/
Теги: математика физика
Текст
СБОРНИКА.
а»лм
ОСОБЕННОСТИ
ПРОЦЕССОВ
МНОГОКРАТНОГО
РАССЕЯНИЯ
Singularites des processus
de diffusion multiple
par
Frederic Pham
(C. E. R. N.-Qeneve et С E. N.-Saclay)
ANNALES DE I'INSTITVT HENRI POINCARU
SECTION A., PHYSIQUE THEORIQUE
Vol. VI, n° 2, 1967, p. 89-204
БИБЛИОТЕКА СБОРНИКА «МАТЕМАТИКА»
Ф. ФАМ
ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ
МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ
Перевод с французского
в. а. голубевой
Под редакцией,
А. Л. ОНИЩИКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1972
УДК 513.83 :530.1
Автор знаком советскому читателю по русскому
переводу его книги «Введение в топологическое ис-
исследование особенностей Ландау» («Мир», 1970). Его
новая работа посвящена исследованию аналитиче-
аналитических свойств S-матрицы Фейнмана — одному из бур-
бурно развивающихся в настоящее время разделов ма-
математической физики. Особенности Ландау S-матри-
S-матрицы в физической области интерпретируются как
видимые контуры. Используя методы дифференци-
дифференциальной топологии, созданные. Томом, автор показы-
показывает, что эти видимые контуры имеют очень про-
простое строение. В книге поставлено много нерешенных
задач.
Книга представляет интерес для математиков,
занимающихся функциональным анализом, матема-
математической физикой и смежными вопросами, а также
для физиков-теоретиков. Она доступна студентам
старших курсов соответствующих специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
29-72
ВВЕДЕНИЕ
Резюме. Как недавно заметили Коулман и Нортон, феноме-
феноменологическое понятие «многократного рассеяния» для процессов
с произвольным числом частиц позволяет дать очень простую
интерпретацию особенностей Ландау S-матрицы в физической
области. Здесь эта физическая интерпретация углубляется с по-
помощью одной геометрической идеи: особенности Ландау являют-
являются видимыми контурами. Используя методы дифференциальной
топологии, созданные Томом и развитые в приложениях I—IV, мы
показываем, что эти видимые контуры имеют в физической обла-
области значительно более простое строение, чем могло бы показаться.
Это обстоятельство позволяет точно сформулировать обычные
гипотезы об аналитичности S-матрицы (смещение с физической
области, правила Куткоски и т. д.) и установить простую связь
между этими гипотезами и понятием многократного рассеяния:
таким образом правила Куткоски ведут прямым путем к свой-
свойству факторизации S-матрицы для событий, разделенных боль-
большими промежутками времени.
Далее, используя идею видимого контура, мы систематически
изучаем «иерархию» особенностей различных процессов, подкреп-
подкрепляя таким образом гипотезы соображениями математической со-
согласованности.
План
Введение. В нем излагается сущность физической идеи мно-
многократного рассеяния и резюмируются наиболее существен-
существенные топологические результаты.
Глава 0. Изучение абстрактного (комбинаторного) понятия
графа, в котором вырисовывается идея «категории графовл.
Глава I. Топологическое изучение пространств, которые физика
связывает с «графами многократного рассеяния», и отобра-
отображений, соответствующих «стягиванию» этих графов; исследо-
исследование свойств отображений, возникающих при композиции
стягиваний.
Глава II. Здесь с помощью исследования аналитических
свойств S-матрицы и ее абсорбтивных частей выясняется, как
появляется «иерархия» особенностей.
Глава III. Своеобразие графов с кратными линиями объяс-
объясняется существованием упругих процессов.
Приложение 0. Одна лемма из анализа, полезная для дока-
доказательства факторизации S-матрицы в процессах многократ-
многократного рассеяния.
6 Введение
Приложение I. Некоторые идеи Тома об устойчивых типах
особенностей дифференцируемых отображений.
Приложение II. Возникновение новых типов особенностей
при композиции отображений.
Приложение III. Изучение «комплексных обходов» веще-
вещественных многообразий и аналитических свойств «почти ве-
вещественных» интегралов.
Приложение IV. Простой случай коммутативной фундамен-
фундаментальной группы.
Трудности, на которые натолкнулась квантовая
теория поля, привели Гейзенберга [11] в 1943 г.
к введению понятия S-матрицы, которую он считал
фундаментальной наблюдаемой в физике; Гейзенберг
полагал, что это единственное понятие, которое со-
сохранится в «будущей теории». С тех пор были до-
достигнуты большие успехи в изучении общих свойств
S-матрицы, в особенности ее аналитических свойств,
и это позволило связать между собой различные экс-
экспериментальные результаты и глубже понять дина-
динамику сильных взаимодействий. В общем изучении
этих аналитических свойств можно различить два
стиля исследования. Первый состоит в том, что, от-
отправляясь от аксиом теории поля (которые в настоя-
настоящее время четко сформулированы, см. [17], [36]),
строго доказывают аналитичность S-матрицы в той
или иной области (комплексного пространства энер-
энергий-импульсов). Хотя этот путь длинен и труден,
он уже привел к некоторым предсказаниям, которые
допускают экспериментальную проверку. Второй, эв-
эвристический, путь — это путь, по которому мы пой-
пойдем; он состоит в том, чтобы попытаться, наоборот,
предугадать, в каких областях S-матрица будет обя-
¦ зательно иметь особенности. Решающий шаг в этом
направлении был сделан Ландау [18], который осно-
основывался на теории возмущений. Исследования, про-
проделанные после него, расширили наши представления,
подтвердив существование «особенностей Ландау» на
более глубоком уровне, чем теория возмущений, но
в том, что касается грубых результатов, мы не полу-
получили никакого уточнения: например, мы по-прежнему
Введение
не умеем в общем случае выделить «физический лист»
и не знаем простых критериев того, чтобы особенность
Ландау на нем действительно присутствовала. От-
Откладывая на будущее выяснение этого таинственного
понятия «физического листа», интересно посмотреть,
что можно сказать о физической области: в конце
концов именно здесь осуществляются эксперименты.
В случае столкновения двух частиц единственные осо-
особенности Ландау, которые имеются в физической об-
области,— «нормальные пороги», но это ничего нам не
дает. Когда число частиц увеличивается, особенности
все более и более сложных «графов Фейнмана» начи-
начинают попадать в физическую область, что интуитивно
можно представить себе так: описываемые графами
«виртуальные» процессы становятся «действительно»
возможными процессами многократного рассеяния,
такими, что их можно наблюдать в пузырьковой ка-
камере. К этому упрощению физической интерпрета-
интерпретации1) прибавляется математическое упрощение: мы
покажем, что топологическая структура особенностей
Ландау в физической области является наиболее ба-
банальной, какую только можно вообразить, и совер-
совершенно подобна структуре нормальных порогов. Это
позволит нам просто и точно сформулировать обыч-
обычные гипотезы об аналитичности S-матрицы (правила
Куткоски [4] и т.д.), которые до настоящего времени
были окутаны туманом. Разумеется^ нам надо будет
привести точные аргументы в пользу этих гипотез
(не претендуя пока на их доказательство в рамках
теории поля). Такие аргументы нам предоставит фе-
феноменологическое понятие многократного рассеяния.
В частности, мы увидим, что правила Куткоски свя-
связаны со свойством факторизации S-матрицы для по-
последовательности процессов, разделенных большими
промежутками времени. Это очень важное свойство2)
') Подчеркнутому недавно Коулманом и Нортоном [3].
2) Гольдбергер и Уотсон [8]. Интересно отметить, что свой-
свойство, очень похожее на свойство факторизации амплитуд, яви-
явилось отправной точкой при формулировании основ квантовой
механики по Фейнману [6], которое как раз позволило ему от-
открыть его графы.
Введение
позволяет понять, почему S-матрица, определенная
лишь в терминах асимптотических состояний рассея-
рассеяния в моменты —оо и -j-оо, тем не менее может слу-
служить для описания лабораторного эксперимента, в
котором начальные частицы должны быть приготов-
приготовлены, а конечные частицы должны быть обнаружены
в конечные моменты времени. Мне кажется, что эти
физические аргументы (развитые в § 3 настоящего
введения) дают значительно более убедительное
обоснование, чем теория возмущений1). Мы дополним
их аргументами другого рода, которые предназначены
служить вехами в будущем доказательстве гипотез.
Уже давно подозревали (эта идея несколько уточнена,
в [30]), что определенная «иерархия» графов устанав-
устанавливает логическую зависимость между их особенно-
особенностями; эта зависимость будет объектом систематиче-
систематического изучения в следующих главах (и прежде всего
в главе II), которое, как я надеюсь, убедит читателя
в силе топологических методов2). В частности, мате-
математические соображения совершенно общего харак-
характера позволят нам «частично»3) доказать гипотезы
для графов более высокого порядка, допустив их
справедливость для графов более низкого порядка.
1. Обзор общих свойств S-матрицы
1.1. S-матрица. Важным фактом, позволяющим го-
говорить об S-матрице, является существование асимп-
') Это не помешает нам обосновать эти гипотезы также и в
теории возмущений (см. § 4 настоящего введения).
2) Существенную роль играют, с одной стороны, идеи Тома
об особенностях дифференцируемых отображений [37]; с другой
стороны, — общая техника изучения аналитичности кратных ин-
интегралов, созданная Лере [22] и развитая Фотиади, Фруассаром,
Ласку и автором [7], [28]; см. обзорную работу [29]. При огра-
ограничении на вещественную область, принятом здесь, общая теория
упрощается (см. приложение III к настоящей работе).
3) Чтобы доказать гипотезы в полном объеме (а также что-
чтобы дать начало индукции), к этим математическим аргументам
придется присоединить дополнительные соображения. Очевидным
кандидатом является условие унитарности S-матрицы, которое в
простых частных случаях действительно позволяет получить
окончательный результат; но я не пытался исследовать общий
случай ввиду крайне сложного комбинаторного характера усло-
условий унитарности.
Введение
тотических состояний [10], [31], т. е. тот факт, что
всякая физическая система стремится к разделению1)
в моменты времени —оо и -f-oo на системы (назы-
(называемые соответственно in и out), состоящие из четко
различающихся независимых частиц. Для описания
множества / независимых частиц можно выбрать в
качестве канонических переменных, кроме спина2) и
внутренних квантовых чисел каждой из этих частиц,
их энергии-импульсы рг (i e /), принадлежащие поле
гиперболоида
Mi = {Pi = (Р?, _Р,) е R* | р\ ^ (р5J - р] = т\, р\ > 0},
где Шг — масса (по предположению отличная от ну-
нуля) частицы L Состояние системы задается волновой
функцией ^(р1), суммируемой с квадратом на мас-
массовой поверхности М' — Ц Mi, снабженной мерой
is/
Обозначим через (ty|S|cp) матричный элемент S-мат-
рицы между двумя такими состояниями, т. е. ампли-
амплитуду перехода из состояния in, описываемого волно-
волновой функцией ф(р'). в состояние out, описываемое
волновой функцией гИ//). Удобно ввести «интеграль-
«интегральное ядро» {pJ\ Sjpr}> определенное выражением
J
/и /
где символ нужно понимать как интегрирование
/ и /
по массовой поверхности М1 и' с мерой у! и 7. Это
интегральное ядро (pJ|S|px) является распределе-
') При условии, что отсутствуют частицы с нулевой массой.
2) Для простоты мы ограничимся случаем частиц с нулевым
спином.
10 Введение
нием ') на многообразии М1 и ''. Из инвариантности
5-матрицы относительно сдвига2) следует, что рас-
распределение {pJ\S\pI) разлагается на множители
где
IS/ /EJ
a (/j^lSIp7) обозначает распределение, которое до-
допускает ограничение на многообразие {р7—/?_, = 0}.
Мы будем использовать следующие обозначения:
$и = евклидово пространство ((/?;)(. е, и ; | р, — р} — 0}
{закон сохранения энергии-импульса);
Распределение <pJ15 j pr^ рассматривается на этом
многообразии 9>IJ.
1.2. Свойство асимптотической факторизации (раз-
(разложение на пучки). Представим себе процесс /->/,
при котором частицы из множества / U / группи-
группируются в «пучки», расположенные в пространстве на
большом расстоянии друг от друга. Интуитивно мож-
можно ожидать [39], что эти пучки представляют незави-
независимые процессы, так что амплитуда перехода будет
попросту произведением амплитуд каждого из этих
процессов. В самом деле, можно доказать [12] сле-
следующее
') Это вытекает из теоремы о ядре Шварца и из того фак-
факта, что S-матрица является ограниченным оператором (на это
доказательство мне указал Д. Яголницер, узнавший его в свою
^очередь от Д. Рюэля).
2) Инвариантность относительно сдвига записывается так:
,<ij)|S |ф) = (фа |S [ фв), где фа (соотв. i|)a) обозначает состоя-
состояние, «сдвинутое на четырехмерный вектор о», которое опреде-
определяется следующим образом:
1 2 р.-о
Введение 11
Свойство разложения на пучки. Пусть
Ж— нетривиальное разбиение множества /U/, а==
~{ак)к(=ж — семейство четырехмерных векторов, та-
таких, что все их разности а^ — а^, пространственно-
подобны (т. е. (ак — aK,y<QJ, фа (соотв. я])а)—волно-
я])а)—волновая функция, полученная из ф (соотв. *ф) в резуль-
результате сдвига каждой частицы is/ (соотв. /) на
вектор ак, Kt^i, т. е.
i 2 Pfiv
Тогда, если все (ак — а^Л2 стремятся к — оо, то
(i|5e|S|<po) стремится к выражению
1A1
1.3. Определение усеченных амплитуд. Усеченные
амплитуды (pJ | S \р')т определяются посредством
индукции по множествам / и / с помощью разложений
(p'isip'^S П {р1П*\ь\р'*«)т,
где сумма распространена на все разбиения Ж' мно<
жества /U/ (включая тривиальное разбиение). Каж-
Каждый из членов, определенных таким образом, удов-
удовлетворяет, очевидно, закону сохранения энергии-
импульса, причем усеченная амплитуда (/'/|S|pi)t
дает вклад в матричный элемент (я])|5|ф) лишь
при условии, что носители волновых функций
ф(/°х). ty(PJ) запрещают всякое «частичное» сохране-
сохранение энергии-импульса.
Интересно посмотреть, во что превращается раз-
разложение на «пучки», если каждый из сомножителей
заменить его разложением на усеченные амплитуды.
Очевидно, вклад дают лишь разбиения Ж', более мел-
мелкие, чем заданное разбиение Ж; в частности, вклад
члена (pJ | S|р2) для всякого нетривиального раз-
разбиения Ж будет нулевым; это означает, что преобра-
преобразование Фурье (aJ| S(а1)! усеченной амплитуды
12 Введение
(Pj\S\p')t стремится к нулю, когда «относительные»
векторы а стремятся к бесконечности в пространст-
пространственно-подобном направлении. Это свойство преобра-
преобразования Фурье тесно связано со «слабой сингулярно-
сингулярностью» усеченной амплитуды (pJ|S|pJ)T: в самом де-
деле, она является, по-видимому, довольно регулярным
распределением — вероятно, «хорошим» граничным
значением аналитической функции. Грубо говоря, усе-
усеченная амплитуда есть то, что остается после вычи-
вычитания из полной амплитуды наиболее сингулярных
членов (тех, которые содержат б-функции частичных
законов сохранения энергии-импульса), членов, ко-
которые «ответственны» за факторизацию S-матрицы
при больших пространственно-подобных интервалах.
Мы увидим в следующих главах, что у усеченной
амплитуды остаются другие особенности (менее силь-
сильные), соответствующие факторизации S-матрицы
для больших временно-подобных интервалов (про-
(процессы многократного рассеяния).
2. Особенности Ландау S-матрицы
2.1. Замечание Коулмана и Нортона. Простейшая
из особых точек Ландау — полюс, описывающий рас-
распространение промежуточной частицы (рис. 1), из-
известна со времен создания релятивистской квантовой
механики. Ее интерпретации в терминах «двойного
рассеяния» посвящена обширная литература1). Од-
Однако довольно любопытно, что только недавно заме-
заметили [3], что феноменологическое понятие многократ-
многократного рассеяния позволяет дать очень простую интер-
интерпретацию уравнений Ландау для произвольного
графа.
Рассмотрим для определенности граф, изображен-
изображенный на рис. 2. Его можно интерпретировать как три
последовательных рассеяния, причем каждое из трех
«столкновений» происходит в малой (практически то-
точечной) области (А, В, С) пространства-времени.
Пусть Т7 (соотв. те, тд)— «время жизни» частицы 7
>) Ср., например, [14], [15], [38].
Введение 13
(соотв. 8, 9), т. е. интервал между моментом ее ро-
рождения и моментом ее уничтожения; тогда «скоро-
«скоростями» этих частиц будут четырехмерные векторы
v-j = АС/т7, vs = AB/xs, vg = BC/xg,
а их энергиями-импульсами —
р7 — АС/а7, р& = ЛВ/сц, р9 = ВС/щ,
где а; = %ilrtii. Задание импульсов р» и положитель-
положительных параметров ссг однозначно, с точностью до об-
общего сдвига, определяет положение точек А, В, С
в пространстве-времени при условии, что
+
Р и с. 1. Р и с. 2.
Обобщая сказанное на произвольные «графы мно-
многократного рассеяния», аналогичным образом полу-
получим уравнения
(L) 2 2(i)aift=0,
где через / обозначено множество внутренних линий
графа, а через z — произвольный цикл, построенный
на этих внутренних линиях (z(t) = O, если цикл z не
содержит линии t; +1, если он ее содержит с той же
ориентацией; —1, если он ее содержит с противопо-
противоположной ориентацией). К уравнениям (L), очевидно,
нужно присоединить уравнения, выражающие закон
сохранения энергии-импульса в каждой вершине,
и все ограничения на массы1). Таким путем мы полу-
получаем хорошо известные из теории возмущений урав-
уравнения Ландау. Исключая внутренние импульсы pt и
положительные параметры2) а* из этих уравнений,
') Не забывая условия положительности энергии.
2) Параметры at должны быть положительными, так как по-
положительны т* (частицы не могут «двигаться попятно во вре-
времени»).
14 Введение
мы получаем соотношения между внешними импуль-
импульсами: это — уравнения особенностей Ландау рассмат-
рассматриваемого графа. Теперь может быть сформулирована
Гипотеза А. Распределение (р!г\ S |р;')т равно
некоторой аналитической функции во всех точках
многообразия 9"'>1\ исключая «особенности Ландау»
для всех связных графов многократного рассеяния,
имеющих множество входящих линий 1\ и множество
выходящих линий /г.
2.2. Особенности Ландау как «видимые контуры».
Всякому графу G поставим в соответствие простран-
пространство ^(G): пересечение массовой поверхности М1
(I — множество всех линий графа, как внутренних,
так и внешних) с евклидовым пространством &(G),
определенным законом сохранения энергии-импуль-
энергии-импульса в каждой вершине. Мы увидим (гл. I), что для
почти всех значений масс это пространство ^(G)
является многообразием. Пусть л— каноническая
проекция этого многообразия на многообразие 9>hh
внешних импульсов графа. Будет проверено, что точ-
точка p'e^(G) является критической1) для проекции
л тогда и только тогда, когда существуют параметры
аи не все одновременно равные нулю, такие, что для
всякого цикла г, построенного на множестве / внут-
внутренних линий графа, выполняются уравнения
Уравнения Ландау, следовательно, являются просто
уравнениями критического множества (с дополнитель-
дополнительными условиями at^0), так что особые точки Лан-
Ландау составляют кусок видимого контура (образа мно-
') Точка *е? называется критической для отображения
я: SP (пространство-прообраз)-»-¦!# (пространство-образ), если
касательное отображение 7"^я: I'X& -> Тп ^М не является
сюръективным. Иначе говоря, касательное пространство в точке*
имеет своим образом касательное пространство меньшей размер-
размерности, чем касательное пространство в пространстве-образе; ко-
коразмерность этого образа называется корангом критической
точки.
Введение 15
жества критических точек). Вообще, видимый контур
является очень сложным геометрическим объектом
(вспомним причудливые формы каустических поверх-
поверхностей в геометрической оптике). Однако мы увидим,
что та его часть, которая соответствует условию
а, ^ 0, наоборот, имеет очень простое строение.
Начнем со следующего замечания.
2.3. Выпуклость особенностей Ландау вне массовой
поверхности. Вместо пространства ^(G) из предыду-
предыдущего пункта рассмотрим пространство
(ограничения на массы налагаются только для внут-
внутренних линий). Легко видеть, что условие критично-
критичности точки р1 е 9" (G) -^> ShI' выражается с помощью
с
тех же уравнений (L). Пусть р1 — точка простран-
пространства ^'(G), в которой уравнения (L) имеют решение,
подчиненное условию а, > О Vi e /. Рассмотрим в
евклидовом пространстве <% {G) линейную функцию
Легко видеть, что на массовой поверхности М1 это
выражение неотрицательно, потому что все члены
с с
Pi' (Pi — Pi) неотрицательны; иначе говоря, гиперпло-
с
скость {tip1) =0}, проходящая через точку р1, яв-
является опорной к пространству <?"(G). С другой сто-
стороны, эта гиперплоскость, очевидно, «вертикальная»
с
(так как точка р1 является критической), т. е. про-
проектируется в гиперплоскость1) пространства $'х1\
Впрочем, используя уравнения (L), легко проверить
непосредственно, что на самом деле функция t{pl)
зависит только от внешних импульсов p'th. Таким
') Как обычно, под гиперплоскостью и гиперповерхностью
мы понимаем плоскость и поверхность коразмерности 1 в рас-
рассматриваемом пространстве.
16 Введение
образом, через всякую особую точку Ландау можно
провести гиперплоскость, по отношению к которой
проекция всего пространства 5е" (G) расположена
с одной стороны, так что, в частности, эта гиперпло-
гиперплоскость является опорной ко всему видимому контуру.
2.4. Как «сместить физическую область» с особен-
особенностей Ландау в окрестности «гладкой» точки '). Воз-
Возвращаясь к массовой поверхности, мы видим, что все
пространство ^(G) проектируется по одну сторону
от своих особенностей Ландау. Мы будем говорить,
что точка p'th e 9>hI\ близкая к рассматриваемой
особой точке Ландау, находится «выше или ниже по-
порога графа G», если она принадлежит, соответственно
не принадлежит образу пространства ^(G). Мы вос-
воспользуемся этим определением, чтобы дополнить ги-
гипотезу А об аналитичности амплитуды рассеяния
в физической области, указав те «комплексные сме-
смещения» с особенностей Ландау, которые дают воз-
возможность связать различные аналитические функции,
разделенные этими особенностями. Всякая гладкая
точка Ландау имеет окрестность U, в которой много-
многообразие Ландау L можно задать уравнением / = О
(й1фО), где /—вещественная аналитическая функ-
функция. Мы выберем знак функции I так, чтобы выше
порога выполнялось условие I > 0. Аналитическая
функция / допускает комплексификацию 1, которая
в достаточно малой комплексной окрестности U яв-
является уравнением комплексного аналитического мно-
многообразия коразмерности 1 (так как d\ Ф 0); это
«комплексификация» L многообразия L. Теперь мо-
может быть сформулирована
Гипотеза В. Ограничение распределения
(р/2|5|р'')т на достаточно малую окрестность U яв-
является граничным значением аналитической в ком-
комплексной области U П {Im I > 0} функции; допускаю-
') Мы будем называть точку Ландау гладкой, если она до-
допускает окрестность U, в которой особые точки Ландау всех
возможных графов образуют единственное аналитическое под-
подмногообразие L коразмерности 1.
Введение 17
щей аналитическое продолжение вдоль всякого пути
в области U — L.
Замечание. Из того факта, что рассматривае-
рассматриваемая аналитическая функция имеет особенности толь-
только на L, вытекает, что граничное значение не зависит
от точной формы области {Im I > 0} (т. е. не зависит
от выбора локального уравнения /). Чтобы получить
инвариантную формулировку, надо использовать по-
понятие «класса смещения», введенное в приложе-
приложении III. Причина, по которой мы отдали предпочте-
предпочтение классу смещения {Im I > 0} перед противополож-
противоположным по знаку классом {ImI<0}, будет объяснена
в § 3 настоящего введения.
2.5. Строение «главных» особенностей. Доказав в
п. 2.3 выпуклость особенностей Ландау, мы убедились
в том, что в этих точках не может быть слишком за-
заметных «неприятностей» (таких, как точка возврата,
и др.), по крайней мере вне массовой поверхности.
В главе I мы докажем значительно более точный
результат, справедливый как на массовой поверх-
поверхности, так и вне ее, и относящийся к строению «глав-
«главных особенностей» графов. Рассмотрим критическую
точку коранга 1, т. е. точку, в которой уравнения (L)
удовлетворяются единственной системой параметров
а* (с точностью до общего множителя) '). Мы назо-
назовем такую критическую точку главной, если все па-
параметры а,- строго положительны2). Образ главной
критической точки мы будем называть «главной точ-
точкой Ландау (рассматриваемого графа)». В главе I
мы докажем, что все главные особенности являются
особенностями типа S\ в классификации Тома; это
означает (ср. приложение I), что ситуацию в окрест-
окрестности критической точки можно описать следующим
образом:
Тип Si в классификации Тома
Критическое множество является аналитическим
многообразием размерности, на единицу меньшей
') Вообще, коранг критической точки равен размерности
векторного пространства решений (at) уравнений (L).
2) Более общее определение будет дано в главе I, п. 1.2.5.
18 Введение
размерности пространства-образа, а его проекция на
видимый контур является изоморфизмом аналитиче-
аналитических многообразий1); ограничение отображения п на
полный прообраз прямой2), трансверсальной к види-
видимому контуру, является функцией, имеющей невыро-
невырожденную квадратичную критическую точку (т. е. точ-
точку, в которой, по определению, дифференциал этой
функции обращается в нуль, а «гессиан» — определи-
определитель из ее вторых производных — отличен от нуля).
Замечание. Рассмотрим несколько менее об-
общий случай, когда размерность «пространства-прооб-
«пространства-прообраза» #*(G) на единицу меньше размерности про-
пространства-образа. То, что мы называем «видимым кон-
контуром», является в этом
случае просто проекцией
пространства ^(G), а точки
коранга 1 — это точки, в
которых эта проекция яв-
является (локальным), изо-
изоморфизмом аналитических
многообразий (теорема о
Рис. 3. неявных функциях). Приме-
Примеры такой ситуации дают
графы, изображенные на рис. 1 и 3. Мы не будем
в дальнейшем рассматривать случаи (коранга > 1),
когда размерность пространства-прообраза еще мень-
меньше, например, на две единицы меньше размерности
пространства-образа, как это имеет место для гра-
графов, изображенных на рис. 4 и 5. На самом деле
особенности Ландау таких графов имеют коразмер-
коразмерность > 1 и являются просто пересечениями особен-
особенностей других графов (граф рис. 4 получается из двух
графов, аналогичных графу рис. 1, а граф рис. 5 —
из шести графов, аналогичных графу рис. 3).
') В частности, всякое критическое значение (точка Лан-
Ландау) является (локально) образом единственной критической
точки.
2) Так как речь идет о локальной картине, то естественно
употреблять термин «прямая» вместо «одномерное аналитиче-
аналитическое множество».
Введение 19
2.6. Абсорбтивные части. Согласно гипотезе В, в
малой комплексной окрестности U, содержащей мно-
многообразие Ландау L, определена аналитическая функ-
функция (вообще говоря, многозначная), такая, что
(р1* | S |//')т является ее граничным значением, соот-
соответствующим области {Iml>0}. Рассмотрим теперь
Р и с. 4. Р и с. б.
в области {Ira I < 0} ветвь этой функции, совпадаю-
совпадающую с (рь | S | р/])т ниже порога, и пусть(р'!\ S | р'1)^ —
граничное значение этой функции. Абсорбтивной
частью, соответствующей L, называется следующее
распределение (определенное только в окрестно-
окрестности U):
(р!>| А | p'0(L) = (PhI S |p'.)T - (p'>I 5 | p'.#>.
Положим
<p/, | A | p'.)(L) = 6* (Pli - p
Мы сформулируем сейчас правило («правило Кут-
коски»), позволяющее вычислять абсорбтивные части-.
Рассмотрим такую точку Ландау, что существует
один и только один граф G, имеющий эту точку глав-
главной точкой Ландау. Из п. 2.5 тогда следует, что эта
точка является гладкой, так что в окрестности рас-
рассматриваемой точки можно определить абсорбтивную
часть, соответствующую многообразию Ландау L.
20 Введение
Гипотеза С. Если выполнены указанные усло-
условия и если, кроме того, граф G является простым1),
т. е. всякие две его вершины соединены самое боль-
большее одной линией, абсорбтивная часть, соответствую-
соответствующая многообразию L, задается выражением
(A) <p'.|A|p'.yL)= f n<S0)T>
где произведение распространено на все вершины v
графа G; через (S,,)t обозначен элемент S-матрицы
«элементарного процесса», отвечающего вершине и;
интегрирование, как обычно, производится по массо-
массовой поверхности М1, соответствующей внутренним им-
импульсам, с мерой ц/ = XI d.'ipfi^p2. — mfj2).
Избавляясь в формуле (А) от функции 6< (р; — р/;),
выражающей закон сохранения полной энергии-им-
энергии-импульса, получаем формулу
(Л) <рь|Л|р'.>(и=
в которой интегрирование вдоль «слоя» n~l(p'i!2)
(G) производится по мере
н н is/
где е /,/2 (G) — каноническая мера на подпростран-
подпространстве евклидова пространства <o(G), прообразе точки
p/i/j. Принимая во внимание аналитичность функций
(Sv)t (гипотезы А и В), мы видим, что интеграл (А)
выше порога принадлежит к интегралам типа, иссле-
исследованного в приложении III, и, следовательно, опре-
определяет аналитическую функцию, свойства которой мы
уточним в главе II.
') Графы с кратными линиями будут рассмотрены в гла-
главе III.
2) Напомним, что условия положительности энергии Р;>0
включены в определение массовой поверхности М'.
Введение, 21
3. Факторизация S-матрицы
Пусть G — связный граф многократного рассеяния,
имеющий множество входящих линий /, и множество
выходящих линий 1%. Мы будем изучать асимптотиче-
асимптотическое поведение амплитуды элементарного процесса
1\—*1% при действии на волновые пакеты различных
частиц подходящих сдвигов в пространстве-времени,
предназначенных для того, чтобы мы получили воз-
возможность наблюдать процесс G. Каждой вершине v
графа G мы сопоставим четырехмерный вектор av, на
который будут сдвинуты все внешние частицы, инци-
инцидентные v. Выбор системы векторов (av) произво-
с
дится следующим образом. Пусть pf|/2e 9"'h — точ-
точка Ландау, изображающая .средние энергии-им-
энергии-импульсы внешних частиц. Предположим, что речь идет
о главной точке Ландау графа G, так что ей соот-
с
ветствуют (п. 2.5) внутренние импульсы pit опреде-
определенные однозначно, и положительные параметры а{,
определенные с точностью до общего множителя. Ана-
Анализ Коулмана и Нортона наводит на мысль интер-
интерпретировать этот общий множитель т как шкалу вре-
времени процесса и, рассматривая четырехмерные век-
с
торы ai — TCiiPi, определить по ним векторы av с по-
помощью уравнений at = av» — av', где через v't и v"
i i
обозначены, соответственно, начало и конец линии i
(векторы av определены при этом лишь с точностью
до общего векторного слагаемого, что не имеет зна-
значения в силу инвариантности S-матрицы относительно
сдвига). В результате таких сдвигов элемент усечен-
усеченной S-матрицы
(if> I S I ф)т = (ph I S I p'')T if> (ph) ф (p'\
примет вид
22 Введение
где pv обозначает «алгебраическую сумму» внешних
импульсов, инцидентных вершине v (взятых со зна-
знаком плюс, если они входят в вершину, и со знаком
минус, если они выходят из вершины), равную также,
в силу закона сохранения энергии-импульса, «алге-
«алгебраической сумме» (с противоположным знаком) вну-
внутренних импульсов, инцидентных о. С помощью не-
несложной выкладки получаем
2 Ро • а0 = — 2 Pi^t,
так что фазовый множитель в интеграле можно запи-
записать в виде
— 2 Pi-ai = —x 2 щргР1 = — x\t(p'*I>)+ 2 <V"f|.
где t(p!>h) — линейная функция, определенная в
п. 2.3, при помощи которой задается уравнение каса-
касательной гиперплоскости к многообразию Ландау
с
в точке p!it*. Следовательно, интеграл является пре-
преобразованием Фурье (множитель e~lxt{p'ih)) произве-
произведения функции ¦§ (p'ih) ф {p'lh), которую мы выберем
бесконечно дифференцируемой и имеющей компакт-
с
ный носитель в малой окрестности точки р'>/2, на гра-
граничное значение функции, аналитической в полу-
полуокрестности, лежащей в верхней полуплоскости').
