ÁLGEBRA
MODERNA
I. N. Herstein
Esta obra presenta el sistema básico
algebraico desde un puntó de vista
abstracto. Ofrece abundante material
práctico al alumno.
En la mayoría de los capítulos se hace el
intento de ayudar al estudiante a
comprender el significado de los resultados
generales obtenidos mediante su
aplicación a problemas particulares.
Estudia el co septo algebraico básico,
teoría de grupos, que sirve como uno de
los bloques de construcción
fundamentales de la gran estructura que Hoy se llama
álgebra abstracta. Trata conceptos
algebraicos igualmente básicos como anillos,
campos, espacios vectoriales y álgebra
lineal.
Se incluyen también los elementos de
la teoría de Galois. Como material
complementario se dan varios resultados
relativos a campos finitos, demostrándose
el teorema de Wedderburn sobre anillos
finitos con división; un teorema de
-i
Frobenius y un teorema de los cuatro
cuadrados.
Presenta un gran número de problemas
para complementar pruebas que
aparecen a lo largo del texto, para ilustrar y

Traducción:
Velasco
Coordinador académico del
t
Instituto de Geofísica
Facultad 'de Ciencias
Universidad Veracruzana
Revisión técnica:
Emilio Lluis
Instituto de Matemáticas.
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional Autónoma
México
MATEMÁTICA

I. N. Herstein
• Grupos
• Anillos
• Campos
• Teoría de Gal oís
Editorial Trillas
México

■m
Titulo de esta obra en inglés:
Tapies in A Igebra
versión autorizada en español de la
primera edición publicada en inglés por
© / 964, Blaisdeü Publishing Company
División of Ginn and Company
' Waltham, Massnchusetts, E. U.A
Primera edición ene ~ o/, 1970
Reimpresiones, 1973,1974,1976 y 1979
Quinta reimpresión, noviembre 1980
La presentación y disposición en conjunto de
ÁLGEBRA MODERNA,
son propiedad del editor. Prohibida la reproducción
parcial o total de esta obra, por cualquier medio o método,
sin autorización por escrito del editor
Derechos reservados en lengua española conforme a la ley
©1970, Editorial Trillas, S.A.,
Av. Río Churuhusco 385 Pte., México 13, D. F.
Miembro de la Cámara Nacional de la
Industria Editorial Reg. núm. 158
Impreso en México
ISBN 968-24-0137-2

La idea de escribir este libro y, lo que es más importante, el deseo de
hacerlo como lo hemos elaborado, surgió de un curso que dio quien esto
escribe en el año académico 1959-1960 en la Universidad de Cornell. Los
asistentes a este curso eran, en su mayor parte, los alumnos de segundo año
más dotados para las matemáticas de Cornell. Planeé el curso con el deseo
de experimentar cuáles serían los resultados de presentarles material
ligeramente más elevado al que es usual enseñar en álgebra al nivel de tercero
y cuarto años.
He intentado que este libro sea, tanto en contenido como en grado de
dificultad, algo intermedio entre dos grandes clásicos, A Survey of Modern
Algebra de Birkhoff y Mac Lañe y Modern Algebra de Van der Waerden.
En años recientes han ocurrido cambios muy marcados en la instrucción
■
matemática que se da en las universidades norteamericanas. Estos cambios
son más notables en los últimos años antes de la graduación y el comienzo de
los estudios para graduados. Temas que desde hace algunos años se
consideraban materia propia en cursos para graduados semiavanzados han ido
filtrándose hasta que hoy se enseñan incluso en el primer curso de álgebra
abstracta. Convencido de que esta filtración continuará e incluso se
intensificará en los próximos años, expongo en el libro, diseñado para usarse
como una primera introducción al álgebra, material que hasta aquí se ha
considerado como un poco avanzado para esta etapa educativa.
Hay siempre el gran peligro, cuando tratamos ideas abstractas, de
introducirlas demasiado repentinamente y sin una base suficiente de ejemplos
que las hagan verosímiles o naturales. Con el fin de mitigar esta circunstancia,
he tratado de motivar los conceptos de antemano y de ilustrarlos con
ejemplos concretos. Una de las pruebas más significativas del valor de un
concepto abstracto es lo que tanto él como los resultados que de su uso
surgen nos dicen en las situaciones familiares. En casi cada uno de los
capítulos hemos intentado hacer ver el significado de los resultados generales
mediante su aplicación a problemas particulares. Por ejemplo, en el capítulo
sobre anillos, el teorema de los dos cuadrados de Fermat se expone como
una consecuencia directa de la teoría desarrollada para los anillos euclidianos.
5

6 PROLOGO
Los temas escogidos para estudio lo han sido no solamente porque se ha
hecho habitual presentarlos a este nivel o porque son importantes en el
desarrollo general; sino también teniendo en cuenta su "concreción". Por
esta razón, decidimos omitir el teorema de Jordán-Hólder que, desde luego
podríamos haber incluido fácilmente en tos resultados que derivamos sobre
grupos. Sin embargo, apreciar este resultado en su verdadero valor requiere
una gran visión, y usarlo en forma adecuada, una digresión demasiado
grande. Es cierto que puede desarrollarse toda la teoría de la dimensión de
un espacio vectorial como uno de sus corolarios; pero, en una primera
presentación, abordar así el problema parece demasiado fantasioso y poco
natural para un problema tan básico y apegado a tierra. Tampoco hay
mención alguna de productos tensoriales o construcciones análogas.
Habiendo, como hay, tanto tiempo y oportunidad para hacernos abstractos,
¿por qué acometer esta tarea desde el principio?
Una palabra acerca de los problemas. Hay un gran número de ellos.
Ciertamente, un estudiante que los resolviera todos sería realmente
extraordinario. Algunos se presentan solo para completar pruebas que aparecen
en el texto; otros, para ilustrar y hacer prácticas sobre los resultados
obtenidos. Muchos, se incluyeron no tanto para que sean resueltos como
para que se manejen ideas importantes al intentar su solución. £1 valor de
un problema no está tanto en conseguir su solución como en las ideas y
bosquejos de ideas que hace surgir en el presunto solucionador. Hay otros
que se incluyen como material preliminar a lo que va a presentarse más
tarde, con la esperanza e idea de que esto sirva como fundamento para la
subsecuente teoría y para hacer, además, más naturales ideas, deñniciones
y argumentos a medida que se van presentando. Algunos problemas aparecen
más de una vez. Los problemas que por una u otra razón me parecieron
difíciles, tienen una estrella (y algunas veces dos). Claro que tampoco en
esto habrá acuerdo entre los matemáticos; muchos pensarán que algunos
problemas sin estrella deberían tenerla y viceversa.
Estoy, naturalmente, en deuda con muchas personas por diversas
sugerencias, comentarios y criticas. Para mencionar unas cuantas: Charles
Curtís, Marshall Hall, Nathan Jacobson, Arthur Mattuck y Maxwell
Rosenlicht. Debo mucho a Daniel Gorenstein e Irving Kaplansky por las
numerosas conversaciones acerca del libro, su material y la forma de
abordar muchos de sus temas. Debo, sobre todo, dar las gracias a George
Seligman por las muchas e incisivas sugerencias y observaciones que me
ha hecho sobre la presentación, tanto en lo que a estilo como en lo que a
contenido se refiere. Damos también las gracias a Francis McNary de
la dirección de Ginn and Company por su ayuda y cooperación. Finalmente,
deseo hacer público mi agradecimiento a la John Simón Guggenheim
Memorial Foundation; este libro se escribió en parte con su apoyo mientras
el autor estaba en Roma como becado de la Guggenheim.
r

Capítulo 1
NOCIONES PRELIMINARES 11
1. Teorías de conjuntos 12
2. Aplicaciones 21
3. Los enteros 28
Capítulo 2
TEORÍA DE GRUPOS 37
■
1. Definición de grupo 39
2. Algunos ejemplos de grupoá 40
3. Algunos lemas preliminares ■' 4 2
4. Subgrupos 45
5. Relación entre los números de elementos 52
6. Subgrupos normales y grupos cociente ' 56
7. Homomorfismos 61
8. A utomorfismos 72
9. El teorema de Cayley 77
10. Grupos de permutaciones 81
11. Otro principio de conteo 87
12. El teorema de Sylow 97
Capítulo 3
TEORÍA DE ANILLOS 103
1. Definición y ejemplos de anillos 103
2. Algunas clases especiales de anillos 108
3. Homomorfismos 113
4. Ideales y anillos cociente 115
5. Más ideales y más anillos cociente 119
6. El campo de cocientes de un dominio entero 123
7. Anillos euclidianos 126
8. Un anillo euclidiano particular 133
9. Anillos de polinomios 136
10. Polinomios sobre el campo racional 143
11. Anillos de polinomios sobre anillos conmutativos 145

° INOICE GENERAL
Capítulo 4
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS 155
1. Conceptos básicos elementales 156
2. Independencia lineal y bases 162
3. Espacios duales 171
4. Espacios con producto interior 178
5. Módulos 188
Capítulo 5
CAMPOS 197
1 Extensión de campos 198
2. La transcendencia de e 207
3. Raíces de polinomios 210
4. Construcciones con regla y compás 220
5. Más acerca de raíces 224
6. Elementos de la teoría de Galois 229
7. Solubilidad por radicales 243
Capítulo 6
TRANSFORMACIONES LINEALES 251
1. El álgebra de las transformaciones lineales 252
2. Raíces características 261
3. Matrices 265
4. Formas canónicas: forma triangular 279
5. Formas canónicas: transformaciones nilpotentes 287
6. Formas canónicas. Una descomposición de V:
forma de Jordán 294
7. Formas canónicas: forma canónica racional 303
8. Traza y transpuesta 312
9. Determinantes 321
10. Transformaciones hermitianas, unitarias y normales 338
11. Formas cuadráticas reales 353
Capítulo 7
TÓPICOS SELECTOS 359
1. Campos finitos 361
2. Teorema de Wedderbum sobre anillos finitos con división 365
3. Teorema de Frobenius 374
4. Cuaternios enteros y el teorema de los cuatro cuadrados 377
ÍNDICE ANALÍTICO 385
r
*

Uno de los aspectos sorprendentes de la matemática del siglo veinte ha sido
reconocimiento del poder de un método abstracto. Ha hecho nacer esto
un gran cuerpo de nuevos resultados y problemas, y en realidad nos ha
conducido a la apertura de nuevas áreas de las matemáticas, de cuya mera
existencia no se había ni sospechado.
Con estos desarrollos no solo nos han llegado nuevas matemáticas
sino una visión fresca y, junto con ella, nuevas pruebas de resultados
clásicos. La reducción de un problema a sus aspectos esenciales básicos nos
ha revelado con frecuencia
emplazamiento adecuado de resultados
considerados especiales y aislados, y nos ha mostrado ínterrelaciones entre
áreas en las que nunca se había pensado que existiera alguna conexión.

12 NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
El álgebra, que ha surgido como fruto natural de todo esto, no solamente
es una materia de vida y vigor independientes —es una de las áreas más
importantes de la investigación matemática habitual— sino que sirve
también como hilo unifícador que entrelaza a casi todas las matemáticas
—geometría, teoría de los números, análisis, topología e incluso matemática
aplicada.
Este libro ha sido pensado como una introducción a aquella parte de
las matemáticas que hoy en día se conoce con el nombre de álgebra abstracta.
El término "abstracto" es altamente subjetivo; lo que es abstracto para
una persona con mucha frecuencia es concreto y poco elaborado para otra,
y viceversa. En relación a las actividades de investigación corrientes en
álgebra, podría describirse como "no demasiado abstracta"; desde el punto
de vista de alguien educado en el cálculo y que está viendo el presente
material por primera vez, puede muy bien ser descrito como "enteramente
abstracto".
Sea como fuere, nos vamos a ocupar de la introducción y desarrollo de
algunos de tos sistemas algebraicos más importantes —grupos, anillos,
espacios vectoriales, campos. Un sistema algebraico puede describirse como
un conjunto de objetos, junto con algunas operaciones para combinarlos.
Antes de estudiar conjuntos restringidos en una forma cualquiera, por
ejemplo, con operaciones, será necesario que consideremos conjuntos en
general y algunas nociones respecto a ellos. En el otro extremo del espectro,
necesitaremos alguna información acerca de un conjunto particular, el
conjunto de los enteros. El propósito de este capítulo es el de discutir estos
temas y derivar algunos resultados acerca de ellos a los que nos podamos
referir, cuando la ocasión surja, posteriormente en el libro.
1. TEORÍA DE CONJUNTOS
No intentaremos una definición formal de un conjunto ni intentaremos
sentar las bases para una teoría axiomática de la teoría de conjuntos. En
lugar de ello, abordaremos el problema, desde un punto de vista operacional
e intuitivo pensando en un conjunto como en una colección de objetos.
En la mayoría de nuestras aplicaciones trataremos con cosas específicas y
la nebulosa noción de conjunto se nos presentará en ella como algo
perfectamente reconocible. Para aquellos cuyo gusto tienda más hacia el
lado formal y abstracto, podemos considerar un conjunto como una noción
primitiva que no se define.
Unas pocas observaciones sobre notación y terminología. Dado un
conjunto S usaremos a lo largo de todo el libro la notación aeS para que
se lea "o es un elemento de 5". De igual modo, a$S se leerá "o no es un
elemento de S"\ El conjunto A se dirá que es un subconjunto del conjunto S
si todo elemento en A es un elemento de S; es decir, si aeA implica aeS.

11. TEORÍA DE CONJUNTOS
13
ti
Escribiremos esto como A <=. S (o, a veces, como S=> A) que puede leerse
como %lA está contenido en 5" (o 5 contiene z A), Esta notación no descarta
la posibilidad de que A — S. Por cierto, ¿qué es lo que quiere decirse por
igualdad de dos conjuntos? Para nosotros, lo que significará siempre es
que ambos contienen los mismos elementos, es decir, que todo elemento que
está en uno está en el otro y viceversa. En términos del símbolo para la
relación de contención, los dos conjuntos A y B son iguales, lo que
escribimos A - B, si ambas relaciones A<z B y BczA $t verifican
simultáneamente. El procedimiento común para probar la igualdad de dos
conjuntos, algo que necesitaremos hacer con frecuencia, es demostrar que
las dos relaciones de contención opuestas se verifican para ellos. Un
subconjunto A de S se llamará subconjunto propio de 5 si A c: 5, pero
A ¿ S (A no es igual a 5).
El conjunto vacío es el conjunto que no tiene elemento alguno; es un
subconjunto de todo conjunto.
Una observación final, exclusivamente sobre notación: dado un conjunto
5 usaremos constantemente la notación A » {ae S\P(a)} que leeremos
A es el conjunto de todos los elementos en 5 para los que se verifica la
propiedad P*\ Por ejemplo, si S es el conjunto de los enteros y A el
subconjunto de los enteros positivos, entonces podemos describir A como
A =s [aeS\a> 0}. Otro ejemplo: si S es el conjunto que consiste en
los objetos (1), (2),..., (10), entonces el subconjunto A consistente en los
objetos (1), (4), (7), (10) puede describirse por A = {(f)eS|í = 3*-f 1,
/i = 0, 1,2,3}.
Dados dos conjuntos podemos combinarlos para formar nuevos
conjuntos. No hay nada de sagrado ni de particular acerca de este número dos;
podemos emplear el mismo procedimiento para cualquier número de
conjuntos, finito o infinito y, ciertamente, así lo haremos. Primero, lo
haremos solo con dos, porque ilustra la construcción general y no queda
oscurecido con dificultades adicionales por la notación.
Definición. La unión de los dos conjuntos A y By escrita A\jBy es el
■
conjunto {jc|xe¿ o xeB}.
Unas palabras acerca del uso de "o". En el castellano común y corriente,
cuando decimos que una cosa es de esta forma o de esta otra, implicamos
que no es de ambas. El "o" matemático es diferente por completo, al menos
cuando estamos hablando de teorfa de conjuntos. Porque cuando decimos
que x está en A o x está en B lo que queremos decir es que x está a! menos
en uno de los dos A o B, y puede ser que esté en ambos.
Consideremos unos cuantos ejemplos de unión de dos conjuntos. Para
cualquier conjunto A, A \jA = A; en realidad, siempre que B es un
subconjunto de A, A uB =* A. Si A es el conjunto {xiy x2»x*} (cs decir, el conjunto
cuyos elementos son xlt *2>*3)' v B ese\ conjunto {yx,yi, x,}, entonces
AkjB= {xltx^x3lyuy2}* Si A es el conjunto de todas las personas

14 NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
que tienen el pelo rubio y B es el conjunto de todas las personas que
fuman, entonces A\jB consiste en todas las personas que, o tienen el
pelo rubio o fuman, o tienen las dos características juntas. Gráficamente,
podemos ilustrar la unión de dos conjuntos A y B con el diagrama siguiente.
Aquí, A es el círculo de la izquierda, B el de la derecha, y A\j B toda la
parte sombreada.
Definición. La intersección de los dos conjuntos A y B% escrita A n Bt
es el conjunto {x|jtey4 y xeB}.
La intersección de A y B es, pues, el conjunto de todos los elementos
que están en ambos A y B. En analogía con los ejemplos usados para
ilustrar la unión de dos conjuntos, veamos a qué es igual la intersección en
esos mismos casos. Para cualquier conjunto A> AnA = A; en realidad, si
B es un subconjunto cualquiera de A, entonces AnB=B. Si A es el
conjunto {*i. *2, x3} y B el conjunto {.Vi. j>2• *i}« entonces AnB — {xt}
(estamos suponiendo que ninguna y es una x). Si A es el conjunto de todas
las personas que tienen el pelo rubio, y B es el conjunto de todas las personas
que fuman, entonces A c\B es el conjunto de todas tas personas rubias que
fuman. Gráficamente, podemos ilustrar la intersección de los dos conjuntos
A y B de la manera siguiente:
A B B
Aquí A es el círculo a la izquierda, B el de la derecha, mientras que la
intersección es la parte sombreada.
Dos conjuntos se dice que son ajenos si su intersección es vacia, es decir,
el conjunto vacío. Por ejemplo, si A es el conjunto de enteros positivos y
B el conjunto de enteros negativos, entonces A y B son ajenos. Nótese, sin
embargo, que si C es el conjunto de enteros no negativos y D es el conjunto
de enteros no positivos, entonces no son ajenos, pues su intersección
consiste del entero 0, luego no es vacío.
Antes de generalizar la unión e intersección de dos conjuntos a un
número arbitrario de conjuntos, nos gustaría probar una pequeña
proposición que,correlaciona la unión con la intersección. Es,, este, el primero

i 1. TEORÍA DE CONJUNTOS 15
de una gran colección de resultados de este tipo; algunos de ellos pueden
verse en los problemas que aparecen al final de esta sección.
Proposición. Para tres conjuntos cualesquiera At B% C tenemos
An(BuC) = (Ar\B)u{AnC).
m
Prueba. La prueba consistirá en demostrar, en primer lugar, que
(/4nfi)u(/lnC)c An[B\jC) y después la relación inversa An(B\jC)<z
<=(AnB)u(AnC).
Probemos primero que (AnB)v{AnC)c An{BvC). Como Be
cfiuC es inmediato que AnB<=An{BvC). De una forma análoga,
/4nCc Ar\(BvC). Por tanto,
(A r\B)\j(A r\C)cz(A r\{BvC))kj(A n(BuC)) = A n(ffuC).
Pasemos ahora a la otra dirección. Dado un elemento xeA n(B\jC\,
es claro que debe, en primer lugar, ser un elemento de A. Además, como
elemento de Bu C debe estar en B o en C. Supongamos lo primero; entonces
como un elemento tanto de A como de B, x debe estar en A n B. La segunda
posibilidad, es decir, xeC, nos lleva a xeAnC. Por tanto, en cualquiera
de las eventualidades xe{AnB)v(AnC), de donde tenemos /(n(fiuC)c
c(Ar\B)\j(AnC).
Las dos relaciones de contención opuestas, al* combinarse, nos dan la
igualdad que afirma la proposición.
Continuamos con la discusión de conjuntos para extender la noción de
unión y la de intersección a colecciones arbitrarias de conjuntos.
Dado ufi conjunto T decimos que T sirve como un conjunto de índices
para la familia J = {Aa} de conjuntos si para cada ae rexiste un conjunto Aa
en la familia ff. El conjunto de índices T puede ser cualquiera, finito o
infinito. A menudo usamos el conjunto de enteros positivos como conjunto
de índices, pero, repetimos, T puede ser cualquier conjunto no vacío.
Por la unión de los conjuntos Aat donde a está en T, entendemos el
conjunto {x\xeAa para, al menos, un a en T}. Denotaremos tal conjunto
por (J Aa. Por la intersección de los conjuntos A9 donde a está en Tt
entendemos el conjunto {x\xeAa para todo ote 7*}; denotaremos este
conjunto por f\ Aa. Los conjuntos Aa son mutuamente ajenos si para a & /?,
A9nA¿ es el conjunto vacío.
Por ejemplo, si Ses el conjunto de los números reales, y si Fes el conjunto
de los números racionales, sea» para ae"T, Aa = {xeS\x>&}. Es un fácil
ejercicio ver que \J Aa — S mientras que f] A9 es el conjunto vacío. Los
«cT eecT
conjuntos Aa no son mutuamente ajenos.
■
■
Definición. Dados dos conjuntos A, B, entonces el conjunto diferencia
A — B es el conjunto {xe A | x$ 5}.

16
NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
Volviendo a nuestras pequeñas ilustraciones, si A es el círculo a la
izquierda y B es el de la derecha, entonces A — B es el área sombreada.
Obsérvese que para cualquier conjunto By el conjunto A satisface
A =*{AnB)u(A — B). (Pruébese.) Obsérvese, además, que Bc\(A — B) es
el conjunto vacío. Un caso particular de interés en la diferencia de dos
conjuntos es cuando uno de ellos es un subconjunto del otro. En ese caso,
si B es un subconjunto de A, a A - B le llamamos el complemento de B en A.
Aun necesitaremos construir un tipo de conjunto más, partiendo de dos
conjuntos A y 5, su producto cartesiano AxB. Este conjunto Ax B se
define como el conjunto de todos los pares ordenados (o, b) donde aeA
y beB y donde convenimos en que el par (o, ,6,) es igual al par (a2t b2)
si y sólo sí ax **a2 y ¿1 = bz.
Unas cuantas observaciones respecto al producto cartesiano. Dados los
dos conjuntos A y B podemos construir los conjuntos A x B y Bx A, Como
conjuntos, son distintos, aunque sintamos que deben estar estrechamente
relacionados. Dados tres conjuntos A, B y C podemos construir muchos
productos cartesianos partiendo de ellos; por ejemplo, el conjunto A x D,
donde O *= B x C; el conjunto £xC, dondeE — AxB\y también el conjunto
de todas las ternas ordenadas (a, b, c) donde aeA%bsB y ceC. Obtenemos,
asi, tres conjuntos distintos, aunque también aquí sentimos que estos
conjuntos deben tener una relación estrecha. Desde luego, podemos
continuar este proceso con más y más conjuntos. Para ver la relación exacta
entre ellos tendremos que esperar a la sección próxima, donde discutiremos
las correspondencias biyectivas.
Dado un conjunto de índices Tpodríamos definir el producto cartesiano
de los conjuntos A9 cuando a varía sobre 7"; como no necesitaremos un
producto tan general, no nos molestaremos en definirlo.
Finalmente, podemos considerar el producto cartesiano de un conjunto A
por sí mismo, AxA. Nótese que si el conjunto A es un conjunto ñnito con
n elementos, entonces el conjunto A x A es también un conjunto finito,
pero tiene n2 elementos. El conjunto de elementos (a, ¿r) en Ax A se llama
la diagonal de A x A.
Un subconjunto R de A x A se dice que es una relación de equivalencia
sobre A si:
1) (a, a)eR para todo aeA;
2) (a, b)eR implica (¿>, a)eR;
3) (a, b)eR y (b, c)eR implica que (at c)eR.

f 1. TEORÍA DE CONJUNTOS
17
En lugar de hablar de su be onj un tos de A x A podemos hablar acerca de
una relación binaria (una entre dos elementos de A) sobre A mismo,
conviniendo en que diremos que b está relacionado a a si (o, b)eR. Las
propiedades (1), (2)» (3) del subconjunto R se traducen inmediatamente en
las propiedades (I), (2), (3) de la definición que sigue.
Definición. La relación binaria, ~, sobre A se dice que es una relación
de equivalencia sobre A si para a, ¿, c cualesquiera en A:
I) a~a;
2) a ~ b implica b ~* a;
3) a~by b~c implica a ~ c.
La primera de estas propiedades se llama reflexividad, la segunda,
simetría y, la tercera, transitlvldad.
concepto
papel central en todas las matemáticas
con unos cuantos ejemplos.
Ejemplo /. Sea S un conjunto cualquiera y definamos ~ en S por
a~b para a,beS si y sólo si a = b. Hemos definido claramente, asi, una
relación de equivalencia sobre 5. En realidad, una relación de equivalencia
es una generalización de la igualdad, que mide la igualdad hasta una cierta
propiedad.
Ejemplo 2. Sea 5 el c
gamos en que a ~ 6 si a
una relación de equivalencia sobre S.
1) Como 0 - a—a es par, a ~ a.
todos los enteros. Para a. beS conven
Verificamos
2) Si a~bt es decir, si a—b es par, entonces 6—a *=-{a—b) es
también par, luego b~a.
3) Si a~b y b~c> entonces tanto a—b como ¿> —c son pares, luego
a—c = (a—b) + (b—c) es también par, lo cual prueba que a~c.
todos los enteros y sea n > 1 un entero
Ejemplo 3. Sea 5 el conjunto de
fijo. Para a,beS definimos ~» por a ~ b si a—b es un múltiplo de n. Dejamos
como ejercicio probar que esto define una relación de equivalencia en S.
Ejemplo 4. Sea 5 el conjunto de todos los triángulos del plano. Dos
triángulos los definimos como equivalentes si son semejantes (es decir,
tienen ángulos correspondientes iguales). Esto define una relación de
equivalencia sobre 5.

II. TEORÍA DE CONJUNTOS 17
En lugar de hablar de subconjuntos de A* A podemos hablar acerca de
una relación binaría (una entre dos elementos de A) sobre A mismo,
conviniendo en que diremos que b está relacionado a a si (atb)eR. Las
propiedades (!), (2), (3) del subconjunto R se traducen inmediatamente en
las propiedades (I), (2), (3) de la definición que sigue.
Definición. La relación binaria, -*, sobre A se dice que es una relación
m
de equivalencia sobre A si para a, by c cualesquiera en A:
1) a~~a;
2) a ~ b implica b ~ a;
3) a^by b^c implica a ~ c.
La primera de estas propiedades se llama reflexividad, la segunda,
simetría y, la tercera, transiüvidad.
£1 concepto de relación de equivalencia es extraordinariamente
importante y juega un papel central en todas las matemáticas. Lo ilustraremos
con unos cuantos ejemplos.
Ejemplo L Sea 5 un conjunto cualquiera y definamos ~ en S por
a~b para a, beS si y sólo si a = b. Hemos definido claramente, así, una
relación de equivalencia sobre S. En realidad, una relación de equivalencia
es una generalización de la igualdad, que mide la igualdad hasta una cierta
propiedad.
Ejemplo 2. Sea S el conjunto de todos los enteros. Para a, beS conven*
gamos en que a~b si a—b es un entero par. Verificamos que esto define
una relación de equivalencia sobre S.
1) Como 0 = a—a es par, a ~ a,
2) Si a~b, es decir, si a—b es par, entonces b—a=»— {a—b) es
también par, luego b*~a.
3) Si a~b y b*~c% entonces tanto a—b como b—c son pares, luego
a— c = (a—b) + (b— c) es también par, lo cual prueba que a -* c.
Ejemplo 3. Sea S el conjunto de tocios los enteros y sea n > 1 un entero
fijo. Para a, beS definimos ~ por a ~ b si a—b es un múltiplo de n> Dejamos
como ejercicio probar que esto define una relación de equivalencia en S.
Ejemplo 4. Sea 5 el conjunto de todos los triángulos del plano. Dos
triángulos los definimos como equivalentes si son semejantes (es decir,
tienen ángulos correspondientes iguales). Esto define una relación de
equivalencia sobre 5.

18 NOCIONES PRELIMINARES — C*p. 1
Ejemplo 5. Sea 5 el conjunto de todos los puntos del plano. Dos puntos
a y b se definen como equivalentes sí equidistan del origen. Una sencilla
comprobación veriñca que esto define una relación de equivalencia sobre 5.
Hay muchas más relaciones de equivalencia; nos encontraremos con
unas cuantas más a lo largo de este libro.
■
Definición. Si A es un conjunto y ^ es una relación de equivalencia
sobre A, entonces la dase de equivalencia de as A es el conjunto
{xeA\a~x}. Lo escribimos "cl(a)'\
En los ejemplos que acabamos de discutir, ¿cuáles son las clases de
equivalencia? En el ejemplo 1, la clase de equivalencia de a consiste tan
solo en a. En el ejemplo 2 la clase de equivalencia de a consiste en todos los
enteros de la forma a+2m donde m = 0, ± 1, ±2,...; en este ejemplo hay
solamente dos clases de equivalencia distintas, a saber, cl{0) y el(2). En el
ejemplo 3, la clase de equivalencia de a consiste en todos los enteros de la
forma a+kn donde fr = 0, ±1» ±2,...; aquí hay n clases de equivalencia
distintas, a saber, cl(0)f el(1),,.., cl(n — I). En el ejemplo 5 la clase de
equivalencia de a consiste en todos los puntos del plano que se encuentran
sobre la circunferencia que tiene su centro en el origen y pasa por a.
Aunque hemos dado algunas definiciones, introducido algunos conceptos,
e incluso establecido una sencilla pequeña proposición, podríamos decir que,
sinceramente, hasta el momento no hemos probado resultado alguno
que tenga cierta sustancia. Vamos ahora a probar el primer resultado
genuino del libro. La prueba de este teorema no es muy difícil -—realmente
es muy sencilla— pero no por ello el resultado que en él se presenta deja de
ser de un gran uso para nosotros.
Teorema 1.a. Las distintas clases de equivalencia de una relación de
equivalencia sobre A nos proporcionan una descomposición de A como una
unión de subconjunfos mutuamente ajenos. Reciprocamente, dada una
descomposición de A como unión de subconjunfos mutuamente ajenos y no vacíos,
podemos definir una relación de equivalencia sobre A para la que estos
subconjunfos sean las distintas clases de equivalencia.
m
Prueba. Denotemos por -~ la relación de equivalencia sobre A.
Observemos primero que como para cualquier aeA* a ~~a, a debe estar
en el (a), de donde la unión de las el {a) es lodo A. Añrmamos ahora que
dadas dos clases de equivalencia o son ajenas o son iguales. Supongamos,
en efecto, que el {a) y c\(b) no son ajenas; entonces hay un elemento
x€c\(a)nc)(b). Como xecl(ff), a^x: como Jtecl(¿>), b~~ x, de donde, por
la simetría de la relación, x **> b. Pero a ~ x y x * b implica por la transitividad
de la relación a ~»b. Supongamos ahora que >'Gcl(/?>; entonces b~*y.
Entonces áea^byb^ysc deduce que a ~ j\ es decir, que yec\(a). Luego
todo elemento en cl(¿>) está en cl(a), lo que prueba que cl(¿>)ccl(a). El

i 1. TEORÍA OE CONJUNTOS 19
argumento es claramente simétrico, de donde concluimos que el (a) <= cl(¿>).
Y las dos relaciones de contención opuestas nos dicen que el (a) = el (¿>).
Hemos demostrado así que las distintas el (a) son mutuamente ajenas
y que su unión es A. Esto prueba la primera mitad del teorema. ¡Vayamos
por la otra mitad!
Supongamos que A = w Aa donde las Aa son conjuntos mutuamente
ajenos y no vacíos (a está en algún conjunto de índices T). ¿Cómo los
usaremos para definir una relación de equivalencia? El procedimiento es
claro; dado un elemento a en A está exactamente en un Aa, Definimos para
a, be A, a ~ b si a y b están en la misma Aa. Dejamos como ejercicio probar
que esto es una relación de equivalencia sobre A y que las distintas clases
de equivalencia son las Aa.
Problemas
1. a) Si A es un subconjunto de B y B es un subconjunto de C, pruébese
que A es un subconjunto de C
b) Si B<=.A pruébese que A kj B = A y recíprocamente.
c) Si B^A pruébese que para cualquier conjunto C se tiene
BvCczAvCy BnCcAnC.
2. a) Pruébese que AnB— BnA y^u5= B\jA.
b) Pruébese que (A n B) n C = A n (B n C).
3. Pruébese que Av(BnC) = (AvB)n(AvC).
4. Para un subconjunto C de S denotemos por C el complemento de C
en S. Para cualesquier dos subconjuntos A> B de S pruébense las leyes de
De Morgan:
a) (AnBY^A'vB'.
b) (AvB)' + A'nB'.
5. Para un conjunto finito C, indiquemos por o(C) el número de
elementos de C. Si A y B son conjuntos finitos pruébese que o(A\jB)
= o(A) + o(B)-o(AnB).
6. Si A es un conjunto finito de //elementos, pruébese que A tiene
exactamente T subconjuntos distintos.
7. Una encuesta muestra que al 63 % de los norteamericanos les gusta
el queso y al 76% las manzanas. ¿Qué se puede decir acerca del porcentaje
de norteamericanos a los que les gusta el queso y las manzanas ? (No se
asegura que las estadísticas que hemos mencionado sean muy exactas.)
8. Dados dos conjuntos A y B> su diferencia simétrica es, por definición,
(A — B)v(B—A). Pruébese que la diferencia simétrica de A y B es igual a
(A u B) - (A n B).

20
NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
9. Sea S un conjunto y S* el conjunto cuyos elementos son los distintos
subconjuntos de S. En S* definimos una adición y una multiplicación como
sigue: si A, BeS* (recuérdese, esto significa que son subconjuntos de 5):
1) A + B = (A-B)v(B-A).
2) A-B = AnB.
Pruébese que las siguientes leyes gobiernan estas operaciones:
a) (A + B) + C = A + (B+C).
b) A(B+C) = AB+AC.
c) A-A = A.
d) A + A = conjunto vacío.
e) Si /* + £=/* +C entonces £ = C.
(El sistema que acabamos de describir es un ejemplo de álgebra
booleana.)
dan
determínense cuáles definen relaciones de equivalencia.
a) S es el conjunto de todos los humanos vivos y a~b si a y b
tienen un antecesor común.
b) S es el conjunto de todos los humanos vivos y a ~ b si a vive a
menos de 100 kilómetros de distancia de donde vive b.
c) S es el conjunto de todos los humanos vivos y a~b si ayb
tienen el mismo padre.
d) S es el conjunto de todos los números reales, a~b si a= ±b.
é) S es el conjunto de los enteros, a~b si simultáneamente se
verifica que a> b y b> a.
f) S es el conjunto de todas las rectas del plano, y a ~ b si a es
paralela a b.
11. a) La propiedad (2) de una equivalencia nos dice que si a~b
entonces b~a; la propiedad (3) nos dice que a~b y b~c
implica a~c. ¿Qué hay de equivocado en la siguiente prueba
de que las propiedades (2) y (3) implican la propiedad (I)? Sea
a~b; entonces b~a, de donde, por la propiedad (3) (usando
a = c), a ~ a.
b) ¿Puede el lector sugerirnos una alternativa de la propiedad (I)
que nos asegure que las propiedades (2) y (3) implican la
propiedad (1)?
12. En el ejemplo 3 de una relación de equivalencia dado en el texto,
pruébese que la relación definida es una relación de equivalencia y que hay
exactamente n clases distintas de equivalencia, a saber, cl(0), cl(l), ...,
cl(/i-l).
13. Complétese la prueba de la segunda mitad del teorema 1 (a).

21
2. APLICACIONES
Vamos ahora a introducir el concepto de aplicación o función de un
conjunto en otro. Sin exageración, esta es probablemente la noción más
importante y universal presente siempre a través de todas las matemáticas.
Es difícil que sea algo nuevo para cualquiera de nosotros, pues hemos
estado considerando aplicaciones desde los primeros días de nuestra
educación en matemáticas. Cuando se nos pedía dibujar la gráfica de la relación
y = x2 lo que se nos pedía era simplemente estudiar la aplicación particular
que lleva cada número real a su cuadrado.
Hablando en forma un poco libre, una aplicación de un conjunto S en
otro conjunto T es una "regla" (sea lo que sea lo que esta palabra pueda
significar) que asocia con cada elemento en S un elemento único t en T.
Definiremos el término aplicación de un modo más formal y preciso, pero
el propósito de la definición es el de permitirnos pensar y hablar en los
términos anteriores. Pensaremos en ellos como en reglas, procedimientos
o mecanismos que nos transportan de un conjunto a un otro.
Motivemos un poco la definición que vamos a dar. El punto de vista
que tomaremos es el de considerar la aplicación definida por su "gráfica".
Ilustraremos esto con el ejemplo familiar y = x2 definida sobre los números
reales S y tomando valores también sobre S. Para este conjunto S,SxS,
el conjunto de todos los pares (ay b) puede verse como el plano, con el par
(a, b) que corresponde al punto cuyas coordenadas son a y b respectivamente.
En este plano marcamos todos aquellos puntos cuyas coordenadas son de la
forma (x, x2) y denominaremos a este conjunto de puntos la gráfica de
y = x2. Representamos este conjunto por el dibujo siguiente.
Para encontrar el "valor" de la función o la aplicación en el punto x = a
miramos en el punto de la gráfica cuya primera coordenada es a y damos
como valor de la función en x = a el valor de la segunda coordenada.
Es este, más o menos, el método que usaremos para definir una
aplicación de un conjunto en otro.
Definición. Si S y T son conjuntos no vacíos, entonces una aplicación
de S en Tes un subconjunto M de SxT, tal que para toda seS hay un.
solo teT tal que el par ordenado (s, t) está en M.

22
NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
Esta definición nos sirve para dar precisión al concepto de aplicación,
pero casi nunca la usaremos en esa forma. En lugar de ellos preferiremos
pensar en aplicación como una regla que asocia con cada elemento s de S
algún elemento / de 7, siendo la regla, asociar seS con teT (o aplicar o
transformar s en t) si y sólo si (¿z, t)e M. Diremos que / es la imagen de s
bajo la aplicación.
Digamos ahora algo acerca de la notación para estas cosas. Sea a una
aplicación de S en T; a menudo denotamos esto escribiendo a: S->T o
S -2» r. Si r es la imagen de s bajo a escribiremos algunas veces esto así:
todos
o:s-+t\ más a menudo representaremos este hecho por t = so. Nótese que
escribimos la aplicación a a la derecha. No hay una consistencia general
en este uso; muchas personas lo escribirían como t = o(s). Como regla
general, los algebristas lo escribirán a la derecha y otros matemáticos a la
izquierda. En realidad, ni nosotros mismos seremos muy consistentes en
esto; cuando queramos hacer hincapié en la naturaleza funcional de
a podemos escribir / = a(s).
Ejemplos de aplicaciones. En
conjuntos no son el vacio.
Ejemplo 1. Sea S un conjunto cualquiera; definamos i:S-*Spor s = si
para todo seS. Esta aplicación / se llama aplicación identidad de 5.
Ejemplo 2. Sean S y T conjuntos cualesquiera, y sea t0 un elemento
de T. Definamos x: S-> Tpor xs-*t0 para todo seS.
Ejemplo 3. Sea S el conjunto de todos los números racionales positivos
y T= J x J donde J es el conjunto de los enteros. Dado un número racional s
pod
— donde m y n no tienen ningún factor
n
común. Definamos x: S-+ T por sx = (m, n).
Ejemplo 4. Sea J el conjunto de los enteros y S = {(m, n)eJx J\ n ¿ 0};
sea T el conjunto de los números racionales; definimos t: S->T por
(m, n)x = — para todo (/w, rí) en S.
n
Ejemplo 5. Sea J el conjunto de los enteros y 5=7x7. Definimos
t : S-> J por (m, n)x = m+n.
Nótese que, en el ejemplo 5, la adición en la misma J puede representarse
en términos de una aplicación de J x J en J. Dado un conjunto arbitrario $
a una aplicación de SxS en S le llamaremos operación binaria sobre S.
Dada una tal aplicación x:S*S-*S podríamos utilizarla para definir un
"producto" * en S afirmando que a*b = c si (a, b)x = c.
Ejemplo 6. Sean S y T conjuntos cualesquiera; definamos x:Sx T-*S
por (a, b)x = a para todo (a, b)eSxT. A esta x se le llama la proyección
át SxT sobre 5. En forma análoga, podríamos definir la proyección de
S x T sobre T.

12. APLICACIONES 23
Ejemplo 7. Sea S el conjunto consistente en los elementos xlJx2,x3.
Definamos x: S-> S por jc, x = x2, x2 t = x3, jc3 t = xx.
Ejemplo 8. Sea S el conjunto de los enteros y 7* el conjunto consistente
en los elementos £ y 0. Definamos t:S-> T conviniendo en que nx = E si
/? es par y nx = 0 si n es impar.
Si S es cualquier conjunto, sea {jc, ,..., jc„} su subconjunto consistente
en los elementos jc, , jc2, •••» •*« de S. En particular, {jc} es el subconjunto
de S cuyo único elemento es x. Dado S lo podemos usar para construir un
nuevo conjunto S*, el conjunto cuyos elementos son los subconjuntos de S.
A 5* le llamamos conjunto de subconjuntos de S. Así, por ejemplo, si
5={x,,x2} entonces S* tiene exactamente cuatro elementos, a saber,
o, = conjunto vacío, a2 = el subconjunto S de 5, fl3 = {.*,}, a4 = {x2}.
La relación de 5 a S*, en general, es muy interesante; examinamos algunas
de sus propiedades en los problemas.
Ejemplo 9. Sea S un conjunto, y T=S*. Definamos x:S-+T como
sx = complemento de {s} en S = S— {s}.
Ejemplo JO. Sea S un conjunto con una relación de equivalencia, y Tel
conjunto de clases de equivalencia ven S (nótese que T es un subconjunto
de 5*). Definamos x:S-+T por sx = cl(j).
Dejamos ahora los ejemplos para continuar con la discusión general.
Dada una aplicación x:S-+ Tdefinimos para te Tcomo imagen inversa de t
con respecto a x el conjunto {j65|/ = jt}. En el ejemplo 8, la imagen
inversa de E es el subconjunto de S consistente en los enteros pares. Puede
suceder que para algún /en T su imagen inversa con respecto a x sea
el vacío, es decir, que / no sea imagen bajo x de ningún elemento de S. En el
ejemplo 3 que acabamos de discutir, el elemento (4, 2) no es la imagen de
ningún elemento de S bajo la x usada; en el ejemplo 9, 5, como un elemento
de S*, no es la imagen bajo la x usada de ningún elemento de S.
Definición. La aplicación x de S en T se dice que es suprayectiva
sobre Tsi dado te Tcualquiera siempre existe un elemento seS tal que / = sx.
Si llamamos al subconjunto Sx = {xe T\x = sx para algún seS} la imagen
de S bajo t, entonces x es suprayectiva si la imagen de S bajo x es todo T.
Nótese que en los ejemplos 1,4, 5,6,7, 8 y 10 las aplicaciones que se presentan
son todas suprayectivas.
Otro tipo especial de aplicación aparece con frecuencia y es importante:
las aplicaciones inyectivas (también denominadas uno a uno).
Definición. La aplicación x de S en T se dice que es una aplicación
inyectiva si siempre que sx & s2 entonces j, x ?t s2x.
En términos de imágenes inversas, la aplicación x es inyectiva si para
toda teT la imagen inversa de / es o vacía o un conjunto consistente en
un solo elemento. En los ejemplos discutidos, las aplicaciones de los ejemplos
1, 3, 7 y 9 son todas inyectivas.

24 NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
¿En qué momento diremos que dos aplicaciones de S en 7* son iguales?
Una definición natural para esto es la de que deben tener el mismo efecto
sobre cada elemento de S, es decir, la imagen de cualquier elemento en S
bajo cada una de las aplicaciones debe ser la misma. De un modo un poco
más formal:
■
Definición. Dos aplicaciones o y x de S en T se dice que son iguales si
so = sx para todo seS.
Consideremos la siguiente situación: tenemos una aplicación o de S en T
y otra aplicación x de T en U. ¿ Podemos componer estas aplicaciones para
obtener una aplicación de 5 en {/? La forma más natural y obvia de hacer
esto es enviar un elemento dado s de 5 en dos etapas a (A primero aplicando
o a s y después aplicando x al elemento resultante so de T. Esta es la base de
la deñnición que sigue.
Definición. Sean o:S-* T y x: T-> U. Entonces la composición de o y x
(llamada también producto) es la aplicación oox:S->U definida por
s(oox) — (so)x para todo seS.
Nótese que el orden de los eventos se lee de izquierda a derecha; oox
se lee, primero efectúese o y luego sígase con x. Aquí también este asunto
de izquierda-derecha no es uniforme. Los matemáticos que escriben sus
aplicaciones a la izquierda leerán oox significando que primero se ha
de efectuar x y luego o. De acuerdo con esto resulta que al leer un libro de
matemáticas uno debe estar completamente seguro de cuál es la convención
que el libro sigue para escribir el producto de dos aplicaciones. Repetimos,
para nosotros oox siempre significará: primero apliqúese o y luego x.
Ilustramos la composición de o y x con unos cuantos ejemplos.
Ejemplo /. Sea 5= {x,, x2ix3} y sea T=S. Sea o:S-*S definida por
xlo = x2, x2o = x3 y x3o = xl; sea x:S-*S dada por xlx = x¡, x2x = x3
y x¿x = x2. Entoncesxx(oox) = (xlo)x — x2x = x3, x2{pox) — {x2o)x = xzx
= x2, x3(oox) = (x3o)x = xlx = xt. Al mismo tiempo podemos calcular
xoo porque en este caso también esto tiene sentido. Tenemos entonces
xl(xoo) = (xlx)o = (xío)= x2, x2(xoo) = (x2x)o= x3o = x¡> x3(xoo) =
(x3x)o = x2o = x3. Nótese que x2 = x,(toa), mientras que x$ = xx (oox\
de donde oox ^ xoo.
Ejemplo 2. Sea S el conjunto de los enteros, T el conjunto SxS, y
supongamos que o:S-*T está definido por mo = (m— 1, I). Sea U = S
y supongamos que x:T-> U(= S) está definida por (/w, n)x = m + n.
Tenemos, entonces, oox:S-*S mientras que xoo: T-* T\ incluso hablar de
la igualdad de oox y xoo no tendría sentido, ya que no actúan sobre el mismo
espacio. Vamos ahora a calcular oox como una aplicación de S en sí
mismo y luego xoo como uno de T en sí mismo.

12. APLICACIONES 26
Dado meSy wa = (/w—1, 1), de donde m(oox) = (mo)x = (m—\, 1)t
= (/w— 1)+ 1 = /w. Luego <7ot es la aplicación identidad (a la que, por
cierto, también a veces llamaremos aplicación idéntica) de S en si mismo.
Y, ¿qué hay acerca de toa? Dado (m,n)eTt (/w, n)x = /w + /i, de donde
(/w, /z) (to(t) = ((/w, /7)T)a = (/w + /i)<7 = (/w + n— 1,1). Nótese que toa «o es
la aplicación idéntica de Ten sí mismo; no es ni, incluso, una aplicación
suprayectiva T.
Ejemplo 3. Sea S el conjunto de los números reales, Tel conjunto de los
enteros, y í/= {£, 0}. Oeñnamos <r:S-» Tpor so = máximo entero menor
que o igual a j, y t: T-> V por nx = £ si n es par, nx = 0 si n es impar.
Nótese que, en este, caso xoo no puede deñnírse. Calculamos oox para dos
números reales s = f y s = tt. Como f = 2+f, (f)a = 2, de donde
(|) fr ° T) = (i^)* = (2)t = £; (7r)a = 3, de donde n(a o t) = (tt(t)t
= (3)t = 0.
Para las aplicaciones de conjuntos, siempre que los productos requeridos
tengan sentido, se verifica una ley asociativa general. Este es el contenido del
Lema 1.1 (ley asociativa). Si a: S->T,x: T-> U y fi: U-*V, entonces
(a o t) o f¿ = O o(x o fi).
Prueba. Nótese primero que oox tiene sentido y lleva S en U% por
tanto, ((jot)o/í tiene también sentido y lleva S en V. Análogamente,
o o (t o h) está deñnido y lleva S en K. Podemos, pues, hablar de igualdad
o no igualdad de (o o x) o n y o o(xo n\
Para probar la igualdad afirmada debemos, simplemente, demostrar
que para cualquier jeS, s((o ° t) *>¿í) = s(oo (x ©a*))- Pero, de acuerdo con
la deñnición de composición de aplicaciones, s((oo x) o ¡i) = (s(oo x))fi
= ((so)x)fi mientras que s(o o (t o ¡i)) = (so) (x o f¿) = ((so)x)ji. Luego, los
elementos í((a o t) o//) y s(oo(xofi)) son ciertamente iguales. Lo que
prueba el lema.
Ahora demostraremos que si dos aplicaciones o y x tienen propiedades
de cierto tipo y o está deñnido, x tiene también esas propiedades.
Lema 1.2. Sean o : S-*T y x : T-> U, entonces:
1) o o x es suprayectiva si tanto o como x lo son;
2) o ox es inyectiva si tanto o como x lo son.
Prueba. Probaremos solo la parte (2) dejando la prueba de la parte (1)
como ejercicio.
Supongamos que sXts2eSy que st # s2. Como o es inyectiva, s{ o ^ s2o.
Como t es inyectiva ysloys2o son elementos distintos de 7", (j, o)x ^ (s2o)x
de donde sx(oox) = (slo)x ^ (s2o)x = s2(o ox), probando que,
ciertamente, o o x es inyectiva con lo que queda probado el lema.

26 NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
Supongamos que o es una aplicación inyectiva de S sobre T; llamaremos
entonces a o correspondencia biyeciiva entre S y T. Dada una te Tcualquiera,
por ser a suprayectiva existe un elemento seS tal que / = so; por ser
inyectiva esta s ha de ser única. Definimos la aplicación o~x : T-*S por
s = to'x si y sólo si / = so. La aplicación o'1 se le llama inversa de o.
Calculemos la aplicación de S en sí mismo o oo~x. Dado seS sea / = so,
de donde, por definición, s = to'x\ así pues s(ooo~x) = (so)o~x = to~l
= 5. Y hemos demostrado que o o o"1 es la aplicación identidad de S
sobre sí misma. Un cálculo análogo nos revela que o~x o o es la aplicación
identidad de T sobre sí mismo.
Recíprocamente, si o:S-*T es tal que existe un n:T-+S con la
propiedad de que o°\i y p oo son las aplicaciones idénticas sobre S y T
respectivamente, entonces afirmamos que o es una correspondencia biyectiva
entre S y T. Observemos primero que o es suprayectiva, pues dada teT,
1 == /(^ o o) = (tp)o (ya que /ioaes la identidad sobre 7"), luego / es la
imagen bajo o del elemento tp en S. Observemos luego que o es inyectiva
pues si st o = s2os usando o ©^ es la identidad sobre S, tenemos
s, — sx(pon) = (sxo)n = {s2o)¡á = s2(oon) = s2. Con lo que hemos
probado el
Lema 1.3. La aplicación o : S->T es una correspondencia biyectiva entre
S y T si y sólo si existe una aplicación /i: T-+S tal que o o p. y n o o son las
aplicaciones identidad sobre S y 7", respectivamente.
Definición. Si S es un conjunto no vacío entonces A(S) es el conjunto
de todas las aplicaciones biyectitas de S sobre sí mismo.
Aparte de su propio interés intrínseco A(S) juega un papel central y
universal cuando se considera el sistema matemático conocido con el
nombre de grupo (capítulo 2). Es por esto por lo que damos a continuación
el siguiente teorema sobre su naturaleza. Todas las partes constituyentes del
teorema han sido probadas en los distintos lemas, de modo que enunciamos
el teorema sin prueba.
■
Teorema I. b. Si o, t, \i son elementos de A (S), entonces:
/) o ot está en A(S);
2) (O o T) o ¡i = ffo(to//)¡
i) existe un elemento i (la aplicación idéntica) en A(S) tal que
o o i = ; o o = o;
4) existe un elemento o~xeA(S) tal que o oc~v = o~x oo — i.
Terminamos esta sección con una observación sobre A(S). Supongamos
que A(S) tiene más de dos elementos; sean xx ,x2,x3 tres elementos
distintos de S; definamos la aplicación o : S-+Spor xxo = x2, x2o = jc3,
x3o = x,, so ~ s para cualquier seS distinta de xt, x2, x3. Definamos la

i 2. APLICACIONES
27
aplicación t : S-+S por jc2t = x3t x3x = x2 y sx — s para cualquier 565
diferente de x2,x3. Es claro que tanto a como x están en A(S). Un simple
cálculo demuestra que x,((Tot) = jc3, pero que x, (t o a) = x2 ¥> x3.
Luego c ot ^ toij. Esto es,
Lema 1.4. Si 5 /te/?* /wá* ¿fe dos elementos, podemos encontrar dos
elementos a, x £/í >4 (5) tafes $we a o x ^ toa.
Problemas
1. Determínese en cada uno de los siguientes casos si <r.:S-*T es
invectiva
bajo a.
a) 5 = conjunto de los números reales, T = conjunto de los
números reales no negativos, sa = s2.
b) 5 = conjunto de los números reales no negativos, T = conjunto
de los números reales no negativos, se = s2.
c) 5 = conjunto de los enteros, T = conjunto de los enteros,
se = 52.
d) 5 = conjunto de los enteros, T = conjunto de los enteros,
so = 25.
2. Si 5 y T son conjuntos no vacíos, pruébese que existe una
correspondencia biyectiva entre 5x T y Tx 5.
3. Si 5, Ty £/ son conjuntos no vacíos, pruébese que existe una
correspondencia biyectiva entre:
a) (SxT)xUySx(TxU).
b) Cada uno de los conjuntos de la parte (a) y el conjunto de ternas
ordenadas (5, /, w) donde seS, teT, ue U.
4. a) Si hay una correspondencia biyectiva entre 5 y 7, pruébese que
hay una correspondencia biyectiva entre T y 5.
b) Si hay una correspondencia biyectiva entre SyTy una entre Ty Uf
pruébese que hay una correspondencia biyectiva entre 5 y U.
5. Si t es la aplicación idéntica sobre 5, pruébese que para cualquier cr «t|
/4 (5), <7 o / = / C = (7.
*6. Si 5 es un conjunto cualquiera, pruébese que es imposible encontrar
una aplicación de 5 sobre 5*.
7. Si el conjunto 5 tiene /? elementos, pruébese que A(S) tiene /i!
(factorial de n) elementos.
8. Si el conjunto 5 tiene un número finito de elementos, pruébese que:
a) Si a transforma 5 sobre 5 entonces o es inyectiva.
1 ■

28 NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
b) Si a es una aplicación inyectiva de S en sí mismo, entonces a es
suprayectiva.
c) Pruébese, con un ejemplo, que tanto la parte (a) como la (b) son
falsas si S no tiene un número finito de elementos.
9. Pruébese que los recíprocos de ambas partes del lema 1.2 son falsos,
es decir:
a) Si a o t es suprayectiva, no es necesario que ambas a y t lo sean.
b) Si a o t es inyectiva, no es necesario que ambas a y t sean
inyectivas.
10. Pruébese que hay una correspondencia biyectiva entre el conjunto
de los enteros y el conjunto de los números racionales.
11. Si a : S-+ Ty si A es un subconjunto de 5, la restricción de a a A, aAi
está definida por aaA = a para cualquier aeA. Pruébese que:
a) aA define una aplicación de A en T.
b) aA es inyectiva si lo es a.
c) <rA puede muy bien ser inyectiva aunque no lo sea <r.
12. Si a: S-* T y A es un subconjunto de S tal que Aa c A, pruébese
que (a o t)^ = (tA o ta. X€ 2
13. Un conjunto S se dice que es infinito si hay una correspondencia
biyectiva entre 5 y un subconjunto propio de 5. Pruébese que:
a) El conjunto de los enteros es infinito.
b) El conjunto de los números reales es infinito.
c) Si un conjunto S tiene un subconjunto A que es infinito, entonces
S debe ser infinito.
(Mota: De acuerdo con el resultado del problema 8, un conjunto finito, en
el sentido usual, no es infinito.)
*14. Si 5 es infinito y puede ponerse en correspondencia biyectiva con
el conjunto de los enteros, pruébese que hay una correspondencia biyectiva
entre 5 y 5x5.
*15. Dados dos conjuntos S y T decimos que S < T(S es más pequeño
que T) si hay una aplicación de T sobre 5, pero ninguna de S sobre T.
Pruébese que si5< T y T < U entonces S < U.
16.. Si S y T son conjuntos finitos át m y n elementos respectivamente,
pruébese que si m < n entonces S < T.
3. LOS ENTEROS
Finalizamos este capítulo con una breve discusión del conjunto de los
enteros. No haremos intento alguno de construirlos axiomáticamente,
suponiendo, en lugar de ello, que ya tenemos el conjunto~de los enteros y

I 3. LOS ENTEROS
29
que conocemos muchas de sus propiedades elementales. Entre ellas incluimos
el principio de inducción matemática (que usaremos libremente a través de
este libro) y el hecho de que un conjunto no vacío de enteros positivos
siempre contiene un elemento mínimo. En cuanto a notación, los símbolos
familiares a > b, a ^ b, |a|, etc., aparecerán con su significado habitual.
Para evitar la repetición una y otra vez de que algo es un entero, convenimos
en que todos los símbolos de esta sección escritos en letras bastardillas
minúsculas, representarán enteros.
Dados a y b, con b ¿ 0, podemos dividir a por b para obtener un residuo
no negativo r que es menor en tamaño que b; es decir, podemos encontrar
my r tales que a — mb + r donde 0 < r < \b\. Este hecho se conoce como el
algoritmo de Eaclides y suponemos que le es famHiar al lector.
Decimos que b =£ 0 divide a si a = mb para algún m. Para indicar que
b divide a a escribiremos b\a, y para indicar que b no divide a a, b \ a.
Nótese que si a\\ entonces o = +1, que cuando a\b y también b\a
entonces a = ±¿>, y que cualquier b # 0 divide a 0. Si b\a, llamamos a b
un divisor de a. Nótese que si b es un divisor de g y de h, entonces es un
divisor de mg+nh para enteros arbitrarios m y n. Dejamos la verificación
de todas estas afirmaciones como ejercicio.
Definición. El entero
de a y b si:
se dice que es el máximo común divisor
1) c es un divisor de a y de b;
2) cualquier divisor de a y b es un divisor de c.
Usaremos la notación (a, b) para representar al máximo común divisor
de a y b. Como se exige que el máximo común divisor sea positivo, (a, b)
12.
ue debe
(a,
b)
(~a,b)
(-*•
b). Por ejemplo, (60, 24)
(60,
24)
este exista.
Otro comentario: el simple hecho de que hayamos definido
entenderse por máximo común divisor, no sarántiz
Tendremos que probar su existencia. Sin embargo, podemos decir que si
existe .entonces ha de ser único, pues si tuviéramos cx y c2 que satisficieran
ambas condiciones de la anterior definición entonces c, | c2 y c2 \ c x, de donde
tendríamos c}=±c2; pero la exigencia de positividad nos da r, = c2.
Nuestra primera tarea es, pues, la de demostrar la existencia de (a. b). Al
hacerlo, en el próximo lema, probaremos realmente un poco más, a saber,
que (a9 b) debe tener una forma particular.
Lema 1.5. Si a y b son enteros; no ambos cero, entonces (a, b) existe;
podemos, además, encontrar enteros m0 y n0 tales que (a, b) = m0a + n0b.
Prueba. Sea PK el conjunto de todos los enteros de la forma ma + nb
donde m y n toman valores enteros cualesquiera. Como uno de los dos
a y b es distinto de cero, hay enteros distintos de cero en ?}Z. Como
x
ma + nb está en ?7l,
x
( — m)a + ( — n)b también está enOK; por

30 NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
tanto, 7R siempre tiene algunos números positivos. Pero entonces hay én
.TTí un entero positivo mínimo c; por estar en J7í, c tiene la forma
c = m0a + n0b. Afirmamos que c = (a, b).
Notemos primero que si d\ a y d\¿>, entonces d\(m0a + n0b)y de donde d\ c.
Debemos ahora demostrar que c\a y c\b. Dado un elemento cualquiera
x = ma + nb de JK, por el algoritmo de Euclides tenemos x — tc + r donde
0 < r < c. Es decir, escribiéndolo explícitamente, ma+nb = t(m0a +
+ n0b) + r, donde r = (m — tm0)a+(n — tn0)b y debe, por tanto, estar en ?Tl.
Como 0 ^ r y r < c, por la elección de c, r = 0, Así pues, x = /c; hemos
probado que c|x para cualquier xe JIí. Pero a — 1 a+0¿>eíJIt y b = 0a+
!¿>e3Tí, de donde c|a y c|¿>.
Hemos probado que c satisface las propiedades requeridas para ser
(a, b) con lo que hemos probado el lema.
Definición. Los enteros a y b son primos relativos si (a, b) = 1.
Como una consecuencia inmediata del lema 1.5 tenemos el
Corolario. Si a y b son primos relativos, podemos encontrar enteros
m
m y n tales que ma+nb = 1.
introduciremos ahora otro concepto familiar. El de número primo.
Entenderemos por esto un entero que no tiene una factorización distinta
de las triviales. Por razones técnicas excluimos el 1 del conjunto de
números primos. En la sucesión 2, 3, 5, 7, 11, todos son números primos;
también en —2, —3, —5, —7, —11 son todos números primos. Como al
factorizar, que un número sea negativo no introduce ninguna diferencia
esencial, para nosotros los números primos serán siempre positivos.
Definición. El entero p > 1 es un número primo si sus únicos divisores
son ± 1 y ±p.
Otra forma de enunciar esto es decir que un entero p (mayor que 1) es
un número primo si y sólo si dado otro entero n cualquiera, entonces
(p, n) = 1 o p\n. Como veremos pronto, los números primos son los
bloques de construcción de los enteros. Pero primero necesitamos la siguiente
observación importante.
Lema 1.6. Si a es un primo relativo a ¿>, pero a \ bcy entonces a \ c.
Prueba. Como a y b son primos relativos, podemos encontrar, por el
corolario al lema 1.5, enteros m y n tales que ma + nb = 1. Así pues
mac+nbc — c. Pero a\mac y, por hipótesis, a\nbc; luego a|(mac+nbc).
Como mac+nbc = c, concluimos que a|c, que es- precisamente lo que el
lema afirma.
Como consecuencia inmediata del lema y de la definición de número
primo está el importante
m

i 3. LOS ENTEROS 31
Corolario. Si un número primo divide ai producto de ciertos enteros,
debe dividir al menos a uno de estos enteros.
Dejamos al lector la prueba del corolario.
Hemos afirmado que los números primos sirven como bloques de
construcción para el conjunto de los enteros. El enunciado preciso de esto se
da en el "teorema de factorización única".
Teorema l.c. Cualquier entero positivo a > I puede factorizarse en forma
única como a — P\Xxp2*2 • •• P^\ donde p, > p2 > ... > pt son números
primos y donde cada z¡ > 0.
Prueba. El teorema en la forma en que lo hemos enunciado consiste
realmente en dos subteoremas; el primero afírma la posibilidad de factorizar
el entero dado como un producto de potencias de primos; el segundo nos
asegura que esta descomposición es única. Probaremos el teorema mismo
probando cada uno de estos dos subteoremas separadamente.
Se nos presenta de inmediato la pregunta: ¿cómo nos arreglaremos
para probar el teorema? Un método natural de ataque consiste en el empleo
de la inducción matemática. Unas pocas palabras acerca de éste; usaremos
la siguiente versión de la inducción matemática: si la proposición P(m0)
es cierta y si el que P(r) sea cierta para toda r tal que m0 < r < k implica
la verdad de P(k), entonces P(n) es. cierta para todo n ^ m0. Esta variante
del principio de inducción puede mostrarse que es una consecuencia de la
propiedad básica de los enteros, que afírma que cualquier conjunto no vacío
de enteros positivos tiene un elemento mínimo (véase el problema 10).
Probamos primero que todo entero a > 1 puede factorizarse como un
producto de factores potencias de primos; nuestra forma de atacar al
problema es mediante la inducción matemática.
Ciertamente, m0 = 2, como es un número primo, tiene una representación
como un producto de potencias de primos.
Supongamos que cualquier entero r, 2 < r < k pueda ser factorizado
como un producto de potencias de primos. Si el mismo k es un número
primo, entonces es un producto de potencias de primos. Si ncyes un
número primo, entonces k — uv donde \ < u < k y ] < v < k. Por la
hipótesis de inducción, como tanto u como r son menores que k, cada uno de
ellos puede factorizarse como un producto de potencias de primos. Luego
k = uv es también un producto tal. Hemos demostrado que la verdad de la
proposición para todos los enteros r, 2 < r < k, implica su verdad para k.
Por consiguiente, por el básico principio de inducción, la proposición es
cierta para todos los enteros n ^ m0 = 2; es decir, todo entero n ^ 2 es un
producto de potencias de primos.
Pasemos ahora al problema de la unicidad. También aquí usaremos la
inducción matemática, y en la forma en que la hemos acabador de usar.

32
NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
Supongamos que
a — V\ Pl "- Pr ~ H\ H2 '" Hs
donde px > p2 > ..-A., Q\ > <?2 > ••• > aa son números primos, y donde
cada a¡ > 0 y cada /?, > 0. Nuestro objetivo es probar que:
2) P\ = Q\>Pl = <¡2>~->Pr = Qr>
3) «, = 0i, a2 = P2,...,ar =
Arpara a = 2 esto es claramente cierto. Procediendo por inducción supo-
ira todos los enteros w; 2
u — Pi ... pr — ^i ... ^s
a. Ahora bien,
y como ai > 0, />, |a, luego px \qxpl ... <?/". Pero como /?, es un número
primo, según el corolario al lema 1.6, se sigue fácilmente que/?, = qx para
algún i. Luego qx ^ q{ = pt. Análogamente, como qx\a llegamos a la
conclusión de que qx = pj para algún y, de donde />, ^ Pj = qt. En
resumen, hemos demostrado que px = <?,. Por tanto a = plaip2"2 .-./V
Pifi%q2P2 ••• <?*''. Afirmamos que esto obliga a que a, = /?,. (¡Pruébese!)
Pero entonces ¿> = a//?*1 = p2"2... pra" = qiPi • • • <?/*• Si ¿> = 1, entonces
a2 = ... = 0Lr = 0 y p2 = ... = ps = 0; es decir, r = j = 1, y el enunciado
se verifica. Si ¿> > 1, entonces como b < a podemos aplicar nuestra hipótesis
de inducción a b para obtener:
1) el número de distintos factores potencias de primos (en b) es igual en
ambos lados, es decir, r— 1 = s— 1, luego r « s;
2) «2 = /?2»"-i ar = A-i
3) />2 = <?2* •••>/>r - ?r-
Junto con la información que ya hemos obtenido, a saber, /?, = qt y
<x, = /?,, es esto precisamente lo que estamos intentando probar. Vemos
pues que la hipótesis de la unicidad de la factorización para los enteros
menores que a implica la unicidad de la factorización para a. En consecuencia
la inducción se ha completado y la afirmación de la unicidad de la
factorización ha sido probada.
Cambiamos ahora un poco de dirección para estudiar la importante
noción de congruencia módulo un entero dado. Como veremos más tarde
la relación que ahora introducimos es un caso especial de una mucho más
general que puede definirse en un contexto mucho más amplio.
Definición. Sea n > 0 un entero fijo. Definimos a = b mód n si
n\(a-b).
Nos referimos a esta relación como "congruencia módulo n'\ n se llama
módulo de la relación, y a a s b mód n lo leemos "a es congruente con b
módulo n". Tenemos, por ejemplo, 73 s 4 mód 23, 21 s -9 mód 10, etc.

i 3. LOS ENTEROS 33
Esta relación de congruencia tiene las siguientes propiedades básicas:
Lema 1.7
1) La relación "congruencia módulo nn define una relación de equivalencia
en el conjunto de los enteros.
2) Esta relación de equivalencia tiene n distintas clases de equivalencia.
3) Si a s b mód n y c = d mód n entonces a+c = b + d mód n y
ac = bd mód n.
4) Si ab = ac mód n y a es primo relativo con n, entonces b = c mód n.
t
Prueba. Verificamos primero que la relación "congruencia módulo ri*
es una relación de equivalencia. Como /i|0, tenemos, ciertamente, que
n\(a—a) de donde a = a mód n para toda a. Además, si a = b mód n
entonces n\(a—b)f y, por tanto, n\(b — a) = — (a—b); luego b = a mód n.
Finalmente, si a = b mód n y b s c mód ny entonces n\(a—b) y n\(b — c)>
de donde n\{{a—b) + (b—c)}, es decir, n\(a—c). Esto, desde luego, implica
que a = c mód n.
Denotemos a la clase de equivalencia de esta relación a la que pertenece a
por el símbolo [a]; y la llamamos clase de congruencia (mód n) de a. Dado
un entero cualquiera a, por el algoritmo euclidiano a = kn + r donde
0 < r < n. Pero entonces ae[r]y luego [a] = [r]. Hay, por tanto, cuando
más n distintas clases de congruencia; a saber, [0], [1],..., [n— 1]. Pero éstas
son distintas, pues si [i] = [j] y, digamos, 0 < i < j < n, entonces n\(j—i)
donde./— i es un entero positivo menor que n, lo que es obviamente imposible.
Hay, por consiguiente, exactamente n distintas clases de congruencia
[0], [1],..., [n — 1]. Y ya tenemos probadas las aserciones (1) y (2) del lema.
Probemos ahora la parte (3). Supongamos que a ~ b mód n y que c = d
mód n; luego n\(a—b) y n\(c—d). Tenemos entonces n\{{a—b) + (c—d)} y
por tanto n\{(a+c) — (b + d)}. Pero entonces a+c s b+d mód n. Además
n\{(a — b)c+(c—d)b) = ac—bdy de donde ac = bd mód n.
Observemos finalmente que si ab = ac mód n y si a es primo con n,
entonces el hecho de que n\a(b — c), por el lema 1.6, jmplica que n\(b — c)
y por tanto que b = c mód n.
Si a no es un primo relativo con n, el resultado de la parte (4) puede ser
falso; por ejemplo, 2.3 = 4.3 mód 6, aunque 2^4 mód 6.
El lema 1.7 nos abre ciertas posibilidades interesantes. Sea J„ el conjunto
de las clases de congruencia mód n; es decir, Jn = {[0], [1],..., [n— 1]}.
Dados dos elementos [i] y [j] en Jn, definamos:
a) [i] + U] = [i+j];
b) [i] U] = KA-
Afirmamos que el lema nos asegura que esta "adición" y esta "multipli-
catión" están bien definidas; es decir, que si [i] = [/"] y [/] = [/'], «ntonces

34
NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
M + Ü1 = ['"+/] = ['"+/] = [n + Ü'lyqucMt/] - ['*'][/]• (iVerifiqúese!)
Estas operaciones en Jn tienen las siguientes interesantes propiedades (cuyas
pruebas dejamos como ejercicios): para cualesquiera [/], [7], [k] en J„
1) [i] + [y] = [y] + MI .
i\ r-ir i r 11 r-i ( leyes conmutativas;
2) [i] [j] = [./] [/] J J
3) ([i]+ [/]) + [*] = W + (t/l + [*])l leyes asoc¡at¡vas.
4) a/][/i)w = woL/iw) I y asoc,at,vas*
5) [/]([/] + [*]) = Wl/l + WW ley distributiva;
6) [0] + [/]-[/};
7) [!][/] = [/].
Una observación más: si n = p es un número primo y si [a] ^ [0] está
en Jp, entonces hay un elemento [b] en Jp tal que [a][b] = [I].
El conjunto Jn juega un papel importante en álgebra y teoría de números.
Se llama conjunto de enteros mód w; antes de que sigamos mucho más
lejos habremos tenido ocasión de conocerlo bastante bien.
Problemas
1. Si a\b y b\a, pruébese que a = ±b.
2. Si b es un divisor de g y de /?, pruébese que es un divisor de mg + nh
■
3. Si a y b son enteros, el mínimo común múltiplo de a y ¿\ al que
representaremos por [a, b]% está definido como el entero positivo d tal
que: 1) a\dy b\d.
2) Siempre que a\x y b\x, entonces d\x.
r
Pruébese que [a, b] existe y que [a, b] = -.—tt'
4. Si a\x y b\x y {a, b) = 1 pruébese que (a, b)\x.
5. Si a = P]*1 • ••Pk*k y ° — PiPt -"PkPk donde los p¡ son números
primos distintos y donde todo ct¡ ^ 0, y todo fi¡ ^ 0, pruébese que:
1) (a, b) = p{6t ... pkbk donde S¡ = mínimo de ol¡ y fiÁ para cada /.
2) [o, b] = p}yi ..-Pkk donde y¡ = máximo de af y p¡ para cada /.
6. Dadas a, bt al aplicar el algoritmo euclidiano sucesivamente tenemos
a = q0b + r^ 0 ^ r, < \b\
b = <7,/,1+r2,0 ^ ri < r\
rt = q2r2+r*,0 ^ r3 < r2
rk = % + i',ft + !+',* + 2.0 ^ rfc + 2 < r
A -Kl

I 3. LOS ENTEROS 35
Como los enteros rk son decrecientes y todos son no negativos, hay un
primer entero n tal que rn+l = 0. Pruébese que rn = (¿7, b). (Consideramos
aquí r0 = \b\.)
7. Úsese el método del problema 6 para calcular:
a) (1128,33).
b) (6540, 1206).
8. Para comprobar que n es un número primo, pruébese que es suficiente
demostrar que no es divisible por ningún primo p tal que p ^ ^fh.
9. Pruébese que n > I es un primo si y sólo si para cualquier a o
(a, n) = I o n\a.
10. Suponiendo que todo conjunto no vacío de enteros positivos tiene
un elemento mínimo, pruébese que:
a) Si la proposición P es tal que
1) P(m0) es cierta
2) la verdad de P(m— 1) implica la verdad de P(m)
entonces P(n) es cierta para toda n ^ m0.
b) Si la proposición P es tal que
1) P(^o) es cierta
2) P(m) es cierta siempre que P(a) es cierta para toda a tal que
m0 < a < m,
entonces P(n) es cierta para toda n > m0.
11. Pruébese que la adición y la multiplicación usadas en J„ están
bien definidas.
12. Pruébense las propiedades (1-7) para la adición y la multiplicación
en Jn.
13: Si (o, n) = 1, pruébese que uno puede encontrar [b]eJn tal que
[a][b] = [\] en JH.
*14. Si p es un número primo, pruébese que para cualquier entero a,
ap = a mód p.
15. Si (w, n) = 1, dadas a y b, pruébese que existe una x tal que x = a
mód m y x = b mód n.
16. Pruébese el corolario al lema 1.6.
17. Pruébese que n es un número primo si y sólo si en Jn [a][b] =f0-
implica que [a] = [0] o [b] = [0].

36 NOCIONES PRELIMINARES — Cap. 1
Lecturas suplementarias
Para conjuntos y números cardinales:
Birkhoff, G. y MacLane, S-, A Brief Survey of Modern Algebra. The
Macmillan Company, Nueva York, 1953.

En este capítulo emprenderemos el estudio del objeto algebraico conocido
como "grupo" que sirve como uno de los bloques de construcción
fundamentales de la gran estructura que hoy se llama álgebra abstracta. En
capítulos posteriores echaremos una mirada a algunos de los otros, tales
como anillos, campos, espacios vectoriales y álgebras lineales. Aparte de
que ya se ha hecho tradicional comenzar con el estudio de los grupos, hay
razones naturales convincentes para esta elección. Para comenzar, los
grupos, como sistemas con una sola operación, se prestan a la más simple
de las descripciones formales. Sin embargo, a pesar de esta simplicidad de
descripción los conceptos fundamentales del álgebra tales como homo-
morfismo, construcción cociente, etc., que juegan un papel tan importante

38 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
en todas las estructuras algebraicas —en realidad, en todas las
matemáticas— entran aquí en una forma pura y reveladora.
Permítasenos en este punto, antes de que los detalles nos abrumen,
echar una rápida ojeada al camino que vamos a recorrer. En el álgebra
abstracta tenemos ciertos sistemas básicos que, en la historia y el desarrollo
de las matemáticas, han alcanzado posiciones de importancia extraordinaria.
Éstos son, generalmente, conjuntos con cuyos elementos podemos operar
algebraicamente —por lo que entendemos que podemos combinar dos
elementos del conjunto, quizá de varias maneras, para obtener un tercer
elemento también del conjunto— y, además, suponemos que estas
operaciones algebraicas están sujetas a ciertas reglas que se indican explícitamente
en lo que se llaman axiomas o postulados definitorios del sistema. En este
marco abstracto, intentaremos probar teoremas acerca de estas mismas
estructuras generales, esperando siempre que cuando estos resultados se
apliquen a una realización particular y concreta del sistema abstracto,
afluirán hechos y conocimientos de la estructura interna del ejemplo que
se discuta y que habrían quedado oscurecidos para nosotros por el
volumen de información sin importancia que se nos presenta en todo caso
particular.
Nos gustaría subrayar que estos sistemas algebraicos y los axiomas que
los definen deben tener cierta naturalidad. Deben surgir de la experiencia
que resulta de observar muchos ejemplos; deben ser ricos en resultados
significativos. Sentarse, hacer una lista de unos cuantos axiomas y proceder
al estudio del sistema así descrito, no resulta un procedimiento adecuado
de trabajo en matemáticas. Admitimos que esto es lo que hacen algunos,
pero la mayor parte de los matemáticos descartarán estos ensayos como
matemáticas mediocres. Los sistemas que se estudian, son estudiados porque
casos particulares de tales estructuras han aparecido una y otra vez,
porque alguien, finalmente, notó que estos casos particulares eran realmente
concreciones de un fenómeno general, porque alguien nota analogías entre
dos objetos matemáticos aparentemente disímiles y ello le dirige hacia una
investigación sobre las raíces de estas analogías. Para citar un ejemplo,
hacia finales del siglo xvui y comienzos del xix se estaba estudiando caso
tras caso de este objeto matemático que hoy conocemos como grupo; pero,
sin embargo, no fue sino hasta ya bastante avanzado el siglo xix que se
introdujo la noción de grupo abstracto. Las únicas estructuras algebraicas
hasta ahora encontradas que han resistido el embate del tiempo y han
sobrevivido y crecido en importancia, son las basadas en un amplio y alto
pilar de casos particulares. Entre matemáticos, nadie discute ni la belleza
ni la importancia del primer ejemplo que, para discutir, hemos elegido
los grupos.
*

39
1. DEFINICIÓN DE GRUPO
Parece aconsejable que en este punto recordemos una situación discutida
en el primer capítulo. Dado un conjunto arbitario no vacío S definimos
A(S) como el conjunto de todas las aplicaciones biyectivas del conjunto
Ssobre sí mismo. Para cualesquier dos elementos o\ xeA(S) introducimos
un producto al que representábamos por o o r, y una investigación posterior
nos mostraba la certeza de los siguientes hechos acerca de los elementos
de A(S) sometidos a este producto:
1) Siempre que a, tG/4(S), entonces se sigue que aot está también
en A(S). Describimos esto diciendo que A(S) es cerrado respecto al
producto (a veces decimos, "cerrado respecto a la multiplicación").
2) Para cualesquier tres elementos a, xyfieA (5), a o(ro^) = (p ox)ofi.
A esta relación se le llama ley asociativa.
3) Hay un elemento muy especial isA(S) que satisface / o a = o o / = a
para todo oeA(S). A tal elemento se le llama elemento identidad
de A (S).
4) Para todo <reA(S) hay un elemento, al que representamos por <r~\
también en A (5), tal que a o a"1 = a"1 o o = t. Esta situación
generalmente se describe diciendo que todo elemento de A(S) tiene
un inverso en A (5).
Se verifica también otro hecho acerca de A (5); a saber, que siempre que
5 tiene tres o más elementos podemos encontrar dos elementos a, 0€A(S)
tales que a o fi ^ /? o a. Esta posibilidad que contradice nuestra experiencia
e intuición matemática habituales, introduce una riqueza en A(S) de la que,
a no ser por ello, habría carecido.
Con este ejemplo como modelo y un gran conocimiento de muchas
situaciones matemáticas y mucha abstracción construimos la siguiente
Definición. Un conjunto no vacío de elementos G se dice que forma un
grupo si en G está definida una operación binaria, llamada producto y
denotada por (•) tal que:
J) a,beG implica que a-bsG (cierre).1
2) o, b, ceG implica que a-{b-c) = (a-b)-c (ley asociativa).
3) Existe un elemento eeG tal >que a-e = e-a = a para todo ae<7
(existencia de un elemento identidad en G).
4) Para todo aeG existe un elemento a~leG tal que a-a~l =a~l-o = e
(existencia de inversos en G).
m
1 Cuando los "resultados" de una operación entre elementos de un, conjunto son
también elementos del conjunto, también es frecuente decir que el conjunto es "estable"
respecto a la operación. [N. del T.]

40 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
Considerando el origen de esta definición no es nada sorprendente que
para todo conjunto no vacío S> el conjunto A(S) sea un grupo. Hemos,
pues, presentado ya una inagotable fuente de interesantes grupos concretos.
Veremos posteriormente (en un teorema debido a Cayley) que estos A(S)
constituyen, en cierto sentido, una familia universal de grupos. Si S tiene
tres o más elementos, recordemos que pueden encontrarse elementos er,
xeA(S) tales que a ° t & x ° a. Nos induce esto a remarcar una clase de
grupos muy especiales, pero muy importantes, en la siguiente definición.
Definición. Un grupo G se dice que es abe Harto (o conmutativo) si para
cualesqúier aybeG se tiene: a-b = b-a.
Un grupo que no es abeliano se llama, lo que parece bastante natural,
no abeliano; como hemos visto, una familia de ejemplos de tales grupos
sabemos muy bien que los grupos no abelianos ciertamente existen.
Otra característica natural de un grupo G es el número de elementos
de que consta. Llamamos a este orden de G y lo denotamos por o(G).
Este número es, desde luego, más interesante cuando es finito. En tal caso
decimos que G es un grupo finito.
Para ver que existen grupos finitos que no son triviales nótese que si
el conjunto S contiene n elementos, entonces el grupo A (S) tiene n elementos.
(¡ Pruébese!) Este ejemplo, ciertamente muy importante, se denotará siempre
que aparezca en este libro por S„. Le llamaremos grupo simétrico de grado n.
En la próxima sección haremos una disección más o menos completa de S3
que es un grupo no abeliano de orden 6.
*
2. ALGUNOS EJEMPLOS DE GRUPOS
Ejemplo 1. Supongamos que G está constituido por el conjunto de los
enteros 0, ±1, ±2,... con a-by para a, beG, definida como la suma usual
entre enteros, es decir, con a-b = a+b. El lector puede verificar fácilmente
que G es un grupo abeliano infinito en el que 0 juega el papel de e9 y —a
el dea-1.
Ejemplo 2. Supongamos que G consiste en los números reales 1 y — 1
con la multiplicación entre números reales como operación. G es entonces,
un grupo abeliano de orden 2.
Ejemplo 3. Sea G = S3> el grupo de todas las aplicaciones biyectivas
del conjunto {xt, x2, x3} sobre sí mismo, con el producto que definimos en
el capítulo 1. G es un grupo de orden 6. Haremos una pequeña digresión
antes de volver a S3.
Para tener una notación más clara, no solamente en S3 sino en cualquier
grupo (7, definamos para cualquier aeG, o° = e, a1 = a, a2 = a-a,

i 2. ALGUNOS EJEMPLOS DE GRUPOS
41
a3 = a-a2,..., o* = a-a*"1, y aT2 = (a"1)2, <*~* = (a-1)3, etc. El lector
puede verificar que las reglas habituales de los exponentes siguen teniendo
validez, es decir, que para dos enteros cualesquiera (positivos, negativos
o nulos) m, n,
i)
a • a — a
2)
(amy = a""
(Vale la pena hacer notar que, en esta notación, si G es el grupo del
ejemplo 1, <f representa al entero na.)
Con esta notación a nuestra disposición, examinemos 53 más de cerca.
Consideremos la aplicación <f> definida sobre el conjunto xltx2,x3 por
*i —► x2
y la aplicación
*3->*3
*l->*2
i//: *2->*3
*3-*l
2 ./.3
Podemos fácilmente comprobar que <f> = e, \¡f = e y que
*i -* *3
0-^: *2->*2
*3->*l
mientras que
*i~»*i
^•#: x2-*x
3
*3 ""* x2
o que </>-^ / ip-<f> puesto que no llevan axt a la misma imagen
ib3 = e, se sigue que é~l = ^*. Calculemos ahora la acción d<
~i
-1 _ .1.2
\¡f . -ó sobre x*, jc2, *3. Como ^f""1 = ^ y
*1 ">*3
*3->*2
tenemos que
*l->*3
\¡f l-<¡>: x2^x2
*3~>*1
-i
2
En otras palabras, <f>-\¡t = \¡t~l-<j>. Consideremos los elementos e, <f>, ^, \¡f ,
$*^> ^'^; todos ellos son distintos y pertenecen a G (puesto que G es
cerrado), que solamente tiene seis elementos. Así pues, esta lista enumera
todos los elementos de G. Se podría preguntar, por ejemplo, ¿cuál es el

42 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
elemento de la lista igual a \¡/-{<¡>-\l/)l Usando <¡)-\¡/ — \¡/~x'<¡> vemos
que \¡i•(<j>-0) = \¡t•(0'"'* • <t>) = (tfrmtp~l)'<l> = €-<¡) = <t>. De más interés
es la forma de {<}>• $)'($• <í>) = <¡>• (^'(&'<t>)) = <t>'(*P2*<t>) = <t>'(0'"'*'<t>)
= <j>'(<t>'*P) = <¡>2-\l/ = e-\p = 0. (El lector no debe asustarse de la larga y
tediosa cadena de igualdades que aqui aparecen. Va a ser ésta la última vez
que seamos tan tediosamente concienzudos.) Usando las mismas técnicas que
hemos empleado, el lector puede calcular para alegrarse de cualquier
otro u otros de los 25 productos que no implican a e. Algunos de ellos
aparecerán en los ejercicios.
Ejemplo 4. Sea n un entero cualquiera. Construimos un grupo de orden
_ *
n como sigue: G consistirá en todos los símbolos a\ i — 0, 1, 2,..., n— 1 en
donde insistimos en que a° = a" = e, a'-aJ = ai+j si i+y ^ n y ai-ai
— a,+J~n si /+/' > n. El lector puede verificar que esto es un grupo. Se le
conoce como grupo cíe/ico de orden n.
Una realización geométrica del grupo del ejemplo 4 puede obtenerse
como sigue: sea S la circunferencia en el plano de radio 1, y sea p„ una
rotación de un ángulo de 2n/n (radianes). Entonces p„eA(S) genera un
grupo de orden n\ a saber, {e, pnl p„2,..., p„"-1}.
3. ALGUNOS LEMAS PRELIMINARES
Ya hemos dedicado a la teoría de los grupos varias páginas y aún no
hemos probado ni un solo hecho acerca de ellos. Ya es tiempo de que
remediemos esta situación. Aunque hemos de admitir que los primeros
resultados que vamos a probar no son muy excitantes (la verdad es que son
bastante insípidos), veremos en seguida que son extraordinariamente útiles.
El aprendizaje del alfabeto no fue probablemente la parte más interesante
de nuestra educación infantil, sin embargo, una vez que lo dominamos,
qué panoramas más fascinantes se abrieron ante nosotros.
Comenzamos con el
Lema 2.1. Si G es un grupo, entonces
a) el elemento identidad de G es único;
b) todo aeG tiene un inverso único en G;
c) para todo aeGy (a'1)'1 = a;
d) para a,beG, (a-b)'1 =b~l-a~l.
Prueba. Antes de que comencemos propiamente con la prueba parece
aconsejable que veamos qué es lo que vamos a probar. En la parte (a)
queremos probar que si dos elementos e y f de G gozan de la propiedad
de que para todo aeG, a = a-e = e-a = a*f = f-a, entonces e =/. En la
parte (b) nuestro objetivo "es demostrar que si x-a = a-x = e y

§ 3. ALGUNOS LEMAS PRELIMINARES 43
ya — a-y = ey donde todos los tres a, jc, y están en G, entonces x = y.
Consideremos primero la parte (a). Como ea — a para todo aeG,
tenemos que, en particular, e-f = / Pero, por otra parte, b-f = b para todo
beCt luego debemos tener ef=e. Juntando estas dos fracciones.de
información obtenemos/ = e-f = e, y, por tanto, e =/.
En lugar de probar la parte (b) probaremos algo más fuerte que nos
traerá inmediatamente la parte (b) como consecuencia. Supongamos que
para a en G, a-x = e y a-y• = e; entonces, obviamente, a-x = úr¿>.
Hagamos de esto nuestro punto de partida. Es decir, supongamos que
ax — a-y con a, x, y en G. Hay un elemento b en G tal que b-a = e (por
lo que hasta ahora sabemos puede que haya varios de tales b). Por tanto,
b-(a-x) = b-{a-y). Usando la ley asociativa esto nos lleva a que
x = e-x = (ba)-x = b-{a-x) — b-{a-y) = (b-a)-y = e-y = >\
Hemos probado, en realidad, que en un grupo G, a-x = ay implica que
x = y. Análogamente, podemos probar que x-a = ¿>-fl implica que x = y.
Esto quiere decir que en los grupos podemos cancelar, siempre que sea del
mismo lado, en las ecuaciones. Pero debe tenerse presente que de que
a-x = ya no puede concluirse que x = y, pues no tenemos medio alguno
de saber que a-x = x-a. Queda esto ilustrado en S3 con a = $, x = ^,
La parte (c) se sigue de esto si observamos que a l-(a 1)~1 —e — a l-a;
cancelando la a~l a la izquierda nos da {a~l)~l = a. Esto es, para grupos
en general, lo análogo del resultado familiar, digamos por ejemplo,
— ( — 5) = 5, en los ríúmeros reales respecto a la suma.
La parte (d) es la más trivial de todas, pues {a-b)-{b~l -a~l)
= a-{(b-b~x)-a~x) = a-(e-a~x) = a-a'* = e% y luego, de acuerdo con la
definición de inverso, (a-b)"]t = b~xa~x.
Ciertos resultados obtenidos en la prueba son de suficiente importancia
para enunciarlos expresamente como hacemos ahora en el
Lema 2.2. Dados a, b en el grupo G, entonces las ecuaciones ax = b y
ya = b tienen soluciones únicas para x y y en G. En particular, las dos
leyes de cancelación,
a*u = a-w implica u = w
M
y
u-a = wa implica u = w
se verifican en G.
Dejamos al cuidado del lector los pocos detalles necesarios para la prueba
de este lema.
Problemas
1. Determínese, en cada uno de los siguientes casos, si el sistema
descrito es o no un grupo. En caso negativo, señálense cuál o cuáles de
los axiomas de grupo no se verifican.

44
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
a) G = conjunto de todos los enteros, a-b = a—b.
b) G = conjunto de todos los enteros positivos, a-b = ab, el
producto habitual de los enteros.
c) G = a0 y al,..., a6 donde
fl/-fly = ai+J si i+j < 7
a¡-aj = tf,+y-7si /+/£ 7
(por ejemplo a5<U = <*s+4.-7 = ai va Que 5+4 = 9 > 7).
d) G = conjunto de todos los números racionales con
denominadores impares, a-b = a+b, la adición usual de los números
racionales.
2. Pruébese que si G es un grupo abeliano, entonces, para todo af beG
y todos los enteros nt (a-'b)n = cf-b*.
3. Si G es un grupo tal que (a-b)2 = a¿-b2 para todo a, beG
demuéstrese que G ha de ser abeliano.
*4. Si G es un grupo en el cual (a-b)1 = a'-b1 para tres enteros
consecutivos i y para todos los a, beG, demuéstrese que G es abeliano.
5. Pruébese que la conclusión del problema 4 no tiene validez si
suponemos la relación (a-b)1 = af'b1 solamente para dos enteros
consecutivos.
6. Proporciónese en 53 un ejemplo de dos elementos x,y tales que
(x-y)2 # x2-y2.
i
7. Pruébese que en 53 hay cuatro elementos.que satisfacen x* = e y
tres elementos que satisfacen y3 = e.
8. Si G es un grupo finito, pruébese que existe un entero positivo N
tal que aN = e para todo ae G.
9. a) Si el grupo G tiene tres elementos, pruébese que ha de ser abeliano.
b) Hágase la parte (a) si G tiene cuatro elementos.
c) Hágase la parte (a) si G tiene cinco elementos.
10. Demuéstrese que si todo elemento de G es su propio inverso,
entonces G es abeliano.
11. Si G es un grupo de orden l»par, pruébese que tiene un elemento
a # e tal que a2 — e.
asociativo
emás satisface:
a) Existe un eeG tal que a-e = a para toda aeG.
Pruébese que G debe ser un grupo
y(a) = e.

14. SUBGRUPOS
45
13. Pruébese, mediante un ejemplo, que la conclusión del problema 12
es falsa si en lugar de las anteriores hipótesis hubiésemos supuesto que:
a') Existe un eeG tal que a-e = a para toda aeG.
b') Dada aeG existe y(a)eG tal que y (a)-a = e.
finito
ca
que G debe ser un grupo
15. á) Usando el resultado del problema 14, pruébese que los enteros no
cero módulo p, con p un número primo, forman un grupo
respecto a la multiplicación módulo p.
b) Pruébese lo dicho en la parte (a) para los enteros no cero primos
relativos con n bajo la multiplicación mód n.,
16. En el problema 14 demuéstrese, mediante un ejemplo, que si solo se
supone la validez de un» de las leyes de cancelación; entonces la conclusión
no necesariamente se sigue.
17. Pruébese que en el problema 14 existe una infinidad de ejemplos
que satisfacen las condiciones y no son grupos.
pO-abel
(Si
operación
pruébese que no importa cómo pongamos los paréntesis en a¡a2...an*
pero conservando el orden de los elementos, siempre se obtiene el mismo
inducción sobre ri\.
(
0\'(a2-{ayaA))\ úsese la
4. SUBGRUPOS
Antes de volver al estudio de los grupos, desearíamos cambiar nuestra
■
notación ligeramente. Es molesto seguir usando el (•) para la operación
de grupo; de aquí en adelante prescindiremos de él y en lugar de escribir
ab para a, beG denotaremos tal producto simplemente por ab.
En general, no estaremos interesados en subconjuntos arbitrarios de un
grupo G pues no reflejan el hecho de que G tiene una estructura algebraica.
Todos los subconjuntos que consideraremos serán de los que tengan
propiedades algebraicas derivadas de las de G. Los subconjuntos más
naturales de entre los de tales tipos se introducen en la siguiente
Definición. Un subconjunto H de un grupo G se dice que es subgrupo
de G si respecto al producto en G, H mismo forma un grupo.
Hacemos notar que es claro que si H es un subgrupo de G, y K es un
subgrupo de //^entonces K es un subgrupo de. G.

46 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
Sería útil tener algún criterio para decidir si un subconjunto dado dé un
grupo es un subgrupo. Es este el propósito de los próximos dos lemas.
Lema 2.3. Un subconjunto no vacío H del grupo G es un subgrupo de G
si y sólo si
1) a,beH implica que abeH;
2) ae H implica que a~K e //.
Prueba, Si H es un subgrupo de G, entonces es obvio que (1) y (2)
deben verificarse.
Supongamos, recíprocamente, que H es un subconjunto de G para el
que se verifican (I) y (2). Para confirmar que H es un subgrupo todo lo que
se necesita verificar es que eeH y que la ley asociativa se verifica para
■
los elementos de //. Como la ley asociativa es válida para G, es claro que
también es válida para H que es un subconjunto de G. Si aeH, según (2)
¿7-,e//, luego de acuerdo con (I) e — aa~leH. Y esto completa la prueba.
En el caso especial de un grupo finito, la situación se hace aún más
sencilla, pues en tal caso podemos prescindir de la condición (2).
■
Lema 2.4. Si H es un subconjunto finito no vacío de un grupo G, y H es
cerrado respecto a la multiplicación, entonces H es un subgrupo de G.
Prueba. A la luz del lema 2.3 no necesitamos otra cosa que demostrar
que siempre que aeH, entonces a~]eH. Supongamos que aeH; entonces
a2 — aaeH,a* = a2ae//,..., ame//,... yaque //es, por hipótesis, cerrado.
Luego la colección infinita de elementos ay a2, ...,amy... debe estar contenida
en //, que es un subconjunto finito de G. Luego debe haber repeticiones en
esta colección de elementos; es decir, para algunos enteros r, s con r > s > 0,
d = as. Por la cancelación en G, ar~s = e (de donde e está en //); como
r-s-\ 7* 0, ars~leH y a~l = <f-*~x ya que acT'''1 = ar~s = e. Por
tanto, a~xeHs lo que completa la prueba del lema.
El lema nos dice que para comprobar si un subconjunto de un grupo
w
finito es un subgrupo, lo único que necesitamos ver es que sea cerrado
respecto a la multiplicación.
Ahora, quizá debamos ver algunos grupos y algunos de sus subgrupos.
G es siempre un subgrupo de sí mismo; también el conjunto consistente
tan solo en e es un subgrupo de G. Ninguno de ellos es particularmente
interesante en su función de subgrupo, de modo que los describimos como
subgrupos triviales. Los subgrupos entre estos dos extremos, a los que
llamaremos subgrupos no triviales, son los que más nos interesarán.
Ejemplo 1. Sea G el grupo de los enteros bajo la adición, H el
subconjunto consistente en todos los múltiplos de 5. El lector debe comprobar
que H es un subgrupo.

•
■
§ 4. SUBGRUPOS 47
En este ejemplo no hay nada extraordinario acerca del 5; de manera
semejante podríamos definir el subgrupo H„ como el subconjunto de G
consistente en todos los múltiplos de n. Hn es, para cualquier n, siempre un
subgrupo. ¿Qué es lo que puede decirse acerca de //„nf/m? Quizá sea
prudente probar con HbnH9.
m
Ejemplo 2. Sea 5 un conjunto cualquiera, A(S) el conjunto de todas las
aplicaciones biyectivas de 5 sobre sí mismo, que sabemos es un grupo bajo
la composición de aplicaciones. Si jc0g5, sea H(x0) = {(¡>£A(S)\xQ<¡) = x0}.
fí(x0) es un subgrupo de A(S). Si para xt ^ x0eS definimos //(*,), ¿qué
es H(x0)nH(xx)l
Ejemplo 3. Sea G un grupo cualquiera y asG. Sea (a) = {a'\i
= 0, ± 1, ±2, ...}. (a) es un subgrupo de G (¡verifiqúese!); se llama
subgrupo cíclico generado por a. Esto nos da una fácil fórmula para producir
subgrupos de G. Si para una cierta elección de a. G = (a), entonces decimos
que G es un grupo cíclico. Tales grupos son muy particulares, pero juegan
un papel muy importante en la teoría de grupos, especialmente en la parte
que trata de los grupos abelianos. Desde luego, los grupos cíclicos son
abelianos, pero la afirmación recíproca es falsa.
■
Ejemplo 4. Sea G un grupo, y W un subconjunto de. G. Sea (W) el
conjunto de todos los elementos de G representa bles como un producto de
elementos de W elevados a potencias de exponente positivo, negativo o cero.
(W) es el subgrupo de G generado por W y es el mínimo subgrupo de G que
contiene a W. En realidad, (W) es la intersección de todos los subgrupos
de G que contienen W (hay al menos un tal subgrupo, pues G es un
subgrupo de G que contiene a W).
m
Definición. Sea G un grupo, H un subgrupo de G\ para a, bs G decimos
que a es congruente con b mód H, lo que escribimos: a = b mód //,.si
ab~leH.
*
Lema 2.5. La relación a = b mód H es una relación de equivalencia.
Prueba. De acuerdo con el capítulo I podemos ver que para probar el
lema 2.5 debemos verificar las siguientes tres condiciones: para todas
¿7, b, ce G
1) a = a mód H;
2) a = b mód H implica b = a mód H\
3) a = b mód //, b = c mód H implica a = c mód H.
Estudiemos, una por una, estas condiciones.
I) Para probar que a = a mód H debemos probar, usando la definición

48 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
■
de congruencia mód //, que aa~leH. Como H es un subgrupo de G, ee-H,
y como aa'1 = e, aa~leH, que es lo que se nos pedía demostrar.
2) Supongamos que a = b mód //, es decir, supongamos ab~leH;
queremos deducir de esto que b s a mód //, o, lo que es lo mismo, que
ba~leH. Como ab"leH, que es un subgrupo de G, (qb~l)~xeH\ pero
según el lema 2.1, (^¿r1)"1 = ba~l, luego ba~leH y b = a mód //.
3) Finalmente, pedimos que a = b mód H y b = c mód // implique
ase mód //. La primera congruencia se traduce en ab~1eH, la segunda en
bc~leH; como H es un subgrupo de G, (ab~x) (bc~ l)eH. Pero ac_1
= aec"1 = ^(¿r1^)*:"1 = (ab~l)(bc~l), luego ac~leH, de lo que se sigue
que a = c mód //.
Esto determina que la congruencia módulo H sea una verdadera relación
de equivalencia de acuerdo a lo definido en el capítulo 1, y todos los
resultados acerca de relaciones de equivalencia pueden utilizarse en el
examen de esta relación particular.
Unas palabras acerca de la notación usada. Si G fuera el grupo de enteros
con la adición como operación, y H = //«el subgrupo consistente en todos
los múltiplos de n, entonces, en G, la relación a = b mód //, es decir,
ab~leHt con la notación aditiva se leería a—b es un múltiplo de n. Esta es
la congruencia módulo n habitual de la teoría de los números. En otras
palabras, la relación que hemos deñnido usando un grupo y un subgrupo
arbitrarios es la generalización natural de una relación familiar en un
grupo familiar.
Definición. Si Hes un subgrupo de G, y ae G, entonces Ha = [ha \heH}.
A Ha se le llama ciase lateral derecha de H en G.
Lema 2.6. Para todo aeG,
Ha = {xeG\a = x mód //}.
Prueba, Sea [a] = [xeG\a = x mód //}. Mostramos primero que
Haa\á\. Pues si heH, entonces a(ha)~l = a(a^íh~l) = /T1, luego está
en H ya que H es un subgrupo de G. Según la definición de congruencia
mód H esto implica que hae[a] para todo heH, luego Hac:[a].
Supongamos, ahora, que xe[a]. Entonces ax~leHy luego (ax~ x)~l =xa~l
está también en //. Es decir, xa-1 = h para algún heH. Multiplicando
ambos lados por a a la derecha obtenemos x = /?a, luego xeHa. Por tanto,
[a] c Ha. Habiendo probado las dos inclusiones [a] a Ha y Ha a [a],
podemos concluir que [a] = Ha, que es lo que afirma el lema.
M
En la terminología del capitulo 1, [a], y por tanto Ha, es la clase de
equivalencia de a en G. De acuerdo con el teorema 1.a estas clases de
equivalencia constituyen una descomposición de G en subconjuntos ajenos.
Por tanto, dos clases laterales derechas de H en G o son idénticas o no tienen
elemento común alguno.

14. SUBGRUPOS
48
Afirmamos ahora que entre dos clases laterales derechas de H en G,
Ha y Hb, existe una correspondencia biyectiva, a saber, la que a cada
elemento haeHa, donde heH, asocia el elemento hbeHb. Claramente esta
aplicación es sobre Hb. Afirmamos que es una correspondencia biyectiva.
En efecto, si /í,¿? = h2b, con hl9h2eH9 entonces por la ley de cancelación
válida en G, ht = h2 y, por tanto, hYa = h2a. Y esto prueba el
Lema 2.7. Hay una correspondencia biyectiva entre dos clases laterales
derechas cualesquiera de H en G.
El lema 2.7 es de máximo interés cuando H es un grupo finito, pues
entonces lo que afirma es que dos clases laterales derechas de H tienen el mismo
número de elementos. ¿Cuántos elementos tiene una clase lateral derecha
de H1 Bien, nótese que H = He es, él mismo, una clase lateral derecha de H,
luego cualquier clase lateral derecha de H en G tiene o(H) elementos.
Supongamos ahora que G es un grupo finito y sea k el número de clases
laterales derechas distintas de H en G. Según los lemas 2.6 y 2.7, dos clases
laterales derechas cualesquiera disfintas de H en G no tienen ningún elemento
en común, y cada una de ellas tiene o(H) elementos.
Como cualquier aeG está en una única clase lateral derecha, Ha, las
clases laterales derechas llenan G. Luego si k representa el número
de distintas clases laterales derechas de H en G, debemos tener que
ko(H) = o(G). Hemos probado un famoso teorema debido a Lagrange,
a saber,
Teorema 2.a. Si G es un grupo finito y H es un subgrupo de G, entonces
o(H) es un divisor de o(G).
Definición. Si H es un subgrupo de G, el índice de H en G es el número
distintas clases laterales derechas de H en G.
Representaremos al índice de H en G por iG(H). Si G es un grupo finito,
o
iQ(H) = (7¡\y como vimos claramente en la prueba del teorema de
Lagrange. Es muy posible que un grupo infinito G tenga un subgrupo
H ^ G que sea de índice finito en G.
Puede que a este nivel sea difícil para el estudiante ver la importancia
extrema de este resultado. A medida que avancemos en la materia más y más,
también más y más se irá dando cuenta de su carácter fundamental. A causa
de su importancia, el teorema merece un escrutinio más estrecho, un poco
más de análisis, así es que posteriormente damos una forma ligeramente
diferente de llegar a su prueba. En realidad, el procedimiento en seguida
delineado no es, en modo alguno, diferente del que ya hemos dado. La
introducción del concepto de congruencia mód H facilitó la enumeración
de elementos que usamos más adelante, y obvió la necesidad de comprobar
que los nuevos elementos introducidos en cada etapa no aparecían antes.

50
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
grupo finito y que H
rupo
//, r = o(H). Si H = G no hay nada que probar. Supongamos entonces
que H t£ G; hay, pues, entonces una ce G, tal que **£//. Vamos a hacer
ahora una. lista de elementos en dos renglones como sigue
"1» "2> •••> "r
^1#> ^2fl» •••» ^r^-
Afirmamos que todos los elementos del segundo renglón son diferentes uno
de otro y también diferentes de cualesquiera de los elementos del primer
renglón. Si dos cualesquiera del segundo renglón fueran iguales, entonces
h¡a — hjü con i ^ j, pero, de acuerdo con la ley de cancelación, esto nos
llevaría a que h¡ = hj9 que es una contradicción. Si un elemento del segundo
renglón fuera igual a uno del primero, entonces hiQ = hj9 de donde
a = hi~1 hjE H ya que H es un subgrupo de G; pero esto contradice que afiH.
Tenemos pues, hasta el momento, una lista de 2o(H) elementos; si
estos elementos son todos los dé (7, ya hemos terminado la prueba. Si no,
hay un beG que no aparece en ninguno de los dos renglones. Consideremos
la nueva lista
hía, h2Q>..., hra
h^b, h2b,..., hrb.
Como antes, poco más o menos, podríamos mostrar que no hay en el
tercer renglón dos elementos iguales y que ningún elemento del tercer
renglón aparece en ninguno de los dos primeros. Tenemos, pues, en nuestra
lista 3o(H) elementos. Continuando en esta forma, cada nuevo elemento
introducido da lugar a *<?(//) nuevos elementos. Como G es un grupo finito,
terminaremos por agotar todos los elementos de (7. Pero si terminamos
usando k renglones para enumerar todos los elementos del grupo, habremos
enumerado ko(H) elementos distintos, de donde ko(H) = o(G).
Es esencial señalar que el recíproco del teorema de Lagrange es falso
un grupo G no debe tener necesariamente un subgrupo de orden m solo
porque m sea un divisor de o((7). Por ejemplo, existe un grupo de orden 12
que no tiene subgrupo alguno de orden 6. El lector puede encontrar un
ejemplo de este fenómeno; donde hay que buscarlo es en 54, el grupo
simétrico de grado 4 que tiene un subgrupo de orden 12 que cumplirá
nuestro requerimiento.
El teorema de Lagrange tiene algunos corolarios muy importantes.
Pero antes de presentarlos daremos la siguiente definición.
Definición. Si G es un grupo y ae G, el orden (o periodo) de a es el
entero positivo mínimo m tal que cT — e.

i 4. SUBGRUPOS 61
Si no existe tal entero decimos que a es de orden infinito. Usamos el
símbolo o(a) para indicar el orden de a. Recordemos otra de nuestras
notaciones: para dos enteros u, vy u\v se lee "w es divisor de vn.
Corolario l. Si G es un grupo finito y aeG, entonces o(á)\o(G).
Prueba, Con el teorema de Lagrange ya a nuestra disposición, parece
lo más natural probar el corolario exhibiendo un subgrupo de G cuyo
orden sea o(a). El elemento a mismo, nos proporciona un tal subgrupo que
no es otro que el subgrupo cíclico (a) de G generado por a; (a) consiste en
e, a9a2y ...| ¿Cuántos elementos hay en (a) 7 Afirmamos que este número es
el orden de a. Claramente, como a0(a) = e, este subgrupo tiene cuando
más o (a) elementos. Si tuviera realmente un número de elementos menor
^que este número, entonces tendríamos a1 = aJ para algunos enteros
0 < i <j < o(a). De donde aJ~i = e, con 0 <j—i < o{a) lo que
contradice el significado de o (a). Así pues, el subgrupo cíclico generado por a tiene
o(a) elementos, de donde, según el teorema de Lagrange, o(a)\o(G).
Corolario 2. Si G es un grupo finito y aeG, entonces c°(G) = e.
Prueba. De acuerdo con el corolario 1, o (a) \ o (G); luego o(G) = mo(a).
Por tanto, a°{G) = amo(a) = (a0{a))m = em = e.
Un caso particular del corolario 2 es de gran interés en la teoría de
números. Para todos los enteros /*, se define la función de Euler <¡> mediante
$(1) = 1, y para todos los n > 1, <f>(n) = número de enteros positivos
menores que n y primos respecto a n. Por ejemplo, <f>(8) = 4 ya que
solamente 1, 3, 5 y 7 son los números menores que 8 que son primos con 8.
En el problema 15(¿>) al final de la sección 3 se le pidió al lector que probase
que los números menores que n y primos con n formaban un grupo respecto
a la multiplicación mód n. Este grupo tiene orden <f>{n). Si aplicamos el
corolario 2 a este grupo, obtenemos el
Corolario 3 (de Euler). Si n es un entero positivo y a es primo con n,
entonces a*n)= 1 mód n.
Para aplicar el corolario 2 se debe reemplazar a por su residuo al dividirlo
por n. Si n fuese un número primo /?, entonces <f>(p) = p—\. Si a es un
entero primo relativo con p, entonces, de acuerdo con el corolario 3,
ap~l = 1 mód p, de donde ap = a mód/?. Si, por el contrario, a no es primo
con /?, como p es un número primo, debemos tener que p\a, de modo que
a = 0 mód /?, de donde, 0 = ap = a mód p también aquí. Por tanto
Corolario 4 (de Fermat). Si p es un número primo y a es un entero
cualquiera, entonces ap = a mód p.
*

52 TEORIA DE GRUPOS — Cep. 2
Corolario 5. Si G es un grupo finito cuyo orden es un número primo'p,
entonces G es un grupo cíclico.
Prueba. Afirmamos primero que G sólo tiene como subgrupos los
triviales, pues si H es un subgrupo de G, como o(H) debe dividir a oifi)
solo quedan dos posibilidades, a saber, o(H) = 1 o o(H) = p. La primera
de ellas implica H = (e)9 mientras que la segunda implica H = G.
Supongamos ahora que a ¿ ee G, y sea H = (a). H es un subgrupo de G y H # (e)
puesto que a # e y aefí. Luego H = G. Lo que nos dice que G es cíclico
y que todo elemento de G es una potencia de a.
La sección 4 es de gran importancia para todo lo que sigue, no solo por
sus resultados, sino porque el espíritu de las pruebas que aquí aparecen es
muy característico de la teoría de grupos. El estudiante debe esperar otros
argumentos muy semejantes a los que aquí ha encontrado. Sería muy
sensato, por su parte, que asimilase ahora el material y el método de un modo
completo, y no más adelante, cuando quizá sea demasiado tarde.
■
5. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE ELEMENTOS
■
Como antes hemos explicado, si H es un subgrupo de G y ae G, entonces
Ha consiste en todos los elementos de la forma ha donde he H.
Generalicemos esta nocjón. Si H y K son dos subgrupos de G, sea HK = {xeG\
x = hk, heH9¡keK}. Hagamos una pausa y consideremos un ejemplo; en S3
sea H — {ey <¡)}, K = {e, <¡>\p}. Como <j>2 = (<¡>\¡j)2 = ey tanto H como K son
subgrupos. ¿Qué puede decirse de HK1 Usando solamente la definición de
■
HK puede verse que HK consiste en los elementos e> <j>, <¡>\p9 <¡>2\¡/ = \p.
Como HK consta de cuatro elementos y 4 no es un divisor de 6, el orden
de S3, según el teorema de Lagrange HK no puede ser un subgrupo de S3.
(Desde luego, hubiéramos podido verificar esto directamente pero no es
perjudicial seguir recordando el teorema de Lagrange.) Podíamos intentar
encontrar por qué HK no es un subgrupo. Nótese que KH = {e9 <¡>i <¡>\¡t9
<¡)\¡í(j) = \¡/~1} # HK. Es por esto precisamente por lo que HK no llega a ser
un grupo, como vemos en el próximo lema.
Lema 2.8. HK es un subgrupo de G si y sólo si HK = KH.
Prueba. Supongamos primero que HK = KH; es decir, que si heH
y keKy entonces hk = kxhx para algún kxeK, hxeH (no es necesario
que k{ = k o hl = h). Para probar que HK es un subgrupo, debemos
verificar que es cerrado y que todo elemento de HK tiene su inverso
en HK. Demostremos, en primer lugar, que es cerrado; supongamos,
pues, x — hkeHK y y = h'k'eHK. Entonces xy = hkh'k\ pero como
kh'eKH = HKy kh' = h2k2 con h2eHyk2eK. De donde xy = h{hzk2)k'

i 5. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE ELEMENTOS 63
= (hh2) (k2k')efíKy y HK es cerrado. Además x1 = {hk)~l = k'xh~le
eKH = HKy luego x~leHK. Luego HK es un subgrupo de (7.
Por otra parte, si HK es un subgrupo de G, entonces para cualquier
heH y keK9 h^lk'leHK y por tanto kh = (h~1k"1)~1GHK. Luego
KHczHK. Si x es ahora un elemento cualquiera de HK, x~l = hkeHK9
luego x = (x~1)-1 ={hkyl =k~lh-xeKH, luego HKcKH. Luego
HK = #//.
Un caso especial interesante es cuando G es un grupo abeliano, pues en
ese caso evidentemente HK = KH. Luego, como consecuencia, tenemos
el siguiente
Corolario. Si H y K son subgrupos de un grupo abeliano G, entonces
HK es un subgrupo de G.
Si H y K son subgrupos de un grupo (7, hemos visto que HK no
necesariamente es un subgrupo de G. Tiene, sin embargo, sentido que nos
preguntemos: ¿cuántos elementos distintos hay en el subconjunto HK1
Denotando tal número por o(HK)9 probamos el
Teorema 2.b. Si H y K son subgrupos finitos de G de órdenes o(H) y
o(K) respectivamentey entonces
o(HnK)
Prueba. Aunque no hay necesidad de prestar especial atención al caso
particular en que HnK = (e)y considerar este caso, que carece de algunas de
las complejidades, que se presentan en el caso general es ciertamente
revelador. Lo que debemos demostrar aquí es que o(HK) = o(H)o(K).
Debería preguntarse, ¿cómo podría ser de otro modo? La contestación
debe ser esta: si hacemos una lista de todos los elementos hky con heH y
keK9 algún elemento de la lista debería aparecer por lo menos dos veces.
O, lo que es lo mismo, para algunos h ^ hx de //, debería haber k y kY de
K tales que hk = hxkx. Pero entonces h^1 h = kxk~\'9 pero como h±eH9
hi1 debe también estar en //, luego h^heH. Análogamente, kxk~leK.
■
Como h^ih = k1k~l, h^heHnK = (e\ luego h71h = e, de donde
h = hl9 una contradicción. Hemos, pues, probado que no puede haber
ninguna coincidencia de valores, por tanto, en este caso tenemos,
ciertamente, que o(HK) es igual a o{H)o(K).
Con esta experiencia, apoyándonos estamos listos para atacar al caso
general. Como antes, debemos preguntarnos: ¿cuántas veces aparece un
elemento hk dado como producto en la lista de HK1 Afirmamos que debe
aparecer o(HnK) veces. Para verlo, hacemos primero observar que si
hxeHnK9 entonces
1) hk = (AA,) (h;1 k\

64
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
H,hxeHi
duplicado
- 1 /.- 1/ T. -í
Hyh-'keKyaqueh^'etínKczK
Pero si hk = Wk\ entonces h~xW = ¿(A:')"1 = w, y ueHnK, y h' = hu
y k' = u~1k; luego, todas las duplicaciones aparecieron en (1). En conse-
veces
HK
que es o(H)o(K), dividido por el número de veces que un elemento dado
aparece, es decir* por o(HnK). Lo que prueba el teorema.
Supongamos que H y K son subgrupos del grupo finito G y que
o(M) > yJojGh o(K) > yfo(G). Como HKc G, o(HK) ^ o(G). Sin
embargo,
o(G) > o(HK) - •<&«*> ^ ^(OXO _ o{G)
o(HnK) o(HnK) o(HnK)
luego o(HnK) > 1. Luego HnK =é (e). Y hemos probado el siguiente
Corolario. Si H y K son subgrupos de G y o(H) > y/o(G) y
o(K) > yJo{G), entonces HnK =¿ (e).
Aplicamos este corolario aun grupo muy especial. Supongamos que G es
un grupo finito de orden pq donde p y q son números primos con p > q.
Afirmamos que G puede tener cuando más un subgrupo de orden p. En
efecto, supongamos que H y K son subgrupos de orden p. De acuerdo con
el corolario HnK ^ {e)> y como subgrupo de H que por tener orden primo
no tiene subgrupos que no sean triviales, debemos concluir que HnK = H.
De igual modo puede verse que HnK = K. De donde H = K> probándose
así que hay cuando más un subgrupo de orden p. Más adelante veremos
que hay al menos un subgrupo de orden p, lo que, combinado con lo que
acabamos de ver, nos dirá que hay exactamente un subgrupo de orden p
en (7. Partiendo de este resultado podremos determinar completamente la
estructura de G.
Problemas
1. Si H y K son subgrupos de (7, entonces Hn K es un subgrupo de G.
2. Para un subgrupo H de G defínase como clase lateral izquierda de
//en G el conjunto de todos los elementos de la forma ah, heH. Pruébese
que hay una correspondencia biyectiva entre el conjunto de clases laterales
izquierdas de H en G y el conjunto de clases laterales derechas de H en G.
3. Si G no tiene subgrupos distintos de los triviales, pruébese que debe
tener orden primo.
4. Sea G el grupo de los enteros con la adición como operación, y H„ el
subgrupo consistente en todos los múltiplos de un entero fijo n. Determínese
el índice de H„ en G y escríbanse todas las clases laterates de HH en (7.

