Основание геометрии - Гильберт Д.

Гильберт Д. Основания геометрии - 1948
Вклейка. Гильберт Д

П. К. Рашевский. «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса

§ 3. Вторая группа аксиом. Аксиомы порядка

§ 4. Следствия из аксиом соединения и порядка

§ 5. Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности

§ 7. Четвёртая группа аксиом: аксдюма о параллельных

§ 8. Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности

Глава вторая. Непротиворечивость и взаимная независимость аксиом

§ 11. Независимость аксиом конгруентности

§ 15. Исчисление отрезков на основании теоремы Паскаля

Глава четвёртая. Учение о площадях на плоскости

§ 19. Параллелограммы и треугольники с равными основаниями и высотами

§ 20. Мера площади треугольников и многоугольников

§ 21. Равновеликость по дополнению и мера площади

§ 23. Недоказуемость теоремы Дезарга в плоскости без аксиом конгруентности

§ 24. Введение исчисления отрезков без помощи аксиомы конгруентности на основе теоремы Дезарга

§ 25. Коммутативный и ассоциативный законы сложения в новом исчислении отрезков

§ 26. Ассоциативный закон умножения и два дистрибутивных закона в новом исчислении отрезков

§ 27. Уравнения прямых в новом исчислении отрезков

§ 28. Совокупность отрезков, рассматриваемая как комплексная числовая система

§ 29. Построение геометрии пространства с помощью числовой системы Дезарга

§ 32. Коммутативный закон умножения в архимедовой числовой системе

§ 33. Коммутативный закон умножения в неархимедовой числовой системе

§ 35. Доказательство любой теоремы о точках пересечения с помощью теоремы Паскаля

Глава седьмая. Геометрические построения на основании аксиом I — IV

§ 37. Критерий выполнимости геометрических построений с помощью линейки и эталона длины

Добавление II. По поводу теоремы о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника

Добавление III. Новое обоснование геометрии Больяи-Лобачевского

Добавление V. О поверхностях постоянной гауссовой кривизны

Добавление VII. Об основаниях логики и арифметики

Добавление X. Проблемы обоснования математики

Автор: Гильберт Д.

Теги: физика математика геометрия механика астрономия переводная литература огиз классики естествознания

Год: 1948

Похожие

Текст

7игб^г

КЛАССИКИ
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ

КА А С С И К И
ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
МАТЕМАТИКА
МЕХАНИКА
ФИЗИКА
АСТРОНОМИЯ
*
огиз
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1948 ЛЕНИНГРАД

Д.ГИЛЬБЕРТ
ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ
ПЕРЕВОД
С 7-ГО НЕМЕЦКОГО ИЗДАНИЯ
И.С.Грсгдштпейна
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
%
С ВСТУПИТЕЛЬНОЙ
СТАТЬЕЙ
П.КРашевского
Ж
огиз
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1948 ЛЕНИНГРАД

WISSENSCHAFT UND HYPOTHESE
.VII
GRUNDLAGEN
DER GEOMETRIE
VON
Dr. DAVID HUBERT
O. PROF. AN DER UNIVERSITAT GUTTINGEN
SIEBENTE
UMGEARBEITETE UND VERMEHRTE
AUFLAGE
1930
LEIPZIG UND BERLIN
VERLAG UND DRUCK
VON B. G. TEUBNER

П. К. РАШЕВСКИЙ
-ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ'
ГИЛЬБ ЕРТА
и
ИХ МЕСТО Б ИСТОРИЧЕСКОМ
РАЗ ВИТИИ
ВОПРОСА

ГЕОМЕТРИЯ КАК ФИЗИКА
Когда мы изучаем геометрию впервые — так, как она
преподаётся в школе, — в нашем сознании возникает
своеобразный мир идей, которые странным образом и
реальны и призрачны одновременно. В самом деле, мы
рассуждаем о прямых линиях, о плоскостях, о геометрических
телах (например, о шаре) и т. д., приписывая им вполне
определённые свойства. Но где и в каком смысле существуют
эти вещи в таком виде, в каком они служат предметом
нашего изучения? Ведь мы знаем, что как бы мы ни
шлифовали, скажем, поверхность металлической пластинки, мы
никогда не сможем придать ей форму «идеальной плоскости»
в силу неизбежных погрешностей в инструменте и в самой
операции. Более того: не только нельзя достичь идеально
плоской формы, но вследствие атомного строения материи,
нельзя даже к ней неограниченно приближаться.
Действительно, когда мы будем увеличивать требуемую точность,
то металлическая пластинка распадается на отдельные атомы,
и тогда вообще не имеет смысла говорить о её поверхности.
А что такое прямая линия? Может быть, можно считать,
что световые лучи распространяются по идеально
прямолинейным, путям? Но квантовая механика учит нас, что
свет распространяется отдельными порциями — квантами,
причём говорить о пути, по которому такой квант движется,
вообще не имеет смысла.
Но тогда чтб же мы изучаем в геометрии? Как будто
только призраки, создания нашего воображения, чуждые
материальному миру. Но мы твёрдо знаем и из
повседневного опыта, и из технической практики, что законы и

8
П. К. РАШЕВСКИЙ
правила, выведенные для этих призрачных объектов, с
непреодолимой силой подчиняют себе материальную природу.
И инженер, рассчитывающий новую конструкцию, усомнится
в случае неудачи в каких угодно своих допущениях, но
ни в коем случае не в формуле для объёма призмы, например.
Так чтб же представляют собой эти геометрические
образы, как будто невесомые, нематериальные, и в то же
время с такой непреодолимой силой облекающие собою
материальный мир и, как можно подумать (и как
идеалистическая философия часто и учила), формирующие его по
своему образу и подобию?
Материалистическое понимание мира поможет нам
ответить на этот вопрос. Начнём с нарочито грубого примера.
Пусть перед нами забор, огораживающий земельный
участок. Если мы будем вычислять площадь этого участка,
намечать его распланировку и т. д., то в наших
геометрических расчётах вместо забора будет фигурировать
замкнутая линия, а вместо земельного участка — выделяемый
ею кусок плоскости. В чём состоит суть этой подмены
материального предмета геометрическим понятием?
Дело в том, что земельный участок практически не
изменится от того, сделаем ли мы забор около него из
дерева или камня, той или иной ширины, той или иной
высоты, сдвинем ли его на сантиметр в сторону и т. д.
От всего этого можно отвлечься, поскольку нас интересует
только самый земельный участок, а то, что делается по
самым его краям, практически роли не играет. Таким
образом, мы отвлекаемся от подавляющего большинства
свойств забора как материального тела, неважных для нас
в данном случае. Те же свойства забора, которые для нас
важны, — свойства, связанные с его протяжённостью в
длину,— мы сохраняем в поле зрения. И эти свойства как
раз и будут свойствами линии в геометрическом смысле
слова. То же самое относится и к бесчисленному ряду
самых разнородных примеров: когда мы рассматриваем
верёвку, траекторию летящего снаряда и т. д., то, с
известной степенью точности, нам приходится интересоваться
лишь теми их свойствами, которые мы называем свойствами
геометрической линии.

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
9
Итак, когда мы изучаем геометрическую линию, то мы
изучаем одновременно и забор, огораживающий участок, и
длинную —сравнительно с толщиной — верёвку, и траекторию
летящего снаряда. Но все эти явления мы берём не во
всём разнообразии их свойств и не с максимальной
точностью, а лишь с точки зрения их одномерной
протяжённости, почему-либо для нас в данном случае важной, и с
практически нужной степенью точности. И тогда выступают
те общие свойства этих предметов, которые мы и называем
свойствами геометрической линии. Так, если мы говорим,
что линия не имеет ширины, то это есть только краткое
выражение того, что ширина забора практически не
отражается на огороженном участке, что поперечными размерами
верёвки можно пренебречь сравнительно с её длиной и т. д.
Аналогичный* смысл имеют и все другие геометрические
понятия и положения. Все они отражают свойства
материальных предметов, законы материального мира. Их
«идеальный» характер означает просто отвлечение (абстракцию) от
несущественных в данной связи свойств материальных вещей,
в частности, рассмотрение их лишь с известной степенью
точности. Это отвлечение и позволяет выступить наружу в
чистом виде тем общим и глубоким свойствам материальных
вещей, которые мы называем свойствами протяжённости и
изучаем в геометрии. Законы геометрии обязательны для
природы потому и постольку, поскольку они из неё извлечены.
Таким образом, истины геометрии, отражая
материальную действительность, воспроизводят её приближённо, в
упрощённом, схематизированном виде. Именно за счёт
отвлечения от бесчисленного множества усложняющих
обстоятельств и возникает столь импонирующая стройность
и законченность геометрической теории. Но если так, то
естественно,что геометрия (речь идёт пока всё время об
евклидовой геометрии) не может претендовать на неограниченную
приложимость к исследованию материального мира: когда
точность этого исследования перейдёт некоторые пределы,
то геометрия, по самому своему существу отражающая
действительность приближённо, откажется служить.
Чтобы сделать её снова пригодной, нам придётся
уточнять её в соответствии с новыми экспериментальными дан-

10
П. К. РАШЕВСКИЙ
ными, нам придётся возвращаться назад и поднимать то, что
было брошено на дороге, откинуто в процессе абстракции.
Но каковы те наиболее бросающиеся в глаза стороны
материальной действительности, от которых мы отвлеклись,
строя геометрию? Это, прежде всего, протекающее во
времени движение материальных масс. Естественно, что,
отказываясь от излишней абстрактности в геометрии,
приближая её к материальной действительности, мы должны
вернуть в поле зрения процессы движения материи, а это
значит, что геометрия должна рассматриваться в органическом
объединении с механикой. «Чистая» геометрия исчезает.
Всё сказанное вовсе не относится только к области
теоретических схем: исторически развитие науки в XX веке*
шло именно по этому руслу. Специальная теория
относительности (1905) организовала пространственную и
временную протяжённость в одно неразрывное целое, а общая
теория относительности (1916) сверх того объединила в
одну дисциплину геометрию и общее учение о
распределении и движении материальных масс. Таким образом, в том
разрезе, в каком мы до сих пор говорили о геометрии,
она есть часть физики и, следовательно, должна расти и
развиваться вместе с нею на экспериментальной основе.
Но в геометрии есть и другая, математическая сторона,
на которую мы до сих пор сознательно закрывали глаза.
И эта сторона дела для нас сейчас наиболее важна, так
как именно ей посвящена настоящая книга.
ГЕОМЕТРИЯ КАК МАТЕМАТИКА
До сих пор мы совершенно не затронули вопроса о
логической структуре геометрии, а между тем она,
пожалуй, наиболее поражает начинающего и требует от него
наибольшего напряжения мысли. И это, конечно, не
случайно: именно здесь заключена сущность геометрии, если
^рассматривать её как отдел математики.
Можно сказать, что геометрия как математика — это
геометрия, рассматриваемая с точки зрения её логической
структуры. Постараемся вникнуть в это возможно глубже,
так как иначе содержание книги останется недоступным

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
11
в своих основных идеях. Для большей конкретности
ограничиваемся попрежнему трёхмерной евклидовой геометрией.
Прежде всего ясно, что геометрия не представляет
собой просто совокупности предложений, имеющих
самостоятельное значение каждое в отдельности. Предложения
геометрии связаны густой сетью логических зависимостей.
Более точно это значит, что одни предложения можно
выводить из других чисто логическим путём, не пользуясь
наглядно очевидными, почерпнутыми из опыта свойствами
геометрических образов, а просто применяя правила
формальной логики. Так, из предложений «всякий
прямоугольник обладает равными диагоналями» и «всякий квадрат
есть прямоугольник» следует, что «всякий квадрат
обладает равными диагоналями». Для того чтобы сделать этот
вывод, совершенно не обязательно представлять себе
квадрат с его диагоналями; можно вообще не знать, что такое
«квадрат» и «прямоугольник» и что значит «обладать
равными диагоналями». Независимо от того, какой смысл
будет вложен в эти термины, умозаключение воспроизводит
один из рассматриваемых в формальной логике типов
силлогизма и потому всё равно остаётся правильным.
Естественно возникает вопрос: каким образом можно
охватить, сделать осязательной всю систему формально
логических зависимостей такого рода, пронизывающих
геометрию, а не только отмечать их на отдельных примерах.
Ответ на этот вопрос даёт аксиоматическое построение
геометрии. Его целью является получить в геометрической
теории, так сказать, максимум возможного за счёт
формально логических умозаключений. Конечно, так как
формальная логика учит лишь тому, ка*к выводить новые
положения из уже данных положений, то «из ничего»
формальная логика ничего вывести и не может. Поэтому
по крайней мере некоторые из положений геометрии
необходимо так или иначе принять в качестве верных, а затем
уже попытаться все остальные положения выводить из них
путём чисто логических умозаключений.
Если этой цели удаётся достичь, то те положения
геометрии, из которых все остальные можно вывести чисто
логическим путём (без ссылок на геометрическую нагляд-

12
П. К. РАШЕВСКИЙ
ность), называются аксиомами, а логически вытекающие
из них предложения — теоремами.
При этом, естественно, нужно стремиться к тому, чтобы
количество аксиом было возможно меньшим и чтобы тем
самым на долю формально логических умозаключений при
построении геометрии выпадала наибольшая возможная
работа. Действительно, такое положение вещей наилучшим
образом выявляет весь объём логических связей и
освещает логическую структуру геометрии.
Резюмируем всё сказанное. Геометрия как физика
изучает свойства протяжённости материальных тел.
Её положения могут и должны быть проверяемы
опытным путём; как все положения физики, они
воспроизводят материальный мир лишь в абстракции и истинны
поэтому лишь приближённо.
Геометрия как математика интересуется лишь
логическими зависимостями между своими положениями,
более точно, — занимается логическим выводом из
некоторого числа положений (аксиом) всех остальных.
Об истинности предложений геометрии как математики
можно говорить поэтому лишь условно, а именно в том
смысле, что данное предложение действительно
выводится из аксиом.
Мы видим, что эти две точки зрения на геометрию
существенно различны и, как бы они ни соприкасались
в области фактического материала, механизм развития
геометрии в одном случае будет работать иначе, чем
в другом. Так оно и происходит в действительности, хотя
при этом геометрия как физика существенно опирается
на логические схемы геометрии-математики, а геометрия-
математика развивается в значительной степени под влиянием
импульсов, идущих прямо или косвенно из области физики.
Было бы, конечно, совершенно неправильно понять это
противопоставление в том смысле, что геометрия как
физика занимается материальным миром, а геометрия как
математика относится к области «чисто духовного»
творчества. И содержание и форма человеческого мышления
в конечном счёте целиком обусловлены материальным
миром, и сами законы формальной логики лишь потому на-

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
13
вязываются нашему сознанию с такой силой, что
представляют собой отражение многократно повторённого
материального опыта.
Отчётливое разграничение геометрии как физики и
геометрии как математики — разумеется, не в порядке
декларации, а в смысле фактической разработки той и
другой — представляет собою крупное принципиальное
достижение науки конца XIX — начала XX века. Достижением
это является в том смысле, что слитное существование
обеих точек зрения, по существу чуждых друг другу,
тормозило развитие и той и другой. Но разграничение это,
сейчас почти очевидное, вовсе не было достигнуто коротким
путём. Оно пришло лишь как итог длительного и сложного
развития научной мысли, в котором видное место занимают
«Основания геометрии» Гильберта. Сейчас в самых кратких
чертах мы осветим некоторые моменты этого развития,
наиболее важные для наших целей.
«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА
«Начала» Евклида (ок. 300 г. до н. э.) содержат
систематическое изложение основ геометрии в том виде, в
каком она сложилась к этому времени в итоге примерно
трёх веков развития математики на греческой почве. С того
и почти до нашего времени «Начала» считались образцом
научно строгого стиля, изложения; никто не находил
поводов предпринять их коренную переработку, а наши
школьные учебники и до сих пор в существенных чертах
воспроизводят «Начала» Евклида.
Причина этого коренится в том исключительном
мастерстве и совершенстве — конечно, с точки зрения науки
того времени, — с каким было проведено Евклидом
логическое развёртывание геометрии путём, как тогда казалось,
строгого вывода последующих предложений из
предшествующих. Конечно, было бы сильным преувеличением сказать,
что Евклид стоял на выше охарактеризованной точке
зрения аксиоматического построения геометрии. Но тенденция
такого рода у него, несомненно, была. Действительно,
в начале изложения помещены четырнадцать основных пред-

14
П. К. РАШЕВСКИЙ
ложений (пять из которых названы постулатами, а девять —'
аксиомами), которые предпосылаются всему дальнейшему
и кладутся в его основу. Однако этих предложений далеко
не достаточно для развития геометрии чисто логическим
путём, и в дальнейших доказательствах, наряду с подлинно
логическими умозаключениями, Евклид постоянно прибегает
к наглядному представлению. Многие из определений — и
как раз самые основные, — даваемые Евклидом, совсем не
являются определениями в логическом смысле, а являются
лишь наглядными описаниями геометрических образов:
например, «линия есть длина без ширины» и т. п. Из такого
определения строго логически никаких следствий вывести
нельзя, и оно служит лишь указанием для работы наглядного
представления в последующих выводах.
Таким образом, в «Началах» нельзя усмотреть ещё ни
принципиальной аксиоматической установки в современном
смысле слова, ни, во всяком случае, её фактического
осуществления. Но тенденция в этом направлении была и
продолжала развиваться и в дальнейшем. Это можно видеть-
из работ многочисленных комментаторов Евклида, которые,
не предлагая существенных переработок изложения, часто
стремились его усовершенствовать, подводя под него более
прочный фундамент. Эти попытки шли по линии увеличения
числа аксиом, недостаточность которых для логического
построения геометрии ощущалась. И до сих пор мы не
знаем, какие именно аксиомы и постулаты бесспорно
принадлежат Евклиду, а какие добавлены впоследствии. Однако
эти попытки по сравнению с «Началами» не знаменовали
собой новых, принципиально более высоких точек
зрения и делались ощупью. Даже когда в них правильно
угадывались те пробелы, которые следовало заполнить,
они облекались в ту же логически несостоятельную
форму.
Подлинное развитие вопроса об основаниях геометрии
пошло не по прямому пути логическою уточнения
аксиоматики и доказательств Евклида, а осуществилось
причудливым образом через длинный ряд попыток исправить
Евклида там, где он был совершенно прав. Мы имеем
в виду историю V постулата Евклида.

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
15
V ПОСТУЛАТ ЕВКЛИДА И ОТКРЫТИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Последний, V постулат Евклида гласит: «всякий раз,
когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми
образует с ними внутренние односторонние углы, сумма
которых меньше 2d, эти прямые пересекаются и притом
с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d».
Постулат этот играет особую роль в системе Евклида: он
находит себе применение сравнительно поздно, и 28
первых предложений Евклида доказываются без его участия.
Это обстоятельство, естественно, наталкивало на мысль,
что, быть может, и вообще этот постулат излишен и сам
может быть доказан в качестве теоремы. И действительно,
многие комментаторы Евклида на протяжении более двух
тысячелетий пытались такое доказательство дать, часто
считая свою цель достигнутой (а некоторые
малообразованные дилетанты продолжают эти попытки и сейчас).
Все эти доказательства с нашей современной точки
зрения ложны и сводятся к тому, что вместо V
постулата принимается без доказательства какое-нибудь
предложение, ему эквивалентное. Таковы, например,
предложения: перпендикуляр и наклонная в сторону острого угла
всё время сближаются между собой; через каждую точку
внутри угла проходит по меньшей мере одна прямая,
пересекающая его обе стороны; непересекающиеся
прямые в плоскости не могут неограниченно удаляться друг
от друга; не существует абсолютной единицы длины, т. е.
отрезка, который отличается от отрезков другой длины
особыми геометрическими свойствами (наподобие прямого
угла среди всевозможных углов); существуют по меньшей
мере два подобных треугольника и т. д.
Расценивая какое-нибудь из этих предложений как
очевидно верное и обнаружив, что отрицание V
постулата ему противоречит, автор доказательства считал свою
цель достигнутой. Было бы, однако, неправильным считать,
что здесь мы встречаемся обязательно с элементарно
грубой логической ошибкой. В самом деле, до появления
современного аксиоматического изложения геометрии — что

16
П. К. РАШЕВСКИЙ
было достигнуто лишь к концу XIX века — вообще не
было вполне отчётливого критерия, чтобы отличать
строгие доказательства в геометрии от нестрогих. Во всех
вообще доказательствах непрестанно допускались ссылки
на наглядность, и те пределы, в каких эти ссылки можно
было считать законными, очерчены не были. Поэтому
в известной мере каждый из авторов, доказывавших V
постулат, мог претендовать, что его допущения законны,
и V постулат им доказан. Лишь теперь выступает
несостоятельность всех этих доказательств; раньше же она скорее
угадывалась наиболее сильными умами, чем
неопровержимым образом могла быть ими установлена.
Так или иначе, по мере накопления разнообразных,
попыток доказательства, всё более расширялся круг
предложений, эквивалентных V постулату, часть из которых
перечислена выше. Становилось ясно, что отрицание
V постулата влечёт за собой отрицание всех этих
предложений, т. е. влечёт за собой целый ряд невероятных,
парадоксальных следствий, в которых, однако, никак не
удавалось усмотреть прямого логического противоречия.
В поисках этого противоречия уже в XVIII веке
некоторыми учёными были довольно далеко развиты следствия
из предположения, что V постулат неверен (Саккери,
1733; Ламберт, 1788). По существу это были уже
элементы неевклидовой геометрии, что, однако, не доходило
до сознания авторов этих работ *).
Уже в 1823 г. великий русский геометр Н. И.
Лобачевский (1792—1856) ясно сознавал бесцельность попыток
доказать постулат о параллельных **). Вскоре он пришёл
к мысли, что отрицание V постулата вообще ни к какому
противоречию не приводит и тем самым вызывает к жизни
новую, неевклидову геометрическую систему. Он первый
выступил публично с систематическим изложением
неевклидовой геометрии. И февраля 1826 г. в • заседании
Физико-математического отделения Казанского университета он
*) История V постулата изложена в I томе «Полного
собрания сочинений Н. И. Лобачевского» в статье В Ф. Кагана.
**) См его соч. „Геометрия".

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
17
изложил основы своего открытия, а в 1829 г,
опубликовал в «Казанском вестнике» мемуар «О началах
геометрии», содержащий обстоятельное изложение
неевклидовой геометрии. Позже к неевклидовой геометрии пришёл
И. Больай (1802—1860), опубликовавший свои результаты
в 1832 г. Из переписки Гаусса (1777—1855), изданной
лишь после его смерти, стало известно о набросках Гаусса
по неевклидовой геометрии. Однако, опасаясь быть
непонятым и осмеянным, он никогда не имел мужества публично
заявить об этом. Н. И. Лобачевскому, не убоявшемуся
опубликовать свои результаты в России (1826) и за границей
(1840), принадлежит безусловный приоритет в открытии
неевклидовой геометрии. Однако творец её остался при
жизни непонятым. Лишь в шестидесятых годах работы
Лобачевского вошли в математический обиход и явились
поворотным пунктом, определившим в значительной мере
весь стиль математического мышления XIX века *).
ЗНАЧЕНИЕ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ В ВОПРОСЕ
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
В чём непосредственно заключается содержание
неевклидовой геометрии? Оказывается, что в геометрии можно
отказаться от V постулата, т. е. принять, что в плоскости
через всякую точку, взятую вне какой-нибудь прямой,
проходит бесчисленное множество прямых, эту прямую не
пересекающих. Несмотря на, казалось бы, очевидную
неправильность этого допущения, * из него можно неограниченно
выводить следствия, доказывать теоремы, не приходя
к логическому противоречию. В результате возникает
новая, неевклидова геометрия. Правда, многие из теорем
этой геометрии, ещё в большей степени, чем исходное
допущение, представляются нам с наглядной точки зрения
неправильными, а некоторые — просто чудовищными. Но
логически изложение остаётся безупречным.
Уже это обстоятельство показывает известную
автономию логического строения геометрии по отношению к гео-
*) Жизнь и творческий путь Лобачевского в широком
историческом аспекте показаны в книге В. Ф. Кагана ^Лобачевский*.
2 Д. ГильОерг

18
П. К. РАШЕВСКИЙ
метрической наглядности, показывает, что логическое
развитие геометрии может осуществляться в известной
мере независимо и даже вразрез с наглядными
представлениями, заимствованными из физического опыта. Но ещё
большее значение имела другая сторона дела, которой
интересовался уже Гаусс. А именно, естественно поставить
вопрос: если логически обе геометрии — евклидова и
неевклидова — строятся безупречно, то ведь в материальном
мире должна быть справедлива лишь одна (или, если
выражаться точнее, одна из них должна лучше отражать
свойство протяжённости, чем другая). Постановка этого
вопроса уже прямым путём ведёт к тому различению
геометрии как физики и геометрии как математики, о
котором говорилось в начале этой статьи.
В самом деле, если геометрию брать как учение о
протяжённости реального мира, то оказывается, что
математика может предложить для неё на выбор
разнообразные схемы (к неевклидовой геометрии Лобачевского
дальнейшее развитие науки добавило другие, более
широкие обобщения). Выбор наилучшей среди этих схем
должен быть решён путём физического опыта, и в этом
смысле геометрия становится подлинной частью физики.
Между тем, пока существовала только одна евклидова
геометрия, то, естественно, считали её безусловно
обязательной для природы. Если бы эта точка зрения не
была преодолена, то такой крупный прогресс в
физике, как появление теории относительности, стал бы
невозможным.
Во-вторых, ясно, что наша интуиция, наши наглядные
представления, если даже считать, что они дают нам
вполне определённые указания, не могут одновременно
соответствовать всем существенно различным между собой
геометриям. Поэтому нам остаётся лишь один выход:
возможно полнее использовать логическую связь
предложений в области геометрии как математики, и обосновать
на ней развитие геометрических систем. Это значит, что
мы переходим к выше 'обрисованной аксиоматической точке
зрения. Укажем некоторые важнейшие вехи на том пути,
по которому исторически шло осуществление этой цели.

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
19
ПРЕДШЕСТВЕННИКИ ГИЛЬБЕРТА
Первым крупным достижением в области
аксиоматического построения геометрии явилось исследование Паша
«Лекции по новой геометрии» (Pasen, Vorlesungen iiber
neuere Geometrie, 1882)*). Паш считает, что основные
положения геометрии должны быть заимствованы из опыта,
но дальнейшее развитие геометрической системы должно
протекать путём чисто логических умозаключений. В
осуществление этой идеи- Паш формулирует прежде всего
12 аксиом следующего характера (им у Гильберта
отвечают аксиомы I и II группы). Это, во-первых, аксиомы,
касающиеся принадлежности точек прямым и плоскостям.
Впрочем, Паш рассматривает собственно не прямые, а
лишь отрезки, и не плоскости, а ограниченные куски
плоскостей. Он мотивирует это тем, что бесконечные
прямые и плоскости не даны нам в опыте, закрывая глаза на
то, что конечные отрезки в математическом смысле тоже
не даны нам в опыте и тоже являются результатом
абстракции.
Аксиомы, о которых идёт речь, утверждают, что между
двумя точками всегда лежит один и только один отрезок,
что через каждые три точки проходит «кусок плоскости»,
что если две точки отрезка лежат на данном «куске
плоскости», то и все точки этого отрезка лежат на
некотором «куске плоскости», заключающем в себе данный
«кусок плоскости»,, и т. д.
Здесь под «отрезком» и «куском плоскости»
понимаются некоторые совокупности точек. Какие именно
совокупности и что нужно понимать подточкой—математически
*) В ,этой краткой вступительной статье нам приходится
игнорировать, как и многие другие моменты, историю
аналитического направления в области оснований геометрии, связанного
с именами Ли if Клейна. Интересующиеся вопросом найдут его
прекрасное изложение в книге В. Ф. Кагана «Основания
геометрии», том II, «Исторический очерк развития учения об
основаниях геометрии». Первый том той же книги посвящен
обоснованию геометрии на весьма оригинальных началах, объединяющих
в себе в известной мере и аналитическое и синтетическое
направления.
2i:

20
П. К. РАШЕВСКИЙ
не определяется и не должно определяться. Всё, что на
этот счёт нужно знать, формулировано в аксиомах, как и
должно быть при аксиоматическом построении геометрии.
Аксиомы принадлежности у Паша (сам Паш их не
выделяет в особую группу, как было сделано позже
Гильбертом) страдают одним недостатком: они чрезмерно
усложнены из-за рассмотрения кусков прямьк и плоскостей
вместо самих прямых и плоскостей. В остальном они
выбраны удачно, и Гильберт, устранив этот недостаток, весьма
близко их воспроизводит в своей I труппе аксиом.
В числе первых 12 аксиом Паша помещены далее и те,
которые позже были оформлены Гильбертом в виде
II группы аксиом и названы аксиомами порядка. В
формулировке этих аксиом заключается наибольшая заслуга
Паша. Действительно, мы без труда представляем себе
расположение точек на прямой линии, и наглядно для нас
совершенно ясно, например, что если С лежит между А
и D и В лежит между А и С, то В лежит между А
и D. Но при аксиоматическом построении геометрии
наглядность не должна применяться в доказательствах, и все
такого рода предложения должны логически вытекать из
некоторых из них, принятых за основные. Пашу
действительно удалось выделить такие основные предложения и
формулировать их в качестве аксиом. Сюда входит,
например, только что формулированное предложение и
несколько других того же характера; особняком стоит
особенно важная аксиома, касающаяся расположения точек уже
не на прямой, а на плоскости; она и сейчас известна под
названием аксиомы Паша (у Гильберта это аксиома И4).
Однако Паш сильно преувеличил число аксиом,
нужных для установления порядка точек; у Гильберта II группа
аксиом гораздо скромнее по объёму. Правда, это
достигнуто за счёт того, что для установления порядка точек
на прямой привлекается плоская аксиома порядка (аксиома
Паша); автономно же порядок точек на прямой у
Гильберта установлен быть не может.
Сверх упомянутых 12 аксиом Паш даёт ещё 10
аксиом, относящихся к понятию конгруентности фигур (это
соответствует III группе аксиом Гильберта). Эти аксиомы

СОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
21
чрезвычайно тяжеловесны по сравнению с тем минимумом,
который необходим для логического вывода всех свойств
конгруентности. Аксиома Архимеда, между прочим, включена
в число этих аксиом (у Гильберта она входит в V группу).
В общем Паш подошёл очень близко к системе аксиом,
достаточной для развития геометрии. Впрочем, его
основная цель заключалась в другом: во включении метрической
геометрии в проективную путём введения идеальных
элементов. С этой точки зрения его исследования
представляют интерес и сейчас.
Ряд работ, посвященных основаниям геометрии,
принадлежит; далее,итальянским учёным — Пеано и его ученикам.
Исследование самого Пеано «Логически изложенные основания
геометрии» (G. Ре a no, Principii di geometria logicamente
esposti, 1889) посвящено сравнительно узкой задаче.
У Пеано даны лишь аксиомы, соответствующие 1 и II группе
аксиом Гильберта, т. е. аксиомы соединения и порядка.
Зато в этой ограниченной области Пеано, действительно,
достиг логической отточенности изложения. Ученики Пеано,
продолжая его работу, ограничивались аксиоматикой,
главным образом, проективной геометрии. Мы остановимся
поэтому лишь на одном исследовании Пиери
«Элементарная геометрия как дедуктивная система» (М. Fieri,
Delia geometria elementare come sistema ipotetico dedut-
tivo,. 1899), непосредственно относящемся к нашей теме.
Здесь Пиери предлагает» своеобразно построенную
аксиоматику евклидовой геометрии.
Повидимому, Пиери стремился свести к минимуму
число основных понятий, т. е. таких понятий, которые
вводятся без прямого определения и косвенно
определяются всей системой аксиом. Таких понятий у Пиери
лишь два. «точка» и «движение». Одна из аксиом (IV
аксиома) Пиери утверждает, что каждое движение есть
взаимно однозначное отображение совокупности точек в себя.
Но это не есть ещё полное определение движения, так
как остальные аксиомы накладывают на это понятие
дополнительные ограничения. Так, например, аксиома VIII
утверждает, что если а, #, с — различные точки и хоть
одно из движений (не являющееся тождественным преобразо-

22
П. К. РАШЕВСКИЙ
ванием) оставляет их в покое, то всякое движение,
оставляющее на месте а и Ь, оставляет на месте и с. Таким
образом, не всякое взаимно однозначное отображение точек
в точки будет движением.
Точки а, Ь, с, обладающие свойством, указанным
в аксиоме VIII, называются прямолинейно расположенными.
Исходя отсюда, Пиери даёт определение прямой линии,
а вслед за этим и определение плоскости. А именно,
плоскостью называется совокупность точек, получаемая
таким образом. Берутся три точки а, &, с, не лежащие на
одной прямой, и, например, а соединяется прямыми с
точками прямой be. Точки таких прямых по определению и
образуют плоскость. В дальнейших аксиомах фигурируют
уже понятия прямой и плоскости. Затем даётся крайне
искусственное определение понятий «между», и в
дальнейшем это понятие фигурирует в аксиомах. Сфера
определяется как совокупность точек, получаемых из одной
точки всевозможными движениями, оставляющими на месте
некоторую другую точку.
Система аксиом Пиери страдает недостатками в
следующих отношениях. Стремясь к минимальному числу
основных понятий, Пиери ради этого формального
упрощения крайне усложнил свою систему по существу. Многие
из его аксиом очень тяжеловесны. Например, аксиома XIV:
«Если я, b и с суть точки, не лежащие на одной прямой, a du
е суть точки плоскости abc, отличные от с и
принадлежащие двум сферам, проходящим через точку с и имеющим
центры в точках а и &, то эти две точки d и е совпадают».
Если попытаться свести эту формулировку к основным
понятиям «точка» и «движение», учитывая, что понятия
плоскости и сферы даются прямыми определениями через
основные понятия, то получится нечто неописуемо сложное.
Чрезмерно уменьшив число основных понятий, Пиери был
вынужден вводить изгнанные основные понятия («прямая»,
«плоскость», «между») посредством искусственных
определений. Вследствие этого не было выявлено естественное
логическое расчленение аксиоматики по областям действия
отдельных основных понятий, логические связи были даны в
запутанном виде, и система приобрела весьма тяжеловесный вид.

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
23
АКСИОМАТИКА ГИЛЬБЕРТА (I—IV ГРУППЫ АКСИОМ)
Как и работа Пиери, «Основания геометрии» Гильберта
появились в первом издании в 1899 году (D. Н i 1 b е г t,
Grundlagen der Geometrie). Настоящий перевод сделан
с седьмого издания 1930 г. За истекший значительный
срок Гильберт внёс в свою аксиоматику ряд
исправлений и уточнений, не меняя, однако, её характера в чём-
либо существенном. Мы дадим здесь обзор его
аксиоматики в её современном виде, указывая попутно, какие
изменения произошли со времени первого издания.
Основная заслуга Гильберта, благодаря которой его
труд на наших глазах становится классическим,
заключается в следующем. Гильберту удалось сконструировать
аксиоматику геометрии, расчленённую настолько
естественным образом, что логическая структура геометрии
становится совершенно прозрачной. Это расчленение аксиоматики
позволяет, во-первых, формулировать аксиомы наиболее
простым и кратким образом и, во-вторых, исследовать, как
далеко можно развивать геометрию, если класть в её
основу не всю аксиоматику, а те или иные группы аксиом,
на которые естественным образом расчленяется аксиоматика.
Такого рода логический анализ, выясняющий роль
отдельных групп аксиом, действительно проведён Гильбертом
в ряде интересных исследований, которые и составляют,
в сущности, большую часть его книги.
Кроме того, работа Гильберта дала толчок целому ряду
дальнейших исследований в этом же направлении; о
некоторых из них он упоминает в подстрочных примечаниях.
Сейчас мы займёмся самой аксиоматикой Гильберта,
изложенной в I главе.
В системе Гильберта рассматриваются вещи трёх
сортов: «точки», «прямые» и «плоскости», и трёх сортов
отношения между вещами, выражаемые словами
«принадлежит», «между» и «конгруентен». Это — основные понятия,
и, строго говоря, в системе Гильберта изучаются только
указанные вещи и указанные отношения между ними. Все
остальные понятия вводятся посредством прямых
определений на основе перечисленных шести основных понятий.

24
П. К. РАШЕВСКИЙ
Что же представляют собою эти основные понятия? Мы
уже говорили о том, что геометрия как математика
интересуется лишь чисто логическим выводом предложений
геометрии из некоторого ограниченного их числа. Эти особо
выделенные предложения принято называть аксиомами. Но если
выводы из аксиом делаются исключительно по правилам
формальной логики, то совершенно безразлично, чтб именно
подразумевать под вещами («точка», «прямая», «плоскость»)
и под отношениями этих вещей («принадлежит», «между»,
«конгруентен»), лишь бы можно было считать, что аксиомы
имеют место. В самом деле, формальная логика потому и
носит эпитет «формальная», что её выводы справедливы
в силу самой своей формы, независимо от того, чтб
именно мы будем понимать, по существу, под теми
вещами, о которых мы рассуждаем. Поэтому при
аксиоматическом построении геометрии строго логически доказанная
теорема остаётся верной, чтб бы мы ни понимали под
«точками», «прямыми», «принадлежностью точки прямой»
и т. д., если только остаются верными аксиомы, на
которые мы опирались при доказательстве. В частности, не
обязательно связывать с точками, прямыми и т. д.
обычные наглядные представления.
Итак, под «точками», «прямыми», «плоскостями»
и под отношениями «принадлежит», «между»,
«конгруентен» мы понимаем некоторые вещи и отношения,
относительно которых известно только то, что они
удовлетворяют аксиомам. Для этих вещей и отношений
не даётся, следовательно, никаких прямых определений; но
можно сказать, что система аксиом косвенным образом
характеризует их в совокупности.
Первая группа аксиом (стр. 56) содержит 8 аксиом.
Здесь перечислено всё то, что при построении геометрии
нам нужно знать об отношениях «точка принадлежит
прямой» и «точка принадлежит плоскости». Совершенно
необязательно при этих словах представлять себе маленький
шарик, насаженный на длинный стержень, и т. п., равно
как необязательно вкладывать в эти слова вообще какой
бы то ни было определённый смысл. Но зато обязательно
знать, что если даны две различные точки, то существует

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
25
одна и только одна прямая, которой принадлежит каждая
из этих точек (аксиомы 1, и 12) и т. д. Таким образом,
некоторое отношение, которое возможно между точкой и
прямой, точкой и плоскостью и которое мы выражаем
термином «принадлежит», подчинено лишь тому
требованию, что для него должны иметь место 8 аксиом I группы.
Связывать же с этим отношением какие-либо другие идеи —
в принципе излишне, по крайней мере, при аксиоматическом
построении геометрии.
В этом смысле мы можем сказать, что 1 группа
аксиом служит косвенным определением понятия
«принадлежит». Гильберт в дальнейшем пользуется обычно
терминологией «лежит на», «проходит через» и т. д. Разумеется,
здесь нет никаких новых» понятий, а только изменено
словесное выражение прежнего понятия.
Итак,» в I группе аксиом охарактеризовано наиболее
фундаментальное понятие «принадлежит». При
формулировке аксиом последующих групп это понятие
предполагается уже установленным, так как существенно входит
в самые формулировки.
Во II группе аксиом (стр. 58) речь идёт о некотором
отношении, могущем иметь место для одной точки и двух
других точек, принадлежащих одной и той же прямой.
Это отношение мы называем словом «между». Всё, что
может потребоваться от понятия «между» при логическом
развитии геометрии, исчерпывающе перечислено в 4
аксиомах II группы. Наглядное представление о точке,
лежащей на прямой между двумя другими, может,
следовательно, и не привлекаться без какого-либо
принципиального ущерба для развёртывания геометрии. Важнейшую роль
в этой группе аксиом играет аксиома Паша (114),
характеризующая свойства понятия «между» для отрезков,
образующих треугольник (и не умещающихся, следовательно, на
одной прямой). Остальные три аксиомы относятся лишь к
прямолинейному расположению точек и очень скромны
по своему содержанию. Сами по себе они недостаточны,
чтобы охарактеризовать отношение «между» даже для
точек, расположенных на одной прямой. Они становятся
достаточными для этой цели только с привлечением на по-

26
П. К. РАШЕВСКИЙ
мощь аксиомы Паша, а следовательно, плоскостных
построений.
Интересно заметить, что сравнительно с первым
изданием сочинения Гильберта эта группа аксиом значительно
сокращена. Оказались лишними следующие имевшиеся
в первом издании требования: между двумя данными
точками всегда можно указать третью (теперь — теорема 3);
из трёх данных точек на прямой по крайней мере одна
лежит между двумя другими (теперь — теорема 4; но
осталось требование, что не более одной — аксиома П3);
четыре точки на прямой всегда можно занумеровать так,
что в каждой тройке из них точка с промежуточным
номером лежит между двумя другими (теорема 5). Самым
крупным упрощением здесь явилась возможность доказать
и тем устранить из числа аксиом последнее утверждение.
Это было сделано Муром в 1902 г.
На основе понятия «между», характеризуемого
аксиомами II группы, вводятся уже посредством прямых
определений понятия — отрезок, луч (полупрямая), угол и его
внутренность (в книге угол вводится лишь после III группы
аксиом, хотя его естественное место — после II группы).
При переходе к III группе аксиом (стр. 66) мы
замечаем, что в самой их формулировке участвует уже
понятие «между», так как речь идёт об отрезках и углах,
а определения отрезка и угла содержат понятие «между».
Таким образом, отношения «принадлежит» и «между»
нужно предполагать уже установленными.
Аксиомы III группы имеют целью формулировать те
свойства отношения конгруентности, которые были бы
достаточны для чисто логического вывода всех теорем,
где отношения конгруентности фигурируют. Мы
принимаем, следовательно, что один отрезок или угол может
находиться к другому в определённом отношении, которое
обозначается словом «конгруентен» и относительно
которого известно только то, что оно подчиняется аксиомам
III группы.
Вследствие этой точки зрения мы не имеем права
приписывать понятию конгруентности даже самых
«очевидных» свойств (что всякий отрезок конгруентен самому себе;

ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
27
что если первый угол конгруентен второму, то второй
конгруентен первому и т. д.), пока эти свойства не
доказаны совершенно строгим образом на основании аксиом.
Между прочим, второе из приведённых в скобках
утверждений доказывается довольно поздно — оно вытекает
лишь из теоремы 19. До тех пор нельзя считать, что
«§С а = <Х [* и «gCj3 = «gCa означает одно и то же.
Первые три аксиомы III группы относятся к конгруент-
ности отрезков, четвёртая — к конгруентности углов;
особенно крупную роль играет пятая аксиома,
единственная устанавливающая связь между конгруентностью
отрезков и конгруентностью углов.
В первом издании аксиомы конгруентности были
формулированы излишне сидьно. Некоторые из них позже
удалось доказать, исходя из остальных. Сюда относятся
следующие утверждения: существует не более одного отрезка,
которому конгруентен данный отрезок и который отложен
от данной точки по данному лучу (т. е. в аксиоме III1
ранее требовалось не только существование, но и
единственность точки Б'); всякий отрезок конгруентен сам
себе; два угла, конгруентные третьему, конгруентны между
собой. Наибольшим упрощением здесь явилось удаление
из числа аксиом последнего утверждения (теперь —
теорема 19). Возможность доказать это утверждение была
обнаружена Розенталем.
Четвёртая группа аксиом состоит из единственной
аксиомы, именно, аксиомы параллельности. Её присоединение
превращает нашу геометрию в евклидову; напротив,
отрицание этой аксиомы приводит нас к геометрии Лобачевского.
АКСИОМЫ НЕПРЕРЫВНОСТИ И НЕАРХИМЕДОВА
ГЕОМЕТРИЯ
Совершенно особое положение занимают аксиомы
V группы (аксиомы непрерывности), завершающие список
аксиом. В первом издании в этой группе имелась лишь
одна аксиома, именно Vx, известная аксиома Архимеда
(«откладывая достаточное число раз отрезок, конгруентный
данному, можно превзойти любой наперёд заданный отрезок»).

28
П. К. РАШЕВСКИЙ
Может показаться странным, что сначала Гильберт
не обратил внимания на недостаточность этих аксиом для
построения евклидовой геометрии в обычном смысле слова.
Действительно, возьмём обычное евклидово пространство,
отнесённое к прямоугольным декартовым координатам
ху у, г, и выкинем из него все точки, кроме тех, для
которых все три координаты х, у и z суть алгебраические
числа. Не представит труда проверить, что в таком
«изрешечённом» пространстве сохраняют свою силу все
аксиомы Гильберта, а между тем пространство будет неполным.
Этот пробел в аксиоматике был указан Гильберту
некоторыми авторами (Пуанкаре, 1902), после чего во
второе издание «Оснований геометрии» была введена ещё
одна аксиома: аксиома полноты V2 (в последнем издании
она формулирована в несколько упрощённом виде, как
аксиома линейной полноты).
Такое, казалось бы, странное явление, как пропуск
аксиомы полноты в первом издании, находит себе
объяснение, если ознакомиться с содержанием книги в целом. Дело
в том, что, по существу, центральной идеей книги
Гильберта является развитие геометрии независимо от аксиом
непрерывности. Поэтому отсутствие аксиомы полноты не
приводило к фактическим ошибкам или пробелам в
доказательствах; после введения этой аксиомы она остаётся
мертворождённой и нигде в изложении не применяется.
Сама формулировка аксиомы полноты весьма-
искусственна и сразу обличает её цель — придать системе аксиом
формальную законченность, заполнить те «скважины» в
пространстве, которые возможны, как было указано выше,
если ограничиться предыдущими аксиомами. А именно,
постулируется, что совокупность точек, прямых и
плоскостей нельзя дополнить новыми элементами так, чтобы
в расширенной совокупности попрежнему имели место
все предыдущие аксиомы и чтобы отношения «принадлежит»,
«между», «конгруентен» в применении к старым объектам
имели прежний смысл.
Эта формулировка в последнем издании несколько
сужена (аксиома линейной полноты), но основная идея её
остаётся той же, Как очевидно, эта идея заключается в том,

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
29
что, грубо говоря, запрещается рассматривать пространство
неполное, пространство, из которого выкинута часть точек,
прямых и плоскостей. А именно эту возможность и
требовалось устранить.
Мы уже упоминали, что аксиомы непрерывности
занимают совсем особое место в аксиоматике Гильберта; они
являются её пасынками, без них автор охотно обходится:
без аксиомы полноты — всегда, без аксиомы Архимеда —
большей частью. Мы должны здесь ближе рассмотреть
весьма глубокие причины этого явления.
Если ограничиться аксиомами I—IV, то весьма
характерным явлением для аксиоматики Гильберта будет
фактическое отсутствие понятия о бесконечном множестве.
Правда, сам автор часто даёт формулировки, которые
естественно понять в смысле теории множеств. Например,
начало изложения: «Мы мыслим три различные системы
вещей...» естественно понять так, что рассматриваются
три каких-то множества. Однако такого рода
формулировки остаются, по существу, в области деклараций, а
фактическое изложение идёт мимо них. В самом деле,
присмотримся ближе к характеру изложения с этой точки
зрения. Прежде всего, очень важно, что Гильберт
отказался от понимания прямых и плоскостей как
составленных из точек бесконечных множеств, а ввёл прямую
и плоскость как самостоятельные основные понятия.
А в таком случае в формулировке любой аксиомы и в
доказательстве любой элементарно геометрической теоремы
фигурирует, очевидно, лишь конечное число точек (равно
как прямых и плоскостей), и понятие о бесконечном
множестве остаётся праздным. В частности, нет никакой
надобности мыслить, например, множество всех точек на
прямой, на плоскости, в пространстве (такое множество
необходимо было бы бесконечным). Ни в одной из
аксиом множества такого рода не фигурируют. Если же
в каком-нибудь предложении утверждается существование
(или несуществование) точки с таким-то свойством
(например, точки, лежащей между двумя данными), то это
нужно понимать непосредственно в смысле
разрешения (или запрещения) рассматривать точку с данным свой-

30
П. К. РАШЕВСКИЙ
ством. Совершенно необязательно представлять себе
при этом множество всех точек, в котором, как элемент,
существует (или не существует) точка с данным
свойством.
Точно так же, рассматривая, например, разбиение
прямой на две полупрямые посредством взятой на ней
точки О, нет надобности говорить о разбиении на две
части множества всех точек на прямой (кроме О). По
существу, речь идёт о том, что, строя в процессе наших
рассуждений точки на прямой, мы про каждые две из них
Л, В можем сказать, лежат ли они на разных полупрямых,
определяемых О (когда О лежит между Л, В), или на
одной полупрямой (когда О между Л и В не лежит).
Другими словами, разбиение на два класса осуществляется
для всех точек, фактически встречающихся в наших
рассуждениях, как бы далеко мы их ни продолжали; и этого
для нас достаточно. Но таких точек будет всегда лишь
конечное число, и понятие о бесконечной совокупности
всех точек прямой снова остаётся излишним.
Рассматривая аналогичным образом шаг за шагом всё
изложение, мы убеждаемся, что, по существу, везде, речь
идёт о конечных конструкциях, законы построения которых
дают нам аксиомы. Ничто, по существу, не вынуждает нас
прибегать к понятиям, теории множеств.
Всё сказанное относится — напоминаем-^-к аксиомам
I—IV и той части геометрии, которая вытекает из них.
Совсем иначе обстоит дело с аксиомами непрерывности V,
и тут лежит пропасть, отделяющая их от предшествующих.
Аксиомы непрерывности существенно предполагают
понятие о бесконечном множестве, без чего они не могут
быть формулированы. Действительно, в формулировке
аксиомы полноты прямо говорится о множестве всех точек
(в случае аксиомы линейной полноты— о множестве всех точек
на прямой). Теоретико-множественная точка зрения, в
противоположность аксиомам I—IV групп, лежит здесь в
самом фундаменте.
Но и более безобидная, казалось бы, аксиома Архимеда
тоже предполагает понятие о бесконечном множестве. В
самом деле, мы берём какой-то отрезок Л0Д1 и какой-

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
31
то отрезок B0BV Мы начинаем затем строить на луче
/10Д1 последовательно точки Д0, Al9 Аъ Л3, . .. так, что
АгА2, А2АВ, АгА±,. .. конгруентны A0AV Мы
утверждаем, что в построенной последовательности найдётся такая
точка Ап, что отрезок А0Ап превзойдёт B0BV
В каждом отдельном случае нам понадобится, таким
образом, лишь конечное число точек Л0, Ах,. .. , Ап. Но
когда мы формулируем аксиому в общем виде, то мы
должны охватить все возможные случаи, а среди них
будут встречаться случаи со сколь угодно большими
номерами я.
Следовательно, в общей формулировке аксиомы нам
нельзя иметь в виду лишь часть последовательности Л0,
Av Л2, Л3) • • • > а приходится брать эту бесконечную
последовательность целиком ы утверждать, что в ней
находятся точки Ап с требуемым свойством А0Ап^> В0В1. Мы
не сможем, таким образом, формулировать аксиому
Архимеда, не имея понятия о бесконечной последовательности.
Возникает вопрос — в каком смысле существенно, что
аксиомы I—IV, в противоположность аксиомам V, не
требуют теоретико-множественных понятий?
Развивая геометрию на основе аксиом I—IV, мы
можем опираться на законы формальной логики, применяя
их только к фактически рассматриваемым в
доказательствах всегда конечным, вполне обозримым конструкциям.
Все рассуждения, благодаря этому, носят совершенно
прозрачный характер, и у нас не возникает ни малейшего
повода к каким-либо неясностям.
Напротив, принимая аксиомы V, мы вынуждены сущест-
венным образом иметь в поле зрения и бесконечные
множества. И это вносит уже некоторую неясность
принципиального характера: мы хотим обосновать геометрию,
а между тем опираемся на теорию множеств, которая сама
нуждается в обосновании, как и всякая математическая
теория. Возникает необходимость расширить круг
исследования, и во всяком случае та полная прозрачность,
свойственная конечным конструкциям, теперь исчезает.
Мы не ставим себе целью входить более глубоко в эти
вопросы, но и сказанное выясняет принципиальный харак-

32
П. К. РАШЕВСКИЙ
тер того осложнения в основах геометрии, которое
вносится аксиомами непрерывности V1 и V2.
Крупнейшим доотижением Гильберта в области
логического анализа геометрии явилось как раз то,
что он обнаружил возможность развить геометрию
во всём существенном, не пользуясь аксиомами
непрерывности.
Геометрию, лишённую аксиом непрерывности, мы будем
называть неархимедовой геометрией. Именно ей
преимущественно и посвящена книга Гильберта, как мы убедимся
из последующего обзора содержания*).
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ КНИГИ. ГЛАВЫ ТРЕТЬЯ И
ЧЕТВЁРТАЯ: НЕАРХИМЕДОВА МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Первая глава содержит аксиоматику, о которой мы уже
говорили, а также ряд теорем, наиболее непосредственно
вытекающих из аксиом. Необходимо обратить внимание
читателя на всю важность овладения доказательствами
этих теорем. Весьма нетрудно просмотреть и даже
запомнить аксиомы гильбертовой системы, но это ничего не
даст для математического развития, если не научиться
фактически с этими аксиомами оперировать, т. е. строго
логически доказывать теоремы на основании этих аксиом.
Изложение Гильберта от издания к изданию изменялось
в сторону большей доступности и полноты. Однако и
теперь в нём имеется большое количество пробелов в
доказательствах, заполнить которые предоставляется читателю.
Между тем, такое положение вещей сильно снижает
педагогическую ценность книги. Дело не только в том, что
некоторые из опущенных доказательств достаточно трудны.
Ещё более важно другое: начинающий читатель, даже
построив доказательство, вряд ли сможет вполне уверенно
отдать себе отчёт, безукоризненно ли его доказательство
с логической стороны, или в нём где-нибудь просколъзнуло
*) Сам автор употребляет термин «неархимедова геометрия»
обычно в несколько более узком смысле: в смысле такой
геометрии, где аксиомы непрерывности не только не используются,
но и заведомо неверны.

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
33
допущение, заимствованное из наглядного представления.
Поэтому редактор и переводчик поставили себе целью
восполнить пробелы изложения посредством примечаний,
которые приложены в конце книги (стр. 403—488). В
результате можно считать, что доступность изложения
приближается теперь к уровню учебника для университетов.
О второй главе сочинения Гильберта, которая
посвящена логическим проблемам, возникающим в связи с
аксиоматикой, мы скажем несколько позже, а сейчас
переходим от первой главы прямо к третьей и четвёртой.
Уже те основные теоремы, которые доказываются в
первой главе (теоремы 1—31), не зависят от аксиом
непрерывности и относятся, таким образом, к неархимедовой
геометрии. Так же обстоит дело в главах третьей и
четвёртой. Однако по сравнению с первой главой здесь
имеется весьма существенное осложнение.
Целью третьей главы является введение понятия о
пропорциональности отрезков и, в частности, обоснование
теории подобия в неархимедовой геометрии) в четвёртой же
главе строится неархимедова теория площадей. В обычном
изложении эти задачи решаются путём привлечения в
геометрию числа. А именно, каждой паре отрезков АВ, CD
хорошо известным способом относится действительное число,
выражающее их отношение. Поделив один отрезок,
например АВ, на п равных частей, мы откладываем отрезок
АВ
— последовательно до тех пор, пока не получим отрезка,
превосходящего CD. Пусть это случится впервые, когда
отрезок — отложен т -(- 1 раз. Тогда можно доказать,
/и + 1
что —!— при п —> оо стремится к определенному пределу;
CD
этот предел и называется отношением -jgr.
Мы видим, что это построение существенно предполагает
аксиому Архимеда: в неархимедовойгеометриивозможнотакое
положение вещей, что сколько бы мы ни откладывали отрезок
АВ
—, мы никогда не превзойдём отрезка CDy а
следовательно, не сможем определить и числа т-\-\. Возможно
3 д. Гильберт

34
П. К. РАШЕВСКИЙ
также, что, как бы велико п мы ни брали, — будет
больше отрезка CD, так что т-\-\ всегда равно 1, и в
CD
качестве отношения -j^ придется принять нуль, хотя
отрезок CD не вырождается в точку.
Таким образом, в неархимедовой геометрии мы не
можем характеризовать отношение отрезков числом по
обычному способу. Тем самым мы теряем возможность
говорить о пропорциональности отрезков в обычном смысле
слова (равенство отношений),, и теория подобия становится
беспредметной. Невозможным становится также и
измерение площадей, так как понятие об отношении площадей
рушится по совершенно аналогичным причинам. Кроме того,
выражение, например, площади треугольника
полупроизведением основания на высоту теряет смысл уже потому,
что у нас отсутствуют численные выражения для
основания и высоты (в обычном изложении — это
отношения отрезков основания и высоты к отрезку, принятому
за единицу длины).
Гильберт обходит эту трудность весьма интересным и,
главное, естественным и геометричным методом. Он
обнаруживает, что и нет необходимости опираться в
геометрии на понятие числа; что средствами самой геометрии
можно создать исчисление (исчисление отрезков), которое
предоставит нам те же удобства, что и арифметика
действительных чисел.
_ Прежде всего, в § 13 это исчисление даётся в
абстрактном виде. Рассматриваются некоторые объекты —
Гильберт называет их числами комплексной числовой системы.
На эти объекты накладывается ряд требований,
перечисленных в аксиомах. А именно, аксиомы 1—12
устанавливают для этих обьектов операции сложения и умножения
(и обратные им) с обычными свойствами.
При этом, не нужно, конечно, операциям сложения и
умножения пытаться придавать какой-либо наглядный,
содержательный смысл. Сложение — это просто некоторый
закон, по которому каждой паре объектов сопоставляется
некоторый третий объект; умножение — это закон ана-

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
35
логичного .характера. Всё, что нам нужно для
дальнейшего знать об этих законах, перечислено в указанных
аксиомах.
Совокупность объектов, удовлетворяющих аксиомам
1—12, называется в современной алгебре полем. При
наличии аксиомы 12 поле называется коммутативным, в
противном случае — некоммутативным.
Но нам недостаточно иметь вообще поле; нам нужно
ещё это поле упорядочить. Аксиомы 13—16 вводят для
рассматриваемых объектов соотношения «больше» и
«меньше» и указывают свойства этих соотношений. Конечно, и
здесь никаких наглядных представлений о «величине»
наших обьектов не предполагается, а всё, что о понятии
«больше» следует знать,' исчерпывающе дано в
аксиомах 13—16.
Итак, аксиомами 1—16 характеризуется упорядоченное
поле, и исчисление, таким образом определённое (выкладки
с элементами поля), как раз и будет играть у нас основную
роль. Что же касается аксиом непрерывности 17—18, то
они, как можно доказать, превращают упорядоченное поле
вообще (определённое аксиомами 1—16) в поле всех
действительных чисел. В неархимедовой геометрии эти
аксиомы в исчислении отрезков места иметь не будут, в
соответствии с отсутствием аксиом непрерывности в самой
геометрии.
Далее, в главе III, э'то абстрактно охарактеризованное
исчисление с аксиомами 1—16 осуществляется
геометрически. А именно, в качестве объектов исчисления берутся
отрезки в неархимедовой геометрии (причём на их
положение в пространстве внимания не обращается, и конгру-
ентные между собой отрезки считаются одним и тем же
объектом).' Операции сложения и умножения (§ 15)
отрезков вводятся геометрическим путём, в случае сложения
совершенно очевидным. Понятие «больше» определяется
тоже геометрически, обычным образом. Можно проверить,
что аксиомы 1—16 будут иметь место в этом исчислении
отрезков. Фундаментальную роль при этой проверке играет
теорема, которую Гильберт называет коротко теоремой
Паскаля. По существу, это — частный случай теоремы
3*

36
П. К. РАШЕВСКИЙ
Паскаля, когда коническое сечение распадается на пару
прямых и когда противоположные стороны шестиугольника
параллельны.
Необходимо иметь в виду, что отрезки, как элементы
исчисления, представят нам непосредственно лишь
положительные элементы упорядоченного поля, характеризуемого
аксиомами 1—16. Чтобы получить это поле полностью,
приходится — как это сделано в § 17— ввести в
рассмотрение ещё «отрезок-нуль» и «отрицательные отрезки».
Если ограничиться отрезками, откладываемыми по одной
прямой, и условиться брать отрезок всегда с определённым
порядком концов, то положительные и отрицательные
отрезки можно характеризовать геометрически по обычному
способу.
Для построения всего существенного в теории подобия
(§ 16) достаточно пользоваться лишь положительными
отрезками. Сущность неархимедовой теории подобия
основана на том, что мы теперь опять можем говорить
об отношении двух отрезков а, Ь, но уже не как о
числе, а как об отрезке, полученном путём деления а на
b в нашем исчислении. Пропорциональность отрезков
a, b отрезкам а\ Ь' может быть определена равенством
отрезков
— = — или, что то же, abf = ba'.
Однако в тексте не говорится явно об отношении
отрезков как об отрезке, так как отношение в этом случае
страдало бы серьёзным недостатком: оно зависело бы от
выбора единичного отрезка в нашем исчислении. Тем не
менее пропорциональность отрезков a, b и а\Ь\
определённая как выше, имеет инвариантный смысл, что видно
хотя бы из теоремы 42. А так как для теории подобия
важна лишь пропорциональность отрезков с её обычными
свойствами, то эта теория строится без затруднений
в полном соответствии с обычным изложением.
Неархимедова теория площадей, изложенная в
четвёртой главе, совершенно аналогичным образом использует
исчисление отрезков взамен невозможного "сейчас
выражения отрезков числами и операций над последними.

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА 37
Сначала определяется равновеликость двух
многоугольников по разложению (возможность разложения на попарно
конгруентные треугольники) и равновеликость по
дополнению (возможность разложения на попарно конгруентные
треугольники после подходящего расширения того и другого
многоугольника за счёт попарно конгруентных
треугольников). Эти понятия, эквивалентные в обычной
геометрии, оказываются неравноценными в геометрии
неархимедовой. Приходится положить в основу более широкое из
них по объёму, именно равновеликость по дополнению.
Гильберт показывает, что треугольники с одинаковыми
основаниями и высотами всегда равновелики по дополнению,
но могут оказаться неравновеликими по разложению.
После установления основных свойств равновеликости
по дополнению (теорему'43—47), сходных с обычными,
возникает важная задача: доказать, что многоугольник не
может быть равновелик по дополнению своей части (в этом
смысл теоремы 48). Если бы это было не так, то понятие
равновеликости потеряло бы свою ценность, так как мы
не имели бы возможности дополнить его понятиями «больше»
и «меньше» в применении к площадям. Действительно,
естественно принять, что один многоугольник меньше
другого по площади, если первый многоугольник равновелик
части второго многоугольника. Но если многоугольник
способен быть равновеликим своей части, то приходится
принять, что он меньше себя самого и т. д., что
совершенно обесценивает понятия «больше» и «меньше».-
Таким образом, в расширенном виде наша задача
сводится к следующему: ввести для многоугольников понятия:
«равно», «больше» и «меньше» с их обычными свойствами
и притом так, чтобы роль равенства играла выше уже
определённая равновеликость по дополнению и чтобы
многоугольник, заключённый в другом многоугольнике,
расценивался всегда как меньший (и следовательно, как неравный).
Эта задача решается Гильбертом путём сопоставления
каждому многоугольнику определённого отрезка, который
называется мерой площади многоугольника. А именно,
каждому треугольнику сопоставляется отрезок, равный
полупрэизведению основания на высоту, в смысле исчисле-

38
П. К. РАШЕВСКИЙ
ния отрезков. Каждому многоугольнику сопоставляется
сумма отрезков, отвечающих треугольникам, на которые
данный многоугольник разбивается. При этом доказывается,
что от способа разбиения эта сумма не зависит. Основной
результат формулируется в теореме 51: для равновеликости
многоугольников по дополнению необходимо и достаточно
равенство их мер площади. Тем самым понятия «равно»,
«больше» и «меньше» для многоугольников (в смысле их
площади) без труда могут быть введены путём сравнивания
соответствующих отрезков (мер площади). В частности,
если один многоугольник вложен в другой, то мера
площади последнего, как легко вытекает из определения,
есть мера площади вложенного многоугольника плюс мера
площади остатка, а значит, больше каждого из двух
слагаемых. Заметим, что мы считаем здесь всё время меру
площади существенно положительным отрезком. Правда,
в тексте в зависимости от ориентации многоугольника
рассматривается и отрицательная мера площади, но это удобно
лишь в процессе доказательства (теоремы 49 и 50), а для
окончательной формулировки результатов является
совершенно лишним.
В заключение следует выяснить, в каком отношении
стоит эта теория площадей к традиционному материалу
элементарной геометрии. Если мы откажемся от
неархимедовой точки зрения, то отрезки мы сможем выражать
числами, и всю предыдущую теорию сможем развить,
рассматривая- меру площади как число (вместо перемножения
отрезков основания и высоты в треугольнике мы
перемножаем числа, их выражающие). Однако это всё-таки не
будет теория, обычно излагаемая в учебниках. Дело в том,"
что в обычном изложении молчаливо предполагается, что
каждому многоугольнику можно сопоставить положительное
число так, чтобы конгруентным многоугольникам
сопоставлялись равные числа, чтобы составному многоугольнику
сопоставлялась сумма чисел, отвечающих его частям,
и чтобы единичному квадрату была сопоставлена единица.
Всё это предполагается очевидным без всякого
доказательства, а в дальнейшем исследуется лишь, каковы в таком
случае будут эти числа, и доказывается, что для треуголь-

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
39
ника это будет обязательно полупроизведение основания
на высоту, и т. д.
Теория же Гильберта, перенесённая в элементарную
геометрию, показывает нам, что каждому многоугольнику
действительно можно сопоставить положительное число
с перечисленными свойствами. Говоря коротко, теория
Гильберта показывает существование меры площади, а обычная
теория — её единственность.
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ. ГЛАВЫ ПЯТАЯ И ШЕСТАЯ:
НЕАРХИМЕДОВА ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
В этих главах мы отказываемся от аксиом III группы,
лишаемся, таким образом, понятия о конгруентности
отрезков и углов и переходим тем самым, по существу,
в область проективной геометрии. Более подробно на этом
мы не останавливаемся, так как соответствующие пояснения
даны в примечании [60] (стр. 459). Заметим только, что
аксиомами непрерывности мы тоже большей частью
пользоваться не будем, так что можно сказать, что предметом
исследования будет служить неархимедова проективная
геометрия.
Правда, в буквальном смысле изложение Гильберта,
правильнее было бы сказать, относится к неархимедовой
афлнной геометрии. Но если ввести в рассмотрение
несобственные (бесконечно-удалённые) элементы, как это сделано
в примечании [60], то получается пространство, которое
можно назвать неархимедовым проективным пространством,
и всё изложение можно использовать в значительно более
широком смысле. А именно, все построения, данные в
тексте, можно рассматривать в неархимедовом проективном
пространстве, из которого выкинута одна произвольно
выбранная плоскость. Под параллелизмом прямых нужно
понимать при этом их пересечение на этой плоскости.
Следует иметь в виду, что в примечании [60]
построение неархимедова проективного пространства не закончено
в том отношении, что не введены проективные отношения
порядка. Но в главах V—VI отношения порядка играют
вообще побочную роль.

40
П. К. РЛШЕВСКИЙ
Задача, прежде всего разрешаемая в V главе, это —
введение системы координат и вообще методов
аналитической геометрии в неархимедовом проективном
пространстве. Здесь нельзя использовать в качестве координат
обыкновенные числа ч ввиду отсутствия аксиомы Архимеда;
нельзя использовать и исчисление отрезков, построенное
в главе III, так как оно опиралось на аксиомы конгруент-
ности. Но Гильберт выходит из положения, строя новое
исчисление отрезков без использования аксиом конгруент-
ности, а, следовательно, чисто проективюго характера.
Объектами исчисления, как и в главе III, являются отрезки.
Но если раньше отрезки брались совершзнно произвольно
р.сположенными, причём конгруентные между собой отрезки,
как обьекты исчисления, не различались друг от друга,
то теперь рассматриваются лишь отрезки, откладываемые от
некоторой фиксированной точки О по двум фиксированным
прямым, проходящим через неё. Отрезок, отложенный от
О по одной из этих прямых, признаётся — как оо ьект
исчисления— равным отрезку, отложенному из О по другой из
этих прямых, если прямая, соединяющая концы этих отрезков,
параллельна некоторому фиксированному направлению.
На основе геометрических конструкций даётся
определение суммы и пролзведения отрезков и доказывается, что
построенное исчисление удовлетворяет всем требованиям
1—15 § 13, кроме требования 12. Другими словами,
совокупность наших отрезков можно рассматривать как,
вообще говоря, некоммутативное упорядоченное поле. Такое
поле Гильберт называет дезарговой числозой системой
и кладёт в основу аналитической геометрии в
неархимедовом проективном пространстве.
Сообразно целям главы V аналитическая геометрия
строится в ней только для плоскости, хотя без каких-либо
принципиальных затруднений аналогичное построение можно
было бы выполнить и в пространстве.
Мы берём в плоскости какие-нибудь две прямые,
проходя цие через фиксированную точку О — это будут оси
координат — и отмечаем каким-нибудь образом на каждой
из них по точке, которые в исчислении отрезков будут
использованы в качестве единичных точек Е и Е'.

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
41
Радиус-вектор ОМ произвольной точки М мы обычным
образом разлагаем на составляющие по осям. Если бы
полученные отрезки мы могли выразить числами, то у нас
получилась бы обыкновенная афинная система координат; но
теперь вместо этого мы сами отрезки непосредственно делаем
объектами исчисления, о котором выше уже говорилось.
Сами эти отрезки (составляющие по осям),
рассматриваемые теперь как объекты исчисления, мы называем
координатами х,у точки М. Основной результат заключается
в том, что уравнения прямых будут иметь обычный вид:
ах-\- by-\- с = 0,
однако при условии, что .коэффициенты а, Ь при текущих
координатах х,у (а,Ь,с — тоже отрезки, объекты нашего
исчисления) стоят слева, что теперь весьма существенно
(ах ф^ха и т. д.).
Таким образом, вводится аналитическая геометрия на
неархимедовой проективной плоскости. Конечно,
несобственные точки здесь координат не получают, — чтобы приписать
координаты и им, пришлось бы перейти к однородным
координатам в точности так, как это делается обычно.
Только однородные координаты xv лг2, х3 будут теперь
характеризоваться тем, что они задаются с точностью до
умножения справа на общий множитель р^=0.
После введения аналитической геометрии без особого
труда решается следующий вопрос, который Гильберт
рассматривает как основной в главе V.
Будем рассматривать геометрию ни плоскости нашего
пространства. Объектами этой геометрии будут точки
и прямые, принадлежащие данной плоскости. Из
рассматриваемых аксиом (группы I, II и IV, см. § 22) придётся
сохранить лишь плоскостные, т. е. относящиеся к
построениям, умащающимся на плоскости (Ij_3 Hj_4 IV*).
Кроме того, на плоскости имеет место теорема Дезарга
(теорема 53). При доказательстве этой теоремы, которое можно
найти в любом курсе проективной геометрии, используются
пространственные построения, несмотря на плоскостной
характер самой теоремы. Гильберт показывает, что это не слу-

42
П. К. РАШЕВСКИЙ
чайно: на основании только одних перечисленных плоскостных
аксиом теорема Дезарга не может быть доказана (даже
если усилить их за счёт аксиом непрерывности и всех
аксиом конгруентности, кроме последней, И1б). Правда,
при помощи всех аксиом конгруентности теорема Дезарга
может быть доказана без выхода в пространство, но это нас
сейчас не интересует, так как мы занимаемся проективной
геометрией и понятия конгруентности не рассматриваем.
Итак, справедливость теоремы Дезарга на плоскости
есть требование, не вытекающее из плоскостных аксиом
проективной геометрии. Поэтому, желая строить
плоскую геометрию самостоятельно — без выхода в про-
странство, мы должны присоединить теорему Дезарга
в качестве новой аксиомы к плоскостным аксиомам
1,-3- ",-4- IV*.
Оказывается, далее, что такое расширение плоскостных
аксиом является уже достаточным для нашей цели. А именно,
в плоской геометрии, где имеют место плоскостные аксиомы
и теорема Дезарга, можно построить исчисление отрезков
(§§ 24—26) и ввести аналитическую геометрию (§ 27),
о которых мы уже говорили. Получив, таким образом,
дезаргову числовую систему, мы используем её (§ 29) для
формально аналитического построения пространства (точкой
называется тройка элементов дезарговой системы и т. д.),
в котором соблюдены все аксиомы I, II, IV и на
плоскостях которого осуществляется исходная плоская геометрия.
В этом и заключается основной результат: чтобы
геометрию, построенную на плоскостных аксиомах 11-3,
ili_4> IV*, можно * было осуществить на плоскостях
некоторого пространства (удовлетворяющего аксиомам
I, II, IV), необходимо и достаточно, чтобы кроме
указанных плоскостных аксиом в этой геометрии имела
место и теорема Дезарга.
Глава VI посвящена дальнейшему углублению тех- же
вопросов. В главе V речь шла о неархимедовой
проективной геометрии, т. е. о геометрии, основанной на аксиомах
I, II, IV и не опирающейся, следовательно, на аксиомы
конгруентности III и аксиомы непрерывности V. Но это
не означало,, конечно, что отброшенные аксиомы обязательно

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
43
неверны в нашей геометрии. Действительно, все наши
выводы остаются правильными в том частном случае, когда,
помимо положенных в основу аксиом I, II, IV, верны
некоторые или даже все отброшенные аксиомы.
В частности, можно поставить вопрос о том случае
нашей геометрии, когда, помимо аксиом I, II, IV,
справедлива и аксиома Архимеда. Аксиому Архимеда приходится
формулировать теперь иначе, чем в первой главе, так как
сейчас у нас нет понятия о конгруентности отрезков, а
следовательно, и об откладывании данного отрезка от данной
точки. Но зато у нас есть понятие о сложении отрезков
в смысле исчисления отрезков §§ 24—26, и под
последовательным откладыванием данного отрезка а мы будем
понимать последовательное составление сумм
а-\-а-\-а-\-. . .
Аксиома Архимеда будет заключаться в том, что сумма
этого вида способна превзойти всякий наперёд заданный
отрезок b при достаточно большом числе слагаемых а
(подразумевается, что оба отрезка а и b суть отрезки —
элементы исчисления, а потому откладываются от одной
точки О и по одной прямой; кроме того, считаем а ^> 0, b ^> 0).
Как показано в § 32, введение этой аксиомы влечёт
за собой коммутативность умножения в дезарговой числовой
системе, а значит, и справедливость теоремы Паскаля.
Действительно, в § 34 доказано, что то и другое
эквивалентно. В этом и заключается специализация нашей
геометрической системы в результате присоединения аксиомы
Архимеда. Тут остаётся, однако, сомнение такого рода:
может быть, коммутативность умножения и теорему Паскаля
можно доказать, и не присоединяя к принятым аксиомам
I, II, IV, аксиомы Архимеда? Тогда специализация, о
которой идёт речь, оказалась бы фиктивной. Этот вопрос
решается в § 33, где дан пример существенно
некоммутативной (а, следовательно, существенно неархимедовой)
дезарговой числовой системы. Употребляя элементы этой
числовой системы для аналитического построения
пространства (точка — тройка элементов лг, у, гит. д., согласно
§ 29), мы получаем геометрию, в которой имеют место

44
П. К. РАШЕВСКИЙ
аксиомы I, II, IV*, в то же время исчисление отрезков
существенно некоммутативно, а следовательно, теорема
Паскаля неверна.
Таким образом, без аксиомы Архимеда, только на
основании аксиом I, II, IV* доказать теорему Паскаля
оказывается невозможным.
ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ. ГЛАВА СЕДЬМАЯ: НЕАРХИМЕДОВА
ТЕОРИЯ ПОСТРОЕНИЙ
Мы возвращаемся опять в область метрической
неархимедовой геометрии, т. е. опираемся на все аксиомы I — IV.
Исключены, следовательно, только аксиомы непрерывности.
Мы ограничиваемся при этом лишь геометрией на плоскости.
Содержание некоторых аксиом состоит, как легко
заметить, в том, что утверждается разрешимость определённых
задач на построение. А именно, утверждается возможность:
провести прямую через две точки (lt), отложить отрезок,
конгруентный данному отрезку, по данному лучу (111^ и
отложить угол, конгруентный данному углу в данной
полуплоскости и от данного луча (Ш4). Ещё одно аналогичное
утверждение содержится в аксиоме параллельности IV.
Это становится ясным, если взять её в формулировке
Евклида: две прямые, образующие с некоторой секущей
внутренние односторонние углы, сумма которых меньше
двух прямых, пересекаются между собой. Здесь
утверждается, таким образом, возможность построить при
определённых условиях точку, общую двум прямым.
Просматривая аксиомы 1—IV, нетрудно убедиться, что
этим исчерпываются все задачи на построение,
разрешимость которых требуется непосредственно аксиомами.
Остальные задачи на построение, в той. мере, в какой
они разрешимы в нашей геометрии, сводятся, таким образом,
к перечисленным четырём основным задачам.
Более того, оказывается, что это остаётся верным
и в том случае, если из списка основных задач выкинуть
откладывание угла и откладывание произвольного отрезка,
заменив последнее откладыванием фиксированного отрезка
(теорема 63). Таким образом, в нашем распоряжение остаётся

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА
45
«линейка» и откладывание «эталона длины», и этого
достаточно для выполнения всех допустимых построений.
Бросается в глаза то обстоятельство, что в основных
задачах совершенно не упоминается об окружностях, хотя
обычно при геометрических построениях мы привыкли
наряду с «линейкой» пользоваться и «циркулем». Это
обстоятельство не случайно: окружность при геометрических
построениях имеет ценность постольку, поскольку при
известных условиях мы можем строить точки пересечения
окружностей между собой и с прямыми.
Между тем в неархимедовой геометрии мы не можем
утверждать, что прямая пересечётся с окружностью даже
в том случае, когда прямая заведомо имеет точки,
отстоящие от центра окружности меньше чем на радиус. В силу
отсутствия аксиомы непрерывности прямая может
«проскочить» из области внутренних точек окружности в область
её внешних точек, «не задев» самой окружности. Поэтому
употребление окружностей для неархимедовых
геометрических построений бесполезно, и мы вынуждены ограничиться
более слабыми средствами.
Далее, теорема 64 выясняет, как можно
характеризовать координаты тех точек, которые получаются из данных
точек посредством построений с линейкой и эталоном длины.
Оказывается, что координаты построенных точек получаются
из координат исходных точек посредством четырёх
рациональных операций и » извлечений квадратных корней, но
каждый раз только из суммы квадратов уже построенных
чисел (мы возвращаемся к обыкновенной геометрии, и речь
идёт просто о действительных числах, хотя то же самое
верно и для координат как элементов исчисления отрезков
в неархимедовой геометрии).
Остающаяся часть главы сконцентрирована около
теоремы 65.
Как известно, задачи на построение, разрешимые при
посредстве линейки и циркуля, характеризуются тем, что
координаты искомых точек выражаются через координаты
данных точек посредством четырёх рациональных операций
и извлечений квадратного корня из любых уже
построенных положительных чисел.

46
П. К. РАШЕВСКИЙ
Отсюда лишний раз видно, что задачи, разрешимые
при помощи линейки и эталона длины, являются частным
случаем задач, разрешимых при помощи линейки и циркуля.
Оказывается — ив этом состоит суть теоремы 65,— что
этот частный случай характеризуется тем, что задача имеет
наибольшее возможное число решений (принимаются ва
внимание лишь действительные решения, в том числе и
связанные с несобственными элементами). А именно, если
для аналитического решения задачи требуется не менее п
извлечений квадратного корня, то число её решений в этом
частном случае должно быть равно 2п; это и необходимо
и достаточно.
ПРОБЛЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ
Первый вопрос, естественно встающий перед нами при
чисто логическом развёртывании геометрии на основе
аксиом, это вопрос о непротиворечивости нашей аксиоматики.
Гарантированы ли мы от появления противоречий в нашей
системе, не может ли случиться, что у нас окажется!
доказанной какая-нибудь теорема и одновременно её
отрицание? В этом случае наша аксиоматика не имела бы
никакой цены. Во второй главе, посвященной как раз
логическим проблемам, этот вопрос поставлен прежде всего-
и решён посредством аналитической интерпретации нашей
геометрической системы (§ 9). Смысл аналитической
интерпретации заключается в том, что основным понятиям
геометрии даётся арифметическое истолкование (например, точка —
тройка действительных чисел и т. д.), причём все аксиомы
остаются правильными в этом истолковании, превращаясь
в предложения арифметики действительных чисел (подробна
этот вопрос изложен в примечаниях [36J, [37] и f88], стр. 441 —
444). Поэтому всякое противоречие в нашей геометрической
системе означало бы противоречие в арифметике
действительных чисел. Таким образом, мы не совсем точно сказали,
что вопрос о непротиворечивости геометрии решён в § 9:
он только сведён к более фундаментальному вопросу:
к проблеме непротиворечивости арифметики. А так как-
арифметика целых, а вслед за тем действительных чисел

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ* ГИЛЬБЕРТА
47
играет роль фундамента почти всей математики, то
проблема непротиворечивости арифметики неразрывно связана
с проблемой обоснования математики вообще.
Более того: так как, исходя из аксиом, мы делаем
умозаключения по законам логики, то, желая установить
непротиворечивость нашей системы, мы должны одновременно
с математическим содержанием подвергнуть исследованию
и самую логику.
Пути и методы, способные подвести к решению задачи
такого рода, были намечены Гильбертом и его школой.
Основная идея заключается здесь в следующем.
Предложения математики, равно как и законы логики, записываются
при помощи особой символики в виде формул, без всякого
участия словесных выражений. Процессы логического
мышления заменяются манипуляциями с такого рода формулами
по строго очерченным правилам. А именно, из формул,
уже построенных, разрешается чисто механически, по точно
указанным рецептам, составлять новые формулы, и это
заменяет сознательные умозаключения, выводящие из одного
предложения другое. Таким образом, и математическое,
и логическое содержание „исследуемого отдела математики
предстаёт перед нами в виде цепи формул. Эта цепь
начинается с формул, изображающих математические и
логические аксиомы, и может быть неограниченно продолжаема
путём механического составления новых формул. Нам нет
при этом надобности * помнить, какое математическое
содержание записано под видом той или иной формулы;
нас интересует лишь формула сама по себе, как вполне
конкретная и обозримая конечная комбинация знаков.
Именно с этих позиций школа Гильберта подходит к
проблеме непротиворечивости: требуется доказать, что в цепи
формул не может появиться формула, изображающая
противоречие.
Однако, несмотря на значительное число работ в этом
направлении, проблемы обоснования важнейших отделов
математики ещё далеко не исчерпаны. Статьи Гильберта
на эти темы, приложенные к книге (приложения VI — X),
имеют целью ввести читателя в круг его идей. Конечно,
эти статьи, большей частью носящие характер эскизов

48
П. К. РАШЕВСКИЙ
и написанные в некоторых частях полунамёками, ни в коем
случае нельзя расценивать как связное изложение вопроса
(и это тем более, что результаты последних десятилетий
в них, конечно, не отражены). Изучить по этим статьям
теорию доказательства Гильберта вряд ли возможно. Но
зато в них с огромным воодушевлением, часто подлинно
художественными красками обрисован общий ход
развития его идей в области оснований математики. И если
большинство деталей ускользнёт от читателя, то он всё
же получит живое и яркое представление о духе и
характере этих построений в целом.
Заметим ещё, что, хотя философские моменты в
аргументации Гильберта иногда носят идеалистический характер,
нетрудно вскрыть объективное материалистическое
содержание, его теории. Как было уже сказано, непротиворечивость
математической теории должна быть обнаружена на основе
её сведения к развёртывающейся последовательности
формул. Каждая из этих формул представляет собою конечную
комбинацию знаков, о смысле которых мы полностью
забываем и которые рассматриваем как некоторые
самостоятельные предметы. Предполагается, что в смысле такого
формального обращения со знаками, например, в смысле уменья
находить среди них одинаковые, уменья подставлять вместо
одного определённого знака другой или целую комбинацию
их и т. д., мы твёрдо стоим на ногах, и что эти операции
непосредственно ясны, ни в каких дальнейших разъяснениях
не нуждаются и никаких принципиальных сомнений не
вызывают.
Коротко говоря, мы предполагаем, что со знаками, из
которых мы комбинируем наши формулы, мы умеем
обращаться не хуже, чем с предметами материального мира.
И это действительно вполне законно, так как мы везде
имеем дело лишь с конечными комбинациями знаков; мы
можем, например, всякую формулу исчерпывающе записать
карандашом на бумаге и тем самым, если угодно,
осуществить знаки, из которых она составлена, как сделанные из
графита материальные предметы.
Итак, в глубочайших своих основах теория Гильберта
апеллирует—по своему объективному смыслу — к матери-

СОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА 49
альному опыту, так как она рекомендует обращаться
с логико-математическими знаками в конечном счёте просто
так, как если бы это были предметы материального мира.
А это становится возможным лишь в связи со стр'огой
конечностью всех комбинаций, в которых
логико-математические знаки встречаются в связи с возможностью до
конца рассмотреть, перебрать каждую такую комбинацию.
Поэтому так называемая «конечная установка» Гильберта
и играет столь существенную роль в его теории.
О НЕЗАВИСИМОСТИ АКСИОМ
Мы уже говорили о том, что естественно желать, чтобы
система аксиом была минимальной в смысле заключённых
в ней требований, чтобы в.числе этих требований не было
излишних. Если этой идее дать точную формулировку, то
мы придём к понятию независимости аксиом.
Мы говорим, что данная аксиома является независимой
от остальных аксиом (или от их части), если она не может
быть выведена из этих аксиом как их логическое
следствие. Таким образом, аксиома, независимая от остальных
аксиом, ни в коем случае не может быть безнаказанно
выкинута из аксиоматики данной геометрической системы:
утрата её невознаградима, так как то, что она содержала,
невозможно восстановить за счёт оставшихся аксиом.
Идеальным положением вещей в смысле сведения
системы аксиом к минимуму было бы такое, когда каждая из
аксиом была бы независима от остальных. В этом случае
мы действительно были бы уверены, что в нашей
аксиоматике невозможны больше никакие сокращения и всякое
сокращение повело бы к ослаблению аксиоматики по
существу, а тем самым и к изменению геометрической системы.
Однако' такое положение вещей недостижимо до конца
в интересующем нас случае аксиоматики Гильберта. Дело
в том, что, например, при формулировке аксиом II группы,
относящихся к понятию «между», предполагается, что уже
установлено понятие «принадлежит» со свойствами,
описанными в I группе аксиом. А при формулировке аксиом
конгруентности (III группа) предполагается кроме того,
4 Д. Гильберг

50
П. К. РАШЕВСКИЙ
что и понятие «между» уже установлено аксиомами
li группы. Такого рода предположение существенно иногда
уже для самой возможности формулировать аксиомы 111
группы; так, в формулировке аксиомы Ш4 фигурирует
понятие полуплоскости, которое невозможно установить без
использования аксиом 11 группы.
Поэтому было бы бессмысленно даже ставить вопрос,
например, о независимости аксиомы Паша Н4 от аксиом
Ш группы: нельзя пытаться доказать, что аксиома Паша
не вытекает (или вытекает) из этих аксиом, так как уже,
чтобы их формулировать, нужно заранее предположить
справедливость аксиомы Паша.
Гильберт рассматривает (§§ 10—12) вопрос о
независимости лишь для некоторых наиболее интересных аксиом.
Прежде всего речь идёт о независимости аксиомы
параллельности IV от всех остальных аксиом. На этом примере
мы и разъясним общий приём, употребляющийся для
доказательства независимости той или иной аксиомы. Рассмотрим
новую систему, в которой все аксиомы те же самые, что
и в системе Гильберта, кроме аксиомы параллельности,
вместо которой помещено её отрицание (т. е. утверждается,
что можно указать такую прямую и точку вне её, что
через точку можно провести более оаной прямой, не
пересекающей данную прямую и лежащей с ней в одной
плоскости).
Представим себе, что мы установили непротиворечивость
этой новой системы аксиом. Отсюда сейчас же следует,
что аксиома параллельности независима от остальных аксиом.
В самом деле, если бы она была их следствием, то она
вытекала* бы и из новой системы аксиом (в которой все
прежние аксиомы, кроме аксиомы параллельности,
содержатся). А так как в новой системе аксиом содержится и
отрицание аксиомы параллельности, то новая система аксиом,
вопреки установленному, содержала бы противоречие. -
Итак, для доказательства независимости данной аксиомы
от остальных достаточно доказать непротиворечивость той
системы аксиом, которая получается, если данную аксиому
заменить её отрицанием, а остальные аксиомы оставить
без изменения. В нашем случае задача сводится, очевидно,

«ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ» ГИЛЬБЕРТА 51
к доказательству непротиворечивости неевклидовой
геометрии Лобачевского.
Когда ставился вопрос о непротиворечивости евклидовой
геометрии, то мы сводили его к вопросу о
непротиворечивости арифметики путём аналитической интерпретации.
Аналогичным образом вопрос о непротиворечивости
геометрии Лобачевского можно свести к вопросу о
непротиворечивости евклидовой геометрии путём, например, проективной
интерпретации Кэли-Клейна геометрии Лобачевского. На
эту интерпретацию Гильберт и ссылается. Возьмём в
евклидовом пространстве шар и условимся понимать под
точками — точки внутри шара, под прямыми — отрезки,
имеющие концы на поверхности шара, под плоскостями —
внутренности кругов, полученных сечением шара
плоскостями. Принадлежность понимается в обычном смысле,
порядок точек на прямой — тоже в обычном смысле, а под
конгруентностью двух отрезков или углов понимается
возможность совместить эти отрезки (или углы) в результате
такой коллинеации (проективного преобразования)
пространства в себя, при которой внутренность шара переходит
в себя (подробное изложение вопроса см. Клейн,
Неевклидова геометрия).
Можно проверить, что при таком истолковании
(интерпретации) основных геометрических понятий оказываются
верными все аксиомы Гильберта, кроме аксиомы
параллельности, которая заведомо неверна. Другими словами, мы
имеем интерпретацию геометрии Лобачевского, при которой
все основные понятия, а значит, и все предложения этой
геометрии истолкованы как некоторые понятия и
предложения евклидовой геометрии. Так как при этой
интерпретации аксиомы геометрии Лобачевского имеют место, то,
если бы, они приводили к противоречию, мы получили бы
противоречие и в интерпретации! Но в интерпретации
предложения геометрил Лобачевского истолкованы как
предложения евклидовой геометрии; следовательно, мы
получили бы противоречие в этой последней. Поэтому если
мы признаём евклидову геометрию непротиворечивой, то
и геометрию Лобачевского нам придётся признать в такой
же степени непротиворечивой.
4*

52
П. К. РАШЕВСКИЙ
Далее (§11) Гильберт1 доказывает независимость
аксиомы II15 от всех остальных; дело в том, что эта аксиома на
первый взгляд представляется слишком сложной и
громоздкой, «похожей на теорему». Однако доказательство
независимости показывает, что мы не можем отбросить эту
аксиому, так как из остальных она не вытекает.
Наконец (§ 12), показывается, что аксиома Архимеда
независима от предыдущих аксиом 1 — IV. С этой целью
строится неархимедова геометрия в узком смысле, т. е.
геометрия, в которой аксиома Архимеда заведомо неверна.
О ДОБАВЛЕНИЯХ
В немецком издании 1930 года к основному тексту
книги приложены в качестве дополнений десять статей,
написанных Гильбертом в разное время; эти статьи
переведены полностью. О статьях VJ — X, посвященных
основаниям математики, мы выше уже говорили. Статьи I — V
носят геометрический характер; в них исследуются
отдельные проблемы, ценные сами по себе, но чрезвычайно
разнородные и несравнимо более узкого характера, чем
содержание основного текста. Только статья II (исследование
плоской геометрии, лишённой зеркальной симметрии) и III
(построение геометрии Лобачевского без участия аксиом
непрерывности) по стилю примыкают к основному тексту;
остальные имеют к нему лишь косвенное отношение.
Не только по своей весьма специальной тематике, но
в значительной степени и по характеру изложения
дополнительные статьи рассчитаны на читателя-специалиста.
В связи с этим при переводе по отношению к ним не
ставилась та задача, которая была поставлена для основного
текста: дать подробные примечания, восполняющие во всём
существенном часто чрезмерно беглое изложение автора.

Д. ГИЛЬ Б ЕРТ
ОСНОВАНИЯ
ГЕОМЕТРИИ
*

ВВЕДЕНИЕ
Геометрия, — так же как и арифметика,— требует
для своего построения только немногих простых
основных положений. Эти основные положения
называются аксиомами геометрии. Установление аксиом
геометрии и исследование их взаимоотношений — это задача,
которая со времён Евклида являлась темой
многочисленных прекрасных произведений математической
литературы. Задача эта сводится к логическому анализу нашего
пространственного представления.
Настоящее исследование представляет собою новую
попытку установить для геометрии полную и
возможно более простую систему аксиом и вывести из этих
аксиом важнейшие геометрические теоремы так, чтобы
при этом стало совершенно ясно значение как различных
групп аксиом, так и следствий, получающихся из
отдельных аксиом.

ГЛАВА ПЕРВАЯ
ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
§ 1. Элементы геометрии и пять групп аксиом
ы мыслим три различные системы вещей [*]:
вещи первой системы мы называем точками
и обозначаем А, В, С, ...; вещи второй
системы мы называем прямыми и обозначаем
а, Ь, с, ...; вещи третьей системы мы
называем плоскостями и обозначаем а, р, у» •••; точки
называются также элементами линейной геометрии,
точки и прямые — элементами плоской геометрии [2],
точки, прямые и плоскости — элементами пространственной
геометрии или элементами пространства.
Мы мыслим точки, прямые и плоскости в определённых
соотношениях и обозначаем эти соотношения различными
словами, как-то: «лежать», «между», «конгруент-
ный», «параллельный», «непрерывный». Точное
и для математических целей полное описание этих
соотношений достигается аксиомами геометрии.
Аксиомы геометрии мы можем разбить на пять групп.
Каждая из этих групп выражает определённые, связанные
друг с другом основные результаты нашего опыта. Мы
будем называть эти группы следующим образом:
1 1— 8 аксиомы соединения (принадлежности),
II 1 —4 аксиомы порядка,
III 1 —5 аксиомы конгруентности,
IV аксиома о параллельных,
V 1—2 аксиомы непрерывности.
ш

§ 2. ПЕРВАЯ ГРУППА АКСИОМ
57
§ 2. Первая группа аксиом: аксиомы соединения
(принадлежности) [3]
Аксиомы этой группы устанавливают отношения
принадлежности между введёнными выше вещами — точками,
прямыми и плоскостями — и гласят следующим образом.
11# Для любых двух точек Л, В существует
прямая а, принадлежащая каждой из этих двух точек А^ В.
12. Для двух точек А, В существует не более одной
прямой, принадлежащей каждой из точек Л, В.
Здесь, как и в последующем, под двумя, тремя, ...
точками (прямыми, плоскостями) всегда подразумеваются
различные точки (прямые, плоскости).
Вместо термина «принадлежат» мы будем
пользоваться также и другими формулировками. Например,
вместо прямая а принадлежит каждой източек
А и В, мы будем говорить: прямая а проходит через
точки Л и Б или прямая а соединяет точку А
с точкой В; вместо А принадлежит а, мы будем
говорить: А лежит на а, или А является точкой а
и т. п. Если точка А лежит на прямой а и, кроме того,
на прямой Ь, то мы будем также говорить: прямые а и
b пересекаются в точке Л, имеют общую
точку Л и т. п.
J3. На прямой существуют по крайней мере две
точки. Существуют -по крайней мере три точки, не
лежащие на одной прямой.
14. Для любых трёх точек Л, В, С, не лежащих на
одной и той же прямой, существует плоскость а,
принадлежащая каждой из трёх точек А, В, С. Для любой
плоскости всегда существует принадлежащая ей точка.
Мы будем также употреблять выражения: Л лежит
на а, Л есть точка а и т. п.
\ь. Для любых трёх точек А, В, С, не лежащих на
одной и той же прямой, существует не более одной
плоскости, принадлежащей этим точкам.
16. Если две точки А, В прямой а лежат в
плоскости а, то всякая точка прямой а лежит в
плоскости а.

58
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
В этом случае мы говорим: прямая а лежит
в плоскости а и т. п.
17. Если две плоскости а и $ имеют общую точку Л,
то они имеют по крайней мере ещё одну общую
точку В.
18. Существуют по крайней мере четыре точки, не
лежащие в одной плоскости.
Аксиома 17 выражает, что пространство имеет не более
трёх измерений; напротив, аксиома 18 выражает, что
пространство имеет не менее трёх измерений.
Аксиомы lj_3 можно назвать плоскостными аксиомами
группы I, в отличие от аксиом 14_8) которые я назову
пространственными аксиомами группы 1.
Из теорем, вытекающих из аксиом \x_s, я упомяну
только следующие две:
Теорема 1. Две прямые, лежащие в одной и той
же плоскости, имеют либо одну общую точку, либо не
имеют ни одной. Две плоскости либо не имеют ни одной
общей точки, либо имеют общую прямую и никаких
других (не лежащих на этой прямой) общих точек. Плоскость
и не лежащая на ней прямая либо не имеют общей точки,
либо имеют одну общую точку.
Теорема 2. Через прямую и точку, не лежащую на
ней, так же как через две различные прямые, имеющие
общую точку, всегда можно провести плоскость и притом
только одну [4].
§ 3. бторая группа аксиом. Аксиомы порядка *)
Аксиомы этой группы определяют понятие «между»
и делают возможным на основании этого понятия
установить порядок точек на прямой, плоскости и в пространстве.
Точки прямой находятся в определённых соотношениях
друг с другом. Для описания этих соотношений большей
частью пользуются словом «между».
*) Аксиомы эти впервые подробно исследовал М. Паш
в своих «Лекциях по новой геометрии» (М. Pa s с h, «Vorlesungen
uber neuere Geometrie», Leipzig, 1882). В частности, аксиома II4
принадлежит M. Пашу.

§ 3 ВТОРАЯ ГРУППА АКСИОМ
59
II,. Если точка В [черт. 1] [б] лежит между
тонкой А и точкой С, то А, В, С суть три различные
точки прямой^ и В лежит также между С и А.
А Ъ С
Черт. 1.
Н2. Для любых двух точек А и С [черт. 2] на
прямой АС существует по крайней мере одна точка В
такая что точка С лежит между А и В.
А
С
в
Черт. 2.
И3. Среди любых трех точек прямой существует
не более одной точки, лежащей между двумя другими.
Кроме этих аксиом порядка на прямой (линейных
аксиом порядка), необходима ещё одна аксиома,
относящаяся к порядку на плоскости.
Определение. Мы рассматриваем на прямой а две
точки А и В; систему двух точек А и В мы называем
отрезком и будем её
обозначать через АВ или ВА. Точки,
лежащие между А и В,
называются точками отр'езка АВ
или точками, расположенными
(лежащими) внутри отрезка
АВ; точки А и В
называются концами отрезка АВ. Все
остальные точки прямой а
называются точками, лежащими вне
отрезка.
Черт. 3.
П4. Пусть А, В, С— три
точки, не лежащие на
одной прямой, и а — прямая в плоскости ABC, не про-
ходящая ни через одну из точек Лч В, С [черт. 3]*; если
при этом прямая а проходит через одну из точек
отрезка АВ, то она должна пройти через одну из
точек отрез/т АС или через одну из точек отрезка ВС.

60
ГЛ. Т. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Выражаясь наглядно, говорят, если прямая .входит во
внутрь треугольника, то она также выходит из треуголь
ника. Тот факт, что прямая а не может при этом пересечь
оба отрезка АС и ВС, может быть доказан [6].
§ 4. Следствия из аксиом соединения и порядка
Из аксиом групп I и II следуют теоремы.
Теорема 3. Для любых двух точек Л и С на
прямой АС существует по крайней мере одна тоика D,
лежащая между А и С.
Доказательство. Согласно аксиоме 13 вне прямой
АС [черт. 4] существует некоторая точка £, а в силу
А
в с
Черт. 4. Черт. 5.
аксиомы 112 на прямой АЕ существует такая точка Z7, что
Е является точкой отрезка AF'. В силу той же аксиомы и
аксиомы И3, на прямой FC существует точка G, не лежащая
на ртрезке FC. Таким образом, на основании аксиомы Н4,
прямая EG должна пересечь отрезок А С в некоторой точке D.
Теорема 4. Среди трёх точек Л, Б, С на одной и
той же прямой всегда существует одна, лежащая между
двумя другими.
Доказательство*). Пусть А не лежит между В
и С и С не лежит между Л и В. Проведём через
точку D [черт. 5], не лежащую на прямой Л С, и точку В
прямую и выберем — что можно сделать в силу аксиомы П2 —
на этой прямой точку G так, чтобы точка D лежала между
*) Это доказательство принадлежит А. В а л ь д у% (A. W а 1 d).

§ 4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ СОЕДИНЕНИЯ И ПОРЯДКА 61
В и G. Применив аксиому 114 к треугольнику BCG и
прямой AD, мы получим, что прямые AD и CG пересекаются
в некоторой точке £, лежащей между С и G; таким же
образом получается, что прямые CD и AG пересекаются
в точке F, лежащей между Лив. Если применить
теперь аксиому 114 к треугольнику AEG и прямой С/7, то
окажется, что D лежит между А и £, а применив ту же
аксиому к треугольнику Л£С и прямой BG, мы убедимся
в том, что точка В лежит между А и С,
Теорема 5. Любые четыре точки на прямой можно
обозначить буквами Л, В, С, D так, чтобы точка,
обозначенная буквой £, лежала как между точками Л и С, так
А 0 С D
Черт. 6.
и между А и D, а точка, обозначенная буквой С, лежала
как между точками Л и D, так и между В и D *).
Доказательство. Пусть Л, £, С, D суть четыре
точки прямой g\ Докажем сначала следующее
1. Если точка В лежит на отрезке АС, а точка С — на
отрезке BDy то точки В и С лежат и на отрезке AD
[черт. 6]. Обозначим через Е некоторую точку, не лежа-
*) Это предложение, отнесённое в первом [немецком]
издании к аксиомам, было выведено Е. Муром как следствие из
остальных аксиом соединения и порядка (Е. Н. Moore, Trans.
Math. Soc, 1902). См. также следующие относящиеся сюда
работы Веблена (Veblen, Trans. Math.Soc, 1904) и
Швейцера (Schweitzer, American Journ., 1909). Сюда же
примыкает исследование о независимости системы линейных
аксиом порядка Е. фон Унтингтона (Е. v. Huntington,
«A new set of postulates for betweenness with proof of complete
independence», Trans. Math Soc, 1924, см. также Trans Math.
Soc, 1917).

62
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
щую на прямой g, и выберем точку F так, чтобы Е
лежала между С и F; найти такие две точки мы можем
в силу аксиом 13 и П2. ^Чногократно используя аксиомы И3
и И4, мы найдём, что отрезки ЛЕ и BF пересекаются
в некоторой точке G и, далее, что прямая CF пересекает
отрезок GD в некоторой точке Н [7J. Таким образом,
И лежит на отрезке GD, а Еу в силу аксиомы И3>
лежит вне отрезка AG. Поэтому, в силу аксиомы П4,
прямая ЕЙ пересекает отрезок /Ш, т. е. С лежит на
отрезке AD [8]. Аналогично этому доказывают, что точка В также
лежит на этом отрезке,
2. Если точка В лежит на отрезке Л С, а точка С —
на отрезке ADy то точка С лежит также на отрезке BD,
а точка В — на отрезке AD. Выберем некоторую точку G,
лежащую вне прямой g. и ещё одну точку F так, чтобы G
лежала на отрезке BF. В силу аксиом 12 и П3, прямая CF
не пересекает ни отрезка АВ, ни отрезка BG, и,
следовательно, в силу аксиомы Н4, она не пересекается также и
с отрезком Л О. Но так как точка С лежит на отрезке AD9
то прямая CF встречает отрезок GD в некоторой точке И.
Прямая FH пересекает отрезок BDy опять-таки в силу
аксиом И3 и Н4 [9]. Остающаяся часть утверждения 2 следует
теперь из утверждения 1.
Пусть теперь нам даны какие-либо четыре точки на
прямой. Возьмём какие-либо три из этих точек и
обозначим буквой Q ту из них, которая, в силу теоремы 4 и
аксиомы П3, лежит между двумя другими; эти же две точки
обозначим буквами Р и R; наконец, последнюю из четырёх
заданных точек обозначим через S. В таком случае
оказывается, опять-таки в силу теоремы 4 и аксиомы И3,
что точка S может занимать одно из следующих пяти
положений:
R лежит между Р и 5,
Р лежит между R и Sy
S лежит между Р и R и в то же время:
или Q лежит между Р и S,
или S лежит между Р и Q,
или Р лежит между Q и S.

§ 4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ СОЕДИНЕНИЯ И ПОРЯДКА 63
В случае одного из четырёх первых положений
применимо утверждение 2, в случае последнего положени-я
применимо утверждение 1 [10]. Таким образом, теорема 5
доказана.
Теорема 6 (обобщение теоремы 5). Как бы ни было
расположено конечное число точек на прямой, их можно
обозначить буквами Л, В, С, D, £",..., К [черт. 7] так,
чтобы точка, обозначенная буквой В, лежала между точ-
А
BCD
-i—t—+-
Черт. 7.
кой А с одной стороны и точками С, D, Е, ..., К — с
другой, далее С — между Л и В с одной стороны и
D, £, ..., К с другой, D-между Л, В, С с одной
стороны и Е, . . ., К с другой и т. д. Кроме этого
обозначения существует ещё только обратный способ обозначения
/С, ...,£, D, С, Ву Л, обладающий тем же свойством [п].
Теорема 7. Между любыми двумя точками прямой
существует бесчисленное множество точек [12].
Теорема 8. Каждая
прямая а, лежащая в
плоскости а, разбивает
точки плоскости а, не
лежащие на этой прямой,
на две области, обладаю- —
щие следующим
свойством: каждая точка Л
одной из областей вместе
с каждой точкой В
другой области определяют
отрезок АВ, внутри
которого лежит одна точка прямой а, а любые две
точки Л и Л' одной и той же области определяют отрезок,
не содержащий ни одной из точек прямой а [13].
Определение. Мы будем говорить, что точки Л и Л'
[черт. 8J лежат в плоскости а по одну и ту же сто-
Черт. 8.

64
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
рону от прямой а и что точки Л и В лежат в
плоскости а* по разные стороны от прямой а.
Определение. Пусть на прямой а заданы четыре
точки Л, Л', О, В [черт. 9] так, что точка О лежит
между А и В, но не лежит между Л и Л'; в таком случае
мы будем говорить, что точки Л, А' лежат на
прямой а по одну и ту же сторону от точки О и что
точки Л, В лежат на прямой а по разные стороны
от точки О. Совокупность всех точек прямой а, ле-
А А' О В
, , 1
Черт. 9.
жащих по одну и ту же сторону от точки О, называется
также полупрямой или лучом, исходящим из
точки О. Таким образом, каждая точка прямой делит её на
два луча [14].
Определение. Система отрезков АВ, ВС, CD,... ,ЛХ
называется ломаной, соединяющей точки Л и L\ эта
ломаная обозначается короче так: ABCD.. .KL. Точки,
лежащие внутри отрезков АВ, ВС, CD, . . ., KL, а равно и
точки А, В, С, D, .. ., К, L называются точками ломаной.
Если точки А, В, С, D, . . ., К, L все находятся в однзй
плоскости и кроме того точка L совпадает с точкой Л,
то такая ломаная называется многоугольником и
обозначается так: многоугольник ABCD.. .К. Отрезки АВ, ВС,
CD, . . ., К А называются сторонами многоугольника,
а точки Л, В, С, D, ..., К—вершинами
многоугольника. Многоугольники, имеющие 3, 4, ..., п вершин,
называются треугольниками, четыреугольникаии, .. ., п-уголь-
никами.
Определение. Если все вершины многоугольника
различны, ни одна из вершин многоугольника не лежит
на его стороне и никакая пара его сторон не имеет
общей внутренней точки, то многоугольник называется
простым.