Как показано в приложении 0, этот интеграл {S) (т)
при т->—оо стремится к нулю быстрее любой отрица-
') Точнее, выберем локальную систему координат, первой
из которых является функция t, а остальные обозначаются
через («.). Так как df|L = O, то, очевидно, никакие из du;|L
не могут обращаться в нуль. Принимая во внимание гипотезу
получаем отсюда, что
1) (рГг | S | р'')т есть непрерывная функция от (и,),
значениями которой являются распределения по переменной t,
2) для каждой вещественной точки (ц<) это распределение
является граничным значением аналитической функции в полу-
полуокрестности, лежащей в верхней полуплоскости переменной t
>0)
Таким образом, мы находимся как раз в условиях заклю-
заключительного следствия приложения 0.
Введение 23
тельной степени т. При т—>•-f-oo таким же свойством
обладает функция (S)(L)(t), полученная в результате
замены распределения (р'1 [ S | р'')т распределением
{ph\ S \р!'Ут\ определенным в п. 2.6.
Гипотеза С позволяет сформулировать следующее
предложение, которое дает очень интересное выраже-
выражение для функции (i4)<L>(T) = <S)(T)—VS)(L>(t):
Предложение1). С точностью до функции
с быстрым убыванием интеграл {S) (т) при т-^+оо
ведет себя как функция
= J
Таким образом мы получаем факторизацию
S-матрицы, которая навела на мысль рассматривать
вершины графа как независимые процессы [8]. Фазо-
Фазовый множитель Piui соответствует распространению
«свободной» частицы i от точки ее возникновения
(где она играет роль частицы out) до точки ее унич-
уничтожения (где она играет роль частицы in). Этот фа-
фазовый множитель имеет назначение «гасить» ампли-
амплитуду процесса: действительно, можно убедиться в том,
что {А) (т) стремится к нулю как отрицательная сте-
степень Ух 2).
Замечание. Ясно, почему нельзя ожидать, что
гипотеза С будет иметь тот же вид и для графов
') Необходимо сделать следующие предположения: G —
единственный граф, имеющий точку pr'l! главной особенно-
особенностью, и этот граф имеет лишь простые линии.
2) Это в точности явление «разложения иа волновые па-
пакеты» в квантовой механике. С математической точки зрения
Мы имеем здесь интеграл по поверхности P'(G) от функции
класса С", умноженной на e~tXt (р''/г)- Вычисляя этот инте-
интеграл методом стационарной фазы, можно показать, что асимп-
асимптотически он ведет себя как т~"'2, где п — ранг квадратичной
формы, являющейся главным членом разложения в ряд Тей-
Тейлора функции flP'(G) в критической точке.
24 Введение
с кратными линиями. В самом деле, с промежуточ-
промежуточными частицами, «путешествующими вместе», нельзя
обращаться так же, как со свободными частицами,
т. е. они не могут играть роль частиц out (соотв. in)
в тех вершинах, где они создаются (соотв. уничто-
уничтожаются). Следовательно, такой вершине мы не мо-
можем поставить в соответствие (Sv)t.
4. Обсуждение
Как мы только что видели, гипотезы А, В, С не-
непосредственно приводят нас к феноменологическому
понятию многократного рассеяния1). Какие другие
обоснования имеются для этих гипотез?
Напомним сначала аргументы, заимствованные из
теории возмущений. Результаты приложения III не-
непосредственно применимы к интегралам Фейнмана2),
причем предложение А.Ш.3.1 доказывает гипотезы А,
В, в то время как доказательство гипотезы С полу-
получается из формулы (Disc 1) (к сожалению, в теории
возмущений амплитуды, связанные с вершинами гра-
графов, заменяются на постоянные, что маскирует тон-
тонкости, о которых говорилось в заключительном заме-
замечании предыдущего параграфа).
Остановимся несколько подробнее на следующих
аргументах совместимости. В то время как в гипоте-
гипотезах А, В речь идет об аналитических свойствах ам-
амплитуд, гипотеза С дает нам интегральные соотноше-
соотношения между этими амплитудами. Очевидно, необходимо
проверить, что одни свойства совместимы с другими;
именно этим мы займемся в главе II. Идея, уже упо-
упомянутая в конце п. 2.6, состоит в выяснении аналити-
аналитических свойств интегралов поглощения (интегралов,
') Этого можно было бы достичь и с помощью более сла-
слабых гипотез, ср. [15], [16].
2) Если не говорить о том, что для интегралов Фейнмана
изучаемая «проекция» не является «собственной». Это обстоя-
обстоятельство поднимает проблему «особенностей Ландау второго-
рода» (видимые контуры «на бесконечности»), не говоря уже
о вопросах сходимости интегралов.
Введение 25
о которых идет речь в гипотезе С), считая известными
(на основании гипотез А, В, С) аналитические свой-
свойства подинтегрального выражения. Мы докажем при
этом три теоремы А, В, С, поразительное сходство
которых с гипотезами А, В, С ставит интересные
проблемы согласованности. В частности, сравнение
гипотезы С и теоремы С, дающее равенство между
скачками амплитуды рассеяния и абсорбтивной ча-
части, приведет нас к факту отсутствия особенностей
у амплитуды рассеяния, аналитически продолженной
вдоль некоторой петли (п. II.3.2). Чисто топологи-
топологическое рассуждение (вычисление некоторой гомотопи-
гомотопической группы) покажет нам (п. II. 3.3), что эта голо-
голоморфность аналитического продолжения эквивалентна
голоморфности самой амплитуды в «точках Ландау»,
в которых не все at положительны. Таким образом,
мы получим связь между гипотезой С и постулатом
о положительности параметров а,, включенном в ги-
гипотезу А.
Конечно, сейчас мы еще далеки от доказатель-
доказательства гипотез. Впрочем, до сих пор мы пренебрегали
одним существенным физическим соображением: речь
идет об унитарности S-матрицы, из которой кэмбридж-
ским физикам недавно удалось «извлечь» в некото-
некоторых частных случаях ([2], [19], [20]) правила Куткоски.
Благодаря развитым здесь топологическим методам,
ничто нам не мешает в принципе проделать то же
самое в общем случае, если бы не крайняя комби-
комбинаторная сложность соотношений унитарности. Но
даже распутав этот клубок, мы не смогли бы еще
доказать гипотезы, так как получить аналитические
свойства интеграла из аналитических свойств подин-
подинтегрального выражения и исследовать аналитические
свойства решения интегрального уравнения — далекие
друг от друга задачи. В действительности настоящая
проблема сводится к решению задачи последнего
типа, и ее можно сформулировать следующим обра-
образом: зная интегральные соотношения между ампли-
амплитудами — соотношения унитарности — и «минимум»
аналитических свойств этих амплитуд, содержащийся
26 Введение
в «линейной программе» теории поля, извлечь от-
отсюда их аналитические свойства «в полной мере» (ги-
(гипотезы А, В, С). Эта проблема, несомненно, является
трудной, если она вообще разрешима в рамках со-
современной линейной программы (единственные све-
сведения, которыми мы располагаем в настоящее время
относительно амплитуд N частиц, касаются их анали-
аналитичности вне массовой поверхности).
ГЛАВА О
НЕКОТОРЫЕ КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА ГРАФОВ
Настоящая глава, в которой формализм доведен
до предела, может произвести неприятное впечатле-
впечатление. Читателю рекомендуется бегло с ней ознако-
ознакомиться (например, просмотрев рисунки), с тем чтобы
возвращаться к ней по мере надобности.
В § 0.1 напоминаются некоторые классические по-
понятия (ср., например, [1]), важнейшими из которых
являются понятия циклов @.1.3) и законов сохране-
сохранения @.1.4). В п. 0.2,2 напоминается основное для
дальнейшего понятие стягивания1), а также пред-
предлагаются терминология (подграфы, факторграфы,
расширения графов) и обозначения (точные последо-
последовательности графов), заимствованные из теории групп
и оказавшиеся весьма удобными. Продолжая анало-
аналогию, мы изучаем тривиальные расширения @.3), ко-
которые служат для построения расслоенных произве-
произведений @.4). Понятие расслоенного произведения бу-
будет играть важную роль в главе II, в частности при
изучении «двойных скачков», где оно приведет нас
к общей формулировке «соотношений Куткоски —
Штейнмана» (как говорят специалисты в теории
S-матрицы).
Выражаясь математически, можно сказать, что все
эти понятия, вероятно, найдут свое место в стандарт-
стандартных рамках «категории графов»; в соответствии с этим
в п. 0.2.1 вводится определение гомоморфизма гра-
фрв, — но дальше по этому пути я не продвинулся.
0.1. Пути, циклы и законы сохранения графов
0.1.1. Определение графа. Графом называется со-
совокупность двух множеств — множества линий / и
') Которое многие физики имеют обыкновение называть
«редукцией».
28 Глава О
множества вершин V и отображения, которое каждой
линии ставит в соответствие пару вершин, называе-
называемых соответственно началом и концом линии1). Го-
Говорят, что линия i инцидентна вершине и, если она
имеет эту вершину своим началом или концом (го-
(говорят также, что вершина и инцидентна линии i).
Множество линий, инцидентных вершине о, назы-
называется звездой вершины о.
В дальнейшем нам будет удобно представлять
себе граф как множество путей, снабженное ассоциа-
ассоциативной операцией, которая не всюду определена: ком-
композиция с'с двух путей сне' определена тогда и
только тогда, когда конец пути с совпадает с нача-
началом пути с'. Определен путь с~х, обратный к пути с
(это путь, «пробегаемый в обратном направлении»).
Композиции с~хс и сс~х всегда определены: их можно
отождествить соответственно с началом и концом
пути с. Такая точка зрения интересна потому, что
нет нужды вводить множество вершин, которое вы-
выступает здесь как множество путей специального вида
(«нулевых путей»).
Читатель может пропустить следующий параграф,
который посвящен формализации этой идеи. Тем не
менее необходимо остановиться на одном обозначе-
обозначении: запись i e о (соответственно i~l e о) обозначает,
что линия I имеет вершину v своим началом (соот-
(соответственно концом).
0.1.2. Группоиды. Рассмотрим множество G, снаб-
снабженное не всюду определенной ассоциативной опера-
операцией, которая записывается мультипликативно.
Ассоциативность. Операция называется ас-
ассоциативной, если для всякой тройки а, Ь, с е G, та-
такой, что аЬ и be определены, (ab)c и а(Ьс) также
определены и равны между собой (их общее значе-
значение записывается abc). Отсюда выводится, что если
') Рассмотрение графов с внешними линиями, т. е. таких,
у которых некоторые линии не имеют начала или конца, сво-
сводится к изучаемому здесь случаю добавлением общей вершины
(бесконечно удаленной вершины), инцидентной всем внешним
линиям.
Некоторые комбинаторные свойства графов 29
в последовательности а\, а% ..., an s G композиция
любых двух последовательных элементов определена,
то существует единственный элемент п\п2 ... а„ е G,
являющийся композицией всех а& с произвольным
расположением скобок.
Единица. Элемент c^G называется единицей,
если еа = а (соответственно ае = а) всякий раз, ког-
когда еа (соответственно ае) определено.
Обратный элемент. Говорят, что а'являет-
а'является обратным к элементу а (или а является обрат-
обратным к элементу а'), если аа' и а'а определены и
являются единицами. Единственность обратного эле-
элемента (если он существует) очевидна, так как если
а' и а" два обратных к а элемента, то композиция
а'аа" определена и равна одновременно а' и а"
(используем ассоциативность и определение единицы).
Определение группоида1). Группоидом
называется множество G, снабженное ассоциативной
(не всюду определенной) операцией, такой, что для
всякого элемента а е G имеется обратный, обозначае-
обозначаемый а~х.
Свойства группоидов.
i) Всякая единица является своим обратным эле-
элементом.
Действительно, если е — единица, то элемент
(ее~х)е определен и равен одновременно е (так как
ее~~х есть единица) и етх (так как е — единица).
И) Если аЪ определен, то и Ь~ха~х определен и ра-
равен (ab)~x.
Проверка того, что элемент Ь~ха~х является обрат-
обратным к ab, не представляет никакого труда, если из-
известно, что он определен. Последнее доказывается
повторным применением свойства ассоциативности.
Заметим сначала, что (ab)b~x определен и равен а.
Отсюда получаем, что (ab)~x(ab)b~x определен и ра-
равен, с одной стороны, (аЬ)~]а, а с другой Ь~К Но так
') Это классическое определение обычно формулируется в
более общих рамках теории категорий: ср., например, [5], гл. I.
30 Глава 0
как аа~х определен, то [(ab)~xa]a~x определен, откуда
следует нужный результат, поскольку (ab)~xa = Ь~х.
ш) Свойство «элемент barx определен», рассмат-
рассматриваемое как отношение между элементами а, Ь из G,
является отношением эквивалентности:
оно рефлексивно, так как асг1 определен;
оно симметрично, так как если Ьа~х определен, то
и ab~x определен на основании и);
оно транзитивно: если Ьа~х и сЪ~х определены, то
из ассоциативности и из того, что Ъ~ХЬ определен,
вытекает, что сЬ~хЬа~х, т. е. са~х, определен.
Классы эквивалентности, определенные отноше-
отношением ш), называются вершинами. Принадлежность
элемента а к классу и (обозначается нео) выра-
выражается словами: v является началом а или концом
а~х. Из этого соглашения вытекает, что аЬ определен
тогда и только тогда, когда конец элемента Ь совпа-
совпадает с началом элемента а.
Если аа определен, т. е. начало и конец элемен-
элемента а совпадают, то мы будем говорить, что а яв-
является петлей.
iv) Всякая вершина содержит одну и только одну
единицу.
Вершина содержит единицу: действительно, если
аеи, то v содержит единицу а~ха, так как (а-1а)а~х
определен. Она содержит только одну единицу: если
бы v содержала две единицы е и е', то е'е"х был бы
определен. Но, согласно i), e~x = е. Следовательно,
е'е определен и равен одновременно е и е'.
На основании свойства iv) мы условимся отожде-
отождествлять множество вершин с множеством единиц
группоида.
Гомоморфизмы группоидов. Мы опреде-
определим их очевидным образом, как отображения (р: G-*¦
->G', сохраняющие структуру группоида. Иначе говоря,
1) если аЪ определен в G, то ср(а)ф(Ь) определен
в G' и равен (б)
2) )>
Некоторые комбинаторные свойства графов 31
Очевидным следствием свойства 1) является тот
факт, что отображение ср преобразует петли в петли.
С другой стороны, ф сохраняет отношение эквива-
эквивалентности ш) и, следовательно, преобразует вершины
в вершины.
Примеры группоидов. Группа — это груп-
группоид с единственной вершиной. Вообще, произволь-
произвольный группоид G можно построить (так же, как и
любую группу), задавая семейство / cr G образующих
группоида и семейство соотношений между этими об-
образующими («определяющих соотношений» груп-
группоида). Граф — это группоид, допускающий семейство
определяющих соотношений вида аа~' = bb~x, где а
и Ь — некоторые элементы множества / или множе-
множества
Элементы множества / — это линии графа. Элементы
группоида G, порожденного множеством /, являются
путями графа.
0.1.3. Циклы. Вернемся опять к изучению графов.
Введем некоторые новые определения.
¦ Петлей (ср. 0.1.2) называется путь, начало и ко-
конец которого совпадают.
Путь с является направленным, если его можно
представить в виде i\i2... 1Р, где ih принадлежат / (но
не Z).
% Направленная петля называется циркуляцией (или
током). Обозначим через Z(/) свободную абелеву
группу над /, элементами которой являются конечные
формальные линейные комбинации с целыми поло-
положительными или отрицательными коэффициентами:
Y = 2 nd (п1^ 0 лишь для конечного числа индек-
сов i); назовем их цепями. В частности, всякий путь
с = i*1^2 ... *р (гк = ± 1) определяет цепь Ус — 2 Щ1,
где суммирование производится по всем различным
линиям i, входящим в представление пути с, причем
nt равно сумме чисел ей, соответствующих i'-й линии.
32 Глава О
Всякой вершине оеУ мы поставим в соответствие
линейную функцию с целыми значениями
*
v :
определенную равенством
о*Bп*А= 2 п,
В частности, если Тс — цепь,' определенная путем с,
мы имеем
О, если с не инцидентен v или
если с петля;
+ 1, если сео, с~1фь;
— 1, если с е v, сф-v.
Цепь у е Z (/) называется цшогсш, если ti* (y) =
— О Vt) e У. Множество циклов является, очевидно,
подгруппой группы Z (/); мы обозначим ее через Z*.
Легко видеть, что эта подгрупп'а может быть порож-
порождена цепями Г/, определенными петлями I рассматри-
рассматриваемого графа.
0.1.4. Законы сохранения. Рассмотрим множество
всех линейных функций f: Z (/)->• Z с целыми зна-
значениями, обращающихся в нуль на всяком цикле. Это
подгруппа двойственной к Z(/) группы Z1: под-
подгруппа, ортогональная к Z*. Мы обозначим ее через
V*.
В случае конечных графов (единственном случае,
который нас практически будет интересовать), т. е.
в случае, когда / является конечным множеством,
V* есть не что иное, как подгруппа, порожденная
всеми функциями v*, оеУ. В этом случае группу Z1
можно отождествить с Z (/), и тогда, в частности,
функция v* отождествляется с конечной формальной
линейной комбинацией
2 /- 2 /,
Некоторые комбинаторные свойства графов
33
которую можно интуитивно интерпретировать как «за-
«закон сохранения тока» в вершине v (считая каждую
линию проводником «тока»). По этой причине группу
V* мы будем называть пространством законов сохра-
сохранения графа.
Замечание. Из того, что Z* и V* «взаимно ор-
ортогональны» (в случае конечных графов), не выте-
вытекает, что группа Z(/) является прямой суммой под-
подгрупп Z* и V*. Например, для графа
группа Z, порождена элементами вида z* = i —¦ /,
а V* — элементами вида V = i -\- j и Z* © V* яв-
Рис. 6. Циклы и законы сохранения
для указанного выше графа.
ляется лишь подрешеткой решетки Z (i, j) точек с це-
целыми координатами на плоскости (рис. 6).
0.2. Подграфы и факторграфы
0.2.1. Гомоморфизмы графов. Гомоморфизмом гра-
графов называется отображение ср: G —*¦ G' пространства
путей графа G в пространство путей графа G', сохра-
сохраняющее закон композиции; следовательно, это част-
частный случай гомоморфизма группоидов, введенного
2 Зак, 1190
34 Главр О
в п. 0.1.2. Такое отображение не-обязательно перево-
переводит линии графа G в линии графа G' (ср. рис. 7), од-
однако известно @.1.2), что оно переводит вершины
Рас. 7. Пример гомоморфизма графов: линия I преобразуется
в путь Ьа.
в вершины и петли в петли. С другой стороны, оно ин-
индуцирует, очевидно, гомоморфизм групп цепей
«p.: Z(/)-»Z(/'),
который определяется так: цепи у = 2 пО- ставится
в соответствие цепь ф,у = 2 я*Г'ф (i), где через
Pq)(t) обозначена цепь, определенная путем q>(t)
в графе G'. Этот гомоморфизм ф» преобразует циклы
в циклы (так как циклы порождены петлями); по-
поэтому можно написать
Из соображений двойственности получаем отсюда го-
гомоморфизм
Закончим на этом изложение общих свойств графов и
перейдем исключительно к изучению специального
типа гомоморфизмов графов: вложений и стягиваний
0.2.2. Вложения и стягивания. Вложение графов
(обозначаемое i: G'>—>G)—это такой гомоморфизм,
что /'с/ и что i|/' является тождественным отобра-
отображением. Говорят, что G' является подграфом в G.
Стягивание графов (обозначаемое к: G~>*G") —
это такой гомоморфизм, что IzdI", а к\1" является
Некоторые комбинаторные свойства графов 35
тождественным отображением, причем х преобразует
всякую линию из С /" в единицу (нулевую линию)
графа G". Мы будем говорить в этом случае, что G"
является факторграфом графа G.
Легко видеть, что для всякого графа G задание
произвольного подмножества /' сг / (соотв. /" с: /)
определяет единственный 1) подграф & (соотв. фак-
торграф G") и соответствующее вложение (соотв.
стягивание). Граф G' получается просто в результате
ограничения на /' операции в графе G. Что касается
G", то пространство его путей получается из про-
пространства путей графа G в результате «короткого за-
замыкания» всех линий, принадлежащих множеству
С/".
Если С/" = /', то мы будем говорить, что последо-
последовательность G' > —-> G -^» G" является точной, или
что G" является факторграфом графа G по G':
G" = GIG', или что G' является ядром стягивания к:
G' = кеги, или что G является расширением графа G'
с помощью G"', или что G является расширением над
G" с ядром G'\ все эти выражения заимствованы из
теории групп.
0.2.3. Точная последовательность циклов.
Предложение. Всякая точная последователь'
ность графов
индуцирует на циклах точную последовательность
групп2)
(Z) Z[ >^-> Z. —•-» Z".
Действительно, Z[ есть, очевидно, подгруппа в Z*.
Далее, очевидно, что и»—сюръективное отображение,
') Исключая те случаи стягивания, когда множество С /"
содержит связные компоненты графа G. Эти связные компонен-
компоненты дают вершины графа G", которые мы можем либо оставить
изолированными, либо отождествить с другой какой-либо вер-
вершиной G".
2) Обозначения >—>• и —» для моно- и эпиморфизмов
заимствованы у Мак-Лейна [24].
36 Глава О
так как всякая петля графа G" получается в резуль-
результате «короткого замыкания» некоторой петли из G.
Наконец, цикл графа G аннулируется отображением
и» тогда и только тогда, когда он состоит из линий
множества /', но последнее означает, что он является
циклом графа С.
Следствие. Для того чтобы Zt = Z", необхо-
необходимо и достаточно, чтобы G' был деревом (деревом
называется граф без цикловI).
У пр а ж не ние. Дерево А, являющееся подгра-
подграфом в G, называется максимальным в G, если в G не
существует никакого другого дерева, его содержа-
содержащего. Проверьте, что если G" — факторграф графа G
по максимальному дереву, то все линии графа G" яв-
являются петлями, так что Z" = Z(/").
Рис. 8. Стягивание, ядро которого является максимальным
деревом.
Принимая во внимание следствие, мы получаем хо-
хорошо известное свойство: множество I", дополнитель-
дополнительное к максимальному дереву, определяет базис груп-
группы циклов графа G (рис. 8).
0.2.4. Точная последовательность законов сохране-
сохранения. Из предложения п. 0.2.3 в силу двойственности
мы получаем
Следствие. Точная последовательность графов
G' >—* G —» G"
') Иногда еще требуют, чтобы дерево было связным. Не-
Несвязный граф без циклов называют «лесом».
Некоторые комбинаторные свойства графов 37
индуцирует для законов сохранения точную последо-
последовательность групп
(V) у'*+<?-v <?-<v\
0.3. Тривиальные расширения: объединения
и букеты графов
0.3.1. Мы будем говорить, что точная последова-
последовательность графов G' >—-> G —>-> G" является расщеп-
расщепляющейся, или что G является тривиальным расшире-
расширением графов G' и G", если можно написать также и
точную последовательность
G' *<— G +—< G".
Обобщая сказанное, мы назовем точную последова-
последовательность расщепляющейся справа, соответственно
слева (или тривиальным справа, соответственно сле-
слева, расширением), если имеет место последователь-
последовательность
G' >—> G ^Zt< G", соответственно G' \T^- G —» G".
В каждом из этих двух случаев точная последователь-
последовательность абелевых групп (Z) канонически расщепляет-
расщепляется '), так что Z. = Z[® Z'l. Аналогично,V = У'*0V"\
Следовательно, если два графа, имеющие одинаковые
множества линий и одинаковые группы циклов (сле-
(следовательно, одинаковые законы сохранения), назвать
эквивалентными, то легко видеть, что тривиальное
(справа или слева) расширение двух заданных гра-
графов является единственным с точностью до эквива-
эквивалентности 2).
0.3.2. Построение всех тривиальных расширений
двух заданных графов. Для всякой пары графов
') Конечно, последовательность (Z), будучи точной после-
последовательностью свободных групп, всегда расщепляется, но, во-
вообще говоря, не каноническим образом.
2) Заметим, что это отношение эквивалентности является
более слабым, чем изоморфизм графов (см. п. 0.2.1). Например,
два графа, изображенные на рис. 9, эквивалентны, но простран-
пространства их путей совершенно различны.
38 Глава О
(G', G"), имеющих непересекающиеся множества ли-
линий /' и /" соответственно, можно построить очевид-
очевидное тривиальное расширение, а именно, их объедине-
объединение G' U G", определенное просто как объединение
пространств путей обоих графов.
Другим тривиальным расширением является букет
(рис. 9) G' V G", который получается из объедине-
v', v"
ния в результате отожде-
отождествления вершины о'ёУ'
с вершиной v" e V".
Из следующего пункта
вытекает, что это — един-
единственно возможные три-
тривиальные расширения,
Рис. 9. Букет двух графов. если по крайней мере
один из двух графов G',
G" является связным (напомним, что граф назы-
называется связным, если всякие две его вершины можно
соединить путем).
' И".
0.3.3. Пасть G' >—> G 7~^ G" — точная последо-
I"
вательность, расщепляющаяся справа, и пусть G'
связен. Тогда G равен объединению или букету гра-
графов G' и G" (и, следовательно, эта точная последо-
последовательность расщепляется).
Доказательство. Рассмотрим образы вершин
графов G' и G" при отображениях i/ и i". Если для
всякой пары вершин (о' е V, v" e V") мы имеем
i-V ф i'V, то, очевидно, G = G' U G". Если суще-
существует одна и только одна пара вершин, такая, что
iV = i"o", то, очевидно, G = G' V G".
и', о"
Остается, следовательно, доказать, что если G' свя-
связен, то не может существовать двух таких пар
(У1' v'i)' (°2> vt.)' ^ самом деле, пусть o1 = i/oj = i"o^'
и o2 = t/O2 = i"o^. Так как С связен, то существует
путь в G', соединяющий v\ с v'2. Следовательно,
из определения факторграфа вытекает равенство
Y,"i'v'.=y."\.'v'2, которое можно еще записать так:
Некоторые комбинаторные свойства графов 39
v!\"v'[ = %'\"v". Отсюда получаем, что v" — v?
(так как x"i"=l). Значит, v{ = v2 и, поскольку
i' и i" — вложения, tij == t»2- Следовательно, две рас-
рассматриваемые пары идентичны.
0.3.4. Посмотрим теперь, что дает нам предыдущее
рассуждение в случае, если G' не связен. Легко ви-
видеть, что тогда может существовать столько пар
(v1, v"), сколько связных компонент в G'. Следова-
Следовательно, G получается присоединением к G" (всякий
раз при помощи операции «букет») некоторых связ-
связных компонент графа G'.
Далее, рассмотрим факторграф G'" — G/G" (ср.
рис. 10):
G'
в"
Легко видеть, что G'" получается из G' отождест-
отождествлением тех вершин, которые присоединяются в G
к одной и той же связной компоненте графа G". Сле-
Следовательно, возможны два случая: либо G' = G'" (и
точная последовательность расщепляется), либо
G"' — букет. Теперь можно резюмировать результаты
п. 0.3.3 (о точной последовательности, расщепляю-
расщепляющейся справа, (i/, к")) и п. 0.3.4 (о точной последова-
последовательности, расщепляющейся слева (i", у!")).
Предложение. Если в точной последователь-
последовательности, расщепляющейся справа, граф, стоящий слева,
40 Глава 0
не является объединением (т. е. если он связен) или
если в точной последовательности, расщепляющейся
слева, граф, стоящий справа, не является букетом, то
эта точная последовательность является расщепляю-
расщепляющейся.
Сформулируем теперь очень полезное предложе-
предложение, из которого вытекает, что одного лишь знания
циклов графа достаточно, чтобы решить вопрос о три-
тривиальности точной последовательности.
0.3.5. Предложение. Если G" не является бу-
букетом, то необходимым и достаточным условием того,
чтобы точная последовательность G' >-*¦ G -*-> G"
расщеплялась справа, является расщепление точной
последовательности циклов.
Как мы уже отметили в п. 0.3.1, это условие яв-
является необходимым. Докажем обратное.
Тот факт, что G" не является букетом, означает,
что в каждой из его связных компонент дополнение
к звезде любой вершины связно. Следовательно, через
всякую пару линий iu 12 этой звезды проходит петля,
имеющая со звездой общими лишь эти две линии. Но
так как точная последовательность циклов расщеп-
расщепляется, то эта петля графа G" является также пет-
петлей в G, откуда вытекает, что линии i\ и ['2 в G также
инцидентны одной вершине. Следовательно, G" яв-
является подграфом в G, и последовательность G' >->
>—*¦ G -» G" расщепляется справа.
Из 0.3.4 и 0.3.5 получаем
0.3.6. Предложение. Если граф, стоящий сле-
слева, не является объединением, а граф, стоящий спра-
справа, не является букетом, то тривиальность точной по-
последовательности графов равносильна тривиальности
соответствующей точной последовательности циклов.
0.4. Расслоенные произведения
0.4.1. Определение расслоенного произведения
В следующих главах объектами нашего исследования
будут графы, рассматриваемые не изолированно, а как
расширения над заданным графом Go. Итак, пусть
Некоторые комбинаторные свойства графов 41
G' ->-> Go и G" -» Go — два таких расширения. Мы
скажем, что стягивание и: G —>> Go является рас-
расслоенным произведением стягиваний к' и ¦/!' или что
расширение G является расслоенным произведением
расширений G' и G", если
1) G является расширением над G' и над G";
2) G=kerx является тривиальным расширением
графа G'=kerx' с помощью G"=ker>c".
Следовательно, расслоенное произведение можно
изобразить с помощью следующей точной диаграммы:
C\ I У/
G
X
где вложения, изображенные пунктиром, определены
как композиции:
Рассматривая точную диаграмму циклов, которая по-
получается отсюда на основании п. 0.2.3, легко видеть,
что гомоморфизм к„: Z, -> Zo. является расслоен-
расслоенным произведением1) гомоморфизмов к': Z'->Z0> и
%": Z" -> ZOt. Для законов сохранения имеем
двойственное предложение: вложение к*: VJ сг V*
') Расслоенное произведение Z = Z' Д ъ" — это под-
подгруппа в Z'XZ'', образованная такими парами (г'', г"), что
х'г' = к"z"; это общее значение и есть по определению
V, г").
42 Глава О
является амальгамированной суммой1) двух вложе-
вложений %'*: V; с V" и %"*: \'о с V"*.
Отсюда следует, как и в п. 0.3.1, что расслоенное
произведение двух стягиваний графов единственно
с точностью до эквивалентности. Но в противополож-
противоположность тому, что мы видели в п. 0.3.2, часто случается
даже, что это расслоенное произведение по-настоя-
по-настоящему единственно, либо вообще не существует. Мы
приведем конструктивные критерии, позволяющие ре-
решить этот вопрос.
0.4.2. Построение расслоенного произведения. Пусть
даны два стягивания %' и х"; тогда известны их ядра
G' и G" и, следовательно, на основании § 0.3, из-
известны все тривиальные расширения G графа G' с
помощью G"'. Задача построения расслоенного произ-
произведения сводится, следовательно, к проблеме построе-
построения расширения G графа G с помощью Go, фактор-
графами которого являются G' и G". Мы дадим не-
необходимые и достаточные условия существования та-
такого расширения, предполагая для простоты, что ядра
G' и G" связны; тогда каждый из них стягивается
на одну вершину графа Go. Если речь идет о двух
различных вершинах, то легко убедиться, что суще-
существует одно и только одно расслоенное произведение,
определенное как расширение- графа G' U G" (и об-
обратно, существование расслоенного произведения, яв-
являющегося расширением графа G' U G", приводит,
очевидно, к тому, что G' и G" стягиваются на две раз-
различные вершины графа GD). Соответствующий пример
приведен на рис. 112).
Предположим теперь, что G' и G" стягиваются на
одну и ту же вершину v0 графа Go, так что расслоен-
') Амальгамированная сумма V* = V* V V"* — это фактор,
группа группы V ©V" по подгруппе, образованной элемен-
элементами вида' (%'*v*, — x"*t)*), 8'eV). Иначе говоря, (x'*t>*, О) и
@, я" V*) задают один и тот же элемент группы V*-
2) На этом, как и на всех следующих рисунках, изобра-
изображены графы с внешними линиями. Такие графы мы будем изу-
изучать в следующих главах.
Некоторые комбинаторные еввйвтва графев
43
ное произведение, если оно определено, необходимо
является расширением букета.
Не ограничивая общности, можно рассматривать
лишь линии графа Go, инцидентные v0. Пусть /о —
Рис. 11. Расслоенное произведение, определенное при помощи
объединения.
звезда вершины и0 в Go. Нам будет удобнее рассма-
рассматривать звезду, «излучающую во внешность»:
10 = {а е /оU/о"'\а <= v0].
Граф G будет полностью определен, если сопоставить
каждой линии ое/0 вершину графа G, которая дол-
должна быть ее началом в G.
Для всякой вершины v' графа G' положим
/0-= {а е=/о | а е= и' в G'};
аналогично, для всякой вершины v" e G" положим
/;'„ = {абЕ70|аеЕи" в G"}.
