TEORIA
DE
ECUACIONES

teoría
D£
ECUACIONES
J. V. USPENSKY
PROFESOR DE MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD DE STANFORD
B
LIMUSA
NORIEGA EDITORES
MÉXICO • EspaAa • Venezuela • Colombia

Versión autorizada en español de la obra
publicada en inqiés con el tftulo:
THEORY OF EQUATIONS
O McGraw Hill Book Company, Inc.,
New York
Colaboradores en la traducción:
J. C. MAQUIEIRA Y J. P. VÁRELA
Docentes de la Universidad de Buenos
Aires, Argentina.
La PnESENTACIÓN Y DISPOSICIÓN EN CONJUNTO DE
TEORÍA DE ECUACIONES
SON PROPIEDAD DEL EDITOR. NiNQUNA PARTE DE
ESTA OBRA PUEDE SER REPRODUCIDA O
TRANSMITIDA, MEDIANTE NINGÚN SISTEMA O MÉTODO,
aECTRÓNICO O MECÁNICO (iNaUVENOO EL FOTO-
COPIADO, LA GRABACIÓN O CUALOUER SISTEMA DE
RECUPERACIÓN Y ALMACENAMIENTO OE
INFORMACIÓN), SIN CONSENTIMIENTO POfl ESCRITO DEL
EDITOfl.
Derechos reservados:
01995, EDITORIAL LIMUSA, S.A. deC.V.
GRUPO NORIEGA EDITORES
Balderab 95, México, D.F.
C.R 06040
•m 521-21-05
& 512-29-03
CANIEM NúM. 121
Quinta reimpresión
Hecho en México
ISBN 968-18-2335-4

teoría
DE
ECUACIONES

PROLOGO DE LOS EDITORES
El Centro Estudiantes de Ingeniería «La Línea Recta», podemos
decirlo con orgullo, tiene y ha tenido una larga y reconocida labor
gremial. Mucho se ha hecho en otras épocas en ese sentido y
especialmente en el campo de las publicaciones. Y no hablamos aquí de
apuntes o de la publicación de pequeñas prácticas, hablamos de obras serias
y de jerarquía, como son la edición de libros que se han vendido y se
siguen vendiendo «n muchos países de habla hispana.
La persecución política que sufriera nuestro Centro, paralizó por
varios años toda ífebor de eiiTergadtiT». I>wante esos aíos no is« iwd»
hacer mucho. Se siguió adelante, a veces como se pudo, aunque
debemos reconocer que lo poco hecho en este período, reviste quizás mucho
más valor que lo mucho que se hace ahora.
Es que, una vez vuelta la normalidad, hemos tratíido en todas
formas de recuperar el tiempo perdido. Improba y larga ha sido esta
tarea. Hoy se ve coronada con un éxito: esta publicación. Una
publicación que quiere ser, más que nada, un ejemplo de lo que puede
hacerse en un clima de trabajo y estudio fecundo, donde la mente y el
espíritu pueden actuar tranquila y serenamente. Pero la edición de
«Teoría de Ecuaciones» para nosotros no quiere ser solo la corona^
ción de un esfuerzo sino un punto de partida para una labor más
amplia y más efectiva. Quisiéramos seguir publicando obras, como
esta, que vayan llenando poco a poco todos los vacíos que existen en
la bibliografía de habla hispana sobre las materias de nuestra carrera.
Cuando eso sea realidad, aún en pequeña parte, habremos realizado
entonces uno de nuestros viejos sueños.
Y viene el momento de agradecer a todos los que da una u otra
forma han colaborado con nosotros. Estas palabras finales quieren ser
para ellos un sentido agradecimiento.
Queremos recordar especialmente en estas líneas a los traductores,
el agr. J. C. Maquieira y el ing. Várela, quienes nos han seguido en
vn

VIH TEOBIA BJS ECUACIONES
todo instante, no sólo con el consejo eficaz sino con el trabajo
personal de revisión de las varias correcciones de pruebas. Ellos tienen
la mayor parte del mérito.
Unas palabras también para la McGraw Hill que nos ha cedido el
permiso para esta traducción.
Y finalmente no podemos d^jar de mencionar a los compañeros que
han estado a cargo de la Comisión de Publicaciones desde el año 1955
a la fecha, Slemenson, Galtier, Vilas, Peral, Schifini, Estanga y Segre,
y a nuestro ex administrador, D. J. Canton, y al actual, J. F. Pre-
gliasco, así como a todas las «manos anónimas» que han hecho de
esto una realidad.
COMISIÓN DIRECTIVA
Octubre de 1958.

PROLOGO DEL AUTOR
Este libro fué escrito para ser usado como texto en los cursos
dedicados a la teoría de ecuaciones de las universidades y colegios americanos.
Por ello es de carácter elemental y, con pocas excepciones, sólo contiene
el material que ordinariamente se incluye en textos de esta índole. Pero
su presentación se ha hecho tan explícita que el libro puede ser estudiado
por los alumnos sin la ayuda del profesor.
Cada tema que se trata en el texto se presenta totalmente desarrollado
y no se hace referencia a resultados que se encuentren por sobre el alcance
de este libro. Por ello es que, aun cuando contiene, en general, los mismos
temas que otros textos de uso corriente, los sobrepasa en tamaño, unos
pocos tópicos que pueden omitirse sin perjuicio se encuentran señalados
con estrellitas negras. Numerosos problemas se- agregan al final de cada
sección principal. En su mayoría son simples ejercicios; pero los que
encierran mayores dificultades están señalados con asteriscos.
En cuatro capítulos la exposición difiere de la usual. En el de números
complejos, la exposición superficial tan común en muchos libros fué
reemplazada por un simple pero completo tratamiento de la teoría de
los números complejos. La experiencia del autor le indica que los
estudiantes, casi sin excepción, siguen esta presentación sin dificultad.
En el capítulo sobre separación de raíces el autor expone un método
muy eficiente para separar raíces reales, muy superior en la práctica
al que se basa en el teorema de Sturm. Cree el autor que ningún otro
libro menciona este método, que él halló hace mucho tiempo y que ha
enseñado a sus alumnos durante varios años.
En el capítulo sobre cálculo numérico de raíces, el método de Horner
está presentado en su forma original, incluyendo el proceso de
contracción, que lamentablemente ha desaparecido de los textos
americanos. Además se hace un estudio completo del error causado por
la contracción.
Los determinantes se introducen, no por medio de la definición formal
como es usual, sino por sus propiedades características, siguiendo a
Weierstrass. La ventaja es evidente, por ejemplo, en la demostración
del teorema de multiplicación de determinantes. También se desarrollan
en ese capítulo algunas nociones elementales sobre el álgebra de las
matrices.
IX

X teoría bje ecuaciones
Algunos puntos, debido a su dificultad intrínseca, han sido agrupados
en apéndices. El apéndice I trata sobre el teorema fundamental del
Algebra. El autor eligió como demostración más intuitiva, y por lo
tanto más asequible para los principiantes, la cuarta demostración dada
por Gauss.
El apéndice II da la demostración de un teorema de Vincent, en el
que se basa el método de separación de raíces antes mencionado.
Los apéndices III y IV fueron agregados por sugerencia del profesor
S. P. Timoshenko, por ser de interés para los estudiantes de ingeniería.
El apéndice III está dedicado a un criterio simple para que una ecuación
tenga todas sus raíces con parte real negativa. El apéndice IV trata la
solución por iteración de la ecuación de frecuencia.
El apéndice V da una explicación del método de Graeffe para calcular
raíces y eg de particular interés en el cálculo de las raíces imaginarias
de una ecuación.
J. V. USPENSKY
Universidad de Stanford, Californih
Diciembre de 1946
La explicación del autor al editor sobre los propósitos de este libro ha
sido colocada como prefacio porque llena los requisitos para serlo y
expresa su pensamiento.
Nuestro agradecimiento a Max A. Heaslet, del Comité Consultivo
Nacional para la Aeronáutica, y a Cari Douglas Olds, del Colegio del
Estado de San José, por la ayuda que espontáneamente ofrecieron y
prestaron en la edición y corrección de pruebas de este texto de su antiguo
profesor. Asumieron esta responsabilidad, que normalmente recae sobre
el autor, mientras desarrollaban pesadas tareas propias, ya que el falle-
oimiento del autor ocurrió inmediatamente después de la entrega del
manuscrito a los editores.
L. Z. U.
Mayo de 1948.

índice general
Pao
Prólogo de los editores Vli
Prólogo del autor IX
Capítulo I. — Números complejos 1
II. — Polinomios de una variable 40
III. — Las ecuaciones algebraicas y sus raíces 57
IV, — Acotación de raíces. Raíces racionales 79
V. — Ecuaciones cúbicas y cuárticas 93
VI. — Separación de raíces llü
Vil. — Teorema de Sturm 155
VIII. — Cálculo aproximado de las raíces 169
IX. — Determinantes y matrices 201
X. — Resolución de ecuaciones lineales por determinantes. Algunas
aplicaciones de los determinantes a la geometría 257
XI. — Funciones simétricas 285
XII. — Eliminación 3Ü8
Apéndice I. — El teorema fundamental del álgebra 325
II. — Acerca del teorema de Vincent 331
III. — Acerca de las ecuaciones cuyas raíces tienen parte real negativa 338
IV. — Solución iterativa de la ecuación de frecuencia 344
V. — El método de Graeffe 353
Respuestas a ejercicios 368
índice alfabético 384

CAPITULO I
NÚMEROS COMPLEJOS
1. ¿Qué son los números complejos? — Las letras empleadas
ordinariamente en los cursos elementales de álgebra representan números
reales, es decir: enteros y fraccionarios —positivos y negativos—,
incluyendo el cero, que son los llamados números racionales; y números t'rra-
3
otoñales tales como -^2 , V^"» ^^^- ^^^^ ocasionalmente, relacionándolos
con la solución de ecuaciones cuadráticas, se mencionan los números
imaginarios o complejos. Por ejemplo, al aplicar la fórmula general
para hallar las raíces de una ecuación cuadrática, a la ecuación
x"" + X + 3 = O,
S8 dice a los estudiantes que admite las raíces
— 1 -h V - 11 — 1 — V-11
donde el símbolo -yj-—^H es una cantidad imaginaria puesto que los
números negativos no pueden tener raíces cuadradas reales. A los
estudiantes se les enseña cómo realizar operaciones con estos números
imaginarios por un procedimiento puramente formal; pero no se da ninguna
explicación adecuada de los fundamentos de estas operaciones con
símbolos que, por sí solos, no tienen ningún significado. Probablemente
este procedimiento se justifica, por cuanto a la edad en que los estudiantes
se encuentran por primera vez con estos números « imag^arios », no
han desarrollado aún una suficiente facultad de abstracción como para
entender lo que realmente están tratando, y sólo puede esperarse que
adquieran una cierta destreza en las manipulaciones formales. Pero
cuando llega el momento de emprender estudios más serios de la parte
del álgebra que se llama teoría de ecuaciones, se hace necesario volver
a hablar de los números imaginarios o complejos para establecer una
base sólida sobre la que descansen los desarrollos subsiguientes.
En lo que sigue, las letras a,b, c, . . ., etc., (con la única excepción
de la letra i, que será usada con un significado especial) servirán para
designar números reales. Un par ordenado de números reales
(a; 6)
1

2 TBOBIA DE ECVACIONBS
de los cuales o es la primera componente y ¿> es la segunda componente^
será considerado como una nueva entidad o un nuevo objeto de
investigación matemática y de aquí en adelante lo denominaremos número
complejo. Para poder hacer objeto de investigaciones matemáticas a
pares ordenados de números o números complejos, debemos extender
a ellos la noción de igualdad y definir asimismo el significado de las
cuatro operaciones fundamentales que pueden realizarse con ellos:
adición
sustracción
multiplicación
división.
2. Definición de Igualdad. — Dos números complejos (a; 6) y (c; d)
son iguales únicamente si a = c y 6 = d. Los números complejos que-
no satisfacen esta condición de igualdad se llaman desiguales. Para
indicar la igualdad se utiliza el signo ordinario =. Así, la igualdad
(a; 6) = (c; d)
significa
a = c ; b = d .
De acuerdo a esta definición
B; ^fÍ2) = (V2 %| 7 + 4 V3" + V2 \| 7 — 4 >/3" ; 2 V )
puesto que
2 = V2 -\| 7 -f 4 V 3" + V2 \|7 -4-sr3 (¿por qué?)
y
•\/l2"= 2 V3".
Por el contrario, los números complejos A; — 1) y (— 1; 1) son
desiguales, y esto se indica escribiendo
A;-1) ^(-1; 1).
3. Definiciones de Adición y Multiplicación. — De las cuatro
operaciones fundamentales, la adición y la multiplicación se llaman
« operaciones directas » y por medio de ellas se definen las < operaciones
inversas »: sustracción y división. Para la adición y multiplicación de los
números complejos se adoptan las siguientes definiciones:
Definición de Adición. —La suma de dos números complejos (a; b)
y (c; d) es el número complejo {a + c; b -t d) obtenido sumando,
respectivamente, las primeras y las segundas componentes de los dos

NUMBBOS COMPLEJOS 3
pares dados. Para indicar la adición se usa el signo ordinario de suma,
de modo que el contenido de esta definición puede expresarse
convenientemente así:
(a; b) + (c; d) = (a + c;b + d).
Por ejemplo:
A; -1) + B;1) = C;0),
@;1) + A;0) = A;1),
C; 2)+ (-3;-2) = @; 0).
Definición de multiplicación. — El producto do dos números complejos
(a; b) y (c; d) es el número complejo (ac — bd; ad -f 6c). La
multiplicación se indica colocando el signo . o X entre los factores: a veces, cuando
no existe peligro de confusiones, puede omitirse el signo de
multiplicación. El contenido de la definición puede expresarse convenientemente
escribiendo
(a; 6). (c; d) =i= {ac — bd; ad -t- 6c)
o
(a; 6) (c; d) = (ac — bd; ad + 6c) .
De acuerdo con la definición tenemos, por ejemplo:
B;3).A;2) = (-4; 7),
A;- 1).A;1) = B;0),
@; 1).@; 1) = (-1;0).
4. Leyes Fundamentales de la Adición y Multiplicación. —
Mientras que la definición adoptada para la adición de los números
complejos es aceptada inmediatamente como natural por los estudiantes,
éstos se quedan perplejos por el carácter aparentemente artificioso de
la definición de multiplicación y siempre preguntan las razones por
las que se la adopta. Puesto que los números complejos son pares
ordenados de nuevos objetos para los que las nociones de igualdad, adición
y multiplicación no están definidas inicialmente, es privilegio nuestro
definir estas nociones como nos plazca, esforzándonos solamente por
hacerlo de modo tal que todas las propiedades fundamentales de las
operaciones algebraicas con números reales conserven su validez para
los números complejos, y que, además, los números complejos sujetos a
tales propiedades puedan reemplazar a los números < imaginarios »
hasta ahora sin sentido. Las propiedades fundamentales de la adición
y multiplicación de los números reales son las siguientes;
1. a -|-6 = 6 + a. Propiedad conmutativa de la adición.
2. (a -h 6) -f c = a -|- F + c). Propiedad asociativa de la adición.

4 TEOBIA DE ECUACIONES
3. a6 = ba. Propiedad conmutativa de la multiplicación.
4. (ai)) c = o Fc). Propiedad asociativa de la multiplicación.
5. {a + b) c = ac -t be. Propiedad distributiva.
Es fácil verificar que estas propiedades conservan su validez para los
números complejos, con las definiciones de igualdad, adición y
multiplicación adoptadas.
Esta verificación inmediata se deja a cargo del estudiante.
5. Sustracción y División. — Una vez definida la igualdad, la
adición y la multiplicación, podemos definir la sustracción y la división
en la misma forma que para los números reales. Restar 6 de o significa
encontrar un número x tal que
b -\- X = a .
Tal número —diferencia entre o y b— es único. La misma definición
puede extenderse a los números complejos.
Definición de sustracción. — Restar el número complejo (c; d) de (o; 6)
significa hallar un número complejo {x;y), tal que
(c; d) + (x; y) = (a; 6).
Puesto que, por definición de adición, es;
(c; d) + (x; y) = {c + x; d + y),
las incógnitas x e y deben ser determinadas por las ecuaciones;
c + x = a ; d + y = b
que admiten la única solución
X = a — c ; y = b — d.
Por lo tanto, la diferencia de (o; b) y (c; d) es un número complejo,
unívocamente determinado:
(a; b) — (c; d) = {a — c; b — d).
En particular, tenemos que:
(a; 6) -(a; 6) = @; 0)
o sea:
(o; b) + @; 0) = (a; 6)
de modo que el número complejo @; 0) representa el mismo papel que
el O para los números reales.

NUMBBOS COMPLEJOS 5
Para definir la división de números complejos podemos también
basarnos en la definición de división de números reales. Dividir o por un.
número real b distinto de cero, significa hallar un número x tal que:
bx = a.
Por analogía resulta la:
Definición de división. — Dividir el número complejo (o; 6) por (c; d}
distinto de @; 0) significa hallar un número complejo (x; y) tal que:
(c;d) (x;2/) = (o; b).
Puesto que:
(c; d) (x; y) = (ex — dy; dx + cy)
las incógnitas x e y deberán hallarse resolviendo el sistema de ecuaciones-
ex — dy = a ; dx + cy = b.
Eliminando primero y y luego x obtenemos:
{c^ + d^) X = ac + bd
(c^ + d^)y = bc--ad.
Por hipótesis c y d no se anulan simultáneamente, y, en consecuencia,,
c^ + d^ > 0. Por lo tanto x e y tienen valores perfectamente
determinados :
oc + bd be — ad
X = : y =
c^ +d' c* + d^
que, como puede comprobarse por simple sustitución, satisfacen el
sistema dado. En consecuencia la división por (c; d) yí @; 0) nos da un
cociente perfectamente dsterminado que, conservando la notación usual,.
será:
O
o bien
>,\ / j\ /ac+bd_bc — ad\
„;5):(c;d) = (-,-j-^;-,^^)
(o; 6) _ I ac -\-bd be — ad \
(c;d) ~ \ c' -l-d» ' c* + d« /
6. Números complejos en forma binómica. — Todo número
complejo puede ser escrito en cierta forma llamada binómica. En primer
lugar:
(a; 6) = (a;#) + @;6).
Utilizando la regla de la multiplicación, se comprueba que:
@; b) = F; 0) @; 1)

6 TEOBIA DE ECUACIONES
y por lo tanto:
(a; b) = (o; 0) + F; 0) @; 1),
que significa q. un número complejo puede expresarse mediante
números complejos especiales del tipo (a; 0), con el segundo elemento O
y un número complejo particular @; 1) que de aquí en adelante
designaremos con la letra i, inicial de la palabra imaginario. Cuando se aplican
las operaciones fundamentales a números complejos del tipo (a; 0)
se obtienen los siguientes resultados:
(a;0)-f F;0) = {a + b;0),
(a;0)~F;0) = (a —6;Ü),
(a;0) . F;0) = (a6; 0) ,
(a;0) : F; 0) = (±.;o\,
<ie donde puede extraerse la notable conclusión siguiente: Si a los números
complejos con segunda componente O, se los somete a las operaciones
de adición, sustracción, multiplicación y división (operaciones llamadas
racionales), cualquiera sea la cantidad de veces que se repita cada
operación, el complejo resultante tendrá también su segunda componente O,
mientras que la primera componente resultará de realizar las operaciones
indicadas con las primeras componentes de los complejos dados. Esto
significa que los números complejos con la segunda componente O se
comportan, con respecto a las operaciones racionales, exactamente como
sus primeras componentes, que son números reales. Operando únicamente
con tales números complejos, podemos identificarlos, sin temor a
confusión, con números reales iguales a sus primeras componentes. Por lo
tanto, podemos designar desde ahora en adelante a los números
complejos del tipo (a; 0) simplemente por a. De esta manera, el símbolo a
tiene dos significados: uno, como símbolo de un número real; otro,
como símbolo de un número complejo (a; 0), En tanto tengamos una
fórmula que involucre sólo operaciones racionales con tales símbolos,
continuará siendo válida ya se interpreten los símbolos de una u otra
manera. Por ejemplo, en la identidad:
a^ — 6^ = (a -I- 6) (a — b)
los símbolos a; b; a i- b; a — b, pueden ser interpretados como símbolos
ae números reales o como símbolos de los números complejos (a; 0);
F; 0); (a -1-6; 0); (a — 6; 0), y la identidad será verdadera en ambos
casos. De acuerdo con la eonvención adoptada todo número complejo
podrá escribirse en la siguiente forma binómica:
(a; 6) = a + bi

NUMEBOS COMPLEJOS T
donde i está colocado en lugar de @; 1) y a, b, son los números complejos-
(a; 0), F; 0). Por la regla de la multiplicación tenemos:
@;1)» = (-1;0)
o, con los signos convencionales adoptados:
i^ = — 1.
Observando que las leyes fundamentales de las operaciones que son
válidas para los números reales, siguen siéndolo para los complejos,
llegamos a la conclusión de que al efectuar las operaciones fundamentales
con números complejos presentados en forma binómica, podemos operar
con ellos como si se tratara de binomios algebraicos, teniendo cuidado
de reemplazar z^, cuando aparezca, por — 1. Es costumbre usar la
notación abreviada bi para los números complejos del tipo O + bi, y,
en caso de que 6 = ± 1, escribir simplemente a ± ¿ en lugar de o -|- 11
o a — I i.
Unos pocos ejemplos mostrarán las ventajas de operar con los números-
complejos presentados en forma binómica.
Ejemplo 1. Hallar A +1)'. Tenemos
A + t)' = 1 + 2 t + t' = 21
y
A +»•)» = A +t)'(l +i) = 2t(l +t) = —2 +2t.
El mismo ejemplo puede ser desarrollado en la forma siguiente. Tenemos:
A +t)» = 1 +3t +3t¡+t».
Pero:
t' = — 1 ; t' = t^t = —t
y entonces será
A + t)» = 1 + 31 — 3 — t = — 2 + 21.
Ejemplo 2. Hallar el cubo del número complejo
+ t ■
2 2
En primer lugar,
13 -v/J 1 3 y¡Y 1 Vs
44 244 2 22
j luego

TBOBIA DB BCVACIONBS
KJemplo 3. Reducir el número complejo
C+2t)Ml—3»)_ 1 +»
C+»)Ml+2t) 1—»
, ItL font» IÑnómica. Tenemos:
C + 2 iy - 9 + 12 t + 41' = 5 + 12 t,
E + 121) A — 31) = 5 — 361' — 3 t =■ 41 — 31,
C+i)» = 9 +6t +Í2 = 8 +6t,
(8 + 61) A + 21) = 8 + 121'« + 22 t = — 4 + 221.
Faia efectuar el cociente
41—31
— 4 + 221
podemos, fán que éste varfe, multiplicar numerador y denominador por
— 4 — 221 ,
y obtenemos
41—3» _ D1—3i) (—4—22») -230—890» _ 23 89
— 4 +22» (— 4)' + 222 '' 500 ~"so"~ 50"
Eki Ift misma forma,
1 + t A + i)'
= »
1 —»
j d resultado final es:
23 39
""ió^^üo"*'
Problemas
Beducir a la forma binómica:
1. 7 —» + (—6+3») —D+3»), 2.B-3»)».
3. t2+»-)(l + 2»). 4.—.
»
_ 1 +» 1 + »• t
6. ; h ■
—» »' 1 — i
B + »-)(l-2t) „ D+3,-)(l_2t)
3—»■ 7—t
11. I4- + Í-Í^). »2
1 + »• H t
1 +t

NUMBBOS COMPLEJOS 9
13. Hallar los valores reales de x e ^ que satisfacen la ecuación
A +»)(x + 2j/) —C—2»)(í~í/) =8+3».
14. Hallar las raíces reales de la ecuación
A + t) «» + A + 21) a;2 — A + 41) a; — 1 + i = O .
15. Hallar las rafees reales de la ecuación
A + t) a:» + A + 2 ») x' — A + ») * — 1 — 2 »• = O .
7. Parte real e imaginaria. Números complejos conjugados.
Valor absoluto o m6dulo. — En un número complejo o -|- bi
expresado en forma binómica, o se llama parte real y b (jno bil) parte
imaginaria. La parte real y la imaginaria se designan generalm<»iif<» de la
siguiente manera:
a = R (a + bi) ,
b = I (a + bi) ,
donde Reí son las iniciales de las palabras real e imaginaria. Los números
complejos con parte imaginaria nula se llaman números reales, en virtud
de su total semejanza con los números reales ordinarios; y los números
de la forma bi, con parte real nula se llaman imaginarios puros. En
general, los números complejos con parte imaginaria distinta de cero
se llaman números imaginarios, simplemente para estar de acuerdo con
81 uso y la tradición histórica, desde que los números complejos
considerados como pares ordenados son justamente tan reales cofsxo loa otros
y nada hay de imaginario en ellos.
Dos números complejos a -t bi y a — bi que sólo difieren en el signo
de sus partes imaginarias se llaman conjugados. Si designamos a uno de
ellos por una sola letra, por ej. A, el conjugado se designa por Ao, o
bien por A. El producto de dos números conjugados
A = a + bi ; Ao = a — bi
es un número real
AAt = (o + bi) (o — bi) = o* + 6^
llamado norma de A. La raíz cuadrada positiva de la norma de A se
llama valor absoluto o módulo de A y se designa con el signo I A | o con
el signo mod. A. El uso de una u otra notación depende de
consideraciones de conveniencia en la escritura o impresión.
Así
\a + bi\ = yja^ + ¥
o
mod. (a + bi) = yj a^ + b^

10 TBOBIA DB BCVACIONES
Si C es la suma de los números complejos A y B
C = A +B,
será
Co = •'4.0 + 5o.
Es decir; la suma de los conjugados de dos números complejos es
igual al conjugado de su suma. En la misma forma, si C es el producto de
los números complejos A y B
será
C = AB,
Co = AoBo
Es decir: el producto de los conjugados de dos números complejos es
igual al conjugado de su producto. Ambas proposiciones se verifican
directamente comparando la suma o el producto de dos números
complejos con la suma o el producto de sus conjugados. De esto se deduce
que el conjugado de la diferencia o cociente de dos números complejos
es igual, respectivamente, a la diferencia o al cociente de sus
conjugados, lo cual, con la notación adoptada, se expresa así;
{A-B)o = Ao-Bo ;/A\=-^.
\B /o Bo
Por sucesivas aplicaciones de estas reglas se deduce la importante
conclusión general que sigue: Si al efectuar operaciones racionales en
cantidad finita con los números complejos A, B, C, ... se obtiene un
número complejo X, al efectuar las mismas operaciones con los
conjugados Ao, Bo, Co, .. . el resultado será Xo, conjugado de X.
Los números reales coinciden con su8 conjugados, y recíprocamente,
un número que es igual a su conjugado es real. En efecto, la igualdad
a -\- bi = a — bi
requiere que
b = —b ó 6 = 0.
Problemas
Hallar loe módulos de los siguientes números:
1 V^
1. t. 2. + t
3. 3 + 4 t. 4.
2 2
1—t
5. x' — 1 + 2 tx donde x es real,
6. 2 a; — 1 -f B x* — 2 a;)» donde x es real.

NVMBBOS COMPLBJOS 11
7. z* — ** — X + 1 4- B ** — 2 *) » donde x es real.
1 —X
8. ¿Cuál es la parte real del número si x — cos ó + i sen ó?
I +x
9. Hallar un número complejo i tal que | i | =1 y 72 (e*) =0.
10. ¿Cuáles son los números complejos iguales a: a) el cuadrado de sus conjugados y 6)
el cubo de sus conjugados?
■^ 8. Teorema. — El módulo de un producto es igual ai producto de
los módulos de sus factores o, usando la notación adoptada:
\A.B.C...L\ = \A\ .\B \.\C\...\L\.
Demostración: Consideremos primero el producto de dos factores
X = AB.
La norma de X es:
XXo = {AB).(AB)o,
pero:
(AB)o = AoBo
y por lo tanto:
XX, = {AB) (Ao5o) ;
por consiguiente, haciendo uso de las propiedades asociativa y
conmutativa de la multiplicación:
XXo = (AAo).(BBo),
extrayendo raíces cuadradas en ambos miembros, y tomando las raíces
positivas:
VXZ7 = ^[AM . ^iBBo■
Pero
y¡XXo = \X\ ; yfAA7= \A\ ; ^JBB, = \B
y por consiguiente,
|Z| = \A\.\B\,
o
\AB\ = \A\.\B\.
Considerando ahora el producto de tres factores
X =,ABC,
hacemos
Y = AB,

12 TEOBIA DE ECUACIONES
por lo tanto
X = YC.
Por lo demostrado anteriormente
\Y\ = \A\.\B\ ; X= |F|.|C|,
en consecuencia
\x\ = Ui.|5|.|C!,
o sea
I ABC | = |Ai.|5|.!C|.
De la misma manera puede extenderse el teorema a cualquier número
de factores. De este teorema puede extraerse una importante conse-
cuancia; Si un producto de números complejos es nulo, por lo menos uno
de los factores es nulo. Al suponer
ABC L = O,
queda establecido que
\A\.\B\.\C\ \L\ = |0| =0
y puesto que los factores que figuran en el primer miembro son reales,
uno de ellos debe sar nulo. Sea;
Ul =0.
Pero, escribiendo A = a -\- bi, tenemos
\A\ = V a' + b' = O ,
por lo tanto: a^ + ¥ = O, que siendo a y b reales, sólo es posible si
o = O y 6 = 0; o sea A=0-tOi = 0. Puede llegarse a la misma
conclusión partiendo del hecho de que el cociente está unívocamente
determinado cuando el divisor es distinto de cero. Demuéstrelo el
estudiante en la misma forma que el teorema anterior, ic
1. Demostrar que:
Problemas
\A\
B
2. ¿Cuál es el módulo de
1B|
7—t
1+2»
3. ¿Cuál es el módulo de si * es real? ¿Y qué puede decirse del módulo del
1 —xt
mismo número si a; — o + »p es un número complejo, siendo p > O?

NÚMEROS COMPLEJOS
13
4. Demostrar que
ai
y T es real.
5. Si
y T es un complejo tal que
-demostrar que
3
t t
4
t =
1 + 2 t T
-3t + 2
4t—3
3
"T
3
' T
1
"" T'
1
° T
•t' + .
-^9. Desigualdad del módulo de la suma. — ííJI módulo de la
suma de números complejos no depende simplemente de los módulos
de estos números; por lo tanto, no existe para la suma un teorema tan
preciso como el del párrafo 8. Tenemos, en cambio, la siguiente
proposición, menos precisa, pero que es no obstante, de gran importancia
y utilidad:
Teorema. — El módulo de la suma no es mayor que la suma de los
módulos de sus términos, o sea
\A+B+ + L\ ¿\A\ + \B\ + + \L\;
el signo igual sólo será válido cuando todos los números A, B, . .., L sean
iguales a cero o en el caso de que siendo uno de ellos, por ejemplo A,
distinto de cero, todos los cocientes
B _L_
A ' A
sean números reales no negativos.
Demostración: Comenzamos con la siguiente observación: Si ^ =
= a + bi, entonces
a = R{A) á MI
y el signo de igualdad sólo será válido si 6 = O y a & 0.

14 TEOBIA DS ECUACIONES
Siendo:
Ml = V a* + f>'
será evidentemente
a < yj a^ + b^
si 6 ^ 0. Por otra parte, si 6 = 0 y a < 0,
1^1= yj a* = — a ', a < — a.
Finalmente, si6 = 0ya^0
a = Va^= \A I .
Consideremos ahora la suma de dos números complejos A y B. Por
la definición de módulo:
El conjugado de ABo es AííB, y la suma ABo + ^o-B de dos número»
conjugados es el doble de la parte real de ABo, o sea
ABo + AoB = 2R{ABo) .
Por la observación anterior
R (ABo) ú\ABo\ = \A\.\Bo\ = \A\.\B\,
puesto que los números conjugados tienen el mismo módulo. En
consecuencia:
\A +B\'^\A\' + \B\'+\A\.\B\ = (\A\-t\B\y.
Pero los números |.á+5| y |.á| -|-|5] son positivos y por lo-
tanto la desigualdad anterior implica que:
\A +B\ ^\A\ + \B\.
El signo de igualdad sólo es válido si
R {ABo) = R (AoB) = \AoB\
y esto sólo es verdad si AoB es un número real positivo. Suponiendo-
que A ^0, e\ producto AAo es un número positivo y
AoB _ B
AAo ~ A

NÚMEROS COMPLEJOS 16
€s un número real positivo. Recíprocamente, si esta ecuación es
verdadera, entonces AoB = I \(^^o) será real y positivo.
Considerando ahora la suma de tres números
A+B + C=(A+B)-\-C.
De acuerdo a lo demostrado anteriormente
I (^ + 5) + C I s I i + 5 I + 1 C 1 ,
M + 5|s Mi + \B\.
En consecuencia:
\A + B + C\¿\A\ + \B\ + \C\.
El signo igual sólo será válido aquí si simultáneamente
\A+B\ = \A\ + \B\
\{A-^-B) + C\ = \Ai-B\+\C\.
Suponiendo que ^ s»^ O, la primera de estas igualdades sólo es válida
6Í la razón —- es real y positiva. En tal caso, el número
B
A+B= ■ ■■ ■ ^
= ^(-f)
no es ¡cero, y
-f
t 5 A \ A]
es un número positivo. La segunda igualdad exige que la razón
C
A
C
«ea real y positiva, que equivale a la exigencia de que —— sea real y
A.
positiva. Es evidente que, razonando de la misma manera, se demostrará
«1 teorema para sumas de más de tres términos. "^
Problemas
1. Demostrar que
\A~B\-^\A\-\B\ y que \ A-B \ t \B \-\ A\.
Sugestión: Escríbase A = B + {A — B).

16 TEOBIA DE ECUACIONES
2. Si z es un número complejo con 1 z | S 2, ¿cuál es el máximo de
\l+z + z^ + z'\
y para qué valor de z se alcanza este máximo?
* i. Si X e y son dos números complejos cualesquiera, demostrar que
\x + y]^+\x-t/\' = 2¡xr- + 2ly\'.
* 4. Demostrar que la igualdad
Izj -~ 2í\' = \z2 —zo'r + \z¡ — ¿rol'
implica que
Z2 — ío = i X (zi — Za)
donde X es real y reelprocamcnte.
10. Raíz cuadrada de un número complejo. - Hallar la raíz
cuadrada de un número complejo A es equivalente a hallar la solución
X de una ecuación de segundo grado
X'- = A .
Sea A=a + biyX = x-\- iy. Entonces los números reales x e y
deben ser tales que
{x -\- iyY = a -\- hi .
Pero
{z + iyY = x^ —y'^ — 2 xyi,
en consecuencia, los números reales x e y deben satisfacer el sistema
de ecuaciones:
x^ — y''- = a ; 2xy = b . [1]
La identidad
(j;2 -I- 2/2J = (^2 _ y2J + 4^ x^ y\
combinada con las ecuaciones [1] da
x^ + y^ = V a' + f>' ,
tomando la raíz positiva. Por consiguiente, de la primera ecuación del
sistema [1] se deduce:
^ Va' f b' + g . ^ V g' + b' - g ,
2 2
Estas ecuaciones son consecuencias necesarias del sistema [1], pero

NUMSBOS COMPLEJOS IT
pueden tener soluciones que no lo satisfacen. Para separar las soluciones
de [2] que satisfagan a [1], debe tomarse en cuenta la ecuación
2xy = b.
En caso de que b ^0, la ecuación determina el signo de y
correspondiente a un dado signo de x; es decir, x e y deben ser del misma
signo cuando 6 > O y de distinto signo cuando 6 < 0. De acuerdo con
esto, las soluciones de la ecuación
X^ = a +bi
son:
z = ^ (^/IZ^^EZ +,/vZ±^)
en caso de que o > O, y
en caso de que 6 < 0. Resta por examinar el caso en que 6 = 0. Por ser
^fc^ = a ó yfcF = —a,
según sea a > O ó a < O, se deduce que
X = ± y} a ; y = O
si a > 0; y entonces la ecuación
X'' = a
tiene dos raíces reales
X = ±y[7.
Si a < O
X = O ; 2/ = ± -yj — a
y en este caso la misma ecuación tiene dos raíces imaginarias puras
X = ziz i V — a •
Finalmente, cuando a = 6 = O, sólo existe una solución, trivial X •» 0.
Esta discusión demuestra que, una vez introducidos los números
complejos, todo número complejo tiene raíces cuadradas. La ecuación general
de segundo grado
AX'' + BX + C = 0,

18 TBOBIA DE ECUACIONES
«on coeficientes complejos arbitrarios, puede resolverse por medio de
la fórmula conocida:
^ 2 '
cuya deducción se basa en las propiedades fundamentales de las
operaciones y en la existencia de raíces cuadradas.
Nota: Cuando A es un número real positivo, el símbolo "V A , por costumbre, sigiúñca
siempre la raíz cuadrada positiva, y con esta convención la regla de la multiplicación
de raicee:
^fT. Vb"= V^íb"
«8 vílida cuando A y B son positivos. Sin embargo, cuando A es un número real negativo
o un número imaginario, no puede atribuirse al símbolo "y A , por medio de una simple
«onvención, un signiñcado tal que la regla de la multiplicación de raíces sea siempre
-válida. En el caso de un número real negativo o un imaginario A, es necesario especificar
aienipre a cuál de las dos raíces se refiere el símbolo -y A por medio de una condición
adicional, como, por ejemplo, que la raíz tenga positiva la parte real o la imaginaria.
Abí, "V—4 puede significar 2t o —2t; pero si se especifica que esta raíz debe tener la
parte imaginaria positiva, entonces el símbolo '^ — 4 vale para 21. Nótese que la
relación de maguilud expresada por las palabras mayor o menor sólo está definida para
números reales y no puede ser extendida a los números complejos conservando todas las
propiedades de esta relación.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación
X^ = —i.
En este caso: o = 0; 6 = — 1; yja' -f- &' = 1. y siendo 6 negativo,
^ = -(i/t-*-i/Í) = -^-
Ejemplo 2. Resolver la ecuación
X2 = — 5 + 12 i.
£n este caso
o 5 ; 6 = 12 ; yja^ + h^ = V 169 = 13
y siendo 6 positivo:
Z - ± B + 3 i)
EJemirfo 3. Resolver la ecuación de segvmdo grado
»Z« — B + 2 ») Z + 2 —t - O .

NUMEB08 COMPLEJOS 19
Aplicando la f6rmula tenemos
2 + 2 » ± V^T
2t
y tomando ■yj — 4 = 2 i; se hallan las raíces
-i •,2-i.
Problemas
Hallar las raíces cuadradas de los números:
1 V^
1. í. 2.»»» l-t-2 .
2 2
3.— + »-^. 4.-3—4».
2 2
5. — 13 —84t. 6. —l+tV2r.
7. 3^ — 1+2 xi; siendo * real.
Resolver las ecuaciones de segundo grado:
8. I» + * + 1 = 0. 9. 2 *» — 3 * + 2 = 0.
10. I» —B+3 ») I —1 +3» = 0.
11. B—2») I» —A1 +9t)i —16 + 6» =0.
Resolver las ecuacicmes:
12. X* = 1. li. z* = —1.
14. x» + 4=0. 15.3^ = 119-120».
1*. z« — 1 =0. Nótese que: x* — ! = (i — 1) (i» + i + 1).
17. 3!' = {. 18. X' — l =0.
19. x« + 1 = 0.
2*.*z* = 1 + »■. Haciendo i «= o + bi; será entonces o» -t- .3oJ' = 1; -3o»6 — 6» — 1,
8
y además: o» + 6» = VT".
21. Demostrar la siguiente prc^Kisición: Si a; b; a'; b', son números racionales, pwo
yb no es racional y
o + ^fb' = o' + ^¡V.
entonces
o' = o ; 6' = 6.
22. Hallar todas las ecuaciones de segundo grado: x^ +px + q = O con coeficientes
racionales pero sin raíces racicHiales, en las que: a) una raía es el cuadrado de la otra;
h) una raíl es el cubo de la otra.
6
*23. Sia?iíO, 6^0 son dos números complejos tales que la rasón — es un núme-

20 TEOBIA DE ECUACIONES
f o real positivo, la raíz cuadrada puede elegirse de modo tal que la razón de la
media geométrica de o y 6
hx = yft^
A la media aritmética
0 + 6
tenga una parte positiva real. Demostrar que, en ese caso, es también
"(t)>»-
* 24. Con las mismas condiciones del problema anterior demostrar que
16i—o,| < —|6—o].
11. Representación ¿eométrica de los números complejos.—
Las relaciones entre los números complejos y su manejo se hacen
intuitivos, mediant^e una simple representación geo
I
.2-a*6t culares OX; OY como ejes coordenados, atribuí
I
Zl
mos a OX una cierta dirección, indicada en la
'0« í figura por una flecha, y elegimos entonces una
dirección del eje OY tal que, al rotar OX un
ángulo recto en el sentido opuesto al de las
agujas del reloj, su dirección coincida con la de
OY. Cada punto del plano, referido al sistema de coordenadas ele-
:gido, tiene coordenadas definidas —a y b por ejemplo— y el complejo
a -\- bi está definido por este punto. Recíprocamente, a todo número
«omplejo hacemos corresponder un punto cuyas coordenadas son,
respectivamente, la parte real y la imaginaria de ese número complejo.
De esta manera, entre los números complejos y los puntos del plano
«xiste una correspondencia biunívoca en virtud de la cual los números
complejos están representados por puntos. Los números complejos de
la forma a -\- Oi —números reales— están representados por puntos
del eje OX, que por esta razón se llama eje real. Los números complejos
de la forma O + hi o números imaginarios puros están representados
por puntos del eje OY, llamado eje imaginario. Es costumbre designar
al punto representativo del complejo z por la misma letra y llamarlo
simplemente punto z. Así, podemos hablar del punto O (origen); del punto
1; del punto i; del punto 3 — 2 i; etc. El punto O, junto con z,
determina un segmento dirigido Oz o vector Oz, que va del origen O al extremo
z. Recíprocamente, el extremo de todo vector Oz determina un número
«omplejo. En esta forma tenemos otra representación geométrica de los
números complejos por medio de vectores con el origen común en O.
Las proyecciones del vector que representa & z = a -{- bi sobre los ejes

NÜMEBOS COMPLEJOS
21
OX y OY son, respectivamente, a y 6; y la longitud del vector Oz —o la
distancia de O a 2— por el teorema de Pitágoras es -^ o* + f>* y ^os da
un significado intuitivo del módulo de z.
Problemas
1. Si la dirección del eje real se elige como en la figura, ubicar loe puntos
representativos de los números complejos: o) —l;6)»;c)l—i;
<i) 1 + 21; e) — 3 — 21; /) + 2 » . o
j 2 «t
2. Si R(z) " — ¿qué puede decirse sobre el lugar geo- *
métrico de los puntos z1 5
3. Resolver el problema 2 si los números complejos z satis- 2
facen la condición:
1 1
<R{z) ú —.
2 2
4. ¿Cuál es la posición relativa de los puntos que representan números Complejos c<hi-
jugados?
5. ¿Cuál es la posición relativa de los puntos que representan los números complejos
o + 6t y 6 + at!
6. ¿Cuál es el significado geométrico de: o) \z\ =1; 6) | 2 | < 1; c) \z\ > 1?
7. ¿Dónde están los puntos representativos de z si ú R{z) < — y \ z\ ^1?
12. Ángulo de dos semirrectas dirigidas. — La figura siguiente
representa dos semirrectas dirigidas I y V que se cortan en un punto 8
•con sus direcciones representadas por flechas. Por ángulo entre I y V
—medido de í a í' — que indicaremos por (JLV), entendemos el ángulo
que debe girar i alrededor de 8 para coincidir con V en posición y
dirección, considerándose este ángulo como positivo o negativo según que
I rote en el sentido opuesto al de las agujas del reloj o en el mismo sentido
que las agujas del reloj respectivamente. Desde este punto de vista el
ángulo (JLV) no está unívocamente determinado sino que tiene infinitos
valores, cuya vinculación puede establecerse de la siguiente manera:
Sea 4» el menor ángulo positivo que debe girar I
para coincidir con V en posición y dirección. Si se
continúa la rotación en sentido positivo, volverá
a coincidir cuando el ángulo rotado sea ^ -f 2 x
(midiendo los ángulos en radianes); nuevamente
coincidirá cuando este ángulo sea ^ -t- 4 x y, en
general, cuando sea 4> -t- 2 fc x, siendo fc un
número entero positivo. Asimismo, haciendo rotar I en sentido negativo del
ángulo cuyo valor absoluto es 2 x — 4», las rectas I y V coinciden en posi-

22 IBOBIA DE ECUACIONES
ción y dirección y lo mismo sucede después de una rotación, en sentido
negativo, de la magnitud 2 A x — <l>, siendo k entero y positivo.
Tomando todos estos ángulos negativamente, podemos decir que I' forma con I
los ángulos negativos <l> — 2x; <l> — 4x; <l> — 6x;... Por lo tanto, la
expresión general para el ángulo {IV) es: ^ + 2 fc x siendo fc = O, ±1,
± 2, ... un entero arbitrario y ^ el menor ángulo positivo entre I y V.
Es fácil ver que <l> puede expresar cualquier ángulo entre I y I'; y aún
que todos los valores posibles de éste serán de la misma forma. Los
ángulos que difieren de múltiplos de 2 x se dicen congruentes de módulo
2 X (expresión extraída de la teoría de los números), y se usa el signo
■ para expresar la congruencia. En este sentido tenemos una congruencia
evidente que es:
(IV) ^-{l'l).
Además, si tres semirrectas 1; I'; I" pasan por el misniO punto, es fácil
verificar que:
(IV) + {V I") + (I" 1) ^ O,
por consiguiente, en virtud de la congruencia (I" 1) m — (i i"), se
desprende que:
(I I") = (IV) + (V I") .
A pesar de la multiplicidad del ángulo {IV) las funciones
trigonométricas de este ángulo:
sen (IV) ; eos (IV)
tienen valores completamente determinados debido a que sen x y eos x
son funciones periódicas de período 2 x.
Problemas
1. Loe ladoB de un triángulo equilátero tienen direcciones dadas como se indica en
la figura. ¿Cuáles son los valores numéricamente menores de loe án-
f/" gules: o) («'); 6) («"); c) il'l"O
2. Se inscribe un cuadrado ABCD en un
círculo y se toma un punto P sobre el arco
BC. ¿ Cuáles son los ángulos: o) (l¡li); b)
(Z4Í2); c) (lih), formados por los pares de
semirrectas l¡, h, h, li de la figura ?
3. Tres semirrectas I, I', I" se cortan en un mismo punto.
Si yo - 230°; {l"l) = — 100°, hallar el valor
numéricamente menor del ángulo (l"l').
4. Si cinco semirrectas l¡; h; li', h; U se cortan en el mismo
punto y: (Wi) - 30°; «,/,) = —200°; (Uh) = 300°; (lUt) - —90°. ¿cuál es el valor
numéricamente menor del ángulo (.lilt) ?

NVMESOS COMPLEJOS 2S
13. Forma trigonométrica de un número complejo. — Volviendo
a la representación geométrica de los números complejos explicada en
«1 Párrafo 11, sea 6 el ángulo comprendido entre el eje real y el vector
Oz. Este ángulo se llama argumento o amplitud de z. Está definido sólo
para z 9^ O y tiene infinitos valores que difieren entre si en múltiplos
de 2 X. Si z = a i- bi, a es la proyección de Oz sobre el eje real. Llamando
r al módulo de z
r = V a' + b' ;
de la definición de eos 6 se desprende que
a = r eos 6 .
Dado que el ángulo que forman los ejes real e imaginario es —, el
2
ángulo entre Oz y el eje imaginario será 1—\ — O, y la proyección de
Oz sobre éste será
6 = r eos I— 6 \ = r sen 6
(f-') =
En consecuencia, z = a -f- 6í puede escribirse en la forma
z = r (eos 6 + í sen 6)
que es la llamada forma trigonométrica de un número complejo. No
importa cuál de los posibles valores de 6 se tome; en la práctica sin
embargo, es conveniente elegir el menor valor numérico del argumento.
Para expresar un número complejo dado a + bi en forma trigonométrica
debemos hallar primero el módulo r con la fórmula
r = Va^ + 6'
y luego hallar el ángulo 6 de menor valor numérico tal que
fl ^ b
eos 6 = — ; sen 6 = —.
r r
En general, será necesario para ello usar tablas trigonométricas y
en ese caso, es siempre más ventajoso determinar el ángulo por su tan-
fe
gente. En efecto, en el caso de que sea — > O sedetermina el ángulo
agudo (ú por su tangente
O
tgu = —
a

24 TEO&IA DE BCUACIONEb
y se toma: 6a»(>)sia>0, y6=(>) — xsia<0. En el caso de que sea
b
— < O, el ángulo agudo u se determina por:
a
b
tg u =
a
y6 = — <ú si a > 0; ñ = X — (ú si a < 0.
Problemas
Exprésense en forma trigonométrica los siguientes números complejos:
1. — 4. 2. i.
3. — 6 ». 4. — 1 + i.
1 -vis" 1 Vs"
5. i— . 6. +i— .
2 2 2 2
7. V"^—«• 8. 1 —Vs"—í A+'^^3~)•
9. — 4—3». 10. — 2 +».
11. 1 + eos a + » sen a. 12. eos a + eos ^ + t (sen a + sen ^).
14. Multiplicación y división de números complejos dados en
forma trigonométrica. Fórmula de De Moivre. — Las reglas de la
multiplicación y la división son particularmente simples cuando los
complejos están dados en forma trigonométrica. Sean
A = r (eos 6 + z sen 6) ; B = r' (eos 6' + i sen 6') .
Multiplicando y agrupando factores en el segundo miembro, tenemos
que
AB = rr' (eos 6 + z sen 6) (eos 6' + i sen 6').
Pero
(eos 6 + z sen 6) (eos 6' + i sen 6') =
= eos 6 eos-8' — sen 6 sen 6' + i (sen 6 eos 6' + sen 6' eos 6)
y por otra parte:
eos 6 eos 6' — sen 6 sen 6' = eos F + 6')
sen 6 eos 6' + sen 6' eos 6 = sen F + 6');
por lo tanto:
AB = rr' [eos F + 6') + i sen (9' + 6)]
que significa que: el módulo del producto es el producto de los módulos
de los factores y el argumento es la suma de los argumentos. Por sucesivas-

NUMSBOS COMPLEJOS 25
aplicaciones esta re^la se extiende a cualquier número de factores. El
producto de n factores
eos 61 + i sen 61 ; eos 62 + i sen 62 ; ; eos 6„+ t sen 6„
cuyos módulos son todos iguales a 1, es:
(eos 61 + i sen 61) (eos 62 -H i sen 62) (eos 6„ + i sen 6„) =
= eos F1 + 6i + + 6„) + z sen F1 + 6, + + 6^.
En particular, cuando 61 = 6» = ... = 6„ = 8, esta fórmula nos da
una importante identidad:
(eos 6 + z sen 6)" = eos n 6 + i sen n 6 ,
conocida como fórmula de De Moivre. Por supuesto, n significa aquí
un entero positivo. Teniendo en cuenta que:
^N , 1 «os 6 — i sen 6
(eos o + z sen 6)~' =
eos 6 + i sen 6 eos^ 6 + sen^ 6
= eos b — i sen 6 = eos (— 6) + i sen (— 6)
y elevando ambos miembros de la ecuación a la potencia n, obtenemos:
(eos 6 -+- í sen 6)~" = eos (— n 6) + i sen (— n 6) .
Por lo tanto la fórmula de De Moivre es válida también para
exponentes enteros negativos.
En cuanto al cociente de dos números complejos
A = r (eos 6 + í sen 6) ; B = r' (eos 6' + i sen 6'),
puede ser escrito de la siguiente manera:
A r (eos 6 + í sen 6) r , ^ . ., , „, , . ^,^ ,
= i — = — (eos 6 i- t sen 6) (eos 6' + z sen 6') *.
B r' (eos 6' +- i sen 6') r'
Pero
(eos 6' + i sen 6')"' = eos (— 6') + i sen (— 6')
y de acuerdo a la regla establecida para la multiplicación:
A L [eos F — 6') + i sen F — 6')].
B /
Por lo tanto: el módulo del cociente es igual al cociente de los módulos
y el argumento a la diferencia de argumentos del dividendo y del divisor.

28 TBOBIA DB ECVACIONBS
Problemas
Hallar la expresión general para los siguientes casos (.siendo n entero):
1. (V3"+ t)". 2. [1 + V3"+ i(.l-^f3 )]».
A + sen ^ + »■ COS ^ \"
: — I . 4. [sen 6 —sen 9 + » (eos 6 — eos ^1.
1 + sen <p — » eos 9 /
5. Dado
A + x)" = po + pix + p» X» + ....
donde
n n (,n — 1)
po - 1 ; pi - -— ; ps
1 ' " 1.2
son los coeficientes del desarrollo del binomio, y tomando x = i, demostrar que:
Po — pt + pt—... =2 eos .
4
1/2" wx
pi—pi + Pi—.-■  sen .
4
• 6. Tomando en el mismo desarrollo x = 1; t»; t»', siendo
-1 +1 yfT
2 '
hallar las sumas
(o) Po + p> + Pí + .. •
F) pi + p« + Pt + ...
(c) Pj + Ps + Ps + .. •
Nótese que: 1 + u" +1»^" = O, si n no es múltiplo de 3, pero es igual a 3 si n es un
múltiplo de 3.
♦ 7. Tomando: z = eos O ■)- í sen 6 en la identidad
1—z»
1 + z + z« + ... + 2"—^ =
■ — z
sen (n — i) 6
1 —z
demostrar que:
1+2 eos 6+2 eos 26+... +2cos(n — 1N =
sen 6 + sen 2 6+... + sen (n — 1) 6 =
sen i 6
eos § 6 — eos (n — i) 6
2 sen i 6
• 8. Utilizando un método análogo, demostrar que
sen 2 n 6
eos 6 + eos 3 6 + ... + eos B n — 1) 6 -
sen 6 + sen 3 6 + ... + sen B n — 1) 6 =
2 sen 6
1 — eos 2 n 6
2 sen 6

NVMEBOS COMPLEJOS 27
• 9. Por medio de la fórmula de De Moivre expresar: o) eos 3 ^ en función de co8 ^
y sen 3 ^ en función de sea <P; b) eos 5 ^ en función de eos ^ y sen 5 ^ en funiñón de
sen <f>; c) eos 4 ^ en función de eos <f> y sen 4 ^ en función de sen <f>.
* 10. Expresar: a) sen' <f> en función lineal de: sen <f>; sen 3 <f>; sen 5 <f>; b) sen* <f> en
función lineal de: eos 2 <P; ros 4 <p.
15. Solución trigonométrica de ecuaciones binómlcas. — Por
medio de la fórmula de De Moivre es posible representar todas las raíces
de la ecuación binómica
X' = ^,
donde A jíO es un número complejo cualquiera dado en forma
trigonométrica. Sea
A = r (eos 6 + ¿ sen 6)
y tomemos la incógnita X también en forma trigonométrica:
X = R (eos e + i sen e) .
Será, entonces:
X^ = i2" (eos n e + í sen n e)
y esta expresión debe ser igual a:
A = r (eos 6 -h z sen 6).
Puesto que los números complejos iguales tienen iguales módulos, debe
ser:
«" = r;
en consecuencia R queda determinado sin ambigüedad por la raíz
enésima positiva de r:
R =-vrr.
Además los argumentos de números complejos iguales difieren
solamente en múltiplos de 2x, de modo que:
n e = 6 + 2 fc^R
siendo k entero. En consecuencia, la expresión que nos da las raíces X es:
";— / 6 -H 2 fcx . 6 + 2 fcx
- je- '
"/— / 6+2 fcx . 6 + 2 fcx \
J» = \ r (eos \- i sen 1
\ n n /
En esta expresión es fc un entero cualquiera, pero el número de raíces
distintas será sólo n. Para obtenerlas basta tomar en esta fórmula fc = 0;

28 TBOBIA DS ECUACIONES
1; 2; ... ;n —1. Porque si k es un entero cualquiera, dividiéndolo por
n y llamando I al resto, tendremos:
k = nq -{- I,
donde O ^ í < n, de modo que I será uno de los números; 0; 1; 2; ... ;
n — 1. Pero:
6 + 2 fcx 6+2 íx
por lo tanto:
1 ^ «-y
n n
6 + 2 fcx 6 + 2 ix
eos = eos
n n
6 f 2 fcx 6 + 2 k
sen = sen
lo que demuestra lo enunciado. Por otra parte, las n raíces obtenidas
tomando fc = 0; 1; 2; ... ; n — 1 son distintas. Suponiendo que para
dos valores dados de fc —llamémoslos fc' y fc"— hallamos raíces iguales,
en ese caso será:
6 + 2fc'x 6 + 2fc"x 6+2fc'x 6 + 2fc"x
eos = eos ; sen = sen
n n n n
y esto es posible sólo si
6 + 2fc"x 6 + 2fc'x
n
siendo q entero; o sea:
+ 2xq
k" —k'=nq.
Pero fc" — fc' es numéricamente menor que n y no puede ser divisible
por n a menos que sea igual a cero; por lo tanto, fc" y fc' no pueden ser
dos números diferentes como supusimos.
Por lo tanto todas las raíces de la ecuación binómica
Z" = r (eos 6 + z sen 6),
están dadas por la fórmula
= '^r /coi
tomando en ella: fc = 0; 1; 2; .. . ; n — 1
Ejemplo 1. Resolver la ecuación.
z< = —4
^ ""¡—I ■ 6 + 2fcx , . 6+2fcx
A = -V r (eos h t sen
n n

NVMEBOS COMPLEJOS
39
Siendo
la fórmula para las raíces es:
-4=4 (eos X + »■ sen x)
*, / x + 2fcx x + 2fcx\
X = y 4 \ eos h » sen 1 •
Haciendo en ella k " 0; 1; 2; 3; bailamos que los valores de las cuatro rafees son:
V2~ I eos — + »■ sen — I = 1 + »',
" \ A ^ 4/
I / 3r 3x\
V2 Icos —+ t8en —I-—1+».
I—/ 5x , 5x \
\ 2 (eos h t sen 1 = — 1 —»,
nr( 7x 7x\ , .
\ 2 I eos \- t sen I =« 1 — » .
\ 4
Ejemplo 2. Resolver la ecuación
En forma trigonométrica será:
— 8 » =• 8
por lo tanto
3* -~Si.
(-J-)+,sen(-j}.
X - 2
D fc — 1) X D fc — 1) X
eos ;: h » sen
6 6
Haciendo aqui: k = 0; 1; 2; obtenemos las siguientes raíces:
2 I eos tsen—1 = V 3 —«',
/ X x\
2 (eos h tsen — I =«2»,
/ 7x 7x\ ,—
2 eos h » sen = — V 3 — » .
\ 6 6 / ^
Problemas
Expresar en forma trigonométrica las raíces de las siguientes ecuaciones:
". x'- —16». 2. X* = 1 +í.
3. x« = — 2».
5. X* = <ú; <ú - — — + » —^
4. x» = 1—t.
6. x' «■ <ú.

30 TEOBIA DE ECUACIONES
7. x» = — 4. 8. x« = 1 + -yijT + A — Vs") «■.
9. Resolver algebraicamente el Problema 4 y hallar las expresiones para eos 15° y
sen 15°.
10. En la misma forma, resolver algebraica y trigonométricamente la ecuación
1 ^JT
■ + i
2 2
11. Resolviendo la ecuación: x* = », algebraica y trigonométricamente, demostrar que:
V5 + 2-\r5 1
uos 18° = -7 '^ ; sen 18° 1
V 176 + 80 V 5 V 176 + 80 V 5
Por otra parte (véase el Párrafo 16);
^¡T— 1 V10 + 2 sJl'
sen 18° = -5! ; eos 18° = —^í
4 4
¿Cómo pueden concillarse estas expresiones?
16. Raíces de la unidad. — La ecuación binómica particular
X" = 1
que define las así llamadas raíces de la unidad de grado n, es de especial
interés. Puesto que en este caso r = 1 y 6 = O, las n raíces de la unidad
se obtienen de la fórmula:
2fcx , . 2fcx
eos + t sen
n n
tomando en ella: fc = 0; 1; 2; ... ; n — 1. Para k = O tenemos una
raíz evidente: x = 1; y las otras n — 1 raíces, por la fórmula de De
Moivre, son las potencias
u»; fc = 1; 2; ... ; n— 1 ,
de la raíz
2x , . 2x
(i) = eos h t sen
n n
Siendo:
X» — 1 = (x - 1) (x"-i + x"-2 _^ ... + 1),
lo que se verifica multiplicando directamente; u, u^, .. ..u""^ son raíces
de la ecuación
x*»-» + x--^ + ... + X + 1 = 0.

NVMEBOS CaiíPLBJOS 31
Para algunos valores particulares de n esta ecuación puede ser resuelta
fácilmente en forma algebraica; por comparación de las soluciones
algebraicas y trigonométricas en tales casos, pueden hallarse
expresiones algebraicas para eos j 1 y sen I 1 como se ve en los
siguientes ejemplos:
Ejemplo 1. La raíz cúbica de la unidad
2x 2x
<ú = eos h » sen —-—
3 3
satisface la ecuación
x^ + x + 1 =0.
Las raíces de esta ecuación bailadas algebraicamente son:
1 ^IT 1 "xTT
\-i— : i— .
2 2' 2 2
Puesto que eos ( ) es negativo y sen ( —^—| es positivo, será:
m
2x . 2x 1 V3
eos h » sen = 1- t
3 3 2 2
por lo tanto:
2x 1
eos =
3 2
2x ^f3
' "^^ 3 2
como se sabe por trigonometría.
Ejemplo 2. La raíz quinta de la unidad
2x 2 X
<d = eos h t sen
5 5
satisface la ecuación
x* + x' + x' + x + 1 = o .
Esta ecuación pertenece a la clase de ecuaciones recíprocas del tipo
ax* + bx' + cx^ + bx +a =0
y toda ecuación de este tipo puede resolverse de la siguiente manera: Dividida por x',
la ecuación propuesta toma la forma:
1 1
x^+ — + x-\ +1=0.

32 TEOBIA DE ECUACIONES
Haoemos ahora:
1
X •\ "y.
X
Entonces será:
x' + l- = v'-2
e y puede hallarse resolviendo la ecuación de segundo grado
y^ + y — I = O ,
cuyas rafees son:
— i+aTT —1—"vT
Vi =■ ñ ; y^ 7i
Queda j. determinar x, resolviendo las dos ecuaciones:
1 1
X -\ yi ; X ■\ yt,
X X
lo que es equivalente a:
x* — yix+-l=0 ; x^—y!X + l~0.
Las cuatro rafees halladas resolviendo estas ecuaciones son:
— 1 + ^¡T' V10+2V5
: t-t :
— I+V5 .\ 10+2^5
— l—-\l5 Vio—2-V/5
—í +t -—^—
— l—^[T . Vio—2V5
/2x\ /2x\
Ahora bien, eos I 1 = eos 72° y sen j I = sen 72" non ambos positivos, de
modo que, necesariamente:
— 1 +yfT V 10 + 2 V 5
a - eos 72°+t sen 72° = ^—I +t —-—
en consecuencia:
— I + -V/5 V1Ü+2V5
eos 72° = ^! ; sen 72° = —í
4 4
Las otras rafees, en el orden en que están escritas, son: t»*; u?; t»'

A,^J,
NüifEBOS COMPLEJOS 33
La división de una circunferencia en partes iguales o la construQción
de polígonos regulares inscriptos está
vinculada íntimamente con las raíces de la
unidad. De hecho, si Ao, Ai, ...,An—i son
vértices de un polígono regular de n lados
inscripto en un círculo de radio 1 y se elige
OAq como eje real, los ángulos que O Ai,
O Ai, O A 3, . .. forman con él son; ; ;
R_ , " n n
o X
..., y en consecuencia, los vértices A o,
n
Al, Ai, . .. están representados por los números complejos
1; w; w^ . .. ,
///
.^b^'-*)
. , /2x\,. /2x\„ . ,
donde w = eos i 1 + ^ sen I 1. Para construir el polígono
es
suficiente trazar la abscisa OP = eos
o la parte real de w. La
construcción con regla y compás será posible sí la expresión algebraica
de w resulta compuesta solamente por raíces cuadradas. De esta ma:-
nera, la construcción de polígonos regulares requiere la solución
algebraica de la ecuación x" = 1 y la investigación de las condiciones bajo
las cuales pueden expresarse sus raíces por radicales cuadráticos. Esto
constituye un importante capítulo del álgebra llamado ciclotomía. Para
la construcción más conveniente de polígonos de 3, 4, 5, 6 y 10 lados,
se remite al lector a los problemas siguientes.
Problemas
1. Demostrar que la raíz vigésimo cuarta de la unidad: eos 15° +t8en 16°, satisface
la ecuación
x« —x* + 1 =0
y hallar la expresión de las raices de esta ecuación en forma trigonométrica y algebnüca.
Nótese que:
i'* —1 = {.x" — \) (!« + 1) (x' —i« + l).
2. Demostrar que
¿t 4x 6x
ei = 2 eos : €2 = 2 eos : es = 2 eos
7 7 7
son raíces de la ecuación cúbica y*-\- y'' — 2 y — 1 = 0.

34
TEOSIA DE ECUACIONES
SudEsnóN: Las raíces séptimas de la unidad satisfacen la ecuación
x' + x* + x* + x'> + x' +x + 1 =0
Divídase por x» y hágase x -\ = y.
3. Demostrar que
ei = 2 eos
S2 = 2 eos -
es = 2 eos
8k
9 ' ■ 9
son raíees de la écnacíón cúbica y' —3y + I — 0.
Suobstjón: Las raíees novenas de Ja unidad que no son raíces cúbicas de la unidad
satisfacen la ecuación: x« + x' + 1 =0.
4. Siendo
Y) = eos 24° + t sen 24°,
1 VT
<ú = 1- i
2 2
1+^ V1O + 2VT
+ t -
4 ■ 4
demostrar que ij = s't»"' y expresar eos 24° y sen 24° en forma algebraica.
5. Para dividir una circunferencia en 3, 4, 6, 8 partes iguales puede usarse la siguiente
construcción: Por brevedad, un círculo de centro C y
radio i? se designará C G2). Los puntos B, C, D, E son
intersecciones del círculo O {OA) con los círculos A (jOA),
B (PA). C (.OA), D (OA). El punto X es la intersección,
de los círculos A (AC) y D (AC). El punto Y se obtiene
como intersección de X (OA) y O (OA). Demostrar que
AC, OX, AB, AY son los lados de polígonos regulares de
3, 4, 6, 8 lados inscriptos en O (OA).
6. Conservando las notaciones del problema anterior,
descríbanse arcos C (OX) y E (OX) que se interceptan
en Z. Descríbase Z (OA) que intercepta a O (OA) en IT.
Demuéstrese que AT y OZ son, respectivamente,
lados del pentágono y el decágono regulares inscriptos en O (OA).
7. Idéese una construcción del polígono regular de 15 lados.
17. Significado ¿eotnétrico de las operaciones con números
complejos. — La representación geométrica de los números complejos
explicada en el Párrafo 11 abre el camino para las aplicaciones de los
números complejos a la geometría. Es evidente que una construcción
geométrica resultará como una imagen de cierta operación realizada

NÚMEROS COMPLEJOS
35
con números complejos. Aquí nos concretaremos sólo al examen de las
construcciones que corresponden a la adición, sustracción,
multiplicación y división de números complejos, junto a unas pocas
cuestiones adicionales que pueden ser útiles en la
solución de los problemas siguientes. Los números
complejos están representados por puntos o por
vectores, todos con su origen en O. En lo que
sigue será necesario considerar vectores con
orígenes arbitrarios para explicar la noción de
equivalencia o igualdad de vectores. Dos
vectores AB y CD con orígenes en A y C,
respectivamente, se llaman equipolentes si se encuentran en la misma
recta o en rectas paralelas y tjenen el mismo sentido y la misma
longitud. En la figura, AB. y CD son vectores equipolentes. Uniendo los
orígenes y los extremos de vectores equipolentes, en general se obtiene
un paralelogramo. La suma de varios vectores, por ejemplo de los tres
vectores:
a = AB ; b = CD ; c = EF,
se efectúa de la siguiente manera; En el extremo B de a, coloqúese el
vector BG con el origen en B y equipolente con b; tómese Q como origen
y construyase el vector GH equipolente con
if
c. Entonces, el vector AH —o uno
equipolente— es, por definición, la suma de los
vectores a -|- 6 fe. De la figura se
desprende que la proyección de la suma de vectores
sobre unp semirrecta / es igual a la suma
de las proyecciones de estos vectores;
tomándose cada pro-
,^'^1*^2 yección positiva o
negativamente
según que la
dirección del segmento
correspondiente (tal
como A 'B', G' H',
etc.) sea la misma
que la de í o la opuesta. Será ahora fácil describir la construcción
correspondiente a la suma de números complejos. Estando
representados los números complejos 2i y 22 por los puntos Zi y 22, se
suman de acuerdo a la regla recién explicada para la adición del vec-

36
TEOSIA DE ECUACIONES
tor Ozi al Ozi; el vector resultante OX, será su suma, y el punto ^
representará el número complejo 2i 4- 22. De hecho, si
zi = ai + bii ; 22 = 02 + 62 i
las proyecciones de Ozi y Ozi sobre los ejes real e imaginario, serán,
respectivamente:
ai; 02 ; 61; 62;
por lo tanto, las proyecciones de OX, son:
ai + 02 y 61 + 62
y en consecuencia:
i; = ai + a2 + ¿ F1 + 62) = 2i + 22.
Nótese que la figura Ozi X, 22, en general es un paralelogramo, siempre-
que los puntos O, Zi, 22 no estén alineados. En el triángulo O21 X, el lado
OX, es menor que la suma de los otros dos, lo que conduce
inmediatamente a la desigualdad
I 2i + 22 I < I 2i I + I 22 I
siempre que los puntos O, Zi, 22 no estén ahneados. La misma desigualdad
vale aun cuando O, Zi, 22 estén alineados, si 2i y 22 se encuentran en
semirrectas opuestas con respecto a O; si se encuentran en la misma
semirrecta, entonces:
|£i + 22I = I21 I + I22 |.
Ahora bien, si 21 y 22 se encuentran en la misma semirrecta que parte
de O, los argumentos de los números complejos 2i y 22 son iguales y el
cociente es un número real positivo;
recíprocamente, en el caso en que los argumentos de
2i y 22 sean iguales. O, 21, 22 están alineados y
2i y 22 se encuentran en una misma semirrecta
respecto de O. Así, por medio de la
representación geométrica hemos demostrado
nuevamente y de manera intuitiva la proposición
establecida en el Párrafo 9. La construcción geométrica para la
suma de dos números complejos conduce inmediatamente a la
correspondiente construcción de la diferencia 22 — 21. Esta diferencia está
representada por el cuarto vértice del paralelogramo, tres vértices
consecutivos del cual son: O, 21, 22. Evidentemente, el vector que
representa la diferencia 22 — 21 es equipolente con el vector 2i 22.

NUMEBOS COMPLEJOS
37
La regla para la multiplicación de números complejos en forma
trigonométrica nos proporciona una construcción simple para el producto
de dos números complejos Zi y zt. Antes de explicar esta construcción
es necesario explicar lo que se quiere significar por sentido al referimos
al triángulo ABC cuyos vértices se toman en el orden indicado. Yendo-
de A a 5, de 5 a C y volviendo nuevamente de C a A, el interior del
triángulo puede quedar situado ya a la izquierda, ya a la derecha;
en el primer caso decimos que tiene sentido positivo; en el último, que
tiene sentido negativo. Así, el triángulo ABC representado en la figura,
tiene sentido positivo; pero el mismo triángulo,
si sus vértices se toman en el orden ACB,
tendrá sentido negativo. Uniendo el punto Zi con O
y 1, se forma el triángulo Olzi. Tomando ahora
Ozi como lado correspondiente a 01, construímos
otro triángulo Oz^ X, semejante a 01 z, es decir,
con el mismo sentido y ángulos iguales en los
vértices correspondientes. Si </>i y <í>2 son los
ángulos entre el eJ3 real y los vectores Ozi y Ozi,
por construcción el ángulo entre el eje real y OX, es
<f>i + (^. El argumento de i; es: <f>i + <{>2. Además,
designando con p, A, n las distancias de O & X,,
2i, Z2 respectivamente, se desprende de la semejanza de los triángulo»
Olzi y Ozi X, que:
_£_ = ü.-
n 1
en cons3Cuencia p = Tin es el módulo de X,. Por lo tanto, X, representa
al producto zi Z2. Puede efectuarse una construcción similar para
representar el cociente Zi/zi4
Sean los números complejos Zi, 22, X,, representados por trss puntos
alineados. En este caso, como puede verse en la-
figura, los puntos O, X, — Zi, zj — zi están
también alineados, y por lo tanto los argumentos de
X, — Zi y Z2 — Zi o son iguales o difieren en x. En
consecuencia,
X, — Zi = \{zt — Zi) ,
o sea
; = A — X) zi + X Z2,
donde X es un número real. Es evidente que la recíproca también es
verdad; es decir, si X es real, los puntos X,, Zi, z, están alineados. El nú-

38 TEOBIA DE ECUACIONES
mero X en la fórmula precedente tiene un significado simple.
Designando por r la distancia entre Zi y z^ y por p el segmento Zi X,, tomado
positiva o negati amenté según que la dirección de zi X, coincida con la
dirección zi z^ o sea opuesta a sUa, evidentemente X es igual a la razón
r/p. En particular, si X = —, el punto X, es el punto medio del segmento
Z1Z2, y está representado por el número complejo
r = ■ '^' + ''"
El vector correspondiente a i B2 — Zi) es perpendicular a la recta
/ que une zi y 22; en consecuencia, es fácil ver que los números complejos
X, = a + i\(z2 — Zi)
donde X es real, representan puntos de la recta trazada por un punto
arbitrario a y perpendicular a 1.
Problemas
1. Construir un triángulo XYZ, dados los puntos medios P, Q, R de los lados XY,
YZ. ZX.
Sugestión: Sean x, y, z númerob complejos que representen los vértices desconocidos
X, Y, Z, y p,g,r números complejos que representen P, Q, R. Entonces: x + y = 2p;
y + z = 2g; z + X = 2r. Por simplicidad de construcción el origen puede colocarse
por ejemplo, en P.
2. Construir un cuadrilátero XYZT dados los puntos medios P, Q, R, S de los lados
XY, YZ, ZT, TX. El problema sólo es porible si P, Q, R, S satisfacen una cierta condición.
¿Cuál es el signiñcado geométrico de esta condición? Satisfecha esta condición, el
problema es indeterminado.
3. Dados los puntos medios de cinco de los lados de un exágono, ¿cómo puede ubicar&o
el sexto para que existan exágonos tales que los puntos medios de sus lados sean los dados?
4. Dados los puntos P, Q, R tales que dividan los lados del triángulo XYZ en segmentos
cuyas razones sean:
XP I YQ _ 2 ZR J_
PY ~T ' 'qz ~ T ' 'rx " V
construir el triángulo. Discutir la condición para la existencia de un verdadero
triángula
5. Los números complejos 2 = o + F — o) í, donde o y 6 son complejos dados y t un
número real variable, representan puntos de la recta ab. Demostrar que las rectas
z=-a + (jb—a)i ; z = c + {d—c)i'

NÚMEROS COMPLEJOS
39
son paralelas si
y perpendiculares si
'(^)-
«(^)-«-
6. ¿Cómo puede hallarse el punto de intersección de las rectas del problema 5 si no son
paralelas? El valor de í para el punto de intersección está dado por:
ti
(^)+^(H-)=°'
7. Si zi, zi, zi representan los vértices de un triángulo, demostrar que las medianas se
cortan en un punto y hallar el número complejo correspondiente a este punto.
8. Los números complejos zi, zi, zz representan los vértices de un triángulo Ziiat de
sentido positivo. Si a, b, c son las longitudes de los lados ziz:, zszs, zizi y A,B,C los ángulos
opuestos, demostrar que
z¡ — zt o
= — (eos C +i sen C) ;
Zj — Zl b
Zj —Z2
Además, utilizando la idantidad
(Zl — Zj) + (Z2 — Zs) + (Z| — Zi)
— — (eos A — » sen A),
b
•'■O
demostrar que
sen A sen B
sen C
6 = o eos C + c eos A; etc.
* 9. La media geométrica "^ z¡ 22 de los números complejos zi y zt puede oanstruiTse
de la siguiente manera: Dibújese la bisectriz I del ángulo
comprendido entre Ozi y Oz2 y por O la recta I'
perpendicular a 1. Tómese zz simétricamente a Z2 con respecto a I', y
dibújese un círculo que pase por los puntos Zi, zj, 23 y corte
a 2 en los puntos II y — ¡1. Estos dos puntos representan dos
valores de la media geométrica.
* 10. Con base AB = 2 o construir un triángulo ABX
conociendo el producto de los lados AX .BX = m* y la
diferencia de los ángulos < ABX — < BAX = í.
Sugestión: Tómese la base AB como eje real, el origen O
en su punto medio, y sea X el número complejo que
representa el vértice incógnito X. Las condiciones del problema
nos llevan a la ecuación
X'
■ m* (eos 5 — t sen 5) ,
o bien
X' = a + mí eos t sen — o — m I <
L I 2 2/J[ \
^l-
La construcción de X surge del Problema 9.

CAPITULO II
POLINOMIOS DE UNA VARIABLE
1. Las funciones racionales enteras o polinomios. — Una
expresión de la forma
Oo X'" + ai X"-' -t- . . . + a„
en la cual Oo, Oi, . .., a„ son números dados (reales o imaginarios) y la x
es la variable, se llama función racional entera de x o polinomio en x.
Las constantes Oo, Oi, . . ., a„ se llaman coeficientes, y los monomios
separados:
ao X» ; ai x"-' ; . . . ; a„
ae denominan íérminos del polinomio. Si a^ ?í O, el polinomio es de grado n
y aoX* es su término principal. Los términos con coeficientes iguales a
cero usualmente se omiten; mientras que, por otra parte, antes del
término principal pueden agregarse tantos términos con coeficientes
cero como se desee y todos los polinomios así obtenidos son considerados
idénticos. Aun cuando estrictamente hablando, un polinomio dobc
contener la variable x, sin embargo, por una cuestión de conveniencia,
es costumbre considerar a las constantes distintas de cero como
polinomios de grado cero. Un polinomio cuyos coeficientes son todos iguales
a, cero, se llama idénticamente nulo y es reemplazado por cero. Al
polinomio idénticamente nulo no se le atribuye grado. Dos polinomios se
consideran iguales si son idénticos término a término; es decir, la
igualdad:
ao X" + ai x"-' + ... + a„ = 6o a;" + 6] x"-' + . . . + b„
implica que:
ao = 6o ; ai = 6i ; . ..; a„ = 6„.
A menudo es conveniente introducir en la notación de polinomios
-el uso de signos de función: /(x); g{x); <f>{x); etc.; y aún omitir la x,
escribiendo simplemente: /, g, etc., si no puede darse lugar a dudas
procediendo así. El resultado de la sustitución de un número a en lugar
40

POLINOMIOS DE UNA VABIABLE 41
de X, en un polinomio f{x), es un número llamado valor numérico
■de dicho polinomio para x = a y se indica con f{a). Así, para los
polinomios:
/(x) = 3x' —X + 2, ff(x) = 4x* — X» + 2x —1,
h (x) = V 2"x* — C + V 2~) X f 4,
tenemos
/(-I) =0 , ff(t) =3 +3t , /i(l) = 1.
2. Multiplicación de polinomios. — La adición, sustracción y
multiplicación de polinomios se conoce suficientemente bien de los cursos
elementales de álgebra. Solamente puede agregarse una observación
de naturaleza práctica con respecto a la multiplicación. Si deseamos
por ejemplo, multiplicar los polinomios;
x^—x-Hl y x^ + x+1
la disposición usual de los polinomios es la siguiente:
(x' — X + 1) X (x' + X + 1)
X* X'' + X^
x' — x^ + X
X* X + 1
X* -t-
Este procedimiento, sobre todo cuando los polinomios a multiplicar
tienen muchos términos, supone un trabajo inútil bastante considerable
al escribir las potencias de x. Esto puede evitarse usando el método de
los coeficientes separados. En este método escribimos solamente las
sucesiones de los coeficientes de los polinomios que deseamos multiplicar,
comenzando con los principales, y sin omitir los coeficientes nulos.
Entonces, los coeficientes de uno de los polinomios se multiplican en
orden por el primer, segundo, tercer, etc. coeficientes del segundo
polinomio, y los renglones de números se disponen uno bajo el otro de tal
manera que cada renglón esté desplazado un lugar a la derecha con
respecto al precedente. Sumando los números que se encuentran en una
misma columna obtenemos los coeficientes ordenados del producto,
y finalmente restituímos las potencias de x faltantes. Por ejemplo, la
operación realizada más arriba puede ordenarse como sigue:
1 —1 ]
1 -1 ]
1 —]
1 0 ]
1 X 1 1
1
1 —1 1
[ 0 1
1

42 TEOEIA DE ECUACIONES
do manera que el producto resulta:
X* + Ox^ + x'' + Ox + 1 = x< + x^ + 1.
Como otro ejemplo, multipliquemos:
x^ + x^ — 2x'^ + 3 por 2x< — 3x'+ 4x2 —1.
En este ejemplo el cálculo se dispone como sigue:
1 0 1-2 O 3 X 2 —3 4 0—1
~2 0 2—4 O 6
—3 0—3 6 0 — 9
4 0 4—8 O 12
—1 0 — 1 2 0—3
2—3 6—7 9 —2 —10 14 0"^=3
de manera que el producto es:
2 x« — 3 x' + 6 x' — 7 x^ + 9 x^ — 2 x^ — 10 x' + 14 x^ — 3.
Uno de los renglones estaba compuesto de ceros, por lo que es obvio
(juc podía omitirse.
Debe agregarse una advertencia más de importancia teórica: Si dos
polinomios no idénticamente nulos / (x) y g (x) tienen términos prin-
eipales Oq x" y 6o x"', el término principal del producto será
ao6oX''+"'
y el coeficiente difiere de cero; por lo tanto f{x) .g (x) es un polinomio
no idénticamente nulo. En consecuencia, si
f{x)g{x) =0
uno de los factores debe ser un polinomio idénticamente nulo.
Problemas
Multipliqúense por el método de los coeficientes separados:
1. X* + x' -\- x" + X + I por X* ~ x' + x"- — X + 1.
2. 2x* — Zx' +X — 1 poT x> +3x''—l.
3. X* + 4 X* —5x^ — 2 por x* — 4 x' — 5 x^ — 2.
4. x^ — 3x' +x*—x + \ poT 3x^ + 7 X- — X + 1.
3. División de polinomios. — La división de polinomios requiere
una explicación más detallada. Sean:
/ (x) = ao x" + Oi X"—1 + ... + a„
g(x) = boX"'+ bix"-! + . . . + 6„

POLINOMIOS DE UNA VARIABLE 43
dos polinomios de grados n y m respectivamente, por lo que Oo 9^ O
y &0 ?í O, y supóngase que n ^ m. Eligiendo en forma apropiada una
constante co se puede obtener un polinomio:
/ (x) — Co X»-" g (x) = /, (x)
que si no es idénticamente nulo, será de grado ni < n; para ésto es
suficiente tomar
ao
Co = .
60
Mientras sea ni ^ m puede encontrarse una constante ci tal que:
/i (x) — ci X"'-" g (x) = fi (x)
que si no es idénticamente nulo, será de grado n. < ni. Si n» ^ m,
puede repetirse el mismo proceso. Ahora, los grados de los < restos
parciales » /i(x); fiix); ... forman una sucesión decreciente, de manera
que habrá algún primer resto parcial fk+i (x) que, o bien es idénticamente
nulo, o es de grado ni+i < m. Reemplazando /i (x) ; fi(x); ... ;fkix)
por su valor, tomado de las identidades:
/ (x) — cox»-" g (x) = /i (x)
/i (x) — ci X"'-" g (x) = h i.x)
A(x)~c*x"*-™ff(x) =/mW
y poniendo por brevedad:
Co X"—" + ci X"'—" + ... + Ci x"*"^ = 9 (x) ; /i+i (x) = r (x)
obtenemos la identidad:
/ (x) = g (x) 9 (x) + r (x),
en la cual r (x) es de grado menor que m o es idénticamente nulo. Los
polinomios q{x) y r(x) se llaman cociente y resto de la división de/(x)
por g (x) y se encuentran por el proceso antes descripto, que es
esencialmente igual al que se enseña en los cursos elementales de álgebra.
Igual que en la multiplicación, en la práctica es ventajoso evitar
■el escribir las potencias de x usando el método de los « coeficientes
separados». Por ejemplo, dividamos
x' + x^H-3x^—1 por x^ —3x'H-4x + 1 .
Al escribir los coeficientes separados no deben olvidarse los coefi

44
TEOSIA DE ECUACIONES
cientes nulos de los términos fallantes. La operación se dispone como
sigue:
1
1
1
—3
4
4
0
0
0
—12
12
12
0
4
— 4
0
— 4
—36
32
32
1
3
1
2
16
—14
0
—14
—96
82
82
Dividendo
0
0
4
— 4
48
— 52
0
— 52
—246
0
0
12
— 12
128
— 140
0
0
0
0
32
— 31
328
— 1
— 1
— 1
82
1
1
Divisor
—3041
4 12 32 82
Cociente
192 —140 —360 —83 Resto
Por lo tanto el cociente y el resto son:
X* + 4 x' + 12 x^ + 32 X + 82, cociente
194 x' —140x2 —360 X —83, resto
e idénticamente:
x« + x' + 3 x^ - 1 = (x^ - 3 x' + 4 X + 1) (x^ + 4 x' +
+ 12 x^ + 32 X + 82) + 194 x' — 140 x^ — 360 x - 83
Si el resto de la división de /(x) por g (x) es coro, es decir, si
/ (x) = g (x) q (x)
donde ^ (x) es un polinomio, se dice que /(x) es divisible por g (x) o
que g (x) es un divisor de/(x). Lógicamente, ningún polinomio que no
sea idénticamente nulo puede dividirse por otro de grado mayor. De
esto puede inferirse que en una identidad de la forma:
/ (x) = g (x) qi (x) + Vi (x)
donde qi (x) y ri (x) son polinomios y r, (x) es, o bien cero, o tiene grado
menor que g (x), 51 (x) y ri (x) coinciden con el cociente y el resto
obtenidos por división. En efecto, si
/(x) = g (x) 91 (x) + n (x) = g(x) q (x> + r (x)
entonces
9 (a;) [91 (x) -q(x)] = r (.1) — r^ (x)
que demuestra que r (x) — ri (x) os divisible por g(x). Es imposible
que r (x) — ri (x) no sea idénticamente nulo, pues en ese caso su grado

POLINOMIOS DE UNA VASIABLE 46
sería menor que el de g (x) y no podría ser divisible por g (x). Poj lo
tanto n (x) = *• (x) y también gi (x) = g(x).
La simple advertencia siguiente será necesaria más adelante: Si dos
polinomios / y /i son divisibles por g, entonces para polinomios I y U,
el polinomio
If+lifi
será divisible por g. En efecto, por hipótesis»
f = 9Q ; fi = 9Qi,
donde q y qi son polinomios; por lo tanto:
lí+ liíi = g{lq-\-liqi)
■es divsüble por g.
Problemas
Divídase por el método de los coeficiente separados
í. x^ + 3x' — 2x' +3x^—x + 1 por I* — a; + 1.
2. 2 i' — 3 I» + i' — 3 I* + 5 I» — 4 I* + 2 a; — 1 por 2 i» — 3 i» + a; — 1.
3. i' —3 I* + 61 — 1 poT x'' + X + 1.
4. x'-o + x^ + 1 por j' + a; + 1.
5. (x + 1)'—a:'— 1 por ^a;'+ a; + 1)'.
4. El teorema del resto. —El rosto de la división de un polinomio
por un binomio x — c, donde c es un número arbitrario, puede
encontrarse sin realizar la división, por medio del siguiente teorema, que es
importante a pesar de su simplicidad:
Teorema del resto. — El resto obtenido en la división de f (x) por
{x—c) es igual al valor numérico del polinomio /(x) para x = c, es
decir, a /(c).
Demostración; Por ser el divisor de primer grado, el resto será una
eonstante r. Llamando al cociente q{x), tenemos la identidad:
/(x) = (x —c) 9(x) + r.
Al sustituir X por c en esta identidad, debemos obtener números iguales.
Ahora, por ser r una constante, no está afectada por esta sustitución
y el valor del segundo miembro para x = c será
(c — c) q {c) + r = r

46 TEOEIA DE ECUACIONES
mientras que el primer miembro es/(c); por lo tanto:
r = /(c)
lo que significa que, idénticamente en x, es:
/(x) = (.r -c)ry(x)+/(c)
Se deduce de este teorema que /(x) es divisible por (x—c) sólo si
/(c)=0.
Ejemplo 1. Demostrar que /(x) =x'+x- — 5x+3 os divisible por x + 3. En
este caso c = — 3, y por lo tanto tenemos que calcular
/ (- 3) = — 27 + i) + 15 + 3 = O
por lo tanto / (.c) es divisible por x + 3.
Ejemplo 2. Demostrar ((iie x"— c" os divisible por x —c. Esto es cierto puesto que
c" — c" =0; el cociente, liallado por división ordinaria, esi
x"- 1 + cx"-2 + c^ x"-3 + . . . + c"-i.
Ejemplo 3. ¿En qué condieiones x" — r" es divisible por x + c? En este caso debe
sustituirse x = — c en x" + c"; el resultado de la sustitución esi
(— c)" + c" = c" + c" = 2 c" si n es par,
(— c)" + c" = — c" + c" = U si n es impar.
Por lo tanto .c" + r" os divisible por x + c (para c ?í 0) sólo si n es impar, y para un n
par ol resto despuís de dividir es 2 c".
Problemas
Sin efectuar la división demostrar que:
1. X* + 3 ^» + 3 X- + 3 X + 2 es divisible por x + 2.
2. x' — 3 X* + x' — 2 X — 3 es divisible por x — 3.
3. Si a y 6 son distintos y / (x) es, separadamente, divisible por x — a y x — 6
demostrar que os divisible por (x — a) (x — b).
Sin efectuar la división demostrar que:
4. 2x« — 7x' —2x2 + 13x+6 es divisible por x= — 5 x + 6.
5. 2 x« + 2 X» + X* + 2 X» + X» + 2 es divisible por x^ + 1.
6. x« + 4 X» + 3 X* + 2 x' + X + 1 es divisible por x= + x + 1.
7. Demostrar que (x + 1)" — x" — 1 es divisible por x' + x + 1 sólo si n es un nü-
iiiui-o impar no divisible por 3.