§ 4. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ СОЕДИНЕНИЯ И ПОРЯДКА 65
С помощью теоремы 8 мы приходим теперь без особых
трудностей к следующей теореме:
Теорема 9. Всякий простой многоугольник, лежащий
в плоскости а, разбивает точки плоскости а, не
принадлежащие многоугольнику, на две области — внутреннюю и
внешнюю, — обладающие следующими свойствами: если А
есть точка внутренней области (внутренняя точка),
а В— точка внешней области (внешняя точка), то
всякая ломаная, лежащая в плоскости а и соединяющая точки
Л и В, имеет по крайней мере одну общую точку с
многоугольником; если же Л и Л' суть две внутренние точки
многоугольника, а В и В' — его внешние точки, то,
наоборот, всегда существуют в плоскости а ломаные,
соединяющие точку Л с Л', и точку В с В' и не имеющие
никаких общих точек с многоугольником. При надлежащем
выборе названия для обеих областей, в плоскости будут
существовать прямые, целиком проходящие во
внешней области многоугольника,
и, наоборот, не будет
существовать ни одной
прямой, целиком лежащей в
его внутренней области
[черт. 10][15J.
Теорема 10. Каждая
плоскость а разбивает
прочие точки пространства на
две области, обладающие
следующим свойством: любая
точка Л одной из областей
совместно с любой точкой
отрезок ABt
наоборот, любые две точки Л
ласти определяют отрезок АА\
точки плоскости а [16].
Определение. Мы будем говорить, что точки Л
и А' — мы пользуемся здесь обозначениями теоремы 10 —
в пространстве находятся по одну и ту же сторону от
плоскости а, а точки Л и В в пространстве находятся
по разные стороны от плоскости а.
5 Д. Гильберт
Черт
В другой области определяет
внутри которого лежит точка плоскости а;
и Л' одной и той же об-
не содержащий ни одной

66
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Теорема 10 выражает важнейшие факты, касающиеся
расположения элементов в пространстве; эти факты,
таким образом, являются лишь следствиями до сих пор
рассмотренных аксиом: группа II не нуждается ни в каких
новых пространственных аксиомах.
§ 5. Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности
Эти аксиомы определяют понятие конгруентности и тем
самым понятие движения.
Отрезки [в некоторых случаях] находятся в
определённом соотношении друг с другом; для обозначения этого
соотношения служат слова «конгруентен» или «равен» [и].
III,. Если А, В суть две точки на прямой а и А* —
точка на той же прямой или на другой прямой а\ то
всегда можно найти точку В', лежащую по данную от
точки А' сторону прямой а', и притом такую, что от-
резок АВ конгруентен, иначе говоря, равен отрезку
А'В'. Конгруентность отрезка АВ отрезку А'В'
обозначается следующим образом:
АВ = А'В'.
Эта аксиома даёт возможность откладывать
отрезки. Однозначность такого откладывания
будет доказана впослецствии.
Отрезок был определён просто как система двух
точек, которая обозначалась через АВ или через ВА. Насчёт
порядка, в котором эти точки следуют одна за другой,
в определении не было ничего сказано; поэтому записи
АВ = А'В\ АВ = В'А',
ВА=А'Ь\ ВА=В'А'
имеют один и тот же смысл.
1Н2. Если отрезок А'В' и отрезок А'В' конгруентны
одному и тону же отрезку АВ, то отрезок А'В1 кон-
груентен также и отрезку А"В"; короче говоря, если
два отрезка конгруентны третьему, то они конгруентны
также друг другу.

§ 5. ТРЕТЬЯ ГРУППА АКСИОМ
67
Так как конгруентность, или равенство, вводится здесь
впервые этими аксиомами, то конгруентность
любого отрезка самому" себе .сначала отнюдь не
представляется само собой разумеющимся фактом; однако
этот факг следует из первых" двух аксиом конгруентности:
отложим отрезок АВ на каком-либо луче, т. е. построим
отрезок А'В\ конгруентный АВ, и применим затем к
конгруентности АВ = А'В' и АВ = А'В' аксиому Ш2.
На основании этого получается далее, с помощью
применения аксиомы 1Н2, что конгруентность отрезков обладает
свойствами симметрии и транзитивности, т. е. что
справедливы теоремы.
если
•АВ =
А'В' =
АВ =
А'В' =
АВ =
:А'В\
1АВ["];
: А'В'
i А"В\
: А"В".
Вследствие симметрии конгруентности - отрезков можно
пользоваться выражением: два отрезка «конгруентны друг
другу».
1Н3. Пусть АВ и ВС суть два отрезка прямой а,
не имеющие ни одной общей точки, и пусть, далее. А'В*
А в с о
4' В' С а'
1 ь 1
Черт. 11.
и В'С суть два отрезка той же прямой или другой
прямой а\ также не имеющие общей точки [черт. 11];
5*

68
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
если при этом
АВ — А'В' и ВС=В'С,
то и
АС = А'С.
Эта аксиома выражает требование возможности
складывать отрезки.
Откладывание углов трактуется совершенно так же,
как и откладывание отрезков. Правда, кроме
возможности откладывания углов приходится аксиоматически
потребовать ещё и единственность такого
откладывания; транзитивность и возможность складывания углов
доказуемы.
Определение. Пусть а—произвольная плоскость,
a h и k — какие-то ее два луча, различные, исходящие
из одной и той же точки О и принадлежащие
различным прямым. Систему таких двух лучей /г, k мы называем
углом и обозначаем её так: <£ (/*, k) или <£ {k, h\.
Лучи /г, k называются сторонами угла, а точка О —
вершиной угла.
Развёрнутые и сверхтупые углы этим определением
исключаются.
Пусть луч h принадлежит прямой /г, луч k — прямой k.
Лучи h и k совместно с точкой О делят остальные точки
плоскости а на две области: одну область составляют
точки, которые лежат от k по одну сторону с h и от h по
одну сторону с М,— про них говорят, что они лежат,
внутри угла §С (h, k); про остальные точки говорят, что они
лежат вне этого угла.
На основании аксиом [групп] I и II легко показать, что обе
области содержат точки и что отрезок, соединяющий две
точки внутри угла, целиком проходит внутри угла. Точно
так же легко доказать следующие теоремы: отрезок НК,
соединяющий точку /У, лежащую на /г, с точкой /С,
лежащей на &, целиком проходит внутри угла -§С (^, k)\ луч,
исходящий из точки О, либо целиком лежит внутри угла
«§С (h, &), либо целиком лежит вне этого угла; луч, лежащий
внутри угла «§£ (h, k), встречает отрезок И /С Если А —

§ 5. ТРЕТЬЯ ГРУППА АКСИОМ
69
точка одной'области и В — точка другой области, то
всякая ломаная, [лежащая в плоскости угла и] соединяющая
точки /4 и 5, или проходит через точку О, или имеет либо
с А, либо с к общую точку; если же А, А' — точки одной
и той же области, то всегда [в плоскости угла] существует
ломаная, соединяющая точку А с точкой А' и не
проходящая ни через точку О, ни через одну из точек лучей
А и А [и].
Углы [в некоторых случаях] находятся один к другому
в определённом соотношении, для обозначения которого нам
служат слова «конгруентен» или «равен».
1И4. Пусть даны угол §; (A, А) в плоскости а и
прямая а' в плоскости а', а также вполне определенная
по отношению прямой а' сторона плоскости а'. Пусть
ti обозначает луч прямой а\ исходящий из точки О';
в таком случае в плоскости а' существует один и
только оЪин луч А', обладающий следующим
свойство и: угол ЗС(/г, А) конгруентен, иначе говоря, равен углу
<£ (А', А'), и вместе с тем все внутренние точки угла^
ЗС (A', k) находятся в плоскости а\ по данную сторону
от прямой а'. Конгруентность угла §С (A, А) углу «§С (А', &')
обозначают так:
3C(A,A) = 3C(A',A').
Каждый угол конгруентен самому себе, т. е. всегда
ЗГ(А, А) = £(*,*).
Короче говоря: каждый угол может быть отложен [20]
одним единственным способом в заданной плоскости, при
заданном луче по заданную его сторону.
При определении угла мы не обращали внимания на
направление вращения, подобно тому как при определении
отрезка мы не обращали внимания на его направление.
Поэтому записи
ЗС (М) == £ (Л\ А') з: (А, А) = зс (A', А'),
<С (А, А) == £ (А', П §С (А, А) ее £ (А', А')
имеют один и тот же смысл.

70
ГЛ. Т. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Пояснение. Угол с вершиной в точке' В, на одной
стороне которого лежит точка Л, а на другой —
точка С, обозначается также символом <£ ЛВС или,
короче, §С В. Углы обозначаются также малыми греческими
буквами.
Шб. Если для двух треугольников ЛВС и Л'В'С
имеют место конгруентности
АВ = А'В\ АС = А'С\ &ВАС=$:В'А'С,
то имеет место также и конгруентность
$:авс=$:а'в'с.
Понятие треугольника было определено на стр. 64.
Переменив обозначения, мы найдём, что при выполнении
условий последней аксиомы всегда имеют место две
конгруентности:
§;двс==з;л'Я'С' и ^асв — ^л'св1.
Аксиомы II11 з содержат утверждения, касающиеся лишь
конгруентности отрезков; их можно поэтому называть линей-
ними аксиомами группы III. Акси-
А >Я ома Ш4 содержит утверждение, ка-
с, сающееся конгруентности углов.
У\ Аксиома Ш5 связывает между собой
^Х^--^ понятия о конгруентности отрез-
yS Yv ков и углов. Аксиомы И14 и Ш5 со-
// \\ держат утверждения относительно
д ^V' элементов геометрии на плоскости
и поэтому могут быть названы пло-
Черт. 12. скостными аксиомами группы 111.
Однозначность о т.к
лады в а н и я отрезков вытекает из единственности
откладывания углов и получается с помощью аксиомы 1И5.
Предположим, что отрезок АВ может быть отложен на
луче, исходящем из точки А\ двояким образом, именно до
точки В' и до точки В" [черт. 12J. Рассмотрим в таком

§ б. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ 71
случае точку С, лежащую вне прямой А'В'. Мы имеем
конвенции:
А'В' = А'В", А'С = А'С, §С В'А'С = §С В"А'С.
Поэтому, в силу аксиомы 1115,
$:а'св' = $:а'с'в\
что противоречит аксиоме Ш4, требующей однозначности
откладывания угла.
§ 6. Следствия из аксиом конгруентности
Определение. Если у двух углов, имеющих общую
вершину и общую сторону, необщие стороны составляют
одну прямую, то эти углы называются смежными. Если
у двух углов, имеющих общую вершину, стороны попарно
составляют прямые линии, то такие углы называются
вертикальными. Угол, конгруентный своему смежному, называется
прямым.
Докажем ряд следующих теорем.
Теорема 11. В треугольнике с двумя конгруентными
сторонами углы, противолежащие этим сторонам, конгруентны,
или, короче: в равнобедренном треугольнике углы при
основании равны.
Эта теорема следует из аксиомы Н15 и последней части
аксиомы Ш4 f21].
Определение. Треугольник ABC называется кон-
груентным треугольнику А'В'С, если конгруентности
АВ = А'В\ АС = А'С\ ВС = В'С\
ЗгМ=ЗСЛ\ §:£ = §;£', ^С = ^С
выполняются одновременно.
\/Теорема 12 (первая теорема о
конгруентности треугольников). Треугольник ABC конгруен-
тен треугольнику А'В'С\ если имеют место конгруентности
АВеееА'В', АС = А'С, ^А = ^А\

72
ГЛ. Т. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Доказательство. Согласно аксиоме Ш5, должны
выполняться конгруентности:
поэтому нам остаётся только доказать, что стороны ВС
и В'С конгруентны друг другу. Предположим противное,
именно, положим, что ВС не конгруентно В'С\ и
определим на В'С точку D* [черт. 13] так, чтобы BC = B'D\
Тогда, применив аксиому 1Н5 к треугольникам ЛВС wA'B'D*,
мы найдём, что %С ВАС= <£ B'A'D'. Таким образом,
получается, что угол «5С ВАС конгруентен как углу
<£B'A'D', так и углу <£В'А'С\ это, однако, невозможно,
так как согласно аксиоме Ш4 любой угол в данной
плоскости может быть одним единственным способом по-'
строен при данном луче по данную его сторону.
Таким образом, доказано, что треугольник ABC конгруентен
треугольнику А'В'С'.
^ н
Черт. 13.
Так же легко доказывается следующая теорема.
Теорема 13 (вторая теорема о
конгруентности треугольников). Треугольник ABC
конгруентен треугольнику А'В'С, если имеют место
конгруентности
ав=а'в\ 2£А = $:а', $:в = $:в' [**].
Теорема 14. Если угол <£ ABC конгруентен другому
углу <£ А'В'С, то угол <£ CBD, смежный с первым из них,
конгруентен <£C'B'D\ смежному со вторым.
Доказательство. Выберем точки A',C\D' на
сторонах углов, исходящих из точки B'f так, чтобы имели

§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ 73
место конгруентности [черт. 14]:
АВ = А'В\ CB=lC'B', DB = D'B'.
Из теоремы 12 следует в таком случае, что треугольник
С С!
ABC конгруентен треугольнику А'В'С\ т. е. что имеют
место конгруентности:
АСеее Л'С, §С ВАС = ^С В'А'С.
А так как, в силу аксиомы 1Н3, отрезок AD конгруентен
отрезку A'D\ то из той же теоремы 12 следует, что
треугольник CAD конгруентен треугольнику С A'D\ т. е.
что справедливы конгруентности.
CD=CD\ 3; ADC = §с A'D'C.
Рассматривая треугольники BCD и В'СD\ мы можем
теперь, в силу аксиомы Ш5, написать:
^ СЯ/Э = ЗС C'fl'D'.
Как непосредственное следствие теоремы 14, мы
получаем теорему о конгруентности вертикальных
углов.
Далее из этой же теоремы следует существование
прямых углов (см. стр. 71). Действительно, если от
точки О построить при луче О А по обе его стороны один и тот же
угол и на проведённых лучах отложить от точки О кон-
груентные отрезки ОВ=ОС [черт. 15], то отрезок ВС
пересечёт прямую ОА в некоторой точке D, Если при

74
ГЛ. Т. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
этом точка D совпадёт с точкой О, то углы ^С BOA и
<£; СО А будут равными смежными углами, а поэтому и
прямыми углами. Если точка D лежит на луче СМ, то,
согласно построению, <£DOB=^DOC\ если же D лежит
на другом луче, то указанная конгруентность следует из
В
Черт. 15.
теоремы 14. Согласно аксиоме Ш2, каждый отрезок кон-
груентен самому себе, OD = OD, а потому, в силу
аксиомы ш5, ^odb = ^odc р].
Теорема 15. Пусть /г, к, I и /г', к', /' [черт. 16]
суть две тройки лучей, каждая из которых исходит из
одной точки и лежит в одной плоскости; эти точки мы
обозначим соответственно буквами О и О', а плоскости — а
и а'. При этом пусть пары лучей /z, k и /г', k! либо обе
Черт. 16.
лежат по одну сторону, либо обе лежат по разные стороны
от соответствующих лучей /, /'. Гогда из конгруентностей
£(h,l) = $:(h\ /'), £ (А,7) = з;(£',/') -
следует, что
Доказательство будет приведено для того случая,
когда h и k лежат по одну сторону от /; в этом случае

§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ 75
Ы и к\ согласно условиям, также лежат по одну
сторону от /\ Другой случай с помощью теоремы 14
сводится к рассматриваемому. Из сказанного на стр. 68
следует, что либо луч h проходит внутри угла «§С (k, /), либо
луч k — внутри угла <£ (^, /) [24]. Обозначения выбраны
нами так, что луч h проходит внутри угла <§С (&, /).
Выберем на сторонах k, k\ /, /' точки К, Л", L, U так, чтобы
ОК = 0'К' и OL = 0'L*. В силу одной из теорем,
указанных на стр. 68, луч h пересекает отрезок KL в точке И.
Выберем точку Н' на луче ti так, чтобы ОН = 0'Н'. В
треугольниках OLH и О L'H\ а также в треугольниках OLK
и О'I!К\ в силу .теоремы 12, следующие элементы кон-
груентны:
§С OLH = & 0'UH\ ^ OLK= ЗС 0'L'K\
LH = L'H\ LK=L'K'
и, наконец,
%:okl=$:o'k'l'.
Согласно аксиоме 1114, в заданной плоскости при
данном луче по данную сторону от него можно отложить угол
одним единственным способом. Точки И' и К\
согласно предположению, лежат по одну сторону от /', а потому,
в силу первых двух из вышеуказанных конгруентностей
между углами, точка Н' лежит на прямой ПК. А отсюда,
на основании выписанных выше конгруентностей между
отрезками и в силу аксиомы Ш3, легко получается, что
НК=Н'1С. Из конгруентностей же ОК = О'К'; НК=Н'К'\
2COKL=£cO'K'L'9 в силу аксиомы Ш5, следует
справедливость доказываемой нами теоремы [25].
Таким же образом мы устанавливаем следующий факт.
Теорема 16. Пусть угол «§С (Л, k), лежащий в
плоскости а, конгруентен углу <Х (/г', &'), лежащему в
плоскости а'. Пусть, кроме того, / — луч, лежащий в плоскости а,
исходящий из вершины угла «§£ (/г, k) и проходящий внутри
этого угла. При этих условиях в плоскости о! существует
один и только один луч /', исходящий из вершины угла
§С(й'\k') и проходящий внутри этого угла так, что
ЗС(А,/) = ЗС(А',/') и ЗС(М)=ЗС(А',/'ЦИ].

76
ГЛ. Т. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Перейдём к доказательству третьей теоремы о кон-
груентности и того факта, что конгруентность углов
обладает свойством симметрии. Для этого мы сначала выведем
из теоремы 15*следующее следствие.
Теорема 17. Если две точки Zx и Z2 расположены
с различных сторон прямой XY и если при этом имеют
место конгруентности
XZX = XZ2 и YZx = YZ2l
то
^xyzx = ^xyz2.
Доказательство. В силу
теоремы 11 §С XZXZ2 = <£ XZ2ZX
и §С YZxZi = «gC YZ2ZX, а потому
Черт. 17. из теоремы 15 [27] следует, что
ЗС XZXY = 2£XZ2Y [черт. 17].
В особом случае, когда точка X или точка Y лежат на
отрезке ZXZ2, доказательство ещё проще. Из последней
конгруентности и конгруентностей XZX = XZ2 и YZX = YZ2,
в силу аксиомы Ш5, следует справедливость нашего
утверждения. §С XYZX = -§£ XYZ2.
Теорема 18 (третья теорема о
конгруентности треугольников). Если в двух треугольниках
ABC и А'В'С* соответственные стороны конгруентны, то
[эти] треугольники конгруентны.
Доказательство. Как доказано на стр. 67,
конгруентность отрезков обладает свойством симметрии, а
потому достаточно доказать, что треугольник ABC кон-
груентен треугольнику А'В'С [черт. 18]. От точки А' по
обе стороны луча А'С отложим по лучу так, чтобы
угол §С ВАС был конгруентен каждому из двух углов,
образуемых ими с лучом А'С'. На луче, лежащем по ту же
сторону от прямой А'Су что и точка В', выберем точку BQ
так, чтобы А'В0 = АВ, а на другом луче выберем точку В"
так, чтобы А'В" = АВ. Согласно теореме 12, ВС=В0С
и точно так же ВС=В"С. Из этих двух
конгруентностей и конгруентностей, указанных в условии теоремы,
в силу аксиомы 1И2, следует:
Л'£" = Д'£0; В"С'=В0С

§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ "
и соответственно
А'ВГ = А'В\ В"С = В'С.
Условиям теоремы 17 удовлетворяет как пара
треугольников А'В"С' и А'В0С\ так и пара треугольников А'В" С
и А'В'С', следовательно, угол ^СВМ'С конгруентен как
углу <£В0А'С\ так и углу <££М'С'. Но так как, по
аксиоме Ш4, в заданной плоскости при данном луче по дан-
С
О
Черт. 18.
ную его сторону любой данный угол можно отложить
одним единственным способом, то луч А'В0 должен
совпасть с лучом А'В'У т. е. угол, конгруентный углу <£ ВАС
и построенный при луче АС' с определённой его стороны,
есть 2£В'А'С\ Из конгруентности
2СВАС = $:В'А'С'
и из конгруентностей отрезков, о которых говорится
в "условии теоремы, следует, согласно теореме 12,
заключение нашей теоремы.
Теорема 19. Если два угла <£(/*', к') и ^(h\k")
порознь конгруентны третьему $;(/*,&), то угол §;(/*',&')
конгруентен "также углу «§С (^"> &")*)•
Эта теорема, которая соответствует аксиоме Ш2, может
быть формулирована так. если два угла конгруентны порознь
третьему, то они конгруентны друг другу.
Доказательство. Пусть точки О', О", О служат
вершинами трёх данных углов. На одной из сторон каждого
*) Это доказательство теоремы 19, которая в первом
издании была принята за аксиому, принадлежит А. Розенталю
(См. A. Rosenthal, Math. Ann. т. 71) А Розенталю
принадлежит также упрощённая формулировка аксиомы 14 (см.
Math. Ann. г. 69).

78
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
угла выберем по точке так, чтобы выполнялись
конгруентности: О' А' = О А и ОМ" = О А, где буквами А', А\ А
обозначены выбранные нами точки [черт. 19]. Точно так же
на других сторонах этих же углов выберем точки В', В", В
так, чтобы 0'В' = ОВ и 0"В"~ОВ. В силу теоремы 12
-<] ■<] -<1
if о" о
Черт. 19.
эти конгруентности вместе с заданными <gC (/*',&') = <£ (h, k)
и <£ (ti',k") = -§C {h, k) влекут за собою конгруентности:
А'В' = АВ и А"В"чбАВ.
Согласно аксиоме 1Н2, стороны треугольников А'В'О' и
А"В"О" соответственно конгруентны, а потому, на
основании теоремы 18,
Аналогично тому, как из аксиомы 1П2 вытекает свойство
симметрии для конгруентности отрезков, из теоремы 19
следует свойство симметрии для конгруентности углов, т. е.
если <£ а = <£ $> то углы <£ а и |с (5 конгруентны
друг другу [в любом порядке]. В частности,
формулировку теорем* 12—14 можно теперь сделать симметричной.
Теперь мы можем обосновать сравнение углов по
величине.
Теорема 20. Пусть мы имеем два угла <£ (h,k) и
<§С(/г',/'). Если при откладывании угла <Х (/z, k) при луче ti
со стороны луча /' получается внутренний луч k\
то при построении угла *>С(/г',/') при луче h со стороны
луча k получается внешний луч / и наоборот [черт. 20].
Доказательство. Предположим, что / проходит
внутри угла «§С (/г, &). Так как §С (^» &) = <£. {hf, k'), то
внутреннему лучу /, согласно теореме 16, соответствует луч /",
проходящий внутри угла <£(h\k') и притом такой, что

§ б. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ
ЗС (h, I) = <£ (h\ Г) [черт. 21]. По предположению, §; (А, /)=
= <£(/*'/'), причём /' и Г должны быть непременно
различны. Получаем противоречие с однозначностью отклады-
Черт. 20.
Черт. 21.
вания углов по аксиоме Ш4. Обратное положение
доказывается аналогично.
Определение. Если в результате построения угла
<£(/*,&), описанного в теореме 20, луч k' попадает внутрь
угла «§£(/*',/'), т° говорят, что угол <£(h,k) меньше угла
-^С (/*',/'), и обозначают это так:
ЗС(М)<ЗС(А',/');
если же луч k' попадает вне угла <^С(/г',/'), то мы
говорим, что угол «§С {h,k) больше угла •§£ (hf,l')7 и обозначаем
ЭТ0ТаК: ЗС(М)> £<*',/')•
Мы нашли, что для углов а и jj всегда имеет место одна
и только одна из следующих трёх возможностей:
а<СР и [5>а, а=р, а>[* и |3<Са-
Сравнение углов по величине транзитивно, т. е. из
каждого из трёх предположений:
1. а>р, р>у; 2. а>М = у; 3-a = M>Y
следует, что а^>у[28].

80
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Сравнение величин отрезков и аналогичные
свойства этого сравнения непосредственно вытекают из
аксиом 11 и ПК
откладывания отрезков,
однозначности
доказанной на стр. 70.
При помощи сравнения углов получается доказательство
следующей простой теоремы, которую Евклид—по моему
мнению, неправильно — отнёс к аксиомам.
Теорема 21. Все прямые углы конгруентны
собою *).
Доказательство. Согласно определению,
угол есть угол, конгруентный своему смежному,
угол <£(/*, /), обозначенный а, и угол <К (&, /), обозначенный
|5, суть углы смежные, равно как и углы а' и [5', и пусть
при этом а =[5 и а' = [5'. Предположим, в противоречии
с утверждением теоремы, что угол о! не конгруентен углу
а [черт. 22]. Тогда, построив угол о! при луче h с той
между
прямой
Пусть
?
Черт. 22.
его стороны, с которой лежит луч /, мы получим луч /",
отличный от /. Таким образом, /" лежит либо внутри угла а,
либо внутри угла [5. Если /" лежит внутри а, то
<С(Л,/")<а, а = р, р<ЗГ(£,/") ["].
А так как сравнение величин обладает свойством
транзитивности, то <£(/*, Г) <С<Х (&, П- С другой стороны, из
наших предположений и из теоремы 14 следует, что
SC(h,n = a\ а' = $\ £' = $;(*, Г)
и, таким образом, ^ ^^ ^ ^ ^
*) Ф. Вален в своей книге. «Абстрактная геометрия»
(Th. V a h 1 е n, «Abstrakte Geometrie», Leipzig, 1905, стр. 242)
замечает, что эту теорему доказал ещё Лежандр Однако Лежандр
в своём доказательстве исходил из предположения, что углы
образуют непрерывную систему величин.

§ б. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ 81
Эта конгруентность противоречит соотношению
ЗС(А,/*КЗС(М*).
В случае, когда Г лежит внутри угла [5, мы
аналогичным образом приходим к противоречию. Таким
образом, теорема 21 доказана.
Определение. Угол, больший своего смежного и,
следовательно, больший прямого угла, называется тупым.
Угол, меньший своего смежного и, следовательно, меньший
прямого угла, называется острым.
Основной теоремой, играющей большую роль уже у
Евклида, является теорема о внешнем угле; из неё
вытекает ряд важных следствий.
Определение. Принадлежащие треугольнику ЛВС
углы «§С ABC, «§С ВСА и <£ CAB называются углами этого
треугольника-, углы, смежные этим углам, называются
внешними углами треугольника.
Теорема 22 (Теорема о внешнем угле).
Внешний угол треугольника больше каждого из двух не
смежных с ним углов [этого] треугольника.
Доказательство. Пусть угол §; CAD является
внешним углом треугольника ЛВС [черт. 23]. Выберем точку D
так, чтобы AD = CB.
. Докажем сначала, что <Х CAD ^k -§С АСВ. Если бы
ЗС CAD = -§С АСВ, то; вследствие конгруентности АС = С А
и в силу аксиомы Шв мы бы имели. ^£ACD=%£CAB.
В таком случае из теорем 14 и 19 следовало бы, что
«§С ACD конгруентен углу,
смежному с «§С АСВ. Тогда,
согласно аксиоме Ш4,
точка D должна была бы лежать
на прямой СВ, что
противоречит аксиоме 12. Итак
ЗССАОфЗСАСВ.
Не может также быть, чтобы <£ CAD <^ <Х АСВ;
действительно [черт. 24], если бы <£ CAD был меньше <£ АСВ,
то откладывание внешнего угла <К CAD в точке С при
6 Д. Гильберт
А
Черт. 23.

82
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
луче СЛ в ту сторону, в которой лежит В, дало бы луч,
проходящий внутри угла «§С АСВ\ этот луч должен был бы
пересечь отрезок АВ [см. стр. 68] в некоторой точке В\
В таком случае в треугольнике АВ'С внешний угол §С CAD
с был бы конгруентен углу
А. -§С АСВ\ что, однако, как
/^^ \V это было показано выше, не-
^у \ ^v возможно. Таким образом,
д JiJU) \ g остаётся одна только воз-
^/ можность <£ С A D > Зс А СВ.
/ Точно так же получается,
Черт. 24. что угол, вертикальный углу
^CAD [черт. 24], больше
угла «§С ABC, а вследствие конгруентности вертикальных
углов и транзитивности сравнения величин углов,
^CADy^ABC.
Таким образом, теорема полностью доказана.
Важными следствиями теоремы о внешнем угле являются
следующие теоремы:
Теорема 23. В каждом треугольнике против ббль-
шего угла лежит большая сторона.
Доказательство. Отложим меньшую из двух
рассматриваемых сторон треугольника от общей вершины на
Черт. 25.
большей стороне [черт. 25]. Заключение теоремы следует
в таком случае из теорем 11 и 22, так как сравнение
величин углов обладает транзитивным свойством.
Теорема 24. Треугольник с двумя равными углами
должен быть равнобедренным.

§ 6. СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ 83
Это обращение теоремы 11 является непосредственным
следствием теоремы 23.
Из теоремы 22 легко получается дополнение ко
второй теореме о конгруентности.
Теорема 25. Два треугольника ЛВС и А'В'С конгру-
ентны друг другу, если
ав = а'в\ зсл = зса\ ^с~-^сL30].
Теорема 26. Любой отрезок можно разделить пополам.
Доказательство. Отложим при отрезке АВ
около его концов углы, конгруентные а и расположенные
по разные стороны этого отрезка. На свободных
сторонах этих углов отложим конгруентные отрезки: AC=BD.
Так как точки С и D лежат по разные стороны АВ, то
отрезок CD пересекает прямую АВ в некоторой точке Е
[черт. 26].
Предположение, что точка Е совпадает с точкой А или
В, противоречит теореме 22. Если предположить, что В ле-
Черт. 26.
жит между А и Е [черт. 26, справа], то, в силу теоремы 22,
ЗС ABD < Зс BED < ЗС ВАС,
а это противоречит построению. Точно так же получается
противоречие, если предположить, что точка А лежит между
В и Е.
Таким образом, в силу теоремы 4, точка Е лежит на
отрезке АВ. В таком случае углы ^АЕС и <££££>, как
вертикальные, конгруентны.
6*

84
ГЛ. !. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
Итак, к треугольникам ЛЕС и BED применима
теорема 25, которая даёт:
ЛЕ = ЕВ,
Непосредственным следствием теорем 11 и 26 является
следующий факт: каждый угол можно разделить пополам.
Понятие конгруентности можно распространить на
любые фигуры.
Определение. Если точки Л, В, С, D,..., К, L,
лежащие на прямой а, и точки Л', В', С, D\..., К\ L\
лежащие на прямой а\ образуют такие два точечных ряда,
что все соответствующие отрезки ЛВ и А'В', АС и А'С\
ВСи i5'C',..., KL и К И конгруентны друг другу,
то эти два ряда точек называют конгруентными друг другу;
точки Л и Л', В и В',.. ., Z, и U называют при этом
соответствующими точками конгруентных точечных
рядов.
Теорема 27. Если из двух конгруентных точечных
рядов Л, В,..., К, L и Л', В',..., К', L! первый
упорядочен так, что точка В лежит между А с одной стороны
и С, D,..., /С, L с другой, точка С — между Л, В с одной
стороны и D,..., К, L с другой и т. д., то точки Л', В', ... ,
К!, И должны быть упорядочены таким же образом, т. е. В'
должно лежать между Л' с одной стороны и С, D',... , К7, V
с другой, С — между Л', В' с одной, D',..., К!,И с другой
и т. д. [31~|.
Определение. Совокупность конечного числа точек
называется фигурой', если все точки фигуры лежат в одной
плоскости, то фигура называется плоской.
Две фигуры называются конгруентными, если их точки
можно попарно поставить в соответствие друг другу таким
образом, чтобы отрезки и углы, оказавшиеся при этом
в соответствии, были друг другу конгруентны.
Конгруентные фигуры, как это видно из теорем 14 и 27,
обладают следующими свойствами. Если в некоторой фигуре
три точки лежат на одной прямой, то во всякой конгруент-
ной ей фигуре соответствующие точки тоже лежат на
одной прямой. Расположение точек в соответственных
плоскостях относительно соответственных прямых в конгруентных

§ 7. ЧЕТВЁРТАЯ ГРУППА АКСИОМ 85
фигурах одно и то же. То же относится и для
прямолинейных рядов соответствующих точек на соответствующих
прямых.
Наиболее общая теорема о конгруентности на
плоскости и в пространстве формулируется следующим
образом:
Т е о р е м а 28. Если (Л, Б, С,..., L) и (Л', В\ С,.. ., L)
суть две конгруентные плоские фигуры и точка Р
находится в плоскости первой из них, то в плоскости второй
фигуры всегда найдётся точка Р' такая, что фигуры
(Л, В, С, ..., L, Р) и (Л\ В1, С,. . ., L\ Р) будут также кон-
груентны. Если фигура (Л, В, С, ..., L) содержит хотя
бы три точки не лежащие на одной прямой, то
построение точки Р' может быть выполнено только одним
способом [32].
Теорема 29. Если фигуры {Л, В, С,..., L) и
(Л', В , С,..., L) конгруентны, то любой точке Р можно
поставить в соответствие точку Р' так, чтобы фигуры
(Л,£,С, ...,£,Р) и (А', В' С,...,Z/, Р') оказались кон-
груентными. Если при этом фигура (Л, В, С,... , L)
содержит хотя бы четыре точки, не лежащие в одной плоскости,
то построение точки Р' может быть выполнено только
одним способом.
Теорема 29 есть выражение того важного результата,
что все факты конгруентности в пространствен тем
самым свойства движения в пространстве суть
следствия пяти установленных выше аксиом конгруентности на
прямой и на плоскости, рассматриваемых совместно
с аксиомами групп I и И[33].
§ 7. Четвёртая группа аксиом: аксиома
о параллельных
Пусть а есть некоторая плоскость, а — некоторая
прямая в плоскости а, а Л — точка в этой же плоскости,
лежащая вне прямой а. Проведём в плоскости а через точку Л
сначала прямую с, пересекающую прямую #, затем прямую b
так, чтобы прямая с пересекала прямые а и b под равными
соответственными углами. В таком случае, как это легко

86
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
заключить из теоремы о внешнем угле (теорема 22),
прямые а и Ъ не имеют общей точки, т. е. в плоскости а
через точку Л, лежащую вне прямой а, всегда можно
провести прямую, не пересекающую прямую а.
Аксиома о параллельных гласит:
IV (Аксиома Евклида). Пусть а — произвольная
прямая, а А — точка, лежащая вне её-, в таком случае
в плоскости, определяемой прямой а и точкой Л,
существует не более одной прямой, проходящей через точку
А и не пересекающей прямую а.
Определение. Из предыдущего и на основании
аксиомы о параллельных мы анаем, что в плоскости,
определяемой прямой а и точкой Л, существ) етоднаитолько
одна прямая, проходящая через точку Л и не
пересекающая прямой а; мы называем её прямой, параллельной а,
проходящей через точку А.
Аксиома о параллельных IV равносильна следующему
требованию:
Если две прямые а, Ь, лежащие в одной плоскости, не
пересекают третью прямую, лежащую в той же плоскости,
то они не- пересекаются также и между собою.
Действительно, если бы прямые а, Ъ имели общую точку
Л, то в той же плоскости возможны были бы две прямые
а, Ь, проходящие через точку Л, которые не пересекали бы
прямой с; это обстоятельство противоречит аксиоме о
параллельных IV. Так же легко получается и обратное
.утверждение, что аксиома о параллельных следует из указанного
требования.
Аксиома о параллельных .IV есть плоскостная
аксиома.
Введение аксиомы о параллельных значительно
упрощает основания геометрии и облегчает её
построение.
Именно, если мы к аксиомам конгруентности
присоединим аксиому о параллельных, то легко придём к известным
предложениям:
Теорема 30. Если две параллельные прямые
пересекаются третьей прямой, то образующиеся при этом
соответственные и накрест лежащие углы конгруентны, и обратно,

§ 8. ПЯТАЯ ГРУППА АКСИОМ
87
из конгруентности соответственных и накрест лежащих
углов следует параллельность прямых.
Теорема 31. Сумма углов треугольника равна двум
прямым *).
Определение. Пусть Ж есть некоторая точка в
плоскости а; совокупность всех точек Л, лежащих в плоскости а,
для которых отрезки МА конгруентны друг другу,
называется окружностью; точка М называется центром
окружности.
С помощью аксиом групп 111 и IV из этого определения
легко вывести знакомые теоремы об окружности, в
частности теорему о том, что, через любые три точки, не
лежащие на одной прямой, можно провести окружность, теорему
о конгруентности всех# углов, вписанных в окружность
и опирающихся на одну 'и ту же хорду, теорему об углах
вписанного четырёхугольника.
§ 8. Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности
Vt (Аксиома измерения или аксиома
Архимеда). Пусть АВ и CD — два каких-нибудь отрезка;
тогда на прямой АВ существует конечное число
точек А]у Аъ /43, ..., Ап, таких, что отрезки AAV АХЛ2,
А2Аг,..., Ап_хАп конгруентны отрезку CD и точка В
лежит между А и Ап [черт. 27].
А Л, \ Д» А„.,В Лп С D
1 I -I 1 )■!■ -I U
а
Черт. 27.
V2 (Аксиома линейной полноты). Точки прямой
образуют систему, которая при сохранении линейного
порядка (теорема 6), первой аксиомы о конгруентности
и аксиомы Архимеда (т. е. аксиом Ij_2, II,. Ш,, V,) не
допускает никакого расширения, т. е. к этой системе
*) Относительно обратного вопроса — насколько эта теорема
может заменить собою аксиому о параллельных, — см. примечание
в конце гл. II. § 12.

88
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
точек невозможно прибавить еи;ё точки так,
чтобы в системе, образованной
первоначальными и добавленными точками, выполнялись
все приведённые аксиомы.
Сохранение всех аксиом, о котором идёт речь в этой
аксиоме, надо понимать так: после расширения все аксиомы
должны сохранить свой первоначальный смысл, т. е.
соотношения между точками, существовавшие до
расширения, а именно, первоначальный порядок и первоначальная
конгруентность отрезков, после расширения нигде не
должны быть нарушены; например, точка Л, лежавшая перед
расширением между точками В и С, должна и после
расширения лежать между В и С; отрезки, которые до
расширения были друг другу конгруентны, должны остаться
конгруентными и после расширения.
Выполнимость аксиомы полноты
существенно обусловлена тем, что в ней среди
аксиом, сохранение которых требуется,
находится аксиома Архимеда. Действительно, можно
показать следующее: к системе точек на прямой, для
которой выполняются аксиомы 1^, II и Ш1Э всегда можно
добавить ещё точки таким образом, чтобы в системе,
образованной первоначальными и добавленными точками,
также выполнялись упомянутые аксиомы; это значит, что
аксиома полноты, в которой требуется сохранение всех
указанных аксиом, за исключением аксиомы Архимеда, или
соответствующей ей аксиомы, заключает в себе
противоречие.
Обе аксиомы непрерывности являются линейными
аксиомами [34].
Существенно, что из аксиомы линейной
полноты вытекают следующие более общие предложения:
Теорема 32 (Теорема полноты*)). Элементы
геометрии (т. е. точки, прямые и плоскости) образуют
систему, которая при сохранении аксиом соединения и порядка,
*) В предыдущих изданиях эта теорема рассматривалась
как аксиома. Указание того, что достаточна аксиома линейной
полноты, было сделано П. Бернайсом (P. Bern ays).

§ 8. ПЯТАЯ ГРУППА АКСИОМ
89
первой аксиомы конгруентности и аксиомы Архимела не
допускает никакого расширения за счёт новых точек,
прямых и плоскостей; при сохранении же в с е х аксиом элементы
геометрии и подавно образуют систему, не допускающую
подобного расширения.
Слова «расширение» и «сохранение» надо при этом
понимать так же, как и в аксиоме V2.
Доказательство. Элементы, которые существовали
до расширения, мы будем называть старыми элементами,
а те элементы, которые добавились при расширении,—
новыми. Добавление новых элементов влечёт за собою
добавление новой точки N
Согласно аксиоме 18, существуют четыре старые точки
Л, £, С, D, не лежащие в одной плоскости. Обозначения
можно при этом выбрать так, чтобы точки Л, Б, N не
лежали на одной прямой. Плоскости ABN и ACD не
совпадают друг с другом и кроме общей точки А имеют,
согласно аксиоме L, ещё и общую точку Е. Точка Е не
лежит на прямой АВУ так как в противном случае точка В
лежала бы в плоскости ACD. Если Е является новой
точкой, то в старой плоскости ACD лежит новая точка Е;
если же Е является старой точкой, то новая точка TV
лежит в старой плоскости ABE. Во всяком случае, таким
образом, оказывается, что какая-то новая точка лежит
в какой-либо старой плоскости.
U
F I
Черт. 28.
В старой плоскости существует старый треугольник
FGH, а на отрезке FG старая точка / [черт. 28].
Соединим новую точку L с точкой /. Тогда, согласно аксиоме Н4,
прямая IL пересекает либо прямую FH, либо прямую GH
в точке К, если только новая точка L не лежит на

90
ГЛ. I. ПЯТЬ ГРУПП АКСИОМ
прямой IH. Если К есть новая точка, то новая точка К
лежит на старой прямой FH или GH\ если же К есть
старая точка,, тоновая точка L лежит на старой прямой IK.
Следовательно, все три предположения противоречат
аксиоме о линейной полноте. Таким образом, надо
отказаться от прибавления новой точки в старой
плоскости и, тем самым, вообще от добавления новых
элементов.
Теорему о полноте можно формулировать ещё более
резко; сохранения некоторых из упомянутых в ней аксиом
не требуется. Однако для справедливости этой теоремы
является, например, существенным, чтобы в ней среди
аксиом, сохранение которых требуется, была аксиома 17.
Действительно, можно показать следующее:, к системе
элементов, в которой выполняются аксиомы I—V, всегда
можно добавить ещё точки, прямые и плоскости так, чтобы
в системе, образованной старыми и новыми элементами,
выполнялись указанные аксиомы, исключая аксиомы 17;
иными словами, теорема полноты, вгусловии которой
отсутствовала бы аксиома 17 или равносильная ей аксиома,
заключала бы в себе противоречие [35].
Теорема полноты не является следствием
аксиомы Архимеда. Действительно, одна толькоч
аксиома Архимеда, рассматриваемая совместно с аксиомами
I—IV, недостаточна, чтобы показать, что наша геометрия
тождественна с обычной декартовой аналитической
геометрией (см. § 9 и § 12). Напротив, присоединение аксиомы
полноты—хотя в самой формулировке этой аксиомы
ничего не говорится о понятии сходимости, — даёт
возможность доказать существование границы множества,
соответствующей сечению Дедекинда, и теорему Больцано
о существовании точки сгущения (предельной точки), чем
и доказывается тождественность нашей геометрии с
геометрией Декарта.
С помощью предыдущего исследования требование
непрерывности разложено на две существенно различные
составные части, а именно: на аксиому Архимеда, на
которую возла!ается задача подготовить требования
непрерывности, и на аксиому полноты, которая служит за-

§ 8. ПЯТАЯ ГРУППА АКСИОМ
91
ключ ительным звеном во всей системе
аксиом*).
Во всех дальнейших исследованиях мы будем
существенно опираться только на аксиому Архимеца, не требуя,
вообще говоря, выполнения аксиомы полноты.
*) См. также замечания в конце § 17, а также мой доклад
о понятии числа, напечатанный здесь в качестве добавлеьия VI.
(Этот доклад был опубликован в Berichte der Deutschen Mathe-
matiker-Vereinigung, 1900.) Исследование о равенстве углов при
основании равнобедренного треугольника приводит нас к двум
дальнейшим аксиомам непрерывности; см. добавление II к этой
книге, стр. 202, а также мою статью «Ueber den Satz von der
Gleichheit der Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck»,
Proceedings of the London Mathematical Society, т. XXXV, 1903.
~^$r-

ГЛАВА ВТОРАЯ
НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И ВЗАИМНАЯ
НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
§ 9. Непротиворечивость аксиом
ксиомы пяти групп, установленных в первой
главе, не противоречат друг другу, т. е. с
помощью логических умозаключении из них нельзя
вывести положения которое противоречило бы
какой-либо одной из них. Чтобы убедиться
в этом, мы образуем из действительных чисел систему вещей,
в которой будут выполняться все аксиомы пяти групп.
Рассмотрим сначала поле й, образованное
алгебраическими числами, которые получаются, если исходить из 1
и конечное число раз применять четыре арифметических
действия — сложение, вычитание, умножение, деление — и
пятую операцию: |jA+w2|, где (о означает число,
ранее полученное при помощи указанных пяти операций.
Мы рассматриваем пару чисел (х, у) поля й как точку,
а отношение (u:v:w) трёх чисел поля й, если только и
и v оба не равны нулю, как прямую; далее, пусть
равенство
их -\-vy-\-w = О
означает, что точка (х, у) лежит на прямой (u:v:w);
тогда, как легко видеть, аксиомы Ij_3 и IV оказываются
выполненными [36]. Числа, принадлежащие полю й,
действительны; принимая во внимание, что эти числа могут
быть упорядочены по своей величине, мы легко можем так
установить отношения порядка для наших точек и прямых,
ш

§ 9. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АКСИОМ 93
чтобы выполнялись также и все аксиомы группы II
(аксиомы порядка). Действительно, пусть (xv уг), (^2,^2)»
(х3, yz)y ... суть какие-то точки на некоторой прямой;
будем считать, что они располагаются именно в этой
последовательности на прямой, если числа xv х21 л;3, ... или
числа yv Уъ, yv • > • у взятые в этой последовательности,
либо постоянно убывают, либо постоянно возрастают; далее,
чтобы убедиться в выполнении аксиомы П4, достаточно
установить, что все точки (х, у), для которых ux-^-vy-\-w
меньше нуля, лежат по одну сторону от прямой (u:v:w),
а все точки (ху у), для которых ux-\-vy-\-w больше
нуля, — по другую сторону от этой прямой. Легко
убедиться в том, что это правило согласуется с предыдущим
условием, определяющим
последовательность точек на
прямой [М].
Откладывание отрезков и
углов выполняется известными
уже из аналитической
геометрии способами. Преобразование
вида
х' = х -f а,
У=у+Ь
даёт параллельный перенос отрезков и углов, а
преобразование
У = —У
— зеркальное отображение относительно прямой у=0.
Обозначим, далее, точку (0,0) буквой О, точку (1,0) —
буквой Е и произвольную точку (а, Ь) — буквой С [черт. 29].
Тогда произвольная точка (л:, у) посредством вращения
вокруг точки О на угол «§С СОЕ переходит в точку (х\у'),
где
, а Ь
х = г х ■ г у,
010,01

94 ГЛ. II. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
Так как число Ya2-\-b2 = b у 1 -j- (j У также
принадлежит полюЙ, то при наших предположениях выполняются
аксиомы конгруентности IIIj _4, и очевидно, что аксиома
о конгруентности треугольников П15 и аксиома
Архимеда V1 при этом также выполняются. Что же касается
аксиомы полноты, то она места не имеет [38].
Каждое противоречие, которое могло бы получиться
из линейных и плоскостных аксиом I—IV, Vj, должно
было бы тем самым проявиться в арифметике поля й *).
Если мы в предыдущем изложении поле й заменим
полем всех действительных чисел, то мы получим обычную
декартову геометрию на плоскости. В том, что в этой
последней кроме аксиом 113, II, III. IV и \7г выполняется
также и аксиома полноты, можно убедиться следующим
образом.
В декартовой геометрии из одних только определений
порядка и конгруентности отрезков следует, что любой
отрезок можно разделить на произвольное число п кон-
груентных друг другу отрезков и что если отрезок АВ
меньше отрезка АС, то и п-я часть отрезка АВ меньше
я-й части отрезка АС.
Положим теперь, что существует прямая gy на
которой, вопреки аксиоме полноты, можно добавить ещё точки
к построенной нами геометрии, не нарушая при этом на
прямой g аксиом 11__2, II, III, V1# Пусть одна из
добавленных точек будет N. Точка N разбивает прямую g на
два луча, каждый из которых, согласно аксиоме Архимеда,
содержит также точки, существовавшие до добавления
новых точек; эти последние мы будем называть старыми
точками. Итак, точка N деаит старые точки прямой g на
два луча. Положим, что прямая g представлена в пара-
*) Относительно вопроса о непротиворечивости аксиом
арифметики смотри мой доклад о понятии числа: «Berichte der
Deutschen Mathematiker-Vereinigung», 1900 (вошёл в качестве
дополнения VI в эту книгу), а также мой доклад
«Математические проблемы» на интернациональном математическом
конгрессе в 1900 г., особенно проблему N° 2 (Gottinger Nachrichten,
1900).

§ 9. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ АКСИОМ 95
метрическом виде:
причём параметр t ещё до добавления новых точек
принимал уже все действительные значения. Тогда разбиение,
производимое точкой Л/, определяет дедекиндово сечение
и в области этих значений параметра. Как известно, для
дедекиндова сечения имеет место следующее: или
первый из определяемых им классов имеет последний
элемент, или второй из определяемых им классов имеет первый
элемент. Пусть на прямой g этому элементу соответствует
точка Л. В таком случае между А и N нет ни одной
старой точки.
С другой стороны, существует такая старая точка £,
что N лежит между А п В. Далее, в силу аксиомы
Архимеда, можно выбрать таким образом некоторое число,
скажем, п различных точек N, Сь С2, . .., Сп-ъ А чтобы
п отрезков ЛЛ/, ЛС1э С}С2, .. ., C„__2 & были ДРУГ ДРУГУ
конгруентны, и чтобы точка В лежала между А и D.
Разделим отрезок АВ на п конгруентных частей. Все точки
* v С, С2 С„гВ D
д ■ i i— ' ' \—i н-
N
Черт. 30.
деления будут старыми точками; пусть W будет та из
этих точек, которая лежит ближе остальных к точке А
[черт. 30]. В силу одного из упомянутых на предыдущей
странице свойств декартовой геометрии, отрезок A W
должен быть меньше отрезка ЛЛ/, так как АВ меньше, чем
AD [39J; Поэтому точка W лежит между А и N. Таким
образом, предположение, что на прямой g можно добавить
точку /V, не нарушая при этом линейные аксиомы,
привело к противоречию.
Итак, в декартовой геометрии на плоскости все
аксиомы 1—V, относящиеся к прямой и плоскости, выполняются.
Соответствующие исследования для геометрии в
'пространстве не представляют никаких трудностей.

96 гл. IT. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
Всякое противоречие в следствиях из аксиом I—V
должно, таким образом, иметь место также и в
арифметике действительных чисел.
Как видно, существует бесчисленное множество
геометрий, удовлетворяющих аксиомам 1—IV, Vu но только
в одной геометрии, а именно в геометрии Декарта,
выполняется также и аксиома полноты V2.
§ 10. Независимость аксиомы о параллельных
(неевклидова геометрия)*)
После того, как мы убедились в непротиворечивости
нашей системы аксиом, интересно исследовать, все ли они
независимы друг от друга. В действительности оказывается,
что никакие существенные составные части указанных
групп аксиом не могут быть выведены п>тём логических
умозаключений из предшествующих групп аксиом.
Прежде всего, что касается отдельных аксиом групп I,
II и III, то легко показать, что аксиомы одной и той же
группы в существенном не зависят друг от друга.
Аксиомы групп I и II лежат в нашем изложении
в основе других аксиом; поэтому мы займёмся только тем,
чтобы доказать для каждой из групп аксиом III, IV, V её
независимость от остальных.
Аксиома IV о параллельных не зависит от остальных
аксиом; это доказывается проще всего хорошо известным
способом, а именно в качестве элементов пространственной
геометрии принимают те точки, прямые и плоскости
обыкновенной, построенной в § 9 (декартовой) геометрии,
которые расположены внутри некоторого фиксированного
шара, а конгруентности в этой геометрии заменяют
такими линейными преобразованиями обыкновенной геоме-
*) Легко показать следующее: в геометрии, в которой
выполнены аксиомы I—III и аксиома Архимеда Vi, предложение,
содержащее аксиому о параллельных, либо неприменимо ни к
одной системе, состоящей из прямой и вне её лежащей точки,
либо применимо ко всякой такой системе; см. R. В a I d u s, «Nicht-
euklidische Geometrie», Berlin, 1927 (Имеется русский перевод:
Р. Бальдус, Неевклидова геометрия, М.—Л., ГТТИ, 1933 г.).

§ 10. НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
трии, которые указанный шар преобразуют самого в себя.
При соответствующим образом установленных определениях
убеждаются, что в этой «неевклидовой» геометрии
выполняются все аксиомы, за исключением евклидовой
аксиомы IV. Так как возможность обыкновенной геометрии
была доказана в § 9, то отсюда следует также и
возможность неевклидовой геометрии [40].
Особый интерес представляют
теоремы, справедливость которых не
зависит от аксиомы о параллельных, т. е.
которые выполняются как в евклидовой,
так и в неевклидовой геометрии.
Важнейшим примером таких теорем служат
обе теоремы Лежандра. Для
доказательства первой из этих теорем, кроме
аксиом I, II и III, требуется ещё аксиома
Архимеда V1# Рассмотрим раньше
несколько вспомогательных предложений.
Теорема 33. Пусть дан прямо- Черт. 31.
угольный треугольник OPZ, у которого
угол при вершине Р прямой, и пусть на отрезке PZ
выбраны точки X и Y так, чтобы [черт. 31]
$:xoy=$:yoz.
Тогда
XY<YZ.
Для доказательства отложим на прямой OZ от
точки О отрезок ОХ\ конгруентный ОХ, т. е.
ОХеееОХ'.
Из теорем 22 и 23 следует, что точка X' лежит на отрезке
OZy а на основании теоремы 22 и аксиомы Шб получается,
что
$:x'zy<$:oyx=e3:oyx'<$: yxz.
Соотношение §; <Y'ZK< <£ YX'Z, в силу теорем 12 и 23,
приводит нас к доказываемому утверждению.
7 Д. Гильберт

98 ГЛ. И. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
Теорема 34. Для любых двух углов а и е можно
найти такое натуральное число г, что
При этом — означает угол, получающийся при помощи
r-кратного деления пополам угла а.
Доказательство. Пусть даны два угла а и е. Из
принятых аксиом вытекает выполнимость деления угла
пополам (см. стр. 84). Рассмотрим острый угол -^. Если
-г ^ s, то утверждение теоремы 34 выполняется при г = 2.
Если же ^-^> £, то мы из какой-либо точки С, лежащей
на одной из сторон угла у, опустим на другую сторону
этого же угла [черт. 32] перпендикуляр, который пересечёт
эту последнюю в некоторой точке В.
Обозначим вершину угла -^ буквой А.
Отложим угол 8 при стороне ЛВ внутри
угла <£ ВАС — -^\ свободная сторона
построенного угла, в силу предполагаемого
неравенства, пересечёт отрезок ВС в
некоторой точке D (см. стр. 68). Аксиома
Архимеда Vj сводится к утверждению, что
0 существует число п, для которого
n-BD>BC.
Будем откладывать угол е п раз,
пристраивая его каждый раз извне к
свободной стороне [ранее построенного угла].
Может случиться, что свободная сторона угла, начиная
с /и-го откладывания [где т меньше или в крайнем случае
равно п] не пересекает больше луча. ВС. Так как
предыдущая свободная сторона ещё пересекает этот луч, то
угол (т—1)е острый. Отсюда легко получается, что
Черт. 32.

§ 10. НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ 99
внутренняя часть угла тг, полученного в результате
/«-кратного откладывания, лежит от АБ в той же полуплоскости,
что и точка С, и, далее, что луч АС должен лежать внутри
угла ws, т. е.
т.е>т.
В другом случае каждый угол s при /2-кратном
откладывании вырезает на луче ВС отрезок, который, согласно
теореме 33, больше или равен ВГ)Щ Пусть п-я свободная
сторона пересекает ВС в точке Е. Сумма BE п отрезков,
вырезанных на луче ВСУ больше, чем ti'BD, и подавно
больше ВС. Следовательно,
Поставим числу т (или, соответственно, числу п) в
соответствие число г такое, чтобы m<Cjlr~x (соответственно
/2<^2r_1). Угол/ие (соответственно пе) обозначим буквой ji.
Углы -^yzi и "7 можно построить. Из возможности сравнения
величин углов легко получается, с одной стороны, что
из неравенства 2Г~! ^> т следует неравенство -~^ <^ — = е,
с другой стороны, что из неравенства JA^>-o следует*
неравенство -jzr[^> ~г. Тем самым, вследствие транзитивного
свойства сравнения величин (см. стр. 80),
С помощью теоремы 34 можно доказать первую
теорему. Лежандра.
Теорема 35 (первая теорема
Лежандра). Сумма углов треугольника меньше или равна двум
прямым.
Доказательство. Обозначим какой-либо из углов
данного треугольника через <£А = а. Для других его
углов введём обозначения <£В = $ и §;С = у так, чтобы
7*

100 ГЛ. II. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
P^Y [чеРт- 33]. Согласно теореме 26, на отрезке ВС
можно найти середину — точку D. Продолжим отрезок AD
за точку D до точки Е на длину, равную самому
отрезку AD. В силу конгруентности вертикальных углов (стр. 73),
к треугольникам ADC и EDB можно применить аксиому Ш5.
Установив, на основании теоремы 15, понятие о сумме углов
самоочевидным способом, мы получим для углов а', р', у'
треугольника ABE соотношения:
сумма углов в треугольниках ABE и
ABC одинакова.
Из неравенства j5 ^у»
в силу теорем 23 и 12,
следует, что
а
Следовательно,
Черт. 33.
и отсюда, что
Любому треугольнику ABC и какому-либо из его
углов а можно поставить в соответствие другой треугольник,
имеющий ту же сумму углов, в котором один из углов
тем самым, для любого натурального
меньше или равен -^
числа г можно найти
треугольник, имеющий ту же сумму
углов [что и АВС\ у которого один из углов меньше или
равен — .
Предположим теперь, что, вопреки утверждению первой
теоремы Лежандра, сумма углов данного треугольника
больше двух прямых.
Из теоремы 22 следует, что сумма двух углов
треугольника меньше двух прямых. Сумму углов данного
треугольника можно представить в виде
где е — некоторый угол, а р — прямой угол. В силу
теоремы 34 найдётся натуральное число г такое, что— <^s.

§ 10. НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ^]
Построим теперь по указанному способу треугольник
с углами а*, [5*, у*» которые удовлетворяют соотношениям:
a* + P* + Y* = 2p + *. a*<-^<s.
В этом треугольнике
P* + Y*>2?,
что противоречит теореме 22. Тем самым первая теорема
Лежандра доказана.
Теорема 36. Если в четырёхугольнике ABCD
[черт. 34] углы А и В прямые и если кроме того
противоположные стороны AD и ВС кон-
груентны, то углы §; С и <£ D кон-
груентны друг другу. Далее,
перпендикуляр, восставленный из середины
М стороны АВ, пересекает
противоположную сторону CD в точке А/,
причём оказывается, что
четырёхугольники AMND и BMNC конгру-
ентны. Черт 34.
Доказательство.
Перпендикуляр, восставленный из точки М к отрезку АВ, проходит,
как это следует из теорем 21 и 22, внутри угла <£DMC
и, в силу одной из упомянутых на стр. 68 теорем, пересе-
ка.ет отрезок CD в точке N. Из теорем 12, 21 и 15
следует, что треугольники MAD и МВС и тем самым и
треугольники MDN и MCN конгруентны. Из этих конгруент-
ностей при помощи теоремы 15 получается, что
2tBCN~$:ADN.
Таким образом, четырёхугольники AMND и BMNC
конгруентны.
Теорема 37. Если в четырёхугольнике ABCD [черт. 35]
все четыре угла прямые, то перпендикуляр EF,
опущенный из произвольной точки Е прямой CD на
противоположную сторону АВ, перпендикулярен также и CD.
Доказательство. Введём понятие зеркального
отражения от прямой а следующим образом: если из
какой-либо точки Р опустить перпендикуляр на некоторую

102 ГЛ. ТТ. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
прямую а и продолжить этот перпендикуляр до точки Р'
на такое же расстояние, то точка Р' называется
зеркальным изображением точки Р.
Г7~
Ьь.
Е, С
h (к Л
Tf'
А
f, в
Черт. 35.
Построим зеркальные изображения отрезка EF
относительно прямых AD и ВС. Из второй части теоремы 36
вытекает f41], что зеркальные изображения EXFX и E2F2
конгруентны отрезку EF. Точки Fr и F2y так же как и
точка F, лежат на прямой АВУ точки же Ех и Е2 вместе
с точкой Е лежат на прямой CD. Четырёхугольники EFFXEV
EFF2E2 и E)F,F2E2 подходят под условие теоремы 36, и
потому четыре угла, вершины
которых находятся в точках Е, Ev
Е2, конгруентны друг другу.
Поэтому у одной из этих точек
имеются два равных смежных угла
(на чертеже 35 у точки Ех), т. е.
четыре указанных угла — прямые.
Теорема 38. Если
существует хотя бы один
четырёхугольник с четырьмя прямыми
углами, то у любого
четырёхугольника, имеющего три прямых угла,
четвёртый угол также прямой.
Доказательство. Пусть у четырёхугольника
A'B'C'D' все четыре угла прямые, и пусть ABCD [черт. 36]
какой-то четырёхугольник с тремя прямыми углами Л, В
и D. Построим четырёхугольник ABlC1Dv конгруентный
A'B'C'D', у которого прямой угол при точке А совпадал
бы с углом А в четырёхугольнике ABCD.
Если точка В совпадёт с Вг или точка D — с Dv то
условие теоремы 37 оказывается выполненным. Если точка
V
F
С
В
Черт. 36.
ft

§ 10 НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМЫ О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ЮЗ
В лежит между А и Bv а точка Dx между А и D, то
так же, как и в доказательстве теоремы 36, из теоремы
о внешнем угле следует, что отрезки ВС и CXDX
пересекаются в некоторой точке F. Теорема 37 показывает
далее, что угол при
точке Z7, а вследствие этого
и при точке С — прямой.
Аналогичным образом
доказывается эта теорема
и при других
расположениях точек Д, В, Вх и
Л, D, Dt, которые могут
иметь место.
С помощью теоремы
38 удаётся доказать вторую теорему Лежандра.
Теорема 39 (вторая теорема Лежандра).
Если существует хотя бы один треугольник, у которого
сумма углов равна двум прямым, то во всяком
треугольнике сумма углов равна двум прямым.
Доказательство. Каждому треугольнику ABC, у
которого сумма углов равна 2w, можно поставить в
соответствие четырёхугольник, у которого три угла прямые, а
четвёртый равен w. С этой целью соединим [прямой]
середины D и Е сторон АС и ВС [черт. 37] и опустим
из точек Л, В и С на соединяющую прямую
перпендикуляры AF% BG и СН. Треугольники AFD и CUD, а так-
же треугольники BGE и СНЕ конгруентны, а потому
AFe=BG
и
независимо от того, является ли один из углов <£ 4 или
§С В данного треугольника тупым или нет.
Из середины отрезка FG восставим к нему
перпендикуляр IK; тогда из второй части теоремы 36 следует, что
четырёхугольники AKIF и BKIG конгруентны. Таким
образом, у каждого из этих четырёхугольников три угла
прямые, а четвёртые углы равны, т. е.
^pab=^gba%

104 ГЛ. TI. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ -АКСИОМ
и тем самым
<£FAB = w.
Итак, четырёхугольник AKIF поставлен в соответствие
данному треугольнику требуемым образом.
Пусть нам дан теперь треугольник Dv у которого
сумма углов равна двум прямым, и кроме того ещё какой-
то треугольник D2. Мы ставим им в соответствие
четырёхугольники I/j и V2. Четырёхугольник V} имеет четыре
прямых угла, четырёхугольник V2— три прямых угла.
Согласно теореме 38, в четырёхугольнике V2 четвёртый
угол также должен быть прямым. Таким образом, вторая
теорема Лежандра доказана.
§ 11. Независимость аксиом конгруентности
Из предложений, касающихся независимости аксиом
конгруентности, мы, как особо важное, докажем следующее:
аксиома Ш5 не может быть получена путём логических
умозаключений из остальных аксиом I, II, III-j 4, IV и V.
Примем точки, прямые и плоскости обыкновенной
геометрии за элементы некоторой новой пространственной
геометрии и определим откладывание углов так же, как в
обыкновенной геометрии, хотя бы как это было изложено
в § 9; откладывание же отрезков мы определим иным
способом. Пусть точки /lj и ,42 в обыкновенной геометрии
имеют координаты xv yv z] и хъ у2, z2. За длину
отрезка Л^А2 мы примем положительное значение корня
У(х}-х2-\-у}-у2)* + {у,-у2)* + {гА-г2)*
и отрезки /1,Д2 и А'ХА'2 назовём конгруентными, если они
имеют в указанном смысле одинаковую длину.
Непосредственно ясно, что в установленной таким
образом геометрии пространства выполняются аксиомы I, II,
Mi-2,4> IV» V (и, кроме того, теоремы 14, 15, 16, 19 и
21, которые были доказаны с помощью аксиомы И1б).
Чтобы показать, что аксиома Н13 в этой геометрии
также выполняется, рассмотрим произвольную прямую и
выберем на ней три точки Av А2, А3 так, чтобы точка А2
лежала между точками Ах и Л3. Пусть точки х, уу z пря-

§ 11 НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ КОНГРУЕНТНОСТИ
мой а даны уравнениями
x=\tJrl\
в которых t является параметром, а \ X', jx, jj/, . v, vf
означают некоторые определённые постоянные. Пусть
^1» M^^i)) ^з «^2) являются значениями параметра,
соответствующими точкам Av Аъ Ав. Тогда длины отрезков
АХАЪ А2А.д, А}Аг выражаются так:
(<1-<«)|/(1 + »*)3 + Е' + у'1.
(/.-^jKa+jiy + ^+vl,
и, следовательно, сумма длин отрезков АХА2 и А2Аг равна
длине отрезка /4j^3. Таким образом, в данной геометрии
имеет место. аксиома Ш3.
Аксиома 1Иб для треугольников в этой геометрии не
всегда выполняется. В качестве примера рассмотрим в
плоскости г = 0 следующие четыре точки:
точку О с координатами л; = 0, у — 0у
» Д» » jc = 1, .У = О»
Б »
С »
л:= — 1, j/ =
л; = 0,
V =
= 0,
1
К2"
Отрезки ОАу ОБ и ОС имеют длину, равную единице.
В прямоугольных треугольниках АОС и СОВ [черт. 38J
мы, таким образом, имеем
конгруентности*
2£А0С==$:С0В,
О А = ОС,
ОС = ОВ.
Однако, вопреки аксиоме
1И5, углы &ОАС и ЗСОСВ
С(ф
61 ш
в(ф
Черт. 38.
AUQ)
не конгруентны. Вместе с тем, в этом примере не
выполняется также и первая теорема о конгруентности, так

106 ГЛ. ТТ. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
как длина отрезка АС равна •1/2 — -^=, длина же
отрезка ВС равна у 2-\--^=. Для равнобедренных
треугольников АОС и СОВ не имеет места также и
теорема 11.
Примером геометрии на плоскости, в которой
выполняются все аксиомы, за исключением аксиомы И15,
служит следующая. Пусть в некоторой плоскости а все
понятия, встречающиеся в аксиомах, исключая конгруент-
ности отрезков, определены обычным способом; за длину
же отрезка примем длину его проекций (определённой
обычным образом) на плоскость [}, образующую с
плоскостью а острый угол.
§ 12. Независимость аксиом непрерывности
(неархимедова геометрия)
Чтобы показать независимость аксиомы Архимеда Vv
мы должны построить геометрию, в которой выполнялись
бы все аксиомы, за исключением аксиом V*), которые не
должны выполняться.
Для этой цели мы образуем область й (t) всех тех
алгебраических функций переменной t> которые получаются
из t с помощью применения пяти операций: сложения,
вычитания, умножения, деления и операции |Kl-j-(o2|; при
этом со означает некоторую функцию, которая уже была
получена с помощью применения этих пяти операций.
Множество элементов Q(t), точно так же, как и множество
элементов й в § 9, — счётно. Все же пять операций
однозначны и выполнимы в действительной области; поэтому
область Q(t) содержит только однозначные действительные
функции переменной i.
*) Ж. Веронезе в своём глубоком исследовании
«Основы геометрии» (G. Veronese, Grundziige der Geometrie,
переведено на немецкий язык A. Schepp'oM, Leipzig, 1894)
также сделал попытку построить геометрию, которая была бы
независима от аксиомы Архимеда.

? 12 НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ НЕПРЕРЫВНОСТИ 107
Пусть с — некоторая функция, принадлежащая области
il(t); так как функция с является алгебраической функцией
переменной /, то она может обращаться в нуль только для
конечного числа значений / и, следовательно, для
достаточно больших положительных значений t функция с либо
всё время положительна, либо всё время отрицательна.
Будем теперь рассматривать функции, принадлежащие
области Q(^), как некоторого рода комплексные числа,
причём последние мы будем понимать в смысле, который
будет указан в следующем, 13-м параграфе; очевидно,
что в определённой таким образом комплексной числовой
системе имеют место все обычные вычислительные правила [42].
Далее, пусть а и b — два каких-то отличных друг от друга
числа этой комплексной числовой системы. Мы будем
говорить, что а больше или меньше b (это обозначают так:
а^> b или а<^Ь), в зависимости от того, будет ли разность
с = # — Ь, рассматриваемая как функция переменной -/,
постоянно положительна или постоянно отрицательна для
достаточно больших положительных значений t. При таком
соглашении числа нашей комплексной числовой системы
можно упорядочить по их величине, подобно тому, как это
делают для действительных чисел; как легко видеть, для
чисел нашей комплексной системы справедливы также
теоремы, согласно которым неравенство останется
справедливым, если к обеим его частям прибавить одно и то же
число или обе его ч*асти умножить на одно и то же
положительное число.
Пусть п — некоторое произвольно выбранное,
положительное целое число. В таком случае для чисел п и t
области Q(t) наверное имеет место неравенство n<^t,
так как разность n—-t, рассматриваемая как функция
переменной t, для достаточно больших положительных
значений /, очевидно, всегда будет отрицательна. Эти факты
мы выражаем следующими словами: числа 1 и / области
Q(t)y которые оба больше нуля, обладают тем свойством,
что любое число, кратное первому из них, всегда меньше
второго.
С помощью комплексных чисел ноля il (t) мы теперь
построим геометрию точно таким же образом, как это было

108 гл. ТТ. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
сделано в § 9, когда в основу построения было положено
поле Q алгебраических чисел: мы будем рассматривать
систему трёх чисел (х, у, z) поля $ (t) как точку, а
отношение каких-либо четырёх чисел (u:v:w:r) поля Q(/),
три из которых и, т>, w одновременно не равны нулю,—
как плоскость. Далее, пусть выполнение равенства
ах -\- vy -|- wz -j- г = 0
выражает, что точка (je, у, z) лежит на плоскости (u:v:w:r);
примем, наконец, за прямую линию совокупность всех точек,
лежащих в двух плоскостях, у которых отношения u:v:w
различны. Если мы теперь установим порядок следования
элементов и правила откладывания отрезков и углов, как
это было сделано в § 9, то перед нами окажется теар-
химедова» геометрия, в которой, как показывают
разобранные нами ранее свойства комплексной числовой
системы Q(t), выполняются все аксиомы, за исключением
аксиомы непрерывности. Действительно, мы можем сколь
угодно раз подряд отложить отрезок 1 на отрезке /,
не перешагнув при этом через* конец отрезка /; этот факт
противоречит аксиоме Архимеда.
Независимость аксиомы полноты V2 от всех
предшествующих аксиом I—IV, Vj обнаруживает первая
установленная в § 9 геометрия, так как в этой геометрии
аксиома Архимеда выполняется.
Имеют принципиальное значение также неархимедовы и
вместе с тем неевклидовы геометрии, и особо большой
интерес представляет та роль, которую играет аксиома Архимеда
при доказательстве теоремы Лежандра. Исследование,
которое предпринял по моей инициативе М. Дэн*)
относительно этого вопроса, привело к полному его
выяснению. В основе исследований Дэна лежат аксиомы I—111.
Только в конце работы Дэна аксиомы порядка II были
представлены в более общем виде, чем в данном
изложении, с целью включить в поле исследования также и ри-
*) М. D е h n, Die Legendreschen Satze uber die Winkelsumme
iin Dreieck, Math. Ann. т. 53, 1900.

§ 12 НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ НЕПРЕРЫВНОСТИ 1UJ
манову (эллиптическую) геометрию [43]. Эти аксиомы у
Дэна сформулированы, примерно, так:
Четыре точки Л, Ву С, D прямой всегда распадаются
на две пары Л, С и В, D так, что точки Л, С разделяют
точки В, D и обратно. Любые пять точек прямой можно
обозначить буквами Лу В, С, D, Е так, чтобы точки Л, С
были разделены точками В, D и £,£, точки A, D были
разделены точками В, Е и С, Е и т. д.
На основе этих аксиом I—III, т. е. не пользуясь
непрерывностью, М. Д э н доказывает далее обобщённую вторую
теорему Лежандра (теорему 39):
Если в каком-либо одном треугольнике
сумма углов больше, равна или меньше двух
прямых, то это же» имеет место относительно
любого треугольника*).
Далее в цитированном месте доказывается следующее
дополнение к первой теореме Лежандра (теорема 35):
Если отбросить аксиому Архимеда, то
из предположения, что через одну точку
можно провести бесчисленное множество
прямых, параллельных данной, отнюдь не
вытекает, что сумма углов в треугольнике
меньше двух прямых. Более того, с одной
стороны, существует геометрия (нележан-
дрова геометрия), в которой через одну
точку можно гтровести бесчисленное
множество прямых, параллельных данной, и в
которой всё же имеют место теоремы ри-
мановой (эллиптической) геометрии; с
другой стороны, существует геометрия
(полуевклидова геометрия), в которой через
точку проходит бесчисленное множество
прямых, параллельных данной, и в которой
*) Доказательство этой теоремы дали затем также Ф. Шур
(F. S с h и г, Math. Ann. т. 55) и И е л ь м с л е в (Н j е 1 m s 1 е v,
Math. Ann. т. 64); у последнего следует особо отметить очень
короткий вывод, приводящий к доказательству средней части
этой теоремы. См. также F. S с h и г, Grundlagen der Geometrie,
Leipzig und Berlin, 1909, § 6.

ПО ГЛ. П. НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И НЕЗАВИСИМОСТЬ АКСИОМ
всё же имеют место теоремы евклидовой
геометрии.
Из предположения же, что параллельных
прямых не существует, неизменно следует,
что сумма углов в треугольнике больше
двухпрямых.
Отмечу, наконец, что если принять аксиому
Архимеда, то аксиому о параллельных можно заменить
требованием, чтобы сумма углов в треугольнике равнялась
двум прямым.

Г Л Л В Л ТРЕТЬЯ
УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
§ 13, Комплексные числовые системы*)
начале этой главы мы хотим сделать несколько
предварительных кратких разъяснений о
комплексных числовых системах. Эти разъяснения
дадут нам в^ дальнейшем возможность
упростить изложение.
Действительные числа образуют в своей совокупности
систему вещей, обладающую следующими свойствами:
Предложения о соединении (1—6):
1. Из числа а и числа Ъ получается посредством
«сложения» вполне определённое число с. Это обозначают так:
а-\-Ь = с или с = а-\-Ь.
2. Для двух данных чисел а и b всегда существует
одно и только одно число xt а также одно и только одно
число у такие, что
а-\-х = Ь и, соответственно, у-\-а — Ь.
3. Существует одно вполне определённое число — мы
называем его нулём (0) — такое, что для любого а
одновременно
а-{-0 = а и 0-\-а = а.
4. Из числа а и числа b получается ещё некоторым
другим образом — с помощью «умножения» — вполне
*) См. также мой доклад: «Ueber der ZahJbegriff», Jahresbe-
richt der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, т. 8, 1900.
(Добавление VI к этой книге).
ш

112
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
определенное число с. Это обозначают так:
ab = c или с = ab.
5. Если а и Ъ суть два любых заданных числа,
причём а не 0, то всегда существуют одно и только одно
число х, а также одно и только одно число у — такие, что
ах — Ь и, соответственно, уа—Ь.
6. Существует одно вполне определённое число — мы
называем его единицей (1) — такое, что для любого а
одновременно
аЛ=а и \*а = а.
Вычислительные правила (7—12):
Для любых чисел я, Ь, с имеют место следующие вы-.
числительные законы:
7. a-\-(b-\-c) = (a-\-b)-\-c.
8. a-\-b = b-\-a.
9. a (be) =(ab)c.
10. a(b-\-c) =ab-\-ac.
11. (a-\-b)c = ac-\-bc.
12. ab =ba.
Предложения о порядке (13—16):
13. Если а и b — два любых отличных друг от друга
числа, то одно и только одно из них (скажем, а) больше
другого; это последнее называется меньшим числом.
Обозначают это так:
а^> b и b <^а.
Для любого числа а утверждение а^> а ложно.
14. Если а^> b и Ь^> с, то а^> с.
15. Если а^> Ь, то всегда также
а-\-с^>Ь-\-с.
16. Если а^> b и с^>0, то всегда также
ас ]> be.

§ 13. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛОВЫЕ системы ИЗ
Предложения о непрерывности (17—18).
17. (П р е дложе н и е Архимеда.) Пусть я^>0 и
Ь^>0 — два произвольно выбранных числа; в таком случае
а можно прибавить к самому себе столь большое число
раз, что образовавшаяся сумма окажется больше Ь.
Последнее можно записать так.
а-\-а-\- .. ,-\-а^> Ь.
18. (Предложение о полноте.) Невозможно к
системе чисел присоединить другую систему вещей,
отличных от чисел, так, чтобы в системе, образовавшейся
в результате их объединения, выполнялись бы все
предложения 1—17 и вместе о тем сохранялись бы
соотношения, существовавшие между числами. Короче, числа
образуют систему вещей, которая при сохранении всех
соотношений и всех приведённых предложений не допускает
никакого расширения.
Система вещей, обладающая только частью свойств
1—18, называется комплексной числовой системой.
Комплексная числовая система называется архимедовой или не-
архимедовой, смотря по тому, удовлетворяет ли она
требованию 17 или нет.
Некоторые из указанных свойств 1 —18
суть следствия остальных. Возникает задача —
исследовать логическую * связь между этими свойствами*).
В главе шестой в § 32 и § 33 мы исследуем два такого
рода вопроса, так как они имеют геометрическое значение.
Здесь мы отметим только, что требование 17 во всяком
случае не является логическим следствием предыдущих
свойств; так, например, рассмотренная нами в § 12
комплексная числовая система й (t) обладает всеми
свойствами 1 —16, но не удовлетворяет требованию 17.
В остальном относительно предложений о
непрерывности (17—18) справедливы замечания, аналогичные тем,
которые мы сделали в § 8 относительно геометрических
аксиом непрерывности.
*) Ср. мой доклад, на который уже были ссылки раньше.
8 Д. Гильберт

ш
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
§ 14. Доказательство теоремы Паскаля
В этой и следующей главах мы кладём в основу наших
исследований плоскостные аксиомы всех групп, за
исключением аксиом непрерывности, т. е. аксиомы 1,_3 и
II—IV. В настоящей, третьей главе мы намерены
обосновать учение Евклида о пропорциях с помощью
перечисленных аксиом, т. е. обосновать это учение в плоскости
и независимо от аксиомы Архимеда,
С этой целью мы предварительно докажем одно
предложение, которое представляет собою частный случай
теоремы Паскаля из теории конических сечений. Это
предложение в дальнейшем я буду для краткости называть
теоремой Паскаля; состоит оно в следующем.
Теорема 40*). (Теорема Паскаля.) Пусть
на каждой из двух пересекающихся прямых даны по
три точки — Д, В, С и,
соответственно, А\ В\
С,—отличные от
точки пересечения этих
прямых [черт. 39]; если
при этом окажется, .что
СВ' параллельно ВС и
что С А* параллельно
АС\ то ВА' будет парал-
£ 3 Л "~ лельно А В'.
ч 39 Для
доказательства этой теоремы мы
введём следующее
обозначение: так как в прямоугольном треугольнике катет
а, очевидно, однозначно определяется гипотенузой с и уг-
*) Ф. Шур опубликовал интересное доказательство теоремы
Паскаля, основанное на плоскостных и пространственных
аксиомах I—III (см. Math. Ann. т. 51, см. также D е h n, Math. Ann.
т. 53). И. Иельмслеву удалось, опираясь на результаты
Г. Гессенберга (D. Hessenberg, Math. Ann. т. 61),
доказать теорему Паскаля, исходя из аксиом I—III,
относящихся только к плоскости (J. Н j е 1 m s 1 е v, «Netie Begriindung
der ebenen Geometrie», Math. Ann. т. 64). См. также
^добавление III в этой книге.

§ 14. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПАСКАЛЯ И5
лом а между а и с [черт. 40], то для краткости положим
а = ас.
Таким образом, символ ас означает вполне определённый
отрезок всякий раз, когда с является заданным отрезком, а
а — заданным острым углом. Точно так же, при любом
заданном отрезке а и любом заданном
остром угле а равенство
а = ас
всегда однозначно определяет
отрезок с.
Пусть теперь с — любой
отрезок и а, |5—два любых острых угла;
мы утверждаем, что имеет место конгруентность отрезков
и что, таким образом, символы аир допускают
перестановку.
Чтобы доказать это утверждение, возьмём отрезок
с = АВ и отложим при точке А с обеих сторон этого
отрезка углы а и [J [черт. 41]. Затем из точки В на
другие стороны этих углов опустим
перпендикуляры ВС и BD,
соединим точку С с D и, наконец,
опустим из точки А на CD
перпендикуляр АЕ.
Так как углы <£ АСВ и
<£ ADB прямые, то четыре
точки А, В, С, D лежат на одной
окружности, а потому углы ^ ACD и
Черт. 41. <£ ABD, как вписанные,
опирающиеся на одну и ту же хорду AD,
конгруентны [44J. Далее, с одной стороны, угол <£ ACD
составляет вместе с ЗС САЕ прямой, с другой стороны, <£ ABD
вместе с ^BAD также составляет прямой; следовательно,
углы ^£> САЕ и §; BAD друг другу конгруентны, т. е.
$:сае=$,
8*

116
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
и потому
3CDAE = a.
Теперь мы непосредственно получаем конгруентность
отрезков*
•AD,
a(AD)==AE,
ас = АС,
$ас = $(АС)===АЕ,
Черт. 42.
откуда следует доказываемая конгруентность.
Вернёмся к фигуре, о которой говорится в теореме
Паскаля, и обозначим точку пересечения обеих прямых
буквой О, отрезки ОЛ,
с'^ О В, ОС, ОА', Off, ОС,
Cff.BC, АС, СА\ В А',
АВ* соответственно
буквами а, Ь, с% а', Ь*, с',
/, /*, т, т*, п, п* [черт.
42]. Далее, опустим из
точки О перпендикуляры
на /, /я*, /2; пусть
перпендикуляр, опущенный
на /, образует с прямыми
ОА, ОА' острые углы X', X, а перпендикуляры на т* и п
образуют с теми же прямыми острые углы \х', р. и,
соответственно, V, v. Если мы теперь выразим эти три
перпендикуляра ранее указанным способом через гипотенузы и
прилежащие углы в соответствующих прямоугольных
треугольниках, то мы придём к следующим конгруентностям
отрезков: W = l'c, (1)
licf = p'c9 (2)
va'=v'ft. (3)
Так как, согласно условию теоремы, / параллельно /*
и т параллельно ш*, то перпендикуляры, опушенные из
точки О на /* и т, совпадают соответственно с
перпендикулярами, опущенными на / и //г*, и, таким образом, мы
будем иметь:
U'=X'&, (4)
pu' = |i'fl. (5)

§ 14. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПАСКАЛЯ 117
Применим к обеим частям конгруентности (3)
символ Х'|х. Заметив, что, согласно ранее доказанному, эти
символы обладают переместительным свойством, мы получим:
Применим теперь к левой части эгой конгруентности кон-
груентность (2), а к правой части — конгруентность (4);
мы получим:
VX'JJIV EEEV>k'
или
VJiYc = VXjJLtf'.
Далее, применим к левой части конгруентность (1), а к
правой — конгруентность» (5). Тогда
vji'Xftr = vV«
или
l]i'\>b' = \\i'Va.
Основываясь на свойствах наших символов (см. стр. 115),
из последней конгруентности заключаем, что
и отсюда что
vft' = v'a. (6)
Рассмотрим теперь перпендикуляр, опущенный из точки О
на пу и опустим на него перпендикуляры из точек А и В'.
Конгруентность (6) показывает, что основания этих двух
перпендикуляров должны совпасть [45], т. е. что прямая
п* = АВ' перпендикулярна к перпендикуляру, опущенному
на п, и тем самым параллельна п. Итак, теорема Паскаля
доказана»
Для обоснования учения о пропорциях мы будем в
дальнейшем пользоваться только тем частным случаем теоремы
Паскаля, при котором имеет место конгруентность отрезков
ОС=ОА'у
а, следовательно, и конгруентность
ОАеееОС,

118
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
и при котором точки А, В, С лежат на одном и том же
луче, исходящем из точки О. В этом случае
доказательство ведётся особенно просто, а именно следующим
образом:
Отложим на луче О А1 от точки О отрезок ОБ до точки
D' [черт. 43]; таким образом, прямая BD' окажется
параллельной прямым СА' и
АС\ Вследствие конгруент-
ности треугольников ОСВ
и OAD'
$:ocb==$:oad: (if)
Так как, согласно условию,
прямые СВ' и ВС
параллельны, то
$:осв = $:ов'с. (2f)
Из (1 f) и (2f) следует, что
§С OAD' = §; ОВ'С.
На основании свойств
окружности, вокруг
четырёхугольника ACD'B' можно описать окружность и, следовательно,
в силу известной теоремы,
^OD9C=^.OAB\ (3f)
С другой стороны, вследствие конгруентности треугольников
OD'C и ОВА\
$:OD'C=$:OBA'; (4|)
из (3f) и (4|) следует:
Z£OAB'=$:OBA'.
Эта последняя конгруентность показывает, что прямые АВ'
и ВА' параллельны, что и утверждается теоремой Паскаля.
Если даны прямая, точка вне её и угол, то, очевидно,
можно с помощью построения этого угла и проведения
параллельной прямой- найти прямую, которая проходила
бы через данную точку и пересекала бы данную прямую

§ 14. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПАСКАЛЯ 119
под данным углом. Принимая во внимание это
обстоятельство, мы можем, наконец, применить для доказательства
теоремы Паскаля в более общем случае [46J следующий
простой приём, которым я обязан одному сообщению со
стороны.
Проведём через точку В [черт. 44] прямую, которая,
пересекая луч О А' в некоторой точке D', образовывала бы
с этим лучом угол, кон-
груентный углу «gC ОСА\
т. е.
В таком случае,
согласно известной теореме{
вокруг четырёхугольника
CBD'A' можно описать
окружность. Вследствие
же конгруентности
вписанных углов, опирающих- о
ся на одну и ту же хорду,
^OBA'^^OD'C. (2*)
Так как прямые С А' и А С по условию параллельны, то
2£0СА'=$:0АС. (3*)
Из (1*) и (3*) следует- конгруентность:
2C0D'B = $:0AC,
а потому вокруг четырёхугольника BAD'C также можно
описать окружность. Отсюда, на основании теоремы об
углах четырёхугольника, вписанного в окружность, получается,
что
3COi4D'£= ЗСОСЧЗ. (4*)
Далее, так как по условию С В' параллельна ВС\ то
ЗС0В'С=ЗС0СВ. (5Л)
Из (4*) и (5*) следует, что
3coAD'=$:oB'a

120
ГЛ. П1. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
Последняя конгруентность показывает, что вокруг
четырёхугольника CAD'B' также можно описать окружность, а
потому
$:oab' = $:od'c. (6*)
Из (2*) и (6*) вытекает, что
%:ова'~ §ссмв\
3ia конгруентность показывает, что прямые В А4 и АВ*
параллельны, как это и утверждает теорема Паскаля.
Если точка D' совпадает с одной из точек А\ В', С
или если точки Л, В, С расположены в ином порядке, то
в доказательство надо внести изменения, которые
устанавливаются без труда *).
§ 15. Исчисление отрезков на основании теоремы
Паскаля
Теорема Паскаля, доказанная в предыдущем параграфе,
даёт нам возможность ввести в геометрию исчисление
отрезков, в котором сохра-
р а —ч~- ь н ияются без изменения все
1^ ' I правила вычислений с дей-
г-* с'0*Ь н ствительными числами.
Черт. 45. Вместо слова «конгру-
ентны» и значка =, мы
в исчислении отрезков будем пользоваться словом «равны»
и значком =.
Пусть Ау Ву С суть три точки на прямой, и пусть В лежит
между А и С; мы будем говорить,,что с = АС есть сумма
двух отрезков а = АВ и Ь = ВС [черт. 45], и положим
с = а-\-Ь.
Мы будем говорить, что отрезки а и Ь меньше с, и
обозначим это так:
а<^су Ь<^с\
*) Заслуживает также интереса применение, которое имеет
теорема о пересечении трёх высот треугольника в одной точке
в обосновании теоремы Паскаля, а также и учения о пропорциях;
см. об этом также статью F. S с h и г, Math. Ann. т. 57 и
J. М о 11 е г u р, «Studier over den plane geometris Aksiomer»,
Kopenhagen, 1903.

§ 15. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
121
про отрезок с мы будем говорить, что он больше отрезков
а и /;, и будем записывать это так:
с ^> а; с^>Ь.
Из линейных аксиом конгруентности НЦ.з легко
заключить, что для только что определённого сложения
отрезков имеют место законы ассоциативный
(сочетательный):
a + (b-\-c) = (a + b)+c
и коммутативный (переместительны й):
a-\-b = b-\-a.
Для того, чтобы геометрически определить
произведение отрезка а на отрезок Ь, воспользуемся следующим
построением. Прежде всего,
выберем произвольный отрезок,
который останется неизменным
в процессе всего рассуждения,
и обозначим его через 1.
Отложим теперь на одной
стороне прямого угла от его
вершины О отрезок 1 [черт. 46],
а затем отложим от той же
вершины О отрезок Ь; после этого на другой стороне угла
отложим отрезок а. Соединим далее концы отрезков 1 и
а прямой и проведём прямую параллельно этой прямой
через конец отрезка Ь. Пусть эта прямая отсечёт на другой
стороне угла отрезок с; этот отрезок с мы назовём
произведением отрезка а на отрезок b и будем обозначать его так:
c = ab.
Докажем, что для только что определённого умножения
отрезков имеет место коммутативный закон
ab = да.
С этой целью построим сначала по ранее
установленному способу отрезок ab. Далее, отложим на первой
стороне прямого угла отрезок а, а па второй его стороне —
Черт. 46.

122
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
Черт. 47.
отрезок Ь, соединим прямой конец отрезка 1 с концом
отрезка Ь, отложенного на второй стороне угла, и
проведём прямую, параллельную, только что построенной,
через конец отрезка а, отложенного на первой стороне угла
[черт. 47]; эта последняя отсечёт на второй стороне
угла отрезок Ьа. В
действительности, как
показывает чертёж [47], этот
отрезок Ьа совпадает с
отрезком ab в силу теоремы
Паскаля (теорема 40), если
использовать параллельность
вспомогательных пунктирных
линий [47J. Как легко
заметить, обратное утверждение
также верно: из допущения,
что в нашем исчислении
отрезков справедлив коммутативный закон, вытекает
указанный на стр. 117—118 частный случай теоремы Паскаля
для таких фигур, в
которых лучи ОА и
0/4' образуют прямой
угол.
Докажем теперь,
что умножение
отрезков подчиняется
ассоциативному
закону:
a(bc) = (ab)c.
Для этого отложим
на одной из сторон
прямого угла [черт. 48]
от его вершины О
отрезки 1 и Ьу а на
другой его стороне, опять-таки от вершины О, отложим
отрезки а и с. Затем построим отрезки d—ab и e — cb и
отложим эти отрезки d и е на первой стороне угла от
точки О. Если мы построим теперь ещё отрезки ае и cdy
e=cb
ae=cd

§ 15. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ
123
то из чертежа [48], снова в силу теоремы Паскаля, явствует,
что концы этих отрезков должны совпасть, т. е. что
ae = cd или a(cb) = c(ab).
Отсюда, на основании коммутативного закона, получается:
a(bc) = (ab)c*).
Из изложенного видно, что для доказательства
справедливости коммутативного и ассоциативного законов
умножения мы использовали только тот частный случай теоремы
Паскаля, который нам
удалось доказать (на
стр. 117—118, § 14)
особенно просто,
применив лишь один раз
теорему об углах
вписанного четырёхугольника.
Резюмируя
всё сказанное, мы
приходим к
обоснованию
умножения в
исчислении отрезков
следующим
способом, который мне кажется более простым,
чем все другие, известные до сих пор.
На одной из сторон прямого угла откладывают от его
вершины О отрезки а = ОА и b — ОВ, а на другой
стороне того же угла — единичный отрезок 1 =ОС [черт. 49J.
*) Сравнить с этим также методы обоснования учения о
пропорциях, которые были даны А. Кнезером (А. К п е s е г,
Archlv fur Math, und Phys., R. Ill, т. 2) и И. Мол л еру пом
(J. М о 11 е г u р, Math. Ann. т. 56, а также «Studier over den plane
geometris Aksiomer», Kopenhagen, 1903) и в которых равенства
между пропорциями были уже установлены. Ф. Шур (F. S с h и г,
Zur Proportionenlehre, Math. Ann. т. 57) замечает, что уже
Купффер (К и р f f е г, Sitzungsber. der Naturforschergesell-
schaft zu Dorpat, 1893) правильно доказал справедливость
коммутативного закона умножения. Всё же надо признать, что
дальнейшее обоснование учения о пропорциях, данное Купффером,
недостаточно.
Черт. 49.

124
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
Окружность, проведённая через точки А, В, С, пересечёт
ещё вторую сторону угла в точке D. Точку D легко найти,
не прибегая к циркулю [48], а основываясь только на
аксиомах конгруентности; для этого достаточно из центра
окружности опустить на ОС перпендикуляр и относительно
него построить зеркальное отражение точки С. Вследствие
равенства углов <£ ОСА и <£ ОБО мы, согласно
определению произведения двух отрезков (стр. 121), имеем:
OD = ab\
в силу же равенства углов §С ODA и §С ОВС по тому же
определению
OD=ba.
В силу замечания, сделанного на стр. 122, вытекающий
отсюда переместительный закон умножения
ab = Ьа
показывает, что рассмотренный на стр. 117—118 частный
случай теоремы Паскаля верен для сторон прямого угла, а
отсюда, согласно сказанному на
стр. 122—123, следует
ассоциативный закон умножения:
a (be) = (ab) с.
Наконец, в нашем
исчислении отрезков верен
также и дистрибутивный
(распределительный)
закон:
а (Ь -|- с) = ab -\- асл
Для его доказательства построим отрезки ab, ас и а(Ь-\-с)
и проведём через конец отрезка с (см. чертёж [50]) прямую,
параллельную другой стороне прямого угла. Конгруентность
обоих заштрихованных прямоугольных треугольников и
применение теоремы о равенстве противоположных сторон
а(Ъ*с)

§ 16. ПРОПОРЦИИ И ТЕОРЕМЫ О ПОДОБИИ
125
параллелограмма приводят нас к желаемому
доказательству.
Если b и с — любые два отрезка, то всегда существует
отрезок а такой, что c = ab\ этот отрезок а мы назовём
частным от деления с на Ъ и будем обозначать так: -г .
§ 16, Пропорции и теоремы о подобии
С помощью изложенного исчисления отрезков можно
дать следующее строго обоснованное учение Евклида
о пропорциях, не опираясь на аксиому Архимеда.
Определение. Если a, b% а\ Ь' — какие-то четыре
отрезка, то под пропорцией
a:b = a':b'
мы будем понимать не что иное, как равенство отрезков
ab'=:ba'.
Определение. Два треугольника называются
подобными, если у них соответственные углы конгруентны.
Теорема 41. Если a, b \
и а\ bf суть соответственные J
стороны в двух подобных
треугольниках, то имеет место про* ъ\
порция. е\
a:b = a!:b\ \
О
Доказательство.
Рассмотрим сначала тот частный Черт. 51.
случай, при котором углы;
заключённые между сторонами я, b и а', Ь\ прямые, и
положим, что оба треугольника перенесены в один и тот же
прямой угол. Здесь отложим от вершины на одной из
сторон угла отрезок, равный 1 [черт. 51J, и проведём через
конец этого отрезка прямую, параллельную обеим
гипотенузам; эта прямая отсечёт на второй стороне угла
отрезок е; согласно нашему определению произведения отрезков,
b = ea, ; b' — ea'

126 ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
и тем самым
т. е.
ab' = Ьа\
а: Ь = а'': Ь''.
Вернёмся теперь к общему случаю. В каждом из
подобных треугольников построим точку пересечения трёх
его биссектрис S и, соответственно, S' [черт. 52],
существование которой легко доказать на основании
теоремы 25. В каждом из
треугольников из найденных точек
опустим перпендикуляры —
соответственно г и г' — на его
стороны. Образовавшиеся при этом
отрезки обозначим соответственно
буквами:
Черт. 52.
% а* Ьо Ьа, Са> СЬ>
db, ас, bCf Ьш
сь.
Ранее доказанный частный случай нашей теоремы
приводит нас к пропорциям:
ab\r—ab\r* I bc:r=b'c:r'
ae:r—acir' \Ьа:г=Ь'а:г*.
На основании дистрибутивного закона мы заключаем
отсюда, что
a:r=a':r', b:r=b':r'
и, следовательно,
b'ar'-.
■• b'ra\ a'br' = a'rb'.
Из этих равенств, так как умножение подчиняется
коммутативному закону, получается, что
а :Ь = а':Ь\
Из теоремы 41 легко вывести основную теорему учения
о пропорциях, которая гласит:

§ 17. УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
127
Теорема 42. Если две параллельные прямые
отсекают на сторонах некоторого угла отрезки
соответственно a, b и а\ Ь'', то имеет место пропорция:
Обратно, если четыре отрезка at Ь, а1', Ь'
удовлетворяют этой пропорции, и одна пара отрезков а, а'
откладывается на одной стороне угла, а другая пара —
Ь, Ь' — на другой, то прямые, соединяющие концы
отрезков а, Ъ и концы отрезков а', Ъ\ параллельны [49].
§ 17. Уравнения прямых и плоскостей
К рассматривавшейся* до сих пор системе отрезков мы
присоединим другую такую же систему отрезков. А именно,
в силу аксиом порядка на прямой можно различать
«положительное» и «отрицательное» направления.
Отрезок АВ, который мы до сих пор обозначали буквой а, мы
будем только тогда продолжать обозначать через а, когда
точка В лежит с положительной стороны от точки Л,
в противоположном же случае мы его будем обозначать
через —а. Всякую точку мы будем обозначать как отрезок 0.
Про отрезок а говорят, что он «положителен», а также
что он больше нуля, и обозначают это так: я^>0; про
отрезок —а говорят, что он «отрицателен» — меньше
нуля, — и обозначают 'это так: — я<^0.
В этом расширенном исчислении отрезков имеют место
все вычислительные правила 1 —16 для действительных
чисел, перечисленных в § 13. Мы подчеркнём следующие
положения:
Всегда
я-1—Ья-а и а-О — О-а — 0.
Если ab = 0, то либо а = 0, либо £ = 0. Если а^> Ь
и с>0, то всегда ас^> be. Далее, если Аи А21 Л3,... ,
An_v Ап суть п точек на прямой, то сумма отрезков
А,А2, А2А2,...9 Ап-чАп>АЛ Равна 0 [50J-
Возьмём в плоскости а две взаимно перпендикулярные
прямые, проходящие через некоторую точку О, примем их

128
ГЛ. III. УЧЕНИЕ О ПгЮПОЧШЯХ
за неподвижные координатные оси и отложим на этих
прямых от точки О произвольные отрезки л:, у, затем из
концов отрезков х,у восставим перпендикуляры и
обозначим их точку пересечения буквой Р [черт. 53]. Отрезки ху у
назовём координатами точки Р. Каждая точка плоскости а
однозначно определяется
своими координатами хуу,
которые могут быть
положительными или
отрицательными отрезками
или 0.
Пусть / — некоторая
прямая в плоскости а,
проходящая через точку
О и через некоторую
точку С с координатами а, Ь. Пусть, далее, х, у суть
координаты некоторой точки Я, лежащей на /. Тогда из
теоремы 42 мы легко находим
,
6
г
И
J
t
Черт. 53.
или
а :Ь = х :у
Ьх — ау = 0
как уравнение прямой /. Если прямая /' параллельна /
и отсекает на оси х отрезок с, то уравнение этой прямой
получается из уравнения прямой / путём замены в нём
отрезка х отрезком х — с\ таким образом, искомое
уравнение имеет вид:
Ьх — by — be = 0.
В силу вышеизложенного мы легко можем заключить,
не опираясь при этом на аксиому Архимеда, что каждую
прямую на плоскости можно представить с помощью
линейного уравнения между координатами х, у, и обратно,
что каждое такое линейное уравнение представляет прямую,
причём коэффициенты этого уравнения представляют собою
отрезки, принадлежащие данной геометрии.
Аналогичные результаты для пространственной геоме-
рии получаются так же легко.

§ 17. УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
129
Дальнейшее построение геометрии теперь может быть
осуществлено с помощью методов, которые обычно
применяют в аналитической геометрии.
До сих пор в настоящей, третьей главе мы нигде не
пользовались аксиомой Архимеда; предположив же, что
эта аксиома имеет место, можно каждой точке прямой,
произвольно взятой в пространстве, сопоставить действительные
числа следующим образом.
Возьмём на прямой две произвольные точки и поставим
им в соответствие числа 0 и 1; далее, разделим пополам
отрезок 01, определённый этими точками, и отнесём
найденной середине отрезка число -^; далее, середине от-
1 1
резка 0-н- отнесём число,-г и т. д.; после я-кратного
применения этого приёма мы придём к точке, которой мы
отнесём число —. Отложим теперь отрезок 0 — от точки О
т раз подряд как в сторону точки 1, так и в
противоположную сторону, и отнесём полученным таким образом
точкам числа — и ——. Из аксиомы Архимеда легко
заключить, что на основе такого соответствия можно
однозначно сопоставить действительное число каждой
точке прямой, причём соответствие будет обладать следующим
свойством: если Л, В, С — какие-то три точки на
прямой, а а, р, у—соответствующие действительные
числа, и притом точка В лежит между точками Л и С, то
числа а, [$, у удовлетворяют одному из двух неравенств:
a<P<Y или а>£>у.
Из изложенного в § 9 второй ~ главы ясно, что там для
каждого числа, принадлежащего алгебраическому числовому
полю Q, должна существовать на прямой точка, которой
отнесено это число. Будет ли также и каждому
действительному числу (может быть и не входящему в Q)
соответствовать точка на прямой или нет — это зависит от того,
будет ли в рассматриваемой геометрии иметь место аксиома
полноты V2 или нет.
Напротив, если в какой-либо геометрии принимают
только аксиому Архимеда, то всегда можно систему точек,
9 Д. Гильберт

130 гл. Ш. УЧЕНИЕ О ПРОПОРЦИЯХ
прямых и плоскостей так пополнить
«иррациональным и» элементами, что каждой без исключения системе
трёх действительных чисел, удовлетворяющих уравнению
произвольно взятой прямой, в построенной нами геометрии
соответствует точка на этой прямой. Путём введения
соответствующих определений можно добиться того, чтобы
в расширенной геометрии все аксиомы 1—V выполнялись.
Эта расширенная геометрия (полученная путём добавления
иррациональных элементов) есть не что иное, как
обыкновенная аналитическая геометрия Декарта в пространстве,
в котором имеет место также и аксиома полноты V2 *).
* Ср. замечания в конце § 8.

Г Л Л В Л ЧЕТВЕРТАЯ
УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
§ 18. Многоугольники, равновеликие по разложению
и по дополнению
основу наших исследований в настоящей,
четвёртой главе мы положим те же аксиомы, что
и в третьей главе, а именно — линейные и
плоскостные аксиомы всех групп, за исключением
аксиом непрерывности, т. е. аксиом 11в3и11—IV.
Изложенное в третьей главе учение о пропорциях и
введённое там же исчисление отрезков дают нам
возможность обосновать учение Евклида о площадях с помощью
указанных аксиом, т. е. с помощью аксиом, относящихся
толь/со к плоскости, и притом независимо от аксиом
непрерывности.
Так как, согласно исследованиям третьи главы, учение
о пропорциях существенно опирается на теорему Паскаля
(теорема 40), то то же относится и к учению о площадях;
я считаю это обоснование учения о площадях одним из
самых замечательных приложений теоремы Паскаля в
элементарной геометрии.
Определение. Если две точки какого-либо простого
тшогоугольника Р соединить какой угодно ломаной,
проходящей целиком внутри этого многоугольника и не
имеющей двойных точек, то получается два новых простых
многоугольника Рг и Я2, все внутренние точки которых
лежат внутри многоугольника Р; в этом случае мы будем
говорить, что Я распадается на Pj и Р3, или что Р
9*
и

132 гл. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
разложен на Рх и Р2, или что Рг и Р2 составляют
вместе Р [51].
Определение. Два простых многоугольника
называются равновеликими по разложению, если они могут
быть разложены на конечное число попарно конгруентных
треугольников.
Определение. Два простых многоугольника Р и Q
называются равновеликими по дополнению, если к ним
можно присоединить конечное число таких равновеликих по
Черт. 54.
разложению многоугольников Р', Q; Р", Q7; ...; Р"\ Q"\
что оба составленных таким образом многоугольника
P + P' + P^+.^+P"'и Q+Q'+Q', + ...+Сбудут
равновелики по разложению [черт. 54].
Из этих определений сразу вытекает, что от
объединения равновеликих по разложению многоугольников
образуются снова многоугольники, равновеликие по
разложению; если же от равновеликих по разложению
многоугольников отнять равновеликие по разложению, то
получатся многоугольники, равновеликие по
дополнению.
Далее, справедливы следующие теоремы.
Теорема 43. Если два многоугольника Р1 и Р2
равновелики по разложению третьему многоугольнику Р8, то
они и между собою равновелики по разложению. Есл"и два
многоугольника порознь равновелики по дополнению
третьему, то они между собой равновелики по дополнению.
Доказательство. Согласно условию, как для
многоугольника Pv так и для многоугольника Р2 существует
такое разложение на треугольники, что каждому из этих
разложений соответствует разложение многоугольника Р3 на

§ 18. МНОГОУГОЛЬНИКИ, РАВНОВЕЛИКИЕ ПО РАЗЛОЖЕНИЮ 133
конгруентные треугольники [черт. 55]. Рассматривая
одновременно оба эти разложения многоугольника Р3, мы видим,
что, вообще говоря, каждый треугольник одного
разложения разложен на многоугольники отрезками, принадлежа-
Черт. 55.
щими другому разложению. Прибавим к этому
разложению отрезки так, чтобы каждый полученный таким
образом многоугольник сам также распался на
треугольники, и разобьём соответствующим образом треугольники
в разложениях многоугольников Рг и Р2; тогда оба
многоугольника распадутся, очевидно, на одинаковое количество
попарно конгруентных треугольников, и потому они,
согласно определению, равновелики по разложению.
Доказательство второй теоремы 43 не представляет
затруднений [52].
Понятия: прямоугольнику основание и высота
параллелограмма, основание и высота треугольника мы
определяем обычным образом.

134
ГЛ. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
§ 19. Параллелограммы и треугольники с равными
основаниями и высотами
Известное доказательство Евклида, иллюстрируемое
чертежом [56], приводит нас к теореме:
Теорема 44. Два параллелограмма с равными
основаниями и равными высотами равновелики по дополнению.
Далее имеет место следующее известное предложение:
Черт. 56.
Теорема 45. Любой треугольник ЛВС равновелик по
разложению некоторому определённому параллелограмму,
имеющему такое же основание и высоту, равную половине
высоты треугольника.
Доказательство [черт. 57]. Разделим пополам
сторону АС точкой D, а сторону ВС точкой Е и затем
продолжим отрезок DE посредством конгруентного ему
отрезка до точки F. Тогда треугольники DCE и ЕВЕ
будут конгруентны и, следовательно, треугольник ABC и
с параллелограмм ABED будут равновелики
А по разложению.
/ \ Из теорем 44 и 45, принимая во внима-
п/ У ? ние теорему 43, мы получаем следующее:
У \/ Теорема 46. Два треугольника с
/ \ / равными основаниями и равными высотами
/• Ч равновелики по дополнению.
Известно, что легко доказать (это пока-
Черт. 57. зывает чертёж [58]) равновеликость
по разложению двух
параллелограммов, а следовательно, в силу теорем 43 и 45, и двух
треугольников с равными основаниями и равными высотами.
Заметим, однако, что это доказательство невозможно
без применения аксиомы Архимеда] действительно, в
каждой неархимедовой геометрии (см., например, главу II, § 12)

§ 19. ПАРАЛЛЕЛОГРАММЫ и треугольники 135
можно задать два треугольника, имеющих равные
основания и равные высоты и, следовательно, согласно теореме 46,
равновеликих по дополнению, но всё же нерав-
новеликих по
разложению.
Именно, пусть в
некоторой неархимедовой
геометрии на луче
отложены два отрезка АВ = е
и AD — a [черт. 59j
таких, что ни для какого
целого числа п не
выполняется соотношение
п-е:
■■ а.
Черт. 58.
Восставим из концов отрезка AD два перпендикуляра
АС и DC длиною е. Треугольники ABC и ABC, согласно
теореме 46, равновелики по дополнению. Из теоремы 23
следует, что сумма двух сторон треугольника больше третьей,
причём сумму отрезков надо здесь понимать в том смысле,
который был указан в исчислении отрезков, введённом
в главе 111.
Итак, ВС <^ е -j- е — 2е. Далее, не пользуясь
непрерывностью, можно доказать следую oj.ee предложение: отрезок,
целиком лежащий вну-
ск с ТРИ треугольника,
меньше большей стороны
этого треугольника [53;.
Тем самым доказано,
что любой отрезок,
лежащий внутри
треугольника ABC, меньше 2е.
Положим теперь,
что существует
разложение треугольников ABC и ABC на конечное число,
например на к, попарно конгруентных друг другу
треугольников. Каждая из сторон частичного треугольника,
входящего в разложение треугольника ABC, либо лежит
внутри этого треугольника, либо на одной из его сторон, а
Черт. 59.

