Теоретический практикум по ядерной и атомной физике - Балашов В.В., Долинов В.К., Грум-Гржимайло А.Н., Коренман Г.Я., Кременцова Ю.Н.

Автор: Балашов В.В. Долинов В.К. Грум-Гржимайло А.Н. Коренман Г.Я. Кременцова Ю.Н.
Теги: физика атомная физика ядерная физика
Год: 1984
Похожие
Справочник по физике. Формулы, таблицы, схемы
Основы атомной физики и теории взаимодействия света и вещества
Физические методы исследования в химии
Новые материалы
Текст
                    ш ш
1 (
I ',
Для студентов вузов
/

т х\
УДК 530.1(075.8)
Рецензенты: кафедра теоретической физики
Ужгородского государственного университета; В. Г. Соловьев
Авторы: В. В. Балашов, А. Н. ГрумТржимайло,
В. К. Долинов, Г, Я. Коренман, Ю. Н. Кременцова,
10. Ф. Смирнов, Н. П. Юдин
1704070000
Т 54-84 © Энергоатомиздат, 1984
051(01)-84 ^ i ч '

ПРЕДИСЛОВИЕ
Теоретический практикум был создан впервые на отделении
ядерной физики физического факультета МГУ в 1962—1963 учебном году.
Истекшие годы показали, что эта форма теоретической подготовки
студентов дает хорошие результаты. Подобно экспериментальным
практикумам теоретический практикум занимает промежуточное место
между такими традиционными формами обучения, как лекции и семинары,
и совместной работой научного руководителя и студента в лаборатории.
Программа теоретического практикума и организация занятий в
практикуме имеют цель научить студента сознательному и уверенному
применению методов современной теории в типичных ядерных и атомных
расчетах. При этом решаются и важные воспитательные задачи. На
занятиях практикума студент учится проводить и доводить до конца тру- %
доемкие выкладки, отвечать за получаемый результат, контролировать
себя в процессе работы, он учится организовывать свой труд, т. е.
практически осваивает важные (в том числе и не только самые
привлекательные) элементы повседневного труда физика-теоретика.
Теоретический практикум сам по себе не дает студенту большого материала для
научного творчества, но готовит его к самостоятельной творческой
деятельности, позволяя значительно раньше начать серьезную научную
работу с руководителем. Многолетние наблюдения за студентами,
прошедшими практикум на отделении ядерной физики физического
факультета и в филиале МГУ в Дубне, показывают, что он равно полезен
студентам, специализирующимся как по теории ядра и элементарных
частиц, так и по теоретической атомной физике.
В данное пособие вошли не все темы теоретического практикума,
разработанные и используемые в учебном процессе на отделении
ядерной физики МГУ. Дополнительные сведения о содержании практикума
можно получить из ротаприптных пособий, вышедших в Издательстве
Московского университета («Теоретический практикум по атомной и
ядерной физике», часть 1,1980, авторы: В. В. Балашов, Г. Я. Коренман,
Ю. Ф. Смирнов, Н. П. Юдин, и «Теоретический практикум», часть 2,
1979, авторы: В. В. Балашов, Н. М. Кабачник, Г. Я- Коренман, В. Л.
Коротких, С. В. Леонова, В. Н. Милеев, В. П. Попов, В. С. Сенашен-
ко, С. И. Страхова). Сейчас готовятся два новых сборника:
«Применение теории групп в ядерной и атомной физике» и «Задачи теоретического
практикума с применением ЭВМ», которые вместе с данной книгой
составят единую серию пособий.
Коротко об организации самих занятий по теоретическому
практикуму. На отделении ядерной физики физфака МГУ они проводятся в
течение 4-го курса (VII и VIII семестры). К их началу студенты уже про-
3

слушали половину курса квантовой механики, что является
необходимым условием для работы в практикуме. Конечно, многое в
организации занятий зависит от преподавателя, однако общий порядок
взаимодействия преподавателя н студента — тот же, что в обычном
экспериментальном практикуме. Студент заранее самостоятельно готовится к
каждому занятию по учебному пособию, Оптимальный состав группы,
работающей с одним преподавателем, — 5—7 человек. Каждое занятие
рассчитано на 6 академических часов. Обычно преподаватель начинает
его с коллективного разбора основных положений теории. Затем
студенты получают индивидуальные задания и работают, консультируясь
с преподавателем. Иногда преподаватель организует по ходу занятия
совместный разбор всей группой особенно интересных и трудных
моментов или вопросов, возникших в процессе работы у отдельных
студентов. Опыт показывает, что освоение материала одного занятия за
отведенное время требует от студента весьма интенсивной работы.
Пособие к занятиям 1.1—1.4 написано В. Б. Балашовым, В. К. До-
линовым и ГО. Ф. Смирновым; 2.1—2.2 —10. Н. Кременцовой и Н. П.
Юдиным; 3.1 — В.В. Балашовым и Г.Я. Корснманом; 3.2 и 4.1—4.2 —
Г. Я- Коренманом; 5.1—5.3 — В. В. Балашовым и А. Н. Грум-
Гржимайло.
При подготовке настоящего издания мы пользовались
многочисленными советами наших соавторов по предыдущим выпускам
теоретического практикума. Мы благодарим их за эти советы. Мы
благодарны также нашим коллегам из Тбилисского, Ужгородского,
Воронежского, Саратовского, Казахского, Дальневосточного и других
университетов, проделавших огромную работу по внедрению системы
теоретического практикума. Мы с глубокой благодарностью приняли
ценные критические замечания и советы профессора В. Г. Соловьева и
профессора В. И. Лендьела, которые они высказали нам при
рецензировании книги. Наша особая благодарность Н. Д. Долаберидзе за
подготовку пособия к изданию,
В. В. Балашов
i

Тем а 1
ОСНОВЫ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА В
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
Занятие 1.1.
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОПЕРАТОРОВ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ. ИХ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ
ВЕКТОРЫ. ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ УГЛОВЫХ МОМЕНТОВ
§ 1.1 КОММУТАЦИОННЫЕ СООТНОШЕНИЯ ДЛЯ ОПЕРАТОРОВ
УГЛОВОГО МОМЕНТА. КВАНТОВАНИЕ УГЛОВОГО МОМЕНТА.
МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ УГЛОВОГО МОМЕНТА
Момент количества движения J некоторой системы (угловой момент)
является векторной величиной, и в квантовой механике ему
сопоставляются три эрмитовых оператора JX1 Jy, Jz проекции момента
количества движения системы на оси координат х, у, г. Они удовлетворяют
следующим перестановочным соотношениям:
Vx,Jv] = Vz\ Wv,J*] = Vxl [JZ,JV] = UX, (1.1)
которые можно записать также в форме
IVр* Jq) — * 2jEl)qrJrt (1*2)
г
где* грдг — антисимметричный единичный тензор третьего ранга с
компонентой е12 з = 1 (тензор ърЧГ входит, например, в выражение для
векторного произведения векторов: [ахЫр = 2 epqTaqbr). Здесь и ии-
же предполагается, что момент количества движения измеряется в
единицах Я, а под J подразумевается орбитальный 1, спиновый s либо
полный момент количества движения j = 1 -J- s одной частицы и то же
самое для системы частиц:
L = 2l>, S*=2V, f=C+£ . (1.3)
/ i
Вместо JX1 Jyt Jz можно ввести другие три оператора *
?+*=Ух + \?у)/У2; ?- = (?x-\Jy)fV2\ ?Q=T„ (1.4)
* Мы определяем операторы J+ и J_ так, как это сделано, например, в
работах [1,2]. В других_работах (например, в [3,4]) соотношения (1.4) записываются
без множителя 1/1/2.
5

коммутационные соотношения для которых имеют вид:
1?о.£ь] = ±£ь [?+,?-\=70. (1.5)
Операторы /+ и У_ переходят друг в друга при эрмитовом сопряжении
(Р+)+ = Т-; (ЛГ=.Г0. (1-6) .
С помощью соотношений (1.1), (1.2) можно, не задавая явного вида
операторов углового момента, получить следующие результаты [1]:
1) существуют состояния \JM>, в которых обе величины J2 и
Jz имеют определенные значения:
F\JM> = J{J+1)\JM>, (1.7)
Tz\JM> = M\JMy, (1.8)
2) момент количества движения квантовомеханической системы
может принимать только целые пли полуцелые значения:
J = 0; 1/2; 1; 3/2, ...; (1.9)
.4) при ллдпмпом ,/ проекция М принимает 2 / -]- 1 значений:
М = J; J — \\ J — 2;...; — У -f- 1; — У; (1.10)
1) о||гр.1ш|н.| У, и /„. имеют смысл «повышающего» и
«понижающего» оператории л ич матрицы в представлении |/Л1> имеют вид:
<,/Л11 -77 | -/' ЛГ > <./' ЛГ | Л | JM> =
= 6jj-fiiifM!-il {7Тми?—лн 1)72. (1.11)
Соотношения (1 Л) — (1.11) справедливы не только для любых угловых
моментов, но также для произвольных эрмитовых операторов,
подчиняющихся соотношениям (1.1), (1.2), например для операторов
изотопического спина Т7 различных видов квазиспинов, псевдоспинов,
операторов £/-спина, У-сшша и т. п., используемых в теории элементарных
частиц и в теории ядра.
С помощью формул (1.8)—(1.11) легко построить матрицы
операторов JX7 J]h Jz и их комбинаций. При заданном J каждая такая матрица
имеет размерность (2/+ 1)х(2/-|- !)• Приведем их явные выражения
для значений J — 1/2. Будем пользоваться представлением \JM>, где
М — проекция момента на ось z, а строки и столбцы матриц нумеровать
в порядке убывания квантового числа М : М = J; J — 1; ..; —«/ +
Н-1; -J.
Случай J = 1/2. Матрицы Паули. В этом случае три матрицы
проекций углового момента удобно выразить через матрицы Паули ау
(1.12)
G

которые обладают следующими свойствами:
а) все матрицы Паули эрмитовы: а/" — а^
б) все матрицы Паули унитарны: а, о? = I; i = х, у, z, отсюда
получаем, что
Й^ =£»=?; (1ЛЗ)
в) различные матрицы Паули антнкоммутируют между собой:
^.G.=,—OjGh 1ф\\ (1.14)
г) произведение двух матриц Паули дает третью:
охСу == Юг',' °yOz= i<jx; o2ox = ioa. (1.14а)
Соотношения (1.13) и (1.14а) можно объединить в одно общее
соотношение
GiGj^Idij [ iSe/Jftaft>
k
из которого следует общая формула для коммутатора двух матриц
Паули:
ta><^l=2i2eiiftaft. (1.15)
k
Помимо матриц (1.12) часто используют (например, в теории
элементарных частиц в качестве оператора изоспииа нуклона) еще две
матрицы:
1 (У
а+ = а„ =
1 ' О О
), ?-^-(° J)- (1.16)
Непосредственной проверкой легко убедиться, что они имеют смысл
проектирующих операторов на состояния с проекцией изоспипа + 1/2
(протон) и —1/2 (нейтрон) соответственно:
S; 11/2, 1/2>- 11/2, 1/2>; а+ |1/2, —1/2) - 0; }
cl|l/2, l/2> = 0; all 1/2, —1/2> = |1/2, —1/2). J
В выбранном представлении \JM > базисные векторы |1/2,
1/2>> и |1/2,— 1/2;> имеют вид однорядных матриц (столбцов);
|l/2,l/2>-Q, |l/2,-l/2>=fJ
Соответственно сопряженные векторы изображаются в виде
однострочных матриц:
[1/2, 1/2>+=<1/2, 1/2| = (1,0);
(1/2, -1/2>+ = <1/2, —1/2J = <0, 1).

§ 1.2. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Собственными функциями операторов квадрата орбитального
момента частицы Iй и его проекции lz н аось z являются сферические
функции (сферические гармоники) Угт (О, <р), у которых квантовые числа / и %
т принимают следующие целочисленные значения: / =-- 0,1,2, ...\т =/,
В научной и учебной литературе используют по-разному
определенные функции Yim (0, ср), которые могут различаться и нормировкой,
и фазовым множителем. Мы будем пользоваться сферическими
функциями, которые задаются следующими формулами:
Yim(Q, Ф) = в/т(в)Фт(ф);< (1.17)
Фт (ф) = exp (i тср)/К2д; (1.18)
еш (9) = (-1)" ]/ (2/+;\{1-т)[ Р? (cos 6), т> 0,
где Pj" (cos 0) — присоединенные полипомы Лежандра; сферические
функции при т<С 0 определяются равенством 6/_|W| = (—l)m®i\m\*
При таком определении сферических функций справедлива формула
(1.11).
Сферические функции (1.17) обладают следующими свойствами:
а) при инверсии системы координат Р (/"-»- г, G->- к — 6, ср -*■
-*- я + ф) они умножаются на фазовый множитель (— I)7:
^т(0,ф)=(-1)'Кгт(0,ф)> (1.19)
т. е. гармоники с четными / обладают положительной, а с нечетными / —
отрицательной четностью;
б) при обращении времени (операции комплексного сопряжения)
они ведут себя следующим образом:
KYlm(0, ф) = ПД0, ф)=(—1ГГг_т(9, Ф);
в) удовлетворяют условию ортоиормпровашюсти:
j Yin (О, Ф) YVm. (0, Ф) d.Q = biV 6mm*;
г) сферические гармоники образуют полную систему функций на
сфере:
2 Ут (9, Ф) Yin (0\ ф') - б (ф -<р') б (cos G-cos 0'). (1.20)
Это соотношение будем также записывать в виде
tin
где п — единичный вектор в направлении (0, ср);
8

д) для сферических гармоник имеет
место теорема сложения: если на сфере
имеются две точки с координатами G^x и В2ф2,
а Э — угол между соответствующими
векторами Hj И П2 (рИС. 1.1), ТО
2 УЬп (01, Ф,) Ym (62> ф2) = *±1 Р} (cos 0),
(1.21)
где
cos 0 = cos 0j cos 0 о -f-
-f sin Gj sin 02 cos (cpx — ф2)
(доказательство этой теоремы см., например, в [5]). Из (1.21) следует
формула
2И^т(в,ф)Р = (2/т*1)/(4я),
т
Рис. 1.1
которую часто используют в расчетах.
Приведем явные выражения сферических функций для I = 0,1,2:
1 = 0
У00 = 1//ST;
I = 1
У и - —УЩп {х + \у)1г = — ]/3/8л sin 0 ехр (iq>);
Ую = 1/"3/4я z/r = ]/3/4я cos G;
Fi-i = УЩп (х—\у)[г = ]/3/8я sin 0 ехр (—1ф);
1 = 2
Уж = \ ]/-^ (х ± \yflr* = j/JJL sin* G ехр (± 21Ф);
У
2±\
— 1/ — 2(^±^)/Г2 =
=+i/;
_15_
8л;
cosG sin 0 ехр (+ \ц>);
(1.22)
Kso=т |/Ч {2z2-x* -y2)lr*=]/isr(3 cos2 е~l)*
гласно (1.18) сферические функции с т — 0 выражаются через
1\ш\ j 111 (ш ы J \ ежа и др а:
>ш(<». Ф) КС/ I 1)/4яЛ, (cos 0)
п

Из (1.18) и свойств присоединенных полиномов Лежаидра также
следует:
Ylm (0, 0) = бт01/(2/ + 1)/4я. (1.23)
Для произведения двух сферических функций от одного и того же
аргумента справедливо равенство: »
iwe.*>w°.*>- 2'' У:ЩЩК-- '
X (/i тх /2 ffijj | LMj (lx 0 /а 0 | L0) Klai (0, Ф) (1.24)
(доказательство см. в § 1.11). Суммирование в правой части проводится
только по значениям L, имеющим ту же четность, что и сумма lx -J-
-J-/a (что отражено штрихом у знака суммы). Это ограничение на
возможные значения J, непосредственно следует из свойства (1.34)
коэффициентов Клебша — Горда па.
§ 1.3. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ
Пространственной (телесной) сферической гармоникой называют
полином
%m(r) = rlYlm(Q,v): (1.25)
Легко показать, что поскольку Yim (0, ср) — это собственные функции
угловой части оператора Лапласа Д, то полиномы (1.25) удовлетворяют
уравнению Лапласа А^т (г) = 0 (т. е. относятся к числу так
называемых гармонических полиномов).
Полезна следующая формула разложения:
^n(rx + r2H 2 (W2"2lH8W.rl/ M4*Sil)\n X
llltmtm% * (2^+1)! (2/й+1)1
X a i,m, (ri) a i.mv М»
1" I 8 2
где 1Х + /2 = / (доказательство можно найти, например, в [7, с. 42,
43]).
Через пространственные сферические гармоники выражаются
операторы электрических ыультипольпых моментов заряженной частицы
и системы частиц (см., например, 18, с. 575]):
^=2^К16я/(2Л+1)^(Г;), (1.26)
t
где Ci — заряд i-й частицы.
§ 1.4. ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ ДВУХ МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ. КОЭФФИЦИЕНТЫ КЛЕБША—ГОРДАНА. 3/-СИМВОЛЫ
Если Jx и J2 — моменты двух подсистем некоторой]физической
системы, то вместе с ними квантуется и суммарный момент J = Jx -f- J2,
причем при фиксированных Jx и J2 возможные собственные значения
Ю

i
j J оператора J2 определяются и правилом треугольника. Коэффициенты
j Клебша — Гордана осуществляют связь между двумя наборами состо-
| янпй системы, состоящей из двух подсистем с фиксированными Jx и J2:
,Г, | Л J, JM) - 2 Cjjujjl I Л Мх Л М2у, (1.27)
| J,. Ml J2 M2> = 2 СмМ,Л,г | Л J2 JM). (1.28)
г{, И состоянии I./jJuJM^ фиксировано значение суммарного момента
J и и» проекции Ж на ось 2, в состоянии \J\M1J2Mc> — значения
проекции каждого из моментов на ось z. Преобразования (1.27), (1.28)
унитарны. Известно много разных обозначений коэффициентов Клеб-
Ш'1 — 1 орда па, в частности,
Ъ CZwi^iJ.MtJzM^JM).
W Основные свойства коэффициентов Клебша—Гордана:
л) коэффициенты векторного сложения (JiM2J2M2 \ JM) отличны от
нуля только в том случае, когда моменты Jlt У2 и J удовлетворяют ира-
иплу треугольника:
\J—/jk/^j+4
Кроме того, должно выполняться равенство:
М = Мг + М2]
б) из соотношений (1.27) и (1.28) вытекают свойства ортоиормпро-
вашюсти коэффициентов векторного сложения:
2 (Л^1Л^2|Ш)(/1М1/2Л12|ГУИ/) = бу^б,ш,;
(1.30)
н) коэффициенты Клебша — Гордана имеют следующие свойства
симметрии относительно перестановки моментов:
i) in оч1Ч111Д]Н)|() ])авепства (JM00\J'M') — 6jj'бдш' и из соотно-
гини (l,;U) iiMt-^i:
{J И ^Л/^и0)-бл^б^._л/а( —l)^-^/|/-27^fT; (1.32)
it

л) из (1.30) и (1.31) можно получить новое соотношение
ортогональности:
2 UlMLJtM1\JM){JiMlJiMi\JM) = -^r^-SM^-; (1.33)
e) справедлива следующая формула обращения знаков проекции:
(J1M1J4jM2\JM)^{—[y'+J*-J(J1~M1J2—M.z\J--M). (1.34)
Часто используются не сами коэффициенты векторного сложения,
а более симметричные величины, так называемые 3/-снмволы
(коэффициенты Вигнера), которые связаны с коэффициентами векторного
сложения соотношением
(/ii»./a/«.|/3-m8) = (-l)/l"/'-n,'K% + rf/l k M. (1.35) г
I h ' т го равенства следует, что 3/-символ отличен от нуля только в слу-
•i.ir, когда /j, /2, /з удовлетворяют правилу треугольника (1.29) и%+ .
лонные 'иойстип З/'-симиолов:
и) пшГи'шо симметрии и отношению к перестановке столбцов:
при цик шип-коп iii'pi' тлпопко столбцов Зу'-спмвол не меняется, а при
и чишлпч ' *к и — умш каст • i па (— l)/j •** '/я:
у) }
\
(
2 (2/,-i-i)(-i)'-+-f/l л
щ -
к
— т'ч
-Щ)
к
—-/Из
) i|r щени ' пака проекции всех моментов в 3/-символе:
= ( 1)/.+/= + Ь ( &
///1 Ш» Ш3 } \—n%i -
и) свойство ортонормнровашюсти:
к к к \ ( к
— ( l)/i— '"iH-Уг — >"г б ,б
4 ' "tint иыш ч'
-(-iy.-».[l/(2/,+ l)]ej.j;eraiimi;
г) свойство 3/-символа с нулевым моментом:
к к °\/ i\,-,-,„. 1 я . л
.^i ™a 0/ У2/! +1 i
Все эти соотношения легко получить непосредственно исходя из
определении Зу-символа (1.35) и свойств коэффициентов Клебша —
Гордапа, перечисленных выше.
12

Приведенные соотношения связывают 3/-символы с одними и теми
жо мимсипмн /и у2, /з- Имеются также соотношения, связывающие 3/-
симнолы с различными наборами моментов /lf /2, /3. Эти свойства
симметрии нллп открыты Редже [9] (см. также [10]).
При 1'дем для примера одно из них:
{т.! т2 т3 )
(/и 1 h — "h) ~ (А + /з — nh) 4" (А Н А—™3)
X "
(1.36)
Всего можно получить 72 соотношения симметрии для 3/-символов.
С помощью свойств симметрии Редже можно в некоторых случаях
упростить вычисление 3/-символов, уменьшив значения входящих в него
моментов, поскольку эти соотношения позволяют перейти к 3/-симво-
лу, содержащему моменты типа (1/2) (jt -f jk + тг), (1фкф1). Полез-
uJ ны они и для получения других результатов (см. упражнение 1.7).
Общую формулу для нахождения коэффициентов векторного
сложения вывел Вигпер [11] теоретико-групповыми методами. Рака [12]
получил общую формулу этих коэффициентов, исходя из рекуррентных
соотношений. Довольно простой вывод общей формулы для
коэффициентов Клебша — Гордана предложен в работе [13]; он основан на
использовании техники проекционных операторов и воспроизведен в
114].
Таблицы формул для коэффициентов Клебша — Гордана с
конкретными значениями одного из моментов приведены в работах [1, 3, 4, 6, 8,
15—17]. Численные значения коэффициентов {j1m1j2m2\jtn) для
моментов Д = 1, 2, 3, 4 и /2, / = 1/2, 1, 3/2, ..., 9/2 затабулированы в
рахис [18].
§ 1.5. ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ ТРЕХ МОМЕНТОВ. КОЭФФИЦИЕНТЫ
РАКА. 6 /-СИМВОЛЫ
!• ''ш складываются три момента количества движения Д, /2, j3, то
м )>{(ш) сначала сложить Д и /2 (jx + j3 = Ji2), затем к их сумме до-
анить /3 и получить состояние системы трех моментов с полным момен-
т 1М ./ п его проекцией М на ось z (J12 + }3 = J)- Вектор состояния,
по три чшый таким образом, обозначим \j\jz (J12), /3 : «Ш > .
Очевидно, чти
I к /з(Ла). h:JM>= 2 (Дщ hЩ | J12M]2) х
mtmutnzM12
X (/i2 М12 /э т91JM) | А тх> | /2 т2> | /3 т3). (1.37)
Г

к к (Ла)» /з: JM> = S <Л /2 (Л2)> /з: /1 А. к к №з): «О l/i, /2 /з (Лз):«МГ>;
Гммтим, 'по дна других век гора состояния |/2/j (,/12), /3" </М>,
I/a» /i/a (-/ щ):./ЛГJ>-t отличающиеся от (1.37) порядком сложения
моментов /,, /и п «/ .„ /а соответственно, совпадают с (1.37) с точностью до
фазы
1Л/2^2)^"3:^> = (-1^+/.-^|/я/1(/18),/а:^Л1>= t ,
= (-l)A.+/.-^|/3,/1/2(jJ2):(/Af>.
Сложение тех же моментов можно провести по-другому: сначала
сложить /2 и /sOs + ie— J23)» а полученную сумму прибавить к
h (Ji -l_ ^гз ~ •$)• Получится состояние системы, описываемое векто- ^
ром
I h, к к («Газ) :^Vf>= 2 (/2'Н2 /з™з I Лз М23) X
X (А шх /яз Л42, | JM) | Д mi> | /аm2> | /3 m3>. (1.38)
Состояния (1.37) и (1.38) связаны друг с другом унитарным
преобразованием:
|/1>Ыз(Лз)--<М4> =
= 2j</i к (Л*)» /з: ^ I Л, Л /з (Лз) ■ «OI/iЛ (Лг). /я: ^Ю-
Л*
Коэффициенты перехода от одной схемы связи к другой называют
коэффициентами Рака и более кратко обозначают символом
^ (/i/У/з; ЛаЛа) = </i/a (Ла). /V ^l/i. /а /з (Лз)^>-
Коэффициенты Рака L/ диагональны по полному моменту и его
проекции М и не зависят от этой проекции. Из (1.37) и (1.38) видно, что
коэффициенты Рака выражаются через коэффициенты Клебша — Гордана
следующим образом:
^ 0'. k Jh\ Л2 h-л) = 2 (/1Щ к ЩI Ла ^12) X ;
X (/,2 М12 /з тэ | Ш) (к Щк Щ I J& М2з) (А«1 Лз М2з I «Ш).
Для них справедливы соотношения ортонсрмированпости:
2 U (к к J &, J и Лз) U (к к Jh\ Л2 Лз) = бу < .
J i 2
•> ЯЗ
Коэффициенты с/ с точностью до множителя совпадают с
коэффициентами W (/i/У/з» «^12^2з) и с б/'-символами Я1 '* l2i :
<дЬ (е), d: с | а, Ы (/) :с}= U (abed] ef) =
= (/(2е+ 1)(2/-|-1)W (абЫ; <?/) = ( — 1)«+М-н-* X ,
[а Ь е
xK(2e+l)(2f+l){^ ° Ч (1.39)
14

1 (пффшинчпы Рака обладают довольно простыми свойствами сим*
М'фии лиг «чпелык) перестановки моментов, от которых они зави-
}ц. Одидкп нащолыией симметрией обладают 6/-символы: они не из-
м ши т*и мри любой перестановке столбцов:
h к к) и\ к i
7»
•1-1
2»
\h
\h
h
till U)
и при замене двух люоых моментов в верхней строке соответствующими
моментами нижней строки:
|/i к к
1*1 *2 *3J
П ^2 /з
l/l к I
Известны также дополнительные свойства симметрии 6 /-символов,
установленные Редже [9] (см. также [16, § 22]).
Ниже приведена формула для вычисления 6/-символа, когда один
из моментов равен нулю:
f/i h
О L
h
и
h№j.fiw-x
f n/i + /a + /«
V (2/a+I) (2/j+l)
(1.40)
Аналогичные формулы для случаев, когда один из моментов равен
1/2, 1, 3/2 и 2, даны в [4]. Удобные таблицы коэффициентов W {abed; ef)
для случаев е = 1/2, 1, 3/2 и / = 0, 1, 2, 3, 4 приведены в [17].
\
§ 1.6. ВЕКТОРНОЕ СЛОЖЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ МОМЕНТОВ.
ОБОБЩЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ РАКА. 9 /-СИМВОЛЫ
Если~|складываются четыре^'момента количества движения Д, j\r
а, /4, то можно сначала сложить Д и /а (jx + j2 — J12), затем /3 и /4
(J з + J*4 = «W» a затем промежуточные моменты J12 и J34 сложить в
полный момент J. Полученную в результате волновую функцию
обозначим 1/1/2(^12)» J3Ji(Ju):JM>. Можно изменить схему связи моментов:
Ji + is = Ji3, h + h = J24» Ji3 + J24 = J- При этом получится
функция |/1/з(Лз)» /аД (Jbii'-JM >. Коэффициенты перехода от
первой связи четырех моментов ко второй
<hh (Лв) /3/4 (А*): ^ l/l/з (Л з), /2/4 (^24)^>
называют обобщенными коэффициентами Рака. Более симметричной
■величиной является так называемый 9 /-символ:
/t /2 /
/о
/4
13 ^24
12
J34
*=[(2JU + 1)
X (2/м+ 1) (2J13 +1) (2/м+ l)]-1/2 x
X < /1 /2 Си), /з Л (Am): ^ I/1 /3 (An). /2 /4 (Ae): J>-
15

С помощью 9 /-символов можно записать:
I /i h (Л2), h U (4i) : Ш> =* 2 К2J" +х) <2/з4 + !) (2/хз +1) X
А» «Ли
/l /2 Л2
X (2Ум+1)]'/*
/з /4 ^34
13 ■'24
t Jia «/ол J
-\iih(Jia)J2U(JiA)iJM>.
Коэффициенты перехода между двумя любыми другими схемами связи
четырех моментов могут быть сведены к 9/-символам, являющимся
табличными величинами. !
9у-Снмвол легко выразить через 6/-символы или 3/-символы:
X
а Ь с
d e f
{g h i
a d g
k
= 2(-l)2A(26+l)x
к
i a d
I h i
h
f
d k f ) \ k a b
h h I
и - 2 <-»*
S(/i-"»£+'i-"f+*i-^>
X
X
k\ #2 "'З,
/1 /2 h
m1 m2 m3
X
tnt m2 m8
«1 ;г2 n3
<7l <?2 <?S
«1 n2 n3)\q1 q2 q3i
h H 2 \( ^3 3
m2 —n2 — qj \— m3 —л3
/1
&з
~«i — ft,
I
X
<7з,
При четной перестановке столбцов или строк, а также при
отражении относительно обеих диагоналей 9/-символ остается неизменным.
При нечетной перестановке столбцов или строк он умножается на (—l)s:
/i /2 /з
/jL /2 /3
А /г2 /г3.
> s= .
г/.
гэ
.^з
/1 /2
/х /2
*1 ^
.« (— 1)S
\h
к
А
/l /З
'l 'з
ftj A3.
и т. д., где s= v (/. + /г + ^).
Свойство ортоиормированности
2(2<? + l)(2/-|-l)(2g-f 1)(2Л+1)|
16
d e {
.ghi
Г \
d e f
,S h l J
бСС' 6/f.

Когда один из моментов в 9/-снмволе равен нулю, он сводится к
бу'-символу:
'а Ь е ч
с d e
If f oj
(-1)»+'+'+' la b e
У(2<н-1) (2/-|-1) \d с f
9/-Символы очень удобны при переходе от LS- к //-связи (или
наоборот);
\lll2(L),s1s,(S):JM> = ^l [(2L+1)(2S+1)(2/1 +1) (2/2-Н)1|/2Х
h /a
li l2 L
-|/iSiO"j). *2 s2 (/a): Ш>;
X
* * T
\lih(M,lth<M'-JM> -2[(2L+1)(2S+1) (2Д + 1) i2/,+ l)l'/ax
LS
li /2 L
. /1 h J
\hk(L)>SiS2(S):JM>.
Численные таблицы 9/-символов
*i '2 ^
1/2 1/2 5
/1 /a ^
в обозначениях
* * * #
/i /2 /з
^1 ^2 ^3
A /2 /з
«Х| /x l2 l3
ill &2 &3
даны в работе [17] для llt l2 = О, 1,2, 3, 4; алгебраические формулы
для них же — в книге [19]. Ссылки на другие таблицы и ряд полезных
формул см. в [4, 6, 16].
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 1.1
1.1. Разложить по сферическим гармоникам cos46, cos60, cos 0 X
xYlm(Q,4>),dYlm(Btq>)/de.
1.2. Волновую функцию я|?пглг (г) трехмерного гармонического
осциллятора, соответствующую уровню с энергией Еп — flay (n + 3/2)
и заданную в сферических координатах, выразить через осциллятор-
иые волновые функции Wn n n (г) в декартовых координатах,
Расчет выполнить для случаев: a) ty200 (г); б) я|)220 (г). Явный вид осцил-
ляториых функций можно найти в [1].
I .3. Две частицы со спинами зг — 1 и s2 = 2 находятся в состоянии,
и кшором проекции обоих спинов на ось z равны 0. Показать, что в
г м ' тояшш полный спин двух частиц S = sx -f- s2 не может
принимай, iiii.nioiiiic S = 2.
17

у 1.4. Два электрона находятся в f-оболочке атома (1Х = 12 =-■ 3).
• Выяснить, какие значения полного орбитального момента совместимы
I с полным спином S = 0 и S = 1. Провести аналогичное рассмотрение
возможных состояний конфигурации pf (lx — 1, /2 = 3). В чем заклю-
! чается различие между этими двумя случаями?
\ 1.5. В ядерной физике рассматриваются коллективные колебания
■ поверхности ядра различной мультипольности X =2, 3,... Квадруполь-
| ные колебания (А, = 2) отвечают эллипсоидальной, октупольные (К =
= 3) — грушевидной деформации сферических (в равновесном
состоянии) ядер и т. д. Каждый квант этих колебаний (его можно рассматри-
,| вать как некоторую квазичастицу — фонон, являющуюся бозоном)
несет момент количества движения % и имеет четность (—1)4 Выяснить,
i какие значения полного момента L допустимы в системе двух квадру-
польпых фононов. Какие значения L возможны в системе двух окту-
польных фопопов?
1.6. Показать, что волновая функция системы трех частиц вида
*/././. (1.2,3)= 2 ( h h h ) */•». 0) Ф/.«. (2) Ь. m, (3)
\ описывает состояние этих трех частиц с полным моментом J = ]х +
H-j2 + ]3, равным пулю. Исходя из этого показать, что система трех
октупольных фоиоиов не может обладать нулевым полным моментом.
. 1.7. С помощью свойств симметрии Редже показать, что 3/-символ
/3 5/2 7/2\
равен нулю.
\0 3/2 —3/2/ F
1.8. С помощью коэффициентов Рака или 6/-символов выразить
волновые функции вида \jj2 (J12), /з:^> через волновые функции,
отвечающие следующим схемам связи:
a) Ji + (Is + J s); б) jз + (Ji + j2);
в) h + 0 з + W; r) ji + (j з + j2);
д) is + Qi + J a); e) h + (j2 + W;
ж) (j з + ji) + ja; з) (jf + j3) + h;
и) (j2 + ji) + j3
(в некоторых случаях коэффициенты перехода сводятся просто к фазо-
I вым множителям).
1.9. Доказать соотношение:
2 (aab$ | ее) (ее^б [ с у) (b$dS | /q>) *= У(2е + 1) (2/-И) X
рве
X № (a&cd; е/) (асфр [ су).
1.10. а) Перейти от //-связи к LS-связи в волновой функции \sl/2 ds/2:
: J = 2>- двух электронов;
)) перейти от //-связи к LS-связи в волновых функциях двух f-
л ' (тропов |/2; 1G4>.
1Н

1.11. Доказать соотношение
Jt при k-^-l'j
exp (-i XA) Ji exp (i Uh) « j у cos x + sin x v Eft;m ym пр11 а Ф1,
где x — произвольный вещественный параметр.
1.12. Доказать соотношение
т
ехр(—\%lh) ^ехрОхУ--
xj при & = /;
х, соя % + sin х У е,./т %т при /г# /,
/л
где xt — оператор координаты частицы, a lh — проекция оператора
ее орбитального момента; % — произвольный вещественный параметр.
Занятие 1.2.
МАТРИЦЫ КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТОВ
§ 1.7. ВВЕДЕНИЕ. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ ИЗ ГЕОМЕТРИИ
В литературе при использовании матриц конечных поворотов применяется
много разных, хотя и равноправных способов их определения и обозначения.
В данном пособии, во всех его темах, мы будем придерживаться единого
определения и единой записи матриц конечных поворотов, не претендуя, разумеется,
на то, что выбранный нами способ лучше других, и не противопоставляя свой
выбор другим.
Опыт показывает, что уверенное и правильное использование матриц
конечных поворотов затрудняется на первых порах недостаточно ясным
представлением о том, что, собственно, подвергается повороту. Часто остаются неясности
относительно записи оператора поворота. Дело, однако, в том, что в разных
ситуациях оператор поворота имеет порой разный смысл. Если прежде чем вводить
млтрицы конечных поворотов, не разобраться в этих вопросах по существу, то
не выручат и многочисленные относящиеся к этой проблеме термины, которыми
богпта литература: поворот пространства, поворот тела, поворот координатных
неги, «активная» точка зрения на поворот, «пассивная» точка зрения и т. п.
Особенно вредно противопоставление друг другу двух точек зрения на то, что
«важнее» при построении теории — повертывать ли в фиксированной системе отсчета
рас матрппломую физическую систему или, не затрагивая физической системы,
поверчивать систему координатных осей. Читатель должен знать, что сточки
зрения np.'iKiJMiri'KDio применения теории одинаково важно и то, и другое,
поскольку и различных кваитовоыеханнческнх расчетах приходится иметь дело с обеими.
Наш план иллижгиня -осгонт и -ледующем. Сначала мы уточним понятие
поворота, введя представление о повороте первого рода и повороте второго рода,
построим соответствующие операторы попорота к сопоставим их. Затем дадим
определение матриц конечных поиоротп, выясним их свойства и выведем рабочие
формулы, показывающие, как используются -*тп м;п рнцы в связи с поворотом
первого и второго рода.
Во всех случаях, в каком бы смысле пи говорили мы о повороте, нам
приходится оперировать двумя системами координатных осей и как-то характеризовать
их взаимное расположение. Назовем одну из них исходной (S), а другую
повернутой (5). Будем пользоваться правыми системами (это означает, что поворот
обычного, правого винта от положительной полуоси х к положительной полуоси
и еде-г к его продвижению в положительном направлении оси г). В общем случае
1

взаимное расположение координатных осей х, у, г системы S и координатных
осей х, у, z системы 5 характеризуется тремя параметрами, всю совокупность
1 которых будем обозначать символом to. Сами параметры можно выбирать
по-разному. Например, оси правой системы 5 можно совместить с осями любой другой
I r*J
I правой системы S поворотом системы координатных осей на некоторый угол %
вокруг направления, которое зададим единичным вектором п, а полярный и
азимутальный углы его в системе S обозначим 0П ифп: ,
n = (sin 0n cos фп, sin07lsin(pft, cos0n}. (1.41)
Другой способ — это воспользоваться углами Эйлера. Три угла Эйлера а, р,
у показывают, что система осей S переходит в систему осей S в результате
следующей последовательности поворотов: на угол а вокруг первоначальной оси г,
на угол Р вокруг повернутой оси у, и, наконец, на угол у вокруг повой оси г.
Конечно, наборы со = (%, 6п, q>n) и to = (a, р, у) эквивалентны. Приведем
соотношения, связывающие параметры этих двух наборов [6, 20]:
cos (x/2) =cos (p/2) cos ({а-\-у)/2);
sin ft/2) sin On =sin (р/2); tpn = -^p--f ~ ■
В последующих параграфах нам придется обратиться к соотношениям,
связывающим координаты г = (х, у, z) произвольной точки в системе отсчета 5 с
I координатами г = (я, у, г) той же точки физического пространства в системе
отсчета 5. Запишем это соотношение в компактном виде:
м ^ _ з
г = ?*(«>) г, т. е. xi = 2 gth(®)xh>
k = i
где матрица g (to) имеет вид [6]:
! ?(©) =
cos a cos р cos у — sin a sin 7; —cos a cos P sin у—sin cc cos-у-, cos ct sin (3
sin а cos P cos 7 -[-cos a sin 7; —sin a cos p sin 7 -f cos a cos 7; sin a ship
—sin a cos 7 sin p sin 7; cos p
(1-42)
§ 1.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОВОРОТА ПЕРВОГО РОДА
Теперь обратимся к квантовой механике. Пусть |/ш>—вектор состояния
некоторой физической системы с заданным моментом ; и его проекцией т на ось
z в системе координат S, а |//п> — вектор другого состояния той же физической
системы, которое характеризуется тем же моментом / и тем же значением
проекции момента т, но уже на ось z в повернутой (на углы to) системе координат S.
i Подчеркнем, что \jm > и \\т > — это разные состояния рассматриваемой
физической системы. Подчеркнем также, что, задавая векторы состояний физичес-
I ких систем с помощью дираковских кет-векторов, мы абсолютно не касаемся во-
i проса о выборе того или иного конкретного представления этих векторов, т. е.,
например, выбора тех или иных пространственных координат для записи
волновых функций и т. п.
Пусть R (со) — это оператор, который переводит вектор состояния \\tn~> в
*****
вектор состояния |;Ж>:
I | \к) =^R (to) I /m>. (1.43)
1 Нам понадобится также обратный оператор R~x (со) ~ R (— со), где (— со) —
[ это совокупность параметров, характеризующих поворот системы координат,
i обратный повороту со.
I 20

Покажем, что оператор R (со) можно взять в виде унитарного оператора
У?(со) -=ехр (—ix (пТ)), если со = (%, 9„, <р„), (1.44)
или унитарного оператора
R (со)—ехр ( — 1аУг)ехр ( — i$Jy) схр ( — \yJz), если со = (а, р, у), (1.45)
где J — (JXt Jy> Jz) — оператор момента количества движения рассматриваемой
физической системы. Для этого подействуем согласно (1.43) оператором R (со)
на произвольный вектор состояния |/т> и убедимся в том, что получающийся
при этом новый вектор состояния |/т>> действительно обладает описанными
выше свойствами.
Сразу видно, что \jm > = R (со) \jm > — это состояние с тем же
полным моментом /, что и исходное состояние \jm >. Действительно, учитывая
коммутационное соотношение [X2, У;] = 0, имеем
Р| jm) = Л £*(а>) | jm) =£>>) Л | jm) =/ (/+1) | /от).
Чтобы показать, что |/т> — это состояние с проекцией момента т на ось z в
системе координат S, построим оператор проекции момента Jz на это направление
и покажем, что |/т> — собственное состояние оператора Jz с собственным
значением т, т. е.
Jz | jm) = m | jm). (1.46)
Сначала докажем соотношение (1.46) в частных случаях, когда переход S-*-
-*-S осуществляется поворотом вокруг одной из осей ху у, z исходной системы
координат.
*-ч—'
Случай поворота вокруг оси z тривиален; в этом случае Jz = Уг, a (nJ) =
= ./z, и поэтому вектор \jm > отличается от вектора \jttO> лишь фазовым
множителем;
| fin) = ехр {—\yTz) | /V») =ехр (—im%) | /т).
Пусть теперь вектор п направлен вдоль оси у; тогда ось г новой системы коор-
дтшт S будет лежать в плоскости xzt а проекции единичного вектора п2 на оси
х, [/, z исходной системы координат S составят nz — {sin %, 0, cos %} (угол х
считаем положительным при правом повороте вокруг оси п, т. е. в данном случае
— при повороте от положительной полуоси z в сторону положительной полуоси
х). Построим оператор Jz и подействуем им па вектор состояния |//п>:
J г | ]tii) (J- iv) | fin) = {Jx sin x-|- /z cos x) exp (— l%Jy) \ jm) =--
«exp (— )%JU) exp (ix.//y) (./я: sin % \-Jz cos x) exp ( —iy/y) I jm) =
l'*P (- \y?ufj 1 /'"> ="'» I /"*> • C1 -47)
Здесь мы воспользовались тождеством (см, упражнение 1.11):
ехР Wy) Jx exp (— ix-/y) Jx cos % I -f* sin x;
exp {\yJy)7z exp ( —Ifr'i)e^ cos x—•/* «in %■ 0 -48)
Итак, соотношение (1.46) доказано. Аналогичным образом доказывается оно при
повороте вокруг оси х.
Чтобы доказать соотношение (1.46) в случае произвольного поворота (п, х),
можно опять найти проекции единичного вектора nz на оси х, у, z исходной сис-
21

темы координат, затем вычислить соответствующий оператор Jz и проделать
выкладки, аналогичные (1.47). Однако это связано с весьма громоздкими
геометрическими и алгебраическими преобразованиями и для рассмотрения общего
случая обратимся к оператору поворота в форме (1.45).
Пусть система S переходит в систему S в результате следующей
последовательности поворотов: на угол а вокруг первоначальной оси z, па угол (5 вокруг
повернутой оси у и на угол у вокруг новой оси z:
а(г) Ш V(z)
Обозначим \jm>s, и \jm>s„ векторы состояний рассматриваемой физической
системы с моментом / и его проекцией т на оси г в системах координат 5' и S"
соответственно; символы \jm~> и \jm> сохраним за состояниями с проекцией
*****
момента т па оси z в системах S и S. Покажем, что оператор (1.45) преобразует
векторы |/Ж> в векторы \jm>.
Для этого воспользуемся цепочкой соотношений:
11т) =21 im")s» И»1" / ехР (-W I /'">; (1-49)
т"
Im")s»^-21 i(n'h' 0'm' I exP (—»W l'"г">; (! -5°)
|jm')s,=2 lM*><M*|exp(-4o?2)|//n'>- (1.51)
Числовые матрицы, стоящие в правой части этих соотношений, конечно, не
зависят от того, в какой системе координат они вычисляются. Подставим (1.51) в
(1.50), а (1.50) в (1.49) и, учитывая полноту состояний \jm>s, и \im>s»t
получим:
I fin) =2 I lm'" > </'"'" I CXP i-'^z) cxp (-'ф7и) X
т"1
X ехр ( — \yTz) | jin) =JZ (со) 1 jm).
Итак, вектор состояния \}rtv>, где m — проекция момента на ось z в системе
координат 5, действительно преобразуется в вектор состояния \jrrO> с проекцией
момента m на осьг в системе координат S с помощью унитарного оператора (1.45).
Обобщая соотношение (1.43), подействуем оператором /?(со) на
произвольный вектор состояния №>:
|$> =£*(«>) 1*>. (1-52)
Если представить себе состояние [-ф> как суперпозицию состояний \jmz> с
разными / и /л, где m — проекция углового момента на ось z в исходной системе
координат S, то, очевидно, состояние |я|:>> — это точно такая же суперпозиция
состояний |/Ж>, где m — это проекция момента на ось z в системе коорди-
мат S. Таким образом, смысл операции (1.52)—это переход от одного вектора
состояния к другому, повернутому на углы со относительно исходного. Не
случайно такого рода поворот иногда называют поборотом тела.
Представим себе, что все векторы состояний |ip> нашей физической системы
iM'jM'iuyu'Jii.i с помощью (1.52) в векторы |а£>. Подвергнем соответствующему пре-
о ф.глш.иммо и иго операторы физических величин:
Т~> T=^R (со) F4 /Г-* (со). (1.53)
F >

Преобразование (1.53) унитарно. Поэтому все матричные элементы операторов
V и Ft взятые в соответствующих обкладках, одинаковы:
<^1^|^/> = </Г(со)я1>|^(со)?'?:-Чсо)1^(ю)^'>=<^|'?1^'>- (1-54)
Физический смысл равенства (1.54) очень прост: матричный элемент оператора
не зависит оттого, в какой системе координат он вычисляется. Будем пользовать-
ся по отношению к преобразованию (1.54) следующей терминологией: если F —
это оператор некоторой физической величины, заданной относительно исход-
ной системы координат S, то F — оператор той же физической величины,
заданной относительно системы координат S. Так, если (х, у> г) — это координаты не-
Л/ лт*. *ЩщГ
которой точки относительно системы отсчета S, то (х, у, z) — это координаты той
же точки относительно повернутой системы отсчета S. Если lXf ly> lz — это компо-
центы оператора орбитального момента частицы относительно системы S, то lXt
***** ***
Л/, h — компоненты оператора орбитального момента той же частицы
относительно системы S, и т. д.
Рассмотрим пример: выберем в качестве F оператор координаты частицы г.
Что такое оператор г, если его построить по правилу (1.53)?
В нашем случае оператор J сводится к сумме оператора орбитального
момента частицы и ее спина: J = 1 + s. Оператор спина коммутирует с оператором
координат. Поэтому г вычисляется по формуле:
«-"v, •v. ^v, ^-^ ^v, ^v, ^-v, .^x
r = exp (— ia/z) exp (— ф/p) exp { — iylz) г exp (\ylz) exp (ifHy) exp (ialz).
Далее воспользуемся соотношением (см. упражнение 1.12):
xi при к—{\
cos9X|-{-sinq3^8Ajmj:m ПРИ ЬфХ*
ехр (— 1ф//£) xi exp (i<pk) = <
m
с помощью которого получаем
Р- з ^
*£ = 2 8& fa p. v)*fe. (1-55)
k = i
где gih (ее, (3, v) — не что иное, как матрица (1.42). Итак, оператор координаты
г преобразуется в результате преобразования (1.53) точно так же, как радиус-век-
то I) ЧЯСТИЦЫ Г.
1 л
Возьмем еще один пример. Пусть Sj — операторы проекции спина частицы
s t= i/f па оси х, у, г некоторой системы координат 5. В представлении, базисом
которою я ил я ются состояния 1(1/2) sz > с фиксированной проекцией спина на
ci. г т< й системы координат, они имеют вид s^ = a£/2, где ot — матрицы
Паули. 11<»<*гропм в том же базисе матрицы операторов 5г- соответствующих
пр чецпп спина ил оси х, у, z новой системы отсчета S, которая получается
иг» исходной п1 -темы S поворотом ее на углы Эйлера а, р, у. Ограничимся для
иллюстрации ]уч.н-м поворота вокруг одной из координатных осей—вокруг
оси у. Согласно (1.ПЗ):
s/^cxp (— ips^) s£exp (iflsp).
23