P0LI^'0^rI0s de vna variable 47
5. Regla de Ruffini. — El cociente de la división por (x — c) puede
determinarse por un procedimiento muy conveniente, conocido como
Regla de Ruffini. En la identidad del Párrafo 4
/ (x) = (x — c) 9 (x) + r
sustituyamos el cociente
q (x) = 60 X"-' + 6iX"-2 + ... + 6n-i
donde 60; 61; 62; ... ; 6„-1 son coeficientes que se determinarán.
Efectuando la multiplicación, tenemos:
(x — c) 9 (x) = 60 x" + F1 — c6o) X"—' +
+ F2 — rhi) x»-2 + .. . + F„_i — cbn-2) X — c6„_
y
(x — c) 9 (x) -H r = 60X» -t- F1 — c6o) x»-i +
+ F2 - c6i) x"-2 -H ... + F„_i — c6„_2) X + r - cl)„_i.
Como este polinomio debe ser idéntico a
oo x» + ai a;"-' + ... + a„_i x + a„
para determinar 60; 61; 62; ... ; bn—i y t igualamos los coeficientes de las
mismas potencias de x, obteniendo el grupo de ecuaciones:
60 = Oo ; 61 — c6o = Oi ; 62 — c6i = 02 ; ... ;
6„_i chn—2 = fln—1 ; T c6„_i = a„
da donde se desprende que 60, 61, ...,?)„ y r se calculan ordenadamente
de la siguiente manera:
60 = oo ; 61 = cii + c6o ; 62 = 02 + c6] ; ... ;
6„_i = a„_i + c6„_2 ; r = an + c6„_i.
El cálculo es de naturaleza recurrente, y ¿n la práctica puede ordenarse
más convenientemente así:
c) Oo Oi 02 ... a„_i a„
c6o c6i .. . c6„-_2 ¿ín—1
Oo = 60 61 62 ... 6n_i r resto
coeficientes del cociente
Todos los coeficientes de /(x) están escritos sin omisiones en el
primer renglón, comenzando con el Oq. El torcer renglón comienza con

48 TEOSIA DE ECUACIONES
«o = í>o que se multiplica por c, el produeto se escribe en el segundo
renglón y se suma a Oi; la suma 61 se escribe en el tercer renglón.
Nuevamente, 61 se multiplica por c, el producto so escribe en la segunda
linca y se suma a Oj; la suma se sitúa en el tercer renglón, y el mismo
procedimiento se repite hasta que, en la última columna, se encuentra
el resto r.
Las expresiones indspeiidientcs pai'a 5o, 61, .. ., 6„_i, r que S3 obtienen
por sustitueiones sucesivas son:
60 = Oo ; 61 = OoC + Oi ; 62 = OoC^ + OiC + 02 ; .. . ;
5„_i = aoC"-i + aiC«-2 + ... + a„_i
y
r = ao c" + ai c"—' + 02 c"—^ + ... + an = f{c)
que es una segunda comprobación del teorema del resto.
Considerando la sucesión de polinomios;
/o = ao ; /i = x/o + ai ; /2 = .r/i + 02 ; ... ; /„ (x) = x/„_i (x) + a„
es evidente que:
/i (x) = ao X' + Oi x'-i + ... + ai.
Por lo tanto
6. =/,(c) ¿ = O, 1,2, ...,i—1,
y
/. (X) = (X - C) [/„ (C) X'-l + /, (C) X«-2 + ... + fi-l (C) ] + íi (C) .
El proceso precedentemente descripto para la obtención del cociente
y el resto cuando se divide /(x) por (x — c) se conoce como Regla de
Rvffini. Siendo el resto /(c), la regla de Riiffiíii nos provee un medio
conveniente para calcular el valor numérico de un polinomio para un
valor dado de la variable.
Ejemplo 1. Encontrar el cociente y el resto de la división de
3 x' — 1 x^ + 6 x' — X- — & X — 8 poT X + 2 .
Los cálculos necesarios se disponen como sigue:
—2) 3—7 5 O 1—6—8
— 6 26 —62 124 —246 504
3 ^13 31 ^^62 123 —252 496
Luego el cociente es:
3 i' — 13 j:< + 31 x' — 62 x2 + 123 X — 252

POLINOMIOS DE UNA VARIABLE 49
y el resto
r -496.
Ejemplo 2. Dividir
5a;» — 7i»+6a;« — 2a; + 4 porx — 1.
En este caso el proceso por la regla de Ruffini se reduce a sumas y puede di^MMiM
en dos renglones, como se indica:
1) 5 0—76—24
5 0—24 26
de manera que el cociente es:
6 x' + 6 x' — 2 x' + i X + 2 .
y el resto
r - 6.
Una simplificación similar ocurre cuando c = — 1, en cuyo caso el
proceso consiste únicamente en restas.
Problemas
Mediante la regla de Ruffini determínese el cociente y el resto de dividir:
1. 2x* — 6x'+ 7x" — 5x + \ por a;+2.
2. —X*+ 7x' — ix'' por I—3.
3. 6x> — 10x'+ &X+3 por I —1,2.
4. 10 13 — 21» + 3 a; —1 por 2 a;—3.
5. a:* + a:» — a:'+ 1 por 3 a;+2.
6. (n —l)a;" —na;"-'+ 1 por (a; — 1)».
7. Calcular / @,75), siendo f (x) =—3x'+6a;» — a;+l.
8. Calcular / (— 0,3), siendo f (x) 2 x* + Qx'— x^+2.
6. Regla de Homer. — Dado que según el desarrollo de Newton,
toda potencia
X" = [c + (x — c)]" = c" + mc^—^ (x — c) +
1.2
puede expresarse én potencias de x — c, siendo c un número arHtrario,
cualquier polinomio puede desarrollarse en forma similar. Sea
/(x) = ^0 + A,{x—c) + A2 (x-c)'+ ... + An(x -c)".

so TEOSIA DE ECUACIONES
Los coeficientes de este desarrollo pueden determinarse en forma muy
conveniente por aplicación repetida de la regla de Ruffini. En efecto,
escribiendo
/ (x)=^o+(x-c)/i(x) ;/i(x)=^i+^2(x~c)+...+^„(x-c)'-i
/»(x) = Ay+{x-c) h (x) ; /2 (x) = A2+ ... +An (x-c)»-2
es evidente que ^0 se obtiene como resto de la división de / (x) por
(x — c); Al como resto de la división del segundo coeficiente'/z (x)
por X — c, etc. La disposición de este procedimiento conocido como
Regla de Homer se entiende mejor mediante ejemplos.
Ejemplo 1. Desarróllese según las potencias de x — 1:
f {x) = 4 I» — 6 I* + 3 i' + I- — a; — 1
En este caso la Regla de Horner se simplifica, reduciéndose a sumas
1)
4
4
4
4
4
4
4
—6
—2
2
6
10
14
3
1
3
9
19
1
2
5
14
—1
1
6
—1
0
Los números subrayados, leídos de derecha a izquierda, representan los
coeficientes Ao, A\, Al, ..., An. Luego:
f(x) = O + 6 (i — 1) + 14 (i — ly + I9{x — D» + U(x — D* +i{x— D».
Ejemplo 2. Desarróllese
fix) = x* — 6x^ + 1
«n potencias de a; + 2. El esquema de cálculo de la Regla de Horner es, en este caso:
1
1
1
1
0
—2
—2
—2
—4
—2
—6
—2
—6
4
—2
8
6
12
18
0
4
4
—12
— 8
1
—8
—7
"^"^
1 —S
1

POLINOMIOS DB UNA VASIABLE 61
Por lo tanto:
X* — 6 x« + 1 = — 7 — 8 (x +.2) + 18 (X + 2)« — 8 (x + 2)» + (x + 2)«
es el desarrollo pedido.
Problemas
Desarróllese:
1. x' — 2 en potencias de x — 1.
2. X* — 6 x' + x' — 1 en potencias de x + !•
3. — i x' + 2x' — X + 1 en potencias de x + 2.
4. 3 X* + 6x' + x^ — 1 en potencias de x — 0,3.
7. Fórmula de Taylor. ■— Los coeficientes del desarrollo de un
polinomio en potencias de x — c, dependen de una manera simple, de los
valores numéricos de este polinomio y de sus derivadas en x = c.
Mientras la noción de derivada de una función, en general, está íntimamente
ligada a la idea de límite y por lo tanto, pertenece con más propiedad
al cálculo diferencial, en el caso especial de los polinomios, las derivadas
pueden definirse algebraicamente sin referencia alguna a límites. La
derivada /' (x) de un polinomio / (x) puede definirse como el coeficiente
de la primera potencia de h en el desarrollo de / (x + h) en potencias
crecientes de una variable auxiliar h. De esta definición y del desarrollo
del binomio:
(x — c + /i)* = (x — c)» + n (x — c)»-' h + ...
se deduce inmediatamente que la derivada de (x — c)" es n (x — c)""*
y, ^n particular, que nx"~' es la derivada de x". Aún más, es evidente
que multiplicando un polinomio por una constante, su derivada queda
multiplicada por esa constante y que la derivada de la suma de
polinomios es igual a la suma de sus derivadas. De esto es fácil sacar la.
conclusión de que la derivada de
/ (x) = oo X" + oi X"-' + . .. + o„_i X + o„,
es
/' (x) = noox»-» + (n — 1) Oix»-» + ... + On-i-
Puesto que /' (x) es un polinomio, podemos considerar su derivada^
que se llama segunda derivada /" (x), de /(x). En forma similar, la^
derivada de la segunda derivada es la derivada tercera, /'" (x), de/(x)^
etcétera.
Ahora, tómese el desarrollo
/(x) = Ao + A,(x — c) +^2(x—c)'+ ... + An{x — c)»

52 TEOBIA DE ECUACIONES
y fórmense las sucesivas derivadas de ambos miembros:
/' (x) = Ai -{-2A2{x — c) +3A,(x -cy + ... +n An (x — c)—»
/" (x) =2Ai+ 3.2.^, (x-c) + ... + n(r¡ -l)^„(x - c)»-2
/"(x) = 3.2.^3 + 4.3.2.^4 (x — c) + ...
Tomando aquí x = c, encontramos
/" (c) . _ r"{c) .
^„=/(c) ; ^, =/'(c) ; ^. =^^--^ ; .43 =
y, en general:
)
1.2.3 ...z
Luego, el desarrollo de / (x) en potencias de (x — c) toma la forma
f (c) f" (c'\
J{x) = /(c) + LS± (X - c) + M^^'^ ~ '^' +
1 1 t ^
/(") (c)
+ . . . + —^—^-^ (x — c)»
1.2.3 ... n
que se conoce con el nombre de fórmula de Taylor. La regla de Horner,
que sirve para calcular los coeficientes de este desarrollo, constituye un
método conveniente para calcular los valores numéricos de un polinomio
y sus derivadas para un dado valor de su variable.
Problemas
Calcular el valor numérico de los siguientes polinomios y de sus derivadas para el valor
de X indicado:
1. — X* + 6x' + X — 1 para x = 1.
2. 2 !> —7 a;» —10 I»+ 2 a;—6 paraa; = —1.
3. ix* — 7 x'+6x+3 para a; = —2.
1111 1
4. —X* x' -\ X* X + 1 para x = •
4 2 6 3 2
S. Máximo común divisor de dos polinomios. — Dos polinomios
pueden ser divisibles por un mismo polinomio, que se llama entonces
común divisor. Por ejemplo, los polinomios:
x< + 4 x' + 4 x^ — X — 2 = (x + 1) (x + 2) (x^ + X - 1)
j:« -H 2 x« + x' + 3 x^ -H 3 X -h 2 = (x + 1) (x + 2) (x^ - x' + x« + 1)

FOLINOMIOS DE UNA VARIABLE 63
tienen los divisores comunes
x + l ; x + 2 ;(x + l)(x + 2)=x2 + 3x + 2.
De todos los divisores comunes de dos polinomios, se asigna especial
interés al divisor común de grado máximo. Esta expresión se denomina
máximo coinún divisor. Veremos en seguida que el máximo común divisor
es esencialmente único, y que puede encontrarse por una serie de
operaciones regulares. Sean dos polinomios dados / y /i. Dividiendo / por /i,
sea 52 el coeficiente y /z el resto tal que
/ = /i 91 + /2.
Si /z no es un polinomio idénticamente nulo, podremos continuar
dividiendo /i por /j, obteniendo un cociente qt y el resto fs tal que
/i = hq2 + fí •
Nuevamente, si /.i no es idénticamente nulo, la división de /z por /j
lleva a otra identidad
Si = Jiqi+!<;■■ ■ etc.
Desde que el grado de los polinomios fi', ft', fz', ■ ■ ■ disminuye y las
operaciones pueden continuarse mientras el último resto obtenido no
sea un polinomio idénticamente nulo, debemos llegar a un resto /r que
divida exactamente al resto precedente, de manera que tendremos r
identidades:
/ = /i 91 -h /2
/i = /2 92 + /3
fr—2 = /r—1 9r—1 + /r
/r-1 = /r 9r .
De estas identidades puede inferirse; primero; que /, es un divisor
■común de / y /i; y segundo; que cualquier divisor de estos polinomios
divide a /,. Para demostrar el primer punto observamos que /, divide
a fr—\, por lo tanto divide también a
fr-2 = /r-l 9r-l + fr •
Nuevamente, desde que/^ divide &fr—i y/r—2 dividirá a/r_3 y
continuando de la misma manera, podemos deducir finalmente que /, divide
a / y /i-
Para demostrar el segundo punto, supóngase que d divide a, f y f¡.
Entonces, como se puede ver de la identidad
/2 = / - /l ?! ,

54 IMOSIA DE ECUACIONES
d dividirá a /i y /z- En la misma forma, la identidad
demuestra que d divide a/z y/s; continuando el mismo razonamiento,
concluímos que d divide a /r_i y fr- Desde que todo divisor común de
/ y /i divide a fr, ninguno de ellos puede ser de mayor grado que fr,
por lo tanto, fr es un divisor común de grado máximo; y, sí d es otro
divisor común del mismo grado, divide a/r y el cociente es una constante,
liUego, hay infinitos divisores comunes de / y /i de grado máximo, .pero
todos ellos son de la forma
Cfr
donde c es una constante arbitraria. En cuestiones de divisibilidad, los
polinomios que difieren únicamente en un factor constante, no pueden
ser considerados como esencialmente distintos. En este sentido hay un
único máximo común divisor, que puede ser el polinomio fr,
determinado de acuerdo al algoritmo descripto anteriormente, o bien cfr, donde
la constante c se elige de manera de tener el resultado más simple.
Puede suceder que el mismo fr sea una constante en este caso los
polinomios no tienen divisores comunes y se denominan polinomios sin
divisores comunes o polinomios primos entre sí. El procedimiento de
divisiones sucesivas por medio del cual se determina el máximo común
divisor es similar al algoritmo de Euclides que se usa en aritmética
para encontrar el máximo común divisor de dos enteros. Por analogía
se llama algoritmo de Euclides aplicado a los polinomios.
Ejemplo 1. Encontrar el máximo común divisor de
/ =x'^ + 2ifi+x'+3x'+3x + 2
y
/i = a:« + 4i» + 4x« — I—2
El primer paso en el algoritmo de Euclides es dividir / por /i. La división se
realiza con los coeficientes separados como sigue:
4 4—1—2
1
1
2
4
—2
—2
0
4
—4
—8
4
4
1
—1
2
—8
10
16
3
— 2
5
2
3
16
3
3
4
—1
—4
2
2
—8
1 —2
El primer resto es
-6 —13 3 10
/2 = — 6 i' — 13 i' + 3 I + 10 .
Ahora tenemos que dividir /i por f¡. Esta división introduciría coeficientes
fraccionarios y, para evitar este inconveniente, podemos multiplicar fi por 6; de esta manera f¡

POLINOMIOS DE UNA VARIABLE
56
estará multiplicado por una constante, la cual no tiene importancia para nuestro prt)pó-
sito. La siguiente operación es, por lo tanto:
24
13
24 — 6
—3 —10
11
27
-12
-12
—6
-13
10
—1
-11
Nuevamente, para evitar fracciones, multiplicamos los números del último renglón
por 6; esto cambia el resto final de manera que en lugar del /s que obtendríamos por el
procedimiento corriente, tendremos /s multiplicado por una constante. La operación
continúa así:
66 162 24 — 72
66 142 —33 —110
19
57
38,
Todos los coeficientes tienon aquí el factor 19; simplificando podemos tomar como/i
fz = x'+3x+2.
Téngase en cuenta que en el renglón en que se escriben los coeficientes del cociente,
los números ya no representan dichos coeficientes, Pero esto no tiene importancia, ya
que no nos interesan los cocientes, sino solamente los restos y de éstos no nos preocupan
los factores constantes. Ahora tenemos que fividir f¡ por /j. Esta división
—6
—6
—13
—18
5
5
3
—12
15
15
10
10
10
—6
O
finaliza con resto nulo. Por lo tanto las operaciones terminan aquí y el máximo común
divisor pedido puede ser
i' -h 3 I -h 2 ,
Ejemplo 2, Encontrar el máximo común divisor de
f = x^ — X* — 2 x' + 2 x^ + X — 1
y
/■ =5x* — 4x' — ex''+4x + l
Aquí, antes de comenzar la división, se multiplican todos los coeficientes del primer
polinomio por 5; entonces, el procedimiento continúa de la siguiente manera:
por 5
Símplífíquese
por 24
Podemos tomar;
5
5
se
e
—5
—4
—1
—5
—5
—10
— 6
— 4
—20
4
—24
1
10
4
6
30
6
24
—1
5
1
4
20
—4
24
—1
— 5
— 5
—25
— 1
—24
1
—6
1
1 —1
■x + l

56
TEOEIA DE ECUACIONES
Luego:
—6
—5
—1
—1
—1
O
y puesto que no hay resto en esta dí^ásión;
f2=X' — X^—X + l
es el máximo común divisor pedido.
Nota; Sí todas las identidades del algoritmo de Euclídes aplicado a,f y f¡ se multiplican
por un polinomio arbitrario g, es evidente que
oh ; gh; ■■■;gfr
serán los restos sucesivos, de los cuales el último p/r, divide al Rrecedente gfr j. En
conclusión: si el máximo común divisor de / y /i es d, el de gf ygf\ áerá gd. En particular,
si/ y /i son primos entre sí, puede tomarse g como máximo común divisor áe gf y gf]. En
el Capítulo XII se hará referencia a esta observación.
Problemas
Encuéntrese el máximo común divisor de los siguientes polinomios:
l.f = 2x* +2x' — 3x' — 2x + 1 ; /i = x> + 2x' + 2x + 1.
2. f = x' — ex^ — 8x — 3 ; /, = x' — 3x—2.
3./
+ 4x* + x^ — x'' + x + \ ; /i = e, x<' ~ 2 x> + x^ + :> x' — X + 1.
4. f = 2 x' + 3x^ + x* + 7 x' + i x^ + i X + 6 ; /, = x* — x' -x — \.
5. f = 10 xfi - 9 x" — 12 x> + 2 X- — X — 1; fi = i X' + 2* — 7 x' — 8 x'' — X + 1-

CAPITULO III
LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS Y SUS RAICES
1, Las ecuaciones algebraicas. —Sea/(«) un polinomio con
coeficientes reales o complejos y grado ^ 1. Igualándolo a cero tenemos la
ecuación
f{x) =0
que se llama ecuación algebraica. En esta ecuación la x representa un
número desconocido qu3 la satisface, es decir, que sustituido en f(x) da
cero como resultado. Cualquier número que satisface la ecuación
propuesta se llama raíz; el problema de resolver una ecuación consiste
en encontrar todas sus raíces. Las raíces de una ecuación /(x) = O a
menudo se llaman raíces del polinomio/(x). Si el grado del polinomio
es n se dice que la ecuación correspondiente es de grado n. De acuerdo
a que sea n = 1, 2, 3, 4, ,.., etc, tenemos las ecuaciones de la forma:
tto X -h Oi = O
ao x^ + ay X + 02 = O
tto x' -f Oi x^ -h 02 X -F 03 = 0
tto X* + ay x^ + a2 x^ + a3 X + at =0
etc,
de grado 1,2, 3, 4, etc. o ecuaciones: lineal, cuadrática, cúbica, cuártica,
etc. Se supone que el coeficiente principal Oq es distinto de cero, aun
cuando ninguna condición se impone a los otros coeficientes.
Si c es una raíz de la ecuación
f(x) =0
se deduce del teorema del resto que / (x) es divisible por (x — c), así que
/(x) = (x-c)/,(x)
donde /i (x) es un polinomio de grado n — 1, e inversamente, en caso
de que /(x) tenga el factor x — c, el número c es una raíz de este
polinomio. Si Ci es otra raíz distinta de c, tal que f{c\) = O, entonces,
sustituyendo C\ en la identidad precedente, tenemos:
(ci-c)/,(cO =0;
67

58 TEOSIA DE ECUACIONES
de donde, desde que Ci — c jA O, se desprende que /i (ci) = O, es decir,
/i(x) es divisible por x — Ci, o sea:
/i (x) = (x — ci) /s (x)
donde /2 (x) es un polinomio de grado n —2. Por consiguiente:
/ (ar) = (x — c) (x — ci) /j (x)
lo que demuestra que, teniendo dos raíces distintas c y Ci, el polinomio
es divisible por (x —c) (x — Ci). Continuando de la misma forma,
podemos concluir que / (x) será divisible por
(X — C) (X — Ci) . . . (X — Cm-l)
si la ecuación /(x) =0 tiene m raíces distintas: c, ci, C2, . . ., Cm—i-
Dos resultados importantes pueden derivarse de esta conclusión:
Primero: queda demostrado que una ecuación de grado n no puede tener
más de n raíces distintas. En efecto, supóngase que c, ci, C2, ...,Cn~-i
son n raíces distintas de la ecuación /(x) =0; entonces, /(x) es de
grado n y es divisible por (x — c) (x — Ci) ... (x — c„_i), que es también
un polinomio de grado n. Por lo tanto su cociente es necesariamente
una constante que es igual al término principal ao de/ (x), de modo que:
/ (x) = ao (x — c) (x — ci) ... (x — c„_i)
y el producto del segundo miembro no puede anularse para otros valores
de X distintos de c, Ci, d, . . .,c„_i. Segundo: si se conoce un número
m < n de raíces distintas c, Ci, . . ., Cm—i, las raíces restantes se
encontrarán resolviendo la ecuación reducida:
Uix) = 1^ O,
(X — c) (X — Ci) ... (X — Cm_i)
de grado n — m. Para obtener la ecuación reducida es provechoso
dividir sucesivamente por cada binomio (x — c) (x — Ci) ... (x — Cm—i),
utilizando la regla de Ruffini.
Ejemplo 1. Resuélvase la ecuación cuártica:
X* — 5 i' — 10 I — 6 =0
conociéndose dos raíces: — 1 y 3. Los cálculos para obtener la ecuación reducida se
disponen como sigue:
—1) 1 O —5 —10 —6
3) 1 —1 —4 — 6 O
3 6 6_
~1 2 2 0~

LAS ECUACIONES ALGEBBAJCAS T SUS SAICS8 69
La ecuación reducida es
i' + 2i + 2 -O
y tiene las raíces
Por lo tanto, además de las dos raíces reales —1 y 3, la ecuación propuesta tiene doe
imaginarias: — l+ty —1 —t;y siendo estas cuatro raíces distintas, no hay otras
raíces. Al mismo tiempo se tiene el factorco
X* — 5 i' — 10 I + 6 = (I + 1) (i — 3) (i + 1 + t") (i + 1 —t)
del polinomio dado en factores lineales, dos de los cuales tienen coeficientes imagínanos.
Sin embargo, al efectuar multiplicaciones tenemos:
(i + 1 + i) (I + 1 -t) = (I + 1)' + 1 = I» + 2 I + 2
y es así que el mismo polinomio está factoreado ahora en dos factores lineales y uno
ciiadrático, pero de coelieientes reales
i< — 5 i2 — 10 I — 6 = (i + i) (i — 3) (x» + 2 I + 2) .
Aun cuando una ecuación de grado n no puede tener más de n raíces distintas, algunas
veces el número de éstas puede ser menor que el grado de la ecuación. Así, en las
ecuaciones:
i' + 2 I + 1 =0
i' — i' — I + 1 =0
I* + I» = O
la primera tiene sólo una raíz: — 1; la segunda sólo dos raíces: 1 y — 1, y la tercera dos:
O y — 1. Téngase en cuenta, sin embargo, que los polinomios correspondientes:
1^+21 + 1 = (i + 1) (i + 1)
x' — x' — x + í = (i — 1) (i — 1) (i + 1)
X* + X^ =1.1.1. (i + 1)
están factorcados en 2, 3 y 4 factores lineales respectivamente, algunos de los cuales
aparecen repetidos.
Problemas
1. Escríbase una ecuación cúbica con las raíces 0; 1: 2.
2. Escríbase una ecuación cúbica con las raíces 1; 1 + t; 1 —t.
3. f^críbase una ecuación cuártica con las raíces i; — t; 1 + t; 1 — t.
4. Resuélvase
20i'—30i' + 12i —1 -O
1
siendo — una raíz.
2

60 teoría de ecuaciones
5. Una raíz de la ecuacióQ cúbica
i« — Ba + \)x^ +a(a + 2)i—a(a + 1) = O
es a + 1. Hállense las restantes.
6. Resuélvase
2 i« — I» — 17 i' + 15 I + 9 =0
si: 1 + -y/2 y 1 —\ 2 son raíces.
7. Hállese el polinomio de menor grado que se anula para i = — 1; 0; 1 y toma el
valor 1 para i •■ 2.
8. Hállese el polinomio de menor grado que se anula para i = 0; 2 + t; 2 —t y toma
los valores 1 y — 1 para i = —1 y i = 1.
9. Resuélvase
I» — 2 A + i) i' — A — 2 i; I + 2 A + 2 i) =0
dada la raíz 1 + 2 t.
19. Resuélvase
i« — A + 2 i) I» + ( — 4 + 2) i' + C + 6 i) I + 3 — 31 = O
dadas las raíces t y ■y 3 .
2. Teorema de identidad- — Del hecho de que el número de raíces
distintas de una ecuación no puede exceder su grado, puede deducirse
fácilmente el importante teorema que sigue:
Teorema de identidad. —Si dos polinomios f{x) y fi{x), ambos de
grado no superior a n, toman valores iguales para más de n valores distintos
de X, son idénticos.
Dkmostración: Supóngase que Ci, c-., . . .,Cm son los m > n números
distintos para los cuales f {x) =/i (x), es decir, para los que
/ (ci) = /i (ci) ; / (cz) = A (cj) ; . . . ; / (c„) = /, (cj .
Si
F{x) =f{x) -h{x)
no es un polinomio idénticamente nulo, entonces su grado m no es
superior a n. Sin embargo, la ecuación
F (x) = O
tiene m raíces Ci, C2, ...,Cm todas distintas por hipótesis. Dado que
m > n, el númsro de raíces distintas de esta ecuación excede su grado,
lo que es imposible. Por lo tanto F {x) es idénticamente nulo y los
polinomios / (x) y /i (x) son idénticos término a término.

LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS Y SUS RAICES 61
El teorema que se acaba de demostrar tiene útiles aplicaciones. Aquí
enseñaremos solamente una.
Ejemplo. Por el desarrollo de Newton, para cualquier exponente entero y positivo
n se verifica:
/, , N„ , , " , n (n -1) , , n (n - 1) (n - 2)
Los coeficientes
n n (n — 1) n (n — 1) (n — 2)
1 1.2 1.2.3
son los coeficientes binomialcs. Introduciendo la notación usual
t\ í«-l) ...«-r + 1)
r j = TiTTT 'P--^i.
el desarrollo puede escribirse así:
A+ i)» = 1 +
(:)«+(:)-+-+(:).
Escríbase un desarrollo análogo para otro exponcnle entero m:
G)x+(;)x^+...+(;;;)x-
y multipliqúense. El coeficiente de cualquier potencia i* dada, debe ser el mismo en ambos
miembros. Multiplicando los segundos miembros, este coeficiente resulta ser:
m
r-.){:H~.){ih--(:)
y debe ser el mismo que el coeficiente de i* en el desarrollo del producto de los primeros
miembros, es decir:
A +i)"(l +!)"• = A +i)»+"'.
Se ve fácilmente que este coeficiente es
\ k I
Luego, tenemos una identidad numérica:
m \ I m
J+U-
,)(:)-(.-.)(:)—(:)=rr) <■>
para enteros positivos m, n, k arbitrarios. Reemplácese ahora a loe enteros m y n por
una variable i; el primero y segimdo miembros de A) se transformarán en polinomios
.'2i
k

62 TEOBIA DE ECUACIONES
de grado k. Para todos los valores enteros i = 1, 2, 3, .. ., por lo que se ha demostrado,
estos polinomios toman iguales valores; luego, son idénticos y por lo tanto la identidad
I +U-1 1 +-+U =rr
se cumplirá para todo valor de i y no sólo para valores enteros. En particular, tomando
X = k y teniendo en cuenta que, en general
U--)-(')
encontramos una expresión muy interesante para la suma de los cuadrados de los coeli-
•cientes binomiales
j _^ . M' _^ ík(k-l)V _^ /k{k-l)(k-2)V _^ ik + l)(k+2)...'¿k
1 / \ 1-2 / \ 1.2 3 / 1.2 ... /c
Aquí, por supuesto, k es un entero positivo.
Por un razonamiento similar, pero un poco más complicado, puede demostrarse que
para i e y arbitrarios
:hU,)(:)-(.:.)(^ —
lycv)'
que generaliza A). La demostración directa do estas expresiones sin recurrir al teorema
de identidad no serúi fácil.
Problemas
1. Usando las identidades de este párrafo demostrar
k 1 fc(fc —1) 1.3
1 2fc—O 1.2 Bfc —l)Bfc—3)
fc(fc —l)(fc—2) 1.3.5 2,4,6... 2fc
1.2,3 Bfc —l)Bfc—3) Bfc—5) 1 3.5 ... Bfc—1)
1
para cualquier entero positivo k. Tómese i = — •
2 fc 1 2 fc B fc — 1) 1
2. 1 + — + ^^ +
2fc —3 2 BAr—3)BAr—5) 2.4
2fcBfc—2)BAr—4) 1.3
+ ... = 2
Bfc—3)Bfc—5) BÍ;.—7) 1.4.6
1
para cualquier entero positivo A; > 1. Tómese i =
3. Tomando i = — 2 demostrar que
fc (fc + 1) B fc + 1)
V +2^ + ... + fc' = —^ —
6
3. El Teorema fundamental del Algebra. — Nunca se recalcará
suficientemente que no todo problema matemático que requiera la

LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS T SUS RAICES 63
determinación de algo, puede ser resuelto. Por ejemplo, si se requiere
encontrar un número real cuyo cuadrado sea — 1, es obvio que tal
requerimiento es imposible de satisfacer. Por lo tanto, cuando se da una
ecuación algebraica y tratamos de encontrar sus raíces, aún admitiendo
los números complejos, no resulta evidente que el problema sea resoluble.
En este caso, sin embargo, todas las dudas se disipan por un teorema que,
debido a su importancia, se llama teorema fundamental del álgebra.
Teorema fundamental. — Toda ecuación algebraica con coeficientes
complejos arbitarios tiene siempre por lo menos una raíz real o imaginaria.
So conoce un gran número de demostraciones de este teorema, pero
ninguna es suficientemente simple como para ser desarrollada en este
lugar. Por lo tanto, lo tomaremos como base para desarrollos futuros,
pero sin demostrarlo. La demostración se encontrará en el Apéndice I.
Sea f (x) un polinomio con coeficientes complejos, de grado n, y con
coeficiente principal ao. Por el teorema fundamental hay un número
real o imaginario «i tal que / («i) = 0. Luego / (x) es divisible por x — «i
y podemos poner
/ (x) = (x - «O /i (x),
siendo /i (x) un polinomio de grado n — 1 cuyo coeficiente principal es ao-
Por el mismo teorema, la ecuación
/i ix) = O
tiene una raíz real o imaginaria «2, y por consiguiente:
/i (x) = (x — «2) /2 (x)
donde f^ (x) es do grado n — 2 y con coeficiente principal ao. Si n > 2,
el mismo razonamiento puede ser repetido hasta que se llegue a un
polinomio do primer grado, /„_i (x), con la raíz «„ y coeficiente principal
a(,, tal que
fn-i (x) = ao (x — «„) .
De la sucesión de identidades
/ (x) = (x - «1) /i (x) ; /, (x) = (x - «2) /2 (x) ; ... ;
/„_i (x) =í= ao (x — «„)
por sucesivas sustituciones encontramos:
/ (x) = ao (x — «O (x — «2) ... (x — «„) .
Esto significa que todo polinomio de grado n puede ser factoreado en
n factores lineales, no contando entre ellos la constante ai;. Estos factores

64 TEOSIA VE ECUACIONES
no necesitan ser distintos. Supóngase que entre los números «i, «2, ..., «n
tenemos
a números iguales a a
p números iguales a b
X números iguales a I
Luego, combinando los factores iguales, vemos que
/ (x) = ao (x — a)« (x — 6)e . . . (x — l)\
Los números a,b, . .., I representan todas las raíces distintas de la
«cuación / (x) = 0. Su número puede ser menor que n —grado de la
«cuación— mientras que el número total de factores lineales es n. Para
restablecer la correspondencia entre el número de raíces y el número
de factores lineales se introduce la noción de raíz múltiple. Una raíz a,
correspondiendo a la cual el factor x — a aparece a veces, se dice que es
una raíz de multiplicidad a y se cuenta como a raíces iguales a a. En
el caso de que a = 1, la raíz se llama raíz simple; en el caso de que a = 2,
3, 4, .. . se llama raíz doble, triple, cuádruple, etc. Si cada raíz se cuenta
<ie acuerdo a la multiplicidad, la proposición de que una ecuación de
grado n tiene siempre n raíces iguales o desiguales, es válida universal-
mente. Si a es una raíz de multiplicidad a, entonces en el factoreo de
/ (x) el factor x — a aparece a veces. Luego, / (x) es divisible por (x — a)",
pero no es divisible por (x — a)""*"^. En efecto, el cociente
0 (x) ¿^ ao{x — b)K.. (x — l)^
(x — a)'
no se anula para x = a, ya que todas las diferencias a — b; . . . ; a — I,
son distintas de cero; luego «^ (x) no es divisible por (x — a)'"*"^ La
condición para que una raíz a sea de multiplicidad a puede ser expresada
<ie una manera diferente. Desarrollando / (x) en potencias de (x — a),
por la fórmula de Taylor:
Six) = fia) + Lí^(x -a) + l^^ix -ay +
1.2.3 ... n
aparece claro que la divisibilidad por (x —a)", requiere el cumplimiento
<ie las siguientes condiciones:
fia) =0 ;/'(a) =0 ; ... ; f^'-'Ha) =0

LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS Y SVS RAICES 65
y una vez que estas condiciones se satisfacen:
/(«) (a) fW (a)
Six) = ^ ^ ' {x — a)'+ ... + ^ ^"'' (z-a)".
1.2... 1.2...n
Luego, si / (x) no es divisible por {x — a)"''"\ debe suceder que /^"^ (a)
no sea cero. Consecuentemente, la condición para que una raíz a sea
de multiplicidad a es que:
fia) =0 ;/'(a) =0 ;... ; f^'-'Ha) =0
pero
/<«> (a) ^ O .
Así, si a es raíz simple
fia) =0 pero /' (a) ^ O ;
si a es raíz doble
/ (a) = /' (a) = O pero f" (a) ^ O ;
si a es raíz triple
fia) = /' (a) = /" (a) = O pero /'" (a) ^ O
etc.
Ejemplo 1. La ecuación
f(x)=x^—nx + n — l =«0;n>l
se satisface para i = 1" ¿Cuál es la multiplicidad de esta raíz?
Tenemos
/' (i) = ni"~^ — n
/" (i) = n (n — 1) i"-2
Luego:
/(I) =0 ; /'(I) =0 ; /"(I) ^0
y 1, por lo tanto, es una raíz doble. El polinomio / (i) es divisible por (i — I)* pero no
por (i — 1)'.
Ejemplo 2. ¿Puede alguna otra raíz de la ecuación ser múltiple? Supóngase que un»
raíz a, diferente de 1, es raíz múltiple. Entonces:
f(a)=a^ — na + n — l=0 ; /'(a) = n (a"-l — 1) = O .
De la segunda condición
a»-! = 1 . a" = a
y sustituyendo a por a" en la primera ecuación, tenemos
a" — na + n — 1 = A — n) (a — 1) = O .
Pero esto es imposible desde que a — l?íOyn>l.

TJSOSIA DE ECUACIONES
Problemas
1. Escribir el polinomio de menor grado que para i = O toma el valor 1 y tiene
laa siguientes raíces: 1 y — 1 como raíces simples, 2 como raíz doble y — 3 como
raís tñple.
2. Becribir un polinomio de séptimo grado con O y 1 como rafeas dobles, — 1 como-
rafs triple y que para i = 2 el polinomio tome el valor — 1.
Descomponer en factores lineales los siguientes polinomios:
3. I» —1. 4.x*~\.
5. 2« —1. 6.x* + l.
1 +t
7. I» — t. 8. 2« —
2
». 2' + x»+l. 10. i<—i» + l.
11. X. — x« + l. 12. A +«y + A—it)«.
13. i< + 3i' + i' —3i —2. 14. 2i' —3i< —2ir* + 4x-'—1.
15. (i+t)' —i' —1.
2x 2x
* 16. Escribiendo u = eos h t sen , demostrar que
n n
lO-l+l"-2+ ... +1 + 1 =(l—tó)(l—W«) ... (i—W»-»).
• 17. Demostrar que
X 2x (n — l)x n
sen — sen ... sen
n n n 2"—'
SooBSTiói»: Hágase z = 1 en la identidad del Ih-ob. 16 y tómese el valor absoluto de
ambos miembros.
* 18. Demostrar que las raíces del polinomio
, X , z(z-l) z(z-l)(i-2) i(i-l)... (x-n + 1)
1 — -— H -— -—— h . -. + (— 1)" •
1 1.2 1.2.3 1.2.3...n
son 1,2,3, ..., n y factoréese.
• 19. Si / @) ?í O y ai, «i, ..., «n soi las raíces de / (x) = O, demostrar que
/(x) =/@)(l-—)(l- —)...fl
* 29. Encuéntrense las raíces de la ecuación
A +xt")'>+ A—xt)" =0
y escríbase el factoreo de
A +xí)" + (l-xt-)"

LAS SCUACIOyXS ALGXBSAICAS T SUS MAÍCES 67
* 21. Demuéstrese que el único polinomio de grado n — 1 que se «nul» par» x " s%,
jTi, .... Za y toma el valor I para z • zi es
í(x)
(z — zi) / (zi)
donde
g (z) = (z — zi) (z — zj) ... (z — z„) .
* 22. Sean zi, z>, ..., z„, n números distintos y
g (z) - (z — z,) (z — zt) ... (x — x^
Demuéstrese que el polinomio siguiente es de grado no superior a n — 1°.
-,, QÍx) í(z) í(z)
/ (^) " -7 , _,, , Vi + -r- _,, - y» + • • • +
(Z — Zi) / (Z,) (Z -- Zj) / (zj) (Z — Zn) / (*»)
y que para z -> zi, zi, ..., z„ toma los valores Vi, v>, ..., Vn- Demuéstrese también que
tal polinomio es único. Esta fórmula —la fórmula de interpolación de Lagrange— resuelve
el problema de la interpolación: Encontrar un polinomio del menw grado que para n
valores dados de z: zi, 7i, ...,Zn, toma valores prescríptos Vi, V>, .■■,Va-
4. Raíces imaginarias de ecuaciones con coeficientes reales.—
Todos los resultados establecidos anteriormente son válidos para
ecuaciones con coeficientes complejos arbitrarios. Con respecto a las raíces
imaginarias de ecuaciones con coeficientes reales tenemos el siguiente
teorema:
Teorema: Si una ecuación con coeficientes reales iiene una raíz
imaginaria a -\- bi de orden de multiplicidad a, tiene también la conjugada
a — bi con la misma multiplicidad, o sea que las raíces imaginarias
aparecen de a pares de conjugadas.
Demostración: Sea
/ (x) = aox" + ai x""' + . .. + a„ = O
una ecuación con coeficientes reales y que tienen una raíz imaginaria
a -f- 6t de multiplicidad a. Entonces:
/(a -t- 6t) = O ; /' (a + bi) = O ; . ..
. . . ; /(»-» (a + bi) = O ; /« (a + bi) ^ O .
La primera igualdad significa que:
tío (a + 6i)" + ai (a + 61)"-» + ... -f a„ = O,
Cuando se reemplaza cada t.úmero en el primer miembro por su
conjugado, el resultado será un número conjugado de cero, es decir, cero

68 TJSOBIA DE ECUACIONES
(Cap. I, párrafo 7). Por otra parte, üq, ai, . . ., a„, como números reales,
coinciden con sus propios conjugados, luego, el conjugado de la
ecuación anterior es:
ao (a — biy" + ai (a — 6z)» + . . . -f a„ = O
o sea
f{a — bi)= 0.
En forma similar, se demuestra que:
/' (a — 6z) = O ; . . . ; /(«^i' (a - bi) = O
y resta por demostrar que
/(«> (a—bi) 7^0.
Por hipótesis
/("' (a + bi) = A+ Bi
y A y B no son ambos nulos. El mismo razonamiento anterior demuestra
que
fM (a _ 5¿) = A -Bi
y este número es distinto de cero.
Del teorema que acabamos de demostrar se desprende que las raíces
imaginarias de ecuaciones reales (es decir, ecuaciones con coeficientes
reales) ocurren siempre de a pares de conjugadas y por ello su número
es par. Si el número de raíces imaginarias es 2 s y el de las reales es r:
r ~\- 2 s = n
siendo n el grado de la ecuación. En caso de que n sea impar, r debe
ser impar y por lo tanto al menos 1, lo que significa que una ecuación
real de grado impar tiene al menos una raíz real. Si es de grado par
puede muy bien suceder que todas las raíces sean imaginarias.
A cada factor lineal
X — (a + bi) = X — a — bi
correspondiente a una raíz imaginaria a -t bi, hay un factor
X — (a — bi) = X — a ~\- bi
correspondiente a la raíz conjugada a — bi, y su producto
(x — a — bi) (x — a + bi) = (x — a)' + 6' = x' — 2 ax -f- a' + 6'
es un factor cuadrático con coeficientes reales. Luego, es posible sacar
la conclusión que cualquier polinomio real puede ser factoreado en
factores reales lineales y cuadráticos.

LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS T SUS RAICES 69
Ejemplo. Las raicee de la ecuación
i« + 1 = O
}n
1+t I—i —I—i — 1+t
1.
Desde que
el factoreo de i* + 1 en^ factores cuadráticos reales es
i« + l = (!» —IV2~^-l)(x'^-I•^^2~^-l)•
ProbleIllas
Descomponer en factores lineales y cuadráticos reales:
l.i« + 4. 2. i« + i» + l.
3. i« —i' + l. 4. I*—1.
5. i« + 1. 6.x* + x* + x* + x+l.
Resolver:
7. i« —2i« + 6i' + 22i + 13 =0, que admite la raíz 2 +3t.
8. i' — 31* + 4 i' — 4 I + 4 =0, que admite la raíz 1 + i.
*. i« — 31» + 4 i« — 61» + 5 i' — 31 + 2 =0, que admite la raíz t.
10. i' + 21» — I* + I» — 2 I» — 1 =0, que admite la raíz i.
* 11. i« — I» — 81* + 2 I» + 21 i' -^ I — 54 = O, que admite la raíz ■\J2 +i.
* 12. Los puntos representativos de las raíces de la ecuación 3i* + 4i* + 8i + 24 =0
están en un círculo con centro cero. Resuélvase.
* 13. Si p, q, T son números reales y las raíces de la ecuación
i« + pi« + 51 + r = O
tienen igual módulo, demostrar que:
ptr —g»=0 y (p« —g)«á45».
* 14. La ecuación 2x* + x' — 2i — 8 =0 tiene cuatro raíces distintas de igual
módulo. Resuélvasela.
* 15. La ecuación 61* — i' + 101* —1+6 "O tiene cuatro rafees distintas de igual
módulo. Resuélvasela.

70 TSOJtIA DE ECUACIONES
5. Relacione íntre las raíces y los coeficientes. — Entre las
raíces y los coeficientes de una ecuación hay relaciones que es
importante conocer. Para descubrirlas, consideremos primero el desarrollo
del producto
(x + 6i) ix + bi) ... {x + b„)
en potencias decrecientes de x, comenzando por los casos particulares
n = 2, 3, 4. Por multiplicación directa se encuentra que:
(x + 61) (x + 62) = x'' + F1 + 62) X + 6162
(x + 61) (x + 62) (x + bi) =
= I* + F1 + 62 + 63) x' + F162 -t- 6,6, + 6163) X + 616263
(x + 60 (x + 62) (x + 63) (x + 64) =x* + F1 + 62 + 63 + 64) x' +
+ F162 + 6163 + 6164 + 6263 + 6464 + 6364) X' +
+ F1 bt 63 + 6162 64 + 6163 64 + bt 63 64) X + 6162 6j 64.
Al examinar estos resultados observamos que:
1. Cuando n = 2 el término principal es x^, el coeficiente de x
€s la suma de las cantidades 61 y 62 y el término independiente de x es
su producto.
2. Cuando n = 3, el téimino principal es x', el coeficiente de x'
es la suma de las cantidades 61, 62 y 63, el coeficiente de x es la suma
de los productos de estas cantidades tomadas de a pares, y el término
independiente de x es su producto.
3. Cuando n = 4 el término principal es x*, el coeficiente de x' es
la suma de las cantidades 61, 62, 63 y 64, el coeficiente de x' es la suma
de los productos de las mismas tomadas de a pares, el coeficiente de x es
la suma de los productos de las mismas tomadas de a tres y el término
independiente de x es su producto.
Resulta, entonces, que la ley general para cualquier número de
factores es la siguiente:
Sea
Si la suma de las cantidades 61, 62, 63, . • • > 6n;
S2 la suma de los productos de estas cantidades tomadas de a pares;
Si la suma de los productos de estas cantidades tomadas de a ¿;
s„ el producto de todas ellas.
Entonces
P = (x + 61) (x + 62) . .. (x -H 6„) =
= X" + Si X"—' + S2 X"—2 + . . . + SiX'^~' + ... + S„.

LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS T SUS SAICE8 71
Para demostrar que esta ley es general usaremos el principio de
inducción completa. Suponiendo que la ley se verifica para n factores,
demostraremos que se verifica para n -fl. Una vezhecho esto, la validez
de la ley estará establecida en general. Pues siendo verdadera para 2,
3, 4 factores, como hemos visto, se verificará para 5 factores, y luego
para 6, etc. Para comenzar la demostración, multipliqúese la expresión
supuesta para P por x -|- b„+\, obteniendo
X'^+Si \x''~^ + ...+Si
+bn+\Si\ 6„ + iS<_]
P(x+6„+i)=x'>+i+si
+?>fl+l
Ahora bien:
x''+^-^ +...+8jb,
w+i
es la suma de n + 1 cantidades ¿1,62, -. .,?>n+i y s„bn+i es su producto
como es evidente por la definición de s„. Para 1 < z < n + 1
Si + í>n+l Si—l
es la sumA de los productos de las cantidades 61,6j, . .., bn+i, tomadas
de a i. En efecto, en esta suma podemos considerar primero los términos
que no contienen 6„+i; la suma será evidentemente Sj. Los términos que
contienen 6n+i son los productos de bn+i por los productos de i — 1
cantidades tomadas de entre 61, bj, ...,6„; luego, la suma de todos esos
términos es 6«+i Si_i. En consecuencia, el coeficiente de x""*"'"*
Si + 6»+i«i—1
es la suma de todos los productos que pueden ser formados tomando
i factores de entre 61,62, ..., bn+i, como lo requiere la ley. Así, esta ley
retiene su validez al pasar de n a, n -\- 1 factores, como lo establece la
demostración por inducción.
Será conveniente introducir notaciones abreviadas y expresivas para
designar las sumas previamente designadas por Si, S2, .. ■, s„. Usando
el signo de sumatoria S, las representaremos así:
Si = S 61 ; S2 = S 6162 ; .. . ; s» = S 6162 • • • ?>i •
Por ejemplo:
S 6162 ... bi
significa la suma que consta de todos los términos resultantes del
término genérico 61 62 . .. bi por el reemplazo de índices 1, 2, ..., n.
Desde que hay
i _ n (n — 1) .. . (n — i+í)

72 TJSORIA VE ECUACIONES
de tales combinaciones, la suma
S 61 bs, ..., b»
consta de otros tantos términos.
Considerando ahora un polinomio
/ (x) = aox" + ai X"—1 + ... + a„
con raíces «i, «s, • •, «n (iguales o no), tenemos
/ (x) = ao{x — «i) {x — «s) (x — «s) ... (x — «„).
Por otra parte, reemplazando en las expresiones si, Sj, ..., s„ las
letras 61, bj, .. ., por —«1; —«2; . • .; —«n tenemos
(i — «i) (z ■— «s) ... {x — «„) = x" — x"~' 2 «I +
+ X"-2S «I «5 — . . . -f (— 1)"S «I «s . . . «fl
En consecuencia:
— ao S «i = ai
+ ao S «i «2 = «s
a(¡¿j «l «2 *3 = <lS
(— 1)" ao S «1 «2 . • . «n = Ofi
de donde, finalmente, se deducen las relaciones buscadas entre las raíces
y los coeficientes de una ecuación:
2j «i =
ao
ao
S Oti «2 • • • «i = (— 1)*~~
ao
«1*2 • • • «n = (— 1)"—^
ao
Estas relaciones pueden ser utilizadas para resolver problemas del
fflguiente tipo:
Ejemplo 1. Resolver la ecuación
3i« —16i' + 23i —6 =0

LAS ECUACIONES ALGEBRAICAS T SUS SAICES 73
8¡ el producto de dos raíces es 1. Sean las raíces a, b, c; entonces
16
a+b + c =
ab + ac + be =
abe =
3
23
~3~
6
2
Además de estas relaciones generales tenemos que tomar en consideración la condición
específica de que el producto de dos raíces es 1. Podemos indicar estas raíces con las
letras a y 6, de manera que:
ab = 1 .
Entonces, de la tercera relación, se encuentra inmediatamente que la raíz c es igual a 2,
y para las a y b tenemos tres ecuaciones
a +b =
3
10
a +b =
3
ab = 1
dos de las cuales son idénticas; a y & serán raíces de la ecuación cuadrática
10
t' 1 + 1 =0
3
que tiene las raíces 3 y —. Luego, las raices de la ecuación propuesta son:
o
1
2; 3; — .
3
Ejemplo 2. Hállese la suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación
21« — 8 i'+ 6 i'—3=0.
Si las raíces son a, b, c, d, tenemos:
S
a+b + e+d =4
2
6
'Lab=ab+ac-\-ad + be + bd + ed = 3.
2
Por otra parte:
(a + 6 + r + d)' = a' + 6' + c- + d» + 2 S a6 - 4»
de donde
a' + 6' + c" + d-' = 16 — 6 - 10 .

74 teoría Vm IBOVAí mjfT>S
Problemas
Resolver las ecuaciones cúbicas cuyas raíces son a, h, c:
1. I» +-2z» +3 I +.2=0 -fli 'O = 6 + c.
2. 2i» —x'—18i+'9 = O si a+6 = 0.
8.:3i»+2a;'—19i + 6 =0 si a+6= —1.
4. 2.1» —z'— 51 — 2 = O si ah 1.
.6.0»-7i2 —42i + 216 = O <i c- = ab.
•6. I»+.9 z'+-6 1 — 56 = O si h = —2a.
7. 9 z' — 36z' + 44z — 16 = 0 si las raíces lurman una progresión aritmética a — g,;
«; «+ P.
'8. 3z' — 26z' + 52z — 24=0 si las raíces íorman una progresión ¡geométrica
.9. 2 z' —6x' + Zx + k = 0. Dctermíneso V; yrcsiiélvase la ecuación si a = 2 6 + 2 c.
10. z» —2 z' + Az + 46 = 0. Dotermín(>se. k y rt-suélvase la ecuación si las raíces
están en progresión aritmética.
11. ¿Qué relación existe entre p, 9, r si las raíces de x' + px^ + qx + r = O están en
progresión geométrica?
12. ¿Cuál es la relación entre p yg si la ecuación z' + px +'g = O tiene una raíz
múltiple?
13. Demostrar que B 9 — p^)' r = (pq — 4 r)' si las raíces de x' + px!' + jz + r — O
satisfacen la condición c' = —ab.
Resuélvanse las ecuaciones cuárticas de raíces a, b, c, d:
14. z« —2 z»+ 2 z« — z —2 = O si a + 6 = 1.
15. 2z«—3z« —9z^+15z —5 = O si a 6.
46. z« —7z»+18z« —22.Z+12 = O m ab = &.
17. z*+¡r» —2z' + 3z —1 = O si ab 1.
18. 2z«+ 13i'+ 25z' + 15z+ 9 = O si a = b.
19. 9.z* + 9z«+.2z'^14z+4 = O .si a = 2 6.
30. 4 z* — 4 z' — 21 z2 + 11 z + 10 ='0 si las raíces están en progretói aritmética.
Represéntense las raices por a — 3 ^; a — fi; a + P; a + 3 p.
21. Determínese k y resuélvase la ecuación 2z' — 15z* + fci' — 30z + 8=0 ú
sus raíces ertán en progresión geométrica. Las raíces pueden representarse por a^~*;
«r*; «P; P'-
22. Hállehu la simia de los cuadrados de las raíces -de las ecuaciones:
(a) 2i« —6z' + 5z' —7j; + 1 =0.
F) 3z»—3z' + 2i« + z — 1 -O.

LA'S HCUACIOlfJlS £XiG!EKEAICAS T SVS RAICES 75
23. Para las niismaS ecuaciones encuéntrense la suma de los reciprocas ^de has Trafces
y también Ja sunut de. loe cuadrados de estas irecfprocas.
Si entre las raíces de / (i) = G existe una relación tal como a =-kb o ab~ 'k con 'k
Ik \
-dado, entonces /(i) y /r(i) = f (kx) o /i (i) = i"/( Itiene -n raíttes'comunes que
pueden determinarse igualando a cero el máximo común divisor de./ Or) y f^ (i).
Resuélvase por este método:
24. Prob. 6. 25. Prób. 3. 26. Prob. 4.
27. Prob. 17. 28. Prob. 15. 29. Prob. 19.
6. Investigación de las raíces múltipiles. — Con sólo realizar
operaciones racionales, es posible investigar si una ecuación tiene raíces
múltiples, determinar su grado de multiplicidad y reducir la búsqueda
de éstas a la resolución de ecuaciones con raíces simples. Sean a, b, .. .,1
raíces distintas de la ecuación f (x) = O y sean a, ^, .. ., X sus respectivos
grados de multiplicidad. Desde que una raíz de / (x) de multiplicidad k,
es raíz de multiplicidad k — 1 (es decir, no lo es si A; = 1) de la derivada
/' (x) = O, es evidente que / (x) y /' (x) son ambas divisibles por
(x - a)--i (x — 6)9-1 . .. (x - 1)^-1
y también lo será su máximo común divisor D (x). Podemos hacer,
por lo tanto
D (x) = (x — a)»-i(x — 6)»-i ... (x — l)>--^ . 4> (x) .
Si 4> (^) no es una constante, el polinomio <f> (x) tendrá algún factor
X — m donde m es una raíz de /(x), digamos m = a. Pero entonces
/' (x) sería divisible por (x — a)', lo que es imposible desde que a es
una raíz de multiplicidad {a — 1) para /'(x). Por lo tanto 0 (x) es
una constante y
(x — a)--i (x — 6)9-1 _ . (a; _ i)x-i
es el máximo común divisor de / y /'. Este hecho puede interpretarse
de una manera diferente. Sea Xi el producto de todos los factores lineales
correspondientes a las raíces simples, -X» el producto de todos aquellos
que corresponden a raíces dobles, X3 el producto de los que corresponden
a raíces triples, etc., conviniendo en hacer Xj igual a una constante
si la ecuación no tiene raíces de multiplicidad k. Entonées:
XiXi'Xi^ ...
difiere de / (x) sólo en un factor constante, y luego
D = X^Xz^Xs*...

76 TEOSIA VE ECUACIONES
será el máximo común divisor de / y /'. Similarmente
A = XtXi" ...
será el máximo común divisor de D y su derivada D',
Di = X^Xi' ...
el máximo común divisor de Di y Di, etc. Esta sucesión de máximos
comunes divisores
' D, Di, Di, ...
de grado decreciente, termina con un término Dm—i que es una constante.
Entonces es evidente que no hay raíces de un orden de multiplicidad
superior al m. Nuevamente:
/
/l = = Xi Xi . . . Xm
D
fi = = Xi . . . Xm
Di
/3 = = Xi . . . Xm
Di
f _ Dm—2 _ y
Dm—I
de donde
Jl -IT" . •'^ Y". .•' ^^—^ y . f y
— Al , -— — A2 , . . . , — — A.m- 1 I Jm — -^m •
Las funciones Xi, X^, . . ., Xm determinadas de esta manera conducen
a las ecuaciones
Xi = O ; Xi = O ; . . . ; Xm = O
todas las cuales tienen raíces simples. Estas raíces dan inmediatamente
Jas raíces dobles, triples, etc., de f{x) = 0. Naturalmente, si algún X^
resulta constante, significa que no hay raíces de multiplicidad k.
Ejemplo 1. Investigar las rafees múltiples de
/=!'—1« — 2i»+2i' + i — 1 =0.
El máximo común divisor de / y /' fué determinado en el Ejemplo 2, pág. ..., y es
D = i« — I» — I + 1 .
Buscaremos ahora el máximo común divisor Di de D y
D' - 31« — 2 I — 1 .

LAS ECUACIONES ALGEBEAICAS Y SUS BAICES
77
lias operaciones correspondientes son:
(Multipliqúese por 3)
(Multipliqúese por 3)
(Simplifíquesc el factor —8)
1
3
3
8)
—1
—3
—2
—1
—3
—3
—1
—3
—1
—2
—6
2
—8
r-
1
3
3
9
1
8
-1
3
1
—2
— 1
—1 3
3
—2
—3
1
1
—1
—1
—1
0
1
3
—1
1
Por lo tanto. Di = i — 1 y Dj = 1, lo que demuestra que la ecuación propuesta no
tiene raíces de grado de multiplicidad superior al tercero. Para encontrar Xi, Xt, Xt
hacemos los cocientes
/. =
J_
D
D Di
1
y luego:
Xi = 1
^2 = I + 1
Xi =x
1
de tal modo, la ecuación no tiene raíces simples, tiene una dobíe —1 y una triple 1, y
es:
/= (i + l)Mi-l)'.
Ejemplo 2. Investigar las raíces múltiples de
/ = !'— i'—41'—3i—2 =0
Comenzaremos por determinar el máximo común divisor £) de / y /'. Esta operación
se desarrolla en detalle a continuación.
(Multipliqúese por 5)
(Simplifíquesc por —2)
1 0
5 0
5 0
—1 -
—5 -
—3 -
—2 -
1
5
5
-4 — 3 — 2
-20 —15 —10
-8—3
-12 —12 —10
6 6 5
0—3—8
30 30 25
5 0
1
— 3
-8 —3
1 6 6 5
5 10
(Simplifíquesc por —3)
(Simplifíquesc por —49)
—30
10
10
1
1
—33
11
60
-^9
1
6
1
5
5
—33
11
60
-^9
1
6
1
5
5
— 3
1
50
-^9
1
5
5
5
1 1 1

78.
TSOBIA DK ECUACIONES
Lnego: D = x' + x -{• 1. La operacite para determinar Dt es:
(Maltqiltquese por 2)
(MoItii^queBe por 2)
1
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
2
4
1
2 1
1 1
Por lo tanto, Dj es constante pudiendo tomarse D¡ = 1, de manera que no hay raicea
de i^ado de multiplicidad superior al segundo. Luego:
/. =
D
D
= x^ —x' — X ■
X. =^ = i-2
X^.=f,=x' + x + l.
En consecuencia, la ecuación propuesta tiene una raíz simple 2 y dos raíces dobles
— i+t-vTs' . -].—i^¡T'
y f queda factoreado completamente como sigue:
x^ — x*~2x' + 2x' + x — l = (i—2)(i —u)'(i—u')'.
Problemas
Resuélvanse las siguientes ecuaciones, cada una de las cuales tiene raíces múltiples:
1. i« — 7 i' + 16 I — 12 = 0.
3. i«—i' —8i + 12 =0.
2
0.
3^3
7. I* —11 i« +18 I—8 =0.
9. i« — 4 a^ — 61* + 36 I — 27 = 0.
11. i' —1« — 2 a^ + 2 i' + I — 1 =0.
12. i' — 2 i« — 6 a^ + 4 i2 + 13 X + ti =0.
13. i' — 3 X» + 61« — 3 I» — 3 I + 2 =0.
14. I» + 2i* —8x' —16i» + 161+3-2 - 0.
15. 9 X» + 96 X* + 292 x» + 481» — 57A x + 2óf) = 0.
16. i' — 3 I» + 5 i' — 71« + 7 i' — 5 i' + 3 I — I = 0.
17. i8 + i' — 8 i' — 6 i' + 21 i' + i) x» — 22 1= — 4 I + 8 = 0.
2. I» - 3 i' — 9 I + 27 = 0.
4. x» — 5 x= — 81 + 48 = 0.
1 3
6. i« — —x-\ =0.
•-' 16
8. i« — 2 j» — x^ — 4 I + 12
= 0
10. 2i«— 12x' + 19i' —6i + 9=0

CAPITULO IV
ACOTACIÓN DE RAICES. RAICES RACIONALES
1. Acotación de raices. — Dada una ecuación algebraica, a veces
resulta conveniente tener una idea de la magnitud de sus raíces. Deben
considerarse dos casos: si ios coeficientes son reales y sólo nos preocupan
las raices reales, puede ser interesante hallar un número mayor que
todas las raíces positivas o un número negativo menor que todas las
posibles raíces negativas. Estos dos números, uno positivo y otro
negativo, se llaman, respectivamente, una cota superior de las raices positivas
y una cota inferior de las raices negativas. El segundo caso es el de
una ecuación con coeficientes complejos cuando se consideran todas
sus raíces, reales e imaginarias. Un número positivo mayor que los
módulos de todas las raíces puede considerarse como cota superior de
las mismas. Si llamamos r a dicho número, el círculo de centro cero y
radio r contendrá todos los puntos que representan las raíces de la
ecuación que se considera.
2. Método para hallar una cota superior de las raíces positivas.
— Sea
/ (x) = aox" -\- ai x"-i -|- ... + a„ = O,
una ecuación con coeficientes reales de los que supondremos positivo
al primero: ao. De los varios métodos que pueden usarse para hallar
una cota superior de las raíces positivas consideraremos sólo uno, que
combina las ventajas de dar valores comparativamente bajos de dicha
cota con la facilidad de su aplicación.
Al considerar la Regla de Ruffini (Cap II, Párrafo 5) hallamos
polinomios:
/o = «o ; A = xfo -h a, ; fi = xfi + ai ; . . . ;/„ = xfn-i + a„,
el último de los cuales coincide con /. Para i = 1,2, . . . ,n tenemos,
en la misma forma:
/.• (x) = (x-c) [/o (c) x'-i + A (c) x>-2 f . .. + /,_j (c)] -\- U (c). [1]
Los números
A(c) ; A(c); .. --Jnic),
79

80 TEOSIA VE ECUACIONES
son los obtenidos en la división por la Regla de Ruffini de las funciones-
fi B;) por X — c. El método para hallar una cota superior de las raíces
positivas se basa en las dos propiedades siguientes de los polinomios
fo,fi, ■ ■ -tfn- Primera: si para algún número positivo c los números
flic) ;/2(c);... ;/„-a(c),
no son negativos y /«(c) > O, entonces c puede tomarse como cota
superior de las raíces positivas. De hecho, en la identidad [1] para i = n
se desprende que /«(x) = f (x) > O para xi c, de modo que ninguna
raíz real de la ecuación f (x) =0 puede ser superior acó aún ser igual
a c. Segunda: si para un c > O los números
/i (c) ; /2 (c) ;...;/* (c), k ^ n
no son negativos, entonces para c' > c
/i(c') ;/2(c');... ,fk{c'),
son positivos. Esto también surge de la identidad [l],cn la que hacemos
X = c'; entonces:
fi (c') = (c' - c) [/o (c) c'-i -f- ... + /,_, (c)] + fi (c),
es un número positivo para i = 1,2, . . ., k desde que c' >c y/o (c) =ao >0.
Estas dos simples propiedades sugieren el siguiente procedimiento
para hallar una cota superior de las raíces positivas: Primero
comenzamos con un número positivo c, preferiblemente entero, que haga
/i {c) positivo o nulo. Tal número se halla fácilmente dado que /i (x)
es de primer grado. Si resulta que ninguno de los números
/2(c) ■,fz{c);... ;/„(c),
son negativos, y siendo /n (c) > O, podemos tomar c como una cota
superior. Si sucede que /« (c) = O, entonces se ha hallado una raíz y
las demás raices positivas serán menores que c. Pero, supongamos que
fh+i i^) ®s negativo, mientras que ninguno de los números precedentes
fi{c) ;/2(c);... ;/*(c),
lo son. Entonces el proceso puede repetirse nuevamente, probando con
enteros mayores que c hasta que con alguno, por ejemplo ci, se halle que-
ft+i (c) é O .
Al mismo tiempo todos los números
/i (ci) ; /2 (ci) ; . . . ;/* (ci) ,
serán positivos. Ahora, si
/i (ci) ; fi (ci) ; . .. ; /„ (c) ,

ACOTACIÓN DE RAICES. BAICES RACIONALES 81
no son negativos y /n (ci) > O, entonces Ci puede tomarse como un» cota
superior. En caso contrario el proceso se repite una vez más con un
entero mayor, etc. De esta manera la cota pedida puede hallarse luego
de relativamente pocas pruebas. Cuando algunos de los coeficientes son
números negativos grandes, es ventajoso hacer pruebas preliminares,
tomando para c los valores 10, 100, 1000, etc., y reduciendo entonce»
la cota hallada tanto como se pueda usando este método. Si se desea
hallar una cota inferior de las raíces negativas, podemos hacer primero
la sustitución x = — y y entonces buscar una cota superior de las
raíces positivas de la ecuación transformada
ao y" — ai 2/"-i + Oiy""^ — .. . +- (— 1)"a, = O .
Si la cota superior es c, entonces evidentemente — c será una cota
inferior de las raíces negativas de la ecuación original.
Ejemplo 1. Hallar una cota superior de las rafees positivas de la ecuación
2i' — 7i«—5i' + 6i'+3i — 10 = 0.
Para hacer f^ = 2 i — 7 positivo, comenzamos con c = 4 y aplicamos el procedimiento
de la Regla de Ruffini de la siguiente manera:
4) 2—7—563 —10
8 4
2 1 —1
Al ser negativo el tercer número, probamos con 5:
5) 2 —7 —5 6 3 —10
10 15 50 280 1415
2 3 10 56 283 1405
Por lo tanto, 5 puede ser tomado como cota superior de las raíces positivas.
Ejemplo 2. Hallar una cota superior de las rafees positivas de la ecuación
i' — 7 i' — 100 I» — 10001» + 10 I — 50 = O .
Como hay coeficientes negativos grandes comenzamos a probar con el número 10:
10) 1 —7 —100 —1000 10 —50
10 30
1 3—70
La presencia de un número negativo indica que debemos probar con un número mayor
que 10; lo hacemos con 20:
20) 1 —7 —100 —1000 10 —60
20 260
~i 13 Í60

82 TEOSIA VE ECÜACIOXES
y sin seguir adelante se ve que los números restantes serán positivos. Por lo tanto 20 es
con certeza una cota superior de las raíces positivas. Si se coiisi(J<'ra conveiiient*; reducir
esta cota, podemos probar con números menores: 19, 18, 17, etc. l^n esta forma se halla
que 17 puede tomarse como cota superior, no así 16, si querenios .«atisfaccr las condiciones
impuestas por el método.
Ejemplo 3. Hallar una cota inferior de las raíces negativas de la ecuación
2 I» + 20 x' + 30 i^ + 50 I + 1 = O .
Hacemos x = —y y escribimos la ecuación resultante en y:
2 y» — 20 y* — 30 y» — 50 y + 1 = O .
Comenzando con c = 10 y probando luego 11, hallarnos:
11) 2 —20 O —30 O —jO I
22 22 242
2 2 22 212
y se llega a la conclusión de que 11 puede tomarse como una cota superior de las raíces
positivas de la ecuación en y. Por lo tanto, — 11 es una cota iiiferinr do las rafees
negativas de la ecuación propuesta.
Problemas
Hallar las cotas de las raíces de las ecuaciones.
1. j«—7i' + 10i«—30 =0.
2. i« — 8 a:" + 12 i' + 161 — 50 = 0.
3. i« —2i»—3i«—15i—3 =0.
4. 3 i« — 8 i' — 9 i'- + 10 I — 27 =0.
5. — 6 i' + 201« — 61» — 51 + 10 =0.
6. i' + 8 i« — 14 i^ — 53 i' + 561 — 18 = 0.
7. X» — 5 i« — 13 I» + 2 I» + I — 70 = 0.
8. I» + i' + I» — 251 — 100 = 0.
9. X» — 5 i' + i« + 12 a:» — 12 i' + 1 =0.
10. 6 i' + 27 I* — 1001» — 200 I — 50 = 0.
3. Cotas de los módulos de las raíces. — Dada una ecuación
/ (x) = ao x" -h ai x"-i -|- ... + a„ = O,
con coeficientes complejos arbitrarios, el problema de hallar una cota
superior de los módulos de sus raíces puede sustituirse por la
determinación de una cota superior de las raíces positivas de una cierta ecuación
auxiliar.

ACOTACIÓN VE RAICES. SAICES RACIONALES 8»
Sean o y 6 dos números complejos. Haciendo
a = (a + 6) + (— b),
y aplicando el teorema referente al módulo de la suma (Cap. I, Párrafo 7),
hallamos la desigualdad
|a|á!a + 6|-f!—6! = |a-^-6| + |6|,
se deduce, en consecuencia, que
|a-t-6!^|al—j6|.
Haciendo en esta desigualdad
a = aoz" ; 6 = Oi x"""' -|- ... -\- a„,
siendo X un número complejo arbitrario; será, entonces:
1/ (x) U I ao x» I - 1 aix"-1 + ... + a„\ .
Si ahora es:
\x\ = r ; \ai\ = Ai ; z = O, 1, 2, ..., n
entonces
I aox" I = Aor"
y
I aix"-! + ... + a„ I á ^ir"-! -i- ... + An,
para el mismo teorema. Entonces:
|/(x) \^ Aor" -Air"-^ - ... — A„.
Sea R un límite superior de las raíces positivas de la ecuación auxiUar
AoX" — AiX"-! — . . . — An = O .
Entonces:
Aofi"—Ai/Z"-!— ... —An > O,
y, puesto que:
Aoro-Air—i- ... -A„ = r-ZAo --^ - ... -■^\,
\ r r" /
crece al crecer r, tendremos:
Aor" —Air"-!— ... — A„ > O,
para r S -B. Por lo tanto
1/(^I >0.
si I X [ ^ ^, y esto significa que los módulos de todas las raíces de la

84 Teoría de ecuaciones
ecuación propuesta son menores que R, y, por lo tanto, este número
puede tomarse como la cota superior pedida.
Ejemplo. Hallar una cota superior de los módulos de las rafees de la ecuación
2x« — yx» — 10i* + 30i'—60i' + 10i—60=0.
La ecuación auxiliar es, en este caso:
2x« —yi» —lOi*—30z»—60i' —lOi —60=0.
Por el método del Párrafo 2 se halla que ií = 6 es una cota superior de sus raíces
positivas. Por lo tanto, todas las raíces de la ecuación propuesta tienen módulos menores
que 6.
Problemas
Hallar las cotas de los módulos de las raíces de las ecuaciones
1. 2i* —7x« + 6i2 —5 -0.
2. 6i* — 10i« + 7i'+8i — 10=0.
3. tV + 4 i« — C + 4 t) I' + 4 I — 1 — t = 0.
4. 2 I» — tx« + E + 5 t) u;2 + C + 2 í) I — 10 =0.
* 5. Si Oo S oi ^ Oj ^ ... ^ a > O, demostrar que ninguna raíz de la ecuación
/ (i) = ao i" + a, i"—1 + .. . + a„ = O
tiene módulo mayor que 1.
Sugesopión: Nótese que
I (l-i)/(i) I ^a„|i|''-[(ao-a,)|x|'—i + (a,-aO I x 1""^ + •••in)!
y que el segundo miembro es positivo si | i | > 1.
* 6. Si los coeficientes de la ecuación
/ (i) = Oo i" + Oi i"-i + ... +an =0
son positivos, y X es el mayor de los números
a¡
1
> 1
at
a»
On
On-l
demostrar que los módulos de las raíces no son mayores que X.
SucOisTlÓN: Sea i = Xy y apliqúese el Problema 5 a la ecuación en y.
4. Raíces enteras. — En el resto de este capítulo consideraremos
ecuaciones con coeficientes racionales. Escribiendo los coeficientes de
tal ecuación como fracciones con un denominador común y
multiplicando por el denominador a ambos miembros de la ecuación, reempla-

ACOTACIÓN DE BAICES. RAICES RACIONALES 85
zamos esta última por una ecuación equivalente con coeficientes enteros.
Sea esta ecuación
/ (x) = aox" + ai X"—1 + ... -f- a„ = O,
la que puede tener raíces racionales; el problema es cómo hallar tales
raíces si existen, o cómo demostrar su inexistencia. Veremos que estas
raíces racionales pueden ser halladas una vez encontradas las raíces
enteras, y por lo tanto, es necesario explicar primero cómo pueden
hallarse las raíces enteras. Supongamos que x = c es una raíz entera,
es decir que:
aoc" -I- aic"-i + ... + a„_ic -h a„ = O ,
o también
c (ao C-i + ... + a„_i) = — a„ .
En el primer miembro ambos factores son enteros, puesto que tanto c
como ao, ai, ..., an—i son enteros y en consecuencia es divisible por c.
Por lo tanto, las raíces enteras, si las hay, son divisores positivos o
negativos del último término an. Por consiguiente, el problema de hallar
raíces enteras se reduce inmediatamente a un número finito de pruebas:
primero, buscar todos los divisores positivos y negativos de a„ y luego,
probar sucesivamente cada uno de ellos, por sustitución directa en la
ecuación dada. De esta manera pueden hallarse todas las raíces enteras
o se demostrará que tales raíces no existen. En la práctica, cuando el
número de divisiones a probar es grande, es preferible disminuir la
cantidad de pruebas excluyendo los divisores que no son posibles raíces.
Con este fin se determina primero una cota superior de las raíces
positivas y una cota inferior de las raíces negativas y se conservan sólo
aquellos divisores que se encuentran entre estas cotas. De estos
divisores pueden excluirse algunos, de acuerdo a la siguiente observación:
Si a es un entero cualquiera y c una raíz entera, entonces / (a) es divisible
por c — a. Evidentemente, si c es una raíz, tendremos:
fix) = (x -c)A(x)
siendo los coeficientes de /i (x) enteros. Sustituyendo aquí x = a, se
deduce que:
fia) = (a -c)/i(a),
y, por ser /i (a) un entero, / (a) es divisible por c — a. Entre los
divisores a probar están siempre 1 y — 1. De acuerdo a ésto, calculamos
/ A) y / (— 1) por la Regla de Ruffini; si ninguno de estos valores
numéricos es cero, excluímos todos los divisores c tales que c — 1 no divida a
j A), y a todos los divisores tales que c + 1 no divida a / (— 1).
Entonces, en general, tomando un divisor cualquiera d, calculamos / (d)

86 Teoría de ecuaciones
y si / (d) yi o, excluímos todos aquellos divisores c para los que / (d)
no es divisible por c — d. De esta manera el número de divisores para los
tanteos se reduce considerablemente. Una vez hallada una raíz entera c,
es conveniente comprobar si es múltiple. Supongamos que resulte ser
de un orden de multiplicidad a; entonces, los demás divisores se probarán
en la ecuación reducida.
F(x)=-IM__ = o.
{x — c)«
Ejemplo 1. Averiguar si la ecuación
i' + 3 i' — 36 X* — 45 x' + 93 i' + 132 I + 140 =0
tiene o no raíces enteras. El primer paso es hallar cotas de las raíces por el método d< 1
Párrafo 2. Se encuentra que las raíces son menores que 6 y mayores que — 8. Siendo:
140 = 2». 5.7
los divisores positivos menores que 6 son:
1; 2; 4; 5
y los divisores negativos mayores que — 8 son:
-1; -2; -4; -5; -7
Se comprueban 1 y — 1 por la Regla de Ruffini
1) 1 3 —36 —45 93 132 140
1 4 —32 —77 16 148 288 = / A)
—1) 1 3 —36 —45 93 132 140
1 2 —38 — 7 100 32 IOS = / (—1)
De los divisores positivos debe excluirse 4 puesto que 4 + 1=5 nodivide a/ (—1) —108.
De los divisores negativos debe excluirse — 4 puesto que — 4 — 1 = — 5 no divide a
/U) = 288. Quedan por probar los siguientes divisores:
-2; 5; -5;
Probamos primeramente 2
2)
2)
1
1
1
3
2
5
2
7
—36
10
—26
14
—12
— 45
— 52
— 97
— 24
—121
93
—194
—101
—242
—343
132
—202
— 70
—686
—756 =
140
—140
0
= /.B)
= /B)
En consecuencia, 2 es una raíz simple y la ecuación reducida es:
/, (i) = i' + 5 i* — 261» — 971' — 1011 — 70 = O .

ACOTACIÓN DE SAICES. RAICES RACIONALES 87
Probamos ahora —2:
-2)
-2)
1
1
5
—2
3
—2
1
—26
— 6
—32
— 2
—34
-97
64
—33
68
35
—101
66
— 35
— 70
—105
—70
70
0 = /. (-2)
= /= (-2)
Por lo tanto, —2 es una raíz simple y la segunda ecuación reducida es:
/o (i) = i< + 3 i» — 32 i' — 33 i — 35 = O .
Probamos ahora 5:
5)
5)
1
1
1
3
5
8
5
13
—32
40
8
65
73
—33
40
7
365
372
—35
35
0 = /, E)
= /3E)
Por lo tanto, 5 es una raíz simple y la tercera ecuación reducida es:
/j(i) =i»+8aí+8i + 7=0.
Al no dividir —5 a 7, es iniitil probar —5. Probamos —7:
—7) O 8 8 7
—7 —7 —7
~ i i Ó = /., (—7)
En consecuencia, —7 es la raíz entera y la cuarta ecuación reducida es:
i' + I + 1 = O ,
que admita; las raíces imaginarias:
1.3 , 1.3
ii>= + 1 — : ii>° = i — .
2 2 2 2
Por lo tanto, las raíces de la ecuación propuesta son:
2; —2; 5; —7; u>; u'.
Ejemplo 2. Investigúese si la ecuación
i' + I* — 20 X» — 44 i' — 21 I — 45 = O ,
tiene o no raíces enteras. Por el método del Párrafo 2, se halla que las raíces son menores
que 6 y mayores que —5. Los divisores de 45 = 3^ 5 contenidos entre estas cotas son:
1; -1; 3; -3; 5,

gS TSOBJA DE ECUACIONES
Probamos primero 1
1)
-1)
y
—1
1
1
1
1
1
2
1
0
—20
—18
—20
—20
—44
—62
—44
—24
—21
—83
—21
3
— 45
-128-/A)
— 45
-48=/(-I)
No se desecha ninguno de los divisores 3, —3 y 5 porque si les restamos 1 dividen a
-128 y si les sumamos 1 dividen a 48. Probamos 3;
3) 1 1 —20 —44 — 21 — 45
3 12 —24 —204 —675
14—8 —68 —225 —720 = / C)
Por lo tanto 3 no es una raíz pero — 3 — 3 = — 6; 5 — 3 = 2 son divisores de 720;
en consecuencia es necesario probar —3 y 5. Probamos primero —3;
-3)
-3)
-3)
1
1
1
1
—3
—2
—3
—5
—3
—20
6
—14
15
1
24
—44
42
— 2
— 3
— 5
—75
—21
6
—15
15
0 ■■
—45
45
Ü=/(-3)
= /'(-3)
1 —8 25 —80
Por consiguiente, —3 es una raíz doble y la ecuación reducida es
/, (i) = i« —5 i» + i —5 = o .
Finalmente probamos 5:
5) 1—5 1 —5
5 0 5
1 0 1 O = /, E)
Y, por lo tanto, 5 es una raíz y la segunda expresión reducida es:
I» + 1 = O .
Bin consecuencia, la ecuación propuesta tiene las siguientes raíces: —3, raíz doblo;
6; t; —», raíces simples.
Problemas
Hallar las raíces enteras de:
1. I» —21« —251 + 50 = 0. 2. I»—9 i' + 22 I—24 - 0.
3. I» —1061—420 -0. 4. i<—1« —131» + 16i —48 =0.
5. i« —I»—1* + 19i —42 = 0. 6. I* +8 I» —7 i'—491 + 56 = 0.
7. I» — 31« — 9 2» + 211» — 10 I + 24 = 0.
8. I* — 51* + 2 I» — 25 i' + 211 + 270 = O,

ACOTACIÓN DB BAICB8. BAICB8 BACIONALBS 89
9. x«—yx» —lli« —7x« + 14x*—28i+40=0.
10. i« + 3 I» + 4 I* + 3 X» — 15 I» — 161 + 20 =■ 0.
11. Probar que, si tanto / @) como / A) son números impares, la ecuación / (i) — O
con coefícientes enteros no puede tener raíces enteras.
12. Demostrarlo si ninguno de los tres números / (—1), / @) y / A) es divisible por 3.
5. Raíces racionales. — Las raíces racionales de una ecuación
X" -)- pi X"-l -f • . . + Pn = O ,
con el primer coeficiente 1 y los demás enteros, sólo pueden ser enteras.
r
Sea — una raíz racional, de modo que r y s sean enteros y pnmos entre
8
SÍ. Sustituyendo esta raíz en la ecuación y eliminando denominadores
tendremos:
r" + pi r"-i + ... -h p„_i rs'-^ f Pn s" = O ,
o bien
r^ = s {— pi r"~^ — ... — Pn s"~^) .
Por ser
Pi r"-i -f • • ■ + Pn s"~^,
un entero, r" es divisible por s y esto sólo es posible si s = 1, por no
tener rys divisores comunes. Por lo tanto la supuesta raíz racional —
es una raíz entera. Empleando esta proposición, vemos que las raíces
racionales de una ecuación
ao a;" + ai x"~^ -f ... + a„ = O,
pueden hallarse de la siguiente manera: Si x es i;na raíz racional,
2/ = aox,
será una raíz racional de la ecuación
y» -t- a, 2/"-i + ao Oí 2/"~^ -|- ... -|- ao»-i a„ = O ,
cuyo primer coeficiente es 1 y los demás enteros. En consecuencia, y
es una raíz entera y (si existe) puede hallarse por el método del
Párrafo 4. A veces puede simplificarse el trabajo haciendo la sustitución
-. - y

90
TSOSIA DE ECUACIONES
y eligiendo k de modo que sea el menor entero que haga enteros a todos
los coeficientes de la ecuación resultante
y" +
küi
ao
y
n—l
-h
«o
y"
f ... +
ao
= 0.
La elección de A; = ao es siempre posible; pero a veces, un valor menor
de k cumple todos los requisitos establecidos.
Ejemplo 1. Hallar las raicee racionales de la ecuación:
6i< — 7i' + 8i=—7i+2 =0.
Haciendo
y
X = >
6
la ecuación transformada en y es:
/ (y) = !/' - 7 y' + 48 1/ — 25-2 y + 432 = O .
Esta ecuación no tiene raíces negativas y todas sus raíces positivas son menores que
7. Los divisores de 432 = 2*3' menores que esta cota son:
1; 2; 3; 4; 6.
divisible po
:
1 —7
2
1 —5
1 —7
3
1 —4
1 —4
4
1 0
r 6 —1
48
—10
38
48
-12
36
36
0
36
= 5, no
—252
76
-176
—2rJ
108
—144
—144
144
0 =
es necesario prol
432
—352
80 = / B)
432
—432
0 =/C)
= /D)
con 2, 3 y 4 hallamos:
2)
3)
4)
En consecuencia, 3 y 4 son los únicos valores enteros de y, quo corresponden a las dos
raíces racionales do la ecuación propuesta:
_ 3 1 '^ _ '^
^' ~ Y ~ '¿ ' "^' " 6 ~ 3
Ejemplo 2. Hallar las raíces racionales de la ecuación:
251* — 70 x' — 126 x' + 414 I — 243 = O .
Sustituyendo
y

ACOTACIÓN DE BAICm. BAICE8 BACI0NALE8 91
la ecuación en y es:
70 126 414 243
y* %« k'y'-i k'y k* -O,
25 '^ 25 25 25
y basta con tomar k — 5 para hacer ent«roe todos sus coeficientes. Eli^endo así Jk la
ecuación será:
f(y) =j/< —14!/» —126 y»+2070 y—6075 -0.
Todas las racíces se encuentran comprendidas entre — 15 y 21 y los divisores de
6075 = 3'. 6' entre estas cotas son:
i¡ óf yj oj iO| if —o¡ —yj —o *
Calculando / A) = — 4144 y / (—1) = — 8256 desechamos —5; 9 y —9. Probamos
3 y —3:
3) 1 —14 —126 2070 — 6075
3 — 33 —477 4779
-3)
Quedan por probar 5 y 15
5)
15)
1 6—81 O
Por lo tanto, y = 5 e y = 15 son raíces de la ecuación auxiliar en y, y
15 5
T, =—- = 3 ; ij= — = 1,
o 5
son las únicas raíces racionales de la ecuación propuesta. Si hubiéramos encontrado
primero las raíces enteras y luego hubiéramos pasado a investigar las raíces
fraccionarias, las hubiéramos dcttírminado en un número menor de cálculos.
Problemas
Hallar las raíces racionales de las siguientes ecuaciones:
1. 3 I» — 26 i' + 34 I — 12 = 0. 2. 21» + 12 i» + 131 + 15 ¡= 0.
3. 6i' —i' +1 — 2 = 0. 4. 10i» + 19aí —3ÜI + 9 =0.
5. 2i'—i'+ 1 = 0. 6. I»—3i + l=0.
7. 61< — 11 I» — I» — 4 = 0. 8. 4 i« — 11 i' + 9 I — 2 = 0.
1
1
1
y 15
1
1
—11
—14
— 3
—17
—14
5
— 9
15
—159
—126
51
— 75
—126
— 45
—171
90
1593
2070
225
2295
2070
— 855
1215
—1215
— 1296 = / C)
— 6075
— 6885
—12960 = / C)
-«075
6075
0 =/E)

92 TiEOSlA DE ECUACIONES
9. 2i« — 4i« + 3i2 — 5i — 2-0. 10. eií + i*— 14x» + 4i'+5i—2-0.
11. 6i»+lli< —x» + 5i —6 =0.
12. 2 i' + I» — 91* — 6 i' — 5 I» — 7 I + 6 = 0.
* 13. Si un polinomio de grado S 5 con coeícíentes racionales tiene raíces múltiples,
tiene también una raíz racional, excepto en el caso de que el grado sea 4 y el polinomio
sea un cuadrado perfecto.
* 14. ¿Cómo puede utilizarse esta demostración para averiguar la existencia de raíces
múltiples de ecuaciones cuyo grado no pase de 5? Considérense loe ejemplos:
(o) i' — 2i< — 6i» + 4i« + 13i + 6=0;
FKx»— i< + 6i»—2i2+ 3i — 1=0.