M
Í 5. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE ELEMENTOS 55
■
5. En el problema 4, ¿qué es Hnr\Hml
*6. Si G es un grupo y H y K son dos subgrupos de G de índice finito
en G, pruébese que Hr\K es de índice finito en G. ¿No puede encontrar
el lector una cota superior para el índice de Hr\K en G ?
7. Supongamos que la aplicación xabt para a, b números reales,
transforma los reales en los números reales de acuerdo con la regla, xab: *-► ax+b.
Sea G = {Tab\a # 0}. Pruébese que G es un grupo bajo la composición de
aplicaciones. Encuéntrese la fórmula para rabxcd.
8. En el problema 7, sea H — {zabeG\a es racional}. Pruébese que H
es un subgrupo de G. Hágase una lista de todas las clases laterales derechas
de H en G.
9. a) En el problema 8 demuéstrese que toda clase lateral izquierda de
//en G es una clase lateral derecha de fí en G.
b) Proporciónese un ejemplo de un grupo G y un subgrupo H tales
que no toda clase lateral izquierda de H en G sea una clase
lateral derecha de H en G.
m
10. En el grupo del problema 7, sea N = {xlbeG}. Pruébese que:
a) N es un subgrupo de G.
b) Si 06 C y neN, entonces ana~1eN.
m
11. Si un grupo abeliano tiene grupos de órdenes n y m9 respectivamente,
demuéstrese que tiene un subgrupo cuyo orden es el mínimo común
múltiplo de n y m.
■
12. Si agC) definamos N(á) — {xeG\xa — ax}. Demuéstrese que N(á)
es un subgrupo de G. N(á) se llama generalmente normalizador o centralizador
de a en G.
■ ■
■
13. Si G es un grupo, el centro de C, Z, está definido por Z = {ze G |
zx — xz para todo jcgG}. Pruébese que Z es un subgrupo de G.
14. Pruébese que cualquier subgrupo de un grupo -cíclico es, él mismo,
un grupo cíclico.
15. ¿Cuántos generadores tiene un grupo cíclico de orden ni [beG es
m
un generador si (b) = G.]
16. Si aeG y a™ = e, pruébese que o(á)\m.
17. Si en el grupo C, a5 = e y aba-1 — b2 para o, beG, encuéntrese o(b).
*18. Sea G un grupo abeliano finito en el que el número de soluciones
en G de la ecuación x" = e es, cuando más, n para todo entero positivo «.
Pruébese que G debe ser un grupo cíclico, fnl. PioO £> 11-16

66
TEORÍA DE GRUPOS— Cap. 2
6. SUBGRUPOS NORMALES Y GRUPOS COCIENTE
Sea G el grupo 53 y sea H el subgrupo {e, $}. Como el índice de H en
G es 3, hay tres clases laterales derechas de H en G y tres clases laterales
izquierdas de H en G. Hacemos sendas listas de ellas
Derechas Izquierdas
Una rápida inspección nos muestra el hecho interesante de que la clase
lateral derecha H\¡t no es una clase lateral izquierda. Luego, al menos para
este subgrupo, las nociones de clase lateral derecha y clase lateral izquierda
no necesariamente coinciden.
En G *= S3 consideremos él subgrupo N = {e, \fr9 \fr2}. Como el índice
de TV en G es 2, hay dos clases laterales izquierdas y dos clases laterales
derechas de N en G. Hagamos sendas listas de ambas:
Derechas Izquierdas
* = {*, *, V) N = {e, *, ifr2}
N<t> = {<£, H, *2<l>} <t>N = {0, #, <p*2}
Una rápida inspección nos muestra aquí que toda clase lateral izquierda de
N en G es una clase lateral derecha en G y recíprocamente. Vemos, así,
que para algunos subgrupos la noción de clase lateral izquierda coincide
con la de clase lateral derecha, mientras que para algunos otros subgrupos
estos conceptos diñeren.
Es un tributo al genio de Galois recordar que él fue el primero en
reconocer que aquellos subgrupos para los que las clases laterales derechas
e izquierdas coinciden, son subgrupos distinguidos. En matemáticas,
frecuentemente el problema fundamental es el de reconocer y descubrir
cuáles son los conceptos relevantes; una vez que esto se consigue, es muy
posible que la tarea esté más que a medio hacer.
Vamos a definir esta clase especial de subgrupos de un modo ligeramente
diferente que luego mostraremos que es equivalente al expresado en las
observaciones anteriores.
Definición. Un subgrupo N de G se dice que es un subgrupo normal de
G si para toda geG y toda neN, gng~ieN.
Es claro que si por gNg'1 representamos el conjunto de todos los gng'1,

f 6. SUBGRUPOS NORMALES Y GRUPOS COCIENTE 67
con neN, entonces N es un subgrupo normal de G si y sólo si gNg~x <z N
para todo geG.
Lema 2.9. N es un subgrupo normal de G si y sólo si gNg~x = N para
todo geG.
■
Prueba. Si gNg~l — N para toda geG, es claro que gNg~x c N, luego
TV es normal en G.
Supongamos que N es normal en G. Entonces si geG, gNg~x <=. N y
g~x Ng-g-'Nig-iyicN. Pero como g~* Ngc N, N = g(g~x Ng)g'x a
agNg x czN, de donde N = gNg l.
Para evitar aquí una posible confusión, subrayamos que el lema 2.9 no
dice que para todo neN y para toda ge G9 gng~x — n. No. Esto tal vez
sea falso. Tomemos por ejemplo como grupo G el S3 y como N el
subgrupo {e, \¡/t \¡/2}. Si calculamos <¡>N<¡>~X obtenemos {e, ^^""1, <¡>^2<t>'1}
= {^» *¡/2, ^}, pero, sin embargo, <f>\¡t<¡>~x ¥* ^- Todo lo que% necesitamos es
que el conjunto de elementos gNg"1 sea el mismo que el conjunto de
elementos N.
Volvemos ahora al problema de la igualdad de las clases laterales
izquierdas y las clases laterales derechas.
Lema 2.10. El subgrupo N de G es un subgrupo normal de G si y sólo
si toda clase lateral izquierda de NenG es una clase lateral derecha de NenG.
Prueba. Si N es un subgrupo normal de G9 entonces para todo geG9
gNg~x = N, de donde (gNg~x)g = Ng; esto es, gN = Ng, es decir, la clase
lateral izquierda gN es la clase lateral derecha Ng.
Supongamos, recíprocamente, que toda clase lateral izquierda de N en
G es una clase lateral derecha de N en G. Es decir, para geG, la clase
lateral izquierda gN debe ser también una clase lateral derecha. ¿ Pero cuál
puede ser?
Como g = geegN, cualquiera que sea la clase lateral derecha que
resulte ser, gN debe contener al elemento g; pero g está en la clase lateral
derecha Ng y dos clases laterales derechas distintas no tienen ningún
elemento en común. (¿Recuerda el lector la prueba del teorema de
Lagrange?) Luego esta clase lateral derecha es única. De donde se sigue
que gN = Ng. En otras palabras, gNg~x = Ngg~x = Nty N es, por tanto,
un subgrupo normal de G.
Hemos ya definido lo que entendemos por HK siempre que H y K son
subgrupos de G. Podemos extender fácilmente esta definición a subconjuntos
arbitrarios, lo que hacemos definiendo para dos subconjuntos cualesquiera
A y B de G, AB = {jceG|jc = abt aeAt beB). Como un caso particular,
¿qué puede decirse cuando A = B = H es un subgrupo de G?_ Entonces

58 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
■
HH = {h1h2\hl, h2eH} c H, ya que H es cerrado respecto a la
multiplicación. Pero ////=> He — H ya que £€//. Luego //// = //.
Supongamos que TV es un subgrupo normal de G y que a, beG.
• » ■
Consideremos (Na) (Nb); como N es normal en G, aN =* Na, y por tanto
■
NaNb = N(aN)b = N(Na)b = AWa¿ = Nab.
\ Qué mundo de posibilidades nos abre esta fórmula! Pero antes de proseguir,
para énfasis y futura referencia, enunciamos este resultado como el .
Lema 2.11. Un subgrupo N de G es un subgrupo normal de G si y sólo
si el producto de dos clases laterales derechas de N en G és de nuevo una
clase derecha de N en G.
Prueba. Si N es normal en G, el resultado acaba dé probarse: La prueba
de la otra parte es uno de los problemas que están ál ñnal de esta sección.
Supongamos que N es un subgrupo normal de G. La fórmula
NaNb = Nab, para a, beG es altamente sugestiva; el producto de clases
laterales derechas es una clase lateral derecha. ¿Podemos utilizar este
producto para dar al conjunto de las clases laterales derechas una estructura
de grupo? ; Así es, ciertamente! Este tipo de construcción, que se presenta
en matemáticas a menudo y al que usual mente se le llama construir una
estructura cociente, es de máxima importancia.
■
Denotemos por G/N la colección de las clases laterales derechas de N
en G (es decir, los elementos de G/N son ciertos subconjuntos de G) y
usemos el producto de subconjuntos de G para que nos suministre un
producto en G/N.
Afirmamos respecto a este producto:
1) X, Ye G/N implica XYeG/N; pues X ^ Na, Y = Nb para algunos
a, beG, y XY = NaNb = NabeG/N
2) X, Y, ZeG/N implica X = Na, Y = Nb, Z = Nc con a, b, ceG, y,
por tanto, (XY)Z = (NaNb)Ñc = N(ab)Nc = N(ab)c = Na(bc) (pues G
es asociativo) = Na(Nbc) = Na(NbNc) = X(YZ). Por tanto, el producto
en G/N satisface la ley asociativa.
3) Considérese el elemento N = NeeG/N Si' XeG/N, X = Na, aeG,
entonces XN = NaNe = Nae = Na = X,y análogamente también NX — X.
Por tanto Ne es un elemento identidad para G/N
. 4) Supongamos X = Nae G/N (donde aeG); es claro que Na"1 eG/N,
y NaNa~l = Naa'1 = Ne, Análogamente Na'1 Na = Ne. De donde Na'1
es el inverso de Na en G/N.
Pero un sistema que satisface (1), (2), (3), (4) es exactamente lo que
llamamos un grupo; es decir
Teorema 2.c. Si G es un grupo y N un subgrupo normal de G, entonces
G/N es también un grupo. Se le llama grupo cociente o grupo/actor de G por N.

§ 6. SUBGRUPOS NORMALES Y GRUPOS COCIENTE
69
es
tiene como sus elementos las clases laterales derechas de TV en (7, y como
precisamente iG{N) = "7¡rt7\> podemos decir
Lema 2.12, Si G es un grupo finito y N es un subgrupo normal de G>
¿ntonces o'(GIN) ="J77Í.
Cerramos esta sección con un ejemplo.
Sea G el grupo aditivo de los enteros (el grupo que con la adición como
operación forman los enteros) y sea TV el conjunto de todos los múltiplos de 3.
Como ía operación en G es la adición, escribiremos las clases laterales de
■
N en G como N+a en lugar de como Na. Consideremos las tres clases
laterales N> N+ 1, 7V+2. Afirmamos que estas son todas las clases laterales
de Nen G. En efecto, dada aeG, a = 3b + c donde beG y c = 0, 1 o 2 (a es
el resto en la división de a por 3). Por tanto, N+a = N + 3b + c
(N+3b) + c = N+c ya. que 3beN. Así pues, toda clase lateral es, como
afirmábamos, oN,oN+\ o jV+2, y G/N= {NyN+ 1, JV+2}. ¿Cómo
sumamos elementos en (7/jV? Nuestra fórmula ÑaNb = Nab se traduce en:
(jV+ l) + (/V+2) = jV+3 = N ya que 3eN; (Ar+2) + (A^+2) = 7V+4 = 7V+ 1,
y así sucesivamente. Sin ser específico, se siente que G/N está íntimamente
relacionado con los enteros módulo 3 bajo la adición. Es claro que lo que
hicimos con 3 lo podemos hacer con cualquier entero n, en cuyo caso el
grupo factor nos sugeriría una relación ¿on los enteros módulo n bajo la
adición. Aclararemos este tipo de relación en la sección próxima.
Problemas
*1. Si H es un subgrupo de G tal que el producto de dos clases laterales
derechas de H en G es de nuevo una clase lateral derecha de H en C7,
pruébese que H es normal en G.
2. Si V es un grupo y H es un subgrupo de índice 2 en (7, pruébese
que H es un subgrupo normal de (7.
3. Si N es un subgrupo normal de G y H es un subgrupo cualquiera
de (7, pruébese que NH es un subgrupo de G.
4. Pruébese que la intersección de dos subgrupos normales de G es un
M
subgrupo normal de G.
H es un subgrupo
H
abeliano

60 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
*7. ¿Es cierto lo recíproco de lo afirmado en el problema 6? En caso
afirmativo, pruébese; en caso contrario, proporciónese un ejemplo de un
grupo no abeliano cuyos subgrupos sean todos normales.
8. Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Sea, para geG9 gHg~l
— {ghg~l\heH}.J*Tuébtst que gHg~l es un subgrupo de G.
9. Supongamos que H es el único subgrupo de orden o(H) en el grupo
finito G. Pruébese que H es un subgrupo normal de G.
10. Si H es un subgrupo de G, sea N(H) = {geG\gHg~í = //}.
Pruébese:
1) N(H) es un subgrupo de G.
2) H es normal en N(H).
3) Si H es un subgrupo normal del subgrupo K en G, entonces
Kcz N(H) (es decir, N(H) es el máximo subgrupo de G en el que
H es normal).
4) H es normal en G si y sólo si N(H) = G.
11. Si N y M son subgrupos normales de G, pruébese que N.M es
también un subgrupo normal de G.
*12. Supongamos que N y M son dos subgrupos normales de G y que
NnM = (e). Demuéstrese que, entonces, para cualesquiera neN, meM, se
tiene nm = mn.
m
13. Si un subgrupo cíclico 7 de G es normal en G, pruébese que
todo subgrupo de T es normal en G.
*14. Pruébese, por medio de un ejemplo, que pueden encontrarse tres
grupos Ecz Fez G, donde E sea normal en F, F sea normal en (7, pero
E no sea normal en G.
15. Si N es normal en G y ae G es de orden o{a)y pruébese que el orden m
de Na en G/N es un divisor de o(a).
m
16. Si N es un subgrupo normal en el grupo finito G tal que /C(A0 y o(N)
son primos relativos, demuéstrese que cualquier elemento xeG que satisfaga
x°iN} = e debe ser de N.
17. Definamos G como el conjunto de todos los símbolos formales
xly\ i = 0, l,y = 0, 1, 2,...,«— 1, conviniendo en que
xly* = jc'V' si y sólo si i = í" yj=j'
x2 = y = e, n > 2
xy = y "J x.
a) Encuéntrese la forma del producto (jc'V) (x*/") del tipo x*yfi.

S 7. H0M0M0RFISM0S
61
b) Usando lo anterior, pruébese que G es un grupo no abeliano de
orden 2/7.
c) Si n es impar, pruébese que el centro de G es (e), mientras que si
n es par el centro de G es mayor que (e).
A este grupo se le conoce como grupo diédrico. Se obtiene una realización
geométrica de él, como sigue: sea y una rotación del plano euclidiano
alrededor del origen con ángulo de giro de 2n¡n radianes, y sea jc la
reflexión respecto al eje vertical. G es el grupo de movimientos del plano
*
generado por y y jc.
7, HOMOMORFISMOS
Las ideas y resultados de esta sección están íntimamente relacionadas
con las de la sección precedente. Si hay una idea central común a todos los
aspectos del álgebra moderna, tal es la noción de homomorfismo. Indicamos
con ello una aplicación de un sistema algebraico a un sistema algebraico
análogo que preserva la estructura. Precisamos la idea, en lo que a grupos
se refiere, en la definición que sigue.
Definición. Una aplicación <j> de un grupo G en un grupo G se dice
que es un homomorfismo si para a, beG cualesquiera siempre se tiene
4> (ab) = (¡>{a)<¡> (b).
■
Nótese que en el primer miembro de esta relación, es decir, en el
término (¡>(ab)y el producto ab se calcula en G usando el producto de
elementos de G, mientras que en el segundo miembro de la relación, es decir,
en el término (¡>(a)<¡> (b), el producto es el de elementos en G.
Ejemplo 0. (¡>(x) = e para todo xe G. Es este trivialmente un
homomorfismo. Análogamente (¡>(x) — x para todo xeG es un homomorfismo de
G en G.
Ejemplo 1. Sea G el grupo aditivo de los números reales (es decir, ab para
a, beG es realmente el número real a+6) y sea G el grupo de los números
reales distintos de cero con la multiplicación ordinaria entre números reales
como operación de grupo. Definamos (¡>:G-*G por <j>(á) = 2a. Para
verificar que esta aplicación es un homomorfismo, debemos comprobar
si es cierto que (¡>{ab) = (¡>(a)<¡>(b), recordando que, según el producto del
primer miembro, entendemos la operación en G (es decir, la adición). Esto
es, debemos comprobar, lo que sabemos que es cierto, que 2a+b = 2*2*.
Como 2a es siempre positivo, la imagen de <¡> no es todo C, luego <¡> es un
homomorfismo de G en G, pero no sobre G.

62 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
Ejemplo 2. Sea G = S3 = {e> <¡>y i¡/, \¡/2, <¡>^y <t>^2} y G = {e, <¡>).
Definamos la aplicación/: G—>G por f (<¡>'\¡/j) = <¡>\ Tenemos, pues, f(e) = e,
f{<¡>) = tf>, /(*) = *, fW1) = *, /(<M) = 4>, fiM1) = 0. El lector debe
verificar que la /así definida es un homomorfismo.
Ejemplo 3. Sea G el grupo aditivo de los enteros y G = G. Para el
entero xeG definamos <¡> por 4>(x) = 2jc. Que <¡> es un homomorfismo se
sigue de que <£(*+>>) =o2(jc+>>) = 2x + 2y = 0(x) + 0(y).
Ejemplo 4. Sea G el grupo de los números reales distintos de cero bajo
la multiplicación, G = {I, -1}, donde 1.1 = 1, (-1)(-1) = 1, 1(-1)
= (—1)1 = — 1. Definamos <¡>: G->G por <¡>(x) =1 si jc es positivo y
4>{x) = — 1 si x es negativo. El hecho de que <¡> sea un homomorfismo es
equivalente a la afirmación: positivo por positivo es positivo, positivo por
negativo es negativo, negativo por negativo es positivo.
Ejemplo 5. Sea G el grupo aditivo de los enteros y G„ eh grupo aditivo
de los enteros módulo n. Definamos <¿> por<£(jc) = residuo de la división de
x por n. Es fácil verificar que esto es un homomorfismo.
El resultado del siguiente lema nos proporciona una clase infinita de
ejemplos de homomorfismos. Cuando probemos el teorema 2.D resultará
que en cierto sentido este lema nos proporciona el ejemDlo más general
de homomorfismo.
Lema 2.13. Supongamos que G es un grupo y que N es un subgrupo
normal de G; definamos la aplicación <¡> de G en GjN por (¡>(x) = Nx para
todo JteG. Entonces, <¡> es un homomorfismo de G sobre GjN.
Prueba. En realidad, no hay nada que probar, pues este hecho lo hemos
probado ya varias veces. Pero en beneficio de la comprensión repetimos la
prueba una vez más.
Que <¡> es suprayectiva es trivial pues todo elemento XeG/N es de la
forma X = Ny, yeG, luego X = <¡>(y). Para probar el cumplimiento de
la propiedad multiplicativa requerida para que <¡> sea un homomorfismo
solamente notamos que si jc, yeG, <¡>(xy) = Nxy = NxNy = <¡>(x)<¡>(y).
En el lema 2.13 y en los ejemplos que lo preceden, un hecho que se nos
muestra es que un homomorfismo no necesita ser inyectivo; pero hay una
cierta uniformidad en este proceso de desviación debe ser inyectiva.
Pondremos esto en claro dentro de pocas líneas.
m
Definición. Si <¡> es un homomorfismo de G en G, el núcleo de <¡>y K+,
se define por K¡ = {xeG\<¡>(x) = é, e = elemento identidad de G}.
Antes de investigar las propiedades de K^ es aconsejable establecer que,
como conjunto, K¡ no es vado. Esto es lo que dice la primera parte del
siguiente lema.

S 7. HOMOMORFISMOS 63
Lema 2.14. Si <f> es un homomorfismo de G en C, entonces:
1) <¡>(e) = é, el elemento unidad de G;
2) 4>(x~l) = <f>(x)~l para todo xeG.
Prueba. Para probar (1) simplemente calculamos <f>(x)é = <f>(x) = <f>(xe)
= 4>{x)4>(e)y de donde, de acuerdo con la propiedad de cancelación en C,
tenemos que <f>(e) = e.
Para establecer (2) observemos que é = <f>(e) = <f>(xx~l) = <l>(x)4>(x~l),
de donde, según la definición de (^(x)"1 en Gy obtenemos el resultado
El argumento usado en la prueba del lema debe recordar, a cualquier
lector que haya conocido un desarrollo de los logaritmos, el usado en probar
los resultados familiares de que Iog 1 = 0 y log (l/x) = — log x; no es esto
una coincidencia, pues la aplicación <f>: x—► log x es un homomorfismo del
grupo multiplicativo de los números reales positivos en el grupo aditivo de
los números reales.
El lema 2.14 nos muestra que e está en el núcleo de cualquier
homomorfismo, de modo que tal núcleo no es vacío. Pero podemos decir más aún.
Lema 2.15. Si <¡> es un homomorfismo de G en G de núcleo K9 entonces K
es un subgrupo normal de G.
Prueba. Primero debemos comprobar que /fes un subgrupo de G. Para
ver esto se debe mostrar que K es cerrado respecto a la multiplicación y
que todo elemento de K tiene su inverso también en K.
Si jc, yeK> entonces <f> (x) = e, <¡>{y) = é, donde é es el elemento identidad
de Gy y por tanto 4>{xy) = <f>(x)<f>(y) = ee = é, de donde xyeK. Además,
úxeK,4>(x) = ¿, de donde, según el lema 2.14, <f> (x^1) = <f>(x)T1 = e"1 - é;
luego x~leK. K es, de acuerdo con esto, un subgrupo de G.
Para probar la normalidad de K debe establecerse que para cualquier
geG y para cualquier keK, gkg~íeK; en otras palabras, debe probarse
que^í^""1) = ¿siempreque4>(k) = e. Pero(f>(gkg~l) = (f>(g)<¡>{k)4{g'l)
=* 0(^)¿0(^)_1 — <t>(9)4>(9)~1 = ¿.Y esto completa la prueba del lema 2.15.
Sea ahora <f> un homomorfismo del grupo G sobre el grupo Gy y
supongamos que Kes el núcleo de <f>. Si geG, decimos que un elemento xeG es
una imagen inversa de g bajo <f> si <f>(x) = g. ¿Cuáles son todas las imágenes
inversas de gl Para g = e tenemos la contestación, a saber (por su
definición), K. ¿Pero qué hay con elementos g ^ el Bien, supongamos que
xeG es una imagen inversa de g; ¿podemos escribir otras? Es claro que sí,
pues si keK y y = kx> entonces <¡>(y) = <¡>{kx) = 4>{k)4>(x) = eg = g.
Así pues, todos los elementos de Kx están en la imagen inversa de g siempre
que x lo esté. ¿Puede haber otros? Supongamos que <f>(z) = g = <f>(x).
Ignorando el término intermedio nos quedamos con <f>(z) = 4>ix\ y» Vov
tanto, 4>(z)4>{xyl = é. Pero <f>(x)"1 = ^(a:""1), de donde e =.0(z)^(x)"1

64 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
= <j>(z)<f>{x~l) = <f>(zx~l)y de donde, en consecuencia, zx~1eK; luego
zeKx. En otras palabras, hemos demostrado que Kx consta exactamente de
todas las imágenes inversas de g, siempre que jc sea una sola de esas
imágenes. Recordaremos esto mediante el siguiente
Lema 2.16. 5/ <¡> es un homomorfismo de G sobre G de núcleo K, entonces
el conjunto de todas las imágenes inversas de geG bajo <j> en G está dado
por Kx donde x es una imagen inversa particular cualquiera de g en G.
Inmediatamente se presenta un caso particular, a saber, la situación
cuando K = (e). Pero en tal caso el lema 2.16 lo que nos dice es que
cualquier geG tiene exactamente una imagen inversa. Es decir, <¡> es una
aplicación invectiva. La recíproca es trivialmente cierta, es decir, si <¡> es un
homomorfismo invectivo de G en (incluso no sobre) G, su núcleo debe
consistir exactamente en e.
Definición. Un homomorfismo <f> de G en G se dice que es un
isomorfismo si <f> es inyectivo.t
Definición. Dos grupos (7, G* se dice que son isomorfos si hay un
isomorfismo de G sobre G*. En este caso escribimos G « G*.
Dejamos al lector verificar los siguientes tres hechos:
1) G « G.
2) G * G* implica G* * G.
3) G « G*, G* * G** implica G « G**.
Cuando dos grupos son isomorfos, entonces, en cierto sentido, son
iguales. Difieren en que sus elementos se denominan en forma distinta. El
isomorfismo nos da la clase de esta diferencia de denominación, y con ella,
conociendo un determinado cálculo en un grupo, podemos efectuar el
cálculo análogo en el otro. El isomorfismo es como un diccionario que nos
permite traducir una frase de un idioma a una frase, de igual significación,
en otro idioma. (Desgraciadamente, no existen diccionarios tan perfectos,
porque en los idiomas las palabras no tienen significado único y no aparecen
estos cambios de significación en las traducciones literales.) Pero, decir
solamente que una oración dada en un lenguaje puede expresarse en otro
no nos lleva muy lejos; lo que se necesita es el diccionario para efectuar la
traducción. Análogamente, puede ser de poco interés saber que dos grupos
son isomorfos, y ser lo realmente interesante el propio isomorfismo. Así,
siempre que probemos que dos grupos son isomorfos, intentaremos exhibir
una aplicación precisa que produzca este isomorfismo.
1" En la actualidad parece más frecuente llamar a tal homomorfismo un monomorfismot
reservando el término isomorfismo para los homomorfismos que son, a la vez, inyectivo
y suprayectivo (N. del T.).

S 7. H0M0M0RF1SM0S
65
Volviendo por un momento al lema 2.16, vemos en él un medio de
caracterizar, en términos del núcleo cuando un homomorfismo es realmente
un isomorfismo.
Corolario. Un homomorfismo <¡> de G en G con núcleo K+ es un
isomorfismo de G en G si y sólo si K¡ = (e).
corolario nos proporciona una técnica estándar para probar que
Este corolario nos
dos grupos son isomorfos. Primero encontramos un homomorfismo de uno
sobre el otro, y luego probamos que el núcleo de este homomorfismo
consiste solamente en el elemento identidad. Una ilustración de este método
aparece en la prueba del muy importante
Teorema 2.d. Sea <¡> un homomorfismo de G sobre G con núcleo K
Entonces G/K « G.
Prueba. Consideremos el diagrama
G
. x
K
donde a(g) = Kg.
Nos gustaría completar esto hasta
G >G
*
«U/
G'
^
K
Parece claro que para construir la aplicación \¡/ de G/K en G, debemos
usar G como un intermediario, y también que esta construcción debe ser
relativamente poco complicada. ¿Qué más natural que completar el
diagrama de acuerdo con el que sigue?
9 >Hff)
*
Kg
Con este preámbulo definimos formalmente la aplicación \¡/ de G/K a G
por: si XeG/K, X = Kg, entonces \¡/(X) = <f>(g). Inmediatamente surge un

66 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
problema: ¿está esta aplicación bien definida? Si XsG/Ky puede escribirse
como Kg de varias formas (por ejemplo, Kg = Kkgy ksK); pero si
X - Kg = Á^\ gy g'sGy entonces, por una parte, \¡/(X) = <¡>(g), y por la
otra, \¡/(X) = <l>(g')- Para que la aplicación \¡/ tenga sentido debemos tener
que <f>(g) = <¡>(g'Y Supongamos pues que Kg = Kg'; entonces g = kg'
donde keK, y de aquí </>(<?) = <¡>(kg') = <f>(k)<f>(g') = ¿><M<7') - W) ya
que ZceÁ', el núcleo de <£.
Ahora comprobaremos que \¡/ es suprayectiva. Esto es claro, ya que si
xeü> x = <M^), 0eG (ya Que ^ es suprayectiva) de modo que x = <j>(g)
Si XyYeG/KyX=KgyY = KfygyfeGy entonces XY=KgKf=Kgfy de
modo que ¡¡¿(XY) = &(Kgf) = <¡>{gf) = <¡>(g)(f>(f) ya que 0 es un
homomorfismo de G sobre G. Pero i¡/(X) = \l/(Kg) = <l>(g)y y ^(K) = i¡/(Kf) = <£(/),
de donde vemos que \¡/(XY) = \¡/(X)\¡/(Y)y y ^ es un homomorfismo de
G/£ sobre G.
Para probar que \¡s es un isomorfismo de G/K sobre G, lo único que nos
queda por demostrar es que el núcleo de ^ es el elemento unidad de G/K.
Como el elemento unidad de G/K es K = Key debemos demostrar que si
\j/(Kg) = éy entonces Kg = Ke = K Esto es ahora fácil, pues e = \¡t{Kg)
= <t>(g)> de modo que (f>(g) = e, de donde g está en el núcleo de <f>y es decir,
en K Pero entonces Kg = K ya que A" es un subgrupo de G. Y ya hemos
juntado todas las piezas. Hemos mostrado un homomorfismo inyectivo de
G/K sobre G. Luego G/K « (/, y el teorema 2.d queda probado.
El teorema 2.D es importante, porque nos dice, en forma precisa,
qué grupos podemos esperar se aparezcan como imágenes homomórficas de
un grupo dado. Éstos deben ser expresables en la forma G/K donde K es
normal en G. Pero, según el lema 2.13, para cualquier subgrupo normal N
de G, G/jVes una imagen homomórfica de G. Hay, pues, una correspondencia
biyectiva entré las imágenes homomórficas de G y los subgrupos normales
de G. Si se tuvieran que encontrar todas las imágenes homomórficas de G
podríamos hacerlo, sin dejar nunca G, como sigue: encontremos todos los
subgrupos normales N de G y construyamos todos los grupos G/N. El
conjunto de los grupos así construidos nos da todas las imágenes
homomórficas de G (salvo isomorfismo).
Un grupo se dice que es simple si no tiene imágenes homomórficas
distintas de las triviales, es decir, si no tiene subgrupos normales no
triviales. Una conjetura famosa y desde hace tiempo presentada, es que un
grupo simple no abeliano de orden finito tiene un número par de elementos.
Aún aguarda su prueba, t
Hemos afirmado que el concepto de homomorfismo es muy importante.
Para reforzar esta afirmación demostraremos ahora cómo es que los métodos
T Este importante resultado acaban probarlo dos jóvenes matemáticos americanos:
Walter Feit y John Thompson.

f 7. HOMOMORFISMOS
07
y resultados de esta sección pueden usarse para probar hechos no triviales
acerca de los grupos. Cuando construimos el grupo G/N, donde N es
normal en G, si resulta que conocemos la estructura de G/N conoceremos
la de G "hasta Nn. Es verdadero que cierta información acerca de G aparece
confusa, pero a menudo queda la bastante para que de ciertos hechos sobre
G/N podamos asegurar otros hechos acerca de G. Cuando fotografiamos
cierta escena transferimos un objeto tridimensional a una representación
bidimensional de él. Sin embargo, mirando la fotografía podemos sacar
una gran cantidad de información acerca de la escena fotografiada.
En las dos aplicaciones de las ideas desarrolladas hasta ahora, que a
continuación vamos a ver, las pruebas que damos no son las mejores
posibles. En realidad, un poco más adelante en este mismo capítulo, se
probarán estos resultados en una situación más general y de un modo más
fácil. Usamos aquí esta presentación porque ilustra de modo efectivo
muchos conceptos de la teoría de grupos.
Aplicación 1 (teorema de Cauchy para los grupos ab
Supongamos que G es un grupo abeliano finito y que p\o(G), dona
número primo. Entonces hay un elemento a ^ eeG tal que ap = e.
Prueba. Procedemos por inducción sobre o(G). En otras palabras,
suponemos que el teorema es cierto para todos los grupos abelianos que
tengan menos elementos que G. Basándonos en ello, queremos probar
que el resultado se verifica también para G. Para comenzar con la inducción,
notemos que el teorema es cierto por vacuidad para grupos que tienen
un solo elemento.
Si. G no tiene ningún subgrupo H ^ (e), G, por el resultado de un
problema anterior de este capítulo G debe ser cíclico de orden primo.
Este primo debe ser p y G, ciertamente, tiene p— 1 elementos a ^ e que
satisfacen ap = c<KG) = e.
Supongamos pues que G tiene un subgrupo N ^ (e), G. Si p\o(N),
de acuerdo con nuestra hipótesis de inducción, como o(N) < o(G) y N es
abeliano, hay un elemento beN, b ^ e, que satisface bp = e; como
beNcG habríamos con ello exhibido un elemento del tipo requerido.
Podemos, por tanto, suponer que pto(N). Como G es abeliano, N es un
subgrupo normal de G, de modo que G/N es un grupo. Además,
o(G/N)= ~~¡tÁ9 y como Pt°(N)> P (Tr\ < °(G)- Además, como G es
abeliano, G/N es abeliano. Luego, por nuestra hipótesis de inducción, hay
un elemento Xe G/N que satisface Xp = ex, el elemento unidad de G/N,
X ^ el. Por la forma de los elementos de G/N, X = Nb, beG, de forma
que Xp = (NbY = Nbp. Como ex = Ne, Xp = ex, X ^ ex se traduce por
Nbp — N, Nb 9* N. Luego bpeN, b$N. Usando uno de los corolarios del
teorema de Lagrange, (bp)°{N) = e. Es decir, bo{N)p = e. Sea c = b^K

68
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
Ciertamente cp — e. Para demostrar que c es un elemento que satisface la
conclusión del teorema debemos finalmente mostrar que c =¿ e. Pero si
c = e, b°{N) = e, y, por tanto, (Nb)*"* = N. Combinando esto con
(Nb)p = N, y p'\o(N)i y siendo p un número primo, encontramos que
forzosamente habría de tenerse Nb = N, luego beN, una contradicción.
Luego c ± e y cp = e, y hemos completado la inducción. Esto prueba
el resultado.
Aplicación 2 (teorema de Sylow para grupos abelianos). Si G es un
grupo abeliano de orden o(G), y si p es un número primo tai que pa\o(G),
pa+1'\o(G)9 entonces G tiene un subgrupo de orden pa.
Prueba. Si a = 0, el subgrupo (e) satisface la conclusión del resultado.
Supongamos pues que ct ^ 0. Entonces p\o(G). De acuerdo con la
aplicación 1, hay un elemento a ^ eeG que satisface ap = e. Sea S = {xeG\xpn
e para algún entero n). Como aeS, a ^ e, se sigue que S ^ (e).
Afirmamos ahora que S es un subgrupo de G. Como G es finito sólo debemos
comprobar que S es cerrado. Si x, yeS, jc,Kt= e, y*™ = e, de modo que
(xy)pn*m = xpn*mypn*rn = e (hemos usado el hecho de ser G abeliano), lo
que prueba que xyeS.
Afirmamos ahora que o(S) = p^, con /? entero y 0 < ft < a. Pues si un
primo q\o(S), q ^ P, de acuerdo el resultado de la aplicación 1 habría
un elemento ceS, c ^ e que satisfaría c* = e. Sin embargo, cpn = e para
algún /?, ya que ceS> pero como pm y q son primos entre sí, podemos
encontrar enteros A y \i tales que kq+wm = 1, de donde c = c1 = cXq+ttpn
(c*)x(cpny = e, lo que contradiría la hipótesis c ^ e. Según el teorema
de Lagrange o(S)\o(G), de modo que /? < a. Supongamos /? < a; consi-
G/S. Como í<ay o(G/S) = ^^, />|o(G/S)
algú
(xeG) en G/S
*" - S para
0. Pero S = (Sx)pn = Sx*", de donde x^eS; de donde
e = (jcO0(s) = (**V = x*"*'. Por tanto, jc satisface exactamente los
requisitos necesarios para ponerlo en S, en otras palabras, xeS, y, por
consiguiente, Sx
S, lo que contradice Sx ^ S. Luego /? < a es imposible,
lo que nos deja como única alternativa que p — a. De donde S es el
subgrupo de orden p* requerido.
Vamos a confirmar el enunciado. Supongamos que T es otro subgrupo
de G de orden pa, T * S. Como G es abeliano ST = TS, de modo que ST
ubgrup
o(ST) °{S)o(T) ™
o(SnT) o(SnT)
(Sn T) < pa, lo que nos da o(ST) = p\ y > a. Como ST

f 7. HOMÓMORFISMOS 69
es un subgrupo de (7, o(ST)\o(G); luego py\o(G), lo que contradiría el
hecho de que a es la máxima potencia de p que divide a o(C). Luego ningún
subgrupo T existe, y S es el único subgrupo de orden pa. Con lo que hemos
probado el
Corolario. Si G es abeliano de orden o(G) y pa\o(G), y pa+1io(G\
hay un subgrupo único de G de orden p*.
Si consideramos G = 53, que es no abeliano, o{G) = 2*3, vemos que
G tiene tres subgrupos distintos de orden 2,a saber, {e9 <f>}, {e, <t>i¡/}9 {e, <£^2},
de modo que vemos que el corolario que afirma la unicidad no siempre
vale para los grupos no abelianos. Pero el teorema de Sylow se verifica para
todos los grupos finitos.
Dejemos las aplicaciones y volvamos al desarrollo general. Supongamos
que <p es un homomorfismo de G sobre G de núcleo Ky y supongamos que
H es un subgrupo de G. Sea H = {xeG\<t>{x)eU}. Afirmamos que H es
un subgrupo de G, y que H r> K. Que H 3 K es trivial, pues si xeK, <f>(x) = é
está en /?, de lo que se sigue que K <z H. Supongamos ahora que x,ysH\ se
tiene de ello que <¡>(x)eH y 4>{y)eEy y de ello se deduce que <p(xy)
= <t>(x)<t>(y)ef}. Por tanto, xyeH, es decir, vemos que H es cerrado
respecto al producto de G. Además, si xe//, <t>(x)efí y, por tanto,
4>(x~l) — 4>ix)~!e/7, de lo que se sigue que x~leH. Hemos, pues,
demostrado nuestra aseveración por completo. ¿Qué más es lo que se
puede decir cuando H es normal en G? Sean geG, heH; entonces <p(h)eH,
de donde <¡>(ghg~l) = <t>(g)<¡>(h)<¡>(g)~*eH\ ya que H es normal en G.
Dicho en otra forma, ghg~1eHy de lo que se sigue que H es normal en G.
Debe observarse un otro punto, a saber, que el homomorfismo <t> de G
sobre (7, cuando solo se considera sobre elementos de //, induce un
homomorfismo de Hsobre /7, de núcleo exactamente K, ya que Ka //; de acuerdo
con el teorema 2.d tenemos que H w H/K.
Supongamos recíprocamente que L es un subgrupo de G y que K<zL.
Sea L = {xeG \ x = $(/), leL}. El lector debe verificar que Ees un subgrupo
de G. ¿Podemos describir explícitamente el subgrupo T = {yeG\<p(y)eL}l
Claramente L c T. ¿ Hay algún elemento /e Tque no esté en L? Supongamos
teT; entonces <¡>{t)sLy de modo que de acuerdo con la definición de £,
<¡>(t) = <t>(l) para algún IeL. Por tanto, </>(//_1) = <t>(t)<f>(l)~l = e, de
donde tl~1eKc L, luego / está en Ll = L. De modo análogo se prueba
que 7cL, lo que combinado con L a T nos da L = T.
Hemos así establecido una correspondencia biyectiva entre el conjunto
de todos los subgrupos de G y el conjunto de todos los subgrupos de G
que contienen a K. Por otra parte, en esta correspondencia un subgrupo
normal de G se corresponde con un subgrupo normal de G.
■
Resumiremos estos últimos párrafos en el siguiente lema.

70 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
Lema 2.17. Sea </> un homomorfismo de G sobre G de núcleo' K.
Para un subgrupo H dé G sea H el subconjunto de G definido por
H = {xeG\4>(x)eH}. Entonces H es un subgrupo de G y Hz> K; si H es
normal en G, entonces H es normal en G. Por otra parte, esta asociación
establece una aplicación biyectiva del conjunto de todos ¡os subgrupos de G
sobre el conjunto de todos los subgrupos de G que contienen K.
Deseamos probar un teorema más general acerca de la relación entre
dos grupos que son homomorfos.
Teorema 2.e. Sea <j> un homomorfismo de G sobre G de núcleo K, y sea
N un subgrupo normal de G y N = {xeG\<l>(x)eN}. Entonces G/N « G/N.
O lo que es equivalente, G/N » (G/K)/(N/K).
m
Prueba, Como ya sabemos, hay un homomorfismo 6 de G sobre G/Ñ
deñnido por 6(g) = Ng, Definimos la aplicación \p : G->G/N por \p(g)
= ^<t>(9) para todo geG. En primer lugar, vemos que \¡/ es sobre, pues si
geG, g = </>(g) para algún geG, ya que <¡> es sobre, de modo que el
elemento tipo Ng de G/N puede representarse como N<¡>{g) = 0(#).
Si a, beG, i¡/(ab) = N</>(ab) según la definición de la aplicación \¡t. Pero
ahora, como <¡> es un homomorfismo, 4>(ab) = </>(a)</>(b). Luego ip(ab)
= N</>(a)</>(b) = N</>(a)N</>(b) = \p(a)\¡/(b). Hasta el momento, hemos
demostrado que \p es un homomorfismo de G sobre G/N, ¿Cuál es el
,núcleo T de 0? En primer lugar, si neN> </>(n)eNt de modo que \¡/(n)
= N<f>(n) = Ñ, el elemento identidad de G/N, probando que NaT. Por
otra parte, si fe 7", \¡/(t) = elemento identidad de G/N = N; pero 0(0
= N<f>(t). Comparando estas dos evaluaciones de 0(/), llegamos a que
N = N<t>{t)t lo que obliga a que </>(t)eN; pero esto coloca a / en N de
acuerdo con la definición de TV. Es decir, Te N. Ya se probó que el núcleo
de \p es igual a N. Pero entonces \p es un homomorfismo de G sobre G/N
de núcleo N. Por el teorema 2.d, G/N « G/N, que es la primera parte del
teorema. La última afirmación del teorema se sigue inmediatamente de la
observación (que sigue como consecuencia del teorema 2.d) de que
G « G/K, N * N/K, y G/N * (G/K)/(N/K).
Problemas
■
1. Verifiqúese en cada uno de los siguientes casos si las aplicaciones
que se definen son homomorfismos y cuando lo sean determínese el núcleo.
a) G es el grupo de los números reales distintos de cero bajo la
multiplicación, G = G, <¡>(x) = x2 para todo xeG.
b) G y G como en (a), <f>(x) =? 2*.
c) G es el grupo aditivo de los números reales, G = G, #(x) = x+l
para todo xe G.

S 7. HOMOMORFISMOS
71
d) G y G como en (c), <¡> (jc) = 13 jc para todo jcé G.
e) G es un grupo abeliano cualquiera, G = G, $(jc) = jc5 para
toda jce G.
2. Sea G un grupo cualquiera y g un elemento fijo de G. Definamos
<¡>: G-+G por $(jc) = gxg*1. Pruébese que <¡> es un isomorfismo de G
sobre G.
3. Sea G un grupo abeliano finito de orden o(G) y supongamos que el
entero n es primo con o(G). Pruébese que todo geG puede escribirse como
*
g = jc" con JceG. (Sugerencia; Considérese la aplicación <¡>: G-+G definida
P°r 0O>) = y", y pruébese que esta aplicación es un isomorfismo de G
sobre G.)
4. a) Dado un grupo cualquiera G y un subconjunto U de G, sea 0
el subgrupo mínimo de G que contiene a U. Pruébese que hay
un tal subgrupo 0 en G. (A 0 se le llama subgrupo generado por U.)
b) Si gug~leU para todo geG y ueU, pruébese que 0 es un
subgrupo normal de G.
5. Sea U = {jcyjc" * j>~ * I •*» ^e G}. En este caso 0 se escribe comúnmente
como G' y se llama subgrupo conmutador de G.
o) Pruébese que G' es normal en G.
Z>) Pruébese que G/G' es abeliano.
c) Si G/N es abeliano, pruébese que N-=>G'.
d) Pruébese que si H es un subgrupo de G y H=> G't entonces H es
normal en G.
6. Si N y M son subgrupos normales de G, pruébese que NM/M
« N/NnM.
7. Sea K el conjunto de todos los números reales, y para a» b reales,
con o # 0, definamos xab: V-> V por xab(x) = ax+b. Sea G = {tab\a, b
sean reales y c # 0} y sea iV = {t16eG}. Pruébese que iVes un subgrupo
normal de G y que G/N « grupo multiplicativo de los números reales
distintos de cero.
8. Sea G el grupo diédrico definido como el conjunto de todos los
símbolos formales jc'^, i = 0, 1, j — 0, 1,..., /j — 1 donde jc2 = e, y1 = e9
xy = ^ "1 x. Pruébese que:
a) El subgrupo N = {e,j>, j>2,..., y1} es normal en G.
¿>) Que G/N « >T, donde W = {1, —1} es el grupo con la
multiplicación entre números reales como operación.
m
9. Pruébese que el centro de un grupo es siempre un subgrupo normal.
10. Pruébese que un grupo de orden 9 es abeliano.

72
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
11. Si G es un grupo no abeliano de orden 6, pruébese que G w-53.
12. Si G es abeliano y si N es un subgrupo cualquiera de G, pruébese
que G/N es abeliano.
8. AUTOMORFISMOS
En la sección precedente se definió y examinó el concepto de isomorfismo
de un grupo en otro. El caso especial en que el isomorfismo transforme un
grupo dado en sí mismo, debe, obviamente, ser de alguna importancia.
Usamos la palabra "en" con toda intención, pues existen grupos G que
tienen isomorfismos que transforman G en, y no sobre, sí mismo. El más
sencillo ejemplo de un caso es el siguiente: Sea G el grupo aditivo de los
enteros y definamos </>: G-> G por <¡>:x-*2x para todo xeG. Como
<¡) : (x+y) = 2(x+y) = 2x + 2y, ó es un homomorfismo. Además, si las
imágenes de x y y bajo <¡> son iguales, entoi
<f> es, pues, un isomorfismo. Sin embargo ó
2y9 de donde x = y.
d>
<t>
grupo sobre sí mismo serán para nosotros de un interés máximo
Definición. Por automorfismo de un grupo G entenderemos un
isomorfismo de G sobre sí mismo.-
Como mencionamos en el capítulo 1, siempre que hablemos de
aplicaciones de un conjunto en sí mismo escribiremos las aplicaciones al lado
derecho; así si T: S-+S, y xeS, entonces xT es la imagen de x bajo T.
Sea / la aplicación de G que envía cada elemento sobre él mismo; es
decir, la dada por xl = x para toda xe G. I es trivialmente un automorfismo
de G. Sea A(G) el conjunto de todos los automorfismos de G; siendo un
subconjunto de A{G\ el conjunto de todas las aplicaciones inyectivas de
G sobre sí mismo, para los elementos de A(G) podemos usar el producto
definido en A{G\ es decir, el producto de aplicaciones. Este producto
satisface entonces la propiedad asociativa en A(G) y, por tanto a fortiori,
en A(G). Además, /, el elemento unidad de A(G)t está en A(G), luego
A(G) no es vacío.
m
Un hecho importante que intentaremos establecer es que A{G) es un
subgrupo de A(G) y, por tanto, en sí mismo, un grupo. Si Ty y T2 están en
A(G) sabemos ya que TlT2eA(G). Pero lo que necesitamos es que esté
en el conjunto, más pequeño, A(G). Lo probaremos inmediatamente. Para
todo x,yeG, (xy)Tx = (xT^iyT,), y (xy)T2 = (xT2){yT2) y, por tanto,
(xy)Tt T2 = {(xy)Tt)T2 = {(xTt){yTt))T2
((*r,)r2) «yTATj = (*r, t2) o-r, r2).

i 8. AUT0M0RFISM0S
73
Es decir, Ty T2eA(G). Solo es necesario un hecho más verificar para poder
asegurar que A(G) es un subgrupo de A (G), a saber, que si TeA(G) entonces
T~1eA(G).S\xtyeGientoi\ces((xT^1){yT-1))T=((xT-l)T)((yT-1)T)
(x¡)(y¡) = xy, luego (xT~l)(yT~l) = (xy)T~ly lo que nos dice que
T~l está en A(G). En resumen, hemos probado el
Lema 2.18. *S# <7 es un grupo, entonces A(G\ el conjunto de los auto-
rfismos de G, es un grupo.
Desde luego, por ahora, no tenemos modo alguno de saber que A(G)
tiene elementos distintos del /. Si G es un grupo que tiene solamente dos
elementos no resulta difícil convencerse que A(G) consiste solamente en /.
Para grupos G con más de dos elementos, A(G) siempre tiene más de
un elemento.
Lo que nos gustaría es tener una muestra más rica de automorfismos
de la que ahora tenemos, la constituida solo por /. Si el grupo G es
abeliano y hay algún elemento x0eG que satisface x0 # x0~ , podemos
escribir explícitamente un automorfismo, el que constituye la aplicación T
definida por xT — x~l para todo xeG. Para cualquier grupo G> T es
suprayectiva; para cualquier grupo abeliano G, (xy)T = (xy)~l = y~x x~x
— x~xy~l — (xT)(yT). Además x0T = x0~x # jc0, luego T ^ /.
Pero la clase de los grupos abelianos es algo limitada y nos gustaría
tener algunos automorfismos de los grupos no abelianos. Aunque parezca
extraño, la tarea de encontrar automorfismos para tales grupos es más fácil
que la de encontrarlos para los grupos abelianos.
Sea G un grupo; para geG definamos Tg : G-+G por xTg =g~lxg
para todo xeG. Afirmamos que Tg es un automorfismo de G. En primer
lugar, Tg es suprayectiva, pues dado>>e <7, si x — gyg~x se tiene xTg = g~ l(x)g
= 9~x(9y9~l)9 = y- Sean ahora x,yeG, entonces (xy)Tg = g~1 (xy)g
= 9~1(xgg~1y)g = (g~x xg) (g~l yg) = (xTg)(yTg). Tg es, por consiguiente,
un homomorfismo de G sobre sí mismo. Afirmamos, además, que Tg es
inyectiva, pues si xTg = yTg, entonces g~x xg = g~lyg, de donde, aplicando
las leyes de cancelación en G, se tiene: x = y. Tg se llama automorfismo
interior correspondiente a g. Si G es no abeliano, hay un par a, beG tal que
ab # ¿>tf;pero entonces bTa = a~~xba # ¿>, luego Ta # /. Puesto que para
un grupo no abeliano G siempre existirán automorfismos no triviales.
Sea 2(G) = {7^e^:(C7)|^eG}. El cálculo de Tgh para g, he G puede
ser de algún interés. Supongamos xeG; por definición tenemos: xTgh
(gh)-lx(gh) = h-xg-xxgh = (g-xxg)Th = (xTg)Th = xTgTh. Mirando
el comienzo y el final de esta cadena puede verse que Tgfr = Tg Th. Esta
pequeña observación es interesante y sugestiva. Es de interés porque
inmediatamente nos dice que 3(G) es un subgrupo de A(G) (; verifiqúese!).
A 3 (G) se le suele llamar grupo de los automorfismos interiores de G. Es
sugestiva porque si consideramos la aplicación \¡i : G-+&(G) definida por

74 TEORÍA OE GRUPOS — Cap. 2
^P(ff) = Tg para toda geG, entonces \¡i(gh) = Tgh = T§Th = ip(g)i¡/(h). Es
decir, \¡i es un homomorfismo de G en A(G) cuya imagen es 3(G). ¿Cuál
es el núcleo de ^? Llamémosle K y supongamos que go^K. Entonces
\¡i(g<¡) = /, lo que es equivalente a decir que Tto = /. Pero esto nos dice que
para cualquierjcgG, xTgo= jc; ahora bien, xTgo = g0~l xg0, luego tenemos:
x = g0~lx9o para todo xeG. Luego g0x = gQg0~lxg0 = *0o¿ es decir,
^0 debe conmutar con todos los elementos de G. Pero el centro de G, Z, se
definió precisamente como el conjunto de todos los elementos de G que
conmutan con todos los elementos de G. (Véase el problema 13, sección 5.)
Luego KcZ. Ahora bien, si zeZ, entonces xT2 = z"x xz = z~l(zx)
(puesto que zx = xz) = x, de donde Tz = / y, por tanto, ze K. De manera
que, Z<=#. Como hemos probado que KcZ y, también, que Zctf,
tenemos que Z — K, Resumiendo, \¡i es un homomorfismo de G en A(G)
con imagen 3 ((7) y núcleo Z. De acuerdo con el teorema 2.d, 3((7) « G/Z,
Para subrayar la importancia de este resultado general lo enunciamos
como lema.
*
ff
Lema 2.19. 3(G) « G/Z, donde 3(G) « e/ grw/to de los automorfismos
interiores de G, y Z es el centro de G.
Supongamos que <f> es un automorfismo de un grupo G y que aeG tiene
orden n (es decir, cT = e, /?er0 /rara todo m /a/ #we 0 < m < n, cT & e).
Entonces <f>(á)H = #(a") = <l>(e) = e, es decir, 0(tf)" = e. Si <£(fl)m = * para
algún m tal que 0 < m < n9 entonces <f>(cT) = <f>(á)m = e, lo que implica,
como <f> es inyectiva, que o1" = e, en contradicción con lo supuesto. Luego
Lema 2.20. Sea G un grupo y <f> un automorfismo de G. Si aeG es de
orden o (a) > 0, entonces o(<f>(a)) = o (a).
Los automorfismos de grupo pueden usarse como procedimiento para
la construcción de nuevos grupos partiendo del grupo original. Antes de dar
una explicación abstracta de esto consideraremos un caso particular.
Sea G un grupo cíclico de orden 7, es decir, G consiste en todas las
potencias de a, a\ donde suponemos que a1 = e. La aplicación <f>: al~+a2l>
como puede comprobarse trivialmente, es un automorfismo de G de orden 3,
es decir, <f>3 = /. Sea jc un símbolo al que formalmente sometemos a las
siguientes condiciones: jc3 = e, x~la*x = <¡>(á)1 — a3i, y consideremos todos
los símbolos formales jc'o7 con i = 0, 1, 2,y = 0, 1, 2,..., 6 y donde
convenimos que x*aJ = xkat si y sólo si i s k mód 3, y / sj mód 7. Multiplicamos
estos símbolos según las reglas: jc3 = a7 = e, jc"!ax = a3. Por ejemplo,
xaxa2 = \x(ax)a2 = x(xa3)a2 = x2a5. El lector puede verificar que así se
obtiene un grupo no abeliano de orden 21.
Generalmente, si G es un grupo y T un automorfismo de orden r de G
que no es un automorfismo interior, escojamos un símbolo jc y consideremos
todos los elementos jc^, i = 0, ±1, ±2,..., geG sujetos a las condiciones
jcf0 = jc*V si y sólo si i = i" mód r, g = g' y x~lglx = gTl para todo i.

fé. AUTOMORFISMOS 75
De esta forma obtenemos un grupo mayor {(7, T}; G es normal en {(7, T)
y {G, T}/G « grupo generado por T = grupo cíclico de orden r.
Cerramos esta sección con la determinación de A(G) para todos los
grupos cíclicos.
Ejemplo 1. Sea G un grupo cíclico finito de orden r, G = (c), d = e.
Supongamos que T es un automorfismo de G. Si conocemos aT, como
d T = {aT)1, a1 T está determinado, luego gT está determinado para toda
geG = (c). Necesitamos, pues, solo considerar imágenes posibles de a
bajo 7*. Como aTeG, y como todo elemento de G es una potencia
de a, c7 = d para algún entero / tal que 0 < / < r. Ahora bien, como T
es un automorfismo, aT debe tener el mismo orden que a (lema 2.20), y
afirmamos que esta condición fuerza a / a ser primo con r. Pues si d\ /, d\ r,
entonces (fl7*)r/d = c,(r/d) =flr(,/d) = (ar),/d = e; luego a 7 tendría como orden un
divisor de r/d, lo que combinado con el hecho de que artiene orden r, implica
d = 1. Recíprocamente, para cualquier entero j tal que 0 < s < r que sea
primo relativo con r, la aplicación S :al -* ast es un automorfismo de G.
Por tanto, ^(C7) está en una correspondencia biyectiva con el grupo
Ur de enteros menores que r y primos relativos con r con.la
multiplicación módulo r como operación. Afirmamos no solo que existe una
tal correspondencia biyectiva, sino que existe una que, además, es un
isomorfismo. Para cada entero i tal que 0 < / < r y r e i sean primos
relativos, sea T¡ el elemento de &(G) dado por Tiia-^a*; entonces
T¡Tj: fl->flí->ci-/, luego T¡Tj = Tijt La aplicación i-+T¡ exhibe el
isomorfismo de Ur sobre &(G). De donde &(G) « Ur.
a
Ejemplo 2. G es un grupo cíclico infinito. Es decir, G consiste de todos
los a\ i = 0, ± 1, ±2,... donde se supone que d = e si y sólo si i = 0.
Supongamos que T es un automorfismo de G. Como en el ejemplo 1,
aT = cf. El problema que ahora se nos presenta es, ¿qué valores de / son
posibles? Como Tes un automorfismo de (7, transforma G sobre sí mismo,
de modo que a = ^rpara alguna geG. Luego a = a*T = (aT)1 para algún
entero /. Como aT = a\ debemos tener que a = dly luego que au~l = e.
De donde ti— 1 = 0, es decir, ti = 1. Claramente, como / e i son enteros
esto implica que forzosamente / = ± 1, y cada uno de estos dos valores da
lugar a un automorfismo, / = 1 nos da el automorfismo identidad /,
/= — 1 genera el automorfismo T:g-+g~l para toda g en el grupo
cíclico G. Luego, aquí ¿t(<J) « grupo cíclico de orden 2.
Problemas
1. ¿Las siguientes aplicaciones son automorfismos de sus grupos
respectivos ?
a) Grupo de los enteros bajo la adición y T: x—► — x.
b) Grupo multiplicativo de los reales positivos y T: x->x2.

76 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
c) Grupo cíclico de orden 12 y T: x—>jc3.
d) Grupo Sz y T: jc-*jc_1.
2. Sea G un grupo, H un subgrupo de G, T un automorfismo de G.
Sea (f/)T = {hT\hsH}. Pruébese que (//)Tes un subgrupo de G.
3. Sea G un grupo, T un automorfismo de G, N un subgrupo normal
de G. Pruébese que (N)T es un subgrupo normal de G.
m
4. Para G = S$ pruébese que £ « 3(G).
*
5. Para cualquier grupo G pruébese que 3(G) es un subgrupo normal
de A(G) (el grupo ¿t(G)/3(G) se llama grupo de los automorfismos
exteriores de G).
6. Sea G un grupo de orden 4, G = {e, o, 6, ab), a2 — b2 = eyab — ba.
Determínese ¿t(G).
7. o) Un subgrupo C de G se dice que es un subgrupo característico
de G si (C)Tcz C para todo automorfismo T de G. Pruébese que
un subgrupo característico de G debe ser un subgrupo normal
de G.
b) Pruébese que el recíproco de (a) es falso.
8. Para cualquier grupo G, pruébese que el subgrupo conmutador G'
es un subgrupo característico de G. (Véase el problema 5 de la sección 7.)
9. Si G es un grupo, N un subgrupo normal de G y M un subgrupo
característico de N, pruébese que M es un subgrupo normal de G.
10. Sea G un grupo finito, T un automorfismo de G con la propiedad
de que xT = x para jcg G si y sólo si x = e. Pruébese que todo géG puede
representarse como g = x~l{xT) para algún jcgG.
11. Sea G un grupo finito y Tun automorfismo de.G-son la propiedad
de que xT = x si y sólo si x = e. Supongamos, por otra parte, que T2 = /.
Pruébese que G debe ser abeliano.
v
*12. Sea G un grupo finito y supongamos que el automorfismo T envía
más de las tres cuartas partes de los elementos de G sobre sus inversos.
Pruébese que xT = x~l para todo xeG y que G es abeliano.
13. En el problema 12, ¿puede el lector encontrar algún ejemplo de un
grupo finito que sea no abeliano y que tenga un automorfismo que
transforme exactamente tres cuartas partes de los elementos de "G sobre
sus inversos?
♦14. Pruébese que todo grupo finito con más de dos elementos tiene un
automorfismo no trivial.

§ 9. EL TEOREMA DE CAYLEY
77
*15. Sea G un grupo de orden 2n. Supongamos que la mitad de los
elementos de G son de orden 2 y que la otra mitad forman un subgrupo //de
orden n. Pruébese que H es de orden impar y es un subgrupo abeliano
de G.
♦16. Sea <f>(n) la función <f> de Euler. Si a > 1 es un entero, pruébese
que n\<p(<f— 1).
9. EL TEOREMA DE CAYLEY
Cuando los grupos aparecieron al principio en las matemáticas, general-
mente procedían de una fuente específica y se presentaban en forma muy
m
concreta. Muy a menudo era en la torma de un conjunto de transformaciones
de algún objeto matemático particular. En realidad, la mayor parte de los
grupos aparecieron como grupos de permutaciones, es decir, como subgrupos
de Sn. (Sn = A(S) cuando S es un conjunto finito de n elementos.) El
matemático inglés Cayley fue el primero en notar que todo grupo podía
realizarse como un subgrupo de A(S) para algún S. Nuestra tarea en esta
sección, será la de dar una presentación del teoremajle Cayley y algunos
otros resultados con él relacionados.
Teorema 2.f (Cayle
para algún.S apropiado.
rfo a un subgrupo de A(S)
Prueba. Sea G un grupo. El conjunto S" será el que esté constituido por
los elementos de G; es decir, ponemos S = G. Si geG definamos
t : 5(= G)—► £( = G) por xrg = xg para todo xgG. Si yeG, entonces
y ='(yg~ )g = {yg' )rgy de modo que rg transforma 5 sobre sí mismo.
Por otra parte, x€ es inyectiva, pues si x,yeSy xx9 = yx9, entonces xg = yg,
lo que, según la ley de cancelación en los grupos, implica que- x = y.
Hemos probado que para toda geG, xgeA(S).
Si g,hEG, consideremos xgh. Para cualquier xeS = Gtxxgh = x(gh)
(xg)h = (xr9)xh = *TjTV Nótese que hemos usado la ley asociativa aquí
en pasos esenciales. De xrgh = xrgxM deducimos que t^ = xgTh. Por tanto,
si definimos \¡/: G-+A(S) por \f/(g) = xgy la relación xgh = xgxh nos dice
que \¡/ es un homomorfismo. ¿Cuál es el núcleo A^de ^? Si g0eK, entonces
\p(g0) = rgo, es la aplicación idéntica sobre 5, de modo que para xeG y,
en particular, para e€ G, exg = e. Pero erg = eg0 = g0. Luego,
comparando estas dos expresiones para exgo, concluimos que g0 = c, de donde
K = (e). Luego, de acuerdo íbn el corolario al lema 2.16 ^ es un isomorfismo
de G en Á{S\ lo que prueba el teorema.
El teorema nos permite exhibir cualquier grupo abstracto como un
objeto más concreto, a saber, como un grupo de transformaciones. Pero

78
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
■
tiene sus limitaciones; pues si G es un grupo finito de orden o(G), entonces,
usando S = G, como en nuestra prueba, A(S) tiene o(G)\ elementos.
Nuestro grupo G de orden o(G) es algo perdido en el grupo A(S) que, con
sus o(G)\ elementos es gigantesco en comparación con G. Y nos pregun-
tamos, ¿no podría encontrarse una S más económica, para la que A(S)
fuera menor? Eso es lo que vamos a intentar conseguir.
Sea G un grupo y H un subgrupo de G. Sea S el conjunto cuyos
elementos son las clases laterales derechas de H en G. Es decir,
S = {Hg\geG}. S no necesariamente ha de ser un grupo, en realidad, sería
un grupo solamente si H fuera un subgrupo normal de G. Sin embargo,
podemos hacer que nuestro grupo G actúe sobre S del siguiente modo
natural: para geG sea tg : S->S el dado por (Hx)tg = Hxg. Siguiendo los
pasos de la prueba del teorema 2.f podemos fácilmente probar:
1) tgeA(S) para todo geG.
2) tgh = tgth.
Luego la aplicación 9: G—► A (S) definida por 9(g) — tg es un homomorfismo
de G en A(S). ¿Puede siempre afirmarse que 6 sea un isomorfismo?
Supongamos que Kes el núcleo de 6. Sig0eK, entonces 6(g0) = tgo es la aplicación
idéntica sobre S, de modo que para toda Xe S, Xtgo — X. Como todo
elemento de S es una clase lateral derecha de H en G, debemos tener que
Hatgo = Ha para toda aeG, y usando la definición de tgoi a saber,
Hatgo = Hag0, llegamos a la identidad Hag0 = Ha para toda aeG. Por
otra parte, si beG es tal que fíxb = Hx para toda xeG, dando vuelta a
nuestro argumento podríamos mostrar que beK. Luego K = {beG\Hxb
Hx para todo xeG}. Afirmamos que, por esta caracterización de K,
K debe ser el máximo subgrupo normal de G que está contenido en H.
Explicamos primero el uso de la palabra máximo; queremos decir con ella
que si N es un subgrupo normal del G que está contenido en //, entonces TV
debe estar contenido en K. Queremos demostrar que este es el caso. Que
K es un subgrupo normal de G se sigue del hecho de que es el núcleo de un
homomorfismo de G. Pasemos ahora a probar que KczH. En efecto, si
beKtHab = Ha para todo aeGt luego en particular//^ = Heb = He — //,
de donde befí. Finalmente, si TV es un subgrupo normal de G que está
contenido en //, si neNy ae G, entonces anaT * eTV <= //, luego HanaTl = //;
por tanto Han = Ha para toda aeG. De manera que, neK por nuestra
caracterización de K.
Y hemos probado el
Teorema 2.g. Si G es un grupo, H un subgrupo de G y S el conjunto de
todas las clases laterales derechas de H en G, entonces hay un homomorfismo 6
de G en A(S) y el núcleo de 6 es el máximo subgrupo normal de G que está
contenido en H.

f 9. EL TEOREMA DE CAYLEY
79
caso H
(e) nos da exactamente el teorema de Cayley (teorema 2.f
H no tiene ningún subgrupo normal de G distinto del (
entonces
usado
Esto es interesante principalmente para grupos finitos, pues usaremos esta
observación como medio para probar que ciertos grupos finitos tienen
subgrupos normales no triviales, al igual que para representar ciertos grupos
grupos
>s estas observaciones con mayor cuidado
bgrupo H cuyo índice /(//) (es decir, el
derechas de //en G) satisface /(//)! < o(G). Sea
todas las clases laterales derechas de H en G. La aplicación, $, del
teorema 2.g no puede ser un isomorfismo, pues si lo fuera, 0(G) tendría
(G)
sin embargo, sería un subgrupo de A(S)
(//)! < o(G) elementos. Por tanto, el núcleo de 6 debe
como este núcleo es el máximo subgrupo normal de G que está contenido
en //, podemos concluir que H contiene un subgrupo normal no trivial de G.
Pero el argumento arriba usado tiene implicaciones incluso cuando
/(//)! no es menor que o(G). Si o(G) no divide a /(//)! entonces, por el
sabemos
(G)
0(G)j de donde 0(07) no puede ser isomorfo a (7, es decir
H
normal no trivial de G.
Resumimos todo esto en el siguiente
Lema 2.21. Si G es un grupo finito, y H
o(G) i i(H)f entonces H debe contener a un
En particular, G no puede ser simple.
Aplicaciones
1) Sea G un grupo de orden 36. Supongamos que G tiene un subgrupo H
de orden 9 (más adelante veremos que este es siempre el caso). Entonces
/(//) = 4, 4! = 24 < 36 = o(G) de modo que en //debe haber un subgrupo
normal N ^ (e), de <7, de orden un divisor de 9, es decir, de orden 3 o 9.
2) Sea G un grupo de orden 99 y supongamos que H es un subgrupo
de G de orden 11 (veremos más adelante que tal cosa debe suceder
forzosamente). Entonces /'(//) = 9, y como 99í9! hay un subgrupo normal no
trivial N t¿ (e) de G en //. Como /Tes de orden 11, que es un primo, su
solo subgrupo distinto del-(e) es él mismo, lo que implica que N = H.
Es decir, H mismo es un subgrupo normal de G.
3) Sea G un grupo no abeliano de orden 6. De acuerdo con el problema 11,
sección 3, hay un a ^ eeG que satisface a2 = e. Luego, el subgrupo
H = {e, a) es de orden 2, y /(//) = 3. Supongamos, por el momento, que

80 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
sabemos que H no es normal en G. Como H tiene como únicos subgrupos
él mismo y (e\ H no tiene ningún subgrupo normal no trivial de G en él.
Luego G es isomorfo a un subgrupo T de orden 6 en A(S\ donde S es el
conjunto de las clases laterales derechas de H en G. Como o(A(S))
= /(//)! = 3! = 6, T = S. En otras palabras, G & A(S) = 53. Habríamos
probado que todo grupo no abeliano de orden 6 es isomorfo a 53. Todo lo
que queda por demostrar es que H no es normal en G. Como puede ser de
algún interés, pasamos a una prueba detallada de esto. Si H = {e, a} fuese
normal en (7, entonces para cada geG, como gag~1eH y gag~l # e,
tendríamos que gag~l = a, o lo que es lo mismo, que ga = ag para todo
geG. Sea ¿>e<7, b$fí, y consideremos N(b) = {xeG\xb = bx}. Sabemos,
por un problema anterior, que N(b) es un subgrupo de (7, y N(b)=> H\
N(b) # H ya que beN(b) y b$H. Como H es un subgrupo de N(b\
o(H)\o(N(b))\6. El único número par n9 2 < n ^ 6 que divide a 6 es 6.
Luego o(N(b)) = 6; de donde b conmutaría con todos los elementos de <7.
m
Así que todo elemento de G conmuta con todo elemento de <7, haciendo
de G un grupo abeliano, en contra de lo supuesto. Luego H no puede ser
normal en G. Esta prueba es algo larga, pero ilustra algunas de las ideas
que hemos presentado.
■
Problemas
1. Sea G un grupo; consideremos las aplicaciones de G en sí mismo,
Xgi definidas para geG por xkg = gx para toda jcg<7. Pruébese que toda k9
es inyectiva-y suprayectiva y que kgh = kgkh.
2. Definamos kg como en el problema 1 y xg como en la prueba del
teorema 2.f. Pruébese que para cualesquiera g, heG, las aplicaciones kg y xh
satisfacen kgxh = rhkg. (Sugerencia: para jcg<7 considérense x(A^ta) y
x(^hkg).)
3. Si 0 es una aplicación invectiva de G sobre sí mismo tal que k§0 = 6kg
para todo geG, pruébese que 6 = xh para algún heG.
4. a) Si H es un subgrupo de <7, pruébese que para todo geG.gHg"1
es un subgrupo de G.
b) Pruébese que W = intersección de todos los gHg~l es un
subgrupo normal de (7.
5. Usando el lema 2.21 pruébese que un grupo de orden p2, donde p
es un número primo, debe tener un subgrupo normal de orden p.
*6. Demuéstrese que en un grupo G de orden p2, cualquier subgrupo
normal de orden p debe encontrarse en el centro de <7. (Sugerencia: si m es
un entero, m* = m mód p.)

f 10. GRUPOS DE PERMUTACIONES
81
*7- Usando el resultado del problema 6, pruébese que cualquier grupo
de orden p2 es abeliano.
8. Si p es un número primo, pruébese que cualquier grupo G de orden
2p debe tener un subgrupo de orden p, y que este subgrupo es normal en G.
9. Si o(G) es pq con p y q números primos distintos y si G tiene un
subgrupo normal de orden p y un subgrupo normal de orden q, pruébese
que G es cíclico.
*10. Sea o(G) = pqfp > q primos. Pruébese
bgrupo de orden p y un subgrup
b) Si qlp— 1, entonces G es cíclico
c) Dados dos primos p, q, q\p
de
orden pq.
grupos
10. GRUPOS DE PERMUTACIONES
Hemos visto que todo grupo puede representarse isomórficamente como
un subgrupo de A(S) para algún conjunto S y, en particular, que un grupo
finito G puede representarse como un subgrupo de S„, para algún w, donde
S„ es el grupo simétrico de grado n. Esto demuestra claramente que los
grupos S„ mismos merecen un estrecho examen.
Supongamos que S es un conjunto finito de n elementos xx, x2,..., xH.
Si (peA(S) = SH9 entonces <f> es una aplicación inyectiva de S sobre sí
mismo, y podemos describir <f> mostrando lo que hace a cada elemento,
por ejemplo, <f>: xx —► x2, x2 —> xA, xA—> jc3 , jc3 —► xx. Pero esto es muy
laborioso. Abreviamos el procedimiento si escribimos <¡> como
*1 *2 *3 ••• *
n
*l| Xt2 Xh '" X¡*
donde xik es la imagen de jc,- bajo <j>. Volviendo al ejemplo que acabamos
de poner, <f> estaría entonces representado por
*1 *2 *3 *4
X2 X4 Xj X3
Mientras que esta notación es ya más manejable hay también en ella cierto
derroche, pues no parece que sirva a propósito alguno el símbolo x.
Podríamos exactamente lo mismo representar la permutación por
2
i
2

82
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
Para nuestro ejemplo tendríamos
12 3 4
2 4 13
Dadas dos permutaciones 0, \¡/ en SH, usando esta representación simbólica
de 6 y \¡/f ¿cuál sería la representación de 0\¡/? Para calcularla podemos
comenzar viendo qué es lo que 6\¡t hace a x, (que aquí aparecerá escrito
como 1). 0 lleva 1 a /,, mientras que i¡/ lleva i, a k, digamos, luego 6\¡t
lleva 1 a k. Repetimos a continuación éste proceso para 2, 3,..., n. Por
ejemplo, si 6 es la permutación representada por
12 3 4
3 12 4
y i// es la representada por
12 3 4
13 2 4
entonces i, = 3 y \¡/ lleva 3 en 2, luego k = 2 y 6\¡t lleva 1 a 2. Análogamente
¿ty : 2-» 1, 3-> 3, 4->4. Es decir, la representación de {ty es
12 3 4
2 13 4
Si escribimos
12 3 4
6
3 12 4
y
*
12 3 4
13 2 4
entonces
0\¡t
1 2 3 4\ /l 2 3 4\ /l 2 3 4
3 1 2 4/ \1 3 2 4/ \2 1 3 4
Este es el modo en que multiplicaremos los símbolos de la forma
1 2 ... n\ /l 2 ... n
11 I2 ••• i/|/ \Kj K2 ••• fc¡

I 10. GRUPOS DE PERMUTACIONES
83
Sea S un conjunto y 6eA(S). Dados dos elementos a,beS definimos
a = ob si y sólo si b = a6l para algún entero i (i puede ser positivo,
negativo o cero). Afirmamos que esto define una relación de equivalencia
sobre 5. En efecto:
o
1) a = gü ya que a = a6v = ae.
2) Si a = e¿>, entonces b = a6l, luego ¿7 = 60" \ luego ¿> = ¿a.
3) Si ¿7 = 0b y ¿> = ec, entonces b = aO1 y c = b0J = (fl0')0y = a0f+^
lo que implica que a = ec.
Esta relación de equivalencia induce, de acuerdo con el teorema 1.a,
una descomposición de 5 en subconjuntos ajenos, a saber, las llamadas
clases de equivalencia. A la clase de equivalencia de un elemento seS le
llamamos órbita de s bajo 0; es decir, la órbita de s bajo 0 consiste en todos
los elementos s6\ i = 0, ± 1, ±2, ....
En particular, si 5 es un conjunto finito y seS, hay un entero positivo
mínimo / = l(s) dependiente de s tal que s6l = s. La órbita de s bajo 6
consta, entonces, de los elementos 5, s6, s62f..., s6*~l. Por ciclo de 6
entendemos el conjunto ordenado (sts6ts62, ...ysO1'1). Si conocemos todos los
ciclos de 6 es claro que conocemos 6, ya que conoceríamos la imagen de
cualquier elemento bajo 6. Antes de proseguir, ilustramos estas ideas con
un ejemplo. Sea
0
2 3 4 5
13 5 6
donde 5 consiste en los elementos 1, 2,..., 6 (recuérdese que 1 aparece en
lugar de xx, 2 en lugar de x2, etc.). Comenzando con 1, la órbita de 1 se
compone de 1 = 16o, 10l = 2, 162 = 26 = 1, es decir, la órbita de 1 es el
conjunto de los elementos I y 2. Esto nos dice que la órbita de 2 es el mismo
conjunto. La órbita de 3 consta solamente del 3; la del 4 tiene como
elementos 4, 46 = 5, 402 = 50 = 6, 403 = 66 = 4. Los ciclos de 6 son
pues (1,2), (3), (4,5,6).
Ahora procederemos con una pequeña digresión, dejando por un
momento nuestra 0 particular. Supongamos que por el ciclo (/,,/,,..., ir)
*
h>- •> 'r+l en *r e
ir en /*!, y deja sin modificación todos los otros elementos de S. Así, por
ejemplo, si 5 consiste en los elementos 1,2,..., 9, entonces el símbolo
(1, 3,4, 2, 6) representa a la permutación
2 3 4 5 6 7 8
6 4 2 5 17 8
Multiplicamos los ciclos multiplicando las permutaciones que represen Un.

84
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
Así, si de nuevo S tiene 9 elementos,
(1 2 3) (5 6 4 1 8)
2345678 9\ /l 2345678
3 145678 9/ \8 2316475
2 3 4 5 6 7 8
3 8 16 4 7 5
Volvamos a las ideas del párrafo penúltimo, y preguntémonos, dada la
permutación
0
2 3 4 5 6 7 8
3 8 1 6 4 7 5
¿cuáles son los ciclos de 0? Encontremos primero la órbita de 1; está
compuesta de I, 10 = 2, I02 = 20 = 3, 103 = 30 = 8, 104 = 80 = 5,
\65 = 50 = 6, 10* = 60 = 4, 107 = 40 = 1. Es decir, la órbita de 1 es
el conjunto {1,2, 3, 8, 5, 6, 4}. Las órbitas de 7 y 9 que se encuentra son {7}
y {9}, respectivamente. Los ciclos de 0 son, pues, (7), (9), (1, 10, 102,..., 106)
(I, 2, 3, 8, 5, 6, 4). El lector debe verificar ahora que si toma el producto
■
(de acuerdo a como se definió en el último párrafo) de (1, 2, 3, 8, 5, 6, 4), (7)
y (9), obtendrá 0. Es decir, al menos en este caso, 0 es el producto de
sus ciclos.
Pero no es esto ninguna casualidad, pues resulta ahora trivial probar
que el
Lema 2.22. Toda permutación es el producto de sus ciclos.
Prueba. Sea 0 la permutación. Entonces sus ciclos son de la forma
(s,50,..., s6l~l). De acuerdo con la multiplicación de ciclos, según lo
definimos anteriomente, y como los ciclos de 0 son ajenos, la imagen de
s'eS bajo 0, que es s'0, es la misma que la imagen de s' bajo el producto,
\¡fy de todos los ciclos distintos de 0. Luego 0 y \¡t tienen el mismo efecto
sobre cada uno de los elementos de 5, de donde 0 = \¡/, que es lo que
queríamos probar.
Si las observaciones anteriores no nos resultan aún claras a estas alturas,
el lector debe tomar una permutación determinada, encontrar sus ciclos,
tomar su producto, y verificar el lema. Al hacer esto el propio lema
resultará obvio.
El lema 2.22 se plantea usualmente en la forma: toda permutación puede
expresarse en forma única como un producto de ciclos ajenos.

§ 10. GRUPOS DE PERMUTACIONES
85
Consideremos el m-ciclo (l, 2,..., ni). Un simple cálculo muestra que
(l, 2,..., m) = (l, 2) (l, 3)... (I, m). Más generalmente, el /w-ciclo (a,,
a2, ..., am) — (aíya2) (aít a3) ... (a,, am). Esta descomposición no es
única; queremos decir con esto que un m-ciclo puede escribirse como un
producto de ciclos de orden 2 en más de una forma. Por ejemplo, (l, 2, 3)
(l, 2) (l, 3) = (3, 1)(3, 2). Ahora bien, como toda permutación es un
producto de ciclos ajenos y todo ciclo es un producto de ciclos de orden
dos, hemos probado que
Lema 2.23. Toda permutación es un producto de ciclos de orden 2
A los ciclos de orden dos les llamaremos transposiciones.
Definición. Una permutación 6eS„ se dice que es una permutación
par si puede representarse como un producto de un número par de
transposiciones.
La definición que acabamos de dar insiste en que 0 tenga una
representación como un producto de un número par de transposiciones. Quizá
tenga otras representaciones como un producto de un número impar de
transposiciones. Lo primero que queremos ver es que tal cosa no es posible.
Francamente, no nos sentimos muy satisfechos con la prueba que aquí
damos de este hecho porque en ella se introduce un polinomio que parece
un objeto extraño a nuestro sujeto actual de estudio.
Consideremos el polinomio en w-variables p(xXy ...yxn) = J~[ t*i—*,)•
• — *
Si 6eSn hagamos actuar a 0 sobre el polinomio p(xt,..., xm) por medio de
la regla 6 \ p(xx,..., x„) = J~] (x,-x,)-> [] (**</)-**<;))• Es claro que
6: p(xy,..., *„)-► ±p(xl,..., x„). Por ejemplo, en S5, 0 = (I34) (25) lleva a
p(x,,...,x5) = (xl-x2)(x1-x3)(xí-x4)(xl-x5){x2-x3)
x(x2-x4)(x2-x5)(x3-xj(x3-x5)(x4-x5)
en
(*3 ~X5) (X3 -X4) (*3 -*l) (*3 -*2> (*5 -*4> (*3 ~*l)
* (x5-x2) (x4-x,) (x4-x2) (x, -x2)
que puede verificarse que es — p(xt,..., x5).
Si, en particular, 0 es un transposición, 0 :p(xx,..., xn)—* —p(xx,..., xm).
(; Verifiqúese!) Así pues, si una permutación n puede representarse como
un producto de un número par de transposiciones en una representación,
II debe dejar p(x¡,..., x„) fijo, de modo que cualquier representación de II
como un producto de transposiciones debe ser tal que deje p(xly..., xm)
fijo; es decir, en cualquier representación es un producto de un número par
de transposiciones. Esto demuestra que la definición dada de una permuta-

86
TEORÍA DE GRUPOS — Uap. 2
ción par es significativa. Llamamos a una permutación impar si no es una
permutación par.
Los siguientes hechos resultan ahora claros.
1) El producto de dos permutaciones pares es una permutación par.
2) El producto de una permutación par y una impar es una impar
(y, lo mismo, el producto de una impar por una par).
3) El producto de dos permutaciones impares es una permutación par.
La regla para combinar permutaciones pares e impares es como la de
combinar números pares e impares en la adición. Y esto no es una
coincidencia ya que esta última regla se usa para establecer I, 2 y 3.
Sea A„ el subconjunto de S„ consistente en todas las permutaciones
pares. Como el producto de dos permutaciones pares es una permutación
par, An debe ser un subgrupo de Sn. Quizá la mejor forma de ver esto es
la que sigue: sea W el grupo de los números reales 1 y — 1 bajo la
multiplicación. Definamos i¡/: Sn—> W por i¡/(s) = 1 si s es una permutación par,
\p(s) = — 1 si s es una permutación impar. Por las reglas 1, 2 y 3 anteriores
\p es un homomorfismo sobre W. El núcleo de \p es precisamente A„\ como
núcleo de un homomorfismo A„ es un subgrupo normal de S„. Según el
teorema 2.d, SJAn « Wy luego como
2 = o(W)
o(S„)
o(A„)
vemos que o{A„) ~ \n\ A A„ se le llama grupo alternante de grado n.
Resumimos nuestras observaciones en el siguiente
Lema 2.24.. Sn tiene,como subgrupo normal de índice 2 al grupo alternante,
v4w, consistente en todas las permutaciones pares.
Al final de la próxima sección volveremos nuevamente a tratar S„.
Problemas
1. Encuéntrense las órbitas y ciclos de las siguientes permutaciones
a)
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 16 7 9
b)
2 3 4 5
5 4 3 1
2. Escríbanse las permutaciones del problema 1 como si fueran el
producto de ciclos ajenos.

f 11. OTRO PRINCIPIO DE CONTEO 87
3. Exprésense como el producto de ciclos ajenos:
a) (l, 2, 3) (4, 5) (l, 6, 7, 8, 9) (l, 5).
b) (l, 2) (1,2, 3) (1, 2).
4. Pruébese que (1, 2,..., «)_1 = («, n— 1, n—2,..., 2, 1).
5. Encuéntrese la estructura cíclica de todas las potencias de (1, 2,..., 8).
6. a) ¿Cuál es el orden de un «-ciclo?
b) ¿ Cuál es el orden del producto de los ciclos ajenos de longitudes
c) ¿Cómo se encuentra el orden de una permutación dada?
7. Calcúlese a~lba cuando
1) « = (1,3,5) (1,2) ¿ = (1,5,7,9).
2) a = (5, 7, 9) ¿ = (1,2,3).
8. a) Dada la permutación x = (1, 2) (3, 4) y la y = (5, 6) (1, 3),
encuéntrese una permutación a tal que a"1 xa = >\
¿>) Pruébese que no existe a alguno tal que a-1(l, 2, 3)a = (1,3)
(5, 7, 8).
c) Pruébese que no hay permutación a alguna tal que a'1 (l, 2)a
= (3,4) (1,5).
9. Determínese para que m un /«-ciclo es una permutación par.
10. Determínese cuáles de las siguientes son permutaciones pares:
a) (1,2, 3) (1,2).
b) (1,2, 3, 4, 5) (1,2, 3) (4, 5).
c) (1,2) (1,3) (1,4) (2, 5).
11. Pruébese que el subgrupo mínimo de S„ que contiene (1,2) y
(1, 2,..., n) es SH. (En otras palabras, que éstos generan 5„.)
♦12. Pruébese que para n ^ 3 el subgrupo generado por los 3-ciclos es An.
♦13. Pruébese que si un subgrupo normal de An contiene aunque solo sea
un 3-ciclo entonces debe ser forzosamente todo AH.
*14. Pruébese que As no tiene ningún subgrupo normal Af ^ (e), A5.
15. Suponiendo cierto lo que se afirma en el problema 14, pruébese que
cualquier subgrupo de A5 es, cuando más, de orden 12.
11. OTRO PRINCIPIO DE CONTEO
1
La matemática es rica en técnica y argumentos. En esta gran variedad
de situaciones una de las más esenciales herramientas de trabajo es el
conteo. Y, sin embargo, aunque parezca extraño, es una de las -cosas más

88 TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
difíciles. Al hablar de conteo, a lo que queremos referirnos es al proceso
de saber en forma precisa cuántas son todas las posibilidades en situaciones
altamente complejas. Algunas veces esto puede conseguirse por un proceso
exhaustivo primitivo de enumeración de caso tras caso, pero tal rutina
es invariablemente pesada y viola el sentido matemático de la estética. Es
siempre preferible el toque ligero, diestro, delicado, al golpe del mazo.
Pero la objeción más seria al estudio caso por caso, es la de que es eficaz
solo en muy pocos casos. Es por eso que en varias fases de la matemática
encontramos procedimientos de conteo exactos que nos dicen con toda
precisión cuántos elementos, dentro de un contexto muy amplio, satisfacen
ciertas condiciones. Un gran favorito entre los matemáticos es el proceso de
contar en una situación dada de dos formas diferentes; la comparación
de los dos conteos se usa luego como un método de llegar a ciertas
conclusiones. Generalmente hablando, se introduce una relación de
equivalencia sobre un conjunto finito, se mide el tamaño de las clases de
equivalencia de esta relación, y luego se iguala el número de elementos del
conjunto a la suma de los órdenes de estas clases de equivalencia. Ilustra-
■
remos este tipo de enfoque en la presente sección. Introduciremos una
relación, probaremos que es una relación de equivalencia, y hallaremos
luego una clara descripción algebraica del tamaño de cada clase de
equivalencia. De esta simple descripción surgirá una multitud de bellos y
poderosos resultados acerca de los grupos finitos.
Definición. Si a,beG, entonces b se dice que es un conjugado de a
en G si existe un elemento ce G tal que b = c~1 ac.
Escribiremos para esto a ~ b y nos referiremos a esta relación como
conjugación.
Lema 2.25. La conjugación es una relación de equivalencia sobre G.
Prueba. Como de costumbre, para demostrar lo afirmado debemos
probar que:
1) a - a;
2) a ~* b implica b ~ a;
3) a ~ by b ~ c implica a ~ c
para todo a, b y c de G.
Probemos cada una de tales afirmaciones.
1) Cornos = e~lae,a ~ aleone = e sirviendo como la c de la definición
de conjugación.
2) Si a ~ by entonces b = x~lax para algún xeGf de donde,
a — (jc-1)"1^*"1) y como y = x~YeG y a = y~1byf se sigue que b ~ a.
3) Supongamos que a ~ b y b ~ c con at b, ceG. Entonces b = x~*ax
y c = y~lby para ciertos jc, yeG. Sustituyendo b por su expresión" en la

f 11. OTRO PRINCIPIO DE CONTEO
89
-l/_-l \.. /~..\-l
expresión para c, obtenemos: c = y~ (x~ ax)y = (xy)~ a(xy); como
xye G, se tiene, en consecuencia, que a ~ c.
Para aeG sea C(a) = {xeG\a ~ x}. C(a), la clase de equivalencia de
a en G respecto a la relación que estudiamos, se llama usualmente clase de
conjugados de a en G; consiste en el conjunto de todos los distintos
elementos de la forma y"* ay cuando y toma valores en G.
Nuestra atención va a circunscribirse ahora al caso en que G es un
grupo finito. Supongamos que C{a) tiene ca elementos. Busquemos una
descripción alternativa de ca. Antes de hacerlo, observemos que o(G) = Zca
donde la suma corre sobre un conjunto de aeG usando una a para cada
una de las clases de conjugados. Esta observación es, desde luego,
simplemente una reformulación del hecho de que nuestra relación de equivalencia
onjugación— induce una descomposición de G en clases de equivalencia
ajenas —las clases de conjugados. De máximo interés ahora es la
evaluación de ca.
Para lograrlo, recordamos un concepto que introdujimos en el
problema 12, sección 5. Como este concepto es importante —demasiado
importante para dejar su conocimiento al azar de que el lector haya o no
resuelto ese problema— volvemos a lo que muy bien puede ya ser un
terreno familiar para muchos de los lectores.
Definición. Si aeG, entonces N(a), el normalizador de a en G, es el
conjunto N(a) = {xeG\xa = ax}.
N(a) consiste precisamente de aquellos elementos de G que conmutan
con a.
N(,
Prueba. En este resultado el orden de (7, sea este finito o infinito,
carece de importancia, por lo que no ponemos restricción alguna sobre
cuál sea ese orden.
Supongamos que x,yeN(a). Tenemos pues, xa = ax y ya = ay. Por
tanto (xy)a = x(ya) = x{ay) = (xa)y = (ax)y = a(xy), luego xyeN(a).
De ax = xa se sigue que x~la — *~! (¿o:)*~! = x~x(xá)x~1 = ax'1,
luego que x~ está también
N(a) es un subgrupo de G.
N{
Estamos ahora en buena posición para enunciar nuestro principio de
conteo.
Teorema 2.h. Si G es un grupo finito, entonces ca = />rx vx; en otras
o(N{a))
palabras, el número de elementos conjugados a a en G es el índice del
normalizador de a en G.

90
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
Prueba. Para comenzar, la clase de conjugados de a en G, C(a), consiste
exactamente en todos los elementos x~1ax cuando x recorre G. ca mide el
número de los distintos x~*ax. Nuestro método de prueba será mostrar
que dos elementos en la misma clase lateral derecha de N(a) en G da lugar
a un mismo conjugado de a, mientras que dos elementos en diferentes clases
laterales derechas de N(a) en G dan lugar a diferentes conjugados de a.
De esta forma tendremos una correspondencia biyectiva entre conjugados
de a y clases laterales derechas de N(a) en G.
Supongamos que x> yeG están en una misma clase lateral derecha de
N(a) en G. Entonces y = nx donde neN(a) y entonces na = an. Por lo
tanto, como y"1 = (nx)'1 = jc-1/*-1, y~lay = x~ín~1anx =x~1n~lnax
= x~1 ax, es decir, x y y dan lugar a un mismo conjugado de a.
Si, por otra parte, x y y están en clases laterales derechas distintas
de N(a) en G, afirmamos que x~iaxtfy~1ay. Si no fuera este el caso, de
x~i ax = y ~1 ay deduciríamos queyx~i a = ayx~í; esto, a su vez, implicaría
que yx~ 1eN(a). Pero esto nos dice que xy y están en la misma clase lateral
derecha de N(á) en G, lo que contradice el hecho de que están en diferentes
clases laterales. Y la prueba es completa.
Corolario.
o(G)
o(G) = I
o(N{a))
donde esta suma se efectúa tomando un elemento a en cada ciase de conjugados.
Prueba. Como o(G) = Ica, usando el teorema, el corolario se deduce
de inmediato.
A la ecuación en este corolario se suele llamar ecuación de clase de G.
Antes de proseguir con las aplicaciones de estos resultados examinemos
estos conceptos en algún grupo específico. Nada se saca al considerar
grupos abelianos, porque dos elementos son conjugados si y sólo si son
iguales (es decir, ca = 1 para todo a). Nos fijamos, pues, de nuevo en
nuestro antiguo amigo, el grupo 53. Sus elementos son e, (1, 2), (1, 3), (2, 3),
(1, 2, 3), (1, 3, 2). Enumeramos las clases conjugadas:
C(e) = {e}
C(1,2) = {(1,2)((1)3)-1(1,2)(1)3)((2,3)-1(1,2)(2,3)((1(2,3)-1(1(2)(1(2,3),
(1, 3, 2)-1(l, 2)(1, 3, 2)} = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} (Verifiqúese)
C(1, 2, 3) = {(1, 2, 3), (1, 3, 2)} (después de otra verificación).
El lector debe verificar que N((l,2)) = {e,(l,2)} y que #((1,2,3))
= {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}, de modo que c(1>2) = f = 3 y c,U2i3) = f = 2.

i 11. OTRO PRINCIPIO DE CONTEO
91
Aplicaciones del teorema 2.h. El teorema 2.h se presta inmediatamente
a una poderosa aplicación. No necesitamos construcción artificial alguna
para ilustrar su uso, pues los resultados que siguen que revelan la fuerza
del teorema son ellos mismos teoremas de estatura e importancia.
Recordemos que el centro Z(G) de uñ grupo G es el conjunto de todos
los aeG tales que ax = xa para todo xeG. Obsérvese que
Sublema. aeZ si y sólo si N(a) = G. Si G es finito, aeZ si y sólo si
o(N(a)) = o(G).
Prueba. Si aeZ, xa = ax para todo xeG, de donde N(a) — G. Si,
recíprocamente, N(a) = <7, xa — ax para toda xeG, de modo que aeZ.
Si G es finito, o(N(a)) = o(G) es equivalente a N(a) = G.
Aplicación 1
Teorema 2.i. Si o(G) — p" donde p es un número primo ^ entonces
Z(G) * (e).
Prueba. Si aeG, como N(a) es un subgrupo de <7, o(N(a)), por ser un
divisor de o(G) — pn debe ser de la forma o(N(a)) = p"°; aeZ(G) si y
sólo si na = n. Escribamos la ecuación de clase para esta G, haciendo
z = o(Z(G)). Tenemos pn = o(G) = l(pn/pna)\ pero como hay exactamente
z elementos tales que na = n, nos encontramos con que
na<n p
Pero fijémonos en esto: /> es un divisor del primer miembro; como na < n
para cada término en la I del segundo miembro,
P_ = pn-na
p""
de modo que p es un divisor de cada uno de los términos de esta suma, de
donde un divisor de la suma. Por tanto,
Como eeZ(G), z ^ 0; luego z es un entero positivo divisible por el primo p.
Por tanto, z > 1. ¡Pero entonces debe haber un elemento además del e en
Z(G)l. Y esto es lo que afirma el teorema.
Dicho de otra manera, el teorema afirma que un grupo que tiene como
orden la potencia de un primo debe siempre tener un centro no trivial.

92
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
Podemos ahora probar, como corolario de esto, un resultado que
presentábamos en un problema anterior.
Corolario. Si o(G) = p2 donde p es un número primo, entonces G es
abeliano.
Prueba. Nuestra meta es demostrar que Z{G) = G. Por el momento
sabemos ya que Z(G) # (e) es un subgrupo de G de modo que o{Z{G)) = p
o p2. Si o{Z{G)) = p2, entonces Z{G) = G de acuerdo con lo afirmado.
Supongamos por un momento que o(Z) — p\ sea aeG, a$Z{G). N(a) es,
pues, un subgrupo de G, Z(G)cz N(a), aeN{a), de modo que o{N{á)) >p,
y según el teorema de Lagrange o{N{a))\o{G) = p2. Pero, entonces,
forzosamente ha de tenerse o(N(a)) = p2, de donde aeZ(G) en contra de
lo supuesto. Luego o(Z(G)) = p no es, realmente, posible.
Aplicación 2. Usamos ahora el teorema 2.h para probar un importante
teorema debido a Cauchy. Puede ser que el lector recuerde que este teorema
ha sido ya probado para grupos abelianos como una aplicación de los
resultados que encontramos en la sección sobre homomorfismos. En realidad,
haremos uso de este caso especial en la prueba que sigue. Pero, para ser
francos, en la sección que sigue inmediatamente a esta probaremos un
resultado mucho más fuerte, debido a Sylow, que tiene el teorema de
Cauchy como corolario inmediato en una forma que prescinde
completamente del teorema 2.h. Realmente, si el teorema de Cauchy fuese nuestra
última y única meta, podríamos probarlo usando tan solo los resultados
más esenciales de la teoría de grupos en unas pocas líneas. (El lector puede
ver la encantadora y brevísima prueba del teorema de Cauchy encontrada
por McKay y publicada en el American Mathematical Monthly, vol. 66
(1959), pág. 119.) Sin embargo, a pesar de todos estos argumentos en
contra, presentamos aquí la prueba como una sorprendente ilustración
del teorema 2.h.
Teorema 2.j (Cauchy). Si p es un número primo y p\o(G), entonces G
tiene un elemento de orden p.
Prueba. Buscamos un elemento a # eeG que satisfaga ap = e. Para
probar su existencia procedemos por inducción sobre o(G); es decir,
suponemos que el teorema es cierto para todos los grupos T tales que
o(T) < o{G). No necesitamos molestarnos por el comienzo de la inducción
pues el resultado es cierto por vacuidad para grupos de orden 1.
Si, para cualquier subgrupo W de G, W # <7, se tuviera que p\o(W),
entonces, de nuestra hipótesis de inducción existiría un elemento de orden
p en W y habría, por tanto, un tal elemento en G. Podemos, pues, suponer
que p no es un divisor del orden de ningún subgrupo propio de G. En

i 11. OTRO PRINCIPIO DE CONTEO
93
particular, si a$Z(G), como N(a) ¿ G,p\o(N(á)). Escribamos la ecuación
de clase:
o(G) = o(Z(G))+ X °iG)
N(a) *G 0( N(ü))
Como p\o(G\ p\o(N{a)), tenemos que
o(G)
y por tanto,
o(N(a))
y o(G)
Nía) * G 0{N{(i))
como tenemos también que p\o(G), concluimos que
= o(Z(C)).
\ N(a) * g o(N(a)L
Z{G) es, pues, un subgrupo de G cuyo orden es divisible por p. Pero hemos
comenzado por suponer que p no es un divisor del orden de ningún subgrupo
propio de G, luego Z(G) no puede ser un subgrupo propio de G. Luego
vemos que la única posibilidad que nos queda es aceptar que Z(G) = G.
Pero, entonces, G es abeliano; y solo nos queda invocar el resultado ya
establecido para los grupos abelianos para completar la inducción. Y esto
prueba el teorema.
Concluimos esta sección considerando la relación de conjugación en
una clase específica de grupos, a saber, los grupos simétricos S„.
Dado el entero n, decimos que la sucesión de enteros positivos nx,
n2y..., nr*n\ ^ ni ^ ••• ^ nr constituye una" partición de n, si /? = /?, +
n2 + ...+nr- Denotemos por p(n) el número de particiones de n.
Determinemos p(n) para pequeños valores de n:
p(\) = 1 ya que I = 1 es la sola partición de I
p{2) = 2 ya que 2 = 2 y 2 = 1 + 1
p(3) = 3 ya que 3 = 3, 3 = 1 +2, 3 = 1 + I + I
¿>(4) = 4 ya que 4 = 4, 4 = 1 +3, 4 = I + 1 +2,
4 = i + i + i + |,4 == 2 + 2.
Algunos otros son p(5) = 7, p(6) = 11, p(6\) = 1 121 505. Hay mucha
literatura matemática sobre p(n).
Cada vez que descomponemos una permutación dada en S„ en un
producto de ciclos ajenos obtenemos una partición de n\ pues si los ciclos
que aparecen tienen longitudes nl9n2,..., nrt respectivamente, *, < n2 ^

94
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
< ... ^ «r, entonces n = «, + «2 + ••• +nr. Diremos que una permutación
aeSn tiene el ciclo de descomposición {«,, n2,..., nr) si puede escribirse
como el producto de ciclos ajenos de longitudes w,, n2i..., tfr, nl ^ n2
< ... ^ nr. Así pues, en 59
= /l 23456789
\l 32564798
tiene ciclo de descomposición {I, I, 2, 2, 3}; obsérvese que 1 + 1+2 + 2 +
+ 3 = 9. Vamos ahora a intentar probar que dos permutaciones en Sn son
conjugadas si y sólo si tienen el mismo ciclo de descomposición. Una vez
probado esto es evidente que S„ tendrá exactamente p(n) clases conjugadas.
Para alcanzar nuestro objetivo mostramos una regla muy simple para
calcular el conjugado de una permutación dada. Supongamos que ere S„ y que
a envía i-*j. ¿Cómo encontramos 6~xg6 donde 6eSnl Supongamos
que 6 manda /—>s y y—► /; entonces 6~xa6 manda s—>t. En otras palabras,
para calcular 6~x aB reemplácese todo símbolo en a por su imagen bajo 6.
Por ejemplo, para determinar 0~l g6 donde 6 = (1, 2, 3) (4, 7) y a = (5, 6, 7)
(3,4,2), entonces, como 0: 5-» 5, 6-»6, 7-^4, 3-+ I, 4-+7, 2->3, 6~xa6st
obtiene de a reemplazando en o- al 5 por el 5, al 6 por el 6, al 7 por
el 4, al 3 por el 1, al 4 por el 7 y al 2 por el 3, de forma que 6~la6
= (5, 6, 4) (I, 7, 3).
Con este algoritmo para el cálculo de los conjugados se comprende que
dos permutaciones que tienen la misma descomposición en ciclos son
conjugadas. En efecto, si a = (at, a2,..., a„t) (bx, b2,..., b„2)... (x,, x2,...,
xnr) y_T = (a,,a2 añí) (0,, 02,..., p„2) ... (x,, X2, ••♦, X«rX entonces
t = 6~xa6 donde puede usarse como 6 la permutación
a| a2 ... aní b{ ... b„2 ... x{ ... x„r
a, a2 ... ani px ... fí„2 ... Xi ••• Xnr
Así, por ejemplo, (I, 2) (3, 4, 5) (6, 7, 8) y (7, 5) (I, 3, 6) (2, 4, 8) puede
mostrarse son conjugadas usando como permutación conjugante la
1 2 3 4 5 6 7 8\
7 5 13 6 2 4 8/
Que dos conjugadas tienen la misma descomposición en ciclos es ahora
trivial pues, por nuestra regla, para calcular una conjugada reemplazamos
cada elemento en un ciclo dado por su imagen bajo la permutación
conjugante.
Reformulamos el resultado obtenido en la discusión previa en el
siguiente lema.
= (1) (2, 3) (4, 5, 6) (7) (3, 9)

i. 11. OTRO PRINCIPIO DE CONTEO
95
Lema 2.27. El número de clases conjugadas en Sn es p{n)f el número de
particiones de n.
Como tenemos una descripción tan explícita de las clases conjugadas
en SH podemos encontrar todos los elementos que conmutan con una
permutación dada. Ilustramos esto con un caso particular muy sencillo.
Dada la permutación (1, 2) en S„, ¿qué elementos conmutan con ella?
Es claro que cualquier permutación que deje fijos a 1 y a 2 permuta. Hay
(/i—2)! de tales. También (1, 2) conmuta consigo misma. De esta forma
obtenemos 2{n — 2)! elementos en el grupo generado por (1, 2) y las («—2)!
permutaciones que dejan 1 y 2 fijos. ¿Hay otras? Hay n{n—1)/2
transposiciones y éstas son precisamente todas las conjugadas de (1, 2). Luego la
clase conjugada de (1,2) tiene n(n—\)j2 elementos. Si el orden del
normalizador de (1, 2) es r, entonces, por nuestro principio de conteo,
n(n — 1) _ o(Sn) _ n\
2 r r
Así pues, r — 2(« — 2)!. Es decir, el orden del normalizador de (1,2) es
2(n — 2)!. Pero hemos exhibido 2(/i —2)! elementos que conmutan con (1,2);
luego el elemento general a que conmuta con (1,2) es a = (1, 2)'x donde
/ = 0 o 1, y t es una permutación que deja tanto a 1 como a 2 fijos.
Consideremos, como otra aplicación, la permutación (1, 2, 3,..., n)eSn.
Afirmamos que este elemento conmuta solamente con sus potencias.
Ciertamente conmuta con todas sus potencias, y esto da lugar a n elementos.
Ahora bien, cualquier «-ciclo es conjugado de (1, 2, ...,/*) y hay («—1)!
w-ciclos distintos en S„. Luego si u denota el orden'del normalizador de
(1,2,..., n) en Sn9 como o(SH)fu = número de conjugados de (1,2,..., n)
cnSn = (*-l)!,
n\
u = = n.
("-0!
Luego el orden del normalizador de (1, 2,..., n) en S„ es n. Las potencias
de (1, 2,..., n) nos han proporcionado tales n elementos, no hay lugar para
otras, y hemos probado lo que habíamos afirmado.
Problemas
1 n\
1. a) Pruébese que en Sn hay r ciclos distintos.
r (n — r)\
b) Usando lo anterior, encuéntrese el número de conjugados que el
r-ciclo (1, 2,..., r) tiene en SH.

96 TEORÍA OE GRUPOS— Cap. 2
c) Pruébese que cualquier elemento c en SH que conmuta con
(1, 2,..., r) es de la forma a — (1,2,..., r)'t, donde i = 0,1,2,...,
r, y t es una permutación que deja todos los elementos 1, 2,..., r
fijos.
2. d) Encuéntrese el número de conjugados de (1,2) (3,4) en 5n,
para n ^ 4.
b) Encuéntrese la forma de todos los elementos que conmutan con
O, 2) (3, 4) en S..
3. Si p es un número primo, pruébese que en Sp hay (p—1)! + 1
elementos x que satisfacen xp = e.
4. Si en un grupo finito G un elemento a tiene exactamente dos
conjugados, pruébese que G tiene un subgrupo normal N ^ (é)9 G.
5. a) Encuéntrense dos elementos en A5, el grupo alternante de
grado 5, que son conjugados en S5, pero no en A5.
b) Encuéntrense todas las clases conjugadas en A5 y el número
de elementos en cada clase conjugada.
6. a) Si N es un subgrupo normal de G y aeNt muéstrese que todo
conjugado dé a en G está en N.
b) Pruébese que o(N) = Zca para ciertas elecciones de a en N.
c) Usando lo anterior y el resultado del problema 5(¿>), pruébese que
en A5 no hay ningún subgrupo normal # distinto del (é) y el A5.
7. Usando el teorema 2.¡ como argumento, pruébese que si o(G) = pH,
p un número primo, entonces G tiene un subgrupo de orden pa para toda a
tal que 0 < a < n.
8. Si o(G) — p", p un número primo, pruébese que existen subgrupos Nh
i = 0, 1,..., r (para algún r) tales que G = N0 => A^ => N2 =>...=> Nr = (e)
donde N¡ es un subgrupo normal de #,♦_, y donde A^-i/A^ es abeliano.
9. Si o(G) = pHt p un número primo, y H ^ G es un subgrupo de G,
muéstrese que existe un xeGy x$H tal que x~iHx = H.
10. Pruébese que cualquier subgrupo de orden p""1 de un grupo G de
orden /?", p número primo, es normal en G.
*11. Si o(G) = pHt p un número primo, y si TV # (e) es un subgrupo
normal de <7, pruébese que NnZ ^ (e) donde Z es el centro de G.
12. Si G es un grupo, Z su centro, y G/Z es cíclico, pruébese que G debe
ser abeliano.
13. Pruébese que cualquier grupo de orden 15 es cíclico.

§12. EL TEOREMA DE SYLOW
97
14, Pruébese que un grupo de orden 28 tiene un subgrupo normal de
orden 7.
15. Pruébese que si un grupo G de orden 28 tiene un subgrupo normal
de orden 4, entonces G es abeliano.
12. EL TEOREMA DE SYLOW
El teorema de Lagrange nos dice que el orden de un subgrupo de un grupo
finito es un divisor del orden de ese grupo. El recíproco, sin embargo, es
falso. Hay muy pocos teoremas que afirmen la existencia de subgrupos de
un orden prescrito en grupos finitos arbitrarios. El más básico, y
ampliamente usado, es un teorema clásico debido al matemático noruego Sylow.
Presentamos aquí una prueba muy elegante y elemental del teorema de
Sylow; la prueba, en la forma en que aquí aparece, se debe a Wielandt y
apareció en la revista Archiv der Matematik, vol. 10 (1959), págs. 401-402.
Teorema 2.k (Sylow). Si p es un número primo y pa\o(G), entonces G
tiene un subgrupo de orden pz.
Antes de entrar en la prueba del teorema haremos una pequeña digresión
para hablar un poco de teoría de los números y combinatoria.
El número de formas en que podemos escoger un subconjunto de
k elementos de un conjunto de n elementos puede fácilmente mostrarse que es
/«\ = _ü_.
Si n = p"m donde p es un número primo, y si p'\m, pero pr+íJ(m,
consideremos
lp'm\ _ (pam)l
[p* ) (py(p'm-p*)\
_ pam(pam — 1)... (pam — i) ... (pam — p*+ 1)
p'(pa-l)...(pa-i)...(p"-ptt+l)
El problema es: ¿ qué potencia de p divide a [ )? Mirando este número
escrito en la forma que lo acabamos de escribir, se puede ver que, excepto
por el término m en el numerador, la potencia de/7 que divide a (pam — i)
es la misma que la que divide a p% — /, de modo que todas las potencias

98
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
de p se cancelan, excepto la potencia que divide a m. Luego
f
P"m\ „'+i u(P"m'
Prueba del teorema. Sea 921 el conjunto de todos los subconjuntos de G
que tienen p* elementos. 921 tiene pues I \ elementos Dados Ai,, M 2 e 92t
\p° I
(Mx es un subconjunto de G que tiene pa elementos y lo mismo sucede
con M2) definamos Mx ~ M2 si existe un elemento geG tal que Mx = M2g.
Es inmediato verificar que con ello definimos una relación de equivalencia
en 921. Afirmamos que hay, al menos, una clase de equivalencia de
elementos de 92i tal que el número de elementos en esta clase no es un
múltiplo de pr+1, pues si pr+l fuese un divisor del tamaño de cada clase de
equivalencia, entonces pr+1 sería un divisor del número de elementos en 92t.
Como 921 tiene / ] elementos y pr+1 J(l ], tal no puede ser el caso.
\ pa I \ pa )
Sea {Ml9..., Mn} una clase de equivalencia en 92t donde pr+lJ¡Cn. Por la
misma definición de equivalencia en M, si geGy para cada i = l,...f«,
Mtg = Mj para algún y, 1 <y < n. Sea H = {geG\Mlg = A^}. Es claro
que H es un subgrupo de G, pues si a,beH, entonces Mla = Ml y
Mxb = Mlt de donde Mxab = (Mla)b = Mxb — Ml. Estaremos
vitalmente interesados en o(H). Afirmamos que no(H) = o(G); dejamos que
el lector efectúe la prueba, pero le sugerimos el argumento empleado al
principio de la sección 11. Ahora, no(H) = o(G)=pam; como pr+lJ{n
ypa+r\pam = no(H\ debe seguirse quepa\o(H) y, por tanto, que o(H) ^ pa.
Pero si mleMl, entonces para todo heH^myheM^ Luego Nfx tiene
al menos o(H) distintos elementos. Pero A/, era un subconjunto de G
que contenía pa elementos. Luego pa> o(H). Lo que, combinado con
o(H)^ ptt> nos dice que o(H) = pa. Pero entonces hemos exhibido un
subgrupo de G que tiene exactamente p* elementos, a saber, H. Esto prueba el
teorema; realmente hemos hecho aun más que eso —hemos construido
el subgrupo requerido.
Lo que usualmente se conoce como teorema de Sylow es un caso particular
del teorema 2.k, a saber, el
Corolario. Si pm\o(G) y pm+lJiío(G), entonces G tiene un subgrupo de
orden pm.
Un subgrupo de G de orden pm, donde pm\o(G), pm+lJ(o(G), se llama
p-subgrupo de Sylow de G. El teorema común de Sylow tiene otras dos
partes más: una de ellas nos dice que cualesquiera dos /?-subgrupos de
Sylow de G son conjugados en G y la otra afirma-que el número de

100
TEORÍA DE GRUPOS — Cap. 2
2 -l
8. Pruébese que la ecuación x ax = a es soluble para x en un grupo G
si y sólo si a es el cubo de algún elemento en G.
9. Pruébese que xax = b es soluble para jcen G si y sólo si ab es el
cuadrado de algún elemento en G.
10. Pruébese que (1, 2, 3) no es el cubo de ningún elemento en Sm.
11. Supongamos que G es un grupo tal que <¡>(x) = x" define un automor-
fismo de G. Pruébese que para todo aeG, a"'1 está en el centro de G.
12. Si p es un número primo impar, a =¿ 0 se dice que es un residuo
cuadra tico de p si existe un entero x tal que x2 = a mód p. Pruébese que:
■
á) Los residuos cuadra ticos módulo p forman un subgrupo Q del
grupo de los enteros distintos de cero mód/? bajo la multiplicación.
b) 0(0 = ^1.
2
c) S\qeQ,n$Q(2in$z\e llama entonces un «o residuo), entonces nq
es un no residuo.
d) Si w, y n2 son no residuos, entonces nxn2 es un residuo.
e) Si a es un residuo cuadrático de/> entonces aip~1)/2 = I módp.
13. Pruébese que en los enteros módulo p, p un número primo, hay
cuando más n soluciones de x* = 1 mód p para todo entero n.
14. Proporciónese un ejemplo de un grupo no abeliano en el que
(xy)3 = x3y3 para todo x y y.
15. Si G es un grupo, A un subgrupo de G y N un subgrupo normal de (7,
pruébese que si tanto A como /V son solubles, entonces también lo es AN.
16. Si G es un grupo abeliano y a y b de G tienen órdenes m y n
respectivamente, pruébese que hay un elemento c en G cuyo orden es el
mínimo común múltiplo de m y n.
17. En el grupo abeliano finito G pruébese que el número de soluciones
de x* = e, donde n\o(G), es un múltiplo de n.
18. Igual al problema 17, salvo que sin suponer que el grupo sea abeliano.
19. Si A y B son subgrupos de (7, diremos que A es conjugado con B
-1
si B = x~ Ax para algún xeG. Pruébese que:
a) La relación de conjugación es una relación de equivalencia sobre
el conjunto de subgrupos de G.
b) Si /V(>4) = {xeG\x~ Ax = A} entonces hay una correspondencia
biyectiva entre las clases laterales derechas de N(A) en G y los
distintos conjugados de A.

