/
Автор: Мишин В.П. Лавров С.С. Аппазов Р.Ф.
Теги: техника средств транспорта физика военная техника ракетная техника военное дело баллистика
Год: 1966
Текст
Цена 1 р. 19 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ЛИТЕРАТУРЫ
СЕРИЯ
«Механика
космического
полета»
М. Б. Б а л к. Элементы динамики
космического полета, 340 стр.,
1965.
В. В. Белецкий, Движение искус-
ственного спутника относитель-
но центра масс, 416 стр., 1965.
В А. Егоров, Пространственная
задача достижения Луны,
224 стр., 1965.
Под редакцией Дж. Лейтмана,
Методы оптимизации с прило-
жениями к механике космиче-
ского полета, перев. с англ.,
539 стр., 1965.
В. М. Пономарев, Теория упра-
вления движением космических
аппаратов, 456 стр., 1965.
Под редакцией С. Ф. Сингера,
Проблемы ориентации искус-
ственных спутников Земли,
перев. с англ, (в печати).
П. Е. Э л ь я с б е р г, Введение в тео-
рию полета искусственных спут-
ников Земли, 360 стр., 1965.
РФ АППАЗОВ
С С ЛАВРОВ
В П МИШИН
5
Б
БАЛЛИСТИКА
УПРАВЛЯЕМЫХ РАКЕТ
ДАЛЬНЕГО ДЕЙСТВИЯ
В книге излагаются некоторые
теоретические основы и важнейшие
практические методы исследования
и расчета движения центра масс
управляемых баллистических ракет
дальнего действия.
В первой части выводятся пол-
ные уравнения движения ракеты,
пригодные для точных расчетов
траектории, а также рассматриваются
возможности упрощения этих урав-
нений для решения некоторых част-
ных задач. Особенно большое вни-
мание уделено активному участку
траектории. Во второй части описы-
ваются практические приемы реше-
ния задач баллистики, в первую оче-
редь методы приближенного расчета
летных характеристик ракет. Затро-
нуты вопросы применения вычисли-
тельных машин в баллистических
расчетах. В третьей части освещены
основные методы расчета рассеива-
ния траекторий и определения пре-
дельной дальности полета. Четвер-
тая часть посвящена выбору про-
граммы тангажа, определяющей
форму активного участка траек-
тории.
Книга может служить пособием
для студентов высших учебных заве-
дений и инженеров, специализирую-
щихся в области баллистики ракет.
Р.Ф.АП ПАЗОВ
С. С. ЛАВРОВ
в.п.мишин
БАЛЛИСТИКА
УПРАВЛЯЕМЫХ РАКЕТ
ДАЛЬНЕГО ДЕЙСТВИЯ
Р. Ф. Аппазов, С. С. Лавров,
В. П. Мишин
Баллистика
управляемых ракет
дальнего действия
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
Москва 1966
6 Т 5.2
А 76
УДК 629.191
3*18-6
155-66
Оглавление
11|н*/1исловие .................................................................... 5
Впедснпс .......................................................................... 7
Часть первая
Общая теория движения
Г лапа /. Системы координат....................................................... 13
§ 1. Земные координаты..................................................... 13
§ 2. Связанные координаты.................................................. 15
Глава II. Силы и моменты, действующие на ракету......... 20
§ 3. Сила тяжести........................................................... 20
§ 4. Атмосфера............................................................. 21
§ 5. Аэродинамические силы................................................. 23
§ 6. Управление и управляющие силы......................................... 31
§ 7. Моменты сил .......................................................... 37
§ 8. Демпфирующие моменты.................................................. 40
Глава III. Общие уравнения движения ........................................... 44
§ 9. Уравнения движения в векторной форме......... 44
§ 10. Реактивная сила и моменты.............................................. 52
§ II. Разложение сил и моментов по осям координат . . 60
§ 12. Сводка формул для сил и моментов, действующих
на ракету.......................................... 66
§ (3. Уравнения движения в координатной форме .... 67
Глава IV. Упрощение уравнений движения............................................ 70
§ 14. Уравнения движения для активного участка траек-
тории ............................................. 70
§ 15. Уравнения движения для участка свободного полета 82
§ 16. Уточнение уравнений движения......... 91
Глава V. Теория свободного полета на больших высотах . . . 107
§ 17. Абсолютное и относительное движение.107
§ 18. Интегрирование уравнений движения.112
§ 19. Приложения эллиптической теории.........119
§ 20. Возврат к относительному движению.....142
Часть вторая
Баллистические расчеты управляемых
ракет дальнего действия
Глава VI. Методы проектировочного расчета летных характе-
ристик ..................................................147
§ 21. Классификация баллистических расчетов........147
4
Оглавление
§ 22. Приближенный метод определения скорости .... 149
§ 23. Определение полной дальности....................166
§ 24. Конечные формулы для грубой оценки дальности
полета.............................................170
§ 25. Проектировочные расчеты с использованием элек-
тронных вычислительных машин.......................180
§ 26. Определение скорости встречи ракеты с целью . . 183
Глава VII. Поверочные баллистические расчеты................187
§ 27. Расчет активного участка траектории.............188
§ 28. Расчет пассивного участка траектории............195
§ 29. Использование электронных вычислительных машин
для поверочных расчетов............................203
§ 30. Составление предварительных таблиц стрельбы . . 208
Часть третья
Рассеивание при стрельбе ракетами
дальнего действия
Глава VIII. Постановка задачи...............................213
§ 31. Некоторые сведения из теории вероятностей . . . 213
§ 32. Постановка задачи о рассеивании.................215
Глава IX. Влияние малых возмущающих факторов на траек-
торию ракеты. Расчет рассеивания.........................219
§ 33. Отклонения на активном участке траектории ... 219
§ 34. Отклонения точки выключения двигателя.......226
§ 35. Влияние процесса выключения двигателя на рас-
сеивание ..........................................233
§ 36. Рассеивание по дальности........................238
§ 37. Способы уменьшения рассеивания..................243
§ 38. Боковое рассеивание.............................252
§ 39. Расчет рассеивания..............................254
§ 40. Предельная дальность стрельбы...................267
Часть четвертая
Выбор формы траектории
Глава X. Постановка задачи о выборе программы...............277
§ 41. Требования к программе....................277
§ 42. Максимальная дальность и минимальное рассеи-
вание .............................................281
Глава XI. Методы выбора программы.....................286
§ 43. Выбор программы максимальной дальности .... 286
§ 44. Выбор программы минимального рассеивания . . . 293
Приложение............................................299
Литература............................................307
Посвящается памяти
академика
Сергея Павловича
КОРОЛЕВА
Предисловие
В книге излагаются некоторые теоретические основы и важ-
нейшие практические методы исследования и расчета движе-
ния центра масс управляемых баллистических ракет дальнего
действия.
Книга предназначена в основном для тех, кто впервые встре-
чается с баллистикой дальних ракет. Поэтому авторы стре-
мились по мере возможности дать представление о всех зада-
чах баллистического характера, с которыми приходится встре-
чаться в процессе проектирования ракет. Наряду с изложением
вопросов теории полета и методов расчета траектории, чита-
тель найдет в книге постановку ряда задач, разработка кото-
рых может представить значительный интерес. Это в основном
вопросы, относящиеся к выбору формы траектории и к мето-
дам управления дальностью полета ракет.
Книга состоит из четырех частей.
В первой части проводится анализ сил и моментов, дей-
ствующих на ракету; составляются общие уравнения движения;
исследуется возможность их упрощения в зависимости от ха-
рактера решаемой задачи и, наконец, проводится интегри-
рование уравнений движения для свободного полета в пустоте
и исследуется решение этих уравнений.
Во второй части рассматриваются вопросы, связанные
с практическим решением основной задачи баллистики и за-
дачи проектирования: методика расчета траектории и состав-
ления предварительных таблиц стрельбы, анализ влияния
основных конструктивных параметров на летные характе-
ристики.
6
Предисловие
Третья часть посвящена рассеиванию при стрельбе раке-
тами дальнего действия и смежным вопросам, в частности, вли-
янию некоторых особенностей системы управления и двигате-
льной установки на кучность стрельбы.
В четвертой части рассматривается задача о выборе так
называемой программы тангажа — закона изменения угла на-
клона оси ракеты. Программа тангажа определяет форму ак-
тивного участка траектории и влияет тем самым как на даль-
ность полета ракеты, так и на другие ее летные характери-
стики, в том числе на кучность стрельбы.
Книга может служить пособием для студентов высших учеб-
ных заведений и инженеров, специализирующихся в области
баллистики ракет.
В составлении отдельных параграфов книги принимали
участие П. П. Караулов и С. С. Розанов; ряд полезных за-
мечаний сделал М. С. Флорианский. Всем им авторы при-
носят благодарность за оказанную помощь.
Введение
Под ракетой дальнего действия (РДД) будем понимать
управляемый летательный аппарат с реактивным двигателем,
предназначенный для переброски полезного груза на большие
расстояния по заранее заданной траектории, бблыпая часть
которой пролегает в очень разреженных слоях атмосферы.
Ракеты дальнего действия обладают рядом особенностей,
выделяющих их в самостоятельный класс летательных аппара-
тов. Динамика их полета имеет много общего с динамикой
полета самолетов, артиллерийских снарядов, неуправляемых
ракет, но в то же время подчиняется во многих деталях своим
особым закономерностям и требует поэтому самостоятельного
исследования.
Траектория РДД состоит из двух резко разграниченных
участков. На первом участке, который называется активным
участком, ракета набирает кинетическую энергию. По коли-
честву накопленной в конце активного участка кинетической
энергии РДД резко отличается от других транспортных
средств. Имея массу полезного груза того же порядка, что
и самолет-бомбардировщик, РДД достигает скорости, значи-
тельно превосходящей скорость артиллерийских снарядов. Но
эта скорость набирается ракетой постепенно и достигается
в сильно разреженных слоях атмосферы, что позволяет свести
то минимума затраты энергии на преодоление сопротивле-
ния атмосферы. Количество накопленной кинетической энер-
гии является важнейшим показателем совершенства РДД.
На втором участке, называемом пассивным участком или
участком свободного полета, накопленная энергия используется
для транспортировки полезного груза на большую дальность.
Но характеру использования энергии РДД можно разбить
на две основные группы:
а) баллистические ракеты, летящие после выключения
двигателя подобно артиллерийским снарядам и управляемые
только до момента выключения двигателя;
8
Введение
б) планирующие ракеты, управляемые на протяжении
всей траектории, использующие аэродинамическую подъемную
силу для увеличения дальности полета.
В этой книге рассматриваются только баллистические РДД.
Ракеты дальнего действия, как и артиллерийские сна-
ряды, летают по траекториям, задаваемым им до момента пуска.
Но, в отличие от артиллерийских снарядов, РДД управляются
в полете, что дает возможность в значительной степени ком-
пенсировать влияние ряда причин, действующих на активном
участке и приводящих к отклонению фактической траектории
от заданной. Система управления баллистическими РДД ре-
шает следующие задачи:
а) выдерживание заданной, постепенно изменяющейся в те-
чение полета ориентации осей ракеты в пространстве (упра-
вление движением вокруг центра тяжести);
б) выдерживание заданного направления полета и формы
траектории, а также заданной величины и направления ско-
рости полета (управление движением центра тяжести);
в) выключение двигателя в тот момент, когда кинемати-
ческие параметры движения центра тяжести ракеты (скорость,
ее направление и координаты центра тяжести) в совокупности
обеспечивают полет на заданную дальность (управление даль-
ностью полета).
Система управления обеспечивает, таким образом, полет
ракеты в соответствии с произведенным прицеливанием и уста-
новкой приборов управления, но самих задач прицеливания
или наведения ракеты на цель не решает.
После выключения двигателя большая часть полета бал-
листической ракеты происходит в практически безвоздушном
пространстве под действием сил, не поддающихся регулиро-
ванию, но зато точно известных. Это, с одной стороны,
исключает возможность управления на большей части участка
свободного полета, а с другой стороны, повышает точность
стрельбы.
Названные особенности РДД определяют специфику бал-
листики— теории их движения. На активном участке траек-
тории движение ракеты должно рассматриваться с учетом,
во-первых, большой скорости изменения массы ракеты, во-вто-
рых, наличия управления. Первое обстоятельство делает за-
коны механики тел и систем постоянной массы непримени-
мыми в конечном виде к изучению движения ракеты, вто-
Введение
9
рое — вынуждает рассматривать движение центра тяжести
ракеты совместно с движением ракеты вокруг центра тяже-
сти. Следует заметить, что, как и в баллистике артиллерий-
ских снарядов, движение ракеты вокруг центра тяжести рас-
сматривается без учета малых колебаний вокруг центра тя-
жести. Оснований к этому тем больше, что система управления
должна гасить колебания ракеты.
При рассмотрении движения на участке свободного по-
лета вследствие большой дальности, высоты и скорости
полета приходится учитывать изменение ускорения земного
притяжения по взличине и направлению и влияние вращения
Земли. Зато исследование траектории облегчается малой ве-
личиной аэродинамических сил на участке свободного полета
и в конце активного участка. Появляется возможность прибли-
женных методов расчета, обладающих довольно высокой точ-
ностью, но в то же время простых.
Баллистика РДД должна решать следующие задачи:
1. Определение траектории и других основных характе-
ристик движения ракеты с известными конструктивными па-
раметрами и системой управления при заданных прицельных
данных (прямая основная задача) или, при тех же условиях,
определение прицельных данных по заданным точкам старта
и цели (обратная задача).
2. Выбор формы траектории, обеспечивающей наилучшее
использование возможностей ракеты (выбор программы упра-
вления).
3. Исследование зависимости летных характеристик ра-
кеты, в первую очередь — дальности ее полета, от констру-
ктивных параметров с целью выбора наивыгоднейшего соче-
тания этих параметров (баллистическое проектирование).
4. Исследование влияния различных возмущающих факто-
ров— разброса конструктивных параметров, изменения внеш-
них условий полета, погрешностей приборов управления —
на летные характеристики ракеты (исследование рассеивания
и родственные вопросы).
Эти задачи тесно связаны с решением ряда других вопро-
сов, относящихся к аэродинамике (определение величины
аэродинамических сил и теплового режима конструкции в за-
висимости от выбранной траектории), динамике конструкции
(расчет упругих колебаний и колебаний жидкости в баках),
теории автоматического управления (исследование процессов
10
Введение
стабилизации и устойчивости движения ракеты по ее расчетной
траектории, выбор законов управления), расчету конструкции
ракеты на прочность (определение нагрузок на конструкцию
и их зависимости от траектории полета) и другим дисципли-
нам. Очень велика роль баллистики в решении проектных
вопросов: выборе схемы ракеты, ее компоновки и значений
ее конструктивных и энергетических характеристик, наилуч-
шим образом отвечающих требованиям, предъявленным к дан-
ной ракете. Все эти смежные вопросы частично и бегло за-
трагиваются в книге лишь в связи с решением перечислен-
ных выше задач баллистики. Да и сами задачи баллистики,
сводящиеся таким образом к исследованию невозмущенного
движения центра масс ракеты, рассматриваются без учета
многих, иногда очень важных подробностей, с тем чтобы
уделить внимание основным особенностям этих задач, зако-
номерностям, которым они подчиняются, и методам их ре-
шения. Знание этих методов и закономерностей позволит
инженеру приступить к самостоятельной работе в области
баллистики ракет.
Часть первая
Общая теория
движения
Г лава!
Системы координат
§ 1. Земные координаты
Движение ракеты мы будем рассматривать в прямоуголь-
ной системе координат Oxyz, неподвижно связанной с Зем-
лей (рис. 1.1). Эту систему координат будем называть земной.
Ось Ох земной системы направим по касательной к поверх-
ности Земли в точке старта в направлении прицеливания,
ось Оу — вертикально вверх
таким образом, чтобы по-
лучить правую систему,
т. е. перпендикулярно к
плоскости Оху вправо от
направления прицелива-
ния. Землю считаем шаром
радиуса R — 6371 ПО м
(объем такого шара равен
объему земного сферои-
да). Точка с координатами
(х, у, z) имеет относи-
тельно центра Земли ра-
диус-вектор
г = хх° +
+ (/? + у)У’+^; (1.1)
длина вектора
г=У(/? + у)2 + х2+;г2
(1.2)
в точке старта, ось Oz
Рис. М.
представляет собой расстояние этой точки от центра Земли.
Высота этой точки над поверхностью Земли равна
h = r — /? = У(/?-|-у)2-|-х2-Ьг2 -Я. (1.3)
Земная система координат не является инерциальной, так
14
Гл. 1. Системы координат
как она участвует во вращении Земли вокруг своей оси.
совершая полный оборот за одни звездные сутки (86 164 сек).
Угловая скорость вращения равна
__ 2л
а’з— 86164
7,2921 . 1(Г5 —.
сек
(1-4)
Вектор угловой скорости Земли <о3 направлен по оси
вращения от южного полюса к северному, так как вращение
Земли происходит с запада на восток. Если обозначить гео-
Рис. 1.2.
графическую широту точ-
ки старта через <рг, то век-
тор (о3 можно разложить на
две составляющие (рис. 1.2):
вертикальную, направлен-
ную по оси Оу,
(03y = 0)3Sin(Pr’
и горизонтальную, направ-
ленную в плоскости Oxz по
касательной к меридиану:
Горизонтальная составляю-
щая в свою очередь может
быть разложена по осям Ох
и Oz на составляющие
со3л = со3 cos <pr cos ф,
<о3г = — со3 cos фг sin ф.
Таким образом, вектор угловой скорости Земли может
быть представлен в виде
<о3 = со3 (cos <рг cos фх° + sin qryP — cos <рг sin фг°). (1.5)
Движение центра тяжести Земли в пространстве будем
считать прямолинейным и равномерным, пренебрегая кри-
визной земной орбиты.
Точка, движущаяся относительно земной системы коор-
динат, с текущими координатами в этой системе х, у, z
имеет относительную скорость
Ф = XX0 -|- -f-zz? (1.6)
§ 2. Связанные координаты
15
и относительное ускорение
Jr = хх° + yyQ + zz°. (1.7)
Абсолютное ускорение этой точки будет равно
J^Jr + Je + Jc П-В)
где je — переносное ускорение, равное je — w3 X (<*>3 X г) =
= «3(ю3 • г) — гсо|; jc — 2»3 X V — ускорение Кориолиса.
Используя выражения (1.1), (1.5) и (1.6), найдем разло-
жения векторов je и jc по осям земной системы координат.
Скалярное произведение ю3 • г можно представить в виде
0)3 • г = (03Гш,
где
= х cos <рг cos гр -J- (R 4- у) sin (рг — z cos (рг sin ф (1.9)
— проекция радиус-вектора г на ось вращения Земли.
Следовательно,
Л = ®згЛ — ®3Г = ®3 КГш C0S <₽r COST])-X)JC°4-
+ (rmsin<pr- R — у)У + (— rfi) cos <pr simp — z)z°| (1 10)
И
z°
G)3sin<pr —G)3COS<PrSinip =
у z
= 2co3 [(y cos <pr sin ф + z sin cpr) x° -|-
+(- X COS (pr sin (p — Z COS фг COS l|))y° 4-
4- (—xsincpr4-ycosq)rcost|))z°J. (I ll)
§ 2. Связанные координаты
Кроме земной системы координат, будем пользоваться
прямоугольной системой координат O1x1ylzJ (рис. 2.1), свя-
занной с ракетой. Коротко будем называть эту систему
связанной. Начало связанной системы координат поместим
в центр тяжести ракеты, ось О1х1 направим по продольной
оси ракеты к ее вершине. На старте ракета устанавливается
вертикально, поэтому в момент пуска ось Оххх совпадает
16
Г л. I. Системы координат
по направлению с осью Оу земной системы координат.
Ось Oxzx направим так, чтобы она в тот же момент была
параллельна оси Oz, тогда ось примет направление,
противоположное направлению оси Ох. Иначе говоря, на-
правления осей связанной системы координат в момент пуска
совпадут с направлениями соответствующих осей земной
системы, если повернуть последнюю на угол 90° вокруг
оси Oz в направлении от оси Ох к оси Оу.
В полете направления осей связанной системы координат
по отношению к земной изменяются. Будем определять их
углами трех поворотов, которые надо произвести в опреде-
ленном порядке, чтобы совместить направления осей земной
системы с направлениями осей связанной системы координат.