Предложение. Для того чтобы расслоенное
произведение было расширением букета G' \/ G"
_ о','в*
необходимо и достаточно, чтобы /0 = ]'V' U /о"-
Рис. 12. Пример, когда расслоенное произведение не сущест-
существует.
Рис. 13. Единственное расслоенное произведение, определенное
букетом.
Некоторые комбинаторные свойства графов 45
Детали рассуждений мы оставляем читателю. Ука-
Укажем лишь идею построения. Припишем каждой ли-
линии из J'V' в качестве начала вершину графа G' V G",
о', о"
которая является ее началом в G", а каждой линии
из /"»— вершину, которая является ее началом в G'.
<">
Рис. 14. Два расслоенных произве-
произведения, определенных букетами.
Эти определения совпадают на пересечении j'v> |~| /"",
всем элементам которого приписывается «узел буке-
букета» (общий образ вершин v' и v").
Можно построить в точности столько расслоенных
произведений, сколько существует пар (v', и"), удо-
удовлетворяющих условиям этого предложения. Часто
таких пар не существует (рис. 12), иногда существует
одна единственная пара (рис. 13), иногда их больше
(рис. 14).
0.4.3. Совместимые стягивания. Так как в дальней-
дальнейшем это понятие будет очень важным, удобно ввести
термин для выражения того факта, что расслоенное
произведение двух стягиваний существует. В этом
случае мы будем говорить, что эти стягивания совме-
совместимы.
Еще одно полезное определение: мы будем гово-
говорить, что стягивание х: G -*-> Go доминирует стяги-
стягивание %': G' -» Go, если оно разлагается следующим
46 Глава О
образом: х: G -» G' -» Go. Необходимо заметить,
что существование стягивания, доминирующего одно-
одновременно два стягивания %' и х", т. е. существование
диаграммы
в- 1*
не влечет за собой совместимости стягиваний у!
и к).
Рис. 15. Два стягивания к' и к",
хотя и «несовместимые» (ср. рис. 7),
доминируются одним и тем же стя-
стягиванием к.
Контрпример приведен на рис. 15.
') Следовательно, значение, приписываемое здесь слову
«совместимый», отлично от значения, приписываемого этому
слову Стаппом [35].
ГЛАВА I
ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
ПРОСТРАНСТВ, СВЯЗАННЫХ С ГРАФАМИ
Начиная с этого места мы будем рассматривать
лишь конечные графы с внешними линиями, без цир-
циркуляции1). Отсутствие циркуляции позволяет опреде-
определить на множестве вершин2) отношение порядка
(частичного), соответствующее физически «причинной
упорядоченности» событий, представленных этими
вершинами. В этой главе мы сопоставим каждому
графу G указанного вида аналитическое пространство
5^(G) и каждому стягиванию3) %: G-» G'— анали-
аналитическое отображение: ^(и): ^(G)^-^(G'). Речь
всегда будет идти о вещественных аналитических про-
пространствах, но, может быть, небезынтересно заметить,
что некоторые результаты распространяются и на
комплексификации этих пространств; в таких слу-
случаях мы в соответствующем месте будем ставить знак
(С). Чтобы избежать недоразумений, мы будем ста-
ставить знак (R) в тех случаях, когда вещественная
структура играет существенную роль.
1.1. Пространства 9"(G) и их отображения
Каждая линия i графа G представляет частицу
с массой гп1 >0. Пусть М{—пола положительных
энергий соответствующего массового гиперболоида:
') Исключая те, которые проходят через «бесконечно уда-
удаленную вершину».
2) Отныне под множеством вершни мы будем понимать
множество всех вершин, кроме бесконечноудаленной. Заметим,
что исключение одной вершины не изменяет группы «законов
сохранения».
3) Запрещается стягивать внешние линии. Ядро стягивания,
не имеющее ни одной внешней линии, уже не является графом
рассматриваемого вида, и ему не соответствует никакое про-
пространство,
48 Глава I
Пространство ^(G) графа мы определим как сечение
«массовой поверхности» М1 — П Mi линейным про-
странством S"(G), уравнение которого выражает за-
закон сохранения энергии-импульса в каждой вершине:
Следовательно, ^(G) является вещественным анали-
аналитическим ') множеством. Оно будет даже для всех
значений масс, кроме исключительных, аналитическим
многообразием размерности 3| 11 — 4 dim V* = 4 dimZ,—
— 111. В самом деле, пусть a: S"(G)-*R — ото-
отображение, которое точке рх = (р,) ставит в соответ-
соответствие набор чисел (si = p\\. Для того чтобы аналити-
аналитическое множество a~l ([tnfj\, в котором ^(G) является
связной компонентой, было многообразием, достаточ-
достаточно, чтобы точка (tnf\ была «регулярным значением»
отображения а, т. е. чтобы она не принадлежала «ви-
«видимому контуру» отображения а, который является
«тощим» множеством2). Поучительно записать это
условие в явном виде. Точки (р,), удовлетворяющие
законам сохранения, можно записать в виде р{ =
" 2 zft(i) <7А,где (za e Z») — базис группы циклов гра-
графа G, qh — независимые переменные ^.Следовательно,
') И даже связной компонентой вещественного алгебраи-
алгебраического многообразия (variety). Алгебраическая структура по-
почти не играет роли в наших последующих рассуждениях.
2) То есть множеством, замыкание которого нигде не плотно.
Действительно, а — полиномиальное отображение, так что его
критическое множество является алгебраическим. Но проекция
алгебраического множества полуалгебраична (теория исключе-
исключения); поэтому видимый контур является полуалгебраическим
множеством. По теореме Сарда [32] он имеет меру нуль, так
что должен содержаться в собственном алгебраическом подмно-
подмножестве пространства R ' .
3) Заметим, что qn e R4. Пусть /" с I - множество, допол-
дополнительное к некоторому максимальному дереву в G. Как отмече-
Топологическое исследование 49
имеем1) dslldqk = Bpf, — р?) zfc (I), и условие того,
чтобы точка (р,) была критической, т. е. чтобы ранг
матрицы \\ds{ldqk\\ был меньше |1|, эквивалентно ус-
условию существования параметров «,, не равных одно-
одновременно нулю и таких, что
(L) Sw(i) = D VzgZ,
is I
1.1.1. Пример. Рассмотрим граф «без внутренно-
внутренности», т. е. граф, образованный внешними линиями, ин-
инцидентными одной и той же вершине v. Группа Z*
порождена комбинациями v*(i)i — v*(j)j всевозмож-
всевозможных пар линий i, j. Уравнения (L), следовательно,
означают, что все рх пропорциональны друг другу,
что возможно лишь в том случае, когда сумма входя-
входящих масс равна сумме выходящих масс.
На этом примере видно, что «исключительные»
значения масс очень часто реализуются в физике, и,
в частности, для всех графов «без внутренности», опи-
описывающих процессы упругого рассеяния. Тем не ме-
менее мы, ссылаясь на «исключительный» характер этих
особенностей, исключим их из нашего рассмотрения,
оставляя за собой возможность изучать их с помощью
предельного перехода, отправляясь от «регулярных»
значений масс.
1.1.2. Отображения ^(к). Из п. 0.2.4 получаем, в
частности, что для всякого стягивания %: G -*->¦ G'
пространство V* законов сохранения графа G' вло-
вложено в пространство V* законов сохранения графа G.
Следовательно, каноническая проекция евклидова
пространства R41 на евклидово подпространство
R41 (i id i') индуцирует проекцию
но на стр. 36, в Z* можно выбрать базис (Zk, Je/"), где
zk(k) = 1 и zh(l) =0 (/е/", 1фк). При таком выборе ба-
базиса имеем qh = Рн- — Прим. ред.
') Автор использует обозначение
*L, -$* Ц, Ц\-Прим. ред.
\* dq\' дЯ\' dq\)
60 Глава I
и (после ограничения на массовую поверхность) ана-
аналитическое отображение
9 (к): 9>(G)-+9>(Gf).
(R) Предложение. Отображение 9(к) является
собственным ').
Для доказательства используется следующая (оче-
(очевидная)
Лемма. Для того чтобы замкнутое множество
Kci9{G) было компактным, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы все энергии р® были ограничены, когда (р,)
пробегает К.
Доказательство. Пусть G = ker% — ядро стя-
стягивания %. Достаточно доказать, что из ограниченно-
ограниченности энергий pj>, (Г е I') вытекает то же свойство для
энергий р\ (i е /, где / — множество линий графа G).
Пусть веУ— вершина, максимальная по отношению
к причинной упорядоченности в подграфе G. Указан-
Указанное свойство, очевидно, выполняется для -всех линий
G, инцидентных и, так как энергии (положительные^,
соответствующие всем этим линиям, входят с одним
и тем же знаком в закон сохранения в вершине v.
Избавляясь от всех этих линий, повторим рассужде-
рассуждения для полученного таким образом подграфа гра-
графа G, и т. д.
1.1.3. Расслоенные произведения. Из рассмотрений
п. 0.4.1 легко вывести, что «функтор» 9* «коммутирует
с расслоенными произведениями», т. е. преобразует
расслоенное произведение стягиваний графов в рас-
расслоенное произведение отображений пространств2).
') То есть полный прообраз всякого компакта компактен.
2) Напомним определение расслоенного произведения
f A g- X А У -> Т двух отображений' f: X -+ Т и g: Y -+ Т: X Л У
есть подпространство в X X Y, образованное такими па-
парами (х, у), что .f(x) = g(y); это общее значение t и есть
по определению (JAg)(x,y). Из этого определения следует,
что (f A g)~X @ = f-1 @ X g" (t)' слой является произведе-
произведением слоев (отсюда название «расслоенное произведение»).
Очевидно, что (f A g) (X А У) == f (X) [\ g (У): образ есть пере*
сечение образов.
Топологическое исследование 51
Иначе говоря, если щ: Gi->->-G0 и и2: G2-»G0 —
два совместимых стягивания, а щ Л и2: Gt Л G2-*>
—**-GQ — их расслоенное произведение, то мы имеем
/
& (и, Л х») = «7 (я,) Л «7 (Из)
1.2. Особенности отображений ^(и)
Для изучения особенностей отображения
9> (к): 9" (G) -> ^ (G') можно рассматривать пространство
1 {к)~1 (91 (С)), являющееся расслоенным простран-
пространбй ^(G')
{ р рр
ством с базой ^(G') и евклидовым слоем; в нем под-
подмногообразие ^(G) определяется уравнениями
р\ — тп\ — 0, ге/. Применяя затем формулу (L)
приложения I, находим, что критическое множество
отображения 9" (к) получается в результате исключе-
исключения параметров аг-, среди которых имеются ненуле-
ненулевые, из системы уравнений
(L) So#(i) = 0 VzeZ,
(т.е. тех же уравнений, что и (L) из § 1.1, только
взятых относительно линий i и циклов z подграфа G,
являющегося ядром стягивания). Уравнения (L) —
это уравнения Ландау. Образ критического множе-
множества («видимый контур» отображения 9* (%)) назы-
называется множеством Ландау 1) стягивания %, а его точ-
точки называются точками Ландау.
Будем обозначать через Г (и) критическое множе-
множество, а через L (%) — множество Ландау.
1.2.1. Изучение критических точек коранга 1. Кри-
Критическими точками коранга 1 являются такие точки,
для которых векторное пространство решений (а»)
уравнений (L) имеет размерность 1. Поставим перед
собой задачу выяснить характер этих критических
') Или многообразием Ландау, когда речь действительно
идет о многообразии в смысле дифференциальной топологии.
52 . Глава I
точек «в общем положении». В первое время нам будет
удобно забыть об ограничениях на массы для графа-
«образа»') С, т.е. изучить особенности отображения
где 9"(G) = M' П <2?(G) (ограничения на массы толь-
только для подграфа G). Затем достаточно будет заме-
заметить, что наш главный результат (указанное ниже
правило I. 2.3 об особенностях «типа Si») в силу за-
замечания А. I. 3.2 остается справедливым после огра-
ограничения на массовую поверхность.
Поставим первый вопрос: удовлетворяется ли «ус-
«условие трансверсальности» из приложения I? Согласно
формулам этого приложения, нетрансверсальность
для критической точки коранга 1 эквивалентна суще-
существованию четырехмерных векторов Vk, не всех рав-
равных нулю, и скаляров р^, таких, что
щг, @ zk @ Vk + fcz/ @ р() = 0 \fz, a Z,,
Szfe@n-Pi = 0 Vie/,
где (г,-), соответственно (гй), — базис группы Z», со-
соответственно Zs.
Полагая Wt= ^>j zk(i)Vk, преобразуем эти урав-
уравнения в следующие:
(Trs); Д (а,Г, + Р*р|)М0 = 0 VzjsZ,,
(Tfs)f2 ^' WrPt = 0 Vie/,
где четырехмерные векторы Wi должны удовлетво-
удовлетворять законам сохранения подграфа G (что обеспечи-
обеспечивает существование векторов Vh).
Попытаемся извлечь из этих уравнений некоторые
простые правила.
(СI.2.2. Правило, применимое при «периферических»
стягиваниях. Линию i подграфа G, ядра стягивания
х: G —*> G', будем называть периферической, если су-
') Заметим, что в уравнения (L) не входит явно граф-
образ G'.
Топологическое исследование
53
ществует такой цикл zeZ,, что i—единственная его
линия, общая с G. Предположим, что все линии гра-
графа G являются периферическими (пример: рис. 16,
контрпример: рис. 17). Тогда, если всякий цикл графа
G содержит по крайней мере одну линию i, такую, что
О, то условие трансверсальности удовлетворяется.
Рис. 16. Пример стягивания, для которого все линии являются
периферическими.
Рис. 17. Пример стягивания, для которого никакая линия не
является периферической.
В самом деле, будем рассуждать от противного и
предположим, что существует система четырехмер-
четырехмерных векторов Wi, из которых не все нулевые, и ска-
скаляров f$i, удовлетворяющих условиям (T,rs){, (T fs)r2
В силу (T/s){, atWi -f- P(P( = O для всякой перифериче-
периферической линии i, т. е. для всякой линии. Подставляя это
в (T/s)^ получим Р(.р? = 0; так как мы предположили,
что массы отличны от нуля, то Рг=О, и потому мы
должны иметь а,-№(- ==0 Vi e /. Покажем, что это ус-
условие приводит к существованию цикла графа G, для
которого все а, равны нулю, что противоречит пред-
предположению.
Действительно, пусть G" — подграф (непустой)
графа G, состоящий из линий, для которых Wi^O.
Так как W{ должны удовлетворять законам сохране-
сохранения графа G, то они должны удовлетворять и зако-
законам сохранения графа G", что возможно (поскольку
Wi^O на G") лишь в том случае, когда G" имеет по
меньшей мере один цикл.
54 Глава I
Замечание. Можно задаться вопросом, верно
ли утверждение, обратное к I. 2.2, т. е. обязательно ли
нарушается условие трансверсальности в случае, ко-
когда существует цикл графа G, для которого все а*
равны нулю?
Ответ утвердительный, если этот цикл имеет не бо-
более трех линий (при этом безразлично, является стя-
стягивание периферическим или нет). Но для цикла,
имеющего более трех линий, противоречащий пример
приведен на рис. 18. В этом примере легко построить
3 6
Рис. 18. Иллюстрация к замечанию 1.2.2.
критическую точку, для которой а5аба7=^0, но ся =
= а2==аз=а4=0, причем четыре вектора р\, р%, р3,
Pi линейно независимы. Так как стягивание перифери-
периферическое, то рассуждение из п. 1.2.2 показывает, что
следует взять W5=We=W7=0. Тогда законы сохра-
сохранения дадут равенство четырех первых Wi (с точно-
точностью до знака). Но так как ри р2, рз, Pi порождают
все пространство R4, то невозможно удовлетворить
условиям (T/s^ одновременно на четырех первых ли-
линиях.
(R) 1.2.3. Правило, применимое к произвольному
стягиванию. Если щ ^ О Vi e / и если всякий цикл
графа G содержит по крайней мере одну линию, для
которой сй > 0, то условие трансверсальности удовле-
удовлетворяется. Более того, если критическая точка «обык-
«обыкновенная», то «трансверсальный индекс» равен нулю.
Действительно, так как Z* c= Z», то условия (T/s)j
должны тем более выполняться на Zs. Заменяя г\
в (T/s)' на 2ft) умножая полученное уравнение на Vk
Топологическое исследование 55
и суммируя по k, получим, принимая во внимание
(T/sJ(
2
Однако, согласно (Trs)p Wt являются простран-
пространственно-подобными векторами. Поэтому написанное ра-
равенство выполняется лишь тогда, когда аг№г=0 на
всякой линии, и рассуждения можно продолжить так
же, как при доказательстве трансверсальности
в п. I. 2.2.
Но мы используем лишь условия, ограниченные на
Z», которые как раз позволяют судить (замечание
А. 1.3.1) об «исключительности» критической точки.
Следовательно, критическая точка является обыкно-
обыкновенной.
Что касается утверждения о равенстве нулю
«трансверсального индекса», то оно вытекает из того
факта, доказанного в следующем пункте, что проек-
проекция пространства 9*(G) вся расположена по одну
сторону от своего видимого контура.
(R) 1.2.4. Выпуклость пространства 9"(G) вблизи
эффективной критической точки. Критическую точку
мы будем называть эффективной, если уравнения Лан-
Ландау в ней удовлетворяются системой параметров
с
а, ^ 0. Пусть р1 e^'(G)— эффективная критическая
точка произвольного коранга; выберем решение
(а, ^ 0) уравнений Ландау в этой точке. Рассмотрим
с
на <^(G) линейную функцию, равную нулю в точке
t{pl)= 2j Wi ¦ (Pi - Pi),
i /
2j
i e/
Ограничение этого выражения на положительные
полы массовых гиперболоидов (р* = т\, р\ > 0) ни-
никогда не будет отрицательным. Следовательно, гипер-
гиперплоскость {/ (р1) =0} является опорной по отношению
к пространству ^"(G). С другой стороны, эта гипер-
56
Глава I
плоскость, очевидно, «вертикальна» (рис. 19), т.е. ее
уравнение зависит лишь от координат «базы»
(!f (G') '). Следовательно, ее проекция на IT(G') яв-
является опорной по отношению ко всякому видимому
контуру пространства ^'(G).
Таким образом, кроме локального результата,
сформулированного в конце п. 1.2.3 (трансверсаль-
ный индекс критиче-
критической точки равен
нулю), мы получаем
глобальный резуль-
результат: проекция про-
пространства ^(G) це-
целиком расположена
по одну сторону ви-
видимого контура.
Получаются так-
также очень сильные
ограничения на кри-
Р и с. 19. Выпуклость видимого кон-
контура.
тические точки ко-
кора нга > 1. Если су-
существует решение
(а* > 0) уравнений Ландау, то всякое достаточно
близкое решение также будет положительным,
и, применяя предыдущее рассуждение, мы для крити-
критической точки коранга г получим {г— I)-параметриче-
I)-параметрическое семейство гиперплоскостей, опорных по отноше-
отношению к видимому контуру. Итак, всякая особенность
коранга >1 имеет вид «клина» (ср., например,
рис. 23). Но это совсем не тот вид, который имеют
особенности «общего положения» по Тому (определе-
(определение которых мы напоминаем в приложении I). Сле-
Следовательно, особенности коранга >1 для графов мно-
') Заметим, что дифференциал функции t в точке р;, имею-
имеющий вид
dt
с
2 aiPi
является не чем иным, как «горизонтальным» ковектором
(u = nyQ, см. приложение I (А. 1.1).
Топологическое исследование 57
гократного рассеяния обладают некоторым своеобра-
своеобразием: мы к ним вернемся вновь в § I. 3.
1.2.5. Резюме и заключительные замечания. Мы
только что определили эффективную критическую точ-
точку, как точку, в которой уравнения Ландау удовле-
удовлетворяются системой параметров а,- ^ 0. Если, кроме
того, коранг равен 1 (т. е. если а, определены един-
единственным образом с точностью до постоянного мно-
множителя) и если всякий цикл графа kerx содержит по
крайней мере одну линию i, для которой щ не равно
нулю, то критическая точка будет называться глав-
главной. Образ эффективной (соотв. главной) критиче-
критической точки будет эффективной (соотв. главной) точ-
точкой Ландау.
Из всего предыдущего необходимо отметить сле-
следующее:
1. Всякое эффективное*) множество Ландау огра-
ограничивает образ ^(х).
2. Всякое главное *) множество Ландау является
многообразием коразмерности 1, соответствующим си-
ситуации типа S? в классификации Тома. [Термин «тип
Sj> соответствует критической точке коранга 1,транс-
версально критической и обыкновенной. Эта ситуация
детально описана в приложении I (А. 1.2); знак -f-
напоминает о том, что трансверсальный индекс кри-
критической точки равен нулю.]
Приведем в заключение тривиальное замечание,
поясняющее, чем интересно понятие «главная точка
Ландау»: если дана эффективная точка Ландау, то
всегда можно найти стягивание, для которого она яв-
является главной точкой Ландау. Действительно, пусть
xi: Gi —» Go — стягивание, имеющее х\ эффективной
критической точкой.. Предположим, что уравнения
Ландау в точке Х\ удовлетворяются системой чисел
аи причем некоторые из них равны нулю, а остальные
положительны (как мы видели в п. I. 3.2, такая си-
') Автор употребляет выражение «эффективное (главное)
множество Ландау» в случае, когда все точки Ландау данного
стягивания являются эффективными (соотв. главными).—Прим.
ред.
S8 Глава 1
стема всегда существует для точки коранга >1).
Стягивая все линии графа Gb для которых ai=, мы
получим граф G2 (который, как легко убедиться,
не имеет циркуляции). Это дает нам диаграмму стя-
стягиваний „ _
ч *
такую, что Х2=9>{%\2)Х\ является эффективной кри-
критической точкой для Х2. Если точка х2 имеет коранг
>1, то к ней можно применить снова тот же процесс;
он должен остановиться после конечного числа шагов,
так как граф Gi имеет лишь конечное число линий.
В конце концов мы получим диаграмму стягиваний
такую, что Xn — ^inin) (*i) является критической точ-
точкой коранга 1 со строго положительными oCi и, сле-
следовательно, главной критической точкой стягива-
стягивания х„.
1.3. Композиция особенностей
Композиция двух стягиваний
Go
порождает коммутативную диаграмму отображений
к которой можно попытаться применить анализ, про-
проведенный в приложении II.
Топологическое исследование 59
1.3.0. Видимый контур многообразия Ландау яв-
является множеством Ландау. Пусть L(x')cr5p(G) —
главное множество Ландау стягивания у!. Оно яв-
является многообразием (соответствующим, согласно
1.2.3, ситуации типа S\\ и так как отображение
5^(хо) проектирует его на ^(Go), то естественно попы-
попытаться найти его видимый контур.
Если мы находимся вне критического множества
Г(хо), то, как показывает § А.П. 3, видимый контур
множества Ландау L(x') совпадает с множеством
Ландау L (%'о). Более того, если L (xg) является
главным множеством Ландау стягивания щ, то отоб-
отображение ^(xo)IL(x') является отображением типа
St (A.II.2).
Остается изучить случай, когда L(x') пересекает
критическое множество Г(хо). В этом случае мы бу-
будем говорить, что мы имеем дело с эффективным
пересечением множеств Ландау L(x0) и L(x'o). Сле-
Следующие пункты посвящены анализу различных слу-
случаев эффективного пересечения.
1.3.1. Случай коранга 1: эффективное касание двух
множеств Ландау1). Наиболее простой случай эффек-
эффективного пересечения — это описанная в § А. II. 4 «осо-
«особенность типа (Si о Si)!». Напомним, что в этом слу-
случае множествами Ландау в пространстве-образе
^(Go) являются два многообразия Lo, L'o коразмер-
коразмерности 1, касающиеся друг друга вдоль многообразия
Ao=LonLo коразмерности 2. По этой причине мы
будем говорить, что мы имеем дело с эффективным
касанием множеств ЛандауЬ(х0) и L (xq); см. рис. 20.
Как узнать, что реализуется именно эта ситуация?
Из п. 1.2.3 мы уже знаем, что ^(х0) и ^(х') — ото-
отображения типа SJ1" всякий раз, когда мы имеем дело
с главными особенностями. Теперь, чтобы убедиться
в том, что композиция действительно является
') В соответствии с общепринятой терминологией этот слу-
случай следовало бы назвать «эффективным пересечением». Мы
предпочитаем более узкий термин «эффективное касание», со-
сохраняя термин «эффективное пересечение» для обозначения бо-
более общей ситуации-
60
Глава I
отображением типа (st ° St\, необходимо прове-
проверить, с одной стороны, условие трансверсальности:
(Trs) L(x') и Г(ко) пересекаются трансверсально;
с другой стороны, условие на коранг:
(Crg 1) отображение ^(xq), или, что равносильно,
отображение 9* (х0) | L {%'), имеет коранг 1.
Рис. 20, Эффективное касание двух множеств Ландау L (х0) и
L («о). Сплошные линии — эффективная часть множества L (хд);
пунктирные кривые — неэффективная часть L (х0); пунктирные
прямые — L (х0). Более темная заштрихованная область — образ
^(хр); светлая заштрихованная область — образ 9" (и0)- о.. Общий
случай dim 9 (С) > dim 9 (G). Ъ. Частный случай dim5?{G')=
di5?(G) 1
Прежде чем перейти к записи условий трансвер-
трансверсальности в явном виде, уточним обозначения. Пусть
Go> G'i ^о — яДРа стягиваний х0, х', к0:
и /о, Zty,, V, Z[, и т. д. — соответствующие множества
линий и группы циклов {Го = 1а[}Г и Zq, — расшире-
Топологическое исследование 61
ние над Zo» с ядром Z[). Критические множества
Г(х0) и Г(х') задаются уравнениями Ландау
v 0/ . ¦"?". l& ia 0 \ О/ О
"О*'
Многообразие Ландау L(x'), образ множества Г(х'),
можно задать локальным уравнением 1(%')=0, левая
часть которого имеет в рассматриваемой точке сле-
следующий дифференциал:
(W) = 2 at,pt,dpt,.
V s /'
Уточним, в каком смысле это выражение опре-
определяет dl {%'). В качестве базиса (zQ группы Z^ можно
выбрать объединение базиса (z'i) группы Z[ (ядра) и
семейства [г]) циклов, дающих в результате стягива-
стягивания базис (z/) группы Z» (факторгруппы):
(•/)
Если в приведенном выше выражении заменить dp.,
его разложением 2 z'h (*') dqh и учесть уравнения
h
Ландау, то мы увидим, что члены ядра не дают
вклада, так что можно написать
Имея эти выражения, мы уже можем записать усло-
условие трансверсальности. С помощью рассуждений, ана-
аналогичных рассуждениям п. 1.2.1, проведение которых
мы оставим в качестве упражнения читателю, можно
установить, что отрицание этого условия эквивалент-
эквивалентно существованию четырехмерных векторов Vk, среди
62 Глава I
которых не все равны нулю, и скаляров р,-, таких, что
где zOk пробегает базис группы Zo».
Не пытаясь детально исследовать эти уравнения,
мы довольствуемся тем, что укажем очевидный слу-
случай, в котором они не удовлетворяются, и в котором,
следовательно, условие трансверсальности выполнено.
Рис. 21. Примеры стягиваний, при которых возникают эффек-
эффективные касания: о соответствует рис. 20, a, a b — рис. 20, Ь.
Это случай, когда существует линия i' e /', перифери-
периферическая для композиции стягиваний к'о (ср. п. 1.2.2,
где определено слово «периферический») и такая, что
щ> ф 0. Действительно, тогда существовал бы цикл
Zj, для которого первое уравнение (Tfs) записывалось
бы в виде агрг = 0, что невозможно, если р), = т\, ф 0.
Пример. Композиции стягиваний, изображенные
на рис. 21 (подробно изученные в [19], [20]), удовле-
удовлетворяют, очевидно, указанному критерию «периферич-
ности». Следовательно, всякое эффективное пересече-
пересечение коранга 1 будет эффективным касанием. Рисунок
21, а воспроизводит ситуацию, изображенную на
рис. 20, а, а рис. 21, 6 — ситуацию, изображенную на
рис. 20, Ь.
Топологическое исследование
63
Нерешенная задача. Существуют ли такие
композиции стягиваний, при которых условие транс-
трансверсальности нарушается?
1.3.2. Коранг 2: общие соображения. Случай ко-
ранга 2 более труден для изучения. Из свойств выпук-
выпуклости, установленных в п. I. 2.4, мы уже сделали вы-
вывод, что особенность коранга 2 наверняка не является
особенностью «общего
положения» в смысле при-
приложения I. Те же аргу-
аргументы показывают, что
она не является и «устой-
«устойчивой особенностью ком-
композиции отображений» в
смысле приложения II
(фигура рис. 43 невыпук-
невыпукла).
Чтобы отыскать при-
причину этого своеобразия,
забудем о треугольной
диаграмме, приведенной Рис. 22. Плоскость (а<) для
вначале этого параграфа, «строго эффективной» крити-
и рассмотрим Одно стя- ческой точки коранга 2.
гивание и^: G' -» Go,
имеющее строго эффективную критическую точ-
точку х' коранга 2, т. е. такую, в которой урав-
уравнения Ландау имеют решение (оу>О Vif0<=I'0\.
Иначе говоря, плоскость векторов (оА (двумерное
векторное подпространство пространства RI °1, опре-
определенное решениями уравнений Ландау) заходит
в первый, квадрант пространства R' °'. Этот первый
квадрант высекает тогда на ней некоторый «сектор»
(рис. 22), каждая из двух границ которого опреде-
определяется приравниванием нулю некоторого числа пара-
параметров а./. Как и в п. I. 2.5, мы можем тогда стя-
'о
нуть две соответствующие системы линий и с по-
помощью определенных таким образом стягиваний к',
64
Глава I
х построить квадратную диаграмму
такую, что образы х и х точки х' в ^(G) и ^(G) яв-
являются эффективными критическими точками стягива-
стягиваний но и х0- Применяя рассуждения п. I. 2.5, можно
считать, что они имеют коранг 1.. Тогда точка х' обя-
обязательно является кри-
критической (коранга 1)
для стягиваний х' и
х' (в противном случае
ее коранг для стягива-
стягивания хо был бы равен
не двум, а единице).
Все эти рассужде-
рассуждения позволяют понять,
почему топологическая
классификация тре-
треугольных диаграмм
Рис. 23. Поверхности Ландау отображений, ПредпрИ-
для квадратной диаграммы ти- нятая в приложении И,
шие'гран?I""-'?Ты неприменима к нашей
и L(x0). Невидимая поверхность- проблеме исследования
это эффективная часть L (х$). За- критических точек ко-
штрихованная область, которую ранга 2: скорее нужно
она ограничивает, - это образ быдо бы изучать топо.
отображения ^(х0). логические типы квад-
квадратных и даже более
сложных коммутативных диаграмм. В случае когда
плоскость векторов la.А пересекает еще и другие
координатные гиперплоскости (лежащие вне первого
квадранта: например, плоскость аз = 0 на рис. 22),
могут возникать другие особенности (неэффективные).
Вот некоторые внушающие ужас подробности. За-
Забавы ради я изобразил на рис. 23 то, что мне ка-
Топологическое исследование
65
жется «устойчивой» формой видимого контура для
квадратной диаграммы предыдущего типа. Эта по-
поверхность получена «склеиванием» двух экземпляров
поверхности, изображенной на рис. 43, и достаточно
взглянуть на нее, чтобы убедиться в том, что она об-
обладает требуемыми свойствами выпуклости.
Упражнение. Квадратная диаграмма, изобра-
изображенная на рис. 24, принадлежит к числу самых про-
простых диаграмм, допускающих критические точки ко-
коранга 2. Исследуйте их множества Ландау (обратите
2^C
Рис. 24. Квадратная диаграмма стягиваний.
внимание на то, что точки Ландау коранга 2 в этом
примере являются в то же время критическими для
отображения, которое переводит пространство ??(Go)
в «пространство инвариантов»; следовательно, в про-
пространстве инвариантов мы будем иметь искаженный
образ «действительной» ситуации).
1.3.3. Коранг 2: случай «эффективного перекрещи-
перекрещивания». Очень простой пример особенности коранга 2
предоставляет нам диаграмма стягиваний из п. I. 3.2,
в которой Хо является расслоенным произведением
стягиваний хо и п0. Если предполагать, что мы имеем
дело с главными особенностями стягиваний хо и х0,
то для полного описания ситуации можно воспользо-
воспользоваться замечаниями п. I. 1.3 относительно расслоен-
расслоенных произведений. Множество Ландау L (к'о) обра-
образует «диэдр», каждая из двух «граней» которого
Я Зак. 1190
66
Глава I
является «половиной» одного из многообразий Ландау
L(xo), L(x0); эти два многообразия пересекаются
трансверсально (что вытекает, например, из сообра-
соображений выпуклости); образом &(х'о) является область,
заключенная внутри ди-
диэдра; см. рис. 25. В обо-
обозначениях § А. II. 4 эта
ситуация для любой из
двух соответствующих ей
треугольных диаграмм
может быть охарактери-
зована равенством zg_i =
= уР. Иначе говоря, мно-
многообразие Ландау L (х')
является полным прооб-
прообразом многообразия Лан-
Ландау L(x0) при отображе-
Р и с. 25. Эффективное пере- нии9'{%о).
