е;	б) А < 10-я.
2«	2"
Прологарифмируем эти выражения:
-га 1g 2 С 1g е,
Умножим на —1:
-nig2 -з 1g 10 = -з.
п 1g 2 > -1g Е = lg - ,
Е
п lg 2 3.
Откуда
lgl
" * 1g 2 ’
п > S , т.е. п = 10.
lg^2 0,3
11.15. Дана последовательность хп = -3“л, п = 0, 1, 2, ...
Начиная с какого п модуль переменной хп станет и будет
оставаться меньше 0,0001?
143
11.16.	Определить номер члена последовательности н, начи-
ная с которого модуль разности хл - 2, п = 0, 1, 2.станет
и будет оставаться: а) меньше данного положительного числа е,
б) меньше 0,001, если
11.17.	Определить предел а последовательности хп = ---
п
и номер члена последовательности, начиная с которого
|хл - а| < 0,05.
11.18.	Определить предел а последовательности
_ 5n2 +1
"	7л2-3
и номер члена последовательности, начиная с которого
- а| < 0,005.
11.2.	Первый и второй замечательные пределы
Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге, вы-
раженной в радианах, называется переылс замечательным пределом.
Этот предел равен единице:
п — со
Предел последовательности 1 + - при я —>	называется вторым
\	71/	<,
замечательным пределом. Этот предел равен числу е:
/ г\п
lim [1 + -1 = е = 2,7182...
п —• оо \	Л/
Положив ал = L/п, получим
1
lim (1 + ап)а" = е.
«п-о
Найти пределы:
-«ч ш у V sin 3otn
11.19. a) lim --------- ;
а„ о Ctn
6) lim -------£
“* 0 an
11.20. a) lim ;
a"-°
6) lim ------—- .
aa - 0 «„ctg an
144
11.21. а)	lim" a„-o	1 - cos an t 2	’	
11.22. а)	lim	sin 3an	
	aa ”* 0	7«,. + з-7з	
11.23. а)	lim Л —* co	Ц-- ;	
11.24. а)	lim n. — ™	V 2nJ ’	
11.25. а)	lim rt -* co	f n V  kn + 2/	
11.26. а)	lim n —1 oo	n(ln (n + 3) -	In n);
11.27. а)	lim n ->00 %	n[ln n “ In (n	+ 2)];
		1 — ctn	
11.28. а)	lim	(1-4%) art	J
11,29* lim Г~ д —► гю \ П1		2	n — 3 Л2	Л2	Г|
11.30. lim n—oo\5n+7 4+5n3>			*
11.31. а)	lim n co	2И + 3Л , 2’“3’ *	
_	1 - cos 2ot_
6) lim ...... ... - ” .
«„-0 aBsina„-
6) lim tg ~ Sln °" .
f 11
6) lim Г1 + -1 .
д —► OO \
/ о \n+2
6) lim fl-Л] .
' «Л 4 nJ
/' ixZ/i
6) lim j - |	.
П “* oo \ л + 17
n
6) lim (”zJT|2 e
JI oo X 7
6) lim (M2” ,
n —* oo \3n + 1J
lim
n — OO
2n- lX2n
2n + 1/
6) Hm 3;^ .
a„ - o «„71 + an -1
11.3. Предел функции
Предельной точкой сгущения множества А называется точка х0, если
в любой окрестности этой точки найдутся точки множества, отличные
от х0.
Определение предела по Коши. Функция у = /(х), определенная в А,
имеет предел С в точке сгущения х0, если V е> О 2 8 > О, такое, что
V х € (х0 - 8, х0) и (х0, х0 + 8) =? f(x) е (С - е, С 4- е>.
Существование предела записывают в. виде
lim Дх) С
х *х0
или
О < }х - Xq| < 8	|/(х) - С| < е.
145
Определение предела по Гейне. Если для различных последователь-
ностей {хл}, стремящихся к х0, последовательность значений функции
(Л^п)} сходится к некоторому числу С, то это число называется пределом
функции /(х).
Переменная х может стремиться к х0, оставаясь меньше х0, что за-
писывается в виде х —» х0 - О, или оставаясь больше х0, что записывается
в виде х —> х0 4- О,
Предел lira f(x) = С' называется пределом функции f(x) при х,
х — ж0 - о
стремящемся к xq слева, а предел lim f(x) = С" — пределом функции
х — х0 + О
/(х) при х, стремящемся к х0 справа.
При вычислении пределов функций, так же как и при вычислении
пределов последовательностей, часто приходится рассматривать различ-
ного вида неопределенности.
Найти пределы:
в) lim
х —* 2
х2 - 4
х2 + х — 6
б)
11.34, а)
11.35. а)
Inn л---;
х — 1 Ъ/х - 1
Нт	-1
х — °° 2х2 - 4х
в) lim Зх+ 1 .
х - со 7х + 3/^
11.36.	Ит	+ Зж) ~ ф
11.37.	Кт г~СО6Ж
х -* 0 х(-/Г+х - 1)
11.38.
Ит (2х - 3)2°(3х+2)зр
Г —се (2х+1)е0
11.39.	Ит 1)<ж-2)<х-3Мж-4)(х~- 5) .
' X — оо	(5х - I)5
1 __________________
11.40,	a) lim \ 5x2 + 4х |; б) lim (л/ж - 2 — Jx).
X — оо \ 1 — X2	/	X —
11.41.	a) lim f 3x4 - - Зх1; б) Ит	.
х-оЛ1-2х4	J	х-о X
х — о
146
11.42. a) lim —=----------;
* -* о Jl + 2x - 1
6) lim 3x4 2 _
x —’ 00 Vх® + 3x + 4
11.43. a)
X 00	2 — <>s
11.44. lim x(ln (2 + x) — In x).
x — CO
11.45.
Если а(х) и р(х) — бесконечно малые функции и
11.4. Сравнение бесконечно малых функций
Функция а(х) называется бесконечно малой функцией при х х0,
если ее предел равен нулю.
lim &т~ = О, то
х-х0 а(х)
функция Р(х) называется бесконечно малой функцией высшего порядка
малости относительно ct(x), что записывается в виде (5 = c(ct).
Если lim	= А (отличное от нуля конечное число), то Р(х) на-
х-хоа^г)
зывается бесконечно малой функцией k-го порядка малости относи-
тельно а(х).
Если lim = 1, то р(х) и а(х) называются эквивалентными бес-
х х0 <х(х)
конечно малыми функциями-. Р(х) и(х).		;
Определить порядок малости функции р(х) относительно
ос(х) = х при х —> О:
11.46.	р(х) = 1 - cos х.
Решение. Обе функции являются бесконечно малыми при х —> О:
2sin^ —
lim == Цщ 2—CQ5 x	lim ------ =“ lim sin — = 0.
x-oct(x) rt ^o x	x->o	x -o 2
Таким образом, функция J3(x) есть функция высшего порядка малости отно-
сительно а(х) = х.
Так как
ци Ж - Шп - 1
х-0а2(х) х — о х2 2
то функция Р(х) = 1 — сое х есть бесконечно мнлая функция второго порядна ма-
лости относительно а(дс) — х при х —> 0.	'	<
147;
11.47.	0(х) = sin х “ tg x.
11.48.	0(x) = sin 2x - 2 sin x.
11.49.	P(x) = sin (7x+ 2 - J2 ).
11.50.	P(x) = 3 sin3x - x4.
Сравнить бесконечно малые функции при х —> 0:
11,51.	<х(х) — x2sin2 х, fJ(x) = х tg х.
11.52.	сх(х) - 2Z- 1, р(х) = х In 2.
11.53.	ос(х) = х sin2 х, 3(х) = 2х sin х.
11.5. Непрерывность функций. Разрывные функции
Функция /(х) называется непрерывной в точке х0, если эта функция
определена в некоторой окрестности точки х0 и существует предел
lim f(x), равный f(x0).
х -
Если при каком-либо значении х0 не выполняются указанные усло-
вия, то точка х0 называется точкой разрыва функции /(х).
Если функция непрерывна в каждой точке некоторого промежутка,
то она непрерывна на этом промежутке.
Различают точки разрыва I и II рода. Точка х0 называется точкой
разрыва I рода, если для нее существуют конечные пределы
f(x0 - 0) = lim /(х) и f(x0 + 0) = lim /(х)
х — х0 ~ 0	х —' + 0
и они не равны между собой. Все остальные точки разрыва носят назва-
ние точек разрыва II рода.
Если /(xq — 0) = f(xq + 0), то точка разрыва х0 называется устранимой.
Если выполняется равенство f(x0 — 0) = f(x0), то говорят, что функция
/(х) непрерывна слева в точке х0. Аналогично, если /(х0 + 0) = Дх0), то
функция непрерывна справа в точке х0.
Исследовать на непрерывность и изобразить графически
функции:
11.54.	у =	.	11.55. у = |х|.
ЛГ “ Ч:
11.56,	а) у = - - ; б) у = tg х. 11.57. у = х - |х|.
X
1 1
11.58.	а) у = 3х"3;	б)у=1-Зх; в)у = 3-1*1.
148
12. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ
12.1.	Правила дифференцирования.
Вычисление производных
Производной функции у ~ f(x) в точке х0 (обозначается у'(х0) или
называется предел отношения приращения функции в этой точке
Ду ** Дх0 + Дх) - f(Xo) к приращению аргумента Дх при Дх —> 0, если этот
предел существует:
у'(х0) - Hm	.
Дх о	Дх
Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Таблица основных производных:
1)	у == С,	у' = 0;	6)	у	=	cos х,	yf	= -sin	х;
2)	у = хл,	у'- nxn-1;	7)	у	—	tg х,	г/—L-;
coszx
3)	у = <г*,	y' = «-rlno;	8)y	=	ctgx,
у ех,	у' - ех;	9)	у	=*	arcsin	х,	у' = - -1- - ;
71^2
4)у = 1оёйх, у' =	= _L- ; 10) у = arecos х, у" = -L ;
X X In Q	Л?
у ” In х, y'-l;	11) у = aretg x, у' - -J— ;
x	1 + X2
5) у = sin x, у7 = cos x;	12) у = arcctg x, y' = -—?— .
1 + x2
Правила дифференцирования:
1) (и + v — w)' ~ и' + o' - и/;
2) ,(u * v)' — u'v + ui/;
3)Г“Т~	(o^O);
4) Если функция и = <p(x) дифференцируема в точке. х0, а функция
у f(u) дифференцируема в точке н0 = <р(х0), то сложная функция
У — Яф(^)) дифференцируема в точке х0, при этом y\xQ) = y„(u0) и^о)-
12.1.	Найти производную функции у = Jx + 2 в точке х ив
точке х0 = 2.
Решение. Найдем приращение функции Ду, обусловлена эе приращением
аргумента Дх:
Ду = Л* + Л*) ~ /(я) 7(х + Дх) + 2 - 4х + 2 .
149
Затем составим отношение
Ау _ Ух + Ах +2 - Jx +2
Дх	Ах
Найдем предел этого отношения при Ах —> 0:
Цт = lim Ух + Ах + 2 ~Ух + 2 „ (0) =
дх — оДх дх — о	Ах	(0)
Нт (^ж-+ Дж +	+2)(«/*+• Ах + 2 + Ух + 2) —	х + Дх + 2 -- х - 2
Д* —о	Дх( Ух + Дх + 2 + Ух+ 2)	Лх -»о Дх{ Ух + Дх + 2 + Ух + 2 }
- Нт •-^—..........--	 =	/• -, .
л*“* о Ух + Дх + 2 + Ух + 2	2 Ух + 2
Таким образом, производная функции у Ух + 2 в произвольной точке х равна
/(*) “
1
зУхТз
Производная в заданной точке х0 равна
у'(х0) “
1
2Ух0+2 *
При Xq == 2
У'(2) =
1 _ 1
2^2 + 2	4 ’
Используя определение производной, найти производные
функций в точке х:
12.2.	у	=	2х.	12.3.	у = 5х3.	12.4. у = Ur.
12.5.	у	~	sin х.	12.6. у = cos 2х.	12.7. у = sin .
А
12.8.	у	=	loge х.	12.9. у = -~L= .	12.10. у = Jz~x2 .
л/Х + 1
12.11.	y -	.	12.12. у = 3х.
у 2-Зх	9
12.13.	Используя таблицу производных и правила диффе-
ренцирования, найти производные функций в точке х:
а)	у = 5 4- 7х2 “	4- х2 + 3х — log2 х + cos х + ctg х;
Ух 2-х
б)	у — х2 In х;
в)	У = logf (5х - 3).
150
Решение.
а} у' = (5 + 7х2 -	4- —-— + 3х — log2 дг + cqs х + ctg х)' — (5)' + (7x2)z -
7х
IV
5х 2
+ (х2)' (% ~.х) ~ (2 - хГх2
(2-х)2
4 (3*у - (log,, x)z + (cos х/ + (ctg х)" =
- О - 7 2х ™ Z5 1 + -g1  (	+ Зл In 3 -	- sin х - —1— -
(2 - г)2	х	sin2x
— 14х -и —. + —	-4- 3х In 3 - —А— - sin х - ,—к
2хJx	(2 - х)2	х 1 п 2	sin2х
б) у' - (х2 1п х)' = (х2/1п х хй(1п х/ = 2х In х -г х2А = 2х In х + х =
X
= х(1п х3 -F 1) = х 1п(ех3).
в) Данная функция является сложной функцией у — где u — lQg£(5x — 3)
и и = 5х — 3. Таким образом, у u3(u), где u logs и и и ~ ох - 3.
В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции
,.1	1	15 1og^(5x-3)
---- •' 5 = 3 log^ (ox - 3)----— h 5 = -----—-----.
* у In 2	S2V (5x-3)ln2	(5x™3)ln2
Найти производные функций:
12.14,	у = 2х7 - 5х2 + 2 Jx + 1.	12,15. у = Л •
х2
12.16,	у = (х2 - Зх + 1) - 2Г. 12.17. у=\[х In х.
12.18.	у = -	+ -х^/х2 . 12.19. у = Зх2 In х - х2.
а 3	8	*
12.20.	у = 32х • 2"'3х. 12.21. у = х2 sin х. 12.22. у = 4х tg х.
12.23.	у = V* * 3*. 12.24. у = х3 arcsin х.
12.25.	у = °7х log2 х. 12.26. у = arcsin х + arccos х.
12.27.	у =	. 12.28. у	. 12.29. у =	.
X2 -, 1	tg X COS X	7х + 1
12.30.	у = c°s х . 12.31.1/ = 1±®:. 12.32. у =	.
1 + 2 sin х	I-e*	1 -t- х2
12.33. у = ,2 sip х . 12.34. у =	- atctg х.
У 1 - COS X	1 + X2
12,35.	у = J1 - х2 . 12.36. у = sin % .
12.37.	у = Зх arctg х - 1 arctg .
о 0	- О
12.38.	у = Jx arcsin Jx + л/1 — х .
151
12.39.	у ~ In tg ^±2 . 12.40. y in /All!.
4	Vl + xz
12.41.	у = sin 2x — cos2 x.
12.42.	у = 1 tg2 2x + 1 tg3 2x + 1 tg 2x.
z	о	a
12.43.	у = л/Зх + cos Зх . 12.44. у = sin8 £ .
8
12.45.	у = In (x +	Tx2’-3). 12.46. у = In	.
12.47.	у = 3cosZjc .	12.48. у = In 2sin2x.
12.49.	у — A arctg	A . 12.50. у = -A_ arcsin ~ .
Л	л	&Л	л
12.51.	у = In In x. 12.52. у = A In .
2a a2 - x2
„2	i—
12.53.	у = In ~ - - g . 12.54. у = x In x + arcsin Jx.
1 -xz
12.55.	у = In (3x2 + Jsx^+l). 12.56. у - A arcsin J2x.
Л
12.57.	у = i(x71 - X2 + arcsin x).
£
12.58.	у = 1 e*2(sin 2x + cos 2x). 12.59. i/ = JA(ln x - 1).
12.60.	у = J sin3 x2. 12.61. у = tg3 J.
6	3
12.62. у = _A-------- . 12,63. у = 23*2 + In sin x.
11 + cos - I
12.64. у =	- 12.65. у — In sin (3x + 2).
12.66. у =	. 12.67. у ~ arcsin J2x + 1 .
X “ d
12.68. у “ In arctg a/1 + x2 . 12.69. у ~ з11пьз1П ~х .
V 5
При нахождении производных степенно-показательных и некоторых
алгебраических функций полезно бывает предварительно прологариф-
мировать функцию.
152
12.70.	Н*.йти производные функций:
а)	у = (arcsin х)*г; б) у = ^х + 2)3 ^5 - 3 .
(4 - х)2 2х
Решение, Прологарифмируем заданные функции, а затем найдем их произ-
водные:
a)	In у = № In arcsin х; (In у)' = (х2 In arcsin х)',
откуда
%- — 2х In arcsin х + х2---~------- — — ;
у	arcsin х _ xz
х2 1
2х In arcsin х + ---..... 
arcsin х /т_
у' — (arcsin х)х<!
б)	In у = 3 In (Зх + 2) + 1 in (2х - 3) - 2 in (4 ~ х) - | In (х3 - 2х);
4	d
/ =	3	-3+1	2	- ?	- - 3x2 2 
у Зх + 2	2 2х-3	4-х	Зх3-2х’
и1- (Зх±2}3/2х-3 ( 9	1_	2 _ Зха-2 >
” (4-х)2 ’Л3~2х^3х+2 2х"3 4“* 3(х3-2х)>
Найти производные функций:
12.71.	у = xarct* г. 12.72. у = (Зх2 + Зх - 1)*.
12.73.	у = (х + 1)1п Л 12.74. у =
2х 1/4 х + 1
(2х- I)3 Vx3 + 2
12 75 и - С*2 ~ х)3 arcsin &
х4(Зх + 2)
12.2. Производные высших порядков
Производной второго порядка функции у == Цх) называется произ-
водная от ее производной, т.е.
lim Г(* + Д*)-Г(«) = Г(х).
Дх — О	Дх
Такой предел, если он существует, называют второй производной.
Аналогично производную от второй производной называют про из в о с?
ной третьего порядка или третьей производной.
В общем случае производной п го порядка называется производная
от производной (л — 1)-го порядка:	Производные второго,
третьего и более высоких порядков вычисляются последовательным
дифференцированием данной функции.
153
12.76.	Найти производную у'", если у = 5х4 “ ~ -Ь 2х.
Vx
Решение. у> = 2 Ох3 + —3L— + 2я- In 2, у" — 60х2 — - —— + 2х (in 2)2,
&	2хЭ/2	*	4 х5/г
у'" = 120х + У 1 + 2* (in 2)3.
Найти производные второго порядка:
12.77.	у = sin2 х._ 12.78. у _ - -Д .L . 12.79. у =* tg х.
12.80.	у 1 хб (5 In х - 1). 12.81. у = V1 + х* arctg х.
Г		“	в ”  t
Найти производные третьего порядка:
12.82.	у — х In х. 12.83. у *= arcsin х. 12.84. у = хе“х.
12.89.1/ —	*	12.86. у = (8х + З)2 878х + 3 .
Найти производные п-го порядка:
12.87. у = sin х. 12.88. у = е а . 12.89. у = In х.
12.90. у = 2х + 2 < 12.91. у = cos х. 12.92. у = ах:
12.93. у = sin2 х. 12.94. у — хе“ . 12.95. у — --1- .
а X Л- л.
Ч	.	- J 	
12.96. Показать, что функция у = ех + 2е2х удовлетворяет
уравнению у,,г — &у” + 11у' - бу — 0.
12.3. Касательная и нормаль к плоской кривой
Из определения производной следует, что в геометрическом смысле
производная равна угловому коэффициенту касательной к графику
функции в точке х0
/е — tg а — Г(ха),
где а — угол наклона касательной.
154
Тогда уравнение касательной в
точке Л0(х0, Уо) на кривой у = Дх)
(рис. 12.1) примет вид
У " Уо = Г(х0) (х - х0),
а уравнение нормали —
У - Уо =	*©)•
Отрезок Вхо " Pijtg ct называет-
ся подкаса/пельной, а отрезок
х0С = yoctg а — поднормалью.
12.97.	Составить уравнения касательной и нормали к гра-
фику функции /(х) = х2 4* 2 в точке х0 = 1.
Решение, Если л0 ~ 1, то уй e f(x0) I2 + 2 = 3, a f'(x\= 2х и f '(xq) = 2-1 = 2.
Уравнение касательной примет вид у — 3 = 2(х - 1), а уравнение нормали со-
ответственно у — 3 = (х - 1).
12.98.	Составить уравнения касательной и нормали к пара-
боле у = 9 - х2 в точке пересечения ее с осью Ох (х < О);
построить параболу, касательную и нормаль.
Написать уравнения касательных к кривым и построить
кривые и касательные:
12.99.	у = х3/3 в точке х = —1.
12.100.	у2 = х3 в точках хг == О, х2 = 1.
12.101.	у =	8 в точке х = 2.
*	4 + х*
12.102.	у = 4/х в точках Xj = — 1, х2 — 4.
12.103.	у = 4х — х2 в точках пересечения с осью Ох.
12.104,	у2 - 4 — х в точках хх = 3, х2 = 4.
12.105.	Найти угол между линиями 2у = х2 и 2у = 8 - х2.
Решение. Вначале находим точки пересечения линий: х2 = 8 - xz <=э х = ±2,
у = 2. Затем находим угловые коэффициенты касательных к этим линиям в каж-
дой точке пересечения:
- 1 • 2х - х; у'2 - -1  2х - -х;
&	А
155
при х = 2
fcjА2 3 Уз(2)- -2;
te Ф, - hzh. _ ---г~2. ₽ i ; ф. - arctg 1;
41	1+*.к3	1 + 2(-2)	3	41	е3’
при х  -2
*1 = У1 (-2) = "2; k2 = У2(-2) = 2; tg<p2₽-|; Фг = arctg
О
Найти угол между линиями:
12.106.	у = х - х2 и у = 5х.	12.107. у = х3 и у - -4х + 5.
12.108.	у = х3 и у = Д .	12.109. у = 8 - х2 и у = х2.
х2
12.4. Приближенное вычисление
действительных корней уравнения
При анализе поведения различных функций часто приходится нахо-
дить такие значения аргумента, при которых функция обращается в
нуль, т,е. требуется найти корни уравнения f{x) — 0.
Если это алгебраическое уравнение первой, второй или третьей сте-
пени, то существуют формулы и некоторые простейшие алгоритмы для
нахождения этих корней. Для нахождения корней уравнения выше чет-
вертой степени таких формул в общем случае не существует. Если ко-
эффициенты уравнения Дх) = 0 представлены числами, то корни урав-
нения могут быть вычислены приближенно с любой степенью точности.
Наиболее распространенным методом вычисления является метод хорд
и касательных.
12.110. Вычислить с точностью до 0,001 корни уравнения
-х3 - 15х2 + ЗЗх - 3 = 0.
Решение. Вначале найдем интервалы з на непостоянства для первой и второй
производных функции Дх) = -х3 - 15х2 + ЗЗх - 3. Первая производная
Лх)  -Зх2 - ЗОх + 33 - -3(х2 + 10х - 11) - -3(х + 11) (х - 1).
Очевидно, что на интервале х е (—°°, —11) и (1, <») производная /'(х) < 0, а на
интервале (—11, 1) соответственно f'(x) > 0.
Вторая производная
Л'(х) = -6х - 30 - -6{х + 5).
Отсюда видно, что для интервала х €	-5) вторая производная f"(x) > 0,
а для х € (-5, оо) соответственно f"(x) < 0.
Затем внутри этих интервалов найдем отрезки, на концах которых функция
имеет разные знаки. Так, в точке х ~ 0 функция /(0) • -3 < 0, а в точке х ™ 0,5,
соответственно, f{0,5) = -0,125 - 15  0,25 + 33  0,5 -- 3 ™ 9,625 > 0. Следовательно,
на отрезке [0; 0,5] имеется корень уравнения, и, так как на этом отрезке первая
156
и вторая производные имеют постоянные знаки, этот корень единственный
(рис. 12.2)- Точки А и В лежат на графике функции г/ =	— 15х2 + ЗЗх - 3 и
имеют координаты: А(0; —ЗХ В(0*5; 9Т625).
Далее строим хорду АВ как уравнение прямой, проходящей через точки Л
и В* и находим точку пересечения хорды и оси Ох* Это будет некоторое прибли-
женное значение первого корня х0 == (ц:
Jt — О „ у + 3
< 0,5 - 0 - 9,625 + 3’ =& х0 а] А' РА - 0,119.
У = о
После этого строим касательную в точке А (выбор точки обусловлен совпаде-
нием знаков функции и ее второй производной: /(А) < О и /'(А) < 0) и находим
точку пересечения этой касательной и оси Ох. Это тоже приближенное значение
первого корня — аг*.
У - -3 + Г(0)(х-0).
У = о
« 0,091.
Выберем точки Aj и В3, лежащие на графике заданного уравнения, с коорди-
натами А,(0,091; -0,122), .В^ОД19; О,713)Л где /(0,091) = -0,122, /(0,119) = 0,713.
Снова строим хорду A^j и касательную в точке Aj, находим точки пересечения
их с осью Ох; получаем приближенные значения а3 и а4 первого корня:
х-0,091 и + 0,122
<0,119 — 0,091 ~ 0,713 + 0,122 ’ => ха = а3 = °-’122 0,028 + 0,091 -0,835 & 0 0д51.
*	0,835
У “ 0
у- -0,122 + Г(0,091)(х -0,091) = -0.122 + 33,182(х - 0,091)»
У - 0
=> х3 = а4 =
0,122 + 0,091  33,182
33,182
= 0,0946.
157
*1
Разность между значениями корней ;па а4 - 0,0005 меньше заданной точ-
ности. Поэтому можно в качестве корня (первого) уравнения принять число
~ „Л 0,095, при этом ДО,095) ~ -0,001 0.
Для нахождения двух других корней уравнения разделим многочлен
—х3 - 15хг + ЗЗх - 3 на (х - 0,095):
~ *3 - I5*2.* 33х.~_3 - -х2 - 15,095* + 31,565 - 0 001 .
х - 0,095	х - 0,095
По теореме Безу остаток должен быть равен нулю, но из-за приближенности
корня он равен -0,001, т.е. находится в пределах заданной точности.
Найдем корни квадратного уравнения х2 + 15,095.x - 31,565 “ 0:
-15,09500-18,81805 1Л „кйе „	-15,09500 + 18,81805 tQ-1K
*2 = -::'1о,95о5; х3 — ----:---.	---- = 1,6615.
2
Это приближенные значения двух других искомых корней. Допустим, что
нас больше интересует второй положительный корень. Уточним его. Снова на-
ходим интервал, на концах которого значения функции имеют разные знаки.
Для этого вычисляем /(1,862) ~ -0,0153 и /(1,860) ~ 0,0511. Следователь ко, ко-
рень находится между значениями Хд — 1,86 и х2 1,862.
Рассмотрим точки А2(1,86; 0,051) и jB2(1,862; —0,015). Строим хорду А2В2 и
находим координату точки пересечения еь е осью Ox:	it- 
х - 1,86	и — 0,051
1,862 - 1,86 ’ -0,015-0,0511 => х4 =а5-	I’	§6-	= 1,8615.
*	&	-0,066
у = о
Далее строим касательную я точке В2, так как значение /(Вй) < 0 и /"(Я2) < 0:
у - -0.015 + /'(1,862 )(х - 1,862) = -0,015 - 33,261 (х --1,862),
У = 0
=
-61,917
-33,261
= 1,8615.
Вычисляем, значения /(1,861) и /(1,8615). Получаем /(1,861) *= 0,018 и
/(1,8615) - 0,0014. Последнее значение отличается от нуля в пределах заданной
точности. Поэтому второй положительный корень принимаем равным 1,8615.
Аналогичным образом вычисляем третий корень.
12.111.	Вычислить с точностью до 0,01 корни уравнения
х3 - 4х + 2 = 0.	*
12.112.	Найти приближенное значение корня уравнения
х5 + 4х3 - 6 = 0/заключенного в интервале (1; 1,1>, с точностью
0,001.
12.113.	Найти приближенное значение положительного
корня уравнения 2х — Зх — 2 = 0.
12.114.	Вычислить с точностью до 0,001 больший корень
уравнения log3 х - Зх + 12 = О.
168
12.5. Дифференциалы первого и высшего порядков
и их применение
Если функция у ~ /(х) имеет конечную производную f'(x) в точке х,
то полное приращение функции Ду можно записать в виде
Ау = f(x + Дх) - f(x) = /'(х)Дх 4- а(Лх)Лх,
где сх(Дх) — бесконечно малая функция при Дх —> 0. т.е. lim а(Дх) = 0.
Дх -» 0
Главная, линейная относительно Дх, часть полного приращения функ-
ции называется дифференциалом функции и обозначается tty. Следова-
тельно, по определению dy = /'(х)Дх. Если f(x) = х, то dx = Дх, поэтому
дифференциал обычно записывают в виде
dy = f '(х) dx.
12,115.	Найти полное приращение функции у — 2х3 + Зх2 + 6х
и ее дифференциал, сравнить их значения при х = 1.
Решение. Полное приращение запишем в виде
Ду = 2(х + Дх)3 + 3(х + Дх)2 + 6(х + Дх) - 2х3 - Зх2 - 6х.
Преобразовав его, получим
Ду - 6(х2 + х + 1)Дх + (6х + 3)Дх2 + 2Дх3.
Полный дифференциал по определению равен dy = у' dx = 6(х2 + х + 1) dx.
В точке х — 1 имеем Ду — 1ЙДх + 9Дхг + 2Дх3 и dy = 18Дх-
При достаточно малых Дх полное приращение функции и дифферен-
циал отличаются незначительно, т.е. Ду =dy. Это обстоятельство исполь-
зуется для приближенных вычислений, а именно:
Ду - f(x + Дх) - /{х) dy =ь f(x + Дх) « f(x) + dy,
или
f(x + Дх) = f(x) + ff(x) dx.	(12.1)
12.116.	Найти приближенное значение arctg O,97.
Решение. Представим arctg- 0,97 =• arctg (1 - 0,03). Тогда в соответствии с
формулой (12.1) х = 1, а Ах = -0,03:
arctg 0,97 = arctg 1 + —(-0,03) = - * 2125 ~ 0,7704 44°08'.
l + l2	4	2
По тригонометрическим таблицам arctg 0,97 = 0,7702 « 44°07', т.е. вычис-
ленное приближенно и взятое по таблицам значения arctg 0,97 отличаются на
0,0002.
169
Найти дифференциалы функций:
12,117.	у = cos3 2х.
12.118.	у = 2х . 12.119. у = -1 In .
12 х + 6
12.120.	у - То - х2 4- 5 arccos 12.121. у = З-*3.
J	Z	3
12.122.	у = * + 1 . 12.123. у = х In (х + 1). 12.124. у
Jx -1	' х2
12.125.	у =	. 12.126. у = е3*~5 .
е3т	Jx2 + 4
12.127.	Вычислить и сравнить Ду и dy для функции
у === х3 - 5х2 + 3 при х = 2 и Дх = 0,001.
Вычислить приближенное значение:
12.128.	arcsin 0,95. 12.129. tg 46°. 12.130. 1/80,5 .
12.131.	(1,015)5.
12.132.	Как изменится величина конечного вклада SK,
положенного на 3 года, если простая процентная годовая
ставка увеличится на 0,1%, а начальный вклад SH равен
980 руб.?
Дифференциалом второго порядка называется дифференциал d (dy),
обозначается d2y. Тогда по определению d2y = d (dy) = y"(dx)2.
Дифференциалом п-го порядка drty называется дифференциал d (dn-1y).
Следовательно, dny = d (dn‘ *y) = y<rti(dx)'1. Отсюда, в частности, следует,
что
= d*y
(dx)'1
12,133.	Найти дифференциал третьего порядка от функции
г2
У = е *
Решение.
dy = ех' 2х dx;
d2y = d (в*2  2х dx) — (е*2  4х2 2ех* ) dx2 — exl (4хй + 2) dx2;
d3y — [exS (8x3 + 4x) 4- ex* (8x)] dx3 = exS (8x3 + 12x) d№-
16U
12.134.	Найти d2i/, если у = Зх4 - 5х3 + 2х.
12.133.	Найти d3y, если у = cos (4х 4-1).
12.136.	Найти d4y, если у = ^/хТ~2 .
12.137.	Найти d5y, если у = х In х.
12.6.	Дифференцирование функций,
заданных неявно и параметрически
Если из уравнения ф (х, у) = О выразить явно переменную у как функ-
цию аргумента х затруднительно, тогда говорят о неявно заданной функ-
ции у от аргумента х. Например: ух Н- log2 (х2 + у2) - sin (ху) =• О. В даль-
нейшем неявно заданные функции будем считать дифференцируемыми.
Продифференцировав но х обе части уравнения ф (х, у) = О, получим
уравнение, содержащее у'. Из этого уравнения находим у', которую .и
называют производной неявной функции при всех значениях х и у, при
которых она определена и существует.
12.138.	Найти производную у* , если ух + log2 (х2 + у2) -
- sin (ху) = 0.
Решение" Продифференцируем обе части уравнения по х, приняв у как
сложную функцию от лг:
(у'х + у} + . .....  А ..(2х + 2уу'} - cos (ху) - (у + ху‘) = 0.
(х4 + у2)1п 2
Выразим у' из этого уравнения:
У' Г* + , 2. 2 2м о ~ х сое (ху)1+ у + /~~2 ~~ЗГ.~~п ~ ycos
L (x4 + y4)hi2	J (х2 + у2)1п2
Окончательно получим
у COS (ху) — у--3---S—--
,/=	(? + у2М
<	2У
X - X cos (ху) + ---g-	.
(х4 + у4)1п 2
Найти производные неявно заданных функций:
12.139.	х2у4 + 10 = Зх4у3 + х5 - 5.
12.140.	х3 + х2у — 4 = 2х2у2 - 6х + 1.
12.141.	ey* = In (х2 + у2)-
12.142.	arcsin у *= х2у3 — 7i/x2.
6 еГэсьрник задач по высшей математике
161
Если функция у — /(х) представлена параметрически, а именно:
1х - ф(<), то ПроИзв0дКЬГе первого и второго порядков у'х и ухх можно
|y = 4f(t),
найти по формулам

// У t % цУ г
11 Ухх =	1
(<)3
12.143. Найти ухх
если <
х = 3 cos 2t
у - sin t.
J
Решение. Имеем:
x't — —6 sin 2tt
y't = coe t,
xj'f - “12 cos 2t,
y"ti = -sin t.
Подставим полученные выражения в формулу для второй производной;
sin t - 6 sin 21 +12 cos 2t cos f ₽ 6 cos f+ 6 cos 2t cos t
-216 sin32(	—216 sin32f
6 cos £ (1 + cos 2t} _ 12 cos3t _	—1
-216 sin32t —216 - 2 sin3! cos3t 36 sin3t
rx = In t
12.144.	Найти yx, если 4 i
> = 7-
12.145.	Найти yxxt если <
X = t2,
*3 +
J/ - 3
12.146.	Найти yxxi если <
x — e2t
у = e4t
12.147.	Найти y'x, если -
х — 3t + 2,
у = t3 + 2t.
12.148.	Найти yxxt если -
х = e*cos t,
у == e*sin t.
12.149.	Найти yxx, если -
A Jt r
x = a sin2/
у — b cos /.
162
12.7.	Исследование функций и построение графиков
12.7	.1. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема Ферма. Если функция у ~ f(x) определена и диф^еренци
руема на интервале (а, Ь) и достигает в точке Хц е (а, Ь) своего наи-
большего или наименьшего значения, то производная функции в этой
точке равна нулю, гте. = 0.
12.150.	Проверить, удовлетворяет ли функция у ~ Зх2 + 2х
условиям теоремы Ферма на отрезке [0; 1].
Решение. Найдем производную функции у" = 6х + 2. В точках х = 0
у'(0) =2*0их=1 у'(1) = 8 0; в нуль производная обращается в точке х — —1/3,
но это значение не принадлежит интервалу (0; 1). Таким образом, условиям тео-
ремы Ферма данная функция на заданном отрезке не удовлетворяет. Наиболь-
шего и наименьшего значений функция достигает на концах интервала, а не во
внутренней точке.
Проверить, удовлетворяют ли приведенные функции усло-
виям теоремы Ферма на заданных интервалах:
12.151.	у ~ —7х2 Ч- 28 на отрезке [-4; —2]. .
12.152.	у = х In х на интервале (0; 1).
12.153.	у = 8 + 2х2 - х4 на интервале (-1,5; 0,5).
Теорема Ролля. Пусть функция у ~ fix) определена и непрерывна
на отрезке [а. д], дифференцируема Vx С (а, д) и f(a) •*= f(b)y тогда су-
ществует точка х = с <= (а, Ь), в которой f'(c) = 0.
12.154.	Выполняется ли теорема Ролля для функции
у = -х2 + 5х - 1 на отрезке [1; 4]; при каком значении с вы-
полняется условие Л(с) - 0?
Решение. Функция определена и непрерывна в каждой точке заданного от-
резка. На концах отрезка [1; 4] значения функции равны: /(1) = f(4) — 3, следо-
вательно, теорема Ролля на этом отрезке выполняется. Значение с определяем
из условия f'(x) — — 2х + 5 = 0, т.е. с — 2,5.
Проверить, выполняется ли теорема Ролля для функций на
заданных интервалах и, если выполняется, для каких значе-
ний с:
12.155.	у=х2 + 7х + 3на отрезке [—2; —5}.
12.156.	у = 4 - Vx2 на отрезке [-8; 8].
163
12.157.	у - sJx2-3x на отрезке [0; 3].
12.158.	Показать» что уравнение х3 + 2х - 1 = 0 имеет только
один вещественный корень.
Теорема Лагранжа. Пусть функция у = f(x) определена и непре-
рывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема Ух € (а, Ь), тогда сущест-
вует точка х = с € (а, Ь), такая, что выполняется условие
f(b) ~ /(а) -	- а).
12.159.	Выполняется ли теорема Лагранжа для функции
у = 2х - х2 на отрезке [1; 3]?
Решение. Функция определена и непрерывна на отрезке [1; 3] и дифферен-
цируема на интервале (1; 3). Вычислим Ца) = 1, f{b) = —3 и b - а = 2, тогда
/(ь?-Л«) = -з-i __2
Ь - а 2
Точка с £ (а ,Ь) вычисляется по формуле f'(x) - 2 - 2х f ?(с) - 2 - 2с —2 =>
=> с = 2'е (1; 3). Следовательно, теорема Лагранжа выполняется.
12.160.	На дуге АВ кривой у = 78-х найти точку М (с, у (с)) t
в которой касательная параллельна хорде АВ, где А(-8; 4) и
В(-1; 3).
Решени е. Функция у =	- х непрерывна и дифференцируема в области
определения функции х €	8]* По теореме Лагранжа между двумя значения’
ми а» -8 и -1 существует такое значение ct что
Р (-1) - уев) = Г(сИ-1 -	=* 3 - 4 =  2L.  7 =* с - -4,25 =s М(-4,25; 4,5).

Проверить, выполняется ли теорема Лагранжа для функ-
ций и заданных отрезков, и, если выполняется, найти точку
х = с:
12.161.	у = х2 на отрезке [3; 4].
12.162.	у = 1л х на отрезке [1; 3].
12.163.	у = ^/9х- х2 на отрезке [0; 9].
164
Теорема Коши. Пусть функции у — /'(х) и у — g(x} непрерывны,
определены на отрезке [а, 6} и дифференцируемы V х С (а, &). Пусть
также g\x} О, тогда существует точка х = с С (а, Ь), такая, что
для нее выполняется условие	: ~
fW-Лд) = Г(<-) .
g(b}-g(a}	g'(c)'
12.164.	Проверить, выполняется ли теорема Коши для
функций:
a)	f(x) — — х2 + 10х - 9 и g(x) === х3 — Эх2 4- 24х на отрезке [0; 4];
б)	/(х) = - х3 — х и <?(х) = —на отрезке [~1; 1];
3	ха + 1
если выполняется, то найти точку х = с.
Выписать условия теоремы Коши и найти точку с для функ-
ций:
12.165.	/(х) = х3 + 1, g(x) = х2 + 5 на отрезке [0; 3].
12.166.	f(x) = sin х, #(х) = cos х на отрезке [О; л/2].
12.167.	/(х) = 2х2 + 4х, #(х) = Jx + 1 на отрезке [0; 3].
Правила Л опита ля раскрытия неопределенностей:
1.	Если lim /(х) = lim tp(x) = 0, то lim £1^2 =	= lim ?
r-x0	x~x04>(x) to; х~х0Ф'(х)
при условии, что предел в правой части выражения существует; анало-
гично, если Кт /7х) = lim <й'(х)=0, то lim fS-1 =f?| = lim
x—x0	х — Хрф(х)	407	х —хоф(х)
при условии, что предел в правой части существует, и т.д.
2.	Если lim /(х) = lim <р(х) = со, то lim = f—"'I = lim
х — х0	х — XD	х ~“ Хо ф(х) \°°/ X—*хоф(х)
при условии, что предел в правой части выражения существует; анало-
гично, если lim f'(x) ~ lim q/(x) = то lim ?	= (—= lim
х — х0	х-’х(	х— х0 Ф (х) \°°7	х -► х0 Ф (х)
при условии, что предел в правой части существует, и т.д.
12.168.	Найти предел lim ~—2—
х Q sin23x
Решение. Так как lim (в1 — х—1) — Ои lim sin2 Зх = О, можно применить
X —‘ О	х — 0 ’
первое правило Лопиталя:
Jim	~ lim ----- в*"1 , -	=
х™*о sin23x	k0> х-* о 2 sin Зх cos Зх ’ 3
_ Um	_ f0) _ цт	_ 1 .
х — о 3 sin 6х кО/ х-о 18 cos вх 18
е
165
12.169.	Найти предел lim	.
х - n/2 tg x
Решение. Так как lim In (х — п/2)	оо и lim tg х — °°? имеем неопре-
Jt — п/2	дг — п/2
делен ность вида — . Следовательно, можно применить второе правило Допита ля:
оо
lim In (х-л/2) _ (по'
* -- rt/2 tg X	< °*7
lim
х-* 7Г/2Х-71/2	\.О
lim -2 соя х sin х _ 0
— тг/2	1
В случае неопределенностей вида 0 • 00 или °° - °° следует путем ал-
гебраических преобразований привести их к неопределенностям вида
О
О
или — .
□о
12.170.	Найти предел lim (tg х * In х).
х~0
Решение. Так как lim tg х = О, lim In х = ^со, следовательно, имеем неоп-
х-о	ж о
ределенность вида О • 00. Преобразуем выражение, стоящее под знаком предела:
lim (tgx-lnx). lim ,n-*	- lim	-(?) - lim ~2 sin » c°s x -0.
x —0	x-'OCtgX	ж —О X 10/ X—&	1
В случае неопределенностей вида 0°, °°0 или 1°° следует предвари-
тельно прологарифмировать заданную функцию, а затем найти предел
ее логарифма.
12.171.	Найти предел lim (ctg x)slnx.
х —* О
Решение. В данном случае имеем неопределенность вида «А Прологариф-
мируем заданную функцию: In у -= sin х - In ctg х. Далее рассмотрим предел
lim In и — lim (sin х  In ctg x) “ (0  °°) = lim	= f 22^ =
х -О ж -o	e	x -o 1 (ooj
sin x
- 1 -1
- lim ctE	_ Um - 0.
F	X — 0	_ C03 X X — 0 COS X
sin2x
Если lim In у 0, to lim 1, следовательно, lim (ctg x)sin x — 1.
r &	x -»о
166
Найти пределы:
12.172. lim		1 + COS X x-л	12.173.	lirn	-2 x •— -ix3 ~ 4x2 + 5
	X 71			
12.174.	lim х — 0	er - In (1 + x) ’	12.175.	lim я ~ 2 arctg * x do	x — 1
12.176.	lim X -* ОС	ex X2	12.177.	lim	. X oo X3
12.178.	lim х 0	In X 1/x 	12.179.	lim —. X -* OO X
12.180.	lim х 1	ctg (x- 1) In (1 -x)	12.181.	lim ln	. x — 5 In (e* - e5)
12.182.	lim х — ос	(xe“x). 1	12.183.	lim -—	• X 0 1 + 2 In sin X
12.184.	lim х 0	(arcsin x  ctg x).	12.185.	lim f(l - x)tg 1 x —* 1 v	i ;
12.186.	lim х -* 0	((1 - cos x)ctg x). r	>	12.187.	lim (x ctgnx). x — 0
12.188.	lim х— 1	1	1 Л X - 1 ‘ , COS -X '-2	7	12.189.	lim f —?	У . x 0 V X Sin X Xх/
12.190.	lim г —-1	f_l	 Un x x - 1/	12.191.	lim f Д, - ctg2 x ). x —oVxz	V
12.192.	lim ((x - l)ln (x - 1)). r -» 1 1		12.193.	lim (n - 2x)cos x. x — я/2 1
12.194.	lim (sin 2x)x~71/4 . x -* n/4 1		12.195.	lim (x + 3X)X . x — OO
12.196.	lim x —* 0	(2 - arccos x r . \ 7T	)	12.197.	lim (In x • ln(x - 1)) X “* 1
12.7.2. Формула Тейлора
Теорема Тейлора. Пусть функция у = Дх) определена в некоторой
точке х = а и'в некоторой окрестности этой точки функция имеет
производные до (п 4- 1) го порядка, тогда существует точка х =
такая, что выполняется формула Тейлора
Их) = Да) +	- а) + (х - а)2 4- (х - а)3 + ... +
a]	J!
+ е^(х-оу +
nl
Л"^)(у-п)д+1
(п + 1)! ' '	’
причем точка £ лежит между х и а, т.е. £, “ а 4- 0(х - а) и О < 0 < 1.
167
Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным
членом в форме Лагранжа и обозначается Я„+1 = С" <х “ «)п+1«
{л+1)!
При а = 0 формула Тейлора называется формулой Макларена:
f(x) - rtO) + /ЧО)Х + ф хг + ф хз + ... + Лф х. + ффх„ + 1,
1 в виде многочлена
12.198.	Представить функцию f(x) =
пятой степени относительно двучлена х - 1.
Решение. Функция определена в точке а = 1 и имеет все свои производные
в окрестности этой точки. Вычислим значение функции и ее производных до пя-
того порядка включительно в точке а — 1:

-1; Г(1) ° f -%)	= -2;
Цх-2)34=1
IV(1) = р 2 3 -	= _24;
\ (х-2)5 Jx=i
-12 3> й.
— — —	ti|.
(х —2) ^x=i
Л(1) = (• 2  3 - 4- 5^1	_ _120
х-2
-2)Б
Тогда по формуле Тейлора получим многочлен относительно х - 1:
t - (х - 1) - 1 (х - I)2 - А (X - I)3 - (X - I)4 - (X - 1)5 + Я6 =
а:	а!	О!
= -1 - (х - 1) - (х - I)2 - (х - I)3 - (х - I}4 - (X - 1)5 + Яд,
где Яв = I-—---s') (х - I)6 — ——™г и 1 < £ < jc.
6 U!(x-2)<4*	а-2)«
12.199.	Представить функцию f(x) ~ 3х в виде многочлена
третьей степени относительно х.
Решение. В данном случае х =* а
- f(x) = 3\
Г(х) - 3Л1п 3,
f"{x) = 3>1п2 3,
- Э*1п3 3,
fW(x) - 3*in4 3.
Тогда но формуле Маклорена получим
3*	1 + In 3 • х.+
2!
e 0t поэтому
Я0)= 1;
/;(0) - 1п 3;
f"(Q) = In2 3;
7"'(0) - In3 3;
/IV(Gx) = In4 3  3% 0 < в < 1.
1п33
3!
•4»
где Я4 -	3°*,
12.200.	Представить функцию f(x) = Зх3 - 2х2 + 5х - 4 в
виде многочлена третьей степени относительно двучлена х + 1.
168
12.201.	Представить функцию f(x) = exZ + 2x в виде много-
члена пятой степени по х.
12.202.	Представить функцию /(х) == In (х + 1) в виде мно-
гочлена третьей степени относительно двучлена х - 3.
12.203.	Представить функцию /(х) = ах в виде многочлена
четвертой степени относительно х - 1.
12.204.	Представить функцию f(x) = ^/х + 3 в виде много-
члена третьей степени по х.
12.7.3.	Интервалы монотонности
Функция у = f(x) возрастает (убывает) на интервале (а, &), если для
Vxp (я, Ь) и х^ < х2 следует неравенство /(Xj) < /(х2) (/(xj) > Дх2)).
Функция у = f(X) не возрастает (не убывает) на интервале (а, Ь).
если для V Хр х2 € (а„ &) и < х2 следует неравенство /(х^) > f(x2)
(/(Xi) < rtx2)>.
Теорема. Если у ~ Дх) дифференцируема на(а, Ь) и f'(x) О (f'(x) < О)
V х е (а, в), то функция у = f(x) не убывает (не возрастает) на данном
интервале.
12.205.	Определить интервалы монотонности функции
у = х3  6х2 - 15х + 2.
Решение. Область определения функции — вся числовая ось. Находим
первую производную: f'(x) * Зх2 — 12х - 15. Далее находим корни производной:
3(хг — 4х - 5} = 0 Xi = -1; х2 = 5. Методом интервалов исследуем знаки первой
производной для возможных изменений аргумента (рис. 12.3).
у _ +	<-----+
— 1^--^ ~__
Рис. 12.3
Следовательно, для х €	~1) U (5; оо) производная ^/(х) > 0 функция
возрастает, а для х £ (-1; 5) соответственно у'(х) < 0 => функция убывает.
Определить интервалы монотонности функций:
12.206.	у = In (х + 1). 12.207. у = е2*.	12.208. у = хе3х.
12.209.	у = хе *.	12.210. у = х3 - Зх2 - 24х + 72.
12.211.	у * х 4- xjx . 12.212. у (2• - х)(х + I)2.
169
12.213.	у. = 74 - х2 .	12.214. у *» 2 sin I*, если х € [--я; 2п].
12.215.	у — х - 2 sin х, если х € [0; 2я].
12.216.	Функция спроса на товар имеет вид Р ~ 7 — JQ + 5 ,
а функция издержек ТС = 4,25Q -+- 0,0125.
Найти:
а)	объем производства Q, максимизирующий выручку TR,
а также соответствующие цену товара Р и величину вы-
ручки;
б)	цену и количество товара, максимизирующие прибыль я;
в)	эластичность спроса En(Q) по цене в точках максимальной
прибыли и выручки Erp/^Q).
12.7.4	. Экстремум функции
Значение f(x^) называется локальным максимумом {локальным ми-
нимумом) функции у = /(х), если при любом достаточно малом 5 выпол-
няется условие f(x0) > f(x) (/(xq) < Дх)) V х е (х0 - S) и (х0 + 5). Точка
х0 называется точкой максимума (минимума) функции. Локальные
максимумы и минимумы функции называются экстремумами функ-
ции, а точки максимума или минимума — точками экстремума.
Теорема (необходимое условие локального экстремума). Если функ-
ция у = f(x) имеет в точке х0 локальный экстремум, то производная
f'(x) обращается в нуль или не существует.
Точки, в которых /'(х) = 0 или f'(x) не существует» называются кри-
тическими, Экстремум в, таких точках может быть, а может и не быть.
Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть х0 — кри-
тическая точка функции у = f(x); если при переходе через точку Xq
слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с ми-
нуса на плюс), то функция f(x) в точке Xq имеет локальный максимум
(локальный минимум); если же производная /*(х) не меняет знака в
^-окрестности точки х0, то данная функция не имеет в точке х0
локального экстремума.
Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть f'(x0) = О
u f"(Xo) * О. тогда функция у — f(x) в точке х0 и.нет экстремум,
причем xq —- точка локального максимума (минимума), если f "(х$) < О
(/"(х0) > 0).
Для нахождения наибольшего или наименьшего значения функции
у = f(x) на отрезке [а, Ь] нужно из значений функции на границах отрезка
и в критических точках, принадлежащих этому отрезку, выбрать наи-
большее или наименьшее.
170
12.217.	Исследовать на экстремум функцию у = х	.
Решение. Функция определена на всей числовой оси. Находим производную
5х — 6
у' = ------ и определяем критические точки: у — О при — 6/з и яе сущест-
3 37х-2
вует при х2= 2, Исследуем знаки первой производной до и после критической
точки (рис* 12.4)*
Рис. 12.4
Согласно первому достаточному условию в точке лг = 6/g функция имеет
локальный максимум, а в точке х2 — 2 — локальный минимум, при этом
_ 6 „ /16	_
Лигах g ^/25 * У min
12.218.	Исследовать на экстремум функцию у 12х — х3.
Решение. Функция определена для всех вещественных чисел. Находим про-
изводную у' — 12 - Зх2 и критические точки: 12 — Зх2 - О => х ±2. Находим
вторую производную у" ~ ‘-бдг. Имеем у"(~2) = 4-12 > О, следовательно, согласно
второму достаточному условию, в точке х2 = ~2 функция имеет локальный ми-
нимум, а у"(2) = -12<0=>х2 = 2 — точка локального максимума функция, при
этом р|пЫ = £{-2> = 16, а t/max = ^(2) = 16.
12.219.	Функция суточного спроса Q на мороженое
(тыс. шт.) в зависимости от цены Р за одну порцию (руб.) имеет
вид Q = 3 — л/Р . Эффективная область «работы» этой формулы
от 1 до 9 руб. При какой цене за порцию мороженого совокуп-
ная выручка будет максимальной?
Решение. Совокупная выручка определяется из соотношения ТЯ = Q - Р, где
Q — количество реализованных порций мороженого (тыс. шт.); Р — цена за одну
порцию (руб.). Тогда функция совокупной выручки в зависимости от цены при-
мет вид TR — (3 — л/Р)Р. Требуется найти наибольшее значение этой функции
на отрезке [1; 9].
Для этого находим критические точки функции, принадлежащие данному
отрезку:
(ТЯ)' - 3 - | 7? => (ТЯ)' ” О, TP = 2. Р - 4.
Критическая точка Р — 4. Вычислим значение функции совокупной выручки
на концах интервала й в критической точке:
ГЯ(1) = (3 - 1)  1 * 2;
ГЯ(4) - (3 - 2) • 4 = 4;
77?(9) = О.
Следовательно, при цене 4 руб. за порцию совокупная выручка будет макси-
мальной и составит 4 тыс. руб.
171
Найти экстремумы функции:
12.320.	у ~ 4х3 + Эх2 + 6х - 1. 12.221. у = х2(1 - xjx ).
12.222.	у =	. 12.223. у = хе 2 . 12.224. у = х - 2 In х.
я х-2	J	J
12.225.	у = -2L . 12.226. у =	.
12.227.	у = 2 sin х + cos 2х на интервале (0; л).
12.228.	у = х ~ 2 sin2 х. 12.229. у = х In х. 12.230. у = х2е~х.
X
12.231.	у = (Зх + 6)е3. 12.232. у = 37х - 1 . 12.233. у -	.
Зх^ 5
12.234.	Найти наименьшее и наибольшее значения функ-
ции у = х4 — 2х2 + 3 на отрезке [—3; 2].
12.235.	Найти наибольшее значение функции у = х + 2-Т~х
на отрезке [-4; 0].
12.236.	Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции у = 3 л/х2 — 6 3Jx + 4х - 8 на отрезке [—1; 8].
12.237.	Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
ции у — х2 — 2x^/x + х - 4 на отрезке [0; 4].
12.238.	Из прямоугольного листа картона размером
2,4 х 1,5 м2 требуется изготовить коробку без крышки. Какова
должна быть сторона квадратов, вырезанных из четырех углов
листа, чтобы объем полученной коробки был максимальным?
Чему равен объем такой коробки?
12.239.	Если собрать урожай в начале августа, то с каждой
сотки можно получить 200 кг раннего картофеля и реализо-
вать его по 12 руб. за килограмм. Отсрочка уборки на каждую
неделю ведет к увеличению урожайности на 50 кг с одной сот-
ки, но цена картофеля за килограмм при этом падает на 2 руб.
Когда следует собрать картофель, чтобы доход от его продажи
был максимальным, если срок уборки составляет 5 недель?
12.240.	Окно в загородном доме имеет форму прямоуголь-
ника, завершенного полукругом. Периметр окна равен Р. При
каком радиусе полукруга площадь окна будет наибольшей?
1 ГТ*!
12.241.	Из листа жести требуется сделать ведро цилиндри-
ческой формы с крышкой. Площадь полной поверхности ци-
линдра, который можно выкроить из этого листа, составляет <8.
Каковы должны быть размеры ведра наибольшего объема?
12.242.	Требуется огородить прямоугольную площадь вдоль
уже выстроенной стены. Стоимость ограждения стороны, па-
раллельной стене, равна 60 руб. за метр; стоимость огражде-
ния двух других сторон составляет 90 руб. за метр. Какая мак-
симальная площадь может быть огорожена, если имеется всего
10 800 руб.?
12.243.	Прямоугольный участок разделен перегородкой, па-
раллельной меньшей из сторон прямоугольника. Стоимость
установки внешнего ограждения составляет 900 руб. за метр,
а перегородки — 1600 руб. за метр. Общая площадь участка
153 м2. Определить размеры участка, минимизирующие сто-
имость строительства ограждения.
12.244.	Издержки производства некоторого товара рав-
ны ТС — 4 + 15Q; спрос на товар определяется функцией
Р — —Q2 + 20Q + 2; 10 < Q < 20. Найти объем продукции
максимизирующий прибыль.
12.7.5. Выпуклость вверх и выпуклость вниз (вогнутость).
Точки перегиба, Асимптоты
График функции у — f(x) имеет на интервале (а, Ь) выпуклость вверх
(вниз), если на этом интервале график расположен не выше (не ниже)
касательной к графику функции, проведенной в любой точке этого ин-
тервала (рис. 12.5).
173
Теорема (достаточное условие выпуклости вверх(вниз)). Если, функция
у === У(х) в каждой точке интервала (а, Ь) имеет f"(x) С О (/"(*)	^)>
то график функции имеет на интервале (а, &) выпуклость вверх
(вниз).
Если в точке М(х0, /(ха)) графика функции у — f(x) выпуклость вверх
меняется на выпуклость вниз или наоборот, то точка Af(x0, /(х0)) назы-
вается точкой перегиба.
Теорема (необходимое условие точки перегиба). Если в точке
М(х0, /(.Xq)} график функции у = f(x) имеет точку перегиба, а сама функ-
ция имеет непрерывную вторую производную, тогда f"(x) в точке х0
обращается в нуль, т.е. 1"(х$) = 0.
Точки графика функции, в которых вторая производная равна нулю
или не существует, называются критическими точками II рода.
Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция
у - f(x) имеет вторую производную в окрестности точки х$ и пусть
в самой точке — О или /z,(Xq) ие существует. Тогда, если в ука-
занной окрестности f"(x) имеет разные знаки слева и справа от точ-
ки график функции имеет перегиб в точке Л/(х0, /(х0)).
12.245, Найти интервалы выпуклости и точки перегиба гра-
фика функции /(х) " 0,5х3 + Зх2 - 18х + 20.
Решение. Область определения функции — вся числовая ось. Находим про-
изводные:
f\x) = 1,5хг + бх - 18; f '(х) - Зх + 6.
Приравняв к нулю вторую производную, получим критическую точку П рода:
Зх + 6 ” 0; х — -2. Исследуем знак второй производной в окрестности этой точки:
f "(-8) - -3 < 0; /"(0) = 6 > 0.
Следовательно, для х € (-°°; -2) fix') < 0 и график функции выпуклый
вверх, а для х е (—2; 00) — выпуклый вниз. Таким образом, при переходе через
точку xfl — —2 f”(x) меняет знак. Следовательно, точка Af(—2; 64) — точка пе-
региба графика данной функции.
Найти интервалы' выпуклости и точки перегиба графика
функций:
12.24в. у = х3 - 6х2 +	х.	12.247. у	=	х4 4-	2х3 - 12х2 - 5х + 2.
12.248. у2 = х3.	12.249.	у	-	(х -	I)4 - 24х2 + Зх.
12.250. у *= е“*2.	12.251.	у	=	хе\
12.252. у =	.	12.253. у « х - In х.
xd - 1
174
Прямая линия £ называется асимптотой графика функции у ~ f(x),
если расстояние от точки Af(х, у), лежащей на кривой, до прямой L стре-
мится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала ко-
ординат (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бес-
конечности).
Существуют вертикальные, горизонтальные и наклонные асимптоты.
Если lim f(x) = +оо или lim /(х) — -°0, то прямая х = а является вер-
х а	х а
тикалъпой асимптотой графика функции у — f(x).
Если lim /(х) = b или lim f(x) — b, то прямая у — b является гори
X +оа	х -- -со
зонтальной асимптотой графика функции р - f(x).
Прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика функции
у = f(x), если существуют одновременно пределы:
k = lim , b = lim (f(x) - kx)
X ~~ + « X	x—+oo
или
k ~ lim , b = lim (f(x) - kx).
X — «СО ЛГ	X “*
12.254.	Найти асимптоты кривой у =
fx3-l
V х + 2
Решение. Данная функция определена для
> 0	(х-1)(х2 + х + 1) > 0 х 6	^2) и [1, сю).
х+2	х + 2
Так как lim	~ +°°» то прямая х~ -2 является вертикальной
асимптотой. Горизонтальных асимптот график функции не имеет, так как
/х---1	М 1
Um	t—2- =+<»й iim	±—2 ^+оо.
X + ис Ч X + 2	ж —* -со V X + Z
Определим, существуют ли наклонные асимптоты:
.	.. f(x) р / X3* 1	.. V XV
k= hm = lim —-------------- = km	k———— = 1;
s- +cc x x +™ A/xz(x + 2)	+™	*(., 2\
* xJ 1 + -
T ( xj
lim №)-Ax)= Hm	= Um
x —+ >J	+ Z У X_*+OQ	/x . 2
175
Следовательно.прямая у — х — 1 является наклонной асимптотой при х —>
Далее,
Следовательно, существует левая наклонная асимптота у ~ —х + 1 (рис, 12,6).
Найти асимптоты кривых:
12.255.	у -	. 12.256. у = х2ех. 12.257. у = 2х +
у X-1	"	*	X
12.258.	у = ^/х^ - 6х2 .	12.259. у ~ х — In х.
12.260.	у = 2х + arctg х. 12.261. у = *\ + 5 + 2х
х£ * 1
176
Схема исследования графиков функции у = f(x);
1.	Определить область существования функции.
2.	Исследовать функцию на четность и нечетность.
3.	Найти координаты точек пересечения графика функции с осями
координат.
4.	Исследовать функцию на непрерывность, определить характер то-
чек разрыва функции, если они имеются; найти асимптоты кривой.
5.	Найти интервалы возрастания и убывания функции и ее экстре-
мумы.
6.	Найти интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз; опреде-
лить точки перегиба.
7.	Построить график функции.
3
12	.262. Построить график функции у =
2(х + I)2
Решение. 1. Область существования функции
D(f} - {х | X € (-РО; -1) и (-1; ОО)},
2.	Функция не является четной или нечетной.
3.	Точки пересечения с осями координат:
если х = О, то у = О;
если у = 0, то х = О,
т.е. кривая пересекает ось х и ось у в начале координат.
4.	Точка разрыва х = -1. Исследуем характер разрыва:
з
lim -----------
—-i-o 2(х + I)2
lim --------- = -с».
--1+о2(х+ I)2
таким образом, разрыв бесконечный II рода.
Найдем асимптоты графика функции: х =
так как
-1 — вертикальная асимптота;
x3
lim -------
lim
x3
--Л , .  = -oo
2(x+ I)2
горизонтальных асимптот нет.
Рассмотрим
3
---7П " lim
k = lim = lim
x3
2x(x + I)2
lim
1_____1
1V 2‘
Заметим сразу, что
lim
1
1>2	2 '
177
Далее,
b — lim	lim ---------
x^+oo	x-+=°<2(x + l)2	2,
lim	~*3~ 2x2- x „
x — +oo	2(x + I)2
Таким образом, график функции имеет наклонную асимптоту у = - х - 1.
2
5.	Вычислим первую производную и исследуем ее знаки (рис, 12.7):
1 х® = 1 х2(.г + 3) ф
2 (х + 1)2 = 2 U+ 1)« ’
у' > 0 для х е (—=°; -3) и (—1; О) и (0; 00) — функция возрастает;
у" < О для х £ (-3; -1) — функция убывает.
f -—.—
У +
Рис, 12.7
В точках х = -3 и х = О производная у' — 0, но в окрестности точки х — — 3
она меняет знак, поэтому в точке х — — 3 функция имеет экстремум (максимум);
в окрестности точки х = О производная у' не изменяет знака, следовательно, точ-
ка х = 0 не является, точкой экстремума функции.
? q\3	о?
Вычислим значения: у(-3) “ —4 f—- " - — :	у(0) = 0.
2(-3+1)2	8
В точке х == -1 производная у' не существует, но в этой точке не существует и
сама функция, поэтому х ” -1 не является критической точкой для производной.
6.	Вычислим вторую производную и исследуем ее знаки:
„ _ 1 (Зх2 + 6х)(х+ 1)3-З(х3 + Зх2)(х + I)2 = Зх .
2	(х + 1)6	(х + 1)4’
у" < 0 для х €	-1) U (—1; О) — функция выпукла вверх;
у" > 0 для х е (О; «?) — функция выпукла вниз.
В точке х = 0 у" = О и в окрестности этой точки вторая производная изменяет
знак, значит, в точке х = б функция имеет точку перегиба.
7.	Результаты этих исследований наносим на график (рис. 12.8).
178
Построить графики функций:
12.263. у = 3 Ух - х.	12.264. у ~х71-х.
12.265. у = 2х - 3	.	12.266. у =	.
12.267. у = 3 2х. .	12.268. у =	.
(х-2)2	X2 4- 2х
12.269. у хе~^2.	12.270. у = x2eVx.
12.271. у - -. *	X	12.272. у = х2е-^2.
12.273. у = — . In X	12.274. у =	.
12.275. у =	.	12.276. у = (2 + х2)е-*2.
12.277. у = (х - 1) е1х.	12.278. у = In -Л-.
	X - 1
12.279. у = V1 - х3 .	12.280. у = In (1 + е х).
12.281. у » х +
2
12	.283. у = (2х - 1)ех .
12	.285. у = (х - l)3/^.
12.	287. у - х Inf е - -М.
у 2 I Зх;
12.282. г/-
12.284. у = х arctg х.
_1
12.286. у = хе х .
12.288. у - | |х3 - 8|.
12.290. у = ——-------
х2 + 2х + 3
12.289. у = х2 In х.
13. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
13.1.	Область определения, способы задания,
линии и поверхности уровня
Если любой упорядоченной паре чисел (х, у) из некоторого числового
множества D = {(х, р)} поставлено в соответствие согласно некоторому
правилу f число z из множества Z, то говорят, что на множестве D
задана функция а = /(х, р). При этом переменные х и у называются
независимыми переменными (рати, аргументами)* а переменная г - за-
висимой переменной или функцией двух переменных. Множество
D = {(х; у)} называется областью определения функции, а множество
Z = {/(х, у)} — множеством значений функции.
179
Каждой упорядоченной паре чисел (х, у) при фиксированной прямо-
угольной системе координат соответствует единственная точка М плос-
кости хОу и, наоборот, каждой точке М соответствует единственная упо-
рядоченная пара чисел (х, у), поэтому функцию двух переменных иногда
удобно рассматривать как функцию точки М и записывать в виде
z = ДЛТ). Область определения в этом случае рассматривается как неко-
торое множество точек плоскости.
Аналогично можно определить функцию любого конечного числа не-
зависимых переменных z = f(xlf хг, xtt) или z — f(M), где М — точка
в пространстве п измерений М е D — {(хг, х2.х„)} с Я".
Геометрическим изображением функции г - fix, у) в прямоугольной
системе координат Oxyz (графическое задание функции) является неко-
торая поверхность. Графически задать функцию трех переменных
и = fix, у, z) уже не представляется возможным.
Линией уровня z = с функции z = f(x, у) называется линия на плос-
кости fix, у) ~ с. В каждой точке, лежащей на этой линии, функция
г = fix, у) принимает значение, равное с. Поверхностью уровня и = с
функции и — fix, у, z) называется поверхность /(х, у, г) = с, в точках
которой функция и = fix, у, z) сохраняет значение, равное с.
Функция двух переменных г fix, у) может быть задана таблично.
Найти области определения функций:
13.1.	z = х + у. 13.2. z —	_ 1 _ — . 13.3. z = Jxy .
— х2 — у2
13.4.	z = yjx . 13.5. z =	1	. 13.6. z = arcsin(x + у),
jx^ + y^-4:
13.7.	и = ln(x2 + у2 Ф z2 - 1).	13.8. и — Jx + y +z .
13.9.	и - -У?— .
13.10.	Найти область определения и множество значений
таблично заданной функции:
Стоимость автомобиля z (тыс. руб.) в зависимости от количества
покупаемых автомобилем х и комплектации у
Количество автомобилей в партии	Комплектация автомобиля		
	'	I	II	Ш
1—3		10,0	10.5	11,0
4—7	9,7	10,1	10,5
8—15	9,6	10,0	10,3
Более 16	9,5	9,8	10,2
180
Построить линии уровней следующих функций (для 2—1,
2, 3):
13.11. 2 -	X + у.	13.12. г = х2 - у2.	13.13. z	.
			У
13.14. 2 =	х 2 4- у2 4- 3.	13.15.2= X2	13.16. z= ji
13.17. 2 =	In (ху).	13.18. z = ехУ.	
Построить поверхности уровней функций (для и = О, 1, 2):
13.19. и - 2х + у + 32. 13.20. и х2 4- у2 + 22.
13.21.	и = 4х2 + 9z/2 + z2.
13.2. Частные производные.
Производная по направлению. Градиент
Частные производные первого порядка. Частной производной от
функции z = f(x, у) по независимой переменной х называется конечный
предел
lim /(хч-Лх у)-/(х, у) „ lim _ Эх _ f, (Х f
дг — о	Дх	Дх —* О ах дх
вычисленный при постоянном значении у.
Частной производной по у называется конечный предел
lim	= lim _ a* = f.(Xj у
Ду - О	&У	Ajr -Q &У dy *
вычисленный при постоянном значении х.
Для вычисления частных производных можно воспользоваться обыч-
ными правилами и формулами дифференцирования.
13.22. Найти ~ и
dx di/
если z — х2 4- Зх-Уу — у 4-	.
Р е ш е и и е. При вычислении т—
dx
переменная у рассматривается как постоян-
ная величина:
^-2х + ЗЛ-^.
Рассмотрим теперь переменную х как постоянную величину:
дг
= Зх—?— - 1 +	.
2jy *
181
13.23.	Найти — и , если z = Хуе*г_у2.
Эх Эх/	*
Решение. ~ "P(ex®-№ + 2х2е*г ); ~ - *(ед2^2 - 2х/2е*г'№).
Эх	Эх/
13.24.	Найти ~ и , если и = Vs cos2 t.
ds dt
Решение.	~ cos2 t; ~ Js - 2 cos t  (-sin f) = — Js sirr2t.
3s 2Js dt
13.25.	Показать* что функция и = Jx2 + i/2 + z2 удовлетво-
/ЭиА2 । fdiA2 j /ЭйА2 -
ряет уравнению uf +	+	= 1.
kdx> kdjM коз?
Решение. Находим
Эм	х	х	<
_ “	—— (при постоянных у и з);
э* 7ТТ7772
Э м
г-— =  - - - " -- (при постоянных х и я);
3» ,£77777
Эм	2	,	. •
—- = .___- ___ (при постоянных х и у).
аг Z77777
Возводим эти выражения в квадрат и подставляем в левую часть заданного
уравнения:
j.2	>2
— Х .. + ----£.---- + ________ - 1.
x2 + y2 + z2	x2 + y2 + z2	хг + уг + г2
Пол у чаем тождественное равенство t т.е. функция м удовлетворяет уравнению-
Найти частные производные от функций:
13.26.	z = 2х2 - ху2 4- Зх2у - 2у3 + Зх — 4z/ + 1,
13.27.	и =г/х3 + хг2 + у22, 13.28. и = s3 cos 4£.
13.29.	z 4- Л • 13.30. z In (х2 + у2). 13.31, г =	.
у х3	х + у
X __2_
13.32.	и = ехУДх2 + у2 + г2). 13.33. и = еУ + е .
13.34.	2 = xjy +	. 13.35. 2 = хуех+гУ.
13.36.	z = In (х + In у). 13.37. 2 = е3хй + 2^2 хи .
г
13.38.	и — tg  13.39. 2 = arcsin Jxy .
182
Показать, что данные функции удовлетворяют приведен-
ным уравнениям:
13.40. z	= л/х cos - ; У	ах	+ У— = -  «У	2
13.41. г	__ X2 1X11 _ 1 . 2у 2 х у ’	дх	+ у^ =^-. Эу у
13.42. z	= У 1п (х2 - у2);	1 dz х дх	4- 1	= z у ду у2
Производная по направлению. Пусть z ~ /(х, у) определена в не-
которой окрестности точки Л£(х, у), пусть = (cos a, cos 0) — единич-
ный вектор, задающий направление прямой L, проходящей через
точку ЛГ(х, у). Выберем на прямой L точку Мi/Xp уг) = Af(x, у) + т  Z°
(рис. 13.1). Рассмотрим приращение функции Az = з(Мг) - z(Af) =
= f(x + т cos а, у + т cos 0) — f(x, у) в точке Af(x, у).
Предел отношения lim х- * г ?°3.°:> У.+ У., если он сущест-
т — О	т
вует, называется производной функции z = f(x, у) в точке Af(x, у) по
направлению 1° = (cos a, cos 0) и обозначается .
а/
Если функция z = f(x, у) имеет в точке Af(x, у) непрерывные частные
производные, то в этой точке существует и производная по любому на-
правлению, исходящему из точки ЛГ(х, у); вычисляется эта производная
по формуле	cos а + cos В, где cos а и cos В — направляющие
dl ox	dy
косинусы вектора ZD.
183
13.43.	Вычислить производную функции Z ="= х2 + ху + у2 +
+ 2х 4- 2у в точке М(1; 1) по направлению вектора I = (3; 4).
Решение. Находим единичный вектор i°, совпадающий с направлением век-
тора I (т.е, найдем орт вектора 1)\ 1° = Д = f ~	, т.е. cos а = - , cos (J = - .
|I|	\5	5)	5	5
Находим частные производные £5 = 2х + у + 2,	~ = х + 2у + 2 и вычисляем
дх	ду
их значения в точке М(1; 1):
	£5-21 + 1 + их	2-5,	дг ду	-1+2-1 + 2-5.
Тогда	Эг	- 5- -	Я- 5 	- = 7.
	д1	5		5
Градиент. Градиентом функции z = /(г, у) в точке М(х, у) называется
вектор с началом в точке ЛГ0, координаты которого равны соответству-
ющим частным производным и
~ , вычисленным в точке М(х, у),
ду
Градиент обозначается grad г = ( 5- , ^5 .
Wx ду)
Аналогично определяются производная по направлению и градиент
для функции трех переменных и =* /(х, у, г) в точке М(х, у, z):
Эи Эи . Эи	и । 3и
Й-KOTSa+^o°s|i+iSTOSY;
gradU(M)=f^,
\дх ду dz)
где cos a, cos 3, cos у — направляющие косинусы единичного вектора Р.
Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего воз-
растания функции и = f(M).
13.44.	Найти градиент функции и = х2 4- Зху2 - z3y в точке
М(-2; 3; -1).
*
Решение. Находим частные производные данной функции:
— = 2х + Зуг; - вху - г»;	- -3zay.
Эх	Э4/	Эг
Вычисляем значение этих производных в точке ЛГ(—2; 3; -1):
= /;(-2; 3; -1) - 2 • (-2) + 3  З2 - 23;
= Щ-г-, 3; -1) =- 6 • (-2) * 3 - (-1)г - —35;
3; -1} --3  (-1)2 3 --9.
Окончательно получаем grad и(М) — (23; —35; —9).
184
Найти производные приведенных функций по направлению
вектора I в заданной точке:
13.45.	z = х3у - 5ху2 + 8, I = (1; 1) в точке Мо(1; 1).
13.46.	z = In (У-Д*2) . I = (6; 8) в точке 2И0(1; 2).
13.47.	z “ In (еж 4- е^), I = (1; 1) в точке М(х,
13.48.	и - агссов г о *	1	= (2; 1; 2) в точке ЛГ0( 1; 1; 1).
^х2 + у2
13.49.	Найти производную функции и — In (х2 + у2 4- 22) в
точке ЛГ(1; 2; 1) по направлению вектора MN, где ^(3; 6; 5).
13.50.	Построить линии уровня функции z = 4 — х2 — у2.
Найти величину и направление градиента grad z в точке
Мо(1; 2).
13.51.	Построить поверхности уровня функции и - — 4-	4-
а2 Ьг
2
4- ~ т найти grad u(7W0) в точке ЛГ0(а, b, с),
с-
Найти grad z и [grad sr|:
13.52.	z = -- -ЖУ-- в точке Afo(O; 3).
X2 + у2 + 1
13.53.	г = (х — у)2 в точке jWq(1; 1).
13.54.	2 - е(х^ + ^)/(2ху) в точке мо(1; 1).
Найти grad и(Л/0) и [grad zz( Al0)j:
13.55.	а) и = х2 + у2 — z2 в точке Af0(2; 0; 3);
б)	и = 4 — х2 — у2 — 22 в точке 7ИО(3; 2; 1).
13.56.	и = Vлг2^у2 + z2 в точке Af0(3; -1; 2).
13.57.	и = “~2 “ g2 + f в точке М0(а, Ъ, с).
13.58.	и xyz в точке ATq(3; —1; 2).
185
13.3. Дифференциал
Полное приращение дифференцируемой в точке Af0(x0, jy0) функции
г — f(x, у) можно представить в виде
Дг = Дх0 + Дх, у0 + Л г/) - f(x^ =
. = f'x(xo*	Уо№у + МДх, Ду)Дх + е2(Дх, Др)Ду,
где £] и £2 — бесконечно малые функции при Дх —> О, &у —> О.
Дифференциалом dz дифференцируемой в точке М функции г =* f(M)
называется главная, линейная относительно Дх и Ду, часть полного при-
ращения этой функции, т.е. dz = ffx{M)&x + /'(ЛГ)Ду. Если принять
приращения аргументов Дх и Ду равными их дифференциалам,
т.е. Дх - dx, Ду — dy, то дифференциал функции можно записать сле-
дующим образом:
dz - dx + dy.
Из определения следует, что dz ~ &z, т.е. при достаточно малых Дх и
Ду полное приращение функции приближенно равно ее дифференциалу.
13.59.	Найти дифференциал функции г = ех^ .
Решение, Находим частные производные
- Г =	= f'v = е**» х\
dx	dy *
а затем дифференциал
dz = Йхуех^ dx 4- xaejE^ dy.
Найти дифференциалы следующих функций:
13.60. z = 2х2 — ху + 3i/3.
13.62. г = In (Зх 4- 2у).
13.64. z = хи.
1
13.66. z = ху arctg ~ .
X
13.68. z = есоз2(х2 + ^г).
13.70. и = tg2 .
2*
13.61. 2 = Jx2 - у2 .
13.63.	2 - 2*У.
13.65.	г = arcsin .
2х + у
х
13.67.	z = ехе^ .
13.69.	и = ех»2.
13.71.	и = ех (cos у + z sin х).
186
13,72.	Вычислить приближенное значение </tg32,4 +Зе®>^ ,
исходя из значения функции г — Vtg‘3x + Зе^ в точке М(х, у)
при х =	= 2,36, у =« О.
4
Решение. Находим значение, данного корня из соотношения
+ Зе®'01
+ 3е° + dz — л/2 4-ds,
при этом ds вычисляем как приращение функции,-обусловленное приращением
аргументов Дх ™ 2,4 - 2,36 = 0,04, Ду = 0,01. Имеем:
3 tgzx—?~—
, dz ,	, dz ,	eoszx , „ . ЗеУ , .
dz = 5— dx 4- т— dp = —	— dx 4- —	— dy;
"V 2jtg3x + 3e^	2 Vtg3x + Зe^
3 tgsf—)____-___
V 4 у 3 лсЛ
d2(M) -	_______J _ 7 0,04 + —	3e_____— 0,01 »
2 kgaf^A + 3e°	2	4-Зе®
\ 4 7	\ k 4 J
3<-1)2Hjj5
= --------J!L_ 0,04 4- ___-____ 0,01 = 6 °’04 + 3 ~ 0,01 -	= 0,095.
2j(-l)3 + 3	27(-l? + 3	2Л 2^2	2j2
Тогда -?tg32,4 + Зе0-91 - J2 +	- 1,509.
2j2
13.73.	Вычислить приближенное значение 3,012,03, исходя
из значения функции z = при х — 3, у = 2, заменяя ее при-
ращение дифференциалом.
13.74.	Вычислить приближенно In (8,001 4- 0,993), исходя
из значения функции z = 1п'(х3 + у3) при х ~ 2, у “ 1.
13.75.	Вычислить приближенно Z/3,61 — 0,05 2 , исходя из
значения функции z = а/^2 — У2 при х — 2, у - 0.
13.76.	Вычислить, на сколько процентов приближенно из-
менится спрос, описываемый функцией z — 5474е^^Л+^2, где
п “ число производителей товара, ар — цена товара, если чис-
ло производителей товара уменьшится на 1% , а цена возрастет
на 1 % . На рынке товара имеется 7 производителей, цена това-
ра составляет 3 ед.
187
13.4. Частные производные высших порядков
Пусть функция z = f(x, у) имеет первые частные производные
'AAA ?	в точке Af(x, у) и в каждой точке некоторой окрестности
dx	dy
точки Л4(х, у). Тогда частные производные от частных производных
и	называются частными производными второго поряд-
ка (вторыми частными производными} от функции z = /(х, у) в точке
М(х, у). Частные производные второго порядка обозначаются
5 f
дх \ЭхУ
Э22
Эл2
= /лл(М);
Э (Эг)
ду \3х7
Эг2
дудх
- Ц'Х(МУ,
Э
Эх
dz]
ду)
= ~~ -
dxdy *
а ГЭ£> =
ду \ду) ду2

Аналогично определяются и обозначаются частные производные -
третьего порядка и более высоких порядков, например:
д (д22\
Эх \Эх2/
Э /d2g'i = d3z
Эу \Эх2-' ЭуЭх2
= fyix (Af);
Э ( Э2? >1
Эх 1ЭуЭх7
53z
Эх2Эу
=	= f"' (ЛГ> :
-X о	f XXX VrjL ' *