ПпюЛьлуя далее соотношение (1 -48), получаем:
1 /—sinp cos pv
sx ^=sx cos p—sz sin p =
2 \ cos p sin pv
1 /0
Sy—Sy— 2
sz = sz cos p -1-sx sin p = — [ ~~~ I l" 4 ■
J_ /cosp sin p'
2 \sin p —cos pj
(1.56)
Подчеркнем, что переход от операторов s^ с помощью операции поворота (1.53)
к операторам S;—это переход от операторов одних физических величин (здесь —
проекции спина на координатные оси системы S) к операторам других (проекций
спина на координатные оси системы £>'). Записав в формулах (1.56) эти новые
операторы в виде конкретных матриц, мы выбрали базисом их представления
состояния |(1/2) sz>, где sz — проекция спина на ось z исходной системы 5.
Преобразования поворота (1.43) и (1.52) для векторов состояний физических
систем, а также преобразования (1.53) для операторов физических величин не
связаны с выбором конкретных представлений этих векторов состояний и
операторов. Мы будем называть их преобразованиями поворота первого рода.
§ 1.9. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОВОРОТА ВТОРОГО РОДА
Рассмотрим преобразование различных координатных функций при
поворотах системы координатных осей. Начнем с преобразования однокомпонентной
функции (в математике это называют задачей о преобразовании скалярного поля);
потом рассмотрим преобразование векторной функции и обобщим полученные
результаты на случай произвольной многокомпонентной функции.
Пусть функция!]) (г) ставит в соответствие каждой точке физического
пространства одно число, которое не зависит от положения координатных осей. При
повороте системы координатных осей, когда координаты точки преобразуются по
закону
г-»7=7(а>)г, (1.57)
где J (со) — матрица (1.42), функции ф и я]з в исходной и б повернутой системах
координат связаны соотношением:
ф(?)=-ф(г),
т. е.
Ф(г)='Ф(Р-1Иг). (1.58)
Отсюда находим закон преобразования однокомпонентной функции ф (г) —
сначала при бесконечно малых поворотах системы координат
7=г^6х[пхг], (1.59)
ф(г) = {Ч-6зс[пХг]Уг}я1)(г), (1.60)
а затем и при произвольных поворотах
ф (г) =ехр {% [nxr] Vr} ф (г). (1.61)
Преобразование (1.61) — чисто геометрическое. В квантовой механике
используем его для преобразования волновых функций бесспиновых частиц. Вводя
в (1.01) оператор орбитального момента частицы I = — i[r X Vr], получаем
ф(г) = ехр[1Х(пхТ)]ф(г). (1.62)
24

Если в качестве параметров поворота вместо % и п используются углы Эйлера а, р,
у, то легко показать, что соотношение (1.62) принимает вид:
if (г) -ехр №) ехр (Щ) ехр {Шг) яр (г). (1.63)
Проиллюстрируем смысл полученной формулы простым примером. Пусть
\\i (г) =constXexp (i/шр), где ср— азимутальный угол радиус-вектора г в системе
координат S; при этом рассмотрим поворот системы координатных осей на угол
а вокруг оси z. Тогда из (1.63) получаем: яр (г) = const X ехр [\т (ср -f- a)].
Отсюда хорошо видно, что функция я]) (г) меняет свой вид, превращаясь в
функцию я]) (г) просто в связи с преобразованием переменных.
Теперь займемся преобразованием векторных координатных функций.
Пусть функция яр (г) ставит в соответствие каждой точке физического
пространства вектор, т. е. три числа яр (г) = {\\>х (г); яр^ (г); ярг (r)}, которые при повороте
координатных осей преобразуются по тому же закону (1.57), что и координаты
самой точки: яр (г) = g (со) яр (г). Таким образом, в новой системе координат
функция яр (г) имеет вдд:
Ъ (г) =7ЫУ(1г1 (<*)<)• 0-64)
Отсюда, зная g (со), найдем оператор, переводящий векторную функцию яр (г)
в векторную функцию яр (г).
Решим сначала эту задачу для бесконечно малого поворота. Согласно (1.59) в
этом случае матрица ^(со) имеет вид:
gik{to) = gih@%, n) = б»fc— 6х2e«7ft "j» 0-65)
/
где tij — компонента единичного вектора п, показывающего направление оси
поворота. Подставим (1.65) в (1.64):
яр (г) =яр (r-f- 6% [nxr])—6х [пхяр (г)].
Здесь мы уже отбросили часть членов порядка (бх)2 и выше. Оставляя только
члены нулевого и первого порядка по 5%, получаем:
?(г) = -ф(г) + 6х([пхг]Уг)П»(г)-6х[пХ1|)(г)]. (1.66)
Введем опера.тор орбитального момента частицы I. Тогда (1.66) запишется в
виде
$(г) =ф(г)+ i6X(n.T)iHr)-eX[nxiMr)]. (1-67)
Первые два слагаемых — такие же, как и при бесконечно малом преобразовании
скалярного поля [см. соотношение (1.62)]; последнее слагаемое отражает
специфику преобразования векторной функции.
В занятии 1.4 показано, что векторную волновую функцию яр (г) можно
трактовать как волновую функцию частиц со спином s ~ 1, а преобразование (1.67)
записать в универсальной форме
яр (г) =яр (г) + !бХ (п.?) яр (г), (1.68)
где
Ч> (О = lb (г)
VMr)/
— стол сц из 'ip *х координатных функций, соответствующих трем значениям про-
екции спина шв ■= 1, 0, —1 на ось квантования, a J — оператор полного
момента частицы, пррдгтдпляющего собой сумму орбитального момента и спина:
7=Т-нГ (1.69)
25

Формула (LC8) написана для случая бесконечно малого поворота. В случае
конечного поворота она приобретает формально тот же вид, что и (1.62):
?(r)=exp[ix(n-?)]l>(r). (1.70)
однако здесь"ф и"ф — это трехрядные столбцы, a J — оператор (1.69),
являющийся матрицей размерности 3X3. По формуле (1.70) преобразуются и волновые
функции частиц с произвольным спином s.
Преобразования поворота (1.62) и (1.70) не затрагивают ни векторов
состояний физических систем, ии физического пространства этих систем. Вид волновых
функций ij) (г) и я]) (г), связанных соотношениями (1.62), (1.70), — разный, но это
связано просто с поворотом координатных осей. Будем называть такие
преобразования преобразованиями поворота второго рода.
Сравнивая формулы (1.43), (1.52) и (1.41) с формулами (1.62), (1.70), видим,
что оператор преобразования волновых функций при поворотах второго рода
является обратным по отношению к оператору R (а>), который определяет
преобразование векторов состояний при поворотах первого рода. Конечно, это
неформальное сходство, а два способа выражения одних и тех же общих
закономерностей. Не следует противопоставлять эти два способа описания поворота друг
другу. Однако, как уже подчеркивалось в § 1.7, на практике приходится
обращаться к преобразованиям обоих типов и, если не видеть разницы между ними,
можно совершить ошибки,
§ 1.10. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦ КОНЕЧНЫХ ПОВОРОТОВ
Б § 1.8 показано, что вектор состояния |/>0, где т — проекция
полного момента физической системы на ось г исходной системы коор-
динат 5, преобразуется в вектор состояния \}пС>у где т — проекция
момента на ось 2 другой, повернутой системы координат 5, под
действием оператора (1.44), (1.45):
17/я>=К(ю)|/т> =
ехр[—ix(n-J)]|/m>;
ехр (— iaJz) ехр (—ip J3) exp (—iyJz) | jtn >.
Здесь со = (%, n) или со — (a, p, у) — это эквивалентные друг другу
наборы параметров поворота координатных осей, посредством которого
система координат 5 превращается в систему S. Из (1.71) следует
формула разложения вектора \jm^> по векторам |/т>:
| ]Ъ> - 2 < 'т' I * И I 'т> I /т' >* (1 '72)
т'
Определим матрицы конечных поворотов (их называют также D-
функциями) соотношением
Dmimt <a' P' V) ^<№ I ехр (— \aTz) ехр (—i$Jy) ехр (—iт£)1/т2>,
(1.73)
где а, р, у — вещественные параметры, заданные в интервалах
0 < a < 2я, 0 < р ^ п, 0 < у < 2п.
20

С учетом определения (1.73) формула разложения (1.72) принимает
Ш1д:
| /т> ^ ^рп,т (а, р, у) | /т'>, (1.74)
т'
где а, р, ^ — углы Эйлера, характеризующие переход от системы коор-
дипатпых осей S к системе S. Так «действуют» D-функции при описании
поворотов первого рода. Одновременно покажем, как использовать D-
фупкции при описании поворотов второго рода. Для этого обратимся к
соотношению (1.63), куда в качестве координатной функции \р (г)
подставим сферическую функцию Yim (0, ф). В повернутой системе коордп-
пат 5 она превращается в функцию Ylm(Qt<[>)t вид которой дается
(формулой (1.63):
Уim №. Ф) = е*Р О 7У exp (i р/у) exp (i alz) Ylm (0, <р) =
— 2 </ш' I eXP P VQ ехР О РУ ехР (1а/г) 11*П > У/,„' (0, ф) =
ш'
= S °»-» (-Y. "Р. -«) У/»' (е- Ч>)- С1-75)
т*
Сравнивая друг с другом формулы разложения (1.74) и (1.75), снова,
как и в § 1.9, убеждаемся в том, что оператор преобразования волновых
функций при поворотах второго рода является обратным по отношению
к оператору, определяющему преобразование векторов состояний при
поворотах первого рода.
Наше определение £)-функций совпадает с тем, которое использует
Эдмондс [4, с. 316]. Покажем, как связаны £>-функции, определенные
соотношением (1.73), с D-функциями, используемыми в других книгах.
В учебниках квантовой механики [1, 31 они определены соотношением
DLtm2 (a> Pi Т)1п. з] -«C/mJexp (i-уЛ) exp (i p?y) exp (ia7z)|/m2>.
(1.76)
Учитывая эрмитовость операторов Jit преобразуем это выражение так,
чтобы приблизиться к определению (1.73):
<;//??! | exp (i yJz) exp (i p Jv) exp (i aJz) \ jm£> := <ijm% | exp (— i ajz) x
X exp (—i p Jy) exp (— i yjz) | /m1>*.
Таким образом, матрицы (1.73) и (1.76) обратны друг другу и переходят
друг в друга при эрмитовом сопряжении. В учебнике квантовой
механики Давыдова [2] и в двухтомнике «Структура атомного ядра» Бора и
Моттельсопа [20] используется еще одно определение:
Щгпт, (а> Р> У) b. so] = <№ | exp (i y7z) exp (i p?ff) exp (iaJz) \ }m{>.
(1.77)
Видно, что матрицы (1.77) и (1.73) переходят друг в друга при
комплексном сопряжении.
27

Вернемся к соотношению (1.74). Вектор состояния |/т> часто
записывают в виде столбца из 2/ + 1 значений <i\i\jtrO>, где р, —
проекция момента на некоторое направление. В частности, если т и \i—
проекции момента на одно и то же направление, то столбец | jtrO>
содержит лишь один, равный единице, ненулевой элемент: <С\\\}ггО>Ь^т.
Покажем, что столбец значений <Ср.|//гС> преобразуется в столбец зна-
чений <C|i]//rC> по закону перемножения матриц (строка на столбец):
| }пг>*= В (а, р, y) I / М>, (1.78)
гдеЪ' (а, р, у) — не что иное, как матрица (1.73). Действительно,
соединим правую и левую части формулы (1.71) с бра-вектором< р|:
<[i\jrn> = <:[i\R(a, p, у) \jm>i=2i<\L\R{at p, y)\\i'> X
д'
X <ц' |/m> = 2 DU* &> Р» V) < И' I М>;
полученное равенство и доказывает сделанное утверждение.
Следует отметить, что D-функции — не только матрицы конечных
поворотов, но также собственные функции гамильтониана, который
описывает вращение твердого тела, закрепленного в одной точке и
имеющего два одинаковых момента инерции в главных осях
(симметричный волчок) (см., например, 12]). Заметим также, что D-функции
Dinf (а, р, -у) являются когерентными состояниями для группы
трехмерных вращений (см. [21, 22]).
§ 1.11. ВЫЧИСЛЕНИЕ Я-ФУНКЦИЙ И ИХ СВОЙСТВА
Из определения (1.73) видно, что матрицы конечных поворотов
Dmtmt (a, P, у) можно выразить через более простые матрицы
D,mi mt (а» Р> У) = ехР (— i ami) dfmi m,(P) exP (—i 4m*)> (l «79)
где ,
4,, «,, №) = DLim2 (0. P. 0) = </mx | exp (-i &y)\ j/n2>
— тоже квадратные матрицы с размерностью (2/+ 1)х(2/ + 1),
зависящие лишь от одного параметра р.
Вычислим матрицы д) для случая / — 1/2. Для этого обратимся
к соотношению (см., например, [1, § 40]):
ехр (—ipjj,):=exp f — i-|~5»)^cos \^~^ sin
где (Уу — 1 ~~Ч—матрица Паули. Отсюда получаем:
1
2
25/с«я(р/2) -sin (Р/2)Ч
l^sin (P/2) cos (P/2) У
'М

Воспользуемся полученным результатом, чтобы
проиллюстрировать применение соотношения (1.79). Рассмотрим систему или частицу
со спином s — 1/2. Пусть \sz = 1/2> = [ ) — состояние с проекцией
спина 1/2 на ось z, a \sn = 1/2> — состояние с проекцией спина 1/2 па
другое направление, которое зададим единичным вектором п =
= {sin 6 cos (p, sin 0 sin ф, cos 0}. Выразим вектор состояния \sn = 1/2>
в виде двухрядного столбца. Для этого заметим, что направление
вектора п можно рассматривать как ось z в новой системе координат 5,
ориентация которой относительно исходной системы координат задана
следующими значениями углов Эйлера: а = ф; р — 0; у — 0.
Подставляя их в (1.79) и (1.80), получаем:
S1/2(<p,o,o)-
ехр [ —i (ф/2)] cos (0/2) —ехр [ — i (ф/2)] sin (0/2) \
ехр [i (ф/2)] sin (0/2) ехр [i (ф/2)] cos (0/2) J *
Теперь вектор состояния \sn = l/2> находится простым
перемножением матриц:
_L\^ /exP I —* (Ф/2)] cos (0/2)>
2 / \ ехр [i (ф/2)] sin (0/2)
Полученный результат совпадает с тем, что дает диагоиализация one-
ратора sn = (s • п) (см., например, [1, с. 149]).
При j > 1/2 матричные элементы $тхтг (Р) рассчитывают по
формуле, имеющейся в [4, 11].
Формулы типа (1.80) для вычисления матриц б) (Р) при / = 1
приведены в [4], при / = 1 и у = 3/2 в [1].
Перечислим важнейшие свойства D-функций:
1. Л-функции являются элементами унитарной матрицы
Ъ ^V («• Р. V) ОЦ (а, р, Т) = вда.. (1.81)
Sn = ^-)=S,/2(cp,e,0)
sz
т
2. Для них выполняется соотношение ортонормированности:
[ da } sin рф j dyDJ^ («• P. T) X
0 0 0
X ДЕ'г («. P. V) = 2^" V W «„».. (1.82)
3. Имеет место теорема сложения для D-функций:
Dfcl№l(a-P.v)^feiIifKP.v)«
=Ц (/i wi А ^21 jm) (n \-h и ^ I /W я^ («, P, y). (i -S3)
У «in
29

а также обратное соотношение:
°{щ, (а> Р. У) = 2 Vi mi Л ms I № t/'i Уч /я ^ I /» X
m2 Ца
Из (1.82) и (1.83) находим:
l Д£„ («. P. V) OJu («. P. V) Dl-t ^ {a, p, ?) sin pdadpdv =
— Г7-Г-Г (/l ™1 к ПЧ \ 1Щ (/l \Ч к hi I /W-
4. Гели последовательно производится два поворота (со3, а затем со2),
характеризуемые соответственно углами Эйлера аъ рь ^i и a2, р2т 7г>
то матрица результирующего поворота со = со2- щ равна произведению
матриц отдельных поворотов:
D'mn. К-%> = S Ся|1 (a,, p„ %) £*„,' («1, Pi. Vi). (1 -85)
5. При изменении знака и перестановке нижних индексов D-фуик-
цин преобразуются по закону:
°U <a> Р- т) = (- 1)и -" ^„-ц («. P. v) = (- 1Г-" & {у, р,«);
(1.8С)
ДЦ («. Р. V) = (— 1У Щп-Ц («-", «-Р. V)-
6. Если нижний индекс равен нулю (а /, разумеется, — целое),
то /^-функция превращается в сферическую функцию:
Dla0 («, Р, У) - ]/~ У'« ф'аУ> ° *8?)
*Va' Р. V)- ]/ ^щ- *Vn (Р, Y); (1-88)
0So(a.P.Y)=ft(«>sP). (1.89)
Ввиду соотношений (1.87)—(1.89) D-функции иногда называют
обобщенными сферическими функциями.
7. Из (1.83) и (1.87) легко получить полезное соотношение для
произведения сферических функций, зависящих от одинаковых аргументов
YtM (9. Ф) У и «. (6. Ф) ■= 21/ (gl+ ';* (2[а+ ° ft % /2m21LM) x
L у An (2L4-1)
х(/1о/2о|щг^(е,ф). (1.90)
Отсюда находим формулу интегрирования:
j Кп & Ф) ^ «. (6> Ф) Ъ. «. (°> Ф) d»=-
/:
i?™±iLP1 »н /2 та | to) ft 0 /, 01 f 0). (1.91)
30

Используя ортонормированность коэффициентов векторного сложения,
можно из (1.90) получить также следующее соотношение:
Уы (в. <p) = l/"-—4я(2/+1)— (к о /2 о | ю)-1 х
х 2 & mi *» m21 щ Ylxmt (в, ф) у/гтй (е, ф). *
8. Полагая в формуле (1.85) / = / (целое число), а т = т' = 0,
получаем теорему сложения сферических гармоник:
Р, (cos ft) = ^- ^ i^, (6i, Фа) Kim (в., %)• (1 -92)
т
Здесь 9Х, фа — углы, характеризующие направление вектора пх, a
^2» Фг — направление вектора n2; p —угол между векторами пх и
п2; для него
cos р = cosGj cosG2 + sin 0Х sin 62 cos (фх — ф2)
[при выводе соотношения (1.92) поворот от вектора п2 к вектору пг
удобно представить как последовательность поворотов ш2 = (0,— 02,
— фя) ио)! = (фх> elf 0)1.
§ 1.12. ДЕЙСТВИЕ ОПЕРАТОРА ПОВОРОТА НА СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Получим два дополнительных соотношения для сферических
функций, которые имеют большое значение в связи с использованием матриц
конечных поворотов.
Первое из них — это просто переписанное слегка по-новому
соотношение (1.74):
ехр (—ialz) exp (—\$ly) ехр(—i-уУ У,т(9, ф)=
= 2 Vm'rn К Р, У) Ylrn' (В, Ф). (1-93)
т'
Рассматривая оператор, стоящий в левой части этого соотношения, как
частный случай оператора поворота (1.45), можно записать (1.93) в виде
Д(со)К|яг(в,ф)=21Л'«(а,Р,т)У1т'(О.Ф). (1-94)
т'
ГДР
Я(со) = ехр(—1а/г)ехр(—iP^)exp( —\ylz)t (1.95)
Хотя пршипо говорить, что соотношение (1.94) выражает действие опе-
p;iTf)ji;i минорита на сферическую функцию, вовсе не всегда требуется
идет и нем каком-то определенный геометрический смысл. Очень
часто гоотипшеит* (1.94), а точнее, соотношение (1.93), в котором явно
раскрыт вид оператора, действующего на функцию Ylm (0, ф), ценно само
ли себе как некое выражение чисто аналитических свойств сферических
функций.
31

Второе соотношение, которое мы получим, удобно первоначально
сформулировать для пространственных гармоник (1.25). Покажем, что
пространственные гармоники, если их рассматривать как функции
оператора координат, преобразуются под действием оператора
поворота по закону
^тЙ^^Н^М^-Ч«) = 2Л'ш(а,^Т)^т'Я (1-96)
т'
Поскольку числовые функции у>1т (г) преобразуются как раз по
такому закону [см, соотношение 1.94)], то для доказательства (1.96)
достаточно показать, что операторная функция ^tm (г) и числовая функция
R (со) ^im (r) имеют одинаковую зависимость от своего аргумента.
Пространственная гармоника ^1т (г) — это полином по переменным х, у, z.
Поэтому для операторной функции
fir* Й - %т (ЙИ? R'1 И) = %м (?(со)?).
Здесь мы воспользовались также соотношением (1.55). С другой
стороны, на основании (1.58)
Я И Ът (г) = %ш Q-1 (-«в) г) = У„(г(») г);
здесь мы воспользовались тем, что матрица g (—со) обратна матрице
ё (со) (упражнение 1.13), а также учли, что оператор R (со) определен
формулой (1.95).
Итак, соотношение (1.96) доказано. Иногда, имея в виду
соотношения (1.96) и (1.94), говорят, что операторные функции ^fm (r) и
числовые функции y-lm (r) преобразуются под действием оператора поворота
по одному и тому же закону как компоненты неприводимого тензора
ранга / (см. § 1.13). Не следует, однако, упускать из виду, что сами
операторы поворота для оператора и для числовой функции
конструируются по-разному.
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 1.2
1.13. Показать, что матрицы g (а, р, у) и g (—у, —р, —а),
определенные формулой (1.42), взаимно обратны.
1.14. Найти углы Эйлера для поворотов на угол 120° вокруг
диагоналей куба, т. е. направлений п = {±1/КЗ, ±1/^3, zhl/^} (такие
повороты совмещают куб сам с собой).
1.15. В лабораторной системе координат частица с орбитальным
моментом / = 2 имеет проекцию момента на ось z т = 1. Рассчитать
вероятность W (т') того, что проекция этого момента на прямую,
направленную под углом 6 = 60° к оси 2, равна т' (т! = — 2, —1, 0, 1,2).
Нарисовать график зависимости W (т'). Проделать то же самое для
случая / = 2 и G = 90°. Обсудить соответствие полученных
результатов с законами классической механики.
1.16. Рассмотреть результаты мысленного эксперимента с двумя
приборами Штерна — Герлаха (см. [23, вып. 8, гл. 41) для частиц со
32

спином s = 3/2. Оси приборов направлены под углом 90° друг к другу,
причем каждый из приборов свободно пропускает частицы с проекцией
/// > 0 на ось прибора и задерживает частицы с т < 0; в первый ири-
иор попадает иеиоляризованный пучок частиц.
1.17. Используя формулу (1.91), вычислить интеграл
Лк*»(е, q»PdQ.
1.18. Рассмотреть, как преобразуется функция Y1()(Q, cp) при
поворотах на угол 120° вокруг диагоналей куба (см. упражнение 1.14).
Дать геометрическую интерпретацию результата.
1.19. То же для комбинации функций Yш (0, <р) — У3_ 2 (0, ср).
Занятие 1.3
ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 1.13. НЕПРИВОДИМЫЕ ТЕНЗОРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Будем исходить из формулы (1.53), показывающей преобразование
операторов физических величин при поворотах вектором состояний
физических систем:
F'=R(<u)F"R-1{tu)l (1.97)
где
/^(со) =. схр ( — iajz) exp ( —ip/y) exp ( — \yJz).
Неприводимым тензорным оператором ранга k называют
совокупность (2k + 1) линейных операторов Т{р \ преобразующихся при
поворотах (1.97) так же, как векторы состояний |//п>>, т. е. по закону
Т<Ь) ^Д(ю)Г//") Я-*(ш) = 2 Dl{ay$,i)T«K (1.98)
q= — k
Сравним (1.98) с (1.74):
В § 1.12 было показано, что пространственные гармоники ^1т (r)f
рассматриваемые как функции оператора координаты, преобразуются
в соответствии с (1.98), т. с. являются примером неприводимого теизор-
пого оператора. Эго очень важный в практическом отношении пример,.
поскольку различные операторные функции /; (г) часто разлагают по
пространственным гармоникам или по сферическим функциям. Такое
разложение является разложением по неприводимым тензорным
операторам.
При k = 0 неприводимый тензорный оператор (иногда будем
говорить короче — неприводимый тензор) имеет единственную компоненту
Т\?\ которая не изменяется при преобразованиях поворота. Это либо
2 зук. иио 33

fl
гк-щяр, либо исевдоскаляр — в зависимости от того, сохраняется или
изменяется знак оператора 71о0) при инверсии системы координат.
При k = 1 неприводимый тензорный оператор содержит три ком-
попепты Уо!±ь которые преобразуются при поворотах так же, как
три сферические функции Ylm (О, ср) [три пространственные гармоники
6//im (г)1- Три декартовы компоненты любого вектора или псевдовек- "i
тора а — {ах, a!h a£) сводятся к трем компонентам неприводимого теп- ,'
зора 1-го ранга: \
T\u^ — °*+™v ; Т{01> = аг\ Т{1\-^ ах~™у . (1.99)
V2 1/2 I
При k = 2 неприводимый тензорный оператор Т*д*} имеет пять
независимых компонент. Их можно выразить через компоненты
симметричного тензора 2-го ранга Ti]n заданного в декартовых координатах с
условием, что след (шпур) тензора равен нулю: Sp7^/t = 0. Примером ' '
такого тензора Tih может служить тензор, составленный из компо- '
цент радиус-вектора: *
Tih =~- XiXh — (1/3) rSik; U k = х, у, z, (1.100) I
Легко подсчитать, что симметричный тензор 2-го ранга Tth с нулевым (
следом имеет, как и неприводимый тензор 2-го ранга, пять независи- !
мых компонент. Выразим их друг через друга: '. /
rta) = 37V,
T& = ^Vb(Ta±iT„i;
ГЙ = |/61Тп-|-(1/2)Г33=ь1'Л2].
Если в качестве Tih рассматривать тензор (1.100), то при выбранной
нами нормировке неприводимого тензора Т^2) он связан со
сферическими функциями Y2q и пространственными гармониками ^27
формулой:
Т<2> - УШЖ%п (г) = ]/"Гб^/5>2 Уад (0, ф).
Из двух неприводимых тензорных операторов l/<fri) и V (Az>
рангов kj п k2 можно построить их тензорное произведение:
[£/<*.) х ?«*■>!,»> =з S (*ifcM>lЩ U^Vl'K (1.101)
Используя теорему сложения D-функцнй (I.84), легко показать, что
тензорное произведение неприводимых тензорных операторов
удовлетворяет соотношению
[U{ki) X^i*')]i*)==S£>^(a.P.Y)[^<*,) Х?(*в)$\ (1.102)
я'
\\ о само является неприводимым тензорным оператором ранга k.
11 (1.101) индии, что ранг тензорного произведения операторов V{ki) и
I

I i*i) определяется правилом треугольника для векторного сложений
ywi них моментов:
& = | &! — /е2|, ..., /Sj + k%.
Ча "гпым случаем тензорного произведения двух неприводимых тен-
'юрон является их скалярное произведение'.
Т/2Л-1-1 T
Употребляется и другое определение скалярного произведения:
ф<*>.у<*>)=2(-1)«Я?>'$*>,
которое при /г — 1 соответствует обычному определению скалярного
произведения векторов.
Векторное произведение двух векторов U, V также можно
представить как тензорное произведение соответствующих неприводимых
тензоров 1-го ранга;
[U х V]m =ss IU^ X VV&V (- i 1/2).
Так, непосредственной проверкой легко убедиться, что
[UxV]z=-i]/2[c/0) хУ1Ч1) = ихУа-ивУх.
§ 1.14. ТЕОРЕМА ВИГНЕРА—ЭККАРТА
Рассмотрим матричный элемент тензорного оператора в обкладках
векторов состояний с определенными j и т:
(l'm'\Tf>\lmy. (1.103)
Согласно теореме Вигнера—Эккарта этот матричный элемент можно
разделить на два множителя, один из которых не зависит от проекций
m, m'tq,a другой, включающий в себя целиком всю зависимость от этих
проекций, является коэффициентом Клебша — Горда па:
</' т' \Тр |/т>-= «^-(/' ||?<*> ||/). (1Л04)
Последний множитель в этой формуле называют приведенным
матричным элементом, [Таким образом, равенство (1.104) является
одновременно и формулировкой теоремы, и определением приведенного
матричного элемента.]
Докажем теорему Вигнера — Эккарта. Для этого перейдем к
новому базису |у7/С> = R (со)|/т> и новым операторам Tqk) — R (w) Tgk) х
xR~l (со). Матричный элемент (1.105) не изменится при этом
преобразовании. В связи с этим можно записать:
</' /и' | ?<*> | /#н> = 2 &;?т. (а, р, у) D[lm (а, р, у) X
2» 35

Интегрируй оГ)с части последнего равенства по углам Эйлера и учиты-
liivi свойства D-функцнй, получаем:
i
</' т' iff11 jm> = —i— 2 О'ЙР I Г |*') X
Выражение
<i'\\?{k)\\i)-~= 2о'йя1/Ю</'^'|7;Г1М> 0-Ю5)
действительно не зависит от проекций /я, т', <у, что и доказывает
теорему Вигнера—Эккарта.
' Легко показать, что в правой части (1.105) все члены суммы по р/
одинаковы. Поэтому можно взять только один из них с каким-то
фиксированным значением т' и записать:
</' Н^' II/> = VWTTZdmkt/1 /' m') </' т' | Г <*> | /т>.
Теорема Вигнера — Эккарта исключительно важна для кваитово-
механическнх приложений.
1. Как уже отмечалось, в матричном элементе (1.104) вся
зависимость от проекций моментов сосредоточена в одном очень простом
множителе — коэффициенте Клебша — Гор дана. Поэтому теорема
Вигнера ■— Эккарта позволяет чисто алгебраическим путем с помощью
соотношений ортонорлшрованности для коэффициентов векторного
сложения проводить суммирование различных квантовомеханических
выражений (сечений реакций, вероятностей переходов и т. п.) по
проекциям входящих в них моментов. Такого рода суммирование
приходится выполнять при рассмотрении атомных или ядерных
столкновений, когда падающие частицы, а также мишень не поляризованы и
детектор не чувствителен к поляризации вылетающих частиц. Как
известно, в таких случаях необходимо усреднять сечение процесса по
проекциям моментов сталкивающихся частиц и суммировать по проекциям
моментов разлетающихся частиц. Это суммирование выполняют с
помощью следующих формул:
2 1<я Y'"' fiV | njm> ? = —V-1 <л' /" II Tik) II л/>Т,
2 I <»' /' «' \?Т Iя/т> |2 = —-Vr I <n' /' II ТФ) II"/>I2
mm' lk I l
и т. п. Видно, что результат суммирования выражается через
приведенный матричный элемент оператора Т^к).
2. Теорема Вигнера — Эккарта является основой для получения
всевозможных правил отбора в квантовой механике.
Поясним это утверждение на примерах электрических квадруполь-
шлх у-переходов в ядрах (£2-переходы). Вероятность их пропорцно-
i

нпльпа квадрату матричного элемента квадрупольного оператора
.Г/W'IQ!/0|.Ш>. Здесь У, М—момент начального состояния ядра и его
проекция; J'M'— момент и его проекция для конечного состояния ядра.
Согласно теореме Вигпера—Эккарта матричные элементы Q£2)
пропорциональны коэффициенту векторного сложения (JM2q\J'Mr), a
эти коэффициенты отличны от нуля, во-первых, при условии
М + q -= М' и, во-вторых, при выполнении правила треугольника
|./—2| с^ ,/'^ ,/-| 2. Отсюда получаем известное правило
отбора по моменту при ^-переходе: в общем случае ДУ = ./ — У — О,
±1, ±2, в частном случае при / = О AJ = 2, для J — 1/2 A J — 1,2.
Это правило отбора является выражением закона сохранения
момента количества движения при электромагнитных переходах.
Поскольку оператор Q(2>—четный, т. е. не изменяется при инверсии,
правило отбора по моментам следует еще дополнить правилом отбора по
четности: четность состояния при £"2-переходе не изменяется, т. е.
отлична от нуля вероятность £2-переходов только между состояниями с оди-
1 паковой четностью. Аналогичным путем получают правила отбора для
fi-распада, правила отбора в ядерных распадах и реакциях и т. п. [241.
3. На теореме Вигпера — Эккарта основан метод эквивалентных
операторов. Он заключается в следующем. Пусть необходимо вычислить
матричные элементы некоторого неприводимого тензорного оператора
<С J'M'lT^l JM~>, причем или сам оператор сложного вида, или
сложна структура волновых функций, по которым он вычисляется.Тогда
можно взять более простой оператор такого же ранга Lgk\ матрич-
I ные элементы которого известны, и по теореме Вигпера — Эккарта
записать
| <./' М' \Тр | JM)=a(J'M' \Lp \JM). (1.106)
I Иногда интересует только отношение матричных элементов (1.106)
. с разными Му ЛГ, ц\ тогда переходом к эквивалентному оператору с
помощью формулы (1.106) этот вопрос решается полностью. Если же
нужно абсолютное значение матричного элемента (1.106), то следует каким-
то способом найти переводной коэффициент
а=<У||?(*)|и>/<1/,||Г(А)||У>.
Дополнительные сведения о методе эквивалентных операторов
см, в конце § 1.15.
§ 1.15. АЛГЕБРА ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
Сначала приведем формулу матричного элемента тензорного
произведения операторов 74*1) и £/<**>, действующих па одни и те же
координаты:
<*/' II IT**0 х д(^]{к) II а' /'> -.K2FR (— 1)н '"' ! * х
х ^il <«/ и^с*-» ||«- /-> <«- /- и г7№*> и«' у> J ^; k; Ч (1.107)
37

Дли скалярного произведения
{а1\\(Т№)ши1к)Ща'1'> =
««
2(~1)/+/"х
X <а/||? «*> ||a*/'> <o'/*|| t/w ||a'/'>. (1.108)
Теперь перейдем к матричным элементам произведений операторов \
U^t) и \/(1{А\ из которых U действует только тга координаты функций,
связанных с моментом Д, а V—на координаты функций, связанных
с моментом у2:
<ylih\i\\iulki)xv^)i{k)\\y,liii\r>
-1
h h i
/i h 1
U'l кг k J
|/(2/Ч-1)(2/Ч-1)(2/г+1)х
X <Y/i||t/,*,,|lT'/i><Y"/.l|V<*1,||v'/i>. (1-Ю9)
Сумма псу" включена для того, чтобы учесть случай, когда
операторы (У и V оба действуют на квантовое число у:
<Y/, k\im\(u{k) -V^)\ у' /J Ц; /' m')= Ь,у Smm- (-l/'+'l + ^+Z x
x ft L. {) X 2 <Y/i ll^W II7" /i> <V" /s H?№ II ?' /J>. C-110)
1/2 /1 *j Г
Заменяя оператор К единицей, получаем из (1.109):
(тЛА; /II£w IIv' /i/i; /"> = e„ yii/(2/+i)(2/' + i)(_i)/.+/. и-+* х
x|^v j.|x<Y/J||i/wnv'/;>.
При замене £/ единицей находим:
<Y/i/.;/ll^()llY,yi/i;/'> = fij^^(2/+l)(2/, + l)(--l)
/J+/+A + /»
V
X
» •
/l / h
(ft)
t
x "'./* <T/»ll^w!lv'/i>-
(1.112)
Читателю предлагается самостоятельно вывести формулы (1.107) —
(1.112). с
Рассмотрим примеры применения алгебры тензорных операторов.
Общий рецепт получения приведенного матричного элемента типа
</l|7,(At,ll/'> заключается в следующем. Выбирают состояния |/т>
и |/ш'> с некоторыми конкретными значениями проекций /??, т' и для
определенно!"! компоненты оператора Т^к) с q ~ m — in!
непосредственным вычислением находят матричный элемент <.}m\Tqt)\j'm'>. Далее
l

из таблиц находят коэффициент векторного сложения (j'm'kq\jm) и
шайденный матричный элемент делят на (j'm'kq \ jm)/\/r2j + 1. При
злом согласно формуле (1.104) получают значение приведенного
матричного элемента <Zj\\T{k)\\j' >, которое не зависит от выбранных
значений чисел т, ш', с\. Очевидно, что для конкретных вычислений
следует использовать такие значения проекций т, т' и q, чтобы
матричный элемент < jtn\ Г(/г)| j'm' >> вычислялся простейшим образом (и в
то же время был отличен от нуля). Удобство и ценность теоремы Виг-
нера — Эккарта состоит в том, что, найдя непосредственным
вычислением одного из матричных элементов <C//?z|T,(/e)|/"m/>> приведенный
матричный элемент, можно получить остальные (2/ -|- 1) (2/' + 1) (2k + 1)
элементов такого типа с помощью таблиц коэффициентов векторного
сложения.
Пример 1. Вычисление приведенного матричного элемента
оператора момента количества движения <C/||J||/Z>. Наиболее просто
рассчитать матричный элемент оператора Jz = J0: < //л|«/0|/'/7г'> =
т. Подставляя это выражение в (1.104) вместе с
коэффициентом векторного сложения (//яЮ | jtn) — ml\fj (j + 1), получаем:
</|р||/'> = bjyViU+iW+t).
В частном случае спинового момента
<s=l/2||?||s-l/2>-j/3/2,
или для матриц Паули:
< 1 /2 || а|| 1/2) = ]/б.
Пример 2. Приведенный матричный элемент от сферической
функции. С помощью формулы (1.91), используя ортопормированность
сферических функций, получаем:
фп | Yhq |/' /я') = \^{%'^ l)J2k^ V) (Г m' kg I Im) (/' OfeO 110). (1.112a)
Отсюда находим:
ОII Yh||Г> = ]/ (21' + 1)(2/г + 1)/4я(Г 0/г01/0). (1.113)
Если положить к = 0, то из (1.112а) получим:
<^111||/'> = 6/ГК27Т-Т
П р и м с р 8. Спин-тензоры, В теории поляризации частиц с
ненулевым спином s важную роль играют так называемые спин-тензорные
операторы, или просто спин-тензоры. Спин-тензором Th (s)
называют неприводимый тензорный оператор ранга k> построенный из
оператора спина частицы s. Требование определенной тензорной
размерности оператора Th (s) вместе с условием, что он строится из операторов
39

■I
компонент спина, однозначно (с точностью до нормировки и фазового
множителя) устанавливает вид спин-тензора. Можно выбрать в качестве
компонент спин-тензора Thq (s) операторные функции yhq (s), где
У'м — пространственные гармоники (1.25), as — оператор спина
[поскольку операторы sx, s!n sz не коммутируют друг с другом, то пронзве
дения типа ху в ^kq (s) надо заменить симметризованпым
произведением (1/2) (sxsu -\-sf,sA) и т. п.]. Те же тензоры Thq (s) можно строить
согласно другой формуле:
где неприводимый тензор Tkq (s) ранга k строится путем
последовательного перехода от тензора Г2 (s) к тензору Т3 (s) и т. д. Что касается
нормировочного и фазового множителей, то разные авторы выбирают их по-
разному. Так, в теории угловых корреляций (см. тему 4) принято нор-
мировать Thq (s) условием <.j\\Tk (s)||y> = У 2k + 1, что
эквивалентно следующему условию для его матричных элементов:
<jm\Thg(?)|/m'>= (-1)/-*(jmj-m' \kg). (1.114)
Отметим вещественность матричных элементов (1.114): это означает,
что эрмитово сопряжение спин-тензора сводится к его
транспонированию:
гйй=?м6).
Условию (1.114) соответствует, в частности, следующий выбора
Thq (s) =- Y 2k + 1 VAnk\j(2k + 1)1 ^ ft, (s).
Отсюда, например, при k = 2 имеем:
T2./(?)-=l/r30fs(5!+I)(2s-l)(2s-|-l)(2s I 3)Г l/2 X
x [?'> x'swtf0.
Спин-тепзоры 7\f/ (s) удобно использовать в качестве
эквивалентных операторов (см. § 1.14).
§ 1.16. МУЛЫ И1 ЮЛЫ IOL ГАЗЛиЖСНШ СКАЛЯРНЫХ ФУНКЦИИ
Важным приложением техники неприводимых тензорных операто"
ров, теоремы Вигнера — Эккарта и понятия приведенных матричных
элементов является разложение различных функций и операторов по
мультиполям. Здесь мы рассмотрим разложение однокомпонентных
(скалярных) функций. Следующий параграф посвящен нспользованню
мульти нольпых разложении операторов для вычисления их матричных
40

Элементов. Мультиполы-юе разложение векторных функций
рассмотрено в § 1.20.
Мультнпольным разложением скалярной функции называют ее
представление в виде ряда по сферическим функциям {Yim (0, (р)}.
Хорошо известными примерами такого разложения являются
разложение плоской волны с волновым вектором q
«p(iqrj = 4ffl 23 *'/,(70Пт(пч)Г|м(пг) (1.115)
/=.0 т^—1
п потенциальной энергии взаимодействия двух зарядов ег и е2:
- £уЧ = 4пе± е, х
' — ^т+\Уг[^\УЬп{щ)У1т(^ при Г1>г2;
— 2(2/+ l)-1^ Y *7* (п.) У|м (nj при rx<r,.
На данном занятии рассмотрены мультипольные разложения
некоторых скалярных функций одной векторной переменной, играющих
важную роль в атомной и ядерной физике.
1. Пусть р (г) есть оператор плотности заряда, а |<Щ> — некото-
рос состояние системы с полным моментом J и проекцией М. Тогда
плотность заряда в окрестности точки г в этом состоянии есть
р (г) = <JM I fT(r) I JM>. (1.116)
Наряду с плотностью заряда часто возникает необходимость в
недиагональных матричных элементах оператора плотности заряда
Pfi(T) = <J,Mf\^(r)\JiMi>9 (1.117)
которые обычно появляются при рассмотрении квантовых переходов из
состояния \JtMC> в состояние \JfMf >. Поэтому функцию pfi
называют зарядовой плотностью перехода i->- / или переходной
плотностью. Плотность заряда р (г) — это частный случай переходной
плотности при i ~ f. Оператор плотности заряда для системы N точечных
частиц имеет вид:
р(г)= S^Str-O, (1.118)
где еп — заряд /т-й частицы, а гп — ее радиус-вектор.
Совершенно аналогично можно ввести понятия плотности вещест-
ва в дайной точке и переходной плотности, если под р (г) в (1.116) и
(1.117) подразумевать оператор плотности частиц. В случае системы N
точечных частиц он дается формулой (1.118), где надо положить еп—\.
Представим б-фупкцию из (1.118) в виде
б (Г - ГЯ) = (1/^)6 (г - /п)6 (!!,. - Л,п) (1.1 19)
41

и 1ю 'польмуемся условием (1.20) полноты набора сферических функций:
S Уш (л,) YU (пГв) = 6(п, - пг„). (1.120)
Подставляя (1.120) в (1.119), получаем мультипольное разложение
б-функции:
«('• - г») = 4 6 (г - г„) 2 Г„„ (п,) ГГ„, (п. ). (1.121)
' 1т
Подставляя (1.121) в (1.118) и используя теорему (1.104) Вигнера —
Эк карта, приводим (1.117) к виду
(г) = v ЛиЩЬп^Щ j u {r) Y ( хт
где
N
J;\ (1.123)
№-Y*£<j'
■\ У ft. в (г - г») Л, (cos 0„)
11=1
/
— приведенный матричный элемент, который называют /-полмюй
компонентой зарядовой переходной плотности.
Соотношение (1.122) представляет собой мультипольное
разложение переходной плотности. Количество содержащихся в нем
/вольных компонент ограничивается правилами отбора для коэффициента
Клебша — Гор дана {JtMi lm \ JfMf):
\Ji — Jj] </</, + Jf. (1-124)
В частности, при Jt — J} = 0 имеем / ■= 0, т. е. переходная плотность
всегда изотропна. Кроме того, должно выполняться правило отбора по
четности
(~\У^щпр (1.125)
где iii,sif — четности состояний I и/. Здесь принято во внимание, что
четность полинома Лежандра Р[(х) есть (—1)'. Из (1.125) следует, что
/ может принимать в данном переходе i-*- f либо только четные, либо
только нечетные значения, в зависимости от четности sitnj. Пусть,
например, Jt = 3/2, эх* = — 1, Jf = 1/2, nf = — 1. В этом случае
возможно только одно значение 1 — 2.
Рассмотрим специально случай i~f, когда зарядовая переходная
плотность сводится к плотности заряда. Согласно (1.124) и (1.125) в
этом случае 0 ^ / ^ 2 J (I — четное), где J — полный момент
рассматриваемого состояния. При J = 0, 1/2 имеем / = 0,т. е. квантовая
система, находящаяся в состоянии с полным моментом меньше единицы,
всегда имеет сферически-симметричное распределение заряда. Если / =
= 1, 3/2, возможна квадрупольная деформация. При J = 2, 5/2
добавляется возможность деформации с I = 4 и т. д. При этом деформация
определяется /-польными компонентами pfJ плотности заряда,
которые, в свою очередь, согласно (1.123) однозначно определяются
волновой функцией рассматриваемого состояния.
42

С другой стороны, степень деформации распределения заряда
системы принято характеризовать статическими мультипольными
моментами Qh которые по определению являются средними значениями
оператора мультипольного момента
Qlm - 1/"4я/(2Л-1)| П YUn (vlr) JT(r) d3 r (1.126)
при т — 0 в состоянии \JM > с М = J, т. с.
0/==<//|0/о|^>. И.127)
Подставляя (1.126) в (1.127), получаем
сю
Qt = V4n/(2J + l)(2l+l)(JJl0IJJ) [ r*+2piJ(r)dr, (1.128)
о
т. е. Qi однозначно определяется функцией pi (r).
2. Далее рассмотрим преобразование Фурье зарядовой переходной
плотности
^(Я) = $ехр(14г)рл(г)£/*л (1.129)
Эту функцию называют зарядовым формфактором перехода из
состояния i в состояние /. При i = / получаем зарядовый формфактор
данного состояния. Совершенно аналогично вводятся понятия
формфактора перехода и формфактора данного состояния, если в (1.129) под
pj4 (г) подразумевать переходную плотность пли плотность вещества.
Подставляя в (1.129) мультппольпые разложения (1.115) и (1.122),
получаем
Fn (q) = 4я ^ i' «"'^'> Уш(±) X
Xj U{qr)9if l(r)r*dr. (1.130)
о
Это и есть мультипольиое разложение зарядового формфактора
перехода i-> /. , '' щ.
Зависимость зарядового формфактора перехода от структуры
рассматриваемых состояний полностью определяется радиальными
интегралами, содержащими мультипольные компоненты зарядовой
переходной плотности ppJi (г). Поэтому удобно использовать мультинольные
компоненты зарядового формфактора перехода, которые определим
соотношением
fi'Wfl-l/ 4* Г(а+,')!'(./г./гЛ)|^)х
V" V (21 -1-1) (2Ji-\-\) ql l l l ' j l}
0
43