112. EL TEOREMA DE SYLOW
101
20. Sea G un grupo finito y H un subgrupo de G. Para A y B subgrupos
de G diremos que A es un conjugado de B relativo a H si B — x~1 Ax para
algún xeH. Pruébese que:
a) Esto define una relación de equivalencia sobre el conjunto de
subgrupos de G.
b) El número de subgrupos de G conjugados con A relativos a H
es igual al índice de N(A)nH en H.
21. a) Si G es un grupo finito y Sp un p-subgrupo de Sylow de G de
orden pm, pruébese que Sp es el único subgrupo de G de orden jf*
que se encuentra en N(SP).
b) Si Sp es un p-subgrupo de Sylow de G y si a, de orden pk, está
en N(Sp), entonces aeSp.
c) Pruébese que N(N(Sp)) = N(Sp).
22. a) Si G es un grupo finito y si Sp es un p-subgrupo de Sylow de G
pruébese que el número de conjugados de Sp en G no es un
múltiplo de p.
b) Descomponiendo la clase de conjugados de Sp por el uso de la
i jugada
p
tiene \+kp subgrupos distintos (Sugerencia: Úsese la parte (b)
del problema 20 y el problema 21.)
■
23. a) Si Sp es un p-subgrupo de Sylow y B un subgrupo de orden pk
en G, pruébese que si B no está contenido en algún conjugado
de Sp el número de conjugados en G de Sp es un múltiplo de p.
b) Usando la parte (a) y el problema 22, pruébese que B debe estar
contenido en algún conjugado de S
p'
c) Pruébese que cualesquiera dos p-subgrupos de Sylow de G (para
el mismo primo p) son conjugados. (Esta es la segunda parte del
teorema de Sylow.)
24. Usando los problemas 22 y 23, pruébese que npt el número de
/7-sübgrupos de Sylow en G, es de la forma np = l + kp. (Esta es la tercera
parte del teorema de Sylow.)
25. a) Usando el problema 24 pruébese que si o(G) = 36 entonces G
tiene 1 o 4 3-subgrupos de Sylow.
b) Si o(G) = 56, pruébese que G tiene 1 u 8 7-subgrupos de Sylow.
En el último caso, pruébese que los 2-subgrupos de Sylow-de G
deben ser normales en G.
26. Si o(G) = 42, pruébese que su 7-subgrupo de Sylow es normal.
27. Pruébese que un grupo de orden 48 debe tener un subgrupo normal
de orden 8 o 16.

102
TEORÍA DE GRUPOS - Cap. 2
28. Mediante una discusión caso por caso, usando los resultados
obtenidos en el capítulo, pruébese que un grupo de orden menor que 60 o
es de orden primo o tiene un subgrupo no trivial normal.
29. a) Si p > q son primos distintos, pruébese que un grupo de orden
pq es soluble.
b) Si qX(p— l), pruébese que un grupo de orden pq es cíclico.
c) Pruébese que cualesquiera dos grupos no abelianos de orden
son isomorfos.
PQ
30. Pruébese que un grupo no puede ser escrito como la unión de los
conjuntos de dos subgrupos propios.
31. Si un grupo G tiene un subgrupo propio de índice finito, pruébese
que tiene un subgrupo normal de índice finito.
32. S: G es un grupo y aeG tiene orden finito y solamente un número
finito de conjugados en G, pruébese que estos conjugados generan un
subgrupo normal finito de G.
Lecturas suplementarias
Burnside, W., Theory of Groups of Finite Order, segunda edición,
Cambridge University Press, Cambridge, Inglaterra, 1911; Dover
Publications, Inc., Nueva York, 1955.
Hall, Marshall, Theory of Groups, The Macmillan Company, Nueva
York, 1959.
Tópicos para discusión en clase
McKay, James H., "Another proof of G
Mathematical Monthly, vol. 66 (1959)
Segal, Í.E.,
ti
Mathematical Societyy vol. 46 (1940)
>/

CAP
>
J
3¡.«
1. 0EFI*I«*N Y EJEMPLOS DE ANILLOS
Como indicamos en el capítulo 2, hay ciertos sistemas algebraicos que nos
sirven como los bloques de construcción de las estructuras que componen
la materia que actualmente se llama álgebra moderna. A estas alturas de
nuestro estudio, hemos aprendido algo de uno de ellos, de los grupos.
Ahora nuestro propósito es introducir y estudiar un segundo de los tales
bloques, el constituido por los llamados anillos. El concepto abstracto de
grupo tiene su origen en el conjunto de aplicaciones o permutaciones de un
conjunto sobre sí mismo. En contraste, los anillos surgen de otra fuente
bastante más familiar, el conjunto de los enteros. Veremos que están

104 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
caracterizados de acuerdo con los aspectos algebraicos de los enteros
ordinarios de los que pueden considerarse una generalización.
En el próximo párrafo se aclarará que un anillo es completamente
diferente de un grupo, ya que es un sistema bioperacional, en el que hay
definidas dos operaciones; estas operaciones comúnmente se llaman adición
y multiplicación. Sin embargo, a pesar de las diferencias, el análisis de los
anillos seguirá el esquema que ya establecimos para los grupos. Tendremos
los análogos de los homomorfismos, de los subgrupos normales, de los
grupos factores, etc. Con la experiencia que hemos ganado en el estudio de
los grupos, podremos dar las definiciones necesarias, entretejerlas con
*
teoremas significativos, y terminar probando resultados que son interesantes
e importantes acerca de objetos matemáticos que nos han sido familiares
desde hace tiempo. Para citar solo un ejemplo, más adelante veremos en
este libro, usando los argumentos que aquí desarrollamos, que es imposible
trisecar un ángulo de 60° usando solamente regla y compás.
Definición. Un conjunto no vacío R se dice que es un anillo asociativo
si en R están definidas dos operaciones, denotadas por " + " y " •"
respectivamente tales que para cualesquiera a, b, c de R:
1) a + b está en R.
2) a+b = 6+tf.
3) (tf + ¿) + c = tf+(6+c).
4) Hay un elemento 0 en R tal que tf+ 0 = a (para todo a en R).
5) Existe un elemento — a en R tal que a+(—a) = 0.
6) a-b está en R.
7) a-(b*c) = (a-b)-c.
8) a(b + c) = ab+ac y (6 + c)-a = ba + ca (las dos leyes
distributivas).
Los axiomas (l) a (5) simplemente afirman que R es un grupo abeliano
bajo la operación + a la que llamamos adición. Los axiomas (6) y (7) nos
dicen que R es cerrado bajo una operación asociativa, •, a la que llamamos
multiplicación. El axioma (8) sirve para correlacionar las dos operaciones
de R.
Siempre que hablemos de un anillo se entenderá que estamos hablando de
un anillo asociativo. Los anillos no asociativos, es decir, aquellos en que
no se verifica el axioma 7, se presentan en matemáticas y son objeto de
estudio, pero aquí no tendremos ocasión de considerarlos.
Puede y no suceder que exista un elemento 1 en R tal que al = 1 a =¡ a
para toda a en R; si tal elemento existe diremos que R es un anillo con
elemento unitario.
Si la multiplicación de R es tal que a-b = b-a para todo a, b en R
entonces llamamos a R anillo conmutativo.

i 1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE ANILLOS 105
Antes de comenzar a estudiar algunas propiedades de los anillos,
haremos una pausa para examinar algunos ejemplos. Motivándonos en ellos
definiremos varios casos especiales de anillos que son de importancia.
Ejemplo I. R es el conjunto de los enteros, positivos, negativos y el 0;
-f es la adición usual y • la multiplicación usual de los enteros. R es un
anillo conmutativo con elemento unitario.
Ejemplo 2. R es el conjunto de todos los enteros pares bajo las
operaciones habituales de adición y multiplicación. R es un anillo
conmutativo, pero no tiene elemento unitario.
Ejemplo 3. R es el conjunto de los números racionales bajo la adición
y multiplicación habituales de los números racionales. R es un anillo
conmutativo con elemento unitario. Pero aún es más que eso, pues podemos
ver que los elementos de R distintos del 0 forman un grupo abeliano bajo
la multiplicación. Un anillo con esta última propiedad se llama campo.
Ejemplo 4. R es el conjunto de los enteros módulo 7 bajo la adición
y multiplicación módulo 7. Es decir, los elementos de R son los siete
símbolos 0, T, 2, 3,4, 5, S donde:
1) «+./ = £ donde k es el residuo de la división de i+j por 7 (así, por
ejemplo, 4 + 5 = 2 ya que 4 + 5 = 9, que, dividido por 7 da 2 como residuo).
2) i-j = m donde m es el residuo de la división de ijpor 7 (así, 5-3 = i,
ya que 5*3 = 15 que tiene 1 como residuo de su división por 7). El
estudiante debe verificar que R es un anillo conmutativo con elemento unidad.
Pero puede decirse mucho más, a saber, puesto que:
M = I = g-6
2-4 = T = 4-2
3-5 = T = 5-3
los elementos de R distintos de cero forman un grupo abeliano bajo la
multiplicación. R es, pues, un campo. Como solamente tiene un número
finito de elementos se llama campo finito.
Ejemplo 5. R es el conjunto de los enteros módulo 6 bajo la adición
y la multiplicación módulo 6. Si denotamos los elementos de R por 0, T,
2,..., 5, vemos que 2-3 =0, aunque 2 ^ 0 y 3 ^ 0. Así pues es posible en
un anillo R que a-b = 0 sin que a = 0 ni b = 0. Esto no puede suceder en un
campo (véase el problema 10 al final de.la sección 2), luego el anillo R del
ejemplo 5 no es, ciertamente, un campo.
En todos los ejemplos que hemos presentado, el anillo que apareció era
un anillo conmutativo. Ahora presentaremos un anillo no conmutativo.

106
TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
Ejemplo 6. R será el conjunto de todos los símbolos 0Lxxexl+0Ll2ex2
2
+a2i *2i +a22e22 — 2-, <*ije¡j donde todos los atJ son números racionales
¡,j= i
y donde convenimos en que:
2 2
(i)
aueu - L Pijeij
si y sólo si para toda i,j =1,2, oclV = pu.
2 2 2
(2) E <*<;*<J + £ Ai^iy* X («v+Ai)«y
*.J=1 i.J«l i, J= 1
(3) ( I «o^.v) ( Z Ai*o) = ¿ y,ye„
2
donde y{J = £ «ñAy = <*nPu + <*i2p2j
v=l
Esta multiplicación, a primera vista, parece algo complicada, pero está
fundada en reglas relativamente sencillas, a saber, multiplicar laye y por
Itpijeij formalmente multiplicando término a término y agrupar términos
usando para ello las relaciones eu - ekl = 0 si j ^ k> etj • eJt = eu.
Para ilustrar la multiplicación, si a = eM— e2i+e22 y ^ = *22 + 3*i2>
entonces
a-6 = (en-e21+e22He22+3<?12)
^ir^22 + 3e11-e12-e2r^22~3e21e124-e22-€224-3e22-e12
0 + 3e12-0-3e22 + e22+0
3e12 —3¿22+e22 = 3e12 —2e22.
Nótese que exlmexl ~ e\i mientras que e12-eu = 0. Vemos, pues, que
la multiplicación en R no es conmutativa. También vemos que es posible
que wv = 0 con « # 0 y i; # 0.
El lector debe verificar que R es realmente un anillo. Se le llama el anillo
de las matrices racionales 2x2. Tanto él como sus análogos ocuparán
posteriormente una gran parte de nuestro estudio.
Ejemplo 7. Sea C el conjunto de todos los símbolos (a, p) donde a y p
son números reales. Definimos:
(1) (a, p) = (y, S) si y sólo si a = y y p = ó.
Introducimos en C una adición definiendo para x = (a, p) y y = (y, S)
(2) x+y = (a, p)+(y, 6) = («+?, P+8).
Nótese que x+y sigue siendo un elemento de C Afirmamos que C es un
grupo abeliano bajo esta operación con (0,0) sirviendo como elemento

i 1. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS DE ANILLOS
107
identidad para la adición, y ( — a, — /?) como el inverso, en la adición,
de (a, fi).
Ahora que C ya está provisto de una adición, para que C sea un anillo
necesitamos una multiplicación. Logramos esto al definir:
para X = (a, p\ Y = (y, ó) en C
(3) X-Y = (a,/?)•(>>,<>) = (ay-/?5,aó + /?y).
Nótese que X- Y = YX. Además, JT-(1, 0) = (l, 0)Jf = X, de modo que
(l, 0) es un elemento unidad para C.
Observamos de nuevo que X- YeC. Además, si X = (a, fi) ^ (0,0),
entonces, como a,/? son reales y no ambos 0, a2 + /?2 ^ 0, luego
■\/ "*
2 . n2'_ 2 . o2
+/r a*+/f
está en C. Finalmente vemos que
Hemos demostrado totalmente que C es un campo. Si escribimos (a, /?)
como a + /?/ el lector puede verificar que C es simplemente una forma
disfrazada de los familiares números complejos.
Ejemplo 8. Este último ejemplo se llama con frecuencia el de los
cuaternios reales. Este anillo fue descrito por primera vez por el matemático
irlandés Hamilton. Inicialmente se usó mucho en el estudio de la mecánica;
actualmente su interés primario es el de ser un ejemplo importante, pues
aún juega un papel fundamental en la geometría y en la teoría de los números.
Sea Q el conjunto de todos los símbolos a0 + a, i+^j+Zsk donde todos
los números a0, al9 a2 y a3 son números reales. Convenimos en que dos de
tales símbolos a0 + a1/+a2y+a3/r y Po + Pii+Pij+Psk son iguales si y
sólo si af = Pt para t = 0, I, 2, 3. Para que Q sea un anillo debemos definir
+ y para sus elementos. Para ello definimos:
1) para cualquier X = olq + olx i + x2j + *3k, y Y = Po+P\i + P2) + P3k
cnC, A' + Y = (a0 + «ii + <*2J + *3k) + (P0 + pli + P2j + p3k)
(*o + Po) + («i+Pi)¡ + (<x2 + P2)J+ (<** +Pi)*
y
+ (*oh + *2Po+**P\-*\P¿J + &oPz + **Po + *\P2'-<*2P\)l<>

108
TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
Admitimos que esta fórmula para el producto parece formidable; sin
embargo, su aspecto es más complicado de lo que realmente es. Resulta de
multiplicar dos símbolos tales formalmente y agrupar términos usando
las relaciones: r =j¿ = kl = ijk = — l, ij = —ji = k, jk = — kj = i,
ki = —ik — j. La parte última de estas relaciones, llamadas la tabla de
multiplicación de las unidades cuaternionas, puede ser recordada por el
pequeño diagrama que mostramos; cuando se recorre en el sentido de las
manecillas del reloj se puede leer el producto, por ejemplo, ij = k,jk = /,
ki = y, mientras que yendo en sentido contrario han de leerse los negativos.
/
k\ \j
Nótese que los elementos ±1, ±/, ±j, ±k, forman un grupo no abeliano
de orden 8 bajo el producto.
El lector puede probar que Q es un anillo no conmutativo en el que
0 = 0 + 0/ + Oj+Ok y 1 = I +0/+0/ + 0/c sirven como el cero y el elemento
unidad respectivamente. Ahora bien, si X = a0 + a,/+<x2j+<x3k no es cero,
entonces no todos los a0, a,, a2, a3 son 0; como todos son reales de ello
se sigue que /J = a02+a,2+ a22-f a32 ^ 0. Luego
a0 <xx , <x2 • a3
Y = -^--±i--±j--¿keQ.
P
Un simple cálculo nos muestra ahora que X- Y = I. Luego los elementos
distintos del cero de Q forman un grupo no abeliano respecto a la
multiplicación. Un anillo en que los elementos distintos del cero forman un grupo
se llama anillo con división o semicampo (skew field). Desde luego, un
anillo con división conmutativo es un campo. Q nos da un ejemplo de
un anillo con división que no es un campo. Muchos otros ejemplos de anillos
con división no conmutativos existen, pero tendríamos que extendernos
demasiado para presentar aquí otro. La investigación de la naturaleza de
los anillos con división y los intentos para clasificarlos forman una parte
importante del álgebra.
2. ALGUNAS CLASES ESPECIALES DE ANILLOS
Los ejemplos que acabamos de dar en la sección 1 indican claramente
que aunque los anillos son una generalización directa de los enteros, ciertos
hechos aritméticos a los que estamos acostumbrados en el anillo de los

5 2. ALGUNAS CLASES ESPECIALES DE ANILLOS 109
enteros no tienen forzosamente que tener validez en los anillos en general.
Por ejemplo, hemos visto la posibilidad de que a-b = 0 sin que ni a ni b
sean cero. Existen también ejemplos muy naturales en que a-b # b-a.
Todas estas cosas van en contra de nuestra experiencia previa.
Por simplicidad en la expresión, prescindiremos de aquí en adelante del
punto enfl-fty escribiremos simplemente este producto como ab.
■
Definición. Si R es un anillo conmutativo entonces a # OsR se dice
que es un divisor de cero si existe un bsR, b # 0, tal que ab = 0.
Definición. Un anillo conmutativo es un dominio entero si no tiene
divisores de cero.
El anillo de los enteros es un ejemplo de dominio entero.
Definición. Un anillo se dice que es un anillo con división si sus elementos
distintos de cero forman un grupo bajo la multiplicación.
El elemento unidad bajo la multiplicación se escribirá como 1, y el
inverso de un elemento a bajo la multiplicación se denotará como a~x.
Damos finalmente la definición del muy importante objeto matemático
conocido como campo.
Definición. Un campo es un anillo conmutativo con división.
En nuestros ejemplos de la sección 1, mostramos el anillo con división
no conmutativo de los cuaternios reales y los siguientes campos; los números
racionales, los números complejos, y los enteros módulo 7. El capítulo 5
se ocupará de los campos y sus propiedades.
Nosotros queremos estar en posibilidad de calcular en anillos casi
exactamente como con los números reales, recordando siempre que hay
diferencias —puede suceder que ab # ba o que no podamos dividir. Es en
vista de estas posibilidades que queremos probar el próximo lema que
confirma que ciertas cosas que nos gustaría que fuesen ciertas en los anillos
lo son realmente.
Lema 3.1. Si R es un anillo, entonces para todo a, beR
1) a0 = 0a = 0.
2) a(-b) = (-a)b = -(ab).
3) (-a)(-b) = ab.
Si, además, R tiene un elemento unitario, 1, entonces
4) (-I)* = -a.
5) (-!)(-!)= 1.

110 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
Prueba
1) Si aeR, entonces aO = <z(0 + 0) = aO+aO (según la ley distributiva
derecha), y como R es un grupo respecto a la adición, esta ecuación implica
que aO = 0.
Análogamente, 0a = (0 + 0)a = 0a+0at usando la ley distributiva
izquierda, de donde, también aquí, se sigue que 0a = 0.
2) Para probar que a( — b) = — (ab) debemos mostrar que áb +
a(-b) = 0. Pero ab+a( — b) = a(b + (-b)) = aO = 0 según el uso de la
ley distributiva y el resultado de la parte (1) de este lema. Análogamente
{-a)b = -(ab).
3) Que (—a) ( — b) ~ ab es en realidad un caso particular de la parte (2);
lo remarcaremos porque su análogo en el caso de los números reales ha sido
también subrayado en nuestra educación en la escuela. Tenemos con él:
(-a) (-b) = -(a(-b)) (por parte la (2))
= — (—(ab)) (por parte la (2))
= ab
pues — (— jc) = x es una consecuencia del hecho de que en cualquier grupo
4) Supongamos que R tiene un elemento unitario 1; entonces a+(— \)a
= \a+(-l)a = (\+(-\))a = 0a = 0, de donde (-l)a = -a. En
particular, si a = —1, (~1)(—1) = —(—1) = 1, lo que deja establecido en
la parte (5).
Con este lema ya establecido nos sentiremos libres de calcular con
negativos y con 0 como lo hemos hecho anteriormente. El resultado del
lema 3.1 es nuestro permiso para hacerlo. Por conveniencia, a + (—b) se
escribirá como a — b.
El lema que acabamos de probar, aunque muy útil e importante, no es
ciertamente muy excitante. Prosigamos con resultados de un mayor interés.
Antes de hacerlo enunciamos un principio que, aunque es completamente
trivial nos provee de un arma poderosa, cuando es manejada con propiedad.
Este principio no nos dice ni más ni menos que lo siguiente: si un cartero
distribuye 101 cartas a 100 buzones, entonces un buzón debe tener al menos
dos cartas. No suena muy prometedor como argumento, ¿no es así? Pues
nos quedaremos sorprendidos. Las ideas matemáticas pueden a menudo ser
muy difíciles y oscuras, pero ningún argumento de tal tipo puede esgrimirse
contra este sencillísimo principio mencionado. Lo formalizamos e incluso
le daremos un nombre.
Il principio de las casilla*. Si n objetos se distribuyen sobre m
lugares y si n > m entonces algún lugar recibe al menos dos objetos.

f 2. ALGUNAS CLASES ESPECIALES DE ANILLOS
111
Una formulación equivalente y que a menudo usaremos es: Si n objetos
se distribuyen sobre n lugares en tal forma que ningún lugar reciba más
de un objeto, entonces cada lugar recibe exactamente un objeto.
Inmediatamente hacemos uso de esta idea para probar que
Lema 3.2. Un dominio entero finito es un campo.
Prueba. Recordemos que un dominio entero es un anillo conmutativo
tal que ab = 0 si y sólo si al menos uno de los dos factores, a o ¿, es el
mismo 0. Un campo, por otra parte, es un anillo conmutativo con elemento
unidad en el que todo término distinto de cero tiene un multiplicativo
inverso en el anillo.
Sea D un dominio entero finito. Para probar que D es un campo debemos
1) demostrar la existencia de un elemento IgZ) tal que a\ = a para
todo aeD;
2) probar que para todo elemento a ^ OeZ) existe un elemento ¿eZ) tal
aue ab = 1.
Sean xY, x2,..., xn todos los elementos de Z), y supongamos que a ^ OeZ).
Consideremos los elementos xY a, x2a,..., xna, todos ellos de D. ¡ Afirmamos
que todos son distintos! Pues si x¡a = x}a para i#y, entonces
(x¡ — Xj)a = 0. Como D es un dominio entero y a ^ o, tendría que tenerse
Xí — Xj = 0, de donde x¡ = Xj en contradicción con ser i ^ j. Tenemos
pues que xYay x2 a,...y xna son n distintos elementos de D que tiene
exactamente n elementos. Según el principio de las casillas en tal conjunto
deben aparecer todos los elementos de D; dicho de otra manera, todo
elemento y de D puede escribirse como jc(a para algún x¡. En particular,
como aeDya = xioa para algún xineZ). Como D es conmutativo, a = xina
= axÍQ. Nos proponemos demostrar que jcío actúa como un elemento
unidad para todos los elementos de D. En efecto, si yeDy como hemos
■
visto, y = x¡a para algún xseDf y, por tanto, yxin = (x¡a)xin = *,(tf*,0)
x¡a = y. Luego xio es un elemento unidad para D y lo que escribimos
como 1. Ahora bien, IgZ) es también realizable, según se desprende de
nuestro argumento previo, como un múltiplo de a; es decir, existe un ¿eZ)
tal que 1 = ba. Con lo que el lema ha quedado completamente probado.
Corolario. Si p es un número primo entonces Jpy el anillo de los
módulo /?, es un campo.
Prueba. De acuerdo con el lema, es suficiente probar que Jp es un
dominio entero, ya que solamente tiene un número finito de elementos. Si
aybéJp y ab == 0 entonces p debe dividir al entero ordinario ab, y por
tanto />, por ser un primo, debe dividir a a o a b. Pero entonces o a = 0
mód p o b s 0 mód /?, de donde en Jp una de ellas es cero.

112
TEORÍA DE ANILLOS — Cap 3
Problemas
R es un anillo en todos los problemas.
1. Si at b, cy deR evalúese (a+b) (c+d).
2 _2 , _L . L- . u2
2. Pruébese que si a9beR entonces (a+b)2 = a2 + ab+ba+b \ donde
por x2 se debe entender xx.
3. Encuéntrese la forma del teorema del binomio en un anillo general;
en otras palabras, encuéntrese una expresión para (a+b)n cuando n es un
entero positivo.
4. Si todo xeR satisface x2 = x pruébese que R debe ser conmutativo.
(Un anillo en el que x2 = x para todos los elementos se llama anillo booleano.)
5. Si R es un anillo, considerándolo solamente como un grupo abeliano
respecto su adición en el capítulo 2 definimos lo que debe entenderse por
na donde aeR y n es un entero. Pruébese que si a,beR y nym son enteros
entonces (na) (mb) = (nm) (ab).
6. Se dice que un dominio entero D es de característica 0 si la relación
ma = 0 donde 0 ^ aeD y m es un entero puede solamente verificarse si
m = 0. Se dice que D es de característica finita si para algún a ¿ 0 en D y
algún entero m ^ 0, ma = 0. La característica de D se define entonces
como el mínimo entero positivo p tal que pa = 0 para algún a ^ 0 en D.
Pruébese que:
a) Si D es de característica p entonces px = 0 para todo xeD.
b) La característica de un dominio entero o es 0 o un número primo.
7. Si R es un sistema que satisface todas las condiciones de los anillos
con elemento unidad con la posible excepción de a+b = b + a, pruébese
que el axioma a+b
tanto
(1
8. Demuéstrese que el anillo conmutativo D es un dominio entero si y
sólo si para a, b, ceD con a ^ 0 la relación ab — ac implica que b — c.
9. Pruébese que el lema 3.2 es falso si prescindimos de suponer que el
dominio entero es finito.
10. Pruébese que todo campo es un dominio entero.
11. Usando el principio de la casilla pruébese que si m y n son enteros
primos relativos y a y b enteros cualesquiera, entonces existe un entero x tal
que x = a mód m y x = b mód n. (Sugerencia: considérense los residuos
de a9a + m> a+2m, ...,a+(n—\)m en la división por n.)
12. Usando el principio de la casilla pruébese que la expansión decimal
de un número racional debe, después de cierto punto, -hacerse periódica.

3. HOMOMORFISMOS
113
Al estudiar los grupos vimos que el concepto de homomorfismo resultaba
ciertamente fructífero. Esto parece sugerir que apropiadamente un análogo
para anillos nos llevaría también hasta importantes ¡deas. Recuérdese
que para los grupos un homomorfismo se definió como una aplicación tal
que <¡>(ab) = <¡>(a)<l>(b). Como un anillo tiene dos operaciones, ¿qué podría
ser una extensión más natural de este tipo de fórmula que la que se presenta
en la siguiente definición ?
Definición. Una aplicación <f> del anillo R en el anillo R' se dice que
es un homomorfismo si
1) <¡>{a+b) - Ma)+Ub),
2) <¡>(ab) = Hc)Ub\
para aybeR cualesquiera.
Como en el caso de los grupos, hagamos también aquí hincapié en que
el + y el • que aparecen en los primeros miembros de las relaciones en (1)
y (2) son los de R mientras que el + y el • que aparecen en los segundos
miembros son los de R'.
Una útil observación es la de que un homomorfismo de un anillo R en
un anillo R' es, si ignoramos totalmente la multiplicación en ambos anillos,
al menos un homomorfismo de R en R' cuando los consideramos como
grupos abelianos bajo las respectivas adiciones. Por tanto, en cuanto a la
adición concierne, todas las propiedades acerca de los homomorfismos de
grupos probadas en el capítulo 2 se verifican también aquí. En particular,
la mera reformulación del lema 2.14 para el caso del grupo aditivo de un
anillo nos da
Lema 3.3. Si <¡) es un homomorfismo de R en R' entonces
1) <f>(0) = 0.
2) <f>(—a) = — <¡>{a) para todo aeR.
Unas palabras de advertencia: si tanto R como J?' tienen elementos
unidad 1 y 1' respectivamente para sus multiplicaciones, no se sigue de ello
necesariamente que #(1) = 1'. Sin embargo, si R' es un dominio entero,
o si R es arbitrario, pero <f> es suprayectivo, entonces <¡>(l) = 1' es
necesariamente cierto.
En el caso de los grupos, dado un homomorfismo asociamos con este
homomorfismo cierto subconjunto del grupo al que llamamos núcleo
del homomorfismo. ¿Cuál habrá de ser la definición apropiada del núcleo de
un homomorfismo entre anillos? Después de todo, los anillos tienen dos
operaciones, adición y multiplicación, y podría ser natural preguntar cuál
de estas debe singularizarse como base para la definición. Pero la elección
es clara. Dentro de la definición de cualquier grupo arbitrario está la

114 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
condición de que el anillo forme un grupo abeliano bajo la adición. La
multiplicación del anillo se dejó con muchas menos restricciones, y por ello,
en cierto sentido, mucho menos bajo nuestro control que la adición. Es por
esto por lo que es a la adición a la que damos énfasis especial en el anillo,
y damos la siguiente definición.
Definición. Si <¡> es un homomorfismo de R en /?' entonces el núcleo
de <£, I(<f>\ es el conjunto de todos los elementos aeR tales que <f>(a) = 0,
el elemento cero de /?'.
Lema 3.4. Si <t> es un homomorfismo de RenR' con núcleo I(<f>), entonces:
1) /(<£) es un subgrupo de R bajo la adición.
2) SJ ael(<¡>) y reR entonces tanto ar como ra están en /(</>).
Prueba. Como <¡> es, en particular, un homomorfismo de /?, como grupo
aditivo, en /?', como grupo aditivo, (1) sigue de inmediato de nuestros
resultados en teoría de grupos.
Para ver (2), supongamos que ael(<¡>\ reR. Entonces <¡>(a) = 0, de
modo que <¡>{ar) = <¡>{a)<¡>(r) = 0<¡>(r) = 0, de acuerdo con el lema 3.1.
Análogamente <¡>(ra) = 0. Luego, por la propiedad definitoria de /(<£),
tanto ar como ra están en I{<¡>).
Antes de proseguir, examinemos estos conceptos en ciertos ejemplos.
Ejemplo 1. Sean R y R' dos anillos arbitrarios y definamos <¡>(a) = 0
para todo aeR. <¡> es trivialmente un homomorfismo y /(<£) = R. A <¡> se le
llama el homomorfismo cero.
Ejemplo 2. Sea R un anillo, R' = R y definamos <¡> por <¡>(x) = x para
todo xeR. Claramente <f> es un homomorfismo y I(<¡>) consiste solamente
en el 0.
Ejemplo 3. Sea J(y/2) el conjunto de todos los números reales de la
forma m + n^JÍ donde m y n son enteros; J(y/2) forma un anillo bajo
la adición y la multiplicación habituales de los números reales. (¡ Verifiqúese!)
Definamos <¡>: J(Jj)—► 7(^/2)por <¡>{m + nj2) = m — n^/l. <f> es un
homomorfismo de J{yJ2) sobre J(y/2) y su núcleo /(<£) consiste solamente en
el 0. (Verifiqúese.)
Ejemplo 4. Sea J el anillo de los enteros y J„ el anillo de los enteros
módulo n. Definamos <f>: J—► Jn por <¡>{a) = residuo de la división de a por n.
El lector debe verificar que <f> es un homomorfismo de J sobre Jn y que
el núcleo, /(<£), de <f> consiste en todos los múltiplos de n.

5 4. IDEALES Y ANILLOS COCIENTE 115
*Ejemplo 5. Sea R el conjunto de todas las funciones reales continuas
definidas sobre el intervalo unitario cerrado. R se hace un anillo bajo las
habituales adición y multiplicación de funciones; que sea un anillo es una
consecuencia del hecho de que la suma y el producto de dos funciones
continuas es una función continua. Sea ^el anillo de los números reales y
definamos <¡>:R-+ Fpor <t>(f(x)) = /(■£). <t>* es entonces un homomorfismo
de R sobre F y su núcleo consiste en todas las funciones en R que se anulan
en jc = \.
En todos los ejemplos aquí dados hemos usado anillos conmutativos.
Existen muchos bellos ejemplos en que los anillos no son conmutativos, pero
sería prematuro discutirlos aquí.
Definición. Un homomorfismo de R en /?' se dice que es un isomorfismo
si es una aplicación inyectiva.
Definición. Dos anillos se dice que son isomorfos si existe un
isomorfismo de uno sobre el otro.
Las notas que presentamos en el capítulo 2 acerca del significado de un
isomorfismo o de la afirmación que dos grupos, son isomorfos pueden
aplicarse palabra por palabra al caso de los grupos. Análogamente, el
criterio dado en el lema 2.16 para que un homomorfismo sea un isomorfismo
se traduce directamente de grupos a anillos en la forma
Lema 3.5. El homomorfismo <¡> de R en R' es un isomorfismo si y sólo
si I((¡>) = (0).
f
4. IDEALES Y ANILLOS COCIENTE
Una vez que se han establecido las ideas de homomorfismo y su núcleo
para anillos, basadas ambas en nuestra experiencia con los grupos, parece
que ha de ser fructuoso establecer también para anillos algo análogo al
concepto de subgrupo normal. Una vez logrado esto 'puede esperarse que
este análogo conduzca a una construcción sobre los anillos semejante a la
del grupo cociente de un grupo por un subgrupo normal. Finalmente, si
alguien fuera un optimista, esperaría que los teoremas sobre homomorfismo
para grupos se pudieran aplicar íntegramente a los anillos.
Afortunadamente, todo esto puede hacerse proveyéndonos con ello de
una técnica incisiva para el análisis de los anillos.
La primera tarea con que nos encontramos parece que es la de definir
un concepto adecuado de "subgrupo norman para anillos. Con un poco
de intuición no es esto difícil. Recordemos que los subgrupos normales
resultaban no ser otra cosa en último término que núcleos de homomorfismos,

116 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
aunque en sus primeras condiciones definitorias no aparecieran los homo-
morfismos para nada. ¿ Por qué no usar esta observación como la clave de
nuestra definición para anillos? El lema 3.4 nos ha proporcionado ya algunas
condiciones de las que un subconjunto de un anillo debe cumplir para que
pueda ser el núcleo de un homomorfismo. Tomamos ahora el punto de
vista de que ya que al menos al presente no tenemos ninguna otra
información de que disponer, haremos de las conclusiones del lema 3.4 nuestro
punto de partida para nuestra tarea, por lo que definiremos:
Definición. Un subconjunto no vacío U de R se dice que es un ideal
(bilateral) de R si:
1) U es un subgrupo de R bajo la adición.
2) Para todo ueU y re/?, tanto ur como ru están en U.
La condición (2) afirma que U "absorbe" la multiplicación a la derecha
y a la izquierda por elementos arbitrarios del anillo. Por esta razón U
comúnmente se llama ideal bilateral. Como no tendremos ocasión alguna,
aparte de la que se nos presente en alguno de los problemas de usar ningún
otro concepto de ideal, solo usaremos la palabra ideal, en lugar de ideal
bilateral, en todo lo que sigue.
Dado un ideal U de un anillo /?, sea R/U el conjunto de todas las
distintas clases laterales de U en R que se obtienen al considerar U como
un subgrupo de R respecto a la adición. Adviértase que simplemente decimos
clases laterales, en lugar de clases laterales derechas o clases laterales
izquierdas; esto está justificado por ser R un grupo abeliano bajo la adición.
Repitamos lo que hemos dicho: R/U consiste en el conjunto de las clases
laterales a+ U donde aeR. De acuerdo con los resultados del capítulo 2,
R/U es automáticamente un grupo bajo la adición, lo que se consigue por
la ley de composición-(a + U)+(b + U) = (a+ b)+ [/. Para que R/U tenga
una estructura de anillo debemos definir en él una multiplicación. ¿Qué
más natural que definir (a + U) (b + U) = ab+UI Debemos, sin embargo,
estar seguros de que tiene sentido. Dicho de otra manera, estamos obligados
a probar que si a+U = a' + U y b+U = b' + U9 entonces, bajo nuestra
definición de multiplicación, (a + U) (b + U) = (a' + U)(b' + £/), o lo que
es equivalente, que ab+U = a'b' + U. Notemos primero a este fin que como
a+ U = a' + [/, a = a' +w, donde uxeU\ análogamente, b = b' + u2 con
u2eU. Luego ab = (a' + WjX^'-f u2) = a'b' +uYb'+a'U2^-ulu2'ypero como
Ues un ideal de R, ulb,eU9 a'u2eUy uxu2eU. De donde 1^6'+ a'u2+uiu2
= u3eU. Pero entonces ab = a'b'+u39 de donde deducimos que ab+U
= a'b' + u3 + U, y como u3eU, uz + U = U. La consecuencia final de todo
esto es que ab + U = a'b' + U. Hemos al menos alcanzado el principal
objetivo en nuestro camino a la meta, a saber, el de introducir una
multiplicación bien definida. El resto es rutina. Para establecer que R/U es un
anillo, tenemos que ir comprobando que cada uno de los axiomas que definen

I 4. IDEALES Y ANILLOS COCIENTE 117
un anillo se verifica en R/U. Todas estas verificaciones son bastante parecidas,
así que lo que vamos a hacer es escoger uno de los axiomas, la ley
distributiva derecha, y probar que se verifica en R/U. El resto lo dejamos al
lector como ejercicio informal. Si X = a+U> Y = b + U y Z = c+U son
tres elementos de R/U, donde a, b, ceR, entonces (X+Y)Z = ((a+U)
+(6+t0) (c+U) = ((a + b)+U) (c+U) = (a+b)c+U = ac + bc+U
= (ac+U) + (bc+U) = (a+U)(c+U) + (b+U)(c+U) = XZ+YZ.
R/U se ha convertido ahora en anillo. Es claro que si R es conmutativo,
entonces también lo es R/U9 pues (a+U)(b+U) = ab+U = ba+U
= (b+U) (a+ U). (El recíproco es falso.) Si R tiene un elemento unidad 1,
entonces R/U tiene un elemento unidad l + U. Podemos preguntarnos:
¿en qué relación está R/U con. /?? Con la experiencia que ahora tenemos
nos es fácil contestar. Hay un homomorfismo <f> de R sobre R/U dado por
<¡>(á) = a+ t/para todo aeR, cuyo núcleo es exactamente U. El lector debe
verificar que el <¡> 'así definido es un homomorfismo de R sobre R/U de
núcleo U.
Resumimos estas observaciones en el siguiente lema.
Lema 3.6. Si U es un ideal del anillo /?, entonces R/U es un anillo y es
una imagen homomorfa de R.
Con esta construcción del anillo cociente de un anillo por un ideal,
satisfactoriamente lograda, estamos listos para traer a los anillos los
teoremas de homomorfismo de los grupos. Como la prueba es una aplicación
palabra por palabra de la que se dio para los grupos al lenguaje de los
anillos, nos limitamos a enunciar el teorema sin prueba, refiriendo al lector
al capítulo 2 para la prueba.
Teorema 3.a. Sean R y Rf anillos y <¡> un homomorfismo de R sobre R'
de núcleo U. Entonces R' es isomorfo a R/U. Además hay una correspondencia
biyectiva entre el conjunto de ideales de Rf y el conjunto de ideales de R que
contienen a U. Esta correspondencia puede obtenerse asociando a cada ideal
W en R' el ideal W de R definido por W = {xzR\<b(x)eW'}. Con W asi
definido R/W es isomorfo a R'/W.
Problemas
1. Si U es un ideal de R y \eU pruébese que U = R.
2. Si Fes un campo pruébese que sus únicos ideales son (0) y el mismo F.
3. Pruébese que cualquier homomorfismo de un campo es o un isomor-
fismo o lleva todos los elementos en el 0.

118 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
4. Si R es un anillo conmutativo y aeR pruébese que:
a) aR = {ar\reR} es un ideal bilateral de R.
b) Pruébese, mediante un ejemplo que esto puede ser falso si R no
es conmutativo.
5. Si £/, V son ideales de R sea £/+ V = {u+v\ueU, veV). Pruébese
que {/+ V es también un ideal.
6. Si U y Kson ideales de R sea t/Kel conjunto de todos los elementos
que pueden escribirse como sumas finitas de elementos de la forma uv donde
ueU y ve V. Pruébese que UV es un ideal de R.
7. En el problema 6 pruébese que UV<=. Un V.
■
8. Si R es el anillo de los enteros, sea U el ideal consistente en todos los
múltiplos de 17. Pruébese que si Kes un ideal de R y Ra Vzd U, entonces
o K = /? o V = U. Generalícese el resultado.
9. Si U es un ideal de R sea r(U) = {xeR\xu = 0 para todo ueU).
Pruébese que r{U) es un ideal de R.
10. Si U es un ideal de R sea [R: U] = {xeR\rxeU para todo reR}.
Pruébese que [R: U] es un ideal de R y que contiene a U.
11. Sea R un anillo con elemento unidad. Usando sus elementos definimos
un anillo R conviniendo en que ¿70 b = a + b+X^y a-b = ab+a+b donde
a^beR y la adición y la multiplicación en los segundos miembros de estas
relaciones son las de/?.
a) Pruébese que R es un anillo bajo las operaciones ® y •
b) ¿Qué elemento es el que actúa como cero de Rl
c) ¿Qué elemento es el que actúa como el uno de Rl
d) Pruébese que R es isomorfo a R.
*12. En el ejemplo 6 de la sección I de este capítulo, discutimos el anillo
de las matrices racionales 2x2. Pruébese que este anillo no tiene ideales
distintos al (0) y a sí mismo.
*-13. En el ejemplo 8 de la sección 1 de este capítulo, discutimos los
cuaternios reales. Usando esto como modelo definimos los cuaternios sobre
los enteros módulo p, p un número primo impar, exactamente del mismo
modo, sin embargo, ahora consideramos todos los símbolos de la forma
a0+aii+a2y+a3/: donde a0, al, a2, a3 son enteros módulo p.
a) Pruébese que este es un anillo con p* elementos cuyos únicos
ideales son (0) y el mismo anillo.
**b) Pruébese que este anillo no es un anillo con división.
Si R es un anillo cualquiera, un subconjunto L de R se llama ideal
izquierdo de R si
1) L es un subgrupo de R respecto a la adición.

i 6. MAS IDEALES Y MAS ANILLOS COCIENTE 119
2) reR y aeL implica raeL.
(Análogamente se puede definir un ideal derecho.)
Un ideal es, simultáneamente, un ideal izquierdo y un ideal derecho de R.
14. Para aeR sea Ra — {xa\ xeR}. Pruébese que Ra es un ideal izquierdo
áeR.
15. Pruébese que la intersección de dos ideales izquierdos de R es un
ideal izquierdo de R.
16. ¿Qué puede decir el lector acerca de la intersección de un ideal
izquierdo con un ideal derecho de 7??
17. Si R es un anillo y aeR sea r(a) = {xeR\ax — 0}. Pruébese que
r(a) es un ideal derecho de R.
18. Si R es un anillo y L un ideal izquierdo de R sea X(L) = {xeR | xa = 0
para todo aeL}. Pruébese que A(L) es un ideal bilateral de R.
*19. Sea R un anillo en el que x3 = x para todo xeR. Pruébese que R
es un anillo conmutativo.
20. Si R es un anillo con elemento unidad 1 y ^ es un homomorfismo
de R sobre R', pruébese que 0(1) es el elemento unidad de R'.
21. Si R es un anillo con elemento unidad 1 y ^ es un homomorfismo
de R en un dominio entero R' tal que /(<£) # R pruébese que <f>{\) es el
elemento unidad de R'.
5. MÁS IDEALES Y MÁS ANILLOS COCIENTE
Continuamos la discusión de los ideales y de los anillos cociente.
Supongamos, al menos por el momento, que un campo es la clase más
conveniente de anillo. ¿ Por qué ? Si no por otra razón, al menos por la de
que podemos dividir en él, de manera que tanto las operaciones como los
resultados se aproximan en un campo más estrechamente a lo que es
nuestra experiencia con los números reales y complejos. Además, como
quedó ilustrado en el problema 2 del precedente conjunto de problemas, un
campo no tiene más imágenes homomórficas que él mismo o el anillo trivial
consistente en el 0. No podemos, por tanto, simplificar un campo aplicándole
■
un homomorfismo. Teniendo en cuenta todas estas observaciones es natural
que intentemos ligar de alguna forma un anillo general con campos. ¿Qué
es lo que aparecerá implicado en esta liga? Tenemos una maquinaria cuyas
partes componentes son los homomorfismos, los ideales y los anillos
cociente. Con estas forjaremos la unión.

120
TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
Pero antes debemos precisar las más muy vagas observaciones del
párrafo precedente. Planteamos explícitamente nuestra pregunta: ¿Bajo
qué condiciones es un campo la imagen homomorfa de un anillo? Para
anillos conmutativos damos una contestación completa en esta sección.
Esencial para el tratamiento del problema planteado es el recíproco del
resultado del problema 2 de la lista de problemas al final de la sección 4.
LEMA &2> Sea R un anillo conmutativo con elemento unitario cuyos
únicos ideales son (0) y el mismo R. Entonces R es un campo.
Prueba. Para tener una prueba de este lema debemos presentar, para
cada a ^ 0eRt un elemento b ^ OeR tal que ab — \.
Supongamos pues que a ^ 0 está en R. Consideremos el conjunto
Ra ~ {xa\xeR}. Afirmamos que Ra es un ideal de R. Para establecer tal
cosa debemos demostrar que es un subgrupo de R bajo la adición y que si
ueRa y rsR entonces ru está también en Ra. Solo necesitamos probar que
ru está en Ra porque entonces ur también está, ya que ru — ur
Ahora bien, si w, veRa, entonces u = rxa, v = r2a para ciertos rx ,r2eR.
Luego u+v = ría+r2a = (rl+r1)aeRa\ análogamente — u = —rla
(—r^aeRa. De donde Ra es un subgrupo aditivo de R. Además, si
reRtru = r(ríá) = (rr^aeRa. Ra satisface, por tanto, todas las condiciones
definitorias de un ideal de Rt de donde es un ideal de R. Nótese que tanto
la ley asociativa como la ley distributiva de la multiplicación se utilizaron
en la prueba de este hecho.
Según nuestras hipótesis sobre R, Ra = (0) o Ra = R. Como 0 ^ a
\aeRa, Ra ^ (0); luego nos quedamos con la otra sola posibilidad, a
saber, que Ra = R. Esta última ecuación nos dice que todo elemento en R
es el producto de a por algún elemento de R. En particular, 1 e R y, por
tanto, puede realizarse como un múltiplo de a; es decir, existe un elemento
beR tal que ba = 1. Y esto completa la prueba del lema.
Definición. Un ideal M ^ R de un anillo R se dice que es un ideal
máximo de R si siempre que U es un ideal de R tal que M c U c R se tiene
que R = U o M = U.
En otras palabras, un ideal de R es un ideal máximo si es imposible
intercalar un ideal entre él y el anillo total. Dado un anillo R no hay garantía
alguna de que tenga algún ideal máximo. Si el anillo tiene elemento unidad,
esto puede probarse admitiendo un axioma básico de las matemáticas, el
llamado axioma de selección. Puede también que haya muchos ideales
maximales distintos en un anillo R; esto lo ilustraremos más adelante en
el anillo de los enteros.
Hasta el momento hemos conocido muy pocos anillos. Solamente por
la consideración de un concepto dado en muchos casos particulares se puede

S 5. MAS IDEALES Y MAS ANILLOS COCIENTE 121
apreciar plenamente el concepto y sus motivaciones. Por ello, antes de
proseguir, examinaremos algunos ideales máximos en dos anillos
específicos. Cuando lleguemos a la discusión de los anillos de polinomios
exhibiremos allí todos los ideales máximos.
Ejemplo 1. Sea R el anillo de los enteros y U un ideal de R. Como U
es un subgrupo de R bajo la adición, por nuestros resultados en la teoría
de grupos sabemos que U consiste en todos los múltiplos de un entero
fijo n0; escribimos esto como U = (n0). ¿Qué valores de n0 dan lugar a
ideales máximos?
Afirmamos primero que si p es un número primo, entonces P = (p) es
un ideal máximo de R. En efecto, si U es un ideal de R y U => P entonces
U = (n0) para algún entero n0. ComopeP <nU,p — mn0 para algún entero
m; como p es un número primo, esto implica que n0 = 1 o que n0 = p.
Si nQ = I, entonces leí/, de donde r = 1 reV para todo reR, de donde se
sigue que U = R. Si n0 = p entonces Pcí/ = (n0) cz Py de donde U = P.
De donde ningún ideal, aparte de R y P> puede ponerse entre P y R, de donde
deducimos que P es máximo.
Supongamos, por otra parte, que M = (n0) es un ideal máximo de R.
Afirmamos que n0 debe ser un número primo, pues si n0 = ab, donde ay b
son enteros positivos, entonces U = (a) => A/, de donde U = R o U = M.
Si V = R entonces a = 1, según puede verse fácilmente; si U =. A/, entonces
aeM yy por tanto, a = r«0 para algún entero r, ya que todo elemento de M
es un múltiplo de n0. Pero entonces n0 = ab = rn0b, de donde se tiene que
rb — 1, luego 6 = 1 y n0 = c. Luego «0 es un número primo.
En este ejemplo particular, la noción de ideal máximo se hace viva
—corresponde exactamente a la noción de número primo. No se debe, sin
embargo, saltar apresuradamente a ninguna generalización; esta clase de
correspondencia no se verifica habitualmente para anillos más generales.
Ejemplo 2. Sea R el anillo de todas las funciones reales continuas sobre
el intervalo unitario cerrado. (Veáse ejemplo 5, sección 3.) Sea
M = {f{x)eR\f(\) = 0.}
M es ciertamente un ideal de R, Además, es un ideal máximo de R, pues
si un ideal U contiene a M y M # R, entonces hay una función g(x)eU,
g(x)$M. Como g{x)$My g{\) = a # 0. Entonces h{x) = g(x) — a es tal
que h{\) = g{\) — a = 0, luego h(x)eM cz U, Pero #(jc) está también en í/;
luego a = g(x) — h(x)eU y por tanto 1 = aa^eC/. Luego para cualquier
función t(x)eR, t(x) = 1 /(x)et7, por tanto, U = R. M es de esta manera
un ideal máximo de R. Análogamente si y es un número real tal que
0 < y < I, entonces My = {f(x)eR\f(y) = 0} es un ideal máximo de R.
Se puede mostrar (véase el problema 4 al final de esta sección) que todo
ideal máximo es de esta forma. Así pues, aquí los ideales máximos se
corresponden con los puntos del intervalo unitario.

122 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
Después de haber visto algunos ideales máximos en algunos anillos
concretos estamos listos para continuar el desarrollo general con el siguiente.
Teorema 3.b. Si R es un anillo conmutativo con elemento unidad y
M es un ideal de R, entonces M es un ideal máximo de R si y sólo si R/M
es un campo.
Prueba. Supongamos primero que M es un ideal de R tal que R/M es
un campo. Como R/M es un campo sus solos ideales son (0) y R¡M mismo.
Pero por el teorema 3.a hay una correspondencia inyectiva entre el conjunto
de ideales de R/M y el conjunto de ideales de R que contienen a A/. El ideal
M de R se corresponde con el ideal (0) de R/M mientras que el ideal R de R
se corresponde con el ideal R/M de R/M en esta aplicación inyectiva.
Luego no hay ningún ideal, entre M y R aparte de estos dos. De donde M
es un ideal máximo.
Por otra parte, si M es un ideal máximo de Ry por la correspondencia
arriba mencionada R/M tiene solamente a (0) y a sí mismo como ideales.
Por otra parte R/M es conmutativo y tiene un elemento unidad ya que R
tiene estas dos propiedades. Todas las condiciones del lema 3.7 se cumplen
para R/M de forma que podemos concluir, de acuerdo con lo afirmado en
ese lema, que R/M es un campo.
Tendremos muchas ocasiones de hacer referencia a este resultado en
nuestro estudio de los anillos de polinomios y en la teoría de extensiones
de campos.
Problemas
1. Sea R un anillo con elemento unitario, no necesariamente
conmutativo, tal que los únicos ideales derechos de R son (0) y R. Pruébese que R
es un anillo con división.
*2. Sea R un anillo tal que los únicos ideales derechos de R sean (0) y R.
Pruébese que o R es un anillo con división o R es un anillo con un número
primo de elementos en el que ab = 0 para cualesquiera a, beR.
3. Sea J el anillo de los enteros, p un número primo, y (p) el ideal de J
consistente en todos los múltiplos de p. Pruébese que:
a) J/(p) es isomorfo a Jp, el anillo de los enteros módulo p.
b) Usando el teorema 3.b y la parte (a) de este problema, demuéstrese
que Jp es un campo.
**4. Sea R el anillo de todas las funciones continuas reales sobre el
intervalo unitario cerrado. Si M es un ideal máximo de R pruébese que
existe un número real y, 0 < y < 1, tal que Ai = My — {f(x)eR\f(y) = 0}.

6. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO ENTERO 123
Recordemos que un dominio entero es un anillo conmutativo D con la
propiedad adicional de que no tiene divisores de cero, es decir, que si ab = 0
para algunos a, beD, entonces, al menos uno de los dos a o b debe ser 0.
El anillo de los enteros es, desde luego, un ejemplo de dominio entero.
El anillo de los enteros tiene la atractiva propiedad de que podemos
extenderlo al conjunto de los números racionales, que es un campo.
¿Podemos efectuar una construcción análoga en cualquier dominio entero?
Vamos a ver, en lo que sigue, que realmente así es.
Definición. Un anillo R puede sumergirse en un anillo R' si hay un
isomorfismo de R en R\ (Si R y R' tienen elementos unidad I y I' exigimos,
además, que este isomorfismo lleve I en 1'.)
A R' le llamaremos sobre anillo o extensión de R si R puede sumergirse
en R'.
Con esta definición de inmersión, probamos el
Teorema 3.C. Todo dominio entero puede sumergirse en un campo.
Prueba. Antes de hacer explícitos los detalles de la prueba, enfoquemos
informalmente el problema. Sea D nuestro dominio entero; en términos
vagos, el campo que buscamos debe ser el de todos los cocientes t donde
a,beDyb # 0. Desde luego, en D es bien posible que r carezca de sentido.
¿Qué es lo que requeriremos de estos símbolos t? Claramente debemos
tener una respuesta a las siguientes tres preguntas:
a c
1) ¿Cuándo es - = - ?
b d
2) ¿Qué es--f-?
b d
3) ¿Qué es- -?
b d
a c
En la contestación de (1), ¿qué más natural que decir que t = -, si y sólo
si ad = bel En cuanto a (2) y (3), ¿porqué no ensayar lo obvio que es definir
a c ad+bc a c ac n
- + - = y = _?
b d bd b d bd

124
En realidad, en lo que sigue, hacemos de estas consideraciones nuestra
guía. Dejemos ahora la heurística y entremos en el dominio de las
matemáticas, con definiciones precisas y deducciones rigurosas.
Sea DTí el conjunto de todos los pares ordenados (a, b) con a,beD y
b t¿ 0. (Piénsese en (a, b) como a/b.) Definimos ahora en 3It la siguiente
relación:
(a, b) ~ (c, d) si y sólo si ad = be.
a
Afirmamos que hemos definido con ello una relación de equivalencia sobre
JTl. Para comprobarlo, probamos el cumplimiento de las tres condiciones
definitorias de una relación de equivalencia en esta relación particular.
1) Si (ay ¿>)e37í entonces (a> b) ~ (a9 b)y ya que ab = ba.
2) Si (ay b)y (c, d)eyR y (ayb)~(c9d) entonces ad = bcy de donde
cb = da y, por tanto, (c, d) ~ (ay b).
3) Si (a, b)y (c, d) y (ej) están todos en Olí y (a, b) ~ (c, d) y (c, d) - (e,/),
entonces ad — be y cf — de. Luego bef = bde, y como 6c = ady de ello se
sigue que adf' = 6de. Como Z) es conmutativo, esta relación se convierte
en la fl/tf = bed\ como, además, D es un dominio entero y d ^ 0 esta
relación implica, a su vez, que af = 6¿. Pero entonces {a, b) ~ (¿,/) y
nuestra relación es transitiva.
Sea [a9 b] la clase de equivalencia en DTí de (a9 b)y y sea F el conjunto de
todas las clases de equivalencia [a> b] donde aybeD y b ^ 0. F es el
candidato para el campo que estamos buscando. Para hacer de F un campo
debemos introducir una adición y una multiplicación para sus elementos
y probar después que bajo estas operaciones F es un campo.
Tratemos primero la adición. Guiados por nuestra discusión heurística
al comienzo de la prpeba, definimos:
[a, b] + [c, d] = [ad-¥bcy bd].
Como D es un dominio entero y ambos b y d son distintos de cero, b ^ 0
y ¿#0, tenemos también bd ^ 0; esto, al menos, nos dice que
[ad+bcy bd]eF. Afirmamos ahora que esta adición está bien definida, es
decir, que si [a, b] = [a\ b'] y [c, d] = [c\ d'\ entonces [a, b] + [cy d]
= [a', b'] + [c'y d']. Comprobémoslo. De [a9 b] = [a\ b'] se tiene que
ab' = ba' y de [cy d] = [c\ d'] se tiene que cd' = de'. Lo que necesitamos es
que estas relaciones tengan como consecuencia obligada la igualdad de
[a, 6] + [c, d] y [a\ b'] + [c\ d']. Según la definición de adición, esto se reduce
a probar que [ad+bcy bd] = [a'd'+ b'c'> b'd'], o lo que es equivalente a
probar que (ad+bc)b'd' = bd(a'd'+ b'c'). Usando ab' = bd\ cd' = ájy
esto toma la forma: (ad-¥bc)b'd' = abb'd'-¥beb'd' = ab'dd'-\-bb'cd'
= ba'dd'-¥bb'de' = bd{a'd' + b'c'\ que es la igualdad deseada.
Claramente [0, b] actúa como un elemento cero para esta adición y
[ — ay b] como el negativo de [a, b]. Es sencillo mostrar que F es un grupo
abeliano bajo esta adición.

•
i 6. EL CAMPO DE COCIENTES DE UN DOMINIO ENTERO 125
Vayamos ahora con la multiplicación en F. Guiados de nuevo por nuestra
discusión heurística preliminar definimos [g, b] [c, d] = [ac, bd]. Como en
el caso de la adición, como b # 0 y d # 0, bd # 0 y, por tanto, [ac, bd]eF.
Un cálculo de tipo bastante parecido al que acabamos de efectuar prueba que
si [d, b] = [a\ b'] y [c, d] = [c\ d'] entonces [a, b] [c9 d] = [a\ b'] [c\ d'].
Ahora se puede probar que los elementos distintos de cero de F (es decir,
todos los elementos [a, b] donde a # 0) forman un grupo abeliano bajo
la multiplicación en el que [d, d] actúa como el elemento unidad y donde
[c9 d]~l = [d, c] (ya que, como c # 0, [d, c] está en F).
Con un cálculo rutinario se puede comprobar que la ley distributiva se
cumple en F. F es, pues, un campo.
Todo lo que queda es mostrar que D puede sumergirse en F. Exhibiremos
explícitamente un isomorfismo de D en F. Observemos primero, antes de
hacer esto, que para x^Oy^OenD, [ax, x] = [ay, y] puesto que
(ax)y = x(ay); denotemos a [ax, x] por [a, 1]. Definamos <f>:D-*F por
<¡>{á) = [a, 1] para todo aeD. Dejamos al lector la verificación de que </> es
un isomorfismo de D en F9 y de que si D tiene un elemento 1, entonces #(1)
es el elemento unidad de F. El teorema queda ahora probado en su totalidad.
A F se le suele llamar el campo de cocientes de D. En el caso especial
en que D es el anillo de los enteros, la F así construida es, desde luego, el
campo de los números racionales.
Problemas
1. Pruébese que si [a, b] = [a\ b'] y [c, d] = [c\ d'] entonces [a, b] [c, d)
= la',b'][c\d'].
2. Pruébese la ley distributiva en F.
3. Pruébese que la aplicación <¡>:D—>F definida por <¡>(á) = [a, 1] es un
isomorfismo de D en F.
4. Pruébese que si K es un campo cualquiera que contiene a D, entonces
K contiene un subcampo isomorfo a F. En este sentido F es el campo
mínimo que contiene a D.
*5. Sea R un anillo conmutativo con elemento unidad. Un subconjunto
no vacío 5 de i? se llama sistema multiplicativo si:
1) OeS.
2) st, s2eS implica s1 s2eS.
Sea OT el conjunto de todos los pares ordenados (r, s) tales que reRy seS.
Definamos en OT (r, s) ~ (r\ s') si existe un elemento s"eS tal que
s"(rs'-sr') = 0.
«

126
a) Pruébese que así se ha definido una relación de equivalencia
sobre JIí.
Denotemos la clase de equivalencia de (r, s) por [r, s] y por Rs
el conjunto de todas las clases de equivalencia. Definamos
en Rs [rl9sl] + [r2>S2] = [riS2 + r2Si,sxs2] y [r,, st] [r2, s2]
= [rir2,SiS2].
b) Pruébese que la adición y la multiplicación que acabamos de
describir están bien definidas y que Rs forma un anillo bajo
estas operaciones.
c) ¿Puede sumergirse R en /?5?
d) Pruébese que la aplicación <¡): R—> Rs definida por <¡>{a) = [as, s]
es un homomorfismo de R en Rs y encuéntrese el núcleo de <f>.
e) Pruébese que este núcleo no tiene ningún elemento de S" en él.
/) Pruébese que todo elemento de laJorma [sí, s2] (donde s,, s2eS)
en R5 tiene un inverso en Rs.
6. Sea D un dominio entero y a, 6eZ). Supongamos que an = bn y que
cF = bm para m y n enteros primos relativos. Pruébese que a = b.
7. ANILLOS EUCLIDIANOS
La clase de anillos que ahora nos proponemos estudiar está sugerida
por varios ejemplos —el anillo de los enteros, los enteros gaussianos
(sección 8) y los anillos de polinomios (sección 9). La definición de esta clase
está diseñada para incorporar en ella ciertas características sobresalientes
de los tres ejemplos concretos que acabamos de enumerar.
Definición. Un dominio entero R se dice que es un anillo euclidiano si
para todo a ^ 0 en R está definido un entero no negativo d{a) tal que:
1) Para cualesquiera a, beR, ambos distintos de cero, d{a) ^ d(ab).
2) Para cualesquiera a,beRy ambos distintos de cero, existen tyreR
tales que a = tb + r, donde r = 0 o d(r) < d(b).
No asignamos valor alguno a d(0). Los enteros sirven como un ejemplo
de anillo euclidiano, donde d{a) = valor absoluto de a actúa como la
función que la definición requiere. En la próxima sección veremos que los
enteros gaussianos también forman un anillo euclidiano. Aparte de tal
observación y los resultados que desarrollamos en esta parte, probaremos
un teorema clásico en la teoría de los números debido a Fermat, a saber,
que todo número primo de la forma 4/7+ 1 puede escribirse como la suma
de dos cuadrados.
Comenzamos con el

§7. ANILLOS EUCLIDIANOS 127
Teorema 3.d. Sea R un anillo euclidiano y A un ideal de R. Entonces
existe un elemento a0eA tal que A consiste exactamente en todos los a0x
para xeR cualquiera.
Prueba. Si A consiste solamente en el elemento 0, para a0 — 0 la
afirmación del teorema se verifica.
Podemos suponer que A # (0), luego que hay un a # 0 en A. Escójase
un a0eA tal que d(a0) sea mínimo. (Como d toma solo valores enteros no
negativos, esto es siempre posible.)
Supongamos que aeA. Por las propiedades de los anillos euclidianos
existen t, reR tales que a = ta0+r donde r = 0 o d(r) < d(a0). Como
a0eA y A es un ideal de R, ta0 está en A. Si combinamos esto con que aeA
tenemos que a~~ta0eA; pero r = a — ta0, de donde re A. Si r # 0, entonces
d(r) < d(a0) dándonos un elemento r en A cuyo ¿valor es menor que el
de a0, en contradicción con nuestra elección de a0 como elemento de A de
¿/-valor mínimo. Por consiguiente r = 0 y a = ta0y lo que prueba el teorema.
Introducimos la notación (á) = {xa\xeR} para representar al ideal
de todos los múltiplos de a.
Definición. Un dominio entero R con elemento unidad es un anillo de
ideales principales si todo ideal A en R es de la forma A = (a) para
algún aeR.
Una vez que establezcamos que un anillo euclidiano tiene un elemento
unitario, en virtud del teorema 3.d, sabremos qjie uilaojJJq. euclidiano es
un anillo de ideales principales. Lo recíproco, sin embargo, es falso; hay
anillos de ideales principales que no son anillos euclidianos. (Véase el
artículo de T. Motzkin, Bulletin of the American Mathematical Society,
vol. 55 [1949], páginas 1142-1146, titulado "El Algoritmo Euclidiano".)
Corolario al teorema 3.d. Un anillo euclidiano posee un elemento
unitario.
Prueba. Sea R un anillo euclidiano; entonces, como R es ciertamente un
ideal de /?, debe concluirse, de acuerdo con el teorema 3.d, que R = (u0)
para algún u0eR. Luego todo elemento de R es un múltiplo de u0.
Tendremos, por tanto, en particular que u0 = u0c para algún ceR. Si aeR,
entonces a = xu0 para algún xeR, de donde ac = (xu0)c = x(u0c)
= xu0 = a. Luego se ve que c es el elemento unitario buscado.
Definición. Si a ^ 0 y b están en un anillo conmutativo /?, entonces a
se dice que divide a b si existe un ceR tal que b = ac. Usaremos el símbolo
a\b para representar el hecho de que a divide a b y a)( b para indicar que a
no divide a b.

128
La prueba de la siguiente observación es tan simple y directa que la
omitimos.
Observación. 1) Si a \ b y b \ c, entonces a \ c.
2) Si a\b y a\c, entonces a\(b±c).
3) Si a\b entonces a\bxpara todo xeR.
Definición. Si a, beR entonces deR se dice que es un máximo común
divisor de a y b si:
1) d\ayd\b.
2) Siempre que c\a y c\b9 entonces c\d.
Usaremos la notación d = (a, b) para indicar que d es un máximo
común divisor de a y b,
j
Lema 3.8. Sea R un anillo euclidiano. Entonces cualesquiera dos elementos
a y b en R tienen un máximo común divisor d. Además d = Xa+iib para
algunos X, neR.
Prueba. Sea A el conjunto de todos los elementos ra+sb donde r y s
son elementos cualesquiera de R. Afirmamos que A es un ideal de R.
Supongamos en efecto que x,yeA; entonces x = rxa+syb, y = r2a + s2b
y, por tanto, x±y = (r, ±r2)a + (sx ±s2)beA. Análogamente, para ueR,
ux = u{rxa + sxb) = (urx)a+{usx)beA.
Como A es un ideal de R, según el teorema 3.d existe un elemento de A
tal que todo elemento de A es un múltiplo de d. Por el hecho de ser d un
elemento de A y de ser todos los elementos de A de la forma ra + sb,
d = \a + \ib para ciertos A, neR. Ahora bien, de acuerdo con el corolario
del teorema 3.d, R tiene un elemento unidad 1, luego a = la+ObeA y
b = 0a+ 1 beA. Luego por estar en A, ambos son múltiplos de d de donde
d\ayd\b.
Supongamos, finalmente, que c\a y c\b; entonces c\Xa y c\nb de modo
que c ciertamente divide a Xa 4- ¡ib = d. Por lo tanto, d tiene todas las
condiciones requeridas a un máximo común divisor y el lema queda probado.
Definición. Sea R un anillo conmutativo con elemento unidad. Un
elemento aeR es una unidad en R si existe un elemento beR tal que ab = 1.
¡Ato se confunda una unidad con un elemento unitariol Una unidad en un
anillo es un elemento cuyo inverso está también en el anillo.
Lema 3.9. Sea R un dominio entero con elemento unitario y supongamos
que para a, beR se tiene, simultáneamente, que a\b y que b\a.. Entonces
a = ub donde u es una unidad en R.

17. ANILLOS EUCLIDIANOS 129
Prueba. Como a\b9 b = xa para algún xeR; como b\a9 a = yb para
algún yeR. Luego b = x(yb) = (xy)b; pero todos estos son elementos de
un dominio entero, luego podemos cancelar la b y obtenemos xy = 1; y es,
pues, una unidad en R y a = >>¿, lo que prueba el lema.
Definición. Sea R un anillo conmutativo con elemento unitario. Dos
elementos a y b de R se dice que son asociados si b = ua para alguna unidad
u de &
La relación de ser asociados es una relación de equivalencia. (Problema 1
al final de esta sección.) Nótese que en un anillo euclidiano cualesquiera
dos máximos comunes divisores de dos elementos dados son asociados
(problema 2).
Hasta el momento no hemos hecho uso de la condición (1) en la definición
de un anillo euclidiano, a saber, que d(a) ^ d(ab) para b ^ 0. En la
siguiente prueba haremos uso de ella.
Lema 3.10. Sea R un anillo euclidiano y a, beR. Si b no es una unidad
en R entonces d(a) < d(ab)*
Prueba. Consideremos el ideal A = (a) = {xa\xeR} de R. Por la
condición (1) para anillos euclidianos, d(a) ^ d{xa) para x#0 en R.
Luego el rf-valor de a es el mínimo de los d-valores de elementos de A.
Ahora bien, abe A; si d(ab) = d(a)y de acuerdo con la prueba que usamos
para demostrar el teorema 3.d, como el ¿-valor de ab es mínimo en A,
todo elemento de A es un múltiplo de ab. En particular, como aeA, a debe
ser un múltiplo de ab; de donde a = abx para algún xeR. Como todo esto
está teniendo lugar en un dominio entero, de ello se deduce que bx = 1.
Luego b es una unidad en /?, en contradicción al hecho de que no es una
unidad. El resultado neto de todo esto es que d(a) < d(ab).
Definición. En el anillo euclidiano R un elemento n que no sea una
unidad se dice que es un elemento primo de R si siempre que n = ab donde
a y b están en R9 se tiene que uno de los dos aoíes una unidad en R.
Un elemento primo es un elemento en R que no puede ser factorízado
en R en forma que no sea trivial.
Lema 3.11. Sea R un anillo euclidiano. Entonces todo elemento en R o es
una unidad en R o puede escribirse como el producto de un número finito de
elementos primos de R.
•Se está suponiendo, además, que tanto a como b no son cero. (N. del T.)

130 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
Prueba. La prueba es por inducción sobre d(a).
Si d(a) = d{\) entonces a es una unidad en R (problema 3), y por tanto,
■
en este caso, la aserción del lema es correcta.
Suponemos que el lema es cierto para todos los elementos x en R tales
que d(x) < d(a). Con base en esta hipótesis intentamos probarlo para a.
Esto completaría la inducción y probaría el lema.
Si a es un elemento primo de R no hay nada que probar. Supongamos,
pues, que a = be donde ni b ni c son unidades de R. Según el lema 3.10,
d{b) < d(bc) = d(a) y d(c) < d(bc) = d(a). Luego, por nuestra hipótesis
de inducción, b y c pueden escribirse como un producto de un número
finito de elementos primos de R; b = nl n2 ... nH, c = n\ n'2 ... n'm donde
los n y los n' son elementos primos de R. Por consiguiente, a = be
= nxn2 ... nHn\ n2 ... n'm y de esta forma hemos factorizado a a como un
producto de un número finito de elementos primos. Y esto completa la prueba.
Definición. En el anillo euclidiaho /?, a y b en R se dice que son primos
relativos si su máximo común divisor es una unidad de R.
Como cualquier asociado de un máximo común divisor es un máximo
común divisor, y como 1 es un asociado de cualquier unidad, si a y b son
primos relativos podemos suponer que (a, b) = 1.
Lema 3.12. Sea R un anillo euclidiano. Supongamos que para a, 6, ceR,
a | be pero (a9 b) = 1. Entonces a \ c.
Prueba. Como hemos visto en el lema 3.8, el máximo común divisor
de a y b puede realizarse en la forma Xa + iib. Luego, por nuestra hipótesis,
Xa + iib = 1. Multiplicando esta relación por c obtenemos Aac+fibc = c.
Pero a \ Xac siempre y a \ ¡ibc ya que a \ be por hipótesis; luego a \ (Xac + fibe) = c.
Que es lo que afirma el lema.
Deseamos demostrar que los elementos primos en un anillo euclidiano
juegan el mismo papel que los números primos en los enteros. Si n en R
es un elemento primo de R y aeR entonces n\a o (rc, a) = 1, pues, en
particular, (rc, a) es un divisor de n de donde debe ser n o 1 (o cualquier
unidad). Si (n,a) = 1, la mitad de nuestra afirmación está probada; si
(n9a) = 7r, como (n9a)\a tenemos que n\a, y la otra mitad de nuestra
afirmación es cierta.
Lema 3.13. Si n es un elemento primo en el anillo euclidiano R y n\ab
donde a, beR, entonces n divide al menos a uno de los dos elementos a o b.
Prueba. Supongamos que n no divide a a; entonces (rc, a) = 1. Aplicando
ahora el lema 3.12 tenemos que n\b.

5 7. ANILLOS EUCLIDIANOS 131
Corolario. Si n es un elemento primo en el anillo euclidiano R y
n\ala2 ... an, entonces n divide al menos a uno de los factores ax, a2,..., an.
Llevemos un poco más adelante la analogía entre elementos primos y
números primos y probemos que
Teorema 3.e. (teorema de la factorización única). Sea R un anillo
euclidiano y a ^ 0 un elemento de R que no es una unidad. Supongamos que
a = 71 j 712 7Tn = 7tl7t2 ... 7t 'm donde los n¡ y los n'j son elementos primos
de R. Entonces n = m y cada ni9 1 < 1 ^ n es un asociado de algún n'Jy
1 Kj^my recíprocamente; cada n'k es un asociado de algún nq.
Prueba. Fijémonos en la relación a = 7r,7r2 ... n^ = n\rí2 ... nm-
7lxJli"^^ ^e donde n\\n\ni ••• nm- P°r e^ lema 3.13 71, debe dividir
a algún 7i¡; como xr, y n¡ son ambos elementos primos de R y nl\n¡9
ambos elementos d'eben ser asociados y ti\ = ul 7i, donde ux es una unidad de
R. Tenemos, pues, jc, tc^ nn = n\n2 ... n'm = w, nf n2 ... n[^in¡ + í ... n^;
cancelemos ni y queda 7i2 ...71,, = uxn'2 ... ftf'-ift|- + i ... 7:^. Repitiendo
el razonamiento sobre esta relación con n2, y así sucesivamente, después
de n pasos el primer miembro se hace 1, y el segundo un producto de un
cierto número de n' (el exceso de m sobre n). Esto obligaría a que n < m
ya que las n' no son unidades. Análogamente, m < /z, de modo que n = m.
Y a lo largo del proceso demostrativo hemos probado también que cada
uno de los n¡ tiene algún n'j como asociado y recíprocamente.
Al combinar el lema 3.11 y el teorema 3.e tenemos que todo elemento
distinto de cero en un anillo euclidiano R puede ser escrito en forma única
(salvo asociados) como un producto de elementos primos o es una unidad en R.
Terminamos la sección determinando todos los ideales máximos en un
anillo euclidiano.
En el teorema 3.d probamos que cualquier ideal A en el anillo euclidiano
R es de la forma A = (a0) donde (a0) = {xa0\xeR}. Preguntamos ahora:
¿cuáles son las condiciones que impuestas sobre a0 aseguran que A es un
ideal máximo de /?? Para esta pregunta tenemos una contestación sencilla
y precisa, a saber:
Lema 3.14. El ideal A = (a0) es un ideal máximo del anillo euclidiano R
si y sólo si a0 es un elemento primo de R.
Prueba. Probamos primero que si a0 no es un elemento primo, entonces
A = (a0) no es un ideal máximo. En efecto, supongamos que a0 = be
donde ¿>, ceR y ni b ni c son unidades. Sea B = (b)\ entonces ciertamente
a0eB de modo que Acz B. Afirmamos además que A ^ B y que B ^ R.
Si B = R entonces \eB de modo que 1 = xb para algún xeR, luego b
sería una unidad en R, lo que va contra lo supuesto. Por otra parte, si

132 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
A = B entonces beB = A, de donde b = xa0 para algún xeR. Combinado
esto con a0 = be tendríamos a0 = xca0, de donde xc = 1. Pero entonces c
seria una unidad en contra también de lo que hemos supuesto. Por tanto ni
A ni R son iguales &B,y como Acz B,A no puede ser un ideal máximo de R.
Recíprocamente, supongamos que a0 es un elemento primo de R y que U
es un ideal de R tal que A = (a0)c Uc R. Por el teorema 3.d, U = (u0).
Como a0eA c U = (w0), a0 = xuo Para algún xe/?. Pero a0 es un elemento
primo de R9 de lo que se sigue que o x o u0 es una unidad de R. Si i/0 es
una unidad de R entonces U = R (véase el problema 5). Si, por otra parte,
x es una unidad de R, entonces x~*gR y la relación a0 = xu0 nos da
u0 = x~1a0eA, ya que i4 es un ideal de R. Esto implica que UcA; de
donde, junto con Ac U> se concluye que C/ = ^4. Por tanto, no hay ningún
ideal de R que se encuentre propiamente entre A y R. Lo que nos dice que
/i es un ideal máximo de R.
Problemas
1. Pruébese que en un anillo conmutativo con elemento unitario la
relación "a es un asociado de b" es una relación de equivalencia.
v2. Pruébese que en cualquier anillo euclidiano dos máximos común
divisores cualesquiera de a y b son asociados.
3. Pruébese que una condición necesaria y suñciente para que el elemento
a de un anillo euclidiano sea una unidad es que d{a) = ¿/(l).
4. Pruébese que en un anillo euclidiano (a, b) puede encontrarse como
sigue:
b = q0a+rx donde d{rx) < d(á)
a — qxrA+r2 donde d{r2) < d(rx)
r\ ='92*1 + ** donde d(r3) < d(r2)
y rm = (a, b).
5. Pruébese que si un ideal U de un anillo R contiene una unidad de R
entonces U = R.
6. Pruébese que las unidades en un anillo conmutativo con elemento
unitario forman un grupo abeliano.
7. Dados dos elementos a y b en el anillo euclidiano R, su mínimo común
múltiplo ceR es un elemento de R tal que a\c, b\c y, además, siempre que
a\x y b\x con xeR, entonces c\x. Pruébese que cualesquiera dos elementos
del anillo euclidiano R tienen al menos un mínimo común múltiplo en R.

i 8. UN ANILLO EUCLIDIANO PARTICULAR 133
8. En el problema 7, si el mínimo común múltiplo de a y b se denota
nh
por [<z, f>], pruébese que [<z, 6] = .
8. UN ANILLO EUCLIDIANO PARTICULAR
Una abstracción en matemáticas gana importancia cuando,
particularizada a un ejemplo específico, arroja nueva luz sobre este ejemplo. Vamos
nosotros ahora a particularizar la noción de anillo euclidiano a un anillo
concreto, el anillo de los enteros gaussianos. Al aplicar los resultados
generales obtenidos acerca de los anillos euclidianos a los enteros gaussianos
obtendremos un teorema absolutamente nada trivial acerca de los números
primos, teorema debido a Fermat.
Denotemos por J[i] el conjunto de todos los números complejos de la
forma a+bi donde a y b son enteros. Bajo la adición y multiplicación
habituales de los números complejos, J[í] forma un dominio entero llamado
el dominio de los enteros gaussianos.
Nuestro primer objetivo es exhibir /[/] como un anillo euclidiano.
Para conseguirlo, introducimos una función d(x) definida para todo elemento
distinto de cero de J[i] que satisface:
1) d(x) es un entero no negativo para todo x # OeJ[í].
2) d{x) < d(xy) para todo y # 0 en J[i],
3) Dados u, veJ[i] existen /, reJ[i] tales que v = tu+r donde r = 0 o
d(r) < d{u).
Nuestro candidato para esta función des el siguiente: si x = a + bieJ[i]9
entonces d(x) = a2+b2. La d(x) así definida satisface, sin duda, la
propiedad (1); en efecto, si x # 0eJ[i]9 entonces d(x) >1. Como es bien
sabido, para cualesquiera dos números complejos (no necesariamente en
/[/]) x, y, d(xy) = d(x)d(y), luego si x y y están, además, en J[i] y y # 0,
entonces como d(y) > 1, d(x) = d(x)l < d(x)d(y) = d(xy), lo que
muestra que la condición (2) se satisface. Todos nuestros esfuerzos deben
ahora a dirigirse a demostrar que la condición (3) también se verifica para
esta función d en /[/]. Hacemos esto en la prueba del
Teorema 3.f. J[i] es un anillo euclidiano.
Prueba. Como hicimos notar en la anterior discusión, para probar
el teorema 3.f solamente necesitamos probar que para cualesquiera jc,
ysJ[i] existen /, reJ[i] tales que y = tx+r donde r = 0 o d(r) < d(x).
Establecemos primero esto para un caso muy especial, a saber, aquél en
que y es arbitraria en J[i], pero en que x es un entero positivo (ordinario) n.

134 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
Supongamos que y = a+bi; por el algoritmo de la división para el anillo
de los enteros podemos encontrar enteros u, v tales que a = un + ux y
b = vn + vx donde ux y vx son enteros que satisfacen \ux\ < \n y \vx\ < \n.
Sea / = w + w y r = ux+víi; entonces y = a+bi = un + ux + (vn + vx)i
= (i/ + i;/)/i + i/| + i7ii = tn + r. Como d(r) = d(ux+vxi) = ux2 + vx2
< n2/4+n2/4 < n2 = </(n), vemos que en este caso particular hemos
mostrado que y = tn + r con r = 0 o ¿(r) < J(/i).
Pasamos ahora al caso general; sean x ^ 0 y y elementos arbitrarios
de J[i). Tenemos así que xx, donde x es el conjugado complejo de xy es
un entero positivo n. Aplicando el resultado del anterior párrafo a los
elementos yx y n vemos que hay elementos /, reJ[i] tales que yx = tn + r
con r = 0 o d(r) < d(n). Poniendo en esta relación n = xx obtenemos
d(yx-txx) < d(n) = d(xx); aplicando a esto el hecho de que d(yx — txx)
= d( y—tx) d(x) y d(xx) = d(x)d(x) obtenemos que d(y — tx)d(x)
< d(x)d(x). Como x ^ 0, d(x) es un entero positivo y esta desigualdad se
simplifica y nos da d(y — tx) < d(x). Tenemos pues la * representación
y = tx—r0 con r0 = y—tx, con / y r0 en J[i] y como acabamos de ver,
r0 = 0 o d(r0) = d(y~ tx) < d(x). Y esto prueba el teorema.
Como se ha probado que J[i] es un anillo euclidiano, podemos usar los
resultados que hemos establecido acerca de esta clase de anillos en la
sección previa al anillo euclidiano que ahora estudiamos, el J[i].
m
Lema 3.15. Sea p un entero primo y supongamos que para algún entero c
primo relativo con p, podemos encontrar enteros x y y tales que x2+y2 = cp.
Entonces p puede escribirse como la suma de los cuadrados de dos enteros,
es decir, existen enteros a y b tales que p = a2 + b2
m
Prueba. El anilló de los enteros es un subanillo de •/[/']. Supongamos
que el entero p es también un elemento primo en J[i]. Como cp = x2+y2
= (x+yi)(x—yi), por el lema 3.13, p\(x+yi) o p\(x—yi) en J[i]. Pero si
p\(x+yi) entonces x+yi = p(u + vi) lo que nos diría que x = pu
y y = pV de forma que p dividiría también a x—yi. Pero entonces
p2\(x+yi)(x—yi) = cp, de lo que se seguiría que p\c en contra de lo
supuesto. Análogamente, si p\(x—yi). ¡Luego p no es un elemento primo
en •/[/]! Por tanto p = (a+bi)(g+di) donde a + bi y g+di están en J[i] y
ninguno de ellos es una unidad en J[i]. Pero esto significa que ni a2 + b2 = 1
ni g2 + d2 = 1 (véase el problema 2). De p = (a+bi) (g + di), se sigue
fácilmente que p = (a—bi)(g — di). Luego p2 = (a + bi)(g+di)(a—bi)(g — di)
= (a2 + b2)(g2+d2). Luego (a2 +b2)\p2, luego a2 + b2 = \,pop2;a2 + b2 * 1,
puesto que a+bi no es una unidad en J[i]; a2+b2 ^ p2, pues de otra forma
g2 + d2 = 1, en contra del hecho de que g+di no es una unidad en J[i].
Luego la sola posibilidad que nos queda es que a2 + b2 = p y el lema queda
entonces establecido.

S 8. UN ANILLO EUCLIDIANO PARTICULAR
135
Los números primos impares se dividen en dos clases, los que tienen 1
como residuo al dividirse por 4 y aquellos otros que tienen residuo 3.
Queremos probar que todo número primo de la primera clase puede
escribirse como la suma de dos cuadrados, mientras que ningún primo de la
segunda puede representarse de tal modo.
Lema 3.16. Si p es un número primo de la forma 4/?+1 entonces puede
resolverse la congruencia x = — 1 mód p.
n— 1
Prueba. Sea x = 1. 2. 3 . como p— 1 = 4n, en este producto
para la obtención de x hay un número par de términos, en consecuencia
de lo cual
x = (~l)(-2)( —3) •••( —( )). Perop — k = — k mód p, de modo que
*2- 1.2.....^)(-1)( - ' {P
2 \ \ 2
1.2.—.
p-1 p+1
2 2
1)! = -1 módp.
Estamos usando aquí el teorema de Wilson, que anteriormente probamos,
a saber, que si p es un número primo (p— 1)! = — 1 (p).
Ilustremos este resultado. Si p=13, jc= 1.2.3.4.5.6 = 720
5 mód 13, y52 = -1 mód 13.
Teorema 3.G (Fermat). Si p es un número primo de la forma 4n+l
2 , l2
entonces p = a +b para algunos enteros a y b.
2
Prueba. De acuerdo con el lema 3.16 existe un jctal que* = — lmódp.
Puede escogerse jc de forma que 0 < x < p — 1 ya que solamente necesitamos
usar el residuo de x en la división por p. Podemos restringir el tamaño de
x aún más de modo que satisfaga |jc| < p/2. Pues si jc > p/2 entonces
y = p—x satisface y = — 1 mód p y \y\ ^ p/2. Podemos, pues, suponer
que tenemos un entero jc tal que |jc| < p/2 y jt +1 es un múltiplo de p,
digamos cp. Ahora bien, cp = x +1 ^ p /4-f 1 < p , de donde c < p y,
2 . l2
por tanto, p)(c. De donde, según el lema 3.15 obtenemos que p = a +b
para algunos enteros a y b, probando así el teorema.

136 TEORÍA DE ANILLOS — C«p. 3
Problemas
1. Encuéntrense todas las unidades en J[i].
2. Si a+bi no es una unidad en J[i] pruébese que (P+b2 > 1.
3. Encuéntrese el máximo común divisor en J[i] de:
a) 3+4iy4-3i.
b) 11 + 7/y 18-i.
4. Pruébese que si p es un número primo de la forma 4n + 3 entonces
no hay x alguno tal que x2 = — 1 mód p.
5. Pruébese que ningún primo de la forma 4n+3 puede escribirse
como a2+b2 donde a y b sean números enteros.
6. Pruébese que hay un número inñnito de primos de la forma 4/i+3.
*7. Pruébese que existe un número inñnito de primos de la forma 4/i+1.
*8. Determínense todos los elementos primos en J[i],
*9. Determínense todos los enteros positivos que pueden escribirse
como una suma de dos cuadrados (de enteros).
9. AMUXOS Wt P*LDt#MMS
En nuestra educación matemática se nos introdujo muy pronto
—generalmente en los primeros años de secundaria— al estudio de los
polinomios. Durante una temporada que parecía que no iba a tener fin se
nos obligaba hasta ej punto de aburrimiento insoportable a factorizarlos,
multiplicarlos, dividirlos y simplificarlos. La facilidad en factorizar un cua-
drático se interpretaba como una muestra de genuino talento matemático.
Posteriormente, en los primeros años de universidad, los polinomios
hacen de nuevo aparición en un marco algo distinto. Ahora son funciones,
con sus valores, y nos preocupan su continuidad, sus derivadas, sus
integrales y sus máximos y sus mínimos.
También aquí nos interesaremos en los polinomios, pero desde un
punto de vista distinto de cualquiera de los dos que hemos enumerado.
Para nosotros, los polinomios serán simplemente elementos de un cierto
anillo y lo que nos interesará serán las propiedades algebraicas de ese anillo.
Nuestro interés primario en ellos estriba en que son anillos euclidianos con
propiedades que serán decisivas en la discusión que posteriormente
tendremos de campos y extensiones de campos.
Sea F un campo. Llamaremos anillo d$ polb&mios sobre F en la
indeterminada jc, y representaremos por F[x]t al conjunto de todos los símbolos
a0+alx+...+amxm9 donde n puede ser cualquier entero no negativo y

19. ANILLOS DE POLINOMIOS 137
donde los coeficientes a0falfa2f...,am están todos en F. Para que F[x] sea
un anillo debemos ser capaces de reconocer cuando dos de sus elementos
son iguales y saber cómo sumarlos y multiplicarlos de forma que los axiomas
defínitoríos de un anillo se verifiquen en F[x]. Este será nuestro objetivo
inicial.
Podríamos evitar la frase "el conjunto de todos los símbolos" que
acabamos de usar por la introducción de un argumento apropiado de
sucesiones, pero parece más conveniente seguir el camino más familiar a la
mayor parte de nuestros lectores.
BEFiNieiéM. Síj»(jc) = a0+axx+... +a*x*'yq(x) = b0+bxx +... + bmx*
están, ambos, en F[x] entonces p(x) = q(x) si y sólo si para todo entero
i ^ 0, a¡ = bt.
Así pues, dos polinomios se dice son iguales si y sólo si sus
correspondientes coeficientes son iguales.
Definición. Si p(x) = a0+alx+... + amxmyq(x) = b0+blx+...+bmx*
están ambos en F[x] entonces p(x)+q(x) = c0+clx+ ...+ctxf donde
para cada i, c, = at+bt.
En otras palabras, para sumar dos polinomios se suman los coeficientes
de sus términos semejantes. Para sumar 1+jc y 3—2x+x2 consideramos
l + x como l + *+Ox2 y sumamos luego de acuerdo con la fórmula dada
para obtener como su suma 4—x+x2.
La operación más complicada es la única que nos queda por definir
en F[x], la multiplicación.
BEFlNiCléftf. Sip(x) = a0+ atx+... + amxTyq(x) = b0+b1x+... + bmx*
entonces p(x)q(x) = cQ + cxx+... + ck** dQnde ct = £,£><) +fli-i^i +
#1-2^2 + ••• + fl0^f
Esta definición no dice más que para multiplicar dos polinomios se
multiplican los símbolos formalmente, se usa la relación x*x? — x*** y
se reducen los términos semejantes. Ilustremos la definición con un ejemplo:
r
p(x) = 1 +x-x2 q(x) = 2+xi+*3.
Aquí a0 = 1, ax = 1, a2 =,— 1, fl3 = a4 = ... = 0, y b0 — 2, bx = 0,
b2 = 1, b3 = 1, bA = ¿>3 = ... = 0. De donde
c0 — a0b0 = 1.2 = 2,
c\ = fli^o+flo^i — 1.2+1.0 = 2,
c2 = fl260+^i^i+flo^2 = (~1) (2)+1.0+1.1 = -1,
C3 = ^360 + ^2^1+^1 b2 + aQb3 = (0)(2) + (-l)(0)+l.1 + 1.1 =_2,

138
c4 = atb0 + a3bl+a2b2 + alb3 + a0bt = (0)(2) + (0)(0) + (-l)(l)
+ (1)(1)+1(0) = 0,
c5 = a5b0 + atbl+a3b2+4i2t>3+alb4 + a0b5 = (0)(2) + (0)(0) + (0)(l)
+ (-l)(l) + (l)(0) + (0)(0) = -1,
c6 = a6b0 + a5bl+aAb2 + a3b3 + a2b4 + aíb5 + a0b6 = (0) (2) + (0) (0)
+ (0)(l)+(0)(l) + (-l)(0) + (l)(0)+(l)(0) = 0,
^7 = ¿8 = * ' = 0-
Por tanto, de acuerdo con nuestra definición,
(l+jt-Jt2)(2+jt2 + jt3) = c0 + c,jc+... = 2 + 2x-x2 + 2x3-x5.
Si se efectúa esta multiplicación de acuerdo con lo que el lector aprendió
en sus estudios de secundaria se verá que llegamos a la misma contestación.
Nuestra definición de producto es la que el lector ya conocía.
Sin más examen afirmamos que F[x] es un anillo bajo estas operaciones,
<jue su multiplicación es conmutativa y que tiene un elemento unitario.
La verificación de todas estas afirmaciones se la dejamos al lector.
Definición. Si f{x) = tf0 + tfi*+... +a#Ixn ^ 0 y aH # 0, entonces el
grado de/(jc), escrito: deg/(x), es n.
Es decir, el grado de/(x) es el mayor entero i para el que el /-ésimo
coeficiente de f(x) no es 0. No definimos el grado del polinomio cero.
Decimos que un polinomio es una constante si es de grado 0 o es el
polinomio cero. La función de grado definida sobre los elementos de F[x]
distintos del cero nos provee de la función d(x) necesaria para que F[x] sea
un anillo euclidiano.
Lema 3.17. Si /(*), g(x) son dos elementos distintos del cero de F[x]
entonces deg (f (x) g (x)) = deg/(x) + deg#(x).
Prueba. Supongamos que f(x) = úfo+ajxH-... +ámxT y g(x) = ¿0 +
¿i* +... +b¿x? y que am ^ 0 y bn ^ 0. Tenemos puesi deg/(x) = m y
dcgg(x) = n. Por definición f(x)g(x) = c0 + CiX+ ... + ckx* donde
ct = atb0+at^xbx + ... +albt^.í+a0bt. Nosotros afirmamos que cm+n
= ambn ^ 0 y que c¡ = 0 para todo / > m + n. Que cm+m = ambn se puede
ver por la definición de inmediato. ¿Pero qué hay sobre c¡ para / > m + nl
c¡ es la suma de los términos de la forma 0,-6,-y; como i = y+(i— j) > m + w,
entonces oj> m o (i—y) > n. Pero entonces uno de los dos, aJ o b¡„j es 0,
luego ajbi-j = 0; como c¡ es la suma de una colección de ceros él mismo
es 0, y nuestra afirmación ha quedado probada. Luego el coeficiente más

i 9. ANILLOS DE POLINOMIOS
139
alto distinto de cero de f{x)g{x) es cm+n, de donde dtg f(x)g(x) = m + n
degf(x) + degg(x).
Corolario. Si f(x) y g(x) son elementos de F[x] distintos de cero.
entonces deg/(x) < degf(x)g(x).
Prueba. Como deg f(x)g(x) = deg/(x) + deg#(x), y como deg#(x) ^ 0
este resultado se sigue inmediatamente del lema.
Corolario. F[x] es un dominio entero.
Dejamos al lector la prueba de este corolario.
Como F[x] es un dominio entero, a la luz del teorema 3.c podemos
construir por ello su campo de cocientes. Este campo se compone
simplemente de todos los cocientes de polinomios y se llama el campo de
las funciones racionales en x sobre F.
La función deg/(x) definida para todo f(x) ^ 0 en F[x] tiene las
siguientes propiedades:
1) deg/(x) es un entero no negativo.
2) deg/fc) ^ dtg f(x)g(x) para todo g(x) # 0 en F[x].
Para que F[x] sea un anillo euclidiano con la función de grado actuando
como la ¿/-función de un anillo euclidiano, necesitamos aun que dadas f(*\
g(x)eF[x] existan /(*), r(x) en F[x] tales que f(x) = t(x)g(x) + r(x) en
donde r(x) = 0 o deg r(x) < degg(x). Probamos esto en el siguiente lema.
Lema 3.18. (el algoritmo de la división). Dados dos polinomios f(x) y
g(x) de F[x] con g(x) # 0, existen entonces dos polinomios t(x) y r(x) en F[x]
tales que f(x) = t(x)g(x)+r(x) donde r(x) = 0 o degr(x) < degg(x).
Prueba. La prueba no es en realidad nada más que el proceso de la
"división larga" que todos usamos para dividir un polinomio entre otro.
Si el grado def(x) es menor que el de g(x) nada hay que probar, pues
nada más tenemos que poner t(x) = 0, r{x) = f(x) y, ciertamente, tenemos
f(x) = 0g(x)+f(x) donde deg/(x) < dcgg(x) o/(x) = 0.
Podemos, pues, suponer que/(x) = a0 + axx+ ... + amxT y g{x) = ¿>0 +
bxx+ ... + bnx? con am^0ybn^0ym^ n.
Sea fl(x)^f(x)-(ajbn)xm ñg(x); entonces deg/, (x) ^ m-1, de
donde por inducción sobre el grado de f(x) podemos suponernos que
/,(*) = ti(x)g(x) + r(x) donde r{x) = 0 o deg r(x) < deg g(x). Pero
entonces f(x)-(ajbrt)xm~ng(x) = /, {x)g{x) + r(x\ lo cual, por
transposición, nos da f(x) = ((amlbn)xm~n + tx(x))g(x) + r(x). Si ponemos t(x)
(<*m/bñ)xm~n + ti(x) tendremos que f(x) = t(x)g(x) + r(x)y donde /(*),
r(x)eF[x] y donde r(x) = 0 o deg r(x) < degg(x). Lo que prueba el lema.

140 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
Con este último lema hemos llenado todos los requisitos necesarios para
exhibir a F[x] como un anillo euclidiano y tenemos ya el derecho de decir:
Teorema 3.h. F[x] es un anillo euclidiano.
Todos los resultados de la sección 7 son ahora aplicables y los
enumeramos, para este caso particular nuestro, en los siguientes lemas.
Podría ser muy instructivo para el lector intentar probarlos directamente,
adaptando los argumentos usados en la sección 7 a nuestro anillo particular
F[x] y su función euclidiana, el grado.
Lema 3.19. F[x] es un anillo de ideales principales.
Lema 3.20. Dados dos polinomios f(x) y g(x) en F[x] tienen
siempre un máximo común divisor d(x) que puede escribirse en la forma
d(x) = X{x)f(x) + it(x)g(x).
¿Qué es lo que corresponde a un elemento primo?
Definición. Un polinomio p(x) en F[x] se dice que es irreducible sobre F
si siempre que/?(x) = a(x)b(x)eF[x], entonces uno de los dos, a(x) o b(x\
tiene grado cero (es decir, es una constante).
La irreducibilidad depende del campo; por ejemplo, el polinomio jc2+ 1
es irreducible sobre el campo real, pero no sobre el campo complejo, pues
en este último x2 + l = (jc+i)(x—i), donde i2 = — 1.
Lema 3.21. Cualquier polinomio en [Fx] puede escribirse en forma única
como un producto de polinomios irreducibles en F[x]. *
Lema 3.22. El ideal A = (p(x)) en F[x] es un ideal máximo si y sólo
si p (x) es irreducible sobre F.
En el capítulo 5 volveremos a considerar de forma mucho más detenida
a este campo F[x]/(p(x)\ pero por el momento vamos a calcular un ejemplo.
Sea F el campo de los números racionales y consideremos el polinomio
p(x) = x3 —2 en F[x]. Puede verificarse fácilmente que es irreducible
sobre Fy de donde F[x]fcx3 — 2) es un campo. ¿Qué aspecto tienen sus
elementos? Comencemos por convenir en representar por A = (x3 — 2) al
ideal de F[x) generado por x3 — 2.
Cualquier elemento en F[x]/(x3—2) es una clase lateral de la
forma f(x) + A del ideal A con /(x) en F[x\. Ahora bien, dado un
polinomio cualquiera f(x)eF[x\y por el algoritmo de la división,

I 9. ANILLOS DE POLINOMIOS
141
3
3
/(jc) = /(jc)(jc^-2) + r(jc) donde r(x) = 0 o degr(x) < deg(jt3-2) = 3.
Luego r(x) = a0 + ax x + a2x29 donde a0, ax, a2 están en F\ por consiguiente
f(x) + A — a0 + alx + a2xÁ + t(x)(xi — 2) + A = a0+axx+a2x2 + A ya que
/(x) (jc3 — 2) está en A, de dondo por la adición y la multiplicación
en F[jc]/(jcJ-2), f(x) + A = (a0 + A)+ax(x+A)+a2(x + A)2. Si ponemos
t — x + A9 entonces todo elemento en F[x]/(x* — 2) es de la forma
a0.+ axt+a2t2 con a0yal9 a2 en F. ¿Y qué puede decirse acerca de /? Como
/3—2 = (jc + í4)3-2 = x3-2 + A = A = 0 (ya que ^4 es el elemento cero
de F[x]/(jr—2)).vemos que / = 2.
2 _ t . L - . L -2
Además, si a0+axt + a2r = b0 + bxt + b2t ,entonces(0o~*o) + (fli~¿i)
/+(fl2—¿2V2 = °> de donde (a0-b0) + (ax—bx)x+(a2 — b2)x2 está en
i4 = (jc — 2). ¿Cómo puede ser esto si cada uno de los elementos de
A tiene como grado al menos 3? Solamente si a0—b0+(ax—bx)x +
(a2—b2)x2 = 0, es decir, solamente si a0 = b0y ax = bx y a2 = b2.
Luego cada elemento en F[x]/(x* — 2) tiene una representación única de la
forma a0 + ax t+a2t2 donde a0,aua2eF. Según el lema 3.22 F[x]/(x* — 2) es
un campo. Será interesante ver esto directamente; todo lo que se requiere
es probar que si a0 + axt+a2t2 ^ 0, entonces tiene un inverso de la forma
a + j8/ + y/2. De aquí que lo que tenemos que hacer es hallar la solución
para a, j8, y y de la relación (a0+ax t+a2t2) (<x+pt+yt2) = l, en donde no
todos los tres a0,ax y a2 son iguales a cero. Efectuando la multiplicación
y usando /3 = 2 obtenemos {a0<x + 2a2p + 2axy) + {ax<x+a0p + 2a2y)t +
(a2<x + axp + a0y)t2 = 1; luego:
a0a + 2a2p+2aly = 1
al<x+a0p + 2a2y = 0
a2<x+axf}+a0y = 0.
Cuando lo hacemos, se ve que sólo existe una solución si y sólo si:
a
3 . *i _ 3 . a _ 3
flo +2a, +4a2 -6a0axa2 ^ 0.
3
Por tanto, el problema de probar directamente que F[x]/(x — 2) es un
campo se reduce a probar que la sola solución en números racionales de
(1) fl03 + 2fl,3 + 4fl23 = 6a0axa2
es la solución a0 — ax = a2 = 0. Probémoslo. Si existe una solución en
números racionales, quitando denominadores podemos demostrar que
existe una solución donde a0y ax y a2 son enteros. Luego podemos suponer
que a0, ax ya2 son enteros que satisfacen (1). Afirmamos ahora que podemos
suponer que a0, ax, a2 no tienen más común divisor que 1, pues si a0 = b0d>
ax — bxd y a2 = b2d donde d es su máximo común divisor, entonces,
sustituyendo en (1), obtenemos ¿3(¿03 + 2¿,3 + 4¿23) = d3(6b0bxb2) y,
por tanto, ¿03 + 2¿13 + 4¿23 = 6b0bxb2. El problema se ha reducido, por

142
TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
tanto a probar, que (1) no tiene ninguna solución en enteros que sean primos
relativos. Pero entonces (1) implica que a03 es par; puesto que a0 es par;
por
sustituyendo a0 por 2a0 en (1) tenemos 4a0 +a, + 2a2 = 6ai0axa2.
Luego a,3, y por tanto a,, es par ,-0! = 2 a,. Sustituyendo en (1) obtenemos
2a03+4ai3+fl23
entonces a0, ax y a2 tienen a 2 como factor común! Esto contradice el hecho
de que son primos relativos, y hemos así probado que la ecuación
a03 + 2a,3+4a23 = 6a0a, a2 no tiene ninguna otra solución racional que
a0 = a, = a2 =0. Por tanto, podemos hallar las soluciones para a, /?, y
F[x]
(* * - 2)
campo
Problemas
1. Encuéntrese el máximo común divisor de los siguientes polinomios
sobre F, el campo de los números racionales:
a) x3-6x2+x-\-4y x5-6x+\.
b) x2+\ y x6+x*+x+\.
2. Pruébese que:
a) x2 + x+1 es irreducible sobre F, el campo de los enteros módulo 2.
b) x2 + \ es irreducible sobre los enteros módulo 7.
c) x3 — 9 es irreducible sobre los enteros mód 31.
d) x3 —9 es irreducible sobre los enteros mód 11.
3. Sean Fy Káos campos con Fez Ky y supongamos/(*), g(x)eF[x] son
primos relativos en F[x]. Pruébese que son primos relativos en K[x\.
m
4. a) Pruébese que x2 +1 es irreducible sobre el campo Fde los enteros
mód 11 y pruébese directamente que F[x]/(x2 +1) es un campo
que tiene 121 elementos.
b) Pruébese que x2+x+4 es irreducible sobre F, el campo de los
enteros mód 11 y pruébese directamente que F[x]/(x2 + x+4) es
un campo con 121 elementos.
*c) Pruébese que los campos de la parte (a) y la parte (b) son isomorfos.
5. Sea F el campo de los números reales. Pruébese que F[x]/(x2 +1) es
un campo isomorfo al campo de los números complejos.
*6. Definamos la derivada ff (x) del polinomio
f{x) = a0 + axx+ *..+anx*
como /'(*) = ai+2a2x+3a3x2+ ...+nanxn~i.
Pruébese que sif(x)eF[x], donde Fes el campo de los números racionales,
entonces f(x) es divisible por el cuadrado de un polinomio si y sólo si
f(x) y f'(x) tienen un máximo común divisor d(x) de grado positivo.

i 10. POLINOMIOS SOBRE EL CAMPO RACIONAL 143
7. Si f(x) está en F[x], donde F es el campo de los enteros módulo p,
p un primo, y f(x) es irreducible sobre F de grado ny pruébese que
F[x]/(f(x)) es un campo con pn elementos.
10 POLINOMIOS SOBRE EL CAMPO RACIONAL
Especializamos la discusión general a la de los polinomios cuyos
coeficientes son números racionales. La mayor parte del tiempo, los coeficientes
serán en realidad enteros. Nos ocuparemos fundamentalmente de la irredu-
cibilidad de tales polinomios.
Definición. Se dice que el polinomio f(x) = a0 + axx+... +tf„x\
donde a0y a,, a2,..., an son enteros, es primitivo si el máximo común divisor
de a09 at,..., an es 1.
Lema 3.23. Si f(x) y g(x) son polinomios primitivos entonces f(x)g(x)
es un polinomio primitivo.
Prueba. Sea/(jc) = a0 + axx+ ... +anxn y g(x) = £0 + £,jc+ ... +bmxm.
Supongamos que el lema fuera falso; entonces todos los coeficientes de
f(x)g(x) serían divisibles por algún entero mayor que 1, de donde, por
algún número primo /?. Como/(x) es primitivo, p no divide a alguno de los
coeficientes a¡. Sea aj el primer coeficiente de f(x) al que p no divide.
Análogamente, sea bk el primer coeficiente de g{x) al que p no divide. En
f{x)g{x) el coeficiente de xJ+k9cj+k9 es
(1) cj+k = ajbk + (aj+lbk_l+aJ+2bk_2+ ...+aj+kb0)
Ahora bien, por nuestra elección de bk,p\bk^x, 6*_2, ••-, de modo que
p\(aJ+ {bk.., +tf/+2¿>*-2+ ••• +aj+kbo)- Análogamente, por nuestra elección
deaj,p\aj^iyaj_2,...,demodoqucp\(aj^íbk+l+aj^2bk + 2^...+a0bk+jy
Por hipótesis, p\cJ+k. Luego por (1), p\ajbk, lo que es imposible ya que
pX<i} y pXbk. Con lo que el lema queda probado.
Definición. El contenido del polinomio f{x) = a0 + axx+ ... +a„xn,
donde todos los a son eníeros, es el máximo común divisor de los enteros
Es claro que todo polinomio p(x) con coeficientes enteros puede
escribirse como p(x) = dq{x\ donde d es el contenido de p(x) y q(x) es
un polinomio primitivo.
Teorema 3.1 (lema de Gauss). Si el polinomio primitivo f{x) puede
factorizarse como el producto de dos polinomios de coeficientes racionales.

144 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
entonces puede factorizarse como el producto de dos polinomios de
coeficientes enteros.
Prueba. Supongamos que f(x) = u(x)v(x) donde u(x) y v(x) tiene
■
coeficientes racionales. Quitando denominadores y sacando los factores
comunes podemos escribir entonces f(x) = (a/b)X(x)fi(x)9 donde a y b
son enteros y donde tanto X(x) como fi(x) tienen coeficientes enteros y son
primitivos. Luego bf(x) = aX(x)fi(x). El contenido del primer miembro
es b9 ya que/(x) es primitivo; como X(x) y fi(x) son primitivos, según el
lema 3.23 X(x)f¿(x) es primitivo, luego el contenido del segundo miembro
es a. Por lo tanto, a = b, (a/b) = 1 yf(x) = X(x)f¿(x) donde X(x) y fi(x)
tienen coeficientes enteros. Y esto es lo que el teorema afirma.
Definición. Un polinomio se dice que es entero mónico si todos sus
coeficientes son enteros y su coeficiente más alto es 1.
Luego un polinomio entero mónico es simplemente uno de la forma
¿i+a1¿i~1 + ...+aH9 donde todos los a son enteros. Es claro que todo
polinomio entero mónico es primitivo.
Corolario. Si un polinomio entero mónico se fúctoriza como el producto
de dos polinomios no constantes de coeficientes racionales, entonces se
factoriza como el producto de dos polinomios enteros mónteos.
Dejamos la prueba de este corolario como un ejercicio para el lector.
El problema de decidir si un polinomio dado es o no irreducible puede
ser difícil y laborioso. Pocos criterios existen que declaren que un polinomio
dado es o no irreducible. Uno de estos pocos es el siguiente.
Teorema 3.j (el criterio de Eisenstein). Seaf(x) = a0+a1x+a2xl +
... +aH)f un polinomio con coeficientes enteros. Supongamos que para algún
número primo p9 pJ(an9 p\al9 p\al9 ...,p|a0 y P2>fao- Entonces f(x) es
irreducible sobre los racionales.
Prueba. Sin pérdida de generalidad podemos suponer que f(x) es
primitivo, pues el sacar el máximo común divisor de sus coeficientes no
modifica la hipótesis, ya que p\aM. Si/(x) se factoriza como un producto
de dos polinomios racionales, por el lema de Gauss, se factoriza también
como el producto de dos polinomios de coeficientes enteros. Luego si
suponemos que f(x) es reducible, entonces
Ax)=(b0+blx+'- +6rAO(c0+c1x+--- + c**f),
donde las b y las c son enteros y donde r > 0 y s > 0. Comparando los
coeficientes de ambos miembros tenemos primero a0 = b0c0. Como p\a0,

Sil. ANILLOS DE POLINOMIOS SOBRE ANILLOS CONMUTATIVOS 146
p debe dividir a uno de los dos, b0 o c0. Como p2Jfa0j p no puede dividir
a la vez a ambos b0 y c0. Supongamos que p \ b0 y pJ{c0. No todos los
coeficientes ¿>0,..., br pueden ser divisibles por p; de otro modo todos
los coeficientes de/(jc) serian divisibles por py lo que es manifiestamente falso,
ya que p)(an. Sea bk el primer b no divisible por p, k < r < n. Tenemos
entonces quep | bk_ 1 y a las b anteriores. Pero ak = bk c0+bk _ t cx -¥bk_ 2 c2 +
...+b0ck, yp\akyp\bk-lJbk-2,...,b0jde modo que p \ bk c0. Pero p]fc0 y
p)(bk, lo que entra en conflicto con que p \ bk c0. Esta contradicción prueba
que nosotros no pudimos haber factorizado/(x). Luego/(x) es irreducible.
■
Problemas
1. Sea D un anillo euclidiano y F su campo de cocientes. Pruébese el
lema de Gauss para polinomios con coeficientes en D factorízados como
productos de polinomios en F.
2. Si p es un número primo, pruébese que el polinomio x"— p es
irreducible sobre los racionales.
3. Pruébese que el polinomio \+x+ ..,+x'"1, dondep es un número
primo, es irreducible sobre el campo de los números racionales. (Sugerencia:
Considérese el polinomio l+(x+l)+(x+l)2+... + (x+l)p_1, y úsese el
criterio de Eisenstein.)
4. Si m y n son enteros primos relativos y si Ix J|(fl0+fl1x +
... +arjcr)> donde las a son enteros, pruébese que m\a0 y n\ar.
5. Si a es racional y x—a divide a un polinomio entero mónico,
pruébese que a debe ser un entero.
11. ANELL0S BE P*LIN*MIM SMltE
AMILL0S C#MMVTATIT#S
Al definir el anillo de polinomios en una variable sobre un campo F,
no se hizo ningún uso esencial del hecho de que F fuera un campo; todo lo
que se usó fue que F era un anillo conmutativo. La naturaleza de campo
de F solamente se hizo sentir en la prueba de que F[x] era un anillo euclidiano.
Podemos, pues, imitar lo que hicimos con campos con anillos más
generales. Mientras que algunas cualidades se perderán como, por ejemplo,
la del "euclidismo", veremos que quedan las suficientes para llevarnos a
resultados interesantes. Podíamos haber desarrollado el sujeto con esta
generalidad desde el principio, para luego haber obtenido resultados par-

146 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
ticulares para F[x] cuando F era un campo. Sin embargo, sentimos que es
más conveniente ir de lo concreto a lo abstracto que de lo abstracto a lo
concreto. El precio que pagamos por ello es repetición, pero incluso esto
sirve a un propósito, a saber, el de consolidar las ideas. Por la experiencia
que ganamos al tratar de polinomios sobre campos, nos podemos permitir
ser un poco más esquemáticos en las pruebas que aquí demos.
Sea R un anillo conmutativo con elemento unitario. Por el anillo de
polinomios en x sobre R, R[x], entendemos el conjunto de todos los símbolos
formales a0+axx+ ... + a*,*"1, donde a0,al9..., am están en R, y donde la
igualdad, la adición y la multiplicación se deñnen exactamente igual que
como se deñnieron en la sección 9. Como en tal sección, R[x] es un anillo
conmutativo con elemento unitario.
Definimos ahora el anillo de polinomios en las n variables xl9..., xn
sobre /?, R[xl9..., xn], como sigue: sea Rx = /?[*i], R2 = R\[x2]9 el
anillo de polinomios en x2 sobre /?!,...,/?„ — Rn-i[*n]- A RH se le llama
el anillo de polinomios sobre R. Sus elementos son de la forma
Eahi2..i*xitlx2Í2"*xiiW> con Ia igualdad y la adición definidas por los
coeficientes y la multiplicación por el uso de la ley distributiva y la regla de
exponentes (x^xj2 - Ó (xlhx2j2~-xnJn) « x1íl+ilx2¿2+j2 ■•■ xnin+Jn.
De particular Importancia es el caso en que R = Fes un campo; obtenemos
entonces el anillo de polinomios en n variables sobre un campo.
Va a interesarnos en particular la influencia de la estructura de R sobre
la de R[xt,..., xH]. El primer resultado en tal dirección es el que sigue.
Lema 3.24. Si R es un dominio entero, entonces también lo es R[x].
Prueba. Para 0 & f(x) = a0 + axx+ ... +amxm, donde am & 0, en R[x],
definimos el grado dtf(x) como m; es decir, el grado de/(jt) es el índice
del coeficiente distinto de cero más alto de/(jt). Si R es un dominio entero
dejamos como ejercicio probar que deg{f(x)g(x)) = deg/(x)+deg g(x).
Pero entonces para/(jc) ^ 0, g(x) # 0, es imposible tener f(x)g(x) = 0.
Es decir, R[x] es un dominio entero.
El uso reiterado del lema nos da como resultado inmediato el siguiente
Corolario. Si R es un dominio entero, entonces también lo es
En particular, cuando F es un campo, F[xl,..., xn] debe ser un dominio
entero. Como tal, podemos construir su campo de cocientes; a1*tal campo
le llamamos campo de funciones racionales sobre F y le
denotamos por F(xl9..., xn). Este campo desempeña un papel vital en
geometría algebraica. Para nosotros será de máxima importancia en nuestra
discusión, en el capitulo S, de la teoría de Galois.