136
ГЛ. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
потому она меньше 2е. Периметр каждого треугольника,
таким образом, меньше 6еу а следовательно, сумма
периметров всех таких треугольников меньше 6k» е. Разложение
треугольников ABC и ЛВС должно дать одну и ту же сумму
периметров частичных многоугольников. Поэтому сумма
периметров треугольников, вошедших в разложение треугольника
АВС\ также должна быть меньше 6k'е. Между тем, в эту
сумму, наверное, входит целиком сторона Л С", т. е. должно
иметь место неравенство AC <^6k-e; в таком случае, в силу
теоремы 23, неравенство a<^6k*e и подавно должно
иметь место. Однако, это последнее соотношение
противоречит предположению относительно отрезков е и а. Итак,
предположение о возможности разложения треугольников
ABC и ABC на попарно конгруентные частичные
треугольники приводит нас к противоречию.
Важные теоремы элементарной геометрии относительно
равновеликости треугольников по дополнению, а также
теорема Пифагора легко выводятся из только что указанных
теорем. Упомянем ещё теорему:
Теорема 47. Для любого треугольника (а, значит,
и для любого простого многоугольника) можно всегда
построить равновеликий ему но дополнению прямоугольный
треугольник, у которого один из катетов равен 1.
Это утверждение в своей части, касающейся
треугольников, легко вывести из теорем 46, 42 и 43 [54].
Утверждение же относительно многоугольников доказывается
следующим образом. Разложим данный простой
многоугольник на треугольники и определим для этих последних
равновеликие им по дополнению прямоугольные
треугольники, у каждого из которых один катет равен 1. Если
рассматривать в этих треугольниках катеты, равные 1, как
высоты, то, опять с помощью теорем 43 и 46, можно
объединить эти треугольники (см. стр. 132), чем наше
утверждение и будет доказано [55].
При дальнейшем проведении теории площадей мы
встречаем, однако, одну существенную трудность. А именно,
предыдущие исследования оставляют нерешённым вопрос
о том, не равновелики ли все многоугольники по
дополнению. Если бы это было так, то все установленные нами

§ 20. МЕРА ПЛОЩАДИ
137
до сих пор теоремы ничего бы не выражали и не имели
бы никакого значения. С этим связан вопрос о том, должны
ли у двух прямоугольников, равновеликих по дополнению
и имеющих одну общую сторону, другие стороны также
соответственно равняться друг другу.
Как показывает более детальное исследование, при
ответе на этот вопрос необходимо опереться на теорему,
обратную теореме 46. Эта обратная теорема гласит так:
Теорема 48. Если два равновеликих по
дополнению треугольника имеют равные основания, то высоты
их также равны.
Эта основная теорема 48 находится в первой книге
«Начал» Евклида, где она фигурирует, как теорема 39-я;
однако при доказательстве этой теоремы Евклид ссылается
на общее положение учения о величинах: «Kat то oXov то5
jxspou; jjlsI^ov eaitv» (целое больше своей части). Это
доказательство сводится к введению новой геометрической
аксиомы относительно равновеликости по дополнению*).
Удаётся, однако, доказать теорему 48 и
тем самым обосновать учение о площади, не
вводя подобной новой аксиомы, — тем путём,
который мы здесь наметили, т. е. с помощью
одних только плоскостных аксиом и не
используя аксиомы Архимеда. Чтобы убедиться
в этом, нам необходимо ввести понятие меры площади.
§ 20. Мера площади треугольников и многоугольников
Определения. В геометрии плоскости прямая АВ
делит не лежащие на ней точки на две области. Одну из
этих областей мы назовём лежащей справа от исходящего
из точки А луча АВ, иначе, от «направленного отрезка АВ»,
и слева от исходящего из точки В луча В А, иначе, слева
от «направленного отрезка ВА»; другую область мы на-
*) В самом деле, в дополнении II будет построена геометрия,
в которой будут выполняться все принятые нами сейчас за основу
аксиомы I—IV, за исключением аксиомы Ш5 (эта последняя
аксиома будет заменена другой, более слабой). В этой
геометрии теорема 43, а также утверждение «целое больше своей
части» не будут верны. Ср. стр. 222.

138
ГЛ. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
зовём лежащей слева от луча АВ и справа от луча ВЛ,
По отношению к двум направленным отрезкам А В и АС
справа лежит одна и та же область, если точки В и С
лежат на одном и том же исходящем из точки А луче, и
наоборот. Если для некоторого луча gy исходящего из
точки О, правая область уже определена, и луч /г,
исходящий из точки О, пролегает по этой области, то мы
будем называть областью, лежащей слева от /г, ту область,
которая содержит луч g. Легко убедиться в том, что таким
образом, исходя из определённого луча АВ, можно
однозначно установить на плоскости правые и левые стороны
относительно каждого луча или соответственно
относительно каждого направленного отрезка [56].
Точки внутри (стр. 65) некоторого треугольника ABC
лежат либо слева от сторон А В, ВС, С А, либо слева от
сторон СВ, ВА, АС. В первом
случае мы говорим, что ABC (или
ВС А или CAB) является положи-
тельным направлением обхода,
а СВА (или ВАС или АСВ) —
отрицательным направлением
обхода треугольника; во втором
J с В случае мы говорим, что СВА есть
ч fi0 положительное, а
ABC—отрицательное направление обхода
треугольника.
Определение. Проведём в треугольнике ABC со
сторонами я, Ь, с две высоты ha = AD и hb = BE [черт. 60].
Из подобия треугольников ВСЕ и ACD, в силу теоремы 41,
следует пропорция
a\hb=b\ha,
т. е.
aha = bhb.
Таким образом, в каждом треугольнике произведение
основания на соответствующую' ей высоту не зависит от того,
какая из сторон треугольника принята за его основание.
Итак, полевина произведения основания на высоту является
характеристическим для треугольника ABC отрезком а.
Пусть, например, в треугольнике ABC направление обхода

§ 20. МЕРА ПЛОЩАДИ 139
ABC положительно положительный отрезок а мы
будем называть (в соответствии с определением на стр. 127)
мерой площади треугольника ЛВС при обходе его в
положительном направлении, и будем обозначать
символом [ЛВС]; отрицательный
отрезок —а мы будем называть
мерой площади при обходе
треугольника ABC в отрицательном
направлении и будем обозначать
символом [СВА].
В таком случае имеет место
теорема:
Теорема 49. Если точка О ле- черт, оь
жит вне треугольника ABC [черт. 61],
то для меры площади треугольника имеет место
соотношение.
[ABC] = [ОАВ] -f [ОВС] -|- [О СА).
Доказательство. Предположим сначала, что
отрезки АО и ВС пересекаются в некоторой точке D. Тогда,
с помощью дистрибутивного закона, имеющего место
в нашем исчислении отрезков, из определения меры площади
следуют соотношения:
[ОАВ] = [ODB]-\-[DAB\
[ОВС] = — [ОСВ] = — [OCD] — [ODB\
[ОСА] = [OCD]-\-[CAD].
Сложим эти отрезки; если при этом воспользоваться одним
из предложений, перечисленных на стр. 127 [56а], то
получится:
[ОАВ] + [ОВС] -f [ОСА] = [DAB] -f [CAD];
отсюда же, опять-таки в силу дистрибутивного закона,
следует:
[ОАВ] + [ОВС] -f [ОСА] = [ABC].
Остальные предположения, которые можно сделать
относительно положения точки О, приводят аналогичным
образом к заключению теоремы 49.

140
ГЛ. TV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
Теорема 50. Если треугольник ЛВС каким бы то ни
было образом разложен на конечное число треугольников АкУ
то мера площади треугольника ЛВС, при его обходе в
положительном направлении, равна сумме мер площади всех
лк>
взятых в
направлении
Черт. 62.
треугольников
положительном
обхода.
Доказательство.
Пусть ЛВС — положительное
направление обхода
треугольника ЛВС [черт. 62], и пусть
DE — отрезок, лежащий
внутри треугольника ЛВС и
служащий границей двух
треугольников DEF и DEG
нашего разложения. Пусть
DEF будет положительным
направлением обхода
треугольника DEF; тогда GED
направлением обхода треугольника
некоторую точку О вне треуголь-
будут иметь место
будет положительным
DEG. Возьмём теперь
ника ЛВС; тогда, в силу теоремы 49,
соотношения:
[DEF] = [ODE] + [OEF] + [OFD],
[GED] = [OGE] + [OED] + [ODO] =
^[OGE]— [ODE]-\-[ODG].
При сложении этих двух равенств в правой части выпадет
мера площади [ODE].
Выразим таким же образом, по теореме 49, меры
площади всех треугольников &k с положительным направлением
обхода и просуммируем все получающиеся таким образом
равенства. Тогда для каждого отрезка DE, лежащего
внутри треугольника ЛВС, в правой части равенства
-выпадет мера площади [ODE]. Обозначим точки,
используемые при разложении треугольника ЛВС и лежащие на его
сторонах в порядке их следования, так: Л, Av ..., Ah
В, В„ ..., Вт С, С1э ..., Сп; сумму же мер площади всех
треугольников Дл, взя1ых в положительном направлении

§ 20. МЕРА ПЛОЩАДИ
141
обхода, обозначим коротко через 2# В таком случае при
сложении всех равенств, как легко убедиться, получается.
% = [OAA1] + ... + [OAfi] +
+ [ОВВ1] + ... + [ОВжС] +
+ [ОСС,] + ... + [ОС„А] =
= [ОАВ] + [ОВС] -\- [ОСА];
следовательно, в силу теоремы 49:
2=[авс].
Определение. Назовём мерой площади [Р] простого
многоугольника с положительным направлением обхода
сумму мер площади всех треугольников с положительным
направлением обхода, на которые распадается данный
многоугольник при некотором определённом разложении.
Пользуясь рассуждением, аналогичным тому, которое мы
применили в § 18 при доказательстве теоремы 43, можно
на основании теоремы 50 доказать, что мера площади [Р]
не зависит от способа разложения многоугольника на
треугольники и поэтому однозначно определяется самим
многоугольником [57].
В силу теоремы 50, из этого определения мы
заключаем что равновеликие по разложению
многоугольники имеют равные меры площади.
(Здесь, как и в дальнейшем, под мерой площади надо
понимать ту меру площади, которая получается при обходе
многоугольника в положительном направлении) [58].
Далее, если Р и Q суть два равновеликих по
дополнению многоугольника, то, согласно определению, должны
существовать такие попарно равновеликие по разложению
многоугольники Р\ Q'; . ..; Р", Q", что многоугольник
^-"Ь^'-Ь- • •-Ь^),\ составленный из Р, Р', ..., Р",
равновелик по разложению многоугольнику Q-j- Q' -|- ... -\- Q",
составленному из Q, Q',..., Q". Из равенств
F+P'-b... + *>"] = [<?+<? + ... +04,
[п=т

142
ГЛ. [V. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ' НА ПЛОСКОСТИ
мы заключаем, что
т. е. что равновеликие по дополнению
многоугольники имеют равные меры площади.
§ 21. Равновеликость по дополнению и мера площади
В § 20 мы нашли, что равновеликие по дополнению
многоугольники всегда имеют одинаковую меру площади.
Из этого факта непосредственно следует доказательство
теоремы 48. Действительно, обозначим равные основания
обоих треугольников буквой gy а их -высоты — буквами
h и /г'; тогда из предположения о равновеликости обоих
треугольников по дополнению следует, что эти
треугольники имеют также равные меры площади, т. е. что
1 , 1 ,,
~2gh=Tgh
или, после деления обеих частей равенства на -«- g:
h=h\
Тем самым теорема 48 доказана.
Теперь можно также доказать теорему, обратную теореме,
доказанной в § 20. Действительно, пусть Р и Q — два
многоугольника с одинаковой мерой площади. Основываясь
на теореме 47, построим два прямоугольных треугольника Д
и £, обладающих следующими свойствами, каждый из них
имеет катет, равный 1; треугольник Д равновелик по
дополнению многоугольнику Р, а треугольник Е—
многоугольнику Q. Из теоремы, доказанной в конце § 20, следует,
что меры площади Д и Р одинаковы и что меры площади
Е и Q также одинаковы. Из равенства мер площадей
многоугольников Р и Q следует, что треугольники Д и, Е
должны также иметь равные меры площади. Так как у
этих прямоугольных треугольников катеты, равные 1,
совпадают по своей величине, то другие их катеты должны
также быть равны, т. е. треугольники Д и Е конгруент-
ны, а потому, в силу георемы 43, многоугольники Р и Q
равновелики по дополнению.

§ 21. РАВНОВЕЛИКОСТЬ И МЕРА ПЛОЩАДИ
143
Результаты, полученные в этом и предыдущем параграфах,
мы объединим в следующую теорему:
Теорема 51. Два равновеликих по дополнению
многоугольника имеют всегда одинаковую меру площади,
и два многоугольника с одинаковой мерой площади всегда
равновелики по дополнению.
В частности, у двух равновеликих по дополнению
прямоугольников, имеющих общую сторону, другие стороны
равны. Отсюда следует также теорема:
Теорема 52. Если прямоугольник с помощью
прямых разбить на некоторое число треугольников и если
хотя бы один из этих треугольников опустить, то
оставшимися треугольниками невозможно заполнить прямоугольник.
Эта теорема была принята Децольтом*) и
О. Штольцем**) за аксиому, а Ф. Шуром***) и
В. Киллингом ****) доказана с помощью аксиомы
Архимеда. Предыдущее изложение показывает, что эта
теорема совершенно не зависит от аксиомы
Архимеда.
Для доказательства теорем 48, 50, 51 мы существенно
использовали введённое нами в § 15 третьей главы
исчисление отрезков; это последнее существенно опирается на
теорему Паскаля (теорема 40), или, точнее говоря, на
частный случай этой теоремы (стр. 117); таким образом,
оказывается, что теорема Паскаля служит важнейшим
краеугольным камнем в учении о площадях.
Легко также убедиться в том, что, обратно, из теорем
46 и 48 следует теорема Паскаля. Действительно, из
параллельности прямых СВ* и СВ [черт. 63] следует по
теореме 46, что треугольники ОББ' и ОСС равновелики
по дополнению; аналогично, из параллельности прямых
СА' и АС следует, что треугольники ОАА' и ОСС равно-
*) De Zolt, Principii della eguaglianza di poligoni* preceduti
da alcuni critici sulla teoria della equivalent geometrica. Milano,
Briola 1881. Ср. также Principii della eguaglianza di pohedn edi
poligoni sferici. Milano, Briola 1883.
**) O. S t о 1 z, Monatshefte fur Math, und Phys., Jahrgang 5, 1894.
***) F. Schur, bitzungsberichteder Dorpater Naturf. Ges 1892.
****) w. Killing, Grundlagen der Geometne. т. 2, гл. 5,
§ 5, 1898.

144 ГЛ. IV. УЧЕНИЕ О ПЛОЩАДЯХ НА ПЛОСКОСТИ
велики по дополнению; поэтому треугольники О АЛ' и ОВВ'
также равновелики по дополнению. В таком случае из
теоремы 48 получается, что прямые В А' и АВ1 должны
быть параллельны.
Далее, легко убедиться, что многоугольник, целиком
лежащий внутри другого многоугольника, всегда имеет
меньшую меру площади, чем этот последний, а
следовательно, в силу
теоремы 51, не может
быть равновелик ему
по дополнению. Этот
факт содержит
теорему 52 как частный
случай.
Итак, мы
обосновали важнейшие
и с в а предложения из уче-
Черт. 63. ния ° площадях на
плоскости.
Уже Гаусс обратил внимание математиков на
аналогичный вопрос по отношению к пространству. Я высказал
предположение о невозможности аналогичного обоснования
учения об объёмах в пространстве и поставил определённую
задачу *) — найти два тетраедра с равными основаниями и
равными высотами, которые нельзя никаким способом разложить
на конгруентные тетраедры и которые невозможно было
бы путём добавления конгруентных тетраедров дополнить
до таких многогранников, которые в свою очередь
поддавались бы разложению на конгруентные тетраедры.
М. Дэну **) действительно удалось доказать это; таким
образом, он строго доказал невозможность обосновать уче-
*) См. мой доклад «Mathematische Probleme» № 3.
*J:) М. D е h п, «Ueber raumgleiche Poh eder», Gottinger Nachr.,
1900; также «Ueber den Rauminhalt», Math. Ann. т. 55, 1902. См.
далее Kagan, Math. Ann. т. 57. [Последняя работа содержит
простейшее из возможных доказательств; на русском языке см:
В. Ф. Каган, «О преобразовании многогранников» —
отдельная брошюра, вышедшая в 1913 г. в издательстве «Матезис»
(Одесса) и переизданная в 1933 г. ГТТИ. Прим. ред\

§ 21. РАВНОВЕЛИКОСТЬ И МЕРА ПЛОЩАДИ Н5
ние об объёмах в пространстве тем путём, каким это
выше сделано для площадей на плоскости.
После этого в целях разработки аналогичных вопросов
для пространства были привлечены другие
вспомогательные средства, как например, принцип Кавальери *).
В этом направлении учение об объёме в пространстве
было обосновано В. 3 ю с о м **). В. Зюс ввёл следующие
понятия: два тетраодра с равными высотами и
равновеликими по дополнению основаниями он назвал равновеликими
в смысле Кавальери; два многогранника, которые можно
разложить на конечное число попарно равновеликих в
смысле Кавальери тетраедров, он назвал равновеликими по
разложению в смысле Кавальери; наконец, два
многогранника, которые можно представить, как разность двух
равновеликих по разложению в смысле Кавальери
многогранников, он назвал равновеликими по дополнению в
смысле Кавальери. Тот факт, что равенство объёмов и равнове-
ликость по дополнению в смысле Кавальери суть два
равносильных понятия, можно доказать, не пользуясь аксиомами
о непрерывности, между тем как равновеликость по
разложению в смысле Кавальери двух многогранников, имеющих
равные объёмы, доказывается только с помощью аксиомы
Архимеда.
*) Только для первой части теоремы 51 и теорем 48 и
52 имеются аналоги в пространстве; см., например, работу
СО. Шатуновского: Schatunowsky, «Ueber den Raum-
inhalt der Polyeder», Math. Ann. т. 57. M. Дэн в статье
«Ueber den Inhalt spharischer Dreiecke», Math. Ann. т. 60
показал, что можно обосновать учение о площадях на плоскости
даже без аксиомы о параллельных, с помощью одних только
предложений о конгруентности. См. также F i n z е 1, «Die Lehre
vom Fla:heninhalt in der allgemeinen Geometrie», Math. Ann. т. 72.
**) W. Suss, «Begrundung der Lehre vom Polyederinhalt»,
Math. Ann. т. 82.
10 Д. Гильберт

Г Л Л В Л ПЯТАЯ
V
ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
§ 22. Теорема Дезарга и её доказательство
на плоскости с помощью аксиом конгруентности
з аксиом, установленных в первой главе, все
аксиомы групп II—V относятся частью к прямой,
частью к плоскости; аксиомы 4—8 группы 1—
единственные относящиеся, к пространству. Для
того, чтобы выяснить значение этих
пространственных аксиом, представим себе, что дана некоторая
плоская геометрия, и исследуем вообще условия, при
которых эту плоскую геометрию можно рассматривать
как часть пространственной геометрии, в которой
выполняются все аксиомы плоской геометрии, и, кроме того,
пространственные аксиомы соединения 14_8.
В этой и в следующей главах мы вообще не будем
пользоваться аксиомами конгруентности. Вследствие этого мы
должны будем положить здесь в основу наших
рассуждений аксиому о параллельных IV (стр. 86) в усиленной
формулировке.
IV* (Аксиома о параллельных в
усиленной формулировке). Пусть а — некоторая прямая,
а А — лежащая вне её точка; тогда в плоскости,
определяемой прямой а и точкой А, существует одна и
только одна прямая, проходящая через точку А и не
пересекающаяся с прямой а [59].
Как известно, на основании аксиом групп I, И, IV*
возможно доказать так называемую теорему Дезарга |601;
теорема Дезарга — плоскостная теорема о точках пересече-
ш

* § 22. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА И ЕЁ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 147
ния. Мы особо выделяем случай, когда прямой, на
которой должны лежать точки пересечения, соответствующих
сторон обоих треугольников, является так называемая
«бесконечно удалённая прямая^), и получающуюся таким
образом теорему вместе с обратным ей предложением б>дем
именовать просто теоремой Дезарга; эта теорема гласит
[черт. 64]:
Теорема 53 (теорема Дезарга). Бхли два
треугольника расположены в плоскости так, что каждая пара
их соответствующих сторон параллельна, то поямые,
соединяющие соответствующие
вершины, либо пересекаются в
одной точке, либо
параллельны, и обратно:
Если два треугольника так
расположены в одной плоскости,
что прямые, соединяющие
соответствующие вершины,
пересекаются в одной точке или Черт. 64.
параллельны, и если кроме того
две пары соответствующих сторон треугольников
параллельны, то третья пара сторон этих треугольников также
параллельна.
Как было уже упомянуто, теорема 53 вытекает из
аксиом I—II, IV*; в соответствии с этим фактом
справедливость теоремы Дезарга в плоской геометрии является
во всяком случае необходимым условием для того,
чтобы эту геометрию можно было рассматривать как часть
пространственной геометрии, в которой выполняются все
аксиомы групп I—II, IV*.
Мы будем рассматривать теперь, как и в главах
третьей и четвёртой, плоскую геометрию, в которой
имеют место аксиомы \1_2 и Л—IV и в которой мы введём
исчисление отрезков в соответствии с § 15; в таком случае
оказывается возможным, к,ак это было изложено в § 17,
каждой точке этой плоскости поставить в
соответствие пару отрезков (х, у), а каждой прямой — отноиение
трёх отрезков (u:v:w) (причём по крайней мере один из
отрезков а и v должен не быть нулём) так, чтобы линейное
10*
Лг

148
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
уравнение
их -(- vy -f- *w = О
представляло условие того, что точка лежит на
прямой. Система всех отрезков в нашей геометрии образует,
согласно § 17, числовое поле, для которого имеют месго
свойства 1 —16, перечисленные в § 13; поэтому мы
можем с помощью этого числового поля построить
пространственную геометрию аналогично тому, как это было
сделано в §9 или § 12 с помощью числовых систем й и Q(t).
Для этого мы положим, что система трёх отрезков (х, у, z)
представляет точку, а отношение четырёх отрезков (u:v:w:r)>
в котором по крайней мере один из отрезков и, vy w
отличен от нуля, — плоскость, в то время как прямая
определяется, как пересечение двух плоскостей; при этом
линейное уравнение
их -\- vy -|- wz -\- г = О
выражает тот факт, что точка (х, у, z) лежит в
плоскости (u:v:w:r). Что же касается порядка точек на
прямой, или порядка точек плоскости по отношению к
прямой, лежащей в этой плоскости, или, наконец, порядка
точек относительно плоскости в пространстве, то он
определяется неравенством между отрезками, аналогично тому,
как это было сделано в § 9 для плоскости.
Подставив значение z = 0, мы получаем первоначальную
плоскую геометрию и убеждаемся, таким образом, что
нашу плоскую геометрию можно рассматривать как часть
пространственной геометрии. Но, согласно сказанному
ранее, необходимым условием для того, чтобы плоскую
геометрию можно было рассматривать как часть геометрии
пространства, является теорема Дезарга, а потому в нашей
плоской геометрии должна иметь место также и теорема
Дезарга. Эта теорема является, таким образом, следствием
аксиом 1г_3, II — IV.
Заметим, что только что обнаруженные факты можно
без труда вывести и непосредственно из теоремы 42 учения
о пропорциях или из теоремы 61.

§ 23. НЕДОКАЗУЕМОСТЬ ТЕОРЕМЫ ДЕЗАРГА Н9
§ 23. Недоказуемость теоремы Дезарга
в плоскости без аксиом конгруентности
Рассмотрим теперь вопрос о том, можно ли доказать
теорему Дезарга в геометрии на плоскости, не пользуясь
аксиомами конгруентности. Мы приходим к следующим
результатам.
Теорема 54. Существует геометрия плоскости,
для которой выполняются аксиомы 1х__3, II, Ш1_4 IV*,
V, т. е. для которой выполняются все аксиомы,
касающиеся прямой и плоскости, исключая аксиомы о
конгруентности Ш5, и для которой теорема Дезарга
(теорема 53) всё же не имеет места. Теорема
Дезарга, стгло быть, не может быть получена, как
следствие только перечисленных аксиом; для её
доказательства необходимы либо пространственные
аксиомы, либо аксиома Ш5, относящаяся к
конгруентности треугольников.
Доказательство*). Изменим в обычной
декартовой геометрии на плоскости, в возможности которой мы
уже убедились в § 9 главы 11,
определения прямых и углов
следующим образом. Примем
некоторую прямую в декартовой
геометрии за ось и будем на
этой оси различать
положительное и отрицательное
направления, а также
положительную и отрицательную
полуплоскости относительно оси.
Примем за прямую в нашей
новой геометрии [черт. 65] ось и
всякую параллельную ей в
декартовой геометрии прямую, затем — всякую прямую декартовой
геометрии, луч которой, лежащий в положительной полупло-
v Полосе
*) В этом месте, взамен использованной в предыдущих
изданиях первой «недезарговой геометрии», будет дана несколько
более простая «недезаргова геометрия», построенная впервые
Мультоном. См. F R. М о и 11 о n, «A simple non-desarguesian
plane geometry», Trans Math. Soc, 1902.

150
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
скости, образует прямой или тупой угол с положительным
направлением оси, и, наконец, — каждую систему двух лучей
/г, k декартовой геометрии, обладающую следующими
свойствами: точка, из которой исходят лучи h и &, лежит на оси;
луч /г, лежащий в положительной полуплоскости, образует с
положительным направлением оси острый угол а, а
продолжение k' луча k, проходящего в отрицательной полуплоскости,
образует с положительным направлением оси такой угол
j$, что в декартовой геометрии имеет место соотношение
-?* = 2.
tgo
Порядок точек и длины отрезков на прямых, в том
числе и на тех, которые представляют собою в декартовой
геометрии систему двух лучей, определяются очевидным
образом, как обычно. Как легко убедиться, в
определённой таким образом геометрии имеют место аксиомы \х_^
II, Ш1в3, IV* [6I]. Например, можно непосредственно
заметить, что прямые, проходящие через одну точку,
однократно покрывают плоскость. Кроме того, в этой
геометрии имеют место также и аксиомы V.
Все углы, не имеющие ни одной стороны,
исходящей из точки на оси, идущей в положительной
полуплоскости и образующей
' / с положительным направ-
/ лением оси острый угол,
yS измеряются так, как это
' обычно делается в декар-
0сь товой геометрии [62]. Если
же, напротив, хотя бы
одна из сторон угла со
представляет собою луч h,
обладающий только что
указанными свойствами,
то за величину угла (о в
новой геометрии мы примем величину того угла а/ в
декартовой геометрии, стороной которого вместо луча h служит
луч k' [см. черт. 65]. Этот способ определения для двух
пар смежных углов поясняет чертёж [66]. В силу нашего

§ 24. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ 151
определения углов выполняется аксиома Ш4. В частности,
для каждого угла «§£ (/, т) имеет место соотношение:
§:(/fm)=3C(m,/).
Но, как непосредственно
можно видеть из чертежа [67]
и как легко подтвердить
вычислениями, в новой
плоской геометрии
теорема Дезарга
несправедлива. Кроме того, так же
легко показать на чертеже, что
и теорема Паскаля в этой
геометрии неверна.
Построенная здесь «неде-
заргова» геометрия на
плоскости является в то же время Черт. 67.
примером геометрии на
плоскости, в которой имеют место аксиомы 11-3, II, III, _4,
IV*, V и которая всё же не может быть рассматриваема
как часть пространственной геометрии *).
§ 24. Введение исчисления отрезков без помощи
аксиомы конгруентности на основе теоремы Дезарга**)
Чтобы полностью выявить назначение теоремы Дезарга
(теорема 53), мы положим в основу исследования плоскую
геометрию, в которой выполняются аксиомы 1ь3, 11, IV*,
*) Дальнейшие интересные примеры недезарговой геометрии
даёт М'орманн, См. Н. Mohrmann, «Festschrift David
Hilbert», Berlin 1922, стр. 181.
**) Гессенберг в своей работе (G. Н е s s е n b е г g, «Ueber einen
geometrischen Kalkul», Acta math. т. 29, 1904) даёт вывод
исчисления отрезков, по идее примыкающей к проективной
геометрии. Некоторые части этого вывода получаются легче, если
предварительно разработать учение о сложении векторов на пло-
.скости на основании теоремы Дезарга. См. Holder, «Strecken-
rechnung und projektive Geometric», Leipz. Ber., 1911.

152
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
т. е. линейные и плоскостные аксиомы, за исключением
аксиом конгруентности и непрерывности *), и введём в этой
геометрии новое исчисление отрезков, не зависящее
от аксиом конгруентности, следующим образом:
Выберем на плоскости две фиксированные прямые,
пересекающиеся в точке О [черт. 68], и в дальнейшем
будем производить вычисления только с такими отрезками,
у которых начало находится в точке О, а конец — в
произвольной точке на одной
из двух фиксированных
прямых. Самую точку О мы
обозначаем как отрезок О
и записываем это так:
ОО = 0
или
0 = 00.
Черт. 68.
Пусть Е и Е —
некоторые определённые точки
на фиксированных прямых,
проходящих через точку О'. Каждый из отрезков ОЕ и
ОЕ' мы обозначаем как отрезок 1 и записываем это так:
или
ОЕ = ОЕ' = \
\=ОЕ = ОЕ'.
Прямую ЕЕ' коротко назовём единичной прямой.
Если А и А9 — две точки, лежащие соответственно на
прямых ОЕ и 0Е\ и если при этом соединяющая их прямая
АА1 параллельна ЕЕ\ то мы будем говорить, что отрезки
ОА и О А' равны, и обозначать это так:
ОА^ОА' или ОА' = ОА.
Для того чтобы определить сумму отрезков а = ОА и
Ь = ОВ, лежащих на ОЕ, построим отрезок АА*
параллельно единичной прямой ЕЕ* и проведём далее из А' прямую,
параллельную ОЕ, и из В — прямую, параллельную ОЕ'.
*) Можно ввести новое исчисление отрезков также и без
аксиомы о параллельных IV*.

§ 24. ИСЧИСЛЕНИЕ ОТРЕЗКОВ НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ i53
Эти две прямые пересекаются в точке Л". Наконец, через
точку Л" проведём прямую, параллельную единичной
прямой ЕЕ*\ она пересечёт фиксированные прямые ОЕ и ОЕ*
соответственно в точках С и С". Отрезок с = ОС = ОС
мы назовём суммой отрезка а —О А и отрезка Ь = ОБ
и обозначим так:
с = a -J- b или а-\- Ь= с.
Прежде, чем итти дальше, докажем, что в случае
справедливости теоремы Дезарга (теорема 53) сумма двух
отрезков может быть получена
и более общим способом:
точка С, которая определяет
сумму а-\-Ь на той прямой, на
которой лежат точки А и Б,
не зависит от выбора положен- о
ной в основу единичной прямой а Ь а+Ь
ЕЕ\ т. е. мы получим ту же точ- ч ^
ку С и с помощью следую- рт*
щего построения. __
Выберем на прямой ОА' какую-нибудь точку Л'
[черт. 69] и проведём через точку В параллель к ОА' и
через точку А'—параллель к ОБ. Эти две прямые
пересекутся в некоторой точке А". Прямая, проведённая, через
точку А" параллельно АА\ пересечёт ОА в точке С,
которая определяет сумму а -(- Ь.
Для доказательства предположим, что как точки Л' и
А", так и точки А' и А1 получены указанным способом и
что на прямой ОА точка С определена так, что СА"
параллельна АА'. В таком случае нам надо доказать, что СА"
параллельна АА'. Треугольники АА'А' и СА'А?
расположены так, что прямые, соединяющие соответственные
вершины этих треугольников, параллельны; так как, кроме
того, две пары соответствующих сторон, а именно А'А' и
/ГЛ",.а также АА' и СА"9 параллельны, то, согласно
второй части теоремы Дезарга, третьи стороны AAf и СА'
должны быть тоже параллельны.
ж

154
ГЛ. V. TeOPEMA ДЕЗАРГА
Для определения произведения отрезка а = ОЛ на
отрезок Ь = ОВ мы воспользуемся построением,
указанным в § 15, но только роль сторон прямого угла в
данном случае будут играть фиксированные прямые ОЕ и
ОЕ'. Таким образом, это построение сводится к
следующему [черт. 70]: на прямой ОЕ' определяют точку А' так,
чтобы А А' была парал-
ab^'JL лельна единичной
прямой ЕЕ'\ точку Е
соединяют с точкой А' и
через точку В
проводят прямую,
параллельную ЕА'\ эта последняя
пересечёт
фиксированную прямую ОЕ' в
некоторой точке С; отре-
ОС мы назовём произведением отрезка а = ОА на
отрезок Ь~ОВ и будем это обозначать так:
с — ab или аЬ = с.
Черт. 70.
зок с--
§ 25. Коммутативный и ассоциативный законы
сложения в новом исчислении отрезков
Как легко убедиться, все предложения о соединении,
установленные в § 13, верны для нашего, нового
исчисления отрезков; мы исследуем теперь, какие из указан-ных там
вычислительных правил останутся верными, если мы за
основу возьмём плоскую геометрию, в которой выполняются
•аксиомы 11_3, 11, IV* и в которой, кроме того, имеет
место теорема Дезарга.
Прежде всего докажем, что для определённого в § 24
сложения отрезков имеет место коммутативный
закон
а-\- b= Ь-\-а.
Пусть
а = ОА = ОА\

§ 25. СЛОЖЕНИЕ В НОВОМ ИСЧИСЛЕНИИ ОТРЕЗКОВ 155
причём, в соответствии с нашим условием, АА' и ВВ'
параллельны единичной прямой [черт. 71]. Мы теперь
построим точки А" и В", проведя А'А" и В'В"
параллельно ОА и затем АВ" и ВА" параллельно ОА'; как легко
видеть, наше утверждение сводится к тому, что
соединяющая прямая А"В" параллельна АА'. В правильности
этого утверждения мы убеждаемся из теоремы Дезарга
(теорема 53) следующим образом. Обозначим точку
пересечения прямых АВ" и А'А" буквой F, а точку
пересечения прямых ВА" и В'В" — буквой D; тогда в треуголь-
Черт. 71.
никах AA'F и BB'D соответствующие стороны будут
параллельны. С помощью теоремы Дезарга мы заключаем
отсюда, что три точки О, F, D лежат на одной прямой.
Вследствие этого обстоятельства треугольники ОАА' и
DB"A" расположены так, что прямые, соединяющие
соответствующие вершины, проходят через одну и ту же
точку F. Так как, кроме того, две пары соответствующих
сторон, а именно ОА, DB'' и ОА', DA" параллельны, то,
согласно- второй части теоремы Дезарга (теорема 53),
третья пара сторон АА\ В"А" также параллельна.
Из этого доказательства следует, вместе с тем, что
безразлично, из какой из двух фиксированных прямых
исходить при построении суммы двух отрезков.
Далее справедлив ассоциативный закон сложения:
а\ (b-{-c) = (a+b)-{-c.

156
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Пусть на прямой ОЕ даны отрезки
а=ОЛ, Ь = ОВ, с = ОС.
На основании обобщённого правила сложения, указанного
в предыдущем параграфе, суммы
а-\-Ь = 009 Ь + с = ОВ\ (а+Ь) + с = 0<У
можно построить следующим образом [черт. 72]. Выберем
на прямой ОЕ' произвольную точку D и соединим её с
точками А и В, Прямая, проведённая через точку D
параллельно ОЛ, пересекает прямые, проведённые %через
точки В и С параллельно OD, в точках, которые мы
обозначим соответственно через F и D'. Прямая ОА
пересекается с прямой, проведённой через точку F парал1ель-
но AD9 в упомянутой уже
Г раньше точке G, а с пря-
| мой, проведённой через
точку D' параллельно
BD, — в также уже упо-
т- мянутой у нас точке В';
о ь а*ь с ь*< ta-tfc* прямая ОА пересекается
с прямой, проведённой
Черт. 72. через точку D'
параллельно GD, в точке G',
также нам уже встречавшейся. Наконец, сумма а-\-(Ь-{-с)
получится после того, как мы проведём сначала через точку В*
прямую, параллельную OD, которая пересечётся с прямой
DD' в некоторой точке F\ а затем через точку F'
проведём прямую, параллельную AD. Следовательно, вопрос
сводится к доказательству того, что прямые G F' и AD
параллельны. Обозначим точку пересечения прямых BF и GD
буквой Н, а точку пересечения прямых B'F и GD' —
буквой Н'. Тогда в треугольниках BDH и B'D'H'
соответствующие стороны параллельны; далее, так как прямые ВВ' и
DD' параллельны, то, также по теореме Дезарга, прямая
НИ' параллельна этим двум прямым. Поэтому мы можем
применить к треугольникам GFH и G'F'H' вторую часть
теоремы Дезарга и убедиться в том, что прямые G'F' и GF
параллельны между собой, а следовательно, и параллельны AD.
ш

§ 26. УМНОЖЕНИЕ В НОВОМ ИСЧИСЛЕНИИ отрезков 157
§ 26. Ассоциативный закон умножения и два
дистрибутивных закона в новом исчислении отрезков
При принятых нами соглашениях умножение отрезков
подчиняется ассоциативному закону:
a(bc) — (ab)c.
Зададим на одной из двух фиксированных прямых,
проходящих через точку О [черт. 73J, отрезки
\=ОА, Ь = ОС, с = ОА\
а на второй — отрезки
a = OG и Ь=ОВ.
Согласно правилу в § 24, для построения отрезков
Ьс = ОВ' и Ьс=ОС\
ab = OD, (ab)c = OD'
проведём прямые: А'В' параллельно АВ, В'О параллельно
ВС, CD параллельно AG и A'D' параллельно AD. Легко
заметить, что наше
утверждение
сводится к тому, что
CD и CD' также
должны быть
параллельны. Обозначим
точки пересечения
прямых AD и ВС
буквой F, а точку
пересечения прямых
A'D' и -В'С
—буквой Р. В
треугольниках ABF и А'ВТ
соответствующие
afbchfabJc.D'/
Черт. 73.
стороны параллельны; следовательно, по теореме Дезарга
три точки О, Fy F' лежат на одной прямой. Благодаря этому
мы можем к треугольникам CDF и C'D'F применить
вторую частьч теоремы Дезарга и убедиться, таким образом,
что прямые CD и CD' действительно параллельны.

158
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Наконец, докажем на основании теоремы Дезарга, что
в нашем исчислении отрезков имеют место два
дистрибутивных закона:
а (Ь -|- с) = ab -\- ас и (b j- с) а = Ьа -\- са.
Для доказательства первого дистрибутивного
закона,
a(b-{-c) = ab-\-ac,
положим, что на первой из двух фиксированных прямых
заданы отрезки [черт 74]
1=0£, Ь = ОВ, с = ОСу
а на второй прямой —
отрезок
а=ОЛ.
Прямые, проведённые
параллельно ЕА из точек В
и С, пересекают прямую
ОА в точках, которые мы
соответственно обозначим
через D и F.
Следовательно, в силу правила умножения (§ 24),
OD^ab, OF^ac.
В соответствии с обобщённым законом сложения в § 24,
мы получим сумму
ОН=Ь + с
следующим образом: через точку С проведём прямую,
параллельную OD, через точку D — прямую,
параллельную ОС, через точку пересечения G проведённых только
что двух прямых — прямую, параллельную BD\ эта
последняя пересечёт прямую ОС в упомянутой уже точке /У,
а прямую OD — в некоторой точке К. Так как 0# =
= Ь-\-су то, в силу правила умножения отрезков,
ОК=а(Ь-\-с).
Так как фиксированные прямые ОЕ, ОЕ' при
построении суммы можно менять ролями (согласно доказанному
на стр. 155), то сумму ac-\-ab на основании обобщённого

§ 26. УМНОЖЕНИЕ В НОВОМ ИСЧИСЛЕНИИ отрезков 159
закона сложения можно построить следующим образом:
проведём из какой-либо точки прямой ОЕ, например, из
точки С, прямую CG, параллельную OD, через точку
D — прямую DG, параллельную ОС, и, наконец, через
точку О--прямую G/C, параллельную CF.
Итак,
ОК = ас -)- аЬ\
отсюда, в силу справедливости коммутативного [63] закона
для сложения, следует первый
дистрибутивный закон.
Наконец, чтобы доказать
второй дистрибутивный
закон, положим, что на первой из
двух закреплённых прямых даны
отрезки [черт; 75]:
1=0£, а=ОА,
а на второй:
Ь = ОВ, с = ОС.
Прямые АВ', параллельная ЕВ, и
АС, параллельная ЕС, определяют Черт. 75.
отрезки
О В' = Ьа, ОС = са.
Строим на фиксированной прямой ОВ отрезки
OF=b-\-c, OF = ba-\-ca,
по обобщённому правилу сложения, следующим образом.
Проводим через точку С прямую, параллельную ОЕ, и
через точку Е — прямую, параллельную ОС. Эти прямые
пересекутся в некоторой точке D, через которую мы
проведём прямую, параллельную ЕВ; последняя
пересечётся с прямой ОА в упомянутой ранее точке F. Проведём,
далее, через точку А прямую, параллельную ОС, и через
С—-прямую, параллельную ОА. Эти последние
пересекутся в некоторой точке D', через которую проводим
параллель к АВ'; эта параллель пересечётся с ОА в
упомянутой уже точке F'.

160
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Из закона умножения отрезков вытекает, что второй
дистрибутивный закон будет доказан, если будет
показано, что прямые AF' и EF параллельны.
В треугольниках ECD и ACD' соответствующие
стороны параллельны. Следовательно, три точки О, D, D'
лежат, согласно теореме Дезарга, на одной прямой.
Поэтому, применив вторую часть теоремы Дезарга к
треугольникам EDF и AD'F', мы убедимся, что прямые AF'
и EF параллельны.
§ 27. Уравнения прямых в новом исчислении
отрезков
С § 24 по § 26 мы вводили исчисление отрезков с
помощью установленных в § 24 аксиом, предполагая
справедливость теоремы Дезарга для плоскости. В этом
исчислении отрезков имеют место установленные в § 13
предложения о соединении, коммутативный закон
сложения, ассоциативные законы сложения и умножения, а также
два дистрибутивных закона. В том, что коммутативный
закон умножения не должен обязательно выполняться, мы
убедимся в § 33. В этом параграфе мы хотим показать,
каким образом можно дать аналитическое представление
точек и прямых, основываясь на этом исчислении отрезков.
Определение. Две фиксированные нами на
плоскости прямые, проходящие через точку О, мы будем
называть осями X и Y и будем задавать любую точку Р на
плоскости посредством отрезков ху у, которые отсекаются
на оси X и, соответственно, Y прямыми, проходящими
через точку Р параллельно этим осям. Эти отрезки х, у
мы будем называть координатами точки Р.
На основании нового исчисления отрезков мы, с
помощью теоремы Дезарга, приходим к следующему заключению:
Теорема 55. Координаты х, у точек •
произвольной прямой удовлетворяют уравнению между
отрезками следующего вида:
ах -\- by -\- с = 0;
в этом уравнении отрезки af b должны стоять
обязательно слева от координат х, у; отрезки a, b одно-

§ 27. УРАВНЕНИЯ ПРЯМЫХ В НОВОМ ИСЧИСЛЕНИИ ОТРЕЗКОВ 161
временно не могут обращаться в нуль, отрезок лее с —
произвольный.
Обратно, всякое уравнение между отрезками
указанного вида представляет прямую в рассматриваемой
нами плоской геометрии.
Доказательство. Абсцисса х любой точки Р оси У
или параллельной ей прямой не зависит от положения
точки Р на этой прямой, т. е. такая прямая представима в
виде уравнения:
х = с.
Отрезку с соответствует
отрезок с, такой, что
с~-]~с = 0,
и тем самым
ах, Я
Черт. 76.
х -\- с = 0.
Это уравнение имеет
требуемый вид.
Пусть, далее, прямая / пересекает ось У в некоторой
точке S [черт. 76]. Из произвольной точки Р этой прямой
проведём параллель к оси К, которая пересекает ось X в
точке Q. Отрезок OQ-^x служит абсциссой точки Р.
Параллель к /, проведённая через точку Q, отсекает на
оси У отрезок OR. Согласно определению умножения
отрезков,
OR = ах%
где а — отрезок, зависящий от положения прямой /, но не
от выбора точки Р на /. Пусть ордината Р есть у. Из
обобщённого определения суммы (стр. 153) и возможности
построить сумму, исходя также от оси ОУ (стр4 155), следует,
что отрезок OS есть сумма ах-\-у. Отрезок OS=c
определяется только положением прямой /. Из равенства
ах 1 У = с
11 Д. Гильберт

162
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
следует, что
ах-\-у-\- с = 0,
где с — снова является отрезком, который определяется
равенством с-\-с = 0. Уравнение ах-\-у-\-с = 0 имеет
требуемый вид.
Легко убедиться, что координаты точки, не лежащей
на прямой /, не удовлетворяют этому уравнению.
Так же легко доказывается вторая часть теоремы 55.
Действительно, пусть мы имеем уравнение между
отрезками:
а'х -f b'y + С = 0,
в котором хотя бы один из отрезков а' или Ь' не равен
нулю. Если Ь' = 0, то умножим обе части этого равенства
слева на отрезок я, определяемый соотношением аа! = 1;
если же Ь' =^= 0, — то на отрезок Ь, определяемый
соотношением bb' — \. Тогда, на основании правил исчисления
отрезков, мы получим одно из найденных ранее уравнений
прямой, и в рассматриваемой плоской геометрии мы
легко можем построить прямую, удовлетворяющую этому
уравнению.
Подчеркнём ещё, что при наших предположениях
уравнение между отрезками вида
xa-\-yb-\- с = 0,
в котором множители a, b стоят справа от координат
л:, уу вообще говоря, н е представляет прямую.
В § 30 мы дадим очень важное применение
теоремы 55.
§ 28. Совокупность отрезков, рассматриваемая
как комплексная числовая система
Мы уже упоминали, что в нашем новом обоснованном
в § 24 исчислении отрезков выполняются предложения
1 —6 § 13.
Далее, в § 25 и § 26 мы убедились с помощью
теоремы Дезарга, что в этом исчислении отрезков имеют место
вычислительные правила 7 —11 § 13; итак, все предло-

§ 29. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ 163
жения о соединении и вычислительные правила, за
исключением коммутативного закона умножения, оказываются
справедливыми.
Наконец, для того, чтобы сделать возможным
упорядочение отрезков, установим следующее правило.
Пусть А и В — какие-то отличные друг от друга
точки прямой ОЕ; в соответствии с теоремой 5, из четырёх
точек О, £, Л, В можно образовать последовательность,
в которой точка Е находилась бы позади точки О [G4].
Если точка В в этой последовательности расположена
позади точки Л, то мы говорим, что отрезок а—О А
меньше отрезка Ь=ОВ, и обозначаем это так:
если же, напротив, в этой последовательности точка А
расположена позади точки В, то мы говорим, что
отрезок а = ОА больше отрезка Ь = ОВ, и обозначаем это
так:
Легко убедиться, что вычислительные законы 13 — 16
§13 будут теперь, в силу аксиом II, выполняться в нашем
исчислении отрезков [65]. Итак; совокупность всех
отличных друг от друга отрезков образует комплексную
числовую систему, в которой имеют место законы 1 —11,
13 —16 § 13, т. е. имеют место все правила, за
исключением коммутативного закона
умножения и предложений непрерывности. В
дальнейшем такую числовую систему мы будем называть
числовой системой Дезарга.
§ 29. Построение геометрии пространства с помощью
числовой системы Дезарга
Пусть у нас имеется некоторая числовая система
Дезарга D; о н а позволяет построить
пространственную геометрию, в которой выполняются
все а кс и о м ы 1, 11, IV*.
Чтобы уяснить себе это, примем систему каких-либо
трёх чисел (х, у, z) дезарговой числовой системы D за
11*

164
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
точку, а систему каких-либо четырёх чисел (u:v:w:r)
системы D, у которой по крайней мере одно из трёх
первых чисел отлично от нуля, — за плоскость. Пусть при
этом системы (u:v:w:r) и (au:av:aw:ar), где а — любое
отличное от нуля число области D, представляют одну и
ту же плоскость. Пусть, -далее, справедливость равенства
их -f- vy -\- wz -\- г = О
означает, что точка (л;, у, z) лежит в плоскости (u:v:w:r) [66].
Наконец, прямую мы определим как систему двух
плоскостей (и' :v':w':r') и (и"' \v"' \w":г"), таких, что
в области D не найдётся ни одного отличного от нуля
числа, для которого одновременно имели бы место три
равенства:
аи! = и", av' = v'\ aw' = w".
Мы будем говорить, что точка (х% у, z) лежит на
прямой
l(u':v':w':r'), (u":v":w":r")l
если она является общей точкой обеих плоскостей
(u':v':w' :rf) и (ut,:v":wff:r"). Две прямые, содержащие
одни и те же точки, считаются тождественными.
Применив законы 1—11 § 13, которые по
предположению должны выполняться для чисел области D, .мы без
труда придём к заключению, что для только что
построенного пространства все аксиомы групп I и IV* должны
выполняться [67].
Для того чтобы аксиомы II порядка также
выполнялись, введём следующие условия. Пусть
(*i> У\> z\\ (*2, Уъ Ч\ (*8, Уг, *з)
— какие-либо три точки прямой
[(u':v':w':r'), (u":v"\w" :г")}\
мы будем говорить, что точка (х2, у2, 22). лежит между
двумя другими точками, если- выполняется по крайней ме-

§ 29. ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ГЕОМЕТРИИ 165
ре одна из следующих шести пар неравенств: .
х1<^х2<^хг^ х\^>хч^>хъ О)
Л<Л<Л. У\>У*>Уь (2)
*1<*2<>в» *1>*2>*3- (3)
Легко показать, что если имеет место одно из двух
двойных неравенств (1), то, во-первых, либо у^=у2 = ys,
либо должно выполняться одно из двух двойных
неравенств (2) и, во-вторых, либо z^=s=z2 = z2, либо должно
выполняться одно из двух двойных неравенств (3).
Действительно, умножив слева уравнения
и!х{ -f v'y. 4- w,zi -\- г' = О,
и"х. -f v"y. 4- w"z. 4- /*" = О
(/= 1, 2, 3)
на подходящим образом подобранные, отличные от нуля
числа области D и сложив затем полученные равенства,
мы получим систему уравнений вида
u"xi + v"yi + r>" = 0 W
(/=1, 2, 3).
Коэффициент г/" в этих равенствах наверно не может
равняться нулю, так* как в противоположном случае
три числа хь хъ х2 были бы равны друг другу. Если
и'" = О, то
У\=У%=Уг-
Если же и'" т^ 0, то из неравенств
Х\ > х2 > "^3
мы заключаем, что
и!"хх 0:и"'х2 5§5 и"х^
и, далее, в силу равенств (4):
*'>, +'"' ^ «"Уг + г"' ^ v"yt + г".

166
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Таким образом,
Следовательно, так как v,r,=^=0y
В каждом из этих двойных неравенств надо брать либо
всюду верхние знаки, либо всюду нижние.
Приведённые соображения убеждают нас в том, что в
нашей геометрии выполняются линейные аксиомы
порядка 11,-3. Остаётся только- показать, что в ней имеет место
также и плоскостная аксиома 114 [68].
Для этой цели положим, что нам даны плоскость
Ur.v.w.r) и лежащая на ней прямая [(uiv.wir),
{tit\v'\w':r')\ Мы полагаем, что все точки (ху у, z)
плоскости (u:v:w:r)y для которых выражение u'x-\-v'y-\-
-^w'z-\-r' меньше или больше нуля, лежат по одну или,
соответственно, по другую сторону от данной прямой.
Теперь нужно доказать, что это определение имеет
однозначный смысл и согласуется с определением, указанным
на стр. 63—64. Доказательство этого не представляет
затруднений.
Таким образом, мы убедились, что все аксиомы I, II,
IV* выполняются в той пространственной геометрии,
которая указанным выше способом возникает из дезарговой
числовой системы D.
Так как теорема Дезарга является следствием
аксиом It_8, II, IV*, то мы приходим к следующему
заключению:
Для любой дезарговой числовой с ас те мы
D можно указанным способом построить плоскую
геометрию, в которой исчисление отрезков, введённое
в соответствии с § 24, приводит как раз к числовой
системе D [69] и в которой выполняются аксиомы t1-3,
II, IV*. В такой плоской геометрии всегда
справедлива теорема Дезарга.
Это предложение является обращением того вывода, к
которому мы пришли в § 28 и который мы можем
резюмировать так:

§ 30 ЗНАЧЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ДЕЗАРГА 167
В геометрии на плоскости, в которой кроме аксиом
Ц_8, 11, IV* имеет место ещё и теорема Дезарга,
можно ввести исчисление отрезков по способу,
указанному в § 24; элементы этого исчисления образуют при
соответствующих соглашениях об их упорядоченности
дезаргову числовую систему,
§ 30. Значение теоремы Дезарга
Если в какой-либо плоской геометрии выполняются
аксиомы \Х__ЬУ II, IV* и, кроме того, справедлива теорема
Дезарга, то, согласно последним теоремам, в этой
геометрии можно ввести исчисление отрезков, которое
подчинялось бы правилам 1 —11, 13—16 § 13. Мы
рассматриваем, далее, совокупность этих отрезков как
комплексную числовую систему и строим на основании
этой системы пространственную геометрию, как это
изложено в § 29, в которой выполняются все
аксиомы I, II, IV*.
Если мы будем в этой пространственной геометрии
рассматривать только точки (х, у, 0) и только прямые, на
которых лежат только такие точки, то мы придём к
некоторой плоской геометрии. Если же мы обратим внимание
на выведенную нами в § 27 теорему 55, то станет ясным,
что только что полученная плоская геометрия совпадает
с плоской геометрией, заданной нами вначале, т. е. что
элементы обеих геометрий можно поставить во взаимно
однозначное соответствие, сохранив при этом отношения
принадлежности, существующие между элементами, и их
порядок [70].
Таким образом, мы получаем следующую теорему,
которую следует рассматривать как конечную цель
исследований этой главы:
Теорема 56. Пусть в некоторой плоской
геометрии выполняются аксиомы \х_ь, И, IV*; в таком случае
справедливость теоремы Дезарга является необходимым
и достаточным условием для того, чтобы эту плоскую
геометрию можно бы го рассматривать как часть
пространственной геометрии, в которой выполняются все
аксиомы I, II, IV*.

168
ГЛ. V. ТЕОРЕМА ДЕЗАРГА
Таким образом, теорема Дезарга для плоской геометрии
может быть в известном смысле слова названа результатом
исключения пространственных аксиом.
Полученные результаты дают нам возможность также
доказать, что каждую пространственную геометрию, в
которой выполняются все аксиомы I, II, IV*, можно всегда
рассматривать как часть некоторой «геометрии
произвольно большого числа измерений»; при этом под многомерной
геометрией «надо понимать такую совокупность точек,
прямых, плоскостей и дальнейших элементов, для которой
выполняются соответствующим образом расширенные
аксиомы соединения и порядка, а также аксиома
параллельности.

Г Л Л В Л Ш Е С т Л Я
ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
§ 31. Две теоремы о доказуемости теоремы Паскаля
а к уже было отмечено, теорему Дезарга
(теорему 53) можно доказать, исходя из аксиом
I, II, IV*, т. е. существенно пользуясь
пространственными аксиомами, но не прибегая к помощи
аксиом конгруентности. В § 23 я показал, что
если даже допустигь пользование аксиомами
непрерывности, то и тогда доказательство теоремы
Дезарга невозможно без пространственных аксиом группы I и
без аксиом конгруентности.
В § 14 теорема Паскаля (теорема 40), а в § 22
теорема Дезарга были доказаны на основании аксиом I2_s,
II—IV, т. е. без пространственных аксиом, но при
существенном использовании аксиом конгруентности. Является
вопрос, нельзя ли доказать также и теорему
Паскаля, опираясь на пространственные аксиомы
соединения, но не используя аксиом
конгруентности. Наше исследование покажет, что теорема Паскаля
в этом отношении существенно отличается от теоремы
Дезарга, а именно, принятие аксиомы
Архимеда или' исключение её имеет решающее значение
для вопроса о справедливости этой теоремы. Так как в
этой главе аксиомы конгруентности вообще не
предполагаются установленными, то аксиома Архимеда должна быть
изложена в ней в следующей редакции:
Vf (аксиома Архимеда для исчисления
отрезков). Пусть даны на прямой g отрезок а и две точки
А и В. В таком случае всегда можно найти некоторое
ш

170
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
количество точек /Ц, А2, .. ., Ап—\, Ап таких, чтобы
точка В лежала между точками А и Ап, а отрезки
AAV А1А2{..., Ап—1 Ап были бы равны отрезку а в
смысле исчисления отрезков, которое вводится на основании
аксиом 1, II, IV* и теоремы Дезарга, как это было
сделано б § 24 f71].
Главнейшие результаты нашего исследования мы
сформулируем в виде следующих двух теорем:
Теорема 57. Теорема Паскаля (теорема 40)
доказуема на основании аксиом I, II, IV*, V*, т. е. при
условии исключения аксиом конгруентности и принятия
аксиомы Архимеда.
Теорема 58. Теорему Паскаля (теорема 40)
невозможно доказать на основании аксиом 1,11, IV*, т.е.
при условии исключения как аксиом конгруентности,
так и аксиомы Архимеда.
На основании общей теоремы 56, в формулировке этих
двух теорэм аксиомы 14_8 могут быть заменены требованием,
чтобы в плоской геометрии имела место теорема Дезарга
(теорема 53).
§ 32. Коммутативный закон умножения
в архимедовой числовой системе
Доказательство теорем 57 и 58 существенно
основывается на некоторых определённых взаимоотношениях,
существующих между вычислительными правилами и основными
положениями арифметики, знакомство с которыми
представляет интерес само по себе. Мы утверждаем
справедливость следующих двух теорем:
Теорема 59. В архимедовой числовой системе
коммутативный закон умножения является необходимым
следствием остальных законов', это значит, что если
числовая система обладает свойствами 1—11, 13—17,
перечисленными в § 13, то отсюда необходимо следует,
что в ней имеет место и формула 12.
Доказательство. Заметим сначала следующее.
Если а — любое число из нашей числовой системы и
п — 1 4- 1 + ... + 1

§ 31. УМНОЖЕНИЕ В АРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЕ 171
— положительное целое рациональное, число, то для awn
всегда имеет место коммутативный закон; действительно,
ап = а(\-\- 1-f ...-\-\) = а-\ -|-а.1 + ...+я-1 =
— а-\-а-\- . . . -j- а
и точно так же
па~ (1 -(- 1 + • • • + 1) л = Ьл+ Ьа-f ... -j- 1 -а —
= а -р а -f-. . . -|- а.
Предположим теперь, что, вопреки нашему утверждению,
в нашей числовой системе существует два числа а, Ь> для
которых коммутативный закон умножения неверен. В таком
случае мы, как легко заметить, имеем право сделать
следующие допущения:
а>0, ft>0, ab — bayo [72~|.
Согласно требованию 5 § 13, существует число £(^>0),
удовлетворяющее равенству:
(а -(- b -f-1) с — ab — ba.
Далее, выберем число d, удовлетворяющее одновременно
трём неравенствам
d>0, d<l, tf<£;
наконец, обозначим буквами тип два целых
рациональных неотрицательных числа, для которых
и
nd<^b^(n-\- \)d.
Существование таких чисел тип является
непосредственным следствием предложения Архимеда (предложения
17 § 13). В силу замечания, сделанного в начале этого
доказательства, мы в результате умножения последних
неравенств получаем:
ab < mnd2 -j- (т -{- п -f- 1) d2,
ba у mnd2;
вычитая полученные неравенства, найдём, что
аЬ—Ьа<Цт~\-п -\-\)d2.

172
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
Однако так как
md<^a, nd<C^b, d<^\,
то
(m-f n-\-\)d<a-+-b+\,
т. е.
аЪ— ba<^(a-\-b-\- \)d,
и, следовательно, ввиду того, что d<^c,
ab — ba<^(a-\- b~\~ \)c.
Это же последнее неравенство противоречит
определению числа с, и, следовательно, теорема 59 доказана.
§ 33. Коммутативный закон умножения
в неархимедовой числовой системе
Теорема 60. Для неархимедовой числовой системы
коммутативный закон умножения не является
необходимым следствием остальных законов счёта; это
значит, что существует числовая система, обладающая
перечисленными в § 13 свойствами
1—11,13—16,—являющаяся, согласно § 28, дезарговой числовой системой,—
в которой коммутативный закон умножения (12) не
имеет места.
Доказательств о. Пусть t — параметр, а Г — любое
выражение с конечным или бесконечным числом членов
вида:
7 = r0tn + rj"*1 -f- r2ln+2 -f г3*и+3 -+-...,
где r0(=j£=Q), rlyr2, ... могут быть любыми рациональными
числами, а п — любым целым рациональным числом =0.
К области таких выражений Т прибавим число 0. Два
выражения вида Т называются равными, если в них все
соответствующие числа я, r0, rv г2,... попарно равны
друг другу. Далее, пусть s — другой параметр, a S —
любое выражение с конечным или бесконечным числом
членов вида:
где через TQ(=^=0), Tv Г2,. . . обозначены выражения вида 7\

§ 33. УМНОЖЕНИЕ В НЕАРХИМЕДОВОЙ ЧИСЛОВОЙ СИСТЕМЕ 173
am — любое целое рациональное число == 0. Совокупность
всех выражений вида S, к которой добавлено число 0, мы
будем рассматривать как комплексную числовую систему
Q(sy t), в которой мы установим следующие
вычислительные правила.
Мы будем производить вычисления с параметрами s
и t по правилам 7—11 § 13, а вместо правила 12 будем
всегда применять формулу
ts—2sL (1)
Легко убедиться, что это условие не приводит к
противоречию.
Если S' и S" суть какие-то два выражения вида S:
то с помощью их почленного сложения можно, очевидно,
образовать новое выражение S'-(-«S", которое снова имеет
вид 6 и определяется однозначно; выражение S' -{- S"
называется суммой чисел, представленных выражениями S' и S\
С помощью обычного формального почленного
умножения выражений S\ S" мы приходим далее к выражению вида:
S'S" =sm'Tosm''Tl-±:(smfToSm'+1 г!-|>^,' + 1Зг,15я"'7,й +
-Н^'^о^+^ + ^' + ^'а^^
Это выражение после применения формулы (1) обращается,
очевидно, в выражение вида т S; последнее называется
произведением числа, представленного выражением S\ на
число, представленное выражением S".
При установленном таким образом способе счёта
становится непосредственно ясной справедливость правил 1—4
и б—11 § 13 [73]. Также нетрудно показать
справедливость правила 5 § 13. С этой целью положим, что
S* = sm'To-{-sm'+*Ti -f 5w,+27,2+. • .
и
Г" = sm""T7 -f s'*'"+lT'x + Sm""^T*2 +. ..

174
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
суть два выражения вида S. Заметим, что, согласно нашему
условию, первый коэффициент r'Q из Т'0 отличен от нуля.
Приравнивая одинаковые степени 5 в обеих частях
уравнения
S'S"=S"\ (2)
мы однозначно определим сперва целое число /я", а затем
последовательно выражения
Tl К 71...
так, чтобы выражение
S" = sm"T'o -f sm"+lf[ + sm"+ 2Tl-\-...
удовлетворяло уравнению (2) при пользовании формулой
(1). Аналогичное утверждение справедливо и для уравнения
S"'S' = S"".
Итак, наше утверждение доказано.
Наконец, чтобы сделать возможным упорядочение чисел
нашей числовой системы Q(s, t)> подчиним её следующему
условию: число этой системы называется большим или
меньшим 0, в зависимости от того, будет ли первый
коэффициент г0, стоящий при Т0 в выражении S,
представляющем это число, больше или меньше нуля. Если даны два числа
а и Ь комплексной числовой системы, то говорят, что а<^Ь
или что #^> Ь, смотря по тому, будет ли а—Ь меньше
или больше нуля. Непосредственно ясно, что при этом
условии правила 13—16 § 13 верны, т. е. что Q(s, t)
является дезарговой числовой системой (ср. § 28).
Правило 12 § 13 для нашей комплексной числовой
системы Q(syt) не выполняется, как показывает равенство
(1), и, таким образом, теорема 60 полностью доказана.
В силу теоремы 59, предложение Архимеда
(предложение 17 § 13) в установленной нами числовой системе Q (s, t)
не выполняется.
Отметим ещё, что числовая система il (s, t) — точно так
же как и числовые системы Q и Q (/), которыми мы
пользовались в §9 и § 12, — содержит только счётное
множество чисел.

§ 34. НЕПАСКАЛЕВА ГЕОМЕТРИЯ
175
§ 34. Доказательство обоих предложений,
касающихся теоремы Паскаля (непаскалева геометрия)
Если в некоторой геометрии пространства выполняются
все аксиомы 1, II, IV*, то в этой геометрии имеет место
также и теорема Дезарга
(теорема 53) и тем самым, ,у
согласно последней теореме . t /
Ctu-aOfjk
§ 28, в этой геометрии на У\\
каждой паре пересекающихся / I \
прямых возможно введение h/ I \
исчисления отрезков, подчи- /\ %J \
нённого правилам 1 —11, /vv/ /\ \
13—16 § 13. Если, кроме / \/\/ ^Д
того, принять в нашей гео- q^- *—-^ -*—*-X
метрии архимедову аксиому
V*, то, очевидно, для на- Черт. 77.
шего исчисления отрезков
будет иметь место предложение Архимеда (предложение
17 § 13) и, следовательно, согласно теореме 59,
коммутативный закон умножения. Из чертежа [77] совершенно
очевидно, что коммутативный закон умножения
представляет собою не что иное, как теорему Паскаля для
пары осей. Тем самым справедливость теоремы 57
доказана.
Для доказательства* теоремы 58 обратимся снова к
введённой в § 33 дезарговой числовой системе й (s, t) и
построим с её помощью пространственную геометрию по
способу, описанному в § 29. В этой геометрии выполняются
все аксиомы I, II, IV*, и, несмотря на это, в ней теорема
Паскаля н е имеет места, так как в дезарговой числовой
системе 0 (s, I) коммутативный закон умножения не имеет
места. Построенная таким образом «непаскалева
геометрия», в силу доказанной ранее теоремы 57, должна быть
в то же время и «неархимедовой» геометрией.
Ясно, что теорема Паскаля не может быть при наших
предположениях доказана и в том случае, когда
пространственную геометрию рассматривают как часть геометрии
любого числа измерений, в которой кроме точек, прямых

176
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
и плоскостей, имеются ещё и другие элементы, причём
эти последние также подчинены соответствующей системе
аксиом соединения и порядка, а также аксиоме о
параллельных.
§ 35. Доказательство любой теоремы о точках
пересечения с помощью теоремы Паскаля
Докажем сначала следующее важное предложение:
Теорема 61. Теорема Дезарга (теорема 53) может
быть выведена из теоремы Паскаля (теорема 40) с
помощью одних только
аксиом It_3, И, IV*, т. е. без
помощи аксиом конгруент-
ности и непрерывности.
Доказательство *).
Ясно, что из двух
утверждений, составляющих теорему
53, каждое есть следствие
другого. Достаточно, таким
образом, доказать только
второе утверждение теоремы
53. При доказательстве
этого утверждения мы сделаем
некоторые дополнительные предположения.
Пусть треугольники ABC и А'В'С [черт. 78]
расположены так, что прямые, соединяющие соответствующие
вершины, пересекаются в одной точке О и что прямая АВ
параллельна А'В\ а прямая АС—прямой А'С. Положим,
далее, что ни пара прямых ОВ' и Д'С, ни пара прямых
ОС и А'В' не представляют собой параллелей. Проведём
через А прямую, параллельную ОВ\ которая пересечётся
с А'С в некоторой точке I, а с ОС — в некоторой
точке М. Положим, далее, что прямая LB' не параллельна ни
О Л, ни ОС. Прямые А В и LB' не могут быть
параллельны, и, следовательно, они должны пересечься в некото-
*) Приведённое здесь доказательство теоремы 61
принадлежит Г. Гессенбергу (G. Hessenberg, «Beweis des Desar-
gaesschen Satzes aus den Pascalschen», Math. Ann. т. 61).

§ 35. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ О ТОЧКАХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 177
рой точке Л/, которую мы соединим прямыми с
точками /И и О.
К конфигурации ONALA'B\ как это следует из её
построения, теорема Паскаля применима, а потому ON
параллельна A* L и, следовательно, параллельна также и СА.
Теперь мы можем приложить теорему Паскаля к
конфигурациям ONMACB и ONMLCB' и получить, что MN
параллельна как СВ, так и С В'. Итак, стороны СВ и С'В'
действительно параллельны.
Добавочные предположения, сделанные при
доказательстве этой теоремы, могут быть одно за другим устранены.
Здесь мы эти рассмотрения опускаем [74].
Положим, что мы имеем дело с плоской геометрией, в
которой, кроме аксиом Ile_3> И» 1V*> выполняется теорема
Паскаля. Теорема 61 учит, что в этой геометрии имеет
место также и теорема Дезарга. Поэтому мы можем ввести
в ней исчисление отрезков, о котором шла речь в § 24; в
этом исчислении отрезков, согласно сказанному, вместе с
теоремой Паскаля, имеет место и коммутативный закон
умножения, т. е. в ней имеют место все правила счёта 1—-12 § 13.
Фигуру, соответствующую содержанию теоремы Паскаля
или Дезарга, мы будем называть паск а левой или,
соответственно, дезарговой конфигурацией. В таком случае
результаты исследований §§ 24—26 и § 34 можно резюмировать
следующим образом. Каждое применение вычислительных
правил (правила 1 —12 § 13) в нашем исчислении отрезков
оказывается комбинацией конечного числа паскалевых и
дезарговых конфигураций; а так как дезаргова
конфигурация может быть представлена при помощи построения
соответствующих вспомогательных точек и прямых (как это
было сделано при доказательстве теоремы 61) в виде
комбинации паскалевых конфигураций, то каждое применение
упомянутых вычислительных правил в нашем исчислении
отрезков оказывается комбинацией конечного числа
паскалевых конфигураций.
Согласно сказанному в § 27 и на основании
коммутативного закона умножения в этом исчислении отрезков, точка
представляется парой действительных чисел (х, у), а
прямая— отношением трёх действительных чисел [75] (u:v:w),
12 д. Гильберт

178
ГЛ. VI. ТЕОРЕМА ПАСКАЛЯ
первые два из которых одновременно не обращаются в нуль.
Тот факт, что точка лежит на прямой, характеризуется
равенством
ux-\-vy-\-w = Q,
а параллельность прямых (u:v:w) и (и': v': w') —
пропорцией
u:v = u':v'.
Пусть в заданной таким образом геометрии
рассматривается чистая теорема о точках пересечения. Под чистой
теоремой о точках пересечения мы понимаем здесь
высказывание о взаимном расположении точек и прямых и о
параллельности прямых, причём в этом высказывании
никакие другие взаимоотношения, как, например, конгруентность
или перпендикулярность, не должны быть использованы.
Каждая такая чистая теорема о точках пересечения может
быть приведена к следующему виду.
Сначала произвольно выбирается система из конечного
числа точек и прямых; затем заранее предписанным образом
к некоторым из этих прямых проводят произвольные
параллели, выбирают на некоторых прямых произвольные
точки и проводят через некоторые точки произвольные
прямые; если теперь заранее предписанным образом соединять
имеющиеся точки прямыми, находить точки пересечения
имеющихся прямых, проводить через имеющиеся уже точки
параллели, то мы, в конце концов, придём к вполне
определённой системе конечного числа прямых, о которых теорема
утверждает, что они или проходят через одну и ту же
точку или параллельны.
Координаты точек и прямых, которые мы совершенно
произвольно выбираем вначале, мы будем рассматривать
как параметры рх,..., рп; у точек и прямых, выбранных
затем с ограниченным произволом, некоторые из координат мы
будем рассматривать как дальнейшие параметры рп+1,..-., рг\
остальные же их координаты мы выразим через
параметры pv .. ., рг. Координаты прямых, соединяющих
имеющиеся уже точки, точек, образующихся при
пересечении имеющихся уже прямых, и прямых,
проводимых через имеющиеся уже точки параллельно имею-

§ 35. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМ О ТОЧКАХ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ 179
щимся прямым, будут рационально зависящими от этих
параметров выражениями
Л (Pi,.-, рг).
В таком случае содержание доказываемой теоремы о точках
пересечения сведётся к утверждению, что некоторые из этого
рода выражений будут иметь равные значения, если мы будем
придавать параметрам в этих выражениях одинаковые
значения; иными словами, теорема о точках пересечения
сводится к утверждению, что некоторые вполне определённые
выражения Л (pv .. , рг)у рационально зависящие от
определённых параметров ри. „., рп обращаются в нуль всякий
раз, как мы вместо этих параметров подставляем в эти
выражения какие-либо элементы исчисления отрезков,
введённого в рассматриваемой геометрии. Так как область
этих элементов бесконечна, то, в силу известной теоремы
алгебры, мы приходим к заключению, что выражения
R (Pv • • . Рг)
должны, на основании законов исчисления
1—12 § 13, тождественно обращаться в нуль[76]. Но
после того, что выше было доказано о применении законов
счёта, ясно, что для доказательства тождественного
обращения в нуль выражений R (pv . .. , рг) в нашем исчислении
отрезков достаточно применения теоремы Паскаля. Таким
образом, мы пришли к 'следующему выводу:
Теорема 62. Каждая чистая теорема о точках
пересечения, имеющая место в плоской геометрии, в
которой выполняются аксиомы Ij_3, II, IV* и
справедлива теорема Паскаля, при помощи построения
соответствующих вспомогательных точек и прямых сводится
к комбинации конечного числа конфигураций Паскаля.
Итак, если при доказательстве теоремы о точках
пересечения пользоваться теоремой Паскаля, то можно не
прибегать при этом доказательстве к аксиомам конгруентно-
сти и непрерывности

г л л в л с в а ъ м л я
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ НА ОСНОВАНИИ
АКСИОМ I—IV
§ 36. Геометрические построения с помощью
линейки и эталона длины
усть дана пространственная геометрия, в
которой имеют место все аксиомы I—IV; для
простоты в этой главе мы будем рассматривать
только плоскую геометрию, содержащуюся
в этой пространственной геометрии, и
исследуем вопрос, какие из элементарных задач на построение
наверное разрешимы в этой геометрии (предполагая
наличие соответствующих практических средств).
На основании аксиом I, II, IV всегда можно решить
следующую задачу:
Задача 1. Провести прямую через две точки и найти
точку пересечения двух прямых, при условии, что эти
прямые не параллельны.
В силу аксиом конгруентности III можно откладывать
отрезки и углы, т. е. в рассматриваемой геометрии
возможно решение следующих задач:
Задача 2. Данный отрезок отложить на данной
прямой от некоторой точки по данную сторону от этой точки.
Задача 3. Данный угол отложить от данной прямой
в данной точке по заданную сторону этой прямой или
провести прямую, пересекающую данную прямую в
заданной точке под данным углом.
Очевидно, что если положить в основу аксиомы I—IV,
то разрешимыми оказываются только те задачи на по-
и

§ 36. ГЕОМЕТРИЧ. ПОСТРОЕНИЯ с помощью линейки 181
строение, которые могут быть сведены к вышеуказанным
задачам 1—3.
К основным задачам 1—3 мы присоединим ещё
следующие две.
Задача 4. Через данную точку провести прямую,
параллельную данной.
Задача 5. Провести прямую, перпендикулярную к
данной.
Мы немедленно убеждаемся в том, что обе эти задачи
можно различными способами свести к задачам 1—3.
Для выполнения построения
задачи 1 нужна линейка. Для
выполнения построений в
задачах 2—5 достаточно, как мы это
дальше докажем, кроме линейки
иметь ещё эталон длины—
инструмент, который даёт
возможность откладывать один *)
вполне определённый отрезок, * £
например, единичный отрезок. -*—/ »«-;—-~
Мы приходим, таким образом, Черт. 79.
к следующему результату:
Теорема 63. Геометрические задачи на
построение, которые могут'быть решены на основании аксиом
I—IV, требуют для своего решения только линейки и
эталона длины.
Доказательство. Чтобы решить задачу 4 [черт. 79],
соединим данную точку Р с произвольной точкой А
заданной прямой а и отложим единичный отрезок с помощью
эталона длины на прямой а от точки А два раза подряд,
а именно: сначала до точки £, а затем от точки В до
точки С Пусть D — некоторая точка прямой АР, не
совпадающая ни с Л, ни с Р и притом такая, что прямые
BD и PC не параллельны. В таком случае прямые СР
*) Что в данном случае достаточно потребовать возможности
откладывания лишь для одного единственного отрезка,
заметил И. Кюршак (J. Kurschak, «Das Streckenabtragen»,
Math. Ann. т. 55, 1902).

182 ГЛ. VII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
и 3D пересекаются в точке Е, а прямая АЕ пересекает
прямую CD в точке F. Как показал Штейн ер [77~|,
PF является искомой параллелью к прямой а.
Задачу 5 мы решим следующим образом [черт. 80].
Пусть А — произвольная точка данной прямой. Отложим
с помощью эталона длины на
этой прямой от точки А по обе
её стороны единичные
отрезки АВ и АС и затем
выберем на каких-либо двух
других прямых, проходящих через
точку Л, точки Е и D так,
чтобы отрезки AD а АЕ были
также равны единичному
отрезку. Прямые BD и СЕ пересе-
Черт. 80. каются в точке F, прямые BE
и CD пересекаются в
точке Н. Прямая FH и является искомым перпендикуляром.
Действительно, углы <£ BDC и <Х ВЕС, как углы,
опирающиеся на диаметр ВС полуокружности, должны
быть прямыми, а потому, в силу теоремы о точке
пересечения высот, которую мы можем применить к
треугольнику ВСЕ, прямые FH и ВС
также должны быть
перпендикулярными.
На основании задач 4 и 5
всегда возможно опустить
перпендикуляр на данную прямую а из
точки Z), лежащей вне её, или
восставить к ней перпендикуляр д / q ~
из лежащей на ней точки А. ч
Теперь мы можем легко рт*
решить также и задачу 3 при
помощи только линейки и эталона длины. Изберём,
например, следующий приём, который требует только
проведения прямых, параллельных или перпендикулярных данным.
Пусть [J есть угол, равный которому требуется построить,
и пусть точка А — вершина этого угла [черт. 81]. Через
точку А проведём прямую /, параллельную заданной пря-
Jki

§ 36. ГЕОМЕТРИИ. ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙКИ 183
мой, при которой нужно построить угол р. Из
произвольной точки В одной т сторон угла р опустим
перпендикуляры на другую сторону этого угла и на прямую /. Пусть
основаниями этих перпендикуляров будут точки D и С.
Точки С и D не совпадают, а точка А не лежит на
прямой CD. Стало быть, мы можем из точки А опустить
перпендикуляр на CD; пусть его основание — точка Е.
Согласно доказательству, приведённому на стр. 115,
<^САЕ = $. Если точка В выбрана на другой стороне
заданного угла, то точка Е попадает по другую сторону
прямой /. Через
заданную точку на заданной
прямой проводим
прямую, параллельную АЕ;
тем самым получаем
решение задачи 3.
Наконец, что'бы
решить задачу 2,
воспользуемся следующим про- А В
стым построением, при- „ 9
надлежащим И. К ю р-
ш а к у. Пусть АВ — отрезок, который требуется отложить
[черт. 82], а Р — заданная точка на заданной прямой /.
Из точки Р проводят прямую, параллельную АВ, и с
помощью эталона длины наносят на ней от точки Р по ту
сторону от АР, по которую лежит точка В, единичный
отрезок, конец которого попадёт в некоторую точку С.
Далее, на прямой / от точки Р в заданную сторону
откладывают единичный отрезок; пусть его конец попадёт
в точку D. Пусть прямая, проведённая через точку В
параллельно АР, пересекает прямую PC в точке Q, а
прямая, проведённая через точку Q параллельно CD,
пересекает прямую / в точке Е. Тогда РЕ = АВ. Если
прямая / совпадает с PQ, а точка Q не попадёт по заданную
сторону от Р, то это построение можно легко
видоизменить.
Итак, показано, что все задачи 1—5 можно решить
с помощью линейки и эталона длины, и, следовательно,
теорема 63 полностью доказана.

134 ГЛ. VII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
§ 37. Критерий выполнимости геометрических
построений с помощью линейки и эталона длины
Кроме рассмотренных нами в § 36 задач из
элементарной геометрии, существует ещё большое количество
других задач, решение которых требует только проведения
прямых и откладывания отрезков. Для того чтобы можно
было обозреть область всех решаемых таким образом
задач, мы положим в основу дальнейшего нашего
исследования прямоугольную систему координат и представим себе
координаты точек обычным образом — как действительные
числа или функции некоторых произвольных параметров.
Чтобы быть в состоянии ответить на вопрос о том, какова
совокупность всех точек, которые могут быть построены,
мы прибегнем к следующему рассуждению.
Пусть дана некоторая определённая система точек;
образуем порождаемое координатами этих точек поле /?[78].
Оно содержит некоторые определённые действительные
числа и некоторые произвольные параметры р. Представим
себе теперь совокупность всех тех точек, которые могут
быть построены из заданной системы точек путём
проведения прямых и откладывания отрезков. Поле,
образованное координатами этих последних точек, обозначим
через й(/?); оно содержит также некоторые определённые
действительные числа и функции произвольных
параметров р.
Наши исследования в § 17 показали, что проведение
прямых через две точки и проведение прямых,
параллельных данным, аналитически сводится к сложению,
умножению, вычитанию и делению отрезков; далее, известная,
данная в § 9, формула для вращения показывает, что
откладывание отрезков на любой прямой не требует
никаких других аналитических операций, кроме извлечения
квадратного корня из суммы двух квадратов, первые
-степени которых уже построены. Обратно, на основании
теоремы Пифагора, с помощью прямоугольного
треугольника всегда можно путём откладывания отрезков
построить квадратный корень из суммы квадратов двух
отрезков.

§ 37. КРИТЕРИЙ выполнимости построений 185
Из этих рассуждений следует, что поле Q(/?)
содержит те и только те действительные числа и функции
параметров /?, которые получаются из чисел и параметров,
содержащихся в /?, применением конечного числа раз пяти
следующих операций счёта: четырёх арифметических действий
и пятой операции — извлечения квадратного корня из
суммы квадратов. Полученный нами результат мы можем
формулировать следующим образом:
Теорема 64. Требуемое в задаче геометрическое
построение можно выполнить путём проведения прямых и
откладывания отрезков, т. е. с помощью линейки и эталона
длины, в том и только в том случае, когда при
аналитическом решении этой задачи координаты искомых точек
представляют собою такие функции координат заданных
точек, выражение которых требует применения конечного
числа рациональных операций и операции извлечения
квадратного корня из суммы двух квадратов.
На основании этой теоремы мы можем тотчас же
убедиться в том, что не всякая задача, разрешаемая с
помощью циркуля и линейки, может быть решена также и
с помощью одной только линейки и эталона длины.
С этой целью примем в качестве основы ту геометрию,
которая была построена в § 9 с помощью поля
алгебраических чисел Q; в этой геометрии существуют только
такие отрезки, которые можно построить с помощью
линейки и эталона длины, а именно отрезки, определяемые
числами поля Q.
Если со есть некоторое число поля Q, то из
определения поля Q легко усмотреть, что всякое алгебраическое
число, сопряжённое (о, также должно находиться в поле й;
но все числа поля й, очевидно, действительны, а потому
поле Q может содержать только такие действительные
алгебраические числа, сопряжённые к которым также
действительны. Такие числа мы будем называть вполне
действительными [79].
Поставим себе теперь задачу — построить
прямоугольный треугольник, гипотенуза которого 1 и один катет
|)/2| — 1. Алгебраическое число у 2 | ]/ 21 --2, выра-

186 ГЛ. VII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
жающее численное значение другого катета, в числовое
поле Q не входит, так как сопряжённое ему число
у —2|"|/~2| — 2 является мнимым. Стало быть,
поставленная задача в принятой за основу геометрии неразрешима, а
потому она вообще не может быть разрешена с помощью
линейки и эталона длины, хотя соответствующее построение
с помощью циркуля и линейки получается немедленно.
Наши рассуждения можно также обратить, т. е.
справедлива следующая теорема:
Всякое вполне действительное число лежит в поле й.
Поэтому всякий отрезок, определённый вполне
действительным числом, может быть построен с помощью линейки
и эталона длины. Доказательство этой теоремы получается
из соображения более общего характера. А именно,
оказывается возможным найти критерий, позволяющий для
задачи, разрешимой с помощью циркуля и линейки,
непосредственно по аналитической природе этой задачи и её
решений судить о том, может ли она быть также решена
с помощью одной только линейки и эталона длины. Это
получается благодаря следующей теореме:
Теорема 65. Пусть мы имеем задачу на
геометрическое построение такого рода, что при её
аналитическом решении координаты искомых точек могут
быть получены из координат заданных точек с
помощью рациональных операций и извлечения квадратного
корня; пусть п — наименьшее количество квадратных
корней, которое оказывается при этом достаточным
для вычисления координат точек; для того, чтобы
рассматриваемая задача могла быть решена только с
помощью проведения прямых и откладывания отрезков,
необходимо и достаточно, чтобы эта геометрическая
задача при привлечении бесконечно-удалённых
элементов имела ровно 2п действительных решений и притом
для всех положений заданных точек, т. е. для
всех значений встречающихся в координатах заданных
точек произвольных параметров.
На основании рассуждений, приведённых в начале этого
параграфа, ясна необходимость установленного критерия.

§ 37. КРИТЕРИЙ ВЫПОЛНИМОСТИ ПОСТРОЕНИЙ 187
Утверждение, что этот критерий также и достаточен,
вытекает из следующей арифметической теоремы:
Теорема 66. Пусть функция f(pv.-.ypn)
получается из параметров рг,..-,рп при помощи
рациональных операций и извлечения квадратного корня.
Если эта функция для каждой действительной
системы значений параметров представляет вполне
действительное число, то она принадлежит полю
Q(R), которое получается из pv ..., рп путём четырёх
арифметических действий и извлечения квадратного
корня из суммы квадратов двух чисел.
Прежде всего, сделаем следующее замечание:
ограничение, заключающееся в том, что квадратный корень
извлекается из суммы, • состоящей только из двух
квадратов, можно устранить. Действительно, формулы
уаъ + Ь* + с* = У (Уа^^)2 + с\
показывают, что извлечение квадратного корня из суммы
любого числа квадратов всегда можно свести к
повторному извлечению квадратного корня из суммы двух
квадратов.
Соответственно этому, достаточно, рассматривая поля,
которые при построении функции f{pv.--,pn) возникают
одно за другим путём последовательного приобщения
входящих в эту функцию квадратных корней, доказать, что
подкоренное выражение в каждом из этих квадратных
корней в- предшествующем поле представляет собою сумму
квадратов. При доказательстве этого положения мы будем
опираться на следующую алгебраическую теорему:
Теорема 67. Каждая рациональная функция
p(Pv-*Pn) с рациональными коэффициентами, которая
ни при каких действительных значениях параметров
не принимает отрицательного значения, может быть
представлена в виде суммы квадратов рациональных

188 ГЛ. VII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
функций переменных pv ..., рп с рациональными
коэффициентами *).
Этой теореме мы дадим следующую формулировку:
Теорема 68. В поле, порождаемом 1, pv ..., рПУ
всякая никогда (т. е. ни при какой системе
действительных значений переменных) не отрицательная
функция является суммой квадратов.
Пусть функция f(pv . . ., рп)у обладает свойствами,
указанными в теореме 66. Распространим последнее
утверждение на поля, получающиеся при последовательном
приобщении тех квадратных корней, которые нужны для
построения функции /. Для этих полей каждая нигде не
отрицательная функция, для которой сопряжённые функции
также нигде не отрицательны, может быть представлена
как сумма квадратов функций соответствующего поля.
Доказательство мы будем вести по методу
математической индукции. Рассмотрим поле, которое получается из R
путём приобщения одного квадратного корня. Выражение,
стоящее под этим квадратным корнем, представляет собою
некоторую рациональную функцию fx(pv • • ., рп).
Пусть /2(Pi» • • •> Рп) — функция из полученного путём
расширения поля (/?, ]//i), которая вместе с
сопряжёнными ей функциями нигде не принимает отрицательных
значений и не обращается тождественно в нуль. Эта
функция /2 имеет вид #-j"^V7i> где а и Ь, равно как и fu
суть рациональные функции. Из сделанных относительно f2
предположений следует, что сумма ср и произведение ф
функций a-\-b\rJA и а—bYT\ нигДе не могут
принимать отрицательных значений. Функции
<pz=2a, ф = а2 — b2fv
*) Для одного переменного эта проблема была впервые
разработана мною. Э. Ландау выполнил доказательство этой
теоремы для случая одной переменной, использовав при этом
очень простые и элементарные вспомогательные методы (см.
Е. Landau, Math. Ann., т. 57, 1903). Не так давно полное
доказательство этой теоремы было дано А р т и н о м (см. А г t i n,
Hamburger Abhandlungen, т. 5, 1927).

§ 37. КРИТЕРИЙ ВЫПОЛНИМОСТИ ПОСТРОЕНИЙ
сверх того, рациональны, а потому они представимы,
согласно теореме 68, как суммы квадратов функций из поля R.
Кроме того, ср не может обращаться в нуль тождественно.
Из уравнения
которому должна удовлетворять функция /2, мы находим:
Следовательно, в силу сказанного раньше относительно
функций ср и ф, функция /2 может быть представлена
как сумма квадратов функций, взятых из поля (R, Vj\).
Результат, полученный таким образом для поля (/?, Уд),
соответствует теореме 68, справедливой для поля R.
Используя только что применённый приём при дальнейших
расширениях, мы придём, наконец, к выводу, что в каждом
из полей, к которым мы приходим при построении
функции /, каждая функция, нигде не отрицательная вместе со
своими сопряжёнными, представляет собою сумму
квадратов функций, взятых из соответствующего поля.
Рассмотрим какой-нибудь квадратный корень, встречающийся в /.
Он, вместе с сопряжёнными ему функциями, должен быть
во всяком случае действительным; поэтому подкоренное
выражение, вместе с * выражениями, ему сопряжёнными,
в том поле, из которого оно взято, должно быть нигде не
отрицательной функцией; следовательно, это подкоренное
выражение представимо в этом поле в виде суммы
квадратов. Тем самым теорема 66 доказана; критерий, данный
в теореме 65, таким образом, достаточен.
Примером применения теоремы 65 могут служить
правильные многоугольники, которые можно построить с
помощью циркуля и линейки. В этом случае произвольный
параметр р не встречается, а выражения, подлежащие
построению, все представляют собою алгебраические числа.
Как легко видеть, в данном случае критерий теоремы 65
выполняется [80], и, следовательно, такие правильные
многоугольники могут быть построены также с помощью

190 ГЛ. VTT. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
одного только проведения, прямых и откладывания
отрезков. Этот результат может быть получен и непосредственно
из теории деления окружности.
Что касается других задач на построение, известных
из элементарной геометрии, то мы отметим здесь только,
что с помощью линейки и эталона длины решается
проблема Мальфатти [81], но не решается задача Аполлония [82]
о касании окружностей *).
*) Относительно других геометрических построений с
помощью линейки и эталона см. М. Feldblum, «Uber elementar-
geometrische Konstruktionen», Inauguraldissertation, Gottingen,
1899.

3 ЛКЛЮЧ EH К Е
Настоящая работа представляет собою критическое
исследование основ геометрии; в этом исследовании нами
руководил принцип разбирать каждый представившийся
вопрос так, чтобы при этом исследовать, можно ли получить на
него ответ на предначертанном заранее пути при помощи
определённых ограниченных вспомогательных средств. Этот
принцип содержит, как мне кажется, общее и естественное
положение; действительно, когда мы при наших математических
исследованиях встречаемся с некоторой проблемой или
предполагаем справедливость некоторой теоремы, то наше
стремление к познанию бывает удовлетворено лишь после того,
как нам удастся полностью решить проблему и строго
доказать теорему, или после того, как нами полностью
осознается невозможность такого решения (или доказательства)
и тем самым становится очевидным, что все такие попытки
неминуемо обречены на неудачу.
Поэтому-то в новой* математике вопрос о
невозможности определённых решений или неразрешимости
некоторых задач играет выдающуюся роль, и стремление
ответить на подобного рода вопрос часто служило толчком для
открытия новых и плодотворных областей исследования.
Напомним только о доказательстве Абеля
невозможности решения уравнения пятой степени в радикалах, далее,
о выяснении недоказуемости аксиомы о параллельных и,
наконец, о теоремах Эрмита и Линдеманна — о
невозможности построить числа е и гг алгебраическим путём.
Тот принцип, в силу которого следует повсюду
выяснять условия возможности доказательства, теснейшим
образом связан также с требованием «чистоты» методов
доказательства — требованием, энергично выдвигаемым многими

192
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
математиками. Это требование, в сущности, есть не что
иное, как субъективное выражение принципа, которому мы
здесь следовали. В настоящем геометрическом исследовании
мы всюду стремились установить, какие аксиомы,
предположения или вспомогательные средства необходимы для
доказательства некоторой истины элементарной геометрии;
после этого, в каждом данном случае остаётся взвесить,
какой метод доказательства следует предпочесть исходя
из принятой только что точки зрения.
~^^~

Д. ГИЛЬ БЕРТ
ДОБАВАЕНИЯ
К
-ОСНОВАНИЯМ
ГЕОМЕТРИИ'
*

ДОБАВЛЕНИЕ I
О ПРЯМОЙ КАК КРАТЧАЙШЕМ РАССТОЯНИИ
МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ*)
(Из письма Ф. Клейну. Перепечатано из Math. Ann., т. 46.)
Если за элементы принять точки, прямые и плоскости,
то для обоснования геометрии могут служить следующие
аксиомы.
1. Аксиомы, указывающие на связь этих
элементов друг с другом; в этой формулировке эти
аксиомы гласят:
Любые две точки А и В определяют прямую а. —
Любые три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой,
определяют плоскость а, — Если две точки А, В
прямой а лежат в плоскости а, то прямая а целиком
лежит в плоскости а. — Если две плоскости а, (5 имеют
общую точку А, то они имеют по крайней мере ещё
одну общую точку В, — На каждой прямой имеются по
крайней мере две точки] на каждой плоскости имеются
по крайней мере три точки, не лежащие на одной
прямой; в пространстве имеются по крайней мере четыре
точки, Не лежащие в одной плоскости.
*) Относительно более общей постановки этого вопроса см.
мой доклад, сделанный на Интернациональном математическом
конгрессе в Париже в 1900 году: <Mathematische Probleme>,
Gottinger Nachr., № 4, 1900, а также G. H a m e 1, Inaugural-
Dissertation, Gottingen, 1901 и его же статью: «Ueber die Geo-
metrien, in denen die Geraden die Kurzesten sind», Math. Ann.,
т. 57, 1903.
13*

196
ДОБАВЛЕНИЕ I
2. Аксиомы, с помощью которых вводится
понятие отрезка и понятие
последовательности точек на прямой. Эти аксиомы были впервые
установлены и систематически исследованы М. Пашем*);
они в основном сводятся к следующему.
Между двумя точками А, В прямой всегда
существует третья точка С той же прямой, — Из трёх
точек прямой всегда одна и притом только одна лежит
между двумя другими. — Если точки А, В лежат на
прямой а, то на той же прямой а всегда найдётся такая
точка С, что точка В лежит между точками А и С. —
Любые четыре точки Ах, А2, Аг, А4 могут быть всегда
упорядочены таким образом, чтобы точка At лежала
между точками Ah и Ak всякий раз, как индекс h
меньше, а индекс k больше индекса I. — Всякая прямая а,
лежащая в плоскости а, делит точки этой плоскости
на две области, обладающие следующим свойством',
любая точка А одной области вместе с любой
точкой А' другой области определяют отрезок АА',
внутри которого лежит точка прямой а; напротив,
любые две точки А и В одной и той же области
определяют отрезок АВ, не содержащий ни одной
точки прямой.
3. Аксиома непрерывности, которой я придаю
следующую формулировку:
Если Av А2, Ав, . . . — бесконечный ряд точек
прямой а, а В — точка той же прямой такого рода, что
точка А. оказывается между Ah и В всякий роз, как
индекс h оказывается меньшим индекса I, то
существует точка С, обладающая следующим свойством: все
точки бесконечного ряда А2, Ав, Л4, .. . лежат между
А} и С, и любая точка С, для которой справедливо то
же утверждение, лежит между С и В.
С помощью этой аксиомы можно вполне строго
обосновать теорию гармонических точек, и если мы будем
пользоваться ею, аналогично тому, как это было сделано
*) См. Р a s с h, «Vorlesungen uber neuere Geometries, Teub-
ner, 1882.

О ПРЯМОЙ КАК КРАТЧАЙШЕМ РАССТОЯНИИ 197
Ф. Ли идем а н ном*), то мы придём к следующей
теореме:
Можно сопоставить каждой точке три конечных
действительных числа х, у, z, а каждой плоскости — линейное
соотношение между этими тремя числами х, у, z так, чтобы
все точки, для которых соответствующие три числа л:, у, z
удовлетворяют линейному соотношению, лежали в
соответствующей плоскости, и обратно, всем точкам, лежащим в
этой плоскости, были сопоставлены числа х, у, z,
удовлетворяющие соответственному линейному соотношению.
Истолкуем теперь х, у, z как прямоугольные координаты точки
в обыкновенном евклидовом пространстве. Тогда точкам
первоначального пространства будут соответствовать точки
внутри некоторого нигде не вогнутого тела евклидова
пространства и, обратно, всем точкам внутри нигде не
вогнутого тела будут соответствовать точки нашего
первоначального пространства: наше пространство отображается,
таким образом, на внутренность нигде не вогнутого
тела евклидова пространства.
При этом под нигде не вогнутым телом надо понимать
тело, обладающее следующим свойством: если две точки,
лежащие внутри этого тела, соединить прямой, то часть
этой прямой, лежащая между этими двумя точками, целиком
попадает внутрь тела. Я позволю себе обратить Ваше
внимание на то, что рассматриваемые здесь нигде не вогнутые
тела играют большую роль также и в теоретико-числовых
исследованиях Г. Минковского**) и что Г. Минковский
нашёл для них простое аналитическое определение.
Обратно, если в евклидовом пространстве дано любое
нигде не вогнутое тело, то оно определяет вполне
определённую • геометрию, в которой выполняются все указанные
аксиомы: каждой точке, лежащей внутри нигде не
вогнутого тела или вне его, а также прямым и плоскостям
евклидова пространства, лежащим вне этого тела, не
соответствуют никакие элементы обобщённой геометрии.
*) См. Clebsch-Lindemann, «Vorlesungen tiber
Geometries, т. II, часть I, стр. 433 и далее.
**) См. Н. Minkowski, «Geometrie der Zahlen», Teubner,
1896 и 1910.

198
ДОБАВЛЕНИЕ I
Итак, приведённая выше теорема об отображении точек
обобщённой геометрии на внутренность нигде не вогнутого
тела евклидова пространства выражает то свойство
элементов обобщённой геометрии, которое по своему содержанию
полностью совпадает с выставленными вначале аксиомами.
Определим теперь понятие длины в нашей обобщённой
геометрии и обозначим с этой целью две точки евклидова
пространства, которые соответствуют точкам А и В
первоначального пространства, также буквами А и В; продолжим
затем прямую ЛВ в евклидовом пространстве за точки А
и В до тех пор, пока эта прямая не встретит границ нигде
не вогнутого тела в точках соответственно X и К;
евклидово расстояние между любыми двумя точками Р и Q
евклидова пространства мы будем кратко обозначать через PQ;
в таком случае действительное значение
АВ = log ч ~=^ * -=- <
* \ YB ХА\
мы будем в нашей обобщённой геометрии называть длиной
отрезка АВ. Так как
YB ^ ' ХА
то длина всегда является величиной положительной.
Легко можно перечислить свойства понятия длины,
которые с необходимостью приводят к выражению указанного
вида для АВ; однако я это опускаю, чтобы не слишком
утомлять Ваше внимание этим письмом.
Установленная для АВ формула показывает вместе с тем,
каким образом эта величина зависит от формы нигде не
вогнутого тела. Если мы зафиксируем точки А и В внутри
тела и будем менять границы тела так, чтобы граничная
точка X двигалась по направлению к Л, а точка Y
приблизь
жалась к Ву то, очевидно, как дробь -=-, так и дробь
хв * ув
-==■ будут увеличиваться, и, следовательно, будет увели-
Л. А
чиваться и значение АВ.

О ПРЯМОЙ КАК КРАТЧАЙШЕМ РАССТОЯНИИ 199
Пусть теперь внутри нигде не вогнутого тела дан
треугольник ABC. Плоскость а этого треугольника вырезает
из тела нигде не вогнутый овал [черт. 83]. Представим
Черт. 83.
себе далее, что каждая из трёх сторон АВ, АС, ВС
треугольника продолжена в обе стороны до пересечения с
границей овала, и пусть соответствующими точками пересечения
будут: X и К, U и V, Т и Z; соединим прямыми точки
U и Z, а также точки Т и V и продолжим эти прямые
до их пересечения в точке W. Точки пересечения этих
прямых с прямой XY обозначим соответственно буквами
X и Y'. Положим теперь в основу вместо первоначального
овала в плоскости а треугольник UWT. Легко убедиться,
что при этом в плоской геометрии, определённой
треугольником UWT, длины АС и ВС остаются такими же, как и в
первоначальной геометрии, между тем как длина стороны АВ
в результате проделанного преобразования увеличится.
Чтобы новую длину стороны АВ отличить от её
первоначальной длины АВ, мы обозначим её через АВ; итак, АВ ^> АВ.
Между длинами сторон треугольника ABC существует
следующее простое соотношение:
АВ = АС-\- ВС.

200
ДОБАВЛЕНИЕ I
Чтобы доказать это, соединим точки W и С прямой и
продолжим эту прямую до её пересечения с АВ в точке D.
Так как два ряда точек Х\ Л, £>, У и £/, Л, С, V проек-
тивны, то в силу известной теоремы об ангармонических
отношениях:
ГА ^ XD __ VA UC .
ГО ' ХА~ Ус ' Ш'
точно так же, вследствие проективности двух рядов точек
Г', Б, D, X и 7, Я, С, Z,
ХВ Р5 _ ZB ТС
ХЪ ' ГВ ~~ ZC ' ТВ '
Из умножения этих двух равенств получается, что
ГМ_^5_^^С ZZ? Тс
ГВ ХА ~ VG Ш ' Z5 ТВ '
а это последнее равенство показывает справедливость моего
утверждения.
Из приведённого выше исследования мы узнаём, что
только из аксиом, перечисленных в начале моего письма,
и определения длины, с необходимостью вытекающего из
простейших свойств этого понятия, следует общая теорема:
В каждом треугольнике сумма двух сторон больше
или равна третьей.
Вместе с тем ясно, что случай равенства имеет место
тогда и только тогда, когда плоскость а вырезает из
границ нигде не вогнутого тела два прямых куска линий
UZ и TV. Это последнее условие можно выразить и без
привлечения на помощь нигде не вогнутого тела. Так, если
даны две прямые а и Ъ первоначальной геометрии,
лежащие в некоторой плоскости а и пересекающиеся в
некоторой точке С, то, вообще говоря, в каждой из четырёх
частей, на которые разбивается плоскость а прямыми а, Ь,
находятся такие прямые, которые не пересекают ни
прямую а, ни прямую Ь. Если всё же окажется, в частности,
что для каких-либо двух такого рода частей плоскости а,
лежащих друг против друга, таких прямых не существует,

О ПРЯМОЙ КАК. КРАТЧАЙШЕМ РАССТОЯНИИ 201
то условие, о котором идёт речь, оказывается выполненным,
и в таком случае всегда существуют треугольники, для
которых сумма двух сторон равна третьей. Таким
образом, в рассматриваемом случае возможен между дйумя
определёнными точками А и В путь, состоящий из двух
прямолинейных кусков, общая длина которого равна
расстоянию между точками А и В, отсчитываемому по прямой;
без особого труда можно показать, что все пути между
точками А и В, обладающие этим свойством, можно
составить из построенных путей и что остальные пути,
соединяющие точки А и В, обладают большей
суммарной длиной. Легко провести более детальное исследование
этого вопроса о кратчайшем расстоянии, причём особый
интерес представляет тот' случай, когда границей нигде не
вогнутого тела служит тетраэдр.
В заключение я позволю себе обратить внимание на
следующее: в настоящем исследовании я всегда
предполагал, что нигде не вогнутое тело лежит всецело в конечной
части пространства. Если всё же в геометрии, определённой
первоначальными аксиомами, имеются прямая и точка,
обладающие тем свойством, что через эту точку к прямой
можно провести только одну параллель, то указанное
предположение не оправдывается. Легко обнаружить, какие
изменения надо в этом случае внести в мои рассуждения.
Клейнтейх у Радушен, 14 августа 1894 г.

ДОБАВЛЕНИЕ II
ПО ПОВОДУ ТЕОРЕМЫ О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ
ПРИ ОСНОВАНИИ РАВНОБЕДРЕННОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА
Настоящее добавление, представляющее собою
переработку моей статьи «По поводу теоремы о
равенстве углов при основании равнобедренного
треугольника»*) касается роли этой теоремы в
геометрии Евклида на плоскости.
Мы положим здесь в основу следующие аксиомы:
I. Плоскостные аксиомы связи, т. е. аксиомы I^g
(стр. 57-58);
И. Аксиомы порядка (стр. 58-^-60);
III. Следующие аксиомы конгруентности:
Аксиомы Ш1_4 (СТР« 66—69) в их прежней
формулировке и аксиому о конгруентности треугольников 1115 в более
узкой трактовке, при которой мы будем вначале полагать,
что утверждение этой аксиомы относится только к
треугольникам с одинаковым направлением обхода.
На стр. 140 были определены положительные и
отрицательные обходы треугольников в плоской геометрии на основе
различения понятий «вправо» и «влево». Из
определения правой и левой стороны прямой немедленно следует, что
из двух сторон любого угла всегда можно, и притом
однозначно определённым образом, одну считать правой, а
другую левой; при этом правая сторона угла будет лежать
*) «Ueber den Satz von der Gleichheit der Basiswinkel im
gteichschenkligen Dreieck», Proceedings of the London Math. Soc,
т. XXXV.