11орми|ювочный множитель выбран здесь таким, чтобы при малых
значениях ц мультипольные компоненты зарядового формфактора
переходили в соответствующие статические мультипольные моменты (1.128):
FiJ(Q)^Ql при <7->0.
В этом легко убедиться, используя следующее представление
сферической функции Бесселя при малых значениях аргумента : jt (x)->-
-*-xl/(2l-j- 1)!! при х-+ 0.
Заметим, что правила отбора для мультипольиых компонент
зарядового формфактора перехода совпадают с правилами отбора (1.124)
и (1.125) для мультипольиых компонент зарядовой переходной
плотности. Поэтому количество членов в разложении (1.130) такое же, как в
разложении (1.122).
§ 1.17. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МУЛЬТИПОЛЬИЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ
ОПЕРАТОРОВ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИХ МАТРИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
Под мультппольным разложением оператора понимают его
представление в виде суммы неприводимых тензорных операторов. Найдем
мультипольное разложение тензорного оператора следующего часто
встречающегося вида:
?(г)=ф(г)Т£*\ (1.131)
где ф (г) — произвольная скалярная функция г, а г£/0 —
неприводимый тензорный оператор ранга k.
Разлагая функцию ф (г) по сферическим функциям
ф (г) = У, aLML f) Vlmj (0, ф),
LML
приводим (1.131) к виду
?(г)- 2 aLML(r)Ylml(0, Ф)Г<*>. (1Л32)
Введем тензорный оператор
Qjmj - 2 (Ш^ f¥I JMj) YLml(Q, <p) Г™, (1.133)
ML\x
Который согласно (1.102) является неприводимым тензором ранга J.
Тогда (1.132) принимает вид:
UMj J
где
ЛЙГ, « - 2 (Ш^ ЫI Mj) aLAlL (r).
\

Это искомое мультиполыюе разложение. В частном случае k = 1
имеем векторный оператор Ух = Т^1*, у,— 0, ±1 ц Qjmj =
— (Vjmj (0, <p)*V), где Yjmj (в, ф) — векторная сферическая функция
(см. §1.19).
Далее найдем матрицу оператора (1.131) в представлении одночас-
тичных функций \nlsjmr>. По теореме Вигнера — Эккарта с
использованием разложения (1.134) получаем:
<л' /' sf т' | ? (г) | ntsjtn> = (2/' + 1)~'/2 2 (LMl ЫI JM^) x
LMjJMj
X (//и.Шу | /' т') <ri V sf || aL (r) Q£* || /tfs/>.
Согласно (1.133) оператор Qjmj есть неприводимое тензорное
произведение операторов Уши и Т^:
Q&, - [П X f<*>]#> . ' (1.135)
Поэтому в соответствии с § 1.15 приведенный матричный элемент one
ратора Qjm/ выражается через приведенные матричные элементы
операторов-сомножителей. Если Т]х действует только в координатном
пространстве как Ylml, to согласно (1.107)
<*' V sf || aL (r)Q? (г) || w/s/> = (-1)'+/-/ [(2/+ 1) (2/' + 1) х
x<ft'/'||VL||iVeL'><W*L'||aL(r)?<*)(r)||rt/>.
Подставляя сюда формулу (1.113)
</г' Г ||KL|| N' Z/>= [(2L+ 1) (2L' + 1)/4я]«/з (L« 0L0| г 0) 6;i,w,}
(1.136)
получаем
^/г' V sf || aL (r) Q}* (г) ||я/5/> = (-1)*+/-' [(2/ + 1) (2/' + 1) х
X (2У-| 1)(2/, + 1)/4л]'/2| ' S '/
X (Z/ 0L01 Г 0)</i'L< [| aL (r) f<*> (r) || nl>.
45

(I)
I win оператор 7 „ действует только в спиновом пространстве, то
пн ЛсК-пи (1.109)
<л' V 5/"|| aL (г) QJ-* (г, а) || «/s/> =
= К2/+ 1) (2/' + 1) (2/+ 1) (2L-|- 1) (2/+ 1)/4jx]'/2 x
х ^ * -Л (10LQ | /' 0)< п' /' || <7L (г) || /г/>< s || Я*> (о) || s>.
. / s / ,
Далее рассмотрим случай, когда оператор Ти] действует в
координатном и в спиновом пространстве, но имеет специальный вид —
является неприводимым тензорным произведением
f<*> = |р(Д.) (r) x £<*,, (J)]{ft)f (1 л37)
причем неприводимый тензорный оператор Р^к^ (г) действует только в
координатном пространстве, а оператор R{k*> (а) только в спиновом.
Подставляя (1.137) в (1.135), получаем
Ъ% =[yl хГ?*> (r) х Я<*'> Шк)]% .
Воспользовавшись формулой (3.3.3) из [6], изменим схему связи
тензоров в этом соотношении :
'Qjaij =(-l)**+L+*-+'2 \f (2L' + l)(2fe+l) X
L'
J k2 k
[yt x "?<*•) (r)F> XR('h) (Щм] .
Здесь оператор ранга V действует только в координатном
пространстве, а оператор Р<**> (а) — только в спиновом, поэтому согласно (1.109)
<яТ s/' || aL (r) QJ* (г, о) || n/s;> = (- \)b+L+b+J % [(2Z/ + 1) X
L'
X(2/H 1) (2J h 1) (2/+ 1) (2/' + l)]i/2 ( /ei L L'\ x
I / k2 k )
X
// д2 J'
V s j'
It s j t
<«'/' ||a,. (/) \Yl X P(fti) (r) ](L'J || «/><s || tf(''2) ЙЦ s>,
где согласно (1.107)
<n' /' j|^.(r)|y/.x'P(*l)(r)](L')|fl/> =(-\y+f+LtV2L' +1 X
xslL, iiYi<"'/'iiyLii»i/i><ni/iiifl'-w^(*,)fr>ii,i/>-
4G
/

Подставляя сюда (1.136), получаем
<п' /' \\aL (г^П х P(ftl) (r)](L) I) nl> -
X (/х 0L0 | f 0) </?' /г I aL (rfp^ (r) n*>.
/
x
Таким образом, мультпполыюе разложение операторов позволяет
свести вычисление их матричных элементов к вычислению
сравнительно простых интегралов.
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 1.3
1.20. Показать, что смешанное и двойное векторное произведение
векторов можно представить в форме тензорных произведении вектор-
пых операторов:
(АВС)-(Л.[ВхС])=-11/Т(Л<1Ч£0> х С<]>]4>)-
«мУЧМЛ^ЧВ0) х C<I)]<|)li°' = i'|/""6*[[i4<nxB(,>](,> х cojj,0»;
[[AxBlxC]^ - -2 [[ЛОхЖ'^ПхО1)]^.
1.21. Используя формулу (1.52) для бесконечно малых поворотов
вокруг осей х, у, z, в которой сохраняются только члены первого
порядка малости по углу поворота д%, доказать следующие соотношения:
[Ъ. rj*] = 2 <-kP Pt I bq > fw ,i = x9y,z.
p
Из этих соотношений следуют формулы:
y±»iflj=a|/ "J ^±I}
которые в литературе часто рассматриваются как определение
тензорного оператора ранга k вместо (1.98).
1.22. Построить из операторов спинового момента s все пять
компонент спин-тензора Тт.
1.23. Квадрупольный момент системы Z электронов атома (или Z
протонов в ядре) определяется как симметричный тензор
z
В [3, § 751 рассматривается усреднение этого оператора по состояниям
Z частиц с полным моментом J и проекциями Mj и говорится, что в
такой ситуации оператор Qm может выражаться лишь через операторы
47

величии, \jрлктср1муюпт,нх состояние атома в целом. Единственным та-
клм иск горим является вектор J. Поэтому оператор Qik должен иметь
нид"
Qik =
3Q
2У(2/—1)
Ji J h Н~ «* h J i
J2 б
ih
Здесь Q — < J./|Q/71././;>. Прокомментировать эти соображения с
точки прения теоремы Внгнерл — £)к карта и метод;i эквивалентных
операторов. Показать, что
<JM\Q„\JM> =
3Q
/ (2У—1)
М>
3
J(J+\)
1.24. Доказагь, что векторы <JM |A\JM > и <УЖ|ЛиЖ>парал-
^ з ^
лелытьт друг другу. Здесь А = ^j Л^ — произвольный векторный опе-
,—. 3 ^
ратор; J ~ i Jfii —вектор полного момента количества движения си-
стемы; \JM> — волновая функция состояния с моментом J и его
проекцией М на ось z\ ег — единичные орты декартовой системы
координат.
1.25. Вычислить матричные элементы
</i A; J \[°rai)\ h h J •*'>. < к V> /i |( ! -"s)| к 4 /2>»
где j/—lj + Si-
1.26. Вычислить спиновую часть матричного элемента тензорных
сил:
<к L LS : J
:——■—— l0i'°W
12
i- /„ Lj СЪ , J ^>.
Сформулировать правила отбора.
Указание: выразить оператор тензорных сил в виде
скалярного произведения двух тензоров второго ранга L<2> и 2(2), где Lg2) =
= [ri2xr1B]J2); 2|2) - [Я X <ra]J2); ria = r1 — r2.
1.27. Свести к радиальным интегралам матричный элемент
ку«поповского взаимодействия двух электронов
</j h\ L
I *\~г2\
l\ I»] L Z>.
У к а з а и и е: разложить е2/ [гх — г2| по полиномам Лежаидра,
воспользоваться теоремой сложения для сферических функций и
формулами алгебры тензорных операторов.
1.28. Получить выражение для нормировки N (к) спин-тензора
произвольного ранга,
48

\
1.29. Рассчитать Все мультипольныё Компоненты плотности заряда
для возбужденного состояния 2;;3/2 атома водорода.
1.30. Рассчитать все мультипольныё компоненты плотности заряда
для следующих состояний атома гелия в модели LS-связи: a) \s2p\LP1\
б) ls2/>:3P0,i,2; в) \sM'}D^ г) ls3d:* Dll2,3; д) (2pf:1D0; e) (2р?:*Р0,Ъ2.
1.31. В осцилляторной оболочечной модели рассчитать все
мультипольныё компоненты плотности вещества и плотности заряда для
основного состояния 5/2+ ядра 170, которое можно рассматривать как од-
почастпчное состояние Ыг/2 нейтрона в поле певозбуждсшюго остова
160.
1.32. Волновая функция дейтрона имеет вид:
|*> = as|»S1> + aJt,|8D1>>
где \as\2 + |aD|2 — 1. Выразить мультипольныё компоненты
плотности вещества и плотности заряда через радиальные функции Rs (r) и
RD (г) состояний pS1 >- и |3Z>X > .
1.33. Волновая функция основного состояния ядра fiLi в
оболочечной модели имеет вид:
|ф> = as\(lsy(\p)*:*Si> + aP\ (Is)4 (1р)2:]Л> +
+aD|(ls)4(l/?)2:3D1>.
Считая радиальные волновые функции нуклонов осцилляторными,
выразить все мультипольныё компоненты плотности вещества и
плотности заряда через коэффициенты as, ap, aD.
1.34. В условиях упражнений 1.29—1.33 вычислить статические
мультипольныё моменты.
1.35. В условиях упражнений 1.29—1.33 рассчитать
мультипольныё компоненты Соответствующих формфакторов. Рассмотреть их
поведение при малых значениях импульса и сравнить с результатами
упражнения 1.34.
1.36. Рассчитать все мультипольныё компоненты переходной
плотности заряда для переходов между следующими состояниями атомов:
а) Н: ls1/o~+2p1/2l2p3/2;
б) Не: (Is)2 : lS0-+ ls2p : хРг; в) Не : (Is)2 : % -> ls3d : W2.
1.37. Рассчитать все мультипольныё компоненты переходной
плотности вещества и плотности заряда для перехода между основным
состоянием ядра 6Li (см. упражнение 1.33) и его возбужденным
состоянием (ls)4(l/?)2:3D3.
1.38. В условиях упражнений 1.36 и 1.37 вычислить
мультипольныё компоненты соответствующих формфакторов.
1.39. Выразить через радиальные интегралы матричный элемент
Oi'/'s/'m'|ехр (—\qr)F\nlsjm>, где q —векторная константа, а
оператор F принимает следующие значения: а) 1; б) р; в) с; г) (or • р).
I
i

3 .in я т и е \A
ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
§ 1.18. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ ПРИ ПОВОРОТАХ
КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ \
В § 1.9 уже рассматривалось преобразование векторной функции
t|:>(r) при повороте координатных осей па утл fix, вокруг оси п и было
показано, что в повернутом системе коордиият компоненты этой
функции имеют вид (1.67):
^W= 2 (afft I » Sx (n-1) 6ift—вх S ътп} W (Г).
k=-i /=i /
Отсюда следует, что матрица оператора поворота R (n, 6yJ в декартовом
базисе {ej}J трехмерного конфигурационного пространства есть
Я,Л(п, бх) = 6lh + 1бХ (У„)|Л, (1.138)
где
Un)ift = fiift^i + (sn),A; (1.139)
/п = п« 1 — оператор проекции орбитального момента па ось
вращения п;
з
(Sn)ift=—i 2] ЪмЪ- (1Л4°)
- Сравнивая (1.140) с оператором поворота для скалярного поля
(1.60), видим, что в случае векторного поля к оператору /п проекции
орбитального момента добавляется эрмитов оператор s„. Рассмотрим
свойства этого оператора.
Особенно простой вид его матрица принимает при поворотах вокруг
базисных ортов {e(}J, когда щ = 6itt t — 1,2,3. Подставляя это
значение П] в (1.140), получаем
fehft = — Щи»
1
1
1
1
т. с.
/0 0 °\ ^ / 0 0 — i \ ^ /0 —i 0\
7^1 о о — и; ^2=( оо о J; ?-=( i о о •
\ 0 i 0/ \ — i 0 0 / \ 0 0 0 /
(1.141)
Легко проверить, что эти операторы удовлетворяют коммутационному
соотношению
^ ^ з ^
Is/» su\ = * 2j s/"u Sv>
50

которое имеет точно такой же вид, как и коммутационное соотношение
для декартовых компонент момента импульса. Кроме того, $? — 2/.
Отсюда следует, что операторы {st)l являются операторами компонент
момента s = 1. Поэтому векторное поле можно интерпретировать как
волновую функцию частицы со спином 1. При этом оператор sn есть
оператор проекции спина на направление п, а соотношение (1.139)
выражает оператор проекции полного момента частицы через операторы
проекций орбитального момента и спина. Поскольку в этом
соотношении вектор п произвольный, можно ввести векторный оператор
полного момента J = Ь/+ s, где s — векторный оператор спина, любая
проекция которого дается формулой (1,140), а / — единичный оператор
в спиновом пространстве.
Оператор бесконечно малого поворота для векторного поля
согласно (1.138) имеет вид: R (п, бх) = / + i6%/n. Отсюда для оператора
поворота на любой конечный угол % вокруг оси п получаем R (п, а) =
= exp (ia/„).
Если орбитальный момент векторного ноля равен нулю (/ = 0),
то полный момент сводится к спиновому, а оператор поворота
принимает вид:
R (п, а) — I + i *in as,, + (1 —cos a) s%.
Далее обсудим вопрос о выборе базиса. До сих пор мы
пользовались декартовым ортогональным базисом {e*}J. Обычно в квантовой
механике удобнее другие базисы, а именно совокупности собственных
векторов какого-нибудь эрмитова оператора. Чаще всего используют
собственные векторы оператора проекции момента на направление,
которое называют осью г. Найдем собственные векторы оператора s3.
Решая задачу на собственные значения для этого оператора [см. (1.141)1,
получаем его собственные векторы в представлении \^t\\\
6i=-
V2
т. е.
%±i
VI
(ецЫе2),10:=е3. (1.142)
При этом s3|(l = ц|д; |i = 0, ± 1, т. е. ц есть проекция спина (в
единицах h) на вектор е3 (ось z).
51

bn.iiic {£ц}(г=о> ±1 будем называть циклическим (или сферическим)
базисом. Он не является вещественным; его компоненты
удовлетворяют соотношениям:
S;=(~l)*S_(l; (1.143)
3
т. е. циклический базис ортонормирован.
Под разложением произвольного вектора V по циклическому
базису будем понимать представление вектора V в виде линейной
комбинации векторов IJ, т. е.
v= s v»%' (1Л44) *
ц = 0, ±1
где^-О^м)-
Подставляя (1.143) в (1.144), получаем эквивалентное
представление вектора:
В циклическом базисе координаты 1/ц вещественного вектора, вообще
говоря, не вещественны и удовлетворяют соотношению 1/J — (—IJ^V—ji.
При этом скалярное произведение двух вещественных векторов
можно записать в виде
(v.w)= 2 (-\yv-vW»,
§ 1.19. ВЕКТОРНЫЕ СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Для мультипольного разложения скалярных функций были
использованы сферические функции, которые образуют базис
неприводимых представлений группы тремериых вращений. Подобно этому
для мультипольного разложения векторной функции тоже следует
выбрать такой базис, в котором любое представление группы вращений
распадается на неприводимые. Как известно, этому требованию
удовлетворяют собственные векторы оператора J2 квадрата полного
момента и оператора Jz проекции полного момента на ось г. Поскольку
векторная функция при повороте преобразуется так же, как волновая
функция частицы со сшшом s=l, можно сразу указать искомый базис,
если воспользоваться известным правилом (1.27) для построения
векторов \LSJJZ > из векторов \LLZ~> и |SSz>:j
\LSJJt>= 2 (LLZSSZ\JJZ)\LLZ>\SSZ>.
LzSz
Согласно § 1.18 в качестве векторов |55г> можно взять орты
циклического базиса {||щ}ц=о, ±и даваемые формулами (1.142), поскольку
они описывают спиновые состояния с определенными значениями про-
52

екции спина на ось z. Окончательно получаем следующий набор
базисных векторов на поверхности сферы:
. *Jw <°> ФН S (LfnlV I JM) Yl™ <9> (P) b- 0-145)
/n= —L
li—0, ±1
Эти функции удовлетворяют условию ортонормировашюстн
Г ЧУ>*М' (°> СР) YJAf (в. Ф) d (C0S °) ^Ф = 6"' 6ЛШ' 6LL'
ii условию полноты
2 Yjfc (G, ф).\^ (О', q>') = 36 (cos B-cos 0') б (<р-У). (1-146)
им
Функции Yjm (0, ф) называют векторными сферическими функциями
(гармониками).
Термин «векторные» соответствует тому, что каждой точке (0, ф)
на поверхности сферы сопоставляются три числа. С этой точки зрения
функцию Ylm (О, ф) можно было бы назвать скалярной сферической
функцией, поскольку она каждой точке (0, ср) ставит в соответствие
одно число. Однако эти термины не имеют никакого отношения к
закону преобразования этих функций при поворотах системы координат.
Действительно, функции {Ylm (0, ф)} при данном / преобразуются
по неприводимому представлению DU) группы вращений и образуют
неприводимый тензор ранга /. Векторные сферические функции
{ijM (б, ф)} при данном J преобразуются, как это следует из (1.145),
по представлению D^J) группы вращений и образуют неприводимый
тензор ранга J,
Из определения (1.145) видно, что векторная сферическая функция
YjAf (0, ф) является собственной функцией операторов J2, Jz, L2,
S2 и оператора инверсии Р:
я^м(0,ф)-^(./+1)\^(0,ф);
^2 Пи (МрН ММ-1) yjm (е, ф);
^VjM(0(4))-S(S+l;Y^(e^);
?Пл1 №. чО- (- -1)'"1 J ^Л1 (0, ф). (1.147)
Условие полноты (1.146) векторных сферических функций на
поверхности сферы позволяет использовать их для разложения
произвольной векторной функции F (г):
F(r)=2/J«WY^(6,4)), (1.148)
им
53

I ДО
f$M W = J F(r)-YJ-J (0, <p) d (cos 0) dq>.
Используя (1.145) и разложение (1.144) для вектора F, получаем
Гш (/) = 2(-1)М^'"1-НЛИ) Г Y'Lm (0, Ф) Ftl (r) dQ, (1.149)
где
МО = (F (гНД м---О, ±1
— циклическая компонента вектора F.
§ 1.20. МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим некоторые примеры мультиполыюго разложения
векторных функций, т. е. представления их в виде линейных комбинаций
векторных сферических функций.
Пусть
F(r)-V(r)Ya(e, Ф), (1.150)
где V (г) ■— произвольный векторный оператор. Для мультиполыюго
разложения этой функции надо прежде всего вычислить интеграл,
входящий в коэффициент разложения (1.149):
'%ь М = \ П,п (6. Ф) % М У* (0. Ф) dSi.
Согласно (1.99) циклические компоненты {ViX} векторного оператора
являются компонентами неприводимого тензорного оператора ранга 1.
Поэтому по теореме Вигиера — Эккарта
K2L + 1
где приведенный матричный элемент содержит интегрирование только
по угловым переменным 9, ф и является некоторой функцией г.
Подставляя (1.151) в (1.149), находим коэффициенты разложения
Ufa (r) = 6jt^(-\y-^^^^. (1.152)
К2Н-1
Подставляя (1.152) в (1.148), окончательно получаем
V (г) Уа(0, ф)^(-1)Н-х<МП2^ Yk(0,4.), (1.153)
где суммирование проводится по всем значениям L, удовлетворяющим
условию треугольника для L, /, 1. В эту линейную комбинацию
входят только те векторные сферические функции Mjm, для которых ,/ = /,
М = X. Поэтому можно сказать, что векторное поле (1.150) имеет
определенные значения полного момента / и его проекции Я.
54

Как будет показано в теме 2, электромагнитное поле Б'ряде случаев
имеет вид (1.150) с оператором V (г) — grad /(г), где / (г)— некоторая
функция. Соответствующий приведенный матричный элемент легко
вычисляется:
L\\Vf(r)\\l>= \
V/+l(^-—J-)/W при L^t + l;
0 при L —/;
VI (^ + ±y-)f(r) "Р" ь-/-1,
а мультиполыюе разложение (1.153) пмсег следующий вид:
grad [/ (г) Кл (0, «,))] = I/ f77^ ( iL Н. I±j_) / (г) Vjri (Bj ф) _
_/ /_^_ , И-1
2/+ 1 \rfr г
-l/r5ff(^-f)'WY«-,p)'*>- (1Л54)
Это соотношение называют градиентной (pop мул ой и его широко
применяют на практике.
Введем следующие три векторные функции на поверхности сферы:
Y <;> (0, Ф) = ' Va Yjm (0, ф) ; (1.155)
V J (J-l-i)
YjJi (П, Ф)= , ' tyJM (0, Ф); (1.156)
У5«,)(0,ф) = пКу«(в, ф), (1.157)
"^ 1 Д
гдеУй^ее f еф —угловая часть оператора градиен-
00 sin 0 dtp
та; L — оператор орбитального момента; п = г/г — единичный
вектор в направлении ег.
Функции Mjm (6, ф) имеют вид (1.150). Используя соотношение
(1.153), находим связь функций {У(/м (0, ф)} с векторными
сферическими функциями:
т (о. ф)=l/"ijjr- Y«' <°- ч>) -|- j/iTTi Y«'(G-ф); {U58)
т(О.Ф) = ^«(в.Ф); (1-159)
ЪЛ1> (°-(i)) = l/i7Tl Y'«' (°> ^-"l/^TlY™'(G'ф)- (U60)
Нетрудно проверить, что функции {YSai (6, ф)} образуют ортонор-
мированиый базис в пространстве векторных функций на поверхности
сферы. Замечательной особенностью этого базиса является то, что век-
55

торы YjVi h YiVi ортогональны вектору п, а вектор Y^11 Ko.n.nlitii'npCIi
ему:
п-¥й>(е.ф) = 0;п^<й(0>Ф) = 0; (1.161)
[nxY$> (0, ч>)] = 0. _ (1.162)
Этот баяне можно назвать продольно-поперечным. Во многих случаях
он представляет определенные удобства при выполнении различных
векторных операций с векторными сферическими функциями, сводя их
к простым преобразованиям операторов.
Пусть, например, необходимо выполнить мультпполыюе
разложение вектор ион функции \
F(r) = rotJ/(r)Y^(0^)),
где / (г) — произвольная скалярная функция. Прежде всего с
помощью (1.158)—(1.160) выразим MjM через \(/м:
(в, <р) = ]/щ~[ YW> <9' ф) -~\f-^\ Y^(,) (в- ч* 0■ 163>
Уш(0,Ч>) = У$оМф); (1.164)
Yjm1 (в, ч>)= j/^-gtl via (0, Ф) + ^-щ\ Y5«° (0, Ф). (1.165)
Теперь задача сводится к вычислению функций
Ф<*> (г) - rot (/ (г) Yft} (6t ф)), % - 0, ±Ь
Используя определения (1.155) — (1.157), имеем:
Q(i)(r)^_J ТУхУп1/(г)У^(0,ф); (1.166)
У/(У-И)
<&(0)(r) = -=!=^[Vxt]f(r)r^(et9); (1,167)
<S>{-l)(r) = [Vxn]f(r)YjM(Qt ф). (1.168)
В результате простых преобразований получаем:
[VxVQl = i(l/r + d/dr)L; (1.169)
[V хГ] = i (1 /г + d/dr) Vfi + (i/г) nt2; (1.170)
[Vxn]- — (i//-)T. (1.171)
5G
i

Подставляя (1.169) — (1.171) в (1.166) — (1.168) и
1.155) — (1.157), находим
Ф<*> (г) - i (iifdr -V \Ir)f (r) Yft} (В, Ф);
Ф(иЧг) - i (d/dr+1 /г) / (г) У(Л\ (0, ср) +
+ 1]/"У(У+1)(/(/-)//-)У^')(0,ф);
Ф«-о (г) = -i y^TTTTT)-^- УЙ1(0, сР).
используя
(1.172)
(1.173)
(1.174)
Наконец, используя (1.163) — (1.165) и (1.172) — (1.174), получаем
rot (f (r) Yi*' (0, q>)) = i ]/^~ [~ + ^-)/(г) Xiu(6. Ф);
Пг)Ш'Ф,<р) +
rot (f (г) YJ,7' (0, ф)) = i \f{~ (-£- -^) / (О tf * (О, Ф).
Рассмотрим еще один пример, иллюстрирующий удобство
использования продольно-поперечного базиса (1.155)—(1.157) при мульти-
польном разложении векторных функций. Пусть F(r)=(S-V)x
х / (r) 4jm (0, ф), где / (г) — произвольная скалярная функция, а
s —оператор спина 1. Используя (1.163) — (1.165), сводим задачу к
разложению функций
(М
GW (г)- (S-V)/(r) ¥П1(«. Ф). 31 = 0, ±1,
которые согласно (1.155) —■ (1.157) представляются в виде
G^rHfS.VJVK^O.q)),
где
V =
1
У j {j+ ij
1
Vq при л= 1;
L при Я, = 0;
У/(У-hi)
п при К-
L
57

Используй (1.140), для произвольных векторных операторов А и
Ь, не зависящих от спина, легко получаем (S-A)B = i [A X В].
Поэтому сразу находим G(?v) (г) = i[V X Vl Yjm (0, ф), что с учетом
(1.160) — (1.171) даст
0<я> (г) - Wb (г),
где Ф^) (г) определяется формулами (1.172) — (1.174).
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 1.4
1.40. Доказать, что векторные сферические функции образуют
полную ортонормированную систему векторных функций на поверхности
сферы. То же для функций {Y&J (0, <р)}.
1.41. Доказать соотношения (1.161) и (1.102).
1.42. Доказать соотношения (1.158) — (1.160).
1.43. Найти мультипольиые разложения функций: a) n-YJ^
б) [п X Yjwl; в) div (/ (г) YjAf (0, Ф)); ?) (S - n) / (r) Y^ (0, ср);
Д) (r-V)/(r) Yjju (в, ф); е) (S-Tl) f(r) Yj*A, (0, Ф); ж) (L^) / W Yjm (0, ф).
Здесь n = r/r, / (r) — произвольная скалярная функция.
1.44. Найти мультипольное разложение плоской поляризованной
волны е(к) ехр (ikr), где е(к) — вектор поляризации. Записать его в
1 частном случае, когда е (к)-к = 0. Упростить эти разложения, направ-
1 ляя полярную ось системы координат вдоль к.
| 1.45. Доказать соотношения:
a) <rt'r5//||Yj.T||nte/>=(-l)W+«+/6nn^(2/+l) X
I X [I (И- 1) (2Г + 1) (2/+ 1) (2/' + 1) (2/+ 1) (2L+ 1)/4?г]!/2 X
IV Г s\ (L 1 J\ (V L V
I 1/ / j\ \i v /До о о,
6) </i'/'s/'||Yjr.s||n/s/>^(-l)''6nn- X
X 1(21-\-1) {2V +1) (2/+1) (2/' + 1) (2J -|-1) (2L +1) X
{V I L)
xs(s~\ l)(2s-H)/4n]i/2
/' L I
0 0 0
s s 1
1/" / J)
1.40. Найти мультипольное разложение матричного элемента
<; n'L'sj'm' | об (г — г0) | nlsjfiO>t где г0 ■— векторная константа.
1.47, Доказать соотношение
rot Ik (kr) \LLM (n,)] = ik jl/^TT '<-'(^ ^"' (^ -
-l/-~pr//-+.(fo')YLJ,(nr)|
58

Тема 2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПЕРЕХОДЫ
Занятие 2.1
ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ФОТОНОВ
§ 2.1. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ СВОБОДНОГО
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Как известно, переход от классической механики к квантовой
осуществляется заменой обобщенных координат qs и импульсов pj
операторами q^ pjt удовлетворяющими коммутационным соотношениям:
\Ри ЯА= —Шц\ Й,р}1 = [?,,^] = 0. (2.1)
Аналогично «квантование» свободного электромагнитного поля
сводится к отысканию среди динамических характеристик поля
канонически сопряженных переменных и наложению на них коммутационных
соотношений (2.1).
В отсутствие зарядов классическое электромагнитное поле в
фиксированной системе отсчета может быть описано векторным потенциалом
A (ri 0» удовлетворяющим волновому уравнению
ДА (г, 0 - °*А(Г|0 =0 (2.2)
4 ' с2 да к
(с — скорость света в вакууме) н дополнительному условию кулонов-
ской калибровки
div А (г, t) = 0. (2.3)
В качестве обобщенной координаты поля можно было бы выбрать
векторный потенциал, и процедура квантования сводилась бы к
отысканию сопряженного ей импульса. Удобнее, однако, ввести другие
динамические переменные:
щ (0 = аь ехр (—ia>f0; a* {t) = a* ехр(1со*0, (2.4)
гдеа;, а* — коэффициенты разложения векторного потенциала А (г, /)
по полному набору At (г) ехр (—ш*/), А* (г) ехр (коit) решений*
уравнений (2.2), (2.3):
А (г, /) - 2 {a; А* (г) ехр (—ico^ /) -(- af АГ <г) ехр (ico, /)}, (2.5)
* В качестве полных наборов решений уравнений (2.2) и (2.3), т. е.
минимальных наборов функции, через которые может быть выражено всякое решение этих
уравнений, далее будем использовать плоские и сферические волны.
59
\

f
<лг ^ 0. Функции А; (г) удовлетворяют уравнениям
0)
AA,(r) + -i-Mr) = 0; divAi(r) = 0.
(2.6)
Знак 2 обозначает суммирование по дискретным и интегрирование по
i
непрерывным (в том числе по со, ^ 0) квантовым числам, совокупно
обозначенным i. Наличие двух слагаемых в разложении (2.5)
обеспечивает действительность векторного потенциала А (г, /). Функции А; (г)
удобно нормировать условием 1см. (2.12), (2.18)1:
J А? (г)• А, (г) dr ^ (2пГиг/<фц, (2.7)
где б г j — б-функцпя непрерывных квантовых чисел и символ Кронеке-
ра—дискретных. Выражение для энергии Е электромагнитного поля
записывается в виде (см. 125, (31.5)1)
Е = (1 / 8п) J ГЕ2 (г, t) + Н2 (г, /)] с/г,
здесь Е (г, /) п Н (г, /)— напряженность электрического и магнитного
полей, связанная с векторными потенциалами соотношениями:
1 дА (г, t)
и
Е(г, l) = S[rt ОН»£*(r9t)=-
с at
Н (г, г)=Ж (г, I) |- Ж* (г, 0 - rot A (r, i)
$ (г, 0 -■ 2 <?; #/ (г) схр (— io>f /) -= — 2 со; "/ X
X А,(г)схр(—ifo£/);
Ж (г, Л = 2 <*1 Ж1 (г) ехр (— \щ t) =
= 2 #* r°t Aj (r) ехр (— kOj fj.
(2.8)
(2.9)
В новых переменных at (t)> a* (t) выражение для энергии поля
(функция Гамильтона Ж) принимает вид:
Е = Ж - 2 — Ыiiai Ф а^ W + а* (0 а* (О}-
(2.10)
При выводе этого соотношения использовалось равенство
J rot A; (r).rot A, (r)dr = ЫсУ J А, (г). А, (г) dr,
которое легко непосредственно проверяется для наборов решений
уравнений (2.6), с которыми в дальнейшем будем работать. Переход к
квантовому описанию свободного электромагнитного ноля совершается
заменой переменных аь а* операторами а;, at- Соответственно векторный
потенциал А (г, /), напряженность электрического и магнитного полей
Е (г,/), II (г,/) и функция Гамильтона Ж заменяются операторами
СО

Л^,/), I. (г, /), II (г, /), Ж. Гамильтониан Ж свободного элсктромаг
пи 1 миги поля согласно (2.10) записывается в виде
#£ = — ^ Йсог {«i af + о? #*}.
Чтобы выяснить, каким коммутационным соотношениям
удовлетворяют операторы Cii>afy введем на время новые динамические перемен-
ы0 = ]/^ -^ШО+агт
(2.11)
.Легко убедиться, что переменные r/f (/), pt (/) канонически
сопряженные (см. [26, § 40]). Действительно, выразив функцию Гамильтона Ж
через cji (/), pi (/), получим
^ = 0/2) 2[p7W+ ©???№!.
Отсюда с учетом (2.4), (2.11) следуют канонические уравнения
движения для переменных q-t (Q, pi (t):
pt U) - -co? ?, (*) = - ^Щ- ; ?, (Q = p, (/) = ^
При переходе к квантовой теории канонические переменные q-, (/)»
Pi (t) становятся операторами, удовлетворяющими коммутационным
соотношениям (2.1). Соответственно операторы aiy at подчиняются
условиям
Й/оЛ = 6„; [7it^J] = [7t,'2?]-=0. (2.12)
Используя коммутационные соотношения (2.12), гамильтониан поля
можно записать в виде
S-J^f^ + T6»)' (2ЛЗ)
Из этого выражения видно, что состояния электромагнитного поля ну-
меруются собственными значениями операторов Ni — af at.
Относительно операторов ah at и ЛГ$ можно сделать следующие
утверждения (см., например, И, §251):
а) собственными значениями операторов Nt являются
неотрицательные целые числа Nt = 0, 1,2,...;
б) в представлении собственных функций операторов Nt отличные
or пуля матричные элементы операторов «г-, at имеют вид:
<{N I l)l\4\Ni>-'<Ni\7Ji(N | 1)г> = 1/"лПгТб,> (2.14)
Cl

Основное состояние ноля, называемое вакуумом, характеризуется
наименьшими собственными значениями Nt ■■= 0. Волновую функцию
|0 ;> вакуумного состояния можно также определить условием аг-|0>=
-0.
Если задана нормированная собственная функция |0> вакуума
(<0|0>^1), то нормированные функции возбужденных состояний
поля строятся следующим образом:
1^>-(1/КЛЛ)К')ЛГ|0>, (2.15)
причем
<#i |tf/>== бм'би. (2.16)
Распространение правила (2.15) па случаи, когда возбуждаются
несколько различных степенен свободы ноля, очевидно:
|^,»>^>... ^}> =
/=1 У Nil)\
|0>. (2.17)
Формулы (2.14)—(2.17) легко доказываются с помощью
коммутационных соотношений (2.12).
Из формулы (2.13) видно, что энергия Е0 вакуума бесконечна.
Однако от этой бесконечности легко избавиться. Действительно,
характеристики всех физических процессов в микромире зависят не от полной
энергии поля, а от энергии его возбуждения. Поэтому в формуле (2.13)
член (l/2)]£/iG)f6fi можно отбросить и считать, что оператор Гамильто-
i
на для свободного электромагнитного поля имеет вид:
5? = 2>'W£- (2Л8)
i
Из свойств гамильтониана (2.18) следует, что возбуждению каждой
степени i свободы поля соответствует эквидистантный спектр, т. е.
спектр, в котором соседние уровни отделены постоянной энергией ftco*.
Поэтому описанная схема квантования позволяет ввести понятие
фотона — элементарного (неделимого) кванта электромагнитного поля —
и трактовать возбуждение i-n степени свободы поля как рождение
фотонов с энергией /ко* в состоянии, характеризуемом набором квантовых
чисел i (рождение фотонов типа i). При такой интерпретации
формально введенные нами квантовые числа Nt получают физический смысл —
они указывают число фотонов типа i в данном состоянии поля.
Соответственно операторы at (а*)» как видно из (2.14), (2.15), (2.17),
представляют собой операторы рождения (поглощения) фотонов типа i,
[Этим и определяется удобство выбора в качестве динамических
переменных поля величин (2.4).] Состояние поля с нулевой энергией —
вакуум ■— это состояние, в котором отсутствуют фотоны.
Используя (2.5), (2.14), можно легко вычислить однофотонные
матричные элементы оператора А (г, t), которые понадобятся при
рассмотрении вероятностей электромагнитных переходов:
<0|А(г,/)|1,->--А2(г)ехрс —к-);0; | (2 19)
<li|A7rf/)|0>«A,*(r)exp(ic>|.0.
62

Выясним теперь физический смысл квантовых характеристик /,
Напомним, что индекс I был введен первоначально для нумерации пол-
пых наборов решений уравнений (2.2), (2.3). Используем здесь два па-
бора. Первый образуют плоские волны
Ахи (г, f) ^ A?,k(r)exp (— но/); |
A>jt(r)=(I/2n)|//t67/vjeuexpnk-r). J
Здесь /г = |к| = со/с; е^к — единичные векторы поляризации плоской
волны, которые удовлетворяют следующим из (2.6), (2.7) условиям
ejik'k = 0; e^k-e^k = б^д. Чтобы теперь воспользоваться формулами
(2.5) — (2.19), в них следует произвести замены /->->,, к; S-^Sfdk;
6,-f-> бм/б(к — к'). Нетрудно показать, что квантовое число /Ж
имеет смысл импульса фотона. В соответствии с классическим
выражением (см. [25, § 31, 47]) оператор импульса электромагнитного поля
определяется следующим образом:
"Р = (1/4яс)$ [Е"(г, 0 хН(г, t)] dr.
Подставляя сюда разложение операторов Е (г, t), H (г, /) (2.8), (2.9)
по плоским волнам (2.20), получаем:
'Р=\с1кУ1ПЫк7ы. (2.21)
Подействовав оператором Р па волновую функцию однофотониого
состояния №>=aut|(fc>, получим, что Р \Ш>=Нк\Ш>, откуда
действительно видно, что 1гк есть импульс фотона. Из соотношения
/uo = tick следует, что фотон можно рассматривать как частицу с
нулевой массой.
Для векторов е^к в основном будем использовать циркулярное
представление, т. е. определим их следующим условием: в системе
координат, где ось z направлена вдоль к, векторы ели имеют вид:
е* = -(АУ/2) (ея + iA,e?/), (2.22)
где "к — чь 1, cv, е(, — единичные орты, направленные вдоль осей х и у
правой системы координат (см. § 1.18). В дальнейшем покажем, что
такой выбор векторов поляризации соответствует описанию состояний
фотонов (|Мс>) с определенной еппралыюстыо X. Название
«циркулярное представление» определяется тем, что в классической
электродинамике векторные потенциалы А (г, /) = Re {A^k (г, /)}
описывают-волны, у которых векторы иапряжепностей
электрического и магнитного полей совершают при Х~ 1 право-, а при
К = — 1 — левовинтовое вращение вокруг направления вектора
к : Е (г, /) ~ [kex sin (к-г — tot) + ev cos (к • г — ©01, Н (г, t) ~
~ [— е^. cos (к*г — ©0 + Яеу sin (к-г— cot)]. Соответственно фотоны
в состоянии с % = + 1 называются правополяризованными, а в
состоянии с Я. = — 1 — левополярнзованными. Состояние фотона с
произвольной поляризацией можно представить как суперпозицию цпр-
30

кулярпииолнрпзоваппых состояний. Например, волновую функцию
фотона, «поляризованного» вдоль направления е^,, задаваемого в
системе координат с осью z||k азимутальным углом \\>, можно записать
б виде
|е^, k> = cos т|)|ел, k> + sin 4|)|eff> k> —
= — (l/|/2) {exp (— Щ\Х = + I,' k> — exp (п|>)|Л, = — 1, k>}. (2.23)
Здесь |ел-(!/), k> — волновая функция фотона, «линейно
поляризованного» вдоль направления еЛ(е?/), причем в соответствии с (2.22) |Мо>=
- - (^1/2) {|е,, k>+iX|ej/i'k}.
Другой интересующий нас класс решений уравнений (2.2), (2.3)
образуют функции:
K{tn)kLM (Г, 0 = K(m)kLM (Г) еХр ( — Ш) \
bmkLM (г) = -2 ymiL U (kr) \tM (n);
KkLM (Г) = (11Щ ГО! K,kLM (Г) =
=*2Vhkc
(l/jdlir.-.
L-\
к-\(ЛпЧш Wl +
L H
(2.24)
i^+'/L+iMY^'in)
где n = r/r, со = 6c, /L(^r)—сферические функции Бесселя; Уил(п)—
векторные сферические гармоники (см. § 1.19); L принимает
положительные целые значения; — L ^ M ^ L. Разложение по
набору функций KnkLM (г), Аекьм (г) называют мультипольным. Правила
написания формул (2.5) — (2.19) при использовании мультипольного
разложения сводятся к следующему: i-*- kt Lt M, N = е (т);
оо
М1
Чтобы выяснить физический смысл квантовых чисел фотона L п /И,
введем оператор момента количества движения электромагнитного
поля М:
т^(ЦАпс) [r\\g{rtt)x#e+(rtl)-\ £+(rtl)Xffl{r,t)]\dr. (2.25)
Здесь S, S+ {Ж, Ж*) — положительно- и отрицагельно-чаеютные
части операторов напряженности электрического (магнитного) поля [см.
(2.8), (2.9)]*; подставляя в (2.25) их мультипольное разложение,
получаем:
* Если оператор момента поля записать в виде М = (1/4яс) j [гХ[Е (г,*)Х
X Н(г, /)Ц ск, то он будет содержать флуктуирующую во времени часть, которая
исчезает при усреднении,
04

М± = Мх±\Мд = Г clk^ /г/(^н=Ж)(1н=М + 1) х
о ил
X {fl&LM± 1 O-ckLM + CtmkLM± I Я/нАО/}*. ' (2-26)
00
В выражении для /Wz, как и в (2.18), опущен член, пропорциональный
б (0), дающий нефизпческое значение для момента количества
движения вакуумного состояния. Из (2.26) следует, что
М21 е (т) kLM> = h2L(L+l)\e (m) kLM>;
M21 e (m) kLM> = ПМ\е (т) kLM>,
(2.27)
\e (m) kLM> = a+^kLM |0>. Формулы (2.27) показывают, что
функции \е (m)kLM> описывают состояния фотона с угловым моментом L
и его проекцией на ось z, равной М (в единицах Н). Как
нетривиальный результат отметим, что не существуют [см. (2.24)] реальные
фотоны с угловым моментом L = 0 (это связано с их поперечной
поляризацией, определяемой кулоновской калибровкой).
Выясним теперь различие между состояниями фотона
электрического (им соответствуют функции \ekLM>) и магнитного (\mkLM>)
типов. С этой целью рассмотрим закон преобразования оператора век-
торного потенциала при инверсии (г*-*-—г) поля. Если оператор А' (г, t)
потенциала преобразованного поля и оператор А (г, t) потенциала
исходного поля удовлетворяют одной и той же системе уравнений, то
А (г, /) и А' (г, t) связаны унитарным преобразованием. Обозначим
оператор этого преобразования Р. Тогда
А' (г, *)= Р А(г, /)Р+ = —А(—г, t). (2.28)
Используя мультиполытос разложение оператора А (г, /), из формулы
(2.28) легко получить закон преобразования операторов o^m)kLM,
Cl?(ni)kLM- Учитывая, ЧТО AekLM ( — Г) = ( — l)L+l heULM (О И
Атщи(— г) = (— \)1&ткш(г) [см. определение (2.24) и формулу
(1.147)], найдем, что
Р&ь!А^л^(~\)Ыкш\ 'P'oUuiP* =(-I)L+,ffJi*LM. (2.29)
Естественно считать, что вакуумное состояние не меняется при инвер*
сии, т. е. Р|0> = |(fc>, тогда из (2.29) следует, что
?| mkLM> = ?aSftL«,P+ Я"| 0> = (- 1)L+' | mkLM>;
Р| ckLM> = { — l)L\ekLM>.
'6 Зэк. 3QG 65

Таким образом, функции \ekLM> и \mkLM> описывают состояния
фотона с различной четностью. Фотоны с четностью я = (—1)L
называют электрическими 2ь-полъными (дипольншш, квадрупольными, ок-
туполышми и т. д.) или EL-фотонами.
Аналогично фотоны с четностью зх = (—l)L+! называют магнитными
21-польншш пли 'ML-фотонами. Вместо индексов е и т часто бывает
удобно использовать индекс/;, равный нулю для состояний
электрического типа и единице для состояний магнитного типа. Тогда четность
фотона л = (—1)l+p.
В дальнейшем потребуется разложение волновых функций |Як>
по функциям \pkLM>:
\Хк> = — 2 ^<р1М\^Х>\ркЬМ>\ (2,30)
здесь 0 и гр — полярный и азимутальный углы вектора к. Чтобы найти
функции преобразования <!/?£Л1|6фЯ>, необходимо знать муль-
тпполыюе разложение функций А^к (г). В системе координат, где ось
2 направлена вдоль вектора к, функции А^ь (г) можно представить в
виде [см. (1.23), (2.24), (1.36), (1.115), (1.145)1:
' А««8=^г1/Г'т-ехехр{1Лг):=
1
2л
L=Q
^/^2i'-i/2L+1^^{wY"(n)+
it — U
l— V V2LTI {lAlilkLK (r) + Али (r)} =
2 ^У2П+1К>Арк1Мг).
Система координат, в которой вектор к характеризуется полярным
углом 0 и азимутальным углом <р, получается из рассмотренной
поворотом па углы Эйлера а — 0, р — — 0, у = — ф. Так как величины
hpkLM (г) — неприводимые тензо])ы ранга L [см. определение (2.24)
и § 1.19], в произвольной системе координат имеем [см. (1.74), (1.75),
(1.98)]:
к \/bn v
(Hi
к \/Ьп р=о, i LAf

Сравнивая разложения оператора А (г, t) по наборам функций
Аяк (г) и ApkLM (г), легко получить выражение
а& = Х-— 2 2^/21+1^(9,9,0)5*^
и соответственно выражение (2.30), где
*
<рШ | Hq>V> = 2 /)jv,v (ф, н, 0) </i/,v 100Ь>;
V
<pLv 100Х> - 8Xv У>\/ —
У 8т
-1-1
8л
(2.32)
Теперь вернемся к рассмотрению физического смысла квантового
числа К. Так как масса фотонов равна пулю, понятие спина как
углового момента покоящейся частицы для них ввести нельзя.Тем не
менее для фотонов, как и для обычных частиц с ненулевой массой, можно
ввести понятие спнральности — проекции углового момента частицы
па направление ее импульса. Так как проекция орбитального момента
на направление движения равна нулю, в спиральиость дает вклад
лишь «собственный» угловой момент частицы. Покажем, что
спиральиость фотона в состоянии \кк> есть %, т. е.
М- (k/Л) | Як> = Х\%к>. (2.33)
Поскольку спиральиость является скалярной характеристикой, то
равенство (2.33) достаточно доказать в системе с осью z||k. В этой
системе вектор состояния |А,к> можно записать в виде [см. (2.30), (2.32)3
оо
| №> = 1-=г V 2 /2Г+1 & I pkLX>,
/г!/8я pJujij^i
откуда и следует равенство (2.33).
Из того, что спиральиость фотона X принимает значение +1, можно сделать
вывод, что «собственный» угловой момент фотона равен 1 (значение X — 0
исключается условием кулоновской калибровки). Таким образом, фотоны — это
векторные частицы, однако в отличие от векторных частиц с массой, не равной
нулю, фотоны описываются не трехкомпонентной, а двухкошюнентной функцией,
что связано с существованием для полей безмассовых частиц дополнительной
градиентной инвариантности, которая в случае реальных фотонов позволяет
наложить на потенциалы поля условие кулоновской калибровки. Проведенное в
этом параграфе рассмотрение квантованного электромагнитного поля не
является лоренц-инвариантным, так как условие кулоновской калибровки (2.3) для
векторного потенциала поля одновременно может выполняться только в
неподвижных относительно друг друга системах отсчета. Тем не менее полученный вывод о
двухкомпонентности волновой функции фотона подтверждается и при лоренц-
_инвариантном рассмотрении {см. [28, § 2.3J).
§ 2.2. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ С ВЕЩЕСТВОМ
В шредингеровском представлении взаимодействие заряженных
частиц с электромагнитным полем описывается гамильтонианом (см.
3* 67