« 11. ANILLOS DE POLINOMIOS SOBRE ANILLOS CONMUTATIVOS 147
Pero queremos interrelaciones más profundas entre las estructuras de R
y de R[xx,..., xn] que las que aparecen en el lema 3.24, y es en tal dirección
en la que ahora vamos a avanzar.
Exactamente en la misma forma en que lo hicimos para los anillos
euclidianos, podemos hablar ahora de divisibilidad, unidades, etc., en
dominios enteros arbitrarios, R, con elemento unitario. Dos elementos a y
b en R se dice que están asociados si a = ub donde u es una unidad en R.
Un elemento a que no es una unidad en R se dirá que es irreducible (o un
elemento primo) si siempre que a = be con by c, ambos, de R se tiene que
uno de ambos b o c es una unidad en R. Un elemento irreducible es, pues,
un elemento que no puede ser factorizado de modo %*no triviar\
Definición. Un dominio entero R con elemento unidad es un dominio
de factorización única si
a) cualquier elemento distinto de cero de R es una unidad o puede
escribirse como el producto de un número finito de elementos
irreducibles de R;
b) la descomposición de la parte (a) es única salvo el orden y asociación
de los elementos irreducibles.
El teorema 3.e afirma que un anillo euclidiano es un dominio de
factorización única. Lo recíproco, sin embargo, es falso; por ejemplo, el anillo
F[Xi, x2] donde F es un campo no es ni siquiera un anillo de ideales
principales (de donde se deduce que no puede ser un anillo euclidiano),
pero como veremos pronto es un dominio de factorización única.
En los anillos conmutativos generales podemos hablar de los máximos
común divisores de elementos; la principal dificultad es que éstos, en
general, tal vez no existan. Pero en los dominios de factorización única
su existencia es segura, Este hecho no es difícil de probar y lo dejamos como
un ejercicio; igualmente fáciles de probar son las otras partes del siguiente
Lema 3.25. Si R es un dominio de factorización única ysiayb están en /?,
entonces a y b tienen un máximo común divisor (ay b) en R. Además, si a y b
son primos relativos (es decir, si (a, b) = 1), entonces siempre que a\bc se
tiene a | c.
Corolario. Si ae R es un elemento irreducible y a \ be, entonces a \ b o a | c.
Queremos ahora presentar la versión apropiada del lema de Gauss
(teorema 3.i) que probamos para polinomios con coeficientes enteros, para
el anillo R[x]9 donde R es un dominio con factorización única.
Dado el polinomio f(x) = a0+ayx+... +amxT en R[x]9 entonces el
contenido de f(x) es, por definición, el máximo común divisor de
Qo>a\y >->am- Es único, salvo unidades de R. Denotaremos al contenido

148 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
dtf(x) por c(f). Un polinomio en R[x] se dice que es primitivo si su contenido
es 1 (es decir, es una unidad de R). Dado un polinomio cualquiera
f(x)eR[x] podemos escribir f(x) = qfi(x) donde a = c(f) y donde
fi(x)eR[x] es primitivo. (¡Pruébese!) Excepto por multiplicación por
unidades de R esta descomposición de / (x), como un elemento de R
por un polinomio primitivo en R[x]> es única. (¡Pruébese!)
La prueba del lema 3.23 puede aplicarse integramente a nuestra presente
situación; el único cambio que debe hacerse en la prueba es reemplazar el
número primo p por un elemento irreducible de R. Así pues, tenemos
Lema 3.26. Si R es un dominio de factorización única, entonces el
producto de dos polinomios primitivos en R[x] es también un polinomio
primitivo en R[x].
Dados/(x) y g(x) en R[x] podemos escribir/ (x) = afx(x\g(x) = bgx(x)9
donde a = c(f) y b = c(g) y donde fi(x) y gx(x) son primitivos. Tenemos
pues: f(x)g(x) = abfl(x)gx (x). Según el lema 3.26,/j (x)gx(x) es primitivo.
Luego el contenido del producto/(x)g(x) es ab> es decir, c(f)c(g). Y hemos
probado el siguiente
Corolario. Si R es un dominio de factorización única y si f(x) y g(x)
están en R[x]y entonces c(fg) = c(f)c(g) (salvo unidades).
Por una sencilla inducción el corolario se extiende al producto
de un número finito de polinomios. Es decir, se tiene: c(/i/2•••./*)
= c(fx)c(f2)...c(fk).
Sea R un dominio de factorización única. Por ser un dominio entero,
de acuerdo con el teorema 3.c, tiene un campo de cocientes F. Podemos
considerar R[x] como un subanillo de F[x]. Dado un polinomio cualquiera
f(x)eF[x]y entonces/(x) = (f0(x)/a)9 donde/0(x)e/?[;t] y aeR. (¡ Pruébese!)
Es natural preguntar por la relación, en términos de reducibilidad e irreduci-
bilidad, de un polinomio en R[x] considerado como un polinomio en el
anillo más grande F[x].
Lema 3.27. Si f(x) en R[x] es a la vez primo e irreducible como un
elemento de R[x]> entonces es irreducible como un elemento de F[x].
Recíprocamente, si el elemento primitivo f(x) en R[x] es irreducible como un
elemento de F[x], es también irreducible como un elemento de R[x].
Prueba. Supongamos que el elemento primitivo f(x) en R[x] es
irreducible en R[x]9 pero es reducible en F[x]. Así pues, f(x) = g(x)h(x\
donde g(x) y h(x) están en F[x] y son de grado positivo. Pero ahora
9(x) = (g0(x)/a) y h(x) = (h0(x)/b)9 donde a y b pertenecen a R y
dondeg0(x)9 h0(x)eR[x]. Además, g0(x) = otg^x), h0(x) = fifi^x), donde

i 11. ANILLOS DE POLINOMIOS SOBRE ANILLOS CONMUTATIVOS 149
<* = c(#o)> P = c(*o)> Y ^i(4 Ax(jc) son primitivas en R[x], Tenemos pues
que /(jc) = (aP/ab)gí(x)hí(x), de donde abf(x) = a/tyi(*)*i(*)- Por el
lema 3.26, gi(x)hí(x) es primitivo, de donde el contenido del segundo
miembro es a/?. Como /(jc) es primitivo, el contenido del primer miembro
es ab; pero entonces ab = a/?; la implicación de esto es que/(jc) = gx (jc) h x (jc),
con lo que hemos obtenido una factorización no trivial de /(jc) en R[x\9
en contrario con lo que supusimos en la hipótesis. (Nota: esta factorización
es no trivial ya que gx(x) y g{x)9 y hx(x) y A(jc), son del mismo grado,
luego no pueden ser unidades en R[x] (véase problema 4).) Dejamos la
prueba de la parte recíproca del teorema como un ejercicio.
Lema 3.28. Si R es un dominio de factorización única y si p(x) es un
polinomio primitivo en R [x]9 entonces puede ser factor izado en una forma
única como el producto de elementos irreducibles en R[x].
Prueba. Cuando consideramos p(x) como un elemento en F[x], por el
lema 3.21, podemos factorizarlo como p(x) = Pt(x)...pk(x) donde pt(x)9
Pi(x\,...,pk(x) son polinomios irreducibles en F[x]. Cada/^jc) = (/¿(jc)/a,),
donde/,(jc)e/?[jc] y a,e/í; además,/¿(jc) = c¡q¡(jc), donde c¡ = c(/£)ydonde
q¿x) es primitivo en R[x]. Así p es, para toda /, p¡(x) = (¿¿^(jc)/***),
donde ai9 c¡eR y donde q¡(x)eR[x] es primitivo. Como/>,(*) es irreducible
en F[jc], q¡(x) debe también ser irreducible en F[jc], de donde, por el lema 3.27,
es irreducible en R[x].
Tenemos ahora
c1c2~ck
P(x) = Pi(x)-pk(x) = 9i(x) — ft(x),
ala2-ak
de donde ax a2.. >okp(x) = cx c2... ckqí (jc) ... qk(x). Usando la primitividad de
p(x) y de ?i (jc) ... ?* (jc), podemos considerar como contenido del primer
miembro a axa2...ak9 y como contenido del segundo miembro a, cic2...ck9
luego aía2...ak = clc2...ck9 de donde p(x) = Qi(x)...qk(x). Hemos
factorizado p(jc), en R[x], como un producto de elementos irreducibles.*
¿Podemos factorizarlo de otro modo? Si p(x) = r,(jc) ... r* (jc), donde
los rt(x) son irreducibles en R[x]9 por la primitividad de p(jc), cada r,(jc)
debe ser primitivo, de donde irreducible en F[x] por el lema 3.27. Pero por
el lema 3.21 sabemos que la factorización en F[x] es única; el resultado neto
de esto es que las r¿(jc) y las qt(x) son iguales (salvo asociación) en algún
orden, de donde pipe) tiene una factorización única como producto de
irreducibles en R[x].
Tenemos ahora toda la información necesaria para probar el principal
teorema de esta sección.
Realmente, lo que tenemos es: cic2 • • • ct=iifl1fla" • • <**> con u una unidad. Luego
p{x)=(«9i(x)) • • • qk(x). Hay que probar que u es de R. (N. del T.)

150 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
Teorema 3.k. Si R es un dominio de factorización únicay entonces
también lo es R [x\.
Prueba. Sea/(x) un elemento arbitrario en R[x\. Podemos escribir/^*) en
forma única como f(x) = cfl(x) donde c = c(J) está en R y ft(x)
en R [jc], es primitivo. Por el lema 3.28, podemos descomponer f (x) en
forma única como producto de elementos irreducibles de R[x]. ¿Y qué
hay acerca de c? Supongamos que c — ax (x)a2 (x)... am{x) en R[x]; entonces
0 = deg c = deg (ax(x)) + deg (a2(*))+ ..- + deg (am(x)). Por tanto, cada
at(x) debe ser de grado 0, es decir, debe ser un elemento de R. En otras
palabras, las solas factorizaciones de c como un elemento de R[x] son las
que tienen como elemento de R. En particular, un elemento irreducible en R
lo es también en R[x]. Como R es un dominio de factorización única,
c tiene una factorización única como producto de elementos irreducibles
de R9 de donde R[x],
Si juntamos la factorización única de f(x) en la forma cfx (jc), donde
fi (x) es primitivo y ce R9 con la factorización única de c y de /, (x), hemos
probado el teorema.
Dado R como un dominio de factorización única, entonces Rx =R[xl]es
también un dominio de factorización única. Luego R2 — Ri [x2] = R[xx, x2]
es también un dominio de factorización única. Continuando con este
esquema obtenemos
Corolario 1. Si R es un dominio de factorización única entonces también
lo es R[xlf..., xj.
Un caso especial del corolario 1, pero de interés e importancia
independientes es el
Corolario 2. Si F es un campo, entonces F[xí9..., xj es un dominio de
factorización única.
Problemas
1. Pruébese que R[x] es un anillo conmutativo con elemento unidad
siempre que R lo sea.
2. Pruébese que R[xl,..., xj = R[xn ,..., xfH] donde (Jl,..., iH) es una
permutación de (1, 2,..., n).
3. Si R es un dominio entero, pruébese que para/(x) y g(x) en R[x]9
deg (/(*), <K*)) = deg (/(*)) +deg GK*)).
4. Si R es un dominio entero con elemento unitario, pruébese que
cualquier unidad en R [x] debe ser también una unidad en R.

111. ANILLOS DE POLINOMIOS SOBRE ANILLOS CONMUTATIVOS 161
5. Sea R un anillo conmutativo sin elementos nilpotentes no nulos, es
decir, tal que a" = 0 implique a = 0. Si f(x) = a0+alx+... +amxm en
R[x] es un divisor de cero, pruébese que hay un elemento b # 0 en R tal
que ba0 = ba^ = ... = bam = 0.
*6. Resuélvase el problema 5 prescindiendo de la hipótesis de que R no
tiene elementos nilpotentes distintos del cero.
*7. Si R es un anillo conmutativo con elemento unitario, pruébese que
a0+alx+ ...+anxn en R[x] tiene un inverso en R[x] (es decir, es una
unidad en R[x]) si y sólo si a0 es una unidad en R y av,..., aH son elementos
nilpotentes en R.
8. Pruébese que cuando F es un campo, F[xl, x2] no es un anillo de
ideales principales.
9. Pruébese en forma completa el lema 3.25 y su corolario.
10. a) Si R es un dominio de factorización única, pruébese que todo
f(x)eR[x] puede escribirse como f(x) = qfi(x), donde aeR y
/i (jc) es un primitivo.
b) Pruébese que la descomposición de la parte (a) es única (hasta
asociados).
11. Si R es un dominio entero, y si fes su campo de cocientes, pruébese
que cualquier elemento/(jc) en F[x] puede escribirse como/(jt) = {fo(x)/a)f
donde f0(x)eR[x] y aeR.
12. Pruébese la "parte recíproca" del lema 3.27.
13. Pruébese el corolario 2 al teorema 3.k.
14 Pruébese que un anillo de ideales principales es un dominio de
factorización única.
15. Si J es el anillo de los enteros, pruébese que J[xl9..., jcJ es un
dominio de factorización única.
Problemas su < • ¡ , » *.
1* Sea R un anillo conmutativo; un ideal P de R se dice que es un
ideal primo de R si abeP9 a9 beR implica que aeP o beP. Pruébese que P
es un ideal primo de i? si y sólo si P/R es un dominio entero*
2. Sea R un anillo conmutativo con elemento unidad; pruébese que
todo ideal máximo de R es un ideal primo.
3, Proporciónese un ejemplo de un anillo en el que algún ideal primo
no sea un ideal máximo.

162 TEORÍA DE ANILLOS — Cap. 3
4. Si R es un anillo conmutativo ñnito (es decir, que tiene solamente
un número ñnito de elementos) con elemento unidad, pruébese que todo
ideal primo de R es un ideal máximo de R.
5. Si F es un campo, pruébese que F[x] es isomorfo a F[t\.
6. Encuéntrense todos los automorñsmos cr de F[x] con la propiedad
de que cr(/) =/para todo fe F.
7. Si R es un anillo conmutativo, sea N = {xeR\x* = 0 para algún
entero n}. Pruébese que:
a) N es un ideal de R.
b) En R = R/N, si xm = 0 para algún m> entonces 3c — 0.
8. Sea R un anillo conmutativo y supongamos que A es un ideal de R.
Sea N(A) = {jce/*|x"ei4 para algún n}. Pruébese que:
a) N(A) es un ideal de R que contiene a A.
b) N(N(A)) « #04).
9. Si n es un entero, sea /„ el anillo de los enteros módulo n. Descríbase
N (véase el problema 7) para /„ en términos de n.
10. Si A y B son ideales en un anillo R tales que A n B = (0), pruébese
que paqi cualesquiera aeA y beB, ab = 0.
11. Si R es un anillo, sea Z(R) = {xeR\xy = >»jc para todo >»€/?}.
Pruébese que Z(R) es un subanillo de R.
12. Si i? es un anillo con división, pruébese que Z(R) es un campo.
13. Encuéntrese un polinomio de grado 3 irreducible sobre el anillo de
los enteros módulo 3, J3. Úsese para construir un campo con 27 elementos.
14. Construyase un campo con 625 elementos.
15. Si F es un campo y p(x)eF[x], pruébese que en el anillo
R _ Fjx]
(p(x)Y
N (véase el problema 7) es (0) si y sólo si p(x) no es divisible por el cuadrado
de ningún polinomio.
16. Pruébese que el polinomio/(jc) = 1+jc+jc3+jc4 no es irreducible
sobre ningún campo F.
17. Pruébese que el polinomio /(jc) = jc4+2jc+2 es irreducible sobre el
campo de los números racionales.

I 11. ANILLOS DE POLINOMIOS SOBRE ANILLOS CONMUTATIVOS 163
18. Pruébese que si F es un campo ñnito, su característica debe ser un
número primo p y F contiene pn elementos para algún entero. Pruébese,
además, que si aeF entonces aT = a.
19. Pruébese que cualquier ideal distinto de cero en los enteros
gaussianos J[i] debe contener algún entero positivo.
20. Pruébese que si R es un anillo en el que a* = a para todo aeR
entonces R debe ser conmutativo.
21. Sean R y R' y <f> una aplicación de R en R' que satisface:
o) 4>(x+y) = 0(jc)+0OOpara todo xtyeR.
b) Hxy) - 4>{x)4>(y) o *O0*«-
Pruébese que para todo a,beR, 4>(ab) = <f>(a)<f>(b) o que para todo a,beR,
4>(á) = 4>(b)<l>(a). (Sugerencia: Si aeR, hágase Wa = {xeR\4>(ax)
= 4>{a)<P{x)} yí/fl = {xeR\4>(ax) = 4>(x)<t>(a)}.)
Lectoras suplementarias
Zariski, Óscar, y Samuel, Pierre, Commutative Algebra, vol. 1. D. Van
Nostrand Company, Inc., Princeton, Nueva Jersey, 1958.
McCoy, N. H., Rings and Ideáis, Carus Monograph Series, No. 8. Open
Court Publishing Company, La Salle, Illinois, 1948.
Tópicos para discusión en clase
Motzkin, T., "The Euclidean algorithm", Bulletin ofthe American Mathe-
maticai Society, vol. 55 (1949), págs. 1142-1146.

Espacios vectoriales
y módulos
Hasta el momento hemos introducido y estudiado los grupos y los
anillos; los primeros tienen su motivación en el conjunto de las aplicaciones
biyectivas de un conjunto sobre sí mismo, los últimos, en el conjunto de
los enteros. El tercer modelo algebraico que vamos ahora a considerar
—el de espacio vectorial— puede, en gran parte, considerarse que tiene sus
orígenes en tópicos de la geometría y de la física.
Su descripción será reminiscente de las de los grupos y los anillos —en
realidad, parte de su estructura es la de un grupo abeliano— pero un
espacio vectorial difiere de estas dos estructuras previas en que uno de los
productos en él definidos, usa elementos que son ajenos a él mismo. Estas
observaciones se entenderán plenamente cuando demos la deñnición de
espacio vectorial.

1M
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS —Cap. 4
Los espacios vectoriales deben su importancia al hecho de que muchos
modelos entre los que surgen como soluciones de problemas
específicos, resultan ser espacios vectoriales. Es por esa razón por la que los
conceptos básicos que introducimos en ellos tienen una cierta universalidad y los
hemos encontrado, y los seguiremos encontrando, en contextos muy
diversos. Entre estas nociones fundamentales están las de dependencia
lineal, base y dimensión, las que desarrollaremos en este capitulo. Son,
éstas, argumentos poderosos y efectivos en todas las ramas de las
matemáticas; nosotros haremos un uso inmediato y ubre de ellas en muchas
partes esenciales del capitulo 5 que trata de teoría de campos.
Intimamente entretejidos con los espacios vectoriales están los homo-
morfismos de un espacio vectorial en otro (o en si mismo). Estos
homomorfismos constituirán la mayor parte del material que estudiaremos
en el capitulo 6.
En la última parte del presente capitulo estudiaremos los módulos, una
generalización de los espacios vectoriales; hablando a grosso modo, un
módulo es un espacio vectorial sobre un anillo en vez de sobre un campo-
Para módulos finitamente generados sobre anillos euctidianos probaremos
el teorema fundamental para bases. Este resultado nos permite dar una
descripción completa y la construcción de todos los grupos abelianos finitos.
1. CONCEPTOS BÁSICOS ELEMENTALES
Definición. Un conjunto no vado V se dice que es un espacio vectorial
sobre un campo F si V es un grupo abeliano respecto a una operación que
denotamos por +, y si para todo oceF, veV está definido un elemento,
escrito como oc, de V9 con las siguientes propiedades;
1) a(v+w) = av+aw
2) {a+p)v = av+fiv
3) a(fiv) = (aftv
4) lv = v
para cualesquiera a, fieF y v,weV (donde el 1 representa el elemento
unitario de F en la multiplicación).
Nótese que en el axioma (1) anterior, el + es el de Vy mientras que en
el axioma (2), en el primer miembro el+es el de Fy en el segundo miembro» el
deK
Usaremos sistemáticamente las siguientes notaciones:
a) F representará un campo.
b) Las letras griegas minúsculas serán elementos de F; nos referiremos
con frecuencia a los elementos de F como escalares.

11. CONCEPTOS BÁSICOS ELEMENTALES
167
c) Las letras latinas mayúsculas representarán espacios vectoriales
sobre F.
d) Las letras latinas minúsculas denotarán elementos de espacios
vectoriales. A los elementos de un espacio vectorial les llamaremos con
frecuencia vectores.
Si ignoramos el hecho de que V tiene dos operaciones definidas sobre él
y lo vemos por un momento simplemente como un grupo abeliano bajo+,
el axioma (1) no afirma más que el hecho de que la multiplicación de los
elementos de V por un escalar fijo ce define un homomorfismo del grupo
abeliano V en si mismo. De acuerdo con el lema 4-1, que en seguida
presentaremos, puede verse que si a ^ 0 este homomorfismo es un isomorfismo
de V sobre K
Esto sugiere que muchos aspectos de la teoría de espacios vectoriales
(y también de la de anillos) podrían haber sido desarrollados como una
parte de la teoría de grupos, si hubiésemos generalizado la noción de grupo
a la de grupo con operadores. Para los estudiantes que están familiarizados
con el álgebra abstracta, éste es el punto de vista preferido; como no
suponemos familiaridad alguna por parte del lector con el álgebra abstracta,
creemos que tal enfoque podía dar lugar a una introducción excesivamente
rápida a las ideas del tema con ninguna experiencia que actúe como guia.
Ejemplo 1. Sea F un campo y A' un campo que contiene a F como
subcampo. Consideramos K como un espacio vectorial sobre F usando
como el + del espacio vectorial la adición de elementos de K, y definiendo
para aef, veK, av como el producto de a y v como elementos en el campo K.
Los axiomas (1), (2), (3) para un espacio vectorial son entonces consecuencias
de la ley distributiva derecha, de la ley distributiva izquierda y de la ley
asociativa, respectivamente, que valen para K por ser un anillo.
Ejemplo 2. Sea F un campo y sea V la totalidad de todos los /rtuples,
(ce,,..., a„) donde todos los ag€F. Dos elementos (o,,..., aj y (Jiít ,--,#,)
de V se definen como iguales si y sólo si a¡ = fi¡ para todo i — 1, 2, ,..T /i-
Introducimos ahora las operaciones requeridas en V para hacer de él un
espacio vectorial definiendo:
2) y(alt.-„<*„) = (yai,--, ya,) para yeF.
Es fácil verificar que con estas operaciones Fes un espacio vectorial
sobre J\ Como tal espacio vectorial aparecerá con frecuencia le asignaremos
un símbolo, a saber, F0**.
w
Ejemplo 3, Sea F un campo cualquiera y sea V = F[x] el conjunto de
todos los polinomios en x sobre F. Pretendemos ignorar, por el momento,

1M
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cip, 4
el hecho de que en F[x] podemos multiplicar dos cualesquiera de sos
elementos y nos concentramos solamente en el hecho de que dos polinomios
pueden sumarse y de que un polinomio puede siempre multiplicarse por
un elemento de F. Con estas operaciones naturales, F[x] es un espacio
vectorial sobre F.
Ejemplo 4. Sea Vn el conjunto de todos los polinomios de F[x] de
grado menor que n. Usando las operaciones habituales para polinomios
de suma y multiplicación, Vm es un espacio vectorial sobre F.
¿Cuál es la relación entre los ejemplos 4 y 2? Cualquier elemento de Vn
es de la forma a0+aíx+.., +aJ,_1Jt"~I, donde qcíEF; si transformamos
este elemento en el elemento (a0,a|9 ---»a*-i) en Fw podríamos
razonablemente esperar, una vez que el homomorfismo y el ísomorfismo hayan
sido definidos, que encontremos que Vn y Fw sean isomorfos como
espacios vectoriales.
Definición, Si Fes un espacio vectorial sobre Fy si ffc= Vy entonces W
es un subespacio de V si bajo las operaciones de V, W mismo forma un
espacio vectorial sobre F- Es decir, W es un subespacio de V siempre
que ivx , w2e W, a, fieF implique que awí +pw2e W.
Nótese que el espacio vectorial definido en el ejemplo 4 es un subespacio
del definido en el ejemplo 3. Ejemplos adicionales de espacios vectoriales y de
subespacios pueden encontrarse en los problemas al final de esta sección.
Definición, Si U y V son espacios vectoriales sobre F7 entonces la
aplicación T de U en V se dice que es un homomorfismo si
1) (ux+u2)T = uxT+u2T
2) {mi¿T = a{uxT)
para cualesquiera w, f u2elft y aeF.
Como en nuestros previos modelos, un homomorfismo es una aplicación
que preserva toda la estructura algebraica de nuestro sistema.
Si T es, además, inyectiva le llamamos ísomorfismo. El núcleo de T es,
por definición, {uelf\uT = 0} donde 0 es el elemento identidad de la
adición en V. Es un ejercicio probar que el núcleo de T es un subespacio de U
y que T es un ísomorfismo si y sólo si su núcleo es (0). Dos espacios
vectoriales se dice que son isomorfos si hay un Ísomorfismo de uno sobre el otro*
El conjunto de todos los homomorfismos de U en V se representará
por Hom (£/, F). Son de particular interés para nosotros dos casos especiales,
Hom (U> F) y Hom (U, U). Estudiaremos muy pronto el primero de éstos;
el segundo, que puede mostrarse que es un anillo, se llama anillo de ios
transformaciones lineales de U. Más adelante, en este mismo libro,
dedicaremos mucho de nuestro tiempo a un estudio detallado de Hom (£/, £/),

11. CONCEPTOS BÁSICOS ELEMENTALES
169
Propiamente comenzamos el estudio del tema con un lema operacional
que, como en el caso de los anillos, nos permite efectuar ciertos cálculos
naturales y sencillos en los espacios vectoriales. En el enunciado del lema,
0 representa el cero de la adición en V, o el de la adición en F, y — r el
inverso aditivo del elemento v de V.
Lema 4.1. Si V es un espacio vectorial sobre F, entonces
1) oO = OparaaeF.
2) ov = Opara veV.
3) (—a)v = —{av)paraaeFtveV+
4) Si v ^ 0 entonces av = 0 implica que a — o.
Prueba. La prueba es muy fácil y sigue los mismos lincamientos que la
prueba del resultado análogo para anillos; la damos, por tal razón,
brevemente y con pocas explicaciones.
1) Como aO = a(0+0) = aO+aO» entonces aO = Ü.
2) Como ov = {o+o)v — ov+ovt entonces ov = G.
3) Como 0 = (a+(—a))v = av+{—á)vt{—a)v = — (ar).
4) Si av =* 0 y a ^ ot entonces
0 = a_10 = a_1(au) = {a~la)u = Iv = v.
El lema que acabamos de probar muestra que la multiplicación por el
cero de V o por el cero de F siempre da como resultado el cero de K No
habrá, pues, ningún peligro de confusión porque usemos el mismo símbolo
para ambos, y eso es lo que haremos de aqui en adelante. Usaremos el
símbolo 0 tanto para el cero de V como para el cero de F.
Sea V un espacio vectorial sobre F y sea W un subespacio de K
Considerando V y W simplemente como grupos abelianos, construimos el
grupo cociente V¡W\ sus elementos son las clases laterales v+ Wdonde ve V.
La conmutatividad de la adición nos asegura, de acuerdo a lo que hemos
visto en el capitulo 2 sobre teoría de grupos, que VfWss un grupo abeliano.
Vamos a intentar hacer de él un espacio vectorial. Si áeFy u+ WeVftV9
deñnimos a{v+ W) = av+ IV. Como es usual, probamos primero que este
producto está bien definido, es decir, que si v+W— v'+tV9 entonces
a(v+ W) = a{v'+ W). Ahora bien, como v+W = v'+ W9 v—v'e W\ como
(fes un subespacio, a{v—v') debe estar también en W. Usando la parte (3)
del lema 4,1 (véase el problema 1) esto nos dice que av—av's Wy por tanto
que av+ W= av'+ W. Por tanto, a(v+W) = av+W= av'+W=a{v'+W)\
con lo que el producto se ha probado que está bien definido. La verificación
de los axiomas característicos de los espacios vectoriales para VjW es
rutinaria y la dejamos como ejercicio. Y hemos probado el

160
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cap. 4
Lema 4.2. Si V es un espacio vectorial sobre F y si W es un subespacio
de V9 entonces V¡W es un espacio vectorial sobre F, donde para vt + W9
v2+tVsV/tVyasF
1) (vl+W)+{v2 + W) = (ví+v2)+W.
2) v(vt + H0 -aCi + W-
A VfW se le suele llamar el espacio cociente de V por JK
Sin más preliminares formulamos ahora el primer teorema de homomor-
fismo para espacios vectoriales; no damos prueba alguna sino que referimos
al lector a la prueba del teorema 2.d.
Tborema 4.a. Si T es un homomorfismo de U sobre V de núcleo fV*
entonces V es isomorfo a U/tV. Reciprocamente, si U es un espacio vectorial
y W un subespacio de V entonces hay un homomorfismo de V sobre Vf W.
Los otros teoremas sobre homomorfismo aparecerán como ejercicios al
final de esta sección.
Definición, Sea V un espacio vectorial sobre F y sean £/lf.M Un
subespacios de K Se dice entonces que V es la suma directa interna de
Uu —» U* si todo elemento veV puede escribirse de una forma y sólo
de una forma como v = u1+u2+.„+um donde u¡e(/i.
Dado un número finito cualquiera de espacios vectoriales sobre F, Vt,
-**i Vn9 consideremos el conjunto V de todas las n-adas ordenadas
(vt vm) donde t>,eF(. Convenimos en que dos elementos (vlt ..»,£>„) y
(v\ t.. „X) de V son iguales si y sólo si para cada í, vt = v\. Sumamos
dos elementos de tal tipo mediante la regla {vl9.„Jv^+{wltt..9wm) =
(i>i+u>i,...,!>!,+«>„). Finalmente, si ceeF y (vt v^eV definimos
a(vt,., ., vm) como (avt ,..., avm). Comprobar que los axiomas característicos
de los espacios vectoriales se cumplen para V con operaciones como las
que para él acabamos de definir, no ofrece dificultad alguna. Así pues, el
mismo V es un espacio vectorial sobre F. Llamamos a V la suma directa
externa ót Klt..., Vm y lo denotamos escribiendo V = Vt © ... © Vm.
Teorema 4.b. Si V es la suma directa interna de Ux,.. ,t Um9 entonces V
es isomorfo a la suma directa externa de Ult.„9Um.
Prueba. Dada ve V, v puede escribirse, por hipótesis, de un modo y
sólo de un modo en la formar = u1+u2+-.. +um donde u(et/(; definamos
la aplicación Tde Ven í/, © ... © l/Rpor vT= (uly ....uj. Como v tiene
una única representación de esta forma, Testa bien definida. Es claramente
suprayectiva, pues para un elemento arbitrario (wt9„ ..9u>m)EUx ©...© Um
se tiene tvT igual a él, con w = wt + ...+u>H. Dejamos para el lector la
prueba de que T es inyectiva y un homomorfismo.

11. CONCEPTOS BÁSICOS ELEMENTALES
161
En razón del isomorfísmo probado en el teorema 4.b, nos referiremos de
aquí en adelante tan sólo a sumas directas» sin especificar si tales sumas
son interiores o exteriores.
Problemas
1. Demuéstrese que en todo espacio vectorial a{v—w) = au—aw.
2+ Pruébese que los espacios vectoriales de los ejemplos 2 y 4 son
isomorfos.
3. Pruébese que el núcleo de un homomorfismo es un subespacio.
4. a) Si F es el campo de los números reales pruébese que el conjunto
de las funciones reales continuas sobre el intervalo cerrado [0,1]
forma un espacio vectorial sobre F
b) Pruébese que aquellas funciones de la parte (a) para las que
existe la /z-ésima derivada {n = 1,2,...), forman un subespacio.
5. a) Sea F el campo de los números reales y sea V el conjunto de todas
las sucesiones (a1,02»...»aj|1...),ajEFt donde la igualdad, la
adición, y la multiplicación por los escalares se definen por
componentes. Pruébese que V es un espacio vectorial sobre F.
b) Sea W = {(ai9 ..., an3 ...)er| lím a» = 0}. Pruébese que W
es un subespacio de K
«o
*c) Sea U = {{al9..., a„, ..*)eV\ ^ af2 es finito}. Pruébese que {/es
1=1
un subespacio de V y está contenido en W.
6. Si V y V son espacios vectoriales sobre F, defínase una adición y una
multiplicación por escalares en Hom (U9 V) a modo de hacer de Hom (£/, V)
un espacio vectorial sobre F
*7. Usando el resultado del problema 6„ pruébese que Hom (F*"*, F{m})
es isomorfo a Finm} como espacio vectorial-
8. Si n > #h, pruébese que hay un homomorfismo de F'"* sobre F*m>
con un núcleo W que es isomorfo a F{"~m}.
9. Si v ¿ 0eF<fl\ pruébese que hay un elemento TeHom (F("\ F) tal
que vT ¥= 0.
10. Pruébese que existe un isomorfísmo de F*"' en
Hom (Hom (F^, F), F).
11. Si V y W son subespacios de V9 pruébese que U+ W = {peF|u =
u+wtus U9 we IV] es un subespacio de V.

162
ESPACIOS VECTORIALES V MÓDULOS — Cap, 4
12. Pruébese que la intersección de dos subespacios de F es un
subespacio de V.
13. Si A y B son subespacios de Vy pruébese que (A+B)fBes isomorfo
*A}{Ar\B).
14. Si Tes un homomorfismo de U sobre Fcon núcleo W, pruébese que
hay una correspondencia biyectiva entre los subespacios de V y los
subespacios de U que contienen a W.
15. Sea V un espacio vectorial sobre F y sean* Flt ...T Vn subespacios
de K Supongamos que F = Vx+V2+ ,„ + Vn (véase problema 11), y
que FJn(F1 + .„ + F,_1 + Fl+l + .„ + FJI) = (0) para todo i = 1.2 n.
Pruébese que F es la suma directa interna de Vx Vn,
16. Sea F = Vx ©,., © FB; pruébese que en F hay subespacios F¡
isomorfos a los Vi tales que F es la suma directa interna de los F,.
17. Sea T definida sobre F<2> por (xltx2)T = (cucl+px2fyx1+Sx2)
donde ce, /?, y> S son ciertos elementos fijos de F
a) Pruébese que T es un homomorfismo de F<2) en si mismo.
b) Encuéntrense cuáles son Jas condiciones necesarias y suficientes
que a, fi, y, S para que T sea un isomorfismo.
18. Supongamos a T definido sobre F<3) por (xt t x2, x3) T = (a, i xx +
*i2*2+*i3*3i <*2i*i+a22*2+«23*3. a3i *i+ce32X2+a33*3)- Muéstrese
que r es un homomorfismo de F<3) en él mismo y determínense las
condiciones necesarias y suficientes que han de satisfacer las au para que 7* sea
un isomorfismo.
19. Sea Tun homomorfismo de Fen W, Usando T, defínase un
homomorfismo T* de Hom [W* F) en Hom (F, F).
20. a) Pruébese que FU) no es isomorfo a F*"* para n > 1.
b) Pruébese que F*2) no es isomorfo a F<3>.
21. Si F es un espacio vectorial sobre un campo infinito F, pruébese que
F no puede escribirse como unión de los conjuntos de un número finito
de subespacios propíos.
2. INDEPENDENCIA LINEAL Y BASES
Si observamos un poco más detenidamente dos de los ejemplos descritos
en la sección previa, el ejemplo 4 y el ejemplo 3, notamos que aunque tienen
muchas propiedades comunes» hay.entre ellos una diferencia esencial.
Consiste tal diferencia en el hecho de que en el primero podemos encontrar
un número finito de elementos 1, xt x2 V"1 tales que todo elemento

I 2. INDEPENDENCIA LINEAL V BASES
163
puede escribirse como una combinación de ejlos con coeficientes de F,
mientras que en el último ningún conjunto finito de elementos de tal tipo
existe.
Intentaremos ahora examinar con algún detalle, los espacios vectoriales
que pueden generarse, como en el caso del ejemplo 4, por un conjunto
finito de elementos.
Definición. Si V es un espacio vectorial sobre F y si vl9+„tvneVy
entonces cualquier elemento de la forma alvx+a2v2+ ---+atlvm9 donde
los a,eF, se llama combinación lineal sobre F de vt,..., vm+
Como, en general, estamos trabajando con un cierto campo fijo F,
diremos frecuentemente combinación lineal en lugar de combinación lineal
sobre F. Análogamente, deberá entenderse que cuando hablamos de un
espacio vectorial lo que queremos decir es un espacio vectorial sobre J7.
Definición, Si S es un subconjunto no vacío del espacio vectorial F,
entonces L(S), el espacio generado por 5, es el conjunto de todas las
combinaciones lineales de conjuntos finitos de elementos de S.
Pusimos, después de todo, en L{S) los elementos requeridos por los
axiomas defínitorios de un espacio vectorial, por lo que no es sorprendente
que nos encontremos con que
Lema 4.3, L(S) es un subespacio de V.
Prueba. Si v y w están en L(S), entonces v = klsl + ..*+íHsm y
w — tiltl+ ..-+/*«'„,, donde los A y los y. están en Fy los st y los /¡ están
todos en 5, Por tanto, para cr, fisF, av+pw = a{Xlsí +.,. +¿*s*) +
tanto, es también un elemento de ¿(5). Y con ello hemos demostrado que
¿(5) es un subespacio de V.
La prueba de cada una de las partes del siguiente lema es realmente
sencilla y la dejamos como un ejercicio al lector.
Lema 4.4. Si 5, T son subconjuntos de V% entonces
1) Se T implica L(S)a L{T).
2) L{SuT)=L(S)+L(T).
J) L{L{S)) = L{S).
Definición. El espacio vectorial V se dice que es de dimensión finita
(sobre F) si existe un subconjunto finito S en V tal que V = L(S).

184
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cap. 4
Adviértase que Fw es de dimensión finita sobre F, pues para S consistente
en el conjunto de los vectores (1,0,... ,0),(0,1,0, ...,0), ,..,(0,0, ,..,0,1)
se tiene: V= L{S).
Aunque ya hemos definido lo que entendemos por un espacio de
dimensión finita, aún no hemos definido lo que se entiende por la dimensión de
un espacio. Tal definición aparecerá dentro de poco.
Definición. Si V es un espacio vectorial y si vlt.„tvH están en Vy
decimos que tales vectores son linealmente dependientes sobre F si existen
elementos Aj,...,^, en F, no todos cero, tales que AiV|+A2f2+... +XMvm = 0.
Si los vectores vl9...tvn no son linealmente dependientes sobre F, se
dice que son linealmente Independientes sobre F. También aquí acortaremos
a menudo la expresión 'linealmente dependientes sobre F" reemplazándola
por "linealmente dependientes". Nótese que si vl9...9vm son linealmente
independientes, entonces ninguno de ellos puede ser 0, pues si, por ejemplo,
vt = 0, entonces avt +0v2+... +0vm = 0 para cualquier a ^ 0 en F.
En F<3) es fácil verificar que (1, 0,0), (0, 1,0), y (0,0,1) son linealmente
independientes, mientras que (1,1,0), (3,1,3) y (5,3,3) son
linealmente dependientes.
Señalemos que la dependencia lineal no depende solamente de los
vectores, sino también del campo. Por ejemplo, el campo de los números
complejos es un espacio vectorial sobre el campo de los números reales y
también un espacio vectorial sobre el propio campo de los números
complejos. Los elementos vx = 1, v2 — i son linealmente independientes
sobre el campo de los números reales, pero linealmente dependientes sobre
el de los complejos, ya que ivx+{— l)v2 = 0.
El concepto de dependencia lineal es absolutamente básico y muy
importante. Pasemos ^ ver algunas de sus propiedades.
Lema 4.5. Si vx, •.., i^e V son linealmente independientes, entonces todo
elemento del subespacio por ellos generado tiene una representación única de
la forma Xxvg + .„ +XMvnt con ios XtsF.
Prueba. Por definición, todo elemento del espacio generado por ellos es
de la forma A, vx + ,..+Xñvm. Para mostrar la unicidad, debemos probar que
si Xlv1-h... +XMvm = í¿|t>i + ... +p*vn9 entonces A, = pl9 A3 = /¿2,...,
A„ =* /v Pcro s¡ ^ivi+ ---+Xilvm = plv1 + ...+pnvnt entonces ciertamente
tenemos (Aj— /¿i)t>i+(Á2 — Pj)v2 + — +tti—/O"* = 0,1o que por la
independencia lineal de vx vn trae como consecuencia obligada At—pj — 0,
X2-¡i2 = 0,...,A#l-/íll = 0.
El próximo teorema, aunque muy fácil y a primera vista, de naturaleza
en cierta forma técnica, tiene como consecuencia resultados que constituyen
los verdaderos fundamentos del tema. Enumeraremos algunos de ellos

12. INDEPENDENCIA LINEAL Y BASES
166
como corolarios; los otros aparecerán en la sucesión de lemas y teoremas
que a continuación presentaremos.
Teorema 4.c. Si vl9...9vK están en V9 entonce* o son linealmente
independientes o algún vk es una combinación lineal de los que le preceden,
Prueba. Si vlt..., vm son linealmente independientes, no hay,
naturalmente, nada que probar. Supongamos entonces que alv1 + ...+aKvm = 0
expresión en la que no todos los a son 0. Sea k el mayor entero para el que
ak & 0. Como a¡ = 0 para i> k9a1vl + ... +atvk — 0, lo que, como ak ^ 0,
implica que vk = ak~1{—alvl—a2v2—... — flík-i^-i) = ("0ík"1*i)t,i +
...+(—a*"1 Ofc-Jiífc-i. Luego vk es una combinación lineal de sus
predecesores.
Corolario L Si i>i ,...»&„ de V generan a W y si vl9...9vk son
linealmente independientes, entonces podemos encontrar un subconjunto de
Vi*-~fv* & Ia forma vx, ...,vk, vit,..., vir consistente de elementos
linealmente independientes que generen también a W,
Prueba. Si vx vm son linealmente independientes, la afirmación del
teorema está probada. En caso contrario, saquemos de este conjunto la
primera vf que sea una combinación lineal de los elementos que la preceden.
Como vx vk son linealmente independientes, j > k. El subconjunto asi
construido, vx vk 0/-n Vj+l9 ..., vn9 tienen—1 elementos. Es claro
que el subespacio que generan está contenido en JK Pero afirmamos que
es igual a W% pues para toda we W9 w puede escribirse como una combinación
lineal de vl9 ..., vm9 pero en esta combinación lineal podemos reemplazar Vj
por una combinación lineal de vl9..., ^_,. Por lo tanto, w es una
combinación lineal de vl9..., vy_lT dí+1i .... vm.
Continuando una y otra vez con este proceso, llegamos a un subconjunto
t>| vkt víl9..,, v^ que generan aún W9 pero en el que no hay elemento
alguno que sea una combinación lineal de los que le preceden. Por el
teorema 4.c> los elementos vl9 .... vk9vix,..., t*t deben ser linealmente
independientes.
Corolario 2, Si V es un espacio de dimensión finita, entonces contiene
un conjunto finito vlt.„9vM de elementos linealmente independientes que
generan V.
Prueba. Como V es de dimensión finita está generada por un número
finito de elementos ul9..., u^. Según el corolario 1 podemos encontrar un
número finito de éstos, al que denotamos por vlt...,vmt consistente en
elementos linealmente independientes y que generan a K

166
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cap. 4
Definición, Un subconjunto S de un espacio vectorial V se llama base
de V si S consiste en elementos linealmente independientes (es decir, S es
tal que cualquier número finito de elementos de 5es un conjunto de vectores
linealmente independiente) y V = L(S).
Usando esta terminología, podemos reformular el Corolario 2 en la
siguiente forma.
Corolario 3. Sí V es un espacio vectorial de dimensión finita y si
ui*-->um generan a V, entonces hay un cierto subconjunto de ult...tum
que forma una base de V.
El corolario 3 afirma que un espacio de dimensión finita posee una base
que contiene a un número finito de elementos i>,,..., u,,. Junto con el
lema 4.5 nos dice que todo elemento de V tiene una representación única
de la forma ax vt + ... +<x„vn con a,,..., an en F.
Veamos algunas de las implicaciones heurísticas de estas observaciones.
Supongamos que V es un espacio de dimensión finita sobre F\ como
acabamos de ver, V tiene entonces una base vt,...,vH, Por tanto, todo
elemento i; de V tiene una expresión única de la forma v = a,u, + ... +aflrn.
Transformemos V en Fitt} definiendo como imagen de a, vt + ... +aHvm a
(o£|,..., a„). Por la unicidad de la expresión en esta forma, la aplicación
está bien deñnida, es biyectiva y suprayectiva; puede demostrarse que tiene
todas las propiedades requeridas para ser un isomorñsmo. Por tanto, V es
isomorfo a FM para un cierto n, donde en realidad n es el número de
elementos en alguna base de V sobre F. Si alguna otra base de V tuviera
m elementos, por las mismas razones V sería isomorfo con Fim). Luego
como tanto Fw como F{m* serían isomorfos con V9 habrían de ser también
isomorfos uno con otro.
Se presenta entonces de forma natural un problema. ¿Bajo qué
condiciones sobre n y m son Fw y F{m* isomorfos? Nuestra intuición nos sugiere
que esto solo puede suceder cuando /j = m. ¿Por qué? Por una parte,
si F fuera un campo con un número finito de elementos —por ejemplo, sí
F = Jp (los enteros módulo el número primo p)— entonces FM tendría
pn elementos, mientras que F{m) tendría pm. El isomorñsmo implicaría que
tienen el mismo número de elementos, luego habríamos de tener n = m.
Por otra parte, si F fuera el campo de los números reales, entonces FM
(en lo que al lector puede parecer una vaga forma geométrica de expresión)
representa un /r-espacio real, y nuestro sentido geométrico nos dice que un
^-espacio es diferente de un m-espacio cuando n ^ m. Podemos pues esperar
que si F es un campo cualquiera, entonces F{m* y F{n} son isomorfos
solamente si m = n. Esto es equivalente, de acuerdo a nuestra discusión anterior,
a afirmar que dos bases cualesquiera de V deben tener el mismo número
de elementos. Es pensando en la demostración de tal afirmación como
objetivo que probamos el siguiente lema.

12. INDEPENDENCIA LINEAL Y BASES
167
Lema 4.6, Si vl9++.tvn es una base de V sobre F y h^,..., wm son
elementos Hnealmente independientes de V9 entonces m ^ n.
Prueba. Todo vector en V y, en particular, wmt es una combinación
lineal de vl9...,v„. Por tanto, los vectores wmtv1 vm son linealmente
dependientes. Además, generan a V ya que vl9 ..M vn lo generan. Luego
existe algún subconjunto propio de tal conjunto, wm9v¡l9,.,, vtk con
k ^ n—l que forma una base de V. Para formar esta nueva base hemos
cambiado un w por al menos un u,. Repitamos el procedimiento con el
conjunto wm-l9 wm9 vlít..., vik. De este conjunto linealmente dependiente
podemos extraer, de acuerdo con lo dicho por el corolario 1 del teorema 4x,
una base de la forma wm-l9wm9vJl9...,Vjm9 s^n—2. Repitiendo este
proceso llegaremos a obtener una base de y de la forma w29 ...9wm-l9 wm,
v«, v$> -•■; como wt no es una combinación lineal de w2 wm-\* la
anterior base debe incluir sin duda algún v. Para llegar a esta base hemos
introducido m—l elementos wy y cada una de estas introducciones nos ha
costado al menos una v y, sin embargo, todavía nos queda al menos una v.
Luego m — 1 ^ n— 1 y, por tanto, m ^ n.
Este lema tiene como consecuencia (que nosotros enunciamos como
corolarios) los resultados básicos que muestran la naturaleza de la dimensión
de un espacio vectorial. Estos corolanos son de importancia máxima en
todo lo que sigue, no solamente en este capitulo, sino en el resto del libro y,
en realidad, en todas las matemáticas. Los corolanos son, todos, teoremas
por derecho propio.
Corolario L Si V es un espacio de dimensión finita sobre Ft entonces
cualesquiera dos bases de V tienen et mismo número de elementos.
Prueba. Sea vt v„ una base de V sobre ¥y wl9.~.9wm una otra.
Como, en particular; wt9..., wm es un conjunto de vectores linealmente
independientes sobre Ft hemos de tener, de acuerdo con el lema 4.6, que
m ^ n. Intercambiando ahora los papeles de las v y las wr obtenemos: n ^ m.
Lo que, con la desigualdad anterior, nos dice: n = m.
Corolario 2. Fw es isomorfo a Fimy si y sólo si n = m.
Prueba. Fw tiene como una de sus bases el conjunto de n vectores,
(1,0, ...,0), (0,1,0 0) (0,0, ...,0,1). Análogamente, F(m> tiene una
base de m vectores. Un isomorfismo transforma una base suprayectiva
una base (problema 4 del final de esta sección), de donde, según el
corolario I, m = n.
El corolario 2 pone sobre una base firme las observaciones heurísticas
que anteriormente hicimos sobre los posibles isomorfismos de F(m} sobre

166 ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cip. 4
F*™\ Como dijimos en aquellas observaciones, V es isomorfo a /*■> para
algún n. Por el corolario % esta n es única, luego
Corolario 3. Si V es de dimensión finita sobre F, entonces V es isomorfo
a F**0 para un entero único n; tal n es el número de elementos de cualquier
base de V sobre F.
Definición. Al entero n del corolario 3 se le llama dimensión de V
sobre F.
La dimensión de Vsobre Fes, pues, el número de elementos de cualquier
base de V sobre F.
Escribiremos dim Fpor dimensión de V sobre F, salvo cuando
ocasionalmente deseemos subrayar el papel que juega el campo F, en cuyo caso
escribiremos dimF K
Corolario 4. Dos espacios de dimensión finita sobre F cualesquiera de
igual dimensión son isomorfos.
Prueba* Si esta dimensión es n, entonces cada uno de ellos es isomorfo
a i7***, luego isomorfo uno de otro.
¿Cuánta libertad tenemos para la construcción de bases de un espacio VI
El próximo lema asegura que, comenzando con cualquier conjunto de
vectores independientes, podemos extenderlo a una base de K
Lema 4.7. Si V es de dimensión finita sobre F y uly..., um e V es un
conjunto de vectores tínealmente independiente^ entonces podemos encontrar
vectores u^^..., um+r en V tales que ul9.... um, wm+1 i^+r sea una
base de V.
Prueba. Como V es de dimensión finita, tiene una base; sea vx, .„, vm
una base de K Como estos vectores generan a Vt los vectores uít..., um,
vt,.„,vm también generan a K De acuerdo con el corolario 1 al teorema 4.c»
hay un subconjunto de ellos de la forma w2,..., um9 vtl,..., v± de elementos
linealmente independientes que generan V. Para probar el lema, simplemente
hacemos um+í = vh,„.9um+r = ut.
¿Cuál es la relación entre la dimensión de una imagen homomorfa de V
y la dimensión de Vi La contestación nos la proporciona el siguiente lema.
Lema 4.8. Si V es de dimensión finita y Wes un subespacio de Vf entonces
W es de dimensión finita, dim W ^ dim V y dim V¡W = dim V— dim W.

i 2. INDEPENDENCIA LINEAL Y BASES
169
Prueba. Según el lema 4.6, ni n = dim K entonces cualesquiera n+\
elementos de V son linealmente dependientes; en particular, cualesquiera
n +1 elementos en Wson linealmente dependientes. Podemos, pues, encontrar
un coiyunto máximo de elementos linealmente independientes de W9 wk 9...,
wm y m ^ n. Si weiV, entonces wx wm, w es un conjunto linealmente
dependiente» de donde aw-halwl +... + &mwm = 0 para ciertas a, no todas
las cuales son cero. Si a = 0, por la independencia lineal de las wt,
tendríamos que concluir que todas las ak son cero, una contradicción.
Luego a^O, y por lo tanto w = — a"1(a,w>1 + ... +amw^. Por
consiguiente wlt ..*twm generan a W\ por tanto» JPes de dimensión finita sobre F
y, además, tiene una base de m elementos, con m ^ n. De la definición de
dimensión se sigue entonces que dim W ^ dim V.
Sea ahora u?,,..., wm una base de W. De acuerdo con el lema 4.7 podemos
extender a una base, wlt.,., wmt vít ---fi?r de V, donde m+r = dim V y
m = dim W.
Sean &j ,„.,&, las imágenes en VfW de vl9„m9vr. Como cualquier
vector veV es de la forma i» = alwl + ... +c£iBu>JII+/ilfl1 + .,. +A.vPi
entonces ¿>, la imagen de v9 es de la forma v = fitvt + ..m+firvr (pues
ñ^ = üj2 = ... = «?„ = 0). Por tanto, vlt ..., vr generan VfW. Afirmamos
que son linealmente independientes, pues si yxvx +... +yrt>r = 0 entonces
ylví + ...+yrvrEJVy> por tanto, y1f1 + ...+yrvr = Alwí+.„+Amwm, lo que
por la independencia lineal del conjunto wu ...r wmJvlr ___, vr implicaría
que yi = ... = yr = ix = ... = A„ = 0, Hemos mostrado, pues, que VfW
tiene una base de r elementos y, por tanto, dim VfW = r = dim V— m =
dim F-dim W.
Corolario. Si A y B son subespacios de dimensión finita de un espacio
vectorial Vr entonces A + B es de dimensión finita y dim {A + B) = dim (A)+
dim(fi)-dim04nB).
Prueba- Según el resultado del problema 13 al final de la sección 1,
A _i__ R A
es , y como A y B son de dimensión finita» de ello se deduce
B AnB
dim(j4 + B)—dimfl = dimí 1 = diml ] = dim A-áim{AnB).
\ B } \AnB/
De donde, por transposición, obtenemos el resultado del lema.
Problemas
1. Pruébese eí lema 4.4.
2. a) Si Fes el campo de los números reales, pruébese que los vectores
(1,1,0,0), (0,1,-1,0), y (0,0,0,3) en Fw son linealmente
independientes sobre F.

170 ESPACIOS VECTORIALES V MÓDULOS — Cap. 4
b) ¿Qué condiciones sobre la característica de F harían a los tres
vectores de la parte (a) linealmente dependientes?
3. Si V tiene una base de n elementos, proporciónese una prueba
detallada de que V es isomorfo a F^.
4. Si Tes un isomorfísmo de V sobre W9 pruébese que T transforma una
base de V sobre una base de W.
5. Si Ves de dimensión finita y Tes un isomorfísmo de f en V, pruébese
que Tdebe transformar V sobre V.
*6. Si V es de dimensión finita y T es un homomorfismo de V sobre V>
pruébese que T debe ser inyectivo y, por tanto, un isomorñsmo.
7. Si Fes de dimensión n pruébese que cualquier conjunto den vectores
linealmente independientes en V forma una base de K »
8. Si V es de dimensión ñnita y W es un subespacio de V tal que
dim V = dim W% pruébese que V = IV,
9. Si V es de dimensión finita y T es un homomorfismo de V en si
mismo que no es suprayectivo, pruébese que hay algún v & 0 en V tal que
vT=0.
10* Sea F un campo y sea F[x] el conjunto de todos los polinomios en x
sobre F. Pruébese que F[x] no es de dimensión finita sobre F.
11. Sea VK = {p(x)eF[x]:degp(jc) < /i}. Defínase Tpor
(a0+a1jc+...+c^l13Í,"1)r
í=a0+a1(JC+I)+a2(x+l)2+„.+o^l_I(x+l),,"^
Pruébese que T es un isomorfísmo de Vm sobre si mismo.
12. Sea W=* {a0+a1Jt+ ... +aJI_1Jc""1eFIx]:a0+a1+ ... -k-am-l = 0}.
Demuéstrese que W es un subespacio de V„ y encuéntrese una base de W
sobre F.
13. Sea vtt ...tvn una base de V y sean wl9„.ywnn elementos
cualesquiera de V. Defínase T sobre V por (Álvl + .mm +Xmvt)T = kxwx-Y ... +
a) Pruébese que T es un homomorfismo de V en sí mismo.
b) ¿Cuándo es Tun isomorfísmo?
14. Demuéstrese que cualquier homomorfismo de Ven si mismo, cuando
V es de dimensión finita, puede realizarse como en el problema 13 por
elección apropiada de elementos wx wm.
15. Volvamos al problema 13. Como vt,..., vn es una base de K todo
wi = anvi + ~-+aimv»>aijGF* Pruébese que los n2 elementos atJ de F
determinan el homomorfismo T,

f 3. ESPACIOS DUALES
171
*16. Si dimF V = n9 pruébese que dimF (Hom (V, V)) = n2m
17. Si V es de dimensión finita y W es un subespacio de V9 pruébese
que hay un subespacio W¡ de V tal que V = W © Wl .
3. ESPACIOS DUALES
Dados dos espacios vectoriales cualesquiera, V y W, sobre un campo F,
hemos definido Hom ( V, W) como el conjunto de todos los homomorfismos
del espacio vectorial de V en W. Por el momento, Hom (V, W) es
simplemente un conjunto sin ninguna estructura en él. Procederemos ahora a
introducir operaciones en este conjunto que lo convertirán en un espacio
vectorial sobre F. Realmente, ya hemos indicado cómo conseguir esto en
las descripciones de algunos de los problemas en las secciones anteriores.
No obstante, nos proponemos tratar del asunto aquí de un modo más formal.
Sean S y 7dos elementos cualesquiera de Hom (V, W); esto quiere decir
que ambos son homomorfismos de espacio vectorial de Ven W. Recordando
la definición de un tal homomorfismo, debemos tener(r, + r2)£ = vxS+v2S
y (ar,)5 = a(r, S) para todo r, t r2e V y iodo aeF. Todo esto se repte
también para T.
Necesitamos primero introducir una suma para estos elementos S y T
en Hom(K W\ ¿Qué más natural que definir S+T suponiendo que
r(S+7") = vS+vT para todo ve VI Debemos, desde luego, verificar
que 5+Testa en Hom(K, W). Por la misma definición de S+T, si vuv2sV.
entonces (vl+v2) (5+7*) = (vt + v2)S-k-(ví+v2)T; como {vx+v2)S =
víS+v2Sy{ví +v2)T = vx T+v2 7,ycomo la adición en W es conmutativa,
tenemos: (v} +v2)(S+T) = r,5+c, T+v2S+v2T. Invocando de nuevo la
definición de £+ T, el segundo miembro de esta relación toma la forma
v,(5+r)+r2(5+r). Un cálculo análogo demuestra que (av)(S+T) =
a(r(5+ T)). Por consiguiente, 5+ T está en Hom (V, W). Sea 0 el
homomorfismo de Ven W que envía todo elemento de V sobre el elemento cero
de W\ para 5cHom (^ W\ definamos -S por v{-S) = -{vS\ Es
inmediato que Hom(K W) es un grupo abeliano bajo la adición que
acabamos de definir.
Una vez que hemos conseguido introducir la estructura de un grupo
abeliano sobre Hom {V, W\ volvemos ahora nuestra atención al problema
de definir )S para AeF y Se Hom (K tV), pues nuestra última meta es
la de hacer de Hom (KM7) un espacio vectorial sobre F. Para keF y
Se Hom (F, W), definimos kS por r(?S) = k(vS) para todo re V. Dejamos
al lector la demostración de que /S está en Hom {Vr W) y de que bajo la
operación que asi hemos definido Hom(F, W) es un espacio vectorial
sobre F. Sin embargo, no tenemos ninguna seguridad de que Hom (V, W)
tenga elementos distintos del homomorfismo 0. Sea como fuere, hemos
probado el

172
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — C*p. 4
Lema 4,9. Hom {Vt W) es un espacio vectorial sobre F bajo las
operaciones que acabamos de describir.
Resultados como el del lema 4.9 nos dan realmente muy poca
información; sin embargo, nos confirman que las definiciones que hemos dado
son razonables. Preferiríamos algunos resultados sobre Hom(Kf W) que
nos dieran más información. Un resultado de tal tipo nos lo proporciona el
Teorema 4.d. Si V y W son, respectivamente, de dimensiones m y n
sobre Ft entonces Hom (V9 W) es de dimensión mn sobre F.
Prueba. Probaremos el teorema exhibiendo explícitamente una base de
Hom (V9 W) sobre F que tenga mn elementos.
Sea vlt..., vm una base de Vsobre Fyw,,..., wm una para Wsobre F.
Si veVy entonces v = AtVi + ... +Amvm donde ¿i,...,^, son elementos
únicamente definidos de F; definamos TtJ: V-+ W por vTtJ — A¡wj. Desde
el punto de vista de las bases mencionadas, lo que estamos haciendo es
simplemente definir vkTtJ = 0 para k ^ i y Uj7^ = Wj, Es un ejercicio
sencillo establecer que TtJ está en Hom(r, W\ Como i puede ser uno
cualquiera de los números 1, 2,..., m y j uno cualquiera de los 1, 2,..., ny
hay mn de tales Tu.
Nuestra tesis es que estos mn elementos constituyen una base de
Hom(F, W)sobreF Sea, en efecto, SeHom (K HOlcomouiSe W^ycomo
cualquier elemento de W es una combinación lineal sobre F de wx y..., wm,
u,5= a,ii¿>! + ..-+alJIií>Bi P*™ c¡crtos «m «ii» •••><*!„ en F. En realidad
17,5 = aíl«Jl + ... +aiRi¿>HparaJ = !,2, ...,/n.ConsideremosS0 = «ii7ii +
«11^ + ... +*ímTln+a2íT2l+ „. +a2,T2n+ ... +ailTn + ...+atMTim+
• •-+ct#fTlrm, + .-- +a-Mi7'pi«- Calculemos vkS0 para el vector de la base vk.
Tenemos vkS0 = vk{allTít + .„+amíTml + ...+ammTmM) = antotrn)+
«i2fer12)+ ...+aml(^rml)+... +aw(tfcrM). Cornos 7;, = Üparai* A;
yvkTkJ = wj9 esta sumase reduce a ifcS0 = «jhwji+ »- +ot*«WJ* Quc> c°mo
vemos, no es otra cosa que vkS. Asi pues, los homomorfísmos S0 y S
coinciden sobre una base de V. Afirmamos que tal cosa implica S0 = S
(véase el problema 3 al final de esta sección). Pero S0 es una combinación
lineal de los T(Ji de donde 5 debe ser la misma combinación lineal. En
resumen, hemos demostrado que los mn elementos TlliTl2^^Tin9..^ Twim,
generan Hom(F, W) sobre F.
Para probar que forman una base de Hom {V,W) sobre F solo queda
probar su independencia lineal sobre F. Supongamos que Pi\Tlx +Pi2 Tl2 +
...+A,r1.+ ...+fi1ri1+..^
todos los fiij de F. Aplicando esto a vk tenemos: 0 ^ vk(fiuTn + ...+
pijTu+...+pmmTmm) = Ai»i+A2»2+...+AMi^l ya que vkTtj ~ 0 para
i # kyvkTkJ = Wj. Pero iPi, •-.,«>,, son linealmente independientes sobre F,
luego fty = 0 para cualesquiera k y j. Luego los TtJ son linealmente

13. ESPACIOS DUALES
173
independientes sobre F, de donde puede afirmarse que frrman una base de
Hom(F, W) sobre'F.
Una consecuencia inmediata del teorema 4.d es que siempre que V # (0)
y W fí (0) son espacios de dimensión finita, entonces Hom(F, W) no
consiste solamente del elemento 0, pues su dimensión sobre F es mn ^ 1.
Algunos casos especiales del teorema 4.d son de gran importancia y los
enumeramos como corolarios.
Corolario 1. Si dimf V = m, entonces dimF Hom (Vt W) = m2.
Prueba. En el teorema basta poner V = W y, por tanto, m = n.
Entonces mn = m2.
Corolario 2. Si dimr F = m9 entonces dimf Hom (V, F) = m.
Pruebo. Como un espacio vectorial, F es de dimensión 1 sobre F.
Aplicando el teorema obtenemos dimf Hom (V9 F) = m.
El corolario 2 tiene la interesante consecuencia de que si V es de
dimensión finita sobre F entonces es isomorfo a Hom (V, F), pues, según
el corolario tienen la misma dimensión sobre F, dedonde según el corolario 4
del lema 4.6 deben ser isomorfos. Este isomorfismo tiene muchas
limitaciones. Expliquémonos. Depende, en gran medida, de que V sea de
dimensión finita, pues si V no lo fuera no existiría ningún isomornsmo de
tal tipo. No hay ninguna construcción formal y elegante de este isomorfismo
que pueda aplicarse a todos los espacios vectoriales. Depende mucho de
las particularidades de la situación que se estudie. Dentro de pocas páginas
veremos, sin embargo, que para los espacios Hom (Hom(F, F), F), si
existe un homomorfísmo elegante» cualquiera que sea el espacio V.
Definición. Si V es un espacio vectorial, entonces su espacio dual
esHom(F,F).
Usaremos la notación V como notación para el espacio dual del V.
Un elemento de V se llamará funcional lineal sobre V en F.
Si V no es de dimensión finita entonces V es usualmente demasiado
grande y rara para que sea de interés. Para tales espacios vectoriales
tenemos, a menudo, otras estructuras adicionales, tales como una topología,
en ellos, y entonces, como espacio dual, no se toma generalmente a todo
el V sino un subespacio de él adecuadamente restringido. Si V es de
dimensión finita su espacio dual está siempre deñnido, como hemos dicho,
como todo el espacio Hom {V, F).
En la prueba del teorema 4,d construimos una base de Hom (V, IV)
usando una base particular de V y una de W. La construcción dependía

174
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cap. A
fundamentalmente de las bases particulares de V y W que hubiésemos
escogido. Si hubiéramos escogido otras bases habríamos terminado con una
base diferente para Hom (Vt W). Como principio general, es preferible dar
pruebas, siempre que sea posible, que no dependan de una elección de bases.
A tales pruebas se les suele llamar invariantes. Una prueba o construcción
invariante tiene la ventaja, aparte de la puramente estética, sobre una
prueba o construcción en que se usen bases de las cuales no necesitamos
preocuparnos de en qué medida depende todo de la particular selección de
las bases que se haya hecho.
Los elementos de V son funciones definidas sobre V y con sus valores
en F. Conservando la notación funcional, escribiremos usualmente los
elementos de V usando las letras/ g, etc., y denotaremos a los valores en F
de un elemento veVcomofip) (en lugar de por vf).
Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre F y sea vt,..., vm
una base de V\ sea &¡ el elemento de V deñnido por (¡¡(vj) = 0 para i # jt
y 0í(vj) = 1» y 0|(aii>1 + ... +ccl-i?¡+ ... +<*„!>„) = <*j- En realidad las f)¡ no
son nada más que las T¡j introducidas en la prueba del teorema 4.d, para
las que, en este caso, hay que tener en cuenta que W = Fes unidimensional
sobre F. Conocemos, pues, que 0,, . 0W forman una base de R Llamamos
a esta base la base dual de la vx r ..., v„ . Si v / Oe V, por el lema 4.7 podemos
encontrar una base de la forma vx = v9 v29 -•-, vñ y, por tanto, hay un
elemento en Pt llamémosle 0,, tal que C|(uj) = f)x{v) = l & 0. Con lo
que hemos {robado
Lema 4.10. Si V es de dimensión finita y v ^ OeV, entonces hay un
elemento/gP tal quef(v) ^ 0.
En realidad, el lema 4.10 es también cierto si V no es de dimensión finita,
pero como no tenemos necesidad de este resultado y su prueba envolvería
cuestiones de lógica que no son adecuadas en esta etapa, omitimos la prueba.
Sea v0eV9 donde Ves un espacio vectorial cualquiera sobre F. Cuando
/varía sobre V y v0 se conserva fijotf(v0) define una funcional sobre V en F;
nótese que lo único que estamos haciendo es intercambiando los papeles de
función y variable. Denotemos esta función por 7^; en otras palabras
TvJJ) =f(v0) para cualquier feP. ¿Qué puede decirse acerca de 7^?
Tenemos para comenzar: T^if+g) = {f+g){v0) = f(v0)+g(v0) =
TJfi+T^Ü); además, TJtf) = {lf) (v¿) = Xf(v0) = ¿7^(/). ¡Luego
7^ está en el espacio dual del V! Representamos este espacio por fl y nos
referimos a él como el segundo dual del K
Dado cualquier elemento ve V, podemos asociar con él un elemento T0
en A. Definimos la transformación ^ : V-* V por v\¡/ = Tv para todo ve V.
¿Es ^ un homomorñsmo de V en vt Claro que si. Tenemos, en efecto:
T9+W(f) = Av+w) =f{v)+f{w) = Tv{f)+T„{f) = (T.+ rj (/). luego
í»+» = Tp+Tmt es decir, (v+w)*J/ = v\¡/+w\¡t. Análogamente, para XeF,

§ 3. ESPACIOS DUALES
176
(Av)\p =A(v\J/), Luego ^define un homomorfismo de Ven P. La construcción
de \}/ no usa ninguna base particular ni ninguna propiedad particular de V\
es un ejemplo de construcción invariante.
¿Cuándo es ^ un isomorfismo ? Para contestar a esto debemos saber
cuándo v\J/ = 0 o, lo que es equivalente, cuándo Tv = 0. Pero si 7^ =0
entonces 0 = TJJ) = f(v) para toda /e P. Pero como ya señalamos* sin
prueba, para un espacio vectorial general, dado v ^ 0 hay una feP con
f(v) # 0. Realmente tal afírmacion la demostramos para V de dimensión
finita. Luego para V de dimensión finita (y en realidad, para V cualquiera)
\p es un isomorfismo. Pero cuando Ves de dimensión finita, \}/ es un
isomorfismo sobre P y, en cambio, cuando V no lo es, ^ no es suprayectiva.
Si V es de dimensión finita, de acuerdo con el segundo corolario al
teorema 4.d, Vy P son de la misma dimensión; análogamente, P y P son
de la misma dimensión; como \}/ es un isomorfismo de V en P la igualdad de
dimensiones obliga a que \}/ sea suprayectiva. Y hemos probado el
Lema 4.11. Si V es de dimensión finita, entonces $ es un isomorfismo
de V sobre P.
De aquí en adelante, identificaremos V con P9 y recordaremos que esta
identificación se efectúa a través del isomorfismo \p.
Definición. Si W es un subespacio de Vt entonces el aniquilador de W%
A{tV) = {feP\f{w) = 0 para todo weW}.
Dejamos como ejercicio para el lector la verificación del hecho de que
A ( W) es un subespacio de P. Claramente si l/c Wt entonces A ((/) =» A ( W)„
Sea W un subespacio de Vt y V de dimensión finita. Si/eP, sea/la
restricción de/a W;/está, pues, definida sobre tVpor/(w) = /(a>) para
toda weW. Como/eP, es claro que/e#. Consideremos la aplicación
T: P -* ft definida por/r = / para toda /e P. T es, asi, un homomorfismo
de Pen ífc ¿Cuál es el núcleo de T? Si /está en el núcleo de T, entonces
la restricción de/a W debe ser 0; es decir, f(w) = 0 para todo wetV.
Además, reciprocamente, si f(w) = 0 para toda weW, entonces / está en
el núcleo de T. Por tanto, el núcleo de Tes exactamente A(W).
Afirmamos ahora que la aplicación T es sobre #. Lo que debemos
demostrar es que dado cualquier elemento he #, entonces h es la restricción
de algún fe P9 es decir, que h = /. Según el lema 4,7, si wx,..., wm es una
base de Wy entonces podemos expandirla a una base de V de la forma
Wi,.^»,,.»!,...,^ donde r+m = dim K Sea Wx el subespacio de V
generado por ví9„.9 vr. Entonces V = W(& Wx. Si helfr, definamos/e P
del siguiente modo: escribamos veV como v = w+wlt weW9 wxeWl9
entonces f(v) = h(w). Es fácil ver que / está en P y que / = h. Luego
h = /T y, por tanto, T transforma P sobre W, Como el núcleo' de T es

176
ESPACIOS VECTORIALES V MÓDULOS — Cap. 4
A{W)t por el teorema 4.a #es isomorfo a P¡A{W). En particular, ambos
espacios tienen la misma dimensión. Sea m = dim Wt n = dim V9 y
r = dim/l(H/). De conformidad con el corolario 2 al teorema 4.d,
m = dim # y n = dim P. Pero según el lema 4,8, dim P¡A{W) = dim 9-
dim A{W) = n—r, luego m = /i—r y, por tanto, de donde transponiendo,
r = n—m* Con lo que hemos probado el
Teorema 4,e. Si V es de dimensión finita y W es un subespacio de Vt
entonces Wes isomorfo a P¡A{W) y ÓimA{W) = dim V— dim W.
Corolario. A{A{W)) = W.
Prueba. Recordemos que para que el corolario tenga aunque sedo sea
sentido» como Wc Vy A{A{W))cP9 hemos tenido que identificar V con P.
Ahora bien, Wc A(A(W)\ pues si we W9 entonces w*¥ — Tw actúa sobre V
por TJJ) = f(w) y, por tanto, es 0 para toda/e^W). Pero dim A{A{W))
= dim P — á\mA{W) (aplicando el teorema al espacio vectorial 9 y su
subespacio A(W)) de modo que dim A{A{W)) = dim V —dim A{W) =
dim K - (dim K-dim W) = dim W. Como tVcA(A(lV)) y son de la
misma dimensión, de ello se sigue que W = A(A{W)),
El teorema 4.e tiene aplicación al estudio de los sistemas de ecuaciones
lineales homogéneas. Consideremos el sistema de m ecuaciones con n
incógnitas
allxl +o12jc2+ -•• +ax„xn = 0
*«i*i+flm2Jc2+...+nmM*Jt = 0
donde las ais están en F. Queremos saber el número de soluciones lineal-
mente independientes (xx ,. - -, jc„) que hay en F{m* para este sistema.
Sea l/el subespacio de F{m* generado por los m vectores {all9aX2t.„t allt),
(a2l,a22,*-->a2¿ {amltam2> -..O. y supongamos que V es de
dimensión r. En tal caso, diremos que el sistema de ecuaciones es de rango r.
Usemos vt = (1,0, ...,0), v2 = (0,1,0, .-.,0), ..., vn = (0,0,-..,0, 1)
como una base de F&* y sea flIt fi2,..,, 6H su base dual en P(n\ Cualquier
feP(m) es de la forma/ = *ií>i+JC¿02 + ... +xífim9 donde x^Fpara toda/.
¿Cuándo/€i4((/)? En tal caso, como
(flii, --.fliJeí/, O=/(g11,012,...,O==
/Cffti^i + •-- +«i*«U) = (JCici+JC2Í,2+-..+^í,«)(oiir1 + ...+aIllrfl) =
jc1o11+x2c12+-..+jcltfll<yaqueCl(uJ) = 0parai #j y-6i(iv) = l-

I 3. ESPACIOS DUALES
177
Asimismo, las otras ecuaciones del sistema son satisfechas.
Recíprocamente, toda solución (xi»-..* xm) del sistema de ecuaciones homogéneas
da lugar a un elemento xl6í + ... +xnt9 en A{U). Vemos, por ello, que el
número de soluciones linealmcnte independientes del sistema de ecuaciones
es la dimensión de A(í/),-la que, por el teorema 4.c es «-r Y hemos
probado el siguiente
Teorema 4.f. Si el sistema de ecuaciones lineales homogéneas:
o11xl + .._+fllBx#l = 0
donde a^eF es de rango r entonces hay n—r soluciones lineaímeme
independientes en Fw.
Corolario. Si n> m9es decir, si el número de incógnitas es superior al
número de ecuaciones, entonces hay una solución (x,,,.,, Jtj donde no todos
los xx,.. M xm son cero.
Prueba. Como U está generado por m vectores, y m < n, r = dim V <
m < n; la aplicación del teorema 4.f da lugar al corolario.
Problemas
1. Pruébese que A(W) es un subespacio de P.
2. Si S es un subconjunto de V, sea A (S) — {fs P \f{s) = 0 para todo
seS). Pruébese que A(S) — A(L(S)) donde L{S) es el espacio generado
por S.
3. Si 5, 7eHom(P, W) y vtS — vtT para todos los elementos vt de
una base de V9 pruébese que S = T.
4. Complétese la prueba, dándose todos los detalles, de que Hom ( V9 W)
es un espacio vectorial sobre F.
5. Si \}/ denota la aplicación usada en el texto de V en V> suminístrese
una prueba completa de que ^ es un homomorfismo entre espacios
vectoriales de V en P.
6. Si V es de dimensión ñnita y vt # v2 están en Vs pruébese que hay
una fe P tal que/(t>i) # f{v2).

178
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cap. 4
7. Si WY y W2 son subespacios de V9 que es de dimensión finita,
descríbase A{Wl + W2) en términos de A(WX) y A(W2\
8. Si V es de dimensión finita y Wx y W2 son subespacios de V,
descríbase A{WX n W2) en términos de A{WX) y A{W2\
9. Si Fes el campo de los números reales, encuéntrese A{W) donde:
a) W es generado por (1, 2, 3) y (0,4, — I).
b) W es generado por (0,0, 1, -1), (2, 1,1, 0) y (2,1,1, -1).
10. Encuéntrense los rangos de los siguientes sistemas de ecuaciones
lineales homogéneas sobre Ft el campo de los números reales, y encuéntrense
todas las soluciones.
a) *!+2x2-3jc3+4jc2 = 0
*,+3*2—x3 = 0
6*,+*3+2x4 = 0.
b) xx +3*2+*3 = 0
JC| +4X2+*3 = 0,
C) JC, +X2+*3+*4 + *5 = 0
jc,+2jc2 = 0
4*! +7*2+*3+*4 + *3 = 0
*2~*3~*4~ *5 — 0-
11. Si / y g están en 9 y son tales que /(*) = 0 implio^ g(x) *^&
pruébese que g = If para algún AeF.
4. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR
En nuestra discusión de espacios vectoriales la naturaleza especifica de F
como campo, aparte del hecho de que es un campo, no ha jugado realmente
papel alguno. En esta sección no vamos a seguir considerando espacios
vectoriales sobre campos arbitrarios F, sino que vamos a restringir F al
campo de los números reales o al campo de los números complejos. En el
primer caso, vamos a llamar a V espacio vectorial reaL en el segundo,
espacio vectorial complejo.
Todos nosotros hemos tenido alguna experiencia con espacios vectoriales
reales —en realidad, tanto la geometría analítica como el tema del análisis
vectorial tratan de ellos. ¿Qué conceptos de los allí usados pueden
trasladarse a un marco más abstracto? Para comenzar, en estos ejemplos
concretos teníamos la idea de longitud; en segundo lugar, teníamos también
la idea de perpendicularidad o, más generalmente, la de ángulo. Todos
éstos se hacen casos especiales del concepto de un producto punto (a menudo
[(amado también producto escalar o interior).

f 4. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR
179
Recordemos algunas propiedades del producto punto tal como se
presenta en el caso especial de los vectores reales tridimensionales. Dados
los vectores v = (xítx2t x3) y w = (yí3y2»J^X donde las x y las y son
números reales, el producto punto de v y w% representado por vw, se
definía por v-w = xlyl+x2y2+x3y3. Nótese que la longitud de v venía
dada por yfvv y el ángulo 6 entre v y w estaba determinado por
eos 6 =
\VVyfw~W
¿Qué propiedades formales tenía este producto punto? Enumeramos
algunas:
1) vv £ 0 y vv = 0 si y sólo si v = 0,
2) vw = w~v+
3) um{ctv+fiw) = a(u*v)+fi(u*w)r
para vectores ut v, w y números reales a, /?, cualesquiera.
Todo lo que se ha dicho puede llevarse a los espacios vectoriales
complejos. Pero para tener definiciones geométricamente razonables
debemos hacer algunas modificaciones. Si definimos simplemente vw =
*i>i+*aJ'2+*3J'3 parata = (x|t*2,x3) yw = (ylty2ry3)9 donde las x y
las y son números complejos, entonces es muy posible que t>*t> = 0 con
v ^ 0; queda esto ilustrado con el vector v = (1, ¿ 0). En realidad, vv no
necesita ser ni siquiera real. Si, como en el caso real, queremos que vv
represente de algún modo la longitud de vy queremos que esta longitud sea
real y que un vector que no sea nulo no pueda tener una longitud cero.
Podemos conseguir todo ello con solo alterar la definición de producto
escalar ligeramente. Si a denota el conjugado complejo del número
complejo a, volviendo a los v y w del párrafo anterior, definamos v-w —
Xiyi+x2y2+x*y** P^3 vectores reales, esta nueva definición coincide
con la antigua; por otra parte, para vectores complejos arbitrarios v ^0,
no solamente es vv real, sino que también positivo. Tenemos, pues, la
posibilidad de introducir de una forma natural una longitud no negativa.
Pero perdemos algo; por ejemplo, no sigue siendo cierto que vw = wv.
En realidad, la relación exacta entre estos dos miembros es vw = w-v.
Enumeremos unas pocas propiedades de este producto punto:
1) vw = uFv
2) vv £ 0, y vv = 0 si y sólo si v = 0.
3) (au+pv)'w = a(u-w)+fi(v-w)
4) u~(av-\-fiw) = á{wv)-\-ft(u~w)9
para cualesquiera números complejos a, /? y cualesquiera vectores u, v9 w.
Repetimos que en lo que sigue F será el campo de los números complejos
o el campo de los números reales.

180 ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS —Cap. 4
Definición. Et espacio vectorial V sobre F se dice qué es un espacio
con producto interior si para dos vectores cualesquiera u, ve V está definido
un elemento (u, v) de F tal que:
1) (H, v) - fciO
2) (u, w) £ 0 y (ut i/) - 0 si y sólo si u = 0
3) (au+ftv9 w) = a{u, w)+fi(v9 w)
para cualesquiera w, v9 we V y a9 ^eí7.
Son ahora pertinentes unas pocas observaciones acerca de las
propiedades (I), (2) y (3). Una función que las satisface se llama producto interior.
Si F es el campo de los números complejos, la propiedad (1) implica que
(ut u) es real, y por tanto la propiedad (2) tiene sentido. Usando (1) y (3)
vemos que (a, av+fiw) = {av+fíwy u) = a(v9 u)+fí(wy u) = a(v9 u)+fi(w9 w)
Hacemos ahora una pausa para ver algunos ejemplos de espacios con
producto interior.
Ejemplo I. Definamos en F™9 para u = {at,..., o.) y v = {f}t9. „, fi^
(u, v) = íEi^i+a2^2 + **-+C(./5|i- Definimos así un producto escalar
sobre J**.
Ejemplo 2. Definamos en F<2) para u = {alfa2) y v = (filfft2)*
(i/,i?) = 2al^1+a|^24+°e2^i+a2^2- Es fácil verificar que esto define un
producto escalar sobre F<2>.
Ejemplo 3. Sea Vél conjunto de todas las funciones de valores complejos
definidas sobre el intervalo cerrado unitario [0,1]. Si/(/), g{t)e K definamos
if{t\g{t)¡) = I f(t)g(t)dt Dejamos para el lector la verificación de que
* Jo
esto define ün producto interior sobre V.
Para el resio de esta sección V representará a un espacio con producto
interior.
Definición. Si ve V> entonces la longitud de v (o norma de v)9 que
representaremos por |jü||, está definida como \\v\\ = <J{vt v).
Lema 4.12. Si w, ve Vy a9 fteF9 entonces (ccu+/to, au+ftv) = aa(u91/)+
Prueba. Por la propiedad (3) de las definitorias de un producto interior,
{au+fív9 au+fiv) = a{u9 au+fiv)+fl(v9 au+fiv)\ pero (u, cai+fiv) = a{uf u)
+¡}(utv) y (i?, au+/fo) = a(vtu)+$(vtv). Haciendo las correspondientes

1.4 ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR 181
sustituciones en la expresión para (au+fiv9 au+ftv)9 obtenemos el
resultado deseado.
Corolario. ||u|| = \a\ ||u||.
Prueba. \\auW1 = {au, au) = aa(uf u) por lema 4,12 (con v = 0). Como
aa = |a|2 y (u,u) = ||u||2, tomando las raices cuadradas obtenemos
IM| = |*l MI.
Haremos ahora una pequeña digresión para probar un resultado muy
elemental y familiar acerca de las ecuaciones cuadráticas reales.
Lema 4.13. Si a9by c son números reales tales que a > 0 y aX2+2bX+
c > 0 para todo número real X, entonces b2 < ac.
Prueba. Completando los cuadrados,
atf+lbX+c = -M+fc)2 +
a
(-9
Como esto es mayor que o igual a 0 para todo X9 en particular debe ser cierto
— b b2
para X = . Luego c > 0, y como a > 0, obtenemos b2 < ac.
a a
Pasamos ahora a probar una desigualdad muy importante, usualmente
conocida como la desigualdad de Schwarz.
Teorema 4.g. Si u, ve V, entonces |(u, v)\ < ||u|| \\v\\.
Prueba- Si u = 0 entonces tanto (ut v) como ||u|| \\v\\ son iguales a cero,
luego el resultado en este caso es cierto.
Supongamos por el momento que (i/, v) es real y u # 0. Según el lema 4.12
para cualquier número real X, 0 < (¿u+v, ¿u+t) = ¿2(u, u)4-2(u, v)¿+
(vt v). Sea a = (u, u), b = (i¿, u) y c = (v, v); para tales a9 b y c se satisface
la hipótesis del lema 4.13, luego b2 < ac. Es decir, (u, t)2 < (u, u) (u, u) de
donde es inmediato que |(ut v)\ < lju|| \\v\\.
Si ce = (u9 v) no es real, entonces es claro que no es cero, de modo que
u/a es significativo. Ahora bien,
\a / a (u9 v)
y, por tanto» es ciertamente real. Por el caso de la desigualdad
que hemos discutido en el anterior párrafo,
-N«H
II vil;

182 ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cap.
yaque
u
a
obtenemos
\\u\\ \\v
1 <
M
de donde |a| < \\u]\ \\v\\. Haciendo a = (u, v)9 obtenemos |(u, v)\ < \\u\\ \\v\\9
es decir, et resultado deseado.
Algunos de los casos particulares de la desigualdad de Schwarz son en
si de gran interés- Señalamos dos de ellos.
1) Si V = fw con (u9v) = ajt+ ...+ajn9 donde u = («lf ...,aj y
v = Ci > » J^„)p entonces el teorema 4.g implica que
2) Si K es el conjunto de todas las funciones complejas continuas con
(0,1) como dominio» y con producto interior definido por (JO), 9(0) =
i
= I f(i)g(t)dtr entonces el teorema 4.g implica que
I j V(«)í(o*r < f1 \m\2dt f1 \g(t)\2dt.
El concepto de perpendicularidad es en extremo útil e importante en
geometría. Introducimos su análogo en los espacios vectoriales con
producto interior.
Definición; Sl u+veV, entonces se dice que u es ortogonal a v si
(u, v) = 0.
Nótese que si u es ortogonal a v, entonces v es ortogonal a u, pues
(d, u) = (¡íló = o = a
Definición. Si W es un subespacio de V9 el complemento ortogonal de W9
W\ se define por WL = {xe V\{x9 w) = 0 para toda we IV}.
Lema 4.14. WL es un subespacio de V.
Prueba. Si a9 be Wx, entonces para cualesquiera a, peF y toda we W9
(aa+fib9 w) = a(a9 w)+fi{br w) = 0, ya que a, be W1.
Nótese que wnW1 = (0), pues si weWn W1 debe ser ortogonal a sl
misma, es decir, debemos tener (w, w) = 0. Las propiedades definitorías

1.4 ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR
183
de un espacio con producto interior descartan la posibilidad de tal
resultado a menos que w = 0.
Una de nuestras metas es mostrar que V = W+ WL. Una vez que
hayamos hecho esto, la nota acabada de hacer cobrará algún interés, pues
que implicará que V es la suma directa de W y WL.
Definición. El conjunto de vectores {v¡} en V se dice que es ortonormal
si y sólo si:
1) todo u, es de longitud I fes decir» (v¡, v¡) = 1)
2) para i # j, (vi9 v¿) = 0.
Lema 4.15. Si [vg] es un conjunto ortonormal, entonces ios vectores en
{v§} son Imeatmente independientes. Si w = at vx +... + a„ v„, entonces
at = (w9vi)parai = 1,2,.-.,/!.
Prueba. Supongamos que &\Vl+a1v1+.„+anvn = 0, Entonces 0 =
(a^+.-. + ct^u,) = at(vl9vd+ ...+ajpm9v¿. Como (vj9vd = 0 para
j # i, mientras que {vi3 v¡) = 1, esta ecuación se reduce a a, = 0. Luego las
Vj son linealmente independientes.
Si w = «i!?! + .*. +amvtt9 entonces un cálculo como el anterior nos da
(w, ü|) = a¡.
Análogo en espíritu y en prueba al lema 4.15 es el
Lema 4.16. Sí {vl9 ...,!>„} « un conjunto ortonormal en V y si weVf
entonces u = w—(w9 vl)v1—(w9 v2)v2— ...— (w9 U|)u,—... — (wj, v¿)vm es
ortogonal a cada uno de los vl9v29...,v„.
Prueba. Calculando (u, vt) para cualquier i < n, el uso de la ortonorma-
lidad de vl9..., vK nos da el resultado.
La construcción que vamos a efectuar en la prueba del siguiente teorema
es una que aparece y reaparece en muchas partes de la matemática. Es un
procedimiento básico y se conoce como proceso de ortogonaltiación de
Gram-Sckmidt. Aunque aquí estaremos trabajando en un espacio de
dimensión finita con producto interior, el proceso de Gram-Schmidt trabaja
igualmente bien en situaciones de dimensión finita.
Teorema 4.h. Sea V un espacio de dimensión finita con producto interior;
entonces V tiene un conjunto ortonormal como base.
Prueba. Sea V de dimensión n sobre Fy sea vl vm una base de V.
Partiendo de esta base construiremos un conjunto ortonormal de n vectores;

184
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cap. 4
según el lema 4.15 este conjunto es linealmente independiente de modo que
formará una base de V.
Comenzamos con la construcción. Buscamos n vectores wlt..., w„ cada
uno de los cuales queremos que tenga longitud 1 y tales que para í ?¿ j\
{wítWj} = 0. En realidad, terminaremos por construirlos en la siguiente
forma: wx será un múltiplo de vx 9 w2 estará en el subespacio generado por
wx y v29w3 en el generado por wXtw2 y v3t y más generalmente, wt en el
generado por wlt w29..., wi^x y vx.
Sea
wt =
_ "i .
entonces
VIMI lililí/ im
de donde \\wx\\ = 1- Nos preguntamos ahora: ¿para qué valores de a es
ccwx + v2 ortogonal zwxl Todo lo que necesitamos es que (awx + v2 > wx) = 09
es decir, a{wXt wx)+(v29 wx) = 0. Como (wXf wx) = 1, a = — (v2t wt) nos
resolverá tal ecuación. Sea u2 = —(vlt wx)wx+v2; u2 es ortogonal a wx;
como vx y v2 son linealmente independientes, wx y v2 deben ser linealmente
independientes, y por tanto u2 ^ O.Seat¿>2 = (w2/l¡w2||);entonces{i¿>i,w>2}es
un conjunto ortonormal Continuemos. Sea i/3 = —(u3, wx)wx —(u3t w2)w2
+ v3; una simple comprobación verifica que (u3, wl) = (i/3, uj2) = 0. Como
w^iííjy v3 son linealmente independientes (pues wx, k>2 están en el espacio
generado por ^ y u2), u3 # 0. Sea kj3 = (u3/||w3||); entonces {wl9w29 w3)
es un conjunto ortonormal. El camino que nos queda es ahora claro.
Supongamos que hemos construido wl9 w2t..., wt9 todos en subespacio
generado por vX7*.*>vlt formando un conjunto ortonormal. ¿Cómo
construimos el siguiente, wí+ L ? Simplemente construyendo u¡+ x =
-(vi+lywx)wx-(vn.Xt u>2)w2-...-(vi+l9Wi)wi+vt+x. Que wl+1 # 0 y
que es ortogonal a cada uno de los wl3...twi es de comprobación que
dejamos como ejercicio para el lector Finalmente, hacemos wí+l =
(»,+ i/|w.+ il).
De esta forma, dados r elementos linealmente independientes en V
podemos construir un conjunto ortonormal que tenga r elementos. En
particular, cuando dim V = ny partiendo de cualquier base de V podemos
construir un conjunto ortonormal que tenga n elementos. Y esto nos
provee de la base requerida de V.
Ilustramos la construcción usada en la última prueba en un caso concreto.
Sea Fél campo de los números reales y sea Ve\ conjunto de los polinomios
en una variable x sobre F que tienen grado 2 o menor. Definimos en
V un producto interior por: si p{x)* q(x)eV9 entonces (/>(*), q(x)) =

i 4. ESPACIOS CON PRODUCTO INTERIOR
186
i.
1
p(pc)q{x)dx+ Comencemos con la base vt — 11 v2 = x, t>3 = x2. Siguiendo
-i
la construcción que hemos visto
vt 1 1
ldx
«2 - -(»2iWl)Wl+lll»
que después de los cálculos se reduce a u2 = x, y por tanto
u2 x J3
w = —*_ = : = *-=x;
i-i Ir ,d, -fi
t-
finalmente, t¿3 = — {v^Jw1)wl — {vZfw2)w2 + v* = hx\ y por tanto
-'+**
w B?^ 4
"Mencionamos anteriormente el próximo teorema como uno de nuestros
objetivos. Estamos ahora en posibilidad de probarlo.
Teorema 4.i. Si V es un espacio de dimensión finita con producto interior
y W un subespocio de V, entonces V = W+ Wx. Aún más, V es ta suma
directa de Wy W±.
Prueba. A causa de la naturaleza altamente geométrica del resultado,
y por ser realmente básico, damos varias pruebas. En la primera, haremos
uso del teorema 4.h y de algunos de los anteriores lemas. A la segunda,
la motivaremos geométricamente.
Primera prueba. Como subconjunto del espacio con producto interior V,
W mismo es un espacio con producto interior (su producto interior no
siendo otro que la restricción del de V a W). Así pues, podemos encontrar
un conjunto ortonormal wt9 --., wr en W que sea una base de W* Si veV,
según el lema 4-16, u0 = v—(vtwl)wl—{v,w2)w2~-~—{v*wr)Wr «
ortogonal a cada uno de los wlt.-., wr y por tanto ortogonal a W. Así pues,
vQ€ Wxt y como v = v0 +((i\ u>t)wt +... +(ut wjwr\ v€ W+ W*~. Por tanto,
V = W + W±. Como además Wn W^ = (0), esta suma es directa.

166
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cap. 4
Segunda prueba. En esta prueba supondremos que F es el campo délos
números reales. La prueba puede aplicarse, en casi la misma forma, para
los números complejos; sin embargo, en este último caso se tiene que hacer
frente a algunos detalles más que pueden tender a oscurecer las ideas
centrales que se están utilizando.
Sea ve V; supongamos que pudiéramos encontrar un vector w0e W tal que
|Ju—u^o II < ||u—w|| para todo weH'-Afirmamos que entonces (u—míoíW) = 0
para todo u>€ Wy es decir, que v—w0e WLm
Si w€ Wy entonces w0+we tV, en consecuencia de lo cual'
Pero el primer miembro es (iu, w)+{v—wO9v—w0)—2(v—w0t w\ lo que
nos lleva a 2{v—w0yw) ^ (wtw) para todo wsW. Si m es un número
w
positivo cualquiera, como — e W, tenemos que
m
2, */ w\ (u) tü\ 1 .
-(V-W0tw) = 2\v-W0t—\^[ — t — I = —-(10,11;),
m \ m/ \m mj m
y por tanto 2(v—w0tw) ^ (l/m)(wtw) para cualquier entero positivo m.
Pero (l/m)(tt?,tt?)-^0 cuando m->oo, de donde 2(i>—u>0, w) ^ 0,
Análogamente, —weW, y por tanto 0 ^ — 2(t>—tt>OTtt>) — 2(u—w0í —w) ^ 0, lo
que nos dice que (v—w0tw) = 0 para todo weW. Luego v—WqeW1, de
donde vew0+ WL c W+ WL.
Para terminar con la segunda prueba debemos demostrar la existencia
de un w0€}V tal que \\v— w0\\ ^ ||u—£¿>|| para todo weW. Indicamos
esquemáticamente dos formas de probar la existencia de un tal w0.
Sea uty • .., w* una base de W; portante, cualquier weW es de la forma
w = ¿iui+ -••+^*|iJk- Sefl fíu = (wi* wj) y )*i — (f*ui) para veT. Tenemos
pues, (i?—u\v—w) = (ií—A|Wl —,,,—^Wa, f—A|W! —.„—^aua) = (t?, u)—
ItXtXJfiiJ—2£Aj^r. Esta función cuadrática en las A es no negativa y por lo
tanto, por los resultados del cálculo, tiene un mínimo. Las X para este
mínimo, Xti0\ X2i0\ ...»V0)* ™ra dan el vector buscado, w0 = A1|0>ii1 +
„.+V0)uAen Wl
Una segunda forma de exhibir un tal minimizante wr es como sigue.
Definamos en Tuna métrica £ por £,(x,y) = ||x—j;||; es fácil ver que £ es
una métrica propia sobre V, y F es ahora un espacio métrico. Sea
S = {wetV\ ||t>— w\\ ^ \\v\\}; en esta métrica S es un conjunto compacto
(pruébese) y por tanto la función continua/(w) = \\v—w\\ definida para
weS toma un mínimo para algún punto w0eS. Dejamos al lector la
verificación de que w0 es el vector deseado, el que satisface |]u—w^oJI ^ lk—w;ll
para todo we W.

14, ESPACIOS CON PRODUCTO INTÉRíOR
187
Corolario. Si V es un espacio de dimensión finita con producto interior
y W es un subespacio de V, entonces (H'1)1 = W.
Prueba. Si w€ Wr entonces para cualquier ue W±t (w, u) = 0, de donde
Wc{WLY-. Pero V = W+WL y V = WL+{WL)\ de donde deducimos,
como las sumas son sumas directas que d\m(W) = dim((H/1)x). Como
W^-iW^Y y es de la misma dimensión que (WsL)i1 de ello se sigue que
Problemas
En todos los problemas que siguen V es un espacio con producto
interior sobre F.
1. Si Fes el campo real y Fes Fm, demuéstrese que la desigualdad de
Schwarz implica que el coseno de un ángulo es de valor absoluto menor
o igual que 1.
2. Si F es el campo real, encuéntrense todas las tetradas de números
reales {a, b, c9 d) tales que para u = (ce, , ct2), v = (px, fi^Fm9 (u, v) =
Q&ifíi+boL2fÍ2 + calfi2+da2fií, define un producto interior sobre F{2).
3. En Vy defínase la distancia £(u, u) dei/au por C(u, u) = \\u—v\\.
Pruébese que:
1) t&u,r)^0y X£u,v) si y sólo si u = v,
2) ««, v) = «a, u).
3) £(">v) < K(u* w)+^(í¿\ v) (desigualdad del triángulo).
4. Si {wx r,,,, wm) es un conjunto ortonormal en V, pruébese que
m
Z \iwi* u)f2 < II^H2 Para cualquier ve V.
(desigualdad de Bessel)
5* Si V es de dimensión finita y si {wx,..., wm} es un conjunto orto*
normal en V tal que £ |(i0j,v)|3 = l|u||2 para todo veV, pruébese que
¡=i
{wt,...» wm] debe ser una base de V.
6. Si dim V = n y si {i¿>t,..., wj es un conjunto ortonormal en V,
pruébese que existen vectores wm+i, ...,wh, tales que {wx w„9wm+%9
..., wn) es un conjunto ortonormal (y una base de V).
7. Úsese el resultado del problema 6 para dar otra prueba del
teorema 4.L

188 ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — C«p. 4
8. Pruébese en V la ley del paralelogramo:
||«+i;||2+||W^ü||2 = 2(N|2+||(;||2).
Expliqúese qué significa geométricamente en el caso especial V = F°\
donde F es el campo real, y donde el producto interior es el producto
punto habitual.
9. Sea V el conjunto de las funciones reales y = /(x) que satisfacen
d2yfdx2+9y = 0.
a) Pruébese que Tes un espacio vectorial real bidimensional.
b) Defínase en V, (y, z) = I yzdx. Encuéntrese una base orto-
h
normal en V.
10. Sea V el conjunto de las funciones reales y = /(x) que satisfacen
^_6^+11^-6,-0.
dx3 dx2 dx
a) Pruébese que V es un espacio vectorial real tridimensional.
f°
b) Defínase en V9 (u, v) = I uv dx. Demuéstrese que esto define
un producto interior sobre V y encuéntrese una base ortonormal
para K
11. Si W es un subespacio de V y veV satisface (v, w)+(w9 v) < (w, w)
para todo w?e Wr pruébese que (v, w) = 0 para todo u>€ W*
12. Si V es un espacio finito dimensional con producto interior y si /
es una funcional lineal sobre V (es decir, si feP)t pruébese que hay un
u0e V tal que/(i?) = (u, u0) para todo i?e F.
5. MéBUL«S
El concepto de módulo es una generalización del de espacio vectorial; en
lugar de restringir los escalares a que constituyan un campo permitimos
en el caso de los módulos que constituyan tan solo un anillo.
Esta sección tiene muchas definiciones, pero solo un teorema importante.
Pero las definiciones son tan cercanas en espíritu a las que ya hicimos para
los vectores que las principales ideas que aquí debemos desarrollar no
deberían estar enterradas en un mar de definiciones.
BEHMiciéx. Sea Jt un anillo cualquiera; un conjunto no vacio M se
dice que es un R-míiulw (o un módulo sobre Jt) si M es un-grupo abeliano

16 MÓDULOS
169
bajo una operación +, tal que para cada rsR y mtM existe un elemento
rm en M de tal modo que se verifica:
1) r(c+6) = ra+rb
2) r{sa) = {rs)a
3) (r+s)a = ra+sa
para cualesquiera a, btM y r, seR.
Si R tiene un elemento unitario, 1, y si \m — m para todo elemento
me A/, entonces a M lo llamaremos un /í-módulo unitmris. Nótese que si
R es un campo, un ^-módulo unitario no es otra cosa que un espacio
vectorial sobre R. Todos nuestros módulos serán unitarios.
Hablando propiamente, deberíamos haber llamado al objeto que
acabamos de definir un R-móduto izquierdo porque permitimos la
multiplicación por elementos de R tan solo por la izquierda. Análogamente,
podríamos definir lo que debe entenderse por un R-móduio derecho.
Nosotros no haremos tal distinción derecha-izquierda y convendremos en
que por Jí-módulo entenderemos un Jí-módulo izquierdo.
Ejemplo 1. Todo grupo abeliano G es un módulo sobre el anillo de
los enteros.
Para verlo, nada más tenemos que escribir la operación de G como +
y convenir en que na, para ceG y n un entero, tenga el significado que le
asignamos en el capitulo 2. Las reglas usuales de los exponentes en los
grupos abelianos se traducen en las propiedades requeridas para hacer
de G un módulo sobre los enteros. Nótese que es un módulo unitario.
Ejemplo 2. Sea R un anillo cualquiera y sea M un ideal izquierdo de R.
Para reR y mtM sea rm el producto de estos elementos como elementos
de R. La definición de ideal izquierdo implica que rmeM, mientras que los
axiomas que definen un anillo nos aseguran que M es un J?-módulo. (En
este ejemplo por un anillo entendemos un anillo asociativo para poder
asegurar que r(sm) = (rs)m.)
Ejemplo 3. El caso especial en que R = M ; cualquier anillo R es un
Jt-módulo sobre si mismo.
Ejemplo 4- Sea R un anillo cualquiera y sea X un ideal izquierdo de R-
Sea M el conjunto de todas las clases laterales a+K donde a€R9 de X en R.
Definamos en M(<i+¿)+(fc+Jl) = (fl+fc)+¿ y r(a+X) = ni+JL Puede
probarse que M es un J?-módulo. (Véase el problema 2 al final de esta
sección.)
M se escribe usualmente como Jt—X (o, algunas veces, como R/X) y se
llama mééuh diferencia (• cociente) de R por X.

190
ESPACIOS VECTORIALES V MÓDULOS — Cap. 4
Un subgnipo aditivo A del ü-módulo M se llama sukmééuh de M si-
siempre que reR y aeA, entonces rae A.
Dado un ü-módulo M y un submódulo A podíamos construir el módulo
cociente M/A de una forma análoga a la forma en que construimos
grupos cociente, anillos cociente y espacios cociente. Podríamos también
hablar acerca de los homomorfismos de un /{-módulo en otro, y probar los
teoremas apropiados sobre homomorñsmo- Hacemos esto en los problemas
al final de esta sección.
Nuestro interés en los módulos marcha en una dirección un poco
diferente; intentaremos encontrar una descomposición interesante para
módulos sobre ciertos anillos.
•EFixiciéx. Si M es un R módulo y Mt, -. ., MM son submódulos de M,
entonces se dice que M es la suma directm de Mt f..,, Ms si todo elemento
meA/ puede escribirse de modo único como m = ml+/n2+... +m, donde
TTíi^Mi, fTÍ2^Ai2» -**9 fnMsMa,
Como en el caso de espacios vectoriales, si M es la suma directa de
A/„ ..., MM9 entonces M debe ser isomorfo, como módulo, al conjunto
de todos los ¿-tupies, (ml9.... m,), donde el t-ésimo componente m¡ es un
elemento cualquiera de A/,, donde la adición es por componentes, y donde
r(mi, ...,ma) = (ri»i, rm2, ...,rm,) para rc/í. Así pues, conocer la
estructura de cada Mít nos capacitaría para conocer la estructura de M*
De particular interés y simplicidad son los módulos generados por un
solo elemento; a tales módulos les llamamos cíclicos. Para ser precisos:
0EFiNiciéN. Un /t-módulo M se dice que es cUtict si hay un elemento
mQeAf tal que todo me A/ es de la forma m = rm0, donde r€R.
Para R* el anillo de los enteros, un módulo cíclico sobre R no es otra
cosa que un grupo cíclico.
Necesitamos aún una definición más, a saber,
•EFiNiciéN. Un ü-módulo M se dice que es finitmmentc genermdé si
existen elementos aXy.**taKeM tales que todo m en M es de la forma
m = riai+r2a2+...+rnaK.
Una vez hechas todas las definiciones que necesitábamos, vamos ahora
al teorema que es la razón primaria por la cual esta sección existe. Se llama
a menudo el íefremmfunimmentml sekre médulas finitamente genertdes sobre
anillos euclidianos. Exigiremos en él que R sea un anillo euclidiano (véase
el capítulo 3t sección 7); pero el teorema se verifica en el contexto más general
en que solo exigimos de R que sea un dominio de ideales principales.

15. MÓDULOS
191
Teorema 4j. Sea R un anillo euclidiano; entonces cualquier R-módulo
finitamente generado, M, es la suma directa de un número finito de
submódulos cíclicos.
Prueba. Antes de dejarnos envolver con la operación de la prueba,
veamos lo que el teorema expresa. La hipótesis de que M es finitamente
generado nos dice que hay un conjunto de elementos aly ...,aneM tales
que todo elemento en M puede expresarse en la forma rx a, +r2fl2 + • - • + r*Q*
donde las r¡eR. La conclusión del teorema expresa que cuando R está
propiamente condicionada podemos encontrar algún otro conjunto de
elementos 6,*,.,, fcfl en M tales que todo elemento me A/ pueda expresarse
en forma única como m = stbx + ...+sqbq con s^R. Una observación
respecto a esa unicidad; no significa que los 5(- son únicos, en realidad tal
afirmación puede ser falsa; simplemente afirma que los elementos ¿|ó¡ si
son únicos. Es decir, si m = sxbt + „. +&qbq y m = s'íbí + ,.. + sqbq, de
ello no podemos concluir que sx = s*t, s2 = s^, .-., sq = s'qi sino que
lo que podemos inferir es que s1bí = s'sbx, ...,sqbq = sqbq.
Otra observación antes de que comencemos con el argumento técnico.
Aunque el teorema se formula para un anillo euclidiano general, solo
daremos la prueba con todos sus detalles para el caso especial del anillo de
los enteros, Al final indicaremos las ligeras modificaciones necesarias para
hacer que la prueba sirva para el caso más general- Hemos escogido este
camino para impedir que las ideas generales, que son las mismas en todos
los casos, queden oscurecidas por detalles técnicos que no son de
importancia alguna.
Estamos, pues, simplemente suponiendo que M es un grupo abeliano
que tiene un conjunto generador finito. Llamemos a aquellos conjuntos
generadores que tienen un mínimo de elementos conjuntos generadores
mínimos y al número de elementos en un conjunto generador mínimo el
rango de A/.
Nuestra prueba procede ahora por inducción sobre el rango de M.
Si el rango de M es 1, entonces M está generado por un solo elemento,
de donde resulta que es cíclico; en este caso el teorema es cierto. Supongamos
que el teorema es cierto para todos los grupos abelianos de rango g—\r
y que M es de rango q*
Dado un conjunto generador mínimo ol,...,aq de Mt si cualquier
relación de la forman,fli+n2fl2+-"+n,^ = 0(/it, ,,,tnflenteros)implica
que nlal = fi2a2 = --- = nqaq = 0, entonces M es la suma directa de
Mx% M2 Afq, donde cada A/, es el módulo cíclico (es decir, elsubgrupo)
generado por al9 con lo que ya tendríamos comprobado en tal caso el
enunciado. Por consiguiente, dado un conjunto generador mínimo cualquiera
bx, -.., bq de A/, debe haber enteros r,,..., rq tales que rxbx + ..*-\-rqbq = 0
y en el que no todos los r,6,, r2é2,.,., rqbq sean 0. De entre tales posibles
relaciones para todos los conjuntos generadores mínimos, hay un-entero

192
ESPACIOS VECTORIALES V MÓDULOS — C*j>. 4
positivo posible mínimo que aparece como coeficiente. Sea este entero s-x y
sea el conjunto generador en el que ocurre ax f..., aq. Así pues
(1) j1o1+s2tf2+... +sqaq = 0.
Afirmamos que si rxax + --- +V*« = 0 entonces Ji|ri; pues si
r, = msí+tJ 0 ^ t < sXj multiplicando la ecuación (1) por m y restando
de rxay + „. +rqaq = 0, esto nos lleva a /al+(r2— TO2)fl2 + — +
(rq—msq)aq = 0; como t < st y sx es el entero positivo posible mínimo en
una tal relación, debemos tener / = 0.
Afirmamos ahora que¿i|¿i para í = 2, ...,9. Supongamos que no fuera
así; entonces stJfs29 POT ejemplo, luego &2 = *n2st+t9 0 < / < jt.
Tenemos ahora que dx = ax+m2a2,a29-*.,aq también generan M y,
además, sía\+ta2+s3a¿+ ... +s,04 = 0; luego raparece como coeficiente
en alguna relación entre elementos de un conjunto generador mínimo. Pero
esto implica, por la misma elección de sx, que oí = Oot & sx. Nos tenemos
que quedar con t = 0, es decir, con que sx \s2 - Y, análogamente, para las
otras s¡. Escribamos si = mtsx.
Consideremos los elementos ax* = aí-\~m2a2-k-m^a^-k-...-\~mqaq>a2>
...,04. Es claro que generan M; además, sxaxm = sxax+m2sxQ2+..- +
mqsxaq = j|fl,+52fl2+-" +Jifl<i ^ °- ^ rxaxm+r2a2+ ...+rqaq = 0,
sustituyendo a a,*, obtenemos una relación entre a1,,,,Jaq en que el
coeficiente de at es r^ luego sx\rx y por lo tanto rlal*=Ó„ Si Mx es
el módulo cíclico generado por ax* y M2 es el submódulo de M generado
pora2, --^aq9 lo que acabamos de demostrar es que MxnM2 — (0). Pero
Af| + M2 = My ya que ax*ta2,„.,aq generan M* Luego M es la suma
directa de Mx y M2, Como M2 está generado por <z2,..., aqy su rango est
cuando más, q— 1 (en realidad, es ^— 1), de forma que, según la hipótesis
de inducción, M2 es la suma directa de módulos cíclicos. Con lo que, en
resumen, hemos descompuesto a M en suma directa de módulos cíclicos.
Corolario. Cualquier grupo abeliano finito es el producto (suma) directo
de grupos cíclicos.
Prueba. El grupo abeliano finito G es claro que está finitamente
generado, puesto que lo genera el conjunto finito de todos sus elementos.
La aplicación del teorema 4J nos da el corolario.
Supongamos que R es un anillo euclidiano con la función de Euclides d.
Modificamos la prueba dada para los enteros para una válida para R
como sigue,
I) En lugar de escoger sx como el entero positivo mínimo posible que
aparece en cualquier relación entre los elementos de un conjunto
generador, lo escogemos como aquel elemento de R entre los de
valor d mínimo que aparece en cualquier relación^

1.5 MÓDULOS
193
2) En la prueba de que st|rt en cualquier relación rta1 + .„+ rqaq = 0>
el único cambio necesario es que rx = mst +/ donde
f - 0 o d(t) < d(Sl)-
el resto es igual. Lo mismo ha de decirse para la prueba de que sí |¿,»
Asi pues, con estos cambios menores la prueba es válida para anillos
euclidianos en general, quedando, pues, el teorema 4.j completamente
probado.
Volvemos ahora a los grupos abelianos finitos. Sea G un grupo abeliano
finito de orden p^pf2*. ♦a"*» donde lasp¡ son primos distintos. Entonces G
es el producto directo de sus subgrupos de Sylow S,lf...,S^. Para lo que
vamos a decir» será suficiente que de lo anterior consideremos tan solo el
caso en que G es de orden ¡f, con p número primo.
G es el producto directo de grupos cíclicos Gt,..., G¿ de órdenes
pPl9„.tff* respectivamente, donde nL ^ n2 ^ ... ^ nA. Üamemos a nl9
«2» *-•»«, los invariantes de G. (Muy a menudo es a ff1,/?2, ---.p"1 a los
que se llaman los invariantes.) ¿Qué puede decirse acerca de éstos?
El orden de G1G2 es
o(Gt n G2) f
y como el producto de G1 y G2 es directo, GlnG2 = (*); es decir»
o{GtG2) = o(G|)o(G2) =prlpr2 =pfl+m2. Continuando de este modo
obtenemos^ - o(G) = o{G1G2...G¿ = p^1 + -+l*. Luego nx+n2 + .„ +
nk = n. En los términos previamente usados (capitulo 2, sección 11)
nl9 ...f nk forman una partición de n.
Dado un grupo abeliano de orden //\ llegamos a una partición de n.
Por otra parte, dada una partición de n, n = nx+n2 + ... +/!*, podemos
construir un grupo abeliano de orden /Z1 de la siguiente forma: sea Gt un
grupo cíclico de ordenpPlt G2 uno de orden p?2,..., Gk uno de orden/>"*:
sea G el producto directo exterior de Gt,..-, Gk. G es un grupo abeliano
de orden//1.
Por tanto, para cada partición hay un grupo abeliano y para cada
grupo abeliano una partición. Si mostramos que los invariantes de G
caracterizan a G hasta isomorfismo, tendremos una correspondencia
biyectiva entre las particiones de n y los grupos abelianos no isomorfos de
orden //\ Puede demostrarse que este es el caso, es decir, que G es isomorfo
a G|, donde ambos son grupos abelianos de orden //\ si y sólo si tienen
los mismos invariantes (véase el problema 15 al final de esta sección).
Sea p(n) el número de particiones de n. Entonces
Teorema 4.k. El número de grupos no abelianos no isomorfos de orden
f es p{n).

194
ESPACIOS VECTORIALES Y MÓDULOS — Cap. 4
Corolario. El número de grupos abeíianos no isomorfos de ornen
Pi*lp2m2 '-Pk** todos tos pM primos distintos, €Jp(n,)p(/i2)...p(njt)-
Problemas
1. Verifiqúese que la afirmación hecha en el ejemplo 1 de que todo
grupo abeliano es un módulo sobre el anillo de los enteros, es cierta.
2. Verifiqúese que el conjunto del ejemplo 4 es un Ji-módulo.
3. Supongamos que R es un anillo con elemento unidad y que M es un
módulo sobre Rf pero que no es unitario. Pruébese que existe una m & 0
en M tal que rm = 0 para todo rejt.
Dados dos R módulos M y N, entonces la aplicación T de M en N se
llama homomorfismo fo R-homomorfismo, o homomorfismo de módulos) si
a) (ml+m2)T= mlT-^m1T
b) (rmt)T = r(mxT)
para mx, m2€M cualesquiera, y todo reít.
4. Si T es un homomorfismo de M en N9 sea K(T) = {xeM\xT = 0}.
Pruébese que K{T) es un submódulo de M y que I{T) = {xT\xeM} es un
submódulo de N.
5. El homomorfismo T se dice que es un isomorfismo si es inyectivo.
Pruébese que T es un isomorfismo si y sólo si K{T) = 0.
6. Sean My N, Q tres Jt-módulos, y sean Tim homomorfismo de M en N
y Sun homomorfismo de N en Q, Defínase TS: M-* Q por m{TS) = {mT)S
para cualquier me A/. Pruébese que TS es un .R-homomorfismo de M en Q
y determínese su núcleo.
7. Si M es un J?-módulo y A es un submódulo de Af, defínase el módulo
cociente M\A (úsese lo análogo en grupos, anillos y espacios vectoriales
como guia) de forma que sea un Ü-módulo y pruébese que hay un R-
homomorfismo de M sobre MfA.
8. Si T es un homomorfismo de M sobre N con K{T) = A, pruébese
que N es isomorfo (como módulo) a MfA.
9. Si A y B son submódulos de M pruébese que:
a) A n B es un submódulo de M.
b) A+B = {a+b\a€Atb€B} es un submódulo de M.
c) {A + B)/B es isomorfo a Af(A n B\
10. Un Jt-módulo M se dice que es irreducible si sus únicos submódulos
son (0) y Af. Pruébese que todo A-módulo unitario irreducible es cíclico.