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение
«смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования,
т.е. & 2 d z дто положение распространяется и на частные произ-
ЭхЭу ЭуЭх,
водные более высокого порядка.
13.77.	Найти вторые частные производные функции
Z = ху In 5 .
Решение. Вначале находим частные производные первого порядка:
Далее находим
А =„5' 1 = у .	э3* = A = in £ + 1 + иУ Г-Al = 1л - ;
Эх2 Эх \Эх/ ху х’ Эудх dy LdxJ у ^х I у2) у
Э2г _ Э _ у Г__________х_
Эу2 Эу \Эу2 х I у2
X
У ’
188
13.78.	Проверить, что	, если z = sin х tg у.
дхду дудх
3 2* '	3 £	1
Решение. Находим — = tg у cos х;	-= sin х -— . Далее,
dx	оу	cos? у
д |'3z\ _ coax.	д (dz'} „ cos х Г1„Л„„„,ГЛ 4гЛЛ Э2з _ d2z
dy ldx7 cos2y	dx kdjM cos2y	dxdy dydx
Найти вторые частные производные от заданных функций:
13.79.	z = Зх2 + 2ху2 — 4ху + х2у — у3.
13.80. и =ехУг.
13.81. и = sin (—.
\ Z J
13.83. z = In tg .
х~У
13.82.	г = arcsin (х + у).
13.84.	z = х sin ху + у cos ху.
13.85.	z = х2 In (х + у). 13.86. г = х2 sin >Уу . 13.87. z = х&.
Проверить, что	для функций:
dxdjj dz/dx
13.88-	z -	•	13.89. z = уех. 13.90. z = sin x cos 2y.
13.91.	z - у In x. 13.92. z = ex + ^2. 13.93. z - arctg .
xy
_	дЗг	дз2
Проверить, что \	~	~ для функции:
дуЭх2 dxdydx
13.94.	z = х sin. у. 13.95. z = ух In (х + у).
13.96.	z = ух2 + хУг .
13.97-	Показать, что функция z = удовлетворяет урав-
нению
Э2г । g ^Zz । d2z __	2
дх'2 дхду ду2 х-у'
13.98.	Показать, что функция z= уех2~У2 удовлетворяет
уравнению ~ ~	= -^ .
х Эх у ду у2
13.99.	Показать, что функция и = f(x)g(y)h(z) удовлетворяет
9 д
уравнению uz_ _ _
ди ди ди
дх ду dz
189
13.5.	Экстремумы функций двух переменных
Функция z = f(x, у) имеет максим ум (минимум} в точке Af 0(х0, yQ), если
для любой точки	у), находящейся в некоторой р-окрестности точки
М0(х0, у®}, выполняется условие /(х0, ,у0) > f{x, у) (f(x0, у0) < f(x, у));
р-окресттгость можно представить множеством точек М(х, у), координа-
ты которых удовлетворяют условию J(x — х0)2 + (у ~ у$)2 < р, где р —
положительное достаточное малое число.
Максимумы и минимумы функции называются экстремумами,
aAf0(x0, j/0) — экстремальной точкой.
Теорема (необходимые условия экстремума). Если г = /(х, у) — диф-
ференцируемая. функция и достигает в точке A/q(x0, f/0) экстремума,
то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю:
Эг(Ми) _ dz(JH0) =
Эх ’ Зу
Точки, в которых частные производные первого порядка обращаются
в нуль (или не существуют), называются критическими или стационар-
ными. Исследование их на экстремум проводят с помощью достаточных
условий существования экстремума функции двух переменных.
Пусть Af0(xo, j/0) — стационарная точка функции z f(x, у). Для ее
исследования сначала вычисляют частные производные второго порядка
в точке ЛГ0(х0, уоу.
Э2г(М0)	Э2г(М0)	32z(M0)
’	’ ЭхЭу	’ Зу2 Ст
а .затем дискриминант А = А.С — В2. Тогда достаточные условия экстре-
мума функции г — /(х, у) в стационарной точке М0(х0, у0) запишутся в
следующем виде:
1)Д > 0 — экстремум есть, при этом, если А > О (или С > О при А = 0),
в точке Af0(X{j, t/g) функция имеет минимум, а если А < 0 (или С < О
при А = 0) —- максимум;
2)	А < О — экстремума нет;
3)	А = 0 — требуются дополнительные исследования.
13	.100. Найти экстремум функции г = | х2 4* 2ху — iz/2 —
1	A	А
— 5х — у 4- 2,
Решение. Находим частные производные первого порядка;
|^=Зх + 2у-5; ^-2х-у-1.
йх	сф
Находим стационарные точки, используя необходимые условия:
[Зх-н2^“5 — 0,
[2х - у - 1 = 0,
190
Решая систему, получаем дг0 ™ 1,	- 1, следовательно, Af0(lj 1) есть стаци-
онаряая точка.
Находим значения вторых частных производных:
Э22 з д.	Э22 = 2. Э22 =
Зх2 * ЭхЗу * Эу2
Значения производных не зависят отх и у, поэтому вычислять их величину
в стационарной точке нет необходимости. Вычисляем дискриминант Д = 3(—1) —
- 22	"7 < О, следовательно, в точке Мо(1; 1) функция не имеет экстремума.
13	.101. Найти экстремумы функции z = (2х2 4- i/2)e (xZ + fz>.
Решение. Находим частные производные первого порядка:
j£ = 4д:е-(*а + £^ + (2х2 +	+	(~2х) - е-(*а*^>[4х - 2х(2х2 + </2}];
дх
dz
ду
= 2уе*<**	+ (2хг + 1/2)е“^г + *г>(-21/) = е~(*я + *г) [2 г/ - 2г/(2х2 + у2)].
Решая систему
! е-(*г + ,чг)[4х - 2х(2х2 + у2)] = О, (2х(2 - 2х2 - у2) = О,
1	ИЛИ 1
[	+	- 2у(2х2 + у2)] = О, [2у(1-2х2-у2) = О,
находим стационарные точки: Л1о(О; 0), Afj(D; 1), Afa(O; -1), Л£3{1; 0), Af4(-1; 0).
Находим вторые частные производные:
= е-<*а + ^>(~2х)(4х - 4х*~ 2ху2) + е~<*г+*вЦ4 - 12х2 - 2у2) •
- еЧ*г + 0я)(8х4 + 4хгу2 - 20х2 - 2у2 + 4);
= е-(*г + ра)(-2у>(4х - 4ха - 2ху2) + е"<г2 + ^а>(-4ух) -
dxdy
= е~иг + !,г) (8ух3 + 4ху3 - 12ху);
- е-^ + ^(-2у)(2у ~ 4у*г - 2уа) +	- 4х2 6уг) =
dy2
= е~(*3 + ^> (4у< + 8у2х2 - 10у2 - 4х2 + 2).
Для каждой стационарной точки вычисляем соответствующее значение диск-
риминанта:
1)	Мо(О: 0): Aq - 4; Во ~ 0; Со = 2; Дд = А0С0 “В2; До = 8 > 0, Aq > 0 -
в точке ЛТЧ(О; О) функция имеет минимум г1П1п = 0;
2)	Af](O: 1): Aj - 2/е; В, — 0: С, - -2/е;	= -4/ей <0 — экстремума нет;
3)	М2(0; -1): А2 = 2/е; В2 = 0; Сг = -2/е;	“ -4/е2 <0 — экстремума нет;
4)	М3(1; 0): А3 = -8/е; В3 = О; С3-2/е; Д3 16/е2 > О — экстремум есть,
А3 < 0, в точке М3(1; О) функция имеет максимум zmajt — 2/е;
5)	М4(-1; О): А4 = -8/е;	== О; С4 = -2/е; Д4 = 16/е2 >0 — экстремум есть,
А4 < О, в точке Af4(-1; Q) функция имеет максимум zmax = 2/е.
191
Найти экстремумы функций:
13.102.	z = х2 - ху + у2 + 9х — бу + 20.
13.103,	z = ху2 — ху — ху3 (х > 0; у > 0).
13.104.	г = Зх2 - х3 4- Зу2 + 4у.
13.105.	z — у *[х — у2 — х + бу.
13.106.	2 - е2 (х + у2). 13.107. 2 = 4“ Зл/х2 + у2 .
13.6.	Условный экстремум
Рассмотрим функцию 2 — ftx, у), определенную и дифференцируемую
в области G, координаты точек которой удовлетворяют системе уравне-
ний связи G = {(х, у) j <р;(х, у) = О; i = 1, 2, .т). В этой области нужно
найти такую точку М0(х0, у0), чтобы выполнялось условие f(M0) > ftAf)
V М\х, у) Е G. Такие задачи называются задачами отыскания условного
экстремума функции г = f(x, у).
Для отыскания условного экстремума исследуется на обычный экс-
тремум функция Лагранжа
Их, у, А,) = ftx, у) +	у).
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа, имеют вид
Эх	Эх	(Эх	’ (11
аь $У	а11 + 2.Х|а? ’ °’ i = ]
dL ал;	=* о.
1*1,2, ..., т.
Из этой системы т + 2 уравнений с т + 2 неизвестными находят зна-
чения неизвестных х, у, A.,- (i = 1, 2,	m). Числа Xf называются коэф-,
фициентами Лагранжа.
192
13Л08. Найти экстремумы функции z — 2х + у при условии
х2 + у2 = 5.
Решение. Составляем функцию Лагранжа: L(x, у, X) = 2х + у + Х(х2 + у2 - 5).
Находим частные производные и составляем необходимые условия экстремума
функции Лагранжа*
3L	1
— = 2 + ЙХх = 0, ох	* " Л’
^"i + ax^o, =>• |5 = х2 + !,2-в = О	1 Л 2Х’ !j_	1	5 'V + 4X2
Я i-чГм II гй	II i r-i It Oq 1	(N It	II Ц	К 1Г |СЧ +1 11 я	гм |«ч и 11 W i 1 е	тн S *
В данном случае ф{лг, у) = х2 -+ у2 - 5.
Для исследования на экстремум в полученных критических точках вычис
д<р Эф d2L dzL Э2£
ляем значения	:
Эх оу Зх2 охоу ду2
= 2х,	= 2у,
Эх ’ ду *
Эх2
дхду	Эу2
и составляем определитель
О
<Px(AfgA.O)
фу (А10Л0)
Ф х о^д)
(М0А.0)
(М0Х0)
ф'у(МчЛ0)
^(М0А0) •
(М0л0)
Если Д < О, то г — 2х 4* у имеет в точке ЛОДхд, у$) условный максимум, если
Д > О — то условный минимум.
Итак,
О -4 -2
-4 10
-2 0 1
- 4 + 16 - 20 > 0, следовательно, в точке Л/о(-2; -1) ус-
ловный минимум, 2|nln — -5;
0 4 2
4-10
2 0-1
= -4-16--20 < 0, следовательно, в точке Afj(2; 1) условный
максимум, zmax = 5.
7 Сборник задач ио высшй математике
193
Найти условные экстремумы функций:
13.109.	г = х2 + у2 - ху + х + у - 4 при х + у + 3 = 0.
13,110.	2 - 1 4- при х + у = 2.
X у
13.111.	2 ™ ху% При X + 2у = 1.
13.112.	2 = X 4- 2у при X2 4- у2 = 1.
13.113.	2 = х 4- у при -L + -L = 1
х£ у* 2
13.114.	Предприниматель решил выделить на расширение
своего дела 150 тыс. руб. Известно, что если на приобретение
нового оборудования затратить х тыс. руб., а на зарплату вновь
принятых работников у тыс. руб., то прирост объема продук-
ции составит Q = 0,001x°’6z/°’4. Как следует распределить вы-
деленные денежные ресурсы, чтобы прирост объема продук-
ции был максимальным?
13.115.	Общие издержки производства заданы функцией
ТС = 0,5х2 4- 0,6ху 4- 0,4j/2 4- 700х 4- бООу 4- 2000, где х и у —
соответственно количество товаров А и В. Общее количество
произведенной продукции должно быть равно 500 ед. Сколько
едцниц товара Д и В нужно производить, чтобы издержки на
их изготовление были минимальными?
13.7.	Метод наименьших квадратов
В экономической практике часто требуется представить наблюда-
емые (измеренные) данные в виде функциональной зависимости. При
этом предполагается, что вид функциональной зависимости известен
(например, в результате ранее проведенных исследований), и требуется
определить только параметры этой зависимости.
Пусть в ходе исследования (например, покупательского спроса) по-
лучена следующая таблица, где х — аргумент (цена товара), а у — функ-
ция (количество товара):
X	xi !		'	*3		
У		У2	Уз	.. 1.	
Требуется по этим табличным данным получить функциональную
зависимость (кривую спроса). Для оценки вида функциональной за-
1,94
ви с им ости представим данные таблицы в виде точек на плоскости
Основываясь на графическом представлении, можно предполагать,
что эта функциональная зависимость либо линейная: у = ах + Ъ
(линия 1); либо квадратичная: у — ах2 + Ъх + с (линия 2).
Метод наименьших квадратов предусматривает нахождение пара-
метров а, b (а, Ь, с) этих зависимостей из условия минимума суммы
квадратов отклонений:	- 
для линейной зависимости
; &) - £ А? - £ [(ах( + &) - ^]2 -> min;
i=l	i-1
для квадратичной зависимости
Ф(о, Ь, с) ^А?	^[(ахг2 + bX' + с) - yj2 “* min.
i=l	i=l
Тогда из условий = О, - О получаются формулы для опреде-
da	ой
лени я коэффициентов линейной зависимости:
+	- £x(g(>
i=l	i=l i=l
195
а из условий = О, ^2 = О, ^2 ~ О — формулы для определения
да	до	ас
коэффициентов квадратичной зависимости:
п	л	п	л
, il = l	i-J	J=1
> л	л	д
aX^+fcXx‘+nc = 5Х
' i=l	1=1	►=!
13.116.	Найти квадратичную зависимость для следующих,
данных (см. задачу 10.2):
	' 1,7	1,9	2,0	2,1
II	27	25	19	9
Решение. Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые вы-
числения:
п	X;	и.	х?		Xi'	xeyf	? xfATi
1	1,7	27	2,89	4,913	8,3521	45,9	78,03
2 .	1,9	25	3,61	6,859	13,0321	47,5	90,25
з	; 2,о	19	4,00	8,000	16,0000	38,0	76,00
• 4	2,1	9	4,41	9,261	19,4481	18,9	39,69
1Ма	7,7	80	14,91	29,033	56,8323	150,3	283,97
Система линейных уравнений для определения величин ат Ь, с примет вид
; 56,8323а+ 29,03305+14,9J0Dc = 283.97,
29,0330а + 14,9100b + 7,7000с = 150,30,
14,9ЮОа +7,70005 +4с 80.00.
Решив систему, получим значения а, 5, с. Функция спроса будет иметь вид
Q » 0.02Р2 - 16,64Р - 6,67.
13.117.	Получить линейную зависимость у = ах + b по сле-
дующим данным:
X	1	2 ;	з ;	4	: 5 '	6 :
у	6	8	10	9	; 12	
196
13Л18. Получить линейную зависимость Р aQ + b по сле-
дующим данным:
i Q	48	10	। 28 1 2 3	38	13	23
! Р	2,5	0,7	!,5;	2,1	0,7	1,5
13.119.	В результате исследования зависимости между сро-
ком эксплуатации автомобиля и расходами на его ремонт по-
лучены следующие данные:
г, лет	1	2	з 	। 4 5 !	, 5 •	6	7	8
S, тыс. руб. -					—	—	J	120	140	: 230	' 370	445 ;	570	655	770
Найти:
а)	линейную зависимость стоимости ремонта автомобиля от
срока эксплуатации;
б)	предполагаемую величину затрат на ремонт за 10-й год
эксплуатации.
13.120.	Прибыль предприятия за некоторый период де-
ятельности по годам приведена ниже:
Год t	1	2	3	4	5	6	7
Прибыль л	54	57	62	65	67 '	, 69	70
Требуется:
а)	составить квадратичную зависимость прибыли по годам
деятельности предприятия;
б)	определить ожидаемую прибыль для 8-го года деятель-
ности.
ПРАКТИКУМ 1
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
1. Вычислить предел (табл. 1).
2. Исследовать функцию (табл. 2) и построить ее график.
3. Найти частные производные второго порядка функции
многих переменных (табл. 3).
4. Найти экстремумы функции двух переменных (табл. 4).
5. Найти параметры линейной зависимости (табл. 5) мето-
дом наименьших квадратов.
197
Таблица 1. Варианты задания 1
Вариант	Предел		Вариант	Предел
1	11m	+	, п — (2п - 2)48{ц + З)2		16	lim	x 	 ^4l + 2x4
2	lim | re— “	। STe 1	17	lim * 137r -1
3	lim I л -• «	f	9 \n+3 1- — 1 < 3^7	।	18	e*-l In (1 + 2x)
4	lim /J. —* СО	e _ . Й 1 £?	19	1_~ * 1 lim (l-4x) x jt —* 0
5	lim Л -И ОС 4Л ™ 3Л		20	lim x^o 2x3
' б	lim	' 3x2	-'I Г^"2 + И Ц-х2	J	21	lim Ь‘ x — 0 Ct? X
7	2х3-3	' 11Ш 	 х “ Л® + 2х - 3		22	lim tg^sinx x — 0 x - sin x
8	lim л^«(3п + 2)57(п^3)3		23	Hm x -* 0	x3
9	lim я — «• '	CO?? 1 4	J	i 24	:	lim ^cos2x x — 0 x sin x
10	lim rt — с»'	'	a x П"2 . 4nJ	25	,	lk	sin 4x 1	hm .		 ^’O.A + 1-1
11	lim rt -*«*	' n у s/X - 2}	26	lim fiin 3* 3-72x+9
12	Um ^-5» rt- оо2л + 5й		27	lim X “* 0	x2
13	( X2	-I		28	lim 12-2* r - 0 ctg X
14	lim	i x ’* “ Jxs + Зл’4 - x	!		29	lim JIL2L x — 1 1 - X2
15 1	lim x 1 In X	1		30	£ 3x 	 t	i Um ;——— x-oln(l+3x) "
198
Таблица 2. Варианты задания 2
Вариант	Функция	1 Вариант	।	Функция
1	JC4 и w Ч 1 Н II 		! 16	и = 2 In —-1 J	X- 2
2	1/ = х2е *	17	_ 2х3 — 5х2 + 14 х - 6 4х2
3	у = X + 3 ^/х2	18	у = -(х + 1)ел+2
4	з ,	'i у = 2х ’"Ч з^1	19	II Н] + to
5	X3 + X у = 		₽ х2 + Зх + 3	20	!	О 1 Г и - 2я In е — k XJ
6	у = !i/x2 е*	21	.	_ х3 + Зх2 - 12х + 8 I У	Зх2
7	1 ’-*  i + н L* II э>	22	л.лг+3 У х + 3
8	У = 3 - 3 In -2Ц- х + 4	23	у = (х + IjVx2
9	*3 х2 + 2х - 3	24	X , f 3	1 \ v 3 1П Iе ~2i)
10	₽х/2 X4	25	1	,,= x3 + l x2 - 2x + 2
11	У = V1 + Xя	26	1 y- 1 e2x  2x	,
12	у “ In (е+ 2	\ х)	1 27	y~ *2-±3	1 Jx2 + 1
13	.11 ч 1 н  ы м	28	у = In (e2 + - ] 5.	\	xj
14	* ех+4	29	И 1 J 1 u bi
15	У =	х ,_ V(x-2)2	‘	30	03 i 1 № H 1
199
Таблица 3. Варианты задания 3
Вариант	Функция	Вариант	Функция
1	X2 LL ” 	X— у- 2z	16	JI т*й и
2	(	и = х&'	.	17	X Ц = —	- y2-Zz
3	U х2 sin + 2	18	и — у3хе*
4	и = 1ц (х2 + у - 2г)	19	и z sin х cos у
5	х + и2 и = ——— 2а	20	_	* + У U In (г-лс)
6	и ™ хуег	21	u= У2'
7	U = XZ tg Jy	22	и —
8	и = Х&*	23	X И “ '— sin Jyz
9	2х2 + и и = 		 Z + Х	24	и ** ху*
10	1 u — у 2 е А	25	Хг + 2у U=	2
11	u = ху cos а/г	26	и = zy&x
12	и = х In (у + г)	27	u = xy ctg Ji
13	У2 и = ..у .. X + Z	28	u = xy In (y - z)
14	и — х2ге^	29	.	X2 tJ Ц= “2 l/2 + Z
15	и х arctg pz	30 I	и —уег+г
Таблица 4. Варианты задания 4
Вариант	Функция	Вариант	Функция
1	z = 2xa + &xy2 - 30x - 24y	16 1	z = e 2 (x2 + y2)
2	z — x3 - p3	17	
3	z - 6x2y + 2y3 - 24x - 30y	18	1 W । H СЧ I 1
200
Окончанье? табл. 4
Вариант	Функция	Вариант	Функция
4	2 = х3 - 8у3 - бху + 1	19	z = е-2^3 (х2 + у)
’ 5	z = х3 - xi/2 + Зх2 + I/2 — 1	20	г =- --х2 + 8ху - у3 - 13х- 12у, £й
6	z = х2у “ А у3 + 2х2 + Зу2 - 1	।	, 21	z — 2у - у2 - Зх 4- 8у
7	я = х3 + бху + Зу2 “ 18х — 18у	22	г - х2 - 4х Ту - 2х + 5у
8	;	г = х2у - у3 - х2 - Зу2 + 3	23	г - е (5х2 - у2)
9	z — Зх2 - бху - у3 - 12х 4- 12у	24	г =• 2х2 + Зху + 2у3 + 5х	|
10	1г - 2х3 - ху2 +- 5х2 + у2	25	г = ха “ 5ху + 5у2 + 7х - 15у j
11	г х2у - 2у3 — х2 - 5t/2	26	z = 2х2 - 5ху + 2у3 - Зх + 4у ‘
12	z — 2х3 + у2 + бху + 12х	27	z — Зх2 + Юху + бу3 + 2х + 2у - 1
13	'г = 8х3 - уя - 12ху - 1	28	z = Зх3 + 7ху -Ту2- 60х + 2
14	г - 2х3 - 12х2у + 16у3 - 9х2	29	z = Зх2 — 2у Тх + 0т5у2 - 56х
15	г — -Зх3 + бху2 + у3 + 9у2	1 30	г	2х3 + ЗхТу + 18х - 1,5у
Таблица 5. Варианты задания 5
ВярИ’ амт	Линейная зависимость						Вари- ант	Линейная зависимость					
1	*1	1,0	1.5	2,0	3.0	3,2	16		2,1	2,3	3,1	3,8	4.5
	У;	8,1	9,0	11,2	13,8	14.7		9i	-9,3	-7,2	-13,4	-16, Г	-18.9
9	^1	0,3	0,5	0,8	1,1	2,3	1 7	X.	1,1	2,1	3,4	4,3	4.9
£л	Ух	1,4	0,7	-0,9	-2,3	-8,8		У<	-0,8	1,2	3,8	5,4	6,7
3		0,5	0,8	1.2	1,3	4,0	18	Xj	10,1	i 1,5	13~6	16,2	17,5
	У;	v	7,0	9,0	9,3	16,8		У<	0,9	0,8	0,6	0,3	0,2
4	I Xj	1,2	1,7	3,3	4,1	4,3	19		0,1	0,3	0,5	1,2	2,1
	Ух	-3,1 -	-5,6 -	17,1 -	23,1 -	-24,8		У<	1,0	1,1	1,2	1.4	1,6
		0,7	0,9	1,3	1,6	2,3	20		3,2	4,1	5,3	6,7	7,3
и	У;	7,0	8.0	9,0	10,0	12,0		Ух	1,6	1,4	1Д	0,9	0,7
6	*х	-3,4	-3,2	-3,1	-2,5	-1,5	21	х(	1,1	1,3	1,7	1,9	2,2
и	У.	-13.9	—12,9	-12,2	-9,1	—4,2		У! .	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7
201
Окончание табл. 5
Вари- ант	Линейная зависимость						Вари- ант	Линейная зависимость					
7	Xi	i 2,1	2,5	3,0	3,1	3,3	22	xl	2,2	3,1	4,5	5,3	5,7
	Vi	11,1	12,8	13,9	14,5	15,1		у,	0,1	-0,4	-1,2	-4,6	-1,8
Я		0,7	0,9	1,2	1,3	1,7	23	xi	1,3	2,4	3,5	4,1	5,5
о	У:	1,7	1Д	0,8	0,1	-0,5 j		yi	3,4	4,7	5,5	6,5	7,8
л	Ki	-1,1	-0,5	0,2	0,4	0,7	9 J.	Kt	1,9	2,4	3,7	4,3	6,1
	Vi	2,1	3,4	5,1	6,3	6,9		У1	-3,4	-3,8	-4,7	-5,1	-6,4
10	xt	-1,2	-0,7	0,3	1,5	1,7	1 25	xi	-1,1	0,7	-0,5	-0,1	1*2
	Vi	5,7	5,1	0,1	0,2	-0,7'		У1	2,4	2,7	2,9	3,4	• 4,9
11	xi	2,1	3,0	3,2	3,9	4,1	26	Xj	-9,1	-7,5	-2,1	-0,6	2,0!
	У/	3,4	8,1	9,2	12,6	13,3		yi	23,7	19,4	4,8	0,7	-6,3
12	Xi 1	1*7	1,9	2,3	2,5	3,5	27	Ki	4,5	5,1	5,2	6,1	6,4
	Vi	0,1	-0,6	-2,0	-2,7	-5,3		yi :	8,6	10,0	10,3	' 12,8	13,0
13	xi	-0,1	0,2	0,5	0,9	1*2	28	Kl	-3,1	-1,5	-0,7	1,2	2,1
		-7,1	-6,2	-4,3	-2,7	-0,9		Vi	13,6	8,0	5,2	-1,5	-4,6
1 d 1	xt	-1,2	-1,1	-0,9	-0,5	0,1	29	xi ;	1,0	3,7	5,8	6,1	7,2
£ ч	У1	, 8,7	8,1	7,8	6,4	4,5		Hi	2,8	6,8	10,0	10,4	12,1
	xi	3,2	3,8	4,7	5,1	5,4	30	Ki	5,1	1 5,5	5,7	6,2	8,1 j
JL «J	Vi	10,5	12,3	14,9	16,4	16,9		У1	-23,7	-25,4-	-26,2	-28,3	-36,3
14. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
14.1.	Непосредственное интегрирование
Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции
Дх)к если /*(х) дифференцируема и выполняется условие F'(x) “ Дх).
Очевидно» что (F(x) + С)' = Дх), где С — любая константа.
Неопределенным интегралом от функции Дх) называется множество
всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обознача-
ется J Дх) dx и равен
J f(x) dx = F(x) + С.
Основные правила интегрирования.
1.	(| Дх) dx)' = Дх),	J/'(х) dx = /(х) + С,
где С -- произвольная постоянная.
2.	J АДх) dx = Aj Дх) dx, где А — постоянная величина.
202	,	'
3.	J [ft(x) ± /a<^)]dx =J dx ± J dx-
4.	Если J ftx) dx = F(x) + С и x = <p(t) — дифференцируемая функция,
то J f(<p(O) d<pQ) = F(<p(t)) + C.
В частности,
f f(at + b) dt = 1 F(at + b) + C (a * 0).
Таблица простейших интегралов.
1.	fxndx=^21i+C (n*-l).
J	n +1
2.	j - In (x] + C.
3.	f -^-5	1 arctg - + C = -i arcctg - + Ct (a # 0).
J a2 -h x2	й	a	ай
4.	f *!!_ - ’ In l£z“ + C (a* 0).
J - a4	|x + a
5.	Г = In jx + Jx2 + a | 4- C (a * 0).
» Jx2 + a
6.	f	= arcsin - + C — —arccos - + Ci (a > 0).
J	a	a
7.	f a* dx =	+ C (a > 0, a * 1); f e* dx = ex 4- C.
J	In a	J
8.	J sin x dx — —cos x + C.
9.	J cos x dx = sin x + C.
10.	f _^£_ = tgx + C.
i COS2JC
11.	f -5Ц- - -ctgx + C.
J sin2x
12.	f = In Ltg £ . + C.
J sm x I 2
13.	f = In ltg f | + SA . + C.
J cos x | k2 47
Найти интегралы:
14.1. f ^±2 dx.
J
Решение-
[ dx = fix ^ + x 21 dx — 2A “ 2x 2 -F C ="= 2 Jx - jL + C.
J 7^3 Ц j	7x
203
14.2. Г6х5 dx.
14.4. f dx.
14.6. J (л/х 4- 23Ух ) dx.
14.8. |	dx.
14.10. f — dj .
J sinzx coszx
14.12. f dx .
14.14. f ,dx .
a/4 + x2
14.16. J tg2x dx.
14.3. Г f 5x2 + 7x - dx.
J к	лМ
14.5. f <x2V>a dx.
J x3
14.11. f ? ~ 2 ?tgf5 dx.
J COS2X
14.13.
J x2- 5
14.15. f - -d-— .
J 712 — x2
14.17. J ctg2x dx.
14.2. Интегрирование путем подведения
под знак дифференциала и методом подстановки
Интеграл J Дф(О)ф'<О d£ можно записать в виде J /(tp(f)) d<p(t). Такое
преобразование называется интегрированием путем подведения под
знак дифференциала
Применяют также интегрирование методом подстановки.
Положим х = <p(i). Получим dx = (р'(О df. Тогда
J f(x) dx = J /(ф(О)фЧ*) df.	(14.1)
Применение формулы (14.1) называется интегрированием методом
подстановки. По существу, подведение под знак дифференциала есть
одна из реализаций метода замены переменной.
Найти интегралы:
14.18. f eX-d-* .
3 Jl + с'
Решение. Первый способ.
Г e*dx _ г (l+e*)'dx _ г d<l-.O _	+ С.
3 71 +ех 3 Jl -?1	3 J1 + ех
Второй способа Положим 1 + ех — г. Отсюда е¥ dx = dJ* Следовательно,
[ d2L  ГЁ1 - 2 Jt + С- 2 71 + ех + С.
J 71 + е1 J Л
204
14.19. j	[	.14.20. f 1	3 + 2x	j	dx. 14.21. f	dx.	
		2x + 1	J x — 1
	r x dx	14.23. (	x dx	14 24 f y2 d3C
14 22 J	1 x2 - 5 ’	J	(X+ I)2*	J 1 + X6
	Г ldx .	14.26. f	л/х + In X	dx. 14.27. f - y—. .
14.25. j	1 Л2 + 1	J	X	J V7 + 8x2
14.28.	Г -dj- - . 14.29. f	x dx	14.30. f  y dx .
	' j7-5xz	2x2 + 3'	J 7«4 - x4
14.31. 1	r	.	14.32. f	xa dx	14.33. f	dx.
	' 1 + Jt8	J	Ух6 -1	J 4 1 -X2
	arctg |		_ Л 1 /x
14.34. j			± dx. 14.35.	J e~<x3 + 1	)x dx. 14.36. [	dx.
	1 4 + x2		J X2
14.37. j	f dx. 14.38. f	e* dx	14.39. [cos 7^.
	1 Ji	J	ex- 1 ‘	J -	Jx
14.40. [ sin (lg x)^ . 14.41. f . 14.42. f x sin(l - x2) dx.
J	X	J COS2X2	J
14.43.	J tg x dx. 14.44. J ctg x dx. 14.45. j sin36x cos 6x dx.
2
14.46.	f --ejj 3* dx. 14.47, f Д* dx. 14.48. f dx.
J 3+cos 3x	J cos2x	J sin2x
14.49.	f -=-d^- - . 14.50. Г d* -. 14.51. f -	.
Jx2 + 2x + 8	^/1 - 2x -x2	Jix~x2
14.52.	f —--------
1 x2 + 3x+ 3
14.3.	Интегрирование по частям
Если и = ф(х), и = ф(х) — дифференцируемые функции, то справед-
лива формула
J и di? = ни - J I? du.
Найти интегралы:
14.53.	f х sin х dx.
Решение. Положим u = х, ein х dx = do. Отсюда du = dx, у = -cos х. Следо-
вательно,
J х sin х dx -= -х cos x + J cos x dx =* -x cos x + sin x + C.
205
14.54.	j excos x dx.
Решение. J e*cos x dx = J ex d(sin x) = e*sin x - J sin x de* =
=* exsin x — J e*sin x dx = exsin x + J ex d(cos x) — exsin x + excos x - J excos x dx.
Следовательно,
f ____	, „ „xsin x + cos x , „
I excos x dx = ex-—-—-- + C.
J	2
14.55.	Jin x dx. 14.56. Jx In (x - 1) dx.
14.57.	J (5x 4- 6)cos 2x dx.
14.58. f x arctg x dx.
14.59. J xe2x dx.
14.60. f exsin x dx.
14.61.
f x dx
J sin2x
14.62.	f • 14.63. Г .J I-J dx.
J CO32X	J
14,65.	f dx. 14.66. f ~ dx.
J *a	J Ji
14.68.	f	. 14.69. f *. dx.
-1 JTJz	1 e'
14.64. J arcsin x dx.
14.67. J (In x)2 dx.
14.70. J x • 2~x dx.
14.71. f xco?x dx.
J sbrx
14.72. f x Л' dx.
/ COS2X
14.4. Интегрирование рациональных функций
P (г)
Выражение —~ , где Qn(x) — многочлены тп-й и п-й степени
ЧуЛ*)
соответственно, называется рациональной дробью (или функцией). Ра-
циональная дробь называется правильной, если т < п, и неправильной^
если т >
Если подынтегральная дробь неправильная, нужно путем деления
выделить частное и остаток от деления. Например,
- х - 1 +	.
IZ + X-1	х2+х-1
Если знаменатель правильной дроби разлагается на множители
(х - а)а(х2 + рх + <7, то справедливо следующее разложение:
_______Р(х)______ =	+ а2 +	+	+
(х-о)а(хг + рх + <?)₽...	х~а (х-а)2	(X_a)r'
+ МГХ + ЛТ1 +	М2у+Л/2	+	+	++
+ д (х2+ рх+ £)2	(х2+ рх +
, 206
Найти интегралы:
14.73. f -0 —+- - dx.
J x2 + 3x + 2
Решение*
Г 4x + 6
J x2 + 3x + 2
х2 + Зх + 2
d(x2+3x + 2) _21п|?
х2 + Зх + 2
+ Зх + 2| + С.
е ш е н и е.
14.75. J
dx
dx
dx
П2 3
27 +4
2
= — arctg
7з
1
: + 2
—- + C.
7з
2
2x4 + 5x3 + 4x2 + 5x + 3
2х2 + Зх + 1
е ш е н 11 е. Выделим частное и остаток от деления:
l*t_3 dx =
2хг + 3х + 1>
2х4 + 5х3 + 4х2 + 5х + 3
2x2 + 3x + 1
+ Г d(2x2 + 3x+ 1)
J 2x2 + 3x + 1
X2
X3
T
X3
T
X2
2
„2
~- + In |2x2 + 3x + 1| + C.
Р
Р
Р
x + %— dx.
x2 + 5x - 6
e ш e н и e. Сначала разложим подынтегральную функцию:
х + 2	х + 2	_ А В _ А(х + 6) + В(х-1)
(х-1}(х + 6) " х-1 х + 6	(х- 1)(х + 6)
х + 2 = А(х + 6) + В(х - 1) = (А + В)х + 64 - В.
х2 + 5х - 6
Отсюда A + В = 1; 64 - В = 2. Следовательно, A =
(x + 2) dx _
x2 + 5x - 6
|, В - 1. Тогда
7	7
% In |x + 6| + C,
7
3 f dx
7 J “
dx _ 3
x + 6	7
а
Jx-2
14.79. f
J x2 +'
dx.
dx.
dx
 J (x + 2)(x + 3) ‘
14.83. f---*~4 л dx
J(x-2)(x-3)
Xs
х + 3
dx.
dx.
х3-8
dx
(х + 1)(х + 3)
—+ dx
х2 + х - 2
207
14.85.	f Зхг + 2х-3 dx 1	X3 - X
14.87. j	p-1*3 dx.
	
14.89. 1	г dx
	1 x(x + l)2
14.91. 1	Г 5x + 2 _ dx. 1 x2 + 2x + 10
14.93. j	г dx
	1 x3 + 8 ’
14.95. 1	f 2x3 + x + 4 1 x3 + x2 + 4x + 4
14.97. |	Г _ 2x~3— dx. 1 (x2- Зх+ 2)3
14.99. j	f x dx
	1 (1 + x2)2 ‘
14.86. j	x + 2 dx. x3 - 2x2
14.88. j	1	5x3 + 2 x3 - 5x2 + 4x
14.90. J	3 x ~ 2 dx. X4 - X3
14.92. f		400x - 240 t
	100x2 - 20x +17
14.94. j	^x<! + 2x + 1 dj
	(x + l)2(x2+l)
14.96. J	— ^x.~		 dx. x3 - 2xz + 5x
14.98. j	2x + 2 (x2 + 2x + 3)3
14.100.	f + io* + d
	J 2x3 + 5x2 4- 2x
14.5. Интегрирование Тригонометрических функций
Интегралы вида
j sinmx cos'1# dx,
(14.2)
где тип — целые числа, находят следующим образом.
Если тип — четные положительные числа, применяют формулы
понижения степени:
3in2x - -1	; cos2x - 1 + c°s2x ; sin х cos х -	.
14.101. Найти интеграл j cos2x sin2x dx.
Решение.
f сов3 х Bin2 х dx — f 1	—°s.-x dx =* f j (1 - cos2 2x) dx =
J	J ^5	di	J 4
=	- | f	dx~ P" A Jcos4xd(4x)= Ax- ±sin4x + C.
4	4 J 2	4	8 dd J	8 dZ
Если m или n — нечетное положительное число, то интеграл (14.2)
находят, отделяя от нечетной степени один множитель.
208
Найти интеграл:
14.102. Jcos4x sin3x dx.
Решение.
J cos4x sin3x dx = Jcos4x sin2x sin x dx = ~ J cos4x sin2x d(cos x) ~
= Г cos4x(cos2x - 1) d(cos x) ~ CO^ Д - CO^ X + 0.
J	4	D
14.103. 14Л05.	|sin2^ dx. j*cos3x dx.	14.104, fcos3J dx. J 2		
		14.106.	Jsin5x dx.	
14.107.	j'sin2x cos3x dx.	14Л08.	sm°- cos**- J	dx.
14.109.	fsin4x dx.	14Л10.	fsin2~ eos2- J	2	2	dx.
14Л11.	j*sin2x cos4x dx.	14.112.	Jcos63x dx.	
14Л13.	fsin3x cos3x dx.	14.114.	|cos7x dx.	
14.115.	dx. J sin^x	14.116.	dx. J COS2X	
14Л17.	j"sin3x dx.	14.118.	Jcos5x dx.	
14.119.	fx sin2x2 dx.	14.120.	fexcoszex dx.	
Для интегрирования функций sin nx cos mx, cos nx cos mx,
sin nx sin mx могут быть использованы следующие формулы:
sin a cos р — 1 [sin(a - Р) + sin(a + Р)],
&
cos a cos Р = 5 [cos(a - Р) + cos(a + Р)],
sin a sin р — ~ [cos(a - Р) - cos(a + Р)].
*
Найти интегралы:
14Л21. Гsin 3xsin 5х dx.
Решение. Г sin Зх sin 5х dx = Г (cos 2х - cos fix) dx - sin 2х - JL sin 8х + С.
J	2 J	4	16
209
14.122.	J sin 2x cos 4x dx. 14.123. J sin lOx sin 15x dx.
14.124.	f cos - cos - dx.
J 2	3
Если R — рациональная функция, то интеграл
х, cos х) dx вы-
числяют путем подстановки tg
X
2
= t. Отсюда
sin х = —2t  , cos х = *	, х = 2 arctg dx = 3 dt„ .
1 + t2	1 + f2	1 + t2
Если Л(—sin x, —cos x) = B(sin x, cos x), применяют подстановку
tg x = f. Отсюда
sin x = —, .cos x — —-1	. x = arctg i, dx == df „ .
Л772	7ГТ7*	nt2
Найти интегралы:
14.125.	h-----dx —-
J 1 + sin x + cos x
Решение. Применяя подстановку tg - = t, получаем
— - In 11 + d + C - In 11 + tg я
. +1	1 J	2
1	2 dU
2t 1 - r2 1 + t2
1 + f2 1 + t2
14.126. J
dx
1 +COS2X
Решение. Применяя подстановку tg x = t, получаем
f	L_	dt _ f dt	1	.ft == —»™r в ГЧЗ В 1 —=	? + С ’ Д- arctg (+ C.
			
J .	1	1 + (и J 2 + ta 1 + t2			
14.127.	f dx	14.128.	г	dx	
	J 3 + 5 cos x *		J sin. x + cos x
14.129.	f -c?s x Ax. J 1+cos X	14.130.	f	dx. JI- sin X
14.131.	f 1 + tg x dx	14.132.	f dx
	J 1 - tg X		J 1 + 3cos2x
14.133.	dx.	14.134.	Jctg4x dx.
14.135.	Г dx	14.136.	f dx
	J sin4x		J COS6X
210
14.137.	Г —,QX . .
J sin2x cos4x
14.139. jtg25x dx.
14.138.	f...Л*
J sirrx cosdx
14.140.	Jctg3x dx.
14.6. Интегрирование некоторых иррациональных
функций
Интеграл вида |Я х,
н
ах-t-
ex + d)
— 1
ах + &^2
ex + d)
dx, где R — рациональная
функция, арр фр р2» ?2 — целые числа, находят с помощью подстановки
= tn> где п — наименьшее общее кратное ga.
Найти интегралы:
14.141. [ dx —.
J /2х-1-V2x-1
Решение. Сделаем подстановку 2х - 1 Тогда
Г------------= Г 4^- di = 217-( + 1 + -Лг') di - (t + l)2 + 2 ln|i - 1| + С =
= (1 + V2x- 1 )2 + 2 In 4j2x-l - 1| + C.
14.142. f -*i- dx.
J Jx-1
14,144. f---d*
3 (2 - x)Vl^x
14.143. f dx.
J x + 2
Интеграл |Я(х, — x2) dx, где Я — рациональная функция, находят
подстановкой х — a sin t, интеграл |я(х, */а2+ х2) dx — подстановкой
х = a tg lt а интеграл Гя(х, Jx2 - а2) dx — подстановкой х =* —— .
J	sin t
Найти интегралы:
14.146. J Ja2 — х2 dx.
а2 - jc2
Решение, Положим х = а sin t* Тогда
cos tXa cos t) dt- a2J LX™-2* dt =	sin 2i + C =
2
и2	х , а2 .
— arcsin - + — sin 2 arcsin
2	а 4 I
211
14.147. J д/9 - x2 dx.
14.149. |х2л/4 - x2 dx.
14.148.
14.150.
dx
V(4 + x2)3
x2 dx
7(9 + x2)5
Интеграл f-----Mx + N	dx находят подстановкой x - a =
J (x - a)Jex2 + bx + c
t
Найти интегралы:
14.151.
____dx_____
xjxz + 4x- 4
dx_____
x£ + 4x - 4
Решение. Положим x — — . Тогда
tdf
7/1	4
f b+<~4
dt	1	St-1
------— = _ arccos -—-=—
-(2t-l)2	2	72
= ~ arccos ——£
2 xj2
14.152. f - d~- -. 14.153. f d*
J x7x2 + 2x - 1	J xjx2 - 1
14.154. Г , dx__ .
x7^x ” xz
15. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
15.1. Непосредственное вычисление определенного
интеграла и подведение под знак дифференциала
Пусть функция Дх) определена и ограничена на отрезке [а, Ь] и
а = х0 < Xf < ... < хге = Ъ — произвольное разбиение этого отрезка на
п элементарных промежутков. Предположим, что на каждом отрезке
(х;_1!( xj выбрана точка <7- Тогда сумма
п	п
“ *i-i) = У,
/= 1	i= 1
называется интегральной суммой функции /(х) на отрезке [а. б], а ее
предел при max Дх* = max — х;_2) О, если он существует и ко-
1 < j С п	1 С I С jfi
212
печен, называется окре деленным интегралом от функции f(x) в преде-
лах от а до b и обозначается так:
ъ
J" f(x) dx >=
а
lim V Л^)ДхР
max Дхй О
'	1=1
Определенный интеграл не должен зависеть от разбиений и выбора
точек £>;.
Если определенный интеграл существует, то функция f(x) называется
интегрируемой на отрезке [а, Ь].
Если функция Дх) непрерывна на отрезке [а, 6], то существует пер-
вообразная от этой функции на отрезке [а, Ь].
Если функция /(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то она интегрируема
на этом отрезке и
b
JДх) dx = F(x)|^ = F(i>) — Е(а) {формула Ньютона—Лейбница^
а
где F(x) — какая-нибудь первообразная функции Дх) на отрезке [а, Ь].
Вычислить определенные интегралы:
л
15.1. Jsin2x cos х dx.
о
Решение.
Г . 2	. Г • ? j  sin^x
J sin^x cos х dx = J sinrx d sin x — -—g—
sin3rc
3
sin30
3
15.10. f .
J Vp6 + 4
15.12.
e
213
2 Д
15.13. f dx.
J X2
1
tt/4
15.16. J sin4xdx.
о
n/2
15.19. J sin3x dx.
о
e	e3
15.14. f —dx_________.15.15. f , d*.	.
1 Хл/l — (In x)2	J Xa/1 + In X
2л	я/4
15.17. J cos | dx. 15.18. J cos2adoc.
о	о
e	n/4
15.20. J sbl Jg) d*-15.21. j tg x dx.
1	-л/4
15.2.	Замена переменных в определенном интеграле
Пусть выполняются следующие условия:
1)	функция f(x) непрерывна на отрезке [а, &];
2)	функция х — <p(t) непрерывна вместе со своей производной ф'(£) на
отрезке [а, 01;
3)	а = ср(а), b = ф(Р);
4)	функция )) определена и непрерывна на отрезке [а, 0],
тогда
ь	0
J f(x) dx - | Яф(О)фЧО dt.
a	ot
С помощью подходящих подстановок вычислить интегралы:
г
15.22.	j Jr2 - хг dx.
О
Решение. Сделаем замену х = r sin t, dx= г cos t dt. Если x = О, то t = 0.
Если x — г, то t —	. Поэтому
г	л/й	и/2	я/2
J -/г2 — х2 dx ~ r J ^г2г~2свд t dt J cos2 t d^ = С- J (1 + cos 2t> df —
o.o	о	0
r2 f . sin 2/Л	2 яr2
2 I 2 )	4
о
4	1	2
15.23.	f .	15.24. f *dx 9 .	15.25. f .
J 1 + Jx	J	(x2 + l)2	J 1 +	X2
0	0	1
214
15.26.	f . 15.27. f —ln x 4*	. 15.28. f 11
J *Jex + 1	J xjl - (In x)4	J x
1	In 2
15.29.	J(ex - l)4ex dx. 15.30. j - 1 dx.
dx.
о
n/2
15.31.	f -----------
J 3 + 2соз x
0
0
n/4
f dx
' 1 + sin2 *x
‘ 0
15.3. Интегрирование по частям
в определенном интеграле
Если функции ы(х), р(х) — дифференцируемые в [а, &], то
&	ь
J u(x) du(x) = u(x)t/(x)|& — j" о(х) du(x).
а	<з
Найти интегралы:
л
15.33. J х sin 2х dx.
о
> е ш е н и е. Обозначим х щ sin dx dt?. Отсюда
du = dx, v = ~co* 2x ;
2
я ”		..  ----a
cos 2x|	, f	cos 2x dx	-it ,	sin 2x —л
2 Io	J 2—	-2 +	4	0 т 
о
1
15.34. J xe x dx. 15.35.
о
e — 1
15.37. J In (x + 1) dx.
о
15.39. j e*sin x dx. 15.40.
о
n/2	e
J x cos x dx. 15.36. J In x dx.
0	1
П
15.38. Jexcos x dx.
о
л/З	n/3
f 2Ц*	15.41. f
J sin2x	J	cos2x
л/4	n/4
215
15.4. Приложение определенного интеграла
Рис. 15.1
Площадь S, ограниченная не-
прерывными кривыми у = /г(х),
У = /эС*)’ вертикалями х = а, х = Ъ
(рис. 15.1), где Л(х) < f2(x) при
а < х С Ъ, вычисляется по фор-
муле
ь
s= J[/2(*)-A(*)]dx.
Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями:
15.42.	#= Jx , у — х2 (рис. 15.2).
Решение. Нетрудно видеть, что графики пере-
секаются в точках (0; 0) и (1; 1), Поэтому
Я = |(7х - x2)dx = (|х2 -
о
1
= 2 _ 1 = 1
„	3	3 ” 3 '
15.43.	у = 4 — х2, у = О.	15.44. у = 16 — х4, у = О.
15.45.	у — 4х - х2, у — О. 15.46. у — -2 4- Зх — х2, # = 0.
15.47.	у = sin х, у = О, 0 < х < л.
15.48.	у = tg х, у = О, х = |.
15.49.	^4-^=1.	15.50. х2 4- у2 = 16.
9	4
15.51. у2 = х3, х = 3.	15.52.	у2 = 2х + 4, х = 0.
15.53. у = х2, у = 2 — х2.	15.54.	у = х2 4- 4х, у ~ х 4- 4.
15.55. у = 1пх, х = е, у  0. 15.56. у =х sinx, у = 0, 0<х<п.
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной кривой у = /’(х) > 0 и прямыми
х = а, х — Ь (а < &), у — 0 (рис. 15.3), равен
ъ	'
216
Рис. 15.4
Объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной
трапеции, ограниченной непрерывной кривой х = g(y) > 0 и прямыми
у = а, у — b (а < Ь), х = 0 (рис. 15.4), равен
ь
V = тсJg2(y) dt/.
а
Определить. объемы тел, образован-
ных вращением вокруг оси Ох фигур, ог-
раниченных линиями:
15.57.	у2 = 9х, у = Зх (рис. 15.5).
Решение.
Рис. 15.5
2
15.58.	у = 4х - х2, у = х. 15.59. х2 + у2 = 25.
15.60.	у2 = 2х, х — 1.	15.61. у = х2, у2 = х.
15.62.	у2 = 8х, 1<х<2. 15.63. р2 - х2 - 9, х - 2у + 6 = 0.
Определить объемы тел, образованных вращением вокруг
оси Оу фигур, ограниченных линиями:
15.64.	= 1, у = ±£>. 15.65. у2 = (х + 4)8, х=0.
15.66.	у2 = 4 — х, х = 0.	15.67. у = Ха/-х , х = -4, у = 0.
217
15.5. Несобственные интегралы
Если функция Дх) непрерывна при х € [а, +°°), та несобственным
4- а»	t>;
интегралом | Дх) dx называется lim Г Дх) dx. Если этот предел су-
J	-1. n“X~j J
а	а
ществует и конечен, то интеграл называется, сходящимся. В противном
случае интеграл называется расходящимся.
Ь	4- OL-
Аналогично определяются интегралы J Дх) dx и J Дх) dx:
—оо	_па
ь	•	ь
Г Дх)	dx	—	lira	Г Дх) dx;
J	—* „оо J
- М	fl
+ <зо	О	&
f Дх) dx — lim f/{x)dx + lim Г Дх) dx.
J	fi —r - no J	Jj — * 4- oa J
-co	a	0
Если функция Дх) непрерывна при х € [а, с), х € (с, &] и имеет разрыв
II рода в точке
С-Е
е
ь
с, то несобственным интегралом j Дх) dx называется
a
*
lim Г Дх) dx 4- lim f Дх) cfx. Так же, как и выше, несобственный
— fO J	6-г +о J '
а	<т+5
интеграл называется сходящимся^ если оба предела существуют и ко-
нечны. В противном случае несобственный интеграл называется расхо-
дящимся.
Если же точка разрыва находится в конце промежутка, то:
а)при с — а
ь	*
J Дх) dx = lim J Дх) dx;
a	e+f
б) при с = b
b	b-E
J Дх) dx = lim J Дх) dx.
fl	fl
+oo
Если при x a j/(x)j <p(x) и J ф(х) dx сходится, то J Дх) dx exo-
fl	a
дится. Такая сходимость называется абсолютной.
-f йо	4-е»
Если при х > a О < Дх) < ф(х) и J Дх) dx расходится, то J ф(х) dx
a	а
расходится.
218
Если при х > a f(x) > О, <р(х) > О, предел lim конечен и
X — +°° ф(х)
4- ОО '	+ OQ
не равен нулю, то оба интеграла | Дх) dx, J ф(х) dx одновременно ли-
%	а	а
бо сходятся, либо расходятся.
Аналогичные признаки сходимости можно указать и для несобствен-
ных интегралов от разрывных функций.
Вычислить интегралы или установить их расходимость:
15.68. J
1
Решен не.
+	Ь	, s *	,
f	= lim f	~ iim	f— 1	~ lim f—	+ 11	- 1.
J x*	b “* +™' J x* b	\ x J б-* b J
1 1 1
1
15.69. f dx .
Решение.
1	1-E
f -===== = lim f d* — jim arcsin x d~e e lim arcsin(l ~ e) = .
J Jl-x2 e^+0 J Л-хг €^+0	e^+0	2
0	G
15.70.
1
..—.+ 0CJ
]_	jt 1
Решение. lim	~ E Легко установить, что интеграл	—— dx
х	1	J jp3/2
хЗ/2	И
Г	d х
сходится. Поэтому интеграл I . также сходится.
2
Ч-оо	+oq	+оо
15.71. f —. 15.72. f 15.73. f .
J X	J X3	J l + x2
1	1	* —GO
4-oc	4-cc
15.74. f -----------------15.75. f ? dx.
J x2 + 4x + 9	J x2 + 1
-so	Q
219
-h oo	+oo	Ч- ж
15.76.	f	Зх?dx.	15.77.	f	ln	х dx.	15.78.	Г	2xe*a dx.
J	х3+1	J	x	J
о	3	о
+ oo	Ч-сс
15.79.	J x sin x dx. 15.80. J x cos x dx.
о	0
2	2	2
15.81.	f dx o. 15.82. f dx . 15.83. Г dx .
i V(x-i)2 i л-*2
U	и	U
2'1	2
15.84.	f . dx---15.85. f х In х dx. 15.86. Г 
J x2 - 4x + 3	J	J x In x
0	0	1
1/e	e	n/2
15.87.	f J* . 15.88. Г . 15.89. Г ctg x dx.
j X ln2x	J	xVln	X	J
0	1	0
n/2
15.90.	J tg x dx.
0
Исследовать сходимость (расходимость) интегралов:
x dx
x3 +1
15.93.	j
о
x13 dx
u- v3 1 13
+ oo
15.92. f dx.
J x4
1
4-oo
15.94.	[ ln C*2+ 1)
J x
i
15.95.	J
e
dx
x(In x)3/2
dx.
J e“x2 dx.
о
i
15.100.	f	55^	dx.	15.101. f —	.
x3	Jn^ + 3^
1	0
2	я
15.103. fd> . 15.104. ra‘“	^	dx.
J In X	J	J^3
1	о
15.97. f — dx.
J X
1
15.99. J
i
sinx dx
X2
1
15.102. f dx
о
J *Jxe
0
220
15.6. Кратные интегралы
В данном разделе будут рассматриваться только двойные инте-
гралы.
Двойным интегралом от непрерывной функции ftx, у), распростра-
ненным на ограниченную замкнутую область D плоскости XOY, назы-
вается предел соответствующей двумерной интегральной суммы
lim	У У	= f f Кх’ У) dx dy,
max to, —* 0	J J
maxAyJ-O 1	*	W
где Ax( = x, - xf_	ДуА = yk — ук~ j и сумма распространена на те значения
л и й, для которых точки (х;, yk) принадлежат области D,
Пусть область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми
х = а и х = Ь (а < Ь), а снизу и сверху .непрерывными кривыми у = Ф1(х)
и у — <р2<дс> (<р2(х) > Тогда двойной интеграл сводится к повтор-
ному интегралу по формуле
ь ф2(х>
J*J /(х, у) dx dy = J dx j ftx, y) dy,
(,D>	a
<Рз(->0
где при вычислении J ftx, у) dy величину x полагают постоянной.
Ф1<*)
2х
Вычислить интегралы:
In 2
15.105. f
О
Решение,
In 2
2х
dx
О
In 2
Г Г-31Г _
In 2
J dx
о
In 2
2х
еЙх
1 рЗ х _
3 е
** г
2
Ln 2
J dxs»(e»)|“:
о
8
3
„ 5
6 '
о
о
2
4
2
о о
J J (х + у)2 
3.	1
221
2 х
15.108. [ dx f .
J J J,2
1 1
X
2л a
15.110. J d<p J rdr.
0 a sin q>
3	5
15.109.	| dy J (x + 2y) dx.
-3 у 2~ 4
я/2 3cos ф
15.111. J dtp J r^sin^tpdr.
-n/2	0
Если область D снизу и сверху ограничена прямыми у — с и у — d
(d > с), а слева и справа непрерывными кривыми х = Ф1(у) и
х ~ Фз(0 (Фг(у) Ф1(^))* то двойной интеграл сводится к повторному ин-
тегралу по формуле
d Фа(У)
f f f(x, у) dx dy - Г dy Г /(x, у) dx»
(2J)	c q»i(y)
где при вычислении - j* f(x, у) dx величина у считается постоянной.
Изменить порядок интегрирования:
1	71
15.112. j dx j /(x,y)dy.
-i о
i	P e ш в и м e. Область интегрирования указана
на рис. 15.6. Имеем
Рис. 15.6
1
15.113. J dy J /(х, у) dx.
о У
1 Зх
15.115. J dx J f(x, у) dy.
О 2х
4	12х
15.114. J dx J /(х, у) dy.
О Зх2
a Jo2 - х2
15.116. J dx J f(x, у) dy.
О а2 - х2
2а
222
2 2л	2а	44а х
15.117.	J dx J Дх, у) dy. 15.118. J dx J f(x,y)dy.
lx	0 J2ax~x*
15.119.	J dy J f(x, y) dx. 15.120. J dx J /(x, y) dj/.
Q	- Jl - yZ	°	°
16. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
16.1.	Основные понятия и определения
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравне-
ние
Дя, У. у\ У", •••• У(я)) = О.	(16.1)
которое связывает независимый аргумент х, неизвестную функцию у и
ее производные у\ у", ..., у<п\ Порядком дифференциального уравнения
называется максимальный порядок производной, входящей в уравне-
ние.
Решением дифференциального уравнения называется функция
у - ср(х), которая при подстановке в уравнение превращает его в тожде-
ство. График этой функции называется интегральной кривой.
Для дифференциального уравнения л.-го порядка
Ум - Дх, у, у\ у", ....	(16.2)
задача Коши формулируется следующим образом: для заданных на-
чальных условий yQ = у(х0), Pq = У(ХО),	найти ре-
шение уравнения (16.2), удовлетворяющее начальным условиям.
Известен ряд теорем о существовании и единственности решения за-
дачи Коши. Например, в случае уравнения первого порядка у' = f(x, у)
для существования и единственности решения задачи Коши требуется,
чтобы в некоторой области D функция f(x, у) и ее частная производная
- были непрерывны. Тогда через каждую точку М0(х0, у0) € D про-
ходит, и притом единственная, интегральная кривая.
Функция
у = цг(х, Сх, С2................С„),	(16.3)
где С\, С2, .... Сп — произвольные постоянные, называется общим реше-
нием уравнения (16.1), если выполняются следующие два условия:
223
1) для любых значений С1т С2, Сп функция (16.3) является реше-
нием дифференциального уравнения (16.1);
2) для любой точки
ЛГо(жо> Уо» У& Уо >  ^оГл~1?)	(16.4)
(л + 1)мерного пространства существуют такие константы Сj, С2 ,
С„ , при которых график решения (16.3) проходит через точку (16.4), т.е.
Уо = Cj, С2,.... Сп),
Уд — ф (Лд, С|, С2,..., Сл),
фС«-П(х0,с” Cg.........Сл).
Общее решение, записанное в неявном виде, называется общим ин-
тегралом. Если в общем решении (16.3) зафиксированы константы Ct,
С2, .... С„, то (16.3) называется частным решением. Частное решение,
представленное в неявном виде, называется частным интегралом. Ре-
шить дифференциальное уравнение — значит найти его общее решение
или общий интеграл.
Проверить, являются ли решением данных дифференциаль-
ных уравнений указанные функции:
16,1.	ху' = 2у, у = 5х2. 16.2. у" = х2 + у2> у = ~ .
16.3.	(х + у) dx + х dy = О, у =	.
х
Показать, что для данных дифференциальных уравнений
указанные соотношения являются интегралами:
16.4.	(х - 2у)у' = 2х - у, х2 - ху + у2 - С2.
Решение.' Продифференцируем левую и правую части общего интеграла:
(х2 - ху + у2)' = (С2)' =ф 2х - у ~ хУ + 2уу' = 0.
Отсюда получим исходное дифференциальное уравнение:
(х 2у)у' = 2х - у.
16.5.	(х - у + 1)у' =1, у = х + С&.
16.6.	(ху - х)у" + х(у')2 4- уу' - 2у' = 0, у = In (ху).
224
Составить дифференциальные уравнения заданных се-
мейств кривых (С, Ср С2 — произвольные постоянные):
16.7.	у = Cte2x + С2ех.	(16.5)
Р е ш е и и е. Продифференцируем данную функцию 2 раза:
/ = гб^е2* - С2е~*,	/' = 4С,егх + С2ех.	(16.6)
Исключив из уравнений (16.5), (16.6) коэффициенты Ср С2, получим диффе-
ренциальное уравнение
У" - у' - 2р = О,
16.8.	у = (Сх + C2x)ez. 16.9. х2 + у2 = С2.
Среди семейства кривых найти кривую, удовлетворяющую
заданным начальным условиям:
16.10.	у = (Сх + С2х)е2*, 1/(0) = 1, Р'(О) = 0.
Решение, Продифференцировав, да иную функцию
у' = [2Ci + Сг(2х + 1)]еЧ
подставим начальные условии
1 = Сп 0 = 2^ + С2.
Отсюда
у " (1 — 2x)eZx.
16.11.	у = Cje-* + С2е* + С3е2х, р(0) = 0, /(0)Л, у"(0) -2.
16.12.	х2 - у2 = С, у(0) = 5.
16.2. Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнения с разделяющимися переменными. Любое дифференци-
альное уравнение вида
Ф(х) dx = у(р) dy	(16.7)
называется уравнением с разделенными переменными. Уравнение, ко-
торое приводится к виду (16.7), называется дифференциальным уравне-
нием с разделяющимися переменными.
16.13.	Решить дифференциальное уравнение у' ~ .
Реш е н и е Уравнение является уравнением с разделяющимися переменны-
ми. Приведем его к виду (16.7):
dy д у	dy _ dx
dx х	у	х
8 Сборник задач по высшей математике
225
Если равны дифференциалы, то равны неопределенные интегралы
« С ™ . Отсюда получаем In |у| “ in ]х| + in |<?[ — общий интеграл и </ = Сх —
у J х
общее решение.
16.14.	Решить дифференциальное уравнение (%2 — 1)у' +
+ 2ху2 - О и найти частное решение, удовлетворяющее началь-
ному условию у(0) — 1.
(х2 - 1) dy = -2ху2 dx =>	dx Г dg _ _ Г 2х dx 1 - 1п ц + с.
у2 х2 - 1 J у2 J х2 - 1	£
Таким образом, получаем общий интеграл
^(1п |х2 - 1] ч- (7) = 1.
Подставляем печальное условие i/(0) — 1:	1
1(0 + С) = 1 => С = 1.
Отсюда получаем частный интеграл
j/(ln |х2 - 1| + 1) = 1.
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное ре-
шение (интеграл), если указаны начальные условия:
16.15.	ху dx 4- (х 4- 1) dy = 0. 16.16. */у2 4- 1 dx = ху dy.
16.17.	хуу' = 1 - х2.	16.18. ху' - у = у3.
16.19.	y'ctg х 4- у = 2,	у(0) = -1.
16.20.	ху' 4- у = у2,	у(1) = 0,5.
16.21.	у'у(1 + е*) - е\ у(0) - 1.
16.22.	(ху2 + x)dx + (х2у - y)dy = 0,	у(0) = 1.
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Функ-
ция /(х, у) называется однородной функцией т.-го измерения, если
Г(Хх, Хр) - Xmf(x, у).
Дифференциальное уравнение вида
Р(х, y)dx + Q(x, y)dy = 0,	(16.8)
где Р(х, у) и Q(x, у) — однородные функции одинакового измерения, на-
зывается однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Уравнение (16.8) можно привести к виду у' = Дх, у), где f(x, у) — од-
нородная функция нулевого измерения.
С помощью замены у = ихг где и — новая неизвестная функция, урав-
нение (16.8) сводится к уравнению с разделяющимися переменными.
226
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное ре-
шение (интеграл), если указаны начальные условия:
16.23.	/= *1?.	ь
х-у
Ре шеине. Так как < * +	* + j/ ) то у' х + у является одвородным урав-
лх-Ьу Х-у	х-у	s
нением. Сделав замену у = их, получим
f —— = f [ “~т~ °- du ™ In |х| + С =4 arctg и - ~ In (1 + u2) = In [x| + C.
J 1 + u w J x J u2 +1	2
1 - u
Сделав обратную замену u = - , получим общий интеграл
х
arctg - | In I + (й) j - Jn jx| + С.
16.24.	(х + 2у) dx — х dy = О. 16.25. у2 + х2у' = хуу'.
у
16.26.	у' = -*±1?. 16.27. ху' = у - хе1.
16.28.	(х2 + у2) dx -2ху dy = 0»	у(0) = 4*
16.29.	(х2 - Зу2) dx + 2ху dy = 0,	у(2) = 1.
Линейные уравнения первого порядка. Линейным дифференци-
альным уравнением первого порядка называется уравнение вида
М*)/ + а^х)у - Ь(х) или
/ + р(*)у =* Ч(*>-
(16.9)
Для его решения применяется метод вариации произвольных посто-
янных. Предположим сначала, что правая часть уравнения (16.9) равна
нулю. Тогда и' + р(х)и = 0 является уравнением с разделяющимися пе-
ременными:
- “Р(х)о => J = - Jp(x) dx In М = - Jр(х) dx + Ci =>
=> и = Се
(16.10)
Для решения исходного уравнения (16.9) предположим, что С в
(16.10) есть некоторая функция от х, и решение уравнения (16.9) будем
искать в виде
-|j>(x)dx
у = u(x)e J
227
Для решения линейного уравнения (16.9) можно также применить
подстановку
(16.11)
где пип — функции ат х. Тогда уравнение (16.9) примет вид
[и' + р(х)и]и + и'и == д(х).	(16.12)
Если потребовать, чтобы выражение в квадратных скобках было рав-
но нулю, т.е.
а'+р(х)и-О,	(16.13)
то из (16.13) найдем и(х), затем из (16.12) найдем о, а, следовательно,
из (16.11) найдем у.
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное ре-
шение (интеграл), если указаны начальные условия:
16.30.	у' - ? у = 2х3.
2
Решение. Это линейное уравнение первого порядка (р(х)	, д(х) — 2х3).
2
Сначала решаем у' — - у =• 0;
dy _ 2у dy _ 2dx in |у| _ 2 1п |ж|	_ СжЯ.
dr X у X
Полагая у = u(x)r2 и подставляя в исходное уравнение, находим и:
и'х2 + 2хи - - х2и = 2х3 =? и' = 2х и. = г2 + С.
X
Отсюда получаем общее решение исходного уравнения
у = (х2 + С)х2.
16.31.	у' + у tg х =*	 16.32. х2у' + ху + 1 = О.
16.33.	у = х(у' - х cos х).	16.34. (2х + 1)у' = 4х + 2у.
16.35.	yf -	- 1 - х = О, у(0) = О.
16.36.	ху' + у — ех = О, j/(a) = b-
Уравнение Бернулли. Уравнение вида
у? + р(х)у =	где п # О, п * 1,
называется ураепением Бернулли. Данное уравнение приводится к линей-
ному с помощью подстановки z = y1-rt. Можно также непосредственно при-
менять подстановку у = ии или метод вариации произвольных постоянных.
228
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное ре-
шение (интеграл), если указаны начальные условия:
16.37.	/ + ^ = «2*.
х
Решение. Сделав замену у = u(x)u(x) “ но, получим
, ,	, . 2ни .
и V + ut? + —— — (uu)^x.
X
Сгруппируем второе слагаемое с третьим:
u'v +	+ — j = (йа)2х.	(16.14)
Приравнивая к нулю выражение в квадратных скобках', находим функцию с:
z . 2» п . do 2dx . .	. I i_2 .	1
у + — = О => — =	=> Inu = in г z => и = — .
x	и x	x2
Подставив и в (16.14), находим u;
~и?{=^-1 =ln|Cx|=>u=-
X2 ХХ2У	U2 х	и	in |Сх|
Отсюда
и = ни —  - ~.
х2 In |Сх|
16.38.	у* + 2у = у2ех. 16.39. у' — у4 cos х + у tg х.
16.40.	(1 - х2)у' + 2ху = ху2, у(0) = 0,5.
Уравнения в полных дифференциалах. Пусть Р = Р(х, у) и
Q — Q(x, у) — непрерывные функции. Уравнение
Pdx+Qdy-0	(16.15)
называется уравнением в полных дифференциалах, если
ЭР = 3Q
ду Эх '
Уравнение (16.15) тогда и только тогда является уравнением в пол-
ных дифференциалах, когда существует функция U = (7(х, у), такая, что
d(7 = Р dx + Q dy,
т.е.
=р,	= Q.	(16.16)
стх	ду
Общий интеграл уравнения (16.15) имеет вид
у} = С.
229
Решить дифференциальные уравнения. Найти частный ин-
теграл, если даны начальные условия:
16.41.	2х cos2 у dx + (2у — х2 sin 2у) dy = О.
Решение. Здесь Р — 2х cos2 у, Q — 2у - х2 sin 2у, и мы имеем уравнение в
полных дифференциалах (проверьте). Значит, существует функция U, такая,
что
dEZ ~ 2х cos2 у dx + (2у - х2 sin. 2у) dp.
Поэтому ~ 2х cos2 у. Отсюда U = J 2х сое2 у dx = х2 cos2 у + f{y), где функ-
ция /(у) зависит только от у (постоянна по отношению к х).
Дифференцируя найденную функцию по у.г получим выражение
= -х2 sin 2у + /'(у),
Эу
которое, согласно (16.16), можно приравнять к О:
= “X2 sin 2у + /'(у) ” 2 у - х2 sin 2у.
оу
Отсюда /Чу) 2у. Если уравнение в полных дифференциалах, то последнее
выражение не будет зависеть от х (докажите это). Легко находим
/(у) — у2 - С, U = х2cos2 у + у2 - С.
Окончательна получим:
х2 cos2 у + у2 — С.
16.42.	(Зх2 + 2у) dx + (2х - 3) dy =- О.
16.43.	(Зх2у - 4ху2) dx + (х8 - 4xzy + 12у8) dy = 0.
X	X
16.44.	(х + ей dx + еУ (1 - dy = 0,	у(0) - 2.
16.3. Уравнения п-го порядка,
допускающие понижение порядка
Решение дифференциального уравнения ~ /(х). Для решения
уравнения 1/(л> = /(х) сделаем замену
у<п-1’(х) = г(х), у*я>(х) = £'(х).
Тогда
z'(x) ftx), = /(х), г(х) “ J/(x) dx + Сг
230
Ho z(x) у№ ’Ч-*)- Следовательно»
= J7(*) dx + СР
Повторяя эту операцию еще (п — 1) раз, получим у(х).
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное ре-
шение (интеграл)» если даны начальные условия:
16.45.	== sin х.
Решение. Проинтегрируем данное уравнение 4 раза:
J (t/'"(x))'' dx = j* sin х dx,
y'"(x) = —cos x + С1Э
J (y"(x))' dx “ J (—cos x 4- Cj) dx,
y"(x) ~ -sin x + Cxx + C2,
x2
y'(x) = cos x + Cj + C2x + C3,
£j
y(x) = sin x + Cj — + C2~ + C3x + C^-
O	л
16.46.	xy"" - 1. 16.47. y<20> - sin x.
16.48.	y" = 1 ,	, /(J) = 0.
coszx	к 47	2	147
16.49.	/" - в ,	y(1) = 2,	/(1) - 1,	£"(1) - 1.
xd
Уравнения, не содержащие явно функцию у. Уравнение
Угг = f(x, у')
сводится к уравнению первого порядка с помощью замены у' = z(x),
у" = г'(х).
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное ре-
шение (интеграл), если даны начальные условия:
16.50.	х2у" + ху' = 1.
Решение. Уравнение не содержит явно функцию у. Сделав замену
у' = а(х>, у" - г'(х), получим
xV + xz - 1.	(16.17;
231
Уравнение второго порядка перешло в линейное уравнение первого порядка,
которое можно решить с помощью замены г = ии. Подставив это выражение в
(16.17), получим
хги'и + хи(хи' + о) = 1.	(16.18)
Приравниваем выражение в скобках к нулю:
хи' + и = О,
и находим о:
— = - — => In (|и|) = In (
v.x	К
П у - 1,
X'	X
Подставляя его в (16.18), находим и:
хи' — 1 =* du — ~ => и ” Ln (|C]Jc|).
Отсюда
г - In (|Cjx|)i
и, следовательно,
у' - In (|Cix|)i -
Находим у:
У " pn (ICjxl)^ dx = J in (|C]x|) d In (jCjxl) =
1 in^xD + c2.
16.51.	хгу" = (у')2. 16.52. 2xy'y" - (y')2 - 1.
16.53.	xy"’ + y" = 1 + x. 16.54. xy"" + y'” = e*.
16.55.	(1 + x2)y" - 2xy’ = 0,	y(0) = 0,	y'(0) = 3.
16.56.	y" = £(1 +In £|,	y(l)=l,	/(!) = !•
Уравнения, не содержащие явно х. Уравнение
Г - №. у'>
с помощью замены
ах	dxz оу dx
приводится к уравнению первого порядка относительно функции р(у):
X = i №. />).
Решить дифференциальные уравнения. Найти частное ре-
шение (интеграл), если даны начальные условия:
16.57.	у” + 2yj/' = О, У(0) = 2,	/(О) = -4.
232
Решение. После замены у' и р, у" *= р‘р получим уравнение первого по-
рядка относительно р(у)-
рр' + 2ур = 0, илир' == ~2у.
Отсюда находим р:
h—
р = -у2 + СР
Следовательно,
y'-V + Cp	(16,19)
Подставив в (16.19) начальные данные, получим:
-4 = -4 + Cj =j Cj = 0.
Отсюда
у’ ’	= dx’
~У
- = X + Со» У = --^-тг- •
у г у х + С2 
Подставляем начальные данные:
Таким образом, частное решение имеет вид
2
!i~ 2х + 1 '
16.58.	уу" + (/)2 = 0.
16.59.	№1. 1/(1) -1, У(1) - 1-
16.60.	у" - (у'}2 + у'(у - 1) = 0,	у(0) = 2,	/(0) = 2.
16.4. Линейные дифференциальные уравнения
л-го порядка с постоянными коэффициентами
Линейным Дифференциальным уравнением п^го порядна называется
уравнение вида
^я> +	+ Р2<^(я-2Г+	+Рл(*)У = ?(*)
гдеpi(x), pz(x),	рп(х), g(x) — непрерывные функции.
При ^(х) — 0 оно называется однородным, а при д(х) «^0 — неоднород'
HbtM.
233
Общее решение линейного однородного уравнения имеет вид
У общ =
i = l
где i = 1, 2, .п — линейно независимая система решений.
Общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид
1/общ	У >
;=1
где оДх), i = 1, 2, п — линейно независимая система решений, соот-
ветствующая линейному однородному урав-
нению;
у* — частное решение неоднородного уравнения.
Линейно независимая система решений н1, н2, ип линейного од-
нородного уравнения называется фундаментальной системой решений.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянны-
ми коэффициентами. Рассмотрим уравнение вида
Ч- pzvtn~2> + ... + pn-iv' + рпи - 0,	(16.20)
гдерц pZt рп — некоторые постоянные.
-Решение (16.20) будем искать в виде и — ех*. Получим
(Ал Ч-р^""1 +р2Хп~2 + ... +Рп-[А- + ря)еЛх = 0,
или
РП(М = л" Ч-piX"-1 +Р2Х"-2 + ... +ря-1Х + рл =0.	(16.21)
Уравнение (16.21) называется характеристическим.
Рассмотрим различные случаи.
1.	Если корни (16.21) действительны и различны, то
= е^1* , v2 = е*"2*, оп = е^яХ
— линейно независимые решения уравнения (16.20). Следовательно, об-
щее решение уравнения (16.20) запишется в виде
иобщ =	1 '
/ = 1
2.	Если среди корней характеристического уравнения имеется пара
комплексных корней: = ft 4- ко, А,2 ж h - io, где i = J-Л , тогда им со-
ответствуют два комплексных решения
Uj = е^1Х = ел*(соз (йх 4- i sin сох), vz ~ e^2* = eftx(cos tox — i sin u>x).
234
Из них можно составить два линейно независимых действительных
решения:
t>i + D3	hr	- о*	•
о» —	л	— еЛх cos сох,	1>2	- ———-	~ епх sin сох.
1	2	' г 21
3.	Если среди корней характеристического уравнения имеется корень
X — а кратности k > 1, тогда
у,-х’ем, s« О, 1, ...» Л - 1,	(16.22)
являются решениями уравнения (16.20). Причем, если s > Л, то такие
функции не будут решениями. Очевидно» что (16.22) — линейно неза-
висимые решения.
4.	Если а — Л ± i(D — комплексные корни кратности Л, то по аналогии
с пунктом 2 получим линейно независимые действительные решения:
х*ей*cos сох, x3ekx sin сох, s = 0, 1» ...» k - 1.
Решить дифференциальные уравнения:
16.61. и'" - 2v" -v'+ ,2и = 0.
Решение, Решая характеристическое уравнение X3 - 2Х2 - X + 2 = 0, получим
X] = 1, Х2 = -1, Аэ - 2. Тогда общее решение имеет вид
“ Cje* + С2е~* + С3еЧ
16.62.	и" - 4v" + 6iT ~ 4и = 0.
Решение, Характеристическое уравнение Ха - 4Х2 + 6Х - 4 — 0 имеет корни
Х| — 2, Xj ~ 1 4- i* Xj = 1 i.
Общее решение имеет вид
робщ “ С|б2х + еж(Са cos х 4- С3 sin х).
16.63. и'" - 5и" + 8и' - 4и = 0.
Решение. Так как корни характеристического уравнения Xj - 1, Х2 - 2,
Ха = 2, то общее решение имеет вид
4- С2е^ 4- С3хеЧ
16.64. v"” + 4v"' 4- 8и" + 81/ + 4и - 0.
Решение. Раскладывая характеристический многочлен на множители
X4 + 4Х3 4- ЗХ2 4- 8Х + 4 = (Х« + 2Х + 2)2 ~ 0,
получим корни характеристического уравнения
Xj “ Xj ” “ 1 + i, Xg “ Л4 ™	“ i.
Следовательно, общее решение
иобщ e <к>8 х + Cjxcoe х 4- С3 sin х 4- С4х sin х).
235
16.65.	у" + у' - 2у - О.
16.67.	у” - 4у' + 13у - О.
16.69.	у"" - у = О.
16.71.	у"" + 2у" + у - 0.
16.66.	у" - 2у' + у = О.
16.68.	у'" - 8у - О.
16.70.	z/(6> - 6х/4> + 9/" - О.
16.72.	у"" - 5у" + 4у = О.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоян-
ными коэффициентами. Рассмотрим линейное неоднородное уравнение
с постоянными коэффициентами
у(«) +	+ р2У(п~2} + ... + Рл-1У' + РпУ = д(*).	(16.23)
где р2* ...» Рп — некоторые постоянные.
Его частное решение можно получить методом вариации произволь-
ных постоянных.
Укажем способы нахождения частного решения в случае, когда пра-
вая часть (16.23) имеет специальный вид.
1.	Если д(х) = е**Рда(х), где Рот(х) — многочлен лг-й степени, то част-
ное решение можно искать в виде
Л/пяст ~ XseY*Qm(x)?
где Qm(x) — многочлен m-й степени с неопределенными коэффициента-
ми; з — 0, если у не является корнем характеристического уравнения;
если же Y является корнем характеристического уравнения, то s равно
кратности этого корня.
2.	Если <?(х) = e^(Pmj (х) cos ₽х + Рт2 (х) sin ₽х), где Pmj(x)» РШа (х) —
многочлены степени и т2, тогда частное решение можно искать в
виде
Участ = *Se7*[Qm<*) cos 0* + Qm(x) Sin £х],
где т — шах {лт^, s = 0, если у +.ф не является корнем характерис-
тического уравнения; если у + ф — корень характеристического урав-
нения» то s— его кратность.
Решить дифференциальные уравнения:
16.73.	у" + Зу' = 18х + 9.
Решение. Корни характеристического уравнения Xj “О, Х2 = -3. Так как
У == о — корень характеристического уравнения кратности один» то частное ре-
шение будем искать в виде
Подставим его в уравнение
2А + 3(2Аж Ч- В) = 18х + 9.
236
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
(бА = 18,
|2А + ЗВ = 9.
Отсюда А ” 3, В = 1 и
рчаст = Зх2 + х,	= Cje“3r + Cz + Зх2 + ж.
16.74.	у'" - бу" + 9у' = хе3*.
Решение. Так как у = 3 — корень кратности двКц то
Участ 32 2 (Ах + В)е3х.
Подставив его в уравнение, приравниваем коэффициенты при одинаковых
степенях х:
27А-54А + 27А = О,
27В + 81А-54В- 108А + 27 В+ 27 А = О,	(18А=1,
54В + 54А-72В-36А+18В = 1,	|6А+6В = 0.
18В + 6А- 12В = О
Отсюда А  ‘	,
В-----L
18
И
Участ = А <*3 ~ Х2)е3*,
Уобщ с2 + С2е3х + С3хе3х + X (х3 - х2)е3х.
16.75.	у" + 2j/' + у = cos х.
Решение. Частное решение будем искать в виде
Унист " х°еОх(Д cos х + В sin х).
Подставив его в уравнение, получим
(-А + 2В + A) cos х - cos х, [2В = 1,
(-13-2А + В) sin х = О	|-2А = О
А = О,
Найдя общее решение однородного уравнения, получим решение исходного
уравнения:
Уобщ = Cje-X + С2хв“х + 1 sin х.
2S
16.76. у" + у - 4хеж. .
16.78. у" — 2у' - Зу = eix.
16.80. у" + 4^' + 4у = хе2*.
16.82. у'" + у" - 6х + е~*.
16.77. у" + у = 4 sin х.
16.79. у" + 2у' - Зу = х2е*.
16.81. у" ~у = 2е* - х2.
16.83. у"" + бу" + 4у = 3 sin х.
237
17. РЯДЫ
17.1.	Понятие ряда и его сходимости.
Свойства сходящихся рядов
Числовой ряд
го
а1 + а2 + ” + ап +	=	(17.1)
71 = 1
называется сходящимся, если существует конечный предел lim S„ = S,
П —Ч»
где Sa = ai + а2 + ... + ал — л-я частичная сумма ряда. S — сумма ряда.
СО
Если последовательность {Sn} не имеет конечного предела, то ряд У, ал
п- 1
называется рас ходя щимел.
Общие признаки сходимости ряда:
1.	Критерий Коши сходимости числового ряда. Для того чтобы ряд
03
Од сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого е > О на-
№ = 1	...
шелся номер АГ. такой, что для любых т > n > N выполнялось условие
1«и + «л+1 + — + “mi < Е-
ОС
2.	Необходимое условие сходимости ряда. Если ряд дя сходится,
П=1
то его общий член стремится к нулю, т.е. lim ап = О.
п —► ОО
Свойства сходящихся рядов:
1.	На сходимость ряда не влияет отбрасывание, добавление или из
менение конечного числа его членов.
ОО	OQ
2.	Пусть даны два сходящихся ряда У ал == Sa, У ba = S*. тогда ряд
К=1	Л=1
ОО	СО
"У (ад + Ьл) сходится и	ы - s“ + si-
Л=1	П’1
ОО
3.	Пусть дан сходящийся ряд = Sa и постоянная С, тогда ряд
П = 1
DO	ГО
^Сап сходится и	= CSa.
Л = 1
238
Найти суммы следующих рядов:
ill	'i
17.1, 1 + 1 + А + 1 + ... + А + ...
•Ж	2	4	8	2"
' Указание- Члены ряда являются членами геометрической прогрессии с
*** первым членом = 1 и знаменателем д= 1/2.
1 17.2.1-1+ i-i + ... + ei>^+...
2	4	8	2Л-1
Указание. Разложить ап на элементарные дроби: ——
.	п(п+1)
ЮГда5л=1-1+р> +...+ ^
-1+1
Л п
и + 1
п + 1
1 _ 1
п п + 1 '
Доказать расходимость следующих рядов:
17.8. 1-1 + 1-1 + 1-1 + ...
Указание. Srt
1, п — нечетное, Л
Следовательно, последовательность час-
О, п — четное.
тичных сумм не имеет предела.
17.9. 1 + i +1 + i + А + (гармонический ряд).
2	3	4	п
Указание. Рассмотреть подпоследовательность частичных сумм (S^}z
s2, -1+’ >2.1-1,
"1 + 5 Ч Ч Ч +1 >1 + г1 "З’г
^-«г.+G +g+7+l)>3l+4-|-4i’
Я - S + (	1	+	1	+	1	+	1	> ь. 1	-ь 2*"1	_
2*	2*’	Lz*-1 +1	2*“г + 2	2а-г+-3	2к~1 + 4)	2	2*
239
17.10.1 + X + X + X + _ + _L
72 а/з 75 Tn
Указанно. Использовать критерий Коши:
l“n + -- + “znl ~
1	_ n
-J2n -J2n
-Л-
17.11.	—X + -X- + —*_ ч
ТП2 7F3	73^4
17.12.	- + - + - + ... + 2ra~ 1
2	4	6	2n
Указание. Проверить необходимое условие сходимости.
со	со	_____
17.13.	Y 75-Хг. 17.14. У "ТбДЮТ .
2п- 1	"
п—1	П=1
17.2. Признаки сходимости положительных рядов
ЙО	*
Ряд У ал, в котором все ап > О, называется положительным,
п =1
Общий признак сходимости положительных рядов. Для того чтобы
се
положительный ряд У ап, ап > О, сходился, необходимо и достаточно,
Л = 1
чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху.
Признаки сравнения положительных рядов. Пусть даны два поло-
жительных ряда У дд и У Ьп. Тогда:
Л=1	Л = 1
ОЙ
1) если art < при всех п, то из сходимости ряда У Ья следует схо-
Л = 1
□о	оо
димост ь ряда У ап, а из расходимости ряда У ал следует расходимость
Л=1	Лг1
СЮ
ряда
а=1
2) если существует lim ап/Ьп, не равный нулю и конечный, то ряды
л. -* OQ
йй	PQ
У и У аЛ сходятся и расходятся одновременно;
П = 1	л-1
240
3) если -2±1 < при всех re, то из сходимости ряда V* Ьп вытекает
а„
п	п	rt=l
см	сю
сходимость ряда пп, а из расходимости ряда у1 д„ вытекает расходи-
п  1	«=1
СО
мость ряда	Ьд,
п = 1
ОС
Признак Коши. Пусть для положительного ряда ап существует
предел lim — <?- Тогда:
л -* оо
со
а)	если q < 1, то ряд У ад сходится;
п=1
СО
б)	если q > 1, то ряд У ад расходится.
п = 1
Примечание. Если g = 1, то теорема не дает ответа на вопрос о
сходимости.
СЮ
Признак Даламбера. Пусть для положительного ряда у ад сущест-
л = 1
вует предел lim ад+1/ад = q. Тогда справедливы следующие утвержде-
Я -* (3Q
ния:
QQ
а)	если q < 1, то ряд У ад сходится;
П=1
оо
б)	если q > 1, то ряд У ад расходится,
л = 1
Примечание. Как и в случае признака Коши, теорема не дает
ответа на вопрос о сходимости, если g- 1.
СЮ
Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда- У ап положит ель-
вы и убывают, т.е. aj > а2 > ... > ап> ... > О, и пусть f(x) — непрерывная
положительная убывающая функция, определенная при х > О, такая,
что
f(l) =	f(2) = а2,	/(п) =
тогда интеграл
менно.
оо
сю
J f(x) dx и ряд ап сходятся или расходятся одновре-
1	Л=1
241
Используя признаки сравнения,
следующих рядов:
исследовать сходимость
17.15. 1 + 1 + 1 + ... + А + ...
4	9	л2
Указание. Сравнить с рядом
рой признак сравнения.
V ...... :. (см. задачу 17.4), используя вто-
л-л п{п +1)
17.16. 1+ X + 1 + ... + 1 + ,м> ос > 2.
2“ За	па
Указание. Использовать для сравнения ряд из задачи 17.15-
17.17. 1 + А + ± + ... + А + ...
V2 Vs Vn
СО
У Казани е. Использовать для сравнения гармонический ряд V4 - .
Q=1
Используя признаки Даламбера или Коши, исследовать схо-
димость следующих рядов:
17.25. 1 + 5! + 3?
2 2г 2а
п2
2п
Решение. По признаку Даламбера
lim
а„
Um	_ 1 lim (n + 1)? _ 1
i — oo 2ft+in2 ' 2 n — °o №	2
Следовательно, ряд сходится.
242
q2	оЗ	q4	Я*
17.26. з + — + 2- -ь — +
22	З3	44	п"
Решение. По признаку Коши
__	ftjrt
lim 4ja~. — lim al— ~ lim — = 0 < 1.
л — си	a у Пя	n—-ооЛ
Следовательно, ряд расходится.
17.27
100 , 1002 , 1003 ,	. 100*
-- ‘ I'	1 Т	| 1 -в ♦ " I 	—
1! ,	21	3!	n?
17.28. 1 + — + — + IL + ... + — + ...
2г З3 44	пп
оо
Y 2пл!
— п"
П=1
17.30.
3«п1
Пп
4 п — 3
Пользуясь интегральным признаком, исследовать сходи-
мость следующих рядов:
17.33. 1 + 2_ + 2_ + ... + 2- + ...
2«	3«	nQ
Решение. Рассмотрим несобственный интеграл
ЙО я "1,	6			при a * 1,
f 2_ dx =	!itn | — dx =	lim 1		=
J х“ 1	fr “ J ха i	Ь —* оо	In xj*	при a = 1
н™ bl a	1	ч	—L—приа>1,
- 1^5 прн “ ‘ 1 ’ _ . “ - 1
lim In*	np«a=l	+со
’ °°	4- оо при ct = 1 -
оо
Таким образом, интеграл f — dx сходится ори а > 1 и расходится при
J ха
1
по
« < 1. Следовательно, ряд 2- при <х > 1 сходится и при а < 1 расходится.
п“
Л!= 1
243
17.34.	—-—
2In22
17.35.	e + ~
DO
17.36.	V------------------- .
" (3л - 6) In (n - 2)
Л — 1
31nz3
рТз
h —
7з
i
n ln2n
p a/4
+ ... + ^ + ...
v4	Jn.
CO
17.37. ypi + 73)3’^+^)2.
n = l
17.3. Знакопеременные ряды.
Абсолютная и условная сходимость
Ряд называется знакопеременным, если он имеет бесконечное число
как положительных, так и отрицательных членов.
QO
Ряд У ад называется абсолютно сходящимся, если сходится абсо-
п = 1
оо	оо
лютный ряд У |ал|. Сходимость ряда У jaj влечет за собой сходимость
П=1	П = 1
со
ряда £нп.
Л^=1
оа
Ряд У ав называется условно сходящимся, если абсолютный ряд
п = 1
СО	ОО
У |ал| расходится, а исходный ряд У аП сходится.
л = 1	га-1
ос
Числовой ряд У называется знакочередующимся, если для любого л
га = 1
члены ряда ап и an+i имеют разные знаки. Вез ограничения общности
можно считать, что знакочередующийся ряд имеет вид
сю
у (-1)П+1СИ, где сп > 0.
П-1
ро
Признак Лейбница. Пусть для знакочередующегося ряда £(-1)”+ч.
га = 1
выполнены условия:
1) последовательность {crt} является не возрастающей:
Ci > с3 > ... > сл >	> 0.
ОФ
2) lim crt = 0, тогда ряд У (-l)n+1crt сходится.
га=1
244
Ф0
Z
П = 1
17*38. Зная» что
(-1)”41
П
= In 2, найти суммы рядов» по-
лученных из данного в результате перестановки его членов:
а)1-1 -1	+1	-1	-1	+	...;
'	2-4	3	6	8
б)	1 + 1 - I	+	А	+ А	- 1	+	...
z 3	2	5	7	4
СО	1/1 + 1
17.39.	Члены сходящегося ряда У 7"— переставить так,
чтобы он стал расходящимся.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следу-
тощие ряды: 17.40. 1--L+-L-A+... 7з Тб Л	+ (-1)"-1 + 72л-1
17.41. 1-1+Д-2- + ...  з2 5г 72	ь .(-1Г-1 +... (2n- I)2
17 42	1	- 1	+ 1 2 In 2	3 In 3	4 In 4	-... + но: +... п ш п
<50	ОО Sin (2П l)rt '
17*45. УНГ1" 17.46. У - -L- -J
"л!	л(л + 1)
п=1	.	п=1
17,4. Функциональные ряды
Совокупность В тех значений х, при которых функциональный ряд
и^х) + ий(х) + ... 4- urt(x) + ... = иЛ(х)
л=1
сходится, называют областью сходимости ряда, а функцию S(x) =
= lim 5л(х), где Sn(x) = «i(x) + ий(х) + ... + un(x), x G В, — его суммой,
n °°
Равномерная сходимость. Последовательность функций {/«(я)) схо-
дится равномерно к /(х) на множестве Е, если для любого е > 0 можно
найти такое ТУ, зависящее только от е, что для любого п > N и для всех
х е Е выполняется неравенство - f(x)| < е.
245
Ряд ип(х) сходится равномерно на множестве Е к сумме 5(х), если
п= 1
последовательность его частичных сумм Sn{x) сходится равномерно на
множестве Е к функции S(x).
Критерий Коши равномерной сходимости. Для того чтобы ряд
ил(х) сходился равномерно на множестве Е, необходимо и достаточ-
П = 1
но, чтобы для любого е > О существовал такой номер JV, что при п > N
и любом р для всех х € Е выполнялось неравенство
1“пи(*) +... + “«+/*)! < £-
ОФ
Признак Вейерштрасса. Если члены ряда ^п„(х) удовлетворяют
П = 1
неравенствам ^un(x){ < ая, где х € Е, а ап — числа (не зависящие от х), и
Фо	Оф
если ряд сходится, то ряд ^urt(x) сходится на множестве Е ран-
номерно.
Свойства равномерно сходящихся рядов:
1. Если функции ия(х) определены и непрерывны на множестве Е и
ФО
ряд У п„(х) сходится равномерно к сумме 5(х) па множестве Е, то эта
Л-1
сумма будет непрерывна на множестве Е. 2 3
2. Если функции un(x) определены и непрерывны на [а, &] и ряд
ОФ
У ип(х) сходится равномерно к сумме S(x) на (о, Ь), то его можно по-
членно интегрировать на [а, Ь]:
J S(x) dx = у1 J ия(х) dx.
й	™ = 1 д
3. Пусть функции и„(х) определены на [а, Ь] и имеют непрерывные
0О	г»
производные и„ (х) на (а, Ь). Если ряд иа(х) сходится, а ряд ия(х)
л = 1	п = 1
ФО
сходится равномерно на отрезке [а, Ь], то сумма S(x) ряда У ип(х) имеет
Л=1
на (а, Ь) производную, причем
OS
246
17.47. Определить при |х| < 1 сумму ряда
1 + X + X2 + ... + Xя + ...
и исследовать его на равномерную сходимость:
а) на отрезке [0, г], где О < г < 1;
б) на интервале (—1, 1).
Решение. Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, получим
(17.2)
(17.3)
Так как при О < г < 1 имеем lim — = 0, то V € > 0 3 ЛГ, такое, что при
оо 1 -Г
(при
S(x) = —— . Следовательно,
а) При |х| < г < 1
X*
1 -xi
x<l
JS(x) - S„(x)|
1 __ 1 ~ хЛ
1 - г
гп
1 - г
п > N
< е. Тогда, учитывая (17^2), (17,3), получаем |S(x) - Sn(x}[ < £ для
всех и > N и всех х € [Q; г]. Следовательно, ряд сходится равномерно на любом
отрезке [0, г], где 0 < г < 1.
б) Интервал (-1, 1) содержит точки, сколь угодно близкие к точке х = 1. Так
как [S(x) - S„(x)| “
хп ।
1-х
—» со прИ х —> 1, то, как велико бы ни было п, найдутся
точки х € (-1, 1), для которых разность |S(x) - Srt(x)j больше любого, сколь угодно
большого числа. Следовательно, нельзя подобрать такое JV, чтобы при п > Лг не-
равенство |S(x) - S„(xX < е имело место во всех точках интервала (-1, 1), а это и
означает, что сходимость ряда в интервале (-1, 1) не является равномерной.
17.48. Показать, что ряд
х(1 - х) + х(1 - х)2 + ... + х(1 - х)л 4- ...
сходится неравномерно на отрезке [О, 1] и равномерно на от-
резке р/я, 1].
Исследовать характер сходимости следующих рядов:
17.49. £ (1 - х)хл,
л = 0
О < х < 1.
17.50. V
п!
п-1
0 < х < +ОО.
-1 < х < 1.
247
	00	1
17.52.	У  • 1	, -оо < X < -+-ОО. " х^ + n= 1 0О
17.53.	у —-— , —2 < X < +оо. х + 2х1 л-1 00	2	1
17.54.	у А_ (X- + я»),	1 < |х| < 2 оо
17.55.	У с °?	ж —со < X < +ОО. “ пг п=1 оо
17.56.	У sin пх. * —со < х < 4-оо. n = 1V«4 + х4
17.5.	Стеленные ряды
Ряд вида
с0 +	- а) + ... + с„(х - а)" + ... = £с„(х -а)«,	(17.4)
п=0
где с„ (и — О, 1, 2, ...) —- постоянные, называется степенным.
Данный ряд сводится к ряду
СЮ
с0 4- Cjx + ... + спхп + ... ^сдхя
л-0
с помощью линейной замены переменной.
со
Теорема Абеля. Если степенной ряд У спхп сходится при некото-
ром значении х0 * О, то он сходится абсолютно при всяком значении
М < |х0|.
Если ряд расходится при некотором значении х0 * О, то он расхо-
дится при всяком [х| > |х0|.
Существует такое число R (оно может быть и О, и 00), что:
а)	ряд абсолютно сходится при < R (если 7? * О);
б)	ряд расходится при |х| > R (если Я < со).
Число Л называется радиусом сходимости степенного ряда, а интер-
вал (-Я, Л) — интервалом сходимости.
На концах интервала сходимости (т.е. при х = R и х = -Я) ряд может
как расходиться, так и сходиться.
248
Радиус сходимости степенного ряда определяется по формулам
Я ==
lim ,
« rtS"
А/ я
Я = lim
Л - оэ
%
ап+1
Свойства степенных рядов:
1.	Степенной ряд сходится равномерно на любом отрезке [-г, г), где
г < Я, Я — его радиус сходимости.
2.	Сумма степенного ряда есть непрерывная на отрезке [—г, г] функ-
ция.
3.	Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке
[О, х]т -Я < х < Я, и почленно дифференцировать в интервале ( Я, Я).
Определить интервал сходимости степенного ряда и иссле-
довать его сходимость на границах интервала:
17	.57. 1 + х + —	р > О.
Решение. J? lim **п	lim	(л+ 1)Р	1. Таким образом, ряд сходится
		пр	
при (х| < 1 и расходится при	М> 1.		
Исследуем ряд на границах интервала сходимости. Пусть х = -1, тогда ряд
имеет вид
1 - 1 + ± ± + ... + (zlT
2Р ЗР	пР
Данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно при р > 1 и условно при
О < р < 1.
При х — 1 ряд имеет вид 2 +	+ ^ + ... + -L + и сходится при р > 1 и
расходится при О < р С 1.
17	.59. 1 +	+ -4*-. +. 8x3 + ... + 
32V8	S2^2	72j33 '	(2л+1)2ТЗ“
; DO	СЮ	Оо
17	.60. У *2. 17.61. У . 17.62. У —.
17.63.	-У (~1)л(2п + 1)2хл.
htb
17.64.	(х + 1) + V2 +	1)
।	2 4	3 42
+ + <*+1>л
п  4"-1
Указание. Сделать замену t  х + 1.
249
17.65.	(2х - 5) - <2*-5»2 + <2?-~ЛА3 - ... + (-р-ЧЗх-б)" +
3	5	2л - 1
17.66.1 - * + _*L -	+ ... + (-Р**2*-1 + ...
5j2	&2J3 о “../4	5‘7лП
Решение. Формула для радиуса сходимости применима только тогда, когда
все с, * 0. В данном случае c2fe = О при k > 1. Исследуем ряд на абсолютную схо-
димость по признаку Даламбера при каждом х:
lim	aA + i	\ — lim		: ~ i x2.
			&**!/* +2	
k —» ™		ft oo	x2*^1 5*7^+ 1	5
X2
5
Следовательно, ряд сходится при
< 1 и расходится при — > 1 (так как
&
не выполнено необходимое условие с ходимости). Таким образом, данный степен-
ной ряд сходится при х € (- /5 , Jb ). Исследуем сходимость ряда на границах
интервала.
Пусть х =" ± /б. Тогда:
у	1
у (-1)»(-Д)г»-’
— X4 "5Aji+175 1	да	. _ у (-1)A . £75(Л + 1)	(17.5)
_ J~"l)^~15^ 5*7^ + 175	1. i = у t-1)*"1 " 1)	(17.6)
Нетрудно показать, что ряды (17,5) и (17.6) сходятся условно.
(~-1)Ах2А
3*(/г + l)/ft+l
2п -1 ’
X4
з2' з/з
17.67.1 -
3-2/2
17.68. У . 17.69. у (-1)
17.6. Ряды Тейлора и Маклорена.
Применение рядов к приближенным вычислениям
Если функция f(x) имеет производные любого порядка в окрестности
точки х— о, то для функции f(x) получим бесконечный ряд, который
называется рядом Тейлорах
fix) - f(a) 4-	- а) + ^-4^ (* _ л)2 4- ... + (х - а)л + ... =
-
w=0
250
Остаточный член Яп(х) - f(a) - V (± - а)* этого ряда можно
£-4 к:
*=1
представить в следующем виде (форма Лагранжа):	. >
Яя(х) -	+ 0(х - д))<5..--дГ-2, где 0 < 0 < 1.
( Д -г 1
Ряд Тейлора сходится к функции Дх) тогда и только тогда, когда
«5
lim ЯДх) - О. Если же lim Яп(х) * О, то ряд V LHeI (х - а)я не пред-
и —* оо	и -* оо	Fl!
д=0
став л я ет данную функцию, хотя и может сходиться (к другой функции).
Если все производные ограничены (J/*ft)(x)j < К, k = 1, 2, ...), то
lim Яп(х) 0.
л -» оо
Положим а = 0, тогда получим частный случай ряда Тейлора, кото-
рый называют рядом Макларена:
f(x) - /(О) + Г(О)х + Нр х2 + ... + хп + ...
Разложение в ряд Маклорёна элементарных функций:
1) е* = 1 + — + — + ... + ~ + ... (—оо < х < оо);
1!	2!	л!	'	'
2)sinz=--£?+^-..,+(-1Г^_ +...	(-оо<х<»);
>w*j2	« 4	ъ.,2 /1
3)	COS X = 1 - S +	- ... + (-l)n~yi + ...	< * < °0);
4)	In (1 + x) = x -	- ... + (- 1)и+1 — + ... (-1 < x < 1);
2	3	n
5)(1 + x)m = 1 + -x +	xn +
'	1!	2!	в!
(“1 < X < 1).
Пользуясь разложением в ряд элементарных функций, на-
писать разложения в степенной ряд следующих функций:
17.70. In 1±^.
1-х
Решение.
1прл - 1п(1 + *)-1п(1-ж)-(z-e£-
( х2 х3 х4 х5	2х3 , 2xs ,
'Т-y-J-2х+-Т + “Г +~
251
17.71. е-*й. 17.72.	. 17.73. соз2х.
1-х
17.74_____*----.
1 + х- 2х2
17.75------------
(1-х)(1-х2)
У мазание. В задачах 17.74, 17.75 разложить данную дробь на простейшие.
17.76.	Разложить функцию 	.. в ряд по степеням х и по-
71-х2
членным интегрированием данного ряда написать ряд для
arcsin х,
Решение. Используя
ции 2— :
71 - хг
-7=4^=- ₽ [1 + (-Х2)] 2
Тогда
X
arcsin х = Г -,---dx =
•; «/1~-х2
биномиальный ряд, 1
= 1 + 1х2 + 14*4 +
2	24-
+ 1^ + 1~ 3+
23	2-45
разложение для функ-
1-3-5 -(2д-1) 2д +
2-46 -2п
+ 1-3-Н2Я-1) x2n+1 +
2  4 • 6-"2й 2л + 1
17.77.	Разложить функцию ——3 в ряд по степеням х и по-
1 + X2
членным интегрированием данного ряда написать ряд для
arctg х.
Применяя почленное интегрирование, вычислить суммы
рядов:
17.78.	х + 2х2 + Зх3 + 4х4 + ...
17.79.	х - 4х2 + 9х3 ~ 16х4 + ...
Применяя почленное дифференцирование, вычислить сум-
мы рядов:
17.80. х + ~ + ^ + ...
3	5
17.82. 1 + f! + ^ + ...
2!	4!
—А д	-w*3	у 5	у 7
17.81. х -	• + ...
3	5	7
17.83.
JL 1
X2
2""3
х3
3  4
17.84. Разложить еа по степеням (х — а) и исследовать фор-
мулу остаточного члена ряда.
252
.'♦tee ине. Найдем производные функции Дх) = е“ в точке х - а:
Л«)-^е. Г(а)=-1е,
а	аг	а”
Тогда ряд Тейлора имеет вид
У (ж - а)",	(17.7)
!	аЛл!
1
д остаточный член можно представить в виде
н (X) = -Ц-------- .
п ая+1(п+1)!
1	ea+G(x-л)
Так как lim Я„(х) - lim -------г-----— = О, то ряд (17.7) сходится к функции
ftое>	ft со an+J (п, + 1)!
j	г йо
f(x) = е° , т.е. еа = У  --- (х - а)я.
аял!
Л=1
Разложить в ряд Тейлора следующие функции:
17.85. у " х4 4- х2 по степеням (х - 1).
17.86.	у — - по степеням (х + 2).
17.87. у == cos ~
9	2
[ л
по степеням х — -
I 2
17.88.	у = ^/х по степеням (х + 1).
Вычислить приближенно и оценить соответствующие по-
грешности:
17.89.	sin 1.
Решение. Полагая х - 1 в разложении в ряд Маклорена для sin х, имеем
ЗИ'1-1^ +К! Ч +-	<178>
Остаточный член оценивается следующим образом:
sin ^0х +
|Л„(х)| -
< мя+1
(n + l)t •
Т&ким образом, при х =• 1 погрешность определяется первым отброшенным
членом. Если в разложении (17.8) оставить три первых члена, то погрешность
253
по абсолютной величине будет меньше
0,8417 с точностью до 0,0002.
1	11
в . Отсюда 6iu 1 - 1 _ — + _ =
5040 ™АИВШг 8!	5!
17.90.	arctg 1,2. 17.91. i . 17.92, In 1,25.
Те	:
Вычислить с указанной степенью точности:
17.93.	cos 1° с точностью до 10~6.
17.94.	tg 9° с точностью до 10-3.
17.95.	V19 с точностью до 10 3.
17.96. Пользуясь тождеством
S = arcsin 1, найти число Я
с точностью до 10 4.
17.97.	Пользуясь формулой
1п(п + 1) = In п + 2ГА-
*	|_2« + 1
3(2л+1)3
найти In 2 и In 3 с точностью до 10 5.
С помощью разложения подынтегральных функций в ряд
вычислить с точностью до 10-3 следующие интегралы:
1	100
17.98. J е dx.	17.99. J	dx.
0 2 17.100. f	dx. J X 0	io	; 1 17.101. f	
ПРАКТИКУМ 2
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Задания
1.	Найти неопределенный интеграл (табл. 1).
2.	Вычислить определенный интеграл (табл. 2).
3.	Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
(табл. 3).
254
4.	Вычислить несобственный интеграл (табл. 4).
5.	Исследовать сходимость несобственного интеграла
(табл. 5).
6,	Решить дифференциальное уравнение первого порядка
(табл. 6).
7.	Решить линейное дифференциальное уравнение (табл. 7).
8.	Исследовать сходимость ряда (табл. 8).
9.	Найти промежуток сходимости степенного ряда (табл. 9)
Таблица 1. Варианты задания 1
Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1	f «У*».? dx J 1 + xi J sin4x cos5x dx	16	f d J * sin2x t/tg x C 2xa + 41x-91	. J (x- l)(x + 3)(x + 4)
2	raretgfx dx J 1 +x2 J sin3x cos4x dx	17	f	dx COS2X Vtg x f (y3 ~~ *) dx J 4x3-x
3	г arcsin x 4-1 J 71-x2 | cos2x sin4x dx	18	f tg x d * j 7соэ X f *3 t,V1 dx J x(x2 + l)
4	Г	dx	 (arcsin2x)71 - x2 J sin x cos 3x dx	19	Г cos x dx J 42 + cos 2 x J ln2x dx
5	Г arccos2x 71 -xz J cos 3x cos x dx	20	Г r dj J 71 - x2 f x dx J	X3
6	f x dy. J 3 + e2x J sin 5x sin x dx	21	J ^/1 + x3 xz dx J x2e~2x dx
255