CAPITULO V
ECUACIONES CUBICAS Y CUARTICAS
1. ¿Qué es la "resolución" de una ecuación?. — El principal
problema del álgebra consiste en la « resolución » de ecuaciones
algebraicas, y es importante entender claramente qué quiere indicarse con
ello. Resolver una ecuación involucra la determinación de todas sus
raíces, tanto reales como imaginarias, ya sea en forma exacta o con una
cierta aproximación previamente especificada. Naturalmente la
dificultad en la resolución de ecuaciones aumenta con su grado, aparte
de otras razones, porque cuanto mayor es éste, más raíces hay que hallar.
Para las ecuaciones de primer grado
ax + b = O ,
la solución está dada por la fórmula
b
X = ,
a
que indica qué operaciones aritméticas deben realizarse con los
coeficientes arbitrarios para hallar la raíz exacta o con un cierto grado de
aproximación. La solución de las ecuaciones de segundo grado:
ax^ -\- bx + c = O ,
está dada por la fórmula
— 6 ± ylb^ — éac
X = _ ,
2 a
que indica claramente la naturaleza de las operaciones a realizar con lo»
coeficientes arbitrarios para obtener el valor de las raíces con la
aproximación deseada o exactamente. Al examinar la fórmula vemos que para
calcular las raíces de la ecuación cuadrática, además de las operaciones
racionales, es necesario extraer la raíz cuadrada de un número dado. La
extracción de la raíz cuadrada nos conduce nuevamente a la solución
de una ecuación cuadrática pero del tipo especial siguiente:
X* = A,
9a

94 TEOSJA DE ECUACIONES
de modo que la solución de una ecuación general de segundo grado
por la fórmula anterior es, en realidad, una reducción del problema
original a otro similar más simple. Para resolver este problema más simple
de extraer la raíz cuadrada exacta o aproximada, hay métodos no más
difíciles en su aplicación que la multiplicación y la división. Esto nos lleva
a tratar a los radicales cuadráticos -yj A como algo familiar y conocido.
Existen también métodos para la extracción de raíces cúbicas de números
reales, es decir, para resolver las ecuaciones cúbicas especiales de la
forma
3^ = A.
3
Este hecho induce a considerar los radicales -yj A también como algo
familiar y conocido. Más generalmente, las raíces de las ecuaciones del
tipo
X" = A ,
donde A es un número real, pueden hallarse aproximadamente usando,
por ejemplo, las tablas de logaritmos. Aún en el caso de que A sea un
número complejo, los valores de su raíz enésima -^~Á~, como vimos en
el Cap. I, pueden hallarse aproximadamente por medio de las tablas
logarítmicas de números y funciones trigonométricas. De este modo,
n
podemos considerar los radicales sj A como cantidades familiares,
fácilmente computablcs. La resolución de una ecuación mediante una
combinación de operaciones racionales y extracción de raíces se llama
resolución algebraica o por radicales. Así, por ejemplo, la ecuación
X* + x"" + x^ -t x+ í = O,
puede resolverse algebraicamente, y .sus raíces, presentadas en forma
de radicales, son:
— 1+V5 . Vio +2>/5 —1—VS . V 10 — 2 V^
; -t t ; ; ± z ;
Una ecuación cuadrática puede ser resuelta algebraicamente
cualesquiera sean los valores que se atribuyan a sus coeficientes. Pero, ¿qué
sucede con las ecuaciones cúbicas, cuárticas y de grado superior? ¿Pueden
ser resueltas algebraicamente para valores arbitrarios de sus coeficientes?
En lo que se refiere a las ecuaciones cúbicas y cuárticas, los matemáticos
italianos (Scipio Ferro, Tartaglia, Cardano y Ferrari) demostraron, en
la primera mitad del siglo dieciséis, que pueden resolverse
algebraicamente y sus raíces ser presentadas en forma de radicales para valores
arbitrarios de los coeficientes. Pero todas las tentativas realizadas
durante los dos siglos siguientes para hallar una solución algebraica de

ECUACIONES CUBICAS T CÜABTICAS 96
feftxxíLCÁoufea »%cTveTíL\fes» ^es Aerá, coTv coeV\c\eT\.\,es cuaXesqmeTa) de giftdo
superior al cuarto, fracasaron. La causa de este fracaso reside en la
naturaleza misma del problema y no se debió a la despreocupación o falta de
ingenio de los que se ocuparon de él. A principios del siglo diecinueve,
primeramente Ruffini (cuya demostración no fué completa) y luego
Abel, demostraron que es absolutamente imposible expresar, por medio
de una fórmula en la que sólo intervengan operaciones racionales y
radicales, las raíces de una ecuación de grado superior al cuarto cuando
los coeficientes son arbitrarios. La demostración de esta imposibilidad
pertenece al álgebra superior y no puede ser encarada en este curso.
Con respecto a la resolución algebraica de las ecuaciones cúbicas y
cuárticas, la teoría es relativamente simple y será explicada en este
capítulo y resumida nuevamente desde un punto de vista superior en
el Capítulo XII.
2. Fórmulas de Gardano. — No se pierde generalidad al tomar la
ecuación cúbica general en la forma:
f (x) = x^ + ax^ + bx + c = O,
puesto que la división por el coeficiente de x' no modifica las raíces de
la ecuación. Introduciendo una nueva incógnita, esta ecuación puede
simplificarse, además, de modo que no contenga la segunda potencia
de la incógnita. Con este fin hacemos:
X == y + k ,
siendo k arbitrario. Por la fórmula de Taylor:
f{y + k) =f{k) -\-f'{k)y +Il^y^ -^ai^y^
y
/ (A;) = A;' -h aP -f 6A; + c ; /' (fc) = 3 A;» + 2 afc + 6 ;
—f" (A) = 3 A -h a ; J-/'" (A) = i.
2 ' 6
Para eliminar el término en y' basta elegir k de modo que:
a
3A;-|-a = 0 ó k = —■
3
Por ser
\3/ 3\3/ 3 27

96 T£OBIA VB BCUACIONES
se deduce que, sustituyendo:
a
la ecuación propuesta queda transformada en
y" +py + q = 0, [1]
donde
O' ba , 2 a»
p = b ; q = c
3 3 27
Una ecuación cúbica de la forma [1] puede resolverse por medio del
siguiente artificio: Tratamos de satisfacerla haciendo:
y = u + V,
introduciendo así dos incógnitas u y v. Sustituyendo esta expresión en
[1] y ordenando los términos de manera apropiada, u y v tienen que
satisfacer la ecuación
w» + r' + (p + 3 ur) (u -t- r) + 9 = O, [2]
con dos incógnitas. Este problema es indeterminado a menos que se
tome otra relación entre u y v. Tomamos para ello la relación
Zuv -f- p = O,
o sea
P
3
Entonces, se deduce de [2] que:
u^ -{- 1^ = — q ,
de modo que la solución de la ecuación cúbica [1] puede obtenerse
resolviendo el sistema de dos ecuaciones
u' -h t)» = — 9 •, uv = — — ■ [3]
ó
Elevando al cubo esta última ecuación, tenemos:
27
y de este modo, por las ecuaciones [3] y [4], conocemos la suma y el
producto de las dos incógnitas u' y t;^. Estas cantidades son las raíces de la
ecuación cuadrática
t^ + qi 0.
27

ECUACIONES Cubicas y cüabticas n
Llamándolas A y B, tenemos que:
= — 1- — i /^ I p'~
2 y 4 "•■ 27 '
s
en las que eboamos en libertad de elegir la raíz cuadrada. Ahora bien,
debido a la simetría entre los términos u' y r' en el sistema [3] podemos
hacer:
u3 = A ; v^ = B.
s
Si un valor determinado de la raíz cúbica de A se designa por -^ A ,
los tres valores posibles de u serán:
3 3 3
u = V^ ; u = tí-^ A ; u=a)^ V^>
donde
- 1 -h i \'T
es una raíz cúbica imaginaria de la unidad. Con respecto a v tendremos
también tres valores:
3 3 3
r = V-B ; v = iúy¡B ; y = a)''V-B ;
pero no podemos combinar uno cualquiera de ellos con los tres valoies
posibles de u, desde que u y v deben satisfacer la relación:
P
uv =
3
3
Si -\j B significa la raíz cúbica de B que satisface la relación
3 3
VA .VS"= -|-'
entonces los valores de v que pueden combinarse con
3 3 3
u = yTA' ; u = lú -^ A ; u=a)' •^j~A',
serán
3 3 3
V = y¡B ; V = iú'^yJB ;f=a) V^-

98 TJSOBIA VE ECUACIONES
Por lo tanto, la ecuación [1] tendrá las siguientes raíces:
3 3
y. = VA +^jB,
3 3
2/2 = 0) VX i- w' ^ÍF,
3 3
y3 = w- "sHT i- O) V ^ •
Estas fórmulas se conocen como fórmulas de Cardano, en homenaje al
matemático italiano Cardano A501-1576), que fué el primero en publi-
3^
carias. Debe recordar.sc que -yj A puede tomarse arbitrariamente entre
3
las tres posibles raíces de A, pero y¡ B debe elegirse de modo que
3 3 ^
3. Discusión de la solución. — Al discutir las fórmulas de Cardano
supusimos que p y q son números reales. Demostraremos entonces, que
la naturaleza de las raíces depende de la función
A = 4 p' -H 27 9^
Evidentemente, A será positivo, cero o negativo. Suponiendo
primero que A sea positivo, la raíz cuadrada
l/f^=l/-
A
108
será real y la tomaremos positiva. Entonces A y B serán reales y por
3
\[~A~ indicamos la raíz cúbica real de A. Por ser p real y
3 3
^¡A .^¡T= -|-.
3
yfB' será la raíz cúbica real de B. Por lo tanto, la ecuación [1] tiene una
raíz real
3 3
y. = V A + yfW,
pero las otras dos raíces
3 3 3 3
3 3 ^A i-yJB ^ . :—y¡A —yjB
3 3
3 3
2/3
= .-VX 1-„ v«-^ - ÍA4IÍL _,VTJíi-^F^

ECUACIONES CUBICAS Y CüÁRTICAS 99
serán imaginarias conjugadas desde que A y S no son iguales y en
consecuencia
3 3
Ejemplo 1. Sea la ecuación cúbica
I» + I- — 2 = O.
Primeramente debe ser transformada por medio de la sustitución
1
I = y •
^ 3
La ecuación resultante en y (que puede hallarse por la regla de Ruffini) es;
1 52
«' y = O ,
de modo que:
1 52 52' 4
p ; 9 = ; A= = 100.
3 27 27 27
En consecuencia será:
/
A 5 26 5-\f27 26 5^27^
= ; A= + —^! ; B í
108 ^27 27 27 27 27
3 . 3 3 . 3
■yJA =—■\/26 + 15V3 ; aTb" V26 —15V3
/3 3 \
1 = — IV 26 + 15 ^f3' + V 26 — 15 Vs" 1 ;
/3 3 _^>.
2 = ^26 + 15-\r3"+V26 —15V^) +
+ -^-^ (V 26 + 15 Vs"—V 26 — 15 ■yjY j;
/ 3 3 V
3 = IV26 + 15^3^ + V 26--15-^3" I —
_ÍÍÍ (V26 + 15V3'-V26-15V3").
Correspondientemente, las rafees de la ecuación propuesta son:
3 3
1 /
C 3 ^
V 26 + 15 V^ + V 26 — 15 V^— 1 ) ;

100 teobia de ecuaciones
/3 3 V
I, _ - 1(V26 + 15V^ + V26 —15^3"+ 2) +
+ ^-^ IV 26 + 15 -y/T — V 26 — 15 V^ );
, 3 3 V
I, IV 26 + 15 V^ + V 26 — 15 V^+ 2 I —
. — , 3 3 •>
— ^-^ (V26 + 15 V3^—'^'26 —15-\r3").
La ecuación
i« + i' — 2 = O .
tiene, sin embargo, una raíz entera 1 y las dos raíces restantes
-1 ±í,
son imaginarias.
Comparando coa las expresiones obtenidas de las lórinulas de Cardano descubrimos
el curioao hecho de que
3^ 3
V26 + 15V^+'V26 —15V^- 4,
a p>e8ar de que las raices cúbicas son números irracionales. La explicación de esto se halla'
comparando las raíces imaginarías. L'sta comparación da para la diferencia de las mismas
raíces cúbicas
3 3
V 26 + 15 yfs — V 26 — 15 ^f3 = 2 yjY,
en consecuencia:
3 .■>
V26 +15-^3 =2+-\/3 ; V 26 —15-^3 =2—^3.
Por lo tanto: 26 + 15 V^y 26 — 15 "V 3 son los cubos de loe números 2 + -^3y2 — ^3.
Tal simplificación ocurre siempre que la ecuación cúbica tenga una raíz racional, pero
no en loe demás casoe.
Ejemplo 2. Resolver la ecuación
i» + 9i — 2 =0.
Aquí la transformación preliminar no es necesaria y las fórmulas de Cardano puedes
aplicarse directamente. Tenemos:
A
p-9 ; 5«— 2 ; A= 3024 ; - 28
'^ 108
^ = 1 + V28' ; B - 1 — V 28".
En consecuencia, la raíz real es:
'^^f28 + 1 — VV28'—1,

ECUACIONES CUBICAS Y CUASTICAS 101
mientras que las raices imaginarías son:
C 3 \ . .— ,3 3 ^v
V V28'+ 1 - V V28"- 1 I ± -í^ N V28"+ 1 + VV'2r-l ) .
Para calcular estas rafees aproximadamente, puede utilizarse alguno de los conocido»
manuales que contienen tablas de cuadrados, cubos, raices cuadradas y cúbicas. Ea esta»
tablas se halla que:
V28"+ 1 - 6.2916026 ; ^f^— 1 = 4.2915026
y que:
■VV28"+ 1 - 1,8460840 ; VV28 —1 = 1.6260615 .
Por consiguiente, la rafz real de la ecuación propuesta es aproximadamente:
1,8460840 — 1,6260615 = 0.2210225 ,
con el grado de aproximación permitido por las tablas de siete decimales.
En caso de que A = O
2 '
y las rafees de la ecuación
y' + py + q = 0 ,
son:
yi
-2|/-| ; y. = ^ ; V, = ^■
En consecuencia, v> • vi es una raÍE doble a menos que 9 = 0. lo que implica que
p • 0. en cuyo caso las tres rafees son iguales a cero y la ecuación
se resuelve directamente.
y = o,
Problemas
Resolver las ecuaciones cúbicas:
1.x»—61—6=0. 2. X»—121—34=0.
3. I»+ 91—6-0. 4. x» + 18i—6 =0.
5. 2i« + 6i+3 -0. 6. 2i«—3i-1-5-0.
7. 3x»—6i' —2 =0. 8. i»-|-ei'—36 =0.
9. X» +3i' + 9i + 14 -0. !•. i«-f-6x'+6i + 5 -0.
11. X» —16i' + 106i—245 -0. 12. 8x» + 12i'+ 102i—47 - 0.
13. i«—2i+2 -0. 14. X»-1-31—2 -0.
15. x» + 6i' + 9i+8 =0. 16. gx»-|rt2i»+30»i—a=0.

102 XtEOSIA DE ECUACIONES
Demostrar que:
3 3 3
17. VV6 + 2 —V V5 —2 = 1. 18. V7 +V50 +V7 —VSO =2.
3^ 3
19. VVW8 + 10^— V V^08^— 10 = 2.
20. V V 243 + V "^42 — VV 243 — ^ 242 =2^2.
21. ¿Cuál es el raaio exterior de un casquete esférico de un centímetro de espesor si
el volumen del casquete es igual al volumen del espacio hueco interior?
22. Resolver el Problema 21 si el volumen del espacio hueco es el doble del volumen
del easquote.
23. Una caja sin tapa tiene la forma de un cubo de arista 10 cm. Si la capaeidad de la
eaja es de 500 em', ¿cuál es el espesor de las paredes? Se suponen de esjjesor uniforme.
4. Caso irreducible. — Volvemos a ladiscusl^.ndela solución general
para considerar qué sucede cuando A < 0. Ocurre, en este caso, un fe-
nómero curioso:
/<7' , P' _ • / — A
r T" "^ 27 ~' r ~mr
es un imaginario puro y los números
= -l-+Vw •■ «=-1-/-
108
son complejos, de modo que las raíces de la ecuación |1] del Párrafo 2
están expresadas por las raíces cúbicas de números complejos, y sin
embargo las tres son reales. Para ver esto, sea
3
^¡ A = a + bi,
una de las raíces cúbicas de A. Por ser B conjugado de A, el número
3_
a — bi será una de las raices cúbicas de E y debe tomarse igual a, ^ B'
para satisfacer la condición
3 3
Así;
3 3
sj A = a + bi ; -^^ B = a —bi ,
y de la.s fórmulas de Cardano se deduce que las raíces
J/i = 2 a
2/2 = (a -f- bi) O) -\- {a — hi) iú^ = — a — b ^fz',
2/3 = (rt + 6z) 0)^ + (a — 6z) O) = — a + 6 y[W,

ECUACIONES CUBICAS Y CUABTICAS 103
son reales y además, distintas. Es evidente que y^ ^ yi. Si yi =» yt
tendríamos
6 = — a V3~,
de modo que:
3
VX= a(l —iyj3 ) .
Pero entonces
A = a' A — z ^¡Yy = — 8 a».
sería real, lo que no es cierto. En la misma forma se demuestra que
2/1 7^ yz-
Ejemplo. Resolver la ecuación
y«—3y+ 1 -0.
En este caso
— A V3^
= -81 ; |/-
V 3 ; 9 = 1 ; A _ , ,.,
'■' 108
1 . Vs" 1 . Vs"
A = f- I = <^ > B = 1 = u' ,
2 2 2 2
y las rafees reales se presentan en la forma:
3 3
2/1 = V" + V "'
3 3
!/2 =■ li> "V <■> + li>' \ <■>'
3 3
J/J = U' 'Y 0) + U \ li>' .
Estas expresiones no pueden ser calculadas directamente debido a las raíces cúbicas
de los números imaginarios. Si tratamos de hallar
3
'\tú = a + bi ,
algebraicamente, tenemos que resolver el sistema formado por las ecuaciones
Despejando 2>' en la primera
a> — 3ab'- ; 3a'b — b'
2
2a« + 1
6a
y sustituyendo este valor en la segunda
VT
2
/ 2 a« + 1 \
H'"' ^

104 TiEOniA DE ECUACIONES
de donde
16a« —1 A6a« —1J
Igualando las doe expresiones de b'', tenemos la ecuación
2 a» + 1 _ 27 a'
6a ~ A6a» — 1)^
que efectuando operaciones, nos da:
B a)» + 3 B a)8 — 24 B a)» + 1 = O .
Haciendo x = 8 a', tenemos una ecuación ciibioa en i
I» + 3 i' — 24 I + 1 =0
que, sustituyendo x = y—1, se transforma en
y« — 27 y — 27 = O
o, haciendo y =■ — 3 z, resulta:
2» — 3 z + 1 = O .
Pero ésta es la misma ecuación que queríamos resolver. En consecuencia, no hemos
avanzado un solo paso en el intento de hallar a y 6 por un procedimiento algebraieo.
El hecho de que las rafees de una ecuación cúbica
y' + py + q = O,
en el caso de que
4 p» + 27 9« < O ,
se presentaran en una forma que incluyera rafees cúbicas de números inmaigarios
desorientó a loe matemáticos antiguos por largo tiempo, y este caso fué llamado por ellos
oams irreducibilia, caso irreducible. Ahora sabemos que, por ejemplo, cuando p y g son
números racionales, pero entre las tres rafees reales de una ecuación
y' + P!/ + 9 = O ,
ninguna es racional, es absolutamente imposible expresar alguna de estas rafees en una
forma que sólo incluva radicales de cualquier clase.
5. Resolución trigonométrica. — No obstante las dificultades
algebraicas que se presentan en el caso irreducible, es posible expresar
las raíces en una forma conveniente para el cálculo numérico,
extrayendo la raíz cúbica de
-i-'V-
q^ ffi
4 27 '
trigonométricamente. El cuadrado del módulo de ^ es:
=(-i)"-(ií-i^=m'
p^ =

ECUACIONES CUBICAS Y CüÁRTICAS 105
en consecuencia
P ■ ~
-m-
V27"
El argumento de A puede determinarse, ya por su coseno
y¡Wq
eos 4> = •,
2p V —P
o ya por su tangente
tang <í) = '
q^¡27
a condición de que <t> se tome en el primero o en el segundo cuadrante
según que q sea negativo o positivo. Hallados p y <í) podemos tomar
■\ÍA~= VT(eos — + i sen y| = y —^ (eos y "H « sen -j)
Entonces, puesto que
(ú = eos 120° -l-zsen 120",
las raíces y^, 2/2, y3 estarán dadas por:
- p *
2/1 = 2 j/-
2/2 = 2 /^/^^ eos (|- + 120°j ,
2/3 = 2 y ^3^ eos (-|- + 240° j .
En la práctica es más conveniente expresar ys e y3 en la forma:
Ejemplo 1. Para la ecuación
y' — 3 y + 1 - O ,

106
tenemos:
TEOBIA DE ECUACIONES
/-
X
1 ; eos ^ — '
luego: <i> = 120°, e
y, = 2 eos 40° ; 1/2 = — 2 eos 20° ; y, = 2 eos 80° .
Los valores aproximados de las rafees pueden sacarse directamente de las tablas
trigonométricas, y son:
y, = 1,5320888862
y-. = — 1,8793852416
ya - 0,3472963554 .
Ejemplo 2. Resolver la ecuación
y' — 7y — 7=0.
Para esta ecuación
P = —7 ; 9-—7 ; —A=49,
tang <f) =
^¡W
El cómputo siguiente se hizo con tablas de logaritmos de seis decimales. Los cálculos
y resultados pueden presentarse como sigue:
log 27-1,431364 log 7 =0,845098
log-\^-0,715682 log 3 =0,477121
log tang <í)= 9,284318
log cos — =9,999128—10
3
0,485018
log 7/3=0,367977
0 = 10° 53'36", 2 log-\/'773'= 0,183988
logy, =0,484146
yi =3,04892
— <t> = &° 37' 52", 0
ó
log 2 =0,301030
log 2-^^=0,485018 logcosi60° + —| = 9,i
y,= 3,04892
y, 1,35689
yj—1,69202
0,00001
,647528—10
0,485018
log (—yj) =0,132546
—yi = 1,35689
log cos {60°— -^ J =9,743387—10
0,485018
log (—yi) =0,2284u5
—yi = 1,69202

ECUACIONES CUBICAS Y CU ÁRTICAS 107
Las raices han sido calculadas independientemente y la suma de sus valores aproximados
resulta ser 0,00001 en lugar de cero, lo que sirve como control para demostrar qiie los
valores hallados son correctos dentro de lo^ límites de aproximación que pueden obtwerse
con tablas de seis decimales.
Ptobletoas
Resolver trigonométricamente
I. x' — Zx^-\-\ =Q. 2. 3^ + Zx^ — Z =0.
3. a;' + a;' — 2 a; — 1 = 0. 4. a;' — 6 a; + 2 = 0.
5. a;» + 6 a;' + 10 a; + 3 = 0. 6. a;» + a;' — 4 a; + 1 = 0.
7. a;» + 3 a;' — 2 a; — 3 = 0. 8. a;' + 6 a;» + 8 a; — 1 = 0.
9. Cortar un sólido semiesférico con un plano paralelo a la base de modo tal que lo
divida en dos partes de igual volumen.
10. Si se pide que el mismo sólido se divida en tres partes de igual volumen por medio
de dos planos paralelos a su base, demostrar cómo pueden elegirse estos planos.
II. Siendo el peso especifico del corcho de 0,25, ¿hasta qué profundidad se sumergirá
en el agua una esfera de corcho de 10 cm de radio?
Por el principio de Arquimedes el corcho desalojará un volumen de agua de igual peso
que el corcho.
12. Resolver la ecuación
(a? — a; + 1)» = 9 a;Ma; — If
1
Hágase: y = x •
13. Resolver la ecuación
(a;' — a; + 1)» = 8 a; (a; — 1) .
6. Solución de las ecuaciones cuárticas. — La resolución de las
ecuaciones cuárticas fué descubierta por Ferrari, discípulo de Cardano.
Escribiendo la ecuación
z* + az' + 6z' + cz + d = O,
en la forma
z* -^ ax^ = — bz' — ex — d,
V sumando z' a ambos miembros, la ecuación
4
[-'^^-)=[^-^y---d..
[1]
es equivalente a la ecuación original. Si el segundo miembro de [1]
fuera un cuadrado perfecto, la solución de esta ecuación sería inmediata.

108 TMOBIA DE ECUACIONES
Pero, en general, no lo es. La idea fundamental en el método de Ferrari
consiste en sumar a ambos miembros de [1]
y Ix' + —x) -h—,
e-f^)
de modo de obtener un cuadrado perfecto en el primer miembro para
un y indeterminado. La ecuación [1] queda transiormada en:
+ l-c+—ay\x+(—d -h—yA. [2]
Ahora podemos tratar de determinar y de modo que:
I— b + y\x' + (-C + —ay\x + (—d + —y''\ [3]
se convierta en el cuadrado de una expresión lineal ex + /. En general, si:
Ax^ + Bx + C = {ex+f)\ [41
será
B^—4AC = 0, [5]
y reciprocamente. De hecho, la ecuación [4] es equivalente a las tres
relaciones
A = e^ ; B = 2 ef ; C = P, [6]
para que [5] se satisfaga. Recíprocamente, suponemos que [5] sea
verdadera. Entonces, si ^ = O y C = O, tendremos también S = O, y las
relaciones [6] se satisfarán para e = / = 0. Si ^ ó C no son cero, sea,
por ejemplo, A ?í O, tomamos, entonces:
y, por [5], tendremos:
c =p.
De modo que el segundo miembro de [3] será el cuadrado de una
expresión lineal ez + / si y satisface la ecuación:
O, efectuando operaciones:
ys _ 5j,2 + (ac — 4 d) 2/ + 4 6d — a' d — c« = O . [7]

ECUACIONES CUBICAS Y CUABTICAS 109
Basta tomar para y una raíz cualquiera de esta ecuación cúbica,
llamada resolvente de la ecuación cuártica, para tener
/-^ h + y\x^ + I— ay -^ c\x + ~y^ — d = (ex + fY
con e y / convenientemente elegidos. La ecuación cuártica queda,
entonces, de la forma:
Li + —x + —y\ = {ex+ ÍY,
podemos dividirla en dos ecuaciones cuadráticas
al al
x'H X-\ y = ex + f ; x'H x ~\ y=—ex—f,
2 2 2 2
las que resueltas separadamente, nos dan las cuatro raíces buscadas.
La solución se simplifica si la resolvente [7] tiene una raíz expresable
racionalmente en función de a, b, c, d. En esc caso puede elegirse esta
raíz para y, y las raíces de la ecuación cuártica pueden expresarse por
medio de radicales cuadráticos. Pero en general, la expresión de las
raíces tendrá radicales cuadráticos y cúbicos.
Ejemplo 1. Apliquemos este método a la ecuación
i« + 4 a; — 1 =0.
En este caso serán
a=0;6=0;c=4;(i = —1
y la resolvente cúbica correspondiente será:
y' + 4 y — 16 = O,
Kjue tiene una raíz racional 2. Haciendo y = 2, la expresión C) queda:
2 a;" — 4a;+2 = {yl'Zx — yfl)'
y se llega a la solución resolviendo las dos ecuaciones cuadráticas
a;' + 1 = ^¡'2'x — V2~; a;' + 1 = — yf2x + ^f2.
Las cuatro rafees de la ecuación propuesta son:
litVVs + l —1 ^V-y/S —1
Ejemplo 2. Como segundo ejemplo tomamos el siguiente problema geométrico: Por
un punto P sobre la bisectriz del ángulo formado por 2 rectas perpendiculares OX y OY
trazar una recta de modo que el segmento QR entre OX y OY tenga una longitud dada.

no t;eosia de ecuaciones
Considerando OX y OY como ejes coordenados, sean (—a; a) las coordenadas de P.
Llamemos OQ = x y OR = y. La ecuación de la recta que determina en OX la abscisa x
y en OY la ordenada y es:
X Y
— + — = 1
X y
La condición de que esta recta pase por el punto P (a; a)
nos da una relación entre x e y:
^+- = 1.
X y
Por otra parte, si I es la longitud dada de QR, la segunda relación:
x' + y' = P,
nos la suministra el teorema de Pitágoras. Sustituyendo en esta última ecuación el valor
ax
y =
que resulta de la primera relación, tenemos que deternúnar x de la ecuación
2x2
a^x
x^ + _ = p
(X — a)'
x* — 2 ax' + B a' — P) x' + 2aPx— a^ P = 0.
El problema queda asf reducido a la resolución de esta ecuación cuártlca. Su
resolvente cúbica es:
y' + (P — 2a?)y'- — 'ía*P = (y — 2 a') (y'-+ ly + 2 aH') =0,
tiene una raíz y = 2 a', y con este valor de y, la expresión C) queda:
(a' +P)x' — 2a(a' + P)x+a^ + P = [V P + a' (x — a)]\
Nuestra ecuación de cuatro grado puede ahora dividirse en dos ecuaciones cuadráticas
a;2 — aa; + a= = yjP + a^x — a),
x"- —ax + a? = —yjP + aHx — a),
xt — (^«2 +a«-|. a)x +a(fl + yj P + a') = O,
x^ + (-\¡l» + a^~a)x+a(a — y¡P + a') = 0.
Las mismas ecuaciones determinan las abscisas de los puntos de intersección de dos
círculos
/ yJp + ai+aY I slT+^—aX^

ECUACIONES CUBICAS T CUASTICAS
111
con la recta y = 0. En consecuencia, se desprende de allí la siguiente construcciónl Por
P se trazan dos rectas PM y PN paralelas a OF y OX respectivamente, de modo que
ON = PN = a. En MP se toma el segmento PL =■ I y, tomando N como centro, se
describe un círculo de radio NL, que corta a PN en S y T. Con PS y PT
como diámetros se describen círculos que
cortan a OX en Q, Q' y Q"
respectivamente. Las rectas pedidas se obtienen
uniendo P con Q, Q', Q" y Q'", de
modo que el problema puede tener cuatro
soluciones; como mínimo tendrá dos.
Las puntos Q" y Q"' existen siempre,
pero Q y Q' pueden no existir. Esto
último sucede si el círculo de diámetro
PS no corta al eje OX, es decir, ai
yj r- + a' — a
< a ,
Y
Q'-K o
qj
R'
'¿S.,._^'
V <8a-.
Problemas
Resolver las siguientes ecuaciones cuárticas;
1. i« —8i= —4i+3 =0. 2. i«—4i' + i+2 -0.
3. i« + X» — 5 i' -I- 2 = 0. 4. 21« + 5 X» — 81» — 17 X — 6 - 0.
5. i« —3i'+ 6i—2 = 0. 6. I*—I» —2i —1 =0.
7. i« -I- 3 i' — 21» — 10 I — 12 = 0. 8. i« + 5 i' + i' — 13 x + 6 = 0.
9. i« -I- 2 I' -I- I -I- 2 = 0. ÍO. I* + 51' + 2 I -I- 8 - 0.
n. 2i«+i' + 2i' —3i —2 =0. Í2. i«-,-a«-|-5i' + 5i + 12 =0.
13. Demostrar que una eciiaeión recíproca
i« -H px' -H gi' -I- px -H 1 =0
puede resolverse por medio de radicales euadrátieos.
m
14. Demostrar que x = 2 eos I -rrr I satisface la ecuación
I* — X» — 4x' + 4x-|-l =0.
¿Cuáles son las otras raíces de esta ecuación?
15. Resolver la ecuación
[(x + 2)--|-x']' = 8x«(x+2)»
Sugestión'. Hágase x -|- 1 = y.

CAPITULO VI
SEPARACIÓN DE RAICES
1. Objeto de este capítulo. — En éste y en los dos capítulos
siguientes trataremos con ecuaciones cuyos coeficientes son números
dados. Tales ecuaciones se llaman numéricas para distinguirlas de las
literales, cuyos coeficientes son letras capaces de representar cualquier
número. Los métodos directos para la resolución de ecuaciones cúbicas-
y cuárticas fueron tratados en el capitulo precedente. No se dispone de
tales métodos directos para ecuaciones de grados mayores, pero existea
procedimientos indirectos para el cómputo de raíces de las ecuaciones
numéricas que son igualmente aplicables a ecuaciones de cualquier
grado. A menudo estos métodos indirectos son bastante más ventajosos
aun en el caso de ecuaciones cúbicas y cuárticas, y su exposición
constituye un capítulo muy importante del álgebra.
En lo que sigue consideraremos únicamente ecuaciones con
coeficientes reales y concentraremos nuestra atención en las raíces reales.
Con respecto a las raíces reales, el problema es separarlas o aislarlas.
Una raíz real se aisla si se determina un intervalo que contiene a ésta
y no a otras raíces. Las raíces reales quedarán separadas si cada una de
ellas está incluida en uno de dichos intervalos. Así por ejemplo, las
raices de la ecuación
x' + x"^ —2x —I =0,
son todas reales y ubicadas en los diguien tes intervalos, cada uno de los
cuales contiene una raíz: (— 2; — 1), (— 1; 0), A; 2). Las raíces están,
por lo tanto, separadas. Evidentemente la separación de las raices reales
requiere, en primer lugar, la solución de la siguiente cuestión
fundamental: ¿Cuántas raíces reales tiene una ecuación propuesta? A su vez,
esta pregunta quedará contestada si encontramos la solución de un
problema más general: ¿Cuántas raíces reales de una ecuación dada
están contenidas entre dos números dados? Trataremos principalmente
estos problemas en este capitulo y el siguiente.
2. Signo de un polinomio para valores pequeños y grandes de
la variable. — Considérese un polinomio
/ (X) = CiX + Cs X' -h . . . + C„X",
112

8EPABACI0N DE BAICES 118
con coeficientes reales, y supóngase que x toma valores reales. Por «m-
plicidad escribiremos: \ x \ = r. Entonces
\f{x)\ g I ci!r-h 1^,1»^+ ... + le I r»,
y por consiguiente:
I / (x) I á c (r +• r' + . .. + r"),
siendo c el mayor de los números
|ci| , |cs I, ..., !c„ |.
Supuesto que r < 1, tenemos
r + r' -I- ... 4- r" = <
1 —r 1—r
y así
1-r '
siempre que r < 1. Por otra parte, siendo e un número positivo dado,
la desigualdad
cr
< e,
queda satisfecha si
Por lo tanto
siempre que
1 -r
e
r < < 1
c +• e
x\ <
c + e
En otras palabras, podemos establecer el siguiente resultado: El valor
numérico del polinomio
CiX ■\- CiX^ + ... -I- C„ X»,
será menor que cualquier número positivo e dado, para valores
suficientemente pequeños de x. Es suficiente tomar
Ul< '
c -I- e •
donde c es el mayor de los números
|Cl| , \Ct\, ...,\Cn\

114 i:eobia de ecuaciones
Esta proposición conduce a las siguientes conclusiones:
1. Para x suficientemente pequeño en valor absoluto, el signo del
polinomio
<t>{x) = ko -j-kix +■ ... + k„x«,
es el mismo que el de fco siempre que fco ?í 0. Podemos escribir
<í) (X) = fco A + Ci X + . . . + C„ X»)
donde
Ci= -— ; t = 1,2, .. .,n.
ko
Ahora, para x suficientemente pequeño
CiX + CiX^ + . . . + C„X^,
será numéricamente menor que cualquier número dado, digamos — •
Entonces, para tal x pequeño
1 + CiX -f- Csx' -h • •. -h c„x",
será mayor que — y por lo tanto positivo, y entonces 4> (x) tendrá
el mismo signo que k^.
2. Si los coeficientes a,b,c, ... no son todos nulos, el signo del
polinomio
ax"* -I- bx" -I- ex» -h . ..
dispuesto según las potencias crecientes de x será, para x
suficientemente pequeño, el mismo que el signo de su término de menor grado
ax". En efecto:
ax" + 6x" -I- ex» +... =ax"'/lH x"~™ H x"""* -j- • • • J >
\ a a I
y por la conclusión 1:
^ , c
1 H X"-™ H x"-™ -f ...
a a
será positivo para un x suficientemente pequeño. Así, por ejemplo:
— 2x' -I- 3x'— 100 x«.
para x pequeño será negativo o positivo según que x sea positivo o
negativo.
3. El signo del polinomio
ao X» -j- ai x"—^ -h ... + a„,

8SPASACI0N DS SAICB8 116
dispuesto según las potencias decrecientes de x, es el mismo que el'de
su término principal aox" para valores de x suficientemente grandea.
En efecto:
aox" + aix"—1 + ... -I- a„ = aox" A f — x"^ -f ... 1- -^xrA ,
\ ao 0,0 J
y para x suficientemente grande (o x~^ suficientemente pequeño).
ao an
es positivo. Luego, para x grande
- 3 X* + 100 a:' -I- 1000 x — 100.000 ,
será negativo, mientras
x^ — 1000 X* -I- 20.0U0 x' — 1.000.000 ,
será positivo o negativo según qua x sea positivo o negativo.
3. Teorema. — Si un polinomio real f (x) toma valores / (a) y f (jb)
de signos opuestos para x = ay x = b, así por ejemplo:/ (a) < O, / F) > O,
entonces hay por lo menos una raíz de la ecuación / (x) =0 en el intervalo
(a; 6).
Demostración: Desde cierto punto de vista el teorema es intuitivo,
pues si los puntos de la curva y = / (x) correspondientes a x = a y
X = 6 están en semiplanos opuestos respecto al eje OX, entonces la
curva, siendo continua, debe cortar a OX en algún punto entre x = a
y X = 6
■^ Un razonamiento más riguroso es el siguiente: En primer lugar,
sin restringir su generalidad, puede suponerse que a y b son enteros;
pues de otra manera, bastaría hacer una transformación lineal de la
variable:
X = a -h F — a) t.
Entonces, / (x) se transformará en otro polinomio real <t> (x), y:
<í> @) = / (a), <t> (í) = f (b) serán números de signos opuestos. Si, por
lo tanto, es cierto que (p {t) =0 tiene una raíz entre O y 1, se seguirá
inmediatamente que la ecuación original / (x) =0 tiene una raíz entre
entre a y b. Luego no restringe la generalidad suponer que a y b sean
enteros. Entonces, entre los valores
fia) , /(a + 1), ...,/F),

116 I^OBIA DE ECUACIONES
de los cuales el primero es negativo y el último positivo, habrá un
último término no positivo, digamos / (Co), tal que
/(Co) S O ; /(Co + 1) >0.
En caso de que / (co) = O la ecuación tiene una raíz entera Co entre
a y b y nada queda por demostrar. De lo contrario, divídase el intervalo
(co; Co •{■ 1) en 10 partes iguales y considérense los números
/(Co) •' /^» + -5j) ; /(co + -^); ••■ ;/(co-h 1),
de los cuales el primero es negativo y el último positivo. Entre ellos
estará el último no positivo; sea:
/ (co + —\ ; O á ci á 9 .
tal que
Si
/(. + ^) = o,
la ecuación f (x) =0 tiene una raíz racional (co H ^1 entre a y b y
H^)
no queda nada por demostrar. En caso contrario, divídase el intervalo
•entero
, Ci , Ci +• 1
Co H y Co +
10 10
•en diez partes iguales y considérense los números
\ 10 7 \ 10 10' / \ 10 /
entre los cuales se encontrará el último
que no es positivo. Si
//e„ + -£L^. M = o.
\ 10 lov

SE FAB ACIÓN VE RAICES 117
«e habrá determinado una raíz racional
. j_ '^i j^ '^^
Co H H ,
10 JO*
-entre a y b. En caso contrario divídase nuevamente el intervalo entre
, Ci Ci , Ci C2 -I- 1
Co i 1 y coH h
10 10* 10 10'
-en diez partes iguales y continúese como anteriormente. El proceso
terminará si la ecuación tiene una raíz racional de la forma
Co H -r + • • • +
10 10' 10-
representada por una fracción decimal finita entre a y 6 y de lo contrario
puede continuarse indefinidamente, determinándose un decimal de
infinitas cifras
? = Co H 1 1- ...
10 10'
Por la forma en que se obtuvo este decimal es evidente que haciendo
?m = Co -I H -I- . . . -1-
10 10' lO"*
Tlm = Co + —-+ -— + . . . +
10 IC 10-
tendremos
/ iU) < O ; / (riJ > O ,
para m = 1, 2, 3, ... Por otra parte, por la fórmula de Taylor
+ {^n.-^y^^-^+ {^n.-^y ^'"^^^ + ... <o,
1.2 1.2.3
/(W =/(?) -h(Tl„-?)/'(e + (Tl„.-?)'^^^^^+ ... >0.
1 . ^
y luego
/(?) <(§- Uf'{^)-{^-^n.y^^^^^+ ... [1]
1.2
/(O > (?-TiJ/'(e -{^-■nn.y^^^+ ... [2]
1 . ^

118 r^OBIA VE ECUACIONES
Pero, de acuerdo con el resultado establecido en el Párrafo 2, el polinomio'
en h
1.2
será numéricamente menor que un número positivo e dado, siempre que
el valor absoluto de h sea menor que un cierto número S que puede ser
calculado al conocerse el valor de s. Considerando que las diferencias
(? — ?m) y (S —flm) son numéricamente menores que ■ ■ y tomando
10"
m tan grande como para hacer < S el segundo miembro de las
10"*
desigualdades [1] y [2] será numéricamente menor que s, es decir, mayor
que — e y menor que e.
En consecuencia:
/(e < e y /(?) >-e,
por más pequeño que se tome s, lo que implica / E) =0. Así, queda
demostrado que el número
§ = Co H 1 + ...,
10 10'
que ciertamente pertenece al intervalo (a; h) es una raíz de la ecuación
/(£)=o.
Téngase en cuenta que esta demostración da también el procedimiento
para computar aproximadamente, y con cualquier grado de
aproximación, la raíz cuya existencia queda establecida ■^.
El teorema que se acaba de demostrar es solamente un caso particular
de uno más general concerniente a las funciones continuas; Si una
función continua en un intervalo a g x S 6 toma valores de signos opuestos
en sus extremos, se anula en algún punto interior del intervalo. Nos
referiremos ocasionalmente a esta propiedad general de las funciones
continuas, cuya demostración es muy similar a la desarrollada para los
polinomios.
4. Corolarios. — Entre las consecuencias inmediatas del teorema
del Párrafo 3 están las siguientes:
1. Una ecuación real
f{x) = aox2"+i + aix'" +• .. . +• a2„+i = O,
de grado impar, tiene por lo menos una raíz real. Esto es evidente ea
el caso en que a2n+i = 0; pues entonces a; = O es una raíz. Cuando
asn+i no es nulo, será positivo o negativo. Ahora, sin restringir la genera-

SE PAS AC ION DE BAICES 119
lidad, el coeficiente ao puede suponerse positivo. Entonces, para vigores
suficientemente grandes c (Párrafo 2, conclusión 3) / (c) será positivo
y f{ — c) negativo. Suponiendo a2„+i < O tenemos:
/(O) <0 ; fie) >0,
y hay una raíz positiva de la ecuación / (x) = 0. Si Oj n+i > O, entonces:
/(-c) <0 ; /(O) >0,
y en este caso la ecuación tiene una raíz negativa.
2. Una ecuación
f{x) = aox'" + aix2"-i + ... +a2„ = O,
de grado par, en la que el coeficiente principal ao y el término indepen-
<liente atn tienen signos opuestos, tiene por lo menos dos raíces reales,
una positiva y otra negativa. Suponiendo ao > O y c suficientemente
grande, / (c) y / ( — c) serán ambos positivos; entonces, desde que
/(-c) >0 ; /(O) <0 ; f(c) >0.
■cada uno de los intervalos (,— c;0) y @;c) contiene por lo menos una
raíz de la ecuación / (x) = 0.
3. Un polinomio real sin raíces reales en un intervalo a ¿ x Sh
conserva un signo constante en el mismo, es decir, / (x) es positivo o
negativo cualquiera sea el valor de x que se tome en el intervalo (a; b). Sean
x' y x" dos valores cualesquiera tomados en (a; 6). Entonces, ai f {x')
ni / {x") son nulos, desde que el intervalo no contiene raíces de / (x)
y por lo tanto / {x') y / (x") no pueden tener signos opuestos, pues de
otra manera / (x) tendría una raíz entre x' y x" y pertenecería al
intervalo (a; b) lo que es contrario a la hipótesis.
4. El número de raíces de / (x) = O entre a y b, contedas de«elnr4o
a su multiplicidad, es impar o par, de acuerdo a que/(a) y f (b) teagaii
signos opuestos o iguales. Sean c, d, ..., í, distintas raíces, de/(x) entre
O' y b, y Y, S, ..., A, sus órdenes de multiplicidad. Entonces:
/ (X) = (X - €)■< {x-dy...{x- l)^ i> (X) ,
y (t> (x) no tiene raíces entre o y 6. Sostituyendo i»iy«*»<iy ki^
ciendo el cociente, tenemos:
«F) ■ ■
/(b) ^ /b—c y / b — d V» ib—I Y
f{a) \a—cj\a-d}"'\a—lj
<t>{a)

120 T.EOBIA DE ECUACIONES
Ahora, por el corolario 3, el cociente
es positivo, mientras que
b—c
a — c
<í.(a)
6 -d
a — d
son números negativos. El signo de —^— i
/(a)
(-
- 1)t + 8+...+>.
I
a — I
es el mismo que el de
luego, T + 8 + • • • + ^ —número de raíces de / (x) en (a; b) contadas
de acuerdo a su multiplicidad — es impar si / F) y / (a) tienen signos
opuestos, y par si f (b) y f (a) tienen el mismo signo.
5. £jeiiq>los. — Antes de considerar los ejemplos que tratan de
ilustrar el uso de los resultados establecidos hasta aquí, es conveniente
introducir ciertos símbolos y explicar su significado. Cuando escribimos
f {■{- a>) = -\- a> 6 f {+ <x>) = — 00 queremos decir que para todos los
valores positivos de x suficientemente grandes, el polinomio / (x)
conserva el signo + ó — y toma, en valor absoluto, valores mayores que
cualquier número positivo dado. En la misma forma, los símbolos
/(— oo) = + oo ó/(— oo) = — 00 significan que para cualquier x
negativo, suficientemente grande en valor absoluto, / (x) conserva el
signo + ó —, sobrepasando numéricamente cualquier número positivo
prefijado.
Ejemplo 1. C<Hisidére8e la ecuación
/(i) = (i —l)(i—3)(x —6)(i —7) + X(i —2)(i —4)(i —6) =0
donde X es un número real arbitrario. Al sustituir en f (x) respectivamente — oo; 2; 4;
6; + oo tenemos
Valores: /(-oo) /B) /D) / F) /(oo)
Signos: + - + - , +
De esto conchifmos que la ecuación proprnesta tiene raíces en cada uno de los intervalos
(-oo;2) B; 4) D; 6) F; + oo).
Como el grado de esta ecuación es 4, todas sus raíces son reales y simples. Llamándola»
e, d, e, f vemos que
— 00 <c<2<d<4<e<6</< + oo.

8EPABACI0N DE BAICE8 121
En otras palabras, las raíces de las ecuaciones
/(i) -O y (i-2)(i-4)(i-6) -O
se siguen en un orden alternado o se separan mutuamente. En general, si doe ecuaciones
tienen todas sus raíces reales y simples y están ubicadas de tal modo que entre doe
consecutivas de una hay justamente una raíz de la otra, decimos que las raíces de una separan
las de la otra. Evidentemente, en ese caso, los grados de las ecuaciones son iguales o bien
difieren en una unidad.
Ejemplo 2. Considérese ima ecuación de la forma
ABC
F(x) + -+ P=0,
X — a X — b X — c
uu la cual A, B, C son números positivos; a<6<c;yfesun número cualquiera
distinto de cero. Escribiendo
g (i) - (i — a) (i — b) (i — e)
fix)
g{x)
es obvio que las raíces de la ecuación en la forma original y las ie / (i) — O son las
mismas. Ahora, en F (i) hágase la sustitución i = a — t; i = a + t; loe resultados son
P,
P.
F (a — t) =
P (a + e) =
A B C
+ 7 +
t a — b—t a — c — t
t a — b ^ t a — c+t
Si t es positivo y muy pequeño, los términos
^A A_
sobrepasan a loe otros en las expresiones precedentes y por lo tanto F (a — t) < 0;
F (a + t) > O para un e positivo pequeño. Del mismo modo encontramos que:
F (b—t) <0, F (c — t) < O .
F(b+ t)>0, F (c + O > O.
para t positivo y pequeño; en otras palabras:
/ (a — e) }(b—i) / (c — »)
< O ; ^-f; < O ; — < O
g{fl — t) g{h—t) g(c — s)
g(a + t) ' g(b + t) ' g(e+t)

122 T,EOBIA VE ECUACIONES
para t pequeño y positivo. Loe signos de ^ (a — t), g (a + t). etc. son los siguientes:
ff(.a — *) g(.a+ t) g(b~-t) g(.b +1) g{c — t) y (c + t)
- + •+--- +
y consecuentemente los de: / (a — t), f (a + t), etc., son:
/(a-.) /(a + t) /(&-«) /(fc+t) /(c-0 /(c+t)
+ + -- + +
Aún más, desde que:
fí— 00) =?(+ oo) = —P,
el signo de / (+ oo) es negativo, en el caso de P positivo, y el signo de / (— oo) es
negativo en el caso de P negativo. Luego, para P > O
los signos de /(a+t) f (b — t) f (b + t) f(c—¿) / (c + e) /(+»>
son + — — + + —
mientras que para P < O
lo.s signos de /(—") / (a — O /(a+O f ib — t) f (b + t) f (.c — i)
son — + + — — +
En el primer caso hay una raíz en cada uno de los intervait»
(a;b) ; (b;c) ; (c; + eo)
y en el segundo caso, en cada uno de loe intervalos
(— "¡a) ; (a;&) ; (b;c).
Las raíces de la ecuación propuesta son, por lo tanto, reales, simples y separan a a, b, r.
Probletnas
Verifiqúese que las siguientes ecuaciones tienen rafees en los intervalos indicados
1. X» —71 + 7-0. Raíces en (—4; —3); jl; — j; j —; 2 j.
2. i'—3i' —41 + 13 =0. Raíces en (l; —|; í — j-3 j ; (—3; —2).
3. I* —6a^ + 6i' + 14i —4=0. Raíces en í—2; —1); @;1); U; — i; /_; 4].
4. x* + 4x»—3i' —61 + 2=0. Raíces en (—9;—4); (—2; 0); @; 1); A; 2).
5. 6x« + 16 X» — 9 i' — 12 I + 2 = 0. Tres
Aíslese la euarta raíz.
6. Demuéstrese que para todo valor real de X la ecuación
(i —2) (i —6) (i—7) A — 9) +X(i —3)(i—6)(i—8) (i —10)'-0,
tiene todas las raíces reales y simples y sepáreselas.
-raícesen (-1;0); (o;^j; ij'A •

8BPABACI0N DE BAICSS 12S
/. Resuélvase el Problema 6 para
I (i» — 1) (i — 2) + X B1 + 1) C I — 2) B1 — 3) - O .
* 8. Si oi < 2>i < Oí < 2»! < ... < a„—i < 2>n—i < a„ y X es un número real,
demuéstrese que las rafees de:
(i — a,) (i — a,) ... (i — a„) + X (i — fci) (i — b,) ... (i — 6„_i) - O .
son reales y simples. Sepáreselas.
* 9. Si ai < bi < ai < bi < . .. < a„ < 2>„ y X es real, ¿cuál es la naturaleza de la*
rafees de la ecuación
(x — Oi) (i — Oí) ... (i — a„) + X (i — fci) (i — bj) ... (i — fc„) - O ?
Indfquense intervalos que contengan sólo una rafz.
10. Demuéstrese que las rafees de la ecuación
12 1 S
+ — + —rr + r-—10 - O
x+ l X X + 2 X +3
son reales y simples y sepáreselas.
* 11. Demostrar en general que la-s rafees de la ecuación
Al Al An
+ —+ ... + P -O
X Oi X 02
son reales y simples ai Ai > 0; Ai > 0; ...; An > 0. Indíquense los intervalos que
contengan cada uno sólo una raíz.
6. Una identidad y un lema importantes. — Sean xi, xj, ...,z«
las raíces de un polinomio
/ (x) =í Co x» + Ci x"-! + ... + a„ ,
y sea
/ (x) = Co (x — xi) (x — Xs) ... ( X — x„),
su faetoreo. Reemplazando aquí x por x + h, podemos presentar/ (z ■i-h)
así:
f{x + h] = ao{x + h — xi) {x + h — Xi) ... (x -f /i — x») =
» ao (x — xi) (x — X2) ...
..(._..,/n.^_\(n-_L_\...(, + ^\,
\ X— xi/\ X— Xs/ \ X — x„/
o bien
/(x + fc) =/(x)/l +-L_\ A +_^\... A +^!_\
V X Xi/\ X X2/ \ X — X, /

124 TSO'RIA DE ECUACIONES
El producto
\ a;— a;i/\ x — xt / \ x —Xn I
puede ser desarrollado en potencias crecientes de h, y los primeros dos
términos de ese desarrollo son
\a; — xi X — Xt X —Xn I
1 +
Luego:
/ (a; f A) = / (a;) + A H h • • • -h
+ •••
X — X-í X—Xi X — Xn
Por otra parte, por la fórmula de Taylor:
íix + h) =f{x) -\-hf'(.x) + ...
así que, comparando los coeficientes de h en ambas expresiones,
obtenemos una importante identidad:
X Xi X — X2 X — X„
que también puede ser escrita asi:
/ (a;) a; — a;i a; — a;2 x — x^
Las raíces de xi, xt, xs, . . .,x„ no necesitan ser todas diferentes; sean
las distintas entre ellas a,b, . . ., í y sean a, ^, . . ., X sus multiplicidades.
Entonces la identidad que acaba de deducirse puede presentarse en la
forma
fix) ^ a _^ g ^ _^ X
f{x) X — a X —b X —I
Escribiendo
fix) = {x-a)'g{x),
el polinomio g (x) tiene raíces 6, c, . . ., í de multiplicidades ^, y, . . ., X.
Luego, aplicando la misma identidad a g (a;) tenemos
g'jx) _ g ^ j X
g (x) X — b X — I
y así
f'{x) __ « ^ 9'{x) ^^j
S{x) x—a g{x)

SEPABACION DE SAWES 126
De ahora en adelante, supondremos que/ (a;) tiene coeficientes reales;
.supondremos también que a es una raíz real. Entonces, g (x) será un
polinomio real y g (a) ?í 0. Sustituyendo en [1]; a; = a — sya; = a-(-e
tenemos
/'(a-s) g ^ g'(«-e) . /' (g + e) _ a ^ g' (a + e)
/ (a — s) s g (a — s) / (a + s) s g (a + s)
Ahora, si s es positivo y pequeño, los términos
a a
y —
s s
serán números negativos y positivos que en valor absoluto
sobrepasarán al de:
g' (a-s) g' (a + s)
g (a — s) g (a + s)
que para s pequeño son caái iguales a la cantidad finita
g'ja)
g(a)
Por lo tanto, para s pequeño y positivo, el cociente
f (g - e)
/(a-s) '
será negativo y
f (g + e)
/(a+ s) '
será positivo, y ambas expresiones serán grandes en valor absoluto. Es
ésta una importante propiedad que estableceremos como lema. Cuand»
X crece y pasa por una raíz real de / (a;), el cociente
fix)
al convertirse en infinito, cambia de signo de — a -^ o pasa de — <^ a
+ CO.
7. El teorema de Rolle. — Será fácil ahora demostrar un teorema
importante conocido como teorema de Rolle. Entre dos raices (reales)
consecutivas a y b de un polinomio f (a;) hay por lo menos una, y siempre^
un número impar de raíces de su derivada f (a;).

126 TSOniA VE ECUACIONES
Demostración: Desde que a y b son dos raíces consecutivas de / (x),
■en el intervalo a + t ú x ^6 — sel signo de / (a;) no puede cambiar,
así que
fia + s) y /F-s),
serán números del mismo signo. Pero si s es pequeño y positivo
/(a+s) /F-s)
por el lema del Párrafo 6; en consecuencia:
/' (a+s) y /' F - s) ,
son de signos opuestos y entre a y b debe haber por lo menos una raíz
de la derivada /' (a;) (Párrafo 4, Corolario 4). De cualquier forma, el
número de raíces, contada cada una de acuerdo a su multiplicidad, será
impar.
Corolario : Entre dos raíces consecutivas c y d de la derivada f (a;)
existe a lo sumo una raíz de f {x^. En primer lugar, tal raíz debe ser
simple. Supóngase que haya dos raíces a y ^ de la ecuación / (a;) =0 entre
■c y d, de manera que c < a < ^ < d. Entonces, por el teorema de Rolle,
la derivada /' (a;) tendría por lo menos una raíz entre a y ^, y c y d no
serían dos raíces consecutivas de /' (a;). Similarmente, si / es la menor
•de las raíces de /' (a;) y g la mayor, cada uno de los intervalos (— oo; /)
y {g; -\- oo) puede contener sólo una raíz de / {x) en su interior. Es
evidente que entre c y d no habrá ninguna raíz de / (a;) si
fic)f{d) >0
y solamente una si
/(c)/(d) <0.
Igualmente, los intervale o (— oo;/) y (g; + oo) contienen o ninguna
o sólo una raíz de / (a;) si en sus puntos extremos los signos de / (a;)
«on iguales o no.
Sobre estas observaciones puede basarse un método para separar
las raíces de un polinomio, en caso de que sean simples, supuesto que las
raíces de la derivada se conozcan. Sean todas las raíces distintas de/' (a;)
Ci < C2 < . - . < Cr .
Escríbanse, uno detrás del otro, los signos de
/(--) ; /(ci) ; /(c,) ;... ;/(c.) ;/(+-). [1]
En una sucesión de signos -j- 6 — hay una variación si dos con-

SEPAÜACION VE RAICES 127
secutivos son distintos, y una permanencia si son iguales. Por
ejemplo, la sucesión
+ +; + —+ -
presenta cinco variaciones y dos permanencias. Adoptada esta
terminología, el número de raíces reales de la ecuación / (a;) = O es igual al
número de variaciones en la sucesión [1]. Más aún, las raíces estatéin.
separadas y asignados intervalos, cada uno de los cuales contiene un&
sola raíz.
Ejemplo 1. Separar las raíces de la ecuación
fix) = 2 I» — 5 I* + 10 i' — 10 I + 1.
Deede que
/' (I) = 10 (i« — 2 I» + 2 I — 1) = 10 (i — 1)' (x + 1)
tiene dos raíces distintas 1 y — 1, considérese
/(-") ;^/(-i) ; /(i) ; /(+ ")
y escríbase la correspondiente sucesión de signos
- + - +•
Esta presenta tres variaciones lo que indica tres raíces reales y simples, cada una en
uno de los intervalos:
(-co; _1) ; (-1; 1) ; A; + co)
Ejemplo 2. ¿Cuántas raíces reales tiene la ecuación
fix) = I* — 4 oí + 6 - O ?
La derivada
tiene una sola raíz real
/' (i) =4{x> — o)
3
Va
3 3_
/(^o) = —3o Vo + 6
Si
3
6-30V0 ó 6» =27 o*
3
la única raíz real de la ecuación propuesta será la raíz múltiple ^[a. Si 6* > 27 o*, lo»
B^pios de
3
/(- ") ;/(V») ;/(+ ")
son
+ + +

128 SEPARACIÓN DS SAICES
así que en este caso todas las raíces son imaginañas. Finalmente, en el caso 6' < 27 a*
Ja sucesión de signos
+ - +
indica dos raíces reales y simples, siendo la otra imaginaria. £1 uso de este método basado
en el teorema de Rolle para separar las raíces, es limitado, pues sólo raramente se conocen
las raíces de la derivada. La importancia de este teorema consiste en otras aplicaciones,
algunas de las cuales se considerarán enseguida.
Problemas
Separar las raíces de las siguientes ecuaciones
I. 31* — 4 I» — 6 i' + 121 — 1 = 0. 2. 3 i« — i' — 6 i' + 3 I + 1 - 0.
3. 3x*—2x> — ñx' + ñx — 2 =0. 4. I* — 4i»+4a;' — 241—1-0.
5. 21» + 5 I* — 10 a^ — 20 i' + 40 .T + 5 = 0.
6. 3 I» — 251» + 601 — 10 = 0. 7. i'» — 101» + 5 = 0.
8. I» — 801 + 35 = 0. 9. I» — 61» + 4 - 0.
10. 5 I» + 24 I» + 30 i« — 20 I» — 75 i' — 60 I + 3 = 0.
II. ¿Para qué valores de A la ecuación
(x + 3y — A(x — ly = o
tiene tres raíces reales?
12. ¿Para qué valores de A la ecuación
A + 3)»—A (i —1)' =0
tiene tres raíces reales?
13. Demostrar que la condición necesaria y suficiente para que una ecuación
x' + px + q — O
tenga tres raíces reales distintas es 4 p' + 27 g' < 0.
* 14. EiH una ecuación trínomia
x" + px"* + 9=0
de grado impar, el exponente m puede tomarse impar. Demostrar que el número de raíces
reales es uno o tres, y que hay tres raíces reales y distintas sólo si
/i^V+Z-^p^o.
* 15. En una ecuación trinomia
x" + pi"* + g — O
de grado par, el exponente m puede ser impar o par y p puede ser tomado poátivo si m
es impar. Entonces, habrá dos raíces reales y distintas sólo si
(mq \"-« I mp Y
n — m I \ n / '

SEPASACWN DE RAICES 12»
y ninguna si
n —m/ \ n / ■
Si m es par, el número de raíces reales, de acuerdo a estos dos caaos es ou«tro o
* 16. Si las raíces de f (x) =0 son reales y simples, demostrar que las raíces de
f'{xy-f{x)f"{x) =0,
son todas imaginarias.
* 17. Las raíces de las ecuaciones/ (i) =- O y j (i) — O son reales y 8Íii^)les y se sqMna
mutuamente; es decir, entre dos raíces consecutivas cualesquiera de una, hay
justamente una raíz de otra. Llamando a las raíces de g (x) = 0: xi < xt < ■ ■ ■ < x».
demostrar que los cocientes
f(x:) /fe) f(xj
g'ixd ' g'M ' ■■■ ' g'ixj '
son del mismo signo.
* 18. En las mismas condiciones que en el problema anterior demostrar que todas
las raíces de la ecuación
f(.x)g'{x)-f'{x)g(x)''0.
son imaginarias.
ic 8. Otras aplicaciones del teorema de Rolle. — Sea un
polinomio con las raíces reales distintas
6) < 62 < .. . < 6,,
de multiplicidades gi, ^2, . . ., &», respectivamente, de manera que en
conjunto contamos
r = ^1 + ^+ ... + &.,
raíces reales. Por el teorema de Rolle, cada uno de los intervalos
F1; bi) ; F2; 63) ; ... ; F,-1; b,),
contiene por lo menos una raíz de la derivada/' (a;). Desde que el número
de intervalos es s — 1, tenemos no menos de s — 1 raíces distintas de
/' (a;). Aún más, bi será una raíz de multiplicidad ^i — 1 de /' (x) (en
el caso en que ^i = 1 no sea raíz). Sumando tenemos, por lo tanto
&i — I + &2 — 1 + ... +&. -1-r — s,
raíces diferentes, de las numeradas antes. En conjunto, la ecuación
/' (a;) = O tendrá, por lo menos
r — s + s — l = r — 1,
raíces reales. Luego, podemos establecer la conclusión:

130 TSOniA DE ECUACIONES
Si una ecuación / (a;) =0 tiene r raíces reales, el número de raíces
reales de /' (a;) = O es, por lo menos, r — 1; o, lo que es lo mismo, el
número de raíces imaginarias de la derivada no es mayor que el número
de raíces imaginarias de / (a;). En efecto, sea 2 fc el número de raíces
imaginarias de f (x) y n el grado de este polinomio; entonces:
n = r + 2 fc
Análogamente, si r' es el número de raíces reales de /' (a;) y 2 fc' el
de las raíces imaginarias:
n — 1 = r' + 2 fc'.
Pero r' g )• — 1 y por lo tanto
n = r + 2fc^r + 2fc'.
desde que 2 fc' á 2 fc. En particular, si todas las raíces de la ecuación
/ (a;) =0 son reales, la derivada /' (a;) = O no puede tener raíces
imaginarias; esto es, todas sus raíces son también reales. En este caso
especial, puede decirse algo más acerca de las raíces de la derivada. Desde
que fc' = O, debemos tener r' = r — 1. Esto significa que cada uno de
los intervalos
Fi; 6,) ; Fs; 63) ; ... ; F, -1; 6.) ,
contendrá justamente una de las raíces de/' (x), necesariamente simple,
y las otras raíces de /' (a;) serán raíces múltiples de /(a;). Luego, las
raíces múltiples de /' (a;) son necesariamente raíces múltiples de /(a;),
supuesto que este polinomio tuviera sólo raíces reales, y /' (a;) tendrá
raíces simples, si / (a;) tiene por lo menos dos raíces distintas. Aún más,
las raíces de /' (a;) están comprendidas entre la menor y la mayor raíz de
f(x). Aplicando el mismo razonamiento a f (,x), luego a /" (x), etc.,
podemos finalmente establecer el siguiente enunciado: Si todas las
raíces de una ecuación / (a;) =0 son reales, lo mismo sucederá con las
ecuaciones
fix) =0 ; /"(x) =0 ; /'"(x) =0;...
Las raíces múltiples de cada una de éstas, lo serán también múltiples
de fix), y cada una tendrá raíces simples si no todas las raíces de
/ (a;) =0 son iguales. Ninguna raíz estará fuera del intervalo entre la
mayor y la menor raíz de / (a;) = 0.
Los dos ejemplos siguientes ilustrarán las aplicaciones que pueden
hacerse de este teorema:
Ejemplo 1. Sean a < 6 dos números reales y sea
/ (x) - (i — o)" (i — 6)" .

SEPARACIÓN DE SAWES 131
La ecuación f (x) — O tiene sólo las raíces reales a y 6 y ambas de multiplicidad n.
Xuego, la ecuación
■^[(i-o)»(i-6)»l-0.
.de grado n tendrá solamente raíces reales. Estas raíces serán simples, desde que ni o
ni b aparecen entre ellas y estarán contenidas entre o y 6.
Ejemplo 2. Sea
/ (i) = (i -i- Oí) (i + o,) ... (i + o„).
Desarrollando / (i) en potencias decrecientes de x, el coeficiente de x*~* será la suma
s, = 2 Oí oi ... o,-,
do todos los productos de las i cantidades tomadas entre oi, oi, ..., On- El número de
términos de la suma es
n(n —1) ... {n—i + l)
1.2... t
=0
Llamando, por lo tanto, pi a la media aritmética de todos los productos de i factores
tomados entre Oi, 02, ..., o„ tenemos
■O"
y podemos escribir
/(x) =1» + /"\pii»-i+ /"\p,i»-2 + ... +p„,
de donde se sigue que
/ (x) = n
jn-l ^ /" \ p, x"-^ + /" j p2 x"-
+ ■.. + Pn~l
por aplieación repetida de este resultado podemos concluir que la derivada de orden »
difiere sólo en una constante de
(n — s \ , .
I pi a:»-»-l + ... + p„_.
Supóngase ahora que oi, oi, ..., o„ son números reales distintos entre sí. Entonces,
la ecuación
I"— + í"~^ jpii"-*-^ + ••• +p„_, =0
tiene solamente raíces reales y no son todas iguales. Reemplácese s por n — fc — I y
sustituyase x = y~^; la ecuación transformada
.._., /fc + i\ . A + i\
Pt+ii/*+' + ( ^ lpti/* + ! 2 )
P»-ii/*-^+--- +1-0

132 TSOniA DE ECUACIONES
tiene análogamente, sólo raíces reales y no iguales. Tomando la (fe — l)-ésima derivad»
y eliminando el factor constante, llegamos a la ecuación
Pk+iy' +2pky + Ph—i =- O ,
con raíces reales y distintas, lo que supone la desigualdad
Pk > Pk—lPk+1,
que se cumple para fe = 1, 2, .... n — 1. En particular, si oi, 02, ..., o„ son números-
positivos, pi, p?, ... p„ serán positivos. Tomando fe = 1, tenemos
o bien
Para fe = 2 tenemos
de donde
Pí' > Pí
P2'/' < pi.
P2^ > Pl PS > P2 '' Pl
PZ^'' < Pil\
Tomando nuevamente fe = 3, tenemos
de donde
Ps' > P2P4 > pa '^P4
Pi'' < pz'>
y continuando de la misma forma, es fácil verificar que, en general
1 _1_
pv+l <p V
v-r 1 V
Así, establecemos la sucesión de notables desigualdades
Pl > P2 '' > PS '^ > . . . > P» '"
que se cumple para cualquier cantidad positiva Oi, 02, ..., a„, supuesto que no todas son
iguales. En particular:
oi + 02 + ... +an
Pí
Pn = Oi O2 Os
tal que
01 + 02 + ... + o„
> "^Z oi 05 ... a„ ,
y ésta es la clásica desigualdad de Cauchy, que expresa el hecho de que la media arit-
mética de números positivos es mayor que la media geométrica, siempre que no todos-
Ios números sean iguales"^.

SEPASACION DE RAICES 13»
Problemas
* 1. Demostrar que las raíces de la ecuación
/n\' /n(n —1)V /n (n — 1) (n —2) \«
son reales, simples, y contenidas entre O y 1.
* 2. Si las raíces de la ecuación
oo I" + oi i"—1 + • •. + o„ = O
son reales, entonces
o,- g o,_i o,-+i.
para i — 1, 2, . . ., n — 1.
* 3. Si las raíces de la ecuación / (i) son reales y simples, demostrar que las raíces de
la ecuación
(n-l)/"-n//"=0.
son imaginarias. Nótese que para un valor de x arbitrario laa raíces de la ecuación en t
f {x) z» +/' (x) 2»-i + i-^2»-2 + ... =0
son reales y distintas.
* 4. Siendo las raíces de / (i) =0 reales, demostrar que lo mismo es cierto con
respecto a las ecuaciones
xf'(,x)+f{x)='0 ; xf'(.x)+2f{x)=0 ; xf {x)+3f (.x) - O ; ...
* 5. Si las raíces de la ecuación
Oo x" + a, i"~l + •.. +an =0
son reales, demostrar que lo mismo es cierto para la ecuación
(n-|-l)'ooa:"-|-n'oia;"—l-|-(n —l)'oj2:"—2^ + o^ =0,
donde k es un entero positivo.
* 6. Demostrar que las raíces de la ecuación
, , n (n — 1)» „
(n + l)"-la;" + n"a;"-l H ^^———x"-^ + ... +1 - O ,
1. ^
son reales.
* 7. Las raíces de la ecuación / (i) = O y ^ (i) =0 son reales y simples y se separan
mutuamente. Demostrar que la misma propiedad se mantiene para f (x) =0 y g" (x) —0.
Véase el Problema 18, Párrafo 7.
* 8. Demostrar que las raíces de la ecuación
x' i"
1+X+-—+ ...+ —-O
¿ n
son todas imaginarias si n es par, y todas menos una, si n es impar.

J34 T^OSIA DE ECUACIONES
* 9. Demostrar lo mismo para la ecuación
X x' i"
9. Un teorema de de Gua. —Consideraremos ahora una ecuación de
de la forma
Fix) =xr{x) -faj.x),
en la cual a es una constante -bitraria, positiva o negativa. Sea
f)i < 62 < .. . <bs,
raíces positivas y distintas de
fix) =0,
y ^1, ^2, ■••>?>, sus multiplicidades, de tal modo que, en conjunto,
tenemos
r = &i + &2 + ... + &,,
raíces positivas. La raíz bi, en el caso en que ^í > 1 será también una
raíz de la ecuación F (x) = O, pero de multiplicidad ^i — 1. Pues
/ (x) = (x-6i)».7i(x)
/' (x) = {x- 6í)»^V2 ix),
de donde
F (x) = (x - fe.)»«-i [x/2 (x) + a (x - h) h (x)],
pero
/a (x) = x/2 (x) + a (x — 6j) /i (x) ,
para x = 6¡ se reduce a
hih (bi),
—número distinto de cero—, y esto prueba que 6, es una raíz de F{x)
de multiplicidad ^i — 1. Así, la ecuación F (x) = O tiene, ciertamente
&i — I + &2-I + ... +&a — 1 = r — s
raíces y además, tiene una raíz por lo menos en cada uno de los
intervalos
(^1) ^2) ; (^2, ba) ; . .. ; (bs—i, bs).
Para demostrarlo, sea s un número positivo pequeño. Entonces:
fix)
X ,
fix)

SEPARACIÓN DE RAICES 135
para x = 6j + s será un número positivo grande, mientras que para
X = bi+i — s será negativo y grande numéricamente (Párrafo 6). Se
deduce que
f(jbi+t) f(jbi+i-t)
para e suficientemente pequeño, mientras que
fQ>i+ s) y f{bi+i- s),
tienen el mismo signo. Por lo tanto:
F (bi + E) y F (bi+i — s) .
tienen signos opuestos, y la ecuación
F{x) =0,
tiene, por lo menos, una raíz en el intervalo (bi; bi+i). A las r—s raíces
previamente contadas, pueden agregarse por lo menos s — 1 raíces
distintas de aquéllas, de modo que, en total, la ecuación
F(x) =x/'((x) + a/(x) =0,
tiene por lo menos r — 1 raíces positivas si el polinomio tiene r
raíces positivas, importante enunciado que se utilizará en el párrafo
próximo.
^ Puede demostrarse de manera similar, que el número de raíces
negativas de F (x) = O no es mayor que r' — 1, si r' representa el número
de raíces negativas de / (x) = 0. El número total de raíces reales de la
última ecuación es
m = r + r',
si f@)^0 y
m = r + r' + y,
si / (x) tiene el cero como raíz de multiplicidad v. En este caso es fácil
verificar que F (x) es divisible por x', de modo t;ue el cero es raíz de
multiplicidad por lo menos igual a v para la ecuación F (x) = 0. Desde
que el número de raíces positivas y negativas de esta ecuación es, por
lo menos, r -|- r' — 2, el número de todas sus raíces reales nunca es
menor que m — 2. En particular, si todas las raíces de / (x) son reales,
la ecuación
x/'(x) -Ha/(a;) =0,
no puede tener más de dos raíces imaginarias puesto que su grado no
es mayor que el de / (x). Puede verse con un ejemplo que puede tener

136 T^OSIA DE ECUACIONES
raices imaginarias aún cuando las raíces de / (x) sean reales. Tómese
J(x) =3? — X, luego
F {xy = (a + 3) x' - (a + 1) X,
y para a = — 2
F (x) = x' + X = X (x^ + 1) .
Este polinomio tiene dos raíces imaginarias. Sin embargo, todas las
raíces de
a;/'(x) +a/(x) =0,
serán reales si a es positivo. Para demostrarlo, considérese el cociente
/(s) /(s)
Este cociente es evidentemente positivo si / @) ?í O y s es
suficientemente pequeño. Por otra parte, en el caso de / @) =0
/(s) '
■es positivo para s positivo y pequeño. Luego, para s positivo y pequeño,
el cociente
/(s) '
es positivo, mientras que el cociente
F Fi - s)
/Fi-s)
es negativo. Desde que / (s) y / Fi — s) tienen el mismo signo, F (e)
y f Fi — s) tienen signos opuestos y hay por lo menos una raíz de
F (a;) entre O y 6i. Así, si n es el grado de/ (x), la ecuación F (x) =0
tiene, por lo menos, n —\ raíces reales, de modo que todas sus raíces
son reales^.
Problemas.
* 1. Siendo las raíces de / (i) =0 reales, demostrar que lo nüsmo es cierto para la
«cuaci<ki
xj' ix) + «/ (i) - o
no aólo para a positivo sino para a < — n, donde n es el grado de / (i).
• 2. Siendo las raíces de / (i) =0 reales, demostrar que lo mismo es cierto de la ecua-
«ión
/(i)+M!/'(i)+iV"(a:) =0

8EPABACI0N VE SAICF8 187
* 3. Se» g (i) - (i + ai) (i + ^s) ... (i + «„) un polinomio con raíoes realea y
negativas. Siendo las raíces de
/ (i) = oo i" + oi I"—1 + ... + o„ - O ,
reales, demostrar que lo mismo se cumple para
ooí (n) a* + oi ^ (n — 1) a;"-l + ... + ^ @) o„ = O .
* 4. Para un X real arbitrario, la ecuación
>.f(.x)+f'{x) -O,
no tiene más raíces imaginarias que / (z) = 0.
* 5. Demostrar que lo mismo es cierto para la ecuación
af(x)+bf'{x) +cf"{x) =0,
si las raíces de
oí' + 61 + c = O
son reales.
* 6. Los polinonüos de Hermite H„ (i) se definen por
di»
Demostrar que
H„+i{x) =H^(x)-2xHn{x),
y luego deducir que las raíces de //„ (i) son reales y simples. Demostrarlo por inducción.
10. Regla de los signos de Descartes. — En una sucesión de números
ao, ai, .. ., a„,
ninguno de los cuales es nulo, dos términos consecutivos
fli—1 y di,
pueden tener el mismo o distinto signo. En el primer caso decimos que
los términos ai_i, a^ presentan una -permanencia de signos y en el segundo
caso una variación de signos. Por ejemplo, en la sucesión
-2,-3,4,4,-1,7,7,7,-5,-4,1
hay cinco variaciones y cinco permanencias. Si algunos de los términos
de la sucesión son ceros, simplemente no se los tiene en cuenta al contar
el número de permanencias y variaciones. Asi, en la sucesión
1,0,0,-1,-1,0,0,0,2,3,-1,0,0
hay tres variaciones y dos permanencias. Adoptada esta terminología
podemos enunciar el siguiente teorema clásico, conocido como

138 lEOSIA DE ECUACIONES
Regla de los signos de Descartes: El número de raíces reales positivas der
una ecuación con coeficientes reales
/ (a;) = ao a;" -f ai x"-i + . .. + a„ = O ,
nunca es mayor que el número de variaciones en la sucesión de sus
coeficientes
ao, ai, ... , a„,
y, si es menor, siempre lo es en un número par.
Demostración: Llamemos V al número de variaciones y r al número
de raíces positivas, cada una contada de acuerdo a su orden de
multiplicidad. Queremos demostrar que
V = r + 2h,
siendo h un entero no negativo. El teorema es evidente en el caso V = O,.
pues si todos los coeficientes que no son nulos son del mismo signo,,
la ecuación no tiene raíces positivas, así que r = 0. Suponiendo que el
teorema sea cierto para V — 1 variaciones, demostraremos que es verdad
en el caso de V variaciones, y esto es suficiente para concluir, por
inducción, la generalidad del teorema.
Sean a. y ag, ^ > a, dos coeficientes de signos opuestos, siendo los-
coeficientes intermedios (si los hay) ceros. El número de variaciones V
se compone de tres partes: el número de variaciones Vi en la sección
ao, ai .. ., a^y
una variación en la
fla ) • • • ) a»)
y el número de variaciones Ví en la sección
ag, . . ., an,
tal que
y = t;i + ^2 + 1.
Considérese ahora una nueva ecuación
F{z) = xf {x) — Xf (x) =0,
cuyos coeficientes son
(re — X) oo ; (n — 1 ■— X) Oi ; . . . ; (n — a ~ X) a, ; .. .
(n ~ ^ — X) ag ; .. . ; -- X a„ ,
y elíjase X tal que
n — a—X>0 ; n — &—X<0,

8SPABACWK DE BAICB8 180
O sea
n — P <X <n—a,
lo que es posible desde que ^ > a. Teniendo en cuenta que los factores
n—X ; n—1—X;...;n—a —X,
son positivos, mientras que los factores
n — ^—X ; n — ^ —1—X;...;n — n—X»=—X,
son negativos, en las secciones
(n — X) ao ; ... ; (n — a — X) a^
y
(n — ^ —X)ofi ; ... ; —Xoh,
contamos, respectivamente, t;i y vt variaciones, pero en la sección
(n — a — X) a. ; ... ; (n — ^ — X) a>,
no hay variaciones, desde que los términos extremos son los dos del
mismo signo y los intermedios son cero. Así, en la ecuación
F{x) ^xr{x)-\f{x) -O,
el número de variaciones es t;i + t;j = F — 1. Por el teorema de de Gua
(Párrafo 9) el número de raíces positivas de esta ecuación no es menor
que r — 1. Suponiendo que el teorema es cierto en el caso de F — 1
variaciones, tenemos:
r—1^7-1
<ie donde
r éV.
Resta por demostrar que la diferencia V — r es un número par. Ep
la sucesión
a<¡ , ai ..., On,
sea a, el último término que es distinto de cero. Entonces, si F es par,
c, y ao tienen el mismo signo, y si 7 es impar, signos opuestos. El poli'
nomio
/ (a;) = ao a;* + ... + a, a;»—»,
para valores positivos pequeños, tiene el signo de a„ y para valores
positivos grandes, el de ao- Luego, si ao y a, tienen el mismo signo, el
número de raíces positivas es par, lo mismo que 7; y si Oo y a,
tiene»signos opuestos, el número de tales raíces es impar, igual que V. Así, r y V

140 T.EOSIA DE ECUACIONES
son ambos pares o impares, y su diferencia V — r es un número par, que
era lo que faltaba demostrar.
Cambiando x por — a; en la ecuación / (x) =0 obtenemos otra
ecuación / (— a;) = O que evidentemente tiene tantas raíces positivas, como
negativas tiene la ecuación dada. Luego, si r' es el número de raíces
negativas de la ecuación propuesta, y V el número de variaciones
correspondientes a / (— x), entonces:
V = r' + 2h',
donde h' es un entero no negativo.
La regla de los signos indica el número exacto de raíces en dos casos:
y = O y y = 1. En el primer caso, evidentemente r = 0; y en el
segundo, la relación
r + 2h = I,
con h entero no negativo, requiere /i = O y r = 1. Este resultado
particular puede demostrarse independientemente como sigue: Si hay
solamente una variación en la sucesión
ao , ai, ..., a„,
puede dividirse en dos partes: la primera
ao , ai ..., a^—i,
que consiste de términos, digamos, positivos y nulos; y la segunda
a^ = — 6o ; a^+i = — 6i ; ... ; a„ = — b„—^,
comenzando con un término negativo a^, y que consiste de término»
negativos y nulos. El polinomio / (x) puede presentarse así;
/ (a;) = a;"-»'+i
aox"-! + ... + a,_i - (^ + ... + -Í==!l_y
La expresión entre corchetes, por ser la diferencia entre una función
creciente y otra decreciente, es una función creciente que, de un valor
negativo muy grande (para x pequeño y positivo) pasa a un valor
positivo muy grande (para x grande y positivo) y por lo tanto pasa por cero
una sola vez. Luego hay una sola raíz positiva de la ecuación / (a;) = 0.
En el caso que V > I, la regla de Descartes indica sólo un límite
superior del número de raíces positivas y negativas, y algunas veces-
revela infaliblemente la presencia de raíces imaginarias, como veremos,
en los ejemplos.
Ejemplo 1. Sea !• ecuación
/(«)=-!« +i' — I — 3-0.

8BPABACI0N DE SAICE8 141
Desde que f (x) y f (— x) presentan ambos una sola variacidn, hay una nía poBtiva
y otra negativa. Las dos restantes son imaginarias.
Ejemplo 2. Considérese la ecuación
/(i) =x« — i»+2a;» — 31 — 1 -0.
Para esta ecuación F = 3, de manera que habrá una o tres raíces positivas. Cambiando
X por —X, en la ecuación transformada
/(—i) =x>+i^+2x' + 3x — 1 =0
P" — 1, y entonces hay sólo una raíz negativa de la ecuación, dada. El total de raicea
reales no es mayor que cuatro y, dos raíces por lo menos, son imaginarias. El
número exacto de raíces imaginarías puede hallarse en este ejemplo de la siguiente manera:
Multiplicando / (x) por (x + 1)* no cambiamos el número de raíces positivas pero
{x + lyf (x) = I» + 2 i' + I» — i' — 51» — 51 — 1
presenta una sola varíaclón. Luego, hay sólo una raíz positiva y cuatro son ima^narías.
Problemas
¿Cuántas raíces tienen las siguientes ecuaciones?
1. x> + x* — x> — 2x — l =0.
2. x* — x' + x — 2 =0. Multipliqúese por (i + 2).
3. x' +x' — 2x' + X — 2 =0. Multipliqúese por (x + I).
4. I» + 2 I» — i' + a; — 1 =0. Multipliqúese por (x + 1).
5. 1 — 21 + 31* — 4 i' + 51* = 0. Multipliqúese por A + x)'.
6. l—2x + 3x^—4x^+Sx* — ñx^=0. Multipliqúese por A + x)K
7. 1—21+31»—... + B n + 1) I*" = 0.
8. 1 — 2 I + 3 I' — ... — 2 ni2 n-l = 0.
^11. Las ecuaciones con raíces reales. — La regla de los signos
indica exactamente el número de raíces positivas y negativas en el caso
en que todas las raíces de la ecuación sean reales. Como antes,
representemos por y y y el número de variaciones en la sucesión de los
coeficientes.
Oo , ai , «2, ..., fln, 11 o]
de / (a;), y en la sucesión
ao , — ai , 02 , ... , (— l)''a„ , [2 a]
correspondientes a (—!)"/(—x). Entonces, si f{x) es un polinomio
completo, de tal manera que todos los términos de la sucesión [la] sean
distintos de cero, tenemos
V + V' = n.