15. MÓDULOS 196
11. Si M es un ü-módulo irreducible pruébese que M es cíclico o que
para todo meA/ y reR, rm = 0.
*12. Si M es un ü-módulo irreducible tal que rm ^ 0 para algún reR y
algún meM, pruébese que cualquier Jí-homomorfismo 7" de M en M es o
un isomorfismo de A/ jo&rc A/ o que mT = 0 para todo meM.
13. Sea Af un .R-módulo y sea E(M) el conjunto de todos los .R-homo-
morfismos de M en M. Háganse las definiciones apropiadas de adición y
multiplicación de elementos de E(M) de forma que E(M) se haga un anillo.
(Sugerencia: imítese lo que se ha hecho para Hom (V. V), para Vvn espacio
vectorial.)
M4. Si M es un ü-módulo irreducible tal que rm ^ 0 para algún reR
y algún me M, pruébese que E(M) es un anillo con división. (A este resultado
se le conoce como lema de Sckur.)
*15. Demuéstrese que cualesquiera dos grupos abelianos finitos que tienen
los mismos invariantes son isomorfos.
16. ¿Cuántos grupos abelianos no isomorfos hay de orden 23? Dígase
como se construirían todos.
17. Descríbase cómo se construirían todos los grupos abelianos de
orden 16 200. ¿Cuántos grupos no isomorfos hay de tal orden?
18. Proporciónese una prueba completa del teorema 4.j para módulos
finitamente generados sobre anillos euclidianos.
19. Sea M un .R-módulo; si meM, sea X(m) = {xeR\xm = 0}.
Demuéstrese que X(ni) es un ideal izquierdo de R. Se le llama el orden de m.
20. Si A es un ideal izquierdo de i? y si M es un ¿?-módulo, pruébese
que para meM. Xm = {xm\xeX} es un submódulo de M.
*21. Sea M un .R-módulo irreducible en el que rmjtO para algún reR
y meA/. Sea m0 j= OeM y sea X(m0) = {xeR\xm0 = 0}.
c) Pruébese que X(m0) es un ideal izquierdo máximo de R (es decir,
que si X es un ideal izquierdo de R tal que R^X=>X(m0),
entonces X = R o X = X(mQ)).
b) Pruébese que, como ü-módulos, M es isomorfo a R—X(m0)
(véase el ejemplo 4).
Lecturas suplementarias
Halmos, P. R., Finite-Dimetisional Vector Spaces, segunda edición. D. Van
Nostrand Company, Inc., Princeton, 1958.

Campos
En nuestra discusión de anillos remarcamos una clase especial a cuyos
elementos llamamos campos. Un campo, recordemos, es un anillo
conmutativo con elemento unidad en el que todo elemento distinto de cero tiene
un inverso multiplicativo. Dicho de otra manera, un campo es un anillo
conmutativo en el que podemos dividir por cualquier elemento distinto
de cero.
Los campos juegan un papel central en álgebra. Por una parte, los
resultados respecto a ellos encuentran importantes aplicaciones en la teoría
de números. Por otra parte, su teoría enmarca el tema de la teoría de
ecuaciones que trata cuestiones acerca de las raíces de polinomios.
En nuestro desarrollo tocaremos solo ligeramente el campo de los

198
CAMPOS — Cap. 5
números algebraicos. En lugar de ello, nuestro mayor énfasis recaerá
sobre los aspectos de la teoría de campos que tienen importancia para la
teoría de ecuaciones. Aunque no trataremos el tema en su forma más
amplia ni más general, llegaremos en él suficientemente lejos para poder
introducir algunas de las bellas ideas, debidas al brillante matemático
francés Evaristo Galois, que han servido como inspiración y guia para el
álgebra como es en la actualidad.
1. EXTENSIÓN DE CAMPOS
En esta sección nos ocuparemos de la relación de un campo con otro.
Sea Fun campo; un campo K se dice que es una extensión de Fsi A contiene
a F. Es decir, 'K es una extensión de F si/" es un subcampo de K. A lo largo
de todo este capitulo, F denotará un campo dado y K una extensión de F.
Como antes hemos señalado en el capítulo sobre espacios vectoriales,
si K es una extensión de F, entonces, bajo las operaciones ordinarias del
campo K, K es un espacio vectorial sobre F. Como espacio vectorial podemos
hablar de dependencia lineal, dimensión, bases, etc., en K respecto a F.
Definición. El grado de K sobre F es la dimensión de K como espacio
vectorial sobre F.
Denotaremos siempre el grado de K sobre F por [K: F], Para nosotros
es de particular interés el caso en que [K: F] es finito, es decir, el caso en
que K es de dimensión finita como espacio vectorial sobre F. Esta situación
se describe diciendo que K es una extensión finita de F.
Comenzamos con un resultado acerca de las extensiones finitas,
relativamente sencillo, pero, al mismo tiempo, altamente efectivo.
Teorema 5.a. Si L es una extensión finita de K y K una extensión finita
de F, entonces L es una extensión finita de F. Además, [L : F] = [L : K] [K: F].
Prueba. La estrategia que vamos a emplear en la prueba es la de
escribir explícitamente una base de L sobre F. En esta forma no solo
demostramos que L es una extensión finita de F, sino que, ciertamente,
probamos el resultado más preciso y que constituye realmente el corazón
del teorema, que [L : F] = [L : K] [K: F].
Supongamos, entonces, que [L: K] = myquc[K:F] = n. Seat;,,..., r„
una base de L sobre K y wl,...,w„ una base de K sobre F. ¿Qué podría
ser más elegante y natural que el que los elementos v^j, donde / = 1,..., m
yj= !,...,«, sirvieran como base de L sobre Fl Al menos tal colección
tiene el número exacto de elementos. Procedemos ahora a demostrar
que es cierto que forman una base de L sobre F. ¿Qué necesitamos para que

I 1. EXTENSIÓN. DE CAMPOS 199
esto quede establecido ? Debemos primero demostrar que todo elemento de
L es una combinación lineal de estos mn elementos con coeficientes en F,
y a continuación debemos demostrar que estos mn elementos son linealmente
independientes sobre F.
Sea t un elemento cualquiera de L. Como todo elemento de L es una
combinación lineal de i>,,..., vm con coeficientes en K, el elemento t debe
ser en particular de esa forma. Luego t = kiVl + ... +kmvmt donde los
elementos kx,..., k„ están todos en K. Pero todo elemento de K es una
combinación lineal de i¿>,,..., ivH con coeficientes en F. Luego kl = /,, w1 +
• •• +/iB»».. — *¡ =/n"i + ... +/■»»„ km = fml w1 + ...+f„„u)n, donde
todos los/y están en F.
Sustituyendo por estas expresiones a ¿^,..., km en t = k1vl + ...+kmvm
obtenemos /=(/,, w?, + - - - +fi„u)n)ví + ... + (fml wt +... +fmnwH)vm.
Efectuando las multiplicaciones indicadas y usando las leyes distributiva y
asociativa, llegamos finalmente a / =/iii>iK>i + ... +fiHv1wn+ ... ■\-fiJvtwJ
+... +fm„vmwn. Como losf¡j están en/", hemos expresado /como
combinación lineal sobre F de los elementos vtWj. Por tanto, los elementos vtWj
generan ciertamente a L sobre Fy, por tanto, satisfacen la primera propiedad
que se requiere de una base.
Debemos demostrar que los elementos v,Wj son linealmente
independientes sobre F. Supongamos que fllv1w1+ .-■+fiHvlwH+... +ftjvlwj+
--- +/»«*,w">i. = 0» donde los ftJ están, todos, en /. Nuestro objetivo es
probar que/y = 0 para i,j cualesquiera. Reagrupando la anterior expresión
se tiene (/,,», + ... +fimwjvl + ...+(filwl +... +finwñ)vi+ ... +{fmlwx +
.~+f*mw„)vm = 0.
Como las w¡ están en K y como K=*F, todos los elementos k, = fn w, +
-•- +/i»mjii están en K. Y tenemos kxVi + ...+k„vm = 0 con ki>...,kmeK.
Pero, por hipótesis, t?lf ...,vm forman una base de L sobre K, luego, en
particular, deben ser linealmente independientes sobre K. El resultado final
de esto es que Ar, = k2 = - - - = km = 0. Usando los valores explícitos de
los k¡ tenemos
/11W1 + ... +fintv„ = 0 para i= l,2,...,m.
Pero si invocamos ahora el hecho de que los wt son linealmente
independientes sobre /", llegamos a la conclusión de todo los ftj han de ser nulos.
En otras palabras, hemos probado que los vtWj son linealmente
independientes sobre F, Y de esa forma satisfacen la otra propiedad requerida por
una base.
Hemos logrado, por fin, probar que los mn elementos v¡w} forman una
base de L sobre F. Luego [L: F] = mn; como m = [L: K]y n = [K:F]t
hemos obtenido el resultado buscado, que [L: F] = [L: K] [K: F].
Supongamos que Lt K, F son tres campos en la relación L=>K=>F, y
supongamos, además, que [L:F] es finito. Es claro que cualesquiera
elementos sobre L linealmente independientes sobre A' son también lineal-

200
CAMPOS — Cap. 6
mente independientes sobre F. Luego la hipótesis de que [L: F] es finito
fuerza la conclusión de que [L: K] es también finito. Además, como K es
un subespacio de Lt [K: F] es finito. Por el teorema, [L:F] = [L: K] [K: F],
de donde [K: F][L: F]. Y hemos probado el siguiente
Corolario. Si L es una extensión finita de F y si K es un subcampo de L
que contiene a F, entonces [K: F]\[L: F],
Así, por ejemplo, si [L: F] es un número primo, entonces no puede
haber ningún campo propiamente entre F y L. Dentro de poco, en la
sección 4, cuando discutamos la construcción de ciertas figuras geométricas
con regla y compás, el corolario será muy significativo.
Definición. Un elemento aeK se dice que es algebraico sobre /"si existen
elementos o0, ax, ■--,«■ en F, no todos 0, tales que a0am+alá*~l +... +
Si el polinomio q(x)eF[x], el anillo de los polinomios en x sobre F,
y si q(x) = fi0xm+filxm~í +... +/?„, entonces, para cualquier elemento
beK, por q{b) entenderemos el elemento fi0bm+filbm~1 +... +fim de K.
En la expresión comúnmente usada, q(b) es el valor del polinomio q{x)
obtenido al sustituir la x por la b. El elemento b se dice que satisface
q(x) si q(b) = 0. En estos términos, aeK es algebraico sobre F si existe
un polinomio distinto de cero p(x)eF[x] que a satisface, es decir, para el
cual p(a) = 0.
Sea K una extensión de F y sea a de K. Sea 3H la colección de todos los
subcampos de K que contienen tanto a F como a o. 3H no es vacío, pues el
propio K es un elemento de 3TÍ. Pero, como es fácil probar, la intersección
de cualquier número de subcampos de K es ella misma un subcampo de K.
Luego la intersección de todos aquellos subcampos de K que son miembros
de 3TÍ es un subcampo de K. Denotamos a este subcampo por F{á).
¿Cuáles son sus propiedades? Ciertamente, contiene tanto a F como a a,
pues ello es cierto para todos los subcampos de K que son miembros de 7R.
Por otra parte, por la misma definición de intersección, todo subcampo
de /í en 31Í contiene a F(o), y F{á) mismo está en 3H. Luego F(a) es el mínimo
subcampo de K que contiene tanto a Fcomo a a. Llamamos a F(a) el subcampo
obtenido por la adjunción de a a F.
Nuestra descripción de F(a), por el momento, ha sido puramente externa.
Damos ahora una descripción alternativa más constructiva de F(a).
Consideremos todos los elementos de K que pueden expresarse en la forma
fio+fiia+ ■-■ +&0*; aqui 'as P pueden tomar valores cualesquiera sobre F,
y s puede ser cualquier entero no negativo. Como elementos en K, tal
elemento puede dividirse por otro con tal de que el último sea distinto de
cero. Sea V el conjunto de todos los cocientes. Dejamos como ejercicio
probar que V es un subcampo de K.

11. EXTENSIÓN DE CAMPOS
201
Por una parte, U contiene ciertamente a f y a c, de donde U => F(a).
Por otra, cualquier subeampo de K que contiene tanto a F como a ay en
virtud de que como subeampo ha de ser cerrado respecto a la adición y a la
multiplicación, debe contener todos los elementos Po+fi\a+ ... +/?jO* para
PieF cualesquiera. Así pues, F(a) debe contener todos estos elementos y,
por ser un subeampo de K también debe contener a los cocientes de tales
elementos. Por tanto, F{a)z*U. Las dos relaciones, U^F(a) y U^F(a\
implican, desde luego, que U = F{a). De esta forma hemos obtenido una
construcción interna de F(c), a saber, la £/.
Ligamos ahora la propiedad de que aeK sea algebraica sobre F con
propiedades macroscópicas del campo F(a) mismo.
Teorema 5.b. El elemento aeK es algebraico sobre F si y sólo si F(a)
es una extensión finita de F.
Prueba. Como suele suceder con muchas de las proposiciones del tipo
"si y sólo si", una mitad de la prueba será directa y simple, mientras que la
otra mitad será más profunda y complicada.
Supongamos que F{a) es una extensión finita de F y que [F(a): F] = m.
Consideremos los elementos l,c, a2.,., o"; todos están en F(a) y son
m+ I. De acuerdo con el lema 4.6, estos elementos son linealmentc
dependientes sobre F. Por tanto, hay elementos a0, a,,..., ocm en F, no todos 0,
tales que a01 + a, a+a2 a2 +.. - + a.mcT = 0- Luego a es algebraico sobre F
y satisface el polinomio distinto de cero p(x) = a0+a1jc+... +<*mjcm en
F[x] de grado cuando más m = [F(a): F]. Y esto prueba la parte "si**
del teorema.
Pasamos ahora a la parte "sólo si". Supongamos que a en Kcs algebraica
sobre F. Por hipótesis, a satisface algún polinomio distinto de cero en F[x];
sea p{x) uno de los polinomios en F[x] de grado positivo mínimo para los que
p(a) = 0. Afírmamos que p(x) es irreducible sobre F. Pues supongamos
qucp(x) = f(x)g(x)áonáef(x),g(x)eF[x];entQTtcesyO = p(a) =f{a)g{a)
(véase el problema 1) y, como/(c) y g(a) son elementos del campo K9 el
hecho de que su producto sea cero obliga a que fia) = 0o g(a) = 0.
Como p(x) es de grado positivo mínimo entre las que toman en a el valor
cero, debemos concluir que debe verificarse o que deg/(jc) > degp(x) o que
deg^(jc) ¿ deg/>(jc). Pero esto prueba la irreductibilidad de/>(jc).
Definimos la aplicación ^ de F[x] en F(a) como sigue. Para cualquier
A(x)eF[jc], h(x)$ = h(a). Dejamos al lector verificar que V es un homo*
modismo entre anillos del anillo F[x] en el campo F(a) (véase el problema 1).
¿Qué es V el núcleo de ^? Por la definición de $9 V= {h(x)eF[x]\h(a) = 0}.
Además, p(x) es un elemento de grado mínimo en el ideal V de F[x\ Por
los resultados de la sección 9, capitulo 3, todo elemento en V es un múltiplo
de />(*), y como p(x) es irreducible, según el lema 3.22, I7 es un ideal
máximo de F[x], De acuerdo con el teorema 3.b, F[x](V es un campo.

202
CAMPOS — Cap. 5
Pero, según el teorema general de homomorfismos para anillos (teorema 3.a).
F[x]¡Ves isomorfo a la imagen de F[x] bajo &. Resumiendo, hemos mostrado
que la imagen de F[x] bajo i¡/ es un subcampo de F{a) que contiene tanto
a F como a K; según la propia definición de F(a) nos vemos obligados a
concluir que la imagen de F[x] bajo t¡/ es todo F(a). En pocas palabras,
F[x]fV es isomorfo a F(a).
Pero V = (/>(x)), el ideal generado por p(x); y por esto afirmamos que
la dimensión de F[x]¡V, como espacio vectorial sobre F, es precisamente
igual a degp(x) (véase el problema 2). En vista del isomorfísmo entre
F[x]fVy F(a) obtenemos el hecho de que [F(p): F] = degp(x). Por tanto,
[F(a): F] es seguramente finito; y es este el contenido de la parte "sólo si"
del teorema. Nótese que, realmente, hemos probado aún más, a saber, que
[F(a): F] es igual al grado del polinomio de grado mínimo satisfecho por
a sobre F.
La prueba que acabamos de dar ha sido de desarrollo un poco lento,
pero esto ha sido deliberado. La ruta seguida contiene importantes ideas y
liga conceptos y resultados desarrollados anteriormente en nuestra
exposición. Ninguna parte de las matemáticas es una isla.
Vamos ahora a rehacer la parte " sólo si" trabajando más en el interior de
F(a). Este "rehacer" es, en realidad, idéntico a la prueba que acabamos
de dar; la única diferencia es que las distintas piezas están unidas en forma
un poco diferente.
Seap(x) de nuevo un polinomio sobre F de los de grado positivo mínimo
satisfechos por a. Un tal polinomio se llama polinomio mínimo para a
sobre F. Podemos suponer que el coeficiente de la potencia máxima de x
es 1, es decir, que p(x) es mónico; en tal caso podemos hablar de "el
polinomio mínimo" para a sobre F, pues cualesquiera dos polinomios
mínimos mónicos para a sobre F son iguales. (Pruébese.) Supongamos
que p(x) es de grado n; tenemos, pues, p(x) = y+otiy~1+... + otn
donde las a, están en F. Por hipótesis, ef +atef-I + ...+otB = 0, dedonde
ef = — a, o""'— a2ef~2—...— «„. ¿Qué hay acerca dea"*1? Porlo anterior,
ef*1 — —a1ef—a2ef~1 — ...—aHa; si sustituimos en el segundo miembro
de esta relación a ef por la expresión anteriormente hallada, realizamos
a o"-1 como una combinación lineal de los elementos I, o,..., ef~l sobre F.
Continuando con este proceso, obtenemos que ef*k para k > 0 es una
combinación lineal sobre F de 1, o, a2,..., o"-1.
Consideremos ahora T={p0+pla+...+fa-lef~l\p0*Pt.--,P»-iEF}-
Es inmediato que T es cerrado respecto a la adición y en vista de las
observaciones hechas en el párrafo anterior también es claro que es cerrado
respecto a la multiplicación. Cualquier otra cosa que, además, pueda ser,
cuando menos hemos demostrado que Tes un anillo. Además, 71 contiene a
fyaú. Deseamos ahora demostrar que T es más que solamente un anillo,
que T es, en realidad, un campo.

11. EXTENSIÓN DE CAMPOS 203
Sea u * 0, u — 0o + fi1a+...+0„-la"*1 un elemento de 7", y h(x) -
00 + 0ix+ ...+0„-lxn~leF[x]. Como u^O, y u = h(a), tenemos que
h(a) ¥= O, de donde p(x)Jfh(x). Por la irreducibilidad de p(x), p(x) y h(x)
deben, por tanto, ser primos relativos. Luego podemos encontrar polinomios
s{x) y r(x) en F[x] tales que p(x)s(x)+h(x)t(x) = l. Pero, entonces,
1 — p(a)s(a)+h(a)t(á) = h(a)t(a), ya que p(á) = 0; teniendo en cuenta
que u = h(a) obtenemos ut(a) = 1. La inversa de u es, pues, t(á); en t{a)
todas las potencias de a mayores que n — I pueden reemplazarse por
combinaciones lineales de \ya, ...,o"-1 sobre Ft de donde t(a)eT. Hemos
demostrado que todo elemento distinto de cero de T tiene su inverso en T;
por consiguiente, T es un campo. Pero TczF(a) y F y a están, ambos,
contenidos en T, de donde resulta que T — F(a). Hemos ídentiñcado F(a)
como el conjunto de todas las expresiones 0O + 0\G+ ... +0n-xd>~1.
Tenemos, pues, que Tes generado sobre Fpor los elementos 1, o,..., a"'',
luego, por consecuencia, [T: F] < n. Pero los elementos 1, a, a2,..., a"~' son
linealmente independientes sobre F, pues cualquier relación de la forma
Yo + y\a+ ••• +),B-ia"~l» con 'os elementos y¡eFy lleva a la conclusión de
que a satisface el polinomio y0 + y1x+... +yn-lx"~1 sobre F de grado
menor que n. Esta contradicción prueba la independencia lineal de
1, o,...,íf^1 y, por tanto, estos elementos forman realmente una base
de T sobre F, de donde, en realidad, sabemos ahora que [T: F] = n.
Como T = F(a), de ellos se sigue el resultado [F(p): F] = n.
Definición. El elemento aeK se dice que es algebraico de grado n
sobre F si satisface un polinomio distinto de cero sobre F de grado n, pero
no satisface a ningún polinomio de grado menor.
En el transcurso de la prueba del teorema S.b (encada una de las pruebas
que dimos), probamos un resultado un poco más sólido que el que se
enuncia en el teorema, a saber,
Teorema 5.c. Si aeK es algebraico de grado n sobre Ft entonces
[F(a):F) = n-
Este resultado se adapta a muchos usos. Damos a continuación como
una consecuencia inmediata de él, el siguiente muy interesante
Teorema 5.d. Si a, b en K son algebraicos sobre Ft entonces a±b, ab y
a¡b (si b # 0) son todos algebraicos sobre F. En otras palabras, los elementos
en K que son algebraicos sobre F forman un subcampo de K.
Prueba. Supongamos que a es algebraico de grado m sobre F mientras
que b es algebraico de grado n sobre F. Por el teorema S.c el subcampo
T = F(a) de K es de grado m sobre F. Como b es algebraico de grado

204
CAMPOS — Cap. 6
n sobre F, a fortioh es algebraico de grado cuando más n sobre T. Pero
\W: F] = [W: T] [T: F] por el teorema 5.a; por tanto, [IV: F] ^ mn y IV
es, pues, una extensión finita de F. Pero a y b están, ambos, en IV, de donde
a±bt ab y afb están en W. Por el teorema 5.b,- como [W: F\ es finito, estos
elementos deben ser algebraicos sobre F, probando por ello el teorema.
También aquí hemos probado algo más. Como [W;F\ < mn todo
elemento en W satisface un polinomio de grado cuando más mn sobre F,
de donde el
Corolario. Si a y b de K son algebraicos sobre F de grados m y n
respectivamente* entonces a+b, ab y ajb {si b # 0) son algebraicos sobre F
y de grado cuando más mn.
En la prueba del último teorema hicimos dos extensiones del campo F.
A la primera, le llamamos T; era simplemente el campo F{a). A la segunda,
le llamábamos W y era T{b). Así pues, W = (F(a))(b) y es costumbre
representarlo por F(a, b). Análogamente, podríamos hablar de F{b, a); no
es difícil probar que F(a, b) = F(b, a). Siguiendo este patrón podemos
definir F(at ,a2 oj para elementos a,, ...,«„ de K.
Definición. La extensión K de F se llama extensión algebraica de F si
todo elemento de K es algebraico sobre F.
Probamos un resultado más a lo largo de los caminos que los teoremas
hasta ahora probados nos han marcado.
Teorema 5.e. Si L es una extensión algebraica de K y si K es una
extensión algebraica de F, entonces L es una extensión algebraica de F.
Prueba. Sea u un elemento arbitrario cualquiera de L; nuestro objetivo
es mostrar que u satisface algún polinomio no trivial con coeficientes en F.
¿Qué información tenemos hasta el presente? Ciertamente, sabemos que u
satisface algún polinomio jc"+o-,jc""1 + ... +g„ donde o-,,..., o„ están en K.
Pero K es algebraico sobre F; por tanto, por varios usos del teorema 5.c,
M = f(ff,,.... ff„) es una extensión finita de F. Como u satisface el
polinomio xH+cíxH~l +... +cn cuyos coeficientes están en M, u es
algebraico sobre M. En virtud de lo dicho en el teorema 5.b de ello resulta
que M(u) es una extensión finita de M. Sin embargo, por el teorema 5.a,
[M(u): F] = [M(u) :M][M: F]r de donde M(u) es una extensión finita de F.
Pero esto implica que u es algebraico sobre F> lo que completa la prueba
del teorema.
Una rápida descripción del teorema 5.e: algebraica sobre algebraica
es algebraica.

11. EXTENSIÓN DE CAMPOS 206
Los resultados precedentes son de interés especial en el caso particular
en que F es el campo de los números racionales y K el campo de los
números complejos.
Definición. Un número complejo se dice que es un número algebraico
si es algebraico sobre el campo de los números racionales.
Un número complejo que no es algebraico se llama transcendente. En
la actual etapa no tenemos motivo alguno para suponernos que hay números
transcendentes. En la próxima sección probaremos que el familiar número
real e es transcendente. Esto, desde luego, establecerá la existencia de los
números transcendentes. En realidad, existen en gran abundancia; en un
sentido muy bien definido hay más números transcendentes que algebraicos.
£1 teorema S.d aplicado a los números algebraicos prueba el hecho
interesante de que ios números algebraicos forman un campo; es decir, que
la suma, producto y cociente de números algebraicos son también números
algebraicos.
El teorema S.e cuando se usa junto con el llamado "teorema fundamental
del álgebra" tiene como implicación que las raíces de un polinomio cuyos
coeficientes son números algebraicos son ellas misma números algebraicos.
Problemas
1. Pruébese que la aplicación \p : F[x] -* F(a) definida por h(x)\p = h(a)
es un homomorfismo.
2. Sea Fun campo y sea F[x] el anillo de los polinomios en x sobre F.
Sea g(x) de grado n en F[x] y sea V = (g(x)) el ideal generado por g(x)
en F[x]. Pruébese que F[x]¡ V es un espacio vectorial de dimensión n sobre F.
3. a) Si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo K,
y si Fes un subcampo de K tal que [K: F] es finito, demuéstrese
que V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre F y que,
además, á\mf(V) = (dim^WI*: ñ).
b) Pruébese que el teorema 5.a es un caso particular del resultado
de la parte (a).
4. a) Sea i? el campo de los números reales^ y Q el campo de los
números racionales. En R, N 2 y N 3 son ambos números
algebraicos sobre Q. Exhíbase un polinomio de grado 4 sobre Q
satisfecho por ^/2+v'T.
b) ¿Cuál es el grado de ^/2+^Tsobre Ql Pruébese la contestación.
c) ¿Cuál es el grado de ^fljí sobre Q1
5. Con la misma notación que en el problema 4, demuéstrese que
y/2+lfTes algebraica sobre Q de grado 6.

206 CAMPOS — Cap. 5
*6. a) Encuéntrese un elemento ueR tal que Q(*j2,\[5) — Q{u).
b) En Q(y¡2,1/5) caracterícense todos los elementos w tales que
7. a) Pruébese que F(a, b) = F{b. a).
b) Si (/,, i2,..., /„) es una permutación cualquiera de (1,2,...,»),
pruébese que
f(«i. —. o„) = F{a¡lt ai2, —, aít).
8. Si a, be K son algebraicos sobre F de grados myn, respectivamente,
y si m y n son primos relativos, pruébese que F(a, b) es de grado mn sobre F.
9. Supongamos que F es un campo que tiene un número finito de
elementos, q.
a) Pruébese que hay un número primo p tal que a+a+--- +o = 0
para todo aeF. .p Yeces
b) Pruébese que q = p" para algún entero n.
c) Si aeF pruébese que d* = a.
d) Si beK es algebraico sobre F pruébese que bq" = b para algún
m > 0.
Un número algebraico a se dice que es un entero algebraico si satisface
una ecuación de lá forma am + alam~l +... +a„ = 0, donde a,,...,am
son enteros.
10. Si a es número algebraico cualquiera, pruébese que hay un entero
positivo n tal que na es un entero algebraico.
11. Si el número racional r es también un entero algebraico, pruébese
que r debe ser un entero ordinario.
12. Si a es un entero algebraico y mes un entero ordinario, pruébese que:
á) a+m es un entero algebraico.
b) ma es un entero algebraico.
13. Si a es un entero algebraico que satisface a3 + a+l=0 y p es
un entero algebraico que satisface fi2+fi — 3 = 0, pruébese que a+^yc^ son
enteros algebraicos.
**14. a) Pruébese que la suma de dos enteros algebraicos es un entero
algebraico.
b) Pruébese que el producto de dos enteros algebraicos es un
entero algebraico.
15. a) Pruébese que sen Io es un entero algebraico.
b) Basándose en la parte (a), pruébese que sen m° es un entero
algebraico para cualquier entero m.

207
2. LA TRANSCENDENCIA DE e
En la definición de números algebraicos y transcendentes señalamos que
podía demostrarse que existen números transcendentes. Una forma de
conseguir tal prueba de existencia sería la de demostrar que algún
determinado número es transcendente.
En 1851, Liouville dio un criterio para la algebricidad de un número
complejo; usándolo, fue capaz de enumerar una larga colección de números
transcendentes. Por ejemplo, de su trabajo se desprende que el número
0.101001000000100... 10... es transcendente; aquí el número de ceros
entre dos unos sucesivos va siendo 1!, 2!,,.., n!, ....
Esto, ciertamente, resuelve el problema de existencia. Sin embargo, el
problema de si algunos números familiares dados eran transcendentes aún
persistía. El primer éxito en esta dirección fue de Hermite, quien en 1873
dio una prueba de que e es transcendente. Hilbert simplificó mucho la prueba
de Hermite. La prueba que aquí daremos es una variación, debida a
Hurwitz, de la prueba de Hilbert.
El número n ofrecía mayores dificultades. Fueron finalmente vencidas
por Lindemann, quien, en 1882, presentó una prueba de que n es
transcendente. Una consecuencia inmediata de esto es el hecho de que es imposible
cuadrar el círculo con regla y compás, pues tal construcción nos llevaría
a un número algebraico 0 tal que 02 = n. Pero si 0 es algebraico, también
lo es 02, en virtud de lo cual n sería algebraico en contradicción con el
resultado de Lindemann.
En 1934, trabajando independientemente, Gelfond y Schneider probaron
que si a y b son números algebraicos y b es irracional, entonces o* es
transcendente. Esto contestaba afirmativamente el problema planteado por
Hilbert sobre si 2 ^ era transcendente.
Para aquellos interesados en proseguir con este tema de los números
transcendentes, recomendamos elogiosamente los encantadores libros, uno
C.L. Siegel, titulado Transcendental Numbers (Princeton University Press),
y otro, de I. Niven, titulado Irrational Numbers (Carus Monographs).
Probar que e es irracional es fácil; probar que n es irracional es mucho
más difícil. Para una prueba sutil y elegante de esto último véase el
artículo de Niven titulado "Una prueba sencilla de que n es irracional",
Buüetin of the American Mathematical Society, vol. 53 (1947), pág. 509.
Discutamos ahora la transcendencia de e. Aparte de su interés intrínseco,
su prueba nos ofrece un cambio de paso. Hasta este momento todos
nuestros argumentos han sido de naturaleza algebraica; ahora, durante un
momento, volvemos a los terrenos, más familiares, del cálculo. La prueba
misma usará solamente cálculo elemental; el resultado necesario más
profundo será el teorema del valor medio.
Teorema 5.f. El número e es transcendente.

208 CAMPOS — Cap. B
Prueba. En la prueba usaremos la notación estándar/(i)(x) para denotar
la /-ésima derivada de/(x) respecto a x.
Supongamos que f(x) es un polinomio de grado r con coeficientes
reales. Sea F(x) = /(x) + /(1>(x) + /(2>(x) + ... +/H(x). Calculamos
(dfdx)(e~xF(x)); usando el hecho de que/(r+,,(x) = 0 (pues/(x) es de
grado r) y la propiedad básica de e, es decir, que (d/dx)ex = ex, obtenemos
(dldx)(e*F(X))=-e-*f(x).
El teorema del valor medio afirma que si g(x) es continuamente
diferenciable sobre el intervalo cerrado [x,, x2] entonces
9(x1)-g(x2) = g(1>(Xi +e(x2_Xi))> donde 0<e<l.
x,-x2
Aplicamos esto a nuestra función e~*F(x) que, ciertamente, satisface
todas las condiciones requeridas para que se cumpla el teorema del valor
medio sobre el intervalo cerrado [x,, x2] donde x, = 0 y x4 = k, donde k
es un entero positivo cualquiera. Obtenemos, entonces, que e~kF(h) — F(0) =
—e~6"hf{6hh)hy donde 0* depende de £ y es un número real entre
0 y 1. Multiplicando esta relación por e* obtenemos F(k)—F(0)ek=
—eil~*k}kf(0kk). Lo escribimos explícitamente para distintos valores de h:
F(l)-eF(0) = -e'1-'1»/^,) = e,
(1) F(2)-e2F(0) = -2í2<1-,I>/(2e2) = e2
F(«)-«"F(0) = -n^'^fine,,) = e».
Supongamos ahora que e fuera un número algebraico; entonces satisfaría
alguna relación de la forma
(2) clle"+cn-1en-l + ...+c1e+c0 =0,
donde c0, cx,..., cm son enteros y c0 > 0.
En las relaciones (1), multipliquemos la primera ecuación por clt la
segunda por c2 y así sucesivamente; sumando estas obtenemos ctF(l) +
c2F(2)+...+cmF(n)-F(0)(c1e+c3e2+... +c„e") = c1e1 +c2e2 +... +c„e„-
En vista de la relación (2), cte+c2e2+...+c„e" = —c0, de donde la
anterior ecuación se simplifica hasta tomar la forma
(3) c0F(G)+c1F(l)+...+c„F{n) = c1GI + ...+cMeIt.
Toda esta discusión tiene validez para la F(x) construida a partir de
un polinomio arbitrario /(x). Vemos ahora lo que todo esto implica para un
polinomio muy particular, un polinomio que fue Hermite el primero que
usó, a saber,
/(x) = —?— x»-,(1-x)»(2-x)».»(ii-x)'.
(P-1)I

12. LA TRANSCENDENCIA DE a 209
Aquí, p puede ser cualquier número primo escogido de forma que p > n y
p > c0. Partiendo de este polinomio examinaremos atentamente F(0), F(l),
...,F(n) y haremos una estimación de la magnitud de elt e2, ••-,£„-
Cuando se desarrolla, f(x) es un polinomio de la forma
{níf x,_, t aBx' t aix'+l |
(p-l)! (p-l)! (p-l)! '
donde a0tal , son enteros.
Cuando í ^ p afirmamos que /(0(x) es un polinomio con coeficientes
que son enteros, todos los cuales son múltiplos de p. (Pruébese. Véase el
problema 2.) Asi pues, para cualquier entero y,/*°0)» P^v ' ^ P es un
entero y es un múltiplo de p.
Ahora bien, según su misma definición, f{x) tiene una raíz de
multiplicidad p en x = 1, 2,..., n. Luego para j = 1,2,..., n, f{j) = 0, .,.,
/'-I>0) = 0. Pero F0')=/0)+/(1)0)+--+/<'"1>0)+/<,,)0*) + -..+
/^O); P01" ^a anterior discusión para y = 1,2,..., n, F(J) es un entero y es
un múltiplo de p.
¿Y qué hay acerca de F(0)? Como/(x) tiene una raíz de multiplicidad
p-\ en x = 0, /(O) =/(1)(0) = ... =/<'"2,(0) = 0. Para i > p,/(I)(0)
es un entero que a la vez es un múltiplo de p. PtToflp~Ii(0) — (n \y y como
p > n y es un número primo, /Mtn-)p de forma que/í,p~lí(0) es un entero
no divisible porp. F(0) = /(0)+/(1>(0)+ ...+/('-2,(0)+/<',-1>(0)+/(,,)(0)
+... +/(r,(0), concluimos que F(G) es un entero no divisible por p. Como
c0 > 0 y p > c0, y como p\F{G) mientras que p\F(l)yp\F(2), ...,p\F(n)t
podemos asegurar que coF(0)+c1F(l)+... +c„F(n) es un entero y no es
divisible por p.
Pero de acuerdo con (3), coF(0)+clF(l)+...+cMF(n) = clel +
... +c„£H. ¿Qué puede decirse acerca de €|? Recordemos que
^ -g1'1 -«■>(! -wy •• • (n-W¡f{Wy-1 i
(P-D!
donde 0 < 6t < 1. Así pues
(p-l)!
Cuando p-* oo
(p-l)!
(Pruébese.) De donde resulta que podemos encontrar un número primo
mayor que ambos c0yny suficientemente grande para que tae, +... +
cHem\ < 1. Pero c,e, + ... +cm€m = coF(0)+... +cmF{n)t luego debe ser un
entero', como es más pequeño que 1 nuestra sola posible conclusión es que

210
CAMPOS — Cap. &
c,g, + ... +cje„ = 0. En consecuencia, coF(0)+... +c„F{ri) = 0; pero esto
carece en absoluto de sentido, ya que sabemos quepj{(c0 F(0)+... +c„F{n)),
mientras que p\0. Esta contradicción, que nace de la hipótesis de que e es
algebraico, prueba que e debe ser transcendente.
Problemas
1. Usando para e la serie infinita, e = 1 H 1 1 1 1 h -••
i! 2! 3! mi
pruébese que e es irracional.
2. Si g{x) es un polinomio con coeficientes enteros, pruébese que si p
es un número primo entonces para i ^ p,
d' ( g(x) \
es un polinomio con coeficientes enteros cada uno de los cuales es
divisible por p.
3. Si a es un número real cualquiera, pruébese que ((T¡m!) ~* 0 cuando
m->oo.
4. Si m > 0 y n son enteros, pruébese que em,n es transcendente.
3. RAICES DE POLINOMIOS
En la sección 1 discutimos elementos de una extensión dada K de F que
eran algebraicos sobre F, es decir, elementos que satisfacían polinomios
en F[x]. Volvemos ahora el problema al revés; dado un polinomio p(x) en
F[x], queremos encontrar un campo K que sea una extensión de F en el que
p(x) tenga una raíz. Ya no tenemos el campo K a nuestra disposición;
en realidad, nuestro primer objetivo es construirlo. Una vez que lo hayamos
construido lo examinaremos detenidamente y veremos qué consecuencias
podemos derivar de tal examen.
Definición. Si p(x)eF[x] entonces un elemento a que se encuentra en
algún campo extensión del Fse llama raíz de p(x) si p(a) = 0.
Comenzamos con el familiar resultado conocido como el teorema del
residuo.
Lema 5.1. Si p{x)eF[x] y si K es una extensión de F, entonces para
cualquier elemento beK, p{x) = (x~b)q(x)+p(b)t donde q(x)eK[x] y donde
degfl(x) -degp(x)-l.

i 3. RAICES DE POLINOMIOS 211
Prueba. Como Fe K, F[x] está contenido en K[x], de donde podemos
considerar p(x) como se encontrara en K[x]. Por el algoritmo de la
división para polinomios en K[x]yp{x) = (x—b)q(x)+r donde q(x)eK[x] y
donde r = 0 o degr < deg(x—b) = I. Así pues, o r ~ 0 o degr = 0;
en cualquiera de los casos r debe ser un elemento de K. ¿ Pero qué elemento
de Kes exactamente? Comop(x) = (x—b)q(x) + r,p{b)=(b—b)q{b)+r = r.
Por tanto, p(x) = (x—b)q(x)+p(b). Que el grado de q(x) es menor en una
unidad que el de p(x) es fácil de verificar y se deja para el lector.
Corolario. Si aeK es una raíz de p(x)eF[x]> donde F<z Ky entonces
enK[x],(x-a)\p(x).
Prueba. De acuerdo con el lema5.l,enA{x],p(x) = (x—a)q(x)+p(a) =
(x—a)q(x), ya que p(a) = 0. Por tanto, (x—a)\p(x) en K[x].
Definición. El elemento ae ATesuna raíz dep{x)eF[x] de multiplicidad m
si (x — a)m\p(x), mientras que (x—áyn*y)(p{x).
Una pregunta razonable es la siguiente: ¿cuántas raices puede tener un
polinomio en un campo dado? Antes de contestar debemos ponernos de
acuerdo en cómo debemos contar una raiz de multiplicidad m. Siempre
¡a contaremos como m raices. Aceptada esta convención, podemos probar el
Lema 5.2. Un polinomio de grado n sobre un campo tiene cuando más
n raices en cualquier campo extensión.
Prueba. Procedemos por inducción sobre n, el grado del polinomio p(x).
Si p(x) es de grado I, entonces debe ser de la forma ctx+0, donde a, 0 están
en un campo F y donde a ^ 0. Cualquier a tal que p{a) = 0 debe entonces
implicar que za+0 = 0 de donde se concluye que a = —0¡a. Es decir,
p(x) tiene la raíz única ~0fa, de donde la conclusión del lema es,
ciertamente, válida en este caso.
Suponiendo que el resultado sea cierto en cualquier campo para todos
los polinomios de grado menor que n, supongamos que p(x) es de grado n
sobre F. Sea K una extensión cualquiera de F. Si p(x) no tiene ninguna
raíz en K entonces lo afirmado es cierto, pues el número de raíces en K,
a saber, cero, es definitivamente cuando más n. Supongamos, pues, que p(x)
tiene al menos una raíz aeK y que a es una raíz de multiplicidad m. Como
(x — a)m\p(x), de ello se sigue que m < n. Ahorap{x) = {x—a)mq{x) donde
q(x)eK[x] es de grado «—m. Del hecho de que (x— af+íJtp(x) deducimos
que (x~a))(q(x), de donde, según el corolario al lema 5.I, a no es una
raíz de ^(x). Si b ± a es una raiz, en AT. de p(x) entonces 0 = p{b) =
(b—a)"q(b); pero, como b—a ^ 0 y como estamos en un campo, concluimos
que q(b) = 0. Es decir, cualquier raíz de p{x) en K distinta de la a debe

212
CAMPOS — Cap. 6
ser una raíz de q(x). Como q(x) es de grado n—m < n, q(x) tiene, de
acuerdo con nuestra hipótesis de inducción, cuando más n—m raíces en K,
que, junto con la otra raíz ay contada m veces, nos dice que p(x) tiene
cuando más m+(n—m) = n raíces en K. Esto completa la inducción y
prueba el lema.
Se debe subrayar que la conmutatividad es esencial en el lema 5.2.
Si consideramos el anillo de cuaternios reales, al que solo le falta ser
conmutativo para ser un campo, entonces el polinomio x2 +1 tiene al menos
tres raíces, i, j y k (en realidad tiene un número infinito de raices). En una
dirección un poco diferente necesitamos, aunque el anillo sea conmutativo,
que sea un dominio entero además, pues si ab = 0 con a#0y¿?¿0enel
anillo conmutativo R, entonces el polinomio ax de grado 1 sobre R tiene al
menos dos distintas raices x=0yx = ¿enü.
Los dos lemas anteriores, aunque interesantes, son de interés secundario.
Seguimos ahora con nuestra primitiva tarea, la de hacernos de extensiones
adecuadas de F en las que un polinomio dado tenga raices. Una vez que
hayamos hecho esto, seremos capaces de analizar tales extensiones con el
suficiente grado de precisión para obtener resultados. El paso más
importante en la construcción lo damos en el próximo teorema. El argumento
usado nos recordará algunos de los usados en la sección 1.
Teorema 5.G. Si p{x) es un polinomio en F[x] de grado n 5= 1 y es
irreducible sobre Ft entonces hay una extensión E de F tal que [E: F] = n
en que p(x) tiene una raíz.
Prueba. Sea F[x] el anillo de polinomios en x sobre Fy sea V = (p(x))
el ideal de F[x] generado por p(x). Según el lema 3.22 V es un ideal máximo
de F[x], de donde, de acuerdo con el teorema 3.b, E = F[x]¡Ves un campo.
Mostraremos que esta E satisface las conclusiones del teorema.
Necesitamos demostrar primero que fes una extensión de F, ¡aunque
en realidad no lo es! Pero sea F la imagen de F en E> es decir, sea
F= {a+V\aeF}. Afirmamos que Fes un campo isomorfo a F; en realidad,
F[x]
si ^ es la aplicación de F[x] en —~ = £ definida por f(x)t¡/ = /(x)+ V,
entonces la restricción a .Finduce un isomorfismo de .Fsobre F (¡pruébese!).
Usando este isomorfismo, identificamos F y P; de este modo podemos
considerar a E como una extensión de F.
Afirmamos que E es una extensión finita de F de grado n = degp(x),
pues los elementos \ + Vrx+V,(x+V)2 = x2 + V, ...t(x+V)* =x* + V,...t
(x+V)*'1 = x*~l + V forman una base de £ sobre F (¡pruébese!). Por
conveniencia de notación denotemos al elemento xip = x+ Ven el campo E
por a. Dado/(x)eF[x], ¿qué es/(x)^ ? Afirmamos que es simplemente /(«),
pues como ^ es un homomorfismo, si/(x) = /?0+£1x+...+/?Jtx*, entonces

! 3. RAICES DE POLINOMIOS 213
f(x)i¡> = M+{fii*¡>)(xi¡>)+...+(j}k\Jt)(xi¡>)kt y usando la identificación
antes indicada de /?i/» con fi, vemos que/(x)^ = /(«). En particular, como
p(x)eV, p(x)$ = 0; pero p{x)\¡t = p(a). Luego el elemento a = xi¡> en E
es una raíz de p(x). El campo £ se ha demostrado que satisface todas las
propiedades requeridas en la conclusión del teorema 5.g y, por tanto, este
teorema ha quedado probado.
Una consecuencia inmediata de este teorema es el
Corolario. Sif(x)eF[x], entonces hay una extensión finita Ede F en
que f(x) tiene una raíz. Además, [E:F] < deg/(x).
Prueba. Sea p(x) un factor irreducible de/(x); cualquier raíz de p(x)
es una raíz de/(x). De acuerdo con el teorema, hay una extensión E de F con
[E:F] = deg/?(x) < deg/(x) en que p(x) y, por tanto, /(x), tiene una
raíz.
Aunque, en realidad, se trata de un corolario al anterior corolario, el
siguiente teorema es de tanta importancia que lo singularizamos como tal,
como teorema.
Teorema 5.H. Seaf(x)eF[x] de grado n > \. Entonces hay una extensión
E de F de grado cuando más n! en que f{x) tiene n raíces {y, por tanto, un
juego completo de raíces).
Prueba. En el enunciado del teorema una raíz de multiplicidad m se
cuenta, desde luego, como m raíces.
Según el anterior corolario hay una extensión Eq de F con [E0 : F] < n
en que f(x) tiene una raíz a. Así pues, en E0[x],f(x) se factoriza como
f(x) = (x—a)q(x) donde q(x) es de grado n—1. Usando inducción (o
continuando el anterior proceso) hay una extensión E de E0 de grado
cuando más(n—1)! en que $(x) tienen—1 raíces. Como cualquier raíz de
f(x) es o a o una raíz de q(x), obtenemos en E todas las n raices de/(x).
Y tenemos, además, [E: F] = [E: Eo\[E0 : F] < (n-í)ln = n\. Con lo
que todas tas partes del teorema han quedado probadas.
El teorema 5.h afirma la existencia de una extensión finita E en la que el
polinomio dado/(x), de grado n sobre F, tiene n raíces. Si/(x) = a0x*+
a1xm*1 + .,.+a„ta0 ^ Oy si las n raices en £ son a,, ...,a„, haciendo uso
del corolario al lema 5.1, f(x) puede factorizarse sobre E como
f(x) = ao(x—ot,)(x—a2)... (x—oA Así pues,/(x) se descompone
completamente sobre E como un producto de factores lineales (de primer grado).
Como una extensión finita de F existe con esta propiedad, existe también
una extensión finita de F de grado mínimo que también disfruta de esta
propiedad de descomposición de/(x) como un producto de factores lineales.

214
CAMPOS — Cap. 5
Para una tal extensión mínima, ningún subcampo propio tiene la propiedad
de que/(x) se factorice sobre él en un producto de factores lineales. Esto nos
lleva a la siguiente
Definición. Sí/(x)e£[x], una extensión ñmta £ de f se dice que es
un campo de descomposición de/(x) sobre F si/(x) puede ser descompuesto
en un producto de factores lineales sobre E (es decir, en E[x])w pero no en
ningún subcampo propio de £
Repetimos: el teorema 5M nos garantiza la existencia de campos de
descomposición. En realidad nos dice aún más, pues nos asegura que dado
un polinomio de grado n sobre F hay un campo de descomposición de este
polinomio que es una extensión de F de grado cuando más n\ sobre F.
Veremos más adelante que esta cota superior «! es realmente alcanzada;
es decir, dado /?, podemos encontrar un campo Fy un polinomio de grado n
en F[x] tal que el campo de descomposición de/(x) sobre f tenga grado n!.
Equivalente a la definición que dimos de campo de descomposición de
f(x) sobre F es la proposición: £ es un campo de descomposición de f{x)
sobre F si E es una extensión mínima de F en la que f{x) tiene n raices*
donde n = deg/(x).
Surge de inmediato una pregunta: dados dos campos de descomposición
£, y £2 del mismo polinomio f{x) en F[x], ¿cuál es la relación de uno
con otro? A primera vista no tenemos derecho alguno a suponer que exista
entre ellos relación alguna- Nuestro siguiente objetivo es demostrar que
ciertamente están íntimamente relacionados; en realidad, que son isomorfos
con un isomorfismo que deja ñjos todos los elementos de £ Es en tal
dirección en la que ahora nos moveremos.
Sean F y f' dos campos y sea t un isomorfismo de f sobre f'. Por
conveniencia, denotemos la imagen de cualquier asF bajo t por a1; es decir,
ai = a\ Mantendremos esta notación durante unas páginas que siguen.
¿Podemos usar t para definir un isomorfismo entre F[x] y £'[/], los
respectivos anillos de polinomios sobre f y f' ? ¿Por qué no probar lo obvio ?
Para un polinomio arbitrario f(x) = 0Loxn+<xlxn~í + ... +ansF[x] definimos
r* por/(x)t* -(a0xft+aí*""' + ...+txn)i* =a ¿t"+tx¡t"~l + -..+*;-
Es un problema sin complicaciones que dejamos al lector, el verificar
el siguiente
Lema 5.3. t* define un isomorfismo de F[x] sobre F'[t] con la propiedad
de que crr* = a' para todo asF.
Si/(x) está en £[x] escribiremos/(x)t* como/'(/)- El lema 53 implica
inmediatamente que las factorizaciones de /(x) en F[x] van a dar a
factorizaciones análogas de/'(/)en £'[/], y viceversa- En particular,/(x) es
irreducible en f[x] si y solo si/'(/) es irreducible en f'[í]-

f 3. RAICES DE POLINOMIOS
216
Pero por el momento no estamos particularmente interesados en los
anillos de polinomios, sino más bien en las extensiones de F. Recordemos
que en la prueba del teorema 5.b empleamos anillos cociente de anillos de
polinomios para obtener extensiones adecuadas de F. En consecuencia,
debería ser natural para nosotros estudiar la relación entre F[x]¡(f(x)) y
*"[']/(/'(OX donde (f(x)) denota el ideal generado por/(x) en F[x] y (/'(/))
el generado por/'(O en F'[t]. El próximo lema, que es importante para
esta cuestión, es realmente parte de un resultado más general sobre la
teoría de anillos, pero nos contentaremos con él como resulta al aplicarse
en nuestro muy particular caso.
Lema 5A Hay un isomorfismo r** de F[x]}(f(x)) sobre F'[t]}(f'(t))
con ¡a propiedad de que para todo aeft ax** = a\
Prueba. Antes de comenzar con la prueba misma, debemos aclarar
cómo debe entenderse la última parte del enunciado del lema. Como hemos
hecho ya antes varias veces, podemos considerar a F como inmerso en
F[x]f(f(x)) mediante la identificación de cada elemento aeF con la clase
lateral a+t/X*)) de F[x]¡(f(x)y Análogamente, podemos considerar a F'
contenido en F'[t\¡(f'(t)). El isomorfismo t** se supone entonces que
satisface [a+</(x))]t** = *'+</'(/)).
Buscamos un isomorfismo t** de F[x\¡(f(x)) sobre /"[/]/(/'('))■ ¿Qué
puede ser más simple o más natural que probar la t** definida por [g(x) +
(/(*))]*** =&'(*)+(/'{*)) para todo g(x)eF[x]? Dejamos como un
ejercicio llenar los diferentes detalles para probar que la t** así definida
está bien definida y que es un isomorfismo de F[x]¡(f(x)) sobre F'[t]j(f'(t))
con las propiedades necesarias para verificar el enunciado del lema 5A
Para nuestro propósito —que es el de probar la unicidad de los campos de
descomposición — el lema 5.4 nos da la línea de ataque, pues podemos
probar ahora que
Teorema 5j. Si p(x) es irreducible en F[x] y si v es una raíz de p(x)9
entonces F(v) es isomorfo a F'(w) donde w es una raíz de p'(t); además* este
isomorfismo o puede escojerse de modo que
1) va = w
2) ac = a' para todo aeF.
Prueba- Sea v una raíz del polinomio irreducible p(x) perteneciente
(la raíz) a alguna extensión K de F Sea M = [f(x)eF[x] \f(v) = 0}. M es
trivíalmente un ideal de F[x]t y M ± F[x\. Como p{x)eM y es un
polinomio irreducible, tenemos que M = (p(x)\ Como en la prueba del teorema 5.b
transfórmese F[x] en F(v) c K con la aplicación ^ definida por q(x)\p = q(v)
para todo q{x)eF[x]. Vimos antes (en la prueba del teorema 5.b) que ip

216 CAMPOS —Cap. 6
*
transforma F[x] sobre F(u). El núcleo de ^ es precisamente Mt luego debe
ser (/>(■*))• Según el teorema fundamental del homomorfismo de anillos hay un
isomorfismo ^* de F[x]¡(p(xy) sobre F(v). Nótese, además, que aip* = a para
todo ae/I Resumiendo : ^* es un isomorfismo de F[x]¡(p(x)) sobre F(v) que
deja todos los elementos de F fijos y con la propiedad de que v — [x+
Como p(x) es irreducible en F[x]s p'(t) es irreducible en F'[t] según el
lema 5.3) y, por tanto, hay un isomorfismo 6* de F'[t]/(p'(t)) sobre F'(w)
donde w es una raíz de p'(t) tal que 0* deja fijos todos los elementos de F'
y tal que [í+(/?'(/))0* = w*
Unimos ahora todas las piezas para probar el teorema 5.i. De acuerdo con
el lema 5.4 hay un isomorfismo t** de F[x]¡(p(x)) sobre F'[t]/(p'(t)) que
coincide con t sobre Fy que lleva ■*+(/>(*)) sobre *+(/>'(/))- Consideremos
la aplicación a = (^*)-1t**0* (motivada por
F(r)ií^ í^^£^L^F(w))
(pW) (p'O)
de F(v) sobre F'fy?)* Es un isomorfismo de F(v) sobreF(w) ya que todas
las aplicaciones ^*, t**, y 0* son isomoifismos suprayectivos. Además, como
v = [x + (p(x))} **, w = <»(**)"*) *** 0* = ([x + (/>(x)) z") 0» = (/ +
(/>'(O)]0* = ">- Además, para aeF, a* = Wr1)^*^* = (éxt**)0* =
a'0* = ce'. Hemos mostrado que a es un isomorfismo que satisface todos los
requerimientos del isomorfismo en el enunciado del teorema. Luego el
teorema 5.i ha sido probado.
Un caso particular, pero en sí de interés, es el que aparece en el siguiente
corolario.
Corolario. Si p(x)eF[x\ es irreducible y si at b son dos raíces de p(x),
entonces F(d) es isomorfo a F(b) con un isomorfismo que lleva aenby que deja
fijos todos ios elementos de F*
Llegamos ahora al teorema que es, como antes indicamos, la piedra
angular sobre la que descansa toda la teoría de Galois. Para nosotros es el
punto focal de toda esta sección.
Teorema 5j. Cualesquiera campos de descomposición E y Er de los
polinomios f(x)eF[x] yf'(t)^F'{t]y respectivamente, son isomorfos con un
isomorfismo <p con la propiedad de que a<p = a' para todo aeF. (En particular,
cualesquiera dos campos de descomposición del mismo polinomio sobre un
campo dado F son isomorfos con un isomorfismo que deja fijos todos los
elementos de F.)

*3. RAICES DE POLINOMIOS
217
Prueba. Nos gustaría usar un argumento inductivo; para hacerlo
necesitamos un indicador de tamaño valuado en los enteros que podamos
hacer decrecer por medio de una u otra técnica. Usaremos como indicador el
grado de algún campo de descomposición sobre el campo inicial Tal vez
parezca artificioso (en realidad, incluso puede ser artificioso), pero lo
usamos, como pronto veremos, porque el teorema 5.i nos proporciona el
mecanismo para disminuirlo.
Si [E:F] = 1, entonces E = F, de donde/(x) se descompone en un
producto de factores lineales sobre el mismo f\ Según el lema 53f'{t) se
descompone sobre F en un producto de factores lineales, de donde E' = F\
Pero entonces <f> = t nos proporciona el isomorfismo de E sobre E' que
coincide con x sobre F*
Supongamos que el resultado es cierto para cualquier campo F0 y
cualquier polinomio/(x)eír0[x] con tal de que el grado de algún campo de
descomposición E0 de/(x) sea menor que n sobre Fü9 es decir, con tal de que
[E0:F0]<n.
Supongamos que [E: F] = n > 1, donde E es un campo de descomposición
de/(x) sobre F, Como n > l,/(x) tiene un factor irreducible p(x) de grado
r>l. Sea p'(/) el correspondiente factor irreducible de/'(/). Como E
descompone a f(x)9 un juego completo de raíces de /(x) y, por tanto, a
priori* de raíces de/>(x), están en E. De esta manera, hay una veE tal que
p{v) = 0; de acuerdo con el teorema 5x, [F{v):F] = #\ Análogamente, hay
una weE' tal quep'(i¿) = 0. Según el teorema 5.i hay un isomorfismo $ de
F(v) sobre F'(w) con la propiedad de que aa = a* para toda aeF.
Como [F(v):F] = r>l,
\F(v):F] r
Afirmamos que £ es un campo de descomposición para f(x) considerado
como un polinomio sobre F0 = F(v)y pues ningún subcampo de E9
conteniendo F0 y9 por tanto, í% puede descomponer /(x), ya que E se supone es
un campo de descomposición de f(x) sobre F. Análogamente, E' es un
campo de descomposición para/'(í) sobre F*Q = F'{w)* Por nuestra hipótesis
de inducción hay un isomorfismo <f> de £ sobre E' tal que a<f> = aa para todo
aeF0. Pero para cada aeF9aa = ce'de donde p&T&aeFc F09a4> = ao = a'.
Esto completa la inducción y prueba el teorema.
Para ver la verdad de la parte "en particular.*.", sea F = F' y sea t la
aplicación idéntica az = a para todo aeF. Supongamos que Ey y E2 son dos
campos de descomposición de f(x)eF[xy Considerando Ex — E=>F y
E2 = E'=>F* = Fy aplicando el teorema que acabamos de probar, tenemos
que Ex y E2 son isomorfos con un isomorfismo que deja fyos todos los
elementos de F,

218
CAMPOS —Cap. 5
En vista del hecho de que dos campos de descomposición del mismo
polinomio sobre F son isomorfos y con un isomorfismo que deja ñjos todos
los elementos de F, podemos hablar justificadamente del campo de
descomposición, y no de un campo de descomposición» pues que este es
esencialmente único-
Ejemplos
L Sea F un campo cualquiera y sea p(x) =x2+ax+fi9 a, /íeF,
perteneciente a F[x]. Si Kes una extensión cualquiera de Fen que p(x) tiene
una raíz, a, entonces el elemento b = —a—a igual que en K es también
una raíz de p(x). Si6 = a es fácil comprobar quep(x) debe, entonces, ser
p(x) = (x—a)2 y, por tanto, ambas raíces de p(x) están en K Si b yt a,
entonces» de nuevo, ambas raíces de p(x) están en K En consecuencia
p{x) puede ser descompuesto por cualquier extensión de grado 2 de F.
Podíamos también haber obtenido este resultado directamente aplicando
el teorema 5,h-
2- Sea Fel campo de los números racionales, y sea/(x) = x3—2. En el
campo de los números complejos las tres raíces de/(x) son ^/2, w^/2,
w1 *f2> donde w = (— 1 + ^/3 0/2 y donde l¡2 es una raíz cúbica real de
2. Pero aquí F(*/2) no puede descomponer x3—2, pues, como un
subcampo del campo rtal, no puede contener el número complejo y no
real w */2. Sin determinarlo explícitamente, ¿qué podemos decir acerca de
£, el campo de descomposición de x3 —2 sobre F? Según el teorema 5.h,
[£:FJ ^ 3! = 6; por la anterior observación, como x3 = 2 es irreducible
sobre Fy como [F(^2): F] = 3, de acuerdo con el corolario al teorema 5.a,
3 = [F(^f2):F]\lE^ Finalmente, [EzF)>[F(*/2):F] = 3. La única
posibilidad es que [£:F] = 6. Podíamos, desde luego, obtener este
resultado haciendo dos extensiones F, = F(^/2) y E = Fx (w) y
mostrando que w satisface una ecuación cuadrática irreducible sobre F,,
3- Sea Fel campo de los números racionales y sea/(x) = x*+x2 + leF[x].
Afirmamos que E = F(co), donde w = (— 1 +yf$ 0/2» es un campo de
descomposición de/(x). Luego [E:F] = 2, muy lejos del máximo posible
4! = 24.
Problemas
1. En la prueba del lema 5.1, demostrar que el grado de q{x) es menor
en una unidad que el de /?(x).
2. En la prueba del teorema S.g, pruébese con todo detalle que los
elementos l + Vrx+Vy ...Ix"~1 + K1 forman una base de E sobre F.
3- Pruébese el lema 5.3 con todos los detalles.

13. RAICES DE POLINOMIOS
219
4. Demuéstrese que i** en el lema 5-4 está bien definido y es un iso-
morfismo de F[x]f(f(x)) sobre F [/]/(/'(*))-
5. En el ejemplo 3 al final de esta sección pruébese que F(w) es el campo
de descomposición de x4 + x2+L
6. Sea Fel campo de los números racionales. Determínense los grados
de los campos de descomposición de los siguientes polinomios sobre /".
a) x4+L
b) x*+\.
c) x4-2.
d) x5-L
e) x9 + x3+L
7. Si p es un número primo, pruébese que el campo de descomposición
sobre F, el campo de los números racionales, del polinomio xp — I es de
grado p—L
**8, Si n > I, pruébese que el campo de descomposición de xn — l sobre
el campo de los números racionales es de grado 0(n) donde Oes la función
O de Euler.
*9. Si F es el campo de los números racionales, encontrar las
condiciones necesarias y suficientes sobre a y b para que el campo de
descomposición de x3+ax + b tenga exactamente 3 como grado sobre F
10. Seap un número primo y sea F = Jpt el campo de enteros módulo p.
a) Pruébese que hay un polinomio irreducible de grado 2 sobre F.
b) Úsese este polinomio para construir un campo con p2 elementos.
*c) Pruébese que dos polinomios irreducibles cualesquiera de grado 2
sobre Fnos llevan a campos isomorfos con/?2 elementos.
11. Si E es una extensión de F y si f{x)e F[x] y $ es un automorfismo de
E que deja fijos todos los elementos de F, pruébese que <f> debe llevar una
raíz de/(x) que pertenezca a £ en una raíz de/(x) en E.
12. Pruébese que F(* 2), donde Fes el campo de los números racionales,
no tiene ningún automorfismo aparte del idéntico.
13. Usando el resultado del problema 11, pruébese que si el número
complejo i es una raíz del polinomio p(x) de coeficientes reales* entonces a,
el conjugado complejo de a, es también una raíz de p(x).
14. Usando el resultado del problema II, pruébese que si m es un
entero que no es un cuadrado perfecto y si a + ZÍ^/m (a, fi racionales) es la
raíz de un polinomiop(x) que tiene coeficientes racionales, entonces a—fiyfm
es también una raíz de p(x).

220
CAMPOS — Cap. 6
*15. Si F es el campo de los números reales, pruébese que si $ es un
automorfísmo de í\ entonces 4> deja fijos todos los elementos de F.
16. a) Encuéntrense todas las tetradas reales í = a0+a1i+a2j+aik que
satisfacen í2 = — 1.
*b) Para /, como en la parte {a\ pruébese que podemos encontrar una
tetrada real 5 tal que sts^1 = i.
4, CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS
Hacemos una pausa en nuestro desarrollo general para examinar algunas
implicaciones de los resultados obtenidos hasta ahora en algunas situaciones
geométricas familiares.
Un número real a se dice que es un número constructible si únicamente
usando la regla y compás podemos construir un segmento rectilíneo de
longitud ge. Suponemos que nos han dado alguna unidad de longitud
fundamental. Recuérdese que según la geometría de secundaria podemos
construir» con regla y compás, una recta perpendicular y una recta paralela
a una recta dada que pase por un punto dado. Basándonos en esto es un
fácil ejercicio (véase el problema 1) probar que si ce y fi son números cons-
tructibles entonces tamben lo son a±fi9 a& y, cuando /í / 0, a}/3. Por
tanto» el conjunto de números constructibles forma un subeampo, W% del
campo de los números reales.
En particular, como IeW9W debecontener a FQ, el campo de los números
racionales. Deseamos estudiar la relación de W con el campo racional.
Como tendremos muchas ocasiones de usar la frase "construir con regla
y compás" (y variantes de ella) las palabras construir, constructible, cons-
truccióñy siempre significarán con regla y compás.
Si we W podemos llegar a w partiendo del campo racional por un número
finito de construcciones.
Sea F un subeampo cualquiera del campo de los números reales*
Consideremos todos los puntos (x9y) en el plano real euclidiano cuyas dos
coordenadas, xy;, ítstán en F; llamamos al conjunto de estos puntos el
plano de F. Cualquier recta que una dos puntos en el plano de F tiene una
ecuación de la forma ax+by+c = 0 donde a% b y cestán todos en F(véase
el problema 1). Además, cualquier circunferencia que tenga como centro un
punto en el plano de F y como radio un elemento de F tiene una ecuación de
la forma x2+y2+ax+by+c = 0, donde todos los a, 6, c están en F (véase
el problema 3). Llamamos a tales rectas y circunferencias rectas y
circunferencias en F.
Dadas dos rectas en F que se intersecan en el plano real, entonces su
punto de intersección es un punto en el plano de F (véase el problema 4),
Por otra parte, la intersección de una recta enFy una circunferencia en F

f 4. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS
221
no necesariamente nos va a dar un punto en el plano de F„ Pero usando el
hecho de que la ecuación de una recta en Fes de la forma ax+by+c = 0 y
la de una circunferencia en Fes de la forma x2+y2+dx+ey+f = 0, donde
a, b9 c9 d9 e,/están, todas, en F, podemos demostrar que cuando una recta y
una circunferencia de F se intersecan en el plano real, entonces se intersecan
o en un punto en el plano de F o en el plano de F(Afy) para algún positivo y
de F (véase el problema 5), Finalmente, la intersección de dos circunferencias
en F puede realizarse como la de una recta en F y una circunferencia en F,
pues si estasdos circunferencias son x2+y2+a1x+bíy+cí = Oy x2+y2 +
a2x+b2y+c2 = 0, entonces su intersección es la intersección de cualquiera
de ellas con la recta (ai—a1)x+(bí—b2)y+{cí—c2) = 0, luego también
nos da un punto o en el plano de F o en el plano de F(yfy) para algún
positivo y en F,
Así pues, las rectas y las circunferencias de Fnos llevan a puntos o en Fo
en extensiones cuadráticas de F. Si ahora estamos en F{yfyi) para alguna
extensión cuadrática de F, entonces las rectas y las circunferencias en
F(y/Yi) se intersecan en puntos en el plano de F(yfyl9yfy2) donde y2 es
un número positivo en F(yjyx). Un punto es constructible partiendo de Fsi
podemos encontrar números reales A,,..., Xm* tales que Xx2eF9 X22eF(Xí)*
X32eF(Xl9 X2)9..., XH2eF(Xí9 ...9Xn_í)9 tales que el punto está en el plano
F(¿i,...v ¿n). Recíprocamente, si yeF es tal que yfy es real, entonces
podemos realizar y como una intersección de rectas y circunferencias en F
(véase el problema 6). Así pues, un punto es constructible partiendo de F si y
sólo si podemos encontrar un número finito de números reales Xl9 -.., ¿R,
tales que
1) [F(AJ:F]=lo2
2) [F(A|I».,il):FPh...1Vi)] = 1 o 2 para/ = 1,2, ...,«,
y, además, que nuestro punto se encuentre en el plano de F(¿,,,.., ¿J.
Hemos dicho que un número real a es constructible si empleando la
regla y el compás podemos construir un segmento rectilíneo de longitud a.
Pero esto, en términos de la anterior construcción, se traduce en : a es
constructible si, comenzando en el plano de los racionales, F0, podemos
incluir ce en un campo obtenido partiendo del F0 por un número finito de
extensiones cuadráticas. Y esto es el
Teorema 5.k, El número real a es constructible si y sólo si podemos
encontrar un número finito de números reales Xy, ..M XK tales que:
2) Vefo(*i> ---. ¿í-i)pora i = 1,2,...,«,
tales que aeF0(Xlr..., A„).

222
CAMPOS —Cap. 5
Podemos, además, calcular el grado de FQ{X tX„) sobre F0t pues
según el teorema 5.a, [F0(¿,,..., Á„): F0] = [F0(A,,..., K)*F0{¿X,..., ¿R_ x)\
"-l^o(^i-----^i):^o(^i----i^i-i)]---[fo(^i) = 'rol- Como cada término del
producto es 1 o2ftenemosque[F0(Ai, ..., Aji/y = 2% y tenemos, por tanto,
el
Corolario 1. Si a es conslructible entonces a se encuentra en alguna
extensión de ios raciona/es de grado una potencia de 2.
Si a es constructible, según el anterior corolario I , hay un subcampo /f de
los reales tal que aeK y tal que [K:F0] = T. Pero F0{a) <=/f, de donde,
de acuerdo con el corolario al teorema 5.a [F0(a):F0][K:F0] = 2'; por
tanto [F0(a):F0] es también una potencia de 2. Pero si ot satisface un
polinomio irreducible de grado k sobre F0, hemos probado en el teorema 5-c
que [F0(a):F0] = k. De donde tenemos el importante criterio para no
constructibilidad.
Corolario 2- Si el número real a satisface un polinomio irreducible
sobre el campo de los números racionales de grado k, y si k no es una potencia
de 2, entonces a no es constructible.
Este último corolario nos permite llegar a una conclusión en el viejo
problema de la trisección de un ángulo por regla y compás, pues probamos
que
Teorema 5-L. Es imposible, usando solo regla y compás* trisecar el ángulo
¿e60o.
Prueba. Si pudiéramos trisecar 60° coi regla y compás, entonces la
longitud a = eos 20° podría construirse. Recordemos en este momento
la identidad eos 30 = 4cps30 —3 eos 0. Haciendo 0=20° y recordando
que eos 60° = i, obtenemos 4a3 — 3cc = ^, de donde 8ct3 — 6a — 1 = 0.
Luego a es una raíz del polinomio 8x3 —6x—I sobre el campo racional-
Pero este polinomio es irreducible sobre el campo racional (problema 7{a))9
y como su grado es 3, que ciertamente no es una potencia de 2, según el
corolario 2 al teorema 6.k, a no es constructible. Así pues, 60° no puede
trisecarse con solo el empleo de la regla y el compás.
Otro viejo problema es el de la duplicación del cubo, es decir, el de la
construcción de un cubo cuyo volumen sea dos veces el de un cubo dado-
Si el cubo original es el cubo unitario, la resolución del problema lleva
consigo la construcción de una longitud or tal que ce3 = 2. Como el polinomio
x3 —2 es irreducible sobre los racionales (problema 7(6)), según el corolario 2
al teorema 5.k, ce no es constructible- Así pues,

1 4. CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS
223
Teorema 5,m. Con el uso exclusivo de la regla y el compás es imposible
duplicar el cubo.
Queremos exhibir otra figura geométrica que no puede construirse con
regla y compás, a saber, el heptágono regular. Para llevar a efecto tal
construcción se requeriría la constructibilídad de a = 2 eos (2ti/7). Pero
afirmamos que a satisface a jc3 + x2—2x— 1 (problema 8) y que este
polinomio es irreducible sobre el campo de los números racionales (problema 7(c)).
De donde usando de nuevo el corolario 2 al teorema 5.k, obtenemos el
Teorema 5,k Es imposible construir un hepiágono regular con regla y
compás.
Problemas
1. Pruébese que si a, fi son constructibles entonces lo son también
a±/3, aft y a/fi (cuando fi * 0).
2. Pruébese que una recta en atiene una ecuación de la forma ax+by+
c = 0 con o, b y c en F.
3. Pruébese que una circunferencia en f tiene una ecuación de la forma
xz+yz+ax+by+c = 0, con c.fcycenf.
4. Pruébese que dos rectas en F que se intersecan en el plano real, se
intersecan en un punto en el plano de F.
5. Pruébese que una recta en fque se interseca en el plano real con una
circunferencia en F lo hace en un punto que está o en el plano de F o en el
plano de F{yfy) donde y es un número positivo en F.
6. Si yeF es positivo, pruébese que -^es realizable como una
intersección de rectas y circunferencias en F.
7. Pruébese que los siguientes polinomios son irreducibles sobre el
campo de los números racionales.
a) 8jc*-6jc-1.
b) x*-2.
c) jc3+jc2-2jc-1.
8- Pruébese que 2 eos — satisface a jc3+jc2*-2jc—1, (Sugerencia:
Üsese la igualdad 2 eos ^ = e2^1+e'2ai/7.)
9. Pruébese que el pentágono regular es constructible,
10. Pruébese que el hexágono regular es constructible.

224
CAMPOS — Cip. B
11. Pruébese que cl pentadecágono regular es constructible.
12. Pruébese que es posible trisecar el ángulo de 72°.
13. Pruébese que un eneágono regular no es corntructible.
*14. Pruébese que el polígono regular de 17 lados es constructible.
5. MÁS ACERCA DE kAlCES
Volvemos a la exposición general. Sea F un campo y, como usualmente,
F[x] el anillo de los polinomios en x sobre F.
Definición. S¡/(jc) = aúx?+alx?~l + „_ +a(x"_i+ „. +*tm-lx+*tm es
un polinomio en /l*], entonces la derivada de/(x)t representada por/'(x)f
es el polinomio/'(x) = ?iot<1y,"1+(B-I)G:1x""2+ ... +<n—0*i*^~i-l +
.„+aH„1defW-
Dar esta definición o probar las propiedades básicas formales de la
derivada en cuanto a polinomios se refiere, no requiere el concepto de
limite. Pero» como el campo F es arbitrario, podemos esperar que pasen
algunas cosas extrañas. Por ejemplo, si F es de característica p & 0 la
derivada del polinomio jc* es pxp~l *= 0. Asi pues, el resultado coman del
cálculo de que un polinomio cuya derivada es cero debe ser una constante,
no sigue siendo válido. Pero si la característica de Fes 0 y si/'(x) = 0 para
/(jf)EFtt] es cierto que f(x} = aeF (véase el problema 1). Incluso cuando
la característica de F es p ^ 0 podemos aún describir los polinomios con
derivada cero; si/'(-*) = 0 entonces/(jc) es un polinomio en x* (véase el
problema 2).
Probamos ahora las análogas de las reglas formales de diferenciación que
tan bien conocemos.
Lema 5.5. Para cualesquiera f(x)t g{x)eF[x] y cualquier nsF
2) (af[x)Y = *f'(x);
Prueba. Las pruebas de las partes (1) y (2) son extraordinariamente
fáciles y se dejan como ejercicio. Para probar la parte (3) nótese que» de
acuerdo con las partes (1) y (2), es suficiente probarla en el caso muy especial
f(x) ■= x1 y g(x) = xs donde tanto i como j son positivos. Pero entonces
f(x)g(x) = x,+J, de donde (f(x)g{x)y = (Í+J) *"'-*; pero/'(*)*(*) -
i^1xJ=£xi+^1 y f(x)ff'(x) =yxi^1 -y*1*'-1; de donde, en
consecuencial/'(x)í(*)+/i;x)ff'^) - <t+j)^J'1 - (/"(*)íK*))'-

I C. MA5 ACERCA DE RAICES
225
Recuérdese que en el cálculo elemental se muestra la equivalencia entre
la existencia de una raíz múltiple de una función y la anulación simultánea
de la función y su derivada en un punto dado. Incluso dentro de nuestro
actual marco, en el que Fes un campo arbitrario, existe una tal intcrrelación.
Lema 5.6. El polinomio f{x)eF[x\ tiene una raíz múltiple si y sólo si
/(*) yf 00 tienen un factor común no trivial (es decir* de grado positivo).
Prueba. Antes de probar el leftia, parece adecuado que hagamos
observar que si /(x) y g(x) en F[x] tienen un factor común no trivial en K[x]t
para una K extensión de F, entonces tienen un factor común no trivial en
F[x]. En efecto, si fueran primos relativos como elementos en F[x\* entonces
podrían encontrarse dos polinomios a(x) y b(x) en F[x] tales que a (x)/(x)+
b(x)g{x) = ]. Como esta relación también se verifica para estos elementos
vistos como elementos de K[x]% deberían ser también primos relativos en
Vamos ahora con el lema. De la observación que acabamos de hacer
podemos suponer, sin pérdida de generalidad» que las raices de/(x) se
encuentran todas en F (de otra manera extendemos F hasta A\ el campo de
descomposición de/(x)). Si f(x) tiene una raíz múltiple ce entonces/(x) =
(x—a)mq(x) donde m>l. Pero, como puede calcularse de inmediato,
(fjc-a)")' = m{x-<*F~ l- de donde, según el lema 5.5,/'(x) = (jc^a)VW
+/rt(x—ayn~1q(x) = (x—a)r(x), ya que /w> I. Pero esto nos dice que
f(x) yf'(x) tienen x—a como factor común, con lo que el lema queda
probado en una dirección.
Por otra parte, si f(x) no tiene ninguna raíz múltiple, entonces f(x) *=
(jt—at)(x—ot2) ...(x-otj, donde las a, son todas distintas (estamos
suponiendo que /(jc) es mónico). Pero entonces /'(x) = ]T (x—ai)--
(x-aj)-.-(x—aj donde la A determina el término que se ha suprimido.
Afirmamos que ninguna raíz de/(x) es una raíz de/'(x), pues si/'frj =
¡~J fai—aj) # 0, ya que las raices son todas distintas. Pero si/(x) y/'(jc)
tienen un factor común no trivial, tienen una raíz común, a saber, cualquier
raíz de este factor común. El resultado neto es que/(x) y f(x) no tienen
ningún factor común no trivial, con lo que el lema ha sido probado en la
otra dirección.
Corolario I- Sif{x)eF[x] es irreducible, entonces :
1) Si la característica de Fes 0mf(x)no tiene ralees múltiples.
2) Si la característica Afwp^O, /(x) tiene una raíz múltiple sólo si
es de la forma f(x) — g{x*).
Prueba. Como /(x) es irreducible, sus únicos factores en F[x] son 1 y
/(x). Si/(x) tiene una raíz múltiple, entonces f(x) y/'(x) tienen un factor

228
CAMPOS — Cap. 6
común no trivial de acuerdo con el lema, de donde/(x) |/'(x). Pero como el
grado de/'(x) es menor que el dc/(x), la única forma posible de que esto
suceda es que/'(x) sea 0. En característica Cesto implica que/(x) es una
constante, que no tiene ninguna raíz; cuando la característica es p * 0,
eslo obliga a que f(x) = g{xf).
Volveremos dentro de un momento a discutir las implicaciones del
corolario I más completamente. Pero antes, para su posterior uso en el
capítulo 7 en nuestro tratamiento de campos finitos, probaremos un caso
más bien particular
Corolario 2. Si F es un campo de característica p ^ ü, entonces el
polinomio jrF" — xe F[x], tiene* para n 3= 1, raíces distintas.
Prueba. La derivada de x*" — x es p"jcp""■ — I = — 1, ya que F es de
característica p. Por tanto, x*"—x y su derivada son ciertamente primos
relativos, lo que, según el lema, implica que x*"—x no tiene raíces múltiples.
El corolario I no descarta la posibilidad de que en característica p^O
un polinomio irreducible pueda tener raíces múltiples. Para fijar ideas,
exhibimos un ejemplo en donde lo dicho es lo que realmente sucede. Sea Fc
un campo de característica 2 y sea F = F0(x) el campo de las funciones
racionales en x sobre F0. Afirmamos que el polinomio f1 — x en F[f] es
irreducible sobre Fy que sus raices son iguales. Para probar la irreducibilidad
debemos demostrar que no hay ninguna función racional en F0(x) cuyo
cuadrado sea x; este es el contenido del problema 4. Para ver que r2—x
tiene una raíz múltiple, nótese que su derivada (la derivada es con respecto a
/, pues x estando en F9 se considera como una constante) es 2/ = ü. Desde
luegot el ejemplo análogo funciona para cualquier característica prima.
Ahora que hemos visto que la posibilidad es una realidad, se señala
una aguda diferencia entre los casos de característica 0 y los de característica
p. La presencia de polinomios irreducibles con raices múltiples en el último
caso, nos lleva hasta muchas sutilezas tan interesantes como complicadas.
Su estudio requiere un tratamiento m¿s elaborado y sofisticado que
preferimos evitar en este nivel. Por tanto, para el resto de este capítulo
convenimos en que todos los campos que aparecen en el texto propiamente dicho*
son campos de característica 0.
Definición. Laexlensi<5ntfdeFesunaexfíwí<íffsimplote Fú K = F(a),
para algún a en K.
En característica 0 (o en extensiones propiamente condicionadas en
característica p # 0; véase problema 14) todas las extensiones finitas son
realizables como extensiones simples. Este resultado es el

I 3 MAS ACERCA DE RAICES
227
Teorema 5.p. Sí Fes de característica 0 y si a y b son algebraicos sobre F,
entonces existe un elemento es Fifi. A) tal que F(a. b) — F(c)-
Prueba. Sean/(jc) y g(x)% de grados m y n* los polinomios irreducibles
sobre F satisfechos por a y b respectivamente. Sea K una extensión de Fer
que tanto f(x) como g(x) se descomponen completamente. Como la
característica de F es 0 todas las raices de/(:t) son distintas, y lo mismo
ocurre con las de g(x). Sean las raíces de/(jr), a = flj, az am y las de
g{x). b = A,, b2 K-
Si y # I. entonces Ay # A, = A, de donde la ecuación a¡+Jlbj = a, +
Áfc: = a+¿A nene solamente una solución J. en Kt a saber,
^ ^~
fe-*,
Como F es de característica 0 tiene un número infinito de elementos, de
donde resulta que podemos encontrar un elemento ye F tal que ai^rybj #
a + yh para todo / y para toda y ¥¡ 1. Sea c = fl-ryA, nuestra tesis es que
F(c) = F{fl, A). Como ceFfa A) no hay duda de que F(c) c F(a, 6).
Demostraremos que tanto a como b están en F(c) de lo que se sigue que
F(at A) c F(r).
Como b satisface al polinomio g[x) sobre F. lo satisface también cuando
lo consideramos un polinomio sobre K = F(c). Además, si h(x) = /(<*— yx),
entonces /r(_v)€AT[_v] y /?(A) = /(c— ;»A) = f(a) = 0, ya que a = c—yb.
Luego en una extensión de K. ¿(-0* y 5(*) tienen x—A como factor común.
Aseguramos que x—b es, en realidad, su máximo común divisor. Pues sí
bj ^ A es otra raíz de j(x), entonces A(Aj) = f{c—yb3) = 0, ya que, por
nuestra elección de yt c — ybj para y # I esquiva todas las raices flf de/(x).
Además, como (jc—A)2^5(x), (jr-A)1 no puede dividir al máximo común
divisor úch(x) y g{x). Así pues, x— A es el máximo común divisor deA(jr) y
g(x) sobre alguna extensión de K. Pero entonces tienen un máximo común
divisor no trivial sobre A\ que debe ser un divisor de jc— A- Como el grado de
x—b es 1, vemos que el máximo común divisor de g(x) y h(x) en K[x] es
exactamente x—A, Luego x—bsK[x]y de donde bsK\ recordando que
K = F(c)m obtenemos que AeF(c). Como a = c — yb, y como A, cef(f),
yzF c F(c), tenemos que aeF(c\ de donde F[fl* A) c F(c). Las dos relaciones
de coniención opuestas nos dicen que F(¿r, A) — F(c).
Un simple argumento de inducción extiende el resultado de dos elementos
a cualquier número finito, es decir, si a1t,..,a„ son algebraicos sobre F,
entonces hay un elemento c€F(xí9 -.-, a„) tales que F(c) = F(at a,,).
Luego el
Corolario. Cualquier extensión finita de un campo de característica 0
es una extensión simple.

2U
CAMPOS — Cip, 5
Problemas
1. Si Fes de característica 0 yf(x)eF[x] es tal qucf'(x) = 0, pruébese
que f(x) » aeF.
2- Si F es de característica p^Oy úf{x)eF\x\ es tal que/'(jc) * 0,
pruébese que/(x) — g{x*) para algún polinomio ;(x)€f(4
3. Pruébese que (#*>+#(*))' -/'W+í'W y <P* fa/U»' » «/'(*)
para/W, í(x)efM y aeF
4. Pruébese que no hay ninguna función racional en F{x) tal que su
cuadrado sea x*
5. Complétese la inducción necesaria para establecer el corolario al
teorema 5.p.
Un demento a en una extensión K de F se llama separable sobre F si
satisface un polinomio sobre Fque no tiene ratees múltiples, lina extensión
K de F se llama separable sobre F si todos sus elementos son separables
sobre F. (Jn campo F se llama perfecto si todas las extensiones finitas de F
son separables.
é. Pruébese que cualquier campo de característica 0 es perfecto.
7. a) Si F es de característica p # 0 muéstrese que para c, 6eF,
¿) Si F es de característica p / 0 y si K es una extensión de F, sea
T = {aeK \ a*"eF para algún /?}. Pruébese que T es un subeampo
de A.
8. Si X, r, F son como en d problema 7(b), pruébese que cualquier
automorfismo de K que deja fijos todos los elementos de F deja también
4¡os todos los elementos de T.
*9* Demuéstrese que un campo F de característica p # 0 es perfecto si
y sólo fii para cualquier ¿jeFpodemoscncontrarun AeFtal que ó* = o.
10. Usando el resultado del problema 9B pruébese que cualquier campo
finito es perfecto.
**11. Si K es una extensión de F pruébese que el conjunto de elementos
en K que son separables sobre F forma un subeampo de K.
12. Si F es de característica p ^ 0 y si K es una extensión finita de F,
pruébese que dado aeK o a^eFpara algún n o podemos encontrar un entero
m tal que 0^4 Fy es separable sobre F.
13. Si K y Fson como en. el problema 12, y si ningún elemento que está
en A, pero no en F, es separable sobre F, pruébese que dado aeK podemos
encontrar un entero n, dependiente de o, tal queo^eF.-

I* ELEMENTOS DE LA TEOfHA DE GALOIS
22»
14. Si K es una extensión finita y separable de F, pruébese que JTes una
extensión simple de F.
15. Si uno de Los elementos a o b es separable sobre F, pruébese que
F{a% b) es una extensión simple de F.
6« ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE GALOIS
Dado un polinomio p(x) en F[x], el anillo de polinomios en x sobre Fy
asociaremos con p{x) un grupo al que llamaremos el grupo de Gahis de
p(x). Hay una relación muy estrecha entre las raíces de un polinomio y su
grupo de Galois; en realidad, el grupo de Galois resultará ser un cierto grupo
de permutaciones de las raices del polinomio. Haremos un estudio de
estas ideas en esta y las próximas secciones.
Introduciremos este grupo por medio del campo de descomposición de
p(x) sobre F, quedando definido el grupo de Galois de p(x) como un cierto
grupo de automorfismos de este campo de descomposición. Es esta la
razón de que en tantos de los teoremas que vamos ahora a ver nos ocupemos
de los automorfismos de un campo. Entre los subgrupos del grupo de Galois
y los subeampos del campo de descomposición, existe una hermosa dualidad
que expresa el teorema fundamental de la teoría de Galois (teorema 5.v).
De esto derivaremos una condición para la solubilidad por medio de
radicales de las raices de un polinomio en términos de la estructura algebraica de
su grupo de Galois- De esta condición derivaremos, a su vez, el clásico
resultado de Abel sobre la no solubilidad por radicales del polinomio
general de grado 5. Durante el proceso derivaremos, también, como
resultados colaterales, teoremas que, de por si, son de gran interés. Uno de ellos
será el teorema fundamental sobre funciones simétricas. Nuestro enfoque
del tema se basa en el tratamiento dado por Artin.
Recuérdese que estamos suponiendo que todos nuestros campos son de
característica 0, de donde resulta que podemos hacer (y haremos) libre uso
del teorema 5.p y su corolario.
Por un auJomorfismo del campo K entenderemos, como es común, una
aplicación c de K sobre si mismo tal que e(a+b) =* a(a)+e(b) y <r(ab) =
o(a)c{b) para a, éeK cualesquiera. Dos automorfismos a y t de Xse dice que
son distintos si <r(c) # t(¿¡) para al menos un elemento aeK.
Comenzamos con el siguiente
Teorema 5.q. Si K es un campo y si Glt...,cm son distintos
automorfismos de K, entonces es imposible encontrar elementos a, a^ no todos 0,
en K, tales que alcl{u)+a2c2{u)+ ... +q,a„(u) = 0para todo ueflT.
Prueba. Supongamos que pudiéramos encontrar un conjunto de
elementos o,, -,-,fl; en K no todos cero, tales que aiO,(u)+ ,.. +ctH<rfl(u) - 0

330
CAMPOS —Cap. 6
para todo ugK. Entonces podríamos encontrar una relación tal que tuviera
tan pocos términos como fuera posible: renumeíando, si fuera preciso,
podemos suponer que esta relación mínima es
0) í71üi(ü)+..- +amom{u) = 0
donde ú|, _.., am son todos diferentes deO.
Si m fuera igual a I entonces axcv{uS = 0 para todo ue/C, lo que nos
llevaría a a, = ü, en coptra de lo supuesto. Podemos, pues, suponer que
m > I. Como los automorfismos son distintos hay un elemento ceK tal
quea,(r) ^ om(c). Como cueKpara todo ueKt la relación (l)debetambién
verificarse para cu, es decir, axü}{cu)-^a1o2{cu)-r --- -ra„uM{cu) = 0
para todo uetf. Usando la hipótesis de que las a son automorñsmos de Av
esta relación toma la forma
(2) a^oí{c)ci(u)+a1c2(c)o2(v)+ ... +a„owm{c)cttt(u) = 0,
Multiplicando la relación (L) por <rt(c) y restando el resultado de (2)
obtenemos
0) fla(a2(c)-ffl(f))a2(ü)+ .-- +am{crtl(c)-oí(c))arn{u) = 0,
Si hacemos bt = a^Piic)—ai{c)) para í = 2l...,fnt entonces los bñ
están en K. bm = am[pm{c)-oY(c)) ± 0, ya que am ¿ 0. y um(c)-cl {c) ¿ 0.
aunque b2o2{u)+ ... +¿ncrHI(£) = 0 para todo ueK, Esto produce una
relación más corta» en contra de la elección que hicimos; luego el teorema
está probado.
Definición. Si G es un grupo de automorfismos de K, entonces el
campofijoúeCes el conjunto de todos los elementosaeA'tales que a{a) = a
para iodo ere (7.
Nótese que esta definición tiene sentido, incluso si C no es un grupo,
sino simplemente un conjunto de automorfismos de K. Pero el campo fijo
de un conjunto de automorñsmos y el del grupo de automorfismos generado
por esie conjunto {en el grupo de todos los automorñsmos de K) son iguales
(problema I), de donde nada perdemos por definir el concepto solo para
grupos de automorfismos. Además* únicamente estaremos interesados en
los campos fijos de grupos de automorfismos.
Habiendo llamado en la anterior definición campo fijo de G al conjunto
que alli se define, serta agradable comprobar que la terminología empleada
en este caso es en verdad exacta. Es lo que nos dice el
Lema 5.7, El campo fijo de G es un subeampo de K.
Prueba. Sean a, b elementos del campo fijo de G. Para todo cteC,
tenemos, pises. c{a) = a y o(h) = A. Pero entonces, c{a±b) = a(a)±

I 6 ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE GAL0I5
231
e(b) = a±b, y de la misma forma, c(ab) = a(á)c(b) = ab\ de donde
a±b y a¿> están también en el campo fijo de G. $\b + 0, entonces o{b~l) =
a{b)~' = A™\ de donde b~l también, se encuentra en el campo fijo de G.
Luego hemos verificado que el campo fijo de G es, ciertamente, un subcampo
de/T.
Nos ocuparemos de los auiomorfismos de un campo que se comportan
de una forma determinada sobre un subcampo dado.
Definición. Sea K un campo y sea F un subcampo de Al Entonces el
grupo de auiomorfismos de K relativos a Ft que representaremos por G(JC, f),
es el conjunto de todos los automorfismos de K que dejan fyos todos los
elementos de F; es decir, el automorfismo a de A está en G(Jt, F) si y sólo
si cr(ct) = a para todo ae7\
No es sorprendente, y es muy fácil de probar, el siguiente
Lema 5.8 G{Kr F) es un subgrupo dei grupo de iodos los automorfismos
deK
Dejamos la prueba de este lema al lector. Una observación : K contiene
el campo de los números racionales FVt ya que K es de característica 0 y es
fácil ver que el campo fyo de cualquier grupo de automorfismos de K,
siendo un campo, debe contener a F0. De aquí que todo número racional
permanece fyo en todo automorñsmo de AT.
Hacemos una pausa para examinar unos cuantos ejemplos de los conceptos
que acabamos de presentar.
Ejemplo 1- Sea Kt\ campo de los números complejos y sea Fel campo
de los números reales. Calculamos G(K, F). Si a es un automorfismo
cualquiera de K, como I2 = — 1, o{i)2 = o{i2) = a{— 1) = — 1, de donde
<r(¿)+ +¡. Si, además, o deja fijos a todos los reales, entonces para cualquier
a+b¡ donde a y b son reales, c(a+bi) — o{a)+c{b}¡ * a+bi. Cada una
de estas posibilidades, es decir, la aplicación ot (c+bí) = a+bi y «r2 (a+bi) =
a—bi define un automorfismo de K\ cA es el automorfismo identidad y ot la
conjugación complqa. Asi pues, G(K, F)« un grupo de orden 2.
¿Cuál es el campo fijo de G(KtF)? Debe, ciertamente, contener a F,
¿pero contiene algo más ? Si a+bi está en el campo fyo de G (/T, F) entonces
tf+M = a2{Q+bi) = a— bi de donde b «= 0 y a = a+bieF. En este caso
vemos que el campo fijo de G(X, F)es precisamente el mismo F.
Ejemplo 2. Sea F0 el campo de los números racionales y sea K =■ F0(^/2)
donde ^/2 es la raíz cúbica real de 2. Todo elemento en K es de la forma
flo+ffi v^+flaC}^)1 donde a0t at y a2 son números racionales. Slo es un

232
CAMPOS-Cip.S
automorfísmo de AT. entonces ffíyl)1 = v{(i/2)*) = a{2) - 2, de donde
(j((/3) debe también ser una raíz cúbica de 2 perteneciente a K. Pero hay
solamente una raíz cúbica real de 2, y como X es un subeampo del campo
real, debemos tener que<r(^2) = */2. Pero entonces <r(a0 +a, v3+ce2(^)2)
= a£0+ai v^+fljí^í)1, es decir, a es el automorfísmo identidad de *:.
Vemos, pues, que G(K, Fc) consta solo de la aplicación identidad, y en este
caso el campo fijo de C(AT, F0) no es Fc. sino que en realidad es bastante
muyóte pues es todo K,
Ejemplo 3. Sea F0 el campo de los números racionales y sea en =
elnti*\ tenemos pues que a>* = t y que w satisface al polinomio jr*+x3 +
jc2+x+I sobre F0. Por el criterio de Eisenstein se puede probar que
jt*+x3+j>:a+x + l es irreducible sobre FQ (véase el problema 3). Asi pues»
K= Fq{w) es de grado 4 sobre F0 y todo elemento de ATes de la forma
a0 + a! tu +a2w2 + ce3 adonde todos los aCt a,, a2 , a3 están en FQ> Ahora bien,
para cualquier automorfísmo a de Kn c(t¿)) # I, ya que<r(l} = I, y it(up)3 —
&{w5) = <x(l) — L de donde a(ui) es también una raíz quinta de la unidad.
En consecuencia* a(w) puede solamente ser cu, w2, cu3 o cu*. Afirmamos que
cada una de estas posibilidades ocurre realmente, pues definamos las
cuatro aplicaciones <r,„ az% <r3 y <r4 por ai{aQ^ai€ü+a2n)2 +ijVJ^) —
aü + a.1(wi)+a2(Di)2 +a3(ü/)\ para i = I, 2. 3.4. Cada uno de ellos define
un automorfísmo de K (problema 4). Por tanto, como aeG{K, Fc) está
completamente determinado por <r(w). G(K, Fv) es un grupo de orden 4.
con <r, como su elemento unidad. Como a22 — c^ o2* -^y <ra* — <t{ *
G(Km F0) es un grupo cíclico de orden 4. Se puede fácilmente probar que el
campo fijo de C{/í, FQ) es FQ (problema 5)- El subgrupo A - {u,, c+\ de
G{K, F0) tiene como su campo fijo el conjunto de todos los elementos a0+
oilct»2 + cíiJK que es una extensión de FQ de grado 2-
Los ejemplos, aunque ilustrativos, son aún demasiado especiales, pues
puede observarse que en cualquiera de ellos G{K, F) resulta ser un grupo
cíclico. Esto es extraordinariamente atípico, pues, en general. G(K. F) no
necesita ser ni siquiera abeliano (véase el teorema 5.a). Pero, a pesar
de su carácter especial, traen a luz ciertos hechos importantes. Por una
parte, muestran que debemos estudiar el efecto de los automorüsmos sobre
las raíces de los polinomios yv por otra, subrayan que F no necesariamente
ha de ser igual a todo el campo fijo de G\K* F). Los casos en que esto
sucede son muy convenientes y son situaciones a las que dentro de poco
dedicaremos mucho tiempo y esfuerzo.
Calcúlameos ahora una impon a me cota de Ja magnitud de G{K* F)>
Teorema 5.r. Si K es una extensión finita de F- entonces G{K* F)es un
grupo finita y su orden. o(G{K„ F})% satisface a{G(K. F\) ^[K: F].

I 6. ELEMENTOS DE LA TEORÍA OE GALOIS
233
Prueba. Sea [K:F] = n y supongamos que u,, uA es una base de
K sobre F. Supongamos que podemos encontrar «+1 auiomorfísmos
distintos a,, c2* --i^n+i en G(K,F). De acuerdo con el corolario al
teorema 4.f el sistema de n ecuaciones lineales homogéneas en las n +1
incógnitas Xj t ..., X^ i -
ff,(uI)xl+(r2<w1)x2+---+ff1,+ 1(u1)xII+1 =0
A
A
<M«.-)*i+<720<í)*2+ — +«;+i(«i)Jf.+ i = 0
tiene una solución no trivial (no toda 0) xt = aif ...1xn+1 = a„+l en K
Luego
O aícl(ui)+a2c2(ui)+ —+<VM*,+ i(tfi) =0
para / = I, 2».... n.
Como cada uno de los at deja fijo a todo elemento de F y como un
elemento arbitrario t de /Tes de la forma/ = *xux+ ... +aJ)ul1cona(,..., &„
en Ft entonces, por el sistema de ecuaciones (I), tenemos fli<r,(f)+ .,. +
GfT+lffn+i(í) = 0 para toda tsK. Pero esto contradice el resultado del
teorema 5.q. Luego el teorema 5,r ha sido probado.
El teorema 5-r es de importancia central en la teoría de Galois. Pero
aparte del papel que allí juega nos sirve también para probar un resultado
clásico concerniente a las funciones racionales simétricas. Este resultado
sobre funciones simétricas, a su vez juega un papel importante en la teoría de
Galois.
Hagamos primero algunas observaciones sobre el campo de las funciones
racionales en n variables sobre un campo F. Recordemos que en la sección 11
del capitulo 3 definimos el anillo de los polinomios en las n variables
x,,..., xn sobre F y de esto pasamos a definir el campo de las funciones
racionales en a"i , —, jtj,, f(jf|, ..., xB), sobre F como el anillo de todos los
cocientes de tales polinomios.
Sea 5„ el grupo simétrico de grado n considerado como si actuara sobre
el conjunto [1,2 «]: para ceSn e í un entero con 1 ^i ^/7, sea o(i) la
imagen de / bajo (7. Podemos hacer actuar a 5„ sobre F(xt xh) en
la siguiente forma: para ceS,, y r{x, xje/^x, xn), definimos la
aplicación que lleva r(.v, xn) sobre r(xrtUI J^ni)- Representaremos
a esta aplicación de F(xx x„) sobre sí mismo también por <r. Es obvio
que estas aplicaciones definen auiomorfísmos de F(x, x„). ¿Cuál es el
campo f\jo de F(xt .vn) respecto a S„? Consiste simplemente en todas
las funciones racionales r(x% x„) tales que p{xt,..., x„) = r(x„,M

234
CAMPOS — Cap. 5
**[nj) para todo osS„- Pero estos son precisamente aquellos elementos en-
F(xlt.__, x„) que se conocen como funciones racionales simétricas. Como
son el campo ñjo de Sn forman un subcampo de F(x,,..., xn) llamado el
campo de las funciones racionales simétricas al que representaremos por S.
Nos ocuparemos de estos tres problemas :
1) ¿Aquéesigual[F(xlf.--, x„):S]?
2) ¿Qué es G^ x„), 5)?
3) ¿Podemos describir 5 en términos de alguna extensión simple
particular de F?
Contestaremos a estas tres preguntas simultáneamente.
Podemos presentar explícitamente algunas funciones particularmente
sencillas de S construidas con Xj, —, x„ conocidas como funciones simétricos
elementales en x, t,.., x„. Las definimos como sigue :
n
B\ = Xt+X2+ — +Xw = XXi
i=l
*2 - X*l*/
*3 = X XtXJX*
t<J<k
fl- = x^ — x-.
Probar que estas son funciones simétricas se deja como ejercicio. Para
n = 2, 3 y 4 las escribimos explícitamente a continuación.
n = 2
ax = X!+x2,
a2 = XiX2.
* = 3
ax = Xi + x2+x3-
a2 = xlx2^XiX^+x2x3.
az = X!X2x3-
n - 4
c, = x, + x2 + X3 + x4.
a2 = X1X2 + XiX3 + XIX4. + X2X3 + X2X4r + X3X4r.
03 = X,X2X3 + XIX2X4r + X1X3X4-l-X2X3X4.
Oq ^ Xj^X^XjX^.

I 6. ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE GALOIS
235
Nótese que cuando n = 2, x, yx2 son las raices del polinomio t1—axt+a2f
cuando n = 3, x,, x2 y x3 son las raíces de í3—axt2+c2t—a5t y cuando
n = 4,x,, jc2»x3 yjc4 son, todas, raíces de r4—c1r3+fl2r2—fl3f+£i4-
Como cr,, a„ están, todos, en S el campo F(aí ,. • ., ¿zj obtenido por
la adjunción de aí,..-, a„ a F debe encontrarse en 5. Nuestro objetivo es
ahora doble, a saber, probar que
/)[f(x,1...>xfl):S]=n!.
2) S= F(ax an).
Como el grupo S„ es un grupo de automorfismos de F{xx,..., xn) que
deja a 5 fijo, S„ cC(F(xly .... x„), 5), Luego, según el teorema 5.r,
[F(Xiv.,.vxM):5]>o((7(F(X|,...v jfj,5))> o(5J = «L Si pudiéramos
demostrar que [F(x,, ...,xn):F(aXt ..., ¿7n)]^ ji!, entonces, como F[ax <!„),
es un subcampo de S, tendríamos n! >[F{xlw ...txtl):F(aí .,., a„)] =
[F(xt,..., xB):5] [5:F(o an)] > n!. Pero entonces tendríamos que
[/Xx,,—.xJiS]-»M5:F(fl ,a„)] = 1 y, por tanto, 5 = Ffci,, ...,a„),
y, finalmente, 5„ = C(F(x xr)T S) (esto último por lo afirmado en la
segunda oración de este párrafo). Estas son precisamente las conclusiones
que buscamos.
Asi pues, para concluir con todo este asunto solo debemos probar que
[F(x xn):F(aít..., aj\ <n!. Para ver esto, observemos primero que el
polinomio p(t) = t"—axtn~í +a2t"~2 --- +(—1)"^, que tiene coeficientes
en F\at, ...wa^9 se factoriza sobre F{xl9 ...9xn) como p{t) = {t—x})
(/—x2) ...(/—xn) (éste es en realidad el origen de las funciones simétricas
elementales),Así pues, p(t) de grado n sobre F(at,..., aa)t se descompone en
un producto de factores lineales sobre F(xx,..., x„). No pyede
descomponerse sobre un subcampo propio de F(xx xn) que contenga a
F(üi ,..., aJ, pues este subcampo tendría entonces que contener tanto a F
como a cada una de las raices de/?(f), es decir, a Xj, x2, .. ., xB; pero entonces
este subcampo seria todo F(xXj ...,xn). Asi pues¡ vemos queF(X|»..., x„)«
el campo de descomposición del polinomio p(t) = f"—aítH~í + ... +(—1)"^
so&r* F(cx, *..,an). Comop(t) es de grado w, según el teorema 5.h, tenemos
[f(Xj*..., x„):F(aXí..., an)]^nl De donde todas nuestras afirmaciones
quedan probadas. Resumimos todo este estudio en el siguiente básico e
importante resultado.
Teorema 5.s. Sea F un campo y F(xx,..., xn) el campo de las funciones
racionales en x t, -.., x„ sobre F. Supongamos que S es el campo de las
funciones racionales simétricas* entonces
niFixi xn):S] = nl
2) C(F(xí xn\ S) = 5ni el grupo simétrico de grado ti.
3) Si aXr„^a„ son las funciones simétricas elementales en x,,...,xnr
entonces S = F{at an).

236
CAMPOS —Cap. 5
4) F(xl,..., xn) es el campo de descomposición sobre F(at,..., a¿) = S-
del polinomio t"-cltm~ * +a2t"~ 2 ... +(— l)nafí.
Mencionamos anteriormente que dado un entero cualquiera n es posible
construir un campo y un polinomio de grado n sobre este campo cuyo campo
de descomposición sea del máximo grado posible, n!, sobre este campo. El
teorema 5.s nos proporciona explícitamente tal ejemplo, pues si hacemos
S= F(a%*...,an)t el campo de las funciones racionales en n variables
ax an y consideramos*el campo de descomposición del polinomio
/"—c1tn~1+c2t"~1... +(—l)X sobre 5, entonces vemos que es de grado
ni sobre 5.
La parte (3) del teorema 5.s es un teorema muy clásico. Afirma que una
función racional simétrica en n variables es una función racional en tas
funciones simétricas elementales de estas variables. Este resultado puede hacerse
aún más sólido : un polinomio simétrico en n variables es un polinomio en
sus funciones simétricas elementales (véase el problema 7). Este resultado se
conoce como el teorema sobre polinomios simétricos.
En los ejemplos discutimos de grupos de automorfismos de campos y de
campos fijos bajo tales grupos, vimos que podfa muy bien suceder que
F fuera realmente menor que el campo fijo total de G{Kt F). Ciertamente, F
está siempre contenido en este campo, pero no necesariamente lo llena. Así
pues, imponer la condición sobre una extensión K de Fque Fsea precisamente
el campo fijo de G(K, F) es una limitación genuina sobre el tipo de extensión
de F que estamos considerando. Es en esta clase de extensión en la que
estamos más interesados.
Definición. K es una extensión normal de F si K es una extensión finita
de F tal que F es el campo fijó de C7(/T, F)-
Otro modo de decir lo mismo: si K es una extensión normal de F,
entonces todo elemento de K que no está en F sufre alteración por algún
elemento de G{Kr F). En los ejemplos discutidos, los ejemplos I y 3 eran
extensiones normales, mientras que el ejemplo 2 no lo era.
Una consecuencia inmediata de la hipótesis de normalidad es que nos
permita calcular con gran precisión el tamaño del campo fijo de cualquier
subgmpo de G{Kt F) y, en particular, dar más fuerza al enunciado del
teorema 5.r, cambiando la desigualdad que en él aparece en una igualdad.
Teorema 5-T. Sea K una extensión normal de F y sea H un subgrupo de
G(KTF); sea KH = {xe/í| a(x) = x para toda <re//} el campo fijo de H-
Entonces:
/) [K:KH] = o{H).
2) H=GtK,KN)
(En particular, cuando H = G(Kt F), [K:F] = o(G(Kt F)).\

I 6. ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE GALOIS
237
Prueba- Como todos los elementos de H dejan fijos a todos los elementos
de KH9 es claro que H c G{K, KH). De acuerdo con el teorema 5.r sabemos
que [K:KH]^ o(G(Kt KH)yt y como o(G(Kt KH))2 o(H) tenemos las
desigualdades [K: KH] 3* o(G(Kt KH)) £ o(H). Si pudiéramos demostrar que
[K:KH] = o(H) se seguiría de inmediato que o{H) = o(G(K, KH)\ y como
un subgrupo de G(K* KH) con el orden de G(K. KH) tendríamos H =
G{Kt #£„). Luego solo nos queda, por demostrar que [Áf: KH] = o(H) para
haber demostrado todo.
Según el teorema 5.p existe un aeK tal que K = KH(a)\ esta a debe, por
tanto, satisfacer un polinomio irreducible sobre KH de grado m = \K: KH]
y ningún polinomio no trivial de grado más bajo (teorema 5.c). Sean los
elementos de H los aí9 c2t-..wch donde ax es la identidad de G(K^F) y
donde h = o(H). Consideremos las funciones simétricas elementales de
a = <r,(¿0, u2{a\ „.,ffh(a),asaber:
h
«i = ^i(o)+c2(o)+ - +vh(a) = £ ff,(a)
Cada a& es invariante bajo cualquier cee// (¡Pruébese!), Así pues, por la
definición de KHtal9a2t„.9ah son todos los elementos de KH. Pero a
(lo mismo que c2(a)y..., <?*(#)) es una raíz del polinomio p(x) = (x—trx)
(x-tr2(a))...(x-ch(a)) = xh-axxh~l+a2xh~2 + ... +(-l)*oft que tiene
todos sus coeficientes en Kfí. Por la naturaleza de a esto obliga a que
h S m = [K: KH], de donde o(H) £ [fí: fíH]. Como ya sabemos que o(H) ^
[K:KH] sabemos que o(H) = [K:KH], la conclusión deseada.
Cuando H = G(K, F)t por la normalidad de K sobre Ft KH = F; por
consiguiente, para este caso particular tenemos el resultado [K:F] =
o(G(Kt F)\
Estamos acercándonos rápidamente al teorema central de la teoría de
Galois. Lo que aún falta es la relación entre los campos de descomposición
y las extensiones normales. Llenamos esta falla con el
Teorema 5,u. K es una extensión normal de Fsi y sólo si K es el campo de
descomposición de algún polinomio sobre F.
Prueba, En una dirección la prueba nos recordará mucho la del
teorema 5.t,

238
CAMPOS —Cap 5
Supongamos que K es una extensión normal de F; según el teorema 5.p,
K = F{a). Consideremos el polinomio p(x) = (x—ux{a))(x—o2(a)) .„
(x—up(a)) sobre K, donde aí9c2i -»ffn son todos los elementos de G(tf, f).
Desarrollando p(x) vemos que p{x) = jc"—afxT~ !+cf2y"2+ ... +(— I)"^
donde alf...,aR son las funciones simétricas elementales en a = at(a)<
^(^....íj^tí). Pero entonces o:,,...,^^ son, cada una, invariantes con
respecto a toda ueC(K F), de donde, por la normalidad de K sobre F,
todas deben estar en F. Por tanto, K descompone al polinomio p(x)eF[x]
en un producto de factores lineales. Como a es una raíz de p(x) y como a
genera K sobre F, a no puede estar en ningún subcampo propio de K que
contenga a F. Luego /íes el campo de descomposición dep(x) sobre F.
Ahora en la otra dirección; esto es un poco más complicado. Apartamos
una pieza de la prueba en el
Lema 5.9. Sea K el campo de descomposición de f{x) en F[x] y sea p(x)
un factor irreducible def(x) en F[x]. Si ¡as raices de p(x) son a,,..., otr, entonces
para cada i existe un automorfismo a¡ en C(K,F) tal que a£(a,) = Sj.
Prueba. Como cualquier raíz de p(x) es una raiz de/(x), tal raiz debe
encontrarse en K. Sean aila¡ dos raíces cualesquiera de/>(x). De acuerdo con
el teorema 5.i hay un isomorfismo rde F, = F(ctx) sobre F\ = F(f3ti) que
lleva #! sobre a¡ y deja todos los elementos de F fijos. Ahora bien, K es el
campo de descomposición de/(x) considerado como un polinomio sobre Fy \
análogamente, K es el campo de descomposición de/(x) considerado como
un polinomio sobre F\. Según el teorema 5.j hay un isomorfismo a¿ de K
sobre K (luego un automorfismo de K) que coincide con t sobre Fx. Pero
entonces <r,-(ai) = T(ff|) = a¿ y fff deja a todos los elementos de F fijos. Esto
es, desde luego, exactamente lo que afirma el lema 5.9.
Volvemos ahora a nuestra tarea de completar la prueba del teorema 5.u.
Supongamos que K es el campo de descomposición del polinomio f(x) en
F[x\ Queremos demostrar que K es normal sobre F. Procedemos por
inducción sobre [K:F], suponiendo que para cualquier par de campos
Afi, Ft con [Ki'Fj] menor que [K:F\ siempre que Kt es el campo de
descomposición sobre Fy de un polinomio en Fx[x\% entonces Kx es normal
sobre F{.
Sif(x)eF[x] se descompone en factores lineales sobre F, entonces K = F,
que ciertamente es una extensión normal de F. Asi pues, supongamos que
f(x) tiene un factor irreducible p(x)sF[x] de grado r> 1. Las r raíces
distintas oft, a2 * -.., a, de p{x) todas se encuentran en K y K es el campo de
descomposición de f(x) considerado como un polinomio sobre F(at).