Так как сейчас нас интересуют только направления осей,
которые не изменяются при параллельном переносе, то пре-
дварительно совместим посредством параллельного переноса
начало земной системы координат О с началом связанной
системы После этого произведем следующие операции:
1. Повернем земную систему на угол <р вокруг оси Oz
так, чтобы плоскость Oxz прошла через ось Oxf, получен-
ную систему обозначим Ox'y'z'.
2. Поворотом вокруг оси Оу' на угол £ совместим
ось Ох' с осью Охр полученную систему обозначим Ox"y"z".
3. Поворотом вокруг оси Ох" на угол т| оси Оу" и Oz"
совместим с осями Оух и Ozx.
§ 2. Связанные координаты
17
В результате этих трех поворотов земная система будет
совмещена со связанной. Найдем формулы перехода от одной
системы координат к другой. Переход от системы Oxyz
к системе Ox'y'z' выражается формулами
х' — х cos ф + У sin ф,
у' = — х sin ф 4~ у cos ф,
z' — z.
(2.1)
Формулы перехода от системы Ox'y'z' к системе Ox''y"z"
имеют вид
х" = х' cos £ — z' sin g,
z” — x' sin £ + z' cos J.
(2.2)
Наконец, переход от системы Ox"y"z'' к системе OxtfiZi
осуществляется посредством формул
— х",
У! = у" cos 1] + z" sin Т],
Zi = — у" sin т] 4~ z" cos т).
(2.3)
Подставляя выражения (2.1) для x',y',z' в формулы
(2.2), получим:
х" = х cos ф cos £ 4“ У sin cos £ — z sin
у" — — х sin ф + у cos ф,
z" = х cos ф sin £ + У sin Ф sin I + z cos %.
Если эти выражения для х", у", z" подставим в фор-
мулы (2.3), то найдем интересующие нас формулы непо-
средственного перехода от земной системы Oxyz к связан-
ной системе 0{хгу^ (при упомянутом выше условии, что
начала обеих систем координат О и совмещены):
хх = х cos ф cos £ -|- у sin ф cos % — z sin g,
yj = x (— sin ф cos T] 4” cos ф sin | sin tj) 4~
4“ У (cos ф cos T] 4“ sin ф sin £ sin r]) + z cos | sin tj,
zA = x (sin ф sint) 4“ cos ф sin | cost]) 4-
Ч~У (— cos ф sin t] + sin ф sin £ cos t]) + cos £ cos t).
(2-4)
2 P. Ф- Ап пазов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
18
Г л. I. Системы координат
Геометрический смысл углов <р, g и т] следующий: угол ф
определяет положение наклонной плоскости, перпендикуляр-
ной к плоскости Оху и проходящей через продольную ось
ракеты, угол g есть угол (в этой наклонной плоскости)
между продольной осью ракеты и плоскостью Оху, нако-
нец, угол т] представляет собой угол поворота ракеты вокруг
продольной оси. Принято называть ф углом тангажа.
g— углом рыскания, т]—углом крена.
Одна из задач системы управления полетом ракеты со-
стоит в том, чтобы не допустить возникновения больших
значений углов g и Т], а угол ф изменять по определенному,
заранее заданному закону.
Поскольку мы рассматриваем нормальный полет ракеты
с исправно работающей системой управления, будем считать
углы | и т] малыми и заменять их косинусы единицей,
а синусы — самими углами:
cos g = cost] = 1, sing = g, sini] = T].
Производя такую замену в формулах перехода (2.4) и
отбрасывая члены, содержащие произведение малых вели-
чин g и Т], получим следующие упрощенные формулы, ко-
торыми будем пользоваться в дальнейшем:
xj = х cos (р 4“ у sin <р — zg,
= — х sin ф + у cos ф 4-
= x(g cos(p4-rlsin(P) + y (£ sin <р — г) cos ф) -k z.
(2.5)
Коэффициенты в этих формулах представляют собой ко-
синусы углов между осями земной и связанной систем коор-
динат или так называемые направляющие косинусы (табл. 2.1).
Если составляющие некоторого вектора А по осям земной
системы координат равны ЛЛ, Ау, Az, то по осям связанной
Таблица 2Л
Ох Оу Oz
OiXi COS ф sin ф
01У1 — sin ф COS ф п
01^! g cos ф т] sin ф g sin ф — т] cos ф 1
§ i. Связанные координаты
«-нс юмы этот вектор имеет следующие составляющие:
Л i ( = Ах cos <р -|- Ау sin <р — Л Д,
/1 Vi = — Ах sin ср 4- Ау cos <р + AZT],
Л/, — ^4jr(&cos <р —|— Tjsincp) —^y(|sincp—T]cos <р) —|— Az.
(2.6)
И наоборот, составляющие вектора в земной системе
выражаются через составляющие в связанной системе по-
средством таких формул:
Ах — AXl cos (р — АУх sin (р + (£ cos <р 4~ т] sin ср),
— АХх sin ср -|- АУх cos <р 4- Л (£ sin <р — т] cos <р)»
Л 2 = — AXl% 4“ ЛУ1т] 4“ .
(2.7)
Во время полета ракеты углы <р, £ и т] не остаются по-
< тоипными. Обозначим их производные, как обычно, через
q. £ и л и найдем вид кинематической связи между этими
производными и проекциями соХ1, соУ1, со^ угловой скорости
ракеты на оси связанной системы координат. Вектор ф на-
правлен по оси Oz земной системы координат. Его напра-
вляющие косинусы совпадают с коэффициентами при z
в уравнениях (2.4), а в упрощенном виде содержатся в по-
следнем столбце табл. 2.1. Вектор § направлен по проме-
жуточной оси Оу' (Оу"), лежащей в плоскости Oyxzx и
образующей угол т] с осью Оух и угол 90°-|-т) с осью Ozv
Следовательно, его направляющие косинусы в связанной
системе координат Oxxyxz} будут (0, cost], —sinт]). На-
конец, вектор 7J направлен по оси Охх и имеет направляю-
щие косинусы (1, 0, 0). Следовательно, интересующая нас
кинематическая связь имеет вид
Олт. = — Ф sin 4-л.
<оУ1 = <р cos £ sin т] 4~ £ cos т],
<oZ1 = ф cos | cos т] — £ sin т],
пли, в упрощенном виде,
Ф&4-П.
<о^=ф—h-
(2.8)
(2.9)
2*
Глава //
Силы и моменты, действующие
на ракету
Под ракетой как механической системой будем подразу-
мевать все те массы, которые в данный момент времени
заключены в объеме, ограниченном внешней поверхностью
корпуса и рулей ракеты и плоскостью выходного сечения
сопла (или сопел) двигателя.
На ракету действуют следующие внешние силы: сила
тяжести, аэростатические и аэродинамические силы и силы
от органов управления. Сила тяжести является массовой
силой, т. е. складывается из элементарных сил, приложен-
ных к каждой частичке массы ракеты. Остальные силы —
поверхностные, а именно: аэростатические и аэродинамиче-
ские силы складываются из элементарных сил, приложенных
к каждой элементарной площадке поверхности корпуса ра-
кеты, а силы от органов управления таким же образом
складываются из элементарных сил по поверхности рулей.
К исследованию этих сил и моментов и приступим.
§ 3. Сила тяжести
Сила тяжести, или вес ракеты, G выражается извест-
ной формулой
G=mg. (3.1)
Масса ракеты т определяется режимом работы двигателя
(секундным расходом) от включения двигателя до рассматри-
ваемого момента времени. Если через т обозначить секунд-
ный расход массы через выходное сечение сопла, т. е.
абсолютную величину производной массы по времени:
то для массы ракеты в момент t получаем следующее
§ 4. Атмосфера
21
выражение: *
ш = тькл— J mdt, (3.3)
?ВКЛ
где Лжл — момент включения двигателя, до которого масса
ракеты не изменяется и равна /ивкл.
Секундный расход, вообще говоря, непостоянен. Значи-
тельные изменения расхода происходят на переходных режи-
мах работы двигателя (включение, переключение на меньшую
тягу, полное выключение). Но и при работе двигателя на
стационарном режиме имеют место изменения секундного
расхода, вызываемые изменением ускорения движения ракеты,
высоты уровней жидкостей в баках и пр. Поэтому вычисление
массы ракеты в общем случае должно производиться по фор-
муле (3.3).
Под ускорением земного притяжения g понимаем чистое
ньютоновское ускорение, обусловленное только действием
силы взаимного притяжения между Землей и ракетой. По-
скольку Землю считаем шаром, ускорение земного притяже-
ния зависит лишь от расстояния точки до центра Земли:
и направлено к центру Земли.
Здесь / = 6,670- 10~п мг/кг • сек*— гравитационная по-
стоянная; Ж = 5,9763-1024 кг — масса Земли (/2И = 3,9862 X
X Ю14 м3/сек2)\ £о = 9,8204 м/сек2 — ускорение земного
притяжения у поверхности Земли.
Обычно ускорение земного притяжения объединяется в
одну величину с центробежным ускорением, вызываемым враще-
нием Земли, так как физическое проявление обоих ускорений
для тел» покоящихся на поверхности Земли, совершенно оди-
наково. Но мы этого в общем случае делать не будем, потому
что величина этих ускорений определяется разными факторами.
§ 4. Атмосфера
Земная атмосфера представляет собой среду, в которой
происходит полет ракеты. Для определения величины сил,
действующих на ракету, необходимо знать основные харак-
теристики этой среды: плотность, давление и температуру.
22
Fn. It. Силы и моменты, действующие на ракету
Эти величины сильно зависят от ряда факторов: высоты
точки над поверхностью Земли, географической широты,
времени года и суток и пр. Но для практических целей
принимается во внимание зависимость характеристик атмо-
сферы только от высоты. Эта зависимость приводится в таб-
лицах стандартной атмосферы [4], используемых при расче-
тах траекторий. Атмосфера при этом считается неподвижной,
т. е. ветер не учитывается.
Температура Г, давление р и плотность воздуха р свя-
заны между собой и с высотой над поверхностью Земли
уравнением состояния
P = pRT (4.1)
и дифференциальным соотношением равновесия
dp = — gpdh. (4.2)
м2
Здесь R = 287,05----5----3---газовая постоянная для 1 кг
сек2 • град
массы воздуха.
Исключая р из (4.1) и (4.2), получим
dp gdh
RT
и после интегрирования в пределах от pQ до р и от 0 до А:
л
или
п
f
"J RT
Л- = е о . (4.3)
Ро
Из выражения (4.1) следует:
Р Р
Ро 74 pQ
или, подставляя р/р0 из (4.3),
л
_ f
0 . (4.4)
Ро *
§ 5. Аэродинамические силы
23
§ 5. Аэродинамические силы
Полет с неработающим двигателем. Аэродинамиче-
ские силы представляют собой результат воздействия внеш-
ней среды на поверхность ракеты при ее движении. Из общей
поверхности ракеты S выделяем внешнюю поверхность кор-
пуса и поверхность, точнее, участок плоскости выход-
ного сечения сопла Sa. Поверхность газовых рулей и силы,
Рис. 5.1.
к
действующие на нее, пока не рассматриваем. На каждый
элемент поверхности действуют в общем случае нормальная
сила a dS и касательная сила т dS (через а и т, следовательно,
обозначены нормальная и касательная силы, действующие на
единицу площади поверхности ракеты в рассматриваемой
точке; см. рис. 5.1). Суммарную силу, действующую на еди-
ницу площади поверхности ракеты, обозначим через р9
так что
р = а-4-т. (5.1)
Если ракета неподвижна, то т = 0, а о= р (р — давле-
ние воздуха). При движении ракеты т 0 и о р. Разность
(/ = 0—р (5.2)
представляет собой избыточное давление воздуха на поверх-
ность ракеты. Оно может быть положительным и отрица-
тельным. В последнем случае оно называется также раз-
режением, которое создается в данной точке поверхности
ракеты.
24
Гл. //. Силы и моменты, действующие на ракету
Сила /?, возникающая в результате воздействия воздуха
на всю поверхность ракеты, равна
R = j pdS. (5.3)
s
Этот интеграл может быть разбит на два интеграла — по
внешней поверхности корпуса ракеты Se и по площади вы-
ходного сечения сопла
R = J pdS-\- J pdS. (5.4)
Se S«
Для неподвижной ракеты давление воздуха по всей по-
верхности ракеты уравновешивается:
Я = (5.5)
но каждый из двух интегралов
J pdS и J pdS (5.6)
е а
не равен нулю. Обозначим вектор с длиной р, направленный
по нормали к элементу поверхности dS, через рн.
Интегралы (5.6) для неподвижной ракеты могут быть
записаны в виде
J P»dS и J
Se Sa
так как р в этом случае совпадает с ptt, и равенство (5.5)
принимает вид
/?--= /pHdS-b = (5.7)
е а
Поскольку поверхность Sa плоская и перпендикулярна
к оси интеграл J pwdS, представляющий собой силу
Sa
давления воздуха на эту поверхность, равен
j padS = Sapx4, (5.8)
Sa
§ 5. Аэродинамические силы
25
и на основании (5.7)
J PKdS =
Se
j pltdS~ — Sapx°l.
Sa
(5.9)
Интеграл вида J pndS называется аэростатической
s
силой, действующей на поверхность S. Равенство (5.7) по-
казывает, что аэростатическая сила, действующая на всю по-
верхность ракеты, равна нулю. Строго говоря, эта сила по
закону Архимеда равна весу воздуха в объеме, занятом
ракетой. Но этой величиной можно вполне пренебречь из-за
ее малости по сравнению не только с остальными силами,
действующими на ракету, но и с ошибками определения этих
сил. Формула (5.9) дает величину аэростатической силы,
действующей на внешнюю поверхность корпуса ракеты.
Возвращаясь к случаю движущейся ракеты, каждый из
интегралов, входящих в формулу (5.4), на основании выра-
жения (5.1) разобьем на сумму двух интегралов
/? = J J tdS + dS-f- J tdS
Se Se Sa S
В этом выражении каждый из интегралов от нормальной
силы ст =рн-|-(где ст' — избыточное нормальное давление)
в свою очередь может быть представлен в виде суммы двух
интегралов:
R = J рн dS + ст' dS —I* т dS -f- J рн dS
Se < S'e
4- j s'dS-j- j xdS.
(5.10)
Сумма первого и четвертого членов в этом выражении
(см. формулу (5.7)) равна нулю.
Силы, определяемые интегралами вида J ст' dS и J т dS,
s s
л также суммами таких интегралов, носят название аэроди-
намических сил. Аэродинамические силы обращаются в нуль
ж
Гл. II. Силы и моменты, действующие на ракету
как для всей неподвижной ракеты, так и для отдельных
участков ее поверхности.
Равенства (5.10) и (5.7) показывают, что сила /?, с ко-
торой воздух действует на всю поверхность ракеты при
неработающем двигателе, представляет собой аэродинамиче-
скую силу, которую будем называть полной аэродинами-
ческой силой.
Движением воздуха в выходном сечении сопла можно
пренебречь, тогда касательные силы исчезнут:
Т|5 =0. (5.11)
а
(из этого следует, что шестой член в формуле (5.10) об-
ращается в нуль), а нормальное давление по величине будет
постоянным:
o'|s = const.
Эту постоянную величину обозначим через ОД и назовем
донным разрежением за срезом сопла двигателя (предпола-
гается, что ракета не летит соплом вперед и, следовательно,
од < 0). Постоянное давление с/ на поверхность Sa дает
силу давления равную
Хь= J a'dS = SoaX. (5.12)
т. е. пятый член в формуле (5.10) представляет собой силу,
по величине равную 5а | од | и направленную по оси ракеты
от вершины к хвосту.
Силу Х1Д будем называть донным сопротивлением^ или
сопротивлением подсоса за соплом двигателя.
Заметим, что донное сопротивление образуется не только
за соплом, но и за другими торцевыми площадками на ра-
кете, которые у нас включены во внешнюю поверхность Se.
Донное сопротивление А"1де, образующееся за этими пло-
щадками, будет частью интеграла J a' dS. Весь этот Инте-
ле
г рал представляет собой равнодействующую избыточных да-
влений по внешней поверхности корпуса ракеты. Разложим
эту равнодействующую на два вектора: вектор Х1в, напра-
$ 5. Аэродинамические силы
27
пленный по оси ракеты, и вектор Ур направленный по пер-
пендикуляру к оси:
Jc'dS = X1B4-r1. (5.13)
Se
Силу Х1в будем называть осевой силой давления, а силу
У] — нормальной или боковой аэродинамической силой.
Наконец, третий член в выражении (5.10) представляет
собой равнодействующую касательных сил, или сил трения,
по внешней поверхности ракеты. Эта равнодействующая почти
точно направлена по продольной оси ракеты. Будем прене-
брегать ее отклонением от продольной оси ракеты и учиты-
вать лишь осевую составляющую этой силы, которую обо-
значим через Х1тр и назовем осевой силой трения*.
*1тр= J tdS. (5.14)
Se
Итак, выражение (5.10) на основании равенств (5.7),
(5.11) — (5.14) может быть записано так:
/? = Х1В + Х1тр + Х1д + (5.15)
Сумма первых трех членов (5.15) представляет собой силу,
направленную по оси ракеты, которую назовем осевой аэро-
динамической силой и обозначим через
= + + (5.16)
Окончательно
Я = Х14-У1. (5.17)
Если ось ракеты направлена по касательной к траектории,
то обтекание ракеты будет симметричным относительно ее
оси. Симметричным будет при этом и распределение давле-
ний и сил трения, следовательно, нормальная аэродинамиче-
ская сила будет равна нулю.
Если же ось ракеты образует с касательной к траектории
некоторый угол а, называемый углом атаки, то для ракет,
близких по форме к телу вращения (а только такие ракеты
нами и рассматриваются), обтекание будет симметрично относи-
тельно плоскости, проходящей через ось ракеты и через каса-
тельную к траектории. При этом нормальная аэродинамическая
28
Гл. II. Силы, и моменты, действующие на ракету
сила, а следовательно, и полная аэродинамическая сила бу-
дут располагаться в этой плоскости.
При нормальном полете ракеты угол атаки бывает неве-
лик — порядка нескольких градусов. Экспериментальные и
теоретические исследования показывают, что для таких углов
атаки осевая аэродинамическая сила и все ее составляющие
мало зависят от угла атаки, а нормальная аэродинамическая
сила прямо пропорциональна углу атаки:
(5.18)
Полную аэродинамическую силу часто раскладывают не
на осевую и нормальную составляющие, а на лобовое со-
противление Xt направленное по касательной к траектории
против направления движения ракеты, и подъемную силу
У, направленную по нормали к траектории (рис. 5.2). На
рисунке точка О} — центр тяжести ракеты, точка D — центр
давления (точка приложения силы /?).
Найдем выражения для величины лобового сопротивления
и подъемной силы. Проектируя силы Хг и Ух на направле-
ния касательной и нормали к траектории, получим
X = A\cosa-|- Yj sin a,
У — — XjSina-y Kjcosa.
(5.19)
§ 5. Аэродинамические силы
29
Для небольших углов атаки можно считать, что cos а = 1,
a sina = a; используя равенство (5.18), перепишем эти вы-
ражения в виде а7
Х = Х, + ^ = Х, + Г^. (520)
I =— Л'|'/+ - XjusKa.
где
Y' = Yi-Xb (5.21)
Решая уравнения (5.19) относительно и Y19 найдем
обратную зависимость:
Хг = X cos a — И sin a,
= X sina-|- Y cos a,
или, приближенно,
х^х-уа=х-у^. |
Kj = Xa + Г = (X-I-Г) a. J
Обычно аэродинамические силы выражают таким образом:
X = cxqS, (5.23)
Y = cyqS = c'yqSa. (5.24)
X^c^qS, (5.25)
П = CyflS = CyflSa, (5.26)
V2
где q = р ~2--скоростной напор; р — плотность воздуха
в данной точке траектории; S — характеристическая площадь
ракеты (например, площадь миделя — наибольшего попереч-
ного сечения); сх, cyJ cyt с 9 су^ сг— безразмерные коэф-
фициенты, носящие название аэродинамических коэффи-
циентов.
Полет с работающим двигателем. Будем считать,
что распределение давлений и сил трения по внешней по-
верхности корпуса ракеты не зависит от работы двигателя,
т. е. при полете с работающим двигателем остается таким
же, как и при неработающем двигателе. Что касается выход-
ного сечения сопла, то работа двигателя исключает всякое
воздействие внешней среды на плоскость этого сечения.