('«.§. II):
$'« — Ц/с) ]T(r)-A(r)dr.
(2.34)
*—*
где J (r) ]— оператор плотности электрического тока системы зарядов,
а А (г) — оператор векторного потенциала электромагнитного поля,
совпадающий с рассмотренным ранее оператором А (г, /) свободного
поля, взятым в момент времени t — О, Л (г) — A (rt t = 0). Для
вычисления вероятностен переходов необходимо иметь явное выражение для
оператора J (г). Вид оператора J (г) можно определить из следующих
соображений. В классической электродинамике плотность тока дается
выражением (см. [29 § 21, 29, 30]): _
J(r) = Jc(rH-64-ol |* (г), (2.35)
где Jc (г) — плотность тока, обусловленная движением свободных
зарядов, a ц (г) — плотность магнитного момента. Если заряды точечные,
то
J (г)
V
Ч
т-.
6(г—rJpH-crot
£б(г — Y^Hi
(2.36)
где Pi, rif fxb eu mi — соответственно импульс, радиус, магнитный
момент, заряд и масса t-й частицы, В квантовой теории J (r), pt и p,j
становятся операторами, и, например, для частиц со спином 1/2 оператор
тока принимает вид:
Jw=T2Ai8(r- •■•) а+р"«6 <г - г'>]+
€
тг
+ с rot 2
2/7IjC
(2.37)
Здесь pi = —\hdldTi\ gt —■ гиромагнитное отношение для i-й частицы;
ct — матрицы Паули, действующие на спиновые переменные i-й
частицы. Симметризация тока проводимости необходима для того, чтобы опе-
ратор J (г) был эрмитовым (см. также [3, формула (114.4)]).
В низшем порядке теории возмущений гамильтониан Ж'
допускает переходы с излучением или поглощением только одного фотона.
Будем рассматривать переходы между состоянием фотонного вакуума и
состоянием, в котором имеется один фотон типа /. В формулы для
вероятностей таких переходов входят матричные элементы вида
</, 1/ \Ж'\1> и <f\M'\it 1р>, где |£>, |/> — волновые функции
начального и конечного состояний системы зарядов. Из (2.19) и (2.34) для
них получаем:
</, 1,|Ж'10=--^|<ЛЛ>)|9-А;(г)А-;
</|ЗП/. Ь>= --H<flJ(r)|/>-A,(r)dr.
(2.38)
G8

При вычислении матричных элементов операторов тока часто бывает
удобно использовать уравнение непрерывности (см. [25, уравнение
(29.3)]), которое в операторной форме имеет вид (см. [1, уравнение
(21.12)]):
div?(r) = -[Я, Иг)]. (2.39)
Здесь р (г) — оператор плотности распределения заряда,
"р(г)--=2!е««(г-г,), - (2-40)
£
II — оператор Гамильтона для рассматриваемой системы зарядов.
Учитывая (2.ЗУ), можно записать:
</1 di v ?(г) Ю =-у (£,-£,)</|?(г) Ю. ■ (2-41)
I
где Ei (У) — энергия системы зарядов в начальном (конечном)
состоянии.
§ 2.3. ВЕРОЯТНОСТИ МУЛЬТИПОЛЬНЫХ ПЕРЕХОДОВ
. С ИЗЛУЧЕНИЕМ ФОТОНОВ
Рассмотрим переходы между состояниями системы с определенным
угловым моментом Ji (f), его проекцией М% <у> и четностью пt {f).
Вероятность dcoifi^ испускания в единицу времени электрического
магнитного) фотона мультиполыюсти L в интервале волновых чисел dk
дается следующей кваптовомеханической формулой (см. [2, формула
(74.14)]; [3, §43]):
d^L^(i->f) = ^Lb(Ef + tto-Edx
X\(JfMfnfi pkLMlffi'lJtMin^fdk. (2.42)
Здесь /tw = hkc — энергия фотона; М — проекция его углового
момента на ось квантования. Волновые функции ^ц^Мц^щ^ >
нормированы на единицу, а
(pkLM\p' k' L' М'}*=ЬРР' bLL'bMM>b{k—kf). (2.43)
Интегрируя выражение (2.42) по значениям волнового числа k и
учитывая (2.38), получаем, что отнесенная к единице времени вероятность
излучения фотонов — скорость перехода — дается формулой:
1 «?.*«-*■/) = ~~| f OiMf */М (г)\JiMLЯ|-> AiklM(r)dt
где к = (Ei — Ej)lt\c.
\ (2.44)
69

Определим электрические и магнитные мулыпипольные операторы
тока:
1 LM Vе) л LM
«-■=■!
rot\JL(br)YL{n)h J(r)dr;
7Uf№) -%! № =~ J/i.№r) Y^tnH (r)dr,
(2.45)
где п = г/г. Исполыуя эти определения н (2.24), выражение (2.44) для
скорости перехода ял пишем в виде
a)£M(/^/)^^|<J,M,^|T^№)|JyMyVl2-
Допустимые мультшюлыюстп излучаемых фотонов определяются
правилами отбора, следующими из законов сохранения момента
количества движения, его проекции и четности:
[(— 1)L —для электрических фотонов, 1 (2.46)
X—1)L+1 —для магнитных фотонов. J
Если состояния системы вырождены по магнитному квантовому
числу, то можно определить скорость излучения фотона при переходах
между неполяр изованными состояниями, для этого cola* (*-> /) нужно
усреднить по проекциям момента начального состояния и
просуммировать по проекциям моментов конечного состояния системы частиц:
щ ду
ОУ
в (т)
('-*/) =
1
8nk
2-/J-H
2 мш1) ('^Й = ^~-B[EL (ML)}. (2.47)
ЛГ Mj M
Здесь введены приведенные скорости перехода:]
В [EL] =
1
2/i+l
S K^^^I^WK/M^;)^
Af • Af^ Af
к^янт^ну/я^р
Л [ML] -
2Ji + 1
f </, я, Ij 7? (А) Л У/ я/) |3
■ (2.48)
2УН-1
Полная вероятность электромагнитного перехода между неполяр и-
зованными состояниями системы |</гЭтг\> и |jytp>
«> ('-*/> = s S' «£(''-*■/)- (2-49>
В большинстве представляющих физический интерес случаев длина
волны испущенных фотонов намного превышает характерный размер
системы R, т. с. /е R < I; при этом выполняются соотношения
<'>И-я < «£; <» "+1 < «1 • (2.50)
70

Поэтому при вычислении вероятности <o(t-*-/), как правило,
достаточно учесть лишь переходы низшей мультппольности. Два члена в
сумме (2.49) обычно приходится учитывать, когда низшая возможная
мультшюлыюсть соответствует излучению фотона магнитного типа.
Чтобы убедиться в справедливости этих замечаний, оцепим по порядку
значения ненулевые матричные элементы операторов TPLM (ft). Если кг <С 1, то
(kr)L
/, (Лг)«—*—* (2.51)
s^ > (21+1)1! l '
Это приближение обычно называют длинноволновым. Используя (2.51) и приве-
деЕшые в § 2.8 выражения (2.95), (2.97), для мультипольных операторов тока
получаем следующую грубую оценку:
(JiMini\9£,2M{k)\J1Minf)
Л ~ (/г/?)2, (2.52)
что подтверждает первое из неравенств (2.50). Второе неравенство следует из
оценки
(Jt Mi Щ |?Г+Ш W I JfMfXf) kL+\ pRL
{JiMini\TeUi{k)\JfMfns)
k eh kh AE
kLeRL
r^j ш~ " ' ' r>*j
e 2tnc mc mc2
(2.53)
Здесь ел m — характерные для частиц системы заряд и масса; АЕ — разность
энергий уровней, между которыми происходит элеЕстромагиитный переход. В
реальных атомных и ядерных переходах всегда AL7/?tc2<l. Для отношения
матричных элементов операторов T^^i ^ (к) и 1г£м (к)
(jtMtщ\П+Ш {k) |//Mf n,) kL+1 eRL+1 _^
Из (2.54) видно, что в общем случае вкладом электрических 2'*+ '-польиых
переходов по сравнению с вкладом магнитных 2^-польиых переходов пренебрегать
нельзя. Для примера рассмотрим полученные оценки в случае атомных переходов.
При этом {с, m — заряд н масса электрона):
ft3 с1 та* А/; с"
/^ ~ а~ ; AL ~ — ——; к
гъ/
гнеа ' а К1 ' hv hca
АЕ ( еа \2 / 1 \2 „ шс2
В длинноволновом приближении матричные элементы
мультипольных операторов тока выражаются через матричные элементы
операторов QIaT электрического и магнитного статических 21-польных
71

моментов системы зарядов:
(i\TPLM(k)\f>™-(-i)»l/r
(2L+0(1+0 „
X тт
ft1
(2L+1)!!
<i|QL*|/>,
(2.55)
где
QlAi-Q£M°-|/^rj'p(r)^y^(n)^
Qlm~ Qlm ="= l/
4nL
(2L+1)(H-D
JT(r).r^
' Ylm (n) Jr.
. (2.56)
Справедливость соотношения (2.55) для операторов магнитного типа
очевидна [см. (2.45), (2.51)], для операторов же электрического типа
она следует из цепочки равенств [см. (2.45), упражнение 1.47, (1.154),
(2.41)]:
<i\Тш(*)!/> = j- f dv<i|?(г)|/> X
X (j/^pf U-x № Чш1 (") -^"й^Г /l+l (Лг) Y**' (П)} *
с (2L—1)11
l/"-^-Jrfr<J|T{r)|/>^-'Yfcsr!(n) =
|/ 4я/.
(MO *
(2/,+1)1!
<l|0ui|/>.
В качестве характеристик системы иногда рассматривают
радиационную парциальную ширину уровня |t>
Гт (/ -> /) _ /г ш (/ -^ /)
и его полную радиационную ширину
rT«=2rv(W)
(суммирование проводят по всем состояниям, в которые может перейти
система в результате излучения фотона).

§ 2.4. УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФОТОНОВ
Перейдем к рассмотрению электромагнитных переходов,
сопровождающихся излучением фотонов с импульсом Ьк и спиральностью %.
Дифференциальная скорость таких переходов дается формулой (см.
[3, § 43]):
2п№
Ав с
с
f <•'/ \Mt jt,|T(r) |./; M-t л,>. Ak (r) г/r pf (2.57)
где dQ = <i(pc( cos 6; 6, cp — полярный и азимутальный углы вектора
к. Волновые функции нормированы условиями <C^k|^'k'> = бяя'^(к—
— k'); <CJMn\J'M'n'>=6jj'6MM'§3ar- Вычисление скорости
перехода сильно упрощается, если в подынтегральном выражении в (2.57)
произвести мультиполыюе разложение функций Ахк (г). Это
связано с тем, что в длинноволновом приближении при вычислении
интеграла в (2.57) в разложении (2.31) достаточно учесть лишь несколько
членов с наименьшими L [см. оценки (2.52)—(2.54)]. Имея это в виду,
интеграл в (2.57) выразим через матричные элементы операторов
статических мультипольных моментов системы [см. (2.24), (2.31), (2.45),
(2.55)1:
~[ <ffj(r)\»-4k(r)dr^Vh~e~J2rii £ S(-i)L/2L+l X
р — Ош I LM
х £>k (ф, е, о) v </1 Пм (k) | о
-l/—
2 2 Ы)'- (2L+1)X
р = 0, 1 Ш
X
/:
kL
£+1
4nL (2L-fl)l!
Dk (Ф, О, 0) (U)p <i | Q£* | />*. (2.58)
Подставив (2.58) в (2.57), получим:
4яА
>=0, 1 L r
(2L —1)1!
X (— ЩР </. M, я, \Qlm I ^ My я,)
Dm(4>> Q»0)X
(2.59)
где 7W — Mi ~ M/.
Рассмотрим теперь некоторые общие особенности угловых
распределений фотонов.
1. Так как имеются только два выделенных в пространстве
направления, задаваемых вектором к и осью квантования угловых моментов
(осью г), то скорость перехода (2.59) должна зависеть только от одного
73

yrji'i 0. Чтобы убедиться в этом, перепишем (2.59), испоЛьзуя «теорему
сложении» для D-фуикцпй (1.83) и формулы (1.86), (1.89):
L' р'
X < Jf Mz я4 | Qf- л |.// Mfnf>* V (LAW/ —M | JO) X
X (LhL'—X | JO) /Jj (cos 0). (2.60)
2. Если поляризация фотонов не регистрируется, то
дифференциальная скорость перехода получается из (2.60) суммированием по
значениям Ti — zb 1. В этом случае скорость перехода одинакова для
излучения фотона в направлении к и — к. Действительно, учитывая, что
(L\L* — 1 | УО) = (—1) L-\~L'-J (L — IL'l | JO), получаем
L' p'
/"(L4-1)(L' + 1) A4-1-'
LL' (2L—1)!!(2L' —1)11
x 1/ ;:, ,„, ...Г,», (—op-*'x
\
X <У,Min,\Qplm I J/M;яу> <J%Mint | Q£' мI /y ЛГ, Jiy>* x '
X £[1 + ( —I^+p-H'+p'-'] (LMV— M\ JO) X
x (LIZ/ — 11 JO) Pj (cos 6). (2.61)
Но в силу правил отбора (2.46) входящие в (2.61) матричные
элементы мультипольных операторов тока одновременно отличны от нуля
лишь при выполнении условия (—1)l+p = (—1)l'+p'. Поэтому в сумме
по J в ,(2.61) остаются члены только с четными J. При замене
к -» к функция Pj (cos 6) переходит в Pj (cos (я — 6)) =
~ (—l)JPj (cos 0) и, следовательно, d(Ok (i -*■ f)/dQ = dco_k (i -*- /)/d&.
Из сказанного выше видно, что этот результат есть следствие
закона сохранения четности в электромагнитных взаимодействиях.
3. Ucjiii не регистрируются начальная и конечная поляризации
системы, то скорость перехода получается из (2.59) усреднением по
проекциям пачалыгого углового момента и суммированием по проекциям
конечного углового момента. Очевидно, что в этом случае скорость из- }
74

лучения должна быть изотропной и не зависеть от спиральности
фотона:
dQ 2/j-hl „, ,, dQ
1 Vi :/._/'-. /~аН-1)(Ь'-И)
JJ iL"L' ]/"(LH"1)(L/"M) fc"+*' (—i)*-p' x
L' p'
hL+L' ■—
(2/-— 1)!!(2L' — 1)!! N ' IN x " ; '
X Oi Щ || Ql- II // nf}* 2 4 (Ф, 0, 0) X
м
ХЙ^(Ф,0,0) 2 (JyM/^MI^M^/yMyL'MI^M^
6 I \i <£+1) (2/L4-1)
4яЛ 2/Н-1 ,
Lp
2
X
(2L+1)II
Х|</,Я||ГЙ1|^^>1Й- (2-62)
В (2.62) использовано соотношение ортогональности для
коэффициентов Клебша — Гордаиа (1.33) и свойство унитарности D-функций (1.81).
4. Если в (2.59) можно ограничиться вкладом низшей мультиполь-
пости L = \Ji — //| [см. оценки (2.52) — (2.54)], то в выражение для
скорости перехода входит матричный элемент только электрического
[при nLnf = (—\)L] или магнитного [при ntKf = (—1)L+1] мульти-
польного момента:
*>*«-/> 1 L+i *«'+« .DW(<P,e,o)|*x
dQ 4nh L [(2L — l)!!]2
X | < J, Mi я, $£* | /, Mf %i> |2. (2.63)
Здесь p = (1/2) [1 — (— 1)%^]. Отсюда видно, что в этом случае
угловое распределение фотонов не зависит от четности начального и
конечного состояний (они могут и не иметь определенной четности).
Часто бывает достаточным знать не абсолютное значение скорости
перехода, а только ее зависимость от углов вылета фотонов — знать
функцию Рш углового распределении фотонов. Так, в рассмотренном в
(2.63) случае, когда достаточно учесть переходы только одной мульти-
польности, угловое распределение фотонов можно описывать функцией
Fu(/ + /) = |D^(<P,e, 0)|2;L-|J—Jf\, M = Mi-Mj. (2.64)
5. Иногда приходится рассматривать излучение систем,
представляющих собой некогерентную смесь (см. § 3.1) состояний с
различными значениями проекции углового момента М. Вероятность найти сис-
75

тему в состоянии с определенным М называют заселенностью уровня
\JM^*. Пели задана заселенность р (Mt) начальных состояний, то
угловое распределение испущенных фотонов описывается функцией
/чк (*W) = 2 Р (Ш {J, Mf LMt - Mf | Jt Mtf | £&._*. % (Ф, 0, 0) |2.
* J
4
6. Рассмотрим теперь случай, когда учет вклада только низшей
возможной мультипольности L в выражение для скорости перехода
(2.59) оказывается недостаточным, т.е. необходимо также учесть член
с L = \Jt — Jf\ + 1. При этом вместо (2.64) для углового
распределения фотонов получим:
/4k (i -> /) = | Dkk (<р, 6, 0) + ЛРЙ1 (ч>, 0, 0) |2;
(L+i,(2L + i) {JiMini\^M\JfMfni) •
р1=(1/2)11+(-1)^я,я/]; ft = (l/2)[l-(-l)^jtiny].
7. До сих пор мы рассматривали излучение циркулярпо
поляризованных фотонов. Аналогично можно рассмотреть переходы с
излучением фотонов с произвольной поляризацией, задаваемой вектором
е = aex=ik + pej^_ik- Вероятность таких переходов дается
выражением (2.57), в котором вместо функции А^к (г) должна стоять
функция Аек (г) =аАя.= 1к (г) + РАя=_1к(г). В итоге вместо формулы (2.59)
для вероятности излучения таких фотонов получаем выражение
^<°ек (' ~> f) k
dQ Anh
ft,ft V L <2i-»>!
p = 0, I Ш
x ((— i)" aDia= i (ф, e, o)+pD^=_, (ф, e, о)) х
X<JiMini\QlM\JfMjKi>\\
2.5. ПОГЛОЩЕНИЕ ФОТОНОВ
Процессы столкновения двух частиц характеризуются
эффективным сечением а (см. 12, § 95; 28, § 3.4]). Вид формулы для сечения
поглощения фотонов типа %к зависит от того, находится ли конечное
состояние системы зарядов в дискретном или непрерывном спектре.
Если конечное состояние принадлежит дискретному спектру
(возбуждается уровень с характеристиками nf), то искомое сечение дается
формулой
axk (i-+ nj) - ((2я)*//гс3) | j <rt, | J>) | />• Au (r). dr\\ (2.65)
7U

а если непрерывному спектру — то сечение возбуждения одного ib
состояний |/;>, находящегося в интервале df, имеет вид:
dcxk (/->/) = ((2n)W) 6 (Ef*-Ei—tto) X
X | J <f |J (г) | /> • АЛк (r) dr |2 #. (2.66)
При этом подразумевается, что <Я/'> = 6 (/ — П и
2 |п/><П/|+Г4П /Х/1-Л (2.67)
где / — единичный оператор. После интегрирования в (2.66) по
энергии формулы (2.65) и (2.66) совпадают с точностью до тривиальных ки-<
нематических множителей, поэтому дальнейшие выкладки будем
производить с первой из них.
Рассмотрим переходы между состояниями системы с определенным
угловым моментом Jt (/) и его проекцией Mt (fy Чтобы упростить
вычисление сечения, поступим так же, как в § 2.4, а именно
разложим в (2.65) функции А^к (г) по мультиполям. Тогда в
длинноволновом приближении [см. (2.58)]
j<Jr/M/!?(r)|J,Mi)-A^(r)^r-
2n * 2k % V L
X /9/Lnrr Djfa(ф, 0, 0) (Jf Mf | QL* \JiMt>. (2.68)
Подставив это разложение в (2.65) и выполнив усреднение поМ; и
суммирование по Mf (начальное состояние считаем неполяризован-
ным), получим
си (I ->- л,) = ^ К (М + °l (Щ)■ (2*69)
где
о'/ (Лео) - 2яа L + } ! tl х
L L(2L±\) 2/f+i [{2L— l)!!]2
xl<J/|l%llJi>|^2n*2^+i L+* x
X |(2fl"'„p I 1<^/М/1Л£о|У|Л!,>|-. (2.70)
MtMj
Обычно наибольший вклад в (2.69) дают
77

Для них имеет место интегральное соотношение, называемое диполь-
nhiu правилом сумм:
jj о* (Лео) d (Йю)=(2n*/hc) 2 (h2 ef /m,). (2.72)
Получим его. Из формулы (2.71) следует:
J о- (/ко) d (too) = (4л2//?с) V (£Пу —£,) X
хI («; 11«оIОI2+(4яя/Лс) J<//(£, -£01<Л QiоЮI2. (2.73)
где суммирование проводится по дискретному спектру, а
интегрирование — по непрерывному. Воспользовавшись полнотой конечных
состояний [см. (2.67)1, из (2.73) легко получаем
$ о\ (/ко) d (Ясо) r= (2nVfic) < 1\[0{ 0, [Я, ^ J] | i>, '
где // — Т -f V — гамильтониан системы зарядов; Т — оператор
кинетической энергии, а V — взаимодействия. Если взаимодействие не
зависит от импульсов, то \Н, Q?J = [7\ $10] и \$10, [7\ <?101] =
= 2 (h2ef!mi) [см. (2.40) и (2.56)], что и доказывает соотношение (2.72).
Рассмотрим теперь подробнее электрические дипольные переходы
в непрерывный спектр. Ограничимся случаем, когда начальное
состояние представляет бесспиповую частицу, находящуюся в связанном
состоянии \mLiMC> некоторого потенциала V(r), а конечное—
состояние |рр> с определенным асимптотическим импульсом pf в том же
потенциале. Пусть далее конечная функция нормирована на б (pf—
—pj). Тогда дифференциальное сечение дается формулой
-^ := 2n4mpf | <Р/1 QIjl I щ L% Mt) |2.
Разложив конечную функцию ]ру> по состояниям \pfLfMf> с
определенным орбитальным моментом (1р/> = 2 У1*м* (£*/) X
!Х lpfLjMf>)t найдем, что
LfMf
-t£-=2K*kmps V <p/L/M/|Qix|WiIiM,>X
4Mf
X 2 (^ Л1г U | Z^AIy) KL/ *, (G,) |2.
"/
В .".пключеппо отметим, что во всех предыдущих формулах для
вероятностей переходов мультипольные операторы и волновые
функции зависят от координат частиц, отсчитываемых от центра инерции
78
i

-9- -4-
системы, т. е. от координат pt = rt — $, где гг и Я — координаты
частиц и центра инерции. Но в оболочечной модели атомного ядра
волновые функции задаются не в координатах pf, а в координатах rt (и
разделение внутреннего движения и движения центра инерции
представляет собой сложную и подчас неразрешимую задачу). Поэтому при
работе с такой моделью необходимо в операторах мультипольных
моментов перейти от переменных pt к переменным rt. В общем случае мульти-
польные операторы сложным образом выражаются через эти
переменные. Однако оценки показывают, что в практически интересных
случаях переходы любой мультнполыгости, кроме электрических диполь-
ных, можно рассматривать с операторами, в которых р, просто
заменены па г(. Для электрических же дипольпых переходов вид операторов
не меняется, если формально изменить заряды частиц. Эги новые
заряды называют эффективными зарядами [см. задачу (2.15)].
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 2.1
2.1. Доказать соотношение:
I ркьму = к i/"^12 ХР \d cos My®™ (ф, е, о) | хк>.
2.2. Выразить через векторные сферические гармоники
напряженности электрического $Риш 0") и магнитного Жриьм (г) полей,
характеризующихся потенциалами hpkLM (г) [см. (2.9), (2.24)]. Оценить по
| ПОрЯДКу ОТНОШеНИЯ \MekLM (т)\1\Штк1М (Г)| И \SekLM{v)\ISmkLM^)\
при kr<1.
2.3. Получить соотношения (2.21), (2.26).
2.4. Найти вероятность электромагнитного перехода между
компонентами сверхтонкой структуры атома водорода (длина волны
испущенного излучения % = 21 см).
2.5. Найти радиационную ширину уровней ядра 17F с энергией
возбуждения Е*у равной 0,5 и 4,7 МэВ, считая, что они обусловлены
возбуждением протона из основного Ыб/2-состояния в состояния 2si/2
и Ыз/2- Для описания ядра использовать осцилляторные волновые
функции с параметром rG = 1,77- К)-13 см.
2.6. Найти угловое распределение фотонов, излучаемых ядром 17F
при переходах с уровней 1/2ь и 3/2* в основное состояние (см.
предыдущую задачу). Рассмотреть все возможные случаи ядерных
поляризаций.
2.7. Вычислить сечения фотовозбуждения уровней 2s1/2 и Ы3/2 в
ядре 17F. Рассмотреть различные случаи поляризации фотона и ядра.
2.8. Найти угловое распределение право- и левополяризованных
фотонов, излучаемых в переходах между компонентами сверхтонкой
структуры основного уровня атома водорода. Определить тип
поляризации фотонов, вылетающих в направлении оси квантования и
перпендикулярном к ней направлении.
2.9. Найти угловое распределение фотонов в переходе гр -* *s,
если возбужденный атом находится в состоянии 1р,М~ 0. Считать,
что детектор фотонов не чувствителен к их поляризации.
79

.10. Населенность подуровней М = 0, ±1 возбужденного
состоянии J/ задана параметром | = р (0)/(р(0) + 20 (1)) и
дополнительным условием р (1) — р (—1), где Р (М) — вероятность заселения
подуровня с проекцией М. Выразить через g угловое распределение
фотонов в переходе гр -*- xst считая, что между переходами с разных
подуровней нет корреляции. Детектор фотона не чувствителен к их
поляризации. *
2.11. В условиях предыдущей задачи найти в зависимости от
параметра £ поляризацию фотонов, испущенных перпендикулярно оси
квантования момента атома.
2.12. Показать, что в дипольном приближении в системе двух
тождественных заряженных частиц невозможны переходы электрического
типа.
2.13. Определить степень циркулярной поляризации фотонов,
испущенных в переходе из возбужденного состояния Ы3/2 ядра i7F в ос
иовпое с / = 5/2, если примесь состояния 1/5/2 к состоянию Ы5/2 рав
на а (что возможно при иссохрапешш четности а ядерных
взаимодействиях). Указ а и и с: степень циркулярной поляризации фотоно.
определяется как
(сЫь= i и—d«x= -1 k)I(dxnK= i k + <&оя= _ i k) •
Рассмотреть переход между неполяризованными состояниями.
2.14. Найти вероятность электромагнитного перехода для системы
содержащей N фотонов с одинаковыми квантовыми числами.
2.15. В дипольном приближении найти эффективные заряды про
тонов и нейтронов. Получить с новыми зарядами правила сумм (2.72)
2.16. Найти угловое распределение протонов, возникающих пр
фоторасщеплении дейтона. Ограничиться дипольным приближениемt
Нуклоны считать бесспиновыми, а начальное состояние дейтона — S
состоянием по относительному движению.
2.17. Показать, что оператор }\ — 2 ^QTk является оператс
a.=o.±i
ром магнитного момента системы зарядов |^=У —— (Ь~г"£/ ai)
^i 2mj с
где lj — оператор орбитального момента /-и частицы.
Занятие 2.2
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФОРМФАКТОРЫ
§ 2.6. АМПЛИТУДА И ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ
ЭЛЕКТРОНА НА ЯДРЕ
Электромагнитные формфакторы характеризуют электромагни
пую структуру атомных ядер и изучаются в опытах по упругому и н.'
упругому рассеянию электронов. Поэтому в этом занятии формфактш
ры вводятся при параметризации сечения рассеяния электронов ядр-
ми.
80

В первом приближении по электромагнитному взаимодействию рассеянию
электрона на а томном ядре соответствует следующая диаграмма Фейнмана:
(2.74)
Здесь одинарные линии со стрелками изображают начальный («влетающий»)
и конечный («улетающий») электроны, двойные линии — начальное и конечное
ядра, волнистая линия — фотон. Величины 1Х, plf l3, p3—начальные и конечные
импульсы электрона и ядра; четырехмерные импульсы формируются но правилу*:
i^MV^T^, 0-(/о. i); p^Ci/m'+p» , p)=(p0l p),
где /и, М — масса электрона и ядра соответственно; <?** — /£ — /^ —
четырехмерный импульс виртуального фотона, его называют передаваемым
импульсом.
Амплитуда Mft диаграммы (2.74) восстанавливается по обычным правилам
(см. [27, § 77]) и имеет вид:
Jlf t = 4яе*«2 v^ "i — У2р1й-2р20 J% (q).
Здесь е — заряд электрона; и, и — дираковские волновые функции электрона в
импульсном представлении (см. [27, формулы (23.9) и (23.11)]); 7м" —
дираковские матрицы ([27, формула (21.3)]); <?v = <?о — ф\ p1Q, /?20 — энергия
начального и конечного состояний ядра;
Jfi (q) = Vi Mf Щ [?д (q) \Jt Mi Л;> =
-jexp (-iq-r) (JfMf щ \T^{x)\ Jt Mt щ) dr,
где J (г) — поделенный на протонный заряд оператор плотности
четырехмерного тока ядра в пространственной точке г,
^(г)-(р>), ?(••))
(Ji> Mt, Jf, Mj — моменты ядра в начальном и конечном состояниях и их
проекции). В системе покоя начального ядра р10 ~ М, р20 « М (если переданный
импульс не настолько велик, что отдачей ядра пренебречь нельзя). Эффективное
сечение рассеяния электрона легко находится из общей формулы (см. [27,
формула (64.18)} и в лабораторной системе координат имеет вид:
da
dQ 64
1 U ( k—h cos 6 Х-1
* В этом занятии используется естественная система единиц с h = с = 1.
В естественной системе импульсы и энергии измеряются в обратных сантиметрах
(см-1), ае!ж 1/137 {е — заряд электрона). Переход к обычной системе легко
осуществить, если учесть, что Не ш 2-Ю"11 МэВ«см. Тогда импульс р = 1019 см~*
в естественной системе равен р = 200 МэВ/с в обычной, а энергия Е — 1018см-1
ривиа энергии Е = 200 МэВ.
81

Где 0 — угол рассеяния электрона, черта над \.4ljL\* означает усреднение по на*
чальным и суммирование по конечным состояниям поляризации электрона и
ядра, т. е.
1 4М2
\
(2^+D2 <?*
X 2 |«.УЧ'2<Ч)Г
м.м*
. i 7
(Hi» \l2 — проекции спина начального и конечного электроиои). В (2.75) пренео-
регли массой электрона, при этом l2G ~ 12.
Запишем формулы для сечения в более удобном виде:
— =<г — | -]- ~
-1 I
,7WlVVv, (2-76)
1
где VW- ~ 2 С«* У'" "i) («а ^ «i)* и V* = y[f (q) (4' (q))*
1П Ma
1 V
Л
- ... ■ ^ (Jj Mf щ I J (q) I Jt Mt я,) (J; Mf kj | Jv (q) | Jt Mt щ)\
Пренебрегая массой электрона, для тензора r\llV можно получить (см. [27, § 221):
тГ=2[2/^4^+^ + (1/2)^*1, (2.77)
где g^v — метрический тензор.
Из уравнения непрерывности для операторов плотности тока и заряда (2.39)
вытекает следующее соотношение для матричных элементов операторов тока:
<Р$(Ч) = 0. (2.78)
Учитывая это, в выражении (2.77) для тензора if** можно опустить члены, про-
порциональные импульсу q^ : v^4 — 2[2l%lY + (1/2) g^v q%\. Величина J J*
из-за усреднения по всем ориентациям спинов начального и конечного ядер не
зависит от направления q. Этим можно воспользоваться для упрощения
выкладок при ее вычислении. А именно, будем считать, что переданный импульс q
направлен вдоль оси z. Тогда из уравнения (2.78) следует, что j\,1 (<?) =. (q0/q) p?1 (q).
Перейдем от векторных компонент матричных элементов тока /J' y{q) к
компонентам
J%=±\ (<7) = -(V/2") [jfJ+iUfj\ -Jexp ( - к/г)ег J^O*)^
Для pfl (q) и J^iq) имеем следующее мультипольное разложение [см. (1.122),
(1.123), (1.130)3:
Pfi(Q) = V*n 2 Y2F£l{-'l)L<JfMfnt\ML0(q)\JlMini)\
L = 0
j%{g)=V%i 2 V2M:T(-i)L<i/M/3t/U?^(g)+'?^(^iA-M,ni)-
«V2H 2 2 V2l+T(--i)L^<^^/^I^W)l^Mi?li>- (2-79)
82

Здесь М LM (q) — кулоновский мультипольный оператор:
Мш (Я) = J iL (Яг) Уьм (п) 9(г) dr,
(2.80)
а мультипольные операторы тока Т]^1 (q) определены в (2.45), Из (2.79),
воспользовавшись ортогональностью коэффициентов векторного сложения,
получаем:
I р" (Я) I2 -
1
2-^+1 л/, л/у
|р"'М|2=
4л
У К^яА(9)ПЛя«>1а;
Л' <?)[Р"'(<?)]* = 0;
^(8)1^(8))* =
2/* + 1 л*, м.
2Л+1 _
<^М/Я/|?Л(0)|^М(Я1>Х
X (J/ Mf nj \J%, (q) | Jt Mt nt)* =
2n
ш 2J£+1
v v
L=l p=0f 1
К^/яуН^ЕШ^я,)!*.
(2.8J)
Мы учли то обстоятельство, что из-за сохранения четности операторы Т^ (q) и
T'l% (я) нс могут одновременно иметь отличные от нуля матричные элементы типа
</(я£||Г£ fa)"//Я/>.
В системе координат с г || q
л
оо
<7о
(ч^+ч^+^п"]^'Р+Сп^Ч-^ КГ- (2-82>
Найдем коэффициенты перед |р^|2 и !«/£'|2. Имеем
Ч0._^_(ч0г + 1)г0) + _?Lrl2, = 2^!+J.^_4-^-,u,1+
+ *Кт«)М"М-фт<('-*)]-
Рассмотрим сначала первый член в квадратных скобках:
[^Ol—if)—(/я—UU-(ia—U)]"=-
■с. i у2
i
21, l2 sin* y| = — (^ + /2)2 — fl*.
83

Мы воспользовались очевидными соотношениями:
Ч2=^ = (|2_11)2; <70 = /2-/i; ^ = ^-q2 = ~4^/25in=(e/2).
В результате получаем:
lOO.
Qo i..Qz , „г0\ i 9o
= 2
Г
• 2
*S /A+k \2 l q
(
qk \ 2 J 2 q
Аналогичным образом имеем цепочку равенств:
rl^^'^ip (28з)
-95 = 2/1-2
[»i-(l2-Ii)]2
<7S
<tf =
2/f /i sin2 e
-9j = 4/1/!lcos»
e
tg2 „
* 2 2 <?
H
(2.84)
Подчеркнем, что при выводе формул (2.83) и (2.84) сделано только одно
приближение: /j0 ss /х, /20 ж /2 (т. е. т ж 0). Если дополнительно считать, что/2 ~ /3, то
|q|2^4/a/2sin3(e/2) и тогда
п~—— (ч0г+ чг0)-1- -^-пгг-Щ^-^-,
q q£ z
ч\х*-\-Цуу « 4/f cos2 -|- [y + tfi* y] "
Подставляя (2.83) и (2.84) в (2.82) и используя формулы (2.76), (2.81),
находим, что дифференциальное эффективное сечение рассеяния
электронов ядром имеет вид:
do
~dQ
^4яам(1+ 1*~^вуРЧф)
(2.85)
где
я(q) ~{^) п {ф + (tg2 т "т ■?")F* to) (2*86)
11
00
F2 (?) = (?/«+1)"1 S I </, ^ IIML (<?) || Jt яг> |«;
L = 0
оо
(2.87)
84

<7м — моттовское сечение рассеяния релятивистских электронов на
кулоновском силовом центре,
ом- 4а* A-cos* ± ~ ( acos(e/2) V; (2.88)
«?' 2 ^ 2^ sin* (9/2) j V ;
ос = eP/frc ж 1/137 — постоянная тонкой структуры. Величины Ff (а)
н Ft (q) называют продольным и поперечным формфакторами, а
слагаемые | < J/Яу || ML (q) WJ^t > |2, |< Jjjt, И 7l (<?) || /^пг> |2,
\<JfTifWT'l (q)\Wi^C>\2 — соответственно продольным (кулоновским),
электрическим и магнитным формфакторами мультипольности L.
§ 2.7. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФОРМФАКТОРОВ ' !
1. Укажем возможные значения q:
Я = \Ч\ = \h — h\ > <7о = *2о — *к> = Рю — Р2о> <7 < 2/10. (2.89)
2. Еще раз приведем правила отбора для матричных элементов
мультипольных операторов. Матричные элементы от операторов
Mlm (q) и Tlm (q) отличны от пуля, если между четностями яь nf
начального и конечного состояний имеет место соотношение:
ДЛЯ МШ(ф 1-^я ^(_1)Ь; I
МяТ[м(ф\ | - «-ЭР)
для Гйи№->Я£Я/ = ( —1)L+I. j
3. £ длинноволновом приближении (qR < 1) матричные элементы
кулоновского мультипольного оператора Mlm (q) (2.80) выражаются
через матричные элементы оператора электрического 2£-польного
момента системы зарядов QIm (2.56):
и согласно (2.55) через матричные элементы электрического
мультипольного оператора тока Tlm (q) (2-45):
<i1 MLM (q) | /> « -j/"-^ <» I П* (q) | f>.
4. Обратимость движения, т. е. свойство инвариантности
квантовой п классическом теорий относительно обращения движения частиц,
накладывает некоторые ограничения па матричные элементы
операторов Mlm {q) и Tlm (q). Для формулировки обратимости движения в
рамках квантовой теории введем состояние \JM>, отличающееся от
\JM> обращением движения, т. е. изменением знаков импульсов н
моментов всех частиц. Более точно (см. [3, (60.3)1): \JM> = (— l)J~M\X
85

X|/ — M>, Введем также оператор Qr, отличающийся от заданного
«исходного» оператора Q знаком операторов импульса и момента
(предполагается, что оператор Q может быть выражен через операторы
импульсов и моментов составляющих ядро нуклонов). Тогда
обратимость движения квантовой теории означает, что ,
(2.91)
<Jf Mf щ | QT\JiMt зхг->^<JiMt nt | Q | JfMf яу> =
fc(-l)'fi+^-Mi-M/<yl-JMJrt/|Q|y/-M/Jt/>.
В нашем случае это условие принимает вид:
<^ ^ || Alz. (г?) ||У£ jc,> = ( —l^^^^^y^ ^ || Afz. (g) Jf J/ jTy>;
<JS я, || T£(q)\\Jtnt> = (- \)Jt-J*+L-l<Jt я, || Ti W) || Jf Я/>.
Мы воспользовались здесь естественным свойством токов и зарядов:
Jr(r) = —J (r), pr(r)-= р(г).
Ограничения (2.91) становятся жесткими в случае упругого
рассеяния, когда Jt = /у. В этом случае, как следует из (2.90), (2.91),
продольные формфакторы отличны от нуля только при четных L, все
матричные элементы оператора Tut (q) обращаются в нуль, а матричные
элементы оператора Тш (я) отличны от нуля только при нечетных L.
5. Поперечный формфактор F? (q) непосредственно связан с
вероятностью электромагнитного распада. Действительно, используя (2.47)
и (2.48), выражение (2.49) для вероятности электромагнитного распада
можно записать в виде
»('-*/)=-^г 2 2 i<'«*iifa(*)и'/"/>!■•
Учитывая соотношения (2.91) и определение поперечных формфак-
торов (2.87), получаем:
со (*->f) = SnkFf (k).
Подчеркнем существенное преимущество изучения ядер в
процессах электронного рассеяния по сравнению с изучением в процессах
поглощения и испускания фотонов: вероятность поглощения и
испускания фотонов зависит от формфактора F? (q) npir фиксированном
значении q — \Et — £"/| — IPjlg — P20L тогда как при рассеянии
электронов формфактор Ft (q) определяется при всех возможных значениях
q 1см. (2.89)1.
6. Упругое рассеяние электронов на угол 0 = 180° выражается
только через поперечный формфактор F} (q) [см. (2.85), (2.86), (2.88)1 С
учетом обратимости движения и сохранения четности (см. п. 4)
получаем, что в упругое рассеяние назад дают вклад только переходы,
обусловленные обменом ML-фотонами с нечетными L.
86

§ 2A РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ФОРМФАКТОРбЙ
Используя определения (2.37), (2.40) для операторов плотности
тока и заряда, получаем явные выражения Mlm (q) и Tlm (q) через одно-
частичные операторы. Наиболее просто выглядит оператор Mlm (q)
(2.80). Для него, очевидно,*
Мш (ф ■= 2 Р/ к (<?/';) YLM in*)» n, *= г,//-,.
i
Рассмотрим теперь оператор Тш (q) (2.45):
LM
(<?) = , ' [ rot[t/LA,(r)]?(r)</r,
са VLILA-П J
где /lm (r) = к (qr) Ylm (n) Lcm. (1Л64), (1.168), (1.171), (1.174)1.
Воспользовавшись формулой rot L/ = — i [V- fr- V]]/ — — i [rA —
— V (1 + r-V)]/ и с учетом, что AjL (qr)YLAi (n) =—q% (qr)YLM(n)t
оператор Т[м (q) можно представить в виде
*TuAlq\ = ~{ Г{[1+г-У1//,м(г)у.?(г)--
cqVL(L + \) J
—q2fLM(rUS(r)}dr.
При вычислении матричных элементов <.1\/Т1м (<?)!/> оператор
V-J (г) заменяется оператором [—icop (r)], где /гсо — (Et — Ef) —
разность энергий состояний |/ ;> и |/> [см. (2.41)]. Имея это в виду, опе-
ратор Tlm (q) запишем в виде
ПМ(Ф^ 1 , [—* f [l+r-Vlft^(r)?(r)rfr +
c"l/L(L-j-i) I <? J
+ i<7S/z.M(r)r.T(r)rfrL (2.92)
где ay ^ qc — при рассмотрении излучения фотонов с импульсом hq и
о) = q0c — при рассмотрении рассеяния электронов с переданным
импульсом hq11. Преобразуем второй интеграл в (2.92) [см. (2.35), (2.37)1:
J fm (г) г. [ Jc (г) + с rot JT(r)] dv *= J /ш (г) г ?с (г) dr —
—с J *г (г), [г XV] /ш (г) rfr—с J div [км (г) г х JT(r)J dv =
= j /ы/ (г) г -?с (г) г/г — ic J JT(r) -t/lm (r) dv. (2.93)
Мы воспользовались правилом
div [V1 X V2] = V2-rot V1 — Vj-rot Va, (2.94)
* В этом параграфе будем использовать обычную систему единиц.
87

г
формулой Гаусса — ОстроградскоГб
j div [fLM (г) г X JT(r)J dv = lim j [/01 (r) r X \x (r)]. ds
(Qr указывает, что интегрирование ведется по поверхности сферы
радиуса R) н учли, что интеграл по сфере бесконечного радиуса от■ мат
ричного элемента оператора плотности распределения магнитного
момента системы зарядов равен нулю. Далее:
r-3c(v)dr^
j f?(r)>hfLM (г) dv = /ЦГ+Т) х
X 2^ ^— 5; <*j'Y' л/ (nj) и. (70)■
Окончательно получаем:
Пм (<?)*=-
со
с<7 Vl(L+l) "J
У -е-
tW + r/'W
<fri
*Ъи (П;) +
-hi
f" умГ+Т) ? ^7{/L ^ r'* ^ n iL {qri)) Ylm {nj)+
+? 2 ^7 £* ^ - Y^ (n;) ^ во)
(здесь pj = — ihdidrj).
Аналогичным образом получаем [см. (2.45)]:
(2.95
j [L/ш (г)] • [J>) -f c rot J?(r)] dr;
Tlm {q) = ,.
J [L/tAI (Г)] ■ Tc (Г) dr = i j [V/LAf (Г)] • [Г X?c (Г)] dt
dfbM (O)
dvj
Л
Ji
j [L/lm (r)] • rot ix (r) dv = J ji (r) • rot [L/ш (r)] dr -f
+ f div [J?(r) X Qlm (г)] dr ^= w 2 "^- £/КЦзГТГ) х
; 2tnj с
X
{V^irr/L"lto0)Y^Tl(nj)""
У ^'и-■ too) *&>;)) Я
(2.96
88

{десь, как и в (2.93), воспользовались правилом (2.94) и учли, что
\ di\Ui(r)xLfLM (T)]dr = \\m \ №(r)xLfLM(r}]<ds^Q
1см. также (1.164), (1.168), (1.171), (1.174) и упражнение 1.47].
В (2.96) \j обозначает оператор орбитального момента количества
движения /-и частицы (в единицах Щ. Окончательно получаем:
Ът / л i V ej Г Vl «70) Ylm (";) "
Tlm (q) = , 2d — л
ь+
Т/МИ-') i mic
l/;
L
L+l
2L-I-1
//.H(^)YbT'K)
J-Oj.
(2.97)
Укажем также ряд формул, которые используются при вычислении
(юрмфакторов. Приведенные матричные элементы от векторных
сферических функций имеют вид (см. упражнение 1.45):
0'~Г\№л\\£±Ъ = (-1)
W-1-—+/
2
\
2 '/
'V V 1/2
Х1/(/+1)(2М-1)|"а*{. \ '
L' 1 L1
I / /' 1\
X
X
X
7' V V
.0 О 0J'
/Г^-/'||уГ-а||/-1-/\-(-1)''Кб/Сх
X jl/2 1/2 1
Г ! '- J
V V V
о о о!'
к^ Г(2/+ 1) (2Г Ч-1) (27Н- I) № Н- ') (Я/Ч- ') W Ч-О I1 /2 #
Здесь / (/') — орбитальный, а / (/') — полный угловые моменты одпо-
-шстнчного состояния со спином 1/2.
При вычислении ядерных формфакторов в модели оболочек
встречаются интегралы вида:
Pvr[(v-h|i + l)/2J
J
х* ехр (— ах2) Jv фх) dx —
X ехр
Э'Г-
2v+l ad/2) (v+ii + D r(v-fl)
4а
Re а > 0, р > U, Re (v -К Н-) > ~ 1г
(2.98)

где /•' (a, [i; z) ■— вырожденная гипергеометрическая функция,
v ,н> у ' Р II Р(Р+1) 2! Р(Р+1)(Р + 2) 3!
Для упрощения (2.98) в конкретных расчетах используются
следующие свойства гамма-функции:
Г(* + 1) = *Г(х); Г(п):=(д —1)1; Г[л + у]*=(/я/2л)(2п —1)1!,
где п — целое число.
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 2.2
2.18. В области q<. l/R (R — характерный радиус ядра) выразить
формфакторы упругого рассеяния электронов на ядрах с нулевым
спином через среднеквадратический радиус распределения заряда в ядре.
2.19. Найти продольный формфактор Ff (q) упругого рассеяния для
ядра 1сО в области q ^ 3* 10™ см-1. (Спин ядра 1сО равен нулю,
нуклоны заполняют оболочки Is, \p\ радиальные волновые функции
считать осцилляторными с параметром г0 = 1,77- Ю-13 см).
2.20. Пользуясь оболочечной моделью (см. упражнение 2.5),
найти формфакторы Ff (q) упругого рассеяния для ядра 17F. Учесть
вклады всех возможных мультипольностей.
2.21. Показать, что при / = / + 1/2 орбитальный магнетизм не
дает вклада в магнитный формфактор упругого рассеяния мультиполь-
ности L — 2/ -f 1 (/» / — соответственно орбитальный и полный
момент ядра).
2.22. Показать, что обратимость движения требует обращения в
нуль диполыюго электрического момента микрочастицы.
2.23. Показать явным образом, что мультипольный продольный
формфактор упругого рассеяния при нечетных L и поперечный
электрический при четных L обращаются в нуль.
2.24. Пользуясь оболочечной моделью (см. упражнение 2.5),
рассчитать формфакторы переходов lds/2 -^№/2, lc?5/2-^2si/2 в ядре 17F.
2.25. Выразить эффективное сечение рассеяния электрона назад
(6 = 180°) через формфакторы F{ (q) и Ff (q).
2.26. Доказать соотношения (2.91).