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 203
справа от той прямой, которая другой стороной угла
определяется как по своему положению, так и по своему
направлению; левая же сторона угла лежит слева от прямой,
которая другой стороной угла определяется как по своему
положению, так и по направлению. О правых сторонах двух
углов мы будем говорить, что они одинаково расположены
относительно этих углов; то же самое относится и к левым
сторонам.
Аксиома о конгруентности треугольников в более узкой
трактовке читается так:
Ills. Если в треугольниках ABC и А'В'С имеют место
конгруентности
АВ==А'В\ АС=А'С и ^ВАС = ^В'А'С\
то для этих треугольников справедлива также конгру-
ентность
^авс=^а9в'с\
при условии, что AB и А'В' суть одинаково
расположенные стороны углов^ВАС а <£#'Л'С.
Из более широкой трактовки И15 этой аксиомы и второй
части аксиомы Ш4 непосредственно следует теорема об углах
при основании равнобедренного треугольника (теорема 11,
стр. 71). Обратно, можно доказать аксиому в её широкой
трактовке Ш5 с помощью принятых нами здесь аксиом
I, И, Ш1_4) Шб» теоремы об углах при основании
равнобедренного треугольника и двух следующих аксиом:
Ш6. Если углы <£(/*', ^') и ЗС (^"Ж) порознь конгру-
ентны углу §С (К k), то они конгруентны также друг
другу.
Утверждение, содержащееся в этой аксиоме, было
доказано на стр. 77 в качестве теоремы 19 с помощью
широкой трактовки аксиомы Ш5 о конгруентности
треугольников.
Ш7. Если два луча с и а1, исходящие из вершины
угла <£ (а9 Ь)у лежат внутри этого угла, то угол <^С (#> Ь)
не конгруентен углу <£ (с, d).

204
ДОБАВЛЕНИЕ II
Доказательство аксиомы П15 с помощью перечисленных
аксиом и теоремы об углах при основании равнобедренного
треугольника мы здесь опускаем *).
IV. Аксиому о параллельных, которую можно здесь взять
в её более слабой формулировке IV (стр. 86).
V. Следующие аксиомы непрерывности:
Аксиома Архимеда Va (стр. 87).
(Аксиомой полноты V2, сформулированной на стр. 87,
мы здесь не будем пользоваться.)
V3. (Аксиома соседства.) Для всякого
произвольно заданного отрезка ЛВ всегда существует
треугольник, внутри которого нельзя найти отрезка, кон-
груентного АВ.
Эту аксиому можно доказать с помощью более
широкой трактовки аксиомы Ш5 о конгруентности треугольников.
Доказательство опирается на следующую теорему,
вытекающую из теорем 11 и 23: сумма двух сторон треугольника
больше третьей его стороны. Имеет место следующее
положение, доказательство которого мы здесь опускаем:
На основании всех введённых нами здесь аксиом I—V
можно доказать теорему о конгруентности углов при
основании равнобедренного треугольника (теорема 11),
а тем самым доказать аксиому Ш5 о конгруентности
треугольников в её более широкой трактовке.
Является вопрос, можно ли доказать аксиому о
конгруентности треугольников в её широкой трактовке,
основываясь на узкой трактовке этой аксиомы, но не
прибегая при этом к аксиомам непрерывности Vt 3.
Дальнейшее исследование покажет, что нельзя опускать
ни аксиому Архимеда, даже если предполагать
справедливость предложений теории пропорций, ни аксиому
соседства. Геометрии, которые я в дальнейшем буду строить
с этой целью, прэливают, как мне кажется, новый свет-на
логическую связь между теоремой о равнобедренном
треугольнике и другими теоремами элементарной геометрии на
*) Тот факт, что при этом доказательстве более широкую
аксиому В. Цабеля (W. Zabel), которой я пользовался
раньше, достаточно заменить аксиомой Ш7, заметил П. Бернайс
(Р. В er п а у s).

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 205
плоскости, особенно на связь между этой теоремой и
учением о площади.
Пусть t — параметр, а а—некоторое выражение,
содержащее конечное или бесконечное число членов вида:
в котором ^0(=^0), ava2j . .. могут быть любыми
действительными числами, а п — произвольное целое
рациональное число [ = 0]. Совокупность всех выражений этого вида
а, к которой добавлен ещё 0, мы будем рассматривать как
комплексную (в смысле § 13) числовую систему Г, для
которой мы установили следующие правила, числа системы Т
складывают, вычитают, умножают и делят так, как если бы
они были обыкновенные абсолютно сходящиеся степенные
ряды, расположенные по возрастающим степеням
переменного t% Получающиеся таким образом суммы, разности,
произведения и частные являются опять-таки выражениями
вида а и тем самым числами комплексной числовой системы Т.
Мы будем говорить, что число а <^ или ^> 0, смотря по
тому, является ли первый коэффициент а0 в
соответствующем выражении для а числом отрицательным или
положительным. Пусть а и ($ — какие-либо два числа комплексной
числовой системы Т; мы говорим, что а<^р или чтоа^>^,
смотря по тому, будет ли а — [J <^0 или а—(5 ^> 0. Ясно,
что при этих определениях правила 1—16 § 13
выполняются; напротив того, аксиома Архимеда, правило 17 § 13,
в нашей системе Т не выполняется, так как как бы
велико ни было действительное положительное число Л, всё
же At<^\; итак, наша комплексная числовая система
является неархимедовой системой.
Если т есть выражение вида
T = a0tn-lra1tn+1-{-a2tn+2-\-. . . ,
в котором a0(=£0)yava2, . . . суть действительные числа,
а число /2, являющееся показателем наинизшей степени,
в которой параметр t входит в выражение т, больше нуля,
то мы будем т называть бесконечно малым числом
комплексной системы Г.

206
ДОБАВЛЕНИЕ II
Любой степенной ряд вида
¥(т)=с0-|-с1т4-^т2+ ... ,
в котором с0, cv с2, .. . могут быть любыми
действительными числами, а т—бесконечно малое число системы Г,
является опять-таки числом системы Т; этот ряд можно
расположить по возрастающим степеням параметра ^ причём
коэффициентами в этом ряду будут служить
действительные числа, получающиеся путём конечного числа
арифметических действий из коэффициентов данного ряда и ряда,
определяющего число т.
Пусть, далее, а и j$ суть два произвольно выбранные
числа системы Т. Число
a+/j},
в котором /—мнимая единица, т. е. /2 — — 1, мы будем
называть мнимым числом относительно комплексной
системы Г, и пусть равенство a -f- /[5 = о! -f- i$' означает,
что а = а' и ji = (S\
Определим функции sinт, cost, е\ еИ бесконечно малого
числа т их степенными рядами. Тогда значения этих
функций опять-таки будут числами системы Т или же мнимыми
числами относительно системы Т. Если &—любое
действительное число, то функции sin (Ь +т), cos (0 —J— т), е1(в+т),
ei*+(i + th мы можем определить в системе Т с помощью
равенств:
sin (0- —[— т) = sin 8- cos т -|- cos & sin т,
cos (ft -f- т) = cos 9- cos т — sin & sin x,
ei(b+x) __ etb eh
Из этих определений получаются хорошо известные
соотношения
cos2 (8 -j- т) -f sin2 (d -f т) = 1 э
cos (в-j- т) ± /sin (&-j- т) = *=fc'"<»J|4
Теперь, с помощью комплексной числовой системы 7\
построим плоскую геометрию следующим образом.
Будем считать пару чисел (х, у) комплексной числовой
системы Т точкой, а отношение каких-либо трёх чисел

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 207
(u:v:w), из которых и и v оба одновременно не равны
нулю, — прямой; далее, пусть выполнение равенства
их -\- vy -f- w = О
выражает, что точка (х,у) лежит на прямой (u:v:w).
Плоская геометрия, построенная указанным способом
на основе числовой системы, в которой имеют место
правила 1 —16 § 13, как об этом было уже упомянуто в § 9,
удовлетворяет аксиомам 11-3 и IV.
Легко убедиться, что прямую можно задать её точкой
(хо> У о) и отношением двух чисел а, [$, из которых по
крайней мере одно отлично от нуля. Уравнение
х 4- iy = х0 -f iy0 + (а + /p)s, (а + % Ф 0),
в котором 5 есть некоторое число системы Г, означает,
что точка (х,у) принадлежит упомянутой прямой.
Упорядочим точки на прямой соответственно величине параметра s.
Луч заданной прямой, исходящий из точки (х0, v0),
определяется в таком случае дополнительным условием: 5^>0или
5<^0. Если двум точкам Л и В прямой соответствуют
значения параметров sa и sb (^> sa), то отрезок АВ
определяется уравнением прямой и дополнительным условием
sa= s = sb' ^ таком случае аксиомы И1-3 также
выполняются; чтобы убедиться, далее, что аксиома порядка Н4 также
выполняется, введём следующее определение: мы будем
говорить, что точка (х3, уг) лежит по одну или по другую
сторону от прямой, определяемой точками (xvyl) и (х2, у2)у
в зависимости от того, будет ли знак определителя
\х2 хг у2 ■ у А
\хв — х1 Уг—Уг\
положителен или отрицателен. Можно убедиться, что
данное тем самым определение стороны по отношению к
прямой не зависит от выбора точек (хиуг) и (х2, у2) на
прямой и согласуется с определением стороны, данным на стр. 64.
В основу определений конгруентности мы положим
преобразование вида.
х' -f- iy' = eib^1 + i^ (х -\- iy) -f- а + W

208
ДОБАВЛЕНИЕ II
кратко мы его будем записывать так:
в котором 0- — произвольно выбранное действительное число,
т — бесконечно малое число системы 7, а \ и jx — любые
два числа системы Т. Преобразование этого вида мы будем
называть конгруентным отображением. Конгруентное
отображение, при котором i=jx = 0, называется поворотом
около точки (0,0).
Совокупность таких конгруентных отображений
образует группу, т. е. эта совокупность обладает
следующими свойствами:
1. Существует конгруентное
отображение, оставляющее все точки на месте:
[0,0;0](* + <y) = x + /y.
2. Результат двух конгруентных
отображений, выполненных одно за другим,
представляет собою также конгруентное
отображен и е:
L»2,*2; ^ + %]{[»i.f1; X1 + 4ii](* + /y)}=
Для каждого конгруентного
отображения существует обратное ему отображение:
[_ ft, _ Т; - (X + ф) *-«М1 + 0т] { [ft, Т; I + /ц] (* + /у) } =
= х -{- /у.
Это свойство является следствием свойств 1, 2, 4, 5.
Конгруентное отображение обладает
ассоциативным свойством, т.е. если мы три
конгруентных отображения обозначим через
К1У K2J АГ3, а конгруентное отображение,
получающееся из Kv К2 согласно пункту 2,
обозначим через K2KV то будет иметь место
равенство
Kt{K1J(l) = (KbKt)Kl.

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 209
Кроме этих свойств укажем ещё следующие свойства
конгруентного отображения:
3. Точка всегда снова переходит в точку
нашей геометрии.
Пара чисел х\ у', получающаяся при конгруентном
отображении из пары чисел х,у, принадлежащих системе Г,
также принадлежит этой системе.
4. Прямая переходит опять в прямую,
причём порядок следования точек при этом
сохраняется.
Легко получить соотношение
[»,г, l + w]{x0 + iy0 + (a + i$)s\=x'Q±iy'0 + (a'+i$')sy
в котором из неравенства a-\-i$=^=Q (так как
показательная функция в нуль не обращается) следует неравенство
В качестве непосредственного следствия отсюда
находим, что две различные точки преобразуются всегда в
различные точки.
5. Существует одно и только одно кон-
груентное отображение, переводящее
данный луч h в данный луч h'.
Пусть луч h дан уравнением:
* + //=x0 + /j>0 + (a-MP)s, a+ #¥=<), s>0t
а ti — уравнением:
Конгруентное отображение [&,т; JL-f-/ji], переводящее луч
h в h\ должно прежде всего точку, из которой исходит
луч /г, перевести в точку, из которой исходит луч /г', т. е.
*;+0£=*<»+о+От (х0 + /у0) + X + /« (1)
далее, каждому положительному значению s должно
соответствовать положительное значение s' так, чтобы
14 д, Гильберт

m
ДОБАВЛЕНИЕ И
и, таким образом,
(a' -f- /f) s' = *'»+<« + 0* (а + /р) р. (2)
Обратно, всякое конгруентное отображение*
удовлетворяющее условиям (1) и (2), переводит луч ft в луч /г'. ,,
Разделив последнее равенство на сопряженное ему
мнимое равенство, мы получим
а' - /р' — * а ~ /р * v '
Полагая
а'-МР' ,«-/Г_е . ,„
а'--/р' а-ИР "* ^
мы найдём, что
(5-b/ij),(S —/Ч) = У + чг=1.
5 и у), будучи числами из Г, представляют собою степенные
ряды с параметром t. Приравнивая коэффициенты при
одинаковых степенях £, мы выводим из этого равенства, что в
ряды S и Г| параметр / не входит с отрицательным
показателем, так что их можно представить в следующем виде:
гле a w b— обыкновенные действительные числа, a 5' и tj' —
бесконечно малые числа системы Г, и что имеют место
соотношения
2 К +»Ч') + ?Я + Чч = 0. (4)
Равенство -(8)
в силу определения тригонометрических функций, может
быть преобразовано так:
cos 2 (0+ т) = cos 2ft cos 2т — sin 2frsin 2т= S = a-|~ ?,
s*h 2 (ft -f т) = srn 2& cos 2т -f cos 2ftsin 2т = r) = ft + tj'. ( '
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях*
а этих равенствах, мы найдём, что
cos 2Ь = а, sin 20 = b.

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 211
Отсюда, в силу соотношения а2-\- Ь2 = \, можно
однозначно определить действительное число & с точностью
дср слагаемого кратного тс. Подставив значения cos20 = rt,
sin2&=# в (5), мы придём к соотношениям.
cos2T=l+aS,-f £г/,
sin 2~=сщ'— Ь%\
а так как, в силу соотношения (4), сумма квадратов
правых частей, равна 1, то бесконечно малое число т
определяется однозначно. Оно может быть вычислено на
основании двух последних равенств с помощью приравнивания
коэффициентов при одинаковых степенях /.
Так как & определено только с точностью до
слагаемого, кратного тс, то множитель ^/&+(1+От определён только
с точностью до знака. Как легко заметить, только один
из двух знаков даёт в равенстве (2) для положительных
значений 5 положительные же значения s'. Итак,
действительное число & определяется с точностью до слагаемого,
кратного 2тт. Подставив эти значения Я и т в равенство (1),
мы определим однозначно числа к и \х системы Т.
Наконец, убеждаемся, что равенства (1) и (3), а следовательно,
и найденные значения &, т, X, \х не зависят от способа
представления лучей h и К.
6. Для любых двух точек Л, В существует
конгруентное отображение, переводящее
точку Л в В и точку.Б в А.
А именно, если точки Л, В имеют соответственно
координаты (xv ух) и (х2,у2)у то конгруентное отображение
[тс, 0; Хг±х2-{-1(уг-\-у2)]
и является искомым.
7. Если некоторое конгруентное
отображение переводит луч h в луч ti и точку Р
в точку Я', то точки Р и Р одинаково
расположены относительно лучей h и b!\
Покажем сначала, что определители
1*2—'*лУ2 — УА 1*2 "*\ У2 — У\\
\хл — *1Ул—Ул\ И К ""^i у'ъ~уА
14*

212
ДОБАВЛЕНИЕ II
имеют одинаковые знаки в том и только в том случае,,
когда точки (хЬУ у2) и С*^'.Уз) °Динаково расположены (см.
стр. 203) относительно направленных прямых, определяемй!х
соответственно точками (xv ух), (лг2, у2) и (x'v у'х), (х'2, у'2).
Прежде всего, из данного на стр. 137—138 определения
терминов «справа» и «слева» заключаем, что точки'(л:3, у3),
и (х2, у2) расположены различным
образом относительно
направленных прямых, определяемых
соответственно точками (xv yj, (x2ly2)
и (xv уг), (лг8, yj [черт. 84].
Соответствующие определители
действительно отличаются своими
знаками. Теперь наше утверждение
следует полностью из того
обстоятельства, что определение
сторон прямой с помощью знака
указанного определителя удовлетворяет изложенным на
стр. 66 свойствам понятия «сторона».
Свойство 7 будет поэтому доказано, если будет
показано, что знак определителя
■*i Уг—У\
-*i Уг—У\
Черт. 84.
не меняется при конгруентном отображении. Но вель этот
определитель отличается только положительным
множителем от мнимой части дроби
(*з + *>з) — (*i 4- <Ур
(*e + /yt) —Ui+O'i)'
причём непосредственно видно, что эта дробь инвариантна
относительно конгруентного отображения.
Введём следующие определения: мы будем говорить, что
некоторый отрезок конгруентен другому отрезку в том
и только в том случае, когда существует конгруентное
отображение, переводящее первый отрезок во второй; угол
мы будем считать конгруечтным другому углу в том и

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 213
только в том случае, когда существует конгруентное
отображение, переводящее один угол в другой.
Мы покажем, что данное определение
конгруентное т и отрезков и углов
удовлетворяет аксиомам 111, _6, если только положенное
в основу его конгруентное отображение
обладает свойствами 1—7.
Справедливость аксиомы III, является непосредственным
следствием свойства 5.
Справедливость аксиомы II12 доказывается следующим
образом. Пусть копгруентные отображения К} и К2
переводят отрезки А'В* и А" В" в отрезок АВ. Из свойств 1,
2, 4, 5, следует, что конгруентному отображению К2
соответствует обратное ему' конгруентное отображение К^х .
Конгруентное отображение A'J"1 Kv существующее в силу
свойства 2, переводит отрезок А Ь* в А"В".
Аналогичным образом доказывается справедливость
аксиомы П16.
Покажем теперь, что если отрезок АВ конгруентен
отрезку А*В\ то конгруентное отображение К> которое
переводит луч АВ в луч А'В\ переводит также точку В
в точку В'. Положим, что конгруентность отрезков АВ
и А1 В1 получена с помощью конгруентного отображения Kv
Если Кл переводит точку А в А', то в силу свойства 4
конгруентное отображение ККГ* переводит луч А'В* в
самого себя, а потому в силу свойств 1 и 5 оно должно
быть тождественным отображением. Если же отображение Кх
переводит точку А в В\ то мы воспользуемся
отображением /С2, переводящим точку А в В и точку В в А; это
отображение К2 должно существовать в силу свойства 6.
Конгруентное отображение К(К2КГг) переводит луч А*В'
в самого себя, и, следовательно, есть тождественное
отображение.
Из доказанного и из свойств 4 и 5 непосредственно
следует справедливость аксиомы П13, а из доказанного
и из свойств 4, 5 и 7 непосредственно следует аксиома Ш^.
Наконец, справедливость аксиомы 1И4 доказывается
следующим образом: если даны угол «gC (я, Ь) и луч с,

214
ДОБАВЛЕНИЕ II
то в .силу свойства 5 существует одно и только одно
конгруентное отображение Kv переводящее ав^а также одно
и только одно отображение K2i переводящее Ь в с [черт. 85].
Отображение Kv как легко убедиться на основании
свойства 4, рассмотрев' конгруентное отображение КГ1,
переводит луч Ь в луч 'b\ отличный от с; аналогично,
отображение К2 переводит луч а в луч а\ так'же отличный от с.
Конгруентное отображение К^КТ1 переводит луч с в а\
а луч Ь' в с. Из свойства 7 следует, что лучи а! и Ь' лежат
по разные стороны луча с. Таким образом, первая часть
аксиомы Ш4 выполнена.
!»/^ Вторая часть этой аксио-
Ь^^^ s^ мы является непосред-
^^^^ s^ с ственным следствием свой-
<^-^^^ \~ ства 1.
^^^^^ ^v. Справедливость акси-
\^ омы Н17 получается путём
^ следующих рассуждений.
Чёрт. 85. Луч, исходящий из точки
(0,0),— Мы будем её-
обозначать буквой О — всегда можно представить с помощью
уравнения, имеющего вид:
x-T^iy — eW+^s; s>0;
этот луч поручится из положительной полуоси х путём
вращения [Ф, т; 0]. Как легко показать, из двух лучей,
исходящих из точки О и расположенных в полуплоскости
положительных j/, тот луч лежит между другим лучом
и положительной полуосью ху которому соответствует по
модулю 2тт меньшая сумма д + т.
Положим теперь, что правая сторона h некоторого
угла совпадает с положительной полуосью х\ пусть
уравнение левой его стороны k будет
х -f iy = е1'(ь> +T*>s; 5 > 0.
Во внутрь этого угла ведёт исходящий из точки О луч h\
В таком случае, существует одно и только одно
конгруентное отображение, которое переводит луч h в /г', а именно

О РАВЕНСТВЕ 'УГЛОВ ПРИ, ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 215
вращение [02, тг; 0]; оно перевалит луч k в луч k\
уравнение которого
x-f/>=^(&1+да+Т1+Тэ)^; s>0.
Так как
», + »24^4-^2>»1+^ (mod 2тг),
то луч k' не проходит внутри угла ^ (/г, /г).
Справедливость аксиомы соседства V3 доказывается
следующим образом. С помощью второй теоремы о кон-
груентности треугольников и аксиомы IV. легко показать,
что для любого отрезка, лежащего внутри треугольника,
можно найти конгруентный отрезок, который, исходя из
вершины треугольника, лежит на стороне этого
треугольника или внутри его.
На основании аксиомы III, найдётся один и притом
только один отрезок ОБ'', исходящий из точки О,
направленный по полуоси л: в её положительную сторону и
конгруентньгй отрезку АВ. Абсциссу {J точки В' мы примем
за длину отрезка АВ:
АВ^$.
Рассмотрим теперь треугольник с вершинами О (0, 0),
Cf?» О) » & ["т » Т^^)'• ^то — равносторонний
треугольник с равными углами, как это показывает крнгруент-
ное отображение ~, 0; -~- , переводящее точку О в д,
точку С в D, а точку D в О* Свободный конец F
отрезка, конгруентного АВ, исходящего из точки О и либо
идущего -по одной из сторон угла •§[ COD, либо
проходящего внутрь этого угла, может быть представлен в'виде:
Однако все точки, которые можно представить в этом
виде, лежат по другую сторону прямой CD; в этом можно
убедиться на основании сказанного на стр. 207, подставив

216
ДОБАВЛЕНИЕ II
координаты точек О и F в определитель
1 —/31
I
X*— 77
Л
Тем самым доказано, что внутри треугольника OCD не
существует отрезка, конгруентного АВ.
Резюмируя, можно сказать:
В нашей геометрии имеют место все
указанные выше аксиомы обычной геометрии
на плоскости, за исключением аксиомы
Архимеда; при этом аксиому конгруентности
треугольников надо брать
в её более узкой
трактовке III *.
Далее, имеет место теорема:
Каждый угол можно делить
пополам, и существует прямой
угол.
Достаточно показать, что
можно делить пополам углы,
исходящие из точки О. Пусть
[&, т; 0] есть поворот,
переводящий правую сторону угла в
левую его сторону; поворот
правую сторону угла в его бис-
переводит
сектрису.
В существовании
прямого угла мы убеждаемся при
помощи поворота ~, 0; 0 .
Введём теперь понятие зеркального отражения
относительно прямой а следующим образом: опустим из
некоторой точки А на некоторую прямую а перпендикуляр
[черт. 86] и продолжим этот перпендикуляр за его
основание В до точки А* такой, что отрезок В А' конгруентен АВ\
точка А' и называется зеркальным отражением точки А\
Отобразим сначала точку А с координатами а^>0, [3^>0
относительно оси х. Пусть угол «gC АОВ между лучом О А

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА
и положительной полуосью х равен &-|-т, и пусть какая-либо
точка, например, точка х — у, лежащая на оси ху при
повороте на угол &-[~т перейдёт в точку Л, так что
Точка А\ служащая зеркальным отражением точки А
относительно оси х, имеет координаты а,— [$. Поэтому если
мы сделаем поворот на угол ft^-т, то точка А' перейдёт
в точку, которая изобразится с помощью мнимого числа
e»*(i*Ox(e_/p) = l±iP(a_/p) = ^±ff
т. е. в точку, лежащую на положительной полуоси х;
следовательно, угол ££А'ОВ также равен 0* —(— т и, таким
образом, этот угол совпадает с углом <§£ ЛОВ.
Полученный нами результат можно сформулировать так:
Если у двух симметрично расположенных
прямоугольных треугольников два катета
совпадают, то соответствующие углы,
прилежащие к их гипотенузам, равны друг другу.
Как следствие отсюда, мы вместе с тем получаем более
общую теорему:
Углы зеркального отображения фигуры
всегда совпадают с соответствующими
углами отображаемой фигуры.
Из того, что в нашей геометрии прямые определяются
линейными уравнениями, можно без труда получить как
основную теорему учения о пропорциях (теорему 42), так
и теорему Паскаля (теорему 40). Мы убеждаемся, таким
образом, в следующем:
В нашей геометрии справедливо учение о
пропорциях и, далее, в ней справедливы все
теоремы аффинной геометрии (ср. § 35).
На основании справедливости аксиомы Ш7 можно
показать, что углы в нашей геометрии можно однозначным
образом сравнивать по их величине.
Благодаря этому обстоятельству можно доказать
теорему о внешнем угле треугольника (теорема 22);
а именно, так как в нашей геометрии вертикальные углы

218
ДОБАВЛЕНИЕ II
всегда равны, то можно перенести в неё доказательство,
данное на стр. 81—82. Благодаря же тому обстоятельству, что
в нашей геометрии сумма двух углов определяется
однозначно, получается, с помощью аксиомы IV, теорема о
сумме углов в треугольнике (теорема 31).
Теперь мы подошли уже к основному вопросу —к
вопросу о справедливости в нашей геометрии теоремы о
равенстве углов при основании равнобедренного
треугольника (теоремы 11).
Из этой теоремы и из теоремы о внешнем угле
треугольника следует, с одной стороны, — при помощи
доказательства от противного —
теорема, обратная теореме
об углах при
основании равнобедренного
треугольника (теорема 24),
с другой стороны, с помощью
известного доказательства Евклила,
теорема о том, что сумма
двух сторон треугольна
Однако, как мы покажем, ни одна
нашей геометрии не выполняется;
Черт. 87.
ка больше третьей,
из этих двух теорем в
тем самым будет доказано, что теорема об углах при
основании равнобедренного треугольника не имеет в ней места.
Рассмотрим треугольник OQP [черт. 87J, вершины
которого имеют координаты: 0, 0; cost, 0; cos/,— sin/. Длина
(см. стр. 215) отрезков ОР и QP находится при помощи
конгруентного отображения: [0, t\ 0] и 1-^-, 0;—cos/»*?' §
Получается, что
QP = slnt = t — f-4*-. ,
OQ = cost=\ — T-f
Из определения порядка чисел системы Т следует, что

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 2Г9
Итак, теорема, согласно которой сумма-двух
сторон любого треугольника больше третьей
его стороны, в нашей геометрии не имеет
места.
Мы видим отсюда существенную зависимость этой
теоремы от аксиомы о конгруентности треугольников
в еэ широкой трактовке.
Из этого результата немедленно следует:
В нашей геометрии не имеет места теорема об
углах равнобедренного треугольника и, следовательно,
не выполняется такэ&е и аксиома о конгруентности
треугольников в её широкой трактовке,
В том, что в нашей геометрии несправедлива также
теорема, обратная теореме об углах при основании
равнобедренного треугольника, можно убедиться непосредственно
на примере треугольника О PR [черт. 87], в котором
вершина R является зеркальным отображением точки Р
относительно прямой OQ, т. е. в котором вершина R имеет
координаты cos^, sint. Тогда, в силу доказанной ранее
теоремы (стр. 217),
ЗС OPR ее ЗС ORP.
Несмотря на это, стороны ОР и OR не конгруентны. Длина
отрезка OR, которая получается при помощи поворота
[0; —1\ 0]; равна
бР=е~*=£ОР=е<.
Мы усматриваем отсюда, чтр в двух симметрично
расположенн ых прямоугольных
треугольниках с одинаковыми катетами гипотенузы,
вообще говоря, различны, а потому при
зеркальном отображении отрезка относительно
прямой отображённый отрезок не должен
быть обязательно равен отображаемому.
Как показал В. Роземанн *), в нашей геометрии
*) W. Rosemann, «Der Aufbau der ebenen Geometrie
ohne das Symmetrieaxiom», Dissertation, Gottingen, Math Artn\
т. 90, 1922. Там же впервые доказана зависимость выполнения
аксиом II]]__$ от некоторых определённых свойств конгруентного
отображения.

220
ДОБАВЛЕНИЕ II
не выполняется также и третья теорема о
конгруентности треугольников (теорема 18),
даже в более узкой формулировке,
касающейся лишь одинаково расположенных
треугольников. Чтобы в этом убедиться, замечаем сна-
чала [черт. 88], что точки /1 = 0, B = t, C=te 3
образуют равносторонний треугольник. Рассматривая, далее,
точку
d = —L—,
мы убеждаемся, что AD^BD, так как конгруентное
отображение [0, t; t] преобразует точку D в самоё себя,
а точку А — в В. Далее, путём
подсчётов находим, что точки А и В
лежат по одну сторону от прямой
CD, Отсюда, во-первых, следует,
что треугольники ACD и BCD,
у которых все соответствующие
стороны равны, расположены по
одну сторону от прямой CD, и
во-вторых, что у этих
треугольников не все соответствующие углы
одинаковы.
Мы рассмотрим ещё в нашей геометрии евклидово
учение о площадях многоугольников. Это учение было
построено в § 20 на понятии меры площади треугольника.
Доказательство того, что эта мера площади равна
половине произведения основания на высоту независимо от
того, какую из сторон треугольника принять за его
основание, было проведено с помощью применения к
симметрично расположенным треугольникам аксиомы о
конгруентности треугольников. В том, что это положение не может быть
доказано без этой аксиомы в её широкой трактовке, можно
убедиться на примере треугольника OQR [черт. 87]. В нём
QR является высотой, опущенной на OQ. Длина отрезка QR
получается с помощью поворота
[—у, 0; — cos^.e 2 ] ;

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 221
оказывается, что
QR = sin t.
Так как OQ= cos/, то мера площади этого треугольника,
с одной стороны, должна быть равна
. cos t* sin t
J— 2 '
Найдём основание S перпендикуляра, опущенного из точки Q
на OR:
S= cos t -\- ielt sin t cos t.
Далее, с помощью конгруентного отображения
I—у, — t; —cost-e 2 J
получим, что
QS= e~t sin £ cos/,
а так как OR = e~\ то мы, с другой стороны, для меры
площади треугольника OQR получаем значение
. £-'•£-'cos f sin t
J— 5 '
которое наверное меньше, чем
cos t sin t
В то время, как понятие меры площади без аксиомы III.
о конгруентности треугольников в её широкой трактовке
теряет свой смысл, понятие «многоугольники, равновеликие
по разложению» и «многоугольники, равновеликие по
дополнению» определяется в точности так, как это было
сделано в § 18. Опять-таки так же, как в § 19,
доказывается теорема 46 о том, что два треугольника
с равными основаниями и равными высотами
равновелики по дополнению.
Далее, убеждаемся, что и на основании узкой
трактовки аксиомы Ills на любом отрезке можно построить
квадрат, т. е. четырёхугольник с равными углами, каждый

222'
ДОБАВЛЕНИЕ II
It
из которых составляет —, и с равными сторонами. В
нашей геометрии имеет также место и
теорема Пифагора, согласно которой два
квадрата, построенные на катетах прямоуголь-.
ного треугольника, вместе равновелики по
дополнению квадрату,- построен ному на
гипотенузе этого треугольника. Действительно,
Р -— *_. легко убедиться, что в евклидовом до-
казательстве теоремы Пифагора исполь-
I зуется только конгруентность одинако-
I во расположенных треугольников и, сле-
I довательно, что это доказательство
II опирается на аксиому о конгруентно-
I стй треугольников только в её узкой
| £ LJ трактовке.
4 —v ' Применяя теорему Пифагора к тре-
*' угольникам OQP и OQR [черт. 87],
Лерт. 89. мы с помощью теоремы 43 находим, что
квадраты, построенные на
отрезках ОР и OR, равновелики по
дополнению, хотя эти отрезки, как мы убедились, не
равны друг другу [черт. 89].
Связь этого обстоятельства с теоремой 52 совершенно
ясна, и мы видим отсюда, что основная теорема
Евклида, согласно которой два
равновеликих треугольника с равными основаниями
всегда имеют равные высоты, в нашей
геометрии тоже несправедлива/
И действительно, упомянутая теорема (теорема 48) была
доказана в § 21 при помощи существенного
использования понятия «мера площади».
Итак, наша геометрия убеждает нас в следующем:
Невозможно обосновлть учение Евклида о площадях
с помощью аксиомы о конгруентности треугольников
в её узкой трактовке, даже если предположить, что
учение о пропорциях справедливо.
В нашей геометрии не выполняется хорошо известное
соотношение между гипотенузой и катетами прямоуголь-

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 223
ного треугольника—соотношение, которое в обычной
геометрии выводится из теоремы Пифагора; поэтому я позволю
себе назвать нашу геометрию непифагоровой геометрией
Сделаем сводку важнейших результатов, следующих из
нашей непифагоровой геометрии:
Если мы примем аксиому о конгруентности
треугольников в её более узком смысле, а из аксиом
непрерывности будем считать справедливой только аксиому со*
седства, то окажется, что теорема о равенстве углоз
при основании равнобедренного треугольника не может
быть доказана, даже если предположить данным учение
о пропорциях Точно так же не следует отсюда учение
Евклида о площадях; также теорема о том, что сумма
двух сторон треугольника больше третьей, и третья
теорема о равенстве треугольников не являются
необходимыми следствиями из сделанных нами предположений.
Мы хотим построить ещё другую непифагорову
геометрию, отличающуюся от ранее расмотренной нами
геометрии тем, что в ней аксиома Архимеда V1
выполняется, но аксиома соседства V3 не выполняется.
В основу этой геометрии мы положим подмножество й
действительных чисел, которое состоит из всех
действительных чисел, получающихся из чисел 1 и jx=tg 1 путём
применения конечного числа раз опёрацийГсложенйя (0t -{- со2,
вычитания о), — о)2, умножения (fl^o^, деления cd1 :<о3 (если только
со2^=0) и возведения в степень о^2; при этом а)} и со2
означают числа, полученные уже с помощью пяти
указанных операций из чисел 1 и jjl. Чтобы получить число о>
из чисел 1 и jji, надо эти пять операций применить
соответственно пи я2, ... , пъ раз. Числа со области И могут
затем перечисляться с помощью возрастающей суммы
"! + ".;+ ••• 4-'v
На основе этой, числовой системы мы построим гео*
метрию плоскости с помощью таких же соглашений, с
помощью которых мы построили на стр. :20б—207 первую
непифагорову геометрию нз основе числовой системы Т\ мы
убедимся, потом, в том, что при естественном определении

224
ДОБАВЛЕНИЕ II
порядка в нашей геометрии в ней выполняются как see
законы счёта 1—16 § 13, так и аксиомы Ii 3, И, IV.
Каждому числу <о области й, расширенной путём
приобщения к нему числа сю, соответствует бесчисленное
множество чисел 9, удовлетворяющих уравнению
& = arctg (о.
Совокупность всех чисел 9, получающихся с помощью
этого уравнения, образует некоторую область 0, не
совпадающую с в, но так же, как и Q, счётную. В основу
дальнейших наших рассуждений мы положим какой-нибудь
способ перечисления чисел области 0. В процессе
перечисления существует первое число, не равное
произведению рационального числа и числа тт; обозначим его
через $ki. Первое число из области 0, которое нельзя
представить в виде
& = nr + r1»fti,
где г и гл — некоторые рациональные числа, мы обозначим,
если оно вообще существует, через 9^. Продолжая так же
поступать дальше, мы обозначим через 9fe первое
число 9 области 0, которое нельзя представить в виде
если только такое 9 вообще существует.
Таким образом, определена последовательность 9ft , 9^,
&£,-..., которая наверное имеет один член, а, может
быть, имеет таковых бесконечное множество. Каждое число
9 области 0 может быть теперь однозначным
образом представлено в виде
»=™+'А+'А.+ ..-+'А1'
где 9fe , 9^, . .. , $k и суть п первых членов только ято
определённой последовательности, а rt rv г2, ... , гп —
некоторые рациональные числа.
Так же, как и в первой непифагоровой геометрии (см.
стр. 212), мы определим и здесь конгруентность отрезков
и углов с помощью конгруентного отображения.

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 225
Под конгруентным отображением мы здесь будем
понимать любое преобразование вида:
х' + у/ =. 2>V» (х -f ly) -f I + /ji,
где & — некоторое число области в, гх — рациональное
число, входящее в вышеуказанное представление числа &,
X и ji—любые числа области Q.
Эти конгруентные отображения, как легко проверить,
образуют группу. Действительно, легко проверить, что они
обладают указанными на стр. 208 свойствами 1 и 2.
Свойство 3 следует из того факта, что числа
2ri, cos ft = — i sinft —
у i 4- tg2 ь V i + tg2 ь
принадлежат области й. Свойство 5 получается
следующим образом.
Доказательство сводится к однозначному с точностью
до слагаемого, кратного 2тг (ср. стр. 209—210), определению
числа & из области 0, удовлетворяющего уравнению
2r^eib-.
а'4-/В' S'
а -f- *$ S
Разделив мнимую часть числа, стоящего в этом равенстве
справа, на его действительную часть, получим:
to о = «>'-к
tgV аа' + ДО"
Этим уравнением число & числовой системы 0 определяется
с точностью до слагаемого, кратного тт. Определение его
с точностью до слагаемого, кратного 2ъ, производится так
же, как это было сделано в первой непифагоровой
геометрии (см. стр. 211). Доказательства свойств 4, 6 и 7
производятся тоже, как в первой непифагоровой
геометрии.
Таким образом, из доказанных семи свойств конгруент-
ного отображения следует, на основании общего
доказательства, данного на стр. 213, что аксиомы 1111 6 в нашей
геометрии выполняются. Справедливость аксиомы 1117 можно,
15 д. Гильберт

226
ДОБАВЛЕНИЕ II
очевидно, показать аналогично тому, как это было
сделано в первой непифагоровой геометрии.
Из этих определений порядка и конгруентности следует
справедливость аксиомы Архимеда У1э так как область й
является частью области всех действительных чисел.
То, что аксиома соседства, напротив того, в нашей
геометрии не выполняется, доказывается следующим
образом. Для каждого треугольника можно найти конгруент-
ный ему треугольник ОАВ с вершинами О —(0, 0),
Л = (а, 0), /} = (j5, у)", где а и у суть положительные числа.
Поэтому достаточно показать, что в каждом таком
треугольнике находится отрезок, длина которого была бы,
например, равна 1. Луч ОБ, независимо от того,
равно ли [J нулю или нет, можно представить с помощью
уравнения:
х -\- iy = е р • s,
где 5 есть положительный параметр, принадлежащий
области й. Так как числа ау и \а—?IH~Y положительны, то
мы можем найти целое, не обязательно положительное
число rv удовлетворяющее неравенству
Для данных чисел rv dfti, arctg^-^>0 наверное
можно найти два целых числа а и Ьу удовлетворяющих
неравенству
0<£* + ''A1<arctgj • (2)
Из тождества
L^ 2 — ' ~ "tg &
к
следует, что щ, а следовательно, в силу теоремы о
тангенсе суммы,

О РАВЕНСТВЕ УГЛОВ ПРИ ОСНОВАНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА 227
суть числа области 0. Из неравенства (2) следует, что
луч
x-\-iy = e{b-sy 5>0
проходит внутри угла <£ ЛОВ. Свободный конец С
отрезка длиною в 1, расположенного на этом луче и
начинающегося в точке О, можно представить в виде
x-\-iy = 2r>-eib.
Точки О и С расположены по одну сторону прямой АВ
[черт. 90J, так как, в силу неравенства (1), определители
Р-* YI
— SL О
2'icos& — а 2^ sin О
= ау,
>-2'ЧР
2/>1Y + aY
оба положительны. Таким образом, точка С лежит внутри
треугольника ОАВ, т. е. внутри этого треугольника нахо-
ВЩ)
01о,о)
Ala, о)
Черт. 90.
дится отрезок, длина
которого равна 1.
Так же, как и в первой
непифагоровой геометрии,
находим, что всякий угол
можно делить пополам и что
прямой угол существует,
точно так же доказываются
приведённые на стр.217—218
теоремы о зеркальном
отображении, а также теоремы
учения о пропорциях и теоремы аффинной геометрии. Все
углы нашей геометрии встречаются также и в геометрии
Евклида, и сравнение углов по их величине в нашей
геометрии происходит так же, как и в евклидовой. Отсюда
вытекает справедливость теоремы о внешнем угле (теорема
22) и о сумме углов треугольника (теорема 31). Зато
теорема о равенстве углов при основании равнобедренного
треугольника оказывается несправедливой. Действительно, из
справедливости этой теоремы можно с помощью теоремы о
15*

228
ДОБАВЛЕНИЕ II
внешнем угле треугольника получить теорему, ей обратную,
о чём уже упоминалось на стр. 222. В том же, что эта обратная
теорема в нашей геометрии не выполняется, можно
убедиться хотя бы из рассмотрения треугольника OPQ с вершинами
О=(0, 0), A=(cosftfti,—sin &Л|), Q=(cos »*lf+sin \). В этом
треугольнике углы Р и Q равны, между тем как'стороны
этого треугольника ОР=2 и OQ=2_I не равны.
В этой геометрии не имеет также места учение Евклида
о площадях. Несправедлива в этой геометрии и теорема
о том, что сумма двух сторон треугольника больше его
третьей стороны, так как из справедливости этой теоремы
непосредственно следует, что всякий отрезок, лежащий
внутри треугольника, меньше его периметра и, стало быть,
справедливость аксиомы соседства V8.
Рассмотрение непифагоровых геометрий приводит нас
к заключению:
Для доказательства справедливости теоремы о
равенстве углов при основании равнобедренного
треугольника необходимы как аксиома Архимеда Vv так и
аксиома соседства V„.

£
ДОБАВЛЕНИЕ III
НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ
БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО *)
(Напечатано .в Math. Ann., т. 57.)
В своей работе «Основания геометрии», гл. I (стр. 56—
91)**) я выставил систему аксиом для евклидовой геометрии
и показал, что можно построить евклидову геометрию на
плоскости, опираясь только на те из этих аксиом, которые
касаются плоскости, и даже избегая при этом применения
аксиом непрерывности. В этом исследовании я заменяю
аксиому о параллельных требованием, соответствующим
геометрии Больяи-Лобачевского, и показываю равным образом,
что и геометрию Больяи-Лобачевского можно обосновать,
опираясь исключительно на аксиомы, касающиеся
плоскости, и без использования аксиом непрерывности ***).
*) Мы сохраняем для фамилии Bolyai транскрипцию «Больяи»,
хотя транскрипция «Бояи» была бы более точной. (Прим. ред.)
**) См. также мою статью «По поводу теоремы о равенстве
углов при основании равнобедренного треугольника». Proceedings
of the London Mathematical Society, т. 35, 1903. (Добавление II
этой книги.)
***) С тех пор соответствующая проблема была исследована
также и независимо от аксиомы IV, характеризующей
геометрию Больяи-Лобачевского. Прежде всего Дэн (М. Dehn)
в статье «Ueber den Inhalt spharischer Dreiecke»,Math. Ann., т. 60,
обосновал учение о площадях в эллиптической геометрии на
плоскости, не пользуясь при этом аксиомами непрерывности.
Затем Гессенбергу (G. Hessenberg)B статье «Begriin-
dung der elliptischen Geometrie», Math. Ann., т. 61, удалось при
тех же предположениях доказать предложения о точках пересе-

230
ДОБАВЛЕНИЕ III
Это новое обоснование геометрии Больяи-Лобачевского
в отношении простоты не уступает, как мне кажется,
известным до сих пор обоснованиям, а именно
обоснованиям у Больяи и Лобачевского, которые
пользовались предельной сферой, и обоснованию Ф. Клейна,
который опирался на проективные методы. В обоих
указанных обоснованиях было существенно использовано как
пространство, так и непрерывность.
Чтобы облегчить понимание, я, следуя своей работе
«Основания геометрии», сделаю сводку используемых
в дальнейшем аксиом плоской геометрии, а именно *):
1. Аксиомы соединения.
It. Для любых двух точек Л, В существует
прямая а, принадлежащая каждой из этих двух точек Л, В.
12. Для двух точек Л, В существует не более
одной прямой, принадлежащей каждой из точек Л, В.
13. На прямой существуют по крайней мере две
точки. Существуют по крайней мере три точки, не
лежащие на одной прямой.
II. Аксиомы порядка.
Ilj. Если точка В лежит между точкой А и
точкой С, то А, В, С суть три различные точки прямой
и В лежит также между С и А.
И2. Для любых двух точек А и С на прямой АС
существует по крайней мере одна точка В, такая, что
точка С лежит между А и В.
И3. Среди*любых трёх точек прямой существует
не более одной точки, лежащей между двумя
другими.
Определение. Точки, лежащие между точками Л
и В, называются также точками отрезка АВ или отрезка ВА.
чения в эллиптической геометрии на плоскости. Наконец,
Иельмслев (J Hjelmslev) в статье «Neue Begriindung der
ebenen Geometne», Math Ann., т. 64, показал, что можно
построить геометрию на плосюгти без аксиом непрерывности и
даже без какого-либо допуи ения относительно пересекающихся
или н лпересекаюи ихся прямых.
*) Формулировка аксиом I—111 взята из настоящего издания

НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 231
И4. Пусть А, В, С—три точки, не лежащие на
одной прямой, и а — прямая в плоскости ABC, не
проходящая ни через одну из точек А, В, С; если при
этом прямая а проходит через одну из точек отрезка
АВ, то она должна 'пройти через одну из точек
отрезка ВС или через одну из точек отрезка АС,
111. Аксиомы конгруентности.
Определение. Любая прямая разбивается каждой
своей точкой на два луча, называемых также полупрямыми.
111,. Если А и В суть две точки прямой а, и А'
является точкой прямой а', то на каждом из двух
лучей прямой а', определенном точкой А', можно найти
точку В', такую, чтобы отрезки АВ и А'В' оказались
конгруентными, ила, другими словами, равными. Это
соотношение отрезков обозначается следующим образом:
АВ = А'В'.
П12. Если отрезок А'В' и отрезок А"В" конгруентны
одному и тому же отрезку АВ, то отрезок А'В' кон-
груентен также и отрезку А'В".
1Н3. Пусть АВ и ВС суть два отрезка прямой а,
не имеющие ни одной общей внутренней точки, и пусть,
далее, А'В' и В'С суть два отрезка той же прямой
или другой прямой. а', также не имеющие общей
точки; если при этом АВ = А'В' и ВС=В'С\ то и
АС=А'С.
Определение. Пару лучей h и k, исходящих из
точки Д и не образующих совместно прямой, мы называем
углом и обозначаем его так:
ЗС(Л, k) или <£{k, h).
Далее, на основании аксиом II, можно определить
сторону плоскости относительно некоторой прямой; точки
плоскости, лежащие относительно h по ту же сторону, что
и луч k, и относительно k по ту же сторону, что и луч п,
называются внутренними точками угла •§£ (/?, k)\ они
образуют внутренность данного угла.

232
ДОБАВЛЕНИЕ III
Ш4. Пусть даны угол <£(/?, k), прямая а' и пусть
задана определённая сторона прямой а9. Пусть h'
означает луч прямой а', исходящей из точки О'; в таком
случае существует один и только один луч Ы,
обладающий следующим свойством: угол <Г(#, k) конгруен-
тен, или,другими словами, равен углу <£ (#', &') и вместе
с тем все внутренние точки угла ^С \h', £') находятся
относительно прямой а', по данную сторону от
прямой а'. Конгруентность угла ^(h,k) углу <£(h',k')
обозначается так-
Каждый угол конгруентен самому себе, т. е. всегда
^С(ЛЭА) = ^(Л, k).
Ш5. Если для двух треугольников ABC и А'В*С
имеют место конгруентности
АВ = А'В\ АС=А'С и ^ВАС—^В'А'С,
то имеет место также и конгруентность
2£АВС=е$:А'В'С'.
Из аксиом I — III легко вывести теоремы о
конгруентности треугольников и о равнобедренном треугольнике,
а также убедиться в возможности опустить и восставить
перпендикуляр и разделить пополам заданный отрезок или
заданный угол. В частности, так же как и у Евклида, из
этих аксиом следует, что в каждом треугольнике сумма
двух сторон больше третьей.
IV. Аксиома о пересекающихся
и не пересекающихся прямых.
Мы формулируем следующим образом аксиому, которая
в геометрии Больяи-Лобачевского соответствует аксиоме
о параллельных в геометрии Евклида:
IV. Пусть Ъ — произвольная прямая, а А — не
лежащая на ней точка; тогда всегда существуют два
луча а1 и а2, проходящие через точку А и не образую-

НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 233
щие одной прямой, которые не пересекают прямую Ь
и обладают следующим свойством', всякий луч, лежа*
щий внутри угла, образованного а1 и а2, и исходящий из
точки Ау пересекает прямую b [черт. 91].
Определение. Пусть прямая b разбивается
некоторой точкой В на два луча ЬЛ и Ь2, и пусть лучи avbx
лежат по одну сторону пря- \
мой АВ, а лучи а2, ^2 —по
другую её сторону; в таком
случае мы будем говорить,
что луч а1 параллелен лучу & \# ^_~
#) и, аналогично, что луч а2 ч J4^ '
параллелен лучу Ь2\ точно ч
так же мы будем говорить, Черт. 91.
что оба луча аг и а2
параллельны прямой b и что прямые, лучами которых являются
полупрямые ах и а2, параллельны прямой Ь.
Отсюда немедленно следует справедливость следующих
положений:
Если какая-либо прямая (или луч) параллельна другой
прямой (или лучу), то и эта вторая прямая (луч)
параллельна первой *).
Если два луча параллельны третьему, то они
параллельны друг другу.
Определение. Каждый луч определяет конец; о всех
параллельных друг другу лучах мы говорим, что они
определяют один и тот же конец. Луч, исходящий из точки А
и имеющий конец а, обозначается вообще так: (А, а).
Прямая имеет всегда два конца. Вообще прямая, концы
которой суть аи^, обозначается так: (а, р).
Если две пары точек Л, В и А\ В' и два конца а и а'
обладают следующими свойствами: отрезки АВ и А'В'
равны друг другу и угол, образованный отрезком АВ и
лучом (Л, а), равен углу, образованному отрезком А'В' и
лучом (А\ а'), то, как легко убедиться, угол, образованный
*) Доказательство проводится по методу Гаусса; см.,
например, Bonola-Liebmann, «Die nichteuklidische Geometries
Leipzig, 1908 и 1921, § 32.

234
ДОБАВЛЕНИЕ III
отрезком ВА и лучом (В, а), равен углу, образованному
отрезком В'А' и лучом (В', а'); фигуры же АВа и А'В'о!
называются конгруентными.
Наконец, определим известным способом зеркальное
отражение.
Определение. Если из некоторой точки опустить
на прямую перпендикуляр и продолжить этот последний
за его основание на отрезок, ему конгруентный, то
соответствующая конечная точка называется зеркальным
отражением первоначальной точки относительно этой
прямой.
Зеркальные отражения точек одной и той же прямой
лежат опять-таки на прямой; эту последнюю мы будем
называть зеркальным отображением первоначальной прямой.
§ 1. Леммы
Докажем сначала ряд следующих лемм:
Лемма 1/ Если две прямые пересекают третью под
равными соответственными углами, то эти прямые
безусловно не параллельны.
Доказа тельство. Положим, напротив, что эти две
прямые в некотором направлении параллельны. Если мы
повернём теперь всю фигуру вокруг середины отрезка,
отсекаемого этими двумя прямыми на третьей, на
полуоборот, т. е. построим по другую сторону этого отрезка
соответствующий конгруентный треугольник, то из нашего
предположения будет следовать, что две первые прямые
параллельны также и в другом направлении, а это
заключение противоречит аксиоме IV.
Лемма 2. Для любых двух непересекающихся и
непараллельных прямых а и b всегда найдётся третья прямая,
перпендикулярная как первой из них, так и второй.
Доказательство. Из любых двух точек А и Р
прямой а [черт. 92] опустим перпендикуляры АВ и РВ'
на прямую Ь. Пусть отрезок перпендикуляра РВ' больше
отрезка АВ; отложим в таком случае АВ на В'Р от точки В'
до точки А'; таким образом, точка А' лежит между Р и В'.
Проведём теперь через А' прямую а', которая пересекает

НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 2^5
В'А' в точке А' под тем же углом и по ту же сторону а\
под которым перпендикуляр ВА пересекает прямую а.
Покажем, что прямая а' должна пересечь прямую а.
С этой целью из двух лучей, на которые разбивается
прямая а точкой Р, обозначим через ах тот, на котором
лежит точка А, и проведём из В луч h, параллельный ах.
Черт. 92.
Далее, пусть К — луч, исходящий из точки В\
образующий с лучом Ь такой же угол и направленный в ту же
сторону, как и луч /г, исходящий из точки В. Так как,
согласно лемме 1, луч Ы не может быть параллелен лучу /z,
а следовательно, не может быть параллелен и лучу ах и,
наверное, не пересекает луча h, то, как легко заключить
из аксиомы IV, он должен пересечь луч ах\ пусть Т —
точка пересечения лучей h' и av Так как а' по
построению параллелен ti, то, в силу аксиомы Н4, прямая а'
должна выйти из треугольника РВ'Т через сторону РТ,
что и требовалось доказать. Обозначим точку пересечения
прямых а и а' буквой Q,
Из точки Q опустим перпендикуляр QR на Ь\ затем
отложим отрезок B'R на прямой Ь от точки В до точки R'
так, чтобы направление от В к /?' на прямой Ь совпадало
с направлением от В' к R. Точно так же отложим
отрезок A'Q от точки А на прямой а в том же направлении
до точки Q'. Найдём, далее, середины М и N отрезков
QQ и RR'. Отрезок MN, соединяющий эти точки, и есть
искомый общий перпендикуляр к прямым а и Ь.

236 ДОБАВЛЕНИЕ Til
Действительно, из конгруентности четырёхугольников
A'B'RQ и ABR'Q следует равенство отрезков QR и QR\
а также то, что Q'R' перпендикулярно Ь. Отсюда, далее,
мы заключаем, что четырёхугольники QRNM и QR'NM
Черт. 93.
конгруентны; тем самым наше утверждение, а вместе с тем
и лемма 2 полностью доказаны.
Лемма 3. Для любых двух непараллельных друг другу
лучей всегда найдётся прямая, параллельная этим двум
лучам, т. е. всегда найдётся прямая с двумя заданными
концами а и р.
Доказательство. Проведём через какую-либо
точку О параллели к заданным лучам и отложим на этих
параллелях от тачки О равные отрезки [черт. 93]; пусть

НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 237
эти отрезки будут О А и ОВу так что
ОА = ОВу
и пусть луч, идущий от точки О к А, имеет конец а,
а луч, идущий от О к Д — конец [5. Соединим точку А
с концом р и разделим пополам угол, образуемый двумя
лучами, исходящими из точки А; точно так же соединим
точку В с концом а и разделим пополам угол, образуемый
двумя лучами, исходящими из точки В. Первую
биссектрису обозначим буквой а, вторую — буквой Ъ. Из кон-
груентности фигур ОА$ и ОВа следует равенство углов:
£(ОЛр)=ЗС(0£а),
ЗГ(а*Р)=Зс(аВР).
Из последнего равенства получается также равенство углов,
образовавшихся при проведении биссектрис, именно:
£ (аАа) = £ (оД Р) = §С («В») = ЗС (*Я?).
Сначала надо доказать, что обе биссектрисы а и b
не пересекаются и не параллельны друг другу.
Положим, что прямые а и Ъ пересекаются в точке М.
Так как треугольник ОАВ равнобедренный по
построению, то
ЗС ВАО = §С АВО;
отсюда, в силу предыдущих равенств, находим
^ВАМ=^АВМ,
и, следовательно,
AM =ВМ.
Соединим точку М лучом с концом а. Из последнего
равенства отрезков, в силу равенства углов «§£ (аАМ) и
<§С(а/Ш), следует конгруентность фигур аАМ и аВМ,
а из этой конгруентности следует конгруентность углов
<§С (аМА) и §С (а/ИБ). Так как это заключение, очевидно,
неправильно, то биссектрисы а и b не пересекаются.
Положим теперь, что прямые а и b параллельны; это
означает, что они должны иметь общий конец, который

238
ДОБАВЛЕНИЕ III
мы обозначим буквой jx. Пусть луч, идущий от В к а,
пересекает луч, идущий от А к ^;в точке С, а прямую а —
з точке D; докажем, что отрезки DA и DB равны.
Действительно, в противном случае отложим отрезок DA на
DB от точки D до некоторой точки В' и соединим В'
лучом с концом р.. Из конгруентности фигур DAa и DB'\i
следует в таком случае равенство углов «§£ (DAa) и <£ (ОВ'ц),
а. таким образом, углы «gC (DB'\x) и «gc (Z)#)i) должны быть
также равны, что невозможно в силу леммы 1.
Равенство отрезков DA и DB имеет своим еледствием
равенство углов «§С (DAB) и •§£ (£)£Л), а так как, согласно
предыдущему, углы <£ (СЛ/i) и <Х (СБЛ) также равны, то
значит и углы <£ (DAB) и ^С (С7Ш) должны быть равны.
Это заключение, очевидно, неправильно, а потому
предположение, что прямые а и Ь параллельны, надо
отвергнуть.
Так как, в силу этих соображений, прямые а и b не
могут ни пересекаться, ни быть параллельными, тог согласно
лемме 2, существует прямая с, одновременно
перпендикулярная обеим прямым. Пусть эта прямая пересекает их
в точках Е и F. Я утверждаю, что эта прямая и является
искомой, соединяющей оба заданных конца а и [5.
Для доказательства этого утверждения предположим
противное, пусть а не служит концом для прямой с. В
таком случае соединим каждое из оснований Е и F лучом
с концом а. Соединив прямой середины отрезков АВ й EFy
мы легко убедимся, что EA = FB. Отсюда следует кон-
груентность фигур аЕА и aFB, а отсюда —равенство углов
<}С (АЕа) и <£ (BFa); следовательно, равны также и углы,
которые образует прямая с с лучами, исходящими из
точек Е и F. Это заключение противоречит лемме 1.
Аналогично получается, что [5 также служит концом для прямой су
и тем самым лемма оказывается доказанной.
Лемма 4. Пусть а и b — две параллельные прямые,
а О — точка, лежащая внутри той области плоскости,
которая заключена между а и b [черт. 94]; обозначим через
Оп зеркальное отражение точки О относительно прямой а,
через Оь — зеркальное отражение точки О относительно
прямой b и через М— середину отрезка ОаОь\ в таком

НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 239
случае луч, исходящий из точки М и параллельный как ау
так и Ь, в точке М перпендикулярен прямой ОаОь.
Доказательство. Предположим противное и
восставим из точки М в ту же сторону перпендикуляр к ОаОь.
Пусть прямая ОаОъ пересекает прямые а и Ь в точках Р и Q.
Так как PO<PQ-{-QO, то
РОа<^РОь и точно так же
QOb <^ QOa, а потому точка Ж
должна лежать внутри той области
плоскости, которая лежит между
прямыми а и Ь, Следовательно,
этот перпендикуляр, восставленный
в точке Af, должен пересечь либо
прямую я, либо прямую Ь.
Положим, что он пересекает прямую а
в точке А; в таком случае
А0о=А0 и АОа = АОь> т. е.
точка А должна лежать также и
на прямой Ьу что противоречит условию леммы *).
Лемма 5. Если а, Ь, с —• три прямые, обладающие
одним и тем же концом со, и если зеркальные
отображения относительно этих прямых мы обозначим соответственно
через Sa, Sb, SCi то всегда существует прямая d с
концом со, обладающая следующим свойством,
последовательное зеркальное отображение относительно прямых а, £, с
равносильно зеркальному отображению относительно
прямой d\ это может быть выражено следующей формулой
Доказательство. Предположим, во-первых, что
прямая £- проходит внутри той области плоскости, которая
лежит между а и с. Пусть О — некоторая точка на
прямой Ь. Её зеркальные отображения относительно прямых
а и с обозначим соответственно через Оа и Ос. Если мы
*) Этот вывод по существу совпадает с доказательством
Лобачевского, см. «Новые начала геометрии с полной теорией
параллельных», § 111, Записки Казанского университета, 1835 г.,
кн. 3, а также в Полном собрании сочинений по геометрии, т. I,
Казань, 1883 г.

240
ДОБАВЛЕНИЕ III
обозначим буквой d прямую, соединяющую середину
отрезка ОаОс с концом со, то, в силу леммы 4, каждая из
точек Оа и Ос является зеркальным отображением другой
относительно прямой d. Следовательно, операция SdScSbSa
оставляет в неизменном положении точку Оа и луч,
соединяющий точку Оа с концом со. Так как эта операция,
кроме того, сводится к последовательному получению четырёх
зеркальных отображений, то теоремы о конгруентности учат,
что эта операция есть не что иное, как тождественное
преобразование; отсюда и следует наше утверждение.
Легко, во-вторых, убедиться в справедливости
леммы 5 в том случае, когда прямые сна совпадают.
Действительно, пусть Ь' — прямая, служащая зеркальным
отображением b относительно а; обозначим через S&
зеркальное отображение относительно Ь'. Мы можем
немедленно убедиться в справедливости формулы
Предположим, наконец, в-третьих, что прямая с
попала внутрь той области плоскости, которая расположена
между прямыми а и Ь. В таком случае, в силу первой
части этого доказательства, наверное, существует прямая d\
для которой справедлива формула:
Обозначим через d отображение прямой d'
относительно а; тогда, в силу второй части этого доказательства,
и тем самым лемма 5 полностью доказана.
§ 2. Сложение концов
Мы будем исходить из некоторой фиксированной
прямой и обозначим её концы через 0 и оо. На этой прямой
(0, оо) выберем некоторую точку О и проведём через неё
перпендикуляр; концы этого перпендикуляра обозначим
через -[-1 и —1.

НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 241
сумму двух концов следующим
Определим теперь
образом [черт. 95]:
Определение. Пусть а и [}—два каких-либо
отличных от оо конца; пусть, далее, Оа является зеркальным
отображением точки О
относительно прямой
(а, оо), а О,
—зеркальным отображением
точки О относительно
прямой ((}, оо); соединим
середину М отрезка
Ofi^ с концом оо;
другой конец построенной
таким образом прямой
мы будем называть
сулемой концов а и (3 и
будем обозначать
через а т- [*.
Зеркально
отобразим луч с концом а
относительно прямой (0, оо); конец полученного таким образом
луча мы будем обозначать через —а.
Легко убедиться в справедливости равенств.
а + 0 = а,
1 + (—1) = 0,
Черт. 95.
Последнее равенство показывает, что сложение
концов подчинено коммутативному закону.
Чтобы' доказать справедливость ассоциативного
закона для сложения концов, обозначим
зеркальные отображения относительно прямых (0, сю), (а, оо), (р, оо)
соответственно через 50, Sa, S3; согласно лемме 5 § 1,
наверное существует прямая (а, оо), такая, что для
зеркального отображения S. относительно неё справедлива
формула:
16 д. Гильберт

242
ДОБАВЛЕНИЕ III
Так как при операции SaS0Sa точка Оа переходит
в точку О., то точка Ор должна служить зеркальным
отображением Оа в прямой (а, со) и, следовательно,
а = 2-\- [S, т. е.
оа+;3= SpS0Sa.
Пусть у также обозначает некоторый конец; повторное
применение только что полученной формулы даёт:
следовательно,
и тем самым
Выведенная нами формула
показывает, вместе с тем, что принятое нами построение
суммы двух концов не зависит от выбора точки О на
прямой (0, со). Если обозначить через О' некоторую
отличную от О точку прямой (0, со) и через 0'а и
О'—зеркальные отображения этой точки относительно прямых
(а, со) и ([$, со), то перпендикуляром к отрезку O'jO'
проходящим через середину этого отрезка, опять-таки будет
служить прямая (a-j-ji, 0).
Мы докажем здесь ещё одно положение, которое
понадобится при наших рассуждениях в § 4.
Если прямую (а, со) зеркально отобразить относительно
прямой ([5, со), то получится прямая (2[J—а, со).
Действительно, пусть Р — некоторая точка прямой,
получающейся из прямой (а, со) при её зеркальном
отображении относительно прямой ([}, со); эта точка Р,
очевидно, останется на месте после того, как мы
последовательно применим к ней зеркальные отображения.
•Sp» О0, S__a, О0, Oj

НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 243
В силу же предыдущих формул:
т. е. образованный таким образом процесс равносилен
отображению относительно прямой (2j5 — а, оо); таким
образом, эта точка Р должна лежать на этой последней прямой.
§ 3. Умножение концов
Определим теперь умножение двух концов следующим
образом.
Определение. Если некоторый конец лежит по ту
же сторону прямой (0, оо), что и конец -j-1, то этот
конец называется поло- п
жительным; если же
некоторый конец
лежит по ту же сторону +f </j ,
от прямой (0, сю), что
и коней —1, то этот
конец называется
отрицательным.
Пусть а и j$— два
отличных от 0 и оо
конца. Прямые (а, —а) и
(р, — [})
перпендикулярны к прямой (0, оо). °°
[черт. 96]; пусть они Черт. 96.
пересекают эту прямую
в точках А и В. Отложим, далее, отрезок О А на прямой
(О, оо) от точки В до точки С таким образом, чтобы на
прямой (0, оо) направление от О к Л совпадало с
направлением от В к С. Затем через точку С проведём
перпендикуляр к прямой (0, оо) и назовём положительный или
отрицательный конец этого перпендикуляра произведением
оф обоих концов а, [5, смотря по тому, будут ли оба конца
положительны или отрицательны или же один из них
будет положителен, а другой отрицателен.
Положим, наконец*
а.0 = (Ьа = 0.
а -
Р-
в
ш*

244
ДОБАВЛЕНИЕ III
Из аксиом Ш1_3, трактующих о конгруентности
отрезков, мы непосредственно убеждаемся в том, что
а^ — ра, а(ру)=(ар)у,
т. е. что для умножения
концов справедливы
как
коммутативный, так и
ассоциативный законы.
Так же легко
показать, что
Ьа-a, (-l)a = —a
и что если концы a, р
некоторой прямой
удовлетворяют уравнению
ар = -1,
то эта прямая
проходит через точку О.
Выполнимость
деления получается
непосредственно; точно
так же каждому
положительному концу тт
^_^_ можно отнести поло-
00 жительный (равно как и
Черт. 97. отрицательный) конец,
квадрат которого равен
концу тт и который можно поэтому обозначить через j/rr.
Чтобы показать справедливость
дистрибутивного закона для исчисления концов, мы
построим сначала из концов р и у конец p-f~Y [черт. 97]
по способу, указанному в § 2. Если мы затем найдём' по
ранее указанному способу концы ap, ay, a(p-j-y), то мы
убедимся, что это построение сводится к тому конгруент-
ному отображению плоскости в самоё себя, которое
вызывает на прямой (0, оо) смещение на отрезок О А. Если
же мы затем построим сумму концов ар и ау, исходя не
р
СгЛ ">=»»»-
Г -Оч
1 ^^У
а[ ^^_>\
1 ^^о\
fa n\ \\
/ / ^Г \\\\
\ X А Л
4 л л л
.. ч\ у\
vt чЗ£^
" Лт-^Ит^
^с^кл
'2\ЛЛ
\\ \\Д
л Да
ч ДА
А ЛЛ
А А1
А ч1
0
. —
0
А

НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 245
из точки О, а из Л, — а это, согласно замечанию,
сделанному в § 2, допускается, — то в качестве этой суммы
действительно получится конец а([*-руЬ ^ е« равенство
af + aY = a(P + Y)
справедливо.
§ 4. Уравнения точек
После того, как мы в §§ 2—3 убедились, что счёт
концов подчинён тем же правилам, что и счёт
обыкновенных чисел, построение геометрии не представляет никаких
дальнейших затруднений* оно происходит в общих чертах
следующим образом.
Бхли $, 7] суть концы некоторой прямой, то концы
мы назовём координатами этой прямой. Справедливы
следующие основные положения:
Если a, ji, у суть тРи конца, обладающие тем
свойством, что соответствующий им конец 4ау—-Р2
положителен, то все прямые, координаты которых
удовлетворяют уравнению
atf-j-[to-f-Y = 0'
проходят через одну, и ту же точку.
Доказательство. Если построить, в соответствии
со сказанным в § 2 и § 3, концы
и принять во внимание значение координат и, v и то
обстоятельство, что а во всяком случае не равно 0, то
указанное линейное уравнение примет вид:
Исследуем теперь преобразование произвольного
переменного колца со, которое даётся равенством:
0)' = 7,(0 -\~ А.

246
ДОБАВЛЕНИЕ III
Для этого рассмотрим сначала преобразования
со' — хо) и со' = (О ~\- X.
Что касается первого преобразования, то, очевидно,
умножение произвольного конца со на постоянную %
равносильно, согласно сказанному в § 3, смещению плоскости
вдоль прямой (0, оо) на некоторый зависящий от х отрезок.
Последнему преобразованию, т. е. прибавлению к
произвольному переменному концу'со конца X, соответствует
некоторое, зависящее только от X, движение плоскости
в самой себе, именно движение, которое может быть
рассматриваемо как вращение плоскости около конца оо.
Чтобы усмотреть это, вспомним, что, согласно
изложенному в заключении § 2, прямая (со, оо) при зеркальном
отображении относительно прямой (0, оо) переходит в
прямую (— со, оо), а эта последняя при зеркальном
отображении относительно прямой (~ со) переходит в прямую
(w-f-X, со), т. е. прибавление конца X к переменному
концу (о равносильно последовательному выполнению
зеркальных отображений относительно прямых (0, оо) и ( — со).
Из ранее сказанного следует, что если £ и tj суть концы
прямой, то равенствами:
определяются концы той прямой, которая получается из
прямой с концами £, т) при помощи некоторого, вполне
определённого, зависящего только от х, X движения
плоскости. Из вышеприведённого уравнения
(х5 + Х)(хЧ + Х) = — 1
для концов £', г/ следует соотношение
?Ч' = — 1.
Согласно сделанному в § 3 замечанию, это соотношение
является условием того, что соответствующие прямые про-

НОВОЕ ОБОСНОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ БОЛЬЯИ-ЛОБАЧЕВСКОГО 247
ходят через точку О; поэтому все прямые (£, 7j),
удовлетворяющие первоначальному уравнению
(х5 + Х)(хЧ+Х) = —1,
должны проходить через одну точку; таким образом,
теорема, формулированная нами, полностью доказана.
После того, как мы убедились, что уравнение точки
в координатах прямой линейно, легко вывести частный
случай теоремы Паскаля для пары прямых и теорему Де-
зарга для перспективно расположенных треугольников,
а также остальные теоремы проективной геометрии. Также
без труда получаются затем известные формулы геометрии
Больяи-Лобачевского, и тем самым завершается построение
этой геометрии с помощью аксиом I — IV.

/ ^ si
ДОБАВЛЕНИЕ IV
ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ*)
(Из Mathematische Annalen, т. 56, 1902.)
Исследования Римана и Гельмгольца об
основаниях геометрии побудили Ли приняться за проблему
аксиоматической разработки геометрии, исходя из понятия
группы, и привели этого проницательного математика к
системе аксиом; с помощью теории групп преобразований
он доказал, что эти аксиомы достаточны для построения
геометрии **).
При обоснованил теории групп преобразований Л и
всегда исходит из того, что функции, определяющие
группу, дифференцируемы; поэтому в исследованиях Л и
остаётся нерассмотренным вопрос о том, является ли предю-
ложение о дифференцируемости в проблемах аксиоматики
геометрии действительно неизбежным или же дифференци-
руемость соответствующих функций является не более как
простым следствием понятия группы и остальных
геометрических аксиом. При своём способе изложения Л и был
вынужден также особо выделить аксиому о том, что группа
движения производится бесконечно малым преобразованием.
Как эти требования, так и существенные составные части
других аксиом Л и, относящихся к природе уравнения,
которое определяет равноотстоящие точки, могут быть
}') Сравнительная характеристика излагаемого здесь метода
обоснования геометрии с методом, применявшимся в основной
части этой книги, сделана в конце этой статьи (стр. 303)
**f Lie—Engel, «Theorie der Transformationsgruppen», т. 3,
раздел 5.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
249
выражены чисто геометрически только очень натянуто
и сложно и, кроме того, кажутся обусловленными только
аналитическим методом, которым пользовался Ли, а не
самой проблемой.
Поэтому в последующем я старался установить для
геометрии на плоскости такую систему аксиом, которая,
также опираясь на понятие группы, содержала бы только
простые, геометрически обозримые требования и, в
частности, отнюдь не предполагала бы дифференцируемости
функций, осуществляющих движение. Аксиомы
установленной мною системы содержатся как составная часть в
аксиомах Л и или же, как я полагаю, могут быть из них
сразу выведены.
Мой метод доказательства полностью отличается от
метода Л и. я оперирую, главным образом, с понятиями
созданной Г. Кантором теории точечных множеств и
использую теорему К. Жордана о том, что каждая
плэская, непрерывная замкнутая кривая без двойных точек
делит плоскость на внутреннюю и внешнюю области.
В выставленной мною системе некоторые отдельные
составные части всё же, наверное, излишни; однако я отказался
от дальнейшего исследования этого обстоятельства из
соображений простоты формулировок аксиом и, главным
образом, потому, что я хотел" избежать сложных и
геометрически необозримых доказательств.
Я исследую в дальнейшем аксиомы только для
плоскости, но думаю, что и для пространства может быть
установлена аналогичная система аксиом, которая делает
возможным построение пространственной геометрии
аналогичным путём *).
Предпошлём нашему изложению некоторые определения.
Определения. Под числовой плоскостью мы
понимаем обычную плоскость с прямоугольной координатной
системой х, у.
*) Вместе с тем, в последующем исследовании для
частного случая группы движений в плоскости даётся, как мне
кажется, ответ на тот общий Еопрос, относящийся к теории групп,
который был мною постаглен в моём докладе «Математические
проблемы». См. Gottinger Nachrichten, проблема 5, 1900.

250
ДОБАВЛЕНИЕ TV
Кривая этой числовой плоскости, не содержащая
двойных точек и непрерывная во всех своих точках, включая
концы, называется жордановой кривой. Если жорданова
кривая замкнута, то часть числовой плоскости, лежащая
внутри той области, которую ограничивает эта кривая,
называется жордановой областью.
Для облегчения изложения и для его большей
доступности в этом исследовании я дам более узкое определение
плоскости, чем этого требовало бы дальнейшее изложение *),
'-) О более широком определении понятия плоскости см.
мою статью об обосновании геометрии в Gottinger Nachrichten,
1902. Я установил там следующее определение плоскости*
Плоскость есть система вещей, называемых точками.
Каждая точка А определяет некоторую часть системы
точек, к которой эта точка сама принадлежит и которая
называется окрестностью точки А.
Точки окрестности всегда можно взаимно однозначным
образом отобразить на точки определённой жордановой
области числовой плоскости Такую жорданову область
называют образом этой окрестности
Каждая жорданова область, содержащаяся в образе
и заключающая внутри себя точку А, опять-таки является
образом некоторой окрестности точки А. Пели имеются
различные образы одной и той owe окрестности, то
получающееся отсюда взаимно однозначное преобразование
рассматриваемых жордановых областей* одной в другую должно
быть непрерывным.
Если В есть какая-то точка некоторой окрестности
точки А, то эта окрестность является в то же ' время
окрестностью также и точки В.
Для любых двух окрестностей точки А всегда
существует третья окрестность этой же точки А, общая им обеим.
Если А и В суть некоторые две точки нашей плоскости,
то всегда существует такая окрестность точки А, которая
содержит точку В.
Эти требования содержат, как мне кажется, строгое
определение — для случая двух измерений— того понятия, которое у
Рим а на и Гельмгольца фигурирует под именем «mehrfach
ausgedehnte Mannigfaltigkeit» — «многократно протяжённое
многообразие», а у Ли — под именем «Zahlenmannigfaltigkeit» —
«числовое многообразие» и которое лежит в основе их общих
исследований. Эти понятия служат также основой для строгой
аксиоматической обработки геометрии положения (Analysis situs).
Принимая вышеуказанное более узкое определение
плоскости, мы, очевидно, заранее исключаем эллиптическую геомет-

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
251
именно, я предположу, что все точки нашей геометрии можно
одновременно взаимно однозначным образом отобразить на
лежащие в конечной области точки числовой плоскости
или на некоторую их часть, так что в результате каждая
точка нашей геометрии характеризуется вполне
определённой парой чисел х, у. Это понимание плоскости мы
сформулируем так.
Определение плоскости. Плоскость есть
система вещей, называемых точками, которая допускает
взаимно однозначное отображение на совокупность
точек числовой плоскости или на некоторую часть этой
совокупности. Мы"будем пользоваться точками числовой
плоскости для обозначения соответствующих точек
нашей плоскости.
Для любой точки А нашей плоскости существует
в числовой плоскости жорданова облхсть, в
которой лежит образ точки А и все точки которой
также отображают точки нашей плоскости. Эти
жордановы области называются окрестностями точки А.
Всякая, лежащая в окрестности точки Л, жорданова
область, внутри которой лежит точка А {образ
точки А), опять-таки является окрестностью точки А.
Если В есть некоторая точка, лежащая в
окрестности точки А, то эта окрестность является в то же
время и окрестностью точки В.
Если А и В суть какие-то точки нашей плоскости,
то всегда существует окрестность точки А,
содержащая также точку В.
Определим движение как взаимно однозначное
преобразование нашей плоскости самой в себя. Очевидно с самого
начала, что можно различать двоякого рода взаимно одно-
рию, так как точки этой последней не могут быть отображены
на точки, лежащие в конечной части числовой плоскости с
помощью какого-либо способа, согласующегося с нашими
аксиомами Нетрудно, однако, заметить те изменения, которые надо
ввести в наш ход рассуждений, если в основу понятия плоскости
положить её более широкое определение.

252
ДОБАВЛЕНИЕ IV
значные непрерывные преобразования числовой плоскости
самоё в себя. Именно, если мы возьмём в числовой
плоскости некоторую замкнутую жорданову кривую и
предположим, что на этой кривой установлено некоторое
направление обхода, то эта последняя при такого рода
преобразовании переходит опять-таки в замкнутую жорданову
кривую, имеющую некоторое определённое направление
обхода. В последующих исследованиях мы принимаем, что
если к числовой плоскости применить преобразование,
определяющее движение, то направление обхода в кривой,
получающейся в результате преобразования, будет то же,
что и у первоначальной кривой. Это предположение*)
обусловливает следующую формулировку понятия движения:
Определение движения. Движение есть такое
взаимно однозначное непрерывное преобразование точек
образов на числовой плоскости в себя, при котором
направление обхода замкнутой жордановой кривой остаётся
неизменным. Преобразование, обратное преобразованию
движения, есть снова движение.
Движение, при котором одна точка М остаётся
неизменной, называется вращением вокруг точки М
[или поворотом около точки М].
После введения понятий «плоскость» и «движение»,
мы устанавливаем следующие три аксиомы:
Аксиома I. Если последовательно выполнены два
движения, то получающееся в их результате '
преобразование снова является движением.
Кратко мы это будем формулировать так:
Аксиома I. Движения образуют группу.
*) У Ли это предположение содержится в требовании, чтобы
группа движений порождалась бесконечно малыми
преобразованиями. Противоположное предположение (т. е. предположение,
что возможно изменить направления обхода) существенно
облегчило бы ведение доказательства, поскольку в этом случае
«истинная прямая» может быть непосредственно определена
как место тех точек, которые все остаются в покое при
преобразовании, меняющем направление обхода и в то же время
оставляющем неизменными две точки.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 253
Аксиома П. Если А и М — две любые, отличные
одна от другой точки плоскости, то точку А всегда
можно перевести в бесчисленное множество различных
положений путем вращения вокруг точки М.
Назовём совокупность точек, которые получаются из
одной, отличной от М точки при помощи всевозможных
вращений вокруг точки М7— «истинной» *) окружностью
в нашей геометрии на плоскости; в таком случае
содержание аксиомы II можно сформулировать так:
Аксиома II. Всякая истинная окружность
состоит из бесчисленного множества точек.
Последней из нужных .нам аксиом мы предпошлём
следующее определение:
Определение. Пусть АВ — некоторая определённая
пара точек нашей геометрии; той же парой букв мы будем
обозначать и образы этой пары точек на числовой
плоскости. Окружим каждую из точек Л и Б в числовой
области окрестностью и обозначим эти окрестности
соответственно буквами аир. Если какая-нибудь точка А*
попадёт в окрестность а, а в то же время точка В*
попадёт в окрестность (5, то мы будем говорить, что пара
точек Л*В* лежит в окрестности оф пары АВ, Пусть
утверждение, что эта окрестность сф сколь угодно мала,
означает, что а есть екчэль угодно малая окрестность
точки Л и в то же время р есть сколь угодно малая
окрестность точки В.
Пусть ABC — некоторая определённая тройка точек в
нашей геометрии; теми же буквами мы будем обозначать
образы этой тройки в числовой плоскости. Окружим точки
Л, В, С на числовой плоскости окрестностями и обозначим
эти окрестности соответственно буквами а, р, у. Если
точка Л* попадёт в окрестность а и в то же время
•') Выражение «истинная окружность» должно означать, что
определённый таким путем образ окажется в процессе
исследования изоморфным числовой окружности. Аналогичный же
смысл имеют выражения «истинная прямая» (стр. 257), «истинный
отрезок» (стр. 287).

254
ДОБАВЛЕНИЕ TV.
точка В* попадёт в окрестность р, а точка С* — в
окрестность у, то мы будем говорить, что тройка точек А*В*С*
лежит в окрестности офу тройки ЛВС. Пусть утверждение,
что эта окрестность офу сколь угодно мала, означает,
что а есть сколь угодно малая окрестность точки А ив
то же время р есть сколь угодно малая окрестность точки В,
а у — сколь угодно малая окрестность точки С.
Когда мы потьзовались словами «пара точек» и «тройка
точек», мы отнюдь не предполагали, что точки этой пары
или тройки не могут совпадать.
Аксиома III. Если существуют движения,
посредством которых можно переводить тройки точек,
находящиеся сколь угодно близко к тройке ABC, в тройки,
сколь угодно близкие к А'В'С, то существует и такое
движение, которое переводит тройку точек ABC точно
в тройку А'В'С *).
Содержание этой аксиомы мы кратко будем
формулировать так:
Аксиома III. Движения образуют замкнутую
систему.
Если в аксиоме ИГ мы допустим, что некоторые точки
тройки (точек) могут совпасть, то легко получатся
некоторые частные случаи этой аксиомы; отметим их особо.
Если существуют повороты вокруг точки Ж, при
которых пары точек, лежащие в любой близости пары АВ,
можно перевести в пары точек, лежащие в любой близости
пары А'В\ то существует также и такой поворот вокруг
точки Ж, который точно переводит пару точек АВ в пару
точек А'В1.
Если существуют движения, при которых пары точек,
лежащие в любой близости пары точек АВ, можно
перевести в любую близость пары точек А'В\ то существует
также и движение, переводящее пару АВ точно в пару А'В\
Если существуют повороты вокруг точки УИ, при
которых точки, лежащие в любой близости точки Л, могут
*) Достаточно допустить, что аксиома 111 выполняется для
достаточно малых окрестностей, подобно тому, как это
происходит у Ли; ход моего доказательства можно изменить так, чтобы
в нём понадобилось только это более слабое допущение.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
255
быть переведены в любую близость точки А\ то
существует также и такой поворот вокруг точки Ж, при котором
точка А точно переходит в точку А'.
Этот последний частный случай аксиомы 111 я в
последующем ходе доказательства часто буду применять,
обозначая при этом вращаемую точку буквой М (а не А) *).
Я докажу сейчас следующее утверждение:
Геометрия плоскости, в которой
выполняются аксиомы 1 — ill, является либо
евклидовой геометрией, либо геометрией
Б о ль я и~ Лоб а невского.
Если мы хотим получить только геометрию Евклида,
то надо только аксиому 1 дополнить требованием, чтобы
группа движения обладала инвариантной подгруппой. Это
дополнение заменяет аксиому о параллельных.
Мне хотелось бы предварительно схематически
набросать ход дальнейших рассуждений.
В окрестности некоторой точки М с помощью особого
способа (§1 — § 2) строится некоторый определённый
точечный образ kk и на нём определённая точка К, а
затем подвергается исследованию истинная окружность,
описанная около точки М и проходящая через точку К (§ 3).
Получается, что истинная окружность % является плотным
в себе, т. е. совершенным, точечным множеством.
Ближайшая цель дальнейших рассуждений состоит в
том, чтобы показать, что истинная окружность х является
*) В своём устном докладе на торжественном заседании по
поводу юбилея Геттингенского научного общества в 1901 г. я
выставил в качестве отдельной аксиомы следующее требование
(сейчас являющееся у нас одним из следствий): «Никогда не
может случиться, что какие-нибудь две точки в результате
движения подошли бы друг к другу как угодно близко».
Следовало бы исследовать, в какой степени, т. е. в соединении
с какими другими требованиями, это требование может заменить
аксиому III.

256
ДОБАВЛЕНИЕ IV
замкнутой жордановой кривой *). Доказать это удаётся
благодаря тому, что мы убеждаемся сначала в возможности
упорядочения точек истинной окружности % (§ 4 —■ § 5),
затем заключаем отсюда о возможности взаимно
однозначного отображения точек окружности х на точки обыкновенной
окружности (§6 — §7) и, наконец, показываем, что это
отображение должно быть непрерывным (§ 8). При этом
получается также, что первоначально построенный точечный
образ kk идентичен истинной окружности (§ 9). Далее
следует теорема о том, что всякая истинная окружность,
лежащая внутри круга *л, также является замкнутой
жордановой кривой (§ 10 — § 12).
Мы переходим теперь к исследованию группы
преобразований, которые при вращении плоскости вокруг точки М
переводят истинную окружность % в самоё себя (§ 13).
Эта группа обладает следующими свойствами: 1. Всякий
поворот вокруг точки М, оставляющий на месте хотя бы
одну точку истинной окружности х, оставляет на месте
все точки этой окружности (§ 14). 2. Всегда существует
один поворот около точки Ж, который произвольно
заданную точку окружности у. переводит в любую другую точку
этой же окружности (§ 15). 3. Группа вращений около
точки М непрерывна (§ 16). Эти свойства полностью
определяют построение группы преобразований, соответствующей
вращениям истинной окружности х в самой себе; именно,
мы устанавливаем следующую теорему: группа всех
преобразований истинной окружности у, в себя самоё, которые
являются вращениями около Му голоэдрически-изоморфна
группе обыкновенных вращений обыкновенной окружности
по самой себе (§ 17 — § 18).
Исследуем теперь группу преобразований всех точек
нашей плоскости при вращении её около точки М. При
этом имеет место теорема, утверждающая, что кроме тож-
*) Сравни это со ставящей себе аналогичную цель
интересной заметкой А. Ш е н ф л и с a: A. S с h б n f 1 i е s, «Ueber einen
grundlegenden Satz der Analysis Situs», Gottinger Nachrichten,
1902, а также дальнейшие изложения и литературные указания:
Berichte der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, Добавление
к т. II (1908), стр. 158 и 178.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
257
дественного преобразования не существует ни одного
вращения плоскости около точки М, которое оставило бы все
точки некоторой истинной окружности \х на месте. Далее,
мы убеждаемся в том, что каждая истинная окружность
является замкнутой жордановой кривой, и получаем
формулы для преобразований группы всех вращений около
точки М (§20— §21). Отсюда, наконец, легко
получаются следующие теоремы: если при некотором движении
плоскости две её точки остаются на месте, то все
остальные её точки тоже остаются на месте, т. е. такое движение
представляет собою тождественное преобразование. Любую
точку плоскости можно перевести в любую другую её
точку с помощью соответствующего движения (§ 22).
В дальнейшем нашей -важнейшей целью является
определение в нашей геометрии понятия истинной прямой
и развёртывание свойств этого понятия, необходимых для
построения геометрии. Сначала определяются понятия
полуоборота и середины отрезка (§ 23). Отрезок имеет
не более одной середины, и если относительно некоторого
отрезка известно, что он имеет середину, то отсюда
следует, что также и всякий меньший отрезок имеет
середину (§ 25—§ 26).
Чтобы судить о положении середины отрезка, нам
нужны некоторые теоремы о соприкасающихся истинных
окружностях; дело, прежде всего, сводится к построению
двух конгруентных между собой окружностей, касающихся
друг друга извне в одной и только в одной точке (§ 27).
Далее мы выводим одну общую теорему о касающихся
изнутри окружностях (§ 28) и затем теорему, относящуюся
к тому частному случаю, когда окружность, касающаяся
другой изнутри, проходит через центр этой последней
(§ 29). *
Теперь в основу дальнейших рассуждений кладётся
в качестве единичного отрезка некоторый вполне
определённый достаточно малый отрезок; путём деления пополам
и полуоборотов строится система точек такого рода, что
каждой точке этой системы оказывается сопоставленным
вполне определённое число а, рациональное и имеющее
в качестве знаменателя некоторую степень 2 (§ 30). После
17 Д. Гильберт

258
ДОБАВЛЕНИЕ IV
установления закона, определяющего это сопоставление
(<§ 31), точки полученной таким образом точечной системы
оказываются упорядоченными, и при этом выявляется
значение предыдущих теорем о соприкасающихся
окружностях.
Теперь удаётся доказать, что точки, соответствующие
числам — -j-, ^,..., сходятся к точке 0 (§ 33). Эта
теорема шаг за шагом обобщается, пока мы, наконец, не
убеждаемся в том, что каждая последовательность точек
нашей системы сходится, как только сходится
соответствующая ей числовая последовательность (§ 34 —■ § 35).
После этой подготовительной работы удаётся определить
истинную прямую как систему точек, которая получается
из двух положенных в её основу точек, если
последовательно находить середины, совершать полуобороты, и
добавить к этому точки сгущения всех получающихся таким
образом точек (§ 36). Затем можно показать, что истинная
прямая является непрерывной кривой (§ 37), не имеет
двойных точек (§ 38) и с любой другой истинной прямой
имеет не более одной общей точки (§ 39). Далее
оказывается, что истинная прямая пересекает каждую окружность,
описанную около любой её точки, а отсюда следует, что
любые две точки плоскости можно соединить истинной
прямой (§ 40). Мы убеждаемся также в том, что в нашей
геометрии имеют место теоремы о конгруентности; однако
при этом два треугольника оказываются конгруентными
только в том случае, если они имеют также и одинаковое
направление обхода (§ 41).
Что же касается взаимного расположения истинных
прямых, взятых в совокупности, то следует различать два случая,
в зависимости от того, имеет ли место аксиома о
параллельных или же для любой заданной прямой и для каждой
точки вне её существуют две прямые, которые отделяют
прямые, пересекающие данную, от прлмых, её не
пересекающих. В первом случае мы приходим к
евклидовой геометрии, во втором — к геометрии Больяи-Лобачев-
ского (§ 42).

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
259
§ 1. Пусть М—-некоторая точка в нашей
геометрии и вместе .с тем её образ в числовой плоскости х, у.
Нашей ближайшей задачей является — построить вокруг
М некоторые точечные образы, которые окажутся
затем истинными окружностями, описанными около точки М.
Окружим точку М в числовой плоскости «числовым
кругом», т. е. кругом й в смысле обычного
мероопределения, столь малых размеров, что все точки на этом
круге $ и внутри его также являются образами точек и что
существуют образы точек также и вне круга Я\ Тогда
внутри круга № наверное найдётся круг f, концентрический с й,
такой, что образы всех точек, лежащих внутри круга f,
при любом повороте вокруг М остаются внутри круга $.
Чтобы доказать это, рассмотрим в числовой плоскости
бесконечную последовательность концентрических кругов
%v ^2> ^з» • • •» радиусы которых, убывая, стремятся к нулю,
и предположим, вопреки утверждению, что в каждом из
этих кругов существует образ точки, выходящий при
некотором определённом повороте вокруг М за пределы
круга Я? или переходящий при этом на его границу; пусть
А;—-такой образ точки, лежащий в круге th который
при повороте Д/ занимает место вне круга Я) или на его
границе. Представим себе в таком случае, что из точки М
в каждую * точку Аг проведён радиус г{ соответствующего
числового круга f(, и рассмотрим кривую Y/, в которую
радиус г. переходит при повороте Д/# Так как кривая Y/
из точки М идёт в некоторую определённую точку,
лежащую за кругом й или на его границе, то она, по
необходимости, должна пересечь границу круга №; пусть В.
и будет точкой пересечения, о которой идёт речь; пусть
В будет точкой сгущения *) точек пересечения Bv Въ Вь,. . .
Далее, пусть С{ будет вообще той точкой, лежащей на
радиусе гь которая при вращении Д,- переходит в Bt. Так
как точки Cv С2, С3,.. . сходятся к точке М, то, согласно
аксиоме III, существует поворот вокруг точки Ж, при
котором точка В, лежащая на границе круга $, переходит
*) Под точкой сгущения в этом приложении следует
понимать то, что теперь называют обычно предельной точкой.
17*

260
ДОБАВЛЕНИЕ IV
в точку М, что противоречит ранее данному определению
понятия «движение».
§ 2. Обозначим, как и в § 1, через t числовой круг,
лежащий внутри круга Я* и удовлетворяющий условиям
доказанной в этом параграфе теоремы; таким образом,
все образы точек, лежащие внутри круга f, при вращениях
вокруг точки М остаются внутри круга Й; пусть, далее,
k— числовой круг, лежащий внутри!, и притом такой, что
все его точки при любом повороте вокруг точки М
остаются внутри {. В таком случае точки числовой плоскости,
которые при каком-нибудь повороте вокруг точки М
получаются из точек, лежащих внутри круга k или на его границе,
мы кратко будем именовать покрытыми точками. Из
аксиомы III немедленно следует, что покрытые точки
образуют замкнутое множество. Пусть, далее, Л — некоторая
определённая точка, лежащая вне ^ и служащая образом
некоторой точки в нашей геометрии. Если непокрытую
точку А' можно соединить с точкой А жордановой кривой,
состоящей исключительно из непокрытых точек, то мы
будем говорить, что точка А' лежит вне kk. В частности,
все точки, лежащие вне числового круга I, наверное, лежат
вне kk. О покрытой точке, в любой окрестности которой
находятся точки, лежащие вне kk, мы будем говорить,
что она лежит на kk. Точки, лежащие на kk, образуют
замкнутое множество. Про точки У, которые не лежат ни
вне kk, ни на kk, мы будем говорить, что они лежат внутри
kk. В частности, все покрытые точки, не обладающие тем
свойством, что в любой их близости находятся непокрытые
точки, как например, точка М и точки внутри круга k,
лежат, наверное, внутри kk.
§ 3. Вспомнив, что, в силу определения круга t, точка
А при вращениях вокруг точки М никогда не может
попасть внутрь круга i, мы убедимся, что при любом
вращении вокруг точки М точки, лежащие вне kk, переходят
снова в точки, лежащие вне kk, точки, лежащие на kk, —
в точки, лежащие на kk, и точки, лежащие внутри kk, —
в точки, лежащие внутри kk.
Каждая точка на kk, в силу нашего соглашения, есть
покрытая точка, а так как мы знаем, что точки, лежащие

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
261
внутри круга &, лежат также внутри kk, то мы отсюда
заключаем следующее:
Каждой точке К, лежащей на kk [черт. 98], наверное
соответствует поворот Л вокруг точки М, благодаря
которому точка К', лежащая на границе круга &, попадает
в точку К. Радиус
МК' числового круга
k после вращения' А
вокруг точки М
переходит в жордано-
ву кривую,
соединяющую точку М
с точкой К, лежащей
на kk и проходящей
всецело внутри kk.
Вместе с тем, мы
видим, что по
крайней мере одна из
точек границы
числового круга k, а
именно точка Л",
лежит на kk.
Соединим, кроме Черт. 98.
того, точку /4,
лежащую вне kky произвольной жордановой кривой с точкой М
и обозначим теперь 'буквой К ту её точку, которая
лежит на kk и обладает тем свойством, что все точки,
лежащие на этой жордановой кривой между точками К и Л,
лежат вне kk. После этого рассмотрим систему всех точек,
образующихся из точки К путём всевозможных поворотов
около точки М, т. е. рассмотрим истинную окружность а,
описанную около М и проходящую через точку К. Все
точки этой истинной окружности лежат на kk.
Согласно аксиоме II, истинная окружность */ содержит
бесконечное количество точек. Если К* является точкой
сгущения точек, лежащих на истинной окружности */, то
эта точка, в силу аксиомы 111, также лежит на истинной
окружности х. Обозначим через Кх некоторую точку на
истинной окружности 7. и произведём поворот вокруг точки

262
ДОБАВЛЕНИЕ IV
М, переводящий точку К* в точку Кх\ тогда окажется,
что точка Кх также является точкой сгущения окружности х.
Таким образом, мы приходим к теореме.
Истинная окружность */, есть множество, замкнутое
и плотное в себе, т. е. множество совершенное.
§ 4. Важнейшей целью последующих рассуждений
является доказательство того, что истинная окружность
г. является замкнутой жордановой кривей. В дальнейшем
окажется, что истинная окружность % совпадает с точками,
лежащими на kk.
Покажем сначала, что любые две точки Кх и К2
истинной окружности % можно всегда соединить как жор-
длновой кривой, все точки которой, кроме концов,
всецело проходят внутри kk, так и жордановой кривой, все
точки которой, кроме концов, всецело проходят вне kk.
Действительно, в соответствии с предыдущим
излечением проведём жордановы кривые МКХ и МК2, которые,
проходя внутри kk, соединяют точку М с точками Кх и К2\
исходя из точки М, будем двигаться по кривой МКХ.
Последнюю точку кривой МК2, которую мы при этом встретим,
обозначим через Р. Часть РКХ первой жордановой кривой
образует вместе с частью РК2 второй жордановой кривой
первую из искомых линий, соединяющих точки Кх и К2.
Рассмотрим, с другой стороны, повороты вокруг точки М,
при которых точка К переходит в точку Кх и в точку К2\
точки Aj и А2, которые при этом получаются из то.чки А,
лежат, согласно § 3, вне kk и поэтому могут быть
соединены с точкой А кривыми, лежащими вне kk. Из этих
соединяющих кривых и из жордановых кривых, которые при этих
вращениях образуются из построенной в § 3 жордановой
кривой АК, легко можно образовать жорданову кривую,
связывающую точки Кх и К2 и целиком лежащую вне kk.
§ 5. Доказанная нами только что теорема даёт нам
возможность определённым образом упорядочить точки
истинной окружности %.
Пусть Kv К2, АГ3, /Г4 — некоторые отличные друг от
друга точки истинной окружности х. Соединим точки Кх
и К2 с одной стороны жордановой кривой, которая всецело
(между точками Кх и К2) лежит внутри kk, а с другой —

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
263
кривой, всецело лежащей вне kk. Так как эти
соединяющие кривые, включая их концы Кх и К2, непрерывны, то
они образуют вместе замкнутую жорданову кривую. Одну
из кривых, получающихся таким образом, исходя из точек
Кх и К2, мы всегда будем обозначать через КХК2. Вся
числовая плоскость, из которой выключена кривая КХК2,
распадается, согласно известной теореме Жордана, на две
области, одна из которых лежит внутри, а другая — вне
кривой КХК2. Что же касается положения точек Къ и К±, то
здесь возможны два случая: во-первых, точки К3 и АГ4 не
отделен.ы друг от друга кривой КХК2, т. е. они обе либо
лежат вместе внутри, либо вне этой кривой; во-вторых,
точки Кг и К± отделяются»кривой КХК2 друг от друга, т. е. Кь
лежит внутри кривой КХК2, a /f4—вне её, или наоборот.
Если точки Kv К2 соединить какими-либо другими двумя
кривыми, одна из которых проходит внутри kk, а другая —
вне kk, то легко убедиться* что относительно вновь
полученной замкнутой жордановой кривой КХК2 точки Къ, /Г4
будут расположены точно так же, как и относительно
предыдущей. Действительно, пусть справедливо первое
предположение и пусть точки Ks и К4 обе лежат внутри
кривой КХК2; построим внутри kk путь W, соединяющий точки
К3 и К±. Если этот путь выходит за пределы области,
лежащей внутри замкнутой кривой КХК2, то он должен в конце
концов вновь вернуться внутрь этой области; поэтому
можно часть этого пути W, проходящую вне кривой
КХК2, заменить путём., проходящим вблизи
соответствующего куска кривой КХК2 и притом всецело проходящим
как внутри kk, так и внутри КХК2; таким образом,
получается путь "/*, который соединяет точки /С3 и /С4 и точно
так же целиком проходит внутри kk и внутри КХК2. Из
части кривой КХК2 , лежащей внутри kk, и из части
кривой КХК2, лежащей вне kk, образуем новую замкнутую
жорданову кривую КХК2. Путь W*, соединяющий точки
Къ и /Q, пройдёт, очевидно, внутри этой новой кривой

264
ДОБАВЛЕНИЕ IV
КгК2, не пересекая её, т. е. точки Кг и КА не будут
отделены друг от друга кривой К]К2. Отсюда, после
соответствующего построения, произведённого вне kk, будет
следовать, что точки /Cj и КА не отделяются друг от друга
также и кривой КХК2. Поэтому мы можем сказать кратко*
в первом случае пара точек /С3, /С4 не разделяется парой
точек Kv К2. Отсюда следует, что во втором случае мы
также имеем право сказать кратко: пара точек /С3, /С4
разделяется парой точек Кх, К2.
Произведём некоторый поворот вокруг точки М, при
котором точки Kv К2, Кг, К4 перейдут в точки К[, K'v
К'ъ, К[. Напомним, что поворот, по определению, является
непрерывным и однозначно обратимым преобразованием,
переводящим точки, лежащие внутри kk, в точки, лежащие
внутри kk, и точки, лежащие вне kk, — в точки, лежащие
вне kk. Поэтому пары точек K'v К'ъ и К'ъ, К\
разделяются друг другом или не разделяются, смотря по тому,
разделяются ли друг другом или не разделяются пары точек
Kv К2 и /С3, /С4, т. е. взаанное расположение пар
точек Kv К2 и Кв, К± остаётся неизменным при
вращении вокруг точки М.
Аналогичным образом выводятся и другие теоремы,
которые соответствуют остальным общеизвестным фактам,
касающимся взаимного расположения пар точек
обыкновенной числовой окружности. Теоремы эти суть:
Если точки Kv К2 разделяются точками /С3, К4, то
и точки Кг, КА разделяются точками Kv К2. Е$ли точки
Kv К± разделяются точками К2, Къ, а точки К2, К±
разделяются точками К^КЬ) то точки KvKi разделяются
точками Кг, Кь.
Благодаря этому мы приходим к следующему выводу:
Точки истинной окружности % расположены
циклически, т. е. относительно взаимного разделения пар
точек они расположены так же, как и точки
обыкновенной числовой окружности. Это расположение
инвариантно по отношению к поворотам вокруг центра М
истинной окружности у..

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
265
§•6. Дальнейшее важное свойство истинной окружности
мы сформулируем так.
Для любой пары точек истинной окружности %
существует другая разделяющая ее пара точек этой же
окружности.
Обозначим через Коо какую-либо фиксированную точку
истинной окружности х; имея три другие точки Kv К2, Кв
истинной окружности х, мы будем говорить, что одна из
них, К2, лежит между двумя другими, /С, и /С3, или же не
лежит между ними, смотря по тому, разделяется ли пара
точек Kv К% парой К2, Ко* или не разделяется ею.
В противоположность высказанному выше утверждению
предположим, что существуют две точки К и К' истинной
окружности х, которые не.разделяются никакой другой парой
точек; тогда из нашего соглашения следует, что между
этими точками не может быть ни одной точки истинной
окружности х. Далее, мы можем принять, что существует
точка Kv такая, что пара точек Ки К' разделяется парой
К, А"оо>' действительно, в противоположном случае мы
могли бы в наших дальнейших рассуждениях поменять
роли К и /Г. Далее, из точек истинной окружности у.
выберем бесконечную последовательность /?, сходящуюся
к точке К, и соединим точки Кх и К одной кривой,
проходящей внутри kk, и другой кривой, проходящей вне kk.
Путём соединения этих двух кривых получается замкнутая
жорданова кривая, КХК\ отделяющая Коо от /С, а потому
и от бесконечного числа точек последовательности Ry
сходящейся к К. Пусть К2 — одна из таких точек
последовательности R. Так как точка К2 лежит между Кг и К!,
но не может лежать между К и К\ то точка К2 должна
лежать между Кх и К. Соединив теперь, аналогично
предыдущему, К2 с К' замкнутой жордановой кривой К2К',
мы придём точно так же к некоторой точке /С3
последовательности /?, которая лежит между К2 и К и т. д.
Таким образом, мы получим бесконечную, сходящуюся к точке
К последовательность точек Kv Къ ■ /С3, . .., каждая
из которых лежит между предыдущей точкой и точкой К.
Сделаем теперь поворот вокруг точки Ж, в результате
которого точка К попадёт в одну из точек Kv К2, ЛГ3,...,

266
ДОБАВЛЕНИЕ IV
например, в точку Kt. Точка К! при этом повороте
перейдёт в точку Ki. Так как, согласно нашему
предположению, точки К и К' не были разделены никакой парой
точек, то такое же утверждение справедливо и для пары АГ/?
Ki. Поэтому точка Kt должна либо совпасть с точкой
Kt_v либо совпасть с точкой Ki+1, либо лежать между
точками Kt_x и Ki+l; во всяком случае точка Kt лежит
между К;_2 и Ki+2, а потому и каждая из точек
бесконечной последовательности Кь Кг, Ks, Kj, Kg, Kit,...
лежит между предшествующей точкой и точкой К.
Мы хотим теперь показать, что точки K'v K'v К'п
сходятся к точке К, Действительно, если бы точки K'v K'v Кп,...
сходились к некоторой точке Q, отличной от /С, то мы
выбрали бы из них некоторую точку /С/. Так как все точки
KJ+4» ^/+8> ^1+12»- •• лежат между К\ и К, то
существует замкнутая жорданова кривая К]К^ отделяющая точку
Коо от точек K'l+V ^/+8» ^/+12» а следовательно, и от
точки Q, т. е. точка Q должна лежать между К\ и К
В силу расположения точек Kt относительно точек К\
отсюда следует, что точка Q должна лежать между всеми
точками Kv Къ, Кд1... с одной стороны и точкой К—
с другой. Таким образом, замкнутая жорданова кривая
QKoo должна отделять все точки Kv КЪ9 К9,. .. от точки К;
но в таком случае точки Kv Кь, К9,... не могут сходиться
к точке AT, как это им полагается.
Рассмотрим теперь стремящиеся к К точки Кв, К7,
Kxv ... и точки Кг, Кь К\\,..., которые, как это было
только что доказано, также стремятся к К. Так как при
некотором повороте точка К переходит в Kt ив то же
время точка К! переходит в K\f то, согласно аксиоме III,
должен существовать также и такой поворот, который
переводил бы точки К и К' в общую предельную точку К
Это противоречит, однако, определению поворота. Таким
образом, опровергнув предположение, сделанное в начале
этого § 6, мы полностью доказали указанную
теорему.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
267
§ 7. Принимая во внимание соглашения, принятые нами
в начале § 6, мы будем трактовать истинную окружность х,
из которой выключена точка /Соо, как упорядоченное в смысле
Кантора точечное множество; в таком случае это
линейное множество имеет порядковый тип линейного
континуума.
Чтобы доказать это, определим сначала счётное
множество точек *S истинной окружности х, точки сгущения
которых составляют самую истинную окружность х. Такое
множество имеет, по Kdnmopy*), порядковый тип системы
всех рациональных чисел в их естественном порядке, т. е.
точкам системы S можно привести в соответствие
рациональные числа так, чтобы из трёх чисел я, £, с,
соответствующих любым трём -точкам А, В, С множества S, из
которых точка В лежит между Л и С, число b по своей
величине всегда было бы заключено между а и с.
Пусть К— некоторая точка истинной окружности х,
не принадлежащая системе S; в таком случае, если Л, В —
точки системы S, то мы будем говорить, что Л, В
расположены по разные стороны или по одну сторону от К,
смотря по тому, лежит ли точка К между точками Л и В
или она между ними не лежит. 1:сли мы это соглашение
перенесём из точек системы 5 на соответствующие им
рациональные числа, то точка К произведёт вполне
определённое дедекиндово сечение в системе рациональных
чисел: точке К мы поставим в соответствие иррациональное
число, определённое этим сечением.
На истинной окружности х не может быть двух
различные точек К и К\ которым соответствовало бы одно
и то же иррациональное число. Действительно, построим
замкнутую жорданову кривую КК\ и пусть И — некоторая
точка истинной окружности х, лежащая между К и К' и,
следовательно, внутри кривой КК. Так как Н является точкой
сгущения системы S, то в системе S должна существовать
также точка Л, лежащая внутри кривой КК и, следова-
*) G. Cantor, «Beitrage zur Begriindung der transfiniten
Mengenlehre», Math. Ann. т. 46, § 9; дальнейшие выводы текста
ср. со сказанным в § 11.