крещиванне двух множеств Такую ситуацию мы
Ландау L (х0) и L (й0); гори- будем называть эффек-
зонтальная ось — L (х0); вертн- JJRUhlM „рпркпршнйпынрм
кальная ось - L (й0); сплошная тивным перекрещиванием
линия-L(*o). Светлые за- множеств Ландау L(xo),
штрихованные области - обра- L (*o) • Я попытаюсь иока-
зы 5Р(х0) и 9>(щ). Темная за- зать, что она характе-
штрихованная область — образ ризует расслоенное про-
& (xq). изведение. Действитель-
Действительно, пусть 1{к') =0 — ло-
локальное уравнение многообразия Ландау L(n').
В п. 1.3.1 мы видели, что дифференциал функции
1(%') можно записать в виде
Тот факт, что мы имеем дело с эффективным пере-
перекрещиванием, равносилен тому, что на всем L(x') этот
дифференциал зависит лишь от координат базы
^(Go) и не зависит от координат слоя ^(xq) (p1")-
Последнее выражается условием
Топологическое исследование 67
которое должно удовлетворяться на всем Ь(и'), т.е.
для всех решений аг„ р{, уравнений Ландау
S al,p,,z'(i') = 0 Vz'e=Z',
i'j'
где pv должны еще принадлежать ^(G). Забудем на
время о последнем ограничении и положим ai, = a.i,pv.
Мы увидим, что всякая система четырехмерных век-
векторов (а А «ортогональных» к Z», должна быть «орто-
«ортогональна» к Z'^\l' (ограничению группы Z^ на под-
подмножество линий /'). Если учесть очевидное включе-
включение Z[ <r Zo, | /', то отсюда вытекает, что Z' = Zo* | /'»
т. е. что точная последовательность групп
Z[ >-*• Zc* -» Z,
расщепляется. Следовательно (предложение 0.3.6), то
же можно сказать и о точной последовательности гра-
графов
так что мы имеем дело с расслоенным произведением.
Единственное слабое место наших рассуждений —
это то, что мы забыли о дополнительных ограниче-
ограничениях на (аг): Z'ul\I' может быть строго больше, чем
Z[, если эти дополнительные ограничения дают в точ-
точности недостающие соотношения. Однако,
1) мне кажется, что только «исключительные» зна-
значения масс могут дать возможность извлечь из этих
ограничений линейные соотношения с целыми коэффи-
коэффициентами между (аг)\
2) даже если по практическим соображениям (су-
(существование упругих процессов) нельзя выбросить из
рассмотрения эти исключительные значения масс, мне
кажется крайне неправдоподобным, что можно полу-
получить линейные соотношения с целыми коэффициентами,
68 Глава I
которые точно совпадают с соотношениями из
{zl\i')K-
Эти два пункта требуют проверки.
1.3.4. Замечание: расслоенное произведение не
имеет главных точек Ландау. Действительно, легко
проверить, что L (и0 Л «о) содержит лишь точки ко-
ранга ^2 (в частности, точки из L (х0) Г) L (х0)) или
же точки, в которых а* обращаются в нуль на неко-
некотором цикле.
ГЛАВА II
АНАЛИТИЧНОСТЬ АМПЛИТУД РАССЕЯНИЯ
И ПОГЛОЩЕНИЯ
Приступим теперь к изложению существа пробле-
проблемы: вопросов аналитичности S-матрицы. Речь идет об
изучении математической согласованности системы
гипотез А, В, С, сформулированных во введении, с тем,
чтобы как можно дальше продвинуться по пути до-
доказательства этих гипотез. Некоторые осложнения,
физический смысл которых был разъяснен во введе-
введении (конец § 3), возникают из-за существования гра-
графов с кратными линиями. Изучением этих осложне-
осложнений мы займемся в следующей главе; в настоящей
главе мы будем рассматривать только графы с про-
простыми линиями.
II. 1. Аналитичность амплитуд рассеяния
II. 1.1. Нам будет удобно изображать «элементар-
«элементарный процесс» 1\—>/г с помощью графа Go (связного
графа без внутренних линий, см. рис. 26) и обозна-
обозначать амплитуду этого элементарного процесса через
Рис. 26. Граф элементарного процесса.
S(G0) (вместо (ph | S| р'')т). Это распределение на
многообразии 5?(G0), являющееся граничным значе-
значением аналитической функции, если считать, что вер-
верны гипотезы А, В.
Рассматривая теперь более общий случай графа G
многократного рассеяния (с простыми линиями!), мы
назовем амплитудой процесса многократного рассея-
рассеяния и обозначим через S(G) произведение амплитуд
элементарных процессов, соответствующих каждой
70 Глава 11
вершине графа G. Из гипотез А и В немедленно вы-
вытекает, что это произведение распределений коррект-
корректно определено как распределение на многообразии
^(G) и является граничным значением аналитической
функции. Таким образом, гипотезам А и В можно
дать следующую формулировку:
Гипотеза А. Распределение S(G) равно неко-
некоторой аналитической функции всюду, кроме множе-
множества эффективных точек Ландау для всех стягиваний
на граф G.
Гипотеза В. В окрестности эффективного мно-
многообразия Ландау распределение 5?(G) является гра-
граничным значением функции, аналитической вне ком-
плексификации этого многообразия Ландау, причем
граничное значение берется относительно смещения
{Iml>0}, где 1 — локальное уравнение многообра-
многообразия Ландау, выбранное так, чтобы выше порога вы-
выполнялось условие / > 0.
II. 1.2. Замечание. Смещение, определенное таким
образом в окрестности «гладких» точек Ландау (см.
Рис. 27. Смещение Рис. 28. Смещение
в окрестности точек в окрестности точек
пересечения в общем эффективного каса-
положении. ния.
примечание на стр. 16), легко обобщается на пере-
пересечения многообразий Ландау. Если речь идет о мно-
многообразиях, находящихся в общем положении, то это
обобщение выполняется автоматически на основании
§ А. III. 1. Если речь идет об эффективном касании
(п. 1.3.1), то надо воспользоваться тем фактом, что
множества точек, лежащих выше порога, для обоих
Аналитичность амплитуд 7\
касающихся многообразий расположены «с одной и
той же стороны» (рис. 20). Если, в соответствии с при-
приложением III, условиться изображать смещение при
помощи «векторного поля», трансверсального к мно-
многообразиям, с которых мы смещаемся, то этим двум
случаям будут соответствовать рис. 27 и 28. Заметим,
что в случае эффективного касания достаточно сме-
сместиться с одного из многообразий, чтобы автоматиче-
автоматически сместиться и со второго в окрестности точек пере-
пересечения.
II. 2. Аналитичность амплитуд поглощения
П.2.1. Пусть Go — граф элементарного процесса,
a G — граф многократного рассеяния, стягивающийся
на Go:
G -*->¦ Go.
Назовем интегралом поглощения, связанным с про-
процессом многократного рассеяния G, и обозначим че-
через Аа функцию, определенную на S(G0) выше по-
порога процесса G при помощи следующего интеграла:
= J S(G),
в котором интегрирование по слою ^(xq) (рь) про-
производится по «канонической» мере a io(G), опреде-
определенной во введении B.6) ').
Априори мы не знаем, имеет ли интеграл смысл,
так как S(G) — не функция, а распределение. Однако
это распределение является граничным значением
аналитической функции относительно некоторого ком-
комплексного смещения (гипотеза В). Следовательно,
если это смещение можно выбрать совместимым
с отображением ^(х0) (А. III. 2), то AG(pl") может
быть определен как интеграл по смещенному слою
(напомним, что в силу предложения I. 1.2 слой
') Само собой разумеется, что 1о — множество линий гра-
графа Gg.
72 Глава II
компактен). В этом случае интеграл не только имеет
смысл, но даже является аналитической функцией от
р1' (АЛИ. 3).
Согласно приложению III (А. III. 2.2), «плохие»
точки рь, т. е. точки, в которых функция Аа (ри) мо-
может иметь особенности, являются критическими зна-
значениями ограничения отображения ^(хо) на различ-
различные страты, которые определяются множествами
особых точек подинтегрального выражения S(G).
Приведем перечень этих стратов.
0) Страты максимальной размерности.
Это открытые множества в ^(G). Их видимые кон-
контуры дают множество Ландау стягивания щ.
1) Страты коразмерности 1.
Они состоят по существу из главных многообра-
многообразий Ландау всех стягиваний к'\ G' —»G. Видимые
контуры этих многообразий Ландау являются (со-
(согласно I. 3.0) не чем иным, как многообразиями Лан-
Ландау композиций стягиваний х'о: G' — *-> G —¦>->¦ Go.
2) Страты коразмерности 2.
Рассмотрим стягивание к': G'-»->G, имеющее осо-
особенность типа эффективного перекрещивания A.3.3);
пусть A'cr^G) —соответствующий страт коразмер-
коразмерности 2 — пересечение двух многообразий в общем
положении Li, L , составляющих множество Ландау
стягивания %'. Известно, что эффективное перекрещи-
перекрещивание соответствует особенности коранга 2, т. е. что
ядро кокасательного отображения ^(к')* двумерно;
легко видеть, что это ядро является не чем иным, как
кокасательным пространством, трансверсальным к А'.
Отсюда вытекает, что видимый контур для А' есть не
что иное, как множество Ландау композиции стягива-
стягиваний
ко: G'—»G—V>G0.
Разумеется, особые множества Ландау определяют,
кроме стратов эффективного пересечения, и все
остальные типы стратов коразмерности 2. Рассмо-
Рассмотрим, например, страты эффективного касания. Со-
Согласно замечанию II. 1.2, в окрестности касательного
Аналитичность амплитуд 73
страта достаточно сместиться с одного из касающихся
многообразий, чтобы автоматически сместиться и со
второго. Следовательно, все построения приложе-
приложения III можно повторить, не обращая внимания на
существование этих касательных стратов, которые не
могут послужить препятствием к построению сме-
смещений.
Рассмотрим теперь страт неэффективного перекре-
перекрещивания, например страт пересечения двух многооб-
многообразий Ландау, находящихся в общем положении, ко-
которые нельзя рассматривать как множества Ландау
одного и того же стягивания. Мы покажем (II. 3.4,
теорема D), что «двойной скачок» вокруг таких мно-
многообразий Ландау равен нулю. В силу формулы
(Disc 2) приложения III, отсюда следует, что инте-
интеграл поглощения не имеет скачка при обходе види-
видимого контура страта пересечения. Если формулы скач-
скачка понимать «в смысле распределения» (А. III. 3.4),
то этого достаточно для доказательства неособого ха-
характера этого видимого контура.
3) Аналогичные рассуждения можно провести для
стратов более высоких размерностей, определяющих
эффективные перекрещивания трех множеств Ландау,
и т. д.
Бегло очерченный выше анализ приводит к тео-
теореме '):
Теорема А. Интеграл поглощения AQ корректно
определен и равен аналитической функции выше по-
порога графа G вне множеств Ландау всех стягиваний
и?, доминирующих ко, т. е. всех стягиваний, которые
можно представить в виде композиции х'о: G' —»
_» о -**++ Go.
Можно даже уточнить эту теорему следующим об-
образом:
') Эта теорема соответствует приблизительно сильному
иерархическому принципу Полкингорна и др. Недавно они уста-
установили [21], что их сильный иерархический принцип неверен, но
причина этого в том, что они сформулировали его при слишком
сильных ограничениях, рассматривая лишь главные точки Лан-
Ландау стягивания xjj.
74 Глава II
II. 2.2. Единственные точки Ландау стягивания к'о,
в которых интеграл AQ имеет особенности (точки
Ландау, «эффективные для интеграла поглоще-
поглощения»),— это точки, в которых <хг2&0 для всякой ли-
линии i' ядра стягивания к'.
Докажем это. В случае 1) мы имеем многообра-
многообразие Ландау L/ (стягивания х'). Рассмотрим его види-
видимый контур. Он вычисляется так же, как и видимый
контур пространства ^(G) в главе I, единственное
\ \
различие состоит в том, что к уравнениям р\ =т\
необходимо присоединить уравнение многообразия
Ландау Г=0. Критическое множество определяется,
следовательно, условием: существуют параметры <xlV
такие, что дифференциальная форма
dV + Ц a ph ¦ dp,
«о s /о
обращается в нуль, если ограничить ее на слой G0 —
множество линий ядра стягивания щ). Но дифферен-
дифференциал dl' (точнее, его обратный образ в пространстве-
прообразе 9> (С)) имеет вид
dl'= 2 ai,pi,-dpi,
t'e-I'
(Г—множество линий ядра стягивания к'), так что
написанная выше дифференциальная форма прини-
принимает вид
*os/o
(I'o —1'[) Io— множество линий ядра стягивания к$).
Отсюда, как мы и предвидели, легко получаются урав-
уравнения Ландау композиции стягиваний я'о. Дополни-
Дополнительное уточнение II. 2.2 вытекает тогда просто из сле-
следующего факта: особыми для подинтегрального выра-
выражения являются точки из L/, в которых а{ &? О (ги-
(гипотеза А для стягивания к').
В случае 2) рассуждение проводится аналогично,
только мы имеем два многообразия Ландау Li и Lp
Аналитичность амплитуд ?б
Критическое множество для Л' = Li П L2 определяет-
определяется условием существования параметров (К[, Х'2, а{),
таких, что дифференциальная форма
К dl\ + К dl' + Ц а, р, • dp,
обращается в нуль, если ограничить ее на слой. Но
общее выражение %\ dl\ + Л2 dl% для трансверсально-
го к Л' ковектора можно записать в виде
где (<хг,) — однозначно определенный элемент двумер-
двумерного пространства векторов (<хг,), удовлетворяющих
уравнениям Ландау стягивания к'. Мы приходим
опять к выражению
2 а. р ' ¦ dp.,.
Дополнительное уточнение II. 2.2 вытекает из следую-
следующего факта. Согласно А. III. 2.2, мы должны рассма-
рассматривать не все критическое множество для Л', а лишь
часть, соответствующую условию К\ и 7^ > 0; иначе
говоря, ковектор К\ dl\ + А2 dh должен принадлежать
«первому квадранту» (рис. 27). Но этот «первый
квадрант» может быть как раз определен с помощью
условий а'^О Vt'e/'.
II.2.3. «Естественные» обходы. В приложении III
речь идет не только об аналитичности интеграла вне
видимых контуров. В нем также говорится о том, как
связаны между собой различные аналитические функ-
функции, разделенные этими видимыми контурами. Таким
образом, может быть сформулирована следующая
Теорема В. Две аналитические функции Аа(ри),
определенные по разные стороны от множества Лан-
Ландау Lo композиции стягиваний к'о: G' — ¦>¦> G —•>-> Go
(в предположении, что это множество эффективно
76 Глава II
для интеграла поглощения AQ) получаются одна из
другой с помощью аналитического продолжения при
малом комплексном обходе множества Lo в области
{lmlo>O}, где /о — локальное уравнение множества
Lo, выбранное так, чтобы
dl'0= Z a{,pt,
Такой обход мы будем называть естественным об-
обходом для интеграла поглощения AQ. Более общо,
мы назовем естественным путем для интеграла по-
поглощения AQ «почти вещественный» путь, огибающий
эффективные множества Ландау интеграла AQ при
помощи естественных обходов.
Необходимо заметить, что всякий естественный
путь для интеграла поглощения равным образом яв-
является естественным для амплитуды рассеяния. Дей-
Действительно, среди эффективных множеств Ландау ин-
интеграла поглощения (аг,2&0) находятся, в частности,
все эффективные множества Ландау амплитуды рас-
рассеяния /а'^ОК и способ обойти эти множества не
\ 1 1
\
зависит от того, рассматриваем мы теорему В или ги-
гипотезу В. В силу этого замечания, формула скачка
Au = S(G0)-SiU)(G0),
справедливая (в силу гипотезы С; см. введение, п. 2.6)
чуть выше главного порога Lo стягивания и0, может
быть аналитически продолжена вдоль всякого есте-
естественного для AQ пути, определяющего аналитиче-
аналитическое продолжение функции S(Lo)(Go) вдоль такого
пути.
Предостережение! Нельзя забывать, что
среди особенностей интеграла Аа, вообще говоря, фи-
фигурируют все точки Ландау самого стягивания но
(II. 2.1.0). В силу замечания А. III. 3.2, «вообще го-
говоря», не существует никакого обхода, который был
бы естественным для AG в окрестности таких мно~
Аналитичность амплитуд 77
жесте, так что последние нельзя обойти никаким есте-
естественным путем. Этот факт заставляет думать, что
выше порога стягивания ко, возможно, существуют
области, которые никаким естественным путем нельзя
связать с главным порогом Lo стягивания х0. В таких
областях, по-видимому, трудно, если вообще возмож-
возможно, интерпретировать интеграл поглощения как ска-
скачок амплитуды рассеяния.
II. 2.4. Замечание. Для читателей, которые слыша-
слышали об особенностях Ландау второго типа (возникаю-
(возникающих из-за наличия «пинча на бесконечности» у цикла
интегрирования), заметим, что этих особенностей вто-
второго типа не существует для интегралов поглощения
в той области, в которой мы их определили, т. е. выше
порога. Причина этого в том, что отображение ^(ио)
является собственным (I. 1.2) —существенное обстоя-
обстоятельство, которое позволило нам применить предло-
предложение А. III. 2.2. Это уже неверно, если попытаться
аналитически продолжить функцию Аа во внешность
ее первоначальной области определения (например,
ниже порога), так как цикл интегрирования дефор-
деформируется, становясь комплексным, а комплексифика-
ция ^(ко) не является собственной.
II. 3. Скачки амплитуд
11.3.1. Скачки интегралов поглощения. Пусть Ц —
многообразие Ландау композиции стягиваний
к'о: G'-^*G-^»G0,
эффективное для интеграла поглощения Aq. Вычис-
Вычислим скачок этого интеграла при обходе вокруг Lo,
предполагая, что 9*(щ) — отображение типа St) это
позволяет использовать результаты п. АЛИ. 3.3.
Так как мы имеем дело с особенностями типа St,
то можно говорить о значениях выше и ниже порога
и определить, как в приложении III, аналитические
продолжения интеграла поглощения выше порога: Aq
получается при «положительном мнимом» обходе,
78 Глава U
a Aq — при «отрицательном мнимом» обходе (рис. 29).
Необходимо различать два случая в соответствии
с тем, первый или второй обход является естествен-
естественным для AQ ; мы будем говорить, что *в первом случае
имеет место соответствие, а во втором — несоответ-
несоответствие. Например, мы имеем соответствие, если Lo яв-
Рис. 29. Аналитические продолжения интеграла поглощения.
ляется главной особенностью для WQ. Пример несо-
несоответствия будет приведен в п. II. 3.3. Вернемся к ана-
анализу различных случаев, рассмотренных в § II. 2.
Случай 1. Lo является видимым контуром глав-
главного многообразия Ландау L' стягивания к'.
Так как мы имеем дело с главным многообразием
Ландау, отображение 9>{у!) имеет тип Si1"; но по пред-
предположению то же можно сказать о & Ы'Л и, следо-
следовательно (см. п. А. II. 3.2), также о S^(j<0)|L'. Обозна-
Обозначим через еь? исчезающую клетку, т. е. шар, распо-
расположенный в многообразии 9"(ко)~' (ри) и определен-
определенный условием V ^ 0. *
Если имеет место соответствие, то формула
(Disc 2)+ из приложения III дает:
1+_Ло= J Disc(L'> S (G).
Скачок Disc S(G) легко вычисляется на основании
гипотезы С. Нужно заметить, что так как L' является
главной особенностью для к', ядро v! обязательно
связно и, следовательно, стягивается в одну един-
единственную вершину графа G, так что среди всех эле-
элементарных процессов, составляющих G, тот, который
представлен этой вершиной, имеет скачок при обходе
Аналитичность амплитуд
79
множества L'. Применяя к нему гипотезу С, получаем
Disc(L0S(G) =
где ек' — «исчезающая сфера», слой отображения
^(и') (эта сфера исчезает при приближении р1 к L',
т. е. как раз на границе клетки е??).
и'
Рис. 30. «Расслоение» на сферы еи' над клеткой е??.
Следовательно, Л+ — А~ задается повторным ин-
интегралом по шару е>??, над которым задано «расслое-
«расслоение» на сферы ек', исчезающие на границе шара.
Легко убедиться, что пространство этого «расслоения»
является не чем иным, как сферой (рис. 30)
л=<? ю-1 и-
Таким образом, в случае соответствия имеем
Aa-AZ= J S(G').
80 Глава II
Если имеет место несоответствие, то из формулы
(Disc 2)~ приложения III получаем
-Ло= Jcor1Disc(L')S(G),
где со' — гомотопический класс положительно ориен-
ориентированной малой петли вокруг L/, a <o't— действие
этой малой петли на подинтегральное выражение. Так
преобразованное подинтегральное выражение можно
записать в виде
соГ1 Disc(L05 (G) = J 5 (G'),
где „со' обозначает действие петли ш' в базе
^(G) — U на гомологиях слоя 9*(к')~1 (р1). Ее дейст-
действие на исчезающем классе состоит просто в измене-
изменении знака:
где через к' обозначена размерность слоя Р7 (иО "'(Р1)
(ср., например, [29], гл. V, п. 2.6).
Аналогично, в случае несоответствия имеем
J S(G').
Случай 2. Lo — видимый контур пересечения
Af = Li П Ьг главных многообразий Ландау стягива-
стягиваний щ: Gi—-»-» G и к2: G2—>->G (расслоенным произве-
произведением которых является к': G'—>•¦> G).
На этот раз исчезающая клетка еи? . ограничена
L1L2
двумя многообразиями Li, L2 (рис. 31): это подмно-
подмножество слоя 9>{щ)~1{ри), определенное условиями
Аналитичность амплитуд
81
Если имеется соответствие, то формула (Disc 2) +
из приложения III дает
S (G).
е'Ч ,
L,L2
Двойной скачок, стоящий под знаком интеграла, бу-
будет вычислен в п. II. 3.4. Мы получим ')
S(G'),
е Хе
где е ' и е 2 — исчезающие сферы, слои отображений
9Чу.'^ и ^(^Q (их произведение является слоем для
Рис. 31. Клетка eL'L'.
^(и')); одна из них исчезает на Li, другая — на L'2.
Таким образом, получаем, что Ло — AZ задается
повторным интегралом, взятым по клетке еи? ,, над'
L,L2
которой имеется расслоение на произведение двух
') Этот результат тривиально доказывается в случае, когда
Gj и G2 стягиваются иа две различные вершины графа G; для
этого достаточно применить гипотезу С последовательно к двум
этим вершинам.
82 Глава II
сфер е*1, е*2, каждая из которых исчезает на одной
из двух границ L'u L'2 этой клетки. Легко видеть, что
пространство этого «расслоения» является не чем
иным, как сферой е*° = У (х'0)~1 (ри), т. е. слоем ком-
композиции стягиваний
Если имеет место несоответствие, то формула
(Disc 2)~ из приложения III дает:
-Ло = - J
Действие петли ©i~ на сферу е*1 сводится к умно-
жению на (—) ' , в то время как действие петли
©2 на е 2 — к умножению на (—) 2 . Оконча-
Окончательная формула, следовательно, отличается от слу-
случая, в котором имеет место соответствие, знаком
/ \dimx' + l
Случай 3 и т. д.: рассуждения аналогичны.
Резюмируя, мы можем сформулировать следую-
следующую теорему:
Теорема С. Пусть Lo — многообразие Ландау
композиции стягиваний х'о: G' —^» G —» Go, эффек-
эффективное для интеграла поглощения AQ и соответству-
соответствующее ситуации типа Si+. Скачок интеграла поглощения
выше порога Lo в случае соответствия задается сле-
следующим выражением:
-Л?= J
Аналитичность амплитуд 83
а в случае несоответствия — тем же выражением,
умноженным на (—)dim>< +1.
II.3.2. Сравнение скачков. Мы уже отмечали (см.
II. 2.3), что если многообразие Ландау Lo компози-
композиции стягиваний %о: G' ——-*> G -^-» Go является эф-
эффективным для амплитуды рассеяния S(Go), то оно
тем более будет таким же для интеграла поглоще-
поглощения AQ. Более того, мы теперь знаем, что эти две
функции имеют одинаковые скачки при обходе L'o
при условии, что Lo является главной особенностью
для щ. Действительно, на основании гипотезы С и
теоремы С мы имеем
S (Go) - s№ (Go) = Аа- А$ = JS
где через AQ (вместо А?) мы обозначили «естествен-
«естественную» ветвь (случай соответствия) и через Ag (вме-
(вместо Aq) — «противоположную» ветвь. Это равенство
скачков заслуживает того, чтобы попытаться найти его
«глубокие причины». Действительно, если бы мы уме-
умели доказывать его прямо, то мы бы имели, благодаря
теореме С, индуктивное доказательство гипотезы С
(«индукция» здесь понимается в следующем смысле:
при доказательстве теоремы С мы предполагаем, что
гипотеза С верна для стягивания %'). Попробуем най-
найти прямое доказательство.
Напомним, что интеграл поглощения, интерпрети-
интерпретируемый в окрестности главного многообразия Ландау
Lo стягивания и0 (гипотеза С для стягивания ио) как
скачок амплитуды рассеяния
Ло—S(Go)-S<Le)(Go),
может быть продолжен вдоль всякого естествен-
естественного пути (II. 2.3). Чтобы занумеровать различные
входящие в рассмотрение ветви аналитических функ-
функций, удобно определить петли, обходящие множества
Ландау (или, вернее, гомотопические классы петель).
84 Глава If
Начнем с окрестности комплексифицированного мно-
многообразия Ландау Lo, которое мы окружим «малой
положительной петлей» (определенной, например, на
комплексной аналитической прямой, трансверсальной
к Lo), затем удлиним эту петлю, смещая ее началь-
начальную точку вдоль «естественного пути», выбранного
подходящим образом. Если через Яо обозначить эту
Рис. 32. Петли Хо и Яо (изображены жирной пунктирной ли-
линией). Светлая пунктирная линия — петля, гомотопная к'о • Ло.
петлю, а через X0,S(G0) — ветвь функции S(Go), по-
полученную в результате аналитического продолжения
вдоль Хо, то интеграл поглощения можно записать
следующим образом:
(a) Ла=A-Яо,M@о).
Предположим, что естественный путь завел нас чуть
выше порога Lo. Воспользуемся им для построения
«малой положительной петли» Хо вокруг Lo. Равен-
Равенство скачков записывается так:
(b) A - Яо.) 5 (Go) = (l -X'Ot) AG.
Подставляя (а) в (Ь), получаем
(с)
= Яо«5 (Go).
Впрочем, полученное уравнение эквивалентно (Ь),
если предположить, что выполнено равенство (а)
(т. е. если принять гипотезу С для стягивания к).
Таким образом, гипотеза С для композиции стяги-
стягиваний у! выводится из гипотезы С для его компонент
щ и у! при условии, что мы умеем доказывать (с).
На рис. 32 представлены различные петли в наи-
наиболее простом случае, когда естественный путь не пе-
Аналитичность амплитуд
85
ресекает других множеств Ландау, кроме Ц. Мы ви-
видим, что если сделать разрез вдоль вещественной оси
справа от Lo, то функцию (l —(к'о ¦ kQ),)s(G0) можно
интерпретировать как скачок функции S(G0) на раз-
разрезе (справа от Lo).
Соотношение (с) можно тогда в эквивалентных
терминах выразить так: этот скачок, как справа, так
и слева от L'o равен интегралу поглощения. В этой
форме, вероятно, можно было бы вывести (с), и, сле-
следовательно, гипотезу С из унитарности S-матрицы1).
11.3.3. Ветвление в окрестности точек эффектив-
эффективного касания. Продолжим наше исследование «ветв-
«ветвления амплитуд» (закона их изменения под действием
Комплексной плоскость сечения I
Кожпекснаяплоскостьсечемю!.
Рис. 33. Построение петель в окрестности точки эффективного
касания.
разных петель). Рассмотрим вначале ситуацию, опи-
описанную в п. 1.3.1: эффективное касание множеств
Ландау L(k0) и Ц*о)- На рис. 33 воспроизведен
рис. 20 и с помощью сечений прямыми 2, 2 опреде-
определены четыре петли А,о, A.J, Я,о, А.о- В сечении 2 ситуа-
ситуация точно такая же, как описанная в предыдущем
пункте (кривая, изображенная сплошной линией, яв-
является главным многообразием Ландау стягивания
') Например, это очевидно, если G является «графом уни-
унитарности», в то время как С не является таковым: соотношение
унитарности имеет тогда одинаковый вид справа и слева от Lg,
Пример, рассмотренный Ландшофом и Оливом в [19], входит в
этот класс (рнс. 21,6).
86 Глава II
к'о). Наоборот, сечение 2 пересекает неэффективную
часть множества Ландау Ц, так что
A-JiS.) 5 (Go) = 0.
Вычисляя фундаментальную группу (первую гомото-
гомотопическую группу) комплексного пространства, из ко-
которого удалены комплексные многообразия Lo, Lo,
мы замечаем (ср. [29], гл. V, п. 3.3), что четыре ука-
указанные выше петли не являются независимыми, а удо-
удовлетворяют соотношениям
Яо • Яо = Яо • Яо = Яо • Яо = Яо • Яо.
В частности, Яо = Яо" • Яо • Яо, и приведенную выше
формулу ветвления можно записать в виде
или
Яо»5 (Go) = Яо*Яо*5 (Go).
Это есть в точности уравнение (с) — ключ к гипо-
гипотезе С. Таким образом, уравнение (с) в окрестности
точки эффективного касания эквивалентно свойству
отсутствия ветвления вокруг неэффективной части
множества Ландау. Принимая во внимание сказанное
в предыдущем пункте, мы видим,, что в окрестности
точек эффективного касания (Ц, Ц) гипотеза С для
эффективной части множества Lo, с одной стороны, и
неособый характер') неэффективной части, с другой
стороны, суть два эквивалентных свойства, если допу-
допустить, что гипотеза С выполнена для составляющих
стягиваний щ и у!.
Замечание о несоответствии. Неэффек-
Неэффективная часть множества Lo в окрестности точки эф-
эффективного касания дает нам пример несоответствия
') «Неразветвленность» влечет за собой «несингулярность»,
если формулы ветвления понимать в смысле распределений^ ср.
A. III. 3.4.
Аналитичность амплитуд 87
в смысле п. II. 3.1. Действительно, это ситуация типа
Si1*, и если /о = 0 — локальное уравнение множества
Lo, причем /о>О выше порога (т. е. справа на
рис. 33), то дифференциал функции /о запишется так:
'о Jo
где аг^0 для всякого i'^I'; следовательно, это
обход 1т/0<0, естественный для интеграла погло-
поглощения Aq.
11.3.4. Двойные скачки. Рассмотрим два стягивания
G
F й
G—*
i
главные многообразия Ландау которых Lo, Lo пересе-
пересекаются в общем положении. Предполагая, что ника-
никакое другое множество Ландау не находится в этой
окрестности, мы будем изучать действие на амплитуду
рассеяния S(Go) локальной фундаментальной группы
комплексифицированного пространства я}ос(Р" (Go) —
— Lo U Lo); это свободная коммутативная группа
с двумя образующими со, со (петли, обходящие Lo и
Lo). Мы уже умеем вычислять «простые скачки»: со-
согласно гипотезе С,
A - ©,)S (Go) = Ло= JS(G).
Теперь мы будем интересоваться двойным скачком
A—й*)A—co*)S(G0) и, главным образом, выясне-
выяснением того, когда этот двойной скачок равен нулю.
Можно было бы попытаться использовать результаты
предыдущих пунктов относительно аналитичности ин-
интеграла Аа, но мы получим значительно более пол-
полные результаты путем прямого исследования.
88 Глава II
Речь, следовательно, идет о том, как изменяется
интеграл поглощения
JS(G)
под действием петли й. A priori имеются две возмож-
возможные причины изменения интеграла:
1) деформация цикла интегрирования ен\ который
должен «избегать» особенностей подинтегрального вы-
выражения;
2) переход к другой ветви самого подинтеграль-
подинтегрального выражения.
Мы покажем, что в рассматриваемом случае пер-
первая возможность исключается.
В самом деле, интеграл поглощения немного выше
главного порога Lo определен как интеграл по несме-
несмещенному вещественному циклу еКа, и это справедливо
как «справа», так и «слева» от Lo (рис. 25), потому
что обе эти области ограничены главным порогом Lo.
С другой стороны, так как Lo не является множеством
Ландау для стягивания ко, то существует «естествен-
«естественный путь для интеграла поглощения» (II. 2.3), кото-
который, обходя Lo по малому комплексному контуру,
преобразует цикл интегрирования е54» слева от Lo
в цикл интегрирования ен» справа. Но так как эти два
цикла вещественны, а множество особых точек, кото-
которые они должны обходить, инвариантно относительно
операции комплексного сопряжения, то комплексно
сопряженный путь будет обладать тем же свойством.