I 6. ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE GALOIS
239
Como
[*:/>,)] =[*:F] ■-<-,
de acuerdo con nuestra hipótesis de inducción, K es una extensión normal de
F(a\).
Sea BeK fija para cualquier automorfismo ceG{Ky F); queremos
demostrar que 8 está en F. "Ahora bien, cualquier automorfismo en
G(KW F(a,)) deja, ciertamente, fija a F, de donde deja a 8 fija; por la
normalidad de K sobre F{ax\ esto implica que 8 está en F(ax). Asi pues
1) 6 = ¿Q+^ct, +¿2<Xi2 H h^^a,'-1 donde X0 v^F.
De conformidad con el lema 5-9 hay un automorfismo c¿ de Kt
CieG(Ky F)f tal que ^(a,) = a¡; como éste a¡ deja 8 y toda ¿, fijas,
aplicándolo a (1) obtenemos
2) 6 = Ao + A1aí+A2ai2+.-. + Ar_|0f/'~'1 para / = 1, 2,..., r.
Así pues, el polinomio q(x) =* /Jt_lxr"'+/r_2xr"2+ ... +A,x+(¿0—0)
en AT[jt]tde grado cuando másr— 1, tiene las r distintas raíces cc^ a2í ---,a,-
Esto puede suceder solamente si todos los coeficientes son cero; en particular
X0—8 = 0» de donde 8 = A0t luego está en F. Esto completa la inducción y
prueba que K es una extensión normal de F El teorema 5.u está
completamente probado,
Definición. Sea/(x) un polinomio en F[x] y sea K su campo de
descomposición sobre F El grupo de Galois de/(jc) es el grupo G{K, F) de todos
los automorfismos de K que dejan fijos todos los elementos de F.
Nótese que el grupo de Galois de/(jc) puede considerarse como un grupo
de permutaciones de sus raices, pues si a es una raíz de/(x) y si ceG{Kt F)
entonces a(á) es también una raíz de/(x).
Llegamos ahora al resultado conocido como el teorema fundamental de
la teoría de Galois, Establece una correspondencia biyectiva entre los
subcampos del campo de descomposición de f(x) y los subgrupos de su
grupo de Galois. Además da un criterio para que un subcampo de una
extensión normal sea él mismo una extensión normal de F. Este teorema
fundamental se usará en la próxima sección para derivar condiciones para
la solubilidad por radicales de las raíces de un polinomio.
Teorema 5.v. Seaf(x) un polinomio en F[x]t K su campo de descompon
sición sobre Fy G(K, F) su grupo de Galois- Para cualquier subcampo Tde K
que contiene a F sea G{K* T) = {<reG(tf, F) | o(t) = t para todo tsT] y
para cualquier subgrupo H de G(tf, F) sea KH = {xeK\ a(x) = xpara

240
CAMPOS — Cap 6
todo <re H}. Entonces la asociación de T con G{Kt T) establece una
correspondencia biyectiva del conjunto de subcampos de K que contienen a F sobre el
conjunto de subgrupos de G(K. F) tal que :
i) T = A^(JÍ>T).
2) H = G(tf, KH).
3) [K: T) = 0(G(K, T))9 [T: F\ = índice de G(K> T) en G(K, F)-
4) T es una extensión -normal de F si y sólo si G{K9 T) es un subgrupo
normal de G(tf, F).
5) Cuando T es una extensión normal de F, entonces G(T, F) es isomorfo
a G{K F)fG{Kt T).
Prueba. Como K es el campo de descomposición de f{x) sobre Fes
también el campo de descomposición de f(x) sobre cualquier subcampo T
que contenga a F; por tanto, según el teorema 5.u, K es una extensión normal
de F. Así pues, por la definición de normalidad, Fes el campo fijo de G(K9 T)*
es decir, T = KC(KT)t probando así (1).
Como K es una extensión normal de F, de acuerdo con el teorema 5.t,
dado un subgrupo H de G{Kt F), entonces ¡i — G(Km KH) que es lo que se
afirma en la parte (2). Además, esto demuestra que cualquier subgrupo de
G(Kt F) se presenta en la forma G(K9 T), de donde la asociación de T con
G(Ky T) transforma el conjunto de todos los subcampos de K que contienen
a Fsobre el conjunto de todos los subgrupos de G(Kt F). Que es inyectiva es
claro, pues, si G{K9 Tx) = C7(/T, F2)» entonces, por la parte (1), F| =
Como K es normal sobre 7, tenemos, al aplicar de nuevo el teorema 5.t»
[K:T)= o(G(K,T))\ pero entonces, o(G(K,F))= [K:F] = [K:T][T:F] =
o{G(K, T)) [T:F]y de donde
= o{G(K, F)) = ¡nd¡ce dc C(K^
o(G(Ky F»
en G(K9 F). Y ésta es la parte (3).
Las únicas partes que quedan por probar son las que conciernen a la
normalidad. Haremos primero la siguiente observación. T es una extensión
normal de F si y sólo si para cada csG(K, F),c(T)a T. ¿Por qué? Sabemos
por el teorema 5.p que T = F{a); así pues, si c(T) *=■ T entonces a(a)eT
para todo ctG(Kt F). Pero como vimos en la prueba del teorema 5.u esto
implica que T es el campo de descomposición de p(x) = Yl (*—«Oí"))
que tiene coeficientes en F. Como campo de descomposición 7, por el
teorema 5.u, es una extensión normal de F Reciprocamente, sí T es una
extensión normal de F, entonces T = F(fl), donde el polinomio mínimo de
c, p(x)9 sobre Ftiene todas sus raíces en F(teorema 5.u), Pero para cualquier
«xe G(K, F), o (a) es también una raíz de p(x), de donde a (a) debe estar en T.

16. ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE GAL01S
241
Como T está generado por a sobre F tenemos que o(T) c Tt para todo
aeG(K,F).
Así pues, Tes una extensión normal dcFsiy sólo si para todo ue G{K, F),
zeG(Kt T) y teT, o(t)eTy, por tanto, t(ct(í)) = a(i); es decir, si y sólo si
c~~ * Tff(í) = f, Pero esto dice que Tes normal sobre F%\ y sólo si a'l G{K9 T)
oc G(K, T) para todo asG(K, F). Siendo esta última condición precisa*
mente la que define G{K, T) como un subgrupo normal de G(Ky F), vemos
que la parte (4) queda probada. .
Finalmente, si T es normal sobre F, dado oeG(K,F)t como ff(/)c Tt
o induce un automorfismo am de T definido por c+(t) = o(t) para todo
teT. Como am deja a todo elemento de F fijo, am debe estar en G(Tt F).
Además, como es evidente, para cualquier oy ifyeG{Ky F\ (o\}/)+ = c+i¡/+ de
donde la aplicación de G(K9F)en G{T9F) definida por cr-*<^ es un homo-
morfismo de G(K9 F) en G(T9 F)- ¿Qué ft el núcleo de este homomorfismo ?
Consiste en todos los elementos a en G(Kt F) tal que am es la aplicación
identidad sobre T. Es decir, el núcleo es el conjunto de todos los a+e G(Kr F)
tales que / = tr»(0 = <?(/); por la misma definición, tenemos que el núcleo
es exactamente G(K9T)9 La imagen de G(KtF) en G(TtF)9 según el
teorema 2.d, es isomorfa a G{Kt F)/G(Kt T), cuyo orden es o(G(KtF))¡
o{G(Ky r» - [T:F] (por parte 3) = o(G(T9F)) (como establece el
teorema 5-tO- Asi pues, la imagen de G{Kt F) en G{Tt F) es todo G(T9 F) y,
portante, G(Tt F)cs isomorfo a G(Kt F)¡G(K9 T). Esto termina la prueba de
la parte (5) y con ello completamos la prueba del teorema 5.v.
Problemas
1. Si A es un campo y 5 un conjunto de homomorfismos de Ky demuestre
que el campo fijo de 5 y el de S (el subgrupo del grupo de todos los automor-
fismos de K generados por 5) son idénticos.
2. Pruébese el lema 5.8.
3. Usando el criterio de Eisenstem, pruébese que x4+jc3+x2+x+1
es irreducible sobre el campo de los números racionales.
4. En el ejemplo 3 del texto, pruébese que cada una de las aplicaciones
<7| que allí se definieron es un automorfismo de F0 (o).
5. En el ejemplo 3, pruébese que el campo fijo de F0(w) bajo olyG2* °3
y oA es precisamente F0.
6. Pruébese directamente que cualquier automorfismo de K debe dejar
fijos todos los racionales.
*7. Pruébese que un polinomio simétrico en xx xm es un polinomio
en las funciones simétricas elementales en xt, ...f xm.

242
CAMPOS — Cap. 6
8. Exprésense los siguientes como polinomios en las funciones
simétricas elementales en x,, x2 y x3.
a) x,2+x22+x3\
b) x,3+x23+x33.
c) (xl-x2)2(xl-x3)2(x2-x3)2.
9. Si a,, a2» a3 son las raíces del polinomio cúbico jt3+7x2 — 8x+3,
encuéntrese el polinomio cúbico cuyas raíces son :
a) atl2,a22,a32.
«ni.
ot], a2, a3
c) a,3, a23, ct33.
*10, Pruébense las identidades de Newton^ es decir, si a,, oc2,..., c^ son
las raíces de/(x) = x^^x"" ,+£r2xn"2+ .. +fl„y si sk = cf,*+a1*+_„
+a/, entonces
A) sk+alsk_í +fl254„2 + --• +fl*-i5i+'Ci3* = 0si le = 1, 2 n.
b) sk+Qlsk_l+ ... +a„$k_„ = 0 para fon.
c) Para /í = 5, apliqúese la parte (a) para determinar s2, j3, 54 y j5.
11. Pruébese que las funciones simétricas elementales en jq x„ son,
ciertamente, funciones simétricas en xx, ..., x„.
12- Si p{x) — V— I, pruébese que el grupo de Galois de p(x) sobre el
campo de los números racionales es abeliano.
El número complejo w es una raíz tt-ésima primitiva de la unidad si
of = 1 pero oT ^ 1 para 0 < m < n. F0 denotará el campo de los números
racionales.
13. a) Pruébese que hay $(n) raíces /í-ésimas primitivas de la unidad
donde 4>{n) es la función <p de Euler.
b) Si u> es una raíz /i-ésima primitiva de la unidad, pruébese que
F0{a>) es el campo de descomposición de V— I sobre F0 (y por
tanto es una extensión normal de F0).
c) Si oj! a^(n) son las ${n) raices w-ésimas primitivas de la
unidad, pruébese que cualquier automorfismo de F0{íof) "eva <0\
en algún oj¡,
d) Pruébese que [F0(<o{):F0}^ (f>{n).
14. La notación es como la del problema 13.
*a) Pruébese que hay un automorfismo ak de F0(w{) que lleva wí en
íú¡.
b) Pruébesequeel polinomiopntx) = (x—tu,)(x—<o2)... (x—^(nl)

17. SOLUBILIDAD POR RADICALES
243
tiene coeficientes racionales. El polinomio pB{x) se llama el
n-ésimo polinomio ciclotimico.
*c) Pruébese que en realidad los coeñcientes dtp„(x) son enteros.
15. Úsenselos resultados de los problemas 13 y 14 para probar qmpH{x)
es irreducible sobre F0 para todo /i > 1.
16. Para n = 3, 4, 6 y 8, calcúlese pn(x) explícitamente, demuéstrese que
tiene coeñcientes enteros y pruébese directamente que es irreducible sobre F0.
17. a) Pruébese que el grupo de Galois de x3—2 sobre F0 es isomorfo a
S3, el grupo simétrico de grado 3.
b) Encuéntrese el campo de descomposición K de Jt3—2 sobre F0 .
c) Para cada subgrupo H de S3 encuéntrese KH y compruébese que
la correspondencia da en el teorema 5.v.
d) Encuéntrese una extensión normal en K de grado 2 sobre F0.
18. Si el campo F contiene una raíz n-ésima primitiva de la unidad
pruébese que el grupo de Galois de x?—at para aeFt es abeliano.
7. SOLUBILIDAD POR RADICALES
Dado el polinomio especifico x1 + 3jc+4 sobre el campo de los números
racionales FQ, de acuerdo con la fórmula cuadrática para sus raices, sabemos
que estas son (—3±yf — 7)/2; asi pues, el campo F0(^/Tí) es el campo de
descomposición de x2+3x+4 sobre F0. Hay, por consiguiente, un elemento
y — —7 en F0 tal que el campo extensión F0(íú) donde íú2 = y es tal que
contiene todas las raices de jc2 + 3jc+4.
Desde un punto de vista ligeramente diferente, dado el polinomio
cuadrático general p(x) = x2+aix-\-a2 sobre Ft podemos considerarlo
como un polinomio particular sobre el campo F(ai, a2) de las funciones
racionales en las dos variables ay y a2 sobre F; en la extensión obtenida por
la adjunción de oí a F(al9a2) donde cjz = aí2—4a1eF(alya2)
encontramos todas las raices de p(x). Hay una fórmula que expresa todas las
raices dep(x) en términos de aí9a2y raices cuadradas de funciones racionales
de<7| ya2.
Para una ecuación cúbica la situación es muy semejante: dada la ecuación
general cúbica p(x) = x*-\-alx2-\-a2x+Q¿ puede darse una fórmula
explícita, incluyendo combinaciones de raices cuadradas y raices cúbicas de
funciones racionales en at, a2 y n2 - Aunque en forma algo complicada las
fórmulas de Cardano nos las dan explícitamente: Sean p = a2—(aí2/3)y
2¿z.3 ¿¡la?
q = — — + o3
27 3 3

244
CAMPOS — Cap. 5
y sea
V 2 V27 4
y
• V 2 V27 4
(con raices cúbicas propiamente escogidas); entonces las raices de p{x) son
P-*-Q-(aJ3)9 wP+w2Q-(al/3) y w1P+mQ-{aí/3) donde w =£ 1 es una
raíz cúbica de 1. Estas fórmulas solo nos sirven para ilustrar que, según la
adjunción de una cierta raíz cuadrada y luego una raiz cúbica AF(al9a2rc3)
llegamos a un campo en el quep(x) tiene sus raices.
Para polinomios de cuarto grado, que no daremos explícitamente, me*
diante el uso de operaciones racionales y raices cuadradas podemos reducir
el problema al de resolver cierta raíz cúbica, de modo que también aqui
puede darse una fórmula que exprese las raices en términos de combina*
ciones de radicales de funciones racionales de los coeficientes.
Para polinomios de grado quinto o más alto, no puede darse tal fórmula
universal radical, pues demostraremos que es imposible expresar sus raices,
en general, de este modo.
Dado un campo Fy un polinomio/7(x)eF[x] decimos que pipe) es soluble
por radicates sobre F si podemos encontrar una sucesión finita de campos
Fi = F^), F2 = Ei(o)2)9..., -Ffc-Ffc-^ab) tal que w/'eF, <ú^bF1% ...,
0)krkeFkl tal que las raices dep(x) se encuentren todas en Fk.
Si K es el campo de descomposición de p{x) sobre F, entonces p{x) es
soluble por radicales sobre F si podemos encontrar una sucesión de campos
como anteriormente tales que ^cr FK,Una observación importante y que
usaremos posteriormente en la prueba del teorema 5.x, es que si puede
encontrarse un tal F¿, podemos, sin pérdida de generalidad, suponer que sea una
extensión normal de F; dejamos la prueba de esta afirmación como problema
(problema 1).
Por polinomio general de grado n sobre F, p(x) = y+tf1V~I+ ,.. +am
entendemos lo siguiente: Sea F(ax,..., úJ el campo de funciones racionales
en las n variables aly..., am sobre F, y considérese el polinomio particular
p(x) = tf'+aíjf~l+ ... +a„ sobre el campo F{ax,..., aj. Decimos que
es soluble por radicales si es soluble por radicales sobre F{aír .--,<*„)- Esto
expresa realmente la idea intuitiva de "encontrar una fórmula" para las
raices de p(x) que implique combinaciones de raices /n-ésimas para varias
my de funciones racionales en a{, a2r ---,<?„. Para n = 2, 3 y 4 señalamos
que esto puede hacerse siempre. Para /r>5; Abel probó que no puede
hacerse. Pero esto no excluye la posibilidad de que un polinomio dado
sobre F pueda resolverse por radicales. En realidad, daremos un criterio

17 SOLUBILIDAD POR RADICALES
246
para esto en término del grupo de Galois del polinomio. Pero primero
debemos desarrollar unos pocos resultados de teoría pura de grupos.
Algunos de estos aparecieron como problemas al final del capítulo 2; pero,
sin embargo, los haremos aquí oficialmente.
Definición. Un grupo G se dice que es soluble si podemos encontrar
una cadena finita de subgrupos G = N0^>Nl^>N2:^ . - - 3ÍVfc = (e) donde
cada N¡ sea un subgrupo normal de Nt_x y tal que cada grupo factor
N¡_ JNt sea abeliano.
Todo grupo abeliano es soluble, pues simplemente se toma N0 = G y
Nx = (e) para satisfacer la anterior definición. El grupo simétrico de
grado 3f 53, es soluble. En efecto, si tomamos Nx = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)},
Nt es un subgrupo normal de S"3 y S3/Nx y NJ(é) son, ambos, abelianos por
ser de órdenes 2 y 3, respectivamente. Se puede demostrar que S4 es soluble
(problema 3). Para /i > 5 demostraremos en el teorema 5.w que Sn no es
soluble.
Busquemos una descripción alternativa para la solubilidad. Dado el
grupo G y los elementos a y b de G, entonces el commutador de a y b es
el elemento oTl b~' ab. El subgrupo conmutador^ G', de Gesel subgrupo de G
generado por todos los conmutadores de G. (No es necesariamente cierto
que el conjunto de los conmutadores mismo forme un subgrupo de G.)
Vimos en un ejercicio anterior que G' es un subgrupo normal de G. Además,
el grupo G/G' es abeliano, pues dados dos elementos cualesquiera en él, aC\
bC9 con a, fceG, entonces
(aG')(bGf) = abG' = ba(b~la-lob)G' =
(como a~1b~iabeG') = baG' = (bG')iaG'). Por otra parte, si M es un
subgrupo normal de G tal que G/M es abeliano, entonces M^ G\ pues
dados atbeGt entonces (aM)(bM) = (bM)(aM) de donde deducimos
abM = baM, luego a~lb~1abAf = M y, por tanto, a~lb~labeM. Como
M contiene todos los conmutadores, contiene al grupo que estos generan, es
decir, a G'-
G' es un grupo por derecho propio, asi que podemos hablar de su grupo
conmutador Gí2) = (G')'. Este es el subgrupo de G generado por todos los
elementos {at)~1{b')~la'b' donde a\ b'eG\ Es fácil probar que no solo es
Gc2) un subgrupo normal de G', sino también un subgrupo normal de G
(problema 4). Continuando de esta forma definimos los subgrupos
conmutadores más altos G**0 por G**0 = (G{m~1>)\ Todo Gím) es un subgrupo
normal de G (problema 4) y G{m~ l)/Gc"° es un grupo abeliano.
En términos de estos subgrupos conmutadores más altos de G, tenemos
un criterio sucinto de solubilidad, a saber,
Lema 5,10. G es soluble si y sólo si G{k} = (e) para algún entero ¿_

246
CAMPOS — Cap. 5
Prueba. Si Gm = (e)sea¿V0 = C9NX = G\7V2= G<2>, .-., A^= G{k) = (e).
Tenemos G = N0 =» /V| =3 N2 => - - - =j JVft = (e); con cada 7V| por normal en
G, ciertamente, también normal en Nt_,. Finalmente,
^^ = G^ = _G^_
luego es abeliano. Así pues; según la definición de solubilidad de un grupo, G
es un grupo soluble.
Recíprocamente, si G es un grupo soluble, hay una cadena G = N0 =>
JV| ^N2 => ... =3JV¡fc = (e) donde cada N¿ es normal en A^_, y donde
Ni-\fNi es abeliano. Pero, entonces, el subgrupo conmutador TV',., de
JV,_! debe estar contenido en N¡. Así pues, Nl=>N¿= G\ N2 =* TV; => (G')'
= Gf2\ 7V3 ^ 7V¿ =3 (Gm)' = G*3\ ..., JV, ^ C*», (e) * JVfc =» G™. De donde
resulta que Gw = (e).
Corolario. Si G es u/í grupo soluble y si C es una imagen homomórjica de
G, entonces C es soluble.
Prueba. Como G es una imagen homomórfíca de G, es inmediato que
(C)tfcJ es la imagen de Gw, Como Gw = (e) para alguna kt (C)ik} = (e) para
la misma ¿, de donde, de acuerdo con el lema, G es soluble.
El siguiente lema es clave en la prueba de la familia infinita de grupos 5n,
con n > 5, no es soluble; aquí Sn es el grupo simétrico de grado n.
Lema 5JI. Sea G = S„ donde n&S; entonces Gm para k = l9 2,...,
contiene todo ciclo de orden 3 de S*.
Prueba. Observemos primero que para un grupo arbitrario G» si N es un
subgrupo normal de G entonces N' debe también ser un subgrupo normal
de G (problema 5).
Afirmamos que si N es un subgrupo normal de G = Sn donde n > 5, que
contiene todo ciclo de orden 3 en S„, entonces N' debe también contener
todo ciclo de orden 3. Pues supongamos a = (1, 2» 3), b = (1,4, 5) de TV
(estamos aquí usando que «> 5); entonces a~lb~lab = (3, 2,1)(5,4, I)
(l,2,3)(l,4, 5) = (1,4, 2), como conmutador de elementos de N debe
estar en N\ Como N' es un subgrupo normal de G, para cualquier t:eS„9
ír_,(l,4t 2) ti debe estar también en TV'. Escojamos Tren 5^ tal que tt(1) = íi,
n(4) = i2 y k(2) = í3, donde it, í2 e i3 son cualesquiera tres enteros distintos
en el rango de 1 a/i; entonces ir"1(l, 4, 2)n = (íj, r2, í3) está en A'', Luego
N' contiene todos los ciclos de orden 3.
Haciendo TV = G, que es ciertamente normal en G y contiene todos los
ciclos de orden tres, tenemos que G' contiene todos los ciclos de orden 3;

I 7 SOLUBILIDAD POP RADICALES
247
como C* es normal en G, Gí21 contiene todos los ciclos de orden 3; como
C{2} es normal en G, G*3> contiene todos los ciclos de orden 3. Continuando
de esta forma llegamos a la conclusión de que Cm contiene todos los
ciclos de orden 3 para cualquier k.
Una consecuencia directa de este lema es el resultado interesante para
la teoría de grupos de que
Teorema 5.w. Sñ no es soluble para n^5.
Prueba. Si G = Snt según el lema 5.11, Gw contiene todos los ciclos de
orden 3 de Sn para todo k. Por tanto, G**' # {e) para toda k, de donde de
acuerdo con el lema 5.10 G no puede ser soluble.
Interrelacionamos ahora la solubilidad por radicales de p(x) con la
solubilidad como grupo del grupo de Galois de/?(x). La misma terminología
es altamente sugestiva de que una tal relación existe. Pero primero
necesitamos un resultado acerca del grupo de Galois de un cierto tipo de polinomio.
Lema 5,12. Supongamos que el campo F tenga todas las raíces n-ésimas
de la unidad{para un cierto determinado rí) y supongamos que a ^Oestá en F.
Sea jf—aeF[x] y sea Ksu campo de descomposición sobre F. Entonces:
J) K= F(u)tdonde u es cualquier raíz de jc"—a.
2) El grupo de Galois de xT—a sobre F es abeliano.
Prueba. Como F contiene a todas las raíces /i-ésimas de la unidad,
contiene f = e2*',n; nótese que í" = 1 pero £" i= 1 para 0 < m< n.
Si ueK es cualquier raíz de jc"—o, entonces w, £a, £2ut..., í""1ü son
todas las raices de y—a. Que son raíces, es evidente; que son distintas se
sigue de que si í'u = f-'u con 00"<j<n, entonces como w # 0 y
(£'"—£■*)« = 0, debemos tener f' = £J\ lo que es imposible ya que £J~* = 1
con 0<j—i<n. Como £eF, todos los ut £ut ..., í"-1u estén en F(u)t
luego F(u) descompone xT—a\ como ningún subcampo propio de F(u) que
contenga a F contiene también a u> ningún subcampo propio de F(u) puede
descomponer a xT—a. Así pues, F(u) es el campo de descomposición de
y—a9 y hemos probado que K = F(u).
Si (7, t son dos elementos cualesquiera de V—ay es decir, si o, x son
automorfismos de K = F(u) que dejan todos los elementos de F fijos,
entonces como tanto a{u) como x(u) son raíces de jc"—a, o{u) = £'u y
t(u) = £*u para algunas i y j. Así pues, cx{u) = o(£Ju) = £Jo(u) (ya que
£JeF) = í'íJu = £f+Ju; análogamente. xc(u) = £Í+Ju, Por tanto, ex y xa
coinciden sobre u y sobre Ft de donde, en todo K = F(u). Pero entonces
ex = xa9 de donde el grupo de Galois es abeliano.

246
CAMPOS — Cip. 6
Nótese que el lema dice que cuando F tiene todas las raíces n-ésimas de la
unidad, entonces, adjuntando una raíz de xP—a a F% donde aeF, tenemos
todo el campo de descomposición de jc"—o, luego éste debe ser una extensión
normal de F.
Suponemos para el resto de la sección que F es un campo que contiene
todas las ratees n-ésimas de ¡a unidad para todo entero n. Tenemos
Teorema 5.x. Si p{x)eF[x] es soluble por radicales sobre F, entonces el
grupo de Calois sobre Fde*p{x) es un grupo soluble.
Prueba. Sea K el campo de descomposición de pix) sobre F\ el grupo de
Calois de p{x) sobre F es G(K, F). Como p(x) es soluble por radicales
existe una sucesión de campos
FeF, = F(cot)^F2 = ^(coje: ... cF* = F^K),
donde tu/'eF, flj2**eFii...1cij/*e**-i y donde K<=Fk. Como dijimos
podemos suponer, sin pérdida de generalidad, que Fk es una extensión normal
de F, Como extensión normal de F, Fk es también una extensión normal de
cualquier campo intermedio, de donde Fk es una extensión normal de cada
una de las F,.
Según el lema 5.12 toda F, es una extensión normal de Fl_í y como Fk
es normal sobre F¡_l9 de acuerdo con el teorema 5,v, G{Fkt F,) es un sub-
grupo normal en G(Fk9 F¡_ t). Consideremos la cadena:
1) G(Fk, F) => G(Fk> Ft) => G(Fk, F2) => ... => G(Fk, Fk^) =>(*).
Como acabamos dé hacer notar, cada grupo en la cadena es un subgrupo
normal en el que le precede. Como F, es una extensión normal de F¡_tí
de acuerdo con el teorema fundamental de la teoría de Galois (teorema 5.v)
el grupo de F, sobre Ft_ly G{Fty Fg-t) es isomorfo a G{Fkt F^^/GiF^
Ft). Pero según el lema 5,12, G(Ft, F,_|) es un grupo abeliano. Luego
todos los grupos cociente G{Fk9 F¡_ x)/G{Fk9 F¡) de la cadena (1) es abeliano.
¡Luego el grupo G(Fkt F) es soluble! Como Kc Fk es una extensión
normal de F (por ser un campo de descomposición), según el teorema 5.v,
G{Fk9K) es un subgrupo normal de G(Fk9F) y G{K,F) es isomorfo
a G{Fk,F)fG(Fk,K)„ Así pues, G(KtF) es una imagen homomórfica
de G(Fa.F) que es un grupo soluble; por el corolario del lema 5.10, el
mismo G(K,F) debe entonces ser un grupo soluble. Como G{KtF) es el
grupo de Galois dcp(x) sobre F, el teorema ha sido (robado.
Hacemos dos observaciones sin prueba.
1) El recíproco del teorema 5.x es también cierto, es decir, si el grupo de
Galois de p(x) sobre F es soluble, entonces p{x) es soluble por
radicales sobre F
2) El teorema 5.x y su recíproco son ciertos incluso si F no contiene
raices de la unidad.

17. SOLUBILIDAD POR RADICALES
249
Recordando lo que se entiende por polinomio general de grado n sobre F,
p(x) = jc"+<iix""l+ .-- +ant y lo que se entiende por soluble por radicales,
cerramos el capítulo con el gran teorema clásico de Abel
Teorema 5. Y. El polinomio general de grado « £ 5 no es soluble por
radicales.
Prueba. En el teorema 5.s demostramos que si F(ax,..., am) es el campo
de las funciones racionales en las n variables alt .,., am, entonces el grupo de
Galois del polinomio p(t) = tH-*-aítH~1-*-...-*-üm sobre F{au~.9a^ era
Smt el grupo simétrico de grado n. De acuerdo con el teorema 5.w SA no es
un grupo soluble cuando n > 5, asi pues, según el teorema 5.x p(t) no es
soluble por radicales sobre Ffai t, - M am) cuando n £ 5.
Problemas
*1- Si p(x) es soluble por radicales sobre F, pruébese que puede
encontrarse una sucesión de campos
FcF, - F(OJ|)cF2 = F.ícojc .., cft = Fk^{^
donde cü/'eF, w2r*eFlt ..., *w/*eFfc_1, con F¿ conteniendo todas las
raíces de p (jc) tal que Fk es normal sobre F-
2. Pruébese que un subgrupo de un grupo soluble es soluble.
3. Pruébese que SA es un grupo soluble.
4. Si C es un grupo, pruébese que todos los Gm son subgrupos normales
deC.
5. Si N es un subgrupo normal de G, pruébese que N* debe también ser
un subgrupo normal de G,
ti. Pruébese que el grupo alternante (el grupo de las permutaciones
pares en Sñ) Amy tiene subgrupos normales no triviales para n > 5.
Lecturas suplementarias
Artin, E., Galois Theory, segunda edición. Notre Dame Mathematical
Lectures, número 2,
Pollard, H., Theory of Algébrale Numbers, Carus Monographs, número 9.
John Wiley and Sons, Inc., Nueva York, 1950.
Van der Waerden, B. L., Modern Algebra, vol. L Ungar Publishing
Company, Nueva York, 1949.
WeisneR, L., Theory of Equations. The Macmillan Company, Nueva York,
1938.

250
CAMPOS — Cap. S
Siegel, C. L., Transcendental Numbers* Annals of Mathematical Studies,
número 16, Princeton University Press, Princeton, Nueva Jersey, 1949.
Niven, L. Irrational Numbers^ Carus Monographs, número 11. John
Wiley & Sons, lnc„ Nueva York, 1956,
Tópicos para discusión en clase
Niven, L, "A simple proof of the irrationality of rc", Bulletin of the American
Mathematical Society, voL 53 (1947), pág. 509.

Transformaciones
lineales
En EL capítulo 4 definimos: para dos espacios vectoriales cualesquiera Vy W
sobre el mismo campo Ft el conjunto Hom (V9 W) de todos los homo-
morfísmos de espacio vectorial de V en tV. En realidad, introdujimos en
Hom{Vt W) las operaciones de adición y multiplicación por escalares
(elementos de F) en tal forma que Hom( V, W) mismo se nos hizo un espacio
vectorial.
De mucho mayor interés es el caso especial V = W9 pues aquí, aparte
de las operaciones de espacio vectorial, podemos, además, introducir una
multiplicación con la cual Hom(K W) se hace un anillo. Provisto de esta
doble naturaleza —la de espacio vectorial y la de anillo—Hom(K W)
adquiere una estructura sumamente rica. Son, esta estructura y sus con-

252
TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
secuencias, las que imparten tanta vida y brillo al tema y las que justifican
más plenamente la creación del concepto abstracto de espacio vectorial.
Nuestro mayor interés se concentrará en Hom(^ V) con un Kque no
será un espacio vectorial arbitrario, sino un espacio vectorial de dimensión
finita sobre un campo F. La dimensionalidad finita de V impone sobre
Hom( V9 V) que cada uno de sus elementos satisfaga un polinomio sobre F»
Este hecho, quizá más que cualquier otro, nos facilita el camino para entrar
en el conocimiento de Hom(K, V) y nos permite explorar profunda y
efectivamente su estructura.
La materia que aqui vamos a considerar se denomina con frecuencia
algebra lineal. Contiene a la isomorfa teoría de matrices. La afirmación de
que sus resultados son de uso cotidiano en todos los aspectos de las
matemáticas (y de lo que no son matemáticas) no es de ningún modo exagerada.
Un mito popular afirma que los matemáticos gozan con la falta de
aplicaciones de su disciplina y se molestan cuando alguno de sus resultados
es "manchado," por el uso en el mundo exterior. ¡Es una rematada tontería!
Es cierto que un matemático no basa sus juicios de valor en la aplicabilidad
de un resultado dado fuera de las propias matemáticas sino que más bien
los basa en un criterio matemático algo intrínseco y a veces intangible.
Pero también es cierto que lo reciproco es falso —la utilidad de un resultado
nunca ha disminuido su valor matemático. Un caso perfecto para ilustrar el
punto es el del álgebra lineal; tenemos en ella matemáticas reales,
interesantes y excitantes por si y, sin embargo, es probablemente la parte de las
matemáticas que encuentra las aplicaciones más amplias —en la física, la
química, la economía, en realidad en casi toda ciencia o pseudociencia,
1. EL ÁLGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Sea Kun espacio vectorial sobre un campo Fy Hom(l/t K), como antes,
el conjunto de todos los homomornsmos de espacio vectorial de V en si
mismo. En la sección 3 del capitulo 4 vimos que Hom(K, V) forma un
espacio vectorial sobre F donde para Tlt T2eHom(Vt V), Tt + T2 queda
definido por v(Tx + T2) — vTx + vT2 para todo ve V, y donde para aeF9 a7\
está definido por v(aTt) = a(vTxy
Para 7\, T2eHom(Vt V)y como vTxeV para cualquier veV, {vTt)T2
tiene sentido. Como hemos hecho para aplicaciones de un conjunto en si
mismo, definimos TXT2 por v{Tx T2) = (vTt)T2 para cualquier veV.
Afirmamos ahora que Tt 7*2eHom(K V\ Para probarlo, debemos
demostrar que para cualesquiera oct fieFy cualesquiera u, ve K, (au+/fo)(?\ ^2) =
a(u(Tx T^+p{v{Tx T2). Calculamos;
(au+fiv)(TtT2) = {(au+fivm^
^{aiuTO+PivTj)^
-a&TJTJ+pivTJTJ
-a(u(r1r2)+/í(í;(r1r2).

11. EL ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
253
Dejamos como ejercicio la prueba de las siguientes propiedades de este
producto en Hom(F, V):
l)(Tl + T2)T3 = TiT3 + T2T3
2) r3(r1+r2) = r3rI+r3r2
3) t¿t%t¿ = (7\r2)r3
4)a(r1r2) = (ar1)r2 = rI(ar2)
para cualesquiera Tlt T2t T3etiom{V, V)y todaaeF
Nótese que las propiedades (1), (2) y (3) anteriores son exactamente las
que se necesitan para hacer de Hom(K V) un anillo asociativo. La
propiedad (4) entremezcla el carácter de Hom(rT V) como espacio vectorial
con su carácter como anillo.
Nótese, además, que hay un elemento / en Hom(r, V\ definido por
vi = v para todo ve V, con la propiedad de que 77 = IT = T para todo
TeHom{V, V). HomíP, V) es, pues, un anillo con elemento unitario.
Además, si en la anterior propiedad (4) hacemos T2 = I? obtenemos
aTx = 7*1 (a/). Como (aI)Tj = a(ITt) ■= aTt, vemos que (a/)r, = Tx{al)
para todo T^HomiV, V), luego al conmuta con todo elemento de
Hom( V9 V\ De aqui en adelante escribiremos siempre al simplemente como a.
Definición. Un anillo asociativo A se llama álgebra sobre F si A es un
espacio vectorial sobre Ftal que para cualesquiera a, be A y aeF9 a{a$) =
(aa)b = a(ab).
Homomorfismos, isomorfismos, ideales, etc., se deñnen para las álgebras
como se definieron para los anillos, con la exigencia suplementaria de que
deben, para el caso de las álgebras, preservar también la estructura de
espacio vectorial.
Nuestras anteriores observaciones indican que Hom(K V) es un álgebra
sobre F Para hacer la notación más manejable escribiremos de aqui en
adelante A(V) en lugar de Hom(K V); siempre que queramos enfatizar el
papel del campo Femplearemos como notación AF{V).
Definición. Una transformación lineal sobre V, como espacio vectorial
sobre F, es un elemento de A F( V).
A veces, nos referiremos a A{V) como el anillo, o álgebra de las
transformaciones lineales sobre V.
Para álgebras arbitrarias Ay con elemento unitario, sobre un campo F,
podemos probar el análogo del teorema de Cayley para grupos; a saber:
Lema 6.1. Si A es un álgebra con elemento unitario sobre F, entonces A es
isomorfa a una subálgebra deA{ V)para algún espacio vectorial V sobre F

2*4
TRANSFORMACIONES LINEALES— Cap. 6
Prueba. Como A es un álgebra sobre F, debe ser un espacio vectorial
sobre Fm Usaremos V — A para probar el teorema.
Si aeA, sea TQ:A -* A deñnida por vTa = va para todo veA. Afirmamos
que Ta es una transformación lineal sobre V(= A). Por la ley distributiva
derecha (u^üj)^ — (vx+v2)o = vla+v2a = vlTát+v2Tem Como A es un
álgebra, (av)Ta = (av)a = a(va) = a{vTtt) para veA, ae/1 Luego Ta es
ciertamente una transformación lineal sobre A,
Consideremos la aplicación i}/:A-*A(V)definido por a$ — Ta para iodo
ügA. Afirmamos que ^ es un isomornsmo de A en A(V). Para comenzar, si
a, beA y o, fieF, entonces para todo veA9 vTae+fib = v(aa+fib) = a(va)+
fi(vb) (por la ley distributiva izquierda y el hecho de que A es un álgebra
sobre F) = a(vTa)+fi(vTb) = v(aTa+fiT¿* V* Que unto Ta como Tt son
transformaciones lineales. En consecuencia Taa+pb = aTu+fiTb9 de donde ^
es un homomorfismo de espacios vectoriales de A en A{V). A continuación
calculamos, para a, beA, vTab = v(ab) = (tu)¿ = (vTa)Tb = v(TeTb) (hemos
usado la ley asociativa de A en este cálculo), lo que implica que TA = TaTb.
Hemos, pues, visto que ^ es también un homomorfismo de anillos de Am
Hasta el momento hemos probado que ^ es un homomorfismo de A, como
álgebra, en A{V). Todo loque queda por hacer es determinar el núcleode^.
Sea aeA un elemento del núcleo de ^; entonces a$ = 0, de donde rfl = 0 y
por tanto vTa — 0 para todo ve K Ahora bien, V = ^, y -4 tiene un elemento
unidad er de donde e7^ — 0. Sin embargo, 0 = eTe = ea = ay con lo que
probamos que a = 0- El núcleo de ^ debe, por tanto, consistir solamente en
0, lo que implica que ^ es un isomorfismo de A en A(V). Y esto completa la
prueba del lema.
El lema señala el papel universal que juegan las álgebras particulares
A{V\ puesto que en estas podemos encontrar copias isomorfas de
cualquier álgebra.
Sea A un álgebra con elemento unidad e sobre F, y sea p(x) = a0+
axx+ ... H-o^V un polinomio en F[x]. Para aeA9 representaremos porp(a)
al elemento <*()£+«!<3+ ... +otiltf en A. Si/?(a) = 0 diremos que a satisface
ap(x)m
Lema 6.2, Sea A un álgebra con elemento unitario sobre F, y Supongamos
que A es de dimensión m sobre F. Entonces, todo elemento de A satisface
algún polinomio no trivial en F[x] de grado cuando más m.
Prueba. Sea e el elemento unitario de A; si aeA9 consideremos los
n+l elementos et a, a2, „m9tf" de A. Como A es iw-dimensional sobre F,
por el lema 4.6, e, at a2,.. ., tf", por ser m +1, deben ser linealmente
dependientes sobre F. En otras palabras, hay elementos a0, ax,..., am en F, no
todos cero, tales que a0e+aia+ ... +<*„£?" = 0. Pero entonces a satisface
al polinomio no trivial g{x) = aü+alx+ ... +amjftt de grado, cuando
más m, en F[x\.

II. EL ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
255
Si y es un espacio vectorial de dimensión finita sobre F, de dimensión n,
por el corolario I del teorema 4.d, A(y) es de dimensión n2sobre f. Como
A(V)es un álgebra sobre f, podemos aplicar el lema 6.2 para obtener que
todo elemento de A(V) satisface un polinomio sobre F de grado, cuando
más n2. Este hecho será de significación capital en todo lo que sigue, de
modo que lo destacamos enunciándolo como un
Teorema 6.a, Si y es un espacio vectorial de dimensión-rt sobre F9 en-
íonces, dado un elemento cualquiera T de A{V\+ existe un polinomio no
trivial q(x)e F[x]* degrado* cuando más n2% tal que q{T) = 0.
Veremos después que podemos afirmar mucho más acerca del grado de
q(x); en realidad, veremos más adelante que puede escogerse un tal q(x)
con grado, cuando más n. Este hecho constituye un famoso teorema sobre
nuestro actual tema de estudio conocido como el teorema de Cayley-
Hamilton. Por el momento podemos seguir adelante sin una estimación
más precisa del grado de q(x): todo lo que necesitamos es que exista un q{x)
adecuado.
Como para V de dimensión finita, dado TtA(y) existe algún polinomio
q(x) para el que q(T) = 0, existe en F[x] un polinomio p{x) de grado
mínimo no trivial con tal propiedad. Llamamos a p(x) polinomio mínimo
para T sobre F. Si T satisface un polinomio h{x\ entonces p{x) \ h{x).
Definición- Un elemento TeA{V) se llama invertible a la derecha si
existe un SeA(y) tal que 7*5 = 1. (Aquí I denota al elemento unidad de
A(y).)
Análogamente, podemos ^^finir que T es invertible a ia izquierda si
existe un UeA(y) tal que UT = I. Si T es invertible tanto a la derecha
como a la izquierda y si TS = UT = I, es entonces un fácil probar, como
ejercicio que S = U y que £ es único.
Definición. Un elemento 7" de A{y) es invertible o regular si es invertible
tanto a la derecha como ala izquierda: es decir, si hay un elemento SeA{V)
tal que ST = TS = \. Escribimos entonces Scomo T~!
Un elemento en A (V) que no es regular se llama singular.
Es completamente posible que un elemento en A{V) sea invertible a
■la derecha, pero que no sea invertible- He aquí un ejemplo: sea Fcl campo
de los números reales y sea V — F[x], el conjunto de todos los polinomios
en x sobre /l Definamos S en V por q{x)S = ~rq{x\ y T por q(x)T =
px ax
I q{x)dx. Entonces ST # 1, mientras que 75 = 1. Como veremos en un

266
TRANSFORMACIONES LINEALES — C*f>. 6
momento, si Ves finito dimensional sobre Fentonces un elemento en A{V)
que es invcrtible a la derecha es invertible.
Teorema 6.b. Si V es de dimensión finita sobre Fentonces TeA(V) es
invertible si y sólo si el término constante del polinomio mínimo para T no es 0.
Prueba, Seap(x) = a0+o£jX+ ... +<****, 0Lk & 0 el polinomio mínimo
para T sobre F.
Sia0 * 0,comoO = /i(73 = aA7*+c£*_17*~i+ ... +axT+a0t tenemos
Por lo tanto, S = (0*7*"* + ... +a,)actúacomouninversoparaT,de
donde T es invertible.
Supongamos, por otra parte, que T es invertible, pero oc0 = 0. Asi pues,
0= alT+a2T2+ ... +0*7* = (ax+a2T+ ... +aktk'l)T. Multiplicando
esta relación a la derecha por T~l obtenemos ax+a2T+ ...+c£*7*~l = 0,
de donde T satisface el polinomio q(x) = ai+0í2jc+ ... +aJtx*~1 en F[x],
Como el grado de g(x) es menor que el dep(x), esto es imposible. Por tanto,
«o & 0» y la otra mitad del teorema queda probada.
Corolario 1. Si VesdedimensiónfinttasobreFysiTeA(V)esinvertibie9
entonces T~l es una expresión poünomial en T sobre F.
Prueba. Como Tes invertible, por el teorema» a0+axT+ „. +a47* = 0
con aQ 5é 0. Pero entonces T~l = {ax+arT+ ... +akfk~ly
Corolario 2, Si Ves de dimensión finita sobre FysiTeA(V) es singular^
entonces existe unS *0enA(V)tal que ST= TS = 0.
Prueba. Como T no es regular, el término constante de su polinomio
mínimo debe ser 0. Es decir, p(x) = atx+ .,. +«***. donde 0 = atT+ ...
+0^7*. Si £ = at+ ... +c£*7*~1, entonces S* 0(yaquecr1+ ... +akx?~1
es de grado menor que j?(x)) y ST = TS — 0.
Corolario 3. Si Ves de dimensión finita sobre F y si TeA(V)es inver*
tibie a ¡a derecha^ entonces Tes invertible.

f 1. EL ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
257
Prueba. Sea TU = L Si T fuera singular, habría un S & 0 tal que
ST = 0. Pero, 0 = (ST) U = S(TU) = SI = S * 0. Una contradicción.
Luego T es regular.
Deseamos aplicar la información contenida en el teorema 6,b y sus
corolarios desde A (V) a la acción de T sobre Vm Un resultado de la mayor
importancia a este respecto es
Teorema 6.c. Si V es finito dimensional sobre F entonces TeA(V) es
singular si y sólo si existe un v 5¿ 0 en V tal que vT = 0.
Prueba, De acuerdo al corolario 2 del teorema 6*b, 7* es singular si y sólo
si hay un S ^ 0 en A(V) tal que ST = TS = 0. Como S & 0, hay un
elemento we V tal que wS # 0.
Sea v = wS; entonces vT = (wS)T = w(ST) = w0 = 0. Hemos
presentado un vector no cero t?, en Vt al que T suprime. Reciprocamente, si vT — 0
con v ^ 0, dejamos como ejercicio probar que Tno es invertible.
Buscamos aún otra caracterización de la singularidad o regularidad
de una transformación lineal en términos de su acción global sobre V.
Definición. Si TeA(V), entonces la imagen de T, VT, está definida por
VT= {vT\veV}.
Es fácil mostrar que la imagen de T es un subespacio vectorial de V.
Consiste simplemente en todas las imágenes según T de los elementos
de K Nótese que el rango de T es todo V si y sólo si T es suprayectiva.
Teorema 6.d. 51 V es de dimensión finita sobre F9 entonces TeA(V) es
regular si y sólo si T transforma V sobre V
Prueba. Como sucede con frecuencia, la mitad de lo afirmado es trivial;
a saber, si T es regular, entonces, dado veVt v = (vT~l)Tt de donde
VT = Vy Tes suprayectiva.
Por otra parte, supongamos que T no es regular. Debemos mostrar que
T no es suprayectiva. Como T es singular, según el teorema 6x, existe un
vector vl ^ 0 en V tal que vt T = 0. De acuerdo con el lema 4.7 podemos
completar partiendo de vt una base vt9 u2» ■■•» vn de K Entonces todo
elemento de VT es una combinación lineal de los elementos wx =■ vx Ty
w2 = v2T9^^wil = vKT, Como wt = 0, VT está generado por los ji—I
elementos w2, -.-, u?„t luego dim VT^n— 1 <n = dim V. Pero entonces
ir debe ser diferente de V; es decir, Trio es suprayectiva.
El teorema 6.d establece que podemos distinguir los elementos regulares
de los singulares, en el caso de dimensión finita, de acuerdo a-que sus

2ea
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
imágenes sean o no todo Vm Si TeA(V)9 esto puede refcrmularse como
sigue: Tes regular si y sólo si dim (VT) = dim K Esto sugiere que
podríamos usar dim (VT) no solamente como una prueba para la regularidad sino
incluso como una medida del grado de la singularidad (o falta de regularidad)
para un TeA(V) dado.
Definición. Si V es de dimensión finita sobre F entonces el rango de T
es la dimensión de VT, la imagen de T, sobre F.
Denotamos al rango de T por r(T)m A un extremo del espectro, si r(T) =
dim V9 T es regular (y, por tanto, absolutamente no singular). En el otro
extremo, s\r(T) = 0, entonces T = 0 y entonces Tes todo lo singular que se
puede ser. El rango, como una función sobre A(V)t es una función
importante y ahora investigaremos algunas de sus propiedades.
Lema 6.3. Si Ves de dimensión finita sobre Fenloncespara St TbA(V)
l)r(ST)^r(T)
2)r(TS)^r(T)
(y9 por tanto* r(ST) < min {r(T)f r(S)})
3) r(ST) = r(TS) = r(T)para S regular en A(V).
Prueba. Demostraremos en su orden (1), (2) y (3).
1) Como VSc V, V(ST) = (VS)T<= VT, de donde, de acuerdo con el
lema 4,8, dim (V(ST)) ^ dim VT; es decir, r(ST) ^ r(T).
2) Supongamos que r(T) = #h. Entonces VT tiene una base de m
elementos, wV9w29.„9wm* Pero entonces (VT)S está generado por wtS9
w2S9..., wmS, de dohde tiene una dimensión igual o menor que m* Como
r(TS) = dim (V(TS)) = dim ((VT)S) ^ m = dim VT = r(T)f hemos
probado (2).
3) Si Ses invertible, entonces VS = V9 de donde V(ST) = (VS)T = VT
Por tanto, r(ST) = tim(V{ST)) = dim(VT) = r(T). Por otra parte,
si VT tiene wt, „ *9 wm como base, la regularidad de S implica que wx S, ...,
wmS son linealmente independientes. (¡Pruébesel) Como estos vectores
generan V(TS)t forman una base de V(TS). Pero entonces r(TS) = dim
(V(TS)) = dim(rr) = r(T).
Corolario. Si TeA(V) y si SeA{V) es regular, entonces r(T) =
r(STS~l\
Prueba. Según la parte (3) del lema, r(STS'l) = r(S(TS~ *)) =
riTS-l)S) = r(T).

11. EL ALGEBRA DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
259
Problemas
En todos los problemas, salvo aviso expreso en contra, V representará un
espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo F.
1. Pruébese que SeA(V) es regular si y sólo si siempre que vx ,..., vmeV
son lineal mente independientes, entonces vtSt ...,1^5 son también lineal-
mente independientes.
2. Pruébese que TeA(V) queda completamente determinado por sus
valores sobre una base de V.
3. Pruébese el lema 6.1 incluso cuando A no tiene elemento unidad.
4. Si A es el campo de los números complejos y F es el campo de los
números reales, entonces A es un álgebra sobre F de dimensión 2. Para
a = a+fii en A r calcúlese la acción de TG (véase el lema 6.1) sobre una base
de A sobre F.
5. Si Fes bidimensional sobre Fy A = Á(V\ obténgase una base de
A sobre Fy calcúlese TB para cada a en tal base.
6. Si dimF V > 11 pruébese que A ( V) no es conmutativa.
7. En A{V)t sea Z = {TeA(V)\ ST = TS para toda SeA(V)}.
Pruébese que Z consiste simplemente en los múltiplos del elemento unidad de
A{V) por los elementos de F.
*8. Si dimF V> I, pruébese que A(V) no tiene ideales bilaterales aparte
de(0)yA(Vy
**9. Pruébese que la conclusión del problema 8 es falsa s¡ V no es de
dimensión finita sobre F.
10. Si V es un espacio vectorial arbitrario sobre F y si TeA(V) es
¡nvertible tanto a la derecha como a la izquierda, pruébese que el inverso
derecho de 7 y su inverso izquierdo son iguales. Partiendo de ello, pruébese
que el inverso es único.
11. Si Ves un espacio vectorial arbitrario sobre Fy si TeA(V) es inver-
tibie a la derecha con un inverso derecho únicor pruébese que T es
invertible.
12. Pruébese que los elementos regulares de A(V) forman un grupo.
13. Si F es el campo de los enteros módulo 2 y V es bidimensional
sobre F, calcúlese el grupo de elementos regulares de A(V) y pruébese que
este grupo es isomorfo a S¿, el grupo simétrico de grado 3.
*14. Si F es un campo finito con q elementos, calcúlese el orden del
grupo de los elementos regulares de A{V) cuando V es bidimensional
sobre F.

260 TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
•15. Hágase el problema 14 cuando Ves de dimensión n sobre F.
*16. Si Ves de dimensión finita, pruébese que todo elemento en A{V)
puede escribirse como una suma de elementos regulares.
17. Un elemento EsA(V) se llama idempotente si E2 = E. Si EeA(V)
es un idempotente» pruébese que V = V0<5) Vx donde voE=0 para todo
u0e V0yvlE= vx para todo vteV%.
18, Si TsAF(V)y con Fdc característica distinta de 2, satisface T3 = Tt
pruébese que V = VQQ} V^ V2 donde:
1) v0g V0 implica v0T = 0
2) v1gV1 implica vxT = vx
3) v2eV2 implica v2T = —u2.
•19. Si V es de dimensión finita y 7 ^ Oe A(V)f pruébese que hay un
SgA(V) tal que E = TS & 0 es un idempotente.
20. El elemento TeA(V) se llama nilpotente si 7*" ^ 0 para algún m.
Si Tes nilpotente y sivT = av para algún v #0 en V9 con aef, pruébese
que a = 0.
21. Si TgA(V) es nilpotente, pruébese quea0+air+a272+ ... +akTk
es regular, con tal de que a0 # 0.
22. Si A es un álgebra de dimensión finita sobre F y si ügA, pruébese
que para algún entero k > 0 y algún polinomio p(x)eF[x]7 o* = o*+ V(^X
*23. Usando el resultado del problema 22, pruébese que para aeA hay
un polinomio ^(jc)gF[jc] tal que o* = a2*4(a).
24. Usando el resultado del problema 23, pruébese que dada aeA o o
es nilpotente o hay un elemento b & 0 en A de la forma b = ah(á), donde
h(x)eF[x]9 tal que A2 - A.
25. Si «d es un álgebra sobre F(no necesariamente de dimensión finita) y
si para aeA9 a2—a es nilpotente, pruébese que o a es nilpotente o hay un
elemento de la forma b = ah(a) # 0, donde h(x)eF[x]9 tal que b2 = A.
•26. Si 7 & OeA(V) es singular, pruébese que hay un elemento SeA(V)
tal que TS = 0 pero ST * 0.
27. Sea V bidimensional sobre F con base vl9v2. Supongamos que
TeA{V) es tal que vtT = avl +fiv2 y v2 7 =* yvt +Sv2 donde a, /í, y, ¿e/1
Encuéntrese un polinomio distinto de cero en F[x] de grado 2 satisfecho
por 71
28. Si P es tridimensional sobre F con base vt, u2» v$ y si Teví ( V) es tal
que V|7 ^ anfJ+aJ2V2+ai3t73 Para '— U 2, 3, con todos los a^eF,
encuéntrese un polinomio de grado 3 en F[x] satisfecho por 7.

I. 2 RAICES CARACTERÍSTICAS
261
29. Sea ^ n-dimensional sobre F con una base vt9 ...»i>B. Supongamos
que Teyí(F) es tal que
VtT=V29V2T=: V39m„,Vm_1T= Vm9
vnT= -Vi-^-ii>j-... -«i^.
donde oc1,.,.. o^eF- Pruébese que 7 satisface el polinomio
p(x) = y+a1y"1+a2^"2+ — +«. sobref.
30. Si TeA(V) satisface un polinomio 9(x)eF[x]t pruébese que para
SgA(V)9Sregular, STS'1 también satisface?(x),
31. a) Si Fes el campo de los números racionales y si P es tridimensional
sobre F con una base vl9 vl9 t>3t calcúlese la clase de TeA(V)
definido por
vtT = vx—v2
V2T = l»! + l?3
A) Encuéntrese un vector veVtv ^ 0, tal que vT = 0.
32. Pruébese que la imagen de 7 y U — {ve V \ vT = 0} son subespacios
deK
33. Si TeA(V)t sea P0 = {ueP| i>7* = 0 para algún k}. Pruébese que
V0 es un subespacio y que si vV" V09 entonces ve V0.
34. Pruébese que el polinomio mínimo de 7 sobre F divide a todos -los
polinomios satisfechos por 7 sobre F.
*35. Si n{T) es la dimensión de la U del problema 32, pruébese que
r{T)+n(T) = áim K
2. RAICES CARACTERÍSTICAS
En lo que falta de este capitulo nuestro interés se limitará a
transformaciones lineales sobre espacios vectoriales de dimensión finita. Así pues9 de
aquí en adelante, V denotará siempre un espacio vectorial de dimensión finita
sobre un campo F-
El álgebra A{V) tiene un elemento unitario; para mayor comodidad, en
la notación la representaremos por 1. Por el símbolo X— T9 para XeF9
TeAiV^ representaremos Al - 71
Definición. Si TeA(V)t entonces XeF se llama raíz característica
(o valor propio^ o eigen valor) át 7 si X— Tes singular.
Deseamos caracterizar la propiedad de ser una raíz característica en el
comportamiento de 7 sobre K Hacemos esto en el

262
TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
Teorema 6.e. El elemento XeF es una raíz característica de TeA(V)siy
sólo si para algún v & 0 en Vt vT = Xv.
Prueba. Si X es una raíz característica de Ty entonces X—T es singular, de
donde, según el teorema 6x, hay un vector i; # 0 en V tal que v(X — 70 = 0.
Pero entonces Xv = vT.
Por otra parte, si vT = Xv para algún v & 0, entoncps v(X— T) = 0, de
donde, de nuevo por el teorema 6x, X— T debe ser singular y, por tanto,
X es una raíz característica de 7*.
Lema 6.4. Si X e F es una raíz característica de Te A (V\ entonces para
cualquier polinomio q(x)eF[x]y q(X) es una raíz característica de q(T)m
Prueba, Supongamos que XeF es una raíz característica de T. De
acuerdo con el teorema 6.e, hay un vector distinto de cero, v, tal que vT = Xv.
¿Qué es lo que ocurre con vT21
Tenemos: vT2 = (Xv) T = X(vT) = X(Xv)=X2v. Continuando de esta forma
vemos que vT1 = Xkv para cualquier entero positivo k. Si q(x) = a0/'+
0!^""'+ ... +aM, ateFA entonces q(T) = aQTm-\-axTm~x + ... +am, de
donde vq(T) = viaoT^+^T"'1*... +an) = a0(vTm)+aí{vTm'1)+ ....
+amv = (a0Xm+aíXm~í+ ...+ aM)r = q{X)v9 por la observación que
anteriormente hicimos. Por tanto v(q(X)—q(T)) = 0, de donde, según el
teorema 6,e, q(X) es una raíz característica de q(T).
Como consecuencia inmediata del lema 6.4, en realidad como un simple
caso especial (pero extremadamente importante), tenemos
Teorema 6.f. Si XeF es una raíz característica de TeA(V)t entonces X
es una raíz del polinomio mínimo de T. En particular, T solamente tiene un
número finito de raices características en F.
Prueba. Sea p(x) el polinomio mínimo de T sobre F; tenemos, pues,
p(T) = 0. Si XeF es una raíz característica de T, hay una v & 0 en V con
vT = Xv. Como en la prueba del lema 6.4, vp(T) = p(X)v¡ pero p(T) = 0,
lo que, por tanto, implica que p(X)v = 0. Como v ?* 0, debemos tener por
las propiedades de un espacio vectorial que p(X) = 0. Por lo tanto, X es una
raíz de p(x). Como p(x) tiene solamente un número finito de raices (en
realidad, como deg p(x) ^ n2 donde n = dimF V, p(x) tiene, cuando más,
n2 raíces) en F, puede solamente haber un número finito de raíces
características de T en F
Si TeA{V)y si SeA(V)e$ regular, entonces (STS'1)1 = STS'lSTS-1
= ST2S-\ (STS~1)3 = ST*S-\„.t(STS-iy = S^S'K Por
consiguiente, para cualquier q(x)eF[x]9 q(STS~l) — Sq(T)S~l. En particular,

I 2- RAICES CARACTERÍSTICAS
263
si q(T) = O, entonces q(STS~*) = 0, Luego si p(x) es el polinomio
mínimo para T9 entonces de lo dicho se sigue fácilmente quep(x) es también
el polinomio mínimo para STS~'. Y hemos probado:
Lema 6-5. Si T9 Se A ( V) y si S es regular* entonces T y STS~x tienen el
mismo polinomio mínimo.
Definición, El elemento 0 ^ veV se llama vector característico de T
perteneciente a la raíz característica XsFsi vT = Av*
¿Qué relación, si es que alguna, debe existir entre los vectores
característicos de T pertenecientes a las distintas raices características? A esto lo
contesta el siguiente
Teorema6jf*. Si Alt..., A* de F son distintas raices características de
TeA(V) y si V],...»Ojk son vectores característicos de Tpertenecientes a
¿i i - - m K respectivamente* entonces vt t..., vk son linealmente independientes
sobre F-
Prueba. Para que el teorema requiera prueba, k debe ser mayor que 1,
de modo que suponemos que k > 1.
Si vlt.„tvk linealmente dependientes sobre F, entonces hay una
relación de la forma or, v, + ... +&kvk = 0, donde a, t-.f m son todos de F
y no todos ellos son 0. Entre todas las relaciones tales hay una que tiene un
número mínimo de coeficientes distintos de cero. Remunerando los vectores
de modo adecuado si fuera necesario, podemos suponer que esta relación
más corta es
1) fitvt+ ... +PjVj = 0,pt # &...»£, *Ü.
Sabemos que v§T = ¿rufl luego, aplicando Ta la ecuación (1), obtenemos
2) Aifti>i+ ... +*.jPjVj = 0-
Multiplicando la ecuación (1) por A, y restando de la ecuación (2)
obtenemos
(Ja-Ji)Aib+ — +&j-*i)Pí*j = o-
Pero ¿j-¿i ^ 0 para ¿> 1 y fit & 0, de donde (¿|-¿])A ^ 0. Pero
entonces hemos construido una relación más corta que la (1) entre p,,^,»., vk.
Esta contradicción prueba el teorema.
Corolario 1. Si TeA{V) y si dimF V = nx entonces T puede tener
cuando más n raíces características en F.
Prueba. Cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en
V puede tener cuando más n elementos. Como cualquier conjunto de raíces
características distintas de Tt según el teorema 6-f', da lugar a un conjunto

264
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cip. 6
correspondiente de vectores característicos linealmente independientes, de
ellos se sigue el
Corolario 2. Sí Te A {V)y si dimF V = n y si T tiene n raices
características distintas en F, entonces hay una base de V sobre F que se compone
de vectores característicos de T.
Dejamos la prueba de este corolario al lector. £1 corolario 2 no es sino el
primero de toda una clase de teoremas en los que se nos dirá que una
transformación lineal dada tiene cierta base muy conveniente del espacio
vectorial sobre la cual nos es muy sencillo describir su acción
Problemas
En todos los problemas Fes un espacio vectorial sobre F.
1. Si TeA(V) y si q{x)eF[x] es tal que q(T) = 0, ¿es cierto que toda-
raíz de q(x) en Fes una raíz característica de TI Pruébese que esto es cierto o
proporciónese un ejemplo en que se muestre que es falsa
2. Si TeA(V) y si p(x) es el polinomio mínimo para Tsobre F*
supongamos que p{x) tiene todas sus raíces en F, Pruébese que toda raíz de p{x)
es una raíz característica de T
3. Sea V bidimensional sobre el campo Fde los números reales con una
base vx, v2. Encuéntrense las raíces características y los correspondientes
vectores característicos para las siguientes T:
a) vtT — i>, + fl2l v2T = vx — v2,
b) vtT= 5vx +*u2, v2T = - 7i>2.
c) v} T = U|+2ü2. v2T = 3ü!+6(í2-
4. Sea V como en el problema 3 y supongamos que TeA(V) es tal que
vt T = avt +f¡v2 +v2T= yui +Sv2 donde a, /f, y, 6 están en F.
a) Encuéntrense las condiciones necesarias y suficientes para que 0
sea una raíz característica de Ten términos de a, /f, y. <5.
b) Encuéntrense, en términos de a, fi, y, <5, condiciones necesarias y
suficientes para que T tenga dos raíces características distintas
en/I
5. Si V es bidimensional sobre un campo F pruébese que todo elemento
en A{V) satisface un polinomio de grado 2 sobre F.
*6. Si Kesb¡dimensionalsobreFysiSíTev4(K)fpmébeseque(S7,-rS)2
conmuta con todos los elementos de A(VX

13. MATRICES
265
7. Pruébese el corolario 2 al teoTema 6.fl
8. Si Kes n-dimensional sobre Fy si Te A (V) es nilpotente (es decir, tal
que Tk = 0 para algún Jt), pruébese que T" = 0. (Sugerencia: si veV úsese
el hecho de que v, vT, iT2,..., tTn deben ser linealrnente independientes
sobre F.)
3. MATRICES
Aunque ya (levamos algún tiempo tratando de transformaciones, siempre
lo hemos hecho en una forma impersonal y un poco lejana; para nosotros,
una transformación lineal ha sido un símbolo (muy a menudo T) que actúa
en una cierta forma sobre un espacio vectorial. Vemos, cuando pensamos en
lo hasta aquí hecho, que fuera de los pocos ejemplos concretos con que
nos hemos encontrado en los problemas, nunca nos hemos enfrentado con
transformaciones lineales especificas. Al mismo tiempo, es claro que si hemos
de proseguir con el tema un poco más lejos a menudo se presentará la
necesidad de hacer un estudio completo y detallado de una transformación
lineal dada. Para mencionar un problema preciso, si se nos presenta una
transformación lineal (y suponiendo por el momento que tenemos medios
para reconocerla), ¿cómo podemos arreglárnoslas para encontrar, de una
forma práctica y calculable, sus raíces características?
Lo que primero buscamos es una notación sencilla o, quizá más
precisamente» una representación sencilla para las transformaciones lineales.
Llegaremos a ello mediante el uso de una base particular del espacio vectorial
y por el uso de la acción de una transformación lineal sobre esta base. Una
vez que se ha conseguido todo esto, por medio de las operaciones en A(V)
podemos inducir operaciones para los símbolos creados que hagan de ellos
un álgebra. Este nuevo objeto, infundido de una vida algebraica propia,
puede estudiarse como una entidad matemática que tiene un interés por si
misma. Este estudio es lo que comprende la llamada teoría de matrices,
Pero ignorar el origen de estas matrices, es decir, investigar el conjunto
de símbolos independientemente de lo que representan, puede ser costoso,
porque estaríamos desperdiciando una gran cantidad de información útil.
En lugar de ello, nosotros siempre usaremos las interrelaciones entre el
abstracto A(V) y lo concreto, el álgebra de matrices, para obtener
información de una sobre la otra.
Sea V un espacio vectorial ^-dimensional sobre un campo F y sea
t?!,..., v„ una base de Vsobre F. Si TgA(V) entonces Testa determinado
en cualquier vector tan pronto como conozcamos su acción sobre una base
de K Como T transforma ^en V%ctT9v2T% ---, v„T deben estar todos en K
Como elementos de V cada uno de estos es realizable de un único modo como

266 TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
combinación lineal de vt y..., v„ sobre Fm Asi pues:
vtT = aitví+al2v2+ — +alnvn
v2T = a21t>,+a22iJ2+ — +a2nvm
i7¡ T = aM t^ +al2 v2+ — +a^ u.
pwT = aJ,1i>l+ail2u2+--+aiWi7íl»
donde cada ccíjgF. Este sistema de ecuaciones puede escribirse más
compactamente como
El conjunto ordenado de n2 números cctJ en F describe completamente
a 7\ Nos servirán como medio para representar T.
Definición. Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre F y sea
vx,,.., vH una base para V sobre f\ Si Fe-d ( V) entonces la matriz de Tenia
base vx,..., vn , a la que representaremos por miT), es
m(T) =
an al2 — ccllf
a21 a22 — a2ll
.a*i u*2 — «
nn.
donde VjT = XaurJ-
s
Una matriz es entonces un arreglo ordenado en forma de cuadrado
de elementos de F con, hasta el momento,, ninguna otra característica,
que representa el efecto de una transformación lineal sobre una base
dada.
Examinemos un ejemplo. Sea Fun campo y sea V el conjunto de todos
los polinomios en jc de grado n— 1 o menor sobre F, Definamos D sobre V
por (A+A*+... +A-i^_1)l>« A+2A*+»- +iftxí-|„. +(«-l)
/7n_,y z. Es trivial comprobar que D es una transformación lineal sobre V\
como el lector habrá visto, se trata simplemente del operador de
diferenciación,
¿Cuál es la matriz de DI La pregunta carece de sentido a menos que
especifiquemos una base de V. En primer lugar, calculemos la matriz de D
en la base vx = 1, v2 = xy vy = jc2, ..., i?, = jc*"1, .••tt>ll = **"'. Ahora

13. MATRICES
267
bien,
vtD = 1 D = O =0vl + Gv2+-+0vl
v2D = xD = 1 = lvl+0v2+ — +0v,
.(-i
v,D = x'~' D = (í-I)jc
i-2
= (C-l)t>|_,+O0,.+ —+0el-2 + (i-l)q-t+0itl
+ - +Oil
.B-l
vmD = x""'í) = (o-1)jc
n-2
= 0vi+0v2+ ■ +0v„.2+(n-l)víl-l+0v„.
Si volvemos a la propia definición de matriz de una transformación lineal
en una base dada, vemos que la matriz de D en la base »,,..., v„, m,(£>), esun
realidad
»>,(/>) =
/O 0 0
I 0 0
0 2 0
0
0
0
o o
0 0 3- 0 0
\o 0 0 - (n-l) o/
Pero nada hay de especial en la base que acabamos de usar ni en como
numeramos sus elementos. Supongamos que nos limitamos a reordenar
los elementos de esta base; obtenemos entonces una base tan buena como la
anterior w, = **~\ w2 = J(*~l wt = V-' i». = \. ¿Cual es, con
respecto a esta nueva base, la matriz de la misma transformación lineal?
Tenemos ahora,
n-2
wxD = x"-JD = {n-\)x
= 0hj1+(*j-1)hj2+0j¿>3+---+0w,
w¡D = x"~lD =(^-i)xn~i~,
= 0«j,+ h0w,+(n —i)«J/+i +0«JJ+2+ \-0w,
w„D = \D - 0 = 0W1+0WJ+— +0w„t

268
TRANSFORMACIONES LINEALES — C«p.«
de donde m2(D), la matriz de D en esta base es
m2{ú) =
/O (n-l) 0
0 0 (« -2)
0 0
0
*
0 0
\o o
o
o
o
o
o
(n-3)
O 0\
O O
o o
O I
O 0/
Antes de terminar con este ejemplo, calculemos la matriz de D en otra base
más de V sobre F. Sea ut = 1, u2 = 1+*, u3 = l + x2 u„ = 1+jf"1;
es fácil verificar que u,,..., u„ forman una base de V sobre F. ¿Cuál es la
matriz de D en esta base? Como
uxD = \D = 0 = 0ui+0u2+ ... +0i/„
u2Z) = (l+x)D= 1 = lw,+0u2 + ... +0um
u3D = (l + *2)£> = 2x = 2(^-1/,) = -2u, + 2i/2+0u3+ ...+0«,,
*
*
unD =(l+xm~1)D= (n-Dx"-2 = (n -l)(u„ -u,)
=» -(n-l)i/I+0«2 + ... +0uB,2+(n-l)u,,_1+0iv
la matriz m3(D) de D en esta base es
/
111,0» =
0
1
-2
-3
•
0 0
0 0
2 0
0 3
* *
•
* m m
m m »
...
* * ■
■ ■ m
.**
Ó
0
0
0
0
0
o\
0
0
0
0
0
\-(/j-l) 0 0
■ (n~l) 0/
Por el ejemplo que hemos estudiado vemos que las matrices de A para
las tres bases usadas dependían completamente de las bases. Aunque
diferentes las unas de las otras representan, sin embargo, a la misma trans-

13. MATRICES
269
formación lineal D, y podríamos haber reconstruido D partiendo de una
cualquiera de ellas si conociéramos la base usada en su determinación.
Pero, aunque diferente, seria de esperar que existiera alguna relación entre
m^D)* m2(D) y m3{D). Esta relación será la que determinaremos
exactamente más tarde.
Como la base a usar en cualquier ocasión puede ser cualquiera, dada
una transformación lineal T (cuya definición, después de todo, no depende
de ninguna base) es natural que busquemos una base en que la matriz de T
tenga una forma particularmente sencilla. Por ejemplo, si T es una
transformación lineal sobre Vt que es n dimensional sobre F, y si atiene n raices
características distintas Xlt...,Xmtn Ft entonces, de acuerdo con el
corolario 2 al teorema 6.f, podemos encontrar una base vt vn de V sobre F
tal que ui71= Xgvim En esta base T tiene como matriz la de forma
particularmente sencilla,
IXX 0 0 -
m(7} =
°\
0^0
o
\o
o
J
Hemos visto que una vez que hemos escogido una base para K, a cada
transformación lineal se le asocia una matriz. Recíprocamente, una vez que
hemos escogido una base fija vx 9..., v„ de V sobre F9 una matriz dada
<*n
a
m
>ayef\
i*l
a
MU,
da lugar a una transformación lineal T definida sobre V por vt T = J] a^Vj
í
sobre esta base. Nótese que la matriz de la transformación lineal T que
acabamos de construir en la base vt,..., vM es exactamente la matriz con la
que comenzamos. Por tanto, toda posible ordenación en forma de cuadrado
nos sirve como la matriz de alguna transformación lineal en la base
tíj,.-.,^.
Es claro lo que quiere decir cada una de las expresiones primer renglón,
segundo renglón,..., de una matriz, como análogamente, lo que debe
entenderse por primera columna, segunda columna,... . En la matriz
a
ii
«..\
'«i
W

270
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
el elemento ai} está en el í-ésímo renglón yy-ésima columna; nos referimos
a él como el elemento (í, y) (o la entrada (i, y)) de la matriz.
Escribir todo el arreglo cuadrado de la matriz es algo pesado; en lugar de
ello escribiremos una matriz como (a^); esto indica que la entrada (Uj)
de la matriz es a^.
Supongamos que V es un espacio vectorial de dimensión n sobre F y
vi, - - -, vn es una base de V sobre F que quedará fija en toda la discusión que
sigue. Supongamos que S y T son transformaciones lineales sobre V (y
sobre F)con matrices m(S) = {uu) y m(T) = (x^), respectivamente, en la
base dada. Nuestro objetivo es aplicar la estructura algebraica de A(V) al
conjunto de matrices que tienen sus entradas en F.
Para co menzar, como S = T si y sólo si vS = vT para todo ve V, se tiene
que S = T si y sólo si vt T = v¡S para todos los vx,..., vn que forman una
base de V sobre F. O, lo que es equivalente, S = T si y sólo si cu = xy para
todo í y todo y.
Dadas m(S) = (ctJ) y m(T) = (x§J-), ¿podemos escribir explícitamente
m(5+r)? Como m(S) = (ou), v¡S = Y*cuvj> analtamente, vtT—Y,
j J
ZtjVj, de donde vs(S+T) = üí5+rl7,= Lffu^+LTvIí/■ Z^o+^j)^
Pero entonces, por lo que se entiende por matriz de una transformación
lineal en una base dada, m(S+ T) = (Ay) donde XSJ = a^+Xy para toda í y
toda/ Un cálculo de la misma clase muestra que para yeF* m(yS)= (/iy)
donde titJ = x<7l7 para toda í y toda/
El cálculo más interesante, y también el más complicado, es el de m(ST).
Tenemos ahora v¡(ST) = (vES) T = (£ clkvk) T = £ ^(i^ 71). Sin embargo,
vkT =Y, xkjvj y 'o que sustituido en la fórmula anterior, nos da
j
(Pruébese). Por tanto, m(ST) = (u,^ donde para todo i y para toda j.
Je
A primera vista, la regla para calcular la matriz del producto de dos
transformaciones lineales en una base dada parece complicada. Sin embargo,
nótese que la entrada (i9j) se obtiene como sigue: consideremos los
renglones de S como vectores y las columnas de T como vectores; entonces
la entrada (r,j) de m(ST) es simplemente el producto punto de la i-ésima
fila de S con laj-ésima columna de T.
Ilustremos esto con un ejemplo. Supongamos que

I 3. MATRICES
271
el producto punto del primer renglón de Scon la primera columna de Tes
(l)(-l)+(2)(2) = 3, de donde la entrada (1,1) de m(ST) es 3; el producto
punto de la primera fila de S con la segunda columna de T es (1)(0)+
(2) (3) — 6, de donde la entrada (1,2) de m{ST) es 6; el producto punto del
segundo renglón de Scon la primera columna de T es (3)(-l)+(4) (2) = 5,
de donde la entrada (2t \)dtm(ST)ts 5; finalmente, el producto punto de la
segunda fila de S con la segunda columna de T es (3) (0)+(4) (3) = 12, de
donde la entrada (2,2) de m(ST) es 12. Así pues,
La anterior discusión se ha hecho pensando principalmente en que
sirviera de motivación para las construcciones que estamos a punto de
presentar.
Sea F un campo; una matriz nxn sobre F será un arreglo en forma
de cuadrado de elementos en Ft
all a12
*u\
(que representamos por (av)). Sea Fn = {(aíy)| a^e/7}; en F„ queremos
introducir la noción de igualdad entre sus elementos, una adición, una
multiplicación escalar por elementos de F y una multiplicación de forma
que se convierta en un álgebra sobre F. Usamos las propiedades de m(T)
para TeA(V) como nuestra guía en todo esto.
1) Afirmamos que (au) = (fiij)> cuando tenemos dos matrices en Fnt si y
sólo si a¿j = fiij para toda í y para toda/
2) Definimos (ofij)+(Aií) = ^j>) donde Au = ^j+fiíj para toda í y para
toda/
3) Para yeFt definimos y(aíy) = (n¡j) donde faj = ya(i para toda i y
para toda/
4) Definimos (a,y) (^^(Vjy), donde para toda i y todaj vu = J]c£afiy.
jt
Sea V un espacio vectorial de dimensión n sobre F y sea i?, t_.., vn una
base de V sobre F\ la matriz m(T) en la base vl9*m.9vm asocia con TeA(V)
un elemento m(T)en Fn. Sin más preámbulo, afirmamos que la aplicación de

272
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
A(V) en Fn deñnido al transformar T sobre m{T) es un isomorfismo de
álgebras dtA{V) sobre Fn. Por este isomorfismo Fn es un álgebra asociativa
sobre F (como puede también verificarse directamente). Llamamos a F„ el
álgebra de todas las matrices nx n sobre F.
Toda base de V nos provee de un isomorfismo de álgebras de A(V)
sobre Fñ. Es un teorema que todo isomorfismo de álgebras de A ( V) sobre Fn
es obtenible de tal forma.
A la luz de la misma naturaleza específica del isomorfismo entre A(V)y
Fm identificaremos a menudo una transformación lineal con su matriz, en
alguna base, y A(V)con F„. En realidad, F„ puede considerarse como A(V)
actuando sobre el espacio vectorial V = FM de todos los /Muples sobre Ft
donde paralábase^ =(1,0 0),v2 =(0,1I0M..,0)|(..)^ = (0,0,...,^!),
(üíJeFh actúa como u¿(afy) = /-¿sima fila de (a^).
Resumimos lo que se ha hecho en el siguiente
Teorema 6.G. El conjunto de todas las matrices nxn sobre F forma un
álgebra asociativa Fn sobre F. Si V es un espacio vectorial de dimensión n
sobre F, entonces A{V) y Fn son isomorfos como álgebras sobre F. Dada una
base cualquiera vlt.mmtvnde V sobre f, si para TGA{V\m( T) es la matriz de
Tenia base vl9 ~.-9vn9 la aplicación T-+m(T)nos proporciona un isomorfismo
de álgebras de A(V) sobre Fn.
El cero respecto a la adición en F„ es la matriz cero todas cuyas entradas
son cero; a menud9 la representaremos simplemente por 0. La matriz uno,
que es el elemento unitario de Fn respecto a la multiplicación, es la matriz
cuyas entradas están en la diagonal 1 y fuera de la diagonal 0; la
representaremos por A /„ (cuando queramos enfatizar las dimensiones de las matrices)
o simplemente como I. Para ere/7, las matrices
(tos espacios en blanco indican solamente entradas iguales a 0) se llaman
matrices escalares- Por el isomorfismo tntre A(V)y F„9 es claro que TeA(V)
es invertible si y sólo si m(7), como matriz, tiene inversa en F„.
Dada una transformación lineal Te A ( V\ si escogemos dos bases vltm..,vn
y w1, ...yw„dt Vsobre f, cada una da lugar a una matriz, a saber, mx(7)y
m2(T)> las matrices de 7en las bases i?,,,.., vHywl9 --., «^respectivamente.
Como matrices, es decir, como elementos del álgebra de matrices F„9 ¿qué
relación hay entre m% (T) y m2(T)1
Teorema 6.H. Sí V es de dimensión n sobre F y si TeA(V) tiene la
matriz mt(T) en la base i>,,..., vnylamatrizm2(T)enlabasew 3wHdeV

13. MATRICES 273
(ambas sobre F), entonces hay un elemento CeFn tal que m2(T) = Cmt (T)C~l.
En realidad, si S es la transformación lineal de V definida por i>,£ = w¡
para i = 1,2,...,/i, entonces podemos escoger como Ca mt{S).
Prueba. Sea mt{T) = (atJ) y m2(T) = (fiu); asi pues vtT = J] &tjVj9
J
Sea S la transformación lineal "sobre V definida por vÉS — w¡. Como
Pi»- - -i v* y w\ t - - ■* wm s<>n bases de V sobre Ff S transforma V sobre V, de
donde, según el teorema 6.d, S es invertible enA(V).
Ahora bien, w¡T = Y*fitjwj* como wi = vi$t a' sustituir esto en la
expresión para wtT obtenemos (t7(5)r= X/M11^)- '>ero entonces
j
vt(ST) = (Yifitjvj)$'> como S es invertible, esto se simplifica hasta obtener
v^STS'1) = ^fitjVj. Por la misma definición de matriz de una
transformación lineal en unas bases dadas, mt(STS~l) = (fitj) = m2(T). Pero
la aplicación T->mx(T) es un isomorfismo de A(V) sobre i^; por tanto,
mx(STS-1) = ml(S)ml(r)iw1(5"1) = m1(5)mJ(7Óm1(5)"1. Reuniendo
todo lo que hemos estado estudiando, obtenemos m2(T) = ml(S)ml
(T)mi W~ !> *lue ^ exactamente lo que se afirma en el teorema.
Ilustramos este último teorema con el ejemplo de la matriz de D que
antes estudiamos, en varias bases. Para minimizar el cálculo, suponemos
que V es el espacio vectorial de todos los polinomios sobre F de grado 3 o
menor, y D será, como antes, el operador diferencial definido pro (a0 +
atx+a2x2+a3x3)D = tx1+2a2x+3ot3x2.
Como anteriormente vimos, en la base vt = í9 v2 = x, u3 = x2 y
vA = x3, la matriz D es
0 0 (T
,™ -10 0 0
' 0 2 0 0
¿> 0 3
En la base u, = I, u2 — 1 +jc, u3 = 1 +x2t w4 = 1 +x3, la matriz de D es
m2(D) =

274
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
Sea S la transformación lineal de V definida por vtS = wt{= v\),
v2S = w2 = l+x — vl+v2, v3S = w3 = \+x2 = vx +v3y además vAS =
«J4. = l+x3 = 0,+iv La matriz de Sen la base Vj, p2, v3, v¿ es
C =
10 0
110 0
10 10
.1 0 0 t
Un simple cálculo muestra que
.-1
C_1 =
1 0 0 0V
-110 0
-10 10
,-1 0 0 1.
Entonces
Cm^D) C"1 =
1 0 0 0\
1 1 0 o\
1 0 1 oj
,1001/
/O 0 0 0\
10 0 0
0 2 0 0
\0 0 3 O/
X) 0 0 0\
i o o o \
= m2(D),
-2 2 0 0 j
-3 0 3 0/
/ 1 0 0 a
/ -1 10 0
\ -1 0 1 0
\-l 0 0 1-
como debta ser, de acuerdo con el teorema. (Verifiqúense todos los cálculos
usados.)
El teorema afirma que, si conocemos la matriz de una transformación
lineal en una base cualquiera, podemos calcularla en cualquier otra base,
siempre que conozcamos la transformación lineal (o matriz) del cambio de
base.
Aún no hemos contestado la pregunta: dada una transformación lineal»
¿cómo se calculan sus raices características? Esto llegará un poco más
tarde. Partiendo de la matriz de una transformación lmeal mostraremos

13. MATRICES
275
cómo construir un polinomio cuyas raices sean precisamente las ratees
características de la transformación lineal.
Problemas
1. Calcúlense los siguientes productos de matrices
a) ¡i 2 3\ / I 0. I\
I -1 2
4 5/
0
-I
-'/
d)
-1 -I
2. Verifiqúense todos los cálculos hechos en el ejemplo que ilustra el
teorema 6.h.
3. Pruébese directamente en /j,, usando las definiciones de suma y
producto, que
a) A{B+C) = AB+AC;
b) (AB)C=A(BC);
para A, B y C pertenecientes a F„.
4. PruébeseenF2paracuaIesquieradoselementos A y B9 que(AB-BA)2
es una matriz escalar.
5. Sea V el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual
que 3 sobre F. Defínase T en V por (a0+a,x+a2jc2+a3x3)r= a0 +
a,(x+l)+a2(jc+1)2+a3(x+l)3- Calcúlesela matriz de Ten las bases:
a) ],jc, x2, x3.
b) lf l+x. I+x2, l+x3.
c) Si la matriz de la parte (a) es A y la en parte (b) es B, encuéntrese
una matriz C tal que B = CAC~!.

276
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
6. Sea V = F*3y y supongamos que
1 1 2
-1 2 1
0 I 3,
es la matriz de TeA(V) en la base r, = (1,0,0), v2 = (0,1,0) y v3
(0,0,1). Encuéntrese la matriz de 7 en las bases:
a) w, = (1,1,1), u2 = (0, 1,1), w3 = (0,0,1).
b) i/, = (1,1,0), u2 = (1,2,0), w3 = (1, 2,1).
7. Pruébese que dada la matriz
/O 1 tf
X = 0 0 l|ef3
\6 -11 6,
(donde la característica de F no es 2), entonces:
a) A3-6A2+llA-6 = 0.
b) Existe una matriz CeF3 tal que
/l 0 0)
CAC~l =020
\0 0 3,
8. Pruébese que es imposible encontrar una matriz CeF2 tal que
el1 ')c-=/o °'
para cualesquiera a, /Je/*-
9. Una matriz AeFn se dice que es una matriz diagonal si todas las
entradas fuera de la diagonal principal de A son 0» es decir, si A — (a¡y)
y agJ = 0 para i 5* j. Si A es una matriz diagonal tal que sus entradas
sobre la diagonal principal son todas distintas» encuéntrense todas las
matrices BeFn que conmutan cor. A, es decir, encuéntrense todas las
matrices B tales que BA = AB.
10. Usando el resultado del problema 9, pruébese que solo las matrices
en Fm que conmutan con todas las matrices de FK son matrices escalares.

f 3. MATRICES
277
11. Sea AeFm la matriz
A =
/O 1 0 0 •
OOIO-
0 0 0 1 •
•
0 0 0 0
\0 0 0 0 -
•• 0 0\
■0 0
-00
■- 0 l
- 0 0/
todas cuyas entradas, excepto las de la superdiagonal, son 0t y cuyas entradas
sobre la superdiagonal son todas iguales a 1. Pruébese que A" = 0 pero
*12. Si A es como en el problema II, encuéntrense todas las matrices en
Fn que conmutan con A y demuéstrese que deben ser de la forma «<,+
aíA+a2A2 + .., +a*-lA*~l donde «0, alf ...t al(_1€F.
13. Sea ^ef2 y sea C(¿) = {BgF2 \ AB = BA}. Sea C(C(A)) =
{GeF2 | GX = JTG para todo J(TeC(¿)}. Pruébese que si G*=C{C{A))
entonces G es de la forma otQ+al A, donde a01 ax efl
14. Resuélvase el problema 13 para AeF3 probando que toda GeC(C{A))
es de la forma a0+axA+a2A2.
15. Definamos las matrices Eu en Fn como sigue: En es la matriz cuya
única entrada distinta de cero es la (itj) que es igual a 1. Pruébese que:
a) Las EtJ forman una base de Fm sobre F.
b) EuEkl = 0 para y * *; EuEjt = Eu.
c) Dadas i yj9 existe una matriz C tal que CEtlC~l = Ejj.
á) Si i & j\ existe una matriz Ctal que CE^C*1 = El2.
e) Encuéntrense todas las BeFm que conmutan con El2.
f) Encuéntrense todas las BeFm que conmutan con Elt*
16. Sea Fe\ campo de los números reales y sea C el campo de los números
complejos. Para oeC sea T^iC-tC dada por xTa = xa, para todo xeC.
Usando la base 1, i encuéntrese la matriz de la transformación lineal Tm y
obténgase así una representación isomórfica de los números complejos
como matrices 2x2 sobre el campo de los números reales.
17. Sea Q el anillo con división de los cuaternios sobre el campo real-
Usando la base 1, í, j> k de Q sobre F9 procédase como en el problema 16
para encontrar una representación isomórfica de Q por matrices 4x4
sobre el campo de los números reales.

278
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
♦18. Combínense los resultados de los problemas 16 y 17 para encontrar
una representación ísomórñca de Q por matrices 2x2 sobre el campo de
los números complejos.
19. Sea JR el conjunto de todas las matrices n x n que tienen entradas
0 y I de tal forma que hay un único I en cada renglón y en cada columna.
(Tales matrices se llaman matrices de permutación.)
a) Si MeJU descríbase AM en términos de los renglones y las
columnas de A*
b) Si A/e37í descríbase MA en términos de los renglones y las
columnas de A,
20. Sea íXTt como en el problema 19, Pruébese que :
a) 33Í tiene ni elementos,
b) Si Me7Uw entonces es invertible y su inversa está también en 3R.
c) Proporciónese la forma explícita de la inversa de M.
d) Pruébese que DR es un grupo respecto a la multiplicación de
matrices.
e) Pruébese que 7R es isomorfo, como grupo, a S„, el grupo simétrico
de grado /?.
21. Sea A = (oc^) tal que para todo i, £ au = 1, Pruébese que I es
w
J
una raíz característica de A (es decir, que A — I no es invertible).
22. Sea A = {a¡j) tal que para todoj, J] au = L Pruébese que I es una
raíz característica de A f
23. Encuéntrense las condiciones necesarias y suficientes que a J, y y ¿
han de cumplir para que A = I ^ I sea invertible. Para los casos en que A
es invertible, escribase A~* explícitamente.
24. Si EeFn es tal que E2 = E & 0, pruébese que hay una matriz
Cefn tal que
CEC~l =
/i o ...
0 1
» w
0 0 —
0 -
\o ...
0
0
1
0
0
0 ■■
-
0 -
0 ■
0 -
- 0
■- 0
■- 0
■- 0
donde la matriz unidad en la parte superior izquierda es r x r, donde r es el
rango de E.

f 4. FORMAS CANÓNICAS: FORMA TRIANGULAR
279
25. Si F es el campo real, pruébese que es imposible encontrar matrices
v4, B pertenecientes a Fn tales que AB— BA = 1.
26. Si F es de característica 2, pruébese que en F2 es posible encontrar
matrices Ay B tales que AB—BA = L
27. La matriz A se llama triangular si todas las entradas sobre la diagonal
principal son 0. (Si todas las entradas debajo de la diagonal principal
son 0 la matriz también se llama triangular.)
a) Si A es triangular y ninguna entrada en la diagonal principal
es 0, pruébese que A es invertible.
b) Si A es triangular y una entrada en la diagonal principal es 0,
pruébese que A es singular.
28. Si A es triangular, pruébese que sus raices características son
precisamente los elementos en su diagonal principal.
29. Si Nk = 0, NeFm9 pruébese que 1 + ,/V es invertible y encuéntrese su
inversa como un polinomio en JV.
30. S\AgFh es triangular y todas las entradas en su diagonal principal son
iguales a 0, pruébese que AM= 0.
31. Si AeFn es triangular y todas las entradas en su diagonal principal
son iguales a a & 0qF9 encuéntrese A^1.
32- Sean S, T transformaciones lineales sobre V tales que la matriz de S
en una base es igual a la matriz de T en otra. Pruébese que existe una
transformación lineal A sobre V tal que T*= ASA"1.
4. FORMAS CANÓNICAS: FORMA TRIANGULAR
Sea Kun espacio vectorial n-dimcnsional sobre un campo F.
Definición. Las transformaciones lineales Sy Te A {V} se dice que son
semejantes si existe un elemento invertible CgA{V) tal que T = CSC~ \
En vista de los resultados de la sección 3, esta definición se traduce en
una acerca de las matrices. En realidad, como Fm actúa como A{V) sobre
F1**, la definición anterior define ya una semejanza entre matrices. Por ella,
Ay BeFn son semejantes si existe una CeFn invertible tal que B = CAC~A
La relación sobre A(V) definida por la semejanza es una relación de
equivalencia; la clase de equivalencia de un elemento se llamará su clase
de semejanza. Dadas dos transformaciones lineales, ¿cómo podemos de*
terminar si son o no semejantes? Desde luego, podíamos examinar la
clase de semejanza de una de estas para ver si la otra se encuentra en ella,

280
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
pero este procedimiento no es realizable. En su lugar, intentaremos establecer
alguna clase de señal en cada clase de semejanza y un camino para ir
de cualquier elemento de la clase a su señal. Probaremos la existencia de
transformaciones lineales en cada clase de semejanza cuya matriz, en
alguna base, es de una forma particularmente conveniente. Estas matrices
se llamarán formas canónicas. Para determinar si dos transformaciones
lineales son semejantes no necesitaremos otra cosa que calcular una forma
canónica particular para cada una y comprobar si estas son las mismas.
Hay muchas posibles formas canónicas; solo consideraremos nosotros
tres de éstas, a saber, la forma triangular, la forma de Jordán y la forma
canónica racional, en ésta y las siguientes dos secciones.
Definición. Elsubespacio Wde Vts invariante bajo TeA(V) si WT<= W.
Lema 6-6. Si WcV es invariante bajo Ty entonces Tinduce una
transformación lineal T en V¡W definida por {v+W)T=vT+W. Si T satisface
el polinomio 9(x)eF[x]v entonces también lo satisface T. Si pi{x) es el
polinomio mínimo para T sobre F y si p (x) es el polinomio mínimo para Ty
entonces Pi (x) | p(x).
Prueba. Sea V = VjW\ los elementos de F son, por supuesto, las clases
laterales v+W át W en V. Dados v = v+ WeV definimos vT ■= vT+ W.
Verificar que T tiene todas las propiedades formales de una transformación
lineal sobre Fes una fácil tarea una vez que se ha establecido que Testa bien
definida sobre F. Nos contentaremos, pues, con probar este hecho.
Supongamos que v = vx + W=v2+W donde vl9 u2eK Debemos
probar que vtT+ W = v2T+ W. Como vx+W = v2+W9 vx—v2 debe
estar en W9 y como W es invariante bajo T9 {vx — v2) T debe estar también
en W. Por consiguiente vx T—v2 Te Ww de donde se sigue que ir, T-\- W =
v2T+ W, como queríamos probar. Sabemos ahora que Tdefine una
transformación lineal sobre F'= VfW.
Si v = v+ WeV, entonces ¿(í5) =^r2+ W - {vT)T+ W = {vT+
W)T= ((v+ W)T)T= v{T)2; así pues (T2) - (T)2. Análogamente (7*)=
(T)* para cualquier k > 0. Por consiguiente, para cualquier polinomio
q(x)eF[x], q{T) = q(T). Para cualquier q(x}eF[x] con q(T) = 0, como 0
es la transformación 0 sobre F, 0 = q(T) — q(T)
Sea pt(x) el polinomio mínimo sobre F satisfecho por T. Si q{T) = 0
para q(x)eF[x]9 entoncesPi(x)\q{x). Si p{x) es el polinomio mínimo para
T sobre F, entonces p{T) = 0, de donde p(T) = 0; en consecuencia,
Pi(x)\p(x).
Como vimos en el teorema 6,f, todas las raices características de Tqve se
encuentran en F son raices del polinomio mínimo de T sobre Fm Decimos

14. FORMAS CANÓNICAS: FORMA TRIANGULAR
281
que todas las ratees características de T están en F si todas tas raíces del
polinomio mínimo de T sobre Fse encuentran en F.
En el problema 27 al final de la última sección, definimos como matriz
triangular a toda aquella que tenga todas sus entradas sobre la diagonal
principal iguales a 0. O lo que es lo mismo, si Tes una transformación lineal
de V sobre F, la matriz de T en la base vx t..., vK es triangular si
v2T = a2l4)i+a22v2
v¡T = atív1+0Li2v2-^ ... +n|fi>i,
es decir, si tf Tes una combinación lineal solamente de vt y sus predecesores
en la base.
Teorema 6. j. Si TeA(V) tiene todas sus raices características en F,
entonces hay una base de V en que la matriz de Tes triangular.
Prueba, La prueba se hace por inducción sobre la dimensión de P sobre F.
Si dimF^ = * entonces todo elemento en A{V) es un escalar y, por
tanto, para tal caso el teorema es cierto.
Supongamos que el teorema es cierto para todos los espacios vectoriales
sobre Fde dimensión n— 1, y sea V de dimensión n sobre F,
La transformación lineal T sobre V tiene todas sus raices características
en F; sea AteF una raíz característica de 71 Existe en V\m vector Vj distinto
de cero tal que vx T = kxvx. Sea W = {av% | aeF}; W es un subespacio
unidimensional de V9 y es invariante bajo T. Sea V — VfW; por el lema 4.8,
dim V = dim V— dim W — n— 1. De acuerdo con el lema 6-6, T induce
una transformación lineal Tsobre Fcuyo polinomio mínimo sobre Fdivide
al polinomio mínimo de T sobre F. Así pues, todas las raíces del polinomio
mínimo de Tpor raíces del polinomio mínimo de T, deben encontrarse en F
La transformación lineal Ten su acción sobre Vsatisface la hipótesis del
teorema; como Fes (n—l)-dimensional sobre F, por nuestra hipótesis de
inducción, existe una base v2, v3i .*., ü„de FsobreFtalque:
v2T= a22v2
vxT = aJ2v2+aí3E3 + ... +01,5,
Sean v2,..., vn elementos de Pque se transforman en v2 vn,
respectivamente. Entonces vtt v2í ..„v„ forman una base de V (ver el problema 3

282
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cip. fi
al final de esta sección). Como v2T =* cc22i52í v2T—a22v2 = 0, de donde
v2T—a22v2 deben estar en W. Así pues, v2T—fx22v2 es un múltiplo de vx,
digamos a2lvti de donde tenemos, después de trasponer, v2T= a2ii>i +
^22l,2- Análogamente, vlT—ai2v2—ai^v^— ... —a,li>í€W/, de donde i>¡r =
ttilvl-\-ai2v2+ ... +aliv¡. La base u1>..., u„ de P sobre Fnos proporciona
una base respecto a la cual todo v¡ T es una combinación lineal de i>f- y sus
predecesores en la base. Por lo tanto, la matriz de 7>n esta base es triangular.
Esto completa la inducción y prueba el teorema.
Queremos reformular el teorema ti.j para matrices. Supongamos que la
matriz AeFM tiene sus raíces características en F. A define una
transformación lineal T sobre F" cuya matriz en la base
vf =(l,0,...10),i>2 -(01lf0,.-.>0),...frll = (0i0i,..i0, l),
es precisamente A. Las raices características de Tr siendo iguales a las de Ar
están todas en Ft de donde, según el teorema 6.j, hay una base en F(n} en la
que la matriz de T es triangular. Pero, de acuerdo con el teorema 6.h, este
cambio de base varía simplemente la matriz de 71, es decir, la A, en la
primera base, en CA C"l para una C adecuada C c: Fn _ Asi pues
Forma alternada del teorema 6.j. Si la matriz AeFn tiene todas sus
raíces características en F, entonces hay una matriz CeFn tal que CAC~l es
una matriz triangular.
El teorema 6J (en cualquiera de sus formas) se describe usualmente
diciendo que T(o A) puede ser llevada a una forma triangular sobre F.
Si volvemos nuestra mirada al problema 28, al final de la sección 3,
veremos que después de que T se ha llevado a la forma triangular, los
elementos de la diagonal principal de su matriz juegan el siguiente
significativo papel: son precisamente las raices características de T.
Concluimos la sección con el
Teorema 6.k. Si V es n-dimensional sobre Fy si TbA{V) tiene todas sus
raices características en Ft entonces T satisface un polinomio de grado n
sobre F.
Prueba- De acuerdo con el teorema 6-j, podemos encontrar una base
vl9,.., vm de V sobre Ftal que:
vxT — kxvx
v2T= a2lvt+X2v2
m
m
para í = 1, 2, ..»n.

14. FORMAS CANÓNICAS: FORMA TRIANGULAR
283
O lo que es equivalente:
u2{T-¿2) = «21*1
v¡(T-X,) =«„f,+ ...+aM_,['l.l
para/= 1, 2,...,«.
¿Qué es v2{T—A2){T—Al)'! Como resultado de v2{T—Á2) = a2,u, y
r,(r-A,) = 0. obtenemos í'2(r-A2)(r-A,) = O.Como
(r-A2)(r-A,) = (r-A,)(r-A2),
i'iíT'-AjXr-A,) = '.(r-A^ír-Aj) = o.
La continuación de este tipo de cálculo nos lleva a:
'•,(7--Ai)(r-A1.l)...(r-A1) = o.
i-2(7--Ai)(r-A(_I)...(r-A1) = o,
(.i(r-^{^vl)..{r-Al) = a
En particular, para i = nt la matriz S = (T— Xn){T— An-X).„(T— Xx)
satisface r,S = r^S = ... = v„S = 0- Como S suprime una base de V% S
tiene que suprimir también a todo V. Por lo tanto, 5=0. Por consiguiente,
Tsatisface el polinomio (x—A.t){x—X2).-Ax—X„) en F[x\ de grado n. con
lo que el teorema queda probado.
Desgraciadamente está en la naturaleza de las cosas que no toda
transformación lineal sobre un espacio vectorial sobre todo campo/"tenga todas
sus raíces características en F. Que tal ocurra depende totalmente del
campo F, Por ejemplo, si fes el campo de los números reales, entonces la
ecuación mínima de
i;:)
sobre fes x2 4-1 que no tiene raíz alguna sobre F. No tenemos, pues, ningún
derecho a suponer que las raices características se encuentren siempre en el
campo en cuestión. Pero, podemos preguntarnos, ¿no podemos ampliar
ligeramente F hasta un nuevo campo K de modo que todo trabaje muy bien
sobre K?
Haremos la discusión para matrices; lo mismo podría hacerse parp
transformaciones lineales. Lo que se necesitaría sería lo siguiente: dado un
espacio vectorial V sobre un campo F de dimensión n* y dada una extensión
K de Ft entonces podemos sumergir V en un espacio vectorial VK sobre K

284
TRANSFORMACIONES LINEALES ~ Cap. 4
de dimensión n sobre A- Una forma de hacer esto sería tomar una base
i'i,...»vn de V sobre F y considerar VK como el conjunto de todos los
ctlvl-\- ... +^nvn con las o^eA, considerando las v¡ linealmente
independientes sobre A. Este pesado uso de una base es antiestético; todo puede
hacerse de modo independiente de toda base si introducimos el concepto de
producto sensorial de espacios vectoriales. No lo haremos aqui; en su lugar
argumentaremos con matrices (lo que es efectivamente el camino delineado
anteriormente usando una base fija de V).
Consideremos el álgebra Fn. Si A es cualquier extensión del campo de F,
entonces fncAn, el conjunto de las matrices nxn sobre A„ Así pues,
cualquier matriz sobre el campo F puede considerarse como una matriz
sobre Al Si TeF* tiene el polinomio mínimo p(x) sobre F, considerada como
un elemento de AB puede concebiblemente satisfacer a un polinomio
diferente p0(x) sobre A. Pero entonces pQ(x) \p(x)t ya que p0{x) divide
a todos los polinomios sobre A (y, por tanto, a todos los polinomios sobre F)
que son satisfechos por 7*. Especializamos ahora a A- Por el teorema 5.h
existe una extensión finita A, de F en la cual el polinomio mínimo p(x)t
para Tsobre F tiene todas sus rafees. Como elemento de A^, ¿tiene Tt para
esta A, todas sus raíces características en A? Como elemento de AA el
polinomio mínimo de Tsobre A, p0(x), divide a p(x) de modo que todas las
raices de p0(x) son raíces de p(x) y, por tanto, se encuentran en A. Por
consiguiente, como elemento de A„, T tiene todas raíces características en A,
Así pues, dada Ten Fnt al irnos al campo de descomposición A, de su
polinomio mínimo llegamos a la situación en que las hipótesis de los
teoremas 6.j y 6.k se satisfacen, no sobre Ft sino sobre A. por lo dicho, T
puede, por ejemplo, ser llevada a la forma triangular sobre A y satisface un
polinomio de grado n sobre A. A veces, cuando tenemos fuerte, sabiendo que
cierto resultado es cierto sobre A podemos limitarnos afy saber que el
resultado es también verdadero sobre F. Pero llegar hasta Ano es ninguna
panacea, pues hay situaciones frecuentes donde los resultados para A no
implican nada para F. Es por esto por lo que tenemos dos tipos de teoremas
de "formas canónicas", aquellos en que se supone en que todas las raices
características de T se encuentran en F y aquellos en que no se hace tal
supuesto.
Una palabra final;*si TGFm9 por la frase "una raíz característica de T"
entenderemos un elemento X del campo de descomposición A del polinomio
mínimo p(x) de Tsobre Ftal que A— Tno es invertible en Afl. Es un hecho
(véase el problema S) que toda raíz del polinomio mínimo de T sobre fes
es una raíz característica de T.
Problemas
1. Pruébese que la relación de semejanza es una relación de equivalencia
en A(V\

14. FORMAS CANÓNICAS: FORMA TRIANGULAR 285
2. Si TtFn y si K=>Ft pruébese que como un elemento de Kn> Tes
ínvertible si y sólo si es ya invertible en Fn.
3. En la prueba del teorema 6 j pruébese que i?,,..., vn es una base de K
4. Proporciónese una prueba, usando cálculo matricial, que si A es una
matriz triangular nxn con entradas A,, -.., X„ sobre la diagonal, entonces
<>I-A1)M-A2)...(¿-JJ.Q.
*5, Si TeFn tiene p(x) como polinomio mfnimo sobre Fy pruébese que
toda raíz de p(x) en su campo de descomposición K, es una raíz característica
de 7*.
6. Si TeA(V) y si Aefes una raíz característica de T en Ft sea Vx =
{veV\ vT =* lv}. Si SeÁ(V)conmuta con Tt pruébese que t^es invariante
bajo S.
*7. Si DIÍ es un conjunto conmutativo de elementos en A(V) tales que
toda Me Vi tiene todas sus raíces características en F, pruébese que hay
un C€^(K)tal que toda CA/C"1, para A/e 331 está en forma triangulan
8. Sea W un subespacio de ^invariante bajo TeA(V\ Cuando
restringimos Ta W9 T induce una transformación lineal T (definida por wT = wT
para toda we W). Sea p(x) el polinomio mínimo de Tsobre F.
a) Pruébese que p{x) | p(x), el polinomio mínimo de T sobre F.
b) Si T induce T sobre V¡W, con T satisfaciendo el polinomio
mfnimo p(x) sobre Fy pruébese quep(x) | p(x)p(x).
*c) Si p(x) y p(x) son primos relativos, pruébese quep(jc) = p{x)p{x).
*d) Proporciónese un ejemplo de un 7* para el que p(x) & p{x)p{x).
9. Sea 3Jt un conjunto no vado de elementos en A(V); el subespacio
W c V se dice que es invariante bajo JJi si para todo Me JTÍ, WM c W. Si
W es invariante bajo 3K y es de dimensión r sobre F, pruébese que existe
una base de V sobre F tal que todo A/e 3TÍ tiene una matriz, en esta base,
de la forma
M,
Ml2
0
A/2
donde A/t es una matriz rx r y A/2 es una matriz (n—r) x («—r),
10. En el problema 9 probamos que A/t es la matriz de una
transformación Ñ inducida por M sobre IV, y que M2 es la matriz de la transformación
lineal Af inducida por M en V\W.
•11. El conjunto no vacio Jít de transformaciones lineales en A{V) se
llama conjunto irreducible si los subespacios de V invariantes bajo 371 son

266 TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
(0) y V. Si 3Jí es un conjunto irreducible de transformaciones lineales sobre V
y si
D = {TeA{V)\ TM = MT para toda MgJTí,
pruébese que D es un anillo con división.
*12. Resuélvase el problema 11 usando el resultado (lema de Schur) del
problema 14, final del capítulo 4.
•13- Si fes tal que todos los elementos de A(V) tienen todas sus raices
características en Ff pruébese que el D del problema 11 consiste solamente en
escalares.
14. Sea f el campo de los números reales y sea
0 1\
Uf2.
-i o]
a) Pruébese que el conjunto 9TÍ consiste solamente en
0 I
-I 0
es un conjunto irreducible.
b) Encuéntrese el conjunto D de todas las matrices que conmutan
con
0 I
-1 0
y pruébese que D es isomorfo al campo de los números complejos.
15. Sea Fel campo de los números reales.
a) Pruébese que el conjunto
3R =
0 0 -I Q
es un conjunto irreducible.
b) Encuéntrense todas las AsFA tales que AM = MA para toda
c) Pruébese que el conjunto de todas las A de la parte (b) es un
anillo con división isomorfo al anillo con división de los cuaterníos
sobre el campo real.

t
f 5. FORMAS CANÓNICAS: TRANSFORMACIONES NILPOTENTES 267
16. Un conjunto de transformaciones lineales, 7RcA{V\ se llama
descomponible si hay un subespacio W c V tal que V = W($$ Wlt W & (0),
W & y, y tanto Wcomo Wx son invariantes respecto a 3IÍ. Si DIÍ no es
descomponible se llama indescomponible.
a) Si 277 es un conjunto descomponible de transformaciones lineales
sobre V9 pruébese que hay una base de V en que todo A/e 3K
tiene una matriz de la forma
M,"
0
0
M2
donde A/, y M2 son matrices cuadradas.
b) Si V es un espacio vectorial n-dimensional sobre Fy si TsA{V)
satisface T* — 0, pero Tn~l & 0, pruébese que el conjunto {T}
(consistente en 70 es indescomponible.
17. Sea TsA( V) y supongamos que p(x) es el polinomio mínimo para T
sobre F.
a) Si p(x) es divisible por dos distintos polinomios irreducibles
pt{x) y p2{x) en F\x]t pruébese que {T} es descomponible.
b) Si para algún TeA(V) es descomponible {T}, pruébese que el
polinomio mínimo para T sobre Fes la potencia de un polinomio
irreducible.
18. Si TeA{V) es nilpotente, pruébese que T puede ser puesto en forma
triangular sobre Fy en esa forma todos los elementos de la diagonal son (X
19. Si TeA{V) tiene solamente 0 como una raíz característica, pruébese
que Tes nilpotente.
5. FORMAS CANÓNICAS: TRANSFORMACIONES NILPOTENTES
Una clase de transformaciones lineales que tienen todas sus raices
características en F es la clase de las nilpotentes, pues como todas sus raices
características son 0, es evidente que todas están en F. Por tanto, por el
resultado de la sección previa, una transformación lineal nilpotente puede
siempre ser puesta en forma triangular sobre F. Para algunos propósitos,
esto no es suficientemente agudo, y como veremos pronto, puede decirse
bastante más.
Aunque la clase de las transformaciones lineales nilpotentes es bastante
restringida, la verdad es que merece un estudio solo por sus propios méritos.
Pero, lo que aún es más importante para nuestros propósitos, una vez que

286
TRANSFORMACIONES LINEALES— Cap. 6
hemos encontrado una buena forma canónica para ellas, nos es fácil
encontrar una buena forma canónica para todas las transformaciones
lineales que tienen todas sus raíces características en F.
Una palabra acerca del método que seguiremos en esta sección. Podríamos
estudiar estos problemas "básicos" o podríamos basarnos en los resultados
acerca de la descomposición de módulos que obtuvimos en el capítulo 4.
Nos hemos decidido por un compromiso entre ambas posibilidades;
estudiaremos el material en esta sección y en la siguiente (sobre formas de
Jordán) independientemente de la noción de módulo y los resultados acerca
de módulos desarrollados en el capitulo 4, Pero en la sección que trata de la
forma canónica racional cambiaremos completamente de punto de vista,
introduciendo por medio de una transformación lineal dada una estructura
de módulo sobre el espacio vectorial bajo discusión; haciendo uso del
teorema 4.j tendremos, entonces, una descomposición de un espacio
vectorial, y la forma canónica resultante correspondiente a una transformación
lineal dada.
Incluso aunque no usemos un enfoque basado en la teoría de módulos,
por ahora, el lector debe darse cuenta de la analogía entre los argumentos
usados en la prueba del teorema 4.j con los utilizados para probar el lema 6.10.
Antes de concentrar nuestros esfuerzos sobre transformaciones nilpo-
tentes probemos un resultado de interés que verifica transformaciones
lineales cualesquiera.
Lema 6.7. Si P= K,@ V2® ... © Vkt donde cada espacio Vt es de
dimensión n{ y es invariante bajo T, un elemento de A{V)y entonces puede
encontrarse una base de V tal que la matriz de T en esta base sea de la forma
fAt 0 - 0 \
0 A2 0
* .
\o o aJ
donde cada Aé es una matriz ngX^y es la matriz de la transformación lineal
inducida por T sobre V¡.
Prueba. Escojamos una base de V como sigue: vtil}, ..., v9*1* es una
base de Vlt »/2,1„M vni (2> es una base de V29 y asi sucesivamente. Como
cada V¡es invariante bajo Tt v^l)TsVit luego es una combinación lineal de
Uj11*,.--, i\,(<J\ y solamente de ellos. Así pues, la matriz de Ten la base asi
escogida es de la forma deseada. Que cada Ai es la matriz de Tít la
transformación lineal inducida sobre Vt por Tt es claro por la misma definición de
matriz de una transformación lineal.