30
Гл. //. Силы и моменты, действующие на ракету
Обозначая среднее давление в выходном сечении сопла
через ра, можем написать:
J pdS = Sapaxl (5.27)
Sa
При работе двигателя давление ра, а также и весь интеграл
зависят только от режима работы двигателя, а действие воз-
духа на ракету проявляется лишь в виде интеграла по внеш-
ней поверхности корпуса ракеты
j pdS. (5.28)
Сила р, действующая на единицу площади поверхности
ракеты, по-прежнему может быть представлена в виде суммы
нормального атмосферного давления рн, избыточного давле-
ния а' и силы трения т. Соответственно интеграл (5.28)
может быть записан в виде суммы интегралов
J pdS = J J a'dS-Ь / tdS. (5.29)
se se se Se
Для каждого из этих интегралов остаются в силе преж-
ние выражения и обозначения (5.9), (5.13) и (5.14), поэтому
J Р dS = - Sapxf> + Х1в + yt + *1тр- (5.30)
В случае неподвижной ракеты р = рн, а' = 0, т = 0 и
на ракету действует со стороны внешней поверхности только
аэростатическая сила
$ pudS = -Sapxf>. (5.31)
Se
Эту силу объединим с интегралом (5.27) и будем называть
сумму
PCI= j pdS+ J PttdS = Sa(pa-p)x<> (5.32)
Sa Se
статической тягой.
§ 6. Управление и управляющие силы
31
Назовем полной аэродинамической силой для ракеты
с работающим двигателем сумму только аэродинамических
сил в формуле (5.30)
*p., = *l. + *H₽+>Y (5-33)
Таким образом, для ракеты с работающим двигателем внеш-
няя поверхностная сила складывается из аэродинамической
силы Яр д и статической тяги Рст. Сравнивая (5.33) с (5.15),
видим, что в полную аэродинамическую силу при работаю-
щем двигателе не входит сопротивление подсоса за соплом
двигателя, а в остальном она совпадает с полной аэроди-
намической силой при неработающем двигателе:
Я = ЯР.Д + Х1Д. (5.34)
Нормальные аэродинамические силы при работающем и
неработающем двигателе совпадают, а осевые силы отли-
чаются друг от друга на величину донного сопротивления
за соплом:
И1₽.д=У1. ^1р.д = ^1вЧ-А'1тр = А'1-Х1д. (5.35)
Формулы перехода (5.20) от осевой и нормальной аэро-
динамических сил к лобовому сопротивлению и подъемной
силе, а также выражения (5.23) — (5.26) для этих сил сохра-
няют свой вид для случая полета с работающим двигателем.
§ 6. Управление и управляющие силы
Система управления должна удерживать в заданных пре-
делах отклонения параметров движения ракеты от их расчет-
ных значений и обеспечивать тем самым заданную кучность
стрельбы.
Комплекс параметров, измеряемых и регулируемых систе-
мой управления, может быть довольно разнообразным. Рас-
смотрим простейшую систему управления, регулирующую
только угловые параметры движения ракеты вокруг центра
тяжести.
Система управления должна состоять из чувствительных
элементов, реагирующих на отклонения ракеты от задан-
ного закона движения и замеряющих эти отклонения, испол-
нительных органов, создающих силы, необходимые для
32
Гл. Л. Силы и моменты, действующие на ракету
изменения движения ракеты, и преобразующих средств,
воспринимающих сигналы от чувствительных элементов и
вырабатывающих команды на исполнительные органы.
Поскольку ракета в движении относительно центра тяжести
обладает тремя степенями свободы (у нас, в частности, эти
три степени свободы соответствуют трем углам <р, £, т]),
исполнительные органы системы управления должны иметь
также три степени свободы. При меньшем количестве сте-
пеней свободы органов управления последние не смогут
определять движение ракеты вокруг центра тяжести по всем
трем степеням свободы; при большем количестве задача
управления становится неопределенной, так как заданному
движению ракеты в этом случае будет соответствовать не один
определенный закон движения органов управления, а бес-
численное множество таких законов. Но и при условии, что
число степеней свободы органов управления равно трем,
существует неограниченная возможность конкретного осуще-
ствления этих органов.
Точно так же чувствительные элементы системы управле-
ния могут выполняться по самым разнообразным принципам
и в различной форме.
Следовательно, уравнения, связывающие движение органов
управления с движением ракеты (так называемые уравнения
управления), могут иметь совершенно разный вид при раз-
ных принципах работы и конструкции системы управления.
В общем случае их можно записать так:
FJdiCO, *(t), y(t), z{t), (p(0, л (01 = 0,
F2[d2(0, х(0, у(0> *(0. <р(0. п(01 = 0,
Гз[бз(0, х(0. У(О. <Р(0. КО. л (01 = 0,
(6.1)
где dlf 6-г» д3—отклонения исполнительных органов системы
управления; Fx, F2, F3 — функционалы от функций, взятых
в квадратные скобки, т. е. величины, зависящие не только
от текущих значений этих функций, но и от их предшест-
вующих значений, начиная с момента старта. Эта зависимость
может быть довольно сложной.
В дальнейшем изложении в качестве примера остановимся
на системе управления ракеты, чувствительными элементами
которой являются гироскопические приборы — гирогоризонт
и гировертикант, исполнительными органами — газовые рули
§ 6. Управление и управляющие силы
33
и преобразующими средствами — усилитель-преобразователь
Рис. 6.1.
и рулевые машинки.
Правый и левый газовые рули (см. ниже рис. 7.1.) от-
клоняются синхронно (и на одинаковый угол), таким образом,
число степеней свободы
органов управления дей-
ствительно равно трем.
Гироскопические при-
боры состоят каждый из
гироскопа и двух ра-
мок—внутренней и внеш-
ней, расположение кото-
рых в момент старта по-
казано на рис. 6.1.
В полете оси враще-
ния гироскопов сохраня-
ют неизменное положение
в пространстве, т. е. ось
вращения гироскопа гиро-
горизонта Огхг остается
все время параллельной
оси Ох земной системы
координат, а ось враще-
ния гироскопа гироверти-
канта Ов2гв — параллель-
ной оси Oz земной систе-
мы. Оси вращения наруж-
ных рамок гироприборов
связаны с корпусом раке-
ты. Следовательно, в по-
лете ось вращения наруж-
ной рамки гирогоризонта
ной системы координат,
гировертиканта Овхв параллельна оси связанной системы.
Направления осей будем характеризовать их ортами,
так что
связан-
Orzr параллельна оси Otzt
а ось вращения наружной рамки
= х°,
= z°,
•кв=3’?-
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
3 Р. Ф. Аппазов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
34
Гл. II. Силы и моменты, действующие на ракету
Теперь легко определить направления промежуточных
осей гироскопических приборов — осей вращения внутренних
рамок. Промежуточная ось гирогоризонта Огуг всегда пер-
пендикулярна к двум другим осям этого прибора, Огхг и
Orzrt следовательно,
г?Х*°
|г°х4|~ |4х*Т ( }
Точно так же промежуточная ось гировертиканта Овув пер-
пендикулярна к Овхв и Ов£в, поэтому
Ув |4Х^| |У?Х/Г ( °
С помощью табл. 2.1 получаем:
X = (л^соэф—sinф-Ь2°(|cosф-1-т]sinф)) =
=Уу cos ф + sin ф,
3^ X 2° =у° х (— *?£ + 2?) = 4- -4
По-прежнему пренебрегая вторыми степенями величин £ и т],
получаем, что
|4Х-*°| = |з>0Х2°|=1
и, следовательно, формулы (6.6) и (6.7) можно переписать
в виде
— Sin ф —1~ JFj cos ф, (6.8)
(6.9)
Если в полете ось ракеты имеет заданное направление,
т. е. углы £ и т) равны нулю, а угол ф равен программному
углу фпр, то движки потенциометров находятся в нулевом
положении. В гировертиканте это достигается само собой,
так как весь прибор вместе с корпусом ракеты поворачи-
вается вокруг оси собственного вращения ротора и относи-
тельное положение рамок не меняется. В гирогоризонте обе
рамки и связанный с внешней рамкой движок потенциометра не
меняют положения относительно земных осей и для того, чтобы
движок оставался на нуле, корпус потенциометра поворачи-
вается вокруг оси относительно корпуса ракеты на такой
§ 6. Управление и управляющие силы
35
же угол, на какой ракета должна наклониться по программе
о г своего первоначального положения (т. е. на угол 90°—<рпр).
При отклонении ракеты от заданного положения углы £, т]
и Аф = ф— <рПр становятся отличными от нуля, и одновре-
менно появляются смещения движков потенциометров от нуле-
вого положения: — смещение (угловое) движка потенцио-
метра на оси вращения наружной рамки гировертиканта.
if — смещение движка потенциометра на промежуточной оси
гировертиканта и Аф' — смещение движка потенциометра
гирогоризонта (на оси вращения наружной рамки).
Рассматривая схему гйроприборов (рис. 6.1), легко убе-
диться, что при соответствующем выборе направлений от-
счета угол 90° — равен углу между осями Oxzx и Овув»
угол 90° — т]' равен углу между осями (Овхв) и OBzB
и угол ф' = фпр + Лф' равен углу между осями Огуг и Огуг.
Связь между углами £, 1], Аф и if, Аф' можно получить,
вычисляя скалярные произведения ортов соответствующих
осей с помощью формул (6.9), (6.3) и (6.8):
cos (90° - Г) = = г? • +*?£).
cos(90° — • z°B=^ • (—*?£
cos (флр Ч- Дф')=3% • У?=sin ф Ч- J? cos ф).
откуда
sin|' = £,
sin if = т].
cos (фпр Ч- Дф') = cos ф.
Эти соотношения позволяют лишний раз убедиться в малости
углов £/ и .if, что дает возможность заменить их синусы
самими углами и написать следующие формулы:
Г = (6.10)
п' = 1|. (6.11)
а также
Дф' = ф —фпр= Дф. (6.12)
Формулы (6.10)—(6.12) дают связь между отклонениями
ракеты от заданного положения и реакцией гироприборов
на эти отклонения.
Нс будехМ касаться работы усилителя-преобразовате-
ля и рулевых машин, которые преобразуют снимаемые
3*
36
Гл. II. Силы, и моменты, действующие на ракету
с потенциометров гироприборов напряжения, прямо пропор-
циональные смещениям движков этих потенциометров, в углы
отклонения газовых рулей. Рассмотрим заключительное звено
цепи управления — силы, действующие на рули.
Полную силу, действующую на руль, находящийся в га-
зовом потоке, разложим на три составляющие—лобовое
сопротивление руля Qp, направленное по оси потока, т. е.
по оси ракеты, подъемную силу /?р, направленную перпен-
дикулярно к оси ракеты и к оси руля, и осевую силу
направленную параллельно оси руля. Последняя сила мала,
поэтому будем ею пренебрегать, тем более, что для двух
противолежащих рулей осевые силы уравновешиваются (цели-
ком, если углы отклонения рулей одинаковы, и частично,
если углы отклонения разные).
Приближенно можно считать, что подъемная сила руля
пропорциональна углу отклонения руля:
/?р = Я'б, (6.13)
а лобовое сопротивление руля зависит от угла отклонения
руля по параболическому закону:
QP = Qpo+^2. (6.14)
Кроме того, силы, действующие на газовый руль, могут
быть выражены, как и всякие газодинамические силы, в виде
Qp —
Q 2
R -с ррир е -г’ ррц* Sfi
CR 2 др — CR 2
(6.15)
где рр—плотность газа в сечении струи двигателя, прохо-
дящем через переднюю кромку руля; ир— скорость газового
потока в том же сечении; Sp—площадь руля; cQ9 cR9 cR—
газодинамические коэффициенты, зависящие от числа М газо-
вого потока и от угла отклонения руля.
В первом приближении Cq аналогично лобовому сопро-
тивлению руля Qp зависит от угла отклонения руля по пара-
болическому закону, ср пропорционален углу отклонения
руля, a cR9 таким образом, от этого угла не зависит.
§ 7. Моменты сил
37
В дальнейшем будем рассматривать только суммарные
силы для всех четырех рулей: осевую силу Х1р, равную
сумме лобовых сопротивлений четырех рулей,
^1р — Qpl “И Qp2 + <2рЗ + Фр4’
или, на основании (6.14),
Xlp = 4Qpo + l(d?+^+dI+d|), (6.16)
и боковые силы: К1р, равную сумме подъемных сил рулей 2
и 4, и Zlp, равную сумме подъемных сил рулей 1 и 3.
Направления отсчета углов отклонения рулей выберем
так, чтобы положительным углам отклонения рулей соответ-
ствовали положительные боковые силы. Таким образом,
будем считать положительными отклонения рулей 2 и 4 вниз,
а "рулей 1 и 3—влево, смотря по полету (рис. 7.1). При
таком условии получим
Г1Р=
Zip^^ + Z?^
(6-17)
§ 7. Моменты сил
Найдём выражения для моментов рассмотренных нами сил
относительно центра тяжести ракеты. Будем считать, что
центр тяжести лежит на оси ракеты на расстоянии хт
от вершины.
Сила тяжести G всегда действует по прямой, проходящей
через центр тяжести, и не создает момента относительно
центра тяжести.
До сих пор говорилось лишь о величине и направлении
аэродинамических сил. Линия действия вполне определена
лишь для полной аэродинамической силы R. Точка пересе-
чения этой линии действия с осью ракеты называется центром
давления. Условимся считать полную аэродинамическую
силу приложенной в центре давления; тогда линии действия
всех составляющих этой силы Ylt X, Y и пр. будут
проходить через центр давления (см. рис. 5.2).
Таким образом, осевая аэродинамическая сила Хг дей-
ствует вдоль* оси ракеты и поэтому не создает момента от-
носительно центра тяжести. То же самое можно сказать
38
Гл. II. Силы и моменты, действующие на ракету
в случае полета с работающим двигателем про статическую
тягу Рст.
Нормальная аэродинамическая сила создает относи-
тельно центра тяжести ракеты момент Ма, по величине равный
Ма=Г1(хд-хт), (7.1)
где хд — расстояние от вершины ракеты до центра давления.
Этот момент, как и полная аэродинамическая сила, дей-
ствует в плоскости, проходящей через ось ракеты и через
касательную к траектории, иначе говоря, вектор этого мо-
мента перпендикулярен к оси ракеты и к касательной
к траектории.
Если центр давления находится позади центра тяжести,
то момент нормальной аэродинамической силы действует
на уменьшение угла атаки и называется в этом случае ста-
билизирующим аэродинамическим моментом, а ракета с таким
расположением центра давления и центра тяжести — ста-
тически устойчивой. Если же центр давления лежит впе-
реди центра тяжести, то ракета называется статически
неустойчивой} момент нормальной аэродинамической силы
действует у такой ракеты на увеличение угла атаки и носит
название опрокидывающего аэродинамического момента.
Рассмотрим моменты сил от газовых рулей.
Точку пересечения линии действия полной газодинами-
ческой силы, действующей на руль, с плоскостью симметрии
руля будем называть центром давления руля. Положение
центра давления изменяется при движении руля, но этим
изменением будем пренебрегать, считая, что центр давления
руля всегда лежит в плоскости соответствующего стабили-
затора на расстоянии 1Х от вершины ракеты и на расстоя-
нии hx от оси ракеты (рис. 7.1).
Лобовое сопротивление руля Qp создает относительно
центра тяжести ракеты момент, по величине равный
^Qp = Qp^i- (7.2)
Для рулей 2 и 4 силы Qp равны между собой, так как
углы отклонения рулей одинаковы, а следовательно, равны
по величине и моменты Но направления этих моментов
противоположны, поэтому они взаимно уравновешиваются.
Углы отклонения рулей 1 и 3, вообще говоря, могут быть
§ 7. Моменты сил
39
различны, но эта разница при малых углах отклонения очень
мало влияет на сопротивление рулей, а следовательно, и
на моменты ; этими моментами будем также пренебрегать.
Подъемная сила руля /?р создает относительно центра
тяжести ракеты момент, который может быть представлен
в виде суммы двух моментов относительно двух взаимно
перпендикулярных осей, проходящих через центр тяжести:
момента относительно продольной оси ракеты, по величине
равного
Mx=RJiu (7.3)
и момента относительно поперечной оси, параллельной оси
вращения руля,
^У1 Ui) —
(7.4)
Суммарные моменты от газовых рулей относительно свя-
занных осей найдем, если подставим в (7.3) и (7.4) выраже-
ния (6.13) для подъемной силы рулей и учтем правило зна-
ков для углов отклонения рулей:
Ж, = R'hx (- + б2+дз - б4) = R'ht (б3 - б,).
Л1У1 = /?'(*1-*т)(61 + 6з).
Л1„ = R' (Zt — л-т) (- б2 - 64) = — 2R1 (Zt - хт) б2.
(7-5)
40
Гл, 11. Силы и моменты, действующие на ракету
§ 8. Демпфирующие моменты
До сих пор, рассматривая аэродинамические силы, дей-
ствующие на ракету, мы не интересовались ее угловой ско-
ростью. Строго говоря, некоторые наши утверждения и форг
мулы, например (7.1), верны лишь при угловой скорости
ракеты, равной нулю. Если ракета летит со скоростью я,
углом атаки а и имеет при этом угловую скорость <о =/= 0,
то обтекание ракеты и распределение давлений по ее по-
верхности будет иным, чем при со — О.
Следовательно, аэродинамические силы и моменты зависят
не только от гг, а, р, Т, но и от <о. При этом имеет зна-
чение не только величина угловой скорости, но и ее напра-
вление относительно осей, связанных с ракетой.
Для приблизительной оценки величины дополнительных
сил и моментов, возникающих при вращении ракеты, рас-
смотрим движение ракеты в плоскости ограничиваясь
для простоты случаем нулевого угла атаки.
Если скорость движения центра тяжести ракеты равна V,
а составляющая угловой скорости по оси О^19 перпендику-
лярной к рассматриваемой плоскости, равна то точка
корпуса ракеты, находящаяся на расстоянии Xj от центра
тяжести ракеты, имеет, кроме скорости v9 окружную ско-
рость © Xj. Следовательно, полная скорость этой точки
образует со скоростью центра тяжести угол
Л Vi
Да = —!—
v
(8-1)
На эту величину изменяется угол атаки в рассматриваемой
точке корпуса.
Эти дополнительные углы атаки являются причиной воз-
никновения дополнительных сил и моментов. Среднее зна-
чение дополнительного угла атаки на стабилизаторе равно
, _ (*д. ст -*т)
Ьст „
(8-2)
где хд>ст— расстояние центра давления стабилизатора от вер-
шины ракеты.
§ 8. Демпфирующие моменты
41
Соответствующая этому углу дополнительная подъемная
iила равна
ДГст = Суст^Дает- <8'3)
। це
f дсу ст Су ст
СУ ст да а ’
rVCT—коэффициент подъемной силы двух лопастей стабили-
м гора, отнесенный к площади S.
Подставив (8.2) в (8.3). получим
pt/2 л о (хП гт — хт) 1 ,
Л ^ст ~ Су ст ~2~ S у ~ ~2 СУ стР5(Хд. ст Хт)^, ’
(8.4)
?)га сила направлена в сторону, противоположную напра-
влению движения стабилизатора во вращательном движении
ракеты. Она создает дополнительный момент, действующий
п направлении, противоположном направлению вращения
ракеты, и называющийся поэтому демпфирующим момен-
том. Величина демпфирующего момента будет
AAfZ1 = — AFCT (хц. ст — хт) = — у с' CIpS (хд ст — хт)2
(8.5)
В действительности величина демпфирующего момента
несколько больше, чем вычисленная по формуле (8.5), так как
агмифирующий момент создается не только стабилизатором,
по и корпусом. Поэтому, не увеличивая порядка погреш-
ности, можно принять
Су СТ Су* %Д. СТ ^Т 2 *
Тогда получим следующие приближенные выражения с ошиб-
кой в ббльшую сторону:
с 'pS/w)Z(, (8.6)
(8-7>
42
Гл. II. Силы и моменты, действующие на ракету
Аналогичные выражения можно написать для оценки мо-
ментов относительно другой поперечной оси:
AZ1 = — -J- с'р5/тоу1, (8.8)
ДЛ1у. = ~ 4 cy()Sl2vmyl- (89)
Рассмотрим вращение ракеты вокруг продольной оси
с угловой скоростью При таком вращении сечение ста-
билизатора, отстоящее на расстоянии h от оси ракеты, имеет,
кроме скорости V, окружную скорость Л(оХ1. Следовательно,
полная скорость этого сечения образует со скоростью центра
тяжести угол
Да = —(8.10)
который также представляет собой увеличение угла атаки
сечения стабилизатора. В среднем для стабилизатора прирост
угла атаки от вращения вокруг продольной оси составляет
где /гст — расстояние центра давления стабилизатора от про-
дольной оси.