142 TEOSIA DE ECUACIONES
De hecho, a cada permanencia de [la] corresponde una variación
en [2a] y viceversa. Luego, V -\- V es el número de variaciones y
permanencias en la sucesión [la], que es n.
Si / (a;) no es un polinomio completo, demostraremos que siempre
V + V' á n .
Sean
ao , aa , ag , ..., a¡i , a,, [1 61
los términos de la sucesión [la] distintos de cero. Entonces, los
términos distintos de cero en la sucesión [2a] serán
ao , (-l)"a, , (-l)»ag, ...,(-l)i'a¡,, (-l)'a,. [261
Naturalmente las sucesiones [la] y [2a] presentan V y V variaciones^
respectivamente. Ahora reemplacemos las sucesiones [16] por
flo, flo, ...,0A,0A, • • • , og , • • • , «a , ... , a.^ , a^, a,, ... , a, [le]
de manera de tener una sucesión cotapleta de n -h 1 términos, todos
distintos de cero. Es evidente que el número de variaciones en [le] es
también V. De [le] deducimos otra sucesión de n + 1 términos,
cambiando alternadamente los signos de los términos de [le]:
ao , — ao, ... , (— l)'a^ , (— l)"+^a„ , ...
... , (-D^ae, ... ,(-l)'a., ... , (-l)»a.. [2 e]
Sea V" el número de variaciones en la sucesión [2e]. Entonces, por
otra parte
V ^ V" = n,
desde que [le] es una sucesión completa de n -f 1 términos; y además,
V ^ V". Esto puede verse fraccionando las sucesiones [2e] y [26] en
secciones correspondientes como sigue:
ao , — ao, ... , (~ l)"a(i que corresponde a ao, (—l)"aa
(—l)"aa, ... , (—l)*ag que corresponde a (—l)'a^;{—l)*ae
(— iy*a.^, ... , (— l)''a, que corresponde a (— l)''a¡i, (— iVa,
y la
(-l)'a,, ... ,(~ l)»a,,
que no tiene correspondiente en [26]. Naturalmente que cada sección,
de [2e] no tiene menos variaciones que la correspondiente de [26], por
lo que S3 deduce que V á V', y además
7 4-7" ^ n,

s:epabacion de saiciís i«
como deseábamos demostrar. Ahora, si r y r' son los números de rafees
positivas y negativas de la ecuación / (a;) = O, de grado n, cuyas raices
son reales y distintas de cero, tenemos:
r ■{• r" = n.
Por otra parte:
V = r ■\-2h ; y = r' -I- 2 A',
tal que
V -¡r V = T + r' ^2h -\-2h' =n + 2h ^2h' m,
o sea
h i'h' sO,
que es posible sólo si h — h' = O, y entonces
r = V ; r' = y .
Se ha supuesto que c^ro no es raíz de la ecuación, pero es casi evidente
que se mantiene la conclusión aún si hay raíces iguales a cero.
Ejemplo. Dado que todas las raíces de la ecuación
/(i) =16 —151» + 4013 — 451^ + 24 i—5 =0
son reales, encontrar cuántas raíces tiene entre O y 2 y entre 2 y 3. En general, para
determinar el número de raíces en el intervalo o < i ^ 6, es suficiente encontrar el número
de raíces > o y restar éste del número de las raíces > 6. El número de raíces > o es el
mismo que el de laa raíces positivas de la ecuación transformada obtenida de la ecuación
original por la sustitución x = a -\- y. En nuestro ojemplo haremos las transformacicuies
x=2+yyx = 3+y, por la regla de Homer.
2)
0
2
2
2
4
2
6
2
8
2
10
2
—15
4
—11
8
— 3
12
9
16
25
20
45
40
—22
18
— 6
12
18
30
50
80
—45
30
— 9
24
15
60
75
24
—18
6
%l
36
—5
12
7
~"
12

144 TEOmA VE ECUACIONES
3) 1 O —15 40 —45 24
3
3
3
6
3
9
3
12
3
15
3
9
— 6
18
12
27
39
36
75
45
120
^=
—18
22
36
58
117
175
225
400
66
21
174
• 195
525
720
63
87
585
672
261
256
=
1 =
Los números subrayados, leídos de abajo hacia arriba, representan los coeficientes de-
las ecuaciones transformadas. Por .ser todos positivos, no hay raíces mayores que 2;
luego, el número de raíces entre 2 y 3 es cero. Por otra parte, la ecuación original tiene
cinco variaciones, lo que indica la presencia de cinco raíecis positivas. Consecuentemente,
entre O y 2 hay justamente cinco raíces y, sicmdo el grado de la ecuación igual a 6, la
S3xta es negativa. En efecto:
fix) = (x--l)'(x +5)*
Problemas
Las raíces de las siguientes ecuaciones son reales. Encontrar el número de ellas en los
intervalos especificados.
1. 2 i' — 9 I' + 6 = O ; @; 1) y D; 5).
2. 5 i' — 9 I + 2 = O ; (O, 1) y A; 2).
3. I» —27x+5 =0 ; D; 5).
4. 24x« —9612 + 721=—16i + 1 =0 ; A;2^ y B; 3).
5. i'-51' —21 + 1 =0 ; (—3; — 1) y @; 1).
6. i'—10a;3 + 6x + 1 =0 ; @;1) y (—1;0).
7. Demostrar que una ecuación tiene raíces imaginarias si faltan términos entre dos
del mismo signo, o faltan más de dos términos entre dos de signos opuestos.
• 8. Una ecuación tiene raíces imaginarias si tres coeficientes consecutivos están en
progresión geométrica.
•9. Una ecuación tiene raíces imaginarias .si los coeficientes de cuatro términos
consecutivos están en progresión aritmética. Multipliqúese por (x — 1)'.
• 10. Demostrar que la ecuación
I" + (o + 6) I»-! + {o2 + o6 + 6') x''-2 + ... + (o" + o»-! 6 + ... + 6») = O
no puede tener máa que una raíz real, supuestos o y 6 reales. Multipliqúese por (i — o)
(x-b).

SEPAüACWN DE ÜAICES 146^
12. Un método completo de separación de raices. — Aun cuando
el teorema de Rolle y la regla de los signos pueden a menudo ayudar
a separar las raíces de una ecuación no proporcionan de por sí una
solución completa y exhaustiva de este importante problema. La ajrfi-
cación del teorema de Rolle con este propósito requiere el conocimiento
de las raíces reales de la derivada que la mayoría de las veces no se-
posee. La regla de los signos es, quizá, un enunciado débil, y aplicado
a una ecuación en la que la naturaleza de sus raíces no se conoce, no
da el número exacto de rafees positivas (o negativas), excepto cuando el
número de variaciones es cero o uno. Pero cuando se combinan estos
dos casos particulares con un notable teorema publicado por Vincent
en 1863 y seguido por Fourier, proporcionan el método más eficiente,
no sólo para determinar el número exacto de raíces positivas y negativas,
sino también para efectuar su separación en el caso en que la ecuación
propuesta no tenga raíces múltiples. Hemos visto (Capítulo III,
Párrafo 6) que la solución de las ecuaciones con raíces múltiples puede
reducirse a la solución de ciertas ecuaciones con raíces simples. Por lo tanto,
no es una limitación esencial el suponer que la ecuación propuesta no
tiene raíces múltiples.
El teorema de Vincent puede enunciarse de la manera siguiente:
Sea a, b, c, .. . una sucesión arbitraria de enteros positivos.
Transformando una ecuación sin raices múltiples mediante una serie de sucetiva*
sustituciones
X = a -{ ; y = b ■] ; z = c -\ ; etc.,
y z t
luego de un cierto número de estas transformaciones, e independientemente
de la elección de los enteros a, b, c, ..., llegamos a una ecuación
transformada con no más de una variación.
La demostración se encontrará en el Apéndice IL La idea del método,
que será ilustrada en seguida con varios ejemplos, es muy simple. Para
encontrar el número exacto de raíces positivas (y nos podemos concretar
sólo a este caso) notaremos que las raíces positivas pueden ser > 1 ó
< 1 excluyendo el caso en que 1 es raíz. Las rafees positivas > 1 pueden
escribirse en la forma x = I + y con y > O, mientras que para aquellas
< 1, será X = donde es también y > 0. Por lo tanto, la ecuación
I -j- y
propuesta se transformará mediante las sustituciones x = I + y y
X = y estas transformaciones pueden realizarse muy conve-
í + y
nientemente, utilizando sólo sumas, como se verá en los ejemplos. Si
la ecuación transformada no tiene variaciones o tiene sólo una, el
problema está resuelto; pues por ejemplo, si la ecuación obtenida por la

146 T£OBIA DB ECUACIONES
transformaciÓQ x = I + y no tiene variaciones, esto significa que la
ecuación original no tiene raíces > 1; y la presencia de una sola
variación en la ecuación transformada indica sólo una rafz > 1 en la ecuación
propuesta. Una conclusión similar es cierta para la ecuación resultante
1
de la transformación x = .
I + y
Si una o ambas ecuaciones transformadas tienen más de una
variación, las transformamos nuevamente por las sustituciones y = I + z,
y = y si es necesario continuamos las transformaciones me-
1 -f-z
diante sustituciones del mismo tipo hasta que las ecuaciones obtenidas
por este proceso no tengan más de una variación. Esto ocurrirá
necesariamente después de un número finito de pasos, pues las
transformaciones de la forma x = I + y; y = I •{- z, .. . seguidas por otras
de la forma v =■ son equivalentes a dos transformaciones: una
1 -f-tf)
del tipo
X = a -\ ,
y
donde a es un entero positivo, seguida por otra del tipo y = I + z.
Se deduce de esta observación que cualquier ecuación transformada
se obtiene de la propuesta por una serie de transformaciones
X = a -\ ; y = b -\ ; ... ; u = I -\ ; v = —,
y z V w
o por las
X "= — ; y = a ^ ; z = 6H ; ... ; u = I ■^ ; v = — ,
y z t V w
siendo a,b, .. .,1 enteros positivos. El segundo caso no difiere del
primero puesto que el número de variaciones no se altera por la sustitución
1
X = —. Por el teorema de Vincent, un número suficiente de transíor-
y
maciones
x = a-] ; y = b -\ ;...;« = 1H ,
y z V
conduce a una ecuación con no más de una variación, y una
transformación adicional del tipo v =■ — no cambia el número de dichas varia-
w
ciones. Así, es cierto que el proceso antes descripto llevará a ecuaciones
con no más de una variación. Estas consideraciones generales se
comprenderán mejor por medio de ejemplos a los que pasamos ahora.

SEPARACIÓN DE SAJCSS
1«
Ejemplo 1. Separar las raíces de la ecuación
j* —71+7 -O
Examinemos primero las raíces positivas. Si 1 no es raíz, las positivas serán mayores,
o menores que 1.
Las raíces poedtivas > 1 son de la forma i = 1 + y y las < 1 de la forma x =
1 +y
con y positivo. Luego, para encontrar el número de raíces positivas > 1 transformamos,
la ecuación por la sustitución x = 1 +y y buscamos el número de raíces positivas de la.
ecuación transformada. Solamente se requieren sumas para efectuar esta transformación..
£n nuestro ejemplo las operaciones necesarias son las que siguen:
1 0
1 1
1 2
1 3
1
—7
—6
4
7
1
así que la ecuación transformada es
!/»+32/» —42/ + 1 =0
y el número de sus raíces positivas puede ser cero o dos. Para efectuar la transformacióni
1
1 -{-y
hacemos dos pasos. Primero ac reemplaza x por —, lo que lleva a
X
7i» —7x» + l =0.
El efecto de esta transformación preliminar es de invertir el orden de los coeficientes^
Luego, hacemos i = 1 en la nueva ecuación y realizamos las operaciones como se indicar
7—701
7 0 0 1
7 7 7"
7 14
7 ~"
La ecuación final transformada es
7y> + Uy* + 7y + 1 =0.
En lugar de invertir primero el orden de los coeficientes y luego hacer la sustituciótk
X = 1 + y, podemos proceder directamente, comenzando las sumas desde la derecha.
y siguiendo un orden ascendente, como se indica a continuación;
7
14 7
7 7 7
jo 0 7
 O ^7 7~

148
T.EOSIA DE ECUACIONES
Los námeros subrayados, leídos en orden descendente, proporcionan los coeficientes
7; 14; 7; 1 de la ecuación transformada, por medio de la sustitución
1+;
Ambas transformaciones x = 1 + y y x
l+í
pueden practicarse en el mismo
esquema con disposición en forma de paralelogramo de números, como se muestra a
continuación:
(Léase descendentemente)
7
1 0
1 0
14
7
0
—7
7
7
7
7
7
11-61
1 2 -^
1 3
1 (Léase ascendentemente),
Desde que la ecuación
7yi + Uy' +7y + l =0.
no tiene variaciones, no tiene raíces positivas; luego, la ecuación propuesta no tiene
raíces de la forma
1
l+í
con 2/ > O, es decir, no tiene raíces enteras entre O y 1. Pero la ecuación
y' + Sy^ — ly + 1 =0
resultante de la sustitución x = 1 + y, tiene dos variaciones y la tenemos que tratar aún
mediante las dos sustituciones:
1
1 -f z e y =>
1+z
Los cálculos necesarios se muestran en el esquema en forma de paralelogramo:
(Léase descendentemente)
—2
—2 -2
O —3
4 O
5 5
O
La ecuación resultante de la sustitución y = \ + z
¿> + 6z'-+5z + i -O
(Léase ascendentemente)

SEPABACION DE SAICES 149
no tiene variaciones ni raíces positivas, pero la ecuación resultante de la sustitución
y ™ , a saber:
1 -fz
2» — z'—2z-fl =0
liene aún dos variaciones y debe someterse todavía a las transformaciones
1
z = 1 +t
Los cálculos necesarios son:
y
(Léase descendentemente)
—2
I± -2
1 -
1
1
1
1
-1
0
1
2
z ™ —
1
1
0
—1
—2
—2
—1
+ t
1
T
1
0
1
—1
(Léase ascendentemente)
«le modo que las ecuaciones transformadas son
t> +2P — t~l =0 y í»+<' — 2í — 1-0
y tienen ambas una sola variación y, por ende, una sola raíx positiva. La primera ecuaci(^
resulta de la original por las transformaciones
1
1 = 1+^ ; 2/= T";— ; z = i+í,
1 +í
<jue pueden resumirse en una:
1
1=1 +
2 + t
Las sustituciones que llevan a la segunda:
1
1 = 1+2/ ;
1 +z 1 +í
también se resumen en una:
1
1 = 1 +
1
1 +
1+í
Teniendo cada una de las ecuaciones transformadas una sola variación, hay dos raíces
positivas para la ecuación propuesta y los intervalos en los cuales quedan estas raíces
se obtienen tomando en las fórmulas que dao x, los valores t = Oy t = <=. Así
encontramos dos intervalos
(■ ■ t) >• (I ■ ^).
«ada uno de los cuales contiene una raíz de
3?—7x + 7=0.

150
TüOSIA VE ECUACIONES
Las sustituciones sucesivas que sirven para pasar de x & t, se ven iamediatamente si
los resultados de las transformaciones aplicadas ac disponen en un esquema que se parece
a un árbol genealógico:
7 14
(sin
z
, 1
1
A
1 0
I = A+ y)-
1
7 1
var.)
1 —1
B
= (] +0-'
-2 —1
var.)
—7 7
-' 1 x = l+y
1
1 3 -
B var
2/ = A+ 2)-' 1
)
—2 1
var.)
j z = 1 -1 í
1
1 2 —1
A var.)
■t
•)
y
—
1
= 1 +
1 6
fsin
1
2
1
5
var
1
)
A este esquema lo llamaremos de aquí en adelante, « árbol genealógico », para abreviar.
Para encontrar el número de raíces negativas os suficiente sustituir x por — x; habrá
tantas raíces negativas como positivas tenga la ecaación transfonnada. En nuestro
ejemplo, esta transformada
I» —71 —7 =0
tiene una variación y. en consecuencia, una raíz positiva que, poniendo i = 1, 2, 3 .. y
observando el signo de los resultados, se descubre que está contenida entre 3 y 4. Luego-
la ecuación propuesta tiene una raíz negativa en el intervalo {—4; —3).
Ejemplo 2. Separar las raíces de la ecuación
i« — 4 I» + 12 1= — 24 I + 24 = O .
La ecuación obtenida reemplazando x por — a; no tiene variaciones; luego, la ecuación
propuesta no tiene raíces negativas. Desde que tiene cuatro variaciones, es necesario
comenzar su árbol genealógico haciendo las dos transformaciones:
1 -f 2/ y X =
1
1 +y
Los cálculos necesarios son conio sigue:
8 12
12
-3 9
-2 7
-1 6
O
-15
- 8
24
24 24
9
(Léase asccndcntementc)

8SPASACI0N VE BAICS8 161
No fué necesario continuar el esquema ascendente, desde que el primer renglón no
tiene variaciones, y los coeficientes de la eeaaeiáa transformada aeiten dd mismo
signo. Como la sucesión
1. 0. 6. —8, 9
tiene dos variaciones, se repite el mismo proceso:
6—8 9
1 1 7 —1 8
12 9 8
Abcwa ya es inútil continuar hacia arriba o hacia abajo, desde que en ambos
es evidente que no habrá variaciones. El ázbcA genealógico es. por lo tanto:
1 —4 12 —24 24
x-il+y)-^ I x = l+y
i I
(sin var.) 10 6—89
y - A+ 2)-« ( y = l+z
I í
(sin var.) (sin var.)
Esto significa que, transfcHinando la ecuación dada pis' cualquiera de las wtitnrionai
1
; a: = 2+í ; 1 = 1 +
1+y ' - " ' - ' ■ 1+^ '
llegamos a ecuaciones sin variaciones y, por lo tanto, sin raíces positivafl. Luego^ la
ecuación propuesta no tiene raíces reales.
Ejemplo 3. Separar las raíces de la ecuación
X* + 3* — X* — X^+X*—X+l -0.
Examinamos primero las raíces positivas. Como la ecuación tioie cuatro
variaciones, comenzaremos a construir el ázbd genealógico como explicamos en los dos
ejemplos precedentes:
}_ 1 2 2 11
j^ O —1 0 1 0 1
1 I —1 —1 1 —1 1
12—1 0 1 O 1

wi
TSOniA DE ECUACIONES
9n cootinuar, vemca que el árbol genealógico es:
11—1—11—11
I = A + 2/)-' I X = 1 +y
(sin var.)
(án var.)
Luego, no hay raíces positivas. Para investigar las raíces negativas, sustituímos ar
por — I. La ecuación resultante:
x^ — x^ — 3*+x' + x'' + x + l -O
tiene dc6 variaciones y, por lo tanto, continuamos como antes;
3 2 3 4 3 2 1
1—1—11111
1 0—10123
1 1 0 0 13
y MMMDOS en c(»clu8Íón que ninguna de las ecuaciones tiene raíces positivas, de donde
M 8Í|ue que la ecuación propuesta no tiene raíces negativas. Así, las seis raíces son ima-
(iiurías.
KJ«mplo 4. Separar las raíces de la ecuación
61'—5x« + 4a:5 — 3i« — 2a;2 + l =0
1. Livestígación de las raíces positivas. Teniendo cuatro variaciones, comenzamos-
w» las transformaciones usuales:
1
6
6
-9
—5
—5
1
—4
—4
0
4
5
12
0
—4
—4
—3
2
25
12
4
0
—1
0
2
19
13
8
4
1
—1
—2
0
7 1
6 1
5 1
4 1
3 1
2 1
1 1
0 1
0 1
Luego, las mismas transíormiaciones se aplican a la ecuación cuyos coeficientes sont
1. 7. 19, 25, 12, —4, —9. 1:

SEPAÜACION DE SAICES
153
52
1
101
51
7
12
50
44
19
—112
— 38
6
25
25
—108
— 74
— 44
— 19
0
12
—37
—34
—30
—25
—19
—12
— 4
—2 1
—3 1
—4 1
—5 1
—6 1
—7 1
—8 1
—9 1
8 27
52
64
60
51 52
El mismo proceso se repite nuevamente
—93
1
—94
— 2
—92
—37
— 55
—108
53
—112
165
12
153
101
52
52
1 —38
-146
-258 —246
-145 —93
Puesto que en cada uno de los renglones tenemos una variación, es inútil continuar
pues puede verse fácilmente que las ecuaciones transformadas tendrán una variación.
El árbol genealógico es el siguiente:
6—54—30—201
I = A+ v)-' I I = 1+ V
1 1
1 7 19 25 12 —4 —9 1 (ain var.)
B var.)
A + z)-'
= 1+2
1 —2 —37 —108 —112 12 101 53 (sin var.)
B var.)
2 = A + 0"
z = 1 +t
I I
A var.) A V*.)
Luego, por las transformaciones
1
y X
1+.
2 +í
1+-
1 +
l+<
la ecuación propuesta se transfonna en ecuaciones con una variación y una raíz positiva.
Los intervalos para las correspondientes raíces x se obtienen tomando í = O y í — <»
y son
2
\2 ' 3,

154 TEOBIA VE ECUACIONES
2. Investigación de raices aegativas. Cuando se reemplaza x por — z, la ecuación
transformada
6a;' + 5a* + 4i' + 3z« + 2x* — 1 =0
tiene una variación y una raíz positiva, lo que indica una raíz negativa de la ecuación
propuesta. Esta tiene tres raíces reales ubicadas en los intervalos:
(— ~ ; 0) ; (— ; —I ; (— ; i
y las cuatro restantes son imaginarias.
El número de operaciones que se requicr..n para separar las raíces por este método
depende de lo cercanas que están las raíces y naturalmente será grande si las hay con
pequeñas diferencias entre ellas. Las raíces grandes, digamos > 10, se considerarán <
cerca > de <» y la separación podrá abreviarse usando sustituciones del tipo
10
I = 10 A + 2/) ; x = -——
1+2/
O bÍ3n
100
I = 100 A + 2/) ; I = ; etc.
1+2/
Problemas
Separar las raíces de las siguientes ecuaciones:
I. 2i» — 31»+ 41 — 1=0. 2. ei» — 10i'+ 51 + 3=0.
3. I»—9z»+20a; + 1=0. 4. i» + 111'— 102 i + 181 = 0.
5. 2i« — 6i»+a:2— 101 + 2 = 0. 6. i« — 2i» + 3a;» — 7a: + l=0.
7. I*—i'+3a:» — 21 + 1=0. 8. i« + 6z» — 7 a:» — 4a;+8=0.
9. i« + 6i»+5a;'—41 —2=0. 10. i« + 10i» + 23x^ + 6a; —2=0.
II. I» — 31« — 61» — 2 I» + 2 = 0. 12. 2 X» — 3 i« + I» — 2 I* + I — 1 = 0.
13. i« + x* — 2i»—2a;»+4=0. 14. 3i' — 7i« + i» + a:» — 7a: + 5=0.
15. I» — 4i« + 9i»—7a:' + 3a; — 3 =0.
16. 2x« + 3i« — 7a;»—5a:» + 8a; — 7=0.
17. i« — 61» + 30 i« — 120 a;' + 360 a;' — 720 a; + 720 = 0.
18. i« — I* + 2 a;* — X» + a;» — a; + 3 = 0.
19. I'- X» —8x» + 3 =0.
2«. I' — 3x« + 5i'-f6i» — 8x + l =0.
21. 2 i« — 3 X' + 6 x< — 2 X» + X — 1 =0.
22. X» — 31' + X» — x' + 3 X» — 2 x= + 3 =0.

CAPITULO V)I
TEOREMA DE STURM
1. Polinomios de Sturm. — Otro método para efectuar la separación
de raíces reales se basa en un importante teorema demostrado por C.
Sturm A803-1855) y publicado por é] en 1829. Nos permite hallar el
número exacto de raices reales contenidas entre dos números dados,
para las ecuaciones sin raíces múltiples. Sea y = O una ecuación sin
raíces múltiples, de modo que el polinomio Y no tiene factores repetidos.
Partiendo de Y es posible, y de muchas maneras, hallar una sucesión
de polinomios
Y;Y,;Y^...,Y>, [1]
que en un intervalo dado (a; 6), siendo a manor que 6, posea las cuatro
propiedades siguientes:
1. Cuando x crece de a a 6 y pasa por una raíz de la ecuación F = O,
Y
el cociente cambia de signo — a +.
2. Dos términos consecutivos de la sucesión [1] no se anulan para
el mismo valor de x en el intervalo (a; 6).
3. Si para un valor de x en este intervalo, un término F. {i = 1, 2,...
. . ., s — 1) se anula, los términos Vj—i y Yi+i para el mismo valor de
X tienen signos opuestos.
4. El último término Ys no se anula en el intervalo (a; 6) y, por lo
tanto, su signo permanece constante al crecer a; de a a 6.
Cualquier sucesión de polinomios que satisfaga estas cuatro condi-
cioaes se llama sucesión de Sturm relativa al intervalo (a; h).
2. Un método para liallar una sucesión de Sturm. — Una manera
de hallar una sucesión de Sturm relativa al intervalo (— co; co), y,
en consecuencia, relativa también a cualquier otro intervalo, es la
siguiente: Como segundo término Yi de la sucesión de Sturm podemos
tomar siempre la derivada 7' de 7 o dicha derivada multiplicada por
una constante positiva cualquiera. De esta manera, la condición 1 queda
satisfecha. Los otros términos Yi, Y3, ... se determinan por un proceso
uniforme, en esencia el mismo que sirve para hallar el máximo común
155

166 TXOBIA DE ECUACIONES
divisor de y y Vi. El primer paso de este proceso consiste en dividir
V por Vi hasta obtener un resto de grado menor que Vi. Este resto,
con los signos de sus coeficiente? cambiados, se toma como Fj, de modo
que:
V = 7iQi-72,
siendo Qi el cociente. Si Vi no es una constante numérica, el segundo
paso consiste en dividir Vi por Fj hasta obtener un resto de grado menor
que Vt', este resto con signo cambiado se toma como V3 de modo que:
Vi = 7, Qí - F3,
y si Vi no es constante, se continúa con el mismo procedimiento. En la
sucesión de polinomios así obtenida:
V,, 7,, ...
tendremos necesariamente un polinomio V, que es una constante
distinta de cero, puesto que el polinomio V no tiene factores repetidos y,
por lo tanto, F y F' no pueden tener divisores que no sean constantes.
Es fácil ver ahora que la sucesión
F, Vt, F,, ...,F.,
es una sucesión de Sturm. La primera propiedad queda asegurada al
elegir Vi = V. Para comprobar que se cumple la segunda propiedad,
notamos que, en general:
F<_i = F<Q.--F.+i.
Suponiendo ahora que para un valor real a; = $
F.-E) = 0 ; Fí+i(§) =0, ,
será también F,_i E) = 0; en la misma forma, Fi_2($) = O y así
siguiendo será finalmente: Vi (^) = F' (§) = O y F (^) = 0. Pero esto
es imposible puesto que implicaría que ^ fuera una raíz múltiple de F.
Ahora, si para x = ^
Vii^) = 0,
entonces
Fi_i (?) = - F<+i (?),
lo cual prueba que los números
Vi-ia) y F,+i($),
son distintos de cero y tienen signo contrario, de modo que también
se cumple la tercera propiedad. Finalmente, la cuarta propiedad se
cumple porque F, es una constante distinta de cero.

TEOREMA DE STURM 167
Teóricamente, por lo tanto, es siempre posible hallar al menos una
sucesión de Sturm relativa a un intervalo cualquiera, aunque en un
caso dado, y especialmente cuando el. grado de V es algo elevado, los
cálculos pueden dar números grandes. Para evitar la aparición de
fracciones conviene tener presente que, multiplicando los miembros de
una sucesión de Sturm por factores positivos arbitrarios, obtenemos
otra sucesión de Sturm. La introducción de factores positivos
apropiados para eliminar fracciones puede hacerse durante la división
multiplicando los coeficientes de cada resto parcial por factores positivos
apropiados. El efecto de estas operaciones sobre el resto final es
simplemente que éste resulte multiplicado por un factoi positivo. Si al hallar
la sucesión de Sturm se llega a un término, Vm por ejemplo, que no tiene
raíces reales, o las tiene, pero fuera del intervalo (a; b) al que nos
referimos, podemos finalizar la sucesión con Vm puesto que los términos de
la sucesión truncada
V; Vr, V,; ... -.Vm,
relativa al intervalo (a;b) cumplen todas las propiedades 1, 2, 3 y 4.
Tal simplificación ocurre, por ejemplo, cuando Vm es de segundo grado
y tiene raíces imaginarias, circunstancia que puede verificarse casi
siempre a simple vista.
Ejemplo 1. Sea
F = 2« —71 + 7
Será
Fi = F' = 3 i' — 7
y para continuar tenemos que dividir V por Fi; pero, para evitar las fracciones, es
conveniente multiplicar V por 3 y efectuar la división así:
3
3
0
0
—21
— 7
—14
21
21
3
1
0
—7
Por consiguiente, el resto es: — 14 i + 21. Cambiando el signo y suprimiendo el factor
común positivo 7, podemos tomar:
Vt = 2 1 — 3.
Dividimos ahora 3 a;' — 7 por 2 x — 3 en la forma indicada:
Multiplicamos por 2:
Multiplicamos por 2:
3
6
6
0
0
—9
9
18
18
— 7
—14
—14
—28
—27
2
3
—3
9

158
TEOniA DE ECUACIONES
Cambiando el signo del resto, tomamos
F, = + 1,
y así tenemos la sucesión de Sturm para la ecuación F = O
t^ = z» —71 + 7
Vi = 3 I' — 7
Ft, =21 —3
F, = 1.
Nótese que los números escritos en lugar de los coeficientes del cociente, difieren de
ellos. Pero esto no tiene importancia, puesto que sólo nos interesan los restos o éstos
multiplicados por factores positivos.
Ejemplo 2. Sea
Podemos tomar:
V^x*—6x^ + 3? —1.
Vi = —F' =2i»—91' +1.
Se halla F» en la forma antedicha
Multiplicamos
>r lo tanto
por
2:
2
2
—12
— 9
— 3
— 6
— 6
—25
2
1
1
2
27
3
0
0
0
0
—3
—4
—2
—2
—4
0
—9
F, = 25 i' — 3 I + 4.
Por ser imaginarias las raíces de este polinomio, no es necesario continuar, de modo que
en este ejemplo la sucesión de Sturm consta de tres términos:
F = x* — 6x' +a^ —1
Fi =2x' — 9x^+x
V, = 25 i' — 3 I + 4.
jemplo 3. Sea
Tomamos:
F = I* — 10 I* + 151» — i' + 3 r — 7.
Fi = F' = 5 i' — 401» + 45 1= — 2 I + 3,
y buscamos Fi en la forma antedicha:
5 —50 75 — 5 15 —35
5 -^0 45—2 3
—10 30—3 12 —35
—10 80 —90 4 — 6
—40 45 —2 3
-50
87
-29

TEOüEMA DE STURM
ISO
pot lo tanto
V¡=503^ — Sr3^ — 8x+29.
Antes de continuar con la división siguiente, se multipHcan todos los coeficientes de
F, por 10:
50 —iOO 450—20 30
50 — 87 — 8 29
Multiplicamos por 50: — 313 458—49 30
—15650 22900 —2450 1600
—15650 27231 2504 —9077
50 — 87 —8 29
-313
por lo tanto
—4331 —4954 10577
Vi = 4331 x' + 4954 x — 10577.
Las raices de este polinomio son reales y en consecuencia, es necesario continuar;
pero como los números se hacen muy grandes (por haber multipHcado Fs por 200), es
preferible hallar los coefícientes del resto en ícanroL aproximada, manteniendo cuatro
decimales en los coefícientes del cociente. El cálculo completo, hecho con ayuda de una már-
quina de calcular, es el siguiente:
lOOOO —17400
10000 11438
— 1600 5800
—24421
—28838 22821 5800
—28838 —32986 70427
4331
4954
—10577
2,3089 —6,6585
55807 —64627,
por lo tanto será, aproximadamente:
F, = — 5580,7 X + 6462,7.
Finalmente, se divide F> por Vt también aproximadamente
4331
4331
4954
—5016
9970
—10577
—10577
—5580,7
— 0,7761
6462,7
—1,7865
9970
-11546
+969,
de donde se deduce que F( es una constante negativa, de modo que podemos tomar
Fí = — 1. La sucesión de Sturm es:
F = I' — 10 i« + 15 i' — i' + 3 I — 7 ,
Vi =5i« — 40a;«+45a:' — 21+3,
Fj=50i» — 871' — 81+29,
F, = 43311' + 4954 x — 10577,
V4 5580,7 X + 6462,7,
Vi 1.

160 t:sobia vb ecuaciones
La aparición de números muy grandes al formar una sucesión de Sturm es ima
desventaja práctica del método de Sturm para la separación de raíces; pero este
inconveniente puede evitarse recurriendo a las aproximaciones, como en el ejemplo anterior,
puesto que sólo nos interesan los signos de Ias funciones de Sturm para algunos valores
particulares de z y bastan para este prepósito aun coeficientes con poca aproximación.
3. Teorema de Sturm. — Supongamos que
V, Fi, V,, ...,V,,
es una sucesión de polinomios de Sturm relativa a un intervalo dado
{a;h). Sea § un número perteneciente a (a; 6) y supongamos que se
sustituye a; = § en todas las funciones de Sturm. Obtenemos los números
FE),- Fi@, F,@,...,F.E),
el último de los cuales es distinto de cero. Supongamos también que el
primero, F (§), no es nulo y nos despreocupamos de los valores
intermedios, que puedan ser ¡guales a cero. Reemplazando los restantes por
los signos + ó — según sean positivos o negativos, obtenemos una
sucesión de signos + ó — en la cual contamos el número de variaciones.
Este número de variaciones u (?) se llama número de variaciones en
la sucesión de Sturm para a; = ^ y puede considerarse como una función
de ^ definida para todos los valores de § en el intervalo (a; b),
exceptuadas las raíces de la ecuación V = O que pueden encontrarse en ese
intervalo. Luego de estas explicaciones preliminares el famoso teorema
a que nos referimos puede ser enunciado de la siguiente manera:
Teorema de Sturm: Suponiendo que ni a ni b sean raíces de la ecuación
V (x) = O, el número de ellas contenidas entre a y b es igual a la diferencia
v(a) —V (b) ,
o bien al número de variaciones perdidas por la sucesión de Sturm cuando
X pasa de a a b.
Demostración: Podemos suponer por ahora que ninguno de los
números
V{a), Fi (a) , .. . , F<_i (a)
F F), Fi F) , ... , F._i ib) ,
sea cero. Sean
Ci < Cj < C3 < ... < C„,
las raíces reales de todas las ecuaciones
Vix) =0 ; Fi (x) =0; ... ; F._i (x) =0, ,
que se encuentran en el intervalo (a; b), ordenadas de acuerdo a su
magnitud, de modo que Ci > a y Cm < b. Entre Ci y c^; d y Cs; .. . ;

TEOSEMA VE STUSM 161
elij fimos arbitrariamente los números ^i, ^t, • • •, ^m i ele
modo que:
Cl < ?i < C2 < ^2 < C3 < . . . < C„_l < ^„_i < Cm .
Podemos escribir, entonces:
via) -V (b) = [v (a) - V (?,)] + [v (?.) - v (?,)] + ... +
+ [«E^0 -v(b)]
o, más brevemente:
v{a) -v{b) = ¿ [vi^^O -«(?.)],
»-1
tomando para uniformar, ^o = a, ^m — b. Nótese que entre ^¿—i y §{
hay sólo uno de los números ci, ct, . .. , a saber, c„ de modo que:
^i-, <Ci< ^i.
Este número c; es una raíz de una o más de una, de las funciones
y Mj Vi{^), ■ ■-, Vs—i{x). Supongamos primero que no es una raíz
de la primera de ellas, V (x), pero lo es de
F.(x), Fg(x), ... , VAx), V^ix),
donde, por la segunda propiedad de la sucesión de Sturm: ^ > a + 1;
Y >^-t-l;... X>K+lyX < s por la cuarta propiedad. Para
comparar u (?i-i) y y (?i) la totalidad de los polinomios de Sturm se divide
de la siguiente manera:
V, V,, ... , F,_,, F,, F,+i
Fa+i, Fa+2 , ... , Fj—1, Fj, Fg+i
Fk+1, Fk+2 , ... , Fx-1, Fx, Fx+i
F>.+i, ...,F,
Los términos V, Vi, ..., Fa_i, no teniendo raíces en el intervalo
(^,_i, ^i), tienen el mismo signo para x = ^.^i y x = ^i. Por esta razón,
el número de variaciones en las sucesiones
F(q._i), F,(?._i) , ... , F._i(?._i)
V{k^), F, (?,), ... , F.-i(?i),
es el mismo; llamémosle A. En cuanto a
V,-iix), V^ix), V.+i{x),

102 TXOXLá. BX SCUAdONSa
tienen una ▼anadón para x = ^{_i y iLna para x = ki. Eki efecto, los
signos de
V^^ili^^i, F_i(ci), F_iE<),
son los mismos. Eki la misma forma:
F.+iE<) , F.+i(ci) , F.+iEi),
tienen d mismo signo, pero V^-i (ci) y F.+i (cj) tienen signos opuestos
por la tercera propiedad, puesto que FaCc^ = O. Sea, por ejemplo,
+ d signo de F,_i (c<) y — d de F,+i (cf). Quedan entonces, sólo las
saguientes posibilidades con respecto a los íñgnos de
F_iE._0 , F.E^) , F.+iEí-i)
+ + -
+ - -
que en ambos casos, da una sola Tariación. Eki la misma forma, los
signos de
F_i@ , F.E<) , F.+i(y,
sólo pueden ser los siguientes:
+ + -
+ - —
lo que también nos da una sola variación. Lu^o, la primera sección
presenta, tanto para x = ^»-i como para z = ^i, el mismo número de
▼aiiadones A + 1. ho que se comprobó para la primera sección es
igualmente aplicable a las otras secdones; en consecuencia, se ll^a a que:
1,E^1)-1, Eí) =0,
d €8 V (eü ftO.
Supongamos ahora que F (c^ = O. Igual que antes puede probarse
que para x = 5»—i y x = 5i la sucedón
V^(x) , Vr(x), ...,F.(i),
presenta d mismo número de varíadones, puesto que Vi (ci) ^ O. En
cuanto a la seedón
V(x) , Fi(i),
tiene por la misma propiedad, una Tariadón para x = ^i—i y ninguna
variadón para x = ki J por lo tanto, d c,- es una raíz de la ecuadón
V{x) =0
La suma
2;[rEi_o-i»(wi,
•-1

TEOKSMA DS 8TUKM 163
consta de tantos términos iguales a 1 como rafees tenga la ecuación
V (x) =0 entre a y b, siendo los demás términos iguales a caro. Pero
esta suma es:
» (a) —V F) ,
con lo que queda demostrado el teorema en el caso en que ningún término
de la sucesión de Sturm se anule para x = a o x = b. Queda por
eliminar esta restricción suponiendo, sin embargo, que V (a) ^0, V (i>) ?í 0.
Para un s positivo suficientemente pequeño, el número de raíces de
y (x) = O entre a y 6 es el mismo que e) número de raíces entre a + s
y b — s, y puesto que ningún término de la sucesióa de Sturm se anula
para z = a + s o para z = 6 — s, el número pedido de raíces es:
v{a + s) — v(b — e) .
Supongamos ahora que V^{a) = 0; contando entonces el número de
variaciones en la sección
7—1 (a) , K.(a) , 7.+i(a),
nos despreocupamos del término intermedio 0; siendo los términos de
los extremos de signos opuestos, sólo se hallará una variación. De la
misma manera, cualquiera sea el signo de ^,@ + e), la sección
Kr-i(a+s) ; K.(a + s) ; 7,+,(a+s),
presenta una sola variación, y de estas observaciones se desprende que
V (a) = V (a-f- s); en la misma forma puede probarse que v(b) = v (í> —e).
Por consiguiente, el número de raíces de V contenidas entre a y i>
está dado siempre por
V (a) — V (b) ,
siempre que a y 6 no se encuentren entre las raíces.
4. Ejemplos. — Unos pocos ejemplos bastarán para mostrar cómo
puede usarse el teorema de Sturm para la separación de raíces.
Ejemplo 1. Separar las raíces de la ecuación
F = I»—71-1-7 = 0.
Las funciones de Stunn son, en este caso:
V =x' — 7x + 7.
V, =3i» —7,
F, =21 — 3.
F. = 1.

164
TEOBTA DE ECUACIONES
Sustituyendo x por loa enteros O, 1, 2, ... y — 1,
tabla de los signos de los polinomios de Sturm:
' 2,... formamos la siguiente
X
2
1
0
—1
—2
—3
—4
V
+
+
+
+
+
+
—
Vi
+
—
—
—
+
+
+
Kj
+
—
—
—
—
—
—
V.
+
+
+
+
+
+
+
}
}
2 variaciones perdidas
1 variación perdida
Se ve a simple vista que hay una raíz entre — 4 y — 3 y dos raíces entre 1 y 2. Para
separarlas, el intervalo A;2) debe ser subdividido intercalando algún número intcr-
3 3
medio, por ejemplo —. Los signos que corresponden a i = 1; — ; 2 son
X
2
3/2
1
V
+
—
+
V,
+
—
—
V,
+
0
—
y»
+
+
+
1 var.
2 var.
3 3
Por consiguiente, hay una raíz entre 1 y — y una raíz entre — y 2. Las raíces es-
tan ahora separadas y se encuentran en los intervalos
(-4;
'=-^)' (^^1)' (t=4
Ejemplo 2. Separar las raíces de la ecuación
F=i« — 6a;s+a:'—1=0.
En este caso los polinomios de Sturm son
V =i« — 6a;»+a:' — 1,
Fi =2*» — 9a;» + a:,
^2=251^ — 31 + 4,
y la taUa siguiente da sus signos para varios valores de x:
X
6
5
0
—1
V
+
—
—
+
Ki
+
+
0
—
K.
+ 1
+ /
+ t
+ /
1 var.
1 var.

TEOÜEMA DE STURM
166
Observando los mgnos vemos que hay una raíz entre 5 y 6 y una raíz entre — 1 y 0.
Las otras dos rafees son imaginarias.
Ejemplo 3. Para demostrar que una elección adecuada de los polinomios de Sturm
puede facilitar la investigación de la naturaleza de las raíces, consideremos la ecuación:
!)-;,. + ...+^" + ^) ••■(" + "■
1)
a a (a
1 1.2 1.2...n
Derivando y multiplicando por 1 — x, obtenemos:
^ /' r ° (° + 1) ... (o + n - 1)
A —i)/' = af — (o +n)a:'«.
1.2 ... n
x" =0.
La verificación de esta identidad es directa y no presenta ninguna dificultad. Si
tomamos ahora
o (o -f 1) ... (o -f n — 1)
1.2 ... n
y suponemos que o no es ni cero ni un entero negativo mayor o igual a — n, puede
verificarse inmediatamente que estos tres polinomios forman una sucesión de Sturm para
cada uno de los intervalos («; + °°) y (— °°; — «). siendo < un número positivo
arbitrario tan pequeño como se quiera; y así podremos hallar exactamente el número de
raíces positivas o negativas de la ecuación propuesta mediante el teorema de Sturm.
Supongamos primero que a es un número positivo o un número negativo < — n.
Sustituyendo x = z; x=--{-a>yx = — a>; X = — «y suponiendo que n es par, tenemos:
o > O
X
-feo
(
—«
00
V
+
+
+
+
Vi
+
+
+
—
Kj
—
—
—
—
X
-feo
(
— «
00
o <
V
+
+
+
+
— n
Vi
—
—
—
—
Kj
+
+
+
+
y puesto que no se pierden variaciones en los intervalos (— oo; — «) y («;+<=) la.
ecuación propuesta sólo tiene raíces imaginarias.
En el caso de que n sea impar los resultados son:
o > O
X
-feo
(
— «
00
V
+
+
+
—
Vi
+
+
+
+
Vi
—
—
+
+
X
-f 00
(
—«
00
0 <-
V
+
+
+
— n
Vi
—
—
—
Kj
—
+
+
Examinándolos vemos que en el caso de que sea a > O sólo se pierde una variación
en el intervalo (— <=; — «), le que indica que hay una raíz real negativa, mientras que
si o < — n se pierde una variación en el intervalo («; 4- "), lo que demuestra la exis-

166 T-SOSIA BB BCUACIOKES
tencia de una raíz ;. ~' iva. £n la misma forma, m los casos tu que a >0 y a < — n
la ecuación no tiene <:aíoes reales si n es par, y una rais real ñ n es impar. Si a es
negativo y se encuentra entre dos enteros consecutivos —k y —fc+1 y i: ^ n, d examen
-de la naturaleza de las raíces puede hacerse de manera análoga y ccMiduce al siguiente
resultado: para n par hay dos raices reaks; para n iiiq>ar el número de raices reales es
uno o tres, según que k sea impar o par.
Probleinas
Separar las raíces por medio del U .sm» de Stutm.
1. I» —31 + 1-0. 2. i» + 6a:* + 10a: —1-0.
3. I» —41 + 2=0. 4. I»—6i'+ 81+40 =0.
5. a:» + x* — 21 — 1=0. 6. i» — 4a;' — 4a; + 20-0.
7. 6 i« —24 I» + 421» —321 + 11=0. 8- 16x« —32i» + 881» — 8* + 17-0.
9. i« — 4i» + 10a;' — 81 + 3=0. 1». i* — 4i» + 12i» — 121+5-0.
1». i« — 4i» +i'+61 + 2=0. 12. I* —4a:» + z' —1=0.
13. i«+1»+ 1 —1 = 0. 14. i« + 2i» —41 + 10 =0.
15. I» — 5i« + 10i» — 5a:' + l=0. 1*. a* + 5i« — 20i» — 10a:+2-0.
17. X» — 2i« + i» — 81 + 6-0.
18. I» — 61» + 15 i« - 201» + 301» — 24 I + 14 = 0.
19. x« — 61* + 161« —24i» + 221- — 121 + 4 = 0.
20. 5i» —30i» + 75i« —90i» + 60a;- —181 —2=0.
• 21. La sucesión de Sturm para cada uno de los intervalos («;+") y (— "»; — «)
en los que c es un número positivo arUtrario, puede obtenerae de la siguiente manera,
supuesto que / (z) no tiene íacttHes múltiples: Se wdena / (z) y los demás polinomios
que se usarán, según potencias crecientes de x. Sea x" la máxima potencia de x que
divide a /' (i) de modo que:
/ (*) = x^fr [x) p, ^ O
y /i @) ^ 0. Divídase / (i) pcw /i (i) de grado ni = n — 1 — pi, conservando en el
cociente exactamente n — ni + 1 términos. El resto será divisible, evidentemente, po»-
j.n—«1+1
pero puede ser divisible ocasionalmente por una potencia maycw de x, por ejemplo x",
de modo que p» £ n — ni + 1. B^resentando este resto por
— x"fr(x). /, @M^0,
tendremos idénticamente
f(x) =fi(,x)gi{x)—x<>'fAx).
y el grado de /i (x) será nián — pi^ni — 1, es decir, mencw que el de /i (i). Si /• (i)
no es una constante, dividimos en la misma {(arma, /i (z) p<»' /> (z). conservando en el

TBOJÜSMA BX 8TUXK
eodente exactamente ni — ih+ 1 tánúnoa. El reato bbA dhnable por
rqireaentándolo por
tendiónos
fi{x) =/«(i)g(x)-i'-/.(x).
I« c(Ritinaackht de eate proeeso coadnee a una soeeaiáa de paGnaniioa
/./i./». -.../».
d úHimo de los cnalea ea una constante (fistinta dé cero. Demoetrar que
V=f, F. =A. ... F, =/..
es una auceakbi de Sturm paio el intervalo (e; + °°). Hipaido el signo + 6— deacaado
la nue pj aea par o inqwr y haciendo
F-/. Vi = ±fi (i-1.2 •).
demostrar que
F, Vt, .. .,Vf,
es una suceaiáa de Sturm para d intervalo (— <»; — e). Pkra evitar las fraflóonea ealá
permitido multiplicar los reatos por iactotes poátivas oonvementcanente depdwi.
Airfíqueae eate procedimiento en la separadóa de las rafees de las eeoaeianM:
•22. z» —3x»+l'=0. ^ •23. x« —4i» + ií —1 =0.
•24. i«+z» + x—1 =0. •25. i» + x« + 2i»—1 -0-
•24. Demostrar ^le una ecuacidn F = O de grado a tiene todas ans rafsea reaiea j
distintas ai y adámente ai la suoesidn de Storm enmata de n faaáfmea eon primeroa eo^-
oentea dd nñano ágna Aplfqneae eate criteño a la ecnaeite eáfaiea z* + V + f "O.
•27. ¿Cuál es la ccndicián para qne todas las rafees de la ágmcnteeeoacidn sean leakaT
z« —5pa? + 5ii»x+2f-0T
• 28. Invest^oese la natoralexa de las rafees de la eeoacidn:
XI» Z"
F - 1 H 1 h ... H =0-
1 1.2 1.2...»
Ndtese ^le
z"
r — v -
1.2...» •
y demnéatrese ^le
r, V, —Z--
forman una suoeaidn de Sturm en eada ano de loa intervalos (c; + <") y (— <"! ■) (Mmda
■ un númno positivo arfaitiaria
• 29. Si las fundones

le» TEOSIA DE FXVACIONES
satisfacen las condiciones 2, 3 y 4 enumeradas en el párrafo 1, pero no la condición 1,
¿quó representa la diferencia v {a) — v {bI
* 3*. Si se satisfacen las condiciones 2. 3 y 4 y t/(— co) —1'(+ «>) =n. siendo n
«1 grado de la ecuación F — O, demostrar que todas las raíces de la ecuación son
reales y distintas.
* 31. Considerar los polinomios de Hermite H^ = Hn (J"). definidos por la expresión
dV-e—"'
Demostrar que
= e-*' H„
Hn+l-\-2xH„-\-2n Hn-i = 0.
para n — 1,2, 3, .... suponiendo que lio = !■ Refiriéndose al Problema 30, demostrar
que todas las raíces de la ecuación H„ = O son reales y distintas.
SvQBBTión: Si y = e **, entonces
+ 2 X2/ = 0.
Hallar la derivada de orden /(.
* 32. Sea
¿n+1 gx (—1)"+1
1
1
P„(x)
e'
(ix"+l
donde P, = P, (x) es un polinomio de grado n. Demostrar que;
P«+l-[Bn+2)x + l]P„+«(« + l)x^P„-l =0; n = 1,2,3, ...
Concluir luego por inducción que el primer coeficiente de I'n es 1, 2, 3, .... n y que
P, @) = 1. Refiriéndose del Problema 30, deducir que todas las raíces de la ecuación
P» (x) ™ O son reales, negativas y distintas.
* 33. Sean las partes imaginarias de los números complejos ai + bit; ai + bii; ...
...; o, + 6, t del mismo signo; por ejemplo, todas positivas. Sea
(x — oi — 6i í) (x — Oo — 62 i) . .. (x — o„ — b„ i) = P„ (x) + i Q„ (x),
siendo P„ (x) y Q, (x) polinomios reales. Demostrar que las raíces de la ecuación
aP„ + pe„ = O,
son reales para a y ^ reales y arbitrarios. Guia para la solución- Sea
Ft = a P* + P Qi y Fo = a. Demostrar que
bk
+ — — (X — OA_l)
64 —1
F<_i-
6*—1
(x — ak—iY + bk bi—i
Vk~2.
para fc = 2,3, ..., n. Referirlo al problema 30. Este problema puede resolverse también
por consideraciones geométricas muy simples.

CAPITULO VIII
CALCULO APROXIMADO DE LAS RAICES
1. Objeto de este capítulo. — Luego de efectuada la separación
de una raíz real, se presenta una nueva cuestión; ¿cómo calcular esta
raíz con un grado de aproximación deseado? Los valores aproximados de
los números se representan ordinariamente por cifras decimales, y por
lo tanto el problema de aproximar las raíces puede plantearse de esta
manera: calcular con un número de cifras decimales preestablecido la
raíz separada. Para arribar a tal objetivo pueden emplearse varios
métodos. En este capítulo consideraremos los tres métodos principales:
el método de Horner, el de iteración y el de Newton. El de Horner se
aplica únicamente a ecuaciones algebraicas, mientras que los otros dos
tienen la ventaja de ser aplicables también a las ecuaciones
trascendentes. En cambio, en su utilización en las ecuaciones algebraicas, el método
de Horner tiene ventajas definitivas con respecto al de Newton y al
de iteración: primero, en el método de Horner los cálculos necesarios se
disponen de una manera muy conveniente y segundo, la raíz puede
computarse con un mayor número de cifras decimales con una misma
cantidad de trabajo.
2. Parte básica del método de Horner. — Las características
esenciales del método de Horner se entenderán mejor en su aplicación a
ejemplos concretos.
Ejemplo 1. Tomemos la ecuación
x« — 7x+7=0
ya vista en el Capítulo VI, Párrafo 12. Tiene tres raíces reales: dos positivas en los
intervalos A; '/s) y C/i't 2) y una raíz negativa entre —4 y —3. Supóngase que deseamos
cíJcular aproximadamente la raíz contenida entre Ví = 1.5 y 2. Desde que la parte
entera es 1, podemos poner:
a
X = 1 H
10
donde o es un número contenido entre 5 y 10. La ecuación transformada en o puede
obtenerse en dos pasos: primero ponemos
X = 1 -t-x'
169

170 TSOBIA DE ECUACIONES
y luego
a
x'
10
I« eeuaddn transformada en z' se encuentra mediante la r^a de Homer, fanentada
por él preeisamemte en conexite con el cálculo aproximado de las raíces. £d nuestro i
los ejleulos necesarios se diiqKmen cooio sigue:
1)
1 0
1
1
1
2
1
—7
1
—«
2
—4
7
—6
1
n
y loa números subrayados son los coefióentes de la ecuación en x'z
x^+Sx'--—4x' + l -0.
Aquí dehwnns sustituir
a
x' -= .
10
Eliminando denominadores, la ecuación resultante en a aet&:
a'+30a< —40Oa + lOOO-O P]
y sus coefióentes se obtienen multipUeando los números 1; 3; — 4; 1 del V-arp^mm [i]
por 1; 10; 10*; 10*. I« raís de la ecuadón [1] se sabe que está ctmtaiida entie 5 y 10.
Fara determinar la parte entera de a ddiemos buscar dos enteros cousecutivoi entre loa
9ie esté eontoiida a. Con este ñn sustitu&nos suoeaiTamente en A fráner «h'm—Jm»» de
[IL a = 5; 6; 7; 8; 9 y oberaramos los dos enteros sucesvos que dan lesaitadas de «ignoa
opuestos. El menor de ellos será la parte entera buscada de a. Eneontzamoa que para
a = 5; 6; 7.
los signos de los resultados son
— — +.
Por lo tanto:
6 <a <7
y podemos eserilñr
h
a = 6 + -,
donde h está contenido entre O y 10. La ecuadón transfrnmada en 6 se fi>Hinili» por
una nueva apGeaeíón de la re^ de Homer, c«no signe:

CALCULO APROXIMADO DE LAS BAICES 171
6)
1 30
6
36
6
42
6
-400
216
—184
252
6800
1000
—1104
—104000
PII
480
I« ecuación en b es:
b» + 480 V + 6800 b» — 104000 - 0. [2]
Para encfmtrar la parte entera de b austituimos en d primer miembro de [2]: b ~ 0;
1; 2; ... ; 9, y buscamos dos númotas consecutivas entre éstos que den resultados de
signos opuestos. El número de sustitucioneB, en condicionee desfavoraUes, puede Qegv a
nueve, pero puede reducirse a la mitad mediante la siguiente observack^ SustituímaB
primero b =" 5; á el resultado es postivo es inútil sustituir b — 6; 7; 8; 9; y si el
resultado es negativo no hay por qué sustituir b — 1; 2; 3; 4. En este caao la aostitaáéa b = 5
da im número nq(ativo, asf que es necesario continuar sustituyendo b — 6; 7; 8; 9. Como
todas estas sustituciones dan multados n^ativos, es indudable que la parte mteim de
b es 9, y podemos p<mer
b = 9 + — ,
10
donde O < e < 10. Otra aplicadón de la re{^ de Homer
9) 1 480 6800 —104000
9 4401 10080»
PI]
1
demucstni ^le la ecuadón en e es:
c'-t-5O7Dc* + 1668300e —3191000-O [3]
y para encontrar la parte entera de e podemos proceder por tanteas conso anteriormente.
Pero aquí concurre una dreunstancía que üacifita mucho el tanteoí Al tnmm'mmr la ecuación
[3], es obvio que los términos
c' + SOfTOc',
para O < c < 10 son canáderablemente menores que los términos
1668300 e —3191000.
Despreciando por esta raión todos los témúnos ezcq>to estos dos y canádenmdo la
ecuaciiki de primer grado
1568300 c — 3191000 - O,
489
9
496
9
5070
11201
4482
1568300
- 3191000

5072
2
5074
2
1578444
10148
158859200
- 34112000
172 CALCULO APSOXIMAVO VE LAS RAICES
es evidente que la raíz de esta ecuación no diferirá mucho del valor exacto de c y
presumiblemente tendrá la imsma parte entera. Ahora bien, la parte entera de c determinada
en la ecuación abreviada es 2, y entonces ponemos:
d
c = 2 + — ; o <d <10,
y buscamos la ecuación transformada en d mediante Horner:
2) 1 5070 1568300 —3191000
2 10144 3156888
[IVI
50760
1
Como el número subrayado en la última columna es negativo, tenemos la certeza de
que 2 no es mayor que la parte entera de c; tampoco es menor, pues la suma de los
números subrayados
1 + 5076 + 1588592 — 34112
es el resultado de sustituir c = 3, y es positivo. Con respecto a la ecuación en d, es:
d^ + 50760 d^ + 158859200 d — 34112000 = O
y aún con mayor razón podemos suponer que la parte entera de d es igual a la parte entera
del cociente obtenido dividiendo 34112000 por 158859200. Esta parte entera es O y
ponemos
d =0 + — ; 0<e<10,
10
y los coeficientes de la ecuación en e se obtienen agregando a los números de las columna.
2, 3 y 4 del esquema [IV] uno, dos y tres ceros respectivamente. Luego:
e> + 507600 e'- + 1588592000 e — 34112000000 = 0.
La parte entera de e, determinada de acuerdo al método simplificado, es 2, y entonces
pondremos:
e -2 + — ; O </< 10.
La ecuación transformada en / se obtiene como anteriormente.
2)
1 507600
2
507602
2
507604
2
5076060
15885920000
1015204
15886935204
1015208
1588795041200
—34112000000
31773870408
— 2338129592000
fV)

CALCULO APROXIMADO VE LAS BAICES 173
La ecuación en / es:
P + 5076060/^ + 1588795041200/ — 2338129592000 = O . [41
En este punto nos detenemos un momento, pues la continuación del proceso llevaría
a números excesivamente grandes. Una de las características más importantes del mé-
~todo de Horner, y que no puede omitirse, es la así llamada < contracción >, que será
-explicada enseguida. Debemos también mencionar que los cálculos separados en [I],
[II], [III], [IV] y [V] se combinan en un esquema compacto de la forma que se muestra
a, continuación y que no requiere una explicación detallada.
n
6)
9)
2)
2) 0)
1
1
1
1
1
0
1
1
1
2
1
30
6
36
6
42
6
480
9
489
9
498
9
5070
2
5072
2
5074
2
507600
2
507602
2
507604
2
—7 7
1 —6
—6 1000
2 —1104
—400 —
216
—184 —
252
6800
4401
11201
4482
1568300
10144
1578444
10148
15885920000
1015204
15886935204
1015208
15887950412
104000
100809
3191000
3156888
— 34112000000
31773870408
— 2338129592
507606
En cuanto al valor de la raíz x resulta de la combinación de las sustituciones
, = 1 + ^ . a=6 + :L ; 6-9 + ^;
d e f
c = 2 + ; ¿=-0 + — ; e = 2 +
10 ' 10 10

174 TXOBIA DE BCUACIONES
y puede en consecuencia, expresarse
6 9 2 0 2/
10 IC 10» 10« 10» 10»
X = 1,69202 +
10»
de manera que los números 1; 6; 9; 2; 0; 2 que i^iareoen a la isquierda del esquem»
aateriw scm las cifras sucesivas de x. Aún más, desde que O < / < 10, es evidente que
1,69202
es una aproximaci^ por defecto de x con cinco decimales exactos.
ProUemaa
Caleúleae por d método de Homer:
3 3
1. V? c(m tres decimales. 2. ylS coa cuatro decimales.
3^ 4
3. V 3,895 con tres decimales. 4. -^20 coa cuatro decimales.
5^
5. ywS con tres decimales.
Calcúlense con d método de Homer las rafees de:
6. z* + X* + X — 100 = O con toes decimales.
7. z^+4x — 1 — 0. La raís negativa con tres decimales.
8. x' — 3x + l =0. Las raíces positivas coa tres decimales.
9. 3^ — 4x + l =0. Las raíces positivas coa tres decimales.
Calcúlense coa tres decimales las coordenadas de loe puntos de intersección de las
curvas:
1». X» + » - 1 ; X + y» = 2. 11. X' + »« - 5 ; y = x'+ x
Calcúlense coa tres cifras significativas las rafees de:
U. 2i« —30x» + 7x + 10-0. 13. X»-—50x» + 120x + 30=0.
14. 2x»—250*« +500x +1000 -0.
15 i« —1251*+ 2001»-—300x +500 =0.
16. Una cascara esfáica de hierro, vacía por dentro, se hmide en d agua hasta la
profundidad de su radio exterícw. Si el espesor de la cascara es de 1 cm y el peso
específico dd hierro es 7,5, ¿cuál es el valor del radio exteriw?
17. Resoélvase d Problema anterior supanimdo que la cascara, completammto
sumergida, no se hunde hasta d fondo.
18. Una caja cúbica abierta time paredes de hierro de 1 cm de espesor y se hunde en d

CALCÓLO APROXIMADO BB LAS BAICBS 175
agua haata la notad de m altura. Calcúleiiat; coa tree cifeas aígmfieatrvaa bw dbnen-
aíaoea filfinaír de la e&ja, en cm.
19. I« fignra refveaenta la eeoaéa fegfin su eje de un onbado ednieo de hieiro que
flota en d acoa, estando \s, parte XCY aumapda. SA AA' = Bff ■• 1 on y («) CY =
- V, CB; (ti) CY = CB. ¿cuál «a la altura CD en cm?.
TKgpiMP. loa eilculüa coa trea ci&aa significativas. .^Vv^' ^ ^
2*. ¿Haate qué profaiididad se hunde oi el agua una
bola de mado» si d peso eq>edñeo de la madera es V<?
3. Contracción. — Volvemos ahora al
método de * confracción » mencionado al final del último párrafo. Si la
ecuación [4] en / se divide por 10*, toma la forma:
0.001/» + 5076,06/* + 1588795041,2/ — 2338129592 = O.
Podemos suponer que la raíz de esta ecuación cambiará muy poco si
se desprecian las partes decimales de los coeficientes y la relación
anterior se reemplaza por:
O/» + 5076 /* + 1588795041 / — 2338129592 = O, [1]
qae es una ecuación de s^undo grado. Sus coercientes pueden
escribirse inmediatamente siguiendo esta regla que en esencia, es la
eontx«ceión que deseamos explicar: No agriamos ceros en las
columnas 2, 3, 4 sino que suprimimos 1, 2, 3 cifras a la derecha de
los números que se encuentran en las columnas 3, 2, 1
respectivamente. Para calcular la raíz de la ecuación [1], primero
encontramos su parte entera, tomándola igual a la parte entera del
cociente que se obtiene dividiendo 2338129592 por 1588795041. Siendo
esta parte entera igual a 1, ponemos:
/=14-_Í_ : 0<ff<10,
10
jr encontramos la ecuación en g mediante Homer:
1) 5076 1588795041 —2338129592
5076 1588800117
1588800117 — 749329475 IVI|
5076
15888051^
50/^
fMia ecuación puede escribirse así:
50,76 g* + 158880519,3 g — 749329475 = O.

176 TEOSIA DE ECUACIONES
Una vez despreciadas las fracciones, se la reemplaza por esta otra,
ecuación:
50g^+ 158880519 g — 749329475 = O,
cuya raíz difiere muy poco del verdadero valor de g. Los coeficiente»
de la última ecuación se obtienen suprimiendo una o dos cifras a la
derecha en los números del esquema [VI] que se encuentran en las
columnas 2 y 1, respectivamente. La parte entera de g es 4, y ponemoa
0 = 4-1-— ; O < h <10.
10
calculándose los coeficientes de la ecuación en h de la manera
acostumbrada
4)
200 635522876
[VII}
50 158880519
200
158880719
200
1588809lí
—749329475
635522876
-113806599
La ecuación en h puede escribirse entonces:
0,50 h'' -f 15888091,9 h — 113806599 = O ,
y se reemplaza nuevamente, despreciando las fracciones, por la
ecuación de primer grado:
15888091 h - 113806599 = O , [2]
cuyos coeficientes se encuentran en el esquema [VII] suprimiendo la
última y las dos últimas cifras, respectivamente, en las columnas 2 y 1.
Los esquemas [VI] y [VII] se combinan así:
1) 5üVG 1588795041 —2338129592
5076 1588800117
1588800117 — 749329475
5076 635522876
1588805193 — 113806599
4) 50/6 200
Itt
158880719
200
15888091^
constituyendo la contracción del método de Horner. El valor
aproximado de h puede encontrarse ahora en la ecuación [2] por división.

CALCULO APSOXIMADO VE LAS SAICSS ITT
Sin embargo, es necesario saber con cuántas cifras puede ser computado
el cociente. A este fin, la siguiente observación -general puede servir de
guía para decidir cuántos decimales de la raíz pueden encontrarse por
el proceso de contracción. Examínense cuántas cifras hay en el número
que está en la anteúltima columna, obtenido antes de empezar si
proceso de contracción. Supóngase que haya N cifras; en nuestro ejemplo
N = II. Si n es el grado de la ecuación, réstese n + I & N; \&
diferencia N — {n + 1), que en nuestro caso es 11 — 4 = 7, da el número
de cifras que puede esperarse encontrar por el proceso de contracción.
De acuerdo con esta regla podremos hallar, en nuestro ejemplo, siete
cifras de la raíz por contracción; por lo tanto, h debe determinarse por
división con cinco cifras. Con este grado de apj-^ximacion se encuentra:
h = 7,1630,
y el valor correspondiente de la raíz pedida es:
X = 1,692021471630,
con 12 decimales. En la parte regular del método de Homer el trabajo
numérico crece con cada nueva cifra hallada, pero en la parte de
contracción, por el contrario, el trabajo decrece en cada paso. La parte
regular es justamente como trepar una montaña: el esfuerzo crece &
medida que llegamos a la cima; por el contrario, la parte de contraccióa
es como el descenso desde la cima: cuanto más bajamos, menor es el
esfuerzo que debemos hacer.
Hemos tratado nuestro ejemplo con todos los detalles necesario»
para explicar la parte esencial del método de Horner, pero aún quedan
por examinar dos puntos importantes. En primer lugar, resta por
explicar cómo efectuar la última división con un divisor grande de la manera
más expeditiva posible y en segundo lugar, examinar más
detenidamente la cuestión del error cometido al usar el proceso de contracción.
En el Párrafo 4 se darán las reglas del interósante método de división
propuesto por Fourier y en el Párrafo 5 examinaremos con detalle 1»
determinación del error.
Problemas
Calcúlense con el número de cifras decimales indicado en cada,ca8o,^las raíces de:
1. I* — 3 ™ O, seis decimales. 2. 21* —5 =0, seis deciaiales.
3. I* — X — 1 =0, seis decimales.
4. 31* — 71*+ 21+5 =0, seis decimales.
5. 6 *• — 7 i' + 101 + 5 =0, ocho decimales.
6. i' + 4 i' — 7=0. La raíz positiva con seis decimales.

178 TXOmA BS SCUACWNES
7. z* — 9x — 9»0. La nUs pontivB oon ocho deciiiiales.
8. z* + 4 z* —10 =0. La nUs poñtivB cm ocho decimaleB.
9. z* — 7z+7 =0. La nil negativa eon ocho deefanales.
It. z* — 4 z -f-1 — 0. La menor ibíi pceitiya am. aeie decimaleB.
11. X* — 6z-f-2 =0. La mayor rais pceitiya con seis decimales.
12. z* — 2z* + i' — 3=0. L« rate posítíva coa ocho decimales.
13. z* —2 z* + z' — z — 7 =0. La ibíi positiya ccm ocho decimales.
14. I* — 7z* + 6z' + 7z — 11 =0. La raíl negativa coa ocho deómales.
15. 2z* —3z» + 7i' —12Z+3 =0"!
Y Todas las raíces reales con seis decimales.
1*. 7z* —16z»+z» —9z+7 =0 J
17. z» —i»+2z» —2z + l =0 "j
>■ Todas las raíces reales cao eeaa decimales.
18. z» +z« —7z» —22z»+z + l =0j
-A* 4. La División de Fourier. — Cuando hay que disidir un número
por otro con muchas cifras decimales, es ventajoso emplear el método de
división propuesto por Fourier. En el método de división de Fourier
un grupo o número jiequefic de cifras del divisor, consistente, digamos,
en dos o tres cifras, se elige como divisor « abreviado > y todas las
divisiones se hacen con este divisor abreviado, tomándose gradualmente
«n consideración las restantes cifras del divisor para efectuar las así
llamada» «correcciones >. Supóngase que jS es el divisor abreviado
y que las cifras siguientes son 6o, bi,bi, ... de manera que el diviso^
completo es
Bbabibi ...
Sean también
Cg Ci Cj ... Ca ,
las cifras del cociente empleado en el proceso de la división de Fourier.
Entonces, la « corrección » correspondiente se calcula con la fórmula
6o c, + 6i c_i + ... + 6, Co,
de manera que las correcciones, lu^o de encontrar una, dos, tres, etc..
cifras en el cociente son:
6o Co ; 6o Ci -}- 6i Co ; 6o c» + 6i Ci + 6i Co; ...
Al comienzo estas correcciones puden ser computadas fácilmente en
forma mental; pero cuando se han determinado varias cifras del cociente,

CALCULO APHOXIMADO DE LAS ÜAICES 179
la mejor manera de calcularlas es la siguiente: escríbanse en una tira
de papel las cifras del divisor que siguen al divisor abreviado, en orden
inverso, así:
6j ftj 61 6o'
Coloqúese la tira de manera que 60 quede inmediatamente debajo de
la última cifra encontrada en el cociente y hágase la suma de los
productos de los números que quedan uno sobre el otro. Esto puede hacerse
fácilmente sumando primero las unidades de estos productos, luego las
decenas si las hay, etc.
Para determinar la primera cifra del cociente divídase el dividendo,
suplementado si fuera necesario con tantos ceros a la derecha como
deseemos, por el divisor abreviado en la forma ordinaria. Agregúese al
resto la cifra siguiente del dividendo y del número obtenido réstese la
primera corrección, que da el dividendo parcial corregido. Para
encontrar la segunda cifra del cociente divídase este dividendo parcial
corregido nuevamente por el divisor abreviado y réstese la segunda
corrección, lo que dará el segundo dividendo parcial corregido. Al dividirlo
por el divisor abreviado se obtiene la tercera cifra del cociente. Al resto
obtenido se le agrega la cifra correspondiente del dividendo y se resta
la tercera corrección, luego de Jo cual se procede como anteriormente.
Mientras luego de las correcciones no se encuentren números negativos,
se puede continuar con esta marcha regular de las operaciones. Si, por
el contrario, aparece un número negativo después de la corrección, es
signo de que la última cifra encontrada en el cociente debe ser
disminuida. Esto, cuando la última cifra y alguna de las precedentes son cero
causa un cambio en un cierto número de cifras del cociente. Supóngase
que cambien exactamente 1 cifras. Entonces, al número negativo que
resulte de la corrección se debe sumar
lOB + bo + bi+ ... -f 6^1
y luego continuar como antes. Si en un cierto estado de la división de
Fourier es conveniente hacer un cambio del divisor abreviado B por un
divisor abreviado mayor Bba, entonces debe hacerse su corrección como
de costumbre, pero en lugar de continuar con la división por B, se debe
{pregar otra cifra del dividendo y hacerse una nueva corrección pero
con el nuevo divisor abreviado; luego se sigue con el procedimiento
regular empleando el nuevo divisor abreviado. Los ejemplos siguientes
servirán para ilustrar el método de la división de Fourier -^c
Ejeoaplo 1. Se quiere hallar cinco cifras en el cociento de dividir 113806599 por 15888091
Las (^>eracione8 se disponen como se indica a continuación; las observaciones
explicativas ae dan a continuación.

180 TMOMA VE ECUACIONES
Hi
113805
105
88
— 56
32
30
20
— 72
— 52
158
106
90
166
—112
ya
699
15888091
1
7^630
7 X 8 = 56 corrección
2X8 + 7X8= 72 corrección
(la cifra 2 demasiado alta)
6X8 + 1X8+7X8-112 correccióu
545
— 56 6X8 + 1X8+7X0=56 corrección
489 La división continúa con el divisor 158.
474
159
—135 3X8+6X8 + 1X0+7X9-135 corrección
249
— 40 0X8+3X8+6X0 + 1X9+7X1 =40 correccióa
209
Explicaciones
El primer divisor abreviado es 15. Habiéndose determinado 2 luego de la segunda
■división y dando la corrección un número negativo, se baila —52. Por lo tanto, se cambia
2 por 1 y, como es la única cifra que cambia, sumamos a —56 la cantidad
15 X 10 + 8 = 158
lo que da 106. Luego de encontrar 6 como tercera cifra, deseamos tomar 158 como nuevo
divisor abreviado. Con este fin se resta a 166 una corrección que llega a 112, lo que da
54. En lugar de dividir 54 por 15, se agrega la cifra siguiente 5 y de 545 se resta una
corrección de 56 correspondiente al nuevo divisor abreviado 158. El número resultante
se divide ahora por 158 y las correcciones siguientes se hacen correspondiendo al divisor
abreviado 158. El lugar de la coma decimal se determina por observación directa, y el
cociente hallado con cinco cifras es:
7,1630 + .
Ejemplo 2. Determinar siete cifras del cociente de la división 26,73385 por 324,754813.
Como el lugar de la coma decimal se determina fácilmente por observación, nos
desentendemos de la coma decimal y ordenamos las operaciones como se indica a
continuación, tomando al comienzo como divisor abreviado 32.

CÁLCULO APROXIMADO VE LAS RAICES
181
Corrección
Corrección
Corrección
Corrección
Corrección
Corrección
Corrección
yyyy
2673385
256
113
— 32
81
64
173
— 64
109
96
138
— 66
72
64
85
— 71
140
— 101
390
— 46
344
324
200
— 65
135
o el cociente pedido es
324754813
8232010
Aquí cambiamOH
0,08232010 + .
La teoría completa de la división de Fourier es algo complicada;
por otra parte, ésta juega aquí sólo un papel auxiliar y por esta razón
no nos extenderemos en mayores detalles. Sin embargo, debido a su
utilidad práctica, es imposible omitir algo más, que es la aplicación del
método de división de Fourier a la extracción de raíces cuadradas. Para
dar un ejemplo supongamos que deseamos extraer la raíz cuadrada del
número 500. Se ve inmediatamente que la parte entera de la raíz es
22, y que de esta manera puede escribirse como 22 4- x, donde O <a; < 1.
Entonces:
B2 -1- xy = 484 -1- 44 a; -h a;^ = 500,
de donde
44 a; + a;' = 16
o sea
X =
16
44 +a;

182
TEOMA DB ECUACIONES
Dividiendo 16 por 44+1 por el método de Fourier y tomando 44
como divisor abreviado podemos determinar la primera cifra del cociente,
la que será inmediatamente escrita al lado del 44, haciendo la
correspondiente corrección.
Se determina luego la segunda cifra de i y se escribe también en el
divisor y así sucesivamente. En el caso en que la corrección dé negativa,
la última cifra, tanto del cociente como del divisor, debe ser disminuida
en 1. Esto puede afectar un cierto número de cifras, digamos i cifras.
Luego, para continuar la operación, debemos sumar al número negativo
10 veces el divisor abreviado más cl doble de la suma de las i cifras q»'/-
le siguen o este número aumentado en 1, según que í scs o no mayor
que la mitad del númco total de cifras escritas en el cociente. Las cifras
restantes permanecen ias mismas que en la división ordinaria. Las
operaciones de nuestro ejemplo se disponen como sigue:
Corrección
Corrección
Corrección
Corrección
Corrección
44 X 10 + 2 C + 6) =
160
132
280
— 9
446 79 49
4486O6g077iW
79 49
36068077a»
271
264
70
-36
340
— 36
304
264
400
— 36
364
352
120
—120
00
— 96
- 96
458
Continuación
Corrección
Corrección
Corrección
Corrección
Corrección
3620
— 144
3476
3122
3540
—168
3372
3122
2500
—241
2259
2230
290
—270
200
—263
Aquí cambiamos al
divisor mayor 446
362
— 63
Sin continuar más allá con la división podemos concluir que
V500 = 22,3606797749 +.

CALCULO APBOXIMADO DB LAS BAICS8 183
ProMeiiMW
Enctmtrar por la diviáón de Fooiin' d i»ciarte de dividir
i. 237,69 por 33,6548!) con aeia dedmaleeL Usar á divisor 33 ea tres diviáoneB y 336
luega
2. 63,9878 por 24,85397 con aei8deimiiaIea.IKvÍBar 24 moutrodiviáaoee 7 loego 248.
3. 3,173563 por 334,856921 con diei afras ognificatíTas. Divisar 33 m éneo
divisiones 7 334 luego.
4. 180 pw X con ocho decimales; x =° 3.141S9265358979...
Ebrtzacr las siguientes raíces cuadradas por el método de Fourier:
5. V^'^^ '^""^ <x^'^*> decimales.
4. V3^^>23 con ocho dedmales.
7. "^OfiSl'OS coa ocho dedonales.
8. V V 2 — 1 con ocho decimales.
it &• Estímación del error. — Debemos examinar ahora el error
que se produce por el proceso de contracción. La parte regular del
método de Homer nos lleva a representar la raíz de la ecuación
a* -7z + 7 =0,
coa la cual trabajábamos, en la forma:
X = 1,69202 + ^
10»
donde / es una raix de la ecuación:
0,001 P + 5076,06 y» + 1588795041,2/ - 2338129592 = O,
contenida entre O y 10. Esta ecuación fué reemplaxada, sin embargo, por
*(z) = 5076X» + 1588795041 z - 2338129592 = O,
cuya raiz, que se aproxima ü / pero que no es igual, llamaremos /•. Es
necesario estimar la diferencia / —/o. Con este fin, nótese que la
ecuación en / puede escribirse así:
'Kf) 0,001/»-0,06/»-0,2/.
Por otra parte: 4>(ft) = O, y así
*(/) -*(/•) = -0,001/» -0,06/*-0,2/.
Pero, por la fórmula del valor medio que se enseña en los cursos de
cálculo diferencial:

184 teoría de ecuaciones
donde $ es un cierto número comprendido entre/y/o. En consecuencia:
. . O.OOlf + 0,06 f+ 0,2/
J —Jo = -— '
de manera que la diferencia es ciertamente negativa, porque
<t>' U) > 1,5 X 10».
Por otra parte, desde que / < 10:
0,001 f + 0,06f + 0,2/ < @,001 +■ 0,006 + 0,002) X 10» =
= 0,009 X 10' < 0,01 X 10»,
y luego:
^'^^ X 10-« </-/o < 0. rií
1,5
Al mismo tiempo
X = 1,69202 + ^ + ^^^^ ■
10« 10«
Con respecto a /o, se tomó de la forma
/o = 1 + ^.
10
donde g es una raíz de la ecuación
50,76 g' + 158880519,3 g - 749329475 = O ,
contenida entre O y 10. Pero esta ecuación es reemplazada por
/i(a;) = 50a;2 + 158880519a; - 749329475 = O,
cuya raíz, próxima a g, puede llamarse go. La diferencia g — go puede
ser estimada de la misma manera que la diferencia / — /o; resulta que;
O 7Q
--^^X 10«'<g -go <0. [21
1,5
AJ mismo tiempo podemos escribir
10 10
Ahora
go = 4 1 ,
10
donde h, comprendido entre O y 10, satisface la ecuación
0,50^2 + 15888091,9/1 - 113806599 = 0.

CALCULO APBOXIMÁDO DE LAS BAICES 185
Pero sustituímos a h por la raíz ho de la ecuación
15888091 Ao - 113806599 = 0.
La diferencia h — ho puede estimarse como anteriormente y se
encuentra que
0,59
1,5
Al mismo tiempo
X 10-» <h -ho<0. [3]
ho , h — ho
go = 4 H -t-
10 10
/o = 1 + — + 1 -I- ■
10 10^ 10' 10
10» 10^ 10« 10« 10^ 10«
Por las desigualdades [1], [2] y [3] la cantidad
A = ^ ~^° +- ^ ~^° h —ho
10« 10^ 10«
que representa realmente el error cometido por la contracción, es
negativo, y su valor absoluto es menor que
0.01 X 10- -t -^ X 10- + -^^ X 10- < iií^ X 10- < 10-3.
1,5 1,5 1,5 1,5
Puesto que ho X 10~' está comprendido entre las cotas
X < 1,6920214716301
X > 1,6920214716299,
y tomando
X = 1,692021471630,
tenemos un valor aproximado de la raíz que difiere del valor real en
menos de 10"'^. Queda sobreentendido que el error cometido por la
contracción puede estimarse en forma muy similar en cualquier otro
caso ^.
6. Otro ejemplo. — Vale la pena ilustrar el método de Horner
completo con otro ejemplo.
Ejemplo. La ecuación
r< — 41 + 1 =0,

186
rVOSIA VE ECUACIONES
tiene dos raíces reales: una en d intervalo @; 1) v otra en el intervalo A; 2). Cakul»-
moB aproximadamente la mencw. Ilscribiendo
X = ^ ; O < a < 10.
la ecuacite para determinar a se mcuentra inmediatamente
a* ~ 4000 a + 10000 = O
y se determina por tanteas que la raíz, que es menw que 10, está ctmtenida entre 2 y 3;
a^ que escribimos:
b
a=2H ; 0<6<10.
10
Los cálculos necesarios para encontrar la ecuación transfcxmada en b, así ctxno otras
ecuaciones que aparecen en d método de Homer, se muestran en el esquema sigiúente:
2)
5)
1
\
0
2
2
2
4
2
6
2
80
5
85
5
90
5
95
5
0
4
4
8
12
12
2400
425
2825
450
3275
475
375000
— 4000
8
— 3992
24
— 3968000
14125
— 3953875
16375
— 3937500000
10000
— 7984
20160000
— 19769375
3906250000
UMH
0)
A esta altura comenzamos la contracción, cuyos sucesivos pasos cst^ reiHesentados
en el esquema águiente:
9)
1 3750
9
3759
9
3768
9
9) 3777
/
-3937S0000
33831
-393716169
33912
—3936822S7
333
—39367802
333
3906250000
—3543445521
36280447»
—354311028
8493451
—393675S0
xr

CÁLCULO APSOXIMADO DE LAS BAICB8 187
Hasta este momento los decimales obtmidos aon:
0^25099.
Loe decimales restantes se determinarán por la divif.'ón de Fourier. Desde qne el
número obtenido en la columna 4 antes de la ctmtraociób, tiene 10 cifras, podemos contar
coa encontrar 10 — 5 — 5 cifras por contraeci^, y per ello la división se llevará hasta
tres cifras. El resultado es el siguiente:
8493451
69
6
~^
39
^43
15
228
195
~a34
35
3935755
2157
299
273
26
Luego. la raíi pedida es:
0.25099215.
y solamente resta ejcaoúnar con maycw detenimiento d grado de atHtnimaiártn. Pcniendo
d
X =0.250 +
10*
donde O < ¿ < 10, se desprende qne d satisface la eciiacida
0,0001 d« + (P + 3750 <? —393750000 ¿+3906250000 = 0.
fkk lugar de d sustítufmos, en realidad. la raíi d* de la ecuación
ds' + 3750 d.' — 393750000 d, + 3906250000 =■ 0.
En la parte de contracción del proceso se encumtra que:
9 +
10
O < e < 10 ,
donde e satisface la ecuación
0,001 e« +37.77 e» —39368225.7 e +362804479 =0,
pero en lugar de e tomamos realmente la rats e* de la ecuaeióa
37<!«' —39368225 «,+362804479 =0.

188
Nuevamente:
TEOSIA DE ECUACIONES
eo = 9 + — ; O < / < 10,
y / satisface la ecuación
0,37/* — 3936755,7/ + 8493451 = 0.
pero en lugar de / se toma la raíz f„ de la ecuación
— 3936755/0 + 8493451 = 0.
Ahora tenemos
donde
X = 0,25099 + —^ + A ,
10»
d — do e
A h-
10*
10»
«o /—/o
10«
Los signos de las diferencias d — do, e — eo y / — /o no se conocea ahora con certeza
y solamente podemos establecer que
0,0001
< X 10-*
3,9
I 0,085
e — eo < X 10-«
/-/o
3,9
0,46
3,9
X 10-«
de donde
, , 0,0132
A I < X 10-« < 3,4 X 10-",
3,9
de manera que el error cometido por contracción puede afectar solamente el undécimo
lugar decimal y la aproximación resulta mucho mejor que la sugerida por la regla r^ida
del Párrafo 3. Por la división de Fourier se encuentra que
y luego
Tomando
0,00000215747 < ■^— < 0,00000215748
10»
0,250992157413 <x < 0,250992157582.
X = 0,2509921575,
podemos estar seguros que el error no excede de 10-'», en valor absoluto.
Problemas
Examínense cuántas cifras más pueden hallarse por contracción, habiéndose
determinado cuatro cifras significativas por el proceso regular de Homer.
1. z» — 3 X -f 1 = 0. Raíz entre 1 y 2.

CALCULO APROXIMADO DE LAS RAICES 189
2. z» — 71 + 7=0. Raíz entre 1 y 1,5.
3. 6z» — 73'+ 101 + 5=0
4. x< — 4 a; + 1 =0. Rafz entre 1 y 2.
5. I* — 2 z» + i'- — 3 =0. Raíz positiva.
6. i' — z» + 2 I» — 2 I + 1 =0.
7. El método de iteración. — Quedan por considerar otros dos
métodos que se usan a menudo para calcular las raíces: el método de
iteración (también llamado método de aproximaciones sucesivas) y el
método de Newton. Este último es una forma particular de iteración,
por lo que es conveniente ver éste primero. La idea del método es muy
general y puede aplicarse a una ecuación dada en varias formas. La
ecuación propuesta puede escribirse:
a; = 6 (a;),
en una cantidad de maneras distintas. Supondremos conocido que en.
algún intervalo (a; 6) la ecuación tiene la raíz única? de manera que
? = 6@ y a< S <6.
Con respecto a la función 6 (a;) supondremos al principio que es una
función creciente de x en el intervalo (a; 6) y que, además:
a < 6 (a) ; 6 > 6 F),
o
a - 6 (a) < O ; 6 — 6 F) > O .
Siendo ? raíz única en el intervalo (a; b) se deduce que
a; — 6 (a;) < O,
si a á a; < 5, y
a; — 6 (a;) > O,
si ^ < X é b. Sea ahora Xo un número arbitrario ^ a y á 6. Tomándolo
como primera aproximación de la raíz? y calculando por sucesivas
sustituciones
xi = % {xq) ; a;2 = 6 (a;i) , ais = 6 (a;2) ; ...
se genera una sucesión de números
Xa , Xi , Xi, . . .
Esta sucesión será creciente con todos sus términos < ? si a;o < ?;
y será decreciente, con todos sus términos > ? si a;o > ?. Para demostrar
estas afirmaciones, supóngase primero que Xo < ?. Entonces:
xi = % (,xo) > Xo ó a;i > a;o;

190 T£OSIA DE ECUACIONES
por otra parte:
6 E) > 6 (lo) ,
porque 6 (i) es una función creciente. Pero
6@ = 5 y 6(io) =1.,
luego
ii < 5.
Por repetición del mismo razonamiento, se demuestra que:
xi > ii ; xi < 5.
Supóngase ahora que Zo > ^. Entonces:
ii = 6 (lo) < Xo ó ii < lo ;
y, por otra parte:
t = 6 (^) < O (lo) = I.
o sea
Xi> i.
Por repetición del mismo razonamiento se demuestra que
5 < lí < ii.
La sucesión
Xo ; Xt ; xt ; . ..
ya sea creciente o decreciente, necesariamente tiende a un límite, y este
límite, suponiendo la continuidad de O (z), no puede ser otro que la
raíz ^ a la cual es posible aproximarse de esta manera en forma
indefinida por ambos lados.
Ejemplo 1. La ecuacián
2» —2x—5 = 0
tiene una raíx entre 2 y 3. Puede ser escrita en la forma:
X = V2X + 5 = e (x).
y todas las condiciones enumeradas anteriormente se satisfacen: O (x) es una funci<ki
creciente y
e B) > 2; 6 C) < 3 .
Tomando xt = 2 como primera aproximación y haciendo uso de tablas, calculamos
la sucesión de i^irozimacioaes a la raíz ¿ habiéndose t<Hnado cada número escrito a
continuación, aproximado por defecto.
X, = 2,08 X, = 2,09452
Xt = 2,092 z, = 2.094546
X. = 2,0941 Xt = 2,0945506
Xt = 2,0944 I. = 2,0945513.