Тема 3
СПИНОВАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ. РАСПАД
ОРИЕНТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
Занятия 3.1
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СПИНОВОЙ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
И СТАТИСТИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ *
§ 3.1. ОПИСАНИЕ СМЕШАННЫХ СОСТОЯНИЙ С ПОМОЩЬЮ
МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
Состояния физических систем в квантовой механике делят на
чистые и смешанные. Каждому чистому состоянию соответствует
определенный вектор состояния \\\>>. С ним связана волновая функция
состояния, явный вид который я|; (|) = <1Ь|С> зависит от выбранного
представления. Смешанному состоянию нельзя сопоставить никакой
вектор |ift>- Такие состояния описываются с помощью матрицы
плотности (см. [1, §28, 453).
Явный вид элементов матрицы плотности <51р|£';> заданного
смеишнного состояния, как и явный вид волновой функции я|> (|) при
описании чистого состояния, зависит от выбранного представления; в
го же время все физические результаты, которые можно получить с ее
помощью,— средние значения и распределения любых физических
величин в данном состоянии, скорости их изменения и т.д. — от выбора
представления, разумеется, не зависят. Поэтому часто удобнее
использовать матрицу плотности р-состояния без указания конкретного пред-
ставления. Оператор р, действующий в абстрактном гильбертовом
пространстве, называют статистическим оператором. Каждому
состоянию физической системы соответствует свой статистический оператор.
Общие свойства статистического оператора и матрицы плотности:
1. Матрица плотности р — это положительно определенная
эрмитова матрица с единичным следом:
<EIpII'>*=<S4pU>, (зл)
Sp (Г= 1. (3.2)
**i ■ ■ ■ ■ >■■-■■
* Недавно появилась хорошая книга по теории матрицы плотности, которую
мы рекомендуем читателю для углубленного изучения материала: Блум К.
«Теория матрицы плотности и ее приложение». М., «Мир», 1983.
91

/
2. Среднее значение любой физической величины F в состоянии,
описываемой! матрицей плотности р, дается формулой:
<f> = Sp ТрЪ (3.3)
или в матричном представлении
* «_
<F>*= 2<а |?| р> <П \? |а>. (3.4)
r/|J
Вероятность того, что в состоянии с матрицей плотности р фтпчеекпя
величина F имеет значение Fiy определяется весом соответствующего
ЧИСТОГО СОСТОЯНИЯ |ф;>* В СОСТОЯНИИ р:
W (1\) - <<|'/Иф|>, (3-5)
здесь «j)j — собственная функция оператора F, соответствующая
значению Ft: F |ср£ > = Ft | ф>.
Выражение (3.5) дает вероятность того, что в состоянии с матрицей
плотности р имеется чистое состояние гр£. *
Из полноты набора \ур> следует:
■ 2и?и=1. (з.б)
i
Формулы (3.5) и (3.6) записаны для случая, когда спектр значений
величины F дискретный; в общем случае в (3.6) входит также интеграл
по непрерывному спектру, а формула (3.5) дает не только вероятность
дискретных значений Fiy по и плотность вероятности непрерывных
значений величины^.
3. При унитарном преобразовании U, соответствующем переходу
к другому базису или представлению, матрица плотности
преобразуется по тому же закону, что и операторы физических величин:
ft^uTTj*; ^'=U^V+. (3.7)
Матрицы плотности р и р' описывают (в разных представлениях) одно
и то же физическое состояние системы, а формулы (3.3), (3.4) приводят
к одним и тем же результатам, если в них вместо р и F подставить р' и
?'.
4. Если ансамбль физических объектов (атомов, частиц и т.п.)
составлен из двух подансамблей одних и тех же объектов, причем между
этими подансамблями нет никакой корреляции (т. е. они независимы),
то матрица плотности всего ансамбля вычисляется по формуле:
Р = Pi Pi + fr Pa; Pi + Pa=l. (3-8)
где pj ц р2 — матрицы плотности, описывающие каждый из
подансамблей, а рх и р2 — их относительные веса. Среднее значение любой
физической величины в состоянии, описываемом матрицей плотности (3.8),
92

есть, очевидно, среднее взвешенное от средних значений этой
величины в состояниях, описываемых матрицами плотности рх и р2:
<F> s= px Sp (Pi F) + p2 Sp (p2 F\.
5. Эволюция смешанного состояния во времени определяется
оператором эволюции
S(tt g-exp[-(i/fi)Tl(/-/fl)l,
где // — гамильтониан системы. В представлении Шредингера
матрица плотности р (t) в момент времени / следующим образом связана с
матрицей плотности (I (/0) в момент /():
£(0 = О (/, 4)?&) 5+ (*, /0). (3-9)
Матрица плотности р (I) удовлетворяет уравнению
ihdp(fydt==lHS\t)]-
6. Положительная определенность оператора р означает, что все
собственные значения рп матрицы плотности неотрицательны:
р„>0. (ЗЛО)
Комбинируя (ЗЛО) с условием нормировки (3.2), получаем: 2рп =1;
п
О ^ рп ^ 1, где суммирование проводится по всем собственным
значениям матрицы плотности.
^^
7. Из (ЗЛ) и (3.2) следует, что если матрица плотности < п\р\п'>
имеет размерность N, то число ее независимых вещественных
параметров равно N2 — 1.
Раскроем физический смысл собственных значений и собственных
векторов матрицы плотности. Пусть Ь|зп;> — собственные векторы
оператора р, т. е. в представлении векторов №„> матрица плотности диа-
гональна: <4j)n|p|a|)n'>-prl6nrt'. Собственные векторы |я|?п> образуют
полный набор:
21 *»><*» 1 = /^ (3.11)
п
(здесь справа — единичный оператор). Оператор проектирования ^п—
— И'п>"<Фп1 есть матрица плотности чистого состояния |i|>n>. Подей-
ствовав оператором р на обе части равенства (3.11), получим
разложение матрицы плотности смешанного состояния по матрицам плотности
чистых состояний, являющихся собственными состояниями оператора
Р*=2рп|Фп><ОЫ. (3.12)
п
93

При этом собственные значений матрицы плотности рп являются
весами, с которыми в данное смешанное состояние входит чистое
состояние |фп>. Говорят, что смешанное состояние (3.12) представляет собой
некогерентную смесь чистых состояний |i|)n>-.
Используя (3.20), легко получить
Sp(?) = 21pX<l. ' (3.13)
и
Равенство
Sp(?)= 1 (3.14)
достигается при условии, что только одно из собственных значений р„
отлично от нуля (и, следовательно, равно единице): рп = р,Ш9. Это
случай чистого состояния:
?=H»n.X*nJ. (3.15)
В смешанном состоянии всегда
Sp(p2)<l. (3.16)
Таким образом, соотношение (3.16) можно использовать как критерий,
позволяющий легко определить, чистое или смешанное состояние
описывает данная матрица плотности. Заметим, что согласно (3.15) в
чистом состоянии выполняется не только равенство (3.14), но и более
сильное соотношение: р2 = р.
Аппарат матрицы плотности эффективно используется при
описании составных систем. Пусть некоторая система, состоящая из двух
частей (подсистем) 1 и 2, описывается матрицей плотности р, т. е.
находится, вообще говоря, в некотором смешанном состоянии. Как найти
матрицы плотности каждой из подсистем р<х> и р<2>? [Не будем путать
эту постановку вопроса с той, что излагалась в связи с формулой (3.8):
там речь шла о двух независимых подансамблях одних и тех же
атомов, частиц и т. п.].
Для нахождения матриц плотности подсистем р(1> и р<2>
потребуем, чтобы среднее любой физической величины Ръ характеризующей
подсистему 1, в состоянии р<*> этой подсистемы совпадало со средним
значением этой величины в состоянии р всей системы (тоже для
величины F2, характеризующей подсистему 2):
<F1>«Sp(?i)?1)s=Sp(^?1).
Отсюда следует, что р<г> — Sp<2>p; р(2> — Sp(1> p, где индекс 1 или
2 у знака Sp означает, что суммирование производится по переменным,
относящимся к указанной подсистеме. То же в матричном виде:
<«! | р(1 > \П[> = 2 <"l Щ I P | П1 "2>»
пя
94

т. е. для получения матрицы плотности подсистемы надо вычислить
след матрицы плотности полной системы по всем переменным, кроме
переменных интересующей нас подсистемы.
В частном случае матрица плотности составной системы может фак-
торизоваться, т. е. иметь вид произведения матриц плотности
отдельных подсистем:
■ <п1п2 \p\ni Л2> = <«ifp(,) I wl><«2fp<2) |n£>.
В этом случае распределение в состоянии р любой физической величины
Fit характеризующей подсистему 1, не зависит от распределения
физических величин F2t характеризующих подсистему 2, и наоборот. Тогда
говорят о независимых подсистемах.
§ 3.2. ПОНЯТИЕ СПИНОВОЙ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ И
СТАТИСТИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
Частным случаем описания состояний физических систем с помощью
матрицы плотности является использование спиновой матрицы
плотности. Это матрица по спиновым переменным или, вообще говоря, по
переменным угловых моментов —спинового, орбитального или
полного. Так, матрица плотности, описывающая спиновое состояние одной
частицы, состоит из элементов <ms |p|m's>-, ms> m's = —s, ..., + s,
т. е. имеет размерность 2s -j- 1. Матрица плотности частицы со спином
s и орбитальным моментом / состоит из элементов <m/ma Ipwz/ ms'>>,
где triu т\ = — /,..., 4~/, tn8t m's — s, ..., + s, т. е. имеет размерность
(2s + 1) (2/ + 1). С помощью унитарного преобразования \mimp>=
= 2 (lmisms\jmj)\jmj> ее можно записать в эквивалентном представле-
jm-
нии полного момента
<_lsjnij | р | Isj' mj > =
= 2 Фщ sms | jtrij) (Imi snis | jm}) ^<m( ms |p | mi m's>. (3.17)
'nimsmim's
Очевидно, матрица (.3.17) есть квадратная матрица той же размерности,
В дальнейшем нам понадобятся формулы преобразования
элементов спиновой матрицы плотности при поворотах системы координат.
Обозначим \snO> базисные векторы спинового состояния частицы в
исходной системе координат /<" (с осью z)y a |s|0> — базисные векторы в
повернутой системе К (с осью z). Связь между ними устанавливается
соотношением (J.74), с помощью которого находим связь между
матрицей плотности в исходной и в повернутой системах
<sJlif£| gi'>*= 2 Л"цИ<sm \7\sm'>Dsm^f (о). (3.18)
mm'
Здесь со = (а, р, -у) — совокупность параметров, характеризующих
поворот от системы К к системе К. Обобщение формулы (3.18) на
случай, когда в системе имеется два или более угловых момента, очевидно.
95

Наряду со спиновой матрицей плотности эквивалентное описание
системы можно получить с помощью так называемых статистических
тензоров [30, 31]. Введем их сначала для случая, когда система
характеризуется одним угловым моментом. Построим из элементов матрицы
плотности <//п|р|/"т'> следующие величины:
Раа (/,/')= S (-lV'~m' (Mf -m' \kq)<jm\9\j' т'>. (3.19)
mm'
При фиксированных / и /' индекс k может пробегать все
целочисленные значения от |/ — /'| до / + /', а каждому k соответствует 26+1
значений индекса д. Таким образом, при фиксированных / и /' всего
имеется S (2 /г + 1) = (2/ + 1) (2 /"' + 1) значений pkq, т. е. столько
k
же, сколько разных комбинаций индексов т и т'. Очевидно
соотношение, обратное соотношению (3.19):
</т|^|Г//г'> = 2(-1^""'"'(У>"У; -m'\kq)phqU,n (3-20)
kQ
Совокупность (2k + 1) величии phq (/, /'), q = — k, ..., +6,
соответствующих определенному /г, образует неприводимый тензор ранга
k в смысле определения (1.98). Для доказательства запишем
соотношение (3.19) в некоторой повернутой системе координат:
(W (/, Л = 2 (— !)/*—■*' (/>/' ~У I*' ?')</М?1/' Р'>. (3.21)
ща'
затем по формуле (3.18) выразим <7HpI/V> через матрицу
плотности в исходной системе координат и, наконец, воспользуемся
соотношением (3.20) и теоремой сложения для £>-функций (1.83). В
результате получим
W (А Л = <W 2рм(/, ЛС4' МЛ (3.22)
Таким образом, совокупность величин (3.19) действительно образует
(сопряженный) неприводимый тензор ранга k. Будем называть их
статическими тензорами состояния (в литературе встречаются и другие
их названия: поляризационные моменты, тензоры ориентации и др.).
Заметим, что при / — /' коэффициент перед <Ljm\p\jm'^> в (3.20)
совпадает с матричным элементом спин-тензора Tkq (/") [см. (1.114)1.
Поэтому статистический тензор состояния p/{q (/, /') представляет
собой среднее значение сшш-тензора Ttq (/) в этом состоянии,
Действительно,
Ри(/,Л= S <Jtn\rhq(j)\jm'><:jm\f\jm'> =
mm'
= S <Im \Tnq(/)! K>*</mip*|/m'> =
mm'
= 2 </m' |?ft (/) | /*C> <//« |fT(/m')> = Sp Щ (/) p). (3.23)
mm*

Обратимся теперь к случаю, когда система состоит из двух
подсистем с угловыми моментами /i(/i) и /2(/i)- Спиновую матрицу
плотности такой системы удобно использовать в представлении проекций
моментов подсистем полного момента:
<!iUJM\?\liliJM'>= 2 (hmLj2m2\JM) x
1 в 1 2
X (/f m\ J2 mi | J' M') <i1m1j'2m2 (p\ j[ m[ j'2 m'€>
[частным случаем этого выражения является формула (3.17)]. Заметим,
что если корреляции между проекциями моментов подсистем
отсутствуют, то матрица плотности в представлении проекции факторизуется:
</i Щ /2 т21 р | /; т[ /г /П2> =
-<!\Щ \?il) I/! т[></ат2|>> I/2Ш2>] (3.24)
в представлении полного момента факторизации, разумеется, нет.
Построим статистические тензоры рассматриваемой составной
системы. В представлении полного момента можно сразу использовать
формулу (3.19). Однако в представлении проекций моментов
подсистем приходится вводить новые величины — двойные статистические
тензоры. Они определяются соотношением
mttn' tnzm'
X (— 1) '* ~m2 (/2 m2 /2 —mj I &2 ft) <Л % /2 m21P I /1 '"I /2 m5>,
Переход от одного вида статистических тензоров к другому — это
просто переход от одной схемы связи моментов k = J 4- J'; J = ji 4-
4- j2; J' = J1+ К к Другой (к = kx 4- k2; kx = h 4- Ji; К = U + Id-
Он имеет вид:
= 2 <kh(J)nn(J') :k\hli (fej/,/J(ftJ : *>*
(hh-hh). (3.25)
<7i<7a
Матрица преобразования (3.25) унитарна. Формула обратного
преобразования очевидна.
В частном случае, когда матрица плотности <.jxmy]2Mb\p\hmihm%>
факторизуется [см. соотношение (3.24)], двойные статистические
тензоры также факторизуются:
Р/и<ы*3<72 (/i/г"» /i /г) — рл*?! (Л» /0 Рл^г (/г> /г)»
где в правой части — статистические тензоры каждой из подсистем
они связаны с матрицами плотности подсистем <jimilP(1)l/itfC> и
<7am2lp(2Mvrai> соотношением (3.19).
4 Зак. 306 97

§ 3.3. ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ СПИНОВОЙ МАТРИЦЫ ПЛОТНОСТИ
И СТАТИСТИЧЕСКИХ ТЕНЗОРОВ
Рассмотрим систему с определенным моментом у\ Матрица
плотности такой системы <Cjm\p\jm'> имеет размерность (2/ + 1). Учитывая
требование эрмитовости р и условие Sp р = 1, легко подсчитать, что
число независимых вещественных параметров матрицы плотности
<Cjm\p\jnc> равно (2/ + I)2 — 1 = 4/ (у + 1). Заметим, что это число
быстро растет с /; при у = 1/2 оно равно 3, при / = 1 — уже 8 и т. д.
То же число 4/ (у Н- 1) можно получить, перебрав все независимые
вещественные параметры, определяющие полный набор
статистических тензоров pkq (/, /) рассматриваемого состояния: k — 0, ..., 2/;
q — —ky ..., -\~k. Для этого заметим, что из эрмитовости матрицы
плотности <:/mjp|/m';> вытекает соотношение:
р*Л/л') = (-1У'-/+*рм (/',/).
Отсюда следует, что в пашем случае (/' ~ у) «нулевые» (при q —0)
компоненты всех статистических тензоров вещественны:
Р*о (/,/) = р/(0 (/,/),
а компоненты с положительными и отрицательными q взаимосвязаны:
P*ff</./)==( —l)*Pfc-a(/.Я-
Таким образом, с учетом эрмитовости матрицы плотности число
независимых параметров, определяющих компоненты статистического
тензора phtJ (у, у) с данным /г, равно числу самих компонент, т. е. 2/г + 1.
Просуммировав но всем к от нуля до 2у, получим число (2/ + I)2. Надо
еще учесть условие нормировки матрицы плотности Sp p — 1. Из
определения (3.19) следует
Роо (/, /')- 2 (-1)'-"' (/m/-m' 100) </m |{Г| /т'>*=
mm'
— —, 2^w0° I im) <im IpI 'm> = / sp £*= / (3-26>
V2/+1 ш 1/2/-hi У2/+1
[Здесь мы воспользовались свойством (1.32) коэффициентов Клебша—
Гордапа.] Таким образом, статистический тензор нулевого ранга
Роо (/» У*) всегда фиксирован. Следовательно, число независимых
вещественных параметров статистических тензоров phq (у, у) составляет в
общем случае (2/ + I)2 ■— 1 =4/ (у + 1), что и требовалось доказать.
Фактическое число независимых вещественных параметров спиновой
матрицы плотности или статистических тензоров состояния с
определенным моментом у может быть меньше, чем 4/ (у -J- 1), в силу
дополнительных ограничений, отражающих особенности разных физических
систем и условий их образования (см. § 3.4).
Если матрица плотности <ijm\p\jm'> некоторого состояния диаго-
нальна, то согласно (3.19) все компоненты статистических тензоров
98

того состояния с ненулевыми значениями индекса q равны пулю:
Vh4 (/» i) = Vko (/» /)б.7о-
Из соотношения (3.21) следует обратное утверждение: если
статистические тензоры некоторого состояния имеют только компоненты с
(/ 0Т то матрица плотности этого состояния <С;ш[р|/т'> дпагональ-
мл (разумеется, соотношения (3.19) и (3.20) связывают элементы
матрицы плотности п статистических тензоров в одной и топ же системе
координат].
Рассмотрим параметризацию спиновой матрицы плотности и
статистических тензоров.
Система с моментом 1/2. Будем для определенности иметь в виду
частицу со спином s — 1/2. Для нахождения общего вида матрицы
плотности <! (1/2)//г||>| (1/2)//?';> воспользуемся тем, что любую
матрицу второго порядка можно разложить по четырем линейно
независимым матрицам: / (единичная матрица), аХ) о^, az (три матрицы
Паули): р = а (I + Рхах + Руси + Pzoz), где а, Рх, PlJt Pz — пока
произвольные вещественные константы. Константу а определим из
условия Sp р ~ 1; тогда
Р = (1/2)(Т+Р5, (3.27)
где Р —- вектор с компонентами Рх, Pv, Pг. Его физический смысл
раскрывается соотношением:
<S>= Sp (р S) =(1/2) Sp ф &j= (1/2) Р,
из которого видно, что вектор Р показывает среднее направление
спина s частицы в состоянии (3.27), а величина Р = |Р| есть степень
поляризации частицы. Естественное условие 0 ^ Р ^ 1 соответствует
тому, что только при таком условии матрица плотности (3.27)
удовлетворяет общему требованию (3.13).
Три параметра Рх, Руу Рг полностью характеризуют спиновое
состояние частицы со спином 1/2. При Р ^ 1 и только при этом
условии состояние с матрицей плотности (3.27) чистое, при Р — 0
поляризация отсутствует.
Статистические тензоры phq (1/2, 1/2), соответствующие матрице
плотности (3.27), легко получить непосредственным вычислением по
формуле (3.19):
Роо (1/2, 1/2) = 1//2;
plq (1/2, 1/2) = (1/»/2) P;f
где циклические компоненты вектора Р определены согласно (1.99).
Система с произвольным спином. В общем случае матрицу
плотности частицы со спином s можно разложить по набору (2k + 1)
неприводимых спин-тензорных операторов Tkq (s):
Р= 2 2 Рмг«(*)- (3-28)
ft=0 q——k
4* 99

Нетрудно убедиться, что коэффициенты разложения pkq — это те
самые статистические тензоры состояния, которые были введены
соотношениями (3.19). Действительно, подставляя (3.28) в (3.19) и учитывая
(1.114), получаем
P*Q(s, s)= S (— l)*-mt (sms—m'\kq) 2 p*- r <sm| Thq\sm'> =
mm' k' q'
= 2 ( —l)s-m'(sms—/n'|^) 2 PA'ff't—l)s-m'(tfws—m'\k' qf) =
mm' k' q'
= P/itf*
Напомним, что согласно (3.23) phq = <Ttq >• Статистические
тензоры phq (s, s) нечетного ранга (k ~ 1,3, ...) будем называть
тензорами поляризации, а четного ранга (k = 2, 4, ...) — тензорами еы-
строенности.
Поляризационная матрица плотности фотона. Спиновое
(поляризационное) состояние фотона может быть чистым и смешанным.
В первом случае оно характеризуется определенным вектором
поляризации (см. §2.1), во втором — поляризационной матрицей
плотности, аналогичной спиновой матрице плотности, используемой при
описании других частиц.
В отличие от частиц, обладающих массой, для фотона не
существует «собственной» системы координат: в любой системе он движется
со скоростью света. Рассмотрим фотон с определенным импульсом к.
В качестве базисных векторов при построении спиновой матрицы
плотности фотона выберем состояния определенной спиральности \Юо>
(см. § 2.1), т. е. состояния с определенным значением проекции спина
фотона па направление его движения. При К = +1 имеем правополя-
ризованный фотон, а при Я — —1 — левополяризованный.
Как всякая матрица плотности размерностью 2x2, спиновая
матрица плотности фотона <СЯ|р|Я'> содержит 3 независимых
вещественных параметра:
^в1/ l+P* -pi + [PA (3 29)
2 V—Ях—iP2 1-Рз )
Введенные таким образом величины Plt Ps, P3 называют параметрами
Стокса. Выясним их физический смысл.
Заметим сначала, что матрица плотности (3.29) удовлетворяет
общему требованию (3.13) при условии
Я+Я1+РК1, ' (3.30)
з
причем равенство 2 Pf = 1 означает, что имеет место чистое поляриза-
циошюе состояние фотона.
Диагональные матричные элементы матрицы плотности дают вес
базисных чистых состояний |к?С>:
Г(Ы±1)= (1 +/>а)/2, (3.31)
100
<s

/
так что параметр Стокса Р3 ссть степень циркулярной поляризации
фотона Рс:
р _ W(+\)-W(-\)_p
Параметры Рг и Р2 есть характеристики линейной поляризации
фотона. Чтобы выяснить их смысл, воспользуемся выражением (2.32)
для волновой функции фотона, линейно поляризованного вдоль
вектора е„, составляющего угол ср с направлением оси х в плоскости,
перпендикулярной импульсу фотона к:
схр( — irp)
еп> =
/тг
V2
кд=+1>+-схр("Иф)
к, Я.= —1>.(3.32)
V2
Вычислим вероятность того, что в состоянии фотона с матрицей
плотности (3.29) имеется чистое состояние (3.32):
Wr(e„) = <en|?|eIl>-(l/2){l + Rc(P1-iP8)exp(2iV)}.
Оно, действительно, не зависит от параметра Р3. Видно, что параметр
Рг характеризует вероятность линейной поляризации фотона вдоль
направления х (и соответственно у), а параметр Р2 — вероятность
линейной поляризации вдоль направления ср — 45° (и соответственно
ср = 135°).
Будем называть параметр
Pl=VP*+PI (3.33)
степенью линейной поляризации.
Итак, при произвольных значениях Plt Ръ Р3 фотон обладает как
циркуляцией, так и линейной поляризацией. Условие (3.30) налагает
ограничение на степень циркулярной и линейной поляризации: Р% +
+ Pl ^ 1. Если в этом соотношении достигается равенство, но оба
параметра Рс и Pt отличны от нуля, то говорят об эллиптически
поляризованном фотоне.
§ 3.4. ОГРАНИЧЕНИЯ НА СПИНОВУЮ МАТРИЦУ ПЛОТНОСТИ
И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ, ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ СВОЙСТВ СИММЕТРИИ
Учет свойств симметрии физических систем позволяет, как правило,
сильно уменьшить число независимых параметров спиновой матрицы
плотности. Пусть U — некоторое унитарное преобразование,
связанное с переходом к другой системе координат или, в общем случае, к
другому базису. При таком преобразовании матрица плотности
изменяется согласно (3.7). Симметрия данного состояния системы
относительно этого преобразования выражается соотношением
^=P^U^U+ (3.34)
или, с учетом унитарности преобразования £/,
[U, р"] - 0.
101

1
Гели спиновая матрица плотности параметризована согласно (3.28),
то после произвольного унитарного преобразования она принимает
следующий вид:
?' = 2 Pk* VTkq (s) U* - S 9kq % (s), ~ (3.35)
kq "v
*
где Th4(s)— UTkf!(s)U+—еппп-тепзорпие операторы и новом
базисе. Далее в этом параграфе рассматриваются только преобразования,
связанные с поворотами и отражениями системы координат. При таких
преобразованиях тензорные размерности операторов не изменяются,
поэтому T'bq (s) = 2 WqvTfcv (s). Подставляя это разложение в правую
v
часть (3.35), получаем разложение преобразованной матрицы
плотности по исходным спин-тензорным операторам:
Р' ^Zjp/гу Tkx (S), (3.36)
v
где piv = 2 Рла ^*v'
я
Если система инвариантна относительно рассматриваемого
преобразования, т. е. справедливо соотношение (3.34), то, приравнивая
выражения (3.28) и (3.36), получаем
Phq (s, s) = S Pav (s, s) U^v. (3.37)
Это соотношение выражает связь между разными компонентами
статистического тензора, обусловленную определенной симметрией
системы. Явный вид коэффициентов связи Wjv зависит от типа
симметрии. Если преобразование, относительно которого физическая
система инвариантна, сводится к поворотам системы координат, то Wkqv в
соответствии с (3.20) выражается через £>-функции.
Изотропная система. Рассмотрим систему, в которой нет
выделенного направления (т. е. изотропную систему). Очевидно, что все
статистические тензоры такой системы, кроме тензора нулевого ранга
(скаляра) р00, равны пулю: phq (s, s) = (2s + 1)~1/2 $k$qo-
Следовательно, спиновая матрица плотности такой системы пропорциональна
единичной матрице <Zstn\p\sm'> — 6,»m7 (2s -1- 1). Конечно, эти
результаты можно получить и формально из (3.34), (3.37), подставив в
качестве U оператор конечных поворотов.
Система с аксиальной симметрией. Пусть система обладает
аксиальной симметрией относительно некоторого направления п. Тогда
компоненты статистических тензоров не будут меняться при повороте
системы координат вокруг этого направления на любой угол \р:
Vhq = 2 DgV (if, 0, 0) pkv s= exp (iqxp) pkq.
V
102
I

Здесь ось квантования считается совпадающей с осью симметрии. Это
соотношение при произвольном *ф может выполняться, лишь если q =
= 0. Таким образом,
Phq ~ SqoPhOt (3.38)
а спиновая матрица плотности диагональна по т:
<Csm | р | sm'> — <s/h | р | stiO> ?>тт' — Рж бя,„г. (3.39)
В произвольно ориентированной системе координат
р£, - 1Ля/(2Л + 1> 1% (0, <р) рй0, (3.40)
где 0 и ф — полярный и азимутальный углы направления симметрии
п в этой системе.
Система с осью симметрии и перпендикулярной ей плоскостью
симметрии. Очевидно, в этом случае действуют ограничения (3.38) и
(3.39): в системе координат, где ось z совпадает с осью симметрии,
отличны от пуля лишь компоненты статистических тензоров рЛ0, а
матрица плотности диагональна по т. Наличие плоскости симметрии
усиливает эти ограничения. Равноправие направлений вверх и вниз
по отношению к плоскости симметрии означает, что состояния с
противоположными значениями проекций спина равновероятны: рт = р_т.
Это, вместе с (3.38), означает, что равны нулю все компоненты рЛ0 с
нечетными к. Таким образом, система с осью симметрии и
перпендикулярной ей плоскостью симметрии полностью описывается
компонентами статистических тензоров p/t0 четного ранга (тензорами вы-
строенности) с q = 0:
Ра* = 6*оРло. к — четное. (3.41)
Отсюда, в частности, следует, что если рассматриваемая система имеет
спин 1/2, то ее матрица плотности есть единичная матрица р — (1/2) /.
Следовательно, при наличии оси симметрии и перпендикулярной ей
плоскости симметрии свойства системы со спином 1/2 не отличаются
от свойств изотропной системы.
Если спин системы равен единице, то в условиях, когда имеется
ось симметрии и перпендикулярная ей плоскость симметрии, спиновое
состояние системы характеризуется согласно (3.41) одним
вещественным параметром — параметром выстроенности р20.
Система с полярной осью симметрии и определенной четностью.
Если система имеет определенную внутреннюю четность, то ее матрица
плотности не изменяется при инверсии. Спии-тензорные операторы
7V/ (s) как четного, так и нечетного рангов при инверсии также не
изменяются, поскольку они составлены из компонент псевдовектора one-
ратора спина. Поэтому и статистические тензоры такого состояния
при инверсии остаются неизменными. С другой стороны,
преобразование инверсии можно представить как последовательность двух
преобразований: поворота па угол л вокруг оси z и последующего отражения
относительно плоскости ху. Поскольку ось z в данном случае можно
считать осью симметрии, требование инвариантности относительно пп-
1ОД

исрсин оказывается эквивалентным требованию симметрии системы
относительно плоскости, перпендикулярной оси симметрии. Поэтому,
как и в предыдущем случае, отличными от нуля оказываются лишь
статистические тензоры четного ранга, причем в системе координат с
осью 2 вдоль п они имеют по одной ненулевой компоненте pk0.
К этому же выводу легко прийти, рассматривая выражение (3.40)
для статистических тензоров в произвольной системе координат при
наличии оси симметрии. Требование инвариантности этого выражения
при инверсии означает, что оно не должно изменяться при замене
п-* п (0—у л — 0, ф-^jt -f ф), откуда сразу следует, что
параметры pft0 отличны от нуля лишь при четных /г.
Отметим, что если ось симметрии связана с каким-либо
псевдовектором (например, с внешним магнитным полем), то в отличие от
рассмотренного выше случая система с определенной внутренней
четностью может характеризоваться статистическими тензорами четного
п нечетного рангов.
Система с плоскостью симметрии. Преобразование отражения в
плоскости эквивалентно повороту па угол 180° вокруг оси,
перпендикулярной этой плоскости, п инверсии. Выберем в качестве плоскости
симметрии плоскость xz. Тогда согласно (3.22) можно записать:
Рн(/\ n-S^'flbOW (Л /')- (3-42)
Используя известное значение £>-функции Dkqq' (ОяО) = (—l)*-^^-^,
получаем;
Ра, (/• /') = (~ 1)** Р*- « (Л Л = (-1)*"-'' Ph (/> /')• (3-43)
Подчеркнем, что соотношение (3.43) написано для случая, когда ось
квантования (ось г) лежит в плоскости симметрии.
Если ось квантования выбрана перпендикулярной плоскости сим-
метрии, то вместо (3.42) следует записать pkq (/, /') = 2 Аг<?' (OOn) X
, я'
X 9kqr (/, /')> откуда, с учетом соотношения Dqq- (00л) — Ьяя> X
X ехр (—1<7л), получаем:
pw(/./') = (-i)*p*9 (/./')■
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 3.1
3.1. Записать общий вид спиновой матрицы плотности двух
частиц со спином 1/2: а) в случае статистической независимости их
поляризаций, б) при наличии корреляции поляризаций.
3.2. Частица со спином 1/2 находится в спиновом состоянии
IX> = S tf,i IX(l>-
Найти вектор поляризации Р = <Ж>, выразив его через
коэффициенты ан.
104

* 3.3. Найти статистические тензоры ph(] Для спина 1, Находящегося
в состоянии
| Х> = 2 % | Хц>.
3.4. При каких условиях на параметры и матрице плотности двух
различных частиц со спином 1/2
спины в системе не коррелировали?
v 3.5. Известна матрица плотности спина 1/2. По отношению к
каким чистым состояниям данное состояние является статистической
смесью? С каким весом представлены эта чистые состояния:
б) (Ш ~1/2);
\U2 112/'
3/4 — il/3741
i }/3~/4 1 /4
2/3
Д)
4^3"
\ 3.6. Атом водорода находится в ls-состоянии. Протон неполяри-
зован, а спин электрона направлен вдоль оси г. Найти матрицу
плотности системы в представлении полного спина,
v 3.7 Матрица плотности спина / в некотором состоянии имеет вид:
?! = —— (?+aj).
Найти максимально допустимое значение параметра а. Выразить
<j> через а.
3.8. Выразить спиновую матрицу плотности трех моментов в пред*
ставлении их проекций <Am1/2/na/3m3|pl/i'wi/2m2/3'"3> через матрицу
плотности в представлении \jtj2 (/12)/з: JM> или \jij2J3 <Угз) • JM>.
\ 3.9. Ансамбль из ядер дейтерия (S = 1) составлен следующим
образом: половина ядер находится в чистом состоянии с пулевой
проекцией спина на ось z (Mz = 0) и половина — в чистом состоянии с
нулевой проекцией спина на ось х (Мх — 0). Найти матрицу плотности
системы.
ЗЛО Найти статистические тензоры спина / н состоянии
|Е>*= 2 %|Хи>-
И=-У
105

V 3.11. Для выстроенного случая (аксиальная + плоская симметрии)
выразить статистические тензоры момента / через вероятности
заселения подуровней с заданной проекцией момента: а) / = 1/2; б) j = 1;
в) / = 3/2; г) / = 2.
3.12. Выразить статистические тензоры системы трех моментов
через тензоры ориентации каждого индивидуального момента в
отсутствие между ними корреляции поляризаций.
\ 3.13. Найти статистические тензоры для системы, описанной в
упражнении 3.9.
V/ 3.14. Показать, что собственные функции и собственные значения
матрицы плотности (3.27) даются формулами/
|q> /cos(0/2) Ч. |ft> /«..(6/2) V
\, exp (icp) sin (0/2) / \, —схр up cos (0/2) /
Р„ = (1+ Р)/2; Рь = (1 - Р)12.
Каков физический смысл состояний \аГ> и |£>?
Занятие 3.2
МАТРИЦА ЭФФЕКТИВНОСТИ. РАСПАД ОРИЕНТИРОВАННОЙ
СИСТЕМЫ
§ 3.5. МАТРИЦА ЭФФЕКТИВНОСТИ
Обсудим вопрос о регистрации квантовой системы, находящейся
в состоянии с матрицей плотности р. Рассмотрим сначала случай,
когда регистрация проводится прибором, обладающим следующим
свойством: он с вероятностью 1 регистрирует систему, если она находится
в чистом состоянии |(pv> , и не регистрирует, если она находится в
любом состоянии |cpv. >, ортогональном к |ipv >. Тогда, в
соответствии с (3.5), вероятность регистрации системы, характеризующейся
матрицей плотности р, равна соответствующему диагональному
элементу: W = <<pv|p]<Pv>- Обобщим это выражение на случай, когда
детектор может регистрировать систему не в одном, а в нескольких
чистых состояниях |<pvi>> lfPv2>, ■•• Будем считать, что если
система находится в состоянии |cpv>> то вероятность (эффективность) ее
регистрации данным прибором равна ev. Тогда вероятность
регистрации системы, находящейся в смешанном состоянии с матрицей
плотности р, очевидно, определяется выражением W= ^ £v<Tv!p[ffv>- Вве-
V
дя матрицу
"е =* 2 ev | <{\> <cpv |, (3.44)
V
можно представить IF в виде
U? = Sp(pe).. (3.45)
ЮС

Матрица е характеризует свойства данного прибора. Ее называют
матрицей эффективности [31] (прибора, детектора). Выражение (3,44)
по форме совпадает с общим видом матрицы плотности (3.12), поэтому
матрица эффективности макроскопического прибора обладает теми же
математическими свойствами, что и матрица плотности квантовой
системы*. В частности, матрица эффективности эрмитова (е+^ = е) и
преобразуется аналогично (3.7) при унитарных преобразованиях: &' =
= (/e[/f. След произведения матриц при унитарных
преобразованиях не меняется, так что формула (3.45) остается справедливой в любом
представлении. Благодаря этому введение матрицы эффективности
особенно удобно, когда матрицу плотности легче вычислять в одном
представлении, а свойства прибора проще описать в переменных,
соответствующих другим представлениям. Перейдем к рассмотрению
матрицы эффективности в разных предствлениях для наиболее важных
частных случаев.
§ 3.6. МАТРИЦА ЭФФЕКТИВНОСТИ ОРИЕНТИРОВАННОГО ДЕТЕКТОРА
При изучении продуктов распада или ядерной реакции детектор
обычно определенным образом ориентирован (в пространстве) по
отношению соответственно к источнику или мишени, в которой
происходят реакции. При этом он регистрирует частицы в состояниях
волнового пакета, включающего направление движения п вблизи направления
п0 на центр детектора. Естественно предположить, что
«собственными» состояниями |фу>, входящими в разложение (3.44) матрицы
эффективности детектора, регистрирующего определенные частицы со
спином 5, являются плоские волны: \
|cpv> = |£n>|yva>;
ev — s (En, a). (3.46)
Здесь Е и n—энергия п направление движения частицы; \%а> —
спиновое состояние; в общем случае это суперпозиция состояний с
определенными проекциями спина на некоторую ось L: "
\%a> = ^\s\i>Lcm. (3.47)
Ось квантования L естественно связать с одной из осей «собственной»
системы координат детектора. Для частиц со спином 1/2 состояние
(3.47) всегда можно отождествить с состоянием |sjj/> с определенной
проекцией спина на некоторую ось L. Но при s^ 1 это, вообще гово-
* Иногда е называют матрицей плотности прибора. Этот термин нужно
понимать в условном смысле. В действительности, конечно, е есть матрица
плотности не самого прибора, а того состояния квантовой системы, в котором прибор
её обязательно регистрирует. Поэтому выражение (3.45) можно интерпретировать
так же, как вероятность того, что в состоянии с матрицей плотности р
содержится состояние с матрицей плотности е
107

(
(»я, к 'i:u Iнапример, для фотонов в качестве (3.47) могут выступать
■кгмппши линейной поляризации].
Предположим, что детектор является идеальным в следующих от-
]|(>Н1 'ИННА:
а) чувствительности детектора к каждой из трех характеристик ча-
i пщы (/:', п или а) взапмонезависимы: е (£, п, а) — g (£)ep (n)es(a),
где вер хине индексы р и s указывают, что соответствующие множители
связаны с пространственными и спиновыми характеристиками
детектора;
б) эффективность детектора не зависит от энергии частицы:
в) детектор регистрирует только частицы, движущиеся в строго
определенном направлении п0 : ър (п.) — б (п •— л0).
Конечно, для реальных детекторов эти предположения не
выполняются, поэтому при анализе экспериментальных результатов
приходится вводить соответствующие поправочные множители в теоретические
результаты. В измерениях угловых распределений и поляризаций
частиц особенно важно нарупление условия (в), обусловленное
конечными размерами детекторов. Методы расчета и таблицы необходимых
в этом случае «факторов ослабления» для некоторых типов детекторов
конечных размеров приведены в [301. Далее мы всегда будем иметь в
виду идеальные детекторы. Поэтому и матрица эффективности в нашем
рассмотрении будет играть, в первую очередь, роль удобного элемента
теоретического аппарата, а не способа учета свойств реальных
детекторов.
Подставляя (3.46) в (3.44) и учитывая, что в нерелятивистском
случае вектор состояния (3.46) факторизуется на пространственную и
спиновую части, получаем матрицу эффективности детектора,
регистрирующего ^частицы с определенным направлением движения:
е = e;J es;
?p=jd£|£n0><£n0|; (3-48)
Рассмотрим подробнее спиновую часть (3.49) матрицы
эффективности. Базисные состояния |s/7i> в лабораторной системе отсчета
связаны согласно (1.26) с аналогичными состояниями |sf.C> в системе коор-
~ ~ * s
днпат детектора соотношением |s//i>= 2 |sii>Z>/n|x (фОф). где 0 и ф —
полярный и азимутальный углы единичного вектора п0,
направленного па детекторы. Поворот на углы Эйлера (ф0О) переводит ось z
лабораторной системы в ось г' = г а дополнительный поворот на угол я])
вокруг 2Д совмещает новые оси х', уг с осями дгД| уп. Таким образом, в
представлении проекций спина на ось z лабораторной системы
<sm f? I stn'-> « 2 Dsmi (фЭф) <sji | 91 sjx'> 6$т> »> (фвф).