1 6. FORMAS CANÓNICAS: TRANSFORMACIONES NILPOTENTES
269
Limitamos ahora nuestra atención a las transformaciones nilpotentes.
Lema 6,8. Si TsA(V) es nilpotente, entonces 5f0+a,r+...+a„r"f
donde tas olíbF9 es imer tibie si ot0 J= 0.
Prueba. Si S es nilpotente y cc0 ^ Oe F. un simple cálculo muestra que
(ao+S)(i_A+^
+ — +<
si S'=0. Ahora bien, si 7" = 0, S = a, r+a2r2+ ... +««7" debe
también satisfacer S' = 0 (pruébese). Luego para ct0 # 0 en F, a0+S es
invertible.
Notación. A/( denotará la matriz r x t
/O I 0 — 0 0\
0 0 1 —00
0 0
\o o
0 I
0 0/
cuyas entradas son 0, excepto en la superdiagonal donde todas son I.
Definición. S¡ TeA(V) es nilpotente, entonces a k le llamamos índice
de nilpotencia de Tsi Tk = 0 pero 7"*-1 * 0.
El resultado clave respecto a transformaciones nilpotentes es
Teorema 6.L. Si TeA(V) es nilpotente, de índice de nilpotencia nlt
entonces puede encontrarse una base de V tal que la matriz de T en esta Base
tenga la forma
A/Bl 0
M
«i
0
0
Lo o
M
•>r'
donde n, ^»2^ ... ^n, y donde nt+n2+ ... +nr = dimf V.
Prueba. La prueba será un poco detallada, de modo que al hacerla
separaremos algunas sus de partes como lemas

290
TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
Como 7""1 = O pero T"1"1 & O, podemos encontrar un vector rectal
que vT"*~l # 0. Afirmamos que los vectores vr vT, ..., vTn,~l son lineal-
mente independientes sobre F. En efecto, supongamos que at r+a2 vT+ -- -
+aittvT"l~t = 0 donde las a^F; sea aa la primera a distinta de cero.
Tenemos entonces
i?r'l(a1+ai+1r+... +flt,r--i) = a
Como ct, 9^0, por el lema 6.8, aa+o£i+1 r+ ... +a(l|7"'"~* es invertibley, por
tanto, rT*"1 = 0. Pero 5<n,, luego esto contradice que vT*1 _l # 0.
Luego ningún a, distinto de cero existe y vt vT....» vT"*"' se ha mostrado
son lineal mente independientes sobre F,
Sea yv el subespacio de V generado por vx = i\ v2 = vTt..., v„t =
vT*' ~l; ^, es invariante bajo T y, en la anterior base, la transformación
lineal inducida por Tsobre Vx tiene como matriz Mñl.
Hasta el momento hemos producido la esquina superior izquierda de
la matriz del teorema. Debemos, de alguna forma, producir el resto de esta
matriz.
Lema 6.9. Si utVx es tal que uT**'* = 0, donde 0<Ar^w,, entonces
u = w0 7"* para algún u0e Vx.
Prueba. Como ueVl9 u = alv+a1vT+ --. +akv7*~l+xk+ívTk+ ...
+celflr7"',,~l. Asi pues, 0 = uT*x~k = a^T*1'** ... +akrT*l~l. Pero
vT*l~k vT"'~l son linealmente independientes sobre F, de donde
a, = ct2 = --. = a* = 0, y por lo tanto, u = aA+|i>rt+ .-, +añlvT*l~l =
í/07*, donde w0 = ak+iv+ --- +afl|ü7H"l^fcw,e(/i.
El argumento, hasta el momento, no ha sido nada complicado. Se hace
.ahora un poco más denso.
Lema 6.10. Existe un subespacio W de V, invariante bajo 7*, tal que
Prueba. Sea W un subespacio de V9 de la mayor dimensión posible, tal
que:
1) Vxc\W = (0)
2) W es invariante bajo T.
Queremos ahora demostrar que V — Vx + W. Supongamos que asi no
fuera; entonces existiría un elemento ze ^tal que Z$ Vx + W- Como 7" = 0,
existe un entero *, 0 < k ^ /i, tal que z7*e Vx + W y tal que zTl4 Vx + W
para /<*. Así pues, z7* = u+w donde ue 1^ y wtW. Pero entonces
0 = zT"1 = (zr1)/*1"* = í/T^'^+^r"^*; pero» como tanto Vx como W

i 6. FORMAS CANÓNICAS TRANSFORMACIONES NILPOTENTES
291
son invariantes bajo T,uTrtl~k^Vl y wT"'~ketV. Como Vxr\ W = (0) esto
nos dice que uT**~k = -wTn'-keVí n W = (0), de donde wr,_fc = 0.
Según el lema 6.9, u = u0Tk para algún u0eVx ; por tanto z7* = u+w =
iv07^+«\ Sea zx = z— u0 ; entonces z{ Tk = zTk — u0Tk = icGtVt y como W
es un invariante bajo T esto implica z, T™gW para toda m^k. Por otra
parte, si i<A\ z, 7¡ = zP-uqT'í W+ IV, pues de otra forma zTl debería
estar en Vx + tVen contra de la elección de k.
Sea Wx el subespacio de Vgenerado por Wy zx + zx T9 ....z, 7*~ '. Como
z,í (V, y como H^ ^ (V, la dimensión de Wx debe ser mayor que la de W.
Además como zx 7*e IV y como IVes invariante bajo Tt Wx debe ser invariante
bajo T. Por la naturaleza máxima de tfdebe haber un elemento de la forma
u?0+alzl+cE2zlr+ ,., +a£ltzlr*"1 5¿ 0 en Jfj n ^, donde ü?0eíf. No
todos los a at pueden ser cero; de otra forma tendríamos 0 &
w0g Wn, Vt = (0), una contradicción. Sea as el primer a distinto de cero;
entonces w0-\-zl Ts~l{as+as+i T+ ... +akTk~*)eVí. Como «,^0, por
lema 6.8, ais+as+lT+ ... +akTk~* es invertible y su inversa Rt es un
polinomio en T. Por tanto, W y Vx son invariantes bajo R\ pero, por lo
anterior, w0R+zx T^'e^, Ra VXt lo que obliga a que zlT*~leVl +
WR <= Vx + W. Como s-1 < k esto es imposible; por tanto Vx + W = K
Como Vxr\W = (0), P = K,® W, y el lema queda probado.
El trabajo pesado, por el momento, se terminó; ahora vamos a completar
la prueba del teorema 6,1.
Según el lema 6.10, V = Vx® Wdonde W es invariante bajo T. Usando
las bases viv.,., v„t de Vl y cualquier base de W como una base de V9 por
el lema 6.7, la matriz de 7* en esta base tiene la forma
Mni 0
0 A2
donde A2 es la matriz de T2, la transformación lineal inducida sobre W
por T. Como T"1 = 0, T2n* = 0 para algún n2 ^ nx. Repitiendo el argumento
usado para T2 sobre W podemos descomponer W como hicimos con V
(o, aplicar inducción sobre la dimensión del espacio vectorial de que
tratemos). Continuando este camino obtenemos una base de V en que la
iriatriz de res de la forma
'Mny 0 •- 0
M»2
0 • • • MWj,
Quew,+K2+ -• +wr = dim V es claro, ya que la dimensión de la matriz
nx n donde n = dim K

292
TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
Definición. Los enteros nit n2f ...,«, se llaman los invariantes de T.
Definición. Si TeA(V) es nilpotente, el subespacio M de Vt de
dimensión mT que es invariante bajo T, se llama cíclico con respectoa T, si:
1) AfT" = (0), MT"-l # (0);
2) hay un elemento 26 M tal que 2, zT^...tzTm~y forma una base de A/.
(Nota: La condición (1) está realmente implicada por la condición 2.)
Lema 6.11. Sí M, de dimensión -m, es cíclica con respecto a T9 entonces
la dimensión de Af 7* esm—k para todo k^m.
Prueba. Podemos obtener una base de MTk tomando la imagen de
cualquier base de A/bajo 7*. Usando la base z, zT,.. .yzTm~l de Ai
obtenemos una base 2r\27*+\...>27*'"~1 de A/7*. Como esta base tiene m- k
elementos, el lema queda probado.
El teorema 6.1 nos dice que dado un nilpotente T en A{V) podemos
encontrar enteros ni ^ n2 ^ ... ^ nr y subespacios Vx ,-,., Vr de V cíclicos
con respecto a Tyde dimensiones w,, n2t..*9nr respectivamente, ya que
¿ Es posible que podamos encontrar otros enteros mt^m2^ ... ^msy
otros subespacios Ux,..., f/a de P, cíclicos respecto aTyde dimensiones
m1)(..,m„ respectivamente, tales que V = (/|©...©(/,? Afirmamos
que no es posible o, en otras palabras, que$ = rym1 = nitm2 = n29...,
mr = nr . Supongamos que éste no fuera el caso; entonces habría un primer
entero í tal que ml # nf. Podemos suponer que mg<nk*
Consideremos VT*. Por una parte, como V = Vt® ... @Kr, TT"' =
^T"'©...©^^©...©^ 7™'. Como dim ^,r"' = if,-mj,dini K27*"
"= n2—m,, ..., dim ViTmi = nl—mi (según lema 6.11)í dim VTmi^{ni —
"íj)+(n2—mj)+„.+(iij—m,). Por otra parte, como P= L^© ,..©í/s y como
UjT1'=(Ü) para />i, F7^'=Uir"'©t/27,"l+...©t/í_17,'\ Así pues
dim rr™1 = (/w,-mJ + í/Mj— m,) + ... +(/>*,_!—m¡).
Por nuestra elección de i, n, = mM n2 = m2, ...,/i,_, = «if-i* de donde
dim VT"* = (z^—mf)+(n2—m,)+ ... +(/i¡_,-mf)t
Pero esto contradice el hecho anteriormente probado de que dim VTmt ^
(ji,—m(-)+ ... +(«í-j— mi)+(nj—mj, ya que/!,-#*!,> 0.
Asi pues, hay un único conjunto de enteros nt ^ n2 ^ ... ^ n, tal que K
es la suma directa de subespacios cíclicos con respecto a T y de dimensiones
ffi, it2* *«-*flr- Es decir, hemos demostrado que los invariantes de T son
únicos.

16. FORMAS CANÓNICAS: TRANSFORMACIONES NILPOTENTES 293
Matricialmente, el argumento que acabamos de mostrar ha probado que
sinj >n2^ ... ?«rym, >m2> ... > m,, entonces las matrices
son semejantes solamente si r = jyn, = ml,n2 ~ m2t...Inr = m,.
Hasta el momento hemos probado la mitad más difícil del
Teorema 6.m Dos transformaciones lineales nilpotentes son semejantes
si y sólo si tienen las mismas variantes.
Prueba. La discusión que precede al teorema ha demostrado que si dos
transformaciones lineales nilpotentes tienen diferentes invariantes, entonces
no pueden ser semejantes, pues sus respectivas matrices
/M_, -■■ 0 \ ÍMm, ••- 0 \
\0 ■■ MHr¡ \0 ■■■ At^J
no pueden ser semejantes.
Pasemos a comprobar la parte del teorema en la otra dirección. Si las dos
transformaciones lineales nilpotentes S y T tienen los mismos invariantes
n, > ... >nr, por el teorema 6.1 hay bases vt, ...,v„ y wlt .-.,»„ de V
tales que la matriz de S en u,,..., v„ y la de Ten wly.... wm son, ambas,
iguales a
/MBl ..- 0 \
\0 — Mj
Pero si A es la transformación lineal definida sobre V por v,A = w¡, entonces
S= AXA~l (¡pruébese!, compárese con el problema 32 al final de la
sección 3), de donde S y T son semejantes.
Calculemos un ejemplo. Supongamos que
rii\
\0 0 0/

294 TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap 6
actúa sobre F* con base w, = (1,0, 0), u2 = (0, 1. 0) y u3 = (0,0,1). Sea
i;, - i/] , v2 = tijT = u2 + tiSiv3 = us ; en la base v,, v2, ü3 la matriz de 7"es
r
lo o
\o o
de forma que los invariantes de T son 2, I. Si A es la matriz del cambio de
base, es decir
f\ 0 0\
Una observación final: los invariantes de Tdeterminan una partición de
n, la dimensión de V. Reciprocamente, una partición de n, n, ^ ... ^nr,
rti+«3+ ... +nr = rr. determina los invariantes de la transformación lineal
nilpotente
/MR1 ••■ 0 \
Asi pues, el número de clases distintas de semejanza de las matrices nUpotentes
rtx nes precisamente p(n), el número de particiones de n.
6. FORMAS CANÓNICAS. UNA DESCOMPOSICIÓN DE V:
FORMA DE JORDÁN
Sea Vun espacio vectorial de dimensión finita sobre Fy sea 7" un elemento
arbitrario de AF(V). Supongamos que VK es un subespacio de V invariante
bajo T. Por tanto, T induce una transformación lineal T, sobre Vx definida
por uTt = i/Tpara toda ueVx. Dado un polinomio cualquierap(x)eF[x\,
afirmamos que la transformación lineal inducida por q(T) sobre Vt es
precisamente q(Tt), (La prueba de esto se deja como ejercicio.) En par-

I 6. FORMAS CANÓNICAS. UNA DESCOMPOSICIÓN DE V: FORMA DE JORDÁN 296
ticular, si q(T) = 0, entonces q(Tt) = 0. Así pues, 7", satisface cualquier
polinomio satisfecho por T sobre F. ¿Qué podemos decir en la dirección
opuesta?
Lema €.12. Supongamos que V = ^,® V2 donde Vx y V2 son subespacios
de V invariantes bajo T. Sean Tt y T2 ¡as transformaciones lineales inducidas
por T sobre Vyy V2, respectivamente. Si el polinomio mínimo de T, sobre F
es pt (x) mientras que el de T2 es p2(x), entonces el polinomio mínimo para T
sobre F es el mínimo común múltiplo de /?i(jc) y p2 (x).
Prueba. Si p(x) es el polinomio mínimo para 7" sobre F, como hemos
visto antes, tanto /?(7",) como p(T2) son cero, de donde pi(x)\p{x) y
p2{x) | p(x). Pero entonces el mínimo común múltiplo de pt(x) y pilx) debe
también dividir a p(x).
Por otra parte, si q{x) es el mínimo común múltiplo de /?,(*) y p2(x),
consideremos q(T). Para r,el/|, comopl{x)\q(x),v,q{T) = Ciq(T,) = 0;
análogamente, para i2eV2, v2q{T) = 0. Dada cualquier reV, c puede
escribirse como t = vx+v2 donde vleVl y v2eV2, en consecuencia de lo
cual vq(T) = (r, +v2)q(T) = v,q(T) + v2q(T) = (XAsí pues, q(T) = 0 y T
satisface q{x). Combinado con el resultado del primer párrafo, esto nos da el
lema.
Corolario. Sí V — V,®... (&Vkt donde todo V¡ es invariante bajo T
y sip¡(x) es polinomio mínimo sobre F de T¡, la transformación lineal inducida
por T sobre V¡, entonces el polinomio mínimo de T sobre F es el mínimo
común múltiplo de py{x), p2(x), ...,pk(x).
Dejamos la prueba del corolario al lector.
Sea TbAf{V) y supongamos que p(x) en F[x] es el polinomio mínimo
de 7" sobre F. Según lema 3.21, podemos factorizar p(x) en F[x] en forma
única como p(x) = qi(x)'' q2{x)''... qk(x)1", donde los q¡(x) son polinomios
irreducibles distintos en F[x\ y donde /,, l2,...tlk son enteros positivos.
Nuestro objetivo es descomponer V en suma directa de subespacios
invariantes bajo T tales que sobre cada uno de éstos la transformación lineal
inducida por 7"tiene como polinomio mínimo una potencia de un polinomio
irreducible . Si k = \,V mismo sirve a nuestro propósito. Supongamos pues
que k > I.
Sea V, = {rBV\pql(T)lt = 0}, V2 = {veV\vq2(T)'> = 0}, .... Vk =
{te Vvqk(T)1'' = 0}. Es una trivialidad que cada V¡ es un subespacio de V.
Además, V¡ es invariante bajo 7", pues si usV,, como 7" y q,{T) conmutan,
(«7)9,(7")'' = («ffiíTVO T = 0T = 0. Por la definición de V¡ esto sitúa a
uTen V¡. Sea T¡ la transformación lineal inducida por 7"sobre V¡.
Teorema €.n. Paracadai= 1,2, .., ky V, * (0) y V = ^,®K2®...®
Vk. El polinomio mínimo de Tt es ?¡íx)''.

296 TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
Prueba. Si k = I entonces V = V, y no hay nada que necesite probarse.
Supongamos entonces que k > 1.
Primero necesitamos probar que todo Vi # (0). Con este fin introducimos
los k polinomios:
hlix) = q1ix)'iq3(x)'i-qk{x)\
M*> = </iU>Il?3(*)'J-«*(*>\ -.
m*> = ru/w".-.
fclU) = fl1UÍ,,fl2(x|,1-ft_1(^-'.
Como k>\. h,(x) ^ p(x). de donde h¡(T) / 0. Así pues, dada i, hay un
re P tal que ir = ilit(T) * 0. Pero wj,{T)u = ^(*I(T)9,(7■),,) = r/?(7") = 0.
En consecuencia, ir í¿ 0 está en (^ y por tanto P, ^ (0). En realidad hemos
demostrado un poco más, a saber, que Vh¡{T) / (0) está en V¡. Otra
observación acerca de /i,(jc) viene ahora a cuento, si i^e V¡ para j í¿ i,
como qj(xf' | hiixlijhiíT) = 0.
Los polinomios h¡{x), h2(x) I\kx) son primos relativos. (¡Pruébese!)
De aqui que según el lema 3.20 podemos encontrar polinomios a}(x),...,
ak{x) en F[x] tales que ai(x)h,{x)+ ... +ak(x)hk(x) = 1. De donde
tenemos, a,{T)/i}(T)+ ... +ak(T)hk(T) = I. de donde, dado reC, r=
il =i(fl1(r»/i1(7')+...+í7k(7')Aft(7')) = ro1(r)/i1(r)+...+rí71I(7")AJt(7').
Ahora bien, cada ia;(7")/'i(^) está en Vh,(T), y como hemos probado
anteriormente que Vh¡{T)c V-y, hemos demostrado ahora v como v =
r,+ ... + vk. donde cada r, = ra¡(T)h¡{T) está en I-V Luego V = Vt +
V2+...+Vk.
Debemos ahora verificar que esta suma es una suma directa. Para
mostrar esto es suficiente probar que si u¡ + u2 + ... +uk = 0 con cada
UjGVj, entonces cada u¡ = 0. Supongamos, pues, que w, +u2+ ... +uk = 0
y que algún u¡, digamos u,, no es 0. Multipliquemos esta relación por
h,(T); obtenemos utht(T)+... +uk/it(T) = 0ht(T) = 0. Además.
Ujhj{T) = 0 para y í¿ 1 yaque i^et^; la ecuación se reduce así a ut hx (7")=
0. Pero W|ffi(7")'' = 0 y como //,(jc> y q,(x) son primos relativos, esto
implica que w, = 0 (¡pruébese!), lo que es, desde luego, incompatible con la
hipótesis de que ut # 0. Hasta el momento hemos conseguido probar que
V= Vl®V2®...QV„.
Para completar la prueba del teorema debemos todavía probar que el
polinomio mínimo de T¡ sobre V¡ es q{x)''- Por la definición de V¡, como
V¡q¡{T)'' = 0, q¡{T,)'' = 0, de donde la ecuación mínima de T¡ debe ser un
divisor de q^x)1', luego de la forma q¡lx)fi con /, ^l¡. Por el corolario al
lema 6.12, el polinomio mínimo de T sobre F es el mínimo común múltiplo
de q,(xY't ...,qk(xY" y debe, por tanto, ser qt(xY'... qk{xYk. Como este
polinomio mínimo es en realidad qi{x)''...qk{x)'M debemos tener que

f 6. FORMAS CANÓNICAS. UNA DESCOMPOSICIÓN DE V: FORMA DE JORDÁN 297
/i^/|, fz^lj fk^¡k- Combinada con la desigualdad de sentido
opuesto que antes probamos, esto nos da el resultado buscado, que /, = f'¡
para i = 1,2 k, con lo que completamos la prueba del teorema.
Si todas las raíces características de 7"sucediera que estaban en Fentonces
el polinomio mínimo de T toma la forma particularmente sencilla q{x) =
(x—A,)'' ...(j£—Ai>',<donde A,,.... Ák son las distintas raíces características
de T. Los factores irreducibles q¡(x) anteriores son simplemente q,(x) =
x—X¡. Nótese que sobre V¡, T¡ solamente tiene A¡ como raíz característica.
Corolario. Si todas las distintas raices características A A* de T
se encuentran en F, entonces V puede escribirse como V = Vx ® ... © Vk
donde V¡ = {re V | r(7"— Aj)1' — 0} y donde T¡ tiene solamente una raíz
característica. A,, sobre V¡.
Volvamos al teorema por un momento; usamos la misma notación
7";, V, que en el teorema. Como V = I-',© ... ®Vk, si la dimensión de Vt
es n¡, por el lema 6.7 podemos encontrar una base de V tal que en esa base la
matriz de T sea de la forma
("'■ )
x V
donde cada A ¡es una matriz n¡x oyesen realidad la matriz de T¡.
¿Qué es exactamente lo que andamos buscando? Queremos encontrar
un elemento en la clase de semejanza de Tque pueda distinguirse en alguna
forma. A la luz del teorema 6.h esto puede reformularse como sigue:
buscamos una base de V en que la matriz de T tenga una forma
especialmente sencilla (y reconocible).
De acuerdo con la anterior discusión, esta búsqueda puede quedar
limitada a las transformaciones lineales T¡, con lo que el problema general
puede reducirse de la discusión de transformaciones lineales generales a la
de las transformaciones lineales especiales, cuyos polinomios mínimos
son potencias de polinomios irreducibles. Para la situación especial en que
todas las raíces características de T se encuentran en F es lo que vamos a
hacer a continuación. El caso general en el que no ponemos restricción
alguna sobre las raíces características de T lo estudiaremos en la próxima
sección.
Estamos ahora en una feliz posición. Hemos construido todas las piezas
y todo lo que tenemos que hacer es juntarlas. Resulta de ello el importan-

29B TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
tísimo y útilísimo teorema en el que se exhibe lo que usualmente se llama
forma canónica de Jordán. Pero demos primero una definición.
Definición. La matriz
tí 1 0 ■•■ 0\
0 A
\o J
con a en la diagonal y 1 en la superdiagonal y 0 en las demás entradas es un
bloque básico de Jordán perteneciente a )..
Teorema 6.p. Sea TeAF(v) con todas sus distintas raices características
/1,.... ¿i, en F. Entonces puede encontrarse una base de V en que la matriz T
sea de ¡a forma
("" j
donde cada
-f' )
y donde fín Biri son bloques básteos de Jordán pertenecientes a X¡.
Prueba. Antes de comenzar notemos que un bloque básico mxmde
Jordán perteneciente a A es simptemente ¿+ M„, donde M„ es la matriz que
se ha definido al final del lema 6.8.
De acuerdo con la combinación de) lema 6.7 y el corolario al teorema 6.n,
podemos reducirnos al caso en que T tiene solamente una raíz característica
¿, es decir, al caso en que T—). es nilpotente. Así pues, T = Á+(T~X), y

i 6. FORMAS CANÓNICAS. UNA DESCOMPOSICIÓN DE V. FORMA DE JORDÁN 299
como T—J. es nilpotente, según el teorema 6.1, hay una base en que su
matriz es de la forma
f" ■)
Pero entonces la matriz de Tes de la forma
usando la primera observación hecha en esta prueba acerca de la relación
entre un bloque de Jordán básico y las M„. Y esto completa el teorema.
Usando el teorema 6.1 podríamos arreglar las cosas de forma que en
cada J¡, (a dimensión de Bit > la dimensión de Bi2 ^t .... Cuando esto se
ha hecho, entonces la matriz
n
se llama la forma de Jordán de T. Nótese que el teorema 6.p para matrices
nilpotemes se reduce al teorema 6.1.
Dejamos como ejercicio lo siguiente: dos transformaciones lineales en
AF{ V) que tienen todas sus raíces características en F, son semejantes si y
sólo si pueden llevarse a la misma forma de Jordán.
Así pues, la forma de Jordán actúa como un "determinador" para
clases de semejanza de este tipo de transformaciones lineales.
En términos de matrices, el teorema 6.p puede formularse como sigue:
sea AgF„ y supongamos que K es el campo de descomposición del polinomio
mínimo de A sobre F; entonces puede encontrarse una matriz invertible CeK„
tal que CAC~' esté en la forma de Jordán.
Dejamos los pocos puntos necesarios para hacer la traducción del
teorema 6.p a su forma matricial como ejercicio para el lector.
Una observación final: si AgFk y si K„, donde K es el campo de des-

TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
composición del polinomio mínimo de A sobre F,
Ji
CAC~X = \
donde cada J¡ corresponde a una raíz característica distinta ).t de A,
entonces la multiplicidad de X¡ como raíz característica de A es, por
definición rt¡, donde J¡ es una matriz fl;x nt. Nótese que la suma de las
multiplicidades es exactamente n.
Es claro que análogamente podríamos definir la multiplicidad de una
raíz característica de una transformación lineal.
Problemas
1. Si 5 y T son transformaciones lineales nilpotentes que conmutan,
pruébese que 57" y S+7"son transformaciones lineales nilpotentes.
2. Mediante un cálculo matricial directo, demuéstrese que
/O 1 0 0\
3, Si R|^n2 y mx^m2, pruébese, mediante un cálculo matricial
directo que
("-,,)•("-J
son semejantes si y sólo si n, = m, y n2 = m2.
*4. Si n, ^ n2 > «3 y m, > tn2 > m3, pruébese, por medio de un cálculo
matricial directo que
/M- \ lMm* \
MH1 y Mni
\ MJ \ MJ
son semejantes si y sólo si /i, = m,, n2 — tn2 yw3 = m3.

I 6. FORMAS CANÓNICAS. UNA DESCOMPOSICIÓN DE V: FORMA DE JOROAN
5. a) Pruébese que la matriz
/ 1
-1 -1 -I
1
1
es nilpotente y encuéntrense sus invariantes y forma de Jordán.
b) Pruébese que la matriz de la parte (a) no es semejante a
/ i i i\
-i
o/
6. Pruébese el lema 6.12 y su corolario, incluso si las sumas que en él
aparecen no son sumas directas.
7. Pruébese la afirmación hecha de que dos transformaciones lineales
en AF( V) todas cuyas raíces características se encuentran en Fson semejantes
si y sólo si sus formas de Jordán son iguales (excepto por una permutación
en la ordenación de las raíces características).
8. Complétese la prueba de la versión matricial del teorema 6.p, dada
en el texto.
. Pruébese que la matriz n x n
/°
i
0
0
0
0
]
0
0 ■
0 ■
0 •
1 -
■ 0 0'
• 0 0
■ 0 0
■ 0 0
Vo
o/
o o
con entradas 1 en la subdiagonal y 0 todas las demás, es semejante a M„
10. Si F tiene característica p > 0 pruébese que A = I - .1
A"= 1.
11. Si F tiene característica 0, pruébese que A = [0 .1
A" = I para m > 0 solamente si ct = 0.
satisface
satisface

TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
12. Encuéntrense todas las formas de Jordán posibles para:
a) todas las matrices 8x8 que tienen x2(x— I)3 como polinomio
mínimo;
b) todas las matrices lOx 10 sobre un campo de característica
diferente de 2, que tiene x2{x~ l)2(x+l)3 como polinomio
mínimo.
13. Pruébese que la matriz rt x n
4:;:)
es semejante a
¡n 0 0 — (k
0 0 0- 0 I
\o oo o/
si la característica de F es O o si es p y pj( n. ¿Cuál es la multiplicidad de 0
como raíz característica de A ?
Una matriz A = (a¡j) se dice que es una matriz diagonal si a-fj = 0
para / / jt es decir, si todas las entradas aparte de las de la diagonal
principal son 0. Una matriz, o transformación lineal, se dice que es diagonali-
zable si es semejante a una matriz diagonal (tiene una base en la que su
matriz es diagonal).
*14. Si 7"está en A(V) entonces Tes diagonalizable (si todas sus raíces
características están en F) si y sólo si siempre que r(T~XY" — 0, para
veVy AeF, entonces v{T—A) = 0.
!5. Usando el resultado del problema 14, pruébese que si E2 = E
entonces fes diagonalizable.
16. Si E2 = E y Fz = F pruébese que son semejantes si y sólo si tienen
el mismo rango.
17. Si la multiplicidad de cada una de las raíces características de Tes I,
y si todas las rafees características de T están en F, pruébese que T es
diagonalizable sobre F.
♦18. Si la característica de fesOy si TeAF{V) satisface Tm = I, pruébese
que si las raíces características de Testan en Fentonces Tes diagonalizable.
{Sugerencia: úsese la forma de Jordán de T.)

f 7 FORMAS CANÓNICAS- FORMA CANÓNICA RACIONAL
303
*19. Si A, BeFson diagonalizables y si conmutan, pruébese que hay un
elemento Ce/7,, tal que tanto CAC"' como CBC~' son diagonales.
20. Pruébese que el resultado del problema 19 es falso si A y B no
conmutan.
7. FORMAS CANÓNICAS: FORMA CANÓNICA RACIONAL
La forma de Jordán es la más comúnmente usada para probar teoremas
acerca de las transformaciones lineales y las matrices. Desgraciadamente
tiene un seno inconveniente en los requerimientos que impone sobre la
localización de las raíces características. Es cierto que si TeAF{V) (o AeF„)
no tiene sus raíces características en /\ no tenemos más que ir a una extensión
finita K de F en que todas las raíces características de T se encuentran y
luego llevan T a su forma de Jordán sobre K. En realidad, este es un
procedimiento operativo estándar; pero prueba resultados en Knf no en F„. Muy
a menudo el resultado en F„ puede deducirse del resultado en K^ pero hay
muchas ocasiones en que después que un resultado se ha establecido para
AeFn considerado como un elemento en #„, no podemos volver de Kn
para obtener la información deseada en Fn.
Así pues, necesitamos alguna forma canónica para elementos en AF(V)
(o en F„) que no presupongan nada sobre la localización de las raíces
características de sus elementos, una forma canónica y un conjunto de
invariantes creados en AF{V) mismo usando solamente sus elementos y
operaciones. La. forma canónica raciona^ que describimos a continuación en
el teorema 6.q y su corolario, es una forma canónica de tal tipo.
Sea TeAF{V)\ por medio dennos proponemos hacer de V un módulo
sobre F[x], el anillo de los polinomios en x sobre F, Hacemos esto definiendo
para cualquier polinomio f(x) en F[x], y cualquier veV^ f(x)v = tf(T).
Dejamos la verificación al lector de que, bajo esta definición de
multiplicación de elementos de V por elementos de F]x\* V se hace un /^Jíj-módulo.
Como Ves de dimensión finita sobre F% está finitamente generado sobre Fy
luego tanto más sobre F[x] que contiene a F. Además, F[x] es un anillo
euclidiano; luego como un módulo finitamente generado sobre /^jc], por
el teorema 4j, V es la suma directa de un número finito de submódulos
cíclicos. Por la misma forma en que hemos introducido la estructura de
módulo sobre V% cada uno de estos submódulos cíclicos es invariante bajo 7;
además, hay un elemento m0, en un tal submódulo A/, tal que todo elemento
m en M es de la forma m — tnQf(T) para algún f(x)tF\x\
Para determinar la naturaleza de T sobre V será, por tanto, bastante
para nosotros conocer como parece T sobre un submódulo cíclico. Es esto
precisamente lo que intentamos determinar.
Pero efectuemos primero una descomposición preliminar de "K como

304
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
hicimos en el teorema 6.n, de acuerdo con la descomposición del polinomio
mínimo de 7~como producto de polinomios irreducibles.
Sea el polinomio mínimo p(x) de T sobre F, p{x) =qi(x)ei ... tf*(x)efc
donde los q¿(x) son polinomios irreducibles distintos en F[x] y donde
cada f¡>0; entonces, como vimos en el teorema 6.n, V = Vx®V2®.„®Vk
donde cada Vx es invariante bajo T y donde el polinomio mínimo de T
sobre Vt es q^xY'* Para resolver la naturaleza de un submódulo cíclico
para un 7~ arbitrario vemos, por esta discusión, que es suficiente
establecerla para un T cuyo polinomio mínimo sea una potencia de uno irreducible.
Probamos el
Lema 6.13. Supongamos que Tr en AF(V), tiene como polinomio mínimo
sobre F el polinomio p{x) = y0 + Yijc+ --• + )V-ix*~ !+*r- Supongamos^
además* que V como módulo (de acuerdo con lo antes descrito), es un módulo
cíclico (es decir, es cíclico respecto a T). Entonces hay una base de V sobre F
tal que* en esta base* la matriz de Tes
/O 10»- 0 \
0 0 l •» 0
0 0 0 — 1
\-To -Vi — -VP-i/
Prueba. Como V es cíclico respecto a T, existe un vector r en V tal que
todo elemento w en V es de la forma w = vf{ T) para algún f(x) en F[x].
Ahora bien, si para algún polinomio s{x) en F[x]t vs(T) = 0, entonces
para cualquier w en K ws(T) = (vf(T))s{T) = ts(T)f(T) = 0; luego j(D
aniquila a todo V y, por tantp, s(T) = 0. Pero entonces p(x)\s{x) ya que
p(x) es el polinomio mínimo de T Esta observación implica de inmediato
que u, vT, vT2t ..., vTr~1 son linealmente independientes sobre F* pues si
así no fuera, entonces ct0r+a,rr+ ... +ae_lcTr~i = 0 con a0 ar_,
en F. Pero entonces *?(cc0+a, 7+ ,■• +ar_i Tr~l) = 0» y de aquí, según la
anterior discusión, /?(x)|(a0+a,jt+ ... +ar_,xr^,)í lo que es imposible
ya que p{x) es de grado r salvo si a0 = a, = ... = a,_, = 0.
Como Tr = — To^Ti ^" ••• "Tr-i T'~x* es inmediato que T'*k* para
k > 0, es una combinación lineal de 1, T,..., 7*'"' y, por tanto, que f(T)
para cualquier f(x)eF[x], es una combinación lineal de lt r,...,^1
sobre F. Como cualquier w en ^es de la forma w — t^(7^ tenemos que w? es
una combinación lineal de t\ vT, ..^uT*""1.
Hemos probado, en los últimos dos párrafos, que los elementos i\ vT,,,.?
ryr- i forman una basc ¿c y sobre F'. En esta base, como puede verificarse de
inmediato, la matriz de Tes exaciamente como afirmábamos.

f 7. FORMAS CANÓNICAS: FORMA CANÓNICA RACIONAL
305
Definición. Si f(x) = yQ+yYx+
entonces la matriz rx r
+yr-1x*-1+x* está en F[x]
i °
o
1 0
0 I
0 0 0
\-Yo -Vi -
0 \
0
1
-T.J
se llama matriz compañera de/(x). La representamos por C(/(x)),
Nótese que el lema 6.13 dice que si V es cíclico respecto a T y si el
polinomio mínimo de T en F[x] es p(x\ entonces para alguna base de V la
matriz de Tes C(p[x)).
Nótese, además que la matriz C(f(x))t para cualquier polinomio mónico
f(x) en F[x]t satisface f(x) y tiene a f(x) como su polinomio mínimo. (Véase
el problema 4 al final de esta sección; véase también el problema 29 al final
de la sección 1.)
Probamos ahora un importantísimo teorema.
Teorema 6.q. Si T en AF(V) tiene un polinomio mínimo p(x)= q{xY
donde q(x) es un polinomio mónico irreducible en F[x]t entonces puede
encontrarse una base de V sobre Feñ que la matriz de Tsea de la forma
<?<*)")
cfcíxn
C(?<x)*']
dondee = e1^e2 ... S ew.
Prueba. Puesto que V como módulo sobre F[x] está finitamente
generado, y como F[x] es euclidíano, podemos descomponer V como
V = Vx® ... ©Pr donde Jos Vtson módulos cíclicos. Los Vx son, entonces,
invariantes bajo T; si T£ es la transformación lineal inducida por T sobre Vit
su polinomio mínimo debe ser un divisor de p(x) = q(x)'t luego de la forma
q(xy. Podemos reordenar los espacios de forma que f,?e2?...?fr
Ahora bien, q(T)e' aniquila a cada Vt, de donde suprime a Vt de donde
q{T)rí= 0. Luego e1 Je; como e1 es claramente cuando más igual a et
tenemos que ex = e.
Según el lema 6.13, como cada Vl es cíclico respecto a T podemos
encentrar una base tal que la matriz de la transformación lineal de 7, sobre Vt

306
TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
es C{q(x)e'.) Asi pues, según el teorema 6.n, podemos encontrar una base de
V tal que la matriz de Ten esta base es
'(«M0
c(fl(*n
C(q(x)
Corolario. Si Ten AF(V) tiene el polinomio mínimo p(x) = ^(x)'1 ...
*(*)** s°bre F* donde qY{x) y„.9qk{x) son polinomios irreducibles distintos
en F[x]9 entonces puede encontrarse una base de V en la que la matriz de T sea
de la forma
R¿
donde cada
■ctfttxD
CfaiW1'1)
dondeei = eit S et2 ^ ... ^ eífr
Prueba. Por el teorema 6.1, V puede ser descompuesto en la suma
directa V = P,© ... &Vk9 donde cada V{ es invariante bajo Ty donde el
polinomio mínimo de T¡, la transformación lineal inducida por r sobre Vít
es qiix)*'. Usando el lema 6,7 y el teorema anterior, obtenemos el corolario-
Si el grado de q¡(x) es e/f, nótese que la suma de todos los dieij es n, la
dimensión de P sobre F.
Definición. La matriz de T en el enunciado del corolario anterior se
llama forma canónica racional de T.
Definición. Los polinomios ^(x)"1, qi(e)ei2t ...tql{xyir*9.„9qk(xYwlr
...»qtixY** en F[x] se llaman divisores elementales de T
i Una definición más!

I 7. FORMAS CANÓNICAS: FORMA CANÓNICA RACIONAL
307
Definición. Si dinift^) = «, entonces el polinomio característico de 7",
pT(x\ es el producto de sus divisores elementales.
Podremos identificar el polinomio característico que acabamos de
deñnir con otro polinomio que construiremos explícitamente en la sección 9.
El polinomio característico de Tes un polinomio de grado n que se encuentra
en F[x\. Tiene muchas propiedades importantes» una de las cuales es la
contenida en la siguiente
Observación. Toda transformación lineal TeAF{V) satisface a su
polinomio característico. Toda raíz característica de Tes una raíz de pT{x).
Nota 1. La primera parte de la anterior observación es el enunciado
de un teorema muy famoso, el teorema de Cayley-Hamiíton. Pero llamarlo
así en la forma en que lo hemos expuesto resultarla un poco abusivo. El
meollo del teorema de Cayley-Hamilton es el hecho de que T satisface pT(x)
cuando a p7{x) se le da una forma concreta muy particular, fácilmente
construible partiendo de T Pero incluso en la forma en que aparece, la
observación tiene un contenido bastante interesante, pues como el polinomio
característico es un polinomio de grado nt hemos probado que todo elemento
de AF( V) satisface un polinomio de grado n que se encuentra en F[x]. Hasta
ahora, solo habíamos probado esto (en el teorema 6_k) para transformaciones
lineales que tenían todas sus raices características en F.
Nota 2. Tal como está formulada, la segunda parte no dice nada, pues
siempre que 7~satisface un polinomio, entonces toda raíz característica de T
satisface ese mismo polinomio; asf pues, pT(x) no sería nada especial si lo
que se enuncia en el teorema fuera todo lo que es válido en él. Pero la
historia real es la siguiente: Toda raíz característica de T es una raíz de
PtM* y reciprocamente, toda raíz de pT(x) ^s una raíz característica de Ti
además, la multiplicidad de cualquier raíz de pT (x\ como una raíz del potino-
miot es igual a su multiplicidad como raíz característica de T Podríamos
probar lo dicho ahora, pero diferimos la prueba hasta más tarde» cuando
seamos capaces de hacerla de una forma más natural.
Prueba de la observación. Solamente tenemos que demostrar que T
satisface a pT{x\ pero esto es casi trivial. Como /?ríx) es el producto de
ÍiW.íiW1 ftW*1 ycomoetI =e^elt =e2,...tekl = ekr
pT{x) es divisible por p(x) = qx{eyi ... fcCxF*, el polinomio mínimo de T
Como p(T) = 0 se sigue que pT(T) = 0.
Hemos llamado al conjunto de los polinomios que aparecen en la forma
racional canónica de T los divisores elementales de T Sería muy conveniente
que éstos determinasen una semejanza en AF{V). pues entonces las clases
de semejanza en AF(V) estarían en una correspondencia biyéctíva con

308
TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
conjuntos de polinomios en F[x], Nos proponemos hacer esto, pero primero
establecemos un resultado que implica que dos transformaciones lineales
tienen los mismos divisores elementales.
Teorema 6.r. Sean y y W dos espacios vectoriales sobre F y supongamos
que $ es un isomorfismo de espacios vectoriales de V sobre W.
Supongamos que SeAF{V)y TeAF(W) son tales que para cualquier ve V9{vS)$ =
(rtfr) T.) Entonces S yT tienen los mismos divisores elementales.
Prueba. Comenzamos con un simple cálculo. Si ve Vt entonces (vS2)\¡/ =
({vS)S)$ = ({vS)i¡t)T=((ui¡t)T)T={v$)T\ Es claro que continuando
análogo proceso tendremos que (i'S™)^ = {v\¡/)TM para cualquier entero
m 5 0, de donde para cualquier polinomio f(x)eF[x] y para cualquier ve Vt
Si f{S) = 0» entonces (v$)f{T) = 0 para cualquier ve V y como ^
transforma V sobre W tendríamos que Wf{T) = (0), a consecuencia de lo
cual/(7*) = 0. Recíprocamente, sí g(x)eF[x\ es tal que g(T) = 0, entonces
para cualquier re K Ug(S)*¡t = 0 y como ^ es un isomorfismo, esto nos dice
que vg{S) = 0. Esto desde luego implica que g{S) = 0. Asi pues, S y T
satisfacen el mismo conjunto de polinomios en F[x], de donde deben tener el
mismo polinomio mínimo
donde qt (x)9,.., qk(x) son polinomios irreducibles distintos en F[x],
Si V es un subespacio de V invariante bajo S, entonces í/(fr es un sub-
espacio de ^invariante bajo 7, pues (1/^)7"= (Í/S)^c t/^, Como í/y
U\}t son isomorfos, el polinomio mínimo de 5,, la transformación lineal
inducida por 5 sobre V es la misma, de acuerdo con las observaciones
anteriores que el polinomio mínimo de 7*,, la transformación lineal inducida
sobre Ui¡! por T.
Ahora bien, como el polinomio mínimo para 5 sobre V es p(x) =
qx{x)** --■ ft(x)'\ como hemos visto en el teorema 6.q y su corolario»
podemos tomar como el primer divisor elemental de 5 al polinomio qx (xfl
y podemos encontrar un subespacio de Vx de V que es invariante bajo S tal
que:
1) V = Vt®M donde M es invariante bajo 5;
2) los únicos divisores elementales de 5,, la transformación lineal
inducida sobre Vx por 5, es q, (x)*1;
3) los otros divisores elementales de 5 son los de la transformación
lineal Sz inducida por 5 sobre M.
Combinamos ahora las afirmaciones hechas anteriormente y afirmamos:
I) w = WX@N donde Wx = Vy $ y N = M$ son invariantes bajo T.

* 7. FORMAS CANÓNICAS: FORMA CANÓNICA RACIONAL
309
2) El único divisor elemental de 7\, la transformación lineal inducida
por T sobre Wt es qx (x)*1 (que es un divisor elemental de T ya que
el polinomio minimo de Te$p(x) = tfi(x)*1... ft(*)**).
3) Los otros divisores elementales de T son los de la transformación
lineal T% inducida por T sobre N.
Como N = Mi}/, M y N son espacios vectoriales ísomorfos sobre F bajo
el isomorfismo \¡t2 inducido por \¡t. Además, si ueM entonces (uS2)\¡/2 =
(uS)ip = (u\¡t)T = (u$2)T2i de donde S2 y T2 están en la misma relación
con respecto a ^z que S y T estaban respecto a ip. Por inducción sobre la
dimensión (o repitiendo el argumento) S2 y T2 tienen los mismos divisores
elementales. Pero como los divisores elementales de 5 son simplemente
íifxf' y los de S2 mientras que los de Tson simplemente fli(x)*1 y los de
T2, 5 y T deben tener los mismos divisores elementales, probando con ello
el teorema.
El teorema 6.q y su corolario nos dieron la forma canónica racional
y los divisores elementales. Nos gustaría apurar un poco más la situación y
ser capaces de afirmar alguna propiedad de unicidad. Es lo que hacemos en el
Teorema 6.s. Los elementos Sy Ten AF(V)son semejantes (en AF(y))
si y sólo si tienen los mismos divisores elementales.
Prueba. Probar esto es sencillo en una dirección, pues supongamos
que S y T tienen los mismos divisores elementales. Entonces hay dos bases
de ^sobre Ftales que la matriz de .Sen la primera base es igual a la matriz de
T en la segunda (y cada una de ellas igual a la matriz de forma racional
canónica). Pero como ya hemos visto varias veces antes, esto implica que
S y T son semejantes-
Vamos ahora a ir en la otra dirección. También aqui el argumento se
asemeja estrechamente al usado en la sección S en la prueba del teorema 6,m.
Como allí fuimos muy cuidadosos con todos los detalles, creemos que aqui
podemos permitirnos ser un poco más esquemáticos.
Observemos primero que en vista del teorema 6.n, podemos limitarnos
al caso de la transformación lineal cuyo polinomio mínimo es una potencia
de un polinomio irreducible. Así pues, sin pérdida de generalidad podemos
suponer que el polinomio mínimo de T es q(xf donde q(x) es irreducible
en F[x] y de grado d.
La forma canónica racional nos dice que podemos descomponer Ken la
forma K= K,© ...©K, donde los subespacios V-t son invariantes bajo T
y donde la transformación lineal inducida por T sobre V¡ tiene como matriz
C(q{xf% la matriz compañera de q(xfx. Suponemos que lo que realmente
estamos intentando probar es lo siguiente: si V = l/, ©l/2© ... ©l/s donde
los Vj son invariantes bajo T y donde la transformación lineal inducida

310
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
por T sobre UJ tiene como matriz Cig(x)fJ), /,?/2?... ?/,. entonces
r = s y ex =/p e1=f2*...*ew=fT> (Pruébese que la demostración de
esto es equivalente a la demostración del teorema.)
Supongamos entonces que tenemos las dos descomposiciones arriba
descritas, V = K,® ... ®Vr y V = U{® ..-©£/, y que algún e¡ # /,.
Entonces hay un primer entero m tal que em / fm mientras que et = fx
*m-i =/m-i- Podemos suponer que em>fm.
Ahora bien, ^( T)fm suprime U„ , Üm + , ,..., UM , de donde
^(7)'"' = IMíT/"©---©!^-,^/-.
Pero se puede demostrar que la dimensión de t/¡g(7Vm para j</h es
d{fs—fm) (¡pruébese!)» de donde
dim(^(7ym) =rfí/i-/J+ — +</(/*-i-/J-
Por otra parte, K9(7Y" =. K^ír)*"© ...©.-. ®Vmq{TYm y como
^iffíTV" tiene dimensión </(*(-/„) para / ^ mt tenemos que
dimí^r)^) £ rf(*,-/*)+ .-- +</(*„->;).
Como e, =/I1...^I -= /„_, y em >/m esto contradice la igualdad antes
probada. Hemos, pues, probado el teorema.
Corolario 1. Supongamos que las dos mairices A y Ben F„ son semejantes
en Kn donde K es una extensión de F, Entonces A y B son ya semejantes en Fn,
Prueba. Supongamos que A% B*F„ son tales que B=C~XAC con
C€K„. Consideramos a Kn como si actuara sobre Kin\ el espacio vectorial
de /r-tuples sobre K„ Así pues, F1"1 está contenido en /í("* y aunque es un
espacio vectorial sobre F no es un espacio vectorial sobre K. La imagen de
Firt}% en /l,,t\ bajo C no necesariamente incidirá de nuevo en F{n} pero en
cualquier caso F{"}C es un subconjunto de KM que es un espacio vectorial
sobre F (pruébese)- Sea V el espacio vectorial Fw sobre /\ W el espacio
vectorial Fl"yC sobre Fy para veVsea r0 = iC. Ahora bien, AsAF (V) y
BeApiW) y para cualquier re V, (vA)\¡/ = vAC = vCB = (r¿) A, de donde
las condiciones del teorema 6.r se satisfacen. Así pues, A y B tienen los
mismos divisores elementales; de acuerdo con el teorema 6.s, A y B deben
ser semejantes en Fn.
Una palabra de advertencia: el corolario no afirma que si A, BeFn son
tales que B = C" lAC son Cel^ entonces C debe necesariamente estar en
F„; esto es falso. Lo que afirma simplemente es que si A, BgF„ son tales que
B = C " '^Ccon CeKnf entonces existe un DeFn (posiblemente diferente a
C) tal que B = D~lAD.

I 7. FORMAS CANÓNICAS: FORMA CANÓNICA RACIONAL
311
Problemas
1. Verifiqúese que V se hace un F[x] módulo bajo la definición dada.
2. En la prueba del teorema 6.s proporciónense demostraciones
completas de todos los puntos en que se señala (pruébese).
*3. a) Pruébese que toda raíz del polinomio característico de T es una
raíz característica de T.
b) Pruébese que la multiplicidad de cualquier raíz de pT(x) es
igual a su multiplicidad como una raíz característica de r.
4. Pruébese que para/(x)e/"[*], C(f(x)) satisface/(jc) y tiene a/(x)
como su polinomio mínimo. ¿Cuál es su polinomio característico?
5. Si F es el campo de los números racionales, encuéntrense todas las
formas canónicas racionales posibles y todos los divisores elementales para:
a) Las matrices 6x6 en F6 que tienen (x— I)(jc2+1)2 como
polinomio mínimo.
b) Las matrices 15x15 en Fl5 que tienen (x2+x+I)2 (x3+2)2
como polinomio mínimo.
c) Las matrices 10x10 en Fl0*qüñ tienen (x2+l)2(x3+1) como
polinomio mínimo.
6. a) Si Ke$ una extensión de F y si A está en A„, pruébese que A puede
escribirse como A = XtAt + ... +XkAk-, donde Al9..., Ak están
en Fn y donde A|,. ■., Xk están en K y son linealmente
independientes sobre F.
b) Con igual notación que en la parte (a)t pruébese que si BgF„ es
tal que AB = 0 entonces AtB = A2B = ... = AkB = 0.
c) Si C en Fn conmuta con A pruébese que C conmuta con cada uno
de los Alf Alt..., Ak.
*7. Si A, (,.., Ak están en FH y son tales que para ciertos Xt y..., Xk en K,
una extensión de F9 XtAt + „. ^XkAk es invertible en Kn, pruébese que
si F tiene un número infinito de elementes podemos encontrar a,,.,., ak en F
tales que ai At + ... +ttkAk es invertible en Fn.
*8- Si F es un campo finito, pruébese que el resultado del problema 7 es
falso.
*9-- Usando los resultados de los problemas 6 (a) y 7, pruébese que si F
tiene un número infinito de elementos entonces siempre que A, BeFn son
semejantes en Kn* donde K es una extensión de F, entonces son semejantes
en Fn. (Esto nos da una prueba» independiente de las formas canónicas del
corolario I al teorema 6.s en el caso particular en que F es un campo
infinito.)

312 TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap, 6
10. Usando cálculos con matrices (pero siguiendo los lincamientos
marcados en el problema 9), pruébese que si Fes el campo de los números
reales y K el de los números complejos, entonces dos elementos en F2 que
son semejantes en K2 son ya semejantes en F2-
8. TRAZA Y TRANSPUESTA
Después de la dificultosa marcha en las últimas secciones, la falta de
complicaciones del material sobre el que ahora vamos a tratar va a llegarnos
como un agradable respiro.
Sea F un campo y A una matriz en Fn.
Definición. La traza de A es la suma de los elementos de la diagonal
principal de A.
Representaremos a la traza de A por tr A \ si A = (a^j), entonces
tr A =^= £ a,-,,
í=i
Las propiedades fundamentales de la función traza están contenidas en el
Lema 6,14. Para A% BeFny ¿ef,
/) XtUA) = l \\ A\
2) iv(A + B) = tr/4+tr B;
J) ir(AB) = triBA).
Prueba. Establecer (I) y (2) (que aseguran que la traza es una funcional
lineal en F„) es sencillo y se deja como1 ejercicio para el lector. Solamente
presentamos la prueba de Ja parte (3) del lema.
Si A = (zu) y B = (/3fJK entonces AB = (yfj) donde yu = £ aikPkJ y
k-l
BA=iuu) donde pu = Y. $***!•
k=\
Así pues, (AB) = J^vM = M^att/?ki ]; si intercambiamos el orden de
sumación en la última suma, tenemos
n n / \ ti
\x[Aíi)= £ £ zafia- l( I &.«») = I V» = ^{BA).
k- I í= | i" I \J=I / k=\
Corolario, 5/ A es invertihle entonces tri ACÁ %) =trC

f 8. TRAZA Y TRANSPUESTA
313
Prueba. Sea B = C4"1; entonces tr (ACÁ'1) = U{AB) = tr (BA) =
tr {CA~ * A) = trC
Este corolario es importante por dos razones; primero, nos permitirá
definir la traza de una transformación lineal arbitraria; segundo, nos
permitirá encontrar una expresión alternativa para la traza de A.
Definición, Si TeA(V) entonces tr T, la traza de T, es la traza de
m, (T) donde m, (T) es la matriz de 7*en una base cualquiera de V.
Afirmamos que la definición tiene sentido y depende solamente de T y no
de cual sea la base de V que se emplee- En efecto, sim,(r)y m2{T) son
matrices semejantes, entonces, según el corolario al lema 6J4. ambas
tienen la misma traza.
Lema 6.15. Si TeA( V\ entonces tr Tes la sania de tas raices
características de T (usando cada raíz característica tantas reces como su multiplicidad).
Prueba'. Podemos suponer que Tes una matriz en Fn; si K es el campo
de descomposición para el polinomio mínimo de T sobre F. entonces en Knr
por el teorema 6.p, T puede llevarse a su forma de Jordán, J. J es una
matriz sobre cuya diagonal aparecen las raíces características de T, cada
raíz que aparece tantas veces como unidades tiene su multiplicidad. Así
pues, tr J = suma de las raices características de Ti pero como / es de la
forma A TA "', tr J = tr T, y esto prueba el lema-
Si T es nil potente, entonces todas sus raíces características son 0, de
donde, de acuerdo con el lema 6.15, tr T = 0. Pero si T es nilpotentet
entonces también lo son T1, T\ . „., luego tr T' — 0 para todo i 5* 1 ■
¿Y qué podemos decir en la otra dirección, es decir* si tr 7'" = 0, para
i = I, 2,■ ••?, ¿se sigue de ello que Tes nilpotente? Con esta generalidad
la contestación es no, pues sí Fes un campo de característica 2, entonces la
matriz unidad
en F2 tiene traza 0 (pues 1 + 1 = 0) al igual que todas sus potencias, pero es
claro que la matriz unidad no es nilpotente. Pero si restringimos la
característica de Fa 0, el resultado es verdaderamente cierto.
Lema 6,16. Si F es un campo de característica O y si TeAi.(V)es tal que
tr T'= 0para todo i?^ I. entonces Tes nilpotente.

314
TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
Prueba. Como TeAf(V), T satisface algún polinomio mínimo p{x) =
jcwH-cfljcw"lH-^.+cíffl;comorfflH-a1rffl"lH-.,.+affl_1r+Q£m= 0t tomando
trazas de ambos lados, tenemos
tr rm+a, lrr_l+ .„ +*m-i trr+tram = 0.
Pero por hipótesis, tr T* = 0 para i ^ 1, luego tenemos tram = 0; si
dim V = ny tr am = tfam,de donde /?am = 0, Pero la característica de F es 0;
luego /a / 0, de donde se sigue que am = 0. Como el término constante del
polinomio mínimo de Tes 0, por el teorema 6,b "Tes singular y por tanto 0 es
una raíz característica de T.
Podemos considerar a T como una matriz en F„ y. por tanto, también
como una matrizen/^, donde A"es una extensión de f que, a su vez, contiene
todas las raices características de T. En Kn, según el teorema 6-j, podemos
poner T en forma triangular, y como 0 es una raíz característica de Tt
podemos realmente llevarla a la forma
0 --
s2 0
0
0
0
T2
donde
I*2 ° °\
n =
J
es una matriz {n—l)x{n—l) (los* indican partes en cuyas entradas no
estamos interesados). Ahora
Tk =
0
0
Ti*
de donde O = tr Tk — tr T2\ Luego T2 es una matriz (n —l)x (n— I) con
la propiedad de que tr T2 = 0 para todo k&l.O bien usando inducción
sobre n, o repitiendo el argumento sobre T2 que usamos para T, tenemos,
como a2,, - -, ff„ son las raíces características de T2, que a2 = . „ = ct„ = 0,
Luego cuando T se pone en forma triangular todas sus entradas en la
diagonal principal sonO, loque implica que 7 sea nil potente (pruébese).
Este lema, aunque pueda parecer particular, nos servirá en una gran
cantidad de casos. Hacemos uso inmediato de él para probar un resultado
usualmente conocido como el lema de Jacobson.

f 8. TRAZA Y TRANSPUESTA
315
Lema 6,17, Si F es de característica O y si S y Ttde A F{ K), son taies que
ST— TS conmuta con S, entonces ST— TS es nilpoteme.
Prueba. Para cualquier k ^ I, calculamos (ST—TSf. Ahora bien,
{ST- TS)k = (ST- TSf ~ }(ST- TS) = (ST- TS)X" {ST-(ST- TS)*~ ' TS.
Como ST- TS conmuta con S, el término (ST- TS? ~l ST puede escribirse
en la forma SdST-TSf-^T. Si hacemos B = (ST- TSf~l T vemos que
(ST-TS)* = Sfl-flS; de donde tr«S7^rS)') = tr(SB-BS) = tr(SB)-
tr (BS) = 0 según el lema 6,14, El lema anterior nos dice ahora que ST— TS
debe ser nílpotente.
La traza nos provee de una funcional lineal sobre F„ (y, por tanto,
sobre AF{V)) en f, extremadamente útil. Introducimos ahora una
importante transformación de F„ en si mismo.
Definición, Si A = {a¡¿)eF„, entonces la transpuesta de A, escrita como
A\ es la matriz Ar = (yy) donde ytJ = ayt para todas las /y/.
La transpuesta de A es la matriz que se obtiene intercambiando los
renglones de A con las columnas de A, Las propiedades formales básicas de
la transpuesta, están contenidas en
Lema 6.18. Para cualesquiera A, BeFnt
1)(A'Y = A;
2) (A + B)* = A'+B'\
3) (AB)' = B'A\
Prueba, Las pruebas de las partes (I) y (2) son muy sencillas y se dejan
como ejercicio para el lector; nos contentamos nosotros con la prueba de la
parte (3).
Supongamos que A = (ai}) y B = (jffy); entonces AB = (X¡j) donde
Por tanto* por definición, (AB)' = (fiu)t donde /iy = Aj¡ = £ (Xjkfiki-
Por otra parte. A' = (ylV) donde yt¡ = an y B' = (£w) donde í¡i= fiJl9
n tt tt
de donde el elemento (i, j) de fi'^'es £ £¡kykj = £ pkiajk = £ a^ft; =
jt-i fc^i ft=i
/íij. Es decir, (AB)' = fl'>T, con lo que hemos verificado la parte (3)del lema.
En la pane (3), si nos fijamos en el caso particular en que A — B,
obtenemos (A2)' = (A')2. Continuando obtenemos (Ak)' = (A'f para todo
entero positivo A\ Cuando A es invertí ble, entonces M"1)' = (-4')"1-

3lfi
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
Existe otra propiedad de la transpuesta, a saber, si ¿ef entonces (XA)' =
XA' para toda AeFK. Ahora bien, si AgF„ satisface un polinomio o£0Am+
alAm~í + ...+am = 0, obtenemos (a0>T+...+íT)' = 0' = 0. Calculando
explícitamente (tcDAm+ ... +2m)' usando las propiedades de la transpuesta,
obtenemos aQ(A'\m^-a^A')™'1 + ... +*„ — 0, es decir, A' satisface
cualquier polinomio sobre F al que satisfaga A. Como A = (A')\ por el
mismo razonamiento, A satisface cualquier polinomio sobre F al que
satisfaga A'm En particular, A y A' tiene el mismo polinomio mínimo
sobre F y, por tanto, tienen fas mismas raices características. Puede
demostrarse que todas las raices tienen la misma multiplicidad en A que en A \
Esto es evidente una vez que se establece que A y A' son realmente semejantes
(véase el problema 14),
Definición. La matriz A se dice que es una matriz simétrica si A* = A.
Definición. La matriz A se dice que es una matriz antisimétrica si
A' = -A.
Cuando la característica de Fes 2, como I = — K no podemos distinguir
entre matrices simétricas y ant¡simétricas. Para lo que resta de esta sección,
convenimos de una vez por todas que la característica de Fes diferente de 2,
Tenemos procedimientos muy sencillos para producir matrices simétricas
y matrices antisimétricas. Por ejemplo, si A es una matriz arbitraria,
entonces A + A' es simétrica y A —A' es antisimétrica. Si pensamos que
A = \(A + A')+\(A—A% vemos que toda matriz resulta ser la suma de
una matriz simétrica y otra anti si métrica. Esta descomposición es única
(véase el problema 19). Otro método de producir matrices simétricas es el
que sigue: si A es una matriz arbitraria, entonces tanto A A' como A'A son
simétricas. (Nótese que no tienen porqué ser iguales.)
Está en la naturaleza de todo matemático que, una vez que se ha dado
un concepto interesante surgido de una situación particular, ha de intentar
despojarlo de las particularidades de su origen y emplear las propiedades
claves del concepto como medio de hacerlo más abstracto. Procedemos a
seguir tal camino con la transpuesta. Tomamos, como propiedades formales
de mayor interés, aquellas que aparecen en el enunciado del lema 6.18 que
afirma que sobre Fn la transpuesta define un antiautomorfismo de periodo 2.
Nos lleva esto a la siguiente
Definición. Una aplicación de F„ en Fm se llama adjunta sobre Fn si
\)(A*)* = Ai
2) (A + B)* = ,4* + **;
3) (AB)* = B*A + :
para cualesquiera A, Be Fn.

I 8 TRAZA Y TRANSPUESTA
317
Nótese en que no insistimos en que (XA)* = XA* para ¿cF. En realidad,
en algunas de las adjuntas más interesantes este no es el caso- Pasamos a
discutir una tal. Sea F el campo de los números complejos; para A =
(2iy)EFn, sea i4* = yi}) donde yi} = 3fj7# el conjugado complejo de a;i. En
este caso * suele llamarse adjunta hermitiana sobre F„. Dentro de unas pocas
secciones haremos un estudio bastante extensivo de las matrices bajo la
adjunta hermítiana.
Todo lo que hemos dicho acerca de la transpuesta como, por ejemplo,
los conceptos de simetría y ant¡simetría, puede ser aplicado a las adjuntas
generales, y hablamos de elementos simétricos bajo * (es decir, de aquellos
A tales que A* = A), de elementos antisimétricos bajo *, etc. En los ejercicios
del final de esta sección, hay muchos ejemplos y problemas que se refieren a
adjuntas en general.
Pero ahora, como diversión, juguemos un poco con la adjunta hermítiana.
No llamamos a nada de lo que obtenemos un teorema, no porque no se
merezcan tal título, sino más bien porque los volveremos a hacer más tarde
(y los designaremos entonces propiamente) partiendo de un punto de vista
central.
Así pues, supongamos que F es el campo de los números complejos y
que la adjunta * sobre Fn es la adjunta hermítiana. La matriz A se llama
hermítiana s\ A* = A,
Primera observación; si A ^ OeF„ entonces trí>M*)>0. Segunda
observación: Como una consecuencia de la primera observación, si >< ,
AkeF„ y si AiAx*-\-A2A1*+ ... +AkAf = 0, entonces A¡ = A2 = .-• =
Ak = 0. Tercera observación: Si l es una matriz escalar, entonces A* = J.+
el conjugado complejo de L
Supongamos que AeFn es hermítiana y que el número complejo £+/?/,
donde <x y jPson reales e i1 = — I, es una raíz característica de A. Tenemos,
pues, que A — (a+fi¡) no es invertible; pero entonces (A—{oi+fii)){A —
(z—f}i)) = (A — z)1 + fS2 no es invertible. Pero si una matriz es singular
debe eliminar una matriz distinta de cero (teorema 6.bt corolario 2). Debe
haber, por tanto, una matriz C J= 0 tal que C{(A-z)2 + {}2) = 0.
Multiplicamos esto a la derecha por C* y obtenemos:
I) C{A-x)2C*+p2CC* = 0.
Sea D = C(A-x) y £ = fiC. Como A* = Ay* es real, C(A-z)2C* =
DD*\ como /íes real, f$2CC* = ££*, Luego la ecuación (I) toma la forma
DD* + EE* = 0; por las observaciones antes hechas esto implica D = 0 y
£ = 0. Solamente vamos a usar la relación £ = 0. Como 0 = E — fiC y
como C ^ 0, debemos tener fS = 0. ¿Qué es exactamente lo que hemos
probado? En realidad, hemos probado el bello e importante resultado de
q ue si un número complejo X es una raíz característica de una matriz hermítiana*
entonces k debe ser reaL Aprovechando las propiedades del campo de los

316
TRANSFORMACIONES UNE ALES — Cap. 6
números complejos se puede, realmente, reformular esto como sigue:
Las raíces características de una matriz hermitiana son, todas* rea/es.
Continuamos con esta vena un poco más adelante. Para AeF„t sea
B = A A*; B es una matriz hermitiana. Si el número real a es una raíz
característica de 0, ¿puede a ser un numero real arbitrario o debe estar
restringido de algún modo? Afirmamos que a debe ser no negativo. Pues
si a fuera negativo entonces a = —fi2* donde fi es un número real. Pero
entonces B—a = B+fS2 = AA*+fi2 no es invertible. de donde hay un
C ^ 0 tal que C(AA*+f}2) = 0. Multiplicando por C* a la derecha y
razonando como anteriormente, tenemos /? = 0, una contradicción. Hemos
demostrado que cualquier raíz característica real de A A* debe ser no
negativa. En realidad, lo de "real1' en la anterior afirmación es superfluo y
podríamos decir: para cualquier AtF„ todas las raíces características de
A A* son no negativas.
Problemas
1. Pruébese que tr (A + B) = trA+trB y que para AeF, tr(AA) =
XtrA.
2. a) Usando un argumento basado en la traza pruébese que si la
característica de Fes 0 entonces es imposible encontrar A, BeFn
tales que AB—BA = I.
b) En la parte (c), pruébese que en realidad I —{AB—BA) no puede
ser nilpotente.
3. a) Sea/ una función definida sobre F„ con valores en Ftales que:
l)f(A + B)=f(A)+f(B\
2) f(XA) = Xf{A\
3) f(AB) = f(BA\
para todo A9 BeFn y para todo leF* Pruébese que hay un
elemento a0ef tal que/(>() = a0 tr A para todo A en Fn.
b) Si la característica de F es 0 y si la/de la parte {a} satisface la
propiedad adicional de que/(l) = /*, pruébese que f(A) = tr A
para todo AeF„*
Nótese que el problema 3 caracteriza la función "traza"'
*4. a) Si el campo F tiene un número infinito de elementos, pruébese
que todo elemento en Fn puede escribirse como la suma de
matrices regulares.
b) Si F tiene un número infinito de elementos y si/ definido sobre F„
y con sus valores en /\ satisface
l)f(A + B)=f(A)+f(B\
2) f(iA) = lf(A\
3)f(BAB-*)=f(Ah

I 8. TRAZA Y TRANSPUESTA 319
para toda AeF^leFy todo elemento invertiblc BenFnt pruébese
que/(>() = 20 tr A para un <x0eFdeterminado y toda AeF„.
5. Pruébese que el lema de Jacobson para elementos A. B en Fn si n es
menor que la característica de F.
6. a) Si CeF„, definamos la aplicación dc sobre F„ por dc{X) =
XC-CX para toda JTe/; Pruébese que dc{XY) = {dc{Xj)Y+
X{dctY))« (¿No 'c recuerda esto al lector la derivada?)
b) Usando la parte (o), pruébese que si AB—BA conmuta con A,
entonces para cualquier polinomio q{x)eF[x], q{A)B—Bq{A) =
q'{A) {AB— BA)> donde qr{x) es la derivada de ^(jc),
*7- Úsese la parte (6) del problema 6 para dar una prueba del lema de
Jacobson, {Sugerencia: Sea/?(jc) el polinomio mínimo para A y considérese
0 = p(A)B~Bp{A).)
8. a) Si A es una matriz triangular, pruébese que las entradas sobre la
diagonal de A son exactamente todas las raíces características de
A.
b) Si A es triangular y los elementos en su diagonal principal son 0,
pruébese que A es nilpotente,
9. Para cualquier Am BeFn y J.eF pruébese que {A')r = At (A + B)r =
A' + B'yiXA)' =XA\
10. Si A es ínvertible, pruébese que {A "l)' = (Ar)~~l.
11. Si A es antisimétrica, pruébese que los elementos en su diagonal
principal son, todos, cero,
12. Si A y B son matrices simétricas, pruébese que AB es simétrica si y
sólo si AB = BA.
13- Proporciónese un ejemplo de una A tal que A A' ^ A'Am
*14. Demuéstrese que A y A' son semejantes*
15. Los elementos simétricos en Fn forman un espacio vectorial;
encuéntrese su dimensión y exhíbase una de sus bases.
*16- Denotemos por 5 el conjunto de los elementos simétricos de F„\
pruébese que el subanillo de F„ generado por S es, todo, Fn.
*17. Si la característica de Fes 0 y AeFn tiene traza 0(tr A =0) pruébese
que hay una CeF„ tal que CAC~' tiene solamente Oen su diagonal principal.
*18- Si Fes de característica 0 y AgF* tiene traza 0, pruébese que existen
B, CtFn tales que A — BC-CB. {Sugerencia: Primer paso, supóngase,
por el resultado del problema 17, que todos los elementos diagonales de A
son 0.)

320
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
19. a) Sí * es cualquier adjunto sobre Fmt sea 5 = {Ae&zA* = A] y
sea /i = {AeFm\A+ = -A}. Pruébese que S+K = FM.
b) Si AeF„ y A = B+C donde BeS y Ce/í, pruébese que B y C
son únicos y determínense,
20. a) Si A, BsS pruébese que AB+BAsS.
b) Si A, BeK pruébese que AB-BAeK.
c) Si AeSy BeK pruébese que AB—BAeS y que AB+BAeK.
21. Si 4> es un autornorfismo del campo F definimos la aplicación O
sobre Fm por: si A = (atJ) entonces 0(>() = (<f>(&ij))* Pruébese que
<¡>{A + B) = 0>(^)+0>(fi)y queO>(^5)= 0>(^)0>(B) para toda A, BeFn.
22. Si * y (V) definen dos adjuntos sobre FR, pruébese que la aplicación
lM-+O4*)0paratodo,4eFII satisface $(A + B) =W¿)+HB)yH¿B) =
$(A)ilt(B) para cualesquiera A, BeF„.
23. Si * es un adjunto cualquiera sobre F„ y X es una matriz escalar en
Fn9 pruébese que A* debe también ser una matriz escalar.
*24. Supongamos que conocemos el siguiente teorema: si ^ es un
autornorfismo de Fn (es decir, ^ transforma Fn sobre él mismo, de tal modo que
$(A + B) = $(A)+$(B) y $(AB) = $(A)+$(B)) tal que $(X) = X para
toda matriz escalar Xf entonces hay un elemento PsFn tal que ${A) =
PAP~' para todo AeFn. Basándose en este teorema, pruébese que: si * es
un adjunto de F„ tal que X* = X para toda matriz escalar A, entonces existe
una matriz PeFn tal que A* = PA'P'1 para toda AeFn. Además, P~lP'
debe ser un escalar.
25. Si/,efJfestalque/,_,/>' ^ Oes un escalar, pruébese que la aplicación
definida por A* — PA'P~! es un adjunto sobre Fn*
*26. Basándose en el teorema acerca de autornorfismo enunciado en el
problema 24, pruébese lo siguiente: Si * es un adjunto sobre Fn hay un
autornorfismo t¡> de F de periodo 2 y un elemento PeF„ tales que i4* =
P{<¡>{A)YP~l para todo ^efn (para notación, véase el problema 21).
Además, P9 debe satisfacer P~' 0(/')' es un escalar.
Los problemas 24 y 26 indican que una adjunta general sobre F„ no
está tan alejada de la transpuesta como se habría creído a primera vista.
**27. Si $ es un autornorfismo de Fn tal que ^(X) = X para todos los
escalares, pruébese que hay un PeFn tal que ${A) = PAP~l para todo
AeFn.
En el resto de los problemas^ F será el campo de tos números complejos y
* la adjunta hermtttanu sobre Fn.

19. DETERMINANTES
321
28. Si AeF„t pruébese que hay matrices hermitianas únicas B y C tales
que/1 = B+iC(i2 = -1)*
29. Pruébesequetr>M*>Osi>l ^ O.
30. Por cálculo directo de las entradas de las matrices, pruébese que si
AíAt*+ ... +AkAk* = 0, entonces A% = A2 = ... = Ak = 0*
31. Si A está en Ffí y si BAA* = 0, pruébese que BA = 0.
32. Si A eFn es hermitiana y BAk = 0, pruébese que BA = 0.
•33. Si AeF„ es hermitiana y si Xf n son dos raíces características reales
distintas de A y si C(A - Á) = 0 y D(A - y) = 0t pruébese que CD = DC =
0- (Sugerencia: Considérese primero el caso en que C y D son hermitianos y
luego apliqúese el resultado del problema 31).
*34- a) Suponiendo que todas las rafees características de la matriz
hermitiana A están en el campo de los números complejos,
combinando los resultados de los problemas 32 y 33, y el hecho
de que las raices deben, por tanto, ser todas reales, y el resultado
del corolario del teorema 6.n, pruébese que A puede ser puesta en
forma diagonal; es decir, que hay una matriz P tal que PAP~A
es diagonal.
b) En la parte (a) pruébese que P puede escogerse de forma que
PP* = 1.
35- Sea Vn = {^e/^I^M* = 1}- Pruébese que V„ es un grupo bajo la
multiplicación de matrices.
36. Si A conmuta con AA*—A*A, pruébese que AA* = A*A.
9. DETERMINANTES
La traza define una función importante y útil del anillo de las matrices
Fn (y de AF(V)) en F; sus propiedades se relacionan en su mayor parte con
la» propiedades aditivas de las matrices- Introduciremos ahora la función,
aún más importante, conocida como el determinante, que transforma F„
en F„ Sus propiedades están estrechamente ligadas con las propiedades
multiplicativas de las matrices.
Aparte de su efectividad como argumento para probar teoremas, el
determinante es valioso para usos "prácticos". Dada una matriz Tt podemos
construir en términos de determinantes explícitos un polinomio concreto
cuyas raíces son las raices características de T; aún más, la multiplicidad de
una raíz de este polinomio es igual a su multiplicidad como raíz característica
de T, En realidad, el polinomio característico de 7", definido anteriormente,
puede exhibirse como este polinomio determinante explícitamente".

322
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
Los determinantes juegan también un papel fundamental en la solución
de sistemas de ecuaciones lineales. Por esta dirección es por la que
motivaremos su definición.
Hay muchas formas de desarrollar la teoría de determinantes, algunas
muy elegantes y otras muy aburridas* Nosotros hemos escogido un camino
distinto del de cualquiera de estos extremos, pero que para nosotros tiene
la ventaja de que podemos alcanzar los resultados necesarios para nuestra
discusión de las transformaciones lineales con la mayor rapidez posible.
En lo que sigue, F será un campo arbitrario, Fn el anillo de las matrices
n x n sobre Ff y FiK) el espacio vectorial de **adas sobre /l Por una matriz
entenderemos tácitamente un elemento en FH, Como es usual, las letras
griegas indicarán elementos de F (salvo advertencia en contra)*
Consideremos el sistema de ecuaciones
«ll*l+*12*2 = Pl
an*i+cc22*2 = Pi-
Nos preguntamos: ¿bajo qué condiciones sobre las a£J podemos resolver
para xl y x2 con fil y fi2 dadas cualesquiera? O, lo que es equivalente, dada
la matriz
A=l*u «ia\
\a2l a22]
¿cuándo esta matriz transforma f*2' sobre si mismo?
Procediendo como en secundaria, eliminamos x, entre las dos ecuaciones;
el criterio de solubilidad resulta, entonces, ser que <*! i ^22—ai2a2i 9* 0-
Pasamos ahora al sistema de tres ecuaciones lineales
dí\Xl + al2x2 + (xiyXy — px
a21xl^a22x2+a22x2 = p2
y de nuevo nos preguntamos sobre las condiciones de solubilidad para
íi t P2 y £3 arbitrarias- Eliminando xt entre estas dos a la vez, y luego x2 de
las restantes dos ecuaciones, obtenemos como criterio de solubilidad
fltlla2Ia33 + a120(23a31+al3CÉ2l0(32~al20C21a33
— 0£llCÍ23a32—ai3°£22Cf3l ** °-
Usando estos dos como modelo (y con el presentimiento de que ísto va
a funcionar) daremos el gran salto hasta el caso general y definiremos el
determinante de una matriz arbitraria nxn sobre F, Pero fijémonos antes un
poco en la notación.

i 9. DETERMINANTES
323
Sea S„ el grupo simétrico de grado n\ consideramos que los elementos
de S„ están actuando sobre el conjunto {It 2,...»/)}. Para oeS„, o{i)
denotará la imagen de i bajo a. (Cambiamos la notación escribiendo la
permutación como si actuara a la izquierda en lugar de, como previamente, a
la derecha. Lo hacemos para facilitar la escritura de los subíndices.) El símbolo
(—iy para ceSn indica H-l si a es una permutación par, y —I si es una
permutación impar.
Definición, Sí A = (frv), entonces el determinante de A, lo que se
escribe: det At es el elemento de F £ (— I )°a|ff(■ >a2tf(2j *,, «-fffB>
ff*S-
Usaremos a veces la notación
a
11
a
in
'ni
■wn
para el determinante de la matriz
««t
«..\
*n
* /
Nótese que el determinante de una matriz A es la suma (si prescindimos,
por el momento, de los signos) de todos los productos posibles de entradas
de A en los que aparezcan uno y solo uno de cada renglón y columna. En
general es una labor pesada desarrollar el determinante de una matriz —
fijémonos que hay nada menos que n! términos en la expansión—mas para
al menos un tipo de matriz podemos hacer este desarrollo visualmente, a
saber
Lema 6.19. El determinante de una matriz triangular es el producto de
sus entradas en la diagonal principal.
Prueba. Ser triangular implica dos posibilidades, a saber, o todos los
elementos por encima de la diagonal principal son 0. o todos los elementos
por debajo de la diagonal principal son 0. Probaremos aquí el resultado
para A de la forma
0
0
ce
22
"Afli

324
TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
e indicaremos el pequeño cambio en el argumento a emplear para la otra
clase de matrices triangulares.
Como alf = 0 salvo si i — I, en la expansión de det Ak la única con*
tribución no nula viene de aquellos términos donde a(l) = 1. Así pues,
como a es una permutación, a{2) =£ 1; pero si a{2) > 2, a2lJ(2J = 0; luego,
para obtener una contribución no nula a det At <r(2) = 2. Continuando
de esta forma, debemos tener <t(í) = í para todo i, lo que es lo mismo
que decir que en la expansión de det A el único término distinto de cero se
presenta cuando tresel elemento identidad de Sn. De aquí que la suma
de los n! términos se reduce a exactamente uno solo, ffna22 ... a„nt que es lo
que el teorema afirma.
Si A es una triangular inferior comenzamos con el extremo opuesto
probando que para una contribución distinta de cero a{n) = n, luego que
c(n— 1) = n—l,etc.
Algunos casos especiales son de interés:
1) Si
IK
A =
\
es diagonal, det A — AXX2 ... K
2) Si
t
\
A =
\
J
la matriz identidad, entonces det A = \m
3) Si
i\ \
A =
\
J
la matriz escalar, entonces det A = Xn.

19. DETERMINANTES
326
Obsérvese también que si un renglón o columna de una matriz está
compuesta solo de ceros, entonces el determinante es O, pues cada término del
desarrollo del determinante será un producto en el que al menos uno de los
factores es 0, de donde cada término es 0.
Dada la matriz A = (aÍJ) en Fm podemos considerar su primera fila
vx — («u, cti2» ---i aiB) como un vector en F*"', y análogamente para su
segunda fila, i>2, y las restantes. Podemos considerar entonces det A como
una función de los n vectores t>i,...,(V Muchos resultados se pueden
enunciar más sucintamente en estos términos, por lo que a menudo
consideraremos det A — <f(i>L,..., &„); en este caso la notación siempre se
entiende que implica que vv es el primer renglón, v2 el segundo, y asi
sucesivamente, de A.
Una observación más: aunque estamos trabajando sobre un campo,
podríamos sin la menor dificultad suponer que estábamos trabajando sobre
un anillo conmutativo» excepto en las obvias ocasiones en que dividimos
por elementos. Esta observación solamente vendrá a cuento cuando
discutamos determinantes de matrices que tengan entradas polinomiaies, lo
que haremos dentro de poco en esta misma sección.
Lema 6.20. SiAeFHy yeF, entonces d(vl9 ...^.i, yi;,, uJ+lt... v„) —
ydipl9m„9v,^i9 vl9 fll+|i...1t>J.
Nótese que el lema dice que si todos los elementos de un renglón de A
son multiplicados por un elemento fijo y de J\ entonces el determinante
de A queda también multiplicado por y.
Prueba, Como solamente las entradas de la í-ésima fila han cambiado,
el desarrollo dcd(vlv..., i>i-i. yvit i;f+ll...» ^es
Z ("Oaai*(i>""ai-i.rii-ii(yatoci))aÉí+i.*H+ir""a**(iiiI
como esto es igual a y J] (—1)* a1<r(1) ...o((FÍ0... ctM(Pf)í es claro que es
<r«S„
igual a yJO»! v..., vm).
Lema 6.21. d{vx vi-l9vitvi^l vj+d(vi9..., i>f_lf ui9 v§+t9...,
0 = rf(p!,—,üi-i. *>i+"í. Of+i.—,0-
Antes de probar el resultado, veamos qué es lo que dice y lo que no dice.
No dice que det A +det B = det(A +B); esto es falso como puede verse en
el ejemplo
donde det A = det B = 0 mientras que det (A+B) = 1. Dice que si Ay B
son matrices iguales en todas partes salvo en el i-istmo renglón, entonces

326
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap 6
la nueva matriz obtenida de A y B usando todos los renglones de A excepto
el i-ésima. y usando como í-ésimo renglón la suma de los r-esimos renglones
de A y By tiene un determinante igual a det ,4 +det R Si
3 4
\3 4
entonces
úc\A = -2, delB = I, det| | = -I = det>l + deiB.
3 4
Prueba. Si r, = <*, ^ln) r¡ = (a,-, ,..-,críri) r„ = <*„ a^Jy
siif, = ifin /fifT). entonces
tf€Sn
^ ¿- ( —') alff(l|"*3fí-l.*fi-!l3CiffM"l"' a»iHíi)
~*~ 2- t^l) a|irill""" ^¡^l-fllt- 1íPírr(I|"""5fí<ff|#i>
acS,,
Las propiedades que aparecen en los lemas 6.19, 6.20 y 6.21. junto con
las que aparecen en el próximo lema, puede demostrarse que caracterizan
a la función determinante (véase el problema 13 al final de esta sección).
Así pues, la propiedad formal exhibida en el siguiente lema es básica en la
teoría de determinantes.
LEMA 6.22. 5/ dos renglones de A son ¡guales (es decir* si vr =vs para
r =£ s), entonces det A = O.
Prueba. Sea A = (crjy) y supongamos que para ciertos r, s con r =¿ s
**j — ajy para todo/ Consideremos el desarrollo
s*rU> ^nff(if)'
ITCS,
En el desarrollo, apareamos los términos como sigue: Para ceS„ apareamos
el término (-lf*imn --. ct„fft#t, con el término (-l)f_tf altffll>...a„ff(lí|f

19. DETERMINANTES
327
donde t es la transposición (<r(r), <t(j)). Como x es una transposición y
t2 = I, esto nos da, ciertamente, un aparejamiento. Pero como o^r) =
Omm* P°r hipótesis, y
ff3tf(r) ~~ aaicw * tenemos que ge^^ — a»^(a) •
Análogamente, a„ia) = <*,„<,). Por otra parte, para i/ryi^J, como tct(j) =a{i)>
*ieti} = o^ío- Luc£° ,os orminos al€Jfl>... ctM(JI) y alrff(1)...a^(ll) son
iguales. El primero aparece con el signo (— ly y el segundo con el signo
{-1)" en la expansión de det A. Como t es una transposición y por tanto
una permutación impar, (— l),c = — (— l)a. Por tanto» en el aparejamiento,
los términos apareados se cancelan mutuamente en la suma, de donde
det A = 0. (La prueba no depende de la característica de F y es igualmente
válida incluso en el caso de característica 2.)
De acuerdo con los resultados hasta ahora obtenidos, podemos
determinar el efecto sobre un determinante de una matriz dada de una
permutación de sus renglones.
Lema 6.23. El intercambio de dos renglones de A cambia el signo de su
determinante.
Prueba. Como hay dos renglones iguales, según el lema 6.22, d{vl%...,
fi-i* »!+»/" tfí+i»***' vj-i* ^i+<V» fV+i>—»pn) = °* Usando el lema 6.21
varias veces podemos desarrollar esto para obtener d{vÍ9..., i^-i, vít...,
Vj-i9vJt:*9vm) + d(vit».m9vi_i9Vj,...tvJ_itvit...tvn) + dfc^ ,.„,»,„!,
0ív...,0j-lv v v„) + d(v%9.-fi?,-it 0,,...,Bf-i> Vj, -». O = 0.
Pero cada uno de los últimos dos términos tiene en él dos renglones iguales.
de donde, según el lema 6.22, cada uno es 0. La anterior relación se reduce
entonces a d(vlt..., v§-ít i?,, -.., v3-l% ^....O + d(vlt..., vé-lt
vJt...tVj-ítvit...tvM) = 0, que es precisamente lo que el lema añrma.
Corolario. Si la matriz B se obtiene de la A mediante una permutación
de los renglones de A. entonces det A = ±det B, siendo e! signo + I si la
permutación es par; y — 1 si la permutación es impar.
Estamos ahora en posición de unir piezas para probar la propiedad
algebraica básica de la función determinante, a saber, que preserva los
productos. Como un homomorfismo de la estructura multiplicativa de FM en
Fe) determinante adquirirá ciertas características importantes.
Teorema 6.t. Para A9 BeFB9 det (AB) = (det A) (det B).
Prueba, Sea A = (ccfJ) y B = (£y); sean las filas de B los vectores
i/i , w2, - -., w,, _ Introducimos los n vectores w%, ..., wm como sigue:
wx = c£llul+a12w2+ ... +c£lfrwB,
w2 = a21u1+a22w2+... +a2mun u^v = ^llii1+„. +0^14,.

32*
TRANSFORMACIONES LINEALES — C»p. 6
Consideremos d{wXy ^.ywn)\ desarrollando este determinante y haciendo
un uso múltiple de los lemas 6.20 y 6.21, obtenemos
En esta suma múltiple í,, ..., /„ van tomando independientemente todos
los valores desde I hasta n. Pero, si cualesquiera dos /, = is entonces
W|r = u¡9 de donde d{uh,..., wJ#1..., u¡9,..., wIb) = 0 por el lema 6.22. En
otras palabras, los únicos términos en la suma que pueden dar una
contribución distinta de cero son aquellos para los que todo los íM j2, ...,/„ son
distintos, es decir, aquellos para los que la aplicación
/l 2 - n
Vi *2 — «i.
es una permutación de I, 2, ...,/i. Además, cualquier permutación tal es
posible.
Observemos finalmente que según el corolario del lema 6.23, cuando
1 2 ••• n
•-i..
es una permutación, entonces d(uht u¡19..., wín) = (— \y*d(u , u„) =
(—1)° det A Tenemos así
irc5n
= (detB) J](-ir«Mii-"í1-w
ffsSn
= (detB)(deti4).
Deseamos ahora identificar ahora d{wl9 --., «O como det (/IB). Pero
comow?, = aMMi+ ..- +auufl)
tenemos que d(wi,..., w?n) es det C, donde el primer renglón de C es i^i, la
segunda es i¿?2 * etc.
Pero si desarrollamos £t?t en términos de coordenadas obtenemos
WX = 0¡nWi+ ... +<*!„!/„ = «uG^l. £l2 A»)
+ ... +«|it(AilfM Air)
= (all^ll+al2^2l+ •••fflnAl»0£U^12+ ■-■
"*■«!« Ali ••••«!! Allí + — +al*iAii)

f 9. DETERMINANTES
329
que es el primer renglón de AB. Análogamente w2 es el segundo renglón de
AB* y asi sucesivamente, para el resto de los renglones. Luego C = AB.
Como det (AB) = det C = tl{wx, ..., u\) = (det A) (det B), hemos probado
el teorema.
Corolario I, Si A es inverríble entonces átiA ?t 0 y det (A"1) =
ídet^r1
Prueba. Como A A"1 = I, det [AA^i) = det I = L Luego según el
teorema, I = detM^"1) = (det A) {del A~l). Esta relación afirma
entonces que det A & 0 y det A "! = .
^ det A
Corolario 2. Si A es invertible, entonces para toda fl, det {ABA~ ') =
det fi.
Prueba. Usando el teorema en la forma en que se aplicó a (AB)A~ [
tenemos det((>4B)-4"') = det(>4B) detM"1) = del A det B detM"1).
Aplicando el corolario I esto se reduce a det B. Luego detMiM"1) =
detfi.
El corolario 2 nos permite definir el determinante de una transformación
lineal. Pues si TgA[V) y m}(T) es la matriz de Ten alguna base de V9 para
otra base, si rn2(T) es la matriz en esta segunda base, entonces, según el
teorema 6.h, m2(T) = Cm%(T)C~\ de donde det(m2(T)) = da{mt(T))
según el anterior corolario 2. Es decir, la matriz de Ten cualquier base tiene
el mismo determinante. Luego la definición: det T = detmí{T) es en
realidad independiente de la base y provee a A{ V) de una función
determinante.
En uno de los primeros problemas, la finalidad del problema era la de
probar que A\\& matriz transpuesta de la -4, es semejante a A. Si esto fuera
cierto (y lo es), entonces A' y A de acuerdo con el corolario 2 anterior
tendrían el mismo determinante. No es, pues, motivo de asombro que
podamos dar una prueba directa de este hecho.
Lema 6.24. det A = det A\
Prueba. Sea A = (afi) y A' = {fi¡j): desde luego, fiu = qlj§. Ahora bien
det/) = I(-l)aal(MI) -<tMW
mientras que
deM*= I<-l)*/flff(1) -fiM= Il-ir^m-V*-

330
TRANSFORMACIONES LINEALES— Cap. 6
Pero el término (-l)\(m ... ac(fI)fI es igual a (- IFa„_Hll --- ^n-u„y
(pruébese). Pero aya 1 son de la misma paridad, es decir, si a es impar,
entonces también lo es a'l, mientras que si a es par entonces o~ ! es par.
Luego
i-W^ia-Uíi" -***-■!*) = (-')* ^l-f-Mll"^
ff^Mnl
- I
Finalmente, como a recorre 5,,, a recorre también por ello Sn. Luego
det/T = £ í-ir"1*..-.,,,
ín/t-Umi
tt-%cS,
*eS„
= deM.
flcrini
A la luz del lema 6.24, el intercambio de los renglones y las columnas
de una matriz no cambia su determinante. Pero entonces ios temas 6.20,
6.21, 6.22 y 6.23 que son válidos para operaciones con renglones de ia matriz*
se verifican igualmente para las columnas de la matriz.
Hacemos un uso inmediato de la observación para derivar la regla de
Cramer para la resolución de un sistema de ecuaciones lineales.
Dado el sistema de ecuaciones lineales:
*,,*,+ ... +ctl#!xll = £,
llamamos a A = (atJ) la matriz del sistema y a A = det A el determinante
del sistema.
Supongamos que A *£ 0; es decir, que
A =
a
ii
|H
a-i — a,
m
#a
De acuerdo con el lema 6.20 (en su forma modtñcada para columnas en
lugar de para renglones),
xA =
a,, ■■• a,,Xj — ai.
<**i - **ixi '■ a,
m
Pero como una consecuencia de los lemas 6.21 y 6,22, podemos añadir

f 9 DETERMINANTES
331
cualquier múltiplo de una columna a otra sin cambiar el determinante
(véase el problema 5). Añádase a la /-ésima de jrÉ-A, xs veces la primera
columna, x2 veces la segunda x¿ veces la /-éstma (para todo / ¥= i). Asi
pues
A,A =
«n — «i.f-ilaiiJfi+al2jf2 + —+Gt1Jlxlt)3tl.I
+ i -*iít
am '"^í-i (2-1*1 +^1IIx2 + »- + a(llfx(t)cíff4Í+l --%,,
y usando akíxt +„. -\-aknx„ = at. vemos finalmente que
.x.A =
1 1
l/T
*I,¡-1 Pl 31TÍ+ I
a».i-l Pm 5£«.í+ I
-fin
-A,.
A/
De donde, *, = —. Esto es
A
Teorema 6al (Regla de Cramer). 5/ es determinante A *fe/ sistema de
ecuaciones lineales
aMx,+ • -. +2lf!-*» = Ai
Ai
ra diferente de cero., entonces la solución del sistema viene dada por xt = —,
A
donde Aíesel determinante obtenido de A al reemplazar en la i-ésitna columna
PorfUJii A-
Ejemplo. El sistema
x,+2x2 + 3jr, = —5
2x,+x1 + a3 = -7
tiene determinante
] 2 3
A =
2 1 I
= 1 *0,
1 I I

332
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
de donde
x. =
-5 2 3
-7 I I
0 I I
* *2 =
1
2
1
-5 3
-7 1
0 1
- *3 =
1 2
2 I
1 1
-5
-7
0
Podemos relacionar la invertibilidad de una matriz (o transformación
lineal) con el valor de su determinante. El determinante nos provee, por
tamo, de un criterio de invertibilidad.
Teorema 6,v. A es invertidle si y sólo si det A & 0.
Prueba, Si A es invertible, hemos visto en el corolario I del teorema 6,t,
que det A 5*0.
Supongamos ahora que el det A ^ 0 donde A = (ztJ). Según la regla de
Cramer, podemos resolver el sistema
3I|-*I~*~ ■•• "^^In-^n = **l
Ctfl|X, + ... +<X„nX„ = fín
para x xn dando 0 fi„ arbitrarios. Como una transformación
lineal sobre F(*\ A' es pues*suprayectivat en realidad el vector (^,,..., fij
es la imagen bajo A
■*(*■■-*>
Por ser suprayectiva, según el
teorema 6.d, A' es invertible, de donde A es invertible (pruébese).
Podemos ver el teorema 6.v desde un punto de vista alternativo y
probablemente más interesante. Dada AeF„ podemos sumergirla en Kn
donde K es una extensión de F escogida de modo tal que en Kn, A pueda ser
puesta en forma triangular. Hay, por tanto, un ¿testal que
fkx 0
BAB~l =
h
aquí A, ,..., A„ son todas las raices características de At cada una apareciendo
tantas veces como unidades tiene su multiplicidad como raíces características
de A. Así pues, det i4 = dtí{BAB~l) = Aj ^...^ según el lema 6.19.
Pero A es invertible si y sólo si ninguna de sus raíces características es cero;

19. DETERMINANTES
333
pero det A =£ 0 si y sólo si ky k2 ... k„ =£ 0, es decir, si ninguna de las
raíces características de A es 0. Luego A es invertible si y sólo si det A & 0.
Este argumento alternativo tiene algunas ventajas, pues al efectuarlo
probamos realmente un subresultado interesante por sí mismo, a saber
Lema 6,25. det A es el producto* contando las multiplicidades* de tas
raices características de A.
Definición. Dada AeF^, la ecuación secular de A es el polinomio
det [x- A) en F[x\.
Generalmente lo que hemos llamado la ecuación secular de A se suele
llamar polinomio característico de A. Pero hemos definido ya el polinomio
característico de A como el producto de sus divisores elementales. Es un
hecho (léase el problema 8) que el polinomio característico de A es igual a su
ecuación secular, pero como nosotros no necesitamos desarrollar esto
explícitamente en el texto, introducimos el término de ecuación secular.
Calculemos un ejemplo. Si
- - C :)■
entonces
de donde átl(x-A) = (x-l)x-{-2)(-3) = x2-x-b. Asi pues, la
ecuación secular de
es x2—x—6.
Unas cuantas observaciones acerca de la ecuación secular: Si k es una
raíz de det (x—A)% entonces det (/ — A) = 0; de donde, según el teorema 6.v,
h—A no es invertible. Así pues, k es una raíz característica de A.
Recíprocamente, si k es una raíz característica de A^ ¿—A no es invertible, de donde
ÓGl(f- — A) = 0 y, por tanto, k es una raíz de det (x — A)m Así pues, el
polinomio explícito y computable "ecuación secular de Anm nos proporciona
un polinomio cuyas raíces son exactamente las raices características de A.
Necesitamos subir un escalón más y probar que una raíz dada entra como
una raíz de la ecuación secular precisamente tantas veces como su multiplica

334
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
dad como raíz característica de A. En efecto» si A, es la raíz característica de
A con multiplicidad m¡, podemos poner A en forma triangular de modo que
/i
o
BAB~X =
a2
\
h
*k
°\
0
u
**
donde cada A¡ aparece en la diagonal m-t veces. Pero
Bix-A)B'{ = x-BAB'1 =
-1
/ x-A, 0
° \
X —A,
X — A
X-Á-
x — kk
\
,¿l/

I & DETERMINANTES
335
de modo que del ix-A) = det (B(x-A)B'1) = (x-Jl, )mt{x->¿2)m2 ...
(x—Ák)mhy y, por tanto, cada A,-, cuya multiplicidad como raíz característica
de A es mim es una raíz del polinomio det(x—>!) de multiplicidad exactamente
igual a mt. Y hemos probado el
Teorema 6_w. Las raíces características de A son las raices, con ¡a
multiplicidad correcta, de ia ecuación secutar* det(x—A)% de A.
Damos término a esta sección con el significativo e histórico teorema de
Cay ley- Hamilton*
Teorema 6_x, Toda AsFM satisface su ecuación secular.
Prueba. Dada cualquier matriz inven i ble BeK„* donde K es una
extensión cualquiera de F9 AeFy BAB~l satisfacen los mismos polinomios.
Además, como det (x-BAB~l) = det{B(x-A)B'{) = det (x-A)tBAB~l
y A tienen la misma ecuación secular Si podemos demostrar que algún
BAB~l satisface su ecuación secular, se seguirá de ello entonces que A
también la satisface. Pero podemos escoger K=>F y BgK„ de modo que
BAB~ t sea triangular: en tal caso ya vimos bastante antes (teorema 6.k)
que una matriz triangular satisface su ecuación secular. Luego el teorema
queda probado.
Problemas
1. Sí Fes el campo de los números complejos, evalúense los siguientes
determinantes:
5 6 8-]
a)
1 i
2-í 3
- b)
1 2 3
4 5 6
7 8 9
. c)
4 3 0 0
10 12 16 -2
12 3 4
2. ¿Para qué características de Fson 0 los siguientes determinantes?
a)
12 3 0
3 2 10
lili
2 4 5 6
? b)
3 4 5
4 5 3
5 3 4
3. Si A es una matriz con entradas enteras tales que A ' es también
una matriz con entradas enteras, ¿cuáles pueden ser los valores de det A1

336
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
4, Pruébese que si se suma el múltiplo de un renglón a otro no £e
cambia el valor del determinante.
*5. Dada la matriz A - (ofj), sea Atj la matriz obtenida de la A quitando
el /-ésimo renglón y la J-ésima columna. Sea Mh = ( — \)t + i det Atj.
A Mu se le suele llamar cofactor de au. Pruébese que det A = ait Mn+ --,
' w " * irt
6. a) Si A y B son submatrices cuadradas, pruébese que
detf | = (det/I) (det B).
0 B
h) Generalícese la parte ia) a
A,
det
/
\o
donde cada A¡ es una submatriz cuadrada.
7. Si C(f) es la matriz compañera del polinomio/(jt), pruébese que la
ecuación secular de C{J) es /íx).
8. Usando los problemas 6 y 7 pruébese que la ecuación secular de A
es su polinomio característico. (Véase la sección I; esto prueba la
observación que antes hicimos de que las raices áepT(x) aparecen con
multiplicidades iguales a sus multiplicidades como raices características de T.)
9. Usando el problema 8, proporciónese una prueba alternativa del
teorema de Cayley-Hamillon,
10. Si Fes el campo de los números racionales, calcúlense la ecuación
secular y las raíces características con sus multiplicidades de
a)
c)
11- Para cada una de las matrices de problema 10, verifiqúese, por
cálculo matricial directo, que satisface su ecuación secular.

f 9. DETERMINANTES 337
*12. Si el rango de A es r, pruébese que hay una submatnz cuadrada
rxrde A de determinante distinto de 0, y si /-</?, que no hay ninguna
submatriz (r+1) x (r+ I) de A con esta propiedad.
*13. Sea/una función de n variables de FM a Ftal que:
a) /(r | r„) = 0 para v¡ = Vj e FM con i =£ j.
b) /(r, arj,-.,rB) = a/(r rj para toda í y sreF.
c) f(Vt,^•Vi>j+Ui,pf+U....^v) =/Ui !?!_,, r¡- r,+ r„)+
/(^i F|.,vufvp|+I rj.
flyíí tí= I, donde e, »(lia....0).e2 = (0,1,0,....0),...,
*„ = (0,0 0.1).
Pruébese que ,/ír, r„) = det A para cualquier ^eFn, donde vi es la
primera fila de A* v2 la segunda, etc.
14. Úsese el problema 13 para probar que det A' = det A.
15. a) Pruébese que AB y BA tienen la misma ecuación secular
(característica).
b) Proporciónese un ejemplo en donde AB y BA no tengan el mismo
polinomio mínimo.
16. Si A es triangular pruébese, por un cálculo directo, que A satisface
su ecuación secular.
17. Üsese la regla de Cramer para calcular las soluciones en el campo
real de los sistemas:
a) x+y + z =± I b) x+y+z + w = I
2x+$y+4z = I x+2y+3r+4w = 0
x—y—z = 0 jc+>»+4z+5k> = I
x+y+5z+6w = 0.
18* a) Sea GL{ny F) el conjunto de todos elementos de Fñ cuyo
determinante es diferente de 0, Pruébese que GL{n+ F) es un grupo
bajo la multiplicación de matrices.
b) Sea £>(*, F) = \AeGL(n, F)\det A = 1}. Pruébese que Din, F)
es un subgrupo normal de GL(rtm F),
c) Pruébese que GL(/i, F)¡D(nt F)es isomorfo al grupo de elementos
distintos de cero de F bajo la multiplicación.
19. Si K es un campo extensión de F, sea E[n* K. F) = *A€GL(n, AT>j
áelAeF}.
a) Pruébese que £(n, K, F) es un subgrupo normal de GLin, K).
*A) Determínese GL(n, K)jE(nt K9 F).

33a
TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
*20. Si Fes el campo de los números racionales, pruébese que cuando N
es un subgrupo normal de £>(2, F) entonces o N = £>(2, F) o N consiste
solamente en matrices escalares.
10. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS
Y NORMALES
En nuestras consideraciones previas acerca de las transformaciones
lineales, la naturaleza específica del campo F ha jugado un papel
relativamente insignificante. Cuando se hizo sentir fue usualmente respecto a la
presencia o ausencia de raíces características. Ahora, por primera vez,
restringiremos el campo F—generalmente será el campo de los números
complejos, pero a veces será el de los números reales— y haremos un gran
uso de las propiedades de los números complejos y reales. A menos que
explícitamente se diga lo contrarío* en toda esta sección F representará al
campo de los números complejos.
Haremos también un uso extensivo y constante de las nociones y
resultados de la sección 4, capitulo 4, sobre espacios con producto interior.
Aconsejamos al lector que revise y asimile por completo tal material antes de
seguir más adelante.
Una observación más acerca de los números complejos: hasta ahora
hemos evitado usar resultados que no hubieran sido probados en el libro.
Ahora, sin embargo, nos vemos forzados a desviarnos de esta norma y a
emplear un hecho básico referente al campo de los números complejos, el
llamado "teoretna fundamental del álgebra"* sin que aquí lo demostremos.
Nos desagrada sacar tal resultado como quien dice del aire, enunciarlo
como un hecho y pasar sin más a hacer uso de éL Desgraciadamente, es
esencia] para lo que sigue y hacer aqui una digresión para probarlo nos
llevaría demasiado lejos. Esperamos que la mayoría de los lectores habrán
estudiado ya su demostración en un curso sobre variables complejas.
Hecho I _ Un polinomio con coeficientes que son números complejos tiene
todas sus raices en el campo complejo.
El hecho I puede reformularse diciendo que los únicos polinomios
irreducibles no constantes sobre el campo de los números complejos son los
de grado L
Hecho 2_ Los únicos polinomios irreducibles no constantes sobre el
campo de ¡os números reales son los de grado I o grado 2,
La fórmula para las raíces de una ecuación cuadrática nos permite
probar fácilmente la equivalencia de los hechos I y 2.

110. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NORMALES
339
La implicación inmediata, para nosotros, del hecho 1, será que toda
transformación lineal de las que aquí consideraremos tendrá sus raices
características en el campo de los números complejos.
En lo que sigue, V será un espacio vectorial de dimensión finita con
producto interior sobre Ft el campo de los números complejos; el producto
interior de dos elementos de V se escribirá, como antes se hizo, como (v, w)t
Lema 6.26, Si TeA(V) es tal que {vT9 v) = 0 para todo ve V9 entonces
T=0.
Prueba. Como{vTtv) = 0 para ve Vt dados w, weV9({u+w)T,u+w) —
0, Desarrollando esto y haciendo uso de que (rTm u) = (wT9 w) = 0,
obtenemos
1) {uTy w)+(wT9 u) = 0 para cualesquiera u> we V.
Como la ecuación (I) se verifica para w arbitrario en Vy debe aun
verificarse si reemplazamos en ella w por iwt donde i2 = — 1; pero (uT9 iw) =
—i(uTt w), mientras que ({iw)Tm u) = i(wT, w). Sustituyendo estos valores
en (I) y cancelando / tenemos
2) -(uT9w)+{wT,u) - &
Sumando (1) y (2) tenemos (wT, u) = 0 para cualesquiera u y w de V,
de donde, en particular, (wT, wT) = 0. Por las propiedades definitonas de
un producto interior esto implica que wT = 0 para todo weV9 de donde
T = 0. {Nota: si Ves un espacio con producto interior sobre el campo real,
el lema puede ser falso. Por ejemplo, sea V = {(a, fi)\at fi reales, donde el
producto interior es el producto punto. Sea ría transformación lineal que
manda (ce, fi) en (—fi9a). Una simple comprobación nos dice que {vT9 v) = 0
para cualquier ve V, sin embargo, T ^ 0.)
Definición. La transformación lineal TeA(V) se dice que es unitaria si
(uT, vT) = (ü, v) para cualesquiera ut veV.
Una transformación unitaria es una que preserva toda la estructura de V%
su suma, su multiplicación por escalares y su producto interior. Nótese que
una transformación unitaria preserva la longitud, puesto que
NI = Jlfrti = JivT9 vT) = \\vT\l
¿Es lo recíproco cierto? La contestación nos la da el
Lema 6,27- Si (vT9 vT) = (vt v) para toda ve V9 entonces T es unitaria.
Prueba. La prueba tiene el mismo estilo que la del lema 6.26. Sean
utveV; por hipótesis ({u+v)T9(u+v)T) = (w+ü, w+u). Desarrollando y

340
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cop 6
simplificando, tenemos
1) (uTm vT)+(vT. uT) = (u, r)+(r, w),
para cualesquiera uy veV. Reemplazando en(l) rpro/rycalculandoesio nos
da
2) -luTmvT)+[f:T*uTi = -íw.rl+|i\ wl.
Sumando (I) y (2) obtenemos (uTm tT) — (u, v) para cualesquiera
u> veV* de donde Tes unitario.
Caracterizamos la propiedad de ser unitario en términos de la acción
sobre una base de K
Teorema 6, y. La transformación lineal T sobre V es unitaria si y sólo si
lleva una base ortonormal de V en una base ortonormal de V.
Prueba. Supongamos que {r, rfl} es una base ortonormal de V\
por tanto, (r,, ij) — 0 si i'^ jr mientras que (rfl r¡) = K Queremos
demostrar que si T es unitario, entonces {r, T,.,,, v„T] es también una base
ortonormal de K Pero (r, T* v¡ T) = {v¡, iyj = 0 para i & j y (v¡ T9 v¡T) =
(i*í, i;) = I, de donde ciertamente {r, Tf..., i^7"} es una base ortonormal
de K
Por otra parte, si TeA{V) es tal que tanto {vlt,.,, v„) como {i>, Tf ..„
t„ 7} son bases ortonormales de V, para u, ir e K tenemos entonces
h ir
t=i í=i
ir
de donde por la ortonormalidad de las rr, (w, u)=Y, aíA* Pero ^^" =
ir n
£2,1*, 7" y WT = X PiviT* de donde por la ortonormalidad de las
h
r,7\ {uT9 wT) = £ a^í = (í/, W). lo que prueba que 7"es unitaria
í=i
El teorema 6-y nos dice que un cambio de base de una base ortonormal a
otra base también ortonormal es precisamente lo que produce una
transformación lineal unitaria.
Lema 6-28- Si TeA{ V), entonces dada cualquier ve V9 existe un e/emento
ice V> que depende de v y de T. tal que {uTm v) = (u9 w) para toda ue K Este
elemento queda únicamente determinado por v y 7",
Prueba. Para probar el lema es suficiente exhibir un we V que trabaje
para todos los elementos de una base de K Sea {u,,...,^} una base

I 10- TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NORMALES
341
«i
ortonormal de V\ definimos = £ (u¡Tm !*)«■• Un fácil cálculo muestra que
(uiyw) = (uiT,v)t de donde e) elemento i¿- tiene la propiedad deseada.
Quedes único puede verse como sigue: Supongamos que (uTt v) = {utwt) =
(í/ti¿'2); entonces (u%w}— w2) = 0 para toda ueV, lo que obliga al poner
u = «*, —iv2 a que tcx = u2.
El lema 6.28 nos permite dar la siguiente
Definición, Si TeA(V). entonces el adjunto hermititmo de Tt al que
representaremos por 7"*, se define por (uT, r) = (w, vT*) para cualesquiera
i/t re K
Dado re ^acabamos de obtener una expresión explícita para vT* (como
w) y prodriamos usar esta expresión para probar las distintas propiedades que
deseamos tenga T*. Pero preferimos hacerlo de modo que no tengamos
que depender de una base determinada.
Lema 6,29, Si TeA{V\ entonces T*tiA(V).
Además;
i) <r*>* = t9
2) (s+n* = s*+7-*,
3) (AS)* - JS*,
4) (ST)* = 7"*S*,
para S, TsA(V) cualesquiera y todo L
Prueba* Debemos primero probar que T* es una transformación linea)
sobre V. Si a, i\ u están en V% entonces (u, (v+w)T*) = (uT, v+w) =
{uT9 v)+{uT% w) = (ia iT*)+(u* iíT*) = (i/, r7'*+ui7'*), en consecuencia
delocual(r+w?)7'* = r7"* + uT*. Análogamente, para Ae/\ (w, (JU>)7"*) =
(i/7", Ar) = Jl(uT, v) = /(i/, r7"*) = (w, A(rT*)), de donde (Ai>) 7* = A(rY*).
Con lo que hemos probado que T* es una transformación lineal sobre K
Para ver que (7"*)* = 7", notemos que (i/,r(r*)*)^(i/r*,i>) = (17,1/7"*) =
(iT, w) = (w, iT) para todo i/- re K de donde r(T*)* = i>7" lo que implica
que (7"*)* = 71 Dejamos las pruebas de (S+ 7")* = S*+ T* y de (XT)* =
IT* para el lector. Finalmente, (u, c(ST)*)"= (uST, v) = (wS, vT*) =
(utcT*S*) para w, re K cualesquiera; esto implica v{ST)* = vT*S* para
cualquier re^ lo que nos dice que {ST)* = T* 5*.
Como consecuencia del lema tenemos que la adjunta hermitiana define
una adjunta, en el sentido de la sección 8, sobre A{V).
La adjunta hermitiana nos permite dar una descripción alternativa para
las transformaciones unitarias en términos de la relación de Ty 7"*,
Lema 6.30. TeA(V) es unitaria si y sólo si 7T* = I,

342
TRANSFORMACIONES LINEALES —Cap. 6
Prueba. Si T es unitaria, entonces para todo i/, ve F, (w, vTT*) =
(uT, vT) = (u, ü), de donde 7T* = 1, Por otra parte, si 7T* = 1, entonces
(w, v) = (u, t>7T*) *= (i/7; i?7*), lo que implica que T es unitaria.
Teorema 6.z. Si {i>t f,, r, u,,} er una base ortonormal de V y si la matriz
de TeA(V) en esta base es (aj¿), entonces la matriz de T* en esta base es
{fiÍJ)fdondefiíj = aJi.
Prueba. Como las matrices de 7* y T* en esta base son, respectivamente,
(«i/) y (A/)* entonces u,7" = Y**uvi y í?j7"* = Z 0uvi* Ahora bien,
i
Aj " (ViT*9 v¡) = (i?ft ü/T) = (vi9 Z O/tife) = 5yi por la ortonormalidad
de las t?,. Lo que prueba el teorema.
Este teorema nos interesa muy en particular a la luz de lo que hicimos
anteriormente en la sección 8- Pues la adjunta hermitiana abstracta definida
sobre el espacio con producto interior Vy cuando es trasladado a matrices
en una base ortonormal de V, no se hace otra cosa que la adjunta hermitiana
concreta explícita que definimos para las matrices.
Usando la representación matricial en una base ortonormal, afirmamos
que TeA(V) es unitaria si y sólo si siempre que (ay) es la matriz de 7*en
en esta base ortonormal, entonces £ afiaJk = 0 para j & ky mientras que
H
Y, l&tjl2 = 1- En términos de productos punto sobre espacios vectoriales
complejos, esto nos dice que los renglones de la matriz de T forman un
conjunto ortonormal de vectores en F00 bajo el producto punto.
Definición, TeA{V) se llama autoadjunta o hermitiana si T* = T.
Si T* = — 7*, entonces llamamos a T antihermitiana. Dada cualquier
SeA(V),
5+5* 5—5*
y como —-— y ——— son hermitianas, S = A+iB9 donde tanto A como B
son hermitianas.
En la sección 8, usando el cálculo de matrices, probamos que cualquier
raíz característica compleja de una matriz hermitiana es real; a la luz del
hecho 1, esto puede cambiarse para que diga: Toda raíz característica de
una matriz hermitiana es real. Volvemos ahora a probar esto desde el punto
de vista, más uniforme, de un espacio con producto interior.

110. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS, UNITARIAS Y NORMALES
343
Teorema 6,z¡, Si TeA{V) es hermitiana^ entonces todas sus raíces
características son reales.
Prueba. Sea X una raíz característica de T\ hay pues una v & 0 en V
tal que vT = Xi\ Calculamos: Á(i\ r) = (JLr, r) = {vT9 v) = {v, vT*) =
<i\ vT) = {i\ Xv) = ¿ír. r); como <i?.i?) ^ 0. como tenemos X = Xt 1 es real.
Deseamos describir formas canónicas para transformaciones lineales
unitarias, hermitianas e incluso de tipos más generales que serán también
más sencillas que las formas de Jordán, Es por esto por lo que aparecen los
siguientes lemas que, aunque de interés independiente, son en su mayor
parte de naturaleza más bien técnica.
Lema&3I. Si SeA{V) y si vSS* = 0, entonces tS = 0.
Prueba. Consideremos (vSS*,v); como rSS* = 0, 0 = (vSS*tv) =
{vS9 v{Sm)m) = (vS, vS) según el lema 6,29, En un espacio con producto
interior esto implica que vS = 0.
Corolario. Si T es fiermitiana y vTk = Opara k ^ I, entonces vT = 0,
Prueba, Mostramos que si vT2rn = 0, entonces vT = 0; pues si 5 =
7*""\ entonces S* = S y SS* = T2rnt de donde (rSS*, r) = 0 implica que
0 = vS = vT2rn~\ Continuando hacia abajo en esta forma, obtenemos
vT = 0. Si vTk = 0, entonces tT2m = 0 para 2m >*, de donde vT = 0.
9
Introducimos una clase de transformaciones lineales que contiene como
casos especiales las transformaciones unitarias, hermitianas y antihermi-
tianas.
Definición, TgA(V) se dice que es normal si 7T* = T*T.
En lugar de probar los teoremas que siguen para transformaciones
unitarias y para transformaciones hermitianas separadamente, lo que
haremos será probarlos para transformaciones normales y derivar, como
corolarios, los resultados deseados para las unitarias y hermitianas.
Lema 6.32, Si N es una transformación lineal normal y si vN = 0 para
ve Vy entonces iW* = 0.
Prueba. Consideremos {vN\ rJV*); por definición, (tW*, vN*) =
(iW*yv, v) = (ttfWV*. i>), ya que NN* = N*N. Pero vN = 0, de donde
ciertamente i>AW* = 0. De esta forma obtenemos que (r/V*, vN*) = 0, de
donde forzosamente ha de tenerse r¿V* = 0,

34* TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
Corolario I. Si}. es una raíz característica de la transformación normal
A/.r si rf*f = Áv, entonces rA/* = Xv.
Prueba. Como N es normal. A/A/* = A/*A/, de donde tenemos (A/— X)
(A-;.)* = {A-^)(A*-;j = N#*-AN*-Xrj+AX = n*n-w*-Xn+
).l = iN*-l\{N-X) = {N-A)*{H-A), es decir. N-l es normal. Como
c(A/—/.) = 0. por la normalidad de A/—). se tiene del lema: v{N -k\* = 0,
de donde rN* = Xi\
El corolario enuncia el interesante hecho de que si /. es una raiz
característica de la transformación normal N, no solamente es X una raiz
característica de A7*, sino que cualquier vector característico de N
perteneciente a /. es un vector característico de A* perteneciente a X y viceversa.
Corolario 2. Si T es unitaria y si /, es una raiz característica de 7",
entonces |¿| = I.
Prueba. Como T es unitaria, es normal. Sea A una raíz característica de
T y supongamos que vT = Aiconr^Oen V. Por el corolario l,iT* =Xv,
luego r = vTT* = XvT* = AXv, ya que 7T* = \. Luego tenemos XX = I,
lo que nos dice Ul = I.
Hacemos una pausa para ver adonde vamos. Nuestro objetivo inmediato
es probar que una transformación normal A/ puede llevarse a la forma
diagonal por una unitaria. Si A,,.... Ák son raices características distintas
de y. usando el teorema 6.n podemos descomponer Kcomo y — y,® ...
@ Vk. donde para c¡e y¡,c¡{N— A,)"1 = 0. De acuerdo con esto, necesitamos
estudiar dos cosas, a saber: la relación entre vectores que se encuentran en
distintos y¡, y la naturaleza característica de cada V¡. Cuando estas dos
cosas hayan sido estudiadas, seremos capaces de reunirías para probar el
teorema deseado-
Lema 6.33 Si A7 es normal y rA/* = 0, entonces vN = 0.
Prueba. Sea S = NN*; S es hermiliana, y según la normalidad de N.
rS* = v{HN*)k = vNk(N*)k = 0. De acuerdo con el corolario al lema 6.31,
deducimos que vS = 0, es decir, vNN* = 0. Aplicando el lema 6.31 se tiene
que i-N = 0.
Corolario. Si N es normal y si para keF, v(N—k)k = 0, entonces
vN = Xv.
Prueba. De la normalidad de N se sigue que N— X es normal, de donde,
al aplicar el lema que acabamos de probar a N—A obtenemos el corolario.

f 10. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS. UNITARIAS Y NORMALES 345
Siguiendo con la discusión que precedía al último lema, este corolario
demuestra que todo vector en Vt es un vector característico de N
perteneciente a la raíz característica X¡. Hemos determinado la naturaleza de V¡;
ahora procederemos a investigar la interrelación entre dos distintas V¡.
Lema 6.34. Sea N una transformación norma/ y supongamos que X y ¡i
son dos raices características distintas de N. Si r. te son de V y tales que
vN = m\ u\W = ftu\ entonces (r. w) = 0.
Prueba. Calculamos (r.V, u>) de dos Formas diferentes. Como una
consecuencia de que rN = Xv. ivN. w) = (Xv, u?) = X{v, w). Como wN =
/i«\ usando el lema 6.32 obtenemos que wtV* = pw, de donde (rA/, «•) =
(r. tcN*) = (r. ptr) = /i(r, u>). La comparación de los dos cálculos, nos da
/(r. w) = /j(r, i/1), y como X # /i, de ello resulta que (r, w) = 0.
Todo el trabajo preliminar ya ha sido hecho para que podamos probar
este básico y bello teorema:
Teorema 6.z2. Si A/ es una transformación lineal normal sobre V,
entonces existe una base ortonormal, consistente en vectores característicos
de A/, en la cual la matriz de A/ es diagonal. Equivalentemente, si A/ es una
matriz normal, existe una matriz unitaria U falque UNU~l (= UNU*)es
diagonal.
Prueba. Completamos el esquema informal que hemos hecho de la
prueba antes de la demostración del lema 6.33
Sea A/ normal y sea ¿,,.... Xk las distintas raíces características de N.
Por el corolario al teorema 6.n, podemos descomponer V en la forma
V = ^i© --- ®Vk donde toda v,eV¡ es aniquilada por {N~X¡T. Por el
corolario al lema 6.33, V¡ consiste solamente en vectores característicos de N
pertenecientes a la raíz característica X¡. El producto interior de V induce un
producto interior sobre V¡; por el teorema 4.h. podemos encontrar una base
de V¡ ortonormal respecto a su producto interior.
Por el lema 6.34, los elementos pertenecientes a distintos V¡ son
ortogonales. Luego la unión de las bases ortonormales de las V¡ nos proporciona
una base ortonormal de V. Esta base consiste en los vectores característicos
de N, de donde en esta base la matriz de N es diagonal.
No probamos el equivalente matricial dejándolo como un problema;
solamente señalamos que dos hechos son necesarios:
1) Una transformación unitaria (teorema 6.y) cambia una base orto-
normal por una base también ortonormal.
2) En un cambio de base, la matriz de una transformación lineal se
cambia por conjugación por Ja matriz del cambio de base (teorema 6.h).