Этот дополнительный угол атаки вызывает дополнитель-
ную подъемную силу лопасти стабилизатора, равную
ДУ = ^95Даст = -%-^-5^-
(коэффициент обозначаем , так как рассматривается
подъемная сила одной лопасти, а коэффициент с'ст есте-
ственно относить к двум лопастям j, или
Д>/ = ТСУстР5АЛ,-
Сила AF направлена против направления движения лопасти
при вращении. Следовательно, для двух противоположных
лопастей силы ЛК образуют пару с моментом
— 2 ДК h = —i с' pSh? w .
СТ СТ 2 УСТГ CT JTj
§ В. Демпфирующие моменты
43
(8-П)
Дополнительный момент от всех четырех лопастей равен
ДЛ^-С^рЗЛ2^.
Приближенно можно считать, что
ДЛ4Ж1 = -|с;р£/с2т™
। де /ст — размах стабилизатора. Этот момент действует про-
тив вращения ракеты, т. е. также является демпфирующим.
В общем виде будем пользоваться следующими выраже-
ниями для демпфирующих моментов:
Д М = — SPpvw ,
Xj Xi Xi
ДМ = — .
У| Vi У»
ДМ = — m®SPpv(d,
Zj г z,’
(8.12)
где и /п® = — безразмерные коэффициенты аэроди-
намического демпфирования, определяемые либо с помощью
специальных аэродинамических экспериментов, либо путем
более аккуратных аэродинамических расчетов.
Дополнительными силами (8.6), и (8.8) ввиду их малости
будем пренебрегать.
Глава III
Общие уравнения движения
§ 9. Уравнения движения в векторной форме
Ракета при работающем двигателе непрерывно расходует
содержащуюся в ней массу, поэтому за конечный промежуток
времени законы динамики твердого тела или системы к ней не-
посредственно неприменимы. Но за бесконечно малый промежу-
ток времени dt можно решить задачу о движении ракеты с по-
мощью теорем динамики системы при следующих допущениях:
1. Рассматриваем как единую систему все массы, содер-
жащиеся в ракете в момент времени t.
2. Пренебрегаем силами, действующими на массы, рас-
ходующиеся в течение времени dt (т. е. от момента t до мо-
мента t-\-dt) через выходное сечение сопла.
Будем называть бесконечно малым отбросом массу,
выходящую за время dt через выходное сечение сопла.
Таким образом, рассматриваемая система совпадает
в момент t с ракетой, а в момент t-\-dt состоит из ракеты
и отброса — в этом заключается первое допущение. Согласно
второму допущению силы, действующие на рассматриваемую
систему, совпадают с силами, действующими на ракету.
Уравнения движения ракеты легко получить, исходя
из уравнений движения системы, которые, как известно,
имеют такой вид:
dKc р
~r=F-
dt т ’
(9.1)
(9.2)
где —количество движения системы; F—равнодействую-
щая (главный вектор) внешних сил, действующих на систему;
Л(сс) — момент количества движения системы относительно
центра тяжести системы; 7И(с) — суммарный момент (главный
момент) внешних сил относительно центра тяжести системы.
£ 9. Уравнения движения в векторной форме
45
Чтобы перейти к уравнениям движения ракеты, найдем
прежде всего выражение для количества движения ракеты.
I*.побьем ракету на элементарные частички, причем за одну
и.। таких частичек примем бесконечно малый отброс, центр
hi жести которого совпадает с центром выходного сечения
। он ла. Положение центра тяжести ракеты в момент времени t
определяется равенством
шг =2 (9.3)
V
। nr тп — масса ракеты в момент времени t\ г— радиус-вектор
центра тяжести ракеты относительно некоторого неподвиж-
ного центра; —масса элементарной частички, не покидаю-
щей ракеты за время dt\ rv— радиус-вектор той же частички;
/// - - секундный расход массы (см. § 3); tndt — масса отброса;
га — радиус-вектор /центра тяжести отброса, т. е. геометри-
ческого центра выходного сечения сопла.
За время dt масса ракеты изменяется на величину
dm =— m dt, (9.4)
р;щиус-вектор центра тяжести ракеты — на величину
dr = vdt (9.5)
— скорость центра тяжести ракеты относительно непод-
вижной системы координат — абсолютная скорость); массы
частичек не изменяются, а их радиусы-векторы изменяются на
drv = <ovdt, (9.6)
где — абсолютные скорости частичек. Отброс уже не вхо-
дит в ракету, и положение ее центра тяжести определяется
равенством
(иг — m dt) (г + dr) = S tn v (rv + drv). (9.7)
V
Вычитая из (9.7) выражение (9.3), найдем
mdr— mrdt— m drdt = ^ mvdrv— mradt. (9.8)
V
Если в (9.8) пренебречь бесконечно малой высшего по-
рядка mdrdt, a dr и drv заменить их выражениями (9.5)
46
Г л. Hi. Общие уравнения движения
и (9.6) и затем сократить на di, то получим
mv — = 2 ~~ mra'
v
Заметив, что сумма 2 с точностью до бесконечного
V
малого количества движения отброса совпадает с количеством
движения ракеты АГ» можем написать следующее выражение
для К:
К— 2 = т<0 + т (га — г) = тя + mbt (9.9)
V
где
b = ra — r (9.10)
— вектор, соединяющий центр тяжести ракеты с центром
выходного сечения сопла.
Дифференцируя (9.10), найдем: Ь = <оа — V. т. е. скорость
центра выходного сечения сопла Фа равна
va = v+b. (9.11)
Обозначая скорость центра тяжести отброса относительно
центра выходного сечения сопла (скорость истечения)
через й, получим для абсолютной скорости центра тяжести
отброса выражение
+ 4 i> + u, (9.12)
откуда количество движения отброса равно (поскольку это
величина бесконечно малая, обозначаем ее через dAfOT6p)
^ЛГотбр = т dtvm6p = zn (ф -Ь в н- 6) dt. (9.13)
В момент t количество движения рассматриваемой системы
равно количеству движения ракеты АГс = АС В момент вре-
мени количество движения системы складывается
из количества движения ракеты и бесконечно малого коли-
чества движения отброса
АГс+ = ЛГ+ ^отбр-
Следовательно,
dAfc = dAf + JACOT6p-
(9.14)
f 9. Уравнения движения в векторной форме
47
Изменение количества движения ракеты легко находим
из (9.9):
dK= m dv^v dm -Р m db~\-b dm —
= m dv— wm dt~\- mb dt-\- bmdt. (9.15)
где
Подставляя (9.13) и (9.15) в (9.14), получим
dKc = mdto — mv dt-\- mbdt-]- mb dt-\-nv& dt -|-
-|- mu dt + mb dt = mudt-\-2mb dt-\- mb dt. (9.17)
Заменяя dKc в уравнении (9.1) выражением (9.17), най-
дем следующее векторное уравнение движения центра тяжести
ракеты:
m mu~\-c2m 'b-\~ mb = F. (9.18)
Переходим к уравнению движения ракеты вокруг центра
тяжести. С-л' 1т* tt н Л 7? ¥
В момент времени t кинетический момент системы отно-
сительно центра тяжести системы совпадает с кинетиче-
ским моментом ракеты относительно ее центра тяжести Ъ\
№ — L=^(rv — r)X mvvv+(ra — г) X т^отбрdt. (9.19)
V
Здесь, рассматривая отброс как элементарную частичку, мы
пренебрегли его собственным кинетическим моментом.
В момент времени t-\-dt кинетический момент системы
относительно центра тяжести системы складывается из кине-
тических моментов ракеты и отброса относительно этой же
точки:
L‘c) + d£<c) = L$+dt} + d£<&p. (9.20)
Кинетические моменты в (9.20) определяются по известным
формулам
L$+dty = L + dL+(r + dr — rc — drc) X (АГ + dK), (9.21)
= ^отбр + (^ +dr0T6p —rc~drc)X dK^f. (9.22)
48
Гл. Ш. Общие уравнения движения
где L~\~dL — кинетический момент ракеты относительно ее
центра тяжести, ^£отбр—собственный кинетический момент
отброса, которым опять-таки пренебрегаем.
Радиус-векторы центров тяжести системы, ракеты и от-
броса связаны соотношением
т (гс + drc) = (т — mdt)(r-\- dr) + mdt (ra dr отбр),
или, с точностью до бесконечно малых величин второго
порядка,
rc + dr с = r-\-dr--rdt-\—— radt = r-]-dr-\-—bdt.
(9.23)
Полученные выражения (9.21)—(9.23) подставляем в соот-
ношение (9.20):
№ + dl£> = L + dL—-^bdtX(K+dK) +
+ (ra + dr0T6p — r — dr — b dt) X ^АГотбр
и, сравнивая с первой частью равенства (9.19), найдем с точ-
ностью до бесконечно малых величин второго порядка:
dL(? = dL--^bXKdt+(ra — r)X dKm6p. (9.24)
Теперь, используя выражения (9.9) и (9.13) для К и ^ЛГОтбр»’
получим следующее выражение для dL^}z
dL(c} = dL — ~by mb)dt-\- by(v+ti+b)mdt=
= di + X (« + &) dt. (9.25)
Заменим dL^ в уравнении (9.2) выражением (9.25):
(«+&) = M(c).
Поскольку в момент времени t ракета и система совпадают,
вместо Л1(с) можно написать сумму моментов внешних сил
относительно центра тяжести ракеты М; тогда получим урав-
нение движения ракеты относительно центра тяжести в виде
(9.26)
$ 9. Уравнения движения в векторной форме
49
Производная вектора b в неподвижной системе координат
может быть представлена так:
‘=4r=-sr + ”X(’- <9-27>
-
где -----производная вектора b относительно корпуса
ракеты (локальная производная), <о — угловая скорость вра-
щения корпуса ракеты.
Но мы предполагаем, что центр тяжести ракеты и центр
выходного сечения сопла лежат на продольной оси ракегы,
поэтому вектор Ь, а следовательно, и его локальная произ-
водная будут параллельны оси ракеты. Отсюда следует, что
&Х-^-==°- (9.28)
Пренебрегая геометрической и газодинамической асимметрией
истечения газов, будем считать, что вектор и — скорость
движения центра тяжести отброса относительно центра вы-
ходного сечения сопла — параллелен продольной оси ракеты
и вектору Ь. Следовательно.
ЬХи=0. (9.29)
Подставляя выражение (9.27) в уравнение (9.26) и используя
уравнения (9.28) и (9.29), получим
+ mb X (w X b) = М. (9.30)
Обозначим через скорость, которую имела бы ча-
стица mv, если бы она была жестко связана с корпусом
ракеты, и через uv—скорость этой частицы относительно
корпуса, так что
®V=Wv + «V (9-31)
На основании (9.19) можем написать следующее выраже-
ние для L с точностью до бесконечно малой величины:
L = 2 m v (rv — г) X = S m v (Tv — r) X +
+ 2 "4 (Tv—Г) X »v (9.32)
V
4 P- Ф. Аппазов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
50
Гл. HI. Общие уравнения движения
Первое слагаемое в (9.32) представляет собой кинетичес-
кий момент ракеты £т в предположении, что она движется как
твердое тело. Известно, что этот кинетический момент может
быть представлен в виде
Лт = Л®,*?4-Со 3°
где А, Bt С — моменты инерции ракеты как твердого тела,
относительно главных осей Огхъ Огуу (оУ1, cdZ( —
проекции угловой скорости корпуса ракеты на эти оси.
В силу симметрии ракеты
в=с. (9.зз)
Второе слагаемое в (9.32) — кинетический момент Lr масс,
движущихся относительно корпуса ракеты, в этом относи-
тельном движении. Можно было бы выделить из этого мо-
мента отдельные слагаемые, например, кинетические моменты
быстро вращающихся масс внутри ракеты, кинетические
моменты жидкости, находящейся в баках ракеты и т. п. Но
мы будем пренебрегать всем кинетическим моментом Lr из тех
соображений, что частицы, имеющие большую относительную
скорость av, составляют очень маленькую долю от общей
массы ракеты, большинство же частиц движется с малыми
относительными скоростями. Учитывать эти дополнительные
моменты, связанные с подвижностью отдельных масс внутри
ракеты, а также с деформациями корпуса, важно при детальном
изучении колебательного движения ракеты. Однако в бал-
листике имеют значение лишь такие колебательные процессы,
период которых одного порядка с продолжительностью
активного участка, а в таких медленных процессах ракету
вполне можно рассматривать как твердое тело.
Итак, будем считать, что
£ = £ + vJ4-C<o г». (9.34)
Здесь, в отличие от твердого тела, главные моменты инерции
по времени непостоянны, поэтому
dL dA da* dXi dB
= A ~ЙГ~ Аа* ~ЙГ—Ь +
dt dt *t 1 dt 1 at at
Л dy\ dC d® d£
9. Уравнения движения в векторной форме
51
Главные моменты инерции так же. как масса ракеты,
убывают по мере выгорания топлива, следовательно, их
производные по времени отрицательны. Обозначим через А,
В и С абсолютные величины этих производных:
Н4Я
-ня
dA
dt ’
dB
dt *
^-=в.
dt
(9.35)
Как известно, производные векторов xj, yj, z® выра-
жаются формулами
dxG
= (©Л1х0 + ®у >0+X л? = - ©У12?
и, аналогично,
dy?
-JI- = <DZ°— CD_xj,
dt i zx i’
откуда
S'₽ [Л Т -(B - ЙЛ - ЛЧ] +
+[B -(С - л> - Ч.]>?+
+ [с-^-<л-в>%®У-Ч]4 <9-36>
Второе слагаемое в левой части уравнения (9.30) пре-
образуется следующим образом:
тбХ(®Х&)= m (-^Х[(®Х1Л?+®Л>“+ог1^Х(-М)]=
= mb2x^ X —®у2°) = mb2(®у+G^ity. (9.37)
4*
52
Гл. Ill. Общие уравнения движения
Окончательно уравнение (9.30) преобразуем так:
[л -(В-Ч.] •*?+
+ [в т - <с - Л) “Л+- в) %.] +
+ [С ~7ЙГ ~<А~В) <%] *1 = м • (9-38)
§ 10. Реактивная сила и моменты
Запишем уравнение движения центра тяжести ракеты (9.18)
в виде
—ти— ^mb— (Ю.1)
Сравнивая его с уравнением движения твердого тела
= (10.2)
видим, что центр тяжести ракеты движется так же, как центр
тяжести твердого тела с массой, равной массе ракеты, на
которое действует, кроме сил, действующих на ракету, сила
Рд = — (mu-]-2mb-±- mb). (10.3)
Эту силу будем называть реактивной силой (или динами-
ческой тягой). Уравнение движения центра тяжести ракеты
можно теперь записать так:
W’S'==/7 + Pa- <10Л>
Применим это уравнение к случаю работы ракеты на стенде
(без газовых рулей).
На основании (9.11) можно написать: <о — — Ь, так как
центр выходного сечения сопла неподвижен. Отсюда
= (10.5)
Из внешних сил на ракету действует сила тяжести 6,
статическая тяга Рст, равная согласно формуле (5.32)
§ 10. Реактивная сила и моменты.
53
и реакция опор стенда Q, так что
F=G+PCT + Q. (10.6)
Подставляя (10.3), (10.5) и (10.6) в уравнение (10.4), получим
— mb — О + Лп + О— ти — 2/ид— mb,
откуда
<?+G + PCT-m«+/»&+2-^ft + ^-& = 0,
ИЛИ
<?+G+PCI-m«+-^^§^ = 0. (10.7)
Уравнение (10.7) показывает, что на опоры стенда, кроме
веса ракеты, действует сила
р = _^и + 5о(рй-р)х;+^^-. (10.8)
которую мы назовем тягой.
Рассматривая различные конкретные случаи, легко убе-
г о • ; •• d2 (mb)
диться в том, что члены mb, 2mb, mb и —— очень
аг*
малы по сравнению с другими членами в формулах (10.3)
й (10.8). Поэтому впредь будем пренебрегать ими и поль-
зоваться следующими выражениями для реактивной силы
и тяги:
Рл = — ти, (10.9)
Р= — ти + (pfl - р) х? = Рд + (10.10)
Скорость истечения и была выше определена как ско-
рость движения центра тяжести отброса относительно центра
выходного сечения сопла двигателя. Но отброс, имея беско-
нечно малую массу, обладает конечными размерами и в свою
очередь может быть разбит на частички dmH, движущиеся
с различными скоростями относительно тех точек выход-
ного сечения сопла, через которые они проходят. Поэтому
понятие скорости истечения и должно быть уточнено.
Каждую частичку dmv будем представлять себе как массу,
проходящую через элемент площади выходного сечения
сопла dSH. Обозначив плотность газов в объеме, занимаемом
частичкой dm*, через рх, можем выразить массу и количество
54
Гл, 111. Общие уравнения движения
движения этой частички в виде
ик dmK = р„иу (ин • dSjJ dt,
где dSH—вектор внешней нормали к элементу площади dSH.
причем
И«и| = ^и;
отсюда количество движения всего отброса, записывавшееся
ранее как ит dt (речь идет об относительном движении), равно
X Рх“х <Юх • rfSx> dt = dt J P« (« • rfS)-
* sa
Таким образом, под и следует понимать величину
а = 4- (10.11)
т Sa
Используя выражение (10.11), можно представить реактив-
ную силу и тягу в виде
Рд=— jpo(edS), (10.12)
Sa
Р= J [pdS— pit (и • dS)] — Sapx°v (10.13)
sa
В формуле (10.13) Sapax® заменено более точным выра-
жением
J,«s.
Sa
где через р обозначено давление газов на элементарную
площадку выходного сечения сопла.
Ранее уже упоминалось, что вектор и считается напра-
вленным по продольной оси ракеты от вершины к хвосту.
Следовательно, реактивная сила и тяга представляют собой
векторы, действующие вдоль продольной оси ракеты по
§ 10. Реактивная сила и моменты
55
направлению к вершине. Величины этих векторов равны
' PR=mu, (10.14)
Р — mu-$-Sa(pa — р). (10.15)
Газодинамические расчеты и опыты показывают, что для
двигателей с ра>О,8ро при изменении режима работы
в не очень больших пределах можно считать скорость исте-
чения и постоянной, а давление ра — изменяющимся прямо
пропорционально секундному расходу т, причем обе эти
величины не зависят от внешнего давления р. Назовем
величину
и' — u-\-Sn = const
m
аффективной скоростью истечения. Тогда
Р=ти' — Sap. (10.16)
Эта формула описывает зависимость тяги от секундного
расхода и от внешнего давления, т. е. может быть положена
в основу как дроссельной, так и высотной характеристик
двигателя. В частности, тяга двигателя в пустоте равна
Рп=ти\ (10.17)
т. е. прямо пропорциональна секундному расходу, а тяга
двигателя у земли выражается формулой
Ро— mu' — Sop0. (10.18)
откуда
= (10.19)
т0
Тяга двигателя у земли Ро и секундный расход в земных
условиях т0 могут быть определены при стендовых испыта-
ниях двигателя. Тяга в полете в зависимости от расхода
и от внешнего давления определяется формулой (10.16), где
вместо эффективной скорости истечения и' можно подставить
ее выражение (10.19):
Р = -^(Ро-Ь5вРо)-5вр. (10.20)
56
Гл. III. Общие уравнения движения
В частности, если расход в полете остается постоянным, то
Р = Р0 + $о(р0- р). (10.21)
Величину
р __ В ___ Вр Ч~ SgPo_Sap _ и__Sap
ул mgo mogo mg0 g0 mgQ
называют удельной тягой.