Вариант	Интеграл	ii Вариант	Интеграл
7	f e\dx * J2+&* Г (х + 1) dx J л/х2 + Х + 1	22	f -f— dx J Xй+ 5 J x3e* dx
8	Г dx J X In X f	*dx J 71“3x2*2x4	23	f *3 dx J xa -2  J sin (In x) dx
9	Г dx J x ln2x f 2x~8 <jx J Jl - X “ X2	24	f xZ d* J (8x3 + 27)3/2 J cos (in x) dx
10	[	3x~6 dx J Jx2 - 4x + 5	25	f	d* j Vx(l + x) J x2sin 2x dx
11	J ln2x + In X 4- 1 f (3x + 1) dx J fax2 - 2x+ 1	26	f dx J Vx(l-x) J x3cos 3x dx
12	f 3* dx Л + 3* f •» j2x2-x + 2	27	f x d* J (1 +x2)3 rarctp dx J
13	f 2*dx *, J 1 + 4* Г	dx J (x- l)(x + 2)(x + 3)	28	г x dx J x«-5 j" x arctg x dx
14	Г 1 +	* dx J ccs^x г л3:2 dx J x3-5x2 + 4x	29	d' •» 4x2 - 4 J e*cos x dx
15	f 3 + c*g2x dx J sin2x f dx J x(x+ I)2	30	J Ч/б - x4 x3 dx J 3xshi x dx
256
Таблица 2. Варианты задания 2
Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1	1 J х2е~х dx 0	16	:	1	! У arcsin x dx ,	о
2	Ё J х21п х dx L	17	1 У arctg x dx 0
3	1 J хе"ж dx 0	18	1 У xe* dx 0
4	н । ЕМ и и «	, о	19	1 г ex dx 71 + ex 0
5	е J ln2x dx 1 				20	ft/2 У sin2x cos3x dx 0
6	с У х ln2x dx 1	21	fl У sin2x cos2x dx 0
7	1 1 arcsin dx J	2 0	22	fl/4 У sin x cos 3x dx 0
8	тг/2 J х cos x dx 0	23	i f arcte* dx J 1 + X2 0
9	. tl/2 jA06xdx 0	24	1 f eJ dx J l + e2x 0
10 j	я У x sin x dx 0	25	1 ; r 3* dx J 1 + 9* 0
11		П J x2sin x dx 0	26	i f 2х dx J 1 + 2* 0
9 Сборник мдзч по пьющей математике
257
Окончание табл. 2
Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
12	1	я/2 Г х dx J sin^x Я/4	27	я/4 J tg x dx 0
13	1	я/4 Г х dx J COS2X 0	28	л/2 f cos x dx J sin2x я/4	! 		 		 1
14	1/2 J xe2jt dx 0	29	73/2	: Г arcsin x i	! j Jl-x2 X 1/2
15	1/3 J xe3x dx 0	30	f !«!y dx J 1 + X2 72/2
Таблица 3. Варианты задания 3
, Вариант	Уравнения линий	Вариант	Уравнения линий	:
1	у = e*, у = е“х, х = 1	16	|у| » -х2 4- 2х
2	II н bi 4= II “1^	17	X2 и2 — + SL - 1 16	4
3	У = X2, у = 4х	18	Чг Ь5 1! К  -w «г 11 00 4 н 11 о
4	у2 = 2х + 1, х-у-1=0	19	II to 1 : и : GJ. II К . “1
5	у “ X2 + 1 , у — X + 1	20	со II Н II Н II CTJ
6	у = х2 + 4xf у = х + 4	21	'у = х-1, у = х2 — 2х + 1
7	у2“х+1, у“х2 + 2х+1	22	№ х2 - 3, у “ -2х
8	_	1	, _ х2 /	1+х2’ У 2	23	II to + н* н to II №| иМ го
9	у2 = 4хф х2 = 4у	24	у2 = Зх, х2 = Зу
10	Ы “ 1 -	25	|у| = -х2 - 2х
11	ч: 11 ф н II Л । и К II 1 №	26	у = х2 + |х| - 2, у = 0
12	II И - to <cj II Н	27	II ГБ II ф| и II to
13	II сч" к II	28	®| « + II
14	у = х + 1» у = х2 + 2х + 1	29	го II к <в w I h И W
15	у ™ х2 4- Зх, у = “X2 - Зх	30	у - In х, х = е, у = 0
258
Таблица 4. Варианты задания 4
Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1	1 ' Г х а* 71 -л2 0	1 16	+ <ю J хе-л dx 0
2	н н ъ	1 сч *	» о	1 17	+«i J x2eJ*dx 0
3	1 Г х3 dx J t/1 -	18	+ СК? f arctg_x J 1 + X2 0
4	1 i 1 1 о *	fc to я 1 CL и Н to	19	f arctgZ* dx J 1 + X2 0
5	2 Г х2 dx ' 378 - г3	20	+ 00 J arctg3* dx 0
6	1	2 1	Г X3 dx J 716-х4	21	+ w | Jarcctg x dx 0
7	3 Г х dx | 79-х2	22	+ ОУ Г X3 dx	L	; J (x4 + l)3 0
8 1	О *- » н- г Н * । £Х и- Н	23	Г ex dx J (l+ex)2 0
9	1 Г е3* dx ' Je3x — 1	24	J xe^2xdx a
10	1 Г ех dx J 7е2*- 1 0	25	+ 00 г x4 dx J (x5 + 5)4 0
11	1 Г еДзг dx J	26	+ 0O Г x2 dx J (x3 + 3)2 0	•
12	1 г /arcsin х j •U 1-Х* 0	27	+ 00	: Г e2jf dx J (e2x + 2)3 0	'
<259
Окончание табл. 4
Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
13	i г arcsin х dx J 71-х2 0	28	-|-oO Г e3j dx J (e3x+3)3 D
14	1 Г х dx J Л-х-	29	4- T_XT f *5 d* J (Xе+6)5 0
15	1 Г х2 dx J 7i - x«	30	I- OO J xe“3x dx D
Таблица 5, Варианты задания 5
Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
1	+ » Г соз 2х dx J 1 + X2 0	16	1 f dx J (1 - X2)2 0
2	ют Г сой Зх dx J 1 + X2 о	17	2 f d X J (4-x2)3 0
i	3	Г — -dje ' X Vx3 + 1	18	[ dJC J Tx + 4x3 0
4	f ЙН12Х J J X* dI 1	19	f	*£	 j i — x2 + Ji - x 0
5	+ оо ( х dx * Jx4 +1	20	2 Г	dx	 J J2 - x + 16 - x4 0
6	г sin х dx J X2 + 1 1	21	2 f dx { 74-х2
7	+ оо f djr J xVx2+l	22	C *	to	to к	a l	H h Ni
8	-boa Г x dx * Jx5 + 1 0	23	Г . dx J (X3 - 1)2 о
260
Окончание табл. 5
i Вариант	Интеграл	Вариант	Интеграл
9	+ оо Г dx J 71 + Jf3 0	24	Q * ,	t 1	* 00
10	+ оО f Sin X J X2 1	25	1 Г dx J 7i-x2 0
И	+ co f dx J 7x3 + x 1	26	Л 1* sin x dx J ^/x(x2 +1) 0
12	-1-ВД f e~* dx J X2 1	27	о *	1 *- wl 1 * и *h.
i 13	+ CO Г dx [ Vxa-1	28	1/Й Г sin 2x dx | 47^(x2 + l)
14	+ DO f c°s** dx J	X4 1	29	C	M tjl r * $4
15	+ CU f ——dx ' X Vx2 + 1	30	«/2 Г cos x dx I	| 37x(x3+l)
Таблица 6- Варианты задания 6
Вари ИНТ	Уравнение	Вари- ант	Уравнение
1	x2 dy = (у2 + xy) dx	16	у' + 2ху = 2х
2	, у у2 у + £ = S' X	X2	17	dy=(£	dx lx у)
3	у dx + (2 ,/ху - x)dy 0	18	II к 1
4	(х - х3)у' 4- (—х2 - 1)у - Зх3 = 0	19	х dy + (2у - х) dx = 0
5	(х + у> dx + (у - х) dy = 0	20	у'Сх - х3) + (Зх2 - 1>у = 2х3(х - х3)2
6	у' + ху “ хэу®	21	—Зх dx — 2ху2 dx ™ Зх2у dy
7	2ху dy = (х£ + dx	22	8х + ху2 + 7б - х2 у" = 0
8	у' + у cos х = sin 2х	23	х7б+ у2 dx + у71 + х2 dy — 0
261
Окончание табл. 6
Вари- ант	Уравнение	Вари- ант	Уравнение
9	у'~ 21L -(х + 1)3 х + 1	24	(5 + ех)уу' = ex
10	(х + у) dx + х dy = 0	25	y(5 + In у) + ху' = 0
11	i Н j to te- ll H I 1 14	26	v'=	+	+ 4ya x2 - 2xy
12	x dy “ у dx ”	+ y2 dx	27	н H * 1 II Ik Ы 1 1
13	(y - x) dx + (у + x) dy - 0	28	2Ai
14 ,	, у x +1 У - - = 	 , X	X	1	29 ,	x dx - 2xya dx = 2y dy + 3xsy dy ।
15	x dy - (x + 2y) dx	30	у' ~ у sin x - y2eCOB *
Таблица 7. Варианты задания 7
Вари- ант	Уравнение	Вари- ант	Уравнение
1 1	у" + 9y — 6е3т	16	у" - 4у' + Зу = 12 sin х - 4 cos x
2	y"-3y' = 2-6x	17	у" + Зу' + 2у = е-х
3	у" + у = cos X	18	у" + 4у = 2 sin 2х
4	у" - 8у' + 7у = 14	19	у" + бу' + 5у = е2т
5	г II Л н	20	у" + 2у' + у = хех
6	1 to 1 II <D 4	21	у" - 7у' + 12у - х
7	Зу" + 4у' = 8х + 6	22	у"-4у^х + 1	
8	у" + у' - 2у = 8 sin 2х	23	у" - 9у = X + 1
9	у" - у = *~х	24	у" - бу' + 9у - е*
10	у" - 2уЛ + Зу = e‘xcos х	25	4у" - 12у' + 9у - ех
11	у" - у = 5х + 2	26	- 7уЛ + 12у = е2х
12	у" + 4у' + 4у - cos 2х	27	у" “ 4у' + 4у “ е2х
13	’у" - 2у' + у - 2е*	28	у" + 2уг + 10у == хех
14	у" + 4у = 8е2х	29	у" + у — sin х
15	у" - у = 2 cos х	30	у" - у = хех
262
Таблица 8. Варианты задания 8
Вариант	Ряд	Вариант	Ряд
1	ОС- У.—-—	16	Y 5я(п + 1)! (2п)! л = 1
2	ОС у Уб in п л = 2	17	сю Xj га 1п п га = 2
3	мр й 1 td	18	sin2(2n) X п2 Л = 1
4	QO у j2L (2л)! я=1	19	оо У “1 V2 " + 3
5	PQ	.Г— у Зп5п га = 1	; 20	1 ф
6	о© У— 2'1 + 3 Л = 1	21	ОС X2“sin(r) Л = 1
7	1ЬФ	22	у пЛ Угг ^3" + 2 п = 1
8	у (2л.- 1)! л! «j 1	23	СО у 2п X „г + i	: л = 1
9	оа у д2 +1 п3 + 1 > № 1	24	у (1+Д2)2 (1 + п3)2 л = 1
10	№ “’=1=	25	OQ у (п + 1)! Zrf „Я Л! = 1
1 11	еГс : 1 N	26	У—1 п  1
12	1	™	 2 X1 s-n Zj п2 + 1 Л = 1	27	X л(п + 1)(?1+2) л = 1
263
Околчали^ 8
Вариант	Ряд	Вариант	Ряд
13	DO у пП 2-* Злп! *1 = 1	28	1	DO у <2д)! л2п Л = 1
14 i	о» уч	П п2 + 4 Д=1	29	QQ	—. 1 + а/2 “ V2n + 1 Л = 1
15	_ _ _ 2 Г СО СО® 1 	1 \ О’ z 2-> 3я,+ 2 п = 1	30	оо У 1 " п 1п2п д=2
Таблица 9- Варианты задания 9
Вариант	Ряд	Вариант	Ряд
1	сю л! Xrt л = 1	16	у (х- 1)я п-9" п=1
2	DO у £2 п! л =1	17	е ем и  е  8 HI
3	п.  4n~i П=1	18	со У Зпнхп Л -1
4	у (—1)я~1(2х — 3)” 2я-1 Л = 1	19	сю У С*-3)" п = 1
5	IM8 "з|*а	20	со у (Х~2Г Zrf 2П‘4Л л = 1
6	ЙО 1	_ жл 2^ Д = 1	21	L>tJ	.1 у (-1)я + 1хп jZ	Л п-1
7	(X + 3)" п2 rt = 1	22	ою Xя	1 Xj п(п + 1) п^|
8	DQ -Y (ж+ 5)" пг  4Л п = 1	23	У (-l^ + l <-у+5)я п 5Л л = 1
264
Окончание табл. 9
Вариант	Ряд	Вариант	Ряд
9	РО Z- 2л-1 л=1	24	1 1 к .	1-с И 1 1 I	Н Й см i	
10	сю V хП ' , Та 11 = 1	25	DC	( пхп ^(п + 1)2" п = 1
11	оо у	1)" (2п - l)2rt	26	.	оо У(-1)* *п Zrfv f 7л-11 « = L
12	У (д-з)"	27	У п * Зл (х - 1)л П = 1
13	JM8 н	28	у (-1)П+1 (я+ 5)" 16п(2п + 1)' д = 1
14	У10лх”	; П- — 1	29	jr(n+l)x" !	п = 1
15	ОО (2х + 1)п Зп - 2 /1 = 1	1	30	V"3-2
18. ПРИМЕНЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В ЭКОНОМИКЕ
18.1. Применение аналитической геометрии
Линейная модель амортизации. Существуют различные модели начис-
ления амортизации на купленное предприятием оборудование. Наиболее
простая из них — линейная модель. Пользуясь этой моделью, предприятие
относит стоимость купленного оборудования на затраты производства
равными долями. Если известны начальная стоимость оборудования Р,
остаточная стоимость *5 и срок службы 71, то ежегодная амортизация
Т
Стоимость оборудования после t лет эксплуатации
V= Р -	= Р - at.
Последнее уравнение определяет прямую линию.
265
Линейная модель издержек. Точка безубыточности. При производ-
стве х единиц любой продукции совокупные издержки (затраты) С(х)
состоят из двух слагаемых — постоянных (фиксированных) и перемен-
ных издержек:
С(х) = F + V.
Постоянные издержки F — это издержки, не зависящие от числа
единиц произведённой продукции. Они включают в себя амортизацию,
аренду помещения, проценты по займам и т.п.
Переменные издержки V — это издержки, напрямую зависящие от
количества произведенной продукции. Они включают в себя стоимость
сырья, рабочей силы и т.п.
В простейшем случае переменные издержки прямо пропорциональны
х — количеству произведенной продукции. Коэффициент пропорцио-
нальности а — это переменные затраты по производству одной единицы
продукции.
Если обозначить через Ъ фиксированные затраты, то получится урав-
нение, которое называется линейной моделью издержек:
С(х) = b + ах.
Совокупный доход, или выручка, Л(х), получаемый предприятием от
продажи х единиц продукции, определяется формулой
Я(х) = рх,
где р — цена единицы товара.
Очевидно, что область определения этой функции (х: х > 0} и 7?(0) = 0.
Если произведено и продано х единиц продукции, то прибыль Р(х)
определяется формулой
Р(х) - Я(х) - С(х).
18.1.	Фиксированные издержки составляют 10 тыс. руб. в
месяц, переменные издержки — 30 руб., выручка — 50 руб.
за единицу продукции. Составить функцию прибыли и постро-
ить ее график.
Решение.
С(х) - F + F,
f - 10 000, V = ЗОх
I
С(х) - 10 000 + ЗОх,
Я(х)= 50х
(рис. 18.1).
Таким образом, прибыль
Р(х) = 50х - ЗОх - 10 000 =
= 20х - 10 0000.
266
При малых значениях х прибыль отрица-
тельна, т.е. производство убыточно. При уве-
личении х прибыль возрастает, в точке х = 500
она обращается в нуль и после этого становит-
ся положительной (рис. 18.2).
Точка, в которой прибыль обращается
в нуль, называется точкой безубыточ-
ности.
Законы спроса и предложения. Количество товара, которое покупа-
тели приобретут на рынке, зависит от цены на этот товар. Соотношение
между ценой и количеством купленного товара называется функцией
или законом спроса.
Количество товара, которое производители выставят на продажу,
также зависит от цены на этот товар. Соотношение между ценой и ко-
личеством товара, выставленного на продажу, называется функцией или
законом предложения.
В простейшем случае эти функции ли-
нейны (рис. 18.3). Закон спроса обозначен
через J9, закон предложения — через S;
х — количество товара, р — цена на этот
товар.
Уравнение спроса можно составить,
если заданы две точки, лежащие на его
графике. Для этого нужно использовать
уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки:
Рис. 18.3
_	„	— р2 ~р1	- -г \
Р Pl — -----— (х х1)-
х2~х1.
Точка пересечения кривых спроса и предложения (х0, р0) называется
точкой рыночного равновесия. Соответственно, р0 называется равновес-
ной ценой, а х0 — равновесным количеством (объемом продаж).
Если известен закон спроса р(х), то совокупный доход R = хр можно
выразить через х.
Очень часто правительство вводит налог t на товар или предоставляет
субсидию s, чтобы население могло приобрести этот товар по разумной
цене.
При использовании линейных моделей предполагается, что спрос оп-
ределяется только ценой товара на рынке ре, а предложение — только
ценой рл, получаемой поставщиками. Эти цены связаны между собой
следующими уравнениями:
Pc^Pv + t*
Рс -Рк -
где t и s — соответственно налог и субсидия на единицу товара.
26Т
Таким образом, при введении налога или субсидии уравнение спроса D
не изменится. График функции предложения поднимется на t единиц
вверх (S') или опустится на а единиц вниз (S") (см. рис. 18.3).
Рис. 18.4
Вместо субсидии иногда вводится
минимальная цена. В этом случае пра-
вительство скупает излишек продук-
ции, равный xs — xD (рис. 18.4).
Некоторые налоги, например НДС
(налог на добавленную стоимость), про-
порциональны цене. В этом случае ос-
тается той же точка пересечения графи-
ка предложения с осью Ох и меняется
угол наклона графика к оси Ох.
18.2.	Законы спроса и предложения на некоторый товар оп-
ределяются уравнениями
р = — 2х + 12,
р  х + 3.
а)	Найти точку рыночного равновесия.
б)	Найти точку равновесия после введения налога, равно-
го 3. Найти увеличение цены и уменьшение равновесного
объема продаж.
в)	Какая субсидия приведет к увеличению объема продаж
на 2 единицы?
г)	Вводится пропорциональный налог, равный 20% . Найти
новую точку равновесия и доход правительства.
д)	Правительство установило минимальную цену, равную 7.
Сколько денег будет израсходовано на скупку излишка?
Решей не. а) Находим точку равновесия М:
х •+ 3-------2х + 12,
х = 3, р = 6.
Точка М (3, 6) является точкой равновесия
(рис. 18.5).
б) Если введен налог t - 3, то система
уравнений для определения новой точки рав-
новесия примет вид
D: рс — —2х + 12,
5: ра = х + 3,
Рс = Р» + 3-
268
Используя соотношение между ценой на рынкерс и ценойр,, получаемой пос*
тавщиками, имеем следующую систему для определения точки рыночного рав-
новесия:
рс = -2х + 12,
рс "= х + 6.
Решая эту систему, получаем новую точку равновесия М'(2, 8). Следователь*
но, после введения налога равновесная цена увеличилась на 2 единицы, а рав-
новесный объем уменьшился на 1 единицу.
в) Если предоставлена субсидия, то система уравнений для,определения точ-
ки равновесия имеет вид
D: рс = -2х 4- 12,
S: р3 = х + 3,
Л и А " $-
Новый объем продаж равен 5 единицам (3 + 2). Подставляя х — 5 в систему,
находим:
Рс 2, ря = 5,	3 = ря -	= 3-
г) Если налог составляет 20%, то вся рыночная цена составляет 120%, из них
100% получают поставщики товара, 20% “ государство. Итак, поставщики по*
лучают
„ = 100 п = 5 „
Р* 12QPc 6 Рс'
Уравнение спроса остается неизменным, а в уравнение предложения подстав*
ляем р, = -
s 6
Рс = _2х + 12,
ii₽t-x+3.
Решая эту систему, находим новую точку равновесия М":
-2.x + 12 = х +
5	5
5
„ -R3
Рс 6-
М"(2~,	.
I 8’ 4/
Очевидно, что доход правительства В равен площади заштрихованного пря-
моугольника (см. рис. 18.5):
Н= 1  2- G- = 2— .
6	8	4	64
269
д) Если установлена минимальная цена, то из уравнений спроса и предложе-
ния можно найти объемы спроса и предложениях Разницу между ними скупает
правительство. Так как р = 7, то
xs ~ Р ~ 3 — 7 - 3 = 4,
Затраты правительства составят
(*$ - xD)p - (4 - 2,5) • 7 ~ 10,5.
Точка рыночного равновесия называется устойчивой, если при ма-
лых отклонениях от равновесного значения цена стремится к этому рав-
новесному значению.
' Пусть р > р$, тогда xs > х& (рис. 18.6).
Поскольку предложение превышает спрос,
то цена падает и р р0.
Если р < р0, то xs < xD (см. рис. 18.6).
Поскольку спрос превышает предложение,
то цена растет ид —* р0. Следовательно, точка
рыночного равновесия, изображенная на
рис. 18.6, устойчива.
18.3.	Предприятие купило автомобиль стоимостью 24 тыс.
руб. Ежегодная норма амортизации составляет 10% от цены
Покупки. Написать уравнение, определяющее стоимость авто-
мобиля в зависимости от времени i, построить график. Найти
стоимость автомобиля: а) через 5 лет; б) через 6 лет и 3 месяца.
18.4.	Фирма купила четыре одинаковых компьютера.
Первоначальная стоимость каждого компьютера составляет
3000 руб., остаточная — 200 руб. Срок жизни компьютера по
норме — 4 года. Через 2 года компьютеры были проданы по це-
не 1800 руб. каждый. Построить график функции, определя-
ющей стоимость четырех компьютеров в зависимости от време-
ни t. Какую прибыль получило предприятие после продажи?
18.5.	Цена телевизора 1000 руб., остаточная стоимость рав-
на нулю, а срок службы составляет 5 лет. Построить график
функции, определяющей стоимость телевизора в зависимости
от времени t. За сколько нужно продать телевизор после трех
270
с половиной лет эксплуатации, чтобы получить прибыль
100 руб.?
18.6.	Станок был куплен за 12 тыс. руб. По нормам его ос-
таточная стоимость равна нулю, а срок службы составляет
8 лет. Написать уравнение, определяющее стоимость станка в
зависимости от времени t, построить график. Найти стоимость
станка через 7 лет и 3 месяца эксплуатации.
18.7.	Маша купила автомобиль за 60 тыс. руб., чтобы ездить
на работу. Норма амортизации составляет 12% от первона-
чальной стоимости. Написать уравнение, определяющее сто-
имость автомобиля в зависимости от времени t. Поскольку
транспортное средство используется для поездок на работу,
Маше разрешили вычитать его годовую амортизацию из сум-
мы, подлежащей обложению подоходным налогом. Какую
сумму Маша будет экономить ежемесячно, если подоходный
налог составляет 20% ?
18.8.	Газовая плита была куплена за 800 руб. Амортизация
начисляется линейно и составляет 15% в год от первоначаль-
ной стоимости.
Найти:
а)	стоимость газовой плиты через t лет;
б)	стоимость газовой плиты через 6 лет после начала экс-
плуатации;
в)	срок службы плиты.
18.9.	Газовая плита была куплена за 800 руб. Амортизация
начисляется ежегодно по норме 15% в год от последней стои-
мости газовой плиты (нелинейная модель).
Найти:
а)	стоимость газовой плиты через t лет;
б)	стоимость плиты через 6 лет после начала эксплуатации;
в)	срок службы газовой плиты, если ее остаточная сто-
имость равна 50 руб.
18.10.	Станок был куплен за 10 тыс. руб., его остаточная
стоимость — 300 руб. Определить срок службы станка, если:
а)	амортизация начисляется ежегодно из расчета 10% от по-
следней стоимости станка;
б)	норма амортизации составляет 10% от первоначальной
стоимости.
271
18.11.	Функция издержек производства шин имеет вид
С(х) = ЗОх + 2100. Цена одной шины 60 руб. Найти точку без-
убыточности. Построить графики.
18.12.	Постоянные издержки при производстве ручных ча-
сов составляют 12 тыс. руб. в месяц, а переменные — 300 руб.
за одни часы. Цена часов 500 руб. Написать функции дохода и
издержек. Построить графики. Найти точку безубыточности.
18.13.	Мебельная фабрика продает каждый стул по цене
3 тыс. руб. Функция издержек линейная. Издержки составля-
ют 48 тыс. руб. за 10 стульев и 43,2 тыс. руб. за 6 стульев.
Составить функцию дохода и функцию издержек. Найти точку
безубыточности.
18.14.	Постоянные издержки производства некоторой про-
дукции составляют 125 тыс. руб. в месяц, а переменные —
700 руб. за единицу продукции. Продукция продается по цене
1200 руб. за единицу. Составить функцию прибыли. Опреде-
лить:
а)	точку безубыточности;
б)	сколько единиц продукции нужно произвести, чтобы
прибыль составила 105 тыс. руб. в месяц.
18.15.	Настольные лампы продаются по цене 1200 руб. каж-
дая. Постоянные издержки составляют 24 тыс. руб. в месяц,
а переменные — 800 руб. за лампу.
а)	Найти точку безубыточности, построить график.
б)	Сколько ламп фабрика должна произвести и продать, что-
бы получить 15% дохода на деньги, вложенные в фикси-
рованные затраты?
18.16.	Обувная фабрика продает туфли по цене 350 руб- за
пару. Издержки составляют 63 тыс. руб. за 100 пар туфель и
60,75 тыс. руб. за 85 пар.
а)	Найти точку безубыточности.
б)	Сколько пар туфель фабрика должна произвести и про-
дать, чтобы получить 10% дохода на деньги, вложенные
в фиксированные затраты?
18.17.	Издержки производства х единиц продукции опреде-
ляются функцией С(х) = 0,1х2 + 2х + 80. Цена одной единицы
равна 8. Найти точку безубыточности.
272
18.18.	Фабрика продает одну единицу продукции по цене
1,2 руб. Постоянные издержки составляют 300 руб. в день,
а переменные — 0,9 руб. за штуку.
а)	Найти точку безубыточности.
б)	Фабрика может купить новый станок. При этом постоян-
ные издержки возрастут до 360 руб. в день, а переменные
снизятся до 0,8 руб. за штуку. Выгодно ли это?
18.19.	Найти точку рыночного равновесия для следующих
функций спроса и предложения:
а) р = х 4- 6, б) р = -х + 4,
О
р=^х+2;	р = 0,5х + 1.
о
Построить графики.
18.20.	Спрос на некоторый товар равен 10 единицам при це-
не 300 руб. за штуку и 20 единицам при цене 280 руб. Постав-
щик согласен продать 8 единиц товара при цене 84 руб. и
5 единиц при цене 60 руб. Найти точку рыночного равновесия.
18.21.	При цене 100 руб. покупают 30 единиц некоторого
товара, а при цене 140 руб. — только 20 единиц. Поставщик
продает 8 единиц товара при цене 150 руб. и 15 единиц при
цене 255 руб. Найти точку рыночного равновесия и построить
графики.
18.22.	Пусть предложение и спрос на некоторый товар оп-
ределяются уравнениями
р = х + 100,
р = ~2х + 250.
а)	Найти точку рыночного равновесия.
б)	Был введен налог, равный 10 на единицу продукции. Най-
ти новую точку рыночного равновесия и доход государст-
ва от введения этого налога.
в)	Налог был удвоен. Найти доход государства. Может ли
государство потерять деньги, увеличивая налог?
г)	Правительство предоставило субсидию, равную 5 на еди-
ницу продукции. Найти новую точку рыночного равнове-
сия.
273
18.23.	Пусть предложение и спрос на некоторый товар оп-
ределяются уравнениями
р 3 0,5х 4- 5,
р == — 0,5х 4- 45.
а) Найти точку рыночного равновесия.
6)	Правительство ввело налог, равный 5. Найти новую точку
рыночного равновесия.
в)	Была предоставлена субсидия, равная 3 на единицу това-
ра. Найти новую точку рыночного равновесия.
18.24.	Законы спроса и предложения имеют следующий вид:
р = —х + 100,
р = Зх + 20.
а)	Какой налог на единицу продукции приведет к снижению
равновесного объема продаж на 2 единицы?
б)	Какой налог приведет к снижению равновесного объема
продаж до 15 единиц?
в)	Правительство выделило сумму денег, равную 384, для
предоставления субсидии. Найти величину субсидии.
18.25.	Законы спроса и предложения имеют следующий вид:
р 3 ~2х 4- 150,
р = 4х + 30.
а)	Какая субсидия приведет к увеличению равновесного объ-
ема продаж на 2 единицы?
б)	Какая субсидия приведет к увеличению равновесного объ-
ема продаж до 25 единиц?
в)	Какой налог должно ввести правйтельство, если хочет по-
лучить доход, равный 216?
18.26.	Известны функции предложения и спроса:
a) S: р — х + 7, б) 8: Зр - 2х = 7,
D: р “ 2х 4- 8;	Х>: Юр 4- х == 8.
Найти точку рыночного равновесия. Построить графики.
18.27.	Пусть спрос и предложение на некоторый товар оп-
ределяются уравнениями
4р + х = 34,
- 6р — х = 38.
274
а)	Найти точку рыночного равновесия и построить графики.
б)	Правительство ввело налог, равный 20%. Найти новую
точку равновесия, доход, полученный правительством, и
показать его на графике.
в)	Установлена минимальная цена, равная 7,5. Сколько по-
тратит правительство на покупку излишка продукции?
18.28.	Законы спроса и предложения имеют следующий вид:
2р + Зх = 36,
5р - Зх = 48.
а)	Найти точку рыночного равновесия и построить графики.
б)	Правительство ввело налог, равный 25%. Найти новую
точку равновесия, доход правительства и показать его на
графике.
в)	Введена минимальная цена, равная 13. Сколько потратит
правительство на покупку излишка продукции?
г)	Выделена сумма денег, равная 105, для установления ми-
нимальной цены. Найти эту цену.
18.29.	Монопольный поставщик некоторого товара постав-
ляет такое количество товара, чтобы обеспечить постоянный
доход, т.е. закон предложения имеет вид хр = const =	.
О
Спрос на этот товар определяется уравнением х Ч- Зр = 10. Най-
ти точки рыночного равновесия и исследовать их устойчи-
вость.
18.30.	Законы спроса и предложения на некоторый товар
имеют следующий вид:
х + 2р = 8Г
Найти точки рыночного равновесия и исследовать их устой-
чивость.
18.31.	Исследовать на устойчивость точки рыночного рав-
новесия в задачах 18.19 и 18.20.
18.32.	По одному виду вкладов банк выплачивает 15% го-
довых, а по другому, более рискованному — 20% годовых:
Вкладчик хочет вложить 3 тыс. руб. и получать ровно 500 руб.
в год. Какие суммы нужно вложить по каждому виду вклада?
275
18.33.	Петров взял кредит для строительства дома под 10%
годовых в одном банке и под 12% в другом банке. Обща& сум-
ма займа составляет 10 тыс. руб., а сумма выплат по процен-
там — 1120 руб. Сколько было взято в кредит в каждом банке?
18.2. Предельный анализ
Производные применяются в экономике для получения так называе-
мых предельных издержек, предельной выручки, предельной прибыли
и т.п. Слово «предельный» в этих терминах означает производную, или
скорость изменения.
18.34. Функция издержек имеет вид С(х) = 0,01х3 - 0,2х2 +
+ 10x4- 2000. Найти предельные издержки и посчитать их зна-
чение в точке х = 10.
Решение.
С'(х) = 0,03x2 _ oj4x + 10
С'(10) =3-4+10-9.
Пользуясь формулой для приближенного значения приращения функции
ДС ~ dC — С'(х)Дх,
можно интерпретировать величину С*(Ю): если произведено 10 изделий, то до-
полнительные издержки ДС по производству одиннадцатого изделия приближен-
но равны С'(Ю) = 9.
Аналогично находятся предельная выручка (доход) В'(х) и предельная при-
быль Р'(х).
Функция потребпения и сбережения. В экономике используются по-
нятия функций потребления и сбережения.
Обозначим через у доход, остающийся у населения после уплаты на-
логов. Этот доход состоит из двух слагаемых. Часть дохода население
тратит. Эта часть составляет функцию потребления, которую обычно
обозначают С(у). Второе слагаемое S(y) составляют сбережения населе-
ния. Функция S(y) называется функцией сбережения. Очевидно, что
у - С(у) + S(y).
Функции потребления и сбережения обычно считаются линейными
в течение короткого промежутка времени. На больших интервалах вре-
мени эти функции не являются линейными.
Если национальный доход у получает приращение Ау, то функции
потребления и сбережения также получают приращения соответственно
АС и AS:
Ду = АС + AS.
276
Последнее равенство можно разделить на Ау О и перейти к пределу
при Ду О. Тогда получим
lim 42 + lim — - 1,
Лу — о Ду ду - о Ду
dC + dS = 1
dy dy
dP dS
Полученные производные и называются соответственно пре-
дельной склонностью к потреблению и предельной склонностью к сбе-
режению.
Издержки хранения. Совокупные издерж-
ки производства товара состоят из издержек
его производства и издержек хранения. Пусть
товар завозится на склад партиями по х штук
в одной партии, а расходуется с постоянной
скоростью. Тогда наполняемость склада зави-
сит от времени t и задается функцией, график
которой приведен на рис. 18.7. Здесь V — число
х
’ 2
единиц товара на складе
— средняя напол-
няемость склада, /0 — время использования
партии товара.
18.35. Компании требуется произвести 1000 единиц некото-
рого товара в год. Издержки подготовки производства одной
партии составляют 320 руб. Издержки производства товара
составляют 8 руб. за единицу продукции, а издержки хране-
ния —• 1 руб. за единицу. Найти такое число единиц товара в
партии х, при котором совокупные издержки производства и
хранения были бы минимальны.
Решение. Издержки производства составляют
 320 + 1000  8,
1000
где —„— _ число партии товара за год*
Издержки хранения равны  1* Таким образом, совокупные издержки со-
ст являют
320 000 + goof) +
х	2
277
Находим минимальное значение:
СЧх)__32рООО + 1
х^ 2
С\х) " О
320 000 . 1 п
х2 2
х = 800.
Далее определяем
С"(х) - 640 000
X®
С"(800) =	000 > О.
*	8003
Следовательно, при х = 800 функция имеет минимум. Таким образом, в пар-
тии должно быть 800 единиц товара.
Эластичность. Для упрощения процесса дифференцирования иногда
используется логарифмическая производная (производная от логарифма
функции)
dx	у dx
С этим понятием связано понятие эластичности функции. Эластич-
ность функции Т) определяется следующим образом:
У d*
Если независимая переменная х изменится на Лх, функция у полу-
чит соответствующее приращение Др. Процентное изменение х и у рав-
но соответственно — 100% и — 100%, при этом ‘ х — отноше-
х	у	у  ЮОДх
ние процентного изменения функции у к процентному изменению ар-
гумента х.
Если Ах 0, то
Арх — xdy =
уЛх ydx
т.е. при малых значениях Ах процентное изменение функции прибли-
женно равно эластичности т].
•	Если Т| < —1, функция эластична.
	Если —1 < т| <0, функция не эластична.
•	Если т| = — 1, эластичность функции называется единичной.
278
В терминах логарифмических производных
П =
А(1пу)
d х _
A(in*)
dx
т.е. эластичность функции у по х — это отношение логарифмической
производной у к логарифмической производной х.
Если известна функция спроса х = х(р), можно найти предельную вы-
ручку по отношению к цене р:
« = jL(xp)-x +	-х(1 + г
dp dp	dp \ х
•	Если спрос эластичный, то 1 + т] < 0,	12 < О и выручка /? —
dp
убывающая функция цены.
•	Если спрос неэластичный, то 1 4- т] > 0,	> 0 и выручка R —
dp
возрастающая функция цены.
*	В случае единичной эластичности 1 + ц = 0 и- изменение цены не
вызывает изменение выручки.
Задача максимизации дохода. При определении максимально воз-
можного дохода государства от сбора налогов находится экстремум
функции.
18.36.	Законы спроса и предложения имеют следующий
вид:
р = -Зх + 12,
р = 2х + 2.
Найти величину налога t, при которой доход государства бу-
дет максимален.
Решение. После введения налога t имеем систему
Е рс “ -Зх + 12,
J ps « 2х + 2,
“Л + '•
Выражаем J через х и подставляем в функцию Т, определяющую доход госу-
дарства;
-Зх + 12- 2х + 2 + t
t - 10 - 5х
Т = хг — х(Ю - 5х) — 10г - 5х2.
279
Находим максимум функции Т:
Г = 10 - 10х = 0
х = 1
Т” « -10 < О,
следовательно, г — 1 — точка максимума,
В точке х — 1 находим t 5t Т — 5. Следователь но, дох од государства макси-
мален при t = 5.
18.37.	Объем продаж видеомагнитофонов задается следу-
ющей функцией времени:
V(t) = 5000 + 1000t - 100f2,
где t —- время, измеряемое в месяцах;
у — количество видеомагнитофонов, проданных за месяц.
Найти скорость изменения объема продаж в момент времени:
a) t = 0; б) t = 3; в) t = 6.
18.38.	Население некоторой страны растет по следующему
закону:
Р(0 = 100 000(1 + О2,
где время t измеряется в годах. Найти скорость изменения на-
селения в момент времени:
a) t — 0; б) 2; в) t = 5.
18.39.	Эпидемия медленно распространяется среди населе-
ния. Число заболевших определяется формулой
5
A(t) = 200[t2 + t2J ,
где t — число недель, прошедших с момента начала эпидемии.
Найти скорость изменения числа заболевших в момент вре-
мени:
. a) f = 1; б) t = 4; в) t — 9.
18.40.	Предположим, что издержки получения питьевой во-
ды заданы формулой
С = 10000 - 100,
Р
гдер — процентное содержание загрязняющих воду примесей.
Найти скорость изменения издержек производства, если
примеси составляют 5%.
280
18.41.	IIj едп сложим, что спрос на некоторую продукцию за-
висит от цены р следующим образом:
Dtp) =	- 1.
рг о
Найти скорость изменения спроса, если цена равна:
а) 10; б) 25.
18.42.	Издержки удаления р процентов загрязнений из ис-
пользованной воды равны
С(р) - 760°Р .
105-р
Найти скорость изменения издержек в точке р — 52,5.
18.43.	Спрос на некоторый товар зависит от цены р следу-
ющим образом:
100-1
Jp 4
Найти скорость изменения спроса, если цена равна:
а) 100; б) 16.
18.44.	Выручка от оптовой продажи радиоприемников оп-
ределяется функцией
R(x) - 75х - 0,05х2,	0 < х С 750,.
где х — число проданных радиоприемников.
Найти предельную выручку, если продано:
а)	100 радиоприемников;
б)	200 радиоприемников.
18.45.	Найти предельную выручку для следующих функций
Я(х):
a)	ft(x) — 2х - 0,01х2;
з
б)В(х) = 4х - 0,005 х2;
в)	2?(х)  0,2х - 10-2х2 - 10-4х2 ;
г)	R(x) — 50х - 2х3(а/х 4- 1).
18.46.	Найти предельную выручку, если заданы уравнение
спроса и значение цены на некоторую продукцию:
а)	10х + р = 100,	р = 80;
б)	л/х + Зр = 50,	р = 10;
281
3
в)	х2 4- Юр = 94,	р = 38,6;
г)	2р + х + 0,02х2 = 1000, р = 494.
18.47. В задаче 18.46 дополнительно заданы функция из-
держек и точка:
а)	С(х) = 50 4- Зх, б)	С(х) = 40 4- х, 3 в)	С(х) = 100 4- х2 , г) С(х) = 70 + ОДх2,	х = 3; х = 6; х = 4; х = 25.
Найти предельную прибыль и вычислить ее значение в за-
данной точке.
18.48.	В задаче 18.47 (пункты «а», «б» и «г») найти макси-
мальное значение прибыли. При какой цене р прибыль при-
нимает свое максимальное значение?
18.49.	Количество произведенной за день продукции Q(x) за-
висит от числа рабочих в сборочном цехе следующим образом:
Q(x) = ЮОх + Зх2,
где х — число рабочих.
а)	Если в сборочном цехе работали 70 человек, оценить из-
менение количества произведенной за неделю продукции, вы-
званное добавлением одного рабочего.
б)	Найти точное значение прироста выработки за неделю,
вызванного добавлением одного рабочего.
18.50.	Месячное производство Q(x) некоторого продукта за-
висит от инвестиций следующим образом:
з
Q(x) = 500х2,
где х — инвестированный капитал в миллионах рублей.
Вычислить точно и приближенно прирост производства, вы-
званный дополнительным вложением 1 млн. руб., если перво-
начальные инвестиции составляли 100 млн. руб.
18.51.	Пусть спрос q на некоторый товар зависит от цены р
следующим образом:
д =	- 1, р >о.
р2
282
Вычислить точно и приближенно изменение спроса, если
цена вырастет:
а) с 50 до 51; б) со 100 до 101.
18.52.	Издержки производства некоторой продукции имеют
ВИД
С(х) = 100 + Зх + х2,
где х — число единиц продукции. Цена на этот товар состав-
ляет 20. Найти функцию предельной прибыли и ее значение в
точке 30. Объяснить экономический смысл значения Р'(30).
Вычислить и объяснить смысл величины Р(31) — Р(30).
18.53.	Издержки производства некоторой продукций имеют
вид
С(х) = 150 4- 10х + 0,01х2,
где х — число единиц продукции. Цена на этот товар состав-
ляет 36. Найти функцию прибыли и функцию предельной при-
были. Объяснить экономический смысл величины Р'(15). Вы-
числить и объяснить смысл величины Р(16) ~ Р(15).
18.54.	Функция издержек производства некоторой продук-
ции определяется следующей формулой:
а)	С(х) = 2000 + ЮОх + 0,1х2;
б)	С(х) = 3500 + 150х + 0,2х2,
где х — число единиц произведенной продукции.
Найти функцию предельных издержек, средние издержки
производства х единиц продукции и скорость изменения сред-
них издержек. При каком уровне производства скорость изме-
нения средних издержек равна нулю?
18.55.	Фотограф заметил, что при цене 110 руб. за набор фо-
тографий на паспорт он делает 45 наборов в день. Если повы-
сить цену до 120 руб., то число клиентов снижается до 40. Счи-
тая линейным соотношение между спросом и ценой, найти
функцию выручки. При каком значении цены выручка дости-
гает своего максимального значения?
18.56.	Производитель телевизоров продает 100 телевизоров
в неделю при цене 1800 руб. за каждый. Если цена повышается
до 1900 руб., то объем продаж снижается до 80 телевизоров.
Фиксированные издержки производства телевизора составля-
283
ют 50 тыс. руб. в неделю, а переменные издержки — 800 руб.
за один телевизор. Полагая линейным закон спроса, найти
функцию прибыли. Какова максимальная прибыль и при ка-
кой цене она достигается?
18.57.	В гостинице 60 номеров. При цене 300 руб. за номер
в сутки бывает занято 50 номеров. Если цена снижается до
280 руб» за номер, то занято 55 номеров. Найти максимальное
значение выручки, предполагая линейным закон спроса. При
какой цене достигается это значение?
18.58.	Ресторан рассчитан не более чем на 100 посетителей.
При цене 120 руб. за обед бывает 70 посетителей, а при цене
100 руб. за обед число посетителей возрастает до 80. Фикси-
рованные издержки приготовления обеда составляют 900 руб.
в день, а переменные — 40 руб. за обед. Найти функцию при-
были, предполагая линейной зависимость между числом по-
сетителей и ценой обеда. Каково максимальное значение при-
были?
18.59.	Цена на некоторый товар составляет 250 руб. Из-
держки производства этого товара равны 12Ох + х2, где х —
число единиц произведенного товара. Найти максимальное
значение прибыли.
18.60.	Издержки производства некоторой продукции опре-
деляются функцией 5х2 + 80х, где х — число единиц произ-
веденной за месяц продукции. Эта продукция продается по це-
не 280 руб. за изделие. Сколько изделий нужно произвести и
продать, чтобы прибыль была максимальна.
18.61.	Пусть известны функции соответственно спроса и
предложения на некоторый товар на конкурентном рынке:
р = 2х + 50,
р = — х + 200,
где х — число единиц товара.
Предположим, что средние издержки производства одной
единицы товара определяются следующей функцией:
С(х) = — + 70 + 2х.
X
Найти максимальное значение прибыли.
284
18.62.	На монопольном рынке спрос на некоторый товар оп-
ределяется следующей функцией:
р - 780 - 2х - ОДх2,
где х — число единиц товара.
Найти максимальную прибыль, если средние издержки
производства этого товара составляют
С(х) - —+ 500 + 2 г.
При каком значении цены прибыль максимальна?
18.63.	Функция потребления некоторой страны имеет вид
з
C(tr) = 6 + 0,36^ + О,46И,
где у — совокупный национальный доход.
Найти а) предельную склонность к потреблению и б) пре-
дельную склонность к сбережению, если национальный доход
составляет 5.
18.64.	Функция потребления некоторой страны имеет вид
4
С(у) = 7 + 0,24у + О.Збу5 ,
где у — совокупный национальный доход.
Найти а) предельную склонность к потреблению и б) пре-
дельную склонность к сбережению, если национальный доход
составляет 243.
18.65.	Найти предельную склонность к сбережению, если
национальный доход составляет 15 млрд., а функция потреб-
ления имеет следующий вид:
з
а)	С(у) = 10 + 0,47у + 0,36у* ;
4
б)	С(у) = 11 + 0,36у + 0,14у5.
18.66.	Компании нужно произвести 15 тыс. единиц товара
в год. Подготовка к производству одной партии составляет
150 руб. Производство одной единицы товара обходится в
7 руб., а издержки хранения составляют 0,5 руб. за единицу
товара в год. Найти число единиц товара в партии, при котором
совокупные издержки производства и хранения будут мини-
мальны.
285
18.67.	Компания нашла покупателя * согласного покупать у
нее 20 тыс. единиц некоторого товара в год. Подготовка к про-
изводству одной партии составляет 30 руб. Производство од-
ной единицы товара обходится в 9 руб., aiиздержки хранения
составляют 0,3 руб. за единицу товара в год. Найти число еди-
ниц товара в партии, при котором совокупные издержки про-
изводства и хранения будут минимальны.
18.68.	Компания должна произвести 96 тыс. единиц продук-
ции в год. Издержки подготовки к производству одной партии
составляют 1500 руб., а издержки производства одной едини-
цы продукции —Л 0 руб. Хранение обходится в 0,5 руб. за еди-
ницу товара в год. Найти число единиц товара в партии, при
котором совокупные издержки производства и хранения будут
минимальны.
18.69.	Компания должна произвести 300 тыс. единиц про-
дукции в год. Издержки подготовки к производству одной пар-
тии составляют 720 руб., а издержки производства одной еди-
ницы продукции — 7 руб. Хранение обходится в 3 руб. за еди-
ницу товара в год. Найти число единиц товара в партии, при
котором совокупные издержки производства и хранения будут
минимальны.
18.70.	Найти эластичность функции спроса:
а)	р + 5х = 100 в точке р = 50;
б)	Зр 4- 4х = 120 в точках р = 15 ир = 20;
в)	р2 + р 4- 4х = 40 в точках р = 2 и р = 4.
Как увеличение цены повлияет на выручку? При каких зна-
чениях р спрос является эластичным?
18.71.	Найти эластичность функции спроса хр = 5 в точке
р = 10. Как увеличение цены повлияет на выручку? Какой это
тип эластичности?
18.72.	Для следующих функций спроса найти значения р,
при которых спрос является эластичным:
а)	2р + Зх = 12;
б)	х = 50(10 -Jp);
в)	р = ах 4- Ъ (а < 0, b > 0).
286
18.73.	Функция спроса имеет вид р = <У3600 — х2 .
а)	Найти эластичность спроса в точке р = 50.
б)	Посчитать приближенно процентное изменение спроса,
если цена выросла на 11% .
18.74.	Уравнение спроса имеет вид р = 20 - 0,1 Jx .
а)	Найти эластичность спроса в точке р = 18.
б)	Вычислить приближенно процентное изменение спроса,
если цена уменьшилась на 2% .
18.75.	Уравнение спроса имеет вид х = 100 л/4 -р. Найти
эластичность и выяснить, как повлияет увеличение цены на
выручку, если спрос составляет:
а) 150 единиц; б) 50 единиц.
18.76.	Уравнение спроса имеет вид (р + l)Jx + 1 = 100.
Найти эластичность и выяснить, как повлияет увеличение це-
ны на выручку, если спрос составляет:
а) 24 единицы; б) 15 единиц.
18.77.	Для следующих функций спроса и предложения най-
ти значение налога на единицу товара, максимизирующее до-
ход государства:
а) р = -Зх + 124, б) р = 250 - 2х2,
р = 2х + 14;	р = 700 + Зх.
18.78.	Найти значение налога, максимизирующее доход го-
сударства, если функции спроса и предложения имеют вид:
а) р - 800 - О,эх,	б) р = 8200 - 5х2,
р = 700 + 2х;	р = 700 + 20х2.
16.3.	Применение интегрального исчисления
Интегрирование используется для. нахождения функций издержек,
прибыли, потребления, если известны соответственно функции предель-
ных издержек, предельной прибыли и т.д. Для определения произволь-
ной постоянной интегрирования необходимо дополнительное условие.
Если находится функция издержек, используется то, что ее значение в
точке х — 0 (х — число единиц произвольной продукции) равно значению
фиксированных издержек, а при определении функции дохода — то, что
ее значение в точке х = 0 равно нулю (доход равен нулю, если не продано
ни одного изделия).
287
18.79.	Задана функция предельного дохода
/?'(х) = 20 - 0,04х.
Найти функцию дохода и закон спроса на продукцию.
Решение.
Я(х) = | (20 - 0,04x)dx = 20х - 0,04^ + С = 2 Ох - 0,02 г2 + С,
/?(0) - 0, следовательно, С - 0,
Я(х) - 20х - 0,02х2.
Если каждая единица продукции продается по цене р, то доход определяется
формулой Я — хр. Следовательно, деля на х функцию дохода, находим закон
спроса р(х):
р =* 20 - 0,02х.
Коэффициент неравномерности распределения дохода. Рассмотрим
функцию у = f(x}, где у — это доля совокупного дохода, получаемая
частью х наиболее низко оплачиваемого населения. Например,
у(0,8) = 0,6 означает, что 80% наиболее низко оплачиваемого населения
получают 60% совокупного дохода. Очевидно, что 0<х<1,0<у<1,
у•< х. Предположим, что нет населения с нулевым доходом, т.е. у(0) = 0,
и весь доход получается всей совокупностью населения, т.е. у(1) = 1.
На рис. 18.8 показан пример графика функции
у — f(x). Эта кривая называется кривой Лоренца.
Если бы распределение доходов было совершен-
ным, то 10% населения получали бы 10% сово-
купного дохода, 20% населения — 20% дохода
и т.д. Тогда кривой распределения доходов была
бы прямая у = х. Отклонение реального распреде-
ления доходов от идеального измеряется отноше-
нием L площади между прямой у - х и кривой Ло-
ренца к площади, ограниченной прямыми у = х,
х = 1 и осью х, и называется коэффициентом
неравномерности распределения доходов.
Очевидно, что 0 С L < 1. Значение L = 0 соответствует совершенному
распределению доходов.
Кривая обучения. Часто необходимо оценить, сколько времени по-
требуется для производства некоторого дополнительного количества
продукции. Для подобных расчетов пользуются так называемой кривой
обучения.
Пусть Т = F(x) — время, измеряемое в человеко-часах, необходимое
для производства первых х единиц продукции. Тогда /(х) = F'(x) при-
ближеныо равно времени, необходимому для производства (х + 1) й еди-
ницы продукции. Обычно используют функции вида
/(х) = ахь,
где а > 0т -1 С b < О.
График функции такого вида изобра-
жен на рис. 18.9 и называется кривой
обучения.
Функция /(х) — убывающая, так как
время» необходимое для выполнения не-
которой операции, убывает при возрас-
тании числа повторов.
Время Д7\ необходимое для произ-
водства единиц продукции с номерами
от (пг + 1) до определяется формулой
ДТ = J* /(x)dx.
«1
18.80.	После сборки 100 часов оказалось, что в дальнейшем
время убывает в соответствии с формулой у = 15х~°'14. Найти
время, которое потребуется для сборки еще 20 часов (т.е. с но*
мера 101 до номера 120).
120
Г 1К —0 14.1	15х°-8«
I 15х °*14dx — -z-^z-
J	0,86
120
_ 15ОО(12оО аа _ jQQO.se) _ 8,91,
100
100	88
Выигрыш потребителей и выигрыш
поставщиков. Пусть р = Дх) — кривая
спроса В на некоторый товар и р =*= йХх) —
кривая предложения S; (х0, р0) — точка
рыночного равновесия (рис. 18.10).
Некоторые потребители могут зап л а*
тить за этот товар цену р > р0. Найдем вы-
игрыш потребителей от установленной
цены р0. Разобьем отрезок [0, ха] на п час-
тей и обозначим точки разбиения
0=х0, хп ...» Xf_lt Xj, ...» xrt=x0.
На каждом интервале выберем точку
требителей на этом отрезке равен
(р( х* ) - р0) Дхи где Дх£ — х£ - Х|_ v
10 Сборник задач по высшей математике
289
Суммируя все выигрыши, получаем
(р(х*) -р0)ДхР
»-1
Если функция спроса непрерывна им—* «>, а длина максимального
отрезка разбиения max |AxJ 0, то эта интегральная сумма имеет пре-
дел, равный
j (f(x) - p0)dx.
b
Таким образом, выигрыш потребителей
хо
С =* J f(*)dx - рохо.
о
Аналогично находится выигрыш поставщиков:
хо
р = Рох0 - J Я(х)3х.
о
Очевидно, что выигрыш потребителей равен площади, заключенной
между кривой спроса D и прямой р ~ р0. Выигрыш поставщиков равен
площади, заключенной между прямой р ~ р0 и кривой предложения S
(см. рис. 18.10).
18.81.	Известны законы спроса и предложения:
р = 116 - х2,
р = ~ х + 20.
3
Найти выигрыш потребителей и выигрыш поставщиков, ес-
ли было установлено рыночное равновесие.
Решение. Найдем точку рыночного равновесия;
116 - х2 - х + 20
3
Зх2 + 5х - 288 == 0
- 5 ± 725 + 3456	Л	32
*1, 2 ------g—-  — ’ откуда X] “9,	« —
х0 =^9, pq = 35
= 35 -9 = 315
9	э 19
С = f (116 - xz)dx - 315 - (116х- £.1 - 315 = 486
J	1	3 j 0
9	9
Р - 315 - Г f -х + 20j dx = 315 - f- — + 20Х1) - 315 - -  81 - 180 = 67,5.
J 13 J	13 2 J	6
290
Среднее значение. Среднее значение непрерывной функции на про-
межутке [а, Е>) находится по формуле
/(с) = -J— [ ftx)dx.
о - о J
а
Среднее значение функции используется при вычислении налога на
имущество предприятия. Величина налога _
ь
N = kf(c) = k —— f /(x)dx,
£ - a J
G
где k — коэффициент, зависящий от вида предприятия;
/(с) — среднее значение стоимости имущества за год;
[а, Ь] — промежуток времени, равный году.
Интеграл вычисляется приближенно по формуле трапеций с раз-
биением года на 12 месяцев:
№ Afao>-+/(12> + Л1>+ Л2)+ +	
X	Л	X
где ДО) — стоимость имущества на 1 января;
/(1) — стоимость имущества на 1 февраля;
/(11) — стоимость имущества на 1 декабря;
/(12) — стоимость имущества на 1 января следующего года.
Задача максимизации прибыли. В ряде отраслей промышленности,
например в горнодобывающей, после некоторого момента,времени при-
быль начинает убывать. В этом случае необходимо найти момент време-
ни, в который прибыль принимает максимальное значение, и своевре-
менно остановить производство.
18.82. Скорости изменения издержек и дохода во времени
имеют следующий вид:
С'(0 = 2 + t, '
R'(t) = 17 - 2t. '
Найти максимальное: значение прибыли, которое можно по-
лучить от этого производства. Когда производство следует ос-
тановить?
291
Решение.
Р'(0 = «'(О - С'(0 = 17 - 2f - 2 - t = 15 - 3t
P'(t) = О при f = 5
P"(5) — -3 < О, следовательно, t - 5 — точка максимума.
5	5
P(5) - J /’ЧОсИ - J (15 - 30df = ^15t ~ sL
о	0
-76-l
2s- ¥
Изменение капитала. Если Z(£) —• скорость изменения инвестиций,
а Л(*> — капитал предприятия, то
ВД =
dA
dt
5
0
Зная скорость изменения инвестиций, можно найти изменение капи-
тала по формуле
ДА - j Z(t)dr.
г1
18.33.	Функция предельных издержек имеет вид
С'(х) = 50 + 0,02х.
а)	Найти функцию издержек, если фиксированные издерж-
ки составляют 2500 руб. в месяц.
б)	Каковы издержки производства 250 изделий в месяц?
в)	Если продукция продается по цене 75 руб. за изделие,
сколько нужно произвести и продать, чтобы прибыль бы-
ла максимальной?
18.84.	Функция предельных издержек некоторого пред-
приятия имеет вид
С'(х) = 60 - 0,04х + 0,003х2.
а)	Найти функцию издержек, если издержки производства
100 единиц продукции составляют 7 тыс. руб.
б)	Найти фиксированные издержки.
в)	Каковы издержки производства 250 единиц продукции?
г)Если цена составляет 65,5 руб. за единицу продукции,
найти максимальное значение прибыли.
292
18.85.	Функция предельных издержек имеет вид
С'(х) = 60 + 0,04х.
Фиксированные издержки составляют 1800 руб. в месяц,
а цена одного изделия равна 80 руб.
а)	Найти переменные издержки.
6)	Каковы издержки производства 150 изделий?
в)	Найти приращение прибыли, если объем производства
вырос со 150 до 200 изделий.
18.86.	Функция предельного дохода некоторого предприя-
тия имеет вид
а) Л'(х) = 20 - 0,02х; б) Я'(х) = 45 - 0,04х - 0,003х2.
Найти функцию дохода. Каково уравнение спроса?
18.87.	Функция предельной прибыли имеет вид
Р'(х) = 25 - 0,004х.
Прибыль предприятия составляет 35,8 тыс. руб., если про-
дано 1200 изделий. Найти функцию прибыли.
18.88.	Функция предельных издержек некоторой продук-
ции имеет вид
С'(х) = ЗОхе0 001*2.
Найти функцию издержек, если фиксированные издержки
составляют 20 тыс. руб.
18.89.	Функция предельного дохода имеет вид
а)	7Г(х) = 25 - 0,4х - 0,06х2;
б)	Я'(х) =	х.2	;
Jx3 + 900
в)	Р'(х) = (5 - х)е 5 .
Найти функцию дохода. Найти закон спроса на продукцию.
18.90.	Найти функцию потребления, если потребление рав-
но 6 млрд, руб., когда доход равен нулю, а функция предель-
ной склонности к потреблению имеет следующий вид:
а)
б)
в)
= 0,5 +
4- 0,4;
dy	jay+4
- 0,6 - е-зу.
dy
293
18.91.	Найти функцию потребления, если потребление рав-
но 4 млрд, руб., когда доход равен нулю, а функция предель-
ной склонности к сбережению имеет следующий вид;
а)	Ц = 0,37;
б)	£8 =0>4_ Ч
dy	72у + 9
в)	= 0,3 + е-1*®*'.
dy
18.92.	Распределение дохода в некоторой стране определя-
ется кривой Лоренца:
а)^	= 11^+	б)у-^+±х.
Какую часть дохода получают 12% наиболее низко оплачи-
ваемого населения? Посчитать коэффициент неравномерности
распределения совокупного дохода.
:	18.93. Распределение дохода в некоторой стране .определя-
ется кривой Лоренца:
а) у = 0,87х2 + 0,13х; б) у = 0,96х2 + 0,04х.
Какую часть дохода получают 8% наиболее низко оплачи-
ваемого населения? Посчитать коэффициент неравномерности
распределения совокупного дохода.
18.94.	После покраски первых 30 автобусов было обнаруже-
но, что кривая обучения имеет вид
у = 20х“0,312.
Сколько времени потребуется для покраски следующих
50 автобусов?
18.95.	Для сборки первых 50 CD-плейеров (1 единица про-
дукции) понадобилось 70 человеко-часов. В последующем для
сборки любой единицы продукции — 50 плейеров — требова-
лось меньше времени в соответствии с формулой обучения
/(х) = 70х"°’24.
Найти время, которое потребовалось для производства
5 единиц продукции (250 CD-плейеров) после того, как 2 еди-
ницы были уже произведены.
294
18.96.	После производства 100 изделий (1 единицы продук-
ции), для которого потребовалось 30 ч, оказалось, что в даль-
нейшем требуемое время убывает в соответствии с формулой
f(x) = ЗОх-014.
Сколько времени потребуется для производства 400 изде-
лий после того, как 500 будет уже произведено?
18.97.	Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид
р = 112-х2.
Найти выигрыш потребителей, если равновесная цена рав-
на 90.
18.98.	Уравнение спроса на некоторый товар имеет вид
2х + 5
Найти выигрыш потребителей, если равновесное количест-
во товара равно 10.
18.99.	Найти выигрыш потребителей и поставщиков товара,
законы спроса и предложения на который имеют следующий
вид:
а)	р = 89 - х2,
б)	5р + 2х = 50
в)	р = 44 - ха,
» - 120
Г)Р-^Т2’
10х - 7р + 210 = 0;
5р - 6х = 10;
р = х2 + 2х + 20;
р - 1х + 10.
2
18.100.	Функция совокупных издержек монополии и урав-
нение спроса на этот товар имеют следующий вид:
а) С(х) = 900 + 40х + 5х2,	б) С(х) = 400 + ЗОх + х2,
р = 280 - 4х - 2х2;	р = -1 х2 - Зх + 50.
Найти выигрыш потребителей в точке, где монополия имеет
максимальную прибыль.
18.101.	Уравнение спроса на некоторую продукцию имеет
вид
р = 30 - 0,02х.
Найти среднее значение дохода, если объем продаж возрос
с 80 до 150 единиц.
295
18.102.	Функция совокупных издержек производства неко-
торой продукции имеет вид
С(х) = 1000 + 2х + 0,04х2.
Найти среднее значение издержек при изменении объема
производства от 100 до 200 единиц.
18.103.	Кривая обучения при покраске автомобилей имеет вид
fix) ~ 10х~°-312,
где f(x) — число человеко-часов, необходимое для покраски
(х + 1)-го автомобиля. Найти среднее значение времени, необ-
ходимое для покраски автомобиля, если:
, а) было покрашено 100 первых автомобилей;
б)	были покрашены автомобили с номерами 401—500.
18.104.	Посчитать, какой налог на имущество должно за-
платить предприятие, если k == 2%, а стоимость имущества
(сумма соответствующих счетов баланса) составляла на первое
число каждого месяца:
Месяц 1 234	56 789 10 11 12 1
Млн. руб. 3,5 2,8 4,1 5,2 6,1 3,8 2,6 6,2 7,4 5,1 2,5 3,8 4,6
18.105.	Посчитать, какой налог на имущество должно за-
платить предприятие, если k = 1,5%, а стоимость имущества
на начало каждого квартала составляла:
Дата	1.01 1.04 1.07 1.10 1.01
Млн. руб.	11,2 9,8	4,5 10,8 7,6
18.106.	Предприятие выпускает видеоаппаратуру. Его до-
ход задается функцией
Я(0 = 40е°’25*,	0 < t < 10.
Найти среднее значение дохода на промежутке [0, 10].
18.107.	Сколько лет нужно продолжать добычу полезных
ископаемых до достижения максимального значения прибы-
ли, если скорость изменения издержек и дохода имеет следу-
ющий вид:
a)	C'(t) = 3 + 2f,	R'(t) = 28 - 3t;
2	2
6)	C'(t) = 10 + 3f3, fl'(t) = 46-^;
4	4
в)	C'(i) - 22 + 4f5,	R'(t) = 134 - 3t5.
Найти максимальное значение прибыли.
296
18.108.	Найти прирост капитала предприятия на данном
промежутке времени, если скорость изменения инвестиций
имеет следующий вид:
a)	1(f) = 10 + 2jt,	9 < i < 16;
б)	1(f) = 2 + ^/f3,	0 < t < 1.
18.109.	Доход от инвестиций в некоторое производство ра-
вен нулю в течение первого года, а затем изменяется по закону
B(t) = 10e°’2<fl\
где t — время в годах. Найти среднее значение дохода от ин-
вестиций в течение первых 5 лет.
18.4. Применение дифференциальных уравнений
Эластичность и функция спроса. Если известна эластичность спроса
на некоторый товар, то можно найти функцию спроса.
18.110.	Эластичность Т| = -1 для любых значений р. Найти
функцию спроса.
Решение. Пользуясь определением эластичности
х dp
получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:
р dx _ 1
х dp 3
gdx _ _dp
Т ~р ‘
Интегрируем и получаем уравнение спроса:
3	_ Jdp
3 In |х| = -* In |р| + In С
рх3 = С.
Примечание. Для определения С нужна дополнительная информация.
Уравнение снабжения. Уравнением снабжения или логистики на-
зывается уравнение вида
- ру(т - у),
d г
где р и m— постоянные- '	- 
297
Это уравнение с разделяющимися переменными:
=pdi
У(т-У)
-^У— -pit.
Г-ту
Выделяем полный квадрат в знаменателе левой части равенства и ин-
тегрируем:
т\
у zj -Г
1 In 1^=1 - -Pt - С
т I У I г
У ~ m — е-трее-с_
У
Из последнего равенства находим у:
m
1 + е-° '
У =
Бели обозначить k = тр, А = е с, то получится функция, называемая
функцией снабжения (логистики):
l+Ae-**1
где значение А определяется из начального условия.
Уравнение снабжения используется для моделирования ограни-
ченного роста населения. При у = т имеем = 0 и производная
at
меняет знак с «+» на «-». Следовательно, у = т — максимальное зна-
чение. Если у т, то
~ рту " &У-
Уравнение “ йу имеет решение у — еЛ(
и описывает неограни-
ченный экспоненциальный рост населения.
18.111. Известно, что рост количества бактерий в сосуде удов-
летворяет уравнению логистики с постоянной k = рт >= 0,2.
Пусть в начальный момент времени количество бактерий со-
ставляло 1% от максимально возможного значения т. За ка-
кое время количество бактерий достигнет 80% от максималь-
ного?
298
Решение.
= ру(гп - у) = (т - у)
dt	m
~ 0,2dt.
y(m-y)
Интегрируем и, используя условие у < т, получаем
lnm—= —0,2t - С.
У
Пользуясь начальным условием у — 0,01m при £ — 0, находим значение С и
подставляем его в решение:
= —с
0,01
С - - In 99
Ln^^ ~-0,2t
99у
т У - е-о.2/
99р
т
У = 1 -Г99е-о.Д* — решение задачи.
Найдем теперь значение t, при котором у ~ 0,8m:
0,8 = ------L _
1 + 99е^°’2£
„-0,2t -	1
396
—0,2t = -In 396
t = 5 In 396 « 29,91.
Функции спроса и предложения. В простейших случаях предпола-
гается, что спрос и предложение на рынке зависят только от цены това-
ра. Б более сложных моделях учитывается их зависимость и от измене-
ния цены, т.е. от производной. При этом для определения равновесной
цены используется дифференциальное уравнение.
18.112.	Функции спроса и предложения на некоторый товар
имеют вид
х = 19 +р + 4d/,
dt
х = 28 — 2р + 3^.
r di
Найти зависимость равновесной цены от времени t, если в
начальный момент времени цена р = 20.
299
Решение.
19 + 'р + 4^ = 28 - 2р + 3^
dt	dt
37 -’ Зр
-11п |9 - Зр| — t + С
9 ~ З/j = е^3( ~ зс
9 - e"3t -зс
Р
20
3
О
'	3
Подставляя начальное условие, находим С:
о __ л-зс
20 -	|---
е-зс -51
Q -L.	1	_
р ----------- = 3 + 17е“3/ — решение задачи (рис. 18.11)
О
Так как Ит р =“ 3, имеет место устойчивость. Если
-+ QQ
lim р = ^, то равновесная цена растет и имеет место
г — ™
инфляция.
I
Рис. 18.11
18.113.	Найти функцию спроса, если эластичность т| посто-
янна и задано значение цены р в некоторой точке х:
а)	Т| = -2,	р = 10 при х = 4;
б)	Л “	,	р = 15 при х = 1;
5
в> Л = -| >	Р = 5 при х = 2;
г) Т| = —3,	р = 2 при х ‘ 27.
18Л14. Найти функцию спроса, если известно значение це-
ны р в некоторой точке х и эластичность имеет следующий вид:
а) и =	х- 100 г X	0 < х	< 100	И	р — 90 при х = 10;
б) 7] =	Р р-20’ .	0 < р	< 20	и	р = 18 при х = 1;
в) Л =	х — 300 э X	0 < х	< 300	и	р == 36 при х = 12;
Г)Т| =	Р р-40’	0 < р	< 40	и	р = 10 при х = 3.
18.115.	В городе с населением 3000 чел. распространение
эпидемии гриппа подчиняется уравнению
- 0,001у(3000 - у),
300
где у — число заболевших в момент времени t. Через какое
время заболеет 70% населения, если в начальный момент вре-
мени было трое больных?
18.116,	Численность населения y(t) некоторой страны удов-
летворяет дифференциальному уравнению
= 0,2yd - IO*4;/),
где время t измеряется в годах. В начальный момент времени
население составляло 1000 чел. Через сколько лет население
возрастет в 4 раза?
18.117.	В городе с населением 4000 чел. распространение
эпидемии подчиняется уравнению
% = 0,001у(4000 - у),
dr
где у — число заболевших в момент времени t. Через какое
время заболеет 90% населения, если в начальный момент бо-
лело 2% населения?
18.118.	Численность населения y(t) некоторого острова
удовлетворяет дифференциальному уравнению
- 0,05yd - 10-6у),
di
где время t измеряется в годах. В начальный момент времени
население составляло 10 тыс. чел. Через сколько лет население
возрастет в 10 раз?
18.119.	Пусть функции спроса и предложения на некоторый
товар имеют вид
х = 50-2р-4<^,
di
х = 70 + 2р - 5^.
dt
а)	Найти зависимость равновесной цены от времени, если
р — 10 в момент времени t = 0.
б)	Найти lim р . Является ли равновесная цена устойчивой?
£ —> DO
в)	Построить график.
301
18.120.	Пусть функции спроса и предложения на некоторый
товар имеют вид
х = 30-р-4^,
 dt
х = 20 + р +	.
dt
а)	Найти зависимость равновесной цены от времени, если
р = 7 в момент времени t = 0.
б)	Найти lim р . Является ли равновесная цена устойчивой?
£ —* со
в)	Построить график.
18.121.	Пусть функции спроса и предложения на некоторый
товар имеют вид
х -100 - р -	,
dt
х=140+р-3^.
dt
а)	Найти зависимость равновесной цены от времени, если
р = 5 в момент времени t = 0.
б)	Найти Кт р. Является ли равновесная цена устойчивой?
t — оо
в)	Построить график.
18.122.	Пусть функции спроса и предложения на некоторый
товар имеют вид
ж = 54-4р-3^,
dt
х = 26 + 3р + 2^.
dt
а)	Найти зависимость равновесной цены от времени, если
р = 6 в момент времени t = 0.
б)	Найти lim р. Является ли равновесная цена устойчивой?
f—> сс
в)	Построить график.
18.123.	Пусть функции спроса и предложения на некоторый
товар имеют вид
х-100-Зр + 4^,
dt
х = 120 + 2р+^.
dt
а)	Найти зависимость равновесной цены от времени, если
р = 10 в момент времени t =* 0.
б)	Найти lim р . Является ли равновесная цена устойчивой?
► со
в)	Построить график.
302
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
19. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
19.1.	Множество событий.
Классическое определение вероятности события
В результате многократного повторения одних и тех же условий, ко-
торые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появ-
ление или непоявление в них некоторого события. Такое событие, кото-
рое может произойти или не произойти в результате опыта, называется
случайным.
Во многих задачах рассматривается схема равновозможных событий.
Например, при бросании игральной кости имеется одна и та же возмож-
ность появления любой из цифр от 1 до 6, Другим примером может слу-
жить выбор номера объекта при контрольной выборочной проверке.
. Каждый из равно возможных результатов испытаний (опытов) назы-
вается элементарным исходом. Элементарный исход может быть рас-
смотрен либо как самостоятельное событие, либо как составляющая бо-
лее сложного события.
На множестве всех элементарных исходов Я можно выделить под-
множество, которое обладает заданными свойствами и определяет новое
событие. Например, на множестве элементарных исходов при бросании
игральной кости можно выделить подмножество таких исходов, которые
соответствуют четному числу очков.
Исход называется благоприятствующим данному событию, если его
появление влечет за собой наступление такого события. В частности, по-
явлению четного числа очков при бросании игральной кости соответст-
вуют элементарные исходы с цифрами 2, 4, 6.
Количественной мерой возможности появления некоторого случай-
ного события служит вероятность.
При классическом определении за вероятность события А принима-
ется отношение числа благоприятствующих этому событию элементар-
ных исходов (т) к общему числу возможных исходов (п):
Р(А) = ™ .
Л
303
Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому со-
бытию исходов или общего числа элементарных исходов широко исполь-
зуются формулы комбинаторики.
Если составляются такие комбинации из л элементов по mt которые
отличаются друг от друга только составом элементов, то они называются
сочетаниями. Общее число сочетаний из п элементов по т определяется
по формуле
р'71 _ л!
”	т!(л-т)! '
Если комбинации отличаются не только составом элементов, но и по-
рядком их следования, то они называются размещениями. Их число на-
ходится по формуле
R	(л - ш)! ‘
Если комбинации берутся из всех п элементов и отличаются только
порядком следования элементов, то они называются перестановками.
Их число равно
р„ = т.
(19Л.?В магазин поступило 30 холодильников, пять из них
имеют заводской дефект. Случайным образом выбирается
один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без
дефекта?
19.2.	В коробке находится шесть одинаковых по форме и
близких по диаметру сверл. Случайным образом сверла извле-
каются из коробки. Какова вероятность того, что сверла из-
влекутся в порядке возрастания их диаметра?
19.3.	Комиссия по качеству раз в месяц проверяет качество
продуктов в двух из 30 магазинов, среди которых находятся
и два известных вам магазина. Какова вероятность того, что в
течение месяца они- оба будут проверены?
19.4.	На станцию прибыли 10 вагонов разной продукции.
Вагоны помечены номерами от одного до десяти. Найти веро-
ятность того, что среди пяти выбранных для контрольного
вскрытия вагонов окажутся вагоны с номерами 2 и 5?
Решение, Общее число возможных комбинаций для контрольного вскрытия
равно числу сочетаний из 10 по 5, т.е. С10.
304
Число исходов, благоприятствующих данному событию, будет равно числу
таких комбинаций, в которых две цифры будут 2 и 5, а остальные будут состав-
_ 3 Лч	«
л ять сочетания, число которых равно С8 . Тогда искомая вероятность найдется
но формуле
z-,3
р _ с8 8!5!5! ... 2
г5 “ 3I5S10!	9‘
С 10
19.5.	Изготовлена партия из 200 изделий, в которой оказа-
лось три бракованных. Произведена выборка из пяти изделий.
Найти вероятность следующих событий:
а)	в выборке не будет ни одного бракованного изделия;
б)	в выборке будет одно бракованное изделие?
19.6.	Из 20 акционерных обществ (АО) четыре являются
банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО.
Какова вероятность того, что среди купленных акций две ока-
жутся акциями банкротов?
Решение. Общее число комбинаций выбора АО равно числу сочетаний из 20
по 6, т.е. с|0 . Число благоприятствующих исходов определяется как произве-
дение С4 C"J6, где первый сомножитель указывает число комбинаций выбора
АО-банкротов из четырех. Но с каждой такой комбинацией могут встретиться
АО, не являющиеся банкротами. Число комбинаций таких АО будет . По-
этому искомая вероятность запишется в виде
С4С1в
Р----1^5 , т.е. Р - 0,28.
ь20
Гб.1?. Из 100 изготовленных деталей 10 имеют дефект. Для
проверки были отобраны пять деталей. Какова вероятность то-
го, что среди отобранных деталей две окажутся бракован-
ными?
19.8.	На склад привезли 50 ящиков комплектующих изде-
лий для одного из видов ЭВМ, но среди них оказалось четыре
ящика комплектующих для другого вида ЭВМ. Наудачу взяли
шесть ящиков. Найти вероятность того, что в одном из этих
шести ящиков окажутся некомплектные детали.
В партии из 15 однотипных стиральных машин пять
машин изготовлены на заводе А, а 10 — на заводе В. Случай-
ным образом отобрано 5 машин. Найти вероятность того, что
две из них изготовлены на заводе А.
305
19.2.	Теоремы сложения и умножения вероятностей
События называются несовместными, если они не могут появиться
вместе в одном опыте.
Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события об-
разуют полную группу.
Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя
бы одного из рассматриваемых событий.
Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероят-
ность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих
событий:
Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна
единице.
Произведением событий называется событие, состоящее в появлении
всех из рассматриваемых событий.
Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло
событие А, называется условной вероятностью события В относительно
события А. Эта вероятность обозначается Р(В/А).
Теорема умножения вероятностей двух событий. Вероятность про-
изведения двух событий равна произведению вероятности одного из
них на условную вероятность второго относительно первого:
Р(АВ) = Р(А)Р(В/А> - Р(В)Р(А/В).
Эта теорема обобщается на любое конечное число событий:
P(ABC- LM) - P(A)P(B/A)P(C/AB) — P(M/AJB—L).
Если появление одного из событий не влияет на вероятность появле-
ния другого, то такие события называются независимыми.
Для независимых событий вероятность их произведения равна про-
изведению вероятностей этих событий. Для двух независимых событий
Р(АВ) = Р(А)Р(В).
События называются совместными, если они могут появиться одно-
временно в одном опыте.
Теорема сложения вероятностей двух совместных событий. Веро-
ятность сложения двух совместных событий равна сумме вероят-
ностей этих событий без вероятности их совместного появления:
Р{А + В) = Р(А) 4- Р(В) - Р(АВ).
306
/19.10} На полке находится 10 книг, расставленных в произ-
вольном порядке. Из них три книги по теории вероятностей,
три — по математическому анализу и четыре — по линейной
алгебре. Студент случайным образом достает одну книгу. Ка-
кова вероятность того, что он возьмет книгу по теории вероят-
ностей или по линейной алгебре?
Решение. Вероятности того, что студент взял книгу по теории вероятностей (А)
и по линейной алгебре (Л), соответственно таковы:
т)-±, ив>-±.
События А и В несовместны. Поэтому искомая вероятность находится как
сумма вероятностей
Р(А + JB) = 0,3 + 0,4 = 0,7.
19.11,	Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оп-
товых складов: четыре с первого, пять со второго, семь с
третьего и четыре с четвертого. Случайным образом выбран
ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет
ящик с первого или с третьего склада?
19.12.	В порт приходят корабли только из трех пунктов от-
правления. Вероятность появления корабля из первого пункта
равна 0,2, из второго пункта — 0,6. Найти вероятность при-
бытия корабля из третьего пункта.
19.13.	Контролер проверяет изделия на соответствие стан-
дарту. Известно, что вероятность соответствия стандарту из-
делий равна 0,9.
а)	Какова вероятность того, что из двух проверенных изде-
лий оба будут стандартными, если события появления
стандартных изделий независимы?
б)	Какова вероятность того, что из двух проверенных изде-
лий только одно стандартное?
Решение, а) Учитывая тоФ что события Аг (первое изделие стандартное) и Аг
(второе изделие стандарт мое) независимы, используем формулу
Р(А1А2) -	т.е.	» 0,9  0,9 -0,81
б) Пусть jBj — событие, состоящее в том, что только первое изделие стандарт-
ное; В2 ~ только второе изделие стандартное. Событие J3j можно рассматривать
как произведение двух событий
^1^2*
т,е. появилось первое событие и не появилось второе.
307
Аналогично
— A’iA2.
События Bj и В % Несовместные, поэтому
P(Bt + В2) - PfJSt) + Р(Ва) - В(А1)Р(А2) + /4At)P(A2).
Если обозначить вероятность появления стандартного изделия через р, а ве-
роятность противоположного события через q 1 — р, то получим
Р{В j +	= РЧ + ЧР %РЧ-
В данном случае
Р(Вг + В2) = 2'0,9 - 0,1 - 0,18.
19.14.	Вероятность правильного оформления счета на пред-
приятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки бы-
ли взяты два счета. Какова вероятность того, что только один
из них оформлен правильно?
19.15.	Вероятность правильного оформления накладной
при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того,
что из трех накладных только две оформлены правильно.
19.16.	В районе 100 поселков. В пяти из них находятся
пункты проката сельхозтехники. Случайным образом отобра-
ны два поселка. Какова вероятность того, что в них окажутся
пункты проката?
Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что в первом выбранном
поселке находится пункт проката; И — событие, состоящее в том, что во втором
выбранном поселке находится пункт проката.
Вероятность события А
ЛА) -	- 0.03.
Рассмотрим событие В при условии, что событие А произошло. Найдем ус-
ловную вероятность
Р(В/Л) -	.
Искомая вероятность найдется как вероятность произведения двух событий
Р(АВ) =	.
*	'	100 99	495
19.17.	В городе находятся 15 продовольственных и 5 непро-
довольственных магазинов. Случайным образом для привати-
зации были отобраны три магазина. Найти вероятность того,
что все эти магазины непродовольственные.
308
19.18/	В магазине имеются 10 женских и 6 мужских шуб.
Для анализа качества отобрали три шубы случайным образом.
Определить вероятность того, что среди отобранных шуб ока-
жутся:
а)	только женские шубы;
б)	только мужские или только женские шубы.
19.19.	На предприятие поступают заявки от нескольких тор-
говых пунктов. Вероятности поступления заявок от пунктов А
и В равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность пос-
тупления заявок от пункта А или от пункта В, считая события
поступления заявок от этих пунктов независимыми, но сов-
местными.
19.3. Вероятность появления
хотя бы одного события
В некоторых случаях вероятность события удобнее подсчитывать как
вероятность противоположного другому событию.
Пусть события At, А2> ..., Ап независимы и известны вероятности этих
событий:
Р(Аг) = plr Р(Аг) = р2, .... Р(АЛ) = рп-
Обозначив вероятности противоположных событий
Р(Аг) =	Р(А2) = q2...Р(Аа) - qa,
найдем вероятность того, что ни одно из событий Аг, _Д2, .Ап в опыте
не наступит:
Р(В) = дгд2 ' ' ‘ Яп-
В этом случае искомая вероятность, т.е. вероятность появления хотя
бы одного события, определяется как вероятность противоположного со-
бытия
Р(В) = 1 - Р(В) - 1 - д1(7г  • • дп.
19.20.	Предприятие обеспечивает регулярный выпуск про-
дукции при безотказной поставке комплектующих от двух
смежников. Вероятность отказа в поставке продукции от пер-
вого из смежников равна 0,05, от второго — 0,08. Найти веро-
ятность сбоя в работе предприятия.
309
19.21,	Вероятности своевременного выполнения задания
тремя независимо работающими предприятиями соответ-
ственно равны 0,5; 0,6; 0,7. Найти вероятность своевременного
выполнения задания хотя бы одним предприятием.
19.4.	Формула полной вероятности и формула Байеса
Если некоторое событие В совершается с одним из п несозместрых
событий А2, ...»Ап, образующих полную группу событий, то для оп-
ределения вероятности этого события может быть использована формула
полной вероятности
Р{В)- ^P{At}P{B/A^
i = l
где P(AJ -— вероятность события AL;
Р(В/А$ — условная вероятность события В.
Для определения вероятности события при условии, что произош-
ло событие В, используется формула Байеса
19.22.	На автозавод поступили двигатели от трех моторных
заводов. От первого завода поступило 10 двигателей, от
второго — 6 и от третьего — 4 двигателя. Вероятности безот-
казной работы этих двигателей в течение гарантийного срока
соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7.
Какова вероятность того, что:
а)	установленный на машине двигатель будет работать без
дефектов в течение гарантийного срока;. 
б)	проработавший без дефекта двигатель изготовлен на пер-
вом заводе, на втором заводе?
Решение. Обозначим через АрА^, А3 события установки на автомашину дви-
гателей, изготовленных соответственно на первом, втором или третьем моторных
заводах. Вероятности этих событий таковы:
Р{АХ) = 0,5; Р(А2} = 0,3; Р(А3) ’ 0,2.
а)	Вероятность того, что наугад взятый двигатель проработает без дефектов,
найдем по формуле полной вероятности:
- PCAjPtB/Aj + Р(А2)Р(В/А2) + _Р(А3)Р(В/А3) -
- 0,5  0,9 + 0,3 - 0,8 + 0,2  0,7 = 0,83.
ЗЮ
б)	Если двигатель проработал без дефектов гарантийный срок, то вероятности
того, что он изготовлен ня первом, на втором заводах, найдем по формуле Байеса:
1Л '	Q 33	0,83
Pi А zfti = P(A2)P(B/Az) _ 0>3.0,8 _ 0,24 п 2Q
Г(А2/В>	0,83 0 зз °-^9-
19.23.	На предприятии, изготавливающем замки, первый
цех производит 25, второй 35, третий 40% всех замков. Брак
составляет соответственно 5, 4 и 2%.
а)	Найти вероятность того, что случайно выбранный замок
является дефектным.
б)	Случайно выбранный замок является дефектным. Какова
вероятность того, что он был изготовлен в первом, втором,
третьем цехе?
19.24.	Трое рабочих изготавливают однотипные изделия. Пер-
вый рабочий изготовил 40 изделий, второй — 35, третий — 25-
Вероятность брака у первого рабочего 0,03, у второго — 0,02,
у третьего — 0,01. Взятое наугад изделие оказалось бракован-
ным. Определить вероятность того, что это изделие сделал вто-
рой рабочий.
19.25-	На предприятии работают две бригады рабочих: пер-
вая производит в среднем 3/4 продукции с процентом брака 4%,
вторая —- 1/4 продукции с процентом брака 6%. Найти веро-
ятность того, что взятое наугад изделие:
а)	окажется бракованным;
б)	изготовлено второй бригадой при условии, что изделие
оказалось бракованным.
^Э.Иб/В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги
и туфли в соотношении 2:3. Вероятность качественного ремон-
та для сапог равна 0,9, а для туфель — 0,85. Проведена про-
верка качества одной пары обуви. Оказалось, что эта пара обу-
ви отремонтирована качественно. Какова вероятность того,
что это а) сапоги, б) туфли?
19.5. Формулы Бернулли и Пуассона
Если при проведении испытаний вероятность появления события Л
не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называ-
ются независимыми.
311
Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно т раз
события А в серии из п независимых испытаний, в каждом из которых
вероятность появления события А равна р:
Рп(т) ~ С™ р^д*-™
где
__ п!
rt zn!(n - ш)! ’
9 ’ 1 - р.
В ряде случаев требуется определить вероятности появления события А
менее т. раз (X < т), более т раз (X > лг), не менее т раз {X > т),
не более m раз (X < т). В этих случаях могут быть использованы фор-
мулы
Р(Х < т) = Р„(0> + Р„(1> + ... + Рпрп - 1),
Р(Х > т) — Рп(т + 1) + Рп(т + 2) + ... + Рл(га),
Р(Х > т) ~ Рп(т) + Рп(т + 1) + ... + Рл(п),
Р(Х < т) = Ря(0) + Р„(1) + ... + Рп(т).
При больших п и малых р вычисления по формуле Бернулли затруд-
нены. В этих случаях обычно используется формула Пуассона
Рп№ = ~7	х = пР-
YT1 1
19.27.	В результате обследования были выделены семьи,
имеющие по четыре ребенка. Считая вероятности появления
мальчика и девочки в семье равными, определить вероятности
появления в ней:
ч а) одного мальчика;
б)	двух мальчиков.
Решение, Вероятность появления мальчика или девочки равна р — % • Be-
роятность появления мальчика в семье * имеющей адтырех детей f находится по
формуле Бернулли:
Р<(1) - Cjpg3 - £ (W/2)3 = ’Л-
Вероятность появления в семье двух мальчиков равна
Р4(2) - С*	(WC/a)2 - %
19.28.	Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Ве-
роятность того, что каждому из этих покупателей потребуется
312
холодильник марки «А*, равна 0;4. Найти вероятность того,
что холодильник потребуется:
а)	не менее чем двум покупателям;
б)	не более чем трем покупателям;
в)	всем четырем покупателям.
Г19.Заработают четыре магазина по продаже стиральных ма-
шин. Вероятность отказа покупателю в магазинах равна ОД.
Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формиру-
ется независимо от других, определить вероятность того, что
покупатель получит отказ в двух, в трех и в четырех магази-
нах.
19.30. В новом микрорайоне поставлено 10 000 кодовых зам-
ков на входных дверях домов. Вероятность выхода из строя од-
ного замка в течение месяца равна а) 0,0002; 6)0,001. Найти
вероятность того, что за месяц откажут два, три и пять замков.
Решение, а) Используем формулу Пуассона
Рп(т) ~ е~Х' Х =
В нашем случае
X = пр ™ 10000  0,0002 = 2,
тогда
^ioooo(2> - 22е“2/21 - 0,27;
PiooooO) = 23е~2/3! = 0,18;
^loooo(5) “ 2&е-2/5! - 0,036.
Указание. Для пункта «б* принять е-10 = 0,000045.
19.31 Завод отправил в торговую сеть 500 изделий. Вероят-
ность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти веро-
ятность того, что при транспортировке будет повреждено:
а)	ровно три изделия;
б)	более трех изделий.
19.32.	На станциях отправления поездов находится 1000 ав-
томатов для продажи билетов. Вероятность выхода из строя
одного автомата в течение часа равна 0,004. Какова вероят-
ность того, что в течение часа из строя выйдут два, три и пять
автоматов?
19.33.	Всхожесть семян огурцов равна 0,8. Какова вероят-
ность того, что из пяти посеянных семян взойдут не менее че-
тырех?
313
19.34.	Обувной магазин продал 200 пар обуви. Вероятность
того, что в магазин будет возвращена бракованная пара равна
0,01. Найти вероятность того, что из проданных пар обуви бу-
дет возвращено а) ровно 4 пары, б) ровно 5 пар.
20. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
20.1.	Закон распределения вероятностей
Случайной величиной называется величина, которая в результате
опыта может принять любые заранее неизвестные значения. Различают
дискретные и непрерывные случайные величины.
Дискретной случайной величиной называется такая, значения кото-
рой есть конечное или счетное множество фиксированных величин. Для
описания поведения дискретной случайной величины X задают все зна-
чения х15 х2, .хп, которые она может принять, и вероятности появле-
ния этих значенийрь р2, ..., рп.
Законом распределения вероятностей (рядом распределения) диск-
ретной случайной величины называется последовательность возможных
значений случайной величины и соответствующих им вероятностей,
причем
£>, - 1:	(20.1)
1=1
X	*1	х2	- -'	хп 1
р	Р1	Р2	« * *	1	। рп :
Ряд распределения можно задать графически, откладывая на гори-
зонтальной оси значения Х_, а па вертикальной — соответствующие им
значения вероятностей. Графическое представление ряда распределения
называется многоугольником распределения.
Для дискретной случайной величины можно ввести понятие функ-
ции распределения которая равна вероятности случайного собы-
тия, состоящего в том, что дискретная случайная величина X примет
одно из возможных значений, меньших некоторого значения х,
т.е. У(х) =- Р(Х < х).	'
Если дискретные значения случайной величины расположены в по-
рядке возрастания х1; х2, ..., хп, то F(x) можно задать в виде
' 0,	если х < Xjj
Pi,	если Xi < х < х2;
= J Pi + Р2>	если х2 < х < х3;
1 р »	*фйв**»*	#»*»••	»**-******
Pi +Р2 +	если x„_i < х С х„;
1,	если х > хп.
314
Функцию распределения можно представить графически в виде сту-
пенчатой функции (рис. 20.1).
20.1	. Среди 10 лотерейных билетов имеется 4 билета с
выигрышем. Наудачу покупают 2 билета. Написать закон рас-
пределения вероятностей числа выигрышных билетов среди
купленных.
Р в шеви е. Пусть X — случайная, величина числа выигрышных билетов среди
купленных 2 билетов. Очевидно, что она может принимать значения; х1 = 0,
х2 = X, “ 2. Для определения вероятности появления каждого из этих значений
воспользуемся следующей формулой:
„л-т
р(х = т)=
с»
где т = 0, 1, 2 — число выигрышных билетов среди наудачу купленных л = 2
билетов;
Л = 10 — всего имеющихся билетов;
М — 4 — число выигрышных среди всех 10 билетов.
Вычисляем соответствующие вероятности:
С4С6 1
pl = P(X = 0)= -L-® =
С£	о
10
р2 = Р(Х=1) =	= А;
Io
Но
C?cJ 2
Рз-Р(Х-2}- -L-? - А.
L10
Для проверки вычислений сложим pj + р2 + р3 = 1/3 + 8/15'+ 2/is ” 1.
Следовательно, искомый закон распределения имеет вид
X	0	1	"2
р	V15	‘/15	2/1,'
315
На рис. 20.2 представлен многоугольник распределения, полученного в за-
даче 20.1.
20.2	. В партии из 25 кожаных курток 5 имеют скрытый де-
фект. Покупают 3 куртки. Найти закон распределения числа
дефектных курток среди купленных. Построить многоуголь-
ник распределения.
20.3	. Из партии в 20 изделий, среди которых имеется 6 бра-
кованных, выбраны случайным образом 3 изделия для провер-
ки их качества. Построить ряд распределения случайного чис-
ла X бракованных изделий среди отобранных.
20.4	. В коробке 20 одинаковых катушек ниток, из них —
4 катушки с белыми нитками. Наудачу вынимают 2 катушки.
Найти закон распределения числа катушек с белыми нитками
среди вынутых.
20.5	. Баскетболист делает три штрафных броска. Вероят-
ность попадания при каждом броске равна 0,7. Построить ряд
распределения числа попаданий мяча в корзину.
Решение. Пусть X — случайная величина числа попаданий мяча в корзину.
Баскетболист может не попасть ни разу, один раз, два раза и все три раза,
т.е. Xj — 0, х2 = 1, х3 = 2, х4 3. Вероятности вычисляем по формуле Бернулли,
при этом л = 3, р - 0,7, 7 - 0,3;
Р1 = Р3(0) = C^pV = (0,3)8 - 0,027;
р2 = Р3(1) = cJpV = 3  0,7 • (0,3)2 ~ 0,189;
р3 - Р3(2) -	= 3 - (0,7)2 . Of3 _ 0,4.41;
р4 = р3(3) = c|pV - 1 .(одя, о,34з.
316
Проверяем выполнение соотношения (20.1):
4
- 0,027 + 0,189 + 0,441 + 0,343 - 1.
1^1
Тогда ряд распределения случайной величины числа попаданий мяча в кор-
зину при трех бросках примет вид
X	0	1	2	3
, р	0,027	0,189	1	0,441	0,343
' 20.6^ Имеются три базы с независимым снабжением. Веро-
ятность отсутствия на базе нужного товара равна 0,1. Пред-
приниматель решил закупить некий товар. Составить закон
распределения числа баз, на которых в данный момент этот
товару отсутствует.
(20.?/Бросают три игральных кубика. Составить закон рас-
пределения числа выпавших «шестерок» на трех кубиках. По-
строить многоугольник распределения.
20.8.	Устройство состоит из трех независимо работающих
элементов. Вероятность отказа каждого элемента 0,15. Соста-
вить закон распределения отказавших элементов.
20.9.	Вероятность того, что при составлении бухгалтерского
баланса допущена ошибка, равна 0,3. Аудитору на заключение
представлено 3 баланса предприятия. Составить закон распре-
деления числа положительных заключений на проверяемые
балансы.
20.10.	Вероятность того, что аудитор допустит ошибку при
проверке бухгалтерского баланса, равна 0,05. Аудитору на
заключение представлено 2 баланса. Составить закон распре-
деления числа правильных заключений на проверяемые ба-
лансы.
20.11.	Вероятность сбоя в работе АТС равна 0,1. Составить
закон распределения числа сбоев, если в данный момент по-
ступило 5 вызовов.
20.12.	Имеется 4 различных ключа, из которых только один
подходит к замку. Составить закон распределения числа опро-
бованных ключей, если опробованный ключ в дальнейшем не
участвует в испытаниях.
317
20.13.	В магазин привезли арбузы из Ташкента и Камыши-
на в равных количествах. Вероятность покупки неспелого ар-
буза равна соответственно 0,1 и 0,3. Куплено 4 арбуза. Соста-
вить закон распределения спелых арбузов среди купленных.
^0^14^ продавца имеются изделия, полученные в равных
количествах с трех фабрик. Вероятность того, что эти изделия
отличного качества, для каждой фабрики соответственно со-
ставляет 0,8; 0,7 и 0,9. Отобрано 2 изделия. Составить закон
распределения количества изделий отличного качества среди
отобранных.
Указание. Вначале вычисляется вероятность отбора изделия отличного ка-
чества: р = (0,8 + 0,7 4- 0,9}/3.
20.15.	Два покупателя независимо друг от друга делают по
одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый
покупатель, равна 0,8, а вероятность того, что второй — 0,5.
Случайная величина X — число покупок, сделанных покупа-
телями. Описать закон распределения случайной величины X.
Решение. Очевидно, что сделать покупки могут,либо оба покупателя, либо
кто-то один, возможно также, что Ни один покупатель ничего не купит. Следо-
вательно, «j = 2, х2 = 1, х3 - 0.
Пусть событие А состоит в том, что первый покупатель сделал покупку, а со-
бытие В — в том, что второй покупатель сделал покупку. Тогда вероятность зна-
чения xt может быть подсчитана как вероятность события АВ. Так как А и В —
независимые события, то
Pi = Р(Х - 2) - Р(АВ) - Р(А)Р(В) = 0,8  0,6 - 0,48,
Вероятность значения х2 может быть подсчитана как вероятность события АВ
или АВ, т.е. р2 = р(Х — 1) = Р(АВ + АВ). Учитывая, что АВ й АВ — события несов-
местные, р2 - Р(АВ) + Р(АВ) - Р(А)Р(В) + Р(А)Р(В) = 0,8 - 0,4 + 0,2 * 0,6 - 0,44-
Вероятность значения *з есть вероятность события АВ: р3 = Р(Х=0) =
= Р(АВ ) = Р(А)Р(В) = 0,2  0,4 = 0,08. Соответственно, закон распределения при-
мет вид
X	I	2	1	0
р	0,48	0,44	0,08
( 20 Дб.^В лотерее из 100 билетов разыгрываются два выиг-
рыша* на сумму 200 руб. и 60 руб. Стоимость билета 10 руб.
Составить закон распределения суммы чистого выигрыша для
лица, купившего два билета.
20.17.	В лотерее 100 билетов, из которых 2 выигрышных по
50 руб. и 10 выигрышных по 1 руб. Стоимость билета 2 руб.
318
Составите закон распределения суммы чистого выигрыша для
лица, купившего 2 билета. Построить многоугольник распре-
деления.
20.18.	Партия содержит 20 телевизоров, среди которых
шесть с дефектам. Купили два телевизора. Составить ряд рас-
пределения исправных телевизоров среди купленных.
20.19.	1’яд распределения случайной величины X имеет вид
1 х	-5	2	3	4
р	0,3	0,4	।	0,2	0,1
Построить функцию распределения. Вычислить Р(Х >3,5)
и Р(|X| < 2,5).
20.20.	Два покупателя независимо друг от друга делают по
одной покупке. Вероятность того, что покупку сделает первый
покупатель, равна 0,6, а вероятность того, что второй — 0,8.
Случайная величина X — число покупок, сделанных поку-
пателями Найти функцию распределения случайной вели-
чины X.
20.2.	Математическое ожидание и дисперсия
Математическим ожиданием дискретной случайной величины на-
зывается сумма вида
М(Х) - XiPi + ХгР2 + ... +	(20.2)
I
где хг — возможные значения дискретной случайной величины;
— вероятность появления значения Xj.
Свойства математического ожидания:
1.	М{СХ, = СМ(ХУ М(С) = С,
где С — произвольная постоянная величина.
2.	М(ХЛ •   Хя) = MlXJMlXd   • M(XJ,
если Xlt Х21	— взаимно .независимые случайные величины.
3.	Af(Xt h Х2 + ... + XJ = ЖХО + М(Х2) + Af(XJ.
4.	М(Х) ' пр,
где X — дискретная случайная величина;
п — число испытаний с биномиальным законом распределения;
р — вероятность появления события в одном испытании.
319
Математическое ожидание характеризует среднее значение случай-
ной величины.
Рассеяние случайной величины около среднего значения характери-
зуют дисперсия и среднее квадратичное отклонение.
Дисперсией случайной величины X называется математическое ожи-
дание квадрата отклонения случайной величины от ее математического
ожидания:
D(X) = М(Х - ЛЦХ))2.
Дисперсию целесообразно вычислять по формуле
Р(Х) = М(Х^) - (М(Х))2.	(20.3)
Свойства дисперсии:
1.	D(C) = 0; Р(СХ) = С2Р(Х),
где С — произвольная постоянная.
2.	DiXi + Х2 + ... + Х„) = UfXj) + D(XZ) + ... + D(Xn),
где Xf — независимые случайные величины.
3.	£>(Х) = npqt
где X — дискретная случайная величина с биномиальным законом рас-
пределения;
л — число испытаний;
р, д — вероятность появления и вероятность непоявления событии, в
одном испытании соответственно.
4.	о(Х) = 75(Х),
где ст(Х) — среднее квадратичное отклонение.
20.21. Даны законы распределения двух независимых слу-
чайных величин:
X	2	4	6	8
p	0.4	0,2 ,	0,1	0,3
У	0	1	2
p	0,5	Gt2	0,3
Найти, математическое ожидание и дисперсию случайной
величины Z = 2Х + ЗУ.
Решение. Используя свойства математического ожидания и дисперсии,
а также учитывая, что X и Y — независимые случайные величины, имеем:
M(Z) = Af(2X + ЗУ) - М(2Х) 4- ЛЦЗУ) - 2М(Х) + ЗМ(У);
D(Z) - D(2X + 3У) = D(2X) + D(3Y>  4D(X) + 9D(Y).
320
По форл уле (20.2) вычислим М(Х) и М(У):
I М(Х) - 2 • 0,4 + 4  0,2 + 6  0,1 + 8 • 0,3 = 4,6;
M(Y) - 0  0,5 + 1  0,2 + 2 • 0,3 0,8.
Тогда
।	2-4,6 + 3 0,8-11,6.
По формуле (20.3) вычислим D(X) и £>(¥). Вначале найдем Af(X2) и М(У^):
М(Х2) - 4 0,4 + 16 - 0,2 + 36 • 0,1 + 64 - 0,3 - 27,6;
' МО*) - 0 0,5 + 1 0,2 + 4 0,8 = 1.4.
Затем определим Р(Х) и D(Y):
। D(X) = М(Х2) - (М(Х))2 - 27,6 - 4,6* = 6,44;
ЖУ) = JU(Y®) - (М(П)2 - 1,4 - 0,8 2 - 0,76.
Окончите льно получим
I D(Z) - 4  6,44 + 9 • 0,76 - 32,6.
20.22. Два консервных завода поставляют продукцию в ма-
газин в щюпорции 2:3. Доля продукции высшего качества на
первом заводе составляет 90%, а на втором — 80%. В магазине
куплено 3 банки консервов, Найти математическое ожидание
и среднее квадратичное отклонение числа банок с продукцией
высшего качества.
Решение, Вначале составим закон распределения случайной величины X —
числа банок с продукцией высшего качества среди купленных трех банок.
Вероятность появления события А — куплена банка с продукцией высшего ка-
чества — наедем по формуле полной вероятности:
Р(А) = О,9(%) + 0,8(%) - 0,84.
Закон распределения случайной вел ичины X можно определить, используя
формулу Бернулли
।	Р„(т) = С” р^-™.
Случайна.! величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3. Закон ее рас-
пределения (< учетом того, что р — 0,84, g = 0,16) примет вид
Тогда	X	0	1	2	3	
	! Р	0,004	0,066	0,337	0,593	
	М(Х) = 0 - 0,004 + 1  0,066 + 2  0,337 + 3 • 0,593 D(X) = 1 • 0,066 + 4  0,337 + 9 0,593 - 2,519s - d(X)*- 70,406 «0,64.					- 2,519, 0,406,
11 Сборник задач |ю высшей математике
321
20.23. Задан ряд распределения:
X	2	3	5	6	7	10	1
р- -	0,40	0,20	0.20	0,05	0,10	0.05
Найти М(Х), п(Х) и М(2Х2 + 3).
(20.24/Даны законы распределения независимых случай-
нык'нёличин:
X :	-4	0	4
Р	ОД	0,5	0,4
Y	2	4
Р	” 6,5	0.5’
Найти M(Z) и D(Z)t если Z = (X + Y)/2.
20.25.	Два товароведа проверяют партию изделий. Произ-
водительность их труда соотносится как 5:4. Вероятность
определения брака первым товароведом составляет 85%,
вторым — 90%. Из проверенных изделий отбирают четыре.
Найти а) математическое ожидание и б) дисперсию числа год-
ных изделий среди отобранных.
20.26.	В магазин поступили электролампы с трех заводов в
пропорции 2:3:5. Доля брака в продукции первого завода —
5% , второго — 2%, третьего — 3% . Покупатель приобрел
3 лампочки. Найти а) математическое ожидание и б) среднее
квадратичное отклонение числа качественных лампочек среди
купленных.
20.27.	Стороны прямоугольного участка X и Y в результате
погрешностей измерения оказываются случайными величина-
ми с такими распределениями:
X	19,5	19,7	20,0	' *	20,2
Р	0,20	0,0$	0,70	. 0,05
У	29,5	29,8	30,0	30,1
Р	” 0,15	0,15	0,65	0,005
Найти математическое ожидание площади участка, если из-
вестно, что измерения проводились независимыми способами.
322
21. НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
21.1.	Функция распределения вероятностей.
и плотность вероятности
Непрерь вные случайные величины характеризуются тем, что их зна-
чения могу” сколь угодно мало отличаться друг от другй.
Вероятность события X < х (где X — значение непрерывной случай-
ной величины, ах.— произвольно задаваемое значение), рассматрива-
емая как функция от х, называется функцией распределения вероят-
ностей:
F(x)^P(X<x).
Производная от функций распределения вероятностей называется
функцией плотности распределения вероятностей или плотностью
вероятности и:
Ях) = Л*).
Функция распределения вероятностей выражается через плотность
вероятности в виде интеграла:
F(x)= j flx)dx.
-СО
Вероятность попадания случайной величины в интервал (х1( х2) рав-
на приращению функции распределения вероятностей на э!ой kiftep-
вале:
Pfxj < X < х2) = Г(х2) - FUJ.	(21.1)
21	.1, Случайная величина X задана функцией распределе-
ния вероятностей
[ 0,	если х 2,
р(х) - л (х “ 2)2, если 2 < х С 3,
| 1,	если х > 3.
Найти плотность вероятности Дх) и вероятность попадания
случайной величины X в интервалы (1; 2,5), (2,5; 3,5).
I.
Решение. 1лотность вероятности находим по формуле/(х).*
О» если х< 2,
™ у 2х - йели 2 < х, <	.
,	.-Л 0>.:.  =. «да х >3^ .. ;
52Й
Вероятности по падания случайной величины X в интервалы вычисляем по
формуле (21-1):
Р(1 < X < 2,5) ~ Г(2,5) - РЦ) = 0,52 - 0 - 0,25;
Р(2,5 < X < 3,5) - Р(3,5) - F(2,5) = 1 - 0,25^ 0,75.
21.2.	Плотность вероятности непрерывной случайной вели-
чины X
если х < 1,
если 1 < х < 2f
если х > 2.
Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение.
х
f\x) = J /(x)dx — 0, если х <
—ОО
X	1
F(x) = J flx)dx - J /(x)dx +
-да
— (х2 - х)/2, если 1 < х < 2,
ж	1
= J Ax)dx = J rtx)dx +
~ (х2 - х)/2
= 1, если х > 2.
1,
J/(x)dx-0 + х2/2 -(%)* =
2	х
J /(x)dx + J flx)dx “
1	2
График функции представлен ня рис. 21.1.
324
21.3,	Случайная величина X имеет плотность вероятности
О,	если х < О,
Д-х) = J |sin х, если 0 < х < тс
0.	если х > л.
Найти функцию распределения вероятностей и построить
график.
21.4.	Случайная величина X имеет плотность вероятности
)0,	если х < 1,
|	если 1 < х < 3,
0,	если х > 3.
Найти функцию распределения вероятностей и построить
график.
21.5,	Плотность вероятности непрерывной случайной
величины X задана в виде Дх) = 2С/(1 + х2). Найти пара-
метр С.
Решение. На основании равенства
со
J /(x)dx - 1
имеем
2 С Г  * dx = 2С aretgx
J '. + ха
~ 2Сл - 1,
1
2л
С =
21.6.	Плотность вероятности непрерывной случайной вели-
чины X з£1дана в интервале (0; д/4) функцией Дх) = С sin 4х.
Вне этого интервала Дх) — О. Найти параметр С.
\21.7'. Плотность вероятности непрерывной случайной
величины X задана в интервале (-тс/2; тс/2) функцией
Дх)  С соз х. Вне этого интервала Дх) = О. Найти параметр С
и определить вероятность попадания случайной величины X
в интервал (0; л/4).
325
21.2.	Математическое ожидание и дисперсия.
Мода и медиана
Средним значением или математическим ожиданием непрерывной
случайной величины X называется значение интеграла
OQ
ЛГ(Х) = Мх = J x/(x)dx,
— СЮ
где /(х) — плотность вероятности.
Дисперсией непрерывной случайной величины X называется значе-
ние интеграла
00
D(X) = Dr - J (х - Afx)2 flx)dx.
—DO
Для определения дисперсии может быть также использована фор-
мула
СО
= J X2 /(x)dx - М* .
—СО
Л£о<?ой Л/о(Х) непрерывной случайной величины X называется такое
значение этой величины, плотность вероятности которого максимальна.
Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины X называется та-
кое ее значение, при котором выполняется равенство
Р(Х < Me) = Р(Х > Me).
21.6.	Случайная величина X задана плотностью вероятнос-
ти f(x) = х/1 в интервале (0; 2), вне этого интервала f(x) = 0.
Найти математическое ожидание величины X.
Решение.. На основании формулы
Da
Afj. = J r/(x)dx