\
Введя тензоры спиновой эффективности
Vhg (s, s) = S ( — l)e-m# (sms — mf \ kq) <sm fes | sm'>, (3.50)
mm'
получим:
Sftg (S, S) = S #Jv (фв-ф) C,iV (s, s), (3.51)
V
где ckv (s, s) — sAv (s, s) = 2J (~l)s-^' (s iLts—\i'\kv) <su.|es|s|t/> —
|Л|Л'
компоненты тех же тензоров в системе координат детектора. Они не
зависят от углов (<р0я|->), т. е. от ориентации детектора, и поэтому
являются параметрами спиновой эффективности данного детектора.
Число этих параметров равно (2s + I)2 — 1, не считая параметра
с00 (s, s), связанного с нормировкой матрицы 8s. Будем всюду
предполагать, что матрица спиновой эффективности нормирована так же,
как спиновая матрица плотности, Spe= 1. Иногда используют и
другие нормировки.
Рассмотрим параметры с^ (s, s) для некоторых важных частных
случаев.
а. Детектор одинаково эффективно регистрирует частицы во всех
возможных спиновых состояниях. Тогда в (3.49) es (а) = 1/ (2s + 1),
так что
<S|J,| 8s|s^l'>^6^s
Ckv (s, s) = duo 6vo/>/r2s+T" (3.52)
б. Собственными состояниями 1х«>в разложении (3.49) спиновой
матрицы эффективности являются состояния \scOl с определенной
проекцией спина на некоторую ось L:
9 - 28s (а) | so>L L<so |. (3.53)
о
Если ориентация оси L в системы координат детектора задана
полярным и азимутальным углами 0^, <ри поворот этой системы координат
на углы Эйлера (ф^Э^О) переводит ось гд в ось L, Поэтому
ckv (s: s) == еkx (s, s) = 2 civ > (s, s) DVv' (q>L 6L 0),
где
4y'(S,s) = 2 (—ly-V (SOS— 0'\kvr)L<SG\7s\S0'>L.
ca'
Подставляя сюда (3.53), получаем:
cJSv' (s, s) = 6V'o4o(s, s). (3.54)
Учитывая далее, что
£>vc (<Pt Эх, 0) =- УШЩТ) YU {QL 4>l),
109

{
находим
ckv (s, s) = I / --i^— Ytv (Ql <P/J rfo (s, s). (3.55)
J/ 2/e-J-1
Таким образом, в рассматриваемом случае параметры спиновой
эффективности выражаются через (2s + 1) — 1 = 2s независимых
вещественных параметров 8s (о) и два угла (Э/.ф/J, характеризующих
ориентацию оси квантования детектора.
в. Детектор регистрирует только частицы с определенной
проекцией сшша и0 на ось L, es (а) = ба,,0. Соотношение (3.55) в этом
случае остается неизменным, а вместо (3.54) имеем
cfo(st s)-(—l)s-^ (sm,s—m-oI^O). (3.56)
i
i
г. Детектор регистрирует только продольно поляризованные
частицы с проекцией сшша п0 на n||zM, так что О/. — ф/, =- 0.
Соотношение (3.56) остается неизменным, а (3.55) упрощается:
cftv(s, s) = 6voCjfco(s, s).
д. Детектор регистрирует только поперечно поляризованные
частицы с проекцией спина fi0 на ось х*д. В этом случае cpL = 0, Ql = я/2,
так что из (3.55) получаем
Ckv (5, £) я »+(-D^ (_ „^ V(*+lv|)l(*-|vJ)j_ „ ( в) (3>57)
V ; 2 К ' (/е-Н v|) !!{£-( v|)!! ft0 v '' V '
где величины cJJv определены согласно (3.56). В рассматриваемом
случае, как видно из (3.57), отличны от нуля лишь компоненты с
четными (/г — v).
Перейдем к рассмотрению пространственной части матрицы
эффективности. При введенных ранее предположениях она однозначно
определяется выражением (3.48). В представлении квантовых чисел
орбитального момента / и его проекции т на ось z имеем:
<СЕ1т \& | Е' V т'> = б (Е~Е') < lm | n0> <n01V m'>.
Энергетический фактор б (Е — Е') влияет лишь на общую нормировку
выражений типа (3.45), несущественную при изучении угловых
распределений и поляризации частиц, поэтому в дальнейшем
энергетические переменные в матрице эффективности будем опускать.
Замечая, что <n0j/m> = Yhn (0, ф), можно записать:
<1т К | Г т'> = Пп (0ф) Yi > т. (вер). (3.5Я)
По аналогии с (3.50) введем тензоры угловой эффективности
детектора:
^(/,/')= Ъ {—iy'-m'(lml'—m'\kq)<lm\eP\rm'>.
nun'
UG

Подставляя сюда (3.58) и используя свойства сферических функций и
их связь с D-функциями, нетрудно выделить зависимость тензоров
£kq (U V) от направления излучения:
еЛв(/,/«) = 1)*о(фОО)сАо(/, /'), (3.59)
где
см С, О = (~ 1)'' "^Н-0 (2*4-В (ЮГ 0 | Щ. (3.60)
4л;
В дальнейшем понадобится также матрица эффективности в
представлении полного момента L регистрируемой частицы:
<s/: LM \t\ si'- : U Л4'> ~ 2 (^ I /.M) (s,u' /' /и' | V M') X
/нцт' р.'
X <Sfi 191 s(x'> <//n | ? | /' m'>.
Связанные с нею тензоры эффективности
e/{„(s/L; s/*i')=i 2 (~-l)L'-Mf (LMLt—Mf \kq) X
ЛШ'
X<s/:LM|?|sr :L' Mf >
зависят от углов ориентации детектора (tp0i[>) аналогично (3.51):
eh(J{slL) si' L') = S £>{v («pQif) cAv (s/L; s/' Z/).
V
Параметры c*v (s/L; s/'L') (их обычно называют радиационными
параметрами) выражают через аналогичные параметры спиновой и
угловой частей с помощью матрицы пересвязки четырех моментов:
ckv(slL; si' L') = 2 <sl(L)si' (L'\ :k\ss(ks) W (ki): k> X
X(ksvkiQ\kv)cksV(s, s)cklo(l, /')>
где учтено, что угловые параметры Ckv {U О отличны от пуля лишь
при v = 0. Если детектор нечувствителен к спиновым состояниям
частицы, то с учетом (3.52) получаем:
CtoistL; sl'L')^M~ir-sVi2l + 1H2l' + ,n24 1И2/-'+1) X
4 я (2s + I)
X(l0l'0\k0)W(W LL'; ks).
Особое рассмотрение необходимо для матрицы эффективности и
радиационных параметров фотонного детектора. Как и спиновую
матрицу плотности фотона (3.29), матрицу спиновой эффективности
фотонного детектора можно свести к параметрам Стокса детектора
<X|e«|V> = (l/2){6„^(H-XS3) + (l-6uO(-5x + aS2)}. (3.61)
Здесь X, V = ± 1 — проекции спина на импульс (спиралыюсти)
регистрируемого фотона. Рассмотрим матрицу эффективности
фотонного детектора в представлении полного момента фотона L, его проск-
111
^

пни М на ось 2, квантового числа р — 0 или 1, различающего EL- и
ML-i\)OTo\ih\:
<pLM \е\ р' L'M'> = 2 Г dndn' <ZpLM | n*> x
X <пЯ fe| n' V> <n« К11 /?' L' Л1'> =
4
= 2 </?LM I n0Х> <Яр I V>k- <п0 А,' |р* V М'>. (3.62)
Здесь индекс /С у матрицы спиновой эффективности указывает, что
она относится к системе координат, получающейся из лабораторной
поворотом па углы Эйлера (ф90). Переход к системе координат
детектора, в которой записано соотношение (3.61) и заданы параметры Сток-
са, осуществляется дополнительным поворотом на некоторый угол я|)
вокруг оси 2'||п0, поэтому
<X|es|V>jK- = ехр (— iA4)<A,|e8|V> ехр {\Щ).
Функции преобразования <LpLM\i$C>* входящие в (3.62), представля- f
ют собой коэффициенты мультипольного разложения плоской волны ^ i
фотона. Они были получены ранее [см. (2.30), (2.32)1.
Используя (3.62), нетрудно убедиться, что тензоры эффективности,'
ehQ(pLt p'L')= 2 (— \)L'-M' (LMV -~M'\kq)<pLM\i\p' L1 М' >
ММ'
(3.63)
зависят от углов ориентации детектора (<pth|i) обычным образом:
ehq(pLt p' L'-)=*^Div№y)ckw{pLt p* L% (3.64)
1 i
где
ckv(pL, pV)
21 (-\)v-V(UKL'-V\kv)x
К, Х' = ±\
| х <pLX 10Х> <0V | р' V Г> (3.65) г
i
— радиационные параметры фотонного детектора. Поскольку Я, А' = [
= ±1, a v = Л — А/, отличными от нуля могут быть только ларамет- j
ры с v = 0, ±2. Подставляя (3.61) и (2.32) в (3.65), можно выразить !
их через параметры Стокса: I
си(р1,р'и) = (-\Г-* V(M.+ i)(M-' + i) (jiir-llfeO)x
lore >
x{l+(-l)'+P,[l-(-l)']};
с„. ±.. o,i, // V) = (- IF-»' V(^+y + ») x
1бд
X(UL4|£2) (±1)^ + 1^),
где / = L+/>-bL' + />'—*.
112
(3.66)
>А

л
В следующем параграфе показано использование аппарата
матрицы эффективности при рассмотрении угловых и поляризационных
характеристик продуктов распада.
§ 3.7. УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОДУКТОВ ДВУХЧАСТИЧНОГО
РАСПАДА ОРИЕНТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
Будем рассматривать следующий процесс: начальная система А
со спином J0 распадается на две части, в результате чего образуется
остаточная система В со спином Jx и частица со спином s. В теории
угловых распределений и кореляций частицу, испускаемую при
распаде, принято называть излучением независимо от ее природы (фотон,
ос-частица, нейтрон и др.). Если оба продукта распада имеют
ненулевые массы покоя, то любой из них можно считать остаточной системой,
а другой — излучением.
Пусть система А находится в спиновом состоянии, которое
характеризуется нормированной матрицей плотности <J0M0\pt\J0М'0> или
статистическими тензорами [49 (/0. ^о). связанными с пей согласно
I (3.19). Задача состоит в том, чтобы определить угловые и
поляризационные характеристики продуктов распада. В соответствии с общими
положениями квантовой теории наиболее полное описание этих
характеристик дает матрица плотности системы (В -\- $) после распада
<C«/'iM1, s\i, Еп\р;\Еп', sp/, JYM[>. Полная энергия Е системы и
спины s и Ji продуктов распада здесь считаются фиксированными.
Поэтому ру есть матрица по переменным n, \i, Мъ означающим
соответственно единичный вектор в направлении излучения и проекции спинов s
и Jx на ось z.
Введем матричный элемент </|б>|С> оператора перехода системы
из начального состояния |£> = |Л, J0, М0> в конечное |/> =
= \JxMlt s[i, ErO>. Тогда
<J1AfI1 sp,, *En\pf\Enr, sp/, jp1Mi> =
= #2 <JiMl9 s\x, £n | (? J Л,/0 iW0></0 Af01 pi |/0 A^o> X
X <AJ0 Af61<9+|En', sp/, /iAfi>. (3.67)
Общий нормировочный множитель N обычно определяют так, чтобы
след матрицы плотности системы (В -(- $)
Sp р/ — S ^п <Л MJt S[i, En | pf | Jx Mt, s\x, £n>
совпадал со скоростью распада А -> В Н- s в единицу времени.
Матрицу плотности конечного состояния можно записать также в
Ар мш представлении. Наиболее удобно использовать представление,
•| ц*р/кащее квантовые числа полного момента системы J и его
проекции Л1 им ось z. Совокупность остальных квантовых чисел обозначим
|» И сипу сохранения полного момента
ПЗ

причем матричный элемент в правой части не зависит от УИ„. По'-тому
зависимость магриц плотности начального и конечного сосгонпнп oi
проекций момента одинакова:
<\UM \% | р' /' ЛГ> =*6jJo б,* у. N<$Jep \AJ0> X
X <J0M19r I Л>M'><$'J0\O\ AJ0>*. (3.0»)
Соответственно для статистических тензоров
pUPA Р' Л = д^Л-О^'^'^ИУ-М' |/^)<p7MfP/|P' ./'ЛГ;>
(3.69)
имеем:
РкЯ (РЛ Р 'О - 6JJo 6., ,.,, N <р/0101 ЛЛ> <р< /01 О | Л /0>* X
X $q (Jo, Jo)- (3.70)
Рассмотрим вероятность того, что конечная система (В + s) c
матрицей плотности ру будет зарегистрирована идеальным прибором,
характеризующимся матрицей эффективности е:
(| W = Sp($,7). (3.71)
Будем предполагать, что матрица эффективности регистрации
системы (/х + $) факторизуется на пространственную часть ер и спиновые
части aJi и es:
"б = ^^>* 9. (3.72)
Поскольку продукты двухчастичного распада имеют
противоположные импульсы, матрица sp характеризуется единственным
направлением п0 и имеет вид (3.48).
Выражение (3.71) можно интерпретировать как вероятность того,
\ \ что система в состоянии с матрицей плотности р^ будет обнаружена
в состоянии с матрицей плотности е. Поэтому оно позволяет получить
распределение продуктов распада по направлениям движения и
спиновым состояниям. Запишем (3.71) в представлении квантовых чисел
PJM:
W= 2 <Р/М|р/|Р' У'М><р/М|е|р'У' М'>*. (3.73)
№' j j ' ммг
Переходя от pf и е к статистическим тензорам (3.69) и к
определенным аналогично им тензорам эффективности, можно записать:
W - 2 PL (Р/. Р' J') в* (Р/. Р' П * (3.74)
kqW J J' Hq
Чтобы получить матрицу или тензоры эффективности, нужно
конкретизировать набор квантовых чисел р. Помимо фиксированных
квантовых чисел конечного состояния, по которым суммирование в
114

(3.73) и (3.74) не проводится (Е, /х, s), этот набор может содержать
орбитальный момент I относительного движения продуктов распада и
какой-либо промежуточный момент, возникающий при сложении трех
i моментов J1( s и I в полный момент J.
В соответствии с общими правилами сложения моментов их можно
сложить в полный момент по-разному. Обычно используют
представление спина канала (^//-представление или, сокращенно, 5-представ-
ленне), в котором в качестве промежуточного момента вводится
суммарный спин продуктов распада S = J± + s, так что J = S -\- 1 ===
= (Ji + s) -\- 1, либо представление полного момента излучения
1 (ILJ- или L-представление), в котором J = Зг -f L = Jx + (s -Ь 1),
L — s -|- 1. В обоих случаях полная четность системы однозначно
определяется орбитальным моментом относительного движения / и
внутренними челюстями продуктов распада:
ям =( —!)' этдля.
При излучении фотонов представление сшша капала не имеет
смысла, так что необходимо использовать L-представдеппе, которое в
этом случае также несколько модифицируется (см. § 3.8).
Поскольку полная матрица эффективности (3.72) факторизуется
на множители, тензоры эффективности выражаются через тензоры
пространственной и спиновой эффективности посредством коэффициен-
■ тов нерссвязки моментов. В представлении спина канала
e,t(7(/,s(S)/:/; /, s(S')l' : /') =
=* S <Sl (J) S' V (/'): k | SS' (/es) IV (k}): k> X
ks *7S kl <il
X(ksqskiqi\kq)Eksqs (/lS(5); As(S')) e,^(/,/'), (3.75)
где тензоры пространственной эффективности имеют вид (3.59),
тензоры эффективности регистрации спина канала выражаются
посредством коэффициентов пересвязки через тензоры спиновой эффективности:
| «V.yiS(S); A*(S')) =
^ 2^_ <Лs(S)Jls{S'):ks\ J± Jx (/гх)ss(k): kt> X
F kt Qi li q
X <Mi Qi kq\ ks qs> e*, q, (/„ /3) e/7- (s, s). (3.76)
Подставляя (3.70) и (3.75) в (3.74) и используя (3.59) и (3.76),
можно получить наиболее общее выражение для углового распределения
продуктов двухчастичного распада в спиновых состояниях, заданных
матрицами б*7* и es. Получаемая формула весьма громоздка, поэтому
ее не приводим. Рассмотрим более простой случай, когда спиновые
состояния ядра отдачи /х не фиксируются (сюда, в частности,
относится случай, когда оно вообще не регистрируется). При этом матрица
спиновой эффективности пропорциональна единично]!, так что
4g (Jx Л) - 6*0 «да (2^i + 1)"' /2' (3.77)
lib

Тогда соотношение (3.76) существенно упрощается:
s"*s
= 8*. ч. («. s) V{2S t/'ff + " W (Syi k°s' sS'>- (3-78)
s ^s
Подставляя это выражение в (3.75) , а его и (3.70) в (3.74), получаем
угловое распределение излучения с заданными спиновыми
характеристиками при распаде ориентированной системы. Учитывая (3.51)
II (3.59) и преобразуя произведение D-функций, находим:
W (п) ^ 2 pjj (,/0, J0) Djv (cpG.j,) (/г, v/г, 01 /ev) x
xctv(s,s) 2 cL0(l, nWlSJ.k.s; sS')x
IV SS
X V(2kt + 1) (2£s + 1) (2S + 1) (2S' + 1)
О I J у
OsiOhr, (3.79)
где введено сокращенное обозначение Csf = <Jis (5)/ : Jn\0\AJ^>.
Пусть начальное состояние обладает аксиальной симметрией. Без
ограничения общности можно считать, что ось z совпадает с осью
симметрии системы. Тогда начальная матрица плотности диагональпа по
М0 [см. (3.39)], а компоненты статистических тензоров будут
отличаться от пуля лишь при q = 0. В этом случае угловое распределение не
зависит от ср:
w<e+)~ 2 Pio(^^i/^^nv(e«(--i)vfev^O|Mx
Xd v (s, s) 2 cl о (/, V) W {SJxka s; sS') X
ь ;/' ее *
IV SS
X У(2/ц + \) (2ks + 1)(25 -f 1)(25' + 1)
'S I J0)
5' V J0
Jtthk t
'OstOl-i: (3-80)
Выражение еще больше упрощается, если поляризационное состояние
излучения не фиксируется. В этом случае параметры спиновой
эффективности Ckv (s, s) ненулевого ранга обращаются в нуль.
Подставляя (3.52) в (3.80), выполняя необходимые упрощения и учитывая
(3.60), получаем:
r(e)^2pi0(^^o)^(cos0)x
IV S
(3.81)
m

где в — угол между осью симметрии начального состояния и
направлением излучения, а коэффициенты Z определены следующим образом:
V 1{Ш'Г\ Sk)^Y(2l-\-1) {2V + 1) {2J + l)(2J' + 1) х
X (ЮГ 01 /еО) IF (Ш' У; Sk). (3.82)
Рассмотрим основные свойства углового распределения (3.81).
A. Функция W (6) зависит только от одного угла 0 между осью
симметрии начальной системы и направлением вылета частицы s.
Разложение W (0) в ряд по полиномам Лежандра Ph ( cos 0) содержит
значения k от нуля до /гшах -= min {/г[Пах, 2/шах}. Максимальный ранг
^inax отличных от нуля статистических тензоров начального состояния
зависит от способа образования или «приготовления» этого состояния,
но не превышает 2/0. Максимальный орбитальный момент /тах
относительного движения продуктов распада может, согласно правилам
сложения моментов, принимать значение (J0 -\- J± + s). Если четность
начального состояния равна пАУ внутренние четности продуктов
распада пв и пе, а взаимодействие, приводящее к распаду Л ->- В + s,
сохраняет четность, то орбитальный момент должен удовлетворять
правилу отбора
ял = ядл8(—1)', (3.83)
которое может уменьшать /mas на единицу по сравнению с допустимым
правилами сложения моментов. Возможны также другие,
приближенные, ограничения на /mas, связанные с динамикой распада.
Б. Если четность в распаде сохраняется, то согласно (3.83)
значения / и V в (3.81) могут различаться лишь четным числом. Тогда
коэффициент Клебша—Гордапа, входящий в (3.82), отличен от пуля
лишь при четных к — 2/г. Но Р2п(—х) = Р2п (х), поэтому угловое
распределение частиц симметрично относительно л/2:
W (0) = W (л — 0).
B. Угловое распределение W (0) пе содержит членов,
соответствующих интерференции переходов в состояния с разными спинами
канала, причем спины продуктов распада не входят явно в (3.81).
Г. Если в рассматриваемом распаде отличен от нуля только один
матричный элемент Ost с определенными 5 и /, то угловое
распределение продуктов распада не зависит от Osn T- е. от динамики процесса.
Выражение (3.81) переходит в формулу углового распределения
бесспиновых частиц, если опустить суммирование по 5 и заменить в
коэффициентах S ->■ J±.
§ 3.8. УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНОВ ПРИ
РАСПАДЕ ОРИЕНТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
Распределение фотонов по направлениям излучения и
поляризациям при распаде ориентированной системы можно получить тем же
методом, который использован в § 3.7. Единственное отличие состоит
в необходимости введения pL-представления, в котором используют-
117

ся квантовые числа полного момента фотона L и типа мультипольно-
сти (Е при р — О, М при р = 1). Таким образом, при рассмотрении
распада Jn -> J1 + v можно по-прежнему использовать формулы
(3.73), (3.74), понимая под набором |3 квантовые числа pL:
W = 2 PL (Л pL : У0; Ух // L': У0) е% (Л /?L : У0; J, р' V : J0). (3.84)
kqpLp' L' ' *
Для статистических тензоров конечного состояния справедливо
соотношение (3.70) со следующей заменой матричного элемента
<Р/,|0|/о>:
<Л pL : J0101 Л> г <JX j?L || J0>. (3.85)
Отметим, что в рамках теории возмущений по взаимодействию системы
с внешним нолем эти матричные элементы выражаются через
приведенные матричные элементы мультипольных операторов, введенные
в теме 2 (см. упражнение 3.30). Тензоры эффективности конечной
системы, входящие в (3.84), посредством пересвязки моментов
(J, + L = J0) + (Jx + L' = J0) = k -> (Jx+ Jx = kj +
-f (L + V - kL) = k
выражаются через тензоры эффективности остаточной системы и
фотона:
= 2 <Л L (Jq)4JxL' (Jo) :k\Ji Л (k,) IV ад : fc> X
X (/га ft kL 4l I £<?) e4l qi (J^ /J e*L qL (pL\ p L'). (3,86)
Тензоры эффективности фотонного детектора и соответствующие
радиационные параметры (при произвольных параметрах Стокса) были
получены в § 3.6. Если спиновые состояния остаточной системы не
фиксируются, то ekq (Ji, У2) имеет вид (3.77), так что вместо (3.86)
получаем:
ebgiJj^pLiJo, Jxp' L* :«/0Н
WiJo^kL'; LJ0)ehq(pL\ p* L'). (3.87)
2 J\-\- 1
Будем, кроме того, считать, что начальное состояние обладает
аксиальной симметрией р'^ = б^рло- Подставляя (3.70) и (3.87) в (3.84) и
учитывая (3.85) и (3.44), получаем:
W (в, *) = Ц Pio Coi Л) 1/ T7JT- Ykv (Оф) X
X (~l)v 2 tinipL, p'L^WiJoJikL'; LJ0)X
pLp' L'
X <Jt I pL || /0> </x | p' Z/ || /0>*, (3.88)
116

где 0 — угол между осью z (осью симметрии) и направлением
излучения п; а|) — угол, который образует ось яд детектора с плоскостью,
проходящей через оси г и п. Рассмотрим детальнее выражение (3.88) для
разных поляризационных состояний регистрируемых фотонов.
Спиновые состояния фотонов не фиксируются. В этом случае все
параметры Стокса прибора равны нулю, так что выражения (3.66) для
радиационных параметров упрощаются:
ckv{PL, р.£')Н-1Г-'^+Т-' + 1) X
X(L\L' — l\kO)i\h(pL, p'L'),
где
V r]k(PL, /?'L')-[H-(-l)p+L+p'+L'-/s]/2. (3.89)
Тогда угловое распределение фотонов принимает вид:
IF (6) ~2 Pk (cos О) р^0 (/0; J0) S (~ l)We r\k №, p' L') X
k pLp' L'
X Zx(U0 V J0; JJi) <h\pL||У0><h\P' V ||/0>*. (3-90)
где
V Z^LJL4'-\ /i*) = (— l)*-W-i x
X V(2L + 1) (2L' + 1) (2J +1) (2Г + 1) ' x'
X(L1L' —1|А0)иР(1Л/У; /x£). (3.91)
Отметим основные свойства углового распределения фотонов (3.90).
А. Функция W (В) зависит только от одного угла 0 между осью
симметрии начальной системы и направлением излучения фотона. Ее
разложение в ряд по полиномам Лежандра Pk (cos 0) содержит значения
k от нуля до /гшах == min {7eJnax, 2LmSiX}. Максимальный ранг klmax
отличных от нуля статистических тензоров начального состояния
зависит от способа образования или «приготовления» этого состояйия, но
не превышает 2/0. Максимальная мультипольность излучения £тах
в переходе /0 ->- Jx формально принимает, согласно правилам
сложения моментов, значение (/0 + /J- В условиях применимости
длинноволнового приближения (см. тему 2) ощутимый вклад в переход могут
дать лишь два низших мультиполя.
Б. В электромагнитных переходах четность сохраняется.
Следовательно, если начальное и конечное состояния излучающей системы
имеют определенные четности л0 и щ, то значения pL и p'L't
входящие в (3.90), должны удовлетворять правилам отбора по четности
это^М—i)L+p^;M—i)L'+p'-
Из (3.89) видно, что тогда функция W (0) содержит лишь полинома
Лежандра с четными k и, следовательно, симметрична относится и
замены 0 -*• п — 0. Отсутствие нечетных k означает, что угловое \п\ -
11'»

Иределепне фотонов в этом случае чувствительно лишь к йысТроенноСТИ
начальной системы, т. е. к тензорам р^0 четного ранга. Поэтому при
распаде поляризованной системы со спином 1/2 угловое
распределение фотонов будет изотропно. Наличие асимметрии углового
распределения, т. е. нечетных полиномов Лежандра в разложении W (6) ~
~ 2 akPh ( cos G), свидетельствовало бы о том, что по крайней мере
к •
одно из двух состояний (J0 и /2) излучающей системы не обладает
определенной четностью.
Циркулярно поляризованные фотоны. Если прибор регистрирует
только такие фотоны, которые обладают определенной круговой
поляризацией %, то параметры Стокса Рх — Р2 = О, Р3 = X. Тогда из
(3.66)
c»{pL,p'L) = *M-ir-* ^-Н)(2^-1->) х
X (UL' — 11 /Ю)ЯИ-p+l'-I-p' -ft. (3.92)
Подставляя (3.92) в (3.88), получаем формулу углового распределения
циркулярно поляризованных фотонов:
UMOj-SpioVo; Л) ^ (cos 0) х
X 2 (—\yi-'-Zl{UtL'J„\ Jxk)X
pLp' L'
X ХИ-р-кчр'-k<у11 pL || /0> <Ух|р' V || /0>*. (3.93)
Суммирование выражений (3.93) по % = ±1, очевидно, дает (3.90).
В формуле (3.93) отсутствует фактор r\k (pL, p'L'), поэтому даже при
сохранении четности угловое распределение циркулярно
поляризованных фотонов содержит как четные, так и нечетные полиномы
Лежандра. С другой стороны, если начальное состояние
характеризуется только выстроенностью (тензоры нечетных рангов р'й0 равны нулю),
то при сохранении четности угловые распределения лево- и
правополяризованных фотонов совпадают. Для характеристик относительной
вероятности излучения лево- и правополяризованных фотонов можно
использовать функцию
2^я(созе)р4ЙО(/0; J0)bk
р /m W+iW-W-iW _ _А (394)
W+l{Q) + W+1{0) 2PA(cos0)p<0(/0; /.) ah ' '
к
где
**U 2 (-1)^-'-21(1Уо^^; Jik)<Ji\PL\\Jo>x
"h\ pLp'L'
(lh(pLtp L );
M th(pL, p' L')^l\-(-iy+^P'+L>-k]/2,
120

Если начальное и конечное состояния имеют определенные четности,
то коэффициенты ak и Ьк отличны от нуля соответственно при четных и
нечетных k.
Линейно поляризованные фотоны. В этом случае Р3 = 0. Без
ограничения общности можно считать, что ось хп детектора совпадает с
направлением линейной поляризации регистрируемого фотона, так что
S2 = 0.
Подставляя (3.66) в (3.88) и полагая Р1 — 1, нетрудно получить
распределение фотонов по направлениям излучения и линейной
поляризации:
W (0, я];) ~ V р;;0 (у0) уо) V (-ly.-^z^UoL'UJtklx
k pLp' L'
X {4fc (pL, pr L') Pk (cos 0) Re «J, \ pL \\ J0> <Jt | p' V || /0>*) +
+ / jjp^., (/-Л//ц/г2) р)2) (coso) x
v ' (LIZ/ — 11A0) v '
X [T|ft (pL, Я' L') cos(2i|>) Re «JL | />L || J0> <Л | />' L' || 70>*)-
- - Efc (pL, // L') sin (2+) Im «Л | pL || J0> <J, \p' V \\ Л>*)]}. (3.95)
Степень линейной поляризации фотонов, испущенных под углом 6 к
оси z, характеризуется параметром
Pl (0)** [WM (Q)-WL (G)l/[117|, (0) + WL (в)], (3.96)
где W\\ (в) = IF (в, -ф = 0)/ U?± (0) = V/ (9, я/2) — вероятности
излучения фотонов, поляризованных соответственно в плоскости z — п
и перпендикулярно этой плоскости,
§ 3.9. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ ■
ПРОДУКТОВ РАСПАДА
В результате распада квантовой системы Л -> В + s продукты В
и s могут образоваться в разных спиновых состояниях. В предыдущих
параграфах это обстоятельство учитывалось введением матрицы
спиновой эффективности прибора, выделяющей из всех возможных
состояний лишь те, которые фиксирует прибор. В ряде задач бывает
полезно знать также спиновую матрицу плотности или статистические
тензоры какого-либо из продуктов распада. В этом параграфе будем для
определенности рассматривать матрицу плотности остаточной системы
В (ядра или атома отдачи).
Матрица плотности всей системы после испускания частицы в па-
правлении п определяется соотношением (3.67), а матрица плотно "гн

подсистемы В получается из нее как шпур по спиновым переменным
испущенной частицы:
*=— ^ 6nn'<AAfi, 5ц, Еп|0|УоМо>Х
М0Л4оМ-М>'
Х</0Л^о|'р«1ЛМо><ЛЛ1о|б»Ч^п»51х'. ЛМ1>- (3.97)
Соответствующие статистические тензоры определяются стандартным
соотношением (3.19). Подставим в него выражение (3.97), перейдем к
представлению квантовых чисел ILJ и выразим начальную матрицу
плотности через статистические тензоры:
X (УхМхЛ—Ж; 1ЗД <п, sfxJiMi | ls(L) Jt: J0M0> X
X</s(L) Л:Л|0|Уо>(-1)-'.-л'5(/о Mo ^o-AfS I *o9o)X
X <nsu/ Jx M\ | /' s (L'): J0 M0>*. (3.98)
Получим входящие сюда функции преобразования. После
«развязывания» моментов их можно представить в виде
<ns(iJ1 Mi | Is (L) Jj: J0 M0> =
*= 2 (LM1Ml\JQMQ){lms\L'\LK)>i
X <nsjx«/1 Mx | /msju,' /х Мi>.
Учитывая, что
<ns|xt/1 Mx | /m s\i' Jt M {> *= <n | /m> <s^i [ sp/> X
X </x Mi IJ у M[> « У,го (п) бди* 6Ml«;,
находим:
<nsfi Jx Mi | Is (L) Jx: J0 M0> t=
= 2 Kim (n) (/mqi I LA) (LAJ± M, \ J, M0).
mA
После подстановки явного вида функций преобразования в (3.98)
можно выполнить суммирование по проекциям моментов.
122

Получаем:
р£ЛЛ;ЛН^7
1 2У0+1
kq
N У4п
=±г- X
X
V
ILV L' ЯЛ0
V(2/+l) (2/' + l)(2jL-fl)(2L'-]- l)(2/e0 +1) X
X(/0/'0|X0)O/L6»Jwy(—l^-7-'-'' W(W Ls\ IV) X
2 (*o <7o Ь | kq) pAo ^ (J0; ./0) yjv (n). -
X
(3.99)
<7qV
Таким образом, статистический тензор ранга k остаточной системы В
есть линейная комбинация неприводимых произведений тензоров p)if>qo
начальной системы и тензоров Yf4l (п), связанных с направлением
излучения п. Рассмотрим статистические тензоры pf B двух важных
случаях.
Если начальная система не обладает ориентацией, то
статистические тензоры остаточной системы принимают следующий вид:
1 Уtq (п) X
pf^ (А; Л)=
ыУап
X
2 ]/■
ILV L* V
(2Л-1)(2Г + 1)(21 + 1)(2/.' + 1)
X
(3.100)
2/г+1
х № o\kO)0tLo*r L*(—\)L-L'-lx
xW[kV Ls\ IL^WfaJokL'; Lfy.
Если рассматривать ансамбль всех ядер (атомов) отдачи Б,
соответствующий всевозможным направлениям излучения, то выражение
(3.99) нужно проинтегрировать по dQn'
p&Vi, 'J=-J7Pi,('o, 'о)2Р*('о-*Л; «21^|2, (3.101)
где
Рл (Л ^ Л; L) - (2/0 + 1) wv^LkJi, /Л).
(3.102)
Таким образом, в этом случае статистические тензоры остаточной
системы содержат только квадраты модулей матричных элементов
перехода в L-представлении, а интерференционные члены отсутствуют.
Нормировочный множитель N в (3.101) удобно выбрать так, чтобы
матрица плотности имела единичный шпур и соответственно р^0 =
- i/J/~2/0 + I. Тогда
N^\OlL\\
IL
(3.103)
Выражение (3.101) получено в предположении, что состояния
испущенной частицы можно характеризовать полным и орбитальным
моментами (L и /). Для фотонов вместо орбитального момента вводится
123

квантовое число р = 0 и 1, различающее тш излучения (EL или ML).
Выражения (3.101)—(3.103) при этом остаются справедливыми, если
сделать замену
2l©ap->2i<vi2.
* р
а под L понимать полный момент испускаемого фотона.
Если полный момент излучения фиксирован динамикой перехода,
связь между статистическими тензорами начального и конечного
состояний оказывается особенно простой:
p&Ci. Л)= Р',(Ль Л>)Р*(Л-*Л; Ц, (З.Ю4)
причем матричные элементы Перехода не входят в это выражение,
независимо от того, сколько их (с данным L и разными / или р) дает вклад
в распад.
Рассмотрим соотношение (3.104) в случае, когда единственное
значение L совпадает с мшшмал.ьным> допустимым правилами отбора,
^ = ^min = l,jro — ЛI- Будем называть распад, в котором выполнено
это условие, переходом минимальной мультипольности. Используя
алгебраическую формулу коэффициентов Рака для случая, когда один
из треугольников моментов Вырождается в линию, можно показать,
что выражение (3.102) имеет вид отношения / (J0)/f (JJ. В частности,
при L = J0 — Л (J0 > Л)
Pa (Jo -* Л; £ ** ^о — Л) = Я* (ЛУ^л (Л). (3. Ю5)
где Bk(J) = -^l(2J+k+l)\(2J — L)\I(2k+l)}l/* =
-((JjJ—J\k0))~K
Из (3-104) и (3.105) следует, что в рассматриваемом случае
р£,(Л. ^i)5* Vi)^Pie(^.yo)fifc W- (злоб)
Это соотношение становится особенно выразительным, если вместо
статистических тензоров phq (jt j) ввести тензоры ориентации
^а(-0^5к(У)рЛв(ЛУ) =
*f, (JJJ~J\k0) '
Тогда вместо (3.106) имеем;
rfte(A)=7*flW- (ЗЛ07)
Таким образом, в переходах минимальной мультипольности с
уменьшением спина системы (L ^ jQ _ j1( / ^ j3) тензоры ориентации
всех допустимых рангов (/е ^ 2УХ < 2J0) сохраняются [32].
Аналогичное утверждение справедливо и для переходов
минимальной мультипольности с увеличением спина излучающей системы (L =
= Ji — Jo^x^ Jo)' В этом случае
Pft (/. -* Л; /- = Л - Л) = (2/0 + 1)в» (JJ/ [(2Л + 1)В„ (Л)],
124

поэтому в таких переходах сохраняются Тензоры
2 J 4-1
tk (J) = ■— pha (J)
дУ ' Bh(J) * qK '
для всех k ^ 2J± ^ 2/0.
Для переходов, в которых условие L — |/0 — Jx\ не выполнено,
коэффициент р,г (/0 —> Jx\ L) нельзя представить в виде отношения
/ (JoVf (Л)» поэтому в общем случае никакой выбор нормировки
статистических тензоров не приводит к их сохранению в распаде.
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 3.2
- 3.15. Получить параметры спиновой эффективности Ckv (s, s)
детектора, регистрирующего только частицы с проекцией спина |Л0 на ось
Ул.-
3.16. Детектор регистрирует частицы с проекциями спина ±[л0 на
ось Хд, причем es (+u0) = es (—u0). Найти параметры Ckv (s, s).
3.17. To же для осп г/д.
3.18. То же для оси гл.
3.19. Матрица спиновой эффективности детектора частиц со
спином s = 1/2 задана в виде es == (/ + Ра)/2. Найти радиационные
параметры (в представлении полного момента излучения).
" 3.20. Показать, что для нечувствительного к поляризации
детектора частиц со спином 1/2
ckv(±lL, ^-/'rW-lp-i/s-^-x
\ 2 2 } Sn
k0) ■+(-»'+''-'-*
3.21. Получить формулы углового распределения продуктов
распада ориентированной системы в представлении квантовых чисел ILJ
для случаев, аналогичных тем, которые описываются формулами
(3.79)—(3.81). Сравнить с результатами в представлении спина
канала. В чем преимущество каждого представления?
3.22. В § 3.7 отмечалось, что полный момент системы (В + s)
можно образовать из спинов J^s продуктов распада и орбитального
момента 1 разными способами. Указать все возможные схемы
сложения этих моментов и выяснить, как изменяется формула (3.79) или
аналогичная формула, полученная в упражнении 3.21, для каждой
схемы связи.
3.23. Получить функции преобразования от представления спина
канала к L-представлению и перейти с их помощью к L-представлению
в формуле углового распределения (3.81). Доказать, что результат
совпадает с полученными в упражнении 3.21.
3.24. Пусть начальное состояние системы Л характеризуется осью
симметрии и относительными заселеипостямн р (М0) состояний с
различными значениями проекции М0 спина J0 на эту ось. Показать, что
125

угловое распределение продуктов распада W (0) можно выразить
через ywioBue распределения Wm0 (6), соответствующие распаду
системы А из состояния с определенным значением М0. Можно ли получить
аналогичные соотношения, если ось симметрии отсутствует?
' 3.25. Система А со спином /0 распадается на две бесспиновые
частицы. Получить формулу углового распределения продуктов распада,
считая заданными статистические тензоры начального состояния
9lkq («Л» Л).
3.26. Система А со сшпюм Jl} распадается на систему Б со спином
Jx и частицу со спином s = 1/2. Начальное состояние акспалыю-снм-
метрично. Спиновая чувствительность детектора характеризуется
матрицей эффективности cs — (/ + ^о)/2. Используя (3.80), показать,
что распределение продуктов распада по направлениям излучения и
поляризациям имеет вид:
X(—I)'--5 Pk (cos Q) Re (Ost Oh') +
-hl/6 (- 1)г (2У0 + 1) V(2l+ 1) (2/' + 1) (2S + 1) (25' -|= 1) X
(S / Л 1
ft*
5' /' J0
U M J
X
X \&t (10/г, 01Щ Pk (cos 6) Re (0Si Ohv) +
-1-^(11^0^1)]/ 2 PHcos6)X
J/ /г{/г-|-1)
X (6V ft±1 Re (<3S/ Oh r) cos x —6*,. *Im (OsiOi- r) sin x)]}.
где ^|| — ^з, ^x = Ув*1 + ^2» ^i — компоненты вектора ЗР в
системе координат детектора; % — угол между вектором $* и
плоскостью, проходящей через ось симметрии z и направление излучения п.
Проанализировать свойства углового распределения для продольно
поляризованных частиц и для поперечно поляризованных частиц при
% = 0 и л/2.
3.27. Используя результаты предыдущего упражнения, показать,
что распределение протонов отдачи по направлениям и поляризациям
при распаде поляризованного Л°-гиперона (Л° ->■ р + яг) имеет вид:
^(О,Х)-|0в|2 + |^]2 + 2Ке(^О;)Р,созе +
+ 2 Re (Os 0%) 9>i +Pt {№r cos6 + &L sin 0 cos %) x
X (| Os |2— | Ov I2) -f 2^x sin 9 sin % Im (6», OJ) + 2^ ,t cos в | Op |2},
где Pj — степень поляризации гиперона.
12G
f

' 3.28. Ядро 8Ве из состояния 2+ распадается на две ct-частицы.
Рассчитать их угловое распределение для следующих случаев:
а) в начальном состоянии проекция спина М0 имеет определенное
значение [получить Wmq (0) для каждого М0];
б) Ихмеется ось симметрии, причем заселены только два подсостоя-
ния с противоположными проекциями спина:
1)р(±2) = 1/2; Р(±1) = р(0) = 0;
2) р (±1) = 1/2; р (±2) - р (G) = 0;
в) имеется ось симметрии, причем р (±2) •-= р(0) = 1/3; р (±1) =
= 0;
г) отличны от нуля следующие элементы матрицы плотности:
<±2|р£|±2> - <0]р,]0> = <±2|Pi|=F2> = <±2|PzI0> =
= <0|р,|±2> = 1/3.
3.29. В результате некоторой ядерной реакции образовалось
неориентированное ядро 6Не в первом возбужденном состоянии 2+. Оно
может распасться с испусканием нейтрона и образованием квазиста-
циоиарного состояния (3/2)" ядра 5Не. Вычислить статистические
тензоры ядра отдачи, соответствующие нормированной на единицу
матрице плотности. Учитывая, что нейтрон может быть испущен в
состояниях pi/2 и рз/2, выразить рм (/ь /-,) через «параметр смешивания»
в = /{~.Р1/»:2|0|2*\//|", рз/2:2|©|2+\. .
Как изменится результат, если отличен от нуля лишь один из
матричных элементов?
3.30. В теории возмущений матричный элемент испускания
фотона <zJjMlt kK\O\J0Mfi> совпадает с (2.58). Найти связь матричных
элементов «aJ^pLWJ^ и <Лл1||Г^(/(;)1|1/0зт;0>».
*' 3.31. Квантовая система переходит из состояния с квантовыми
числами Jo0 в состояние /71, испуская фотон. Доказать, что угловые
распределения лево- и правополяризованиых фотонов одинаковы, если
начальное состояние — выстроенное, но не поляризованное.
3.32. В мезононе гелия (u.-4He)f уровень 2sj/2 расположен ниже
уровней 2pi/2 и 2р3/2, по благодаря нейтральным токам в слабом
взаимодействии может содержать примесь состояния 2pi/2. Предположим,
имеется возможность изучать однофотонные переходы в ls-состоянне.
Спин мюопа в 25-состояпии поляризован. Сохраняя в качестве
параметра отношение матричных элементов излучения Е1 и Mi, получить
формулы: а) углового распределения фотонов; б) степени циркулярной
поляризации фотонов; в) степени линейной поляризации фотонов,
Какие из этих характеристик нужно измерить, чтобы установить
наличие примеси состояния 2pi/a?
3.33. Проанализировать условия, при которых последнее
слагаемое в (3.95), содержащее £k (pL, p'L'), может давать ненулевой вклад
в №(6,я|э). ,
3.34. В результате столкновения отрицательного пиона с атомом
водорода образовался мезоатом (п~р) в состоянии с главным кванто-
127

I
вым числом п = 15, орбитальным моментом / — 14 и проекцией
момента на ось z т = 0. Затем мезоатом совершает каскад радиационных
Е\-переходов п = 15, / = 14 —>- 14, 13 ->- 13, 12 -> ...
а) Найти тензоры ориентации орбитального момента Thq (nl)
после того, как мезон дойдет до 2р-состояния.
б) Найти и сравнить угловое распределение фотонов из переходов
(3d ->■ 2р) и (2р->- Is). Почему наличие тензоров ориентации 4-го ранга
в 3^-состоянии не сказывается на угловом распределении фотонов?
* 3.35. Доказать, что если в двухчастичном распаде Л ->- В + s
неориентированной системы четность сохраняется, то тензоры
поляризации (статистические тензоры нечетных рангов) ядра отдачи равны
нулю.
3.36. В результате столкновения двух ядер 20Ne образуется высо-
ковозбуждешгое квазистационарное состояние 10+ ядра 40Са с
проекцией спина М0 = 0. Одним из каналов его распада является каскад
радиационных £2-переходов 10+ ->- 8+ ~> 6+ -»- ... Вычислить
угловое распределение £2-фотоиов из последнего перехода 2+ -> 0+. Как
изменится результат, если первоначально образуется состояние 12+,
М0 — О? А если начальное состояние 10+, М0 = 10?
г 3.37. Ядро переходит из состояния J0 в состояние Jlt испуская
фотон в данном направлении п. Получить статистические тензоры
состояния Jlt если начальное состояние не ориентировано.

Тема 4
УГЛОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ В КАСКАДНЫХ РАСПАДАХ.
УГЛОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В РЕЗОНАНСНЫХ
ЯДЕРНЫХ РЕАКЦИЯХ
Занятие 4.1 ■
УГЛОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ В КАСКАДНЫХ РАСПАДАХ
§ 4.1. УГЛОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ДВУХ ЧАСТИЦ ПРИ КАСКАДНОМ
РАСПАДЕ
Изучение угловых и спиновых корреляций продуктов каскадного
распада — один из основных методов определения квантовых чисел
возбужденных состояний ядер, а также состояний нестабильных
элементарных частиц. Общий аппарат нерелятивистской квантовой
теории, необходимый для рассмотрения корреляционных характеристик,
детально рассмотрен в теме 3. Здесь будет показано его использование
па примере некоторых наиболее важных типов распадов.
Рассмотрение относится к случаю, когда спиновые состояния излучений не
фиксируются. Усложнения, связанные с регистрацией определенных
спиновых состояний излучений, легко можно учесть, используя
рассмотренный в предыдущей теме метод матрицы спиновой эффективности.
Для краткости будем говорить о ядерных распадах, хотя весь общий
формализм можно без изменений использовать также для
рассмотрения угловых корреляций в каскаде двухчастичных распадов других
систем (атомов, элементарных частиц). Единственное ограничение
формализма заключается в требовании, что на каждом этапе каскада
распадающаяся* система («ядро отдачи», но не «излучение») является
нерелятивистекой. Учет релятивистского преобразования спиновых
состояний и матрицы плотности при переходе к движущейся системе
отсчета вносит в теоретический аппарат новые элементы, которые здесь
не рассматриваются.
Пусть начальное ядро Л со спином J0 испускает частицу со спином.
/L и образуется (промежуточное) ядро В со спином Ju которое, в свою
очередь, распадается на частицу со спином /3 и остаточное ядро С со
спином J2:
Если даже начальная система не обладала никакой ориентацией, то
после первого распада ядро В оказывается ориентированным вдоль
направления первого излучения nv Поэтому угловое распределение
второго излучения оказывается неизотропным по отношению к п,.
Задача состоит в определении функции угловой корреляции между
5 Зак. 306 129

направлениями излучения первой и второй частиц, или, другими
словами, углового распределения частиц/2 по отношению к направлению
ii!, в котором испущена первая частица.
Вероятность того, что первое излучение будет иметь направление
nlf а второе — п2, можно, как и для одноступенчатого распада (см.
предыдущую тему), выразить через матрицу плотности р/ всей
конечной системы (С + ]\ -f /2) и полную матрицу эффективности е
идеального прибора, регистрирующего систему: W (nlt п2) = Sp (p/t*).
Рассмотрим это выражение в представлении следующих квантовых чисел:
орбитальный момент первой частицы /х, спин канала после первого
распада St (S3 = Jj + jx), орбитальный момент второй частицы L1%
спин канала после второго распада S2 (S2 = J2 + j2). полный момент
системы J0 (совпадающий со спином начального ядра Л), его проекция
М на ось z. Примем следующий порядок сложения моментов:
**2 ~Г J2 == ^2^ ^2 "Г *2 ~ ^Л> **1 ~Т" $1 ~ ^3) ^*1 \ ^1 == •»()' (4.ZJ
Тогда
W (пъ п2) = 2 X
x <J2 к (52) к (Л) h (Si) /i"; Л м IP/! h к (Si) И (Л) Л (Si) /J" = Л м' > х
X<Л/2(50/£ (Л) Л(5!) Ii :J0A4'\e\ J2 j2(S2)l2Щ 'h(Sx)/x: J0 M\ (4.3)
или, после перехода к статистическим тензорам и тензорам
эффективности,
Winbti^ZpnVzhlSdUlJdhiSJhiJ* J2k($2)l2(Ji)h(Sl)l\:JG)y.
X г%я (J2 j2 (S2) l2 (Л) }\ (5J h • J* Jt к (Si) li (Ji) h (SI) И : Л). (4.4)
Матрица плотности системы после распада в представлении полного
момента выражается через матрицу плотности начальной системы
соотношением, аналогичным (3.68). Соответственно для 'статистических
тензоров
9кд (Jt к (S2) к (h) h (Si) к: Л; h к (Si) И (Л) A (Si) И: Л>) =
- <Л к (Sz) к (J*) /i (Sj) lx: ЛIО \А J0> X
X Pi, (Л. Jo) <Jzh (Si) 1% (Л) /i (Si) /i: JQ 101 AJQ>*t (4.5)
где 6> — оператор перехода, описывающий каскад распадов (4,1).
Если время жизни промежуточной системы В достаточно большое (такое,
что частица jx успевает удалиться «на бесконечность» и не влияет на
последующий распад В -*- С + /2), то матричный элемент </|0|i>
можно разложить на множители, относящиеся к каждому из
переходов каскада:
</а к (SJ к (Л) к (Si) h-M°\ AJ<> ~
- <Jik(S2)k -Jx\02\BJ2> <Jih(Si)h: J0\O1\AJ0>. (4.6)
130

Знак пропорциональности (вместо равенства) связан с тем, что здесь
опущены числовые множители и резонансный энергетический
знаменатель типа (Е — Ет + iFr /2)~\ не зависящий от квантовых чисел,
по которым ведется суммирование в (4.3).
Получим теперь тензоры эффективности всей системы. Аналогично
рассмотрению распада А —> В -\- s (см. тему 3) полную матрицу
эффективности идеального прибора е* для системы (С + /2 + ]\) можно
факторизовать на матрицы спиновой эффективности (для частиц /ъ
/2 и ядра отдачи С) и матрицы угловой эффективности регистрации
направлений излучения. Каждой из этих матриц эффективности можно
сопоставить свои тензоры, определенные аналогично (3.48) или (3.49).
Из них нетрудно получить тензоры эффективности всей системы в
представлении полного момента. 11олный момент J0 системы
получается из индивидуальных моментов ./*, /2, /2, /х и 1Х в результате
последовательного сложения (4.2), причем па каждом этапе добавляется по
одному моменту. Поэтому переход от тензоров эффективности всей
системы к индивидуальным тензорам удобно также выполнить
последовательно, отделяя на каждом этапе тензоры эффективности для
одного момента. Сначала выделим тензоры эффективности для
последнего в последовательности (4.2) орбитального момента /2:
4g{J2!2{$2)Wi)h($i)li'h\ Jii2(S2)lWdh(Si)li:Jo)=*
=* S <St lx (J0)S{ II (J0) iklS, SI (ksi) hl\ (ktl): A> X
X (ksi gsi kn qa | kq) ek[i ы (llt /,') X
X eksi qsx (J2 j2(S2) l2 (Jx) jx: Sx; J2 j2 (S'2) /J (jy д: Si), (4.7)
затем — тензоры для jx и т. д.:
e*£i gsi (J* h (sz) hUi) h: si> J2 h(5У l'i (A) A: Si) =
«= 2 <Л /i ($г) h к (Si): ksi | h Л (fen) Л /i (M: *si> X
X (Ал qn k^q^ksi qs\)4nqh{h /i) X
X <S2l2(J1)S2l2(Ji): /гл | S2Si{ksjl2 И (ki2): *j,> X
X (/eS2 <7s2 /г/2 <7/21 fcn <7л) %2 <il% (h> U) X
X <J2 h (S2) 4 /2 (S2): fe21Л Л (&2) /2 h {kfu -rfis2> X
X (kJ2 qn kj2q&1 kS2 qs2) ekj2 qj2 (J2l J2) e^2 qj% (b /г)- (4.8)
Для тензоров эффективности индивидуальных моментов можно
выделить зависимость от направлений излучения:
4Q(h, U) = Dkqo(<PiQiO)cM(lh 1[); |
**g (Л, Л) = S £>Jv (Ф4 ег +,) ejv о**, Л). (4*9)
■v J
5* 131

Здесь Of и (pi — полярный и азимутальный углы единичного вектора
п, в направлении t-ro излучения; я|эг — угол, характеризующий
спиновую ориентацию соответствующего детектора. Остаточное ядро С
но предположению не регистрируется, поэтому
евд(Л, h) = бА0 б,0/К2/2+ 1. (4.10)
Соотношения (4.4)—(4.10) позволяют получить функцию угловой
корреляции двух последовательных излучений с любыми заданными
поляризационными характеристиками при произвольном состоянии
ориентации начальной системы.
Рассмотрим функцию угловой корреляции двух частиц,
предполагая, что начальное состояние не ориентировано,
(4,(Л, ^-йАоУУ"2У0+1, (4.11)
г спиновые состоянии частиц не фиксируются,
ем(/,-, //) =6,;06^/2/; + ! , i=l, 2. (4.12)
Тогда из (4.4)—(4.12) с учетом (3.60) и (3.82) находим;
W (n1( n2) = const 2 ah Pk (cos 0), (4.13)
к
где cos0 —(rvn2);
/i Si /£ 5« /i Sx 1%
X <JX /i I Si l[ || </0>* <J2 h I 52 /21| Л> X
X </2/2152 /21| Л>* (~ l)M-M-*+s.+2* i/l±1 x
xZ^Sx/JSi; JofyZ&JiUJi, Szk)W(J1S1J1S[; j\k)t (4.14)
где
<A/i|5l/J||yi-1>s</i/i(Si)/i:y<_1|Of |/,_!>. (4.15)
Функцию угловой корреляции удобно нормировать условием
i
4л 4я
Тогда в (4.14) const = 1/а0.
Из (4.13)—(4.15) нетрудно получить общие свойства функции
угловой корреляции двух частиц при каскадном распаде
неориентированной системы.
1. Функция угловой корреляции зависит от одного угла между
направлениями излучения щ и п2, причем ее разложение по полиномам
Лежандра Pk ( cos 0) содержит значения к от нуля до
^гоах =;П11П {2иц ^«blmax, ^timax> ^2тах}' (4.16)
Замечание. Максимальное значение спина канала Slf допустимое
правилами сложения моментов, всегда не меньше Jv Поэтому в (4.16) можно было
rtw формально не указывать 2 St max. Но фактически значения спина канала мо-
j