Пробегая один из этих двух путей, а затем другой
в противоположном направлении, мы увидим, что
петля й тривиально действует на цикл интегрирова-
интегрирования ек°>.
Остается вторая возможность: ветвь подинтеграль-
подинтегрального выражения изменяется под действием петли й.
Но это означает, что подинтегральное выражение
имеет особенность на SP(%o)~!(Lo), и что, следова-
следовательно, существует стягиваниеy!\ G'-»G, имеющее
^(^-'(Lq) главным множеством Ландау: мы
узнаем в этом определение «.эффективного перекре-
Аналитичность амплитуд 89
щивания» двух множеств Ландау Lo, Lo. В таком слу-
случае
где со' — гомотопический класс «малой петли» вокруг
L(k') = 9'{щ)~1 (Lo). Применяя гипотезу С к подинтег-
ральному выражению, мы получаем повторный инте-
интеграл по сфере ек°, над которой задано расслоение на
сферы е54'. Это расслоение тривиально, и его можно
представить как произведение сфер ещ X еЯо, являю-
являющееся слоем композиции отображений 9* (х'оу
Резюмируя предыдущее, сформулируем такую тео-
теорему:
Теорема D. Двойной скачок при обходе точек
эффективного перекрещивания записывается следую-
следующим образом:
A-©.)A-«>.)S(G)= J S(G'),
где цикл интегрирования есть не что иное, как слой
композиции отображений 5?(ко), канонически гомео-
морфный произведению двух исчезающих сфер е\ еЧ
При обходе точек неэффективного перекрещивания
двойной скачок равен нулю.
Поскольку «эффективное перекрещивание» имеет
место только в случае «расслоенного произведения»
(ср. 1.3.3), вторая часть теоремы D дает нам
Следствие. Если стягивания ко и й0 несовме-
несовместимы, то двойной скачок равен нулю.
Здесь речь шла об интересном обобщении соотно-
соотношений, именуемых среди специалистов соотношениями
Куткоски — Штейнмана [27]. Вот почему я думаю, что
стоило бы углубить обсуждение п. I. 3.3, тем более
что эти соотношения нам еще понадобятся в конце
гл. III.
ГЛАВА III
УПРУГИЕ ПОРОГИ И ГРАФЫ С КРАТНЫМИ ЛИНИЯМИ
Упругим называется такой элементарный процесс,
в котором множество входящих частиц совпадает
с множеством выходящих частиц. В частности, на-
начальные и конечные массы одинаковы, и это равен-
равенство масс приводит к некоторым своеобразным явле-
явлениям. Об одном из них мы уже упомянули в гл. I,
а именно, о наличии особых точек у пространства
^(G) соответствующего графу, имеющему упругую
Рис. 34. Вставка упругой вершины в кратную линию (упругая
вершина изображена пунктирным кружочком).
вершину. Теперь рассмотрим другой пример, тесно
связанный с предыдущим: если в графе с кратными
линиями (рис. 34, а) «вставить» в середину кратной
линии упругую вершину (рис. 34,6), то полученный
граф будет иметь те же множества Ландау1), что и
исходный граф. Действительно, уравнения Ландау на-
налагают на энергии-импульсы кратной линии усло-
условие их пропорциональности между собой, а упругий
характер вставленной вершины тогда обязывает вхо-
входящие в эту вершину энергии-импульсы быть рав-
') Читатель может спросить, как определяется критическое
множество и видимый контур особого аналитического множе-
множества, — ибо таково пространство графа после добавления упру-
упругой вершины. Вопрос, поставленный в столь общей форме, яв-
является очень тонким (ср. по этому поводу [29], гл. IV). Но здесь
достаточно в качестве определения взять уравнения Ландау.
Упругие пороги 91
ными выходящим (в силу1 закона сохранения энер-
энергии-импульса). Интуитивно это явление можно было
бы объяснить с помощью заключительного замечания
§ 3 введения: кратная линия изображает частицы,
путешествующие вместе, и вставить упругую вер-
вершину — это значит заставить эти частицы взаимо-
взаимодействовать.
После нескольких замечаний относительно тополо-
топологии упругих процессов (III. 1) мы укажем (III. 2),
как должна быть видоизменена гипотеза С для гра-
графов с кратными линиями. В § III. 3 мы увидим, почему
существование упугих процессов требует видоизмене-
видоизменения рассуждений гл. II, касающихся математической
согласованности гипотез, и почему модифицированная
гипотеза С удовлетворяет новым критериям согласо-
согласованности.
III. 1. Топологическое исследование упругих порогов
III. 1.1. Нормальные пороги и упругие пороги. На-
Назовем нормальным стягиванием такое стягивание,
у которого ядро состоит из одной кратной линии /
ш
L v
и
Р н с. 35. Нормальное стягивание.
(рис. 35). Уравнения Ландау такого стягивания — это
просто условия пропорциональности всех pit i e /.
Следовательно, множество Ландау имеет вид \р) =
= (.^J гпЛ >, где pi — внешняя переменная, равная
сумме р^, i e /. Такое множество Ландау называется
нормальным порогом.
Общий анализ главных множеств Ландау, прове-
проведенный в гл. I, применим, в частности, к нормальным
порогам и показывает, что они являются многообра-
92 Глава HI
зиями коразмерности 1, что ниже порога слой будет
пустым множеством, а выше порога он гомеоморфен
сфере1) и т. д. Однако при этом анализе не рассма-
рассматривались «исключительные» значения масс, для ко-
которых пространство графа не является многообра-
многообразием. Но такие исключительные значения в точности
реализуются упругими стягиваниями, т. е. нормаль-
нормальными стягиваниями, при которых кратная линия /,
ядро стягивания, имеет своим началом или концом
упругую вершину / —> / (рис. 36). Разумеется, этот
Р и с. 36. Упругое стягивание.
случай легко изучить непосредственно. Если /— мно-
множество внешних линий, инцидентных упругой вер-
вершине, то упругий порог 2j задается уравнением
все вещественные решения которого на массовой по-
поверхности М1 составляют диагональ Dx, которая опре-
определяется условием пропорциональности всех pt, i e /.
Эта диагональ есть множество квадратичных особых
точек комплексного аналитического множества 2, за-
заданного указанным уравнением. Образно говоря, ло-
локальная модель для Ej получается с помощью «под-
«подвешивания» (вдоль диагонали) «сфер радиуса нуль».
Заметим, что по определению диагонали Dt cr
cDj V/ cr I, Иначе говоря, всякая вещественная точка
упругого порога 2j принадлежит также «частичным»
упругим порогам 2j V/ с /. Таким образом, даже при
1) Для нормальных порогов это верно всюду выше порога,
а не только в некоторой окрестности. Это следствие того факта,
что нормальное стягивание не имеет других точек Ландау, кроме
главных.
Упругие пороги 93
локальном исследовании ветвления амплитуд в прин-
принципе невозможно рассматривать один упругий порог,
забывая о существовании всех других. К счастью,
в действительности все выглядит проще, как показы-
показывает следующий ниже анализ 1).
III. 1.2. Локальная фундаментальная группа в
окрестности упругих порогов. Пусть / — множество
входящих (или выходящих) частиц элементарного
процесса. Чтобы упростить обозначения, предполо-
предположим, что все массы равны 1, и обозначим через Ж1
комплексную массовую поверхность
Всякому подмножеству / сг / (|/| > 1) соответствует
комплексный упругий порог
где pj= S Pi> а через |/| обозначено число элемен-
элементу
тов множества /, которое также равно «полной массе»
этого множества частиц. Каждое 2У является анали-
аналитическим множеством с особенностями; множество его
особых точек есть не что иное, как «диагональ» Dj,
определенная условием равенства всех pt Vt e /.
Локально Sj имеет топологический тип вырожденного
квадратичного конуса с вершиной Dj. Вопрос состоит
в том, чтобы узнать, как расположены все эти конусы
в окрестности диагонали, не заузлены ли они один
с другим. Точнее, может быть поставлена такая
Задача. Является ли коммутативной локальная
фундаментальная группа п[°с(М' — (J 2 Л в окрест-
\ Jcl I
ности точки диагонали D7?
') Читателю может показаться, что мы для собственного
удовольствия усложняем положение, работая в «пространстве
четырехмерных векторов» вместо того, чтобы работать в «про-
«пространстве инвариантов», где упругие пороги выглядят более про-
простыми. Но не надо забквать, что если мы будем изучать больше
четырех независимых четырехмерных векторов, то их скалярные
произведения уже не будут независимыми, и связи, которым
подчинены эти скалярные произведения, определяют довольно
сложное алгебраическое многообразие.
94 Глава III
Первый шаг на пути к утвердительному ответу
дает следующая
Лемма. Многообразия 2, находятся в общем по-
положении всюду, кроме алгебраического множества
коразмерности 3.
Для доказательства этой леммы заметим вначале,
что диагонали Dj имеют в М7 коразмерности ^ 3.
Вне этих диагоналей 2У являются многообразиями.
То, что подсемейство #" этого семейства многообра-
многообразий находится в общем положении, равносильно тому,
что в точке пересечения ["| 2У система уравнений
+ Щр1 = 0 Vi <= /
имеет лишь тривиальное решение (aj = 0, aj = 0).
Рассмотрим, в частности, семейство, состоящее из
двух элементов #" = {/, /'}. Так как / ф /', то по
крайней мере одно из двух множеств / — /', /' — /
непусто; предположим, что непусто первое из них. Для
ie/ — /' из написанной выше системы уравнений по-
получаем
+ O
Отсюда видно, что вне подмножества коразмерности
3, определенного условием пропорциональности неко-
некоторого pi и некоторого pj, интересующие нас много-
многообразия попарно находятся в общем положении.
Чтобы закончить доказательство леммы, доста-
достаточно показать, что пересечения троек многообразий
2j П 2 j/ П Sj» имеют коразмерность ^ 3. В этом
можно убедиться следующим образом. Если одно из
трех множеств / — /' U /", /' — /" U /,/" — / U /' не-
непусто, то такое же рассуждение, как и раньше, при-
приводит к уравнению того же типа. Тем самым доказы-
доказывается, что вне подмножества коразмерности 3 три
изучаемых многообразия находятся в общем положе-
положении. Если все три подмножества / — /' U /" и т. д.
пусты, то / U /' U /" допускает разбиение {/4 = /' U
U/"-/, /8 = /"U/ —/', /з = /U/'-/"}. Если
Упругие пороги 95
один член разбиения содержит более одного элемента,
например, ги/е J\, то из данной выше системы урав-
уравнений получаем
агрг + аг,р,„ + щр{ = О,
aJfpr + a]f.pr, + aipj = 0.
Мы видим, что эти уравнения не могут удовлетво-
удовлетворяться вне диагонали бц. Поэтому и здесь достаточно
удалить множество коразмерности 3 (диагональ),
чтобы получить три многообразия в общем положе-
положении. Итак, остается изучить только один случай,
когда каждый член разбиения имеет лишь один эле-
элемент: /i = {/[}, /2 = {/2}, h = {/з}. т. е. случай, когда
J = {/г, /з}, /' = {/з, /i}, /" = Ни /г}. Но в этом случае
нетрудно убедиться непосредственно, что пересечение
2У f| S;/ f| S;// имеет коразмерность 3.
Заметим, что формулировка леммы очень напоми-
напоминает предположения теоремы из приложения IV. Имен-
Именно поэтому мне кажется, что ответ на поставленную
задачу является утвердительным. Чтобы убедиться
в этом, достаточно было бы построить гомео-
гомеоморфизм исследуемой окрестности на все Сп, преоб-
преобразующий семейство подмножеств 2/ в семейство под-
подмножеств Sj с С", удовлетворяющих гипотезам при-
приложения IV (задача построения хорошей локальной
модели подмножеств Sj). He знаю, возможно ли это,
тем не менее можно заметить, что квадратичные ко-
конусы Sj, полученные из Sj с помощью нерелятивист-
ского приближения!), в точности удовлетворяют
') На массовой поверхности Mz левая часть p2j — I /12
уравнения множества 2/ может быть заменена следующим вы-
выражением:
Нерелятивистское приближение этой аналитической функции по-
получается в результате отбрасывания в разложении Тейлора чле-
членов порядка выше второго; получаем тогда
т. е. уравнение квадратичного конуса.
95 Глава Ш
гипотезам приложения IV, и что физически вполне оп-
оправданно считать нерелятивистское приближение хо-
хорошей локальной моделью окрестности порогов. Если
бы мы умели это доказать, мы бы получили таким
образом
Предложение. В окрестности точки диагонали
Dj локальная фундаментальная группа л\ос IW —
— М 2Л является свободной коммутативной группой
/с/ /
с канонической базой
U |>2
где каждая петля Kj «обходит» соответствующее мно-
множество Sj.
Это предложение нам будет очень полезно в даль-
дальнейшем, и мы допустим, что оно справедливо.
II 1.1.3. Замечание о смещениях. С точки зрения
«смещения с физической области» упругие пороги
представляют собой патологическое явление. Действи-
Действительно, легко проверить, что невозможно сместиться
(в смысле приложения III) с «изотропного конуса»
(сферы радиуса нуль) в окрестности вершины этого
конуса. Эта патология без сомнения имеет связь
с трудностями, которые встречаются при попытке оп-
определить S-матрицу в окрестности диагонали D (ср.
[13]).
III. 2. Гипотеза С для графов с кратными линиями
Используя эвристическую аргументацию, мы уже
предсказали, что наличие кратных линий в ядре стя-
стягивания должно привести к изменению формулировки
гипотезы С. Сейчас мы уточним, как именно нужно
изменить эту формулировку. Мы будем опираться
лишь на изложенные в следующем пункте соображе-
соображения математической согласованности. Тем не менее,
этой гипотезе и ее связям с унитарностью S-матрицы
посвящено большое количество работ, и, по-видимому,
Упругие пороги 97
все они подтверждают предлагаемую ниже общую
формулировку.
III.2.1. Гипотеза С для нормальных порогов. Аб-
сорбтивная часть, соответствующая нормальному по-
порогу L, в обозначениях введения может быть задана
любым из двух выражений
где через I обозначена кратная линия, ядро нормаль-
нормального стягивания, v и w — начало и конец этой крат-
кратной линии, Xj — гомотопический класс «малой петли»
вокруг упругого порога 2j, соответствующего кратной
линии /с/; этот класс был определен в п. III. 1.2.
Иначе говоря, мы заменяем амплитуду, соответ-
соответствующую какой-нибудь из двух вершин, т. е. началу
или концу, кратной линии, аналитическим продолже-
продолжением этой амплитуды вдоль композиции петель
II j, т. е. вдоль петли, обходящей вокруг всех уп-
ругих порогов 1) (как «частичных», так и «полного»
порога) кратной линии /.
Замечание. По определению, абсорбтивная
часть при обходе порога L может быть записана
в виде
где X— гомотопический класс малой петли вокруг по-
порога L. Если L — нормальный не упругий порог и, сле-
следовательно, аналитическое многообразие коразмер-
коразмерности 1, то этот гомотопический класс определяется
как обычно. Но если L — упругий порог, то можно
также определить X, используя III. 1.2, и формули-
формулировка III. 2.1 гипотезы С остается в стиле. Обратим
•) Обоснование см. в [9], [26], [27], [35].
98 Глава III
внимание на то, что петля К обходит только упругий
порог L и не обходит связанных с ним «частичных»
упругих порогов.
III. 2.2. Общая формулировка гипотезы С. Как под-
подсказывает п. III. 2.1, для всякого стягивания, ядро ко-
которого имеет кратные линии, формулировка гипотезы
С должна быть изменена следующим образом1):
Композиция петель Ц Я,/ действует на амплитуду,
соответствующую началу или концу «максимальной»
кратной линии I, причем эту операцию необходимо по-
повторить столько раз, сколько имеется «максимальных»
кратных линий.
Заметим, что даже в случае, если несколько ма-
максимальных кратных линий инцидентны одной и той
же вершине (как на рис. 37), порядок операций без-
Р н с. 37. Граф, в котором несколько максимальных кратных
линий инцидентны одной вершине.
различен, так как, в силу п. III. 1.2, различные «уп-
«упругие петли» коммутируют.
Заметим также, что никогда не следует рассма-
рассматривать графы, подобные изображенному на рис. 34,6,
т. е. графы, в которых упругая вершина «глупо»
вставлена в середину кратной линии.
III. 3. Пересмотр согласованности гипотез
Видоизменив таким образом гипотезу С для гра-
графов с кратными линиями, мы должны теперь, оче-
очевидно, соответствующим образом изменить определе-
определение интегралов поглощения, данное в п. П.2.1. Мы
вправе ожидать тогда некоторых изменений в рассуж-
') В работе [20] можно найти пример, подтверждающий это
правило.
Упругие пороги
99
дениях гл. II. Однако мы увидим, что эти изменения
компенсируются своеобразным явлением, возникаю-
возникающим в результате «вставки упругих вершин», так что
в конце концов основные результаты гл. II остаются
справедливыми.
III. 3.1. Вставка упругих вершин. Пусть G — граф
многократного рассеяния, / — некоторое множество
линий графа G, имеющих общее начало (соответ-
(соответственно конец). Мы будем называть J-упругим рас-
расширением графа G граф Gj, полученный при помощи
вставки упругой вершины в множество линий /
Р н с. 38. /-упругое расширение графа.
(рис. 38). Очевидно, речь идет о расширении, ядро
которого состоит из кратной линии /„, выходящей из
вершины v (соответственно оканчивающейся в вер-
вершине v). В случае когда / — кратная линия графа G,
имеется два способа рассматривать граф Gj как рас-
расширение графа G, в соответствии с тем, от чего мы
отправляемся: от начала v или конца w кратной ли-
линии. Обозначим через к, и к, : G,-»G два соот-
'¦о 'w '
ветствующих стягивания.
Итак, пусть G — граф, имеющий кратную линию /
с началом v и концом иг, рассмотрим стягивание у.':
G'—»-G, ядро которого связно и переходит в вер-
вершину v (будем для краткости говорить: «стягивание
на Gb и»). Множество линий / в G' будет по-преж-
по-прежнему иметь общий конец w, так что можно определить
/-упругое расширение G^ графа G'. Различные рас-
расширения можно включить в следующие две точные
100
Глава 111
диаграммы. Диаграмма (I) имеет тип «расслоенного
произведения» (см. рис. 39):
Диаграмма (II) определяет новое стягивание х' ко-
которое будет называться «/-упругим расширением стя-
стягивания к'»; это стягивание графа G в о, связное ядро
которого является расширением ядра у,' (см. рис.40);
Своеобразное явление. Пусть к0'- G—**¦ Go—
стягивание, ядро которого содержит кратную линию /
(в дальнейшем х0 будет просто стягиванием всех вну-
внутренних линий графа G). Главные многообразия Лан-
Ландау U и L/ стягиваний и' и %'j имеют при проекти-
проектировании на ^(Go) один и тот же видимый контур.
Доказательство. При помощи рассуждения,
аналогичного приведенному в п. II. 2.2.1), можно по-
показать, что критическое множество отображения
задается уравнениями Ландау композиции
, о yfjt причем на параметры at> (i'j s //)
стягиваний
Рис. 39. Расслоенное произведение стягивания к' на упругое^
стягивание.
Рис. 40. /-упругое расширение стягивания л'.
102 Глава HI
нужно наложить дополнительные ограничения, свя-
связанные с тем, что L/ — главное множество Ландау.
Мы предположим, что Lj является главным в стро-
строгом смысле (т. е. что все atr серого положительны).
Тогда \
1) четырехмерные векторы в. , /ое/о, не могут
все быть пропорциональны. Действительно, для того,
чтобы они были такими, необходимо, чтобы все
циклы jv — j'v из /„ были циклами в G'Jt т. е. чтобы
G'j был тривиальным расширением над /» (пред-
(предложение 0.3.6). Но тогда стягивание к'} было бы рас-
расслоенным произведением и не имело бы главных то-
точек Ландау (замечание I. 3.4).
Из 1) вытекает, что
2) четырехмерные векторы pf , ]щ е /ш, не могут
все быть пропорциональными: это запрещается зако-
законом сохранения энергии-импульса в упругой вер-
вершине. Но так как /ю — подграф в GJ то 2) означает,
что все aj (/ш е /ш) равны нулю. Следовательно, мы
находимся на критическом множестве графа, получен-
полученного из G^ стягиванием красной линии Jw, т...е. в точ-
точности графа G'. /
Замечание. Это своеобразное явление можно
было бы исследовать, используя коммутативность диа-
диаграммы
G
G
и свойства расслоенного произведения.
III. 3.2. Интегралы поглощения: особенности под-
интегрального выражения. Наличие кратных линий в
графе G приводит нас к необходимости изменения
также и подинтегрального выражения S(G) в инте-
интеграле поглощения Аа. С вершиной v — началом (или
концом) максимальной кратной линии / оказывается
Упругие пороги 103
связанной амплитуда [ П ^Л (So). Аналитические
свойства измененного т/аким образом подинтеграль-
ного выражения легко ^ывести из гипотез А, В, С (со-
(содержащих утверждений об аналитических свойствах
распределения {Sv)) и ;теорем А, В, С (содержащих
утверждения об аналитических свойствах распределе-
распределения A—Я,/») (SD)). Очевидно, что единственными воз-
возможными особенностями, как и ранее, являются мно-
множества Ландау стягиваний на G, но нужно позабо-
позаботиться о корректном определении новых «критериев
эффективности». Наиболее простой случай — это слу-
случай стягивания: х': G'—»G в v, не доминирующего
никакого из упругих стягиваний х, : G,->> G, /сг/.
Из теоремы А вытекает тогда, что скачки A —A,y,)S(G)
не имеют особенностей на L(x'). Следовательно,
начальная амплитуда S(G) и измененная амплитуда
[ П hj\ S(G) имеют особенности на одних и тех же
частях множества L (х'), а именно тех, которые соот-
соответствуют значениям параметров (а{, ^ 0).
Рассмотрим теперь случай стягивания в о, которое
доминирует Xj . Мы всегда можем рассматривать его
как J-упругое расширение некоторого стягивания у!:
G'—»G и обозначать его, как в п. III. 3.1, через
(х' получается из v!s «удалением упругой вершины»,
т. е. операцией, обратной к «вставке упругой вер-
вершины»). Используя все обозначения п. III. 3.1, мы мо-
можем сформулировать такую лемму:
Лемма. Эффективными для kj*{Sv) являются
лишь те части множества L(x^), для которых at, ^0
на всякой линии графа G', в то время как а, < 0
на некоторых линиях из Jv.
Доказательство. Согласно гипотезе А, эффек-
эффективными частями для (Sa) являются лишь те части,
104 Глава III
для которых а.,^0 на всякой линии из G'j. Но, как
мы уже заметили (II. 3.2), гипотеза С и теорема С
дают нам тогда равенство скачков (So) и A—kj*)(Sv),
так что Xj*(Sv) не является разрывной и, следова-
следовательно, не имеет особенностей1). Значит, амплитуда
Xj'(Sv) может иметь особенности лишь на частях,
не эффективных для {Sv), но эффективных для
A — kj*)(Sv). Эффективность для A—Xp){Sv) выра-
выражается в точности условием а(.,^0 для всякой линии
графа G' (ср. II. 2.2). Таким образом, лемма доказана.
III. 3.3. Аналитичность интегралов поглощения: пе-
пересмотр теорем А, В, С. Чтобы найти множества осо-
особых точек интеграла поглощения AG , мы должны, как
и в гл. II, найти видимые контуры множеств особых
точек подинтегрального выраокения. Эти особые точки
возникают из двух источников: во-первых, из стягива-
стягиваний к': G'—»-G, которые не доминируют никакого уп-
упругого стягивания, и, во-вторых, из различных «упру-
«упругих расширений» стягивания у!. Но своеобразное яв-
явление, описанное в п. III. 3.1, показывает, что много-
многообразия Ландау стягиваний у! имеют те же видимые
контуры, что и многообразия Ландау их упругих рас-
расширений. Кроме того, если мы посмотрим на критерии
эффективности для этих многообразий Ландау, то мы
получим условия (о.г ^ 0) для стягивания у! и более
сильные условия (лемма III. 3.2) для упругих расши-
расширений стягивания к'. Таким образом, упругие расши-
расширения стягивания у! не дают никаких новых особых
точек интеграла поглощения по сравнению с теми,
которые даются расширением у!.
В результате получаем, что теорема А в том виде,
в каком она сформулирована в гл. II, остается спра-
справедливой для графов с кратными линиями, если оста-
оставить в формулировке III. 2.2 критерия эффективности
только стягивания у!, не доминирующие никакого уп-
упругого стягивания.
См. примечание 1 на стр. 86.
Упругие пороги 105
Аналогичное заключение справедливо для тео-
теоремы В.
Перейдем к теореме С, т. е. к вычислению скачка
интеграла поглощения. Здесь необходимо обратить
внимание на то, что особенность интеграла является
видимым контуром нескольких особых многообразий
подинтегрального выражения (возникающих из стя-
стягивания к' и его различных упругих расширений), так
что скачок задается не просто интегралом типа
(Disc 2) приложения III, а суммой таких интегра-
интегралов '). Однако в одном случае положение остается
простым, а именно, в случае, когда видимый контур
L(%q) является множеством Ландау, эффективным
для амплитуды рассеяния, т. е. когда не только at,,
но и все а., положительны. Из леммы III. 3.2 тогда
'о
вытекает, что подинтегральное выражение (J\ Х?\ S (G)
имеет особенность только на множестве Лан-
Ландау стягивания %' и не имеет особенностей на множе-
множествах Ландау его упругих расширений. Следователь-
Следовательно, скачок задается, как в гл. II, единственным инте-
интегралом
Подинтегральное выражение упрощается, если ис-
использовать результаты п. II. 3.4 о двойных скачках.
Подставляя 1 — Х\ вместо Disc<L , мы видим, что
(l — A,')(l — Xj)tS{G) — 0, если *' и Xjv несовместимы
(соотношения Кугкоски — Штейнмана). Но применяя
критерий существования расслоенного произведения
(предложение 0.4.2), легко видеть, что %' и х, не-
'¦о
совместимы тогда и только тогда, когда / не является
') Мне кажется, что на самом деле эти интегралы можно
преобразовать, учитывая гипотезу С для упругих стягиваний, но
я проделал соответствующие вычисления лишь в простых част-
частных случаях.
106 Глава IЛ
в G' кратной линией. Следовательно, в напи-
написанном выше выражении все Xj, не соответствую-
соответствующие кратным линиям графа G', можно заменить на 1.
Что касается остальных, то их можно поменять ме-
местами с Disc<L ', что даст нам следующий вид подин-
тегрального выражения:
П h'\ Disc(L/)S(G).
1' кратная в С /,
Заменяя, как и в гл. II, Disc(L)S(G) его выражением,
которое получается из гипотезы С, мы приходим
к следующему заключению:
Модифицированная теорема С. В случае
когда множество Ландау Lo эффективно для ампли-
амплитуды рассеяния S(Go), в подинтегральное выражение
интеграла
[ S(G')
необходимо внести точно такое же изменение, как и
в гипотезе С. Иначе говоря, всегда имеет место равен-
равенство скачков
AG ~ A& = S (Go) - 5^ (Go).
Напомним, что это равенство скачков является
глубоким фактом, которому мы дали прямое обосно-
обоснование в п. II. 3.3. Таким образом, выполнение этого
равенства является хорошим подтверждением пра-
правильности модифицированной гипотезы С.
ПРИЛОЖЕНИЕ О
Теорема1). Пусть у(х)—функция класса С°° с компакт-
компактным носителем (например, содержащимся в интервале @,1)),
F — распределение, являющееся граничным значением функции
f(z), аналитической в комплексной полуокрестности интервала
[О, 1], лежащей в верхней полуплоскости. Тогда функция
Ф@ = (Л *%(*)>
стремится к нулю быстрее любой отрицательной степени t при
Доказательство. 1) Достаточно доказать, что Ф(?)->-0.
Утверждение о быстроте убывания можно вывести отсюда с по-
помощью интегрирования по частям.
Например, для доказательства того, что Ф(?)->-О быстрее,
чем l/t, достаточно рассмотреть выражение
Я>@ = (F, telt\(x)) = ~ [</", eitx<? (*)) + (F, eltx<f' (x))]
и заметить, что производные F' и q/ удовлетворяют условиям
теоремы.
2) Можно предположить, что аналитическая функция f(z)
стремится к нулю при г-+0 и при г-*¦ 1 (по всякому направле-
направлению, траисверсальному вещественной оси).
Действительно, так как функция /(г) имеет своим граничным
значением распределение, то она ограничена по модулю отрица-
отрицательной степенью расстояния от вещественной оси:
\Hx + iy)\<UyN.
Поэтому достаточно заменить ее аналитической функцией
разделив ф(*) на [х(х—l)]w+' (полученная в результате функ-
функция остается бесконечно дифференцируемой, так как носитель ф
не содержит точек 0 и 1).
') Эта теорема, вероятно, известна аналитикам, но мне не
удалось иайти ее в литературе. Я получил ее доказательство в
результате дискуссии с А. Мартином, В. Глазером и Ж. Бро.
108 Приложение 0
3) Для доказательства того, что Ф(<)->0, допустим, что вы-
выполнены условия 2), и рассмотрим функцию
F(t)=je"'f(z)dz,
где Г — дуга, соединяющая точки 0 и 1 в верхней полуплоско-
полуплоскости и трансверсальная вещественной оси в этих точках. В силу
интегральной теоремы Коши, эта функция ие зависит от выбора
дуги Г. При t-*¦-\-оо подинтегральное выражение равномерно
стремится к нулю на компакте Г:
\eitzf(z)\^M\z(z-\)\e~ty.
Следовательно, F(t)-*-0 при t-+-{-oo.
С другой стороны, F(t) при t -*—оо растет не быстрее мно-
многочлена. Действительно, F(t) можно считать преобразованием
Фурье распределения с компактным носителем %F (где х —ха~
рактеристическая функция интервала [0, 1]). Следовательно, это
аналитическая функция со степенным ростом (не превосходящая
МA + \t\N), где N — порядок распределения %F).
Для окончания доказательства осталось заметить, что Ф(^)
является сверткой функции F с преобразованием Фурье ф функ-
функции ф и что ф — интегрируемая (даже аналитическая) функция
с быстрым убыванием при t-+ + оо.
Чтобы доказать, что свертка
+ ОО
Ф@= J F(t')tp{t-f)df
стремится к нулю при <->+оо, разобьем интеграл на две части
С/2 оо
J + J.
-оо ЦТ.
Первый интеграл оценивается следующим образом:
Ц2 Ц2
J \Р~{ПЪУ-П<1Г\
— ОО —ОО
оо оо
= [ М A + | / - /" |)л' | ф (Г) | Л"< Г М A + 11" \)N | ф (Г) | dt".
№ Ц2
Приложение 0 109
Это выражение стремится к нулю при t -*¦ оо (в силу интегри-
интегрируемости функции A + \t\)N ф (t)). Второй интеграл оценивается
так:
оо оо
J \Р(П ф (t - f)Uf< [ t™Pj2\P (f)\] J | ф (t - n | Л'<
+00
<[ sup I? (Oil f \4>(t")\.dt".
[t'>№ I J
—00
Так как F(t) стремится к нулю при ^->-оо, то этот интеграл
стремится к нулю.
Замечание. Вместо одного распределения (F, ф) можно
задать семейство распределений (Fu, фи), непрерывно зависящих
от параметра и. Тогда быстрое убывание функции Фи(^) =
= {Fu, ettx(fu (x)) будет равномерным по и на всяком ком-
компакте.
Доказательство. Достаточно проверить равномерность
оценок, которые использовались при доказательстве теоремы.
Следствие. Если <ри(х) имеет компактный носитель п
совокупности переменных (и,х), то для функции
(Fu, eitx<?u (x)) du
справедливо утверждение теоремы о быстром убывании.
ПРИЛОЖЕНИЕ I
ВИДИМЫЕ КОНТУРЫ МНОГООБРАЗИИ, ОПРЕДЕЛЕННЫХ
ПЕРЕСЕЧЕНИЯМИ
В евклидовом пространстве Rp рассмотрим дифференцируе-
дифференцируемое подмногообразие S коразмерности т, заданное т уравне-
уравнениями si(y) = s2(y) — ... = sm(y) = 0, причем dsiAos2A...
... Adsm Ф 0. Пусть я: RP->R'7 — каноническая проекция1)
пространства R на евклидово пространство RQ(q<.p). Мы изу-
изучим локальные особенности дифференцируемого отображения 2)
я | S: S -» R'. Эта задача ничем не отличается от общей задачи,
изученной Томом в [37], и все нижеследующее является лишь
переформулировкой идей Тома в применении к нашему специаль-
специальному способу- постановки задачи.