имеем
2	3	2
J-lxdx- -f.
21.9.	Случайная величина X задана плотностью вероятнос-
ти /(х) = х/8 в интервале (О; 4). Вне этого интервала /(х) = О.
Найти математическое ожидание.
326
21.10.	Случайная величина X задана плотностью вероятности
Дх) = е2М при — со < х < °о. Найти математическое ожидание.
21.11.	Случайная величинах задана плотностью вероятнос-
ти Дх) j= С(х2 + 2х) в интервале (0; 1). Вне этого интервала
Дх) = 0. Найти параметр С.
Решение. Так как
ой
J /(x)dx — 1,
—оо
то
С J (х2 + 2x)dx -	+ х2)	= с| - 1.
Откуда'С = 3/4.
Случайная величина X задана плотностью вероятнос-
ти Дх) = а/(1 4- х2) при —оо < х < оо. Определить параметр а и
математическое ожидание.
21.13.	Случайная величинах задана плотностью вероятнос-
ти Дх) =	- + 6х ^ на интервале (3; 5). Вне этого интервала
! 4	4
Дх) = 0. Найти моду, медиану и математическое ожидание.
Указание. Для нахождения моды можно использовать необходимое и до-
статочные условия экстремума функции. Для нахождения медианы нужно
учесть симметричность параболы относительно ее оси.
21.14.	Случайная величина X задана плотностью вероятнос-
ти Дх) =	+ ^ - 6в интервале (2; 4). Вне этого интервала
4	2
Дх) = 0. j Зайти моду, медиану и математическое ожидание.
21.15.	Случайная величина X задана в интервале (0; л) плот-
ностью вероятности Дх) = V2 s^n х* вне этого интервала
Дх) — 0. Найти дисперсию величины X.
Решение Для нахождения дисперсии используем формулу
1X3
Dx = j x2/(x)dx - М2 .
-ЙО
Математическое ожидание
Л _	те
Мх = J xf(x)dx = i J х sin xdx-
0	0
327
Иатегрируя по частям, получаем Мх — л/2. Находим значение первого сла-
гаемого в выражении дисперсии:
ТЕ	Л
J x2/(x)dx =1 J х2 sin xdx.
о	о
Интегрируя по частям дважды, получаем
J x2/(x)dx -	- 2.
о
Подставляя в выражение дисперсии полученные значения, находим
21.16.	Случайная величинах задана плотностью вероятнос-
ти f(x) = 0,25 sin (х/2) на интервале (О; 2 л). Вне этого интервала
/(х) = О. Найти дисперсию величины X.
21.17.	Случайная величина X задана плотностью вероятнос-
ти f(x) = 0,5 cos х на интервале (-ТХ./2; п/2). Вне этого интервала
f(x) = 0. Найти дисперсию величины X.
21.18.	Случайная величина имеет распределение Рэлея
Г(х) - 1 - e-x2/<2cf2) (х > 0).
Написать выражение плотности вероятности случайной ве-
личины.
21.3. Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина называется равномерно распреде-
ленной на отрезке [а, Ь], если ее плотность вероятности имеет вид
0,
1
b - а
0,

если х < а,
если а < х < Ъ,
если х > Ъ.
Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной
случайной величины определяются выражениями
а + Ъ
2 ’
=
п _ <».-*)?
х 12
328
21.19.	Случайная величина X распределена равномерно на
отрезке [1; 6]. Найти функцию распределения F(x), математи-
ческое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклоне-
ние величины.
Решение. Плотность вероятности для величины X имеет вид
О, если х < 1,
О, если х > 6.
Следовательно, функция распределения, вычисляемая по формуле
Дх) = j fl*)dx,
запишется с ледуюгцим образом:
если ж С 1,
Дх) = 5Jd* ’ 5х
, если 1 < х < 6,
если х > 6.
Математическое ожидание будет равно Мх — (1 + 6)/2 = 3,5. Находим дис-
персию и среднее квадратичное отклонение:
Dx = (6- 1)2/12 = 25/12,	ох-5^3/6.
21.20.	1 Случайная величина X распределена равномерно на
отрезке [0; 4]. Найти функцию распределения, математическое
ожидание и среднее квадратичное отклонение величины X.
21.21.1 автобусы подходят к остановке с интервалом в 5 мин.
Считая, что случайная величина X — время ожидания авто-
буса — распределена равномерно, найти среднее время ожида-
ния (математическое ожидание) и среднее квадратичное от-
клонение случайной величины.	----
f 21.2^ Паром для перевозки автомашин через залив под-
ходит к причалу через каждые два часа. Считая, что время
прибытия автомашин — случайная величина X — распре-
делено разномерно, определить среднее время ожидания ав-
томашиной прихода парома и дисперсию времени ожида-
ния.
329
21.4.	Нормальное распределение
Случайная величина X распределена по нормальному закону, если ее
функция плотности распределения вероятностей имеет вид
(X-ftfj,)’
где Мх — математическое ожидание;
Gr — среднее квадратичное отклонение.
Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, Ь) нахо-
дится по формуле
Р(а < X < Ъ) =	= ф(з2) - ф^),	(21.2)
\ ох /	\ &х )
-	1 2 --
где Ф(з) ”= —= Ге 2 dt “ функция Лапласа.
о
Значения функции Лапласа для различных значений z приведены в
Приложении 2.
21.23.	Математическое, ожидание нормально распределен-
ной случайной величины X равно М* = 5, дисперсия равна
Dx = 9. Написать выражение для плотности вероятности.
21.24.	Математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение нормально распределенной случайной величины X
соответственно равны 12 и 2. Найти вероятность того, что слу-
чайная величина примет значение, заключенное в интервале
(14; 16).
Решение. Используем формулу (21.2), учитывая, что Мх * 12, аж 2:
Р(14 < X < 16) = Ф((16 - 12)/2) - Ф((14 - 12)/2) - Ф(2) - Ф(1).
По таблице значений функции Лапласа находим Ф(1) •“ 0,3413, Ф(2) — 0,4772.
После подстановки получаем значение искомой вероятности
Р(14 < X < 16) = 0,1359.
21.25.	Имеется случайная величина X, распределенная по
нормальному закону, математическое ожидание которой рав-
но 20, среднее квадратичное отклонение равно 3. Найти сим-
метричный относительно математического ожидания интер-
вал, в который с вероятностью р ~ 0,9972 попадет случайная
величина.
330
Решен не. Так какР(Х] <Х < х2)"Р - 2Ф((х2 -Mz)/ax), тоФ(г) — р/2 - 0,4986.
По таблице функции Лапласа находим значение г, соответствующее полученно-
му значению функции Ф(а) — 0,4986: 2 *• 2,98. Учитывая то, что 2 = (х2 ~ Мх)/ах,
определяе и 5 = хг — Мх = axz — 3 - 2,98 — 8,94, Искомый интервал будет иметь вид
(11,06; 2Д94).
(2Ь26 ^Случайная величина X распределена по нормальному
закону с математическим ожиданием, равным 15, и средним
квадратичным отклонением, равным 2. Найти симметричный
относительно математического ожидания интервал, в который
с вероятностью 0,954 попадет случайная величина.
21.27.	Известно, что средний расход удобрений на один
гектар пашни составляет 80 кг, а среднее квадратичное от-
клонение расхода равно 5 кг. Считая расход удобрений нор-
мально распределенной случайной величиной, определить
диапазо I, в который вносимая доза удобрений попадает с ве-
роятностью 0,98.
' 21.28. Математическое ожидание нормально распределен-
ной случайной величины — количества сыра, используемого
для изготовления 100 бутербродов, — равно 1 кг. Известно,
что с вероятностью 0,96 расход сыра на изготовление 100 бу-
тербродов составляет от 900 до 1100 г. Определить среднее
квадратичное отклонение расхода сыра на 100 бутербродов.
21,29.	При измерении нормально распределенной случайной
величины оказалось, что ее среднее квадратичное отклонение
равно 10, а вероятность попадания этой величины в интервал
от 100 до 140, симметричный относительно математического
ожидания, равна 0,86. Найти математическое ожидание этой
величины и вероятность попадания ее в интервал от 90 до 150.
21.5.	Показательное распределение
Распределение непрерывной случайной величины X называется
показа/nej ьным (экспоненциальным), если плотность вероятности этой
величины описывается функцией
(0, если х < 0,
Хе_^х, если х > 0,
где А. — положительное число,
Соответственно, функция распределения вероятностей имеет вид
1	0, если х < 0,
. F(x) - . -1* п
[1-е если х > 0.
$31
21.30	. Случайная величина X задана функцией распределе-
ния вероятностей

О,	если х < О,
1 - е“0,1х, если х > О.
Найти математическое ожидание и дисперсию величины X.
Решение. Для решения задачи используем формулы математическое ожи-
дания и дисперсии непрерывной случайной величины:
СО	QO
Мх — J x/(x)d.r,	Dx — J x2/(x)dx - mJ .
о	о
Учтем, что f{x) — Тогда получим
О,	если х О,
f( V ) М
I O.le-0’1*, если х > 0.
Подставим в выражение для математического ожидания
Мх = 0,1 J xe~0,I*dx.
о
Интегрируя по частям, получаем Мх e 1/Х, или Мх = 1/0,1.
Для определения дисперсии проинтегрируем по частям первое слагаемое,
В результате получим
J x2/(x)dx = 2/Х2.
о
Учтем найденное выражение для Мх. Откуда
D - А - Л-А
х X2 V X2'
В данном случае Мх  10,	' 100.
21.31	. Случайная величина X задана функцией распределе-
ния вероятностей
Ях) - <
О,	если х < О,
1 - е-0,4х, если х > О.
Найти математическое ожидание и среднее квадратичное
отклонение случайной величины.
332
21.32	|. Плотность вероятности случайной величины X имеет
вид
О, если х < О,
если х > 0.
Найтй параметр С.
21.33	Найти вероятность попадания случайной величины Т,
имеющей показательное распределение
О, если t < О,
OT2e-o’2t, если t > О,
в интервал (4; 10).
\21^3£?Найти вероятность попадания случайной величины X
с показательным распределением, приведенным в задаче 21.31,
в интервал (2; 5).
22. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
22.1.	Законы распределения двумерной
случайной величины
Двумерной называют случайную величину (X, У), каждое возможное
появление которой представляет собой пару чисел (х, у).
Случайные величины X и У, рассматриваемые совместно, образуют
систему двух случайных величин.
Общей 'характеристикой двумерной случайной величины является
функция распределения вероятностей, которая представляет собой ве-
роятность события (X < х, У < у):
F(x, у) = Р(Х < х, У < у).
Для дискретной случайной величины распределение может
быть задано в виде таблицы распределения, в которой каждой паре зна-
чений (х/т jj) (i = 1, 2, п; j — 1, 2, т) ставится в соответствие ве-
роятность появления этой пары Р(Х = xir У = yf).
Функция распределения вероятностей непрерывной случайной
величины выражается через двумерную плотность вероятности по фор-
муле
х у
F(x, у) - J J Дх, p)dx<ty.
,00-00
333
Вероятность совместного появления пары дискретных случайных ве-
личин (Х;, yj) можно записать в виде
Ур = P(Xi)p(y^xt) = piy^pix^yf),
где /?(— условные вероятности.
Для непрерывных случайных величин плотность вероятности запи-
сывается в виде
Дх, у) = Дх)Ду/х) = f(y)f(x/y).
22.1.	Фирма выпускает мини-заводы по производству хлеба.
На рекламу может быть израсходовано определенное количе-
ство средств.
В табл. 22.1 приведены возможное количество проданных
в течение месяца заводов (X) и объем средств, израсходован-
ных на рекламу (У). Каждой паре (х,-, г/у) случайных величин
(X, У) поставлена в соответствие вероятность р(х^ у,) появле-
ния этой пары.
Таблица 22.1
	0	.	| 1	2
1	0,12		0Д5	0,10
2	'	0,08	।	0,10	0,12
3	i 0,05 -	0.10	0,18
Требуется составить таблицы распределения вероятностей
для каждой из величин X и У и выразить условный закон рас-
пределения вероятностей величины У при X === 2.
Решение. Так как с каждым значением х( встречается ровно три значения уу,
т.е. имеет место полная группа событий, сумма вероятностей которых равна еди-
нице, то
3	3	3
у;) =	=Р(Г;)^Р(.и;/х;) = p(Xj).
J = 1	.	/=1
Таким образом, вероятность события рйвиа сумме вероятностей pCxj? Уу)
в каждой колонке.	‘
В результате получаем таблицу распределения вероятностей величины Хг
X	0	1	2
р	0,25	0,35	> 0,4
334
Аналогична получаем таблицу распределения для величины У:
У	1	2	3
р	0,37	0,3	!	0,33
Сумма вероятностей для каждой из величин должна быть равна единице.
Проведем проверку:
3
^р(х() = 0,25 + 0,35 + 0,4 = 1;
3
- 0,37 + 0,3 + 0,33 - 1.
•Ml
Находив условные вероятности величины У при X — 2:
PCr = 1 / X = 2) - Р(У = 1, X “ 2)/Р(Х = 2) ” 0,10/0,4 = 0,25;
P(Y = 2 / X = 2) = P(Y = 2, X = 2)/Р(Х = 2) = 0,12/0,4 = 0,30;
P(Y = 3 / X = 2) - P(Y= 3, X - 2)/Р(Х = 2) - 0,18/0,4 = 0,45.
22.2.	Имеется таблица распределения двумерной случайной
величин]л (X, У);
X У	1	2	3
2	0,07	0,16	0,10
4	0,13	0,09	0.18
6	0,10	0,05	0,12
Составить таблицы распределения вероятностей для каж-
дой из величин X и У.
22.3.	Задана дискретная двумерная случайная величина
'*< X	2	5	8
0,4	0,15	0,30	0,35
0,8	0,05	0,12	0,03
Найти условный закон распределения X при У = 0,8.
22.2. Числовые характеристики системы
двух случайных величин
Среди числовых характеристик двумерной случайной величины важ-
нейшими лвляются условное математическое ожидание и ковариация.
Условиям математическим ожиданием дискретной случай-
335
ной величины Y при X = х называют сумму произведений возможных
значений Уна их условные вероятности
п
M(Y /Х = х) =
>=1
Для непрерывных случайных величин условное математиче-
ское ожидание определяется интегралом:
М(Х / X = X) = J y/(y/x)dy.
—<ХЗ
Условное математическое ожидание Л/(У / X = х) называется также
регрессией величины У на X.
Аналогично определяется регрессия X на У:
для дискретной случайной величины
ГН
М{Х / Y = у) = £х^(х7у);
для непрерывной случайной величины
СО
М(Х / У “ у) = J xf(x/y)dx,
—со
Ковариацией или корреляционным моментом случайных величин X
и У называется математическое ожидание произведения отклонений
этих величин от их математических ожиданий:
pXi, = Af((X - МХ)(У - Му>).
Коэффициентом корреляции гХу случайных величин X и У называ-
ется отношение ковариации к произведению средних квадратичных от-
клонений этих величин:
гху = М-хуА^х^у)* “1 гху
Линейной средней квадратической регрессией У на X называется
функция вида
Ух - ту + гху?Я (х - тх),
а	-X
где
тх « М(Х),	= М(У),
°х = 4^х ’ &у = 4^V  Г*У ~
336
22.4.	Найти регрессию величины У на X для двух значений
Xj - 3 и х2 6 на основе заданной таблицы распределения
двумерной случайной величины
У^\	3	6
10	0,25	0,10
14	0,15	0,05
18	0,32	'	0,13
Решение. Условное математическое ожидание, или регрессия, величины У
на X находк тся на основе соотношения
М(У/Х = х,)=
j=l
где
Определяем Р(Х = 3) и Р(Х = 6):
Р(Х = 3) = 0,25 + 0,15 + 0,32 - 0,72;
Р(Х - 6) - 0,10 + 0,05 + 0,13 = 0,28.
1	ч
Вычисляем условные вероятности:
Р(У= 10 t X = 3)	= 0,25/0,72 -	0,35;	Р(У-10 / X-6) = 0,10/0,28-0,36;
Р(У = 14 ' X = 3)	= 0,15/0,72 -	0,21;	Р(У -14 / Х = 6) = 0,05/0,28 = 0,18;
Р(У = 18 ,'X - 3)	- 0,32/0,72 =	0,44;	Р(У= 18 / Х^ 6) = 0,13/0,28 = 0,46.
Находим условные математические ожидания:
J ЦУ / X - 3) - 10 • 0,35 + 14 • 0,21 + 18 • 0,44 - 14,4;
Л(У / X - 6) = 10 • 0,36 + 14 0,18 + 18'0,46 - 14,3.
22.5.	Найти регрессию величины X на Y для трех ее значе-
ний У = 2, У = 6, У - 8 на основе .заданной таблицы распреде-
ления двумерной случайной величины
	1	3	4
2	0,22	0,10	0,06
6	0,12	0,08	0,05
8	0,17	0,13	0,07
387
22.6.	Задан закон распределения двумерной случайной ве-
личины (X, У)
	“1	0	1
1	0,15	0,30	0,35
2	0,05	0,05	0,10
Найти условное математическое ожидание Л/(У / X = 1).
22.7.	Задан закон распределения двумерной случайной ве-
личины (X, У)
У	2	3	'	5
1	0,10	0.20	0,15
3	0,05	0,14	0,11
4	0,12	0,08	0,05
Найти условное математическое ожидание величины X для
всех возможных значений величины У.
22.8.	Для заданного в задаче 22.7 закона распределения най-
ти коэффициент корреляции между величинами X и У.
Решение. Находим вероятности значений X — 1, X — 3, X = 4:
Р(Х = 1) -= 0,10 + 0,20 + 0,15	0,45;
Р(Х = 3) = 0,05 + 0,14 + 0,11 = 0,30;
Р(Х -4)-0,12 + 0,08 + 0,05 = 0,25.
Определяем вероятности значений У — 2, Y = 3, Y = 5:
Р(У ” 2) - 0,10 + 0.05 + 0,12 = 0,27;
Р(У = 3) - 0,20 + 0,14 + 0,08 = 0,42;
Р(У = 5) = 0,15 + 0.11 + 0,05 - 0,31.
Находим Д4(У):
ЛГ(У) = 2 - 0,27 + 3 - 0,42 + 5 - 0,31 = 3,35.
Определяем Л^(Х):
ЛГ(Х) - 1 - 0,45 + 3 - 0,3 + 4 - 0,25 - 2.35.
Вычисляем AffX2) и ЛГ(У2):
Af(X2) - 1 • 0,45 + 9 * 0,3 + 16 • 0,25 - 7,15;
ЛЦУ2) - 4 • 0,27 + 9 - 0,42 + 25 - 0,31 ₽ 12,61.
388
Находим Dx, Dy.
Dx - 7,15 - 2,352 = 7,15 - 5,52 = 1,63;
D,, = 12,61 - 3,352 = 12,61 - 11,22 = 1,39.
Откуда (Tj. — 1,28;	== 1,18.
Ковариац <я величия X и У может быть найдёна по формуле
Итак
Рху ₽ -А+(-УУ) тхгПу.
М(ХУ) = у ^xiyjP(X - xit Y - У;) =
1 - 2  0,1 1-1-3 -.0,2 + 1  5 - 0,15 + 32- 0,05 + 3  3 • 0,14 + 3 • 5 - 0,11 +
+ 4 • 2 - 0,12 + 4 - 3 - 0,08 + 4 - 5 - 0,05 = 7,68,
lArj, = 7.68 - 2,35  3,35 - -0,19,
rxy -	= -0,19/(1,28  1,18) = -0,126.
22.9.	Для заданного закона распределения вероятностей
двумерной случайной величины (X, Y)
\ У	2	6
8	0,15	0,10
10	0,22	0,23 i
12	0,10	0,20
найти коэффициент корреляции между величинами X и Y.
22.10.	Для заданного закона распределения вероятностей
двумерной случайной величины (X, У)
у	1	4	!
3	0,12	0,20
5	0,24	0,15
6	,	0,22	0,07
найти коэффициент корреляции между величинами X и У
и написать уравнение линейной средней квадратической рег-
рессии У на X.
22.11.	Зг дан закон распределения двумерной случайной ве-
личины
	1 1	3	4	1
2	|	6.20	0,15	1	Q>0$
4	| 0,16	0,11	0,14	1
1 5 ;	|	0,08	0,05	0,12
Найти уравнение линейной средней квадратической регрес-
сии X на У.|	:	j

22.12. Задан закон распределения двумерной случайной ве-
личины
	1	2	4
. 1	0,05	0,12	0,08
3	0,11	0,10	0,20	।
5	0,20	0,08	0,06
Найти уравнение линейной средней квадратической регрес-
сии У на X.
ПРАКТИКУМ
ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Задания
1.	В партии из N изделий п изделий имеют скрытый дефект
(табл. 1). Какова вероятность того» что из взятых наугад т из-
делий к изделий являются дефектными?
2.	В магазине выставлены для продажи п изделий, среди ко-
торых к изделий некачественные (табл. 2). Какова вероятность
того, что взятые случайным образом m изделий будут некаче-
ственными?
3.	На сборочное предприятие поступили однотипные комп-
лектующие с трех заводов в количестве: с первого завода,
п2 со второго, н3 с третьего (табл. 3). Вероятность качествен-
ного изготовления изделий на первом заводе на втором
на третьем р3. Какова вероятность того, что взятое случайным
образом изделие будет качественным?
4.	Дано распределение дискретной случайной величины X
(табл. 4). Найти математическое ожидание и среднее квадра-
тичное отклонение.
5.	В городе имеются 7V оптовых баз (табл. 5). Вероятность
того, что требуемого сорта товар отсутствует на этих базах оди-
накова и равна р. Составить закон распределения числа баз,
на которых искомый товар отсутствует в данный момент.
340
6.	Непрерывная случайная величина имеет нормальное рас-
пределение. Ее математическое ожидание равно Мх, среднее
квадратичное отклонение равно (табл. 6). Найти вероят-
ность того, что в результате испытания случайная величина
примет значение в интервале (а, Ъ).
7.	Найти линейную среднюю квадратическую регрессию
случайной величины У на случайную величину X на основе
заданного закона распределения двумерной случайной вели-
чины (табл. 7).
Таблиц а 1. Варианты задания 1
Вариант	N		И	1	m	k	Вариант	N		m	k
1 1	20		4	' 5	2	1 16	20	5 i	4 !	1
I 2	30		5	5	3	17	16	6	5	3
. 3	20		5 ;	. 4	2 ।	18	18	5 i	4 i	2
4	25		6	5	3 1	19	14	4	3	1
5	15		4	3	2	20	10	4 ।	3	2
6	20		6	4	1	21	16	5	3	2
7	30		4	3	2	22	20	6 i	4 1	3
' 8	16		4	3	2	23	26	5 !	4	2
9	18		6	5	3	24	32	8	! 5	! 3
10	12		5	4	2	25	34	io 1	6	1 4
11	30		10	5	3	26	30	6	5 ’	. 3
12	26		8	6	4	27	25	5	3	2
13	24		8	5	3	28	24	6	! 4	3
14	22		6	4	2 !	29	28	 8	5	2
15	20		5	1 3	2 ।	30	24	6	3	2
Таблица 2. Варианты задания 2
Вариант	J	t	it	1	m	Вариант	n	k	m
1	2	0	6	2	।	16	1	15	5	2
2	1	3	8	3	17	17	6	3
3	1	5	6	2	18	18	8	4
4 - 1	1 1	4	5	3	1 19	20	7	2
341
Окончание табл. 2
Вариант	п	А?	m	Вариант	Л		ш
5	12	4	3	20	22	6	3
6	10	4	2	21	1	26	8	2
7	18	6	3	22	1	28	7	3
8	22	8	2	1	23	30	10	2
9	24	10	;	3	'	24	26	6	2
10	26	6	2	25	28	10	3
11	30	8	3	।	26	14	5	2
12	25	7	2	27	18	‘	5	3
13	23	6	3	28	16	4	2
14	24	8	2	29	17	3	2
15	30	!	9	3	30	19	6	3	1
Таблица 3. Варианты задания 3
Вари , ант	"1	Р1	Л2	Рг		Рз	। Вйри-  ант	"1	i Pl	П2	Р2		Рз
1	25	0,9	35	0,8 ,	40	0,7	16	25	0,9	35	0,8	40	0,7
2	15	0,8 I	25	0,7	1 10	0,7	17	15	0,8	25	0,7	20	0,9
3 1	40	0,9	35	0,7	25	0,9	18	40	0,9	25	0,8	35	0,8
4	I 25	0,7	10	1 0,9	15	0.8	19	14	0,8	26	0,6	20	0,7
5	ю	0,9	20 !	0,8	20	0,6	20	18	0,9	32	0,8	30	0,7
6	40	0,8	30 I	0,8	30	0,9	21	30	0,9	20	0,7	10	0,8
7	20	0,8	50 ।	0,9	30	0,8	22	16	0,9	24	0,8	60	0,9
8	35	0,7	35	0,8	30	0,9	23	30	0,9	10	0,7	10	0,7
9	15	0,9	45 j	> 0,8	40	0,9 ,	24	15	0,8 .	35	0,9	50	0,8
10	40	0,8	' 15 ।	0,7	45	0,8	25 ;	1 40	0,8	20	0,8	40	0,9 ।
11	20 ,	0,9	15	0,9	15	0,8	26 '	10	0,9 1	20	0,8	10	0,6 s
12 ।	i К'	0,8	26	0,9	10	0,8	27 1	35	0,8	25	0,7	50	। 0,8
13	16 ,	f 0,8	40	0,9	44 ,	0,7	28	40	0,8	20	0,9	40	0,8
14	30	0,9	20	0,7	50	0,7	29	30	6,9	40	0,8	30	0,9
15	20	0,8	10	0,9	20 !	0,9	30	10	0,7	20	0,9	20	0,7 1
342
Таблица 4. Варианты задания 4
’ Вариант		" Числовые данные				1 Вариант	Чиело&ые данные				
: 1	Xj i	! -5	2	3	4	; 16		4	6	9	
	Pi	<М	0,3	од	0,2		Pi	0,4	0,3	0,3	
1	о	Xj	0,2	0,5	0,6 	0,8	' 17		4	6	8	9
	Pi	ОД	0,5	0,2	0,2	।		Pi	0,3	од	0Д	0,5
3	Xi	-6	-2	1	4	18	Xj	3	6	7	9
	Pi	ОД	0,3	0,4	0,2		Pi	0,3	0,2	0Д	0,4
4	xi	0,2	0,5	0,6		19	Xj	5	10	12	14
	1 Pl	0,5	0,4	од			Pi	0,4	0,2	0,1	0,3
1 5	*i	-8	-2	1	3	1 20	Xi	6	8	14	
	1 Pi !	од	0,3	0,4	0,2		Pi	0,2	0,4	0,4	
6	Xi	-2	1	3	5	21	Xi	1	3	4	5
	1 Pi	од	0,3	0,4	0,2		Pi	0,4	0,3	0Д	0,2
"	7	1		-3	2	3	5	22	xi	4	5	7	8
	1 A	0,3	0,4	од	0,2		Pi	0Д	0,5	0,2	0,2
8 ;	1 X| !	2	3	10		1 23	Xj	2	4	5	6
	Pt	од	0,4	0,5			Pi	0,3	0Д	0,4	0,2
1	Ц	Xi	-4	-1	2	3	24	Xt	2	4	8	
1	Pi	0,3	од	0,4	0,2		Pi	0Д	0,4	0,5 	
1 10	Xi	-3	2	3	5	1	1 25	Xi	-3	-1	3	5
	Pt	0,3	0,4	од	0,2		Pi	0,4	0,3	0,1	0,2
	Xj	-6	-2	2	3	26	Xt	2	4	6	9
11	Pi	0,2	0,4	од	0,3		Pi	I 0,1	0,3	0,3	0,3
12	Xj	2	5	6		27	Xf	2	4	5	6
	Pi	1 0,5	од	0,4			Pi	0,5	0Д	0,3	0,1
1 □	xt	: -5	-3	1	3	28	A	1	3	8	
,	10	Pi	0,2	0,1	од	0,6		Pi	0,2	од	0,7	
1 А	Xj	2	5	6	8 !	29	Xj	4	6	8	10
14	Pi	0,2	0,2	0,4	0,2		Pi	0,3	0,2	0,4	0,1
1	1	xi !	. 4	6	8	12	30	Xi	6	8	12	16
Ю	Pi	0,3	од	0,3	0,3		Pl	0,2	0,3	0,1	0,4
343
Таблица 5. Варианты задания 5
Вариант	N	1	р	Вариант	N	
1	3	0,2	16	4	0,15
2	4	0,25	17	3	0,24
:	3	3	0,1	18	'	2	0,1
4	2	0,2	19	3	1	0,12
5	4	0,1	20	4	1	0,14
б	3	I	0,2	21	4	0,16
7	4	0,3	22	3	0,15	!
8	3	0,1	23	3	0,13
9	3	0,12	24	2	0,21
10	4	0,3	25	2	0,16
1	И	3	0,15	26	3	0,19
12	3	0,18	27	।	4	0,26
13	4	0,24	28	3	0,14
14 ’	2	0,14	29	2	0,15
15	з	0,16	30	3	0,22
Таблица 6. Варианты задания 6
Вариант		Ох	а ।	ft	Вариант	мг .	Ох	й	ъ
1	10	1	8 1	i 14	16	40 1	4	36	43
2	12	2	8	। 14	। 17	38	2	35	40
3	14	3	10	15 "	18	42 !	4	40	43 1
4	16	2	15	18	19	44	। 5	41	45
5	18	1	16	1 21	20	45	5	43	48
6	20	2	17	22	21	46	4	44	48
7	24	1	20	26	22	48	5	45	49
8	26	3	23	27	23	50	6	48	: 5з
9	28	2	24	30	24	52 ,	4	50	55
10	30	1	27	32	25	54	3	53	56 
11	32	3	30	35	26	56	|' '4 ’	55	58
12	34	1	30	36	27	58 1	5	56	61 ।
13	36	2	34	37	28	60	1	6	58	63 '
14 1	38	3	37	41	29	62 !	1 5	59	64 :
15 ।	40	2	39	42	30	64 1	6	60 ।	во
344
Таблица 7. Варианты задания 7
Вариант		Числовые данные			Вариант	Числовые данные			
1	X	1	3	4	16	х	5	7	9 i
	2 3	0,16 0,14	0,10 0,20	0,28 0,12 i		4 , 7	0,14 0,16	0,15 0,20	0,21 0,14
1 2	Xi	2	3	5	17	X	1	4	6
	1 I 4	0,06 0,12	: о,18 0,13	0,24 0,27		3 7	0,14 0,13	0,12 0,20	0,13 0,28
3	л’	1	2	4	18	X	5	8	10
	3 4	0,12 0,20	0,24 0,15	0,22 0,07		2 6	0,11 0,21	0,13 0,06	0,26 0,23
4		2	3	4	19	X	4	7	9
	1 3	0,16 0,14	0,10 0,20	0,28 0,12		4 । 7	0,22 0,14	0,09 0,17	0,32 0,06
5		2	3	5	20	X	8	9	12
	4 । 6	0,06 0,12	0,18 0,13	0,24 0,27		1 1 6	0,14 0,23	0,11 0,04	0,18 . 0,30
6	X	2	3	4	21		3	6	6
	1 i з 1	0,16 0,14	0,10 0,20	0,28 , 0,12		1 2 ! 8	0,21 0,11	0,07 0,20	0,23 0,18
7	X	2	4 ’	5	22	X	3	4	7
	1 3	0,12 0,18	0,13 0,06	0,24 0,27		1 4 8	0,15 0,21	0,23 0,09	0,15 0,17
8	Ху.	4	5	6	23	У^Х	4	5	8
	2 3	0,06 0,12	0,18 0,13	0,24 0,27		3 5	0,13 0,24	0,14 0,08	0,19 0,22
9	X	I 2	'	4	5	24		6	9	12
	1 3	0,12 ' 0,18	> 0,13 0,06	0,24 0,27 1		5 9	0,23 0,17	0,07 0,20	0,15 0,18
10		1	3	4	25	W	5	8	10
	3 6	0,13 0,18	0,24 0,06	0,12 0,27		2 7	0,11 ! 0,20	0,21 0,09	0,14 0,25
11	У4^	1	3	4	26	iXi	4	7	9 ।
	з | 5	0,13 0,18	0,24 i 0,06 |	0,12 0,27		4 10	( 0,30 0,08'	0,12 - 0,12	0,10 0,28
345
Окончание табл. 7
Вдрлйнт	Числовые даикые				Вариант	Числовые данные			
12	X	3	5	6	27	X	2	6	9
	1 3	1 0,12 1 0,20	0,24 0,15	0,22 0,07		1 5 9	0,21 0,08	0,18 0,14	0,14 0,25 .
13	X	4	1	6	8	28	X	4	7	9
		 0,13 [ 0,20	0,08 0,16	0,12 0,31		' 2 7	0,09 0,17	0,15 0,23	0,16 i 0,20
14	X	3	4	7 ।	29	X	1	4	' 8
	W to	0,30 0,05	0,20 0,12	0,10 । 0,23		4 8 !	' 0,11 0,21	0,24 0,08 ,	0,17 0,19
15 i		4	6	8	30		4		14
	2 5	0,24 0,10	0,30 0,12	0,05 0,19		3 1 5 !	0,12 0,23	0,13 1 0,12 !	0,20 0,20
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
23.	ВЫБОРКА И ЕЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
23.1.	Распределение частот
Совокупность всех возможных объектов данного вида, над которыми
проводятся наблюдения, или совокупность всех возможных наблюде-
ний, проводимых в одинаковых условиях над некоторой случайной ве-
личиной, называется генеральной совокупностью. Генеральная сово-
купность может содержать конечное или бесконечное число элементов.
Отобранные из генеральной совокупности объекты (результаты на-
блюдений над конечным числом объектов из генеральной совокупности)
называютс я выборочной совокупностью или выборкой. Число элемен-
тов генеральной совокупности и число п элементов выборочной совокуп-
ности будем называть объемами генеральной и выборочной совокупнос-
ти соответственно (обычно N п).
Расположение выборочных наблюденных значений случайной вели-
чины в порядке неубывания называется ранжированием.
Значение случайной величины, соответствующее отдельной группе
сгруппированного ряда наблюдаемых данных, называется вариантой,
а изменение этого значения — варьированием.
Численность отдельной группы сгруппированного ряда наблюдаемых
данных называется частотой или весом, варианты. Если i — индекс ва-
рианты, то mt — число измеренных значений ой варианты.
Отношение к общей сумме частот всех вариант = п называется
относительной частотой варианты и обозначается р* = mjn.
Дискретным вариационным рядом распределения (распределением
частот) наг ывается ранжированная совокупность вариант х, с соответст-
вующими ям частотами или относительными частотами.
Если наблюдаемая случайная величина непрерывна или дискретная
величина такова, что число ее возможных значений велико, то для по-
строения вариационного ряда используют интервальный ряд распреде-
ления. В этом случае весь возможный интервал варьирования разбивают
на конечное число частичных интервалов и подсчитывают частоту по-
падания значений величины в каждый частичный интервал.
Интере альным вариационным рядом (интервальным распределе-
нием част ат ) называется упорядоченная последовательность интерва-
347
лов варьирования случайной величины с соответствующими частотами
или относительными частотами попаданий в каждый из них значений
случайной величины.
23	.1. В супермаркете проводились наблюдения над числом X
покупателей, обратившихся в кассу за один час. Наблюдения
в течение 30 часов (15 дней в период с 9 до 10 и с 10 до 11 часов)
дали следующие результаты:
70,	75, 100, 120, 75, 60, 100, 120, 70, 60, 65, 100, 65, 100,
70, 75,60,100,100,120,70,75,70,120,65,70,75, 70,100,100.
Число X является дискретной случайной величиной, а по-
лученные данные представляют собой выборку из п = 30 на-
блюдений. Требуется составить ряд распределения частот (ва-
риационный ряд).
Решение. Вначале составим ранжированный ряд:
60,	60, 60, 65. 65. 65, 70, 70, 70, 70. 70, 70, 70, 75, 75, 75, 75, 75, 100, 100,
100, 100, 100, 100, 100, 100, 120, 120, 120, 120.
Получено шесть групп, т.е. шесть различных значений случайной величины
(шесть вариант). Для каждой группы подсчитаем частоту значений варианты и
соответствующую относительную частоту. Все результаты укажем в табл. 23.1,
которая й будет представлять вариационный ряд.
Таблица 23.1
Номер группы	1	1	2	3	4	5	6
Число обращений покупателей в кассу	*i	60	65	70	75	100	120
Частота		3	3	7	5	8	4
Относительная частота	Pi	3/зо '	3/зо	7/зо	5/эо	8/ао	4/ /30
23.2.	В табл. 23.2 приведена выборка результатов измерения
роста 105 студентов (юношей). Измерения проводились с точ-
ностью до 1 см.
Таблица 23.2
155	170	185	180	188	152	173	178	178	168	185
173	170	183	175	173	170	183	175	180	175	193
178	183	180	197	178	181	187	168	174	179	184
183	178	180	178	163	166	178	175	182	190	167
170	178 ।	183	170	178	181	173	168	185	| 175	170
155	169	186	179	189	155	174	179	179	169	186 '
174	171	184 :	175	193	178	184	, 180	196	. 175	181
188	168	179	178	183	184	178	181	177	163	166
178	175	183	190 1	167 !	170 ’	178	183	170	178	182 1
173	168	186	176	171	! 188					
Требуется составить интервальный вариационный ряд.
348
Решеяие. Очевидно, что рост юношей есть случайная непрерывная величи-
на. Найдем сначала минимальное и максимальное значения случайной величи-
ны; xmin 1!*2 см, xJnax - 196 см. Тогда интервал варьирования 1?<«раэмак») будет
равен Я = х 11Д, - xmi_ = 44 см.
На практике обычно считают, что правильно составленный ряд распределе-
ния содержит от 6 до 15 частичных интервалов, однако фактическое число час-
тичных интервалов и, соответственно, размер интервала определяются условия-
ми конкретной задачи.
В нашем случае удобно выбрать длину частичного интервала равной 5 см, тогда
число частичных интервалов, начиная со 150 см и кончая 200 см, будет равно 10.
Соответствующий интервальный вариационный ряд приведен в табл. 23.3.
Таблица 23.3
Индекс интервала i		Рост студентов (интервалы) х^	-^1+1	Частота	Относительная частота Р*
1		150—155	4	0,0381
2		155—160	—	—
3		160—165	2	0,0190
4		165—170	19	0,1810
5		170—175	19	0,1810
6		175—180	26	0,2476
7		180—185	21	;	о,2ооо
8		185—190	10	;	0,0953
9		190—195	2	!	0,0190
10		195—200	2	:	0,0190
23.3.	В ходе проведения эксперимента получен следующий
набор данвых:
32, 26, : 6, 44, 28, 40, 30, 31, 17, 30, 37, 32, 42, 31, 36, 49,
35, 21, 25, 40, 27, 25, 33, 34, 27, 43, 19, 23, 36, 48, 31, 35, 43,
32, 26, 35, 33, 45, 19, 22, 28, 49, 23, 32, 33, 27, 43, 35, 23, 44.
Составить интервальный вариационный ряд, выбрав число
частичных интервалов, равное 7.
23.4.	Наблюдается число выигрышей в мгновенной лотерее.
В результате наблюдения получены следующие значения вы-
игрышей (тыс. руб.):
0, 1, 0, 0, 5, 0, 10, 0, 1, 0, 0, 1, 5, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0,
0, 5, 0, 5, 0, 0, 1, 1, 1, 5, 10, 0, 1, 1, 0, 5, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0,
5, 0, 0, 0, 0, 1, 0.
Составит ь вариационный ряд случайной величины X — вы-
игрыша в мгновенной лотерее.
349
23.5.	В городе А для определения сроков гарантийного об-
служивания проведено исследование величины среднего про-
бега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение
двух лет с момента продажи автомобиля магазином. Получен
следующий результат (тыс. км):
3,0; 25,0; 18,6; 12,1; 10,6; 18,0; 17,3; 29,1; 20,0; 18,3; 21,5;
26,7; 12,2; 14,4; 7,3; 9,1; 2,9; 5,4; 40,1; 16,8; 11,2; 9,9; 25,3;
4,2; 29,6.
Составить интервальный вариационный ряд.
23.2. Эмпирическая функция распределения
Выборочной (эмпирической ) функцией распределения называется
функция задающая для каждого значения х относительную час-
тоту события X < х. Следовательно, по определению F*(x) = тх/п, где
пгх — число выборочных значений величины X, меньших х, ап — объем
выборки.
Выборочную функцию распределения можно задать таблично или
графически. Построим выборочную функцию распределения по данным
табл. 23.1.
Объем выборки по условию примера п = 30. Наименьшая варианта
равна 60, значит, т.х = 0 при х < 60. Тогда Г*(х) « 0/30 = 0 при х < 60.
Если 65 < х < 70, то неравенство X < х выполняется для вариант xt _ 60
и - 65, а эти варианты встречаются по 3 раза, поэтому тх = 6 и
Е*(х) = 6/30 и т.д. Результат вычисления F*(x) для всего множества зна-
чений вариант дискретной случайной величины приведен в табл. 23.4.
Таблица 23.4
	Р*(х) (для задачи 23.1}
х£60	0
60 < X 65	;	Pi ~ э/эо
65 < х < 70	Pi + Рг = 6/ао
70 < х < 75 !	Р1 ^2 + Pg = зо
j 75 < х С 100	: Р1 + р2 + Рз + р4 = 18/з0
100 <х< 120	Р1 "+ ₽2 + Рз + ^4 + Рй = 26/з0
х >Д20	Р1 + Рг + Рз + Р4 + Рб + Ре = 30/30 = 1
350
График агой функции приведен на рис. 23.1.
В данном примере функция Г*(х) есть выборочная функция распре-
деления дискретной случайной величины и построена она по дискрет-
ному вариационному ряду.
Если случайная величина непрерывная и ее выборочные значения
представлены в виде интервального вариационного ряда, то выбороч-
ную функци ю распределения строят иначе. Рассмотрим для этого ва-
риационный1 ряд из задачи 23.2 (см* табл. 23.3). Очевидно, что для
х е 150] функция ^(х) — 0, так как тх ~ О.
Используя результаты расчетов, представленные в табл. 23.3, под-
считаем на концах интервалов значения функции Р*(х) в виде «нарас-
тающей отно зительной частоты» (табл. 23.5).
Таблица 23.5
Индекс интервала £	F*(x)
1	0,0381
2	0,0381
3	0,0571	:
4	0,2381
' 5	0,4197
6	0,6667
7	0,8667
8	0,9620
9-	0,9810
10	1,0000
351
Очевидно, что табличные значения не полностью определяют выбо-
рочную функцию распределения непрерывной случайной величины» по-
этому при графическом изображении такой функции ее доопределяют,
соединив точки графика, соответствующие концам интервала, отрезка-
ми прямой (рис. 23.2).
23.6.	На фирме работает 39 человек. Проведено исследова-
ние числа рабочих дней, пропущенных каждым работником
фирмы в течение месяца. Результаты этого исследования та-
ковы:
О, 1, 3, О, 2, 3, 5, 7, 3, 5, 2, 10 ,7, 5, 0, 2, б* 10, 5, 3, 1, 9,
15, 10, 1, 0, 2, 3, 5, 7, 7, 6, 5, 3, 0, 7, 10, 13, 0.
Составить интервальный вариационный ряд. Построить
функцию распределения случайной величины числа пропу-
щенных рабочих дней.
23.7.	Найти эмпирическую функцию распределения по дан-
ным вариационным рядам:
1	1 i	3	7		12
	2	10	4 '	24	10
	-2	0	5	i 8	14
	3	Г 17	1 28	22	10
352
23.8- Найти эмпирическую функцию распределения по дан-
ным интервальным вариационным рядам:
а)
£	1	2	3	4	5	6	7	8	9	.
JC; < X < Х/ + 1 ।	0—2	2—4	4—6,	6—8	'8—10	10—12	12—14	14—16	16—18
ЯГ11	6	4	’ 2	18	29	11	10	17	з 1
б)
1	1	2	з 1	1	4	5	6	7	8	1
Xj < X С Xf+ ;	11—14	14—17	17—20	20—23	23—26	26—29	29—32	32—35
	16	24	30	7	8	6	5	4
23.3. Полигон и гистограмма
Наблюденные данные, представленные в виде вариационного ряда,
*жно изобразить графически.
Полисов. Если вариационный ряд дискретной случайной вели-
ЧЭаны

xt	Xi	*2	x3	 . .	
				’ . .	
Ьедставитf графически в виде ломаной линии, связывающей на плос-
'Ярсти точк! с координатами (х(, т.^), то такой график называют полиго-
или многоугольником распределения. Можно также построить по*
Цйтои, где точками являются пары чисел (хр р*).
, 23.9. Выборка дана в виде распределения частот:
	2	5	7	8	11	13
	10	9	21	25	30	5
Найти j аспределение относительных частот и построить по-
лигон относительных частот.
Сборник зада^ \ по высшей математике
353
Решение. Оценим объем выборки:	= 100. Тогда вариационный ряд
i-i
можно записать в виде
*i	2	5	7	8	11	13 1
р*	0,10	0,09	0,21	0,25	0,30	0,05
На рис. 23-3 приведен полигон относительных частот.
Заметим, что полигон, построенный по дискретному вариационному
ряду, является выборочным аналогом многоугольника распределения
дискретной случайной величины.
Гистограмма. Интервальный вариационный ряд графически
изображают с помощью гистограммы. Для ее построения в прямоуголь-
ной системе координат на оси х откладывают отрезки частичных интер-
валов варьирования и на этих отрезках как на основаниях строят пря-
моугольники с высотами, равными частотам или относительным часто-
там соответствующих интервалов.
Если относительную частоту разделить на длину каждого интервала,
то полученная величина будет представлять собой выборочную оценку
плотности вероятности:
/*(*,) = рГ /д(.
354
23.10.1 выборка задана интервальным вариационным рядом
i	jd j -X"	1	"Ъ
1	1 — 5	10
2	5—9	20
. 3	9—13	50
4	13—17	12	:
б	17—21	8
Построить гистограмму выборочной оценки плотности ве-
роятности.
Решение. Длина каждого интервала равна Л " 4. Объем выборки п *= 100.
Подсчитаем значения л^ДЛп):
хг<Х	С Xi+j	1—5	5—9	9—13	;	13—17	17—21
	in)	25  10"3	50  IO’3	125 - ИГ3 !	30  10“3	20  10~3
На рис. 23.4 представлена гистограмма данного распределения.
Графическое изображение вариационных рядов в виде полигона и
гистограммы гл >зволяет получить первоначальное представление о зако-
номерностях» имеющих место в совокупности наблюдений.
355
23.11.	Построить полигон относительных частот по данным
вариационным рядам (п = 110);
xj.	1	4	5.	7	9
-  - 1 /п*	10	25	45	20	10
*4	' -1 :	0	- -	3	5
	15 :	5	25	55	10
	2 !	3	6	7	10	12
ТО;	а :	10	32	45	13	2
Xi ;	3	5	8	9	11	12
т;	2 :	26	42	35	4	1
23.12.	Построить гистограмму относительных частот по дан-
ным распределениям выборки объема п = 100:
i	Xi < X < хЕ+1	
1	3—5	20
2	5—7	25
3	7—9	15
4	9—11	is
5	11 — 13	12
6	13—15	8
7	15—17	7
6)
i	< X С	
1	1 bi 1 ; го	5
2	<© 1 сч	25
3	6—10	40
4	10—14	12
5	14—16	18
i	<Х С xi+i	fjrt i	1
1	60—65	30
2	65—70	20
3	70—75	;	25
4	75—80	25
356
24.	СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ
24.1.	Тачечные оценки.
Выборочная средняя и выборочная дисперсия !
Оценки параметров генеральной совокупности, полученные на осно-
вании выбо жи, называются статистическими. Если статистическая
оценка характеризуется одним числом, она называется точечной. К чис-
лу таких оценок относятся выборочная средняя и выборочная диспер-
сия.
Выборочная средняя определяется как среднее арифметическое по-
лученных ш выборке значений:
« = 1
где — вар] анта выборки;
nt — частота варианты;
п — объем выборки.
Замечание. Выборочная средняя будет также обозначаться и без
нижнего индекса: х .
Выборочно я дисперсия представляет собой среднюю арифметическую
квадратов отклонений вариант от их выборочной средней:
I	/г.
dB = X ~ * *2/Л‘
i = l
Для расчетов может быть использована также формула
= X2 - (XS)Z,
где х2 — выборочная средняя квадратов вариант выборки.
Статистическая оценка является случайной величиной и меняется в
зависимости от выборки. Если математическое ожидание статистиче-
ской оценки pfiBHo оцениваемому параметру генеральной совокупности,
то такая оценка называется несмещенной, если не равно — то смещен-
ной.
Выборочная средняя является оценкой математического ожидания
случайной величины и представляет собой несмещенную оценку. Выбо-
рочная дисперс ия оценивает дисперсию генеральной совокупности и яв-
ляется смещенной оценкой.
Для устранения смещенности выборочной дисперсии ее умножают на
величину п/(п - 1) и получают
Величину s2 называют несмещенной или «исправленной» выборочной
дисперсией.
357
В некоторых случаях для удобства расчетов при определении ста-
тистических оценок переходят к условным вариантам. Например, если
варианты х, — большие числа, то используют разности
;	= х( - С,
где С — произвольно выбранное число (ложный нуль), такое, при кото-
ром условные варианты принимают небольшие значения.
В этом случае
_	fe	_
= С 4-	4в=х3-(хвЯ
/ -1
Для изменения значения варианты можно ввести также условные ва-
рианты путем использования масштабного множителя:
U} = Схь
где С ~ 10* (Ь выбирается положительным или отрицательным целым
числом).
24.1.	Из генеральной совокупности
	1	3	7	12
n-i	8	16	6	10
найти выборочную среднюю.
24.2.	Из генеральной совокупности извлечена выборка
	-8	-2	1	5
	13	11	14	12
Найти выборочную среднюю.
24.3.	Найти выборочную среднюю по данному распределе-
нию выборки:	__________________
	1450	1480	1490
ni	3	б	2
Решение. Так как выборочные значения — большие числа, то целесообразно
ввести условные варианты. В качестве ложного нуля выбираем С - 1470 и рас-
считываем по формуле и, == х, — 1470:
“i	-20	; io	20
	3	5	2
Определяем выборочную среднюю: и “ 3.
После этого находим хв = 1470 + 3 ~ 1473.
358
24,4.	Найти выборочную среднюю по данному распределе-
нию выбооки:
а)
: xi	3140 '	3150	3180
	12	6	12 ;
б)
	2430	: 2460	2500
	24	14	12
24.5.	Найти несмещенную оценку дисперсии случайной ве-
личины X
на основании данного распределения выборки:
	 2	7	9	10
	: 8	14	10	18
Решение.
Находим выборочную среднюю
X = 8 • 2 + 14.'7+ 10'9*18'10 = 7 68
50
Для вычис: :ения выборочной дисперсии используем формулу — х2 -	)2:
Р = 8'4 + 14'49 + 10'81 + 18'100 = 66 56
50	”	’ ’
dfi = 66,56 - 7,68й = 7,58.
Находим несмещенную оценку дисперсии (<исправленную» выборочную дис-
персию):	.
в2----5-. dB = 50  7,58/49 = 7,73.
Л 1
24.6.	Найти несмещенную оценку дисперсии случайной ве-
личины X на основании данного распределения выборки:
: xt	i	: 5	6	8
ni	в ,	4	7	3
24,7.	Найти выборочную дисперсию по данному распреде-
лению выборки:
' X‘	0,02	0,05	0,08
' ni	3	Й i	5
Решение. В : цлях упрощения расчетов целесообразно перейти к условным
вариантам u, — It Ох,:
	2 .	5	8
	3	2	5
359
Найдем выборочную дисперсию условных вариант:
з
<*»« = £ n(uf /п -
1=1
3  4 + 2 - 25 + 5 - 64 _ /3  2 + 2 - 5 + 5  8>2
10	I 10	/
Выборочная дисперсия данного распределения вариант находится на осно-
ве выражения
d„ ” <Ъи /10°2 ~ 6,84/ ЮО2 ~ 7  10"4.
24.8.	Найти выборочную дисперсию по данному распреде-
лению выборки:
*1	0,002	0,005 '	0,006
	9	6 :	: 5
24.9.	Выручка в магазине от продажи обуви составила соот-
ветственно по месяцам следующие значения (млн. руб.):
; Месяц	1	2	3	4	5	6	7	3	9	10	11	12
Р	0,2	0,5	0,4	0,2	0,4	о,5 ;	: о,2	0,2	0,4	0,5	0,4	0,2 .
Найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию.
24.2.	Метод моментов
При заданном виде закона распределения случайной величины X не-
известные параметры этого распределения можно оценить, т.е. выразить
как функцию вариант выборки, на основе метода моментов.
Этот метод состоит в том, что приравниваются соответствующие теоре-
тические и эмпирические моменты и из полученных уравнений находятся
оценки параметров. В случае одного параметра в теоретическом распре-
делении для его оценки достаточно составить одно уравнение. Если име-
ются два параметра в теоретическом распределении, то нужно приравнять
соответственно два теоретических и эмпирических момента и т.д.
Для оценки двух параметров закона распределения запишем следу-
ющие равенства:
vj = Mlf ц2 = m2,
где Vj — начальный момент первого порядка закона распределения слу-
чайной величины;
М1 — эмпирический момент первого порядка;
р2 ~ центральный момент второго порядка закона распределения
случайной величины;
т2 — центральный эмпирический момент второго порядка.
360
Так как vL =	— математическое ожидание случайной величины X,
= Dx — дисперсия величины X, aMj = хя, m2 = dB, то получаем два
уравнения:
= хв, Dx = dB.
24. ГО. 4а предприятии изготавливается определенный вид
продукции. Ежемесячный объем выпуска этой продукции яв-
ляется случайной величиной, для характеристики которой
принят показательный закон распределения
f(x) =	(х > О).
В течение шести месяцев проводился замер объемов выпу-
ска продукции, получены следующие данные:
Me ^яц	1	2	3	4	5 1	6
Об^ем выпуска	20	24	25	28	27	32
Найти оценку параметра к.
Р е ш е н и !, Так как закон распределения содержит лишь один параметр X, то
для его оценки требуется составить одно уравнение.
Находим выборочную среднюю:
хв - (20 + 24 + 25 + 28 + 27 + 32)/6 = 26.
Определяем математическое ожидание:
'	Мх = J x/(x)dx xe_^*dx-
е	о
ИнтегриЕ уя но частям, получаем
мх -1Д,
откуда
1А = *в .	(24.1)
Равенство (24.1) является приближенным, так как правая часть его является
случайной величиной. Таким образом, ив уравнения (24.1) получается не точное
значение К, ii его оценка V:
1/X* - хв .
Итак, 1/?.* = 26, откуда X* — */2в-
24.11.	При условии показательного распределения случай-
ной величины X
[ Хе-Хлг, если х > 0,
I 0, если х < 0
361
произведена выборка
Xj	4	3	10	12	15
	3	3	6	4	4
Найти оценку параметра X.
24.12.	Случайная величинах задана функцией распределения
F(x) = 1 -	(х > О).
Произведена выборка
xi !	3	5	б	8	10
	2	3	5	10	10
Найти оценку параметра X.
24.13.	При условии равномерного распределения случайной
величины X
К*) =
——, если хе (в, Ь),
Ь-а
о, если х £ (а, Ъ)
произведена выборка
х(	2	3	4	5	6
n.i	4	6	5	12	8
Найти оценку параметров а и Ь.
24.14. При условии равномерного распределения случайной
величины X произведена выборка
	3	5	7	9	11	13	15	, 17	19	21
ni	21	16	15	26	22	14	21	22	18	25
Найти оценку параметров а и Ь.
24.15. Случайная величина подчиняется нормальному зако-
ну распределения
/(х) = -Л - е-(х-а)2/(2оа) .
Известно, что ст =	, а = Мх.
Произведена выборка
' Xj	' 3	i 5	7	9	11	13	15
	6	9	16	25	20	16	8
Найти оценку параметра а и несмещенную оценку пара-
метра ст.
362
24.3. Метод наибольшего правдоподобия
Метод наибольшего правдоподобия, применяемый для определения
точечной сценки, опирается на использование условий экстремума
функции одной или нескольких случайных величин. В качестве такой
функции принимают функцию правдоподобия.
Для ди екретной случайной величины функция правдоподобия
принимает вид
L = р(хг, Q)p(xz, в)  р(хп, 0),
где х1; х2, ..., х„ — варианты выборки;
S в ~ параметр, для которого находится оценка;
р[хг, 0) — вероятность события X = х(, зависящая от параметра 0.
Так как функции L и In L достигают максимума при одном и том же
значении f I, то обычно точки экстремума находятся для In L. Для этого
определяемся производная
d In L
"d“fF
и приравнивается к нулю. На основа-
нии достаточного условия (вторая производная должна быть отрицатель-
на) можно убедиться, что полученная точка является точкой максимума.
Для непрерывных случайных величин функция правдоподо-
бия выбивается в виде
L =	0)Дх2, 6) •" Дх„, 6),
где /(х;, 0' — заданная функция плотности вероятности в точках х(.
Чаще гсего метод наибольшего правдоподобия используется при би-
номиальном, пуассоновском и показательном распределениях случай-
ной величины.
В случае биномиального распределения
I	РДт)= С?р*(1-Ру-\
где Рг(т) — вероятность появления ровно т. раз события А (случайной
величины) в г испытаниях;
р — вероятность появления события А в одном испытании.
Величина р может рассматриваться как параметр.
Если проводится п опытов по г испытаний в каждом и фиксируется
число появлений события (величины) в каждом испытании хг, то при
подстановке этого значения в формулу биномиального распределения
получаем
РДх/,р) = С^(1-р)г"х'.
Тогда функция правдоподобия примет вид
ь = Р&и р)Рг&2> Р) " РЛ*П. Р>’
После логарифмирования и приравнивания к нулю производной
от In L получаем выражение для оценки
п
Р* ~ jTxtKnr).
а=1
363
Если значения х^ встречаются разуто оценка параметра р прини-
мает вид
*
Р* = ^Xini/<nr)'
j-1
где п = rtj + п2 +- ... + zi* — число опытов по г испытаний в каждом.
В случае пуассоновского распределения
Л4>»> " £
171!
и подстановки вариант выборки получаем
Рг(хг. X) = е-х.
*г
Составив функцию правдоподобия L, дифференцируя In L и прирав-
нивая его производную к нулю, находим оценку параметра А. в виде
х* =	- **
/=1
или
*
i=i
В случае показательного распределения
Дх) =>= Хе”*-* (х > 0)
функция правдоподобия для выборочных значений xlt х2,., хл примет вид
н
. £ = Xe-Xxi Хе~Лх2 - Хе^х" = X«e
После преобразований получаем выражение для оценки параметра X:
( я. Л
<1-1	/
1/хв.
24.16.	Случайная величина X распределена по биномиаль-
ному закону. Статистическое распределение выборки пред-
ставлено в таблице:
Xi	0	1	2	; 3 '	4	5	.8	7
	2	з	10	22 ।	26	20	12	5
Найти точечную оценку параметра р указанного закона рас-
пределения случайной величины (г = 10).
364
24.17.	Случайная величина X распределена по закону Пу-
ассона с неизвестным параметром X. Статистическое распреде-
ление выборки представлено в таблице:
	0	1	2	3	4	5	! 6	
n-i	199	169	87	31	9	3	1	1
Найти точечную оценку параметра X.
24.18.	С лучайная величина X распределена по показатель-
ному закону. Статистическое распределение выборки пред-
ставлено в таблице:
1 - • J	5	15	25	35	45	55	65 :
	365	245	: 150	100	70	45	25
Найти точечную оценку параметра X.
24.19.	Стеклянные однородные изделия отправлены для ре-
ализации и з Москвы в Новосибирск в 1000 контейнерах. После
поступления товара было выявлено количество разбитых из-
делий в каждом контейнере. Результаты представлены в таб-
лице:
	0	1	2	3	4
	785	163	32	16	4
Считая, что число разбитых изделий описывается законом
Пуассона, гайти точечную оценку параметра X.
24.4. Интервальные оценки
Если статистическая оценка параметров закона распределения слу-
чайной велич 1ны X характеризуется двумя числами — концами интер-
вала, то такая оценка называется интервальной.
Интервал, в который попадает оцениваемый параметр с заданной
надежностью 'вероятностью), называется доверительным. Доверитель-
ный интервал применяется в случае сравнительно небольшого объема
выборки, когда предполагается, что надежность точечной оценки может
быть невысокой.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания
случайной величины X с заданной надежностью у в случае нормального
закона распределения определяется на основе неравенств
в - zcx/ Jn < Мх < хв + я о*/ Jn ,
365
где г — значение аргумента функции Лапласа, получаемое из .таблиц
{см. Приложение 2), с учетом того, что Ф(г) = у/2;
— известное среднее квадратичное отклонение или его оценка;
п — объем выборки.
Доверительный интервал для оценки среднего квадратичного откло-
нения случайной величины X с надежностью у для нормального закона
распределения случайной величины находится Из неравенств
s > „ s
1+5 х 1 — q	. •
где s — несмещенное значение выборочного среднего квадратичного от-
клонения;
q — параметр, который находится по таблице (см. Приложение 3) на
основе известного значения объема выборки п и заданной
надежности оценки у.
24.20.	Найти доверительный интервал с надежностью 0,95
для оценки математического ожидания нормально распреде-
ленной случайной величины X, если известны ее среднее квад-
ратичное отклонение — 4, выборочная средняя хв = 16 и
объем выборки п— 16.
Решение. По надежности у ” 0,95 из соотношения Ф(г) = у/2 находим зна-
чение функции Лапласа: Ф(г) = 0,475.
По таблице значений функции Лапласа (см. Приложение 2} находим z °* 1,96.
Используя неравенства для интервальной оценки математического ожидания,
получаем
16 - 1,96- 4/4 < Мх < 16 + 1,96 '4/4,	-
или	'
14,04 < Мх < 17,96.
24.21.	Найти доверительный интервал с надежностью 0,8
для оценки математического ожидания нормально распреде-
ленной случайной величины X со средним квадратичным от-
клонением = 5, выборочной средней хв = 20 и объемом вы-
борки ге = 25.
24.22.	На овцеводческой ферме из стада произведена выбор-
ка для взвешивания 36 овец. Их средний вес оказался равным
50 кг. Предположив распределение веса нормальным и опре-
делив несмещенную оценку выборочной дисперсии я2 = 16,
найти доверительный интервал для оценки математического
ожидания с надежностью а) 0,8; 6)0,9; в) 0,95.
366
24.23.	Из генеральной совокупности извлечена выборка объ-
емом п = 16 и найдена выборочная средняя, равная 30. Полу-
чено также несмещенное значение выборочной дисперсии
s2 = 9. Предположив распределение случайной величины X
нормальным, найти доверительный интервал для оценки ма-
тематического ожидания с надежностью а) 0,8 и б) 0,9.
24.24.	По данным выборки объема п - 25 найдено несме-
щенное значение выборочного среднего квадратичного откло-
нения s = 3 нормально распределенной случайной величины X.
Найти с надежностью 0,99 доверительный интервал для оцен-
ки среднего квадратичного отклонения случайной величины.
Решение. На основании данных значений у = 0,99, п = 25 по таблице
(см. Приложена е 3) находим значение q ~ 0,49. Подставляем в неравенства
------< о, <----—— .
1 + 0,49	1	1-0,49
откуда
2,01 <	< 9,88.
24.25.	По данным выборки объема п — 20 найдено несме-
щенное значение выборочного среднего квадратичного откло-
нения 8 = 2 нормально распределенной случайной величины X.
Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для оцен-
ки среднего квадратичного отклонения случайной величины.
24.26.	В нескольких мелких магазинах проведена проверка
качества 100 изделий, после чего осуществлена обработка по-
лученных даъных. В результате получено несмещенное значе-
ние выборочЕюго среднего квадратичного отклонения s = 4.
Считая распределение качественных изделий нормальным,
найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для оцен-
ки среднего квадратичного отклонения.
24.27,	Случайная величинах распределена по нормальному
закону. Статистическое распределение выборки представлено
в таблице ,
Х1	3	5	;	7 •	8	10	12	14
	3	7	4	б	7	5	8
Найти с надежностью 0,97 доверительный интервал для
оценки математического ожидания и с надежностью 0,95 —
для оценки среднего квадратичного отклонения.
367
24.28.	Случайная величина X распределена по нормальному
закону. Статистическое распределение выборки представлено
в таблице:
	1	1 3	5	7	9
	2	5	4	6	3
Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для
оценки математического ожидания и с надежностью 0,99 —
для оценки среднего квадратичного отклонения.
25. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
25.1.	Основные понятия
Если принятое решение о законе распределения генеральной сово-
купности или о числовых значениях его параметров проверяется по вы-
борочным данным, то говорят о проверке статистических гипотез. Про-
верке подвергается гипотеза об отсутствии разности между принятым и
найденным по выборке значениями исследуемого параметра. Такую ги-
потезу называют нулевой. Противоположную ей гипотезу называют аль-
тернативной.
Схема проверки нулевой гипотезы;
1,	Рассматривая выборочные данные х2т хп и учитывая конк-
ретные условия задачи, принимают Но — нулевую гипотезу и Н\ — аль-
тернативную гипотезу, конкурирующую с Но.
2.	Так как решение о справедливости гипотезы Но принимается на
основе выборочных данных, могут возникать ошибки двух родов:
• гипотеза Но отвергается, а на самом деле она верна — это ошибка
первого рода; вероятность ошибки первого рода равна уровню значимос-
ти а, т.е. а -
 гипотеза	принимается, а на самом деле она неверна — это ошибка
второго рода; вероятность ошибки второго рода равна (3, т.е. |3 ~ РИ^ (Но).
Соответственно, вероятность принять верную гипотезу равна
(Но) = 1 - а, а вероятность отвергнуть неверную гипотезу Но равна
Р„_ (И,) - I - ₽.
3.	Используя выборочные данные, вводят статистический критерий —
некоторую функцию К, зависящую от условий решаемой статистической
368
задачи. Эти пункции, являясь случайными величинами, подчинены не-
которому известному, ^табулированному закону распределения ({-рас-
пределение, ).2-распределение или нормальное распределение).
4.	В зависимости от принятого уровня значимости из области допус-
тимых значений функции критерия К выделяют критическую область со.
Далее руководствуются следующим правилом: если вычисленное по вы-
борке значен ie критерия К попадает в критическую область, то Но от-
вергается и п ринимается гипотеза Н1( При этом возможно, что Но спра-
ведлива и, следовательно, совершена ошибка первого рода, вероятность
которой ot, T.i;, Р(К G со) = а.
Возможна: три варианта распо-
ложения критической области:
правосторонняя крити-
ческая область (рис. 25.1, а), со-
стоящая из интервала (k£p , °°),
где feJJp определяется из условия
Р(Х > ft«p ) - а;
левосторонняя критиче-
ская область (рис. 25.1, б), со-
стоящая из интервала (-°0, Л£р),
где й"р определяется из условия
Р(Х<^р)=Л;
д в у с т о р о н в я я критиче-
ская область (рис. 25.1, в), состоя-
щая из интервалов (—°0, fe£p) и
(Л“р , 00), где точки А£р и fe“p опре-
деляются из условий Р(К < fe£p ) =
= а/2 и Р(К > k£p ) = а/2.
5.	По выборочным данным
находят числ е вое значение крите-
рия (Аг). Если kr попадает в крити-
ческую област ь со, то гипотеза Но
отвергается и принимается альтер-
нативная гипотеза -Нд. Если kr не
попадает в кри гическую область, то
гипотеза HQ nj инимается.
При проверке статистических
гипотез учитываются конкретные
условия рассм атриваемой задачи.
Рис. 25.1
369
25.2.	Сравнение выборочной средней
с математическим ожиданием
На практике часто требуется оценить, соответствуют Ли действитель-
ности рекламные данные о параметрах того или иного товара. В этом
случае возникает задача сравнения выборочной средней с анонсируемым
значением этого параметра.
25.1.	Фирма-поставщик в рекламном буклете утверждает,
что средний срок безотказной работы предлагаемого изделия
2900 ч. Для выборки из 50 изделий средний срок безотказной
работы оказался равным 2720 ч при выборочном среднем квад-
ратичном отклонении 700 ч. При 5% -м уровне значимости про-
верить гипотезу о том, что значение 2900 ч является математи-
ческим ожиданием.
Решение. Предположим, что случайная величина срока безотказной работы
подчинена нормальному закону распределения. Требуется проверить гипотезу о
числовом значении математического ожидания нормально рас пределен ной ве-
личины (генеральной средней) при неизвестной генеральной дисперсии. В этом
случае в качестве критерия выбирают функцию
у = Г
s/7n -1 ’
где X — выборочная средняя, — математическое ожидание, S — выборочное
среднее квадратичное отклонение. Случайная величина Г имеет ( распределение
(распределение Стьюдента) с I = п - 1 степенями свободы. В данной задаче речь
идет о сравнении выборочной средней 2720 ч с гипотетическим математическим
ожиданием а0 = 2900 ч, при этом выборочное среднее квадратичное отклонение
равно 700 ч.
Требуется найти критическую область для нулевой гипотезы Но; а0= 2900
при альтернативной гипотезе а0 < 2900. Очевидно, что другие альтернатив-
ные гипотезы (а0 > 2900 и а0 * 2900) нецелесообразны, так как потребитель обыч-
но обеспокоен лишь тем, что срок службы изделия может оказаться меньше га-
рантируемого поставщиком.
Критическая область левосторонняя; t* находим из условия Р(Т < t£p ) = а.
При а — 0,05 и L = 50 - 1 = 49 в таблице (-распределения (см. Приложение 6),
используя линейную интерполяцию, находим (*р	-1,677. Таким обра-
зом, критическая область <о —	-1,677). Рассчитаем (г, полагая о.ф а0 :
f = 2720-2900 _ -180 _ я
700/./50-1	100
Значение -1,8 попадает в критическую область, поэтому нулевая гипотеза
должна быть отвергнута. Следовательно, фирма в рекламе завышает срок безот-
казной работы изделия.
370
25.2.	Составлена случайная выборка из 64 покупателей, ко-
торые интересовались товаром А. Из них товар А купили
16 человек. Поставщик утверждает, что данный товар должен
привлечь т зеть покупателей, а среднее квадратичное отклоне-
ние равно одному человеку. Проверить нулевую гипотезу
при 5%-м уровне значимости.
Решение. Предположим, что число покупателей, приобретающих товар А,
есть случайна;: величина, подчиненная нормальному закону распределения. Ги-
потетическая генеральная средняя при этом составит 21 человек (64 • 1/3>- Будем
считать, что С'х - 1. Таким образом, речь идет о проверке гипотезы о числовом
значении мат* магического ожидания нормального распределения при известной
дисперсии, т.е. о сравнении гипотетической генеральной средней 21с выбороч-
ной средней 1Б при известном среднем квадратичном отклонении ах.
Нулевая гипотеза в этой задаче имеет вид	— 21, а альтернативная, на-
пример, <:0	21. Возможны и другие альтернативные гипотезы, например
H-l'. а0 < 21 или //р а0 > 21. Уровень значимости задан: а = 0,05.
В качество критерия в этом случае рассматриваете9 функция
Функция Z подчинена нормальному закону распределения Л7(0, 1). Критиче-
ская область будет двусторонней, ее образуют интервалы {— оо, zj?p ) и (z£p , °°),
определяемы? из условий P{Z < z£p ) = а/2 и P(Z > z£p ) = а/2.
Если а = 0,05, то а/2 -* 0,025. Это вероятность попадания случайной вели-
чины Z в ле! «стороннюю или правостороннюю области. В этом случае вероят-
ность непопадания случайной величины Z в правостороннюю критическую об-
ласть (1 — а/2) можно представить следующим образом;
Р(- » < Z <	« Р(-ос < Z < 0) + Р(0 < Z < z£ ) - 1 - «/2.
Так как Р(—оо < Z < О) •*= 0,5, а Р(0 < Z <* z”p ) = Ф( ) — функция Лапласа
в точке zjp , то Ф(г^р ) = 1 - а/2 - 0,5 = 0,475. На основании таблицы значений
функции Лапласа (см. Приложение 2) находим z£p = 1,96. Точка z£p располо-
жена симметрично и равна —1,96. Следовательно, критическая область состоит
из интервалов (—оо; —1,96) и (1,96; со). Рассчитаем zrt
Значение zr попадает в критическую область, поэтому гипотеза /Го: ** 21
отвергается.
25.3.	Средний диаметр подшипников должен составлять
35 мм. Однако для выборки из 82 подшипников он составил
35,3 мм при выборочном среднем квадратичном отклонении
0,1мм. 'Три 5%-м уровне значимости проверить гипотезу
371
о том, что станок, на котором изготавливают подшипники,
не требует подналадки.
25.4.	Поставщик удобрений утверждает, что применение но-
вой партии удобрений обеспечивает урожайность пшеницы в
60 ц/га. Удобрения внесли на площади в 37 га и получили уро-
жай 55 ц/га при выборочном среднем квадратичном отклоне-
нии 3 ц/га. При 5% -м уровне значимости оценить справедли-
вость утверждения поставщика.
25.5.	Среднесуточная продажа хлеба в течение многих лет
для данного магазина составляла 6 т при среднем квадратич-
ном отклонении 0,05 т. Сегодня магазином было продано 7 т
хлеба. Можно ли при 5%-м уровне значимости предполагать,
что и завтра будет продано 7 т хлеба?
25.6.	Фирма — изготовитель женских украшений, выпус-
тив новый товар, утверждает, что 40% покупателей купят
эти украшения. В ходе 10-дневной рекламной распродажи в
среднем приобрели украшения 29,5% покупателей, выбороч-
ное среднее квадратичное отклонение составило 16,5% . При
5% -м уровне значимости оценить утверждение изготовителя
товара.
Решен» е. Проверим нулевую гипотезу Яо: а0 40% и альтернативную Нр
< 40%. Предположим, что случайная величина X — число покупателей —
имеет нормальный закон распределения. В данной задаче требуется проверить
гипотезу о числовом значении математического ожидания нормального распре-
деления при неизвестной дисперсии. Критерий имеет вид
у-
Для заданного уровня значимости а ~ 0,05 найдем левостороннюю крити-
ческую область с учетом того, что / =10-1=9 степеней свободы (см. Прило-
жение 6). Критическая область ш есть интервал (-со; -1,833), Вычислим tr:
f = 29,5-40 .. _1909
16.5/79
Число -1,909 понадает в критическую область. Таким образом, нулевая ги-
потеза отвергается.
25.7.	Поставщик двигателей утверждает, что средний срок
их службы равен 800 ч. Для выборки из 17 двигателей средний
срок службы оказался равным 865 ч при выборочном среднем
квадратичном отклонении 120 ч. Проверить нулевую гипотезу
при уровне значимости: а) 5% ; б) 1% .
372
25.8.	По результатам 10 замеров установлено, что среднее
время обслуживания мастером клиента х = 15 мин. Предпо-
лагая, что время обслуживания клиента — нормально распре-
деленная случайная величина с дисперсией а2 = 9 мин2, при
уровне значимости а = 0,05 установить, можно ли принять в
качестве норматива (математического ожидания) для обслу-
живания одного клиента:
а) 21 мин;' б) 16 мин.
25.9.	По паспортным данным на автомобильный двигатель,
расход топлива на 100 км пробега составляет 10 л при среднем
квадратичном отклонении 2 л. В результате совершенствова-
ния конструкции ожидается, что расход топлива уменьшится.
Для проверки проведены испытания 25 случайно отобранных
автомобилей с модернизированным двигателем: средний рас-
ход топлива на 100 км пробега составил 9,2 л. Используя 5% -й
уровень значимости, проверить гипотезу, утверждающую, что
модернизация повлияла на расход топлива.
25.10.	Кв большой партии ананасов одного размера случай-
ным образом отобрано 36 штук. Выборочная средняя масса од-
ной штуки при этом оказалась равной 930 г. Используя дву-
сторонний критерий при а = 0,05, проверить гипотезу, что
средняя масса одного ананаса (по утверждению поставщика)
составляет 1 кг, если:
а)	среднее квадратичное отклонение известно и составляет
200 г;
б)	среднее квадратичное отклонение неизвестно, а выбороч-
ное составило 250 г.
25.3.	Сравнение двух дисперсий
Пусть имеются две случайные величины X = Маг, ог) и У =	о,,)
Л- Л-	,7
с неизвестными дисперсиями и две независимые выборки х2, -х„
УУ2>	Ут- Требуется по полученным выборочным оценкам
л	m
и s* - t , где 2 _	J
i = l
проверить гипотезу На: - of.
V л	4/
373
В качестве критерия при проверке гипотезы Но: ст® = о используют
функцию ’	'	•	•
F(flf23)= 32/32,
которая имеет F-распределение (распределение Фишера — Снедекора) с
Zj = п - 1 и l2 ~ т - 1 степенями свободы, если полученные по выборкам
значения в* > -а? , и .
F(Zvi2)=S2/S2
с 2г — т - 1, lz = п - 1, если s2 > з2 ,
Если задаться уровнем значимости а, то можно построить критиче-
ские области для проверки гипотезы HQ: ст® -= ст® при двух альтерна-
тивных гипотезах:
1)	Н,: ст® > ст®, если з® > з.® , или Ht: ст® < о® , если s® < s.® .
В этом случае критическая область правосторонняя (/£р , °°), где /°р оп-
ределяется из условия P(F(llt >	“ “J
2)	-Hi: ст I	ст® . В этом случае критическая область двусторонняя*
txt/
Однако можно использовать только правостороннюю область (/“р
где определяется из условия = n - 1> lz= tn - 1) > fJJp) — ct/2,
если sf > s® , и из условия P(F(l} = т - 1, 12 = л - 1) > /£р ) = а/2,
если а® < з®.
Если fr попадает в критическую область, то принимается альтерна-
тивная гипотеза в противном случае принимается гипотеза Но:
<з2 — <j2. при этом оценкой генеральной дисперсии служит величина
в2 = Sx<n~ +
п + т - 2
25.11.	Срок хранения продукции, изготовленной по техно-
логии А, составил:
Срок хранения		&	6	7 1
Число единиц продукции		2	4	4
а изготовленной по технологии В*.
Срок хранения	1 yi	! 5	6	7	8
Число единиц продукции ।	' ffii 1	1	8	7	1
374
Предположив, что случайные величины X и У распределе-
ны по нормальному закону, проверить гипотезу _П0: о* = oj
при уровне значимости 0,1 и альтернативной гипотезе
Решение. Вычислим «исправленные» выборочные дисперсии , 5, Для
этого вначале аайдем г , у :
. _ 5 у2+6-44-7-4 _	_ 5-1-.6-8 + 7.74-8-1 _ „ 8
10	17
Тогда
.$2 = Г25  2 + 36  4 + 49  4 _ g gal 12 = 0,62;
L	10	_1,9
2	Г25 1 + 36  8 + 49  7 + 64  1	к21 I7 ли
i ~ L----------17---------- ~6'5 J 16 "°’11’
Учитывая что s* >	, определим fr:
।	.	0,62
f' - 0Д1 - 5’64-
Критическое значение находим из условия
1 WUi = 10 - 1, l2 - 17 - 1)> /°р) - а/2 — 0,05.
По таблице ^-распределения (см. Приложение 5) определяем /“ = 2,54.
Так как число Д. = 5,64 попадает в критическую область (2,54; w), то гипотезу
о равенстве дисперсий среднего срока хранения продукции, изготовленной по
технологиям А и В, отвергаем.
25.12.	Температура в холодильной камере контролируется
по двум электронным термометрам. Для сравнения точности
термометров их показания фиксируются одновременно. Про-
ведено 10 замеров показаний термометров:
Номер замера	1	2	3 \	। 4	.5	6	7	8	9	10
Термометр 1	-7,11	-8,63	-6,89	-7,23	-7,51	-7,68-	-7,91	—6,97	-7,44	-7,64
Термометр 2	-7,13	-8,49	-7,12	-7,19	-7,67	- 7,49'	!-8,03	-7,151	-7,29	-7,89
При уровне значимости 0,1 проверить гипотезу о равенстве
дисперсий.
25.13.	На двух станках производят одну и ту же продук-
цию, контролируемую по наружному диаметру изделия. Из
продукции станка А было проверено 16 изделий, а из продук-
375
ции станка В — 25 изделий. Выборочные оценки математи-
ческих ожиданий и дисперсий контролируемых размеров со-
ставили хА = 37,5 мм при = 1,21 мм2 и — 36,8 мм
при =1,44 мм2. Проверить гипотезу о равенстве дисперсий,
если а = 0,1.
23.14. Фирма поставляет радары для измерения скорости
движения автомобилей. Для закупки большой партии прове-
дены испытания приборов, изготовленных на заводе А и на за-
воде В. Измерения проводили на одной и той же машине и на
одной и той же дороге. Определены величины отклонений
между показаниями спидометра автомобиля и радара:
Завод А
Отк лоне ние, км/ч	Ах;	-0,7	-0,3 1	! -0,1	i 0,5	0,8	0,9	1,0	1,2	1,3
Число измерений !		5	4	2	6	3	1 —. —	i	3 ;	 . 	 		1	1
Завод В
Отклонение, , км/ч	1		-0,6	i-o>i	0,4	0,7	1,0	1,4
Число измерений		4	&	3	2	2	i 1
Полагая показания спидометра автомобиля эталоном, про-
верить гипотезу об одинаковой точности измерений, проводи-
мых радарами завода А и завода В, при уровне значимости 0,1.
25.4. Сравнение двух математических ожиданий
Пусть имеются две выборки лгг, х%, и ylt y2t	полученные
в результате независимых испытаний. По этим данным рассчитаны
оценки х и у, а также s'? и . В предположении, что случайные ве-
личины X и У распределены по нормальному закону X ~ N(ax, стх) и
У = N(ay, сгу), требуется проверить на основании выборочных данных ги-
потезу ах — Лу при условии, что гипотеза о равенстве дисперсий не
отвергается.
376
для 17 торговцев района А составляет 15 тыс. руб.
среднем квадратичном отклонении
а для 10 торговцев района В — 13 тыс. руб. при
25.15. Средний ежедневный объем продаж за I квартал те-
кущего года
при « испр шлейном »
2,5 тыс. ру€
«исправленном» среднем квадратичном отклонении 3 тыс.
руб. Каждую группу можно считать случайной независимой
выборкой из большой совокупности. Существенно ли различие
объемов продажа районах А и В при 5% -м уровне значимости?
Предположим, что ежедневный объем продаж подчинен нор-
ну распределения. Математическое ожидание и среднее кв ядра -
дисперсии объемов продаж одинаковы. В этих условиях возни-
ау при альтернативной
Решение,
мяльному за к с
тич ное отклонение законов распределения для районов А и В неизвестны. Пред-
положим, что
кает задача опенки статистической гипотезы Но: а,
П]: ах + а^, если принять за а* математическое ожидание объема продаж для
района А, за о
Выборочное средние х и у являются независимыми нормально распреде-
ленными случайными величинами. Б этом случае в качестве критерия исполь-
зуют функцию
— для района В.
Г =	, где S
S fl + l
Ч п т
Функция Т подчинена t-распределению для ./ = т + п — 2 степеней свободы.
По таблиц: /распределения (см. Приложение 6) для / =17 + 10-2 = 25
и 5%-Го уровв^я значимости (для двусторонней критической области) находим
Эю значит, что критическая область есть интервал -2,06) и
^кр “ 2,06.
(2,06; ел).
Вычислим^
t»:
'«•2S '16 + 9 9-Л^4-2,69,
25
tr = -15 13	=1,86.
Получение е значение критерия tr не принадлежит критической области, сле-
довательно, р 1зноеть несущественна и гипотеза Но: ах = ау принимается. В ка-
честве общей вредней выборочной принимают величину
~ _ 15 17 + 13 10 ~
х 0 _ —-------------— — 14.
27
25.16. В| условиях задачи-25.15 выяснить, существенно ли
при 5%-м
районе А г
уровне значимости превышение объема продаж в
о сравнению с объемом в районе В,
J - У2
п + т - 2
377
Решение. Вопрос в данной задаче отличается от вопроса-в задаче 25-15 тем,
что альтернативной к гипотезе ах = ау становится не гипотеза ах * ау,
а гипотеза ах > ag. В этом случае критическая область односторонняя
<в частности, правосторонняя), для £ = 25 и а = 0,05 имеем критическую область
(1,708; °0). Так как tr = 1,86 > 1,708, то величина входит в критическую об-
ласть, поэтому превышение объема продаж в районе А по сравнению с объемом
в районе В существенно и гипотеза Но: ах = ау отвергается.
25.17, Акционерное общество (АО) выпускает печенье «Рус-
ские узоры» в пачках, на которых написано: масса нетто 200 г.
Осуществлена выборка для оценки средней массы печенья в
пачках, выпущенных московской и санкт-петербургской фаб-
риками АО. Результаты выборок таковы (указана масса пачек
печенья «Русские узоры*):
Московская фабрика
201, 195, 197, 199, 202, 198, 199, 203, 195, 196, 198, 199,
194, 203, 195, 202, 197
Санкт-петербургская фабрика
203, 207, 191, 193, 197, 201, 196, 192, 194, 195, 198, 196
Предполагая, что случайная величина массы пачки печенья
распределена по нормальному закону с одинаковыми диспер-
сиями, и считая выборки независимыми, определить:
а)	средние выборочные и «исправленные» средние квадра-
тичные отклонения массы для каждой фабрики;
б)	для а = 0,05 значимо или нет различие между средними
выборочными (если это различие имеется);
в)	является ли величина 200 г математическим ожиданием
массы при 5%-м уровне значимости?
25.18.	Расход сырья на единицу продукции составил:
по старой технологии
Расход сырья		805	307	308	
Число изделий	ni	1	4 ' ।	4	
по новой технологии
Расход сырья	yi ' 1	303	304	305	308
Число изделий	/71 j	2	6	4	1
378
Предположив, что соответствующие случайные величины
X и ’У имею: г нормальные распределения с математическими
ожиданиямг: а, ий.и одинаковыми дисперсиями, проверить:
а)	при уровне значимости ОД гипотезу Но: ст2 = ст% при аль-
тернативной Н\: ст 2 * о2;
б)	при уровне значимости 0,05 гипотезу Hq: ах = ау при аль-
тернативной ах * ау.
25.19.	Производительность каждого из агрегатов А и В со-
ставила (виг вещества за час работы):
Нэмер замера	1	2	3	।	'	4	5
АгрегатА	14,1	13,1	14,7	13,7	14,0
А грегат В	14,0	14,5	13,7	1 12,7	14,1
Можно ли считать производительность агрегатов А и В оди-
наковой в предположении, что обе выборки получены из нор-
мально распределенных генеральных совокупностей, при
уровне значимости а = 0,1?
25.20.	Фирма предлагает автоматы по розливу напитков.
При выборке га = 16 найдена средняя величина х = 182 г дозы,
наливаемо! [ в стакан автоматом № 1. По выборке т = 9 найдена
средняя величина у = 185 г дозы, наливаемой в стакан авто-
матом № 2. По утверждению изготовителя, случайная величи-
на наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения
с дисперсией, равной ст2 = о2 = 25 г2. Можно ли считать от-
личия выборочных средних случайной ошибкой при уровне
значимости а = 0,01?
Решение. Пусть ах и ау — математические ожидания доз, наливаемых ав-
томатом № 1 я автоматом № 2. Нулевая гипотеза в данном случае Нр: ах — ау
при альтернативных JWr:	* ау и JfL: ах < ау. Дисперсия известна: о2 — 25.
В качестве критерия справедливости статистической гипотезы выбирается
функция
распределенная по нормальному закону с параметрами (0, 1).
379
1.	Рассмотрим вначале гипотезу -= для альтернативной
В этом случае критическая область имеет вид	), где z*p определяется
из условия Р(И < z^jp ) =* а.
Так как функция Лапласа — нечетная функция, т.е. Ф(“2)	-Ф(г), а таб-
лица этой функции содержит только положительные значения» то найдем вна-
чале ,
isp
Для этого вычислим значение функции Лапласа в критической точке:
Ф(г”р ) ~ О’б _ а = ®39. Откуда z“p = 2,33. Значит, левосторонняя критическая
область будет -2,33),
Рассчитаем гг\
,	182-185	-8 12	, АЛ
/25 25	25
416+ 9
Полученное значение zr=* ^1»44 не входит в критическую область (-°0; -2,33),
поэтому нулевая гипотеза принимается.
2.	Рассмотрим гипотезу Ко: пг * при альтернативной Jfs: е>х В этом
случае критическая область двусторонняя и имеет вид (—°0; zjp ) U (z^p ; °°). ве-
личины и а£р рассчитываются из условий
P(Z < z-p ) - а/2 и P(Z > *"р ) - а/2.
Воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа (см. Приложение 2),
имеем
Ф(г£р )я 0.5 ’ а/2 - 0.495, 'zjp = 2,57.
Критическая область имеет вид (^°°; ”*2,57) и (2,57; °о). Значение zr =* — lt44
не попадает в критическую область» поэтому нулевая гипотеза принимается.
25.21.	В таблице приведены результаты измерения про-
центного содержания крахмала в картофеле (исследовали
16 клубней различных сортов картофеля) двумя различными
способами: 1
№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	i 10	11	12	13	14	15	16
1 !	'11 i	1 9	13	8	6	7 :	6	; 12	10 ;	11	14	12	7	5	15	11
II	13	9	13	9	8	9	9	9	; 11	13	11	12	б	6	13	 12
При уровне значимости 0,1 можно ли считать, что крахма-
листость картофеля одна и та же для обоих способов?
25.22,	Используются два вида удобрений: I и II. Для срав-
нения их эффективности были попарно выбраны 20 участков
равной площади так, что пару составили участки, однородные
по плодородию. Десять участков были обработаны удобрением I,
380
а десять, парных им, — удобрением II. На соответствующих
парах участков получили следующий урожай:
1 №	1	2	; 3	4	5	6	7	8	9	10
I I	8,0	8,4	8,0 ;	; 6,4	8,6	7.7	7,7 ;	5,6	' 5,6	6,2
П	। 5,6 i 7,4 '	7,3	i 6,4	7,5	6,1	6,6 i	6,0	5,5	5,0
При уровне значимости 5% проверить гипотезу о различном
влиянии использования удобрения I или П.
25.5.1 Проверка гипотезы о распределении.
Критерий Пирсона
При проверке статистических гипотез о соответствии отдельных па*
раметров закона распределения случайных величин предполагалось, что
законы распределения этих величин известны. Однако при решении
практических задач (особенно экономических) модель закона распреде-
ления в об щеп случае заранее неизвестна, поэтому возникает необходи-
мость выбора модели закона распределения, согласующейся с результа-
тами выборочных наблюдений.
Пусть xlf ::2, .хп — выборка наблюдений случайной величины X
с неизвестной непрерывной функцией распределения F(x). Проверяется
гипотеза //0, утверждающая, что X распределена по закону, имеющему
функцию распределения F(x), равную функции jFq(x), т.е. проверяется
нулевая гипотеза HQ: F(x) = Р0(х).
Критерии, с помощью которых проверяется нулевая гипотеза о неиз-
вестном распределении, называются критериями согласия. Рассмотрим
критерий согласия Пирсона.
Схема пре верки нулевой гипотезы /f0: F(x) =* F0(x):
1.	По выберке Xj, х2, ..., хп строят вариационный ряд; он может быть
как дискретным, так и интервальным. Рассмотрим для определенности
дискретный вариационный ряд
*i	Xl	*2			xt
mi					
2.	По данным предыдущих исследований или по предварительным
данным делают предположение (принимают гипотезу) о модели закона
распределенгя случайной величины X.
3.	По выборочным данным проводят оценку параметров выбранной
модели закон а распределения. Предположим, что закон распределения
имеет г параметров (например, биномиальный закон имеет один пара-
метр/?; нормальный — два параметра (ао, <?*) и т.д.).
381
* *	\^М,\.МЛЛ<4 V4-1«,^*45ЖХ Г**L НИJJ’CXJHXXJ X puХЛ JJCHuil|ЛЧ7ДТЗ J H5
ния, находят теоретические значения вероятностей
^=Ж = 4	<-1, 2, .... k.
k
5.	Рассчитывают теоретические частоты т? — р? п, где п =
i = l
6.	Рассчитывают значение критерия согласия Пирсона
Эта величина при л —* оо стремится к распределению Х? е I — k — г — 1
степенями свободы. Поэтому для расчетов используют таблицы распре-
деления X2.
7.	Задаваясь уровнем значимости а, находят критическую область
(она всегда правосторонняя) <(ХкР)И 5 °°); значение (%2р)П определяют из
соотношения а = Р(Х2 > (Х2Р)П)- Если численное значение Хг попадает
в интервал ((Х*р)й ; °°)> то гипотеза Но: F(x) “ Fq(x) отклоняется и при-
нимается альтернативная гипотеза о том, что выбранная модель закона
распределения не подтверждается выборочными данными, при этом до-
пускается ошибка, вероятность которой равна а.
25	.23. Экзаменационный билет по математике содержит
10 заданий. Пусть X — случайная величина числа задач, ре-
шенных абитуриентами на вступительном экзамене. Резуль-
таты сдачи экзамена по математике для 300 абитуриентов та-
ковы:
i	1	' 2	3	4	5	6	7	8	9	10	11 '
*i	0	’ 1	2	3	4	5	6	7	8	; 9	10
mi	13	17	' 15	35	10	9	40	51	45	33	32
Оценить закон распределения случайной величины X.
Решение. Для составления гипотезы о модели закона распределения слу-
чайной величины X сделаем следующие предположения:
• вероятность решения задачи не зависит от исхода решения других задач;
’ вероятность решить любую отдельно взятую задачу одна и та же и равна р,
а вероятность не решить задачу равна 1 -р.
382
При этих дог ущрииях можно предположить, что X подчинена биномиально^
му закону распределения (нулевая гипотеза)f т.е. вероятность того, что абитури-
ент решит х зад гч» может быть подсчитана по формуле
Р(Х = X) = CfopV°’x-	(25.1)
Найдем, onei :ку параметра р, входящего в модель (25.1).
Здесьр — это вероятность того, что абитуриент решит задачу. Оценкой веро-
ятности р являй !тся относительная частота p*f которая вычисляется по формуле
'	п
S,ximt
11
где х *=	-----~ среднее число задач, решенных одним абитуриентом;
1=1
v '— число задач, решаемое каждым абитуриентом.
Тогда оценку для р получим в виде
11
У ximI/n.
р* ------------(о  о,043 + 1  0,057 + ... 4- 10  О,107)/Ю = О,в.
v
Подставим значения р* = 0,6 и q* " 1 — 0,6 " 0,4 в выражение (25.1) и при раз-
ных xt получим теоретические вероятности pj и частоты mJ — pj п (табл. 25.1).
Таблица 25.1
Ноаер rpyi ШЫ 1		X;		
	I	0	0,0001	;	0,03
	2	1	0,0016	0,48
	3	2	6, Ь1бб	:	3,18
	4	3	0,0425	12,75
	5	4	0,1115	33,45
	6	5	0,2007	60,21
	г?	6	0,2508	75,24
	8	7	0,2150	64,50
	9	3	0,1209	36,27
	10	9	0,0403	12,09
	11	10	0,0060	1,80
383
Из табл. 25.1 видно, что для групп 1, 2, 3 и 11 теоретическая частота т? < 5.
Такие группы обычно объединяются с соседними. Значения mJ для групп 1, 2 и 3
можно объединить с т% . Это представляется естественным, потому что за 0, 1,
2иЗ решенные задачи на экзамене обычно ставится неудовлетворительная оцен-
ка. Объединим также группу 11с группой 10 и составим табл. 25.2.
Таблица 25.2
Номер группы i	1	2	3 ;	4	5 :	6	7
Xi	co 1 <□	4	5	6	7 ;	8	9-ю;
mf	80	10	9	40	51	45	65
mT	16	i 33	60	75	64	36	14
По данным табл. 25.2 рассчитываем величину критерия согласия:
у2 . (80-	+ (10-83)2 . (9-60)2	(40-75)2	(51 - б4)2
Аг 16	33	60	75	64
ж g 4—= 522,4.
36	14
Зададимся уровнем значимости а = 0,05, тогда для ! = Л-г-1“7-1-1=5
степеней свободы (х2р)" “ 11,1 (см. Приложение 4).
Величина X? ” 522,4 (ИЛ; следовательно, нулевая гипотеза должна
быть отвергнута.
25	.24. Коммерсант предполагает, что объем продаж нового
вида продукции в каждой из пяти торговых точек, располо-
женных в различных районах, будет одинаков. Фактический
объем продаж оказался разным:
Район	i	i ;	2	3	4	5
Фактический объем продаж	m(	.| 105	. . 		 117	84 :	111	83 :
Оценить, значимы или нет различия между наблюдаемыми
и ожидаемыми объемами продаж при уровне значимости 0,01
и 0,05,
Решение. Так как в задаче спрашивается о согласовании ожидаемых (оди-
паковых) и фактических объемов продаж, то теоретический «закон распределе-
ния* определен: во всех районах объем продаж одинаков, т.е.
5
2>.
mJ ~ т% - mJ = mJ = mJ =	™ ~ 100.
&	Э
384
Заметим, чго в данном примере нельзя использовать в качестве закона рас-
пределения биномиальный или нормальный закон, так как речь идет об одно-
временном ера вне нии пяти районов.
Составим т 16лицу
Район	f	1	2	3	4	5
Фактический i о*5ъем продаж 1		105	117	84	111	. 83
С жидаемый оэъем продаж	mJ	100	100	100	100	100
Тогда
_ । JL, (т, — лт?)2	1
X2 - у •  -  ---— (25 + 289 + 256 + 121 + 289) = 9,8.
Лг Zm mJ	100
Выбирая уровень значимости а ~ 0,01, по таблице х2-распределения (см. При-
ложение 4) для числа степеней свободы I = 5 - 1 — 4 находим (Хкр)Л “ 13.3,
а для уровня значимости а — 0,05 при I — 4, соответственно, (Хкр)П =
Следовательно, для уровня значимости а = 0,01 критическая область пред-
ставляет собой интервал (13,3; «>), X2 “ 9,8 не попадает в критическую область,
т.е. нулевая гипотеза, состоящая в том, что ожидаемые и фактические объемы
продаж согласуются, не отвергается. Для уровня значимости а “ 0,05 критиче-
ской область» з является интервал (9,5; °о), и, так как X2 ” 9,8 попадает в кри-
тическую область, нулевая гипотеза должна быть отклонена.
25.	25. Результаты взвешивания 50 случайным образом ото-
бранных гачек чая приведены ниже (в граммах):
150, 147, 152, 148, 149, 153, 151, 150, 149, 147, 153, 151,
152, 151, Л9, 152, 150, 148, 152, 150, 152, 151, 148, 151, 152,
150, 151, 49, 148, 149, 150, 150, 151, 149, 151, 150, 151, 150,
149, 148, 147, 153, 147, 152, 150, 151, 149, 150, 151, 153.
Оценить закон распределения случайной величины X —
массы па^ки чая — для уровня значимости а = 0,05.
Решение. Масса пачки чая — непрерывная случайная величина, но в силу
того, что взвешивание проведено с дискретностью 1 г и размах составляет
147 153 г, непрерывная величина может быть представлена дискретным вари-
ационным радом:
Значение случайной вел в чины X		147	— - . 148	149	150	151	152	153
Частота появления		4 	i	5 	8	11	11	7	4
В качесп е модели закона распределения выберем нормальный закон N(Hq> пг),
число параметрон которого г — 2: а0 — математическое ожидание, ах — среднее
квадратичное отклонение.
13 Сборник ши по высшей математике	385
По выборочным данный получим оценки параметров нормального закона
распределения:
х = Ц------ w 7507/50 - 150,14;
S2^	-(i)2) = 2,82; s= 1,68.
Для расчета теоретических частот pj воспользуемся табличными значения-
ми функции Лапласа Ф(г). Алгоритм вычисления р/ состоит в следующем;
•	находим по нормированным значениям случайной величины Z значения
Ф(г), а затем
Ъ = *'	,	= 0*5 + *(«*)•
Например,
Xi ” 147;	{147  150,14)/1,68 - -1,87;	ф(-1,87) = -0,46926;
Г^{147) = 0,03074;
-	находим рг = Р(гх < X < г(+1) -	- ЗДч);
•	находим mJ = р? п, и если некоторое mJ < 5, то соответствующие группы
объединяются.
Результаты вычисления pj, mJ и Хг приведены в табл. 25.3.
По таблице Приложения 4 находим X? по схеме: для уровня значимости
а “ 0,05 и числа степеней свободы / = А- г-1 = 6- 2-1 = 3±=* Хкр ' 7,8.
Следовательно, критическая область (7,8; 00).
Величина Хг = 5,267 не входит в критическую область, поэтому гипотеза о
том, что случайная величина X — масса пачки чая — подчинена нормальному
закону распределения, согласуется с выборочными данными.
Таблица 25.3
£			Ф(г,)	,			р? - 1 ,	mJ - pj n	(ttti-mjp/mj
0,	-00+147	0	-0,50000	0,00000	0,03074	0,03074 ;	1,537 ।	—
1	147 + 1481	4	-0,46926	0,03074	0,10204	0,07130	3,563	0,237 i
2	148+149	; 5 	-0,39796	0,10204	0,24825	0,14621	7,31	0,730
3:	149+150	8	-0,25175	0,24825	0,46812	0,21987	10.99	0,813
4 '	150 + 151	11	-0,03188	0,46812	0,69497	0,22685	1 11,34	0,010
5	151 + 152	11	0,19497	0,69497	0,86650	0,17153	8,58 :	0,683
6 i	152 + 153	7	0,36650	0,86650	0,95543	0,08893	4,45	2,794	,
7	' 153 + «J	4	0,45543	0,95543	1,00000	0,04457	2,23	"—
		S= 50				Е = 1,00000		! E-5,267
386
Страховая компания выпустила чётыре вида страхо-
полисов в предположении, что спрос на них будет едина-
Фактические объемы реализации различных видов стра-
. ховых пол асов приведены ниже:
Виды страховых полисов	А	В	С	D
Фактический объем реализации	50	21	23	26
Оценить Для уровней значимости а = 0,01 и а = 0,05, согла-
суется ди фактический и теоретический спрос на различные
виды страховых полисов.
25.27.	Результаты исследования числа покупателей в уни-
версаме в зависимости от времени работы приведены ниже:
Часы работы	9—10	; ю-li :	11—12	12—13
Число покупателей	41	'	82	117	72
Можно ли утверждать при уровне значимости а = 0,05, что
случайная величина X — число покупателей — подчинена
нормальному закону?
 J
25.28.	Дано следующее распределение успеваемости 125
студентов, сдавших три экзамена:
Число сданных экзаменов	0	1	2	3 !
Число студентов	3	5	47	70
Проверить гипотезу о биномиальном распределении числа
сданных экзаменов при а = 0,05.
25.29	Масса (в граммах) произвольно выбранных 30 пачек
полуфабриката «Геркулес» такова:
503, 509, 495, 493, 489, 485, 507, 511, 487, 495, 506, 504,
507, 511,499, 491, 494, 518, 506, 515, 487, 509,507,488,495,
490,498,497,492,495.
Можно ли при уровне значимости а = 0,05 утверждать, что
случайк ая величина X — масса пачки — подчинена нормаль-
номуза кону распределения?... ..	.
I	-	ш
25.30.	При принятии на работу фирма предлагает 4 теста.
Результаты решения этих тестов десятью претендентами при-
ведены ниже:
Число вер ио решенных тестов	: о	1	2	3	4
Число участников	i	: 1	2	2	3	2
Проверить гипотезу о биномиальном распределении случай-
ной величины X — числа успешно решенных тестов — при
а = 0,05.
26. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ
26.1.	Линейная регрессия
с несгруппированными данными
Регрессией Y на X или условным математическим ожиданием слу-
чайной величины Y относительно случайной величины X называется
функция вида
ЛЯУ/х) = f(x).
Регрессией X ыа У называется функция вида
М(Х/у) - <pG/).
Оценками этих функций являются выборочные уравнения регрессии*
или условные средние,
Ух =	ху -
На практике часто используются выборочные уравнения линейной
регрессии в виде
рх + 0,	(26.1)
= P1S/ +	(26.2)
Для определения параметров р и 0 в уравнении (26.1) используется
получаемая на основании метода наименьших квадратов система двух
линейных уравнений
(п	п
₽=
i*l /	t*l
Р + "Э =	-
г-1
Й8ё
откуда находятся выражения для р и ₽:
Xх- Х*ч
д _	Ь.1,____4=1 <4 = 1
”	Д / и Х2'	’
ЛХХ;2_ Xxd
1^1	4^1
< Л Л / 71	\	/ Л Л < л
' Ххл ХЧ“ Xх-1 Хх^
В =	Л^* < 4-1 Л*-1
Н	л	Г л \2
п5>?- !>]
(=1	Х(=1	>
(26.3)
(26.4)
чный коэффициент корреляции.
Аналоги яко находятся параметры р1 и 3^ для функции .
Для оцен ки связи между случайными величинами обычно использу-
ется выборе
Введем 1 рассмотрение выборочный эмпирический корреляционный
момент