346 TRANSFORMACIONES LINEALES — Csp. 6
Los dos corolarios que siguen son casos muy particulares del teorema 6.z2.
pero como cada uno de ellos es tan importante por sí mismo, los enunciamos
como corolarios para subrayarlos.
Corolario 1. Si T es una transformación unitaria, entonces hay una base
ortonormal en la que la matriz de T es diagonal; equivalentemente, si T es una
matriz unitaria, entonces hay una matriz unitaria U tal que UTU~' (= UTU*)
es diagonal.
Corolario 2. Si T es una transformación lineal hermitiana, entonces
existe una base ortonormal en la que la matriz de T es diagonal;
equivalentemente, si T es una matriz hermitiana, entonces existe una matriz unitaria
U tal que UTU~' (= UTU*) es diagonal.
El teorema probado es el resultado básico para las transformaciones
normales, pues las caracteriza en forma neta como precisamente aquellas
transformaciones que pueden llevarse a la forma diagonal por unitarias.
También muestra que la distinción entre transformaciones normales,
hermitianas y unitarias es solamente una distinción causada por la naturaleza
de sus raíces características. Precisamos esto en el
Lema 6.35. La transformación normal A* es:
1) Hermitiana si y solo si sus raices características son reales;
2) Unitaria si y solo si sus raices características son todas de valor
absoluto I.
Prueba. Argumentamos usando matrices. Si N es hermitiana, entonces
es normal y todas sus raíces características son reales. Si N es normal y
tiene solamente raíces características reales, entonces para alguna matriz
unitaria U, UNU'1 = UNU* = D donde D es una matriz diagonal con
elementos reales en la diagonal. Así pues. D* = D; como D* = (UNU*)* =
UN*U\ la relación D* = D, implica UN*U* = UNU*, y como U es
invertible obtenemos N* = N. Luego N es hermitiana.
Dejamos al lector la prueba de la parte referente a las transformaciones
unitarias.
Si A es una transformación lineal cualquiera sobre V, entonces tr {A A*)
puede calcularse usando la representación matricial de A en cualquier base
de V. Escogemos una base ortonormal de V\ en esta base si la matriz de A
es (a,j) entonces la de A* es (JjtJ) donde fiu = o,,. Un cálculo simple nos
muestra entonces que tr(^*) = £ |a,7|2 y esto es cero si y sólo si todo
a,j = 0, es decir, si y sólo si A =0. En una palabra, tr (AA*) = 0 si y sólo

I 10. TRANSFORMACIONES HERM1TIANAS, UNITARIAS Y NORMALES 347
si A = 0. Este es un criterio útil para mostrar que una transformación
lineal dada es 0. Ilustramos esto en el siguiente
Lema 6.36. Si N es normal y AN = NA, entonces AN* = N*A.
Prueba. Queremos demostrar que A1 = AN* — N*A esO; loque haremos
es probar que tr XX* = 0, y deducir de esto que X = 0.
Como N conmuta con A y con N*, debe conmutar con AN*—N*A, así
pues XX* = (AN*-N*A) (NA*-A*N) = (AN*-N*A)NAm-{AN*~
N*A)A*N = N{(AN*-N*A)A*} - {(AN*-N*A)A*\N. Como XX* es áe
la forma NB- BN, la traza de XX* es 0. Luego X = 0, y AN* = N*A.
Acabamos de ver que N* conmuta con todas las transformaciones lineales
que conmutan con /V, cuando N es normal: esto es suficiente para que
forzosamente N* sea una expresión polinomial en N. Pero esto puede
demostrarse directamente como una consecuencia del teorema 6.z3 (véase el
problema 14).
La transformación lineal T es hermitiana si y sólo si (vT, v) es real para
todo ve y (véase el problema 19). De especial interés son aquellas
transformaciones lineales hermitianas para las que (iT,i) >0 para todo re V.
Las llamamos transformaciones lineales no negativas y denotamos el hecho
de que una transformación lineal sea no negativa escribiendo 7">0. Si
7"?0 y además (rT, r)>0 para r # 0 entonces llamamos a T positiva
(o positivamente definida) y escribimos 7">0. Queremos distinguir a estas
transformaciones lineales por sus raices características.
Lema 6.37. La transformación lineal hermitiana Tes no negativa (positiva)
si y sólo si todas sus raices caracteristi -as son no negativas (positivas).
Prueba. Supongamos que 7~^0; si k es una raíz característica de T,
entonces vT = Xv para algún r / 0. Luego 0 ^(vT, v) = (Xv, v) = A(v, v);
como (rt v) > 0, se deduce que X 5¡ 0.
Reciprocamente, si 7" es hermitiana con raíces características no negativas,
entonces podemos encontrar una base ortonormal {r, r„} consistente
en vectores característicos de T. Para cada i\, v¡T = X,v¡, donde X¡ 3¡ 0.
Dado re V, v = Y.ail'i de donde vT = £«¡1^ T = Y/-taivi- ^ero entonces
(i'7".») = (X^iffirí» Z3'1"^ ~ Z^ta¡ai Por 'a ononormalidad de las r¡.
Como X¡ ^ 0 y a¡a, > 0, se tiene ivT, v) > 0, de donde T > 0.
Los resultados correspondientes para el caso "positivo" se dejan como
ejercicio.
Lema 6.38. T^0 si y sólo si T = A A* para alguna A.
Prueba. Demostramos primero que AA* 0. Dado re V% (vAA*, v) =
(vA, vA) = 0, de donde A A* 2 0.

S TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
Por oirá parte, si T > 0 podemos encontrar una matriz unitaria V tal que
UTU' = I
donde cada í.¡ es una raíz característica de 7". luego toda ¡.¡ > 0. Sea
como cada a¡ > 0. cada ,/Z, es real, luego S hermitiana. Por tanto U*SU es
hermitiana; pero
(U*SU)2 = UmS2U = U*
Hemos representado a 7"en la forma AAm, donde A = U*SU.
Nótese que realmente hemos probado un poco más; a saber, si al
construir 5 hubiéramos escogido la rafz no negativa yf\~i para cada lit
entonces S, y U*SU, habría sido no negativa. Luego T > 0 es el cuadrado de
una transformación lineal no negativa; es decir, toda T^O tiene una raíz
cuadrada no negativa. Esta raíz cuadrada no negativa puede demostrarse
que es única (véase el problema 24).
Cerramos esta sección con una discusión sobre las matrices unitarias y
hermitianas sobre el campo real. En este caso, las matrices unitarias se
llaman ortogonales, y satisfacen QQ' = I. Las hermitianas son en este caso
exactamente simétricas.
Afirmamos que una matriz real simétrica puede llevarse a la forma
diagonal por una matriz ortogonal. Sea A una matriz real simétrica. Podemos
considerar a A actuando sobre un espacio real V con producto interior.
Considerada como una matriz compleja, A es hermitiana y por tanto todas
sus raíces caiacterísticas son reales. Si estas son ¿,,...,/* entonces V
puede descomponerse en V — Vt@ ... @yk, donde v^A—k-f* = 0 para
i.-e^,-. Como en la prueba del teorema 6.33 esto trae como consecuencia
obligada t,A = ?.¡v¡. Usando exactamente la misma prueba que la que
usamos en el lema 6.34, mostramos que para r.-e^, VjSV} con i £ j.

i 10. TRANSFORMACIONES HERM1TIANAS, UNITARIAS V NORMALES 349
(i-,, i-j) = 0. Podemos, pues, encontrar una base ortonormal de V todos
cuyos elementos sean vectores característicos de A. El cambio de bases.
de la base ortonormal {(1.0 0). (0. 1.0 0) (0..... 0. I)J a esta
nueva base se efectúa mediante una matriz unitaria real, es decii. por una
ortogonal. Así pues, A puede llevarse a forma diagonal por una matriz
ortogonal, probando nuestra afirmación.
Determinar formas canónicas para las matrices ortogonales reales sobre
el campo real es un poco más complicado, tanto en su respuesta como en su
ejecución. Pasamos ahora a estudiar este problema; pero antes vamos a
hacer una observación general acerca de todas las transformaciones
unitarias.
Si W es un subespacio de V invariante bajo la transformación unitaria T.
¿es cierto que W, el complemento ortogonal de W, es también invariante
bajo TI Sea iceW y xeW; tenemos entonces: {umT. xT) = (m\ x) = 0;
como Wes invariante bajo Ty Tes regular, WT = W% de donde xT, para
xeW\ es ortogonal para todo W. Luego es cierto que {W')T<z W.
Recuérdese que V = WQW.
Sea Q una matriz ortogonal real; entonces T= Q+Q~' = Q+Q' es
simétrica, de donde tiene raíces características reales. Si estas son ¿t J.k.
entonces V puede descomponerse en V = Vt(¡)... ($Vk% donde i^eKf
implica v¡T = ¿¡r(. Las V¡ son mutuamente ortogonales. Afirmamos que
cada V¡ es invariante bajo Q (pruébese). Luego, para discutir la acción de Q
sobre V, es suficiente describirla sobre cada V¡.
Sobre y¡, como A,i¡ = itT = i¡{Q+Q~'). multiplicando por Q
tenemos r¡{Q2 —¿¡Q+ 1) = 0. Se presentan dos casos particulares, a saber:
k, — 2 y ?,¡ = — 2 (que pueden, desde luego, no ocurrir), pues entonces
*',(<?+1)2 = °« 'o que nos lleva a r,(Q± I) = 0. Sobre estos espacios. Q
actúa como I o como — I.
Si X, ?t 2, —2, entonces Q no tiene ningún vector característico sobre V¡,
de donde para v ?t Oe V¡, i\ iQ son lineal mente independientes. El sub-
espacio que generan, W, es invariante bajo £?,yaquer£?2 = }.¡vQ—r. Ahora
t bien, Vt = Jf© W con W invariante bajo Q. Luego podemos presentar a
V, como la suma directa de dos subespacios bidimensionales mutuamente
ortogonales invariantes bajo Q. Para encontrar formas canónicas de Q
sobre y¡ (de donde sobre y), solamente debemos resolver el problema para
matrices ortogonales reales 2x2.
Sea Q una matriz ortogonal real 2x2 que satisface Qz— ÁQ+ I = 0;
supongamos que Q = \ I- La ortogonalidad de Q implica:
\r *l
1) x* + fi' = 1,
2) y2 + 62 = I.
3) ay+06 = 0;

360 TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
como Qz — XQ+ I = 0. el determíname de Qe.% I, de donde
4) ad-fiy = I.
Afirmamos que las ecuaciones 1,..., 4, implican que a = 6,fi = —y.
Como <x2+f}2 = I, |a|^l, de donde podemos escribir a = eos 6 para
algún ángulo real 6; en estos términos fi = sen 6. Por tanto, la matriz Q
toma la forma
(eos 0 sen 6\
-sen 6 cosBj
Todos los espacios usados en todas nuestras decomposiciones eran
mutuamente ortogonales, luego eligiendo bases ortogonales en cada uno de
ellos obtenemos una base ortonormal de V. En esta base la matriz de Q es
\
cos0, sen©,
-sen©, cosfi,
Como hemos ido de una base ortonormal a otra también ortonormal, y
como esto se ha conseguido por una matriz ortogonal, dada una matriz
ortogonal real Q podemos encontrar una matriz ortogonal T tal que TQT~'
(= TQT*) es de ¡a forma que acabamos de describir.

i 10. TRANSFORMACIONES HERMITIANAS. UNITARIAS Y NORMALES
361
Problemas
1. Determínese cuáles de las siguientes matrices son unitarias, cuáles
hermitianas. cuáles normales.
b)
0 i
0
c)
/3 0
e)
0
í\ 0 0 0\
0 0 10
0 I 0 0
\0 0 0 1/
o\
1
a
o —
i
\ y/2 V2/
2. Para aquellas matrices del problema 1 que sean normales,
encuéntrense sus raíces características y llévense a la forma diagonal por una
matriz unitaria.
3. Si T es unitaria, pruébese usando tan solo la definición (vT^uT) =
(v, u) que Tes no singulai.
4* Si Q es una matriz ortogonal real, pruébese que det Q = ± I.
5. Sí Q es una matriz real simétrica que satisface £* = I para k ^ I,
pruébese que Q2 = I,
6. Complétese la prueba del lema 6.29 mostrando que (S+T)* =
S*+T*y(AT)* = XT*.
7. Pruébense las propiedades de * en el lema 6.29 haciendo uso de la
forma explícita dcw = vT* dada en la prueba del lema 6.28.
8. Si T es antihermitiana. pruébese que todas sus raíces características
son imaginarias puras,
9. Si Tes una matriz real antisimétrica/rx/r, pruébese que si n es impar
entonces det T = 0.
10. Por un cálculo matricíal directo, pruébese que una matriz real
simétrica 2x2 puede ser puesta en forma diagonal por una ortogonal.
11. Complétese la prueba delineada para la parte de equivalencia de
matrices del teorema 6.z2.

352
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
12. Pruébese que una transformación normal es unitaria si y sólo si las
raices características son lodas de valor absoluto igual a I.
13. Si /V, Nk es un número finito de transformaciones normales
que conmutan, pruébese que existe una transformación unitaria T tal que
todas las TN¡ T l son diagonales.
14. Si /Ves normal, pruébese que N* = />(/V)para algún polinomiop(xV
15. Si N es normal y si AN = 0. pruébese que AN* = 0.
16. Pruébese que A es normal si y sólo si A conmuta con AA*.
17. Si N es normal pruébese que N = £AtEf donde E¡2 = £(, £f* = Ei9
y las A¡ son las raices características de N. (A ésta se le llama la resolución
espectral de N )
18. Si /V es una transformación normal sobre V y si/Oc) y g(x) son dos
polinomios primos relativos con coeficientes reales, pruébese que sí cf{N) —
0 y ivg{N) = 0, para i\ ir en K, entonces (r, w) = 0.
19. Pruébese que una transformación lineal T sobre V es hermitiana si
y sólo si (rT, r) es real para todo re V.
20. Pruébese que 7>0 si y sólo si T es bermitiana y tiene todas sus
raíces características positivas.
21. Si A^Oy B^Oy AB = BA9 pruébese que AB^ 0.
22. Pruébese que si A ^ 0, entonces A tiene una raíz cuadrada no
negativa única.
23. Si A £ 0 y (M, v) = 0, pruébese que vA = 0.
24. a) Si A ^ 0 y A2 conmuta con la transformación hermitiana Bt
entonces A conmuta con B.
b) Pruébese la parte (a) sin exigir que B sea hermitiano.
25. Sea A = (au) una matriz nxn real simétrica.
Sea
/an — ctu\
a) SÍ A > 0, pruébese que As>0 para s = 1,2, , /r.
b) Si A >0, pruébese que det Aa> 0 para s = I, 2,...,/?.
c) Si det >4S >0 para s = U 2, -..,n, pruébese que *4 >0.
d) S\ A ^ 0, pruébese que Aa ^ 0 para 5=1,2, ,.^n.

I 11. FORMAS CUADRÁTICAS REALES
353
e) Si A ^ 0, pruébese que det -4, ^ 0 para s = 1, 2,...,«.
/) Proporciónese un ejemplo de una A tal que det Aa ? 0 para toda
j = 1,2,..., ir yf sin embargo, -4 no sea no negativo.
26* Pruébese que cualquier matriz compleja puede ser llevada a la forma
triangular por una matriz unitaria.
11. FORMAS CUADRÁTICAS REALES
Cerramos el capitulo con una breve discusión sobre formas cuadráticas
sobre el campo de los números reales.
Sea V un espacio real con producto interior y supongamos que A es una
transformación lineal (real) simétrica sobre K La función valuada en el
campo real Q(v) definida sobre V por Q(v) = (vA,v) se llama la forma
cuadrática asociada con A.
Si consideramos, cómo podemos hacer sin pérdida de generalidad» que
A es una matriz simétrica real /ixn, {afJ) actuando sobre F{*} y que el
producto interior para (¿Jf --.,¿„) y (yXt..., yn) en Fw es el número real
¿i Y\ +¿2^2+ •» +¿*),fi- para un vector arbitrario v = (xit -.., xn) en F{m\
un simple cálculo muestra que Q(v) = (vA,v) — *uXi2+ ••• +0tju*«2 +
Por otra parte» dada una función cuadrática cualquiera en n variables
Vu*t2+ -■- +yf.BJf*.2 + 2 X Víi*í*jí con coeficientes reales y, , es claro
que podemos realizarla como la forma cuadrática asociada con la matriz
real simétrica C — (yí7).
En el espacio eucltdiano n-dimensional una función cuadrática sirve
para definir las superficies cuádricas. Por ejemplo, en el plano real la forma
ax1 + fíxy-\-yy2 da lugar a una sección cónica (posiblemente con su eje
mayor inclinado). No es ilógico pensar que las propiedades geométricas de
esta sección cónica deben estar ligadas íntimamente con la matriz simétrica
(■ m\,
\m y I
con la que su forma cuadrática está asociada.
Recordemos que en geometría analítica elemental se prueba que por
una rotación de ejes adecuada la ecuación ax2+fixy+yy2 puede, en el
nuevo sistema de coordenadas» tomar la forma cEi(x')2+y1(>'')2.
Recordemos que OL1-\-yl = a+y y ay—/í2/4 = «iy|. Luego cxft y yx son las raices
características de la matriz
* Pf2\:
m y I

364
TRANSFORMACIONES LINEALES — Cap. 6
la rotación de ejes es tan sólo un cambio de bases por una transformación
ortogonal, y lo que hicimos en la geometría fue simplemente llevar la
matriz simétrica a su forma diagonal por una matriz ortogonal. La
naturaleza de zx2-\-fixy-\-yy2 como cónica estaba básicamente determinada
por la magnitud y signo de sus raices características z, y yx,
Una discusión análoga puede llevarse a efecto para clasificar las
superficies cuádrjcas en el espacio tridimensional y, ciertamente, para superficies
cuádricas en espacios de dimensión «. Lo que esencialmente determina la
naturaleza geométrica de la superficie cuádrica asociada con aMXi2 + --- +
ffn**n2 + 2 £ XijXiXj es la magnitud y signo de las raíces características de
la matriz (ar^K Si no estuviésemos interesados en el achatamiento relativo
de la superficie cuádrica (por ejemplo, si consideramos una elipse como una
circunferencia aplastada), entonces podríamos ignorar la magnitud de las
raices características distintas de cero y el factor determinante de la forma
de la superficie cuádrica sería el número de raíces características 0 y el
número de positivas (y de negativas).
Estas cosas motivan, y al mismo tiempo se clarifican en ella, la discusión
que sigue, que culmina en la ley de inercia de Sytvester.
Sea A una matriz real simétrica y consideremos su forma cuadrática
asociada Q{i) = (M, t). Si 7* es una transformación lineal real no singular
cualquiera, dado re/7"", r = u-T para algún weFlr,*7 de donde (vA% v) =
[wTA. tcT) = {urTA T\ w). Luego AyTAT1 definen, efeaivamente, la misma
forma cuadrática. Sugiere esto la siguiente
Definición. Dos matrices simétricas reales A y B son congruente* si hay
una matriz real no singular 7* tal que B = TAT'.
Lema 6.39. La congruencia es una relación de equivalencia*
Prueba. Escribamos, cuando A es congruente a B, A ^ B.
1) A ^ A pues¿ = \A\\
2) Si A s B entonces B = TAT' donde T es no singular, de donde
A = SBS' donde S = T~'. Luego B 9= A.
3)S\A^ByB^CJ entonces B = TAT' mientras que C = RBR\ de
donde C = RTAT'R' = (RT)A(RT)'m y por tanto A ^ C.
Como la relación satisface las condiciones definitorias para una relación
de equivalencia, el lema queda probado.
El principal teorema que concierne a las congruencias es su
caracterización, contenida en la ley de Syivester.

111. FORMAS CUADRÁTICAS REALES
366
Teorema 6.z¿. Dada la matriz real simétrica A hay una matriz invertible
T tal que
7.
TAT = -/,
0,
donde Ir e IM son respectivameme las matrices unitarias rxrysxsy donde (^
estaO matriz rx/. Los enteros r+st el rango de At y r—s9 la signatura de A9
caracterizan la clase de congruencia de A. Es decir, dos matrices simétricas
reales son congruentes si y sólo si tienen el mismo rango y la misma signatura.
Prueba. Como A es real simétrica sus raíces características son todas
reales; sean Xly..., Xr sus raíces características positivas y — Ar+1 Xr+m
sus raíces negativas- Por la discusión al final de la sección 10 podemos
encontrar una matriz ortogonal real C tal que
/*.
'-1
CAC~l = CAC =
\
K
-K
+ 1
*Y+B
\
donde t = n—r—s. Sea D la matriz diagonal real
1
o./
D =
jrt
\
i
V^¡r+l
\
'. /

356
TRANSFORMACIONES LINEALES — Caá 6
un simple cálculo muestra que
\u
DCACD =
-/,
\
0,
Luego hay una matriz de la forma requerida en la clase de congruencia de A.
Nuestra tarea es ahora demostrar que esta es la única matriz en la clase
de congruencia de A de esta forma o. lo que es equivalente, que
L =
/'.
\
-I.
\
<V
y M =
-i:
\
0,7
son congruentes solamente si r = r\s = s' y í = r\
Supongamos que M = TLT donde Tes invertible. Por el lema 6.3 el
rango de M es igual al de L: como el rango de M es #?— f' mientras que el de
L es n—t9 tenemos, / = /'.
Supongamos que r<r': como n = r+s+t — r'-\-s'-\-t\ y como / = f\
debemos tener s>s\ Sea V el subes pació de Fw de todos los vectores que
tienen las primeras y las últimas r coordenadas iguales a 0; U es de
dimensióníy'paraií # Oen t/,(uí,,tf)<0.
Sea Wel subespacio de F{mí para el que los componentes r'+ lt _., r'-\-s
son lodos 0; sobre W+ (irM, ir) ^0 para cualquier wtW. Como T es
invertible, y como W es (n—5')-dimensional, WT es (/i— 5')-dimensional.
Para ice W, (irAÍ, ir) £ 0; de donde(wTL7\ u>) £ 0; es decir, (wTL, wT) £ 0-
Por tanto, sobre WTt UrTL. ivT) ^ 0 para todos los elementos. Ahora bien,
dimíWTJ+dim {U) = (n—s')-\-r = n-\-s—s'>n- luego según el corolario
al lema 4.8, WTc\ 11 # 0, Pero esto no tiene sentido, pues si x # Ge WTc\ í/,
por una parte, estando en U, {xLt x) < 0, mientras que por la otra, estando
en WT, {xL x) £ 0. Luego r = r' y s = s\
El rango r+j, y la signatura r—s, determinan desde luego r y jt y por lo
tanto/ = í#?—r—5), de donde determinan la clase de congruencia.
Problemas
1. Determínense el rango y la signatura de cada una de las siguientes
formas cuadráticas reales:
a) x,2-h2X|X2+x22.
b) jc12+x1x2 + 2x,jc3+2x22+4x2X3 + 2x32.

111 FORMAS CUAORATICAS REALES 357
2. Si A es una matriz simétrica con entradas complejas, pruébese que
podemos encontrar una matriz invertible compleja B tal que
—c j
y que r, el rango de At determina la clase de congruencia de A respecto a la
congruencia compleja.
3. Si Fes un campo de característica diferente de 2. dada AeFm% pruébese
que existe una BeFm tal que BAB' es diagonal.
4. Pruébese que el resultado del problema 3 es falso si la característica de
Fes 2
Lecturas suplementarias
Halmos, Paul R. Finite Dimensional Vector Spaces^ segunda edición.
D- Van Nostrand Company, Inc.. Princeton, Nueva Jersey, 1958.

Tópicos selectos
En este último capitulo nos hemos marcado dos objetivos. £1 primero de
ellos es presentar algunos resultados matemáticos que penetren más
profundamente que la mayor parte del material que hasta ahora hemos
visto, resultados que sean más sofisticados y un poco apartados del desarrollo
general que hemos seguido. Nuestro segundo objetivo es escoger resultados
de esta clase cuya discusión, además, haga uso de una gran sección transversa
de ideas y teoremas de los anteriormente expuestos en este libro. Con estas
finalidades en mente hemos escogido tres temas como puntos focales de este
capítulo.
El primero de estos es un teorema famoso probado por Wedderburn en
1905 ("A Theorem on Finite Algebras", Transactions of the_ American

360
TÓPICOS SELECTOS — Cap. 7
Mathematical Society, vol.6 (1905), páginas 349-352) que afirma que un
anillo con división que tiene solamente un número finito de elementos debe
ser un campo conmutativo. Daremos dos pruebas de este teorema» total*
mente diferentes una de otra. La primera seguirá fielmente la prueba
original de Wedderburn y usará un argumento tipo conteo; se apoyará en
gran medida sobre resultados que desarrollamos en el capítulo sobre teoría
de grupos. La segunda usará una mezcla de argumentos de la teoría de
grupos y de la teoría de campos, y sacará un gran partido del material que
estudiamos en estas dos teorías. La segunda prueba tiene la evidente ventaja
de que en su curso de ejecución obtendremos ciertos resultados colaterales
que nos permitirán proceder a la prueba, en el caso de los anillos con
división, de un .bello teorema debido a Jacobson ("Structure Theory for
Algébrale Algebras of Bounded Degree", Annals of Mathematics, voL 46
(1945), páginas 695-707) que es una generalización de gran alcance del
teorema de Wedderburn.
Nuestro segundo gran tema es un teorema debido a Frobenius ("Ober
lineare Substitutionen und bilíneáren Formen", Revue für die reine und
angewandte Mathematik, voL 84 (1877), especialmente las páginas 59-63)
que afirma que los únicos anillos con división algebraicos sobre el campo de
todos los números reales son el campo de los números reales, el campo
de los números complejos y el anillo con división de los cuaternios reales.
El teorema señala un papel único para los cuaternios y es sorprendente, en
cierto modo, que Hamilton los descubriera en su forma, podríamos decir» un
poco ad hoc. Nuestra prueba del teorema de Frobenius, ahora
completamente elemental, es una variación de un enfoque marcado por Dickson y
Albert; empleará resultados de la teoría de polinomios y de la teoría de
campos.
Nuestro tercer objetivo es el teorema de que todo entero positivo puede
representarse como la suma de cuatro cuadrados. Este famoso resultado
parece que fue conjeturado ya por el primitivo matemático griego Diofantos.
Fermat trabajó en su demostración sin éxito y anunció con tristeza su
derrota (en un escrito donde él, sin embargo, resolvió el teorema de los dos
cuadrados que nosotros probamos en la sección 8 del capitulo 3). Euler
abrió grandes brechas que, aprovechadas por Lagrange, permitieron que
éste, en 1770, diera una primera prueba completa. Nuestro enfoque será
completamente distinto del de Lagrange. Tiene sus raíces en el trabajo de
Adolfo Hurwitz y empleará una generalización de los anillos euclidianos.
Usando nuestras técnicas de teoría de anillos sobre un cierto anillo de
cuaternios, el teorema de Lagrange caerá como una consecuencia.
En nuestra marcha hacia el establecimiento de estos teoremas,
cosecharemos muchas ¡deas y resultados interesantes de por sL Esto es
característico de un buen teorema — su prueba invariablemente conduce a
resultados colaterales de casi igual interés.

351
1. CAMPOS FINITOS
Antes que podamos entrar en una discusión del teorema de Wedderburn
y de los anillos finitos con división, es esencial que investiguemos la
naturaleza de los campos que tienen solo un número finito de elementos.
Tales campos se llaman campos finitos. Es claro que existen campos finitos,
pues el anillo Jp de los enteros módulo cualquier primo p nos da un ejemplo
de tal campo. En esta sección determinaremos todos los posibles campos
finitos y muchas de las importantes propiedades que poseen.
Comenzamos con el
Lema 7.L Sea F un campo finito con q elementos y supongamos que
fe K donde K es también un campo finito. Entonces K tiene q" elementos
donden = [K:F],
Prueba. K es un espacio vectorial sobre F y como K es finito es
ciertamente de dimensión finita como espacio vectorial sobre F. Supongamos que
[K:F] = n; entonces A'tiene una base de n elementos sobre F. Sea r¡, ..., vn
una tal base. Entonces todo elemento en K tiene una representación única
en la forma a1i.,,+22r2 + __ +ocflt,ll donde ot,, oc2> ,„, orn están todas en F.
Así pues, el número de elementos en K. es el numero de ot ¡ v^ + ctj &2~^~ • ■ ■ "f"
C£„rn que se producen cuando las xx, a2,..., an van tomando valores sobre F.
Como cada coeficiente puede tomar q valores, K debe tener q" elementos.
Corolario I. Sea F un campo finito; entonces F tiene pm elementos donde
el número primo p es la característica de F.
Prueba. Como F tiene un número finito de elementos, el corolario 2 al
teorema 2.a,/l = 0 donde/es el número de elementos de f. Así pues, F
tiene característica p para algún número primo />. Por tanto F contiene un
campo F0 isomorfo a Jp. Como F0 tiene p elementos, F tiene /f1 elementos
donde m = [F: F0] según el lema 7.1.
Corolario 2. Sí el campo finito F tiene pm elementos* entonces todo úgF
satisface a*"* = a.
Prueba. Si a = 0, la afirmación del corolario es trivial mente cierta.
Por otra parte, los elementos distintos de cero de F forman un grupo
bajo la multiplicación de orden />"—1, luego, según el corolario 2 al
teorema 2,a, a*™~' = I para todo a & 0 en f. Multiplicando esta relación por
a obtenemos a*™ = a.
De este último corolario podemos fácilmente pasar al

362
rOPICOS SELECTOS — Cap, 7
Lema 7.2. Si el campo finito F tiene pm elementos* entonces el polinomio
x^' — x en F[x] sefactoriza en F[x] como x*"' — x = II (x — X).
XcF
Prueba, De acuerdo con el lema 5.2, el polinomio x^'—x tiene cuando
más pm raices en F. Pero, según el corolario 2 al lema 7.1, conocemos pm de
tales raíces, a saber, todos los elementos de F. Por el corolario al lema 5.1
podemos concluir que jcpm—x = n (x—X).
Corolario. Si el campo F tiene pm elementos, entonces F es el campo de
descomposición del polinomio x*1"'—x.
Prueba. Por el lema 7.2t x*"'—x se descompone en f. Pero no puede
descomponerse en un campo más pequeño, porque ese campo tendría que
tener todas las raices de este polinomio y, por tanto, tendría que tener al
menos pm elementos. De esta manera. F es el campo de descomposición de
x*"'-x.
Como vimos en el capítulo 5 (teorema S.j) cualesquiera dos campos de
descomposición sobre un campo dado de un polinomio dado son isomorfos.
A la luz del corolario al lema 7.2 podemos enunciar
Lema 7.3. Cualesquiera dos campos finitos que tienen el mismo número
de elementos son isomorfos.
Prueba. Si estos campos tienen pm elementos, por el anterior corolario
ambos son campos de descomposición del polinomio je""1—xt sobre Jp%
luego ambos son isomorfos.
Asi pues, para cualquier entero m y cualquier número primo p hay, salvo
isomorfismo, cuando más un campo que tiene pm elementos. El propósito del
próximo lema es demostrar que para cualquier número primo p y cualquier
entero m hay un campo que tiene pm elementos. Cuando hayamos hecho
esto, sabremos que hay exactamente un campo con pm elementos, donde p
es un primo arbitrario y m entero arbitrario.
Lema 7.4. Para todo número primo p y todo entero positivo m existe un
campo con pm elementos.
Prueba. Consideremos el polinomio jc**'—x en JF[x]r el anillo de
polinomios en x sobre Jpt el campo de los enteros mod p. Sea K el campo
de descomposición de este polinomio. En K sea F — {aeK\a^ = a}. Los
elementos de F son, pues, las rafees de jc""'—x que, según el corolario 2 al
lema 5.6 son distintas, de donde f tiene //"elementos. Afirmamos ahora que

11. CAMPOS FINITOS
363
fes un campo- Si a. beF, entonces a*m = a, bprtt = 6, y asi (afi)**' = <zp,"Aprt'
= ab\ luego a¿e/\ Además, como la característica es p, (a±bym =
ü^^b*"1 = a±bt de donde a±beFm Por consiguiente fes un subcampo de
tf y, por tanto, un campo. AI mostrar que el campo F tiene pm elementos,
hemos probado el lema 7.4.
Combinando los lemas 7,3 y 7.4, tenemos
Teorema 7,a, Para todo número primo p y todo entero positivo m% hay un
campo único que tiene pm elementos.
Volvamos ahora, por un momento, a la teoría de les grupos. El resultado
de la teoría de los grupos que buscamos, determinaré la estructura de
cualquier subgrupo multiplicativo finito del grupo de elementos distintos
de cero de un campo y, en particular, determinará la estructura
multiplicativa de cualquier campo finito.
Lema 7.5. Sea C un grupo abeliano finito con la propiedad de que la
relación x" = e se satisface por. a lo más. n elementos de (7, para todo entero n.
Entonces C es un grupo cíclico.
Prueba. Si el orden de C es una potencia de algún número primo q
entonces el resultado es muy sencillo. Supongamos, en efecto, que aeC es
un elemento cuyo orden es todo lo grande que sea posible; su orden debe
ser qr para algún entero r. Los elementos *, a, a2, ..-,fl,P"1 nos dan q'
soluciones distintas de la ecuación x^ = e que. por nuestra hipótesis,
implica que estas son todas las soluciones de la ecuación. Ahora bien, si
fceG, su orden es q* donde j<rt de donde br = {bqyr" = e. Por la
observación anteriormente hecha, esto obliga a que b = d para algún i, y
por lo tanto G es cíclico.
El grupo abeliano finito general G, puede realizarse como C = Sfl, Sq2. - *
S^ donde las q{ son los distintos divisores primos de o(G) y donde los 5^
son los subgrupos de Sylow de G. Además, todo elemento geG puede
escribirse de forma -única como g = s1s2-„sk9 donde s¡€Sql (véase la
sección 7, capitulo 2). Cualquier solución de x" = e en S^ es una de x" = e
en Gr de forma que todo S4f- hereda la hipótesis que hemos impuesto
sobre G* Por las observaciones del primer párrafo de la prueba, cada 54Í es
un grupo cíclico; sea a¡ un generador de S,¡, Afirmamos que c = aya2..Qk
es un generador cíclico de (7. Para verificar esto, todo lo que tenemos que
hacer es probar que o(G) divide a m, el orden de c. Como c^ = e, tenemos
que atma2m ... akm = e. Por la unicidad de la representación de un elemento
de G como un producto de elementos en las S^r concluimos que a™ = e
para toda /, Luego o(Sql)]m para toda L Luego o(G) = o{S9¡)o(Sq2) ---
o{S'k)\m. Pero m|o(C), luego o(G) = /w. Lo que prueba que G es cíclico.

364
TÓPICOS SELECTOS — Cap. 7
El lema 7.5 tiene una consecuencia importante.
Lema 7.6, Sea K un campo y sea G un subgrupo finito del grupo
multiplicativo de elementos distintos de cero de K. Entonces G es un grupo cíclico.
Prueba. Como /íes un campo, cualquier polinomio de grado n en K[x]
tiene cuando más n raices en K. Luego, en particular, para cualquier entero
sr, el polinomio x"— I tiene cuando más n raices en Kt y también cuando más,
n raíces en G, evidentemente. La hipótesis del lema 7.5 se satisface, luego G
es cíclico.
Aun cuando la situación de un campo finito es un caso particular tan
solo del lema 7.6t es de interés en tantos campos que lo subrayamos
enunciándolo como un
Teorema 7.b. El grupo multiplicativo de elementos distintos de cero de un
campo finito es cíclico.
Prueba. Sea F un campo finito. Aplicando simplemente el lema 7.6 con
F = K y G ~ grupo de elementos distintos de cero de f, tenemos el resultado.
Concluimos esta sección usando un argumento de comeo para probar la
existencia de soluciones de ciertas ecuaciones en un campo finito.
Necesitaremos el resultado en una demostración del teorema de Wedderburn.
Lema 7.7. Si F es un campo finito ya ^ 0, fi & 0 son dos elementos de F,
entonces podemos encontrar elementos a y b en F tales que \-t-aa2+fib2 = 0.
Prueba. Si la característica de fes 2, F tiene T elementos y cada
elemento x en F satisface xln = x. Así pues, cada elemento en F es un
cuadrado. En particular a"' = a2 para alguna aeF. Usando esta a y b = 0
tenemos I +aa2+fib2 = I +aa-I+0 = I +1 = 0t en donde la última
igualdad es una consecuencia del hecho de que la característica de Fes 2.
Si la característica de fes un número impar primo p, f tiene//" elementos.
Sea We = {I -t-ax2\xEF}. ¿Cuántos elementos hay en W^l Debemos
comprobar cuantas veces 1 +ox2 = I +ay2t Pero esta relación obliga a que
ax2 = ay2 y, por tanto, como o ?¿ 0, a que x2 — y2. Finalmente, esto nos
Ueva a que jc = ±ym Luego para x & 0 tenemos de cada par x y — x un
elemento en Wa y para jc = 0 obtenemos leW,. Luego ÍVU tiene
I + ~ = elementos. Análogamente Wp = {— fix2\xBF] tiene
- elementos. Como tanto Wa como Wñ tiene más de la mitad de los
2

12, TEOREMA DE WEOOERfiURN SOBRE ANILLOS FINITO* CON DIVISIÓN 366
elementos de F deben tener una intersección no vacia. Sea c^W^r\W^m
Como ctWott c = I +aa2 para algún atF\ como ctWp, c = — fib2 para
algún 6e/\ Por tanto, I +aa2 = —fib2, que por transposición nos da el
resultado deseado, I +aa2+fib2 = Ü.
Problemas
1. De acuerdo con el teorema 7.b, los elementos distintos de cero de Jp
forman un grupo cíclico bajo la multiplicación. Cualquier generador de este
grupo se llama una raíz primitiva de p.
a) Encuéntrense las raíces primitivas de: 17, 23, 31.
b) ¿Cuántas raices primitivas tiene un primo /??
2. Usando el teorema 7b pruébese que x2 = — I mod p es soluble si y
sólo si el primo imparpes de la forma 4/f+l.
3. Si a es un entero no divisible por el primo impar p pruébese que
x2 = a mod p es soluble para algún entero x si y sólo si^p',í/2 = I mod p.
(Se llama a esto el criterio de Euter para que a sea un residuo cuadrático
modp.)
4* Usando el resultado del problema 3 determínese si:
a) 3 es un cuadrado mód 17.
b) 10 es un cuadrado mód 13.
5. Si e| campo F tiene p" elementos pruébese que los automorfismos de
f forman un grupo cíclico de orden n.
6. Si F es un campo finito, por los cuaternios sobre F entenderemos el
conjunto de todos los a0+ai i-\-a2j+a¿k donde a0, a{, a2, a¿eF y donde la
suma y la multiplicación se efectúan como en los cuaternios reales (es decir,
i2 = j2 = k2 = ijk = — I, etc.). Pruébese que los cuaternios sobre un
campo finito no forman un anillo con división.
2. TEOREMA DE WEDDERBURN SOBRE ANILLOS
FINITOS CON DIVISIÓN
En 1905, Wedderburn probó el teorema, considerado ahora como
clásico, de que un anillo finito con división debía ser un campo conmutativo.
Este resultado ha captado la imaginación de la mayoría de los matemáticos,
por lo inesperado de su contenido en que dos cosas aparentemente tan
ajenas como son el número de elementos de un cierto sistema algebraico y la
multiplicación en ese sistema, aparecen de pronto en una estrecha inter-
relación. Aparte de su intrínseca belleza el resultado ha sido muyJm portan te

366
TÓPICOS SELECTOS — Cap. 7
y útil, pues surge en los más variados contextos. Para citar solo un ejemplo;
la única prueba conocida del hecho puramente geométrico de que en una
geometría finita la configuración de Desargues implica la de Pappus (para
la definición de estos términos véase cualquier buen texto de geometría
proyectiva) consiste en reducir el problema geométrico a uno algebraico, y
este problema algebraico tiene una solución basada en el teorema de
Wedderburn. Para los algebristas, el teorema de Wedderburn ha servido
como trampolín para saltar a una gran área de investigación, durante algunas
décadas, concerniente a la conmutatividad de anillos.
Teorema 7.C, Un anillo finito con división es necesariamente un campo
conmutativo.
Primera prueba. Sea K un anillo finito con división y sea Z = {zeK\
zx = xz para todo xeK} su centro. Si Z tiene q elementos entonces, como
en la prueba del lema 7.1, se sigue que K tiene q" elementos. Nuestro objetivo
es probar que Z = K* o lo que es equivalente, que/í = I.
Si aeKi sea N{a) = {xsK\xa = ax}. N(á) claramente contiene a Z, y,
como una simple comprobación revela, N(a) es un subanillo con división
de K. Así pues, N(a) contiene qn{tl} elementos para algún entero n{a).
Afirmamos que n(a) divide a n. En efecto, los elementos distintos de cero de
N(a) forman un subgrupo de orden q"M — 1 del grupo, bajo la multiplicación,
de elementos distintos de cero de Kf que tiene q"-~ 1 elementos. De acuerdo
con el teorema de Lagrange (teorema 2.a) q*itl}— I es un divisor de qn— 1;
pero esto obliga a que n{a) sea un divisor de n (véase el problema I al final de
esta sección).
En el grupo de elementos distintos de cero de K tenemos la relación de
conjugación usada en el capítulo 2, a saber, a es conjugado de b si a = x~l bx
para algún x ?¿ 0 en K.
Según el teorema 2.h el número de elementos de K conjugados de o es
el índice del normalizador de a en el grupo de elementos distintos de cero de
jj __ ■
K. Por tanto, el número de conjugados de a en K es — . Ahora bien,
<7"lo)-l
asZ si y sólo si n(á) = nt luego, por la ecuación de clase (véase el corolario
al teorema 2.h)
Moílfl q — i
donde la suma es efectuada sobre una a en cada clase conjugada para ano
en el centro.
El problema se ha reducido a probar que ninguna ecuación tal como la (I)
puede verificarse en los enteros. Hasta este punto hemos seguido la prueba
del articulo original de Wedderburn con casi absoluta fidelidad. Wedderburn

f 2. TEOREMA DE WEDDERBURN SOBRE ANILLOS FINITOS CON DIVISIÓN
367
prosigue hasta desechar la posibilidad de la ecuación (I) haciendo uso del
siguiente resultado de la teoría de números debido a Birkhoff y Vandiver:
para n > I existe un número primo que es un divisor de qn— I, pero no es
un divisor de ningún qm—\ donde m es un divisor propio de n, con las
excepciones de 2h— I =63 cuyos factores primos ya se presentaron como
divisores de 22—I y 23 —1, y n = 2, y q un primo de la forma 2*— 1- Si
admitimos este resultado, ¿cómo acabaríamos la prueba? Este número
primo seria un divisor del primer miembro de (I) y también un divisor de
cada término de la suma que aparece en el segundo miembro pues divide a
qa— I, pero no a q"{al— I; luego este primo dividiría también ai?- I dándonos
una contradicción. El caso 2*— I se tendría también que desechar, pero
esto es sencillo. En el caso n = 2t la otra posibilidad no cubierta por el
anterior argumento, no hay ningún subcampo entre Z y K lo que obliga a
que Z = K. (¡Pruébese! Véase el problema 2.)
Pero no queremos aplicar el resultado de Birkhoff y Vandiver sin probarlo
y su prueba nos llevaría a una digresión demasiado larga. Buscamos, pues,
otro artificio. Nuestra finalidad es encontrar un entero que divida a
, para todos los divisores n{a) de ny pero que no divida a <j— 1. Una
vez hecho esto, la ecuación (I) será imposible salvo para n = 1 yf por tanto,
el teorema de Wedderburn habrá sido probado. El medio que emplearemos
con este propósito es la teoría de polinomios ciclotómicos, (Los hemos
mencionado en los problemas al final de la sección 6, capitulo 5.)
Consideremos el polinomio x"— 1 como elemento de C[x] donde C es el
campo de los números complejos. En C[x]
2) x"-l = n(x-¿),
donde este producto se toma sobre todos los A que satisfacen X1 = I.
Un número complejo 6 se dice que es una raíz primitiva n-ésima de la
unidad si ff* = I pero ff" & I para cualquier entero positivo m<n. Los
números complejos que satisfacen x" = 1 forman un subgrupo finito, bajo
la multiplicación, de los números complejos, de donde, según el teorema 7.b,
este grupo es cíclico. Cualquier generador cíclico de este grupo debe,
entonces, ser una raíz n-ésima primitiva de la unidad, de donde sabemos
que tales rafees primitivas existen. (Alternativamente, 8 = e2KI/" nos da una
raíz primitiva de la unidad.)
Sea O^x) = n{x—B) donde este producto se toma sobre todas las
raíces /r-ésirnas primitivas de la unidad. Este polinomio se llama polinomio
ciclotómico. Enumeramos los primeros polinomios ciclotómicos: <Dj(x) =
x-U<I>2(x) = x+l.^x) = x2+x+L04W = x2+H,G5(x) = *4+x3 +
x2 + x+U<D6(x) = x2—x+L
Nótese que todos ellos son polinomios mónimos con coeficientes
enteros.

368
TÓPICOS SELECTOS — C»p. 7
Nuestro primer objetivo es probar que, en general, <t>„(x) es un polinomio
mónico con coeficientes enteros. Reagrupamos la forma factorízada de
x" — I como se nos da en (2), y obtenemos
3) x--i -n **<*>.
*l*
Por inducción, suponemos que <Drf(x) es un polinomio mónico con coeficientes
enteros para d\n% d ± n. Luego V—I = <bn{x)g{x) donde g{x) es un
polinomio mónico con coeficientes enteros. Por tanto
g(x)
que, al dividirse realmente (o por comparación de coeficientes), nos dice que
<Dfl(x) es un polinomio mónico con coeficientes enteros.
Afirmamos ahora que para cualquier divisor d de n, donde d / #7,
*„(*)
V-l
xd~]
en el sentido de que el cociente es un polinomio con coeficientes enteros.
Para ver esto observemos primero que xd— 1 = n^fcM» y como todo
divisor de Jes también un divisor de n7 reagrupando términos en el segundo
miembro de (3) obtenemos j^— I sobre el segundo miembro; además, como
d<n, Xa-} no envuelve a <&„(*)- Por tanto, y—1 = ^„{x)(j^—])f(x)
donde/(x) = n^í*) ^ene coeficientes enteros y por tanto
ti»
jc"-I
<M*>
xd-\
en el sentido de que el cociente es un polinomio con coeficientes enteros. Y
esto establece nuestra afirmación.
Para cualquier entero r, <DB(0 es un entero y, por lo anteriormente dicho,
como un entero divide a (/"— I )((/*— 1)- En particular, volviendo a la
ecuación (I),
*-(*)
y Q>Aq)\(<i"— 1); luego por(l)» <D«(?)|(9— I), Afirmamos, sin embargo, que
si n> I entonces |<Dn(f)| > q— I. Pues 0>„{q) = n(q—6) donde 6 toma los
valores de todas las raíces primitivas /i-ésimas de la unidad y \q—6\ > q—l
para todo 8 & I una raíz de la unidad (pruébese) de donde |4>n(4)| =

I 2 TEOREMA DE WEDDERBURN SOBRE ANILLOS FINITOS CON DIVISIÓN
369
nií/— 0\ > q — L Es claro entonces que <bniq) no puede dividir a q — I, lo
que nos lleva a una contradicción. Debemos por tanto suponer que n = 1.
lo que obliga a admitir el teorema de Wedderburn.
Segunda prueba. Antes de examinar explícitamente los anillos finitos
con división una vez más, probamos algunos lemas preliminares.
Lema 7.8, Sea R un anillo y sea aeR. Sea Tn la aplicación de R en si
mismo definida por xT0 = xa—ax. Entonces
—«. m -.-■ m[m— I) 7 „_ +
xTam = xam-maxtT '+— -a2xam 2
mjm-\){m-2) , „,
a xa + - ■ -,
3!
Prueba. ¿Qué es xTa2? xTa2 = ixTJT,, = (xa-ax)Ta = (xa-ax)a-
a(xa-ax) = xa2 — 2axa-\-a2x. ¿Qué podemos decir acerca de jc^3?
xTa* = {xT2)Ta = (jf£r2-2ojwí+fl1x)í7-fl(jcflf2-2ajc<i+flf2jf) = xa3-
3axtf2 + 3ü2jra—tf3x. Continuando de esta forma o por inducción* obtenemos
el resultado del lema 7.8.
Corolario. Si R es un anillo en el que px = 0 para toda xeV?. donde p es
un número primo* entonces xTJ^ = xopm—aptt,x.
Prueba. De acuerdo con la fórmula del lema 7.8» si p = 2, xT2 =
xa2— a2*, ya que laxa = 0. Así pues, xTa* = Ua2 — a2x)a2 —a2{xa2 —
a2x) = xo*—flf4jr? y asi sucesivamente hasta xTa2^m
Si p es un primo impar, de nuevo, según la fórmula del lema 7.8,
xTf - xa'-paxa*-* + p(p" l)o2xflp~2+ ~- -a"*.
y como
I!
para /<p, todos los términos medios desaparecen y nos quedamos con
xT/ = xap-apx = xT0p. Ahora bien, xT/2 - JtíT^)' = x^, y así
sucesivamente por las potencias más altas de/?.
Lema 7.9. Sea D un anillo con división de característica p > 0 con centro Z,
y sea P = {0, 1,2 {p—})} elsubcampo de Z isomorfo a Jp. Supongamos

370
TÓPICOS SELECTOS — Cap. 7
que aeDta$Z es talquea** = a para algún n > I. Entonces existe una xe D
tal que
1) xax"l ± a.
2) xax~! e P{a)i el campo obtenido por la adjunción deaaP*
Prueba. Definamos la aplicación Ta de D en si mismo por yTa — ya—ay
para todo yeD.
P{a) es un campo finito, ya que a es algebraico sobre P y tiene, digamos,
pm elementos. Todos ellos satisfacen upm = u. De acuerdo con el corolario al
lema 7,8, yTf* = ya*"-a*"1 y = ya-ay = yTaJ luego 7/" = Te.
Ahora bien, si keP(a), {lx)T0 — (kx)a—a(hx) = Ixa—Aax=A(xa—ax) =
/.(x7*fl), ya que k conmuta con a. Asi pues, la aplicación l! de D en sí mismo
definida por ¡Jzy-+ky conmuta con T„ para todo ¿eP{a). Ahora bien, el
polinomio upm—u = Y\ (w—^) P°r e' tema 7.2. Como Ta conmuta con
11 para lodo ÁeP(a)+ y como T/m = TQ, tenemos que 0 = T/m—T„ =
Si para todo a ?¿ 0 en P(a\ TQ—)J no aniquila a ningún elemento
distinto de cero en D (si y(Ta—kI) — 0 implica y = 0), como Te(Ta—At/)...
(Ta—ÁkI) — 0, donde A,,.,,, kk son los elementos distintos de cero de P(a),
tendríamos, Ta = Ü. Es decir, 0 = yTa — ya—ay para todo ye/), lo que
obligarla a que aeZ en contra de la hipótesis. Luego hay un / / 0 en P(a)
y un x té 0 en D tales que xiT^—kl) — 0. Escribiendo esto explícitamente,
xa—ax—Xx = 0; de donde xax~' = a+i. está en P{a) y no es igual a a ya
que A ?¿ 0. Lo que prueba el lema.
Corolario. Enellema7.9%xax~l = ak ?¿ a para algún entero L
Prueba. Sea a de orden s: entonces en el campo P(a) todas las raíces del
polinomio us— I son lt o, a2 as~l ya que estas son, todas, raíces
distintas y son s en total. Como (xax~1)* = xa*'**1 = I, y como
xí7X_,eP(í7), xax~J es una raíz en P(a) de us— I, de donde xax~J = a\
Tenemos ya todas las piezas que necesitábamos para efectuar nuestra
segunda prueba del teorema de Wedderburn.
Sea D un anillo finito con división y sea Z su centro. Por inducción,
podemos suponer que cualquier anillo con división que tenga menos
elementos que Des un campo conmutativo.
Hagamos notar primero que si a, beD son tales que b'a = ab* pero
ba 5¿ efe, entonces fc'eZ. En efecto, consideremos N(bf) = {xeD\brx =
xb'}. N(bf) es un su bañil lo con división de Z>; si no fuera D, por nuestra
hipótesis de inducción sería conmutativo. Pero tanto a como b se encuentran
en N(b') y no conmutan, luego N(b') no es conmutativo, luego debe ser todo
Z>. Luego />'eZ.

12 TEOREMA DE WEDDEHBURN SOBRE ANILLOS FINITOS CON DIVISIÓN
371
Todo elemento distinto de cero en D tiene orden finito; luego alguna
potencia positiva de él cae en Z. Dado weD sea el orden de w relativo a Z
el entero positivo mínimo mlw) tal que «-"'"'eZ. Escojamos un elemento a
en Dy pero no en Z, que tenga el mínimo orden relativo a Z posible, y sea tal
orden r. Afirmamos que r es un número primo^ pues si r = rir2 con
I < r, < r2 < /", entonces arí no está en Z. pero {arlY2 — areZ* luego ¿rrl
tiene un orden relativo a Z menor que el de a.
Por el corolario al lema 7,9, hay un xeD tal que xax~l = ak =é a;
luego x2ax'2 = xíxax^'jx"1 =jro,x"1 = (jc¿zx~ lK = {a1)1 ~
^-Análogamente, tenemos jrr" ' ax^{r'í} — atir~í} Pero res un número primo, luego
por el pequeño teorema de Fermat (corolario al teorema 2.a), ir~l = l+w0r*
de donde a"*"11 = ol+"or = aa""r = ka donde A = tf^eZ. Así pues,
xr~ x a = kaxr~ ', Como x£Z, por la naturaleza mínima de r, xr~'eZ. Por
la observación del párrafo anterior, como xa ^ ax, xr~la ^ axr_1 y por
lo tanto X 9¿ I Sea b = V"1; entonces ¿ró-1 = ¿o; por consiguiente,
?Sa* = (¿>gí>~ ,)r = baTb"' = or, ya que areZ* Esta relación obliga a que
y = i-
Afirmamos que si y€ D> entonces siempre que yr = I ha de tenerse y = /'
para algún /, pues en el campo Z{y) hay cuando más r raíces del polinomio
ur — I; los elementos I, a, A2, --., //" ! de Zson todos distintos, ya que / es
del orden primo r y todos ellos constituyen las r raíces de ur— 1 en Z(y)» en
consecuencia de lo cual y = ¿'.
Como Ár = K 6r = Ar/>r = (Áb)r = (<T' ba)r = a' xb*a% de donde
obtenemos abr = fc'c. Como a conmuta con ér, pero no conmuta con b
por la observación antes hecha, br debe estar en Z. Según el teorema 7,b, el
grupo multiplicativo de los elementos distintos de cero de Z es cíclico; sea
yeZ un generador. Entonces ar = y\ hr = /; si y = sr% entonces tf = y'\
de donde (o\yY = 1; esto implicaría que a\ys = ¿\ lo que implica aeZ en
contra de a^ Z. De donde rjy": análogamente r)fk. Sea o, = u* y bt = ¿J; un
cálculo directo partiendo de ha = Áah nos lleva a axbf — fi¿Aa1 donde
j¿ = jl~J*eZ_ Como el número primo r que es el orden de k no divide ni a y
ni a £, /J* = I, de donde /t ^ I. Nótese que ur = 1,
Veamos donde estamos. Hemos producido dos elementos ax y bg tales
que:
1) a,r = />,' = zeZ,
2) Qlbl = ^¿i0|. con /> # 1 en Z.
3) v" = l
Calculamos (íi|-,Al)r; (a^1^)1 ^al'lbíaí'lbí=al'i(bia1~l)bl^
©i" í{paí~íbí)bí — fiQx~2bl2. Si calculamos (ax~ lbi)* encontramos que
es igual a/j1+Ia1~3¿l3. Continuando de esta forma obtenemos (Qi~lbl)w =
impar, como pr = I, tenemos ^rír^1^2 = i^ ¿e donde {at^lbtY = 1,
Siendo una solución de>r = I, ax~%bx = /.' de modo que bt = A'ai; pero

372
TÓPICOS SELECTOS — Cap. 7
entonces ^blax — axbx = bxax, lo que contradice p ^ L Luego si r es un
número primo impar, el teorema está probado.
Debemos ahora descartar el caso r = 2. En esta situación especial
tenemos dos elementóse,,/?,eZ) tales quec,2 =? bxz = zeZ*axbx = ^bxax
donde p2 = 1 y p ¿ L Asi pues, p = — 1 y albl = — blaí & bxax; como
consecuencia, la característica de D no es 2. De acuerdo con el lema 7.7
podemos encontrar elementos f, ijeZ tales que I+ C2—ai;2 = 0.
Consideremos (ax +££, +j;a,/j,)2; al computar esto encontramos que
{al + Íbl+fjaxbx)z = oc(l +C2—3tíj2) == 0, Estando en un anillo con división
esto implica que a%+libx +t}axbx =0; luego 0 ¿ 2at2 = ax{ax + £/>, +
f}aibí) + (a1 + £bí+tiQibl)al = 0. Esta contradicción termínala prueba y el
teorema de Wedderburn queda establecido.
Esta segunda prueba tiene la ventaja de que podemos utilizar partes de
ella para establecer un resultado notable debido a Jacobson, a saber,
Teorema 7,d. (Jacobson). Sea D un anillo con división tal que para todo
asD existe un entero positivo n(a) > 1, dependiente de a, tai t¡ae o"'"1 = a.
Entonces D es un campo conmutativo.
Prueba. Si a ^ 0 está en A entonces a* = a y (2a)*1 = 2a para algunos
enteros ntm>í. Sea s = (n— l)(/w — l)+ I; j>I y un simple cálculo
muestra que a* = a y {2a)* = 2a. Pero (2a)1 = 2V = Va% de donde
2*q = 2a de lo que se obtiene (2J—2)a = 0. Asi pues» ü tiene característica
p > 0. Si P c Z es el campo que tiene p elementos (isomorfo a Jp), como a es
algebraico sobre Pt P(á) tiene un número finito de elementos, en realidad
fP elementos para algún entero h. Así pues, como aeP(a), a** = a. Por
tanto, si a^ÉZ todas las condiciones del lema 7,9 se satisfacen, de donde existe
una ¿e/) tal que
1) bab~l = <f*a.
Por el mismo argumento, bph = b para algún entero k > I. Sea
W = {x€D\x = Y. X fl/fll¿i donde j^eP}. W es finito y es cerrado
;=i i-1
respecto a la adición. Por virtud de (1) es también cerrado respecto a la
multiplicación (¡Verifiqúese!). Luego Wz$ un anillo finito con división; por
el teorema de Wedderburn es conmutativo. Pero a y b están ambas en W\
por tanto, ab = ba en contra de que d*b — ba. Y esto prueba el teorema.
El teorema de Jacobson realmente se verifica para cualquier anillo R que
satisfaga a*-1 = a para todo oe/f, no solamente para anillos con división.
La transición del caso de anillo con división al caso general aunque no

i 2. TEOREMA DE WEDDER6URN SOBRE ANTILLOS FINITOS CON DIVISIÓN 373
difícil exige la aplicación del axioma de elección, y discutirlo nos llevarla
demasiado lejos.
Problemas
1. Si/> I es un entero y (fm— l)|('n— I), pruébese que fn|/j-
2. Si D es un anillo con división, pruébese que su dimensión (como
espacio vectorial) sobre su centro no puede ser mayor que 2.
3. Pruébese que cualquier subanillo finito de un anillo con división es
un anillo con división.
4. a) Sea D un anillo con división de característica p # 0 y sea G un
subgrupo finito del grupo de elementos distintos de 0 de D bajo
la multiplicación. Pruébese que G es abeliano. {Sugerencia:
considérese el subconjunto {xsD\x = £X|£iv ^eP, 0,eG}.)
b) Pruébese en la parte {a) que G es realmente cíclico.
*5. a) Si R es un anillo finito en el que y = x, para todo xe/f donde
n > I, pruébese que R es conmutativo.
b) Si R es un anillo finito en el que x2 = 0 implica que x = 0,
pruébese que R es conmutativo.
*6. Sea D un anillo con división y supongamos que asD solamente
tiene un número finito de conjugados (es decir, solamente un número finito
de elementos x~ ' ax). Pruébese que a tiene solamente un conjugado y debe
estar en el centro de D.
7. Úsese el resultado del problema 6 para probar que si un polinomio
de grado n con coeficientes en el centro de un anillo con división tiene n+1
raíces en el anillo con división, entonces tiene un número infinito de rafees
en ese anillo con división.
*8. Sea D un anillo con división y K un subanillo con división de D
tal que xKx ~ ' c K para todo x ^ 0 de D. Pruébese que o^cZ,el centro de
Dy o K = £>. (Éste resultado se conoce como el teorema de Brauer-Cartan-
Hua.)
*9. Sea D un anillo con división y K un subanillo con división de D.
Supongamos que el grupo de elementos distintos de cero de ¿fes un subgrupo
de índice finito en el grupo (bajo la multiplicación) dfe elementos distintos de
cero de ZX Pruébese que entonces o Des finito o K= Dm
10. Si 0 & I es una raíz de la unidad y si q es un entero positivo, pruébese
que \q—0\>q—\.

374
TÓPICOS SELECTOS — Cap, 7
3. TEOREMA DE F ROBE NI US
En 1877, Frobenius clasificó iodos los anillos que tienen el campo de los
números reales en su centro > que satisfacen, además, una condición que
describiremos posteriormente. La finalidad de esta sección es presentar este
trabajo de Frobenius.
En el capitulo 6 señalamos dos importantes hechos acerca del campo de
los números complejos. Los recordamos aquí:
Hecho L Todo polinomio de grado n sobre el campo de los números
complejos tiene todas sus n raíces en el campo de los números complejos.
Hecho 2. Los únicos polinomios irreducibles sobre el campo de los
números reales son de grado I o 2.
Definición. Una álgebra con división D se dice que es algebraica sobre
un campo Fsi:
1) Festácomenidoenelcentrode D\
2) todo aeD satisface un polinomio no trivial con coeficientes en F.
Si Dm como espacio vectorial, es de dimensión finita sobre el campo F
que está contenido en su centro, se puede mostrar fácilmente que D es
algebraico sobre F (véase el problema I al final de esta sección). Pero puede
suceder que D sea algebraico sobre F y, sin embargo, no sea de dimensión
finita sobre F.
Comenzamos nuestra discusión sobre anillos algebraicos con división sobre
el campo real investigando, en primer lugar, cuáles son los algebraicos
sobre el campo complejo.
Lema 7.10. Sea C el campo de los números complejos y supongamos que
el anillo con división D es algebraico sobre C Entonces D = C
Prueba. Supongamos que aeD. Como D es algebraico sobre C, a*+
aifl""l+ ... -\-0Lít_la-\-ct„ = 0 para algunas aíta2 a„ en C.
Ahora bien, el polinomio p(x) = j^+a,^"1 + ... +afT_1jir+alí en
C[x] puede, por el hecho 1, factorizarse en C[x] en un producto de factores
lineales; es decir, p[x) = {x~Áx)(x—Á2)*..ix—An) donde A,, A2,-., K
están todos en C Como C está en el centro de £>, todo elemento de C
conmuta con at de donde p{a) = (a—X{)(a— X2).-. (a—A„). Pero, por
hipótesis,p(£7) = OJuego(ff-¿l)(í7-A2)---(tf-Art) = 0. Como un producto
en un anillo con división es solo cero en el caso de que uno de los factores,
al menos, sea cero, concluimos que a—Ák = 0 para algún £, de donde
a = AA, entonces se tiene que aeC. Por tanto, todo elemento de D es de C;
como C <= £>, se obtiene D = C

S 3. TEOREMA DE FROBENIUS
375
Estamos ahora en posición de probar el clásico resultado de Frobenius, a
saber
Teorema 7.e (Frobenius). Sea D un anillo con división algebraico
sobre F, el campo de los -números reales. Entonces D es isomorfo a uno de
los siguientes: el campo de los números reates, el campo de ¡os números
complejos, o el anillo con división de ¡os cuaiernios reales.
Prueba. La prueba consta de tres partes. En la primera, y más sencilla,
resolvemos la cuestión para el caso conmutativo; en la segunda, suponiendo
que D no es conmutativo, construimos una réplica de los cuaternios reales en
D\ en la tercera parte mostramos que esta réplica de los cuaternios
satisface completamente a D.
Supongamos que D ^ F y que a está en Dt pero no en F. De acuerdo con
nuestras hipótesis, a satisface algún polinomio sobre Ft de donde algún
polinomio irreducible sobre F. Si esta ecuación es lineal, a debe estar en F en
contra de lo supuesto. Así que podemos suponer que a2 —2aa+fi = 0 donde
a, fíeF. Luego (a-a)2 = a2—fi; afirmamos que a2 -fi<Q9 pues, de otra
forma tendría una raíz cuadrada 6 y tendríamos a—a — ±ó y, por tanto, a
estaría en F. Como a2—p<0 se puede escribir como —y2 donde yeF. En
consecuencia (a—a)2 = —y2, de donde I ] = —L Así pues si asD,
-i-'-
a$F podemos encontrar reales a, y tales que — = -i.
m - -
a—o.
Si D es conmutativo, escojamos ae£>, a$Fy sea í » donde a, y en F
y
se escogen de modo que hagan i1 = — L Por tanto, D contiene a F(i)t un
campo isomorfo al campo de los números complejos. Como D es
conmutativo y algebraico sobre F es evidentemente también algebraico sobre F{í),
Según el lema 7J0 concluimos que D = F{i). Luego si D es conmutativo
entonces es F o F(i).
Supongamos, entonces, que D no es conmutativo. Afirmamos que el
centro de D debe ser exactamente F. Si así no fuera, habría un a en el centro
que no seria de F. Pero entonces para algunas a, ye/1, I 1 = — 1 de
forma que el centro contendría un campo isomorfo al de los números
complejos, Pero, de acuerdo con el lema 7.10, si los números complejos
(o un campo isomorfo a ellos) estuviese en el centro de D entonces D = C7
luego D sería conmutativo. Por tanto, fes el centro de D.
Sea aeD, a$F; para algunas at yef, / = satisface i2 = — L Como
y
i$F, i no está en el centro de IX Por lo tanto hay un elemento beD tal que

376
TÓPICOS SELECTOS — Cap 7
c = bi—ih í* 0.Calculamos ic+ci\ ic+ct = i(bt—ib)+(bi—ih)i — ibi—i2b
+bi2—ibi=0t ya que i2 = — I. Así pues, ic = —o; deducimos de
esto que ir2 = —c(ir) = — r( —rí) = c2f\ es decir.r2 conmuta con L
Ahora bien, c satisface alguna ecuación cuadrática sobre Fm c2+Xc+n = 0.
Como r2 y ¡a conmutan con i\ Xc debe también conmutar con /; es decir.
Ici = He = Xic = — Xcit de donde 2Xci = 0, y como 2ri ^ 0, tenemos
que / = O, Luego c2 = —/i: como c£F (pues rí = —ic ^ ic) podemos
decir, como antes hicimos, que /i es positivo y por lo tanto /i = v2 donde
vef. Por lo tanto, c2 = — v2; sea/ = -. Entonces / satisface:
v
2
'"■-?—■
2) jt + ij = -/+/- *= — 0.
r i? c
Sea A- = //. Las /,_/, A: que hemos construido se comportan como las de los
cuaiernios. de donde T— {a0+s(,/+c<Iy+s(3/r|a0> se,, ct2l 0L^eF\ forma
un subantllo con división de D isomorfo a los cuaternios reales. ¡Hemos
construido una réplica r, del anillo con división de los cuaterntos reales
en D\
Nuestro último objetivo es demostrar que T — £>.
Si reD satisface r2 = —1, sea N(r) = {xeD\xr = rx). N(r) es un
subanillo con división de D; además, r, y por lo tanto todos los 30+3,r,
aüf atcFt están en el centro de N(r). Según el lema 7JO, de ello se sigue que
N(r) = {ao+a,r|at0, axeFm Luego si xr = rx entonces x = oto+^tr P^ra
algunas a0, ex, enf.
u—ce
Supongamos que usD% u $Fm Para algunos a, peF, w = satisface
ir2 = — I. Afirmamos que wi+iw conmuta tanto con / como con w\ para
i(wi+iw) = iui+i2w = iwi+wi2 = (iw+wi)i ya que i2 = — I.
Análogamente, i#(u7+ij<0 = (iOT+Ju>)i0. Por la observación del párrafo anterior,
wi+iw = 2¿ + 2¡í = af0+a1ií'- Si ii^r esta última relación implica af = 0
(pues de otra forma podríamos resolver para w en términos de /). Luego
wi+iw = a0ef. Análogamente, wj+jw = PqgF y wk+kw = y0eF. Sea
2„ + «!!/ + &- + *>k.
2 2 2
Entonces
2 2 2

i 4 CUATERNIOS ENTEROS Y EL TEOREMA DE LOS CUATRO CUADRADOS
377
análogamente zj+jz — 0 y zk-\-kz = 0, Afirmamos que estas relaciones
obligan azaserO. En efecto,0 = zk+kz = zij+ijz = {zi+iz)j+Hjz~zi) =
iijz—z/h Pue* zi±iz = 0, Pero / ^ 0, y como eslamos en un anillo con
división de ello se sigue que /z—zj = 0. Pero jz+zj = ü. Luego 2/r = 0. y
como 2/ ?í 0, tenemos z = ü. Volviendo a la expresión para z tenemo*
w^^Ho y_ok = 0^
2 2 2
de donde iré Tm en contradicción con ir¿ T. Luego, ciertamente, tve 7". Como
U —7.
iv = , u = /fir+a y por lo tanto. «e7\ Hemos probado que cualquier
elemento de D está en 7". Como íc D concluimos que D = T: como Tes
isomorfo a los cuaternios reales tenemos que D es isomorfo al anillo con
división de los cuaternios reales. Pero esto es, exactamente, el enunciado del
teorema.
Problemas
1. Si el anillo con división D es de dimensión finita corno espacio
vectorial sobre el campo Fcontenido en el centro úe Dm pruébese que Oes
algebraico sobre F.
2. Proporciónese un ejemplo de un campo K algebraico sobre otro campo
F, pero no finito dimensional sobre Fm
3. Si A es un anillo algebraico sobre un campo Fy A no tiene divisores de
0 pruébese que A es un anillo con división.
4. CUATERNIOS ENTEROS Y EL TEOREMA DE LOS
CUATRO CUADRADOS
En el capítulo 3 consideramos cierta clase particular de dominios
enteros* la de los dominios euclidianos. Cuando los resultados de esta clase
de anillos se aplicaban al anillo de los enteros gaussianos obteníamos, como
una consecuencia, el famoso resultado de Fermat de que todo número
primo de la forma 4/7 H- I es la suma de dos cuadrados.
Consideraremos ahora un subanillo particular del de los cuaternios que
en todos los aspectos, salvo en el de su falla de conmutatividaó. parecerá
un anillo euclidiano. A causa de ello será posible caracterizar explícitamente
a sus ideales izquierdos. Esta caracterización de los ideales izquierdos nos
llevará rápidamente a una prueba del teorema clásico de Lagrange, de que
todo entero positivo es una suma úe cuatro cuadrados.

376
TÓPICOS SELECTOS — Cap. 7
Sea Q el anillo con división de los cuatermos reales. Procedemos a
' introducir una operación adjunia en Q, *, por la siguiente
Definición. Para x = a0+a, i+a27+fltjAr en Q, el adjunto de xf al que
denotaremos por x*, está definido porx* = sCq—2,/—22y—a3/r.
Lema 7.1 L El adjunto en Q satisface
1) jt** = x
2) (&f + y>)* = Sx* + yy*
4) (jcy)* = y*x*
para iodo xt y en Q y cualesquiera reales ó y y.
Prueba. Si x = cf0+ctlf+a2./+a3/r, entonces x* = a0— «ií— a2y—ct3/r.
luego x** = (x*)* = «(>+«! i+a2y+a3Á\ lo que prueba (1).
Sean x = a0-\-ct}i^-a2j-\-a3k y y = Po+fiíi+fiíJ+fi^ elementos de
Qy sean¿ y y números reales arbitrarios. Entonces Sx+yy = (óx0-\-yfí0) +
(Sal-\-ypl)i + {SoL2-\-yp2)j-\-{5fx3-\-yfi3)k^ luego, por la definición de *,
(¿x+y^)* = iw0+yfio)-{^i+yfii)i-{Sa2 + yfi2}j-iS3i3 + yfi3)k =
SiBo-Bii-BTJ-Bity + yiPo-Pii-fid-Pik) = &x* + yy*- Lo que es
claro que prueba (2).
A la luz de (2), para probar (3) es suficiente hacerlo para una base de Q
sobre los reales. Lo probamos para la base I, /,/, /r. Ahora bien, ij — kt de
donde {ij)* *= k* = — k = ji — (—_/)( — /) =7*1*. Análogamente (//r)* =
**i*t (jk)* = k*j*. Además, (r2)* = (-1)* = -1 = (i*)2, y análogamente
para y y /r. Como (3) es cierto para los elementos de la base y (2) se verifica, (3)
es cierto para todas las combinaciones lineales de los elementos de la base
con coeficientes reales, de donde (3) se verifica para x y y de Q arbitrarios.
Definición, Si xeQ entonces la norma de x, a la que representaremos
por N(x), está definida por N(x) = xx*.
Nótese que si x = a0-\-aii-\-a2j-\-tx3kw entonces N(x) = xx* =
(tx0-\-^¡-\-a2j-\-tx3k) (txo-axi-^j-txik) - tx02 +a,2 + a22 +a32; por
tanto, N(0) = 0 y N(x) es un número real positivo para x ¥= 0 en Q. En
particular, para cualquier número real a, N(&) = a2. Si x ^ 0, nótese
-1 1 *
quex = x .
N(«)
Lema 7.12. Para todo x, ysQ9 N{xy) = N(x)N(y)„
Prueba. Por la misma definición de la norma, N(xy) = (xy)(xy)*; por
parte (3) del lema 7.11, (xy)* — >>*x* y por lo tanto N(xy) = xyy*x*.
Pero yy* = N(y) es un número real y por tanto está en el centro de Q; en

I 4. CUATERN10S ENTEROS V EL TEOREMA OE LOS CU ATP O CUADRADOS 379
particular debe conmutar con x*. Por consiguiente, N{xy) = x{yy*)x* =
(xx*)ÍW*)= N(x)N(y).
Como una consecuencia inmediata del lema 7.12 se tiene.
Lema 7.13 (Identidad de LagrangeJ. 5/tz0, aJt a2l cr3 y y?0, 0,, 02, 03
son números reales, entonces {a02-\-ax 2 +a22 + ct32) (p02 + p,2 +/í22 + j332) =
&+«lft+«30l)a + («oA + tti/íz-Olfe+^A»)2-
Prueba. Hay desde luego una prueba obvia de este resultado, la de
efectuar las multiplicaciones en ambos miembros y comparar los resultados.
Pero una forma más fácil de reconstruir el resultado y al mismo tiempo
probarlo, es observar que el primer miembro es N(x)N(y)9 mientras que el
segundo miembro es N{xy) con4x = a0+a1i+a2./+ff3¿ y y = p0+fili+
fizj+Pik. De acuerdo con el lema 7.12, N{x)N(y)= N(xy), luego la
identidad de Lagrange,
La identidad de Lagrange nos dice que la suma de cuatro cuadrados por
la suma de cuatro cuadrados est de nuevo, de una forma muy específica, la
suma de cuatro cuadrados. Un resultado muy impresionante de Adolf
Hurwitz dice que si la suma de n cuadrados por la suma de n cuadrados es
de nuevo una suma de n cuadrados, donde esta última suma tiene
términos bi lineal mente calculables partiendo de las otras dos sumas, entonces
n = 1, 2, 4 u 8. Hay, en realidad, una identidad para el producto de
sumas de ocho cuadrados, pero es demasiado largo y complicado para
transcribirlo en este lugar.
Veamos ahora por qué es oportuno introducir el anillo de Hurwitz de
cuaternios reales. Sea £ = -£(1 +i+j+k) y
H = {mü(t-\-ml¡-\-m2j-\-tnzk\mQ% ml9 m2y /n3 enteros}.
Lema 7.14. H es un subanilio de Q. Si xeH% entonces x^sH y N(x)es un
entero positivo para todo elemento distinto de cero x de H.
Dejamos la prueba del lema 7.14 para el lector. No ofrece dificultad
alguna.
En cierto modo, H podría parecemos un anillo un poco extraño,
arbitrario. ¿Por qué usar los cuaternios £? ¿Por qué no considerar simplemente
el anillo más natural Q0 = {nj0-\-n7l¡-\-m2j-\-nj3k\m0t mx, m2. /w3
enteros? La contestación es que Q0 no es suficientemente grande, mientras
que H es, según el lema clave que sigue algo que parece suficiente.
Necesitamos este lema por que nos va a permitir caracterizar los ideales izquierdos
del anillo. Esta posibilidad quizá fue la razón por la que Hurwitz se inclinó a
trabajar en H en lugar de en QQ.

360
TÓPICOS SELECTOS — Cap. 7
Lema 7.15 (Algortimo de la división izquierda)- Sean a y belementos
de H ton /> 5* 0. Entonces existen dos elementos c y d en H. tales que a =
rb + dy NUt)< W(b).
Prueba. Ames de probar el lema, veamos qué es lo que nos dice. Si
observamos la sección del capitulo 3 que trata de los anillos euclidianos,
podemos ver que el lema 7.15 nos asegura que, excepto por su falta de
conmutatívidad, H tiene todas las propiedades de un anillo euclidiano. El
hecho de que los elementos de H puedan fallar en cuanto a conmutatívidad
se refiere, no nos preocupa. Ciertamente, debemos tener un poco de cuidado
para no saltar a conclusiones erróneas; por ejemplo, a = ch+dm pero no
tenemos ningún derecho a suponer que a es también igual a hc~td9 pues b
y r es posible que no conmuten. Pero esto no influirá en ningún argumento
de los que usemos.
Debemos comenzar por probar el lema en un caso muy particular, a
saber, aquél en que a es un elemento arbitrario de //, pero b es un entero
positivo n. Supongamos que a = t^+^\i+tlrj + t^k donde /(,, tXj t2 y r3
son enteros y que h = n donde n es un entero posili\o. Sea c = x0^ + xíl +
A"2 i+x*k donde .v0, .v,, x2 y x3 son enteros aún por determinar. Queremos
escogerlosen tal forma que haganque obligadamente N[a — cn)< N{n) = n2.
Pero
a-cn -I'oí -i J + f|t + f27 + f3Al-«-v0l -f 1
— nxx i — tix2j — nx3ík
H-i(l0+2í1-/i(/0 + 2A2))jH-i(f0 + 2íj-/í(í0+2x3))A\
Si pudiésemos escoger los enteros jt0, jr,, x2 . x3 de tal forma que se tuviera
rG-nxQ\^$n.[r0+2tí-nV0+2xí)\^n,\t0 + 2t2-n(t0+2x2)\ ^n y |r0 +
2t}—n(r0-\-2xA)\ ^n entonces tendríamos
N(a-*,) = (i°""yo)1 + <'o + *.-"fto+Z*.»a + ...
4 4
< T7"2 + ¿"Z + ¿flI + i»2 < «2 = *<").
que es el resultado deseado. Pero afirmamos que esto siempre puede hacerse:
I) Hay un entero x0 tal que /0 = x0rt + r donde $ r $ -; para
n
este x0, |f0-jc0n| = \r\ $ -.

14 CUATERMIOS ENTEROS V EL TEOREMA DE LOS CUATRO CUADRADOS 331
2) Hay un entero A tal que/0 + 2/, = kii+r y 0^r<n. Si A — tQ es par,
póngase 2.v, = A-/0; entonces/0 + 2f, = (2jc, H-/0)nH-r y lfc+ 2r, —
(2.v,-Mutiil = r<«. Si, por otra parte. A— r0 es impar, hagamos
2a-, = A— í(>h-I : entonces/0+2/, = (2xl-\-tt)—])n-\-r = {2xt+t0)n-\-
r—j?. de donde |/0+2/l— <2x, + t0)n\ —\r—n\^n ya que 0^r<«.
Podernos, pues, encontrar un entero _v, que satisfaga |r„ + 2/,—
(1v,+/0)ii|$ií,
3) Como en (2). podemos encontrar enteros .v2 y x3 que satisfacen
|/0 + 2/2-<2*2 + /(l)ii| *£n y |/0 + 2f3-(2.Y3+/0)/i| o»
respectivamente
En el caso especial en que a es un elemento arbitrario de H y b es un
entero positivo, hemos mostrado que el lema es cierto.
Vamos ahora al caso general en que a y b son elementos arbitrarios de
H y M 0. Según el lema 7.14. n = bb* es un entero positivo, luego existe
un cbH tal que ab* = en-\-d¡ donde N(dt)<N{ti)m Luego N{ah* — cn)<
Nin); pero n — />/>* de donde tenemos N(ab* — cbb*) < N(n) yt por tanto,
Nt{a—cb)b*)<N{n) = N{bhm). De acuerdo con el lema 7.12. esto se reduce
a Nla-ch) Ntb*)< N{b)N(b*)\ como N(b*)>Q tenemos N{a-cb)< N(b).
Haciendo d = a—ch tenemos a = cb+d donde N(d)<N{b). Y esto
completa la prueba del lema.
Como en el caso conmutativo, podemos deducir del lema 7.1 Sel
Lema 7.16. Sea L un ideal izquierdo de //. Entonces existe un elemento
ue L tal que todo elemento en L es un múltiplo izquierdo de u: en otras palabras,
existe un ueL taique iodo xeL es de laforma x = rudondertH.
Prueba. Si L = (0) nada hay que probar, simplemente hacemos u = 0-
Podemos, pues, suponer que L tiene elementos distintos del cero. Las
normas de los elementos distintos de cero son enteros positivos (lema 7.14)
de donde hay un elemento u ^ 0 en L cuya norma es mínima entre las de los
elementos distintos de cero de L. Si xeLm según el lema 7.15, x = cu-\-d
donde N{d) < N(u). Pero d está en L porque x y u, y por tanto cu, están
en L que es un ideal izquierdo. Luego N{d) — 0 y, por tanto, d — 0. De
donde es una consecuencia que x — cil
Antes de que podamos probar el teorema de los cuatro cuadrados, que
es la ñnalidad de esta sección, necesitamos un lema más, a saber
Lema 7.17. Si aeH entonces a'leH si y solosi N{a) = L
Prueba. Si tanto a como a~ ' están en //, entonces, según el lema 7.l4t
tanto N(a) como N{a~') son enteros positivos. Pero aa~' = I, de donde,
de acuerdo con el lema 7,12, N(a)N(a~') = N{aa~') = N{\) = 1, Luego
ha de tenerse N(a) = I.

382
TÓPICOS SELECTOS— Cap. 7
Por otra parte, si aeH y N(a) — 1, entonces aa* = N(a) = I y a~l —a*.
Pero según el lema 7.14, como aeH tenemos a*eH, de donde a~ l = a*
está también en H.
Hemos determinado bastante de la estructura de H para usarlo en forma
efectiva en el estudio de las propiedades de los enteros. Probamos adora el
clásico teorema de Lagrange.
Teorema 7.f. Todo entero positivo puede expresarse como la suma de los
cuadrados de cuatro enteros.
Prueba. Dado un entero positivo n afirmamos en el teorema que r¡ =
xD2 + xí2-\-x22-\-x32 para cuatro enteros x0, xtl x2 y x3. Como todo entero
se factoriza en un producto de números primos, si todo número primo
fuera realizable como una suma de cuatro cuadrados, teniendo en cuenta la
identidad de Lagrange (lema 7.13), todo entero sería expresable como una
suma de cuatro cuadrados. Hemos reducido el problema para poder
considerar tan solo números primos/?. El número primo 2 es claro que puede
escribirse como la suma de cuatro cuadrados: 2 = l2 + l2+02+02.
Luego, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que n es un número
primo impar. Como es costumbre, lo denotamos porp.
Consideremos los cuaternios Wp sobre Jp^ los enteros mod p: Wp—
{x0-\-zxi-\-a2j+a}k\a0t a,, a2, ajG*/p}- Wp es un anillo finito; además,
como p =£ 2 no es conmutativo, pues ij = —ji ^ ji. Luego, según el
teorema de "Wedderburn, no puede ser un anillo con división, de donde
según el problema 1 al final de la sección 5 del capítulo 3, debe tener un
ideal izquierdo que no sea ni (0) ni Wp.
Pero entonces el ideal bilateral V en H definido por V = {x0£+x, í+
x2j-\-x^k\p divide a x0, x,, x2 y x3} no puede ser un ideal izquierdo
máximo de //, ya que HfV es isomorfo a Wp. (¡Pruébese!) (Si V fuera un
ideal máximo izquierdo en //, ///K y por tanto Wp, no tendría otros
ideales izquierdos que (0) y HfV).
Hay, pues, un ideal izquierdo L de H que satisface: L & Hr L & K, y
¿dK De acuerdo con el lema 7.16, hay un elemento ueL tal que todo
elemento de L es un múltiplo izquierdo de u. Como pe y, psLt de donde
p = cu para algún ce H. Como u^V+c no puede tener un inverso en //, pues
de otra forma u = c~lp estaría en V. Luego N{c) > I por lema 7.17, Como
L ///,£/ no puede tener un inverso en Hr de donde N(u) > I. Luego
p = ¿w, p1 = N(p) = N{cu) = N(c)N(u)m Pero N{c) y N{u) son enteros,
pues tanto c como u están en H* ambos son mayores que I y ambos dividen
ap2. La única forma de que esto sea posible es que N(c) = N(u) — p.
Como ve//, u = m0C-^tníi-\-m2j-\-m3k donde m0t mí% m2% m3 son
enteros; luego 2u = 2mü£-\-2mli-\-2m2j-\-2m3k = {m0-\-m0i+moj-\-m0k)
+ 2m,/+2fn2y+2m3A: = m0+{2mi+mQ)i-\-(2m2-\-m0)j-\-{2m5-\-m0)k. Por
tanto, N(2u) = m02 +(2mt +m0)2 + (2m2+m0)2 + (2jn3+m0)2. Pero

f 4 CUATERNIOS ENTEROS Y EL TEOREMA DE LOS CUATRO CUADRADOS 383
N{2u) = N(2)N(u) = 4p ya que Ní2) = 4 y N{u) = p. Hemos demostrado
que Ap = m02+(2m, + m0)2 4- (2/w2+m0)2 + (2m3+m0)2. Y ya casi hemos
terminado.
Para terminar la prueba introducimos un viejo truco de Euler: Si
2a = x02+x,2+x22+x32, donde a, x0. x,, x2 y x3 son enteros, entonces
a = >o2+>¡2+>22+>32 P^a algunos enteros y0t yA, y2t y2„ Para ver
esto nótese que como 2a es par, los x son todos pares, todos impares, o dos
pares y dos impares. En cualquiera de los tres casos podemos renumerar los
x y aparearlos de forma que
Xp + X, *0^*| .. *2+*3 _ „ A"l~*3
>0 —5—"Jm —5—• ■** —i—• y *3 = ~T~
sean todos enteros. Pero
y.' + r.'+r.'+r,1 = (üsi*)' +(í£^i)J +(íi±íij +(íi^ííj
= iíx02+JfI2+x22+x32)
- i(2£7)
= c^-
Como 4/> es una suma de cuatro cuadrados, según la observación que
acabamos de hacer 2p también los es; como 2p es una suma de cuatro
cuadrados, p también debe ser igual a una tal suma. Luego p = o0z+gj24-
a2z-\-a¿2 para algunos enteros a0, aíy a2^a3,y e\ teorema de Lagrange ha
quedado establecido.
Este teorema es el punto de partida de una gran área de investigación
en teoría de números, la del llamado problema de Waring. Se pregunta en
éste si todo entero puede escribirse como una suma de un número fijo de
potencias A-ésimas. Por ejemplo, puede demostrarse que todo entero es la
suma de nueve cubos, diecinueve cuartas potencias, etc. En el presente
siglo el gran matemático Hilbert demostró que el problema de Waring tiene
una respuesta afirmativa.
Problemas
1. Pruébese el lema 7.14.
2. Encuéntrense todos los elementos a de Q0 tales que a"l está también
en £0.
3. Pruébese que hay exactamente 24 elementos a en H tales que a~l
está también en H. Determínense todos ellos.

36-1
TÓPICOS SELECTOS Cap. 7
4. Proporciónese un ejemplo de una a y una /*. A ^ 0. en Qíy tales que sea
imposible encontrar /■ y d en Qiy que satisfagan a = ch + d donde N{d) <
iV(AK
5. Pruébese que si atH entonces existen enteros z. fi tales que
cr2 + aa + /f = 0.
6. Pruébese que hay un entero positivo que no puede escribirse como la
suma de tres cuadrados.
*7_ Exhíbase un número infinito de enteros positivos que no puedan
escribirse como la suma de tres cuadrados.
Lecturas suplementarias
Para una discusión más profunda de campos finitos: Albert, A. A.,
Fundamental Concepts of Higher Algebro. University of Chicago Press,
Chicago, 1956.
Para muchas pruebas del teorema de los cuatro cuadrados y una discusión
del problema de Waring: Hardy, G. H. y Wright, E. Mk> An Intro-
duction to the Theory of Ntunhers* segunda edición. Clarendon Press,
Oxford, Inglaterra, 1945.
Para otra prueba del teorema de Wedderburn: Artin, E., "Uber einen Satz
von Herrn J. H_ Wedderburn", Abhandlungen, Hamburg, Mathematisches
Seminar* vol 5 (1928). págs. 245-250.

índice analítico
ABEL, 229, 244, 249
Abeliano, grupo, 41
Adjunción de un elemento a un campo,
210
Adjunto(s), 317, 320
cuaternios, 377
hermitiana, 317, 320, 341, 342
Albert, 360, 384
Algebra, 253
oooleana, 20
con división algebraica sobre /\ 374
de todas las matrices n X n sobre F,
272
de transformaciones lineales, 252
lineal, 252
teorema fundamental del, 338
Algebraica, extensión, 204
Algebraico, elemento, 200, 201
de grado n, 203
número, 205-206
entero, 206
Algoritmo:
de división izquierda, 380
euclidiano, 29
Alternante, grupo, 249
de grado n, 86
Ángulo, trisección del, 222
Anillo(s), 103, 253
asociativo, 104
booleano, 112
cociente, 117» 119
con elemento unitario, 104
conmutativo, 104
de división, 109
de matrices racionales 2X2, 106
de polinomios, 136
de polinomios en n variables, 146
de todas las funciones reales
continuas, 121
de transformaciones lineales, 158
euclidiano, 126, 377
• homomorfismos de, 113
isomorfismos de, 115
no asociativo, 104
polinomio sobre un. 146
unidad de un, 128
Aniquilador de un subespacio, 175
Antihermitiana, 342
Ant¡simétrica, matriz, 316
Aplicaciones) 21, 22
composición de, 24
conjunto de todos los. invectiva, 26,
39
identidad, 22
igualdad de, 24
inverso de un, 26
producto de, 24
restricción a un subconjunto, 28
suprayectiva, 23
invectiva, 23
ARTIN, 229, 249, 384
Asociados, 129, 147
Asociat¡va(s), ley(es), 25, 34, 39
Asociativo, anillo, 104
Autoadjunta, matriz, 342
Automorfismofe):
campo fijo de un grupo de, 230
de grupos, 72
de K relativos a Tt grupo de los, 231
de un grupo, 72
del campo, 229
exteriores, grupo de los, 76
interiores, 73
interiores, grupo de los, 73, 74
Axioma de elección, 120
Basefe), 162, 166
dual, 174
ortonormal, 340
dadas, matriz de una transformación
lineal respecto a, 266
Bessel, desigualdad de, 187
Binaria, relación, 22
BnucHOFF. 36, 367
Biyectiva. correspondencia^), 26
conjunto de todas las. 26, 39
Booleana, álgebra, 20
Booleano, anillo, 112
Brauer-Cartan-Hua, teorema de. 373
BURNSIDE, 102
Campofe), 105, 109
adjunción de elementos a un, 200
automorfismos de, 229

386
índice analítico
Campos,
de cocientes. J23. 125
de descomposición, 214, 216-219, 236.
238
de funciones racionales en n variables,
146
simétricas, 236
extensión de un, 198
fijo de un grupo de aulomorfismos, 230
finito, 105. 361, 363, 364
perfecto. 228
Cancelación, leyes de, 43
Canónka(s) formafs), 280
de Jordán, 298
racionales, 303. 306
Característica. 333
de un dominio entero, 112
finita. 112
Características, raíces. 261. 281-282. 284
multiplicidad de las. 300
Característico, polinomio, 307
subgrupo, de C, 76
vector, 263
Cardan, fórmulas de, 243
Cartesiano, producto, 16
Cauchy, 92
Cauchy, teorema de, 67, 92
Cayley, 77
Cayley-Hamilton, teorema de, 255, 307,
335, 336
Cayley, teorema de, 77
Centralizados 55
Centro de un grupo, 55, 74
Cero, divisores de, 109
matriz, 272
Cerrado respecto a una operación, 39
Cíclka, descomposición, 94
Cíclico, 190
grupo, 42, 47
generador de un, 55
módulo, 190
subespacio. 292
subgrupo, 47
Ciclolómico, polinomio, 243, 367
Clasefs):
de congruencia. 33, 257
de conjugados, 89, 95
de equivalencia, 18
de semejanza, 279
ecuación de, 90, 366
lateral derecha, 54
izquierda, 54
Cociente, anillo, 115, 117, 119
espacio, 160
estructura, 58
grupo, 56, 58
módulo, 189, 194
Cocientes, campo de, 123, 125
Coeficientes, 137
Cofaclor. 336
Columna de una matriz, 269
Combinación lineal, 163
Compañera, matriz. 305
Complejo, espacio vectorial. 178
Complemento, 16
Complemento ortogonal. 182
Composición de aplicaciones. 24
Congruencia, clases de, 33. 357
módulo n, 33
módulo un subgrupo, 48
Congruente, 354
Conjugación, 88
Conjugado(s), 84
clases de. 89, 95
elementos, 88
subgrupos, 101
Conjuntóte):
ajenos, 15
ajenos, 14
mutuamente. 15
de índices, 14
de los enteros módulo n, 34
de subconjuntos, 23
de todas las aplicaciones invectivas, 26,
39
diferencia de, 15
imagen de un, bajo un mapeo, 23
infinito. 28
intersección de, 14
ortonormal, 183
teoría de, 12
unión de, 13, 15
vacío, 13
Conmutadores), 245
de C. 7|t 245
subgrupos, más altos, 245
Conmutativas, leyes, 34
Conmutativo^) anillo, 104
anillos de polinomios sobre anillos, 145
grupo, 40
Construcción con regla y compás, 220
Construcción o prueba invariante, 174,
175
Conslructible, 222
número, 220
Contenido de un polinomio, 143, 147
Correspondencia biyecliva, 26
Cramer, regla de, 330, 331
Criterio:
de Eisenslein. 144, 232, 241
de Euler, 365
Cuaterniofr), 118. 212. 220, 286, 365.
375
adjunto de un, 378
enteros» 377
norma de un, 378
Cuatro cuadrados, teorema de los, 377
Cubo, duplicación del. 222. 223
De dimensión finita, 163
De Euclides, algoritmo. 29
De las casillas, ley. 1J0
De Morgan, reglas de, 19
Definida positiva. 347
Din Wmrdín, van, 249
Derecha, clase lateral, de un siiberupiv
4tt
invcniblc a la. 255

índice analítico
367
Derecho, ideal. 119
Derivada, 142. 224
Desargues, teorema de, 366
Descomponible, conjunto de
transformaciones lineales, 287
Descomposición en ciclos, 94
Desigualdad;
de Bessel, 187
de Schwarz, 181. 187
del triángulo. 187
Determinanle(s>, 321
de un sistema de ecuaciones lineales.
330
de una matriz, 323
de una transformación lineal, 329
Diagonal, matriz, 276, 302
subconjunlo, 16
Diagonal iza hle, 302
DiCKSON, 360
Dtecisieteágono regular, 224
Diferencia, conjunto, 15
(o cociente), módulo, 189
simétrica de dos conjuntos, 19
Diédrico. grupo, 61
Dimensión. 169
Dioianto, 360
Directa, suma:
de módulos, 190
exterior. 160
interior, 160
Distributiva^) ley(es), 34, 104
Di visor (es), 29
elementales, 308, 309
División algebraica, álgebra con, 374
algoritmo de la, para polinomios, 139
anillo con, 109
Divisibilidad. 127
Dominio:
de factorización única, 148
entero, 109
Dual(es), base(s), 174
espacio(s). 171. 173
segundo, 174
Duplicación del cubo, 222. 223
Ecuación(es):
de clase, 90, 366
Hiscnstein, criterio de, 144. 232, 241
Elección, axioma de. 120
Elementales, divisores, de una
transformación lineal. 306-309
funciones simétricas, 234. 236
Klemento(s);
adjunción de un, a un campo, 200
algebraico. 200
conjugados, 88
en un módulo, orden de, 195
identidad. 39
orden de un, 50
periodo de un, 50
primo, J30, 147
separable, 228
Eneágono regular, 224
Hnlcro, dominio, 109
característica de un, 112
Eniero(s), 28
algebraicos. 206
l!üiissiiinos, 133
purticiruciún de un, 93
primos relativos, 30
Enteros módulo u. conjunto de. 34
Equivalencia, clase de, 18
Escalar (es), 156. 178
matrices, 272
Kspacio(s):
cociente. 160
con producto interior. 178. 180. 338
dual. 171. 173
vectorial, 156
vectorial complejo, 178
vectorial real, 178
Espectral, resolución, 352
Expansión lineal. 163
Extensión:
algebraica, 204
de un, campo, 198
finita, 198-201
grado de una, 198
normal, 236, 237, 240
separable. 229
simple, 226, 227
Exterior, suma directa, 160
Exteriores, grupo de automorfismos, 76
Euclidiano, anillo. 126. 377
Euler. 51. 360, 383
Euler, criterio de. 365
función 7T de. 51. 77, 219, 242
Factor, grupo, 58
Factorización única, dominio de, 148
teorema de, 31, 131
FciT, 67
Fkrmat, 51, 126, 133, 135, 360, 377
Fermat, pequeño teorema de, 371
Finita, característica, 112
Finitamente generado(s), módulo(s), 190
teorema fundamental sobre, 190
Finito(s):
campo(s), 105, 361, 363, 364
grupo, 40
grupos abelianos. teorema sobre. 192
Forma(s):
canónica. 280
canónica de Jordán, 298
de Jordán, 299
racional canónica, 303, 306
real cuadrática, 353
triangular, 279. 282
Fórmulas de Cardan, 243
Frobfnius. 360, 374
Frobenius. teorema de. 374
Funcional lineal. 173, 188
Funciones:
anillo de todas las, reales cotinuas, 121
racionales, 139. 233
racionales simétricas, 233, 234
simétricas elementales, 294, 236

388
índice analítico
GaLoís, 56. 198
Galois, grupo de, 229, 239, 247, 248
teoría de. 216, 229.237
teorema fundamental de la teoría de,
239
Gauss, lema de, 143, 145, 147
Gaussianos, enteros, ] 33
Gelfonu, 207
Generado por:
l/, subgrupo, 71
W% subgrupo de G, 47
Generador de un grupo cíclico, 55
Grado ni
algebraico de, 203
de /<*), 146
de un polinomio, 138
de una extensión, 198
grupo alternado de, 86
grupo simétrico de, 40, 81, 233, 246,
249, 278
Gram-Schmidt. proceso de ortogonaliza-
ción de, 183
Grupü(s), 39
abeliano, 40
alternante, 249
alternante de grado n, 86
automornsmos de un, 72
centro de un, 55, 74
cíclico, 42, 47
cociente, 56, 58
conmutativo, 40
de automornsmos, campo fijo de un,
230
de auiomorfismos de K relativos a F,
231
de auiomorfismos exteriores de Ct 76
de automornsmos interiores, 73, 74
de Galois, 229, 239, 247, 248
de permutaciones. 81
diédrico, 61
factor, 58
finito, 40
generador de un, cíclico, 55
homomorfismos de, 61
isomorfismo de, 64
isomorfos, 64
orden de un, 40
simétrico, 93, 323
simple, 66
soluble, 99, 246
Halmos, 195, 357
Hall, 102
Hamilton, 107, 360
Hardy, 384
Hermite, 207, 208
Hermitiano(a), adjunto, 317, 320, 341,
342
matriz, 317, 321
transformación, 338, 343, 347
transformación lineal, 346
Hexágono, regular, 223
Hilbert, 207, 383
Hom:
(l/,F), 158
{VWW\ 172, 173,351
Homogéneas, ecuaciones lineales, 177
Homomorfismofs), 6J, 113
de anillos, 113
de espacios vectoriales, 158
de grupos, 61
de módulos, 190, 194
núcleo de un, 62, 114
Hurwitz, 207, 360, 379
(íj). entrada, 270
Ideal(es), 115, 116, 120
derecho, 119
izquierdo, 118
máximo, 120
primo, 151
principal, 127
radical de un, 152
Idcmpotente, 260
Identidad, elemento, 39
aplicación, 22
Identidades:
de Lagrange, 379, 382
de Newton, 242
Igualdad de dos conjuntos, 13
Igualdad de aplicaciones, 24
Imagen, 22
de un conjunto bajo una aplicación, 23
inversa, 23, 64
Impar, permutación, 86
Independencia lineal, 162
índice:
de H en G, 49
de nilpotencia, 289
Inercia, ley de Sylvester de la, 354
Infinito, conjunto, 28
Interior, producto, 178, 180
espacios con, 178, 180, 338
Interior, suma directa, 160
lnlerior(es), automorfismo(s), 73
grupo de, 73, 74
Intersección de conjuntos, 14, 15
Invariante, construcción o prueba, 174,
175
subespacio, 280, 285
Invariantes:
de transformaciones lineales nilpoten-
tes, 292, 293, 294
de un grupo abeliano finito, 193
Inversa, imagen, 23, 64
Inverso de una aplicación, 26
Inverso, elemento, 39
Invertlble, transformación lineal, 255
Irreducible, conjunto de
transformaciones lineales, 286
elemento, 147
módulo, 195
polinomio, 140
lineales homogéneas, 177
rango de un sistema de, lineales, 177
secular, 333
Isomorñsmo:
de anillos, 115

índice analítico
389
Isomorfismos,
de espacios vectoriales, 158
de grupos, 64
de módulos, 194
Isomorfos. anillos, 115
espacios vectoriales, 158
grupos, 64
Izquierdofa), algoritmo de división,
clase lateral, 54
ideal, 118
invertible, 255
Jacobson, 360, 372
Jacobson, lema de, 314, 319
teorema de, 372
Jordán, bloque de, 298
forma canónica de, 298
forma de, 299
Lagrange, 49, 360, 377
Lagrange, identidad de. 379, 382
teorema de, 50, 382. 383
Lema:
de Gauss, 143, 145. 147
de Jacobson. 314, 319
de Schur, 195
Ley(es):
asociativa, 25, 34, 39
conmutativa, 34
de cancelación, 43
de inercia de Sytvester, 354
de las casillas, 110
de Sylvester, 354
distributiva, 34
doblemente distributiva, 104
LlNDEMANN, 207
Lineal(es):
álgebra, 252
combinación, 163
ecuaciones:
determinante de un sistema de, 330
homogéneas, 177
rango de un sistema de, 177
expansión, 163
funcional, 173, 188
independencia, 162
Linealmente dependientes, vectores, 164
Lioüville, 207
Longitud, 178, 180
MacLaNe, 36
Matrices n X n sobre Fr 271
álgebra de todas las, 272
Matriz(es), 265
columna de una, 270
compañera, 305
de una transformación lineal respecto
a bases dadas, 266
determinante de una, 323
diagonal. 276, 302
escalar, 272
renglón de una, 270
hermitiana, 317, 321
ortogonal. 349
Matriz(es),
permutación, 278
semisi métrica, 316
simétrica real, 348
teoría de las 252, 265
transpuesta de una, 315
traza de una, 312
triangular, 281-282
unidad, 272
Máximo, ideal, 120
Máximo común divisor, 29, 128
McCov, 153
McKay, 92, 102
Mínimo, polinomio, 202, 256
Mínimo común múltiplo, 34. 132
Módulo(s), 188. 304
cíclico, 190
de una congruencia. 33
diferencia o cociente de. IK<*
finitamente generado. 190
finitamente generados, teorema
fundamental sobre. 190
homomorñsmo entre. 190. 194
irreducible. 194
isomorfismo entre, 194
orden de un elemento en un. 195
rango de un, 191
sobre J?, 189
Mónjco, polinomio, 144
Morgan, leyes de De, 19
Motzkin, 127, 153
Múltiple, raíz, 225
Multiplicativo, sistema, 125
Multiplicidad de una raíz, 211
Multiplicidad de una raíz característica.
300
Múltiplo, mínimo común, 34
Mutuamente ajenos, 15
n-variables:
anillo de polimonios en. 146
campo de las funciones racionales en.
146
polinomios en, 233
Newton, identidades de, 242
Nilpotencia, índice de, 289
Nilpotentes, transformaciones lineales.
287 288
invariantes de, 292. 293, 294
Niven, 207, 250
No abeliano, 40
No asociativos, anillos, 104
No negativas, transformaciones lineales.
347
No triviales, subgrupos, 46
Norma, 180
de cuaternios, 378
Normal(es), extensión, 236, 237, 240
subgrupo(s), 56, 57
transformación lineal, 338. 343, 345
Núcleo. 158
de un homomorñsmo, 62. 114
Número(s):
algebraicos, 205-206

390
índice analítico
Número(s>
constructibie, 220
primo, 30
trascendente, 205, 207
órbita de 5 respecto a 0, 83
Orden:
de G, 40
de un elemento, SI
de un elemento en un módulo, 195
Operación, cerrado respecto a una, 39
Ortogonales), 182, 349, 350
complemento, 182
matrices, 349
Ortogonalización, proceso de Granv
Schmidt, 183
Ortonormal, base, 340
conjunto, 183
/v-subgrupo de Sylow. 98
Pappus, teorema de, 366
Par, permutación. 85
Partición{es), 193, 294
de un entero, 93
Penladecágono regular, 224
Pentágono regular, 223
Pequeño teorema de Feímat, 371
Perfecto, campo. 228
Periodo de un elemento, 51
Permutaciones), grupos de. 81
impar, 86
matriz de una, 278
par, 85
Perpendicularidad, 178, 182
Pi fcr). función, de Euler. 51. 77. 219. 242
Poíinomio(s):
anillo de, 136
anillos de. sobre conmutativo*, 145
característico. 307
ciclotómico, 243, 367
contenido de un, 143
en n variables, 233
general de grado «, 244
grado de un, 138
irreducible, 140
mínimo, 202, 255
móm'co, 144
primitivo, 143
raíces de un, 210
simétrico, 236
sobre e| campo racional. 143
sobre un anillo. 146
valor de un, 200
POLLARD, 249
Positiva, transformación linea]. 347
Positivamente definida, transformación
lineal, 347
Primitiva, 148
raíz i-ésima, de la unidad. 242. 367
polinomio, 143
raíz de un primo, 365
Primo, elemento, 130, 147
ideal, 151
número, 30
Primo, elemento,
raíz primitiva de un, 365
Primos relativos, 130
Principales, anillo de ideales, 127
Principio de las casillas. 110
Producto:
cartesiano, 16
de aplicaciones, 24
interior, 178, 180
punto, 179
Propio, subconjunto, 13
Proyección. 22
Punto, producto, 178
A-módulo, 189
unitario, 189
Racional(es), forma, canónica, 303, 306
funciones, 139, 233
campo de, 235
simétricas, 233, 234
polinomios sobre un campo, 143
Radical de un ideal, 152
Radicales, soluble por, 243, 244, 247,
249
Raíz /r-ésima primitiva de la unidad, 242
Raízles), 211, 224
características, 261, 281, 282, 284
de polinomios, 211
múltiples, 225
multiplicidad de una, 211
Rango, 356
de un módulo, 191
de un sistema de ecuaciones lineales,
176
de una transformación lineal, 257, 258
Real(es):
anillo de las funciones continuas, 121
cuaternios, 107
espacio vectorial, 178
formas cuadráticas, 353
matriz simétrica, 348
Reñexividad de relaciones, 17
Regla de Cramer, 330. 331
Regla y compás, construcción con, 220
Reglas de De Morgan. 19
Regular:
diecisieteágono, 224
heptágono, 223
hexágono, 223
«-ágoiio, 224
pentadecágono, 224
pentágono. 223
transformación lineal, 255
Relación(es):
binarias, 22
de equivalencia, 17
reñexividad de una, 17
simetría de una, 17
transilividad de una. 17
Relativos, primos. 130
enteros primos, 30
Renglón de una matriz, 269
Residuo cuadratico. 100, 365
Residuo, teorema del,-200

índice analítico
391
Resolución espectral, 352
Restricción de una aplicación a un sub-
conjunto, 28
Samull, 15?
Schwarz, desigualdad de, 181, ]87
SCHNEIDER, 207
Schur, lema de, 195
Secular, ecuación, 333
Segal, 102
Segundo dual. 174
Semejanza, 279
Semicampo, 108
Separable, elemento. 228
extensión, 229
Siegel, 207, 250
Signatura, 355, 356
Simeiría de relaciones, 17
Símétrica(s), diferencia, de dos
conjuntos, 19
funciones, elementales, 234, 236
funciones racionales, 233, 234
campo de las, 235
matriz, 316
matriz real, 348
Simétricos, grupos, 93, 323
grupos de grado nt 42, 81, 233, 246,
249, 278
Simétricos, polinomios, 236
teoremas sobre, 236
Simple, extensión. 226, 227
grupo, 66
Singular, 257
transformación lineal, 255
Sistema de ecuaciones lineales:
rango de un, 176
determinante de un, 330
Sistema multiplicativo, 125
Soluble, grupo, 99, 245
por radicales, 243, 244, 247, 249
Subconjunto(s), 13
conjunto de, 23
diagonal, 16
propio, 13
restricción de una aplicación a un, 28
Subespacio, 158
aniquilador de un. 175
cíclico, 292
invariante, 280, 285
Subgrupofe), 46
característico, 76
cíclico generado por a, 47
clase lateral derecha de un. 48
conjugado, 101
conmutador, 71, 245
conmutador superior. 24*
derecha, clase lateral, de un, 48
generado por a, cíclico, 47
peñerado por C¿m 71
¿¡enviudo por W", 47
no irivial. 46
noiiicil >fr_ *7
/'Svlnu. '>N
imvmL Hi
Submódulo, 190
Suma:
directa exterior, 160
directa interior, 160
Suprayectivas, aplicaciones, 23
Svlow, 92, 97
Sylow, teorema de, 68. 97, 98 101,
82
Sylvester, ley de, 354
Sylvester, ley de inercia de, 354
Teorema:
de Brauer-Cartan-Hua, 373
de Cauchy, 67, 92
de Cayley, 77
de Cayley-Hamillon, 255, 307,
335, 336
de Desargues, 366
de factorización única, 31, 141
de Frobenius, 374
de Jacobson, 372
de la teoría de Galois, fundamental,
239
de Lagrange, 50, 382, 383
de los cuatro cuadrados, 377
de Pappus, 366
de Sylow, 68, 97, 98, 101
de Wedderburn, 361, 365, 367. 382
de Wilson, 99, 135
del álgebra, fundamental, 338
del residuo, 210
fundamental del álgebra, 338
fundamental de la teoría de Galois,
239
fundamental sobre los grupos abelianos
finitos, 192
fundamental sobre los módulos
finitamente generados, 190
pequeño de Fermat, 371
sobre los grupos abelianos finitos,
fundamental, 192
sobre los módulos finitamente
generados, fundamental, 190
sobre polinomios simétricos, 236
Teoría:
de conjuntos, 12
de Galois. 216, 229, 237
de matrices, 252, 265
Thompson, 66
Trascendentes, números, 205, 207
Transformación (es) lineal (es), 253
álgebra de las 252
anillo de, J58
conjunto descomponible de, 287
determinante de una, 329
divisores elementales de una, 30f»
hurmitiana. 342, 346
invarianles de una, mipoienie, 294
mvcrriblc. 255
irreduühle, conjunto de, 2W6
matriz de una, en unas base* dadas,
266
nilpotente, 287, 288
no negativa. 347

INDtCE ANAUTKw
Transformación (es)
niwnial. 343, J45t 347
posim». 347
lanj-o de una, 257, 258
regular. 255
singular. 255
tiuzu ue una, 313
unitaria. 340, 346
I ransiiividad de relaciones, 17
Transposiciones, 85
I ranspuesta. 312
de una matriz, 315
traza. 312, 399
de una matriz, 312
de una transformación lineal, 313
Triangular. 279
forma. 27», 282
malriz. 279-282
Triángulo, desigualdad del, 187
Tiiwcción de un ángulo, 222
I riviaks, subgrupos, 46
Unidad en un álgebra de matrices, 272
Unidad en un" anillo, 128
«¿sima raíz primitiva de, 242. 367 Zarisky, 153
Unión de conjuntos, 13, 15
Unitario. K-módulo. 189
Unitaria, iransformacidn, 338, 342, 346
Vacío, conjunto, 13
Valor de un polinomio, 200
Valor propio, 261
Van de» Waerden, 249
Vandiver, 367
Vector(es). 157
característicos, 263
linealmente dependientes, 164
VecioriaKes), espacióte), 155
complejo, 178
bomomorfismo entre, 158
isomorfismo entre, 158
real, 178 ,
Waerden, van der, 249
Waring. problema de. 383
Wedderburn, 359, 366
Wedderburn, teorema de 361. 365, 367.
382
Weisner, 249
WlELANDT. 97
Wilson, teorema de. 99. 135
Wright, 384
2X2, anillo de las matrices racionales,
106
Esta obpt terminó de imprimirse
ei día 4 de noviembre de 1980,
en los talleres de
LitográfieaIngramex, S. A.,
se encuadernó en
Ediciones y Encuademaciones Trillas. S. A..
se tiraron
2 000 ejemplares, más sobrantes de reposición
KC-90

hacer prácticas sobre los resultados
obtenidos. Otros problemas se han incluido
no tanto para ser resueltos en-su
totalidad, sino más bien para que el
estudiante, al intentar su solución, maneje y se
ejercite en los diferentes aspectos del
tema, teniendo asi oportunidad,
precisamente por la dificultad que ofrece la
solución, de conocer varios caminos hacia la
misma. Otros problemas se han incluido
como material preliminar o precursor de
conceptos que proseguirán en el orden
del aprendizaje.
OBRA AFÍN
Análisis matemático
Curso de introducción
Teoría de los grupos
Mai-shaU Hall Jr.
La presente obra ofrece una exposición muy
completa de un aspecto tan fundamental del álgebra
moderna como es la teoría de los grupos.
Supone del estudiante un conocimiento elemental
de álgebra moderna. Entre sus campos de
aplicación figuran - además de les ciencias puras - la
estadística superior, la ingeniería y la economía.
Todos los fundamentos de la materia aparecen
clara y detalladamente tratados y se resumen
gran parte de los temas de mayor interés de la
teoría de los grupos: grupos abelianos infinitos,
estructura de los grupos, redes de subgrupos,
representación de grupos, etc. En el último
capitulo se desarrolla una presentación algebraica de
distintos tópicos,, de la geometría proyectiva, de
gran interés.
Es un texto prácticamente autosuficiente, no
requiere obra auxiliar alguna para su cabal
comprensión. Por otra parte, ofrece una selecta
bibliografía mediante la cual todo estudiante o
investigador podrá orientarse en los temas que
sean de su particular interés.

p
sodo como uno introducción
o lo parte de los matemáticos
que se conoce como "álgebra
abstracta". Se ocupa de la
introducción y desarrollo de
sistemas algebraicos
importantes como grupos, anillos,
espacios vectoriales, campos,
etc.