А. 1.1. Критические точки
Пусть
Напомним, что точка у = (j;,/)eS называется критической для
отображения Jt|S, если касательное к n\S отображение в точке у
не является сюръективным. Это равносильно тому, что касатель-
касательное отображение не является инъективным, т. е. что в точке t
существует вектор 6 Ф 0, кокасателъный к R , такой, что
(я 18)^8 = 0, т. е. я^б | S = 0. Ядро кокасательного отображения,
т. е. пространство всех возможных векторов 6, является вектор-
векторным пространством, размерность которого называется корангом
(в пространстве-образе) критической точки у.
Для того чтобы вектор со, кокасательный к R в точке у,
имел нулевое ограничение на S, необходимо и достаточно, чтобы
1) В силу локального характера этого исследования, в ка-
качестве я можно взять произвольное дифференцируемое расслаи-
расслаивающее отображение многообразий.
2) Все наши рассуждения используют лишь теорему о неяв-
неявных функциях. Следовательно, их можно применить и в случае,
когда слово «дифференцируемый» всюду заменено словом «ана-
«аналитический».
Видимые контуры
111
он был представим в виде
С другой стороны, для того чтобы вектор со можно было пред-
представить в виде я 8, необходимо и достаточно, чтобы он был
«параллелен R », т. е. чтобы его ограничение на «слой» R
было нулевым. Следовательно, точка у является критической
тогда и только тогда, когда можно найти параметры
ai, ci2, • •., ат, ие все равные нулю, такие что
(L)
2 v
=const
= 0.
Отсюда же видно, что коранг критической точки совпадает с раз-
размерностью векторного пространства (а-;) решений уравнения (L).
А. 1.2. Трансверсально критические точки
Пусть а= (oi, 02, ..-, ат)—последовательность m векто-
векторов пространства Rn. Обозначим через Fr подмножество про-
пространства R""\ на котором матрица размера тХ», определяю-
определяющая последовательность а, имеет в точности ранг m — г. Легко
проверить, что Fr является подмногообразием коразмерности
r(n — + )
С\,
i/7— m +r
t
Я7 —Г
С другой стороны, рассмотрим отображение S': S -> Rmn,
определенное формулами:
д
(S')
Oi(у)-
дх
*< (У)-
112 Приложение I
Ясно, что результаты § А. 1. 1 можно сформулировать следующим
образом: точка у является критической точкой коранга г тогда
и только тогда, когда S'(y) e Fr.
Определение (Р. Том). Критическая точка у коранга г
называется трансвереально критической, если отображение S'
трансверсально в точке у над F,, т. е. если график отображения
S' пересекает S X Fг трансверсально в точке S'(y) (рис. 41).
S*Fr
У
Рис. 41. Трансверсальность критической точки.
Тогда S'n(SX^r) в окрестности точки S'(y) является
подмногообразием размерности
dim S — codim Fr = p — m — r(n — m-\- г).
Это подмногообразие проектируется на S в подмногообразие
S, той же размерности. Отсюда вытекает такой результат:
Множество трансверсально критических точек коранга г яв-
является подмногообразием Sr размерности р — m — г (п — m + гI).
Если отображение S' трансверсально всюду над всеми FT, то
мы получаем разбиение многообразия S на подмногообразия Sr
(г => Го = sup{m — п, 0}). О множестве Sr можно сказать только,
что это открытое множество точек из S, в которых ранг отобра-
отображения я|S максимален, н мы его обозначим просто через S. Но
к подмногообразию Sr (г > г0) можно опять применить те же
рассуждения, которые мы только что использовали для много-
многообразия S. Если отображение S^: Sr->Rm" трансверсально2)
1) Обозначим через So открытое множество подмногообра-
подмногообразия S, образованное точками, в которых ранг n\S равен раз-
размерности q пространства-образа («регулярные точки» многообра-
многообразия S). Если dim S < q, т. е. m > n, то это открытое множество,
очевидно, пусто. Тогда первым непустым из множеств FT яв-
является Fm-n открытое подмножество пространства Rmn, так что
множество S'flfSXfm-ii) является открытым в S' и проекти-
проектируется в открытое подмножество Sm_n многообразия S, а имен-
именно в множество точек, в которых ранг (я| S) = dim S.
г) В действительности это условие трансверсальности еле-'
дует изменить так, чтобы учесть сведения об отображении Sr
которыми мы уже обладаем, а именно:
1) тот факт, что касательное пространство к Sr содержится
в касательном пространстве к S;
Видимые контуры 113
всюду над всеми /у, то мы получаем разбиение Sr на под-
подмногообразия Sr,r = Sr, (Sr). Очевидно, что dim Sr < g (в част-
частности, dim Si = /7 — m— (n — m + 1) = p — n— 1 = q — 1). По-
Поэтому непустыми являются лишь те подмногообразия Sr,r, для
которых г' ~^. г. О Srr можно сказать только, что это открытое
множество точек из Sr, в которых n|Sr имеет максимальный
ранг, или «обыкновенных критических точек коранга г»; мы обо-
обозначим его просто через Sr. Далее можно повторить ту же про-
процедуру, начиная с Sr/r (г' > г), и т. д. По причине убывания
размерностей этот итерационный процесс после конечного числа
шагов остановится, и мы получим таким образом конечное раз-
разбиение многообразия S на подмногообразия убывающих размер-
размерностей: S — открытое множество в S, Sr, Sr,r ..., Sr" _ rir
(г" > ... > г' > г). Для определения этих подмногообразий не-
необходимо выполнение условий трансверсальности на всех этапах.
Если эти условия выполнены, то мы будем говорить, что имеем
дело со случаем общего положения. Случай общего положения
является устойчивым: так как отображение, трансверсальное к
многообразию, остается трансверсальным и после малой дефор-
деформации, то особенность, например, типа S2i после малой дефор-
деформации также остается особенностью типа S2\. Но настоящая
проблема — узнать, остается ли неизменным топологический тип
особенности. Действительно, можно себе представить, что «сим-
«символ» S21, например, охватывает бесконечное множество тополо-
топологически различных ситуаций, что значительно повысило бы инте-
интерес к указанной выше классификации. На самом деле Том сумел
непосредственно проверить, что самые простые из вышеуказан-
вышеуказанных «символов» не обладают такой патологией, а для малых
размерностей пространства-образа даже дают полную классифи-
классификацию топологически устойчивых типов особенностей.
2) «соотношения интегрируемости» между коэффициентами
отображения Sf: так как в уравнения многообразия Sr входят
первые производные функции S;, то коэффициенты отображения
Sr содержат их вторые производные, и можно убедиться, что
d2s d2s.
тождества — = — при г > 1 дают нетривиальные
dXj dxk дхкдхi
соотношения между этими коэффициентами.
Далее, вместо того чтобы рассматривать S^ как отображе-
отображение Sr -*¦ R , мы будем считать его сечением подрасслоения в
S X Rm", определенного указанными выше условиями, и именно
от этого сечения мы будем требовать трансверсальности к F^.
Точно так же, когда мы захотим повторить указанный про-
процесс и определить условие трансверсальности для отображений
S^/r и т. д., мы должны иметь в виду- условия, аналогичные
условиям 1) и 2) (только все более сложные).
114 Приложение I
Примеры
| q = 1 | Единственная особенность общего положения: Sb
Пусть дана функция t: S -> R. Критическая точка — это точ-
точка, в которой градиент dt/d% обращается в нуль (через | мы
обозначили локальную систему координат на S); очевидно, что
всякая критическая точка имеет коранг 1. Если эта точка транс-
версально критическая, то она является изолированной критиче-
критической точкой, и мы имеем ситуацию типа Si. Условие трансвер-
трансверсальности в этом случае выражается необращеннем в нуль «гес-
«гессиана» (определителя из вторых производных) функции t. В этом
случае всегда можно выбрать координаты | таким образом, что-
чтобы t записывалась в следующем виде:
t = ± fx ± %1 ± ... ± || (s = dim S),
и единственный возможный произвол состоит в выборе знаков ±.
Следовательно, топологический (и даже дифференцируемый) тип
ситуации Si целиком определяется заданием «индекса» критиче-
критической точки, т. е. числа отрицательных собственных значений ква-
дЧ
дратичной формы ^ gs •
I q = 2 I Единственные особенности общего положения: S\
и S2i (предполагаем, что dim S ^ 2).
Если условие трансверсальности выполнено, то множеством
критических точек является кривая Si 1), а многообразие Si —
это множество точек, в которых касательная к этой кривой не
является «вертикальной» (т. е. перпендикулярной к плоскости
проекции). Пересекая S «вертикальной» гиперплоскостью, траис-
версальной к этой кривой, мы приходим к предыдущему случаю.
Значит, ситуация Si для q = 2 описывается следующей локаль-
локальной моделью:
( <i = ti (уравнение трансверсальной гиперплоскости),
и ее дифференцируемый тип полностью характеризуется транс-
версальным индексом критической точки (числом отрицательных
собственных значений квадратичной формы, полученной ограни-
ограничением на трансверсальную гиперплоскость).
Многообразие S2i состоит из изолированных точек («исклю-
(«исключительные критические точки»), в которых касательная к Si вер-
вертикальна и «не остается стационарным образом в этом верти-
вертикальном положении» (трансверсальность отображения S' по от-
') Упражнение: покажите, что 5г пусто.
Видимые контуры 116
ношению к F^). Локальную модель для ситуации Sh можно опи-
описать следующим образом:
t2=ii±hi2±t±u±... ±1%
откуда следует, что видимый контур имеет точку возврата (см.,
например, рис. V9 работы [29]).
I q = 3 | (dim S ^ 3). Единственные особенности общего по-
положения: Si, S2i, S321.
Отметим общий факт: если некоторый символ удалось пред-
представить локальной моделью для некоторых размерностей (s, q)
пространства-прообраза и пространства-образа, то локальная мо-
модель для (s + 1, q + 1) получается из нее с помощью «надстрой-
«надстройки», т. е. путем добавления одной и той же переменной к про-
пространству-прообразу и пространству-образу (ср. со способом, при
помощи которого случай q = 2 для Si получается из случая
9=1). Так, в ситуации S2i для 9 = 3 видимый контур будет
поверхностью, имеющей ребро возврата. Напротив, ситуация S321
здесь появляется впервые. Она характеризуется существованием
точки возврата у вышеуказанного ребра возврата (особенность,
называемая «ласточкиным-хвостом»).
Здесь впервые появляются особенности типа S2. Подробнее
см. Том [37].
А. 1.3. Аналитическая запись условия
трансверсальности
Пусть о = (Оь о», ..., am) — точка многообразия Fr; пред-
предположим для определенности, что o>+i Л 0Г+2Л • • • Лот ф 0. В
окрестности точки о многообразие FT тогда задается следующими
уравнениями:
Ор Л o>+i Логг+, Л ... Л ffm = 0, р = 1, 2, .... г,
так что его кокасательное пространство в точке о определяется
уравнениями
dop A or+i А о>+2 Л . • • Л ат +
m
+ 2 (—)^~г°рЛ о>+1 Ло> + 2 Л... Ada^A ... Лат = 0,
р= 1, 2 г,
116 Приложение I
которые после подстановки вместо ар их выражений
т
преобразуются в следующие уравнения:
т. е. в уравнения
т
(F*r) аа?- 2 <а<=0' Р=1. 2 г,
где daj- обозначает ироекцию вектора da{ на пространство,
ортогональное к (т — г)-мерной гиперплоскости, натянутой на
векторы 0/-+1, Ог+2> •••> °т- Таким образом, кокасательное про-
пространство к S X Fr натянуто на векторы (dt/j, da^), связанные
соотношениями {jF^ и условием
(S*) dsi(y) = 0, i = 1, 2 т.
Уравнения для кокасательного пространства к (S X ^г) П S' по-
получаются отсюда, если заменить doj- их выражениями, получен-
полученными из уравнений (S'):
где через х обозначены координаты пространства, ортогональ-
ортогонального к векторам or+i, <Jr+2, • • ¦, от- Искомое кокасательное про-
пространство, следовательно, порождено векторами dt/j, связанными
соотношениями
(S*)' b^F^/^0' '=•• 2,..., m,
где а^ при ( ^ г определены следующим образом:
1 ПРИ г = Р-
0 в остальных случаях.
Видимые контуры
117
Следовательно, условие трансверсальности эквивалентно то-
тому, что матрица
Т~2, • • •""
имеет максимальный ранг. Учитывая, что число столбцов этой
матрицы не меньше числа строк (р ^ m + г(р — m -— г), если
dimSr^0), мы видим, что нарушение условия трансверсально-
трансверсальности в критической точке коранга г означает существование г
ортогональных к векторам Oi = dsijdx векторов Vp e R", из
которых хотя бы один отличен от нуля, и пг чисел Pi. таких,
что выполняется следующее условие:
d2s.
=1 \р=1
ds.
ft. L
b дУ
= 0,
i=l, 2, ..., p.
Запишем, кроме того, условие ортогональности векторов Vp и <х,-:
(Тр
р= 1, 2 , г,
I = 1, 2, ..., т.
Напомним, что векторы ар образуют базис векторного простран-
пространства решений уравнения (L) в критической точке.
Исключительные критические- точки
«Исключительные критические точки» (точки, в которых ранг
отображения я|Sr не максимален) можно охарактеризовать как
точки, в которых размерность кокасательного пространства к Sr,
118 Приложение 1
ограниченного на слой, не минимальна. Ограничение на слой в
указанной матрице означает замену djdijj на д/дхь. В матрице,
полученной таким путем, число столбцов не больше числа строк
[п^.т + г(п — т + г)], и исключительный характер критической
точки означает существование ненулевого вектора V е R", та-
такого, что
m п
Л
fe=l "
причем первое уравнение должно выполняться для всех р н для
тех координат х1, для которых dsjdx'1 = 0. Таким образом,
это условие можно сформулировать еще и так:
существуют ненулевой вектор V е R" и параметры fjj, та-
такие, что
(Exc^i 7 I z а? V. + 6. - 1=0, ' • • • ¦• '
Ati I Li дх. дх, « * дх, ч п — to r
3s,
А. I. 3.1. Замечание. В случае, когда коранг равен 1 (г = I),
пара уравнений (Ехс) идентична паре (T(rs) с точностью до
того, что дифференцирование по г/j заменяется дифференцирова-
дифференцированием только по X]. Следовательно, если уравнения (Ехс) не удо-
удовлетворяются, то и уравнения (T^s) тем более не удовлетво-
удовлетворяются. Это означает, что мы имеем обыкновенную трансвер-
сально критическую точку коранга 1, т. е. особенность типа Si.
А. I. 3. 2. Замечание. Так как уравнения (Ехс) не зависят
явно от координат базы, то можно произвольно уменьшить базу
(заменить Rq на Rq с Rq), не изменяя характера особенности
Si. На первый взгляд это кажется парадоксальным, так как в
качестве R4' можно выбрать касательное пространство к види-
видимому контуру. Но в действительности при этом нарушится усло-
условие dsi Л ... Л dsm ф 0, т. е. S (в общем случае) перестанет
быть многообразием, и наш анализ будет неприменим. Впрочем,
все это очевидно и геометрически, и нет нужды прибегать к
уравнениям.
ПРИЛОЖЕНИЕ II
ОСОБЕННОСТИ КОМПОЗИЦИИ ОТОБРАЖЕНИЙ
Пусть задана коммутативная диаграмма дифференцируемых
отображений
Естественно спросить, какие особенности имеет композиция h
отображений / и g, если известны особенности отображений / и
g. Общая теория в духе идей Тома, по-видимому, никогда не
разрабатывалась и, вероятно, была бы очень сложной. Она при-
привела бы к определению новых типов особенностей для отобра-
отображения /г, которые, будучи устойчивыми относительно малых из-
изменений составляющих отображений / и g, тем не менее ока-
окажутся неустойчивыми, если свободно изменять /г, забывая о том,
что h является композицией отображений (эти особенности не
являются особенностями «общего положения» в смысле прило-
приложения I). В дальнейшем мы удовольствуемся тем, что введем,
применяя элементарные рассуждения, «первые типы» особенно-
особенностей, появляющиеся в этой классификации (в том же смысле,
в каком тип S\ есть «первый тип», появляющийся в классифи-
классификации Тома).
Определения и обозначения
Регулярное отображение, или субмерсия, — отображение,
имеющее серъективное касательное отображение.
Г/ = критическое множество отображения / = множество то-
точек, в которых / не является регулярным.
Lf = /(Г/) = видимый контур отображения f.
Результаты, сформулированные в § А. II. 1, А. II. 2, А. II. 3,
тривиально следуют из этих определений. Само собой разумеется,
что мы выбираем раз и навсегда тройку точек, соответствующих
друг другу при отображениях /, g, h, и что исследование «регу-
«регулярности» отображений /, g, h производится в этих точках.
А. II. 1. Если h регулярно, то g также регулярно
-Следствие: Г/г => /-1 (Tg); Lft => Lg.
120 Приложение II
А. И. 2. Предположим, что f регулярно
Тогда, если g регулярно, то h также регулярно (и обратно,
в силу А. II. 1).
Следствие: Г/г = /~ (Tg); LA = Lg: видимые контуры
совпадают.
Заметим, что если п~> р, то размерность множества
Г/г = / (Г|г) будет, вообще говоря, больше, чем размерность
множества Tg, и, следовательно, больше размерности видимого
контура, откуда вытекает, что критическое множество Г/г не яв-
является трансверсально_ критическим (в смысле Тома).
А. 11.3. Предположим, что g регулярно
Тогда, если h сингулярно, то f также сингулярно.
Следствие: Г/ r> Th.
Предположим, кроме того, что / — отображение типа S,.
Тогда Г/ является многообразием, которое изоморфно проек-
проектируется на многообразие L/, и мы сразу убеждаемся, что
откуда
Последнее можно выразить с помощью следующей фразы: види-
видимый контур композиции отображений является видимым конту-
контуром видимого контура. Более того,
А. II. 3. 1. Если g\Lf типа Si, то h также типа St.
Действительно, отображение f — как мы предположили, ти-
типа Si — можно записать с помощью следующей локальной мо-
модели:
Ур-i — *р-1
±4-
Многообразие L/ имеет уравнение ур = О, и легко видеть, что
гипотезы: g\Lf типа Si н g регулярно — аналитически можно вы-
выразить с помощью следующей локальной модели
zq-\
Композиция отображений fag дает, очевидно, требуемый ре-
результат.
Особенности композиции отображений 12]
А.П.3.2. Если h — отображение типа S,+, го g \Lf — также
типа S,+ l).
Действительно, так как Г/ изоморфно проектируется на Lf,
то g\Lf — того же типа, что и h\Tf. Но в начале § А. II. 3 мы
видели, что Г/ содержит Th, так что все сводится к доказатель-
доказательству того, что ограничение особенности типа SJ1" на многообразие,
содержащее критическое многообразие, также является особен-
особенностью типа S,+, что совершенно очевидно. Чтобы в этом убе-
убедиться, достаточно рассмотреть, что происходит в сечении, транс-
версальном к критическому многообразию, и использовать тот
факт, что положительно определенная квадратичная форма оста-
остается положительно определенной, если ее ограничить на подпро-
подпространство.
А. II. 4. Особенности типа S, ° S,
Предположим, что отображения fug имеют особенности
типа S\. Для композиции отображений h = g ° f могут полу-
получиться самые разные типы особенностей, среди которых мы
условимся выделять типы, устойчивые относительно малых де-
деформаций отображений fug. Мы увидим, что имеется всего-
навсего два устойчивых типа, по крайней мере когда отображе-
отображение g имеет тип Sj1": первый тип, обозначаемый (Si»Si)i, для
которого коранг отображения h равен 1; второй тип, обозначае-
обозначаемый (Si°SiJ, соответствующий корангу отображения h, рав-
равному 2.
Необходимое условие устойчивости, очевидно2), следующее:
A. I I.4.O. Lf и Tg пересекаются трансверсально.
Пусть V = L/nF|f. Так как Tg изоморфно проектируется
на Lg, то подмногообразие V cFg изоморфно проектируется
на подмногообразие Л с: Lg' коразмерности 2 в R*. В простран-
пространстве-образе Rq выберем систему координат (z\, г2, ..., zq) так,
чтобы Zq было локальным уравнением многообразия Lg,
а (г?_ь zq) — системой локальных уравнений многообразия Л_
В «промежуточном» пространстве R выберем координаты
') Через Sj+ обозначается особенность типа Si с трансвер-
сальным индексом, равным нулю.
2) Это очевидно, если под «топологическим типом компози-
композиции отображений» понимать не только топологический тип отобра-
отображения h, рассматриваемого изолированно, а топологический тнп
диаграммы отображений
122 Приложение II
Уъ •••. Ур так> чтобы ур = 0 было локальным уравнением много-
многообразия Lf и yq-1 = 0, yq = 0, ..., </р_ 1 = 0 — системой локаль-
локальных уравнений многообразия Tg, а в качестве первых координат
возьмем (/1=2,, Уг = гг yq-2 = Zq-2 (такой выбор обу-
обусловлен изоморфным характером отображения g | V: V -» Л).
Наконец, в пространстве-прообразе R" выберем координаты
(хи х2, ..-, хп) так, чтобы хр = 0, хр+1 = 0, ..., хп — 0 была
системой локальных уравнений многообразия Ff, а в качестве
первых координат возьмем xl=i/1, *2 = у2, ..., xp-l = </p_i.
Чтобы полностью определить отображения f и g, остается за-
задаться функциями ур(х), zq(y), Zq-i(y). Две первые (поскольку
{ и g — отображения типа SO должны начинаться с квадратич-
квадратичных членов
yp(x) = Qf(xp, xp+l, ...,*„)+ ...,
Zqly) = Qg(yq-u Уч. • ••> yP-i)+ •••.
где Q/ и Qg — невырожденные квадратичные формы своих ар-
аргументов. Наоборот, функция zq^i(y) выбирается не вполне одно-
однозначно; это связано с кораигом отображения h. Чтобы выразить
этот факт инвариантным образом, введем «трансверсальное ко-
касательное пространство», обозначаемое Т" (R'/Л); это двумер-
двумерное пространство ковекторов пространства R*, ограничение ко-
которых на Л равно нулю (здесь это пространство, порожденное
ковекторами dzq и azg_i). Так как AczLg, то пространство
Т* (R'/Л) содержит ядро кокасательного отображения g*, кото-
которое одномерно, поскольку мы имеем дело с критической точкой
коранга 1 (здесь этим ядром является пространство, порожден-
порожденное ковектором dzq). Следовательно, g*T" (R9/A) — одномерное
векторное пространство, так что ковектор 6 s g*T* (R'/Л) опре-
определен однозначно с точностью до умножения на постоянную
(здесь можно положить 0 = d[zq~\(y)]). О ковекторе 6 известны
только два факта: во-первых, его ограничение на V равно нулю
(так как кокасательное к V пространство является образом ко-
кокасательного к Л пространства при отображении g*); во-вторых,
его ограничение на Tg не равно нулю (так как кокасательное
к Tg пространство является изоморфным образом кокасательного
к Lg пространства при отображении g*). Напротив, об ограни-
ограничении ковектора 8 на Ц мы ничего не знаем, так что надо раз-
различать два случая: 9|Ц=И=0 и 9|Lf = 0. Сразу видно, что пер-
первое условие соответствует случаю коранга 1 для отображения
g\Lf (или, что то же самое, для композиции отображений /г),
в то время как второе условие — случаю коранга 2.
А. П. 4.1. Случай коранга 1. Из трех условий 8|V = 0,
9| Tg ф 0, 8| Lf ф 0 вытекает, что разложение функции zq~x (у)
начинается с линейного члена относительно ур в сумме с линей-
линейной функцией от (</<7-i> #<7> •••> Ур-\)- Если отображение g не
является отображением типа Sj1", необходимо еще уточнить,
как расположен этот последний линейный член по отношению
Особенности композиции отображений
123
к изотропному конусу квадратичной формы Qg '). Но если
g — отображение типа Sj1", т. е. если квадратичная форма Qg.
положительно определена, то все ясно: при подходящем выборе
координат уч_р Уд, ¦.., yp_i мы будем иметь Qg~=y2J_l +
2 ^_1 и 6| Lf=*dyp_1, и диаграмму отображений
\
можно задать с помощью следующей локальной модели:
Г-
Уй*= Х2,
Ур-i — хр—х>
22 = Уь
X2
хп,
= х2
— • • •
') Правильнее, обратной квадратичной формы, определенной
на сопряженном пространстве. Точнее, матрица из вторых произ-
производных
dyt dVj I
определяет невырожденную квадратичную форму Qg на каса-
касательном пространстве, трансверсальном к Fg. Ограничивая ее на
Lf, мы получаем невырожденную квадратичную форму QJL/,
определенную иа пространстве 7"*(Ц/К) касательных к L/ и
трансверсальных к V векторов. Обратная квадратичная форма
(QgI Lf)-1 определена на сопряженном пространстве 7"»(L//V),
которому принадлежит ковектор 8|L/ (так как 9|V = 0). Изо-
Изотропный конус определяется условием (Qg | L/) (91 L/) =0.
124
Приложение [1
Легко вычислить критическое множество Г/г: это объединение
двух многообразий
Г1
В пространстве-образе R* первое многообразие проектируется
на Lg = {zq = 0}, второе — на многообразие, касательное к Lg,
т. е. {гч = 2?_1} (рис. 42). На рис. 42 представлен не только
Рис. 42. Видимый контур композиции отображений (^),
Заштрихованная область — образ композиции отображений к.
Сплошная кривая — видимый контур отображения h. a — общий
случай гс ^ р; Ъ — частный случай п — р — 1.
«общий случай» гс!> р, но также и «частный случай» п = р— 1
(то, что f- Rp~l -> Rp — отображение типа Si, равносильно тому,
что его ранг равен р — 1, и, следовательно, оно является «по-
«погружением»).
А. П. 4.2. Случай коранга 2. Рассмотрим случай коранга 2,
т. е. случай, когда 0|Lf обращается в нуль. Если мы хотим
определить устойчивую ситуацию, то необходимо наложить новое
условие трансверсальности, которое можно сформулировать сле-
следующим образом: пусть
[6|Lfl: V->r(Lf/V)
— отображение, которое всякой точке из V ставит в соответ-
соответствие кокасательный вектор 6|Ц, определенный в этой точке;
мы предположим, что это отображение трансверсально над зна-
значением 0.
Так как пространство T*(Lf/V) имеет размерность р — q+ 1,
а V — размерность q — 2, то можно показать, что «устойчивая си-
ситуация коранга 2», определенная указанным условием трансвер-
трансверсальности, возможна лишь при условии р — g + 1 =S^ q — 2, т, е.
Особенности композиции отображений
125
р <: 2<7 — 3. Множество точек коранга 2 является тогда много-
многообразием размерности Iq — Ъ — р (многообразие [9|L/]-'@)).
Локальная модель для этой ситуации отличается от случая
А. П.4.1 лишь выражением функции zq-\(y): на V можно вы-
' i—z2
Рис. 43. Видимый контур композиции отображений ^
(р = q = 3). Заштрихованный объем — образ композиции ото-
отображений h. Непрозрачная поверхность — видимый контур h.
а — общий случай п~^ р; b — частный случай п = р — 1.
брать локальные координаты таким образом, что отображение
[9|L/] запишется в виде
так что функция zq-l(y) будет иметь следующий вид:
Локальная модель для композиции отображений тогда имеет вид
22 = Xi,
A:
126 Приложение 11
(здесь мы уже не предполагаем, что g типа S'^\ Критическое
множество Г/г является объединением двух многообразий:
= x?= ... =хр_,=0}
xp-l xp-2 xq-
р= ... =д:„ = 0;
которые проектируются соответственно на
Lg = {z, = 0}
и па
q-l 1
К
-<г+1 J
p-q+l ,
В частности, если р = ^ = 3, то это последнее множество записы-
записывается в виде {г|23 — г| = 0} и имеет в начале координат осо-
особенность, называемую «острием» (рис. 43).
ПРИЛОЖЕНИЕ III
КОМПЛЕКСНЫЕ СМЕЩЕНИЯ1) ВЕЩЕСТВЕННЫХ
МНОГООБРАЗИЙ
Пусть У — замкнутое подмногообразие дифференцируемого
многообразия Y, S — замкнутое подмножество в Y, имеющее не-
непустое пересечение с У. Смещением многообразия У с множества S
называется вложение многообразия Y в Y—S, гомотопический
класс которого (как вложения Y в Y—S) содержит вложение,
сколь угодно близкое к заданному вложению Y с Y. Этот гомо-
гомотопический класс мы будем называть классом смещения.
В дальнейшем мы будем предполагать, что Y — трубчатая
окрестность многообразия Y (к этому случаю все сводится, если
Y является компактом или если выражение «сколь угодно близ-
близкий» понимать в смысле «равномерной сходимости», подходящим
образом определенной). Выберем некоторую ретракцию р: Y-*¦ Y.
Основная лемма. В определении классов смещения
можно, не ограничивая общности, заменить пространство вложе-
вложений Y -> Y пространством (дифференцируемых) сечений ретрак-
ретракции р.
Доказательство. Для всякого вложения <р: Y~>-Y, до-
достаточно близкого к включению Y cz Y, отображение р°<р: Y-*-Y
будет достаточно близким к тождественному для того, чтобы
быть диффеотопным ему. Таким образом, р|ф(У) будет изомор-
изоморфизмом; пусть ' а: У->ф(У)—обратное отображение, также яв-
являющееся изоморфизмом. Из диффеотопии р «ф~ 1 у получаем
днффеотопию ф ~ о: У->ф(У), откуда следует, что вложение ф
можно продеформировать в сечение о, не изменяя его образа и,
следовательно, не задевая замкнутого множества S, если ф его
не задевает.
В дальнейшем мы воспользуемся этой леммой для построения
нужных нам смещений как сечений некоторой ретракции р, кото-
которая всякий раз будет выбираться «наиболее удобным» образом
для рассматриваемой частной задачи.
Всюду в дальнейшем У будет вещественным аналитическим
многообразием размерности р, a Y — «комплексной окрестностью»
многообразия У, расслоенной с помощью ретракции р иа шары ?Х
Множество S будет комплексно аналитическим множеством. Такая
ситуация естественно возникает, когда мы хотим определить рас-
распределение, являющееся «граничным значением» на У некоторой
комплексно аналитической функции, имеющей S своим множе-
множеством особенностей. В случае, если эта функция не растет слишком
') В оригинале «detournemenb.—Прим. перев.
128 Приложение III
быстро при приближении к S, можно ожидать, что каждый класс
смещения определяет такое «граничное значение».
Чисто топологические рассмотрения, приведенные в § А. III. 1
и А. III. 2, будут использованы в § А. III. 3 для изучения анали-
аналитических свойств интеграла по «почти вещественному» циклу, т. е.
по циклу, определенному при помощи смещения вещественного
многообразия. Эта задача очень напоминает задачу, изученную
Лере в [23], гл. II') (в частности, используя результаты Лере,
можно было бы уточнить приведенное ниже замечание
А. III. 3.2).
A. III. 1. Смещения с подмногообразий
А.III.1.1. Пусть S — замкнутое аналитическое подмногообра-
подмногообразие многообразия Y коразмерности 1, допускающее в Y «компле-
ксификацию» S. Если комплексная окрестность Y достаточно мала,
то можно выбрать ретракцию р таким образом, чтобы она пере-
переводила многообразие S в себя и превращала его в подрасслоение
расслоения Y|S (с базой S), имеющее в качестве слоя «эквато-
«экваториальную гиперплоскость» Ер~1 шара Ер. Пространство Y — S
является, следовательно, расслоением над S со слоем Ер—Е?~х
и имеет тот же гомотопический тип, что и расслоение нормальных
к S единичных векторов в Y (двулистное накрытие многообра-
многообразия S). Будем предполагать, что вложение S с Y ориентируемо,
так что это последнее расслоение тривиально. Тогда два его сече-
сечения 2) определят (с точностью до гомотопии) два сечения рас-
расслоения (Y—S)|S. Но так как Y — расслоение на шары, то эти
два сечения, определенные над замкнутым множеством S, про-
продолжаются в сечения над всем Y и определяют два класса сме-
смещений многообразия Y с подмногообразия S (очевидно, что эти
сечения можно выбрать сколь угодно близкими к нулевому сече-
сечению, так что мы действительно получим смещения).
А. 111.1.2. Рассуждения п. А. III. 1.1 можно повторить в слу-
случае, когда S является уже не подмногообразием, а объединением
замкнутых ориентируемых подмногообразий S\, Si, ..., Sm ко-
коразмерности 1, находящихся в общем положении. Достаточно рас-
рассмотреть разложение многообразия Y на «страты»
Л'= f) Si- U Sb /с{1, 2 m).
Выберем ретракцию р так, чтобы она переводила каждое Si в себя
и превращала Y—S в «мультирасслоение», имеющее слоем над
') Внимание: слово «detournement» у Лере имеет несколько
иной смысл.
2) В действительности имеется 2к сечений, где k — число связ-
связных компонент S. Чтобы упростить формулировки, мы неявно бу-
будем предполагать S связным.