гут быть ограничены структурой начальной системы и динамикой распада.
Примеры таких ситуаций особенно часто встречаются в распадах легких атомных
систем (см. тему 5).
2. Если хотя бы в одном из распадов (Л -> В + h или В -> С + /2)
четность сохраняется, то функция угловой корреляции содержит лишь
четные полиномы Лежандра и поэтому симметрична относительно
G = я/2. Действительно, из сохранения четности, например, в первом
переходе следует, что матричные элементы <C/i/il«Si/ilbA<£> отличны
от нуля лишь для орбитальных моментов, удовлетворяющих условию
(—I)'1 пвщ = па, где па, пв н Щ — внутренние четности ядер Л, В
и частицы /j. Тогда значения /, и 1[, входящие в (4.14), могут
различаться лишь на четное число. При этом из (3.82) следует, что
коэффициенты аъ отличны от нуля лишь для четных /г.
3. Если спин промежуточного состояния Jx = 0, то угловая
корреляция отсутствует, W (0) = const. При сохранении четности хотя бы
в одном из переходов это верно и для Jx = 1/2.
4. Если каждому переходу можно сопоставить только одни
матричный элемент с определенными епшюм капала и орбитальным моментом
излучения, то коэффициенты Ли = л,,/</0 нормированной функции
угловой корреляции выражаются лишь через коэффициенты Рака и
Клебша—Гордана, т. е. не зависят от динамики переходов. Такая
ситуация реализуется, в частности, если J0 = J2 — 0, а спины частиц
h и /г равны нулю или 1/2 (в последнем случае необходимо еще
сохранение четности в соответствующем переходе).
§ 4.2. УГЛОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ДВУХ КАСКАДНЫХ ФОТОНОВ
Угловые корреляции фотонов изучают чаще, чем корреляции
других частиц. Общую формулу для функции угловой корреляции двух
фотонов можно получить тем же методом, который использовался в
§4.1. Единственное отличие состоит в необходимости использования
представления полного момента излучения, причем вместо
орбитального момента / вводится различающее тип излучения квантовое число
р, равное 0 или 1 (см. § 3.6). Чтобы проиллюстрировать разнообразие
возможных путей использования теоретического аппарата, получим
функцию угловой корреляции несколько иным способом, опираясь
лишь на результаты § 3.7 и 3.8.
Пусть ядро совершает каскад радиационных переходв J0 ->- Jx -*-
-*■ J2- После излучения первого фотона в направлении nL спин J1 ядра
в промежуточном состоянии оказывается ориентированным, причем
его статистические тензоры определяются выражением, аналогичным
(3.100) (см. упражнение 3.37), но соответствующим излучению фотона:
Pw(А; Л)- ,_„ 1 , 1Ч ]/^Гy%q{щ) x
4яЛ1(2/1+1)
х 2 <iilPi^il|^o></ilpi^iMo>*{-1^1 ' ч
pii-ip;x-;
X Zx (Lx JxL[ /2; J0 k) 7)h [pxLXt pi L[), ('1-17)
ш

где /, и % определены согласно формулам (3.91) и (3.89). При выборе
оси 2 вдоль пх имеем phq (Jx\ Jx) = dQQpk0 (Jx\ Jx).
Таким образом, промежуточное состояние ядра Jx характеризует^
с я осью симметрии. Если поляризация фотонов из второго перехода
J1 -> J2 не фиксируется, их угловое распределение относительно пх
определяется формулой типа (3.90). Подставляя в эту формулу
выражение (4.17), получаем после очевидной замены индексов:
те) ~ 2 о*/\ (cose);
">< =7^717 2 <^IPi^ill^></i|piIi||/o>*X
у (_1)L«+L;+^-^ Z, (L XJXL\ Jx\ J0 *) 4,t(p, Llt pi Li) X
X 2 <Л I p, L, ii Jt> <Л I p'-i Ui || Jx>* X
X (-l)^-J'Z1(Z.aylL2y1; J*k)i\h(p2LilP2L2). (1-Щ
Коэффициенты ак представлены в виде произведения двух множителей,
каждый из которых содержит сумму по интерферирующим мульти-
полям (p±Llt p\L\ или р2^2. Рг^-г) и описывает вклад
соответствующего перехода в коэффициент угловой корреляции ак. Общие свойства
функции угловой корреляции двух фотонов аналогичны
рассмотренным в § 4.1 для двух частиц, поэтому подробно останавливаться на них
не будем.
Если в каждом переходе мультипольность излучения фиксирована
(каждый из наборов p±Lx и p2L2 принимает лишь одно значение),
нормированные коэффициенты Ак = ah!a0 имеют вид:
л/( = 4'>42)(-1)*;
Aikо_ (-о^ 2i (Li h Li/i; Jo k).
1/2^-1-1
причем yU2) получается из Л&1' заменой £х ->- L2, /0 ->- /2.
Для большинства практически важных задач в каждом из
переходов нужно учитывать не более двух мультиполей. Для этого случая
удобно преобразовать коэффициенты угловой корреляции следующим
образом. Пусть pyLt и p2L2 — минимальные мультиполи первого и
второго фотонов, a p[L[ и p'2L'z— соответствующие «дополнительные»
мультиполи (при сохранении четности L'1=L1-\-\f р[ ~ 1—pt,
J ',, — L2 + 1, pa ~ 1 —Рз)- Введем параметры смешивания
мультиполей:
&i = <Ji\pi Li || /и>/</11 р3 LJI Л>;
б2 = <Л |р. Ц II J±>/<J21 р2 L21| ^i>.
км

Тогда нормированные коэффициенты Л,г функции угловой
корреляции можно представить в виде
^ = [(l + |61p)(l+|62p)]-l(-l)7-/'+ft^7JT^x
X [Z± (Lx J, Lt Л; /0 к) -\-Zx [Ц J, Ц Jx; J0 k) | 6, |* -
+ (-\)Ll+L'iZi{L1J1LiJl\ /0^)2ReS1] x
X [Zx (L2 Jx L2 JL; J2 k) + Z~ (Ц J, Lo A; J, k) | 621* +
§ 4 3. УГЛОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ НАЛИЧИИ ПРОМЕЖУТОЧНОГО
НЕРЕГИСТРИРУЕМОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Пусть ядро совершает каскад из трех переходов J0-+ Jx-+ J2-+
—> J3t в каждом из которых излучается фотон. Рассмотрим функцию
угловой корреляции первого и третьего фотонов, считая, что второй
фотон не регистрируется. Состояние ядра Jlt образующееся после
излучения первого фотона в направлении nlt характеризуется
статистическими тензорами phq (Jlt JJ, для которых справедливо
выражение (4.17). Изменение статистических тензоров после перехода ядра в
состояние /2 (ПРИ условии, что направление излучения второго фотона
не регистрируется) определяется соотношением типа (3.101), в котором
/х нужно заменить на /2, /0 на Jlt L -->■ L2, а сумму по / — суммой по
р.2, равному 0 или 1. Таким образом, статистические тензоры состояния
J, имеют вид:
PftQ (Л, h)= ! 1/ -^— Y'U (ni) x
th4K 2 2/ 4niV(2/H-i) V 2A+1 QS
х{ 2 <Ji\PiL1\\J0><JL\p[L[\lJ0->*x
x i 2 МЛ-w.;^)1<Л1р2^ИЛ>12)-
Угловое распределение (относительно nj фотонов из третьего
перехода теперь можно получить, используя формулу (3.90) и выполняя
з ней очевидные замены обозначений (/0 ->■ /2, Jx -*■ J3, pL -> Рз^-з)-
Б результате находим:
^(в)-2(-1)*^Ял(со8в);
k
ah = ,
1 2 <AI^^II^XJilPi'^il|/e>*X
[V^ + i Ptff[L[
135

X
J
{ 2 КЛI ft £. II A> I2 VWT+WJT+'l) W (Л i, A/,; J2 J Л X
x{ S <^1яз^ИЛ><^|риз1|Л>*(-1И3-/г x
.р»'--р;ч
X Zx{LzJ%LiJ£ J3k)-l]h (p,LiiP',L'A (4.19)
где 0 ■— угол между направлениями излучения регистрируемых
фотонов. Сравнивая это выражение с (4.18), видим, что влияние
ненаблюдаемого промежуточного перехода на коэффициенты угловой корре- I
ляцни сводится к появлению множителя, выделенного в (4Л9) второй \
фигурной скобкой. Интерференция мультинолей в этом множителе
отсутствует. Нетрудно также убедиться, то если в промежуточном
(ненаблюдаемом) переходе Jx -+ J2 излучается не фотон, а любая частица
со спином /, то соответствующий фактор можно представить в виде
SV(2/1+l)(2ya+l) W (J, L2kJ2\ J2JX) X
ХЗКЛ/*'»(« »Л|в|Л>Р.
где /2 и L2 — орбитальный и полный моменты испущенной частицы.
Отличие, таким образом, сводится лишь к использованию соответст- '
вующих матричных элементов перехода и замене суммы по р% суммой -
по /2.
Результаты можно очевидным образом обобщить также на
произвольное число ненаблюдаемых переходов. Если ядро совершает
каскад переходов J0 =>■ J1 -+ Jz ... -►- J,.V-i =>• /jv, t° коэффициенты
ah функции угловой корреляции первого и последнего фотонов имеют [
вид:
где
вЬ1} =
n/oj-nг 2 <J1\p1Ll\\J0^><J1\PiLi\\J0^X
X(^l)J^J^L^L'iZ1(LlJ1L']J1;J()k)n]l(plL1;piLlK
аГ'= 2 <Jn\pnLn\\Jn_i^> X
X<ijv|pjv^mw-i>*( —l)w "~! X
X 2X (Ljv /л'-1 L\ Jx_1; Jx k)r\h (pN LN, рк Щ\
136

N-\
<V
- П Г 2 |</v|PvU||Jv-i>I2K(2/v-i+l)(2Jv+l)X
И Г 21
X W (Lv — 1 LvkJy) Jvt/v — i)
Множители G^J и aj^, имеющие почти одинаковый вид, связаны с
характеристиками первого и N-ro (наблюдаемых) переходов, а
множитель ah учитывает влияние всех ненаблюдаемых переходов.
Если в каждом из ненаблюдаемых переходов полный момент
излучения Lv фиксирован, то соответствующий нормированный фактор
Ah~ ah'fu9 можно представить в виде
Ль =
N-1
2 Р/ЛЛ>-1 ->Л; Lv)
■ V=2
/:
2/
Лг-1
-1-1
2/Н-1
где рл(У¥-1 -* Jv, Lv) = (2iv-i + 1) W (Л-i Lv/eLv; ЛЛ-i).
Если, кроме того, все ненаблюдаемые переходы имеют
минимальную мультипольностъ (Lv = Л-—1 — Lv Для всех v от 2 до N — 1)„
то для рЛ справедливы выражения типа (3.105). Тогда
tN — l
А
* = /-
N-
1-1-1
2^x4-1
п
Lv=2
*fc('v-l)
2У
Л' — 1 "Г
Bk(Jj)/Bk(JN-i).
2А + 1
Таким образом, каскад ненаблюдаемых переходов L1->/2->...
...-»- Улг— 1 минимальной мультипольности (Lv = Lv—i — Lv)
обусловливает появление в коэффициентах угловой корреляции между
предшествующим (Jo-^Jx) и последующим (Jn—i ->■ J.v) излучениями таких
же множителей Ah, как если бы происходил один ненаблюдаемый
переход Jx->-JN—i мультипольности Ь.0ф = Jt — Jn—\> Этот результат
фактически есть следствие сформулированного в § 3.8 утверждения о
сохранении тензоров ориентации в переходах минимальной
мультипольности.
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 4.1
4.1. В каскадном распаде (4.1) начальная и конечная системы
имеют нулевые спины (/0 = J2 — 0). Получить функцию угловой
корреляции испущенных частиц для следующих случаев: а) /, =
= /2 — 0; б) Д = /2 = 1/2. Четность в каждом переходе сохраняется.
4.2. Получить функцию угловой корреляции двух фотонов, если
ядро совершает каскад переходов О1 -*- J4 —>- 0+. Как изменится
результат, если четность одного из состояний будет отрицательной?
• 4.3. Рассчитать функцию угловой корреляции двух фотонов при
распаде 0+-^1+-^3+ ядра 10В.
137

/
4.4. Получить функцию угловой корреляции двух фотонов из
каскада переходов 5/2~ -> 1/2" -> 3/2~ ядра UB.
4.5. Первоначально неориентированное ядро совершает каскад
£2-переходов 8+ -*• 6+ ->4+ ->2+ ->0+. Рассчитать функцию угловой
корреляции первого и последнего фотонов.
Занятие 4.2
УГЛОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В РЕЗОНАНСНЫХ ЯДЕРНЫХ
РЕАКЦИЯХ
§ 4.4. УГЛОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В РЕАКЦИЯХ С НЕПОЛЯРИЗОВАННЫМИ
ЧАСТИЦАМИ
Применим изложенный в теме 3 аппарат спиновой матрицы
плотности к изучению углового распределения продуктов ядерной реакции
А -{- х-+В + у. (4.20)
Пусть J А и J в — спины начального и конечного ядер; jx и jy —
спины падающей частицы х и вылетающей частицы у. Рассмотрим сначала
матрицу плотности системы (А + х) до столкновения. Спиновые
состояния частиц пучка и мишени будем считать независимыми. Тогда
спиновая матрица плотности начального состояния системы имеет
факторизованный вид:
<JA Ма lx \ix | P | J a MA ]x ^4> =
= <Ja Ma\9a\ J a MA> <L V* I P* I /* &>. (4.21)
причем матрицы плотности каждой из подсистем А их
параметризуются своими статистическими тензорами р£ (Ja, J а) и р{ (jx, jx).
Перейдем в (4.21) к представлению спина канала (S^ = J^ Jr }х)
и введем соответствующие статистические тензоры pksqs (Si, 5{).
Они выражаются через р£ и р£ с помощью матрицы
пересвязки четырех моментов:
p^AJaUSi); JaL(Sc))^ 2 <JAix(Si)JAix(Sl)'k\ x
kAkx^X
X\JAJa (kA) j\ jx [kx) : k> (kA Ца \ksqs) X
X 9АьАЫ (J a, J а) Р%хЯх V'x, jx). (4.22)
Далее введем матрицу плотности не только по спиновым, но и
угловым переменным. Если относительное движение сталкивающихся
частиц характеризуется направлением относительного движения nit то
в операторном виде полную матрицу плотности начальной системы
можно представить следующим образом:
9;=?VpP, (4.23)
13b

где множитель рр — \пр> <п^| проектирует состояние
относительного движения на состояние с определенным направлением импульса.
Рассматривая матричные элементы оператора (4.23) в
представлении полного момента системы J, спина входного канала St и
орбитального момента 1и можно записать:
<JaL (SdhiJMlPilJAJxiSni; :J' М'>^
2 (Si 21, /,mt | JM) (5/ 2/ // ml \ Г ЛГ) (- \fl ~^ X
X {SiZiSi-?::\ksqs)Pbs<!s(JAJASd\ JaLW)) X
X <h mt | nf> <щ | // m!>. (4.24)
1'ронзведение двух последних функций преобразования в (4.24) вы-
кончается через введенные в § 3.6 величины chli (/, /'):
</т|п><п|/'т'> = Угн(п)УГт. (n) = V(-Dr""' X
kq
X (ImV -m' | kq) DJ0 (cpOO)fM (/, /'). (4.25)
Вводя статистические тензоры полного момента системы и
подставлял (4.25) в (4.24), находим:
pi, (st и J; s; /; J') - S (As ?s h gt | ад x
kski*sb
X <S; /4 (J) 5;' // (J')ik\St Si (ks) h II (kt): k> X
x Pbs qs (sh s;) dI\0 (Ф{ e, o) c„|0 ft, //). (4.26)
.8 простейшем случае, когда частица и мишень неполяризованы,
тензоры phq (jx) и pbq (Jа) имеют вид (4.11). Тогда из (4.22) и (4.26)
какодим:
х W(jstu;-, /1ПсАо№,/ПО?о(<Р*е,о). (4.27)
Рассмотрим теперь матрицу плотности и статистические тензоры
системы (Б + г/) после реакции. Изменение матрицы плотности во
времени описывается соотношением (3.9), причем оператор О (t, tQ) при
t->■ +00, /0-j 00 переходит в 5-матрицу. Выделяя из 5-матрицы
6-функцию, связанную с законом сохранения энергии, и вводя Т-ма-
трицу соотношением <f\S\itk> = 6Я — 2mb(SiSj)<Zf\T\i >,
можно записать матрицу плотности продуктов реакции
?,= (l/yV)7>,r+. (4.28)
Нормировочный множитель обычно выбирают так, чтобы след pf был
равен дифференциальному сечению реакции. Соотношение (4.28)
удобно рассматривать в представлении полного момента системы. Это по-
139

зволяет воспользоваться диагональностью Т-матрицы по
сохраняющимся квантовым числам и независимостью от проекции полного
момента:
<Jbh (St) h : Jf Ms \T\J*L(Sd h : JM> =
- 6JfJ 6MfM<5y lf\Tj\ Si /,>. (4.29)
Здесь 5/ и If — спин конечного канала (Sy = Jjg -Ь jy) и орбитальный
момент относительного движения продуктов реакции. В правой стороне
равенства (4.29) спины частиц и ядер опущены для сокращения
записи. Если четность в реакции сохраняется, то орбитальные моменты
lt и If должны удовлетворять, помимо правил сложения моментов,
также правилу отбора по четности: пА лх (—\)*1 — лв пу (—\)l-f, где л4?
пх и т. д. — внутренние четности соответствующих частиц.
Из (4.28) и (4.29) получаем:
<Sflf:JMlpf\SfrsiJ'M'>= v <S//y|rJ|Si/i>x
X <5f tt: JM |Pz |Si U : Г M'xSi If \Tj.\SI //>*
и соответственно для статистических тензоров конечной системы
pi, {Sf tf (JY, Sj // (Г)) - 2 Рас № h (J); Si Ц (Г)) X
x <sf if i Tj I s£ f,xsf' /; \Tj-\ si /;>*. (4.зо>
В этой записи, как и раньше, опущены спины сталкивающихся и
разлетающихся частиц (JA, jx и J в, jy)-
Угловое распределение продуктов реакции в определенных
спиновых состояниях, задаваемых матрицами спиновой эффективности гв к
еу, можно получить с помощью соотношения
W (щ, л,) = Sp ipf?) = S pi, (5/ /y J\ Sj lj J') X
kqSj.lfJS'1'Г
>:etq(SfliJ'>sfliJ')* l4-31>
Статистические тензоры р{? конечной системы, как видно из (4.30),
(4.26) и (4.22), зависят от начального направления п£ и выражаются
через тензоры р* и р£ , характеризующие спиновые состояния
сталкивающихся частиц. Тензоры эффективности гт для системы
(Б + у) в представлении полного момента системы можно выразить
соотношениями, аналогичными (3.75), (3.76), (3,59), в которых нужно
сделать очевидные замены обозначений (JY —>- J в, j-*-!у> S-*-Sy»
/ -> /у, п ->Пу и. т. п.). Они зависят от направления Пу,
характеризующего относительное движение продуктов реакции.
Если сталкивающиеся частицы неполяризованы, а спиновые
состояния продуктов реакции не регистрируются, то обращаются в нуль
все статистические тензоры спинов начальных частиц и тензоры спи-
повой эффективности конечных частиц, за исключением тензоров нуле-
140 3

вс"0 ранга. Тогда из (4.27) и (4.30) получаем:
olg (Sj tj </; 5/ ц Г) = ^ <Ь h\Tj\ s, it> <s; //1 7> | st//> x
x (2Г+"1)\£-|-!1)1) W(JStklh /^')^оЛ,/;)^о(Ф|в|0;. (4.32)
Из соотношений (3.75), (3.78), (3.59) после указанных выше замен
(Л -»" Jb и т. д.) находим:
еЛ(7 (5, /у,/; S/1/ Г) - 6S s, ]/(2t/H-l)(2J/ + l) x
X W{JSjklf; If J')D'U(Фу670)rA0(/„!}). (4.33)
Объединяя выражения (4.31)—(4.33), получаем угловое
распределение продуктов реакции (4.20) с неполярнзованными частицами:
W (nh п,) - — У. a,, Ph (cos 0), (4.34)
где cos 6 = (rii * п^), а
ah=- L_ 2 <S//y|T'J |5,/,> X
(2JA~T[) (2/к-Н) l.['.S;tfl'S,
1 I l J f J
X<SflilTjf\Sili>*(-lfl~SiZ(lijriJ,;Sik)x
XZ{l}Jlj J'; S,k). (4.35)
Отметим, что интерференция матричных элементов, соответствующих
разным спинам каналов, здесь отсутствует.
Выражения (4.34), (4.35) получены без каких-либо специальных
предположений о механизме реакции. Важный класс ядерных реакций
при низких энергиях составляют резонансные реакции,
происходящие посредством образования и распада промежуточного
квазистационарного состояния всей системы: А + х ->■ С* ->- В + у. Если
при данной энергии вклад в процесс дает только одно такое состояние
с определенными спином Jc и четностью nCi то среди всех матричных
элементов перехода отличны от нуля лишь те, которые соответствуют
состояниям с полным моментом J = Jc и четностью лс, а элементы
Т-матрицы выражаются через амплитуды образования и распада
промежуточного состояния:
<Sftf\Tj\St/,> ~ 6jjc<JB jy [Sf)lf:Jc\02\OX
X (E-Ec + iTcl2)-*<c\ 0,\JA\ix (St) h : JC>,
причем орбитальные моменты сталкивающихся и разлетающихся
частиц должны удовлетворять правилам отбора по четности:
пАпх (—1)'* = пс = лвл, (-!)'/. (4.36)
Таким образом, коэффициенты ак в угловом распределении продуктов
ядерной реакции можно представить в виде произведения факторов,
14 I

соответствующих образованию и распаду промежуточной системы:
**-=/ S <JBh\Sflf\\c1JcXJBiy\SfllHctJe>*x
W'fsf
X(-l)Jc-sfZ(tfJci;jc;Sfk)\x
Х{ 2 <^^сИ5,/,|Л,/,> <С^||5|//|/и/ж>*Х
X (-!)s-^Z(/;./c/;/c; Sf*)|. (4.37)
Несущественные энергетические множители здесь опущены.
Использованы обозначения:
<Jb iff I Ss lj || с, </c> = <Jfl /„ (S;) /,: Jc | a I c, Jc>;
<c, /c || S£ UIУ,1 /ж> - <c, 4 16>x | J/, /Л (St) lt: Jc>.
Из (4.36) и (4.37) следует, что индекс k функции Лежандра в (4.34)
принимает четные значения от нуля до /е1Пах= min{2/c, 2lt max, 2/f п,ах}.
Угловое распределение симметрично относительно G = л/2, что
связано с сохранением четности. Однако если даже четность сохраняется,
но реакция может протекать через промежуточные состояния с и с'
разной четности (кс — —п'с), то симметрия углового распределения
нарушается.
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 4.2
4.6. При изучении рассеяния я+-мезонов на протонах было
обнаружено, что сечение упругого рассеяния имеет максимум при
кинетической энергии в с. ц. и. £г « 150 МэВ, причем зависимость aei {£)
в этой области описывается формулой Брейта—Вигнера (сейчас этот
резонанс принято называть Д-изобарой). Угловое распределение
рассеянных мезонов при £ = £г хорошо аппроксимируется выражением
о (8) ~ 1 + 3 cos2 8. Используя этот факт, определить, какие из
значений спина и четности 1/2±, 3/2*, 5/2* может иметь резонанс?
Внутренняя четность я-мезона отрицательна.
4.7. Получить формулу углового распределения продуктов
фотоядерной реакции y + A-+C*-+B-\-yt проходящей через
промежуточное состояние С*. Учесть возможность разных поляризационных
состояний фотона.
4.8. Рассчитать угловое распределение л+-мезонов из реакции
7 + р ->■ Д (3/2+) -> зх+ + п под действием а) неполяризованных
фотонов; б) циркулярио поляризованных фотонов; в) линейно
поляризованных фотонов.
4.9. Получить формулу углового распределения фотонов из
реакции Л (п, у)В, учитывая возможность интерференции состояний
составного ядра, имеющих противоположную четность.
4.10. Получить формулу для углового распределения фотоноь при
резонансном рассеянии: у+А-*-А*-*-у + А. Спин начального ядра
равен пулю.
142

Тема 5
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ И ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ
Занятие 5.1
МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТЕНЗОРЫ АТОМА,
ВОЗБУЖДЕННОГО ФОТОНАМИ И ЭЛЕКТРОНАМИ
§ 5.1. ПОГЛОЩЕНИЕ ФОТОНОВ
В атомной физике, в отличие от ядерной, подавляющее
большинство электромагнитных процессов, представляющих практический
интерес, связано электрическими дипольнымн переходами. Это
обстоятельство позволяет упростить общие формулы темы 3 (полученные без
каких-либо ограничений на мультипольность j й
перехода), приблизив их к виду, в каком они ' F / f
используются при рассмотрении типичных за- <
дач атомной физики. S кХ
Рассмотрим однофотоиный переход, при ?
котором происходит возбуждение дискретного $ ,
состояния атома (рис. 5Л). Матрица плотно- с Q
сти начального состояния системы pt есть Рис. 5.1
произведение матриц плотности атома и
фотона: р;= pla) pty)' В соответствии с общей теорией матрица плотно*
сти возбужденного состояния атома р дается выражением:
<cc1/1A!1fp|cf1/1Ali>-. _2 <.a1J1M1\F|а0/0/И0; ld> X
о
X <U \pjy) | U'> <а0 J0 М0 \р(са) | а0 J0 M6> X
X <at Jx M{ \F I a0 J0 Mo; kV>. (5.1
В дипольном приближении матричный элемент оператора перехода
<а1/1М1(Ла0.Л>М0; кЯ> пропорционален матричному элементу one*
ратора электрического дипольного момента атома
<a1J1M1 |£>х|а01/0М0>, (г||к); D = У,ег-Г
i
Поляризационную матрицу плотности фотона <kA,|p,-v)|kV>, где
X, V = ±1 —спиральность фотона, выразим (см. §3.3) через
параметры Стокса Plt Р2, Р3:
р<» = ±( 1+^з -Рг+Щ (6.2)
L

или, что то же самое [см. (3.61)1,
<кХ&у) | kV> = ± {fa. (1 + ХР3) + (1 -6\v) (-Л + аРв)}. (5.3)
Теперь воспользуемся формулой (3.61), дающей мультипольное
разложение плоской волны фотона. Если выбрать ось квантования вдоль
импульса фотона к, то коэффициенты преобразования примут простой
вид (2.32): <pLM\kk> =- № V&L + 1)/8л6т. Ограничиваясь
электрическими дипольными переходами (р = О, L = 1), получаем
отсюда соотношение, связывающее поляризационную матрицу
плотности фотона в двух представлениях:
:k>.|(><v>|kr> =
= -(3/8я)<р = 0, 1=1, /M = ^|^v)|/;==o, L^1,M'=V>. (5.4)
Вместо поляризационной матрицы плотности фотона можно,
пользуясь общей формулой (3.19), ввести эквивалентный набор
статистических тензоров фотона рЦ> (мы будем их называть просто радиационными
параметрами фотона). Применительно к электрическим дипольным
переходам
Р$ = 2 (-I)l-M'[IM\-M'\kq) X
ММ'
Х<р = 0, L=l, M|p<v) \p = OtL*= 1,ЛГ>. (5.5)
Учитывая правило треугольника, а также то, что согласно (5.4)
М = М' = ±1, получаем, что в электрических дипольных
переходах поляризационное состояние фотона (в системе с осью z вдоль
импульса фотона) характеризуется радиационными параметрами p£j> с k~
= 0, 1, 2 и q — 0; ±2, т. е. следующим набором параметров: рЙ},
1>%К 9%\ Рг±2- Подставляя (5.3) в (5.4) и затем в (5.5), можно выразить
эти параметры через параметры Стокса. Ниже приведены их значения,
соответствующие обычному условию нормировки матрицы плотности
(3.2) или, что то же самое, (3.26):
л(7) 1 . л(?) 1 р . л(т) 1 . n(v) „
Poo =——:, рю ———- /3» Р20 ———r, p2±2 =
Уз У2 Vq
--Y(pl+ip2)- (5-6)
При Pj = P2 = P3 = 0 получаем, в частности, радиационные
параметры неполяризоваиного фотона: р($ = pw>2 = 0; p£J> = 1/УЗ;
,»й> = i/кё:
Выражая матрицу плотности начального состояния атома и
поляризационную матрицу плотности поглощаемого фотона через
соответствующие статистические тензоры (радиационные параметры), из (5.1)
144

можно получить выражение для статистических тензоров
возбужденного состояния атома:
Vhi'n («I ^; «i A)=const 2 V(2VM)(2VI~ i) x
X (Av gy k0 q01 /^ ?J -
f] Л j;
S\)
M)
PVv ™° ^0 </«; ^ ^' (5'7)
где pjM — радиационные параметры фотона (5.6), а pj/> (a0/0;
аоЛ>) — статистические тензоры начального состояния атома.
Тензоры (5.7) полностью характеризуют поляризационное состояние
возбужденного атома, возникающее в результате электрического диполь-
ного перехода.
Пусть, например, начальное состояние атома неполярпзовано, т. е.
РМ. (ao«V. <*<Л) = (1/|/"2/0 -1- 1)бЛо0б9о0. Тогда из (5.7)
I 1 ^i Jil
(5.8)
Тензоры (5.8) нормированы условием р00 (а^ц <h.^i)~ llV^Ji + !•
Таким образом, при поглощении фотона неориентированной мишенью
возбужденное состояние атома не может иметь иных статистических
тензоров $ktqt («l/ii aiA)» кроме тех, которыми характеризуется
возбуждающее атом электромагнитное излучение. В частности, все
статистические тензоры с проекциями ±1 равны нулю. В табл. 5.1
приводятся статистические тензоры возбужденного атома pkxqlt
полученные по формулам (5.6) и (5.8) для некоторых электрических дипольных
переходов. Тензор р20 не зависит от поляризационного состояния фото-
па. Тензоры р22 = р*_3 связаны с линейной поляризацией, а тензор
Рю — с циркулярной поляризацией фотона; в переходах с
поглощением левополяризованных фотонов тензоры р10, приведенные в табл.
5.1, меняют знак.
Во многих задачах атомной физики приходится иметь дело со
случаем /,5-связп, когда состояния атома можно характеризовать не толь-
Состояние фитина
Любое
Пра do пол призованиый
Полностью линейно'
поляризованный (по
оси\Х)
7 eHv»op
Pto
Р>«
Pi»
0-И
i/УТ
i/УТ
-1/2
Переход
1/-' >1 /2
0
l/УТ
0
Таблица 5.1
l/2->3/2
1/4
УГ/4
-Ув"/8
§ Зин. а no
145

Продолокение табл. 5.1
Состояние фотона
Любое
Прапопплярнаовап-
иын (Р3= I)
Полностью линейно
поляризованный
(по оси X)
Тензор
РйО
Рю
р22
Переход
1-+1
-1/2/F
1/2 1 F
1/1
1-+2
/Г/ю V"!
3/2 1 ТО
— /27/20
3/2-Я/2
0
—1/J * Т
0
3/2-*3/2
1/2/5
/Т/ю
ко полным моментом J, но также спином 5 и орбитальным моментом L.
Если при рассмотрении переходов |а050£0/0:> -*- \&iSiLiJi>* можно
пренебречь топкой структурой терма 2$+lL, т. е. его расщеплением по
полному моменту J, то практический интерес представляют
результаты, просуммированные по У0 и /л. Поскольку в электрических дииоль-
ных переходах оператор возмущения не действует на спины
электронов (т. е. S1=S0)t то статистические тензоры спина атома pff (S, S)
О 'о
при возбуждении не изменяются. При этом статистические тензоры
орбитального момента pft (ах£:; «1^1) вычисляются по формуле:
Р/,7 ^/, К ^ «1 £1) *= const >J V{2kLo +1) (2£v H-1)
1 ^о Li
X (fcv <7V ^o <//.. | ^ <7zJ \l L0 Lj
1 L0 L-, | p^v<7V PfcL <7
(a0L0;a0L0), (5.9)
o»
которая аналогична (5.7) с очевидной заменой обозначений: J0 -> L
J± —>- iV, /e0 -> At0 и т. д. С точностью до такой же замены остается
справедливой в случае LS-связп и формула (5.8).
Рассмотрим поглощение фотона ориентированной мишенью.
Сначала отметим качественные закономерности, которым подчиняются
поляризационные характеристики возбужденного состояния Гсм.
формулу (5.7)1: а) ранг статистического тензора возбужденного
состояния определяется правилом треугольника кх — k0 + kv, где, в общем
случае, kv = 0, 1, 2; б) четность возможных значений kx совпадает с
четностью числа &0 4- k\ [иначе 9/-спмвол в (5.7) обращается в пуль!.
Отсюда, в частности, следует, что когда поляризационное состояние
мншепи характеризуется только тензорами выстроешюсти (т. е. &0 —
четно), возбужденное состояние имеет отличные от нуля тензоры
поляризации (т. е. тензоры с нечетным k^)y только когда поглощаемый
фотон содержит циркулярную компоненту.
На практике часто приходится рассчитывать pk («i^iJ aiA) B
условиях, когда статистические тензоры начального состояния атома
р,.Ли (сс0/0; <х0/0)' и фотона pjtv) заданы в разных системах координат.
Для фотона естественна система координат с осью z вдоль импульса
И'-
i

фотона к; будем называть ее фотонной. Систему координат, в которой
задаются статистические тензоры начального состояния атома,
назовем лабораторной. Пусть R — поворот от лабораторной системы к
фотонной. Тогда, переводя тензоры р^)фот в лабораторную систему,
получим мз (5.7):
P*,1i К h; «1 h) = const J 1^(2*0 +l)(2ftv+l) X
X (ky qy k0 % I *i <7i)
( 1 J» J>.)
1 J0 Jx
. «V #0 «I j
, X
X
J;.
(У)фиГ л;ю
^(«)J* pmJ'pJ*. («о Л; «о Л).
(5.10)
Применяя формулу (5.10) нужное число раз, можно находить
статистические тензоры состоянии, последовательно возбуждаемых
несколькими пучками фотонов, при произвольном взаимном расположении и
поляризации этих пучков.
§ 5.2. НЕУПРУГОЕ РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
В плосковолновом борцовском приближении, в пренебрежении
тождественностью падающих частиц и атомных электронов, оператор
возбуждения атома при неупругом рассеянии электрона — в процессе
(<?, ё) — имеет простой вид:
F(Q)~ 2 exp(iQr,).
(5.11)
Единственным кинематическим параметром, который в этом
приближении определяет всю картину возбуждения атома, является вектор
переданного импульса
Q = ke —1С (5.12)
В пределе малых переданных импульсов (Q<cl/a, где а — средние
размеры атома) оператор (5.11) сводится к оператору электрического
диполыюго момента F (Q)Iq-^o ->■ 1 4- -~ QD. Таким образом, при ма-
С/
лых Q (если выполняются условия применимости плосковолнового
борцовского приближения без обмена) картина возбуждения атома
под действием электронов совпадает с той, которая имеет место при
его фотовозбуждении.
В общем случае структура оператора возбуждения атома
электронами намного сложнее структуры оператора фотовозбуждения. Здесь
приходится учитывать не только дипольныс переходы, по и переходы
более высокой мультиполыюсти, а также (например, при рассмотрении
обменного рассеяния) действие оператора возбуждения на спиновые
переменные атомных электронов. Поэтому анализ поляризационных
6* 147

характеристик возбужденного атома при неупругом: рассеянии
электронов удобно начинать с рассмотрения общих свойств его спиновой
матрицы плотности, вытекающих из симметрии процесса рассеяния.
Пусть, например, начальный пучок и мишень неполяризованы, а
поляризация рассеянных электронов не регистрируется. Выберем ось квантования в
плоскости рассеяния, которая есть плоскость симметрии процесса возбуждения.
Тогда согласно (3.43) для статистических тензоров возбужденного состояния
= <-l)frtPjfl9l(aiyb «i'i)- (5-13)
Это соотношение показывает,что статистические тензоры действительны, если
кг — четно, чисто мнимые, если kt нечетно; кроме того, тензоры с проекциями,
различающимися знаками, взаимно связаны, a (>/tJo — 0, если кг нечетно. Таким
образом, можно найти число независимых действительных параметров,
характеризующих поляризационное состояние возбужденного атома. В данном случае,
с учетом условия нормировки, это число равно 2J± (Jt ~\- I) при J1 целом и
(1/2) (2JX -|- I)2 — 1при Jx полуцелом. Пели, например, Ух = 1, то в качестве
четырех независимых параметров можно взять Im pn; p2ol P21 u Раг- Их число
можно уменьшить, если имеется дополнительная информация о процессе
возбуждения или способе его наблюдения. Например, в условиях применимости плоско-
волнового борцовского приближения процесс возбуждения имеет
дополнительную аксиальную симметрию относительно направления переданного импульса Q,
лежащего в плоскости рассеяния. Направляя ось 2 по переданному импульсу, в
дополнение к (5.13) имеем [см. (3.38)]: Рн^х^^ъ C6i^i) = ^1oPftio (ai^i> ai^i)»
следовательно, остается только один независимый действительный параметр р20.
[Следует иметь в виду, что в литературе вместо Рй^ часто используют другие,
эквивалентные способы параметризации [33—35] (см, также упражнение 5.9).]
Теперь воспользуемся соотношениями, которые связывают
матрицу плотности и статистические тензоры возбужденного состояния
атома с амплитудами неупругого рассеяния электронов. Пусть электрон,
состояние поляризации которого задается матрицей плотности ре,
падает на атом в направлении п0 с энергией Е0, а неупруго рассеянный
электрон детектируется энергией Ег в направлении пх и в состоянии
поляризации, описываемом матрицей эффективности ее. Тогда матрица
плотности конечного состояния атома дается выражением
<<*ihMx\p{Ex\ nO|а{ Л Afi>*=
- const 2 <(1/2) и Ы 0/2) ц!>* X
X <(1/2) р.0 |р^|(1 /2) р,о><«оЛ Mq \р\ао Л Af£> X
Х<Е±щ(Xj.а1ЛМ1\Р\Е0щ [i0щ J0M0> X
X <Ег щ |ii а{ Л M[\F\ Eq п0 р£ aj J'Q Mq>*. (5.14)
148
к

Мы предположили, что спиновые и пространственные степени
свободы налетающего электрона независимы. Далее воспользуемся
равенством
<Ег щ [1г a1J1M1\F\ Е0 п0 [х0 а0 J0 М0> =
^ ^ — 1 yii —Mi-\rJ0 —Л10 +1 — ^i —^o r^ ^0 X
X </:, n, —ц, а,./, — ЛГ, | F | /?0 пп —|i0cr0 /„ —ЛГ0>, (5.15)
которое вытекает из инвариантности амплитуд F относительно
отражения в плоскости рассеяния [37J. Мы зафиксировали оси z и х в этой
плоскости; т|0 и г^ — пространственные четности основного и
возбужденного состояний.
В частном случае, когда атом в начальном состоянии и падающие
частицы пеполярпзованы, а детектор рассеянных частиц
нечувствителен к их поляризации, из (5Л4) получаем:
<«j./, М, |"р(Я.; п,)|a, J{ М[>■=
r= const 2J f (щ /Wt ч~ 1г0 М0) /* (рА /И 1 ч- щ, М0) -
ji.0|iiAf0
*= const </л! j fл*t>. (5.16)
Здесь введено краткое обозначение амплитуд возбуждения / GVVii^-
<- щЛ*о) = <^E1n1\L1oL1J1M1\F\E0nQ\iQa,0J0M(p> и сокращенная запись
усреднения по начальным и суммирования по конечным
ненаблюдаемым квантовым числам. Таким образом, нормированная матрица
плотности и статистические тензоры возбужденного состояния
имеют вид:
<ах Л Мг \p(EL\ щ) | аг Jx М\> - </Л/; /W> / 2 </м, /*,,>; (5.17)
1 / ль
pA«i7i(alA;a1A)= S (-~l/1_JWi X
X CjJ^Ji~лг; </м; /м,> / 2j </л#1 /лгг>. (5Л8)
/ м.х
Используя (5.15), отсюда можно снова получить (5.13). Из (5.15) также
следует </л/^л^> = (— l)Mi~Mi </-л/^-л^>.
Чтобы рассмотреть случай LS-связи, достаточно в (5.14) перейти к
представлению LMlSMs, тогда:
<SX MSt | &s> | St Afi,> <Li MLl |?'> | /,, Af £t> =
~- const 21 <(l /2) !*, КI (1 /2) !il>* X
X <(1 /2) ц01 £ I (I /2) y>6> <S0 MSo | f | 50 M5Л> X
149
4

X<L0M/e|p|L0MLe>X
X <£i Щ \ix LL MLl S± MSl | f\ EQ n0 p0 Ц Ml, So Ms9> X
X <Et nx Ц,' Ij Ml, SL Mkx\F\ E0 n0 fio L0 M £. 50 Ms0>* (5.19)
4
(все квантовые числа основного и возбужденного состояний атома,
кроме проекции моментов, считаем фиксированными). Мели амплитуды F
явно зависит от полного спина системы налетающий электрон -| атом
(как, например, в аадачс рассеянии электрона па атоме водорода в
сииглетном и триплетиом состояниях), то в (5.19) удобно перейти к
представлению полного спина системы.
Пусть при псупругом рассеянии электроном происходит побуждение ■'SO ~>
—>■ 4Ji -) (например, возбуждение резонансного перехода и атоме инертного газа).
Допустим, что при рассеянии сохраняется проекция спина налетающего
электрона и амплитуда рассеяния не записи г от этой проекции. Тогда вместо (5.15)
получаем соотношение
/л/, -(- DA'W% . (Г..20)
Здесь fAlli == <Е± tij n1/.1AlLi Sx - 0 MSi - 0\$\П0 щ \хв L0 МUS0 = 0 Ms% =
= 0> S„ . Вместо (5.17) имеем для матрицы плотности орбитального момента
возбужденного состояния:
(а,Ц MLi р(Я,; п2) | Kl 1Х М ^> =
/J; J Mr /У, 1/л#, I2. (5-21)
Применяя критерий (3.14), легко показать, что состояние (5.21) чистое, т. е.
может быть описано некоторой волновой функцией. Возбуждение, когда атом
оказывается в чистом состоянии, называют когерентным. Из (5.21) и (5.20) следует,
что в частном случае х5 -*- ^-перехода вместо четырех независимых параметров,
характеризующих матрицу плотности возбужденного состояния, в общем
случае имеются только два. В качестве них можно взять отношение модулей
амплитуд/^ и /0 и их относительную фазу (см. упражнение 5.13).
Теперь рассмотрим переход 2St+) ->3P< -) между дублетными состояниями.
По-прежнему будем считать, что налетающие электроны и мишень неполяризо-
ваны, а поляризация рассеянных электронов не фиксируется. Предполагая, что
полный спин 5 системы электрон -|- атом и его проекция при столкновении
сохраняются, а амплитуды не зависят от этой проекции , имеем из (5.19):
(a.L.Mj i^a.^MU)^const V (2S + 1)/^, /J (5.22)
где fff ~ <£1n1a1L1AlL ; S\F\ EQ n0a0L0=0 MLo — 0; 5>. Мы получили
соотношение (5.17), в котором под О надо понимать суммирование по полному
спину 5 = 0; 1 с соответствующим весом. Анализ формулы (5.22) с помощью
критерия (3.14) показывает, что возбуждение в рассматриваемом случае
некогерентно. Однако за счет того, что вначале атом находился в S-состоянии, мы получаем
и:» (5.15) дополнительное соотношение //? = (—l)MLl fz.M, ■ Это приводит к
сокращению числа независимых параметров, характеризующих матрицу
плотности, • четырех до трех (см. упражнение 5.13).
150
v

Рассмотренные примеры дают представление о том, как решается
задача параметризации матрицы плотности возбужденного состояния
атома при неупругом рассеянии электронов. Опираясь на общие
выражения (5.14), (5.15) и (5.19), можно проанализировать и процессы с
участием поляризованных частиц.
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 5.1
5.1. Получить формулы (5.7) - (5.9) для статистических тензоров
атома, возбужденного фотоном.
5.2. Пучок фотонов возбуждает пеполяризованную мишень. Найти
все отличные от нуля статистические тензоры и элементы матрицы
плотности полного и орбитального моментов для переходов: lS0 -v 1P1',
251/2->2Я,/2; 85,/2->аЯз/2; 'So-^/V, Vi-^So; Vi-^VV, XPX-+
-уг02; 2Р\/2~у2Оз/2\ 2Рз/2-*2Оз/2. Рассмотреть случаи: а) фотоны
неполяризованы; б) фотоны линейно поляризованы; в) фотоны цир-
кулярно поляризованы.
5.3. Пусть атом, находящийся в состоянии \J0 = 1; М0 = 0>,
поглощая фотон, переходит в состояние с J1= 1. Найти матрицу
плотности и статистические тензоры возбужденного состояния, если: 1)
фотон право- (лево-) поляризован и пучок фотонов падает а) параллельно
оси квантования; б) перпендикулярно оси квантования; 2) фотон
линейно поляризован и пучок фотонов падает а) параллельно оси
квантования; б) перпендикулярно оси квантования, направление
поляризации совпадает с осью квантования. Проделать то же самое
для перехода \J0 = 0> -> \J2 = 1>.
5.4. Атом находится в состоянии JG = 1/2, Ма = 1/2. Под
действием пучка фотонов возбуждается состояние с JL = 1/2/ Направление
пучка составляет угол р с направлением оси квантования. Найти
матрицу плотности и статистические тензоры возбужденного состояния
для случаев: а) фотоны неполяризованы; б) фотоны право- (лево-)
поляризованы; в) фотоны линейно поляризованы, вектор
поляризации лежит в плоскости, определяемой направлением пучка и осью
квантования. Во всех случаях ответить па вопросы: При каком р
заселенности подуровней JiM-i — —1/2 п ,/,Л1, = 1/2 максимальны?
При каком р возбужденное состояние пеполярпзовапо?
5.5. Два коллипеарпых пучка фотонов возбуждают
двухступенчатый переход 1/2 -> 3/2 -> 3/2 (рис. 5.2). Основное состояние мишени
неполяризовано. Можно ли подобрать поляризацию пучков, так
чтобы с 100%-поп вероятностью заселялись состояния: a) J» — 3/2,
Л13= -I- 3/2; 6) J2 - 1/2; М2 - + 1/2?
5.(3. НеполиризоБашшн мппк'пь с Jfj — 1/2 возбуждается
последовательно двумя пучками иравополяризованпых фотонов на уровни
Jx = 3/2 и J2 = 3/2 (рис. 5.3). Как изменяется статистический тензор
верхнего уровня р30 (сс2/2"> ct2/2) с изменением угла р между пучками?
Можно ли выбрать р так, чтобы рзп =-- 0? (Ось z выбрана вдоль 1-го
пучка фотонов.)
5.7. Неполярпзовапный пучок электронов возбуждает
пеполяризованную мишень в состояние с моментом ,/_,. Найти отличные от ну-
151

ля статистические тензоры и число независимых действительных
параметров матрицы плотности возбужденного состояния в случаях:
а) рассеянные электроны не регистрируются; б) рассеянные
электроны регистрируются; в) рассеянные электроны регистрируются под
нулевым углом; г) то же, что (б), но в присутствии постоянного
магнитного поля, перпендикулярного плоскости рассеяния; д) то же, чт
(г), но магнитное ноле лежит в плоскости рассеяния. Детектор
электронов не чувствителен к поляризации.
П
J-1
г О
Jo~2
Рис. 5.2 Рис. 5.3
5.8. То же, что упражнение 5.7 (г) и (д), но для постоянного
электрического поля.
5.9. Состояние с Jt = 1 возбуждается неполяризованным
электронным пучком на неполяризоваиной мишени. В качестве независимых
действительных параметров, характеризующих матрицу плотности
возбужденного состояния, возьмем величины:
Х=- <^> ; cosy^ **<''» ■:
cos s^-~ <^-i>-; cosA^ Im<^>
Найти их связь с параметрами р]Л; р20, р21; р22.
5.10. Показать, что в плосковолновом борновском приближении
% = cos 0q; % = 0, где 6q — угол между направлениями падающего
пучка и переданного импульса.
5,1 J. В плосковолповом борновском приближении для 1S->lL-
перехода иайтл статистические тензоры pzq возбужденного состояния
в системе координат с осью z, направленной вдоль падающего пучка.
Пучок электронов и мишень неполяризованы, детектор не
чувствителен к поляризации. Заданы импульсы падаюшего и рассеянного
электронов и угол рассеяния.
5.12. Найти связь между статистическими тензорами состояния с
./ — I и средними значениями проекций <J£> (i = xt у, z) в этом
состоянии,
№