Удельная тяга в пустоте равна
Рcons!
mQgo go
(не зависит от расхода), а на произвольной высоте
п __D ^аР _ w $аР
*уд * УД- П • • •
mgo go mgo
В частности, у земли
р _____ и'__$аРо
*уд. 0
go mQgb
Теперь сравним выведенное в § 9 уравнение движения
ракеты вокруг центра масс (9.38)
[do„ ] Г dm.. 1
А ~sr -<в - « шл] *1+1в St1- - <с-Л>"AJ Я+
+ [ct-<-4-s>»a]^=
= М + — (mb2 — В) — (mb2 — С) G)zz° (10.22)
с уравнением Эйлера движения твердого тела вокруг центра
тяжести
+ [cJ5l-<-4-b)<1’A.]2?=a'' <10'23>
Сравнение показывает, что движение ракеты вокруг центра
тяжести происходит так же, как движение твердого тела
с теми же главными моментами инерции, что у ракеты
в данный момент времени, на которое действуют, кроме
§ 10. Реактивная сила и моменты
57
моментов, действующих на ракету, моменты
М = ХГ
1\Х ] JCf 1
Л1/?У| = — (mb2 — В) оуу^,
МКг =- (mb2 — С)ы^.
(10.24)
Эти моменты будем называть реактивными моментами.
Первый из этих моментов — раскачивающий, так как
действует в сторону вращения ракеты вокруг оси Ор^, но
он очень мал и, кроме того, в значительной степени ком-
пенсируется неучтенным нами демпфирующим действием
отброса, уносящего с собой некоторый момент количества
движения. В дальнейшем учитывать его не будем. Два других
реактивных момента, как легко убедиться, демпфирующие.
Преобразуем коэффициент, входящий в выражение для
этих моментов, к более удобному виду
mb2 — В = mb2 — С = — Ь2 .
clt dt
Момент инерции ракеты относительно поперечной оси, про-
ходящей через центр тяжести, может быть выражен через
момент инерции относительно параллельной оси, лежащей
в плоскости выходного сечения сопла:
В — Ва — mb2, (10.25’
откуда
__ ЛВд О mfr ______А2
dt ~ dt dt dt
и
__________________2b(m — + Ь — \ = -а- 2Ь
то dt \т dt dt j dt_dt '
(10.26)
Производные, входящие в последнее равенство, легко
могут быть подсчитаны. Будем рассматривать в отдельности
жидкости, расходующиеся в полете ракеты из каждого бака.
Обозначим абсолютную величину секундного расхода жидко-
сти из f-го бака через m-L и уровень жидкости над срезом
сопла через (считаем зеркало жидкости параллельным
плоскости выходного сечения сопла). Тогда за время dt
с поверхности жидкости израсходуется масса mLdt, а внутри
68
Гл. HL Общие уравнения движения
объема, остающегося заполненным жидкостью, распределение
масс можно считать неизменным. Следовательно, если пре-
небречь собственными моментами инерции израсходованных
масс жидкости, изменение момента инерции Ва будет равно
dBa = — 2
i
а изменение статического момента относительно той же оси
равно
d (mb) = — 2 himi М-
i
Подставляя эти выражения в уравнение (10.26), получим
mt?—В = —2 2 = 2 (26—А,) пц. (.10.27)
i i i
Отсюда получаем удобные выражения для реактивных демп-
фирующих моментов относительно поперечных осей ракеты:
MRyi — — (Оу, 2 hl (2b — hi) mi,
‘ (10.28)
ЖЛ21 = — ©21 2 hi — hi) mh
i
Сумму 2^(20— hi)nit будем для краткости обозначать inp.
i
Поясним физическую сущность реактивной силы и ре-
активных моментов.
Газы, истекающие из сопла двигателя, имеют скорость и
относительно корпуса и и -|- b относительно центра тяжести
ракеты. Величина т(и-\- Ь) представляет собой силу, которую
надо приложить к этим газам, чтобы сообщить им такую
скорость. В силу третьего закона Ньютона к центру тяжести
ракеты будет со стороны газов приложена сила — т (и 6),
которая и является главным членом реактивной силы.
Чтобы понять происхождение двух других членов в фор-
муле для реактивной силы, надо уяснить происхождение
величины mb в выражении (9.9) для количества движения
ракеты. Эта величина есть не что иное, как количество движе«
ния расходуемой массы относительно центра тяжести ракеты.
Действительно, в замкнутой системе, масса которой не рас-
ходуется, количество движения совпадает с количеством
§ 10. Реактивная сила и моменты
59
движения материальной точки с массой, равной массе си-
стемы, и движением, тождественным движению центра тяжести
системы. Другое дело в случае ракеты — системы с пере-
менной, точнее, с расходующейся массой.
Если в момент времени t считать всю ее массу сосре-
доточенной в одной точке, то спустя время dt вся эта масса m
переместится на расстояние *odt, но, кроме того, в резуль-
тате внутреннего движения часть массы mdt переместится
на расстояние Ь от нового положения центра тяжести. Пер-
вому перемещению соответствует количество движения
второму — количество движения
Ясно, что для увеличения второй составляющей количества
движения необходима сила, равная
d = mb -|- mb.
at 1
Поскольку эта сила действует на увеличение количества
движения масс в ракете относительно центра тяжести, то по
третьему закону Ньютона противоположная сила—mb—mb
должна быть приложена со стороны движущихся масс к центру
тяжести ракеты.
Так же легко объяснить происхождение реактивных мо-
ментов. Рассмотрим, например, вращение вокруг поперечной
оси О1УР
За счет истечения газов кинетический момент ракеты умень-
шается на величину
| б/В|<оУ| = dt.
Но сами газы, истекшие из ракеты, обладают относительно
центра тяжести ракеты кинетическим моментом
тЬ2ыУх dt.
Следовательно, за время dt они приобретают за счет ракеты
кинетический момент
mb2®^ dt — dtt
60
Гл, III. Общие уравнения движения
для чего к ним должен быть приложен со стороны ракеты
момент сил
(mb2 — В)<оУ1.
В силу закона противодействия на ракету со стороны исте-
кающих газов должен действовать момент вокруг оси Охух
— (mb2 — В)<оУ|,
который и является реактивным моментом.
Резюмируя, можно сказать, что реактивная сила (момент)
равна по величине и обратна по направлению силе (моменту),
которую нужно приложить к истекающим из ракеты газам для
изменения их количества движения (кинетического момента).
Подведем итоги всему нашему анализу сил и моментов,
действующих на ракету, и выводу уравнений движения.
Мы установили, что для ракеты можно пользоваться урав-
нениями движения, имеющими вид уравнений движения твер-
дого тела (10.2) и (10.23), если к силам, действующим на
ракету извне — силе тяжести, аэродинамическим силам, ста-
тической тяге и силам от органов управления, — присоединить
реактивную силу, а к внешним моментам — аэродинамическому
(восстанавливающему или опрокидывающему) моменту, момен-
там от органов управления и демпфирующим аэродинамиче-
ским моментам — присоединить реактивные моменты. Реак-
тивную силу вместе со статической тягой мы объединили
(в первом приближении) в единую силу тяги.
Теперь осталось перейти от векторной формы уравнений
движения к координатной форме, для чего потребуется найти
составляющие сил и моментов, действующих на ракету, по
осям координат.
§ 11. Разложение сил и моментов по осям координат
Для определения составляющих вектора по осям коорди-
нат необходимо знать направляющие косинусы этого вектора
Направляющие косинусы единичных векторов осей связанной
системы координат по отношению к земной системе коорди
нат уже известны. Тем самым определяются в обеих системах
координат посредством формул (2.6) и (2.7) направляющие
косинусы всех сил и моментов, действующих по осям свя-
$ 11. Разложение сил и моментов по осям
61
занной системы координат, а именно, силы тяги, складываю-
щейся из реактивной силы и статической тяги, сил и момен-
тов от органов управления, аэродинамических демпфирующих
моментов и реактивных моментов.
Сила тяжести действует в направлении, обратном напра-
влению радиуса-вектора ракеты
г = XX® + (Я + У)У° 4“ -22°
и, следовательно, имеет по осям земной системы координат
следующие направляющие косинусы (табл. 11.1):
Таблица 11.1
Ох Оу Oz
Q X R + У Г Z г
Остается найти направляющие косинусы аэродинамических
сил и их моментов, которые
правлению зависят от век-
тора скорости ракеты от-
носительно земной системы
координат.
Направление вектора
скорости, иначе говоря, на-
правление касательной к
траектории, будем опреде-
лять двумя углами 0 и о,
которые определяются сле-
дующим образом. Проведем
через вектор скорости на-
клонную плоскость, перпен-
как по величине, так и по на-
дикулярную к плоскости
Оху (рис. 11.1). Угол, составленный этой плоскостью с пло-
скостью Oxz9 обозначим через 0, а угол между вектором
скорости и плоскостью Оху — через о. Эти углы аналогичны
углам ф и определяющим направление продольной оси
ракеты относительно земной системы координат. Будем счи-
тать угол 0 положительным, если вектор скорости направлен
62
Гл. III. Общие уравнения движения
вверх, а угол о—если этот вектор направлен влево от
плоскости Оху. Тогда составляющая вектора скорости по
оси Oz будет равна
vz =— vsino, (11.1)
а проекция на плоскость Оху — v cos о. Последнюю можно
в свою очередь спроектировать на оси Ох и Оу, в резуль-
тате чего получим
vx — v cos о cos 6, vy — v cos of sin 0. (11-2)
Ввиду малости угла о при нормальном полете ракеты,
будем полагать
cos о=1, sin о = о, (П-3)
откуда
«у cos О, T/y = t/sin0, vz =—vo. (11.4)
Отсюда находим направляющие косинусы вектора ф и про-
тивоположного ему вектора лобового сопротивления X
(табл. 11.2)
Таблица 11.2
Ох Оу Oz
V cos 0 sin 0 — a
X — cos 0 — sin0 a
Уже упоминалось (§ 7), что вектор аэродинамического
момента 7Иа перпендикулярен как к продольной оси ракеты,
так и к касательной к траектории и, следовательно, отли-
чается лишь численным множителем от векторного произве-
дения единичных векторов и Л причем если это момент
восстанавливающий, то он направлен по вектору xj X ®°»
а если опрокидывающий — то в обратную сторону. Замечая,
что модуль векторного произведения X п0 определе-
нию, равен sin a^a, а величина аэродинамического момента
§11. Разложение сил и моментов по осям
63
на основании формулы (7.1) равна
^а = С^(Хд-Хт)а
(для восстанавливающего момента Л1а > О, для опрокидываю-
щего— Л1а < 0), получаем, что вектор аэродинамического
момента может быть выражен так:
у
= C'yflS (*« - %т) « -LT~ =C'y.qS (ХД~Хт) (•*! X®0)- (11 -5)
Подъемная сила Y перпендикулярна к векторам 27° и
х^ X и совпадает по направлению с вектором ©° X (^Хч7°).
Модуль этого вектора также равен а (так как векторы
и xj X взаимно перпендикулярны), поэтому подъемную
силу можно представить следующим образом:
X (х? У
Y = с' qSa-----i = с' qS& X И X Ф°)- 01 -6)
Воспользуемся равенством xJ=.yJX^J и преобразуем
векторное произведение xj X к виду
X? X X *?) X =(®° ’ J?)^?~(^° • J?.
Тогда выражения (11.5) и (11.6) примут вид
Л»а = (хд - Хт) [(«о J0) - ЭД = + Мау
(11.7)
У = X К®0 • rf) zi — (®° • *1)^1 = Гу + Vz> (11.8)
где
"... = (*« - 4
I 1 '
Г, = г?)(^X>?). j lu)
Разложения (11.7) и (11.8) имеют простой геометриче-
ский смысл: подъемная сила представляется в виде суммы
двух сил, направленных по нормали к траектории, одна из
которых, Yy, лежит в плоскости О1х1у1» другая» Ygt
64
Гл. ПГ Общие уравнения движения
в плоскости OxxxzAt а аэродинамический момент заменяется
суммой моментов этих сил. Удобство такого разложения состоит
в том, что для векторов Yy и Yz, а в особенности для Л1аУ1
и MaZ1, легко найти их величины и направляющие косинусы.
Действительно, векторы 7Иау1 и 7Иаг1 уже представлены в виде
произведений скаляров
Л1ау, = — CyflS <Л — ХТ)(®" • г?) О 1 •1 О
на единичные векторы и zG.
Оказывается, что векторы X я?) и X У?)’ входя-
щие в выражения для Yy и Yz, с принятой нами точностью
также можно считать единичными. В самом деле, если прене-
бречь квадратами и попарными произведениями малых углов
£, т] и о, а для малого угла <р— 0 принять
sin (<р— 0) — ср — 0,
COS (ф — 0) — 1,
(11.13)
то
х°
cos 0
£ cos (pH-t] sin q>
X 2? —
yG ZQ
sin0 —о
£sinq>— Tjcoscp 1
= (sin 0 + £o sin <p — i]o cos <p) x° +
+ (— cos 0 — £o cos <p — T]o sin <p)j° +
+1(| sin (p — cos (p) cos 0 — (£ cos ф —j— sin <p) sin 0] zG
x°sin0—j°cos0 —
(11Д4)
®°X =
x°
cos©
— sing)
y>
sin0
coscp
z°
— о
= (t| sin 0 -j— о cos <p) x° -H (— Л cos 0 о sin (p)^ +
-J- cos (cp — 0) z° x° (?] sin 0 + g cos <p) +
+УЧ— T] cos 6 + о sin <p)
(11.15)
§11. Разложение сил и моментов по осям
65
Для величин этих векторов справедливы равенства
| X z? | = Vsil}2 6 + cos2 0 4- 'П2 h
|®°XJ»?| =
=*г 3^(Т) Sin 0 4-О COS ф)24“(—T]COS 0 4* О sin ф)2 -4- 1 « 1.
Выражения (11.10) перепишем в виде
Г у = — c'yqS (<п°. (г° X ®°).
Yг = C'yflS(®° ’ 21)И X ®°).
и скалярные множители при векторах X V0 и X ®° при-
мем за величины сил Уу и Yz:
Y,УЦ. I
I <l,16>
Выражения (11.11), (11.12) и (11.16) показывают, что
скалярные произведения
чр • уР — cos 0 (— sin (р) Ц- sin 0 cos ср — orj sin (0—<р) « 0—ф
и
. go _ cos Q (£ cos ф q sin <р) 4~ sin 0 (£ sin (р—т] cos <р)—о
« £ cos (ф — 0) -|- т] sin (ф — 0) — о « | — а
можно рассматривать как численные значения углов атаки
в плоскостях и Огхг^19 которые обозначим через ау
и az (с изменением знака у т>° • yty:
ау = — ©° • _ ф — 0 (1117)
аг = ®°. — о. (11.18)
При этих обозначениях формулы (11.11), (11.12) и (11.16)
примут следующий вид:
МЫ=-СУ,Ч8(ХЛ-Хт)аг' I
Кг = Су,^аг- J
(11.19)
(11.20)
5 Р. Ф- Ann азов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
66
Гл. III. Общие уравнения движения
Эти формулы определяют величины моментов
и сил Yy и Yz. Направляющие косинусы этих векторов со-
впадают с составляющими единичных векторов у®, X
и Ji X соответственно.
§ 12. Сводка формул для сил и моментов,
действующих на ракету
Для лучшей обозримости выведенных выше формул све-
дем их в таблицы 12.1 и 12.2.
Таблица 12.1
Сила Величина Косинус угла с осью
Ох Оу Oz
Вес G — mg X Г р-^у г N | 1
Лобовое сопро- тивление X = c^qS — cosO — sin 0 о
Подъемная сила Yy = cyflSay — sin 6 cos 0
Подъемная сила Yz = c'yflSaz —т) sin 0— — 0 cos ф Т] cos 0 — — a sin ф —1
Осевая сила от газовых ру- лей *lp =4<?po + 4- (&i + 2б| -f* — COS ф — sin ф
Боковая сила от газовых рулей 2 и 4 — sin ф COS ф П
Боковая сила от газовых рулей / и 3 г1р = (®1 "Ь ®з) geos ф+ -|-т] sin ф | sin ф — — Т] COS ф 1
Тяга Р^-^(Р^аРо)- т0 — $аР COS ф sin ф
$ 13. Уравнения движения в координатной форме
67
Таблица 12.2
Момент Величина Косинус угла с осью
О1У1 OiZj
Аэродинамиче- ский момент Л1ау. = -М5(хд-хт)аг 0 1 0
Аэро динамиче- ски^ момент (хд — -*т)«у 0 0 1
Момент газовых рулей 1 и 3 относительно оси OjX] (d3 1 0 0
Момент газовых рулей 1 и 3 относительно ОСИ О]У! Myt ~ R' (*i Лт) (^i б3) 0 1 0
Момент газовых рулей 2 и 4 относительно оси = 2/?' (1 j хт) 62 0 0 1
Демпфирующий момент ДМ = — SZ2pvo> Л1 ЛГ) 1 Л| 1 0 0
Демпфирующий момент ДМ = — /n“SZ2ptno У1 У1 ‘ У) 0 1 0
Демпфирующий момент ДМ = — m^SZ2pV(n Zt Zi г Zi 0 0 1
Реактивный мо- мент М/?У, = — т'>у, 0 1 0
Реактивный мо- мент 0 0 1
§13. Уравнения движения в координатной форме
Спроектируем уравнение (10.2) на оси земной системы
т-г дъ
координат. При этом под следует понимать полное уско-
рение центра тяжести ракеты в абсолютном движении, опре-
деляемое формулой (1.8), а в вектор F объединить все силы,
5*
68
Гл. III. Общие уравнения движения
сведенные в табл. 12.1. В результате получим:
т С* -I- Jex + Лл) = — mg у — cxqS cos 0 —
— с' qS [cty sin 6 + az (т] sin 0 + a cos <p)J — Xlp cos ф —
— 2R'62 sinф-J- R' (6r -|-d3)(£ cos ф + r| sin ф) + Pcos ф,
m (У + Jey + Jcy) = ~ mg _ CxqS sin 0 +
+ [ay cos ® + az Olcos ® — ° sin Ф)] — ^ip sin Ф +
-|- 2P'd2 cos ф + P' (dx + 63) (£ sin ф — T] cos ф) + P sin ф,
m (z + jez + JCz) = — mg у -J- cxqSa + c' qS (ayT) — a*) +
+ Xlp£+ 27?'^+R' (б! +63) - Pl-
В этих уравнениях можно пренебречь членами, содержащими
попарные произведения малых углов, в том числе произве-
дения углов £ и т] на углы отклонения рулей, в результате
чего уравнения примут следующий вид:
х = [(Р — Х1р) cos ф — cxqS cos 0 — (ф — ®)sin ® —
— 2R'\ sin <р] — у g - jex - Jcx,
У = |(^ — ^ip) sin ф — cxqS sin 0 + c’y qS (ф — 0) cos 0 +
4- 2fl'62 cos ф] — g — jey — jcy,
"z “ - i [(p - xi₽) & - +c'y^s £-o)-
— R' (61 + M — 7 g ~ Jez — Jcz-
(13-1)
Векторное уравнение (10.23) удобнее проектировать на
оси связанной системы координат. В этом уравнении в М
нужно включить все моменты, приведенные в табл. 12.2.
§ 13. Уравнения движения в координатной форме
69
Проектируя и учитывая, что В —С, получим:
А ~ЯГ = R'hl (б3 — б1) — mx,SPPV&xl-
В^Г-(В~А^ <№, = - (хд - *т) (В - °) +
+ R' (Z1 — Хт)(61 +6з) -
в + (В_ Л)®Л=-*т)(<р-0)-
— 2R' (/j — хт)62 — m®SPpv<\ " m^Zl-
(13.2)
К уравнениям (13.1) и (13.2) нужно добавить кинемати-
ческую связь между я, 0, о и х, у, zt а также между (oXi,
€0У1, и <р, t т):
x = -ycos0,
у = -ysinO.
z = — w;
^, = — +
<S=<R+|.
®г, = ф— (П-
(13.3)
(13.4)
Соотношения (13.3) совпадают с уравнениями (11.4), а соот-
ношения (13.4)— с уравнениями (2.9).
Наконец, для определения углов отклонения рулей необ-
ходимы уравнения управления
Пятнадцать уравнений (13.1) — (13.5) позволяют опре-
делить 15 функций: X, у, z, <р, |, гр г/. 0, о, <оЛ1, <оУ1,
dg»
Глава IV
Упрощение уравнений движения
§ 14. Уравнения движения для активного
участка траектории
Уравнения движения, полученные в § 13, можно положить в
основу решения многих задач динамики полета. Но практически
в эти уравнения всегда вводятся те или иные упрощения, сущ-
ность которых тесно связана с содержанием решаемой задачи.