Раскроем скобки и учтем, что
Xtff = Л^*
i=l
Тогда
(26.5)
Выбороч ный коэффициент корреляции представляет собой отноше-
ние
389
26Л. С целью анализа взаимного влияния зарплаты и теку-
чести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым
числом работников проведены измерения уровня месячной
зарплаты X и числа уволившихся за год рабочих У:
X	100	150	i 200	250	300
Y	60	35 1	20	20	15
Найти линейную регрессию У на X и выборочный коэффи-
циент корреляции.
Решение. Составляем расчетную таблицу:
i	1 Ъ	Vi			y?
1	100	60	10000	6000	3600
2	150	35	22500	5250	1225
3	200	20	40000	4000	400
4	250	20	62500	5000	400 :
5	300	15	.	90000	4500	225
Z	1000	1	150	' 225000	24750 ‘	5850
Определяем р и
р - [(5  24,75 - 150) 103]/(5 22,5 10* - 10е) *= -0,21;
р = (22,5  104  159> 1О3 • 24,75  103)/(5  22,5  104 - 10е) - 72.
1
Выборочное уравнение регрессии примет вид
г/х * -0,21х + 72.
Из расчетной таблицы следует, что
х - 1000/5 - 200, у = 150/5 ~ 30.
По формуле (26.5) находим
- (24750 - 5'200- 30J/5 - -1050.
Найдем d- — ст2 , du — а2 по формулам dx = х2 - (х)2, cL -• у2 - (у )2:
"	Лг Л»	ДГ	jjF Л	"	J
dx - 22,5'104/5 - 2ОО2 - 5000,	- 5850/5 - 30/ = 270.
Откуда охв ~ 70,7,	~ 16,4.
Таким образом,	*
г _	-1050
в = 70,7 - 16,4
- -0,91.
390
26.2. Н а основании полученных измерений величин X и У
X	4	, 6	8	10 1	12
Y	5	8	7	9 j	 U
найти линейную регрессию У наХ и выборочный коэффициент
корреляцки.
“26.3. Не основании полученных по результатам измерений
значений величин X и У
X	3	5	7	9	10	12 :
У	14 :	10	9	9	6	; 5 '
найти линейную регрессию X на У и выборочный коэффициент
корреляции.
26.4. В магазине постельных принадлежностей были прове-
дены в тече ние пяти дней подсчеты числа покупок простыней X
и подушек У:
X	10	20	25	28	’зо
у	5	8	7	12	14
(В данной таблице значения X расставлены в возрастающем
порядке.) Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y
на X и выбсрочный коэффициент корреляции.
26.2.	Линейная регрессия
со сгруппированными данными
В том случ ie, когда варианты парной выборки встречаются по не-
скольку раз, п зичем с одним значением варианты xi может встретиться
несколько вариант уу, их обычно представляют в виде корреляционной
таблицы. На пересечении строк и столбцов этой таблицы отмечается
частота выбора соответствующей пары	а частоты вариант
r;(i= 1, 2, ...,l у] О = 1, 2..feg) находятся как суммы значений
по соответст|вующей строке или столбцу. Например, в корреляцион-
ной таблице
		!	10	20	30	%
	5	3	““	2	:	5
	10	5	4	2	11
	Г f	8	4	4	п- 16
891
пара (10; 5) встречается 3 раза, т.е. п1( = 3, а частота появления вели-
чины yY = 5 находится как сумма пи — 3 + 2 = 5.
*.
Очевидно, что ^JnXl = У. . = п'
1=1	/=1
Для коэффициента корреляции случайных величин X и У в случае
сгруппированных данных используется выражение
А 2
Ц - пху
Гв — —---------
где
*г
- ЪпМ>
/=!
После подсчета х, у, сгхк, и
линейной регрессии Y на X в виде
£у.У?-пху
=х iz±-------,
^ХВ^В
К = У.”*/***
1=1
*в получают выборочное уравнение
Ух~ У = “ гв<х - х )
или выборочное уравнение линейной регрессии X на У в виде
ху~ х “ ^ГВ<У ~Р)‘
Для упрощения расчетов часто используются условные варианты,
которые подсчитываются по формулам
(^“1 ~	~
где Ср С2 — ложные нули (выбираемые значения);
Л>, Л-2 — разности между соседними значениями X vlY.
Соответственно, для обратного перехода применяются выражения
yj = Л2Оу + С2,
у hzv + С2,
где и , о — средние значения условных вариант;
сти, <5Ы — средние квадратичные отклонения условных вариант.
Для подсчета выборочного коэффициента корреляции в этом случае
используется формула

392
Подсчитав выборочный коэффициент корреляции через условные ва-
рианты и осуществив переход к условным переменным, получают соот-
ветствующие уравнения регрессии.
26Л. Наати выборочное уравнение линейной регрессии X
на Y на основании корреляционной таблицы
	15	20	25	30	35	40
.00	2	1		7	““	
: 20	4		2			з
U40	-™г	5		10	5	2
1150			3	1	2	3
Решение. Для упрощения расчетов введем условные варианты
и, = (х, - 30)/5, Uj = (у, - 120J/20
и составим преобразованную корреляционную таблицу с условными вариантами,
в которую внесем значения п ил,.:
I	\г
и?Х	Г3	-2	-1	0	1	2	>4
-1 i	I2	1	—•	7	: —•	—	10
1 0 	1 .14		2		'—	3	0
1 :		5	|Г”	10	5	2	22
2		—	3	1 1	2	3	9
		6	5	18	7 :	8	п = 50
Затем составим, новую таблицу, в которую внесем посчитанные значения
n^Uj в правый верх ний угол заполненной клетки и в левый нижний угол,
после чего суммиру *м верхние значения по строкам для получения значений Vj
, и нижние значение: по столбцам для Ut и подсчитаем величины щи, и VjVj
Таблица 26.1
\'Л	-3	- -2	„1	0	1	2		
-i	1 bo 1 Oi	-2 1 -I	””	0 : 7 -7	—•	—'	-8	8 :
0	7 -ф ©	 —	P4 1 ©	: —	—	©	-8	о 
1	——	©	—_	!	0 10 10	№ yi 4Л	4 2	: 2	:	-1	-1 :
2		—•	3 3 6	:	0 1 2	NJ	6 3	5	10
Ut	-2	4	6	5	9	8	r—	s- it i
utUi	6	-8	-в ;	0	9	16	1 = 17	—
Подсчитываем суммы	И ^L’P\r Параллельный подсчет этих сумм
<=1 /=1
осуществляется для контроля правильности расчетов. В данном случае
*1
2>.v''17-
4=1	J=1
Находим й , и :
й =(-3 6-2-6 -1 • 5 + 1  7 + 2 • 8)/50 - -0,24;
v - (-1  10 + 1  22 + 2  9)/50 - 0,6.
Находим и2 , ий :
й2 = (9'6 + 4- 6 + 1- 5 + 1- 7 + 4- 8)/50 - 2,44;
и2 - (1 ' 10 + 1 - 22 + 4 - 9)/50 - 1,36.
Определяем att, аи:
а„ = л/^2-(й)2 - ТМ4-(-0,24)2 - 1,54;
сгм = 7^-(й)а = 71,36-(0,6 )2 = 1.
Вычисляем выборочный коэффициент корреляции гв:
гв = (17 - 50 • (—0,24) • 0,6)/(50 - 1,54  1) - 0,314.
394
Осуществим переход к исходным вариантам:
х = hi й + Cj = 5  (-0,24) + 30 = 28,8,
у = Л2и + С2 = 20  0,6 + 120 - 132,
= hl(ju = 5 * 1,54 — 7,7,
= A2cj„ = 20  1 = 20.
Находим уравнение регрессии X на У:
х„ -128,8 = 7,7 Л’314 (у ~ 132) или х„ = 0,12у + 12,8.
у	2:0	у
26.6.	Най ти уравнение регрессии X на Y по данным
i/R<j		10	15	20	25	30	35
15		6	4	-—	—	—	——"
	!5		6	8	-—-	——	—
	5	—				-—	21	2	5
	5	—-		-—	4	\	12	6
	5							 1	1	5
26.7.	Найти уравнение регрессии V на X по данным
		5	10	15	20	25	30
1<!		4	6	——	8 ;	: —	4
24			8	10	—" :	6	
34		—	—	32	— *		
44		—-	——	4	12	6	—
26.8.	Найти уравнение регрессии X на У по данным
		10	15	20	25	30	35	40
1ОО		2	4		8	4	“ ~	10
liol		3	—i	5		2	10	
1201			3	 _—.	4	5	6	
130 J		2	— ,	4	6 :	—		: 5
140 1			4	•7: 			. 1	5 !
3
27. ДИСПЕРСИОННЫМ АНАЛИЗ
Дисперсионным анализом называется статистический метод анализа
результатов испытаний, цель которого — оценить влияние одного или
нескольких качественных факторов на рассматриваемую величину X.
Схема однофакторного дисперсионного анализа рассмотрена ниже на
примере исследования влияния различных видов рекламы на прибыль
предприятия.
Если разделить виды рекламы на несколько групп (уровней фактора)
и через одинаковые интервалы времени измерять прибыль, то результа-
ты можно представить в виде таблицы:
Номер измерения	Уровни фактора			
	Ф1	ф2	• - 	фр
1		х12	- - 	xlj&
2		х22	* * -	
		-		
		*		*
-	i	*		*
Q		*^2	... ।	xqp
Групповая средняя	Sri	X г2	. . Ь	;	X rjj 	
Число измерений на каждом уровне считаем одинаковым и равным q.
В последней строке помещены групповые средние для каждого уров-
ня фактора.
Общую среднюю можно получить как среднее арифметическое груп-
повых средних:
р _
* =
/^1
На разброс прибыли относительно общей средней влияют как изме-
нения уровня рассматриваемого фактора, так и случайные факторы. Для
того чтобы учесть влияние данного фактора, общая выборочная диспер-
сия разбивается на две части, первая из которых называется факторной
), а вторая — остаточной (s£.T ).
С целью учета этих составляющих вначале рассчитываются общая
сумма квадратов отклонений вариант от общей средней
-«я	<271>
7=1
396
и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей
средней, которая и характеризует влияние данного фактора,
^(хг?-Зё)2.	(27.2)
7=1
Последней выражение получено путем замены каждой варианты в
выражении групповой средней для данного фактора.
Остаточиа|я сумма квадратов отклонений получается как разность
^ОСТ ^ofim " -^ф"
Для определения общей выборочной дисперсии необходимо раз-
делить на чицло измерений pq:
а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выра-
жение нужно (умножить на pq/fpq — 1):
„2	— -^общ
где рд - 1 — *1исло степеней свободы несмещенной общей выборочной
дисперсии.
Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии
sa = ЛФ
ф
гдер — 1 — HHCjio степеней свободы несмещенной факторной выборочной
дис аерсии.
Для несмещ) юной остаточной выборочной дисперсии число степеней
свободы будет j явно разности
pq - 1 - (р - 1) = p(q - 1)
и выражение дйсперсии примет вид
ч2 = ^ост
С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого па-
раметра рассчитывается величина
вФ
fнабл ж л
8^г
Так как отношение двух выборочных дисперсий и рас-
пределено по закону Фишера — С не де кора, то полученное значение /наел
397
сравнивают со значением функции распределения F - / S2CT в
критической точке /кр, соответствующей, выбранному уровню зна-
чимости а (см. Приложение 5). Если > /кр, го фактор оказывает
существенное воздействие и его следует учитывать, в противном слу-
чае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренеб-
речь.
Для расчета Яобщ и Лф могут быть использованы также формулы
Лобщ ~ X ~ М(х)2>
/=1 г=1
(27.3)
Лф = д
^(xrJ)s-р(х)2 .
(27.4)
27.1.	Для проверки влияния внутрицехового оформления
на качество продукции рассмотрены три участка по производ-
ству однотипной продукции и проведена выборочная провер-
ка процента брака за пять месяцев. Результаты помещены в
табл. 27.1.
Методом дисперсионного анализа при уровне значимости
а = 0,05 проверить нулевую гипотезу о существенном влиянии
оформления участка на качество продукции.
Таблица 27.1
Номер	: \ измерения >	:	Уровни фактора		
	Ф1	02	фз
1 ;	;	2	3	: 1
2	: 4	5	4
з	3	4	5
4	2	3	10
5	1	6	3
Групповая средняя	2,4 11 Л ь .	j '  - '	'	4,2	4,в
393
Решение. Находим общую среднюю:
х = (2,4 + 4,2 + 4,6)/3 = 3,73.
Для расчета по формуле (27.3) составляем таблицу квадратов вариант:
Номер	Уровни фактора		
измерения	Ф1	Ф2	фз
: 1	4	9	1
2	16	25	16
3	9	16	25
4	4	9	100
5	1	36	9
S	34	95	151
Вычисляем Ла6щ:
I -«ООО " 34 + 95 + 151 - 3  5 - 3,73я » 71,3.
Находим Яф по формуле (27.4)
Яф - 5(2,4я + 4,2й + 4,6я - 3  3,73я) - 14,1.
Получаем Км1:
Я^щ - Яф ' 71,3 - 14,1 = 57,2.
Определяем ф акторную и остаточную дисперсии:
az _ _Ф_ „ 14,1/2 - 7,05;
v р-1
i	~^Т) -57.2/72-4.77.
Находим /навл 4 7,05/4,77 — 1,48.
Для уровня значимости а = 0,05, чисел степеней свободы 2 и 12 находим /кр
из таблицы распределения Фишера — Снедекора (см. Приложение 5):
/кр(0,05; 2; 12)-3,89.
В связи с тем, чт о /Hft^ < нулевую гипотезу о существенном влиянии вну-
трицехового оформ. екия на процент брака отвергаем.
27.2,	В услов иях задачи 27.1, но с другими выборочными
<: значениями пре цента брака (табл. 27.2) оценить влияние вну-
- трицехового оформления на качество продукции.
399
Таблица 27.2
Номер измерения	Ура дни фактора		
	фг	Фа	Фз
1	2	5	7
2	3	4	8
3	4	4	8
4	2	5	7
5	3	5	8
27.3.	Проведено по пять испытаний на каждом из четырех
уровней фактора Ф. Результаты испытаний приведены в
табл. 27.3.
Методом дисперсионного анализа при уровне значимости
а — 0,05 проверить нулевую гипотезу о равенстве групповых
средних.
Таблица 27<3
Номер : измерения	Уровни фактора			
	ф1 :	Ф2	Ф3	Ф4
: 1	36	56	52	39
2	47 '	: 61	5?	—	7	—
: 3	50	64	59	63
4	58 :	66	58	61
5	67 	; 66	79	65
27.4.	В трех филиалах одного из банков были организованы
три уровня различных услуг для клиентов. После этого в тече-
ние шести месяцев измерялись объемы вкладов X (тыс. руб.).
Данные приведены в табл. 27.4. Проверить нулевую гипотезу
о влиянии организации услуг на объемы вкладов при уровне
значимости 0,05.
Таблица 27.4
Номер измерения	Уровни фактора		
	Ф]	Ф2	Ф3
1	10	17	14 :
2	15	15	18
3	14	25	30
4	18	,22	27
5	20	30	34
6	16	28	40
400
ПРАКТИКУМ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
Задания
1.	Расс1- итать и построить гистограмму относительных час-
тот по сгруппированным данным (табл. 1), где тг — частота
попадания вариант в промежуток (х/5 xi+1],
2.	Найти несмещенную выборочную дисперсию на основа-
нии данного распределения выборки (табл. 2).
3.	Проверить нулевую гипотезу о том, что заданное значение
а0 являете J математическим ожиданием нормально распреде-
ленной случайной величины при 5%-м уровне значимости для
двусторонней критической области, если в результате обработки
выборки оСъема п = 10 получено выборочное среднее х , а выбо-
рочное среднее квадратичное отклонение равно (табл. 3).
4.	При уровне значимости а = ОД проверить гипотезу о ра-
венстве дисперсий двух нормально распределенных случай-
ных величин X и У на основе выборочных данных (табл. 4) при
альтернативной гипотезе HY: Cfj:	.
5.	Найти выборочное уравнение линейной регрессии Y на X
на основании корреляционной таблицы (табл. 5).
6.	При уровне значимости а = 0,05 методом дисперсионного
анализа проверить нулевую гипотезу о влиянии фактора на ка-
чество объекта на основании пяти измерений для трех уровней
фактора (табл. 6).
Таблица 1. Варианты задания 1
Вариант	j	Xj < X С Xj_!_1			’ Вариант	i	Xj < X Xj^j	m-
1	1 2 3 4 5		2—4	1 4-6 6—8 8—10 10—12	5 8 16 12 9	16	1 2 3 4 5	10 — 12 12—14 1	14 — 16 •	16—18 18—20	4 12 8 8 18
• 2	1  2 ’ з 4 5		3—7 7—11 11 — 15 i 15 — 19 19 — 23	4 i 6 9 10 11	17	1 2 3 4 5	3—7 7—11 11—15 15-19 19—23	6 8 10 12 4
401
Продолжение табл, 1
Вариант	 £	< X < xi+ L		। Вариант	1		
	1	сч 1 lr 1	2		1	:	-5—7	4
	2	1 1 то	8		2	7—9	14
3	3	2—6	14	18	3	; з-li	12
	4	6—10	6		4	11-13	8
	5	10—14	:	10		5	13-15	2
	1	□0 1	5		1	11—14	;	I	3
	2	8—12	7		2	14—17	8
4	3	12—16	10	19 ,	3	17—20		14
	4	16—20	12		' 4	20—23	; is
	‘ 5 1	20-24	6		5	23—26	10 —
	1	7—9	5		1 "	2—5	
	2	9—11	4		2	СП ОС	24
5	3	11—13	8	20	3	8—11	13
	4	13—15	12		4	11—14	1
	&	15-17	11		&	14—17	6
	1	сю	5		1	10—14	5
	2	8—11	7		2	14—18	14
6	3	11—14	.	4	21	з i	18—22	26
	4	14—17	1		4 ;	;	22—26	9
	5	17—20	3		5	;	26—30	6
	1	4^ 1	3		1	1	5—10	3
	2	6—8	‘	9		2	i 10—15	9
7	3	8—10	;	7	22	3	15—20	18
	4	10-12	'	22		4	20—25	14
	&	12—14	;	9		5	:	25—30	16
	1	1-5	4		1	10—20	12
	2	О 1 1Л	5		2	20—30	i 17
8	3	9—13	9	23	з J	:	30—40	46
	4	13-17	; ю		4	:	40—50	12
	5	17-21	2		5	50—60	13
		f0—14	3		1	15—30	8
	2 !	14-18	16		2	30—45	16
9	3	18—22	;	8	24	3	45—60	1	i 12
	4	22—26	7		. 4	60—75	4	;
	5	26—30	;	6		5	75—90	10
	1	20—22	'	4		1	,	20—40	8
	2	22—24	6		2	40—60	14
10	, з ;	;	24—26	;	10	25	3	60—80	10
	; 4 !	26—28	4		4	80—100	9
	5 \	i 28—30	6		5	100—120 ;	:	19
402
Окончание табл. I
Вариант!		।	< X < xiTl '		Вариант	i	j£?- "X C: X^_J_ J	
11	51 ' II ;i	2—6	 6—10  10—14	-1 14—18 ' 18—22	5	i 3	. 18' 9 5	26	1 2 3 4 5	4—10 10-16 16—22 22—28 28—34	4 5 12 14 5
' 12	/ f1 i 1 J 1	14—16 16—18 18—20 20—22 22—24	3 12 10 15 10	27 !	1 2 3 4 5	12—16 16-20 20—24 24—28 28—32	1	7 15 13 8 7
13	' I1 . L 4 1 Ъ	5—10 10—15 15—20 20—25 25—30	2 14 11 9 4	28	1 2 3 4 5	8—10 10—12 12—14 14—16 16—18	5 16 11 8 10
14	2 4 5	3—5 5-7 7—9 9—11 11—13	1 6	, 14 7 2	29	: 1 । 2 ! 3 4 5	100—110 110—120 120-130 130-140 140—150	7	: 16 12 11 4
15	2 3 4 5.	4—9 9—14 14—19 19—24 24—29	5 9 13 6 7	30	1 2 3 4 5	100—120 120—140 140—160 160—180 180—200	10 34 25 21 10
		Таблица 2. Варианты задания 2					
Вариант		Распределение		Вариант	Распределение		
1	Xi	-6	-2	3	6		16	xi	-3148	
		12	14	16	8				2	3	14	
1 2	Xi	-10	-5-1	4		17		16	20	22	30	
	Л.	25 . 44	16	15			л/	14	26	17	3	
3	Xi	4	8	16	24		18	Xi	38	42	46	
	»i	31	14	28	27			ni	52	36	12	
4		430	450	500		19	*1	15	26	31	
		20	18	12			V	426 318	256	
5 *	Xi	O,Q1 0,04	0,08	0,14		20	Xi	4	8	10	14	
	 ".	19	28	31	32				12	24	38— -26	
403
Окончание табл. 2
Вариант	Распределение					Вариант	Р асы редс леыие				
6	Х!	2	6	8	9	21	Xj	30	32	37	
	а,	20	13	12	5		ni	41	28	31	
7		10	14	16	22	22		0,1	0,3	0,5	
		13	24	14	9		ni	16	21	13	
8	Xj	3	6	8	14	23 		0,02	0,05	0,08	
		8 '	14	10	18		rti	32	29	39	
9	, хг	0,2	0,3	0,5	0,6 \	24	x.	10	16	26	
	Л;	1 16	11	10	13		ni	14	18	18	
10	Xi	3150	3170	3200		25		-3	-1	□	V
X xZ	л.	14	6	20			Ъ !	15	11	25	191
11	1	Х|	—4	-1	2	8 •	1 26	xt	6	9	11	14
।	X	Л| '	16	8	14	12		ni	21	32	23	24
12	xi	47	50	52	56	27	Xj	246	250	257	
	«1 :	24	16	23	17		"t	24	12	14	
1 ч		-6	-2	2	5	28	*i	421	428	432	
1 м-	п,	11	13	14	12			32	44	24	
14	*г	14	15	18	20	29	xi	15	18	23	24
	• ъ	15	12	11	12		*i	13	5	14	8
1 ч	Xj	381	385	389		30	Xi	44	48	52	
и-	Hj	□4	22	24				29	46	25	
Таблица 3. Варианты задания 3
Вариант	“0	X		Вариант	 «о	X	sl
1	10	12	1	16	100	96	6
2	20	22	4	17	80	78	4
3	20	18	2	18	80	S 84	3
4	40	44	3	19	50	48	2
5	1	58	56	4	20	60	54	2
6	60	64	6	21	90	96	5
7	70	66	8	22	80	86	4
8	70	72	5	23	70	68	5
9	50	48	!	2	24	70	74	6
10	30	34	4	25	60	62	3
11	50	52	3	26	42	46 _	2
• 12	90	88	6	27	60	62	3	;
13	86	84	5	28	30	34	2
: 14	80	78	4	29	40	38	4
15	60	66	5	। 30	84	80	1	6
404
Таблица 4. Варианты задания 4
। Вариант		X				Вариант			Г	
	Г			Vi				П;	! Vi	
1	14 14 14 14	2 5 । 6 8	3 1 2 4	140 "! 146 : 147 151	5 3 2 - 2	16	42 45 46 50	15 17 12 16	84 87 92 96	3 2 4 I
 2	:г << и	7 3 1 L г	2 1 4 3 6	38 39 40 41 43	4 3 2 2 । 3	! 17	Ы W W W W й	W м о	4 5 8 1 2	зо ; ! 31 : 32  34 35	6 4 i 3 : 5 2
' 3	£ 4 4 4 5	3 5 7 1	4 2 3 4 2	75 80 84 91 94	4 2 ' 3 ' 4 ! 2 ;	is	42 44 48 50 53	4 8 3 5 10	44 45 j 46 5i : 55	16 : 12 ii : в 5
4	з] 3, 3, 4. 4,	5 7 9 Э 1	1 3 5 4 4	3,6 3,7 3,8 4,4 4,2	3 з : i 4	19	31 35 40 42 44	7 3 4 2 4	Со Со Со Co hs <0 ся w to ср	; 8 9 12 ! io 11
' 5	9 И 1: L 1<		4 5 3 2 1	9 10 11 13 14	5 . в ; 4 ' 8 3	20	61 62 64 67 68	5 4 6 2 3	60 63 64 i 68 70	4 3 2 6 5
6	в» 6, 6, 7, 7,	i € С 4	2 3 ’ 1 4 2	5,8 6,0 6,2 6,3 6,8	6 4 5 2 3	' 21	12 16 19 21 ' 25	10 12 14 9 5	14 15 20 J 21 । 24	: 7 6 8 10 9
7	2( ' 2: 25 24 2f	) г 1 J	3 ; 4 ‘ 2 2 4	18 ! 19 20 22 23	6 3 4 2 , 5	22	1 44 ! 45 48 52 ‘ 54	5 2 3 4 6	43 46 : 48 ; 50 53	3 i 3 ; 4 4 6
405
Окончание табл. 4
Вариант		С			' Ы10 ТГЧ. TJT О ~нт FT!	;	X		]	Г
			Pi	И;	!1э0.риа.мт	*i	п?	Pi	
8	0,2 0,4 ‘ 0,8 1,0 1,3	6 • 4 2 5 i 3 '	0,4 0,5 0,9 1,2 1,4	3 5 6 6 6	23	. 16 18 21 24 25	12 10 14 8 6	18 25 29 36 > 40	Г з 1 4 1 6 6
9	31 1 33 ’ 34 38 42	6 2 1 3 2	85 88 : 95 ; 97 100	1 3 4 2 5	24	71 73 75 79 80 :	4 • 5 ! 8 । 10 3	68 69 70 74 78	10 14 13 12 11
10	15 17 20 21 ! 25	I 3 2 4 6	о W ТО Й 'Й М !М N М N	4 2 2 3 1	25	70 72 73 75 78	12 ; ю 12 8 ' 8	16 18 21 25 28	7 4 8 6
11	27 29 : 32 33	3 9 6 2	28 29 30 32	8 9 4 9	26 ;	10 И 13 14	10 14 12 14	9 10 12 13	5 3 ;	4 8
12 !	« 00 00 00 © № со N>	2 1 4	2 <n (О CQ 7 111	14 18 12 ; в	27	6 7 9 10	1 8 7 2	6,5 : 7,4 : 8,2 9,1	2 ' 5 : з 1 7
13	« И |Д (fi 01 U5 Ifi U1 Ю W	: 6 : 5 4 3 2	15 18 : 20 23 ; 27	5 4 \ 3 6	28 ‘|	10 11 12 14 16	7 5 4 6 8 ;	9 11 12 14 ' 15	9 12 14 ' 9 6
14	12 15 18 19 23	2 5 3 1 4 .	44 46 ' 47 50 52	4 : 5 8 6 7	29	12,1 12,5 12,7 ; 13,0 ; 13,2	1 2 ।	4 1 2	12,2 : 12,4 12,5 12,7 13,0	4 8 3	, 2 8
15	-8 -5 ! -3 1 . 3 4	3 2 4 5 4 2	10 14 15 18 21 25	4 10 9 7 4 6	30	М N 00 Ф W W !	8 7 6 9	30 35 41 46	7 8 2 3
406
Таблица 5. Варианты задания 5
Вариант	К	ор реляционна я таблица	Вариант	Корреляционная таблица	
	уХ*	10 15 20 25 30 35		><	10 15 20 25 30 35 40!
. 1	2£ 35 41, 55	6	4 6 8 21	2	5 4	12	6 •	1	5	16	100 , 110 120 130 140	2 4	8 4	10 3	5	2 10 1	3	4 5 6 2	4 6	5 4	7	15
	X;	20 25 30 35 40 45		X	5 10 15 20 25 30 35
2	10 20, 30 40	4	8	4 2	4	2 '	10 8 4	10 4	it :	15 25 35 45 55	10	4 8	4 2 10 2	5	3 6 5 4	3 5	6	4	2 5	1	7	4
	у\^	5 10 15 20 25 30			10 15 20 25 30 35
3	14 24 34 44	4	6	8	4 8 10	6 ;	32 4 12	6	18	10 30 ; so ' 70 : 90	2 4	8 4 10 4	7	5	1 3	2	5	10 2	4	6	5 3	5	6	4
		15 20 25 30 35 40			10 12 14 16 18 20 22
4	100 120 140 160	2 1	7 4	2	3 5	10 5 2 3	12 3	ю :	20 40 60 80 100	2 6 5	4 ! 4	5	1	7 ; 4 2 8 10	4 3	10	2 5 3	4	6 5
-	У^\	20 25 30 35 40 45			5 10 15 20 25 30
5	105 115 125 135 145	4	2	1 2	1	3	8	5 4	2	1	3 3 2 10	3 2' 13	8	2	20	80 100 ' 120 140 160	5	1	4 7 2	6	5	4 3	4	5	6 10	2 3 5 10	4	8	2	4 ...	.	.	1
		ДО 15 20 25 30 35			10 15 20 25 30 35 40
6	15 25 35 45 55	6 4 6	8 20	2	5 5	12	6 1,	1	5 ;	21	Г 10 20 30 40 50 ;	1	5	7 4 2	4	6	5 3	5	4 6 10	2	3	5 2	4	4 8 10
407
Продолжение табл. 5
Вариант	Корреляционная таблица		Вариант	:	Корреляционная таблица	
		5 10 15 20 25 30 35			30 40 50 60 70 80 90
7	30 40 50 60 70	6	4	2 5 4	5	7 1 4 3	5	6 5	3	10 2 4 10 4 2 8	; 22	20 зо; 40 50 ! 60	;	6	4	2 5 4	5	7	1	6 4	3	5	10 5	3	4	2	8 4	10	2
	}Х*	12 17 22 27 32 37			24 28 32 36 40 44 48
8	105 115 125 135 145	4	3 2 3	1	10 3	5 1	4 8 2 1 1 2	;	23	10 20 30 40 50	6	4	2 5 4	5	7	1 4 3 5	6 5 3	10 2 4 10 4 2 8
	X	10 15 20 25 30 35		X	5 10 15 20 25 30 35,
: 9	14 1 24 ! 34 44  54	4	2	1 2	1	3	8	5 4	2	1	3 3 2 10	32 13	9	1	24	5 15 25 35 45	10	3	5	1 4 4	10	2	8 3 4	6	6 4	7	15 : 2 5	10
	X	10 15 20 25 30 35		^"х	10 15 20 25 30 35 40
10	20 40 60 80 100	15	7	4 2	4	6	5 3	5	4	6 10	2	3	5 2 4	4 8 10	25	15 30 45 60 . 75	X	4 6 5 4 7	15 3	4	5 6 <3 5	2	10 42	4 10 8
	yXj,	5 10 15 20 25 30		X	20 22 24 26 28 30 32
11	15 i 25 35 45 5 55	6	4	2	2 4	2	8	1	5 10	7	1 5	3	8	6	7 9	5	4	1	26 1 1 !	30 40 50 60 70	6	4	2 5 4	5	7 1 4 3	5	6 5 3	10 2 4 10 4	2 8
	X	5 10 15 20 25 30 35		X	5 10 15 20 25 30 i
12 ।	5 ' 15 | 25 ! 35 45	10	3	5	1 4 4	10	2	8 3 4	6	6 4	7	15 2 5	10	27 ;	! 100 ! ио 120 130 140	6	4	2	2 4 2 8 1 5 '	10	7	1 5 3 8	6 7 9	5	4	1
408
Окончание табл. 5
Вариант'	Кс	^реляционная таблица				Вариант	Корреляционная таблица				
13	X	10 15 20 25 30 35 4Q				28 :		20 25 30 35 40 45			
	: ю 20 зо ; 401 50	2	4 6 5 4 7	15 3	4	5 6 3 5	2	10 42	4 10 Я					30 40 50 60 70	6	4	2 4 15	7 3	4 5	6 5 3	10	2 2 3	3 5			
14	Г\	5 10 15 20 25 30 35				29	/<	10 15 20 25 30 35			
	30 । ; 40 50 60 70 !	6	4	2 5 4	'5	7	1 4 3 5	6; 5	3	10	2 4	10	4	26					: 36 46 56 66 76	4	3 2 3	1	10 3	5	1	4 8 2 1 1	2			
15		10 15 20 25 30 35 40				30	Н	42 46 50 54 58 62			
	30 50 ' 70 90 110	4	7	15 2	4	6 5 3	4 5 6 10	2	5 3 2 4	8 4	10					15 ; 25 i 35 45 55	4	2	1 2	1	3	8	5 :	4	2	1	3 3 2 10	32 13	9	1			
		Таблица 6. Варианты задания 6									
Вариант	Ном< иэмсрс	8? и ГИЯ	Ф1	Фг	&3	Вариант;	Номер измерения		Ф1	#2	ф3
1	1 2 3 4 5		: 24 ' 16 12 5 6	18 14 10 4 16	22 15 16 12 8	: 16	:	1	; 2 :	з ;	4	’ & :		8 12 11 ! 10 ' : 14	18 23 22  \ 20 : 21	34 36 32 : 30 ; зз
2	1 2 3 4 5	1	10 8 7 18 ' 6	14 5 14 4 12	12 9 10 7 8	17	1 2 8 4	; 5		: 21 45  18 : 16 ; 40	35 30 ; 38 : 18 , 34	69 54 40 12 36
3	1 2 3 4 5		16 10 > 20 25 24 '	' 9 8 9 7	: 5	: 14  16 12 । 16 14	18 :	: 1 2 3 4	: 5	:		12 10 11 10 16	34 32 30 33 31	18 21 22 20 28
409
Продолжение табл- 6
Вариант	Номер намерения		<₽2	Ф3	Вариант	Номер измерения	*₽1	Фг	«Рз
	1	34	38	28		1	8	15	24
	2	36	30	24		2	16	24	34
4	3	26	34	22	19		3	40	42	18
	4	25	36	20		:	4	12	25	9
	5	30	38	23		5	32	30	14
	1	48	40	34		; 1	124	64	34
	2	38	42	38		2	136	54	30
5	3	30	37	44	20	3	120	44	28
	4	40	33	41		:	4	133	56	33
	5 .	36	39	45		;	5	125	59	31
	1	12	10	20		1	17	26	45
	2	16	8	26		: 2	40	16	12
6	3	15	7	28 ;	21	3	16	17	40
	4	17	5	24		:	4	36	30	17
	5	:	14	9	27		5	30	12	44
	1 ;	44	40	38		; 1	45	36	44
	2	'	45	36	28		2	44	30	28
7	з :	48	32	30	; 22	3	40	31	15
	4	:	45	35	32 		4	41	38	40
	5	40	30	26 :		5	39	35	32
	1	16	18	26 ;		1	12	24	20
	2	12	20	15 :		2	16	20 :	18
8	3	10	22	28	23	3	14	34	14
	4	11	25	30		4	15	26	20 ;
	5	10	24 ]	26		5	13	: 28	19
	1	9	4 '	12		1	24 ;	32	зо :
	;	2	11	6	18		2	28 !	42	16
9	3	10	5	24	24	3	40	‘ зо :	9
	4	12	6	20		4	56	18	16 ।
	; 5	9	5	23		5	24	24	10
	1	54	32	16		- 1	108	244	326 I
	2	' 50	46	36		2	124	234 ;	304
; Ю	3	: 43	28	30	25	3	ПО	254	298
	;	4	'	’ 47	37	25		4	126	245	318
		5 I	: 36	28	17		5	114	236	312
410
Окончание табл. 6
Вариант	Но: ас нзме| «I	р <ия		ф2	Фэ	Вариант	Номер измерения	' ф1	*2	*3
	1		28	36	12		1	24	46	: 68 :
			24	34	10		2	26	45 ,	76
11	я		26	30	14	26	3	;	25	44	75
			27 .	29	18		4	27	40	68
	»		25	31	20		5	22	43	77
	' 1		26	34	68		1	12	22	21
	2		45	30	46		2	14	20	30
12	3		44	46	28	27	3	36	18	12
	:	4		27	17	34		4	20	9	31
	5^		42	36	30		5	53	44	30
	1		18	24	36		1	34	102	68
	2 '		28	36	12		2	35	98	60
13	3		12	28	22	28	3	30	106	56
	4		14	40	45		4	33	112	57
	:  5		32	16	40		5	32	110	55
	! 1		47	56	64		1	25	45	56
	2		46	55	60		2	64	24	54
14	3		45	54	58	29	3	30	12	16
	4		41	50	62		4	20	47	32
	5		43	52	61			46	18	42
	1		16	28	46		: ’ 1	24	34	45
	2		20	12	43		2	26	30	47
15	3		31	40	24	зо ;	3	25	31	44
	4		56	24	14		4	27	29	42
	5		22	34	6		5	\	28 :	32	43
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
28.	МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗАДАЧИ
МАТЕ МАТИЧЕСКО ГО П РО ГРАМ МИ РОВАНИЯ
Математической моделью экономической задачи называется сово-
купность математических соотношений, описывающих рассматрива-
емый экономический процесс.
Для составления математической модели необходимо: 1) выбрать пе-
ременные задачи; 2) составить систему ограничений; 3) задать целевую
функцию.
Переменными задачи называются величины xlt х2, .которые
полностью характеризуют экономический процесс. Их обычно записы-
вают в виде вектора X = (хг, х2, xrt).
Сисщелсой ограничений задачи называется совокупность уравнений
и неравенств, которым удовлетворяют переменные задачи и которые сле-
дуют из ограниченности ресурсов или других экономических условий,
например условия положительности переменных. В общем случае они
имеют вид
^2...^п) —	2, If
^2> *'**	**	/”/4'1,/+' 2,	Л1.
Целевой функцией называют функцию Z(X) — f(xlt х2> хя) пере-
менных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи и
экстремум которой требуется найти.
Общая задача математического программирования формулируется
следующим образом; найти переменные задачи хь х2, ..., хп, которые
обеспечивают экстремум целевой функции
Z(X) = /(xj, х2,	xft) —* max (min)
и удовлетворяют системе ограничений
х2, .... хп) = О, 4 = 1, 2.I,
ФД^!» ^2*	х ~ Z -I- 1, Z 2, ...,
(28.1)
(28.2)
412
тсли целевая функция (28.1) и система ограничений (28.2) линейны,
то задача me тематического программирования называется задачей ли-
нейного npoi раммирования.
Допусти! lbw решением (планом) задачи линейного программирова-
ния называемся любой л-мерный вектор X = (xi( х2, .хл), удовлетво-
ряющий системе ограничений и условиям неотрицательности. Множест-
во допустимый решений задачи образует область допустимых решений.
Оптимальным решением (планом) задачи линейного программиро-
вания называется такое допустимое решение (план) задачи, при котором
целевая функция достигает экстремума.
28Л. Примеры составления математических моделей
экономических задач
28.1	(задача использования ресурсов). При производстве
тг видов продукции используется т видов ресурсов. Известно:
Ь2» •••»	— запасы ресурсов; (1 = 1, 2, т; j = 1,
2,	п) — расход каждого i-ro вида ресурса на изготовление
единицы j-й продукции; Cj (у = 1, 2, п) — прибыль, полу-
чаемая при |реализации единицы у-й продукции. Составить
план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную
прибыль.
Решение. Обозначим вектор переменных задачи X ~ (жц х2, ..., х„), где xj
(/ = 1, 2, ...» п) — объем выпускау-й продукции, Учитывая, что c^Xj — прибыль от
реализации всего объема /й продукции, — затраты i-ro вида ресурса на весь
объем выпуска j-i продукции, запишем математическую модель задачи. Кроме то-
го, необходимо учитывать неотрицательность переменных задачи, так как объем
выпуска продукц аи не может быть отрицательным. Таким образом, математиче-
ская модель имеет: вид
Z(X) - CiXj + с2х2 + ... + с„я^ -* max,
«11*1 + «1Й*2 + - + «1л*Л< *1,
a2lxi + д22х2 + ... + а2пхп < Ь2,
«я» 1*1 + «т2*2 +	+ ажлхп ^и’
Xj > 0, / = 1»21,.мп.
28.2	(задачи о составлении рациона питания). Животные
должны получать ежедневно m питательных веществ в коли-
честве не менее Ьг, Ь2, ., Ьт- В рацион животных входят корма
и видов. Известно:	(/ = 1, 2, ..., m.; j == 1, 2, ..., п) — со-
держание i-ro питательного вещества в единице у-го вида
й	413
корма; Су (^*-1,z, .л, п.) — стоимость единицы у-го вида кор-
ма. Составить суточный рацион Кормления животных, обеспе-
чивающий минимальные затраты.
'	>		'		-	 '.i-
Решение. Введем переменные задачи X  (xj, ..., где^ (j 1, 2....п) —
объем /го видя корма, входящего в суточный рацион. Так как O-jjXj — количестве
pro питательного вещества, содержащегося в /м виде корма, входящего в суточный
рацион, CjXj — стоимость /го корма, то математическая модель имеет вид
Z(X) =• CjX/ + с2Х2 + ... + спхЛ — min,
^11^1 + «12^2 + - + а1п*Л >
аг1хг + а28хг + ... + а2яхд > Ьг,
amlxl вя»2*2 "**	+ amnxjt ** &«»
х, 0. У “ 1, 2, ..., п.
Составить математические модеди следующих задач:
28.3.	При производстве двух видов продукции использует-
ся три вида сырья. Составить цлан выпуска продукции, обес-
печивающий максимум прибыли. Исходные данные таковы:
а)	б>
Запасы сырья	Расход сырья на , единицу продукции	
	№ 1	№2
20	2	
12	1	1
30	Г	3
Прибыль	40	50
Запасы сырья	Расход сырья на J единицу продукции	
	№ 1	№2
30	1	3 1 -	-	
48	4	3	!
со ;	3	3
! г Прибыль ..	70	'	60	"
28.4.	В рационе животных используется два вида кормов.
Животные должны получать три вида веществ. Составить ра-
цион кормления, обеспечивающий минимальные затраты. Ис-
ходные данные таковы:
а)	б)
Необходимое количество : питательного вещества	Содержание пита- тельного вещества в единице корма	
	№ 1	№2
15	5	i
12	2	1
7	1	1
Стоимость единицы ' корма	40	30
Необходимое количество питательного вещества	Содержание пита- тельного вещества  в единице корма	
	№ 1	№2
12	2	1
10	1	1
24	2 !	3
Стоимость ^единицы 'корма	60	:	60
414
28.2. Приведение общей задачи
линейного программирования к канонической форме
Каноническая задача линейного программирования имеет вид
Z(X} — сххх 4- С2.Х2 4- ... 4- c„xn —* (max) min.
^11^1 4~ ®12x2	alnxn ^1’
a2lxl +• «22ХЯ + — + a2nxn = b2*
amlxl &m2x2	amnxn
L
Xy >0, j = 1, 2, ..., n.
Она отличается от других задач тем, что ее система ограничений явля-
ется системой уравнений и все переменные неотрицательные.
При необходимости перехода от неравенства к уравнению вводят до-
полнительные переменные. Неравенство аахх 4- а^х2 + ... + ainxn <
заменяется уравнением аахх + ^tzx2 +	+ атхп + хп+1 = и условием
неотрицательности дополнительной переменной хп+х > О, а неравенство
aiXxx + ai2x2 4- ... 4- а/лхл >	— уравнением aixxx 4- ai2x2 4- ... 4- ainxn -
- хл + 1 = и условием неотрицательности хп+1 > 0. Дополнительные пе-
ременные вводят в целевую функцию с коэффициентом, равным нулю.
Любая пе доменная х;, на которую не наложено условие неотрицатель-
ности, замен дотся разностью двух других неотрицательных переменных
xj = xj - х" , Xj > 0, xj' > 0.
В канони доской задаче целевая функция может как минимизиро-
ваться, так и максимизироваться. Для того чтобы перейти от нахожде-
ния максимума к нахождению минимума или наоборот, достаточно из-
менить знак! коэффициентов целевой функции. Полученная в резуль-
тате этого задача и исходная задача имеют одно и то же оптимальное
решение, а значения целевых функций на этом решении отличаются
только знакол.
При peniei ии некоторых задач возникает необходимость перехода от
каноническое г задачи к симметричной, которая в матричной записи
имеет вид ,
Z(X) = СХ-> шах,
АХ <Aq, X > 0
или
Z(X) = СХ — min,
АХ > Ao, JT > 6,
где С = (ех> с2, L.., сл>,
415
28.5.	Привести к каноническому виду задачу линейного
программирования
Z(X) == 3xj + х2 + х3 —> min,
д
Xj + 2х2 + х3 — 7, ;
*1 - Х2 + 2х3 < 1,	+х4
2хг + х2 — 2х3 > 5, ~х§
X; > О, /	2, 3.
Решение, Перейдем к задаче на отыскание максимума целевой функции. Для
этого изменим знаки коэффициентов целевой функции. В целях превращения в
уравнения второго и третьего неравенств системы ограничений введем неотрица-
тельные дополнительные переменные х4, х6 (на математической модели эта опе-
рация отмечена буквой Д). Переменная х4 вводится в левую часть второго нера-
венства со знаком ч+», так как неравенство имеет вид « < ». Переменная х6 вводимяг1
в левую часть третьего неравенства со знаком *— », так как неравенство имеет вид
<>♦. В целевую функцию переменные х4, х& вводятся с коэффициентом, равным
нулю. Переменную хх, на которую не наложено условие неотрицательности, заме-
няем разностью .х1 = х\ — х^', х^ > О, х'( > О. Записываем задачу в каноническом
виде:
Z(X) — —3xJ + Зх" - х2 — х3 + 0х4 + 0ха —* шах,
*1 - x'l' + 2хг + х3	- 7,
xj - xf - xz + 2х3 + х4	— 1,
2xj - 2х" + х2 + 2х3	~ х5 = 5,
xj > О, xj' >0, х}> 0, / = 2, 3, 4, 5.
28.6.	Привести к симметричному виду задачу линейного
программирования
Z(X) = 4xj ~ 5х2 + х3 + 2х4 —* шах,
{Зх2 — 2х2 + х3 + 4х4 = 6,
—7xj + 10х2 + Зх3 — 4х4 = 2,
х^ > О, j = 1, 2, Зт 4.
Решение, Методом Жордана—Гаусса приведем систему уравнений-ограниче-
ния задачи к равносильной разрешенной. Одновременно разрешенные неизвест-
ные исключим из целевой функции. Для этого в таблице решения задачи
(табл. 28.1) наряду с коэффициентами уравнений системы ограничений в допол-
нительной строке запишем коэффициенты целевой функции. В последнем столбце
дополнительной строки (на месте правой части уравнения) запишем свободный
член целевой функции, равный кулю. При вычислениях учитываем, что разре-
шающий элемент в последней строке (в целевой функции) выбирать нельзя.
416
Таблица 28.1
Целе: >ая
функция
Xi	х2	*3	*4	b	
3	-2	S	4	6	х(-3) х (-
-7	10	3	-4	2	1
4	-5	1	2	0			
3	-2	1	4	6	
-16	16	0	-16	-16	X Vlfi
1	-3	0	—2	-6	
3	-2	1	4	6	
-1	0	0	-1	-1	х 2 хЗ
1	-3	0	-2	-6	-	1
1	0	1	2	4	
; -1	1	0	-1	-1	
-2	0	0	-5	-9	
1)
Число -9, полученное в последнем столбце последней строки таблицы, необ-
ходимо записать в целевую функцию с противоположным знаком. В результате
данных прео Зразованнй задача принимает следующий вид:
2(Х) = -2хг	- 5х4 + 9 -* max,
xt + х3 + 2х4 — 4,
+ *2	~	---1 -
Xj >0, j *- 1, 2, 3, 4.
Так как переменные x3, x3 неотрицательные, отбросив их, можно записать
задачу в сим1 [«тричном виде
Z{X) = —2*i — 6x4 + 9 max.
xj + 2х4 С 4,
-Xj- х4^-1,
Xj >0, j - 1, 4.
Привести к каноническому виду:
28.7. Z(J Г) = 3xj — 2х2 + х3 max,
 2xj	Зх3 < ~-1,
 Зхг + 4х2 + 2х3 > 6,
Xj + 2х2 - х3 > 2,
Xj > 0, >=1, 2, 3.
 14 Сборник задач пр высшей математике
417
28.8.	Z(X) = 2xx 4- x2 — 3x3 4- 4x4 max,
xt + 2x2 — x3 + x4 > 4,
2xr 4- 3x2	— 2x4 > 4»
xx + 3x2	= 8,
Xy > (),	/ = 1, 2, 3, 4.
Привести к симметричной форме записи:
28.9.	Z(X) = 2хх — х2 + 2х3 4- х4 —* max,
— хг 4- х2 4- 2х3 — х4 = 2
9хх — х2 — бх3 4- 5х4 ~ 6
ху > О
} — 1» 2, 3, 4.
28.10.	Z(X) — 4х} — х2 4- Зх3 4- 4х4 max,
7xi ~ Юх2 — Зх3 4- 2х4 = 6,
— хг 4- 4х2 4- Зх3 4- х4 = 12,
Ху > О, 7 = 1,2, 3, 4.
28.11.	Z(X) = 9xj — 11х2 — Зх3 4- 8х4 4- 6x5 —* max
— Xj -h	2х2 4-	х3 — х4 4-	2х§	=	3,
< Xj 4-	2х2 4- 2х3 4- 2х4 4-	9xs	=	14,
2xt —	Зх2 —	х3 4- 2х4 —	х5	~	—	1,
Ху > О,	j = 1,	2, 3, 4, 5.
28.12.	= Xj 4- х2 4- х3 — 2х4 + Зх5 max,
— х4 4-	х2 4-	х3 — 4х4	—	2х5 =	5,
Зхг —	х2 4* 2х3 4- 7х4	+	9х5 =	8,
2хг 4-	2х2 4-	х3 4- 9х4	+	Зх5 =15,
ху >0, j =	1, 2, 3, 4, 5.
418
(29.1)
(29.2)
(29.3)
29. ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
29.1. Графический метод решения задач
линей лого программирования с двумя переменными
Графический метод используется для решения задач с двумя пере-
менными следующего вида:
Z(X) 	+ с2х3 “* max (thin),
а11х1 + а12х2	(^) ^1’
^21^1	а22х2	(^) ^2»
I ят1*1 +	< (>)
xL > 0, х2 > 0.
Даннык метод основывается на возможности графического изобра-
жения области допустимых решений задачи и нахождении среди них
оптимального решения..
Область допустимых решений задачи строится как пересечение (об-
щая часты областей решений каждого из заданных ограничений (29.2),
(29.3).
Областью решений линейного неравенства njjXj + 0,2^2 является
одна из двух полуплоскостей, на которые прямая + ui2x2 ~ 0, соот-
ветствующая данному неравенству, делит всю координатную плоскость.
Для то] *о чтобы определить, какая на двух координатных полуплос-
костей явл яется областью решений, достаточно координаты какой-либо
точки, не лежащей на прямой, подставить в неравенство: если оно удов-
летворяется, то областью решений является полуплоскость, содержа-
щая данну ю точку, если же неравенство не удовлетворяется, то областью
решении является полуплоскость, не содержащая данную точку.
Областью допустимых решений задачи является Общая часть полу-
плоскостей г —- областей решений всех неравенств системы ограничений.
Для нахождения среди допустимых решений оптимального решения
используют линии уровня и опорные прямые.
Линией уровня называется прямая, на которой целевая функция за-
дачи принимает постоянное значение. Уравнение линии уровня в общем
случае имеет вид ctxt + с2х2 = I, где I = const. Все линии уровня парал-
лельны между собой. Их нормаль п = (сг, с2).
Опорной прямой называется линия уровня, которая имеет хотя бы
одну общую точку с областью допустимых решений и по отношению к
которой эт1 область находится в одной из полуплоскостей.
419
Область допустимых решений любой задачи имеет не более двух опор-
ных прямых, на одной из которых может находиться оптимальное ре-
шение (рис. 29.1).
Рис. 29.1
Значения целевой функции на линиях уровня возрастают, если ли-
нии уровня перемещать в направлении их нормали, и убывают при пе-
ремещении линий уровня в противоположном направлении.
Алгоритм графического метода решения задач линейного програм-
мирования с двумя переменными:
1.	Построить область допустимых решений.
2.	Если область допустимых решений является пустым множеством,
то задача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.
3.	Если область допустимых решений является непустым множест-
вом, построить нормаль линий уровня гё — (с1г с2) и одну из линий уров-
ня, имеющую общие точки с этой областью.
4.	Линию уровня переместить до опорной прямой в задаче на макси-
мум в направлении нормали, в задаче на минимум — в противополож-
ном направлении.
5.	Если при перемещении линии уровня по области допустимых ре-
шений в направлении, соответствующем приближению к экстремуму це-
левой функции, линия уровня уходит в бесконечность; то задача не име-
ет решения ввиду неограниченности целевой функции.
6.	Если задача линейного программирования имеет оптимальное ре-
шение, то для его нахождения решить совместно уравнения прямых, ог-
раничивающих область допустимых решений и имеющих общие точки
с соответствующей опорной прямой. Если целевая функция задачи до-
стигает экстремума в двух угловых точках, то задача имеет бесконечное
множество решений. Оптимальным решением является любая выпук-
лая линейная комбинация этих точек. После нахождения оптимальных
решений вычислить значение целевой функции на этих решениях.
420
29.1. Решить задачу линейного программирования
Z{X) = Зхх + 2х3 -* max,
хх — х2 + 2 > О,
Зхх — 2х2 — 6 < О,
2хх 4- х2 - 2 > О,
х2 < 3,
(1)
(2)
(3)
(4)
хх > О, х2 > О.
Решение. Строим обл асть до-
пустимых решений задачи. Нуме-
руем ограничения задачи. В пря-
моугольной декартовой с истеме
координат ;рие- 29.2) строим пря-
мую - хг + 2 “О (ij)r соответ-
ствующую ограничению (1). Нахо-
дим, какая из двух полуплоскос-
тей, на которые эта прямая делит
всю координатную плоскость, яв-
ляется областью решений нера-
венства (1). Для этого достаточно
координать какой-либо точки, не
лежащей hjl прямой, подставить в
неравенств* Так как прямая Ь1
не проходил* через начало коор-
Рис. 29.2
динат, под з тавляем координаты
точки О (0( 0) в первое ограни-
чение 1- 0 — 1- 0 + 2 > 0. Полу-
чаем строг* е неравенство 2 > 0.
Следователе но, точка О лежит в
полуплоскости решений. Таким образом,
стрелки на концам прямой должны
быть направлены в полуплоскость, содержащую точку О. Аналогично строим пря-
мые Зх3 - 2ха - 6 - О (£2), 2х3 + хй - 2 == О (£3), х5 = 3 <-L<) и области решений
ограничениз с (2), (3) и (4). Находим общую часть полуплоскостей решений, учи-
тывая при эгом условия неотрицательности; полученную область допустимых ре-
шений отмерим на рис. 29.2 штриховкой.
Строим нормаль линий уровня п я (3, 2) и одну из этих линий, например
3xj + 2x2 * Так как решается задача на отыскание максимума целевой функ-
ции, то линию уровня перемещаем в направлении нормали до опорной прямой.
Эта прямая проходит через точку X* пересечения прямых, ограничивающих об*
ласть допустимых решений и соответствующих неравенствам (2) и (4). Опреде-
ляем коорди маты точки X* = Ъа п	Решая систему
3X1 " 2Хд б ™ О,
получаем
#2	“
X* = (4, 3). 1 вычисляем Z(X*) = 3 4+2-3 = 18.
О твет: max Д(Х) =* 18 при X* ™ (4, 3).
421
29.2. Решить задачу: линейного программирования
Z(X) = 4Х}-+ 2х2	min,
/4X1 “ х2> О, (1)
; 2х| 4- х2 > 6, (2)
« Хг:+2Х2<16, (3)
Xi < 4, (4)
Xj - х2 < О. (5)
Решение, Строим область до-
пустимых решений, нормаль линий
уровня п — (4, 2} и одну из линий
уровня, имеющую общие точки с
этой областью (рис, 29.3). Переме-
щаем линию уровня в направлении,
противоположном направлению
нормали п , так как решается'задача
на отыскание минимума функции.
Нормаль линий уровня n^(4, 2) и
нормаль п 2 « (2, 1) граничной пря-
мой L2t в направлений которой пере-
мещаются линии уровня, парал-
лельны, так как их координаты про-
порциональны (4 : 2 = 2 : 1). СледЬ-
вательно, опорная прямая совпадает
с граничной прямой ia области до-
пустимых решений и проходит че-
рез две угловые точки этой области
* *
X] и Х2 - Задача имеет бесконечное
множество оптимальных решений,
являющихся точками отрезка [Xj , Х2 ] . Эти точки Хх = L2 П L&,

находим, решая соответствующие системы уравнений:
1 2«i + хг “6,	(Zr2)
I Х1 ~ * х2 “ 0 (Ь$)
3xt  6;
xj — 2, х2 ~= 2;
X* = (2, 2);
(4xj — х2 = 0, (ij)
[2X1 + х2 = б (Л2)
6хг - 6: '
хх " !• хг "
х; - (1,4),
Вычисляем Z(X2) — Z(X2) ” 4  1 + 2  4 — 12.
Ответ: min Z(X) 12 при X* = (1 — t) Хх + tX2 , О С t < 1.
422
29.3. Решить задачу линейного программирования
Z(X) =	+ 7х2 —- max,
5jcj -	х2	>	О,	(1)
«1 +	х2	>	5,	(2)
х2	>	3,	(3)
-	Зх2	ч	0.	(4)
Решение. Строим область
допустимых решений, нормаль
п (3, 7) I одну из линий уров-
ня (рис. 29.4).
В даннс й задаче необходимо
найти максимум целевой функ-
ции, поэто «у линию уровня пе-
ремещаем в направлении нор-
мали- Ввилу того что в этом на*
правлении область допустимых
решений нэ ограничена* линия
уровня уходит в бесконечность.
Задача не г мест решения вслед-
ствие нео f ран ичен ности цел е *
вой функции.
Ответ: Z(X) “* +«.
Рис. 29,4
29.4.	решить задачу линейного программирования
Z(X) = 4х| + 5х2 ~* max,
Зхг	—	х2 >	О,	(1)
!	х2	6,	(2)
<	2хг	+	х2 < 16,	(3)
— Xi + 2х2 >	2,	(4)
I	Xi	-	х2 >	3.	(5)
423
Решение. Строим прямые линии, соответствующие неравенствам системы ог-
раничений и находим полуплоскости, являющиеся областями решений этих нера-
венств (рис. 29.5).
Область допустимых решений задачи является пустым множеством. Задача
не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений.
Ответ: система ограничений несовместна.
29.2. Графический метод решения задач
линейного программирования с л переменными
Графическим методом решаются задачи линейного программиро-
вания, записанные в каноническом виде и удовлетворяющие условию
п - г < 2, где п — число неизвестных системы ограничений; г — ранг
системы векторов условий. Если уравнения системы ограничений ли-
нейно независимы, то ранг г равен числу уравнений системы т.
29.5.	Решить задачу линейного программирования
Z(X) = —Xj - х2 + х3 + Зх4 + 7х5 —* min,
—Xj + х2 + х3 + 2х4 “ Зх5 = 4,
х1 + х2 + 4х3 + х4 — 8х5 = 3,
х2 + Х3 - 4х5 = -4.
х^ > О, у = 1, 2, 3, 4, 5.
Решение. Метод применим, так как в-г”5-Зш2.
424
Методом Жордана—Гаусса приведем систему у равнений-ограничений задачи
к равносильной разрешенной (табл. 29.1). Одновременно исключим разрешен-
ные неизвестные из целевой функции.
Таблица 29.1
	*1	*2	*3	*4	*5	ь 1	
	-1	0	1	2	-3	4	Система
	1	1	4	1	-8	3	> уравнений- ограничении
	0	1	1	0	—4	—4 |	j
	-1	-1	1	3	7	0 I	Целевая функция
	-1	1	1	2	-3	4	
	2	0	3	-1	-5	-1 .	
	0	0	0	-2	-1	-8 ,	
	“2	0	2	5	4	4	
	о	1	1	0	-4	-4	
	0	0		3	'3	। 15	
	1	0	0	-2	1	1 “8	
	0 L 		0	2	1	2	1 ~12	
	0	1	0	-1	-3 !	-9	
	0	0	1	1	-1 1	5	
	1	0	0	-2	-1 1	-8	
	1 0	0	0	-1	4	' -22	
Используя последнюю часть табл. 29.1, запишем задачу линейного програм-
мирования в преобразованном виде:
Z(X) =	“Х4 + 4х6 + 22 —* min,
*2	~ *4 ” 3*5 —
х3 + х4 - х5 5,
*1	-2х4~ х5 = ~8,
Xj >0, j = 1, 2, 3, 4, 5.
Отбросим в уравнениях-ограничениях неотрицательные разрешенные неиз-
вестные jх2, х3 и заменим знак равенства знаками неравенства «<», получим
вспомога'-ельную задачу линейного программирования с двумя переменными
Z(X) — —х4 + 4rg + 22 —► min.
- х4 - Зх5 <-9, (1)
х4 - х6 < 5, (2)
-2х4- xs<-8, (3)
х4 > 0, Хй > 0.
425
Решаем задачу графическим методом (рис. 29.6). Свободный член в целевой
функции 22 на отыскание оптимального решения не влияет и учитывается толь-
ко при вычислении значения целевой функции.
Находим оптимальное решение вспомогательной задачи X* = л Ь2:
[-х4-3х5₽-9т (Iq)
, х4 ~ *S ** 5	(.£«2,)
- 4х5 = -4;
x;-i, х; = 6;
X* = (6, 1).
Вычисляем минимальное значение целевой функции Z(X*) = -1 • 6 + 4 • 1 +
+ 22 = 20.
Находим оптимальное решение исходной задачи. Для этого используем сис-
тему ограничений в разрешенном виде:
х2 - х4 - Зх5 - -9,
х3 + х4- х5= 5,
xt	“ 2xt - х5 = -8.
Вычисляем x-J, xj и х J :
Хо "5-х? + х?  5 - 6 И “ 0,
а	-Ч	3
Получаем X* = (5,0, 0, 6, 1).
Ответ: min 2Г(Х) = 20 при X* - (5, 0,
426
х£ = -9 + х4 + Sig =-9+ 6 + 3-1= 0,
х4 = —8 + 2х4 + х£ =-8+ 2- 6 + 1" 5,
), 6, 1).
Репп	i гь задачи линейного программирования графическим	
методой	i:	
29.6. Z(	X) = 2хх + х2 -*• min, 29.7. Z{X) ~ xx - 3x2 min,	
	хг + x2 < 12,	- xx 4- x2 < 6,
	l!xx - x2 C12,	i-2xx 4- x2 < 6,
	2xx-x2> 0,	xx 4- 3x2 > -3,
	2xx +. x2 > 4,	xx - 2x2 < 2.
	x2 > 0.	
29.8. Z(	X) = 4xx - 3x2 —* max, 29.9. Z(X) “= -xx 4- 4x2 —* min,	
г1	xx 4- x2 < 5,	2xx 4- 3x2	24,
	5xx - 2x2 < 20,	—8xx + 3x2< 24,
	8xx ~ 3x2 > 0,	2xx 3x2	12,
L	5xx - 6x2 < 0.	4xx 4- 3x2 -12.
29.10. 2	(X) = Xj + 2x2 ”* max, 29.11. Z(X) = 3xx 4- x2 max,	
	t0 V tN	2xi + x2 > -4,
	-3xx 4- x2 < 12,	
		Xi 4- x2 > 0,
	Xi + Xo > 0,	н	
	A	u	Xi 4- 2x2 > 2,
	xx- x2< 0,	
	Xj + 2x2 < 12.	JCg	2.
29.12. i	'(X) = 3xx 4- 5x2 —* min, 29.13. Z(X) = 2xx + 5x2 min,	
	xx + x2 > 0,	2X1 ~ x2 0,
	3xx + x2 C 3,	2X1 + x2 1®»
	5xx + 4x2 > 20,	-2xx 4- 5x2 > 3,
	Xi - x2 > 0.	- Xi 4- 2x2 < 2.
29.14. \	/(X) = xx + 3x2 —► max, 29.16. Z(X) = xx 4- 4x2 -* max,	
	“2xx 4- x2 < 2,	-4xj 4- x2 C 4,
	- xx + 2x2 C 7,	— хг 4- x2 < 5,
	xx + 3x2 < 18,	- xx 4- 2x2 < 2,
	4xx - 3x2 < 12,	3xT 4- 4x2 >12,
	Xj >0, x2 > 0.	xX '> 0, x2 > 0.
427
29.16.	+ 2х2 —* max
-3xi + 2x2 <12,
3xj — 2x2 < 6,
3xj 4- x2 > 3,
Xj 0, x2 0.
29.18. Z(X) - 6xj
, 4xx
-2xj
5xx
29.17. Z(X) = 2хг - 4x2 -r* min,
5хг - 2x2 > 0,
< - xx 4- 2x2 < 8,
i[_ Xi — 3x2 < 3,
Xj > 0.
+ 3x3 — x4 4- 3x5 —* max,
- 4x2 4- x8 + x4 = 16,
+ 4xa - x4 + x5 = 4,
- x2 4* x3 + x4 + x5 “ 34,
Xj >0 Vj.
29.19. Z(X)	= 3xt - 8x2	— 2x3 4-	2x4 — 4x3 —* max
	хг — 4x2	+ x3 -	x4 - xs = —22,
	-6Xi + 3*2	4- X3 4-	*4	=	6,
	. 2X1 + 2x2	“ *3	4- X5= 17,
Xj > 0	Vj.
29.20.	Z(X) = 3xi + 2x2 ~ 2x3 4- 3x4 4-’ x5 —* min,
X1 “ x2 + x3 - x4 = 2>
- Xj 4- x2 4- 2x3	+ x5 = 4,
2xi ~ x3 + x4 + x6 = 4,
Xj > 0 V/.
29.21.	Z(X) = 2xT 4- 7x2 4- 2x3 4- 2x4 4- 3x5 “* max,
XT 4-	5x2 -	x3 + x4	' x5 = 5
3xi —	x2	4" *4	- 2x5 - 4.
	7x2 -	x3 + x4	= 7
	x;S	* 0 V/,	
428
29.22.	Z(X) llxj — 4jc2 + 2x3 — 5x4 4- 2x5 —* min,
Xj 4- 7x2 - 2x3 — 2x4 4- x5 = 5,
2xT 4- 2x2 — x3 + x5 = 18,
2xr - 4x2 4- x3 + x4 =8,
x; > О V/.
29.23.	Z(X) = Xj - 6x2 + 2x3 - x4 + 3xs —► max,
xt + 2x2 + x3 4- x4 4* x5 = 14,
^3x1-3x2 - x3	4- x5= 1,
,	4x2 4- x3 4- x4 = 12,
Xj > О V/.
29.24.	Производственная мощность завода позволяет произ-
водить за месяц 20 тыс. изделий типа А или 16 тыс. изделий
типа В. Прибыль, получаемая заводом при реализации одного
изделия типа А, равна 800 ден. ед., типа В — 1000 ден, ед.
1.	Определить план выпуска изделий каждого типа, обеспе-
чивающей наибольшую прибыль.
2.	Найти план выпуска изделий в случае, если прибыль от
реализации изделий типа А: а) увеличится; б) уменьшится.
29.25.	Механический цех может изготовить за смену
600 деталей № 1 или 1200 деталей № 2. Производственная
мощность термического цеха, куда эти детали поступают на
термообр 1ботку в тот же день, позволяет обрабатывать за сме-
ну 1200 деталей № 1 или 800 деталей № 2. Цены на детали оди-
наковые.
Определить ежедневный производственный план выпуска
деталей, максимизирующий товарную продукцию предприя-
тия, при следующих дополнительных условиях:
а)	оба цеха работают в одну смену;
б)	механический цех работает в три смены, а термический —
в две смены;
в)	предприятие работает в две смены, при этом деталей № 1
доля но быть изготовлено не более 800 шт., а деталей №2 —
не бе лее 1000 шт.
429
29,26.	Для изготовления изделий А и В фабрика расходует
в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ог-
раниченном количестве. Указанные изделия производят с по-
мощью токарных и фрезерных станков. Определить план вы-
пуска продукции, при котором будет достигнута максималь-
ная прибыль. Исходные данные приведены ниже:
Вид ресурсе	Объем ресурса	Нормы расхода на одно изделие	
		л	в
Сталь, кг	-	'	570	10	70
Цветные металлы, кг	420	20	50
Токарные станки, станко-час	5600	300	400
Фрезерные станки, станко-час	3400	200	'	100
Прибыл!», дем. ед.	1		3	8
29.27.	При составлении суточного рациона кормления скота
молено использовать свежее сено (не: более 50 кг) и еилос
(не более 85 кг). Рацион должен обладать определенной пита-
тельностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать
питательные вещества: белок (не менее 1 кг), кальций (не ме-
нее 100 г) и фосфор (не менее 80 г). Определить оптимальный
рацион из условия минимума себестоимости.
Данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каж-
дого продукта питания и о себестоимости этих продуктов при-
ведены ниже:
Продукт	Количество кормовых единиц	Белок* г/кг	Кальций» г/кг	Фосфор* г/кг	Себесто- имость, s дем. ед-/кг
Сено свежее	0.5	40	1.25	2	
Силос.	0,5	10	2,5	1	0,8
29.28	(задача о выборе технологий). Предприятие для вы-
пуска некоторой продукции использует две технологии (два
способа). При этом необходимы три вида ресурсов. Известно:
bt, ед. (i = 1, 2, 3) — запасы ресурсов; ац> ед./ч (г = 1, 2, 3;
j = 1, 2) — затраты r-го вида ресурса за 1 ч работы с использо-
ванием j-й технологии; руб./ч (jr = 1, 2) — прибыль пред-
приятия от реализации продукции, выпускаемой за 1 ч работы
4ЯО
с использован нем j -й технологии; Т, ч — общее время работы
предприятия по обеим технологиям.
Найти, сколько времени по каждой технологии должно ра-
ботать предприятие, чтобы обеспечить максимум прибыли от
реализации выпускаемой продукции:
a) при Т — 500 ч; б) при Т - 300 ч.
Исходные данные приведены ниже:
Вид ресурса	Запасы ресурса, ед, . bf	Затраты ресурсов за 1 ч работы по тахиол огни	
		№ 1	№ 2
1	400	1	1
2	1500	3	5
1 '	3	900	1	3
Прибыль Cj, руб./ч		300	400
29.2SL Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются ско-
рые и пассажирские поезда. Наличный парк вагонов разных
типов, из которых ежедневно можно комплектовать данные
поезда, и число пассажиров, вмещающихся в каждом из ваго-
нов, приведены ниже:
Вагон	Число вагонов в поезде		Число пассажиров	।	Парк вагонов
	скором	п асе ажирском		
Бага> {.ньгй	1	1	——	12
Почт >вый	1		—-	1	8
Плацкартный	5	8	58	1	81
Купи эованяый	. 6	4	40	70
Мягкий	'	3	1	32	26
Определить:
а)	ко личество скорых и пассажирских поездов, при которых
число перевозимых пассажиров достигает максимума;
б)	оптимальное количество поездов для случая, когда же-
лезная дорога не может пропустить более шести пасса-
жирских поездов.
29	.31). Оборудование фабрики позволяет выпускать фрукто-
вые компоты в таре трех видов: 10 ц компота в стеклянной та-
ре; 8 ц — в жестяной и 5 ц — в полиэтиленовой. Найти произ-
431
Бедственный план предприятия, максимизирующий прибыль,
если себестоимость 1 ц компота составляет: в стеклянной и по-
лиэтиленовой таре — 16 руб., в жестяной — 10 руб. Отпускная
цена независимо от тары составляет 40 руб. за 1 ц.
30.	СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
Симплексный метод основывается на следующем:
*	область допустимых решений задачи линейного программирова-
ния является выпуклым множеством с конечным числом угловых точек,
т.е. многогранником или многоугольным множеством;
•	оптимальным решением задачи линейного программирования яв-
ляется одна из угловых точек области допустимых решений;
	угловые точки области допустимых решений алгебраически пред-
ставляют некоторые базисные (опорные) решения системы ограничений
задачи.
Данный метод состоит в целенаправленном переборе опорных реше-
ний задачи линейного программирования. Он позволяет за конечное чис-
ло шагов расчета либо найти оптимальное решение, либо установить его
отсутствие.
Основное содержание симплексного метода:
1)	найти начальное опорное решение;
2)	осуществить переход от одного опорного решения к другому, на ко-
тором значение целевой функции ближе к оптимальному;
3)	определить критерии завершения процесса решения задачи, позво-
ляющие своевременно прекратить перебор решений на оптимальном ре-
шении или сделать заключение об отсутствии решения.
30.1. Опорное решение задачи
линейного программирования
Пусть имеется задача линейного программирования в канонической
форме
Z(X) =	+ С2Х2 + • •- + спхп max (min),
а11х1 + а12х2	а1пхп ~ ^1»
а21х1 + °22х2 + ••• + а2пхм ~ &2»
' ®лг!х1 ®nv2x2 ”* ^тпхп
х; > 0 Vj, bi > 0 Vi.
432
(30.1)
(30.2)
(30.3)
Будем считать^ что правые части всех уравнений системы ограниче-
ний неотрицательны. Если в каком-либо уравнении правая часть отри-
цательна, го это уравнение нужно умножить на -1.
Опорным решением задачи линейного программирования называется
такое допустимое решение X = (х10, x2q, ..., хш0, 0, ..., 0), для которого
векторы условий (столбцы коэффициентов при неизвестных в системе
ограничений) Ар А2, .... Ат, соответствующие положительным коорди-
натам, линейно независимы.
Число отличных от нуля координат опорного решения не может
быть больше ранга г системы векторов условий (числа линейно неза-
висимых уравнений системы ограничений). В дальнейшем будем счи-
тать, что 'система ограничений состоит из линейно независимых урав-
нений, т,'е. г ~ т.
Если уисло отличных от нуля координат опорного решения равно т,
то решение называется невырожденным, в противном случае (мень-
ше т) — вырожденным.
Базисом опорного решения называется базис системы векторов усло-
вий задали, включающий в свой состав векторы, соответствующие от-
личным от нуля координатам опорного решения.
Базис ное решение находится методом Жордана — Гаусса. При этом
р а эре ша ющие элементы для преобразований Жордана необходимо вы-
бирать. в з условия, обеспечивающего неотрицательность правых частей
уравнен; 1Й системы.
= min j А
1
d,
= — при afA > 0.
alh
(3QA)
Здесь k — номер вектора условия Аа, вводимого в базис (номер вы-
бираемого столбца матрицы системы ограничений), a Z — номер век-
тора Aj выводимого из базиса (номер строки матрицы системы, в ко-
торой следует выбирать разрешающий элемент для преобразования
Жор да; га).
С немощью данного условия можно выбрать разрешающий элемент
в любо: 4 столбце k матрицы системы ограничений, в котором имеется
хотя бы один положительный элемент. Если при выборе разрешающего
элемен га данное условие нарушается, в правой части системы уравнений
появляются отрицательные величины.
Используя данное условие, можно получить допустимое базисное ре-
шение! которое является начальным опорным решением.
Аналогичное условие используется при переходе от одного опорного
решен: 1я к другому.
433
30.1.	Найти начальное опорное решение и путем перебора
опорных решений определить оптимальное решение задачи
линейного программирования
Z(X) = 5х2 +	- Зх3 + 2я4 ~* min,
13*! + 2*2 + х3 + х4=
[5*1 + 3*2 4- *3 + 2*4 = 11,
Xj > 0, 7=1, 2, 3, 4.
Решение. Результаты нахождения начального опорного решения и даль-
нейшего не ребора опорных решений приведены в табл. 30.1. В правой части таб-
лицы на каждом шаге вычислений приведены значения параметра 0А для раз-
личных столбцов k (минимальные значения 0ОА выделены жирным шрифтом),
соответствующее опорное решение X, и значение целевой функции Z(XJ на этом
решении. Номера столбцов для выбора разрешающих элементов принимались
произвольно.
Таблица 30.1
*1 х2 *3	*4	ь ,	9j		^3	04	I	!Л	ь- N	11	II .и—К	ц. гП	OJ	СС ><	и х n	кГ	n гЧ	О So	w "5 ®	® Ф	О	р	й	® £	|	g Я	=	i	°	S	d	< к	S	g- я	1	и 11	»	И	11 Ы	Я	Е	щ	kT	tS1	Pt Кйгоа
3	2	g 1 5	3	12	7 11	11/6;	’/г п/з	7 11	7 11/2	
3	2	1	1 2	10g	7 4	V, 2	7/2 4		7 4	
10	10 2	10	1	3 4	3 2	3 4			
1110 0	0-11	з : 1	3 1 :		3		
0	1	@	-1 10-11	2 1			.1	1	
1 , О w	1 2					Х4 = (2, 0, 1,0), Z(X4)-7.
Сравниваем значения целевой функции на полученных опорных решениях:
min {-1, 5, 7, 7} — -1. Делаем вывод, что оптимальным решением является
Xj = (0, 0, 3, 4).
Ответ: min Z(X) =* —1 при X* — (0, О, 3, 4).
434
Найти начальное опорное решение и путем перебора опор-
ных реш< ний определить оптимальное решение задачи:
30.2.	Z[X) - -X! 4- х2 + 2х3 + 4х4 -* max,
; хг 4- Зх2 4- 4х3 4- 7х4 = 15,
2хх + х2 4- Зх3 4- 4х4 = 10,
р0, 7=1,2, 3, 4.
30.3.	2(Х) = 2ху “ 2x2 “ Зх3 + 2х4 min,
5хг 4- Зх2 4- 2х3 4- х4 = 14,
, [6xi 4- 4х2 4- Зх3 + х4 = 18,
, Xj > 0, /=1, 2, 3, 4.
30.4.	2'(Х) — -х1 4- 5х2 - х3 4- х4 —* max,
J3xi 4- 5х2 4-2х3 4- х4 = 14,
4xj 4- 10х2 + х3 4- Зх4 = 22,
хрО, /=1,2,3, 4.
30.5.	2(Х) = 3х1 - 6х2 4- 4х3 - 2х4 —* min,
х2 - 2х3 4- х4 = 2,
2хг 4- х2 4- 4х3 - х4 = 8,
х, >0, у = 1, 2, 3, 4.
30.6.	^(Х) = “2xi + 6х2	+ 2х4 —► max,
Зх4 - Зх2 4- 4х3 - 2х4 = 6,
“ Xj + 2х2 - х3 4’ х4 = 1,
xj > 0, j = 1, 2, 3, 4.
30.7.	Z(X) = 2xi 4- Зх2 4- 2х3 4- 4х4 ~* min,
-X! 4- 2х2 4- х3 4- 6х4 = 14,
Xi 4- 2х2 4- Зх3 4- 2х4 = 10,
Ху 0, 7 = 1, 2, ,3,<4.
435
30.8.	Z(X) = Зх4 .	4- 4x3 4- 2x4 - 4x5 max,
*1	4- x3 - x4- x5 = 3,
 — Xj	4- x3 4- 3x4 “ 3x5 = 1,
' x2 + x3 4- 3x4 4- x5 = 13,
x;>0, /=1,2, 3,4, 5.
30.9.	Z(X) = 2xi - 2x2 4- 2x3 + x4 + x5 —* max,
xT - x2 - 2x4 + 4x5 — 4,
< x2 - x3 4- 2x4 4- 2x5 = 12,
x2 + x3 4- 4x4 - 4x6 = 16,
Xj > 0, / = 1, 2, 3, 4, 5.
30.-2. Алгоритм симплексного метода
Оптимальное решение задачи линейного программирования можно
найти путем перебора не всех, а только части опорных решений. Для
этого необходимо каждое опорное решение проверять на оптимальность
и переход от одного опорного решения к другому осуществлять таким
образом, чтобы значение целевой функции увеличивалось в задаче на
максимум или уменьшалось в задаче на минимум.
При переходе от одного опорного решения Xj к другому Х% прира-
щение целевой функции находится по формуле
= Z(X2) - дхр = -е0Адй,	(зо.б)
т.е.
Z(X2} - 2(Xi) - 0OftAfr.	(30.6)
Здесь k — номер вектора, вводимого в базис опорного решения; Л* —
оценка разложения вектора условий А* по базису опорного решения, вы-
числяемая по формуле
Afe “	’ с*’	(30-7)
4=1
или в векторной записи
Afe =	— сй,	(30.8)
где Се = (ci, с2, сж) — вектор коэффициентов целевой функции при
базисных переменных; Хк — (х1й,	.... хтк) — вектор коэффициентов
436
разложения вектора по базису опорного решения; —коэффициент
целевой функции при переменной xk.
Если в г адаче линейного программирования на максимум (минимум)
хотя бы дл я одного’ вектора условий оценка разложения по базису не-
вырожденного опорного решения отрицательная (положительная), то
опорное решение может быть улучшено, т.е. можно найти новое опор-
ное решение, на котором значение целевой функции будет больше
(меньше).
Чтобы обеспечить наибольшее изменение целевой функции при пе-
реходе от одного опорного решения к другому, векторы, выводимый из
базиса и вводимый в базис опорного решения, необходимо выбирать, ис-
ходя из условий:
	в задаче на максимум max {AZJ = max{-0o^Afe};	(30.9)
I	k	k
•	в задаче на минимум	— Tnin{-0OftAfe}.	(30.10)
k	k
В упрощенном варианте вектор, вводимый в базис, можно выбрать,
исходя из; условий:
•	в задаче на максимум min{Afe};	(30.11)
Л
*	в задаче на минимум max{Afe}.	(30.12)
№
Опорное решение задачи линейного программирования на максимум
(минимум) является оптимальным, если для любого вектора усло-
вий оценке, разложения по базису опорного решения неотрицательная
(неположительная), т.е.:
•	в задаче на максимум ДА ? 0 VA;	(30.13)
	в заде че на минимум ДА < 0 V/?.	(30.14)
Оптимальное решение задачи линейного программирования являет-
ся единственным, если для любого вектора условий, не входящего
в базис, оценка отлична от нуля, т.е,
ДА 0 VA С {т + 1, т + 2, ..., л).	(30.15)
Здесь предполагается, что в базис оптимального решения входят первые
т векторов
Задача л инейного программирования имеет бесконечное мно-
жество оптимальных решений, если при оптимальном решении
оценка хотя бы одного вектора условия, не входящего в базис, равна
нулю, т.е.
3 k ё (т + 1, т + 2, .... л}: Дк = 0.	(30.16)
Задача линейного программирование не имеет решения ввиду неог-
раниченности целевой функции, если для какого-либо из векторов ус-
ловий Ак с оценкой ДЛ, противоречащей признаку оптимальности, среди
437
коэффициентов разложения по базису опорного решения нет положи-
тельного, т.е.:
• в задаче на максимум 3	< 0 и хгл < 0 Vi;	(30.17)
* в задаче на минимум 3	Afe > 0 и xtfe < 0 Vi.	(30.18)
Алгоритм решения задачи симплексным методом:
1.	Привести задачу линейного программирования к каноническому
виду.
2.	Найти начальное опорное решение с базисом из единичных векто-
ров и коэффициенты разложений векторов условий по базису опорного
решения. Если опорное решение отсутствует, задача не имеет решения
ввиду несовместности системы ограничений.
3.	Вычислить оценки разложений векторов условий по базису опор-
ного решения и заполнить симплексную таблицу.
4.	Если выполняется признак единственности оптимального реше-
ния, то решение задачи заканчивается.
5.	Если выполняется условие существования множества оптимальных
решений, то путем простого перебора найти все оптимальные решения.
6.	Если имеют место условия неограниченности целевой функции,
то задача не имеет решения.
7.	Если пункты 4—6 алгоритма не выполняются, найти новое опорное
решение и перейти к пункту 3.
30.10.	Решить симплексным методом
И(Х) = Zi 4- х2 4- х3 - х4 max,
г	Д
4-	х2 + 2х3 4-	х4 	6,
; Xj + 2хг + х3	<	10,	+	х5
2xi + *2 + ^3	+	^6
Ху >0, / - 1, 2, 3, 4,
Решение. Приводим задачу к каноническому виду. Для этого в левую часть
второго и третьего ограничений-неравенств типа «<» вводим дополнительные пе-
ременные х5 и х6с коэффициентом +1. В целевую функцию и хв входят с ко-
эффициентом 0 (т.е. не входят). Получаем
2(Х) = хг + х2 + х3 - х4 + 0х$ + 0х6 -* max,
I Х1 + х2 + 2*3 + *4	= 6,
- х1 + 2х2 + х3 + хв * 10,
, 2xj Н- х2 + х3	+ хв = 10,
х;>0, j - 1, 2, 3, 4, 5, 6.
438
Система ограничении этой задачи является системой уравнений, разрешен-
ной относительно переменных х4, xft. Свободные (неразрешенные) перемен-
ные приравниваем к нулю: JCj ~ х2 хз я 0. Получаем х4 6, х5 = х6 = 10. За-
писываем базисное решениеXj = (О, О, 0, 6,10,10), которое является начальным
опорным pet гением с базисом 2^ = (А4, А5, А6).
По формуле (30.8) вычисляем оценки разложений векторов условий по базису
опорного решения:
А, = С6Х4 - с, = (-1, 0» 0) • (1> 1» 2) - 1	* -1	+ 0	+ 0 -	1	* -2;
Д2 “ CfrX2 -е2“(-1,0,0)<(1, 2, 1) - 1	- -1	+ 0	+ 0-	1	- -2;
Д3 = СбХз - с3 - (“1, 0, О)  (2, 1, 1) - 1	- -2	+ О	+ О -	1	= -3;
Д4 - СбХ4' - с4 = (-1, 0, 0) (1, 0, 0) “ (-1) - -1 + 0 + 0 +1 - О;
Д5 - СбХ6 - с5 - (-I, 0, 0)  (0, 1, О) - О = 0 + О + О - 0 - О;
Д6 = СбХ6 - с6 = (-1, О, О)  (0, 0, 1) - 0 = 0 + О + О - О = О.
Опорное решение, коэффициенты разложений и оценки разложений векторов
условий по базису опорного решения записываются в симплексную таблицу
(табл. 30.2).
Таблица 30.2