CALCULO APBOXIMADO DE LAS BAICB8 191
Por otra parte, comen xando con xt = 3. encontramos las siguientes i^vaadmacianes.
CEula una ligeramente mayor que su verdadero valor:
X, = 2,23 X, = 2,09463
X. = 2,115 z, = 2,09457
X, = 2,09777 xj = 2,094555
X, = 2,09503 X, = 2,0945520
xt = 2,0945516.
Luego:
2,0945513 < S < 2,0945516.
y así
5 = 2,094551,
con seis decimales exactos.
Ejemplo 2. Consideremos la ecuación trascendoite
2* = 4 X,
que tiene una rafs entre O y 1. Ciiaudo se escribe en la forma
X = 2'-2 ,
se cumplen todas las condiciones para la iteración. Comenzando con xt = O y usando
tablas de logaritmos de cuatro decimales, encontramos la sucesión de aproximaciones
crecientes, habiéndose tomado cada una aproximada por defecto:
X, = 0,25 X, = 0,3088
xi = 0,29 z< => 0,3096
X, = 0,305 z, = 0,3098
X, = 0,3099.
Smilarmente, podemos enctmtrar una sucesión de apraximaciones decrecientes eoDoen-
zando con xo = 1. AI comparar los resultados, encont3°amo8 que la rafs pedida es nnqr
cercana a
? =0,3099.
La última cifra, naturalmente, no es muy ciwta, desde que todos los cálculos haa
sido hechos coa tablas de cuatro decimales.
Una ecuación de la forma
x = 6(i),
que tiene una sola raíz entre a y b puede siempre resolverse por un
proceso conveniente de iteración si su derivada 6' (i) para a s x ¿b se
mantiene en valor absoluto menor que un número fijo p < 1, es decir si
I 6' (i) I < p < 1,

192 I^OSIA BE ECUACIONES
para o á x á 6. En efecto, la misma ecuación puede escribirse en la
forma equivalente
X = (i) (x) ,
donde
X + 6 (x)
O) (x) =
Ahora
.'(,) = ÍJJ:(íL>íj:ll.>o,
2 2
para o S x á í> y luego «(x) es una función creciente en el intervalo
{a;b). Por otra parte, la derivada de / (x) = x — w (x) es
2 2
y siendo positiva, / (x) es una función creciente que toma el valor O
solamente una vez en el intervalo (o; b), es decir para x = 5, siendo $
la única raíz de la ecuación
X = 6 (x),
entre a y b. Por lo tanto
/(a) <0 ; /(i>)>0
ó
a < O) (o) ; 6 > O) F) .
Luego, la iteración aplicada a la ecuación
X = O) (x),
convergerá, ya sea que comencemos con xo = o ó xo = í>. En los
problemas se encontrarán más observaciones referentes a la convergencia.
Problemas
1. Si I 6' (x) I < p < 1 para a á x g 6, la ecuación x = 6 fx) no puede tener más
que una raíz entre a y 6. Si se tiene tal raíz í y xi = 6 (xo), mientras que a á xo á í>,
demostrar que
I xi — 5 I < p I Xo — í I.
StTQBSTiÓN; xi — 5 = (xo — 5) e' (»)), donde ») está contenido entre xo y ?.
2. Si X = 6 (x) tiene una raíz í entre a y 6, | 6' (x) | < p < 1 para a S x ^ b y las
primeras doe aproximaciones
Xo y xi = 6 (xo)
pertenecen a (a; 6), entonces todas las aproximaciones subsiguientes xt, xi, ...
pertenecerán a (a; 6) y
lx,-í| <p''|x„-í|.

Cálculo aproximado de las raices 193
Aún más, las aproximaciones serán alternativamente mayores y menores que 5 si 6' (x) < O
en todo el intervalo (a; 6).
Calcúlese por iteración las raíces de las siguientes ecuaciones, con cuatro cifras de-
cimalef»:
3
/ V.
¿Cuál es la más
', / i"
3. X» — 2 X — 2 = 0. Escríbase x = -V2x+2 ox = /4/24 .
ventajosa?
4. x' — 10 X — 5 =0. Escríbase x
= 4/.o+Í
5. i3 — 3 X» — 1 =0. Escríbase x = 3 4 .
x^
6. a;3 + x^ — 100 = 0. Escríbase x = , ó x = 4 +
^¡x + l x« + 5x+20 ■
16
7. x' + X» + X — 100 = 0. Escríbase x=-VlOO — x« — x ó x=4+ —
x' + 5 X + 21
Calcúlense con cinco cifras decimales las menores raíces positivas de las siguientes
ecuaciones:
x' + l
8. X' — 6 X + 1 = 0. Escríbase x =
9. i« — 3 X + 1 =0. Escríbase x
6
x* + 1
2 + x' + x« + x"
10. x'» + X* + x3 — 10 X + 2 = 0. Escríbase x =
X»
11. X = 1 12. X»—x« —10x +1 =0.
10
• Cuando una raíz de una ecuación F (x) =0 quede encerrada en un intervalo
suficientemente reducido (a; 6) donde los valores extremos A y S de la derivada F' (x) no
son muy diferentes, el proceso de iteración puede ser considerablemente acelerado
escribiendo la ecuación en la forma
2
X = X F (x).
A +B
El factor 2 {A + S)~' puede sor reemplazado ventajosamente por una buena
aproximación en términos pequeños obtenidos por medio de fracciones continuas. Apliqúese
esta observación para calcular con cinco cifras decimales las raíces de las siguientes
ecuaciones:
4
• 13. x* — 4 X -I- 1 = 0. Raíz entre 1 y 2. Hágase: x = x — 'Vt (x — V 4 x — 1).
3
•14. X»—4x2—X-1-3 ^o_ Raíz entre 4 y 5. Hágase: x =x—^'/s (x—•^4x'-|-x—3 ).
♦ 15 X» + x' — 100 = 0. Hágase x = x — Vt | x , |
l-(l+x)-» ■ ^ 3 / l-(l+x)-»\
* 16 X = . Hágase x = x — 7s x — •
10 \ W /

194 mOBIA DE ECUACIONES
♦ 17. X = . Hágase x = x — '■'/r I x ■
15 \ 15
18. X = Vi «-*. Hágase x = x — V* (x — Vi e"^.
19. X = e~*. Hágase x = x — '/n (x — e"*).
20. X + 1 = 10*. Hágase x - x — 'Vt (x + 1 — 10*).
21. X* - 100. Hágase x ~x + 2—ilogx.
22. X ^^ 1 — Vio sen x.
X + 1 — sen X
23. i^ + sen x = 1. Hágase x = —
2
24. X = coe X. Hágase x = x — '/s (x — eos x).
25. sen x = V» s;. Póngase x = Vi + y y escríbase t/ = t/ — Vs (y + Vi — 2 coe t/).
26 X = tg X. Menor raí» positiva. Hágase x = x + are tg x.
X + are tg 1/x
27. X tg X = 1. Menor raí» positiva. Hágase x = •
8. Método de Newton. — El método de Newton para aproximar
raíces puede ser considerado como una forma particular de iteración.
La ecuación propuesta f (x) = O puede escribirse de la forma
X = X -
f'(x)
o sea
X = 6 (x),
con
f(x)
6 (x) = X
f'(x)
Para examinar en qué condiciones las sucesivas aproximaciones que
parten de Xo
ii = 6 (xo) ; X2 = 6 (xi) ; xa = O (xj) ; ...
convergen, supondremos que:
1. En el intervalo (a;b) la ecuación / (x) =0 tiene una raíz.
2. Ni /' (x) ni /" (x) se anulan en este intervalo. Calculando la
derivada 6' (x) se encuentra
f(x)f"(x)
6' (x) =
/' (xy
Desde que /' (x) no cambia de signo entre o y b, la función / (x) o
bien es creciente o bien decreciente; y como se anula para x = 5, los
valores extremos / (o) y / (i>) deben ser de signos opuestos. Por otra
parte, el signo de /" (x) no cambia, de manera que /" (o) y /" F) tienea

CALCULO APBOXIMADO DE LAS BAICES 195
ol mismo signo; por lo tanto: /(o) f" (o) y f {b).f" (b) tienen signos
opuestos: uno de estos números es positivo y el otro es negativo. De
los puntos extremos del intervalo (o; b) llamaremos a a aquel en el cual
/ (x) y /" (x) tienen el mismo signo, llamando ^ al otro extremo, de
manera que a = o, ^ = 6 si
fia), fia) >0
y a = 6, ^ = o si
/F)./"(í>)>0.
De la expresión de la derivada 6' (x) es evidente que cambia de signo
solamente al pasar por x = ^. En consecuencia, entre a y 5 el signo
de 6' (x) es el mismo que para x = a, üs decir, positivo por la elección
<le a. Ahora, si a = o, en el intervalo (o; $) la función 6 (x) es creciente,
desde que su derivada es positiva y al mismo tiempo
e^a)-a = -X(^ >0.
/' (a)
Nuevamente, si a = b, la función 6 (x) es creciente en el intervalo
($; b) y
6F) -6= -i-^<0.
/' (b)
Aún más, 6 (x) es continua en (o; b) de manera que las condiciones
de convergencia de un proceso iterativo tal como se enumeran en el
Párrafo 7 quedan cumplidas si comenzamos con la primera aproximación
.To = a. Las aproximaciones sucesivas
«1 = a — — , «2 = «1 —
estarán todas del mismo lado de la raíz $, cada una más próxima a ella
que la precedente, y convergerán hacia dicha raíz. Estas conclusiones
se hacen intuitivas al considerar la cuíva y «»/(x).
Como la segunda derivada y" no se abula en el intervalo (o; b) esta
curva es cóncava hacia arriba o hacia abajo, de acuerdo a que y" > O
ó y" < 0. En las figuras (a), F), (c) y (d) de la página siguiente, los
puntos A y B del eje de las x tienen abscisas x = a y x = 6. Para
valores de x contenidos entre a y 6 la curva y = f (x) está representada
por el arco PXQ que intersecta a y = O en el punto X cuya abscisa es
OX = 5- En el caso de las figuras (a) y (b), y e y" tienen el mismo
signo en Q. La tangente en este punto está representada por la ecuación
y-f(b) =f'(b)(x-b),

196
Teoría de ecuaciones
y corta a y = O en el punto T de abscisa
f(b)
OT = b
f'(b)
Nótese que T está del mismo lado de B con respecto a X, pero más
próximo a X que B. En los casos de las figuras (c) y (d), y e y" tienen el
mismo signo en P. La tangente en este punto está representada por la
ecuación
y -fia) =í'{o){x-a),
y corta a y == O en el punto T de abscisa
/(a)
OT
fia)
r
o
A
^
^^
ICT B
^
(a)
ib)
Nuevamente, T está más próximo a X que A y está situado del mismo
lado. Estas consideraciones intuitivas confirman las conclusiones
previamente alcanzadas y sugieren también la consideración del punto de
intersección de la cuerda PQ con el eje x. Si este punto es \J, está en el
lado opuesto de T con respecto a X y más cercano a éste que A y B
respectivamente. Como la ecuación de PQ es
íib)-íia)
y =fia) +
la abscisa del punto U será:
fia)
OU = a —
fib)-fia)
ib—a)=b
■ix -a),
fib)
fia) -fib)
ia-b),

CALCULO APROXIMADO DE LAS HAICES 197
y tarabién puede ser representada por
La doble desigualdad
«1 < ^ < &i
«1 > ? > &i,
según sea a = a ó a = 6, da una estimación del error cometido al calcular
la segunda aproximación de la raíz por el método de Newton.
Si las cotas «i y ^i están todavía muy separadas, el medio más
práctico para seguir adelante es: sea a' la menor de estas cotas y b' la mayor.
Estudíese la diferencia b' — a' y supóngase que la primera cifra decimal
significativa ocupa el Z-ésimo lugar. Entonces, reténgase en a' y 6'
solamente I decimales. Sean a" y b" los números obtenidos de redondear
a' y b' en esta forma. Evidentemente a" es menor que k, pero b" puede
ser mayor o menor que este número. En consecuencia, determinase
primero por sustitución si b" es mayor que k o no. En el primer caso hágase
ai = a"; bi = b", y en el segundo caso, ai = b" ; 6i = b" -f 10"'.
Entonces el intervalo (ai; 6i) contiene a ;. Partiendo de este intervalo
hállense cotas más restringidas «2, &2 en la misma forma en que fueron
determinadas «i, ^i a partir de (a; 6V Entonces, con a?, &2 repítase el
procedimiento aplicado a «i, ^i y continúese de esta manera mientras
sea necesario para llegar al grado de aproximación deseado. Luego de
unos pocos pasos de este tipo, la convergencia se hace muy rápida,
pero no nos detendremos a estudiar este punto.
Ejemplo 1. Calculemos por este método la rafz de la ecuación
/(x) =1» — 3x-fl =0.
que está comprendida entre 1 y 2. La derivada
f'(x) =3x^ — 3,
se anula para x = 1, así que estrictamente hablando el intervalo A; 2) no satisface las
condiciones supuestas. Sin embargo, ya que
/(I) =-1 ; /"(I) =6.
son de signos opuestos, tenemos que tomar a = 2 y observamos que en el intervalo (.í; 2)
la primera derivada no se anula. Con a = 2; § = 1, encontramos
o, = 2 — Va = 1,66 -f ; Pi = 1,25 ,
de manera que oi y Pi se redondean a
1,6 y 1,2 .

198 teoría de ecuaciones
Al sustituir 1,6 se encuentra que
/A,6) = 0,296 ; /'A,6) =4,68
/A,2) 0,872
0,2% 0,872
a, - 1,6 = 1,536 — ; p, = 1,2 H 0,4 = 1,498 + .
4,68 , e-. . -r ^^^^ 1-
Estos números se redondean a 1,4'' y 1,53 y al sustituir se encuentra
/A,53) 0,008423,
de manera qují 1,53 es menor que la raíz. Por lo tanto, tomamos a¡ = i,53; h¡ »• 1,54
y continuamos así:
/ A,54) = +0,032264 ; /'A,54) = 4,1148
/A,53) 0,008423 ;
32264 8423
03 = 1,54 1,53216— ; Pj = 1,53 H 1,53207 + .
411480 , W3 . T- ^jjggy -r
Sin llevar las aproximaciones más adelante, podemos concluir que tomando:
í = 1,5321 .
no cometemos un error que exceda en /alor absoluto a 10~*. El paso siguiente daría
aproximadamente cerca de ocho decimales en la raíz. Por supuesto, el intervalo A; 2) con el
cual hemos comenzado es demasiado amplio y siempre es aconsejable encontrar por
tanteo, como en el método de Horner, uno o dos decimales en la raíz.
Ejemplo 2. Hallar aproximadamente la raíz de la ecuación
X = 10-^.
Si tomamos logaritmos decimales en ambos miembros esta ecuación se reemplaza por
/ (x) = X + log X = O ,
y por tanteos se encuentra que su raíz está contenida entre 0,3 y 0,4. Las derivadas
M
f (x) = V H M = 0,434295
X
M
/"(x) = -.
x'
uo se anulan en el intervalo @,3; 0,4). Con la aproximación que permiten las tablas
de logaritmos de seis decimales, se encuentra que
/l0,3) = —0,222879 ; /' @,3) = 2,44765
f @,4) = + 0,002060.

CALCULO APROXIMADO DE LAS RAICES 199
Por ser la segunda derivada negativa, tomamoe a =• 0,3; ^ — 0,4, y entoaoea
222879 206
a, - 0,3 H 0,391 + ; Pi = 0,4 -— - 0,3991 —.
244765 -r , Hi 224939
Estos números se redondean a 0,391 y 0,399. Probando 0,399 se encuentra que
/@,399) -—0,000027.
Por consiguiente debemos tomar oi ~ 0,399; 6i =■ 0,400. Luego:
/ @,399) = — 0,000027 ; f @,399) - 2,08846;
/ @,400) - 0,002060 ;
27 2060
02-0,399 + =0,3990129+ ; ^ = 0,400 X 10^ - 0,399013 —.
208846 2087
Por lo tanto, con !a aproximación que puede lograrse con tablas de seis decimales, la
raía pedida es:
5 = 0,399013.
Problemas
Apliqúese el método de Newton a las ecuaciones:
I. x* — 3 X + 1 = 0. 2. X» + 4 X» — 7 - 0.
3. x* — 7x+7=0. 4. X*—4X + 1-0.
5. 2* = 4 X. Hágase x log 2 — log x — log 4 = 0.
6. X — sen x = —. 7. x» — log z = Va-
8. X = eos X. 9. X* - 1000.
10. ¿Para qué ánguloe coitralee el arco de circunferoieia es de l<»igitud doble de la
cuerda subtendida en el arco?
II. Si el área de un sector de circulo está bisectada por su cuerda, ¿cuál es d ángulo
al centro?
12. Una cuerda determina un s^^moito igual a la tercera parte dd área dd círculo:
¿cuál es el ángulo al centro subtendido por la cuerda?
13. Un tronco cilindrico de madera de peso especírico */» flota ea el agua. ¿A qué
profundidad se hunde?
* 14. Determínese d menor número a tal que la desigualdad
1
e~" á ■
1+x-
se cumpla para todo x poátivo.
* 15. Escribiendo una ecuación / (x) = O en la forma
V if (x)

200 T.EOBIÁ DE ECUACIONES
y aplicando el método de Newton, se obtiene la siguiente fórmula para la segunda
aproximación:
^, ^^ fix) fix)
/'(X)'-V2/(Í)/"ÍX)
Demuéstrese que la derivada del segundo miembro es siempre positiva si / (x) tiene
sólo raíces reales. Por lo tanto, demuéstrese que la iteración siempre converge
independientemente de cómo se elija la primera aproximación. Si la primera aproximación se
elige entre dos raíces consecutivas a y ^ de la derivada /' (.x), la iteración converge y
muy rápidamente a la raíz de f (x) =0 que queda entre a y g. Examínese la cuestión
de la rapidez de la convergencia en la proximidad de la raíz. Apliqúese este método
a los ejemplos:
(a) i' — 3 X + 1 = O ; (b) x' — 7 x + 7 = 0.
¿Qué proceso de iteración resulta en el caso de una ecuación x" — a =0?

CAPITULO IX
DETERMINANTES Y MATRICES
1. Determinantes de segundo orden. — Las expresiones conocidas
•como determinantes tiene su origen natural en la resolución de sistemas
de ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. Supongamos que
tenemos que resolver el sistema de dos ecuaniones
0,1 X + biv = Ci
0.2 X -{- bt y = C2
con incógnitas x e y. Para ello podemos tratar de combinar estas
ecuaciones para eliminar y ó x: Para eliminar y, las ecuaciones [1] se
multiplican, respectivamente, por 6» y — 6i y se suman los resultados; usando
como factores — on y o,i y sumando se eliminará x. Las ecuaciones, una
sólo en x y otra sólo en y, obtenidas de esta manera, son:
(ai 62 — «2 í>i) a; = Ci 62 — c» b¡,
[2]
(ai 62 — üi bi) 2/ = C2 ai — Ci 02.
Por la manera en que se obtuvieron las ecuaciones [2] se satisfacen
para los valores x, y que satisfacen al sistema [1], de modo que todas
las soluciones de este sistema se encuentran entre las soluciones del
sistema [2]. Notemos ahora que en ambas ecuaciones [2] x e y tienen el
mismo coeficiente
ai bi — a2 61
y, si este coeficiente no es cero, los únicos valores de x e y que satisfacen
las ecuaciones [2] son
Ci 62 — C2 61 c, Oi — Ci a2 ,_,
^ —I T '■ y " ~i r • í^i
ai 62—a^oi ai 62 —a2 0i
Por lo tanto, si ésos son los únicos valores de las incógnitas que pueden
satisfacer al sistema original [1], puede verificarse por sustitución que
X e y en la, forma dada por [3] satisfacen también a las ecuaciones [1].
Examinando las expresiones [3] notamos que x e y aparecen como
fracciones con denominador común
ai 62 — a2 61.
201

202
ZEOJtlA DE ECUACIONES
Esta expresión se llama determinante del sistema [1] y se indica con
el símbolo
ai 61
= ai 62 — üi 61.
a2
Examinando los numeradores de las fórmulas [3] se ve
inmediatamente que también son determinantes
Ci 61
C2 í>2
= Ci 62 — C2 61
ai Ci
aj Ci
= ai C2 — as Ci.
En consecuencia, x e y quedan expresados como cocientes de los
determinantes
X =
Ci
«2
ai
a?
61
62
61
62
y =
ai
a2
«1
a2
Cl
C2
61
í>2
14]
En el determinante
Oi 61
aj 6»
ai 61
tenemos dos filas ai, ?)i y a2, 62 y dos columnas y ; aj, i»i, ot, i>»
a? 62
se llaman elementos del determinante. Los determinantes de los
numeradores se obtienen reemplazando en
fli 61
as 62
los elementos de la primera y segunda columnas por Ci y Cj,
respectivamente.
Por medio de las fórmulas [4], las soluciones del sistema dado pueden
ser calculadas fácilmente siempre que el determinante de este sistema
no sea cero. Los casos que pueden presentarse cuando este
determinante es coro se examinarán más adelante al referirnos a la resolución
general de los sistemas de cuaciones lineales con cualquier número de
incógnitas.
Ejemplo 1. Si queremos resolver el sistema
7x—3t/ = l ; 6x + 5y ,
aplicando las fórmulas D), calculamos los determinantes:
15
7
6
—3
0
= 53;
1
3
—3
5
- 14;
7
6
1
3

DETERMINANTES Y MATRICES 203
y dividiendo los dos últimos por el primero, hallamos:
Resolver por determinantes
1. 6 X + 2 y = 25.
7 X + 3 t/ = 20.
3.
5.
7.
10 X— 71/ = 1.
lóx — 11 V =2.
ax + (a + 1) t/ = 1
a^x + {a^— 1) V =
2 3
X J/
3 2
= 1.
X 2/
14
^ ~ ^
■ í/
15
~ "m"
Problemas
2.
4.
6.
8.
5 X —3 t/ = 1,
4x + 7t/ = 5.
21x + 13t/ - 1.
5x + 3t/ = 1.
X t/
+ —í—
a + b a — 6
X — y ~ 4 a6.
3x — 4t/ = 2xy,
4x — 5t/ =3xy.
= 2 a.
2. Polinomios con varias variables. — Considerando las letras
■Oi, 6i, a¡, 62 como indeterminadas o variables, vemos que el
determinante
ai 61
02 62
= Oi 62 0,2 61 ,
€S una función racional entera o un polinomio de cuatro variables Oi,
61, 02, 62.
No sólo en la discusión de los determinantes sino también más
adelante, tendremos ocasión de tratar con funciones racionales enteras o
polinomios de varias variables, y es necesario explicar qué significado
se da a estos términos. Siendo las letras x, y, 2,.. . variables o
indeterminadas, una expresión de la forma
A X' y^ zf ...
donde A es una constante numérica y los exponentes a, 3, y, ■ . ■ son
enteros positivos, se llama monomio de variables x, y, z, .. ., siendo A
su coeficiente. Monomios semejantes son aquellos en que los exponentes
de las mismas letras son iguales. Una expresión que consta de varios
monomios vinculados entre sí por los signos + ó — se llama función
racional entera de variables x, y, z, . . . o polinomio en x, y, z, . ..,
mientras que los monomios que lo componen se llaman términos. Todo
polinomio puede escribirse de modo que los monomios que lo constituyen

204 teoría de ecuaciones
no sean semejantes; tal forma puede llamarse forma reducida. En los
ejemplos siguientes:
X —2y ; x^ + xy + y^ ; x* — x^ y -\- x^ — 2/ -h 1,
tenemos polinomios de dos variables presentados en forma reducida.
Las expresiones
a;' -t- 2/' + 2' — 6 xyz ; x^ y + y^ z + z^ x ; 2 x^ y^ z^ -[- x + y -f- z ,
son polinomios de tres variables, y en la misma forma pueden escribirse
ejemplos de polinomios de cuatro o más variables. Dos polinomios con
las mismas variables se consideran iguales si, presentados en forma
reducida, sus términos semejantes son idénticos. Nótese que escribiendo
términos con coeficiente cero, o por el contrario, eliminando éstos, el
polinomio no cambia. Un polinomio es idénticamente nulo si los
coeficientes de todos sus términos son cero. Se consideran conocidas de
los cursos elementales de álgebra la suma, resta y multiplicación de
polinomios. Los polinomios de varias variables se clasifican de acuerdo
a su grado. La suma de los exponentes de las variables en un monomio
constituye el grado. El grado máxime de los monomios que componen
un polimonio que no sea idénticamente nulo es el grado del polinomio.
Así los polinomios
x^ ■\- x^y — 3x^ •)- 2/ -t- 1 ; x^y^z^ -\- x^z -t x^y — x -t 4:y ,
son, respectivamente, de tercero y cuarto grado. Un polinomio se llama
homogéneo de grado m si todos los momentos que lo constituyen tienen
el mismo grado m. Así, los polinomios
X + 2y — 80 ; x^ — xy }- y^ ; x^y^ -{- x* -j- z* — 3 x^yz ,
son polinomios homogéneos de primero, segundo y cuarto grados.
Los polinomios homogéneos son llamados a menudo expresiones. Las
expresiones de primer grado se llaman expresiones lineales; las de
segundo, tercero,... se llaman expresiones cuadráticas, cúbicas, etc. La
expresión lineal general de variables, x, y, z, . . ., v es
ax -[-by ■[- cz.-[- ... -\- Iv,
donde a, b, c, . . ., I son constantes. A menudo, al operar con funciones-
racionales enteras de varias variables, se presta especial atención a
algunas de estas variables, por ejemplo: x, y, .. ., t y la, función se escribe
como un polinomio en x, y, . . .,t cuyos coeficientes son polinomios-
en las restantes variables. También aquí podemos hablar del grado de

DETERMINANTES Y MATRICES 205
esta función con respecto a las variables elegidas, o del grado general
si es homogéneo. Así, la función racional entera en cuatro variables
xz + yt,
es lineal y homogénea con respecto a, x, y y también lo es con respecto
a 2, t. Del mismo modo
zxy -¡- t^x^ -t (z^ -h ñy\
es homogénea de segundo grado con respecto a x, y; escribiendo la misma
expresión en la forma
y'z-" -i- (x^ + y')t' -txyz,
podemos decir que es de segundo grado en s, t, pero no homogénea.
Problemas
1. ¿Cuáles son los grados de los siguientes polinomios?
(a) xyz + x' y + :f X + 1. (b) x'y + y'z + 6 x^y' z.
(c) B x« + xy) iz' — D+x' yK (d) (z' — xy^x — r x' z\
2. ¿Cuáles de los siguientes polinomios son homogéneos y cuáles no lo son?
(a) a' + 2/5 — 3 xyz. F) x' + y' + x-y— Z xy.
(c) x* — 6x^y'' + z* — 2x-1/' IK (d) i» + y' + z' — S xy;.
3. Demostrar que un polinomio en x, y, z es divisible por {x — y) {x — z) {y — ¿)
si se anula para x = y, x = z, y = z.
4. Hallar un polinomio homogéneo de cuarto grado en las variables x, y, z que se anule
para x = y, x = z, y = z y tome valores 1, 2, 3, respectivamente, para
X 1, y = 1, 2 = O,
X = 1, 2/ = — 1, 2 = O,
X = O, y = 1, 2 = — 1.
5. Demostrar que x' + y' + z' — 3 xyz tiene un factor a + i/ + 2 y hallar el otro
factor. Demostrar que este íactor no puede anularse para valores reales de x, y, 2
excepto cuando x = y = z.
3'. Propiedades características de los determinantes de segundo
orden. — Volviendo al determinante
ai 61
02 62
= ai 62 — «2 í>i,
se advierte a primera vista que es una función de las variables ai, 61,
«2, bí y tiene las siguientes propiedades;

206 T.EOSIA DE ECUACIONES
1. Ordenadas las variables en un cuadro
'ai 61'
/ai 61 \
\ a2 62 /
llamado matriz, el determinante es una función lineal homogénea de
los elementos de cada fila de esta matriz.
2. El determinante se anula si dos filas son idénticas.
3. Para la matriz especial
1 O
en
el determinante toma el valor 1.
Veremos ahora que con estas propiedades queda totalmente
caracterizado el determinante de segundo orden.
Establezcamos ahora el problema más general de hallar todas las
funciones racionales enteras de cuatro elementos de una matriz
/ai 61 \
\ a2 62/
que poáeen las dos propiedades siguientes:
1. Son funciones lineales homogéneas de los elementos de cada fila.
2. Se anulan si dos filas de la matriz son idénticas.
Por la primera propiedad la función que buscamos debe ser de la
forma:
Aai + Bbi = F (ai, 61, 02, 62),
y A y B son, a su vez, expresiones lineales y homogéneas en a2, b^'.
A = Ci 02 + Cih B = Di a2 + D262,
de modo que
F (ai, 61, Oj, 62) = (Ci 02 + C2 62) ai -h (Di Oa -h D3 62) 61, [1 ]
de coeficientes Ci, d; Di, D2 independientes de ai, 61; a^, 62.
Reemplazando ai, 61; a2, 62, respectivamente, por ai -j- a^; b¡ -f- 62; a2 -\- ai, 62 + í>i,
tendremos, por la segunda propiedad
F (ai -h a2 , 61 -1- 62 , a2 -f ai , 68 -f 61) = O,
porque dos filas de la matriz
I ai j- 02 í>i -h í>2 \
\ a2 -f ai 62 -f 61 / '

DETERMINANTES £ MATRICES
207
son idénticas. Por otra parte, por ser F una función lineal homogénea
con respecto a los dos primeros argumentos, tenemos que:
F (cj 4- 02 , 61 + 62 , 02 + ai , 62 -I- 61) =
= F (ai, 61, 02 -I- ai, ?J -h 61) -t- F @2, 62, 02 t Oi, 62 +■ bi).
Teniendo en cuenta que F también es lineal y homogénea con
respecto a los dos últimos argumentos, tenemos:
F (ai, 61, 02 + oi, 62 -t bi) = F (oi, 61, o?, 62) -h F (oi, 61, Oi, 61)
F @2, 6j, 02 +■ oi, 62 + 61) = F @2, 62, 02, 62) +- F @2, 62, oi, 61).
Pero, aplicando nuevamente la segunda propiedad
F (oi, 61, oi, 61) = O ; F @2, 62, 02, 62) = O,
en consecuencia
F (oi, 61, 02 -I- oi, 62 +■ bi) = F (oi, 61, 02, 62)
F @2, 62, 02 + oi, 62 + bi) = F @2, í>2, oi, 61)
y
F (oi, 61, 02, 62) ■+- F @2, 62, oi, 61) =
= F (oi -f 02, 61 -h 62, 02 + oi, 62 -f 61) = O,
o sea
F (oi, bi, 02, 62) = — F @2, 62, oi, 61) [2]
Esto significa que F cambia de signo cuando dos filas de la matriz
de la que depende se intercambian. Por [1]
F (oi, 61, 02, 62) = (Ci 02 -h C2 62) oi + (Di 02 -1- D2 62) í>i,
F @2, 62, Oi, 61) = (Ci Oi -h C2 61) 02 -h (Di oi +■ Di 61) 62,
que combinadas con [2] conducen a la identidad:
(Ci 02 -|- C2 62) oi -)- (Di 02 + D2 62) í>i ==
= — (CíOi 4- C261) 02 — (DiOi -h D261) 62,
y de esta identidad se desprende que:
Ci = O, D, = O, C2 Di.
Sustituyendo Ci = 0, D2 = O, d = C, Di = — C en la expresión
de F tendremos
Oi 61
F (oi, 61, 02, 62) = C (oi 62 — 02 61) = C
«2 í>2

208
teoría de ecuaciones
y en consecuencia todas las funciones de la matriz
ai 61
/ai 61 \
\ a2 62 /
que satisfacen las propiedades 1 y 2 difieren del determinante
Oi 61
a2 í>2
sólo por un factor independiente de las variables a^ 61; a2, 62. En
particular, si además de las condiciones 1 y 2 la función que buscamos
toma el valor 1 para la matriz especial
ii:)
será idéntica con el determinante antes mencionado.
Todas las propiedades de los determinantes de segundo orden se
deducen fácilmente si los consideramos como funciones de una matriz
que satisfaga las propiedades características 1, 2 y 3. Más adelante
discutiremos desde el mismo punto de vista las propiedades de los
determinantes en general, y aquí ncs limitaremos a demostrar cómo puede
establecerse fácilmente el teorema de multiplicación para determinantes-
de segundo orden.
Sean dos determinantes;
Dt =
ai 61
a2 62
Do =
ci di
c» di
Sumando los productos de los elementos de cada una de las filas de
Di por los elementos correspondientes de las columnas de Do, formamos
un nuevo determinante
D =
cti Ci -i- 61C2 ai di -j- 61 di
a^Ci -j- híCt üidí -i- 62 (¿2
El teorema de multiplicación de determinantes establece que:
D = D,.D2.
Para demostrar este teorema consideremos ai, 61; a2, 62 como variables.
Entonces D es una función lineal de la matriz
I ai 61 \
\ üo hi I

DETESMINASTES r MATRICES
20»
homogénea en los elementos de cada fila, que se anula cuando dos filas
son idénticas. En consecuencia
D = C
ai 61
02 bi
donde C no depende de las variables ai, 61; aj, 6.. Para \a matriz
D se reduce al determinante
ai 61
at 62
ci di
Ci di
se ha(
=
;e
Di
1 0
0 1
= 1.
Por lo tanto:
C = Di
D = DiDi,
como deseábamos demostrar.
Problemas
1. Verificar las siguientes propiedades de los determinantes:
(a)
F)
+
+
a + e b a b
c+f d c d
a+e 6+¡i a 6
c+/ d + A c d
2. Verificar la identidad;
aa + 6p + CT a a' + b <¡,' + c ^'
a' a + 6' ^ + c* T a' a' + b' ^' + d t'
e b
f d
e b
f d
+
a g
c h
+
e fif
/ h
a b
a' b'
«' r
+
a c
a' c'
a T
+
b c
h' (>
Hágase uso de las identidades del Problema 1.
3. Deducir del Problema 2 que:
{x-- + y» + 2») B" + t/'» + 2'») = B2' + yy' + «2')' +
+ {xyf — x'yY + (xz' — x' 2)» + (yz" - y' z)-.

210
T^OSIA DE ECUACIONES
4. ¿Qué identidad similar a la del Problema 2 puede hallarBe para el siguiente deter-
nante?
aa.+ ft^ + CT+dS aa' + ft^'+c-r' + dS'
a' a + 6' p + c' T + d' S a' a' + 6' ^' + c' r' + d' i'
5. Demostrar que:
I' +iQ —R + iS
R +tS P — íQ
X + iy —^ + tí x' — ti/' z' — tí'
2 + tí X — iy —z' — tí' x' + tí/'
donde
P = xx' ■{■ yy' + 22' + íí' ; Q xy' + yx' + zt' — Iz',
R = —xz' + yt' — zx' —Iy' ; .S xt' + yz' — zy' + ix'.
Dedúzcase, de allí, la identidad de Euler:
{x^ + y^+z^+ í») {x"- + y'' + z"- + n = ixx' + yy' + zz' + ü'Y +
+ {xy' — yx' — zt' + Í2')^ + (xz' — yt' + zx' + íi/')» + (xí' - yz' + zy' — tx'f:
4. Los determinantes como funciones de las matrices. — Como
hemos visto, los determinantes de segundo orden pueden ser
expresados como funciones de matrices de la forma
I ai 6i \
\ 02 62 /
que poseen ciertas propiedades características. Nada nos impide
generalizar estas consideraciones. En lugar de una matriz de cuatro elementos
podemos considerar una matriz de n* elementos
■ ai 61 C\ ... li
02 62 C» . . . I2
, a» í>» c.
L
ordenados en n filas y n columnas, y buscar todas las funciones racionales
enteras de los n^ elementos de esta matriz, considerados como variables,
que poseen las tres propiedades siguientes:
1. Son funciones lineales homogéneas de los elementos de cada fila
de la matriz.
2. Se anulan idénticamente si dos filas de la matriz son idénticas.
3. Toman el valor 1 para la matriz especial
1 O O ... O'
O 1 O ... O
O O O ... 1

DETERMINANTES ¥ MATRICES 211
cuyos elementos son todos ceros excepto los de la diagonal principal,
que son iguales a 1.
Veremos que existe una sola función racional entera que satisface
estas exigencias, y esta función se llama determinante de n^ elementos
o de orden enésimo, y se lo representa con el símbolo
ai 61 Ci . . . h
0-2 í>2 Ci . . . I;
b, c, .. . Z,
5. Determinantes de tercer orden. — El método para la solución
del problema general enunciado en el párrafo 4 se entenderá mejor si
consideramos primero el caso particular de n =3. Será conveniente
adoptar una notación especial para los elementos de la matriz. En lugar de
usar Icfras e índices diferentes para distinguir elementos y filas
distintos, usaremos la misma letra con dos índices, por ejemplo: a,;,
indicando el primer índice el número de la fila (de arriba hacia abajo) y
el segundo índice el número de la columna (de izquierda a derecha)
en que se encuentra la letra. Así, en el caso de n = 3 la matriz será:
' Olí ai2 ais'
Ctai 022 023
031 0,32 033 ,
Las filas de esta matriz se designarán con las letras Ri, R2, R3 y un
símbolo tal como ^1 -f ^2 representará una fila compuesta de los
elementos
Olí + 021 ; 012 -f 022 ; oi3 + 023 •
Designaremos con el símbolo
F (Ri, R2, R3),
la función de los nueve elementos o„ (i,j = 1,2,3) que .satisface las
condiciones 1, 2 y 3 del párrafo 4. Partiendo de la propiedad 1 y 2 puede
demostrarse que esta función cambia su signo si dos filas R so
intercambian de modo que
F (Ri, Ri, Rz) F (Ri, Ri, R3)
F (Ri, Rt, Ri) F iRi, R2, Rz) [11
F (Ri, Rs,Ri} F (Ru R,, R3)
Siendo la demostración la misma en todos los casos, basta probar
la primera de estas identidades. Consideremos la función
F {Ri + Rt , R2 + R1 , Rd .

212 TEOSIA DE ECUACIONES
Por ser F una función lineal y homogénea de los elementos de la
primera fila de la matriz, tenemos:
F (Ri + Ri , Ri + Ri , R3) = F (Ri , R2 + Ri , R,) -f
+ F(R2 , Ri + Ri , Ri) .
Además, siendo F lineal y homogénea con respecto a los elementos
de la segunda fila, tenemos:
F (Ri, R2 -t- Ri, Rs) = F (Ri, R2, Ri) + F (Ri, Ri, R3)
F (R2, Ri + Ri, R3) = F (Rt, R2, Rs) + F (R2, Ri, Rs)
y
F (ffi + Ri, Ri -f Ri, Ri) = F (Ri, R^, R3) + F (R^, Ri, R3) +
■f- F {Ri, Ri, Ri) -\- F {R2, R2, R3).
Por la segunda propiedad, F se anula cuando dos filas son idénticas,
por lo tanto:
F(Ri + R2, Ri + Ri, R3) = O, F(Ri, Ri, R3) = O,
F (Ri, Ri, R3) = O .
Debido a ésto, las identidades precedentes se reducen a:
O = F (Ri, Ri, R3) i- F (Ri, Ri, R3)
F (Ri, Ri, Ra) = — F (Ri, Ri, R3),
como deseábamos demostrar.
Además, siendo F lineal y homogénea con respecto a los elementos de
cada una de las filas Ri, R2, R3 estará constituida sólo por términos de
la forma
■'^a. e.Y <^i« '^e <^sy>
donde A,,^,-^ es independiente de los elementos a^ y donde los índices
a, ^, y pueden tomar los valores 1, 2, 3. Usando el signo de sumatoria,
F puede escribirse así:
F = llA„,í,y Ola «2^ OSr )
y queda por ver qué otras condiciones deben reunir los coeficientes
At,í,y para que se cumpla la condición 2. La condición 1 se satisface
independientemente de los valores de estos coeficientes. Las
identidades [1] se desprenden de la condición 2 y, recíprocamente, la satisfacen.
Basta, por lo tanto, que:
F (Ri, Ri, R3) = 2 A,, g, y Ola Oií fls-r j

DETERMINANTES Y MATRICES 213
satisfaga las identidades [1]. Ahora:
F (R2, Rl, R3) = 2 Aa, e,T fl2« flie Cliy ,
o bien, poniendo a en lugar de ^ y ^ en lugar de a, lo que puede hacerse
puesto que a y ^ toman los mismos valores:
F (Rl, Rl, Ri) = 2 A^^x.t Ola ^i fls-y •
Aquí también a, ^, y están comprendidos entre los valores 1, 2, 3.
Así:
S A^^„,y Ola 029 Ost = — S 4A, e,Y Ola 02^ Osr ,
y esta identidad implica que:
^e.a.r = — ^«,6,T- t2a]
En la misma forma
^T.fl.a = — A,,(i,^, [2i»]
^«.T.fi = —^«,fi,T- [2c]
Si dos de los índices «, 3, y son iguales, el coeficiente correspondiente
será cero. Porque si, por ejemplo, a = &, tenemos por [2o]
A = A
■'^ «. «. T ■'^ «I «, T •
Es decir: A,,,,^ = 0.
Por lo tanto, en la expresión de F sólo aparecen los términos
correspondientes a distintos valores de a, <¡i, f, « & r debe ser una de las seis
permutaciones de ios números 1. 2, 3. Estas seis permutaciones son
123 213
231 321
312 132
y, por [2o], [2i»] y [2c] entre los coeficientes correspondientes existen
las siguien</es relaciones:
Al, 1, 3 = — A 1,2, 3 ; Al, 3, 1 = — Al, 1, 3 = Al, i, s;
^3, 2, 1 = — Al, 3, 1 = ■'^1, 2> 3 ; As, 1, 2 = As, I, l = Al, 2, 3 ',
Al, 3, 2 = Al, I, 3 ,
de modo que los cinco coeficientes pueden ser expresados por el sexto.
Haciendo, para abreviar:
^1, 2, 3 = C ,

214
TSOSIA DE ECUACIONES
tendremos:
■Al, í, 3 — Ai, 3,1 — .4s, 1, j = C,
A.2, 1, 3 = .4s, 2, 1 = Al, 3, 2 = — C ,
F = C (Ou 02Í O33 + Olí fl2a «31 + fllS «21 0*2 — «12 «21 «SS — CL\S Oís Oil —
— Ou Oas 012) .
Tal es la expresión general de las funciones que satisfacen las
condiciones 1 y 2. Si, además, F toma el valor 1 para la matriz particular
1 O 0\
O 1 O i,
.0 O 1/
considerando que ¡a expresión por la que está multiplicado C toma el
valor 1 para esta matriz, es evidente que C = 1. En consecuencia,
existe sólo una función racional entera de nueve elementos a^, que
satisface las condiciones 1, 2 y 3, que es:
Ou Oa 035 + Oi3 atí a»i + Oi» «a «a — Oi» «a «jí — Oii «a a« — Oii <hí On .
Esta expresión se llama determinante de nueve elementos o d3 tercer
orden y se representa por el símbolo
Clll Oit «13
On an at3
Oti a» ajj
No desarrollaremos aquí las propiedades del determinante de terces
orden, pero es muy fácil estudiarlos en el caso general de detcrminantcr
de cualquier orden. Nos concretaremos a dar una regla mnemotécnica
para la formación de los términos del determinante de tercer orden,
que vale sólo en este caso particular. Para escribir los seis términos del
determinante
Oi bi Ci
02 62 C2
03 bs Ci
formamos una tabla

DETBBMIlíÁNTES Y MATRICES
215
y tomamos los productos de los elementos de las diagonales
descendentes con signo 4- y los de las ascendentes con signo —. El conjunto
de los seis términos así obtenidos:
fli ^2 Cj + i»i Ct Oj -|- C\ üi bj — o» hi C\ — hi Ct a\ — Ci 0% h\,
será el determinante
fli bi Ci
oj hi Ci
as &3 Ci
Por ejemplo, el valor del determinante
1 2 3
3 1 2
6 4 5
hallado por esta regla es;
5 + 24-1-36 — 18 - 8 - 30 = 9.
ProUcmaa
Las siguientes pn^edades Talen para loe determinantes de cuakpúer orden y serán
con^robadas más adelante de manera general. Para determinantes de tere«- orden pueden
ser veriñcadas fácifane&te.
1. Dtwaostrar que:
Oí í>t Ci
02 6? cj
«3 bl Cí
=
oi Ci a%
h\ hí 63
ci es ci
¿Cómo puede expresarse en palabras esta potipiedad?
2. Demostrar que:
mai mbz mc\ Oi ft, ci
nat ntí nci = mnp a» 62 ci
po» p&a pcj 03 bj ci
y que
ffíÉll
mch
nuii
nb¡
nht
nbs
pci
pCí
PC3
= mnp
Oí &1 Ci
<it bz et
a> b> ci

216
teoría ve ecuaciones
3. De acuerdo a lo establecido en los Problemas 1 y 2, demostrar que:
O a 6
—a O c = 0.
—6 —c O
4. Demoetrar que
Oi + di 6i ci
Oí + dt bi c¡
Oj + da 63 Ci
a,
ai
a.
6,
bi
63
Ci
rj
Cj
+
di 61 c¡
di 6j ci
da 63 C3
¿Cuáles son loe resultados correspondientes si la primera columna se deja invariable
pero b¡, bi, bi F ci, Ci, cz) se reemplazan por 61 + di, 6? + dt, 63 + dz (ó ci + di, c? + dj,
Ci + d«O ¿Existe una propiedad similar con respecto a las filas?
5. Demostrar que un determinante de tercer orden no varía si a los elementos de una
fila (o columna) cualquiera se le suman los elementos de otra fila (o columna) miilti-
plicadoe por un factor arbitrario.
6. Demostrar que
(a)
7. Demoetrar que
F)
= 0.
= 0.
(a)
1 6 7
2 3 5
4 1 7
1 1
1
3 4 2
5 1 8
= 3
]
r
4
1
0
3 1
5 —4
8 2
! 3 1
1
1
= 3
0
-1
1
=
1
8
5
—3 0 0
—2 2 0
4
1
1
0 0
—3 0
—4 1
= 18
1
1
4
0 0
—1 0
1 1
(fc)
8. Demostrar que
X 1 + ac 1 + 6c
1 1 + ad 1 + 6d
1 \ +ae 1 + 6e
= 0.
9. Demostrar que
= F-a)(c-a)
1
0
0
a
1
1
0
6
c

DETESMINANTES ¥ MATRICES
217
= Oi
6.
b.
Ci
Cl
-61
Oj
at
Cz
C3
+ c,
02 6>
a> 6a
10. Un determinante puede desarrollarse por los elementos de una fila o columna
cualquiera. Por ejemplo
Oi 61 Ci
02 62 C2
oa 63 cj
Oi 61 a
02 62 C2
Oj 63 C3
En estos desarrollos los elementos de una fila o columna están multiplicados por
determinantes de orden 2 tomados con signo + ó —, que se obtienen eliminando la fila
y la columna a las que pertenece el elemento que se considera. Hallar una regla para
determinar cuándo se usa un signo + y cuándo —. Estos desarrollos disminuyen
rápidamente el orden de un determinante en el que todos los elementos menos uno en una
fila o una columna son ceros.
11. Utilícese el método indicado en el Problema 10 para hallar el valor numérico de
los determinantes (a) y F) del problema 7.
= -6,
a-.
as
C:
Cj
+ 62
Oi
a.
Ci
Cl
-63
Oi
02
c¡
C2
12. Demostrar que
(a)
F)
1
1
1
1
1
1
a
b
c
a
b
c
1.?. Hallar el valor numéri
(a)
2
5
7
a'
62
c?
a3
63
c'
= (c — a) (e - 6) F — a).
= {c — a){c — 6) F — a) (a
CO de los determinantes
10 7
3 1
2
4
F)
10 5 4
8 11 7
8 12 14
14. Demostrar que
—b
X C
-C X
= X (x^ + a= + 6' + c').
6 Permutaciones pares e impares. ■— Para explicar un
determinante de orden superior, el procedimiento a usar es totalmente análogo
al empleado en el caso de determinantes de tercer orden, excepto que
será necesario expresar algunas propiedades de las permutaciones, que

218 ^EOBIA DE ECUACIONES
en ese caso particular no eran tan necesarias como lo son en el caso
general. Sean los números 1, 2, 3, ..., n escritos en orden creciente
1 2 3 ... n.
Este se llamará orden natural. Colocando estos enteros de modo que
el primer lugar sea ocupado por t'i, el segundo por Í2, el tercero por ij,
etc., tenemos una permutación
t'i it t's ... ü.
Así
6 5 13 4 2,
es una permutación de seis números 1, 2, 3, 4, 5, 6. El número de
permutaciones de n números es:
1.2.3 ... n = ni
Lu(;go, el número de las permutaciones de 2, 3, 4, 5, 6, 7 números
€S, respectivamente:
2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24;
6! = 120 ; 6! = 720 ; 7! = 5040.
Intercambiando en una permutación
t'l ?2 . . . i« í« + l . . . i^ . . . í, ,
dos elementos i» e i^ y dejando los otros elementos en sus lugares,
pasamos a otra permutación
í'l . . . Ig . . . la . . . in ,
que resulta de la anterior por una transposición de t, e ig.
Toda permutación puede obtenerse de la permutación
I 2 3 ... n,
en la que los elementos están colocados en orden natural, por una serie
de sucesivas transposiciones. Por ejemplo, la permutación
7 6 8 3 5 14 2
puede obtenerse de
12 3 4 5 6 7 8,
realizando sucesivamente las siguientes transposiciones: (o) 1 y 6; F)
2 y 8; (c) 3 y 4; (á) 4 y 7; ,(e) 6 y 8; (/) 7 y 8. También puede
obtenerse por otra serie de transposiciones: (o) 1 y 4; F) 1 y 7; (c) 2 y 8;
(á) 3 y 8; (e) 6 y 1; (f) 6 y 4; (g) 6 y 7; (h) 6 y 3.

BETJEKMINANTES T MATRICES 21d
En general hay una infinita variedad de formas de pasar de una
permutación a otra por una serie de sucesivas transposiciones. Pero es
importante establecer que el número de trar aposiciones usado para ello
es siempre par o impar, no importa qué transposiciones se empleen.
La prueba de este hecho puede basarse en la noción de inversión. Si en
una permutación
ti «2 . . . in ,
un elemento ia es seguido por un elemento menor, decimos que hay
una inversión relativa a i, y a ese elemento. El número de elementos
que siguen a %„ y que son menores que él, da el número tcrtal de
inversiones relativas a i,. El número de inversiones relativo a todos los
elementos de una permutación puede llamarse el Índice I de esa
permutación. El íadice es un número completamente determinado por la
permutación. Considerando, por ejemplo, la permutación
7 6 8 5 3 14 2,
contamos
Número de inversiones
6
5
5
2
3
0
1
relativas
7
6
8
3
5
1
4
El índice de ía permutación es, por lo tanto:
/ = 64-5-f5-f2-f3-f0-|-l = 22.
Lema.: íS? en una permutación
ií ii . • • in ,
dos elementos i, e i¡, se transponen, el índice varía en un número impar.
Demostraciom: Supongamos primero que i^ siga inmediatamente a
ia, de modo que ^ = a -h 1. Al contar el número de inversiones es
conveniente dividir la permutación en tres partes:
ií íi... t«-i ; i« í«+i ; í«+2. • • t'n •
Sea A el número de inversiones relativo a la primera parte, y B el
relativo a la tercera parte, siendo P y Q los números de inversiones
relativos a ?'« e i^+i- Entonces:
I = A + B + P + Q.

220 lEOSIA BE ECUACIONES
Luego de transponer t, e i^+i tenemos otra permutación, que está a su
vez dividida en tres secciones:
ti ii ... to,_i ; i„+\ i^ ; «,+2 ■. ■ ir,-
Su índice /', llamando P' y Q' los números de inversiones relativos a
t'a+i e t'a, es:
r = A -t B + p' + Q'.
Sean M y N los números de elementos de la sección
í« + 2 • • • in,
respectivamente menores que t, e i^+i- Entonces:
P = M ; Q = N,
en caso de que t, < t«+i, y
P = M-f 1 ; Q = N,
en caso de que t, > 4+1. Similarmente
P' = N + 1 ; Q' = M,
en caso de que t, < t«+i, y
P' = N ; Q' = M,
en caso de que 4 > i^+i- Por lo tanto:
P' + Q'-{P + Q) = 1 6 - 1,
según sea t, < t.+i ó j, > ix+i, y, en consecuencia:
/' = / ± 1,
es decir, el índice crece o decrece en una unidad luego de transponer
dos elementos consecutivos.
Supongamos ahora que los elementos transpuestos no sean
consecutivos y sea I el número de elementos entre ellos.
Entonces, de la permutación
íl . . . ta . . . íg . . . in,
pasamos a la permutación
t'l . . . íg . . . t'a . . . in,
por las siguientes transposiciones de elementos consecutivos: (a) í
transposiciones de ia con elementos consecutivos, que lo colocan antes de i^;
F) una transposición que coloca a t, en la posición ocupada por íj, y
así t's precede a t,; (c) I transposiciones de i^ con los elementos inmediatos
que lo llevan a\ lugar anteriormente ocupado por t,. El pasaje de una
permutación a la otra se cumple así por 2 Z -f- 1 transposiciones sucesivas

DETEBMINANTES Y MATRICES 221
de elementos consecutivos, y puesto que en cada transposición aumenta
o disminuye el índice en una unidad, el índice de la permutación
í'l . . . tf . . . t'a . . . in ,
difiere del de la permutación
í'l . . . í a . . . t j . . . Í„ ,
en un número impar, y de esta manera queda demostrado el enunciado.
Supongamos ahora que la permutación
.ti t2 ... i» ,
se obtiene de
1 2 ... n,
por r transposiciones. Por ser cero el índice de la última permutación,
y puesto qud las r transposiciones provocan incrementos impares 2 Ai + 1,
2 /i2 -f- 1, .. ., 2 /i, -h 1, el índice I de la permutación
ñ ¡2 • . ■ in ,
será
7 = r -h 2 (;ii -h /i2 + ... 4- ;ir) = r f 2 /i.
Por lo tanto, r será par o impar según sea / par o impar. Las
permutaciones que resultan de 1, 2 ... n por un número par o impar de
transposiciones se llaman, respectivamente, permutaciones pares o impares.
La permutación resultante de una permutación par, por una
transposición, será impar, y viceversa. Es fácil demostrar que entre las n!
permutaciones de 1, 2, 3 ... ?i hay igual número de permutaciones pares
e impares. Llamamos R y R' los números de permutaciones pares e
impares respectivamente. Transponiendo los dos primeros elementos de
cada una de las R permutaciones pares, resultan R' permutaciones impares
distintas; por lo tanto R' ^ R. Pero, razonando en la misma forma
R ^ R', en consecuencia debe ser R' = R. Siendo n! el número total
de permutaciones, hay
2
permutaciones pares e impares.
Supongamos que
^ii, ii, .. .in )
es una cantidad que depende de n índices distintos t'i, ii, ..., in, cada
uno de los cuales debe ser uno de los números 1, 2, ..., n de modo que
U Í2 ... i, ,
es una permutación de estos números. Supongamos además que cada
una de las ni cantidades posee la propiedad de cambiar su signo si se

222 lEOSIA BE ECUACIONES
transponen dos índices cualesquiera, sin variar su valor absoluto; en
otras palabras, supongamos que:
■"■iv • • "> •'<»> • • •) ij) • • •) in ~ "»1> • • • > i(,> ■ • ■ > ix) • • •) «n • llJ
Sea I (t'i, t2, ..., in) el índice de la permutación t'i, i^, ..., {„■ Por el
lema demostrado anteriormente
(-_ l)I(ii.ft i„)
también satisface la condición [1] y, en consecuencia
no cambia si se transponen dos índices cualesquiera. Desde que todas
las permutaciones resultan de 1, 2, . . ., n por sucesivas transposiciones,
se deduce que el cociente anterior tiene el mismo valor para todas las
permutaciones. Llamando C a este cociente, tendremos
■"■iV »2) • • • ) »n ~ ^ ^ I
tomando este cociente el signo -h ó — según que la permutación t'i, ¿2, . ..
. .., t„ sea par o impar.
Problemas
1. Hallar el número de inversiones on cada una de las permutacionee
(a) 68175324; (b) 213987654;
(c) 376125849.
2. ¿Cuáles de las siguientes permutaciones son pares y cuáles impares?
(a) 631254; F) 192837465;
(c) 7 15 6 3 2 4.
3. Demostrar que la permutación 16 5 3 2 4 puede obtenerse de 1 4 5 3 6 2 por un
número par de transposiciones.
4. Escribir todas las permutaciones pares y todas las impares de loe elementos 1, 2, 3, 4.
7. Determinantes en general. — Será fácil dar ahora una
definición general de un determinante de orden n. Sea
Olí ai2 . . . aiT?
aji a» ... Clin
Ctnl C'nZ ■ ■ ■ «,„„
una matriz de n^ elementos a,y distribuidos en n filas .Ri, R2, ..., Rn y
n columnas Ci, C2, ..., C„. Por conveniencia de razonamiento elegimos
la notación de los elementos de dos índices, lo que indica claramente la

BETEBMINANTES 7 MATRICES 223
fila y la columna a las que pertenece el elemento. Considerando estos n*
elementos como variables, nos proponemos el problema de hallar todas
las funciones racionales enteras de ellos que satisfagan las tres
condiciones siguientes:
1. Deben ser lineales y homogéneas en los elementos de cada fila de
la matriz.
2. Deben anularse idénticamente cuando dos filas sean idénticas.
3. Toman el valor de 1 para la matriz especial
1 O ... O'
O 1 ... O
,0 O ... 1
en la que a¡,- = 1 y a,; = O para j ?í i.
El examen del problema demostrará que hay sólo una función que
satisface estas condiciones. La función que buscamos puede indicarse
convenientemente por
F (Bi, Ri, ..., .R„) .
En primer lugar, vamos a demostrar que
F {Ri, .. ., Ra, . .., Rf, .. ., Rn) = — F {Ri, . .., R^, . . ., R„ ..., Rn) [1]
de modo que F cambia de signo cuando dos filas R, y R^ se trasponen.
Consideremos la función
F {Rí, ..., R, -\- Ri, .. ., R^ i- R,, ..., R„).
Por ser idénticas las filas R, -t R» y R» ■\- Ra, tenemos:
F {Ru ...,R. -\- Ri, ...,Rt -\- R., ...,Rn) =0. [2]
Por otra parte, por ser F lineal y homogénea en los elementos de
cada fila
F {Ri, ..., Rx -\- Ri, ■ ■■, R^ -h Rx, ■ ■ ■, R,d =
= F (Ri, . . ., Rx) ■ ■ ■ , Ri +■ Ra, ■ ■ ■ , Rn) +
+ F {Ri, ..., Rf, .. ., R^ + R,, ..., .Rn) >
y por la misma razón:
F (Ri, ..., R,, ..., Rf + Rg) . ••, Rn) =
= F {Ri, .. ., Rt, ..., Rf, ..., Rn) "("
+ F {Ri, . . ., Rt, . ••, Ra, ■ ■ ■) ^m)
F{Ru ...,R», ...,Ri + R., ...,Rn) =
= F {Ri, . . ., R», . .., Ri, ..., .Rn) +
+ F {Rí, .. ., R^, .. ., R„ ..., .Rm) .

224 lEOmA BE ECUACIONES
Considerando la ecuación [2] e identidades similares como ser:
F (Ki, . . . , Ra, . . . , Ra, . . . , Rn) =
= F {Ri, . . ., R^, ..., R^, ..., R„) = O,
encontramos:
O = F{Ri, . . ., Rt, .. ., Rí, .. ., Rn) + F {Ri, ..., R^, .. ., R„ . .., Rn)
que es equivalente a la ecuación [1]. Recíprocamente, suponiendo que
se satisface la ecuación [1], se deduce que:
F {Ri, ..., Rx, . .., Rt, ..., Rn) = O .
Es decir que las condiciones 1 y 2 juntas son equivalentes a la
condición 1 y que F se transforma en — F cuando se transponen dos filas.
En virtud de la condición 1 la función pedida consistirá de términos
de la forma
Ai,,i,...,i„au,a2i, . . . ani„
donde los índices t'i, ii, .... ú toman independientemente los valores 1,
2, ..., n y donde
■^iui', ■■■> in
es un coeficiente independiente de las variables a;,-. Podemos escribir:
F {Ri, R2, . . . , Rn) = 2 Ai,, M .... in "lii »> • • • "nín • [3]
Por transposición de las filas R, y ffg, tenemos:
F {Ri ..., R^, .. ., Rt, . .., .Rn) = 2 Ai,,{, ...,i„ aii, . . . a^,-, . . . a„^ . .. ani„
o, reemplazando t, por i^ y reciprocamente, lo cual es permitido puesto
que tanto t, como t'g toman los mismos valores:
F {Ri, . . ., Ri, ..., Ra, • • •, Rn) = 2 Aii. ... ig..... i,,.... ,„ Oh, 02,,... ani„ [4]
Comparando las ecuaciones [3] y [4] y teniendo en cuenta la identidad
[1] llegamos a la conclusión de que:
para dos índices cualesquiera a y ^ distintos tomados entre los números
1,2, ...,n.
En caso de que i, = t'g, de [5]
y esto significa que en [3] se encuentran sólo aquellos términos que
corresponden a valores distintos ¿1, ú, . . ., ¿n, siendo ñ, 1:2, ■ ■ ■, in una

BETEBMINANTES Y MATBICES 225
permutación de los números 1, 2, 3, ...,w. De [5] y de acuerdo con
lo enunciado al final del párrafo:
■^ii) iti ■■■)in ~ it'
-donde el signo es + ó — según que t'i, i^, . . .,ir, sea una permutación
par o impar. Así, todas las funciones F que satisfacen las condiciones
1 y 2 son de la forma
F = es ± aii, aii, ... ai.„,
donde la sumatoria se extiende a todas las permutaciones de los índices;
el signo ± se elige en la forma indicada y C es una cantidad
independiente de los elementos de la matriz. Ahora para la matriz especial en
la que a,-,- = 1 y Oi; = O si j ^ i, la suma se reduce a un término
Olí 022 . . . 0,„n = 1 ,
y, por otra parte, si se satisface la condición 3, F toma el valor 1, siendo
en este caso C = í. Así, si se cumplen todas las condiciones:
F = S ± au, Chú ■ • • «mn ,
estando la sumatoria extendida a todas las permutaciones 1,2, ..., n
y para cada permutación el producto
CtlM Ctsii • . . 0,nin¡
tomado con el signo -f- ó — según que la permutación sea par o impar.
La suma representada por F se llama determinante de enésimo orden
o determinante de los n^ elementos aij y se representa con el símbolo
an ai2 ... ai,
0,21 (I22 . • • 0211
ct„i a„2 . .. a„„
A veces se usa la notación abreviada
I «ií I
que no debe ser confundida, por supuesto, con el valor absoluto de la
■cantidad Oj,.
El número de términos del determinante de orden n es el mismo que
el número de permutaciones de n objetos, es decir ni, y la mitad de ellos
está procedido por el signo -f y la otra mitad por el signo —.
8. Propiedades de los determinantes. — Puesto que el número
de términos de un determinante crece muy rápidamente con su orden,

226
TEOBIA DE ECUACIONES
la resolución directa de determinantes basada en su definición es
impracticable; pero en muchos casos puede efectuarse, y a menudo sin
mucho trabajo, recurriendo a algunas de sus propiedades que ahora
examinaremos. Tomemos el término general
Aquí los segundos índices ti, t», . . ., t'n forman una cierta permutación
de los números 1, 2, ..., n. Por lo tanto, los factores pueden ser
ordenados de modo que estos segundos índices sigan el orden natural mientras
los primeros formen una permutación ji, J2, -• •, jn de los números 1, 2,
...,«. Así, el mismo término puede escribirse
± a,-,! ay,t . . . üjnn .
Ahora, si se usan m transposiciones para pasar de 1 2 . .. n a t'i t2 . .. in,
la8 mismas transposiciones realizadas en orden inverso volverán a los
segundos índices a su orden natural, y colocarán a los primeros índices,
originalmente en el orden natural, en el orden ji ji . . . jn- Por lo tanto,
las permutaciones ¿i i^ ... in ó ji ji. . . jn son ambas pares o arabas
impares, y el signo ± puede ser determinado con referencia a la segunda
en lugar de referirlo a la primera permutación. En consecuencia, el
determinante puede ser presentado como la suma
2 ± ay,i ay,2 . . . aj„n ,
extendida a todas las permutaciones de los primeros índices, eligiendo el
signo + 6 — según que la permutación sea par o impar.
Supongamos ahora que en el determinante
D =
021
üii
022
Ol»
02»
Oiii 0,2 .. . a,.
se reemplazan las filas por las columnas y viceversa; ésto da otro
determinante
Olí 021 • • • 0,1
Ol2 O22 • . . Oii2
D' =
Oi, aj„
a„.
cuyo elemento 6y perteneciente a la t'-ésima fila y a la j-ésima fila es a,-,-.
Por definición.
D' = S ± 6iy, 62/, .,. í>„,„,
donde los términos están precedidos por el signo H- ó — según que

BEIEBMINANTBS Y MATBICES
227
jíjt • • • jn sea una permutación par o impar. Por ser bij = a/j, podemos
escribir también
D' = S ± ay,i ajfi ... aj„„,
pero, por lo dicho anteriormente, la misma suma representa también
al determinante D; por lo tanto:
D' = D.
Este importante resultado puede indicarse brevemente de la siguiente
manera: Un determinante no varía si se intercambian las filas con las
columnas y mceversa. Siendo un determinante una función lineal
homogénea en los elementos de cada fila, es también una función lineal
homogénea en los elementos de cada columna. Un determinante se anula cuando
dos de sus filas son idénticas. Por lo tanto, también se anula criando dos
de sus columnas son idénticas. En general, para cualquier propiedad
que los determinantes puedan tener con respecto a sus filas, existe una
propiedad similar con respecto a sus columnas.
Como se demostró en el Párrafo 7, un determinante cambia solamente
su signo si se intercambian dos filan. Por lo tanto, también cambia
solamente su signo por intercambio de dos columnas.
Sea
/(xi, X2, ..., Xn) = aixi ■{- aiX2 + ..
una función lineal homogénea de variables Xi, x^, .
f {mxi, mxi, ..., mxn) = mf (xi, x^,
y
f B/1 ■\- 2i) 2/2 -h 22, • . •, 2/» + 2») = / B/1, 2/2, •.., 2/-) + f Bi> 22, .... Zr) ■
Siendo los determinantes lineales y homogéneos con respecto a los
elementos de cada fila (y de cada columna) se desprende que
reemplazando en un determinante D una fila a,i, üü, ■ . ., a,„ por man, maa, ...
..., mam, o una columna au, 02,, . . ., a„,- por man, man, • ■ ■, ma„i, el
determinante resultante D' es igual a D multiplicado por m:
D' = mD
o, dicho de otra manera, si los elementos de una fila (o una columna)
se multiplican por un factor m, el determinante queda multiplicado por m.
Así:
i- a„x„,
. ., x„. Es evidente que
ai
ma^
az
mai
moi
maz
61
mbi
6a
61
62
63
C\
ViCi
Cz
C\
C2
Cz
= m
= m
ai
02
03
ai
a2
03
bx
62
6a
61
62
63
Cí
Ci
Cz
C\
a
Cz

228
lEOSIA BE ECUACIONES
Un determinante se anula si los elementos de dos filas o dos columnas-
son proporcionales. Supongamos, por ejemplo, que en un determinante
de cuarto orden
D =
los elementos de la primera y tercera columna son proporcionales, es
decir que:
ci = mai ; C2 = ma^ ; cz = jwaa ; C4 = mai
Entonces:
ai
ai
az
04
61
62
63
64
Ci
C2
Cz
Ci
d.
d;
dz
di
D = m
ai
02
az
at
61
62
63
6i
ai
a2
03
04
Ci
C2
Cz
Ci
= o
puesto que el determinante del segundo miembro tiene dos columnas
idénticas.
La segunda de las propiedades de las funciones lineales homogéneas
antes enunciadas, implica la siguiente proposición: Si en un determinante
D los elementos de una fila son sumas
ba -f- c,i , bü -h Ci2,
bin -h Ci.
entonces el determinante será la suma de dos determinantes D' y D" en
los que las filas correspondientes son, respectivamente, 6,1,612, ...,6,n y
Cü, Cü, ..., C{n, siendo las otras filas las mismas de D. La misma
propiedad es válida para las columnas. Así:
ai -t- di
a2 + di
az -\- dz
61
62
63
Ci
C2
Cz
=
ai 61
C2 62
03 63
Ci
C2
Cz
-h
di
di
dz
61
62
63
Ci
C2
Cz
Una consecuencia particularmente importante de esta proposición
es la siguiente: Un determinante D no cambia, si a cada elemento de una
fila (o columna) se suma el elemento correspondiente de otra fila (o co-
lumna) multiplicado por el mismo factor. En realidad, el nuevo
determinante D' es igual a D más otro determinante que es igual a cero, puesto
que los elementos de dos filas (o columnas) son proporcionales. Así:
Oi 61 -f mci Ci
at 62 -h mc2 C2
03 63 -f mcz Ci
ai
02
03
61
6s
63
Ci
Ci
Cz
=

DETERMINANTES Y MATRICES
229
9. Ejemplos. — Las propiedades recién enunciadas pueden usarse
para transformar los determinantes, y a veces facilitan su resolución.
Los siguientes ejemplos mostrarán cómo pueden hacerse tales
transformaciones.
Ejemplo 1. Consideremos el siguiente determinante:
12 3 4
D
D' =
2 3 4 5
3 4 5 6
4 5 6 7
Restando la pñmera fila de la segunda (lo que significa que se suman a los elementos
de la segunda fila los de la primera multiplicados por —1) y luego restando los de la
primera fila de los de la tercera, obtenemos el determinante:
12 3 4
1111
2 2 2 2
4 5 6 7
que tiene el mismo valor de D. Pero en D' los elementos de la tercera y de la segunda,
filas son proporcionales; por lo tanto D' = O y también D = 0.
Ejemplo 2. Consideremos el determinante
D =
Sumando la segunda columna a la primera y luego a la tercera y a la cuarta, tenemo»
otro determinante igual a D:
3
4
1
4
1
—1
—1
—1
2
2
1
2
3
4
1
5
4
3
0
3
1
—1
—1
—1
3
1
0
1
4
3
0
4
D
Súmese la primera fila de este determinante a 1» segunda, tercera y cuarta. Esto da:
4 13 4
7 0 4 7
4 3 3 4
7 0 4 8

230
teoría be ecuaciones
D
Réstese ahora la tercera fila de la primera y la cuarta de la segunda:
0 10 0
0 0 0—1
4 0 3 4
7 0 4 8
e intercambiando la primera y la segunda columnas:
10 0 0
0 0 0-
D
0
0
0
0
4
7
0
3
4
—1
4
8
Discutiremos aúo más este determinante en el Párrafo 11.
Ejemplo 3. Consideremos el determinante
lab c+d
D
I b c a +d
1 c d a + b
1 d a b +c
Sumando la segunda y la tercera columna a la última, lo que no cambia el valor del
determinante, tenemos:
D =
1 a 6 a +b + c + d
1 6 c a + b +c + d
I c d a + b + c + d
1 d a a+b+c+d
= (.a + b + c+d)
1 a 6 1
1 6 c 1
1 c d 1
1 d a 1
= 0.
Ejemplo 4. Sea
D
1 a be
1 b ac
1 c ab
Multiplicando la primera, segunda y tercera filas por a, b y c, respectivamente, el
determinante resultará multiplicado por abe; es decir,
abcD
a a' abe
b b' abe
e c' abe
= abe
a a' 1
6 6' 1
c c' 1

DETERMINANTES Y MATRICES
231
donde
e intercambiando columnas
D
D =
1 a» a
1 6' 6
1 c- c
^
a a'
6 ¥
c c-
1 a
1 6
1 c
1
1
1
a'
6»
c'
=
1 1 1
a 6 c
a» 6» c
La última operación consiste en cambiar fílas por columnas, lo cual no altera el valor
del determinante.
Ejemplo 5. Sea
D =
1 a a»
1 6 6=
1 c c'
Réstese la segunda fíla de la primera, luego la tercera de la segunda y saqúese factor
común a — 6 y 6 — c. Entonces:
0 1 a + 6
n = (a — 6) F — c) O 1 6 + c
1 c c«
Réstese ahora la segunda fíla de la primera y saqúese el factor a — e:
0 1 a + b
0 1 a-\-c
1 c c"
= {a-c)
O O 1
0 1 6 +c
1 c (J
Z) = (a — 6) (a — c) F — c)
O O 1
0 1 6+c
1 c c»
Considerando a, 6, c como variables, el determinante Z) es de segundo grado ctm
pecto a cada una de ellas; pero también es de segundo grado el producto
(a — 6) (a — c) F — c) ,
En consecuencia:
^ =
O O 1
0 1 6 +c
1 c c»

232
teoría de ECL áCIONES
no contiene ahora 6 ni c, y su valor puede hallarse atribuyendo a 6 y c valores especiales,
por ejemplo: 6 = c = 0. Así:
í^ =
0 0 1
0 10
1 0 0
—
1 0 0
0 1 0
0 0 1
y fínalmente:
D (a — 6) (a — c) F — c) = (a — 6) (a — c) (c — 6) .
Problemas
Hallar el valor de los determinantes:
1.
13 5 7
2 4 6 8
5 7 9 11
abe d
3.
a h c
3a + 26 36+2c 3c + 2a
h c a
1 + xi 2/1 1 + xj 2/1 1 + xj 2/1 1 + X4 2/1
1 + xi 2/« 1 + xj 2/« 1 + xj 2/í 1 + X4 2/«
1 + XI2/3 1 + Xj 2/a 1 + Xa 2/3 1 + X4 2/3
1 + Xi 2/4 1 + Xj 2/4 1 + X3 2/4 1 + X4 í/i
O a 6 c d
4.
—a 0 e
—6 —e 0
—c -/ -A
—d —g —k
Demostrar que:
7.
8.
a +h 6 + c
Oí + 61 61 + C
Oi + 6j 6s + ci
a + 6 a + c
a + c a + 6
6 +c 6 +a
/
Q
A fc
0 2
—i 0
c + a
Cl + Oí
Cj + Oj
6 + c
6 + c
a + c
=
= 2
= 2 (a + 6 + c)
1 4 9 16
4 9 16 25
9 16 25 36
16 25 36 49
1 a 6 +c
1 6 a+c
1 c a +6
a 6 c
Oí 61 Cl
oj 6j Cl
1 c 6
1 6 6
1 6 a

DETERMINANTES Y MATRICES
233
10.
11.
1 2 a- X» O
0 1 2x r
1 X x' O
O 1 X r
O a' 6»
a' O c«
6' c' O
O a b c
a O c b
b c O a
c b a O
a>¥c
12 10
0 12 1
1110
0 111
I
0 111
1 o c' 6»
1 c« Ü a»
1 6^ a» O
0
1
1
1
0
1
1
1
0
12.
X»
l3«
_ J.3H
1 X I<
X X* X»
X* X' X'«
10. Desarrollo por filas y columnas. Menores y coíactores. —
El determinante, como función lineal homogénea de elementos de una
fila cualquiera, por ejemplo la t-ésima, puede desarrollarse así por los
«lementos de esa fila:
D = A{í a;i + .. . ■\- Ay üí, -^ .. . + A{, au,
donde los coeficientes A{j (j = 1, 2, .. ., n) no contienen a a,i, aa, ..., a,-,.
El coeficiente A;, de Oj, en este desarrollo se llama complemento o cofador
del elemento Oi,. Este complemento está relacionado al determinante
de orden n — 1 obtenido de D, suprimiendo su i-ésima columna, sin
cambiar el orden de las otras filas y columnas. Este determinante Da
de orden n — 1 se llama menor correspondiente al elemento ay. Por
ejemplo, los menores que corresponden a los elementos ai, bi y ci en
el determinante
ai 6i ci
02 62 C2
üi bí Ci
son:
bt
6,
C2
Cs
í
ai
03
Ci
Cs
í
02
Oz
í>2
63
El complemento A{j y el menor Díj están relacionados íntimamente
entre sí; vamos a probar que:
es decir que:
Ai} = {-ly^'Dij,
Ai¡ = Dij,

234
teoría be ecuaciones
si la fila y la columna ocupadas por a(,- tienen la misma paridad, y
■A-ij = D{j,
en caso contrario. Probaremos primero esta importante relación para el
primer elemento de la izquierda an. En el desarrollo.
D = All an -h Au an -\-
-\- Ai„ai,,
el complemento An no depende de au, ai», . . ., ai„, y, en consecuencia,
no cambia al tomar valores particulares:
au = 1 ; ai2 = ais = . . . = ai„ = O
Por lo tanto:
Au =
1 O O ... O
a2i 0.22 023 . . . a»»
a,i a„2 a,3
a.
Cuando en este determinante, de la segunda, tercera, ... n-ésima
fila se resta la primera multiplicada por a2i, a3i, . .., a„i
respectivamente, el complemento Au se representa por el determinante
Au =
1
0
0
0
a22
a 32
0 .
a23 .
a33 .
. 0
. üin
■ azn
O a^ a„3.. . a.
que depende sólo de la matriz:
B =
a22 a23 • •. a2,
a32 díí • • • Clz,
V cti.2 ct»3 . •. a,„
Evidentemente, An es una función racional entera de los elementos
de B, es lineal y homogénea con respecto a los elementos de cada fila
de jB y se anula cuando dos de estas filas son idénticas, tomando el valor
1 en caso de que sea
1 O ... O'
.0 O

DSTEBMZNANTSS Y MATSICES
235
Pot estas propiedades ^u queda indentificado como el determinante
de la matriz B, es decir:
o» di» . . . ain
CtS2 ÍÍ3S . • • CtS»
An =
a.2 ünS
= Dn
Para establecer la relación entre el complemento -4.,-, y el menor Díj
de un elemento arbitrario a.^, la columna a la que pertenece este
elemento se transpone j veces con las columnas vecinas hasta que ocupe
el lugar de la primera y luego se transpone la t-ésima fila i veces con las
filas adyacentes hasta que ocupe el lugar de la primera. Luego de estas
i + j transposiciones de filas y columnas, en el nuevo determinante D'
«1 elemento Oi,- se encuentra en la esquina superior izquierda y su
complemento en D', como puede verse fácilmente, es Di,; pero
D = D' {— 1)'+',
en consecuencia, el complemento de a„ en D es:
Un determinante también puede ser desarrollado por los elementos
de una columna. El desarrollo por los elementos de la j-ésima columna es:
D = Aiiün + A2ja2j + . . . + Anjünj .
Adviértase la siguiente propiedad importante de los complementos:
Cuando en un desarrollo
D = AiiOii -f A,2ai2 + . . . -h Aí„ai„,
los elementos de la t-ésima fila son reemplazados por los elementos de
otra fila ati, Ofó, . .., at„ (/b r^ í), la suma
Aiiüti ~\- AüüK + ... + Ai.ai.,
es el desarrollo de un determinante en el que la t-ésima y la fc-ésima
filas son las mismas; por lo tanto;
Anük! + A^aia + ... + A.-.a^. = O,
siendo k e i diferentes. En la misma forma:
Aijüik + Aijuik + . • • -h A,j-a^k = O,
ai k y j no son iguales.
11. Ejemplos.'—El desarrollo de un determinante por filas o
columnas junto con las transformaciones que deljen efectuarse sobre él.

236
teoría be ecuaciones
proveen un método práctico para calcular determinantes. Los siguiente»
ejemplos mostrarán cómo hacerlo.
Ejemplo 1. En el Ejemplo 2 del Párrafo 9 se demostró qut
D
3
4
1
4
1
—1
—1
—1
2
2
1
2
3
4
1
5
1
0
0
0
0
0
4
7
0
0
3
4
0
—1
4
8
Desarrollando el último determinante por loe elementos de la primera fila, que. soa
todos ceros menos el primero, vemos que el desarrollo se reduce a un solo tírmino, de
modo que:
O
O
4
7
0
0
3
4
0
—1
4
8
O —1
3 4
4 8
Siendo en este determinant*, el complemento de
4 3
7 4
= 16 — 21 = — 5
se ve de inmediato que:
0
4
7
0
3
4
—1
4
8
y, en consecuencia:
Ejemplo 2. Calcular:
D =
3
6
0
1
7 1
4 3
3 0
0 6
2
0
1
5
5
2
2
3
D =
2 10 2 0
Réstese la segunda columna multiplicada por 2 de la primera y la cuarta. Esto da:
-11 7 1 —12 5
D
— 2
— 6
1
0
4
3
0
1
3
0
6
0
— 8
—5
5
0
2
2
3
0

DETEBMINANTES Y MATBICE8
237
Desarróllese por los elementos de la quinta fila, teniendo en cuenta que el comple*
mentó de 1 en esta fila es:
D'
—11
— 2
— 6
1
1
3
0
6
—12
— 8
— 5
5
5
2
2
ó
Esto da;
D D'
1
2
2
7
1
3
0
6
—2
—4
—1
11
5
2
2
3
de modo que todo se reduce al cálculo de un determinante de cuarto orden. Para
simplificar D' súmese a las columnas 1 y 3, la columna 4 multiplicada por 2; entonces:
D' =
Ahora súmese la columna 1 a la columna 4 y luego a la columna 1 la 3 multiplicada
por —2; esto da:
D' =
Desarrollando por los elementos de la fila 3, tenemos;
D'
3
10
0
15
1
3
0
6
—2
—4
—1
11
4
4
0
10
Ahora:
3
10
—15
3
10
—15
2
2
5
=
1 4
3 4
6 10
2
3 1 2
1 0 —4
—15
S 5
3 1 2
10 3 2
—15 6 5
=
3 1 14
1 0 0
—15 6 -
-55
y, desarrollando por los elementos de la segunda fila
3 1 14
1 O O
—15 6 —55
1 14
6 —55
= 55 + 84 = 139.
Por lo tanto: D' = — 278 y D = 278.

238
lEOMIA BE ECUACIONES
+ a
1
1
1
1
1+6
1
1
1
1
1+c
1
1
1
1
1+d
Ejemplo 3. Para calcular el detaminaiite
D =
réstese la segunda columna de la Drimera y desarróllese por loe elementos de la primera
columna; esto da
1+6 1 1 11 1
D = a 1 1+c 1 +6
1 1 1+d
El primer determinante del segundo miembro es similar al propuesto; podemos escribir:
1+6 1 1
1 1+c 1
1 1 1 +d
1 1 +c 1
1 1 1+d
D' =
El otro determinante, luego de restar la primera columna de la segunda y la tercera,
se convierte en:
= cd.
Por lo tanto:
D ^aD' +bcd.
Aplicando las mismas transformaciones a D', hallamos:
D' = bD" + ed ,
1 0 0
1 c 0
1 0 d
=
c 0
0 d
donde:
Por lo tanto:
D" =
1 + c 1
1 1+d
cd + c + d.
D'=bcd + bc + bd + cd,
D = ábcd + abe + abd + acd + bed =
../ 1 1 1 1\
= o6cdl+ — + — + — + —
y a b c d I
Ejemplo 4. El siguiente determinante de orden n
1 xi X,' .. . x,»—1
1 Xj Xj' . . . xi
n-1
1 X, X,' . . . X,
n—1

DETERMINANTES Y MATRICES
239
aparece a menudo y se llama determinante de Vandermoode. La manera más simple
-de calcularlo es reemplazar x, por una variable x. Entonces el determinante se
transforma en un polinomio Z). (x) de grado n — 1 en x, como puede verse desarreglándolo
por loe elementos de la última fila. Para x = xi, xs XnJi este pcdinomio se anula
puesto que D (xj para a=l, 2 n — 1 esun determinante con dos filas iguales, por
lo tanto:
D. (x) = C (x — X,) (x — X.) ... (x — x._i) ,
-donde C es el coeñciente del término de mayor grado en D„ (x). Este coeficiente es el
menor
D.-l =
1 X, X,'
1 Xj Xj«
z,"
. Xi'
n—2
1 1 "—J
1 Zn-1 Z «-1 • • • Xn—2
«orrespondiente al elemento x»" ^ y de esta manera tenemos:
D, (x.) = D, = í),_i (x, — X,) (x„ — lü) ... (x. — x,^).
[1]
El determinante D„_i es del mismo tipo de D„ y puede ser tratado de la misma
manera. Será:
1 X,
D
1 X2
= 22—2:1,
por lo tanto, se desprende de A) para n = 3:
Di = (xj — Xi) (xj — xt) (Z2 — «1) •
Además:
D4 = (.X< — Xi) (X< — Xj) (X< — Xj) (X3 — Xi) (X3 — X2) (Xj — X¡),
etc. La expresión general del determinante de Vandermonde es:
Dn = (x„ — xi) (X, — xj) ... (x„ — xi)
(x„_i — xO (x„_i — X2) ... (x,^, — x,^)
(Xz — X2) (Xj — Xi)
(X2 — X,)
Es una función racional entera de Xi, X2 x„ que cambia su signo cuando dos de las
variables se trasponen y por esta razón es llamada función alternante. Esto se debe a
que el intercambio de dos variables, por ejemplo Xi y xs, corresponde al intercambio de
la primera y segunda filas, y esto causa el cambio de signo del determinante de Van-
-dermonde.
Problemas
Calcular loe determinantes numéricos:
1.
0 1 1
1 O 1
1 1 O
1 1 1
1 2 3
1 3 6
5 2 2
7 3 2
9 6-5

240
4.
7.
5 —2 —3
10 —4 —3
—5 3 4
TE
OBJ
5.
13 5 7
2 4 6 7
3 12 2
5 13 1
8.
3
4
1
4
'A BE
1 1
1 2
1 3
1 4
1
—1
—1
—1
EC
1
3
6
9
2
2
1
2
JAC
1
4
10
16
ZC
3
4
1
5
NES
6.
9.
1 2
2 3
3 4
4 1
9
18
30
24
3 4
4 1
1 2
2 3
13 17 4
28 33 8
40 54 13
37 46 11
Calcular los determinantes literales:
10.
12.
15.
17.
18.
20.
21.
2a a + b a + c
b + a 26 b + c
c + a c + b '2 c
13.
11.
a+6 a + c b + c
a + c a + b 6+c
b + c b + a a + c
0
b
c
1
a
be
1
1
1
1
1
1
1
1
1
c
a
0
1
b
ac
a
b
c
a'
6'
c«
a
b
c
b
0
a
1
c
ab
a'
6'
c^
a'
6'
c»
6'
6*
c'
16.
6 +
c a a
6 c + a b
c c a + 6
i.
14
1 bc + ad 6' c' + a' d-
1 ac + 6d a' c' + 6' cf
1 ab + cd a'b-
+ c'd«
a
6
a+6
6
a+6
a
a + b
a
6
Guardo se considera c como variable, el determinante es de tercer
grado en c, anulándose para c = a, c = 6, y faltándole el término
en c'.
19.
a 6 c
a'- 6- c'
be ac ab
El determinante tiene la forma (c — a) (c — 6) {Ac' + Be + C)
donde A, B, C no dependen de c, faltando los términos en c° y c'.
a' a' — F — c)~ be
b'- 6- — (e — a)- ae
c' c'—(a—6)- a6
22.
(x—ay {y—ay {z — aY
{x — bY (y—b)' B — 6)'
(x — eY (y — eY (z — c)-

DETEBMINANTES ¥ MATRICES
24L
23.
25.
28.
30.
31.
33.
34.
— 2a a + b a + c
b +a —26 b +c
c + a c + b — 2c
a a a a 26.
a b b b
a b c c
abed
11111
1 0 0 0 xi
xj 1 0 0 xj
X3 Xs 1 0 Xi
Xt Xt Xt 1 x^
24.
c d
d c
a b
b a
29.
(b + c)« a> a»
6' (c + a)« 6»
c« c»' (a + 6)»
27. X ai ot aj 1
ai X Ot aj 1
ai oi X at 1
at Ot aj X 1
at as aj a^ 1
Generalizar.
1 1
1 1+6
1 1
1 1
1
1
1+c
1 1 +d
Generalizar.
1 +a 1
1 1+6
1
1
1
X 1
1 X
1 1
1
1
1 +c
1
1
.. 1 1
.. 1 1
.. 1 1
1 1 1 ... 1 X
1 a a' a*
1 6 6» 6*
1
1
1
1+d
1
32.
1
1
1
1
1 +e
Generalizar.
at
-
X
X
at
X
X
X .
a, .
. X
. X
. X
c« c«
d* d* .
a' a'
6» 6»
c' <*
6} d'
SnaESTtON*. Reempláceeie a por una variable z;
Generalizar, entonces el determinante ee de cuarto grado en z.
tiene rafees 6, c, d y le falta el término en x*.
Generalizar.
35. Si
D. -
ai
—1
0
0
1
Ol
—1
0
0
1
at
0 ,
0 ..
0 ..
1 ..
.. 0
.. 0
.. 0
demostrar que D, — a, í),_i + Dh_2 .