Приступим к выводу уравнений для решения определенного
класса задач — задач баллистики ракет дальнего действия.
В этих задачах важнейшей величиной, подлежащей определе-
нию и исследованию, является полная дальность полета. Даль-
ность полета зависит главным образом от траектории центра
тяжести ракеты. Движение ракеты вокруг центра тяжести
рассматривается в баллистике постольку, поскольку оно вли-
яет на траекторию центра тяжести. В частности, при реше-
нии задач баллистики можно отвлечься от влияния на тра-
екторию малых колебаний ракеты вокруг центра тяжести.
Таким образом, важнейшими уравнениями будут для нас урав-
нения (13.1) и (13.3) и менее важными — уравнения (13.2) и
(13.4), в которых и будем производить главные упрощения.
В уравнениях (13.1) члены, зависящие от углов откло-
нения рулей, по величине своей являются второстепенными.
Поэтому уравнениями управления (13.5) можно пользоваться
в значительно упрощенной форме. Далее, в уравнениях дви-
жения центра тяжести (13.1) и (13.3) первые два уравнения
мало зависят от того, каково будет решение третьего урав-
нения (для z и z), следовательно, в некоторых случаях
уравнения для х и у можно рассматривать независимо
от уравнений для z. Наконец, возможны упрощения урав-
нений движения в результате отбрасывания некоторых чле-
нов, несущественных при той или иной точности расчетов.
В таком плане и приступим к упрощению уравнений дви-
§ 14. Уравнения движения для активного участка
71
жения для исследования движения ракеты на активном участке
траектории.
Если пренебречь малыми колебаниями ракеты вокруг
центра тяжести, то движение ракеты будет совершаться
с незначительными угловыми скоростями и ускорениями.
Например, угловая скорость наклона оси ракеты составляет
0,01-1-0,03-^- и изменяется очень медленно, за исключе-
нием отдельных точек. Совсем ничтожны угловые скорости
относительно осей Opcj и О1УР Следовательно, в уравне-
ниях (13.2) можно пренебречь членами, пропорциональными
угловым скоростям и ускорениям, и эти уравнения принимают
вид условий равновесия между аэродинамическими моментами
и моментами от органов управления:
/?'й1(д3-б1) = 0. j
c'y4S(хд — G1 — хт)(61 + бз) = °- > (14.1)
C'y4S (ХД ~ Хт) (<р — 0) + 2/?' (Z1 — Хт) 62 = °- )
На рис. 14.1 для одной из ракет изображены значения
углов отклонения газовых рулей, необходимые для ком-
пенсации аэродинамического демпфирующего момента (6ад),
72
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
реактивного момента (6рд) и преодоления момента инерции (dj).
Как видно из рисунка, все эти углы весьма малы (диапазон
поворота газовых рулей превышает ±20°).
Из тех же соображений можно записывать уравнения
управления (13.5) как условия равновесия между командами,
вырабатываемыми чувствительными элементами системы упра-
вления, и отклонениями исполнительных органов. В первом
приближении отклонения исполнительных органов можно
считать прямо пропорциональными командам, поступающим
от чувствительных органов. Ясног что нулевым командам
соответствуют нулевые отклонения исполнительных органов.
Как показано в § 6, при отклонении оси ракеты вверх
от программного положения на потенциометре гирогоризонта
появляется смещение Дф'. Будем считать, что ему соответ-
ствует пропорциональное отклонение газовых рулей 2 и 4
вниз (которое считаем положительным):
62 = d4 = а0 Дф'. (14.2)
Отклонение оси ракеты влево от заданной плоскости
стрельбы вызывает смещение £' потенциометра на оси
наружной рамки гировертиканта. Считаем, что пропорцио-
нально этому смещению газовые рули 1 и 3 отклоняются
вправо (это отклонение считается отрицательным). Наконец,
при повороте ракеты вокруг продольной оси по часовой
стрелке (смотря по полету) на промежуточной оси гировер-
тиканта возникает смещение потенциометра т]' и, согласно
нашему предположению, это вызовет отклонение газового
руля 1 влево, а газового руля 3— вправо. Считая параметры
системы управления относительно поперечных осей одина-
ковыми, можем записать:
&1 = а0%' -Н ^0т1/» |
бз = —«oV —М'- I
(14.3)
Коэффициенты aQ и Ьо характеризуют чувствительность
системы управления: чем выше их численные значения, тем
больше реакция рулей на отклонения оси ракеты. Они назы-
ваются статическими коэффициентами усиления, так
как характеризуют реакцию рулей на постоянный (или мед-
ленно меняющийся) сигнал от гироприборов.
§ 14. Уравнения движения для активного участка
73
Используя выражения (6.10) — (6.12) для , if и Дф',
запишем уравнения управления ракеты в виде
61 = — а0В +
62 = 64=ЛоДФ-
63 = ЛоВ ^1].
Теперь можно исключить углы отклонения рулей
нений (14.1):
(14.4)
из урав-
= 0,
CyfiS (*Д — Хт) (В — °) + 2/?Л (Z1 — Хт) = °.
CyflS К — Хт) (Ф — °) + 2Z?' (Z1 — *т) а0 ДФ = °"
Первое из этих уравнений дает
4 = 0.
Второе уравнение (14.5) можно преобразовать
образом:
М5(ЛД-Хт)
су, 4s (хд — хт) + 2а0Л' (Zl — Лт)
Наконец, преобразуем третье уравнение (14.5):
tyS(*Д-Л:т) (Ф - 0) + 2a<F (Z1~*t) [(ф~е) — (Фпр-0)] = °-
о.
(14.5)
(14.6)
следующим
(14.7)
ИЛИ
ф—е= >-oz-2aov^7^t/------------~(фпр~0)- (14.8)
cyflS(xn — xT) + 2a0R (Z,—лт)
Если обозначить через А величину
yj __________2a0Rf (Zt хт)_______ (14 9)
c'yfls (*Д - хт)+2йо/?' Ci—*т) ’
то уравнения (14.5) сводятся к уравнениям
ф —0 = Л(фпр —0), (14.10)
£ = (1 —Д)а. (14.11)
т] = 0. (14.12)
Из уравнения (14.10) следует:
Дф = ф —Фпр = —(1 —-4)(фпР—0)- (14.13)
74
Гл. /V. Упрощение уравнений движения
Воспользовавшись этими уравнениями и выражениями (14.4)
для углов отклонений рулей, преобразуем уравнения дви-
жения центра тяжести (13.1):
х — [(Р — Л\р) cos ф — cxqS cos 0 —
—c'vflS (ф—6)sin6+2a0/?'(l — Л)(фпр—6)81пф] —
S Jex Jcx<
У =4 |(Р — Xlp) sin ф — cxqS sin 6 +
(14.14)
4" c'^qS (ф—0)cos 0—2a0R (1 —Л)(фпр—0) cos ф| —
ЯЧ-у
----Jey~Jey>
* = —4((Р~ -Vlp)(l — Л) о — cxqSo —
— c'yiqSAo+ 2a0R' — — jez — Jcz.
В этих уравнениях целесообразно перейти к переменным vt
0 и о, используя соотношения (13.3). Дифференцируя по-
следние, получим
ar = tfcos0 — v0sinO, ]
... .1 (14.15)
у — v sin 0 + ^6 cos 0, J
или. решая относительно v и vti,
v = x cos 04- у sin 0. 1
.. .. } (14.16)
v0 = — x sin 0 + у cos 0. J
Подставим в (14.16) x и у из уравнений (14.14):
V = -уКр— ^ip)008^ - 0) — cxQs 4-
+ 2а0/?' (1 — Л) (фпр — 0) sin (ф — 0)] —
-(7ff+Ax44x)cos0-(-^ ёЧ-Лу+ЛУ) sin 0. (14.17)
V0 = -i- [(Р — X 1р) sin (Ф — 0) + c'yqS (Ф — 0) —
- 2а0/?' (1 - Л) (фпр - 0) cos (ф - 0)] 4-
4- (у g+Jex +Jex) Sin Jey+Л>) 6- (14.18)
§ 14. Уравнения движения для активного участка
75
До сих пор приближенные равенства (11.13) использо-
вались только во второстепенных членах. Чтобы восполь-
зоваться ими в членах, имеющих наибольшую величину
в уравнениях движения, например, в первом члене урав-
нения (14.17), нужно дать себе отчет в величине совершае-
мой при этом ошибки. По таблицам тригонометрических
функций легко убедиться, что, считая cos ау = 1, совершаем
ошибку, не превосходящую
0.1% при ау <2°5,
0.2% » ау <3°5,
0.5% » ау <5°,
1% » ау <8°.
2% » <ху <Н°,
5% ау <18°
Так как для баллистических ракет угол атаки обычно не
превосходит 2-нЗ°, а тяга и лобовое сопротивление рулей
известны с точностью 1-г-2% от величины тяги, то точ-
ность члена (Р — Xlp)cosay почти не пострадает от замены
cosay единицей. Еще мёньшую погрешность дает замена
sinay на ау. Третий член в квадратных скобках в уравне-
нии (14.17) имеет порядок и на том же основании может
быть отброшен (заметим, что это отбрасывание частично
компенсирует замену cosay единицей в первом члене).
В дальнейшем будем пользоваться следующим принципом
упрощения уравнений движения. Если в уравнении содер-
жатся такие члены, абсолютная величина которых меньше,
чем возможная ошибка в главных по величине членах, то эти
члены могут быть отброшены без ущерба для точности
уравнения. Влияние точности уравнения на точность его
решения не исследуем. Рассмотрим с этой точки зрения
члены, учитывающие притяжение и вращение Земли в урав-
нениях (14.17) и (14.18). Точность этих уравнений опреде-
ляется членом (Р—Xx^)lm. который в начале полета ракеты
имеет величину не меньшую, чем ускорение силы тяжести
g0»9,8 MfceK2, а к концу активного участка из-за умень-
шения массы ракеты возрастает в несколько раз. Точность
Гл. /V. Упрощение уравнений движения
этого члена, как уже упоминалось, равна 1-н2%, т. е.
не выше 0,1 м/сек2. В уравнениях (14.17) и (14.18) не будем
учитывать члены меньшие, чем 0,05 м/сек2 или 0,005g*.
Таким образом, членом — g можно пренебрегать при
х < 0,005г, т. е. подавно при х 0,005/? « 30 км, а с учетом
множителей sinO и cosO— и при х < 50 км. Множитель
—при g можно считать равным единице при /?+у>
> 0,995г, или
х2 = г2 — (А? + у)2 < 0,01 г2.
х < 0,1г « 600 км.
Члены jex и Jey представляют собой составляющие век-
тора je, величина которого не превосходит /чо2. Считая
г < 7000 км, получим
je < 7 • 106(7,3 • 10~5)2 < 0,04 м/сек?.
Это значит, что центробежное ускорение при расчете актив-
ного участка можно не учитывать. Наконец, величина уско-
рения Кориолиса jc не превосходит 2<о3^ < 1,5- 10~%. Оно
будет меньше 0,05 м/сек2, если v < ~ 300 м/сек.
Скорость ракеты принимает значительно ббльшие значения,
но составляющая скорости vz = z величины 300 м/сек
обычно не достигает. Поэтому членами с z в выраже-
ниях (1.11) для вектора jc в расчете активного участка
можно пренебречь и пользоваться следующими приближен-
ными выражениями:
jcx = 2<о3у cos <рг sin гр — 2w)3 cos (pr sin гр sin 0,
jcy = —2co3x cos<prsinip= — 2w3cos<prsinipcos0,
j = — 2<o3x sin <pr -J- 2o3y cos cpr cos гр =
= 2w3 (— sin (pr cos 0 + cos <pr cos гр sin 0).
(14.19)
С учетом этих замечаний уравнение (14.17) принимает вид
= ^ip~cxQs>- S sin0 — ~gcos0, (14.20)
§ 14, Уравнения движения для активного участка
77
так как, на основании формул (14.19),
;cxcose-i-/n,sine=o.
В уравнении (14.18) произведем аналогичные упрощения
и вынесем за квадратные скобки величину <р — 0 =
= Д(фПр — 0)—-ау. Разделим затем уравнение (14.18) на v
и найдем:
40 1 ( av Г , , 1 —А1
= *ip+MS-2coK -л-]-^cos6 +
+ — £• sin 0 + 2w3 cos <pr sin ф >»
или, с учетом выражения (14.9),
dti I f ay
dt v I m
— g cos 0 + y- g sin 01 + 2(o3 cos <pr sin ф,
или, окончательно,
dQ 1 Г av / Л —xil \
~at = V К (p- V -
— g-cos 0 +g*sin0j + 2co3cos<prsimp. (14.21)
Уравнения (14.20) и (14.21) могут быть проинтегрированы
совместно с первыми двумя уравнениями (13.3), так как они
образуют систему уравнений первого порядка с четырьмя
неизвестными функциями х, у, v и 0.
К этим дифференциальным уравнениям необходимо доба-
вить зависимости (3.3), (10.20), (11.17), (14.9), (14.10),
(6.16) и (14.4) для определения m, Р, ау, Х1р, причем вели-
чину лобового сопротивления газовых рулей можно считать
постоянной; если же имеются надежные характеристики газо-
вых рулей, то можно учесть зависимость Х1р только от откло-
нения рулей 2 и 4, пренебрегая влиянием очень малых углов
отклонения рулей 1 и 3 на величину общего лобового сопро-
тивления рулей.
Влияние малых периодических колебаний рулей на лобо-
вое сопротивление рулей может быть учтено в среднем.
Среднее значение прироста сопротивления газовых рулей
от колебаний рулей составляет половину прироста от
78
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
постоянного отклонения рулей на величину амплитуды коле-
баний.
После того как рассчитано движение ракеты в пло-
скости Оху, можно определить движение ракеты в боковом
направлении.
Дифференцируя последнее из равенств (13.3), получим
z = — w — w,
или
do •’ dv
dt dt
Подставляя z и из уравнений (14.14) и (14.20), найдем:
V - c^s - - *lp+c'^ A +
+ 2a0/?' (1 - Д)] + g + jez + jcz -
— — — cxqS)4 (gsin e + gcos ej o.
После преобразований, учитывая выражение
az = — Ao,
вытекающее из уравнений (11.18) и (14.11), будем иметь
» = Т [Р - + С ~Г 2»о«'] +
+ yg + Jei + /„+(« sine + igcosejo.
Учитывая сделанные замечания о возможных упрощениях
в последних членах, используя выражение (14.19) для j и
преобразуя квадратную скобку так же, как при выводе урав-
нения (14.21), получим уравнение
= — %! 4- Хд- с' 4- -gsin0 —
dt mv \ 1 Zi—xT yr J 1 v ъ
— 2соз (sin <pr cos 0 — cos срг cos ф sin 0), (14.22)
которое вместе с
-^ = -w (14.23)
§ 14. Уравнения движения для активного участка
79
(см. третье из уравнений (11.4)) служит для расчета боко-
вых отклонений.
Итак, получена наиболее общая для баллистических рас-
четов система уравнений (14.20), (14.21), (13.3), (14.22) и
(14.23). Эта система может быть использована непосредственно
для численного интегрирования лишь тогда, когда известен
ряд конструктивных данных ракеты, а именно:
а) точные законы изменения тяги Р и секундного рас-
хода m в полете;
б) точные значения аэродинамических характеристик (сх,
с', сд) для различных условий полета (7И, Л, а);
в) точные характеристики газовых рулей (/?', Q, Л);
г) параметры системы управления, в первую очередь «про-
грамма» наклона оси ракеты (q)np) и коэффициент пропорцио-
нальности между средним отклонением оси ракеты от положе-
ния, предписываемого ей системой управления, и средним
отклонением газовых рулей (aQ).
Кроме того, предполагается, что расчет производится для
определенного положения точки старта и направления стрельбы
(<Рг. ’!’)•
На первых этапах проектирования ракеты перечисленные
конструктивные данные известны лишь очень приближенно
или неизвестны совсем. Их уточнение возможно только на
основании ряда лабораторных, стендовых и летных испытаний
ракеты и ее агрегатов. Эти испытания и все проектирование
ракеты в целом должны базироваться в свою очередь на
предварительных расчетах траекторий, которые выполняются
на основе более или менее упрощенных уравнений движения.
В этих предварительных расчетах обычно не представляет
особого интереса влияние вращения Земли на траекторию,
поскольку главной задачей является определение средних
значений летных характеристик ракеты.
Нашей ближайшей задачей будет составление упрощенных
уравнений движения, которые соответствовали бы тому или
иному наличию исходных конструктивных данных и степени
их точности. Вращение Земли учитывать не будем, зная, что
в случае необходимости оно может быть учтено введением
о , dQ
члена 2(o3cos<prsini|) в уравнение для и члена
80
Гл. /V Упрощение уравнений движения
— 2co3(sinq)rcos0 — cos<prcosi])sin0) в уравнение для
Тогда уравнение (14.22) при начальных условиях | = о=0
при t = 0 дает для всего активного участка о — 0, поэтому
в дальнейшем не будем писать уравнений для о и z, подра-
зумевая. что движение совершается в плоскости Оху. При этом
угол а2 обращается в нуль, а угол ау совпадает с углом
атаки а. В дальнейшем будем пользоваться обозначением а
вместо ау.
Сравнительные расчеты траекторий и некоторые теорети-
ческие соображения показывают, что изменение формы актив-
ного участка траектории, т. е. изменение зависимости 0 от Л
оказывает сравнительно малое влияние на скорость ракеты
в момент выключения двигателя и на полную дальность полета.
Поэтому, когда главной задачей является определение дально-
сти, упрощение уравнений движения можно допускать главным
. rfO
образом за счет уравнения для .
В частности, если нет данных о величине коэффициента а0,
характеризующего чувствительность системы управления ра-
кеты, можно считать систему управления «идеальной», что
соответствует бесконечно большому значению коэффициента
а0. Переходя к пределу в уравнении (14.8) при я0—>оо,
получим
а=ф- е = фпр — е. (14.24)
и уравнения движения принимают вид
= 7Г <р — *1p — — S sin 6 — у- g cos е.
~dt
dx
~dt
dy . o
—< = t/sinO.
Если необходимо определить программный угол отклонения
газовых рулей б2, то можно, воспользовавшись последним из
§ 14. Уравнения движения для активного участка
81
соотношений (14.1), получить выражение
Z/\ \l 1 --Х^)
(14.26)
Если теперь учесть, что при о0->оо в пределе оказывается
<р = (рпр, как это вытекает из соотношения (14.24), то выра-
жение (14.26), примет следующий вид:
= - С2^^-Д3Л)т)- (<Рпр ~ 6)- (14.27)
Система (14.25) наиболее употребительна в тех случаях,
когда производится поверочный расчет траектории с целью
определения параметров движения ракеты и нагрузок, дей-
ствующих на ракету на активном участке.
Если форма траектории, т. е. зависимость угла наклона
касательной 0 от времени полета, заранее задана, то в си-
стеме (14.25) следует совместно интегрировать только первое
и два последних уравнения с искомыми функциями V, х и у.
Второе уравнение этой системы может служить для опреде-
ления угла атаки
( dQ । о х . '
m lv‘2r + ^cosе~7~£s,ne
(14.28)
Угол наклона оси ракеты определяется при этом по формуле
<р = е + а. (14.29)
Отсутствие точных значений аэродинамических коэффи-
циентов и центровки ракеты сказывается сильнее всего при
определении угла наклона касательной 0 из уравнения для
, в котором член, зависящий от 1Л — хд, 1Х — хт и с'
является главным по величине. Естественно, что при этом и
угол атаки а определяется неточно. Так как угол атаки ракет
дальнего действия обычно в полете мал, можно, пренебрегая
им, рассчитывать траекторию по уравнениям, получаемым из
6 Р. Ф- Аппазов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
82
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
(14.25) при 0 = <рпр этом случае можно пренебрегать и
х \.
членом — g I:
(Р — *1Р — cx4s) — g sin q)np,
~sr = vcos<{>np,
dy
-f = ™n<|)np.
(14.30)
Практически возникающая при этом ошибка в ускорении
ракеты меньше, чем ошибка за счет неточности на 10-?-20%
в значении коэффициента лобового сопротивления.
Систему (14.30) следует применять для всех проектиро-
вочных расчетов, для дальнейшего упрощения уравнений
движения, для оценки влияния на движение ракеты различных
факторов, мало связанных с формой траектории, и в дру-
гих случаях, не требующих особой точности.