268
ДОБАВЛЕНИЕ IV
тельно, между точками К и 1С. Соответствующее точке А
рациональное число а обусловливает, таким образом,
различие сечений, получающихся благодаря точкам К и К'.
Наконец, мы хотим показать, что и обратно — каждому
иррациональному числу а на истинной окружности у. можно
сопоставить соответствующую ему точку К. С этой целью
возьмём две последовательности, возрастающую
последовательность av а2, а3,... и убывающую последовательность
bv Ьъ Ьъ,... , каждая из которых сходится к а. Построим
точки Av Л2, Л3,... и Вь В2, Б3,.. ., соответствующие
этим числам, и обозначим буквой К некоторую точку
сгущения этих точек Аи Л2, Л3,. .., В^ В2у В3,... Точка
К должна в таком случае соответствовать числу а, так
как когда мы строим замкнутую жорданову кривую A.Bit
то точки Ai + V Ai+2, А/+8,..., Bi+V fi/+2, 5/+8,..., а
следовательно, и их точка сгущения должны лежать внутри
А(Вп т. е. между точками Ai и В.. Поэтому сечение,
производимое точкой К, есть не что иное как сечение,
определяющее число а.
Рассмотрим точки, лежащие на обыкновенной числовой
окружности радиуса 1, и сопоставим одной из этих точек
знак +оо и точку /Соо, остальным точкам в непрерывной
последовательности—все действительные числа, а этим
последним — соответствующие точки истинной окружности
т.. Мы придём при этом к следующему выводу; точки
истинной окружности % могут бить взаимно однозначно
с сохранением их порядка отображены на точки,
принадлежащие обыкновенной числовой окружности радиуса 1.
§ 8. Чтобы достичь цели, поставленной в § 4, нам
остаётся ещё доказать непрерывность полученного
отображения, т. е. отсутствие пробелов на истинной окружности
х. Для этого представим себе, что точки истинной
окружности х определяются координатами х, у на числовой
плоскости, а точки числовой окружности радиуса 1 —
через дугу /, имеющую начало в некоторой фиксированной
точке; в таком случае надо доказать, что хну суть
непрерывные функции /.
Пусть tv /2, /3,... — некоторая монотонная, строго
возрастающая или строго убывающая числовая последова-

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
269
тельность, сходящаяся к t*, a Kv K2i КВу... — точки
истинной окружности х, соответствующие этим значениям
параметра, и притом пусть значению t* соответствует на %
некоторая точка /С*. Пусть, далее, Q — точка сгущения
точек Kv К2, Kz,... Если мы построим некоторую
замкнутую жорданову кривую /Q/C*, то точки Ki+V Ki+2i
^/ + з> • • •» а следовательно, и их точка сгущения Q, должны
лежать внутри /Q/C*, т. е. точка Q также лежит между
точками Kt и К*\ поэтому значение параметра t,
соответствующее точке Q, также должно находиться всегда между
tt и /*. Это последнее противоречие устраняется- только
в том случае, когда точки Q и К* совпадают; итак, точки
Kv К2> /С3) • • • сходятся .к точке /С*. Тем самым
непрерывность зависимости функций х, у от параметра t доказана,
и отсюда следует теорема, которую мы в § 4 указали
как на первую важнейшую цель наших исследований; эта
теорема утверждает следующее:
Истинная окружность % в числовой плоскости
является замкнутой жордановой кривой.
§ 9. Мы знаем, что все точки истинной окружности /.
принадлежат к точкам, лежащим на kk; ниже будет
показано, что эти последние точки также все лежат на
истинной окружности х и что, таким образом, справедлива
следующая более сильная теорема:
Истинная окружность у. идентична с точками,
лежащими на kk; точки, лежащие внутри круга у., суть
вместе с тем точки, лежащие внутри kk, а точки,
лежащие вне круга у, суть в то же время точки,
лежащие вне kk.
Чтобы доказать эту теорему, убедимся сначала, что
точка М — «центр» истинной окружности у— может быть
соединена с любой точкой J внутри у непрерывной
кривой, не пересекающей ни в одной точке истинную
окружность у.
Действительно, проведём через точку J обыкновенную
прямую в числовой плоскости — так называемую
«числовую прямую», и пусть Кг и К2— две точки этой числовой
прямой, в которых она по обоим направлениям из точки J

270 ДОБАВЛЕНИЕ IV
впервые встречает истинную окружность 7. Так как Кх и К2
являются в то же время и точками, лежащими на kk, то
каждую из них можно соединить с М жордановой кривой,
проходящей всецело внутри kk и потому, конечно, не
пересекающей истинную окружность 7; обозначим эти жордановы
кривые соответственно через МКХ и МК2. Если одна из
Этих жорданэвых кривые пересекает прямолинейный
отрезок КХК2 в некоторой точке В, то кусок кривой MB
и отрезок JB прямой образуют вместе искомую
линию соединения. В противоположном случае куски кривых
МКХ и МК2 составляют вместе с отрезком КХК2 прямой
замкнутую жорданову кривую у. Так как эта кривая у
целиком лежит внутри числового круга t (§ 1), то точку А,
лежащую вне числового круга Я*, заведомо нельзя
соединить ни с одной точкой, лежащей внутри у, не пересекач
при этом ни в одной точке кривую у. Кривая у состоит
только из точек внутри kk, из точек на kk и из точек
внутри 7. Так как, исходя из Л, этих последних точек
можно достичь, только пересекая истинную окружность 7
в некоторой точке, которая является в то же время и
точкой, лежащей на kk, то вся область, лежащая внутри у,
дотжна лежать также и внутри kk. Поэтому если мы
соединим точку М с J непрерывным, проходящим внутри у
путём, то этот путь никак не сможет пересечь истинную
окружность т, и, значит, будет обладать требуемым
свойством.
Отсюда мы, во-первых, заключаем, что точка М лежит
внутри 7, т. е. что центр истинного круга % лежит
внутри него.
Далее, так как любая точка, лежащая на kk, может
быть соединена с точкой М жордановой кривой, которая,
исключая концы, целиком проходит внутри kk и, таким
образом, не пересекает х, то каждая точка, лежащая на kk,
должна либо лежать на истинной окружности 7, либо внутри
истинного круга 7. Если бы существовала точка Р,
лежащая с одной стороны на /г/г, с другой стороны—-внутри
истинного круга 7, то точку Л, лежащую вне Я, нельзя
было бы соединить с точками, находящимися сколь угодно
близко к точке Р, не пересекая при этом истинной окруж-

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
271
ности 7.; но все точки истинной окружности 7. являются
покрытыми точками, а потому точка Р не может лежать
на kk. Мы пришли, таким образом, к противоречию. Итак,
все точки, лежащие на kk, должны также лежать на
истинной окружности х, т. е. сделанное ранее утверждение
полностью доказано.
§ 10. Точечный образ kk был в § 2 получен из
числовой окружности k с помощью вполне определённого
построения. Так как по крайней мере одна точка числовой
окружности k лежит, как это было показано в § 3, на kk,
а все остальные её точки лежат либо на kk, либо внутри kk,
точки же, лежащие на kk, образуют, как это было
показано в § 9, не что иное как истинную окружность х,
то указанное выше построение служит в то же время
и средством получить из числовой окружности k
истинную окружность %, являющуюся замкнутой жордановой
кривой, окружающей числовую окружность k и касающейся
её извне. Здесь, как и в дальнейшем, мы будем говорить,
что жорданова кривая, которая содержит другую жорданову
кривую внутри и имеет с ней по крайней мере одну общую
точку, касается этой второй извне или что вторая из этих
жордановых кривых касается первой изнутри.
С помощью небольшого изменения предыдущего хода
доказательства, а именно с помощью перемены ролей,
которые играли в этом доказательстве точки, лежащие
внутри окружности */, и вне её. мы можем из числовой
окружности k построить ещё и другую истинную окружность;
будем теперь точки числовой плоскости, которые
получаются из точек, лежащих вне окружности k или на этой
окружности, называть покрытыми точками; все остальные
точки назовём непокрытыми. Если непокрытую точку можно
соединить ' с точкой М жордановой кривой, состоящей из
одних только непокрытых точек, то мы будем говорить
про эту точку, что ола лежит внутри kkk. О точках,
предельных по отношению к этим точкам, мы будем говорить,
что они лежат на kkk, а о всех остальных точках — что
они лежат вне. kkk. Далее, мы покажем, подобно тому,
как мы это сделали в §§ 3—9, что точки, лежащие на kkk,
образуют около М истинную окружность, являющуюся

272
ДОБАВЛЕНИЕ IV
замкнутой жордановой кривой, окружающей свой центр
М, проходящую внутри числовой окружности k и
притом касающуюся её изнутри,
§ 11. Вместо числовой окружности k можно теперь
взять любую замкнутую, пррходящую внутри k жорданову
кривую z, внутри которой лежит точка М. Применяя
такое же, как и раньше, построение, мы найдём и для
этой кривой z вполне определённую, охватывающую её
истинную окружность с центром в точке М, которая
является замкнутой жордановой кривой и касается z
извне, а также вполне определённую, лежащую внутри
z истинную окружность с центром в точке М,
которая также является замкнутой жордановой кривой
и касается z изнутри.
Заметим ещё, что всякая такая истинная окружность,
построенная исходя из жордановой кривой z, может быть
порождена и числовой окружностью; следует только
выбрать ту числовую окружность, которая проходит внутри
рассматриваемой истинной окружности, касаясь её изнутри,
или же охватывает эту окружность, касаясь её извне;
действительно, две истинные окружности, которые являются
замкнутыми жордановыми кривыми и касаются одной и
той же числовой окружности, либо охватывая её, либо
проходя внутри, безусловно должны иметь общую точку и,
следовательно, вообще совпадать.
§ 12. Теперь мы можем без особых затруднений доказать
важное положение о том, что всякая истинная окружность
с истинным центром в точке М, проходящая через не-
которую точку Р, лежащую внутри х, является, так же,
как и построенные в § 11 истинные окружности, замкну-
той жордановой кривой, содержащей внутри точку М%
Для доказательства выделим с одной стороны все
истинные окружности с центром в точке М, которые
являются замкнутыми жордановыми кривыми и не содержат
внутри точку Р7— мы их будем называть истинными
окружностями первого рода; с другой стороны, выделим те из
этих окружностей, которые,-будучи замкнутыми
жордановыми кривыми, захватывают точку Р9—их мы будем
называть истинными окружностями второго рода.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
273
Представим себе сначала, что каждой числовой
окружностью с центром в точке М порождена охватывающая
её истинная окружность, и рассмотрим затем те числовые
окружности, которые порождают истинные окружности
первого рода. Затем найдём для числовых окружностей
предельную окружность g> т. е. наименьшую числовую
окружность, которая охватывает все эти окружности. Все
числовые окружности, меньшие g, дают в таком случае
истинные окружности первого рода. Истинная окружность у,
произошедшая из числовой окружности g, не может содержать
внутри точку Р\ она может только проходить через эту
точку. Действительно, если бы точка Р лежала внутри у,
то можно было бы провести замкнутую жорданову кривую,
целиком лежащую внутри*у и заключающую внутри себя
точки М и Р, и из этой кривой получить охватывающую
её истинную окружность. Так как эта истинная окружность
целиком входит внутрь истинной окружности у, то её
можно было бы получить с помощью числовой окружности^
меньшей, чем g; и в то же время она должна была бь,
окружать точку Р, что невозможно. Так как, как было
уже упомянуто, все истинные окружности с центром в
точке М, которые являются замкнутыми жордановыми
кривыми, порождаются также из числовых окружностей с
центром в точке Му то очевидно, что истинная
окружность, порождаемая окружностью g, является такой
окружностью первого рода, * которая охватывает все другие
истинные окружности первого рода.
С другой стороны, полагая, что из каждой числовой
окружности с центром в точке М порождена та истинная
окружность, которая содержится внутри ' этой- числовой
окружности, мы можем точно таким же способом установить
существование истинной окружности второго рода,
заключающейся внутри всех истинных окружностей второго рода.
Если бы ни одна из найденных нами предельных
окружностей не проходила через точку Р, то можно было бы
в лежащей между ними кольцеобразной области провести
жорданову кривую; с помощью нашего способа мы
заведомо получили бы затем истинную окружность, которая,
будучи замкнутой жордановой кривой, не относилась бы
18 Д. Гильберт

274
ДОБАВЛЕНИЕ IV
ни к окружностям первого рода, ни к окружностям второго
рода, что невозможно. Таким образом, сделанное в
начале § 12 утверждение доказано.
§ 13. После того как мы нашли важнейшие
свойства истинных окружностей с центром в точке Ж,
проходящих внутри и, мы обратимся теперь к
исследованию группы всех движений, которые испытывает
истинная окружность % при вращении плоскости вокруг
точки М.
Пусть, сэгласно построениям § 8, точки истинной
окружности у. отображены с сохранением их порядка на
точки t числовой окружности радиуса 1; в таком случае
каждому повороту Д нашей плоскости около точки М
соответствует вполне определённое взаимно однозначное
и непрерывное преобразование точек t единичного круга
в самих себя. В самом деле, при повороте, согласно
сказанному в § 5, порядок точек на истинной окружности
остаётся неизменным, а потому остаётся неизменным, в силу
§ 7, и порядок значений параметра t. Это преобразование
можно представить в виде формулы
f=\(t),
где Д (t) — непрерывная возрастающая или убывающая
функция, которая при увеличении аргумента t на 2тт
изменяется /также на 2тт.
Функциям Д(/), которые убывают при увеличении
аргумента t, соответствуют преобразования, меняющие
направление обхода на истинной окружности, а так как, в силу
нашего определения понятия движения, направление
обхода должно при движении всегда сохраняться, то
оказывается, что при возрастании аргумента t функция Д(^)
должна всегда также вырастать.
§ 14. Выясним сначала, может ли в этой группе
вращения вокруг точки М существовать такой поворот,
при котором точка А истинной окружности х остаётся
неизменной. Пусть t = a — параметр такой точки Л и пусть
эта точка остаётся неизменной при некотором повороте Д,
который мы представим формулой
r=\{t).

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ 275
Далее, пусть В—некоторая точка истинной окружности %
с параметром t= ft, меняющая своё положение при
вращении Д. Положим, что Ь<^а\ этим предположением мы
не ограничиваем общности наших рассуждений.
Как функция Л(/), так и обратная ей функция Д"1 (t)
при убывании аргумента убывают. Так как Д (а) — а> то
мы подряд выводим отсюда, что все величины, которые
можно представить с помощью символических степеней
Д (ft), ДД (ft) = Д2 (ft), Д3 (ft),..., Д"1 (ft), Д-2 (ft), Д-3(ft),
меньше а. Если k(b)^> Ь, то величины
Д(»),АЧ&), д3(£),...
образуют возрастающую последовательность. Если же
Д(^)<С^> т0 это же утверждение справедливо для
последовательности
д-Ч»)> Д-Mft), Д-3W,...
Отсюда мы заключаем, что непосредственное повторение
вращения Д по отношению к ft в первом случае и
символические отрицательные степени A(ft) во втором случае
должны приближать нас к некоторому предельному
значению g, которое либо лежит между а и ft, либо
совпадает с а. Пусть предельному значению g соответствует
некоторая точка G на 'истинной окружности х. Тогда
степени Д с положительными или, соответственно,
отрицательными показателями образуют движения, при которых
точка В подходит в конце концов сколь угодно близко к G
и в то же время точки, находящиеся в сколь угодно
малой окрестности точки G, остаются в сколь угодно малой
окрестности точки G. Согласно аксиоме III, в таком случае
должно существовать движение, переводящее точку В в G
и в то же время оставляющее точку G на месте, что,
однако, противоречит понятию движения. Следовательно,
поворот Д, который оставляет на месте точку А,
обязательно должен оставлять на месте все точки
окружности ж, т. е. должен для этой окружности сводиться
к тождественному преобразованию.
18*

276
ДОБАВЛЕНИЕ IV
§ 15. Из определения истинной окружности
непосредственно ясно следующее:
Существует такой поворот вокруг точки М,
который переводит одну произвольно заданную точку О
истинной окружности % в другую произвольно
заданную точку S той же окружности.
§ 16. Мы найдём сейчас ещё одно свойство группы
движений, переводящих истинную окружность в самоё
себя.
Пусть О, S. Г, Z— четыре точки истинной окружности
7, выбранные так, что при повороте вокруг точки Ж,
переводящем точку О в 5, точка Т переходит в Z, и,
таким образом, положение точки Z однозначно
определяется точками О, S, Т. Если мы точку О закрепим на
месте и будем точки S и Т передвигать по истинной
окружности, то при непрерывном изменении положения
точек S и Т положение точки Z будет меняться также
непрерывно.
Чтобы показать это, возьмём две бесконечные
последовательности точек Sv 52, S3,• • • и Tv Г2, Г3,. ..,
сходящиеся соответственно к точкам S и Т. Повороты вокруг
точки Ж, при которых точка О переходит в S1? S2, SB, ...
мы обозначим через Дх, Д2, Д3,. • •» а точки, в которые
в результате этих поворотов переходят точки Tv Г2, Т3,...,
обозначим через Zv Z2, Z3,...; требуется в таком
случае показать, что точки Zb Z2, Z3,.. . сходятся к точке Z.
Пусть Z* служит точкой сгущения множества точек Zlf Z2,
Z3,... Согласно аксиоме III, существует в таком случае
вращение вокруг точки Ж, которое точку О переводит в S
и в то же время точку Т — в Z*. Таким образом,
оказывается, что точка Z* определена однозначно, и
тождественна с точкой Z.
§ 17. В §§ 14—16 мы узнали, что группа всех
вращений истинной окружности х, переводящая эту окружность
в самоё себя, обладает следующими свойствами:
1. Не существует никакого поворота вокруг точки Ж—
кроме, конечно, тождественного преобразования, — который
оставил бы на месте одну какую-либо точку истинной
окружности *л.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
277
2. Если О и S суть две произвольные точки истинной
окружности х, то всегда существует поворот вокруг точки Ж,
переводящий точку О в S.
3. Пусть при некотором повороте вокруг М точка О
переходит в S и вместе с тем точка Т переходит в Z;
однозначно определяемое этим условием положение точки Z
на % меняется непрерывно, когда точки S и Т непрерывно
перемещаются по окружности х.
Эти три свойства вполне определяют построение группы
преобразований Д(2), которые соответствуют движениям,
переводящим истинную окружность % в самоё себя. А
именно, мы устанавливаем следующую теорему:
Группа всех движений истинной окружности х,
переводящих её в самоё себя и являющихся вращениями
вокруг точки М, голоэдрически изоморфна группе
обыкновенных вращений единичной числовой окружности
вокруг точки М в самой себе.
§ 18. Тот поворот около точки Ж, который переводит
точку О истинной окружности % с параметром 0 в точку
5 с параметром s, мы запишем посредством преобразования
f = tk(t9s),
причём функция Д (t, s) удовлетворяет условию Д (ty 0) = t%
В таком случае на основании найденных нами свойств
группы вращения мы можем утверждать, что функция Д (t, s)
однозначна и непрерывна при всех значениях обоих
переменных t и s. Так как при двух соответствующих друг
другу значениях tut' переменная 5 определяется
однозначно с точностью до слагаемого, кратного 2тт, то из
предыдущего следует, что функция Д (ty s) при постоянном
значении t и возрастающем s либо постоянно возрастает,
либо постоянно убывает. Так как эта функция при ^=0
переходит в s, то необходимо должен иметь место первый
случай. Итак,
Д(*,*)>Д(<М), Д(о,*) = '; О**).
а гак как
Д (2тт, s) = 2тх -[-> Д (0, s) = 2тт -\- s,

278
ДОБАВЛЕНИЕ IV
ТО
Д(2тт, 2т\) = 4тс.
Стало быть, функция Д(t,t)(^>t) одной переменной t
постоянно возрастает от 0 до 4тт, когда аргумент t
возрастает от 0 до 2гг. Из этого обстоятельства мы тотчас же
выводим следующее:
Любому положительному числу f S 2тс соответствует
одно и только одно положительное число t, для которого
b(t,t) = f;
при этом t<^f. Значение параметра £«^2тг) даёт нам
на истинной окружности у. такур точку, что при некотором
повороте вокруг точки М точка t = 0 передвигается
в точку t, а точка t — в точку /'.
Обозначим то значение t, для которого
Д(*,*) = 2гс,
через ср 1-~); то значение t, для которого
A(U) = <p (1),
— через ср (™); то значение t, для которого
A(M) = <p(i),
— через ср (од) .. .; далее, положим вообще:
где а означает целое число и я—-целое число ^1.
Далее, положим:
ср(0) = 0, ср(1) = 2тт.
Тем самым функция ср непротиворечиво определена для
всех рациональных значений аргумента, знаменатель
которых представляет собою некоторую степень 2.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
279
Любой положительный аргумент а мы разложим в
двоичную дробь вида
<з — il_U i?4- ^4-
и 2 1 22 т^ 23 1^' '''
где zv z2i zB>. .. суть цифры, каждая из которых равна
либо 0, либо 1. Так как числа последовательности
заведомо никогда не убывают и все !§ср(1), то они
приближаются к некоторому пределу, который мы обозначим
через со (а). Функция ср (а) с возрастанием аргумента
постоянно возрастает; покажем, что она также непрерывна.
Действительно, если бы эта функция в некоторой точке
и -" 2 ' 22 "Г 23 ~г • ^ 2« ~ 2* '
\2« 2 > 22 ' * ' ' "т" 2«У
претерпевала разрыв, то оба предельных её значения
L ъ[Ъь\ ъ L <р /rg« + 1 \
«^оо1 \2«/ л = оо V 2л ;
были бы отличны друг от друга и," стало быть,
бесконечная последовательности точек, соответствующих
параметрам
' = »(?).< = *($.< = ¥$)-•'
сходилась бы к точке, отличной от той точки, к которой
сходится бесконечная последовательность точек,
соответствующих параметрам
Вращение, благодаря которому точка / = ср (~ч
переходит в точку t = ср I ~^г—), переводит также одновременно

280
ДОБАВЛЕНИЕ IV
точку t = (f(^j-) в точку ^=^(-2^гг)»а так как числа
^ \ 2~) ' ^ (22) » ¥ (оз )» • • • постоянно убывают и,
следовательно, точки, соответствующие этим значениям
параметра, должны сходиться к некоторой точке Л, то, в силу
часто применявшегося нами следствия из аксиомы III, обе
указанные ранее бесконечные последовательности точек
должны сходиться к одной и той же точке.
Так как функция <р(а) постоянно возрастает и
непрерывна, то она допускает также и однозначное
непрерывное обращение.
Поворот около точки Ж, благодаря которому точка
t = 0 переходит в точку /=ср(^Ч, переводит вместе с
тем точку tz=y (р^), где Ът — некоторое целое число,
в точку t = <f (jr^s -|- ^). Так как при п = оо числа
<р (-—] стремятся к ср(а), а числа ^(о^+о^) стремя
к ? (о^Н-з) > т0> в силу аксиомы III, существует пово
2т
рот, передвигающий точку t = Q в / = ср(а), а точку
1 2^y ' r y 7 r \2m
Но cp есть непрерывная функция, а потому отсюда вообще
для любых двух параметров т и а следует равенство:
А(ср(т), <р(о))=<р(т + а).
Тем самым показано, что если в формуле
дающей преобразование, вместо параметров ty t\ s ввести
с помощью некоторой, вполне определённой взаимно
однозначной функции <р параметры т, т', а, для которых
*=¥(т), *'=?(т'), *=*(*)>

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
281
то поворот Д в этих новых параметрах выразится
равенством
т' = т+а.
Эта теорема показывает, что утверждение, сделанное нами
в § 17, справедливо.
Заменим теперь параметр а параметром (о = 2тто и
назовём этот параметр углом или длиной дуга,
заключённой между точками О(а = 0) и *S(t. е. о), отсчитываемой
по истинной окружности т.; поворот, при котором точка
О(а=0) переходит в точку S(t. е. а), мы будем
называть вращением или поворотом Д[ю] истинной
окружности х в самой себе на угол <о.
§ 19. Этим доказательством теоремы § 17 мы
закончим исследование вращения истинной окружности % в
самой себе. Из сказанного в § 11 и § 12 мы заключаем,
что все рассуждения, применённые к истинной
окружности %, и все доказанные относительно неё положения
справедливы также относительно всех истинных
окружностей с общим центром в точке М, лежащих внутри
окружности 7..
Обратимся теперь к той группе преобразований всех
точек, которые получаются при вращениях плоскости
вокруг фиксированной точки М, и докажем последовательно
следующие теоремы:
Пусть дано, что некоторая истинная окружность \х
с центром в точке М является жордановой кривой,
внутри которой лежит точка М; в таком случае не
существует ни одного вращения плоскости вокруг
точки М, кроме, конечно, тождественного преобразования,
которое оставило бы на месте каждую из точек
окружности jjt.
Для доказательства обозначим вращение около М,
оставляющее на месте каждую точку на jji, через М и
предположим, во-первых, что, вопреки высказанному
утверждению, на }л существует некоторая точка Л, в
любой близости которой лежат точки, меняющие своё
положение при каком-то вращении М. Опишем около Л, что
в силу сказанного в § 12 заведомо возможно, истинную

282
ДОБАВЛЕНИЕ IV
окружность а, которая проходила бы через точку,
меняющуюся при вращении М, и была бы настолько мала, что, в
силу сделанного выше замечания, теорема § 14 имела бы для неё
место. Пусть В — точка пересечения этой окружности с /л;
в таком случае движение М можно характеризовать как
вращение окружности а по самой себе, при котором
точка В остаётся на месте. Однако при таком вращении, в
силу сказанного в § 14, все точки на а остаются на
месте, что противоречит нашему предположению; таким
образом, наше первое предположение оказывается
недопустимым.
Построим теперь около М систему замкнутых жорда-
новых кривых, обладающих следующими свойствами:
истинная окружность |х принадлежит этой системе; каждая
из этих кривых либо целиком содержит другую кривую,
либо целиком содержится в э^ой кривой; через каждую
точку числовой плоскости проходит одна и только
одна кривая этой системы. Предположим в таком
случае, во-вторых, что, вопреки предшествующему
утверждению, в этой системе существует некоторая кривая ),,
находящаяся внутри или вне ja, такая, что все точки в
кольцеобразной области, лежащей между ji и 1, при
всяком вращении М остаются на месте и в то же время в
любой близости кривой \ существуют такие точки,
которые остаются на месте не при всяком вращении М.
Пусть А—точка на X, в любой близости которой
находятся точки, смещающиеся при вращениях М. Опишем
около А истинную окружность а, проходящую через одну
из этих перемещающихся точек и настолько малую, что
к ней применимо сказанное в § 14. Так как эта
окружность, будучи достаточно мала, всё же проходит через
кольцеобразную область, которая при движениях М
остаётся на месте, то движение М можно также характеризовать
как вращение круга а в себе самом, причём бесконечное
число точек окружности а остается на месте. Поэтому,
в силу сказанного в § 14, при вращениях М все точки
окружности а должны оставаться на месте, что противоречит
нашему предположению. Таким образом, доказано, что
при вращениях М все точки плоскости остаются на месте.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
283
§ 20. Мы сделаем теперь следующее важное
утверждение
Каждая истинная окружность есть замкнутая
жорданова кривая) система всех истинных
окружностей, описанных около точки М, заполняет без
пробелов нашу плоскость так, что всякая истинная
окружность, описанная около точки М, либо охватывает
любую другую такую окружность, либо содержится
в ней. Все вращения Д[со] нашей плоскости около
точки М выражаются с помощью преобразований вида:
где х, у и х\ у' означают координаты точек числовой
плоскости, а /, g—однозначные непрерывные функции
трёх переменных л;, у, со. Далее, в каждой точке ху у
число 2тг является наименьшим общим периодом
функций /, g относительно аргумента со, т. е. мы проходим
через каждую точку (л:, у) истинной окружности один и
только один раз, когда со пробегает все значения от 0
до 2тт. Наконец, при последовательном выполнении двух
поворотов на углы со и со' имеет место формула
Д[со]Д[со'] = Д[со4- со'].
§ 21. Для доказательства сделанного утверждения
возьмём опять истинную^ окружность х, с центром в
точке Ж, которая является'замкнутой жордановой кривой, и
рассмотрим вращения этой истинной окружности % по
самой себе. В соответствии со сказанным в § 18, вводим
угол со так, что заданием некоторого значения со,
лежащего между 0 и 2тт, однозначно определяется некоторое
движение истинной окружности 7. по себе самой. Когда
все точки на х остаются на месте, то, согласно сказанному
в § 19, все вообще точки плоскости также не
перемещаются; следовательно, каждому вращению истинной
окружности 7. по себе самой соответствует один вполне
определённый поворот плоскости около точки М. Отсюда
следует, что функции fug, входящие в установленные в
§ 20 формулы для вращения плоскости около точки М
являются однозначными функциями для всех значений х

284
ДОБАВЛЕНИЕ IV
у, (0, периодическими относительно со, с периодом,
равным 2тг.
Покажем теперь, что функции fug непрерывны
относительно х, у, со. Положим для этого, что О — некоторая
точка на х; (ov со2, <о3, ...—бесконечная
последовательность значений, сходящаяся к некоторому значению со, и
что 7\, Г2, Г3, ...—бесконечная последовательность
точек нашей плоскости, сходящаяся к некоторой точке Г.
Точки, получающиеся из О путём поворота на углы
ю1> ®2* <*>з> • • • > мы обозначим соответственно через
*$!> ^2> *^з> • • •» а точки, которые получаются из точек
Ть Г2, Т3, ... путём поворота соответственно на углы
Юр^Юз» •••»"" через Zt,Z2, Z3,... Наконец, точки, которые
получаются из О и Т путём поворота на угол со, мы
обозначим соответственно через S и Z. Таким образом, вопрос
сводится к доказательству того, что точки Zv Z2, Z3, ...
сходятся к точке Z.
Так как точки Tv 72, Г3, ... сходятся к точке 7,
то можно определить жорданову область G, внутри
которой находились бы все точки М, Г, Tv Г2, Г3, ...
Применим к этой жордановой области вращение вокруг
точки Ж, перемещающее точку О в S. Жорданову область,
получающуюся в результате этого поворота из области G,
мы обозначим через И; эта область заведомо содержит
точки М и Z. Наконец, построим замкнутую жорданову
кривую а, содержащую область И целиком внутри, т. е.
охватывающую эту область так, что ни одна из её точек
не лежит внутри И или на её границе.
Покажем теперь, что из точек Zn, Z2, Z3, ... вне
кривой а может лежать только конечное число.
Действительно, если бы бесконечное число таких точек Z, , Z. ,
Z; , ... лежало вне а, можно было бы себе представить,
что точки М и Т{ соединены некоторой жордановой
кривой Ya> проходящей внутри области G, и далее применить
к кривой Ya поворот на угол <0/л. Получившаяся таким
образом кривая соединяет'точку М с точкой Z/fc, а
потому должна пересечь кривую а в какой-либо точке,
например, в точке Bh; пусть Ah — та точка кривой ih, которую

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
285
поворот на угол (0/Л переводит в точку Bh. Так как
точки Av A2j А3, ... все лежат внутри области G, а точки
Bv В2, Вг, ... все лежат на кривой а, то должна
существовать такая бесконечная последовательность индексов
hv h2, Л8, ..., при которой точки Ahli Ah^ ЛЛз, . . .
сходились бы к точке Л, лежащей внутри области G или
на её границе, и в то же время точки Bhli Bhi, БАз, ...
сходились бы к точке В, лежащей на кривой а. Но мы
знаем, что точки Sv S2, 53, ... сходятся к точке S; в
таком случае, в силу аксиомы III, должен существовать
поворот около точки М, переводящий одновременно и
точку О в 5, и точку А в В. Однако это невозможно,
так как при таком повороте точка А должна перейти в
точку, лежащую внутри области Н или на её границе,
а точка В лежит на кривой а, содержащей область Н
целиком внутри.
Таким образом, мы убедились, что система точек Zv
Z2, Z3, .... должна целиком лежать внутри некоторой
жордановой области.
Пусть Z* служит точкой сгущения для точек Zv Z2,
Z3, . . . Так как точки Sv S2, S3,. .. сходятся к точке S,
то, в силу аксиомы III, существует поворот около
точки Ж, при котором точка О переходит в S, а точка Т —
в Z*. Но так как при повороте вокруг точки М, который
точку О перемещает в 5, точка Т должна перейти в Z,
то, в силу доказанной раньше однозначности функций /
и ^необходимо, чтобы Z* = Z, т. е. точки ZVZ2,Z3, ...
сгущаются только в одной точке, а именно в точке Z.
Таким образом, доказано, что функции fug
относительно переменных х, у, со непрерывны.
Подставим теперь в функции fug вместо х, у
координаты некоторой точки Р нашей плоскости, лежащей
внутри окружности % или вне её. У полученных таким
образом функций /(со), g(w) одной только неременной <о
общие периоды не могут быть сколь угодно малы.
Действительно, так как функции /((о), g(w) непрерывны, то
при нарушении этого условия они сводились бы к
постоянным, и в таком случае при всех поворотах плоскости
вокруг точки М точка Р оставалась бы на месте, что

286
ДОБАВЛЕНИЕ TV
противоречит аксиоме II. Наименьший общий период этих
двух функций должен быть вида — , где п — некоторое
целое положительное число. Отсюда следует, что мы
получим истинную окружность, проходящую через точку Р,
если заставим переменную (О в формулах
* = /(«>), y = g(®)
пробегать значения от 0 до —. Эта кривая замкнута
и не имеет двойных точек; она представляет собою
истинную окружность с центром в точке М. Если мы повернём
теперь плоскость на угол — , то все точки этой истинной
окружности, проходящей через точку Р, останутся на
месте и вместе с тем, согласно § 19, все точки плоскости
должны остаться неподвижными; но точки истинной
окружности 7. останутся при этом повороте на месте
только в том случае, когда /г = 1. Тем самым мы доказали
полностью все утверждения теоремы, формулированной
в § 20.
§ 22. Мы легко теперь убедимся в справедливости
следующих положений:
Если какие-либо две точки при движении плоскости
остаются на месте, то и все точки плоскости
остаются на месте, т. е. это движение представляет
собой* тождественное преобразование.
Каждую точку плоскости можно всегда с помощью
движения (а именно — двух вращений) перевести в любую
другую точку плоскости.
Первое положение есть непосредственное следствие
теоремы § 20. Второе положение получится, если вокруг
каждой из двух точек описать истинную окружность,
проходящую через другую точку; при этом обе окружности
обязательно должны пересечься.
§ 23, Важнейшей задачей является, далее, введение в
нашу геометрию понятия истинной прямой и развитие
свойств этого понятия, необходимых для построения
геометрии.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
287
Для этого установим сначала следующую
терминологию Если Л, В и А', В' — две такие пары образов
точек, что при некотором движении точка Л переходит
в А' и одновременно точка В переходит в В\ то мы
будем говорить, что (истинный) отрезок АВ конгруентен
(обозначается это символом =) (истинному) отрезку А'В''.
Далее, две истинные окружности мы будем называть кон-
груентными, если существует движение, которое
переводит центр одной из этих окружностей в центр другой и
одновременно самую первую окружность во вторую.
Под полуоборотом Н около точки М мы будем
разуметь поворот на угол тг, т. е. поворот, повторив
который, мы получим тождественное преобразование. Если Л,
В, С суть три точки, обладающие тем свойством, что А
при полуобороте около В переходит в С и одновременно
при том же полуобороте С переходит в Л, то мы будем
говорить, что точка В является серединой отрезка АС.
Мы говорим, что отрезок АС меньше или больше
отрезка АВ, смотря по тому, лежит точка С внутри
истинной окружности, описанной около точки Л и проходящей
через точку В, или вне её. Для того чтобы аналогичным
образом определить для любых отрезков и любых
окружностей понятия «меньше» и «больше», выполняют движения,
благодаря которым начальные точки отрезков или,
соответственно, центры окружностей попадают в определённую
точку.
§ 24. Истинный отрезок АС имеет не более одной
середины; действительно, если бы отрезок АС имел две
середины и мы обозначили бы полуобороты около этих
середин через Нх и Н2, то сложная подстановка Н^Н^1
представляла бы движение, оставляющее в покое каждую
из точек Л и С. Отсюда, обозначая символически
тождественное преобразование через 1, мы, в силу сказанного
в § 22, получим, что
Я1Я2"1= 1, т. е. Я1 = Я2;
таким образом, обе середины должны совпасть. В
частности,, отсюда вытекает следующее положение: если два

288
ДОБАВЛЕНИЕ IV
отрезка конгруентны, то и половины этих отрезков
конгруентны.
§ 25. В дальнейшем ходе рассуждений нам
понадобится следующая лемма:
Пусть точки Av А2,.А^ ... сходятся к точке Л, а
точки Mv Мъ М3, ... — к точке М. Тогда, если при
выполнении полуоборотов около точек М. точки А.
переходят в точки Вр то точки Bv £2, Вв, ... тоже сходятся
и притом к той точке В, в которую переходит точка А
при полуобороте около точки М.
Прежде всего, всегда можно найти жорданову область,
внутри которой лежат все точки Bv В2, Б3, ... В этом
мы можем убедиться с помощью такого же рассуждения,
какое было применено в § 21 к системе точек Zv Z2, Z3, ...
Обозначим через Б* точку сгущения точек BvB2lBB, .. .
В силу аксиомы III, должно существовать такое движение,
которое переводит точки Л, Ж, В* соответственно в
точки В*9 Л4, Л, т. е. точка £* получается из А путём
полуоборота около точки М. Так как, однако, и В
получается из А путём полуоборота около точки Ж, то отсюда
следует, что Б* = 5, что и требовалось доказать.
§ 26. Мы покажем теперь, что если у
некоторого отрезка АВ существует середина М, то у любого
меньшего его отрезка АС также существует
середина N.
Для доказательства соединим точки А и М какой-либо
непрерывной кривой у и Для любой точки М' этой
кривой у определим точку В' так, чтобы М' служила
серединой отрезка АВ'; геометрическим местом точек В'
служит, как это можно заключить из доказанной в § 25
леммы, непрерывная кривая у'. Когда точка М' на кривой
у приходит в точку Л, то и кривая у' обязательно приходит
в точку А, Действительно, рассмотрим бесконечную по-,
следовательность точек Mv М2, /W3, ... кривой у,
сходящихся к Л, и бесконечную последовательность
соответствующих им точек Bv B2i В3, ... кривой у'. Если бы
последовательность Bv В2, Z?3, ... имела бы точку
сгущения Л*, отличную от Л, то мы заключили бы отсюда, что
существует движение, которое определённые точки, нахо-

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
289
дящиеся в любой близости к точке Л, оставляет в любой
близости этой точки Л и вместе с тем переводит точку Л
в любую близость точки Л*. В таком случае, в силу
аксиомы III, точка Л должна была бы при некотором
определённом движении и остаться на месте и в то же
время перейти в точку Л*, что невозможно.
Так как, в силу нашего предположения, АС меньше АВ,
то истинная окружность, описанная около точки А и
проходящая через точку С, должна пересечь непрерывную
кривую у', соединяющую точки А и В, в некоторой
точке В'. Точка М\ соответствующая этой точке на кривой у,
и будет серединой истинного отрезка АВ', а так как
АС = АВ\ то с помощью соответствующего поворота около
точки А можно получить из- точки М' искомую середину N
отрезка АС.
Так как отрезок АС при полуобороте около своей
середины N переходит в СЛ, то из ранее доказанной
теоремы следует, что отрезок АС всегда конгруентен
отрезку С А — в предположении, конечно, что этот отрезок
АС меньше некоторого вполне определённого отрезка
АВ, положенного в основу наших рассуждений в начале
$ 26.
Одновременно мы убеждаемся в том, что если точки Cv С2,
С3, . .. сходятся к точке Л, то середины Nv N2, NB, .. .
отрезков ACV АС2, ACS, ... сходятся к той же точке Л.
§ 27. В наших дальнейших рассуждениях нам
понадобятся некоторые теоремы о соприкасающихся истинных
окружностях, и прежде всего нам необходимо построить
две конгруентные окружности, касающиеся друг друга
извне в одной и только одной точке.
Для этого возьмём настолько малую окружность %\
чтобы внутри её не мог помещаться ни один отрезок,
конгруентный вполне определённому отрезку АВ,
положенному нами в основу в § 26; теорема §11 показывает, что
это заведомо возможно, так как иначе точки А и В могли
бы быть передвинуты одновременно сколь угодно близко
к точке М. Затем пусть х — окружность [черт. 99],
лежащая внутри х' и имеющая общий с %' центр. Возьмём две
произвольные точки на окружности у. и опишем около них
19 Д. Гильберт

290
ДОБАВЛЕНИЕ TV
две конгруентные друг другу столь малые окружности а
и р, что никакая пара точек на у, лежащих внутри а, не
может быть разделена — в смысле упорядочения точек на
окружности — никакой парой точек окружности у', лежащих
внутри р. Кроме того, эти окружности а и р должны быть
столь малы, чтобы полностью умещаться внутри у. В таком
случае возьмём точку Р\ лежащую внутри а и вне л, и:
Черт. 99.
точку R\ лежащую внутри р и внутри у, и опишем около
этих точек крнгруентные друг другу окружности тт' и р',
которые должны быть столь малы, чтобы тт' лежало
целиком в а и вне у, а р' — целиком внутри р и внутри к.
Сделаем теперь такой поворот около центра окружности а,
при котором окружность тт' перешла бы в окружность тт/',
касающуюся окружности у, извне. Пусть точки
соприкосновения образуют при этом систему, которую мы обозначим
буквой S. Далее, сделаем такой поворот около центра
окружности р, при котором окружность р' перешла бы в
окружность р, касающуюся % изнутри. Систему, которую

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
291
будут образовывать эти точки соприкосновения, мы
обозначим через Т.
Так как, в силу выбора окружностей a, [J, ни одна пара
точек системы S не может быть разделена точками системы
Т, то заведомо возможно путём поворота плоскости около
центра окружности % одну из крайних точек системы Sy
лежащую на х, покрыть одной из крайних точек системы
Г, лежащей на ч, так, чтобы остальные точки системы S
перешли в точки, ни одна из которых не совпадает с
точками системы Т. При этом повороте окружности тг"
приходит в соприкосновение с окружностью р таким
образом, что точка С, в которой имеет место совпадение,
оказывается единственной точкой соприкосновения.
Обозначим окружность тт" в' её новом положении через тт,
а центры окружностей тг и р соответственно через
Я и/?.
Мы хотим теперь показать, что точка соприкосновения С
должна находиться посредине между обоими центрами Р
и R. Действительно, в силу нашего выбора окружности у.'
отрезок PR должен быть меньше вполне определённого
отрезка АВ и поэтому, в силу сказанного в § 26,
заведомо имеет середину; пусть этой серединой будет точка С*.
В таком случае окружности тг, р при полуобороте около
точки С* переходят одна в другую, а потому каждая
точка одной окружности переходит в точку другой. Так
как точка С является общей точкой обеих окружностей
к и р, то при таком полуобороте она должна перейти
также в общую точку обеих окружностей; она,
следовательно, должна при этом полуобороте остаться на месте
и тем самым совпасть с точкой С*, вокруг которой был
совершён полуоборот.
Из только что доказанной теоремы вытекает
одновременно следующее:
Из окружности тт при помощи полуоборота около
точки С, лежащей на этой окружности, получается
окружность р, касающаяся тг извне в точке С; не су-
ществует другой, отличной от р, окружности, конгруент-
ной окружно ти тг и касающейся ее извне в точке С
и только в этой точке.
J9*

292
ДОБАВЛЕНИЕ IV
§ 28. Далее справедлива теорема:
Если некоторая окружность t заключена в
окружности тс и соприкасается с этой окружностью, то это
касание имеет место только в одной точке.
Для доказательства предположим, что у окружностей
t и тс [черт. 100] имеются две отличные друг от друга
точки соприкосновения Q и Q'. Выполним в таком случае
полуоборот около точки Q'; благодаря этому полуобороту
окружность тт перейдёт в тс', касающуюся тс в одной только
точке Q', a t перейдёт в
окружность t', лежащую
внутри тс', а потому, конечно,
целиком расположенную вне
тт и касающуюся как
окружности тс, так и окружности тс'
в одной только точке Q\ Если
мы теперь произведём тот
поворот около центра
окружности тс, который переводит
точку Q в Q', то из
окружности t получится окружность l'\
которая будет целиком
лежать внутри тс, а потому
заведомо вне t', соприкасаясь
с ней только в точке Q'. Таким образом, мы получили
две окружности t и t", каждая из которых касается
извне конгруентной им окружности С в точке Q' и притом
только в этой точке, что противоречит теореме § 27.
Факты, найденные нами в § 27 и § 28, остаются в
силе и в том случае, когда вместо окружностей я и р берут
меньшие окружности.
§ 29. Пусть Р — центр окружности тс, построенной
нами в § 27, Q —точка, лежащая на тс, и, наконец, О —
произвольная точка. В таком случае мы всегда можем,
используя замечание в конце § 26 и опираясь, как в § 27,
на теорему § 20, задать точку Е, столь близкую к О,
что внутри окружности t, описанной около середины М
отрезка ОЕ и проходящей через точки О и Е, не найдётся
ни одного отрезка, конгруентного PQ, и, что то же, утвер-

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
293
ждение будет справедливо для всякой точки Е' и
соответствующей ей окружности t', если только Е' будет
находиться ещё ближе к Е, чем О*).
В таком случае справедлива теорема:
Окружность i (или t'), описанная около середины
М(М') отрезка ОЕ(ОЕ') и проходящая через точку О,
полностью охватывается окружностью с центром
в точке О, проходящей через точку Е (Е')\ эта послед-
няя имеет с окружностью t
(О соприкосновение в одной
только точке Е (Е').
Для доказательства опишем
сначала около точки О такую
окружность о) [черт. 101],
которая охватывает окружность t,
соприкасаясь с ней. Эта
окружность (о должна быть меньше
окружности тт, так как в
противоположном случае
окружность, описанная около точки Черт. 101.
О и конгруентная тт, должна
была бы заходить внутрь круга I, а тогда внутри
окружности i должен был бы находиться отрезок, конгруент-
ный PQ, что невозможно. Согласно теореме,
доказанной в § 28, эта окружность о может иметь с
окружностью t только одну точку соприкосновения; пусть
эта точка — Ех. Если точка Ех не совпадала бы с точкой Е,
то можно было бы сделать около М такой поворот, в
результате которого точка Ех достигла бы точки О; при этом
повороте точка О перешла бы в некоторую точку Е2
окружности t, отличную от точки Ev Так как отрезок ОЕЛ
*) Выбираем круг а с центром в О, в котором не лежит ни
один отрезок, конгруентный PQ. Обозначим через Е
какую-нибудь граничную точку такого круга с центром в О, для которого
каждая из внутренних или граничных его точек образует вместе
с точкой О отрезок, середина М которого лежит в а.
Окружность с центром в точке Af, проведённая через точку О, кон-
груентна окружности, описанной около точки О и проходящей
через М'\ она не содержит поэтому ни одного отрезка, кон-
груентного PQ,

294
ДОБАВПЕНИЕ TV
конгруентен отрезку Е20, а, следовательно, и отрезку
ОЕ2, то точка Е2 также должна бы быть точкой
окружности со, а это противоречит утверждению, что точка Ех
есть единственная точка, общая окружностям юи :; итак,
окружность со проходит через точку Е, что и требовалось
доказать.
§ 30. В основу последующих рассуждений мы положим
построенный в § 29 отрезок ОЕ и отнесём точкам О и Е
числа 0 и 1; затем построим середину отрезка ОЕ и
отнесём ему число у, потом отнесём серединам отрезков
(0, у) и (у, 1) числа х и Т' потом серединам от-
резков (0,1) , (1 , 1) , (1 , 1) , (|, l) числа 1,
3 5 7
•^ » о" » "о" и т- Д- Повернём теперь весь отрезок (0,1) на
о о о
полуоборот вокруг точки О и отнесём всякой точке,
получившейся при этом из точки, которой было
сопоставлено число а, число—а; затем сделаем полуоборот около
точки 1, снабдим всякую точку, которой раньше было
сопоставлено число а, числом 2 — а и представим себе,
что эти повороты, выполняемые попеременно то около
точки О, то около точки Е, продолжаются дальше и что
вновь возникающим числам относятся числа, пока, наконец,
не окажется, что всякому рациональному числу а,
знаменатель коего представляет собою некоторую степень 2,
отнесена некоторая вполне определённая точка.
§ 31. Посредством этого соответствия мы легко можем
убедиться в справедливости следующего закона:
В результате полуоборота около точки, которой
соответствует число а, каждая точка х переходит в точку
2а — х. Таким образом, если мы сделаем полуоборот около
точки О = 0, а затем полуоборот около точки а, то
каждая точка х преобразуется в точку х-\-2а.
§ 32. Чтобы установить порядок среди точек, которым
приписаны числа и чтобы можно было сравнивать
ограничиваемые ими отрезки, мы используем установленную
в § 29 теорему о соприкасающихся окружностях
следующим образом.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
295
Окружность, описанная около точки 0 и проходящая
через точку — [черт. 102], полностью охватывает окруж-
1
ность, описанную около точки -j и проходящую через
точку —; так как эта последняя охватывает окружность,
описанную около точки
1
£- и проходящую через
2 1
точку — = -j , и
окружность, описанную около
3
точки — и проходящую
8 4 1
через точку — = — , а эти
последние охватывают
окружности: описанную
около т^ и проходящую
2 1
через — = —, описанную
3 4 1
около г£ и проходящую через -г^= ~т, описанную около
5 6 3 7
— и проходящую через — = — описанную около -tq и
8 1-
проходящую через — = у и т. д., то мы приходим к
выводу, что отрезок (0, у) больше любого отрезка (0, я),
где а — положительное рациональное число, знаменатель
которого есть степень 2, а значение которого меньше —.
Далее, окружность с центром в точке 0, проходящая
1 1
через -г , охватывает окружность с центром в точке -г-,
проходящую через — = — . Эта последняя, со своей сто-
о 4
Черт. 102.
роны, охватывает окружность, описанную около точки ^
ш

296
ДОБАВЛЕНИЕ IV
2
и проходящую через т^,и окружность, описанную около
3 4
Tg и проходящую через у^; эти же, в свою очередь, охва-
1
тывают меньшие окружности, описанные около точек ^ ,
3 5 7
оТ) , з>, 32>И т* д,; 0ТС1°ла мы заключаем, что отрезок
1О, х) больше всех отрезков (0, я), где а —
положительное рациональное число, знаменатель которого
представляет собою некоторую степень 2 и значение которого
1
меньше -j.
Затем рассмотрим окружность с центром в точке 0 и
проходящую через —; она охватывает окружность, описан-
о
1 2 1
ную около тт: и проходящую через — = —; эта последняя,
в свою очередь, охватывает меньшую окружность, описан-
1 ' 2
ную около ^> и проходящую через ^ и т. д.; отсюда мы
заключаем, что отрезок (0,-^-) больше всех отрезков
(0, а), где а — положительное рациональное число,
знаменатель которого является степенью 2 и значение которого
меньше -^. Продолжая дальше этот ход рассуждений, мы
придём к следующему выводу общего характера:
Если а — положительное рациональное число,
знаменатель которого представляет собою некоторую степень
2 и значение которого меньше —, то отрезок (0, а)
всегда меньше отрезка (0, —-J.
§ 33. Теперь мы можем доказать одну за другой
следующие леммы:
~ 1111
Точки, соответствующие числам у, -j- , ^- , ^, ...,
сходятся к точке 0.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
297
Если допустить противное, то, так как каждый из
отрезков (О, 1), (О, |), (0, i), (О, 1),... меньше пре-
1111
дыдущего, точки сгущения точек "о" > Т > я"» Тк > • • • по"
падут на некоторую определённую истинную окружность %
с центром 0. Пусть, например, —, —, — ,
...—последовательность точек, сходящихся к точке К на
окружности х; пусть точки
_1 _1 _1
имеют своей точкой сгущения точку А"*. Из теоремы § 25
следует, что /С* должно быть серединой отрезка ОК,
а это заключение, в силу положения, доказанного в
конце § 27, противоречит тому, что точка К* также должна
лежать на окружности *л.
§ 34. Пусть av а2, аъ, .. . — положительные
рациональные числа, знаменатели которых суть степени 2.
Если при этом бесконечная числовая последовательность
av а2, av ... сходится к точке 0, то
последовательность точек, соответствующих этим числам, также
сходится к точке 0.
Для доказательства выберем целые показатели nv п2, .
я3, ... так, чтобы
0i<^,a2<—, д3<—, ...
* 111
1 чтобы последовательность —, —- —, ... также схо-
2ni 2"2' 2п>
дилась к 0. Согласно доказанной в § 32 теореме, всякая
точка а. лежит внутри окружности, описанной около
точки 0 и проходящей через точку —:; а в силу леммы,
доказанной в § 33, окружности, описанные около точки 0
и проходящие через точки — , — , — , .. ..сходятся
г 9Л1 9Л2 ()п^ '
к 0; отсюда немедленно следует утверждение, подлежащее
доказательству.

298
ДОБАВЛЕНИЕ TV
§ 35. Наконец, имеет место следующая теорема:
Пусть av аъ а3, . . . — бесконечная
последовательность рациональных чисел, знаменатели которых суть
степени 2, сходящаяся к некоторому действительному
числу а; в таком случае соответствующие им точки
av аъ av ... также сходятся к некоторой точке.
Для доказательства предположим противное. Пусть,
например, V и V" — две отличные друг от друга точки
сгущения последовательности av а2, % ... , именно, пусть
точки aif, #2', #3', • • • сходятся к 1/', а точки #i>/, #2"> аъ», • • •—
к точке V". Согласно замечанию, сделанному в § 31, для
каждой точки ak существует движение, состоящее из двух
полуоборотов, которые переводят произвольную точку а^
в точку att — ak и одновременно точку ар в точку а^ —ak.
Числа а,(1 — ak и а^—ak при возрастании индексов
подходят сколь угодно близко к 0, а потому, в силу
теоремы § 34, существуют движения, которые переводят
точку, как угодно близкую к V, и одновременно точку,
как угодно близкую к I/", в любую близость точки 0.
А это невозможно в силу аксиомы III, как легко
показать с помощью уже не раз применявшихся рассуждений.
§ 36. Если мы теперь точке, к которой сходятся
точки a1? я2, я3, .. ., отнесём число а, то тем самым
каждому действительному числу будет поставлена вполне
определённая точка нашей плоскости; систему всех этих
точек мы будем называть истинной прямой] таким
образом, под этой истинной прямой понимают ту систему
точек, которая получается из точек О, Е, если
последовательно брать середины, производить полуобороты
и присоединять к этой системе точки сгущения всех
полученных таким образом точек. Все системы точек,
полученные путём движения этой истинной прямой,
также называются истинными прямыми. Истинная
прямая каждой своей точкой разбивается на две
полупрямые.
§ 37. Опираясь на лемму § 25, мы легко убедимся,
что при полуобороте нашей истинной прямой около
произвольной точки а точка х переходит в точку 2а — х;

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
299
при выполнении двух полуоборотов — одного около
точки 0, другого около точки а — точка х переходит в д:-|-2а.
На основании теоремы § 35 легко показать, что и в
том случае, когда av а2, я3> • • • есть сходящаяся к а
последовательность чисел произвольного вида,
последовательность соответствующих точек аь а2У я3, .. . стремится
к соответствующей точке а, т. е. истинная прямая есть
непрерывная крив ля.
§ 38. Рассмотрим предположение, что существуют
какие-то два числа а и Ь} которым на истинной прямой
соответствует одна и та же точка Я. Точка ~^" , являясь
серединой отрезка (а, Ь), должна опять-таки совпасть
с точкой Р. То же самое должно иметь место и для
а + ь\ „ (а +
)и (*±Ъ),т.е.
середины отрезков [а,—^—) и (—^—, £), т. е. для то-
Ъа-\-Ь а + ЗЬ г- к
чек —^— и —-—. Продолжая, далее, брать середины
отрезков, мы убеждаемся, что все точки ——]-—^- , где
Ап, Вп суть два целых положительных числа, в 'сумме
составляющие 2", должны совпасть с Р; отсюда, в силу
сказанного в § 37, следует, что вообще все
действительные числа, лежащие между а и Ъ, должны соответствовать
одной и той же точке Р прямой. Это противоречие
показывает, что истинная прямая не имеет двойных,
точек. Точно так же мы убедимся в том, что истинная
прямая не может повернуться назад по себе самой.
§ 39. Две прямые имеют не более одной общей
точки.
Действительно, если бы они имели две общие точки Л
и Б и если бы на одной прямой этим точкам соответствовали
числа а, Ь, а на другой прямой — числа а', Ъ\ то
сереет 4- Ь а' + Ь'
дины —^— и —-— соответствующих отрезков также
должны были бы совпасть. Продолжая дальнейшее
рассмотрение середин, как это было сделано в § 38, мы
подобным же образом приходим к заключению, что все точки,
лежащие между а и На одной из этих прямых и между

300
ДОБАВЛЕНИЕ IV
а' и Ь' на другой из них, совпадают; следовательно,
совпадают и сами эти прямые.
§ 40. Наша истинная прямая пересекает каждую
окружность, описанную около какой-либо её точки,
например, около точки 0.
Действительно, если сделать противоположное
предположение, то представляются возможными только два
случая: либо существует вполне определённая окружность х
с центром в точке 0, которую прямая g ещё встречает,
между тем как любая окружность, охватывающая х и
имеющая своим центром точку 0, с прямой g уже не
встречается; либо существует вполне определённая
окружность х, которую прямая g не встречает, между тем как
все проходящие внутри х окружности и имеющие центром
точку 0, с прямою g встречаются.
Так как прямая g, в силу своего построения, всегда
может быть продолжена за любую свою точку и, как это
было показано в § 38, не может иметь двойных точек, то
в первом случае внутри у. необходимо должна
существовать окружность с центром в точке 0, которую прямая g
встречает в двух точках Л и В, лежащих на ней по одну
сторону от 0, причём точка В берётся на продолжении
прямой g за Л и достаточно близко к Л внутри х. Если
теперь сделать поворот около точки 0 так, чтобы точка Л
перешла в В, то наша прямая g перейдёт в другую
прямую, которая пересекается с прямой g не только в
точке 0, но и в точке В, что невозможно в силу теоремы,
доказанной в § 39.
Во втором случае обозначим буквой К точку
окружности х, к которой истинная прямая g подходит сколь
угодно близко. Опишем около точки К истинную
окружность тг*, меньшую х и пересекающую прямую g в какой-
нибудь точке М. Затем опишем около точки М
окружность тг, которая была бы больше тг* и меньше х. Эта
окружность тг, будучи больше тг*, содержит внутри
точку /С, и так как она меньше х, то из нашего
предположения, в силу ранее доказанного, следует, что прямая g,
проходящая через точку М, непрерывно протекает
внутри тс и, будучи продолжена в ту или другую сторону,

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
301
выходит за пределы тт через какую-либо точку и затем
внутрь круга тт не возвращается. Так как, с другой
стороны, прямая g сколь угодно близко подходит к точке Ку
лежащей внутри тт, то она необходимо должна содержать
также и самую точку К; в этом и заключается
противоречие с предположением, из которого мы исходили.
Так как совокупность всех окружностей, описанных
около какой-нибудь точки, покрывает всю плоскость, не
оставляя на ней пустых мест, то из предшествующего
следует, что любые две точки нашей плоской геометрии
могут быть соединены истинной прямой.
§ 41. Докажем, что аксиомы конгруентности в нашей
плоской геометрии выполняются.
Выберем с этой целью какую-нибудь определённую
истинную окружность 7 и введём для её точек
параметрическое представление с помощью угла со, согласно § 18:
в таком случае, когда ю принимает значения от 0 до 2тт,
истинная окружность пробегается в определённом порядке.
Благодаря этому для любой другой окружности, конгруент-
ной х, также устанавливается вполне определённое
направление обхода, именно то направление, которое
получится, если мы с помощью двух последовательно совершённых
поворотов (как это было сделано в § 22) совместим центр
окружности % с центром рассматриваемой окружности.
Так как, согласно определению понятия движения, которое
было дано в начале этой работы, невозможно совместить
самое с собою первоначальную окружность х, изменив
при этом направление обхода на обратное, то для каждой
окружности действительно существует одно вполне
определённое направление обхода.
Возьмём теперь два луча, исходящие из одной точки
Ж и не образующие вместе истинной прямой; опишем
около точки М окружность, конгруентную я, и из двух
вырезанных этими лучами частей окружности фиксируем
ту, которой соответствует интервал параметра (о,
меньший тт. Установленное направление обхода ведёт в таком
случае внутри фиксированной части окружности от одного
луча к другому. Мы назовём первый луч правой стороной
угла между обоими лучами, а второй луч — его левой

302
ДОБАВЛЕНИЕ IV
стороной, — сам же интервал параметра (<^тт) будет для
нас служить мерой этого угла. В таком случае из нашего
определения движения следует первая теорема о конгруент-
ности двух треугольников, которую мы сформулируем так:
Если для двух треугольников ABC и А'В'С' имеют
место конгруентности:
АВ = А'В\ АС = А'С\ ЗС ВАС = §: В'А'С
и если, кроме того, АВ и А'В' суть соответственно
правые, а АС и А'С— левые стороны углов <^ВАС и
•gt; В'А'С\ то справедливы также конгруентности:
§С ЛВС = ЗС А'В'С и ЗС АСВ = §; А'СВ\
ВС = В'С.
§ 42. После того, как в §§ 30—40 дано определение
истинной прямой и выведены её свойства, нам придётся
различать два случая:
Во-первых, предположим, что существует только одна
прямая, проходящая через данную точку и не
пересекающая данной прямой (аксиома параллельности). В таком
случае в нашей плоскости выполняются все те аксиомы,
которые были мною установлены (относительно плоскости) в
основной части этой книги (глава I), с тою только оговоркой,
что аксиому III надо брагь в более узкой формулировке,
которая была дана в § 41. Но даже и при более узкой
формулировке указанной аксиомы из этой системы аксиом, с
необходимостью следует евклидова геометрия на плоскости
(смотри добавление И, стр. 202, а также глава I, стр. 92—93).
Во-вторых, предположим, что через каждую точку А
проходят два луча, не составляющие вместе прямой и не
пересекающие некоторую заданную прямую g, причём
всякий луч, исходящий из точки А и проходящий внутри
угла, образованного указанными двумя лучами, пересекает
прямую g.
Используя непрерывность, легко в таком случае
получить, что и обратно — любым двум лучам, исходящим из
точки Л и не составляющим вместе прямой, соответствует
вполне определёлная прямая g, не пересекающая эти лучи,
но пересекающая всякий луч, исходящий из точки А и

ОБ ОСНОВАНИЯХ ГЕОМЕТРИИ
303
проходящий внутри угла, образованного этими двумя
полупрямыми. При этих условиях получается геометрия на
плоскости Лобачевского-Больяи даже в том случае, когда
в основу положена аксиома о конгруентности 1Н5 в её более
узкой формулировке, как это можно показать с помощью
моего исчисления «концов» *).
В заключение я хочу указать на характерное различие
между предлагаемым обоснованием геометрии и тем,
которое я пытался дать в основной части этой книги. Там
был указан такой порядок аксиом, при котором
требование непрерывности находилось на последнем месте
позади остальных аксиом, так что при этом естественно
возникал вопрос, в каком объёме известные теоремы и
доказательства элементарной геометрии от требования
непрерывности не зависят. Напротив, в настоящем исследовании
вопрос о непрерывности был поставлен посредством
определения плоскости и движения на первом месте перед
всеми остальными аксиомами, так что здесь важнейший
вопрос состоял в том, чтобы найти наименьшее число
требований, из котор >ix можно было бы, при дальнейшем
использовании непрерывности, получить элементарные образы
геометрии (окружность и прямую) вместе с их свойствами,
необходимыми для построения элементарной геометрии.
И действительно, настоящее исследование показало, что для
этого достаточны требования, выраженные выше в
аксиомах I—III.
Геттинген, 10 мая 1902 г.
*) См. мою статью «Новое обоснование геометрии
Лобачевского-Больяи», составляющую добавление 111 этой книги.
Приведённый там способ доказательства надо соответствующим
образом изменить, а именно, там надо ввести понятие непрерывности,
опустив при этом использование теоремы о равенстве углов при
основании равнобедренного треугольника. Чтобы получить
теоремы о сложении концов (стр. 240—243), следует сложение
рассматривать как предельные случай вращения плоскости, когда точка,
вокруг которой вращается плоскость, удаляется в бесконечность.

i я " t
ДОБАВЛЕНИЕ V
О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ
КРИВИЗНЫ
О поверхностях постоянной отрицательной кривизны
Согласно Бельтрами*), поверхность постоянной
отрицательной кривизны осуществляет кусок плоскости
Лобачевского (неевклидовой плоскости), если принять за
прямые плоскости Лобачевского геодезические линии
поверхности постоянной отрицательной кривизны, а за длины
и углы плоскости Лобачевского — настоящие длины и углы
на этих поверхностях. Среди исследованных до сих пор
поверхностей постоянной отрицательной кривизны не
нашлось ни одной, которая простиралась бы непрерывно
и имела бы непрерывно меняющуюся касательную плоскость
в окрестности любой своей точки; напротив того, все
известные до сих пор поверхности постоянной отрицательной
кривизны обладают особыми линиями, за которые
невозможно продолжать эти поверхности непрерывно и с
непрерывным изменением касательной плоскости. Вследствие этого
не удаётся с помощью ни одной из известных до сих пор
поверхностей постоянной отрицательной кривизны
осуществить целиком всю плоскость Лобачевского, и нам кажется,
что представляет принципиальный интерес вопрос о том,
можно ли вообще плоскость Лобачевского в целом
представить по способу Бельтрами с помощью ана-
*) Giornale di Matematiche, т. 6, 1868.

О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 305
литической *) поверхности постоянной отрицательной
кривизны.
Чтобы дать ответ на этот вопрос, мы будем исходить
из предположения, что существует аналитическая
поверхность постоянной отрицательной кривизны —1, которая
в конечном повсюду регулярна и не имеет особых точек; мы
покажем, что это предположение приводит к противоречию.
Чтобы окончательно характеризовать поверхность,
существование которой мы предполагаем, необходимо приписать
ей ещё следующее свойство:
Каждая точка, лежащая в конечном и
предельная для точек этой поверхности, также
является точкой этой поверхности**).
Если О есть некоторая точка этой поверхности, то
всегда можно выбрать прямоугольные оси координат х,у, z
так, чтобы точка О служила началом координат и чтобы
уравнение поверхности в окрестности этой точки О имело
вид:
г = ах* + Ьу*-\-Щх,у), (1)
*) Ради простоты изложения я предполагаю здесь, что
рассматриваемые поверхности имеют аналитический характер, хотя
как способ доказательства, так и полученный результат (см.
стр. 311) остаются в силе и при предположении, что функция
Ч$(х,у) в уравнении (1) является достаточно далеко
дифференцируемой неаналитической функцией. Тот факт, что действительно
существуют неаналитические, но в смысле теории
поверхностей регулярные поверхности постоянной отрицательной
кривизны (которые, в соответствии с доказанной дальше теоремой,
не могут простираться повсюду непрерывно с непрерывным
изменением касательной плоскости) был по моему предложению
показан Г. Люткемейером в его диссертации: G. L u t к е-
m е у е г, «Ueber den analytischen Charakter der Integrate von par-
tiellen Differentialgleichungen», Gottingen, 1902.
**) Смысл этого условия заключается в том, что запрещается
рассматривать ограниченный кусок поверхности без граничной
линии. Если же рассматривать такой кусок вместе с границей,
то это противоречило бы требованию регулярности в
окрестности любой .точки (если применить его к точкам границы). В
результате запрещено рассмотрение ограниченных кусков, чего
и нужно было добиться, так как иначе доказываемая теорема
была бы, конечно, очевидным образом неверна. (Прим. ред.)
20 Д. Гильберт

306
ДОБАВЛЕНИЕ V
где а и b — постоянные, связанные соотношением:
Aab= —1,
а степенной ряд ?$(х,у) содержит члены не ниже третьего
порядка относительно х и у. Очевидно, что ось z будет
в данном случае служить нормалью к поверхности, а оси
х и у будут давать те направления, по которым
определяются главные кривизны.
Уравнение
ах2 +Ьу2 = О
определяет две асимптотические касательные к
поверхности в точке О, лежащие в плоскости ху; следовательно,
эти две касательные никогда не сливаются и дают
направления, по которым проходят асимптотические линии к*
поверхности в исследуемой точке. Каждая из этих
асимптотических линий принадлежит некоторому однопараметри-
ческому семейству асимптотических линий, заполняющих
окрестность точки О регулярно и без пробелов. Поэтому
если мы под и a v будем понимать достаточно малые числа,
то можно сделать следующее построение. Отложим на
одной из двух асимптотических линий, проходящих через точку
О, дугу, длина которой равняется значению параметра #,
через конец этой дуги проведём вторую асимптотическую
линию и отложим на ней дугу, длина которой равняется
значению параметра v- полученная таким образом точка —
конец второй дуги — однозначно определяется значениями
параметров и uv. Если мы, в соответствии с этим, будем
рассматривать прямоугольные координаты л:, у, z точек
поверхности как функции и и vy полагая
x = x(u,v), y = y(u,v), z = z{u,v),
то эти последние для достаточно малых значений и и v
будут также регулярными аналитическими функциями и и v.
Из теории поверхностей постоянной отрицательной
кривизны, равной —1, известны следующие положения:
Если буквой ср мы обозначим угол между двумя
асимптотическими линиями, проходящими через точку и, v, то
для трёх коэффициентов первой основной квадратичной

О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 307
формы мы получим следующие значения:
•=(£)'+(55)4 (£)•=..
, дх дх , ду ду , дг &z_
* ди dv "• ди dv* ди dv *v
'-(£)'+(£)'+(£)'='•
и, следовательно, квадрат производной от длины дуги
произвольной кривой, лежащей на этой поверхности, по
какому-нибудь параметру t выразится так:
(ds\* fdu\2 . du dv , fdv\* /o\
Угол ср, рассматриваемый как функция от # и v,
должен удовлетворять уравнению в частных производных.
Если отказаться от однозначного отнесения каждой
точке поверхности пары чисел и, v, то можно сделанное
построение распространить на любые значения и, v. Вообще
говоря, я-линия, проходящая через точку О, может оказаться
замкнутой; но всё же, на основании предположения,
сделанного нами относительно поверхности (стр. 305), на ней
можно откладывать по обе стороны от точки О сколь
угодно большие длины. Таким образом, каждому значению
и соответствует точка на асимптотической линии.
*) Первоначально я доказал невозможность существования
поверхности постоянной отрицательной кривизны, не имеющей
особых точек, на основании этой формулы (Transactions of the Ame-
ricain Math. Society, т. 2, 1901). Затем Хольмгрен (E.
Holmgren) дал более аналитическое доказательство того же
факта, также опираясь на формулу (3) (Comptes rendus, Paris,
19Э2). Приведённая здесь переработка доказательства
Хольмгрен а примыкает к тому изложению этого доказательства,
которое было дано В. Бляшке в его «Дифференциальной
геометрии», т. I, § 96. В связи с моим первоначальным доказательством
см. также изложение Л. Бибербаха (Acta raathematica, т.48).
20*

308
ДОБАВЛЕНИЕ V
В каждой такой точке Р рассмотрим проходящую
через неё другую асимптотическую линию. На этой линии
мы примем в качестве параметра v отсчитываемую от
точки Р длину дуги (со знаком); снова по обе стороны от
Р на асимптотической линии можно откладывать сколь
угодно большие длины.
Каждой паре значений и, v соответствует, таким
образом, однозначно — но, вообще говоря, отнюдь не взаимно
однозначно — некоторая точка нашей поверхности. Итак,
мы получили то, что на геометрическом языке называется
отображением евклидовой плоскости (и, v) в целом на
некоторую накрывающую поверхность нашей заданной
поверхности или на её часть.
Теперь надо, прежде всего, показать, что каждая
^-линия нашей поверхности является асимптотической линией
и что параметр и на этой линии представляет длину её дуги.
Для линии г> = 0 мы это уже знаем. Далее, на
основании формулы (2), дающей представление линейного
элемента, это имеет место для кусков #-линий, которые
принадлежат окрестности точки (и, 0).
Для общего доказательства достаточно убедиться в
правильности следующего утверждения:
Есла а—положительное число, a b — любое
действительное число, то образ каждого отрезка
— a=tt§"f fl, v = b
представляет на нашей поверхности кусок асимптотической
линии или последовательность её кусков, а параметр и
при этом представляет длину дуги на этой линии.
При £ = 0 эта теорема справедлива. Следует, далее,
показать, что:
1) если эта теорема справедлива при b = b0, то она
справедлива также и при любом Ь, достаточно мало
отличающемся от Ь0;
2) если эта теорема справедлива для ЬА<С^Ь<^ЬЪ то
она справедлива также и при b = b} и при b=b2.
Доказательство это получается путём использования
непрерывности и применения теоремы Гейне-Бореля о
конечном покрытии.

О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 309
Итак, справедливость этой теоремы доказана для всех
значений Ь. —
Пусть теперь у = у(и^) означает (как и на стр. 307)
угол между двумя асимптотическими линиями, проходящими
через точку поверхности (u,v), причём пусть этот угол
отсчитывается от положительного «-направления к
положительному ^-направлению. Эта функция <р (я, v) должна быть
определена и непрерывна для всех значений u,v и обладать
непрерывными частными производными, удовлетворяющими
дифференциальному уравнению (3).
С помощью соответствующего выбора положительных
и- и ^-направлений мы можем во всяком случае достичь
того, чтобы в точке u = v = 0 имели место неравенства:
0<<Р<* и ^0.
Так как ср нигде не равно ни 0, ни тт, то, вследствие
непрерывности функции y(u,v) для всех значений u,v,
должны иметь место неравенства 0 <^y(u,v) <^тт, а
следовательно, и неравенство
sin со ^> 0.
Однако функции ср(#,^), обладающей этими свойствами,
не существует.
Действительно, из дифференциального уравнения
дЧ .
ди dv *
следует, что , "* ^> 0, и, следовательно, функция -г- при
увеличении v растёт.
В частности,
£(0.1)>g (0.0)^0,
а потому можно найти такое положительное число а, для
которого при 0 S и S За имело бы место неравенство

310
ДОБАВЛЕНИЕ V
Пусть т означает положительный минимум функции
^(и, 1) при О^и^За.
В таком случае, при v7>\:
<р(а,г>) — <р(0,г>) = ^(»Д,^)-а^ 1
-><^ п ^ f(0<»<l)
и аналогично
ср (За, г>) — ср (2а, v)^>m* а;
таким образом,
ср (2а, v) ^ ср (За, г>) — m• а <^ тс — /я • а.
Далее, при 0g«g3a,^^l имеем:
Йс^аЙе.!»*
таким образом, ср (и, v) растёт монотонно вместе с и.
Поэтому при
aS«S2a, v^\:
О <^ т • а <^ ср (a, z>) 5g ср (я, v) S ср (2а, v)<[ тт — /я • а,
и, следовательно,
sincp(a,i/)^> sin(m«a) —Ж,
где М^>0 и не зависит от я, v.
Вследствие этого величина двойного интеграла
\ \ sin ср (a, v) du dv,
распространённого на прямоугольник с вершинами
(а,1), (2а, 1), (2а, V), (а, V), (V> 1),
больше M»a(V—1), и при надлежащем выборе V может
быть сделана больше тс.
С другой стороны, из дифференциального уравнения'(3)
получается, что
2а V
\ \ sin ср du dv = \ \ ^—?- fifo аЧ/ =
« 1
= (f (2а, V) - <р (а, V)) - (-, (2а, 1) - у (а, !))<>,

О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 311
так как
<t(2i,V)-<t(a,V)<V(2*,V)<iit
и
<р(2а,1) —<р(я,1)>0.
Мы пришли, таким образом, к противоречию и потому
мы вынуждены отвергнуть принятое нами вначале
предположение, т. е. мы убеждаемся в том, что не существует
аналитической поверхности постоянной отрицательной
кривизны, не имеющей нигде особенностей и повсюду
регулярной. Поэтому, в частности, на поставленный
в начале статьи вопрос о том, можно ли по способу
Бель трами осуществить в евклидовом пространстве
на некоторой регулярной аналитической поверхности
всю плоскость Л о баче в с ко го, надо ответить
отрицательно.
О поверхностях постоянной положительной
кривизны *)
В начале этого исследования мы исходили из вопроса
о поверхности постоянной отрицательной кривизны,
которая в конечном повсюду была бы регулярно аналитической,
и пришли к выводу, что подобной поверхности не
существует. Мы хотим теперь с помощью соответствующего
метода исследовать аналогичный вопрос для замкнутой, не
имеющей особенностей поверхности постоянной
положительной кривизны. Очевидно, сфера есть замкнутая поверхность
постоянной положительной кривизны и без особенностей.
Согласно доказательству, проведённому, по моему предло-
*) Вопрос о том, можно ли осуществить эллиптическую
неевклидову - геометрию с помощью точек повсюду непрерывно
искривлённой поверхности, по моему предложению исследован
В. Бой: W. Boy, «Ueber die Curvatura integra und die Topo-
logie geschlossener Flachen:», Inauguraldissertation, Gottingen, 1901
и Math. Ann., т. 57, 1903. В. Бой построил в этой работе
топологически очень интересную, целиком лежащую в конечном, одно:
стороннюю замкнутую поверхность, которая, если отвлечься от
одной замкнутой двойной кривой с тройной особой точкой, в
которой пересекаются полости поверхности, не имеет никаких
других особенностей и обладает связностью неевклидовой
эллиптической плоскости.

312
ДОБАВЛЕНИЕ V
жению, X. Либманном*), не существует никакой
другой замкнутой поверхности, обладающей этим свойством.
Это положение мы хотим получить как следствие из
теоремы, которая справедлива для любого, не имеющего
особенностей куска поверхности постоянной положительной
кривизны**); она состоит в следующем:
Пусть на поверхности с постоянной положительной
кривизной -(-1 выделена одно- или многосвязная
ограниченная область без особых точек; представим себе,
что в каждой точке этой области, а также на её
границах построены главные радиусы кривизны поверхности;
в таком случае больший из главных радиусов кривизны
не достигает своего максимума и, следовательно,
меньший — своего минимума ни в одной внутренней точке
области, если только наша поверхность не представляет
собою сферы с радиусом, равным 1.
Для доказательства вспомним сначала, что, в силу
нашего предположения, произведение обоих главных радиусов
кривизны повсюду =1, а потому больший из главных
радиусов кривизны должен быть ^> 1. Отсюда непосредственно
следует, что максимум большего из главных радиусов
кривизны = 1 только в том случае, когда оба радиуса кривизны
в каждой точке рассматриваемого нами куска
поверхности = 1. В этом особом случае каждая точка этого куска
поверхности есть омбилическая точка, и отсюда можно,
как известно, заключить, что рассматриваемый кусок
поверхности принадлежит сфере радиуса 1.
Пусть теперь максимум большего из обоих главных
радиусов кривизны нашей поверхности ^> 1; в таком случае мы
предположим, что, вопреки нашему утверждению, внутри
этого куска поверхности существует точка О, в которой
достигается этот максимум. Так как эта точка О
омбилической заведомо быть не может и, кроме того, является
*) Gottinger Nachrichten, 1899, стр. 44. Сравни также
интересные работы того же автора в Math. Ann., т. 53 и 54.
**) Г. Люткемейеру в его диссертации, цитированной на
стр. 305, и Е. Хольмгрену в Math. Ann., т. 57 удалось доказать
аналитический характер поверхностей постоянной положительной
кривизны.

О ПОВЕРХНОСТЯХ ПОСТОЯННОЙ ГАУССОВОЙ КРИВИЗНЫ 313
регулярной точкой нашей поверхности, то окрестность этой
точки будет покрыта каждым из семейств линий кривизны
однократно и без пробелов. Если мы примем линии
кривизны за координатные линии, а самую точку О—за
начало этой координатной системы, то, как известно из теории
поверхности постоянной положительной кривизны, будут
справедливы следующие положения *):
Пусть гг означает больший из главных радиусов
кривизны точки (иу v), лежащей в окрестности начала
координат О = (0,0); в этой окрестности имеем г1^>\. Положим
положительная действительная величина р, рассматриваемая
как функция и и v, удовлетворяет следующему уравнению
в частных производных:
дФ » dv* 4 * '4'
Так как с уменьшением г, функция р возрастает, то
она, будучи рассматриваема как функция переменных и wv,
должна в точке и = 0, v=0 иметь наименьшее значение,
а потому разложение р в степенной ряд по и и v должно
иметь вид:
р = а-\-аи2 + 2$иу-\-^-\- . . .,
где а, а, [$, у СУТЬ некоторые константы, причём
квадратичная форма
ни при каких действительных значениях и и v не
принимает отрицательного значения. Из этого последнего
обстоятельства для постоянных величин а и у вытекают
следующие неравенства:
а^О и у^О. (5)
Подставим, с другой стороны, разложение р в
дифференциальное уравнение (4); в таком случае при и = 0 и
*) Darboux, «Lecons stir la theorie generate des surfaces»,
т. 3, № 77b; В i a n с h i, «Leziom di geomelria differenziale», § 264.

314
ДОБАВЛЕНИЕ V
v = 0 мы получим:
2(а + у) = 4 •
Так как постоянная а совпадает со значением р в
точке О = (0, 0) и, стало быть, эта постоянная
положительна, то выражение, стоящее в правой части этого
равенства, во всяком случае <^0; поэтому из этого
равенства вытекает, что
« + Y<0,
что противоречит неравенствам (5). Итак, мы убедились
в несостоятельности нашего предположения, согласно
которому точка, в которой достигается максимум большего
из радиусов кривизны, лежит внутри рассматриваемого
куска поверхности; тем самым справедливость
высказанной выше теоремы доказана.
Отсюда, как уже было упомянуто, непосредственно
следует теорема о том, что замкнутая, не имеющая
никаких особенностей поверхность с положительной по-
стоянной кривизной, равной 1, есть сфера радиуса 1.
Этот результат указывает вместе с тем на то, что сферу
нельзя изгибать как целое без того, чтобы на ней не
возникла какая-либо особенность.
Наконец, для незамкнутой поверхности эти исследования
приводят к следующему результату: если вырезать из сферы
произвольный кусок и затем этот кусок как угодно
изогнуть, то максимум большего из двух главных
радиусов кривизны, полученных таким образом, всегда будет
лежать на границе этого куска поверхности.
Геттинген, 1900.

i" u -2- f
ДОБАВЛЕНИЕ VI
О ПОНЯТИИ ЧИСЛА
(Перепечатано из Jahresbericht der Deutschen Mathemati-
ker-Vereinigung, т. 8, 1*900, с пропуском одной теоремы
в конце этой статьи)
Просматривая и сравнивая между собою многочисленные
работы, посвященные принципам арифметики и аксиомам
геометрии, мы, наряду с многочисленными аналогиями
и случаями сходства между этими двумя предметами,
замечаем, однако, и существенное различие в отношении
метода исследования.
Припомним сначала, каким . путём вводится понятие
числа. Исходя из числа 1, обычно представляют себе, что
в процессе счёта возникают следующие за ним целые
рациональные положительные числа 2, 3, 4, . .. и
развиваются законы счёта с ними; затем приходят, опираясь
на требование выполнимости вычитания во всех случаях,
к отрицательным числам; далее определяют дробные'
числа как пары чисел; в результате каждая линейная
функция имеет корень, и, наконец, определяют
действительное число как сечение или как фундаментальную
последовательность, в силу чего всякая рациональная
меняющая знак функция и вообще всякая непрерывная
меняющая знак функция обращается где-либо в нуль.
Этот метод введения понятия числа мы можем назвать
генетическим методом, так как наиболее общее понятие
действительного числа развивается в нём из простого
понятия о числе путём последовательных обобщений.

316
ДОБАВЛЕНИЕ VI
Существенно иначе поступают при построении
геометрии. Здесь обычно исходят из предположения о
существовании всех элементов, т. е. заранее предполагают, что
существуют три системы вещей, а именно, точки, прямые
и плоскости, и затем, в существенном по примеру
Евклида, устанавливают между этими элементами
взаимоотношения посредством известных аксиом, а именно
аксиом соединения, порядка, конгруентности и
непрерывности. При этом возникает необходимость в
доказательстве непротиворечивости и полноты этой
системы аксиом, т. ё. требуется доказать, что применение
установленных аксиом никогда не приведёт к
противоречию и, далее, что эта система аксиом достаточна для
доказательства всех геометрических теорем. Избранный
здесь способ исследования мы будем называть аксиома-
тическим методом.
Поставим себе вопрос, действительно ли для изучения
понятия числа единственно подходящим методом является
генетический метод, а для обоснования геометрии —
аксиоматический метод. Представляет также интерес
сопоставить друг с другом оба метода и исследовать вопрос
о том, какой из этих методов надо будет предпочесть,
когда будет итти речь о логическом исследовании
основ механики или какой-либо другой физической
дисциплины.
Моё мнение таково: 'несмотря на то, что
генетический метод имеет высокое
педагогическое и эвристическое значение, всё же для
окончательного оформления и полного
логического обоснования содержания нашего
познания предпочтительнее
аксиоматический метод.
В теории понятия о числе аксиоматический метод
представляется следующим .образом:
Мы мыслим систему вещей; эти вещи мы называем
числами и обозначаем буквами а, Ь, с,... Мы считаем, что
между этими вещами существуют вполне определённые
взаимоотношения, полное и точное описание которых даётся
следующими аксиомами:

О ПОНЯТИИ ЧИСЛА
317
I. Аксиомы соединения
Iv Из числа а и числа b при помощи «сложения»
получается некоторое вполне определённое число с, что
обозначается так:
а-\- b = с или с = а-\-Ь.
12. Ддя любых двух данных чисел а и b существует
одно и только одно число х, для которого
а-\-х = Ь,
а также одно и только одно число у, для которого
у + а = Ь.
13. Существует некоторое вполне определённое число—
его называют 0 — такое, что для любого а как
а -f- О = а,
так и
О -f- а = а.
14. Из числа л и числа & получается некоторым
другим способом, посредством «умножения», некоторое
определённое число су что обозначается так:
ab = c или с = ab.
15. Для любых двух чисел а и Ь, причём число а не
О, существует одно и только одно число ху для
которого
ах = Ь,
и одно и только одно число у, для которого
уа = Ь.
16. Существует некоторое вполне определённое число —
его называют 1, — такое, что для любого а как
#.1 =а,
так и
1-а = о.

818
ДОБАВЛЕНИЕ VI
И. Вычислительные аксиомы
Для любых чисел а, Ьу с имеют место следующие
равенства:
"l.
н2.
и,.
п4.
К
Ив-
а + (Ь + с) = (а + Ь) + с,
a-^rb = Ь-\-а,
a(bc) = (ab)c,
a(b-\-c) = ab-\-ac,
(а -\- Ь) с = ас -\- be,
ab = ba.
III. Аксиомы порядка
Illj. Из любых двух отличных друг от друга чисел а
и £ всегда одно определённое число (например а) больше (^>)
другого; про это последнее говорят, что оно меньше
первого. Это обозначается так:
а ^> b или b <^ а.
Ни для какого числа а не может иметь место
соотношение а^>а.
Ш2. Если а^>Ь и Ь^>с, то а^>с.
Н13. Если а^Ь, то
а-\- с"у> Ь-\-с и с-\-а^> с-\-Ь.
1Н4. Если а^>Ь и с">0, то
ас^>Ьс и са^> cb.
IV. Аксиомы непрерывности
IV1# (Аксиома Архимеда.) Пусть а ^> 0 и £ ^> О —
любые два числа; в таком случае всегда можно число а
повторить слагаемым столь большое число раз, чтобы
образовавшаяся в результате сумма обладала следующим
свойством:
а-\-а-\-а-{- ... -\-а^> Ь.
IV2. (Аксиома полноты.) К системе чисел
невозможно присоединить никакой другой системы вещей так,
чтобы в системе, образовавшейся в результате этого при-

О ПОНЯТИИ ЧИСЛА
319
соединения, при сохранении прежних соотношений между
числами, выполнялись бы все аксиомы 1, II, 111, lV^ короче,
числа образуют такую систему вещей, которая при
сохранении всех взаимоотношений и всех указанных аксиом не
поддаётся никакому расширению.
В аксиоме W1 мы предполагали известным понятие
ко ечной совокупности.
Некоторые из аксиом 1х_6, П^в, HI1-4, IV1-2 суть
следствия остальных, и, таким образом, возникает задача
изучения независимости указанных аксиом. Эта задача
даст возможность подойти к исследованию принципов
арифметики с некоторой новой, плодотворной точки
зрения. Мы, например, узнаём следующие факты:
Существование числа ,0 (аксиома 13) есть следствие
аксиом Ц 2 и IIх; таким образом, оно существенно
основывается на ассоциативном законе сложения.
Существование числа 1 (аксиома 16) есть следствие
аксиом I4> 5 и 113; таким образом, оно существенно
основывается на ассоциативном законе умножения.
Коммутативный закон сложения (аксиома Н2) является
следствием аксиом I, \\г 4> 5; таким образом, он
оказывается, по существу, следствием ассоциативного закона
сложения и обоих дистрибутивных законов;
Доказательство. Мы имеем
(a-fft)(l-|-l) = (a + Wl+(e+*)l=a+6 + a + ft,
= a (1 + 1)+ * 0+ 1) = * + * + * + *;
следовательно,
a-{-b-\-a-\-b = a-\-a-{-b-{-bt
а отсюда, в силу аксиомы 12,
Ь + а == г + Ь.
Коммутативный закон умножения (аксиома Н6) есть
следствие аксиом I, 1I1_5, III, IVp но не является
следствием одних только аксиом I, II., _&, III; этот закон может
быть выведен из всех остальных аксиом в том и только
' в том случае, когда к указанным аксиомам присоединена

320
ДОБАВЛЕНИЕ VI
ещё и аксиома Архимеда. Этот факт имеет особое
значение для обоснования геометрии*).
Аксиома IV2 не зависит от аксиомы IVj,- ни одна из
этих аксиом не содержит высказываний, касающихся
понятия сходимости или существования границы, и всё же
можно показать, что из них следует теорема Больцано
о существовании точки сгущения. Тем самым мы
убеждаемся в том, что наша числовая система совпадает
с обычной системой действительных чисел.
В доказательстве непротиворечивости **)*установленных
аксиом я усматриваю вместе с тем и доказательство
существования совокупности действительных чисел или —
употребляя способ выражения Кантора — доказательство
того, что система действительных чисел является
«консистентным» (готовым) множеством.
Соображения, которые были высказаны против
существования совокупности всех действительных чисел и
бесконечных множеств вообще, теряют при такой точке
зрения всякое основание: под множеством действительных
чисел мы должны, согласно этой точке зрения, понимать
не совокупность всевозможных законов, которым будут
следовать элементы фундаментальных последовательностей,
а скорее, — как это было изложено выше, — систему
вещей, взаимоотношения которых задаются с помощью ранее
указанной конечной и замкнутой системы аксиом
I—IV и относительно которых новые утверждения
справедливы только в том случае, если эти утверждения можно
вывести с помощью конечного числа умозаключений из
этих аксиом.
Если мы захотим получить таким же способом
доказательство существования совокупности всех мощностей (или
всех канторовских алефов), то эта попытка будет обре-
*) См гл. VI.
*") Это доказательство требует существенно новых методов
рассуждений и служит главной темой моей новой теории
доказательства (см. приложения VIII—X); поэтому замечание,
заменявшее их в первоначальном тексте предыдущих изданий, здесь
опущено.

о понятии"числа
321
чена на неудачу; действительно, совокупность всех
мощностей не существует, или, — употребляя способ
выражения Кантора, — система всех мощностей является
«неконсистентным» (неготовым) множеством*).
Геттинген, 12-е октября 1899 г
■*■) См. появившиеся за это время остроумные работы Ц е р-
мело: Е. Zermelo «Beweise fur die Moglichkeit einer Wohl-
ordnung», Math. Ann., т. 59 (1904) и т. 65 (1907), а также
«Ueber die Grundlagen der MengenIehre»,Math Ann., т. 65(1907).
21 Д. Гильберт

ДОБАВЛЕНИЕ VII
ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ*)
(Из трудов III Интернационального математического
конгресса в Гейдельберге в 1904 г.)
В то время как в исследованиях, относящихся к
обоснованию геометрии, мы сегодня в основном придерживаемся
одинаковых взглядов относительно выбора пути и
поставленных себе целей, с вопросом об обосновании арифметики
обстоит совершенно иначе: здесь различные мнения
исследователей резко противостоят друг другу.
Трудности, встречающиеся при обосновании арифметики,
частично действительно отличаются от тех трудностей,
которые надо было преодолеть при обосновании геометрии.
При исследовании основ геометрии можно было обойти
некоторые трудности чисто арифметической природы; но
при обосновании арифметики ссылка на другую основную
дисциплину становится уже недопустимой. Я смогу с
большей чёткостью выявить те существенные трудности, которые
встречаются при обосновании арифметики, если я подвергну
краткому критическому разбору взгляды отдельных
исследователей.
*) Хотя этот доклад по своему содержанию и был перекрыт
моими более новыми исследованиями по обоснованиям
математики (приложения VIII—X), всё же мне показалось полезным
снова поместить его здесь, особенно потому, что я в этом докладе
впервые изложил многие концепции и методы исследования, как,
например, требование непротиворечивости, самостоятельное
рассмотрение множества как вещи, тенденцию к конечной
установке, совместное рассмотрение логики и арифметики.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ 323
Л. Кроне* к ер, как известно, усматривал в понятии
целого числа коренной фундамент арифметики; он
составил себе мнение, что целое число, и притом как общее
понятие (значение параметра), должно существовать прямо
и непосредственно; это мешало ему познать, что понятие
целого числа нуждается в обосновании и может быть
обосновано. Поскольку это так, я позволю себе назвать его
догматиком: он воспринимает целое число с его
существенными свойствами как догму, и затем уже не
оглядывается назад.
Г. Гельмгольц представляет точку зрения
эмпирика; однако точка зрения чистого опыта опровергается,
как мне кажется, указанием на то, что из опыта, т. е.
посредством экспериментов, никогда нельзя притти к
заключению о возможности или существовании сколь угодно
большого числа, ибо число предметов, являющихся
объектом нашего опыта, даже если оно велико, всё же не
превосходит некоторого конечного предела.
Э. Б. Кристоффеля и всех тех противников Кро-
некера, которые под влиянием правильного чувства,
подсказывавшего им, что без понятия иррационального числа
весь анализ оказывается осуждённым на бесплодие,
пытались спасти существование иррационального числа путём
отыскания «положительных» свойств этого понятия или
другими аналогичными, способами, — я позволю себе на*
звать оппортунистами. Однако опровержение точки
зрения Кронекера, по моему мнению, ими, по сути дела, не
было достигнуто.
Из учёных, которые глубже проникли в существо
понятия «целое число», я упомяну следующих:
Ж. Ф р е г е ставит себе задачу обосновать законы
арифметики средствами логики, понимая эту последнюю
в обычном смысле. Его заслугой является правильное
понимание существенных свойств понятия «целое число», а
также значение полной индукции.
Но, проводя последовательно свою точку зрения, он
среди прочих положений принимает и тот основной закон,
согласно которому понятие (множество) определено и
может быть непосредственно применено, если только
21*

324
ДОБАВЛЕНИЕ VII
относительно каждого объекта известно, подпадает ли он
под это понятие или нет: при этом он не налагает
никаких ограничений на понятие «каждый» и, таким
образом, оказывается под ударами тех
теоретико-множественных парадоксов, которые заключаются, например, в
понятии множества всех множеств и которые показывают,
как мне кажется, что толкования и средства исследования
логики, понятые в обычном смысле, не в состоянии
удовлетворить тем строгим требованиям, которые ставит теория
множеств. Устранение подобных противоречий
и объяснение этих парадоксов следует с
самого начала рассматривать как главную
цель при исследованиях, касающихся
понятия числа.
Р. Дедекинд ясно осознал те математические
трудности, которые встречаются при обосновании понятия числа,
и весьма проницательно начал с построения теории целого
числа. Всё же его метод я позволю себе постольку
назвать трансцендентальным, поскольку он
доказывает существование бесконечного путём, основная идея
которого используется таким же образом и философами;
этот путь я, однако, не могу признать удобопроходимым
и надёжным, так как при этом приходится пользоваться
понятием совокупности всех вещей, а в этом понятии
кроется неизбежное противоречие.
Г. Кантор чувствовал упомянутое противоречие, и
это его чувство нашло своё выражение в том, что он
различал «консистентные» и «неконсистентные» множества.
Но так как Кантор не установил, по моему мнению,
никаких строгих критериев для этого различия, то я его
точку зрения по этому пункту должен характеризовать как
оставляющую ещё широкое поле для субъективного
мнения и не дающую поэтому никакой объективной
уверенности.
Я придерживаюсь того мнения, что все затронутые
трудности могут быть преодолены и что можно притти
к строгому и вполне удовлетворительному обоснованию
понятия числа и притом с помощью метода, который я
называю аксиоматическим) основную его идею я

ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ 325
хотел бы обрисовать в данном докладе; строгое и
последовательное проведение и развитие этого метода я
оставляю на будущее.
Обычно считают арифметику частью логики и при
обосновании арифметики ббльшей частью предполагают
традиционные основные идеи логики известными. Однако,
внимательно присматриваясь, мы замечаем, что при обычном
изложении законов логики применяются уже некоторые
основные понятия арифметики, как-то: понятие множества,
частично понятие числа, особенно в смысле количества.
Мы попадаем, таким образом, в порочный круг, а потому
для избежания парадоксов необходимо в некоторой части
одновременное развитие и законов логики, и законов
арифметики.
Вследствие краткости доклада я могу только
наметить то, как я представляю себе это совместное
построение. Поэтому я прошу меня извинить, если мне удастся
дать вам только приблизительное представление о том,
в каком направлении продвигаются мои исследования. Длл
облегчения понимания я буду пользоваться обычным
«словесным» языком и выраженными с его помощью законами
логики более широко, чем это желательно при точном
построении.
Объект нашего мышления мы будем называть
мыслимой вещью или, короче, вещью и обозначать знаком.
В основу наших исследований мы кладём сначала
мыслимую вещь 1 (единицу). Соединение этой вещи с самоЛ
собой, по два, по три или по нескольку раз, как-то:
11, 111, 1111,
мы будем называть комбинацией вещи 1 с самой собою;
точно так же любые комбинации этих комбинаций, как-
то.
(1) (11), (11) (11) (11), ((1) (11)) (11), ((111) (1)) (1),
также называются комбинациями той же вещи 1 с самой
собою. Эти комбинации опять-таки будут называться просто
вещами, а положенная в основу мыслимая вещь 1 будет
называться простой вещью.

326
ДОБАВЛЕНИЕ VII
Теперь мы к этому присоединяем другую простую
мыслимую вещь и обозначаем её символом = (равно). После
этого мы создаём комбинации этих двух мыслимых вещей,
как-то:
1=, 11=,..., (1) (=1) (= = =), ((И) (1) (=)) (==),
1=1, (11) = (1) (1).
Мы будем говорить, что комбинация а простых вещей
1 ^ = о т ли чается от комбинации Ъ этих же простых
вещей, если они где-либо отклоняются друг от друга по
способу комбинирования, по последовательности комбинаций
или по выбору входящих в них вещей 1, =, т. е. если
комбинации а и Ь не тождественны друг другу.
Представим себе теперь, что комбинации этих двух
простых вещей разбиты на два класса: на класс
существующих комбинаций и на класс несуществующих. Каждая
вещь, принадлежащая к классу существующих, отличается
от любой вещи, принадлежащей к классу несуществующих.
Каждая комбинация двух простых вещей 1, = принадлежит
к одному из этих двух классов.
Если а является комбинацией двух положенных нами
в основу вещей 1, = , то мы будем обозначать тоже
через а и высказывание: «а принадлежит к классу
существующих вещей», а через а— высказывание: «а
принадлежит к классу несуществующих вещей». Мы будем
говорить, что утверждение аистинно, если а принадлежит
к классу существующих; напротив, мы будем называть
а истинным, если а принадлежит к классу
несуществующих. Утверждения а и а образуют противоречие.
Совокупность двух высказываний А и В, которую мы
будем обозначать
А\В
и которая .словесно выражается так: «из А следует В»
или «если А истинно, то В также истинно», мы будем
также называть высказыванием, называя при этом Л
посылкой, а В — заключением.

ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ 327
Посылка и заключение сами могут состоять опять-таки
из нескольких высказываний, как-то: Av А2 и, соответственно,
Ви В2, Вг и т. д.; мы это будем обозначать так:
Аг и А2\Вг л В2 л £3*)
и выражать словами: «из Аг и А2 следует Вх либо В2у
либо В%» и т. д.
Используя знак л («либо»), можно было бы, так как
отрицание нами уже было введено, устранить знак |;
однако я использую его в этом докладе исключительно
для того, чтобы возможно ближе подойти к обычной речи.
Под Av А2, ... мы будем понимать те высказывания,
которые, кратко выражаясь, возникают из высказывания А (х)
путём подстановки на место «произвольного» х
мыслимых вещей 1,= и их комбинаций. В таком случае
высказывания
Ал л А2 л Л3,... и, соответственно, Аг и А2 и Ав,...
мы будем записывать следующим образом:
А (х^), словесно: «по крайней мере для одного х»
и, сооответственно:
А (х№), словесно: «для каждого отдельного х».
В этой записи мы усматриваем только сокращённый
способ письма.
Из положенных нами в основу двух вещей 1, = мы
создадим следующие высказывания:
1. х = х,
2. {х=у и w(х)} | w(у).
При этом х (в смысле х№) может означать каждую
из двух положенных в основу мыслимых вещей и каждую
комбинацию этих последних; у (в смысле Уи)) точно так же
можег быть каждой из этих вещей и каждой их
комбинацией, a w(x) — «произвольная» комбинация,
содержащая «произвольное» х (в смысле х^); 2-е высказывание
словами выражается так: из х=у и w(x) следует w(y).
Высказывания 1 и 2 образуют определение
понятия = (равно) и называются также аксиомами.
*) л — от слова «либо» (у Гильберта о. — от слова «oder»).

328
ДОБАВЛЕНИЕ VII
Если в аксиомы 1, 2 вместо произвольных хну
подставить простые вещи 1,= или их отдельные комбинации,
то получатся отдельные высказывания, которые
называются следствиями этих аксиом. Будем рассматривать
последовательность некоторых выводов такого рода, что
посылка последующего вывода в этой последовательности
тождественна с заключением предшествующего ему вывода
Если мы теперь примем в качестве посылок — посылки
предшествующих выводов, а в качестве заключения —
заключение последнего вывода, то мы получим новое высказывание,
которое может быть опять-таки названо следствием
аксиом. Продолжая делать заключения этим методом, мы
можем получать и дальнейшие следствия.
Выберем теперь из этих выводов те, которые имеют
простую форму высказывания а (утверждения без посылки),
и объединим все возникающие таким образом вещи а
в класс существующих, в го время как отличающиеся от
них вещи принадлежат к классу несуществующих. Мы
убеждаемся, что из высказываний 1 и 2 всегда получаются
следствия только вида а = а, где а есть некоторая
комбинация вещей 1, = . Аксиомы 1 и 2, со своей стороны,
выполняются в смысле указанного разбиения вещей на два
класса, т. е. являются истинными высказываниями;
вследствие этого свойства аксиом 1 и 2 мы назовём
определяемое ими понятие = (равно) непротиворечивым
понятием.
Я хотел бы обратить внимание на то, что аксиомы
1,2 вообще не содержат высказывания вида а, т. е.
высказывания, благодаря которому некоторая комбинация
попадает в класс несуществующих. Таким образом, мы могли
бы также удовлетворить этим аксиомам, если бы мы
поместили в класс существующих все комбинации этих двух
простых вещей, а класс несуществующих вещей оставили
бы пустым. Ранее выбранное нами разделение на два класса
всё же лучше показывает, как следует поступать в
дальнейшем, когда мы встречаемся с более трудными случаями.
Продолжая построение логических основ
математического мышления, мы к двум основным мыслимым вещам
1, = присоединяем, далее, ещё три мыслимые вещи: б (беско-

OB ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ 329
печное множество, бесконечное), с (следующее), с'
(ведущая операция), установив для этих последних следующие
аксиомы:
3. с (б х) = б (с' х),
4. с(бх) = с(бу)\бх = бу,
5. с (б*) = 6 1.
При этом произвольное х (в смысле х№) может
означать каждое из пяти положенных нами теперь в основу
мыслимых вещей и каждую их комбинацию. Мыслимую
вещь б мы будем кратко называть бесконечным
множеством, а комбинацию б х (например, 6 1, 6(11), б с) —
элементом этого бесконечного множества. В таком
случае аксиома 3 выражает, что за каждым элементом б х
следует вполне определённая мыслимая вещь с (б л;),
которая равна некоторому элементу б(с'л;), т. е. опять-таки
принадлежит множеству 6. Аксиома 4 говорит о том, что
если за двумя элементами множества б следует один и
тот же элемент, то и эти первоначальные элементы равны
друг другу. Согласно аксиоме 5, в б не существует
элемента, за которым следовал бы элемент 6 1; поэтому этот
элемент б 1 мы будем называть первым элементом в* 6.
Мы должны теперь аксиомы 1—5 подвергнуть
соответствующему исследованию, подобно тому, как мы это
сделали раньше с аксиомами 1,2; при этом надо отметить,
что действие этих аксиом 1, 2 расширилось, поскольку
теперь произвольные х, у означают любые комбинации
пяти простых вещей, положенных нами в основу.
Мы снова ставим вопрос о том, находятся ли некоторые
следствия из аксиом 1—5 в противоречии друг с другом,
или же напротив, положенные нами в основу пять
мыслимых вещей 1,=, б, с, с' и их комбинации можно так
распределить между классом существующих и классом
несуществующих, что аксиомы 1—5 по отношению к этому
распределению на классы выполняются, т. е. что всякое
следствие из этих аксиом становится истинным
высказыванием в смысле этого распределения на классы. Чтобы
ответить на этот вопрос, обратим внимание на то, что аксиома 5

330
ДОБАВЛЕНИЕ VII
является единственной аксиомой, дающей повод к
высказываниям вида а, т. е. дающей повод к тому, чтобы
некоторая комбинация а из пяти положенных в основу
мыслимых вещей принадлежала к классу несуществующих.
Поэтому высказывания, которые вместе с аксиомой 5
образуют противоречие, во всяком случае должны иметь вид:
6. с(бл;<л>) = б1;
однако такое следствие из аксиом 1—4 ни в коем случае
не может быть получено.
Чтобы усмотреть это, назовём равенство, т. е. мыслимую
вещь а=Ьу однородным равенством в том случае,
когда как я, так и Ъ являются комбинациями двух простых
вещей, или когда а и Ь оба являются комбинациями трёх,
или — оба четырёх, или большего числа простых вещей;
например, равенства
<И)=(сб), (сс) = (бс'), (с 11) = (61=),
(cl)(cl) = (lllt), (с(сс'б)) = (1бб1),
<(сс)(111)) = ((1)(11))(11))| (сб111=) = (661116)
называются однородными. Из одних только аксиом 1, 2
следуют, как мы видели раньше, только однородные
равенства, а именно равенства вида а = а. Точно так же
аксиома 3, если мы в ней за х примем некоторую
мыслимую вещь, даст нам только однородные равенства. В
заключении аксиомы 4 опять-таки должны всегда находиться
только однородные равенства, если только посылка
представляет собою однородное равенство; таким образом,
следствием аксиом 1—4 могут быть только однородные
равенства. Между тем, равенство 6, которое как раз и
должно быть доказано, безусловно не однородно, так как
в нём вместо х№ надо взять некоторую комбинацию,
вследствие чего левая его часть будет представлять комбинацию
трёх или большего числа простых вещей, между тем как
его правая часть попрежнему остаётся комбинацией двух
простых вещей: б и 1.
Тем самым, как мне кажется, указана основная идея,
дающая возможность убедиться в правильности моего ут-

ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ
331
верждения; для полного проведения доказательства необ- ,
ходимо понятие конечного порядкового числа и некоторые
определённые теоремы, касающиеся понятия равночислен-
ности, которые на этой стадии можно уже действительно
без труда установить и вывести; для полного проведения
указанной основной идеи надо принять во внимание ещё
и те точки зрения, на которые я кратко укажу в конце
своего доклада (ср. V).
Желаемое распределение на классы получается, таким
образом, если все вещи а, где а есть вывод из аксиом
1—4, причислить к классу существующих, а-все
отличающиеся от них вещи, в частности вещь с(бл:) = б1, отнести
к классу несуществующих. Благодаря найденному, таким
образом, свойству установленных аксиом, мы убеждаемся
в том, что эти последние никогда не приводят к
противоречию, а потому определяемые ими мыслимые вещи б, с, с'
называем понятиями или операциями, непротиворечивы-
ми или существующими без противоречий.
В частности, что касается понятия о бесконечном б, то
•посредством вышеизложенного истолкования утверждение
о существовании бесконечного б оказывается оп-
равданным,так как оно получило теперь вполне определённое
значение и постоянно применяемое в дальнейшем содержание.
Намеченное здесь исследование представляет собой
первый случай, где удалось провести прямое доказательство
непротиворечивости аксиом; обычные до сих пор методы
дэказательств, особенно в геометрии, методы подходящей
специализации или построения примеров в данном случае
отказываются служить.
Это прямое доказательство в данном случае удаётся,
как видно, в значительной мере благодаря тому
обстоятельству, что высказывание вида а, т. е. высказывание,
согласно которому некоторая определённая комбинация
должна принадлежать к классу несуществующих, выступает
в качестве утверждения только в одном месте, именно в
аксиоме 5.
Переведя на выбранный мною язык известную аксиому
о полной индукции, мы подобным же образом придём к
заключению о непротиворечивости расширенной, таким

332
ДОБАВЛЕНИЕ VIT
образом, системы аксиом, а*, е. к доказательству
непротиворечивого существования так называемой
наименьшей бесконечности*) (т. е. порядкового
типа 1, 2, 3, ...).
Не представляет затруднения обосновать, исходя из
вышеустановленных принципов, понятие конечного
порядкового числа; такое обоснование зиждется на аксиоме о том,
что каждое множество, которое содержит первый элемент
порядкового числа и которое, всякий раз как оно, содержа
некоторый элемент, содержит также и следующий за ним
элемент, должно обязательно содержать и последний элемент.
Доказательство непротиворечивости этой аксиомы получается
здесь очень легко посредством использования какого-либо
примера; таковым может служить хотя бы число два. В
таком случае надо будет показать, что возможен такой
порядок элементов конечного порядкового числа, при
котором каждое подмножество этого последнего имеет как
первый, так и последний элемент — этот факт мы
доказываем, определяя мыслимую вещь <^ аксиомой
(х<^у и y<^z)\x<^z
и убеждаясь затем в непротиворечивости установленных
аксиом после присоединения этой новой аксиомы, как только
х, у, z обозначают произвольные элементы конечного
порядкового числа. При использовании факта существования
наименьшего бесконечного, выводится также и теорема о
том, что для всякого конечного порядкового числа может
быть найдено большее порядковое число.
Принципы, которыми следует руководиться при
построении и дальнейшем выводе законов математического
мышления в том духе, который мы имеем в виду, вкратце суть
следующие:
I. Достигнув в развитии теории известной ступени, я
имею право некоторое дальнейшее высказывание считать
*) См. раздел 2 моего доклада «Математические проблемы»,
сделанного на Интернациональном математическом конгрессе в
Париже в 1900 году («Непротиворечивость аксиом арифметики»,
«Die Widerspruchslosigkeit der arithmetischen Axiome»).

ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ 333
травильным, как только установлено, что оно, будучи
присоединено в качестве аксиомы к высказыванием, которые
были найдены до сих пор в качестве правильных, не
приводит к противоречию, т. е. что оно приводит к следствиям,
которые, по отношению к некоторому определённому
разделению вещей на классы существующих и несуществующих,
все являются правильными высказываниями.
II. Встречающиеся в аксиомах «произвольные» — kotj)
рые заменяют понятия «каждый» или «все» обычной
логики— могут представлять только те мыслимые вещи и
комбинации этих последних, которые либо должны быть
«а известной ступени приняты в качестве основных, либо
полностью определены. Поэтому при выводе следствий из
аксиомы «произвольные» 'следует замещать только такими
мыслимыми вещами и их комбинациями. Следует также
надлежащим образом обратить внимание на то, что при
присоединении и принятии в основу новой мыслимой вещи
значение всех предшествующих аксиом расширяется и,
соответственно, они должны быть подвергнуты целесообразному
изменению.
III. Множество вообще определяется как мыслимая
вещь т, а комбинации тх называются элементами
множества т, так что, — в противоположность обычной
трактовке, — понятие элемента появляется как более позднее
порождение понятия множества.
•Как понятие «множество», так и понятия
«сопоставление», «преобразование», «соотношение»,
«функция» суть мыслимые вещи, для которых так же,
как это было сделано раньше с понятием «бесконечность»,
следует соответствующим образом выбрать подходящие
аксиомы, а затем эти понятия в случае возможности
разбиения соответствующих комбинаций на класс существующих
и несуществующих могут быть познаны существующими
непротиворечиво.
В пункте I выражен тот творческий принцип, который
позволяет нам свободно пользоваться созданием всё новых
и новых понятий, ограничивая это образование новых
понятий одним только условием: избегать противоречий.
Парадоксы, упомянутые в начале этого доклада, оказываются

334
ДОБАВЛЕНИЕ VII
невозможными благодаря принципам II и III; в частности,
это касается парадокса о множестве всех множеств, не
содержащих самих себя в качестве элемента.
Чтобы сделать убедительным далеко идущее по своему
содержанию совпадение понятия множества, определённого
в пункте III, с обычным понятием множества, я докажу
следующую теорему:
Пусть 1,..., а,.. , f суть положенные в основу на
известной ступени мыслимые вещи и пусть а($) является их
комбинацией, содержащей произвольное £; далее, пусть а (а)—
истинное высказывание (т. е. а (а) принадлежит к классу
существующих); в таком случае безусловно существует
мыслимая вещь т такого рода, что а (тх) для
произвольного х представляет только истинные высказывания (т. е.
а (тх) всегда находится в классе существующих), и обратно,
всякая вещь £, для которрй а(£) есть истинное
высказывание, будет равна некоторой комбинации тх^л\ так что
высказывание
5 = mxW
истинно, т. е. вещи £, для которых д($) есть истинное
высказывание, образуют элементы множества т в смысле
вышеприведённого определения.
Для доказательства установим следующую аксиому:
пусть т есть мыслимая вещь, для которой высказывания
7. а(5)|/я5=2,
8. аЩ\т*=а
истинны, т. е. если $ есть такого рода вещь, что а($)
принадлежит к классу существующих, то /я$=£; в
противоположном же случае т^=а. Присоединим эту аксиому
к аксиомам, которые имеют место для вещей 1, ..., а,..., г,
и положим, что при этом мы придём к противоречию, т. е.
что вещи 1,..., а,... I одновременно приводят к
следующим следствиям:
р (т) и р(т)у
где р{т) есть некоторая комбинация вещей 1,..., Г, т.
При этом аксиома 8, будучи выражена словами, сводится

ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ
335
к утверждению, что ml = а, если а (£) принадлежит к классу
несуществующих. Всюду, где вр(т) вещь т выступает в
комбинации /я£, заменим, в соответствии с аксиомами 7 и 8 и
принимал во внимание аксиому 2, комбинации т% через $ или,
соответственно, через а; из р (т) этим способом получается
q(m) (где д (т) уже более не содержит вещь т в
комбинации тх); в таком случае q (т) должно было бы быть
следствием из аксиом, положенных вначале для 1,...,
а,... , f, и тем самым быть истинным, если мы в качестве т
примем одну из этих вещей, например 1. Так как
подобное же рассуждение справедливо и для высказывания p(m)t
то и для первоначальной ступени, когда в основу были
положены вещи 1,..., а, %.., t, должно было бы
существовать противоречие
Но это невозможно, если сначала предположить, что
существование вещей 1,..., I непротиворечиво. Поэтому мы
должны наше предположение о том, что может произойти
противоречие, откинуть, т. е. т существует
непротиворечиво, что и требовалось доказать.
IV. Если хотят заданную определённым образом систему
аксиом исследовать с помощью вышеуказанных принципов,
то надо комбинации вещей, положенных в основу, разбить
на указанные два класса — класс существующих и класс
несуществующих; при этом на долю аксиом выпадает роль
предписаний, которым это разбиение должно удовлетворять.
Главная трудность будет состоять в том, чтобы
убедиться в возможности разбить все вещи на два класса—-
класс существующих и класс несуществующих. Вопрос о
возможности такого разбиения, по существу, равносилен
вопросу о том, приводят или не приводят к противоречию
следствия, которые могут быть получены из аксиом
посредством их специализации и совместного их использования
в ранее изложенном смысле, если присоединить ещё
известные способы логических
умозаключений, каковы
{\а\Ъ) и (a\b)}\b
{(ал Ь) и (алс)} | {ал(Ь и с)}.

336
ДОБАВЛЕНИЕ VII
В таком случае непротиворечивость аксиом может быть
проверена либо тем, что будет показано, как
предполагаемое противоречие должно было бы проявиться уже на
более ранней ступени развития теории, либо путём
предположения, что существует доказательство, которое,
исходя из аксиом, приводит к противоречию, и последующего
выяснения того факта, что такое доказательство
невозможно, т. е. что оно содержит в себе противоречие.
Так, например, набросанный ранее эскиз доказательства
непротиворечивости существования бесконечного сводится
к тому, что, исходя из аксиом 1—4, невозможно доказать
равенство 6.
V. Когда до сих пор шла речь о м н о г и х мыслимых
вещах, комбинациях, комбинациях многократного вида
или многих произвольных, то при этом всегда понималось
ограниченное число таких вещей. После того как мы
установили определение конечного числа, мы оказываемся в
состоянии трактовать этот способ выражения в его общем
значении. Теперь на основании определения конечного числа
(в соответствии с идеей полной индукции) оказывается также
возможным с помощью рекурентного приёма точно описать
значение «произвольного» следствия и «отличия»
некоторого высказывания "от всех высказываний определённого
рода. Именно так, в частности, нужно представлять себе
полное определение ранее намеченного доказательства
того, что высказывание с (бл:(л)) = б 1 отличается от
каждого высказывания, которое получено, как следствие, из
аксиом 1—4 после конечного числа шагов; именно самое
доказательство должно рассматривать как математическое
образование, как конечное множество, элементы которого
связаны высказываниями, выражающими, что доказательство
ведёт от аксиом 1—4 к равенству 6, и надо в таком
случае показать, что такое доказательство содержит
противоречие и, таким образом, не существует непротиворечиво
в определённом нами смысле.
Подобно тому как может быть доказано существование
наименьшей бесконечности, может быть доказано также и
существование совокупности действительных чисел;
действительно, аксиомы, как они были установлены мною для дей-

ОБ ОСНОВАНИЯХ ЛОГИКИ И АРИФМЕТИКИ 337
ствительных чисел*), могут быть выражены в точности
такими же формулами, как и установленные до сих пор
аксиомы. Что же касается, в частности, той аксиомы,
которую я назвал аксиомой полноты, то она выражает, что
совокупность действительных чисел содержит каждое
множество, элементы которого равным образом удовлетворяют
предшествующим аксиомам; при этом слово «содержит»
надо понимать в смысле взаимно однозначного соответствия
элементов. При таком толковании аксиома полноты
представляет собою требование, тоже выражаемое с помощью
формул вышеуказанного характера, и аксиомы для
совокупности действительных чисел качественно ни в каком смысле
не отличаются от аксиом, необходимых, например, для
определения целых чисел. В познании этого факта, как мне
думается, заключается объективное опровержение взгляда,
который защищал Кронекер и который в начале моего
доклада был квалифицирован как догматическая трактовка
основ арифметики.
Точно так же доказывается, что основным понятиям
канторовского учения о множествах и в частности кан-
торовским алефам присуще непротиворечивое существование.
Гейдельберг, август 1904г.
*) См. стр. 111—113, гл. III.
г*ш
22 Д. Гильберт

\ "" л ' ' f
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
О БЕСКОНЕЧНОМ*),
(Сокращённая статья из Mathematischen Annalen, т. 95)
Вейерштрасс своей критикой, которую он проводил с
мастерской остротой, положил твёрдые основания
математического анализа. Выяснив, среди остальных понятий,
понятия' минимума, функции, производной, он тем самым
устранил недочёты, имевшие место в исчислении бесконечно малых,
очистил его от всех расплывчатых представлений о
бесконечно малом и окончательно преодолел при этом трудности,
вытекающие из понятия «бесконечно малое». Если теперь
в последовательности умозаключений, которые основаны на
понятии иррационального числа-и вообще предела, царит
в анализе полное единодушие и уверенность — даже в
самых запутанных вопросах, касающихся теории
дифференциальных и интегральных уравнений, — если, несмотря на
самые смелые и многообразные результаты, несмотря на
нагромождение и перекрещивание пределов, всё же имеется
*) Доклад, прочитанный 4-го июня 1925 г. на съезде
математиков, организованном вестфальским математическим обществом
в Мюнстере в память Вейерштрасса; ср. другие мои сообщения
на эту же тему: «Neubegrundung der Mathematik», Abhandlungen
aus detn mathematischen Seminar der Hamburgischen Universrtat,
т. I, стр. 57, 1922; «Die logischen Grundlagen der Mathematik»,
Math. Ann. т. 88, стр. 151, 1922; «Die Grundlagen der
Mathematik»; Abhandlungen aus dem mathematischen Seminar der
Hamburgischen Universitat, т. VI, стр. 65, 1928 (здесь приложение IX); «Рго-
bleme der Grundlegung der Mathematik», Abhandlungen des Inter-
nationalen Mathematischen Kongresses zu Bologna, 1928, также
Math. Ann. т. 102, 1929 (здесь приложение X).

О БЕСКОНЕЧНОМ
339
совпадение всех результатов, то это — существенная
заслуга научной деятельности Вейерштрасса.
Однако обоснованием, данным анализу бесконечно малых
Вейерштрассом, дискуссия об основах анализа не
закончилась.
Причина этого лежит в том, что значение бесконечного
для математики ещё не выяснено до конца. Правда,
бесконечно малое и бесконечно большое были из анализа
Вейерштрасса исключены тем, что высказывания, относящиеся
к этим понятиям, были сведены к соотношениям между
конечными величинами. Но бесконечное всё же выступает снова
в бесконечных числовых последовательностях, определяющих
действительное число, и затем в понятии системы
действительных чисел, которая воспринимается точно так, как
предстоящая перед нами готовая и законченная
совокупность.
Формы логических умозаключений, в которых выражается
эта трактовка, — когда, например, идёт речь о всех
действительных числах, обладающих известным свойством, или
о том, что существуют действительные числа, обладающие
известным свойством, — суть как раз' те формы, к которым
неограниченно обращаются в вейерштрассовском
обосновании анализа и которые применяют, постоянно повторяя.
Благодаря этому бесконечное сумело снова в прикрытом
виде пробраться в теорию Вейерштрасса, не будучи задето
остротой его критики; отсюда следует, что проблема
бесконечного и есть как раз то, что нам в указанном смысле
необходимо ещё выяснить до конца. Мы должны
бесконечное, в смысле бесконечной совокупности, в тех случаях, где
оно встречается в выводах ещё и теперь, понимать как нечто
кажущееся, подобно тому, как в предельных процессах исчис- "
ления бесконечно малых оказалось возможным показать, что
бесконечное, в смысле бесконечно малого и бесконечно
большого, есть просто оборот речи. И подобно тому как
действия с бесконечно малыми были заменены процессами
в конечном, которые дают те же результаты и приводят
к тем же изящным формальным соотношениям, выводы,
содержащие бесконечное, должны быть вообще заменены
конечными процессами, дающими в точности те же результаты,
22*

340
ДОБАВЛЕНИЕ VIIT
т. е. позволяющими проводить тот же ход доказательства
и применять те же методы для получения формул и теорем.
В этом и заключается замысел моей теории. Эта теория
ставит своей целью установить определённую надёжность
математического метода, которой критический период
исчисления бесконечно малых ещё не достиг; она должна,
таким образом, завершить то, к чему стремился Вейерштрасс
в своём обосновании анализа и к достижению чего им был
сделан необходимый и существенный шаг.
Однако, затрагивая вопрос о выяснении понятия
бесконечности, приходится принимать во внимание ещё более
общую точку зрения. Если обратить на это внимание, то
оказывается, что математическая литература наводнена
нелепостями и бессмыслицами, в которых большей частью
повинна бесконечность. Так например, иногда в качестве
ограничительного требования подчёркивают, что в строгой
математике в доказательстве допускается только конечное
число умозаключений — как будто кому-либо удалось уже
когда-либо сделать бесконечное число умозаключений.
Также и старые возражения, которые долгое время
считались похороненными,' выступают опять в новом одеянии.
Недавно, например, было высказано следующее: если даже
введение какого-либо понятия может быть произведено без
опасений, т. е. без получения противоречий, и это может быть
доказано, то всё же это понятие не является в достаточной
мере оправданным. Не является ли это в точности тем-возра-
жением, которое в своё время выдвигали против комплексных
(мнимых) чисел, говоря; правда, из-за них не получается
никаких противоречий, но их введение всё же незаконно, так
как мнимые величины всё-таки не существуют. Нет, если
помимо доказательства непротиворечивости может иметь
смысл ещё вопрос о законности некоторого мероприятия,
то таким вопросом может быть только вопрос о том,
сопровождается ли это мероприятие соответствующим успехом
или нет. Действительно, успех здесь необходим; он является
высшей инстанцией, перец которой преклоняется каждый.
Другой автор, повидимому, усматривает противоречия,
подобно привидениям, даже и там, где никто вообще
никаких утверждений не делал, именно в самом конкретном,

О БЕСКОНЕЧНОМ
341
чувственном мире, «непротиворечивое функционирование»
которого усматривается как особая гипотеза. Я, по крайней
мере, думал, что противоречить друг другу могут только
высказывания и предположения, поскольку они через
умозаключения ведут к новым высказываниям, и мне кажется,
что мнение, будто сами факты и события могут оказаться
в противоречии друг с другом, является классическим
примером бессмыслицы.
Этими замечаниями я хочу только показать, что
окончательное выяснение сущности бесконечного выходит за
пределы узких интересов специальных наук и, более того,
что оно стало необходимым для чести самого человеческого
разума.
С давних пор никакой другой вопрос так глубоко не
волновал человеческую мысль, как вопрос о бесконечном;
бесконечное действовало на разум столь же по'буждающе
и плодотворно, как едва ли действовала какая-либо другая
идея; однако ни одно другое понятие не нуждается так
сильно в разъяснении, как бесконечность.
Обращаясь к задаче о выяснении сущности бесконечного,
мы должны по возможности кратко представить себе, какое
содержательное значение соответствует бесконечному в
действительности; мы посмотрим сначала, что нам даёт в этом
отношении физика.
Первым наивным впечатлением, производимым явлениями
природы и материей, является впечатление чего-то
непрерывного, континуального. Если мы имеем перед собою
кусок металла или некоторый объём жидкости, то нам
навязывается представление о том, что они неограниченно делимы,
что сколь угодно малый кусок их опять-таки обладает теми
же свойствами. Но повсюду, где методы исследования в
физике материи достаточно усовершенствованы, мы
наталкиваемся на границы этой делимости, которые лежат не в
несовершенстве нашего опыта, а в природе самой вещи, так
что можно было бы прямо-таки воспринимать тенденцию
современной науки, как освобождение от бесконечно малого;
теперь можно было бы старому тезису «natura поп facit
saltus» (природа не делает скачкоз) противопоставить
антитезу: «природа делает скачки».

342
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
Известно, что вся материя составлена из маленьких
кирпичиков— из атомов,— и что их комбинации и соединения
образуют всё многообразие макроскопических веществ.
Однако физика не останавливается перед учением об
атомном строении материи. Рядом с ним в конце прошлого
столетия выступает, сначала очень непривычно действующее,
учение об атомном строении электричества. В то время
как раньше электричество считалось жидкостью и было
примером непрерывно действующего агента, теперь
оказалось, что и оно построено из положительных ядер и
отрицательных электронов.
Помимо материи и электричества, в физике имеется ещё
и другая реальность, для которой также имеет место закон
сохранения, именно — энергия. Но, как установлено теперь,
и энергия^ не допускает простого и неограниченного
деления на части: Планк открыл кванты энергии.
И каждый раз получается тот итог, что однородный
континуум, который должен был бы допускать неограниченное
деление и тем самым реализовать бесконечное в малом,
в действительности нигде не встречается. Бесконечная
делимость континуума — это операция, существующая только
в человеческом представлении, это только идея, которая
опровергается нашими наблюдениями над природой и
опытами физики и химии.
Второй раз мы наталкиваемся в природе на вопрос о
бесконечности при рассмотрении вселенной в целом. Мы
должны теперь исследовать протяжённость вселенной, чтобы
узнать, нет ли здесь бесконечно большой величины.
Мнение, что вселенная бесконечна, долгое время
господствовало: до Канта и даже после него вопрос о
бесконечности вселенной не вызывал никаких сомнений.
Но опять-таки современная наука, и в частности
астрономия, подняла этот вопрос сызнова и попыталась решить
его не с помощью недостаточных методов метафизического
умозрения, а на основах, опирающихся на опыт и покоящихся
на применении законов природы. При этом выявились веские
возражения против бесконечности. Предполагать, что
пространство бесконечно, вынуждает нас геометрия Евклида.
Хотя геометрия Евклида и является системой понятий, не-

О БЕСКОНЕЧНОМ
343
противоречивой в самой себе, но отсюда, однако, ещё не
следует, что она выполняется в действительности. Имеет ли
это место — это может решить только наблюдение и опыт.
При попытках умозрительно показать бесконечность
пространства вкрадывались также и очевидные ошибки. Из того
факта, что вне какого-либо куска пространства всегда снова
имеется пространство, следует только неограниченность
пространства, а не его бесконечность. Но понятия
неограниченность и конечность не исключают друг друга.
Математические исследования дают нам так называемую
эллиптическую геометрию — естественную модель конечного
мира. Отказ от евклидовой геометрии является теперь не
только чисто математическим или философским умозрением,
но мы пришли к этому» отказу также и с другой стороны,
которая первоначально не имела ничего общего с вопросом
о конечности вселенной. Эйнштейн показал необходимость
отойти от геометрии Евклида. На основании сво,ей
гравитационной теории он берётся и за космологические вопросы
и показывает возможность конечности вселенной, причём
все найденные астрономами результаты вполне согласуются
с предположением об эллиптическом мире.
Итак, мы установили конечность действительного в двух
направлениях: в отношении бесконечно малого и бесконечно
большого. Всё же может случиться, что бесконечное в
нашем мышлении занимает полноправное место и является
необходимым понятием. Мы посмотрим, как с этим обстоит
в математической науке, и первым делом опросим чистейшее
и наивнейшее дитя человеческого духа — теорию чисел.
Из имеющейся здесь богатой совокупности элементарных
формул возьмём какую-либо одну, например:
l2 -f 22 + З2 -f . •. -f я2 = -g- л (л + 1) (2л + 1).
Так как мы можем подставить в неё вместо п какое-либо
целое число, например, положить п = 2 или п = 5, то эта
формула содержит бесчисленное множество высказываний;
в этом, очевидно, и заключается её суть, благодаря чему
только она и представляет решение арифметической
проблемы и требует собственно доказательства, между тем как

344
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
частные числовые равенства
Р4-22=1.2.3.5,
р_|_ 22 -f 32-f 42-f-52=1.5.6.11
могут быть проверены с помощью вычислений и потому
в отдельности не представляют, по существу, никакого
интереса.
С абсолютно другим, совершенно своеобразным
толкованием и принципиальным пониманием идеи бесконечного
мы знакомимся благодаря чрезвычайно важному и
плодотворному методу идеальных элементов. Метод идеальных
элементов находит себе применение уже в элементарной
геометрии плоскости. Здесь реальными, действительно
существующими предметами являются вначале только точки
и прямые плоскости. Для них имеет место, между прочим,
аксиома соединения: через две точки проходит всегда одна
и только одна прямая. Отсюда получается, что две прямые
пересекаются не более чем в одной точке. Но теорема,
утверждающая, что две прямые всегда пересекаются в
одной точке, несправедлива; две прямые могут быть
параллельными. Однако известно, что с помощью -идеальных
элементов, а именно с помощью бесконечно удалённых точек
и с помощью одной бесконечно удалённой прямой можно
достичь того, что теорема, согласно которой две прямые
всегда пересекаются в одной и только одной точке,
окажется справедливой во всех случаях.
Идеальные «бесконечно удалённые» элементы приносят
ту пользу, что они делают систему законов соединения
возможно более простой и обозримой. Вследствие
симметрии между точкой и прямой, отсюда, как известно,
получается оказавшийся столь плодотворным принцип
двойственности в геометрии.
Обычные комплексно-мнимые величины алгебры также
являются примером использования идеальных элементов; они
служат здесь для упрощения теорем о существовании
корней уравнения и их числе.
Подобно тому как в геометрии бесконечное множество
прямых, именно параллельные друг другу прямые, исполь-

О БЕСКОНЕЧНОМ
345
зуется для определения идеальной прямой, так и в высшей
арифметике определённые бесконечные системы чисел
объединяются в один числовой идеал, и в этом состоит,
пожалуй, самое гениальное применение принципа идеальных
элементов. Если это происходит вообще, внутри некоторого
алгебраического числового поля, то мы находим в этом
поле простые и хорошо известные законы делимости,
аналогичные тем, которые имеют место для обыкновенных
целых чисел. Здесь мы уже попали в область высшей
арифметики.
Мы подошли теперь к анализу, этой искуснейшей и
тончайшим образом разветвлённой отрасли математических
наук. Вы сами знаете, какую ведущую роль играет там
бесконечное; математический анализ можно в известном
смысле назвать единой симфонией бесконечного.
Громадные успехи, достигнутые в исчислении
бесконечно малых, основываются большей частью на действиях с
математическими системами, состоящими из бесконечного
числа элементов. Так как очень легко напрашивалось
отождествление бесконечного с «очень большим», то вскоре
возникли несогласованности, так называемые парадоксы
исчисления бесконечно малых, часть которых была уже в
древности известна софистам. Основным шагом вперёд
явилось обнаружение того факта, что многие положения,
справедливые для конечного, — часть меньше целого,
существование минимума и максимума, перемена мест
слагаемых или сомножителей — не могут быть
непосредственно перенесены на бесконечное. В начале своего доклада
я уже упоминал, что эти вопросы были выяснены
благодаря проницательности Вейерштрасса, и теперь анализ в
своей области стал безошибочным наставлением и
практическим инструментом для пользования бесконечным.
Однако сам анализ ещё не ведёт нас к глубочайшему
проникновению в сущность бесконечного. Такому
проникновению гораздо больше способствует дисциплина, которая
стоит ближе к общефилософским приёмам мышления и
которая была призвана опять, уже в новом свете, поставить
весь комплекс вопросов, касающихся бесконечного. Этой
дисциплиной является теория множеств, создателем кото-

346
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
рой был Георг Кантор. Здесь мы рассмотрим только
то, поистине единственное в своём роде и оригинальное,
что составляет собственно ядро канторовского учения,—
его теорию трансфинитных чисел\ она представляется
мне наиболее заслуживающим удивления цветком
математического духа и вообще одним из высших
достижений чисто умственной деятельности человека. Что же это
такое?
Если хотят кратко характеризовать новое понимание
бесконечного, которому положил начало Кантор, можно,
пожалуй, сказать следующее: в анализе мы имеем дело с
бесконечно малым и бесконечно большим только как с
предельным понятием, как с чем-то становящимся,
образующимся, производящимся, т. е., как говорят, с потен-
циальной бесконечностью. Но это не есть само собственно
бесконечное. Таковое мы имеем, например, рассматривая
самую, совокупность чисел 1, 2, 3, 4, . . . как некое
законченное единство или точки отрезка как совокупность
вещей, предстоящую перед нами в законченном виде.
Этого рода бесконечность мы будем называть актуальной
бесконечностью.
Уже Фреге и Дедекинд, сделавшие очень многое для
обоснования математики, оба, независимо друг от друга,
применили актуальную бесконечность для того, чтобы обо-
снозать арифметику независимо от всякого наглядного
представления и опыта, на чистой логике и развивать её
дедуктивным путём только посредством логики. Их
стремление состояло в том, чтобы конечное число не брать из
наглядного представления, а вывести чисто логически,
существенно используя при этом понятие бесконечных
множеств. Кантор же разработал понятие бесконечного
систематически. Рассмотрим оба упомянутых примера
бесконечного:
1. 1, 2, 3, 4, ...
2. Точки отрезка [0, 1] или, что то же, совокупность
действительных чисел, заключённую между 0 и 1
[включая их].
Во-первых, их надо исследовать с точки зрения
многочисленности; при этом мы приходим к поразительным фактам,

О БЕСКОНЕЧНОМ
347
которые теперь хорошо известны каждому математику.
Именно, если рассматривать множество всех рациональных
.112 1 3
чисел, т. е. все дроби -.,_,_,—,...эу, ...,
то оказывается, что это множество, взятое только с
точки зрения многочисленности, не больше множества
целых чисел; мы говорим, что рациональные числа могут
быть обычным способом пересчитаны, или что их
множество счётно.
То же справедливо и относительно множества всех
чисел, выражающихся с помощью радикалов и, даже
более того, — для множества всех алгебраических чисел.
Аналогично обстоит дело и с нашим вторым примером:
неожиданным образом оказывается, что множество точек
квадрата или куба, взятое только с точки зрения
многочисленности, не больше множества точек отрезка [0, 1];
даже для множества -всех непрерывных функций^
справедливо ещё такое же утверждение. Кто узнаёт это впервые,
может подумать, что с точки зрения многочисленности
существует вообще одна только бесконечность. Но это
неверно: множества наших двух примеров, — 1-го и 2-го —
как говорят, не «равномощны»; напротив того, множество
2-го примера не может быть пересчитано, — оно больше
множества 1-го примера. Здесь наступает характерная
перемена в образовании идей Кантора. Точки отрезка нельзя
пересчитать обычным спосббом с помощью чисел 1, 2, 3, . . .
Но, допуская существование актуальной бесконечности,
мы отнюдь не ограничиваем себя этим обычным
способом счёта, и ничто нас не принуждает прекратить
счёт. Когда мы пересчитали 1, 2, 3, . . . , то мы
можем пересчитанные предметы рассматривать как некое
в этом определённом порядке законченное бесконечное
множество. Обозначим, как это делает Кантор, этот
порядок по' его типу через со; тогда счёт естественно
продолжается с помощью со —(— 1, со —{— 2, ... до со —j— со
или со-2, а затем он продолжается дальше с помощью
co-2-fl, co-2-f2, со • 2+3, . . . , со • 2 + w = co • 3
и далее с помощью со-2, со-3, со-4, ..., со• со = со2,
0)^-1-1, ...

348
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
Таким образом, мы получаем следующую таблицу:
1-2.3...
со, со —[— 1 э (0-4-2, ...
(0-2, (0.2+ 1, W-2 + 2, . . .
(о-З, (0-3+ 1, (0-3 + 2, ...
(О2, о2 + 1, ...
(о2 + со, со2 + со2.2, (о2 + С0-3, ...
(о2-2, . . .
со2-2 +со, ...
о3, ...
©S ...
Это — первые трансфинитные числа, числа второго класса,
как их называет Кантор. К ним мы подходим просто
посредством продолжения счёта за пределы обыкновенной
счётной бесконечности, т. е. с помощью вполне
естественного, однозначно определённого последовательного
продолжения обычного счёта в конечном. Подобно тому как
мы до сих пор считали лишь 1-ю, 2-ю, 3-ю, . . . вещь
множества, так теперь мы считаем (о-ю, (<о+ 1)-ю, ош-ю вещь.
При таком положении вещей тотчас же сам собою
напрашивается вопрос — нельзя ли при помощи этих транс-
финитных чисел пересчитать множества, которые в
обычном смысле несчётны?
Кантор в соответствии с этим ходом мыслей успешно
построил теорию трансфинитных чисел- и создал для них
полное исчисление. Итак, в конце концов, • благодаря
гигантской совместной работе Фреге, Дедекинда и Кантора,
бесконечное было возведено на трон и наслаждалось
временем своего высшего триумфа. Бесконечное в своём
дерзком полёте достигло головокружительной высоты успеха.
Но реакция не заставила себя ждать; она разыгралась
очень драматически. Произошло нечто, аналогичное тому,
что случилось при развитии исчисления бесконечно малых.
На радостях по поводу новых богатых результатов стали

О БЕСКОНЕЧНОМ
349
явным образом недостаточно критически относиться к
законности умозаключений; поэтому уже при простом
образовании понятий и применении умозаключений, постепенно
ставших обычными, выявились противоречия, сначала
единичные, а затем всё более резкие и всё более серьёзные:
так называемые парадоксы теории множеств. В
особенности это относится к противоречию, найденному Цермело
и Ресселлем, опубликование которого оказало на
математический мир прямо-таки катастрофическое действие.
Перед лицом этих парадоксов Дедекинд и Фреге фактически
отказались от своей точки зрения и очистили поле битвы:
Дедекинд долго сомневался перед тем, как выпустить
новое издание своей работы «Что такое числа, и чем они
должны быть» («Was sind und was sollen die Zahlen»),
которая в своё время открыла новую эпоху; у Фреге
также была тенденция считать свою книгу «Основные законы
арифметики» («Grundgesetze der Arithmetik») ошибочной,
в чём он признаётся в одном из своих послесловий. И на
учение Кантора с различных сторон были произведены
бурные нападки. Контрдвижение было столь стремительно,
что общеупотребительнейшие и плодотворнейшие понятия
математики, простейшие и важнейшие её умозаключения
оказались под угрозой, и применение их должно было быть
запрещено. Правда, не было недостатка и в защитниках
старого; но мероприятия защиты были очень слабы, и они
не были направлены единым фронтом в нужную сторону.
Лекарств против парадоксов рекомендовали слишком много,
методы объяснений были слишком разнообразны.
Надо согласиться, что состояние, в котором мы
находимся сейчас в отношении парадоксов, на
продолжительное ,время невыносимо. Подумайте: в математике —
этом образце достоверности и истинности, — образование
понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает,
преподаёт и применяет, приводят к нелепостям. Где же
искать надёжность и истинность, если даже само
математическое мышление даёт осечку?
На существует вполне удовлетворительный путь, по
которому можно избежать парадоксов, не изменяя при этом
нашей науке. Те точки зрения, которые служат для от-

350
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
крытия этого пути и те пожелания, которые указывают
нам направление, суть следующие:
1. Мы будем заботливо следить за плодотворными
способами образования понятий и методами умозаключений
везде, где является хотя бы малейшая надежда, будем
ухаживать за ними, поддерживать их, делать их годными
к использованию. Никто не может изгнать нас из рая,
который создал нам Кантор.
2. Надо повсюду установить ту же надёжность
заключений, которая имеется в обыкновенной, низшей теории
чисел, в которой никто не сомневается и где возникают
противоречия и парадоксы только вследствие нашей
невнимательности.
Достижение этой цели возможно, очевидно, лишь
после того, как мы полностью выясним сущность
бесконечности.
Раньше мы уже выяснили, что какие бы опыты и
наблюдения и какую бы отрасль науки мы ни рассматривали,
нигде в действительности мы не находим бесконечности.
Должны ли мысли о вещах быть столь непохожими на то,
что происходит с вещами, должны ли они сами по себе
итти другим путём, совершенно в стороне от
действительности? Разве не ясно, что когда мы, как нам кажется,
в каком-то смысле познаём реальность бесконечного, на
самом деле мы лишь позволяем себе соблазниться
чудовищно большими и чудовищно малыми размерами,
которые так часто встречаются в действительности. А
содержательные логические выводы, когда мы их применяли к
действительным вещам или событиям, — разве они нас где-
либо обманывали и где-либо нам изменяли? Нет —
содержательное логическое мышление необходимо. Оно нас
обманывало только тогда, когда мы принимали
произвольные абстрактные способы образования понятий; мы в этом
случае как раз недозволенно применяли содержательные
выводы, т. е. мы, очевидно, не обратили внимания на
предпосылки, необходимые для применения содержательного
вывода. В признании того, что такие предпосылки имеются
и должны приниматься во внимание, мы согласны с
философами, особенно с Кантом. Уже Кант учил—и это со-

О БЕСКОНЕЧНОМ
351
ставляет существенную часть его учения, — что
математика обладает не зависящим от всякой логики устойчивым
содержанием, и потому она никогда не может быть
обоснована только с помощью логики, вследствие чего, между
прочим, стремления Дедекинда и Фреге должны были
потерпеть крушение. Наоборот, кое-что уже дано в нашем
представлении в качестве предварительного условия для
применения логических выводов и для выполнения
логических операций: определённые, внелогические, конкретные
объекты, которые имеются в созерцании до всякого
мышления в качестве непосредственных переживаний. Для
того чтобы логические выводы были надёжны, эти
объекты должны быть обозримы полностью во всех частях;
их показания, их отличие,' их следование, расположение
одного из них наряду с другим даётся непосредственно
наглядно, одновременно с самими объектами, как нечто
такое, что не может быть сведено к чему-либо другому
и не нуждается в таком сведении. Это — та основная
философская установка, которую я считаю обязательной как
для математики, так и вообще для всякого научного
мышления, понимания и общения и без которой совершенно
невозможна умственная деятельность. В частности, в
математике предметом нашего рассмотрения являются
конкретные знаки сами по себе, облик которых, согласно нашей
установке, непосредственно ясен и может быть
впоследствии узнаваем.
Припомним сущность и методику теории обыкновенных
конечных чисел. Её, разумеется, можно построить
отдельно, конструируя числа с помощью содержательных,
наглядных соображений. Однако математическая наука
отнюдь не исчерпывается числовыми равенствами и не сводится
к одним только этим равенствам. Можно утверждать, тем
не менее, что она является аппаратом, который при
применении его к целым числам всегда должен давать верные
числовые равенства. В таком случае ставится требование настолько
исследовать строение этого аппарата, чтобы в этом убедиться.
Вспомогательным средством при этом служит нам только
тот же конкретно содержательный способ рассмотрения и
конечная установка мышления, как они применялись для

352
ДОБАВЛЕНИЕ VITT
получения числовых равенств при построении теории
чисел. Это познавательное требование в действительности
выполнимо, т. е. можно получить чисто наглядным,
конечным способом—совершенно так же, как получаются
истины теории чисел — те рассмотрения, которые ручаются
за достоверность математического аппарата.
Рассмотрим теперь ближе теорию чисел. В теории
чисел мы имеем знаки:
1, И, 111, 11111,
где каждый числовой знак можно распознать благодаря
тому, что в нём за 1 всегда следует опять 1. Эти
числовые символы — они и являются объектом наших
рассуждений— сами по себе не имеют никакого значения.
Кроме этих знаков в элементарной теории чисел мы
пользуемся ещё и другими знаками, которые нечто означают
и служат для сообщений. Так, мы пользуемся числовым
знаком 2 для сокращённой записи числового знака И,
или числовым знаком 3 для сокращённой записи числового
знака 111; далее, мы применяем знаки -|-, =, ^> и
другие, которые служат нам для сообщения утверждений.
Так, 2 —[— 3 == 3 —[— 2 должно служить для сообщения того
факта, что 2 -f- 3 и 3 —|— 2, если принимать во внимание
сокращённую запись, которой мы пользовались, являются
одним и тем же числовым знаком, а именно числовым
знаком 11111. Точно так же 3^>2 служит для
сообщения того факта, что знак 3, т. е. 111, выступает за
знаком 2, т. е. 11, или что этот последний знак является
частью первого. •
При сообщениях мы будем пользоваться в качестве
числовых знаков также и буквами а, Ь, с. Согласно
этому, Ь^>а является сообщением того, что числовой знак Ь
выступает за числовым знаком а. Точно так же, если
исходить из этой точки зрения, а —|— Ь = Ь —|— Ct есть
сообщение, что числовой знак а-[-Ь означает то же, что и
числовой знак b —{- а. При этом содержательная правильность
этого сообщения может быть доказана с помощью
содержательного вывода, и мы можем с этим наглядным
содержательным способом обсуждения пойти очень далеко вперёд.

О БЕСКОНЕЧНОМ
353
Я хотел бы показать вам только один пример, в
котором переходят за этот наглядный способ обсуждения.
Самым большим (39 цифр) из известных до сих пор
простых чисел является
*)=170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727.
С помощью известного евклидовского способа мы можем
доказать, рассуждая полностью в рамках нашей
установки, что между р-{-\ и jH-f"! безусловно существует
новое простое число. Это высказывание само по себе
также соответствует нашей конечной установке, так как
слово «существует» служит в данном случае только для
того, чтобы короче сформулировать следующее
высказывание:
Безусловно
р + 1 или р-\-2 или р-}-3...или £!-j-l
есть простое число. Но, далее, очевидно, то же я могу
выразить словами: существует простое число
и в то же время
2. Spl + l.
Отсюда мы приходим к формулировке теоремы, которая
выражает только часть евклидовского утверждения,
существует простое число ^>'р. Хотя по своему содержанию
это последнее утверждение гораздо уже евклидовского и
хотя переход кажется совершенно безобидным, всё же
это есть прыжок в трансфинитное *), если только это
частичное высказывание рассматривать, как
самостоятельное утверждение, вне вышеприведённой связи.
Как это может быть? Мы имеем здесь высказывание о
существовании: «существует»! Правда, мы встречаем уже
это слово в теореме Евклида. Однако там, как я уже
говорил, слово «существует» представляло собою другой
сокращённый способ выражения того, что
либо р-\-1, либо р + 2, либо р + 3, . . . , либо ^1+1
*) В смысле «законечное». (Прим. ред.)
23 Д. Гильб ер г

354
ДОБАВЛЕНИЕ VTTT
есть простое число, подобно тому, как длинную фразу:
«либо этот кусок мела красен, либо тот кусок мела
красен, либо ..., либо кусок мела, лежащий вон там,
красен» заменяют короткой: «среди этих кусков мела
имеется красный кусок». Такого рода утверждение,
говорящее о том, что среди некоторой конечной совокупности
предмет, обладающий определённым свойством,
«существует», полностью соответствует нашей конечной
установке. Напротив того, альтернатива «либо ф-\- 1, либо р-\- 2,
либо р-|-3, ... и так до бесконечности—есть простое
число» является, так сказать, бесконечной «или-связью», и
подобный переход к бесконечному без особого
объяснения и без необходимых при случае правил
предосторожности так же мало дозволен, как мало дозволен в анализе
переход от конечных произведений к бесконечным; и,
прежде всего, он, вообще говоря, не имеет смысла.
Вообще, если исходить из конечной точки зрения, то
высказывание вида «существует число, имеющее такое-то
и такое-то свойство» имеет смысл только как частичное
высказывание, т. е. как часть более определённого
высказывания, более точное содержание которого, однако,
для многих приложений несущественно.
Таким образом, мы натолкнулись здесь на
трансфинитное при разложении высказывания о существовании на
части, ни одна из которых не может быть истолкована
как «или-связь». Равным образом, мы приходим к .
трансфинитному, когда мы отрицаем общее, т. е.
распространяющееся на любые числовые знаки, утверждение. Так,,
например, для высказывания: если а — числовой знак, то
всегда должно быть
— с конечной точки зрения не может быть составлено
его отрицание. Мы можем себе это уяснить, если
вспомним, что если исходить из этой точки зрения, то это
высказывание означает не соединение бесконечного
множества числовых равенств союзом «и», а суждение
гипотетического характера, которое нечто утверждает только

О БЕСКОНЕЧНОМ
355
для того случая, когда перед нами имеется некоторый
числовой знак.
Отсюда, в частности, следует, что в смысле конечной
установки нельзя применить альтернативу, согласно
которой равенство, подобное вышеприведённому, включающее
в себя неопределённый числовой знак, либо выполняется
для любого числового знака, либо опровергается
противоречащим примером. Действительно, эта альтернатива,
являющаяся применением закона Tertium поп datur
(закона исключённого третьего), существенно опирается на
предположение, что утверждение общей действенности
этого равенства может быть отрицаемо.
Во всяком случае констатируем: если мы остаёмся в
области конечных высказываний, как нам это и
приходится делать сначала, то в таком 'случае имеют место не
поддающиеся обозрению логические соотношения, и эта
необозримость доходит до нестерпимости, когда слова
«все» и «существуют» комбинируются и вставляются в
теоремы. Во всяком случае, те логические законы,
которыми люди, с тех пор как они мыслят, всегда
пользовались и о которых учил уже Аристотель, несправедливы
в конечном. Мы бы могли найти выход в том, чтобы
установить логические законы, справедливые в области
конечных высказываний; но это не принесло бы нам
никакой пользы, так как. мы ведь не хотим отказаться от
пользования простыми законами аристотелевой логики,
и никто, говори он даже ангельским языком, не удержит
людей от того, чтобы отрицать любые утверждения,
образовывать частичные суждения и применять закон
исключённого третьего. Как же нам теперь быть?
Вспом,ним, что мы — математики и в качестве таковых
уже не раз находились в аналогичном затруднительном
положении и что тогда нас выводил из этого положения
гениальный метод идеальных элементов. Некоторые яркие
примеры применения этого метода я приводил уже вам
в начале доклада. Так же, как было введено i=y — 1
для того, чтобы удержать законы алгебры в простейшем
виде, например, теорему о существовании и числе корней
уравнения; так же, как произошло введение идеальных
23*

356
ДОБАПЛЕНИЕ VIII
факторов, опять-таки для того, чтобы оставить в силе
простейшие законы делимости для целых алгебраических
чисел, когда мы, например, вводим общий идеальный
делитель чисел
2 и 1 + /"=5,
хотя в действительности таковой не существует; точно так
же и здесь к конечным высказываниям мы должны
присоединить идеальные высказывания для того, чтобы
удержать формально простые законы обычной аристотелевой
логики. И странным образом случилось так, что
определения и выводы, против которых Кронекер с такой
страстью возражал, оказались точной копией того, что
тот же Кронекер с таким энтузиазмом превозносил в
теории чисел у Куммера и чем он восхищался как высшим
математическим достижением.
Как же мы теперь придём к идеальному
высказыванию? Замечательно и, во всяком случае, благоприятно и
покровительствует нам следующее обстоятельство. Для
того, чтобы попасть на путь к этим идеальным
высказываниям, мы должны лишь естественным и последовательным
образом продолжить то развитие основ математики,
которое имело место уже до сих пор. Действительно,
припомним, что даже элементарная математика уже не остаётся
на точке зрения наглядной теории чисел. Содержательно
наглядная теория чисел, как мы её до сих пор понимали,
не включает в себя метод алгебраического буквенного
исчисления. В ней формулы всегда употребляются только
для сообщения; буквы означают числовые знаки, и с
помощью равенства мы сообщаем о совпадении двух знаков.
Напротив того, в алгебре мы пользуемся буквенными
выражениями как образами, которые сами по себе
самостоятельны, и благодаря им содержательные теоремы
теории чисел принимают формальный характер. На место
высказываний о числовых зна-ках выступают формулы,
которые, со своей стороны, являются конкретными
объектами наглядного созерцания, а на место содержательного
теоретико-числового доказательства выступает вывод
одной формулы из другой по известным правилам.

О БЕСКОНЕЧНОМ
357
Таким образом, уже в алгебре имеет место увеличение
числа конечных объектов. До сих пор это были только
числовые знаки, как, например, 1, 11, 11111. Только они
служили объектами содержательного рассмотрения. Но уже
з алгебре математическая практика выходит за эти
пределы. Даже когда некоторое высказывание с нашей
конечной точки зрения ещё допустимо в связи со ссылками
на содержательное, как, например, теорема о том, что
а -|- b = b + а,
где а и b означают некоторые числовые знаки,— даже
тогда мы пользуемся не этой формой сообщения, а
формулой
a + b = b + а,
которая теперь уже отнюдь не является
непосредственным сообщением о чём-то содержательном, а некоторым
формальным образом, отношение которою к старым
конечным высказываниям
2 + 3 = 3-1-2,
5+7=7+5
состоит в том, что мы в эту формулу вместо я, b
подставляем числовые знаки 2, 3, 5, 7 и благодаря этому,
т. е. благодаря некоторому — хотя и очень простому —
способу доказательства, получаем конечные частные
высказывания. Итак, мы приходим к тому взгляду, что а,
#, =, +, равно как и вся формула целиком,
а-\- b= Ь-\-а,
никакого значения сами по себе не имеют, точно так же,
как и числовые знаки; однако из неё можно получить
формулы, которым мы приписываем значение, именно тем,
что мы их понимаем как сообщение конечных
высказываний. Если мы этот взгляд обобщим, то математика
сведётся к совокупности формул, во-первых, таких, которым
соответствуют содержательные сообщения конечных
высказываний, т. е. по существу числовых равенств или
неравенств, и во-вторых, других формул, которые сами по

858
ДОБАВЛЕНИЕ VIII
себе никакого значения не имеют и которые являются
идеальными образами нашей теории.
Какова же была наша цель? В математике мы нашли,
с одной стороны, такие конечные высказывания, которые
содержат только числовые знаки, как-то:
3>2, 2 + 3 = 3 + 2, 2 = 3, \ф\\
эти высказывания, если исходить из нашей конечной точки
зрения, оказываются непосредственно наглядными и без
дальнейшего понятными; их можно отрицать, они верны или
ложны, можно свободно, не задумываясь, распоряжаться ими
согласно логике Аристотеля; закон противоречия для них
имеет место, т. е. какое-либо высказывание этого рода и
его отрицание не могут оба быть верны; имеет место
закон исключённого третьего, т. е. одно из двух — либо
данное высказывание верно, либо верно его отрицание.
Когда я говорю: «некоторое высказывание ложно», то это
равносильно утверждению: «отрицание этого высказывания
верно». Кроме этих элементарных высказываний совершенно
непроблематического характера, мы встречали также
конечные высказывания проблематического характера,
например, такие, которые были неразделимы. Наконец, мы ввели
идеальные высказывания, которые должны способствовать
тому, чтобы в совокупности опять-таки имели место
обычные законы логики. Но так как идеальные высказывания,
именно формулы, сами по себе не имеют значения,
поскольку они не выражают конечных утверждений, то
логические операции над ними не могут производиться
содержательно, как над конечными высказываниями.
В таком случае сами логические операции и
математические доказательства необходимо формализовать; это
требует перевода логических соотношений на язык формул.
Поэтому мы должны будем к математическим знакам
прибавить ещё и логические знаки, например
&. v, —. -
и или (либо) следует не

О БЕСКОНЕЧНОМ
359
и пользоваться кроме математических переменных я, Ь,с,...
ещё и логическими переменными, т. е. переменными
высказываниями Л, В, С, . . .
Как это может произойти? К счастью для нас, здесь
оказывается та же предустановленная гармония, которую
мы так часто встречаем в истории развития науки —
которая пригодилась Эйнштейну, когда он для своей
гравитационной теории нашёл вполне р'азработанное общее
исчисление инвариантов: в качестве такой успешно
разрабатывавшейся предварительной теории мы находим
алгоритм логики. Правда, этот последний возник
первоначально из совершенно других отправных точек зрения,
и в соответствии с этим знаки логического исчисления
первоначально были введены тоже только для сообщений;
но будет последовательным, если мы теперь отвергнем
значение логических знаков, как мы отвергли значение
знаков математических, и объявим, что формулы
логического исчисления сами по себе не имеют никакого
значения и суть идеальные высказывания. В логическом
исчислении мы обладаем языком знаков, которым можно
математические теоремы выразить с помощью формул,
а логические умозаключения выразить с помощью
формального процесса. Аналогично тому, как мы это делали
при переходе от содержательной теории чисел к
формальной алгебре, мы и в логическом исчислении
рассматриваем знаки и символы операций, отвлекаясь от их
содержательного значения. Благодаря этому, мы вместо
содержательной математической науки, которую мы
передаём обыкновенным языком, получаем некоторую
совокупность формул с математическими и логическими знаками,
следующих друг за другом по определённым правилам.
Математическим аксиомам соответствуют некоторые
определённые формулы, а содержательным выводам
соответствуют правила, по которым формулы следуют
одна за другой: таким образом, содержательные выводы
подменяются внешними действиями согласно правилам. Тем
самым совершается строгий переход от наивного к
формальному обращению, с одной стороны, с самими
аксиомами, которые сначала наивно считались основными исти-

360
ДОБАВЛЕНИЕ VITI
нами и которые уже давно в современной аксиоматике
рассматриваются только как связи понятий, а с другой
стороны — с логическим исчислением, которое первоначально
должно было быть только лишь иным языком.
Мы хотим ещё кратко разъяснить, каким образом
формализируется математическое доказательство.
Определённые формулы, .которые, как я сказал, служат
камнями для постройки формального здания математики,
называются аксиомами. Математическое доказательство
есть некоторая фигура, которая, как таковая, должна
наглядно пред нами предстать; оно состоит из выводов,
делаемых по следующей схеме:
е —+%
где всякий раз каждая посылка, т. е. в упомянутых
формулах © и © —> &, есть либо аксиома (или получается из
аксиомы при помощи подстановки) или совпадает с
заключительной формулой некоторого вывода, уже
встречавшегося ранее в доказательстве (или получается из этой
формулы при помощи подстановки). Формулу мы будем
называть доказуемой, если она является либо аксиомой,
либо конечной формулой некоторого доказательства.
Нашей программой мы уже предрешили выбор аксиом
для нашей теории доказательства. Несмотря на некоторый
произвол в выборе аксиом, здесь, как и в геометрии',
различаются качественно отдельные, обособленные группы,
из которых мы будем каждый раз приводить некоторые
примеры *):
1. Аксиомы следования:
А—+(В-+А)
(добавление предпосылки);
(В —С)-* {(А^В)-+ (А — С)}
(исключение высказывания).
>) Упомянутая система аксиом дана на стр. 367—369
(добавление IX).

О БЕСКОНЕЧНОМ
361
II. Аксиомы отрицания:
{А~^(В&В)\ —*~А
(закон противоречия);
(закон двойного отрицания).
Из закона противоречия следует, что
(А&А)-+В,
а из закона двойного отрицания следует закон
исключённого третьего:
{(А-+Ву&(А-+В)}—+В.
Аксиомы групп I и II суть не что иное, как аксиомы
исчисления высказываний.
III. Трансфинитные аксиомы:
(х) А (х) —> А (а)
(заключение от общего к частному, аксиома Аристотеля)
(*) А (х) —* (Ех) А (х)
(если сказуемое справедливо не для всех объектов, то
существует противоречащий пример);
(Ех) А (х) —> (х) А(х)
(если не существует примера, для которого некоторое
высказывание имело бы место, то это высказывание ложно
для всех х).
При этом выявляется то замечательное обстоятельство,
что все эти трансфинитные аксиомы могут быть выведены
из одной, а именно — той, которая содержит
одновременно и ядро так называемой аксиомы произвольного выбора,
более всего оспаривавшейся до сих пор в математической
литературе. Указанная аксиома такова:
А(а)-+А(г(А)),
где -е — трансфинитная логическая функция выбора.

362
ДОБАВЛЕНИЕ VIIT
К этому добавляются чисто математические аксиомы:
IV. Аксиомы равенства:
а = а,
и а=Ь-+[А(а)^А(Ь))
V. Аксиомы числа:
а также аксиома полной индукции:
{ А (0) & (х) (А (х) -> А (х'))} -+ А (а).
Этим способом мы в состоянии провести нашу теорию
доказательства и построить систему доказуемых формул,
т. е. математическую науку.
Но на радостях по поводу наших успехов вообще и,
в частности, по поводу исчисления логики, которое мы, не
затрачивая на то никаких усилий, нашли в качестве столь
необходимого оружия, мы не должны всё же забыть о
существенной предпосылке, определяющей наши действия.
Существует одно условие, правда, только одно, но зато
абсолютно необходимое, с которым связано применение
метода идеальных элементов; этим условием является
доказательство непротиворечивости: расширение,
осуществляемое прибавлением идеалов, допустимо только при
условии, что из-за этого в старой, узкой области никаких
противоречий не возникает, т. е. при условии, что
соотношения, которые получатся для старых образов после
исключения идеальных, всегда в старой области имели место.
Однако эта проблема непротиворечивости при
настоящем положении вещей вполне доступна для исследования.
Именно, подставив в логическую формулу (А&А)—+В,
которая следует, как это уже было указано, из аксиом
отрицания^ вместо В неравенство 0^0, мы получим:
(Д&Л)-*0^0.
Таким образом, для доказательства
непротиворечивости нам теперь необходимо только показать, что при
доказательстве, проведённом по установленным правилам,
«0 у^= 0» не появится в качестве заключительной формулы
и, таким образом, что «От^О» не есть доказуемая фор-

О БЕСКОНЕЧНОМ
363
мула. А это является задачей, которая принципиально
лежит в области наглядного рассмотрения, аналогично тому,
как, скажем, задача об иррациональности |/2 (т. е.
доказательство того, что невозможно найти таких два
числовых знака а и 6, которые связаны соотношением а2 = 2б2,
где, следовательно, должно быть показано, что невозможно
задать два числовых знака, обладающих некоторым вполне
определённым свойством) находится в содержательно
построенной теории чисел. Соответственно этому, нам надо
доказать, что невозможно дать доказательство,
обладающее некоторым вполне определённым свойством. Но ведь
формализированное доказательство, точно так же, как и
числовой знак, является конкретным и обозримым
предметом; оно сообщаемо от начала до конца. Также и
требуемое свойство заключительной формулы, состоящее в том,
чтобы она гласила «0^0», является конкретно
устанавливаемым свойством доказательства. Всё это можно
действительно осуществить, и тем самым оправдывается
введение наших идеальных высказываний.
Вместе с тем, мы решили ещё проблему, которая
давно уже была весьма актуальна, а именно — проблему о
непротиворечивости, аксиом арифметики. Всюду, где
применяется аксиоматический метод, возникает проблема —
доказать непротиворечивость устанавливаемых аксиом. Ведь
при выборе, трактовке и употреблении аксиом и правил
мы не хотим зависеть только от доброй веры и слепого
доверия. В геометрии и в физических теориях
доказательство непротиворечивости удаётся свести к вопросу о
непротиворечивости аксиом арифметики. К самой арифметике
этот метод, очевидно, не применим. Наша теория
доказательства на основании метода идеальных элементов
разрешает сделать этот последний важный шаг и тем самым
завершает постройку учения об аксиоматике. И то, что мы
дважды пережили, когда сначала речь шла о парадоксах
исчисления бесконечно малых, а затем — о парадоксах теории
множеств,—это впредь в царстве математики невозможно.
Наша теория доказательства, набросок которой мы
здесь дали, в состоянии не только сделать надёжными
основы математической науки, но, я полагаю, открывает до-

364
ДОБАВЛЕНИЕ VTII
рогу для разработки общих вопросов принципиального
характера, попадающих в область математических
размышлений — вопросов, к которым раньше не могли приступить.
Математика превращается, некоторым образом, в
третейского судью, в трибунал высшей инстанции, выносящий
решение по принципиальным вопросам, причём такое
расширение роли математики происходит на конкретной
базе, на которой все должны суметь договориться, и где
каждое утверждение контролируемо.
Так же и утверждения нового, так называемого
«интуиционизма»,— как бы скромны они ни были, — прежде
всего должны, по моему мнению, получить от этого
трибунала своё право на существование.
В заключение мы хотим из всех наших рассуждений
сделать некоторое резюме о бесконечном. Общий вывод
таков: бесконечное нигде не реализуется. Его нет в
природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного
мышления, — здесь мы имеем замечательную гармонию
между бытием и мышлением. В противоположность
стремлениям Фреге и Дедекинда, мы пришли к убеждению, что
в качестве предварительного условия для возможности
научного познания необходимы некоторые геометрически-
наглядные представления и рассмотрения и что одна
только логика недостаточна. Оперирование с бесконечным
может стать надёжным только через конечное.
Роль, которая остаётся бесконечному, это только роль
идеи,—если, согласно Канту, под идеей подразумевать
понятие, образованное разумом, которое выходит за
пределы всякого опыта и посредством которого конкретное
дополняется в смысле цельности,— более того, идеи,
которой мы можем вполне доверять в рамках, поставленных
теорией, намеченной и защищаемой мною здесь.
Наконец, я хотел бы выразить свою благодарность
П. Бернайсу за проведённую совместную работу и ценную
помощь, оказанную им мне как по существу вопроса, так
и в отношении редакции.

£
?%£
Ь
ДОБАВЛЕНИЕ IX
ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ *)
(Сокращённое изложение, статьи из «Abhandlungen des
mathematischen Seminars zu Hamburg», т. 6, 1928;
выпущено Гамбургским семинаром также отдельным оттиском.)
Я считаю большой честью и вместе с тем и долгом
для себя дополнить и продолжить мысли об обосновании
математики, которые я однажды, пять лет тому назад,
здесь излагал и которые меня с тех пор живейшим
образом занимали. С помощью этого нового обоснования
математики, которую справедливо можно именовать теорией
доказательства, я преследую важную цель: именно, я
хотел бы окончательно разделаться с вопросами обоснования
математики как таковыми, превратив каждое
математическое высказывание в поддающуюся конкретному показу,
строго выводимую формулу и тем самым приведя
образования понятий и выводы, которыми пользуется математика,
к такому изложению, при котором они были бы
неопровержимы и всё же давали бы картину всей науки. Я надеюсь,
что смогу с помощью своей теории доказательства
полностью достигнуть этой цели, хотя до её полного
завершения необходима ещё большая работа.
Математика, как и любая другая наука, не может быть
основана только на логике; наоборот, в качестве
предварительного условия для применения логических
умозаключений и приведения в действие логических операций нам
*) Доклад, прочитанный в июле 1927 г. по приглашению
математического семинара в Гамбурге.

366
ДОБАВЛЕНИЕ IX
в нашем представлении уже должно быть дано нечто,
а именно — определённые внелогические конкретные
объекты, которые существуют наглядно, в качестве
непосредственных переживаний до какого бы то ни было мышления.
Для того, чтобы логические выводы были надёжны, эти
объекты должны быть полностью во всех своих частях
обозримыми; их показ, их различие, их следование друг
за другом и существование одного из них наряду с
другими даются непосредственно, наглядно, вместе с
объектами как нечто, не могущее быть сведённым ни к чему
другому и не нуждающееся в таком сведении. Это — та
основная философская установка, которую я считаю
необходимой как для математики, так и для всякого
научного мышления, понимания и сообщения. В частности,
в математике предметом нашего рассмотрения являются
сами конкретные знаки, вид которых, согласно нашей
установке, может быть непосредственно отчётливо и
многократно опознан. Это — наименьшее количество
предварительных предположений, без которых ни один научный
мыслитель не может обойтись и которые поэтому каждый,
сознательно или бессознательно, должен соблюдать.
Основная мысль моей теории доказательства такова:
все высказывания, которые составляют вместе математику,
превращаются в формулы, так что сама математика
превращается в совокупность формул. Эти формулы
отличаются от обычных формул математики только тем, что в них,
кроме обычных знаков, встречаются также и логические
знаки:
—, &, V. — i (*). (Ех)
(следует, если — то) (и) (или, либо) (не) (^се) (существует)
Некоторые определённые формулы, которые служат
фундаментом этого формального построения математики,
называются аксиомами. Доказательство есть фигура, которая
должна наглядно предстать перед нами; она состоит из
выводов, делаемых согласно схеме
%

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
367
в которой каждая посылка, т. е. соответствующие
формулы © и ©—►£, каждый раз является либо аксиомой,
или получается из аксиомы путём подстановки, либо
совпадает с полученной ранее из доказательства формулой, или
получается из такой формулы с помощью подстановки.
Формулу мы будем называть доказуемой, если она либо является
аксиомой, либо конечной формулой некоторого
доказательства.
Доказуемые теоремы, т. е. формулы, получающиеся при
этом способе, являются отображением мыслей, которые
образуют обычную до сих пор математику.
Намеченной программой уже предначертан выбор аксиом
нашей теории доказательства; мы их упорядочим
следующим образом:
Iх_4. Аксиомы следования.
1. Л—>{В—>А) (добавление предпосылки),
2. (Л—>(А—>В))—+(А—>■ В) (опускание предпосылки),
3. (А —► (В —► С)) —► (S —* (Л —► С)) (перестановка
предпосылок),
4. (В —* С) —> ((Л —> В) —► (Л —> С)) (исключение
высказывания).
П5__10- Аксиомы, касающиеся & и \J.
5. Л &£-^Л,
6. Л &В-^В,
7. Л-+(£ — Л &S);
8. Л—>Л\/£,
9. В —Л \/5,
10. ((Л-+С)&(£ —Q) — ((Л\/£ — Q).
1НП_12. Аксиомы отрицания.
11. (Л—>В&В)—*Л (закон противоречия),
12. Л—»Л (закон двойного отрицания).
Эти аксиомы групп 1, II, III суть не что иное, как
аксиомы исчисления высказываний. В частности, из Ни 12
следует формула:
(А&А)-+В

368
ДОБАВЛЕНИЕ IX
и далее — логический принцип:
((А-+В)&(А —>В))-+В.
IV13. Логическая г-аксиома.
13. А (а)—+А(г(А)).
Здесь выражение г (А) означает вещь, для которой
высказывание А (а) наверное выполняется, если только
вообще для какой-либо вещи оно выполняется; s мы назовём
логической s-функцией. Более точный способ написания
для s(4), который делает возможной подстановку
определённой формулы вместо А (а), таков: гхА (х) или,
соответственно: еуА (у), ... Для выяснения роли логической
е-функции заметим следующее:
При формализации е-функция применяется трояким
способом:
a) С помощью s-функции можно определить «все» и
«существует», именно следующим образом:
(х)А(х)+=±А(е(А)),
(Ех)А(х)+=±А(е(А)).
Двойная стрелка стоит здесь для объединения двух
формул следования; вместо них мы потом будем пользоваться
также и знаком «эквивалентности» •^-.
На основании этого определения е-аксиома IV]3 даёт
верные для знаков «все» и «существует» логические
соотношения, именно:
(х) А(х) —>А (а) (аксиома Аристотеля),
(х) А (х) —► (Ех) А (х) (закон исключённого третьего).
b) Если высказывание 31 выполняется для одной и только
для одной вещи, то е(3() есть та самая вещь, для
которой высказывание 31 справедливо.
Таким образом, е-функция позволяет дать решение
такого высказывания 31, которое выполняется только для
одной вещи, в виде:
а=е(Щ.
c) Помимо этого, s играет роль функции произвольного
выбора, т. е. в том случае, когда 31 может выполняться

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ 369
для большего числа вещей, то е(91) есть какая-то из тех
вещей а, для которых Щ выполняется.
За этими чисто логическими аксиомами следуют
специально математические аксиомы:
V14_16. Аксиомы равенства.
14. а = а.
15. (а=&)-+(Л(а)—ы4(&)).
VI16_17. Аксиомы числа.
16. а! =£0.
17. (А(0)&(х)(А(х)—*А(х'))-+А(а) (принцип
полной индукции).
Согласно этому, а! означает число, следующее за а, и
целые числа 1, 2, 3, ... записываются в виде: 0', О", О'", ...
Для чисел 2-го класса и для чисел высших канторов-
ских числовых классов следует добавить соответствующие
аксиомы индукции, которые, однако, по теории Кантора
следовало бы объединить в одну схему.
Наконец, нам нужны явные определения, которые
соответствуют образованию понятий в математике и имеют
характер аксиом, а также определённые аксиомы рекурсии,
которые получаются из общей рекурсионной схемы. Раньше
чем разобрать формулировку этих аксиом, мы должны
установить правила, согласно которым аксиомы вообще
должны применяться. Действительно, в моей теории
содержательные выводы заменены внешними действиями,
подчиняющимися определённым правилам; тем самым
аксиоматический метод получает ту надёжность и законченность,
которая для него доступна и в которой он нуждается для
того, чтобы служить основным средством теоретических
изысканий.
Во-первых, имеют место следующие соглашения.
Для математических переменных мы будем пользоваться
строчными латинскими буквами, а для индивидуальных
математических образов (специальных функций) —
строчными греческими буквами. Для переменных высказываний
(общие формулы) мы будем пользоваться заглавными ла-
24 Д. Гильберт

370
ДОБАВЛЕНИЕ IX
тинскими буквами, а для индивидуальных высказываний —
заглавными греческими буквами, например:
Z (а) (а есть число),
N (а) (а есть число второго класса).
Что касается способа подстановки, то при этом имеют
место следующие оговорки.
Вместо высказываний-переменных следует подставлять
только формулы, т. е. фигуры, которые .составлены из
элементарных формул с помощью логических знаков:
—, &, V. -. (*), (Ех).
Элементарные формулы образуются с помощью формул-
переменных, возможно, снабжённых аргументами, или с
помощью знаков для индивидуальных высказываний, как-то:
Z, N, =, <,
при условии заполнения соответствующих мест для
аргументов.
Вместо математических переменных может быть
подставлена любая фигура; однако всякий раз, когда в какой-
либо формуле встречается математическая переменная, ей
всегда должно предшествовать индивидуальное
высказывание, стоящее перед знаком следования и характеризующее
род этой переменной, например:
Z(a) —>а-\-\ = \-\-а,
N (а) — N (а').
Это условие означает, что допускаются только подстановки
обыкновенных чисел или, соответственно, чисел второго
класса. В аксиомах V, VI ради краткости опущены
высказывания Z(a), Z (b)y которые должны были стоять в
начале этих аксиом.
Строчные и заглавные готические буквы означают
указания и употребляются только для сообщений *).
*) Другими словами, готические буквы не выражают
непосредственные объекты теории, а служат лишь для замены или
сокращения словесных формулировок. (Прим. ред.)

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
371
Различают два рода математических переменных:
1) основные переменные,
2) родовые переменные.
1. В то время как в арифметике и анализе мы
обходимся обыкновенными целыми числами, которые служат
там единственными основными переменными, теперь
каждому канторовскому трансфинитному числовому классу
принадлежит основная переменная, которая способна принимать
значения порядковых чисел именно этого класса. Каждой
основной переменной относится, в соответствии с этим,
высказывание, которое характеризует это переменное, как
таковое; это высказывание неявно характеризуется аксиомами.
Каждой основной переменной принадлежит некоторый
способ рекурсии, с помощью которого определяются
функции, аргументами которых являются такого рода
переменные. Рекурсия, относящаяся к числам-переменным, есть
«обычная рекурсия», в силу которой функция числа
переменной п определяется тем, что указывается её значение
при п = О и способ, с помощью которого можно получить
значение этой функции при п\ зная её значение при п.
Обобщением обыкновенной рекурсии является
трансфинитная рекурсия, общий принцип которой состоит в том, что
значение функции для некоторого значения переменного
определяется из значений этой функции для предыдущих
значений переменной.
2. Из основных переменных мы производим дальнейшие
виды переменных, налагая иа высказывания, относительно
основных переменных, например, на Z, логическ \е связи.
Определённые таким образом переменные называются
родовыми переменными, а высказывания, их определяющие,—
родовыми высказываниями; для этих последних опять-таки
каждый раз вводится новый индивидуальный знак. Так,
формула
<$>{f)^{x){Z{x)-*Z(f(x)))
даёт простейший пример родового переменного; эта
формула определяет род функций-переменных (быть функцией,
Funktion-sein). Другим примером является формула
*te)-(/)(*(/)^*te(/)));
24*

372
ДОБАВЛЕНИЕ IX
она определяет «быть функционалом», аргументом g
в ней служит новая переменная — «функционал».
Для составления высших родовых переменных надо
сами родовые высказывания снабдить индексами,
благодаря чему становится возможным рекурсионный процесс.
Теперь мы можем указать, что следует понимать под
явными определениями и под рекурсионными аксиомами:
каждое явное определение есть эквивалентность или
равенство, в левой части которого стоит определённый знак
(заглавная или строчная греческая буква) с некоторыми
переменными в качестве аргументов, а справа — фигура,
в которой в качестве свободных переменных выступают
только указанные аргументы, а в качестве
индивидуальных знаков — только те знаки, которые были уже раньше
введены.
Рекурсионные аксиомы суть системы формул, которые
соответствующим образом копируют рекурсионный способ *).
Это суть общие основания моей теории. Для того
чтобы познакомить вас ближе со способами применения
этой теории, я хотел бы привести несколько примеров
специальных функций, как они определяются с помощью
рекурсии.
Определим функцию t(a)y равную 0 при значении
аргумента 0, и 1 при всех остальных его значениях. Равенства
1(0) =0,
t(a')=l
уже являются самой рекурсией. К£к с помощью рекурсии
определяются сумма, произведение и функция а\—это
известно.
Функцию jx(a, b), представляющую собой значение
меньшего из двух чисел а, Ь, также легко определить
с помощью рекурсии.
*) Здесь имеется в виду формальная запись тех свойств
объекта, которыми — в содержательном понимании — он
определяется посредством математической инд)кции; см примеры.
(Прим. ред.)

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
373
Напомню ещё два более сложных примера, именно
функцию
т(а) = 1, когда а простое число,
т(а) = 0 во всех других случаях
и функцию тг(а), определяющую число простых чисел,
меньших или равных а.
Действительно, эти функции также могут быть
определены с помощью рекурсии; для этого сначала надо
ввести также с помощью рекурсии следующие две
функции трёх аргументов:
to (а, Ъ, £) = 0, когда Ь равно одному из чисел 1-я,
2-а, ..., с-а (&>0),
= 1 во всех» остальных случаях.
ф (я, Ь, с), равную наименьшему из тех чисел 1,2, ..., а,
которые являются делителями b и ^> с\ в случае же, когда
ни одно из указанных чисел этим свойством не обладает, то
ф(а, b, с) = Ь.
Если мы намерены построить математику, то сначала
нам надо обратить внимание на элементарную теорию
чисел; мы убеждаемся, что мы можем получить и доказать
истины этой дисциплины с помощью
содержательно-наглядных рассуждений. Получающиеся при этом формулы
употребляются только для сообщений. Буквы означают
числовые знаки, а о совпадении двух знаков сообщается
с помощью равенства.
Иначе обстоит дело в алгебре; в алгебре мы
рассматриваем буквенные выражения сами по себе, как
самостоятельные образы; теоремы же теории чисел, которые
включены в алгебру, этими буквенными выражениями формализуются.
Вместо излишних числовых знаков выступают формулы,
которые являются теперь с своей стороны конкретными
объектами наглядного созерцания, а на место
содержательного теоретико-числового доказательства выступает
здесь вывод одной формулы из другой, совершаемый по
определённым правилам.
Таким образом, алгебра выходит уже существенно за
пределы содержательной теории чисел. Здесь, например,

374
ДОБАВЛЕНИЕ IX
формула
1 -\- а = а -\- 1»
в которой а есть собственно число-переменная, уже не
является только сообщением о чём-то содержательном,
а есть некоторое формальное образование, доказуемая
формула, которая сама по себе никакого значения не
имеет, а доказательство которой не может быть
содержательно проверено и нуждается во введении
индукционной аксиомы.
Формулы
1+3 = 3 + 1, 1+7 = 7 + 1,
обоснованные с помощью содержательных рассуждений,
можно также получить с помощью некоторого
доказательства из указанной раньше алгебраической формулы,
подставив формально вместо а числовые знаки 3 и 7, т. е.
применяя правила подстановки.
Итак, уже элементарная математика содержит как
формулы, которым соответствуют содержательные
сообщения конечных высказываний, т. е. в основном числовые
равенства и неравенства или составленные из них более
сложные сообщения, и которые могут быть названы
реальными высказываниями теории, так и формулы, которые
сами по себе не имеют никакого значения, подобно тому,
как числовые знаки содержательной теории чисел не имеют
никакого значения и служат только объектами для
применения наших правил; эти формулы следует рассматривать
как идеальные образы теории.
Эти соображения показывают, что для того, чтобы
дойти до понимания формул как идеальных
высказываний, нам необходимо только естественным и
последовательным образом продолжить развитие, которому были
подчинены и до сих пор обычные математические методы. В
таком случае будет естественно и последовательно, если мы
теперь поставим как математические переменные, так и
логические знаки
— • &. V. —. (*)> (Ех)

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
375
и логические переменные, именно переменные высказывания
Л, В, С, ...
на одну доску с числовыми знаками и буквами алгебры
и будем одинаково считать их знаками, которые сами по
себе не имеют никакого значения, а являются только
кирпичами, идущими на постройку идеальных высказываний.
Мы имеем убедительную причину, побуждающую нас
сделать такое распространение точки зрения алгебры на
всю математику. Именно, она является средством для того,
чтобы освободить нас от принципиальной трудности,
которая даёт себя уже чувствовать в элементарной теории
чисел. В качестве примера я снова беру равенство
а-\- 1 = 1 -\-а;
если мы хотим рассматривать это равенство как
выражение сообщения
а+1 = 1+а,
где а означает любое данное число, то это сообщение
не может быть отрицаемо, так как высказывание, что
имеется число а, для которого
не имеет никакого конечного смысла: ведь все числа
перепробовать невозможно. # Поэтому по смыслу конечной
установки мы не можем применить альтернативу, согласно
которой равенство вроде предыдущего, в которое входит
один неопределённый числовой знак, либо выполняется для
всякого числового знака, либо может быть опровергнуто
противоречащим примером. В самом деле, такая альтернатива,
представляя собой применение закона исключённого
третьего, существенно предполагает возможность отрицать
утверждение, что указанное равенство справедливо во всех случаях.
Но мы не можем отказаться от применения закона
исключённого третьего, равно как и от всех остальных
законов аристотелевой логики, выраженных в наших
аксиомах, так как построение анализа без них невозможно.
Кроющаяся в этом существенная трудность устраняется
при помощи идеальных высказываний. Если мы присоеди-

376
ДОБАВЛЕНИЕ IX
ним к реальным высказываниям идеальные, то мы получим
систему высказываний, в которой справедливы все простые
правила аристотелевой логики и имеют законное право
все обычные методы математических выводов. Как,
скажем, в элементарной теории чисел необходимы
отрицательные числа, как современная алгебра стала возможной только
благодаря куммер-дедекиндовским идеалам, так и научная
математика стала возможной только после введения
идеальных высказываний.
Правда, с применением метода идеальных элементов
связано одно условие, одно единственное, но
необходимое, — это доказательство непротиворечивости. Именно,
расширение посредством приобщения идеальных элементов
дозволено только в том случае, когда при этом в старой,
более узкой области не возникает никаких противоречий,
т. е. если соотношения, которые выявляются для старых
образов при исключении идеальных образов, всегда
остаются справедливыми в этой старой области.
Однако эта проблема непротиворечивости при
нынешнем положении вещей вполне доступна исследованию. Дело
сводится, к тому, чтобы показать, что при введении
идеальных образов не могут получиться два логически
противоположных высказывания
81,1.
Из аксиомы отрицания следует, как я уже отметил выше,
логическая формула:
(Л &А)-+В.
Если мы подставим сюда вместо Л упомянутое
высказывание Щ, а вместо В — неравенство 0^0, то мы получим:
' (§1 & W) — (0=^=0).
С помощью этой формулы мы из 2( и SI можем
вывести, что 0^0. Для доказательства непротиворечивости
нам остаётся теперь только показать, что ни при каком
доказательстве, проведённом по установленным нами
правилам и исходящем из наших аксиом, мы не можем никогда

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
377
притти к неравенству.
т. е. что 0=7^0 не является доказуемой формулой.
Эта задача принципиально так же лежит в области
наглядного рассмотрения, как и в содержательно
построенной теории чисел лежит, например, задача доказательства
иррациональности ]/2, т. е. задача о доказательстве того,
что невозможно найти таких два числовых знака а и Ь,
которые находились бы в соотношении ct2 = 2b2, и где,
таким образом, должно быть показано, что невозможно
задать два числовых знака, обладающих вполне
определённым свойством. Соответственно этому, для нас вопрос
сводится к тому, чтобы* показать, что невозможно дать
доказательства определённого свойства. Но формализиро-
ванное доказательство есть конкретный и обозримый
предмет, точно так же, как и числовой знак: оно от начала
до конца сообщаемо. Искомое свойство конечной формулы,
состоящее в утверждении «0 =/= 0», является свойством самого
доказательства, свойством, которое может быть конкретно
установлено. Действительно, это можно показать; тем
самым мы оправдываем введение наших идеальных
высказываний. Одновременно мы убеждаемся в том, что нами тем
самым решена весьма актуальная проблема — проблема
доказательства непротиворечивости аксиом арифметики.
Повсюду, где применяется аксиоматический метод,
встаёт вопрос о доказательстве непротиворечивости аксиом. В
геометрии и в физических теориях удалось свести это
доказательство к вопросу о непротиворечивости аксиом
арифметики. Этот метод, очевидно, не применим к самой арифметике.
Наша теория доказательства на основании метода
идеальных элементов делает возможным этот последний шаг и
этим завершает постройку учения об аксиоматике.
Основные положения этой моей теории доказательства
я излагал уже по различным поводам; между тем, против
этой теории доказательства были сделаны различные
возражения и замечания. Я считаю их все вместе и каждое
в отдельности настолько несправедливыми, насколько это
возможно. Я хотел бы сейчас рассмотреть некоторые из них.

378
ДОБАВЛЕНИЕ IX
Уже Пуанкаре сделал в различных местах
замечания, которые противоположны моему воззрению. Прежде
всего, утверждая, что непротиворечивость способа полной
индукции не может быть иначе доказана, как только с
помощью той же полной индукции, он оспаривает a priori
самую возможность доказательства непротиворечивости
аксиом арифметически. Однако, как показывает моя
теория, здесь, при обосновании арифметики, рассматриваются
двоякого рода индуктивно употребляющиеся методы,
именно, с одной стороны, метод наглядного построения
целых чисел как числовых знаков, которому также и
обратно соответствует разбор данного числового знака
или разбор конкретной данной фигуры, построенной
аналогично числовому знаку, а с другой стороны — собственно
индукция, которая опирается на аксиому индукции и
только с помощью которой математическая «переменная
может играть свою роль в формальном аппарате.
Пуанкаре пришёл к своему ошибочному убеждению
благодаря тому, что он не отличал друг от друга эти два
совершенно различных индукционных метода.
Пуанкаре — этот богатейший идеями и плодовитейший математик
своего поколения —имел, к сожалению, явно выраженное
предубеждение против теории Кантора, которое мешало
ему правильно судить о совершенно новой, величественной
концепции Кантора. При этих обстоятельствах П у а н к а-
р е должен был отвергнуть мою теорию, которая, впрочем,
делала в то время ещё первые, совершенно недостаточные
шаги. Авторитет Пуанкаре в значительной мере
односторонне повлиял на юное поколение.
Другая оппозиция моей теории исходит от сторонников
теории обоснования Ресселя и Уайтхеда, которые
рассматривают Principia mathematica *) как
окончательное, удовлетворительное обоснование математики. Теория
обоснования Р есс ел я и Уайтхеда есть общее, широко
задуманное логическое 'исследование. В нём обоснование
математики опирается, с одной стороны, на аксиому о беско-
*) Whitehead А. N. and R u s s е 1 В., «Principia
mathematica», Cambridge, University press, 2-е изд., 1927.

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
379
нечности, а с другой — на так называемую аксиому
редукции; обе эти аксиомы суть в полном смысле слова
гипотезы, содержательно не обоснованные доказательством
их непротиворечивости, гипотезы, всеобщая справедливость
которых под сомнением и в которых моя теория, во
всяком случае, не нуждается.
Аксиоме Ресселя о редукции противостоит в моей
теории правило обращения с функциями-переменными.
В моей теории возможность редукции не предполагается
сначала, а напротив, скорее признаётся не столь уж
существенной: только в случае некоторого данного
доказательства, приводящего к противоречию, требуется
выполнение редукции, и моя теория доказательства учит, что
в этом случае редукция должна всегда удаваться.
Что касается исследований новейшего времени, то тот
факт, что снова так живо пробудились стремление и
интерес к работам по обоснованию, сам по себе меня в
высшей степени радует; но, представляя себе содержание
и результаты этих работ, я большей частью не могу
согласиться с их направлением; вернее сказать, я считаю,
что большая часть их отстала, что они как бы пришли
к нам из того времени, когда величественный мир идей
Кантора не был ещё открыт.
В этом я также усматриваю причину того, что эти
новейшие исследования ни разу не подошли к великим
проблемам теории обоснования, как-то: к вопросу о
строении функций, к доказательству или опровержению теоремы
Кантора о континууме, к вопросу о разрешимости всех
математических проблем, об эквивалентности
непротиворечивости и существования математических образов.
Самое обширное место в современной литературе по
обоснованиям математики занимает учение, установленное
Броуером и названное им интуиционизмом. Я должен
более близко рассмотреть некоторые утверждения Броу-
е р а не из склонности к полемике, а для того, чтобы
ясно выразить свои взгляды и чтобы предохранить от
неправильного понимания моей теории.
Совершенно так же, как в своё время это делал К р о-
некер, Броуер объявляет, что высказывания о суще-

380
ДОБАВЛЕНИЕ IX
ствовании целиком и полностью не имеют никакого
значения, являются ничего не дающими клочками бумаги,
если они не содержат в себе построения того образа,
существование которого утверждается, благодаря им
математика вырождается в игру.
Примером того, что голое доказательство
существования, проведённое с логической е-функцией, отнюдь не
является ничего не стоящим клочком бумаги, может
служить следующее:
Для обоснования одного высказывания Гаусса,
согласно которому выход за обыкновенные, построенные
с помощью / мнимые числа для анализа является
излишним, Вейерш трасс и Дедекинд произвели
исследования, которые привели к установлению и
доказательству некоторых теорем. Я в своё время установил общую
теорему об алгебраических формах, которая является чистой
теоремой существования и по своей природе не может быть
превращена в теорему о построении. С помощью одного
только применения этой теоремы о существовании я
избежал *) длительных и трудно обозримых рассуждений
Вейерштрасса и в высшей степени сложных вычислений
Дедекинд а, и притом моё доказательство, как я
полагаю, впервые вскрывает внутреннюю основу,
обусловливающую справедливость утверждений, которые имел в виду
Гаусс и которые были установлены Вейерштрассом
иДедекиндом.
Доказательство непротиворечивости даёт вместе с тем
и общий метод для получения конечных доказательств из
доказательств, проведённых с помощью е-функции для
общих теорем такого характера, как, скажем, теорема
Ферма. Предположим, например, что мы нашли с
помощью е-функции доказательство для большой теоремы
Ферма. Из него можно затем получить конечное
доказательство следующим образом:
Предположим, что имеются числовые знаки
:р,а,Ь, с (*>2),
*) «Zur Theorie der aus n Haupteinheiten gebildeten komple-
xen Grofien», Gott. Nachr., 1896.

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
381
удовлетворяющие уравнению Ферма:
а* + Ь» = с».
В таком случае мы можем также получить это
равенство как доказуемую формулу, выражая в форме
доказательства проверку тождества числовых знаков
а* -\-№ и с* .
С другой стороны, согласно нашему предположению, мы
имеем доказательство формулы:
(Z{a)&Z(b)&Z(c)&Z(p)&(p>2))—>(aP-\-bP^=cP);
из неё с помощью подстановки и вывода мы получаем:
Таким образом, можно доказать, что как й^-{-6* = С*,
так и а* -\-Ы Ф& .
Однако это невозможно, как показывает доказательство
непротиворечивости, проведённое конечным путём.
Приведённые примеры суть только произвольно
выхваченные единичные случаи. В действительности математика
наполнена примерами, которые опровергают утверждения
Б р о у е р а относительно теорем существования.
Каково же теперь истинное положение вещей в
отношении упрёка о вырождении математики в игру?
Источником чистых теорем существования является
логическая е-аксиома, на-которой, в свою очередь, основано
построение всех идеальных высказываний. А каков
результат ставшей тем самым возможной игры формул? Эта игра
формул допускает, что всё содержание идей
математической науки можно единообразно выразить и развить таким
образом, чтобы вместе с тем соотношения и отдельные
теоремы были понятны. Выставить общее требование, согласно
которому отдельные формулы сами по себе должны быть
изъяснимы — отнюдь не разумно; напротив, сущности
теории соответствует, что при её развитии нет необходимости,
между прочим, возвращаться к наглядности или значимости.
Физик как раз требует от теории, чтобы частные теоремы
были выведены из законов природы или гипотез с помощью
одних только умозаключений, не вводя при этом даль-

382
ДОБАВЛЕНИЕ ТХ
нейших условий, т. е. на основании чистой игры формул.
Только известная часть комбинаций и следствий из
физических законов может быть контролируема опытом, —
подобно тому как в моей теории доказательства только
реальные высказывания могут быть непосредственно
проверяемы. Ценность чистого доказательства существования
в том именно и состоит, что благодаря ему исключаются
отдельные построения и многие разнообразнее построения
объединяются одной основной идеей, вследствие чего
чётко выступает только то, что существенно для
доказательства: смысл доказательства существования состоит
в сокращении и экономии мысли. Чистые теоремы о
существовании служили в действительности важнейшими вехами
исторического развития нашей науки. Но подобные
соображения не влияют на верующих интуиционистов.
Игра формулами, о которой Броуер так
пренебрежительно отзывается, кроме математической ценности имеет
еще* важное общефилософское значение. Эта игра
формулами совершается по некоторым, вполне определённым
правилам, в которых выражается техника нашего
мышления. Эти правила образуют замкнутую систему,
которую можно найти и окончательно задать. Основная
идея моей теории доказательства сводится к описанию
деятельности нашего разума, иначе говоря, это протокол
о правилах, согласно которым фактически действует наше
мышление. Мышление происходит как раз параллельно
разговору и письму путём создания и нанизывания
положений. Если где-либо имеется совокупность наблюдений
и явлений, заслуживающая того, чтобы стать предметом
серьёзного и основательного исследования, то это именно
здесь — ведь задача науки и состоит в том, чтобы
освободить нас от произвола чувства и привычки и предостеречь
нас от субъективизма, который стал уже заметным во
взглядах Кронекера и который, как мне кажется,
достиг своего наибольшего развития в интуиционизме.
Наиболее острую и страстную борьбу интуиционизм
повёл против закона исключённого третьего; например»
в простейшем случае эта борьба была направлена против
вывода, по которому утверждение, содержащее число-пере-

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
383
менную, либо справедливо для всех целочисленных значений
этого переменного, либо существует число, для которого
упомянутое утверждение ложно. Этот закон исключённого
третьего есть следствие логической s-аксиомы и никогда
не приводил ни к малейшгй ошибке. К тому же
совершенно ясно и понятно, что неправомерное применение
этого закона исключено. В частности, закон исключённого
третьего ни в малейшей мере не повинен в появлении
известных парадоксов теории множеств; эти парадоксы
происходят скорее потому, что пользуются недопустимыми
и бессмысленными образованиями понятий, которые в моей
теории доказательства исключаются сами собою.
Доказательства существования, использующие закон исключённого
третьего, имеют большей, частью особую прелесть
благодаря своей удивительной краткости и изяществу. Отнять
у математиков закон исключённого третьего — это то же,
что забрать у астрономов телескоп или запретить
боксёрам пользование кулаками. Запрещение теорем
существования ' закона исключённого третьего почти равносильно
полному отказу от математической науки. Действительно,
какое значение имеют жалкие остатки, немногочисленные,
неполные, не связанные друг с другом единичные
результаты, которые были выработаны без применения
логической s-аксиомы интуиционистами, по сравнению с
могущественным размахом современной математики! Теоремы
теории функций, если -брать только отдельные примеры
из нашей науки, теория конформных отображений,
основные теоремы теории дифференциальных уравнений в
частных производных и рядов Фурье — суть лишь
идеальные высказывания в указанном мною смысле, и для своего
развёртывания требуют логическую е-аксиому.
Я удивлён тем, что математик сомневается в
незыблемой правильности т вывода при помощи закона
исключённого третьего. Я удивлён ещё более тем, что сейчас
объединилась, повидимому, целая группа * математиков,
которые делают то же самое. Я более всего поражён
тем фактом, что вообще в среде математиков может
иметь невероятнейшее и эксцентричнейшее влияние сила
гипноза одного темпераментного и остроумного человека.

384
ДОБАВЛЕНИЕ IX
Для освещения моего понимания чисел второго
числового класса я хочу напомнить следующее положение.
Если для определённого числа второго числового класса
дано определение с помощью трансфинитной рекурсии,
то отсюда можно для того же числа найти определение,
в котором была бы использована только обыкновенная,
проведённая по числовой переменной, рекурсия. Смысл этого
положения состоит в том, что рекурсионно определённую
функцию числа второго класса можно в заданной точке
вычислить—подобно тому как теоретико-числовую функцию,
определённую с помощью рекурсии, всегда можно
вычислить для данного числового значения.
Трудность при этом прежде всего состоит в том, чтобы
доказать, что если дана последовательность а{п) чисел
второго класса с помощью рекурсии
а(л') = <р(а(л)),
где ср определяется трансфинитной рекурсией, то эту
трансфинитную рекурсию можно исключить.
В определённых случаях П. Бернайсу и И. фон-
Нейману удалось провести это исключение. Эти случаи
суть первое е-число и первое критическое £-число, по
обозначению Кантора.
Первое е.-число есть предел последовательности а (я),
где
а (0) = со,
а (п') = а)а('*) (п — обыкновенное числоу,
а (оа определяется обычным путём с помощью
трансфинитной рекурсии.
Под е-числом, согласно Кантору, понимают число а,
для которого а = а)а.
При определении с помощью обыкновенной рекурсии
первого г-числа уже требуются занумерованные сорта
переменных:
NoH-N(a),
NH«)M*)(N^*)^N„ (а (*))).
В. Аккерманну недавно удалось значительно
продвинуться вперёд в доказательстве непротиворечивости.

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
385
Я хотел бы закончить свой доклад очень кратким
рефератом об этом.
Доказательство непротиворечивости для е-функции
сводится к тому, что из предполагаемого доказательства
положения 0 т^ 0 можно исключить е-функцию в том
смысле, что образованные посредством неё фигуры могут быть
заменены числовыми знаками так, чтобы формулы,
получающиеся из логической е-аксиомы путём подстановок —■
«критические формулы»,—благодаря этой замене
переходили бы в «правильные» формулы.
Эти замены получаются путём последовательного
исключения свободных переменных посредством постепенных
испытаний; требуется доказать, что этот процесс
непременно закончится.
Мы делаем здесь следующие частные предположения:
1. В качестве знака для индивидуальных высказываний
мы будем пользоваться только знаком =.
2. Фигуры, которые стоят в качестве аргументов, —
мы их будем называть «функционалами»—должны,
поскольку они свободны от е-функции, либо сами быть
числовыми знаками, либо должны быть построены из них
с помощью знаков функций/ определяемых при посредстве
рекурсионной аксиомы.
В случае, когда имеется только один образованный
при посредстве г функционал и только одна критическая
формула, конечность процесса постепенных замен
получается следующим образом. Пусть
21(1)-+И(е,Щ(х))
— критическая формула (при этом гхШ(х) может
находиться также и в f). Сначала заменим £х$1(х) повсюду
через 0. В таком случае все функционалы свободны также от
е-функции; мы можем всё вычислить и получить для
функционалов числовые значения. Теперь можно среди
элементарных высказываний различать «правильные» и «ложные»
по тому, будут ли при этом совпадать числовые знаки,
находящиеся в обеих сторонах равенств, или нет. Вместо
критических формул мы получаем:
Ш (5) — 91(0).
25 д. Гильберт

386
ДОБАВЛЕНИЕ IX
Либо эта формула правильна, и тогда мы находимся
у цели, либо
21(3)
правильно. Во втором случае мы нашли, таким образом,
пример J, для которого St оказывается верным. В том
случае мы делаем новую замену: мы повсюду ex$t(x)
заменяем через числовой знак j.
Если мы теперь произведём вычисление всех
функционалов, то критическая формула перейдёт в формулу
st (а,)—а (8),
которая во всяком случае верна.
Если же имеются несколько s-функций, то они могут
оказаться связанными сложным образам, а именно, с одной
стороны, в виде «вложения», как-то:
*хЩх,г,Щу)),
где вуЯ5(у) свободно от переменного лг, а с другой
стороны, в виде «переплетения»
вхЩх,ву^(х9у)).
В случае, когда имеются одни только вложения,
никаких принципиальных затруднений ещё не возникает. Мы
должны при этом обратить внимание на то, что замену
следует делать изнутри и что мы принимаем в расчёт
аксиому равенства, например, при двух s-фигурах
е,Я(*,е,®0'))>
ехЯ(х,гу®(у))9
в случае одинаковых замен для гу&(у) и ёу£)(у) внешнее е
заменяем также одинаковым образом.
Поскольку замены для внутренних s остаются
неизменными, примеры, найденные для внешних s, являются
окончательными. Пользование ими может стать невозможным только
при условии, что для внутреннего s найден новый пример.
Таким образом, с нахождением примеров для г
проникают всё глубже и глубже, поскольку этот процесс не
пришёл ещё к завершению, так что в конце концов на-

ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
387
ходят примеры для г, находящегося внутри всех
остальных; эти примеры, в таком случае, являются
окончательными, и наибольшая степень наслоения тем самым
уменьшается на 1.
Обозревая заданную фигуру доказательства, можно
простым образом заранее оценить наибольшее число замен,
которые могут потребоваться для того, чтобы все
критические формулы стали правильными, — отсюда явствует
конечный характер рассуждений.
Большие трудности представляет случай переплетения.
Если здесь желательно сделать замену изнутри, то в
формуле
вхЯ(х,вуЯ(х,у))
внутреннее г: s^ S3 (х, у) нельзя, например, заменить числом,
а можно заменить только функцией. В качестве заменяющих
функций употребляют только такие функции, которые, за
исключением конечного числа точек, имеют значение 0.
Всегда начинают с функции, которая постоянно имеет
значение 0 («нуль-замена»).
Однако отсюда без дальнейшего отнюдь не следует,
что и в этом случае способ замены приводит к концу; но
это можно доказать и получить элементарную оценку
требуемого числа шагов. При этом существенно, что
каждый раз, когда для внутренних s производится новая
замена функцией, замела внешних е должна снова
начинаться с нуль-замены.
При этом доказательстве конечности предполагается,
что s входят только непосредственно в фигуру
доказательства, но не входят в рекурсионные аксиомы,
введённые для определения функций.
Отметим, наконец, что для того, чтобы принять во
внимание аксиому полной индукции, которая для целей
доказательства непротиворечивости может быть
представлена в виде
{exA(x) = b')-+A(b),
достаточно каждый раз, когда найден пример J,
удовлетворяющий высказыванию 33(a), перейти к наименьшему
примеру. Этот переход совершается путём отыскания пер-
25*

388
ДОБАВЛЕНИЕ IX
во го верного в ряду высказываний, сведённых к числовым
формулам:
аз (о), зз (о-),... ,23(з).
Из сказанного мною вы узнали, что доказательство
непротиворечивости есть то, что определяет область
действия моей теории доказательства и что составляет
в основном ядро этой теории. Метод В. Аккерманна
допускает ещё и дальнейшее расширение. Он так далеко
зашёл в обосновании обычного анализа, что оставшаяся
задача состоит в выполнении чисто математического
доказательства конечности. Уже сейчас я мог бы в качестве
окончательного результата высказать следующее
утверждение:' математика есть наука, в которой отсутствует
гипотеза. Для её обоснования я не нуждаюсь ни, как
Кронекер, в господе-боге, ни, как Пуанкаре,
в предположении об особой, построенной на принципе
полной индукции, способности нашего разума, ни, как
Б р о у е р, в первоначальной интуиции, наконец, ни, как
Рессель или Уайтхед, в аксиомах бесконечности,
редукции или полноты, которые являются подлинными
гипотезами содержательного характера и, сверх того, вовсе
не правдоподобными.
Я хотел бы ещё отметить, что Б е р н а й с был и на
этот раз моим верным сотрудником; он не только
поддерживал меня своими советами, но также добавил некоторые
мысли и новые точки зрения, так что эту работу я желал
бы считать нашей общей. В соответствии с этим мы
намерены выпустить в свет подробное изложение этой теории.

*
7
ДОБАВЛЕНИЕ X
ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ*)
(Перепечатано из Mathematische Annalen, т. 102;
появилось также в отчётах интернационального
математического съезда в Болонье в 1928 (IV).)
Последние десятилетия были периодом наивысшего
расцвета математической науки.
Напомню о том, что в арифметике, особенно в теории
алгебраического числового поля, были решены труднейшие
проблемы и была завершена постройка этого прекрасного
творения мысли. Вместе с тем удалось открытие
трансцендентных функций, относящихся к числовому полю, которые
долго разыскивались и которые удалось выявить благодаря
разнообразным, ранее сокровенным теоретико-числовым
истинам. С другой стороны, способы образования понятий
в теории идеалов были с большим успехом перенесены
далеко за пределы теории чисел, в алгебру и в теорию
функций, и тем самым большой комплекс математических
дисциплин был приведён в единую систему.
Также и в теории функций комплексного переменного
были достигнуты за истекший промежуток времени немалые
успехи. В частности, благодаря развитию принципа
конформного отображения, мы имеем теперь прекрасные методы
получения автоморфных функций и решения проблемы уни-
формизации. Столь трудные теоремы существования в
высшей степени упростились и стали прозрачными благодаря
применению методов вариационного исчисления.
*) Доклад, прочитанный на интернациональном
математическом конгрессе в Болонье 3-го сентября 1928 г.

390
ДОБАВЛЕНИЕ X
А какую полноту картины даёт нам геометрия! Одна
только топология настолько обогатилась новыми
постановка-ми вопросов и методами обработки, что в этом должно
усмотреть возникновение новой самостоятельной ветви
науки. Также и дисциплины, близкие старой геометрии,—
теория групп и теория инвариантов — расширились и
углубились сверх ожидания.
Наконец, физика воздвигла на наших глазах
математические здания, палаты которых импонируют своим
великолепием. Мы вообще имеем в виду и приложения математики:
не худшие плоды пожинает математика на полях своих
приложений, будь то её приложения к смежным
дисциплинам или к вопросам, возникающим из потребностей
практики. Область, в которую проникает математика, постоянно
расширяется.
Столь отрадное положение вещей особенно сильно
обязывает математиков укреплять математику в её основах.
Каково же было состояние вопроса об обосновании
к началу этого столетия? Великими классиками и творцами
исследований по обоснованиям были Кантор, Фреге и Де-
декинд; они нашли своего конгениального истолкователя
в лице Цермело. Цермело установил предположения,
необходимые для аксиоматического построения теории множеств
и тем самым уточнил, методы, которые Кантор и Дедекинд
применяли неточно и отчасти бессознательно. К тому же
эти аксиомы Цермело таковы, что не могло явиться
серьёзного сомнения в их справедливости. Образ действия
Цермело был вполне оправдан и соответствовал
аксиоматическому методу. Всё же пути, которыми шёл Цермело, под
влиянием руководивших тогда математикой кругов были
оставлены. Старые возражения Кронекера, направленные
против Кантора и Дедекинда, которые мы считали уже
давно прёодолёнными и которым сам Кронекер не следовал
в своих работах, были выдвинуты вновь. И именно Пуанкаре,
этот мастер искусства математического изобретения, из-за
несчастного понимания метода математической
индукции — понимания, которое уже два десятилетия до того
Дедекинд опроверг с помощью обстоятельного
доказательства,— помешал продвижению вперёд. Пуанкаре выдвинул

ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ 391
и поддерживал новое запрещение, запрещение
непредикативных высказываний, хотя Цермело тотчас же указал
убедительный пример против этого запрета и, кроме того,
этот запрет противоречил результатам Дедекинда. К
сожалению, в остальном глубоко идущая логика Ресселя,
будучи применена к математике, также содействовала
лжеучению. Таким образом, произошло то, что наша любимая
наука в вопросах, касающихся её арифметической сущности
и её основания, как бы находилась в продолжение двух
десятилетий в каком-то летаргическом сне.
Я приветствую как пробуждение, как сияющую зарю
тот факт, что в последнее время ряд молодых математиков
снова вернулся к идеям Цермело; эти математики дополнили
аксиомы Цермело и успешно разработали при этом ряд
важных, глубоких вопросов.
Правда, окончательное решение проблем обоснования
с помощью этого аксиоматического способа никогда не
будет возможно. Действительно, аксиомы, положенные
Цермело в основание, содержат настоящие содержательные
предположения, и в доказательстве их состоит, как мне
кажется, главная задача исследований по обоснованию
математики — ведь уже. тогда доказательство
непротиворечивости арифметических аксиом было жгучим вопросом.
Если же мы примем за исходный пункт и основание
доказательства содержательные аксиомы, то математика тем
самым потеряет характер чего-то абсолютно достоверного.
Принимая предпосылки, мы переходим в область
проблематичного, так как различия в мнениях людей основываются
большей частью на том, что люди исходят из различных
предпосылок. Поэтому в последнее время в ряде докладов
по обоснованиям математики я выбрал новый путь для
разработки проблем обоснования. С помощью этого нового
обоснования математики, которое справедливо может быть
названо теорией доказательства, я надеюсь с вопросами
обоснования математики, как таковыми, покончить тем,
что я каждое математическое высказывание превращу в
доступную конкретному показу и строго выводимую формулу
и тем самым перемещу весь комплекс вопросов в область
чистой математики.

392
ДОБАВЛЕНИЕ X
Для полного проведения этой задачи необходимо
преданное сотрудничество молодого поколения математиков.
Я желал бы сегодня подробнее осветить в указанном
мною направлении некоторые вопросы. Все важнейшие
проблемы концентрируются вокруг выставленной мною так
называемой s-аксиомы, которая гласит:
А(а)-»А(е{А)).
При применении этой аксиомы следует прежде всего
обращать' внимание на вид тех переменных, к которым относится
е. Когда имеют дело с числами, то то же самое служит
для формулировки обычных выводов, содержащих слово
«некоторые»: под е (81) понимают некоторое число, для
которого высказывание Щ наверное справедливо, если
вообще такое число существует.
Я хотел бы указать некоторые проблемы.
В работах Аккерманна*) и Неймана**) проводится
доказательство непротиворечивости е-аксиомы для чисел; тем
самым разрешены следующие три проблемы:
1. Закон исключённого третьего для чисел, т. е.
утверждение: если некоторое высказывание не для всех целых
чисел имеет место, то существует, число, для которого
это высказывание неверно. Например, согласно Кронекеру,
целую рациональную функцию переменной х с целыми
коэффициентами недопустимо определять как
неприводимую тем, что не существует представления этой функции
в виде произведения такого же рода двух функций. Я же,
с помощью теории доказательств, показываю, что,
наоборот, это определение является в чисто математическом
смысле вполне строгим; поэтому утверждение Кронекера
не только логически неправильно, но и в чисто
арифметическом смысле неверно — неверно в том смысле, в каком
бывает неверна ложная арифметическая теорема или
ложная теоретико-числовая формула.
*)Ackermann, «Begrundung des „tertium non datur" mittels
der Hilbertschen Theorie der Widerspruchsfreiheit», Math. Ann., т. 93.
С тех пор Аккерманн упростил свое доказательство.
**) Neumann, «Zur Hilbertschen Beweistheorie», Math.
Zeitschr., т. 26.

ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ 393
2. Истолкование утверждения о существовании
некоторого числа в смысле такого числа: «наименьшее число,
которое...»
3. Заключение от п к /г-f-l, при котором формулу
присоединяют в качестве аксиомы и на неё распространяют
доказательство непротиворечивости.
Как вы уже заметили, существенным вспомогательным
средством в моей теории доказательства служит
символическая запись понятий. Форма, в которой я ею пользуюсь,
в основном совпадает с той, которую первоначально ввёл
Рессель.
До сих пор ещё не решены следующие проблемы.
Проблема I.
Доказательство непротиворечивости е-аксиомы для
функции-переменной /. Доказательство её уже намечено: Аккер-
манн продвинул его так далеко, что оставшаяся задача
сводится к доказательству только чисто арифметической,
элементарной теоремы о конечности.
С решением проблемы I сразу же получаются ответы
на большой комплекс основных вопросов; именно, это
доказательство непротиворечивости даёт:
1) закон исключённого третьего для функций целых
аргументов и, тем самым, и для действительных чисел;
2) процессы определения, против которых Пуанкаре
возражал как против непредикативных, которые Рессель
и Уайтхед сумели обосновать только с помощью весьма
проблематичной аксиомы редукции и в связи с которыми
Вейль однажды сказал о существовании в анализе
порочного круга (circulus vitiosus).
3. Аксиому произвольного выбора в её более слабой
формулировке.
Относительно пункта 3 сделаем следующее замечание.
В новейших исследованиях были указаны многочисленные
оттенки между слабыми и сильными формулировками
аксиомы произвольного выбора. Эти оттенки
преимущественно касаются мощности множества множеств и множества

394
ДОБАВЛЕНИЕ X
их представителей, особенно различия между счётными и
несчётными множествами.
Руководствуясь теорией доказательства, мы считаем
существенным иное различие; именно, мы будем отличать
случай, когда требуется, чтобы выбор представителя
данного множества был однозначно определён составом
элементов множества, независимо от способа определения этого
множества, от того случая, когда это не требуется.
Пусть, например, дана некоторая однопараметрическая
совокупность множеств M(t), и пусть для каждого
значения действительного параметра t множеством M(t) служит
вполне определённое множество действительных чисел,
содержащее по крайней мере один элемент. Принцип
произвольного выбора в своей более слабой формулировке
требует, в таком случае, существования однозначной функции
f (t) такого рода, чтобы для каждого значения t значение
f(t) принадлежало бы к M(f). Принцип произвольного
выбора в своей более сильной формулировке требует, кроме
того, существования такой функции f(t), для которой
/С,)=/(>2)
всякий раз, как множества М (tj и М (*2) имеют один и тот
же состав элементов.
С помощью е-аксиомы для функции-переменной / мы
получаем для множеств действительных чисел принцип
произвольного выбора в его более слабой формулировке.
В результате решения нашей проблемы I, мы овладеваем
в первую очередь следующими теориями:
1. Теорией действительного числа (дедекиндово сечение,
верхняя грань ограниченных множеств действительных чисел).
2. Теоретико-множественным обоснованием учения о
числе. — Эта теория не требует никакого принципа
произвольного выбора, но нуждается в непредикативных
определениях, например, в определении для а^Ь\ именно,
всякое множество, которое содержит а и которое, содержа п,
содержит также и я-f-l, содержит Ь. Раньше при
теоретико-множественных обоснованиях теории чисел усматривали
проблематическое всегда только в предположении о
бесконечности области индивидуумов. Можно убедиться в том,

ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
395
что это предположение не содержит противоречия, уже на
основании доказательства о непротиворечивости его для
чисел. Большую трудность представляет доказательство
непротиворечивости непредикативного определения.
Решение проблемы 1 даёт также полное оправдание
гениальному методу Дедекинда, изложенному в его работе
«Что есть и чем должны быть числа».
3. Теорией Кантора о том, что числовой ряд есть вполне
упорядоченное множество. Благодаря этой теории учение
о числах второго числового класса, которое можно
аксиоматически построить совершенно аналогично теории числа,
сводится к теории функций чисел-переменных.
Проблема II.
Для дальнейшего развития анализа, особенно для теории
точечных множеств (теоретико-множественной топологии),
а также для теории чисел второго и более высоких
классов следует позаботиться о непротиворечивости е-аксиомы
для переменных более высоких видоз и в первую очередь —
для функций действительного переменного.
Далее, для доказательства теоремы о полном
упорядочении, а также для некоторых доказательств в теории
измеримости (доказательства для случаев неизмеримости)
требуется аксиома о произвольном выборе в её более
сильной формулировке, которая в теории доказательства
выражается формулой:
{(f){A(f)z=tBif)))-+(e{A) = e(B))
(аксиома равенства выбора); е(Л) и е(В) в данном случае
являются функциями чисел-переменных, а равенство
означает совпадение для всех значений аргументов. Для того,
чтобы присоединить эту формулу, необходимо опять-таки
доказать её непротиворечивость.
Проблема III.
Вообще утверждается, что система аксиом теории
чисел и анализа обладает полнотой; но обычные соображения,
с помощью которых показывают, что любые две реализа-

396
ДОБАВЛЕНИЕ X
ции системы аксиом теории чисел или анализа должны
быть изоморфны и, таким образом, могут быть отображены
одна на другую с сохранением соотношений, не
удовлетворяют требованиям конечной строгости.
Речь идёт о том, чтобы перестроить конечным образом,
сначала для теории чисел, обычное доказательство
изоморфизма так, чтобы тем самым было показано следующее:
Если можно доказать, .что некоторое предложение ©
не противоречит аксиомам теории чисел, то невозможно
доказать, что предложение © (отрицание 2>) тоже не
противоречит аксиомам теории чисел.
Также надо доказать положение, стоящее в тесной
связи с предыдущим: если некоторое высказывание
непротиворечиво, то оно также и доказуемо.
Против моей теории доказательства были сделаны
возражения; они в основном базируются на её непонимании.
Поэтому я позволю себе сделать здесь ещё некоторые пояснения.
Если имеется некоторое высказывание или
доказательство, то оно должно быть обозримо-во всех своих частях.
Указание, узнавание вновь, различие и следование одной
за другим отдельных частей доказательства должно быть
для нас непосредственно наглядным. Без этой установки
вообще невозможно мышление и тем более научная
деятельность. При исследовании вопроса о непротиворечивости
речь идёт о том, можно ли дать доказательство, которое
привело бы к противоречию. Если такое доказательство
не может быть мне предложено, то тем лучше, — в таком
случае я избавлен от исследования. Если же такое
доказательство мне предложено, то я могу выбрать из него
и рассмотреть внимательно некоторые определённые
отдельные части, а следовательно,, также и отдельные числовые
знаки, которые в них встречаются и, следовательно, уже
составлены и построены, и снова их разобрать. Этим, однако,
собственно метод полной индукции не будет затронут;
наоборот, сущность заключения по полной индукции, — как
это показал уже Дедекинд и как это снова подтверждает
моя теория доказательства — в том и состоит, что оно
применимо не только к отдельным, имеющим конечное
значение случаям, но, прежде всего, к тем случаям, в которых

ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ 397
рекурсия относится к выражениям с любыми связанными
переменными (с «все» и «существует»); в таком случае
оказывается, что полная индукция является источником
понятия математической переменной, к которому с помощью
только конечных методов невозможно подойти.
На той основе, которую я только что обсуждал,
каждый раз должно проводиться доказательство
непротиворечивости приобщения некоторого высказывания. Если такое
доказательство удаётся провести, то для высказывания
это означает, что в случае, когда из него может быть
выведено числовое и имеющее конечное значение
высказывание, это последнее каждый раз действительно верно.
Доказательство непротиворечивости учит вместе с тем
каждый раз, когда доказательство приводит к ложному
результату, находить то место, в котором сделана ошибка.
Ясно, что чисто логические проблемы также попадают
в область намеченной мною теории доказательства.
Примером может служить следующая проблема.
Проблема IV.
Утверждение о полноте системы аксиом теории чисел
может быть формулировано также и следующим образом:
Если к аксиомам теории чисел присоединить формулу,
принадлежащую теории чисел, но недоказуемую, то, исходя
из этой расширенной системы аксиом, можно вывести
противоречие.
Так как здесь, в теории доказательства, мы имеем всегда
дело с формализированным доказательством, то
высказанные нами утверждения о полноте теории чисел заключают
в себе вместе с тем и утверждение, что формализированные
правила логического вывода достаточны, во всяком случае
в области теории чисел.
Вопрос о полноте системы логических правил,
поставленный в общем виде, представляет собою проблему
теоретической логики. К этой более общей постановке вопроса
мы придём, исходя из теории чисел, когда мы из области
рассматриваемых формул, в частности также и аксиом,
исключим все те, в которые входит знак « '», но зато допустим
появление переменных предикатов (логических сказуемых).

398
ДОБАВЛЕНИЕ X
Реально это означает, что мы отвлекаемся от
порядкового характера системы чисел и изучаем эту систему только
как некоторую систему вещей, к которым могут быть
отнесены предикаты с одним или несколькими аргументами.
Среди этих предикатов только один, именно равенство
(тождество), устанавливается как некоторое вполне
определённое соотношение, с помощью обычных аксиом равенства
a=b-^{A(d)-+A{b)),
в то время как остальные предикаты избираются произвольно.
В этой области формул следует отметить те, которые
не опровергаются, какой бы смысл мы ни придавали
произвольно избираемым предикатам, лишь бы этот смысл был
вполне определён. Эти формулы представляют всегда
справедливые логические предложения.
Возникает вопрос, можно ли все эти формулы доказать,
исходя из правил логических умозаключений и упомянутой
аксиомы равенства, другими словами — является ли система
обычных логических правил полной.
До сих пор мы убеждались в достаточности этих
правил с помощью испытаний. Действительное доказательство
этого имеется только в области чистой логики
высказываний и в области логики предикатов с одним аргументом.
В последней области доказательство полноты этих правил
получается из метода решения проблемы разрешимости
(Entscheidimgsproblem) (проблема исключения Шредера)
в том виде, в каком оно было дано, в связи с намётками
Шредера, сначала Левенгеймом, а затем — в окончательной
форме — Беманном.
Сегодняшний мой доклад показывает, как много проблем
ждут ещё своего решения. Но в общем принципиальном
смысле даже малейшие следы неясности невозможны; на
каждый из возникающих вопросов можно, на основании
намеченной мною теории доказательства, ответить
математически точным и однозначным образом. Соответствующие
теоремы можно отчасти доказать уже теперь абсолютно
надёжным и чисто математическим методом, исходя из
полученных до сих пор результатов; поэтому эти теоремы

ПРОБЛЕМЫ ОБОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ 399
и не подвергались нападкам. Кто желает меня опровергнуть,
должен, как это было до сих пор всегда принято в
математике и как это останется и в будущем, указать мне
точно то место, где находится предполагаемая ошибка.
Возражения, в которых этого не сделано, я решительно
отвергаю.
Я верю, что моя теория доказательства окажет нам
ещё более широкую услугу. Ведь что бы было с
истинностью наших знаний вообще и как обстояло бы с
существованием и прогрессом науки, если бы даже в математике
не было достоверной истины? И действительно, в наше
время нередко даже в специальных изданиях и в открытых
докладах высказывается сомнение и уныние по поводу
науки; это есть в некотором роде оккультизм, который я
считаю вредным. Теория доказательства делает такую
установку невозможной и даёт нам возвышенное чувство
убеждения в том, что по крайней мере для математического
ума не поставлены никакие границы и что он сам в
состоянии проследить законы собственного мышления.
Кантор сказал: «Суть математики состоит в её свободе», и я
мог бы для склонных к сомнениям и впадающих в уныние
добавить: в математике нет никаких Ignorabimus (мы не
будем знать); наоборот, мы всегда можем ответить на
вопросы, имеющие смысл. Подтверждается то, что, возможно,
предчувствовал уже Аристотель, именно, что наш ум не
производит никаких таинственных фокусов, а наоборот,
пользуется только вполне определёнными, установленными
правилами — что является вместе с тем порукой
абсолютной объективности его суждений.

ПРИМЕЧАНИЯ

Р] В немецком тексте в начале этого абзаца, как и в начале
ряда других абзацев, стоит заголовок: «Erklarung», что дословно
означает: объяснение, объявление. Сообразно с последующим
текстом мы этот заголовок в русском переводе либо совершенно
опускаем (как в данном случае), либо переводим словом
«определение» (стр. 59) или словом «пояснение» (стр. 70). Для
единообразия мы сами в одном месте (стр. 79) ввели заголовок
«Определение»
[2] Под плоской геометрией здесь и в дальнейшем
понимается геометрия на плоскости, рассматриваемая
самостоятельно. Эта геометрия имеет своими элементами лишь точки
и прямые и определяется соответственно этому лишь частью
аксиом (именно теми, где речь идёт о плоских образованиях).
[*] Немецкий термин «Verknupfung» мы переводим в
большинстве случаев словом «принадлежность»; иногда — словами
«соединение» или «сочетание».
Под этим понимается, как уже указывалось во
вступительной статье (стр. 24—25), некоторое соотношение, могущее иметь
место между точкой и прямой, точкой и плоскостью (причём мы
говорим без различия: «точка принадлежит прямой» или
«прямая принадлежит точке» и т. д.)
Прямого определения этого соотношения не даётся; взамен
этого все его свойства, которыми мы будем заниматься,
изложены в аксиомах первой группы. Аксиомы первой группы можно
рассматривать, таким образом, как косвенное определение
понятия принадлежности.
Что же касается принадлежности прямой к плоскости, о чём
мы ещё не упоминали, то для неё в тексте даётся прямое
определение: прямая а принадлежит плоскости а, если
каждая точка, принадлежащая я, принадлежит и а.
[4] Укажем, каким образом вытекают из аксиом только что
перечисленные пять предложений (теоремы 1 и 2).
Теорема 1.
1 От противного (пользуясь 12).
2. Если две плоскости имеют хоть одну общую точку А то
имеют и другую В (17); тогда существует прямая ЛВ (\х), и эга
26*

404
ПРИМЕЧАНИЯ |^4 — 7]
прямая всеми своими точками принадлежит каждой из
плоскостей (16). Общих точек вне АВ плоскости не имеют, так как
в противном случае они были бы тождественны (15).
3. От противного (пользуясь Ц).
Теорема 2.
1. Дана прямая а и точка Л вне её. На а возьмём точки В
и С (1з) и построим плоскость ABC (14). Прямая а принадлежит
плоскости ABC всеми своими точками (16). Плоскость будет
единственной (15)
2. Даны прямые а и b с общей точкой С. Возьмём на а ещё
точку А и на Ь ещё точку £(1з). Построим плоскость АВС(\±).
Прямые а и b принадлежат плоскости ABC (16). Плоскость будет
единственной (15).
[5] В тексте Гильберта чертежи не нумерованы. В переводе
мы ввели нумерацию; ссылки на эти чертежи введены нами,
они заключены в квадратные скобки.
[б] В самом деле, докажем, что прямая а не может
проходить через точки М, L. N, лежащие соответственно внутри
отрезков А В, ВС и С А. Если бы мы
допустили эту гипотезу, то мы пришли бы
к противоречию следующим образом:
Среди точек L, М, N имеется одна,
которая лежит между двумя другими (см.
теорему 4, § 4) Пусть это будет М
(черт 1) Рассмотрим тогда треугольник
ALN и прямую а' = ВС Так как а'
проходит через точку Af, лежащую между
L и /V, то она должна проходить или
через точку отрезка AL, или через точку
отрезка AN (аксиома И4). Однако точка
В, в которой а' пересекается с AL, ле-
Черт. 1. Жит вне AL в силу аксиомы Н3 (так
как L лежит между А и В). Значит, а'
проходит через точку отрезка AN» т. е. С лежит между А и N.
Следовательно (аксиома Н3), N не лежит между А и С" вопреки
допущению.
Мы проводим доказательство, ссылаясь лишь на аксиомы
II группы, в которых заключено всё, что нам нужно знать
о понятии «между». При этом из процесса доказательства
совершенно устраняется наше наглядное представление о порядке
точек на прямой
[7] Мы применяем аксиому 114 к треугольнику ABC и прямой
BF\ так как В лежит между А и С, a F— вне ЕС\ъ силу аксиомы
113), то прямая BF пересекает отрезок АЕ в некоторой точке

ПРИМЕЧАНИЯ [7—11]
405
G. Далее, применяем аксиому П4 к треугольнику ВЕС и прямой
АЕ; так как Л вне ВС (в силу аксиомы П3), а Е между С и F,
то О лежит между В и F, т. е. на отрезке BE.
Следовательно (в силу аксиомы II3), F лежит вне GB. Применяем далее
аксиому П4 к треугольнику BDG и прямой ЕС; так как F вне
BG, а С между В и Z), то FC имеет с отрезком GD некоторую
общую точку Н.
[8] Применяя аксиому И4 к треугольнику AGD и прямой ЕН%
[9] Применяя аксиому П4 к треугольнику AGD и прямой СЕ%
получаем, что точка Н лежит на отрезке GD. Прямая FH
пересекает сторону GD и не пересекает стороны GB треугольника
BGD, как уже доказано. Следовательно, она пересекает сторону
BD, и С попадает между В и D.
[Ю] Фактически последний случай вообще не может иметь
места. Из расположений: 1) Q между Р и /?, 2) 5 между Р и /?,
3) Р между Q и 5, вытекает противоречие, так как из 1) и 3)
следует, согласно утверждению 1, что Р и Q лежат между S
и R, а это противоречит 2).
[И] Дадим доказательство теоремы 6, уточнив несколько
её формулировку: всякие п точек, данные на прямой, можно
занумеровать числами 1, 2, ... , п так, что какая-нибудь из этих
точек лежит между двумя другими тогда и только тогда,-когда
её номер имеет промежуточное значение между номерами двух
других точек.
Для /г — 4 теорема доказана (теорема 5). Чтобы применить
математическую индукцию/докажем теорему для произвольного
значения п, предполагая, что для п — 1 она доказана.
1. Из данных п точек всегда можно выделить две точки,
между которыми лежат остальные п — 2 точки. В самом деле,
выделим из данных п точек две точки Л, С, между которыми
лежит наибольшее возможное число остальных точек. Мы
утверждаем, что тогда все остальные п — 2 точки лежат между А и С.
Допустим противное; пусть точка D из числа тех же п
точек лежит вне АС. В силу теоремы 4 либо А лежит между С
и D, либо С между А и D. Допустим для определённости
последнее. Тогда, в силу пункта 2 в доказательстве теоремы 5,
всякая точка В, лежащая между Л и С, лежит и между А и D.
В результате между А и D лежат все точки, лежащие между
Л и С, и кроме того точка С. Вопреки нашему выбору точек Л
и С оказалось, что между Л и D лежит большее количество
точек из числа данных точек, чем между Л и С.
Это противоречие доказывает наше утверждение.
2. Из числа данных п точек выделим точки А, С,
заключающие между собой все остальные. Мы утверждаем, что если В и

406
ПРИМЕЧАНИЯ [11—13]
D—какие-то две точки из числа остальных, то Л и С лежат вне
BD. Действительно, пб теореме 5 можно указать определённый
порядок для рассматриваемых точек, причём в нашем случае
этот порядок (с точностью до обращения) может быть только
ABDC или ADBC, так как В и D лежат между Л и С. В обоих
случаях А и С лежат вне BD.
3. Пусть А и С— две точки из числа данных п точек,
заключающие между собой все остальные. Так как теорема 6
предполагается доказанной для п— 1, то мы можем занумеровать
все данные точки, исключая С, удовлетворив требованиям
теоремы. Пусть занумерованные точки будут: Аь Л2, ... ,An-v
Мы утверждаем, что точка А совпадает либо с Аь либо
с Ап-\ Действительно, в противном случае она лежала бы между
двумя другими из занумерованных точек, что противоречит
пункту 2
Меняя в случае надобности нумерацию на обратную, можно
считать, что А = Av Теперь припишем точке С номер п,
положив С^Ап, и покажем, что построенная нумерация
удовлетворяет требованиям теоремы: для всяких трёх точек точка,
лежащая между двумя другими, имеет промежуточный номер. Если
среди взятых точек нет С, то это имеет место, так как для
нумерации Аь..., Ап-.г требование теоремы соблюдается. Если же
взяты три точки Л/, Ар Ап (Ап = С), где / </ < /г, то нужно
доказать, что Aj лежит между Л/ и Ап. Если /= 1, то это
очевидно, так как Лт == А,Ап = С. Если />1, то Ai лежит
между А} и Ар кроме того Лу-лежит между Лг и Ап\ отсюда по
пункту 2 доказательства теоремы 5 вытекает, что Л;- лежит между
At и Ал.
Теорема 6 доказана. Она как оы подводит итог
соотношениям порядка точек на прямой, строго выводя из аксиоматики
то их свойство, которое наглядно нам представляется в виде
следования их по прямой друг за другом.
[12] Докажем, что между любыми двумя точками прямой —
мы их обозначим Л0 и Л — существует бесчисленное множество
точек. Согласно теореме 3, между точками Л0 и А лежит
некоторая точка Ах В силу той же_теоремы, между точками Аг и
Л лежит точка Л2, между Л2 и Л -* точка Л3 и т. д., между Ап
и Л — точка Ап+1. Точка Лх лежит по построению между Л0 и Л.
Чтобы убедиться в том, что все остальные точки Ak
(k = 2, 3, ...) лежат между точками Л0 и Л, достаточно доказать
следующее утверждение: если точка Ап лежит между Л0 и Л,
то точка Ап+1 также лежит между Л0 и Л. Справедливость
же этого утверждения следует из пункта 2 доказательства
теоремы 5.
[Щ Две области, о которых идёт речь в теореме, мы
определим следующим образом: на плоскости а выберем произволь-

ПРИМЕЧАНИЯ [13]
407
ную точку Л, не лежащую на прямой а Все точки М
плоскости а, не лежащие на прямой я, разобьём на два класса К
первому классу относим точки М, для которых отрезки МЛ не
пересекаются прямой а\ ко второму классу — все остальные точки.
Доказательство теоремы 8 сведётся теперь к доказательству
следующих двух утверждений:
1 Любые две точки М и N одной и той же
области определяют отрезок MN% не
пересекающий прямую а (черт. 2).
В самом деле, возможны два случая:
a) Точки М и N лежат в первой области, т е. прямая а не
пересекает ни отрезка МЛ, ни отрезка NA (В частном случае,
когда одна из этих двух точек,
например /V, совпадает с
точкой Л, т. е. когда мы имеем
дело только с одним
отрезком — справедливость нашего
утверждения очевидна.) Тогда
непосредственно из аксиомы Н4
вытекает, что отрезок MN не
пересекает я, если только
точки Л, М, N не лежат на одной
прямой
Если же Л, Mt N лежат на
одной прямой, то из георемы 1
следует, что эта прямая либо не пересекает прямой а, и в
таком случае наше утверждение доказано, либо пересекает её
в некоторой единственной точке Р. Согласно условию, точка Р
не может лежать ни между точками Л и М, ни между точками
А и N. Поэтому, если, на основании теоремы 5, записать эти
четыре точки в порядке их. расположения на прямой, то точка Р
необходимо займёт крайнее место, а значит, не может лежать
между точками М и N.
b) Точки М и N лежат во второй области, т. е прямая а
пересекает как отрезок AM, так и отрезок AN. Если точки
Л, М, N не лежат на одной прямой, то MN не пересекает а,
в силу следствия из аксиомы Н4 (доказанного в примечании [6]).
Если же точки Л, М, N лежат на одной прямой и Р — точка
пересечения' этой прямой с я, то Р лежит между Л и М и между
А и N. Поэтому порядок следования этих четырёх точек по
прямой (теорема 5) будет таким, что Р отделяет Л от М и /V,
т. е. либо APMN, либо APNM. Очевидно, отрезок MN не
пересекается прямой а, так как точка Р лежит вне MN.
2 Отрезок, соединяющий две точки М и Л/
различных областей, пересекается прямой а.
В самом деле, пусть точка, лежащая в одной области
сточкой Л, есть М (черт. 3; случай, когда точка М совпадает
с точкой Л, ввиду его простоты, мы опускаем) Пусть точки
M,N и Л не лежат на одной прямой. Так как прямая а Пересе-

408
ПРИМЕЧАНИЯ [13—14]
кает отрезок AN и не пересекает отрезка AM, то, в силу
аксиомы 114, она пересекает отрезок MN.
Пусть теперь точки Л, /И, N лежат на одной прямой. Точка Р
пересечения прямой а с отрезком AN лежит между А и N и вне
AM. Записывая эти четыре точки в
порядке их следования по прямой
(теорема 5), мы должны поместить
А и М по одну сторону от Р, а А и
N — по разные стороны. Имеются
лишь две возможности: AMPN и
MAPN; в обоих случаях Р лежит
между М и N.
Наши утверждения доказаны.
Черт. 3. Дополним их следующей простой
теоремой: если М и N лежат по одну
сторону от а, то всякая точка * L отрезка MN лежит по ту
же ст.орону от а. Допустим противное; тогда на прямой
MN имеется точка Р прямой я, лежащая между М и L и
между N и L. Порядок точек будет поэтому либо LPMN^
либо LPNM; оба случая противоречат тому, что L лежит
между М и N
[Щ Пусть на прямой а дана точка О. Возьмём на той же
прямой произвольную точку А и разобьём все точки прямой а
(кроме точки О) на два класса; к первому классу отнесём точки,
образующие вместе с точкой А отрезки, на которых точка О
не лежит; ко второму классу отнесём все остальные точки, т. е.
все точки, образующие вместе с точкой А отрезки,
заключающие точку О. Докажем следующие два утверждения:
1. Если точки М и N принадлежат к одному и тому
же классу, то точка О не лежит на отрезке МN.
Здесь могут быть два случая, а) Точки М и N принадлежат
к первому классу. Тогда, записывая расположение точек А, М,
N,0 в том порядке, который установлен теоремой 5, мы должны
будем точку О поместить на крайнее место, так как иначе она,
вопреки предположению, попала бы либо между точками А и
My либо между точками А и N. Итак, точка О должна в этом
случае лежать вне отрезка MN. б) Точки М и N принадлежат
ко второму классу, т. е. точка О лежит как между А и М, так
и между А и N. В таком случае, в силу теоремы 5, возможны
только следующие расположения точек: AOMN, AONM, т. е.
точка О при этом наверное не лежит на отрезке М N.
2) Точка О лежит на всяком отрезке MN,
концы которого принадлежат кразличным классам.
Положим для определённости, что второму классу
принадлежит точка М, т. е. между точкой М и А лежит точка О. Так
как точча О не лежит между N и Л, то вся четвёрка точек,
в силу теоремы 5, может иметь одно из следующих двух
расположений: MOAN, MONA, что и доказывает наше утверждение.

ПРИМЕЧАНИЯ [14—15]
409
Эти утверждения показывают, что произведённое нами
разбиение точек на два класса определяется только точкой О, а
отнюдь не выбором точки А.. Каждый из этих классов
называется лучом. Таким образом, любая точка О на прямой
разбивает эту прямую (без точки О) на два луча. Про точки,
лежащие на одном и том же луче, говорят, что они лежат по одну
сторону от точки О.
[15] При доказательстве теоремы 9 мы будем пользоваться
понятием угла и ссылаться на утверждения, помещённые в
основном тексте на стр. 68 и доказанные в примечании р]. Хотя
определение угла и указанные утверждения помещены в тексте
после аксиомы конгруентности (Н13), однако ни это определение,
ни доказательство этих утверждений не используют аксиом
конгруентности (как это и отмечено в самом тексте у Гильберта).
Поэтому, пользуясь понятием угла, мы отнюдь не выходим за
пределы аксиом групп I и II.
В этом примечании для краткости мы будем пользоваться
терминами «ломаная линия» и «многоугольник», понимая под
ними всегда простую ломаную линию и простой многоугольник.
Доказательству утверждений, содержащихся в теореме 9,
мы предпошлём несколько лемм.
Лемма I. Все точки плоскости а, не принадлежащие
многоугольнику $, делятся этим многоугольником на два
класса: на точки, обладающие тем свойством, что все
исходящие из них лучи проходят через %$ чётное число раз,
и на точки, обладающие тем свойством, что все исходящие
из них лучи проходят через % нечётное число раз.
Подсчёт числа прохождений луча или прямой через
многоугольник мы будем вести по следующему правилу: за одно
прохождение мы будем принимать:
1) либо пересечение луча с отрезком, служащим стороной
многоугольника;
2) либо прохождение луча через вершину многоугольника В,
если при этом стороны ВА и ВС многоугольника, исходящие
из этой вершины, окажутся по разные стороны от луча (черт. 4,
но не черт. 5);

410
ПРИМЕЧАНИЯ [ 15]
3) либо прохождение луча через две соседние вершины
многоугольника F и G, при условии, что две другие стороны
многоугольника EF и ОН, примыкающие к этим же вершинам,
лежат по разные стороны от луча (черт, б, но не черт 7).
При доказательстве этого мы будем понимать под словом
«угол» совокупность двух лучей, исходящих из точки О (не
лежащей на $), даже и в том случае, когда совокупность этих
- Л f / X
Черт. 6. Черт. 7.
лучей и точки О образует одну прямую, т. е. когда речь идёт
о «развёрнутом» угле. Под внутренними точками такого угла
мы будем понимать точки, лежащие по одну определённую
(безразлично какую) сторону от прямой, на которой лежат стороны
угла.
Из определения термина «луч проходит через многоугольник»
следует, что если одна из сторон, например /г, угла <£ (/*, k)
проходит через многоугольник $, то стороны многоугольника
(случаи 2 и 3) или отрезки одной из сторон (случай 1),
примыкающие к точке (или стороне) многоугольника, лежащей на луче /г,
будут расположены по разные стороны от прямой /г. Выкинем
из многоугольника все точки, в которых луч h или луч k
проходит через многоугольник (случаи 1, 2) и все отрезки типа' FQ
(черт. 6), отвечающие прохождению луча h или k через
многоугольник (случай 3). Тогда многоугольник распадается на куски,
каждый из которых будет расположен либо целиком внутри
угла <£(#, k) (и, может быть, частью на его сторонах), либо
целиком вне угла <J(ft, k) (и, может быть, частью на его
сторонах). При этом соседние куски расположены всегда один
внутри, а другой вне угла <$(Л, k). Так как многоугольник
замкнут, то общее число кусков может быть только чётным.
Поэтому число прохождений обоих лучей h и k через
многоугольник $ должно быть также чётным. Отсюда следует,
что число прохождений луча h через многоугольник будет чётным
или нечётным в зависимости от того, будет ли чётным или
нечётным число прохождений луча k через этот же
многоугольник.
Итак, наше утверждение доказано.
Точки, из которых выходят лучи, пересекающие нечётное
число раз данный многоугольник, называются его внутренними

ПРИМЕЧАНИЯ [15]
411
точками. Все остальные точки плоскости, исключая, конечно,
точки самого многоугольника, называются его внешними точками.
Это определение нами заимствовано из «Оснований геометрии»
В. Ф. Кагана (Одесса, 1905), где, в несколько иной форме,
проведено и доказательство той теоремы, которой мы сейчас
занимаемся.
Заметим теперь следующее. Пусть некоторый луч /г,
выходящий из точки О, не лежащей на многоугольнике ^, проходит
через многоугольник $ п раз. Пусть при этом на луче h
лежат & точек пересечения сторон
многоугольника, / вершин
многоугольника, в которых сходятся стороны,
лежащие по разные стороны от
луча h (черт. 4), р вершин, в
которых сходятся стороны
многоугольника, лежащие по одну сторону от h
(черт. 5); т = п — / — k сторбн,
вблизи которых многоугольник
расположен относительно $ так, как это Черт. 8.
указано на черт. 6, и q сторон,
вблизи которых многоугольник расположен так, как это указано
на черт. 7. Рассмотрим совокупность ЭД, состоящую из точки О,
2m-+-2q концов сторон многоугольника $, лежащих на луче /г,
Сточек пересечения и 1-\-р вершин, общих многоугольнику и
лучу п. В силу теоремы б, N=k-\-l -J-/7 + 2 (m-{-q) 4-1 точек
совокупности ЭД расположены на луче h во вполне определённом
порядке, и их можно перенумеровать, приняв за первую точку,
ближайшую к О, т. е. точку, лежащую между точкой О и любой
другой точкой этой совокупности. Точно так же можно
перенумеровать все п прохождений луча h через многоугольник ф.
Пусть F и G суть концы/-го прохождения, если луч h и
многоугольник % имеют общий отрезок —сторону % (черт. 6); если
же при /-ом прохождении h и % имеют только одну общую
точку, то эта точка окажется обозначенной двумя буквами
FuG (черт. 8). Пусть совокупность Щ упорядочена на луче h
так, что точке F предшествует точка Fh а за точкой G
следует точка ф. Мы пришли, таким образом, к следующему
выводу:
Лемма II. Непосредственно перед каждым прохождением
и непосредственно после каждого прохождения через
многоугольник на луче h существуют отрезки — соответственно,
F^F и GG^— не содержащие ни одной точки
многоугольника $.
Заметим ещё следующее:
Следствие 1. Все точки, лежащие на каждом
из отрезков FyF и GGb т. е. на отрезках, не
имеющих с многоугольником $ ни одной общей
точки, одновременно лежат либо внутри
многоугольника, либо вне его.

412
ПРИМЕЧАНИЯ [15^
Следствие 2. Либо точки отрезка FiF лежат
внутри % а точки отрезка GGi вне $, л и б о
наоборот.
Докажем это. Возьмём три произвольные точки: две, М и N,
на отрезке FXF и одну, Р, на отрезке GG\ и рассмотрим лучи
MGb NGi и PGb исходящие из точек М, N и Р. Так как
отрезок MNne содержит ни одной точки ^, то число прохождений
лучей MGi и NGX через ^одинаково, что и доказывает первое
следствие. Так как на отрезке MP лежат точки отрезка FG,
соответствующие одному прохождению луча через $, и так как
кроме точек отрезка FG и его концов на отрезке MP нет точек
многоугольника $, то, очевидно, луч MG\ проходит через $
на один раз больше, чем луч PGb что и доказывает второе
следствие.
Теперь легко показать, что в плоскости
многоугольника имеются как точки, лежащие
внутри $, так и точки, лежащие вне $. Рассмотрим
для этого прямую я, пересекающую одну из сторон этого
многоугольника в точке G. Согласно только что доказанному,
на прямой а имеются два отрезка FXF и GGh точки одного из
которых лежат внутри $, а точки второго — вне $.
Лемма III. Прямая либо не проходит через
треугольник, либо проходит через него два раза.
Действительно, любая прямая может пересечься с каждой
из прямых, на которых лежат стороны треугольника, не более
одного раза. Поэтому число
прохождений не может быть более трёх. Но,
разбивая прямую на два луча какой-нибудь
точкой (не лежащей на треугольнике),
убеждаемся, что это число должно быть
чётным, т. е. оно может быть только О
или 2. Следовательно, луч, исходящий
из внутренней точки треугольника,
должен проходить через этот треугольник
один и только один раз.
Лемма IV. Для того, чтобы
Черт. 9. точка лежала внутри треугольника,
необходимо и достаточно, чтобы эта
точка лежала на трансверсали, проведённой из любой его
вершины.
Трансверсалью треугольника называют отрезок,
соединяющий какую-либо вершину этого треугольника с точкой стороны,
противолежащей вершине (черт. 9).
Это условие необходимо. Действительно, пусть точка О лежит
внутри треугольника ABC. Рассмотрим прямую ОЛ,
соединяющую её с одной из вершин треугольника, которую мы для
определённости обозначим через А. Из леммы III следует, что
прямая ОА должна два раза пройти через треугольник ABC,
так как, если она ни разу не проходила бы через этот тре-

ПРИМЕЧАНИЯ [15]
.413
угольник, то все её точки, в том числе и точка О, лежали бы
не внутри треугольника ЛВС. При каждом прохождении через
треугольник прямая пересекается по крайней мере с одной
из его сторон. При прохождении через точку А прямая ОА
пересеклась с прямыми АВ и АС, причём ни с одной из этих
прямых она совпасть не может, так как иначе она не
проходила бы ни разу через треугольник. Поэтому при втором своём
прохождении через треугольник ABC прямая ОА должна
пересечь отрезок ВС. Пусть точкой пересечения служит D. Точка О
должна лежать на трансверсали AD, так как иначе луч ОА
неся на себе точки А и D, дважды
проходил бы через треугольник, т. е. точка
О лежала бы вне треугольника.
Это условие и достаточно
Действительно, если точка О лежит на
трансверсали AD, соединяющей какую-либо
вершину, скажем А, с какой-либо
точкой D стороны ВС, противолежащей
этой вершине, то точки A, D лежат по
разные стороны от точки О; поэтому
луч OD, исходящий из точки О, проходит
только один раз через треугольник ABC, Черт. 10»
т е. точка О лежит внутри
треугольника ABC
Следствие. Проведём в треугольнике ABC
трансверсаль AD. Любая точка, лежащая
внутри треугольника ABD (или ACD), лежит также
внутри треугольника ABC (черт. 10).*
Действительно, пусть точка О лежит внутри треугольника
ABD. В силу леммы IV, она должна в таком случае лежать
на какой-то трансверсали АЕ, где Е — точка, лежащая на
отрезке DB В силу теоремы 5, точки С, D, Е, В должны
расположиться в приведённом только что порядке (или в порядке
обратном), т. е. точка Е должна лежать на отрезке ВС, а
следовательно, отрезок АЕ служит трансверсалью также и для
треугольника ЛВС. Поэтому, в силу леммы IV, точка О лежит
внутри треугольника ABC.
Если точка О лежит внутри треугольника ACD,
предложение доказывается аналогично.
Лемма V Если точка А лежит внутри (вне) щного-
уголъника % и отрезок АВ с многоугольником % не имеет
общих точек, то все точки этого отрезка лежат внутри
(вне) Щ. Конец В этого отоезка может лежать как внутри
(вне) % так и на этом многоугольнике
Пусть луч ВА встречает многоугольник ^ впервые (см.
замечание к лемме I) в точке М, а луч АВ — в точке N. Если
какой-либо из этих лучей, например В А, многоугольника $ ни разу
не встречает, то мы в качестве точки М возьмём любую точку,
для которой точка А лежит на отрезке ВМ Точка N, в част-

414
ПРИМЕЧАНИЯ | 15]
ности, может совпасть с точкой В В силу теоремы 5, отрезок
АВ, точка А и точка В, если она не совпадаете /V, лежат внутри
отрезка MN В силу следствия 1 леммы II, точки отрезка MN
либо все лежат внутри %, либо все лежат вне %. Где именно
лежат эти точки,—определяется положением одной из них,
например, точки А
Лемма VI. Если точка А лежит внутри [вне)
многоугольника^ и ломаная ABC.. .MN не имеет общих, точек с этим
многоугольником, за исключением, быть может, точки N,то
ни одна из точек ломаной ABC.. .MN не может лежать
вне (внутри) многоугольника $$. *
Доказательство этой леммы получается путём
последовательного применения леммы V к отрезкам АВ, ВС,..., MN.
Рассмотрим теперь произвольную замкнутую ломаную и
треугольник ABC, обладающий следующим свойством: если
некоторый отрезок PQ ломаной © имеет точки внутри
треугольника ABC, то с самим треугольником отрезок PQ (включая
его концы) может иметь общие точки только на стороне АС
(включая вершины Л, С). В таком случае справедливы
следующие утверждения:
Лемма VII. Если внутри треугольника ABC имеется
хотя бы одна отличная от вершины точка О ломаной <&,
то внутри этого треугольника имеется также по крайней
мере одна вершина этой ломаной @.
Лемма VIII На стороне АВ этого треугольника ABC
можно найти точку Р такую, чтобы ни внутри
треугольника РВС, ни на его стороне PC не было ни одной точки
ломаной ($.
Докажем лемму VII. Пусть точка О ломаной © лежит
внутри треугольника ABC и пусть эта точка принадлежит
стороне PQ этой ломаной. Если отрезок PQ не имеет общих
точек с треугольником ABC, то
вершины Р и Q ломаной (В в силу леммы V
лежат или внутри треугольника ABC
или на нём самом, а следовательно, на
стороне АС Но очевидно, что обе
вершины Р и Q лежать на АС не могут,
так как иначе точка О тоже лежала бы
на АС. Следовательно, хоть одна из
вершин Р, Q лежит внутри треугольника.
Черт. 11. Положим теперь, что отрезок PQ имеет
общие точки с треугольником ABC
(черт. 11). По условию он может пересечься только со
стороной АС этого треугольника. Обозначим точку пересечения
буквой R. Так как точка R лежит между точками Р и Q, то
она, в силу теоремы 5, не может лежать внутри обоих
отрезков РО и OQ. Пусть точка R лежит на отрезке РО. В таком
случае, в силу леммы V, вершина Q ломаной В лежит внутри
треугольника ABC.

ПРИМЕЧАНИЯ [15]
415
Черт. 12.
Докажем лемму VIII. Пусть внутри треугольника ЛВС и
на стороне его АС лежат k вершин ломаной ©. Обозначим их:
Мь М$ ...,Мь (черт. 12). Из точки С проведём лучи СМ1}
CMh..., CMk. Некоторые из этих лучей могут даже совпасть.
Часть этих лучей может совпасть с лучом АС, остальные же,
как проходящие через точки, лежащие внутри треугольника ЛВС,
должны в силу леммы IV пересекать отрезок АВ. Пусть точки
пересечения будут D, Е, F,..., К. Точки Л,
В и точки D,E, F, ...,/(', лежащие на прямой
АВ, в силу теоремы б образуют некоторую
упорядоченную последовательность, одной
из крайних точек которой служит А, а
другой— В. Построим точку Р между f( и
В, где К — соседняя с В точка
последовательности. Так как Л, D, Е, F,.. .,К лежат
вне отрезка РВ, то ни одна из точек Ж/
не может лежать на трансверсали тре- в1
угольника РСВ, идущей из вершины С к
, стороне РВ, следовательно, не может быть
(лемма IV) внутренней точкой РСВ. Но
всякая внутренняя точка О треугольника
РСВ, в силу следствия леммы IV, является также внутренней
точкой треугольника ЛВС. Поэтому в треугольнике РСВ нет ни
одной вершины ломаной (В.
Сторона ВС у него общая с треугольником ABC; сторона РВ
является частью стороны АВ этого последнего. Поэтому к
треугольнику РВС применима лемма VII (причём роль стороны АС
будет играть PC) и, следовательно, внутри этого треугольника
нет ни одной точки ломаной @. Чтобы убедиться, что и на
стороне PC нет ни одной точки @, достаточно аналогичным об- •
разом рассмотреть треугольник
Р'СВ, где Р' взято между К а Р.
Лемма IX. Если Р0 —
сторона многоугольника $, С —
точка на отрезке PQ и В —
внутренние или обе внешние точки
многоугольника $ и отрезки АС
и ВС не имеют общих то'чек с %,
то отрезки АС и ВС лежат по
одну сторону от прямой PQ.
Предположим противное
(чертёж 13). Продолжим отрезок АС
в противоположную сторону. На этом продолжении в силу леммы
11 можно выбрать отрезок С А'', внутри которого нет точек $,
причём если точки отрезка АС лежат внутри $, то точки
отрезка СА' лежат вне % и наоборот (следствие 2 леммы II).
В силу нашего предположения лучи СА' и СВ будут лежать
по одну сторону от прямой PQ. Применяя лемму VIII к
треугольнику А'ВС, причём роль стороны АС будет играть А'В,

416
ПРИМЕЧАНИЯ [15]
на отрезке СА' можно выбрать точку D так, чтобы отрезок BD
не пересекался с многоугольником Ц$ и, следовательно, точки В
и D либо обе будут лежать внутри $, либо обе вне $ (лемма V).
Поэтому, если точка А лежит внутри (вне) ^j, то точка D
(следствие 2 леммы II), а следовательно, и В должны лежать вне
(внутри) $, что противоречит условию нашей леммы. Таким
образом, она доказана.
Любую незамкнутую ломаную линию, соединяющую точку А
с любой точкой В, мы будем дальше часто называть путём,
проведённым из точки А в точку В.
Лемма X. Произвольную точку А, не лежащую на
(замкнутой или незамкнутой) ломаной ©, можно
соединить с любой точкой В этой ломаной путём, не имеющим
общих точек с ломаной @.
Проведём из точки А произвольный луч, проходящий через
ломаную ©. Пусть М — точка первой встречи эгого луча с ломаной
@. Отрезок AM есть путь, не пересекающий © и соединяющий
Черт. 14. Черт. 15.
точки А и М. Нам требуется видоизменить этот п/ть и
продолжить его до точки В. Пусть РМ и QM — два отрезка, лежащие
на ломаной 6 и не имеющие общих точек (РМ и QM могут
лежать и на одном звене). Для начала перенесём точку первой
встречи*нашего пути с ломаной © из точки М в точку Q. При
этом может оказаться одно из двух: либо луч MP
пересечёт отрезок AQ, т. е. пройдёт внутри треугольника AMQ,
либо он пройдёт вне его. Во втором случае (черт. 14), в силу
леммы VIII, на отрезке AM можно найти точку "7*, такую, что
ни внутри треугольника TMQ, ни на стороне em TQ кроме
точки Q не будет ни одной точки ломаной ©. Заменим отрезок
ТМ отрезком TQ; тем самым мы получим путь ATQ, не
содержащий ни одной точки @, кроме Q. В первом же случае (т. е.
если луч MP проходит внутри треугольника AMQ, черт. 15)
мы возьмём на луче, дополнительном к лучу MP, точку Р\
лежащую между М и первой точкой пересечения этого луча,

ПРИМЕЧАНИЯ [15]
417
дополнительного к лучу MP, с ломаной © (если этого луча нет,
то в качестве Я' берётся произвольная точка этого луча).
Затем, пользуясь леммой VIII, на отрезке MP' выбирают
точку U так, чтобы ни внутри треугольника UMQ, ни на стороне
его MQ не было точек ломаной @. Далее на отрезке AM
выбирают (пользуясь той же леммой VIII) точку F так, чтобы
ни внутри треугольника FMU, ни на его стороне FU не было
точек ломаной ©. Наконец, заменив отрезок FM ломаной FUQ,
мы и в этом случае получим путь AFUQ, не содержащий ни
одной точки @, кроме Q.
Очевидно, что действуя этим способом, можно первую точку
встречи нашего пути с ломаной <2> перенести в любую точку
соответствующего звена ломаной ©, в том числе и в его конец, и,
продолжая таким образом, дойти до любой точки В этой ломаной.
После того, как получены леммы 1-Х, переходим к теореме 9.
Докажем сначала первое утверждение теоремы 9. Пусть
многоугольник $ состоит из незамкнутой ломаной © и отрезка
PQ, концы которых являются их
единственными общими точками (черт.
16). Точку А, лежащую внутри !Ц>,
в силу леммы X, можно соединить
с $ путём, впервые пересекающим
^ в точке R отрезка PQ. Соединим
с точкой R таким же путём также
и точку В, лежащую, внутри $.
Пусть OR и VR — последние звенья
намеченных путей. Так как точки А
и В — обе лежат внутри $, то
в силу леммы VI, все точки обоих
путей, за исключением точки R, ле- Черт. 16.
жат внутри (вне) $. В силу леммы
IX, отрезки UR и VR леж-ат по одну сторону от PQ, т. е.
ни отрезок RP, ни отрезок RQ не проходят внутри
треугольника URV. Итак, проходящая через точку R сторона
многоугольника $ не проходит внутрь треугольника URV; на отрезках UR
и VR нет точек $. Поэтому к треугольнику URV применима
лемма VIII, т. е. на стороне его RU можно найти такую точку W,
что отрезок WU не будет иметь общих точек с $. Ломаная,
состоящая из обоих намеченных нами путей, представляет
собою путь из точки А в точку В. Если часть URV этого пути
заменить ломаной UWV, то мы получим путь из точки А в
точку В, не пересекающий многоугольник %.
Итак, мы доказали, что если точки А и В обе суть
внутренние точки многоугольника $, то всегда (в плоскости этого
многоугольника) существует путь, соединяющий эти две точки
и не имеющий ни одной общей точки с многоугольником $.
Для внешних точек доказательство совершенно аналогично.
Утверждение же, что всякая ломаная, лежащая в плоскости
многоугольника $ и соединяющая внешнюю точку этого
27 Д. Гильберт

418
ПРИМЕЧАНИЯ [15]
многоугольника с его внутренней точкой, имеет по крайней
мере одну общую точку с $ — есть непосредственное следствие
леммы VI.
Основная идея доказательства этих теорем принадлежит
А. Винтерницу (A. Winternitz, Ueber den Jordanischen
Kurvenzatz und verwandte Satze der Analysis situs, Math
Zeitschr, т. 1, стр. 330—332, 1918).
Доказательство утверждения, что не существует прямой,
целиком лежащей внутри многоугольника,—т.е.' что у всякой
прямой, имеющей хотя бы одну точку внутри многоугольника, имеются
точки также и вне этого многоугольника, — не представляет
теперь никаких затруднений. Действительно, пусть точка О
прямой а лежит внутри $. Тогда луч а этой прямой, исходящий
из точки О, проходит по крайней мере один раз через %.
Согласно лемме II, за этим прохождением на луче а
непосредственно следует отрезок, состоящий из точек, внешних
относительно многоугольника Ц.
Переходим к доказательству последнего утверждения этой
теоремы — в плоскости многоугольника можно провести прямую,
не имеющую общих точек с этим многоугольником.
Докажем сначала, что для любых п точек на плоскости
всегда существует прямая такая, что все данные точки лежат
по одну её сторону и, может быть, на ней самой.
Возьмём сначала произвольную прямую я, не проходящую
через данные точки. Если данные точки расположатся по обе
стороны а, то поступим следующим образом. Соединим
отрезками попарно данные точки, лежащие по разные стороны я,
и отметим точки этих отрезков, попавшие на я, в порядке их
расположения на а:
Аъ A*,. ..,Ak.
Возьмём прямую MN, где М и N — две из данных точек,
лежащие по разные стороны я, причём отрезок MN встречается
с а в точке Ak. Мы утверждаем, что MN есть искомая прямая.
В самом деле, обозначим через а* ту полуплоскость,
определяемую MN, в которой лежат точки Аъ А2 и Ak~\. Пусть теперь
L — произвольная точка из числа данных точек; пусть для
определённости L лежит с N по разные стороны от а
(иначе вместо N мы взяли бы М). Тогда отрезок LN содержит
некоторую точку A;(i^k), а следовательно, N лежит вне
отрезка Z/4/. Отсюда, если / Ф k, вытекает, что L и At лежат
по одну сторону прямой MN, значит, L лежит в ог:; если же
i = k, то L лежит на MN. Утверждение доказано.
Покажем теперь, что его можно усилить, а именно,
подобрать прямую так, что все данные точки лежат строго
по одну её сторону. Для этого каждую данную точку мы
помещаем внутри двух пересекающихся в ней отрезков и строим —
на основании предыдущего — прямую так, что данные п точек

примечания [15 —17]
419
в совокупности с 4/z концами этих отрезков могут лежать лишь
по одну сторону прямой или на ней самой! Очевидно, что
тогда данные п точек на прямую попадать не могут и лежат
по одну её сторону. Если в качестве данных п точек взять
вершины многоугольника, то получаем то, что требовалось доказать.
[16] Эта теорема является обобщением теоремы 8 на случай
пространства. Возьмём некоторую точку А, не лежащую в
плоскости а. Все точки М, для которых отрезок МА не содержит
ни одной точки плоскости, мы отнесём к одной области, а все
остальные точки пространства (не принадлежащие плоскости а) —
к другой области. Аналогично тому, как это было сделано в
примечаниях [1Ц и [и], мы докажем следующие три утверждения:
1)Если точки М и N лежат в первой области, то отрезок MN
не содержит точек плоскости а.
2) Если точки М и TV лежат во второй области, то отрезок MN
также не содержит точек плоскости а.
3) Если точки М и N лежат в разных областях, то отрезок
MN содержит точку плоскости а.
Доказываются все эти утверждения одним и тем же приёмом.
Если точки А, М, N не лежат на одной прямой, то, согласно
аксиомам 14?5, они определяют некоторую плоскость р. Если
плоскости а и р не имеют общей точки, то отрезки AM и AN не
имеют точек, общих с плоскостью а, и мы находимся в условиях
случая 1); соответствующее утверждение, наверное, справедливо,
так как MN тоже не имеет общих точек с плоскостью а.
Предположим, что плоскости аи^ имеют общую точку. В таком
случае, в силу аксиом 17.с> они пересекаются по прямой, которую
мы обозначим через а. Если какой-либо из отрезков AM, AN,
MN имеет с плоскостью а общую точку, то эта общая точка
принадлежит плоскостям аир одновременно и должна лежать
на прямой а. Легко заметить, что весь вопрос сводится теперь
к исследованию пересечения (или непересечения) отрезков AM,
AN, MN, лежащих в плоскости Р с прямой а, лежащей в той
же плоскости р, т. е. к повторению доказательства теоремы 8.
Если же точки А, М, N лежат на одной прямой Ь, то либо
эта прямая не имеет общих точек с плоскостью а (мы попадаем
в условия случая 1), и тогда теорема, очевидно, верна, либо
прямая а пересекается с плоскостью, и тогда, как легко
заметить, надо дословно повторить доказательство, приведённое в
примечании [14]
[17] Точнее: один из двух данных отрезков всегда либо
находится, либо не находится с другим в некотором отношении,
которое мы обозначаем словом «конгруентен». Прямого
определения этого соотношения не даётся: косвенное его определение
даёт третья группа аксиом в том смысле, что в ней
перечислены все свойства этого соотношения, которые мы ему будем
приписывать в дальнейшем.
27;

420
ПРИМЕЧАНИЯ [18—19]
[18] В самом деле, по аксиоме Ш2 из конгруентностей
A'B' = A'Bf и АВ^А'В' следует А'В'^АВ.
[!9] Докажем все содержащиеся в этом абзаце утверждения.
1. Пусть Н—некоторая точка, лежащая на луче к, а К—
точка луча к. Возьмём произвольную точку М отрезка НК- Так
как точка М лежит между Н и К, то точка И не лежит на
отрезке М/С, и точка К не лежит на отрезке //Ж. Следовательно,
точки //, М лежат по одну сторону от прямой k, т е. точка М
лежит по ту же сторону прямой k, что и луч h. Аналогично
получаем, что М лежит по ту же сторону /г, что и луч k. В
итоге М лежит внутри угла <$•(/*, k). Возьмём теперь точку N,
такую, чтобы Н лежала между__/Г и N. Точки К и N лежат по
разные стороны от прямой h, т. е. точка N и луч k лежат по
разные стороны от прямой h, а следовательно N лежит вне
угла <£ (/*, &)• Тем самым доказано следующее утверждение*
Если// и К—точки на стороне у г л а <£ (/г, &), т о
точки прямой И К, лежащие между //и К, лежат
и в н у т р и у г л а <$ (К k), а лежащие вне// К—л ежат
и вне угла <£ (h, k).
2. Пусть точки М, N лежат внутри угла <£ (/г, /г). Это зиа
чит, что каждая из этих точек лежит по ту же сторону от
прямой &, что и луч /г, а следовательно (см. конец примечания [Щ),
все точки отрезка MN лежат по ту же сторону от прямой £,
что и луч h. Всё сказанное Еыше остаётся в силе, если
повсюду в этом рассуждении луч h заменить лучом k, а прямую k —
прямой /г. Таким образом, отрезок, соединяющий две
точки, лежащие внутри угла <£ (/г, k), целиком
лежит внутри этого угла.
3. Пусть какая-либо точка М луча/, выходящего
из вершины О угла <£ (Л, k), находится внутри этого угла.
Если N—какая-то другая точка того же луча, то точка О не
лежит на отрезке MN (см. стр. 64, определение луча), а
потому, в силу примечания [Щ, точка N лежит по ту же сторону, что
и точка М, как от прямой k, так и от прямой h;
следовательно, точка N лежит по ту же сторону от прямой^, что и точки
луча /г, и по ту же сторону от прямой /г, что и точки
луча k, т. е. точка N лежит тоже внутри угла
<£ (/г, k). В этом случае, следовательно, все точки луча / лежат
внутри угла (/г, k). Легко убедиться также, что если
точка М луча/, выходящего из точки О, лежит вне
угла <£ (/г, &), то и любая другая точка iV того же
луча лежит вне угла <£ (/г, k) (доказательство от противного)
4. Докажем теперь, что луч /, лежащий внутри
угла <$ (/г, k), встречает отрезок Ш(, где// взято
н a h, а К— на ^.

ПРИМЕЧАНИЯ [19]
421
Рассмотрим какую-либо точку М, лежащую на прямой /г,
но не принадлежащую лучу h и отличную от О (черт. 17).
Прямая / пересекает сторону МН треугольника МНК, не
проходя при этом через его вершины. Следовательно, она должна
пересечь и другую его сторону, НК или МК Докажем, что
прямая / не может пересечь
стороны МК- Точка О прямой k лежит
между М и //, т. е. М и точки
луча h лежат по разные стороны
от прямой k. Пусть /V —
произвольная точка отрезка МК
Прямая МК пересекается с прямой k
в точке К, не лежащей на
отрезке MN. Следовательно, точка N Черт. 17
лежит по ту же сторону от
прямой k, что и точка М, т. е. 1) то ч к а N и луч /г лежат но
разные стороны от прямой k\ с другой стороны,
точка М, в которой прямая МК встречается с прямой /г, лежит вне
отрезка NK а ^начит: 2) N лежит по ту же сторону
от прямой Л, ч т о и /С, т. е. по tv же сторону, что
н луч А.
Прямая / состоит из луча / и дополнительного луча /'.
Луч / лежит внутри угла <£ (h, k), следовательно, по ту же
сторону от k, что и луч h. Поэтому луч / не может нести на себе
точек /Vотрезка МК (первое утверждение). Луч/' лежит с лучом /
по разные стороны прямой h. А так как луч /, как внутренний
по отношению к углу, лежит но ту же сторону от /Г, что и к,
то /' лежит по другую сторону от h. Значит, и луч /' не может
нести на себе точек N отрезка МК (второе утверждение).
Следовательно, проведённая нами прямая / не может пересечь
отрезок МК и потому должна пересечь отрезок НК Точка
пересечения L принадлежит при этом именно лучу/ (а не/'), так как
отрезок НК лежит внутри угла.
5. Заметим, что отсюда следует несколько очень важных
утверждений. Из трёх л у ч е й /г, k, /, исходящих из
одной точки О, только один м ож ет лежать внутри
угла, образованного двумя другими лучами.
Действительно: пусть луч / лежит внутри угла <J (h, k).
Согласно доказанному, он пересекает отрезок НК в некоторой
точке L. Так как точка L лежит на отрезке НК, то, по
аксиоме Из, точка Н не лежит на отрезке LK, а потому и луч /г,
как не пересекающий отрезка LK, не может лежать внутри
угла <£ (/, k). Заменив в этом рассуждении буквы h и k друг
другом, мы докажем, что и луч k не может проходить внутри
угла <£ (/г, /).

422
ПРИМЕЧАНИЯ [19]
Если луч / лежит внутри у г л a <J (Л, т), а луч k —
внутри угла <5 (/*, т), т о л у ч /лежит внутри угла
<$(Л, /я) (черт. 18).
Пусть точка Н лежит на луче /г, а точка М — на луче т.
Согласно доказанному в пункте 4, луч k встречает отрезок НМ
в точке К и, далее, луч / встречает
отрезок КМ в точке L. Согласно
теореме 5, точки Н, К, L, М лежат на
прямой НМ в указанном или обратном
порядке, т. е. точка L лежит на
отрезке НМ. Следовательно, в силу
доказанного в пункте 1, луч / лежит
внутри угла <£ (Л, т).
Если /г лучей //ь Л2,..., hn и
луча прямой «исходят из
одной точки прямой а и притом
лучи Л], /г2,..., hn лежат по
от «, то среди этих последних
и притом только один луч, обра-
уго л, внутри которого лежат
лучей.
этого утверждения сначала для
/7—2. Пусть луч hi лежит внутри угла <£ (Л2, а); тогда, в силу
доказанного выше, луч hx лежит вне угла <£ (Ль а) (черт. 19).
Пусть теперь луч h2 лежит вне угла
<£ (Л2, а). Докажем, что луч h\ лежит
внутри угла <$ (Л2, а). Из того, что луч Л2
лежит вне угла"<$ (/гъ л), и того, что
лучи /га и Л2 лежат по одну сторону
от прямой я, следует, что лучи h> и а
лежат по разные стороны от прямой hh
т. е. что прямая hx пересекает в
некоторой точке Hi всякий отрезок //>Л2,
лежат на лучах h и о. При этом точка Нх
отрезка #2Л должна лежать по ту же сторону прямой я, что и
точка //2, т. е. по ту же сторону, что и луч /г2, а значит и
луч hv Тем самым точка Нх лежит на луче /zlr* в противном
случае она лежала бы на дополнительном луче прямой hx и, значит,
Черт. 18.
одну сторону
найдётся один
зующий с лучом й
все остальные п—1
Докажем справедливость
Черт. 19.
концы которого
по другую сторону от а. Но точка Нх
лежит внутри угла
(пункт 3), луч hx
<£ (h>, а) (см. пункт 1), а следовательно
также лежит внутри этого угла.
Положим теперь, что" наше утверждение справедливо для
п—1 лучей: hb /z2,..., hn_v т. е. положим, что п — 2 'этих лучей,
например, hv hh Г.., Ля_2, лежат внутри угла <$ (Ьп-ъ а)-
Докажем, что это утверждение'спраЕедливо для п лучей. Действительно
из справедливости этого утверждения для двух лучей следует,
что либо луч hn лежит внутри угла ^{hn_b #), и в таком слу-

ПРИМЕЧАНИЯ [19]
423
час внутри этого угла лежат п—\ лучей: hb hb..., hn^.^hn,
либо луч /гя_! лежит внутри угла <£ (hn, а). В последнем случае
все остальные лучи ht (i = 1, 2,..., п — 2), лежащие по
предположению внутри угла <5(/гЛ_ь я), лежат также, в силу
доказанного выше, внутри угла <£ {hn, а).
6. Докажем теперь, что если точка А принадлежит
одной из двух областей, на которые угол <£(/*,&)
делит плоскость а, а точка #— другой, то всякая
ломаная, лежащая в плоскости а и
соединяющая точки А и #, или проходит через вершину
О, или имеет либо с h, либо сЛ общую точку.
Не нарушая общности рассуждения, можно, очевидно,
предположить, что точка А лежит внутри угла <£ {h, k) и что
точки А и В лежат по разные стороны от прямой h. Покажем
теперь, что ломаная ACDE.. . MB, соединяющая точку А с
точкой В, пересекает прямую 1%. Действительно, если бы ломаная
ACDE.-.. MB не пересекала прямой /г, то точки Ли С, С и D,
а следовательно, и Л и Д D и Е, а следовательно, и А и Е
и т. д. ..., наконец, А и В находились бы по одну сторону от
прямой /г, что противоречит сделанному нами предположению.
Однако может случиться, что ломаная ACDE... MB пересекает
не луч /г, а дополнительный луч /г' прямой h (мы будем считать,
что ломаная не проходит через О; в противном случае наше
предложение, очевидно, верно). Докажем, что в этом случае
ломаная A CD Е.. .MB пересекает луч k. Пусть Р—первая точка
пересечения ломаной ACDE ... MB (начало этой ломаной в точке
А) с прямой h, и пусть точка Р лежит на отрезке QS ломаной
ACDE.. .QS .. .MB и при этом совпадает или не совпадает с
его концом S, но ни в коем случае не совпадает с концом Q.
Аналогично предыдущему* убеждаемся, что все точки ломаной
ACDE.. .QP (ислючая точку Р) лежат по одну сторон} с
точкой А, а следовательно, и с лучом k от прямой h. Точка А и
луч h лежат по одну сторону от прямой к, точка Р и луч /г—по
разные стороны от" этой прямой; следовательно, точки Р и А
лежат по разные стороны прямой k. Поэтому, согласно
доказанному выше, ломаная ACDE.. .QP должна пересечь
прямую k. Точка пересечения F, как принадлежащая ломаной
ACDE. .. QP, лежит по ту же сторону от прямой ./г, что и луч k,
а следовательно, она лежит на луче k.
7. Докажем теперь, что если точки А и А'
принадлежат одной и той же области, то всегда на
плоскости а существует ломаная, соединяющая
точку А с точкойЛ'.н е проходящая через точку
О и не имеющая общих точек с лучами h и k.
Если точки А и А' лежат внутри угла <£(/г,£), то
справедливость этого утверждения очевидна: в качестве указанной лома-

424
примечания [19—22]
ной можно принять отрезок АА'. Если точки А и А' лежат_вне
угла <$ (/г, k) по одну сторону хотя бы одной из прямых /г, &,
например, по одну сторону от К, то опять-таки их можно
соединить отрезком АА'. Действительно, в этом случае отрезок А А'
не имеет точек на /г; кроме того, он не имеет точек и на луче
k — иначе точки А, А' лежали бы с той же стороны от h, чго и
луч k, и одна из точек А, А' лежала бы с той же стороны от &,
что и луч /г, т. е. внутри угла <£(/г, k).
Пусть теперь точки А и А' лежат по разные стороны как
прямой /г, так и прямой k. Пусть при этом, для определённости, А
лежит по одну сторону с h от k; тогда А лежит с k по разные
стороны от h (иначе А было бы внутри угла), а значит, А'
лежит по одну сторону с k от h\ наконец, А1 лежит с h по
разные стороны от k (иначе А1 было бы внутри угла).
Возьмём теперь произвольную точку А/, лежащую внутри
угла <£(/г', &'), т. е. по разные стороны от k с лучом h и по
разные стороны от h с лучом k. Очевидно,N лежит вне угла <£(/*,&)
и в то же время по одну сторону от h вместе с Л и по одну
сторону от k вместе с А'. Тогда AN и AM', по только что
доказанному, не имеют общих точек с /г и k, так что ANA' есть
искомая ломаная.
р°] Под «откладыванием» угла у Гильберта следует
понимать не построение угла с помощью каких-либо инструментов,
например, с помощью циркуля и линейки, а факт существования
луча, определяющего угол, конгруентный данному. В соответствии
с этим, под единственным способом построения следует понимать
существование только одного такого луча.
[Щ Действительно, если в треугольнике ABC стороны АВ
и ВС конгруентны, то можно написать:
АВ^-ВС, ВС^АВ, <$АВС^*$СВА
(в силу второй части аксиомы II14). Поэтому, в силу
аксиомы Ш5,
< ВАС ^<£ ВС'А
(аксиома Ш5 применяется здесь к дважды взятому одному и
тому же треугольнику: первый раз—в качестве треугольника ABC,
второй раз — в качестве треугольника СВА).
[22] В самом деле, достаточно доказать, что АС^А'С
Допустим, что этого нет; построим на луче А'С точку D'
такую, что АС = A'D'. Тогда, по аксиоме III5: < ABC = <$ A'B'D';
кроме того, по условию теоремы: <£Л/?С=<£Л'£'С'. Мы вступаем
в противоречие с аксиомой П14 (угол, которому конгруентен
угол <£ ABC, оказался отложенным двумя разными способами).

примечания [23—25]
425
[23] Во всех рассуждениях симметрия конгруентности для
углов не предполагается, т. е., <£ АВС^<$. А'В'С и <£ Л'В'С =
==<$АВСозначает не одно и то же. То же относится, следовательно,
к конгруентности треугольников. В частности, в только что
проведённом рассуждении все конгруентности следует читать «из
верхней части чертежа в нижнюю». Симметрия будет вытекать
только из теоремы .19.
[21] Теорема. Пусть ^, Л, /—л учи, выходящие из
одной точки О, причём k и h лежат по одну
сторону от / (где / — прямая, содержащая луч /). Тогда ли-
б о & в н у т р и <£ (/, /г), а /г вне
<£ (/, k), л и б о k в н е <$ (/, h) а
/г в ну т р и <£(/, k).
Доказательство.
Допустим, что k лежит вне <$ {I, /г),
(черт. 20). Тогда k и / лежат по
разные стороны от h [в противном
случае, учитывая что k и h лежат
по одну сторону от /, мы получили
бы, что k попадает внутрь <£ (/г, /)].
Поэтому, соединяя отрезком две Черт. 20.
произвольные точки К и L на k и
/, мы пересечём прямую h в некоторой точке Н. Так как И
лежит между Ки L, то L лежит вне А7/. Следовательно, точки К и И
расположены по одну сторону от /, а так как К взято на k, то
К и Н лежат от / по ту сторону, где лежит луч £, а вместе с ним
и луч h (по условию теоремы). Отсюда следует, что точка //,
находясь на прямой h по ту сторону от/, где лежит луч/г, попадает
именно на луч h (а не на дополнительный луч /г').
Так как точка Н внутренняя для угла <£ (/, k) (см.
примечание [19], 1), то и луч h лежит внутри угла <£ (/, k) (см.
примечание [19], 3).
Итак, случай расположения k вне <£ (/, К) и h вне <£ (/, k)
невозможен. *
Случай расположения k внутри <£ (/, h) и h внутри <$ (A k)
тоже невозможен: в этом случае отрезок ДХ, соединяющий
какие-то две точки на k и /, обязательно встречает h в некоторой
точке Н (примечание [19],4). Но по той же причине отрезок HL
должен встречать луч k, т. е. одновременно Н лежит между L
и К и К между L и //, что невозможно (аксиома Н3).
[Щ Проведём доказательство для случая, когда /г, k лежат
но разные стороны / и /г', k'—по разные стороны /'.
Рассмотрим дополнительный к h луч /г юй же прямой и
дополнительный к h' луч Я'.

426
примечания [25—26]
Лучи h, k лежат по одну сторону /, так как оба лежат по
другую сторону / по сравнению с лучом h.
Лучи h\ k\ аналогично, лежат по одну сторону /'. Так как нам
дано <£ (/г, /) = <£ (h\ /'), то, в силу теоремы 14, <£ (h, I) ==<£ (h1, /').
Кроме того, дано <$ (&, /) = <£(£', /').
Применяя теорему 15 в доказанном уже случае (к лучам
/, k, h), получим:
отсюда, в силу теоремы 14:
<(Л, *)==<£(/*', *').
[-6] Лемма. Пусть даны два конгруентных отрезка,
/4С = Л'С Тогда для всякой точки В на АС можно указать
гочку В' на А'С так, что АВ^А'В', ВС^В'С.
Доказательство Отложим от точки А' по лучу А'С
отрезок А'В' так, чтобы А'В'^АВ (черт. 21). Этим точка В'
однозначно определится (см. следствие
f i | из аксиомы Ш5). Далее, от точки В' от-
а вс ложим отрезок В'С' так, чтобы £'С=
i h; нн^ == ВС и чтобы С лежало с Л' по раз-
^ в С' с ные СТОрОНЫ от #'. Тогда, по аксиоме
III3, АС ^ А'С". Следовательно, по ак-
Черт. 21. сиоме 1И2, А'С s= А'С". Отсюда
вытекает, что точки Си С совпадают
(С и С" лежат по одну сторону от А': по построению В' взято
по ту же сторону от А', что и С и, далее, С" взято так, что В'
лежит между А' и С", значит, А' вне В'С" и, следовательно, С
лежит по ту же сторону от А', что и В'). Очевидно, что точка
В' и есть искомая точка.
Доказательство теоремы 16. Возьмём на лучах
h, k точки Н и К произвольно, а на лучах /г', k! точки Н', к!
так, что (аксиома И^):
ОН-О'Н', ОК=0'К'
(где О, О'— вершины углов).
По теореме 12 треугольник ОНК конгруентен треугольнику
О'Н'К', в частности НК^Н'К'.
Луч /, проходя внутри <J (/г, k), встречает отрезок НК в
некоторой точке L (см. примечание [19],4). Пользуясь леммой, еозь,-
мём на отрезке Н'К' точку L' так, что
HL=H'L\ LK^L'K'.
Луч O'L' удовлетворяет требованиям теоремы. Во-первых,
он проходит внутри <£(/г', k'), так как L' лежит внутри <£(/?', /г')
(примечание [19], 3). Во-вторых, треугольник OHL конгруентен
O'H'L', так как
ОН=0'Н', HL^H'L', <$OHL=^<$0'H'L'

ПРИМЕЧАНИЯ [26—28]
427
(последнее вытекает из конгруентности треугольников ОНК и
О'Н'К'). Следовательно, <J HOL = <£ H'O'U. Совершенно
аналогично <£/ДО£ = <$ АГ'0'Z/.
[i7] Чтобы применить теорему 15, необходимо
предварительно убедиться, что если лучи ZXX и Z{Y лежат по разные
стороны прямой ZXZ2, то и лучи Z2X, Z2Y лежат по разные
стороны прямой ZXZ2 и аналогично—в случае расположения по
одну сторону.
В самом деле, лучи Z\X и Z2X лежат всегда по ту же
сторону от прямой ZXZ2, что и принадлежащая им точка X, а лучи
Z{Y и Z2Y— по ту же сторону, что и точка Y. Поэтому, когда
X и Y лежат по разные стороны от Z^Z2, то это же имеет
место и для лучей ZXX, ZXY, и для лучей Z2X, Z2Y одновременно.
Когда же Л" и К лежат по одну сторону от ZYZ2, то
это же имеет место одновременно для каждой из этих двух пар
лучей.
р8] Ничего не меняя в доказательстве теоремы 20, можно
формулировать её несколько шире: пусть лучи k, I лежат по
одну сторону от /г, и лучи k', Г — по одну сторону от /г',
причём <£ (/г, /)==<$(/*',/') и <£(/г, £) = <$(/г\ К). Тогда если k*
лежит внутри <£(/г', /'), то k лежит внутри <£ (h, I) и наоборот.
Такая формулировка позволяет сравнивать углы, откладывая
их от л ю б о г о луча (по данную его сторону) без изменения
результата. Теперь утверждение 2) вытекает немедленно из
следующего обстоятельства. Если сравнивать углы аир,
«накладывая» р на а, то никакого изменения не произойдёт при замене ?
конгруентным ему углом 7- Точно так же в утверждении 3)
следует считать, что (* сравнивается с у путём «накладывания» f
на *[>' заменяя в этой операции р конгруентным ему а, мы не
получим никакого изменения в результате.
Утверждение 1) проверим следующим образом. «Наложим»
углы а и у на р; тогда, если у, р, а займут соответственно
положения <£ (/г, kx), <£ (/г, k2), <£(/г, &з)» то> как нам Дано» ^2 будет
лежать Енутри <£ (/г, &з), a kx — внутри <£ (/г, k2). Требуется
доказать, что ky лежит внутри <$ (/г, k^)\ это и будет означать,
что а > у. Но соответствующее утверждение доказано в
примечании [Щ, пункт 5 (стр. 421).
Что же касается сравнения отрезков, то оно будет являться
упрощённым повторением соответствующей теории для углов.
А именно, мы скажем; АВ > CD или АВ < CD, если при
откладывании АВ от точки С по лучу CD мы попадём вовне или,
соответственно, внутрь отрезка CD.
Далее, можно формулировать теорему 20 для отрезков и
дословно повторить её доказательство (только ссылаясь не на
теорему 16, а на лемму из примечания [26] на стр. 426). Эта
теорема, как и в случае углов, имеет то значение, что позволяет
нам утверждать, что AB>CD означает то же самое, чго
CD < АВ.

428
примечания [28—30]
Наконец, доказательство транзитивности соотношения > для
отрезков является повторением вышеприведённых рассуждений
для углов (с некоторым упрощением).
Докажем ещё одну простую теорему:
Если на прямой а даны три точки в порядке
А, В, С, а на прямой а'—три точки в порядке Л', В', С,
причём
АВ — А'В', ВС<В'С, то АС<А'С.
В самом деле (черт. 22), отложим на луче В'С от точки В'
отрезок В'С", конгруентный ВС; тогда С" попадёт между В'и С
по определению соотношения ВС < В'С.
j 1 1 \а Порядок точек на а может быть,
очевидно, только АВС'С. По аксиоме III3:
7 t t: If' АС = А'С, а так как С" лежит между
3 С С А', С, то АС<А'С.
Черт. 22. Следствие. Если условие теоре
мы прежнее с той лишь разницей, что
теперь и АВ < А'В' и ВС<В'С, то попрежнему АС<А'С.
Для доказательства достаточно ввести вспомогательные три
точки на какой-нибудь прямой а0 в порядке Л0, В0, С0 так, что
А0В0 = АВ, В0С0 = В'С. Тогда, в силу транзитивности, BqCq > ВС,
/40£0< Л'В'.
Из первого неравенства следует: Л0С0 > АС, а из второго
А'С > АЬС0, откуда
А'ОАС.
Итак, грубо говоря, при увеличении слагаемых
увеличивается и сумма отрезков.
[-9] Если /' лежит ьнутри угла а, то, по определению, /"
лежит от / по одну сторону с h и, следовательно, по разные
.стороны с k, т. е. вне угла fi. Так как /" лежит с / по одну
сторону от к (по построению) и вне угла <£ (k, /), то, по доказанному
в примечании 24, / лежит внутри угла <$(&, /''). Отсюда и
вытекает <(*, /)<<$(£, /"), т. е. Р<<(*, /')•
Что же касается предыдущего утверждения, что I" лежит
либо внутри а, либо внутри р, то оно вытекает из следующего.
По построению /" лежит по одну сторону с / и от h и от k (что
одно и то же); далее, по какую бы сторону от / ни лежал бы /",
он будет лежать либо по ту же сторону, что и /г, либо по ту
же сторону, что и k. По определению внутренности угла (стр. 6#),
первое означает, что Г лежит внутри а, а второе— что I" лежит
внутри р.
[30] Докажем эту теорему от противного. Пусть существует
пара неконгруентных треугольников ABC и А'В'С, обладающих
свойствами, указанными в условии теоремы 25. В этих
треугольниках <$#^<£#', так как иначе они были бы конгруентны,

ПРИМЕЧАНИЯ [30—32] 429
в силу теоремы 13. Положим для определённости, что < В' < <$ £
При луче В А отложим угол р = <££' по ту сторону прямой
АВ, по которую лежит точка С В силу определения неравенств
между углами, луч ВС с" с
пройдёт внутри угла
< ABC (черт. 23), а в
силу примечания [19],4,
он пересечёт
отрезок АС в
некоторой точке — мы её
обозначим буквой D. Черт. 23.
В силу теоремы 13
ДЛ££)=ДЛ'£'С', и, следовательно, <QADB=<$ А'С'В'=*$АСВ.
Но, в силу теоремы 22, <£ ADB > <£ АСВ'. Таким образом, наше
предположение о том, что теорема 25 неверна, привело нас к
противоречию.
[31] Докажем, что если точки одного из конгруентных рядов
упорядочены так, что точка Q лежит между точками Р и R, то
соответствующие им точки также следуют в порядке P',Q',R'.
Предположим, что это утверждение неверно. Тогда либо точка Р'
лежит между точками Q' и R', либо точка R' лежит между
точками Р' и Q'. Докажем невозможность первого предположения.
Для этого отложим на прямой а от точки Р со стороны,
противоположной лучу PR, отрезок PQ",
О" Р 0 R конгруентный отрезку PQ, а сле-
"н ' ' ' а довательно, в силу аксиомы Н1о
н , , £ и Q'P' (черт. 24). Как отрезки Q"P
Q' р' и' и PR, так и отрезки Q Р' и P'R'
1Т п, не имеют общих точек. Поэтому,
ЧеРт- 24' в силу аксиомы Ш8, Q»R^Q'R',
а в силу конгруентности
рассматриваемых нами точечных рядов, Q'R' = QR, откуда, по аксиоме
Ш2, Q"R = QR. Но порядок следования, который мы можем
приписать точкам на прямой а по теореме 5, будет обязательно
Q"PQR (иной порядок противоречил бы построению), т.е. точки
QwQ" лежат по одну сторону от точки/?; поэтому конгруент-
ность Q"R = QR противоречит требованию однозначности
откладывания отрезков (стр. 70).
Предположение, что точка R' лежит между точками Р' и Q',
опровергается совершенно таким же рассуждением.
[32] Для доказательства теоремы 28 нам понадобится одна
известная теорема.
Теорема. Всякая сторона треугольника
всегда меньше суммы двух других сторон.
Доказательство. Требуется доказать, что АВ <АС-\-СВ,
если Л, В, С не лежат на одной прямой.
Л. z\

430
ПРИМКЧАНИЯ [32]
Отложим на прямой Л С от точки С отрезок СВ'', конгруент-
ный СВ, так чтобы В' и А лежали по разные стороны от С
(черт. 25). Так как точка С лежит между Л и В', то С попадает
внутрь угла ABB', а следовательно,
и луч ВС идёт внутри ABB' (см.
примечание [19])
Отсюда
<$АВВ' >г£СВВ'.
Но, по теореме 11, <££#/?' =
= <$ С£'/?, а следовательно,
ЧеРт- 25- < ABB' > < СЯ'Д.
По теореме 23: АВ' > Л£, что и требовалось доказать.
Доказательство теоремы 28.
1. Рассмотрим сначала случай, когда Р лежит на одной
прямой с двумя точками фигуры, например, А и В.
Если искомая точка Р' существует, то она может лежать только
на прямой А'В'. Действительно, в противном случае каждый из
отрезков А'В', А'Р', В'Р' был бы меньше суммы двух других.
В силу конгруентности фигур, каждый из отрезков АВ, АР, ВР
тоже был бы меньше суммы двух других; на самом же деле
один из них обязательно равен сумме двух других в силу
расположения точек Л, В, Р на одной прямой.
Далее, порядок точек А', В', Р' должен быть в точности
таким, как и точек А, В, Р. Это следует из теоремы 27.
Поэтому, еслиР' существует, то мы найдём её
единственным образом, а именно, откладывая от точки А' отрезок
А'Р', конгруентный АР, в сторону точки В', если Р и В лежат
по одну сторону от Л, и в противоположную сторону, если Р
и В лежат по разные стороны от Л.
Покажем теперь, что точка, которую по этому способу
всегда можно построить, будет обязательно искомой точкой Р',
т. е. что искомая точка Р' всегда существует.
Пусть С—произвольная точка фигуры (Л, В, ..., L) и О—
соответствующая ей точка фигуры (Л', В', ..., L').
Тогда, в силу конгруентности фигур,
<£C4£ = <$CM'£'.
Отсюда следует
<£C4P=<CM'P',
так как углы нижней строки либо совпадают с углами верхней
строки (если Р, В лежат по одну сторону Л и Р', В' — по одну
сторону Л'),либо являются по отношению к ним смежными (если
Р. В—по разные стороны от Л и Р'} В! — по разные стороны от А1',
см. теорему 14).
/3/

ПРИМЕЧАНИЯ |32]
431
В силу теоремы 12, треугольники САР и С'А'Р' конгруентны,
откуда
СР^С'Р1.
В рассуждении молчаливо предполагалось, что С не лежит
на прямой АВ (и, следовательно, С не лежит на А'В').
Доказательство в случае С, лежащей на АВ, и С, лежащей на А'В',
ещё более просто. Его мы предоставляем читателю.
Итак, при дополнении фигур точками Р и Р' продолжает
иметь место конгруентность всех соответствующих отрезков.
Конгруентность соответствующих углов
без труда получается по теореме 18.
2. Пусть Р не лежит на одной
прямой ни с какими двумя точками фигуры
{А, В, ... , L), причём Л, В, ... , L не лежат
все на одной прямой.
Тогда можно указать две различные
прямые, соединяющие попарно точки
фигуры, например, АВ и АС (черт. 26). Точка А
разбивает прямую АС на два луча, один Черт. 25.
из которых лежит с Р по разные стороны
от АВ. Возьмём на этом луче какую-нибудь точку Pjj тогда
прямая РРг пересекает АВ в Некоторой точке Р2.
Итак, точка Р лежит на прямой Р[Р2, где /\ взято на АС,
а Р2 — на АВ.
По доказанному в пункте 1, на прямых А'С и А'В' можно
(единственным образом) указать точки Р[ и Р'2, так, что
дополненные фигуры (Л, В, . ..,£, Рь Р2) и (А1, В', ..., U, Р\, Р2)
будут конгруентны.
Снова применяем пункт 1 уже к дополненным конгруент-
ным фигурам и к точке Р, лежащей на Р\Р2. Тогда на РгР2
можно указать точку Р1 так, что фигуры (Л, В, . ..Д,РЬ Р2, Р)
и (А', В1, ..., L',P[, Р2, Р;) будут конгруентны.
Покажем, что Р' определится единственным образом.
Допустим, что имеется ещё какая-то точка Р' такая, что фигуры
(Л, В, ..., L, Р) и (Л', В', ..., V, Р') будут конгруентны.
Тогда, согласно пункту 1, можно найти точки Р{, Р2, так ч%то
(А, В, ... , L, Р, ръ р2) и (А1, В', ..., V, Р\ Р\, Р2)
конгруентны. Тем более будут конгруентны эти фигуры, если из них
удалить точки Р и Р'\ но этими условиями у нас немного
выше однозначно определялись точки Р[, Р2, следовательно, Рг
совпадает с р[, и Р\ совпадает с Р2.
Итак, фигуры
(Л, В, ..., L, Рь Р2, Р) и (Л', В', ..., U, р[, Р2, Р")

432
ПРИМЕЧАНИЯ [32—33]
конгруентны. В силу единственности построения точки Я'в
пункте 1, мы, сравнивая две полученные ^конгруентности, заключаем,
что Р" совпадает с Я'.
3. Пус1ь все точки фигуры (4, В, ... , L) лежат на одной
прямой, причём Р лежит вне этой прямой.
Тогда, в силу пункта 1 (начало доказательства), точки
А', В'у ..., V тоже лежат на одной прямой и (по теореме 27)
в соответствующем порядке.
Отложим при луче А'ВГ угол, конгруентный углу РАВ, и
на свободной стороне этого угла отложим отрезок А'Р',
конгруентный АР. Итак*
<$ РА В = <$ Р'А'В', АР^А'Р'.
Мы утверждаем, что точка Я'будет искомой. Действительно,
пусть С — произвольная точка первой фигуры. Угол <^РАС
либо совпадает с <£ЯЛ£, либо является его смежным. В первом
случае <^Р'А'С совпадает с «QP'A'B', а во втором случае
является его смежным; действительно, если С и В лежат по
одну сторону от А, то и С и В' — по одну сторону от А' и т. д.
Так как
<$РАВ = <$Р'А'В',
то отсюда вытекает, что во всяком случае
<$РАС^^Р'А'С.
Кроме того
АР^А'Р\ АС^А'С.
По теореме 12:
РС = Р'С.
Конгруентность фигур (А, В, ...,/,, Я) и (Л', В', ...,L',Pf)
доказана (в рассматриваемом случае точка Р' не определится
однозначно, так как её можно заменить с таким же успехом её
зеркальным отражением относительно прямой А1 В'.../,').
рт] Глубокое принципиальное значение теоремы 28 для
геометрии плоскости и теоремы 29 для геометрии
пространства*заключается в установлении связи между понятиями к о н г р у-
ен.тности и движения.
Уже в области физического опыта соответствующие понятия
тесно связаны друг с другом. Так, желая сравнить по длине
два стержня, мы один из них переносим и накладываем на
другой. Таким образом, в практическом опыте конгруентность
двух объектов появляется прежде всего как возможность
совместить их путём движения.
Эта связь сохраняется и в области математики, причём здесь
можно итти двумя путями: либо в основу класть движение,
задавая его аксиоматически, а конгруентность определять
указанным образом через движение; либо — как делает Гиль-

ПРИМЕЧАНИЯ [33]
433
берт — в основу класть аксиоматически данное понятие конгру-
ентности и уже посредством его определять движение.
А именно, назовём движением (в широком смысле,
включая сюда зеркальные отражения) такое взаимно однозначное
отображение совокупности точек пространства в себя, при
котором всегда
АВ^А'В1,
где Л, В— произвольные точки пространства, а А' и В' —
точки, им отвечающие в отображении.
Таким образом, движение характеризуется тем, что к а-
ждая фигура (Л, В, ...) преобразуется в фигуру (А1, В', ...),
ей конгруентную. Отсюда, в частности, легко вывести
(повторением рассуждений примечания 32, на.чало доказательства
теоремы 28), что точки, лежащие на одной прямой, преобразуются
в точки, снова расположенные на одной прямой, т. е. прямые
преобразуются в прямые. Следовательно, плоскости
преобразуются в плоскости и т. д.
В этой связи роль теоремы 29 заключается в том, что она
доказывает возможность движения и определяет
степень его произвола.
Пусть ABC и А'В'С — два произвольно заданных конгру-
ентных между собою треугольника. Возьмём ещё точку D вне
плоскости ABC. Тогда, по теореме 29, точке D можно поставить
в соответствие точку D' так, что имеет место конгруентность
между фигурами
(А, В, С, D) и (А', В', С, £>')•
По той же теореме 29, каждой точке Р пространства будет
отвечать одна и только одна точка Р', такая, что фигура
(Р', А', В', С, D1) конгруентна (Р, Л, В, С, D). (1)
Мы утверждаем, что такое преобразование произвольной
точки Р в соответствующую ей точку Р' будет движением.
В самом деле, пользуясь той же теоремой 29, поставим в
соответствие какой-то другой точке Q точку Q' так, чтобы имела
место конгруентность между фигурами
(<?', Р', А', В', С, D') и (Q, Р, А, В, С, D). (2)
Так как конгруентность сохранится, если из фигур выкинуть
точки Р и Р', то
{Q'A'B'C'D') конгруентна {QABCD). (3)
Сравнивая (1) и (3), мы видим, что Q преобразуется в Q',
и Р преобразуется в Р' одним и тем же преобразованием,
установленным нами, исходя из конгруентных тетраедров ABCD
и А1 В'CD1. При этом, в силу (2), PQ = P'Q'.
Итак, наше преобразование есть движение.
28 Д. Гильберт

434
примечания [33—34]
Что же касается степени произвола в выборе движения, то
здесь дело обстоит так.
Пусть нам дана точка Л, выходящий из неё луч а и
примыкающая к прямой луча а полуплоскость а. Пусть А', а', а'
означает аналогичную конструкцию, взятую каким-то другим
образом. Построим треугольник ABC, взяв точку В на а и Сна а
произвольно. Далее, как нетрудно сделать, построим треугольник
А'В'С, конгруентный ABC, так, чтобы В' лежала на а' и С на а'.
Тогда, как показано выше, существует движение,
переводящее ABC в А'В'С1, а следовательно, конструкцию (А, а, а)
в конструкцию (А', а', а').'
Небольшое добавочное рассуждение показало бы, что такое
движение может быть осуществлено лишь двумя способами
(двойственность вытекает из того, что, осуществив движение,
к нему можно присоединить ещё зеркальное отражение
относительно плоскости а').
Таким образом, если игнорировать эту двузначность,
движение определяется заданием конструкции (А', а', а'), в которую
должна перейти данная конструкция (А, а, а).
Совершенно непосредственно из определения движения
следует, что движения образуют группу, т. е. что
1) тождественное преобразование есть движение,
2) преобразование, обратное движению, есть тоже движение,
3) последовательное выполнение двух движений даёт снова
движение.
Как известно, выполнение этих условий для совокупности
взаимно однозначных отображений некоторого множества на
себя и означает, что такая совокупность есть группа.
Мы не даём доказательства теоремы 29, так как оно может
быть проведено по аналогии с доказательством теоремы 28
с использованием плоскостей вместо прямых. В качестве
первого шага нужно показать, что в конгруентных фигурах точки,
лежащие на одной плоскости, отображаются в точки, тоже
лежащие на одной плоскости.
\и] Аксиома лгттейной полноты формулирована в тексте столь
неточно, что п}.и буквальном понимании приводит систему аксиом
к противоречию. Мы дадим поэтому уточнённую формулировку
этой аксиомы (и сам автор в § 9 пользуется ею не в том виде,
как она формулирована в тексте).
Перечислим прежде всего четыре известных нам свойства
точек и отрезков на прямой:
1. Всякие п точек можно занумеровать таким образом,
что точка лежит между двумя другими тогда и только
тогда, когда её номер имеет промежуточное значение.
Как следствие, отсюда вытекает, что каждая точка
разбивает прямую на два луча.

ПРИМЕЧАНИЯ [34]
435
2. Возможно откладывать по данную сторону от данной
точки отрезок, конгруентный данному отрезку, и притом
единственным образом.
3. Конгруентность отрезков обладает свойствами
транзитивности и взаимности; две суммы отрезков при
соответственно конгруентных слагаемых конгруентны между собой
(аксиома Ш3).
Как следствие, отсюда вытекает лемма примечания [2и]
(стр. 426), а из неё — теорема 20 в применении к отрезкам и вся
теория сравнения отрезков (см . примечание [2§], стр. 427—428).
4. Имеет место аксиома Архимеда.
Поставим следующую задачу: дополнить совокупность точек
на прямой новыми элементами так, чтобы:
a) в расширенной совокупности были определены понятия
«между» для точек и «конгруентен» для отрезков (отрезок
понимается как пара точек);
b) в применении, в частности, к старым точкам и старым
отрезкам эти понятия имели прежний смысл;
c) в расширенной совокупности понятия «между» и
«конгруентен» продолжали удовлетворять требованиям 1, 2, 3, 4.
Аксиома линейной полноты: указанное выше
расширение совокупности точек на прямой невозможно.
Для уяснения логической природы аксиомы полноты весьма
существенно следующее. Предположим, что мы, сохраняя
прежнюю формулировку этой аксиомы, уменьшим число требований,
перечисленных в пунктах 1, 2, 3, 4. Тем самым на расширение
совокупности точек на прямой теперь накладывается меньше
требований, чем раньше. А потому все прежние случаи, когда
расширение было возможно, остаются и теперь, но кроме них,
возможно, появятся и новые.
Но аксиома линейной полноты исключает такое положение
вещей, когда расширение возможно; следовательно, в новой
формулировке она исключает большее количество случаев.
Следовательно, ослабление требований 1 —4
означает усиление аксиомы полноты. При
чрезмерном ослаблений этих требований аксиома может стать
настолько «сильной», что вступает в противоречие *с остальными
аксиомами. Это происходит, например, при выкидывании из
требований 1—4 аксиомы Архимеда. Это же происходит и при
буквальном понимании формулировки, данной в тексте, где число
требований значительно меньше, чем в наших пунктах 1—4.
Действительно, покажем, что расширение совокупности
точек на прямой всегда возможно, если из
требований 1, 2, 3, 4 выкинуть всего лишь аксиому Ш3
(конгруентность сумм отрезков при конгруентности слагаемых).
Тем самым аксиома линейной полноты будет приводить нас
к противоречию.
Для наглядности будем исходить из совокупности точек
обыкновенной числовой прямой. Дублируем каждую из её точек А,
28*

436
ПРИМЕЧАНИЯ [34]
присоединяя к совокупности точек новую точку Л*. Условимся
считать, что Л* лежит правее А, причём по отношению ко всем
остальным точкам А* расположена так же, как и Л. Другими
словами, мы помещаем А* «непосредственно рядом» с А справа от неё.
Назовём отрезками 1-го рода те, оба конца которых
являются либо старыми, либо новыми точками (АВ или Л*В*), и
отрезками 2-го рода — те, у которых один конец—старая точка,
а другой — новая (А*В или АВ'-); условимся считать, что В
всегда лежит правее Л*, а В* — правее А. В частности, здесь
возможен отрезок АА*. Примем, что отрезки разного рода
никогда не бывают конгруентны между собой. Что же касается
отрезков 1-го рода, то они считаются конгруентными, если их
длины равны (при этом под длиной А* В* понимаем длину АВ).
Так же определяем конгруентность между отрезками 2-го
рода, причём под длиной А*В всегда понимаем длину АВ, а под
длиной АВ-— длину АВ7за исключением тех случаев, когда
длина АВ — целое число (в частности нуль — в случае АА*). В этих
случаях под длиной АВ* мы понимаем длину АВ плюс единица.
Нетрудно проверить, что в расширенной совокупности точек
числовой прямой соблюдены все требования 1, 2, 3, 4, за
исключением аксиомы Ш3. Итак, даже такое скромное ослабление
требований 1, 2, 3, 4 делает расширение всегда возможным, а
значит, аксиому линейной полноты — приводящей к противоречию.
Мы показали это, исходя из числовой прямой. Если же
исходить не из числовой прямой, а из любой прямой, на
которой выполнены требования 1, 2, 3, 4, то это будет тем более
верно, так как такую прямую всегда можно рассматривать как
«часть» числовой прямой (см. ниже).
Особенно выпуклый характер аксиома полноты приобретает,
если подойти к ней с другой точки зрения.
Покажем, что требования 1,2, 3, 4
равносильны возможности приписать каждой точке
прямой координату д: (действительное число), так, что
I) разным точкам отвечают разные координаты, причём
точка х2 лежит между точками х-± и х3 тогда и только тогда,
когда хх < х2 < хв или хх > х2 > лг3;
II) два отрезка конгруентны тогда и только тогда, когда
х2 — х\ — х<> — x*i
где Xi < х% — координаты концов одного отрезка, ах'< х\—
координаты концов другого отрезка;
III) если хь х2 суть координаты некоторых точек, то и.
Xi ± х2 будут координаты некоторых точек.
Особо следует подчеркнуть,, что у нас не утверждается,
что каждому значению х отвечает точка на прямой.
Пусть требования 1,2,3,4 выполнены. Выберем
какую-нибудь точку О в качестве начала координат (т. е. в качестве
точки с координатой 0) и какую-нибудь точку Л в качестве

ПРИМЕЧАНИЯ [34]
437
точки с координатой 1. Пусть теперь М — произвольная точка,
для определённости лежащая с той же стороны от О, что и А.
Построим отрезок п-ОМ, откладывая ОМ последовательно п
раз, и отрезок т-ОА, откладывая О А последовательно т раз.
Здесь пит — произвольные целые числа.
Разобьём все положительные рациональные числа — на два
is т п
класса. К верхнему классу относим число — в том случае, если
п-ОМ <т-ОА,
а к нижнему классу — в том случае, если
п-ОМ^т-ОА.
Предоставляем читателю проверить, что мы здесь имеем
дедекиндово сечение в области положительных
рациональных чисел, которое определит нам некоторое
действительное (положительное) число х, рациональное или иррациональное.
Это число мы и примем за координату точки М.
Пусть теперь Мх и М2 — две точки, лежащие от О по одну
сторону с Л и следующие" в порядке О, Мь Мг. Следовательно,
ОМ2 > ОМх.
Если взять п достаточно большим, то разность этих
отрезков, повторённая п раз, превзойдёт отрезок ОА (в силу аксиомы
Архимеда). Пусть т — наибольшее число, при котором
п-ОМх^т-ОА,
и следовательно,
п-ОМх<{т-\-\)-ОА.
В силу сделанного выбора п, очевидно, что
П'ОМ2^(т + \).ОА.
Беря теперь дедекиндовы сечения, отвечающие точкам Мх
и М±, мы видим, что число !—• относится к верхнему классу
в первом случае к к нижнему классу во втором случае.
Согласно теории иррациональных чисел, отсюда вытекает, что
х. > хь
где дг2, хх определяются этими сечениями и, по условию,
представляют собой координаты точек Мх и Ж2.
Если теперь взято какое угодно число точек на прямой,
идущих в порядке О, Мх, М^ ..., Мп (в сторону А), то для их
координат мы имеем:
О < хх < лг3< .. . < хп,
чем и доказано утверждение I) для случая расположения точек
на «положительной полупрямой». Для точек, расположенных от

438
ПРИМЕЧАНИЯ [34]
О по другую сторону от Л, мы вводим совершенно аналогично
отрицательные координаты и повторением тех же
рассуждений убеждаемся в справедливости утверждения I) в общем виде.
Мы утверждаем, далее, что если на прямой в
положительную сторону от О взяты точки Мь М2, М, причём Мг лежи г
между О и М и отрезок МХМ конгруентен отрезку OMz, то
X = Х-[ —J— х%,
где х, хь хг — координаты точек М, Мь М2.
В самом деле, пусть из нижних классов сечений хх и хл
взято по рациональному числу, которые обозначены (после
приведения к общему знаменателю)
—■ И — .
п п
Тогда
п-ОМ1^т1-ОА,
п-ОМ^туОА,
откуда
п-ОМ^(тх f т^-ОА.
В левой части неравенства мы получаем непосредственно п
раз отложенный отрезок ОМ1 и вслед за этим п раз
отложенный отрезок ОМ>; после перегруппировки слагаемых мы
получаем п раз повторённую сумму отрезков ОМ1 и ОМо, т. е. п*ОМ.
То, что в геометрической сумме отрезков мы можем
переставлять слагаемые, не меняя суммы, получается так:
достаточно убедиться в этом для двух соседних слагаемых; но
последнее автоматически вытекает из аксиомы Ш3, так как в её
формулировке ничего не сказано о порядке, в каком
«приставляются» друг к другу слагаемые отрезки А'В' и В'С и,
следовательно, при любом их порядке сумма А'С конгруентна АС,
т. е. А'С будет одной и той же (с точностью до конгруентности)'.
ШлА-гП)
Из последнего неравенства следует, что —1— относится
к нижнему классу сечения х, т. е. сумма чисел из
нижних классов сечений хь х% даёт всегда число из
нижнего класса сечения jc.
Совершенно аналогично доказывается то же самое и для
верхних классов. Отсюда, согласно теории иррациональных
чисел, следует
X = Х\ —р X у.
Другими словами, отложить от точки М1 (х{) д а н-
ный отрезок ОМ2 (в положительную сторону),
значит — построить точку М (х) с координатой
х-=zхх4-*ь где х2]>0 — координаты точки М±
Это утверждение доказано у нас при хх > 0, но нетрудно,
конечно, повторить аналогичные рассуждения и для общего слу-

ПРИМЕЧАНИЯ [34]
439
чая. Теперь, поскольку откладывание данного отрезка
равносильно добавлению к координате точки постоянного
слагаемого, то мы немедленно убеждаемся в справедливости
утверждения II).
Наконец, утверждение III) также сейчас же вытекает из
последней формулировки (напечатанной разрядкой).
Итак, при выполнении требований 1,2, 3, 4, мы
можем ввести на прямой координаты со
свойствами I), II), III).
Обратно, если возможно введение такого рода координат,
то требования 1, 2, 3, 4 выполняются. Совершенно очевидную
проверку этого предоставляем читателю.
При описанном здесь введении координат на прямой линии
естественно возникает вопрос: исчерпывает ли совокупность
действительных чисел, служащих координатами всевозможных
точек*на прямой, всю совокупность действительных чисел или нет?
Рассмотрим сначала вторую возможность, flycib координата
х принимает не все действительные значения, т. е.
существуют такие действительные числа, которым не отвечает
никакая точка на прямой. Каждое из таких чисел мы будем
называть новой точкой и их совокупность присоединим
к совокупности имеющихся точек на прямой. В расширенной
совокупности точек уже каждому дейстЕительному числу
отвечает точка, и обратно.
Понятия «между» и «конгруентен» в расширенной
совокупности мы определим следующим образом.
Мы скажем, что точка х2 лежит между точками Х\ и xs,
^если хг < х2 < х3 или хг > х% > хв.
Здесь под хь X}, лг3 подразумевается или координата
соответствующей точки, если точка старая, или сама эта точка, если
точка новая. Очевидно, в применении к старым точкам
определённое здесь понятие «между» имеет прежний смысл.
Мы скажем, что один отрезок с концами х2 > хх
конгруентен отрезку с концами х' >*', если
xi — х\ — х\~~ х\
Снова ясно, что в применении к старым отрезкам
определенная здесь конгруентность сохраняет прежний смысл.
Наконец, понятия «между» и «конгруентен» в расширенной
совокупности точек продолжают удовлетворять требованиям
1, 2, 3, 4, как показывает элементарная проверка.
Следовательно, произведено расширение совокупности точек
на прямой, запрещаемое аксиомой линейной полноты.
Итак, если значения координаты х не
исчерпывают всех действительных чисел, то
аксиома полноты не имеет места.
Покажем, что верно и обратное. Пусть аксиома полноты не
имеет места. Тогда к совокупности точек на прямой можно при-

440
примечания [34—35]
соединить новые элементы с соблюдением условий а), Ь), с). Но
тогда в расширенной совокупности возможно ввести координаты
тем же способом, сохранив* даже прежние точки О (начало) и
А (единица). Это значит, что каждая точка расширенной
совокупности получит определённую координату, причём старые точки
сохранят прежние координаты. Но в таком случае координаты
старых точек не исчерпывали всех действительных чисел, так как
часть их будет использована в качестве координат новых точек.
Итак, невыполнение аксиомы линейной
полноты равносильно тому, что координаты точек
на прямой не исчерпывают всех
действительных чисел. Прямолинейный ряд точек, грубо говоря, имеет
«пробелы».
Следовательно, сама аксиома линейной
полноты равносильна требованию, чтобы точки
прямой могли быть поставлены во
взаимнооднозначное соответствие со всеми
действительными числами, причём геометрический
порядок следования точек отражается
арифметическим порядком по признаку > , < , а геометрическая
конгруентность отрезков — равенством х> —хг = х '— х'.
Коротко говоря: для того чтобы выполнялась аксиома
полноты, необходимо и достаточно, чтобы прямая была декартовой,
т. е. чтобы она допускала взаимно однозначное отображение
на прямую в смысле обычной аналитической геометрии с
сохранением порядка точек и конгруентности отрезков.
При введении координат на прямой мы использовали
требования 1, 2, 3, 4. Особенно следует обратить внимание на роль
требования 4 (аксиома Архимеда). Именно оно дало нам
возможность «измерять» один отрезок другим, выражая результат
«измерения» конечным числом. При отсутствии аксиомы
Архимеда у нас одни отрезки были бы «бесконечно велики»
сравнительно с другими, и числовой системы координат мы не смогли
бы получить.
р] В самом деле, аксиомы I—V определяют геометрию
трёхмерного евклидова пространства; можно поместить это
пространство в качестве трёхмерной плоскости в четырёхмерное
евклидово пространстсо. Будем рассматривать все точки,
прямые и двумерные плоскости э?ого четырёхмерного
пространства (а не только принадлежащие трёхмерному его
подпространству). Нетрудно поверить, что все аксиомы I—V будут
удовлетворяться и в этой расширенной области, за
исключением аксиомы 17: в четырёхмерном пространстве две
двумерные плоскости могут пересекаться в одной точке (и это будет
даже общим случаем).
Таким образом, расширение совокупности элементов с
сохранением всех аксиом, кроме 17, оказывается возможным,

ПРИМЕЧАНИЯ [36|
441
[36] Мы имеем здесь дело с некоторой интерпретацией
нашей аксиоматической системы. Поясним прежде
всего самую идею интерпретации.
1. Развивая аксиоматически геометрию, мы имеем основные
объекты:"<точки», «прямые», «плоскости» и основные соотношения:
«принадлежит», «между» и «конгруентен» (последнее — в
применении к производным объектам: отрезкам и углам). В основные
понятия мы не вкладываем никакого содержания сверх того,
что сказано о них в аксиомах; в этих последних должно
содержаться всё, что нужно для построения геометрии путём чисто
логических умозаключений.
Изменим теперь нашу точку зрения на
основные понятия: будем понимать под ними
некоторые вполне определённые объекты и
соотношения из какой-нибудь области
математики, которую мы считаем уже установленной
и обоснованной.
Это мы и называем «дать интерпретацию аксиоматической
системы». В результате интерпретации каждая аксиома
превращается во вполне определённое предложение из той уже
обоснованной области математики, которая используется для
интерпретации.
Если хоть одно из полученных таким образом предложений
окажется неверным, то наша интерпретация не удалась, т. е.
аксиоматика в том конкретном истолковании основных понятий,
которое и составляет суть интерпретации, оказывается невыполненной.
Однако отсюда никакого вывода о достоинстве самой
отвлечённой аксиоматической системы ещё сделать нельзя, так
как причина неудачи может лежать в неподходящем выборе
интерпретации.
Если же все предложения, в которые превратились аксиомы
в результате интерпретации, окажутся верными, то
интерпретация осуществлена, и отсюда следует чрезвычайно
важный вывод о непротиворечивости исходной
аксиоматической системы.
Действительно, все теоремы аксиоматической системы суть
чисто логические следствия аксиом. В результате интерпретации
аксиомы оказались истинными предложениями; значит, логически
следующие' из них теоремы тоже окажутся истинными
предложениями (в смысле той области, которая использована для
интерпретации). Поэтому, если бы в отвлечённой
аксиоматической системе получились бы две теоремы, противоречащие друг
ДРУГУ> то и в интерпретации также получились бы два
истинных предложения, друг другу противоречащих. А это
невозможно, так как область интерпретации мы считаем уже
обоснованной и свободной от противоречий.
2. Понятие интерпретации станет совершенно ясным, когда мы
перейдём к конкретному примеру, именно к рассматриваемой
в тексте аналитической ннтерпрст а ц и и.