242
teoría be ecuaciones
•36. Si
(m, n)
j.(m+l)» j.(m+2)»
j.(m+»—D»
j.(m+»—1)» j.(m+»)» _ j.(m+2n—2)»
-demostrar que
(m, n) = x-nním+zn—2) (q, n).
• 37. Usando la notación del Problema * 36, demostrar que;
(O, n + 1) = (V — x-^) A — X-*) ... A - - x-^) B, n)
• 38. Dedúzcase que;
(O, n + 1) = x<"' A - x-2) A — x-") ... A — x-z») (O, n)
y que
(O, n) = xnC"-»' (x« — I)»-! (x< — l)''-2 (X' — I)»-» ... (x2''-2 _ 1I.
MATRICES
if 12. Igualdad y adición de matrices. — Hasta aquí el térmiro
matriz ha sido empleado sólo para designar una cuadrícula de n^
elementos üij. Estas disposiciones de elementos pueden considerarse, sin
embargo, como nuevas cantidades matemáticas luego que definamos la
noción de igualdad de matrices y las dos operaciones directas llamadas
comúnmente adición y multiplicación. De esta manera puede
desarrollarse una extensa álgebra de las matrices, de la cual sólo daremos, en
este libro, una breve introducción. Una matriz de n^ elementos se llama
matriz de orden n. Así, para n = 2, 3, 4, .. podemos hablar de matrices
de 2", 3°, á'- orden, etc. Refiriéndonos únicamente a la consideración
de matrices de igual orden, decimos que dos matrices son iguales si ios
elementos correspondientes, es decir, los elementos que pertenecen a las
mismas filas y columnas, son iguales. Si dos matrices se indican con las
letras A y B y sus elementos con a¿,- y bij, la igualdad
sintetiza las n^ igualdades:
A = B
lij — b{j,
donde i y j toman cualquier valor 1, 2,
trices
1 2 O
0 1 2
1 O O
., n. Así, son iguales las ma-
6_
3
1
O
O
o

DETEBMINANTES Y MATRICES 243
pero las matrices
no son iguales.
Con dos matrices A y B (del mismo orden) de elementos a,;, y 6^
podemos realizar una operación llamada adición que se indica con el
habitual signo + .
Sumar una matriz B a una matriz A significa formar una nueva matriz
C cuyos elementos Cy sean las sumas a,;,- -f- bij- de los elementos
correspondientes de A y B. Así, si:
/ 1 2 -
4=3 1 4 1 y B =
\—5 6
entonces
De la definición se deduce inmediatamente que las leyes asociativa
y conmutativa son válidas para la adición de matrices, es decir:
D + B) + C = 4 -H (B -t- C)
A + B = B j- A,
con todas sus consecuencias. La matriz O cuyos elementos son todos
ceros, es la única matriz para la cual
A -f-0 = 4,
para toda matriz A, y por lo tanto O puede llamarse matriz cero ■^.
ic 13. Multiplicación de matrices. — La definición de
multiplicación de matrices puede basarse en la noción de producto escalar de
dos sucesiones ordenadas de números o vectores. Por producto escalar
de dos vectores
R ~ (ai, a», ..., a.) ; S = F,, 6t, ..., 6.) ,
entendemos la siguiente cantidad:
R.S = Oi 6i -h 02 62 + ... + a. 6, .
Sean ahora dos matrices 4 y B de orden n. El vector
Ri ~ (aa, aa, ..., Oi,) ,

2u teoría de ecuaciones
está vinculado con la i-ésima fila de A, y en la misma forma el vector
C¡ = Fi;, 62J, ..., 6„j) ,
está vinculado con la j-ésima columna de B. La matriz
/ R\.C\ Rí.Cf . . , Ri.C,
\R,.Ci Rn-Ct.. • R».C,
por definición es el producto de la matriz A por la matriz B, y escú
bimos:
AB -= C.
En otras palabras
'an «12 • . . ai,
0,21 (I2I • • • Cí«,
. Ctnl Ct»2 • • . Ctn.
donde
Cij - a,i 61; + aj2 62, -f- •. • + a» í>.,- = YL "'* ^*í'
ib-l
es el producto escalar Ri. Cj. Por ejemplo, de acuerdo a esta definición:
O
1
1
pero
1
O
-1
Este ejemplo muestra que, en general, la multiplicación de matrices
no es conmutativa, de modo que debemos distinguir entre BA y AB.
Por el contrario, la propiedad asociativa de la multiplicación se conserva;
es decir:
(AB) C = A (BC) .
Esto puede verificarse calculando los elementos de las matrices del
primero y segundo miembro de acuerdo con la definición de producto.
Por verificación directa puede demostrarse también \a validez de las
dos leyes distributivas:
{A + B)C ^ AC + BC
y
C {A j- B) -^ CA + CB.

DETERMINANTES ¥ UATBICES 245
La matriz
en la que los elementos de la diagonal son 1 y los demás O, tiene la
propiedad que para cualquier matriz A
AE -= EA = A ,
y í; es la única matriz que tiene esta propiedad. Porque si E' es una
segunda matriz tal que
AE' = E' A = A ,
para todas las matrices A, tomando en particular A = E, tendremos;
EE' = E.
Pero, por otra parte, tomando A = jB' en
EA = A,
tendremos;
EE' = E',
de modo que E' = E. La matriz E representa el papel de fa unidad con
respecto a la multiplicación de matrices, y por esta razón se la llama
matriz unitaria. Es un caso particular de las llamadas matrices escalares,
en las que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a un
mismo número a, siendo los demás elementos 0. Multiplicando una matriz
cualquiera
' an an ... ai„
A _ l Oii Clii • • ■ Clin
, a,i a,t ... a,
por (a), o (a) por A, en ambos casos la matriz resultante es la misma:
(aou aaíz ■ ■. aoi,
aa^, aa^... aa,,
aa„i aa,2 ... aa„n,

246 TEOSIA DE ECUACIONES
El producto de las dos matrices escalares (a) y F) es una matriz-
escalar (ab) y, en la misma forma, (a) -h F) es una matriz escalar (a +6),
Teniendo en cuenta ésto, las matrices escalares (a) se representan
simplemente por a, y el símbolo
aA = Aa,
representa el producto de una matriz escalar (a) por otra matriz A.
Una matriz en la que todos sus elementos, excepto los de la primera
columna, son O, se llama matriz columna. Por lo tanto, las matrices
columna son del tipo;
'xi O ... O
X2 O ... O
.x, O ... O,
y pueden ser designadas convenientemente por
(Xi, Xi, . . ., Xb) .
El producto de una matriz cualquiera A por una matriz columna
(xi, X2, ...,Xn) es otra matriz columna B/1,2/2, ■•.,yn) donde:
2/1 = flu xi j- aitX2 j- . .. -H ai, x„
2/s = OjiXi -f 021X2 j- ... + oj.x.
Vn = inixi + a^Xi + ... -f a,,X,.
Estas relaciones son, por lo tanto, equivalentes a una sola ecuación
matricial
A (xi, X2, . .., x„) = B/1, 2/2, .. ., 2/»). *
Problemas
Demostrar que las matrices siguientes satisfacen las ecuaciones que se indicai>;
2. S = ( ^\ ; S^ — 3 .S! + 8 í; = 0.
\-2 2/
3. S = (° ) ; S- — (a + d) S + (,ad — 6c) í; = 0.

BETSBMINANTES Y MATRICES
247
5. S =
6. S
7. Si
S^ = E.
-2
-2 b>
u2 + u + 1 = 0; S» - í;.
A =
1 -1
O —2
-2 4
B =
O
-1
demostrar que AB = E. ¿Qué da. BA?
2
0
1
2
1
1
—1
0
1
0
0
1
0
—2
1
1
ir 14. Producto de determinantes. — Con la matriz
.4 =
021 0-22
, a„i a„2 . .. a
n
está asociado el determinante
On ai2
021 OS2
ain
flnl 0-2 .
que se llama determinante de 4 y puede ser designado con la notación
det. A. Entre el determinante del producto de matrices y los
determinantes de los factores existe una relación simple que se expone en el
importante teorema que sigue, llamado teorema de la multiplicación de
determinantes:
Teorema. El determinante del producto de las matrices A y B, o det.
[AB), es igual al producto de los determinantes de los factores, o sea:
det. (AB) = det. 4. det. B

248 teoría de ECUACIONES
Demostración; Sea
' au ai2 . . . ai„ \ / 611 612
^ _ I 021 ttii .. . a2„ \ B = ' ^" ^"
> flnl «ni ■ . • 0,„„
C = AB =
Cu C12
C21 C22
, C„l C„2
donde
Cij = a,i 6iy -|- a,2 ^2; -f ... + ai„ b„
Considerando los elementos a,j como variables, el determinante de
C será una función racional entera de las n variables a^, lineal y
homogénea con respecto a los elementos de cada fila de A, y se anulará cuando
dos de estas filas sean idénticas, puesto que en ese caso C tendrá dos
filas idénticas. De la discusión del Párrafo 7 se deduce que el det. C
difiere del det. A por un factor T independiente de los elementos a,;,
de modo que
det. C = T det. A .
Para determinar r elegimos A = E, entonces será C = B, y puesto
que det. E = I tendremos:
r = det. B .
y así
det. C = det. AB = det. A. dot. B.
En otras palabras, el producto de dos determinantes, uno con eic-
mentos Uij y otro con elementos 60, puede expresarse como un
determinante con elementos Cj obtenidos combinándolos de acuerdo a la
regla de multiplicación de matrices en las que las filas de la primera
matriz se multiplican por las columnas de la segunda o, brevemente,
por multiplicación de fila por columna. Puesto que un determinante
no cambia si se reemplazan las filas por las columnas, podemos también
hacer multiplicación de fila por fila, columna por fila o columna por
columna, obteniendo por cualquiera de estos procedimientos un
determinante igual al producto de ios determinantes dados. Podemos elegir
la forma de multiplicar que nos convenga.

DETERMINANTES Y MATRICES
249
Ejemplo 1. Multipliqúense lo3 determinantes
d =
1
1
1
1
b>
la^
1
u«
b>
y
D =
a
b
c
b
c
a
c
a
b
siendo u una raíz cúbica imaginaria de la unidad. Multiplicando fila por fila, tenemos:
dD =
a + b + c b + c + a c + a + b
a + ixo + c<i>^ 6 + cü» + aur c + cko + ixo''
a + ÍMi)' + cu 6 + c<i>' + au c + au' + ixo
Pero
6 + c<i> + au- = t)- (a + bu + cu-) ; c + au + 6<ü° = u (a + 6u + cu')
6 + cu' + cuú = u (a + 6u' + cu ) ; c + au? + 6u = u- (a + feu' + cu)
y, en consecuencia;
dD = (a + 6 + c) (a + 6u + cu^) (a + 6u- + cu)
1 1 1
1 U' U
i. u u''
dD = — d(a + 6 + c)(a+6u + cu^) (a + bu' + cu).
Siendo d un determinante de Vandermonde y, en consecuencia, distinto de cero, puede
suprimirse y entonces;
D
abe
b c a
cab
— (a + 6 + c) (a + 6u + cu') (a + 6u' + cu).
Kste determinante se llama determinante cíclico debido a que su segunda y tercera filas
se obtienen permutando cíclicamente los elementos de la primera. Por un método similar,
loe determinantes cíclicos de cualquier orden pueden ser presentados como productos.
Ejemplo 2. Sea, como siempre, Aíj el complemento de a,-; en el determinante
D =
Olí 112
021 a22
ain
02n
«ni «ns
y consideremos el determinante adjunto
A;i Ak ... Ai„
A =
A21 A22 ... Ain
', -^nl ^n2 • • • ^nn

250
TEOniA DE ECUACIONES
Cu
C21
Cni
Cl2 • .
C22 .
Cn2 •
• Ci,
. C2
• c„
Cuando D se multiplica por A, fila por fila, el producto resulta un determinaate
D A =
en el cual
Ctj = afi, Aji + Oí! 4,2 + . • . + a,-, 4,,.
Pero, de acuerdo a las identidades establecidas en el párrafo 10;
Cii = 0 si j -Ai y Cii = /).
Por lo tanto:
DA
D O
O n
O O
D
D",
Í)(A—D"-') = 0.
Ahora, si los a;, se consideran como variables, D y A son funciones racionales enteras de
ellos, y D no se anula idénticamente. Desde que el producto
D (A — />"-'),
se anula idénticamente, el factor debe ser idénticamente nulo, de modo que
An An
Ail ^22
4l„
A2n
= D"-!
idénticamente en los elementos a,,-. Naturalmente, esta igualdad se conserva verdadera
para valores particulares de Ofy, aun para aquellos para los que D = 0. El razonamiento
empleado se basa en el siguiente teorema: Si el produelo de dos polinomios F y (j) en las
variables xi, xi, ..., x„ se anula idénticamente, por lo menos uno de los factores debe ser
tin polinomio idénticamerUe nulo.
El teorema se cumple en el caso de polinomios en una variable, y basta probar que se
cumple para polinomios en n variables suponiendo su validez para polinomios en n — 1
variables. Si ni /^ ni </> se anulan idénticamente, podemos ordenarlos en potencias de
una de las variables, por ejemplo xi, y escribir;
F = F„xv" + FvXv''--i+ ...
</) = </)oXi"' + </)iXi"'-' +

DETERMINANTES Y MATRICES
251
donde Ft, Fu ...; ^o, <l>i, • • ■ son polinomios en las n — 1 variables x», ..., i», y ni
Fu ni <f>, se anulan idénticamente. Pero
F . <t> = Fo </)oXi"+" +
0,
idénticamente, por hipótesis; por lo tanto, también se anula idénticamente en las
variables xj, ...,x„; en consecuencia:
Ft </)o = O .
Por hipótesis esto implica que Fo o </>o se anulan idénticamente, y ésto es un absurdo ■^.
Problemas
1. Demostrar que:
a + b c
a 6 + c
c + a
1 1
a + 6 4 c a
2 2
1
1
1
c 6 + c4 a 6
2 2 2
2 "^
a c + a 4 6
2 2
(a + 6)« c« (J
a^ F + cY a?
V 6' (a + cy
y escribir como producto el determinante del segundo miembro.
2. Demostrar que:
a a a a —110 0
a h b h 0—1 1 O
a h c c ' O 0—1 1
a h c d 1 1 1—1
2 a F — a) (c — 6) (d — c)
3. Demostrar que:
1 (i) <i)^ <i)^
1 u^ u* <<)
1 U' <<) M*
1 U* <<)' <<)^
= 125
si b> es una raíz quinta imaginaria de la unidad
4. Un determinante
Cu Cu . . • Ci,
C21 C22 . . .
A =
C2,
I Cnl C.7

252
TEOSIA DE ECUACIONES
en el cual
2) cik C;t = O si j yii, y 2) c»rt = 1,
«e llama determinante ortogonal. Demostrar que A = ± 1.
■^15. Matrices recíprocas. — Una matriz
au
021
ai„
an .
022 .
a„2 .
. ain
. a2n
. a».
A =
se llama singular o no singular según que su determinante sea o no cero.
Sea A una matriz no singular y D ^0 su determinante. Designando,
como lo hicimos anteriormente, al complemento del elemento a,, en D
por .4,; consideremos la matriz:
I An Ail . . . A^ \
I D D IT \
X =
Al2 ^22
D
\ Aln^ Ajn . . A^ I
\~D~ D D I
Los productos AX y XA son:
Cii Ci2 . . . Ci„
AX = I '^^^ <^22 ■ ■ ■ C2„ I . j^^ ^ I C'i2 C'22 . . . C'2„
c'u c'i2 . . ■ c'i„
^' ^'
^n\ C^i_ . . . Cnit I \ C til C „2 • • • ^ un
donde
Ci,- =
Oil A,i + Ota Aj-2 -h • • ■ + ai„ A^„
, _ Ai.aij + -4.2ia2j + ... + An<a„,
c .; =
D
Por las identidades del Párrafo 10:
Cy = 0 si j jí-i y Cu = 1
c'ij = O si j -Pi i y c'ii = 1
En consecuencia:
XA = AX = E.

DETEBMINANTES Y MATRICES
253
Esta matriz X se llama recíproca de A y se indica por A~^. La matriz
A~^ es única, es decir, no hay otra matriz Y tal que:
YA = AY = E .
Si existiera tal matriz, multiplicando ambos miembros de la relación:
YA = E
por A-^ tendríamos
Pero
y entonces
(YA) A-' = Y (AA-') = EA-K
AA-'' = E ; EA-'' = A-\
YE = Y = A-^.
Por otra parte, multiplicando A~^ por AY = E, tendríamos
A-^{AY) = iA-^A) Y = A-^E,
pero
A-'' A = E ; A-^E = A-'
EY = Y = A-K
Por lo tanto, para cualquier matriz no singular A existe una única
matriz recíproca:
/An Aji, . .. A,i
D D ... D
Al2 .4.23 . . . A»2
A-' =
D D
D
Aln Ain . . . An„
~W 'W "d"
tal que
A-'- A = AA-'- = E .
El producto de varias matrices, por ejemplo cuatro: A, B, C, D,
tomadas en ese orden, se define como:
ABCD = ((AB) C) D ,
y se deduce de la propiedad asociativa que, al multiplicar, los factores
pueden combinarse en grupos arbitrarios si no se altera el orden de los
factores,
ABCD = A (BCD) = (AB) (CD).

254 teoría be ecuaciones
Si todos los factores son matrices no singulares, su producto es una
matriz no singular. En efecto, por el teorema de multiplicación de
determinantes,
det. (ABCD) = det. A. det B. det. C. det. D ^Q.
La matriz recíproca del producto A BCD es
D'^C~' B-'A-'
porque
(ABCD) (D-'C-'B-^ A-^) = ABC (DD~^) C~^ B-'A-^ =
= AB(CE)C-^B-^A-^ = AB (CC-^) B-' A'' =
= A (BE) B-M-i = A (BB-i) A-' = (AE) A~^ = AA'^ = E.
El producto de n matrices iguales
AA ... A,
es, por definición, la n-ésiraa potencia de A:
An
-^ )
cuyo exponente es un entero positivo n, y se deduce de la propiedad
asociativa de la multiplicación que:
A" A' = 4"*+",
D>g>»'ién»<t*%0«wri positivos cualesquiera m y n. El símbolo A° se define
A" = E,
y una potencia A~^, con exponente entero negativo, es por definición:
A-' = (A-^)',
siendo A no singular. Con estas definiciones las propiedades de la
potenciación
A'^A' = 4"*+" ; D"*)" = A"',
son válidas para exponentes enteros, pero los exponentes negativos sólo
pueden ser admitidos si A es una matriz no singular.
Si A es una matriz no singular, la ecuación matricial
AX = B,
tiene una única solución
X = A-^B .
Porque
A (A-^B) = (AA-^) B = EB ^ B,

DETERMINANTES Y MATRICES 265
de modo que 4~' B es una solución. Por otra parte, de la ecuación
AX = B,
se deduce que
A-^(AX) = (A-'A)X = EX = X = A-^B.
de modo que la solución
X = A-^B,
es única. La ecuación
XA = B.
tiene también una única solución
X = BA-^,
que puede ser verificada de la misma manera. Por supuesto, todo
esto es válido sólo para matrices A no singulares. Si A es una matriz
singular, ninguna de las ecuaciones
AX = B ; XA = B,
tiene solución, a menos que det. B = 0. Porque
det. B = det. A. det. Z = 0.
En particular, una matriz singular no tiene recíproca. -^
Problemas
1. Si se intercambian las filas y columnas en una matriz A, se obtiene otra matrii que
se llama conjugada o traspuesta de A. Designando, en general, por ^1 o la matriz ccmjugada
de A, demostrar que
{AB)o = BoAo
y, máa generalmente, que:
(ABC ... L)o = Lo ... Co Bo 4o.
2. Demostrar que Do)~' = (•'l'Oo ai A es no singular.
3. Una matriz cuyos elementos Ai¡ son los complementos de los elementos a,;, de una
matriz A se llama adjunta de A. Designando la matriz adjunta por A*, demostrar que
ÍAB)* = A*.B*
4. Las relaciones
x¡ = an t/i + Oij t/í + ... + ai„ t/„
Xt = Oji t/l + Ojj t/j + ... + Ojb t/,
x„ = a„i yi +a„tyt+ ... + a„„ t/„

266 TXOBIA DS ECUACIONES
deñnen una transformación lineal de las variables ii, ii, • • ■, x, en las variables y¡, j/i, ...
..., 3/,. Una transformación lineal se caracteriza por la matriz A = (o„) de sus
coeficientes. Si 3/1,3/2, . • •, 3/„ se transforman en z¡, zj, . . ., z, por una transformación lineal
con la matriz B, demostrar que ii, I2, . . ., i» se transforman en z¡, zj, . .., z, por
transformación lineal con la matriz AB. Si A es no singular, demostrar también que 3/1,3/s, • •.,
.., 3/„, se transforman en x¡, ij, .. ., i, por la transformación lineal cuya matriz es A.
5. Las variables x¡, I2, . . ., i„ se transforman en 3/1, í/2, • • •, 3/n Por una transformación
lineal con la matriz A. Las variables x¡, 12, •. , in e 3/1,3/2, ..., 3/„ se transforman,
respectivamente, en x¡, Xi', . . ., x„' e y¡, 3/2', ... 3/,' por la misma transformación no
singular cuya matriz es T. Demostrar que la transformación de x¡, xí ..., i,' en 3/1', 3/2', ...
..., 3/,' tiene por matriz
r-' AT .
Las matrices de este tipo se llaman semejanUs a A.

CAPITULO X
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES
POR DETERMINANTES. ALGUNAS APLICACIONES DE LOS
DETERMINANTES A LA GEOMETRÍA
1. Regla de Cramer. — Los determinantes tienen muchas
aplicaciones. Una de las más importantes es la aplicación a la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales con varias incógnitas, para lo cual fueron
introducidos por Leibnitz y Cramer, aun cuando sin la conveniente
escritura simbólica que es di origen posterior. Sea
Olí Xi + a,2 Xj + ... + au x, = bn
021 Xl -\- üii Xi i- . . . + üin Xn = bil
a„i Xi -h a„2 a;2 + .. . + a«n x„ = b.
[1]
un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas. Con los coeficientes
del sistema formamos el determinante
D =
Olí ai2 . . . fflln
ffl21 ffl22 • • • ffl2n
fflnl ffln2
On
llamado determinante del sistema [1]. Al multiplicar las ecuaciones [1],
respectivamente, por los complementos de los elementos d^ la primera
columna y sumarlas, en la ecuación resultante se eliminarán todas las
incógnitas excepto xi. En efecto, el coeficiente de x,- para ¿ > 1 será:
y el de xi
Así:
V similarmente
^11 au + An a2i+ . .. -f Ani a„i = O
^11 aii -h An 021 -f . .. -f Ani a„i = 2).
Dxi = ^1161 + ^21 ^2 -h .. • + Ani bn
DXi = Aubi + ^21^2 + ... + ^nií»n,
[2 a]
[2i]
267

258 TCEOBIA DS ECVACIONSS
para t > 1. Las ecuaciones [2] son consecuencias necesarias de las [1];
y en el caso en que 2) ?«O la recíproca es también cierta, es decir, las
ecuaciones [1] se deducen de las [2]. Para demostrarlo, multipliquemos
las ecuaciones [2], respectivamente, por au, au, . .., ai« y súmense los
resultados. Observando que
Alian 4- Ai»ai» + ... + Ai.au = D,
mientras que
Aa aii -h Afl aii + ... -1- A*, ai, = O,
para t > 1, se deduce que
D (aiiii -H a^x, -|- ... + ai.a;.) = Dbi,
de ionde, simplificando D ytO,
anXi + aixxt + .. . + ai.x, = bi,
y puede demostrarse similarmente que
aaii + aax» + ... + a^x» = bi,
para t > 1. Luego, en el caso en que D ytO, los sistemas [1] y [2] son
equivalentes. La solución de este último es inmediata y lleva a la
expresión de Xi, de la forma
Di
Xi=
D
donde
Di = Ai<fe. + A«b.+ . .. + A.ib,,
es el desarrollo por los elementos de la t-ésima columna del determi,
nante que resulta del D reemplazando su t-ésima columna por bi,bi, .. .-
.. .,b„, segundos miembros de las ecuaciones [1]. As! llegamos a la
siguiente regla para resolver los sistemas de ecuaciones lineales:
Regla de Cramer. Si el determinante D de un sistema de ecuaciones
lineales es distinto de cero, el sistema tiene una solución y esta solución
es única. Los valores de las incógnitas aparecen como cocientes de los
determinantes.
Xi = —^ ; t = 1, 2, ...,n
donde Z), resulta de reemplazar la í-ésima columna de D por feí, bj, fej, .. -
...,í>n.

RESOLUCIÓN RE ECUACIONES LINEALES POB DETEBUINANTES 269
Ejemplo. Resolver por detenninanteB el sistema
5x+ 42 +2< -3
x — y+2i+ i -I
ix + y+2i
x + y + 2 +
El deteraúnante de este sistema es:
t
D =
O
—1
1
1
4
2
2
1
1 —1
4 1
1 1
—1
—1
1
1
1
4
1
O
—1
1
0 0
5 —6
2 —1
"=
5 6
2 1
7.
Además
Z)t-
3
1 -
1
0
=•
ü
-1
1
1
3
1
0
4
2
2
1
4
—2
3
2
1
0
1
4
1
1
=
3
0
1
0
3
1
0
0
—2
0
1
10 1
0 0
3 1
4
0
1
1
=±
2
—1
—1
1
—
wm
10
3
3
0
1
0
1
1
4
0
—2
3
--7.
4
0
1
1
2
1
—1
1
y sinúlarmente
Dz -
Di -
O
—1
1
1
-7
Luego, finalmente
D,
a: - 1
O
—1
1
1
.—1
- —7.
«=. —1
t - 1.
Rescdver por determinantes
1. 2 a: —2 = 1
2z + 4j/—z = 1
x — Sy—3z - —2
Problemas
2. x + y + z'T'a
a; + (l+o)j/+z=2o
x+y + {l+a)z=0

260
T£OBIA DE ECUACIONES
3. 5a; + 4z + 2í=3
x—y+2z+t=l
4x + y + 2z= 1
x + y + z + t = 0
5. x + 2y + z+t = —l
2x + y + z+2t =0
x + 2y +2z +t =0
x + y + z+2t = 2
7. 2 «1 + «2 + «J + «4 = 1
«1 + 2 íi + «j + «4 =0
«1 + «2 + 2 íí + «4 = 1
Xi + Xz + Xz +2Xi =0
9. «1 + a;» — xz =
Xz + Xi — Xi =
Xl + Xi — Xí =
«6 + «4 Xl =
«4 + «J X2 =
4. 3x + 2y — z = b
x — y—t - O
Zx~2y—z—t - *
V —< = 1
6. Xl + Xl + Xl + x^ = a
Xl -\- X^ + Xl — «4 =h
Xl ■\- Xi — Xl — Xi = C
Xl «2 Xl «4 = (i
8. «1 + 2 «2 + 2 «1 + 2 «4 = I
«1 + «2 + 2 íj + 2 «4 =2
«1 + «2 + «3 + 2 «4 = 3
«1 + «2 + «J + «4 = 4
10. «1 + X2 + «3 = o
«2 + «s + «4 = o
«3 + «4 + r-í = 1
— «6 + «4 + «J = 1
— «4 + «J + X2 = 2
2 Ecuaciones lineales homogéneas. — Cuando el determinante
de un sistema de ecuaciones lineales es cero, el sistema puede ser
incompatible ■—o imposible de satisfacer para cualquier valor de sus
incógnitas— o indeterminado, es decir, que admite infinitas soluciones. Antes
de discutir este tema en forma general, examinaremos el caso de n
ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas:
/i = Olí Xl f ai2 X2 +
ft = an Xl + ünXi +
+ ai„ Xn = O
+- asn X, = o
/. = a.i Xl + a„2Xi + ... 4- a„„ x„ = O.
Este sistema, cuando su determinante es distinto de cero, tiene
solamente la solución trivial
Xl = O ; X2 = O
; X, = O,
como se deduce de la regla de Cramer. Pero si el determinante es nulo,
vamos a demostrar que, además de la solución trivial, es posible
satisfacer el sistema con valores de las incógnitas que no son cero
simultáneamente. La demostración se hará por inducción. En primer lugar,
el enunciado es cierto para dos ecuaciones
Olí Xl -h ai2 Xí = O ; Oji Xi -f ajj Xj = O,

RESOLUCIÓN I>E ECUACIONES LINEALES POR DETERMINANTES 261
pues si todos los coeficientes fueran cero, el sistema se satisfaría para
valores arbitrarios de Xi, Xt. En caso contrario, sea, por ejemplo, ou ?í 0.
Kntonces:
Xi = Xi,
an
y sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación, ésta se convierte
en:
Olí 022 — fflií flji
an
■Xi = O,
o sea
suponiendo
O.Xí = O,
fflii 022 — an Oji = O.
Luego, Xi puede ser elegida arbitrariamente; por ejemplo, sea .T2 =
— fflii T-í O y entonces ambas ecuaciones se satisfarán si Xi = a^. Para
completar ahora la demostración por inducción es suficiente demostrar
que uiv sistema Komogéneo de n ecuaciones con n incógnitas tiene
soluciones no triviales á su determinante es cero, supuesto que esta
propiedad se cumple para n — 1 ecuaciones con n — 1 incógnitas. No hay
nada que demostrar si los coeficientes a<, son cero. En caso contrario,
mediante un cambio conveniente en la notación de las incógnitas y en
el orden de las ecuaciones, podemos suponer que on ^ 0. El sistema
/i = 0 ;/2 = 0;... ;/, = 0,
es equivalente al sistema
an
/n
a»i
/i = 0.
Ul
[2]
cuyo determinante es igual a
D =
Olí ait ... oi,
fflji ffl22 .. • a?.
a.i a.2
a.
En efecto, el determinante del sistema [2] se obtiene de D multipli-
. a»i
cando su primera fila respectivamente por ; ;
an an
y res-
an
tándola de la segunda, tercera, ..., n-ésima filas; por estas operaciones
el valor del determinante no altera. Desarrollando el determinante así
obtenido por los elementos de la primera columna, tenemos:
D = anA,

262 T£OBIA DE ECUACIONES
donde A es el determinante del sistema de ecuaciones
A-—/i = 0; ... ;/.-^/i = 0, [3]
On Oil
que no contiene Xi. Desde que, por hipótesis, D = O y ou ?í O, el
determinante del sistema [3] de las n — 1 ecuaciones con n — 1 incógnitas
Xi, .. .,Xn es cero. En consecuencia, suponiendo válido el teorema para
n — 1 ecuaciones, es posible satisfacer [3] con valores Xi, no todos iguales
a cero. Determinando entonce' xi de la ecuación
/i = 0,
el sistema [2] y el sistema equivalente [1] se satisfacen, de manera que
no todas las incógnitas son cero.
Así hemos demostrado el siguiente teorema que, a pesar de su
simplicidad, está entre las herramientas más útiles y frecuentemente
aplicadas en las investigaciones matemáticas:
Teorema. Un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas con n
incógnitas, tiene soluciones no triviales sólo si su determinante es cero.
Como corolario se sigue que un sistema homogéneo en el que el número
de ecuaciones es menor que el de incógnitas tiene siempre una solución
no trivial. En efecto, es posible completar el sistema añadiendo un
número de ecuaciones de la forma
Oil 4- Oxí -1- ... + Ox, = O,
que no restringen de manera alguna a Xi, xt, ..., x„, de manera de igualar
el número de ecuaciones con el de incógnitas. Pero un sistema tal tiene
su determinante nulo.
if 3. Rango de una matriz. Independencia lineal. — Sea
fi = anXi + ... -t- au x,
/» = Oil Xi + ... + ain X,
/m = ami Xi + . . . + Om, X,
un sistema de funciones lineales homogéneas o formas de n variables.
Con estas formas asociamos la matriz de los coeficientes
' fflll ffll2
j _ I ffljl 5t22
\

SESOLVCION DH ECUACIONES LINEALES POB DETESUINANTES 263
que consta de n filas (número de las formas) y n columnas (número
de las variables). Eligiendo en esta matriz r filas y r columnas (r ^ tn;
r ¿ n) podemos formar con estos r* elementos un determinante de
orden r. Hay varios determinantes de orden r que pueden formarse
de esta manera y se llaman menores de orden r de la matriz A. En el
caso r = 1, los elementos de la matriz se consideran como
determinantes de orden 1. Por ejemplo, con los elementos de la matriz
X =
0
1
4
1
2
1
1
—1
3
0
3
0
1
2
1
0
4
2
podemos formar: (a) 20 menores de 3er. orden; (fe) 15 X 3 = 45
menores de 2° orden; (c) 6 X 3 = 18 menores de 1er. orden.
Correspondientes a la matriz
Y =
0
1
1
1
1
2
—1
4
0
3
—3
3
hay. (a) 4 menores de 3er. orden; (fe) 6 X 3 = 18 menores de 2° orden:
(c) 4 X 3 = 12 menores de 1er. orden. Por definición, una matriz es de
rango p si contiene menores de orden p distintos de cero, mientras que
todos los menores de orden p -h 1 (si los hay) son nulos. El hecho de
que todos los menores de orden p + 1 sean iguales a cero implica que los
menores de orden > p + I, si los hay, lo sean también. Por ejemplo, la
matriz X es de rango 3, por contener el menor de tercer orden:
1 1
2 -1
1 3
= —14
que es distinto de cero, mientras que no existen menores de 4° orden.
La matriz Y es de rango 2 ya que contiene el menor de 2° orden
0 1
1 2
= — 1
distinto de cero, en tanto que los cuatro menores de 3er. orden son
iguales a cero. Las formas lineales /i, /», ...,/«, correspondientes a la
matriz A se dicen linecdmente independievtes si la relación idéntica:
Xi/i f X,/í+ ... +X«/« = 0,
no puede ser satisfecha por la elección conveniente de las constantes

264
TMOniA DE ECuACIONSS
Xi, \i, ..., Xm, salvo para li = I3 = ... = >.„ = 0. De lo contrario, si
pviedftn Viallatae constantes \^, Xi, . . ., 1^ no todas nulas, de modo que
sea idénticamente en las variables Xi, X2, . .., Xm
Xl/i -f X3/2 -h ... +\mfm = O,
entonces las formas /i,/2, ■■■,fm se dicen linealmente dependientes.
Sea a el máximo número de formas lincalmente independientes entre
las fijfx, ■ ■ -jfm- Entre este número a y ol rango p de la matriz
correspondiente a las formas /i, />, . .., /„, existe una relación simple
expresada por el siguiente teorema:
Teorema. Si la matriz correspondiente a las formas /i, fz, . .., fm es
de rango p, entonces entre estas formas hay p linealmente independientes
y cualesquiera p + 1 formas del sistema /i,/2, ••.,fm son linealmente
dependientes, es decir que a = p.
Demostración. Por un cambio eventual en la notación de las variables
y en la numeración de las formas, podemos suponer que el menor de
orden p, diferente de cero, es
D =
On On
an 022
a¡,i ap2
aip
02 p
Entonces, las formas /i,/2, ...,/pSon linealmente independientes. En
efecto, tratemos de hallar constantes Xi, X2, ..., Xn tales que sea
idénticamente.
Xi/i -\-\2f2-\- ... +X,/p = 0.
En esta ecuación, iguálense los coeficientes de xi, Xi,
obteniendo el sistema de ecuaciones homogéneas
Xi an -I- X2 021 -h
Xl 012 "K X2 022 I
+ Ap Opi = O
+ Xp a^^ = O
Xi Oip -f X2 a2p -}-
+ Xp Op, = O
., Xp a cero,
cuyo determinante D' difiere del D solamente en que las filas de D'
son columnas de D y viceversa. Luego D' ^íO y por lo tanto Xi = X2 =
= ... = Xp = O, lo que demuestra que las p formas /i,/2, ■• -.fp son
independientes. Ahora sea A; > p; deseamos demostrar que las formas

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES POR DETERMINANTES 265
/ij/s) •••)/? y /* son linealmente dependientes. Con este fin,
consideremos el determinante
A =
Olí
«21
flpl
«Al
an .
«22 .
a,2 ■
flfó .
. flip
• a2p
• (if?
■ O-kf
fi
h
/p
h
Reemplazando en la última columna /i, /2,
en las variables
^Ij ^2, . • • » «í^n
. ,/j por sus expresiones
,, .On, el determinante A se desdobla en la suma
de determinantes del tipo
On
an
flpí
aki
«12 .
«22 .
ap2 .
0*2 .
• «ip
• a2p
• «P?
• flip
Qu
a^a
«PC
«t.
a-.
;«:,
Xj
X,
=
Olí
«21
«pl
áki
an . ■
«22 . •
ap2 .
aiü .
. flip
. «2p
• "■PP
■ akf
fli.
«2,
flpc
a*
p de los cuales, correspondientes a 3 á p, son iguales a cero por tener
dos columnas idénticas; los restantes n — p son iguales a cero por ser
proporcionales a los menores de orden p + 1 de la matriz A. Luego es,
idénticamente en las variables xi, X2, ..., x„:
A =
Olí ai2
«21 «22
flip ;i
«2p /2
flpí ap2
flftl 0*2
a„
flftp fk
= O
Desarrollando por los elementos de la última columna, tenemos la
identidad de la forma
Dfk + í>i/i + D2/2 + . .. + Dp/p = O,
en la que D ?í 0. Luego, las formas /i,/2, •••,/p, /* son linealmente
dependientes y /j, para A- > p, puede ser expresada como sigue por
medio de /i, ¡2, . .., /p
/i = hfi + hh + ... + IJ,.
Tómense ahora p + 1 formas cualesquiera
/« > /p I • •. )A
y expré.seselas por medio de /i,/2, -■■,//.
/. = Ai/i + ^2/2 + ... + A,f,
U = B,f, ^£2/2 + ... + fip/p
h = Lifi + L2/2+ ... +LJ,

266
teoría de ecuaciones
Elíjanse los números a,b, . ..,1, no todos iguales a cero, de manera
de satisfacer las p ecuaciones
Al a -^ Bib +
Al a + Bib +
-i- Li I = O
+ L. í = O
A,a -\- B,b + ... + L,l = O
con p i- 1 incógnitas; entonces:
afa i-bh i- ... -{- Ifx = O
de manera que p -|- 1 formas cualesquiera son lineal mente dependientes.
Corolario. Cualesquiera n ■\- \ formas con n variables son lineal-
mente independientes, puesto que la matriz correspondiente no tiene menores
de orden superior a n y su rango es á ?!.
Ejemplo. Consideremos las formas lineales de tres variables x, y, z:
fi = — x—y—Zz
Jt=x+4y + Zz
La matriz es la anteriormente llamada Y de rango 2. Luego, entre estas formas hay
solamente dos que son linealmente independientes. Podemos tomar como tales a /i y />.
Para expresar /j y ft en función de /i y /j considérense loe determinantes
0 1 /,
1 2 /,
-1 —1 h
= 0
Desarrollando encontramos
-/»-/»+/. =0 ;
de donde
/»=/.-
-h ;
j
0 1 /,
1 2 /,
1 4 f.
= 0.
-f4+f^ + 2f, =0
/4 =
2/. +f.
■^ 4. Cómo determinar el rango de una matriz. — Para encontrar
el rango de una matriz se la reduce, por una serie de transformaciones
que no lo afectan, a una cierta forma normal de la cual se puede
encontrar el rango requerido por simple observación. Estas transformaciones
son las siguientes:
1. Intercambio de dos filas.
2. Intercambio de dos columnas.

BESOLüCIOK DE ECUACIONES LINEALES POS DETEBUHfAlíTES 267
3. Suma de los elementos de una fila a los de otra, multiplicados
por un factor arbitrario.
4. Suma de los elementos de una columna a los de otra,
multiplicados por un factor arbitrario.
Para demostrar que estas operaciones dejan inalterado el rango de
la matriz, introdúzcanse formas lineales correspondientes a la matriz:
/:,/=, •••,/».. [1]
El número de formas independientes entre éstas es el rango de la
matriz. Ahora, el intercambio de dos filas lleva a alterar el orden de dos
de estas formas, lo que evidentemente no cambia el número de formas
independientes en el sistema [1]. Para demostrar que la adición de los
elementos de alguna columna multiplicados por un factor a los de
otra no cambia el rango de la matriz, supóngase, por ejemplo, que los
elementos de la segunda columna multiplicados por X se suman a los
elementos de la primera columna. La nueva matriz corresponde a las
formas //, /2', /j', .. ., fj, obtenidas de las /i, f^, . .., /«, introduciendo
nuevas variables x/, xi', .. . Xn tales que
xi = xi' +'kxt ; xt = 002' ; ... ; x„ = Xn ,
de donde, recíprocamente:
xi' = xi — X X2 ; X2' = xi ; ... ; x»' = Xn.
Pero las formas que son independientes cuando se expresan por
variables Xi, Xj, ..., Xn serán evidentemente independientes cuando se lo
hace por nuevas variables x/, X2', ...,Xn y recíprocamente; luego, el
número de formas independientes entre las //,/2', .. .,fm es el mismo
que entre /i, fi, . ..,/„,. Finalmente, para demostrar que la tercera
operación no altera el rango, supóngase que a los elementos de la primera
fila se les suman los elementos de la segunda multiplicados por X. La
nueva matriz corresponde a las formas
<t>l = /l + ^/í ; <h = fi '!•■•', <t>m = fm-
Luego, recíprocamente:
fl = <h — ^<h i fl=<hí--- í fm = <f>m-
Ahora podemos aplicar el siguiente enunciado más amplio:
Si las formas <i>i, ^, ..., <(>„ pueden expresarse linealmente mediante
fi) /», ..., /m entre las cuales hay p independientes, el número p' de
formas independientes entre las <f>i, <l>2, . .., <f>m no es mayor que p. Sean
fi,fi, •••,/(>, P formas independientes entre las fi,fi, ...,/«. por medio
-de las cuales todas las otras formas de este sistema pueden ser expre-

268 Teoría de ecuaciones
sadfts linealmente. Entonces, tomando cualesquiera a ^ p -|- 1 de entre
las formas <t>i, <h, • ■ ■> <t>m y llamándolas, por simplicidad, (j)i, ij^s, •. •, tj)»
podemos expresarlas mediante /i,/2 /p, así:
(i-i = Cn/i + C12/2 -}-... 4- Cip/p
(jjj = Cji/i -1- C22/3 + ... + C2p/p
«j»» = c,i/i + 0,2/2 -1- ... -I- c,p/p.
Para p ecuaciones con a incógnitas Xi, X2, . . ., X,:
Cn Xi -}- C21 X2 + ... -\- c,: X, = O
C12 Xi + C22 X2 + ... + c,2 X, = O
Cip Xi -I- C2p X2 -}-... + c,p X, = O
pueden ser satisfechas por valores Xi, X2, .. ., X, no todos cero, desde que
hay más incógnitas que ecuaciones. Pero entonces
Xi t>i -1- X2 t>2 + ... -f X, ()<<, = O ,
lo que demuestra que las formas <ii, •|>2, ■ ■ ■, 'i/, son linealmente
dependientes. Luego, se sigue que p' á p.
Volviendo a las formas
<f>l = fl ■{- X/j ; (ffi = ft ',•.•', <t>m = fm,
y llamando p' al mayor de los números de formas independientes entre
ellas, concluímos que p' s p. Desde que /i,/2, .. .,/m pueden expresarse
mediante <t>i, <i>^, .. ., 4>m tenemos, por la misma razón p g p' y luego
p' = p, lo que demuestra que el rango de la matriz no se altera por la
operación 3.
Para reducir una matriz a la forma normal, suponemos que contiene
elementos distintos de cero. Entonces, por una cierta cantidad de
intercambios de filas y columnas, un elemento que no es cero puede ser
ubicado en la intersección de la primera fila y piimera columna.
Multiplicando ahora la primera columna por factores elegidos
convenientemente y sumándola a las restantes columnas, podemos hacer iguales a
cero todos los elementos de las columnas^ 2, 3, ... pertenecientes a la
fila 1. Sin^ilarmente, podemos reducir a cero todos los elementos de la
primera columna pertenecientes a la fila 2, 3, ... Ahora la matriz tiene
en la primera fila y en las primeras columnas solamente un elemento
distinto de cero. Si aparte de éste hay algunos otros elementos distintos
de cero, llévese uno de ellos a la intersección de la segunda fila y
segunda columna. Luego, mediante las operaciones 4 y 3 redúzcanse a

BESOLüCIOK DE ECUACIONES LINEALES POn DETEBMINANTES 269
cero todos los elementos de la segunda fila y segunda columna excepto
el elemento diagonal. Continuando de esta manera nos será posible
reducir la matriz a la forma
a O O O
O b O O
/ ... O O
O O O O
donde todos los elementos no diagonales son ceros y en la diagonal los
primeros p elementos son distintos de cero. El rango de una matriz
de este tipo es evidentemente p y es el mismo que el rango de la matriz
original. Debe notarse que en el caso de que los elementos de la'matriz
original sean enteros, la reducción puede .hacerse sin introducir
fracciones, como se verá en el ejemplo siguiente. Además, observando
cuidadosamente los intercambios de filas, puede encontrarse cuáles de
las p formas correspondieatos a la matriz original son
independientes.
Ejemplo. Encontrar el rango de la matriz
2
3
4
9
14
3
4
5
10
15
4
5
6
11
16
5
6
7
12
17
6
7
8
13
18
Si lo columnii 1 se i¿sta de las restantes, la matriz se reduce a
2 12 3 4'
3
4
9
.4
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
Luego, de las columnas 1; 3; 4; 5 réstese la columna 2 multiplicada por 2; 2; 3; 4
respectivamente; esto reduce la matriz precedente a
0
1
2
7
12
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

270 T^OSIA DE FCüACIONSS
Intercambíense ahora las columnas
/I
h
1
\i
\i
y réstese la fila 1 de las 2; 3; 4; 5.
/I
h
'
\'
\o
1 y 2
0 0 0
1 0 0
2 0 0
7 0 0
12 0 0
Esto da:
0 0 0
1 0 0
2 0 0
7 0 0
12 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Ahora réstese la fila 2 multiplicada por 2; 7; 12, de las filas 3; 4; 5, luego de lo cual
la matrii aparece en la forma reducida
y su rango es 2. Este es el mismo, por lo tanto, que el rango de la matriz ori^nal. Desde
que las filas no fueron intercambiadas, entre las formas
/, - 2x+ 3y + Az+ 5t+ 6«
/, = 3x+ 4y+ 5z+ 6í+ 7«
/, = 4x+ 5y + 6z+ 7í+ 8«
ft" 9 a; + lOj/+ llz + 12í + 13«
/t - 14 a; + 151/ + 16 2 + 17 í + 18 «
las /t y /t son independientes y las restantes pueden expresarse mediante ellas. '^
Problemas
Hállese el rango de las matrices
1. / 2 —1 —1
—1 2 —1
-1-1 2
2
1
1
1
1
2
—1
1
2
1
—1
1
1
2
—1
1

MSSOLUCION IKE ECUACIONES LINEALES POB DETESMINANTES 271
Hállese el número de formas independientes entre las siguientes y exprésense las
Testantes mediante ellas:
5. /i " X + v — z
fi = 3x — y+4z
/»=—3a: + 5v —llz
7.fi'-2x + 3y—2t
fi'-3x + 4y—z — 3t
fx " —y — 2z
/« = —2x — 3y+2t
6. /i -2a;—y—2
S2 = —x + 2y — z
/, = —x—y + 2z
8./i =a; + 7z + í
Jt = 3x + 2y + \bz + t
f,=x + 2y+z — t
Sk - V—3z —í
■^ 5. Discusión general de los sistemas lineales. — Podemos vol-
Ter ahora a los sistemas de ecuaciones lineales, y examinar su resolución
de una forma más general. Sea el sistema a resolver, consistente de m
ecuaciones con n incógnitas
/l = Olí X\ + Olí X2 4- . . . -+- fflln Xn = fel
/» = Oil Xi + a-ií .Tí -t- . . . 1- ajn Xn = ^2
ID
/m = fflml Xi + a,„2 X2 + ... "i" «
Supóngase que el rango de la matriz
On ai2 ... fflln
Oji an . ■ ■ «i»
i X„ = fe„
. fflml a»n2
correspondiente a las formas lineales /i,/í, ...,/«, sea p. Entonces, el
número máximo de formas independientes entre éstas sería p. Podemos
suponer que estas formas independientes son /i, /j, ..., Z^. También,
por un cambio en la notación de las incógn.'tas podemos suponer que
d =
fflll ffll2 . . . ffllp
Oji Om ... flip
flpl flpS
a»
ȒO
Llamanco a a cualquiera de los números p + 1; p + 2; ... ; «i,
considérese el determinante
/).=
aii
«ti
flpí
«,i
Olí ..
Om ..
flpi - .
«32 • •
. flip
. flip
• '^oo
a»p
/i-fei
/í-&í
/p-&p
u-^.
=
flll
Oil
Opi
a,i
Olí .
Oil .
a,,i ■
a,A ■
••/.
■■h
•■/p
•/,
—
flll
Oil
Opi
a,i
Oit .
Om .
Op! .
Orf .
. fel
. fei
• fep
• b.

272
T<EOSIA DE ECUACIONES
el primer determinante del segundo miembro se reduce idénticamente
a cero como se demostró en el Párrafo 3; luego, para las variables Xi^
Xi, . .., Xn tenemos la identidad
üu .a,2 ... ai bi
(jji CI22 ... 0,2 bt
Z), = -
cid fljí
a^^b.
Supóngase ahora que el sistema [1] es resoluble y que Xi;xt; ... ; Xn
son números que lo satisfacen. Entonces: /i — bi = 0; ft - bt = O, ...
. . .,fm — bm = O y todos los determinantes D„ = O para a = p + 1;
... ; m, lo que nos conduce a la conclusión de que el sistema [1] no
tiene solución a menos que se cumpla la siguiente condición de
compatibilidad :
On ai2 . . . Oi i
A„ =
On
flji
«ji
fflji
a,2 .
022 .
0,2 .
«,2 .
• ai
. at
■ "■PP
■ O-Cf
bx
h.
h
b.
= o
para j = p +- 1; . ..; m. Recíprocamente, si estas condiciones se
satisfacen, tenemos idénticamente
£>, = O,
para a = p + 1; .. . ; m. Pero desarrollando £)„ por los elementos de
la última columna, tenemos
d ^fa - K) + ái (/i - 61) + . .. f d, if, -b,) = O,
idénticamente en Xi; Xj; . . . ; x„, de donde, desde que d ^ O, se sigue que
ío-K = Cu (/i - 61) + c,, (/í - 6í) + ... + Cp, (/p - b,),
para a = p -}- 1; .. .; m, lo que demuestra que todas las ecuaciones [l]
se satisfarán una vez que las primeras p de entre ellas
/i - 61 = O ; /, - 62 = O ; ... ;/, - 6, = O, [2]
S8 satisfagan. Ahora, éstas se satisfacen en la forma más general
atribuyendo a Xp-f-i;...; x„ valores arbitrarios (supuesto p < n) y resolviendo
[2] para Xi] Xj; . .. ; x^. por la regla de Cramer, lo que es posible desde que
aii üit ... üif
azi aji ... Uto
d =
Ofi a¿i
?í O

nESOLVCION IXE ECUACIONES LINEALES POS DETEBMINANTES 27»
La conclusión a que nos ha conducido esta discusión es la siguiente:
Si la matriz de un sistema de m ecuaciones con n incógnitas es de
rango p y las condiciones de compatibilidad
A, = O
para a = p + 1; ...; m no se satisfacen, el sistema no tiene solución
o es incompatible. Por el contrario, si las condiciones de compatibilidad
son satisfechas, el sistema es resoluble y n — p incógnitas pueden tomar
valores arbitrarios quedando entonces las restantes determinadas.
Este criterio puede expresarse en una forma elegante tomando en.
consideración, además de la matriz del sistema
' fflll fflií . . . fflln
^ _ I Oji Oji . . . atn
V fflnl Clni ■ ■ ■ fflnn ,
la así llamada matriz ampliada
ffln ai2 . . . fflln bi
, a„i a„i.. . a„„ 6„,
Todos los menores de A se encuentran entre los de B, de manera que
el rango de B no puede ser menor que el de A que-hemos llamado p.
Los únicos determinantes de orden p + 1 de la matriz ampliada que no
figuran en A son los determinantes A,. Luego, si todos estos
determinantes se anulan, y solamente en este caso, el rango de B es p. Es decir,
la anulación de los determinantes A, es la condición necesaria y suficiente
para la compatibilidad del sistema. Por lo tanto, la condición necesaria
y suficiente para que un sistema de ecuaciones lineales tenga solución es
que el rango de la matriz ampliada sea el mi-imo que el rango de la matriz
del sistema.
Ejemplo. Examinemos el sistema
/, = 3x+2y + 5z+ 4t=0
/■•= 5x + 3y + 2z+ í-1
fz = nx + 7y + I2z+ 9t = fc
f,= 4a; + 3j/+13z + llí-í
El rango de este sistema es 2 y las fonnas f¡ y /j son independientes. Aún más:
3 2
5 3
d -
^0,

274
XXOMLá. DS KCUACWSE8
j 1m doa eoadkianaa da wnprtiKliifad wb:
3 2 0
5 3 1
11 7 t
■O.
3 2 0
5 3 1
4 3 I
= 0.
de donde k •• 1; I " —1. POr lo tanto, a menaB que k " 1; I = —1, d HMtema
propuesto no tiene aohieidii. £d el caso de que k " 1; I = — 1 tamamos las dos primens
eeuaeianBS y las eseriUmos en la fotma
3x+2y = —5« —4í
5x+3y-—2«—í + l
7 TBBOlvcmas paim x e y. Esto da:
X » llz + 10( + 2.
y 19« —17í—3,
7 ooa X e y aaf detenwinada»!, todaa las ecuacianes qoedarín aatisfediaa, mientras t j t
serán totalmente atfaHiaiiaa. -^
FroUnnas
BVamiiiM» la cflwipatihiBdad da los siguioites astenias:
1. 2x —y —« -1.
X —2y+«-l.
x+y—2«-l.
3. 2x+y+2« + í =0.
x+2y + « + 2í = 0.
X—y —« —í =2.
x+y+«+í-l.
5-x+y—« + í = 1.
x + 2y.—«+3í -1.
x — t — t- 1 ,
X —y + « —3í =3.
2.2x+3y = 1,
3x + 4y+>=0,
y—2« = 3.
4. 2x+3y—2í = t,
3x+4y—r—3í =1,
»+2« = l.
2x+3y—2í =0.
fc.x+y+z+í =0.
2x+3y —2z+í = 1.
— y+4z+í =2,
x + 5«+2í = —1.
Aplicaciones geométricas de los determinantes
■ic 6. Ecuaciones de rectas, planos y circuios en forma de
determinantes. — Es ficil escribir en forma de detemünante la ecuación
de una recta determinada por dos puntos distintos o la de un plano
dado por tres puntos no alineados. Sean Ai(xi;yi) y A»(xi;yt) dos

BK80LUC10K UK HCUAClOirSS UNÍALES POB DETESMINANTE8 275
puntos distintos dados por sus coordenadas con referencia a un sistema^
de ejes ortogonales. El determinante
I X y
1 xi yi =0 [11
I xt yt
desarrollado, es una ecuación de primer grado en xey á sus coeficientes
4 = —
yi
y*
B =
Xi
Xt
no son ambos iguales a cero. Luego, [1] representa la ecuación de una
recta expresada en forma de determinante. Se satisface para x = xi,
y = yi 7 X = Xt, y = yt de manera que la recta determinada por [1]
pasa por los puntos Ai y At. Tres puntos Ai{xi;yi), At(xt;yt), At
(xt;yt) estarán por lo tanto alineados sólo si
1
xi yi
í Xt yt
1 Xt yt
= 0.
Supóngase ahora que Ai(xi;yi;z{), At {xt; yt,Zi), ^j (isjyjjz») son
tres puntos no alineados en el espacio, determinados por sus coordenadas
referidas a un sistema de ejes ortogonales. La ecuación
[2]
1 X
1 Xi
1 Xt
1 Xt
y z
Vi zi
yt Zi
yt zi
= 0
grado en x, y, z y sus coeficientes:
1 yi zi
1 yt Zi
1 yt zt
; B =
1 Xi Zi
í Xt Zt
1 Xt
Zt
C
1 xi yi
1 Xt yt
1 Xi Zi
A =
no son los tres iguales a cero, pueo la anulación de los tres significa que
las proyecciones de Ai, At, At están alineados en los tres planos YOZ,
ZOX, XOY lo que implica que Ai, At, At sean colineares. En
consecuencia, [2] representa un plano y este plano pasa por Ai, At, At puesto
que el determinante se anula para
X = Xi',
X = vt;
X = Xt;
y = Vi.;
y = y*'y
y = yt'y
Z = Zi
Z = Zi
Z = Zt

276
teoría de ecuaciones
Igualmente fácil es escribir en forma de determinante la ecuación
de un círculo que pasa por tres puntos no alineados Ai( xi; yi); At (xj; í/j)
A3 (xsjí/j).
La ecuación
tiene la forma
X» + y"-
Xi' + 2/1'
xt' + 2/í'
xs' + 2/3'
X
Xi
Xt
X3
.V
2/1
2/í
2/3
1
1
1
1
= o
A(x' + y') ^ Bx -hCy -h D = O,
[3]
con
A =
Xi J/i
Xt yt
xz 2/3
distinto de cero. Luego [3] representa una circunferencia que pasa por
Al, At, As. Similarmentc la ecuación
+ 2/' +2'
y
Xi' + 2/1' + 2i' Xi 2/1 2i
a;?' + 2/í' + 2í' a;i 2/í «j
X3' + 2/3' + 23' xs 2/8 23
[4]
representa una esfera que pasa por los cuatro puntos Ai {xi;yi;zi),
At(xt,yt;zt), ^3 (xs,-2/3; 23), ^4 (x4; 2/4; 24) que no están en el mismo
plano. -^
* 7. Area de un triángulo y volumen de un tetraedro. —Si
Ax + By + C = O [1]
es la ecuación de una recta I, y P (X; Y) es un punto arbitrario, la
expresión
AX + BY + C
d =
V ^' + B'
representa la distancia de P a í tomada con un cierto signo. Considérese
ahora un triángulo con vértices Ai(xi;yi), At{xt;yt), Az(xz;ys}- La
■ecuación del lado Ai At puede escribirse en forma de determinante
= O
1
1
1
X
Xi
Xt
y
2/1
2/í

BESOLÜCION DJS ECUACIONES LINEALES POS DETEBMINANTES 277
y los correspondientes coeficientes A y B en la ecuación [1] son
A = yi — y, B = X» — xi,
tal que
V^' + B» = yixt — xiy + (yi—yi)' = I»,
es la longitud del lado Ai Aj. Luego:
1 xs yt
I xi yi : íií
1 Xi yt
representa la altura desde el vértice As tomada positiva o negativa,
y por lo tanto
1 xg ys
1 xi 2/1
1 X2 2/2
1 xi yi
1 xi yt
1 X) ys
es el doble del área del triángulo Ai At A3 tomada con ágno + ó —.
Llamando A a esta área, tenemos entonces:
± 2 A =
1 xi 2/1
í Xi yt
1 Xg ys
y puede agregarse, dejando la demostración a cargo del lector, que el
signo será + ó — según que el sentido del triángulo Ai Ai Ag (con este
ordenamiento de vértices) sea positivo o negativo.
La distancia de un punto P (X; Y; Z) al plano
Ax ■\- By ^ Cz -¡t- D = Q,
tomada con un cierto signo, está dada por la fórmula
AX "r BY ^-CZ-^ D
d =
^fA^^FW~fC^
Considérense ahora los cuatro vértices Ai (xi; 2/1; zi). Ai {xt;yt;zt),
As (xs;y3;zs), Ai (xt; y*; zt) de un tetraedro. La ecuación del plano
Al Aj As escrita en forma de determinante es:
I X y z.
1 í» 2/1 zi
1 2/í xt Zí
1 Xs ys zs
= O

278
TSOBIA DK SCUACIONBS
y los correspondientes coefícientes
A
1
1
1
yi
y*
yt
Z\
Z\
2»
B =
1 Xi Zi
1 Xt Zi
1 Xi Zi
c =
1 ii yi
1 ij yt
representan numéricamente el doble del área de las proyecciones deF
triángulo Ai A» A» sobre los planos coordenados YOZ, ZOX, XOY.
Ck)mo se sabe por Geometría Analítica, la suma de los cuadrados de
estas áreas es el cuadrado del área del triángulo Ai At An. Llamándolo
A, tenemos, por lo tanto:
4» + B» -f C = 4 A»,
y la distancia del vértice A a del tetraedro a la cara opuesta, tomada
con signo 4- ó —, está dada por
d =
2A
1 Xt y* Z4
1 xi y\ zi
\ Xi yt Zi
1 Xt yt zt
2A
1 Xi yi zi
I Xt yt Zi
1 Xt yt Zt
1 X4 y* Zt
Desde que el volumen V del tetraedro es
V= ±—Ad,
3
tenemos finalmente
±6F =
xi yi zi 1
X- yt Zt í
Xt yt Zt 1
Xt yt Zt 1
El «gno ± depende del sentido atribuido al tetraedro AiAjA» A*,
tomándose los vértices en este orden: pero no es necesaño para nosotros
examinar aquí esta cuestión del signo if.
if 8. Potencia de un punto con respecto a un círculo. —
Considérese un circulo r con centro en O y radio JS y un punto P a una
distancia PO = d del centro. La expresión
p = d' — IP,
se llama potencia de P respecto de F. Sea la ecuación de T
x* + y' + Ax+By + C = 0,
que puede escribirse también en la forma
(x-ay + (y-by-IP = 0,

SSSOLUCIOjr Big BCUACI0WM8 LUnjJ,E8 POM BKHSMItmASTTSS 279
siendo a, h las coordenadas del centro de F. Sustituyendo en días x, y
por las coordenadas X, Y de P y teniendo en cuenta que
(X-a)»-f-(y-5)* = íP,
vemos que
(X-a)» + (y-5)»-/P = p,
en otras palabras, la potencia de P (X; T) con respecto al dieulo
x' + y» + Ax + By + C = O,
es
p = X*+Y* + AX + BY + C.
Sea
X» +y» X y 1
xt? + yi* xi yi 1
x^-^y** Xi yt 1
X»* + íTí* X» y, 1
= O
[11
la ecuación de la circunferencia que pasa por los tres puntos Ai (xi; yi).
At (a%; y^. At (xi; yt). Desde que el coefíciente de x* + y* en d
determinante [1] desarrollado es
xi yi 1
xi yt \
xt yt 1
que representa el doble dd área A dd triángulo AxAtAt, se Te fáól-
mente que d determinante
Xt* + yt* Xt yt 1
xi* + yi* xi yt 1
Xt* + y»* Xt yt 1
Xt* + yt* Xt yt 1
es el producto de 2 A por la potenda p de un punto At (x«; yt) art»-
trario con respecto a la circunferencia drcunseripta al triángulo Ai At A».
Por una redistribución de las fílas en este determinante tenemos
— 2Ap =
xi* + yi* Xt yi 1
Xt* + y^ Xt yt 1
Xt* + yt* Xt yt 1
Xt* + yt* Xt yt 1
Combinando de una manera conTeniente esta importante f<kmula
con la re^ de multiplicaron de determinantes, estaremos en condi-

280
TEOBIA DE ECUACIONES
ciones de obtener identidades notables que llevan a interesantes teoremas
geométricos •A'-
-^ 9. Corolarios geométricos. — Multiplicando
minante
xi» -f yi^ —2 xi —2 2/1 1
Xi^ + 2/í^ —2 Xí —2 2/8 1
Xa' -f 2/3' —2 Xa —2 2/a 1
X4» -f 2/4' —2 X4 —2 2/4 1
por
1 xi 2/1 íci^ + 2/1^
1 X2 2/4 2:2^ + 2/2*
1 Xa 2/3 a;a* -|- 2/3^
1 X4 2/4 Xi^ + 2/4^
fila a fila el deter
8 4p
= 2Ap
y poniendo, por brevedad:
l*ii = (xi - x,)^ + B/i — 2/,)»,
tenemos
— 16 42p2 =
0 F12 l'ia 1^4
l'ií 0 í^ja P24
^^a í'23 0 Pa4
l\i. l\*
l^
34 0
[1
Elsta es una relación entre el área A de un triángulo AíA^Az, la
potencia del punto Ai respecto a la circunferencia circunscripta al
triángulo y las seis distancias a los puntos Ai, A2, As, At tomados dos a
dos. Multiplicando las columnas 2, 3, 4 en el determinante [1] por (Zia luY,
(ItílitY, (íiííia)^, respectivamente, tenemos:
-16 A'pHhilnluY =
íia lu)
l\2 O
(?12 ¿23 luY (¿12 ¿13 ¿24) =
O (¿12 ¿la ¿34)=
PU (¿U¿14¿24)^ (¿12¿H¿a4)'
O sea
-16 4»p»(il2¿U¿14)^= (¿lí¿13¿14)^
1
1
O
(¿14 ¿23)^
(¿la ¿24)^ (¿12 ¿34)^
O
1
(¿2a ¿14)^ (¿13 ¿24)^
O (¿12 ¿a4)^
o
y finalmente
16 A' p2 =
1
0 1
1 O
1 (¿14 ¿23)^
1 (Ít3¿24)^ (¿12 ¿a4)^
1
(¿14 ¿23)= (¿13 ¿34)=
O (¿12 ¿34)=
O
[2]

SESOLVCION DE ECUACIONES LINEALES POS DETERMINANTES 281
Supóngase que 4 4 se sitúa en el centro de la circunferencia
circunscripta al triángulo Ai At Az; entonces: p = — R^ y lu = /« = ¿34 = R.
Simplificando el factor R* en ambos miembros de [1], llegamos a la
siguiente relación entre los lados y el área de un triángulo, en forma de
determinante:
1 O Pn l\z
¿2.- n 72..
16 4»
12 O Pi2 1
ñz l\z O 1
1 1
1 O
1 Pl3 l\z O
O 1
1 1
Para utilizar notaciones más familiares, sean a, b, c los lados y sea
/n = a, Íi3 = b, hi = c. Entonces:
10 a' 6'
1 a» O c'
1 6' c^ O
0 111
16 4=" =
o bien, desarrollándolo
\QA^= (a ■\-b -h c) (a -f 6 — c) (a -f c — 6) F -f c — a),
que es una fórmula bien conocida. Comparando el último determinante
con el segundo miembro de [2] deducimos una fórmula interesante
16 A» p» = (^23 U + hi h* -h «12 hi) («23 «14 -h «13 «24 — «12 «34)
(«23 «14 -|- «12 hi «13 «24) («IJ «24 + «lí hi «23 «I4).
Supóngase que los cuatro puntos Ai, A2, A3, At están en un mismo
círculo; entonces p = O y, dejando de lado el factor positivo
«23 «14 -|- «13 «24 + «lí «34 ,
tenemos una relación entre las distancias de cuatro puntos de una
misma circunferencia:
(«23 «14 -|- «13 «24 — «12 «34) («23 «14 "f" «12 «34 «13 «24) («13 «24 + «12 «34 hi hi) =0 ,
O bien, escribiendo por simplicidad:
«12 = ffl , «23 = «> , «34 = C ,
«14 = d , «13 = e , «24 = / ,
entonces:
(bd -he/— ac) (bd + ac — ef) {ef ■\- ac —bd) = O .
Si Ai Ai As Ai es un cuadrilátero convexo de lados A\ At = a. At A3 =

282 TXOniA DM BCVAClOlfSS
= b. At At = c. At Ai ~ dj diagonales Ai At = e. A» At = /, entonces
necesariamente:
ac ^-M —^ = 0.
Para demostrar ésto, téngase en cuenta que en Ai A» At A*, que está
inscripto en un círculo, la suma de los ángulos opuestos es 180° y por
lo tanto hay un lado para el cual 1<» dos ángulos adyacentes son obtusos.
Si se elige la nomenclatura de manera que ese
lado sea 6, entonces, evidentemente es:
e > a ; e >b , f > b ; f > c,
y tal que ef > ae y luego
bd ^ ef —ac > 0.
Por otra parte:
ef — bd = e (f — b) -b {d - e) ,
es positivo en el caso de que d < e, desde que / > b. Si d > e, se deduce
de la desigualdad casi evidente
e ^-/ > fe ^-d
que
/-fe >d-e
y nuevamente, que:
^ — fed > (d - e) (e — fe) > O .
Luego, en todos los casos, ef > bd y
^ ± ac — bd > 0.
Por lo tanto, si A^AtAtAt es un polígono convexo inscripto en una
drcunfciencia existe la relación
ac -^-bd = ef,
entre el producto de las diagonales y la suma de los productos de lados
opuestos, conocida en la geometría elemental como teorema de Pto-
lomeo -A*-
-A* 10. Extensión a las tres dimensiones.'— No hay diñeultad en
extender las consideraciones de los Párrafos 8 y 9 a tres dimensiones.
En primer lugar, la ecuación de una esfera circunscripta al tetraedro
de vértices
Ai. (xi,- yi; zi) ; A, (a%; y,; zt) ; At (xj; yt; zs) ; At {xt; yt; zt) ,

SJKSOLVCION DE ECUACIOKSS LIKSALBS POS DETBSMISABTES 28S
puede presentarse en forma de determinante así:
x*-l-»*+z* X y z
xi* -h Vi* + zi* xi yi 21
xt* ^- Vi* + Zi* xt yt zt 1 = O.
xj* + Vi* -1- zj* xz Vi Zi
Xi* + Vi* + Zt* Xt yt Zt
Además, si JS es el radio de la e^eía y d la dwtancia de algún ponto
Ai (t«: yt] Zt) a su centro, entonces la cantidad
es la potencia de At con respecto a la esfera, y como en el Párrafo 8
podemos establecer fácilmente la reUuáón
xi* -1- yi* + zi* xi yi zi 1
Xt* + yt* + zí xi ifi Zi 1
6 Fp = X,» + yt* + z,* X, y» z, 1
Xt* ■\- yt* + Zt* Xt y* e* 1
Xt* + yt* + Zt* Xt yt 2k 1
donde V es el volumen del tetraedro AiAtAjAt. Multiplicando füa a
fila el detenninantc
xi* + yi* + zi* —2x1 —2yi —2zi 1
xt* + y,* + Zi* —2x, —2», —2z, 1
Xi* + yt* + *»
-2x»
-2yt ~2zt 1
= —48 Fp
por
1 xi yi zi xi* -h ih* + zi*
1 Xt yt Zt X»* + ih* + Zi*
Xi* + yt* + a*
= —6Fp
1 Xt yt Zt
y haciendo, por brevedad:
P« = (xi — X,)* + (y. - yy)* + fe — íí)*,
tenemos:
288 V^p* =
O Ptt Pm Pm i^
Pis O Pt, Pu P»
Pu Pu O Pu P»
Pu Pt4 Pt4 O P»
Pit Ptt P» P« O

284
TEOSIA DE ECUACIONES
Los números í,-, son las diez distancias entre los cinco puntos Ai, Ai,
Ai, Ai, At. Si At se sitúa en el centro de.la esfera circunscripta al
tetraedro Al Ai Az Ai] entonces p = — R" y
íl» = ¿14 = Íj8 = Í4S = jR .
Simplificando el factor R* en ambos miembros, llegamos a la
expresión, en forma de determinante, del volumen del tetraedro en términos
de sus aristas:
288 V- =
0
l\i
Pl3
Pu
1
l\i
0
Pí3
l'u
1
l\z
l\z
0
F34
1
l\*
l\*
l\*
0
1
1
1
1
1
0
Este determinante igualado a cero representa la relación entre las
distancias mutuas de cuatro puntos coplanares cualesquiera, -ic

CAPITULO XI
FUNCIONES SIMÉTRICAS
1. Definición de funciones simétricas. Funciones sigtna. — Un
polinomio en las variables xi;a;2; ...; x„ se llama polinomio smélrito
o función simétrica de estas variables, si no cambia alterando el orden
de las variables de manera arbitraria. Para ésto basta que el polinomio
no altere intercambiando dos variables cualesquiera. Por ejemplo, los
polinomios
a" + b" + c^ — ab — ac — be ; a' + 6' -f c' — 3 abe ;
(a + 6 + c) abe,
son polinomios simétricos, o funciones simétricas, de las variables a,
b, e. En igual forma:
Xi* -f Xi* -h Xz* ■{- Xi* ■{- S (xi Xi -f xi Xa) (xi xs + xj X4) (xi X4 + Xa Xj)
y
(xi -h X2 — Xs — X4) (xi -h Xa — Xí — X4) (xi + X4 — xj — xa),
son funciones simétricas de las cuatro variables xi; xj; x?; X4. Efectuando
la suma de todos los términos diferentes que se obtienen de un término
genérieo
Xi«»Xj«» ... Xm"»,
donde ai, as, ...,am son eateros positivos, reemplazando los índices
1, 2, .. ., m por todas las posibles variaciones de m números tomados
de los 1,2, ...,n, se obtiene una función simétrica de las variables
xi, Xí, .. ., x„ que se llama funeión sigma, del tipo («i, aj, ..., a») y se
indica con el signo {^)
ü Xi«» X2"» . . . Xm«m .
Por ejemplo, para n = 4;
E xi' Xi" Xa = Xi* X2* Xa "h Xi' Xa* xt -f Xj* Xs* Xi -f Xi* Xs* X4 + Xi* X4* Xj -f
■\- xj* X4* Xi 4- Xi* Xa* X4 4- xi* X4* Xa +
-f xj* X4' Xi -h Xi" xj* X4 -f Xí' X4' xj + Xa* xt" x»
(■) Más generalmente, 2 g (xi; zt,' ■ ■. ; x„) signiñca la suma de todos los ténninos
diferentes que se obtienen reemplazando 1, 2, ... m por todas las variaciones posibles
de m números tomados entre 1, 2, .,.,n.
285

286 teoría BS ECUACIONES
es una función sigma del tipo B; 2; 1) en las variables xi, Xt, xs,
Xt.
£¡ntre las fundones sigma son especialmente importantes las llamadas
Junciones simHrica» elementales:
Sxi =fi ; S xi a% = /t ; S xi a% x, =/,;... ;
; JlXiXt ... Xn = XiXt ... Xn = fw
También son importantes las < sumas de potencias »
». = S xi. = xi« 4- a%« + ... + Xn^
Si una fundón mmétrica ^ (xi;xt; ...;x.) contiene un término
axi'tXí*» — X»"",
contendri el conjunto de términos
a S xi'tx^ ... x»«»,
y si éstos no agotan todos los términos de ^ (xi; a%; ;x.), entonces la
diferencia
* (xi; x-; ... ;x«) — a S xi*>a%*«... x»«",
contendrá términos de la forma
bXi^Xt** .. . Xr^,
y por lo tanto, también:
Continuando en la misma forma, llegamos a la conclusión de que toda
fundón dmétrica es una combinación lineal de fundones sigma:
♦ (xi; xi; ... ; xj = a 2 xx'^xi^ ... x»«» + 6 S xi^Xt^ ... Xt^ -f-
+ c S xi^ixi^i xí* +
El proceso de descomponer una función simétrica en fundones
sigma se indicará por medio de un ejemplo.
4 = (*!+*» *» Xii (ll+*» X» X«) (I1 + I4 Xj Xk)
Este es nn poUiiamio hamogéneo aim^rioo de grado 3. Los téiminas genéncos de las
fundanes sigma que lo eomponea serán:
i* + <ii + «i + a«=

FUNCICirgS SIMSTXICA8 7gt
J aupaadranoB que oi^oi^ajgai^O. Las dnicoB grupoB de «ocpanontes poaifaiaa
•i
3
2
1
«1
0
1
1
«1
0
0
1
■«
0
0
0
y quedan afilo por detmninar los co^cieates de loe ténmnoft
oil» ; bzi^zi ; exixiz».
Para detenninMr ayb podemoft hacer xt = xt = O en ^, lo que no afecta t. los t^minos
que s6Io poseen las vanaUes xi y xi. ^ queda entonoee:
(Xl + Xi) (Xi —Xi) (Xi —Xi).
£b fácil -ver que a = l;b = — 1. Vaia, hallar c podemo» hacer X4 = O en 4; entoaeoB
4 queda:
(Xl +Xi X») (Xi Xi+X>) (Xi Xi X»)
Para hallar d término en xi xi x> hacemos notar que puede obtenerae de las aguienteB
manoas:
1. Tomando xi,z^ x» de los factoes 1, 2, 3 tenemos su ]»odueto: + siXiXi
2. Tomando xi,x>,xi de los factoes 1, 2, 3 témanos su prnxfaieto: —xixíXí
3. Tomando z^zi,x> de los factoves 1, 2, 3 tenemos su producto: —xixtxt
4. Tomando xi. x>. xi de los factoes 1, 2, 3 teñónos su producto: + xi xi x»
5. Tomando x>,xi, xi de los factoes 1, 2, 3 tenemos su producto: +xiXi*x
6. Tomando x>, xi, xi de los factoes 1, 2, 3 témanos su producto: +XiStXt
Total: 2xiXiXi
Fbr lo tanto, c = 2 y
* =Sxi» —Sxi»xi + 2SxiXjX,.
Si en una función simétrica ^ (xi; Xt; ; z.) sustituímos las variables
por los números «i, os, , a> que son raíces de una ecuación
X* -h Píx"-' + Pií--* + ... + p» = O,
el número resultante ^ (ai; as; ; a«) se llama función aimibrica de la»
raíces de esta ecuación. Esta terminología no es correcta puesto que un
número definido no puede ser llamado función, pero está consagrada
por el uso y nosotros la utiliuuremos. Así, las funciones elementales
simétricas de las raíces ai, os, , o. si la ecuación se escribe en la forma:
a«i" + aii"^ -h -f- a, = O

288 teoría IXE ECUACIONES
8on:
2 ai = — pi ;
<5
2ax=--^
üo
E ai otj = p2 ; E ai aj a» =
; S ai aj = ; 2 at ai at
Oo
— p»; • • • ;
E ai ai ..
üo
<Xn= {— 1)" Pn
E ai ai ...«„=(— 1)" -^ *
ao
Una función racional eo las variables xi, xt, ..., x»:
«^(xi; x?; .. . ; x»)
'j'(xi;x2; ... ;x„)
donde el numerador y el denominador son polinomios, se llama simétrica
si no se altera para todas las permutaciones de las variables. Así
a» 6» c^
6-|-c a-|-c a -\- b
es una función racional simétrica de las variables a, b, c. Si las variables
en una función racional simétrica se reemplazan por las raíces de una
ecuación, el número que resulta se llama también función simétrica de
las raíces de esa ecuación; una terminología incorrecta que, sin embargo,
acostumbra a usarse.
Problemas
Verificar que las siguientes funciones son simétricas y descomponerlas en funciones
eigma:
1. (ll + Ij) (ll + H) (l2 + lí).
2. (ii + I,)' X, + (ii + n)' xt + (i2 + I,)' X,.
3. (ii — ii)'xí + (ii — lO' xi + (ij — Xi)' Xi.
4. (i, + i,)'x,2 + (i, + I,)'1,2 + (i, + n)'i,2.
5. (i, — I,)' (ii — x,y + (ll — xi)' (i, —1,J + (i, — i3)s (i2 — I,)'.
é. (x, — I,)' (ii — xiY (i2 — ij)^
7. (ii i2 + lí 14J + (i, Is + I2 TiY + (i, Xi + I2 Xt)'.
8. (ii I2 + lí I4) (xi lí + I2 X4) (ii I4 + I2 2í).
9. (ii + I2 — lí — 2:4)' + (xi + lí — I2 — XiY + (x¡ + Xi—xi — lí)'.
10. (ii+íi—«í—X4)' (xi+i,—«2—X4)'+(iiH-i2—«í—14J A1+X4—«2—xO' +
+ (Xl + Xí—X2--T4)'(l,-|-l4—«2—«i)».

FUNCIONES SIMETBICAS 280
2. Fórmulas de Newton. — Las sumas de potencias
s, = xi' + Xi' + . ..-Y- x„«,
pueden expresarse como polinomios en las funciones elementales
simétricas, o lo que es lo mismo, en términos de los coeficientes de
/ (x) = (x — Xi) (x — Xi) ... (x — x„) = X" -h pix»-^ -h ... + p».
Esto puede verse de la siguiente manera: En muchas oportunidades
hicimos uso de la identidad
/ (x) X — Xi X — Xí X — X„
Escribámosla eo la forma
X — Xi X — X2 X — X,
y tengamos en cuenta que:
JlífL = x"-i + /i (xO a?»-» + h (x<) x"-» + . . . + /,^i (xi),
X —X,-
donde
/i (x) = X + pi ; /í (x) = X* + pi X + pí ;
/a (x) = x' + pi x* + pi I + 7»!
y, en general:
/* (x) = X* + pi X*-' 4- ... + pt,
para fc = 1, 2, ..., n — 1. Introduciendo las sumas fi« tenemos:
/* (xi) -f /* (xí) + .. . + fk (x„) = Sk + Pi Sh-i + . .. + npk,
de modo que el coeficiente de x"""*"^ en el segundo miembro de la
identidad [1] es:
Si + pi Sfc_i + .. . + npk.
En el primer miembro de la misma identidad el coeficiente de x"-*^
es (n — fc) Pk, e igualando ambas expresiones obtenemos:
fit + Pi s*_i + ... + npk= (n — fc) Pk
s* -h Pi Sfc-i -f ... -h fcp* = O,
para fc= 1,2, . . .,n — 1. Esta relación sigue siendo válida para k = n.
De hecho:
/ (xi) = x<" + pi Xi"-i -h ... + p„ = o

200 TEOSLá BE ECUAC10XE8
y, dectaando la suma de estas identidades para t = 1,2, —, n,
obtenemos:
Sm + Pi*»^i- ■-. ^-"^ = 0.
*i -J- Pi = O
H i-pi»i + 2pí = O
«1 + Pt*t +■ Pt»i -tZpt = O
Sm -tPiXm-í -J-pi»«-a + ... + np« =0.
Estas son las lli^iinmiat.i» fórmulas de Newton,. De estas identidades
podemos calcular suceñramente las sumas de potencias de «i, «s, —, ««,
en funeián de los coeBñentes pi, pt> —, Pm del poUnomio:
fix) = (x—«i)(x-a50...(*—«J =a^ + Vi3^ + -. - + p.,
y recíprocamente, estos coefiíñentes por medio de «i, ss, ,««. Las
expresiones de si, Xs, «i, .. en fnnci<hi de pi, Pt, p«, . • ■, por ser
identidades, serán válidas m se reemplazan Pi, pt, por números, y xi, xi,
por las raices de la eeuaóón
»• -§-pi**^+ ... +p. = 0.
De esta manera, las fórmulas de Newton permiten calcular por
reeurrencia las sumas de potendas similares de las raices de una ecuación, y
recíprocamente, podemos calcular los coefícient^i de esta ceaaiá&a si
se conocen las sumas de potencias similares de las raices. Efectuando
la suma de las identidades
x.*/B^ = «.*+' i- Pix.*+«^i + - -. + P.X.' = O
para i = 1, 2, ..., n, obtenemos, tomando v = 1, 2,3, ..., las
relaciones de reeurrencia
«Mi tí- Pi»m + ... ^- p««i = O
<w* + Pl«»ft + . . . + p.* = O
que nos permite egresar «««i, «.^s, ... en fundón de pi, pt, ... Las
relaciones de reeurrencia obtenidas tomando y = — 1, — 2,
«•-» HI- Pi»»-i + ... ^- p.»j = O
«1^^ + Vx*<t-* f ... Hi- P.Í-Í = O
serviríLn, en la mwrna forma, para calcular las sumas de las potencias
nef^vas de las raices, supuesto pa ^ O. Las relaciones de reeurrencia

FUNCICKES SIMETSICAS 291
para Sn+i, «n+z- • • parecen diferentes de las fórmulas de Newton, pero
coincidirán con ellas si establecemos que Pr = O cuando r > n. Damos
a continuación las expresiones de si, s», ..., s« en función de pi, p», ..., p»:
fix = — pi
«í = pi* — 2 pí
«» = — Pi' + 3 pi pt — 3 p3
«4 = pi* — 4 p,' pi -f 4 pi p3 — 4 p4 + 2 pi'
«I = — pi* -f 5 pi' pi + 5 pi p4 — 5 pj pi' — 5 pi pí' + 5 pa p3 — 5 ps
«í = Pi* — 6 pi^ pi -1- 6 pi' Pj — 6 pi' p4 — 12 pi pí p3 + 6 pí p4 1- 6 pi ps —
— 6 p, -}- 9 pi' pt' — 2 pt» -}- 3 pj'.
Obsérvese que p, = O si r es mayor que el grado de la ecuación.
Problemas
Calcular por recurrencia:
1. «I, «j, «8, «4, »í, »t para x* — 3i + l =0.
2. Si, <t, «í, «4 para x^ — 3i'H-2i — 1 =«0.
3. «I, «j, ti, «4 para x* — 4i — 1 =0.
4» «_j, «_j para 2a:<—Ci' + i+l =0.
5» «-J, «_j, »-i, «_4 para x* — a^+i'+l =0.
6. «I, «j, «8 para 2x* + x' — x + I =0.
Hallar las ecuaciones de menor grado que satisfacen las condiciones.
7. «1 — 0; «i = 5; «í = — 6. 8. si = 0; «. = 0; «» = 84 — 1.
9. «I = 18; «j = 162; s, = 1701.
10. «I = 1; «i = — 1; 8í = 1; «4 = — 1; «» = 1.
11. áu = — 1; «-I = 2; «_j = — 3.
12. «_i = 0; «_i = 1; «_j = 0; «4 = 3.
13. Si una raíz r de una ecuación / (x) = O es mayor en valor absoluto que las demás
raices, demostrar que la razón
«n
tiende al límite r al tender n a infinito. Por lo tanto, para n suficientemente grande es:
«n+l
r "■
«n

292 TEOniA BE ECUACIONES
aprorim£.iamente; y, m todas las raíces son reales y positivas:
'"+' <r<V
«n
«n
Esta es la idea fundamental del método de Damel Bernoulli para calcular por
aproximación la raíz numéricamente mayor de una ecuación. ¿Puede idearse un método similar
para calcular la raíz numéricamente menor?
14. Aplicar este método a las ecuaciones
(o) i' — I — 1 = O F) i^ — 7 I + 4 = O
tomando hasta n = 10, y exarmnar la aproximación obtemda.
15. Calcular la menor raíz dei' + 3i'' + 2i — 1 =0 por el método de Daniel
Bernoulli, tomando hasta n = 10, y examinar la aproximación.
n(n-~l)
* 16. Sean jíi, jíj, .... ym, donde m = , las sumas de las raíces de / (a;) =0
tomadas de a dos, y sea:
S* = !/i* + !/2* + ... + !/m*-
Demostrar que:
2 5* + 2* S* = So S* + / I Si Sl¡_l + i I «2 Sfc_3 + . . . + S* So .
StroESTióN: El segundo miembro es:
n n
2] 2] (X; + Xi)".
* 17. Si las raíces de la ecuación x^ — 3i + l =0 son o, p, y, hallar una ecuación
cuyas raíces sean o + ^, o + t, P + 7.
n {n — 1)
18. yi, j/2, ..., ym, donde m = , representan los cuadros de las diferencias
entre dos raíces de una ecuación de grado n y sea:
5* = !/i* + !/=*+••• + !/«*.
Demostrar que:
/2k\ /2k\
2 <S«r = So S2;fc — I I Si S2;t_i +1 I Sj 824-2 — ... + S2;fc So .
\ 1 / \ 2 /
StraESTiÓN: El segundo miembro es
* 19. Si las raíces de la ecuación i» — 3i-|-l =0 son o, p, y, hallar una ecuación
con raíces

FUNCIONES SIMÉTRICAS 293
* 20. Resolver el mismo problema para la ecuación x* — 7iH-7 = 0.
* 21. H-allar el límite inferior de las distancias entre dos raices reales de las
ecuaciones: (o) I» — 3 I -H 1 =0; F) x* — 7 i -|- 7 = 0. ¿Cómo puede ayudamos el
conocimiento de este límite inferior para separar las raíces?
-A' 3. Teorema fundamental sobre funciones simétricas. — E\
hecho de que las sumas de potencias puedan expresarse como polinomios
de las funciones simétricas elementales, es un caso particular del
siguiente teorema general:
Teorema fundamental sobre funciones simétricas: Toda función
simétrica de las variables xi, x^, .. .,x„ puede expresarse como un polinomio
en las funciones simétricas elementales. Además, los coeficientes de este
polinomio se obtienen por sumas y restan de los coeficientes de la función
simétrica. En particular, si estos úUimos son enteros, los primeros serán
también enteros.
Demostración: Entre las varias demostraciones conocidas de este
teorema, elegiremos una elegante demostración realizada por Cauchy.
En primer lugar, demostraremos el teorema para el caso de dos
variables X], Xi cuyas funciones simétricas elementales son:
/i = Xi + xi ; ft = xi xt.
Sea F (xi; xs) una función simétrica. Ordenada en potencias de xi,
puede escribirse así:
F (xi; Xa) = 4oxi" -}- AiXi'^-^ -}- ... + Am,
donde Aa, Ai, . .., Am son polinomios en X2. Reemplazando X2 por/i —xi
y ordenando el polinomio resultante según las potencias de xi y /i
también en potencias de xi nos queda:
F (xi; xj) = Boxi' -}- Bixi'-i ^ ... -\-Bi,
donde So, Bi, . - , Bi son polinomios en /i. Introduciendo una nueva
variable í en lugar de xi, dividiremos:
4>(t) =Boí' f Bií'-i+ ... +Bi
por
/(í) =P-fit+f,.
Entonces, vemos que, idénticamente en í:
<t>(í) =f(t)Q{t) + Ct + D,
donde C y D son polinomios en fufi con coeficientes hallados en la

294 TEOBIA DE ECUACIONES
forma que se establece en el teorema. En esta identidad hágase í = xi;
entonces, por ser / (xi) = O y <t> (xi) = F {xi; xj):
F(xi; Xi) = Cxi + D.
Intercámbiese ahora xi y xj. El primer miembro no cambia y tampoco
C y D; por lo tanto:
Cxi + D = Cx, + D
o bien:
C (xi — Xí) = O,
idénticamente en xi, xj, y por lo tanto C = 0. Entonces es
F (xi, xt) = D,
y 2) es un polinomio en /i y /», lo que demuestra el teorema para dos
variables. En adelante procederemos por inducción. Suponiendo que el
teorema se cumple en el caso de funciones simétricas de n — 1 variables,
demostraremos su validez para funciones simétricas de n variables.
Llamando <t>i, 4>t, ..., 4>n-i las funciones simétricas elementales de las
n — 1 variables X2, xs, ..., Xn, tendremos, evidentemente:
/i = xi + (í>i ; /í = xi (^1 -}- 0» ; ... ; /«—i = xi ^—2 -f- <i>n—i,
por consiguiente, recíprocamente:
<i>\ = — xi + /i ; «^ = xi* — xi/i -}- /í; ... ; <i>n-i =
= (- l)"-i [xi"-i - xi«-Vi + .. • + (- l)»-V»-i] •
Sea ahora F (xi; xj;...; x„), o simplemente F, una función simétrica
de n variables. Ordenándola en potencias de xi, podemos escribir:
F = Ao xi- f Al xi"^i + ... + A„,
y aquí los coeficientes son funciones simétricas de xi, x?, ..., x„.
Suponiendo que el teorema se cumple en el caso de n — 1 variables, podemos
expresar Ao, Ai, ..., A„ como polinomios en <f>i, 0-, ..., <f>,^^. Si
sustituímos if>i, it>t, ..., <i>n-i por sus expresiones en Xi,/i,/», ..., /^i, los
coeficientes Ao, Ai, ...,Am quedarán expresados como polinomios en
xi, /i, /í, ..., /,^-i. Sustituyendo estas expresiones en í' y ordenando
nuevamente la expresión resultante según las potencias de xi, podemos
escribir:
í' = Box' -}- Bix'-i + . .. -f Bi,
donde Bo, -Bi, . • •, B¡ son polinomios en /i, ft, . ■ -, fn—i. Introduciendo
una nueva variable í, escribimos:
<t>{t) = Bot' -t-Bií"-! -J- ... -hBi

ruKcicMMs srmxxMicAs sk
J diridimoe # @ por:
/(O = ^ -/,f-* +/.t-* +...+(-1)-/..
El resto será de grado no mayor que n — 1, y tcBdremoa la identidad
en t:
* (O =f(t)Q (O 4- C.Í-' + C,<-«+...+ C^,
donde Ct, d, . .., C»- i, son polinomio* en /i,/*, ...,/■ eon coeficiente»
hallados en la forma establecida en el teorema. Hacemos aboca en esta
identidad / = T|. Teniendo en cuenta que / (xi) = O, obtenemos:
Fixúxt, ... ;x^ = C.x,-» + Cix,-* + .. - + C^.
Aqui el segundo miembro no varia intercambiando Xi eon xt, x*,..., z«,
ni tampoco los coeficientes C», Ci, ..., C»_i de modo que son TáKda»
las siguientes identidades en xi, x», ..., z«:
C.xi^' + Cixi^*+ ... +C^ — F = 0
C,xt'^ 4- Cixi'-* 4- ... + C^ — J' - O
C.x.-» + C,x,^^ + ... + C^ - ^ = O
Erto significa que:
se anula para t = xi, xi, ..., z», y ésto es poáble sdlo ú
C, = Ci = ... = C»^ - O ; C»a— F = 0
de modo que
F = C^.
Pero C»-i es un polinomio en las fnitcioiies elementales
/i,/s, -- -ffm, lo cfue comprueba el teorema. Se «ttenderá mejor la de-
mostmcién considerando nn ejemplo particular.
EJiíplí EMpnmr
Z' = (xi + at) Cx» + ») C» + »).
«■foaeite de
/!'-»*+» + *» ; /j = xi *» + xi X» -»- ík*, ; /> — n xrs».
OirV—nrlo en pntirin de xv t—fo«:
/'-C» + x.)xt' + C» + **y*i + x»xi U + *»).
OiMÜtiijftIo aqfof:
x» + x*-/i —.A ; x*SfXt^—fiat+Jt,

296 TEOBIA VCE ECUACIONES
y ordenando nuevamente según las potencias de xi:
F - —ii» +/1X1'—/jii +/1/2.
Haciendo
y dividiendo por
/(O = o-ht'+Jti-}i,
el resto será:
hh-h.
y, por lo tanto:
F =/i/,-/3.*
Problemas
Expresar por medio de las funciones simétricas elementales:
1. Ii' (ij + H) + Ij' (li + I3) + X3' (li + 12).
X (i, — ar,)' (i, — u)' + (n — ij)^ (ij — i,)^ + (ii — la)' (ij —13)'.
3. S ii' ij lí para n =• 3. 4.2 ii' 12' para n = 4.
4. Métodos prácticos. — La demostración del teorema fundamental
nos proporciona también un método para la representación efectiva de
una función simétrica como polinomio en las funciones simétricas
elementales. En la práctica, sin embargo, es más conveniente utilizar con
este propósito otros métodos más expeditivos; haremos breve mención
de dos de ellos. Indiquemos con el símbolo
la suma de todos los términos que se obtienen de un término genérico
sustituyendo los índices 1,2, ...,m por todas las posibles variaciones
de tn números tomados entre los 1,2, .. .,n. Si entre los exponentes
ai, aj, ..., a»,no hay dos iguales, el nuevo símbolo, que puede ser llamado
función S, coincide con la función sigma con el mismo término genérico.
Si alguno de los exponentes «i, «2, ..., «„ son iguales, entonces el nuevo
símbolo contiene una repetición de términos que en la función sigma
sucede sólo una vez. Si entre los exponentes «i, «2, ..., «m hay grupos
X, A, ..., ff números iguales, es fácil ver que cada término de la función
sigma se presenta en la función S X! ia! ... s! veces, de modo que:
SXi''Xi'f . . . Xm'm = X! Ia! . . . fflS Xí'^Xí'' . . . Xm«™ .
Por ejemplo:
1 1
2 xi^Xí" = —Sxi'X2' ; 2 xi'Xi'Xs^ = —S Xi'x^'Xz^,

FÜNCICNES SIUETSICAS 297
•siendo ^ »< a. También:
1 1
llxi'X2'Xz' = —Sxi'x^'xz' ; H Xi^Xt^Xz^xJ = —(Sxi«Xí«XípX48,
6 4
«i ^ j^ a. Tenemos, en todos los casos:
Sxi'. Sxi» = Sxi'+P + Sxi'^Xi»,
por consiguiente:
puesto que, en general:
Sxi" = Sxi" = Sm.
De manera que es posible expresar mediante sumas de potencias todas
las doble sigmas
Para expresar en la misma forma las triple sigmas
2 xi'x^^xzf ;
nótese que en todos los casos
Sxi'Xi». Sxif = Sxi'+-'X2^ -f Sxi'x^^+t + Sxi'Xi^Xzf
por consiguiente:
Sxi'x^^xz'' = s,s^+y -\- Si,s^y -}- SySa^^ — 2 s,+e+^ — s.s^Sy .
El mismo método puede usarse para expresar mediante sumas de
potencias sigmas cuádruples, quintuples, etc. Como las sumas de
potencias pueden expresarse por medio de las funciones simétricas
elementales, todas las sigmas pueden ser expresadas mediante estas funciones.
Ejemplo 1. Consideremos la función simétrica
F ■= (ll + X2 — l3 — Xi) (li + X3 — Xj — XO (li + X< — Xj — Xí) =•
= 2 xi» — 2 xi' X2 + 2 2 X, x-i X3.
Aquí es
2 x¡' xj = «Sxi' ij = Si Sj — S3 ; S ii' = S3.
Designando
— p = S xi ; g = S xi xj ; — r = S xi xj X3 ; s = xi xj x» X4,
las funciones simétricas elementales, tenemos:
Si = — p ; sj = p' — 2 g ; s» = — p» + 3 pg — 3 r,
y entonces
F¡= —p* + 4pq — Sr.