5.13. Опираясь на %-, %-, е-, А-параметризацию, установить число
независимых действительных параметров матрицы плотности
возбужденного состояния для случаев xSi+) ~> ХР<~)- и 2<S< + > ~>
^^-переходов. Найти связь между параметрами pn; р20; p2i\ Р22 в этих
случаях. Взаимодействиями, зависящими от спинов, пренебречь.
5.14. Получить (5.13), пользуясь соотношениями (5.15) и (5.16).
5Л5, Показать, что матрица плотности (5.21) описывает чистое
состояние, а (5.17) — смешанное.
Занятие 5.2
I
ИСПУСКАНИЕ ФОТОНОВ И ЭЛЕКТРОНОВ ВОЗБУЖДЕННЫМ
АТОМОМ
§ 5.3. УГЛОВОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНОВ В
СПОНТАННЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПЕРЕХОДАХ
Применим результаты занятия 3.2 к описанию процесса излучения
дипольного фотона возбужденным атомом. Пусть задано
поляризационное состояние возбужденного атома; будем считать, что
поляризация конечного состояния атома после высвечивания фотона не
регистрируется. Тогда из общей формулы (3.84) с учетом (3.70), (3.85), (3.64),
(3.87), (1,39), (1.40) получим для
углового распределения высвечиваемых
фотонов:
Wo "
?лаб л
4к
fe=l,2 q
ЛУУ
(5.23)
xm5
где ф, 0, 1|з — углы Эйлера,
характеризующие поворот, совмещающий
оси лабораторной системы (в
которой заданы статистические тензоры
распадающегося состояния) с ося- Рис. 5.4
ми системы детектора (рис. 5.4);
СИ — радиационные параметры регистрируемого дипольного
фотона, задаваемые формулами (5.6); кинематические коэффициенты ах
и щ даются формулой ah= 3]/2УХ + 1 (_l)Ji+/+*+i j1 Ji A (J —
\Ji 1 k J
полный момент конечного состояния атома); их численные значения
для некоторых переходов приводятся в табл. 5.2; при J^ — 0
коэффициенты аг и а2 равны нулю. В формулу (5.23) входят приведенные
статистические тензоры возбужденного состояния атома
Аъч (а]Л) = Ри («i^i; «x/J/poo (axJ^ aJJ. (5.24)
153

/
Таблица В.й
Ji-+J
щ
щ
/т
0
1-S-0
/Т
/Т
i->.i
/Т/2
■ YJ/2
1^2
-/Т/2
|Т/ 1 0
1/2-»3/2
-i//T
0
С1
t
/572
/"а/я
3/2-*3/2
/2/5
-г, тТ/о /1Г
2-*1
*
1//~2
-/0/5
Находя методами, изложенными в §5.1 и 5.2, статистические тензоры
Vku (aiAl ai^j)» по формуле (5.23) получаем угловое распределение
высвечиваемых фотонов, имеющих любую интересующую пас
поляризацию.
Если поляризация фотонов не регистрируется (т. ем согласно (5.6)
C\V - C£g2 = 0; С&> - 1/]/3; С$ - 1/j/fi), то из (5.23) и (1.87)
имеем:
^(0,ф) =
1±
4зх
1
<ч у — 2 л^ ^ JJ r2<i (0. ф>
(5.25)
Отметим главные свойства углового распределения
иеполяризованных фотонов: а) анизотропия возникает, если у распадающегося
состояния отличны от нуля статистические тензоры 2-го ранга; значит,
если /L< 1, то угловое распределение иеполяризованных фотонов
всегда изотропно; б) если возбужденное состояние имеет ось
симметрии, то совмещая с ней ось ;?, получаем А2Ч (a.i/i) ~ o\i0; значит,
угловое распределение иеполяризованных фотонов относительно этой
оси имеег вид W ~ а ~\- b cos2 0, т. е. аксиально-симметрично и
симметрично относительно плоскости, перпендикулярной оси
симметрии.
Формула (5.23) позволяет вычислить степень циркулярной и
линейной поляризации детектируемого излучения. Используя
определения (3.94) и (3.96), а также формулы (5.6) п (1.87), получаем:
рс (0f ф) ^ ^+1 <э- Ф)-^-1 (0> Ф) -
^+i (е. ф)+^-1(в.ф)
ctj. УШ/З ' Axq (ссх JJ Yiq (6, ф)
я
1 +а2 У2Н7ПГ 2 Aw («1 Л) Y*<i (в.Ф )
(5.26)
Pl (Ф, 0. if) -
^ц(Ф. О, !>)+1^(9,6, ф)
«в2Им («1 Ji) lD?2 (Ф. 6, Ф)-И>2_2 (ф, О, г|>)]
1+аг1/2я/)5 2^(«iA)^(0, Ф)1
? J
(5.27)
154

Здесь W\\ и Wi — интенсивность потока фотонов, линейно
поляризованных в двух взаимно перпендикулярных направлениях: W\\
относится к поляризации по оси хдст, a W\ — по оси //дет (см. рис. 5.4).
Соотношения (5.26) и (5.27) показывают, что линейная поляризация
возникает только в случае, если излучающий атом имеет статистические
тензоры 2-го ранга, а циркулярная — если тензоры первого ранга.
В частности, при J, <; 1 степень линейной поляризации всегда, равна
нулю, а при Jt — 0 не может возникнуть никакой поляризации.
Иногда необходимо знать матрицу плотности или статистические
тензоры излучения, регистрируемого под определенным углом.
Опираясь на формулу (3.67), легко получить выражение для нормированной
матрицы плотности диполыюго фотона (в системе координат детектора):
<%\^\%'>^(-1)^-]-Г-и |/зУ2£+Т-1- ^ VU+T X
X \Dkrq w>, 9, у)]*, %Л' = ± 1. (5.28)
§ 5.4. РЕЗОНАНСНОЕ РАССЕЯНИЕ ФОТОНОВ
На рис. 5.5 приведена схема трех типов электромагнитных
процессов, которые объединяются общим названием резонансное рассеяние
фотонов. Первый из них (5.5, а) представляет собой упругое рассеяние
фотона, идущее через дискретный уровень атома; его называют также
резонансной флуоресценцией. Второй п третий — процессы
резонансного неулругого рассеяния; это то же, что в молекулярной оптике
давно называется комбинационным рассеянием: процесс 5.5, б
соответствует красной (стоксовой), а процесс 5.5, в — фиолетовой
(антистоксовой) компонентам в спектре комбинационного рассеяния света.
Угловое распределение и поляризацию фотонов при резонансном
рассеянии получим, используя формулы § 5.1 п 5.3. Найдем, например,
угловое"распределение вторичных фотонов (безотносительно к их ш>
155

I
ляризации) при комбинационном рассеянии. Если начальное
состояние атома неполяризовано, то из (5.8), (5.25)
^(в,Ф) =
W0
1+9 1/ -*1( —l)2'i+'.+-'(2/l+l) х
4эх L г 15
xi\ 2 I))1 ^Мцр^'ПЛО.ф)
(5.29)
где pgi)
статистические тензоры падающего фотона. Это угловое
распределение остается неизменным, если поменять местами /0 <-> ^- Тем
самым мы доказали известное в оптике утверждение, что отношение
интенсивностей стоксовой и антистоксовой компонент в спектре
комбинационного рассеяния не зависит от угла наблюдения. Формула (5.29)
дает и другую полезную информацию. Так, что наличие циркулярной
компоненты у падающего фотона никак не отражается на
угловом^распределении рассеянных фотонов, в то время как наличие линейной
поляризации приводит к его изменению. Чтобы найти поляризацию
рассеянных фотонов, надо, пользуясь формулами (5.8) и (5.24),
рассчитать параметры Ahq (а^) и подставить их в (5.26) и (5 27). Отсюда,
например, видно, что если линейно поляризованный фотон
рассеивается на неполяризоваииом атоме, то при любом угле детектирования
рассеянных фотонов их циркулярная поляризация равна нулю.
§ 5.5. ЭЛЕКТРОННО-ФОТОННЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ
АТОМОВ ЭЛЕКТРОННЫМ УДАРОМ
Используя результаты § 5.2 и 5.3, рассмотрим угловое
распределение и поляризацию фотонов, испускаемых после возбуждения атома
электронным ударом. Угловое распределение фотонов относительно
Рнс. 5,6
лабораторной системы координат задается формулой (5.25). Допустим,
чго пучок электронов и мишень неполяризованы, а поляризация
рассеянных электронов не регистрируется. Выберем систему координат
(рис. 5,0). Формулы (5.25) и (1.22) совместно с условиями
симметрией

(5.13) дают для углового распределения фотонов (безотносительно к их
поляризации):
W (eY, cPv) =- W°
4я
1 +а£
-^Л2О + ^Л2Осоз20,-
1/3 4
-Л21 sin 6V cos 6V cos фу-1 Агг sin2 6Tcos (2tpY)
(5.30)
В § 5.2 было показано, что если не учитывать эффектов, связанных
со спином электрона, то в переходе XS -»- гР матрица плотности
возбужденного атома характеризуется лишь двумя независимыми
параметрами. Для описания электронно-фотонных корреляций в *5 ->
-> хР-> 3«S-переходе принято использовать параметры:
X^arg/i—argfo,
где }ml — амплитуда возбуждения состояния гР с проекцией момента
Мц — 0; ±1- Выразив через эти параметры коэффициенты Л^ (см.
упражнение 5.9) и взяв значение коэффициента а2 из табл. 5.2,
находим из (5.30) угловое распределение фотонов в частном случае
перехода г8 -> гР -> ^S:
^(0,^v) = ^ro[^sIn2eY + (l=^-](l+cos20v)--
—( J—^-^ sin2 9V cos (2фт) + УЯ(Л, —1) cos % si n (20v) cos <pJ. (5.31)
Особенно простой вид эта функция угловой корреляции имеет в
плосковолновом борновском приближении:
W (6Vt ФУ) = (3/8n)W0 sin2 Д, (5.32)
где А — угол между направлением вылета фотона и направлением
переданного импульса Q — ке — ke'j в плосковолновом борновском
приближении угловое распределение фотонов имеет ось симметрии —
направление переданного импульса.Ч
Пользуясь результатами § 5.2 и 5.3, легко найти также угловые
распределения определенным образом поляризованных фотонов,
матрицу плотности вылетающих фотонов и степень их поляризации.
Какую новую информацию о процессе возбуждения можно получить,
изучая поляризацию испускаемого излучения? Вследствие дипольного
характера излучения регистрация фотонов, испускаемых
возбужденным атомом, может дать информацию о его статистических тензорах
рл<7 с рангом не выше k = 2; поэтому если при пеуиругом рассеянии
электронов возбуждаются тензоры и более высокого ранга, то
изучение электронно-фотонных корреляций не дает о них информации.
Будем по-прежнему считать, что мишень и пучок электронов неполя-
ризованы и поляризация рассеянных электронов не фиксируется. Из
(5.27) следует, что линейная поляризация фотонов, как и их угловое
распределение (5.30), определяется статистическими тензорами воз-
157

буждепного состояния второго ранга. Чтобы определить тензор
Рп (ai^i*» aiA)» который при возбуждении атомов электронным
ударом является единственным независимым тензором первого ранга,
надо согласно (5.26) изучать циркулярную поляризацию испускаемых
фотонов. В отдельных случаях между ри и тензорами второго ранга
может существовать связь; так обстоит дело, например, при
возбуждении перехода г5(+) -»- ХР<~) (см. упражнение 5.13); в таких случаях
анализ циркулярной поляризации фотонов может дать
дополнительную информацию лишь о знаке величины Im рп, а все остальные
поляризационные характеристики возбужденного состояния можно
получить из анализа углового распределения излучаемых фотонов или
их линейной поляризации.
§ 5.6. ИСПУСКАНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ВОЗБУЖДЕННЫМИ АТОМАМИ.
РЕЗОНАНСНАЯ ФОТОИОНИЗАЦИЯ
Атомные состояния, которые^лежат выше порога ионизации и
могут распадаться с испусканием электрона, называют автоионизацион-
ньиш. Угловое распределение и поляризацию электронов,
испускаемых при распаде автоионизационных состояний, можно найти,
опираясь на общие выражения занятия 3.2. Для данной задачи удобнее
использовать L-представление. Выражение для углового
распределения частиц со спином / получено в упражнении 3.21. Выпишем его для
случая, когда поляризация испускаемых электронов не
регистрируется:
U?40,<P)=-7
4
где
If
X V{21 + 1) (2Г -f-1) (2/ +1) (2/' + 1) (ЮГ 01Щ х
ХК Jl7lf- ',' 1/2K°<V; (5.34)
Ou^<Zls(j)aJ; о^ЛМа1^ь>; l п / ~ орбитальный и полный
моменты испускаемого электрона; Jx и J — полные моменты
распадающегося атома и образующегося в результате его распада иона. В общем
случае при фиксированных значениях Jx и J вылетающий электрон
может иметь состояния с разными / п /" (распад но разным каналам);
коэффициенты ак в (5.33) зависят от матричных элементов распада
0и (точнее, от из отношения); этим они отличаются от соответствующих
коэффициентов ak в формуле (5.23) для углового распределения ди-
полыплх фотонов. Если четность при распаде сохраняется, то / и Г
имею г одинаковую четность и в сумме (5.33) остаются только члены с
158
и>о \У 2и+1 в

четными значениями Я; тогда в силу (1.19) угловое распределение
электронов инвариантно относительно инверсии. Если при этом
возбужденное состояние обладает осью симметрии [т. е. Акд (a^Jj) ~ 690],
то угловое распределение (5.33) наряду с аксиальной симметрией
будет обладать симметрией относительно плоскости, перпендикулярной
этой оси (вследствие того, что отражение в плоскости можно
представить как поворот на 180° вокруг перпендикулярной ей оси и инверсию).
Статистические тензоры спина электрона, вылетающего в
направлении п, имеют вид (см. упражнение 5.29):
phq (s, s) = const 2 (.2A-I-1) X
X V(2i + 1) (2Г + 1) (2/+ 1) (2/'- + 1) (lkx + 1W —!)'«+J +/+'+* i X
x^/'oiWVi^l
JL -i.
2 2
k
X Ytiqi(n)Qbtin(aiJi> ОхЛ).
(5.35)
В частном случае, когда возбужденное состояние не ориентировано,
получаем
pkq (s, s) - const Ytq (n) 2 <^ Of*; l/
117 *
(2/-fl)(2*' + l)
2ft+1
f I V k\
X
X(-l)M-i/2(/o/'0|/eO).
2 2
>•
Отсюда видно, что если ось квантования направлена по импульсу
электрона, то отличны от нуля только статистические тензоры с
нулевой проекцией: phq (s, s) = pfe0 (s, s)6c0. Отсюда видно также, что
электрон, вылетающий в результате распада неполяризованного
автоионизационного состояния, может быть поляризован только в том
случае, когда четности / и /' различны, т. е. при несохранении четности в
распаде. Эффекты несохранения четности в атомных явлениях
установлены, по, как известно, они очень малы.
Из формул (5.33)—(5.35), подставляя в них соответствующие
статистические тензоры автоионизационного состояния, можно получить
функции угловой корреляции и поляризацию вылетающих
электронов в различных атомных реакциях. Одна из них — резонансная
фотоионизация:
hv + Л-> Л*-> А+ +е>
159

Найдем, например, угловое распределение электронов при распаде
автоиоппзационного состояния, возбужденного неполяр изова иными
фотонами, Подставляя (5.2) и (5.3) в (5.33), имеем:
W (0) = w°
4 эх
2k ' 1/2 U 2 /J гК
(5.36)
Здесь угол 0 отсчптывартоя от направления падающего пучка фотонов.
Коэффициент а., зависит от квантовых чисел иона и явтопоннзацнон-
ного состояния атома (а также от динамики распада, если распад идет
по нескольким каналам). Если Jt<. \f то угловое распределение
фотоэлектронов (5.36) изотропно. Из формулы (5.35) легко увидеть
также, что при Jt < 1 не возникает и поляризации испускаемых
электронов.
УПРАЖНЕНИЯ К ЗАНЯТИЮ 5.2
5.16. Получить формулу (5.22) для матрицы плотности
излучаемого фотона.
5.17. Пучок циркулярпо поляризованных фотонов у возбуждает
иеполярнзованную мишень из состояния с JQ — 1/2 в состояние с
/г = 3/2. Под углом р к падающему пучку измеряется степень
циркулярной поляризации Рс излучения после перехода J1 -> /; / = 3/2.
Как зависит Рс от р при правой и левой поляризации падающих
фотонов?
5.18. Показать, что стоксова и антистоксова компоненты в спектре
комбинационного рассеяния одинаково поляризованы.
5.19. Найти угловое распределение резонансной флуоресценции
для переходов 25i/2 ^±-2P\j2 и 2Si/2 =^2^з/2, если падающие фотоны
и мишень неполяризованы. Взаимодействиями, зависящими от спина,
пренебречь. Как изменится это распределение, если падающий пучок
фотонов линейно или циркулярпо поляризован?
5.20. Пусть матрица плотности возбужденного состояния атома
диагональна. Показать, что если излучаемый фотон не регистрируется,
то матрица плотности конечного состояния атома также диагональна.
5.21. Получить формулы (5.30) и (5.31) для функции угловой
электронно-фотонной корреляции.
5.22. Получить формулу (5.32) из (5.31) для частного случая
электронно-фотонной корреляции в плоскости рассеяния.
5.23. Нарисовать в полярных координатах функцию угловой
электронно-фотонной корреляции (5.31) в плоскости рассеяния для
случаев: а) плосковолнового борновского приближения; б) X — I; % —
= л/3; в) X = 0,5; % = я/3; г) X = 0,5; х = я/2.
5.24. В плосковолновом борновском приближении вычислить
функцию угловой электронно-фотонной корреляции при возбуждении
электронным ударом дублета уровней 2Si/2 +^2P\j2\ 2Рз/2* Показать,
что в случае, когда условия эксперимента не позволяют разрешить
возбуждение каждого из этих уровней в отдельности, функция угловой
корреляции совпадает с тем, что дает плосковолновое борновское при-
блпже-шю для перехода *S =?* iP.
ICO

5.25. В плосковолиовом борновском приближении получить общую
формулу для функции угловой электронно-фотонной корреляции в
процессе JS (e, e')xD* —>- ХР + hv.
5.26. В процессе *£ (е, е')*£>* -*■ ХР + /iv рассеянный; электрон не
регистрируется. Выразить угловое распределение фотонов через
заселенность магнитных подуровней 5£)*-состояния. То же для степени
линейной поляризации фотонов при 6V = 90°.
Что можно сказать о циркулярной
поляризации фотонов?
5.27. В процессе 'S (г, e')xD* ->ЬЛР |- hv
фотон регистрируется па совпадение с
рассеянным электроном в направлении,
перпендикулярном плоскости рассеяния. В плоско-
волновом борновском приближении найти
параметры Стокеа излучения.
5.28. Предложить схему эксперимента для
получения полностью циркулярно
поляризованных фотонов при возбуждении атомов рПс. 5.7
электронным ударом.
5.29. Получить формулу (5.35).
5.30. Автоионизационное состояние атома возбуждается в
результате двухступенчатого резонансного фотопоглощения (см. рис. 5.5).
В распоряжении экспериментатора есть два иеполяризованных пучка
фотонов Vi и у2. При какой геометрии установки он зарегистрирует
максимальную интенсивность потока фотоэлектронов? Что можно
сказать о поляризации фотоэлектронов? Квантовые числа состояний
указаны на рис. 5.7.
Занятие 5.3
КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ
ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ЭЛЕКТРОНОВ С АТОМАМИ,
ВОЗБУЖДЕННЫМИ ЛАЗЕРНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ
§ 5.7. МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ АТОМА, ВОЗБУЖДЕННОГО ЛАЗЕРНЫМ
ИЗЛУЧЕНИЕМ
Создание оптических квантовых генераторов (лазеров)
стимулировало появление и быстрое развитие ряда новых направлений атомной
физики. Одно из таких направлений — электронные и атомные
столкновения в поле лазерного излучения. В ряде процессов роль этого
излучения сводится к «приготовлению» матрицы плотности
возбужденного состояния атома. На примере двухуровневой системы рассмотрим
свойства матрицы плотности и статистических тензоров
возбужденного атома после того, как осуществлена лазерная накачка.
Каждый из двух рассматриваемых уровней имеет, вообще говоря,
несколько подуровней с разными проекциями полного момента;
а0/0 (М0 = —/0, ..., J о) и a-Jx {Мх = —Ju ..., ./х); будем считать, что
электромагнитное поле лазера не приводит к заметному расщеплению
161

этих подуровней. Для простоты рассмотрим накачку линейно или
циркулярио поляризованным светом. В первом случае вынужденные
переходы a0J0 ->• alJ1 и axJx -> abJG идут только между подуровнями
с М0 — Мг (ось квантования — направление поляризации), а во
втором — между подуровнями с М1 — MQ =fc 1 (ось квантования —
направление импульса фотона; знаки: «+» — для правополяризован-
ного, «—» — для левополяризовашюго света); условимся далее всегда
выбирать оси квантования так, как укачано выше. Итак, вынужденные
переходы иду г только внутри определен мы ч пар нодуроинел; переходы
между уровнями, входящими в различные пары, осуществляются в
результате спонтанного излучения.
Запишем уравнения баланса засоленностей для какой-либо пары
подуровней ML и Л?0, связанных вынужденными переходами:
dNrijdt = -Njfi J) Л%Мо -N^t B%t Tio /v + %o Bn Jh /v;
tlNnJdl = S ,\uJu NMl + NTlt % T /v-JVjj ВД я /v.
ли
(Г>.37)
Здесь Nm — число атомов в состоянии с проекцией М; /v —
спектральная плотность излучения в лазерном луче с данной поляризацией
v; Лл/jAfo и Вмгм0 — скорости спонтанного и вынужденного переходов
(применимость уравнений (5.37) нуждается, вообще говоря, в
специальном обосновании [36], однако рассмотрение этого вопроса выходит
за рамки тематики настоящего пособия).
Пусть при t — О матрица плотности мишени диагональна;
например, мишень не ориентирована и все атомы находятся в основном
состоянии. Тогда при вынужденных переходах и спонтанном излучении
диагональный вид матрицы плотности сохраняется (см. упражнения
5.3 и 5.20); числа NMt и Nmd (Mt = —Jly ..., /х; MQ = —/0, ...,/«)
с учетом нормировки дают все отличные от нуля элементы матрицы
плотности основного и возбужденного состояний. Не будем
рассматривать эволюцию матрицы плотности во времени, а найдем матрицу
плотности возбужденного состояния при стационарном режиме, когда
накачка завершена и наступило динамическое равновесие. Полагая в
(5.37) (INmIcII = 0 и используя теорему Вигнера—Эккарта для
выделения зависимости от магнитных квантовых чисел в коэффициентах
Лм^и, получаем систему уравнений для диагональных элементов
матрицы плотности Wiat:
Wm>~ S WMt {./о Mv -%IM1-Ml + %| Л М,)2,
ли
Жх= — /1э..., /j, (5.38)
где X = +1, —1, 0 для право-, лево- и линейно поляризованных
фотонов соответственно. Система (5.38) всегда имеет нетривиальное
решение, если J1фJ0 (см. упражнение 5.31). Решая ее вместе с
условием нормировки YJ Wmx ~ 1, находим искомую матрицу плотности.
ль
1Г)'Л

Остановимся подробнее на важном частном случае Jx — /0 + 1.
Решая системы (5.38) для случаев % = + 1, —1, получаем матрицу
плотности при накачке право- и левополяризованным светом:
х{, . , 7 1l(^o+/i0^o|j0+/1o)av. (5.41)
:«i ^ Mi I p(i) I «i Л а* ;> = блм*; 6±JlA/l. (5.39)
Эта формула показывает, что все возбужденные атомы скапливаются
в состоянии с максимальной проекцией, знак которой зависит от знака
циркулярной поляризации. Из (5.39) для статистических тензоров
pifl КJ и «i J,) = j/"-f|Jf 6Ь« ^ ± J> /Ji ОI /, ± Л1 =
^(±ПМ2Л)!|/(2Л_^^1 + 1),Чо.
откуда следует соотношение
pW («1 Л; «1 Л) = (-1 )*« pJW К Л; «i ^ • (5.40)
Решение системы (5.38) для линейно поляризованного света дает:
<a1JlMl\^\a1J1M'l>^SMlAi>i(JoM1J1--Ml\JQ±J1)*\
9шг К Л; «г ^i) = f - DA' 1/(2^+1)12/0 + 2^+1) X
В этом случае подуровни с Мг — ±/х не заселяются (следствие
равенства /а = J0 + 1). Кроме того, формула (5.41) показывает, что отличны
от нуля только статистические тензоры четного ранга. И для циркуляр-
но, и для линейно поляризованного лазерного луча отличны от нуля
только тензоры с нулевой проекцией (напомним о специальном
выборе оси квантования). Вследствие многофотонного характера процесса
накачки можно получить отличные от нуля статистические тензоры
возбужденного состояния с рангом выше 2, что было невозможно при
поглощении одного фотона неориентированной мишенью.
В реальных экспериментах накачку выполняют лазерами
непрерывного действия с перестраиваемой частотой. Монохроматичность
лазеров такова, что во многих случаях позволяет хорошо разрешать
состояния сверхтонкой структуры, т. е. расщепление термов 2S+)Lj
в результате взаимодействия полного момента электронной оболочки J
со спином ядра /. При этом уровни сверхтонкой структуры
характеризуются набором квантовых чисел aLSJIF, где F — I + J.
Рассмотренная двухуровневая система является абстракцией. На практике,
однако, такие системы могут реализоваться с хорошей степенью
точности, даже если между основным и возбужденным состояниями
находятся другие уровни, В качестве примера на рис. 5.8 приведена
схема низших уровней атома натрия. Эффективная двухуровневая
система реализуется, если частота лазера настроена на переход
2Si/2 (F — 2) <н> 2Я8/2 (F = 3). Распад состояния с F — 3 на другие
уровни запрещен правилами отбора для дипольного излучения,
163

Отметим, что перед началом накачки уровни основного состояния
28г/2 заселены статистически, так как сверхтонкое расщепление Д£
при характерной для экспериментов температуре Т подчиняется
неравенству AE<kT (k — постоянная Больцмана).
Р:!г\
r = J
2
1
. О
MF = -J -2
( 'I
1/?
r I C_ ff
"4 /
-2
~g
с
—/
«—
-1
"1
0
0
0
1
,
Jf
1
2 3
Рис. 5.8
В некоторых случаях (см. упражнение 5.33) матрицу плотности
возбужденного состояния можно легко найти, даже если еще не
достигнуто условие стационарности dNuldt — 0 и не реализуется
случай двухуровневой системы.
&jjf
<*оЛ
a, Jj
CA.qJq
. :—^<
<<<
Ъ\
*^,— ~-^ —-*.
§ 5.8. УГЛОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ СВЕРХУПРУГОМ РАССЕЯНИИ
ЭЛЕКТРОНОВ НА АТОМАХ
Сверхупругим называют такое рассеяние, когда частица,
рассеиваясь на возбужденной мишени, приобретает энергию. При этом
мишень переходит в состояние с меньшей энергией (рис. 5.9). В течение
последнего десятилетия появились
и получили развитие эксперименты
по сверхупругому рассеянию
электронов на атомах, возбужденных
лазером. Лазерная накачка
позволяет создать большую заселенность
короткоживущих состояний, в то
время как раньше это было
возможно только для метастабильпых
состояний.
Используя ^-инвариантность амплитуд возбуждения [37] и
соотношение (5.15), получаем связь между амплитудами возбуждения и
девозбуждения:
= Щ^1 <£о — n0\ioa0J0M0\F\Ei — п^адАЛ^.
Ось квантования выбрана в плоскости рассеяния.
Рассмотрим сверхупругое рассеяние неполяризованных
электронов па ориентированной мишени, когда поляризация конечных%про-
164
Рис. 5.9

дуктов не регистрируется. Для сечения этого процесса можно
получить [см. упражнение (5.35)]:
W = const 2 «% ^l MFl I p] «i Fi M'Fl>X
X <£*! ПХ |XX CCi Fx /Wf, ff I £0 "о Ио ^0 ^0 MF,> X
X <£x nx [*!«j ^ АГ^ | F I E0 "о Mo «о F0 Mf0>* =
= const S <«i ^iMFl I H ax FxЛ!» </ж' [мг >* =
- W0 Sp^L <?* ^ \T0 2J p^ <ах Fx; ax Fx> рЦ (ax Fx; aa Fx). (5.42)
a?
Здесь p^: — матрица плотности возбужденного состояния атома ос^,
приготовленного лазерной накачкой; ре — матрица плотности этого
же состояния, которая получилась бы при его возбуждении
электронами из неполяризовапиого состояния ct0F0. Важно, что при выводе
(5.42) систему координат выбирали такой же, как при анализе
процесса возбуждения (например, как на рис. 5.9). Запись сечения
сверхупругого рассеяния через амплитуды обратного процесса неупругого
рассеяния [см. формулу (5.42)] позволяет рассматривать
сверхупругое рассеяние, не вводя новых параметров.
В § 5.7 были найдены pf в случаях накачки линейно и циркулярно
поляризованным светом в специальной фотонной системе координат,
где PL ~ PaVW ^сь z фотонной системы направлена по лучу лазера
для циркулярно поляризованного луча и по направлению поляриза-
ции для линейно поляризованного. Переводя р£0 в лабораторную
систему, с осью z в плоскости рассеяния, имеем
W ^ ViS W0 2 , I P*o («i Fi\ «i FJ X
kg T/2/H-1
Хр^а^а^У^ф). (5.43)
Здесь {(р, 0, я|)} = R — поворот фотонной системы относительно
лабораторной. Для дальнейшей конкретизации формул часто
используют предположение о том, что сверхтонкое взаимодействие не влияет
на динамику соударения, а именно:
<ЕУ пх |ix p. Ji MJx /, Mh \F IE0 щ |i0 p0 J„ MJo /0 Л//о> -
т. е. амплитуда не зависит от проекции спина ядра, а спиновое
состояние ядра при столкновении не изменяется. Физически эта гипотеза
подкрепляется тем, что характерное время атомных столкновений
(при электронно-атомных ~10~15—10~1е с) много меньше характер-
165

иого времени прецессии спина ядра при сверхтонком взаимодействии
(~10-° с). Переходя в амплитудах }мР к представлению JMjIMl7
получаем (см. упражнение 5.36) с учетом (5.44):
pU (a, /Y, «I FJ = (-1)^-1 J-|-/-1 * (2Рг -!-1) X
Wi k bj
Hie pck (Pj^iJ P^j) — статистические тензоры полного момента
электронной оболочки атома. Если далее предположить, что
спин-орбитальное взаимодействие электронной оболочки не отражается на
динамике столкновения, т. е.
<£i »j \h Yi £i ^l, S1 MSt (FI £0 n0 щ, v0 /,0 /ViLo 50/Vi£o> =
то получим
pl?(«i^i; aiF3) = (-])|7i-l/« + ^-l-s» + w»(2Fi-|-l)(2A+l) X
Pftfft'Vi^i'.'Vi^i)» (5-47)
где pj (VjLjj Yj^j) — статистические тензоры орбитального момента
атома. Допущение (5.46) уже не такое надежное, как (5.44), особенно
при столкновениях тяжелых частиц, а также при соударении
электронов небольших энергий с тяжелыми атомами. Совокупность
предположений (5.44) и (5.46) в литературе иногда называют гипотезой Пер-
сиваля—Ситон а.
Формулы (5.45), (5.47) и (5.43) показывают, как проявляются
тонкое и сверхтонкое взаимодействия в атоме при сверхупругом
рассеянии: если ни то, ни другое не влияет па динамику столкновения, то
&max = max (2/у, 2JX\ 2L2); если существенно тонкое взаимодействие
то ''max ~ шах (2F\\ 2./3); наконец, если надо учитывать и
сверхтонкое взаимодействие, то /гтах = 2Ь\. Все это отражается па форме
угловых распределений (5.43).
Очень часто в реальных экспериментах при фиксированном угле
сверхупругого рассеяния изменяют поляризацию лазерного луча,
производящего накачку. Обычно либо вращают плоскость
поляризации, если излучение линейно поляризовано, либо изменяют знак
циркулярной поляризации. В последнем случае измеряется величина
(Um> — lF<->)/ (№<+> + №<->), где W<±> — сечения сверхупругого
рассеяния па мишени, возбуждаемой право- н левополяризованным
лазерным излучением.
ICC
X
[Л k FA \LX k /J
i

Из (5.43) н (5.10) следу с \
r(+)_j_^(-)
ft ^. нечетные, [/ 2/v -|- 1
<1
pk№ К Ръ 04 ^i) X
P*J («I ^Г, «1 ^ *%., (°» 9)
2 *
X
X рй+) К Fi; «х /у pi; (ах Fx; a, F3) Уи (0, <р)
(5.48)
где Рао+> («i/'i; C6i/"'i) — статистические тензоры возбужденного
состояния, приготовленного накачкой цпркулярио поляризованным
светом лазера. Отсюда видно, что эксперименты с циркулярной
поляризацией луча могут дать информацию о статистических
тензорах piq (a\F\'7 ai^i) нечетного ранга. В то же время формула
(5.41) показывает, что процессы с линейной поляризацией
лазерного луча чувствительны только к тензорам четного ранга.
Пусть сверхупругос рассеяние электронов происходит на
возбужденном состоянии 2/V2(^ = 3, Мр = 3) атома натрия. Будем
считать, что выполняется предположение Персиваля—Снтопа.
Тогда &тах=2 и из (5.48), используя (5.45), (1.22), (5.13) и
результаты упражнения (5.34), получаем:
-3\pn(yLLy;vJ^x
X sin G sin <p
i+-~rPe2Qh'^i;vi^i)(3cos2e-i)
21/6
—3p| (Yi Lx; Vi £i) sin 0 cos 0 cos cp +
+ Yf>22(Yi^i;Yj^1)^^20cos2cp
1
(5.49)
В выражении (5.49) можно от статистических тензоров
р/^ (y\L\-t y\L\) перейти к какой-либо другой эквивалентной
параметризации, например, к параметрам Xt %, е, Л (см. упражнение 5.9)
или к средним значениям сшш-тспзорпых операторов (см.
формулу (3.23)).
IG7

УПРАЖНЕНИЙ К ЗАНЯТИЮ 5.3
5.31. При каком соотношении между J0 и Jt система (5.38) имеет
нетривиальные решения для накачки: а) линейно поляризованным
светом; б) право- (лево-) поляризованным светом?
5.32. Получить соотношение (5.39) для матрицы плотности атома
после накачки циркулярно поляризованным светом (Jr = J0 + 1).
5.33. На рис. 5.10 показами схема уроппей одного из изотопов
(/ = 0) атома бария. На какие состояния может распадаться (в дн-
полыюм приближении) ^-уровень, на который настроена частота ла-
'п'С<-бт зеРа? Как будут заселены уровни бария
<f ( " '' после достижения условия стационарности?
} Какой вид имеет матрица плотности ^-состоя-
I —= У'1]:(к fjp) пия при промежуточных временах, если па-
4 ' качка осуществляется линейно и циркуляр-
S Щ'б$б(А по поляризованным лучом?
) ' 5.34. Найти статистические тензоры и за-
\ —^, , селенности магнитных подуровней состояния
5 fWsbd) 2рз/2 (/7 = з) натрия (см. рис. 5.8) после на-
; качки линейно и циркулярно поляризован-
■ fs(£s?) ным лазерным лучом.
Рпс 5 ю 5.35. Получить формулы (5.42) для
сечения сверхупругого рассеяния.
5.36. Получить соотношение (5.45) для статистических тензоров
состояния, возбужденного электронным ударом, в предположении,
что сверхтонкое взаимодействие не влияет на динамику столкновения.
5.37. Электроны рассеиваются сверхупруго на атомах 2'ANa,
возбужденных циркулярно поляризованным лучом лазера в состояние
2Рг/2 (F = 3). Луч лазера перпендикулярен плоскости рассеяния.
Эксперимент показал, что для угла рассеяния 8 = 30° (W(+> —
— W<-))/ (W(+) + И^~>) = 0,3. Чему равна средняя проекция
момента на ось, перпендикулярную плоскости рассеяния, которая
передается атому при возбуждении электронным ударом? Чему равна
эта величина в нлосковолновом борцовском приближении?
5.38. В условиях задачи 5.37 накачка производится линейно
поляризованным светом, причем направление поляризации может
изменяться. Как зависит сечение сверхупругого рассеяния от этого
направления при фиксированном угле рассеяния, если допустить
справедливость гипотезы Персиваля—Ситона? Рассмотреть также случаи,
когда надо учитывать а) сшш-орбитальное взаимодействие; б)
спин-орбитальное и сверхтонкое взаимодействия. Найти коэффициенты в
полученных формулах в плосковолновом борцовском приближении.
5.39. ^-состояние Ва (см. упражнение 5.33) возбуждается линейно
поляризованным лучом лазера, лежащим в плоскости рассеяния. Как
зависит сечение рассеяния от направления лазерного луча
относительно импульса вылетающих электронов и от угла яр между
направлением поляризации и плоскостью рассеяния? Сопоставить ответ с
корреляционной функцией реакции (е, е'у) в плоскости рассеяния для
^^ь'Р-переходоп и прокомментировать полученный результат.
ша

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
я
1. Балашов В. В., Долинов В. К. Курс квантовой механики. М.: Изд. МГУ,
1982.
2. Давыдов А. С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.
3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. КваЕгговая механика. М.: Наука, 1974.
4. Эдмондс А. Угловые моменты в квантовой механике.— В кн.:
Деформация атомных ядер. М.: Изд-во иностр. лит., 1958, с. 305—379.
5. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Основы теории специальных функций.
М.: Наука, 1978.
6. Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К. Квантовая теория
углового момента. Л.: Наука, 1975.
7. Морс Ф. М., Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Госиниздат,
1959, т. 1,2.
8. Ситенко А. Б., Тартаковский В. К- Лекции по теории ядра. М,: Атомиз-
дат, 1972.
9. Regge Т.— Nuovo cimento, 1958, vol. 10, p. 544.
10. Смородинский Я. М.— Жури, эксперим. и теорст. физ., 1978, т. 75, с. 797,
11. Вигнер Е. Теория групп. М.: Изд-во иностр. лит., 1961.
12. Racah С — Phys. Rev., 1942, vol. 62, p. 438.
13. Shapiro J.— J. Math. Phys., 1965, vol. 6, p. 1680.
14. Свиридов Д. Т., Смирнов Ю. Ф. Теория оптических спектров ионов
переходных металлов. М.: Наука, 1977.
15. Кон дон Е., Шортли Г. Теория атомных спектров. М,: Изд-во иностр.
лит. 1949.
16. Бандзайтис А. А., Юцис А. П. Теория момента количества движения в
квантовой механике. Вильнюс: Минтис, 1965.
17. Кинематика ядерных реакций/Л. М. Балдип, В. И. Гольдаиский, В. М.
Млгссименко, II. Л. Рояеитяль. М.:. Атоыиздат, 1908.
18. Саймон А. В сб.: Деформация атомных ядер. М.: Изд-во иностр. лит.,
1958, с. 355.
19. Гамма-лучи. М.—Л., ФТИ им А. Ф. Иоффе, АН СССР, 1961.
20. Бор О., Моттельсон Б, Структура атомного ядра. М.: Мир, т. 1, 1971;
т. 2, 1977.
21. Arecdii F.T. е. а.— Pys. Rev., 1972, vol. A6, p. 2211.
22. Переломов А* М.— Успехи физ. наук, 1977, т. 123, с. 23.
23. Фейнмановские лекции по физике: Пер. с англ. М.: Мир, 1978, т.
3, № 8, 9.
24. Соловьев В. Г. Теория атомного ядра. Ядерные модели. М.: Энергоиздат,
1981.
25. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. М.: Наука, 1973.
26. Ландау Л. Д., Лифшиц Е, М. Механика. М.: Наука, 1973.
W

27. Бсрестецкий В. Б., ЛпфшицЕ. М., Питаевский Л. П. Квантовая
электродинамика. М.: Наука, 1980.
28. Ахиезер А. И., Бсрестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. М*:
Наука, 1981.
29. Ландау Л. Д., Лнфшнц Е. М., Электродинамика сплошных сред. М.:
Наука, 1982.
30. Ферпосон Д. Методы угловых корреляций в гамма-спектроскопии. М.:
Атомнздат, 1969, гл. 1—3.
31. Гольдфарб Л. Угловые корреляции и поляризация.— В сб.: Ядерные
реакции. Т.1/ Под ред. П. Эидта и М. Демера. М.: Госатомиздат, 1962.
32. Коренман Г. Я. Сохраняющиеся тензоры ориентации и возможная
анизотропия рентгеновского излучения мезоатомов. — Ядерная физика, 1975,
т. 21, с. 772—780.
33. Fano U.t Macek J. Н.— Rev. .Mod. Phys., 1973, vol. 45, p. 553.
34. Blum K., Kieinpoppcn H. — Phys. Rep., 1979, vol. 52, p. 203.
35. Hermann H. W., Herlel J. V.— Coininun. Atom.; Mol. Phys., 1983, vol.»
12, p. 61—84, 127 - 148.
36. Аллеи Л., Эбсрли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы
Пер. с англ. М.: Мир, 1978.
37. Ситсико А. Т. Теории рассеяния. Киев: Вища школа, 1975.
^

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
******«г*««*
:\
ТЕМА 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ УГЛОВОГО МОМЕНТА В КВАНТОВОЙ
МЕХАНИКЕ 5
Занятие 1.1. Общие свойства операторов момента количества
движения. Их собственные значения и собственные векторы. Векторное
сложение угловых моментов 5
§ 1.1. Коммутационные соотношения для опера горой углового
момента. Квантование углового момента, Матрицы операторов углового
момента 5
§ 1.2. Сферические функции и их свойства 8
§ 1.3. Пространственные сферические гармоники 10
§ 1.4. Векторное сложение двух моментов количества движения.
Коэффициенты Клсбша — Гордапа. 3 /-Символы 10
§ 1.5. Векторное сложение трех моментов. Коэффициенты Рака.
6 /-Символы 13
§ 1.6. Векторное сложение четырех моментов. Обобщенные
коэффициенты Рака, 9 /- Символы 15
Упражнения к занятию 1.1 17
Занятие 1.2. Матрицы конечных поворотов . . ..,.»♦... 19
§ 1.7. Введение. Вспомогательные формулы из геометрии ...... 19
§ 1.8. Преобразования поворота первого рода 20
§ 1.9. Преобразования поворота второго рода 24
§ 1.10. Определение матриц конечных поворотов 26
§ 1.11. Вычисление Л-функций и их свойства 28
§ 1.12. Действие оператора поворота на сферические функции . ♦♦ . 31
Упражнения к занятию 1.2 , , 32
3 а н я т II с 1.3. Тензорные операторы 33
§ 1.13. Неприводимые тензорные операторы 33
§ 1.14. Теорема Вигпсра —Эккарта 35
J § 1.15. Алгебра тензорных операторов 37
{ § 1.16. Мулвтпполыюе разложение скалярных функций 40
§ 1.17. Использование мультипольиых разложений операторов для
вычисления их матричных элементов 44
Упражнения к занятию 1.3 47
3 я н я т и е 1.4. Векторные функции в квантовой механике 50
I f; § 1.18. Преобразование векторных функции при поворотах коор-
\\ •*- дппатпых осей 50
i ' § 1.19. Векторные сферические функции и их свойства 52
§ 1.20. Мультппольпые разложения векторных функций , 54
Упражнения к занятию 1.4 ♦ , ... 58
171

TFMA 2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПЕРЕХОДЫ Г><)
Занятие 2.1. Излучение и поглощение фотонов 59
§ 2.1 Элементы квантовой теории свободного электромагнитного поля 59
§ 2.2. Взаимодействие излучения с веществом 67
§ 2.3. Вероятности мультипольных переходов с излучением
фотонов 69
§ 2.4. Угловое распределение фотонов * 73
§ 2.5. Поглощение фотонов . 76
Упражнения к занятию 2.) 79
Занятие 2.2. Электромагнитные формфакторы 80
§ 2.6. Амплитуда и эффективное сечение рассеяния электрона па ядре 80
§ 2.7. Общие свойства формфакторов 85
§ 2.8. Расчетные формулы для формфакторов 87
Упражнении к занятию 2.2 90
TIM Л 3. СПИНОВАЯ МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ. РАСПАД
ОРИЕНТИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ 91
Занятие 3.1. Основные свойства спиновой матрицы плотности и
статистических тензоров 91
§ 3.1. Описание смешанных состоянии с помощью матрицы
плотности 91
§ 3.2. Понятие спиновой матрицы плотности и статистических
тензоров 95
§ 3.3. Параметризация спиновой матрицы плотности и
статистических тензоров 98
§ 3.4. Ограничения на спиновую матрицу плотности и
статистические тензоры, вытекающие из свойств симметрии 101
Упражнения к занятию 3.1 104
Занятие 3.2. Матрица эффективности. Распад ориентированной
системы ЮС
§ 3.5. Матрица эффективности Ю(
§ 3.6. Матрица эффективности ориентированного детектора Ю
§ 3.7. Угловое распределение продуктов двухчастичного распада
ориентированной системы И.
§ 3.8. Угловое распределение и поляризация фотонов при распаде
ориентированной системы 117
§ 3.9. Матрица плотности и статистические тензоры продуктов
распада 121
Упражнения к занятию 3.2 125
ТЕМА 4. УГЛОВЫЕ КОРРЕЛЯЦИИ В КАСКАДНЫХ РАСПАДАХ.
УГЛОВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В РЕЗОНАНСНЫХ ЯДЕРНЫХ
РЕАКЦИЯХ 129
Занятие 4.1. Угловые корреляции в каскадных распадах 129
§ 4.1. Угловые корреляции двух частиц при каскадном распаде . . 129
§ 4.2. Угловые корреляции двух каскадных фотонов 133
§ 4.3. Угловые корреляции при наличии промежуточного нерегист-
рируемого излучения 135
Упражнения к занятию 4.1 137
Занятие 4.2. Угловые распределения в резонансных ядерных
реакциях 138
§ 4,4, Угловые распределения в реакциях с неполяризованными
ч.ютицпми 138
Упражнения к занятию 4.2 112

V МЛ 5. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ Я В.ПЕНИЯ
ПРИ ВОЗБУЖДЕНИИ И ИОНИЗАЦИИ АТОМОВ 143
п
а н я т и е 5.1. Матрица плотности и статистические тензоры атома,
возбужденного фотонами и электронами 143
§ 5.1. Поглощение фотонов 143
§ 5.2. Неупругое рассеяние электронов 147
Упражнения к занятию 5.1 151
. а н я т и е 5.!?. Испускание фотонов и электронов возбужденным
атомом 153
§ 5.3. Угловое распределение п поляризация фотонов в спонтанных
электромагнитных переходах 153
§ 5-4. Резонансное рассеяние фотонов 155
§ 5.5. Электроппо-фотопнгле корреляции при возбуждении атомов
электронным ударом 15G
§ 5.6. Испускание электронов возбужденными атомами. Резонанс-
паи фотопошшация 158
Упражнения к занятию 5.2 100
Занятие 5.3. Корреляционные и поляризационные явления при
взаимодействии электронов с атомами, возбужденными лазерным
излучением ..... 101
§ 5.7. Матрица плотности атома, возбужденного лазерным
излучением 101
§ 5.8. Угловые корреляции при сверхупругом рассеянии электронов
на атомах 164
Упражнения к занятию 5.3 168
Список литературы , , • 169
s