§ 15. Уравнения движения для участка
свободного полета
При решении основной задачи баллистики предполагается,
что ракета совершает свободный полет с углом атаки, равным
нулю. Отсюда следует, во-первых, что на ракету действуют
лишь две силы из всех рассмотренных нами: сила тяжести
и сила лобового сопротивления. Во-вторых, отпадает надоб-
ность в уравнениях движения вокруг центра тяжести. Следо-
вательно, уравнения движения (13.1) для участка свободного
полета принимают вид
х = — i cos 0 - у g — Jex — Jcx,
У = - н cx4S Sin0 — ^±2Jev _ jcyt
"z = i c — -J- g — jei —
(15.1)
где -у. 0 и о определяются соотношениями (13.3). Последние
§ 15. Уравнения для участка свободного полета
83
можно переписать так:
cos 0 — ,
v
sin0=-^,
V
(15.2)
Учитывая, что q = , и используя выражения (1.9) —
(1.11), запишем уравнения движения для участка свободного
полета в следующем виде:
X — <0* {[Х COS <рг COS 1]) +
+ (^ + y)sin<Pr— £COS<prsiniH cos фг cosip— xj —
— 2©з (vy cos фг sin ip -j- vz sin фг),
dvv «S g
= —Т(/? + У) —([xcosq)rcos4 +
+ (Я + У)81пфг— 2cos<prsini|)]sin<pr — (/?-1-y)) -j-
+ 2(дз (vx cos <pr sin ip + vz cos <pr cos ip),
— y- z — <4 {— [X COS <pr COS Ф 4-
+ (/? + y) sin фг — z cos фг sin ip] cos фг sin ip — z] +
+ 2(оз (^ sin фг — vy cos фГ cos ip),
или окончательно в следующем виде, более удобном для
расчетов по ним:
= — kcx vvx — х + апх + «12 (А+у) 4-
ui *
+ °1зг+bwPy + bi3vz>
dvv р g
= _ kcx — — (fl 4- y)4- a21x +
4" ®22 4~ y) H“ G232 + bziVjc 4“ ^23Vz •
== — kcx vvz — Z 4- «31Х 4- 032 (A 4- y) 4-
4- a^,z 4- btfox 4- b^x,
(15.3)
6*
84
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
где
ь—Sp0 .
2т'
дп = 0)2 (sin2 <рг + cos2 <рг sin2 ф),
«12 = «21 = — (О2 sin <рг COS (рг cos ф,
«1з =-- а.л — а^ cos2 <рг sin ф cos ф,
«22 = й)3СО82Фг’
аю = а32 — sin <рг cos <рг sin ф,
йзз = (sin2 % 4“ cos2 Фг cos2 4)'-
f>i2 = — #21 — — 2®з cos <pr sin -ф»
*13 = — bsi = — 2(°з sin q>r.
#23 =---#32 — 2tt>3 cos <pr COS ф
(15.4)
(15.5)
(15.6)
— постоянные для данной траектории коэффициенты.
Уравнения (15.3) вместе с уравнениями
dx
~dt
dt
(15.7)
dz
~dt
должны применяться в тех случаях, когда необходимо про-
извести расчет траектории с большой точностью, например
при составлении предварительных таблиц стрельбы для летных
испытаний ракеты.
Надо иметь в виду, что при определении дальности полета
точность расчета участка свободного полета имеет гораздо
большее значение, чем точность расчета активного участка.
Действительно, отклонение от расчетной траектории, которое
ракета имеет в конце активного участка, в большей или
меньшей степени компенсируется системой управления,
а именно, прибором, выключающим двигатель. Настройка
этого прибора производится исходя из расчета траектории
свободного полета. Таким образом, главными факторами,
влияющими на совпадение расчетной и фактической дальности,
§ 15. Уравнения для участка свободного полета
85
являются совершенство системы управления и точность рас-
чета участка свободного полета.
С другой сторону, возможности точного расчета траек-
тории для свободного полета значительно больше, чем для
активного участка, так как большая часть свободного полета
лежит в настолько разреженных слоях атмосферы, что един-
ственной силой, подлежащей учету в уравнениях движения,
является сила тяжести, которая известна с большой точ-
ностью. Если учесть сплюснутость Земли, можно определить
ускорение силы тяжести g с точностью порядка 0,0004%.
Сделанное нами допущение о сферичности Земли значительно
снижает точность, с которой определяется ускорение силы
тяжести» что видно из табл. 16.1. В этой таблице через R
обозначен средний радиус Земли, а через R' — истинное
расстояние точки от центра Земли.
Таблица 15.1
АГо fM r2 /М /м R'2 /м R’2 e°
0° 9,814 9,820 0,006 9,798 -0,016
30° 9,819 9,820 0,001 9,815 —0,004
60Q 9,828 9,820 —0,008 9,848 0,020
90° 9,832 9,820 —0,012 9,864 0,032
Отсюда видно, что формула
обладает точностью порядка 0,01 м/сек2, или 0,1%. Кроме
того, табл. 15.1 показывает, что величину г целесообразно
вычислять по формуле
г = Я-|-/г,
где h — фактическая высота точки над поверхностью Земли.
Если же под г понимать истинное расстояние точки от
центра Земли, то точность формулы (15.8) снизится почти
в гри раза.
Итак, точность правых частей системы (15.3) не пре-
восходит 0,01 м/сек2, и мы имеем право пренебрегать в них
членами меньшими, чем эта величина.
86
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
Поскольку величина коэффициентов alk не превосхо-
дит членами вида аах и ai3z можно пренебрегать при |х|
или |z|< WL «2- 106 л/ = 2000 км. Членами с коэффи-
©з
циентами blk можно пренебрегать, если абсолютная величина
соответствующей составляющей скорости не превосходит
0,01 0,01 -п .
----—г = -х— » 70 мсек.
шах | bik I 2©з '
Этому условию для ракет дальнего действия может удовле-
творять только составляющая скорости vz.
В члене — х можно заменить г на /?, если
т. е. при
|ХЛ| <^L
и подавно при
I xh I < « 40 ООО «з«2,
1 1 g
что имеет место по всей траектории для дальностей стрельбы
до 500 км. Аналогично можно считать, что
при
| zh | < 40 000 км2.
Во всех членах, содержащих г, можно заменять его через
/? + у, если + -- > 0,999 (исходя из точности 0,1%),
а это выполняется, если
(Z? + у)2 > 0,998г2,
х2 < 0,002г2,
х < 0,045г
и тем более, если х < 0,045/? ~ 280 км.
Перейдем теперь к упрощению уравнений для участка
свободного полета. Выше уже говорилось, что для расчета
средних летных характеристик ракеты вращением Земли можно
§ 15. Уравнения для участка свободного полета
87
пренебречь. При этом члены, учитывающие вращение Земли,
лучше не просто отбросить, а заменить их средними значе-
ниями. Сначала вычислим средние значения коэффициентов aik
и bik для произвольной точки старта на поверхности земного
шара, меняя азимут стрельбы ф от 0 до 2л. Эти средние
значения коэффициентов будем отмечать штрихами. Вычи-
сляются они по формулам
2л
<4 J “***’
о
Z, А=1, 2, 3.
Вынося за знак интеграла не зависящие от ф множители,
видим, что вычисление коэффициентов сводится к вычисле-
нию интегралов
2л
J с?ф = 2л,
о
2Л 2л
| sini|>di|)= J cosi|>di|)=0,
о о
2л 2л
J 51П2Ф^Ф=| СО82Ф^Ф= Л,
О О
2Л
J sin ф cos ф ^ф — 0.
о
Таким образом,
— ^3 = ^31 = 2o3sin(Pr’
^12 ~ ^21 = ^23 = ~ 0'
(15.9)
(15.10)
88
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
Теперь найдем средние значения а"к и bnik коэффициентов
aik и ^'ik (это будут в то же время средние значения коэф-
фициентов а1к и bik) по всей поверхности земного шара S.
Эти средние значения равны
п ___ S
atk S
2л Л/2
J (Гк J а’1к cos ф б/ф
О -л/2________________________
2л Л/2
[ (Tk |* cos ф dy
л/2
2л J а\к cos ф б?ф
—Л/2_______________
4л
О
-Л/2
или, окончательно,
л/2
<4 = у J a'ikCOSfS>d^
—Л/2
Вычислив определенные интегралы
Л/2
Г 2
sin2<pcos<pdq) = -o-,
V
-я/2
л/2
f о . 4
cosd q)d(p =,
- л/2
Л/2
J* sin<pcosq)d(p=01
-л/2
найдем значения интересующих нас коэффициентов
4=4 = »i=T^ = 3-545'
°12 = й13 = Й21 = °23 = °31 ~ й32 ~ О’
=0.
(15.11)
J 15. Уравнения для участка свободного полета
89
Следовательно, среднюю дальность полета ракеты можно
определять интегрированием системы
dvx _ dt " - kc, — w, — x Po x (f -|<ol)x.
dvy dt . p - kc,— — x Po y (1 —-|fi)2)(/?+y), (15.12)
— kc„ — vv9— I
dt xPo z ’ 3 з)
вместе с уравнениями (15.7).
Последние уравнения систем (15.7) и (15.12) показывают,
что при начальных условиях z — О и 1^ = 0 эти равенства
будут выполняться по всей траектории, т. е. средняя траек-
тория ракеты лежит в плоскости Оху. Таким образом, на-
добность в уравнениях для z и vz отпадает.
Система (15.12) несколько упрощается при переходе
к полярным координатам, т. е. при замене координат по
формулам
х= г sin х,
R + у — г cos х»
(15.13)
где х—центральный угол, образованный лучами, проведен-
ными из центра Земли в точку старта и к ракете, иначе
говоря, угол между радиус-векторами точки старта и ракеты.
Дифференцируя соотношения (15.13), найдем:
х = г sin х + ГХ cos X’
У =r cos х ~ rxsinx;
(15.14)
x = rsinx + 2rxcosx — С? sin % Ч-rxcosx. | z<r_ >еч
.... . . • .. । (15.15)
у = rcosx —2r xslnX — ПС2 cos X ~~ rX s*n X- J
Из уравнений (15.13) — (15.15) вытекают следующие соот-
ношения:
х sin х + (Я + у) cos х = г.
х cos х — (R + у) sin х = 0;
х sin х + У cos X — r ’ |
xcosx — у sinx= q; J
xsinx-bycosx = r — rx2-
xcosx — у sinX = 2rX + rx
(15.16)
(15.17)
(15.18)
90
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
Подставляя в соотношения (15.18) х и у из уравнений (15.12)
и пользуясь соотношениями (15.16) и (15.17), получим си-
стему уравнений движения в полярных координатах:
Г — гу? = — kcx ?- vr — g + 4 (H23r.
r'i-\-^ry = — kcx^- vry.
(15.19)
Скорость v на основании уравнений (15.14) выражается че-
рез г и X так:
tf2 — х2 у2 — г2 (гх)2-
(15.20)
Высота h и дальность полета по дуге земной поверхности
даются выражениями
h— г — R,
l = Ry.
(15.21)
(15.22)
Наконец, если высота полета настолько велика, что со-
противлением воздуха можно пренебречь, система (15.19)
приводится к виду
/x4-2rx = o.
2 2
1Г®з‘
(15.23)
или, с учетом выражения (15.8),
• 9 /АТ I 2 О
/.-ГХ^-^-Н-д-СОзГ,
^(r2X)=0.
(15.24)
Второе уравнение (15.24) написано на основании равенства
г(а+ 2гх) = -^ (^Х)- (15.25)
Если в первом из уравнений (15.24) пренебречь членом
2 о
что приведет, очевидно, к незначительному умень-
шению расчетной дальности по сравнению с истинной, то
§ 16. Уточнение уравнений движения
91
получится система уравнений
4 <'•*=<>•
(15.26)
легко интегрируемая в общем виде. К этой же системе при-
дем, если будем рассматривать не относительное, а абсолют-
ное движение ракеты на больших высотах, т. е. движение
в инерциальной системе координат, начало которой движется
вместе с центром Земли, а оси сохраняют неизменное на-
правление в пространстве.
Абсолютное движение ракеты складывается из вращения
Земли и относительного движения ракеты. При движении
на большой высоте, где аэродинамические силы пренебре-
жимо малы, проще определять относительное движение не
непосредственно при помощи уравнений (15.3), а пользуясь
абсолютным движением, которое описывается простыми ура-
внениями (15.26). Подробнее эти вопросы разобраны в гл. V.
§ 16. Уточнение уравнений движения
В предыдущих параграфах, говоря о земной системе ко-
ординат, мы не различали двух возможных положений этой
системы. В § 1, например, подразумевалось, что ось Оу
направлена по радиусу Земли, в других местах, в частности,
в § 2 и 6, предполагалось, что в момент старта направ-
ление оси Оу совпадает с направлением продольной оси
ракеты, т. е. с направлением отвеса. При первом предполо-
жении плоскость Oxz касается поверхности сферы с центром,
совпадающим с центром Земли, а при втором она является
касательной плоскостью к фактической поверхности земного
сфероида.
Отклонение линии отвеса от радиуса Земли вызвано, во-
первых, тем, что на тело, покоящееся у поверхности Земли,
кроме силы притяжения mg, действует центробежная сила
/и©| R costpr, направленная по перпендикуляру к оси враще-
ния Земли. Равнодействующая этих сил mgf представляет
собой силу тяжести, а ее направление является направлением
отвеса. Как видно из рис. 16.1, это направление образует
92
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
с направлением силы притяжения угол у', величину которого
легко определить по теореме синусов
sin у' ________________________ sin <рг
т©| 7? cos фг mg
Центробежная сила мала по сравнению с силой тяжести (не
больше 0,35% последней), поэтому и угол у' мал и с до-
статочной точностью можно считать, что он равен
©о/? ©|/?
= —sinq>rcos<jpI. = -^-sin2q)r. (16.1)
Максимальное значение угла у' составляет (для широты 45°)
©о/?
у' = = 0,00173 = 6 .
’ max 2g
Во-вторых, само направление силы притяжения не совпа-
дает с радиусом Земли, а вследствие отклонения формы
Земли от сферической об-
________ разует с радиусом Земли
1<рг (точнее, с прямой, соеди-
няющей данную точку с
УуцЧ центром Земли) угол у".
/ N. В результате линия отве-
//// \ са отклоняется от радиуса
/ / I/ \ Земли на угол
лу' \ У~У' 4-Y"- (16.2)
у V4________________________I___ Величина угла у легко
и определяется из условия,
что линия отвеса нормаль-
Рис. 16.1. на к поверхности земного
сфероида. Если принять
последний за эллипсоид со сжатием а — * Q (эллипсоид Кра-
2Уо,о
совского), то для угла у можно получить выражение, точное
до величин порядка а2,
y = asin2(jpr. (16.3)
Угол у имеет на широте 45° максимальное значение, равное
Утах = а= 0,00335= 11',5.
$ 16. Уточнение уравнений движения
93
Таким образом, у поверхности Земли центробежная сила,
обусловленная вращением Земли, дает такой же эффект, как
и сплюснутость Земли.
Сохраним обозначение Oxyz за жестко связанной с Зем-
лей системой координат, у которой начало расположено
в точке старта, ось Оу направлена вверх по вертикали —
прямо противоположно силе тяжести, а ось Ох, лежащая
так же, как ось Oz, в горизонтальной плоскости, образует
с плоскостью стартового меридиана угол ф. Этот угол назы-
вается азимутом прицеливания. Такую систему координат
будем называть стартовой, поскольку на старте связанные
оси ракеты ориентируются по осям стартовой системы,
а именно, ось О^ совмещается с осью Оу, ось на-
правляется в сторону, прямо противоположную оси Ох, и
ось Otzt направляется параллельно оси Oz. Следовательно,
и оси гироприборов на старте ориентируются по осям стар-
товой системы: ось вращения гироскопа гирогоризонта — по
оси Ох, а ось вращения гировертиканта—по оси Oz.
Вторая неточность, которая допускалась до сих пор, за-
ключается в утверждении, что оси вращения гироскопов
гироприборов остаются параллельными осям земной системы
координат. В действительности они остаются параллельными
тем направлениям, которые имели соответствующие оси стар-
товой системы в момент пуска. А оси стартовой системы,
будучи жестко связанными с Землей, поворачиваются за
время t на угол <±>з/ вокруг оси вращения Земли. За одну
минуту угол достигает величины 15'.
Положение осей стартовой системы в момент пуска будем
обозначать индексом «О». Итак, будем пользоваться тремя
системами координат: связанной O1xly1z1, стартовой Oxyz
и начальной стартовой Ox^y^z^.
Все изложенное в § 6 остается справедливым, если вместо
земной системы воспользоваться начальной стартовой систе-
мой координат. В частности, углы ср, £ и т] должны также
отсчитываться по отношению к начальной стартовой системе.
Следовательно, табл. 2.1 направляющих косинусов справед-
лива для осей связанной системы координат по отношению
к начальной стартовой системе (табл. 16.1).
В дальнейшем всюду будем пренебрегать квадратами и
попарными произведениями углов у, со3£ и других малых
углов. Легко убедиться, что направляющие косинусы между
94
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
Таблица 16.1
Охо ОУо OzD
Otxt cos ф sin ф
Otyi — sin <р COS ф Л
Oiz, g cos ф Л sin ф g sin ф — т] cos ф 1
осями начальной стартовой и стартовой систем координат
будут определяться табл. 16.2.
Таблица 16.2
Ox Oy Oz
Ох0 1 o3t COS фг sin ф G)3t sin фг
ОУо — (d3t cos фг sin ф 1 — (i)3t COS фг COS ф
Oz0 — <d3t sin фг COS фг COS ф 1
Введем обозначения для малых углов в табл. 16.2: ух = o)3t cos <рг cos ф, Y2 = ®3Zsin%- у3 = — со3/ cos срг sin ф. , фигурирующих (16.4)
При этих обозначениях табл. 16.2 примет следующий вид
(табл. 16.3):
Таблица 16.3
Ox Oy Oz
Ox0 1 -Y3 Y2
OyB Уз 1 — Yi
OZg — Y2 Yi 1
§ 16. Уточнение уравнений движения
95
Сопоставляя таблицы 16.1 и 16.3 (перемножая матрицы),
получим значения направляющих косинусов между осями
Таблица 16.4
Ох Оу Oz
cos (ф — у3) sin (ф —Уз) у2 cos ф — У1 Sin ф — I
О,у, — sin (<р — уз) COS (ф —Уз) —Yi cos Ф—Y2 sin ф-J—т]
Otzv g cos ф -|- *4 sin ф—У2 g sin ф—т] cos ф-j-Yi 1
стартовой и связанной систем координат (табл. 16.4). Здесь
на основании малости угла у3 было принято, что
siny3 = y3, cos уд =1
и, следовательно,
cos (ф — Уз) — cos <р + Уз sin ф,
sin (ф — у3) = sin ф — уд cos ф.
Как уже было отмечено, отклонение линии отвеса от
радиуса Земли вызывается почти в равной степени центро-
бежной силой, обусловленной вращением Земли, и сплюсну-
тостью Земли. Следовательно, учитывая это отклонение и
определяя его величину по формуле (16.3), мы обязаны в то
же время учесть отклонение ускорения силы притяжения
Земли от закона, выраженного формулой (15.8).
Известно, что ускорение земного притяжения с точностью
до величин порядка сжатия Земли а может быть разложено
на две составляющие:
радиальную
ёг= --------£-(381п2фц— 1)
и меридиональную
2ц .
^т = ^81ПфцСО5фц,
где г — расстояние рассматриваемой точки от центра Земли;
Фи — геоцентрическая широта точки; fM = 3,9862 X
X Ю14л*3/тс2 — произведение гравитационной постоянной на
96
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
массу Земли; pi = f Ма2 --------gj — 26.245 • 1024 мъ/сек2\
©qO3
т = yjj-----отношение центробежного ускорения к ускоре-
нию силы тяжести на экваторе.
Радиальная составляющая gr направлена к центру Земли,
меридиональная gm перпендикулярна к ней, лежит в пло-
скости меридиана и направлена в сторону экватора (рис. 16.2).
Целесообразно разложить вектор gm на две (неортого-
нальные) составляющие gf и g& в направлении радиуса ОА
и оси вращения Земли ON. Из треугольника АВС можно
получить для этих составляющих выражения
g' = gm фц = S'"2 Фц.