298 IXOSIA D£ ECUACIONES
Ejemplo 2. Sea w una raíz cúbica imaginaria de la unidad y
F = {X¡ + kt Xi + ki"- Ij) (ll + C* I; -J- uaz) =•
=• S ii» — S ii I».
Conservando las notaciones anteriores:
Si,'=p' —2g ; Si,i, = 9,
y enUntces
/'=p--3g.
Ejemí^ 3. Sea
f = (i, + <ü I5 + <»»Xj)» + (Xl + «-Ij + «Ti)* .
Por cálculo directo:
F = 2Si,» —32i,»i,+ 12i,iíi,.
Sustituyendo aquí:
2ii» = —j¡^+3pg — 3t ; Zxi-xi = siat — «» = —pq+Sr ; xixrx% = —r,
hallamos
F 2p» + 9j><f —27r.
£3 s^undo método para la representación conTeniente de funciones
simétricas por medio de las funciones simétricas elementales, será
explicado por medio de ejemplos.
Ejemirio 4. Sea
F = fe+i» —I» —x«)'-|-(ri +1» —*í —i«)«-|-Cri-|-x« —xi —x»)*.
Este pofinomío es homogéneo de grado 2, át modo que reemidaaando xt, xi.xt.x* por
bcí, hct, bci, fct4. siendo k aibitnuio, F se transforma en i^F. S ahona F se «a|«eaa por
medio de las funáones aúnétiieas deméntales, para las cuales ccnanvamos las not»-
ciones — p, q, —'', *, notamos que conástirí s61o de monomias de la forma
p« 9» rT «»,
muHipGcados por factores constantes. Rerani^asando xi, xi. x», x* per bci, iz^, txt, kxt.
es evidente que p, q, r, « quedan reemplaiadas p<ff kp, f q.fr.if». y los moDoniias
anteriores se transforman en
y puesto que F está multiplicada sdamoite per f, la soma a-|-2p-|-3T-|-4B tm
todos los táminos debe tener el mismo valor 2. Es decir:
a + 2^ + 3j+ii =2.
Adonis, puesto que 2 es la maycr potenóa áe si que existe en ^. se áetpnaát dd
Fírraf o 7 qne

FUNCICNE8 SIMÉTRICAS 299
Estas dos condiámes con reelecto a a, ^, t, S se satisfacen tíAo para
a = O ; p = 1 ; r = O ; í =• O ;
a = 2 ; p=0 ; T=0 ; 8=0;
La expresióD de f en funcióD de p, q, r, » es, por lo tanto, de la forma
f = 4p» + Bq-
Los coefiáentes desconocidos se determinan tomando Tslcces particulaies de «i. zi,
z>, Xt e igualando los valores de P hallados directamente, coa los que resulten de la ais-
titución de los v&lotes particulares de p y 9. Las dos relaciones independientes entre A
y B obtenidas de esta maneva, bastarán para detennioarios. Sean xi, xt, Zj, Xt las mices
de la ecuación:
X* —«» -O,
de modo que:
ii = 1 ; ii = xj = 14 ■= O.
Será entonces:
F~3 ; p = l ; g = 0.
y en cmisecueDcia, A <= 3. Sean ahora xi, z>, xz, xt las ratees oe la ecuación
X* —2x» + x'- =0.
de modo que:
Xt =• Xt " I ; xz = X4 = O.
Será, entcHices: /''=4;p = — 2;g = ly
iA—B =4;
en consecuencia
B =8.
y por lo tanto:
F =3p' —8?.
Ejemplo 5. Sea
F = (ii + ii — I» — n)'(ii +1» —zi—x«)' +
+ (X1 +Zi! — Xí—!«)'(» +X4~X» —X»)* + (Xl +X1 —Xi—X4)»(X1 + *Í —Xi—X»)».
Este p<^omio es h<Hnogéneo de grado 4; además, d exponente de la mayor potencia
de Xl que aparece en f* es 4. Por las mtgini» razcHies que en d ejenqito anterior, pan todos
los m<»iomÍQ8
p' 9^ r-r «» .
4jue entran en la expcesión de F debemos tener
«+2P+3T + 48 =•4

300
teoría D.E ECUACIONES
Y los úmcoe números que satisfacen estas condiciones son:
a
0
1
2
0
4
e
0
0
1
2
0
T
0
1 '
0
0
0
t
1
0
0
0
0
y por lo tanto, la forma literal de F es:
F = As + Bpr + Cp'q + Dq' + Ep*.
Una comparación de los coeficientes de ii* en ambos miembros nos da £ = 3. Además,
couáderando las ecuaciones particulares
X* — 1 =0- Raíces: x¡ = 1; xi = — 1; xa = i; xt = — r;
p = q = r=0;s = — 1.
(i' — 1)' = 0. Raíces: ii = 1; ij = — 1; 13 = 1; i< = — 1;
p =0; q = —2; r = 0; s = 1.
I (i— 1) (i'— 1) = 0. Raíces: ii = 1; 12 = 1; 13 = — 1; xt = 0;
p = — 1;5 = — l;r = l;s=0.
(i + 1)* = 0. Raíces: ii = — 1; 12 = — 1; 13 = — 1; xt = — 1;
p = 4 ;g=5 ;r=4 ;s = l.
Para estas ecuaciones la sustitución da, respectivamente:
F = 64 ; F =0 ; F = 19 ; F =0.
Por otra parte, considerando los valores correspondientes de p, q, r, s tenemo»
— 4=64 ; A+4D=0 ; ~B — C + D + E = 19 ;
4 + 16 ñ + 96 C + 36 í> + 256 £ = O ,
que da:
A =—64 ; í> =. 16 ; ñ = 16 ; C 16 ; E = 3.
El resultado final es, por lo tanto:
F = 3 p* — 16 p2 9 + 16 pr + 16 g» — 64 s .
Problemas
Expresar en función de loe coeficientes las siguientes funciones simétricas de las raíces:
1. Sii'ij. 2. Sii'ij'.
3. S ii» ij. 4. S ii» *i».

FÜNCICNES SIUETSICAS 301
5. S xi' ii i3. 6. S x¡' Xi' Xi.
7. S ii» I,' I,. 8.2 ii' í,' I, n.
9. (ii — xtY X3 + (xi —13)' 12 + (xi — Xi)"- xi.
10. (X, + X,)' X,' + (Xl + Xa)' X,' + (X2 + Xs)' Xf.
11. (Xi Xj + Xí X4) (Xi I3 + XI X<) (Xi X< + Xj Xs).
12. Si las raíces de la ecuación x» — 3x + l =Ose indican con o, ^, y, hallar la
ecuación cuyas raíces son o + «"'; & + &~'; r + T"'-
13. Con las mismas notaciones y para la misma ecuación, hallar la ecuación cuyas
raicea son 0= + P'; o' + rS' &' + r'-
14. Formar la ecuación con raíces o^; ay; ^y para la ecuación cúbica general.
15. Si a, ^, 7 son las raíces de x' — x + 1 =0, formar la ecuación con raíces
«(&-r)' ; Ma-r)' ; r («-?)'•
• 16. Si
í>„ = 2 a"-' &"-' (a — ^)' (a + &)
£„ = 2 o--' &--» (a - ^)'
demostrar que
Por lo tanto, si o y ^ tienen mayores módulos que las demás raíces de una ecuación
Dn
o + & = lím cuando n —>■ »;
E„
y
o^ = lím —^^i— cuando n —>• »;
En
y para n suficientemente grande tenemos aproximadamente
Dn „ En+i
« + & =
Calcular aproximadamente por este método las dos raíces mayores de la ecuación
(o) X» — 5 x' + 6 X — 1 = O .
Calcular también aproximadamente las raíces complejas de la ecuación
F) X» + 6 x' + 10 X — 1 = O .
17. Demostrar que las funciones racionales simétricas del tipo
111 1
S + + ... + ,
Xi — o Xi — o Xj — o X„ — o

302 TEOBIA DE ECUACIONES
puedeaespiesaraeeofunckk>delo8coeficieiiteedelp<dinoimo/(z) = (x—xi) (z — zi) ...
... (x — Xa) ea bi fomuí mgiñenjbe:
xi—a /(a)
18. Si una función racional fi (z) se descompone en fracciones simples:
ABC
S(z) = E(x) + -+ + +...
z — I z — m X — n
la funcióa radanal simétrica del tipo
2 a (xy) = a (r,) + a (i,) + ...+ K (x j,
puede expresarse en función de los coeñcientes de / (z) = (z — ii) (x — xj) •.. (z — x«)
de U siguiente manera:
2:a(x.) = 2:^(x,)-^^-54^-c.^^"^
/(O /(m) /(n)
y £ £ (xi). por ser £ (x) un polinomio, puede expresarse en función de Su »t,u, ...
Las letns o, ^ 7 en los problonas siguientes, indican raíces de una ecuación cúbica que
se especifica en cada problona. Calcular las funciones simétricas:
». 2—-— = -rT—H : H — Pa» X» —3x + l=0.
«• P» T»
at. 2 = 1 1 para x»+x« —2x — 1 - 0.
22. 2 para x» + x' — 4x + 2=.0.
P+T
«^
P + T
(P + t)'
a
«x»
P'+T»
(«-«•
(« + W
a' + P'
« + P
«¿• + Pr
P + T
a
2*. 2 — para x» — 1 = O.
(P-t)*
5. La solución de La¿nui¿e de las ecuaciones cúbicas. — La so-
ludón algebraica de las ecuadones cúbicas y cuárticas en la forma
presentada en el Capítulo V, aunque basada en las consideradones más
elementales, deja la impredón de una demostración efectuada con el

FDNCICNSS STMXTUCA8 303
empleo de ingeniosos artiñdos cuya raxón no es dará. Como en otros
casos, es necesario observar el problema desde un punto de vista superior
para entender por qué es posible una solución algebraica púa las ecua-
óones cúbicas y cuárticas. Y no sólo eso: los mismos piindpios,
correctamente generalizados y sujetos a un examen más profundo mostrarán
la nuán por la cual generalmente es imposible hallar una solución
algebraica para ecuaciones de grado mayor que 4.
Conmderemos primero una fundón radonal entera en tres variables
Xi, Xt, Xt. Si se permutan de las seis maneras poábles, la funcMki, en
general, adquirirá seis valores distintos. En casos particulares puede
suceder, sin embargo, que el número de valores distintos sea menor de
seis, y entonces será uno '^para fundones simétricas) o dos o tres.
Lagrange demostró que es posible hallar una fundón cuyo cubo tenga
s<Ho dos valores diferentes.
Sea M una raíz cúbica imagmaria de la unidad y conádérese la fundón
lineal
Xi + bizx + tí?xt.
Para toda permutación par de los índices 123, 231, 312 corresponden
ties valores de esta funciiki:
»i = *i + «*xi + «*a;» ; ffí = it-}-«üXj + «i»*xi ; y» = x» + «ii-1-«*xí;
y para toda permutada impar 132, 213, 321 corresponden tres más:
ir« = xi + tíx» + *4*a% ; yi = Xt -^ túXi f w*x» ; yt = xt + «>>x» + «*xi.
Nótese que
tfi = M*Ih ; ff» = «ffi ; y% = tay* ; yt = vfy*;
de modo que
yi* = tfi* = yt* ; y** = »»' = ?«* •
Por lo tanto:
(Xi + lúXt + W*X»)*,
tiene sólo dos vdores distintos-
<i = (xi + «xi + «*x,) ; ít = (xi ^- v?xt + «X»)»,
y las combinadones ti -\- tt',titt son funciones simétricas de xi, xt, x*.
Suponiendo que xi, Xt, xt son las raíces de una ecuadón cúbica
X* -f px* + 9x + r = O,
ae halló (ver Ejemplos 2 y 3 en el Párrafo 4) que
íi+í, = —2p»-}-9p9 —27r
<ií. = (l»»-3g)».

304 teoría IXE ECUACIONES
En consecuencia, íi y íj son las raíces de la ecuación cuadrática
í» -}- B p' — 9 pg + 27 r) í -f (p* — 3 g)' = O ,
y pueden ser hallados algebraicamente. Habiendo encontrado <i y ti,
extrayendo raíces cúbicas, obtenemos:
3 3
■Ti -)- (ÜX2 + (Ü*X3 = V'l i ^1 + W*X2 + (OX3 = \Jti
y además, tenemos la tercera ecuación
xi ■\- Xi i- X3 = —p .
Basta resolver estas ecuaciones para obtener las raíces
■. s 3 í 33
xi = Y (~ P + V íi + •nTíT) ; a;2 = -g-(—p + (ü*-\r<r+• (ü V^)
1 ó ó
= — (— p-f(üv/<i+- w^ "\r<2)
de la ecuación cúbica. Nótese que entre las raíces cúbicas existe la
relación (Ejemplo 2, Párrafo 4)
3 3
6. Solución de Lagrange de la ecuación cuártica. — La
posibilidad de resolución algebraica de ecuaciones cuárticas depende de la
existencia de funciones de cuatro variables que toman sólo tres valores
distintos al permutar estas variables en las 24 formas posibles. Una
función de este tipo es
(xi 4- xj — X3 — XiY,
que tiene sólo tres valores distintos:
9i = (xi -h Xi —xz— XiY ; 02 = (xi 4- X3 — Xí — xO* ;
63 = (Xi -i- X4 — X2 — X3)* ,
cuyas combinaciones simétricas
61 + 62 +■ 63 ; 61 62 +- 61 63 -|- 62 63 ; 61 62 63,
han sido estudiadas en los Ejemplos 1, 4 y 5 en el Párrafo 4. En función
de los coeficientes de la ecuación
X* -\- p3^ + gx' 4- rx + fi = O,

FUNCIONES SIMETniCAS 305
con raíces Xi, xt, x», x*, estas combinaciones son expresadas de la
siguiente manera:
9i + 0» + 0j = 3 p» — 8 g,
6i 0» + 01 03 + 0í 03 = 3 p< — 16 p» g -h 16 pr -h 16 g» — 64 «,
0102 08 = (p' — 4pg -}- 8r)'.
Por lo tanto, 0i, 02, 03 son las raíces de la resolvente cúbica
03 _ C p2 _ 8 q-) 02 ^ C p4 _ 16 p' g -}- 16 pr + 16 g» — 64 «) e —
— (p3 — 4 pg -1-8 r)» = 0;
y 01, 02, 08 pueden hallarse resolviendo esta ecuación. Una vez halladas
01, 02, 03, podemos determinar las raíces xi, xt, xs, Xi por medio de las
ecuaciones lineales
Xi -\- Xi + X3 -\- Xi = — p,
Xi + X2 — X3 ~ Xi = V^,
Xl — Xj -h X3 X4 = V^T,
Xl — X2 — X8 -f X4 = V^,
en consecuencia:
— p + VIT1->/ir+V'9¡" -p-h V'^T—V^—•v'ftT
xi ^^ ; X2
— P - V'^+W—V'97 — p — VeT—V^+V«r
X8 = : ; X4 = ;
Nótese que las raíces cuadradas -^01, -^ 0j, yfdt no son independientes;
entre ellas existe la relación (ver Ejemplo 1, Párrafo 4)
^f^^J'^^lla = —p + 4pg—8r.
•^ 7. El principio de Gauss. — Para ciertas investigaciones teóricas
es de importancia la siguiente proposición:
Un polinomio que no se anula idénticamente, en las variables fi, ft, ...,/«
no puede anularse idénticamente en las variables xi, X2, ...,Xn luego de
reemplazar fi,ft, ■■■,fn por las funciones elementales simétricas de xi,
Xi, . . -, Xn-
Para demostrar esta proposición nótese que el polinomio en cuestión
consiste de términos de la forma
4/i«./,«.... /„«n,
donde 4 j¿ O y los exponenies «i, aj, ■ ■., ctn son enteros no negativos.

aae teoría d« scuaciones
Entre ertm témanes elegimos aquéllo» en que las sumas de los expo-
nentes
«1 -h «í -h ... 4- On ; «2 4- «3 +-...+ «n ; as -I- ... + «n ;
• ■ • ) I3ti»—1 + «n ; «ni
tienen los mayores valores posibles. Tal término es único. Porque si
hubiera otxos términos
que Hitifl6ciez»H las mismas condiciones, con respecto a los exponentes
Pi, ^ .. ., &^ tendríamos
Pn "" «» ; &n—1 -h &n = «U—1 + On i ■ • • ;
&1 + ^2 -h . .. -h ^„ = «1 + «2 + . .. + a, ;
esto es:
^ = «n >■ &»—1 = «n—1 )■ . • ■ )■ ^1 = «1 ,
lo cual es imposible puesto que un polinomio se escribe siempre de
manera que los monomios semejantes están sumados.
Para flustrar lo que hemos (ficho con un ejemplo, consideremos el
polinoimo
Lm Bmnas de los eiqponentes patra kte términos tal como están escritos
son
í,t,0,« : 9,4,2,0 : 9,5,3,1 ; 8,1,0,0 ; 8,5,2,1.
El ámoc térmáBO p«ra el eaal todas estas eomas soa las mayores es
el termino
5/lV«VíV4 .
En el único término
asi el^do, reemplacemos /i, ft, ...,/« i>or las funciones simétricas
elementales de Xi, x«, . .., x»:
fi = xi -txa ■\- ... ; /i = xixa 4- as»X» -f- ... ; ... ;/, - XiXj ... x,
7 desarrollemos. El deaamdlo esntendri el téraiao
_¿j.j«+«rf...-Ki, jp,«+...«, _ , _ X«*»,
que no puede simpliücarae ccoa ninguno de los demás términos
resultantes del desarrollo de

Funciones simetbicas sor
o del desarrollo de cualquier otro término
que pueda encontrarse en el polinomio. El hecho de que, luego de
reemplazar /i, ft, •. .,fn por las funciones elementales simétricas y efectuar
el desarrollo, exista un término que no puede ser simplificado con otros
términos, demuestra la proposición. De esta proposición pueden
deducirse dos conclusiones. En primer lugar, que una función simétrica de
xi, Xi, . .., Xn puede representarse como un polinomio en las funciones
elementales simétricas, sólo de una manera. Porque, si existieran dos
representaciones así, habría un polinomio que no se anularía
idénticamente en fi,fi, ...,/n, el cual, luego de reemplazar fi,fi, ...,/« por
las funciones elementales simétricas y desarrollar, se convertiría en un
polinomio que se anularía idénticamente en xi, xt, . .., Xn, lo cual es
imposible. En segundo lugar, el polinomio en las funciones elementales
simétricas que representa un polinomio simétrico, es de igual grado que la
mayor potencia de xi que aparezca en ese polinomio simétrico. Por lo tanto,
si r es el mayor exponente de xi que aparece en la función simétrica if>.
y las funciones elementales simétricas se representan por:
71 = , /2 , • • • , /n = (— 1;"
aa ao Qo
entonces:
puede expresarse como un polinomio homogéneo en oo, oi, oj, ..., a,»
de grado r. -if

CAPITULO XII
ELIMINACIÓN
RESULTANTE Y DISCRIMINANTES
1. Ejemplo de eliminación. — Se propone resolver
simultáneamente
x' +y* -^1 = 0 ; x' -1-2/^-1=0;
es decir, encontrar aquellos pares de números x, y que satisfacen ambas
ecuaciones. Para resolver este problema podemos buscar de eliminar
una de las incógnitas, digamos la x. Con este fin, despéjese en la primera
ecuación x*:
X' = - (y' - 1),
multipliqúense ambos miembros por x, lo que da:
x' = — X (y* — 1).
Por otra parte, el valor de x' despejado en la segunda ecuación es:
X» = - B/' - 1),
y al igualar ambas expresiones, obtenemos
x{y^-l) = y' — l.
Elevando al cuadrado y reemplazando nuevamente x* por — (j/* — 1)
obtenemos:
iy' - ly + iy' -iy = 0, [1]
como una condición necesaria que debe satisfacer y de manera que las
ecuaciones propuestas puedan tener soluciones. Pero esta condición
también es suficiente, es decir, si tomamos como y cualquier raíz de [1],
que es de sexto grado, es posible satisfacer las ecuaciones propuestas
con un mismo valor de x.
Las ecuaciones originales son totalmente equivalentes a las ecuaciones
x' (y* - 1) ; X B/' -1) = 2/' — 1.
308

ELIMINACIÓN 309
Ahora, si y' — 1 = O, se sigue de [1] que y' — 1 = O, y entonces la
segunda ecuación se satisface cualquiera sea el valor de x, y la primera
da X = 0. Si y' — 1 jrf O entonces
y>-l
X =
y'-l
por la condición [1].
Se puede intentar eliminar x de una forma diferente. Tómese la
ecuación ya obtenida:
x{y^ —1) = ?/' — 1,
elévense al cubo ambos miembros y reemplácese 3^ por — (y^ — 1);
entonces se tiene
como una consecuencia necesaria de las ecuaciones propuestas. Pero esta
ecuación en y debido al factor j/' — 1 se satisface para valores de y. para
los cuales las ecuaciones
X* ■\- y^ — 1 = O ; x'-h/ — 1 = 0
no tienen raíces x comunes. En efecto, si tomamos y = (ú, siendo u
una raíz cúbica imaginaria de la unidad, entonces y' — 1 = O y de la
segunda ecuación se deduce que x = O, mientras que para x = O
t
x' +- ?/* — 1 = (ü* — 1 ?í 0.
Este ejemplo demuestra que al desarrollar el proceso de elimiaacióa
ae debe proceder con gran cautela para evitar la introducción de factores
extraños, como y^ — 1 en nuestro caso. Para llevar a cabo
correctamente la eliminación sin el riesgo de introducir factores extraños, el
camino más natural que se presenta es el siguiente: Para una y dada
la ecuación
x' +y* -I =0,
tiene raíces xi y xj. Para este valor dado de y, supongamos que una de
las raíces satisface también la ecuación
x^ + y' - I = O ;
entonces
(xi' ^ y' — 1) (x,» ^ 1/3 - 1) = O. [2]

310 TEOSIA D.E ECUACIONES
Recíprocamente, si esta condición se satisface, entonces uno de los
factores es cero, digamos
xi' f 2/' — 1 = O,
y por lo tanto las ecuaciones
x" -t y" — 1 = O ; x'-+-y5 — 1=0,
tienen una raíz común x = xi. Desarrollando el producto del segundo
miembro de [2], tenemos:
xi' Xi' +■ (xi' + x./) {y'> - 1) -f- B/3 - 1)» = O .
Pero
xiXi = y" — 1 ; Xi +- X2 = O ; xi' -f xj' = O,
V entonces
iy' - ly ^ (y' -iy = o,
representa la condición necesaria y suficiente que debe satisfacer y de
manera que las dos ecuaciones
X* +- 1/' — 1 = O ; r" + y' - 1 = O,
puedan tener una raíz común x.
2. Resultante. — El procedimiento que se acaba de usar es
completamente general. Sean
/ (x) = ao X" -|- ai x"-^ +-...+ a„ = O
g (x) = boX" i- bi X--1 -1- . . . -|- 6^ = O,
dos eeiiacionos cuyos coeficientes pueden involucrar otra variable y.
Con el fin de obtener la condición necesaria y suficiente para la
existencia de una raíz común a ambas, designemos por «i, aj, . .., 2„ las
raíces de / (x) = O, suponiendo Oo t^ 0. Si una de éstas es también
raíz de la ecuación g (x) = O, entonces
g (ai) g (as) ... g («„) = o.
Recíprocamente, si esta condición se satisface, uno de los factores
es cero, digamos g (oti) = 0. Entonces, «i es una raíz común a ambas
ecuaciones / (x) =0, ff (x) = O El producto
g (ai) g (as) ... g («J = o,
es una función simétrica de las raíces oti, «2, . . ., a„, y la máxima
potencia de «1 que aparece en él es indudablemente ai". De acuerdo con
la observación final del Capítulo XI, Párrafo 7:
ao"ff («i) g (aj) . . . ff (a»),

MLlMIKA'CJíON Sil
í^ un polinomio homogéneo de grado m en los coeficientes Co, th^... o» y
también, lo que es evidente, un polinomio homogéneo de gmáe n em
los coeficientes bo,bi, ...,6n de g (x). Eate polinomio ae llanu
tante de f (x) y g (x) (en este orden) y se designa por R (/;f)
ñera que
R(/; ff) =«<)"£?(«i)gioí) ■■. g(a„).
La amilacién de la leatiltaate R (/; g) m, por lo taote^ la
necesaria y suficiente jMira que las doe ecuaciones f ^ 9; g ^ O
una raiz común, supoecto aó 9*0. Si 6o »< O y ^ 9i> • • • > fr> aoo
de la ecuación (/ (x) = 6 fca resultante R (g',f) e»
y su anulación es nuevamente \m, eoaákááa neceaazia y auñóeste pai»
que las ecuaciones / = O y 9 » 0 tengan una raía coman.
Existe una relación éasafie eatae la» ém nsultavte» &{f;g) j R (jnf)-
Tomando en consideíacite el faetoies
(/ (x) - J, ^ - W (x - Pt) -. - (a- — W ,
podemos escribir
(<* - pr) (« - w ... (» - w
(*»-w(«»-et)... («.-w-
Intereambiando )aa letraa or y 0. y moidenando' k» faetoiea
también
R{f.9) - (-!)-«.-6.-(fe-«!)(&.-<*).• (Pi-O
(P-- «i) (ft.-*) . -. (9m- O .
Aquí el segundo miesabra, exaeptaado el factor (— 1)*~, ea R (gif)
y por lo tanto
«(»;/) -(-i)~fiC/;ff)-
De esta relación podemos eoaeluir que la aauílacidm de R (/;#) es I»
condición necesaria y safiñente para que las eenacienes / = O y § ^ O
tengan una raix común, siempve que no sean al aáam» tiempo «t ~ O
y be => O. Pues con o* ~ O, por hipotesia &• íí< O y desde qoR fi (/; jr) =0
implica ff {jg;f) » O, se ñgue que / ^ O y (^ — O tienen una raíz común.

312 TEOSIA DE ECUACIONES
Ejemplo 1. Encontrar la resultante de
/ (i) = Oo x' + o, I + Oj ; g (i) = box* + h¡x + bt.
P6r dofinición
R(f,a) = oo' (bo o,» + bi o, + W (bo oi» + bi o, + W =
= 0,« [b»» oi' ojí + bo bi (o, 0,2 + 0,2 o,) + bo 6s @,2 + ojí) + bi' a, oj +
+ bi6,(a, H-a,) +b^].
Por otra parte:
Oo» 01» oj* = Oí' ; Oo' 01 02 íoi + o») = — Oi Oí ; Oo" @1' + oj') = Oi' — 2 Oo oj ;
Oo* Oí oj = Oo Oj ; Oo' (oi + 02) = — Oo Oi
y p<» lo tanto:
^(f'tO) " o*' 6i» + Oo' 61° — 2 o» Oí 6t 6] — Oo Al &i b2 — Oi 02 60 bi + Oi' bo 62 + Oo 02 bt'
Eato puede presentarse de una forma más elegante, así:
RU'<9) =• (oo 62 — 02 bo)' — (oo fe — Oi 60) (oi b2 — O: bi).
Ejemplo 2. Resolver las ecuaciones
*' + 2í»v+2v(v —2)i+v' —4 =0 ; i'+ 2 ij/+ 2 j/' —5 v + 2 = 0.
Ee ecnveniente ordenar estas ecuaciones en potencias de y, desde que y aparece
solamente elevada a la segunda potencia en ambas. De las ecuañones así ordenadas
B « + 1) y» + B X» — 4 x) V + x' — 4 = O
-i y'- + (.2 X '- 5) yH- X? + 2 =0
■litnftiwia y fomumdo su resultante de aeuerd,o oonla/^rmula del E'¡t¡papU> 1:
B = X* + 13 a^ + 56 x» + 80 I = I (i + 4)' (i + 5).
Los valores x = 0; — 4; — 5 son los únicos para los cuales las ecuaciones tienen raíces
y comunes; esta raíz puede encontrarse por el método para determinar el máximo común
divisor. Así, correspondiendo a i = O se determina 3/ = 2. En correspondencia con i =
«■ — 4; — 5, se encuentra, respectivamente, que y = 2 e y = S. Todos loe pares de
valores x; y que^tisfacen las ecuaciones propuestas son:
X = O ; y = 2
X = — 4 ; y = 2
X = —5 ; y =Z:
Problemas
Beauélvanae los siguleateS: sistemas:
1. X»—xy+ v' - 1 2. 3-i'+35/'^&¡rv + 2i.-fi2í> —2 =-fr,
x»+xy —3v» —2i + 2v = —1. xy+X'-y + l'=0.

MLIMINACIOIf 315
Esto da m + n ecuaciones lineales homogéneas para determinar X«,
Xi, . . ., "kn-i", 'M, '^i, • • -, V-m-i, teniendo estai ecuaciones una solu^^w
trivial si y sólo si su determinante se anula. Tío puede suceder que todos
los Xn, X|, . . ., X„_i o todos los yio, 'My ■ ■ ■> t"-»-! se anulen.
Supóngase, por ejemplo, que 7.o = Xi = ... = Xb,_i = O; entonces,
no todos los jAo, yn, •• •, tA,^i se anulan. Desde que /i = O idénticamente,
se sigue que
/ffi = O,
y esto es imposible desde que ni / ni gi se anulan idénticamente. De
acuerdo con el lema, se puede inferir que la anulación del
determinante del sistema que sirve para determinar los coeficientes de /i
y gi, siendo /i y ffi polinomios no idénticamente nulos que
satisfacen la identidad
fgi f/iff = 0,
es la condición necesaria y suficiente para que f y g tengan un máximo
común divisor de grado > 0. Llamaremos a este determinante el
determinante de Sylvester y lo indicaremos con D (/; g).
Para tener una idea clara de cómo se construye este determinante
tomemos el ejemplo:
/ = oo x* -H oi X* -}- a»X + as,
g = box^ + bix + bt.
Escríbanse las identidades
xf (x) =aoX* + aix'-{-ai3^ + aiX
f (x) = üox^ + a¡ X + Otx + as
x' g (x) = box* -h bi2^ -\- bi x'
xg (x) = bo X* -h bi x^ + bt X
g (x) = bo x* + bi X -\- bt;
y multiplíqueselas por yio, '^i, Xo, Xi, Xj respectivamente. Súmense e
iguálense a cero los coeficientes de x*, x*, x*, x, 1 en el segundo miembro.
Esto da el sistema de ecuaciones
ao yio + O yii + feo Xo = O ,
oi jAo + fflo yii + feí Xo + feo Xi = O ,
üi '^0 + Oi 'M + btXo + biXi + bo'ki = O,
as yio 4- Oí yii -f O Xo -|- 6» Xi -|- feí X» = O ,
O tAo + as tAi + O Xo 4- O Xi + 6i X, = O,

316
TEOBIA DE ECUACIONES
cuyo determinante es:
D(J;g)
"ilas por
D{f;g)
=
Oo 0
ai fflo
Ot ai
fflj «2
0 üi
columnas:
=
fflo ffli
0 Oo
feo feí
0 bo
bo
feí
62
0
0
Os
ai
bí
61
0
feo
feí
fe.
0
as
o»
0
fe.
0
0
feo
feí
feí
0
a»
0
0
O O feo feí feí
Este es el determinante de Sylvester en el caso n = 3, m = 2. Es
evidente que en el caso general:
D (/; g) =
üo 0,1 üt
feo feí fej . . - bm
bo bi
feí
m filas
-n filas
En este determinan,te los espacios dejados en blanco por conveniencias
tipográficas deben llenarse con ceros. Por ejemplo; si n = 4, m = 3
Oo ffli Ot 03 üi O O
O Oo ffll «2 fflj ffl4 O
O O ao Al 0,2 as 04
DU;g) = fe» feí fe, fea o o o
o feo feí fe, fea o O
O O feo feí fe2 fea O
O O O feo feí fes. fes
Problemas
Reaolver los siguientes sistemka:
1. í» + 3 vx' + <3 v^ — 1/ + I) X + V» — V' + 2 V = O,
I» + 2 y* + v' — y = 0.

ELIMINACIÓN Z\t
2. *'+2 3/z«+2y(y —2)i + y» —4=.0.
^+2xy + 2y'' — by +2 =0.
3. a^+3j/i2 — Si'+Sv'i—6iv — i+j/» — 3v= — v+3 ^q
a^ — 3 3/i' + 3i2 + 3v'i — 6i3/ — a:— v'+Sv'-i-y—3-0.
4. I' + vi' — (v' + 1) I + V — V» = O,
a^ — VI' — (V' + 6 V + 9) I + V' + 6 v' + 9 V = 0.
5. VI» — C/» — 3 V — 1) I + V - O,
I» — V' + 3 = 0.
6. 5 i' — 5 v' — 3 I + 9 V = O,
5i»+5v» —15a:2 —13a!y —v= =0.
7. 3 I» + 9 «"■ y + 9 ly' + 3 y= + 2 i' — 4 11/ + 2 y' =5.
4 i' + 12 i« V + 12 iv» + 4 v' — !« + 2 13/ — V' = 3.
8. x^ + yx^ — 4 =0,
a:» + VX + 2 = 0.
9. a^ + 4 yi' — 3 I + 2 =0,
2a^ + (V + 2)aí — 5i + l =0.
10. Hallar X y (jt de modo que las ecuaciones
I» —6i2 + Xi—3 =0.
a^ — i'+(ju; + 2=0.
tengan dos raíces comunes.
4. Identidad de la resultante y del determinante de Sylvester.
— La anulación del determinante de Sylvester D (J; g) es una condición
necesaria y suficiente para que f y g tengan un máximo común divisor
de grado > O, supuesto oo ?«0. La anulación de la resultante R (/; g)
también es una condición necesaria y suficiente para lo mismo. Esto
nos conduce a sospechar la estrecha relación que existe entre ambos.
En efecto, el determinante de Sylvester y la resultante son polinomios
idénticos en los coeficientes defyg. Para no interrumpir la demostración
de este hecho capital probaremos primero la siguiente proposición
auxiliar: Si 8 (xi; X2; .. .; x„) es un poLinomio en las variables Xi, X2, , x„
que es separadamente divisible por g (xi), g (X2), ■ ■ ■, g {x„), entonces es
divisible por el producto g (xi), g (x,), ... g (x„) de manera que
9 (xi; X2 ; ... ; x„) = o (xi) g (X2) ... g (x„) ü (xi; xj ; ... ; x„),
donde Q (xi; Xj, .. .; x„) es un polinomio en xi, Xt, .. ., x«. Para demostrar
esta afirmación, supongamos que 6, siendo divisible por g (xi) g (xj) ...

318
teoría dj¡ ecuaciones
...g{xi-i), e,s también divisible por g (xi), entonces demostraremos
que 9 es divisible por g (xi), g (X2) ... g (x). Por hipótesis:
8 (xi; X2 ; . . . ,x„) = g (xi) g (xi) ■ . . g (xi_i) Bi (xi; zi, . • .; xj ,
siendo 61 un polinomio en Xi, X2, • • •, x„. Ordénese 61 según las potencias
de X, y divídase por o (Xj); entonces:
9i = ff (xi) 02 (xi; X2; . . .; x„) + po x,"-' + pi x¿--' -f ... + pmj,
siendo po, Pu ■ ■ ■, Pm—1 polinomios en a:i, X2. . . ., Xi_i, x,+ i, . • ., x„. Por
lo tanto;
9 = 9 {xi) !7 B:2) ... g (x.) O2 -f Po X,—' + PvXi"-' + . .. -h P«-i,
donde loe polinomios
Pk = g (a;i) g (xj) ... 3 (Xi_i) -pk ; /: = 0; 1; 2; . . . ;. m — 1,
no contienen a x,. Desde que 8 es divisible por g (.x.):
Poxr-' + PíXi"^ ^ ... + P^-i,
será divisible por G (xi) o sea
Po x.">-' -!- PiXi--^" + . . . f P»_i = g (Xi) T (xi; X2; . .. ; x„) .
Pero el segundo miembro, si no es idénticamente nulo, tiene al monos
grado m en x,; por lo tanto:
Po = Pi = . . • = Pm-i = O,
son id^ticamente nulos y la proposición está demostrada. Como 6 es
divisible por g (xi) y por g (X2), será divisible por g (xi) g (X2) de acuerdo
a lo que se acaba de demostrar; siendo 6 divisible por g (x?) será
divisible, por la misma razón, por g (xi) g (X2) g (xa), etc.
Par» abreviar demostraremos la identidad de D (f; g) y R (J; g) en
el caso particular de « = 3, w = 2, pero el razonamiento puede
extenderse al caso general. Sean Xi, Xj, xz, variables y
/ (x) = Oo (x — xi) (x - X2) (x — Xa) .
Entonces el determinante de Sylvester
Oo ai 02 ffls O
D{f;g) =
O üo ai Oi üi
ba bi bi O O
O 60 61 6í O
O O bo bi bi

ELIMINACIÓN
319
es mn polinomio en Xi, x^, xz. Multiplicando las columnas 1, 2, 3, 4 por
X*, x^, x^, X y sumáaidolas a la quinta columna, podemos escribir D (J; g)
así:
Oo Oi 02 03 Xf (x)
O oo Oi «2 / (x)
D(f;9) = ?>o í'i í)i O x^g (x)
O 6o feí ^2 X ff (x)
O O bo bi g(x)
Haciendo x = Xi, X2, Xa y teniendo en cuenta que / (xi) = / (xj) =
= / i^i) = O, vemos que D (/; g) es divisible pwr <? (xi), g (xt), g (xz)
y por lo tanto divisible por g (xi) g (xj) g (xz) de manera que
D{f;g)=g (xi) (/ (X2) ff (xs) T (.xi; x»; xj),
donde T (xi; xj; Xs) es un polinomio en xi, X2, Xj. Escribiendo D {f)g) así:
Jo (^\ O2
D{f;g) = az'
Ui az «3
O
Cu Oi Oa .
ua 03 03
bo bi bi O O
O 60 bi 6í O
O O 60 ?>i tí
y oiMerrando que
o, 1
az
Xl X2 X3
fflo
Oi _
1
Xl Xí Xl Xs Xt Xi
Xl X2 X3
vemos que el determinante desarrollado contiene, aparte de un térraímo
eoBStante, solamente términos que involucran xi, x», xs en los denomi-
ií»óetes. Por lo t»ato, en el desarrollo de D (f; g) el término óe m&jn»
grMto en Zi, xt, xs es de la forma
K Xl* Xt* Xs*,
otM» K constante. Un término similar es el de gmdo máxino e« ari, x»,
X3 en el producto
g (xi) g (X2) g (xs),
de donde se puede concluir que T (xi, xt, Xs) se reduce a una constante.

320
teoría de ecuaciones
Llámese a esa constante C y para determinarla hágase xi = xs = xa = O
en ambos miembros de la identidad
D{f;g
) = C g (xi) g (xj) g (xa) .
Como ai = Oí = oa = 0 cuando Xi = X2 = Xs = 0, tenemos:
D(f;g) =
oo 0 0 0 0
0 oc 0 0 0
bo bi bi 0 0
0 60 bi bi 0
0 0 60 feí feí
= ao= W.
Por otra parte:
g @) g @) g @) = b,'
y así:
C62' = 00=" 62'
de donde, considerando bo, bi, 62 como variables:
C = 00="
y
£> (/; g) = ao= ff (x,) g (X2) ff (X3) = R if; g) .
Esta es una identidad en xi, X2, Xj; 60, ^1, ^2 se consideran variables.
Pero ambos miembros son funciones simétricas de Xi, X2, X3. Siendo
idénticas seguirán siéndolo cuando se expresen como polinomios en oo; oi;
a»; 03; bo; bi; 62 de acuerdo al principio de Gauss demostrado en el
Capítulo XI, Párrafo 7. Así, la identidad del determinante de Sylvester
y de la resultante considerados como polinomios en los coeficientes de
f y g queda demostrada.
5. Discriminante. — El producto de las l/2n(n —1) diferencias
Xa — Xj correspondientes a todas las posibles combinaciones de dos
índices a < ^ tomados de entre n números 1, 2, 3, . . ., n, a saber
I.X1 — Xt) (Xi — X3) ... (Xi — X„) (Xí — X3) ... (X2 —Xn) ... (X„_i — X„),
solamente cambia de signo con la transposición de dos letras
cualesquiera x. y Xg y, en consecuencia, por todas las permutaciones de ellas
adquiere sólo dos valores. Su cuadrado es, por lo tanto, simétrico. Si
ponemos
/ (x) = oo (X — xi) (x — X2) ... (x — x„) = oo X" + ai x"-^ -}-... -f a„,
las funciones elementales simétricas son:
-^ ; ^;...;(-l)n±L.
fflo
fflo
fflo

ELIMINACIÓN
321
Por lo tanto:
(xi — x^y (xi — Xa)-. . . (.Ti — x„y (X2 — Xa)^.. . (x2 — x„y ... (x„_i — xj',
que involucra a Xi;x2; ...;x„ simétricamente, puede expresarse como
un polinomio en
üi at a„
j j • • • >
0,0 (lo (lo
Siendo 2 n — 2 la mayor, potencia de Xi que se presenta en el
producto anterior:
D = oo^"-^ (xi — x^y. . .(xi— x„y (X2 — xs)*. . . (X2 — x„)'... {x„
•xJS
se un polinomio homogéneo de grado 2 n — 2 en Oo, ai, . . ., a„ y se
llama discriminante de /(x). Si Xi; X2; . . ., x„ no represntan variables sino
raíces de la ecuación / (x) = O, la misma expresión D se denomina
discriminante de esa ecuación. Evidentemente el discriminante se anula
si y solamente si la ecuación tiene raíces iguales. El discriminante tiene
una íntima relación con la resultante de / (x) y sus derivadas. Como
/' (Xi) = Oo (Xi — X2) ... (Xi — X„)
f (x-i) = Oo (X2 — Xi) ... (.T2 — X„)
/' (x„) = oo (x„ — xi) ... (x„ — x„-i)
es fácil ver que:
/i' (xi) /' (X2). .. /' (xj = (- 1)^^^ ao« (xi - X2)= ...
n (n—1)
.. . (x„-, - x„y- = (- 1) 2— 00-"+^ D.
(Xi-Xj2...
Por otra parte:
y así:
«(/;/') = a,--^ f (X,) f (x,) .../'(xj
n (n—1)
(-1)^ a,D = ñ (/;/')
La expresión explícita del discriminante se obtendrá escribiendo
R {f;f') como un determinante de Sylvester.
Ejemplo 1. Encontrar el discriminante de un polinomio cuadrático
/ (i) = oo x^ -H Oí i -H oj .
La resultante de / y /' es:
R(f;f') =
ao CLi üi
2 an ai O
O 2 ao ai

322
de donde
TSOSIA nx SCUACI0NJB8
D- —
1
2
0
«t
Ot
2a.
Oí
0
«t
» «I* —4a«ai.
Ejemplo 2. Encontrar d diaeriminante de un polinomio crúluco.
/(x) "■ o,** +aix' + aix +a,.
Aquí:
de donde
D- —
1 a.
0 a«
3 2a.
0 3a«
0 0
RU-.f) -
Oa Oi 0
at Oí a»
Oí 0 0
2ai a. 0
3a« 2at oi
=
a«
0
3a«
0
0
1
0
0
0
0
at Oí a> 0
a« ai Oí ai
2ai at 0 0
3a« 2ai Oi 0
0 Soi 2ai Oi
ai Oí a> 0
a% a\ Os oi
Oi 2 Oí 3 a» 0 =
3a« 2ai Oi 0
0 3a« 2ai Oi
a« ai Oí o»
01 2 Oí 3 ai O
3a« 2ai Oi O
O 3a« 2ai Si
Luego de de—mJlii' eate detmninante, ae encuoitea que la expresión final de D ea:
D — ISaaatOtOi—4at*a> +ai»o«»—4a,ai» — 27a«*ai*.
En d caao de una ecuación con coeficientea nunií&icoB d cálculo dd diaeriminante
puede aer ledoddo al cálculo de un detominaate numérico dd miamo «den que d gntdo
de la eciación. S bi, ot. ■ - ■. <4>> aon las nlcea de la ecuación oitances d cuadrado dd
detenninante de Vandmnoode
1 ai «>* ..
1 OEi 0L>' . •
ai"
1
(«■ — ««)•.- («■ — «W-J - - («I — ««)
difiere de D aolamente por d factor a*-*'*. MuWplieando ahora d detonúnante de Van-
dennonde por al miamos columna por columna, y llamando eamo de eoatamlxe:
«1* + «1* +
las aumaa de .las potenciaa i-éñmaa. tenemos:
+ «-'.
1 at| B|-
1 «i «s'
«6."
1 «.»,»..
a» «I

MLJMINACIOX
323
J Uí
D = o»»-í
— * . .. »«_i
Lu
«i se pueden rjJwilitr lápidamente por medio de las fórmulas de Newton.
6. Raíces imaginarias. — El cálculo de las raíces imaginarías puede
ser reducido al de raices reales por medio de la eliminación. Sea la
ecuación propuesta
fix) = a,x- + aix*-' + - - - + a. = O,
con coefícientes reales y sea x = a + bi una de sus raíces imaginarías.
Entonces, f (a + bt) = O y por la fórmula de Taylor
1.2
1.2.3
Como el segundo miembro se anula por hiptítcüis, se anulan sus partes
real e ima^nana separadamente, es decir:
1.2 1.2.3
1.2.3
1.2.3.4.5
b*
. =0,
ya que para una raiz imaginaria b t^O. Eliminando b* obtenemos una
ecuación de grado n{n — l)/2 que debe ser satisfecha por la parte
real de todas las raices imaginarias. Las raices reales de esta ecuación
que llevan a valores posit>vos de b* pueden calcularse por uno de los
métodos explicados en el Capitulo VTII. La ecuación auxiliar que sirve
para determinar a es de grado 3,6,10, ... correspondiente an = 3,4, 5,...
Debido al elevado grado de esta ecuación y al trabajo que toma
desarrollarla, este método de cálculo de las raíces imaginarías tiene sólo un
valor teóríco excepto para los grados inferiores n=3yn = 4. Es
mucho mejor, para este propósito, el llamado método del cuadrado de la
raíz o de Graeffe. Los lineamientos de este método pueden
encontrarse en el Apéndice V.
Kjemplo. Sea la ecuaóóo propaesta
/(i) =«« + 4i—1-0.

324 XEOSIA IXB ECUACIONES
£1 8Íe>tema de ecuaciones que sirve para determinar a y 6 en este caso es
5* — 6a'6' + a« + 4a — 1 -O,
a¥ — a'~l -0.
Evidentemente a píO; luego:
a» + 1
que luego de sustituirlo en la primera ecuación da
4 a» + a» — 1 = O .
El único valor positivo de a' que satisface esta ecuación es
1
y, correspondientemente
Debemos tomar
1
a = ±
V^
■>[2 '
de manera de tener un valor positivo de 6'. Entonces:
y las raíces imaginarias de nuestra ecuación son:
^f2 ' y[2'
Problemas
Hállense las rafees imaginarías de las siguientes ecuaciones:
1. x» + i+ 10 -0. 2. jí —21—2=0.
3. a^ — 21 — 5 = 0. 4. I* + I» — 21 + 6 - 0.
5. z« — 2x» + 6i»—2X + 6-0. 6. a:« — 4i» + 8i—4=0.
7. z«—1 + 1=0. 8. a:« —2x» —1 =0.

APÉNDICE I
EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ALGEBRA
1. — Se supuso en todo este libro que toda ecuación algebraica con
coeficientes reales o imaginarios tiene, por lo menos, una raíz compleja.
Esta afirmación es conocida como teorema fundamental del álgebra. La
evidencia empírica de esta proposición, recogida de innumerables
ejemplos particulares, es tan fuerte que por mucho tiempo fué considerada
como algo evidente. El que primero estableció el hecho de la existencia
de raíces como teorema fué D'Alembert en 1746 y trató de demostrarlo.
De acuerdo al rigor que hoy se exige, la demostración de D'Alembert
es defectuosa en muchos aspectos, pero contiene un buen germen y
puede elaborarse con ella una demostración rigurosa. Por ejemplo, una
de las demostraciones propuestas por Weierstrass está basada en la
idea de D'Alembert. La primera demostración completa del teorema
fundamental fué hecha por Gauss en el comienzo del siglo pasado, y
desde entonces se han agregado muchas otras. Entre las muchas
demostraciones existentes, probablemente la primera y la cuarta de Gausf
(ésta es sólo otra presentación de la primera) muestran de la manera
más clara por qué una ecuación debe tener una raíz; y aunque los
partidarios del rigor extremo insisten en la necesidad de varios agregados,
presentaremos aquí la cuarta demostración de Gauss como la que está
más de acuerdo con los propósitos de este libro.
2. Los coeficientes del pohnomio
/ (x) = x" -I- ax"-^ ■\- bx"-^ -h ... +1,
son números complejos. Sean éstos, escritos en forma trigonométrica,
a = A (eos a ■{- i sen a.) ; b = B (eos ^ + i sen f), ...,
I = L (eos X -|- ¿ sen X).
Atribuímos también a a; un valor complejo
X = r (coa <t> + i sen <t>) .
Sustituyéndolo en / (x) y separando las partes real e imaginaria con
ayuda del teorema de De Moivre, podemos escribir
fix)='T-\-iU
325

326 TBOSIA DE ECUACIONES
donde
T = r» CCS n <í> -f Ar"-* eos [(n — 1) ^ -|- a} -|- .. . -|- L eos X,
U = r" sen nq, r Ar^^ sen [(« — 1) ^ -f a] + ... + L sen X.
El teorema fundamental quedará demostrado si podemos probar la
existencia de un punto con coordenadas polares r y ^ en el que T y
U se anulen, y esto se conseguirá recurriendo a la intuición geométrica.
3. — Antes de entrar en !.;>. parte fundamental de la demostración
deben hacerse algunas consideraciones preliminares. En primer lugat,
es posible determinar un número R tal que para r > R
r* — ^{Ar*-^ -I- iBr»-» -|- . .. + L) > O. [1]
Si C es un número positivo mayor que todos los números A,B, —, L,
la desigualdad [1] se cumplirá si
r» —yf2C (r-' + r--* + . .. -f 1) > O
^|l_V2C(f+^+-...+i^)]>0.
121
Pero, suponiendo r>l:
1.1. .1 1
h — + ... +— < .
r r' T r — 1
y en consecuencia, [2] y con mayor razón [1] serán válidos ai r > 1 y
esto es, si
r> 1 -|-V2~C.
Basta tomar
^ = 1 + -^ C,
para que se cumpla la desigualdad [11 para r > R.
4. — En segundo lugar, es posible demostrar que la circunferencia
de radio r > R consiste de 2 « arcos en los cuales T toma valores
alternativamente positivos y negativos. Con este fin introduzcamos el ángulo
X
lú =
án

ATEXDICE I 327
y consideremos sobre la circunferencia 4 n puntos con argumenios
lú, 3 lú, 5 o, ..., (8 n — 3) lú, (8 n — 1) ».
Estos puntos se designarán con Pe, Pi, Pt, ■ ■ ■, P4»-v Combinándolos
en 2 n pares Po, Pt; P», P»; ■. ■ ; P«.-i, P««-i, será fácil demostrar que
en los puntos de cada par, T toma valores de ágnos opuestos, y que
estos signos serán
(-1)», (-!)«•.
para el par Ptt, Pitm- Las amplitudes correspondientes a Ptt J Ptktx son
* = Di + 1) -^ y ♦' = D i + 3)
4n 4n
y, por lo tanto
cosn* = (—1)»-—^ y cosn *'= (—1)**»-
Multiplicando los correspondientes valores de T por (—1)' y (—1)**\
respectivamente, tenemos:
(— 1)»T = -^ + (— l)»il r-' eos [(n - 1) * + «1 +
V2
+ ... +(—l)»Leo8X
(— I)»*' T = -^ + (— I)»*' ilr-' eos [(n — 1) *' + «1 +
V2
+ ... + (—!)*«Leos X,
y, por lo tanto, reemplazando
(-1)» eos [(n-1) *+«],... ,(—1)» eosX
(- I)»*' eos [(n — 1) *' + a], ... , (— 1)*« eosX,
por (— 1), se llega a las siguientes desigualdades
(—1)» r k-^ —ilr--'— ... — L
V2
(— I)»*' T ^ -^ — ilr-' — ... — L,
V 2
cuyos segundos miembros, por la elección de r, son positivos; y esto
prueba el eaunciado. Por variar T continuamente con ^, se anulará
2 n veces en los puntas @), A), B), ..., B n — 1) cuyos argumentos
serán, respectivamente:
iú; 3 fa>; 5 iú; 7 u; 9 m; 11 m ; ... ; (8 n — 3) m; (8 n — 1) m .

328 TEOSIA BE ECUACIONES
Es importante demostrar que estos puntos son los únicos en los que
T se anula. Para demostrar ésto expresamos eos ^ y sen <f> en función
de 5 " tg -T-, de la siguiente manera:
1 — 52 25
eos <f> = ; sen <t>
1 + $^ 1 + $*
e introducimos la expresión correspondiente
/ 1 - $^ , . 2$ \
\ 1 + 5» 1 + $V
en / (x). Entonces, la parte real T se presenta en la forma
T -P'" (^)
A -I- ?)- '
siendo Pjn E) un polinomio real de grado no mayor que 2n. Por anularse
este polinomio para 2 n valores distintos de 5, como se demostró, su
grado es 2n y no puede anularse para ningún otro valor de 5. Además,
las 2 n raíces cuya existencia se demostró, deben ser raíces simples y
por lo tanto, alternarse los valores negativos y positivos de T al
describir la circunferencia de radio r. Puesto que en el punto de argumento
lú el valor de T es positivo y cambia de signo al pasar por el punto
@), en los 2 n arcos entre
@) y A) ; A) y B) ; ... ; B n - 2) y B n - 1) ; B n -1) y @)
los signos de T serán alternativamente — + — -t-, etc.
5. — En tercer lugar, demostraremos que U toma valores positivos en
los puntos @), B), ...,Bn — 2), y valores negativos en los puntos
A), C), ..., B n — 1). El argumento <t> del punto (fe) se encuentra entre
Dfc+l)_JL_ y Dfc+3)- ""
4 n 4 n
por lo tanto, (—1)» sen <í> es positivo y mayor que—p=. Multiplicando
V2
U por (— 1)» y reemplazando
(— l)»sen [{n ~ 1) <t> ~\- d] ; . . . ; (— l)'seuX
por — 1, tendremos
(— 1)» Í7 S r" (— 1)* sen n <í> — Ar'-^ — ... —L,
y también la desigualdad
(-1)»C7 >-^—Ar'-^- ... -L,

APÉNDICE I 329
pero aquí el segundo miembro es positivo por la elección de r. Por lo
tanto, el signo de U en el punto (fe) es (— 1)*.
6. — Elegido un círculo T de radio >R, su circunferencia es dividida
por los puntos @), A), B), . .., Bn — 1) en 2n arcos en los cuales el
signo de T es alternativamente negativo y positivo. Cuando el círculo
r crece, los arcos @) A); A) B) etc., delimitan 2n regiones, que se
«xtienden hasta el infiaito, dentro de las cuales T toma
alternativamente valores positivos y negativos; estas regiones están separadas
«ntre sí por curvas en las cuales T = 0. Para describir más
intuitivamente la situación, llamaremos « mares » a estas n regiones, afuera de
r, donde T < O, y a las otras n regiones, donde T > O, « continentes ».
Las curvas en las que T = O serán las « costas ». Los n mares y los n
continentes que existen en el exterior de r se extienden al interior de f
a través de los arcos @) A); A) B); etc. Comenzando por el punto final
A) del arco @) A) a través del cual penetra un mar en el interior de r,
imaginemos que caminamos a lo largo de la costa de modo que el
continente quede a nuestra derecha, yendo hacia adentro. Debemos luego
salir de r y cuando lo cruzamos nuevamente, yendo hacia afuera, el
continente debe seguir estando a nuestra derecha. Si la circunferencia
se recorre en el sentido contrario a las agujas del reloj, los continentes
y mares se alternan, de donde se deduce que cruzamos r, yendo hacia
afuera, en el punto (fe), siendo k par; es decir, ya sea en B), que es el
caso más simple, o en D), f6), etc. Por lo tanto existe una curva
continua L que va de A) a un punto (fe), siendo k par. Sobre la curva L es
constantemente T = 0; y en el punto A), de acuerdo al Párrafo 5,
U < 0,4)or lo que í/ > O en el punto (¿).
Por variar U continuamente, en algún
punto de L debe tomar el valor O, de
modo que existe un punto dentro de T en el
cual es r = O y Í7 = O, lo que prueba
la existencia de una raíz.
La figura siguiente, copiada de Gauss
y preparada para una ecuación especial
de quinto grado, ilustra perfectamente lo
que hemos dicho. Las áreas cubiertas por
mares han sido sombreadas y las que
representan continentes han sido dejadas
en blanco. Ahora, si partimos de A) y
caminamos a lo largo de la costa
llegamos al punto B) sobre el círculo T, y entre ellos sobre esta
costa hay un punto a que representa una raíz. Podemos partir tam-

330 TEOXJA RB BCUACIOSES
bien de los puntos C), E), G), (9) y seguir la costa en la forma,
descripta. Desde C) llegamos a (8) pasando por otra raíz b. De E)
llegamos a F) pasando por una raíz c, y de G) llegamos a D)
pasando nuevamente por c. Finalmente, de (9) llegamos a (O) pasando por
la raíx d. Esto no3 indica que existen cuatro raíces a, b, e, d de las
cuales e es una raíx doble.
El teorema fundamental del álgebra, por su naturalesa; pertenece
más al análisis que al álgebra. Es natural, por lo tanto, que esta
demostración de Gauss contenga elementos trascendentes de carácter analítico
y topoló^co. Existen demostraciones, como la segunda de Gauss y
otras obtenidas después de ella, en las que los elementos trascendentes
fueron reducidos a un mínimo. Sólo se requiere en estas demostzaciones^
un hecho que pertenece al análisis: que una ecuación real de grado
impar tiene una raíz real.

APÉNDICE II
ACERCA DEL TEOREMA DE VINCENT
1. Si una ecuación sin raices múltiples se transforma sucesivamente
mediante las sustituciones
,1 1 1 1
X - a -\ ; y = b ■{ ; z = e i- — ;...
y z i
donde a, b, c, ... son enteros i>ositivos arbitrarios, la ecuación
transformada, después de un número suñciente de transformaciones, no
presentará variaciones o tendrá sólo una. Este importante teorema fué
publicado por Vincent en 1836 en el primer volumen del LiuoviUe'» Journal,
pero más tarde fué olvidado hasta tal punto que no se lo menciona en
absoluto en un trabajo capital como es la Emyclopádie der mathemaii-
schen Wissenschaften. Sin embargo, el teorema de Vincent es la base
del método tan eficiente para separar las raices reales explicado en el
Capitulo VI. En este apéndice daremos una demostraóón de una
proposición algo más delicada que se enuncia como sigue:
Sea N]^ el término Jt-ésimo de la sucesión
1; 1;2;3, 6;8; 13; 21; ...
en la cual cada término es la suma de los dos precedentes y donde A > O
es la miiüma distancia entre dos raices cualesquiera de la ecuación
/ (z) =0 de grado n, sin raices múltiples. Supongamos el^do el
número m de manera que:
N^Y A > -í- ; Ai\r,i\r^i > 1 +— [IJ
donde
=(-r"-
12]
Entonces la sustitución
1
r = oi H
+ 1
a, + 1
[31
331

332 teoría IXE ECUACIONES
presentada en la forma de una fracción continua con elementos
arbitrarios, enteros y positivos ai, 02, ..., am, transforma la ecuación/ (z) = O
en la ecuación F A) =0 que no tiene más de una variación,
2, Sea, en general, Pk/Qh la fc-ésima reducida de la fracción continua
oi H
as + 1
«3 +
De la ley de formación de las reducidas;
Pk+l = C'k+l Pk + Pk~l ,
Qifc+i = Oifc+i Qk + Qk-1,
y considerando que Qi = 1; Q2 = aj ^ 1, se sigue de inmediato que
Qk ^ N,.
Además, la relación [3] aparece en la forma
_ Pm i + Pm-l
^~ Qm 5 + Qm-1
de donde
5 = . [4]
Si .T es una raíz cualquiera de la ecuación / (x) = O, la cantidad 5,
determinada por [4], es la raíz correspondiente de la ecuación
transformada F (i) =0.
Supóngase que x es una raíz imaginaria
X = a + bi ; 6 ?í O.
Entonces la parte real de la correspondiente raíz 5, es:
iPm~Qmay + Q'„b'
que es ciertamente negativa si
(Pm-i - Qm-i a) {P„ - Q„a) ^ o .
Si, por el contrario,
(Pm-i — Qm-ia) (P„ —Q„a)<0,
significa que a está contenido entre dos reducidas sucesivas:
Qm-1 Q m

APÉNDICE II
333
la diferencia de las cuales es en valor absoluto igual a
1
QmjQ.
Por lo tanto:
P«-i
Q.
Qm-iQ.
Qn
Qm-lQ.
de donde
(Pmj -aQ„^) (Pm -aQ,n)\ <
n
En consecuencia, la parte real de 5 será negativa si
Qm-lQmb' > 1.
S 1
Pero
Qm ^ Qm-l ^ iVm-l Y I ^ I >
2
La desigualdad que acabamos de escribir so deduce de
iVm-l A > ,
2
y ésto, en virtud de [1], es cierto. Luego, las raíces imaginarias de la
ecuación transformada tienen componentes reales negativas.
3. Su'póngase que con x llamemos indefinidamente a las raíces reales
de la ecuación / (x) = O, si las hay. Deben considerarse dos casos.
Supóngase primero que en correspondencia con todas las raíces reales x
(Pm-l — Qm-lX) (Pm - QmX) > O .
Entonces se deduce d(; [4] que todas las raíces reales de la ecuación
transformada F {^) =0 serán negativas. Se ha demostrado ya que
todas las raícos imaginarias de esta ecuación tienen componentes reales
negativas. En consecuencia, F (^), además de un factor constante,
consta de factores lineales reales ^ + a con a positivo y factores cua-
dráticos ^■■' + 6 5 -f c con 6 y c positivos. Luego el polinomio F (^)
no presenta variaciones.
Supongamos en el segundo caso que para alguna raíz real x
(P^i - Qm-ix) (P„ -Q„x) SO.
Entonces x pertenece al intervalo
■* m—1 ■* m
Qn
Q.

3M
y por lo tanto
TEOMIA VX ECUACIONSS
Pm
Q.
Qm^Qm
Sea xf otra raíx cualquiera, real o imaginaria, de / (z) = O y ^ la
raíl correspondiente de la ecuadón transformada. Elntonces, teniendo
siempre presente que
P-Q-^ - P—iQ. = (- 1)-,
se concluye de [4] que
r +
(-1)-
o bien
r =
siendo
[■
Q^
Q. Q.(P.-Q.x')
(-1)- Q-
QmQ,
X =
A + «I
«.«^(^-.•)
Ahora
P.
— X
P.
X + X — X*
^ A
Q.Q.
>0.
!«l s
Pero por la segunda de las desigualdades [1]
y asf
E
Ul < e.
Entonces, las rafees de la ecuación transformada correspondientes a
las raíces xi,xt, ..., Xa_i de la ecuadón / (x) = O, diferentes de x, son
de la forma
5*= -
Qm
(i + «t).

APBNDICS II 335
Examinemos ahora el producto
<í + 1+ aO (* + 1 + a») - • - (í + 1 + a«_0 = Í-' + «lí*-* + - - • + «.-i-
Tenemos
fit = S A + a.) A + «,) ... A + «*) ,
consisitiendo la suma de I I términos. Desde que
I A + «O A + «O .. - A 4- .«*) — 1 I á A -h I a. I) A + I «, !)...
... A+ I «t!) -1
y
! aft! < e ; ft = 1, 2, ...,« — 1,
tenemos
I (I + a,) A + a,) ... A + «i) — 1 I á A + e)*— 1
^ A -f- £)-> — 1 = i- .
n
E!s ficil comprender entonces que Rt pueda presentarse en la forma
fit=("~^)(l-hSt)
donde
|s*| <-L-
n
Elntonces:
fit > 0.
4. Es de primordial importancia demostrar que la razón (hacemos
R^ = 1).
Rt
Rk-i
disminuye con k creciente. Como
Ru _n — k 1 + Si Rt^ _ n — k — \ 1 + St+,
Rt^ k \ + It-A ' Rk k Jfl 1 f St
es suficiente demostrar que
¿(n-fc-1) ^ A + 5*)^ ,5,
(fc +-!)(«- fc) A + St_0 A + Si^ ■
Ahora:
t(ii—t —1) n ^ 4w / n — 1 y
(t + 1) (n — í;) ~ (fc -h 1) (n ~ fc) ^ (« + 1)» ~ \ a + 1 /

336
y
Por otra
parte:
A +
de esa manera
teoría de ecuaciones
A 4- IkY
S*-i) A +
J'-
S*+i) 11 +
(n-
(n -h
la desigualdad [5] queda demostrada
lY
ly
5. Supóngase que para la raíz x la desigualdad estricta
(Pm-l - Qm-l X) (i"m - QmX) < O ,
se cumpla. Entonces, la raíz ^ de la ecuación transformada
correspondiente a X será positiva, y puede demostrarse que el polinomio
(w - 5) (m - 50 ... (w - 5„_i) = <í. (w),
que difiere de F (u) sólo por un faetor constante, presenta solamente
una variación.
Sustituyendo
Qm-l . ¡. Qm-l ^ .
u = y ; 5 = w ; w > O,
tenemos
^ (w) = (^^y (y - O)) (y.+ 1 + aO . . . (f + 1 + a„-i) ,
de manera que es sufieiente demostrar la afirmación para el polinomio
(t; — O)) (t; + 1 + ai) .. . (y + 1 4- a„-i) = (y - w) (y-i + fíiy-* +
-i- ... + fí„_i) = y- + (fíi - O)) y-^i + (fíj - fíi O)) y"-" +
+ . . . + (ñ„_i — ü„_2tó) y — ñ„_itó .
Este polinomio presenta evidentemente una variaeión y no más de
una, desde que Ri, R2, . . ., Rn-i, w son positivas y
Ri — A) ; — A) ,
Rl Rn-i
es una sucesión decreciente de números.
Queda por considerar el caso
(Pm^ - Qm-ix) (P„ - Q„x) = 0.
Todas las conclusiones referentes a las raíces de la ecuación
transformada correspondientes a las que difieren de x, se mantienen por fuerza
y, en particular, la conclusión de que fíj>0. Solamente en el caso en que
Pw-J —Qm^X = O,

APBNVICB II zn
la cantidad llamada ^ será igual a cero. Evidentemente eatonces &
ecuación transformada no tiene variaciones.
En el caso en que
Pm — QmX = D,
tendremos $ = «, lo que demuestra que la ecuacióa transformada se
reduce al grado n — 1. El polinomio F (u) difiere del producto
(« - 5i) («-$,)...(« - 5„_i),
solamente por un factor coiistante, producto que desarrollado no
presenta variaciones. Luego, el teorema de Vincent queda perfectamente
demostrado.

APÉNDICE m
ACERCA DE LAS ECUACIONES CUYAS RAICES TIENEN PARTE
REAL NEGATIVA
1. En el estudio de la estabilidad dinámica de sistemas mecánicos
es necesario tener un criterio simple para decidir si toda^; las raíces de
una ecuación algebraica con coeficientes reales
fix) = p« + píx ■+ pt3? + ... + p,x- = O,
11]
tienen parte real negativa. Este problema fué planteado por Maxwell,
estudiado luego por Routh, y resuelto de una manera muy elegante por
Elurwitx. Hurwits halló el siguiente criterio: Lm ecuación [1] tiene todas
la* raice* con part' real negativa únicamente si los n determinantes
Di = Pi ; /)» =
D.=
Po
Pí
Pl
Pí
9
Po
Pí
Di
=
Pl
Pl
Ps
... 0
... 0
Po
1h
P*
0
Pl
Pi
Plm-l Pí»-1
*on pontivos, siempre que, como puede legttimamente suponerse, po > O.
En todos los determinantes los índices de las letras p en cada fila
decrecen de a 1, y las letras con índices negativos y aquéllas cuyos
índices son > n, se reemplazan por ceros.
En el caso de n = 2, este criterio se verifica directamente. Porque las
condidones en ese caso son
IPi P«
O Pl
Po > O ; p, > O
= Pl Pi > O
o sea: po > O; pi > O; p* > O. y entonces es evidente que
Po+pix-S-pii* = 0.
tiene raices con parte real negativa. Suponiendo que el criterio de Hurwits
es verdadero para ecuaciones de grado n — 1, vamos a demostrar que
338

APÉNDICE III 339
continúa siendo cierto para ecuaciones de grado n, completando de
esa manera la demostración por inducción. Seguiremos un método
simple y elegante de I. Schur.
Puede establecerse sin reparos la siguiente proposición: Si todas las
raíces de f (x) tienen parte real negativa y ^ es un nítmero complejo, será
'.Hi)' > i/( i) •: si «? >o,
.''(:-). = ;/( í) i si «5 = 0, [2]
!/E) : <-/(-í) i si fie <o.
Considcrem'^s la descomposición factorial de / (i):
/ (x) = p« (x — ai) (x - ai) ... (x — a,) .
Suponiendo ^ = a + bi y considerando el factor lineal real a; — a^,
tenemos
! ^ — at r- = (a - ztV -h 6»,
en consecuencia, puesto que por hipótesis a^ < 0:
i S - =tt I ; - ? - a* i [3J
por ser
a = fi? I 0.
Los factores lineales ima^naños aparecen en pares conjugados. Sea
X — a, y X — a, uno de estos pares y
«r = Tr + »5r ; «. = Tr - »5r ', Tr < O ; 5, > O .
Será:
U - «r i* = (« - Tr)* +(b- ir)' I U -«.!» = (a - Tr)' + F + \)\
y
\-l-Xr\' = (a+yr)'^(bi-Kr- ; i- í-a.'* = (o+Tr)*-l-F-8r)*.
Pero
(a - y^r ^ (« -H Tr)',
según sea
o$0.
En consecuencia
! E - o.) E - «.) ! I i (- í - «r) (- í - «J I [4]
ya que es
fi«|o.
Las desigualdades [2] se deducen fácilmente de [3] y [4].

340 XEOBIA DS ECUACIONES
2. Si hacemos
— i|' = PoPi-hw(piP» — PoP3)a;+PoP3a;* +w(piP4 — poPs) i'-h ... [5]
2
es fácil comprobar que
a;<l» = po |l — —I -l-piO) /(x) — po í 1 — —| —Piw /(—x)
o bien
x^ = A(x)f(x) -B(x)f(-x), [6]
donde
A (x) = Po íl — — I -h Piw ; fi(x)=po|l \—pio).
Supongamos que po > 0; pi > 0; w > O y sea x un número complejo
A O tal que
X
Entonces, es fácil ver que
\A(x)\>\B(x)\. [7]
3. Las raíces de la ecuación ip = O varían con w, pero sus recíprocas
estarán acotadas si u está acotado, por ejemplo si w < 1. Porque esta
ecuación, como es fácil comprobar, es de grado n — 1, y las recíprocas
de sus raíces satisfacen a la ecuación
^r^i + ^P^P^- PoP^ a;-» + -g^x"-^ + ■ ■. =0,
Po Pi Pil
cuyos coeficientes están acotados. Por lo tanto, w puede tomarse positivo
y tan pequeño como sea necesario de modo que para todas las raíces
de i|í = O sea
R^<1.
Entonces, las partes reales de todas las raíces de ip = O serán negatvas
si las partes reales de las raíces de / (x) =0 son negativas. Porque,
suponiendo que para alguna raíz ^ de ip = O
Entonces, según [6]
AE)/E) =fiE)/(-5),
y según [7]
I A E) I > I fi E) I,

por ser
En consecuencia:
lo cual es
1/EI =
APÉNDICE ni
5
|B(?)I ,..
|AEI ■''
imposible siendo R ^ tíO.
1..
-5)
341
4. La recíproca también es cierta: Si po > 0; pi > O, y todas las
raíces de i|í = O tienen parte real negativa, entonces todas las raíces de
/ (x) =0 tienen parte real negati"a. Cambiando, en la identidad
x ^(x) = A (x)/(x) -fi(x)/(—x)
X por — X, tenemos
x^(—X) =fi(-x)/(x)—A(-x)/(-x),
y resolviendo para / (x):
. / V X A (— x) , . ,
/ (x) = ^ ip (x) —
A (x) A (- x) — fi (x) fi (— x)
iK—x).
A (x) A (— x) — fi (x) B (— x)
Pero
A(x) A(—x) ~£:(x)fi(—x) = 4popia)
y entonces
4 Po pi O)/ (x) = xA (— x) (> (x) — xB (x) ip (— x) . [8]
Supongamos ahora que ^ ?£ O es una raíz de / (x) = O y que R ^ ^ 0.
Se desprende de [8] que
A (-$)*(;) =fi@'>(-O . [9]
Haciendo ^ = a + bi, tenemos
A (— $) = Po A +- a O) + ¿6 O)) -h pi O),
^ E) = Po A — a w — ¿6 O)) ~ pi O),
y
l^(-$) 1' = [po(l + aa)) +pia)f+ po»6»a)S
1^@ l* = [po(l —ao)) -pia)P + po»6««»,
en consecuencia
I A (-5) Í2_|SE) p = 4iDpo*a + 4poPia) >0

342
TEOtlA DS SCOACIOSSS
O sea:
Entonces, de [9]
U(?)! =
M(-9I > |BE)I-
15E)
iA(-S)|
I 4- (- 0 1 < I i- (- ^) i,
y ésto es imposible siendo R ^ ^0, porque todas las raices de ^ = O,
por hipótesis, tienen parte real negativa.
5. En correspondencia con los determinantes Di, Dx, — para la
ecuación (C = O tenemos los determinantes
A / \ , i'i (Pl Pt — Pü Pt) Po Pl
Ai = lú (pi pi — po Pj) ; A, = ^
tó (pi p* — Po p») Po p»
w (pi Pt - Po-P») Po Pi O
«■> (Pi P« — Po ps) po Pí w (pi Pi — Po p»)
«■> (pi P« — Po Pt) Po í* tó (pi Pí — Po p¿)
A, =
Ahora bien
Al = lú Ds ; Ax = lú Po
Pi Pi — Po p» Pi {
pi p* — PuPt p»
= o p.
Pipi O O
pí Pi Pi — Po Pí Pi
Ps PiP* — P« í* Pí
o sea
A» = lú Po
Pi Po O
Pí Pí Pi
Pi P* P*
= upo Di.
En iorma similar :
As = lú* pr^
o bien
Pi O O
Pí Pl Pí — Po Pí Pg Pl
P» PlP* — Po Ps Pg Pí
pl Pl Pt — Po Pt Pg Pt
= «■>* Po Pl
Pl Po O O
Pt Pí Pl Po
I>k P4 p« Pí
p^ p* Pt p*
Al = lú* Po Pl Dt
£¡n general, todo determinante A¿ difiere de D^^i sólo en un factor
positivo. Podemos demostrar ahora que las condiciones
Di > O ; í>, >0 ; ... ; D, >0,
son suficientes para que una ecuación / (z) =0 de grado n tenga todas

AJPXWDICK UI MS
Jas raíces con parte real n^ativa, porque entonoes tatemes p« > 0;
Pi >0y
A, > 0 ; A, > 0 ; ... , A»a > 0.
Por lo tanto, saponiendo que el criterio valga para ecuaóones de
grado n — 1, la ecuación 41 = O tendrá todas las rafees eon parte real
negativa y entonces (F&rraf o 4) también será verdad para / (z) = O.
Las condiciones
Jh>0 ; lh>0 ; ... ,- Z), > O,
son también necesarias. Porqne m / (z) =0 faene todas las rafees can
parte real negativa, el polinomio / (z) consta de factores lineales x + a
con a positivo y factores cuadiáticos a^ -{- 2 (I z -f t con (I y t positivas.
Por lo tanto, todos los coefícientes de / (z) son del mismo agno, y
saponiendo que pa > O, tendremos también Z>i = pi > O. Teniendo la
ecuación ^ = O todas las raíces con parte real negativa (Ffinafo 3),
es necesario que
A, > O ; A, > O ; ... ; A^j > O,
por hipótesis; en consecuencia también
ft > O ; ft > O; ... ;Z), > O.
Entonces:
ft>0 ; ft>0;... ;/>. >0,
si todas las raíces de /(z) = O tienen parte real n^ntiva, supuesto
J»« >0.