1X1	1-10 О
Б	С6		А] А2 А3 А4 Ад Ав	61 ;	02	9з:
Ф	W |К	-1 ') ! °	6 10 10	112	10	0 12	10	10 ; g 1	10	0	1	о : 10 5	6 5 10	з 10 10
Дд.	i		-6	i to 1 К) 1 оо о о о			
Для удобег ta вычислений оценок над таблицей записываются коэффициенты
целевой функции. В первом столбце «Б* записываются векторы, входящие в ба-
зис опорного ре шения. Порядок записи этих векторов соответствует номерам раз-
решенных ней: нестных в у равнениях-ограничениях. Во втором столбце таблицы
«Сб» записыва! этся коэффициенты целевой функции при базисных переменных
в том же порядз :е. При правильном расположении коэффициентов целевой функ-
ции в столбце С6» оценки единичных векторов, входящих в базис, всегда равны
нулю. В последней строке таблицы с оценками в столбце «До» записывается
значение целее эй функции на опорном решении Z(Xj).
Начальное с порное решение не является оптимальным, так как в рассматри-
ваемой задаче t;a максимум векторам Aj, А2 и А3 соответствуют отрицательные
оценки Д] ‘ -iД2 — -2, А3 - -3 (не выполняется признак оптимальности).
В данном сл г’чае можно найти новое опорное решение, на котором значение
целевой функции будет больше. Определим, введение какого из трех векторов
приведет к большему приращению целевой функции. Приращение целевой
функции находится по формуле (ЗО.5). Вычисляем значения параметра 0^ для
первого, вторых и третьего векторов по формуле (30.4). Получаем 0О1 — 5 при
I 3; В02 " 5 при I - 2; 0оа — 3 при I “ 1 (см. табл. 30.2). Находим возможные
приращения целевой функции при введении в базис каждого из этих векторов
и определяем на «большее из них:
max AZft = max -5 * (-2), -5 ’ (-‘2), -3 * (-3)) = max {10, 10, 9} - 10 при Ле {1; 2}.
ла	А
439
Следовательно, для более быстрого приближения к оптимальному решению не-
обходимо ввести в базис опорного решения либо вектор Aj, либо вектор Ад- Вво-
дим в базис вектор АР Так как минимальное значение 601 _ 5 достигается при
I = 3, то исключаем из базиса третий вектор А^. За разрешающий элемент при-
нимаем число 2, расположенное в первом столбце и третьей строке. Выполняем
преобразование Жордана с элементом г31 = 2. Получаем второе опорное решение
Х2 ~ (5, О, 0, 1, 5, О) с базисом — (А4, Ай, А,). 2(Х3) - 4 (табл. 30.3).
Таблица 30.3
1	1 X 1	-1	0	0
Б	! се	Ао	А1	а2		а4	^5 Да	02	03
	-1	1 :	0		3/2	1	о	-‘/2	2	I %
А5	0	5	0	3/а	г/2	0	1	-‘/2	10/з	: ю
А1	1	5	1	V2	’/2	0	0	'/г	10 '	10
		-4	0	-1	-2	0	0	1		
Это решение не является оптимальным, так как векторы А2 и А3 имеют от-
рицательные оценки Д2 — —1, Д3 = — 2. Определяем, введение какого из векторов
А2 или А3 в базис опорного решения приведет к большему приращению целевой
функции:
шах Д2ь = max {-2  (-1), -2/з * (“2)} = шах (2, 4/3} J 2 при k = 2.
Л	А	А
Вводим в базис вектор А2. Минимальное значение параметра Й02 ~ 2 имеет место
при I =* 1, поэтому разрешающий элемент берем в первой строке. Из базиса исклю-
чаем вектор А4. Выполняем преобразование Жордана с элементом х12 = 1/2. По-
лучаем третье опорное решение Хэ ” (4, 2, 0, 0, 2, 0) с базисом Б3 я (Л2, А5, А{),
2(Х3) = 6 (табл. 30.4).
Таблица 30.4
1	1	1	-1	0	| 0
Б	сб		' Aj	а2	A3 -	а4	As		0« :
' Ад ;	1	2	: о 	1	3	2	0	-1	
Ад !	0	2	0	0	-4	"3	1	а	2
' А1	; 1	4	1	0	-1	-1	0	1	4
Л	Jt	6	0	0	1	2	0	0	
Опорное решение Х3 является оптимальным, так как для всех векторов ус-
ловий оценки в задаче на максимум неотрицательные. Однако данное решение
не единственное, так как вектор Ад, не входящий в базис, имеет нулевую оценку.
Этот вектор нужно ввести в базис опорного решения, чтобы получить еще одно
оптимальное решение. Вектор, выводимый из базиса, находим с помощью пара-
лл л
метра 6б. Tai: как 0O6 = min (2, 4} — 2 при 1 = 2, разрешающий элемент для сле-
дующего преобразования Жордана берем во второй строке. В базис входит вектор
Ag вместо вектора Ag. Получаем второе оптимальное решение Х4 = (2, 4, 0, 0, 0, 2)
с базисом В4 - (А2, А6, АД Z(X4) = 6 (табл. 30.5).
Таблица 30.5
1	1	1-10	0
Е	Съ	.A.Q	А) Аз A3 А4 А§ Ag
A f А1_	1 0 1	4 2 2	0	1-1-11	0 0	0-4-31	1 1	0	3	2	-1	0
		6	1 0	0	1	2	0	0
Исходная задача имела четыре переменные, поэтому в ответе в оптимальном
решении последние две дополнительные переменные не записываем.
О твет: max Z{X) = 6 при X* = (1 - t)Xj +
= (4, 2, 0, 0),	- (2, 4, 0, 0).
30.11.	решить симплексным методом
Z(X) = Зхг - x2 “ 4x3 —* min,
lj
-б#! + X2 + Xg = 2,
-8xx + x2 + 2x3 > 3,
Д
+ x4
-*5
Xy >0, у = 1, 2, 3.
Решение: Приводим задачу к каноническому виду:
Z(X) = 3xj - х2 - 4х3 + 0х4 + 0х5 -* min.
-Х2+ *3+*4	“ h
-5xj + х2 + *з	“2,
-8X1 + *2 + 2*з	- х5 = 3,
X] > 0, J — 1, 2, 3/4, 5.
Используя м ’тод Жордана — Гаусса, приведем систему ограничений задачи к
равносильно! [ разрешенной системе уравнений (табл. ЗОЛ). При этом, используя
параметр.0А, < «храним правые части уравнений неотрицательными. Получим на-
441
чальное опорное решение = (О, 1, 1, 1, 0) с базисом = (А4, А2, А3). Затем
вычислим оценки разложений векторов условий по базису опорного решения по
формуле (30.8) и дополним таблицу расчета строкой оценок. Далее продолжим
расчет симплексным методом так же, как в предыдущем задаче.
Таблица 30.6
| 3	-1—4	0 О
Б	Cg	А	41	А	Аз	.Ад	а5	Si		03	05
		1	0	-1	1	1	0		—	1	—
		2	-5	а	1	0	0	—	2	2	—
Нахождение начального		3	-8	1	2	0	-1	—	3	%	— '
опорного решения		3	-5	0	2	1	0	—	—	3/з	—
		2	-5	1	1	0	0	—	—	2	—
		1	-3	0	В	0	-1	—	—-	1	1	—
Ад	, 0	1		0	0	1	2	1	—		%
А	-1	1	-2	1	0	0	1	•—		ь	1
Ag	-4	1	-3	0	1	0	-1	•—		—	—
		-5	И	0	0	0	3				
А	3	1	1	0	0	1	2 ‘				
^2 I		3	1 0	1	0	2	5 i				
А	-4 1	4	0	0	1	4	3				
д	А	|	-16 ।	’о	0	0	-11	-19				
Начальное опорное решение Ху не является оптимальным, так как векторам
AL и А5 соответствуют положительные оценки. По признаку оптимальности в за-
даче на минимум все оценки должны быть неположительными. Определяем, вве-
дение какого из лекторов (Л] или А%) в базис приведет к большему уменьшению
целевой функции:
min \Zk — min {-11 * 1, —3  (1/2)} = min {-11, -3/2) = -11 при А = 1.
k	k	k
В базис вводим вектор А3. Исключаем из базиса вектор А4, соответствующий ми-
нимуму параметра б01 - 1 при I = 1. Выполняем преобразование Жордана, по-
лучаем второе опорное решение Х2 ~ (1, 3, 4, 0, 0) с базисом Бг — (А1т А2, А3).
Данное опорное решение является оптимальным, потому что оценки для всех
векторов условий неположительные. Оптимальное решение единственное, так
как векторы, не входящие в базис, не имеют нулевых оценок.
Ответ: min Z(X) “= —16 при X* = (1, 3, 4).
442
Решить симплексным методом следующие задачи:
30.12.	4(Х) = Xi - х2 + Зх3 - х4 -* max,
f Х^ 4” 2Xg 4* Xg 2,
[ Зхг-2х2 + х4 = 6,
Xj О, j “ 1, 2, 3, 4.
30.13.	^(Х) = -llxj - 5х2.+ 8х3 + 2х4 —* min,
Xi 4- х2 - х3 = 4,
-2xj + 5х3 + х4=10,
ху > О, 1, 2, 3, 4.
30.14.	Z(X) = xj + 5х2 + х3 - х4 -► max,
хх + 2х2 + х3 =3,
2xj + х2 + х4 = 4,
Ху > 0, j = 1, 2, 3, 4.
30.15.	Z(X) = -3xL - 5х2 4- х3 + х4 min,
~2xi + Зх2 + х3 =6,
- Х| + Зх2 - х4 = -3,
Ху > 0, j ~ 1, 2, 3, 4.
30.16.	Z(X) = 2xj - Зх2 + 5х3 -♦ max
- *1 + 2х2 + Зх3 < 3,
-2%! + Зх2 + х3 > -4,
ху >0, j = 1, 2, 3.
30.17<	Z(X) = -4х} - 2х2 + х3 -* min,
3#! - 2х2 + 4х3 < 6,
2х4 4- х2 + Зх3 < 18,
Ху > 0, / = 1, 2, 3.
443
30.18.	= Зх^ + 4x2 + x3 —* max,
jcj 4- 2jc2 4- x3 < IO,
* 2xi x2 + 2ж3 <	6,
3xj 4- x2 4- 2лг3 C 12,
Xj > O, j = 1,. 2, 3.
30.19.	Z(X} = 2хг + Зх2 + хз —* max,
4- 3x2 + 5jc3 < 15,
- x2 J- x2 4- лг3 <	7,
2xj 4- x2 4- 4x3 <12,
Xj > O, j = 1, 2, 3.
30.20.	Z(X) = 6xx + 12jc2 4- 3x3 —► max
-2Xj 4- 3x2 -+- ATg < 12,
< x2 4- 2x2 4- 2x3 <15,
2X| x2	IO,
Xf > O, j — 1, 2, 3.
30.21.	= jcj 4- x2 4- x3 —* max,
^1 + x2 +	^3	7 *
’ 2xi + Зх3 C 9,
3xT 4- x2 4- 4x3 < 12,
x;> O, /=1,2, 3.
30.22.	Z(Xy = Xj 4- 2x2 4- x3 —* max,
—2xi	x2 + x3 ^2,
— xt 4- x2 4- 3x3 < 3,
i	' 3x2 4- x3 <1,
Xj > O, 7 = 1, 2, 3.
30.23.	Z(X) = 2xj 4- 3x2 + 2x3 —* max,
f^3xx 4- x2 4- x3 < 1,
<   Xj 4- 2x2 4- 2ЛГд <7,
{	Xi — Злт2 4- x2 < 1,
Xj О, у = 1, 2, 3.
444
30.24.	Я(Х) = —3xr - 2х2 -
2х8 —* min,
х2 + х3 < 4,
<. 2хг 4- х2 + 2х3 < 6,
2xi ~ х2 + 2х3
ху О, j 1,2,3.
30.25.	И(Х) = -Xi 4- х2 - Зх3 — min,
-Xj + 2х2 + х3 < 2,
- Xi + Зх2 + х3 < 6,
[ Xj + • х2 - х3 < 2,
х; >0, /=l,2f 3.
30.26.	И(Х) = -3XJ - 2х2 + х3 min,
-3xj + х2 + 2х3 < 3,
< Xi + 2х2 4- Зх3 < 14,
2X1 + х2 4- Зх3 < 16,
ху > 0, / = 1, 2, 3.
30.27.	#(Х) = ~5хх - 2хй - Зх3 -* min,
-Зхг + 2х2 4- Зх3 < 2,
< -Зхх 4- 4х2 4- 5х3 С 10,
хг - 4х2 + х3 < 1,
Ху >0, j = 1, 2, 3.
30.28.	Jf(X) = хг + 2х2 - 2х3 max,
2xl - Зх2 + х3 < 8,
Xi + 2х2 4- 2х3 > 4,
3xj - 2х2 + х3 - 12,
Ху > 0, j = 1, 2, 3.
30.29.	J?(X) = хг - 2х2 4- Зх3 — max
4Xj х2 2х3 3,
-2xi4- х% 4- х3 = 2,
3X1 + х2 + 2х3
Ху > 0, у = 1, 2,. 3.
445
30.30.	Z(X) = 2х^ + x2 + 3x3 —* min,
Xj 4- xg<4,
* 2xA + x2 = 4,
:	4“ 2x2	2,
x, > 0, /=1,2,3.
30.31.	Z(X) = Xi - x2 " 2x3 —* min,
xi “ x2 *3 > 1,
" -2xT 4- 3x2	=1,
“Зху + 4x2 + 2x3 < 1,
xy>0, /=1,2,3.
30.3.	Метод искусственного базиса
. Данный метод применяется для решения задач, линейного, програм-
мирования симплексным методом в случае, когда задача не имеет на-
чального опорного решения с базисом из Единичных векторов.
Согласно данному методу для задачи линейного программирования
составляется так называемая расширенная задача, которая реша-
ется симплексным методом. На основе результатоврешения расширен-
ной задачи либо находится оптимальное решение исходной задачи, либо
устанавливается причина отсутствия ее решения. :
Пусть имеется каноническая задача линейного программирования
Z(X) =	4- с2х2 4- ... + спХа — шах (щш),
ап*! 4- а12х2 4- ... 4- а1яхя - Ь*.
®21^1 4" ^22^2 4" ... 4* &2пхп ~ &2>
(30.19)
алг1ж1 4- amzx2 4"	+ &т.пхп ~ &п>
Xj > 0, / = 1, 2..га.
Без ограничения общности можно считать; Что правые части уравне-
ний системы ограничений неотрицательные, т.е. &г > 0, i - 1, 2,	/п.
Для исходной задачи составляют расширенную задачу. При этом Ис-
пользуют искусственные переменные.
Искусственными переменными называются неотрицательные пере-
менные, которые вводятся в ограничения-равенства для получения на-
446
чального опорного решения с базисом из единичных векторов. Каждая
искусствен гая переменная вводится в левую часть одного из уравнений
системы ог эаничений с коэффициентом +1 и в целевую функцию в за-
даче на максимум с коэффициентом ~~М, а в задаче на минимум с коэф-
фициентом +М. Число М сколь угодно большое по сравнению с единицей
(М » 1).
В общем случае расширенная задача на максимум имеет вид
Z(X) = ejXi + с2х2 + ... +	- ЛГхл+1 - Мхп+2 - ... -	шах.
аи.С1 + а12х2 + ...+ а1пхл + хл+1	= Ъг,
а22Х2	а2пхп	Хп + 2	“ ^2> ^gQ gg)

+ хп + т. ^т»
Xj >0, j = 1, 2, n + m; bt > 0, i — 1, 2, m.
Если расширенная задача линейного программирования имеет опти-
мальное решение X* = (xj , х£ , х*, 0,	0), у которого все искусст-
венные пе земенные равны нулю, то исходная задача имеет оптимальное -
решениеX* = (х£ , х£, .х*), которое получается изХ* отбрасыванием
нулевых искусственных переменных (признак оптимальности реше-
ния).
Если расширенная задача имеет оптимальное решение, у которого хо-
тя бы одна искусственная переменная отлична от нуля, то исходная за-
дача не имеет решения ввиду несовместности системы ограничений
(признак отсутствия решения ввиду несовместности системы ограниче-
ний).
Если расширенная задача не имеет решения ввиду неограниченности
целевой функции, то и исходная задача не имеет решения по той же при-
чине (признак отсутствия решения ввиду неограниченности целевой
функции).
Метод искусственного базиса в основном совпадает с обычным симп-
лексным методом, но имеет некоторые особенности.
Особенности метода искусственного базиса:
1.	Ввицу того что начальное опорное решение расширенной задачи
содержит искусственные переменные, входящие в целевую функцию с
коэффициентом -М (в задаче на максимум) или +М (в задаче на мини-
мум), оценки разложений векторов условий ДА = CgXA - ск состоят из
двух слаг 1емых Д* и Д^'(ЛГ), одно из которых Д^ не зависит от М, а дру-
гое зависит от М. Так как М сколь угодно велико по сравнению
с единицей (Af 2> 1), то на первом этапе расчета для нахождения векто-
ров, вводимых в базис, используются только слагаемые оценок Д£(М).
447
2.	Соответствующие искусственным переменным векторы, выводи-
мые из базиса опорного решения, в дальнейшем исключаются из рас-
смотрения.
3.	После того как все векторы, соответствующие искусственным пе-
ременным, исключаются из базиса, расчет продолжается обычным
симплексным методом с использованием оценок , не зависящих от М.
30	.32. Решить методом искусственного базиса задачу линей-
ного программирования
Z(X) =	- 13х2 - 8х3 + 10х4 —* min,
И
Х1 “ х2 “ Зх3 + 2х4 - 3, + х5
Х1 - 2х2 - х3 + х4 = 2, + хе
xj > 0, j - 1, 2, 3, 4.
Решение. Составляем расширенную задачу. В левые части уравнений системы
ограничений вводим неотрицательные искусственные переменные с коэффициен-
том +1 (всегда). Данная задача — задача на нахождение минимума, лоэтому х5 и
хб в целевую функцию вводятся с коэффициентом -НИ. Получаем
Z(X) ” 7xj - 13х2 - 8х3 + 10х4 + Мх5 4- Мх6 -* min,
Xj - х2 - Зх3 + 2х4 + х5 “3,
Х!-2х2- х3 + х4 +хв-2,
х; > О, J-1,2, 3, 4, 5, 6.
Приравниваем свободные переменные системы уравнений (ограничений) к
нулю: Xj х2 = х3 — х4 — 0, получаем начальное опорное решение расширенной
задачи Xt — (0, 0, 0, 0, 3, 2) с базисом из единичных векторов 2>t “ (Д5, Лд>. Вы-
числяем по формулам (30.8) оценки разложений векторов условий по биаису
опорного решения и записываем в симплексную таблицу (табл. 30,7). При. этом
оценки Aj, и ZfXj) для удобства вычислений записываем в две строки: в первую —
слагаемые A'ft, не зависящие от М, во вторую — слагаемые Д'ДМ), зависящие^ ДГ,
Значения ^(М) удобно записывать без М, имея в виду однако, что оно там при-
сутствует.
Таблица 30.7
7	-13	-8	10 I М М
Б		А)	1 -Aj	а2	А3	А4	А5		А*	91	04
4а !	м	3	1	-1	'3	а	1	° i	3	%
	м	2	1	-2	-1	1	0	1	2	2
А	i	0	7	13	8	-10	0	0		
А'ИЛГ) ।		5	2	-3	-4	3	0	0		
448
Начальн ое опорное решение не является оптимальным, так как а задаче на
минимум имеются положительные оценки. Выбираем номер вектора Ah, вводи-
мого в базис опорного решения, и вектора Aj, выводимого из базиса. Для этого
вычисляем триращения целевой функции Д2Й при введении в базис каждого из
векторов с п оложительной оценкой и находим минимум этого приращения. При
этом слагаемыми оценок Д^ (без М) пренебрегаем до тех пор, пока хотя бы одно
слагаемое 4
оценок Д* :«ожет отсутствовать в таблице до тех пор, пока присутствует стро-
ка Д£(А4). Т
J(Af) (с M) отлично от нуля. В связи с этим строка со слагаемыми
аходим
min (-2  2М, -3/2  ЭМ} = min Ь4М, -(9/2)М} - ~^/2)М при А -- 4.
ft » 1. 4	* “1.4
В столб хе «Ац» за разрешающий элемент выбираем коэффициент 2 в первой
строке и выполняем преобразование Жордана.
Вектор Ад,, выводимый из базиса, исключаем из рассмотрения (вычеркиваем).
Получаем шорное решение X
(табл. 30.8 I.
’2 - (0, 0, 0, 3/2, 0* 72) с базисом 2>2 “	-4$)
7 i -13	-8	10 М М
Таблица 30.3
		—, Б ।	~СЪ ’	Дф 1	4-1	а2	43	4<	4-5	-4g	91	03
^^4-	10	3/2 :	v2	-7и	" 72	1	—	о 1	1 3	। —
-4^	м	72	|7а|	-%	72	0		1 '	1 1	1
; л	й	0	-2	8	3	0	—	0		
; л'*	[М)	’/2	" 72	~72	7а	0	—	0		
Данное решение не является оптимальным, так как векторы А] и А$ имеют
положительные оценки Д'{(М) — Д3(М) - */2М. Введение в базис опорного реше-
ния любого из этих векторов приведет к уменьшению целевой функции на одну
и ту же величину Д^ 3 ДИ3 «= -1  (!/2)М - -М/2 (слагаемыми без М пренебре-
гаем). По своему усмотрению вводим в базис вектор А1Т получаем опорное реше-
ние Х3 — '1,0, 0, 1, J, 0) с базисом Б3 •= (Д4, Aj) (табл. 30.9).
Таблица 30.9
7	-13|	-8	10 М М
	Б			4q .1	-41	Аг	А3 А4		45	4g	в2 :
	А4		10	1	0	S	-2	1	—	—	1
	А1		7.	1 ;	1	-3	1	0	—	—-	
	Д	*	—j—	17	0	2	-5	0	—	—	
15 Сборни! задач по высшей математике
449
Опорное решение Х3 не является оптимальным, так как векторЛг имеет по-
ложительную оценку. Вводим этот вектор в базис опорного решения. В соответ-
ствующем столбце симплексной таблицы единственное положительное число,
а именно 1, принимаем за разрешающий элемент для перехода к новому опор-
ному решению. Получаем следующее опорное решение Х4 v (4, 1, 0, 0, 0, 0),
которое является оптимальным решением расширенной задачи, так как оценки
для всех векторов неположительные (табл. 30.10).
Таблица 30.10
7	-13	-8	10 М М
£	С6	Aq	i	Л2	А3 А4	А$ А^
	-13	1	°	1	-2	1	_ —
Aj	7	4	1	0	1 <W	_ —
Д	А	15	0	0	-1	-2	——
Исходная задача также имеет оптимальное решение, которое получается из
оптимального решения расширенной задачи отбрасыванием нулевых искусст-
венных переменных, т.е. X* — (4, 1, 0, 0).
I 
Ответ: min И(Х) - 15 при X* =* (4, 1, 0, 0).
30.33, Решить методом искусственного базиса задачу линей-
ного программирования
Z(X) — х1 - х2 - 2х3 —► max,
2xl	+ х3 > 2,	I
	+ Х2 + Xg < 6,	। +х5
Зх j	4- 2х2 + х3 < 8,	' +х6
Х;>0, j =1,2,3.
Решение. Приводим задачу к каноническому виду. Для этого вводим допол-
нительные переменные х4, х5, х6:
И(Х) = Xj - х2 - 2х3 + 0х4 + 0х5 + 0х6 -* max,
И
2xj + х3 - х4	=2,
< “ Xj + Х2 + Xg. + Х5 “ 6,
Зх4 + 2х2 +	** 8,
+ Х-1
ху>0, /-1,2,8,4,5,в.
450
Чтобы найти начальное опорное решение с базисом из* единичных векторов,
вводим в первое уравнение-ограничение искусственную переменную, получаем
расширенную задачу
Х(Х> “ Xi — х2 - 2X3 + 0xi + 0л5 +	- Mxq -* max,
... 2Х] +ха-л4	+х7.»2, ,
 - Xj + ±2 + Х3 4- Г6 -	=6,	.
' -3xt + 2х2 + *3	+ А?б = 3,
xpQ, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
_ Данная
Xj =(О, О,С
расширенная задача имеет начальное _ опорное решение
, О, 6, 8, 2) с базисом из единичных векторов Б3 = (Ay, А3, А$). Вы-
числяем сиенкн векторов условий и записываем в симплексную таблицу
(табл. 30.И '. Эго решение не является оптимальным, так как оценки A'i'(M) = -2Л1
и Дз(М) _ -М отрицательные. Находим приращение целевой функции при вве-
дении в базис опорного решения векторов А2 и А3. Получаем	= -1  (-2М) - 2М,
Д£3 = -2 - (-М) — 2JW- По своему усмотрению вводим я базис вектор Aj.
Таблица 30.11
1 J “1	-2 О 0	0 М
Б		Сб	Ад	А3	Аг	Ад	Ад	а5	Ag а7			А
Л7		LM	2		0	1	-1	. 0	0	1	1	2
А5		0	6	-1	1	1	0	1	0	0	’—	6
Ав		0	8	-3	2	1	0	0	1	0	—	8
А			0	-1	1	,2	0	0	0	0		
1	(Л		г)	2	-2	 0.	-1	1	0 .	0	0		
А1		1	1	1	0	1/! 1		0	0	—		
А		0	7	0	1	3/2	Ш	>	0	—		
А$		0	11	0	2			0	1	—		
1 А	fe		1	0	1	_£|		Ul_	0	—		
Выполняем преобразование Жордана с разрешающим элементом хп -2, по-
лучаем второе опорное решение Х^ == (1, О, О, 0, 7, 111 О) с базисом, из единичных
векторов 5 е = (Alt А5, А6). Данное решение не является оптимальным, потому
что оценка ?ля вектора А4 отрицательная: Д'4 = -1/а < 0* Однако опорное решение
нельзя улу штить, тАк как все коэффициенты разложения вектора А4 по базису
опорного решения отрицательные: хи < 0
ре иная задача не имеет решения ввиду неограниченности целевой функции. Ис-
ходная задача также не имеет решения ввиду неограниченности целевой функ-
ции.
1, 2, 3J, Таким образом, расти -
Ответ: Х(Х) -* + 130.

Решить задачи линейного программирования методом ис-
кусственного базиса:
30.34.	Z(X) = — 2xi 4- х2 4- 8х3 — 2х4 —► min,
5хг “ х2 - 7х3 4- 2х4 = 6,
Зх1-х2-4х3 + х4 = 2,
Xj >0, j = 1, 2, 3, 4.
30.35.	Z(X) = Xj 4- 2x^ 4- Зх3 + 6x4 —» min,
2x2 + 3x3 4- 7x4 = 26,
—Xj 4- x2 4- 2x3 4- 5x4 = .12,
Xj > 0, j = 1, 2, 3, 4.
30.36.	Z(X) = x2 + 5x3 4- 2x4 —► max,
9xj + 2x2 — 4x3 - 3x4 = 6,
5xj + x2 - 3x3 - 2x4 = 1,
Xj >0, j = 1, 2, 3, 4.
30.37.	Z(X) - 2xx - 8x2 4- 2x3 4- x4 -> max,
|-2xx+ x2 4- 4x3 4-x4 = 8,
[	-2x2 + 2x3 4 x4 = 6,
Xy > 0, y=l,2, 3, 4.
30.38.	Z(X) = Xi+ x2 + x3 - 2x4 —> min,
' 2хг -- 7x2 4- 1 x3 - 3x4 = 8,
X! - 4x2 4- 2x3 - 2x4 = 2,
Xj > 0,	2, 3, 4.
30.39.	Z(X) = 2xj 4- 8x2 4- 3x3 4- 4x4 -* min,
13хг - 3x2 4- 2x3 - 7x4 = 4,
7xj - 2x2 4- x3 — 4x4 = 1,
Xj > 0, j = l, 2, 3, 4.
152
30.40. ZiX) = 2х1 + 6x2 + x3 + x4 max,
4x4 5x2 2x3 4- x4 2,
-5Xj + 4x2 + x3 - x4 = 1,
Xj > 0, j = 1, 2, 3, 4.
30.41. 2(X) = хг 4- 2x2 4 4x3 + x4 -* min,
Xj + 2x2 4 x3 4 x4 = 2,
Xi + x2 4 2x3 - x4 = 8,
Xj > 0, j =1, 2, 3, 4.
30.42. i?(X) = 3x| 4 2x2 - 2x3 4 3x4 + x5 -* max,
Xi - x2 + x3 - x4 = 2,
’ - xx 4 x2 4 2x3
+ x6 = 4,
2xj	Xg 4 x4 4* Xij 4,
Xj > 0, j ~ 1, 2, 3, 4, 5.
30.43. Z(X) = x4 4 3x2 - x3 4- 2x4 - x5 -* max,
= 2
Xi - x3 +
2	““
2хг 2x
3xi - 2x2 _ x3
x4
x4 + x5 = 2,
4^ Xg 4,
J
Xj > 0, /=1,2, 3,4, 5.
30.44. Z(X) - 2xj + 2x2 - 5x3 min,
 2xi 2x2 4" 3xg > 12,
< — Xi + x2 - x3 < 2,
2xi “ x2 + 2x3 = 24,
30.43
Xj >0, j - 1, 2, 3.
Z(X) = Xi 4 2x2 + 2x3 “* min,
Xi + x2 — 4x3 > 1,
Xi - 2x2 + 2x3 = 2,
Xi + 2x2 ~ 2x3 < 6,
Xj > 0, / = 1, 2,3.
453'
30.46. Z(X} = 2х1 + x2 +	—* min,
x2 + 2x3 == 4,
' Xj -I x2 - 2x3 > 4,
2хг — x2 + x3 < 8,
xy >O,	7 = 1, 2, 3.
30.47.	Z{X} = -%! + x2 + 2x3 —► min,
2хг	4- x3 > 2,
‘ — xr 4 x2 + x3 6,
-3x2 + 2x2 + x3 < 8,
xj > О, у - 1, 2, 3.
30.48.	Z(X) = — 6xt — 3x2 4- 4x3 —* max,
{2xj	+	2X3	> 8,
-^l	^2 ""l" 2X3
*1 “ x2 ~ x3 < 4’
Xj O, j == 1, 2, 3.
30.49.	JS'CA') = — 3xx + x2 2x3 ~- max,
-Xi + x2 4- 2x3 = 2,
< xx 4- x3 < 4,
t Xj + X2 4- X3 > 6,
Xj >O,	7 == 1, 2, 3.
30.50.	Z(1C) = Xj + 2x2 ‘ 4x3 —* max,
[ Xj + 2x2 — 3x3 ==	8,
< —xj 4- 4x2 — 4x3 > IS,
[ Xj i 4x2 — 5x3< 18,
Xj > O, J* -= 1, 2, 3.
' 454
30.51.	Z(X) - Зхх + x2 + 2x3 max,
Xt + x2 + x3 — 3,
’	4 ^2	1 >
Xi - xz + X3 > 1,
Xj >0, j = 1, 2, 3.
30.52.	Z(X) = 3xi + 4x2 + 5x3 max,
*1 ”
 - Xj +
—3X1 +
x2 + *з = 4,
x2 + 2x3 < 8,
x2 + 2x3 > 12,
Xj>0, j = 1,2,3.
30.53.	Z(X) = Xj + x2 - 4x3 — min,
1 xi + 3x2 - 2x3 > 3,
< —Xi + 2x2 + x3 < 5,
[ Xt - x2 - 3x3 = 7,
Xj ? 0, j = 1, 2, 3.
30.54,	Z(X) = 2xi + 3x2 + x3 —* min,
-2xt + x2 + 2x3 > 5,
хг- x2 - x3< 1,
-3X1 + 2x2 + *3<H>
Xj >0, j = 1, 2, 3.
30.55.	Z(X) = 2xi ” 3x2 + 5x3 ~- min,
-Xt + 2x2 + xa < 1,
' X1 _ x2 4" 2x3 > 5,
-Xt + x2 + x3 < 3,
Xj > 0, j — 1» 2, 3.
455
30.56.	= 2jcx 4- xz 4- лс3 —* max,
— JCj 4- jcs — 2лс3 C 4,
'i 3x i “I-	4 лг3	21 9
2x± — x2 H“ JCg	1,
Xj > О, / = 1, 2, 3.
30.57.	= жх -Ь лс2 4- -хг3 min,
3jcj 4- xz 4- x3 3,
«’	JCj 4~ 3jc2 -+- x3 C 5,
I — Л7г 4- 3jc2 — jc3 < 1,
Xj > O, j = Г. 2, 3.
30.58.	25&C) = 2jc1 4- xz —	x3 —- min,
i' 2jcx 4- xz — x3 > 5,
jcx 4- 2xz 4- x3 CT,
jcx — jc2 4- 2x3 < 1,
Xj > О, / = 1,2, 3.
30-59- Z(X) = гс-l 4- jc2 4- x3 —* min,
3x£ 4- 2jc2 4- 3jc3 > 6»
< ЛГх 4- Л~2 x3
2хг 4- Зл:2 4- 2лс3	6,
3Cy	'О,	У — 1 * 2,	-
30.во.	= жх 4- х2 -— 4х3 —* min,
: Jtj -F 3xz — 2x3 > 3,
- — jrr 4- 2xz 4- x3 C 5,
acj, — xz — 3ns3 = 7,
xj > O, j -	1, 2, 3.
30.61.	Z(X) = 3jcx 4- 4ж3 4- 5лг3 —* max,
л?! - xz 4- JC3 = 4,
< ~ x± 4- x2 4- 2x3 =C 8,
—3xj 4- x% 4- 2x3 > 12,
Xj O, J = 1, 2.-» 3-
45в
31. ТЕОРИЯ ДВОЙСТВЕННОСТИ
31.1.	Составление математических моделей
двойственных задач
Любой задаче линейного программирования, называемой исходной
или прямой, можно поставить в соответствие другую задачу, которая на-
зывается двойственной или сопряженной. Обе эти задачи образуют пару
двойственных (или сопряженных) задач. Каждая из задач является
двойственной к другой задаче рассматриваемой пары.
В теории двойственности используются четыре пары двойственных
задач (приведем их в матричной форме записи):
Исходная задача			Двойственная задача					
	Симметричные пары							
1. Z(X) - СХ -* max,				ЛУ)	- УАд min,			
	АХ С Ао,				УА > С,	►		(31.1)
	X > 0;				У > 0.			
2. Z(X) = СХ —* min,				Г(У)	= УА0-	► та)		
	АХ >А0,				УА < С,			(31.2)
	X >0;				У > 0.			
	Несимметричные пары							
3. Z(X) - СХ - max,				F(Y)	— УА0 —» min,			
	АХ ~ Ад,				УА > С			(31.3)
	X > 0;							
4. Z(X) = СХ - min,				F(Y)	= УАд та?			
	УХ = Ад,				УА < С.			(31.4)
	X > 0;							
Здесь С = (clt с2) . . .		> сл)»	Y	= (У1, у2.  - •		j 4/т.		
	f	'i			г t >				
	в11 а12	' а1п					*1		
А =	а21 а22 ••• а2к	, А)	=	Ь2	. х =	х2	-	
	к.	"	;			< >				
Правила составления двойственных задач:
1.	Во в :ех ограничениях исходной задачи свободные члены должны
находиться в правой части, а члены с неизвестными — в левой.
2.	Ограничения-неравенства исходной задачи должны быть записаны
так, чтобы знаки неравенств у них были направлены в одну сторону.
3.	Если знаки неравенств в ограничениях исходной задачи «<», то
целевая функция Z(X) - с0 +	+ с2х2 + ... 4- слхп должна максими-
зироваться, а если то минимизироваться.
457
4.	Каждому ограничению исходной задачи соответствует неизвестное
в двойственной задаче; при этом неизвестное, отвечающее ограниче-
нию-неравенству, должно удовлетворять условию неотрицательности,
а неизвестное, отвечающее о граничению-равенству, может быть любого
знака.
5.	Целевая функция двойственной задачи имеет вид
Л У) '«о + Ml + Мг + — + Ьтут,
где Со — свободный член целевой функции 2(Х) исходной задачи,
др Ъ2, ...» Ът — свободные члены в ограничениях исходной задачи, при
этом bt — свободный член именно того ограничения исходной задачи,
которому соответствует неизвестная yit a ylt р2, ..., ут — неизвестные в
двойственной задаче.
6.	Целевая функция Г(У) двойственной задачи должна оптимизиро-
ваться противоположным по сравнению с Z(X) образом, т.е. если
Z(X) -* шах, то F(Y) -* min, и если Z(X) —* min, то Г(У) -> шах.
7.	Каждому неизвестному х^ j = 1, 2, п исходной задачи соот-
ветствует ограничение в двойственной задаче. Совокупность этих п ог-
раничений (вместе с условиями неотрицательности неизвестных yif со-
ответствующих ограничениям-неравенствам исходной задачи) образует
систему ограничений двойственной задачи. Все ограничения двойствен-
ной задачи имеют вид неравенств, свободные члены которых находятся
в правых частях, а члены с неизвестными У\, у2> •••» Ут — в левьгх.
Все знаки неравенств имеют вид «>», если ^(У) min, и «<#, если
/'(У)’-* max.
Коэффициенты, с которыми неизвестные i/p у2..ут входят в огра-
ничение, соответствующее неизвестному Xjt совпадайте коэффициента-
ми при этом неизвестном х? в ограничениях исходной задачи, а именно;
коэффициент при у, совпадает с тем коэффициентом при Xjt с которым
Ху входит в ограничение исходной задачи, соответствующее неизвестно-
му у,-
31.1.	Составить задачу, двойственную к данной
Z(X) = 5xj + 2х2 + Зх3 —* min,
2хх + х2 - х3 < 5,
< хг + 2х2 + х3 > 4,
Xj — х2 4- 2х3 > 8,
Ху >0, / = 1, 2, 3.
458
Решение. Умножим первое ограничение-неравенство на-1. Задача примет вид
исходной задачи симметричной пары двойственных задач (31.2):
Z(X) = 5*] + 2хг + Зх3 min.
—2xj — х2 +  х3 > —5,
Xj + 2х2 + Xg > 4,
Xj ““ Xg 2Xg 8,
У1
ys.
Уз
x}>0, Hl, 2,3.
Умножил правые части ограничений на соответствующие переменные двой-
ственной задачи и сложим их, получим целевую функцию
F(Y) - -Spj + 4у2 + «Уз тах-
Функция FCO максимизируется, так как целевая функция исходной задачи ми-
нимизируется.
Умножил коэффициенты при %! в системе ограничений на соответствующие
переменные двойственной задачи и сложим их, получим ~2yi + 1  у2 + 1- уд-
Данная сум ма меньше или равна коэффициенту при Xj в целевой функции
-2yj + yz + Уз < 5. Неравенство имеет вид < С *, потому что целевая функция двой-
ственной задачи максимизируется. Аналогично составляются еще два ограниче-
ния двойств виной задачи (соответствуют переменным х2, х3):
-1 • yt + 2у2 - 1 - у3 < 2,
1 ‘ У1 “ 1' Уг + 2Уз * 8-
Все переменные двойственной задачи удовлетворяют условию неотрицатель-
ности, пото! iy что все ограничения исходной задачи — неравенства.
Окончательно двойственная задача имеет вид
Г(У) = -5^! + 4у2 + 8ys — max,
-2i/]+ у2 + у3<5,
 - У1 + 2у2 “ Уз с 2,
I Vi ~~ Уг + 2у3 С 3,
у,>0. 1-1, 2,3.
31.2.	Составить задачу, двойственную к данной
Я(Х) — 2Г| — 2дс2 — 4х3 4- 6х4 —> min,
Zxj + 5х2 + 8x3 + 8x4 = 17, У1
5х1 + Зл2+ х3 + 2х4 = 11, у2
х- >0, j = 1, 2, 3, 4.
439
Решение. Данная задача имеет вид исходной задачи второй несимметричной
пары двойственных задач (31.4). Записываем двойственную задачу:
F(Y) - 17ут + 11у2 max,
7У1 +	&У3< 2,
буд +	Зу2 —2,
ЗУ1 +	У3 -4>
2yi +	2уг < 6.
Переменные уг, у2 не должны удовлетворять условию неотрицательности, так
как они соответствуют ограничениям-равенствам исходной задачи.
31.3.	Составить задачу, двойственную к данной
Z(X) - 3 + 2хх + х2 + 6х3 —► min,
*1 - 3х2 + 2х3 = 1,
< 2*! + 4х2 4- х3 < 7,
- Xj + х2 + Зх3 > 6,
У1
У2
Уз
Xj > 0, j = 1, 2, 3.
Решение. Используем общие правила составления двойственных задач.
Умножим второе ограничение*неравенство на — 1, так как в задаче на минимум
неравенства должны иметь вид (см. правило 3). Исходная задача примет
вид
ДХ) = 3 +	-* mint
Xj - Зх2 + 2х3 = 1, У1
-2xt - 4х2 - х3 > -7, у2
“ Xj + х2 + Зх3 > 6, у3
Х;>0, /-1,2,3.
Составляем двойственную задачу
F(Y) - 3 + yj - 7у2 + бУэ max,
У1 - 2у2 _ Уз 2,
' — Зу] — 4у2 + Уз 1«
2}Ч ~ Уз + 8Уз <
У2 О» Уз 0-
Переменная ylt соответствующая ограничению-равенству, может быть любого
знака (см. правило 4).
460
Составить двойственные задачи для следующих задач:
31.4.	Z(X) = хг 4- 4х2 + х3 -* max,
~ *1 + 2х2 4- х3 < 4,
- Зхх + х2 + 2х3 С 9,
2хг + Зх2 + хз
х; >0, j = 1, 2, 3.
31.5.	Z(X) = 2хг + х2 - х3 —* min,
2хх + х2 - х3 > 5,
< хх 4- 2х2 + х3 С 7,
I хх - х2 + Х3 > 1,
X; > 0, / = 1, 2, 3.
31.6.	Z(X) — 2хх - х3 + х4 —* max,
[ Зхх 4- Зх2 + х3 4- х4 = 12,
[4хх 4- 5х2 4- 2х3 + х4 = 18,
Ху > О, у - 1, 2, 3, 4.
31.7.	Z(X) = 4xj 4- 13х2 + Зх3 4- 6х4 -» min,
[5хХ’ Зх2 4- х3-2х4 = 1,
[Эх-i “ 4х2 4- 2х3 - Зх4 = 6,
х; >0, j = 1, 2, 3, 4.
31.8.	Z(X) = Зхх 4- 2х2 4- Зх3 max,
хх 4- х2 - 2х3 > 2,
< -хх 4- 2х2 4- х3 < 4,
хг 4- 2х3 = 2,
х; > О, 7=1, 2, 3.
31.9.	Z(X) = 2х| 4- х2 4- 2х3 min,
хх + 2х2 — х3 > 2,
« -2хх 4- х24-2х3 = 2,
2хг 4- х2 - 2х3 < 6,
Ху > 0, 7=1, 2,3.
461
31.2. Первая теорема двойственности
Теоремы двойственности позволяют установить взаимосвязь между
оптимальными решениями пары двойственных задач. Решив одну из па-
ры двойственных задач, можно или найти оптимальное решение другой
задачи, не решая ее, или установить его отсутствие. Возможны следу-
ющие случаи;
* обе задачи из пары двойственных имеют оптимальные решения;
• одна из задач не имеет решения ввиду неограниченности целевой
функции, а другая не имеет решения ввиду несовместности системы ог-
раничений.	.
Теорема, Если одна из пары, двойственных задач имеет оптималь-
ное решение, то и двойственная к ней имеет оптимальное решение:
причем значения целевых функций задач на своих оптимальных ре-
шениях совпадают.
Если одна из пары двойственных задач не имеет решения ввиду
неограниченности целевой функции, то другая не имеет решения вви-
ду несовместности системы ограничений.
31.10.	Для данной задачи составить двойственную, решить
ее симплексным методом и, используя первую теорему двой-
ственности, найти решение исходной задачи:
Z(X) = 2хг + 4х2 + 6х3 -* min,
2xj + х2	+ 2х3 > 6,	У1
Xi+ х2	- х3 > 5,	У2
х2	+ 2х3 > 2,	Уз
Xj >0, у = 1, 2, 3.
Решение. Используя вторую симметричную пару двойственных задач (31.2),
составляем задачу, двойственную к исходной:
Г(У> = буц + 5i/2 + 2Уз "* П1ах’
г -	Д
2У) + Уг < 2,
t У] + У2 + Уз < 4’ Уз
2У1 ~ Уг + 2УзС6> Уб
> 0, 1 = 1, 2, 3.

Вводя неот] шцательные дополнительные переменные У5, приводим за-
дачу к каноническому виду:
F(Y) - 6yt + 5у2 + 2у3 + 0у4 + 0у5 + 0у6 — max,
2^1 +	У2	+ У4	= 2,
У1 +	У 2 +	Уз	+	Уб	" <-
2yi -	У2 +	2уз	+ Уд - 6,
Уг	> 0,	i - 1, 2, 3,	4, 5, 6.
Находим канальное опорное решение = (0, 0, 0, 3, 4, 6) с базисом из еди-
ничных векторов £t •= (А4, Л5, А6). Решение задачи симплексным методом при-
ведено в табл. 11.1.
. i	f Таблица 31.1
6	|5	{2 О О О
В	сй	Ас	А1 Ад Ад А4 Ай Ад	01	02	es
, Ф Ф	0 0 0	2 4 6	2	д	0	1	0	0 1110	10 2	-1	2	0	0	1	1 4 3	2 4 I	4 i 3
AJ		0	1 CTl I 1 СТ 1 № О © ©	9*		
Ф	Ф	W	5 0 0	2 2 8	2	10	100 -1	0	Щ	-1	1	0 4	0	2	1	0	1	2 4/а		
А)		10	4	0	-2	5	0	0			
а2 Ад Ад	5 2 0	2 2 4	2	10	10	0 -10	1-11	0 6	0	0	3	-2	1	max F(Y) = 14, Y* - (0, 2, 2), Б* — (А2т Ад, Afi)		
Д/		14	ES3 , О © ЬЗ о |			
Оптимальне е решение двойственной задачи У* * (0, 2, 2, 0, 0, 4), его базис
S* = (А%, А3, Ад), значение целевой функции max F(Y) — F(Y*) =14.
Оптимальнее решение исходной задачи, двойственной к решенной, можно
найти по форм’ ’ле
X*^C*D~l.	(31.5)
Матрица D застоит из координат векторов А2, А3, Ад, входящих в базис оп-
тимального реп гения двойственной задачи:
г
Л = (А2, Ад, Ад) ”
1
1
О
1
V-1 2
О
О •
1 >
463
Матрица D-1 находится в последней симплексной таблице. Ее столбцы рас-
полагаются под столбцами единичной матрицы, т.е. под единичными векторами
Д4, Д4, А6, образующими базис начального опорного решения:
Г
£)“1 ,
ч
1 О о
-1 1 о
3-2 1
Координатами вектора С* являются коэффициенты целевой функции при ба-
зисных неизвестных оптимального решения у2, у3, ув. Данные коэффициенты
записываются в том ясе порядке, в каком векторы условий входят в базис опти-
мального решения, т.е. С* — (5, 2, О).
/
Вычисляем X* = C*Z)-1 = (5, 2, 0)
0
1
1
-1
= (3, 2. 0).
о
о
I 3 -2 1 J
Оптимальное решение исходной задачи можно найти проще, по формуле
** = А* + с*,
г = 1,2( 3.
(31.6)
Для этого необходимо к оценкам разложений по базису оптимального реше-
ния векторов А4, А5, А6, входящих в базис начального опорного решения, т.е. к
оценкам этих векторов в последней симплексной таблице, прибавить соответст-
вующие коэффициенты целевой функции (они расположены над верхней стро-
кой таблицы над соответствующими оценками)
х* " 3 + 0 - 3, Хз = 2 + 0 - 2, Xj = о + 0 - 0.
Ответ: min Z(X) - 14 при X*  (3, 2, 0).
Для следующих задач составить и решить двойственные и,
используя их решение, найти решение исходных задач:
31.11.	Z(X)  хг + х2 + 2х3 — min,
xr - х2 -	> 1,
< -2x1 + Зх2 > 1,
-3xj + 4х2 — 2х3 < 1,
Xj > О, / = 1, 2, 3.
31.12.	Z(X) = 2xi + 6х2	+	12х3 —►	min,
- Xj + х2	+	х3 >	1,
’ 2xj - 2х2	+	xs >	0,
Xi + Зх2	+	Зх3 >	-2,
Xj >0, 7=1,2, 3.
464
31.13. 2{Х) ~ 4хг + 6х2 + 2х3 min,
I, 2х2 +	> 3,
1X1+ х2 - х3 > 2,
хх + 2х2 + 2х3 > 2,
х; >0, у = 1, 2, 3.
31.14.	Z X} = х2 + х2 + Зх3 -* min,
2xj + х2 + 2х3 > 4,
• хг + х2 - х3 > 3,
х2 + 2х3	1,
+ 0,	— 1, 2, 3.
31.15.	ZiX) ~ xt + 2ха + х3 min,
xt + 2х2 + 2х3 > 6,
* - Xj + 2х2 + х3 > 2,
2хг - х2 + х3 > 2,
Ху > О, j — 1, 2, 3.
31.16.	Z(X} = 2*i + 6х2 + 2х3 —* min,
х2 +
*з
< "-2XJ — Зх2 - х3 С 1,
Xj + Х2 Хд > 3,
Ху > 0, 7=1» 2, 3.
31.17.	Z(X) = 3xj + 7х2 + 10х3 — min,
Xj + 2х2 +
< Хг + х2
2х^ + Зх2 +
>1,
7х3 < 7,
х. > 0, j - 1, 2, 3.
jF
465
31.18.	ZfJZC} — 6^! 4- 2x3 4- Зх3 —* min,
"2xx + 2x3 — 3x3 =>	4,
«' JC^	+ JCg 2,
J 3jct 4- x3 4 2x3 > IO,
Xj > O, / = 1, 2, 3.
31.19.	=	15*! + 7x2 4- 12x3 — min
1^1 + *2 +	2x3	> 2>
Зжт 4- x2 -h x3 > 3,
5jc1 4- ж2 4-	4x3	>1,
Ж7 > О, у = 1, 2, 3.
31.20.	JZ^(J<) = 4xt 4- 3xz + ж3 —* min,
Зжг 4“ 2x2 + ж3 >	7,
< — %1 4- 3x2 + ж3 1,
1	4- 7x2 4- 4x3 <27,
xj >O, j = 1, 2, 3.
31.21.	Zf.X} = 2xr 4~ 5ж2 + хз —* min,
i 3^c^	2л^3 4— ^^3	5 r
- 2x1 + 4x2 — 4x3 > 3,
Зжг 4- 5x2 4- jc3 6,
х^ > O, j = 1, 2, 3.
31.22.	= 3jcj 4- 4x2 4- 2x3 —► min,
—3xi — 5x2 4- 2x3 < 4,
4 2xi 3x2 “H x3 3,
3л?! .4- Gx2 ~ зс3 > 5,
Xj >O, j = 1, 2, 3.
466
31.3.	Вторая теорема двойственности
Пусть имеется симметричная пара двойственных задач
II
Z(X) = ^CjXj max,
j=
n
<bi> i = 1, 2........m,
j=l
Xj >0, j = 1, 2, .... n;
F(Y> «	- min,
i = l
J^y^Cj, у = 1, 2, .... л,(31.7)
i=l
iJi > 0, i = 1, 2, m.
Теорема. Цля того чтобы допустимые решения X = (х1( хг, хй),
У = (ylf у %, ут)являлись оптимальными решениями пары двойст-
венных задач, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следу-
ющие равенства:
(т	>
/=1	'
— 0, / — 1, 2, л:
(31.8)
Иначе, с г ли при подстановке оптимального решения в систему
ограниченна, l-е ограничение исходной задачи выполняется как строгое
неравенство, то i-я координата оптимального решения двойственной
задачи равна нулю, и, наоборот, если i-я координата оптимального
решения двойственной задачи отлична от нуля.^то i-e 'ограничение
исходной задачи удовлетворяется оптимальным решением как равен-
ство.
31.23.	Для данной задачи составить двойственную, решить
ее графическим методом и, используя вторую теорему двойст-
венности, найти решение исходной задачи:
Z(X) ~ — 2X1 + 4х2 + 14х3 + 2х4 —* min,
-2xj - х2 + х3 + 2х4 = 6, У!
- Xj + 2х2 + 4х3 - бх4 30, у2
0» У 1» 2, 3, 4.
467
Решение. Составим двойственную задачу
F(yj —	+ ЗОу2 max,
~21/1 “ У-1 < " 2-
- У\ + 2У2 <
У1 "Ь 4у2 С
2У1~ 5Уя <
4.
14,
2.
(1)
(2)
(3)
(4)
Решим эту задачу графическим методом. На рис. 31.1 изображены область
допустимых решений задачи, нормаль й = (6, 30) линий уровня, линии уровня
и оптимальное решение задачи Y* = (2,3).
Рис. 31.1
У* = L2 П L3,
+ f-Уз + 2у2 ” 4, (Г2)
У] + 4р2 - 14 (Г3)
У*2 -3, у[ = 2;
У* = (2,3);
F(Y*) = 6'2 + 30-3 = 102.
Подставим оптимальное решение У* = (2, 3) в систему ограничений. Получим,
что ограничения (1) и (4) выполняются как строгие неравенства:
— 2 2 — 3 < —2 => х* = 0,
-2 + 23 = 4,
2 + 4-3 = 14,
2'2“5'3<2=>Л4 = 0.
Согласно второй теореме двойственности соответствующие координаты опти-
мального решения двойственной задачи, т.е. исходной задачи, равны нулю:
Х1 “	= О’ Учитывая это, из системы ограничений исходной задачи получим
+ х3 6,
2хг + 4х3 — 30
х 2
6х3 = 42;
х3 = 7, х2 = 1; X* = (0, 1, 7, 0).
Ответ: min Z(X) = 102 при X* = (0, 1, 7, 0).
468
Для следующих задач составить двойственные, решить их
графически: д методом и, используя вторую теорему двойствен-
ности, найти решения исходных задач:
31.24.	Z(X) = 5хг 4- 5х2 + х3 4- х4 —► max,
[	- 2х2 - Зх3 4- х4 = 1,
' 2хг 4- Зх2 + 2х3 4- х4 = б,
ху > О V/.
31.25.	Z(X) ~ -Xj 4- 9х2 4- 9х3 - х4 -* min,
|-Xi 4- Х2 4- Х3~ Х4 = 1,
х^ Зх2 4* Зх3 х4 = 3,
Х;>0 V).
31.26.	Z(X) = 6xj 4- 4х2 - 2х3 + 10х4 -* min,
Xj 4- х2 - х3 + х4 = 3,
'[ 2Xj - х2 “ х3 + 2х4 = 10,
хрО V/.
31.27.	Z(X) — 24xj + 8х2 - 4х3 4- 2х4 —> min,
f 4хх 4- 2х2 - х3 4- х4 = 1,
[3xj 4- х2 - х3 — х4 = -2,
хр 0 V/.
31.28.	Z(X) = -Xj - 7х2 - 8х3 + х4 4- 4х5 -> max,
f хг 4- х2 - х3 - х4 - х5 = 1,
1 — хх 4- х2 4- 2х3 - х4 - 2х5 = 4,
хрО V/.
31.29.	Z(X) = хг + 2хг 4- 4х3 4- 5х4 4- 6х5 max,
[х4 4- 2х2 + х3 4- 2х4 4- Зх5 = 3,
Iх! + х24-2х34- х44- х6 = 3,
хрО V/.
469
31.30. 2(Х) — -2л1 + 2х2 + 10х3 + 4х4 + 2х5 —* min,
—хх + х2 + 2х3	- 2х& = 2,
—Xj - х2 + х3 + х4 + х5 = 3,
Х;>0 Vj.
31.31.	Z(X) = -2х! + 7х2	- 10х4 + 6х5 -* min,
-2х2 + х2 4- 2х3 - 2х4 - 2х5 = 3,
Л *1 + х2 - 5х3 - бх4 + Зх5 = 8,
Ху > 0 V/.
31.4.	Двойственный симплексный метод
(метод последовательного уточнения оценок)
Двойственный симплексный метод, как и обычный симплексный ме-
тод, позволяет в результате последовательного улучшения так называ-
емых почти допустимых опорных решений либо найти оптимальное ре-
шение, либо установить его отсутствие.
Пусть имеется задача линейного программирования в канонической
форме
Z(X) = СХ -* max,
ATxt + А2х2 + - + Апхп = До»
х > е.
Почти допустимым опорным решением (ПДОР) задачи линей-
ного программирования называется такой n-мерный вектор
X — (Xj, х2, О,.... 0), который удовлетворяет системе ограничений
задачи, не удовлетворяет условиям неотрицательности переменных и
для которого векторы условий Aj, Л2,..., Ат, соответствующие отличным
от нуля координатам, линейно независимы.
В двойственном симплексном методе рассматриваются ПДОР, при ко-
торых оценки разложений векторов условий Ак по базису ПДОР со-
ответствуют признаку оптимальности, т.е.:
•	в задаче на максимум ДА > 0 Vfe;
•	в задаче на минимум Д& 0 VA.
Почти допустимое опорное решение является оптимальным,
если оно является допустимым (признак оптимальности ПДОР).
470
Если в задаче линейного программирования на максимум (минимум)
для заданного ПДОР с неотрицательными (неположительными) оценка-
ми хотя бы о,;,на координата отрицательная xj0 < 0 и при атом среди ко-
эффициентов xtj{j = 1, 2.rt) разложений векторов условий по базису
данного решения существует хотя бы один отрицательный х1к < О,
то решение может быть улучшено (приближено к оптимальному),
т.е. можно построить новое ПДОР, для которого значение целевой функ-
ции будет меньше (больше), если из его базиса вывести вектор At и ввести
вектор УЦ, номер которого находится из условия

= min
j
А!
\хц\
х(; < 0.
(31.10)
Если для ПДОР существует хотя бы одна отрицательная координа-
та хю и при этом не существует отрицательного коэффициента xtj раз-
ложений векторов условий Aj (j -1, 2,..., п), то задача не имеет решения
ввиду несовк естности системы ограничений (признак отсутствия реше-
ния задачи ввиду несовместности системы ограничений).
Алгоритм двойственного симплексного метода:
1.	Привести задачу к каноническому виду.
2.	Найти. 1Д0Р с базисом из единичных векторов, вычислить оценки
векторов условий по базису этого решения и, если они согласуются с при-
знаком оптимальности, решить задачу двойственным симплексным ме-
тодом.
3.	Если Г ДОР не имеет отрицательных координат, то оно является
допустимым и оптимальным. Решение задачи заканчивается.
4.	Если ПДОР имеет отрицательную координату хю < 0, для которой
соответствующие коэффициенты разложений всех векторов условий
неотрицательные (хц > О Vj), то задача не имеет решения ввиду несов-
местности системы ограничений. Решение задачи прекращается.
5.	Если hi геется хотя бы одна отрицательная координата ПДОР хю < О
и при этом найдется хотя бы один отрицательный коэффициент Ху раз-
ложений ве! торов условий Aj по базису решения, перейти к новому ре-
шению, на к этором значение целевой функции будет ближе к оптималь-
ному. Номер вектора Акт вводимого в базис, находится с использованием
параметра 0^ (31.10). Номер вектора Д, выводимого иэ базиса, находит-
ся из условия min {х1060(} в задаче на максимум или max {-x;090J в задаче
I	1
на минимум.
Далее не] 'ейти к пункту 3 данного алгоритма.
£71
31.32. Решить двойственным симплексным методом
Z(X) = 2xi + 15*2 + 6*з —* min,
д
- хх +	3*2 — Х3 6,	-х4
Зхг ’+	х2 4- 2х3 > 12,	~х5
X! +	х2 + х3 > 15,	-х6
Xj > 0,	/ = 1, 2, 3.	
Решение. Приводим задачу к каноническому виду, для чего вводим в ле-
вые части ограничений-неравенств неотрицательные дополнительные перемен-
ные х4, х&, хв:
Z(X) — 2Х] + 15x2 + 6*а + ®х4 + 0х5 + 0х6 -» min,
- X, + Зха - х3 - х4	** 5,
\ ЗХ] + х2 + 2х3	- х5 = 12,
Х1 + х2+ х3	- х6= 15,
х, > О, j= 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Для нахождения ПДОР с базисом из единичных векторов умножим каждое
из ограничений на -1, получим
Z(X) — 2xj + 15х2 + 6х3 + 0х4 + 0х6 + 0xe min,
Х1 ~
 -3xj-
- X! -
Зх2 + х3 + х4	= - 5,
Х3 — 2Х3	= """1^1
xz - х3 ’	+х6 = -15,
Jtpo, j = 1, 2, 3. 4, 5, 6.
Записываем начальное ПДОР:	= (О, О, 0, -5, -12, -15) с базисом
-£>1 = (А1, -^5» АР*
Вычисляем оценки Ду разложений векторов условий по базису ПДОР и запол-
няем первую симплексную таблицу (табл. 31.2). Оценки для векторов условий,
не входящих в базис, отрицательные. Следовательно, условия применимости
двойственного симплексного метода к задаче на отыскание минимума выполне-
ны. Начальное ПДОР = (0, 0, 0, -5, -12, -15) не является оптимальным, так
как не удовлетворяет условиям неотрицательности переменных задачи. Перехо-
дим к новому ПДОР с неположительными оценками для векторов условий. Для
того чтобы оценки остались неположительными, необходимо номер Л вектораАк,
вводимого в базис, выбрать из условия (31.10). (В таблицах отношения |Ду/Х/у|,
соответствующие минимуму параметра t)o;, выделены жирным шрифтом.) При
этом номер I вектора Л^, выводимого из базиса, должен соответствовать отрица-
тельной координате х( ПДОР. В данном случае отрицательными являются три
472
координаты: д ( = -5,	= “12,	= -15. Для соответствующих строк (1, 2 и З-й)
симплексной
таблицы находим
е(
Н)2 ” min
i
6S3 = min
-15
-3
-2
-3
-2
— min {5} = 5 при j = 2;
-15
-6
-2
-6
= min
/
2	„ •	1.
= н при / = 1:
О
min {2, 15, 6} = 2 при /• 1.
min <
j
|.15.3
для векторов, не входящих в базис, останутся от-
Отсюда следу ter, что оценки
рицательными, если при выведении первого вектора базиса ввести в базис век-
тор Аг или пр: I выведении второго или третьего векторов базиса (А& илиАв) ввести
вектор А].
Таблица 31.2
О
О
О
2 |	15	6
	Б	I с6	А)	А]	А	А	^4		А
		0	-5	1	-3	1	1	0	0 1
	А	1 0	-12	-3	-1	-2	0	1	0
	А :	0	-15	ЕЗ	-1	-1	0	0	1 1
	А/		0	-2	-15	-6	0	0	0
	0!			—	5	—	——	—	•— 1
				%	15	3	—	’—	— '
	Оз			2	15	6	—-	—	
Для обеспечения скорейшего достижения экстремума целевой функции за-
дачи на отыс кание минимума номер I вектора, выводимого из базиса, определяем
из условия !
max AZ( • max {~xra0Oi}, х{ < 0,
(31.11)
где AZz есть i риращение целевой функции при введении в базис ПДОР вектора А;.
Вычисляем 1 [аксимум:
max AZ< = m
i
ах {7еб)  5, (12) • |, -(-15) • 2} = max {25, 8, 30} = 30 при I = 3.
1	3	i
Третий (I = 3
преобразование Жордана с разрешающим элементом j
вектор базиса А6 заменяем вектором Аг (0вз — 2 при j = 1). Выполняем
-1 (см. табл. 31.2).
473
Получаем новое ПДОР Хо — (15, О, О, -20, 33, 0) (табл . 31.3). Данное решение Х2
не является оптимальным, так как координата решения, содержащаяся в первой
строке симплексной таблицы, отрицательная: х4= -20. Находим

min -I
i
-13
-4
min <
i
13
4
— при/= 2.
Таблица 31.3
2	15 |	6	0	0	0
Б	с6	^0	41	Л2	^3	4<	4&	4$
а4	0	-20	0	_4	0	1	0	0
^5	0	33	0	2	1	0	1	0
Л1	2	15	1	1	1	0	0	-1
! Д>		1 30	0	-13	—4		0	0	-2
02			—	7,	—	—		
Выводим из базиса Б2 - (А4, Л5, Aj) решения Х2 вектор А4, вводим вектор Л2,
переходим к ПДОР Х% = (10, 5,0, 0, 23, 0), которое является оптимальным, так
как удовлетворяет условиям неотрицательности (табл. 31,4).
Таблица 31.4
Б		Лф	4j	а2	А3 А*		.4^ ।	
। 42	15	5	0	1	0	-Т/4	0	-’/4
^5	0	23	0	0	1	V2	1	V,
4j	2 ।	10 ।	1	0	1	V4	0	7,
	1/	95	0	0	-4	-13/4	0	-214
Ответ: min Z(X) 95 при X* = (10, 5, 0, 0, 23, 0).
Решить двойственным симплексным методом:
31.33.	Z(X) = 4хт 4- 10х2 + 2х3 —г min,
2хг 4- Зх2 + 2х3 > 2,
i -3xj + х2 + х3 < 3,
-2хх 4- 2х2 4~ х3 > 5,
ху > 0 V/.
474
31.34.	2(Х) “ 15хг + 2х2 + 12х3 —► min,
Х1 х2 + 2х3
« 3xj + х2 + х3 > 3,
5xj + х2 4- 4х3 > 5,
х7 > О V/.
31.35.	2(Х) = 7xj + Зх2 4- 6х3 —* min,
хг + х2 + Зх3 > 3,
] 2хг + х2 + х3 > 4,
Xj + Зх2 + 2х3 > 6,
х; > 0 Vj.
31.36.	2(Х) = 2хт + 5х2 + х3 —* min,
- Xt + Х2 + Х3> б,
« 3Xi 4- 2х2 - х3 < 12,
Xj — 2х2 “ Зх3 3,
Ху > О V/.
31.37.	2r(X) = 4xj 4- 10х2 4“ 2х3 min,
5хг 4- Зх2 4Н 2х3 > 2,
1 -3xi х2 + хз 3,-
। — 2Х| + 2х2 4" х3 7,
Ху>0 V/.
31.38.	5f(X) = 15xj 4- 7х2 4- 12х3 -* min
Л1 + х2+ ^х3 >
« 3X1+ х2+ х3 > 3,
5хг + х2 + 4х3 > 20,
Ху > О V/.
475
31.39.	Z(X) = 5xx + 3x2 + 6x3 -> min,
Xi + x2 + 3x3 > 3,
< 2хг + x2 + x3 > 4,
xt + 3x2 + 2x3 > 6,
xy>0 Vj.
31.40.	Z(X) - 4xj + 3x2 + 5x3 -* min,
—2xj - x2 + 2x3 = 2,
< Xj + x2 - 3x3 > 3,
Xi + 3x2 + 2x3 > 6,
Xj > 0 Vj.
32. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
32.1. Математическая модель транспортной задачи
Однородный груз сосредоточен у т поставщиков в объемах oIf а.%, ...,ат.
Данный груз необходимо доставить л потребителям в объемах Ьр Ь2, ..., Ьл.
Известны Су (i = 1, 2, т; j = 1, 2, ...» л) — стоимости перевозки еди-
ницы груза от каждого г-го поставщика каждому у-му потребителю. Тре-
буется составить такой план перевозок, при котором запасы всех постав-
щиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворя-
ются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов мини-
мальны.
Исходные данные транспортной задачи записываются в таблице вида
	Ь1	&2	|		
д1	С11	с12		с1л
	«21	с23		с2п
- - *	  >	-	- -	»»*
			-  	
Переменными (неизвестными) транспортной задачи являются х^
(1 = 1, 2, ..., /п; j = 1, 2, .... п) — объемы перевозок от каждого 1-го по-
476
ставщика каждому j-му потребителю. Эти переменные могут быть запи-
(
	*11 Х12 ••• Х1п
саны в виде матрицы перевозок X =	*21 х22 " х2я
	
Математическая модель транспортной задачи в общем: случае
имеет вид
т д
Z(X)= Jc^-min,	(32.1)
f=l }=l
n
= i = 1, 2, ..., m,	(32.2)
j = i
= j = 1, 2, .., n,	(32.3)
i = l
xtJ >0, i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, .... n.	(32.4)
Целевая пункция задачи (32.1) выражает требование обеспечить ми-
нимум суммарных затрат на перевозку всех грузов. Первая группа из
т уравнений (32.2) описывает тот факт, что запасы всех т поставщиков
вывозятся полностью. Вторая группа из п уравнений (32.3) выражает
требование полностью удовлетворить запросы всех п потребителей.
Неравенства,(32.4) являются условиями неотрицательности всех пере-
менных задачи.
Таким образом, математическая формулировка транспортной задачи
состоит в еле дующем: найти переменные задачи
X = (х^), i = 1, 2, .... m‘r j = 1, 2, п,
удовлетворяющие системе ограничений (32.2), (32.3), условиям неотри-
цательности [32.4) и обеспечивающие минимум целевой функции (32.1).
В рассмотренной модели транспортной задачи предполагается, что
суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребите-
лей, т.е.
m	п
(32.6)
i=l	7~1
Такая задача называется задачей с правильным балансом, а ее модель —
закрытой. Епли же это равенство не выполняется, то задача называется
задачей с не гравильным балансом, а ее модель — открытой.
477
Д ля того чтобы тракепортн ая задача линейного программирования име-
ла решение, необходимо и достаточно, чтобы суммарные запасы поставщи-
ков равнялись суммарным запросам потребителей (см. равенство (32.5)),1
т.е. задача должна быть с правильным балансом.
32.1. Составить математическую модель транспортной зада-
чи, исходные данные которой таковы:
	50	70	80
90	9	б	3
110	,	4	6	8
Решение. Введем переменные задачи (матрицу перевозок)
/ \
Х _	*11 *12 х13
k Х21 х22 ?23 j
Запишем матрицу стоимостей
с. f 9 5 3 '	.. .
U68,‘
Целевая .функция, задачи равна сумме произведений всех соответствующих
элементов матриц С1 и X:
Z(X) - 9хп + 5х22 + Зх13 + 4х21 + 6х22 + 8.г23.
Данная функция, определяющая суммарные затраты на все перевозки» должна
достигать минимального значения.
Составим систему ограничений задачи. Сумма всех перевозок, стоящих в
первой строке матрицы X, должна равняться запасам первого поставщика, а сум-
ма перевозок во второй строке матрицы X — запасам второго поставщика:
'	+ *12 + JF13 -Т.90,
*21 + х22 + х23 = 110-
Это означает, что зацасы поставщиков। вывозятся полностью.. ,
Суммы перевозок, стоящих в каждом столбце матрицы X, должны быть рав-
ны запросам соответствующих потребителей:
Xjj + х21	50,
х12	х22 **' ^0,
*13 + *23 " S0.
Это означает, что запросы потребителей удонлетррряются, полностью. ,)Ь •, .
47g
Необходим о также учитывать, что перевозки не могут быть отрицательными:
х^ >0, i = 1, 2, m; j 1, 2, ж
Ответ: матем атическая модель задачи формулируется следующим образом: най-
ти переменные задачи, обеспечивающие минимум функции
2г(Х) ™ 9Xjj + 5Xj2 4- ЗХ{3 + 4^21 + 6л?22 + 8^23
и удовлетвори ощие системе ограничений
Хц + Xjg + Х|з	-90, Ж21 +	+ *23 = 110
*11	+ X2J	— 50,
*12	“F Х22	= 70,
*13	+ х2Э 80
и условиям не отрицательности
ху > 0, i 1> 2» м; y^l, 2t ...» п*
Для следующих транспортных задач составить математиче-
ские м оделл:
32.2.
	40	20	'
20	7	4
30	5	3
10	6	8
32.3.
	100	50	50
50	9	7	1
70	8	5	3
80	4	2	6
32.2. Опорное решение транспортной задачи
Опорным решением транспортной задачи называется любое допусти-
мое решение, для которого векторы условий, соответствующие положи-
тельным координатам, линейно независимы.
Ввиду того что ранг системы векторов условий транспортной задачи
равен А’ = и j-п - 1, опорное решение не может иметь отличных от нуля
координат больше, чем
Для прове жи линейной независимости векторов условий, соответст-
вующих координатам допустимого решения, используют циклы.
Циклом называется такая последовательность клеток таблицы
транспортной задачи (ib Ц), (ilf j2), (i2, >2), .... (ifc> д), в которой две
и только две соседние клетки расположены в одной строке или столб-
479
це, причем первая и последняя также находятся в одной строке или
столбце.
Система векторов условий транспортной задачи линейно независима
тогда и только тогда, когда из соответствующих им клеток таблицы
нельзя образовать ни одного цикла. Следовательно, допустимое решение
транспортной задачи X — (х,Д i = 1, 2, .... /л; j = 1, 2, ...» п является
опорным только в том случае, когда из занятых им клеток таблицы нель-
зя образовать ни одного цикла.
Метод вычеркивания. Для проверки возможности образования цик-
ла используется так называемый метод вычеркивания, ко^рый состоит
в следующем.
Если в строке или столбце таблицы одна занятая клетка, то она не
может входить в какой-либо цикл, так как цикл имеет две и только две
клетки в каждой строке или в столбце. Следовательно, можно вычерк-
нуть все строки таблицы, содержащие по одной занятой клетке, затем
вычеркнуть все столбцы, содержащие по одной занятой клетке, далее
вернуться к строкам и продолжить вычеркивание строк и столбцов. Если
в результате вычеркиваний все строки и столбцы будут вычеркнуты,
значит, из занятых клеток таблицы нельзя выделить часть, образующую
цикл, и система соответствующих векторов условий является линейно
независимой, а решение — опорным. Если же после вычеркиваний ос-
танется часть клеток, то эти клетки образуют цикл, система соответст-
вующих векторов условий линейно зависима, а решение не является
опорным.
Метод северо-западного угла. Согласно данному методу запасы оче-
редного поставщика используются для обеспечения запросов очередных
потребителей до тех пор, пока не будут исчерпаны полностью, после чего
используются запасы следующего по номеру поставщика.
Заполнение таблицы транспортной задачи начинается с левого верх-
него угла и состоит из ряда однотипных шагов. На каждом шаге, исходя
из запасов очередного поставщика и запросов очередного потребителя,
заполняется только одна клетка и соответственно исключается из рас-
смотрения один поставщик или потребитель. При этом нулевые перевоз-
ки принято заносить в таблицу только в том случае, когда они попадают
в клетку (i, /), подлежащую заполнению, т.е. в таблицу заносятся только
базисные нули (О*), остальные клетки с нулевыми перевозками остаются
пустыми. '
Во избежание ошибок после построения начального опорного реше-
ния необходимо проверить, что число занятых клеток равно т + п — 1
и векторы условий, соответствующие этим клеткам, линейно незави-
симы.
Необходимо иметь в виду, что метод северо-западного угла не учиты-
вает стоимость перевозок, поэтому опорное решение, построенное по дан-
ному методу, может быть далеким от оптимального.
480
32.4. Составить начальное опорное решение, используя ме-
тод северо-западного угла, для транспортной задачи, исходные
данные которой таковы:
®tX	250	300	200	200
200	9	8	3	1
350	7	10	6	4
400	2	3	8	12
Решение. Распределяем запасы первого поставщика. Так как его запасы
а1 = 200 меньше запросов первого потребителя Ъ1 = 250, то в клетку (1, 1) записы-
ваем перевоз-су Xj]= 200 и исключаем из рассмотрения первого поставщика
(табл. 32.1). Определяем оставшиеся неудовлетворенными запросы первого
потребителя /j =	- 250 - 200 — 50.
Распределяем запасы второго поставщика. Так как его запасы 350
больше остав шился неудовлетворенными запросов первого потребителя Ь\ = 50,
то в клетку (2, 1) записываем перевозку х21 = 50 и исключаем из рассмотрения
первого потребителя. Определяем оставшиеся запасы второго поставщика
а2 = а2= 350 - 50 = 300. Так как а'2 = Ь2 = 300, то в клетку (2, 2) записываем
х22 “ 300 и нс ключаем по своему усмотрению либо второго поставщика, либо вто-
рого потребителя. Пусть исключили второго поставщика. Вычисляем оставшие-
ся неудовлетворенными запросы второго потребителя b2 = b2 ~ Oj = 300 - 300 — 0.
Распределяем запасы третьего поставщика. Так как а3> Ь2 (400 > 0), то в
клетку (3, 2 записываем х32 = 0 и исключаем второго потребителя. Запасы
третьего поставщика не изменились а3 = а3 - Ь2 = 400 — 0 = 400. Сравниваем
cU) и &з (400 > 200), в клетку (3, 3) записываем х33 = 200, исключаем третьего
потребителя я вычисляем а3 - а3 - 53 = 400 - 200 = 200. Так как - Ь4, то в
клетку (3, 4) записываем = 200. Ввиду того что задача с правильным балан-
сом. запасы icex поставщиков исчерпаны и запросы всех, потребителей удовлет-
ворены полностью.
Результаты построения опорного решения приведены в табл. 32.1.
Таблица 32.1
	250	300	200	200
200	9 200	8	3	1
350	7 50	10 300	6	4
400	2	3 0	8 200	12 200
Проверяек правильность построения опорного решения. Число занятых кле-
ток должно быть равно N-« m + n- 1 - 3 + 4-1 —6. В табл. 32.1 занято 6 клеток.
16 Сборник мая* по высшей математике	481
Применяя метод вычеркивания, убеждаемся, что найденное решение является
«вычеркиваемым*:
аее- с 6 о
-&О- з|о о о
-е—е* зфо 290 ,
Следовательно, векторы условий, соответствующие занятым клеткам, линей-
но независимы и построенное решение действительно является опорным.
Метод минимальной стоимости. Данный метод позволяет построить
опорное решение, которое достаточно близко к оптимальному, так как
использует матрицу стоимостей транспортной задачи С = (сф, 1 = 1,
2,..., т; j = 1, 2, п. Как и метод северо-западного угла, он состоит
из ряда однотипных шагов, на каждом из которых заполняется только
одна клетка таблицы, соответствующая минимальной стоимости
гтп{с^}, и исключается из рассмотрения только одна строка (поставщик)
или один столбец (потребитель). Очередную клетку, соответствующую
min{c< Л, заполняют по тем же правилам, что и в методе северо-западного
i.j 1
угла. Поставщик исключается из рассмотрения, если его запасы закан-
чиваются. Потребитель исключается из рассмотрения, если его запросы
удовлетворены полностью. На каждом шаге исключается либо один по-
ставщик, либо один потребитель. При этом если поставщик еще не ис-
ключен, но его запасы равны нулю, то на том шаге, когда от него тре-
буется поставить груз, в соответствующую клетку таблицы заносится ба-
зисный нуль и лишь затем поставщик исключается из рассмотрения.
Аналогично поступают с потребителем.
32.5. Используя метод минимальной стоимости, построить
начальное опорное решение транспортной задачи, исходные
данные которой таковы;
аГЧ	80	. 120	160	120
120	1	3	4	2
160	4	5	8	3
200	2	3	6	7
Решение. Запишем отдельно матрицу стоимостей для того, чтобы удобнее бы-
ло выбирать минимальные стоимости Р вычеркивать строки и столбцы:
14 6 3
482
Среди элементов матрицы стоимостей выбираем наименьшую стоимость си - 1,
отмечаем ее кружочком. Это стоимость перевозки груза от первого поставщика
первому потребителю, соответствующую клетку (1*1) записываем максималь-
но возможную перевозку Хц = min{a3,1^} — min{120, 80} ” 80 (табл. 32,2). Запасы
первого поставщика уменьшаем на 80,	=* Д] -	- 120 - 80 = 40. Исключаем
из рассмотри [ия первого потребителя, так как его запросы удовлетворены, В мат-
рице С выче! киваем первый столбец.
Таблица 32.2
	1 80	120	1	160	120
1 120	1 80	3	4	2 40
160	4	5	8 80	3 80
200	2	3 120	6 ।	80	7
В оставшейся части матрицы С наименьшей является стоимость с14 — 2. Мак-
симально возможная перевозка, которую можно осуществить от первого постав-
щика четвертому потребителю, равна х14 •» minfaj, fr4} = min{40, 120} = 40. В со-
ответствующую клетку таблицы записываем перевозку х14 = 40. Запасы первого
поставщика щсчерпаны, исключаем его из рассмотрения. В матрице С вычер-
киваем первую строку. Запросы четвертого потребителя уменьшаем на 40,
-= 64-а'1 “ 120 - 40 = 80.
В оставш! йся части матрицы С минимальная стоимость са4 — с32 = 3. Заполняем
одну из двух клеток таблицы (2,: 4) или (3, 2). Пусть в клетку (2, 4) запишем
х2л ~ mini|a2> = min{160, 80} - 80. Запросы четвертого потребителя удовлетворены
полностью, и сключаем его из рассмотрения, вычеркиваем четвертый столбец в мат-
рице С. Умее ьшаем запасы второго поставщика аА ~ а2 “ б4 = = 160 - 80 = 80.
В оставшейся части матрицы С минимальная стоимость гп.1п{с^} = сз2 - 3. За-
пишем в клетку таблицы (3, 2) перевозку х32 = min{a3, d2} ' min{200,120} ~ 120.
Исключаем аз рассмотрения второго потребителя, а из матрицы С второй стол-
бец. Вычисляем а3 = a3 - fc2 = 200 - 120 = 80.
В оставн ейся части матрицы С наименьшая стоимость тш{с^} — сза — 6. За-
пишем в клитку таблицы (3, 3) перевозку х33 - mm{a3, b3) = min(80, 160} ™ 80.
Исключаем аз рассмотрения третьего поставщика, а из матрицы С третью стро-
ку. Определяем 63 = b3 - д3 = 160 - 80 — 80.
В матрице С остался единственный элемент с23 = 8. Записываем в клетку таб-
лицы (2, 3) перевозку хгз - 80.
Проверяем правильность построения опорного решения. Число занятых кле-
ток таблицы1 равно ,V — т + л-1“34-4-1—6 (см. табл. 32.2). Применяя метод
вычеркивав я я, проверяем линейную независимость векторов условий, соответ-
ствующих положительным координатам решения. Порядок вычеркивания по-
казан на ма трице X:
! 0 40
**
0-80-^ }
12	5 6
3
Решение является «вычеркиваемым» и, следовательно, опорным.
483
Переход от одного опорного решения к другому. В транспортной за-
даче переход от одного опорного решения к другому осуществляется с по-
мощью цикла. Для некоторой свободной клетки таблицы строится цикл,
содержащий часть клеток, занятых опорным решением. По этому циклу
перераспределяются объемы перевозок (осуществляется сдвиг по циклу).
Перевозка «загружается» в выбранную свободную клетку и освобожда-
ется одна из занятых клеток* получается новое опорное решение.
Если таблица транспортной задачи содержит опорное решение, то для
любой свободной клетки таблицы существует единственный цикл,
содержащий эту клетку и часть клеток, занятых опорным решением.
Для удобства вычислений вершины циклов нумеруют и отмечают
нечетные знаком ♦+», а четные знаком Такой цикл называется
означенным (рис. 32.1).
1	2
3	4
Рис. 82.1
Сдвигом по циклу на величину 0 называется увеличение объемов
перевозок во всех нечетных клетках цикла, отмеченных знаком «+*,
и уменьшение объемов перевозок на ту же величину 6 во всех четных
клетках, отмеченных знаком «-*.
Для следующих транспортных задач составить начальные
опорные решения, используя методы северо-западного угла и
минимальной стоимости:
32.6.
<х	20	30	30	20 i
23	4	3	6	б
38	3	4	5	6
39	2	5	4	7
32.7.
	40	40	30	50
40	3	 11	5	4
60	6	1	2	3
60	4	4	.5	7
32.8.
\ь, а.\.	1 20	20	30	30
20	2	4	8	2
30	4	6	10	3
50	2	5	9,	7
32.9.
	100	100	150	150
100	2	1	3	1	4
150	4	3	1	7
250	5	8|	9	15
484
32.3» Метод потенциалов
Широко распространенным методом решения транспортщ>рсз^дач
является метод потенциалов/	,..... г.
Если, допустимое решение X = (xi;-)r i = 1, 2, ..., rn; j - 1, 2, n
транспортной задачи является оптимальным, то существуют потенци-
алы (числам поставщиков uf, i — 1, 2, ..., m и потребителей Vjt j = 1,
2,..., га, удовлетворяющие следующим условиям:
и, + cti при Хц > 0,	(32.6)
i	ик + Vj < Сц при Хц = О.	(32.7)
Группа равенств (32.6) используется как система уравнений для на-
хождения потенциалов. Данная система уравнений имеет т 4- п неиз-
вестных ut, i = 1, 2, т и i>p / = 1, 2, Число уравнений системы,
как и число отличных от нуля координат невырожденного опорного ре-
шения, равно т + п - 1. Так как число неизвестных системы на единицу
больше числа уравнений, то одной из них можно задать значение про-
извольно, < остальные найти из системы.
Группа неравенств (32.7) используется для проверки оптимальности
опорного решения. Эти неравенства удобнее представить в следующем
виде:
Д^ = Uj + Vj — сц < 0 при xtj = 0.	(32.8)
Числа Ду называются оценками для свободных клеток таблицы (век-
торов уело зий) транспортной задачи.
Опорное решение является оптимальным, если для всех век-
торов уелозий (клеток таблицы) оценки неположительные.
Оценки для свободных клеток транспортной таблицы используются
при улучшении опорного решения. Для этого находят клетку (I, k) таб-
лицы, соответствующую тах(Ду) = Д1А. Если Д2А < 0, то решение опти-
мальное. Если же Д;А > 0, то для соответствующей клетки (Z, k) строят
цикл и улетают решение, перераспределяя груз 6 = mm{xy) по этому
циклу. .
Особен: гости решения транспортных задач с неправильным балансом:
1.	Если суммарные запасы поставщиков превосходят суммарные за-
просы потребителей, т.е.
т	п
X > X
iil	/=1
то необходимо ввести фиктивного (n + 1)-го потребителя с запросами
т	п
&д+1 =	равными разности суммарных запасов поставщиков
i=i	/=1
485
и запросов потребителей, и пулевыми стоимостями перевозок единиц
груза cj(n+i) = 0 Vi.
2.	Если суммарные запросы потребителей превосходят суммарные за-
пасы поставщиков, т.е.
m	л
i = l
то необходимо ввести фиктивного (т + 1)-го поставщика с запасами
п	гп
am+i =	~ равными разности суммарных запросов потребите-
j=l	i=l
лей и запасов поставщиков, и нулевыми стоимостями перевозок единиц
груза c(m+lv = О V;.
3.	При составлении начального опорного решения в последнюю оче-
редь следует распределять запасы фиктивного поставщика и удовлетво-
рять запросы фиктивного потребителя, несмотря на то, что им соответ-
ствует наименьшая стоимость перевозок, равная нулю.
Алгоритм решения транспортных задач методом потенциалов:
1.	Проверить выполнение необходимого и достаточного условия раз-
решимости задачи. Если задача имеет неправильный баланс, то вводится
фиктивный поставщик или потребитель с недостающими запасами или
запросами и нулевыми стоимостями перевозок.
2.	Построить начальное опорное решение (методом минимальной
стоимости или каким-либо другим методом), проверить правильность его
построения по количеству занятых клеток (их должно быть т + п - 1) и
убедиться в линейной независимости векторов условий (используя метод
в ычерк иван ия).
3.	Построить систему потенциалов, соответствующих опорному ре-
шению. Для этого решают систему уравнений
Uf + Uj = cZjj при Хц > 0.
которая имеет бесконечное множество решений. Для нахождения част-
ного решения системы одному из потенциалов (обычно тому, которому
соответствует большее число занятых клеток) задают произвольно неко-
торое значение (чаще нуль). Остальные потенциалы однозначно опреде-
ляются по формулам
~ cij ~ vj ПРИ	> °*	(32.9)
если известен потенциал с>у, и
Vj =	при	> 0,	(32.10)
если известен потенциал ut.
486
4.	Проверить выполнение условия оптимальности для свободных
клеток таблицы. Для этого вычисляют оценки для всех свободных кле-
ток по формулам
Ду - ut + - etj
и те из них, которые больше нуля, записывают в левые нижние углы
клеток. Ее ти для всех свободных клеток < 0, то вычисляют значение
целевой функции и решение задачи заканчивается, так как получен-
ное решение является оптимальным. Если же имеется хотя бы одна
клетка с положительной оценкой, опорное решение не является опти-
мальным.
5.	Перейти к новому опорному решению, на котором значение целе-
вой функции будет меньше. Для этого находят клетку таблицы задачи,
которой соответствует наибольшая положительная оценка
тах{Ду} =
Строят цикл, включающий в свой состав данную клетку и часть кле-
ток, занятых опорным решением. В клетках цикла расставляют пооче-
редно знаки <+* и «-*, начиная с в клетке с наибольшей положи-
тельной оценкой. Осуществляют сдвиг (перераспределение груза) по
циклу на величину в = пйп{х,Д. Клетка со знаком «-», в которой до-
стигается min{Xij}, остается пустой. Если минимум достигается в не-
скольких клетках, то одна из них остается пустой, а в остальных про-
ставляют базисные нули, чтобы число занятых клеток оставалось рав-
ным m + п — 1.
Далее перейти к пункту 3 данного алгоритма.
32.10. Решить транспортную задачу, исходные данные ко-
торой таковы:
Ь: ai4	200	200	300	400
200	4	3		1
300	2	3	5;	6
500	6	7	9	12
Реше! не. 1. Проверяем выполнение необходимого и достаточного условия
разреши «ости задачи, Находим суммарные запасы поставщиков и суммарные за-
просы истребителей:
з
= 200 + 300 + 500 * 1000,
f=l ’
4
~ 200 + 200 + 300 + 400 ~ 1100.
487
Задача с неправильным балансом. Вводим четвертого, фиктивного поставщика
с запасами а4 * 1100 - 1000 - 100 и нулевыми стоимостями перевозок единиц
груза (табл. 32.3).
2. Находим начальное опорное решение методом минимальной стоимости
(см. табл. 32.3). Полученное решение Xi имеет »п+п-1 = 4 + 4-1-7 базисных
переменных. Вычисляем значение целевой функции на этом опорном решении:
- 1 - 200 + 2  200 + 3 • 100 + 7 *100 + 9  300 + 12 -100 + 0  100 = 5300.
Таблица 32.3
а, \	200	200	300	1		 - 400
200 :	; 4	3	2	! ’ 1 200
300	2 200	3 100	5	6
500	6	!	7 100	9 300	12 100
100	0	0	0	0 100
3. Для проверки оптимальности опорного решения необходимо найти потен-
циалы. По признаку оптимальности в каждой занятой опорным решением клетке
таблицы транспортной задачи сумма потенциалов равна стоимости (Uj + оу — с у
при xi} > 0). Записываем систему уравнений для нахождения потенциалов и ре-
шаем ее:
Uj + V4 “ 1,
и2 + i?i = 2,
«2 + U2 “ 3»
J и3 Ч- 1>2 - 7,
Нз + Е>3 “ 9,
, ы3 Ч- = 12,
' и4 Ч- “ 0.
Система состоит, из семи уравнений и имеет восемь переменных. Система неоп-
ределенная. Одному из потенциалов задаем значение произвольно: пусть — 0.
Остальные потенциалы находятся однозначно:
ы3 = 0;
и2 === 7 -	Uj	— 7	- 0 ™ 7;
t?3 = 9 —	ug	= 9	— 0 = 9;
р4 = 12 - и3 = 12 - 0 “ 12;
U] — 1 —	и4	= 1	— 12 =	11;
м4 = 0 -	н4	” О	- 12 = -12;
иг«3’-ог = 3- 7 = —4;
V] — 2 - «9 = 2 — (-4) = 6.
488
Злачен и ? потенциалов записываем в таблицу рядом с запасами или запроса-
ми соответствующих поставщиков и потребителей (табл. 32.4).
Система уравнений для нахождения потенциалов достаточно проста, обычно
ее решают устно. Любой неизвестный потенциал, соответствующий занятой
клетке, рав< ;н находящейся в этой клетке стоимости минус известный потенциал,
соответствующий этой же клетке.
Таблица 32.4
tq —И
1*2= -4
u3 ^0
и4 = -12
Uj = 6 у2 = 7 с3 = 9	у 4 = 12
\ь/	200	200		 300	400	
200	4	3		2	1' 200 !	
300	2 200		з	5		+ 6
			100	°	2	
; 500	в; 0		7 100	9 300	10	, 12 Р_
		' -j-				
100	о	'	0		0	о 100	
незаполненных клеток таблицы (для всех занятых клеток
и, - сп -
и3 “ с13 =
и4 “ С24 =
и1 “ с41 =
из - Ча -
-11 + 6 - 4—9 < 0; Д12 — Mi + ^2 “^12 =	+ 7 - 3 = —7 < 0;
—11 + 9 —	2 = -4 < 0; Д23 ” 1*2	+	и3	—	с3з " ”4 + 9 ~	5 — 0;
-4 + 12 -	6 = 2 > 0; Д31 = ug	+	щ	-	с31 “ 0 + 6 - б = 0;
-12 + 6 —	0 = —6<0; Д43 ™ 1*4 + иг - с42 = -12 + 7 - 0	—5 < 0;
-12 + 9 “	0“ “3 < 0.
4. Проверяем опорное решение	на оптимальность. С этой целью выч исляем
оценки Д^ для всех
Д<у-0):
Ап “ ui +
Л1з = ui +
А 24 = и2
Л<1 = 1*4 *
Д43 * и4 -
Положительные оценки записываем в левые нижние углы соответствующих
клеток таблицы, вместо отрицательных ставим знак <-»
Начальное опорное решение не является оптимальным, так как имеется по-
ложительная оценка Дг4= 2.
5. Переходим к новому опорному решению. Для клетки (2, 4) с положитель-
ной оценкой строим цикл. Ставим в эту клетку знак ♦+», присоединяем ее к за-
нятым клеткам и, применяя метод вычеркивания, находим цикл (2, 4), (3, 4},
(3, 2), (2, 2). Цикл изображен в табл. 32.4. В угловых точках цикла расставляем
поочередно знаки ♦+• и *—», начиная с «+*,в клетке(2, 4). В клетки, отмеченные
знаком < +», добавляется груз 0, а из клеток, отмеченных знаком <-». убавляется
такой жз по величине груз. Определяем величину груза 9, перераспределяемого
по циклу. Она равна значению наименьшей из перевозок в клетках цикла, от-
меченных знаком «-»: 6 — min(100, 100} “ 100. Осуществляем сдвиг по циклу
• — *
на величину 9“ 100. Получаем второе опорное решение Х2 (табл. 32.5).
489
Таблица 32.5
\&/ а< \	200	200	300	400
: 2оо	4	3	2	i 200
300	’  2 200	3 0	5	;	6, j 100 ;
500	6 о!	7 200	:	э; 300	12
100	0	0	0	0 100
Находим для этого решения потенциалы (они приведены в табл. 32.5). Вы-
числяем оценки:
Дц	«j +	uj -	Сц	=	-5 + 2	~ 4 = -7	<	0;	Aja = Uj + о2 - с12 = -5 + 3 - 3 = -5 < О;
А1з =	+	1>з ~	Си	=	-5 + 5	- 2 ~ ~2	<	0;	Даз = и2 + уз ' С2Э 0 + ~ 6 = 0;
Д31 ’	»s+	Wj "	с81	=	4 + 2 — 6 = 0;	Д84 = и3 + о4 — с34 — 4 + в - 12 = — 2 < О;
Л41 =	«4 +	<?41	“	^6 + 2	- 0 = -4	<	0;	Д42 = «4 + о2 - С42 = -6 + 3 - 0 = -3 < 0;
Д43 -	+ V3 -	С43	"	-6 + 5	- О = -1	<	0.
Все оценки неположительные. Следовательно, решение является оптималь-
ным. Вычисляем значение целевой функции на этом решении;
Z(Xz) = 1 200 + 2 200 + 6'100 + 7 200 + 9 300 + 0 100 - 5200.
[
Ответ: minZ(X) 5200 при X* ~ ;
0	0	0
200 О 0
0 200 300
200
100
0 J
Решить транспортные задачи методом потенциалов:
32.11.
32.12.
ХЛ fl?x	11	: 7	в	4 ;
9	2	5	8	1
	8 ,	з	О	2
5	7 :	; 4	6	3
\г>. “(Xj	10	10	5	8	7
7	4	6	8	' 3	2
13	5	[ 3	4	6	4 '
20	3	' 2	; 5	. 7	5
490
32.13.
32,14.
		.00	200	200	300
wo		1	3	4	t '
200		5	2	2	7
400		4	4	3	6
200		7	2	5	3
	200	400	400	800
200	; 1	6	9	3
400	3	2	2	4
600	4	5	4	7
200	1 	!	4	3	9
32.15
32.16.
	300		200		300		j loo	
300	3		4		3		1	
j 200	2		3		5		6	
100	1 .1 		2		3		3	
200	.4		5.		7		9	
32.1	Г.							
\ь,	10	15		15 '		10		10 :
5	3	! 4 '		5		4		6
10	• 1	5		7		1		5
15	' 4	6		6		3		4
10 '	2	7		4		7 ;		2
32.1	9.							
	5	10		15		15		15
10‘	2	1		3		5		7 :
5	4	3		4		4		3
5	5	2		3		6		2
Hi	3	6		5		2		4
15	1	9		7		3		4
Xfr;	200	300	400	200
200	1	3	4	2
200	1	2	4	I
300	3	4	5	9
300	6	з 1	7	6
32.18.
\ь(;	30	90	60	90	30
30	1	3	4	3	1
60	9	5	2 !	4	8
90	3	4	7 :	4	3 
60 :		5	7	2	6	6
32.20.
\j(	5	5	10	10	5
5	3	4 ;	6	5	13
5	6	3	7	6	10
: io	10	5	2	2	6
15	9	4	4	9	5
10	4	6	2	3	4
491
32.21.
32.22.
ХА оХ<	200	200	100	200
200 ;	5	"У	f	1 ’
300	1	3	4	4
200	4	2	3	1
200	4	з ;	~ 5	2
100	3	2	4 ;	2
X Ь: У	100	200	200	100	200 ;
100	, 2	3	4	2	5
200	3	1	, 1	3	1
300	4	з :	3	5	4
200	5	1	2	6	7
100	2 :	9	8	7	6
32,23.
32.24.
Хл	10	30	30	30	40
10	3	1	3	4	3
30 ‘	5	1	2	2	6
во	i 2 :	3	4	1	1 :
10	о	2	s :	3 '	' 2 '
 60	3	7	4	4	1
Х&. <УХ	20	20	40	40	40
20	4	5	2 ;	4	3
40	3	1	3	5	2
80	2 ;	’ 7	6	8	в
40 :	3	3	1	4	9 ।
20	1	6	9	2 :	7
32.26.
32.26.
ха OiX,	! 1000	500	1500	2000
500	3	: 1	2	5
1500	1	3	4	2
500	3	6	5	6
1500	2	8	5 ;	7
500	: 4	3	9	8
ХА всх	200	400	100	200	100
200	1	7	12	2	5
100	2	3	8	4	7
! 200	3	5	4	6	9
400	4	4	3	8	2
400*	5	3	7	10	1
32.27.
32.28.
	50	25	50 ;	75
25	: з	1	8	1
50	2	5	2	3
75	9	4	6	5
25	7	3	10	3
75	4	6	7	4
ХА	20	30	?0	20	10
20	1	5	1	1	5
30	4		6	7 1	' 9
10	3	4	5	6	5 :
30	4	|2	3	3	6
30	6	2	3	1 5	4
492