Комплексные смещения 129
А1 шар ?>, из которого удалены гиперплоскости ??~' (нахо-
(находящиеся в общем положении). Над минимальным стратом
(]S
m
расслоение (Y—S) j /4^* имеет 2™ сечений, которые шаг за ша-
шагом можно продолжить в сечения над другими стратами. Мы
имеем, следовательно, 2™ классов смещений. Если Si допускают
глобальные уравнения s,- = О и Si — комплексное продолжение
функции Si, то каждый из этих классов смещений можно охарак-
охарактеризовать системой знаков
(эти знаки постоянны на всем множестве a(Y)).
A. III. 1.3. Если S является аналитическим множеством с осо-
особенностями, то часто бывает невозможно сместить с него много-
многообразие Y, даже локально. Например, возьмем в качестве S
«полукубическую параболу»
Пусть р — естественная ретракция пространства С2 иа R2, при
которой С2 отождествляется с касательным расслоением к R2.
В этой касательном расслоении множество S выглядит как век-
векторное поле, изображенное на рис. 44, и, следовательно, содер-
содержит в произвольно малой окрестности начала координат сколь
Рис. 44. Комплексные точки «полукубической параболы».
угодно малые векторы произвольных направлений. Это ясно ука-
указывает на невозможность построения в окрестности начала ко-
координат векторного поля, состоящего из произвольно малых век-
векторов и не пересекающегося с S.
А. III. 2. Смещения, совместимые с проекцией
А. III. 2.1. В дополнение к условиям п. А. III. 1.2 зададим
на Y вещественную аналитическую функцию
я: Y -> R,
130 Приложение III
имеющую ранг, всюду равный 1 '), и допускающую комплексно
аналитическое продолжение
я: Y->C.
Это продолжение я имеет (комплексный) ранг, равный 1 на
всем Y (для достаточно малого Y), и, следовательно, веществен-
вещественный ранг, равный 2. Значит, если г. С -» R — естественная ре-
ретракция, то отображение г°я имеет ранг 1, так что его поверх-
поверхности уровня
определяют «слоение» многообразия Y. Так как, очевидно, это
слоение трансверсально подмногообразию У, то от ретракции р
можно потребовать, чтобы она оставляла на месте каждый
«лист» \'t, т. е. чтобы диаграмма 2)
была коммутативной.
Под «смещением, совместимым с проекцией я», мы будем
понимать смещение а многообразия У, которое проектируется
в некоторое смещение s множества R, т. е. задание коммута-
коммутативной диаграммы
У — * Y - S
(S) J* J»
где р°о"=1у и ros==lp.
Заметим, что в силу этих двух последних условий и комму-
коммутативности диаграммы (R) диаграмма (S) коммутативна тогда
и только тогда, когда сечение а принимает значения в Ys (Rj —
— S, где
') Если, кроме того, я — собственное отображение, то это
условие приводит к тому, что У является расслоением с ба-
базой R (и, следовательно, тривиальным расслоением, по меньшей
мере топологически, если не аналитически).
2) Но тогда нужно отказаться от условия, чтобы многооб-
многообразия Si переходили в себя, если только они тоже не трансвер-
сальны к слоению (это как раз случай, когда ограничение я на
каждый страт А1 также имеет ранг 1).
Комплексные смещения 131
Лемма. Если ограничение л на каждый страт А' имеет
ранг 1, то смещение а можно реализовать так, чтобы оно было
совместимым с проекцией я и не сдвигало R, т. е. проектиро-
проектировалось в естественное вложение R в С. Если, кроме того,
проекция я является собственной, то в качестве s можно взять
произвольное смещение, достаточно близкое к вложению R в С.
Доказательство. Достаточно доказать, что сечение а
можно выбрать так, чтобы оно принимало значения в YR — S
(соотв. Ys (R) — S). Выберем Y достаточно малым для того,
чтобы ограничение я на каждый комплексифицированныи страт
А' имело ранг 1. Тогда многообразия S,- будут трансверсальны
к «листам» Yrt, и от ретракции р можно потребовать, чтобы она
переводила в себя также и эти многообразия Si, как в
п. А. III. 1.2. Но само пространство YR также переходит в себя
при отображении р (в силу коммутативности диаграммы (R))
и трансверсально пересекает многообразия S,-. Следовательно,
оно является подрасслоением расслоения Y, полученного в ре-
результате пересечения слоя Ер экваториальной гиперплоскостью
?{j~', находящейся в общем положении с ??"'. Значит, YR — Е
является мультирасслоением, аналогичным мультирасслоению
Y — S из п. А. III. 1.2 и отличающимся от последнего лишь тем,
что его слой имеет на 1 меньшую размерность, и мы можем
применить к нему рассуждения из п. А. III. 1.2. Если теперь за-
заменить Yp на YS(pw то это равносильно деформации гиперпло-
гиперплоскости Яр, и предыдущие рассуждения еще применимы при
условии, что деформация является достаточно малой (нужно
только, чтобы деформированная гиперплоскость Е%~1 не пере-
перестала пересекать шар Ер). Если же проекция я является соб-
собственной, то смещение s можно выбрать достаточно близким
к вложению R с С для того, чтобы это свойство выполнялось
всюду.
А. III. 2.2. Смещение в окрестности изолированной критиче-
критической точки1). Рассуждения, использованные в лемме А. III. 2.1,
уже неприменимы в окрестности критических точек отображе-
отображения я | А1. Однако заметим, что если научиться строить смеще-
смещение в окрестности этих критических точек, то с помощью рас-
рассуждения леммы А. III. 2.1 (свойство продолжения сечений) его
можно автоматически распространить на все Y. Вся задача, сле-
следовательно, сводится к рассмотрению окрестности V критических
точек. Мы ограничимся случаем изолированной критической
') В этом параграфе развивается идея Ландшофа и Олива
[19], которая является, в свою очередь, усовершенствованным
вариантом одной идеи Стаппа [34].
132
Приложение III
точки') отображения п\ А1. Поместим эту критическую точку в
начало системы локальных координат ylt yv •¦•> Яр (У/^У/Н"
+ iy"\ выбранных так, чтобы я было проектированием на гипер-
гиперплоскость ур = t и чтобы р: V -*¦ V было очевидной ретракцией
y2,
у'2,
Сечение этой ретракции тогда отождествляется с векторным
полем на окрестности V. Выберем в начале координат вектор v,
трансверсальный к многообразиям Si. Если v достаточно мал,
то комплексная точка, им изображаемая, находится вне S, и
это свойство сохраняется при параллельном переносе вектора v
Рис. 45. Смещение, совместимое с проекцией.
в достаточно малой окрестности V2). Иначе говоря, постоянное
поле векторов, равных v, определяет смещение, очевидно, совме-
совместимое (в силу выбора координат) с проекцией я (рис. 45). Если
Si(y'), i e /, — локальные уравнения многообразий Si, то 2'/'
классов смещений, определенных в п. А. III. 1.2, могут быть оха-
охарактеризованы знаками е,- дифференциалов dsj(a), ie/. Крити-
Критическая точка характеризуется условием dt \ А1 = 0, т. е.
(а)
dt-
¦¦ 2 aidst-
i €=/
') Известно (М. Морс), что всякая функция имеет, вообще
говоря, лишь невырожденные квадратичные (и, следовательно,
изолированные) критические точки. Квадратичный характер этих
точек не играет здесь существенной роли.
2) Это утверждение справедливо, так как S является объ-
объединением замкнутых многообразий, в противном случае см.
контрпример в п. А. III. 1.3.
Комплексные смещения 133
Следовательно, условие параллельности вектора v слою запи-
записывается в виде
dt(v)** 2 atdst(v)=0,
и легко видеть, что такой вектор v можно выбрать всегда, за
исключением случая, когда Bjai ^0 Vt е / (соотв. <[ 0 V/ е /);
в этом последнем случае dt (v) > 0 (соотв. <0).
Короче говоря, в окрестности V изолированной критической
, точки отображения я | А все 2''' классов смещений совмести-
совместимы с проекцией я. Все классы можно реализовать, «не сдви-
сдвигая R », кроме двух случаев, характеризуемых условиями
е^. IX) V/e / (соотв. е(аг<0 Vie/), которые можно реали-
реализовать, «сдвигая R в верхнюю (соотв. нижнюю) полуплоскость».
Все результаты этого параграфа можно резюмировать сле-
следующим образом:
Предложение. Предположим, что аналитическое отобра-
отображение я: Y -*¦ R является собственным и имеет ранг 1 (и, сле-
следовательно, является расслоением) и что его ограничение на вся-
всякий страт А' имеет лишь изолированные критические точки,
проектирующиеся в различные точки множества R. Тогда каж-
каждый класс смещений может быть реализован совместимым с про-
проекцией я образом. Более того, единственными точками, с кото-
которых следует сместить R, являются критические значения отобра-
отображения п\А1 в тех критических точках, в которых знаки
е, (/ е /), характеризующие класс смещения, все совпадают
(соотв. все противоположны) со знаками параметров а* из урав-
уравнения (а); вблизи этих критических значений необходимо сме-
сместить Re верхнюю (соотв. нижнюю) полуплоскость.
А. III. 3. Аналитичность интеграла
по «почти вещественному» циклу
А. III. 3.1. Сейчас мы воспользуемся результатами § А. III. 2
для изучения аналитических свойств интеграла (как функции па-
параметра t) от дифференциальной формы <р( степени п = р — 1,
регулярной и замкнутой на «слое» Y< — S( и аналитически зави-
зависящей от параметра t. Известно, что при некоторых предосто-
предосторожностях ¦) такой интеграл будет аналитической функцией от t
1) Достаточно, например, сделать одно из следующих двух
предположений:
1) Y является произведением аналитических многообразий
Y = X X С, я — каноническая проекция;
2) Y является замкнутым аналитическим подмногообразием
коразмерности 1 в таком произведении (соотв. пересечением та-
таких подмногообразий, находящихся в общем положении), я —
ограничение канонической проекции; кроме того, <р( есть вычет
(соотв. кратный вычет) замкнутой дифференциальной формы,
аналитически зависящей от t. Подробности см. в [22] или [29],
гл. VI.
134 Приложение III
до тех пор, пока цикл интегрирования (в предположении, что
он компактен) можно изменять непрерывно по t в Y; — S(. Но
каждому смещению, совместимому с проекцией л (которая пред-
предполагается собственной), очевидно, соответствует такой «почти
вещественный)» цикл, изменяющийся непрерывно, когда t пробе-
пробегает «смещенную вещественную ось» s (R). Точнее, каждому
классу смещений при t, пробегающем s (R ), соответствует класс
гомологии /i(etfn(Yf— S(), являющийся образом фундамен-
фундаментального класса ориентированного компактного многообразия
Yt, (f = г (t)) при смещении ст. Можно также рассмотреть более
общий случай, когда подинтегральная форма ф( многозначна,
т. е. определена на накрытии Y — S многообразия Y — S. В этом
случае, чтобы придать смысл интегралу, нужно непрерывным
образом выбрать на смещеииом слое «ветвь» формы ф(, что рав-
равносильно выбору способа «поднятия» цикла интегрирования из
Y( — S( в Y( — S(. Это всегда возможно при условии односвяз-
односвязности вещественного слоя У(, так как смещение, будучи гомео-
гомеоморфизмом, сохраняет односвязность.
Таким образом, из предложения А. III. 2.2 немедленно вы-
вытекает следующее
Предложение. Интеграл J (t) = q^ является аналити-
ht
ческой функцией вещественного параметра t, исключая крити-
критические значения, упомянутые в предложении А. III. 2.2. Кроме
того, каждая из двух функций J(t), определенных по разные
стороны от такого критического значения, является аналитиче-
аналитическим продолжением другой при малом обходе критического зна-
значения в верхней (случай е*ос; 3» 0) или нижней ¦ (случай
0) комплексной полуплоскости.
A. III. 3.2. Замечание. В предложении А. III. 2.2 мы предпола-
предполагали, что проекция я имеет ранг I, и потому мы обязаны ис-
исключить из рассмотрения критические значения, которые может
иметь сама проекция я. Эти критические значения обладают тем
свойством, что вещественные слои Yt, определенные по разные
стороны от них, имеют различные гомотопические типы (теория
Морса [25]). Поэтому неудивительно, если эти критические зна-
значения окажутся непреодолимыми с точки зрения «почти веще-
вещественных» интегралов, т. е. если вещественные слои, определен-
определенные по разные стороны, не будут связаны никаким комплексным
обходом (рис. 46). Чтобы уточнить эту мысль, рассмотрим невы-
невырожденную квадратичную критическую точку индекса k. Забы-
Забывая о наличии подмногообразий S,, можно поставить задачу
о том, чтобы связать классы гомологии ht^Hn(Yt), определен-
определенные вещественными слоями по разные стороны критического зна-
значения, с помощью малого комплексного обхода. Эта задача, оче-
очевидно, инвариантна по отношению к комплексному сопряжению:
если такой обход существует, то комплексно сопряженный обход
также приведет к цели. Следовательно, классы гомологии ht
Комплексные смещения
135
должны быть инвариантными при полном обходе критического
значения, что возможно лишь в том случае, если их индекс пе-
пересечения с «исчезающим циклом» равен нулю (теорема Пика-
ра — Лефшеца). Этот индекс пересечения легко вычислить, так
как мы имеем в явном виде локальную модель слоя У< в окрест-
окрестности критической точки. Получаем, что при t > tc (tc — крити-
критическое значение) этот индекс пересечения равен нулю или ±2
в соответствии с тем, является ли «коиндекс» р — k критической
точки четным или нечетным; при t < tc, очевидно, достаточно
заменить коиндекс индексом. Следовательно, если по крайней
мере одно из двух чисел k и р — k нечетно, то можно с уверен-
уверенностью сказать, что два класса гомологии ht (t > tc и t < tc)
f te
P н с 46. Критическая точка нечетного индекса: вещественные
слои У' t, и Yt» ие связаны никаким комплексным обходом.
не связаны малым комплексным обходом. Если оба числа k и
р — k четны, то такой уверенности уже нет, и я думаю, что ни-
ничего определенного нельзя сказать без глобального изучения го-
гомологии.
А. III. 3.3. Скачкн интеграла. В этом пункте мы исследуем
особенность интеграла в точке tc, являющейся проекцией невы-
невырожденной квадратичной точки страта А', не критической для
других многообразий А = || S{, I Ф /; это случай простого
i e/
пинча, исследованный в [29]. Напомним некоторые результаты
из работы [29]. Функция J(t) аналитически продолжаетси вдоль
всякого пути, лежащего в окрестности критического значения te
и не содержащего его. Кроме того, если подинтегральное выра-
выражение имеет лишь полюсы, то точка tc является особенностью
136
Приложение III
одного из следующих трех типов:
логарифмической, если dim Alt нечетна,
алгебраической порядка 2, если dim Alt четна,
полюсом, если dim А\ = — 1,
где через dim At обозначена размерность страта-слоя «общего
положения», т. е. здесь, в случае одномерного пространства па-
параметров
dim A[ = dim A1 — 1.
Формулы скачков, приведенные в работе [29], становятся осо-
особенно простыми в случае критической точки индекса нуль1), т.е.
в случае, когда квадратичная форма, задающая функцию л|Л7
в окрестности критической точки, является положительно опре-
определенной. При t > tc обозначим через J*(t) (соотв. /"'@) функ-
функцию, полученную в результате аналитического продолжения
функции J(t), t < tc, в верхнюю (соотв. нижнюю) полуплоскость
(рис. 47).
^!<"T
¦Jit)
Рис. 47. Аналитические продолжения функции /(t).
Речь идет о вычислении разности J*(t) ~l~(t). Случай «ин-
«индекса нуль», интересен тем, что в качестве исчезающей клетки
tit работы [29] можно взять просто вещественную клетку, огра-
ограниченную многообразиями Sit cz Yt, t'e/ ([29], рис. V. 2); мы
снабдим ее ориентацией, выбранной для У(. С другой стороны,
в качестве исчезающей сферы е\ можно взять вещественную
сферу А\ = Г! 5,7, ориентация которой будет уточнена ниже.
Приняв эти соглашения и предположив, что подинтегральное
выражение однозначно, мы можем записать скачок интеграла
с помощью следующих формул:
(Disc 1)+
') Это как раз случай, представляющий наибольший ин-
интерес для нас с практической точки зрения; ср. 1.2.5.
Комплексные смещения 137
/+ (t) - Г (О = (-)¦*-' {2%if J Res7 Ф<>
если
В этих формулах Res ф^ = Res^ Res^ ... Res^ ф^ — кратный
вычет формы ср( по отношению к многообразиям Sj , S; , ..., S;
{/ь |2 1ц) = /. Ориентация исчезающей сферы е\ получается из
ориентации исчезающей клетки (введенной выше) по-формуле
«кратной границы»:
J = д, д, ... д, е,,
(граничные операторы действуют в том же порядке, что и опе-
операторы «вычетов»).
Доказательство формул (Disc 1). Достаточно (как
и в [29]) применить формулу Пикара — Лефшеца и формулу вы-
вычетов Лере. Класс ht локально может быть представлен (при
соглашениих, принятых в п. А. III. 2.2) как векторное поле, транс-
версальное к S» и, следовательно, трансверсалыгое к границе
клетки е^, и легко видеть, что эта клетка представлиет собой
сток или источник векторного поля, если e^a(. ^3= О V* или, со ¦
ответственно, <С 0 Vt(oHa не является ни стоком, ни источником,
если не все е,ос,- имеют одинаковый знак). Для индекса пересе-
пересечения (е„ | АЛ (применяя рассуждения, аналогичные рассужде-
рассуждениям работы [29], гл. II, пример 7.4) получаем следующие зна-
значения:
-(_)»(»-1)/2( есдн ел>0 Vie/,'
(_)n(n+i)/2i если еЛ<0 Vte/,
О в остальных случаях.
Остается лишь подставить эти значения в формулу Пикара —
Лефшеца. В случае е^. <10 V/ необходимо иметь в виду, что
мы начинаем со значения интеграла J'(t) (действительно, именно
этот интеграл берется по «почти вещественному» циклу ht) и
что J*(t) получается из него при помощи обхода вокруг tc
в отрицательном направлении. Следовательно, надо применить
формулу Пикара — Лефшеца «наизнанку».
Замечание. В том случае, когда мы имеем дело с одним-
единственным подмногообразием S (при ц=1), S< пусто при
t< tc (по крайней мере в той части слои, которая близка
к критической точке). Следовательно, функция J(t) определена
при t < tc как интеграл по несмещенному слою Yt, в то время
как J*(t) и J'(t) (при t > ?с) определены с помощью двух
138 Приложение III
возможных смещений этого слоя. Формулу (Disc 1) легко тогда
доказать непосредственно, сравнивая эти два смещения. Ситуа-
Ситуация не так проста, если ц > 1, так как только одна из двух
функций /*(<) определена с помощью смещения слоя У( (ср.
с предложением А. III. 3.1). Формула (Disc I) дает нам инте-
интересные сведения о другой функции: действительно, так как цикл
интегрирования е\ является вещественным, многообразием, то
для аналитического продолжения интеграла, фигурирующего в
формуле (Disc 1), можно повторить рассуждения, проделанные
для интеграла J(t).
Когда под интегральная функция многозначна, приходится
иметь дело с накрытием Y — S пространства Y — S. Если это
иакрытие регулярно (например, универсальное накрытие), то
известно, что фундаментальная группа Я\ (Y — S) действует на
нем как группа правых операторов. Обозначим через #-со точку
иакрытия Y — S, полученную из точки у под действием петли
<aeni(Y— S). Если ф—функция на Y — S, то через со*ф мы
обозначим преобразованную функцию, определенную формулой ¦)
(ш*ф) у = Ф (у ¦ со).
Так как многообразия Si пересекаются в общем положении, то
локальная фундаментальная группа в окрестности критической
точки является свободной коммутативной группой с ц образую-
образующими со» , со,- , ..., со,- , где coi — класс малой петли в положи-
Ч 2 |Х
тельном направлении вокруг Sj. В этих обозначениях, если под-
интегральиое выражение ие «слишком сингулярно»2) иа
S,-,, ..., Sj , то скачок интеграла задается формулами:
sc2)+
sc2)"
J+(t)
/+ @ - /- @ =
-J~(t)= jDisc4t.
eit
v ' J V 'i '2
eit
если
eiai ^ 0,
Disc^«
*
0.
¦) В работах [28] и [29] правый оператор со рассматривался
как левый, а оператор со* обозначался через со*. Хотя это не
имеет здесь значения, так как рассматриваемая группа комму-
коммутативна, наше новое обозначение более логично. В частности,
обозначение со* неудачно потому, что может навести на мысль
о «контравариаитном» характере «функтора» со ~~-> со*.
2) Подробности см. в работах [28], [29]. Идея состоит в том,
чтобы допустить касание цикла интегрирования с St ,..., S; ,
не нарушая сходимости интеграла в этих точках.
Комплексные смещения 139
В этих формулах Disc7 <ft — кратный скачок формы <pt по
отношению к подмногообразиям Sj, I a /, определенный фор-
формулой
Далее, е1( — «исчезающая клетка», все время вещественная,
«поднятая» в Y( — S( следующим образом: вне окрестности ее
границы эту клетку можно рассматривать как кусок смещенного
слоя; так как для определения класса h, необходимо «поднять»
смещенный слой в Y< — Sf, то можно условиться поднимать ис-
исчезающую клетку таким же образом.
Доказательство формул (Disc 2). Указанный выше
способ поднимать клетку является единственным способом, даю-
дающим в Y( — S( ненулевой индекс пересечения (eJt | h^. Значения
этого индекса пересечения тогда будут такими же, как и в не-
разветвлеииом случае. Остается лишь применить формулу
(Disc 2) работы [29] (гл. VII).
Замечание. Точно так же как и формулы (Disc 1), в слу-
случае ц ¦ 1 формулы (Disc 2) легко доказать непосредственно;
сравнивая смещения, которые определяют J+(t) н J~(t). Необхо-
Необходимо принять во внимание, что наш способ поднятия клеток
дает различные результаты в зависимости от того, пользуемся
ли мы первым или вторым из этих смещений. Это поясняет, по-
почему формулы (Disc 2)+ и (Disc 2)-, которые должны, очевидно,
давать один и тот же результат, формально отличаются на
«С1-
A. III. 3.4. Замечание: скачки «в смысле теории распределе-
распределений». Вместо того чтобы определить скачки так, как мы только
что сделали это в п. А. III. 3.3, мы могли бы определить их как
распределения. Например, Disc/@ = J*(t) — J~(t) можно счи-
считать распределением иа вещественной оси, определив J±(t) как
распределение, являющееся «граничным значением» аналитиче-
аналитической функции J(t) при подходящем смещении. При этом согла-
соглашении полюсу аналитической функции J(t) соответствует скачок,
сконцентрированный в особой точке tc, так что (в случае про-
простого полюса) можно написать
Disc / @ = б (/ - tc) Res / (t).
Аналогично, скачок Disc <ft, входящий в формулу (Disc 2),
может быть определен как распределение, и если <р( имеет полюс
иа S,-, то распределение Discj <pt сконцентрировано на St и рав-
равно вычету формы ф(. Эта точка зрения имеет то преимущество,
что превращает формулу (Disc 1) в частный, случай формулы
(Disc 2).
ПРИЛОЖЕНИЕ IV
ЗАМЕЧАНИЕ О ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЕ
ДОПОЛНЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКОМУ МНОЖЕСТВУ1)
Теорема. Пусть S = Sj U S2 U ... U Sm — объединение не-
неприводимых алгебраических множеств коразмерности I, задан-
заданных в С" условием обращйния в нуль неприводимых многочле-
многочленов slt s2 sm. Предположим, что выполнено следующее
условие: вне алгебраического подмножества коразмерности ^3
компактификации множеств Sb Sj, ..., Sm в СРге являются
многообразиями в общем положении по отношению друг к другу
и по отношению к «бесконечиоудаленной гиперплоскости». Тогда
фундаментальная группа щ (С — S) является свободной ком-
коммутативной группой с m образующими.
Доказательство. Пересечем S р-мерной гиперпло-
гиперплоскостью общего положения СрсСп A<Ср<ге). Вложение
jp: Ср — S -> С" — S индуцирует гомоморфизм
1-й шаг: сюръективность гомоморфизма /J для всякого
Речь идет о том, чтобы доказать, что всякая петля X из
С" — S гомотопна петле в С — S. В С" петля X гомотопна
нулю при очевидной линейной гомотопии. Пусть Л: ? -> Сп —
отображение квадрата в С", определяющее эту гомотопию. Не-
Немного деформируя X, всегда можно прийти к случаю, когда Л
трансверсально над S. Тогда A~'(S) состоит из конечного числа
точек, внутренних дли квадрата и являющихся прообразами
«обыкновенных» точек множества S. Заменяя периметр квадрата
последовательностью «прямолинейных петель», окружающих
каждую точку из A~:(S) (рис. 48), и отображая все это в С"
с помощью Л, мы виднм, что X гомотопна в Сп — S последо-
последовательности прямолинейных петель, окружающих обыкновенные
точки множества S2). Но каждый из соответствующих прямоли-
прямолинейных отрезков содержится в некоторой прямой С1, которую
можно считать трансверсальной к S (немного подвинув ее, если
нужно). И так как все сечения общего положения изотопны, то
все эти петли можно перевести в сечение общего положения
') Идея этого приложения, так же как и ссылка иа Зарис-
ского, были сообщены мне проф. Р. Томом.
*) Ср. [29], гл. V, предложение 1.2.
Замечание о фундаментальной группе
141
одной и той же прямой С, что и доказывает сюръективность
для р = 1, и тем более для произвольного р.
2-й шаг:
я, (С2 — S) — Zm (Зарисский).
Рассмотрим сечение общего положения гиперплоскостью С2'.
В этом сечении Sj — неприводимые кривые без особенностей в
общем положении по отношению друг к другу и по отношению
к бесконечноудаленной прямой. Тогда из теоремы Зарисского
[40] (цитированной Серром в [33]), вытекает, что Jii (С2 — S)
является свободной коммутативной группой с пг образующими.
Рис. 48. Разложение петлн иа «прямолинейные» петли.
В ней имеется канонический базис, который состоит из от пря-
прямолинейных петель, обходящих точки кривых Si, S2, ..., Sm со-
соответственно в сечениях общего положения прямой С1.
3-й шаг: инъективность гомоморфизма Ц при условиях
теоремы.
Ииъективность доказывается с помощью построения гомо-
гомоморфизма s«, композиция которого с Л является изоморфизмом.
Действительно, гомоморфизм s* — это гомоморфизм, индуциро-
индуцированный отображением s: Сп — S -> С*т, которое всякой точке
ieC — S сопоставляет т ненулевых комплексных чисел
s,(x), S2(x), ..., sm(x). To, что композиция гомоморфизмов
является изоморфизмом, вытекает из данного выше описания
канонического базиса группы Пх (С2 — S) и из того факта, что
уравнения Sj = 0 являются неприводимыми уравнениями поверх-
поверхностей Si не только в С", но также и (с локальной точки зре-
зрения) во всяком сечении общего положения.
142 Приложение IV
БЛАГОДАРНОСТИ
Эта работа является докторской диссертацией, и
я благодарен Комиссариату по атомной энергии,
а также Европейскому центру ядерных исследований
(CERN), которые предоставили мне средства для ее
реализации. Профессор Ж. Ивон руководил этой ра-
работой, и я глубоко ему признателен за это и за его
неоценимые советы, которыми я руководствовался при
редактировании. Я весьма обязан профессорам Л. ван
Хову и Ж- Прентки за их гостеприимство в CERN, где
мне были предоставлены все возможности для окон-
окончания работы и ее публикации; я благодарю профес-
профессоров К- Блоха и А. Мессия за ту атмосферу в На-
Национальном институте ядерной физики и техники
в Сакле, которая стимулировала начало этой работы:
именно там, во время дискуссий с М. Фруассаром,
Д. Яголницером и Д. Цванцигером, у меня возникла
идея этой работы.
Что касается математических вопросов, то я поль-
пользовался неоценимой помощью профессора Р. Тома, ко-
который, не ограничиваясь тем, что подавал существен-
существенные идеи, не раз помогал мне распутывать детали.
Я выражаю ему глубокую благодарность, так же как
и Д. Фотиади и Ж. Ласку, многочисленные советы
которых и постоянный интерес оказали мне неоцени-
неоценимую помощь.
Я не могу забыть профессоров Р. Германа, В. Гла-
зера, Ф. Люрса, А. Мартина, а также Д. Бесси,
Ж. Бро, Р. Стора, Д. Вильямса, их моральную под-
поддержку и полезные замечания. Я благодарю также
профессора Ж. К. Полкингорна и его сотрудников за
приятное посещение Кэмбриджа, положившее начало
плодотворному обмену корреспонденцией с доктором
Д. И. Оливом. Наконец, я весьма признателен про-
профессору А. Хефлигеру за дружественный прием, кото-
который я всегда находил в Институте математики Же-
Женевского университета.
ЛИТЕРАТУРА
1. Berge С, Theorle des graphes et ses applications, Paris,
Dunod, 1958. [Перевод: Б ер ж К.-, Теория графов и ее при-
применение, М., 1962.]
2. В 1 о х h a m M. J. W., On certain physical-region singularities
in S matrix theory (Gambridge preprint, 1965).
3. С о 1 e m a n S. and Nf о r t о n R. E., Nuovo Cimento, 38
A965), 438.
4. Cut ко sky R. E., /. Math. Phys., 1 A960), 429. '
5. E h r e s m a n n C, Categories et Structures (Travaux et re-
sherches mathematiques), Paris, Dunod, 1965.
6. Feynman R. P., Revs. Modern Phys., 20 A948), 367.
7. Fotladi D., Froissart M., Lascoux J. and P h a m F.,
Topology, 4 A965), 159. [Перевод в книге Хуа Р. и Теп-
Теплиц В., Гомология и фейнмановскне интегралы, М., 1969,
стр. 142—182.]
8. Q о 1 d b е г g е г М. L. and Watson К- М., Phys. Rev., 127
A962), 2284.
9. G u n s о n J., /. Math. Phys., 6 A965), 827, 845, 852.
10. H a a g R., Phys. Rev., 112 A958), 669.
11. Heisenberg W., Zeit. Physik, 120 A943), 513.
12. Hepp K-, Helv. Phys. Ada, 37 A964), 659.
13. Hepp K-, Comniun. Math. Phys., 1 A965), 95.
14. Hepp K-, /• Math. Phys., 6 A965), 1762.
15. Iagolnitzer D., /. Math. Phys., 6 A965), 1576.
16. I a g о 1 n i t z er D., S matrix theory and phenomenological
space-time description (Saclay preprint, 1965).
17. Jost R., The general theory of quantized..fields, Amer. Math.
Soc, 1965. [Перевод: И о с т Р., Общая теория квантован-
квантованных полей, М., 1967.]
18. L a n d a u L. D., Nuclear Physics, 13 A959), 181. *
19. L a n d s h о f f P. V. and Olive D. I., /. Math. Phys., 7
A966), 1464.
20. Landshoff P. V., Olive D. I,, and Polkinghor-
ne J. C, /. Math. Phys., 7 A966), 1600.
21. Landshoff P. V., Olive D. I. and Polkinghor-
ne J. С The hierarchical principle in perturbation theory
(Cambridge preprint, 1965).
22. Leray J., Bull. Soc. Math. France, 87 A959), 81. [Перевод:
Л е р е Ж., Дифференциальное и интегральное исчисления на
комплексном аналитическом многообразии, М., 1961.]
23. Leray J., Bull. Soc. Math. France, 90 A962), 39. [Перевод:
Л ере Ж., Котаке Т., Гординг Л., Задача Коши, М.,
1967.]
144 Литература
24. MacLane S., Homology, Berlin, 1963. [Перевод: Мак-
лейн С, Гомология, М., 1961.]
25. М i I n о г J., Morse theory, Princeton Univ. Press, 1963. [Пе-
[Перевод: M и л н о р Дж., Теория Морса, М., 1965.]
26. 01 ive D. I., Phys. Rev., 135В A964), 745.
27. Olive D. I., Nuovo Cimento, 37 A965), 1422.
28. Pham F., Bull. Soc. Math. France, 93 A965), 333. [Перевод:
Ф а м Ф., Обобщенные формулы Пикара — Лефшеца и ветв-
ветвление интегралов, сб. Математика, 13:4 A969), 61—93.]
29. Pham F., Introduction a l'etude topologique des singularites
de Landau, Paris, 1967. [Перевод: Ф а м Ф., Введение в топо-
топологическое исследование особенностей Ландау, М., 1970.]
30. Polkinghorne J. С, Nuovo Cimento, 23 A962), 360; 25
A962), 901.
31. Ruelle D., Helv. Phys. Ada, 35 A962), 147.
32. Sard A., Bull. Amer. Math. Soc, 48 A942), 883.
33. Serre J. P., In Seminaire Bourbaki, 12 A959—1960), Expose
204.
34. Stapp H. P., Phys. Rev., 125 A962), 2139.
35. S t a p p H. P., Lectures on Analytic S matrix theory, Mat-
science Report, 26, The Institute of Mathematical Sciences,
Madras, 1964.