APÉNDICE IV
SOLUCIÓN ITERATIVA DE LA ECUACIÓN DE FRECUENCIA
1. En el estudio de pequeñas vibraciones de sistemas mecánicos hay
que tratar con sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de segundo
orden con coeficientes constantes:
h t au gi f Olí gs -h ... + ai« g„ = O,
9» f a« ?i -t- o» ?í + .. . + flín 9n = O,
?n + 0,19i + Ons G2 -h .. . + a„„ g„ = O,
[II
que determinan la variación con el tiempo de los n parámetros
independientes Qi, qi, ..., Qr, que definen la configuración del sistema. Las
constantes reales a,j satisfacen la condición
para todos los índices %,j de manera que la matriz de las formas lineales
de los primeros miembros de [1] es simétrica. Para resolver las
ecuaciones [1] se buscan soluciones de la forma
qk = A» sen (pt + a), [21
que representan oscilaciones armónicas naturales con la misma frecuencia
p y fase a, pero de diferentes amplitudes correspondientes a diferentes
parámetros. Sustituyendo la expresión [2] en las ecuaciones [1] y
simplificando el factor sen (pí -|- a) obtenemos las ecuaciones siguientes:
(üu — p*) Al + ai2 ^2 -t- . .. + a,„ A„ = O,
a»! Al -h (om — p*) As + ... -h Oin A„ = O,
[31
a„i Al + a^ Ai + ... + (a„„ —p'')An = O.
Haciendo p' = X y considerando que no todas las amplitudes se
anulan, se concluye que el determinante del sistema [.3] debe anularse.
Esto da la siguiente ecuación en X en forma de determinante
F(l)
Ou -
«21
Onl
-X
«12
022 -
Oní
-X .
Oln
Oin
■ ann —
X
= o
[41
344

APÉNDICE ir 345
cuyo grado es n. Esta ecuación se llama ecuación de frecuencia. La misma
ecuación aparece en la teoría de las perturbaciones seculares de las
órbitas planetarias y por esta razón a menudo se la llama ecuación
secular. Considerada independientemente de los problemas físicos o
astronómicos, la misma ecuación es conocida como la ecuación
característica de la matriz.
(an Oil ... oin
021 att . . . Otn
a„i a„s ... a„„
Como se expresó anteriormente, se supondrá que esta matriz es
simétrica.
2. Dos conjuntos de amplitudes Ai, Ai, ...,A„ y Ai', Aj', ...,A„'
correspondientes a dos raíces distintas X y X' de la ecuación de frecuencia
satisfacen la condición de ortogonalidad
AiA,' +A,Aj'+ ... + A„A„' = 0.
El origen de esta expresión se explica por el hecho de que dos vectores
A = (Al, As, . .., A„)
A' = (Ai'As'...,A„'),
se llaman ortogonales si su producto escalar
AXA' = AxAi' +AíAj' + ... ~t AnAn',
se anula. Para probar la afirmación anterior considérense dos sistemas
de ecuaciones lineales
[5]
au Al + oi» As + .. . i- ain A„ = X Ai,
oji Al + otiAi + ... + ain A„ = 1 Al,
a„i Al -t a^Ai -|- ... + a„„A„ = X A„,
y
an Al' + aii Al ■\- .. . ~\- ai„ A„' = X' Ai,
«21 Al' + otiAi + ... + ain A„' = V Al,
a^Ai' + a^iAi + ... + annAn = X' A„.
Las ecuaciones [5] multiplicadas respectivamente por A/, A»', ..., A«'
y sumadas dan por resultado
2] aa Ai' Ai = X (Al Al' + A, A,' f ... + A„ A„') [7]
[6]

M6 TEOBIA ns BCUACIOKSS
donde en el primer miembro la doble sumatoria se refíere a los indices
t,jf que toman independientemente los valores 1,2, ...,n. Las
ecuaciones [6] multiplicadas por Ai, At, ,A» y sumadas dan, por otra
parte:
J aaAi'A} = X' (AxAx' + ArAr'-\-... ^- A,AJ). [8]
i. y
Pero como Oi, = Ojt ambas sumas de los primeros miembros de [7]
y [8] son iguales y restando tenemos
(X - X') (il.yl/ + ArAr' -»-...+ il.il.') = O
y así
A.il,' + AtAi' + ... 4- ^,il.' = O,
ya que X' ?«X.
La rela«áón de ortogonalidad puede usarse para demostrar, aigniendo a
Lagrange, que las raices de la ecuación de frecuencia son reales.
Supóngase que hubiera una raís imaginaría X = a -|- ^t; & t^ O; entonces
existirá una raix imagnaria conjugada X' = a — ^' y seifa X' ?«X.
Las ecuaciones [5] se satisfacen para valores complejos ili, ili, ..., .4.
no todos nulos. Las ecuaciones [6] correspondientes a la raix conjugada
será satisfecha por números ili, Ar, , Au conjugados, respectivamente,
de ill, ils, —, il. y la relación de ortogonalidad da
iliZ, + il,Z» + ... + il.Z. = O
o bien
|il.|*+|il.|»-|- ... + |il.|» = 0,
lo cual requiere que
ill ^ il» = ... = il. ^ O,
contrarío a la hipóteas.
£n las aplicaciones mecánicas, las raíces X son no sólo reales, sino
positivas y distintas, exceptuando casos verdaderamente excepcionales
de ajdicaeiones de poco interés. La formación de la ecuad^^ de
frecuencia según el desarrollo del determinante [4], puede ser de orden
elevado en algún caso, lo que representa un trabajo tedioso. Coando las
raíces X difieren considerablemente en magnitud los ingenieros pr^eren
cálculos aproximados de las mismas por algún proceso de iteración.
£1 propósito de este apéndice es explicar los lincamientos de este proceso.
3. La expoáci<^ ganará conaiderablemente en simplicidad y el^anda
haciendo uso del álgebra de las matrices. Con este fín debemos agriar
algunas nociones que no se han dado en el texto del Capitulo IX, Pár-
nafos 12 al 15.

irsSDICX TV 347
Una matriz A* obtenida de la matrix A cambiando filas y columnas
se llama transpuesta o conjugada de A. Una matrix simétrica es aato-
conjugada, de manera que
A* = A
y viceversa, cualquier matrix que satisfaga esta relación es amétñea.
Los determinantes de las matrices conjugadas son iguales. Por la cefjla
de multiplicación de matrices se veiiñca la sigoiente ecuación:
{AB)* = B^A»
que puede interpretarse diciendo que la matrix conjugada del
producto es igual al producto de las conjugadas de los factores tomados en
orden inverso. Una matrix S se Uama ortogonal si satisface la condición
de la ecuación
SS* = E 191
de donde se deduce, en primer lugar, por la regla de la multiplicaááa
de determinantes, que:
(det5)* = 1
de manera que
det S = ±1
y en segundo lugar, que
y, por lo tanto, también
S*S = B. IlOl
Si Cij son elementos de una matrix ortogonal, surge de las ecuadones
[9] y [10] que ellas satisfacen las relaciones
ca' -h ca* + -.. + Ci.* = 1
cac,i + caCi»+ ... +Ci,Cj, = O para i^^j. lili
y
Cu* + cs/ + ... -h c„* = 1
CiiCij + CtiCtj + ... + e^c^ = O para i^^j. 1121
4. Sean ili. As, ..., An las amplitudes correspondientes a una raíx X
de la ecuación de frecuencia. Al multiplicarlas por un factor
conveniente puede suponerse que
Ai'+A,*+...+An'=l.

348 TEOSIA IXE ECUACIONES
Las amplitudes que satisfacen esta condición serán llamadas
normalizadas. Sean
«I, «2, ..., a„
Vi, V2, . . ., V„
amplitudes normalizadas correspondientes, respectivamente, a las raíces
Xi, X2, ..., X„ de la ecuación de frecuencia. Si suponemos, por
simplicidad, que estas raíces son simples, las amplitudes normalizadas
correspondientes a las mismas satisfarán la relación de ortogonalidad, de
donde, en virtud de [11], se deduce que la matriz
S =
«1 «:...«„
_ I &1 &2 • • • &n
Vi V2
es ortogonal. Las amplitudes correspondientes a la raíz Xi satisfacen
las ecuaciones
au «1 + Olí «2 + ... -f oin a„ = Xi «1,
«21 «1 -1- «22 «2 -|- . . . +- a2n «n = Xl «2 ,
que, introduciendo la matriz columna
(«) =
puede condensarse en una ecuación matricial
A (a) = Xl (a).
De esta ecuación surge que
A» (a) = AA (a) = Xi A (a) = X,' (a)
A' (a) = AA^ (a) = Xi" A (a) = X,' (a)
y en general, que
A-(a) = Xi-Ca) .
Introduciendo en forma similar matrices columnas (P), ...,(v)
correspondientes a las raíces Xj, . .., X„ tenemos entonces n ecuaciones
matriciales
A-(a)=X-i(a) ; A-(&) = X,-(&);...; A-(v) = X„»(v) .

APÉNDICE ir 349
Sea
C =
una matriz columna y escribamos
AC = Ci ; ACi = Ci ; AC, = C, ; ...
y, en general
C„ = AC„^ = A'C. [14]
Por otra parte, pueden determinarse constantes yi, vj, ..., y„ tales
que
C = Ti («)+ T2 (&) + ••• + Tn (v) ,
de [14] y [13] surge entonces que
Cn, = Xi- n (a) + Tí- X, (P) + .. . + X,.- r„ (v) .
Si CiC"); cjC"); .. . ; CrC") son elementos de Cm, la última ecuación
demuestra que
ac) = Yi Xi- a,- + Y2 Xs- P< + ... -1- Tn X„- v<, [15]
para i = 1; 2; .. . ; v. Nótese que debido a la ortogónalidad de S
Ti = ci «1 + Cj «2 + ... + c„ a„. [16]
De [15] se sigue que
Cj^^') Ti >>l'^^ «< + Ti >>»"^' &< + • • • + Tn Xn"+^ V.-
Cj(~) Ti ^i" «i + T2 >>2" &• + ... + Tn X-„ v<
o bien
^^ \m+l
Yl «i -h Y2 Bí I I -1- ... -I- Y« Vi I
c.(«+n
Ci(-)
= Xi
..,..,..,(yV...,..,.(|.)-
Y,..+ Y.fi.(-^)"+...+r,.,(-i;^)'
Supóngase ahora que Xi es la mayor de las raíces; entonces las razones
Xa . . Xn
serán menores que 1 y sus potencias convergerán a cero cuando los
exponentes aumenten indefinidamente. Supuesto, por lo tanto, que
Ti a,- ?í O, el límite de la razón
Cf(-)

3S0 teoría ds ecuaciones
con m —*'«» será Xi, y para m grande, la mayor de las rafees
(correspondiente a la máxima frecuencia) puede ser calculada
aproximadamente de la ecuación
X, =
c¡(-)
¿ouae, en general, t puede ser uno cualquiera de los números 1,2, ..., n.
Consideraciones similares demuestran también que para m grande las
raxones
serán aproximadamente iguales a las raxones de las amplitudes
, ... ,
El cálculo de Ci^"*, <;»(■•', ..., c„("' puede realisaise por un simple
método recurrente, usando las fórmulas
c, (-+" = a,, c,(-) + au c(-) + ... + a„ c,í-).
c, (-+« = om c,(-) 4- ot» c,(-> + ... + a,, c„(->,
c^C«+i) = o_, c,c«) -}- a^ c(-> + ... + a„ c„(->.
Con respecto a los valores iniciales de Ci, d, ..., c, pueden ser
tomados arbiteariamente, con la sola condición de que
Ti = Ci «1 + c» a» + •.. + c. Of, ?í O.
Si Ci, d, ..., c se toman al azar, esta condición se satisfará en general.
Para encontrar la raíx menor de la ccuañón de frecuencia, o sea la
minima frecuencia, puede aplicarse el mismo método a la matrix
recíproca A~^. Para demosbatlo, nótese que la ecuadón característica de
A es
P (X) = det (il - X B) = O.
Ahora
ii(il-'—X-'^ =—X-'(A —X^,
de donde, por la regla de multiplicación de determinantes
det A . det (il"' — X-' E) = (— 1)" X-- det {A —XE)
y de esto se sigue que las raíces de la ecuación característica para la
matrix recíproca A'^ son

APÉNDICE ir S51
7 la mayor de ellas es la reciproca de la menor raíz correspcmdíente
a A. Por lo tanto, la menor raíz puede ealculatae por ei proceso anteñor.
Una Tez que la rsíx mayor se ha calculado con suficiente aproñnuuáán,
las otras raíces pueden calcularse aproximadamente por el mismo
método, snidementado con ciertas consideraciones adicionales, pero que
nosotros no trataremos. EU método explicado en este apéndice se basa
en la misma idea que el antiguo método propuesto por Daniel BemoolH
par<i cualquier ecuadón algebraica y tiene los mismos defectos de eon-
Teigenda lenta cuando las Maíces no son numéricamente muy distintas.
La lenta convergencia que a veces ocurre se compensa por el hecho
de que los errores accidentales de cómputo solamente retardan «ü
proceso pero no influyen en el resultado final. La mmfdiddad de cáleol»
es otra ventaja especialmente apre<áable cuando el trabajo se «Hifía
a un grupo de calculistas. Probablemente éstas son las razones por las
cuales mudios ingenieros usan este método con preferencia a oIxqs.
El defecto de una convergencia lanta puede remediarse, en cierta,
manera, por el siguiente procedimiento que lleva a usar 2 n iteraciones
en lugar de m.
Refiriéndonos a la expresión
c(-> = Ti «i X,- 4- T« P. X,- + ... + T» Vi X."
y a las relaciones de ortogonalidad [12], es fácil encontrar que
r, = c,(-) c,(-+" + c,(-) c(-+« + -.. + c,(-) c,^-+«
tendrán las expresiones sencillas siguientes
r, = T.* x,*-+i + T«* x,*-+i + ... + T,* x.»-+i
A. = T.* V- + T«* X,»- 4- ... + T-* X.»-,
de donde el cociente
A.
será aproximadamente igual a la mayor rafz Xi, y es fácil ver que
A,
Sea la maMa
<X,.

352
Comenzando con
TBOSIA DÍE ECUACIONES
c,(o) - 1 ; cjW - O ; cjC) = O
calculamos rápidamente por recurrencia
c,(io) = 14041 ; c,(w) = — 17460 ; c,»») = 7753 ;
c,(u) = 45542 ; c,("l = — 56714 ; cj("> = 25213 ;.
de donde
Tío •=- 1825158051
Aio - 562110290
3,246975,
mientras que la mayor raíz característica de la matriz A es
3, 2469795 ,
de manera que la aproximación, aun después de un número tan reducido de pasos, es
bastante satisfactoria.

APÉNDICE V
EL MÉTODO DE GRAEFFE
1. Cuando es necesario calcular todas las raíces de una ecuación,
incluyendo las imaginarias, el así llamado método del cuadrado de las
raíces o de Graeffe es preferible a los demás y es el único método
práctico para calcular las raíces imaginarias. Las primeras ideas de este
método se encuentran en los escritos de Waring en el siglo XVIIl. Más
tarde fué propuesto independientemente por Dandelin A826) y Lobat-
chevsky A834) un método para el cálculo de las raíces basado en la
misma idea, pero sólo Graeffe A837) lo desarrolló en todos sus detalles.
Sea
/ (x) = po + píx + piX^ + ... + Pns;" = O,
la ecuación propuesta, con raíces «i, a?, ..., a„. La primera parte del
método de Graeffe es un algoritmo para la formación de la ecuación
con las raíces «i*, «2*, .. ., aV Como
/ (a;) = Pn(X — ai) (X — «2) ... (X — Un) ,
(- !)"/(- x) = p„ (x f ai) (x + «2) ... (x -1- a„)
y multiplicando estas ecuaciones miembro a miembro, tenemos
(- 1)»/ (x) / (- x) = pn' (x^ - «1^) (x^ - «,») ... (a:» - a„2) ^
de manera que, reemplazando x por ■yfx', la ecuación pedida, de raíces
«1*, «2*, . .., «n* puede escribirse así:
Fix) =f (VT)/(-V^) =0.
Ahora
/ (V X ) = po + P2 X -1- p4 x" -1- ... + ^[x'ipl + P3 X + pb X* + ...),
/ (— ^¡~x') = po + P2 a; + P4 X* 4- ... — -^(.pi + Psx + psx" + ...),
y luego
F(.x) = (Po -h PiX + ptx^ + ...y—x{pi + p»x f PiX^ + ...)%
de donde es fácil ver que el coeficiente de x* en F (x) será:
(— 1)* [p/ — 2 p<-i Pi+i + 2pi_!ipn.i — ...],
353

354 TJSOSIA DE ECUACIONES
continuándose los términos entre paréntesis mientras los subíndices de
las letras p no sean negativos o mayores que n. Se obtiene una
simplificación cambiando x por — a; en Fix), es decir, considerando la
ecuación cuyas raíces son: — «i*; — «2*; ...; — a„*. En este caso, tenemos la
siguiente regla uniforme: Escribiendo la ecuación original en la forma
aoX" + aiX"-! -1- ... + a„ = O,
el coeficiente de a;""* en la ecuación transformada, cuyas raíces son
— «1^; —«2*; ... ; —«nS está expresado por la suma
a/ — 2 a,_i ov+i + 2 a<_2 a,+2 — . . .
que se continúa mientras los índices no se hacen negativos o maj'ores
que n.
Por una repetición del mismo proceso, se obtienen ecuaciones
transformadas cuyas raíces son
— «1^ ; — «2^- ... ; — a„^ ;
- «1» ; — «2» ; . . . ; — a„»;
«1 , «2 > • . • > Otn ,
etc.
es decir, las opuestas de las raíces «i, «2, . . ., <Xn, elevadas a exponentes
que son potencias de dos rápidamente crecientes. Luego de algunas de
estas operaciones los coeficientes de las ecuaciones transformadas se
hacen excesivamente grandes y es necesario reemplazarlos por valores
aproximados reteniendo un cierto número fijo de cifras significativas,
por ejemplo, cinco o seis. Reteniendo generalmente, por ejemplo, seis
cifras, se puede esperar obtener raíces por el método de Graeffe
también con seis cifras significativas. Los cálculos se realizan
convenientemente con la ayuda de una máquina de calcular. Otia. forma de evitar
el uso de números muy grandes es reemplazar los coeficientes de la
ecuación transformada por sus logaritmos (o mejor, por el logaritmo de
sus valores absolutos) agregando una letra n al final del logaritmo para
indicar un coeficiente negativo. Los coeficiente.S' de las ecuaciones
transformadas serán todos positivos si la ecuación propuesta tiene solamente
raíces reales, de manera que los coeficientes negativos indican la
presencia de raíces imaginarias, aun cuando la recíproca no es cierta
necesariamente. Cuando se usan los valores logarítmicos de los coeficientes,
es de mucha ayuda tener tablas de logaritmos de Gauss que permiten
tomar directamente de la tabla el logaritmo de la suma o diferencia
de dos números cuyos logaritmos son dados. La excelente tabla de
logaritmos a seis decimales de Bremiker contiene también tablas de
logaritmos de Gauss.

APÉNDICE V 356
Xjemplo 1. Sea la ecuación propuesta
3^ +2x' — e>x? — 2x + l =0.
Los coeficientes de las primeras tres ecuaciones transformadas se han calculado
exactamente de acuerdo con lo anterior y se consignan en la siguiente tabla:
2°
2'
2'
2»
1
1
1
1
2
16
. 164
23684
—6
46
1606
2525446
—2
16
164
23684
1
1
1
1
Loe números de la columna de la izquierda muestran loe exponentes de las potencias
a las que han sido elevadas las rafees. Al pasar a las siguientes ecuaciones transformadas
retendremos solamente seis cifras significativas. Los resultados son los siguientes:
2*
2'
1
1
555881 X 10»
308991 X 10'^
637676 X 10'
406631 X 10 0
555881 X 10»
308991 X 10"
1
1
Para la ecuación transformada siguiente los coeficientes dentro de la aproximación
supuesta serían iguales a los cuadrados de los coeficientes precedentes: una circunstancia
importante relacionada con el método de Graeffe que demuestra que no es necesario
continuar más el cálculo.
Ejemplo 2. Sea la ecuación propuesta
I* + 81» — 71^ — 501 — 30 = 0.
Los coeficientes de la primera ecuación transformada, calculados directamente:
2>: 1 78 789 2080 900
son reemplazados por sus logaritmos:
2': O 1,892095 2,897077 3,318063 2,954243
Los cálculos siguientes, hechos con ayuda de las tablas logarítmicas de Bremiker, dan:
22
2'
2*
V
0
0
0
0
3,653792
7,294564
14,588985
29,177970
5,476891
10,804246
21,573568
43,145614
6,463324
12,900923
25,801272
51,602544
5,908486
11,816972
23,633944
47,267888
En el paso siguiente todos los logaritmos se duplicarían as! que, con la aproximación
deseada, no es necesario continuar más.
2. De manera de poder explicar cómo el proceso descripto en el
Párrafo 1 puede ser usado para el cálculo de las raíces, comenzaremos con el

356 teoría de ECUACIONES
caso más simple cuando las raíces «i, «2, ...,«« son todas reales y de
distinto valor absoluto. Llamando en general f¡. a ! a^l, supóngase que
pl > P2 > • • . > Pn •
Llámese Aq, Ai , ... , .4„ a los coeficientes de la ecuación
transformada correspondiente al grado m = 2* de las raíces. Entonces
evidentemente es
— ^ Pl"* ; — 1 Pl" Pí" ; —— = 2: Pl" Pí" P
Aq Aa Ao
En estas sumas los términos pi", pi"* 52"*, pi" pj"* pa"*, •.. son los
términos dominantes y los otros términos serán incomparablemente
menores si m es un niímero suficientemente grande. Entonces, con
pequeños errores relativos si, £2, £3, . . . podemos escribir
4^ = Pl" A + o ; 4^ = Pl" P2" A + ^d ;
Ao Ao
-J~ = pi« P2« pa" A + £3) ;...
Ao
de donde, con pequeños errores
m log pl = log ; m log pi p» = log -— ; m log pi ps pa = log
Ao Ao Ao
y con errores aún más pequeños (debido al divisor m grande):
1 1 1 -^1 1 1 1 -^2 .
log pl = — log—- ; log pl p2 = — log—— ,
m Ao m Ao
log Pl p2 P3 = — log —i -, ... [1]
m Ao
Pasando a la siguiente ecuación transformada, cuyos coeficientes son
Ao', Al', ... tenemos también
4v = Pl""A + -1') ; -TT = (plp^)""A + ''^ '
A o A o
4v = (pl ?= p')"" A + ^''); • • •
A o'
o, con errores relativos pequeños:
Al' ^ /j4^y j4^ ^ /A^\' . ^^ ^ /A^\' .
Ao' \Ao/ ' Ao' \Ao/ ' Ao' \Ao/ ' ■■■
que explica, en general, el fenómeno observado en los dos ejemplos
precedentes. Recíprocamente, cuando se satisfacen estas ecuaciones den-

APÉNDICE V 357
tro del grado de aproximación prescripto, puede suponerse sin temor a
error que por lo menos con la misma aproximación se cumplirán las
ecuaciones [1]. Habiéndose encontrado en [1] les logaritmos de los
módulos pi, p2, p3, ... estos módulos se determinan inmediatamente
por las tablas logarítmicas. Con respecto al signo de la raíz se podrá
encontrar sin dificultad si se conoce groseramente la ubicación de las
raíces.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación
i<+2i' — 61^ — 21 + 1 =0,
vista en el Ejemplo 1, Párrafo 1. Los coeficientes de la quinta ecuación transformsdA soo
1 308991 X 10'^ 406631 X 10=» 308991 X 10'^ 1
y sus logaritmos
O 17,489945 25,609200 17,489945 O
de donde
32 log pi = 17,489945 32 log pi p2 = 25,609200
32 log pi P2 P3 = 17,489945 32 log pi pj ps pi = O
y, en consecuencia:
log pi = 0,546561 ; log ps = 0,253727 ; log ps =1,746273 ; log pi =1,453439
pi = 3,520150 ; p, = 1,793604 ; pj = 0,557536 ; pt = 0,284079.
Con una noción somera de la ubicación de las raíces se encuentra que son
— 3,520150
+ 1,793604
— 0,557536
+ 0,284079
Suma: —2,000003
en lugar de — 2. Presentada la ecuación en la forma
(x'^+x — ly =6x^
88 fácilmente resoluble y sus raices son:
\T— 1 ±V10 — \20 —yfs — i ± Vio + A/20
o aproximadamente
— 3,5201470
+ 1,7936045
— 0,5575365
+ 0,2840790
Los valores anteñores son tan próximos a éstos como podía esperarse del uso de tablas
de logaritmos de seis decimales.

358 T^OSIA DB ECUACIONES
Ejemplo 2. Resolver la ecuación
i<+8i» — 7i2 — 50i — 30 = 0,
ya vista en el Ejemplo 2, Párrafo 1. Los logaritmos de los coeficientes de la quinta
ecuación transformao' )n:
O 29,177970 43,145609 51,602544 47,267888
de donde
43,145609 51,602544
— 29,177970 —43,145609
32 log pi = 29,177970 ; 32 log p, = 13,967639 32 log ps = 8,456935
47,267888
— 51,602544
32 log p4 = 5,665344
y, por lo tanto:
log pi = 0,911812
log pj = 0,436489
log P3 = 0,264279
log p4 = 1,864542
pi = 8,16228
p, = 2,73204
P3 = 1,83772
P4 = 0,73205
Sin mucho inconveniente se determina que las raíces son:
— 8,16228
+ 2,73205
— 1,83772
— 0,73205
— 8,00000
3. En general, agrupemos los módulos do las raíces pi, p2, . . ., p„ en
grupos tales que
pl & P2 ^ • • ■ ^ PX
PXfi S Px+a ^ . . . ^ Pn
Pn+l S Pn+s é • • • ^ p.
pero tal que
px > px+i ; pn > pnn ; pv > p»fi ; • • •
En las expresiones
Al A
—~ = 2 ai" «2" . . . ax" ; —- = 2 «i" «2"* . . . a^" ;
Aq Ao
—- = 2 ai" «2" .. . a,
Ao

APEifDICE V 359
los términos «i"* «j"* ... «x"* ; «i"* «2"* . .. «n"* ; «i" «i" ... «,"• ; ... son
dominantes y los otros términos incomparablemente menores para m
grande. Luego, con errores relativos arbitrarios y pequeños ei, ei, e», ...
4^ = («1 «2 . . . ax)" A + £i) ; 4^ = («1 «2 .. . aj" A + e,) •,
Ao Ao
4^ = («x «2 ... «,)« A + E,); ...
o lo que es lo mismo
4^ = (pi P2 ... Px)" A + si) ; 4^ = (Pi P2... pj" A -I- sO ;...
Ao Ao
de donde, nuevamente con pequeños errores
1 , Ax 1 , A„
pi P2 .. • Px = log —— ; px+i ... p^ = —log —— ;
m Ao m Ax
1 A
P^+i...p. = log—^;... f2J
m A^
y estas relaciones se satisfarán dentro de la aproximación prescñpta
cuando las transformaciones se continúen de manera que los logaritmos
de las razones
Ax A^ _ Ay _
Ao Ao Ao
comiencen a duplicarse de una ecuación transformada a la siguiente.
La sucesión de los coeficientes
Ao ; Al ; Aj ...
dividida en secciones
Ao, ..., Ax
Ax, ..., A¡f,
A¡f,, . . ., A,
cuyos extremos muestran una regularidad de comportamiento en que-
las razones
Ax _ A^ _ A, _
Ao Ao Ao
tienen tendencia a elevarse al cuadrado o sus logaritmos a duplicarse
cuando se pasa de una transformada a la siguiente, mientras que los

360 TJBOSIA DE ECUACIONES
términos intermedios no manifiestan tal comportamiento regular. En
la práctica por lo tanto, es siempre fácil encontrar mientras se ejecutan
las transformaciones, los valores de los índices X, (x, v, . . . De las
ecuaciones [2] se pueden hallar valores aproximados de los productos de los
módulos pi, ..., px; px+i ... pn; .. . de cada grupo. Para ver cómo ayuda
ésto a encontrar aproximadamente el módulo de las raíces reales e
imaginarias, supóngase por ejemplo, que entre las raíces
«1, «2, «3, «4, «6, «6
de una ecuación de sexto grado, ordenadas en sentido decreciente de
sus módulos, «i es raíz real, «2 y «3 imaginarias conjugadas, «4 real y
«6 y oj imaginarias conjugadas de manera que tres de ellas no tengan el
mismo módulo. Entonces
Pl > P2 = P3 > p4 > p6 = pe
y para m grande la sucesión de los coeficientes
Ao ; Al ; A^ ; A3 ; Ai ; A^ ; At
se encontrará que se divide en secciones
Ao , Al
Al , As , A3
A3 , A4
Ai , Ai , At.
Suponiendo por simplicidad que Ao = 1, los coeficientes Ai, A3, A4,
A» mostrarán un comportamiento regular como se dijo antes, pero A2
y Ai, en general, variarán erráticamente, cambiando de signo y
mostrando la considerable influencia de los coeficientes vecinos Ai, A3
y Ai, Ai. Una vez que la partición se ha manifestado, los módulos de las
raíces reales pi, p» se encuentran aproximadamente con
log Pl = — log —^ ; log P4 = log —-^,
m Ao m A3
y los cuadrados de los módulos de las raíces imaginarias con
log p2* = — log —^ ; log p6* = — log —^.
w Al m A4
El procedimiento ilustrado en este ejemplo servirá para encontrar
los módulos de las raíces reales e imaginarias excluyendo el caso de dos
o más raíces de módulos iguales (o muy próximos) que requiere la
aplicación de artificios especiales.

APÉNDICE V 361
4. Cuando los módulos de las raíces se encuentran por aproximaciones,
los signos de las raíces reales son fácilmente determinables y los
argumentos (o componentes reales) de las raíces imaginarias pueden
determinarse de la siguiente manera: Supóngase primero que hay un par de
raíces imaginarias a ± 6i cuyo módulo es p. Si la suma de las raíces
reales se indica con a, las componentes reales e imaginarias se
determinan de
Oi
2 a = ■ a ; 6 = ■\p^-—aF
Cuando hay dos raíces imaginarias oi ± 6i i; oj ± 62 i de módulos
desiguales pi, p2, considérense las sumas de todas las raíces y de sus
recíprocas; llamando a y a' la suma de las raíces reales y la de sus
recíprocas, tenemos dos ecuaciones
010  . 2 ai 2 02 a„_i ,
2 oi -)- 2 02 = a ; f-
Oo pl^ p2*
que sirven para determinar oi y 02 luego de lo cual se encuentran 61
y 62 de
61 = V pi* — oi* ; 62 = V p2* —
as'
En el caso en que hubiera tres o más pares de raíces imaginarias de
distinto módulo puede usarse el siguiente procedimiento general:
Podemos suponer que el grado de la ecuación propuesta / (x) = O es par
e igual a 2 v; pues en caso contrario puede reemplazarse por xf (x) = 0.
Sea p el módulo de alguna raíz imaginaria y <í> su argumento.
Sustituyendo X = f (eos <f> + i sen <t>) en
x->f (x) = O
e igualando a cero las partes reales e imaginarias, tenemos dos
relaciones de la forma
Co cos V <í> + Ci eos (v — 1) <í> + • • • + C,_i eos <t> + C, = O,
Do sen V <t> ■\- Di sen (v — í) <f> -\- ... + Dy_i sen <f> = O,
donde los coeficientes son cantidades conocidas. Reemplazando en
general:
sen k <t>
eos fe <t> ;
sen 4>
por sus expresiones en la variable t = eos <(> encontramos que t es la
única raíz común a las ecuaciones
f (í) = O ; * (í) = O

362 TSOSIA DE ECUACIONES
una de grado v y otra de grado v — 1. Esta raíz común puede
encontrarse por el método usado al determinar el máximo común divisor.
El cálculo se realiza convenientemente si se dispone de máquina de
calcular.
Existe otro método para calcular las componentes reales de las raíces
imaginarias. Tómese un n«mero real k (que por razones prácticas no
debe ser ni muy pequeño ni muy grande) y transfórmese la ecuación
propuesta mediante la sustitución
Haciendo
tenemos
de donde
y = X — fe .
= P, ; I a, — fc I = r, ; a, = a, + 6»
/ + 6,2 = p/ : (a, - ky + 6,» = r,»
P,^ - r,2 -1- fc2
a, =
2fc
Los cuadrados de los módulos de la ecuación en y se determinarán,
por una nueva aplicación del método de Graeffe; sean éstos
r» ; s» ; ¿^• .. .
Como los signos de las raíces reales a, se conocen, no hay dificultad
en encontrar los correspondientes r,. Si la menor diferencia entre los
módulos de raíces imaginarias no conjugadas es menor en valor
absoluto que 2 fc es fácil ver que con p» > p^i tenemos también rv > r,i y
luego los valores r, para las raíces imaginarias pueden encontrarse sin
ambigüedad entre r*, s*, t^, . .. Pero los valores de fc que satisfacen
la condición anterior pueden ser tan pequeños como para causar una
considerable pérdida de aproximación en la determinación de Oy. Con
un valor de fc mayor, la identificación de r, correspondiente a p, puede
lograrse mediante un proceso de tanteos fácilmente aplicable en la
práctica, que se basa en la desigualdad
! p, — r, I > I fc I
y la relación
'•''-'=' =2k^^^n
c 2
que se deduce de la expresión de la suma de las recíprocas de las raíces,
tomando en cuenta la expresión anterior de a,.

APÉNDICE V
363
5. Vale la pena ilustrar estas consideraciones generales por medio de
ejemplos numéricos.
Ejemplo 1. Resolver la ecuación
i' + I* —Ti' —22 2!» +1 + 1 =0.
Los resultados del cálculo, que el lector debe repetir, se dan en la siguiente tabla:
20
21
2'
23
2<
2'
2«
2'
*
1
15
36
12995
133407X10'
202003X10"
406980 XIO''
*
—7
95
—5886
177317X10»
—120145X10"
53584X10"
-180391X10'*
*
—22
500
241480
583247X10'
340177X10"
115720 XIO'»
133911X10"
*'
1
45
1025
567665
205594X10»
354654X10"
123468 X10«
152409X10»'
El comportanúento irregular del tercer coeficiente indica la presencia de raíces
imaginarías. Luego de seis transformaciones la partición se toma manifiesta y los grupoe
en que se separan los coeficientes son los siguientes:
1 406980 X 10"
406980 X 10" — 180391 X lO** 133911 X 10"
133911 X 10" 123468 X 10<»
123468 X W 1
Esto indica la existencia de tres raíces reales y doe imaginarías. Recurriendo a los
logaritmos encontramos
log 406980 X 10" = 32,609573 , log 133911 X 10" = 86,126816,
log 123468 X 10<o = 45,091554 ,
•de donde
64 log p, = 32,609573 , 64 log p^' = 53,517243 ,
64 log P4 = — 41,035262 , 64 log pj = — 45,091554 ,
log p, = 0,509524 , log pi = 1,358824 , log ps = 1,295444 ,
p, = 3,23239 , P4 = 0,228476 , ps = 0,197445 ,
que lleva a las siguientes raíces reales:
+ 3,23239 ; +0,22847 ; —0,19745.
El logaritmo del cuadrado de los módulos de las dos raíces imaginarias es
log f? = 0,836207 .
y asi, llamándolo simplemente p', tenemos
p' = 6,85815.

364
teoría de ecuaciones
Considerando la suma de todas las raíces tenemos
3,26341 + 2 a = — 1 ,
de donde
a = — 2,131705 ,
b = 1,52117,
de manera (}ue las rafees imaginarias son
— 2,131705 ± 1,521171.
Ejemplo 2. Resolver la ecuación
i' — I» — 2 i'—21 — 1 =0
Los resultados del cálculo se dan en la tabla:
20
2'
2
2>
2<
2'
2«
97
*
0
2
10
82
6722
451971 X 10'
204278 X 10"
*
—1
—3
9
1
—5919
151912 X 10
41187 X 10»
*
—2
0
4
36
1476
209732 X 10
448658 X 10'
201291 X 10 0
—2
0
0
—8
—8
—2888
414590 X 10
*
\
*
El comportamiento irregular de los números de la tercera y quinta columnas indicp.
dos pares de raíces imaginarias. La partición es casi completa después de seis
transformaciones y la séptima es necesaria solamente para efectuar un pequeño ajuste en el
número de la cuarta columna. Tomando logaritmos y dividiendo el logaritmo del número
de la cuarta columna por 2, tenemos las siguientes secciones de los coeficientes
logarítmicos:
O 15,310222
15,310222 * 12,651912
12,651912 * O
de donde
64 log pi = 15,310222 ; 64 log p^' = 61,341690 — 64 ; 64 log pi' = 51,348096 — 64 .
log p, = 0,239222 , log pi' = T,958464 , log p,' = 1,802314 ,
p, = 1,73469 , P2' = 0,908790 , pi' = 0,634329.
La rafz real es
1,73469.
y los cuadrados de los módulos de las raíces imaginarias, que llamamos simplemente
p* y p", son
p2 = 0,908790 ; p'' = 0,634329.

APÉNDICE V
365
Considerando la suma de todas sus raíces y de sus recíprocas, tenemos dos ecuaciones
a + a' = — 0,86735
a a'
1 = — 1,28824
cuyas soluciones llevan a
y además.
a= 0,16616, a' = —0,70119,
b = 0.03871 , 6' = 0,37770 ,
de manera que las raíces imaginarías son
— 0,16616 ± 0,938711,
— 0,70119 ± 0,377701.
Ejemplo 3. Resolver la ecuación
x' — x'^ + 2x' — Zx'+2x' + x+l =0.
Luego de tres transformaciones los cálculos se realizan logarítmicamente y los
resultados se consignan en la tabla:
20
2'
2'
2'
2*
2*
2«
2'
2»
1
1
1
1
0
0
0
0
*
—1
—3
5
—3
0,477121 n
3,238297 n
6,148167
11,985109
*
2
2
14
870
2,939519
5,900305
11,704236
23,409727
46,819467
—3
—3
—31
—4327
3,636187 n
7,567165n
14,419561 n
29,995115 n
*
2
14
182
31974
4,504797
9,009583
18,019162
36,038324
*
1
—3
—19
—3
0,477121 n
4,805766 n
9,310391
*
*
1
1
1
1
0
0
0
0
*
La partición queda casi completa luego de seis transformaciones y la s<íptima se
requiere solamente para hacer un pequeño ajuste en la tercera columna. Dividiendo el
último número de esta columna por 2, tenemos las siguientes secciones depués de seis
transformaciones:
O * 23,409733
23,409733 * 36,038324
36,038324 * O
Esto indica la presencia de seis raíces imaginarias. Los logaritmos de loe cuadrados
de sus módulos son:
log pi2 = 0,365777 ; log pj» = 0,197321 ; log p»' - 1,436901 ,
Pi» = 2,32154 , p?« = 1,57515, p,» = 0,273464 .
Para determinar los argumentos escríbimos la ecuación propuesta en la forma
1 1 2
Z3 + — — 2;2-| \-2x-\ 3 =0,
x' X- X

366 teoría de ECUACIONES
e introducimos
X = e (eos <t> +i sen <f>).
Igualando a cero las componentes reales e imaginarias tenemos
eos <í> — 3 = O ,
P3+ —)cos3<í> + ( —— p'jco8 2<í> + 2Íp + —I
( p' 1 sen3<í> — (—+PMsen2 <í> + 2lp jsen <t> =0,
y reemplazando t = eos 4»
1
---3 = 0,
^@=4(p3-^).-2(p^+-L),+2(p-lj-(p3_i_j=o.
Sustituyendo aquí p = Pi y reduciendo los coeficientes de la máxima potencia de f
a 1, tenemof
t' — 0,247490 f — 0,464659 t — 0,072593 = O
t» — 0,422840 t — 0,116748 = O
y la raíz común de estas ecuaciones, determinadas por el método del máximo común
divisor es:
t = eos <í>i = — 0,190386
Oi = pi eos <í>i = — 0,290083.
Sinúlarmente, se encuentra para los otros dos pares de raíces complejas
a, = 1,08018 , aa = 0,290093.
Finalmente, las componentes imaginarías de estas raíces son
1,49579 ; 0,63903 ; 0,43510,
de manera que las seis raíces imaginarías pedidas son
— 0,29008 ± 1,49579 í
1,08018 ± 0,639031
— 0,29009 ± 0,435101
y su suma resulta ser 1,00002 en lugar de 1, lo que sugiere que solamente la última cifra
decimal puede adolecer de algún error.
Para veríficar estos números podemos usar el segundo método explicado en la pág. 362.
Con esto fin tomamos fc = 1 y transformamos la ecuación
x' — x'' + 2 X* —3 x> + 2 x^ + X + 1 =0

APÉNDICE V 367
mediante la sustitución y = x — 1; la ecuación transformada en y será
j/« + 5í/' + 12 2/* + 15í/»'+10í/'+5í/+3 =0.
Luego de cinco pasos loe coeficientes de la ecuación transformada se separan en las
siguientes secciones:
1 — 408929 X 10< 832061 X 10"
832061 X 10" —178%9 X 10" 314087 X 10»
314087 X 10» — 317600 X 10" 185302 X 10"
de donde se deduce que los cuadrados de los módulos de las raíces ima^narías son:
3,90171 ; 1,85365 ; 0,414800.
Con la ayuda de la relación
ri' — 1 ri' — 1 rs' — 1
+ —- + =4,
pr P2. P3^
se encuentra fácilmente que en correspondencia con
debemos tomar
De donde
pi' = 2,32154 ; p,' = 1,57515 ; P3= = 0,273464 .
n' = 3,00171 ; r,' = 0,41480 ; r,' = 1,85365.
3,32154 — 3,90171
ai = = — 0,290085 ,
2,57515 — 0,41480
a, = = 1,080175,
2 '
1,27346 — 1,85365
oa = = — 0,290095,
es decir, prácticamente los mismos valores obtenidos por el otro método. Un cálculo
más preciso lleva a los siguientes valores de las raíces con siete decimales;
— 0,2900809 ± 1,49579091
1,0801744 ± 0,63904021
— 0,2900935 ± 0,4350983 i
y
pi' = 2,3215463
pj' = 1,5751490
ps^ = 0,2734647.
En esta exposición nos hemos limitado solamente a las características principales del
método de Graeff», dejando de lado cuestiones como el cálculo de raíces con el mismo
o casi el mismo módulo, mejoramiento de los valores obtenidos, así como de la
investigación teórica máa profunda de todo el tema. Para ésto el lector puede consultar el
extenso artícelo de A. Ostrowski: Recherches sur la méthode de Graeffe en Acta Mathemalica,
vol. 72, 1940.

RESPUESTAS A EJERCICIOS
Capítulo I
§6. 1. — 3 — i. 2. 3+2t. 3. 5t.
4. — t. 5. — 1 + t. 6. 1/2 — 1/2 i.
7. 3/2—1/21. 8. 3/2 —1/21. 9.-2.
10. — 1. 11. — 1. 12. 3/8 +3/8t.
13. X = 1; y = 2. 14. 1. 15. i = ± 1.
§ 7. 1. 1. 2. 1. 3. 5.
4. 1. 5. I' + 1. 6. '¿x^—2x + 1.
l.x'—x' + x — l si x ^ 1; y —x'+x' —i + l si X < 1.
1 + t 1 — t
8. 0. 9. ± —rz^ ; ±
1 yjT
10. (a) 0; 1; — — ± t —— ; F) 0; ± 1; ± t.
§ 8. 2. 1. 3. (o) 1; F) < 1.
§ 9. 2. 15 para 2 = 2.
§ 10. 1. ±—=^. 2. ±(—+t-V-). 3. ±■
a-^)-
■\/2 \2 2 / 2
4. ±A—2t). 5. ±F —7t). 6. ± (V^ + i V3").
— 1 ± t V 3" 3 VT
7. ±(x+t). 8. í—. 9. — ± t-'í
2 4 4
10. l+i;J+2t. 11. — 1 +t; 3/2+ 4t. 12. ± 1; ± t.
1 + t 1 — t
13. ±--=^; ±—=-. 14. ±A +t); ±(l-i).
V2 \2
5 — t 1 + 51 1 yjT
15. ±—=r-; ± r=—. 16. 1; ±i-
^^2 yfJ 2 2
17. -t;
^! . 18. ± 1; ^^——; —it-í!—
V3 + t ■nTs—t|
19. ±t; ±— ; i-!! -.
368

20.
RESPUESTAS A EJERCICIOS
— 1 +t _ 1 ±V^ + (—1 ±V^)i
3
3
2yf2
22. (a) i' + I + 1; F) i' + 1 => 0.
J 12. 1. (o) — 60°; F) + 60°; (c) + 120°.
2. (a) — 90°; F) + 90°; (c) + 45°.
3. + 30°.
J 13. 1. 4 (ooe X + í sen x).
3. 6 (coe 3/2 x + í sen 3/2 x).
5. coe 300° + t sen 300°.
7. 2 (coe 330° + i sen 330°).
8. 2 yf2 (eos 255° + t sen 255°).
9. r = 5; <t> = 261° 52'12".
10. r = V^ <t> = 153° 26' 6".
4. —80°
2. coe \- i sen —.
2 2
,— / 3 X 3 X \
4. V2 coe |-»sen .
I 4 4;
6. coe 120° + i sen 120°.
11.
ala a\
2 coe — coe \-t sen —
2 \ 2 2/
-P / a + p _ . a + p\
— eos H t sen
I 2 2 ;
X < a < X.
12. 2 coe
SI coe-
>0 y
— 2 coe-
SI coe-
(nx . nx\ í./ nx nr\
coe Htsen . 2. 8 2 eos isen .
6 6 / \ 12 12 /
(nx \ / nx \
n <i>\ + t sen I » ^ 1 •
4. 2" Is
' —<í>\"
n F + <í>) . n F + <í>)
eos % sen
2» + 2 eos
-2 coe
2
(n + 1) X
6. (a)
; (&)
2''—2coe
(n-1).
(c)
9. (a) eos 3^=4 eos' <t> — 3 eos <i>; sen 3^ = 3 sen <t> — 4 sen' <t>;
F) eos 5 ^ = 16 coe' ^ — 20 coe' ^ + 5 eos ^;
sen 5^ = 16 sen' ^ — 20 sen* ^ + 5 sen ^.
<a.

370 teoría de ecuaciones
sen 4 ó
(c) cobA <t> = 8 eos* <t>—8 eos* <í> + 1; = 4 sen <¿ — 8 sen? ó.
eos <t>
It. (a) 16 sen' ^ = 10 sen <t> — 5 sen 3 ^ + sen 5 <(>.
F) 8 sen* <í> = 3 — 4 eos 2 </> + eos 4 <í).
I 15. 1. I = 2 [eos F7° 30' + 90° fc) + t sen F7° 30' + 90° k)]; fc = 0; 1; 2; 3.
2. X =-\/2"[eos(ll°15' + 90° fc) +t sen A1° 15' +90°fc)]; fc =0; 1; 2; 3.
3
3. X = — V^[sen A20° fc) + t eos A20° k)]; fc = 0; ± 1.
«
A. X =^[2 [eos A20° k — 15°) + t sen A20° k — 15°)]; fc = 0; ± 1.
5. I = eoe C0° + 90° fc) + t sen C0° + 90° fc); fc = 0; 1; 2; 3.
6. I = eos D0° + 120° k) + i sen D0° + 120° fc); A = 0; 1; 2.
8
7. I = -\/2 [eos C0° + 60° fc) + t sen C0° + 60° fc)]; k = 0; 1; 2; 3; 4; 5.
8. I =- V2^ [eos F0° A — 2° 30') + tsen F0° fc — 2°30')]; A = 0; 1; 2; 3; 4; 5.
9. eoe 15° = -'^ — ; sen 15° = -5!
4 4
lié. 1. (eoel5°+ísenl5°)» = l-ü —+ i-^ í 1;
A = ± 1; ± 5; ± 7; ± 11.
Capítulo II
I 2. 1, x»+x* + x*+x^ + l. 2.2x''~3x> — 9x^—x* + 6x'—3x^ — x + l.
3. x» — 26x* +211* +20i' +4.
4. 31» — 2 i' — 19 i' + 11 i' — 7 i< — 3 i' + 81' — 2 j + 1.
} 3. 1. x'+3x' + l. J.x'—x + l.
3. i' — x'—2, eociente; 8i + 1, resto.
4. I»—i'+ i'—I*+!»—I+1. 5. 7i» + 7i.
} 5. 1. 9 = 2i» — 10i'+ 271 — 59; r = 119.
2. 9 =—1» +4i'+8i +24; r =72.
3. 9 = 6 i' — 2,81 + 1,64; r = 4,968.
4. g = 5i' + 6,5i + 11,25; r = 32,75.
5. 9 - 1/31» + 1/91^ — ll/27i +22/81; r = 37/81.
6. 9 - 5i' —5i*—I» +I- —I + 1; r = 0.
7. 9-1+21+3i'+... +(n — 1)i""*; r = 0.
8. 2,369375. 9. 1,7318.

RESPUESTAS A EJERCICIOS 371
J 6. 1. 5 (i — 1) +10 (x — ly +10 (i — D» + 5{x — iy + (x — ly.
2. 5 — 15 (i + 1) + 9 (i + 1)' + 4 (i + 1)' —5 (i + 1)* + (i + 1)'.
3. —317 + 927 (i + 2) — 1120 (i + 2)' + 720 (i + 2)» — 260 (i + 2)< +
+ 60 (i + 2)' — 4 (i + 2)«.
4. 3 (i — 0,3)< + 9,6 (x — 0,3)» + 8,02 {x — 0,3)' + 2,544 (x — 0,3) — 0,7237.
J 7. 1. 5; 15; 24; 12;—24. 2. —13; ür, —18; 78; —240; 240.
3. —67; 81; —62; 24. 4. 247/192; — 1; 31/12; —6/a
J 8. 1. x + l. 2.A + 1)'. 3. 2j:'—2j: + 1.
4. i' + 1. 5. x^—x— 1.
Capítulo III
Jl- 1. I*-3i'+2i=0. 2. I»-3i'+4i—2-0.
3. 3^ — 2x'+3x' — 2x+2=0.
15 ± V^ , ^ a ± V a' — 4 «
4. Rafees: — ; . 5. Raíces: a + 1; ,
2 10 2
x' — x
6. Raíces; 3/2; —3; 1 +-^; 1 —-^2. 7
6
2 2^ —51»-2 i' + 151
8. — . 9. Raíces: — 1; 2; 1 + 2 i.
to. Raíces: i; yfs ; — yjV; 1 +1.
J 3. 1. — 1/108 fi' — 1) (i — 2)' (x + 3)». 2. — 1/108 x'- (i — 1)' {x + 1)«.
3.(.-l)(. + i- + í>f)(. + l-i^).
4. (j: + 1)(j: —1) {x+i)(x—i).
1 V^ 1 V^
5. Factores; x + 1; x — 1; x -\ ±t : x ± i .
2 2 ' 2 2
/ 1 +t \ / 1 —t\
6. Factores: [x ±—r^—I; [x ±—f^-i.
\ ^¡2 I \ y[2 j
_.V?-VF\
'■(-^'f)(-4-'f)('-^'f)("-^4)■

372 teoría de ecuaciones
11. Ocho factores:
X H ± t > X ^ — ± t -^ — :
4 4 4 4
^ _ •\r6"+AÍ2" ^ ^. V'e"- V2 . ^ _ Ve"-Vi" ^,. V6"+ V2
^4 4 ' 4 4 *
12. 2 (j + VsTvT) {x- VsTvf) (í: + V3-V8) (=í- Vs-Vs).
13. (i — D) (i + 1)« (i + 2). 14. 2 (i — 1)» (j + 1) (j + 1/2).
15.7.(. + l)(.+-+t^) {x+~-iJ^y
A +xt)'-+ A—j^)'-
aV* " ' — I 1
tg' —^ /i tg' ^
4 m / \ 4 m
I»
B m — 1) ,
tg'
4 m
A + J^') -+' + A — J^')'"+'
. . 3
4m+2/\ 4m + 2
1
Bm-l).
tíí-
4m +2
5 4. 1. (i'+2i+2)(j' —2i + 2). 2. (i« + j+ l)(j» —j+ 1).
3. (j«+jV3"+1)(x» —iV3~+l).
4. (i— 1) (i + 1) (i' +i + 1) (i' —I + 1).
5. (i' + 1) (i'+iV3 + l)(i' —iV^+1).
/ 1 + V^" \ / 1 — \/5~ \
7. Raíces: —1; —1; 2 +3t; 2 —3i.
8. — 1; 1 +t; 1 +i; 1— t; 1—t.
9. Raíces; 1; 2; i; i; —i; —i.
1 V3~ 1 V^
10. l; i; i;-«;-«;--+,•-^;---«-^.

RESPUESTAS A EJERCICIOS 373
11. Raíces: —2; 3; ^f2 + i; yf2—i; —yf2+i; — V^—«'•
,^ „ , 1 ± t V35" ^ ;— 1 ± i VsT
12. Raíces: —2; í! . 14. Raíces: ± y]2 ; 2 .
15. Raíces:
3
1 ± i V^ . — 1 ± t V^
— 1 ±t-v/7
5. 1. —1; 1—
S 5. 1. —1; 5^ . 2. —3; 3; 1/2. 3. —3; —2; 1/3.
4. 2; — 1/2; — 1. 5. 9; 4; —6. 6. 2; —4; —7.
1 ± V^
7. 2/3; 4/3; 2. 8. 2/3; 2; 6. 9. 2; í—; fc = 2.
10. —23/3; 2/3; 9; fc = —613/9. 11. 9» = rp'.
12. 4 p. +27,^.0. U.iÍ:^;i±lÍI
2 2
15. 1; 1/2; ± ^5". 16. 3; 2; 1 ± t.
17. — 1±V2; —. 18. —3; —3; ^
2 '2
19. 1/3; 2/3; — 1 ± t. 20. —2; — 1/2; 1; 5/2.
21. 1/2; 1; 2; 4; fc = 35. 22. (o) 4; F) ?,.
23. (o) 7; 39; F) 1; 5.
J 6. 1. A", = I — 3; A", = j — 2. 2. A", = i + 3; A", = i — 3.
3. A", = I + 3; A", = I — 2. 4. X, = i + 3; A", = i — 4.
2 1
5. X, = I -=-; X,=x + —=-. 6. A", = 4 i^ + 4 I + 3; A", = 21 — 1.
7. A", = B: — 2) B: + 4); A-, = 2: — 1.
8. A"! = i' — 2 2: + 3; A", = 2: — 2.
9. X, = 2:^ + 2 2: — 3; A", = 2: — 3. lO.A", = 2 2:» + 1; A'a = 2: — 3.
11. A", = 1; A", = 2: + 1; A", = 2: — 1.
12. A", = 2:»-52: +6; A", = 1; A", =2: + 1.
13. A", = 2: —2; A", =2: + 1; A", = 2: —1.
14. X, = 1; A", =2: —2; A", =2: +2.
15. X, = 1; X, = 32: —2; X, = j+4.
16. X, = 1; X, = 2:» + 1; X, = 2: — 1.
17. X, = 2: — 2; X, = 2:' + 3 2: + 2; X3 = 2: — 1.

374
TEOSIA DE ECUACIONES
i 2. 1.
4.
7.
10.
1.
4.
J 3.
J5.
J 4. 1.
4.
7.
10.
1.
4.
7.
10.
14.
i 3. 1.
4.
-2; 7.
-2; 4.
-2; 7.
— 1: 3.
5.
2.
2; 5; —5.
-4; 4.
-3; 2; 4.
1 (doble),- — 2 (doble).
2/3.
-3; 1/2; 3/5.
-2/3; 2.
1; 1/2; -2/3.
(o) 2; 3; — 1 (triple),
s s
VTs — V^2.
Capítulo IV
2. — 2; 8.
5. — 2; 2.
8. — 3; 3.
2. 3.
2. 6.
5. — 3; 2.
8. —2; 3; 5.
2. -5.
3. — 1; 4,
6. — 10; 3.
9. — 2; .5.
3. 6.
3. —6.
6. —8.
9. 2; 5.
3. 2/3.
5. No tiene raíces racio- 6. No tiene raíces
racionales, nales.
8.-2; 1; 1/2 (doble). 9. 2.
11. 2/3; —3/2. 12. —2; 1/2.
F) 1/3; iy —i (dobles).
Capítulo V
3 3
2. V 2 + 2 V 4 .
V
5 — V 23
3. V9 —V3.
3 3_
5. I/2V4"—V2.
3_ 3
2 + V 32 — V 2
7.
8.
11.
14.
21.
J 5. 1.
3_ 3
— 2 + V -1 + V 16 .
3 3
5 + V 20 — V 50 .
0,5960716-
4,847322 cm.
— 0,53209.
0,65270.
2,87939.
9. —2.
3 3
12. — 1/2 + 2-\r2'—V4.
15. -4,3553013.
22. 7,910170 cni.
2. —2,53209.
0,87939.
— 1,34730.
10. — 5.
13. — 1,769292.
16. 0,0960717.
23. 1,2256 cm.
3. 1,2-1698.
— 1,80194.
— 0,44504.

SE8PÜE8TA8 A EJSBCICIOS «5
4. —2,60168.
2,26181.
0,33988.
7. —3,33006.
— 0,79836.
1,12842.
5. —3,
— 2,61803.
— 0,38197.
8. —3,86080.
— 2,25411.
0,11491.
6. —2,65109.
0,27389.
1,37720.
9. La distancia del piano a la base es 0,34730 del radio.
10. Las distancias de loe planoe a la base son 0,22607 y 0,48170 del radio,
respectivamente.
11. 6,5270 cm.
12. 2,87939; —1,87939; 1,53209; — 0,53209; 0,65270; 0,34730.
13. 1,61803; —0,61803; 1,19718; —0,19718; 0,5 ± 1,90965 i.
5 6. 1. -1; 3; -ld=V2- 2. -2;1; -I—. 3. -ld=V3; :^
4. -3; -1; -1/2; 2. 5. -1 d= V 2 ; 1 ± »• 6. ^^!—; ^—Í—
— 3±^f\7' —i±ía/^ lézi-ylY
7. 2;—3;—lit. 8. 1; —3; .9. Í—; —
2 2 2
1 ± t yfis -lit ^[7 1 — 1 ± i -v/y
10. ^! ; ^!—. 11. ; 1 ; ^'—.
2 2 2 2
. ,— 1 ± t V 15
12. — l±t-v/2; .
^ ' 2
2x l+^^5 V 30—6 VT 4x l—'dT V30-I-6VT
14. 2 eos = b— ^^—; 2 cos = \-— —,
15 4 4 15 4 4
8ic l+V^ V30—6V5 16x 1—V5 ^J30+6^^f
2 cos = ^^ ^! i-^; 2 coe = ? Í 5-!- •
15 4 4 15 4 4
,5._i;-:zi+VL±¡,/V5-i. -2-V5
4/^;^^*4/^
Capítulo VI
5. 5. (—4; —3).
6. C; 6); F; 8); (8; 10); (— =; 3) si X > — 1; A0;+ a>)siX<—1.
7. (- -;-l/2); (-1/2; 1/3); B/3;3/2); C/2;+ »).
10. (-3;-2); (-2;-l); (-1;0); @;+ »).

376
teoría de ecuaciones
i 7. 1. (-2;-l); (-1;1).
3. (-2;-l); A;2).
5. (-l-,0).
7. @;1); A;2).
2. (— 2; — 1); (— 1; 0); una raíz doble.
4. (—1 ;0); D; 5).
6. @; 1).
8. (-4;-3); @; 1); B; 3).
9. @; 1); E; 6). 10. @; 1); A;2). 11. A ^ 108. 12. A ^ 27.
i It. 1. Una rafz positiva, una negativa y euatro imaginarías.
2. Una rafz poñtÍTa, una negativa y dos imaginarías.
3. Una raíz positiva y euatro imaginarías.
4. Una rafz positiva y cuatro imaginarias.
5. Todas las rafees imaginarias. 6. Una rafz positiva y euatro imaginarías.
7. Todas las rafees imaginarías. 8. Una rafz positiva, las demás imaginarías,
i 11. 1. Una rafz en @; 1); una rafz en D; 5).
2. Una rafz en @; 1); una rafz en A; 2). 3. Ninguna rafz en D; 5).
4. Ninguna rafz en A;2); ninguna raíz en B; 3).
5. Una rafz en (—3; — 1); una rafz en @; 1).
6. Una rafz en @; 1); dos raíces en (— 1; 0).
i 12. Rafees en los intervalos:
1.
4.
5.
6.
8.
9.
10.
11.
13.
14.
15.
16.
7. Cuatro imaginarías.
;0;1). 2. (-l;0). 3. (-1; 0); D; 4'/s); D'A; 5).
— 18; — 17); A6/5; 29/9); B9/9; 13/4).
P; 1); C; 4); dos imaginarías.
Ó; 1); B; 3); dos imaginarías.
— 7; —6); — 1; dos imaginarías.
— 5; - 4); (- 2; - 1); (- 1; 0); @; 1).
-7;-6); (-3;-2); (-1; 0); @; 1).
— 1; 0); cuatro imaginarías.
— 3; —2); euatro imaginarias.
— 2; — 1); @; 1); B; 3); dos imaginarias
— 3;—2); A;2); cuatro imaginarías.
— 2; — 1); A; 2); euatro imaginarías.
19.
20.
12. A; 2); euatro imaginarías.
17. Seis imaginarias.
18. Seis imaginarías.
— 1; 0); @; 1); A; 2); euatro imaginarías.
— 1; 0); @; 1/2); A/2; 1); euatro imaginarías.

RESPUESTAS A EJEBCICIOS 377
21. (— 1; 0); @; 1); seis imaginarias.
22. A; 2); B; 3); seis imaginarías.
Capítulo VII
§4. i. V = x> — 3x + V, Vi=x' — ^; Yi='2.x — V, r, = + 1; (—2;—1);
@;l); (l:;2).
2. r = I» + 6 i' + 10 I — 1; r, = 3 i' + 121 + 10; Fj = 4 i + 23;
r, = - 1; @; 1).
3. r = I' — 4 j + 2; r, = 3 *2 _ 4; Fj = 4 i — 3; Fj = +1; (— 3; — 2);
@; 1); A;2).
4. r = I' — 6 i^ + 81 + 40; V, = 31' — 121 + 8; Fj = i — 17; Yi = —\;
(-2;-l).
5. r = i' + i^ — 21 — 1; Fi = 3 i^ + 2 j — 2; Vs = 21 + 1; F, = 1;
(-2;-l); (-1;0); A; 2).
6. r = i' — 4 j5 — 4 I + 20; Fi = 3 i^ — 81 — 4; Vj = 14 i — 41;
^3= +1; (-3;-2); B; 3); C; 4).
7. r = 6i* —24i» +421' —32i + 11; Vi = 6i' —18i' +21i —8;
Vj = — x^ ■\- X — 1. Todas las raíces imaginarías.
8. r = 16 I* — 32 j' + 88 i' — 81 + 17; Vi = 81« — 121' + 22 j — 1;
Va = — 2 i' — X — 1. Todas las raíces imaginarías,
9. r = I* — 4 j' + 10 i' — 81 + 3; V, = i» — 3 i' + 51 — 2;
V2 = — 2 i' + j — 1. Todas las raíces imaginarias.
10. r = I* — 4 j' + 12' I — 121 + 5; Fi = i' — 3 i' + 6 i — 3;
V» = — 3 i' + 31 — 2. Todas las rafees imaginarías.
11. r = I* — 4 jí + j5 + 6 I + 2; Fi = 2 i' — 6 i' + I + 3;
r, =51^—102: —7; T3 =2:—1; F4 = +1; (—l; —1/2); (—1/2; 0);
B; 5/2); E/2; 3).
12. r = I* — 4 jí + 2:2 — 1; Fi = 21» — 6 2:' + 2:, V¡ = 5x^— x+2;
(-1;0); C; 4).
13. r = 2:* + 2:' + 2: — 1; r, = 4 2:» + 3 X» + 1; Fj = 3 2:'' — I22: + 17;
(-2;-l); @;1).
14. r =2:< +2i2_4j;-|- 10; r, = 2:'+2:—1; V, 2:'+ 3 2: — 10.
Todas las raíces imaginarías.
15. V = 2:'—5x* + IO2:'—52:' + 1; Vi = x* — Ax> + (ix''- — 2x;
^2 = — 32:'+2 2:—1; (—1; 0).

378
teoría de ecuaciones
16. r = i' + 51< — 201^ — 101 + 2; Fi = i< + 4 i» — 81 — 2;
V2=x'+3x'> — l; V, = 3i2 + 7i + 1; r* = 17i + ll; Vt = +1;
(-4;-3); f-3;-2); (-1;0); @; 1); A; 2).
17. V = x^ — 2 x* + x' — 8 X + 6; V, = 51* — 81» + 31' — 8;
Vj = 3 i' — 31^ + 80 I — 67; ^3 = 16 i' — 231 + 9; (— 2; — 1); @; 1);
B; 3).
18. r = i« — 6 I' + 151* — 201» + 30 i' — 24 I + 14;
r, = i' — 51* + 101» — 101' + 101 — 4; ^2 = — i^ + j — 1.
Todas las raíces imaginarias.
19. r = i« — 6 i' + 16 i< — 24 i' + 2212 _ 12 j + 4;
Vi = 3i'— 15i< +32 i' —36 i^ +22i —6;
Vi " — X* + Ax' — 8 i' + 81 — 6. Todas las raíces imaginarias.
20. r = 51« — 30 i' + 751< — 901» + 601^ — 181 — 2;
Vi = 6x^ — 25x* +501» —45 i' +20i —3;
r, = — i'+i'' —I + 1 = — (i—l)(i2+ 1); (—1;0) y raíz 1.
22. r = 1 — 3 i' +1»; Fi = — 2 + i; r^ = +1, para x >0.
V = l—3x^ +X'; Vi=2 — x, para i < 0.
23. r 1 + I» — 4 i' + r*; V, = 1 — 6 i + 21'; Fj = 190 — 671;
Vj = + 1, para i > 0.
r = 1 + i^ — 41» + z«; 7i 1 +6x — 2x\ para i < 0.
24. 7 = — 1 + I- + i' + i^; Vi = 1 + 3 i' + 4 ar», para i > 0.
r 1 +x^+x'+x*; 7, = 1 + 3 I'- + 4 j'; Fj = — 3 — 21 + 31';|
73 = — 4 — 31; Fí = — 1, para x < 0.
25. 7 I +2x' + x* + X'-, V = 6 + 4x + 5x\ para i > O y i < 0.
26. 4 p' + 27 9^ < 0. 27. ?'—?'> 0.
Capítulo VIII
} 2. 1. 1,912. 2. 2,6207. 3. 1,573. 4. 2,1147.
5.2,511. 6.4,264. 7.-1,663. 8. 1,532; 0,347.
9. 1,493; 0,250 10. x = 1,345; y = —0,809; x = — 1,711; y = — 1,926.
ií. X = 1; y = 2; X 1,771; y = 1,365.
12. 14,7. 13. 47,46. 14. 122,9.
15. 123,4. 16. 43,98 cm. 17. 21,47 cm.
18. 73,4 cm. 19. (o) 179 cm; F) 21,5 cm. 20. 1,347 veces el radio.
5 3. 1. 1,442249. 2.1,357208. 3.1,324717. 4.-0,644513.
5. —0,37213778. 6. 1,164247. 7. 3,4147412.

SE8PÜE8TA8 A EJERCICIOS
379
§ 4.
8.
11.
14.
16.
18.
1.
4.
7.
§ 6. 1.
2.
3.
4.
5.
6.
3.
7.
11.
15.
19.
23.
27.
§ 8. 1.
§ 7.
1,36523001.
1,688697.
— 1,117535.
9. —3,04891734.
12. 1,90785326.
15. 0,295865; 1,449080.
10. 0,250992.
13. 2,31725562.
17. —1,734691.
3. 0,009477370187 +.
6. 58,86620452 +.
0,568396; 2,378596.
0,228467; 3,232396; — 0,197445.
7,062569 +. 2. 2,57455046 +.
57,29577957. 5. 1,47817455 +.
0,17728226 +. 8. 0,64359442 +.
Error negativo y en valor absoluto < 3 X 10"»; x = 1,5320888 +.
Error absoluto < 8 X lO"»; x = 1,35689195.
Error negativo y en valor absoluto < lO"'»; x = — 0,372137785.
Error negativo y en valor absoluto < 1,2 X lO^W; x = 1,49335 9197 +.
Error negativo y en valor absoluto < 10~"; x = 1,907853262 +.
Error negativo y en valor absoluto < 3,6 X lO""; x = 1,734691345692 +.
7.
10.
13.
§ 1. 1.
3.
1,7693.
4,2644.
0,9216.
4,33106.
0,56714.
0,51097.
0,86033.
1,53209
0,34730.
— 1,87939.
0,25099.
1,49336.
1,338483.
217° 12' 0,5".
1,265 del radio.
4.
8.
12.
16.
3,3876.
0,16744.
0,099115.
0,055567.
20. —0,86287.
24. 0,73908.
5. 3,1038.
9. 0,33765.
13. 1,49336.
17. 0,052167.
21. 3,59728.
25. 0,32470.
6. 4,3311.
10. 0,20097.
14. 4,06443.
18. 0,35173.
22. 0,92042.
26. 4,49341.
2. 1,16425.
— 1,77287.
— 3,39138.
5. 0,309906.
8. 0,73908.
11. 108° 36'14".
14. 0,804744.
3. 1,69202.
1,35690.
— 3,04892.
6. 2,309881.
9. 4,55553.
12. 149° 16'27".
Capítulo IX
X = 25/4; y = — 55/4. 2. x = 52/47; y = 71/47.
X =—3/5; y = —1.
4. X = 6; y = —8.

380 teoría im ECUACIONES
5. I " 1/0 ; !/ - 0. 6. I = (o + 6)'; y » (a — 6)«.
7. x-'S; y 5. S. X ; y = 1/2.
J 2. 1. (o) 3; F) 5; (c) 5; (d) 6. 2. (o) y (d) homogéneos.
4. No existe tal poünomio.
4 5. 11. (o) —3; F) —18. 12. (o) —187; F) 470.
4 6. 1. (o) 19; F) 16; (c) 13. 2. (a) par; F) par; (c) impar.
5 9. 1. 0. 2. 0. 3. 0. 4. 0. 5. 0. 6. 0.
5 11. 1. 2. 2. 1. 3. 1. 4. —15.
5. 0. 6. 160. 7. 18. 8. —5.
9.-15. 10.0. 11. 2 (o+6+c) @ — 6) F —c).
12. — 2o6c. 13. 4o6c. 14. —2 (o»+5»).
15. (,c~a) (c —6;F —o).
16. (o ~ 6) (o — c) (a — d) F — c) F — d) (.d — c).
17. (c — o) (c — 6) F — o) (o + 6 + c).
18. (c ~ o) (c — 6) F — a) (ab + ac + be).
19. (c ~ o) (c — 6) F — o) (o6 + oc + 6c).
20. (c — o) (c — 6) F — o) (o» + 6» + c' + o6 + oc + be).
21. (o ~ 6) (o — c) F — c) (o + 6 + c) (o» + 6' + c«).
22. 2 (c — o) (c — 6) F — o) (z — i) (z — j,) (j, _ j).
23. 4 (o + c) (o + 6) F + c). 24. 2 o6c (o + 6 + c)'.
25. 0F —o) (c —6) (d — c).
26. (o + 6 + c + d) (o 4 c — 6 — d) (o + 6 — c — d) (o + d — 6 — c).
27. (i ~ o,) (x — oj) (i — oj) (a; — at).
28. (i, - 1) (a^ — 1) {x, — 1) (n - 1).
/ 1 1 1 1\
29. 6cd. 30. ábcd l+_+_+_ + _|.
\ a b c d f
31. (a: + n — 1) (a: — l)"-i. 32. «í» (a:) — a: «í»' (a:);
(t) {x) = (oi — a:) (rt2 — a:) ... (o„ — a:).
33, (c —o) (c—6) (b—o) {d — a) (,d—b) (d — c) (o + 6 + c + d).
34. (c — a) (c — 6) F — o) (d—a) (d — 6) (d — c) [o' + 6' + c' + d* + o6 + oc +
+ dd + 6c + bd + cd].

BESPUESTAS A EJEBCICIOS 381
Capitulo X
Í 1. 1. I = 1; J/ - 0; z = 1. 2. X = a — l; y ~ 1; z '0.
3. I - t = 1; Í/ = z - — 1.
4. I - — 1/5; Í/ - 2/5; z - — 24/5; t = — 3/5.
5. I = — 2; Í/ = — 1; z »= 1; Í - 2.
o+d c — d b — c a — b
6. xi " —-— ; xi = -:—-—; xt " —-—; xt — ■
2 2 2 2
7. ii = i3 = 3/5; Xi = xt = —^/i. 8. ii = 7;a^ = a^ = n-—1.
9. II = ij - u - n = I» = 1. iO. xi = Xi = Xi = — 1; X» = 2; x, «■ 0.
5 4. 1. p = 2. 2. p = 2. 3. p = 3. 4. p = 2.
5. /, - 3/, - 2/,. 6. /, A -/,.
7. /. 3/, + 2/,; f, = -A. 8. /, = - 2/, +/,; ft 3/2/, + 1/2/,.
4 5. 1. Incompatible. 2. x = —3z— 4; y = 2z +3.
3. X " I; z " — 1; t = — y.
4. I = — 3/2 + 3 z + i; 2/ = 1 — 2 z.
5. X = 2 + t; y = —2í;z — 1. 6. Incompatible.
Capítulo XI
5 1. 1. Sli'u +2SjiJ,Ji. 3. Sli'u +6SX1XJX3.
3. 2i,'i, —62i,i,i,. 4. 22ii'ii' +22ii'i,i,.
5. 2 i,< — 2 2 I,» ij + 3 2 xi* XiK
6. 2 i,< J,' — 2 2 ii'iji, +22 ii'a^'ij — 6 2 xi'xt'x,' — 2 2 i,»zi».
7. 2 ii'ij'+ 6 2 ii aa ij i4. 8. 2 ii-z»'u'+ 2 ii»ii i» n.
9. 3 2 ii' — 2 21,1,.
10. 32i,< -42i,»i, +22i,»i3' +42i,'i,i, —242iii,i,i4.
5 2. 1. «0 = 3; «1 = 0; «j = 6; «3 = — 3; «< = 18;«» = — 15; s, = 57.
2. 80 = 3; «1 = 3; «2 = 5;«» = 12; «< = 29.
3. «0 = 4; «1 = 0; «j = 0; «» = 12; «< = 4.
4. «_i = 13; «_3 = — 19. 5. «_i = 0; «_i=—2; «_i=3; «_4=2.
6. «1 = 0; «2 = — 1; «. = 3/2. 7. 2a;» — 5i — 4 =0.
8. 121* — 4 2: — 3 = 0. 9. X» — 181' + 81 2: — 81 = 0.
1Ú. x^ — x* +x' — x^-+x — l =0. 11. X» — 3 I» + 61 + 6 - 0.

382 teoría de ecuaciones
12. 51* +41^ — 8 = 0. 14. (o) 1,6170 A,618034).
F) 6,372281318 F,372281323).
15. 0,3247181 @,3247179). 17. y' — Z y—I = 0.
19. y» — 18 y» + 81 í/ — 81 = 0. 20. y' — 42 y^ + 441 y — 49 = 0.
21. (o) 1; F) 1/3.
i 3. 1. fj2 — 3/:. 2. /,* - 6/,V2 + 9/2». 3. /,/,. 4. /,» — 2/,/, + 2/4.
i 4. l.3pz — pijh. 2. P2' —2pip3 + 2p4.
3. pi» P2 — pi pj — 2 p2^ + 4 p4.
4. 2 pi^ p, — pi P2' + P2 Pj — 5 pi p4 +5 ps.
5. pi Pj — 4 p4. 6. 3 pi p4 — p2 Pj — 5 p6.
7. 7 pi P6 + 4 pi p4 — 3 p,' — 3 pi' p4 + pi p2 Pj — 12 p,.
8. P2 P4 — 4 pi p» +9 Pj. 9. 9 Pj — pi pj.
10. 2 p2» — 2 pi p» — 4 p^. 11. 4 p, + pi Pj — 4 p2 p4 — Pj' + pi' p*.
12. y> — 3 y'- ~ 6 y + U = 0. 13. y' — 12 y^ + 45 j, _ 53 = 0.
14. y' — qy'+ pry — r' = 0. 15. y'— d y' +26 y— 23 =0.
16. (o) 3,24698; 1,55495; F) —3,04727 ± 1,13594 t.
19. —3. 20. 3. 21. 39. 22. —219/104.
23. 9. 24. 12. 25. 4. 26. 0.
Capitulo XII
J 2. 1. 2: = 1; 0; 1; —1. 2. 3y* + lOy'— 1 = 0; (y + 1) x ^ y— \.
í/ =0; 1; 1; -1.
3. Cy'+4y—l)B/»+4y—3) =0; j: A +y) = 1—y.
4. I = 0; — 2; 5. {y — 1) B5 y' — 46 y*— 171 y + 243) - 0.
y =0;2. Gy—9)x = 5y^ — 7y.
6. (.y — 1) (.y' + 13y' + 100y — 100)=0;{3y — 10)x+y'-+6y=0.
7. X 1; y 1.
8. I = 0; 1; — 1 + —^; — 1
V^' -^2
y = 1; 0; —1 ^; — 1 +■ *
9. i' — 21« — j:» + 21^ + a; _ 1 =0.
10. I» +3x^-—2Ax + 1=0. 11. (o) 1; (b)y'' — y.

EESPÜESTAS A EJERCICIOS 383
J 3- 1. i-O;—2. 2. 1 = 0;—4;—5. 3. x = 0; 0; 0; 1; 1; — 1; —1; 2; —2.
y ~0; 1. y -2; 2; 3. yl;—V, 3; 0; 2; 0; 2; 1; 1.
4. (o) y = x; X arbitrario; F) i «» 1; 2.
y--2; -1.
5. No tiene solución. 6. i - 0; 2; 1; 42/25.
y =0; —1;2; 63/25.
7..= i;0;—^; —^; ^^ ; ^.
.=0;l; ^; ^ ; -^ ; -^ .
8. 2,4 + 9 2,2 + 54 = 0; (j/2 + í/ + 6) I + 2 í/ + 6 = 0.
9. 28 y' + 713 y' —100 y =0; A19 j/» + 55 j/ + 5) a: = 14 2/' — 32 j/ + 5.
10. X = 10; II ^ 5.
§ 6. 1. 1 ±2t. 2. —0,884646 ±0,589743».
3. -- 1,047276 ± 1,135940 i. 4. 1 ± t; — 1 ± * V^-
5. ± t; 1 ± 2 í. 7. 0,72714 ± 0,43001 i; ~~ 0,72714 ± 0,93409 t
8. 0,304877 ± 0,7545281.

índice alfabético
A
Abel, 95.
Adición de númeroe complejos, 3, 35.
— definieión de la, 2.
— leyes fundamentales de la, 3.
Adición de matrices, 242, 243.
Algebra, teorema fundamental del, 62-
65, 325-330.
— de las matrices, 242, 346.
Amplitudes, normalización de, 347.
— ortogonalidad de, 345.
Ángulo entre semirrectas dirigidas, 21-22.
Aproximaciones sucesivas, método de,
189.
Árbol genealógico de una ecuación, 150.
Argumento o amplitud de un complejo,
23.
B
Bernoulli, método para calcular rafees,
292, 361.
Binomios algebraicos, 7.
Bremiker, tablas de, 354.
Cardano A501-1576), 93.
— fórmulas de, 95-102.
— caso irreducible, 102-107.
Cauchy, desigualdad de, 132.
Ciclotomfa, 33.
Círculo, división del, 33-34.
— ecuación del, 274.
— potencia de na punto con respecto
al, 278, 279.
Coeficientes, 40.
— cálculo por la fórmula de Nowtoa,
63.
— complejos arbitrarios, 63.
— del cociente, 47.
— destacados, método de los, 41-43.
— reales, 67-68.
Coeficientes relaciones con las raíces,
70-73.
— binomuJes, 26, 61.
— identidades de loe, 61, 62.
Cofactores, en el desarrollo de
determinantes, 233-235.
Complementos, en el desarrollo de
determinantes, 233.
Contracción, en el método de Horner,
173, 175-177.
— estimación del error en la, 183-189.
Convergencia lenta, defecto de la. 351.
Coordenadas, 20-21.
Cramer, regla de, 257-259.
D
D'Alembert, teorema de la existencia de
las raíces, 325.
Dandelin, cálcalo de las raíces, 353.
Decágono, construcción del, 34.
de Gua, teorema de, 134-136, 139.
De Moivre, fórmula de, 25, 27.
Dependencia lineal, 262-266.
Derivadas de los polinomios, 51-52.
— raíces de las, 65, 126, 129-130.
Descartes, regla de los signos de, 137-
140.
Determinantes, 201-256.
— adjuntos, 249.
— anulación de loe, 210, 228.
— aplicaciones geométricas de loe,
274-284.
— cero, para sistemas de ecuaciones
lineales, 260-262.
— cíclicos, 249.
— cofactores de loe, 202.
— columnas de loe, 202.
— como funciones de las matrices,
210-211, 222.
— desarrollo de loe, 217, 233-235.
— desarrollo de Laplace, 233.
385

386
I'EORIA DB ECUACIONES
Determinantes de Sylvester, 312,317,320.
— de Vandermonde, 239, 322.
— ejemplos de desarrollo de los, 235-
239.
— elementos de loe, 202.
— extracción de factores de los, 215,
227.
— filas de loe, 202.
— generales, 222-228.
— intercambio de fílas o columnas,
216-227.
— menores complementarios de los,
233.
— multiplicación de loe, 208, 247-251.
— ordendeloe, 201, 205, 211, 225.
— ortogonales, 252.
— propiedades características de los,
206.
— resolución de ecuaciones por, 257-
284.
— resultante en términos de, 312-316.
— suma de, 206-209.
— suma de las columnas de, 228.
Discriminante, 320-322.
— de polinomios cuadráticos, 321.
— de pdimomios cúbicos, 322.
División, definición, 5.
— método de Fourier, 178-182.
— de polinomios, 42-45, 52-66.
Divisor abreviado, 178-182.
E
Eksuaciones, clasificación de las, 57-58.
— características, 345.
— con raíces con parte real negativa,
338-343.
— con raíces reales, 141.
— cuadráticas, 57, 93-94.
— de matrices, 255.
— diferenciales lineales, 344.
— incompatibles, 260-262.
— independencia lineal, 262-266.
— recíprocas, 31.
— reducidas, 58.
— seculares, 345.
— transformación de, 145.
Eksuaciones algebraicas, 57-78.
— imposibilidad de solución
algebraica, 303.
— método do Homer para la
resolución de, 169-175.
Ecuaciones, método de iteración para Is
resolución de, 169, 189-192.
— método de Newton para la
resolución de, 189, 194-199.
— resolución de, 93-95.
Eksu&ciones binómicas, representación de
las raíces de las, 27.
-^ solución trigonomtétrica de las,
27-30.
Ecuaciones cuárticas, 58, 74, 94.
— solución de, 107, 111.
— solución de Lagrange de las, 304-
305.
Ecuaciones cúbicas, caso irreducible, 102-
104.
— discriminante de las, 322.
— fórmulas de Cardano para la
resolución de, 96-101.
— resolvente de la, 305.
— solución algebraica de, 93-94.
— solución de Lagrange de las, 302-
304.
— solución trigonométrica de las, 104.
Ecuación de frecuencia, cálculo de la
raíz mayor, 351.
— cálculo de la raíz menor, 350.
Eje, imaginario, 20.
— real, 20.
Eliminación, 308-324.
— cálculo de raíces imaginarías por,
323-324.
— determinante de Sylvester, 313-
320.
— discriminante en la, 320, 322.
— ejemplo de, 308-310.
— resultante, 310-312.
Equipolencia, definición de, 36-36.
Esfera, ecuación de la, 276.
Euclides, algoritmo de, 54.
Euler, identidad de, 210.
Factoreo, de la resultante, 310-312.
— de I- — 1, 30-31.
Factores, lineales, 57, 68, 76.
— cuadráticos, 68-
Ferrari, 94-107.
Ferro, Scipio, 94.
Fibonacci, 332.
Fracciones continuas, 332.
— reducidas de las, 332.

índice alfabético
387
funciones, continuas, 116-118.
— de los elementos de una matriz,
206.
'— homogéneas, 204.
— racionales enteras, 40, 203.
— eigma, 285.
funciones simétricas, 285-307.
— definición de, 285.
— elementales, 285-288.
— el principio de Gauss en las, 305-
307.
— expresión como polinomios de las,
296.
— teorema fundamental aoerca de
las, 293-295.
Gauss, C. F., logaritmos de, 354.
— principio de, 305-307.
Graeffe, método para calcular rafees, 323,
353-367.
H
Hermite, polinomios de, 168.
Hornet, regla de, 49-50.
Hurwitz, criterio de, 338.
Identidades trigonométricas, 26, 66.
In^ce de las permutaciones, 219.
Interpolación, fórmula de Lagrange, 67.
Inversión en las trasposiciones, 219.
Leibnitz, introducción a los
determinantes, 257.
Ley asociativa, para la adición, 3.
— para las matrices, 243, 244.
— parala multiplicación, 3.
Ley conmutativa, para la adición, 3.
— para las matrices, 243, 244.
— para la multiplicación, 4.
Ley distributiva, 4.
Lobatchevsky, 353.
M
Matrices, acción de, 242-243.
— adjuntos de las, 255.
— álgebra de las, 242, 346.
— ampliadas, 273.
— cero, 243.
Matrices, columna, 246.
— conjugada o traspuesta, 255, 847.
— ecuación característica de las, 346
— ecuaciones con, 264-266.
— en el proceso de iteraoite, 34ft-862.
— en la solución de sistemas de eeua-
ciones lineales, 273.
— escalares, 245.
— forma normal de las, 286.
— igualdad de, 242-243.
— menores de las, 263.
— multiplicación de, 243-246, 347.
— no singulares, 252-255.
— orden de las, 242.
— ortogonales, 347.
— producto escalar de, 243.
— rango de las, 262-270.
— recíprocas, 252-255.
— simétricas, 347.
— singulares, 252-255.
— transformaciones de las, 266.
— unidad, 245.
Máximo común ^visoí de &w ^^cUiv>
míos, 52-54, 76, 314.
Maxwell, 338.
Media, aritmética, 132.
— geométrica, 39, 132.
Métodos numéricos, 118, 169, 178, 189,
194.
Módulo, 9.
— del producto de números con4>le-
jos, 11.
— de la suma de números complejos,
13-15.
Monomios, 40, 203-204.
Multiplicación, definición de, 3.
N
Newton, desarrollo de, 49.
— fórmulas de, 289-291, 323.
Números complejos, 1-39.
— alineados, 37.
— aplicación a la geometría, 33-39.
— argumento o amplitud de los, 23.
— componente imaginaria de loe, 5-8.
— componente real de los, 9-10.
— conjugados, 9-10.
— división de, 4-6.
— división en forma trigonométrica
de los, 24-25.
— forma binómica de loe, 5-8.

388
TEOBIA DB BWACIONEH
Números, forma trigonométrica de loe,
23-24.
— igualdad de los, 2.
— módulo de los, 9.
— multiplica- . de, 3, 24-25, 37.
— norma de los, 9.
— operaciones con, 3-5.
— potencia de los, 25.
— raíces de la unidad, 30-33.
— raíz cuadrada de los, 16-19.
— representación geométrica de los,
20-21, 34-39.
— suma de, 3, 35.
— sustracción de, 4-5.
— unidad imaginaria, 7.
Números enteros, propiedades de los, 3.
O
Ostrowski, A., 367.
Pentágono, construccióa del, 34.
Permanencia de signos, 127, 137, 141.
Per.-nutaciones, pares, 217-222.
— impares, 217.
— índice de las, 219.
— orden natural en las, 218.
Polígonos regulares, construcción de los,
33-34.
Polinomios, aplicaciones del teorema de
identidad de, 61-62.
— común divisor de loa, 314.
— con coeficientes complejos, 63.
— con coeficientes reales, 57.
— con raíces reales, 141-143.
— de grado impar, 119.
— de grado par, 119.
— desarrollo de, 49-50.
— discriminante de los, 320-322.
— división de, 42-45.
— enteros racionales, 40, 203.
— en una variable, 40-56.
— en varias variables, 203-205.
— factoreo de, 68.
— factores lineales de los, 64.
— grado de los, 40, 204.
— homogéneos, 204.
— igualdad de, 40.
— idénticamente nulos, 40.
— idénticos, 40.
PolinomioB, máximo común divisor de
los, 52-54, 75, 314.
— multiplicación de, 41-42.
— nulos, 40.
— simétricos, 228.
—• términos de los, 40
— término principal de los, 40, 57.
Ptolomeo, teorema de, 282.
Puntos coplanares, 284.
R
Raíces, cálculo de, 169-200, 35», 367.
— complojaSi 67-68.
— conjugadas, 67, 68.
— con parte negativa real, 338-343.
— consecutivas, 125-126.
— cotas de las, 79-84.
— de ecuaciones algebraicas, 57-78.
— definición de, 57.
— de la ecuación de frecuencia, 346.
— de las derivadas, 126, 130.
— dobles, 64.
— enteras, 84-90.
— existencia de las, 62-65, 115-118,
325-330.
— funciones simétricas de las, 287.
— imaginarias, 67-68, 140.
— módulos de las, 82-84.
— múltiples, 64, 65, 67, 75-78, 119.
— negativas, 140, 154.
— paridad de las, 119.
— positivas, 140.
— racionales, 85, 89-92.
— reales, 68.
— reales, ecuaciones con, 141-144.
— reales, separación de las, 140, 155.
— separación de, 112-154, 331, 337.
— simples, 64.
— suma de los productos de las, 70.
Raíz cuadrada, extracción de la, 93.
— método de Fourier para la
extracción de la, 181-183.
Raíz cúbica, extracción de la, 94.
Rango de una matriz, 262-270.
Recta, ecuación de la, 37, 274-276.
Resolvente cúbica, 305.
Resto, teorema del, 43.
Restos parciales, 43.
Resultante, en forma de determinante,
312-316.
— en la eliminación, 310-312.

índice alfabético
Resultante, factorero de la, 310-312.
— identidad con el determinante de
Sylvester, 317-320.
Rolle, teorema de, 125-128.
— aplicaciones del, 129-132.
Routh, 338.
Ruffini, 95.
— regla de, 47-49.
S
Schur, I., método de, 338-343.
Sentido de un triángulo, 37.
Separación de raíces, 112-154.
— método completo para la, 145-154.
— método de Vincent para la, 145-
146, 331-337.
— teorema de Sturm para la, 155-168.
Sigmas dobles, 297.
Símbolos:
_|o -f- ib I, 9.
A. 9.
A-\ 253.
I aa I, 225.
S ai, 72.
c;. 71.
D (/, g), 316.
F {Rit Rip Ri)t 212.
/(-f- »). 120.
/ (o - t), 121.
/ (o -f- M), 9.
i, 6.
ni, 6.
(;;), 61, 131.
R(a + 6t), 9.
K (?,/), 311.
R (f.f), 321.
i: x'' ... x^ 285.
S{, 70, 289, 290, 291.
Sturm, C. A803-1865), polinomios de-
155-160.
— teorema de, 155, 160-166.
Sylvester, determinante de, 312-316.
— método de eliminación de, 313-
320.
— relación con el discriminante, 320-
322.
— relación con la resultante, 317-320.
Tartaglia, 94.
Taylor, fórmula de, 51-62, 64-65, 95, 124,
323.
Tetraedro, uso de determinantes para
el cálculo del volumen del, 277-
278.
— en función de sus aristas, 284.
Trasposiciones, 218.
Triángulo, uso de los determinantes para
el cálculo del área del, 276.
— sentido de un, 37.
U
Unidad, 6.
— raíces de la, 30-33, 97.
Vandermonde, determinante de, 239-322.
Vectores, igualdad de, 36.
— ortogonales, 345.
— proyecciones de, 20-21.
Vincent, teorema de, 145-146, 331-337.
W
Waring, 353.
Weierstrass, 325.
-OQO-