.29.
		1|50	200	2Q0	400 :
  {l-			4 ;	: 7 г	2
	да©	8	6 \	3	9
	250 а__	_	4	8	12 ;	2
	150	1	5	9	13
32.31					
		300	150	300	150
	150	: -2	1	3	1
	250 '	8	3	7	4
V- —	250	6	4	9	3
	"150	5	2	4 "	2
32.30.
К Ь. aiX	40	: 60	40	60	20
20	i 3 ;	3	 4 •	2 -	3
40	1	2	1	5	3 !
00	! 4	8	2	9	12
40	5	7 '	: 1	3	6
32.32.
X Ь;	200	300	200	300	100
100	2	3	4	5	1
200	2	4	2	6	7
300	6	5	4	5	4
400	4	6	7	6	9
ЗЙ.4. Транспортная задача с ограничениями
на пропускную способность
о (зарезервировать перевозку xik ~ а). В полученном сптималь-
ли xik < Ь, то необходимо вместо Л-го потребителя с аапро-
ввести двух других потребителей. Один из них с номером k должен
запросы Ьл+1 = Ьк — &.
Пусть требуется при решении транспортной задачи ограничить пере-
М№КИ от поставщика с номером I к потребителю с номером к. Возможны
Ш>аяичсния двух типов: 1) xlk > а; 2) xlk < b, где а и b — постоянные
величин и.
1. Если xtff > а, то необходимо прежде, чем решать задачу, сократить
фЬсеиыиять) запасы I-го поставщика и запросы fc-го потребителя на ве-
личину
йом реп [ении следует увеличить объем перевозки xlk на величину а.
. 2. Е(|
самнЬ*
иметь запросы = Ь, а другой с номером п + 1 —
Стоимости перевозок для этих потребителей остаются прежними, за ис-
ключением стоимости сця+1р которая принимается равной сколь угодно
больше му числу М {М » 1). После получения оптимального решения
/ величины грузов, перевозимых к (л + 1)-му потребителю, прибавляются
к величинам перевозок &-го потребителя. Tate как e^n+1j= М — самая
большая стоимость перевозки, то в оптимальном решении клетка с но-
мером (Z, п + 1) останется пустой (xf(rt+1J= 0) и объем перевозки х1к
>е пре 1зойдет b.
493
32.33. Решить транспортную задачу, исходные данные ко-
торой приведены в табл. 32.6, при дополнительных условиях:
объем перевозки груза от второго поставщика второму потре-
бителю должен быть не менее 200 единиц (х22 > 200), а от
третьего первому — не бодее 300 единиц (х31 < 300).
Таблица 32.6
	600	: 5оо	400
300	2	9	10
400	2	11	13
500	4	10	12
. Решение. Для того чтобы в оптимальном решении объем перевозки х22
был не менее 200 единиц, при решении задачи будем предполагать, что запасы
второго доставщика а2 и запросы второго потребителя i>2 меньше фактических
на 200 единиц. После получения оптимального решения объем перевозки х22 уве-
личим на 200 единиц.
Для того чтобы.удовлетворить требованию ха1 С 300, вместо первого потре-
бителя введем двух других. Один из них под прежним первым номером имеет
запросы — 300 единиц и прежние стоимости перевозок единиц груза. Другому
присвоим четвертый номер. Его запросы равны 64 = 600 — 300 = 300 единиц и
стоимости перевозок единиц груза те же, что и у первого потребителя, за ис-
ключением Одд, которую примем равной сколь угодно большому числу М,
т.е. с34 = М. После нахождения оптимального решения задачи объемы перевозок
для четвертого потребителя необходимо прибавить к соответствующим объемам
перевозок для первого потребителя.
В результате указанных преобразований таблица исходных данных задачи
будет иметь следующий вид:
АХ	300	300	400	300
300	2	9	10	2
200	2	11	13	3
500	4	10	12	м
Далее задачу решаем обычным методом потенциалов. Проверяем выполнение
необходимого и достаточного условия существования решения задачи. Находим
суммарные запасы поставщиков и запросы потребителей:
at + а2 + а3 = 300 + 200 + 500 = 1000;
д, + Ь2 + б3 + *4 ” 300 + 300 + 400 + 300 = 1300.
Задача с неправильным балансом. Вводим фиктивного поставщика с запасами
а4 1300 - 1000 = 300 единиц (табл. 32.7).
494
Таблица 32-7
Составляем начальное опорное решение методом минимальной стоимости
и находим
таблицы*
для клетки (3, 1). Он состоит из клеток (3, 1), (1, 1), (1, 4), (4, 4)т (4, 3), (3, 3),
Находим
9= min {фо, 1001 300}
лу на величину 6 — 100, получаем второе опорное решение (табл. 32-8)*
потенциалы (см, табл. 32.7). Вычисляем оценки для свободных клеток
Все оценки неположительные, кроме оценки АЭ1 = 8* Находим цикл
величину груза для перераспределения по означенному циклу
100 при (i, /) = (4, 4)* Осуществляем сдвиг по этому цик*
Таблица 32.8
Решение Х2 оптимальное, так как все оценки неположительные. Запишем
олтимальк ое решение исходной задачи. Для этого увеличим объем перевозки *м
на 200 единиц и объединим объемы перевозок четвертого потребителя с объема -
ми передо:юк первого потребителя. Получим
0
О
300 о
200 200
100 300 100
495
Таблица 32-7
Составляем начальное опорное решение методом минимальной стоимости
и находим
таблицы*
для клетки (3, 1). Он состоит из клеток (3, 1), (1, 1), (1, 4), (4, 4)т (4, 3), (3, 3),
Находим
9= min {фо, 1001 300}
лу на величину 6 — 100, получаем второе опорное решение (табл. 32-8)*
потенциалы (см, табл. 32.7). Вычисляем оценки для свободных клеток
Все оценки неположительные, кроме оценки АЭ1 = 8* Находим цикл
величину груза для перераспределения по означенному циклу
100 при (i, /) = (4, 4)* Осуществляем сдвиг по этому цик*
Таблица 32.8
Решение Х2 оптимальное, так как все оценки неположительные. Запишем
олтимальк ое решение исходной задачи. Для этого увеличим объем перевозки *м
на 200 единиц и объединим объемы перевозок четвертого потребителя с объема -
ми передо:юк первого потребителя. Получим
0
О
300 о
200 200
100 300 100
495
32.40.
X^j 20; Xg«j ** 30
'ХА вгх		30 ,	60	30	90
30		1 	2	4	1
30 1		2	1 5	10	6
60		3	3	' 13 1	7
60		3	4 !	1 11	4
32.41.
#24 Ю> ^"42 Ю
\Л “«Х	10	20	20 |	40
10	1	5	3	1
20	2	' 4	2	3
' 10	3	10	15	9
40	5	6	11	7 .	J
32.5. Транспортная задача по критерию времени
по критерию времени возникает при перевозке срочных гру-
в обычной транспортной задаче, имеется т поставщиков с
ат и п потребителей,
гот груз должен быть доставлен в объемах &1( Ь2> ..., Ьп. Из-
i — 1, 2, .... m;j =1, 2,..., п —интервалы времени, за которые
Задача
зов. Как в
запасами однородного груза в количестве at, а2
которым э
вестиы£/ут
груз доставляется от каждого i-ro поставщика каждому j-му потребите-
лю. Требуется составить такой план перевозок груза, при котором запа-
сы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей
удовлетворяются полностью и наибольшее время доставки всех грузов
является минимальным.
, т; / = 1, 2, .... п —
Составим математическую модель этой задачи. Обозначим —
объем пере возимого груза от i-ro поставщика )-му потребителю. Система
ограничений задачи не отличается от системы ограничений обычной
транспортной задачи. Пусть X ~ (х^), I — 1, 2
некоторое опорное решение задачи. Запишем целевую функцию задачи.
Обозначим
i = 1, 2, ...
нятым опорным решением: Т(Х) ~ max{i^}. Таким образом, за время
Т(Х) план -теревозок будет выполнен полностью.
Математическая модель транспортной задачи по критерию вре-
через Т(Х) наибольшее значение элементов матрицы Т =
, nv, / = 1, 2, ..., п, соответствующих клеткам таблицы, за-
мени имееч вид
Т(Х) — тах{/;Л —* min,
*<j>0	}
п
L 1, 2, ..., zn,
/=1
т
i=l
(32.11)
(32.12)
(32.13)
Хц >0, i — 1, 2, ...» т; j-1,2, л.	(32.14)
Задача решается в следующем порядке. Находится начальное опор-
ное решение Хг. Определяется значение целевой функции Т(ХГ) =
“ max{ty) = А . Все свободные клетки, которым соответствуют значе-
X;; > 0	1 *
497
ния t(J > T(Xi), исключаются из рассмотрения (перечеркиваются). Зани-
мать эти клетки нецелесообразно, так как увеличится значение целевой
функции. Чтобы уменьшить ее значение, необходимо освободить клетку
(Zj, йг), в которой fjj- достигает максимума. Для этого строят так
называемые разгрузочные циклы, которые могут включать в
свой состав несколько свободных клеток. В каждом разгрузочном цикле,
начиная с разгружаемой клетки (1Р /ц), расставляются поочередно зна-
ки и ♦+» и осуществляется сдвиг на величину 9 =	Если уда-
ется эту клетку разгрузить, то она исключается из рассмотрения (зачер-
кивается). Получается новое опорное решение Х2, на котором значение
целевой функции меньше, чем на Далее снова пытаются разгрузить
клетку, соответствующую Т(Х2) ~ max {ttj} =	. Процесс продолжает-
ся до тех пор, пока возможность разгрузить соответствующую клетку
не исчезнет.
32.42. Найти минимальное время на осуществление всех пе-
ревозок для следующей задачи:
	20	40	50	70
30	13	8	7	11
40	6	7|	9	8
50	5	12	5	‘ 10
60	19	6	14	
Решение. Составим начальное опорное решение	методом северо-западного уг-
ла (табл. 32.9). Максимум целевой функции 7XXt) = max{13, 8, 7, 9,5, 10, 4} = 13
xi}>0
достигается в клетке (1, 1). Перечеркнем клетки (4, 1) и (4, 3), в которых время
доставки груза t41 "= 19 и #43 — 14 больше T(Xi) = 13.
Таблица 32.10
498
Для улу [шения решения разгружаем клетку (1, 1) с помощью цикла (2,1), (1,1),
(1, 2), (2, 2) (см. табл. 32.9). Б означенном цикле находим 0 = min {20, 30) = 20.
4 — »
Осуществлю я сдвиг по циклу, получаем второе опорное решение Х2 (табл. 32Л0).
Максимум делевой функции па этом опорном решении Т(Х2) = max {8, 6t 7, 9,
О достигается в клетке (3, 4). Перечеркиваем клетки (1, 1), (1, 4) и
время tn = 13, fl4 — 11 и (32“ 12 больше, чем TCXj) = 10- Разгружаем
5, 10, 4} = 1
(3, 2), в них
клетку (3, 4) с помощью цикла (2, 4), (3, 4), (3, 3), (2, 3). В означенном цикле
находим 0 = min {10, 10}	10, Осуществляя сдвиг по циклу, получаем третье
опорное решение Х3 (табл. 32.11).
Таблица 32.11
а‘ \	20	40	50	70
зо		(§; 30	7	
				 1 40	6 20	7 10		ю
50	5		5 50	
60		6		4 60
Максимам целевой функции на этом ~ опорном решении Т(Х3) -
= max {8, 6, 7, 8, 5, 4) ~ 8 достигается в клетках (1, 2) и (2, 4). Перечеркиваем
и (3, 4), в которых время больше, чем TfX^) »8. С помощью остав-
клетки (2, 3
шихся невыкеркнутых клеток разгрузить клетки (1, 2) и (2, 4) не удается, по-
этому Ха яш 1яется оптимальным решением.
		Г 0	30	0	0 '
Ответ: min	Т(Х) = 8 при X* =	20	10	0	10
		0	0	50	0
		к 0	0	0	60 >
Решить
мени:
транспортные
задачи
по критерию минимума вре-
32.43.
32.44.
		1	►	1 10 .	20	15 ।
10		8	3	5i	2
15		1 4	1	6	7
21.		1	9	1	4	3
	200	200	200	200
200	8	7	6	,	5
100 1	.	7	6	5	!	7
200	4	5	6	7 		  J
300	5	7’	.. _	.. 6	'	.. 4
499
33. МЕТОД ГОМОРИ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ
В общем случае задача целочисленного программирования формули-
руется следующим образом: найти максимум или минимум функции
Z(X) = £с;Х;	(33.1)
/=1
при условиях
Л
a^Xj = bt, с — 1, 2, ...» rn,	(33.2)
/=1
Xf > 0, j - 1» 2.n,	(33.3)
xy, j “ 1, 2.n — целые числа.	(33.4)
Согласно методу Гомори задача линейного программирования снача-
ла решается симплексным методом без учета целочисленности перемен-
ных. Если оптимальное решение оказывается целочисленным, то реше-
ние задачи заканчивается. Если оптимальное решение нецелочисленное,
то из системы ограничений выбирается уравнение, для которого дробная
часть координаты оптимального решения имеет наибольшее значение,
и на его основе составляется дополнительное ограничение. Дополнитель-
ное ограничение отсекает от области допустимых решений нецелочис-
ленное оптимальное решение, но при этом сохраняет целочисленные
вершины этой области.
Пусть д-е ограничение задачи, находящееся в последней симплексной
таблице, имеет вид
*< + У ХуЯу = х?»	(33.5)
j=m+l
где Х| — базисная переменная в уравнении;
x(j — коэффициенты при неизвестных (коэффициенты разложений
векторов условий по базису опорного решения);
Ху — свободные переменные в системе уравнений;
х* — правая часть уравнения (координата оптимального решения),
которая является дробным числом.
Тогда дополнительное ограничение имеет вид
»* - L ял- < °-	(33-6>
/=ш+1
где д* — дробная часть х*;
Qij — дробная часть Ху.
Число [xj называется целой частью числа х{, если оно наиболее близ-
кое к нему целое и не превосходит xt.
500
Дробна i часть	числа находится как разность этого числа й его
целой части: ,
- х( - [xj.	(33.7)
ZJ = 1, дробная часть равна
Напри» ер, для числа - целая часть
4
Для числа -1 целая часть £
|. Дробная часть числа всегда неотрицательная и меньше
5
—2, дробная часть равна
2-1 = 5
4	4
Л _ (_2>=l
о
единицы.
В неравенство (33.6) вводится дополнительная переменная хл+1, по-
лучается у эавнение
В систему
?* “ X + Хл+1 " °'
j-zrc+l
ограничений задачи это ограничение записывается в виде
- 2 ад + ^л+1
/=т+1
~<Ь-
(33.8)
(33.9)
После этого решение задачи продолжают двойственным симплекс-
ным метод
тления зак
дополнительное ограничение.
Задача не имеет целочисленного решения, если оптимальное решение
содержит координату с дробной частью и все коэффициенты соответст-
вующего у эавнения являются целыми.
эм. Если получается целочисленное решение, то процесс ре-
.шчивается, в противном случае необходимо снова составить
33.1.	F айти оптимальное целочисленное решение задачи
Z(X) = ~2хг - х2 + 6х3 шах,
Д
хг - 2хг + х3 > 2, - х4
<	— ж2 2х3 < 3, + х5
- 2х2 + Зх3 <6, + хв
Xj > 0, Xj — целые, j = 1, 2, 3.
Решение. Приводим задачу к каноническому виду с помощью дополнитель-
ных переменных х4, х5. х0:
Z(X) ~ -2xj - х2 + 6х3 + 0х4 + 0х5 + 0хе -* max,
-	2xg + Xg - x4	» 2,
-	x2 + 2x3 ,	+ x5	= 3,
-	2x2 + 3x3	+ xe — 6,
Xy > 0, Xy — целые, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.
501
Данная задача имеет начальное опорное решение Xj = (2, О, О, О, 3, 6) с ба-
зисом из единичных векторов Б] — (A]t А5,А6). Все описанные ниже вычисления
приведены в табл. 33.1. Записываем опорное решение в симплексную таблицу и
вычисляем оценки разложений векторов условий цо базису этого решения. Дан-
ное решение не является оптимальным, так как в задаче на максимум для век-
тора А3 оценка А3 = -8 < 0. Вводим я базис опорного решения вектор А3 вместо
вектора А5, получаем оптимальное решение Х2 0,3/2, 0, 0,3/2) с дробными
координатами. Составляем дополнительное ограничение вида (33.9). Для этого
используем ограничение, у которого правая часть имеет большую дробную Часть.
Находим дробные части правых частей уравнений (координат опорного
решения): 1/2 - 0 = г/2; 3/2 - 1 = 1/2. Так как они равны между собой, для
составления дополнительного ограничения используем по своему усмотрению
первое уравнение. Находим дробные части коэффициентов этого уравнения:
1-1 = 0; -3/2 -(-2) = 1/2; 0 - 0 в 0; -1 - (-1) = 0; -г/2 - (-1) = 1/2. Составляем
дополнительное ограничение: х2 - ха + х7“= -1 .
Л л	л
Таблица 33.1
-2	1-1 |б 0	0	0
Б	^6	Ао	Aj	А2	А3	Аа	03
^5	1 —2 0 0	СО bo 1			1	-2	1-1	0	0 °	г'\	0	1	0 0	-2	3	0	0	1,	Ср to	СФ to
4k		-4	0	5	-8	2	0	0	।	। Ат
Ьх Л W 1—	-2 6 ° 1	, Ьй Сй Н* 1 bJ CJ ГС 1	О С *-* 1 , 1	1	1 н* М r-J м го О	w	О 1 о	о	Д, 1	t	Н-	Г ы	— ,	ь*	о	О	0 0 . 0
1 |		8	0	1	0	2	4	0	0
Д7	0	“1/г	О М | J О о ея [ О	1
е7			—	2	—	—	8	—	—_
ф Off । я; яз ! 	।	-2 6 0 -1	2 2 2 1	10	0-110 0	0	10	10 0	0	0	0	-1	1 0	10	0	10	еч	Pq i 1 'I 1
1		7	0	0	0	2	3	0	2
Это уравнение записано в табл. 33.1 после строки оценок, и, так как оно имеет
разрешенную неизвестную х7, вектор Д7 включаем в число базисных неизвест-
ных, в результате чего опорное решение Ж2 превращается в почти допустимое
опорное решение Х2 = (?/йг	3/з>	3/з’ ”1/г)- Введение вектора А7 в базис не
приводит к изменению оценок. В задаче на максимум все оценки неотрицатель-
ные, условия для применения двойственного симплексного метода выполняются.
502
Теперь век'-op А7 необходимо вывести из базиса, так как дополнительное ограни*
чеяие имеет в правой части отрицательную величину. С помощью параметра 9о;,
вычисляемого по формуле (31.10), находится вектор А2, вводимый в базис. В ре*
зультате п] «образования Жордана с разрешающим элементом -1/2 при хг полу*
чается новое опорное решение Х3 = (2, 1, 2, 0, 0, 2, 0), координаты которого яв-
ляются целыми. Следовательно, это и есть оптимальное решение.
Ответ: mixZ(X) — 7 при X* w (2, 1, 2).
Реши ть задачи целочисленного программирования:
33.2.	Z(X) = 4xt + 5х2 + х3 —► max,
Зх, + 2х2	+ х4 = 10,
J Xj + 4х2	+ х5 ~ 11,
! 3Xj “b Зх2 4“	13,
х; > 0 V/, Xj — целые.
33.5.
33.6.
33.7.
33.3.	%(Х) = х1 + 4х2 - 5х3 - Зх4 —* max,
1 Xj -I- Зх2 + 5х3 - х4 < 10,
Зхг + 5х2 - х3 + х4 < 14,
Xj > 0 V), Xj — целые.
33.4.	Z(X) = 3xj - Зх2 4- 2х3 - 2х4 max,
3xj + 5х2 + 2х3 + 4х4 С 23,
Xj + Зх2 + 5х3 + 7х4 < 17,
Xj > 0 Vy, Xj — целые.
Z(X) = -2xj ~ 4х2 + 5х3 - 7х4 —* max,
Xi - Зх2 + 5х3 + 4х4 < 12,
2х} + 4х2 - х3 + Зх4 < 7,
।	Xj > 0 V/, Xj — целые.
Z(X) = Xj + 2х2 + Зх3 + 4х4 -* max,
I Xj + 4х2 — х3 + 2х4=17,
х^ ^2	2х4 — 5,
Xj > 0 Vj, Xj — целые.
Z(X) = Xj + 2х2 - Зх3 + 4х4 —* шах,
j Xj + Зх2 - х3 + 2х4 = 5,
। хх - х2 + 2х3 + Зх4 = 7,
Xj > 0 Vy, Xj — целые.
503
33.8.	И(Х) = 3xj -h 2x2 4- 10x3 —► min,
xx + 2x2 + 4x3 > 5,
< 2xx 4- 3x2 + 5x3 > 2,
3xj 4- 4x2 + 4x3 > 3,
Xj > О Vj, Xj — целые.
33.9.	— 3x1 + 2x2 — 7x3 —> min,
xj — Зх2 + 2x3	3,
4 2xo + 3x3 4,
'	— 3x2 + 4x3 7,
Xj>O Vj, x^ — целые.
33.10.	Z(X} ~ 3xx — x2 — 5x3 —* max,
' 5xx + x2 + 4x3 = 7,
< 3xx 4- 2x3 < 4,
, *1	- 3x3 < 3,
Xj > 0 Vj, Xy — целые.
33.11.	= 2xi + 3x2 + 2x3 max,
{2xj + 3x2 — 2x3 —= 2,
Зху И- 6x2	3x3	5,
4xj + 3x2 ~~ x3 — 3,
X. > О V/, X: — целые.
33.12.	Z^X) = 6xt — 3x2 — 3x3 —► max,
Зх^	2x3 <7,
< 4x,	- 3x3 < 15,
2xx + x2 — 3x3 -= 5,
Xj > О V/, Xj — целые.
33.13.	Z(X) = 3xj 4- 3x2 -+- 13x3	► max
' ~3x| 4- 6x2 4- 7x3 < 8,
i 6хг — 3x2 4- 7x3 < 8,
Xy > О V/, Xj — целые.
504
ПРАКТИКУМ
ПО ЛИНЕЙНОМУ ПРОГРАММИРОВАНИЮ
Задания
1.	Решить графическим методом задачи с двумя перемен-
ными (та 5л. 1).
2.	Решить графическим методом задачи с п переменными
(табл. 2).
3.	Решить методом искусственного базиса задачи линейного
программирования (см. табл. 2).
4.	Решить симплексным методом задачи (табл. 3).
5.	Решить методом потенциалов транспортные задачи
(табл. 4),
6.	Решить методом потенциалов транспортные задачи с ог-
раничениями на пропускную способность (табл. 5).
Таблица 1, Варианты задания 1
Вариант		Задача		Вариант	Задача	
1		?(*> =	= 2xj + Зх2 -* max, -2*! + х2 < 2, xL “ Зх2 4xj + Зх2 С 24т xt > 0, х2 > 0	i 16	Z(X)	= 5±i + 5х2 -* max,	, -2х5 + x2 C 2,	। ^Xj + 3x2	9,	| Xj 4" X2 3, Xj > 0t *2 > 0
2		адэ-	~ 5rj - Зх2 min, 4Xi “ *2^0» < -х5 + х2 < 3, 2Xi ^х2 Xi > 0, х2 > 0	it :	 Z(X) <	= -Xj - x2 — max, -3X1 + %x2 ** -Xi + 2x2 8, Xj + x2 > 10, 4xi “ x2 30, X| 0, x2 0
3		Я(Х) =	= 2х3 + З.т2 шал, -6xi + х2 < 3,	! -5X1 +	^5» Xi “ Зх2 3,	। X] > 0, хг > 0	18	Z(X) <	= 5Xi - x2 min, 2X| 3x2 C 0, “5xj + 9x2 < 45, Xj - 2x2 C 4, x: 0, x2 > 0
4		Z(X)	~ 2xi + Зх2 —• max, -ЗХ] + 2х2 <4, -Xj + Йх2 С 8, Х1 + х2 С 10, 4»! - х2 < 20, X] > 0, х2 0	19	Z(X) 4	= 4xj + 2x2 min, -3xj. + 2x2 < 6, x3 + 2x2 101 Xj — Зх2 б» Xj x2 3, xj 0, x2 > 0
506
Продолжение табл. 1
Вариант		Задача	Вариант		Задача
5	г(х> = *	2xj 4- 4х2 —* шах, _3xj 4~ 2х2 в, Xj 4- 2х2 > 10,	1 X] - 5хг С 5, *l + х2 < 4, X] > 0, х2 > 0	jf 20	Z(X)~	-3xj - x2—f min, 4xi ” *2 O’ 2xj - x2 < 0, Xi + x2 C 3, Xi 0, x2 0
6		15xj 4- 10х2 "* шах, 6*1 - х2 > 3, -Xj 4- 2х2 < 8, < 3xi + 2х2 < 24, xj - х2<3, X! + 2х2 > 2, хг > 0, х2 0	।	21		X oa s	~	. >	w ’	Л	А	Л	v s?	« и	co to	4	к	н	н	л +	+	+	+	l	A 2J	н	н1	и"	н CM OJ
7	Z(X) = <	 3xj + 2х2 — шах, 3X1 %2 0, Xj “ Х2 > —2, 4xj - х2 < 16, 2х3-х2С6, X] > 0, х2 > 0	।	22	; Z(X) =	4Xi + 6x2 -* max, 4xi “ Sx2 > 0, 2xj - 3x2 < 0, 2Xi 4" 3x2 > 6, 2xi + x2 2
8	И(Х) = <	! 2хх + 5х2 —* min, 2xj + х2 > 4, х2 + 2х2 < 14, —xt + Зх2 > 5, L *1	<4, Xi > 0, х2 > 0	23 1	Z[X)^ 1	-Xj 4- 4x2 -> min, 2xi	0, 3X1 “ 2x2 6» 2xl + Зх2 О-	: Xj + x2 1, x2 > 0
' 9	Z(X)~	2xj - х2 max, -Xi + х2 < 2, 2xi + Зх2 > 1в’ Xj + х2 С 10,	। 2хг “ х2 С 8,	। Xj > 0, х2 > 0	24	Z(X) -	+ 4^2 —> min, 2xj. +	> 6, -2*1 4- 3^2 6»	1 x1 +	C 3,	! '. 2xj “ 3x^ 0,	। Xj > 0, x2 0	
506
Окончание табл. 1
: Вариант			Задача	Вариант		Задача
_	—.. 10		Z(X)	- 3xi + 2х2 тдх, pxj - х2 0, J -Xj + 2х2 < 3, |	*2	• Xj > 0, Х2 > 0	।	1 25	Z(X} = Xj - 4xz -* min, хг - Зх2 < 0, 1 Xj - x2 > 0, 2xi + *2	6, 2xj + 3x2 18, Xi 0, x2 0	
11			= 2xj + 4х2 ”* min, 2Х] + х2 > 9, I Xj + 2х2 < 15, Xj + 2х2 5® 9, 2xj + х2 < 15, хро, х2 > 0	26	ад =	-5xj + x2 —- min, 2xi ~ 3*2 Xj + 3x2 > 9, ] X, - 3Xg 3, ! “Xj + 3x2 < 3, Xj > 0, x2 > 0	l
12		?(Х)	С 4b. ' S	(О	© 3 1	W V V сч	Л* ** н н	н	и 1 ОТ см 1	+ 1 + + Н* И	Н £ II	1	1	27	Z(X) = 4	4xj + 3x2 -» min, 2Xi + ^Xg 0,	1 2Xj + x2 ? 4, 3xi - 2xi 3x2 12,	' x2 >0
13		?(Х) - <	Зх| - х2 maxf + 2jt£ < 6t “ Зх2 6j хг	£6, Xj > 0, Х2 5* 0	28	Z(X)-	2xj + 3x2 min, xt + x2 > 2, *1 - *2 < 0. 3xj + *2^6, 3xi x2 6
! 14		И(Х) < _	= Xj - 2х2 -* min, 2х^ х2 -2,	। -Xj + 2х2 < 7, *4х^ + Зх2 *-12, Xj + Зх2 > 18, xt > 0, х2 > 0	29	ад- i	 3xj - x2 min, 2xl- x2 < 4, -Xi -+ xa < 2, 3xi ” Zx2 0, Xj ” x2 < 0
15		ад	- Зх] + 6х2 ~ щах, —4xj + х2 > 0, Xj — х2 -3, 2xj ~ Зх2 < 6, Xj ? 0, х2 > 0	30	ад- 	r 3xi + ^x2 ""’ max, 4xj - x2 > 0, -Xi+ x2<3, 3xi + 2x2 6, l2xi —5x2>0, X! > 0, x2 > 0
507
Т а б л и ц а 2. Варианты заданий 2 н 3
Вари- ант	Задача	>		Вари- ант	Задача	
1 1		Q - 2xi + 8*г + 3*э + 4x4 -* min,  13xs - 3x2 + 2x3 - 7x4 - 8, -7хг+2xz— x3 + 4x4 = — 2, ' xj > 0, j — 1, 2, 3, 4	16	ДХ) = 2xi + 6x2 + x3 + x4 -»• max, j-4X] + 5x2 + 2x3 - x4 --2, ] 5xi _ 8хг - Зх3 + x4 — -1, xj >0,/= 1,2, 3, 4	
2	Z(X) = 2^1 + ®*2 ’ х3 + 4*4 -• min, l2xj + Зх2 + 7х4 = 21, |-Х! - 2хг + х3 - бх4 - -12, ху>0,/ = 1, 2,3,4		, 17	Z(3	П “ 2xi + 5x2 + x3 + x4 — max, 5xi ~ 2*a “ 3x3 + x4 — 1, 3x2 + 2x3 + x4 — 6, Xj > 0, j - 1, 2, 3, 4
3	ZQi	0 — 4xi + ^8xz + 3x3 + 6x4 -* min, -bxj + Sxj- x3+2x4 = -l, 9xj - 4x2 + 2x3 — 3x4 — 6, X;>0J = 1, 2, 3,4	18 \	Z(2	Q -- 9xi + 2*2 + 4x3 - 8x4 max, 4xj + 3x2 + 2x3 - 7x4 = 12, 2Xi + 2хг + *3 ~ ^x4 XjZQJ - 1, 2, 3, 4
4	zv	f)**Xj +ij + 3x3 + 4x4 —» min, 5X] - 6xz + x3 - 2x4 “ 2, 1 illxj - 14x2 + 2x3 — 5x4 = 2, Xj > 0, j = 1, 2, 3, 4	19	ZQ	Г} — #i - 2xa - x3 + 3#4 max, “4X! + 2jc2 - x3 + *4 = 2, -GXj + 6xs - x3 + 2x4 ж 10, Xj; > 0, ; = 1, 2, 3, 4
5	ZQ 1 н	f) = ll*g +	+ 4x4 “* min, 4X1 ~ 5*2 + *3 ~ *4 “ 1* llXj - llx2 + ЗХ3 - 2x4 = 11, Xj > 0, j - 1, 2, 3, 4	20	Z(X) = 2xi + x2 - x3 - 2x4 — min,1 (2xi + x2-3x3 + x4= 6,	। xj + x2 + 2x3 — x4 - 7,	1 Xj>0,j =1, 2, 3,4	
6	zp	Г) = 4xL + 4x2 - 3x3 + 2x4 min, 2X| + 13xz - 4x3 + 3x4 = 19, 3Xi + 7x2 " *3 + 2x< ** I®» xy>0,jf-1,2, 3, 4	21	ZQi	Э — 2xi + 3*2 + 8x3 - 18x4 -» min, -4xj + 6x2 - x3 + 2x4 - -8, 4хг - 14x2 + 2x3 - 5x4 "12, > 0, j ~ 1, 2, 3, 4
7	Z(?!	3 ” 12xj + 8x3 + 6x3 + 4x4 — min, —6x1 + x2 — x3 + 2x4 ” -2, 1 Ixi “ x2 + 2x3 - 3x4 = 7, Xj 0, / ™ 1, 2, 3, 4	22	z(;	C) — 3xi _ x2 “ 8*3 + *4 max, 2X] - 2x2 + 3x3 + 3x4 = 9, -Xj + xz - 2xa + x4 - -6, i Xj > 0, j » 1, 2, 3, 4
8	Z(X	3” *1 - 19xz - 5x3 - 7x4 -* min, 5xi-4x2 + x3- x4 = -l, “6xj + 7xz - x3 + 2x4 « 10, Xj > 0, j = 1, 2, 3, 4	23 U—	Z(X) = Xt - 2xz	+ 3x4 -* max, (3xi+ x2+x3+ X4-IO, |2xj 3xz + Xj — 2x4 = 8, x^ > 0, / = 1, 2, 3, 4	
508
Окончание табл. 2
Вари- ант .		>	Задача	Вари- ант ,	 		1 Задача	
9	ад	7xj + Зх2 + Зх3 + 2х4 — min,  LOxj — х2 + 2х3 + Зх4 — —2, &*i + 2xz + Зх3 + х4 =* 18, 1 X; > 0, J = 1, 2, 3, 4	24	Z(X) - 3xI + Зх2.+ 4x3 - 6x4 — max,	
					3*j + x2 + x3 - x4 ~ 3,	f Xj + x2 + 2x3 - 2x4 = 4,
				JcpOJ-1, 2, 3, 4	
10	ад	•г 3xj + 4х2 + 2х3 + 7х4 -* min, Saq - х2 + 10*3 ~ 5*4 “ 1®» -х1 + х2~ бхэ + 4х4 = -2, xpO J -1,2, 3,4	25	Z(X) - 2xj + 10x2 + 4x3 + 2x4 -» min.j j Xj + 2xz + 2x3 — 2x4 = 2, |—*j 4“	*2 + *3 + *4 =	i Xj £ 0, j = 1, 2, 3, 4	
11	ад н —4	=-22xi+ 19х2- 5х3-(мс4— max,' <-х1-13х2+ 7х3- х4==-1, liij + 18xz ~ 10х3 + 2х4 = 6, , х;>0,/-1, 2,3,4	26	ад	) = 2xj + 3x2 + 4x3 - 6X4. -* max, Xj + x2 + 2x3 + 2x4 — 8, 1 2*j + x2 + Xg + 3x4 = 6, X;>0, i = 1, 2, 3, 4 J	J
12	ад	1 — 3xj + 2х2 + 5х3 4- 4х4 min, 8xj - 7х2 + Зг3 - 2х4 - 4, X] + 4х2 + 2х3 + Зх4 — 20, Xj>0, j = 1, 2, 3, 4	27	Z(X) ~ 7Xj	- 10x3 4- 6x4 min, [xj + 2x2 ~ 2x3 - 2x4 = 3, | Xj - 5x2 - 5x3 + 3x4 = 8, Xj^G, j' = 1, 2,3,4	
13	ад	। “ ~2xj + х2 + Зх3 - 2х4 -» min, 13х1-х2-4х3+ х4=2, 5xj - х2 - 7je3 + 2х4 — 0, Xj >0, j = 1, 2, 3, 4	28	:ад	) — 2Xj + 0*2 + 4*3 3*4 ”* max, J 2*i + 3*2 + 2x3 + x4 = 6, | Xj + 2x2 + *3 + x4 = 4, xf>O,j = 1, 2, 3, 4
14	ад \ 1	\ = -2*! + 2х2 - Зх3 - 7х4 -* min, Xj - 8*2 + Х3 + 6*4 - -2, Xj + 27х2 - 4х3 *- 22я4 = -2, Xj > О, j = 1, 2, 3, 4	29	ад	) = -2*j + 6x2 - Sx3 + 6x4 -* min, J Xj 3x2 + &*3	*4 “ 6, !-2Xj + 2xs - *3 + 2x4 — 6, Xj>OJ 1. 2, 3, 4
.15 •	Z(A) J’	= 2xj + хг - 4х3 + Зх4 -* max, '2*1	+ Зхд - х4 — —2, ' 3xj + х2 - 5ха + 2х4 - 7, Xj>Ot j - 1, 2, 3, 4	'	30	ад -ri	) - 4*j + 12x2 + 4хя + 8x4 -> max, *i + 4xz + x3 + 2x4 = 12, 2Xj + 3x2 + 3x3 + *4 “ 12, Xj>O,j - 1, 2, 3, 4
509
Таблица 3. Варианты задания 4
1 Вари- ант	Задача		Вари- ант	Задача		
' 1	Z(X	) = xA + 4x2 + x3 -+ max, 1	+ %x2 + J3 ” J 3xi + x2 + 2x3 C 9, |2xj + 3x2 + x3 2* 6, xz>O,/-l, 2, 3	16	ад) =		: -2xj - 2x2 - 2x3 -* min, f Xj + x2 +• 2x3 < 4, Xi^x2-s- X3=2,_ 3xj +x2 + 2x3 > 6, Xj > 0, j = 1, 2, 3
2	z(x	) «= 2xj + x2 - x3 min, 1 ! 2xi + x2 - Xt - x2 + 2x3 - 1, x;>0,/ '1,2,3	17	ад>= i		 -ЗХ] ~ 2*2 _ 2x3 -* min. Xj + xz + x3 > 3, Xj	+ X3 < 2,	' Xi -x2 -x3 = -l, x;>0,/~ 1,2,3
3	Z(X	) == xx - Хд + xa max, 4xx + 2x*2 + x3 6, + x2+ x3^l, Xj — Xg 4 4xa 24, ^>0,j - lt 2f 3	18	ад <	} — -2xj + 8хг + 3x3 -* min, 3xi + r2 + 2x3 > 12, Xj + x2 + x3 - 8, 2xi ~ 3x2 + x3 > -8, Xj > 0, j = 1, 2, 3	
4	ztx s	} = 5xj + 2x2 + x8 — max, xi + *2 + xs 3, Xj + 2хг + 2x3 — 4, Bxi + 4x2 + 2x3 < 12, Xj > 0, j - 1, 2, 3	19	z(X	>-	6xj + 7x2 + 9xa min, ! + 2хг + 2x3 > 5,	1 Xj + X£ + X3 = 2t Xj - x2+ x3 > -2, Xj> 0, j - 1, 2, 3
&	Я(х; 4	1 = Xj - 8x2 - 3x3 -* max, , 3xi + x2 + 2x3 ? 6,	। Xj + x2 + x3-4, Xj — 3x2 + Xg < -4,	i x,?0,/-1,2, 3	20	z(x;	i — 5xj + 2x2 + x3 -* max, X] + x2 + x3 = 3, 2X1 + x2 + x3 > 4, 3Xj + 2x2 ~ 2x3	12. xy>0,/ - 1, 2, 3	
6	ад:	1-	~ 3x2 - x8 -» max, 3Xj + x2 + x3 > 6, Xj + 3x2 + x3 = 10, Xj — 3x2 + x3 < ~2, Xj > 0, / = 1, 2, 3	21 <	Z(X’	> - 6xj - x2 + 3xa — max,  2xj + 2x2 + xg > 6, -Xi + x2 + x3- 1, -Xj + x2 + x$ > -7, xp0,/-l, 2, 3	
7	ад 4	I xx + 4x2 + 3x3 —► max, Xx “ ^^2	। 2xx + 4x2 + X3 < 18,	•: x5 + x2 + 3x3 > 10t Xy 0, j = lf 2, 3	[	. 22	z(x;	f =- 2jcx + 2x2 ”	max, 3xi +	+	8x3	>	6,	; Xj + x2 + x3 = 4,	j 3xj - 3x2 + x3 > -4,	i Xy> 0,/ = 1,2,3	
51Q
Продолжение табл. 3
Вари' ннт		Задача	Вари- ант		Задача
8	Z0	) == -4xt - Зх2 - 2x3 -* max, |4xj + x2 + 2x3 > 8, J 2xj '+ x2 - x3 = 6, 1 Xj — 3x2 ~ x3 > —4, i.^0,j = 1,2,3	23	Z(X	) = Xj 4- 3x2 + x3 -* min, 3x, + x2 + x3>6, xj + 3x2 + x3 = 10, Xj - 3x2 + x3 -6, xy>0, j - 1,2, 3
9	ZC	Г) = 4xx + x2 + 3x3 —» max, [4xj- x2-2xa = 3,	। J Xj + 3x2 + x3 5> 4, L i 3X| X2 4“ Xg <12,	! x^>O,j* 1,2,3	24	zix	) “ 2xi + 3x2 + 2xg -* max, 2xt + 3x2 - 2x3 = 2f ~3xj — 6x2 + 3x3 -5, 4xj H" 3^2~	₽ 3T rp 0,/ = lt 2, 3
10	ZC	Q - Xj - 3x2 - 2x3 -’• max, ( 3Xj 4" Xg ^Xg 13, ( Xj - 3x2 + x3 “ 1, Xj + 2X2 + 3Xg < 11, x;> Ot/ -1,2,3	25	Z(X	) = 2xj + 2x2 - 5x3 —* min, 2xt - 2x2 + 3x3 > 12, xj - x2 + x3 > -2,	| 2Xj - хг + 2x3 = 24,	1 x^- 0, j' = 1, 2, 3
' И	Z(	V) =’ 3xj + 2x2 + 2x3 min, 3xj + 2x2 ~ 2x3 > 11, < Xj - 6x2 " 3x3 — -23, -Xj+ x2 - x3>-2, X; > 0, j = 1, 2, 3	26	Z(X	) = Xj + 2x2 + 2x3 — min, i -Xi- x2 + 4x3C-1,	; Xj - 2x2 + 2x3 •= 2, Xj + 2хг - 2x3 < 6, X;>0, j - 1, 2, 3
12	zc	ST) = 3xj + 2jt£ 4-	"* max, (“Xj - x2 + 2x3<-2, <”Xl + 2xg+ xjC4, ( Xj	4 2x3 = 2, Xj>Otj = 1, 2, 3	27	z(x	) — 5xj + 7x2 + 9x3 max, . Xj - x2 + Xg =• 6, Xj - 2x2 - x3 > -8, —2xj + x2 + 2x3 > 16, Xj > 0, j = 1, 2, 3
13	Z'j	£) - xj + 2x2 + x3 -* max, f-Xj - x2 + x3 C -1, < tj + xj + xj-S, Xj	+ Х3 < 1, x>>0,j = l, 2, 3	28	Z(X	) => хг + x2 - 4x3 -** min,  Xj — 3x2 4“ 2xg 4 —3, -Xj + 2x2 + Xg<5,	1 Xj - X2~3Xg=7,	1 X; ? 0,; = 1, 2, 3
14 ,	z^)	V) = 2xj + x2 + 2x3 —» max, X j + 2x2 - x3 > 2t i -2xj +	+ 2x3 = 2f -2xj - x2 + 2x3 > Hi, Xj>0J = 1,2,3	29	Z(X	) — 3xj + 2x2 - 3x3 -* min, Xj - 2x2 - x3 < -6, 2Xj - x2 + x3 < 12, 2xj — x2 — 2xg ™ 3, x;>0,j = 1,2,3
511
Окончание табл. 3
Вари- ант	Задача	Вари- ант				 Задача
15	Z(X) = 6j4 + 7х3 + 9х3 -» min, + 2xz + Зж3 > 5, J*] + *2 + *3 > 2, X] + 2*2 + 6*з ? 4,	j д->0, у - 1, 2, 3	30	Z(X) •—3*i + x2 + 2x3 — max, !	|-Xj +x2 + 2x3’2, J-Xl	- x3?~4, j Xj + x2 + x3 > 6,	। x} > 0, / - 1, 2, 3
Таблица 4. Варианты задания 5
Вари ант	Задача		Вари- ант	Задача	
1		10	10	25	25	30	16	\ b,	50	50	100 100	50
	10 20 10 30 10	15	7	9	3 4	6	4	7	13 1	5	3	4	9 2	4	2	10	3 3	2	5	6	4		50 50 100 150 100	3	4	6	5	13 6	3	7	6	10 10	5	2	2	6 9	4	4	9	5 3	2	4	2	3
2		100 200 200 300 200	17		200 200 400 200 100
	100 200 300 100 200	4	3	5	2	3 7	12	3	1 9	2	4	5	6 1	3	6	4	10 5	8	15	6	15		200 300 200 200 100,	5	2	16	4 6	2	4	4	6 9	2	3	7	5 7	3	5	8	7 3	2	4	2	3
3		200 400 100 200 100	18		100 150 150 100 300
	.200 100 200 400 400	1	7	12	2	5 2	3	8	4	7 3	5	4	6	9 4	4	3	8	2 5	3	7	10	1		50 100 150 100 200	3	4	5	4	1 12	7	15 4	6	6	3	7 2	7	4	7	2 3	8	9	4	5
4		5	10	15	15	15	19		400 600 500 400 500
	i 10 5 5 10 15	2	5	5	6	7 4	3	4	4	3 5	2	3	6	2 3	6	5	7	8 1	9	7	6	4		400 500 600 400 200	112	3	12 3	4	2	4	5 5	7	6.3	9 4	10	15	4	8 3	4	5	3	7	!
5	“?xi	10	30	30	30	40	20		100 150 150 100 100
	10 30 ! 60 1 10 60	3	I	3	4	3 5	12	2	6 2	3	4	1	1 6	2	5	3	2 3	7	4	4	1		50 100 150 100 100	3	4	5	4	6 15	7	15 4	6	6	3	4 2	7	4	7	2 1	9	6	3	2
512
Продолжение табл. 4
Вари- ант		1	Задача	Вари- ант		Задача
	°Х	г 20	20	40	40	40		X	500 250 500 750 500
6	20 40 80 40 20	4	5	2	4	3 3	13	5	2 2	7	6	8	6 3	3	1	4	9	! 1	6	9	2	7	!	; 21	250 500 750 । 250 i 500	31814 2	5	2	3	5 9	4	6	5	7 7	3	10	3	2 6	6	4	7	8
	Чь о?Х	100 200 200 300 400			: 300 900 600 900 300
7	100 200 400 200 100	13	4	13 5	4	5	7	5 4	9	5	10	9 7	7	5	8	13 12	10	8	11	6	22	зоо! 600 ! 900 600 300	1	3	4	5	1 9	5	2	4	8 3	4	5	4	3 5	7	2	6	6 1	4	3	7	8
	х.й «X	i 200 200 300 300 100			200 300 200 300 100
8 			ЭОС 200 ЮС ЮС 20«.	4	6	3	4	1 7	3	5	2	2 5	3	2	4	4 2	3	4	6	5 1	4	4	3	3	23	100 200 300 400 400	2	з	4	5	1 : 2	4	2	6	7; 6	5	4	5	4 4	6	7	6	9 5	7	6	9	8:
	О>|	/ 200 400 400 300 500			50 150 200 150 100
	20) 400 60) 20) 20)	1	6	9	3	4 3	2	2	4	5 4	5	4	7	6 1	4	3	9	8 7	9	7	19	24	50 100 150 ! 150 100	4	5	6	10	9 6	3	8	4	3 5	13	17 7	2	4	2	3 1	5	7	8	4
	Xfe	/i 150 200 200 400 200			200 300 200 200 100
ю :	ISO 300 2S0 ПО 2(0	1	4	7	2	4 3	6	3	9	6 4	8	12	2	5 ! 1	5	9	13	7 2	3	4	6	5	25	200 300 1OD 300 300	1	5	11	5 4	2	6	7	9 3	4	5	6	5 4	2	3	3	6 6	2	3	5	4
	X Ь	; 40	60	40	60	20		Ха	: 100 200 200 1G0 200
it	2D 40 СО < 0 го	3	3	4	2	3 1	2	1	5	3 4	8	2	9	12 5	7	9	6	5 10	14	17	7	6	26	100 зоо: 300 200 100	2	3	4	2	5 3	1	13	1 4	3	3	5	4 5	12	6	7 2	9	8	7	6
17 Сборн кк задач по высшей математике
513
Окончание табл. 4
Вари- ант	Задача	- 1	Вари- 1 ЛИТ	Задача	
	300 200 300 100	400		д'хЬ, 200 200 400 100	100
	300	3	4	3	1	5		200	2	2	3	1	2
12	200	2	3	5 б	8	27	100	1	2	3	4	5
	100	1	2	3	3	4		200	4	3	6	5	8 :
	200	4	5	7	9	9		100	1	2	3	7	5
	300	5	6	8	4	7		200	4	3	5	7	6
	20	20	40	10	зо:		50 100 100 200	200
	20	1	1	3	4	5		! 50	1	4	5	6	1
1з:	10	2	3	4	2	6	28	! 100	2	2	2	5	5
	20	1	1	4	7	8		150	3	6	8	3	4 ;
	30	5	6	3	4	7		200	4	7	9	4	8 1
	10	4	5	7	6	4		100	5	2	2	7	9
	200 300 400 200	300		100 100 200 200	300
	200; 1	3	42	5		300 I 1	2	3	4	8
; 14	2001	2	4	1	7	29	200	4	5	6	2	6
	300	3	4	5	9	9		100	1	13	4	5
	300	6	3	7	6	8		200	3	3	2	2	7
	100	5	6	7	3	4 :		300	5	6	7	8	10
	300 150 300 150	250		100 300 300 300 £ X	600
	150	2	1	3	1	5		300	4	2	2	5	3
15	250	8	3	7	4	6	30	600	3	3	4	5	5
	 250	0	4	9	3	4		100	1	2	3	4	6
	150	5	2	4	2	3		300	2	6	1	1	8
	150 4 б 2 а	4 J		600	3	4	5	5	9
Таблица б. Варианты задания 6
Вари- I ант	Задача		/Вари- > авт	Задача	
1	Х44 < 500, х23 > 500		16	х21 < 500, х44 > 1000	
		500	500	1000 1500		“Г><	1000 1500	500	2000
	1000 1500 500 1500	3	2	5	4 4	3	5	3 113	2 4	16	3		500 1000 1000 1500;	3	2	15 3	6	5	4 4	8	5	7 5	7	2	6
2	Xgg 2OD,	100		17	^'34	20,	20	
		300	300	300	300		“iX	40	60	50	40
	зоо; 200 400 100	5	5	4	3 4	7	4	2 3	2	3	4 3	12	7		40 50 50 40	12	3	1 4	2	2	9 5	7	10	5 4	15	13	6
514
Продолжение табл. 5
Вари- ант		Задачи	Вари' ант	Задача	
1 з		сЯ1 £ 500, х44 > 1000	18	:	х21 < 500, х44 > 500 г	
	®iS	1000 1000 2000 2000		\bj	1000	500 1500 2000
	500 1000 1500 i 2000	5	6	3	8 112	3 2	5	4	4 6	3	5	9		500 1000 500 1500	3	1	2	5 13	4	2 3	6	5	6 4.3	9	8
4		#42	50, #24	19	#21	25, Х32	20	
	'ХА	50	100	100	100		|\Ь/ fliX	50	25	50	25
	50 100 50 100	2	4	5	8 5	3	4	6 3	12	4 7	2	6	9		25 50 75 25	3	18	1 2	5	2	3 9	4	6	5 7	3	10	3
5		#44	100, #23	50	20	#23	30, #33	
		50	100	200	200		\ь.	30	90	60	60
	50' 100 100 200	1	9	2	2 6	4	10	3 8	4	7	5 7	6	5	3		30 60 1 90 90	1	3	4	5 9	5	2	4, 3	4	5	4 5	7	2	6
6		#43	50, #21	100	21	#33	100, #42 J00 „ i 		__l_			_j -с :		
	\b. “iS	100	200	100	200		аРЧ	200	300	200	300
	100 200 50 100	1	3	12 4	7	3	5 3	4	1	6 7	8	3	6		1 100 200 300 300	2	3	4	5 2	4	2	6 6	5	4	5 4	6	7	6
7		#и 20, #33	22	х82 < 100, х43 > 100	
		30	30	60	90		\£h alX	1 50	150	200	150
	60 30 60 30	3	11	4	4 2	10	5	6 3	13	3	7 14	2	1		50 100 150 150	4	5	6	10 6	3	8	4 5	13	1 7	2	4	2
8		x2j < 10, Х]2 > ю	23	#22	25, #44 И5	
		40	20	10	20			25	50	-75	50
	40 20 1 10 10	7	6-5	11 3	4	2	2 9	10	3	15 1	5	13		25 50 50 50	1	13	4 7	2	4	2 8	9	5	6 6	7	8	5
5clj5.
Окончание табл. 5
Вари- 1 аят	1	Задача		Вари- ант	я Задача	
9	^44	20, ^23		24	' ^42 Ю) Х23	20	
	а>^	40	30	40	50 .			20	20	40	20
	20 30 20 40	5	3	16 4	6	4	7 4	12	3 6	3	8	10		20 40 20 40	2	2	3	4 4	5	4	7 6	7	3	5 3	5	7	4
10	Ю0т ^23	100		25	*43 <10, *и>5	
		100	200 <200	300			5	10	15	10
	100 200 300 100	4	3	5	2 7	12	3 9	2	4	5 13	6	4		5 20 15 20	2	2	4	5 4	6	7	10 5	3	3	6 6	4	5	12
11	Хд| 100) *^42	100		1 26	*^34 ЮО, -^43	50	
		200	400	100	200		aj^i	50	100	100- 150
	200 100 200 200	1	7	12	2 2	3	8	4 3	5	4	6 4	4	3	8		50 100 150 150	13	4	1 3	2	2	4 4	8	9	5 9	6	7	10
12  1	Х|]	100) JC42 200		27	Х33 60 т JC42 60	
		200	400	100	200			60	120	180	120
	200 100 . 100 400	2	13	5 4	3	4	7 .5	8	3	6 3	5	2	4		60 120 180 । 180	13	2	1 6	2	4	2 5	9	5	10 7	6	7	15
13	^32	^Й4 **		28	^32 70) *^43 140	
		10	30	30	40			70	140	210	140
	10 50 60 40	3	13	4 5	1	2	2	, 2	3	4	6 7	2	5	3		70 140 210 210	12	13 2	4	5	8 3	5	6	9 4	6	7	10
14	^43	20) JE34 > 20		29	^42 ®0t ^23	80 h	
	«i4	20	20	40	40		\ь, “<Х	80	160	240	160 .
	20 40 80 40	4	5	2	4 3	13	5 2	7	6	8 3	3	14		80 160 80 160	2	5	2	3 3	4	4	5 4	3	6	7 5	2	5	4
15	Х33 100) ^42 юо		30	х51 < 90, х44 > 90	!i	
		100	200	200	300			180	90	270	180
	100 200 400 200	13	4	1 5	2	2	7 4	4	3	6 7	2	5	3		90 90 180 180	13	4	1 3	2	9	13 3	4	5	8 4	5	6	4
516-
Приложение 1
Значение функции е~х
X	е~х	X	е~*	1 	е~х 	X	 е-* ,
0,00	1,000 I	0,40	0,670	0,80	0,449	3,00	0,050
0,02	0,980	0,42	0,657	0,82	0,440	3,20	0,041
0,04	0,961	0,44	0,644	0,84 ;	0,432 ;	3,40	0,033
0,06	0,942	0,46	0,631	0,86 ;	0,423 ।	3,60	0,027
0,08	0,923	0,48	0,619	0,88	; 0,415	3,80	0,022
0,10	0,905	0,50	0,606	0,90 ;	0,407	4,00	0,0183
0,12	0,887	0,52	0,595	0,92	0,399	4,20	0,0150
0,14	0,869	0,54	I 0,583	0,94 ;	0,391	4,40 ,	0,0123
0,16	0,852	0,56 !	0,571	0,96 '	0,383 ;	4,60	0,0101
о,18 :	0,835	0,58 :	0,560	0,98	0,375	4,80	0,0082
о,2о ;	0,819	0,60 :	0,549	1,00	0,368	5,00	0,0067
0,22	0,803	0,62	0,538	1,20	0,302	5,20	0,0055
0,24	0,787	0,64	0,527	1,40	0,247	5,40	0,0045
0,26	0,771	0,66	0,517	1,60	0,202	5,60	0,0037
0,28	0,756	0,68	0,507	1,80	0,165	5,80	(>,0030
0,30 :	0,741	' 0,70	0,497	2,00	0,135	6,00	0,0025
0,82 ;	0,726	: 0,72	0,487	2,20	0,111	6,20	0,0020
0,34	0,712 :	0,74	0,477	2,40	0,091	6,40	0,0017
0,36	0,698	0,76	0,468	2,60	0,074	6,60	0,0014
1	0,38	0,684	0,78	0,458	! 2,80	0,061	6,80	0,0011
0,40	0,670	0,80	0,449	! 3,00	0,050	7,00	0,0009
Bl5?
Приложение 2
-g ж
Нормированная функция Лапласа Ф(г) =	[e~^2dt
*	а/2л Q
г	0	1	2	3	4	; 5	6	7	8	9 i
0,0	00000	!00399	00789	01197	01595	01994	02392	02790	03188	03586
од	03983	04380	04776	05172	05567	05962	06356	06749	07142	07535
' 0,2	07926	08317	08706	09095	09483	09871	10257	10642	11026	11409
оз	11791	12172	12552	12930	13307	13683	14058	14431	14803	15173
о,4	15542	15910	16276	16640	17003	17364	17724	18082	18439	18793
0,5	19146	19497	19847	:20194	20540	20884	21226	21566	21904	22240
0,6	22575	22907	23237	23565	!23891	24215	24537	24857;	!25175	25490,
0,7	'25804	26115	26424	26730	< 27035:	' 27337	27637	27935 j	28230	28524
0,8	28814	29103	29389	29673	29955	30234	30511	30785	31057	31327
0,9	31594	31859	32121	32381	32639	:32894	33147	33398	33646	33891
1,0	!34134	34375	34614	34850	35083	35314 j	35543	35769	35993	36214
1Д	36433i	36650	36864	37076	37286	37493	37698	38000	38100	38298
1,2	38493	38686	38877	39065	39251	39435	39617;	'39796	39973	40147
1,3	40320	40490	40658	40824	40988	41149	41308:	41466	41621	:41774
1,4	41924	42073	42220	42364	42507	42647	42786	42922	43056	43189
 1’S	43319	43448	43574	43699	।43822	43943	44062	44179	44295	44408
1,6	44520	44630	44738	:44845	44950	45053	45154	45254	!45352	45449
1,7	45543	45637	45728	45818	45907I	!45994	46080	46164।	46246	46327
1,8	! 46407	46485 I	;46562	46638	46712	:46784:	46856	46926	46995	47062
1,9	47128	47193	;47257	47320	47381	47441	47500	47558	47615	47670
2,0	47725	47778	47831	47882	47932	47982	48030	48077	48124	48169
2,1	48214	48257	48300	48341	48382	48422	48461'	48500	485371	48574
2,2	48610	48645	48679	48713	48745	48778	48809।	48840	48870	48899
2,3	48928	48956	48983	49010	49036	49061	49086	;49111	49134	49158
2,4	49180	49202	49224	49245.	49266	49286	49305	49324	49343	49361
2,5	49379।	49396	49413	49430:	49446	49461;	49477	49492	49506	49520
2,6	49534	49547	49560	49573	49585	49598	49609	49621:	49632	49643
! 2,7	49653	49664	49674	49683	49693	49702	49711	49720	'49728	49736.
2,8 ।	49744	49752	49760	49767	49774	49781	49788	49795	49801	49807 J
2,9 !	49813	49819	49825	49831	49836	49841	49846!	49851	49856	49861
з,о ;	49865	49869	49874	49878	49882	49886	49889' 		49893	49896	49900
518
Окончание Приложения 2
1 	0		1	2	з :	4		6	7	8	9
3,1	4991	3	49906	:49910	49913	49916	49918	49921	49924	49926	49929
я	Ш	1	49934,	49936	49938	49940	49942	49944	49946	49948	49950
3,3	499:	2	49953	49955	49957	49958	49960	'49961	49962	49964	49965
3,4	4991	>6	49968	49969	49970	49971	49972	49973	49974	49975	49976
3,5	 499	Г7:	49978	49978	49979	49980	49981	49981	49982	49983	49983
3,6	499	54	49985	49985;	49986	49986	49987	49987	49988	49988	49989
3,7	499	59	49990	49990!	49990	49991	49991	49993	49993	49992	49992
3,8	49S	93	49993	49993	49994	49994	49994	49994	49995	49995	49995
3,9	49S	95	49995	49996	49996	49996	49996	49996	49996	49997	49997
4,0	49£	97									
5,0	49£	99									
Примечание. В таблице даны мантиссы значений функции (О,...).
Приложение 3
Значения чисел q а зависимости от объема выборки л
и надежности у для определения доверительного интер-
вала среднего квадратичного отклонения ах
п	Y			га			
	:	0,95	0,99	0,999		 0,95	0,99	0,999
7	;	0,92	—„	——	25	0,32	0,49	0,73	;
8	0,80		1 '		30	0,28	0,43	0,63
9	0,71	—™	——	35	0,26	0,38	0,56
10	0.65	—	—’	40	0,24	0,35	0,50
11	0,59	0,98		’	45	0,22	0,32	'	: 0,46
12	0,55	0,90	—	50	0,21	0,30	: 0,43
13	0,52	;	0,83	—	60	0,188	0,269 ;	0,38
14	0,48	0,78	—	70	0,174	0,245	0,34
15	0,46	0,73	—	80	0,161	0,226	0,31
16	0,44	0,70	—	90	0,151	0,211	0,29
17	0,42	0,66	—-	100	0,143	0,198	0,27
18	0,40	0,63	0,96	150	0,115	0,160	0,211
19	0,39	0,60	0,92	200	0,099	0,136	0,185
20	0,37	0,58	0,88	250	0,089	0,120	0,162
520
Приложение 4
Критические точки распределения X2
Число степеней ' свободы	Уровень значимости а					
	0,01	0,05	'	0,1	!	0,90	0,95	0,99
1	6,6	3,8	2,71	0,02	0,004	0,0002
2	9,2	6,0	4,61	0,21	0,1	0,02
3 i	11,3	7,8	:	6,25	0,58	0,35	0,12
4	13,3	9,5	7,78	1,06	0,71	0,30
5	15,1	Н.Л	9,24	1,61	1,15	0,55
6	16,8	12,6	10,6	2,20	1,64	!	0,87	:
7	18,5	14,1	12,0	2,83	2,17	1,24
8	20,1	15,5	13,4	3,49	2,73	1,65
9	1 21,7	'	16,9	14,7	4,17	3,33	2,09	:
10	. 23,2	18,3	:	16,0	4,87	;	3,94	2,56
11	24,7	19,7	17,3	5,58	4,57	3,05
12	26,2	21,0	18,5	6,30	5,23	3,57
13	27,7	22,4	19,8	7,04	5,89	4,11
14	29,1	23,7	21,1	7,79	6,57	4,66
15	.30,6	25,0	22,3	8,55	7,26	5,23
16	32,0	26,3	23,5	9,31	7,96	5^81
17	33,4	27,6	24,8	10,1	8,67	6,41
18	34,8	28,9	26,0	10,9	9,39	7,01
19	36,2	30,1	27,2	11,7	10,1	7,63
20	37,6	31,4	- 28,4	12,4	10,9	8,26
21	38,9	32,7	29,6	13,2	11,6	8,90
22	40,3	33,9	зо,8 ;	14,0	12,3	9,54
23	41,6	4 35,2	32,0	14,»	13,1	10,2
24	43,0	36,4	33,2	15,7	13,8	10,9
25	44,3	37,7	‘	34,4	16,5	14,6	11,5
26	15,6	38,9	35,6	17,3	15,4	12,2
27	17,0	40,1	36,7	18,1	16,2	12,9
28	18,3	41,3	37,9	18,9	16,9	13,6
29	9,6	42,6	39,1	19,8	17,7	14,3
30	0,9	43,8	40,3	20,6	18,5	15,0

522
Приложение 5
Критические точки распределения Фишера — Снедекора
Р = 0,9 (а = 0,1)
к	1	2	3	4	5	6	7	; в	9	10	12	15	20	24	30	40	60	120
1	39,86	49,50	53,59	55,83	57,24	58,20 58,91		59,44	59,86	60,19	60,71	61,22	61,74	62,00	62,26	62,53	62,79	63,06
2	8,53	9,00	9,16	9,24	9,29	9,33	9,35	9,37	9,38	9,39	9,41	9,42	9,44	9,45	9,46	9,47	9,47	9,48
3	5,54	5,46	5,39	5,84	5,31	5,28	5,27	5,25	5,24	5,23	5,22	5,20	5,18	5,18	5,17	5,16	5,15	5,14
4	4,54	4,32	4,19	4,11	4,05	4,01	3,98	3,95	3,94	3,92	3,90	3,87	3,84	3,83	3,82	3,80	3,79	3,78
5	4,06	3,78	3,62	3,52	3,45	3,40	3,37	3,34	3,32	3,30	3,27	3,24	3,21	3,19	3,17	3,16	3,14	3,12
6	3,78	3,46	3,29	3,18	3,11	3,05	3,01	2,98	2,96	2,94	2,90	2,87	2,84	2,82	2,80	2,78	2,76	2,74
7 '	! 3,59	3,26	3,07	2,96	2,88	2,83	2,78	2,75	2,72	2,70	2,67	2,63	2,59	2,58	2,56	2,54	2,51	2,49
	3,46	3,11	2,92	2,81	2,73	2,67	2,62	2,59	2,56	2,54	2,50	2,46	2,42	2,40	2,38	2,36	2,34	2,32
9 '	3,36	3,01	2,81	2,69	2,61	2,55	2,51	2,47	2,44	2,42	2,38	2,34	2,30	2,28	2,25	2,23	2,21	2,18
10	3,29	2,92	2,73	2,61	2,52	2,46	2,41	2,38	2,35	2,32	2,28	2,24	2,20	2,18	2,16	2,13	2,11	2,08
11	3,23	2,86	2,66	2,54	2,45	2,39	2,34	2,30	2,27	2,25	2,21	2,17	2,12	2,10	2,08	2,05	2,03	2,00
12	3,18	2,81	2,61	2,48	2,39	2,33	2,28	2,24	2,21	2,19	2,15	2,10	2,06	2,04	2,01	1,99	1,96	1,93
13	3,14	2,76	2,56	2,43	2,35	2,28	2,23	2,20	2,16	2,14	2,10	2,05	2,01	1,98	1,96	1,93	1,90	1,88
14	3,10	2,73	2,52	2,39	2,31	2,24	2,19	2,15	2,12	2,10	2,05	2,01	1,96	1,94	1,91	1,89	1,86	1,83
15	3,07	2,70	2,49,	2,36	2,27	2,21	2,16	2,12	2,09	2,06	2,02	1,97	1,92	1,90	1,87	1,85	1,82	1,79
16 :	3,05	2,67	2,46	2,33	2,24	2,18	2,13	2,09	2,06	2,03	1,99	1,94	1,89	1,87	1,84	1,81	1,78	1,75
17	3,03	2,64	2,44	2,31	2,22	2,15	 2,10	2,06	2,03	2,00	1,96	1,91	1,86	1,84	1,81	1,78	1,75	1,72
18	3,01	2,62	2,42	2,29	2,20	2,13	2,08	2,04	2,00	1,98	1,93	1,89	1,84	1,81	1,78	1,75	1,72	1,69
19	2,99	2,61	2,40	2,27	2,18	2,11	2,06	2,02	1,98	1,96	1,91	1,86	1,81	1,79	1,76	1,73	1,70	1,67
20	2,97	2,59	2,38	2,25	2,16	2,09	2,04	2,00	1,96	1,94	1,89	1,84	1,79	1,77	1,74	1,71	1,68	1,64
21	2,96	2,57	2,36	2,23	2,14	2,08	2,02	1,98	1,95	1,92	1,87	1,83	1,78	1,75	1,72	1,69	1,66	1,62
22	2,95	2.56	2,35	2,22	2,13	2,06	2,01	1,97	1,93	1,90	1,86	1,81	1,76	1,73	1,70	1,67	1,64	1,60
23	2,94	2,55	2,34	2,21	2,11	2,05	1,99	1,95	1,92	1,89	1,84	1,80	1,74	1,72	1,69	1,66	1,62	1,59
24	’ 2,93	2,54	2,33	2,19	2,10	2,04	1,98	1,94	1,91	1,88	1,83	1,78	1,73	1,70	1,67	1,64	1,61	1,57
25	2t92	53	2,32	2,18	2,09	2,02	1,97	1,93	1-89—	1 Я7	...1,82	-1,77	1,72	 1,69	l,bb	1,Бз	1,59	1,56
26"	"2,91	2,52	2,31	2,17	2,08	2,01	1,96	1,92	1,88	1,86	1,81	1,76	1,7.1	1,68	1,65	1,61	1,58	1,54
27	2,90	2,51	2,30	2,17	2,07	2,00	1,95	1,91	1,87	1,85	1,80	1,75	1,70	1,67	1,64	1,60	1,57	1,53
28	2,89	2,50	2,29	2,16	2,06	2,00	1,94	1,90	1,87	1,84	1,79	1,74	1,69	1,66	1,63	1,59	1,56	1,52
29	2,89	2,50	2,28	2,15	2,06	1,99	1,93	1,89	1,86	1,83	1,78	1,73	1,68	1,65	1,62	1,58	1,55	1,51
30	2,88	2,49	2,28	2,14	2,05	1,98	1,93	1,88	1,85	1,82	1,77	1,72	1,67	1,64	1,61	1,57	1,54	1,50
40	2,84	2,44	2,23	2,09	2,00	1,93	1,87	1,83	1,79	1,76	1,71	1,66	1,61	1,57	1,54	1,51	1,47	1,42
60	2,79	2,39	2,18	2,04	1,95	1,87	1,82	1,77	1,74	1,71	1,66	1,60	1,54	1,51	1,48	1,44	1,40	1,35
120	2,75	2,35	2,13	1,99	1,90	1,82	1,77	1,72	1,68	1,65	1,60	1,55	1,48	1,45	1,41	1,37	1,32	1,26
00	2,71	2,30	2,08	1,94	1,85	1,77	1,72	1,67	1,63	1,60	1,55	1,49	1,42	1,38	1,31	1,30	1,24	1,17

P = 0,95 (a = 0,05)
	i	2	3	4	5	6	7	8	9	10	12	15	20	24	30 ’	40	60	120
i	161,4	199,5	2.15,7	224,6	230,2	234,0	236,8	238,9	240,5	241,9	243,9	245,9	248,0	240,1	250,T	251,1	252,2	253,3
2	18,51	19,00 19,16		19,25	19,30	19,33	19,35	19,37	19,38	19,40	19,41	19,43	19,45	19,45	19,46	19,47	19,48	19,49
3	10,13	9,55	9,28	9,12	9,01	8,94	8,89	8,85	8,81	8,79	8,74	8,70	8,66	8,64	8,62	8.59	8,57	8,55
4	7,71	6,94	6,59	6,39	6,26	6,16	6,09	6,04	6,00	5,96	5,91	5,86	5,80	5,77	5,75	5,72	5,69	5.66
5	6,61	5,79	5,41	5,19	5,05	4,95	4,88	4,82	4,77	4,74	4,68	4,62	4,56	4,53	4,50	4,46	4,43	4,40
6	5,99	5,14	4,76	4,53	4,39	4,28	4,21	4,15	4,10	4,06	4,00	3,94	3,87	3,84	3,81	3,77	3,74	3,70
: 7	5,59	4,74	4,35	4,12	3,97	3,87	3,79	3,73	3,68	3,64	3,57	3,51	3,44	3,41	3,38	3,34	3,30	3,27
8	5,32	4,46	4,07	3,84	3,69	3,58	3,50	3,44	3,39	3,35	3,28	3,22	3,15	3,12	3,08	3,04	3,01	2,97
; 9 :	5,12	4,26	3,86	3,63	3,48	3,37	3,29	3,23	3,18	3,14	3,07	3,01	2,94	2,90	2,86	2,83	2,79	2,75
10	4,96	4,10	3,71	3,48	3,33	3,22	3,14	3,07	3,02	2,98	2,91	2,85	2,77	2,74	2,70	2,66	2,62	2,58

Окончание Приложения 5
(2 \	1	2	3	4	5	6	7	8 '	9	10	12	15	20	24	30	40	! 60	120
Й	: 4,84	3,98	3,59	3,36	3,20	3,09	3,01	2,95	2,90	2,85	2,79	2,72	2,65	2,61	2,57	2,53	2,49	2,45
12	! 4,75	3,89	3,49	3,26	3,11	3,00	2,91	2,85	2,80	2,75	2,69	2,62	2,54	2,51	2,47	2,43	2,38	2,34
13	4,67	3,81	3,41	3,18	3,03	2,92	2,83	2,77	2,71	2,67	2,60	2,53	2,46	2,42	2,38	2,34	2,30	2,25
14 :	! 4,60	3,74	3,34	3,11	2,96	2,85	2,76	2,70	2,65	2,60	2,53	2,46	2,39	2,35	2,31	2,27	2,22	2,18
15 	4,54	3,68	3,29	3,06	2,90	2,79	2,71	2Л4	2,59	2,54	2,48	2,40	2,33	2,29	2,25	2,20	2,16	2,11
16	4,49	3,63	3,24	3,01	2,85	2,74	2,66	2^59	2,54	2,49	2,42	2,35	2,28	2,24	2,19	2,15	2,11	2,06
17	4,45	3,59	3,20	2,96	2,81	2,70	2,61	2,55	2,49	2,45	2.38	2,31	2,23	2,19	2,15	2,10	2,06	2,01
18	4,41	3,55	3,16	2,93	2,77	2,66	2,58	2,51	2,46	2,41	2,34	2,27	2,19	2,15	2,11	2,06 ,	2,02	1,97
19	4,38	3,52	3,13	2,90	2,74	2,63	2,54	2,48	2,42	2,38	2,31	2,23	2,16	2,11	2,07	2,03.	1,98	1,93
20	4,35	3,49	3,10	2,87	2,71	2,60	2,51	2,45	2,39	2,35	2,28	2,20	2,12	2,08	2,04	1,99	1,95	1,90
21	4,32	3,47	3,07	2,84	2,68	2,57	2,49	2,42	2,37	2,32	2,25	2,18	2,10	2,05	2,01	1,96.	1.92	1,87
22	4,30	3,44	3,05	2,82	2,66	2,55	2,46	2,40	2,34	2,30	2,23	2,15	2,07	2,03	1,98	1,94	1,89	1,84
23	4,28	3,42	3,03	2,80	2,64	2,53	2,44	2,37	2,32	2,27	2,20	2,13	2,05	2,01	1,96	1,91	. 1,86	1,81
24	4,26	3,40	3,01	2,78	2.Q2	2,51	2,42	2,36	2,30	2,25	2,18	2,11	2,03	1,98	1,94	1,89	; 1.84	1,79
25	4,24	3,39	2,99	2,76	2,60	2,40	2,40	2,34	2,28	2,24	2,16	2,09	2,01	1,96	1,92	1,87	1,82	1,77
26	4,23	3,37	2,98	2,74	2,59	2,47	2,39	2,32	2,27	2,22	2,15	2,07	1,99	1,95	1,90	1,85	1,80	1,75
27	4,21	3,35	2,96	2,73	2,57	2,46	2,37	2,31	2,25	2,20	2,13	2,06	1,97	1,93	1,88	1,84	1,79	1,73
28	4,20	3,34	2,95	2,71	2,56	2,45	2,36	2,29	2,24	2,19	2,12	2,04	1,96	1,91	1,87	1,82	1,77	1,71
29	4,18	3,33	2,93	2,70	2,55	2,43	2,35	2,28	2,22	2,18	2,10	2,03	1,94	1,90	1,85	1,81	1,75	1,70
30	4,17	3,32	2,92	2,69	2,53	2,42	2,33	2,27	2,21	2,16	2,09	2,01	1,93	1,89	1,84	1,79'	 1,74	1,68
40	4,08	3,23	2,84	2,61	2,45	2,34	2,25	2,18	2,12	2,08	2,00	1,92	1,84	1,79	1,74	1,69	1,64	1,58
60	4,00	3,15	2,76	2,53	2,37	2,25	2,17	2,10	2,04	1,99	1,92	1,84	1,75	1,70	1,65	1,59	1,53	1,47
120	3,92	3,07	2,68	2,45	2,29	2,17	2,09	2,02	1,96	1,91	1,83	1,75	1,66	1,61	1,55	1,50	1,43	1,35
СО	3,84	3,00	2,60	2,37	2,21	2,10	2,01	1,94	1,88	1,83	1,75	1,67	1,57	1,52	1,46	1,39	1,32	1,22
Приложение 6
{-распределение
(значение tKp, соответствующее Р(Т > fKp) = а)
1 	а				
	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
1	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657
2	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925
3	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841
. 4	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604
5	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032
6	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707
।	7	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499
8	!	1,397	1,860	2,306	;	2,896	3,355
9	1,383	1,833	2,262	:	2,821	3,250
10	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169
11	1,363	1,796	2,201	।	2,718	3,106
12	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055
13	1,350	1,771	2,160	2,650	:	3,012
14	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977
15	1 1,341	1,753	2,131	2,602	2,947
16	1 1,337	1,746	!	2,120	2,583	2,921
17	1,333	1,740	2,110	2,567	;	2,898
18	1,330	1,734	'	2,101		2,552	2,878
19	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861
20	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845
21	1,323	,	1,721	2,080	2,518	2,831
22	:	1 1,321	!	1,717	2,074	2,508	2,819
23	1,319	1,714	2,069	2,500	2,807
'	24	1,318	1,711	2,064	2,492	2,797
25	! 1,316	;	1,708	2,060	2,485	J 2,787
26	1,315	1,706	2,056	2,479	2,779
27	1,314	1,703	2,052	2,473	2,771
28	1 1,313	1,701	2,048	2,467	2,763
29	1,311	1,699	2,045-	2,462	2,756
30	1,310	1,697	2,042	;	2,457	2,750
40	1,303	1,684	2,021	1	2,423	2,704
60	1,296		1,671	;	2,000	!	2,390	2,660
120	1,289	'	1,658	1,980	2,358	2,576
со	1,282	1,645	1,960	2,326	2,576
525
ОТВЕТЫ
1
1.1,	ja| = 7; cos a = 2/7, cos P = 3/7, cos у _ -6/7. 1-2. IM2M2 j ~ 9; cos a =
= 1/3> cos p = -2/3>cois y = 2/3.1.3. a =2i + 2/ + 2 k . 1.4. J?(9; -5; 6). 1.5.7.
1.6.3; 721. 1.7. 734/2; 742/2. 1.8.714/2; 726 /2. 1.9.22. 1.10. 20.
1.11,|a + 5|= 797, |a - 5| = 7. 1.12. a-4, p--l. 1.14. c =(5b -2a)/4.
1.15. d - 2a - 36 + c. 1.16. a -(3b - c + d)/2. 1.17.8. 1.18. cos<p = 2/7.
1.19.СО8Ф- 1/710.1.20.	= 5, [BC| = 572, |Aq = 5; Я-п/2, = C = rt/4.
1.21	.9=90°.	1.22. cos 9 =-43/(25713 ). 1.23. cos 9 = 1/2» ф = 60°.
1.24.	9 =120°.	1.25. np^a = 8/(372).	1.26. 7?-	1.27. 277.
1.28.	cos 9 = 2/77.1.29. m = -6. 1.31. 1/73 .
2
2.3.	a) k = 2/5, p - -2; 6) k = -2/5, ₽ = 0; в) k = 0, 0 - 7; r) k - -2, 0 - 10.
2.4.6) x/(-2) + у/(10/з) = 1. 2.5. а) у = 12x/5 - 13; 6) x/(65/12) + У/(~е75) = 1.
2.6. Нет. 2.7.135°. 2.8. 20 кв. ед. 2.10.1400 руб. 2.11. х/5 I- у/3 = 1,
х/5 - у/3 - 1, -х/5 + у/3 = 1. -х/5 - у/3 - 1. 2.12. -х/2 - у/3 = 1 или
х/4 + 2£//3 = 1. 2.13. у = 0, у = 4, 4х - Зу т 0, 4х - Зу + 12 = 0, х = 0,
2х-Зу + 6 = 0. 2.14.-х/4 + у/3 = 1 или х/2 + у/(-6) = 1. 2.15. х - 4 = 0,
у +5 = 0.	2.17. у = х-2.	2.21. a)arctg3/4; 6)45°; в) 45°; г) 0°.
2.23.	5х — 2у - 25 — 0, 5х — 2у + 4 — 0. 2.25. у — Зх, у — —х/3. 2.28. х > 5.
2.32.5.	2.33.710.	2.35. х + 2у + Зг - 14 - 0.	2.37. х + у - 4 = 0.
2.38.	Зх + 2г - 15 = 0. 2.40. бу - 5г = 0. 2.41,4х - Gz = 0. 2.43. х/2 + у/4 +
+ г/4 = 1. 2.45, х - 2у - 3z - 4 = 0. 2.47. а) п/3 и 2к/3; б) я/4 и Зтс/4;
в) л/2; г) arccos 2/13 ил - arccos 2/15. 2.48. 60е. 2.50. 2х + у - 2г - 15 = 0.
2.51. 2х - 2у+ г-2^0.2.52. Зх-у-Оих + Зу = 0.2.54. 729.2.55.2л/2 .
2,56. (х - 4)/(-1) = (у - 3)/1 = (г - 2)/1.	2.58. а) х = t + 2, у - ~2t + 1,
2	= 3t - 1; б) х " 2t + 1, у = -4/ + 3, 2 = 2t + 2. 2.60..cos а = Ё/7, cos р = 3/7,
cosy=z/7. 2.61. cos ф = 1/73 - 2.63. х = 2t + 1, у = 2t + 4, 2 = t - 1.
526
2.64.	х = 2t, у = -8t, z = 4. 2.65. x = 2ir у = -3, z 5t. 2.66. sin 0 = 1/>/б .
2.68. у + г 4- L = 0. 2.70. 8x - 5y 4- z - И - 0. 2.71. (3; 4; -1). 2.72. (4; 3; 3).
2.74. (-2; 0; -2). 2.76. (3; -1; 1). 2.77. x.= 9i + 2, у = -8t + 1, z - -lit.
2.78. x = 5t -- 1, у - -4t, z = -t - 1.
3
3.1. Точки Mi, M2 принадлежат окружности, точка M3 не принадлежит
окружности. 3.3. С(-2; 2>, R = 3. 3.4. а) С(-1; 0), R = 2; б)С(4; -3), Я= 5;
в) С(-5; 2), F. - 4. 3.5. (х - I)2 + (у - I)2 = 1 или (х - 5)2 + (у - 5)2 = 25.
3.6. (х +1)2 4 (у -1)2 - 5. 3.7. (х - З)2 4- (у - 4)2 = 25. 3.8. х2 4- у2 - Зу * 0.
3.9. (х - З)2 - у2 = 9. 3.10. х2 + (у - I)2 = 1. 3.11. х2 + у2 + 2х 4- 2у = 0.
3.12. х2 4- уг = 16. 3.13. х2/10 + у2 - 1. 3.14. х2/(2%) + yz/2 = 1.
3.15. х2/36 + у2/27 = 1.3.16, е = J3 /2. 3.17. 2 Л /3. 3.18. х2/16 + у2/4 =• 1,
= 4 - J3 , г2 — 4 + л/з .	3.19. х2/(б/3) + у2/1 = lt Е — -У2/5 
3.20. х2/9 + у2/8 = 1.	3.21. х2/3 + у2/4 = 1.	3.22.	х2/5 + у2 = 1.
3.23. а) (х - 3)2/16 4- (у + 1)й/4 - 1; б) (х - 1)2/4 + (у 4- l)z/2 = 1.
3.24. х2/169 Ьуг/25 = 1. 3.25. 2с = 4Тб ,£ = Л /2. 3.26. х2/16 - у2/9 = 1;
£ = 6/4. 3.27. х2 - у2 = 1. 3.28. а) (х - 2)2/9 - (у - 3)2/16 = 1; б) (х + б)2/64 -
- {у - 1)2/36 = 1; в) (х - 2)2/9 - (у 4- 1)2/16 = 1. 3.29. х2/3 - у2/5 = 1.
3.30. х2/4 - у2/12 = 1. 3.31. х2/25 - у2/75 = 1. 3.32. х2/25 - у2/9 = 1.
3.33. у2 = 8x1	3.34. у = х - х3/4.	3.35. у2 - 4х.	3.36. Мт(3; 2Л),
Af2(3; -2j3 ), 3.37. (х - 3/2)2 + (у - 3/2)2 =* 9/2- 3.39. 40 м. 3.40. х2 = -2у.
4
4»2. а) 4 4- 3i; 5) 5 ~ 9i; в) -L; г) 16 - 301; д) 1; е) -11 ~ 2i; ж) 1, если п = 4fe;
i, если п 4k -F1; -1, если п = 4k + 2; -i, если п = 4k 4- 3, где k — целое число.
4.3. а) 1 4-1; б' -2/; в) -1,1 - 1.34; г) 2; д) -0,5 + 1,5г. 4.4. а) Да; б) нет; в) да;
г)нет; д) нет; е) да; ж) нет. 4.6. a) 2(cos0 + isin 0); б) 5(cos л 4- isin л);
в) 3^cos | 4- isin | j ; г) 2^cos | л 4- isin ; д) З^сов 5 4- isin	;
е) 3| cos 7 л 4- isin л J; ж) 3| cos ? л 4- isin - гс ); з) 3| cos - л 4- i sin^ л ];
\4	4 )	4	4/	\	4	4/
и) cosл 4- is п-л; к) 2| coal я 4- isin-л |; л) а/З [ cos- 4- isin - ];
3	3	7 V 4	4 J '	<6	6 J ’
м) 2 sin^ f cos 4- isin^'j. 4.8. a) -1; 6) -4i; в) 21J2 ; r) 8; д) —4^/2 ; e) 1;
527
ж) -4; з) -27. 4.10. а) 1; ~ Ц.; б) -2; 1 ± 1^3 ; в) + i Д-1.
Л	л	2
-1 + i; -i^±l; Г)±2(73 + 0; ±2(-1 - i J§); д) 1 ± i; -1 ± Й е) ±1;
£ £
1	*/з	1
±_ +	; ±± —	. 4.12. а) Окружность радиуса 2 с центром в начале
и	А
координат; б) луч, выходящий из начала координат и образующий с по-
ложительной полуосью абсцисс угол в) круг радиуса 3 с центром в
d
начале координат; г) круг без границы радиуса 5 с центром в точке 2$.
4.13. a) ±i; б) ±2i; в) 1 ± 3i; г) 3 ± 3i; д) 2 ± i; -2 ± i; е) 4 ± i; -4 ± I.
4.15. -10.4.16.10.4.17. -3. 4.18. 2. 4.19. Зх + 1.4.20. -1.4.21. 3. 4.22. 2.
4.23. 0. 4.24. -20. 4.25. х(х2 - а2). 4.26. -41. 4.29. а) 8х + 15р + 12а - 191;
б)	За - Ъ + 2с + d. 4.30. а) 2а - Sb + с + 5d; б) -х - у - г + 4t. 4.31. a) 5;
6)50; в) 0; г) ana22 - a„ft; д) (-1) 1 Ь1яЬ2 Л-1 "ЬИ1. 4.34. а) Умно-
жится на (-1)п; б) умножится на (-1)"-1; в) умножится на (-1) 2 ;
г) не изменится. 4.36. -3. 4.37. 6. 4.38. -18. 4.39. 20. 4.40. 26. 4.41. 0.
4.42. -192. 4.43.1. 4.44. 37. 4.45. -43. 4.46. 98.
5
5.4. X =
-15 -3 -1 -12,5
-6,5 6,5 -11	8
-4,5 -2,5 -1,5 -3
5.10. (5
-19 5). 5.11. 7. 5.12.
7 -7 1
-15 2'
О 14 11 /
23 22 28
-1 -10 -12 
-4 -11 -8 ;
2 3 3
3 2 3
3 3 2;
5.16.
5.18. а) Поменяются местами i-я и /-я стро-
а + Ъ Ь
b а
ки; б) к t-й строке прибавится /-я строка, умноженная на число А;
в) поменяются местами l-й и /-Й столбец; г) к I-му столбцу прибавится
528
j-й столбец, умноженный
на число Л. 5.24,	4	
к 2 -1J
5.25.
2 -Г
1-53,
			/	1		(						
	Г		1 1			0,2	0,2 0				4 -7 3 '	
5.26.	6	. 5.27.		1 1	-1	. 5.28.	-0,6 2,4 2			. 5.29.		3-5 2	»
	< -4 3 J		. 2 1	-2>		-0,2 0,8 1 j					k -18 32 -13 j	
	( \				f							
	3 -1-2				-3 26	31					-10 3 8	
5.30.	-17 8 11		5.31.		3 -25 -30		-		5.32.		-11 3 9	*
	1Л 1 "V" 1 00 	>				k 2 -16 -19}						к 14 -4-nJ	
	1-10 0	1		Z '	0	-0,5 0,5 0					' 33 -6 -26 17 '		
5.33,	0 1-10		5.34.	0,5 0,5		0 0		. 5.35.		6	-1 -5 3	
	0 0 1-1			0	-0,5	0 0,5				-25 5 20-13		
	,00 (1 1			< -0,	5 -0,5 0,5 0,5		1 >			1 -2	! 0 2 -1 ;	
	( 3 12 -2 -7 "		1 0 ... 0		Г 0 ... 0 1	
5.36.	3 7-2-5	.	5.37.	0 1/2 ... 0	.	5.38.	0 ... */2 0	
	-2 —7 1 4		• •. 					
	< -2 -4 1 3 >		ч 0 0 ... 1/л;		к 1/п ... 0 0 J	
5.39. f 8 ~9-3L 5.40.	г -1 0
-3 4 1 J	t-2 -1
	(			Г	Ч	
	-1 -2	20		1 Со О	
5.41.	-1 -3	28	. 5.42.	8 7 0	' ф
	1’2 -1	17 ,		к 20 25 -1 ;	
	( >		( )	
	18 -3		22 8 -27	
5.43. [ "10 17 1. 5.44.	9 -6	. 5.45.	25 12 -30	ф
1 7 “2 У				
	1 -1° 8 ;		к 51 21 -62	
5.46.
-9 5 4
-9 4 4
5.47.	г -7 -:.зЛ	1.5.48. [	-182 68 1
	< -10 - .9 .,		к 142 -53 ,
	(	Л 3 7-6		-16 38 -6
5.49.	17-5	. 5.50.	30 -69 12
	<17-5,		к 16 -55 1 ;
5.52. 2Е А. 5.54. В матрице А-1: а) поменяются местами i-й и ;-йстолб-
цы (строки); б) i-й столбец (строка) умножится на число 1/fe; в) из j-ro
столбца (строки) вычтется I-й столбец (строка), умноженный на число k.
5.55. ±Е; А = J “ ь |, где а2 + be = 1. 5.58. 2. 5.59. 2. 5.60.4. 5.61.3.
V с -а )
5.62. 2. 5.63. 3. 5.64. г(А)= 0, если = ... — а? — О; r(A) = 1, если нену-
левые элементы есть в первой строке и аб “ ав — а7 — 0 или ненулевые
элементы есг,ь в последнем столбце и flj а а2 = а8 = 0; г(А) = 2, если
ненулевые элементы, не совпадающие с а4, есть и в первой строке, и в
последнем столбце. 5.65. г(А) = 1, если а — 1; г(А) = 2, если а = —2;
м(А) = 3, если а * 1 и а # -2. i
§39
6
6.2.	Xj = -1, x2 = -3, x3 = 4. 6,3. xt = -1, x2 = 3, x3 - 1. 6.4. Xj = -9,
X% ~ 16, Xg “ 13. 6.5. Xj = “7, X2 ' 7, Xg = 5. 6.6. Xj = X2 = 1, Xg = X4 “ ”1.
6.7. xx = 2, x2 = -1, x3 = 2, x4 = 1. 6.8. Xi = 1, x2 = -4, x3 ~ 2, x4 = -3.
6.9. Xj = 2, x2 = x3 - x4 = 1. 6.12. Xj = 1 - x2 - x3; xt - 1, x2 x3 = 0.
6.13. x3 = 2 - 2xr - 3x2 + x4; Xj = x2 = 1» x3 = -1, x4 •• 2. 6.14. x2 = 3 +
+ 4x3 - 7x4, xj - -1 - 3x3 +• 5x4; x3 - 0, x4 = 1, x2 = -4, x2 = 4.
6.15. x3= 0, x4 = xt + x2; xx = 2, x2 = -3, x3 = 0, x4 = -1. 6.16. xt = 8 -
- 9x2 - 4x3, x4 = -10 + llx2 + 5x3; x3 = 2, x2 = 1, Xj = -9, x4 = 11.
6.17. x3 = 11хг — llx2 ~ 11, x4 — —8xj + 8x2 + 8; Xj = 2, x2 » 1, x3 = x4 ~ 0.
6.18. Несовместна. 6.19. Несовместна. 6.20. Xj = 1, x2 = -2, x3 ~ 1.
6.21. xj = x2 = x4, x3 -x4; xx « x2 = x4 = 2, x3 = -2. 6.22. xx = 2 + x4,
x2 = -I - 2x4, x3 = 2x4; Xj = 3, x2 = -3, x3 = 2, x4 = 1. 6.23. xj = x2 =
— x3 = x4 = —1. 6.24. Несовместна. 6.25. Xj = 5 - 2x3, x2 = 5 (7 - 5xg),
x4 = 1 (4 - 5x3); Xj = 7, x2 = 4, x3 = -1, x4 = 3. 6.26. xx = ~2x2 + 2x4,
О
Xg = -x2 - x4, x5 ~ 0; Xj = 0, x2 — 1, Xg “ -2, x4 = 1, x5 = 0.6.27. Несовместна.
6.28.
X5 = -1 + Xj,
Xj «« 2, x2 = 0, x3 — 2, x4 “ 2, x5 = 1.
x3 == -6 + 5xj + x2 - x4;
6.29..
xj - 1, x2 - 2,
x3 = 3, x4 =
-3, x5 = -1.
Xj = -9 - x2 - x3,
6.30. J x4 = -7 + 2x3,
x5 - 3 + 2x3;
Xj — 9, x2 — x3 0, x4 — 7, x§ — 3.
Xj = 0,
6.31.	Несовместна. 6.32. < x2 — x3 — 2x3, Xj = x4 = 0, x2 = 2, x3 ™ 4, x5 “ 1.
x4 = 0;
x2 = —Xj + 12x4,
6.33.	< X3 = -Xj 4- 7x4, Xj = 8, x2 = 4, Xg =₽ -1, x4 =“= x5 = 1.
| *5 = ^4?
6.34.	При a = — 2 система несовместна; при a * 1, a — 2 система имеет
единственное решение х4 = х2 = х3 = —iy ; при а = 1 система имеет общее
решение xj = 1 — х2 ~ Xg. 6.35. При а * —3, а 1 система имеет единст-
530
венное решение Ху — х2 = х3 = х4 — * ; при а — 1 общее решение имеет
а + 1
вид хг = 1 — х< — х3 — х4; при а = —3 система несовместна. 6.36. При а * О,
„	2-а2	2а-1
а * -3 система имеет единственное решение х, == ----- , х2 = —--— ,
а(а + 3)	а(а + 3)
3	I
х3 =* а +-	3,а ~1; при а = 0 и При а = —3 система несовместна.
7
7.2.	В = Ay + 242 - Аа. 7.3. В - 2Ау + 2А2 “ А3. 7.4. Вектор В не разлагается
по системе Ау, А^, А3. 7.5. Имеется бесконечно много различных разложе-
ний вектора В по системе Ay, А2, А3, А4. Например, В = Аг - А2 + А3 + А4.
7.6. а = 3. 7.7 а = 3. 7.8. а — любое число. 7,12. Нет. 7.21. Линейно за-
висима. 7.22. Линейно независима. 7.23. Линейно зависима.
7.24. Линейна независима. 7.25. Линейно независима. 7.26. Линейно
зависима. 7.27. Линейно зависима. 7.28. Линейно независима.
7.40. а) Лине iho независима; б) линейно зависима; в) линейно зависи-
ма; г) линейно независима. 7.44. Ау, А3; А2 - ЗАу - А3; А4 = 4Ау - 2А3.
7.45. Ау, Аа, А4; А3 = —Ау — А2 + ЗА4. 7.46. Ау, А2, А5; А3 = -Ау - А2 + 2А§;
А4 — 4Ау + 5А» — 4Aj. 7.47. Ау, Ад, А§; А2 жАу — А3; А4 = —2Ау + 2,5А3 +Ад.
7.48. Ау, А2, А3; А4 — “ЗАу +5А2 А3; Ад = 2Ау 4- ЗА3. 7.49. А2, А3, А4, А3
и Ау, А2, А4,	7.50. Ап А2, А3; Ау, А3, А4; А2, А3, А4. 7.51. Ау, А2, А4;
Ау, А3, А4; А2 Ад, А4. 7.52. Каждые два вектора системы образуют базис.
7.53. Ау, А2, А3; Ау, А2, А4; Ау, А3, А4. 7.59. Ау. 7.62. Ау; А2; А3; А4.
7.63. Ау, А2, А5; Ау,А4, А5; А2,А3, А5; А3, А4, А5.7.64. Ау, А2, А3; Ау, А2, А4;
А2, А3, А4. 7 65. Два. 7.66. 5. 7.74. Ровно столько, сколько ненулевых
коэффициентов в разложении вектора Ау по базису By, В2, ..., Вг.
7.77. A^i=(l 7, 2), АЙГ2 = (5, 9, -4), itA =(2, -1, 0, 7), £2А=(-3,0,1, -5).
7.92. (О, 1, 1) (1, 0, 0), (0, 1, -1). 7.93. (1, -1, 1), (1, 2, 1), (1, 0, -1).
7.94. (1, -2,1], (1, -1, -3), (О, 0, 0), (7, 4,1). 7.95. (1, 2, 1, 3), (10, -1,1, -3),
(-6, “6, 36, -С). 7.96. (-1,1,1,1), (1, 1, 0, 0), (1, -1, 0, 2). 7.97. (-1, 0, 3, 2),
(2, 2, 0, 1), ((I, 0, 0, 0).	7.99. (%. -%. %. '/г). Vsp V2. ‘/г).
(V2- V2.	л/2>- 7.101. а) Да; б) нет. 7.111. (2, 1, -3, 0), (3, 0, -5, -1).
7.112.	(8, -6, 1, 0), (—7, 5, О, 1). 7.113.(7, 11, -1, 0), (11, 17, 0, -1).
7.114.(1, -6, 0, -2), (0, 4, ~1, О).	7.115.(1, -2, 1, О), (1,-2, 0,1).
7.116.	(1,-1,1, -1). 7.117. (1, -24, -9,0), (0, 3, 2,1). 7.118. (3, 1,0, -4, 0),
(5, 0, 1, -9, О).	7.119. (1, 4, -3, 0, 0), (О, О, 0, 3, -2), (0, 1, 0, -1, 0).
7.120.	(3, 1, L) 4- t(2, 1, 1).	7.121.(0, 0, 5, -2) + t(l, ~1, -3, 1).
7.122.	(2,1, С, 0) + fy(l, -2, 1, 0)4- М-З, -4, О, 1). 7.123. (О, -9, -2, 0) 4-
+ #у(1„2, О, С) + iaCO, 13» 5, l)i' 7.124. (8, 0, 0, -10) 4- ty(^9, 1, 0, 11) +
।	531
+ t2(-4, О, 1, 5).	7.125. Г,(-3, 3, 1, О, 5) + ^(-2, 1, О» -1, 3).
7.126.	ех(1, О, О, “6, 5) + f2(0,1,0, -2,1) + £3(0, 0,1, -2,1).	7.127. Да.
7.128.	а) Да; б) да.
8
8.	1. а) Нет; б) да; а) нет; г) да. 8.2. а) Да; б) нет; в) да; г) нет; д) да; е) да;
ж) да; з) да. 8.3. а) Нет; б) да; в) да; г) нет; д) нет; е) нет; ж) да. 8.6. при-
надлежит, у2 ые принадлежит. 8.14. а) Да; б) нет; в) да. 8.15. а) Да; б) нет.
8.16. а)(1, 0, 1, 0, 0, 0), (О, 1, 0,1,9, 0), (-1, О, О, 0,1, 0), (О, -1, О, О, О, 1);
б) (7, 1, 0, -9), (-4, О, 1, 5).	8.17. а) Каждые два вектора системы;
б)	х2; в) Ху, х3, х4; г) х2, х3, х5. 8.18. а) Базис состоит из одного век-
тора (1, 1, ..., 1); размерность равна единице; б) базис образуют векторы
(1, О, О, 1, 0, 0, ...), (О, 1, О, О, 1, О, ...), (О, 0,1, О, 0, 1, размерность
равна треи; в) все те п-мерные векторы диагональной системы, у кото-
рых координаты, кратные трем, равны нулю; размерность равна п - I,
где I — наибольшее натуральное число, для которого 3Z < п.
8.19. а) Базис образуют векторы (1,0,.... 0),.... (О, 0,.... 1), (i, 0, ..., 0),....
(О, О, ..., £); размерность равна 2п; б) базис образуют векторы (1,0.0),....
(О, 0, ..., 1); размерность равна п. 8.20. Каждый вектор системы
Х|, х2, х3 дополняет вектор у до базиса линейной оболочки.
8.21. Каждый из многочленов 1, t, t2, t3 дополняет данную систему до
базиса. 8.28. Совпадают. 8.29. б) -2, 1, 4, 3; в) 2, -3, -3, 1; г) 2, -1, 1, 1.
8.30. а) 1, -1, 1, *-1, 1; б) 5, -4, 3, -2, 1; в) 2, -2, 2, -2, 1. 8.31. a)xv х2; 1;
б) л1г хг,	у^г 1; в) (1, 1, 1, 0), ("“1, —2, 0, - 1), (1, —1, 0, — 1),
(О, 0, 1, 1); 0. 8.32. а) х2; б) (3, -5, 3, ~5). 8.33. Да. 8.46. а) (1, 1, 1),
(1, 0, -1); б) (1, -1, 1, -1), (2, 0, -2, 0), (3/4, 1/4, 3/4, 5/4). 8.47. а) Напри-
мер, векторами (0,1,1,0), (1,1, -1, -3); б) например, векторами (1,0,0,1)т
(1, -3, 1, -1). 8.48. а) Например, (1/3, ~г/а> 2/з> °), (2/з* 0, -1/з* 2/з>;
б) например, (%»1/г> 1/г> 1/г)> (_1/2* _1/г>	8-49- *) Не ортогонален;
б)	ортогонален. 8.50. а) Ортогонален; б) не ортогонален. 8.55. a) L1 сов-
падает с линейной оболочкой системы векторов (1, 5, 3, 0), (0, -8, -3, 1);
б) ZA совпадает с подпространством решений системы уравнений
+ 5t2 +	“О,
	8.56. а) Не принадлежит; б) принадлежит.
8t2 + З(3 + t4 - 0.
9
9.3. Xi = 2, а(2,1); 1з =» 3, а(1,1). 9.4. 1=1, а(1, 0). 9.5. Xt = 1, ах(1, ”1, 0) +
+ а2(-1, 0, 1); la - -2, а(1, 1, -1). 9.6.1-2, а(1, 1, 1). 9.7. Xt = О,
а(1, 1, 0); Х2 = 1, а(1, 2, 1). 9.8.1-1, а(1, 2, I). 9.9. lj = О, 04(1, О, -3) 4-
+ а2(0, 1, 3); la = 1, а(1,1,1). 9.10. М = -2, а(2, 1, -2); lg = -1, а(-1, 0, 1);
532
Х3 = 1, ct(O, 0,	9.11. Xi = 2, ot(-l, 1, 1); Х2 - -1, а(О, О, 1). 9.12. Xj = О,
а^О, 1, О, 0) -h а2(0, О, 1, 0) + а3(1, О, О, -1); Х.2 = 2, а(1. О, О, 1).
9.13. Xt = О, arfi), 1, О, 0) + а2(°> 0.1- О); Х2 = 1, а^О, 1, 0,1) + а2(1, О, 1,0).
9.14. Xj = 0, а(0, 1, О, -1); Х2 = 1, а(0. О, 1, -1); Х3= 2, а(0, 1, О, 1).
9.16. Собствен; 9.20. а) ЗХ|, 3)		ibie значения равны диагональным элементам матрицы.								
					б) л, -	2, Xg 2, ..	» /и 2.	9.23. Вектор х		
является	собс	гвенным		вектором		матрицы .	4 тогда и	[ только тогда,		
когда Т“ 9.25. Т = 9.27. Т = 9.29. Т =	ljc 1 1 ч -1 - -2 1 1 - I * - -2 ] 1 - 2 ( 0 1	1ВЛЛ 1 2; —3 1 L 2 0 L 0 1 1 0	[ется , В- ',В = ,в=	Г < Ч Г / 1	собствен -1 0 / 0 1/ ООО 0 -1 0 1 0 0 1; о о о] 01 О' 9 00 1, L0 0 0^	ным вект 0.26, Т , 9.28. Т- 1 >.30. Т = о ч -2	□ром ма* = f 11] 1 1.5 2 J 1 0 0,8 10 1 k 0 1 -1,2 > 1	0 0	1 -1,5 -1.5 1 0 0 /	грицы , в = ,В = /		I Т^АТ. ( -2 0 / 1 0 -1 / /	ч 10 0 0 10 • .00-1] Г -1 0 о" 0 10* .0 01, ООО о"
9.31. Т = i. 9.34. Q = 9.36. Q = 9.38. Q -	1 0 -1 0 0 -I ' 1_ = Vs ,1 < Л r± 72 1 72 0 k / 1 7з J_ 7э I 7з	!) 1 0 1 1 о] л л 1 а/6 72 Л 1 Л 0 1 Л	, в= /2 t L Л 1 1 . Л ’ 1 7з> ч 1 Л 2 Л 1	( £ / т	и 0 0 >0-10 >0 0 -1> ( 3 о"' 101/ -10 0 0 -10 0 0 2; ( 3 0 0 0 5 0 10 0 -3 ,	. 9.32. Т= 9.35. < . 9.37. Q - . 9.39. Q -	111-1 0 -1 0 -1 0 0 11> f -X ф ха	б/б . 1 .175; Г 2	1^ Л Тзо 1	2 75 Тзб 0 < Тзо / 1	4 75 745 0 — 745 2	2_ ; 75 Л5	, в 1_ 1 Л : Лj 1 Те 2 ‘л 1 л _2 3 2 3 1 d	\ У	0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -4> ( -2 0 1 1 о з/ а о о 0 3 0- ^00 —3; 10 0 0 10  0 0 ю,
9.40. Q =
1 J______1_ 1
72 7e 712 2
1 1 1 1
72 76 712 2
10 0 0
0 10 0
0 0 10
0 0 0 -3,
10 0 o'
0-100
0 0-10
k О 0 0-3,
9.51. A2 - E.
9.60.
0 12
10-3-
2-3 0
9.62.
f j/i = Xj - x2 + x3,
< У2 “ x2 + x3>
Уз =	*3'
У1 “ Zj + x2 + X3,
< У2 = x2 + X3>
УЗ -=	x3-
9.63. 2yf - 2y% - 3y§;
У1 = х1+ x2>
Уз> 5 У2 =	x2~ X3’
Уз =	хз-