442
ПРИМЕЧАНИЯ [36 —37]
В качестве области интерпретации возьмём арифметику
чисел поля 9, которую будем считать установленной. В дальнейшем
под словом «число» мы везде будем понимать «число поля 9».
Изменим теперь нашу точку зрения на точки и прямые (мы
ограничиваемся интерпретацией плоской геометрии) и на
соотношения «принсдлежит», «между» и «конгруентен». А именно,
будем понимать под ними не какие-то отвлечённые понятия,
подчинённые лишь аксиоматике, а вполне конкретные понятия из
области интерпретации:
под точкой — пару чисел (х, у),
под прямой — тройку чисел («, v, w),
причём и, v, w заданы с точностью до умножения на одно и
то же отличное от 0 число [так что (ри> ри, pw) будет та же
самая прямая, если р — число, отличное от нуля]. При этом
// и v не должны одновременно равняться нулю.
Под соотношением: «точка (х,у) принадлежит прямой (//, v, W)»
понимаем соблюдение равенства
их -f- vy 4- w = 0.
Аксиомы 1г_2 превратятся, очевидно, в предложение:
«Если даны две различные пары чисел (хь у{) и (х2, у2),
го существует одна и только одна тройка чисел (и, v, w),
заданных с точностью до умножения на общий множитель р Ф 0
и удовлетворяющих условиям:
их} + иуг + w—09
их2 + vy2 4- w ■= 0,
причём и и v одновременно не обращаются в нуль».
Мы получили предложение из области интерпретации, т. е.
из арифметики чисел поля 9, которое a priori может оказаться и
верным и неверным. Однако, вникая в это предложение по
существу, т. е. исследуя пару однородных уравнений относительно
и, v, w, мы убеждаемся в его правильности.
Так же легко записать те предложения, в которые
превратятся аксиомы 13 и IV, и проверить их правильность. Это мы
предоставляем читателю.
рт] Будем рассматривать точки (х, у), принадлежащие
данной прямой (a, v, w). Тогда имеет место равенство:
ux-^-vy -\-W=:0.
Так как х и у связаны линейной зависимостью, то
монотонное изменение х вызывает и монотонное изменение у и обратно
(если только одно из переменных х, у не остаётся постоянным).
Продолжаем построение аналитической интерпретации. Будем
понимать под соотношением: «точка {х2, у2) лежит между точ-

ПРИМЕЧАНИЯ [37]
443
ками (xh у{), (лг3, у$) (на данной прямой)» наличие хотя бы
одного из следующих арифметических соотношений:
х\ < х2 <^ хь х\^> х2^> x%t
-У\ <У2<У% УТ> У'2> Уз-
(Как было только что отмечено, наличие одного соотношения
из верхней строки влечёт наличие одного соотношения и из
нижней строки, если только у не остаётся постоянном вдоль
данной прямой, и обратно.)
Тогда аксиомы группы II превращаются в предложения из
теории неравенств в области чисел поля Q. Все эти
предложения оказываются правильными, в чём можно убедиться
совершенно тривиальным образом для аксиом Hi_3.
Мы остановимся поэтому только на аксиоме 114.
Сначала выясним, какой смысл имеет в интерпретации
утверждение: точки (хь у{) и (х2, у{) лежат по разные
стороны от прямой (и, v, w). По определению это значит,
что существует точка (х\у'), лежащая одновременно на отрезке
(хьУг)у (х2> Уд и на прямой (и, v, w), т. е. такая, что
их' -f- vy' -\-w = 0
х\ < х' < х2 ИЛИ Х\ > Х' > Х2 (ИЛИ Т0 Же Д^Я у).
Так как при переходе от (хь уг) через (х\ у') к (х2, у2)
х меняется монотонно и так как выражение ux-\~vy~^w вместе
с у зависит от х линейно и, следовательно, тоже меняется
монотонно, то обращение их'-\-vyr -\-w в нуль равносильно тому,
что uxx-\-vyxA-w и их2-f-vy24- w имеют разные знаки.
Аксиома П4 в интерпретации превратится теперь в
следующее предложение:
«Пусть даны три точки (Хь ух), (дг2, у2), (xs, j/3) (не
принадлежащие одной прямой) и прямая (г/, v, w), не принадлежащая ни
одной из этих точек,- т. е.
ихх-\-vyx-\-w Ф О,
их2 -\- vy2 -f- w Ф О,
их% 4- vy% 4- w Ф 0.
Пусть эта прямая имеет точку (х', у') на отрезке между
точками (хь уг) и (х2, у2), т. е. ux1~]~vyl-\~w и ux2-\-vy2-\-w
имеют разные знаки. Тогда прямая (и, v, w) имеет точку либо
на отрезке (хъ yi), (дг3, у3), ли°о на отрезке (х2, у2), (>3, J3),
т. е. ихь-\~vy% +w имеет разные знаки либо с uxl-\-vyl-\-w,
либо с их2 4- vy2 -\~w».
Справедливость этого утверждения очевидна, так как
поскольку uxl-\-vy1-\~w и ux2-\-vv2-\-iv имеют разные знаки,
то v одного и5 них должен быть знак, противоположный знаку
и-*зЧ- vyb 4- w.

444
ПРИМЕЧАНИЯ [38]
[38] Чтобы закончить построение интерпретации, нам
необходимо ещё истолковать понятие «конгруентности». Это
истолкование Гильберт вводит следующим образом:
Под «конгруентпостью» двух отрезков
(углов) мы будем понимать возможность
получить один отрезок (угол) из другого с
помощью движения.
При этом под движением мы будем понимать любое
преобразование плоскости в себя, получаемое в результате
последовательного выполнения преобразований (трёх типов),
заданных в тексте непосредственно их формулами [под (х, у)
следует понимать произвольную точку плоскости, а под (х',у')—
отвечающую ей преобразованную точку].
Таким образом, в интерпретации конгруентность
определяется через движение, а движение определяется чисто
аналитически—заданием готовых формул — соответственно
аналитическому характеру интерпретации.
Несколько элементарных выкладок, по внешнему виду вполне
тождественных с соответствующими выкладками в
обыкновенной аналитической геометрии, показали бы нам следующие
свойства движения:
1. В силу линейности преобразований линейная зависимость
между (дг, у) влечёт линейную зависимость между (х', у'):
прямая преобразуется в прямую.
2. По той же причине монотонное изменение х в
последовательности точек на прямой рлечёт за собой монотонное
изменение х* в последовательности точек на преобразованной прямой:
порядок точек на прямой сохраняется.
3. Последовательное выполнение двух движений даёт снова
движение.
Отсюда следует, что в интерпретации выполняется и
аксиома Ш2.
4. Существует движение, меняющее местами стороны данного
угла, и движение, меняющее местами концы данного отрезка.
Это позволяет нам совмещать путём движения конгруентные
углы так, чтобы наперёд заданная сторона одного совпадала
с наперёд заданной стороной другого; аналогично и для отрезков.
5. Существует одно и только одно движение, которое
приводит один данный луч / в совпадение с другим данным
лучом /' так, чтобы данная полуплоскость относительно прямой,
несущей /, перешла в данную полуплоскость относительно
прямой, несущей /'.
Отсюда сейчас же вытекает справедливость тех
предложений, в которые превратятся аксиомы III4, Ш^
6 Если в пункте 5 требовать только совпадения / с/', то
движение можно осуществить двумя способами, однако в
обоих случаях точки прямой, несущей /, преобразуются одинаково.
Отсюда немедленно вытекает справедливость аксиом 1П5
и 111з в том истолковании, какое они получат в интерпретации.

примечания [39—44]
445
[Щ Ссылка на предыдущее замечание не является вполне
корректной, так как там речь шла о декартовой геометрии;
применяется же отмеченное свойство к новым точкам,
гипотетически добавленным к точкам декартовой прямой. Для
корректности доказательства нужно показать, что отмеченное свойство
действительно должно иметь место и в расширенной
совокупности точек. Это нетрудно сделать, если уточнить формулировку
аксиомы полноты, что осуществлено в примечании [34].
Мы не останавливаемся на этом более подробно, так как
во второй половине примечания [Щ самостоятельно показано,
что аксиома полноты выполняется на декартовой прямой, равно
как и обратно, наличие аксиомы полноты превращает прямую
в декартову прямую.
[40] Речь идёт о так называемой проективной
интерпретации неевклидовой геометрии Лобачевского. Сущность
её состоит в истолковании геометрических образов и
соотношений в пространстве Лобачевского как определённых образов
и соотношений во внутренности эллипсоида в обыкновенном-
пространстве (лучше всего, взятом с проективной точки зрения);
как частный случай эллипсоида можно взять и шар. Изложение
вопроса можно найти у Ф. Клейна в его книге «Неевклидова
геометрия» (ГТТИ, М.-Л., 1936).
[41] Ссылка на теорему 36 здесь неуместна, но
непосредственно легко усмотреть, что, например, EF^b\Fv В самом
деле, по теореме 12, треугольники ADE и ADEX конгруентны;
в силу теоремы 15, получаем, далее, <$ EAF=<$. ExAFb откуда,
снова по теореме 12, следует конгруентность
треугольников AEF и AExFb а следовательно, и отрезков EF и EiFx.
[Щ Другими словами, область Q (t) представляет собой
некоторое поле: в самом деле, для элементов области, как для
алгебраических функций от t, определены операции сложения,
вычитания, умножения и деления с их обычными свойствами,
причём результат операции всегда представляет собою опять
элемент этой области.
[43] С эллиптической геометрией можно познакомиться по
книге Богомолова «Введение в неевклидову геометрию Ри-
мана», ОНТИ, 1934.
[**] На исследуемой плоскости предполагаются выполненными
не только аксиомы соединения I^, порядка II и конгруентно-
сти III, но и аксиома параллельности IV. Поэтому все
теоремы, на которые здесь сделаны ссылки, доказываются
совершенно так же, как и в обыкновенной планиметрии (в частности,
сумма углов всякого треугольника равна двум прямым).
Чтобы иметь правильную перспективу при чтении этой глаЕы,
нужно помнить, что по сравнению с обыкновенной планиметрией

446
примечания [44—45]
нам недостаёт лишь аксиом непрерывности, прежде всего
аксиомы Архимёда. А это сказывается в том, что мы лишены
возможности ввести понятие об отношении отрезхов как о числе,
так как один из двух взятых отрезков может оказаться как бы
бесконечно большим сравнительно с другим. При отсутствии же
понятия об отношении отрезков, мы не можем
формулировать и понятия о подобии фигур в том виде,
как оно формулируется в обыкновенной планиметрии. Между
прочим, то обстоятельство, что относительно гипотенузы с,
катета а и прилежащего угла а (в прямоугольном треугольнике) в
тексте утверждается только, что а есть функция с и а; а = ас, но не
говорится, что я:с есть функция а,объясняется именно этим
отсутствием теории подобия и понятия об отношении отрезков вообще.
Основная цель этой (III) главы — обойти трудности,
созданные отсутствием аксиомы Архимеда, и построить теорию
подобия, годную и в неархимедовой геометрии.
А для этого Гильберт строит так называемое исчисление отрезков,
позволяющее ввести отношение двух отрезков не как
число, а как элемент нового исчисления (см. далее, §§ 15 и 16).
[45] В этом месте доказательства имеется пробел, так как
из конгруентности (6) следует только, что основания
перпендикуляров либо совпадают, либо расположены симметрично
относительно О. Нужно ещё доказать, что последнее невозможно.
Точка О разбивает каждую из двух проходящих через неё
прямых на два луча; обозначим через 7, 2 лучи одной прямой и через
3,4— лучи другой прямой. Каждому из отрезков /, /*,.. . ставим
в соответствие подстановку (13), (24), если данный отрезок имеет
концы на лучах 1,3 или на лучах 2,4, и подстановку (14), (23),
если отрезок имеет концы на 1, 4 или на 2, 3. Предоставляем
читателю доказать, что параллельным отрезкам будет отвечать
обязательно одна и та же подстановка (так как параллельные
отрезки будут расположены или по одну сторону или по
разные стороны параллельной им прямой, проведённой через О).
Так как путь АСВА'СВ'А приводит нас от исходного луча О А
к нему же, то произведение подстановок указанного вида
(т) (/*) (п) (т*) (/) (л*)
может быть только единицей [здесь (т) обозначает подстановку,
отвечающую отрезку т и т. д.]. Но в рассматриваемой группе
подстановок [(72) (34), (13) (24), (14) (23)] произведение двух
подстановок только тогда даёт единицу группы, когда эти
подстановки тождественны. Поэтому (т) (/*) (п) === (яг*) (/) (/г*),
В силу параллельности т и /и*, / и /*, подстановка (т)
совпадает с (т*), а (/) — с (/*). Отсюда
(п) = (я*).
Другими словами, п* имеет концы либо на сторонах того же
самого угла, что и /г, либо на сторонах угла, ему вертикального.

примечания [45 48]
447
Поэтому если через О провести прямую п0, параллельную п,
то" отрезок п лежит либо целиком по ту же сторону от /г0, что
и п, либо целиком по другую сторону. Проведём через О
перпендикуляр к п (и, следовательно, к п0). Перпендикуляры,
опущенные на него из концов п-, будут параллельны /z0, а значит,
расположены каждый целиком по одну сторону от /z0, а так как
концы п* лежат по одну сторону от п0, то оба перпендикуляра
лежат по одну сторону от п0 и основания их расположены по
одну сторону от п0.
Следовательно, случай, когда эти основания расположены
симметрично относительно О, невозможен. Это и требовалось
доказать.
[46] Это третье доказательство предполагает, что А, В, С
лежат на одном и том же луче, выходящем из О, но не
предполагает, что ОА' = ОС. Поэтому здесь мы имеем частный
случай по отношению к первой» формулировке и более общий
случай по отношению ко второй формулировке.
Отметим, что из расположения Л, В, С по одну сторону
от О следует расположение и Л', В\ С по одну сторону от О
(что молчаливо принимается при доказательстве во втором и
третьем случаях). Действительно, из параллелизма С А' и АС'
следует, что оба отрезка расположены либо по одну сторону, либо по
разные стороны от параллельной им прямой, проведённой через О.
Но второе предположение невозможно, так как отрезок АС не
содержит точки О. В таком случае имеет место первое
предположение, а значит, отрезок А'С тоже не содержит точки О, и А', С
лежат по одну сторону от О.
Аналогично, из параллелизма СВ' и ВС следует, что и В\ С
лежат по одну сторону от О. Итак, А', В\ С расположены на
одном луче, выходящем из О, если такое положение вещей имеет
место для А, В, С.
[i7\ Точнее, если сначала ограничиться построением отрезка аЬ
(не строя Ъа), затем соединить конец аЬ с концом отрезка Ь%
'отложенного на первой стороне угла, то, в силу теоремы Паскаля,
полученная прямая параллельна прямой, соединяющей концы
отрезка 1 на первой стороне угла и отрезка а на второй
стороне угла (-черт. 47 в тексте). А это и значит, что отрезок аЬ
является в то же время и отрезком Ьа.
[48] Напомним, что в этой главе мы предполагаем, что в
нашей геометрии налицо все аксиомы, кроме аксиом
непрерывности; поэтому мы не имеем права «пользоваться циркулем»,
т. е. окружностью, как непрерывно текущей кривой.
В связи с этим, в нашей геометрии возможны случаи, когда
прямая, имеющая точки, расположенные как дальше, так и ближе
от центра окружности, чем точки самой окружности, с этой
окружностью, тем не менее, не пересекается (как бы «проскаки-

448
примечания [48—51]
вает» сквозь неё, пользуясь отсутствием непрерывности в нашей
геометрии).
[46] В связи с теоремой 42 следует подчеркнуть следующее
обстоятельство. В исчислении отрезков имеется некоторый
произвол, а именно, операция умножения зависит от произвольного
выбора отрезка, принимаемого за 1. Однако понятие о
пропорции, хотя и основанное на исчислении отрезков, не зависит от
этого произвола. Это можно усмотреть из геометрического
смысла пропорции (теорема 42).
Следовательно, и теория подобия не содержит в себе
произвола и целиком вытекает из самой геометрической системы.
[50] Когда здесь говорится о расширенном исчислении
отрезков, то имеются в виду операции не только над положительными,
но и отрицательными отрезками и отрезком-нуль.
Нужно прежде всего отдать себе отчёт в том, что развитое
в § 15 исчисление отрезков — теперь можно говорить,
положительных отрезков — оперировало над отрезками
безотносительно к их положению на плоскости и к
порядку их концов. Теперь же под отрезком мы будем
понимать отрезок с фиксированным порядком концов и заданный
при этом на прямой с фиксированным положительным
направлением. Допускается совпадение концов (отрезок-нуль).
Равными мы признаём теперь отрезки только в том случае,
если они и конгруентны и направлены оба в положительных или
оба в отрицательных направлениях на тех прямых, которым они
принадлежат.
Сложение двух отрезков определяется теперь как построение
третьего отрезка, началом которого служит начало первого,
а концом — конец второго отрезка, при условии, что оба отрезка
отложены на одной прямой так, что конец первого отрезка
совпадает с началом второго.
Умножение отрезков определяется формально точно так же,
как и в § 15 (с той только разницей, что отрицательные отрезки
мы будем откладывать от точки 0 по сторонам не данного
прямого угла, а угла ему вертикального).
Проверка свойств 1 — 16 для расширенного исчисления
отрезков не представляет никаких принципиальных трудностей.
[51] Уточним данное здесь определение. Мы говорим, что
многоугольник Р разбит на многоугольники Р1-\-Р2-\- . .._|_р^
(везде имеются в виду только простые многоугольники, см.
теорему 9), если:
1) многоугольники РЪРЪ... , Pk не имеют попарно общих
внутренних точек;
2) внутренние точки многоугольников Ръ Ръ .. ., Pk являются
внутренними точками и для Р;
3) всякая внутренняя точка Р является, обратно,
внутренней точкой для одного из Ръ Р2,..., Pk или, по крайней мере,

ПРИМЕЧАНИЯ [51—52]
449
принадлежит его контуру (в последнем случае, как можно
доказать, точка принадлежит контуру ещё, по крайней мере, одного
из этих многоугольников).
Утверждение, содержащееся в тексте, относительно
разбиения многоугольника Р на два многоугольника всякой простой
ломаной, проходящей внутри Р и имеющей концы на его
контуре, является, строго говоря, теоремой, требующей
доказательства. Мы не даём здесь этого доказательства, и вообще
в этой главе мы не будем претендовать на полное проведение
доказательств в примечаниях. Дело заключается в том, что
вопросы, связанные с разбиением плоскости на части
многоугольными контурами, являются исключительно громоздкими, если
излагать их безукоризненно строго на основании аксиом порядка.
Это можно было заметить уже на примере простейшего
предложения такого рода — теоремы 9.
Поэтому в рамках этой главы мы — вместе с Гильбертом —
усвоим, по необходимости, некоторую дуалистическую точку
зрения. Мы не отказываемся от проведения доказательств и даём
их в примечаниях в случае отсутствия их в тексте. Но при этом
те моменты в доказательствах, которые связаны с фактами
разбиения плоскости на части, мы часто будем принимать на основе
их очевидности, опуская их строгий вывод из аксиом порядка.
Слово «очевидность» здесь нужно понимать не столько в смысле
наглядности, сколько в смысле наличия уверенности, что
строгое доказательство при желании всегда можно осуществить.
Разумеется, читатель должен в каждом из таких случаев
отдавать себе отчёт в том, что с точки зрения полной строгости
доказательство имеет пробел. Например, в доказательстве
теоремы 43 в тексте принято за очевидное, что отрезки одного
разложения многоугольника Я3 подвергают разложению каждый
из треугольников в другом^ разложении Я3 и обратно; далее, что
многоугольники, измельчённого разложения, таким образом
полеченного, будут в обоих случаях одни и те же; наконец, что
каждый многоугольник можно разбить на треугольники.
Такие пункты можно вскрыть почти в каждом
доказательстве этой главы. По отношению же к понятиям конгруентности
доказательства остаются строгими.
[52] Докажем транзитивность понятия «равновелики по
дополнению», т. е. докажем, что если многоугольники Р и Q
порознь равновелики по дополнению многоугольнику S, то они
равновелики по дополнению друг другу.
Заметим, во-первых, что определение понятия
«многоугольники равновелики по дополнению», данное Гильбертом,
равносильно следующему: два простых многоугольника Р и Q
равновелики по дополнению, если к ним можно присоединить (без
перекрытий) конечное число попарно конгруентных треугольников
д?=д?, д£=д£ .... д5=д%
29 д. Гильберг

450
ПРИМЕЧАНИЯ [52]
так, чтобы составленные таким образом многоугольники
Я+дГ + Д^ + .-. + Д^ и <? + Д? + Д? + ... + А«
были равновелики по разложению. В дальнейшем вместо того»
чтобы говорить о паре конгруентных треугольников Д^ — Д<?, мы
часто будем говорить об одном треугольнике Д.
Итак, к многоугольникам Я и S мы можем присоединить
треугольники Д{, Д^,..., Д^ так, чтобы полученные в
результате многоугольники
р+д;4-д2+...-1-д;=я' и 5+д;+д;+...+д;=<>'
были равновелики по разложению. Точно так же к
многоугольникам Q и S можно одновременна присоединить треугольники
Др Д<2> • • •» Да таким образом, чтобы многоугольники
<?+д1+д;+...+д;=с>" и s+/\[+ai+...+k=s"
оказались равновеликими по разложению.
Если теперь к многоугольнику S одновременно присоединять
указанным образом как треугольники Д^, Д^, ..-,Д^, так и
треугольники Д1? д'^,..., ДЛ, то, вообще говоря, некоторые
из треугольников Д' будут перекрываться с некоторыми
треугольниками Д". Пусть общими частями этих треугольников
служат многоугольники
*1, *2> • • • >sm
и пусть в системах треугольников Д' и Д" после отбрасывания
общих частей этих двух систем останутся соответственно
многоугольники
PbP2f-,Ph' И 01» 02» • • • » 9*"
Таким образом (черт. 27),
Р1+Г2+ • • -+Ph' + Sl + S2+ • • - + sm = А[ + Д'2+.. • + Д*.
^14-^24-... + ^ + 51 + ^2 + ..- + ^т^Д1 + Д2+...1-Д,Л.
Обозначим через S* многоугольник, получаемый из
многоугольника 5 присоединением к нему всех многоугольников /?/, qiy st.
Присоединим к многоугольнику Р1 многоугольники дь q2,..., q'k'\
В результате мы получим многоугольник Р:, равновеликий по
разложению с многоугольником 5*, так как
Р-=Р' + Ч1+Ч2 + "- + Чк„ a S* = S' + fc+ft + ... + *#.
Присоединим теперь к многоугольнику Q" многоугольники
РъР2у->Р/1'- В результате мы получим многоугольник Q*, также

ПРИМЕЧАНИЯ [52]
451
равновеликий по разложению многоугольнику S*. Следовательно,
многоугольники P'f и Q*, порознь равновеликие по разложению
многоугольнику «S*, должны быть равновелики по разложению.
Так как
/» = />' + fc+ft + ... + ** =
Q*=Q№ + pl + p2 + ... + ph,=
=Q + Ч\ + Яг + • • • 4- qk>+si+s2+ • • • +sm+P1+P2+ • • • +/%'>
то оказывается, что если к многоугольникам Р и Q
присоединить одни и те же многоугольники pi, #/, <?/, то мы получаем
многоугольники, равновеликие по разложению; а это и значит, что
многоугольники Р и Q равновелики по дополнению.
Всё наше доказательство, очевидно, сохранится в силе и
в том случае, когда множество многоугольников S/ будет
пусто, т. е. ни один из треугольников системы Д' не
перекрывается ни с одним из многоугольников системы Д".
Черт. 27.
Докажем теперь аддитивность понятия «равновелики
по дополнению», т. е. докажем, что если многоугольники А' и В'
соответственно равновелики по дополнению многоугольникам А
29*

452
ПРИМЕЧАНИЯ [52]
и В, то многоугольник, составленный без перекрытий из
многоугольников А и В (мы его будем обозначать А-\-В),
равновелик по дополнению многоугольнику А' + В', составленному из
А' и В* также без перекрытий.
Пусть многоугольники, получающиеся в результате
присоединения определённым образом к каждому из многоугольников
А и А' треугольников аь а2,..., ahl окажутся равновеликими
по разложению. Пусть то же имеет место для многоугольников
В и В' после присоединения к каждому из них треугольников
Ьь b2l..., bk. Возьмём теперь многоугольники А -\- В и А' -Ь В'
и присоединим в них к многоугольникам А и А' треугольники
ah а2,..., «л и к многоугольникам В и В' треугольники ЪЪЬ2,..., Ьь
так же, как это делалось при установлении равновеликости по
дополнению многоугольников А и А', В и В'.
Рассмотрим многоугольники А и А':
A^A + ^ + ... + а^ А, = А, + а1 + ... + ан
и многоугольники В и В'
B^B + Ьг + ... + Ьь, В'^В' + Ьг + ... + bk.
Согласно условию, теоремы А и А' равновелики по
разложению, т. е. их можно разбить на одни и те же (в смысле кон-
груентности) треугольники
аг, а2, . . . , ар.
Аналогично В и В' разбиваются на одни и те же треугольники
h h • • • , tq.
С каждым из треугольников а; мы поступаем так.
Рассмотрим его в многоугольнике А. Отрезки, разбивающие А на
А -\-ах-\-.. .-]-ah, могут проходить и по треугольнику с^и
разбивать его на части. Рассмотрим теперь треугольник а/ в том
положении, которое он занимает в А'; аналогичным образом на
а/ могут попасть отрезки, разбивающие А' на А' -f- ах -f- • • • + я/г
Нанесём на а,- одновременно все попавшие на него в
обоих положениях отрезки деления. Каждый из а/, вообще говоря,
разобьётся на более мелкие части, которые мы обозначим
ал, а/2> • • •, 4s t
и которые, после дополнительного разбиения, всегда можно
считать треугольниками.
Очевидно, из совокупности всех а/;- можно составить все о^,
а следовательно, можно составить как Л, так и А'. При этом
из способа построения ау видно, что многоугольники Л, аь
я2, ..., ah; в А и многоугольники Л', аь а2, ..., ah в А1
разбиты каждый в точности на несколько треугольников а^.

примечания [52—53]
453
Совершенно аналогичным способом мы построим
совокупность треугольников р/;-, таких, что из них можно составить как
Д так и В', причём многоугольники В, Ьь ..., bk в В и
многоугольники В1, Ьь ..., bk в В' разбиты каждый в ч точности
на несколько треугольников р/у.
Рассмотрим теперь треугольники а/у в том их расположении,
в каком они составляют Л, и треугольники Р/у в расположении,
составляющем В.
Будем обозначать коротко через а* те из а/у, которые лежат
в Л, и через а — те из а/у, которые лежат вне Л, т. е.
в й'1 + л2 + ... + «л-
Аналогично, р/у, лежащие в Л, обозначаем через р*, а
лежащие вне В, т. е. в Ьл + &2"т~- • • Л-^ь обозначаем через р.
Очевидно, а* и р* не могут перекрываться; зато а* и р,
о и р, а и f перекрываться могут.
Возьмём общие части .треугольников а и р*, р и а*, а «JJ
и пристроим их (т. е. многоугольники, им конгруентные) к Л
и В без перекрытий с А и В и между собой. Полученная фи-
тура С, очевидно, равновелика по разложению многоугольнику
2 а + 2 а* ~Ь 2 Р "Ь 2 Р*» составленномУ каким-нибудь образом
из всех треугольников а, а*, р, р* (т. е. из всех а/у и всех Р/у)
без перекрытий. При этом та часть фигуры С, которая
расположена вне А и вне В, очевидно, равновелика по разложению
многоугольнику Sa~hS ^ составленному каким-нибудь
образом из всех треугольников а и р без перекрытий, а,
следовательно, равновелика по разложению многоугольнику
«1 + «2+--- + *Л + *1 + &2+••• + **>
составленному каким-нибудь образом из Я/ и #/ без перекрытий.
Повторим то же самое построение для многоугольников А1
и В1. Фигура О будет равновелика по разложению с С, так
как обе они равновелики по разложению с одним и тем же
многоугольником, составленным из всех а/у и всех р/у без
перекрытий (а/у и р/у — общие в обоих случаях, хотя их разделение на
а и a*, р и р* может быть и различным).
Далее, часть С, лежащая вне A' -f- В1, равновелика по
разложению с частью С, лежащей вне A -f- В, так как обе они
равновелики по разложению с многоугольником, составленным из
аъ а>, ..., яЛ, Ьь Ьъ ..., bk без перекрытий.
Теорема доказана.
[53] Докажем предварительно следующее утверждение:
отрезок, соединяющий вершину (А) треугольника с произвольной
точкой (М), лежащей на противоположной стороне {ВС), меньше
одной из двух других его сторон (АВ или АС).

454
ПРИМЕЧАНИЯ [53J
Действительно (см. черт. 28), так как точка М лежит на
отрезке ВС, то отрезки ВМ и МС лежат по разные стороны or
прямой AM и углы -QAMB и -QAMC являются смежными.
Следовательно, один из них, например, <£ АМВ, наверное,
прямой или тупой, а другой (<£ АМС) — прямой или острый
(теорема 11). Поэтому, в силу теоремы 22, углы *$.ВАМ и «ZfcABM
острые, так как они меньше угла «QAMC. Применяя к
треугольнику АВМ теорему 23, получаем, что
AM < АВ.
Докажем теперь, что отрезок ДХ, целиком лежащий внутри
треугольника, меньше одной из его сторон (черт. 29). В силу
леммы III в примечании [15], любой луч, исходящий из внутренней
точки треугольника, проходит через треугольник один раз.
Пусть тот из двух лучей прямой ДХ, исходящих из К, который
не содержит L, встречает треугольник в Р\ а тот из двух лучей
Черт. 28. Черт. 29.
той же прямой, исходящих из L, который не содержит Д,
встречает треугольник в Q. Очевидно, К и L лежат между Р
и Q.
Одна из точек Р, Q, скажем Q, должна лежать на стороне
треугольника, например на ВС, другая же либо лежит на другой
его стороне, например АВ, либо совпадает с его вершиной Л.
Из определения неравенства отрезков следует, что
KL<PQ. (1)
Соединим точки Р и С отрезком и применим доказанное выше
утверждение дважды: к треугольнику ВРС и отрезку PQ и к
треугольнику ABC и отрезку СР. Мы получим:
PQ<PB или PQ<CP (2)
и
СР<СВ или СР^СА. (3)
(Знак равенства имеет место в том случае, когда прямая ДХ
проходит через вершину А, т. е. когда точки РиА совпадают.)
Из неравенств (1), (2), (3) и неравенства
РВ ^ АВ (4)

ПРИМЕЧАНИЯ [54—56]
455
следует справедливость одного из следующих трёх неравенств:
ККАВ, или KL<AC, или KL < ВС.
pi] Из теоремы 46 следует, что всегда можно найти
прямоугольный треугольник, равновеликий по дополнению данному
треугольнику ЛВС. Чтобы доказать, что этот последний
равновелик по дополнению прямоугольному треугольнику, один из
катетов которого равен 1, отмечаем на стороне С А отрезок
СЕ = 1 и из точки А проводим
прямую AM параллельно BE (черт. 30). По г
теореме 46 треугольники ВЕМ и ВЕА
равновелики по дополнению. Так как
треугольник ABC составлен из ВСЕ
и В^А, а треугольник СЕМ — из ВСЕ I
и ВЕМ, то по теореме аддитивности at
(примечание р2]) треугольники ABC и i
СЕМ равновелики по дополнению.
В случае СА < 1 расположение
чертежа будет несколько иное.
р5] Здесь подразумевается
построение нового прямоугольного
треугольника, один катет которого равен 1, а Черт. 30.
другой равен сумме катетов, отличных от
1 в прежних прямоугольных
треугольниках. Этот второй катет нового треугольника мы примем за его
основание, которое представляет собою, следовательно, сумму
оснований прежних прямоугольных треугольников. Разобьём
новый треугольник отрезками, соединяющими вершину с точками
деления основания. Полученные треугольники разбиения, по
теореме 46, равновелики по дополнению прежним прямоугольным
треугольникам, а следовательно (теорема 43), и треугольникам,
на которые разбит исходный простой многоугольник.
По теореме аддитивности (примечание [52]) отсюда следует
равновеликость по дополнению исходного многоугольника и
построенного нами прямоугольного треугольника.
[56] Уточним всё сказанное.
Будем называть прямую направленной, если для любых
её двух точек указан порядок их следования, например Л, В.
Этот порядок должен удовлетворять следующему требованию.
Если В следует за Л и С следует за В, то 1) С следует за Л,
2) В лежит между Л и С.
Мы утверждаем, что на прямой однозначно определится
направление в этом смысле, если указать произвольно две точки,
например L и М, и потребовать, чтобы М следовала за L.

456
ПРИМЕЧАНИЯ [56]
В самом деле, если взять после этого две какие-нибудь
точки А, В то, по теореме 6, точки А, В, L, М можно
последовательно записать так, чтобы эта запись отвечала их
геометрическому расположению (в смысле соотношения «между»). Потребуем,
кроме того, чтобы в этой записи точка М следовала за L. Тогда
запись определится вполне однозначно, и порядок следования
точек Л, В в этой записи мы и примем за порядок следования
этих точек на прямой.
Нетрудно проверить соблюдение требований 1) и 2). Для
этого достаточно провести аналогичную запись для 5 точек А, В,
С, Z,, М и использовать свойства этой записи, известные по
теореме 6. Следует иметь в виду, что если из записи вычеркнуть,
например, точку С, то мы получаем прежнюю запись для 4
точек, так что порядок следования точек А, В не меняется от того*
что в записи участвуют дополнительные точки.
Точки, следующие за данной точкой О направленной прямой,
образуют, очевидно, полупрямую (луч). В дальнейшем под
прямыми мы понимаем направленные прямые.
Введение ориентации на плоскости можно теперь
осуществить следующим образом. Для каждой прямой на плоскости
мы присвоим одной из двух полуплоскостей, образуемых этой
прямой, наименование «левая», а другой — «правая». При этом
при замене направления на прямой на обратное мы условимся
эти наименования переставлять между собой.
Будем говорить, что плоскость ориентирована,
если выбор «правых» и «левых» полуплоскостей будет
согласован в нижеследующем смысле: всякий раз, когда две
прямые я, Ъ пересекаются в какой-нибудь точке О, и полупрямая я,
следующая за О, лежит «справа» от Ь, то полупрямая Ь,
следующая за О, лежит «слева» от а, и наоборот (черт. 31).
Мы будем говорить коротко, что две пересекающиеся
прямые а и b «согласованы», если выбор «правых» и «левых»
полуплоскостей для них удовлетворяет
указанному требованию. Очевидно, «согласован-
ность» не нарушается при замене направления
ка одной из прямых на обратное (следует
помнить, что «правая» и «левая» сторона
при этом меняются местами).
Наша задача состоит в следующем.
Выбрав для какой-нибудь одной прямой а
«правую» и «левую» полуплоскость произвольно,
показать, что для всех остальных прямых
это можно сделать так, чтобы любые две
пересекающиеся прямые были «согласованы».
Пусть а будет исходная прямая, для
которой мы произвольно выбрали «правую» и
«левую» полуплоскости. Для всех остальных
прямых Ь, пересекающих а, мы определяем «правую» и
«левую» полуплоскости, требуя, чтобы а и Ь были согласованы

ПРИМЕЧАНИЯ [56]
457
(если полупрямая Ъ, следующая за О, лежит «слева» от я,
то из двух полуплоскостей, определяемых Ь, мы назовём
«правой» ту, которая и содержит полупрямую а, следующую за О).
Те прямые с, которые не пересекаются с я, наверное
пересекаются с некоторыми прямыми Ъ\ для таких с мы устанавливаем
«правую» и «левую» сторону путём согласования с какой-
нибудь прямой Ь, с которой данная прямая с пересекается.
Для того, чтобы убедиться, что теперь любые две
пересекающиеся прямые окажутся «согласованными», достаточно
доказать, что «согласованность» есть свойство транзитивное: две
прямые, «согласованные» с третьей, «согласованы» и между собой.
Черт. 32.
Черт. 33.
Действительно, отсюда немедленно вытечет, что любые две
пересекающиеся прямые Ъ «согласованы» между собой; затем,
что прямая с, будучи «согласована» с одной из пересекающих
её прямых Ьъ будет «согласована» с любой другой пересекающей
её прямой Ь2 (если нужно, сначала обнаружим «согласованность»
с с вспомогательной прямой Ьг, а затем уже с Ъ2 (черт. 32).
Наконец, любые две пересекающиеся прямые съ с2
согласованы между собой. Действительно, пусть сг «согласована» с Ьъ
а с2 — с Ь2. Тогда сх «согласована» с
Ьг и с2 с Ь4 (черт. 33). Так как bz
и Ъ± всегда «согласованы» между
и с2 тоже «согласо-
собой, то сх
ваны».
Итак, докажем транзитивность
«согласованности».
Пусть трипрямые а, Ъ,
с попарно пересекаются.
Если а согласовано с Ъ и
с с, то Ь и с согласованы
между собой.
1-й случай: а, Ь, с образу ют треугольник ЛВС
(черт. 34). Для определённости считаем, что направления на а,
Ъ, с суть ВС, СА, АВ (от замены направления прямой на обратное
«согласованность» не нарушается). Пусть точка А лежит хотя
Черт. 34.

458
примечания [56—57]
бы «влево» от а. Тогда полупрямая Ь, следующая за С, также
лежит «влево» от а, а значит (в силу «согласованности»)
полупрямая а, следующая за С, лежит вправо от Ь. Тем самым точка В,
предшествующая С на я, лежит на другой полупрямой а, т. е.
влево от &. Полупрямая су следующая за Л, т. е. АВ,
лежит тем самым влево от Ь.
Теперь проводим аналогичное рассуждение, исходя из
полупрямой с, следующей за В и лежащей, следовательно, вправо
от а. В силу «согласованности» полупрямая я, следующая за В,
лежит «слева» от с, точка С тоже «слева» от с, и полупрямая
Ь, следующая за точкой А,
лежит «справа» от с.
Сопоставляя подчёркнутые
результаты, мы убеждаемся в
«согласованности» прямых b и с.
2-й случай. Прямые а,Ь, с
л пересекаются в одной точке
/ ' (черт. 35).
Пересекаем я, Ъ, с четвёртой пря-
Черт. 35. мой d, не проходящей через их
общую точку, и «согласуем» прямую
d с а.В силу 1-го случая, d окажется «согласованной» исйс
с, а следовательно, Ь и с будут «согласованы» и между собой.
[56а] На стр. 127, в начале § 17, указывалось, что
исчисление отрезков (взятых с их знаками) подчиняется правилам 1—16
§ 13, в частности коммутативному и ассоциативному
законам для сложения. Пользуясь этими законами, можно
перегруппировать слагаемые в правой части так, чтобы в первую
очередь происходило сложение отрезков, отличающихся друг от
друга только знаками, в результате чего эти отрезки выпадут
из- суммы.
Ссылка на дистрибутивный закон, встречающаяся в
доказательстве, позволяет нам заключить, что когда основание
одного треугольника есть сумма оснований двух других
треугольников, а высоты у всех трёх конгруентны, то мера
площади первого треугольника — как половина произведения
основания на высоту — есть сумма мер площади для двух других
треугольников.
[57] В самом деле, если у нас имеется два разбиения
данного многоугольника Р на треугольники, то, как было показано
при доказательстве теоремы 53, можно построить его третье
разбиение на треугольники, являющиеся подразбиением каждого
из первых двух. Возьмём сумму мер площади треугольников
третьего разбиения и все слагаемые разобьём на группы так,
что слагаемые каждой группы отвечают треугольникам,
входящим в один и тот же треугольник первого (второго) разбиения.

ПРИМЕЧАНИЯ [57—60]
459
По теореме 50 каждая группа слагаемых даёт меру площади
треугольника первого (второго) разбиения, а полная сумма даёт
сумму мер площади треугольников первого (второго) разбиения.
Таким образом, сумма мер площади треугольников первого и
второго разбиений равна одному и тому же отрезку.
[58] Ссылка на теорему 50 является излишней, и равенство
мер площади для многоугольников, равновеликих по
разложению, следует непосредственно из определений.
Из определения меры площади многоугольника
непосредственно следует также, что мера площади составного
многоугольника (см. примечание [51]) равна сумме мер площадей
составляющих многоугольников. Это обстоятельство используется
в следующем абзаце текста, где подразумевается, что равенство
[P+P' + ... + P''] = [Q + Q' + ... + <?'/]
можно переписать в виде:
[р]+\р'} •+-•••+т=\Q\+[<?ч+• • •+[<?"]•
р9] Обращаем внимание читателя на различие между
аксиомами IV и IV*. Как аксиома IV, так и аксиома IV* отрицают
возможность провести через данную точку А более одной
прямой, не пересекающейся с данной прямой (всё происходит в
данной плоскости а). Но аксиома IV* утверждает, кроме того,
что одну такую прямую всегда можно провести; аксиома IV
такого утверждения не содержит. Дело в том, что раньше,
когда у нас имелись аксиомы конгруентности, это утверждение
доказывалось; теперь же это утверждение доказать
невозможно, и его приходится принять за аксиому.
[Щ Вся V глава относится к геометрии, построенной на
аксиомах I, II, IV*, т. е. по существу — к проективной
геометрии, лишённой лишь, в согласии с общим ходом
идей автора, аксиом непрерывности. Мы должны здесь вскрыть
проективный характер рассматриваемой геометрии^так как иначе
появление теоремы Дезарга не будет достаточно отчётливо
мотивировано.
Заметим-прежде всего, что из аксиомы IV* вытекает, что
две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой
(под параллельным прямым мы понимаем здесь прямые, лежащие
в одной плоскости и не имеющие общих точек).
Лемма 1. Пусть из трёх прямых а, Ь, с прямые а и b
лежат в плоскости ?, Ь и с— в плоскости а, с и а в плоскости §
(где а отлично от (S). Тогда, если а и Ь имеют общую точку С,
то эта точка принадлежит и <?.
Прежде всего у отлична от а и от р.* если бы -у совпадала
с а, то эта плоскость содержала бы прямые а и с и (по
теореме 2) совпадала бы с р.

460
ПРИМЕЧАНИЯ [60]
Общая точка С прямых а и Ь принадлежит тем самым всем
трём плоскостям а, р, ^\ но плоскости а, р имеют общую
прямую с и вне её общих точек не имеют (теорема 1).
Следовательно, С принадлежит и с.
Лемма 2. Если из трёх прямых а, Ь, с а [| Ь, а |) с, то и
Ь\\с.
Обозначим через -у плоскость (а, Ь) и через р— плоскость
{а, с). Если 7 и р тождественны, то & и г лежат в одной
плоскости и не имеют общих точек — иначе, вопреки аксиоме IVs5,
к прямой а через эту точку были бы проведены две параллели.
Следовательно, Ь || с.
Если уир различны, то через с и произвольную точку В
на Ь проводим плоскость (теорема 2), которую мы обозначим а
(точка В не принадлежит с — иначе Ь и с совпали бы по
аксиоме IV*). Плоскости а и 7 различны (иначе с лежала бы в f
и р совпадала бы с у). Обозначим через Ь1 их общую прямую
[так как а и 7 имеют общую точку В, то они имеют общую
прямую (теорема 1)].
Если бы Ь1 была отлична от Ь, то, по аксиоме IV*
(единственность параллели), Ъ' имела бы общую точку с а; но тогда,
по лемме 1, эта точка принадлежала бы и с, что невозможно,
так как а [| с.
Итак, Ь' совпадает с Ь, а значит, b и с лежат в одной
плоскости а. Если бы b и с пересекались, то, по лемме 1, через ту
же точку проходила бы прямая я, что невозможно. Итак, b || с.
Будем называть связкой параллелей совокупность
всевозможных прямых в пространстве, параллельных данной прямой;
по лемме 2, все прямые связки параллельны между собой.
Мы не останавливаемся на изложении теории параллелизма
между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями, так
как она без труда может быть развита так же, как и в обычной
стереометрии, но уже с полной строгостью, в результате
ссылок на аксиомы I и IV*.
Переходим теперь к построению проективного
пространства. Сопоставим каждой связке параллелей новый
элемент пространства, который мы будем называть несобствен-
ной точкой. Несобственные точки мы будем считать
тождественными тогда и только тогда, когда тождественны
определяющие их связки параллелей.
Определение. Мы будем говорить, что несобственная
точка принадлежит данной прямой тогда и только тогда, когда
эта прямая входит в соответствующую связку параллелей.
Таким образом, теперь можно сказать, что все прямые
параллельной связки имеют общую несобственную точку. '
Определение. Мы будем говорить, что несобственная
точка принадлежит данной плоскости тогда и только тогда,
когда эта плоскость параллельна прямым соответствующей связки
параллелей (т. е. когда на плоскости можно указать пучок
параллелей, входящий в связку).

ПРИМЕЧАНИЯ [60]
461
Таким образом, на данной плоскости лежит бесчисленное
множество несобственных точек, по одной для каждого пучка
параллелей на этой плоскости.
Определение. Совокупность всех несобственных точек,
принадлежащих данной плоскости, мы будем называть
несобственной прямой, принадлежащей данной плоскости.
Очевидно, параллельные плоскости имеют все несобственные
точки общими, а следовательно, имеют общую несобственную
прямую.
Определение. Совокупность всех несобственных точек
мы будем называть несобственной плоскостью (которая будет,
таким образом, единственной).
Построение проективного пространства закончено: под ним
мы будем понимать совокупность точек, прямых и плоскостей как
прежних (собственных), так и вновь построенных
(несобственных), рассматриваемых без различия друг от друга.
В проективном пространстве справедливы следующие
основные предложения:
1. Двум точкам отвечает одна и только одна принадлежащая
им прямая.
2. Двум плоскостям отвечает одна и только одна
принадлежащая им прямая.
3. Точке и не принадлежащей ей прямой отвечает одна и
только одна плоскость, принадлежащая им обеим.
4. Плоскости и не принадлежащей ей прямой отвечает одна
n только одна точка, принадлежащая им обеим.
5. Трё'м точкам, не принадлежащим одной прямой, отвечает
одна и только одна плоскость, принадлежащая им всем.
6. Трём плоскостям, не принадлежащим одной прямой,
отвечает одна и только одна точка, принадлежащая им всем.
Особенно важно то обртоятельство, что предложения 2, 4, 6
в проективном пространстве верны безоговорочно, в то время
как в прежнем пространстве они допускали исключения (случаи'
параллелизма). В достижении этой полной общности
формулировок и состоит преимущество проективного пространства, и именно
эту цель имеет введение новых — несобственных — элементов.
Что касается проверки предложений 1—6, то она
выполняется на основе имеющих место в исходном пространстве
аксиом I, IV* и покоящейся на них теории параллелизма и,
конечно, на основе определений, использованных нами при
введении несобственных элементов. При этом проверка ведётся
отдельно для всех возможных случаев. Например, предложение 4
нужно проверить, когда 1) плоскость и прямая собственные
пересекающиеся, 2) собственные параллельные, 3) плоскость
несобственная, прямая собственная и 4) плоскость собственная,
прямая несобственная *).
*) Эту проверку предложений 1—6 можно найти, например,
в книге Н. Ф. Четверухина «Высшая геометрия», гл. И.

462
ПРИМЕЧАНИЯ [60]
Теорема Дезарга (плоскостная) — первая из нетривиальных
проективных теорем — доказывается на основе этих
предложений и гласит следующим образом:
Пусть ABC и А'В'С — треугольники, лежащие на одной
плоскости и не имеющие общих вершин и общих сторон (под
сторонами мы понимаем здесь прямые, а не отрезки).
Тогда — если 1) три прямые, соединяющие
соответствующие вершины, имеют общую точку, то 2) три точки
пересечения соответствующих сторон лежат на одной прямой, —
и обратно: из 2) следует 1).
Теорема верна в проективном пространстве, т. е. при любой
комбинации собственных и несобственных элементов среди
рассматриваемых в ней точек и прямых*).
Рассмотрим частный случай теоремы Дезарга.
Пусть имеет место свойство 1) и пусть, кроме того, две
пары соответственных сторон параллельны, иначе говоря, имеют
точки пересечения на несобственной прямой данной плоскости.
В силу теоремы Дезарга должно иметь место свойство 2), т. е.
точка пересечения третьей пары соответственных сторон должна
лежать на той же (несобственной) прямой, а значит, стороны
в третьей паре тоже должны быть параллельны.
Пусть, обратно, все три пары соответственных сторон
параллельны, т. е. имеет место свойство 2) в том частном случае,
когда точки пересечения соответственных сторон лежат все три
на несобственной прямой. Тогда, по теореме Дезарга, имеет
место и свойство 1), т. е. три прямые, соединяющие
соответственные вершины, имеют общую точку, либо собственную,
либо несобственную (т. е. параллельны).
Это и есть теорема 53 (в тексте Гильберта).
Если в построенном проективном пространстве мы захотим
до конца уничтожить различие в свойствах между собственными
и несобственными элементами, то нам придётся определить • для
точек на прямой новые отношения порядка, учитывая и
несобственную точку прямой Мы не будем на этом останавливаться
(для теоремы Дезарга отношения порядка не играют никакой
роли); укажем только, что проективный порядок точек на
прямой будет круговым, и, хотя при его установлении понятие
«между» и аксиомы Ив области собственных точек
должны быть использованы, на проективной (дополненной
несобственной точкой) прямой понятие «между» потеряет смысл.
Резюмируем сказанное в этом примечании. Геометрия,
основанная на аксиомах I, II, IV*, есть по
существу геометрия проективного пространства,
лишённая части с во и х элементов.
Присоединение несобственных элементов нужно
рассматривать как восстановление этих элементов.
*) Доказательство можно найти в той же книге Н. Ф. Ч е т-
верухина, а также в любом курсе проективной геометрии.

ПРИМЕЧАНИЯ [60—64]
463
В результате получается обычная проективная геометрия, л и-
шённая, однако, аксиом непрерывности.
Проективным характером геометрии и объясняется особенная роль
теоремы Дезарга.
[61] Примем за ось этой недезарговой геометрии ось ОХ
декартовой геометрии в прямоугольных координатах дг, у.
Выполнение аксиом Ij и 12 может вызывать
сомнение только в том случае, когда
данные точки А (хъ у{) и В(х2, У2) ле_
жат в разных полуплоскостях и притом
обычная прямая, соединяющая эти две
точки, в положительной полуплоскости
образует с положительным
направлением оси острый угол. Другими словами,
если А (хь уг) лежит в положительной
полуплоскости, то Ух > 0,_у2 <»0> х1 ^> х2-
Обозначим через С(дг, 0) (черт. 36) точку пересечения
недезарговой прямой АВ, если таковая существует, с осью. Из
определения недезарговой прямой следует, что
_*_:-£_ =2
Xty — X X] — X
или
у2 (хг — х) — 2(х2 — х) уг.
Отсюда
2уг—у2
Отсюда следует, так как у1 > 0, —у2 > 0, что х заключено
между хг и х2, так что луч С А и продолжение луча С В в
положительной полуплоскости будут наклонены к оси под острым
углом. Существование и единственность недезарговой прямой АВ
доказаны.
Выполнение аксиом 1з, Hi-з? ^1-3» IV, V совершенно
очевидно. Без труда доказывается и аксиома П4; единственное
усложнение здесь состоит в том, что следует рассматривать все
возможные случаи расположения треугольника.
[62] Другими словами, здесь имеются в виду углы, у которых
либо вершина лежит вне оси, либо, если вершина лежит на
оси, то ни одна из дв'ух сторон не является лучом, лежащим
в положительной полуплоскости и образующим острый угол
с положительным направлением оси.
[63] В оригинале ошибочно стоит «ассоциативного».
[64] Здесь не требуется, чтобы Е непосредственно
следовала за О; возможны последовательности ОАВЕ, АОВЕ
и т. д. Случаи же, когда, напротив, О следует за £, всегда можно
устранить, так как последовательность, по теореме 5,
определяется с точностью до замены её обратной последовательностью.

464 ПРИМЕЧАНИЯ [65]
[65] В виде примера докажем справедливость в числовой
системе Дезарга правил 15 и 16 § 13. Этому доказательству мы
предпошлём несколько замечаний.
Пусть нам даны в плоскости а две прямые а и а' и пусть
на прямой а имеется некоторая последовательность точек Л, В,
С, ..., /С, L. Из этих точек мы проведём прямые, параллельные
друг другу, но не параллельные прямой а* (и не совпадающие
с а). Точки Л', В\ С',..., /f, L' пересечения этих параллелей
с прямою а' мы назовём проекциями (параллельными) точек Л,
В, С, ... , К, L.
Лемма I. Из аксиом 1а_3, II и IV* следует, что
проекции точек на прямой а' располагаются в том же порядке,
что и проектируемые точки на прямой а. Другими словами,
если из трёх точек Л, В и С, взятых на прямой я, точка В лежит
между Л и С, то на а' точка В' лежит между Л' и С (черт. 37).
Доказательство. Так как точка С лежит вне отрезка
АВ, то точки Л и В лежат по одну сторону от прямой СС.
Так как прямые АА1 и ВВ1 параллельны СС\ то точки Л и Л',
В и В' должны лежать по одну сторону от СС (см.
примечание [**]), а следовательно, точки Л' и В' лежат по одну сторону от
прямой СС (см. то же примечание), т. е. точка С лежит вне
отрезка А'В\ Точно так же докажем, что точка А' лежит вне
отрезка В'С. Следовательно, точки Л', В', С расположены
в том же порядке, что и проектируемые точки.
Следствие. Если отрезок АВ прямой а не пересекается
с прямой а', то проекции Л', В' точек Л, В напрямую а' лежат
по одну сторону от а.
Справедливость этого утверждения в том случае, когда
прямые а и а' параллельны, очевидна, так как если бы А' и В'
лежали по разные стороны от прямой я, то прямая А'В\ т. е.
прямая а', пересекалась бы с а. Если же прямые а и а'
пересекаются в некоторой точке О, причём
точка В лежит на отрезке АО
(черт. 37), то, в силу леммы I, точка
В' лежит на отрезке А'О, т. е. отрезок
А'В' не пересекается с прямой я,
а следовательно, точки А и В лежат по
о:ну сторону от а.
Лемма П.. Пусть точки Л и В
прямой а проектируются с помощью
одного пучка параллельных в точки Л',и
В' прямой я*, а с помощью другого
пучка параллельных — в точки А" и В"
той же прямой я*. Если на отрезке АВ не лежит точка
пересечения прямых а и а* (в частности, если эти прямые
параллельны), то точки Л', А", В\ В" располагаются на я* так, что
В" следует за В\ коль скоро А" следует за Л'.
В силу следствия из леммы 1,пары проекций Л', В' и А", В"
находятся^ либо обе по одну сторону от прямой АВ, либо

ПРИМЕЧАНИЯ [65]
465
по разные стороны от неё. Рассмотрим первый случай и
положим сначала, что точки А" и В' лежат по одну сторону от Л'.
Допустим, что лемма неверна, т. е. что точка Ы лежит по ту
же сторону от В', что и Л' (черт. 38). Прямая АА", в силу
аксиомы IV*, пересекает ВВ' в некоторой точке, скажем, Р. Так
как точки В' и А" лежат по одну сторону от Л', то луч АА"
лежит по ту же сторону от АА\ что и. прямая ВВ', а
следовательно, точка Р лежит на луче АА". Точка Р, принадлежа
лучу АА", должна лежать по ту же сторону от АВ, что и точка
А"', а следовательно, в рассматриваемом случае, по ту же сторону,
что и точка В'; таким образом, точка Р лежит на луче ВВ'.
В этом случае В' и В" лежат по одну сторону от АВ и В"
лежит по ту же сторону от ВВ', что и Л', т. е. что и А.
Поэтому точка В", а значит, и луч ВВ" лежат внутри угла ABB',
на сторонах которого находятся концы А и Р отрезка АР и,
следовательно, луч ВВ" должен пересечь отрезок, принадлежащий
параллельной ему прямой АА". Мы
пришли к противоречию.
Положим теперь, что точки А"
и В' лежат по разные стороны от jP
А'. Утверждение, что лемма II
неверна, означает в этом.случае, Цк
что точки А", А', В', В" могут
располагаться на прямой я* в
указанном порядке. Но при таком
Черт. 38.
Черт. 39.
расположении (черт. 39) луч BQ прямой ВВ", дополнительный
к лучу ВВ", проходит по ту же сторону от ВВ', что и прямая
АА', а луч АР прямой АА", дополнительный к лучу АА", лежит
по ту же сторону от АА', что и прямая ВВ\ С помощью
рассуждения, совершенно аналогичного предыдущему, докажем, что
в таком случае прямые АР и BQ пересекаются, т. е. придём
к противоречию.
Во втором случае, когда пары точек Л', В' и Л", В" отделены
друг от друга прямой АВ, а следовательно, и точкой С
пересечения прямых а и а* (черт. 40), справедливость леммы очевидна.
30 Д. Гильберт

466
ПРИМЕЧАНИЯ [65]
Докажем теперь, что если Ь> а, то Ъ -f- с > а -f- с.
Производим следующие построения (черт. 41). На стороне Ох угла
хОу откладываем отрезки 0£=1, ОА~а, ОВ = Ь, ОС^=с.
На другой стороне Оу того же угла откладываем отрезок ОЕ' = 1 и
проводим прямые АА' \\ В В' \\ ЕЕ', CN || ОЕ' и Е'Р || A'Q \\ B'R \\ ОЕ.
Пусть прямые Е'Р, Л'<?, B'R пересекают прямую CN (они ей
не параллельны в силу аксиомы IV*) в точках Мъ М2, М%. Из
Черт. 40. Черт. 41.
точек Мь М2, М% проводим прямые, параллельные ЕЕ'. Пусть
эти пршые пересекут ОЕ в точках И, К, L. Согласно
определению сложения, мы будем иметь:
ОН=с+\, ОК=с + а, OL = c + b.
Условимся записывать точки оси Ох всегда в таком порядке,
при котором точка Е следует за О. Так как & > я, то по
определению (и в силу предыдущего условия) В следует за А.
Согласно лемме I, точки С, И, К, L должны быть расположены
на прямой ОЕ в том же порядке, что и точки С, Мъ Мъ Мъ
на прямой CN, а значит, в том же порядке, что и точки О, Е',
А', В' на прямой ОЕ', а значит, в том же порядке, что и точки
О, Е, Л, В прямой ОЕ. Последнее утверждение означает,
напр мер, что точка И лежит между С и /С, если точка Е
лежит между О и Л; но из хэтого утверждения отнюдь ещё нельзя
заключить, что точка Н следует за С, когда все точки, взятые на
оси Ох, будут записаны в условленном порядке (т. е. так, что Е
следует за О). Последнее заключение следует из леммы II.
Действительно, прямая Е'Р параллельна ОЕ, а потому к
точкам О, Е, С, Н, служащим проекциями точек Е' и Мъ
применима лемма II, т. е. Н следует за С.
Теперь доказано, что порядок следования точек С, И, /С, L
на оси Ох будет таким же, как у точек О, Е, А, Л, не только
с точностью до замены на обратный (что было доказано выше),
но и совершенно точно. А так как В следует за Л, то L
следует за /С, чем и доказывается требуемое.

ПРИМЕЧАНИЯ [65—67]
467
Докажем теперь, что если а > Ь и с > 0, то ас > be (черт. 42).
Откладываем отрезки ОЕ — ОЕ'=\, ОА = ОА' = а, ОВ =
~ОВ' = Ь (так, чтобы при этом АА' || ВВ' \\ЕЕ') и ОС=с так,
чтобы точка О не лежала на отрезке ЕС (т.- е. £ > 0) Далее, из
точки С проводим прямые,
параллельные ЕА' и ЕВ'. Пусть эти прямые
пересекают ОЕ' соответственно в точках
К' и Z/. По определению умножения,
ОК' = ас и OL' = bc. Так как на
отрезке ЕС нет ни одной точки
прямой ОЕ\ то, в силу леммы II, V
следует за /С', если В' следует за А\
что и требовалось фактически доказать.
[66] Во всех этих соглашениях
следует иметь в виду порядок множителей.
Например, системы (u\v\w:*r) и (ua:va:wa:ra) не представляют
одной и той же плоскости.
[67] Наметим путь проверки аксиом I и IV*.
Пусть в некоторой числовой системе законы 1—11 § 13
выполнены; другими словами, числовая система представляет
собою некоторое поле (вообще говоря, некоммутативное). Нам
придётся установить сначала некоторые соотношения из алгебры
этого поля.
Рсссмотрим линейное преобразование произвольных
элементов поля хь х2,.. • , хп в некоторые новые элементы
х[, х'2> ..., хп по закону:
х \ = апх± +а12х2 + ... + аыхт Л
Х2 — #21xl "Г ^22-^2 + • • • ~Г а2пХП>
(1)
хп — ап1х1 + ап2 v2 +• • •+ аппхп- J
Коэффициенты преобразования (из того же поля)
предполагаются стоящими слева, что в некоммутативном поле
существенно. Нас будет интересовать вопрос о существовании
обратного преобразования того же типа, т. е. вопрос о решении
этой системы уравнений относительно хъ ..., хп. Теория
детерминантов в некоммутативную область не переносится, а
потому вопрос этот мы должны решить заново.
Теорема. Равносильны следующие утверждения:
1) не существует таких значений хь х2, ..., хп (из
которых хоть одно отлично от нуля), которые обращают
в нуль x'v х2, ,
30*

468 ПРИМЕЧАНИЯ [67]
2) не существует таких элементов Ъь Ь2, ..., Ъп (из ко-
торых хоть один отличен от нуля), чтобы имело место
hx[ + Ь2х2 + ... + Ьпх'п = 0
при любом выборе значений хь хъ ..., хп;
3) преобразование (1) обратимо. Другими словами, для
него можно указать преобразование вида
x1 = anx[+...+ alnx'nf
— ' . , — '
хп — ап1х\ ~Г- * '~t~ аппхп
(2)
с такими коэффициентами aij, что система (1) в точности
эквивалентна системе (2), т. е. когда удовлетворена одна,
удовлетворена и другая.
Заметим, между прочим, что утверждение 1 означает, что
столбцы матрицы (1) линейно независимы справа, а
утверждение 2— что строки матрицы (1) линейно независимы слева.
В коммутативном случае утверждения 1), 2) и 3) равносильны
необращению в нуль детерминанта преобразования.
Для п=\ преобразование имеет вид: х\ = ахъ и
каждое из требований 1), 2), 3) означает, очевидно, одно и
то же: а Ф 0. Заметим, что, в силу закона 5 § 13, для а ф 0
существует такое число — его мы обозначим я-1,— что аа-г=\.
Умножая это равенство на а справа, получим (закон 6):
(аа~1)а — а или (закон 9): а(а-1а) = а.
Сравнивая это равенство с а-1—а, мы получим в силу
закона 5 (единственность деления):
т. е. а-1 и а дают в произведении 1 в любом порядке.
Преобразование л^ — я-Ь^' будет, очевидно, обратным к
х\ = ахх в смысле утверждения 3).
Пусть теорема доказана для всех значений л, меньших
данного. Докажем её для данного значения п.
Будем считать, что хоть один из коэффициентов в
преобразовании (1) отличен от нуля (иначе теорема теряет смысл).
Пусть для определённости это будет апп.
Определим теперь новые элементы х"ь ..., х"п_х по
формулам:
*1п{
апУп>
-\Л
хп-\ — хп-\~ аи-1,паппхп
(3)

ПРИМЕЧАНИЯ [67]
469
Очевидно, что х[, ..., х"п_ь если вместо х\, ..., х'п
подставить их выражения из (1), выразятся только через хъ ..., хп_х
без участия хп. Мы имеем, таким образом, преобразование
типа (l\ но с меньшим числом элементов. Это преобразование
хъ ...,х -I в хь ..., х"п_х мы будем называть коротко
преобразованием (3). Мы утверждаем теперь следующее:
Если свойство 1) имеет место для преобразования (1),
то оно имеет место и для преобразования (3), и обратно.
Для этого достаточно доказать, что если свойство 1) не
имеет места для (1), то оно не имеет места и для (3) и обратно.
Итак, пусть существуют такие значения хь ..., хп (хотя бы
одно из которых не равно 0), которые обращают в нуль все
xv ..., хп. Но из формул (3) видно, что тогда обращаются
в нуль и xlf ..., хп_г, т. е. свойство 1) не имеет места и для
(3). [Важно, что при этом хь ..., хп^г не могут быть
одновременно нулями — иначе последнее из уравнений (1) приводило
бы к противоречию, так как апп Ф 0.]
Обратно, если существуют такие хь ..., хп_ъ которые
обращают в нуль все xv ..., xn_v то мы потребуем ещё*
обращения в нуль хп в последнем из уравнений (1), откуда без труда
найдём соответствующее значение хп (так как апп Ф 0). Мы
имеем теперь значения хъ х2, ..., хп, которые обращают в нуль
х\, ..., х'п_х, хп, а следовательно, и х[, ...,х'п.
Далее мы утверждаем: если свойство 2) имеет место для
преобразования (1), то оно имеет место и для
преобразования (3), и обратно.
Снова доказываем, что если свойство 2) не имеет места
для (1), то оно не имеет места и для (3), и обратно.
Пусть существуют tb b2,..., bn (из которых одно не
равно 0) такие, что
М|+•••+*„-t*«_i+*«*!, = ° (4)
при любых хь ..., хп. Пользуясь (3), можно написать:
ЬХх\ + . . .+ *л-1*л-1 = ЬЛ*\ + • • '+ Ьл-1х'п-1 +
+ (— Ml/* — -••—bn-1an-l,.)"nnxn-
Сумму, стоящую в скобках, мы можем заменить через Ьпапп\
чтобы убедиться в этом, достаточно написать (4) в том частном
случае, когда
х1 — хч =z • • • ^ хп-\ — 0» хп = ^'
В результате всё выражение совпадает с левой частью (4)
и, следовательно, обратится в нуль. Следовательно, для
преобразования (3) свойство 2) тоже не имеет места (все Ьь ..., Ьп^1
не могут равняться нулю, так как иначе Ьп Ф 0 и из (4) следо-

470 примечания [67]
вало бы а:л = 0 при любых хъ ..., хп; но это невозможно, так
как аПп Ф 0).
Обратно, если существуют такие Ъь ... ,Ьп-г (не все
равные нулю), что
Ьгх[+ ... +bn^1xfn_l = 0
при любых хь ... , хп„ь то, вставляя сюда выражения (3),
получим зависимость вида (4) между xv ...,хп.
Наконец, докажем, что если свойство 3) (обратимость) имеет
место для преобразования (1), то оно имеет место и для
преобразования (3), и обратно.
Дополнительно к элементам xv ..., xn__v определяемым
формулами (3), введём ещё х"п по формуле
Преобразование xv ... , хп в х[ х'п, очевидно, обратимо:
достаточно в (3) заменить хп через хп и выразить xv .. .ixn_1.
Отсюда вытекает, что обратимость преобразования х в х'
равносильна обратимости преобразования х в х" (так как на-'
ложение двух обратимых преобразований даёт, очевидно,
преобразование обратимое).
Допустим, что зависимость х" от х обратима. Как мы
знаем, хь ... , xn_i выражаются линейно через хь ..., xn_i\ хп
выражается линейно через хь ... , хп. Пусть для последнего
преобразования существует обратное. Мы утверждаем, что в
обратном преобразовании хь ... , xn-i выражаются только через
х[, ..., xn_v Действительно, если бы в выражение для дгх
(например) вошло х"п с неравным нулю коэффициентом, то мы
получили бы противоречие, положив
хг=-- ... =xn_l = 0J хп = 1.
В самом деле, тогда, согласно (3),
х1=...=хп_1 = 0) хп = хп = аппфЪ,
и выражение для х\ будет сводиться к отличному от нуля члену,
содержащему хп. А это противоречит тому, что Х\ = 0.
Итак, существование обратного преобразования для
преобразования хь ..., хп в х'[, ... , х"п влечёт существование
обратного преобразования и для преобразования хь ... , х„_Л в
Х\ » * ' •» Xn-V
Совершенно очевидно, что обратное утверждение тоже верно.

ПРИМЕЧАНИЯ [67] 471
Итак, обратимость преобразования хь..., лгл_1 в xv ... , хп_{
равносильна обратимости преобразования хь ... , хп в x"v ... , х"ПУ
а последнее равносильно, как было доказано выше, обратимости
преобразования хь ... , хп в xv ... , х'п.
Наше утверждение доказано.
Теперь, так как справедливость каждого из утверждений
1), 2), 3) для преобразования (1)влечётза собой справедливость его
и для преобразования (3) и обратно, и так как для
преобразования (3) эти три утверждения эквивалентны (теорема
предполагается доказанной для п — 1 элементов), то и для
преобразования (1) эти утверждения будут эквивалентны.
Наша теорема доказана.
Переходим к некоммутативной аналитической
геометрии.
Как указано в тексте, точкой называется тройка чисел
(л:, у, z) дезарговой" числовой системы £>, а совокупность точек,
лежащих на прямой, определяется парой уравнений вида
п'х 4- v'y + w'z 4- r' == 0, \
и"х + v"y 4- w"z + г" == О J U
при условии, что строки матрицы
и\ v\ w'
и'\ v'', w''
линейно независимы слева.
Подберём ещё тройку чисел я, v, w дезарговой системы D
так, чтобы все три строки были линейно независимы слева
(возможность этого показать нетрудно). Обозначим через t линейное
выражение ux-^vy -\~wz .и запишем:
— г' ~ и'х + v'y 4- w'z, \
— r" = a"x-\-v"y-\-w"z, V (6')
t = их 4- vy 4- wz. J
Можно считать, что мы имеем здесь линейное
преобразование, произведённое над х, у, <г, причём соблюдается свойство 2).
В таком случае имеет место и свойство 3), и мы можем вместо
написанной системы взять ей эквивалентную систему
уравнений, где х, у, z будут линейно выражены через левые
части. Так. как г' и г" — постоянные, то члены с г' и г" мы
объединяем в качестве свободных членов х0, y0l z0 и получаем:
x = at + x0, \
y=bt+y0t j- (7)
Z = Ct -f Zq. )

472
ПРИМЕЧАНИЯ [67]
Очевидно, здесь можно давать t любые значения, не теряя
возможности вернуться к системе (6'). Следовательно, мы
доказали возможность параметрического представления всякой
прямой (при этом а, Ь, с одновременно в нуль не обращаются —
иначе при подстановке х, у, z из (7) в (6) мы получили бы
t = const.).
Обратно, всякое параметрическое представление (7), где
а, Ь, с не равны нулю одновременно, определяет прямую: если
йт=0, то из первого уравнения:
t = а-1 х— а~1х0]
вставляя это выражение во второе и третье уравнения,
возвращаемся к системе типа (6).
Займёмся проверкой аксиом 1х и 12. Потребуем, чтобы
прямая (7), пока с неопределёнными я, Ь, с, лг0, у0, zo, проходила
через две данные точки Мх (л^, уь zx), М2 (х2, у2, ^2). Всегда
можно предполагать, если такая прямая существует, что
параметр t в точке Mi принимает значение 0 — иначе мы ввели бы
в качестве параметра t — th где tx — значение t в Mv Можно
считать, далее, что в М2 параметр t принимает значение 1 —
иначе мы ввели бы в качестве параметра t~4, где t2—
значение t в М2. Вид уравнений (7) от этих замен параметра не
изменится, хотя коэффициенты станут, конечно, другими.
Вставляя в (7) значения £ — 0 и t= 1, мы должны получить:
Xi —- Л'о, х2 = а ~\~ лго,
Уг=Уо, У2 = ь+Уо>
*1 =20, Z2 = C -\~ Zq,
откуда лг0, Уо, z0, а, Ь, с немедленно определяются и притом
единственным образом.
Аксиомы Ij и 12 проверены. Аксиома 13, очевидно, имеет
место: достаточно в (7) положить £ —0 и t=\.
Проверим аксиомы 14 и 15. Пусть М1(х1, у^ zx), M2(x2,y2,z2)y
Л^з (-*Ъ Уз> ^з)— ТРИ данные точки. Требуется найти и, v, w, г
так, чтобы
— г = uxi + vyi 4- w*b "|
— r = ux2 + vy2 + wz2, } (8)
— r = uxz + yyz + wzB, )
причём хоть одно из и, v, w не равно нулю. Будем
рассматривать Х(, yi, zi как коэффициенты, а и, t/, w — как
неопределённые элементы, подвергаемые линейному преобразовайию. В
доказанной выше алгебраической теореме предполагалось, что
коэффициенты стоят слева, здесь же они стоят справа. Очевидно,
теорема останется верной и теперь, при условии, что во всех
формулировках умножение слева заменится умножением справа
и наоборот.

ПРИМЕЧАНИЯ [67]
473
Возможны два случая. Если свойство 1) имеет место, то имеет
место и свойство 3), и систему уравнений (8) можно переписать
в эквивалентном виде, выразив и, v, w линейно (коэффициенты
справа) через левые части —г, —г, —г.
Получим, вынося г за скобку:
и = га, \
v = rb, V (9)
w=rc, )
где я, bf с — некоторые коэффициенты, зависящие только от
•*7> Уь zi Iй не равные одновременно нулю — иначе (8) не могло
бы быть следствием (9)]. Таким образом, если г взять
произвольным (ф 0), а и, v, w определить согласно (9), то полученные
элементы будут удовлетворять системе (8), и обратно.
Следовательно, и, Vj w, г существуют и при этом определены с
точностью до умножения на произвольный, отличный от нуля
множитель слева (если вместа г выбрать другой элемент г', то
результатом этого будет умножение и, v, w, г на r'r~l слева).
Искомая плоскость существует и будет единственной.
Если же свойство 1) не имеет места, то это значит, что
можно подобрать значения и, v, w, не все равные нулю, так, что
nxi + vyi-{-W2i = 0, (/=1,2,3), (Ю)
т. е. снова существует плоскость, проходящая через Mi, М2, М%.
Покажем, что и теперь эта плоскость будет единственной.
Допустим, что существует ещё одна плоскость, проходящая
через те же точки, так что мы имеем:
tt'xi + v'yi + w'2i + r' = 0t (/=1, 2, 3). (И)
Если допустить, что и', v\ w' получаются из и, v, w
умножением на одно и то же р слева, то умножая (10) на р слева и
сравнивая с (11), мы сейчас же получим, что /•' = (),
следовательно, вторая плоскость просто тождественна с первой (см.
определение плоскости в тексте).
Если же допустить противное, то по самому определению
прямой, данному в тексте, все три точки Mi} М2, Мв лежат на
прямой [{и, v, w, 0); (и', v\w*, г')]. А это противоречит условиям
аксиом 14 и 15.
Остальные аксиомы проверяются сразу. Пусть дана какая-
нибудь прямая (7) и плоскость:
ux + vy + wz + r — 0. (12)
Подставим х, у, z из уравнений (7) в (12); в левой части мы
получим линейное выражение относительно t. Пусть прямая имеет
две общие точки с плоскостью; всегда можно считать, что это
будут точки *=:0 и *=1. Подставляя ^ = 0в (12), мы
убеждаемся в обращении в нуль свободного от t члена; а подставляя
значение *=1, мы убеждаемся в обращении в нуль
коэффициента при t. Следовательно, подстановка (7) в (12) даёт тожде-

474
ПРИМЕЧАНИЯ [67]
ство, и прямая (7) всеми своими точками лежит на плоскости (12).
Этим проверена аксиома 16.
Далее, пусть даны две плоскости, имеющие общую точку
(*о» Уо> 2о) (аксиома 17):
их0 4- vyQ 4- wz0 + г = 0, и'х0 -f v'y0 + w'z0 4- гr = 0.
Если бы и', v', w' получались из и, v, w умножением на
одно и то же р слева, то, умножая первое равенство на р слева
и сравнивая со вторым, мы обнаружили бы, что и г' получается
из г умножением на р слева. Другими словами, плоскости,
вопреки нашему предположению, были бы тождественны.
Если же такого множителя р не существует, то по
определению прямой, данному в тексте, выписанная пара уравнений
определяет точки прямой, очевидно, лежащие одновременно на
обеих плоскостях.
Проверим, наконец, аксиому IV*. Покажем, прежде всего, что
после преобразования координат в нашем пространстве любую
плоскость можно рассматривать как плоскость
z — с.
В самом деле, пусть дана плоскость
ux-\-vy-\-wz-\~r = 0.
Подберём к строке н, v, w ещё две строки и*, v\ w* и
и", v'\ w" произвольно, но так, чтобы между этими тремя строками
не было линейной зависимости с коэффициентами слева. Введём
для произвольных х,у, г соответствующие им x\y\z* по закону
х' = и'х 4- v'y 4- w'z,
у' = и"х 4- v"y 4- w"z,
z' = их 4- vy-\~ wz-
По предположению, для этого преобразования имеет место
свойство 2), а следовательно, и свойство 3), и преобразование
обратимо. Тройки чисел (дг, у, z) и (x\y\zr) взаимно однозначно
друг другу отвечают, и, как нетрудно проверить, уравнения
плоскостей и прямых сохраняют в новых координатах прежний вид
(конечно, с изменением коэффициентов) в силу линейного
характера преобразования с коэффициентами слева. Очевидно
также, что г' на исходной плоскости остаётся постоянным.
Итак, аксиому IV* достаточно доказать на плоскости 2 = 0.
Пусть на ней дана какая-нибудь прямая
х = a0t 4- х0,
y-=b0t -+у0,
и точка (хъ уг) вне этой прямой. Пусть через эту точку
проведена пока неопределённая прямая
х = ах? 4- хь
у=ЬгГ +yv
(13)

примечания [67—68] 475
Ищем точку пересечения прямых, т. е. такие значения t и t\
при которых
x1 — x0~a0t — alt\
У\— У о = b0t — b1t'.
Будем рассматривать эти формулы как запись
преобразования над t, t' (частный случай свойства 1). Возможны два случая.
Пусть свойство 3) имеет место; тогда преобразование
обратимо, и по левым частям мы однозначно находим t, t\ и
следовательно, точка пересечения существует.
Пусть теперь свойство 3 не имеет места; значит, и свойство 1
не имеет места, и можно подобрать такие значения t0, tb,
отличные от нуля, что
аок — аг*о = °>
Vo — Mo — О-
Другими словами, аь Ьх получаются из а0, Ь0 умножением
справа на одно и то же число p — t^t^.
Если pt* обозначить через t и рассматривать в качестве
параметра, то уравнения второй прямой примут вид:
x = a0t + xb \
У==Ь^+уг. )
Таким образом, в рассматриваемом случае уравнения второй
прямой могут быть приведены к вполне определённому виду (14),
а следовательно, такая прямая — единственная.
Остаётся показать, что уравнения (14) дают прямую,
параллельную (13) (существование параллельной). В самом деле,
если бы эти прямые име.ли общую точку, то и все их точки
были бы общие, так как вдоль обеих прямых изменению
параметра на М отвечает изменение х и у одинаково на а$Ы и b^t.
Между тем (хь уг) лежит на второй прямой, но не лежит на первой.
Аксиомы 13, 18 проверяются совершенно очевидным образом.
[68] Картина станет совершенно ясной, если мы
воспользуемся параметрическим представлением прямой (7) из
предыдущего примечания:
x = at-±x0,
y = bt+y0,
В силу законов 15 и 16 § 13, имеющих место в дезарговой
числовой системе, монотонному изменению параметра t будет
отвечать монотонное изменение каждой из координат х, у, z (за
исключением тех из них, которые остаются вообще постоянными:
например, х в случае а = 0). Таким образом — как доказывается

476
ПРИМЕЧАНИЯ [68—71]
и в тексте — монотонное изменение координат вдоль прямой
имеет место всегда одновременно.
Согласно тексту, точка называется лежащей между двумя
другими точками (на данной прямой), если каждая её* координата
имеет промежуточное значение между соответствующими
координатами двух других точек (речь идёт о координате, не
являющейся постоянной вдоль прямой). Мы можем то же самое
формулировать для параметра t; смысл от этого не изменится ввиду
одновременности монотонного изменения параметра и координат.
Итак, точка t2 лежит между t\ и £3> е^ли либо t± < t2 < h,
либо ti > t2 > t%.
Аксиомы Hi-з проверяются теперь совершенно тривиальным
образом. Что же касается аксиомы И4, то плоскость, в которой
её нужно проверить, всегда можно считать плоскостью z = 0 (см.
предыдущее примечание, проверка аксиомы IV*).
Соответствующее рассуждение явится почти дословным
повторением примечания рт]. Разница будет только в том, что теперь
координаты х, у и коэффициенты уравнений у нас не элементы
коммутативного поля Й, а элементы дезарговои числовой
системы; в частности, порядок множителей — остающийся таким же,
как и в формулах примечания [37] — теперь для нас будет
существенен. В остальном рассуждение повторится без изменений.
р] То обстоятельство, что исчисление отрезков совпадёт
с исходной системой Д строго говоря, требует ещё проверки,
которая, впрочем, выполняется без труда.
р] Другими словами: первоначально заданная плоская
геометрия, в силу теоремы 55, допускает аналитическую геометрию
на основе некоторой дезарговои числовой системы.
Вновь построенная плоская геометрия точек (х, у, 0) по
самому построению допускает аналитическую геометрию на основе
той же дезарговои числовой системы.
Сопоставляя в обеих геометриях точки с одинаковыми
координатами (х, у), мы и приходим к искомому взаимно
однозначному соответствию, сохраняющему все соотношения между
элементами.
[71] Таким образом, глава VI является продолжением главы V
и вместе с ней носит, по существу, проективный характер. А
именно —добавляя к рассматриваемому пространству
(определённому аксиомами I, II, IV*) несобственные элементы, мы
превращаем его в проективное (см. примечание [б0]); обратно, наиболее
естественно смотреть на исходное пространство как на часть
этого проективного пространства, которая остаётся, если удалить
из последнего одну плоскость (принимаемую за несобственную).
Так же, как и в главе V, в основе всех рассуждений лежит
дезаргово исчисление отрезков, построенное согласно § 24.

примечания [71 —72] 477
Особенностью главы VI является введение аксиомы
Архимеда, которую мы в главе V игнорировали, и выяснение её роли.
Но формулировка аксиомы Архимеда требует откладывания
данного отрезка от данной точки; ввиду отсутствия понятия конгру-
ентности, этому построению приходится придать новый смысл.
При наличии дезаргова исчисления отрезков это удаётся сделать
для отрезков, располагающихся на одной прямой. А
именно—примем данную прямую за одну из двух осей исчисления отрезков
и через О обозначим точку пересечения осей. Исчисление
устанавливается для отрезков ОА, где А — произвольная точка оси
(§ 24).
Чтобы отложить отрезок АВ от точки А* в смысле
исчисления отрезков, мы поступаем так (всё построение
происходит на одной прямой, принятой за ось исчисления). Находим
разность отрезков ОВ и ОА, т. е. такой отрезок- ОС, что
ОВ==ОА + ОС.
Существование и единственность отрезка ОС следует из
очевидного обращения операции сложения.
Строим теперь отрезок ОВ'\
ОВ' = ОА'+ОС.
Про отрезок А'В' мы и будем говорить, что он равен отрез-
к у АВ в смысле исчисления отрезков.
По буквальному смыслу такое откладывание зависит не
только от выбора на данной прямой самого отрезка и точки, от
которой он должен быть отложен, но и от выбора второй оси
исчисления, в частности, от выбора точки О. Однако можно
было бы доказать, что операция сложения отрезков на данной оси
(определённая согласно § 24) от выбора второй оси и
точки О не зависит, так что откладывание отрезков на
данной прямой есть построение, вполне однозначно
определённое. При доказательстве нужно использовать теорему Дезарга.
[72] Автор хочет сказать, что если из чисел я, Ъ, для которых
аЬ Ф Ьа
число а < 0, то вместо него нужно рассмотреть (— я), т. е. число,
определяемое из уравнения
(—-я) + я = 0.
Тогда из а < О, согласно правилу 15 § 13, следует
я4-(—я)<0 + (— а), т. е. О < (— а).
Из (— а)-\~а = 0 следует (правила 10 и 11):
b(— а) + Ьа = 0 и (—а)Ь + аЪ = 09
и из аЬ ф Ьа следует теперь (от противного)
(-а)ЬфЬ(-а).

478 примечания [72—73]
Аналогично, если Ъ < О, мы вместо него рассмотрим (—~#)>0.
Итак, если для какой-то пары чисел системы D
коммутативный закон неверен, то можно указать и пару положительных
чисел, для которых этот закон неверен.
[Щ Уточним данный в тексте набросок доказательства.
Прежде всего заметим, что совокупность выражений Т (с
присоединением 0) представляет собою поле.
Пусть даны выражения Т:
T = r0tn + r1tn+1+..., (1)
T'=r'0t^+r[tn' + 1 + ... (2)
Подчеркнём, что речь идёт о формально написанных
степенных рядах без всяких предположений об их сходимости.
Сумму Т~\~ТГ мы определяем как выражение того же типа,
полученное объединением подобных членов в Г и Г'.
Произведение мы определим по формуле:
ТГ = rQr'0tn+n' + (/у,' + г, r'0) *л+"'+1 +
+ (reri-|-r1r,'+Vo)*"+"'+,+ ... (3)
Заметим, что при п=?0, г0=\, г1 = г2 = ... = 0 выражение
(1) представляет собой единицу.
Покажем возможность и единственность деления (остальные
законы 1-4 и'6—12 из § 13 проверяются совершенно
тривиальным образом). В самом деле, если нам даны:
T» = rltn"+r'[tn"+1 + ...,
T = r(fn + r1t»+l + ..,
то всегда можно найти — и притом единственным образом —
такое V
что
Т" z=. ТТ' = Т'Т
Для этого достаточно, как показывает (3), взять п' = п" — п,
а затем определять г'0, г\, г2, .. последовательно из формул
// *
го — гого >
Так как г0 т^ 0, то это не представляет никаких затруднений.

примечания [73] 479
Рассмотрим теперь выражение типа 5. Оно представляет
собою — если вместо Г0, Ть ... подставить их выражения —
формально записанный бесконечный ряд, состоящий из членов
вида rs t\ где г—рационально, a jjl и v — целые числа (=0 ) ,
причём fi^w, a v^/z„ при данном ц (здесь п„ — младший
показатель ряда Т^-т).
Сумма двух выражений типа 5 определяется путём
объединения их подобных членов, т. е. путём сложения
коэффициентов г при одинаковых sH* в обоих рядах.
Прежде чем переходить к перемножению выражений типа 5,
определим произведение двух выражений вида rsH*. Это
произведение мы будем определять формулой:
Нетрудно видеть, что эту формулу можно было бы вывести из
закона
ts = 2st,
но мы предпочитаем дать её как определение, чтобы избежать
утомительных рассуждений, связанных со строгим обоснованием
этого вывода. Очевидно, что закон ts'= 2st есть частный случай
нашей формулы, так что она во всяком случае даёт нам то, что нужно.
Ассоциативный закон для определённого таким образом
умножения выражений rsW проверяется без всякого труда.
Пусть даны теперь выражения S и S', составленные, как мы
знаем, из членов вида rsW* Произведением 5 на S мы назовём
выражение S", составленное из членов того же вида, полученных
умножением каждого члена S на каждый член S' (с
последующим объединением подобных между собой членов, которых, как
легко видеть, будет каждый раз лишь конечное число). Другими
слозами, если
р. ^ т
v :>: п
jx'^: т'
v" > ">
то соотношение S" = SS' означает, что
Vv*= S VVv^'; m" = « + «'. (A)
V -f V' = v"

480 примечания [73—74]
^Все законы 1—4 и 6—11 проверяются в области
выражений S совершенно тривиальным образом; остановимся только
на законе 5, т. е. на возможности и единственности деления.
А именно: если в формулах (А) считать г„^„ и г известными,
то г ,v, мы сможем из них последовательно определить.
Прежде всего, необходимо принять т! = т" — т. Используем
формулы (А) при наименьшем значении ji", ц" = т". Тогда справа
необходимо положить \l = т, ц' = т'. Полагая последовательно
v" = п"т„, пт„ -(-1,..., мы последовательно определим из формул (А)
гт*ч, при
v' = /im,, пт,+ \,... (полагая п'т, = пт„ — пт).
Далее, используя (А) при \l" = т" +1 и полагая
v"~nm»+h п"т"-^\ + 1» • • •> последовательно определим гт_ух^,
при У=л^ + 1> л*,+1 + 1,. .
Так же поступаем при ц" — т" -f- 2 и т. д. Все
коэффициенты r',v, определяются однозначно
[74] Наиболее естественный вид принимает теорема 61 в
проективном её истолковании. А именно, пусть рассматриваемая
нами плоская геометрия с аксиомами Ix-з» Н> W* дополнена
несобственными точками (новые элементы, сопоставляемые
взаимно однозначно пучками параллелей) и несобственной прямой
(совокупность всех несобственных точек). Возникает некоторая
проективная геометрия (лишённая аксиом непрерывности). Две
прямые в ней всегда имеют одну общую точку (параллели —
несобственную).
Не различая в дальнейшем собственных и несобственных
точек, дадим проективную формулировку теоремы Паскаля-
Паппа:
Если точки Аг, Л3, Л5 расположены на одной прямой а,
а точки А2, Л4, А6 — на другой прямой а', то точки
пересечения прямых: \А2 и Л4Л5, А2АЪ и Л5Л6, Л3Л4 и AQA1 лежат
на одной прямой.
В частности, если прямые а и а! имеют собственную общую
точку, а две из названных точек пересечения лежат на
несобственной прямой, то, в силу теоремы, третья точка пересечения
также лежит на несобственной прямой. Мы приходим, очевидно,
к теореме 40, т. е. к теореме Паскаля в том смысле, как она
понимается в тексте.
Допустим теперь, что в нашей геометрии имеет место
теорема Паскаля-Паппа в проективной формулировке. Мы
утверждаем — ив этом состоит теорема 61 в проективной
формулировке, — что теорема Дезарга может быть то?да доказана.
Теорему Дезарга мы берём здесь тоже в общей проективной
формулировке (см. примечание [60]). Необходимо отдавать себе

ПРИМЕЧАНИЯ [74—76]
481
отчёт, что буквальный смысл теоремы 61 в тексте и в
проективной формулировке не один и тот же, так как у нас усилены
и условие и заключение теоремы.
Что же касается доказательства, то оно становится теперь
вполне простым. Прежде всего, прямая и обратная теоремы
Дезарга становятся тождественными, так как обе они сводятся
к одной формулировке: если даны 10 точек и 10 прямых и если
имеют место все принадлежности точек прямым,
свойственные конфигурации Дезарга, за исключением, может
быть, одной принадлежности, то и эта последняя имеет
место.
Опираясь на полное равнопрсвие всех точек и прямых
в конфигурации Дезарга, нетрудно подметить, что эта
формулировка следует как из прямой, так и из обратной теоремы Дезарга
(равно как и эти предложения следуют из неё).
Желая доказывать теорему Дезарга не меняя терминологию
текста, мы можем условно одну из прямых рассматриваемой
конфигурации называть несобственной, а прямые,
пересекающиеся в её точках, называть параллельными. Тогда
мы можем повторить рассуждения текста и пользоваться
чертежом 78 (в тексте), подразумевая, что в конфигурацию входит
и несобственная прямая, в точках которой пересекаются
имеющиеся на чертеже параллели.
В доказательстве произойдёт упрощение в том смысле, что
теперь достаточно обеспечить, чтобы А'С не было
параллельно ОВ'. Остальные ограничения были нужны только для того,
чтобы в процессе доказательства при ссылках на теорему
Паскаля получать прямые AiA^A^ и /42/44Л6 не параллельными,
а пересекающимися в собственной точке (что предполагается
в теореме 40). Но в нашей проективной формулировке эти
случаи не различаются и соответствующие оговорки излишни. Что
же касается непараллельности А'С/ и ОВг, то её всегда можно
добиться, рассматривая в качестве А'С и ОВ' либо А'В' и ОС,
либо В'С' и О А' (в последнем случае придётся вместо
треугольника ABC рассмотреть ABC", где ВС"\\В'С1ъ С"лежит на ОС\
после проведения доказательства окажется, что А'С || АС",
а следовательно, С" совпадает с С). Как легко показать,
параллелизм одновременно во всех трёх случаях невозможен.
[73] Здесь говорится о действительных числах по недосмотру.
На самом деле, мы будем иметь здесь элементы некоторой
коммутативной, но (при сделанных предположениях — аксиомы
Ii_3> И, IV* и теорема Паскаля), вообще говоря, неархимедовой
числовой системы (например, выражения Г, § 33).
[76] Область элементов исчисления бесконечна уже потому,
что включает единицу, а вместе с нею — согласно
вычислительным правилам — и все целые и рациональные • числа (случай
поля ненулевой характеристики устраняется наличием порядка).
31 Д. Гильберт

482
примечания [76—77]
Отсюда вытекает и тождественное обращение в нуль
рационального (и с рациональными коэффициентами) выражения R(ph ... ,/v),
если последнее обращается в нуль при подстановке вместо
pi,. .,/?,. любых элементов исчисления (в частности, значит,
при подстановке любых рациональных чисел).
Итак, пусть теорема о точке пересечения верна. Это
равносильно тому, что ряд выражений R(p\,... ,рг) тождественно
обращается в нуль. Доказательство теоремы сводится, таким
образом, к проверке тождественного обращения в нуль
выражений R (/?!,..., рг). При этом важно иметь в виду, что
непосредственно выражение R{p1,... , рг) возникает у нас в
результате последовательного выполнения над рг, ... ,/?г рациональных
операций в сколь угодно сложном нагромождении. Чтобы
проверить тождественное обращение /?(/?],... ,рг) в нуль, мы долж-.
ны провести ряд выкладок: раскрытие скобок, приведение
подобных членов и т. д. Другими словами, мы должны применять
законы 1—12 нашего исчисления; но применение этих законов,
как выше, было указано, геометрически сводится к использованию
теоремы Паскаля.
В итоге процесс доказательства теоремы о точке пересечения
сводится к использованию теоремы Паскаля (и, конечно, аксиом
Ii-з, IV*).
[77] Напомним, прежде всего, что в геометрии, опирающейся
на аксиомы групп I—IV, справедлива теорема Паскаля и что,
следовательно, в ней можно ввести
исчисление отрезков, как это было
сделано в § 15, и доказать теоремы
41 и 42.
Докажем теперь предложение
Штейнера. Допустим, что PF не
параллельна а (черт. 43); пусть PQ
будет прямая, параллельная а и
пересекающаяся с АЕ, BD, CD в точ-
Черт. 43. ках F", Q, F1 (это пересечение
обязательно имеет место, так как АЕ,
BD и CD не параллельны а). Тогда из подобия
треугольников ABD и PQD имеем:
PQ:AB = DQ:DBt
а из подобия треугольников BCD и QF'D следует:
QF':BC=DQ:DB.
Отсюда, так как АВ = ВС, мы получаем:
PQ = QF'. П)
Из подобия треугольников ABE и F'QE и треугольников
ВСЕ и QPE имеем:
QF» _ EQ PQ = EQ
АВ ~~ ЕВ' ВС ЕВ •

примечания [77—79]
откуда, так как ЛВ = ВС, следует:
PQ = QF». (2)
Сравнивая (1) и (2), получаем:
QF' = QF".
Значит, F" совпадает с F', вопреки нашему предположению,
что прямая PQ, параллельная а, не проходит через F (заметим,
что F' и F" не могут лежать по разные стороны от Q, так как
иначе одна из них совпадала бы с Р, что невозможно).
[78] Под. полем R, порождаемым несколькими данными
числами и переменными, мы понимаем совокупность всевозможных
выражений, составленных из тех и других путём четырёх
рациональных операций.
Элементы этого поля будут, таким образом, рациональными
функциями исходных независимых параметров рг ,... ,/?г, причём
коэффициенты этих функций рационально составлены из исходных
чисел.
Заметим ещё, что, начиная с § 37, в тексте имеются в виду
только действительные числа и переменные, принимающие
действительные значения, т. е. мы находимся в области
обыкновенной геометрии.
[79] Более точно, в дальнейшем тексте под вполне
действительными числами понимаются алгебраические числа, полученные
в результате рациональных операций и извлечений квадратных
корней, и действительные вместе со всеми своими сопряжёнными
числами.
Уточним, в частности, г связи с этим ряд пунктов в
предшествующих рассуждениях.
1. Известно, что, исходя из данных точек и пользуясь
циркулем и линейкой, мы можем строить все те и только
те точки, координаты которых выражаются через координаты
данных точек при помощи четырёх рациональных операций
и извлечений квадратного корня. Доказательство этого весьма
элементарно и основано на следующем. Точки пересечения двух
окружностей или окружности и прямой отыскиваются в
результате решения квадратного уравнения, коэффициенты которого
рационально выражаются через коэффициенты уравнения
окружностей или окружности и прямой; обратно, пользуясь циркулем
и линейкой, нетрудно геометрически осуществить извлечение
квадратного корня из любого числа, заданного отрезком.
Подробное изложение вопроса можно найти в книге Адлера
«Теория геометрических построений».
2. Пусть координаты данных точек рационально зависят
от г произвольных параметров рх ,... ,/?г. .
32 д. Гильберт

484
ПРИМЕЧАНИЯ [79]
Рассмотрим R (рг,..., рг) — поле рациональных функций
от pi,.. .,рп порождаемое координатами данных точек. К этому
полю принадлежат координаты данных точек. Построим, начиная
с R, последовательность полей так, что каждое последующее
заключает предыдущее:
RcR^c:R2c:...c:Rny (1)
причём каждое последующее получается из предыдущего путём
приобщения одного квадратного корня. Более точно: если Rt
уже построено (R мы рассматриваем как /?0), то /?/+1 строится
так: из Rt выбирается какой-нибудь элемент ft такой, что V~ft
не входит в Rlt и в качестве /?/+1 берётся совокупность всех
выражений, рационально составленных из l^JJc коэффициентами
из Rt. Так как чётные степени от Yft можно при этом отнести
к коэффициентам (или свободным членам), то полиномы от V~Fi
можно свести к линейным выражениям; общий вид элемента
из Ri+l будет: __
ч+hVfj.
где а/, Р/, 7/» £/—элементы из Rt. Уничтожая в знаменателе
иррациональность обычным образом, мы получаем окончательно
общий вид элемента из /?/+1:
*/+1 = */-г-&/1/7/, (2)
где #/ и bi — произвольные элементы из Rt.
Очевидно, в результате такого процесса можно притти к
полю Rn, заключающему коэффициенты любой наперёд указанной
точки, которую можно построить циркулем и линейкой, исходя
из данных точек.
Смысл теоремы 64 заключается в том, что если речь идёт,
в частности, о построениях при помощи линейки и эталона
длины, которые представляют более узкие возможности, чем
линейка и циркуль, то соответственно ограничивается и
произвол описанного процесса. А именно, при каждом
расширении, превращающем поле Rl в поле /?/+i, элемент // из Ri
разрешается брать не каким угодно, а лишь при условии, что //
есть сумма квадратов некоторых элементов из /?/.
3. Возвращаясь к общему случаю, возьмём какой-нибудь
элемент ап из поля #и — последнего поля последовательности^).
Применяя формулу (2), получим:
Применяя формулу (2) к элементам ап_ь bn_v получим:
«л = ап-2 + Ьп-2 У7^2 + (а'п_2 -f b'n_2 V"f^Z2) VT~i.

ПРИМЕЧАНИЯ [79]
485
Продолжая этот процесс, мы получим, наконец, для ап
выражение, линейное относительно каждого из корней
У% Уй, Y& • • . Vf^i (3)
в отдельности, с коэффициентами из исходного поля R (1, рь..., рп).
Мы это запишем так:
ап = «,+-Ь0УТо 4-&;УД 4- • • • +
+ ч Yh Yh + 4 Yh V/.+ ■ • 4-
+-^оТ/"лУ/;1/"7з4--..4-/о»/'7о...К7^7 (4)
Нужно' помнить при этом, что под знаком каждого из
корней Yft стоит выражение ft, аналогичным образом составленное
посредством корней
Yh, .... г/Г--!.
Легко подсчитать, что число членов в выражении (4) равно
2п\ 2п коэффициентов суть элементы поля /?(1, рь ..., рг).
Будем считать теперь, что координаты исходных
точек не зависят от произвольных параметров,
в частности, что рь ..., рг получили действительные численные
значения. Тогда в процессе построения полей (1) можно
подразумевать, что каждому корню Yfi приписано вполне
определённое из двух его значений; поэтому и выражение ап, записанное,
как указано выше, будет вполне определённым числом.
Исходное поле /? содержит только действительные числа.
Допустим теперь, что в выражении (4) мы позволим себе
брать знак Vfo по произволу; когда выбор сделан,
подкоренное выражение /а вполне определится, знак же у V]\ мы также
возьмём по произволу; когда выбор сделан, подкоренное
выражение /2 вполне определится, знак же у У/2 мы возьмём по
произволу и т. д.
Очевидно, мы получим, таким образом, 2п выражений, так
как каждому корню отвечают два возможных значения. Мы будем
считать, что полученные таким образом числа все различны
между собой: можно показать, что в противном случае элемент ап
мог бы быть достигнут посредством присоединения меньшего
числа квадратных корней, чем п.
Эти 2« чисел, в число которых входит и ап, мы будем
называть сопряжёнными с at относительно исходного поля R
Мы утверждаем, что эти числа представляют собою корни
одного и того же алгебраического уравнения степени2п с коэф-
фициентами из исходного поля/?.

486 примечания [79]
Будем считать в формуле (4), что значение каждого из
встречающихся в ней корней выбрано — из двух возможных —
произвольно, но, разумеется, одинаково во всех случаях, где этот
корень встречается, в том числе и под знаками других корней.
Тогда (4) может выражать не только ап, но и любое из'
сопряжённых ему чисел.
Возводим (4) в квадрат; после замены квадратов корней их
выражениями через корни меньшего номера, что делается вполне
определённым образом, мы получим выражение того же типа,
коэффициенты которого суть также определённые элементы
исходного поля R (очевидно, совершенно не зависящие от выбора
знаков у корней У//).
То же можно сказать о любой степени выражения (4).
Рассмотрим выражения
Все они являются выражениями типа (4), а так как их число
на 1 превышает число членов в каждом выражении, то можно'
подобрать такие множители Р/ из исходного поля /?, что
линейная комбинация
обращается в нуль тождественно, т. е. в этой линейной
комбинации, которая представляет собою тоже выражение типа (4),
каждый из 2п коэффициентов обращается в нуль. В результате
ап вместе со всеми сопряжёнными ему числами удовлетворяет
одному и тому же уравнению степени 2п с коэффициентами из
исходного поля R:
h + М + М* +• • •+ Ра»*2" = °' <б)
Заметим, что уравнение это будет неприводимым, т. е. ап не
удовлетворяет никакому уравнению низшей степени с
коэффициентами тоже из R (в противном случае такое уравнение после
подстановки выражения (4) должно было бы удовлетворяться
тождественно относительно
V/о. ...*7П
ввиду того, что ни один из этих корней не выражается
рационально через предыдущие по номеру; но тогда уравнение должно
было бы удовлетворяться и всеми сопряжёнными с ап числами,
что невозможно, так как степень его<2/г).
Если поле R— просто поле рациональных чисел (рь. ..
отсутствуют), то ап есть алгебраическое число, a aw ап, ... — ему
сопряжённые числа.

ПРИМЕЧАНИЯ [79—81]
487
4. Пусть, в частности, последовательность полей (1)
отвечала построению при помощи линейки и эталона длины; это
значит, что под знаком каждого из корней Vfi стоит сумма
квадратов элементов соответствующего поля Rt.
Составив некоторый элемент ап поля Rn, займёмся
составлением элементов, ему сопряжённых. Так как /0 представляет
собой сумму квадратов, то Vfo — действительное число. Какой
бы ни взять знак у "К/о* выражение Д, представляющее сумму
квадратов элементов поля Rb останется неотрицательным и
У /г — а вместе с ним и всё поле R2 — останется
действительным. Как бы ни взять знак У/ъ — вс^ равно выражение /2, как
сумма квадратов элементов поля R2, неотрицательно, а потому
У/г — действительно; а вместе с ним действительны и все
элементы поля /?3, и т. д.
В результате всякий элемент ап поля /?„ вместе
со всеми своими сопряжёнными оказывается
действительным. Это, очевидно, значит — если мы
исходили из поля
при фиксированных рь ..., рп — что соответствующая
алгебраическая функция параметров рь ..., рп определяемая уравнением
(б), при действительных значениях рь ... , рг имеет только
действительные значения (которые тем самым будут вполне
действительными числами в случае рациональных рь ... , рг).
[Щ Задача о построении правильного /7-угольника, где/? —
простое число, при помощи циркуля и линейки разрешается, как
известно, лишь в случае, когда р имеет вид:
р = 2п + \.
При этом приходится п раз прибегать к извлечению квадратного
корня.
Поставим задачу так: дан радикс окружности, один
конец которого мы принимаем за центр окружности, а другой —
за вершину искомого правильного многоугольника, вписанного
в окружность. Требуется построить ещё одну вершину
многоугольника.
Очевидно, эта задача имеет 2п действительных решений,
так как всего многоугольник имеет 2п-{-\ вершину. Мы
действительно находимся в условиях теоремы 65.
[81] Задача Мальфатти состоит в следующем. Дан
треугольник ЛВС; требуется построить три окружности так, чтобы
каждая из них касалась двух других окружностей и двух сторон
треугольника.

488
примечания [82]
Решение этой задачи с помощью циркуля и линейки
см. Адлер А., Теория геометрических построений,
Одесса, 1909, стр. 9—11; Адам ар Ж., Элементарная
геометрия, ч. I, Планиметрия, М., 1938, стр. 270—275.
[82] Задача Аполлония — провести окружность, касательную
к трём данным окружностям.
Решение этой задачи с помощью циркуля и линейки см.
Четверухин Н. Ф., Методы геометрических построений.
М., стр. 134—136, 1938; Александров И., Геометрические
задачи на построение, М., стр. 131 —132,1934; Адлер А., Теория
геометрических построений, Одесса, 1909, стр. 52—57, 66—69;
Адам ар Ж., Элементарная геометрия, ч. I, Планиметрия,
Учпедгиз, М., 1938, стр. 200—204.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
П. К. Р а ш е в с к и и. «Основания геометрии» Гильберта
и их место в историческом развитии вопроса .... 7
ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ.
Введение 55
Глава первая. Пять групп аксиом 56
§ 1. Элементы геометрии и пять групп аксиом .... 56
§ 2. Первая группа аксиом: аксиомы соединения
(принадлежности) 57
§ 3. Вторая группа аксиом. Аксиомы порядка 58
§ 4. Следствия из аксиом соединения и порядка .... 60
§ 5. Третья группа аксиом: аксиомы конгруентности . . 66
§ 6. Следствия из аксиом конгруентности 71
§ 7. Четвёртая группа аксиом: аксдюма о параллельных . 85
§ 8. Пятая группа аксиом: аксиомы непрерывности . . 87
Глава вторая. Непротиворечивость и взаимная
независимость аксиом 92
§ 9. Непротиворечивость аксиом 92
§ 10. Независимость аксиомы о параллельных
(неевклидова геометрия) 96
§ 11. Независимость аксиом конгруентности 104
§ 12. Независимость аксиом непрерывности
(неархимедова геометрия) 106
Глава т ре т ь я. Учение о пропорциях 111
§ 13. Комплексные числовые системы 111
§ 14. Доказательство теоремы Паскаля 114
§ 15. Исчисление отрезков на основании теоремы
Паскаля 120

490
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 16. Пропорции и теоремы о подобии 125
§17. Уравнения прямых и плоскостей 127
Глава четвёртая. Учение о площадях на
плоскости 131
§ 18. Многоугольники, равновеликие по разложению и
по дополнению 131
§ 19. Параллелограммы и треугольники с равными
основаниями и высотами 134
§ 20. Мера площади треугольников и многоугольников . 137
§ 21. Равновеликость по дополнению и мера площади . . 142
Глава пятая. Теорема Дезарга Г46
§ 22. Теорема Дезарга и её доказательство на
плоскости с помощью аксиом конгруентности 146
§ 23. Недоказуемость теоремы Дезарга в плоскости без
аксиом конгруентности 149
§ 24. Введение исчисления отрезков без помощи аксиомы
конгруентности на основе теоремы Дезарга .... 151
§ 25. Коммутативный и ассоциативный законы сложения
в новом исчислении отрезков 154
§ 26. Ассоциативный закон умножения и два
дистрибутивных закона в новом исчислении отрезков . . . 157
§ 27. Уравнения прямых в новом исчислении отрезков 160
§ 28. Совокупность отрезков, рассматриваемая как
комплексная числовая система 162
§ 29. Построение геометрии пространства с помощью
числовой системы Дезарга 163
§ 30. Значение теоремы Дезарга 167
Глава шестая. Теорема Паскаля 169
§ 31. Две теоремы о доказуемости теоремы Паскаля . . 169
§ 32. Коммутативный закон умножения в архимедовой
числовой системе " 170
§ 33. Коммутативный закон умножения в неархимедовой
числовой системе 172
§ 34. Доказательство обоих предложений, касающихся
теоремы Паскаля (непаскалева геометрия) 175
§ 35. Доказательство любой теоремы о точках
пересечения с помощью теоремы Паскаля 176

ОГЛАВЛЕНИЕ
491
Глава седьмая. Геометрические построения на
основании аксиом I — IV 180
§ 36. Геометрические построения с помощью линейки и
эталона длины 180
§ 37. Критерий выполнимости геометрических
построений с помощью линейки и эталона длины 184
Заключение 191
ДОБАВЛЕНИЯ К «ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ».
Добавление!. О прямой как кратчайшем
расстоянии между двумя точками . 195
Добавление II. По поводу теоремы о равенстве
углов при основании равнобедренного треугольника • . . 202
Добавление III. Новое обоснование геометрии Больяи-
Лобачевского 229
Добавление IV. Об основаниях--геометрии 248
Добавление V. О поверхностях постоянной гауссовой
кривизны 304
Добавление VI. О понятии числа 315
Добавление VII. Об основаниях логики и арифметики 322
Добавление VIII. О бесконечном • . 338
До б а в л е н и е IX. Обоснования математики 365
Добавление X. Проблемы обоснования математики . 389
Примечания 403

Редактор И. Н. Бронштейн.
Техн. редактор Н. А. Тумаркина.
Переплёт и графическая орнаментация книга
художника А. Я. Радищева.
* Подписано к печати 7/VI1 1947 г. А 06350. 30,75 печ. л.
26,48 уч.-изд. л. 36 400 тип. зн. в печ. л. Заказ № 7056.
Отпечатано в тип. М-121 с матриц 1-й Образцовой тип.
треста «Полиграфкнига* Огиза. Москва.