36. Streater R. F., Wightman A. S., PCT, Spin and statis-
statistics, and all that, Benjamin, 1964. [Перевод: Стрит-
т е р Р. Ф. и В а й т м а н А. С, РСТ, спин, статистика и все
такое, М., 1966.]
37. Thorn R., Ann. Inst. Fourier, 6 A956), 43.
38. WandersQ., Helv. Phys. Ada, 38 A965), 142.
39. Wichmann E. H. and С rich ton J. H., Phys. Rev., 132
A963), 2788.
40. Z a r i s k i O., Algebraic Surfaces, New York, 1948.
ДОБАВЛЕНИЕ
ОСОБЕННОСТИ ЛАНДАУ В ФИЗИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ1)
Напомним, что называют особенностями Ландау.
Это особенности фейнмановских интегралов, рассма-
рассматриваемых как аналитические функции «внешних» им-
импульсов частиц в соответствующих графах Фейнмана.
В мои задачи не входит объяснение того, как фейн-
мановские интегралы были введены в физику и по-
почему физики интересовались изучением их особенно-
особенностей, даже несмотря на то, что их вера в сами
интегралы оказалась поколебленной. Я не буду гово-
говорить и о тонких причинах (построение дисперсионных
соотношений), побудивших физиков изучать особен-
особенности, появляющиеся при комплексных значениях им-
импульсов. Вместо этого я хочу показать, что для ве-
вещественных импульсов в так называемой физической
области особенности Ландау являются довольно про-
простыми геометрическими объектами, которые могут
быть введены непосредственно с помощью чисто «ки-
«кинематических» рассмотрений, и поэтому должны иг-
играть важную роль в любой разумной теории элемен-
элементарных процессов, каково бы ни было «динамическое»
содержание такой теории. Мой доклад состоит из двух
частей: в первой части вводятся геометрические
объекты, называемые особенностями Ландау, и изу-
изучаются их свойства; во второй части речь идет об их
физическом смысле и о той роли, которую они играют
в различных теориях элементарных процессов.
1. Кинематика процессов многократного
рассеяния
«Эксперимент по рассеянию» (называемый также
«экспериментом по столкновению частиц») состоит
') Pham F., Landau singularities in the physical region,
в книге «Battelle rencontres», New York, Amsterdam, 1968,
p. 420—432. [Добавлено при переводе.]
146
Добавление
в том, что несколько частиц направляют навстречу
друг другу и смотрят, что происходит, измеряя как
можно точнее импульсы входящих и выходящих ча-
частиц. Напомним основные понятия релятивистской ки-
кинематики. Если рг eR3- импульс частицы t с мас-
сой rri{, то ее энергия задается формулой р\= Ур,+ т\-
Чтобы все величины были записаны в ковариантной
форме, определяют четырехмерный импульс
Pi = И> Р<) е R4>
принадлежащий массовой поверхности
(где через р| ^ (Р?J — Pf обозначено скалярное про-
произведение вектора pi на себя в лоренцевой метрике).
В дальнейшем мы будем придерживаться этих обо-
обозначений и под «импульсом» всегда будем подразу-
подразумевать четырехмерный импульс. Всякое столкновение
удовлетворяет закону сохранения импульса, который
утверждает, что сумма импульсов входящих частиц
равна сумме импульсов выходящих. Удобно изобра-
изображать процесс столкновения с помощью графа: напри-
например, граф 1
изображает процесс, в котором три частицы 1,
2, 3 сталкиваются и порождают три частицы
Г, 2', 3' (элементарный процесс рассеяния). Каков
детальный механизм столкновения и какого типа «ка-
«катастрофа» происходит в то время, когда частицы
занимают одну и ту же область пространства-вре-
пространства-времени, — неизвестно, и черный ящик графа 1 символи-
символизирует это незнание. Представим себе, что с помощью
некоторого тонкого эксперимента удается «расчле-
«расчленить» катастрофу графа 1 в последовательность более
Особенности Ландау в физической области 147
мелких катастроф, как изображено, например, на
графе 2:
(процесс многократного рассеяния).
Мы не спрашиваем сейчас, как это сделать, и имеет
ли это смысл; мы просто хотим знать, допустимо ли
это кинематически: для каких значений «внешних»
импульсов (ри рг, рз, Pv, pi1, py) можно найти «вну-
«внутренние» импульсы pi, рь, ру так, чтобы закон сохра-
сохранения импульса удовлетворялся в каждой вершине
графа 2? Заметим, что этот же вопрос можно задать
и в более общем случае, когда граф 1 уже не яв-
является «элементарным» графом рассеяния, а является
графом многократного рассеяния, из которого граф 2
может быть получен «расчленением» некоторых вер-
вершин. Чтобы сформулировать эту проблему в такой
общей постановке, обозначим через %: G2—»Gi опе-
операцию «стягивания» некоторых линий графа G2, при-
приводящую к графу Gi. Обозначим через ^(G,), t =
= 1, 2, пространство графа Gj, выделяемое из произ-
произведения массовых поверхностей всех частиц графа Gj
условием сохранения импульса в каждой вершине. Мы
имеем каноническое отображение
определенное путем «забывания» импульсов стянутых
линий. Тогда поставленный выше вопрос сводится
к следующему: какие точки из ^(Gt) принадлежат
образу этого отображения?
Для графов мы будем использовать следующие
обозначения. Граф многократного рассеяния — это
связный ориентированный граф G, линии которого
изображают частицы, а вершины — столкновения ме-
между частицами. Такой граф не должен иметь направ-
направленных петель, так что множество вершин будет ча-
частично упорядоченным; это соответствует причинной
148 Добавление
упорядоченности последовательных столкновений.
Множество вершин будет обозначаться через V, мно-
множество линий — через /; v (i) — коэффициент инци-
инцидентности вершины v по отношению к линии i, рав-
равный + 1. —1 или 0. Через Z будет обозначаться
группа циклов графа, определенная как пересечение
ядер всех гомоморфизмов
о.: Z(/)->Z,
связанных с функциями инцидентности
о: 1->Z
всех вершин графа (Z — группа целых чисел,
a Z(/)—свободная абелева группа над множе-
множеством /). Если zeZ, то через z(i) будет обозна-
обозначаться вклад линии i в цикл z (целое число). Напом-
Напомним, что базис свободной абелевой группы Z может
быть построен следующим образом: выберем в G
максимальное дерево (подграф без циклов); тогда
для каждой линии k вне этого дерева имеется един-
единственный цикл 2й, такой, что Zu(k) = 1 и zu{l) = 0
для остальных линий /, лежащих вне дерева; такие
циклы Zk и образуют базис группы Z. Пространство
графа определяется следующим образом:
П
{mi
2
Иногда удобно забывать условие на массы (в урав-
уравнении массовой поверхности) и рассматривать евкли-
евклидово пространство
Тогда, вводя полиномиальное отображение
я:
мы видим, что 9"(О)—связная компонента алгебраиче-
алгебраического множества в~1((т^У). Если (mf). —регулярное
значение отображения s, то это алгебраическое множе-
Особенности Ландау в физической области 149
ство является многообразием. Таким образом, мы по-
получаем
Предложение 1. Для почти всех значений
масс пространство ^(G) является многообразием.
Поучительно записать в явном виде условие кри-
критичности отображения s. Выберем в качестве системы
координат на <?{G) систему импульсов (ръ), соответ-
соответствующих дополнению к максимальному дереву1).
Для касательного к s отображения получим
dst _ _др^ \2pfzk{t), ц=.О,
dpf Pi' dpf - \ - 2pfzk (i), у. =» 1, 2, 3.
Поэтому отображение s будет критическим тогда и
только тогда, когда можно написать линейное соот-
соотношение, в котором не все коэффициенты равны
нулю:
2 v-ipi4 (i) — О V&,
т. е.
2) = 0 \fzml.
Пример. В случае графа 1 группа циклов по-
порождена циклами 1 —2, 2 — 3, 1 + \'\Л' — 2', 2' —3',
так что предыдущие соотношения имеют вид
щру — а2р2 = О,
а2р2 — а3рз =0,
«iP, +*VPV =0,
a2'P2>
и означают просто, что импульсы всех частиц парал-
параллельны друг другу. Это влечет за собой следующее
соотношение между массами:
Щ[ + т2 + гпз = ту + т? + т?-
1) Точнее, систему компонент (р(^) (й = 0, 1, 2, 3) этих
импульсов. — Прим. ред.
160 Добавление
Мы хотели бы изучить отображение
соответствующее стягиванию
•я: G2—->-> Ох.
Мы будем обозначать через G подграф графа G2, об-
образованный линиями, которые мы хотим стянуть,
а через /, V и т. д. — множество линий, вершин и т. д.
этого подграфа. Сначала сформулируем следующее
очевидное
Предложение 2. Отображение 9"{%) является
собственным (т. е. полный прообраз любого компакт-
компактного подмножества компактен).
Действительно, замкнутое подмножество массовой
поверхности компактно тогда и только тогда, когда
энергия р° ограничена. Таким образом, предложение 2
просто означает, что из ограниченности энергий
«внешних» линий (т. е. линий графа Ох) следует огра-
ограниченность энергий «внутренних» линий (линий
графа О). Этот результат легко следует из закона
сохранения энергии в каждой вершине.
Если массы выбраны некритическими, так что
^(G2) и 9"фх) являются многообразиями (предложе-
(предложение 1), то мы можем говорить о касательном отобра-
отображении к 9? (w) и искать его критические точки, т. е.
точки, в которых касательное отображение не сюръек-
тивно. Касательный вектор к ^{Gz) может быть пред-
представлен касательным вектором X к <8*(G2), подчинен-
подчиненным условиям dSj(X) = 0, где 5^ = /?*, /s/2. Вычис-
Вычислим kerd^(x) —ядро касательного отображения; оно
состоит из векторов X, компоненты которых вдоль
«внешних» линий обращаются в нуль. Тогда уравне-
уравнения dsj (X) = 0 тривиально удовлетворяются для
/ег Л, и их нужно записать только для / s /, где они
имеют вид
k к к
причем четырехмерные векторы Xh обозначают ком-
компоненты вектора X вдоль ~линий k, принадлежащих
Особенности Ландау в физической области 151
дополнению в / к максимальному дереву графа G.
Таким образом,
Легко проверить, что йР'(и) не сюръективно тогда
и только тогда, когда-эти уравнения его ядра не яв-
являются независимыми, т. е. выполняется соотношение
2«г№A) = 0 VA:
ИЛИ
2 a,ptz @ = 0 VzeZ.
Is/
Эти параметры щ (не все равные нулю) назы-
называются фейнмановскими параметрами, а уравнения —
уравнениями Ландау. Заметим, что формально они
совпадают с уравнениями, выписанными в связи
с предложением 1, но обозначения /, Z имеют здесь
другой смысл, так как теперь они относятся к под-
подграфу G, состоящему из линий, стянутых при отобра-
отображении %. Таким образом, мы доказали
Предложение 3. Точка р/2е^(О2) является
критической для Р'(х) тогда и только тогда, когда
существует система не обращающихся одновременно
в нуль фейнмановских параметров (а*),удовлетворяю-
(а*),удовлетворяющих уравнениям Ландау. Возможные системы фейн-
фейнмановских параметров образуют векторное простран-
пространство, размерность которого равна корангу критической
точки (в пространстве-образе).
Во второй части мы увидим, что фейнмановские
параметры допускают физическую интерпретацию
с точностью до множителя, как «отрезки времени»
между моментами рождения и уничтожения соответ-
соответствующих частиц. Таким образом, критические точки,
в которых фейнмановские параметры могут быть вы-
выбраны неотрицательными, будут играть привилегиро-
привилегированную роль. Мы назовем их эффективными критиче-
критическими точками. Если, более того, коранг равен 1
(т. е. фейнмановские параметры определены однознач-
однозначно с точностью до множителя пропорциональности),
152 Добавление
и если все фейнмановские параметры можно взять
строго положительными, то мы назовем критическую
точку главной. Образ критической точки в 9*(G\) мы
будем называть точкой Ландау; она будет называться
эффективной, соотв. главной точкой Ландау, если она
получается из эффективной, соотв. главной критиче-
критической точки.
Теперь мы приведем первое нетривиальное пред-
предложение.
Предложение 4. В окрестности главной кри-
критической точки отображение 9>(к) имеет тот же ло-
локальный аналитический тип, что и надстройка функции
Морса индекса О, т. е. в 9(G2) (соответственно
в 5?(Gi)) можно выбрать такие локальные аналити-
аналитические координатыхи х2, ..., xme 9>{G2) и уи у2, ...,
ут в ^(Gi), что отображение 9 (х) имеет вид
У\
у2
Уп-1
Уп
= хь
'— Х%>
= хп-\>
~Х1 +
X2
хп+1
Замечания. Последняя строка является локаль-
локальной моделью функции Морса уп (хп, хп+и ..., хт) ин-
индекса 0. Операция «надстройки» (в терминологии
Тома) состоит в увеличении размерности простран-
пространства-прообраза и пространства-образа тривиальным
способом при помощи добавления одного и того же
множества переменных. Получающийся тип отобра-
отображения в классификации особенностей по Тому назы-
называется типом Si. Перечислим его простые свойства,
которые понадобятся, когда мы перейдем к физиче-
физической интерпретации: множество Ландау является
многообразием коразмерности 1 (многообразие уп =
= 0); каждая точка Ландау является проекцией
только одной критической точки (по крайней мере
в рассматриваемой окрестности); наконец, образ9"(к)
весь расположен по одну сторону от многообразия
Особенности Ландау в физической области 153
Ландау (уп ^ 0), которое можно поэтому интерпре-
интерпретировать как порог процесса многократного рассея-
рассеяния.
Набросок доказательства. Особенность
Морса функции характеризуется невырожденностью
квадратичной формы — «гессиана» функции, опреде-
определенного матрицей вторых частных производных.
Аналогично, в случае отображения, имеющего критиче-
критическую точку коранга 1, на ядре касательного отобра-
отображения можно определить квадратичную форму, назы-
называемую «трансверсальным гессианом» (определенную
с точностью до умножения на ненулевое число), не-
невырожденность которого будет характеризовать тип
Si особенности. «Тип Sx с нулевым трансверсальным
индексом» будет характеризоваться положительной
определенностью (или отрицательной определенно-
определенностью) трансверсального гессиана. Я не имею возмож-
возможности дать здесь формальное определение трансвер-
трансверсального гессиана, а просто укажу, как он вычис-
вычисляется в настоящей ситуации: это квадратичная
форма
(/) zk> (i) Хк • Xk' =
i
где мы положили
Теперь тот факт, что Ie ker U91(у), выражается соот-
соотношениями
Pi-Yi = 0 Vre/
(см. доказательство предложения 3). Так как pi —
временно-подобные векторы (/??>0), то отсюда сле-
следует, что Y{ должны быть пространственно-подоб-
пространственно-подобными. Поэтому для положительных фейнмановскюс
154 - Добавление
параметров трансверсальный гессиан Н (X) = 2 &tY\
отрицательно определен (У{ не могут все обращаться
в нуль, если только X не равен нулю), и предложе-
предложение 4 доказано.
Упражнение. Покажите, что предложение 4
останется справедливым, если допустить, чтобы фейн-
мановские параметры обращались в нуль на некото-
некотором дереве графа и.
Предложение 4 дает лишь локальную информа-
информацию. Но некоторая глобальная информация легко мо-
может быть получена следующим образом. Пусть рс е
е^ (Gz)—эффективная критическая точка произ-
произвольного коранга; выберем систему (а*) неотрицатель-
неотрицательных фейнмановских параметров, удовлетворяющих
уравнениям Ландау в рс. На евклидовом пространстве
$ {G2) рассмотрим линейную функцию
.Sj(Pip?)p?
Она обращается в нуль в рс и неотрицательна на
9>{G2)\ в самом деле, ни один из членов (pt — pfj • рс{
не может быть отрицательным, когда оба четырехмер-
четырехмерных вектора pt, pj принадлежат одной и той же мас-
массовой поверхности. Поэтому {t(p)=Q} — опорная ги-
гиперплоскость для 91 (О2) в 8 (G2) (и даже для 91* (G2) —
— пространства, получающегося из &(G2), если
забыть условия на массы для внешних линий, кото-
которые не играют никакой роли в предыдущих рассуж-
рассуждениях). Теперь из критического характера точек рс
следует — и это также можно проверить непосред-
непосредственно с помощью уравнений Ландау, — что эта ги-
гиперплоскость является полным прообразом некоторой
гиперплоскости в &{G\), т. е. функция t(p) зависит
только от внешних импульсов. Эту функцию можно
поэтому рассматривать как уравнение гиперплоско-
гиперплоскости в S(G\), «опорной» к проекции ^*(G2).
Таким образом, мы имеем следующее свойство
«выпуклости»:
Особенности Ландау в физической области
155
Предложение 5. Через каждую эффективную
точку Ландау проходит гиперплоскость, которая яв-
является опорной к проекции пространства 9"(G2).
В частности, она будет опорной к множеству Ландау.
Дальнейшие проблемы
1. Было бы интересно исследовать возможные то-
топологические типы критических точек коранга > 1.
В противоположность случаю коранга 1, они, по-ви-
по-видимому, не являются точками общего положения.
2. «Иерархия» особенностей.
Если некоторые из фейнмановских параметров об-
обращаются в нуль, то можно стянуть соответствующие
линии, получив при этом другой граф Gz, для кото-
которого данная точка еще будет критической. Таким об-
образом, мы приходим к изучению особенностей отобра-
отображения, являющегося композицией двух отображений:
2)
!
Следующий пример «композиции особенностей» яв-
является простым случаем ситуации, действительно
встречающейся в физике. Рассмотрим следующую
композицию отображений плоскости в плоскость:
1 g0'\l У
f:
h:
х2
У\
\—
У2
X,
У2
->
Z2
Zl
= Х2
= W2
= Xj-t
. v2
2*
z =x2
156
Добавление
Интуитивно отображение f можно представлять себе
как «складывание» х-плоскости вдоль оси х2 = 0 и
проектирование ее на «/-плоскость, причем складка
проектируется на ось \)ч = 0. Далее, g «складывает»
«/-плоскость вдоль другой оси г/, =i 0 и проектирует ее
на 2-плоскость под углом к образу первого склады-
складывания. На рис. 1 показан образ композиции отобра-
отображений в z-плоскости: множество Ландау (множество
г.
Рис. 1. Образ композиции отображений. Светлая заштрихо-
заштрихованная область покрыта дважды, темная — четырежды.
критических значений) состоит из полуоси гг = 0,
Z| ^>0 и касательной к ней параболы z2 = z2r (Эта
парабола есть не что иное, как образ первого скла-
складывания.) Это простейший пример того, что физики
называют эффективным пересечением кривых Лан-
Ландау. Дальнейшее изучение этих вопросов см. в [5].
2. Физический смысл особенностей Ландау
Интерес к особенностям в физической области был
пробужден благодаря следующему очень простому за-
замечанию Коулмана и Нортона. Рассмотрим какой-ни-
какой-нибудь процесс многократного рассеяния, например
представленный графом 21) на стр. 147, и вообразим
') Для ясности изложения все рассуждения в этой части
проводятся на конкретном примере графа 2, хотя их сразу мож-
можно было бы обобщить на произвольный граф.
Особенности Ландау в физической области 167
идеальный случай, когда различные взаимодействия
происходят в точках v, v', w пространства-времени.
Тогда четырехмерные векторы a^ = vv', a$ = vw, 05"=
= wv' изображают пространственно-временные ин-
интервалы, пробегаемые частицами 4,5,5'. Следова-
Следовательно, они должны быть пропорциональны импуль-
импульсам этих частиц:
at^aiPt, * = 4, б, 5';
множители пропорциональности а, можно интерпре-
интерпретировать как а« = Хг/ти где Хг — собственное время
жизни частицы i, измеряемое в ее системе покоя. (На-
(Напишем ai — XiPi/tni и заметим, что pi/nti — «четырех-
«четырехмерная скорость» частицы L) В этих обозначениях
уравнение Ландау auPt = аъРъ + аь'Рь' примет вид
a4 = as + Я5'» и его можно интерпретировать как оче-
очевидное необходимое и достаточное условие существо-
существования пространственно-временной диаграммы (v, vf, w).
Более того, положительность фейнмановских параме-
параметров просто означает, что т* положительны, т. е. что
частицы не могут уничтожаться раньше, чем они
созданы.
Конечно, рассмотренный выше идеальный случай
противоречит законам квантовой механики, так как
мы были вынуждены приписать частицам точные им-
импульсы и координаты. Но во всяком случае мы мо-
можем надеяться понять смысл особенностей Ландау
в «макроскопическом» пределе, когда промежутки
между последовательными столкновениями велики по
сравнению с неопределенностями положений. Более
того, пусть волновые функции cpj входящих (/ =
= 1, 2, 3) и выходящих (/ «= 1', 2', 3') частиц доста-
достаточно тесно распределены в импульсном представле-
представлении вокруг некоторого среднего значения рс,, опреде-
определяющего главную точку Ландау (р?) графа 2.
В силу предложения 3, задание точки (pty одно-
однозначно определяет (по крайней мере локально) си-
систему внутренних импульсов p'j (/ = 4, 5, 5'), удовле-
удовлетворяющих уравнениям Ландау, вместе с фейнманов-
158 Добавление
сними параметрами, определенными с точностью до
множителя. Поэтому оно определяет, с точностью до
произвольного скалярного множителя т, простран-
пространственно-временные интервалы а( = тагр?, в которых
мы можем надеяться обнаружить последовательные
взаимодействия, если они вообще происходят. По-
Поэтому, предполагая, что все волновые функции <р, пе-
перекрываются в некоторой области пространства-вре-
пространства-времени, мы можем надеяться сделать многократное
рассеяние более вероятным, подвергая частицы раз-
различным пространственно-временным сдвигам, отли-
отличающимся в точности на данные выше интервалы щ
(для достаточно больших т). Пусть
частицы 1 и 2 подвергаются сдвигу av,
частицы Г и 2' подвергаются сдвигу <v,
частицы 3 и 3' подвергаются сдвигу aw,
где а„' — а„ = щ, aw — av = as, Oo' — aw = a%. Тогда
можно ожидать, что асимптотически, для больших
пространственно-временных сдвигов, выбранных ука-
указанным частным образом, амплитуда рассеяния рас-
рассматриваемого процесса (граф 1) не будет умень-
уменьшаться так быстро, как это было бы для произволь-
произвольных пространственно-временных сдвигов, и будет вести
себя как произведение амплитуд, связанных с вер-
вершинами графа 2, проинтегрированное по всем воз-
возможным состояниям-промежуточных частиц.
Подставим эти сдвиги в уравнения. В им-
импульсном представлении нам задано распределение
S(p,, ръ р3; pv, р2„ р3')~интегРальное ЯДР0. связанное
с оператором рассеяния 5 (потеореме Шварца о ядре).
Амплитуда рассеяния имеет вид
/-I, 2, 3
v у, 2', 3'
X Ф, (Р,) Ф2 (Р2) Фз (Рз) Фг (Рг) Ф2' (Рг) Фз' (Рз')>
Особенности Ландау в физической области 159
а для состояний после сдвига она приобретет вид
<Ф°/ ® Ф2У ® q&» 15 | Ф°» ® Ф°" ® ф^) =
== J [то же подинтегральное выражение] X
X exp i [(р, + р2) av + (р3 - р.6) • aw - (р,, + Р2) • av,],
(la)
где обозначение ф° используется для состояния, полу-
полученного из ф с помощью пространственно-временного
сдвига на вектор а:
Мы хотели бы установить для этой амплитуды
следующую асимптотическую формулу:
X
X Ф, (Р,) Ф2 (Р2) Фз (Рз) %'{P~i') VrWv) •Рз'(Рз') X
X ехр / [pi • а4 + рь • аь + р5, • а5,], B)
которая выражает факторизацию процесса v, w, v'.
Фазовые множители expi(pi • щ) в подинтегральном
выражении описывают эволюцию частиц 4, 5, 5' от мо-
момента рождения до момента уничтожения.
Итак, каким образом перейти от Aа) к B)? Не-
Несложное вычисление показывает, что фазовый множи-
множитель в Aа) в точности равен фазовому множителю
в B) для любых внутренних импульсов р4, Ps, Ps',
удовлетворяющих закону сохранения импульса в каж-
каждой вершине. Но заметим, что функция
2 Pi-ai = x 2 v-iPi ¦ Pi
J-4, 5, 5' ' <-4, 5,5'
160 Добавление
как раз равна, с точностью до постоянной фазы, ко-
которую можно вынести за знак интеграла, умноженной
на т функции
t(p)=Iiai(pl-pf)-pj,
рассмотренной в предложении 5. Напомним, что эта
функция зависит на самом деле только от внешних
импульсов, и ее можно считать линейной аппрокси-
аппроксимацией для уравнения многообразия Ландау. Таким
образом,
Aт) = Г [подинтегральное выражение A)] X,expht(p).
Асимптотическое поведение этого выражения при
т -> оо будет, очевидно, зависеть только от характера
особенности подинтегрального выражения A) вблизи
х = 0, т. е. вблизи многообразия Ландау.
Мы не будем продолжать рассуждения дальше и
сформулируем только следующее заключение: харак-
характерные черты «многократного рассеяния» в процессе
столкновения макроскопически определяются строе-
строением особенностей оператора рассеяния на соответ-
соответствующем многообразии Ландау. По поводу дальней-
дальнейших подробностей мы отсылаем читателя к работе
[5], где показано, как можно постулировать строение
особенностей оператора рассеяния, приводящее в точно-
точности к поведению типа «многократного рассеяния» B).
В заключение позвольте мне кратко перечислить
различные точки зрения, принятые сейчас среди фи-
физиков, относительно «особенностей Ландау в физиче-
физической области». Начнем с того, что слово «особен-
«особенность» можно понимать двумя различными спосо-
способами: в дифференцируемом смысле и в аналитическом
смысле. С другой стороны, можно различить по су-
существу три типа физического подхода к проблеме
особенностей. Первый из них — изучение фейнманов-
ских интегралов, которые обычно считаются хорошими
моделями при изучении особенностей. Можно пока-
показать, что все постулаты аналитичности, требуемые
в [5], выполняются для фейнмановских интегралов, и
это, конечно, очень приятно, Второй подход — так на-
Особенности Ландау в физической области
161
зываемая «теория S-матрицы», в которой пытаются
прямо построить теорию оператора S, не используя
уравнения поля и т. д. Так как выбор «аксиом
S-матрицы» более или менее остается на усмотрение
теоретика, он мог бы, несомненно, постулировать ана-
аналитические свойства, сформулированные в [5]. Однако
специалисты по теории S-матрицы не любят это де-
делать, потому что эти свойства представляются излиш-
излишними, как математически, так и физически: матема-
математически потому, что многое о строении особенностей
графа можно вывести из строения особенностей дру-
других графов, используя метод «композиции особенно-
особенностей» (см. конец § 1); физически же потому, что ус-
условие унитарности оператора 5 накладывает столь
сильные ограничения на строение его особенностей,
что очень трудно вообразить унитарный оператор 5
с аналитическими свойствами, отличными от выше-
вышеупомянутых. Третий подход — с математической точ-
точки зрения, несомненно, наиболее удовлетворитель-
удовлетворительный, — это общая квантовая теория поля или аксио-
аксиоматическая теория поля. Хотя с этой теорией очень
трудно оперировать, она уже дала некоторые обнаде-
обнадеживающие указания относительно асимптотического
поведения.
Следующая таблица суммирует положение в на-
настоящий момент:
Фейннановские
интегралы
Теория
S-матрицы
Теория поля
Дифферен-
Дифференцируемая
структура
Яголницер,
Уэндерс
(надлежащие
предположе-
предположения о диффе-
дифференцируемой
структуре
приводят к
правильному
асимптотиче-
асимптотическому пове-
поведению)
ХепП: изучение
процесса двой-
двойного рассеяния
162
Добавление
Продолжение
Аналитиче-
Аналитическая
структура
Фейнмановские
интегралы
о. к.
(ср. 5)
Теория
S-матрнцы
Олив, Пол-
КИНГОРН,
СТАПП, . . .
(аналитич-
(аналитичность в связи
с унитар-
унитарностью)
Теория поля
7
•
ЛИТЕРАТУРА
1. Coleman S., Norton R. E., Nuovo Cimento, 38 A965), 438.
2. Eden R. J, Landshoff P. V., Olive D. I., Polking-
home J. C., The Analytic S Matrix, Cambridge Univ. Press,
1966.
3. H ер р К-, /• Math. Phys., 6 A965), 1762.
4. 1 a golnitzer D., /. Math. Phys., 6 A965), 1576; These,Paris,
1967.
5. Pham F., Ann. Inst. Henri Poincare, VI, № 2 A967), 89;
Symposia on Theoretical Physics, vol. 7 (Plenum Press, New
York).
6. WandersG, Helv. Physica Ada, 38 A965), 192.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 5
1. Обзор общих свойств S-матрицы 8
2. Особенности Ландау S-матрицы 12
3. Факторизация S-матрицы 21
4. Обсуждение 24
Глава 0. Некоторые комбинаторные свойства графов . ¦ 27
0.1. Пути, циклы и законы сохранения графов ... 27
0.2. Подграфы и факторграфы 33
0.3. Тривиальные расширения: объединении и букеты
графов 37
0.4. Расслоенные произведения 40
Глава I. Топологическое исследование пространств,- связан-
связанных с графами 47
1.1. Пространства ^(G) и их отображения .... 47
1.2. Особенности отображений ^(х) 5 Г
1.3. Композиция особенностей 68
Глава II. Аналитичность амплитуд рассеяния и поглощения 69
II. 1. Аналитичность амплитуд рассеяния 69
11.2. Аналитичность амплитуд поглощения 71
Н.З. Скачки амплитуд 77
Глава III. Упругие пороги и графы с кратными линиями . . 90
III.1. Топологическое исследование упругих порогов 91
Ш.2. Гипотеза С дли графов с кратными линиями 96
III.3. Пересмотр согласованности гипотез 98
Приложение 0 107
Приложение I. Видимые контуры многообразий, опре-
определенных пересечениями ПО
А. 1.1. Критические точки ПО
А. 1.2. Траисверсально критические точки 111
164 Оглавление
А. 1.3. Аналитическая запись условия трансверсально-
трансверсальности 115
Приложение II. Особенности композиции отображений 119
А. II. 1. Если h регулярно, то g также регулярно . .119
А. П. 2. Предположим, что f регулярно 120
А. II. 3. Предположим, что g регулярно . . . . . .120
А. II. 4. Особенности типа Si о Si 121
Приложение III. Комплексные смещения с веществен-
вещественных многообразий 127
А. III. 1. Смещения с подмногообразий 128
А. III. 2. Смещения, совместимые с проекцией .... 129
А. III. 3. Аналитичность интеграла по «почти веществен-
вещественному» циклу 133
Приложение IV. Замечание о фундаментальной группе
дополнения к алгебраическому множе-
множеству 140
Благодарности . . 142
Литература 143
Добавление. Особенности Ландау в физической области 145
1. Кинематика процессов многократного рассеяния . 145
2. Физический смысл особенностей Ландау .... 156
Литература 162
Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформ-
оформлении, качестве перевода и др. просим присылать по
адресу: Инд. 129820, Москва И-110 ГСП, 1-й Рижский
пер., 2, издательство «Мир».
Ф. Фам
ОСОБЕННОСТИ ПРОЦЕССОВ
МНОГОКРАТНОГО РАССЕЯНИЯ
Редактор Н. И. Плужмкова
Художник Д. В. Орлов
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор В, Д. Кузнецова
Корректор О. К- Румянцева
Сдано в набор 22/VI 1971 г.
Подписано к печати 22/11 1972 г.
Бумага № 2 84X108V»-2,e3 бум. л., 8,82 усл. печ. л.
Уч.-нзд. л. 7,47. Изд. М> 1/5995
Цена 60 коп. Зак. 1190
Издательство «Мира
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой Главполнграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Измайловский проспект, 29.
В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «МИР»
выйдет в свет
следующая книга:
Като Т. Теория возмущений линейных операторов,
Берлин—Гейдельберг — Нью-Йорк, 1966, перев. с
англ., 37 л.
Монография крупнейшего японского ученого математика
Т. Като представляет собой выдающееся явление в математиче-
математической литературе. Она посвящена важному разделу функциональ-
функционального анализа, тесно связанному с современной теоретической фи-
физикой.
Книга написана с большим педагогическим мастерством, со-
содержит значительное число интересных задач, часть из которых
подробно разобрана. Предполагая знание лишь элементарных
фактов из функционального анализа, автор вводит читателя в
круг современных проблем теории возмущений.
Книга представляет интерес для научных работников, зани-
занимающихся функциональным анализом, математической физикой н
смежными вопросами. Она будет, несомненно, полезна и физи-
физикам-теоретикам.
ВНИМАНИЮ ЧИТАТЕЛЕЙ!
Только предварительный заказ на книги в магазинах, торгующих
научно-технической литературой, обеспечит своевременное получе-
получение интересующих вас книг.