9.65.	- 4y% + yj; А Уз =	x2>
9.66. X>1.	9.67. X> 0,5.
Уз =	-2x2 + x3.
9.68. X > 1.9.69. Требуемых значений X«e существует. 9.70. Требуемых
значений X не существует. 9.71. Л < -2. 9.72. -2 < X < 0. 9.73. X < -2,5.
!/1“^х1+^х2+^ха’
а/О	д/ о
12	1
9.74.6У12 + 3У22 - Зу32; Уз ~	*1 “	хз>
Уз “ "J5 Х1
- 1 X
71 3‘
у\ = -4 xi а/ 3 9.75. 5у!2 + 4у22 - 4у32; J Уг	Х1	ь^Х2+л13’ - 1 г л*3'
к.
584
	Г 1		2	,	3 "	^2	“r= J14	У14
9.76. 7ул2 - 7уг2 - 7у32; /			ix2,
	1	а =	3 х - Уз	~ /то 1	- 6 *2+_Lxs. /70	/70
			1 X Л 2’
9.77. 4У12 + 	у22 + W;		1 r - 2 T Л 2 /5 3’
			+ -Lx3. /3	/3
		5/1 - к’	-	2 X 75
9.78. 9У12 +	W + 27с/з2;	v2 “	+ 7= *2 + -i= /45 2	/45
		t/3 = pl	^x2+ lx3. 3 J	3 "
10
10.4.	(-9; 9].	10.5. [-3; 3]. 10.6.	-2) U (2; “). 10.7. [-2; 2].
10.8.	(-oo; -6]U[1; сю). 10.9. [2; 8J. 10.10. (0; 1). 10.11. [-5; -1]. 10.12.	“).
10.13.	(—°°; -3,5) U (2; oo). 10.14. [~2; 2]. 10.15. [2; 5]. 10.16. Н»; 0) U (5; <»)
10.17.	(-t»;;'-	] и [ /4?5 ; 3) U (3; oo). 10.18.	-8] U [-2; oo).
10.19. (3; 5’. 10.20. -co;
II U [3 ; 11. 10.21. (-<*>; -0,6) U (-0,6; oo).
8 J	14 5 J
10.22.	(“OO; -5] U [3; co). 10.23. (-oo; -2) U (-2; co), 10.24. (0; 1) U (1; 2).
10.25. (—5; -4) U (0; 5). 10.26.
0 (j ; it]. 13.27. (1; oo). 10.28. (-oo; -4) и (2; oo). Ю.29. (0; 1) U (1; 3).
10.30.	[-3; co). 10.31. (0; 3]. 10.32. (~oo; oo), 10.33. (-<*>; 5]. 10.34. [316; oo).
10.35.	(-ос; co). Ю.36. (0; 1]. 10.37. [2; 5) U [23; 128]. 10.38. [1; 3].
10.41,	Четная. 10.42. Нечетная. 10.43. Ни та, ни другая.
10.44.	Четная. 10.45. Четная. 10.46. Четная. 10.47. Четная.
10.48.	Ни ' а, ни другая. 10.49, Ни та, ни другая. 10.50. Ни та, ни дру-
гая. 10.51. я/2. 10.52. 2я/3. 10.53. я. 10.54. л. 10.55. д.
!	535
r I
11.3-	а) 1; б)-1; а) не существует. 11.4.1. 11.5. 3/2. 11.6.1. 11.7.
11.8.	2.11.9. -3.11.10. -ОД. 11.11. 4.11.12. 27.11.13. 1.11.15. n > 4/lg 3.
11.16. а) п > (1 ~ Е)/(2е); б) п = 500. 11.17. а = 1, п - 10. 11.18. а =
п = 3. 11.19. а) 3; б) 4/г. 11.20. а) %; 6)1. 11.21. а) 6)2.
11.22.	а) 6 УЗ; б) V2. П-23, а) е 4; б)е3. 11.24. a) e~t/2; б) е'3/4.
11.25. а) е"2; б) е’2. 11.26. а) 3; б) е 3/2 . 11.27. а) -2; б) е1. 11.28. а) е’4;
б)е“2. 11.29.4/2 11.30.0. 11.31. а)-1; 6)1. 11.32. а) 1; б) 2/3; в) </5.
11.33. а) 1; б)8Д. 11.34. а) 3/2; б)-1/,. 11.35. а) 3/г; б)-4/3; в>3/7.
11.36. 6.11.37.1.11.38. (3/2)30. 11.39. 5-5. 11.40. а) -4; б) 0.11.41. а) -5/г;
б) 4/3. 11.42. а) 1; б) 3. 11.43. а) е10; б)е10. 11.44. 2. 11.45. 7% . 11.47. 3-й.
11.48. 3-й. 11.49.1-й. 11.50. 3-й. 11.51. а = о(|3). 11,52. а «р. 11.53. а = о(р).
11.54. Точка разрыва х = 4. 11.55. Точка разрыва х = 0. 11.56. а) Точка
разрывах — 0; б) точки разрыва х = (2п - 1)ге/2, п £ Z. 11.57. Точка раз-
рыва х = 0.11.58. а) Тачка разрыва х = 3; б) точка разрыва х = 0; в) точка
разрыва х = 0.
12
12.14. 14х6 - 10х + — . 12.15. -И . 12.16. 2х(2х - 3) + 2*1п 2 - (х2 - Зх + 1).
7х	х3
12.17. X'6'7 ( ^4 + 1] . 12.18.	. 12.19. х(6 In х + 1). 12.20. 3х * 2~3* х
' 7	7 да
х (2 In 3 - 3 In 2). 12.21. 2х sin х + x2cos х. 12.22. 4х1п 4 • tg х 4- 4	.
COS2X
12.25. —
Vx4 ' 5
12.23.	. 12.24. 3x2arcsin х + —
k да 7	лда
1 9 9Л П 1 9 97 - _2^±1		j2 28 34ti x Cq3 ~ x In. x x sin2x	_ CQ9 X + x sin x cos2x
-Я. « * 1^'Vw	(х2 - 1)а		
12.29.	1	12.30. - - -Z- -si- - - .	12.31. ——- - . (1-e*)2
	+ I)2	(1 + 2 sin r)2	
12.32.	х + {1 -* x2)arctg х	12.33	- -	12 34. - 2x2 .
	(1 + X2)2	I - COS X	(l + x2)2
12.35.	. 12.36. i cos 71-х2	.	4	7.12.37. 3arctg 5 + 9x ~l 4	3	9 + x2	. 12.38. arcsin .
			2*/x
12.39_____1—- . 12.40. --1* . 12.41. 2cos 2х + sin 2х. 12.42.	.
sin ^±1	1-х4	cos22x
2	.1
5$6
12.43.	-	. 12.44. sin7£ cos - . 12.45. r 1......... 12.40. —1— .
2 J3x~- cos 3x	8	8	Jx2-3	<- *2
12.47. -sin 2x • 3cosZx In 3.	12.48. In 2  sin 2x,	12.49. —1— .
2 + x2
12 50 —			12.51. - У.-..	12.52. ----- .	12.53.	2	.
272 78-х»	г In X ’	а4 - х*	х( 1 “X2)
12.54. Inx + 1 + J- - . 12.55.	6*	. 12.56. — J---. 12.57. 71-xz
2jx-x2	JSx4 +1	2jx-2x2
: 12.58. e*z[C’-Usin 2x + (x + l)cos 2x). 12.59. 2-^ln x - -L + JL Q-
i	tg2f	2sin£
12.60.	x sin2k2 cos x2.	12.61. ----1 .	12.62. -----.
cos* г	fl+oosif
3	I 3)
12.63.	6x  23jfZln2 +- ctg x. 12.64.- e^(l + 7x)	1263 3ctg(3* + 2).
275
12.66.	-е'*г	, 12.67.	1  - . 12.68,—-------.
(x - 3)a	V-ix2-2х	(2 + x2)arctg71 +
12.69.	ctg 3alb2 sin 3x .	12.71. *arcte *ln x + arctg x • xarctgx- i.
5	5	1+x2
12.72.	(Зх3 Н" Зх - 1)х1п(3хг + Зх - 1) + (Зх2 + Зх - IF’^Ox2 + Зх).
12.73.	(х + ] )hucp» (х + 1) + ]п_х \ _ 12.74. —2-	А*...- (in 2 + —?—
I к х х + и (гх-1^^72^ 4х + 1
6	_ t2 А 12 75 (у2 ~ 1)3агс8^п 7х ( 6х ।	1_________
2г-1 х' + 2/	х4(Зх + 2)	\х2-1	2Jx- г2 arcsin Jx
L_j. 12.77. 2 cos 2х.	12.78.-6(3x2+ .	12.79. 2 sin * .
x 'Зх+21	(x2-5)3	cos3x
12.80.	5x3(4 In x + 1). 12.81. ? ^ct,g . 12.82. - A • 12.83. - — 2*1. -
-	TikP	x2	(i-x2)5^
12.84.	e^(3 - x).	12.85. (x + 1)-*.	12,86.153(8x + 3) 7/й.
12.87.	sin f jr + nl.	12.88.	.	12.89. (-ip*1 (№71>-;
V ,	2 J	att	x*
12.90,	(In 2)’(2x + (-1 )*2~x),	12.91. cos f x + - /Л .	12.92. a*(ln a)ft.
X.	Л /
12.93.	2"1 nin (2x	4- 5(n	- 1)V	12.94. — e*/ef/1	+ £1. 12.95.(—I)* x
к 2	J	an^	л/
X 2лл!(2х + 1)“я. 12.98. у =- 6(x + 3); у = -l(x + 3). 12.99. Зх - Зу + 2 * 0.
12.100.	у = О; Зх - 2у - 1. 12.101. х + 2у ~ 4.	12.102. у = -4х - 8;
^37
у	+ 2, 12.103. у-4х; у--4х + 16.	12.104. у - 1 =-| (х - 3);
х = 4. 12.106. ф2 = arctg |; ip2 arctg + .	12.107. ф = arctg f-
3	23	к 117
12.108.	<р =-135°, 12.109. <pt - ф2 = arctg-1. 12.111. xt - -2,215;
x2 ~ 0,536; *3= 1,675. 12.112.1,055001. 12.113.0,265. 12.114.4,453.
12.117. -6 cos2 2* sin 2x dx. 12.118. 7~3x dx. 12.119. dj .
77-2x	x2 —36
12.120.	-/9 - x2 dx. 12.121. -x2 3l JfSIn 3dx. 12.122.	dx.
2/x(7J~l)2
12.123.	hn(x4-l)+-£-Ydx. 12.124. ^(5x- 2)dx. 12.125. -3*3 2dx.
12.126.	f3*g;* + 12ldx. 12.127. Ay =-0,007999; dy - -0,008.
^7x2 + 4 x2 + 4	7
12.128.	7Г48'.	12.129. 1,0349.	12.130.2,995.	12.131. 1,077.
12.132.	Увеличится на 2,94 руб.	12.134. (36x2 - ЗОх) (dx)2,
12.135.	64 sin (4x + l)(dx)3.	12.136. --2-5-A (* +- 2)"n/3(dx)4.
3 ’ 3 ’ 3 - 3
12.137.	-6x'4(dx)6. 12.139. .X-2-^.3 ~ 2X ~ Sy2 . 12.140. **У2-3*2-2xy-6
12.141.	~2x-(r2y + y3)e^ 12.142. {2хуЯ ~ *4*У>	. 12.144.-1.
2y-(x3 + xy2)e^ '	’	’ (7х2-Зх2у2)/Г7У2 + 1	' t’
12.145.	*!±1.	12.146. 2.	12.147. t2 + ?. 12.148. --------------.
4^	3	ef(cos t - sin t)3
12.149.	-—/—. 12.151. Нет. 12.152. Да; x0 - 1/e = 0,36. 12.153. Да;
4a2cos3i
x0l = -1, x02 = 0. 12.155. Да; e - -3,5. 12.156. Да; c = 0.12.157. Да; e = 1,5.
12.161.	Да; c-3,5. 12.162. Да; e-J-^1,8. 12.163. Да; c = 4,5.
in 7з
12.164.	а) Да; c =	; б) да; c = +	. 12.165; 2/3. 12.166. я/4.
12.167.	fyY 3 - 1 = 1,41. 12.172. 0. 12.173. -3/ц. 12.174. 2. 12.175. 2/3.
x 4 7
12.176.	00. 12.177.0. 12.178. 0, 12.179.	12.180. -«э. 12.181. 1.
12.182.	0. 12.183.0,5. 12.184.1. 12.185.2/тс. 12.186.0. 12.187. 1/тс.
12.188.	oo. 12.189. Vg. 12.190. г/2 12.191. 2/3. 12.192.0. 12.193.1.
12.194.1. 12.195. 3. 12.196. e^n. 12.197. 0. 12.200, 3x3 - 2x2 + 5x - 4 -
- 3(x + I)3 - ll(x + I)2 + 18(x + 1) - 14. 12.201. e^+2jf = 1 + 2x + 3x2 +
+ L2x3+19x4+13x5 +Д гдеЯ ^/2/^х6, 0<e< 1. 12.202. ln(x + 1) -
3	6	5	6f
538
_ln4 + £3J'	+21(^3>! +Я4. где	Я,--Л	и
4	2	42	3!	43	4! (5+1)1
2
£ = 3 + 0(х - 3), 0 < 6 < 1.12.203. ах - а Г1 + (In а)(х - 1) + (х - I)2 +
L	
3	4	5
+ £!_.L (х -- I)3 + (1п (х - I)41 + £12-212-	- I)5, где 0 < 0 < 1.
31	41	J 51
12.204.	3Ухл 3 ~ З1'3 + 3"5/Зх - — 3-11/3х2 + 1 ?/..? З’^х3 + В4, где
2!	3?	’
Й4 = - .1,.1^..‘..^„— (0х + 3) 23''3х4,0 < 6 < 1.12.206. у возрастает для V х € (-1; °°).
4?
12.207.	у возрастает для V х с Я. 12.208.x €	-1/з), у убывает;
х ё oiJ), у возрастает. 12,209. х € (“со; 1), у > 0, у возрастает;
х ё (1; ос), / < 0, у убывает. 12.210. х € (-°0; -2) и (4; °0), у' > 0, у воз-
растает; х С (-2; 4), у' < 0, у убывает. 12.211. х ё (0; °°), у' > 0, у возрас-
тает. 12.2] 2. х ё (~°°; -1) U (1; со), у1 < 0, у убывает; х ё (-1; 1), у1 > О,
у возрастает. 12.213. х € (-2; 0), у' > 0, у возрастает; х £ (0; 2), у' < О,
у убывает. 12.214. х ё {-л, к), у' > 0, у возрастает; х ё (л; 2л), у' < О,
у убывает. 12.215. х ё (0, л/3) U (5л/3, 2лг), у' < 0, у убывает; х 6 (я/3, 5я/3),
у' > 0, у возрастает. 12.216. a) Q = 20; Р - 2; TR - 40; б) Р = 4,5; Q - 1,25;
в) Erc(Q) = 18; ET^Q) = 1.	12.220. ушах(-1) - -2; ymin(-0,5) - -2,25;
12.221.	^х(3Д|) = 0-2- 12.222. утйХ(0) = 0; упйп(4) - 8. 12.223. ylllbl(-l) »
-	; У» ах(1) = 4  12-224’ Утт(2> = 2 ~ 2 In 2.	12.225. yraiu(e) = е.
12.226.	i/nnil(-3) = 6; y1UftK(-D - 2. 12.227. утйх(л/6) = ушах(5п/6) = 3/2;
Униц(^/2) 1- 12.228» xmjh ВЛ + тш;	79 +	2 sin2f7p ’
.1^	1 4=	\.14	/
^max	?max(xmax) = Й + SlH2f— + Яй) . 12,229.	- *
1б	J.	\ 1j5	/	К с)	v
12.230.	y„in(0) =. 0; pffiaX(2) = 1. 12.231. ymin(~5) - -Эе’5/3.12.232. Функ-
ам
ция экстремумов не имеет; у' > О V х ё В — функция всюду возрастает.
12.233. Функция экстремумов не имеет; у'<0 V x^R — функция всюду
убывает. 12.234. Наименьшее у(-1) — у(1) — 2; наибольшее у(-3)  66.
12.235. у( -1) = 1.12.236. Наибольшее р(8) ~ 24; наименьшее y(1/g) = -7,8.
12.237. Наибольшее у(4) = 0; наименьшее у(О) - у(1)  -4. 12.238. 0,3 м;
V - 0,486 м3. 12.239. Через 1 неделю. 12.240.	. 12.241. г =	;
/1 = 2 /А 12.242. 2700 ма = 30 х 90.	12.243.17 х 19.	12.244. 13.
*/6п
12.246.	х £ (-со; 2), у" < 0, у выпукла вверх; х ё (2; о°), у" > 0, у выпукла
539
вниз; х ~ 2 — точка перегиба. 12,247. х €	-2) U (1; «>), у" > О,
у выпукла вниз; х Е (-2; 1), у" < О, у выпукла вверх; х = -2; х = 1 — точки
перегиба. 12.248. Для верхней ветви у = Jx^ х е (0; °0), у" > Q, у выпукла
вниз; для нижней ветви у = - Jx^ х Е (0; «>), у" < 0, у выпукла вверх;
х = 0 ~ точка перегиба. 12.249. х Е (-°°; -1) и (3; у" > 0, у выпукла
вниз; х € (-1; 3), у" < 0, у выпукла вверх; х — -1, х & 3 — точки перегиба.
12.250. х е f1'j и (Д=;	,	у" > 0, у выпукла вниз; х € f--4=;	,
<	72/ <72	/	< 72 72/
у" < 0, у выпукла вверх; у = ±-у= — точки перегиба. 12.251. х € (~оо; -2),
72
у" < 0, у выпукла вверх; х Е (-2; у" > 0, у выпукла вниз; х=-2 — точка
перегиба. 12.252. х Е -372) U (1; 00), у" > О, у выпукла вниз;
х € (- л/й; 0) U (0; 1), у" < 0, у выпукла вверх; х • -3j2 — точка перегиба;
в точке х  0 перегиба нет. 12.253. у" > О X х € (0; сю), у выпукла вниз.
12.255. х = 1 — вертикальная асимптота, у — х — наклонная асимптота.
12.256. Горизонтальная асимптота у = 0 при х —> -сю. 12.257. Наклонная
асимптота у = 2х. 12.258. Асимптот нет, 12.259. Асимптот нет.
12.260. Наклонные асимптоты у =• 2х + л/2 при х —> +«> и у =* 2х - я/2
при х —>	12.261. Вертикальные асимптоты: х = ±1; наклонная:
у=2х+1.
12.263. £)(/) «• {х е Я}; нечетная; точки
пересечения с осями: (0; 0), (3 7§; 0),
(“ЗТЗ ; 0);. функция всюду непрерыв-
на; асимптот нет; х Е (-1; 1), у возрас-
тает; х € (-сю; -1) U (1; сю), у убывает;
в точке х ~ 0 кривая имеет вертикаль-
ную касательную; в точке х - -1 имеет
минимум у(-1) = -2; в точке х = 1 име-
ет максимум у(1).= 2; х£ (-°°; 0),
у" > О, кривая выпукла вниз; х Е (0; сю),
у" < О, кривая выпукла вверх;
х “ О — точка перегиба.
12.264. D(f) = {х Е (~сю; 1]}; точки пе-
ресечения с осями: (0; 0), (1; 0);
функция всюду непрерывна; асимп-
тот нет; х €	у' > 0, у возрас-
тает; х Е (2/3; 1), у' < О, у убывает;
в точке х = 2/з функция имеет мак-
симум y(z/j) — 0,024; в точке х = 1
вертикальная касательная; функция
всюду выпукла вверх; точек переги-
ба нет.
• {i е Я}; точки пересече-
<0; 0), (27/8; 0); функция
асимптот нет;
' < 0, у убывает; х ё (1; °°),
12.265. D(f)
ния с осями:
всюду непрерывна;
х € (-«>; 1), у
у' > 0, у возрастает; в точке г-1 функ-
ция имеет минимум у(1) =
х = 0график
ную касательную; УхёВ(О
функция всю,
1; в точке
функций имеет вертикаль-
у" > О,
|ду выпукла вниз.
точки разрыва U рода в
1; х = -1, х = 1 — верти-
12.266. D(/) == {х, ё (-«>; -1) и (-1; 1) и
U (1; °°)}, чегная; точка пересечения с
осями (0; 0)
точках х = 1
кальные асимптоты; у — 1 — горизон-
тальная асиь гйтота; х G (-°°; -1) и (-1; 0),
у' > 0, у возрастает; х ё (О; 1) U (1; оо),
у' < 0, у убыв ает; в точке х = 0 функция
имеет макси «ум; х ё	-1) U (1; оо),
у">0, функция выпукла вниз; хё(—1; 1),
у" < 0, функдия выпукла вверх.
- {х € (-оо; 2) U (2; «>)};
12.267. ад
точки пересечения с осями: (0; 3/4) и
(3/2; 0); точк
х - 2; горизс нтальная асимптота у — О;
х е (—°°; 1) U (2; °°), у' > 0, у возрас-
тает; х 6 (1;!!)» у' < 0, у убывает; в точ-
ке х= 1 функция имеет максимум
у(1) = 1; х G ( -оо; 1/2),У" > 0 > У выпукла
вниз; х ё (V-j; 2) и (2; со), /' < 0, у вы-
пукла вверх; в точке х = г/2 функция
имеет точку
12.268. D(f) - {* € (-оо; -2) U (-2; 0) и
U(0; оо)}; точка пересечения с осями
(—1; 0); точка разрыва II рода: х = —2,
х = 0; вертикальные асимптоты:
х _ -2, х = (горизонтальная асимп-
тота у = 1; х<Е(—оо; —2)U(—2; — 1), 1/> 0,
у возрастает; х ё (-1; 0) U (0; °0), у' < 0,
у убывает; л: = -1 — точка максиму-
ма, у(-1) =
у"> 0, у Bbi
у" < 0» у вы
гиба нет.
а разрыва II рода в точке
перегиба у(1/2) - %.
3; х G -2) и (0; <*>),
пукла вниз; х € (-2; О),
лукла вверх; точек пере-
541
12.269.	Л(/) “ {х е JR}; точка пере-
сечения с осями (0; 0); функция
всюду непрерывна; горизонталь-
ная асимптота у - 0 при х —> оо;
х € (-°°; 2), у' > 0, у возрастает;
х е (2; °°), у' < 0, у убывает;
х = 2 — точка максимума, у(2) -
= 2/е * 0,73; х е (-<»; 4), у" < О,
у выпукла вверх; х е (4; оо),
у" > 0, у выпукла вниз; х — 4 —
точка перегиба, у(4) = 4/е2 ~ 0,54.
12.270.	D(f) = {х € {-°о; 0) U (6;
прих—>0 — 0 у ->0, прих->0 + 0
у -> со; х = 0 —- вертикальная
асимптота; х € (-°0; О) U (0; 1/3),
у'< О, у убывает; х€ (Vg. °°)>
у' > 0, у возрастает; х = 1/2 — точ-
ка минимума,	е2/4 ~ 1,8;
V х е Р(/) у" >Ъ,у выпукла вниз.
12.271.	D(f) - {хе (~оо; 0) U
U (0; оо)}; точка разрыва П рода
х = 0; при х —> —оо у —» 0,
у = 0 — горизонтальная асимпто-
та, х = 0 — вертикальная асимпто-
та; х е (-оо; 0) и (0; 1), у' < 0, функ-
ция убывает; х е (1; °°), у' > 0,
функция возрастает; х = 1 —- точ-
ка минимума, у(1) = е = 2,72;
х е (-«»; 0), у" < 0, функция вы-
пукла вверх; х е (О; со), у" > 0,
функция выпукла вниз.
12.272.	£)(/) = {х е Я}; четная; точка пересечения с осями (0; 0); непре-
рывная; горизонтальная асимптота у = 0; х €	—1) U (0; 1), у! >. 0,
542
у возрастает; х е (-1; 0) U (1; 00), у' < 0, у убывает; в точках х = ±1 функ-
ция имеет максимум, в точке х = 0 — минимум; х £ f-oo; - /5 + U
х	ТЕ /
UГ~ |5~/^ ; 5 и ( 5 +	; оо.) , у” > о, функция выпукла вниз;
V V 4 ч 4	7	4	7
X е (-	и (	; Elh , у- < 0, фУНКЦИЯ ВЫ.
k V 4 Ч 4 J	4	44/
/к _ fyf	/5 4- */17
пукла вверг; в точках х = ± I——— и х = ± /—— функция имеет точки
перегиба.
12.273.	D(f] - {х £ (0; 1) U (1; оо)};
х = 1 —течка разрыва II рода;
х = 1 — вертикальная асимпто-
та; х€ (е; со), у' > 0, функция
возрастает;:: С (0; 1) U (1; е), у' <0,
функция убывает; х — е —- точка
минимума, у(е) = Йе; х € (Т; е2),
у" > 0, функция выпукла вниз;
х G (0; 1) U (е2; оо), у" < о,
функция выпукла ввёрх; в точ-
ке х = е2 — точка перегиба,
у(е2)= е2.
12.274.	D(f) = {х£ (0; °°)}; точка
пересечения с осями (1; 0);
х = 0 — вертикальная асимпто-
та; у = 0 — горизонтальная
асимптота; х е (0; е2), у' > 0,
у возрастаем; х е (е2; °°), у' < 0,
у убывает; е2 — точка мак-
симума, у(е !) — 2/е; х £ (0; е®/3),
у" < 0, фунг ция выпукла вверх;
х £ (е8^8; °о), у" > 0, функция вы-
пукла вниз; х = е8/а — точка пе-
региба, у(е8'3) = 8/(Зе4/8).
543
12.275.	- (x e (-00; 0) и
и (0; <x>)}; точка пересечения с
осями (— л/2 ; О); х — 0 — верти-
кальная асимптота, у = х — на-
клонная асимптота; х 6 (-°°; 0) U
U (VI; °°). функция возрастает;
х е (0; ^/4), функция убывает;
х ~ ^4 — точка минимума,
у(3/4)= A » 1,6; х €(-о°; 0) U
U (0; °°), у" > 0, функция вы-
пукла вниз; точек перегиба нет.
12.276.	D(f) = {х е Я}; четна*;
точка пересечения с осями (О; 2);
у — 0 — горизонтальная асимп-
тота; х е (-сю; 0), функция воз-
растает; хб (0; функция
убывает; х = 0 — точка макси-
мума, у(0) = 2; х € (-°°; -1) и
U (1; с»), у" > о, функция вы-
пукла вниз; х € (-1; 1), у" < 0,
функция выпукла вверх;
х = ±1 — точки перегиба,
у(±1) = 3/е « 1,1.

12.277.	D(f) = {х € Я}; точки
пересечения с осями: (1; О),
(О; -е); точек разрыва нет;
у = О — горизонтальная асимп-
тота при х —»+°°; х € (-«>; 2) —
функция	возрастает;
х € (2; °°) — функция убывает;
х = 2 — точка максимума,
у(2) - 1/е « 0,37; х С 3),
у" < 0, у выпукла вверх;
х € (3; °°), у" > 0, у выпукла
вниз; х = 3 — точка перегиба,
у(3) ™ 2/е2 = 0,27.
544
12.278.	D(0 = {x e 0) U (1; °°)}; точек
пересечения с осями нет; у = О — горизон-
тальная асимптота; х = 0, х = 1 — верти-
кальные асимптоты; у' < 0 V х £ D(f) —
функция вс оду убывает; х е (-°°; 0),
у" < 0, функг ;ия выпукла вверх; х € (1; °°),
у" > 0, функция выпукла вниз; точек пе-
региба нет. ।
А
12.279.	D{f) *"• {х € Я}; точки пересечения
 с осями: (0; 1) и (1; 0); у - -х — наклон-
;; ная асимптот а; у' < О Ухе !>(/), функция
всюду убывает; х G (—ЭД; 0) U (1; ЭД),
у" > 0, функг ия выпукла вниз; х е (О; 1),
р у" < 0, функция выпукла вверх; точки
f х = 0 и х — 1 — точки перегиба.
12.280.	D(f) =	К}; точка пересечения
с осями (0; 1г 2); х —> -ЭД, у —> ЭД, при
х~>эд у —> 0 => у = 0 — горизонтальная
асимптота; У с € D(f) у' < 0, функция
всюду убываем; У х £ у" > 0, функ
ция выпукла вниз.
г	12.281. D(f) — | х £ Я}; точка пересечения
J	с осями (0; 1); у - х — наклонная асимп-
тота; х £ (-оо; 0) — функция убывает;
х £ (0; °0) -I- функция возрастает;
х = 0 — точка минимума, р(0) “ 1;
Ухе D(f) у" г 0, функция всюду вы-
.; ' пукла вниз. I,
‘	. 18 Сборник зашн по пасшей математике
У>\
12.282. D(f) = {x e jR}; точка пересече-
ния с осями (0; 1); у = 0 — горизон-
тальная асимптота; х е (-°0; 1), у' > О,
у возрастает; х € (1; °°), у' < 0, у убы-
вает; точка х - 1 — точка максимума,
ЗД1) = е; хе -оо;
2-V2V Г2 + 72 .
2 И 2 ’
у" > 0, функция выпукла вниз;
, у" < 0, функция выпукла вверх; точки xL -
2-72
2
Й и- /2	г
и х3 = —-точки перегиба, у(хО = у(х2) = 7е .
12.283.	D(f) = {х ё (-«; 0) U (0; <»>};
точка пересечения с осью t1/^; 0);
у = 2х - 3 — наклонная асимптота;
Ухе D(f) у' > 0, функция всюду воз-
растает; х ё О) и (0; 1), у" < О,
функция выпукла вверх; х ё (1;
у" > 0, функция выпукла вниз; точка
х = 1 — точка перегиба, у(1) ~ е2.
12.284.	D[f) = {х е Я); точка пересече-
ния с осями (О; 0); наклонные асимп-
тоты у “ - 5 х - 1 и у=~х-1;
х ё (-со; 0), у' < 0, у убывает;
х е (0; оо), у' > 0, у возрастает; х = 0 -
точка минимума, у(0) = 0; х € В,
у" > 0, функция всюду выпукла вниз.
12.285.	£>(/) =	Я}; точки пересече-
ния с осями: (О; 0) и (1; 0); х £	0) U
и (2/s* °°)» У' > 0* Функция возрастает;
х t (0; 2/б), у' < 0, функция убывает;
точка (0; 0) — точка максимума, точ-
(2	3	/251
ка	3J~9J — ^чка минимума;
х ё (-оо; —1/5), у" < о, функция выпукла
вверх; х £ (-х/5; °°), у" > 0, функция вы-
пукла вниз; точка х = -1/5 — точка пе-
региба, в точке х ~ 0 перегиба нет.
546
12.286.	D(f) = {i ё 0) U (0; «>)};
lim хе"1-'*-0, lim
х-*О + 0'	х—о-о
наклонная асимптота у = х — 1;
х €	"1) U (О, оо), у' > 0, функция
возрастает; х€ (-1; 0), у'< 0, функ-
ция убывает; точка (-1; — е) — точка
максимума; г Е (-°0; 0), у" < 0, функ-
ция выпуклг. вверх; х е (0, °°), у" > 0,
функция выпукла вниз.
12.287.	D(f) = {х € (-«>; 0) U (1/(Зе); <»)};
точка пересеч ?ния с осями
1
3(е~1)
х 0 - 0, у —> ); х = 1/(Зе) — вертикаль-
ч 1
ная асимптота; у = 2 х - — — наклон-
,tf 2 2е
ная асимптоте; у' > 0 V х £ Л(/)» функ-
ция всюду воз] >астает; х Е О), у"> 0,
функция выпукла вниз; х € (l/(3e)> сю),
у” < 0, функция выпукла вверх.
12.288.	£>(/) = (х £ Й}; точки пересече-
ния с осями: (0; 2), (2; 0); 1) х > 2,
у' > 0, у возрастает; у" > 0, функция
выпукла вниз; х = 2 — точка мини-
мума, у(2) = 0 2) х < 2, у' < О, у убы-
вает; хе(-оо; () U (2; °°), у"> 0, функ-
ция выпукла шиз; х£ (0; 2), у"-< 0,
функция выпукла вверх; точки х = 0
и х = 2 — точки перегиба.
12.289.	D(/) — {,с £ (0; точка пере-
сечения с оськ (1; 0); асимптот нет;
х~>0 + 0 у0; х € (0; 1/7е); у'< 0,
функция убыв» т; х £ (1/ Je ; «=), у' > 0,
функция возрас* -ает; х - l/Ve — точка
минимума; х Е ((; 1/	), у" < 0, функ-
ция выпукла Bi tepx; х £ (1/л/еЗ; °°)и
у" > 0, функция выпукла вниз; точка
х — 1/л/ё® — то11ка перегиба.
547
12.290.	D(f) — {x 6 Л}; точка пересечения с осями (0; 0); у “ х - 2 —
наклонная асимптота; у' > 0 V х С D(f), функция всюду возрастает;
•х G —9 - а/54 ) U (—9 + л/54; 0), у" < 0, функция выпукла вверх;
хе (-9 - л/54 ; -9 + л/54 ) и (0, 00), у” > 0, функция выпукла вниз; точки
х = — 9 — Д54 , х = -9 + л/54 , х = О — точки перегиба.
13.1. Вся плоскость. 13.2. х2 + у2 > 9. 13.3. ху > О (I и Ш квадранты).
13.4. х > О П у 6 R (I и IV квадранты). 13.5. х2 + у2 > 4.
13.7. х2 + у2 4- г2 > 1. 13.8. х + у + 2 >0.
13.9. х > 0; у 5s 0;	2 > 0, кроме то-
чек (0; 0; г).	13.26. 4х - у2 + бху + 3;
-2ху + Зх2 - бу2 — 4.	13.27. Зх2у + г2;
х3 + 2j/z; 2xz + у2.	13.28. 3s2cos4t;
-4s3sin 4i.	13.29. — -	; -Л + -L .
У х£ у£ х£
13.30. 2х ; —. 13.31_______________;
хг + у2 хг + у2	(х + у)2
. 13.32. е^(уг(х2 + у2 + г3) + 2х);
(х + у)2
e?vs(xz(x2 + у2 + 2й) + 2у); е*^(ху(х2 + у2 + г2) + 2г). 13.33.	~4 ) +
У у£>
+ e-^/yf ДЛ ; e^f - Г . 13.34. Ду -	;	+ X . 13.35. ye*+2i<(l +х);
548
1 . 1
x + In у ’ y(x + ln y)'
13.37. e3jf2 + 2#2-x»(6x-p);
/	л
z
13.38.	-e^ J- tg f—) - —---------------------
У*г	<y + zJ	y + 2	/ x \
LUO —— I
4	ky +27/
xe*+4i+sy). 13.36.
е3ха + 2tfa - x f (4^ _ x).
7
е*У ; A tgf JL] - —*—
xy \y+zj (y+z?
к
сов2[ A—]
\y+zj/
13.39.	. 13.45. -11 . 13.46. - A . 13.47. A . 13.48. - J .
zj^x*y гТ&Г^р Л 25 J2 6
13.49.	. 13 50. Точка Mo лежит на линии уровня х2 + у2 = 5; jgrad з| = 2 75 ;
9
1 й 2
cos а — - — ; cos р = -	.
Л j Л
13.51. Точка Мq лежит на поверхности уровня
з- ~	; grad и(М0) - (?
ez	Vo
I; ?) . 13.52. grad z(M0} - (A ; oh
DC/	V1U J
|grad 2(M0)j - 1
13.53. (0; 0); 0. 13.54. (0; 0); 0.
13.55. a) (4; 0; -6);
2713;	6) (-6; -4; -2); 2 714.
13.56.
6	.	„ 2 .	4 V	2
f » 71	j	Pl '	~	1	|Ш ||!:И.ви Г j
714	714 7142
13.57.	(-?; r|; A;	abc---------	13.58. (-2; 6; -3); 7.
' a b c	74b2c2 + 4агс2 + агЬ2
13.60.	(4x “iy)dx + (9z/2 - x) dy. 13.61. _A__ (x dx ~ у dy).
4x2-y2
13.62.	1	1'3 dx + 2 dy). 13.63. 2X« In 2(y dx + x dy). 13.64. yx^dx +
+ x-v In x dy. ] 3.65___3(ydx-xdy)_ 13.66. fу arctg £ - dx +
1	(2x + y)73x(x + 2y)	\	*	xz + y2J
/	I !> \	r,-+ fE z	*	" ч
+ fx arctg н dy.	13.67. e ?(А±1 dx - ~ dy).
V	X x2 + y2J	V У	yz
13.68.	-2ecos2(.t2 + i/2> sin 2(x2 + y2)(x dx + у dy).
13.69.	du = exvs{yz dx + xz dy 4- xy da). 13.70. du ~ 2 tg	dx +
2 COS2^kz
4- ~ dy - dzi|. 13.71. du ex((a(sin x + cog x) -+ cos y) dx — sin у dy +
: + sin x da]. 13.76. « 3,12%. 13.79. z,lxx = 6 + 2y, z'^ = 2x + 4y - 4,
Ь ^yy = 4x - 6y. 13.80. u”x = у222еж^г; u"y = х2г2еж^г; u'xx — x2yz^z't
549
и"д = zex^xyz + 1); и"г
13.81. .й"„ =
и" и1~рС sin + -cos
’	\г/ z z
=* yeW(*yz + 1);	= xe*v2(xyz + 1).
И; u", - sin 3! - 4 cos *»;
Z	z° г zz z
x + y
^yz
^sini*
23	2
-cos
z^
. 13.82. z>' = z" - z”---------------г^то 
z	rx XSf m (l-(x + y№
13.83. z"
....*JL_____(llL ctg (2*±H -11;
(x-y?Sin 2 AJ!	1	7
*~У
z" = —-----—--------x
(x-y)3sin 2^-i-^
x-y
4
xfl “ J£-ctg2
I x-y
.	«3 - o*+y v	X-y x-yj
(x~y)asin2---2	v	v
x-y
= (2y - У3) cos xy - xy?sin xy; z'^ = ~(2x + x3) sin xy - x2y cos xy;
(2x - y2) cos xy - (2y + xzy) sin xy. 13.85.	= 2 In (x + y) +
4s " A ’	- 7~~7^ •	13 M- = 2 sin Л;
(x + y)3	(x + y)z
. . . v_.n л/х + cos Jy); z" = cos 7y  13,87. z"x = y(y - I)**'-2;
4y7y	4y
4 r*(M2;	= x*~i(inx + 1).	13.102.2^= -1, (-4; 1).
>3. Экстремума нет. 13.104. zm^n = ~4/з» (0; ~2/з). 13.105. Экстре-
13.106. zmin = -2/е, (-2; 0).	13.107. zmax - 4, (0; 0).
№• *min “ -4.75. H/2; -%). 13.110. ?„цп -2,(1; 1). 13.111. z^ = 0,
max = 1/27* (^/з» ^/зЬ 13.112. Zmax “ */б . t -j=l » 2mm “	,
M5 75>
13.84 2\
z"
+ 3x;t + 4yx .
Н + У)2 ’
-x3 /.
гуу
Z -
13.li
мум£ нет.
13.li
(1; 0); z,
X#
_ - - A
5 ’ Jb
. 13,113. z^ = -4, (-2; -2); zmin - 4, (2; 2). 13.114. <90; 60).
13.115.(0; 500).
13.117. у = || X 4- 25 . 13.118. P = 0,051Q + 0Д48.
Зо 15
13.119.	a) S - 98,452t - 29,286; 6) -8(10) = 955. 13.120. а) я = -0.32U2 +
+ 5 321t + 48,571; б) я(8) 71.
14
14.E. xe + C. 14.3. | x3 + | x3 - 2 In |x| + C. 14.4.	+ C. 14.5.	+ 2 in Щ -
j	3	2	#2	2
- .J_ + c. 14.6. xff Jx + I 3Jx 1 + C. 14.7. 2jx -&*Jx + C. 14.8.	-
::x2	U 2 J	з
- ! x + 6 Jx - In x +- C. 14.9. | (x - 4) Vx + C. 14.10. tg x - ctg x + C. j'
4	v
550
14.11.	5 tg+ 2 ctg х 4- С. 14.12. -Larctg 4 + С. 14.13. J-In х~&\ +C.
'	Л	Л	275 x+./5'
14.14.	In (x + 74+ x’2) + C. 14.15. arcsin _£_ + C. 14.16. tg x - x + C.
2^3
14.17.	“Ctg x - x 4- C. 14.19.	+ U In |3 +- 2x[ 4- C. 14.20. x + In |2x 4-1| 4- C-
14.21.	4- x + 2 In |x - 1| 4- C. 14.22. 1 In fx2 - 5[ -s- C. 14.23. In fx + 1| +
+ _L_ + C. 14.24. | arctg (x3) + C. 14.25. 7x2 + l + C. 14.26. 2jx +	+ C.
14.27.	11 (2 72 x + 7? + 8x2) + C. 14.28. -L arcsin (x ) +C.
272 1	75
14.29.	A In (2x2 + 3) 4- C. 14.30. 1 arcsin + G 14.31. | arctg (x4) + C.
4	2	4
14.32.	1 In jx3 iJxM1 + C. 14,33. В 7(arcsin x)3 + C. 14.34. ifarctg iV + C.
3	3	4k.	27
14.35.	+ C. 14.36. -eV* + C. 14.37. ~ 5^ 4- C. 14.38. In je* -1] 4-G
In 3-	1	’
14.39.	2 sin 7x + C. 14.40. -in 10[cos (lg x)] 4- C. 14.41. 1 tg (x2) 4- C.
14.42.	1 cos(l x2) + C. 14.43. -In |cos x| 4- G 14.44; In |sin x| + G
14.45.	и C. 14.46. -1 In (3 + cos Зх) + C. 14.47. ? 7tg3x + C.
24	3	3
14.48.	-|ctg;/3x + C.	14.49. ln(x + 1 + 7x2 +'2x + 8) + C.
5
14.55. x In x -
14.S6. In
14.50.	arcsin +C. 14.51. arcsin +C. 14.52. ~ arctg +C.
:/2	2	7з 7з
+ x + In (x - 1)] + C.
14.57.	1 (5x + Ii) sin 2x + cos 2x + C. 14.58. arctg x - | + C.
&	4	Z*	£
14.59.
14.60. ex(sin x — cos x) + C. 14.61. -x ctg x 4-
+ In |sin xj 4- C.
< 1 arcsin x) 4- C.
4; 14.66, 2 7x In r
„ t:? : '	1
J: t"
14.62. x tg x 4- In |cos x| + C. 14.63. - ( x Jl-x^ +
& \
14.64. x arcsin x 4- 71 -	+ C, 14.65.	4- C.
2x2	4x2
- 4Tx +. C. 14.67. x[(ln x ~ I)2 + 1] 4- C.
551
14.68. 2 JT+x arcsin x + 4/1 -x + C. 14.69. -£il + C. 14.70. -*1!!_2±1
I	ex	2xln32
л
4
14.71
14.77.
14.79.
14.85
14.72. ---
COS X
sin x |	2
x2 + 4x + 8 ln]x - 2| + C, 14.78. x2 + 9x - 27 ln|r + 3| + C.
3	3	2
- 4x + 8 arctg J + C. 14.80.
3	2
14.83. In + C
|x-3|
+- | In lx3 - 8| + C. 14.81. In +C.
3	3	x + 3
14.84. In	+C.
2
In лс3^~1^ + C. 14.86. - + In + C. 14.87.
14.84.
14.9(1 In fcl
14.92;. 2 In (x2 - 0,2x + 0Д7) - 5 arctg
14.89.
+ In
+ C. 14.91. In (x2 + 2x +- 10) - arctg *±
x2	2	'	3
10x-l
4
24	x2~2x + 4
х + 3
х
X
+ —-arctg 2 + C.
4^3 J3
14.9 5. In (jx +:1| Jx* + 4 ) + C.
14.94. In и 2'tr _ —Ц- + arctg x + C.
|x + l| x+1
14.96. 3 In ^^x + 5 + 2 arctg — + C.
Ix|	6 2
14.9*r.-
1
2(x*-3x + 2)2
+ C. 14.98.-
1
2(x2 + 2x + 3)2
+ C. 14.99.-
1
2(1+ x2)
+ C.
14.li Ю. In }2x3 + 5x2 + 2xJ + C. 14.103. |	+ C. 14.104. J +
£ z	z z
14.1)5. sin x - lsin3x + C. 14.106. -cosx + ~cos3x - lcos5x + C.
3	3	5
14.107.	+ C.
3	5
14.108. 1 cos8 ?
4	2
- 1 COS6 -
3	2
14.109.	+ ah\4x + C.	14.110.	- зш2х + C.
1	8	4	32	8	16
14.111. A -	+ C, 14.112. lx + Asin 6x + A sin 12x -
|	16	64	48	3	12	64
- —-sin36x + C. 14.113. lsin4x -
1<4	4
sin®x + C. 14.114. sin x — sin3x +
6
+ p sin5x — 1 sin7x + C. 14.115. —-Д— — sin x + C. 14.116. -1.... + cos x + C.
5	7	Bin x	cos x
й
14.’.17. -coax +	+ C.
3
14.118. sin x-	+C.
,1	3	5
552
14.119.	+ С. 14.120.	+ С. 14.122. -£2®** +
4'8	2	4	12
4-	+ С. 14.123. -З*п35* + sjttSx + с 14.124. - sin — + 3 sin ? + С.
4	50	10	5	6	6
14.127. 1 In Г ^tg 2
,2-Ч
+ С. 14.128. 4=1п
Л
Ъ±-\ + Л
tg^l-72
+С. 14.129. x-tg 5 + С.
а
14.130. -х - —-— + С.
14.131. -In |cos х - sin r| + С.
14.132. Ian tg fS£-2) 4- C. 14.133. idf - tg x + x + C. 14.134.	+
&	x 2 /	о	3
+ ctg r + x | C. 14.136. -ctg x - ctg3* + q 14,136. tg x + | tg3 x +
I	3	3
+ I tg6 x + c. 14.137. 2 tgx +	- ctgx + C. 14.138. ltg2x + 3 In |tgx|-
V	I	3	Й
- -Д- - —ii— + c. 14.139.1 tg 5x - X + C. 14.140.	- Jn Jsin + c.
2tg2x 4t«<x	5^	2	'
14.142.2^1 [(x~1)3 +8(*~г)- + xj 4-C. 14.143. 27* - 2Л arctg j? + C.
14.144. -2 arctg х +C.	14.145. 2 arctg Vx+ 1 +C.
14.147. ijxjg-x2 + 9 arcsin £1 -Ь C. 14.148. -	.	+ 0.
2L	3J	474+ x2
14.149. 2 arcsin ? ~ - sin f4 arcsin + C. 14.150.---. x3   + C.
2 2k 27	277(9+ x2)3
14.152. arcsin *Z_J 4- C. 14.153. -arcsin 1 + C. 14.154. -	+ 0.
хЛ	x	4 x
15
15.2.20. 15.3.21/8. 15.4. £(78 - 1). 15.5. Vrz- 15-6.14/з- 15.7. x/6.
I	J	:
15.8. T/s- 15.9. 1{W/3. 15.10. 1 In . 15.11. 7/4. 15.12.1 + 11g e.
15.13. e - 7ё . : .5.14. tc/2. 15.15. 2. 15.16. Va- 15-17- 0. 15.18. ” + 1.
8	4
15.19. 2/3. 15.SO. 1-cosl. 15.21. 0. 15.23. 4-21n3. 15.24. l/4-
553
15.25. 5in'-s-	15.26. 4-272.	15.27. - arcsin 1.	15.28. 1,5.
& й
15.29. 0,2(e - I)5. 15.30. 2 - J . 15.31. A arctg ~ . 15.32. 4= arctg Д -
2 ТВ 7B 72
15.34. 1-|. 15.35. |- 1. 15.36. 1. 15.37. 1. 15.38. -|(e" + l).
15.39. i (€*+ 1). 15.40.	+ 1 in 2 . 15.41. — (47S - 3) - In J2 .
15.43.32/3. 15.44. 2 56/5. 15.45. 32/3. 15.46.%. 15.47.2. 15.48. In 2.
15.49. 6л. 15.50. 16k. 15.51. 3673/5. 15.52. 16/3. 15.53. %. 15.54. 12%.
15.55.1. 15.56. л. 15.58.	15.59. 500л/3. 15.60. л. 15.61. Зл/10.
15.62. 12л. 15.63. 8л. 15.64. ^1^. 15.65.	. 15.66. 512я/15.
3	35
15.67. 512Л/7. 15.71. Расходится. 15.72. %. 15.73. л. 15.74. л/ Тб.
15.75. л2/8. 15.76. Расходится. 15.77. Расходится. 15.78. Расходится.
15.79. Расходится. 15.80. Расходится. 15.81. Расходится. 15.82. 6.
15.83. л/2. 15.84. Расходится. 15.85. -0,25. 15.86. Расходится. 15.87. 1.
15.88. 2.	15.89. Расходится. 15.90. Расходится. 15.91. Сходится.
15.92. Расходится. 15.93. Сходится. 15.94. Расходится. 15.95. Сходится.
15.96. Сходится, 15.97. Сходится. 15.98. Сходится. 15.99. Сходится.
15.100. Сходится. 15.101. Сходится, 15.102. Сходится. 15.103. Расхо-
дится. 15.104. Сходится. 15.106,4^,	15.107. In .	15.108.^.
3	24	4
15.109. 1	2 50,4.	15.110.	15.111. 2,4.	15.113.		1	X Jdx J f(x, y} dy, 0	x* 3	1
	48	*/3	У 2	2	
15.114.	| dy j" /(х, у) dx. 15,115.	f dy J f(x, y) dx +	Jdy J f(x, y) dx.
	0 у	0 й	2 у
а	12		3
2	л/а2 -	, д	х/а2 -	y'2	2 У
15.116. j	dy J /(х, у) dx + J di/ J	/(x,y)dx. 15.117.	j dy j f(x, y) dx +
0	2		1 1
4:	2	a	!	a	2a
+ Jdy р	(x, y) dx. 15.118. Jdy J	f(x, y) dx + j dy	J f(x, y) dx +
Й р 2	0 £ 4a		7az-S/5
554
+ |	dy J |rtx,	y)dx. 15.119. J dx	J	f(x, y) dy + Jdx	J	f(x, y)dy.
a I	—1	0	0	0
4a
1	7i~ arc$inj/
15.120. Jdjl J f(x,y)dx,
0 I «гсздл у
16
16.1.	Да. 16 2. Нет. 16.3. Да. 16.8. у" - 2у' 4- у = 0. 16.9. х dx + у dy - 0.
16.11. у ~ |1-5е“х + Эе1 - 4е2х). 16.12. у2 - х2 - 25. 16.15. у = С(х + De"1.
16.16.	in |х| = S + 2 7у2 + 1. 16.17. х2 + у2 - In (Сх2). 16.18. у - О; х -	.
16.22.1+у2
a2
16.19.	у - 2 С cos x. 16.20. у(1 — Cx) = 1. 16.21. 2e 2 = Je(l + e*).
-J—. 16.24.x + y = Cx2. 16.25. у = Ce*. 16-26. у = 5 - |.
l-x2	x 2
16.27. e *
= ln|Cx}. 16.28. (x - 2)2 - y2 = 4.	16.29. y = x/l-|x.
ч 8
16.81. у ™ sinx + C cos x. 16.32. xy = C - In x. 16.33. у — x(C + sin x).
16.34. у - (2x + 1MC + In |2x + 1| + 1). 16.35. у = l(x71-*2 +
+ arcsin x) L— — .
16.36. y = — +	16.38. y(ex + Ce2x) « 1.
XX
16.39. y’3 = C dps3 x - 3 sin x cos2 x. 16.40. у —	Jj;2), 16,42. x3 + 2xy -
x2 + C
-Зу = С. 16.43. х3у - 2х2у2 + Зу4 - С. 16.44.	+ уе* = 2.
16.46. бу “ х31А |х| •+• CjX3 + С2х2 + С3х + С4. 16.47. у = -cos х + CjX19 4-
+ С2Х13 + ... + С20. 16.48. у = —In cos х. 16.49. у “ 3 In х + 2х2 - 6х 4- 6.
16.51. CiX - Cfy = In fox + Ij + Cz. 16.52. 9C?(y - C2}2 - 4(0^ + I)3.
16.53. у =	+ Cjx In [x| + C2x + C3. 16.54. у = df - *+le* +
	1Z Z	4 J i	z
> - 1
J;; + C^ln [xj + C2k2 + C3x + C4. 16.55. у - x3 + 3x. 16.56. у = | x2.
^•16.58. у = t^'iX + Ca ' 16.59. 2y2 - 4x2 = 1.	16.60. у = 2e*.
It?	;	555
16.
4- I
16.
4- e
16.
4* (
+ i
16
4- j
+ (
17.
17
17
17.
17.
17
17.
лк
17.
абс
но,
17.
ДИ'
17.
17.
17.
17.
17.
у = Cjex 4- Cze~2x. 16.66. у = (Сг + C^xje^. 16.67. у = (C,cos Зх +
in Зх)е2*.	16.68. у = CAeZx + e-x(Czcos */3x4- Cgsin 73x).
у = C1er 4- C2e л + Cgcos x + C4sin x. 16.70. у — Cj + Czx + C3x2 4-
?4 4- C5x).	16.71. у - (Ci + C2x)cos x + (C3 + C4x)sin x,
у = Cjex 4- C2e"x 4* C3e2x 4- C4e~Zx. 16.76. у - Cjcos x 4- C2sin x 4-
- 2)ex. 16.77. у = Cicos x 4- C2sin x - 2xcos x. 16.78. у - Cje'2 4-
ix + 1 e4x. 16.79. у = c16* + C2e-3» + (g -	e*.
У - (Cl 4- C2x)e~2x + [
2. 16.82. t/ = Cx 4- C2x + (C3 4- x)e“x + x3 - 3xz. 16.83. у - C^os x +
n x 4- C3cos 2x 4- C4sin 2x - i x cos x.
4
2. - JLI e2x. 16.81. у =	+ C2e'x 4- xex +
16	32/	y 1	2
17
I. 17.2. 2 .	17.3. - .	17.4. 1.	17.5. 1.	17.6. 1.	17.7. 1.
3	2	3	4
Сходится. 17.16. Сходится, 17.17. Расходится. 17.18. Расходится.
Сходится. 17.20. Расходится. 17.21. Сходится. 17.22. Расходится.
Сходится. 17.24. Сходится. 17.27. Сходится. 17.28. Сходится.
Сходится. 17.30. Расходится. 17.31. Сходится. 17.32. Сходится.
Сходится. 17.35. Расходится. 17.36. Расходится. 17.37. Сходится,
а) 1 In 2; б) | In 2. 17.40. Сходится условно. 17.41. Сходится абсо-
17.42. Сходится условно. 17.43. Сходится абсолютно.
Сходится условно. 17.45. Сходится абсолютно. 17.46. Сходится
отно. 17.49. Сходится неравномерно. 17.50. Сходится неравномер-
17.51. Сходится равномерно. 17.52. Сходится равномерно.
Сходится равномерно. 17.54. Сходится равномерно. 17.55. Схо-
равномерно. 17.56. Сходится равномерно. 17.58. -3 < х < 3.
-л/З/2 < х < 7з/2.	17.60. -1 < х < 1.	17.61. -1 < х < 1.
-СО < X < +оо. 17.63. г - О. 17.64. -5 < х < 3. 17.65. 2 < х < 3.
-Тз < * С Тз .	17.68. -оо < X < +«>.	17.69. -1 < X С 1.
£	(~°° < х < 4-оо).	17.72. хп (|х| < 1).
п.~0	д=0
1 + S (-?9прЛ~Д х2п <м < D- 17‘74' I У?1 ’ Н2)'1]*" (И < !)•
rt^sl	ftsl

17.75. | V [re + 1~Н)Я]хп (|x| < 1). 17.77. arctg x = у i-Ulx2n+1.
Ли!	n-0
17.78.	4— (|x| < 1). 17.79. *&"*) (Ы < 1).	17.80. I In 1±*
(1-h2	(1 + x)3	' '	2	1-x
(|x|<l).	17.81. arctg x (|x|<l).	17.82. ch(x) (-oo<x <+«>).
17.83.1 + IpE In (1 - x) (H < 1). 17.85. x4 4- x2 = 2 + 6(x - 1) + 14(x - 1)2 +
4-24(x - 1)3H-24(x - l)4.
«Э
17.86. 1 = - У <* + 1Г (-3 < x < -1).
x t-i 2я*1
л = 0
17.87. cos *
2
У H)nG
A 2"n! к
. 17.88. з/х
- -Vi ~(i + x) = -i +	+
о
+ У ?.:.?.'У3п~г\ж + 1)л+1 (-2 < х < 0).	17.90. 0,87606.
Xj 3«+i(k +1)!
17.91. 0,60653.	17.92. 0,22314.	17.93. 0,999848.	17.94. 0,158.
17.95. 2,087.1 17.96. 3,1416. 17.97. In 2 - 0,69315, In 3 = 1,09861.
17.98. 0,747. 17.99. 8,041. 17.100. 1,605. 17.101. 0,927.
18
18.3. a) 12 000; 6)9000. 18.4.400. 18.5.400. 18.6.1125. 18.7.120
18.8.6)80; в) |6,6 7 года. 18-9.6)301,72; в) 17,06 года. 18.10. a) 33,28;
6)9,7. 18.11. 710. 18,12. 60. 18.13. 20. 18.14. a) 250; 6)460. 18.15. a) 60;
6) 69. 18.16. al 240; 6) 264. 18.17. 20; 40. 18.18. a) 1000; 6) 900; да.
18.19. a) (3, 4); 5) (2, 2). 18-20. (30, 260). 18.21. (10,180). 18.22. a) (50,150);
б) (Ц5,	; pr; в) ; г> (яг* *1823- a><40> 25>; 6><35; 27’5>;
в) (43; 23,5). 1в!24. a) (20,80); 8; 6) 20; в) 16.18.25. a) (20,110); 12; 6) 30;
в) 12. 18.26. a)(-l, 6), недостаточный спрос; б) (-2, 1), недостаточный
спрос. 18.27. а) [5,2; 7,2); б) (2, 8);
|; в) 22,5. 18.28. а) (4, 12); 6)
ко )
Vf * в) тг* г) 4- 18.29. (2, 3/3) — устойчива; (8, 2/3) — неустойчива.
 1Э	о	I
V. 18.30. (1, 7/2) —Iустойчива; (7, 1/2) — неустойчива. 18.31. Устойчива.
18.32. (2000, ЮФ0). 18.33. (4000, 6000). 18.37, а) 1000; 6)400; в) “200.
18.38. а) 200 тыс1; 6) 600 тыс.; в) 1,2 млн. 18,39. а) 900; б) 5600;
17 100. 18.40.1-400. 18.41. а)-50; б)-3,2. 18.42.0. 18.43. а)-0,05;
-0,78125,	18.44. а) 65; 6)55.	18.46. а) 60; 6) 20/3; в) 7,4; г) 497.
88.47. а) 37; б) 343; в) 4,4; г) 451,25. 18.48. а) Р = 185,23 при р = 51,5;
) Р = 392,42 прик = 14,8; г) Р = 34361,6 при р = 322,27. 18.49. а) 520;
557'
- -	I
б) 523, 18,50. 7518,72; 7500. 18,51. а) “0,62, -0,64; б) -0,079, -0,08.
18.52. -43; -44. 18.53. 25,69; 25,7. 18.54, а) 200; б) 135. 18.55. р = 100.
18.56. Р = 62,5 тыс. при р * 1550. 18.57. В - 15 600 при р ~ 260.
18.58. Р = 5150.	18.59. Р = 4225.	18.60. 20.	18.61. Р = 300.
18.62. Р = 2200 при р - 720. 18.63. а) 0,5325; б) 0,4675. 18.64. а) 0,336;
6)0,664. 18.65. а) 0,39; 6) 0,57. 18.66. 3000. 18.67. 2000. 18.68. 24 000.
18.69.12 000. 18.70. а)т} - -1; не изменится; р & (50, 100); б) в точке
р = 15 т| = -0,6; увеличивается; в точке р = 20 я — -1; не меняется;
р G (20, 40); в) в точке р — 2
„__5 .
П 18’
увеличивается; в точке р - 4 т| = -1,8;
уменьшается; р (-6,84; -4) U (3,33; 5,84). 18.71. т| = -1; не изменится;
единичная эластичность.
18.72. а) (3, 6); б) , 100 j ; в) (g, b) .
18.73. а) —	; б) -25%. 18.74. а) -18; б) -36%. 18.75. a) -2, ; возрастает;
11	из
6)	; уменьшается. 18.76. а) ; уменьшается; б) -2,048; уменыма-
2	48
ется. 18.77. а) 55; 6) 115. 18.78. а) 50; б) 5000. 18.83. б) 15 625; в) 1250.
18.84. б) 200; в) 29 575; г) 0. 18.85. б) 11 250; в) 650. 18.86. а) р - 20 -
-0,01х; б); = 45 - 0,02* - 0,001х2. 18.87, Р= 25х - 0,002х2 + 8680.
18.88. С(х) = 15OOOe°i001*2 + 5000.	18.89. а)р - 25 - 0,2* - 0,02х2;
б)р = 2Jja + 9OO-'20 ; в)р - 5е’® .	18.90. а) С(у) г= 0,5j/ + 0,4 Ту + 6;
6) ОД) = 0,4j/ + I J3y + 4 + 4| ; в) C(y) - 0,6y +	+ 5?.
d	d	d	d
18.91. a) C(y) = 0,63j/ 4- 4; 6) C(y) ’ 0,6j/ + J2y + 9 + 1; в) (ЗД - 0,7i/ +
+ О^бе-1'6* + 3,375.	18.92. a) 0,0232; п/зв; 6) 0,02496; 0,3.
18.93. a) 0,015968; 0,29; 6) 0,01008; 0,32. 18.94, 290,82. 18Л5. 258,19.
18.96,91,59. 18.97.83,33. 18.98.60,71, 18.99. a) 228; 67,35; 6)5; 15;
в) 18; 27; r) 51,83; 20. 18.100. a) 216,67; 6)0,67, 18.101.3041.
18.102.2700. 18.103. a) 3,45; 6)1,49.	18.104,0,09.	18.105.0,13.
18.106.194,92. 18.107. a) 62,5; 6)388,8; в) 1592,89, 18,108. a) 119,33;
5
6)2,625. 18.109.5,5.	18.113; a)pjx = 20; 6)px4 = 15; в)рха = 20;
r)p34x - 6. 18.114. a)p = 100 - x; 6)p - 20 - 2x; в)р - 37,5 - 0;125x;
r) j? = 40 — lOx. 18.115.2,58. 18.116.8,96. 18.117.1,52. 18,118.47,96.
18.119. a) p — 15e4t — 5; б) не является. 18.120. a) p ~ 5 + 2e~°'4*;
6) устойчива, 18.121. a) 25e2f - 20; б) не является. 18.122. a) p = 4 +• 2e-li4t;
б) устойчива. 18.123. a)p = 14es — 4; б) не является.
558
19
19.1.Ps = 5/6. 19.2. P = 1/т2о- 19.3. P = 0,0023. 19.5. a) P = 0,926;
6)P = 0,372.19.7. P = 0,07. 19.8. P = 0,345. 19.9. P. = 0,38.19.11. P = 11/20-
19.12. P - 0,2. 19.14. P = 0,095. 19.15. P =- 0,384. 19.17. P = ‘/n*
19.18. i;) P = 3/J4; б) P = V4.	19.19. P = 0,7.	19.20. P = 0,126.
19,21. J =0,94. 19.23. a) P - 0,0345; OJPfAt) - 0,362; P(A2) - 0,408;
P(A3) = 0,232.	19.24. P = 0,326. 19.25. a)P = 0,045; 6)P = 0,33.
19.26. a) P - 0,41; б) P - 0,59.	19.28. a) P(X 2 2) = 0,5248;
б) P(X C 3) = 0,9744; в) P(X = 4) = 0,0256.	19.29. P4(2) = 0,0486;
P4(3) =* 0,0036;	P4(4)	0,0001.	19.30. 6) Ploooo(2) = 0,00225;
PiooooG1) = 0*0075; P10000(5) = 0,0375.	19,31. a) P500(3) = 0,0613;
6) P500|X > 3) = 0,02.	19.32. Рюоо(2) - 0,1464;	P1000(3) 0,1952;
F1000(5 - 0,1562. 19.33. P(X > 4) = 0,7373. 19.34. a) P200(4) = 0,09;
б) P2oo(5) = 0,036.
20
20.2. 20.3. 20.4. 20.6. 20.7. 20.8. 20.9. 20.10,	X	°	1	2	3
	P	114/230	95/230	20/230	1/230
	X	0	1	2	3 i
	, p	364/1140	546/1140	210/1140	20/1140 '
	X	0	1	2	
	p	120/190	64/190	6/190	
	X	0	1	2	3
	p	0,729	0,243	0,027	0,001
	X	0	1	2	3
	p	125/216	75/216	15/216	1/216
	X '	0	1	2	3
	p	0,614125	0,325125	0,057375	0,003375
	X	0	1	2	3
	p	0,027	0,189	0.441	0,343
	X	0	1	2	
	1 p	i 0,0025	0,0950	0,9025 s 	;	
559
20.11.	X	0	1	2	3	4	5
	S Р	; 0,59049	0,32805	0,07290	! 0,00810 :	0,00045	0,00001
20.12.	X	1	:	2	3	4		
	р			1/4	1/4		
20.13.	X	0	1	2	3	4	:	
	р	0,0016	0,0256	0,1536	0,4096	0,4096	
20.14.	X	0	1	2			
	р	0,04	0,32	0,64			
20.16.	X	-20	40	:	180	240		
	р	9506/9900	196/990Q	:196/9900	2/9900		
20.17.	X	-4	-3	-2	:	46	:	47	96
	р	7656/9900	1760/9900	90/9900	352/9900	40/9900	2/9900
20.18.	X	0	1	2			
	р	15/190	84/190	91/190			
; 0, если х < —5,
20.19. Р(х) =
20.20. Р(х) =
0,3, если -5 < х < 2,
0,7, если 2 < х 3,
0,9, если 3 < х < 4,
1, если х > 4;
Р(Х> 3,5) = 1 -0,9 = 0,1;
Р((Х|< 2,5) “0,4.
| 0, если х < О,
j 0,08, если 0 < х < 1,
i 0,52, если 1 < х С 2,
' 1, если х > 2.
20.23. Л4(Х) = 3,9: <j(X) = 2,21; М(2Х2 + 3) = 43,2. 20.24. M(Z) = 2,1;
D(Z) = 1,89.	20.25. а) 3,48; 6)0,452.	20.26. а) 2,91; 6)0,295.
20.27. ЛГ{ХУ) = 568.
21
	0,	если х < 0,
21.3. F(x) =	2 (1 — cos х), если 0 < х < я, 1,	если х > л.
560
21.4. F(x) -=
О,	если х < 1,
g (х2 - х), если 1 < х < 3,
1,	если х > 3.
21.6. С = 3. 21.7. С - %; Р(0 < X < л/4) - Л /4. 21.9, Мх = 8/3.
21.10. Мх -= 0. 21.12. а - 1/л; Мх = 0. 21.13. Mo = Me - Мх = 4.
21.14. Mo = Me = Мх = 3. 21.16. Dx = л2 - 8. 21,17. Dx л2/4 - 2.
21-18. Дх)== Л-е_*г/(2°г>- 21.20.Мх = 2;стх = 2/Тз . 21.21. Мх = 2,5 мин;
о2
(зг - 5)а
Ох=5/2ТЗмин, 21.22.МХ=1 4;Px = x/342* 21.23. f(x} = —t8 .
зТ2п
21.26.(11; 9). 21.27. (68,35; 91,65). 21.28. ax = 48,8 г. 21.29. Mx= 120;
Р = 0,997<.	21.31. Мх = 2,5; ох = Тб?25 .	21.32. С = 0,1.
21.33. Р(4 < Т < 10) - 0,314. 21.34. Р(2 < Т < 5) = 0,314.
22.2.
X1	1	2	3
Р о,3	0,3	0,4
22
У	2	4	6
Р	0,33	0,4	0,27
22.3.	Р(Х = 2 / У = 0,8) = 0,25; Р(Х = 5 / У - 0,8) - 0,6; Р(Х = 8 / У - 0,8) = 0,15.
22.5.	М(Х / У = 2) = 2; М(Х / У = 6) = 2,24; М(Х / У = 8) = 2,27.
22.6.	M(Y / X = 1) - 0,25. 22.7. М(Х / У - 2) = 2,7; М(Х / У = 3) = 2,23;
М(Х/ У = 51 = 2,19. 22.9. гХу = 0,198. 22.10. гху = -0,31; ух = -0,382х + 4,04.
22.11.	гху =* 1,258; ху - 0,25г, + 2,8. 22.12. ух - -0,188х + 2,92.
23
23.3
	1	2	3	4	! 5	6	7
<Х < xi+l	IS—20	20—25	25—30	30—351	35—40	40—45	45—50
„ # । Pl	0,08	0,14	0,18	0,30 '	0,10	0,14	0,06
23.4.
I	1 ;	2	3	4
Xi	0	1	1 5	10
Pt	31/ I /54 1	1 14/w |	।	7/54	754
561
i	1	2	3	4	1 5	0	7	8	9
x,<XCxi+1	0—5	5—10	10—15	15-20	20—25	25—30	30—35	35—40	40—45
	3	4	| 5	6	2	4	0	0	1
* Pi	0,12	0,16 I	0,20	0,24	0,08	0,16	0	0	0,04
Xj < X =* xi + i	0—3	3—7	7—11	11—15
	19	13	5	2
Pl	0,487	0,333	0,128	0,052
F*(x)=^
О, если х < О,
0,487, если 0 < х < 3,
0,820, если 3 < х < 7,
0,948, если 7 < х С 11,
lj если х > 11.
23.7.
О, если х < 1,
0,04, если 1 < х < 3,
О, если х С -2,
0,0375, если —2 < х < О,
0,24, если 3 < х < 7,
0,32, если 7 < х < 9,
б)Г(х)-
О',©,
0,8, если 9 < х С 12,
1, если х > 12;
0,875,
если 0 < х С 5,
если 5 < х < 8,
если 8 < х < 14,
если х > 14.
23.8.
	fo, i 0,06, 0,1, 0,12,	если x < 0, если 0 < x < 2, если 2 < x С 4, если 4 < х < 6,	0, если х < 11, 0,16, если 11 < х С 14, 0,4, если 14 < х < 17, 0,7, если 17 < х < 20,
a)F*(x) = ^	0,3,	если 6 < х 8,	6)Г(1)_ J	0,77, если 20 < х С 23,
	0,59,	если 8 < х С 10,	1	0,85, если 23 < х < 26,
	0,7,	если 10 < х С 12,	0,91, если 26 < х < 29,
	0,8,	если 12 < х С 14,	0,96, если 29 < х < 32,
	0,97,	если 14 < х 16,	1, если х > 32.
	1,	если х > 16;	
562
24
24.1. х а = 5,45
24.6. $2=6,67.
24.11. Х* = 0,1.
24.2. хв = -1,04.	24.4. а) хв = 3158; б) х в = 2455.
24.8. dB - 3,09 • 10 fi. 24;9. хв = 0,34; da = 0,0169.
24.12. X* = 0,13.	24.13. о* - 2,09; &* - 6,71.
24.14. а* = 4,25; b* = 22,37. 24.15. а* = 9,48; s = 3,22. 24.16./ = 0,4.
24.17. Г - L 24.18. А* = 0,05. 24.19. X* = 0,3. 24.21. (18,72; 21,28).
24.22. а) (49,15; 50,85); б) (48,9; 51,1); в) (48,7; 51,3). 24.23. а) (29,04;
30,96); б) (28,77; 31,23). 24.25. (1,46; 3,17). 24.26. (3,5; 4,67).
24.27. 7,83 сМх< 10,27; 2,87 <<5Х <4,68.	24.28. 4,19 <МХ < 6,41;
1,61 <ах< 6,05.
25
25.3. Станок требует подналадки. HG: а0 = 35; Яр о0 * 35; tr — 27 е (-«>;
-1,993) U (1,993; °°). 25.4. Утверждение поставщика не согласуется с
опытными данными. Яо: а0 = 60; Н^. а0 < 60; tr = -10 s (-<*>; -1,689).
25.5. Можно. Н$: а$ = 6; Яр я0 > 6; zr = 20 е (1,96; °°). 25.7. Яд = 800;
Яр я0> 800; ir ~ 2,17; а) а = 0,05; i = 16; tr^ (1,746; °°), нулевая гипотеза
отвергается; 5) а = 0,01; I = 16; tr £ (2,583; °0), нулевая гипотеза не от-
вергается. 25.8. а) Но: я0 = 21; Яр я0 < 21; гг = -6,32 S (-оо; -1,645).
Время обслуживания клиента, равное 21 мин, в качестве норматива
опытными данными не подтверждается; б)Я0: «о = 16; ао < 16;
zr -1,054	(-°°; -1,645). Бремя обслуживания клиента, равное
16 мин, в к ачестве норматива не противоречит опытным данным.
25.9. Н$. «о =10; Ях: Яд < 10; г,. - -2,0 е (-°°; -1,645). Гипотеза я0 = 10
отвергается. Опытные данные подтверждают влияние модернизации
двигателя на расход топлива. 25.10. а)Н0: а0 = 1000; Яр я0 * 1000;
zr = —2,1Е(—об; -1,96)0(1,96; оо). Гипотеза Но отвергается; б) Яо: я0= 1000;
Яр: ад * 100(1; tr = -1,656 & (-°°; -2,032) U (2,032; °°). Гипотеза Яд
не отвергаете:;. 25.12. Яо: erf = не отвергается при Яр of *о|,
fr - 1,19 (3, .8; оо). 25.13. Яо:	не отвергается при Яр * о|,
/г = 1,19 (2,; 9; °°). 25.14. Гипотеза об одинаковой точности измерений,
проводимых радарами заводов А и Б, не противоречит выборочным дан-
; ным. 25.17. а) г м = 198,4; 5М = 3,7;	=13,69; пм = 17; х с п = 196,9;
; SC-U = 5,42; S(i.n = 29,4;	— 12; б) Яд: я^ = ®с-п ПРИ ^1’ ам * °с-Ц’
| Гипотеза Яо не отклоняется. Указание. Вначале проверяется гипотеза

i Яо: О& — п ; в) Яо: я0 = 200; а0 * 200. Гипотеза Но отклоняется.
'Г
563
25.18. a) Ho: 0^ =	0^0^ . Ha не отвергается, fr = 1,05 £ (3,28; co);
6) H$: ax — ay’t Нг: ax& ay. HQ отвергается, tr = 3,98 e co = (-00; -2,086) U
U (2,086; 00). 25.19. Первый этап: Ho: 0A = ajj; Нг: Од * <*в • &о не от-
вергается, fr ~ 1,34 & (6,39; Второй этап: Но: аА = ав; Нг: аА * ав.
Яо не отвергается, tr = 0,3 Ф со = (-«>; -1,86) и (1,86; °°). 25.21. Можно.
25.22. Но: at = ап; Нр > аи. Н& не отвергается. Статистические данные
не подтверждают преимущества какого-либо удобрения. 25.26. Для обо-
их уровней значимости теоретический и фактический спрос согласуется.
25.27. Яо: F(x) = ЛГ(а, о); Н^. F(x) N(a, а). Гипотеза Но отвергается.
25.28. Гипотеза Яо: F(x) = Х0(х), где /'o(jc) — биномиальный закон, со-
гласуется с выборочными данными. 25.29. Гипотеза Н$: F(x) = jV(a, а)
согласуется с опытными данными. 25.30. Гипотеза Но: F(x) = f’o(x), где
Fo(x) — биномиальный закон, согласуется с выборочными данными.
26
26.2.	= О,95х + 1; гв - 0,895. 26.3. ху = -0,99у + 16,4; гв - -0,93.
26.4. ух = 0,45х ~ 1,1; га = 0,89.	26.6. х у = 0,589у + 4,44.
26.7. у х - 0,39х + 22,9.	26.8. х у = -0,0655у 4- 35.
27
27.2. /па6л = 67,9; /кр (0,05; 2; 12) = 3,89. fHa&1 > /кр. Нулевую гипотезу
принимаем. 27.3. /набл = 1,29; /кр (0,05; 3; 16) - 3,24. /дабл < /кр. Нулевую
гипотезу принимаем. 27.4. f^n = 4,5; fKJ( (0,05; 2; 15) = 3,68. /пабл > fKp.
Нулевую гипотезу принимаем,
29
29.6. min И(Х) =4, xj = (2, 0), X*z = (1, 2).	29.7. Z(X) -оо.
29.8. max Z(X) = 9, X* = (6, 5). 29.9. min Z(X) - -16, X* = (0, -4).
29.10. max ^(X) = 12, xj =(0,6), Xg =(4,4). 29.11. Z(X)-*+«>. 29.12. Сис-
тема ограничений несовместна. 29.13. min И(Х) ~ X* = (3/8, 3/4).
29.14. max Z(X) = 18, xj = (3, 5), X*2 = (6, 4).	29.15. Z(X) — +00,
29.16. max Z(X) - 12, xj = (0, 6), X* = (2, 9). 29.17. min Z(X) ~ -16,
564
X* = (2, 5). 29.18. max Z(X) = 60, xj = (5, 1, 0, 0, 10), Xg = (6, 4, 8, 0, 0).
29.19. max Z(X) = -53,
r = (l, 0,|l, 0, 3).
Xg = (2, 2, 7, 0, 0).
X* = (4, 1 8, 0, 0).
Xj = (20 030, 0), Xg
xy — 16 0C0.
X* = (3, 7, 3, 0, 0).
29.21.	max Z(X) = 32,
29.22.	Z(X)^“Oo.
29.20. min Z(X) = 4
Xj = (5, 1, 0, 0, 5)
29.23.	тахИ(Х)-14
29.24.	1. X* = (1 - i)XJ + tXg, 0 < i < 1
= (0, 16 000). 2. a) xA = 20 000, xB = 0; 6) xA = 0
29.25.	a) Xj - 300, x3 = 600; 6) xr = 1500, r2 - 600
в) xx = 600, x2 ~ 1000.	29.26. xA = 1, xB = 8, max Z{X) = 67 ден. ед.
29.27. Сено 20 кг, силос 40 кг. 29.28. a) max Z(X) = 135 000,
X* - (250, 50); 6) max Z(X) =120 000, X* = (0, 300). 29.29. а) 5 скорых;
7 пассажи; ских; б) 6 скорых; 6 пассажирских. 29.30. В стеклянной та-
ре 10/; в жестяной 8—8/, где 0 < t С 1.
30
30.2. max Z(X) - 8 при X* = (0, 0, 2, 1).	30.3. min Z(X) = -4 при
X* - (1 - tjXj + tX*2, 0 < t < 1, Xj = (0, 4, 0, 2), xj = (1, 3, 0, 0).
30.4. max 2 (X) = 8 при X* = (0, 2, 2, 0). 30.5. min Z(X) = -20 при
X* = (0,4,1, 0)- 30.6. max Z(X) = 12 при X* = (0, 2, 3,0). 30.7. min Z(X) = 12
при X* = ((i, 0, 2, 2).	30.8. max Z(X) - 28 при X" = (8, 0, 0, 4, 1).
30.9. max Z(X) - 20 при X* - (1 - t)Xj + tX*2 , 0 < t < 1, xj = (10, 0, 0, 5,1),
X2 = (0, 0, 8, 6, 4).	30.12. max X(X) = 14 при X* = (2, 0, 4, 0).
30.13. min 2 (X) = -62 при X* = (10, 0, 6, 0). 30.14. max Z(X) = 5 при
x*= (1 - OX* + tx2,0 C t < 1, xj = (0, 3Л> 0, %), X*2 =(5/s. %. 0, 0).
30.15. Z(X) — -co.	30.16. max Z(X) = 16 при X* = (3, 0, 2).
30.17. min ZiX) - -36 при X* = (1 - i)X* + tXg , 0 < t < 1, xj = (0,18, 0),
Xg = (6, 6, C). 30.18. max Z(X) = 22 при X* = (2, 4, 0). 30.19. max Z(X) = 18
при X* = (3,4, 0).	30.20. max Z(X) = 90 при X* = (1 - f)Xj + tX2 ,
0< t < 1, xj - (3, 6, 0), X2 = (7, 4, 0). 30.21. max Z(X) - 7 при
X* = XjXj +Х2Х3 +Х3Хз» + k2 + X3 = 1, Xz>0 V j, Xj =(0, 7,0),
xj = (2, 5,‘i0), Хд = (0, 6, 1). 30.22. Z(X) — +«>. 30.23. Z(X) - +°q.
565
30.24. min Z(X) = -11 при X* - (1, 4, 0)* 3O.2J5. min Z(X) “ ”14 при
X* = (2,0, 4). 30.26. min Z(X) = “26 при X* = (6, 4, 0). 30.27. Z(X) — -oo.
30.28, Z(X) — +oo. 30.20. max Z(X) = 6 при X* = (0,0, 2). 30.30. min Z(X) = 4
при X* = (1 - t)X; + tX2 , 0 < t < 1, Xx = (0, 4, 0), X2 = (2, 0, 0).
30.31. min Z(X) * 0 при X* = (1 - t)Xj + tX* , 0 < f < 1, X* - (7, 5, 1),
X2 - (co). 30.34. min Z(X) = -6 при X* = (0, 2t 0,4). 30.35. min Z(X) = 27
при X* - (1, 13, 0, 0). 30.36. max Z(X) = IT при X* = (1 - t)Xx + tX2 ,
0 £ f < 1, Xj - (0, 9, 0, 4). X2 = (0, 7, 2, 0). 30.37. max Z(X) = 10 при
X* = (2, 0, 3, 0). 30.38. Z(X) -* -со. 30.39. min Z(X) = 26 при
X* = (1 - f)X* + tX*2, 0 < t £ 1, X* = (1, 3, 0, 0), X* - (3, 0, 0, 5).
30.40. Система ограничений несовместна. 30.41* Система ограничений не-
совместна. 30.42. max Z(X) == 11 при X* (3, 3, 2,0, 0). 30.43. Z(X) —* +<».
30.44. min Z(X) - -74 при X* = (0, 28, 16).	30.45. min Z(X) = 2 при
X* = (l-t)Xx + iX2, 0<t£l, Хх =(2,0,0), Хз = (%» 0, %).
30.46. min Z(X) = 4 при X* = (0. 4, 0). 30.47. Z(X) —* -DO. 30.48. max Z(X)= 10
при X* = (0, 2, 4).	30.49.	max	Z(X) -2 при X* = (2, 4, 0).
30.50. max Z(X) = 7 при X* - (0, 11 /2, 1). 30.51. max Z(X) - 7 при
X* = (1, 0, 2). 30.52. Система ограничений несовместна. 30.53, Z(X) -°о.
30.54. min Z{X) - 5/2 ПРИ X* = (0, 0, 6/г)-	30.55. min Z(X) = 4 при
X“ = (11, 6, 0). 30.56. max Z(X) = 2 при X* = (0, 0, 2). 30.57. min Z(X) = 1
при X* = (1, O', 0). 30.58. min Z(X) - 5 при X* - AjXi + X2X2 + X3X*»
X1+X2 + X8 = l,X;>0 Vj,X*x =(0,3,1), X* = (0,1,2), ХзН74?/4.3/4)-
30.59. min Z(X) = 5 при X* = XxXx + k2X*2 + XSX8, Xx + X2 + X3 = 1,
X/ > 0 V Xx = (5, 0, 0), X2 = (0, 5, 0), X3 = (0, 0, 5). 30.60. Z(X) -
30.61. Система ограничений несовместна.
31
31.11. min Z(X) = 7 при X* = (4, 3, 0); Y* - (5, 2, 0). 31.12. min Z(X) = 10
при X* = (0, г/3, 2/3); Y* = (10, 2, 0).	31.13. min Z(X) = 11 при
x* = (Va. 0);	= (1* 4- 0). 31.14. min Z(X) = 3 при X* = (2, 1, 0);
Y* = (0, 1, 0). 31.15. min Z(X) = 3 прц X* = (0, 0, 3); Y* = (l/2, 0, 0).
566
31.16. min ДХ) 14 приХ* = (1,2» 0); У* = (2,0,4). 31.17. Задача не имеет
решения; max F(Y) —* +то- 31.18. min Z(X) = 124/7 при X* = (0, 38/7,16/7);
У* = (% 0,:!2/7). 81.19. min ДХ) = 18 при X* - С/2, 3/2, 0); У* = (3, 4, 0).
31.20. min ДХ) = 8 при X* =(1,0, 4), Х2 = (О, 1, 5); У* = (5, О, 1).
31.21. Задала не имеет решения; max ДУ) +°°. 31.22. Задача не имеет
решения; max ДУ) —* +°°. 31.24. max Z(X) = 27/% при X* = (5/2> О, О, 1);
У* = (-3/2> 5ЛД 31.25. min Z{X) = 9 при X* = (О, О, 1, 0); У* = (9, 0),
У* = (3, 2).	31.26. min Z(X) - 46 при X* - (1, О, 0, 4); У* = (2, 4).
31.27. min Z'X) = 1 при X* = (О, 0, 1/2, 3/2); У* = (3, 1). 31.28. max ДХ) - -22
при X* = (О, 2, 1, О, 0); У* = (-2, -5).	31.29. max Z(X) = 9 при
X* - (О, О, 1, 1,0); У* = (2, 1). 31.30. min ДХ) = 18 при Хк = (О, О, 1, 2, 0);
У* = (3, 4). 31.31. min ДХ) = 41 при X* = (0, 5, О, 0, 1); Y* = (3, 4).
31.33. min ДХ) = 22 при X* - (0, 2, 1).	31.34. min Z(X) = 10 при
X* = (0, 5, С). 31.35. min Z(X) = 12 при X* = (0, 4, 0). 31.36. Система ог-
раничений «©совместна. 31.37. min Z(X) = 22 при X* = (О, 4/3, 13/3).
31.38. min ДХ) = 60 при X* = (1 - 0*1 + «Х2,0 < t < 1, X* = (О, О, 5),
Х2 = (4, О, О). 31.39. min ДХ) = 11 при X* = (1, 2, О). 31.40. Система
ограничени аг несовместна.
32
32.11. min ДХ) = 120. 32.12. min ДХ) = 125. 32.13. min ДХ) = 2100.
32.14. min ДХ) = 4600. 32.15. min ДХ) = 2200. 32.16. min ДХ) = 2800.
32.17. min ДХ) = 110. 32.18. min ДХ) = 720. 32.19. min ДХ) * 95.
32.20. min ДХ) = 95. 32.21. min ДХ) = 900. 32.22. min ДХ) = 1400.
32.23. min ДХ) = 210. 32.24. min ДХ) = 380. 32.25. min ДХ) = 7000.
32.26. min Z(X) = 2600. 32.27. min ДХ) = 600. 32.28. min ДХ) - 240.
32.29. min ДХ) = 2150. 32.30. min ДХ) = 380. 32.31. min ДХ) = 3100 5
32.32. min Z[X) = 4000. 32.34. min ДХ) = 10 500. 32.35. min ДХ) = 2700.
32.36. min ДХ) - 19 500.32.37. min ДХ) - 1050. 32.38. min ДХ) - 1900.
32.39. min 2 (X) = 1650. 32.40. min ДХ) = 510. 32.41. min ДХ) = 340.
32.43. min 7(X) = 4. 32.44. min 7(X) = 6.
33
33.2. max Zi,X) = 19 при X* = (2, 2, 1,0, 1).	33.3. max ДХ) - 9 при
X* = (1, 2, 0, 1). 33.4. max Z(X) = 21 при X* = (7, 0, 0, 0). 33.5. max ДХ) = 11
при X* = (0, 1, 3, 0).	33.6.	ihax ДХ) - 133 при X* - (1, 0, 20, 18).
567
33.7. max Z(X) - 9 при X* - (1, О, 0, 2). 33.8. min Z(X) - б при
Гчо, 3, О, 1, 7, 9). 33.9. min Z(X) = ~г&/3 при X* = (Vs- V3);
min И(ХЦ) = -б при X* = (2, 1, 2).	33.10. max Z(X) = 11/3 при
х* = (4/з, Vs» 0); тшХ(Хц) = 1 при X* =» (1, 2, 0). 33.11. max Z(X) - 6
при X* = (0» 4/з> 1); X* — не существует. 33.12. max Z(X) — 13 при
X* = f/3> V3, 0); тах2(Хц) - 9 при Х^» (1 - t)X‘x + tX*nZ , О С t С 1,
X*! - (3, 2, 1), Х*2	(2, 1, О). 33.13. max Z(X} - 13 при X* = (О, О, 1).
Содержание
Предисловие...............................................• 3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1.	Геометрические векторы . .,..................-............ 5
1.1.	Линейн: де операции над векторами....................... 5
1.2.	Скалярное произведение векторов. ....................    8
2.	Прямая н плоскость.........................................10
2.1,	Прямая^на плоскости.  ...................................10
2.2.	Плоскость. .........................................    17
2.3.	Прямая в пространстве ................................  21
2.4.	Прямая и плоскость в пространстве.......................24
3.	Кривые второго порядка.................................  .27
3.1.	Окружность............................................  27
3.2.	Эллипс .........................................        28
3.3.	Гипербола...............................................30
3.4.	Парабола . . . . ..................................    .31
Практик ум по аналитической геометрии.....................32
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
4.	Определи" ели ...........................................39
4.1.	Комплексные числа.....................................  39
4.2.	Определители матриц второго и третьего порядка........  43
4.3.	Разложение определителя матрицы
по элементам строки и столбца ............................   .44
4.4.	Свойства определителей n-го порядка. ...............    46
4.5.	Вычисление определителей.............................  .48
5.	Матрицы,................................................  50
5.1.	Действии с матрицами. ................................  50
5.2.	Обратная матрица .....................................  53
5.3.	Ранг матрицы . ...................................      57
I	569
6.	Решение систем линейных уравнений......................... 60
6Л. Формулы Крамера.........................................  61
6.2,	Общее решение системы линейных уравнений ............... 63
7.	Системы векторов и уравнений.............................. 70
7.1.	Разложение вектора ио системе векторов.................. 70
7.2.	Линейная зависимость.................................... 73
7.3.	Базис и ранг системы векторов.......................... 77
7.4.	Векторы и матрицы....................................... 82
7.5.	Ортогональные системы векторов..........................'84
7.6,	Системы линейных уравнений.............................. 87
8.	Векторные пространства...............................  ...	93
8.1.	Подпространства......................................... . 94
8.2.	Размерность и базис...................................   95
8.3.	Координаты вектора....................................   98
8.4.	Пересечение и сумма подпространств......................100
8.5.	Евклидовы и унитарные подпространства...................102
9-	Матрицы и квадратичные формы...........................   106
9.1.	Собственные значения и собственные векторы матрицы......106
9.2.	Приведение квадратной матрицы к диагональному виду......108
9.3.	Ортогональные и симметрические матрицы................  110
9.4.	Квадратичные формы.......................................114
Практикум 1 по линейной алгебре...........................117
Практикум 2 по линейной алгебре.  ........................127
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
10.	Функции одной переменной................................135
10.1.	Функциональная зависимость и способы ее представления..135
10.2.	Элементарные функции. Преобразование графиков функций .... 139
11.	Пределы................................................ 142
11.1.	Числовые последовательности и пределы ................. . 142
11.2.	Первый и второй замечательные пределы.... ...... ...  144
11.3.	Предел функции..................................      145
11.4.	Сравнение бесконечно малых функций....................147
11.5.	Непрерывность функций. Разрывные функции............  148
12.	Производная и дифференциал............................... 149
12.1.	Правила дифференцирования. Вычисление производных......149
12.2.	Производные высших порядков ........................  153
570
12.3.	Касательная и нормаль к плоской кривой................  154
12.4.	Приближенное вычисление действительных корней уравнения .. 156
12.5.	Дифференциалы первого и высшего порядков и их применение . . 159
12.6.	Дифференцирование функций, заданных неявно
и параметрически...........................................  161
12,7.	Исследование функций и построение графиков..............163
12.7.1.	Основные теоремы дифференциального исчисления........	163
12.7.2.	Формула Тейлора.......................................167
12.7.3.	Интервалы монотонности................................169
12.7.4.	Экстремум функции...................................  170
12.7.5.	Выпуклость вверх и выпуклость вниз (вогнутость).
Точки перегиба. Асимптоты................................    173
13.	Функция многих переменных................................ 179
13.1.	Область определения, способы задания,
линии и поверхности уровня  .................................179
13.2.	Части ле производные. Производная по направлению. Градиент.. 181
13.3.	Дифференциал . .........................................186
13.4.	Части ле производные высших порядков ...............   .188
13.5.	Экстремумы функций двух переменных.................;	. . . . 190
13.6.	Условный экстремум....................................  192
13.7.	Метод наименьших квадратов..............................194
Практикум 1 по математическому анализу...................197
14.	Неопред елейный интеграл...............................   202
14.1.	Непосредственное интегрирование....................   -	.202
14.2.	Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
и методом подстановки....................................... 204
14.3.	Интегрирование по частям................................205
14.4.	Интегрирование рациональных функций . ..................206
14.5.	Интегрирование тригонометрических функций...............208
14.6.	Интегрирование некоторых иррациональных функций.........211
15.	Определенный интеграл.....................................212
15.1.	Непосредственное вычисление определенного интеграла
и подведение под знак дифференциала..........................212
15.2.	Замен.к переменных в определенном интеграле...........  214
15.3.	Интег] шрование по частям в определенном интеграле......215
15.4.	Приложение определенного интеграла......................216
15.5.	Несобственные интегралы ....................«...........218
15.6.	Кратное интегралы.......................................221
571
16.	Дифференциальные уравнения............................. . 223
16.1.	Основные понятия и определения..................... 223
16.2.	Дифференциальные уравнения первого порядка..........225
16.3.	Уравнения п-го порядка, допускающие понижение порядка.230
16.4.	Линейные дифференциальные уравнения л-го порядка
с постоянными коэффициентами ..............................233
17.	Ряды..................................................238
17.1.	Понятие ряда и его сходимости. Свойства сходящихся рядов .... 238
17.2.	Признаки сходимости положительных рядов.............240
17.3.	Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость . . . .244
17.4.	Функциональные ряды..............................  .245
17.5.	Степенные ряды. .................................   248
17.6.	Ряды Тейлора и Маклорена. Применение рядов
к приближенным вычислениям.................................250
Практикум 2 по математическому анализу................254
18.	Применение аналитической геометрии и математического
анализа в экономике........................................265
18.1.	Применение аналитической геометрии................  265
18.2.	Предельный анализ...................................276
18.3.	Применение интегрального исчисления.................. . 287
18.4.	Применение дифференциальных уравнений...............297
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
19.	Случайные события....................................... 303
19.1.	Множество событий. Классическое определение
вероятности события........................................  303
19.2.	Теоремы сложения и умножения вероятностей .............306
19.3.	Вероятность появления хотя	бы одного события...........309
19.4.	Формула полной вероятности и формула Байеса............310
19.5.	Формулы Бернулли и Пуассона........................... 311
20.	Дискретные случайные величины. ........................  314
20.1.	Закон распределения вероятностей.......................314
20.2.	Математическое ожидание и дисперсия . . ............  .	.319
21.	Непрерывные случайные величины......................    323
21.1.	Функция распределения вероятностей и плотность вероятности .. 323
21.2.	Математическое ожидание и дисперсия. Мода и медиана....326
21.3.	Равномерное распределение..............................328
21.4.	Нормальное распределение.............................. 330
21.5.	Показательное распределение ...........................331
572
22.	Системы случайных величин..............................333
22.1.	Закона распределения двумерной случайной величины....333
22.2.	Числовые характеристики системы двух случайных величин. . . .335
Праки гкум по теории вероятностен.........................  340
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
23.	Выборка и ее представление..............................347
23.1.	Распределение частот...............................  347
23.2.	Эмпирическая функция распределения....................  350
23.3.	Полигон и гистограмма..............................  353
24.	Статист! гческое оценивание............................357
24.1.	ТочечЕые оценки. Выборочная средняя
и выбо зочная дисперсия.....................................357
24,2.	Метод Моментов.....................................    .360
24.3.	Метод наибольшего правдоподобия....................  363
24.4.	Интервальные оценки................................  365
25.	Проверка, статистических гипотез. . ...................363
25.1.	Основные понятия...................................  368
25.2.	Сравнение выборочной средней с математическим ожиданием . . . 370
25.3.	Сравнение двух дисперсий............................ 373
25.4.	Сравнение двух математических ожиданий............  .376
25.5.	Проверка гипотезы о распределении. Критерий Пирсона...381
26.	Регресси г>нньгй анализ..............................  388
26.1.	Линейная регрессия с ыесгруппированными данными .....388
26.2.	Линейная регрессия со сгруппированными данными.......391
27.	Дисперсионный анализ .............................    .396
Практикум по математической статистике.................401
ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
28.	Математическая модель задачи математического
програл [мирования......................................... 412
28.1.	Пример ы составления математических моделей
эконом! чески х задач..................................    .413
28.2.	Приведение общей задачи линейного программирования
к канонической форме ...................................... . .415
573
29.	Графический метод решения задач
линейного программирования...................................419
29.1.	Графический метод решения задач линейного программирования
с двумя переменными. .....................................   419
29.2.	Графический метод решения задач линейного программирования
с п переменными......................................    424
30.	Симплексный метод решения задач
линейного программирования.................................... . 432
30.1.	Опорное решение задачи линейного программирования......432
30.2.	Алгоритм симплексного метода.  ........................436
30.3.	Метод искусственного базиса........................  .	.446
31.	Теория двойственности....................................457
31.1.	Составление математических моделей двойственных задач..457
31.2.	Первая теорема двойственности..........................462
31.3.	Вторая теорема двойственности..........................467
31.4.	Двойственный симплексный метод (метод последовательного
уточнения оценок)..........................................  470
32.	Транспортная задача линейного программирования. .........476
32.1.	Математическая модель транспортной задачи .............476
32.2.	Опорное решение транспортной задачи.	...............479
32.3.	Метод потенциалов....................................  485
32.4.	Транспортная задача с ограничениями
на пропускную способность..................................  493
32.5.	Транспортная задача по критерию времени .............  497
33.	Метод Гомори решения задач
целочисленного программирования .............................500
Практикум по линейному программированию..................505
Приложения............................................-.517
Ответы ..............................................    526
Учебное издание
Сборник задач
по высшей математике
для экономистов
Учебное пособие
Редактор И,В. Мартынова
Корректор Л/. 5. Литвинова
Оригинал-макет подготовлен
Издательским Домом «ИНФРА-М»
ЯР №070824 от 21.01.93 г.
Сдано в набор 10.12.2000. Подписано в печать 25.01.2001.
Форма" 60x90/16. Бумага типографская № 2. Гарнитура «SchoolBook».
Усл. печ. л. 36,0. Уч.-изд. л. 36,85. Доп. тираж 6000 экз.
Цена свободная. Заказ №4204121.
Издательский Дом «ИНФРА-М»
127214, Москва, Дмитровское ш., 107,
Тел.: (095) 485-71-77.
Факс; (095) 485-53-18. Робофакс: (095] 485-54-44
E-mail: book б @i и fra-m .ru
littp://www.infra-m.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов 1
на ФГУИПП «Нижполиграф»,
603006, г. Нижний Новгород, ул. Варварская, 32.
ISBN 5-Lb-00□30L-0
книги
ИНФРА-М
ПОЧТОЙ
Книги рассылаются почтой по всей территории России и ближнего
зарубежья.
Рассылка книг производится только по предоплате.
Для оформления заказа нужно воспользоваться прайс-листом
Издательского Дома “ИНФРА-М"
Прайс-лист можно бесплатно заказать по почте, получить по факсу
с круглосуточного автоматического факс-аппарата, заказать
по электронной почте или найти на www-сервере
http://www.infra-m.ru
Заказчик самостоятельно подсчитывает по прайс-листу стоимость
своего заказа.
Рекомендуемая к предоплате величина почтовых расходов составляет
40% от стоимости заказа. Это средняя величина почтовых расходов
для России. Реальные почтовые расходы могут быть больше или
меньше оплаченной суммы.
При поступлении средств на расчетный счет Издательского Дома
“ИНФРА-М" на каждого клиента открывается лицевой счет, на
котором фиксируется движение средств клиента.
Цена заказанного товара может отличаться от указанной в прайс-
листе. Цена, по которой производится отгрузка, назначается в момент
регистрации заказа оператором. Это оптовая цена, действующая в
день регистрации заказа.
При выполнении заказа с лицевого счета списываются стоимость книг
и реальная сумма почтовых расходов, исчисленная по почтовым
тарифам доставки на указанный клиентом адрес.
Остаток средств фиксируется на лицевом счете и может быть
использован по усмотрению клиента для закупки литературы по
прайс-листу или оплаты услуг Издательского Дома "ИНФРА-М"
С каждой посылкой вы получаете свежий прайс-лист.