1 2|Л .
^(0 — ёт cos фц Г4 Sin <Рц’
(16.5)
Составляющая gf действует в направлении, прямо про-
тивоположном направлению радиального ускорения gr. Эти
две компоненты ускоре-
ния можно объединить в
одном выражении
—-£-(5sin2<pu—1).
(16.6)
Таким образом, при
составлении уравнений
движения с учетом сплюс-
нутости Земли надо
учесть две составляющие
ускорения земного при-
тяжения: gr. направленную к центру Земли, и g^ направлен-
ную параллельно оси вращения Земли. Уравнения движения
выведем заново, повторив путь, уже проделанный в § 11—14.
В качестве основной будем пользоваться стартовой си-
стемой координат. Углы био будут определять направление
касательной к траектории в этой системе. Следовательно,
§ 16. Уточнение уравнений движения
97
формулы (11.1) и (11.2) и все из них вытекающие, в том
числе (13.3) и (14.16), останутся в силе.
Направляющие косинусы силы тяги и сил от органов
управления в стартовой системе координат могут быть най-
дены из табл. 16.4, так как эти силы действуют по осям
связанной системы координат. Две составляющие силы зем-
ного притяжения имеют направляющие косинусы, предста-
вленные в табл. 16.5.
Таблица 16.5
Ох Оу Oz
х — хс у —Ус Z~ZC
г г г
&3х С03 1 G)3
В этой таблице хс, ус, zc — координаты центра Земли
в стартовой системе координат. Они могут быть вычислены
по формулам
хс — rosin усоэф,
Ус=~ 'оcosy.
zc~ — rosin у sirup,
(16.7)
где г0—расстояние точки старта от центра Земли. С по-
грешностью, имеющей порядок а2, справедливы следующие
формулы:
г0= л(1 —asin2cpr); (16.8)
хс = аа sin 2<рг cos ф,
Ус = —0(1 — asin2<pr).
zc = — ca sin 2<pr sin ф.
(16.9)
Величина составляющих силы земного притяжения, фигу-
рирующих в табл. 16.5, определяется с помощью формул
(16.5) и (16.6). Входящие в эти формулы величины г и фц
7 Р. Ф. Апл азов, С. С. Лавров, В П. Мишин
98
Гл. /V. Упрощение уравнений движения
определяются по формулам
Г = V(X - Хс)2 + (У - у,)2 + (Z - Zcy (16.10)
И
sin m —• «О — (Л ~Хс)+ (у ~ Уе)°3У + (г ~°>3г- Г“
3 rai3 г
(16.11)
где го — проекция радиуса-вектора г на ось вращения Земли,
выражающаяся формулой
г _ (х - хс) <°За + (У ~ Ус) <%, + (* " 10ч
г*> о3 • UO.iz;
Формулы для определения составляющих вектора угловой
скорости вращения Земли по осям стартовой системы коор-
динат не отличаются от выведенных в части первой:
(о3х — со3 cos <рг cos ф,
<% = °>3Sin(Pr’
co3z = — о>3 cos фг sin ф.
(16.13)
Для определения аэродинамических сил и моментов можно
по-прежнему использовать векторные формулы (11.7)—(11.10)
и вытекающие из них формулы (11.19) и (11.20), причем
в последних
ау = — я0 • = cos 0 sin (ф — у3) — sin 0 cos (ф — у3) 4“
+ о (— Yi cos ф — y2 sin ф + т]) ж
~ sin(ф— у3 — 0) ^ф - у3~ 0,
аг = — cos 0 cos ф т] sin ф — У2) “Ь
4- sin 0 (| sin ф — т] cos Ф 4- Yi) — о «
« £ cos (ф — 0) 4- г] sin (ср — 0) 4- Yi sin 0 — у2 cos 0 — о.
Последнюю формулу, поскольку угол ф — 0 мал, можно
переписать в виде
а2 = £ — о 4- Yi sin 0 — у2 cos 0.
Направляющие косинусы моментов МаУ1 и Л4аг1 совпа-
дают с составляющими векторов и 2^ (табл. 16.4),
Таблица 16,6
Сила Величина Косинус угла с осью
Ox Оу Oz
Вес Лобовое со- противление Подъемная сила Подъемная сила Осевая сила от газовых ру- лей Боковая сила от газовых рулей 2 и 4 Боковая сила от газовых рулей 1 и 3 Тяга сТоэ 1 «X 1 со 1 N -f- S + + d — , СЯ •—< о ~ V. з 'а. t? ‘S- % Су - Y g £ CM .« о и и и и и и x 11 11 ! •- 3 > . .** S-T" a. a. II О О N- Q, * — *с Г -®3х/®3 — cos 0 — sin 0 —(Л-•Yl COS ф—у2 81Пф) х х sin 0 + о cos (ф — уз) — cos (ф — Уз) — sin (ф —Уз) g cos ф + т] sin ф — у2 cos (ф — Уз) У~Ус г — ®3у/®3 — sin 0 cos 0 (т]~Yi cos ф— у2 sin ф) < х cos 0 — о sin (ф — уз) — sin (ф—Уз) cos (Ф —Уз) g Sin ф — Г| COS ф + У! sin (Ф —Уз) 2 — ?с Г “<W®3 О Л—Yi cos 0—у2 sin 0 —1 В4-У1 sin ф—у2 cos ф Г|—У] СО5ф—у2 31Пф 1 — g — Yl sin ф + у2 COS Ф
§ 16. Уточнение уравнений движения
100
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
Таблица 16.7
Момент Величина Косинус угла с осью
O^j
Аэродинамиче- ский момент ^ау, = — cyflS (хд—хт) аг 0 1 0
Аэродинамиче- ский момент ~ (Хд Лт) ау 0 0 1
Момент газовых рулей 1 и 3 относительно оси О1Х1 = R'h^ (б3 dj) 1 0 0
Момент газовых рулей 1 и 3 относительно оси 0^ = 0 1 0
Момент газовых рулей 2 и 4 относительно оси Otzt . . . AfZ( = -2fl' (/j-xT)d2 0 0 1
а направляющие косинусы сил Yy и Yz—с направляющими
косинусами векторов
— ©° X —
= — cos 0
£ cos (р + т] sin ф — у2
У
sin0
| sin <р — т) cos <р -J- Yi 1
rs — sin 6x° -|- cos 0y° + (t] — Yi cos 6 — Y2 s'n ®)
и
—®°xy=
x° У z°
= — cos© sin© —о «
— sin(<p — Y3) cos(<p—Y3) —YiC0S(P—Y2sin’P4-'rl
₽» — l(t] — Yicos Ф — Y2 sln Ф) sin G -j- о cos (<p — Ya)l & +
+ 1(4 — Yicos Ф — Y2 sin Ф) cos ® — о sin (<p — Ya)l У —
— cos(q> —y3 —0)«°.
ff 16. Уточнение уравнений движения
101
Здесь можно принять cos (ф — у3 — 0) = cos ау = 1. Оба
вектора X Z? и можно, как и в § 11, считать
единичными.
Теперь можно заново переписать таблицы сил и момен-
тов, действующих на ракету (таблицы 16.6 и 16.7), причем
демпфирующие моменты учитывать не будем. Отсюда при
тех же допущениях, что ив§13и14, получим следующие
уравнения движения:
я»(*+Лж+Лж)=—m -у-С*—х44-^-«3л
I w3
— cxqS cos 0 — (ф — Y3 — 0) sin 0 -j-
H- (P — A'jp) cos (<p — Уз) — гЯ'&г sin (<p — y3),
- I F P I
m (У 4- 7ey 4- 7ry) = — m I-7- (y — Ус) + ®3 J —
— cxqS sin 0 -|- c'yflS (ф — y3 — 0) cos 0 -|-
4- (P — Xlp) sin (ф — y3)+2P'&> cos (ф — уз).
m(z + Jez + Jez) = — m ~(z — 2c)4-^-(D3 ] 4-
4- cxqSo — c'y qS (S, - о + Yj sin 0 — y2 cos 0) —
— (P — Xlp) (g 4- Yi sin ф — y2 cos ф) 4- P' (6j 4- 63),
Р'й1(63-61) = 0,
— c' qS (хл — хт)(£ — о4- Y! sin 0 — y2 cos 0)+
4-P'(/i-xt)0i4-^) = O.
~ c’yflS (*« — хт) (Ф — Y3 — 0) ~ 2/?' ft “ *T) \ = 0-
102
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
Формулы (14.4) для углов отклонения рулей остаются
в силе и, испсльзуя их, получим:
X = [(Р — X 1р) cos (ф — у3) — C^S cos е —
— tyS(ф — У3 — 0) sinе — 2a0R' Дфsin (ф — у3)| —
Sr f К
— — (х — хе) — — <о3х - Jex - Jcx,
у = -i[(P — X 1р) sin (Ф — Уз) — cxqS sin 0 +
+ cy<ls (<Р — Y3 — 0) cos о + 2й0/?' Дф cos (Ф—Y3)] —
Sr z x Sai
- — (У — Ус) - - Jey — Jcy’
z = — ^ [(/>—ATlp 4- c'^qSyt, + у18!пф-у2С08ф)—
— (Cy, + Cx) 4So + —
~—(x~zc)~ — ®32- jez- Jcz
и
т] = 0,
(16.14)
cy^5 (ХД — о (s — ° + Y1sin 0 — Y2 cos 0) +
+ 2a0/?'(/1— xT)£ = 0,
cyflS (хд ~ хт) (<₽ — Y3 — 0)+2co/?' (zi ~ *T) = 0.
Упрощая эти уравнения подобно тому, как при выводе за-
висимостей (14.10) — (14.13), получим:
Л — о,
az = — А (о — Yj sin 0 + у2 cos б)>
g = (1 — Л) (о — Yi sin 0 + Y2 cos 0);
ay = Л(фпр —уз —0),
Дф = — (1 — Л) (фпр — уз - 0),
(16.15)
(16.16)
$ 16. Уточнение уравнений движения
103
где через А по-прежнему обозначена величина
_____________2zzpZ? (/j хт)
2a0R'{lx— jct)4-c'9S(
•Д
(16.17)
Полученные уравнения отличаются от уравнений § 13 и 14
наличием членов, содержащих коэффициент р (в компонентах
ускорения силы тяжести), и членов, зависящих от углов
Yi, у2 и у3 (в уравнениях движения вокруг центра тяжести).
Учитывать эти члены необходимо не всегда. Группа членов,
содержащих yv у2, у3, характеризует поведение гироскопов
по отношению к системе координат, вращающейся вместе с
Землей. Учет этих членов дает при расчете активного уча-
стка примерно тот же эффект, что и учет ускорения Корио-
лиса, и должен производиться во всех тех случаях, когда по-
следнее принимается во внимание. При расчете участка сво-
бодного полета эта группа членов, естественно, теряет смысл.
Учет в уравнениях движения членов, зависящих от р,
дает результат одного порядка с учетом центробежного
ускорения. При расчете активного участка и участка сво-
бодного полета для дальностей порядка нескольких сотен
километров этими членами наряду с центробежным ускоре-
нием можно пренебрегать. Такое допущение равносильно
тому, что поле силы тяжести принимается центральным и
чисто ньютоновским: ускорение силы тяжести оказывается
обратно пропорциональным квадрату расстояния от притя-
гивающего центра, расположенного на оси Оу.
После этих замечаний напишем уравнения движения для
активного участка и для участка свободного полета.
Для активного участка в стартовой системе координат
получим с помощью тех же преобразований, что в § 14,
следующие уравнения:
— Х*₽ — g sin 6 — у g c°s0.
(16.18)
— ^cosB-|- у g-sin6 | -|- 2(03cos(prsinip,
104
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
= v|-S-[P- *>p+ i -x ^1 +
+ gxjsin 01 — 2соз (sin (pr cos 0 —
— cos <pr cos ф sin 0),
dx а
= v cos 0,
dt
^sinO,
dt
dz
-dt=-w'
(16.18)
причем для определения углов av и а2 служат соотношения
(16.15) — (16.17), а углы ур у2, у3 определяются по фор-
мулам (16.4). Ускорение силы тяжести g рассчитывается по
формуле
R2
(16.19)
Ускорение силы тяжести у поверхности Земли gQ целесооб-
разно определять в зависимости от географической широты
точки старта по формуле
gQ = 9,78054- 0,0519 sin2<рг. (16.20)
g
Уравнения движения для участка свободного полета в
стартовой системе координат при тех же допущениях (для
малых дальностей полета) имеют вид
= — kcx £- wx — х + Z>12®y 4- bl3vz,
dvv p g
~ar ==z~kCx'^ vvy— — С7? + У) + + ^23^.
= -kcx-^v,vz — -yz-^ t>3ivx + b^v,
dx
dT-^'
dy
dz
dt —vz‘
(16.21)
§ 16. Уточнение уравнений движения
105
где коэффициенты k и Ь1к выражаются формулами (15.4)
и (15.6), a g определяется с помощью формул (16.19) и
(16.20). Этими уравнениями рекомендуется пользоваться для
дальностей порядка 500 км и ниже. Для ббльших дально-
стей следует применять уравнения движения, составленные
в стартовой системе координат с учетом нецентральности
поля силы тяжести. Их мы получим из уравнений (16.14)
подобно тому, как были выведены уравнения (15.3) из урав-
нений (13.1):
ИГ = ~kC* К - Хе>—+
4“ а11 (х — хс) 4- «12 (у — Ус) 4“
4“ «13 (Z Zc) 4“ bl2Vy 4“ bl3Vz,
dVy Р Sr . Sa ,
= (У~Ус)~^-®з,4-
4“ «21 (Х — хс) 4~ «22 (У — Ус) 4-
+ Й23 (Z — ze) + b2lVx -I- bwvz,
dvz . P Sr . . Sa
4- «31 (x — Xc)+a32(y — yc) 4-
4“ «33 (Z ~ Ze) 4“ ^31vx 4“ t’32vy•
(16.22)
где
(16.23)
«ц = ©з ©зх. «23 = «32 = ®3ую3г’ ^23= ^32=
«22 — > «31= ai3 = ^Зг^Зх’ ^31 = ^13 ~
“да = <й| °1.2=д21= &3х&3у‘ ^п= ^21 = 2W3z;
(16.24)
106
Гл. IV. Упрощение уравнений движения
величины g'r и определяются по формулам (16.6) и (16.5)»
а величины созх, (Озу и созз— по формулам (16.13).
Для определения высоты точки траектории над поверх-
ностью Земли можно воспользоваться формулой
h — r— гз,
где Гз — радиус-вектор точек поверхности земного сфероида
для геоцентрической широты <рц; он определяется по фор-
муле
г3=а(1. —-asin2(pu).
Расчет участка свободного полета ведется до встречи ра-
кеты с поверхностью Земли, т. е. до h—0.
Дальность полета и азимут линии старт — точка падения
можно определить с помощью геодезических таблиц. Можно
также рекомендовать следующий приближенный метод. Цент-
ральный угол р рассчитывается по формуле
cos6 = С*о — хс) (хп~хс) + (Уо—Ус) (Уп — Ус) + — zc) (*п — zc)
Р '•о'-п
(16.25)
(индекс «п» относится к точке падения) и определяется
дальность полета по приближенной формуле
L= Г°~£Гп Р- (16.26)
Угловое отклонение точки падения от плоскости прице-
ливания рассчитывается по формуле
(16.27)
Гл а в а V
Теория свободного полета
на больших высотах
§ 17. Абсолютное и относительное движение
Движение ракеты на участке свободного полета при до-
пущении, что угол атаки все время равен нулю, происхо-
дит под действием двух сил: силы тяжести и силы лобового
сопротивления воздуха. Если рассматривать движение только
на больших высотах, где сопротивление воздуха практиче-
ски равно нулю, то единственной силой, подлежащей учету
в уравнениях движения, остается сила тяжести.
В этой главе снова будем считать Землю шаром, поле
силы тяжести — центральным, а ускорение силы тяжести —
изменяющимся обратно пропорционально квадрату расстоя-
ния от центра Земли:
R2
S г2 •
При этом оказывается выгодным пользоваться инерциаль-
ной системой координат O'x'y'z' (рис. 17.1), движущейся
поступательно, равномерно и прямолинейно вместе с цент-
ром Земли, куда поместим начало координат О'. Уравнения
движения в такой системе имеют вид (§ 15)
(17-1)
Если расположить систему O'x'y'z' так, чтобы в на-
чальный момент движения плоскость О'х'у' проходила че-
рез радиус-вектор ракеты г и через вектор абсолютной
108 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
скорости (т. е. скорости в системе O'x'y'z', а не
скорости v относительно земной системы), то будем иметь
начальные условия
z' = ? = 0, (17.2)
и третье уравнение (17.1) показывает, что равенства (17.2)
будут выполняться в течение всего полета, т. е. вся тра-
ектория будет лежать в плоскости О'х'у'.
Вводя в этой плоскости полярные координаты
х' = г cos %, у' = г sin х»
и производя такие же преобразования, как в § 15, получим
уравнения движения
•9 fM
r-r^ = — ^
(17.3)
совпадающие с уравнениями (15.26). Вспомним, что уравне-
ния (15.26) были получены для определения средней траек-
тории полета (при различных положениях точки старта и
v^=°-
J 17. Абсолютное и относительное движение
10&
направлениях стрельбы) в неинерциальной системе координат,
связанной с Землей. Отсюда становится ясной важность
системы (17.3) для расчета как абсолютного (в системе
O'x'y'z'), так и относительного (в земной системе Oxyz)
движения ракеты.
Но значение этой системы не исчерпывается определением
траектории полета на больших высотах. Если задача заклю-
чается только в определении дальности полета, то системой
(17.3) можно пользоваться для приближенного расчета всего
участка свободного полета, так как влияние сопротивления
воздуха на форму траектории и на полную дальность ока-
зывается очень небольшим. При этом оно уменьшается с уве-
личением дальности и, следовательно, скорости полета.
Для того чтобы задача об абсолютном движении ракеты
стала определенной, надо найти начальные условия для этого
движения, предполагая известными начальные условия для
относительного движения ракеты, т. е. координаты ракеты
хн, ун, zK, скорость vn и ее направление, определяемое уг-
лами 6Н и он в земной системе координат Oxyz.
Введем еще одну инерциальную систему O'x"y"z"t жестко
связанную с системой O'x'y'z'. Расположим ее так, чтобы
в начальный момент времени (т. е. в момент tH) плоскость
О'х"у" совпадала с плоскостью экватора, а плоскость
O'x"z" проходила через начало О земной системы коорди-
нат (рис. 17.1). Будем называть начальную точку для аб-
солютного движения точкой Н. Тогда в момент коорди-
наты этой точки х'', у", z” будут связаны с координатами
хи, Ун» формулами
х" == — хн sin <рг cos 1|Н-(Я+ун) COS <pr+zH sin <pr sin ip.
y" = JcHsinip4-zHcosip.
(17.4)
z" — XH cos <pr cos (Я + yH)sin q>r — zh cos <pr sin ip.
Составляющие относительной скорости по осям си-
стемы О'x"y"z" выражаются через хн, уы, zn аналогичными
формулами. Что касается абсолютной скорости я', то она
складывается из скорости и переносной скорости
«з X Г, = X ” + зХ»)=
<о"°—
110 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
Таким образом, составляющие абсолютной скорости будут
х'н' = — хн sin <pr cos 1|7 -+- уп cos <(-г 4- Za sin <pr sin ф — ®3y",
y" = sin t-4- •?„cos-ф + <в3х",
z"B — Xh COS ***₽ COS + У и Sin Ч’г ~ Z» COS Фг sin ’J1’
(17.5)
где величины xH, yH, zn определяются по формулам (13.3):
xH — vn cos 0I(,
yH=^HsineH,
zH == — vHoH.
(17.6)
От величин x" у" z" и x" у", z" легко перейти к
географическим координатам точки Н.
Обозначим географическую широту точки Н через сргн,
географическую долготу — через Хн и географическую долготу
точки старта—через Хо. Тогда наряду с формулами (17.4)
будем иметь (рис. 17.2)
x^^cosq^cos^ —Ло),
У:=гнСО8Фп, sin(XH~A)’
< = rHsin(prH,
§ 17. Абсолютное и относительное движение
111
откуда
//
(^h ^o) Tf *
*h
C0S (*H~M
(17.7)
tg’PrH z- я2 л2
г хн 4" Ун
//2 //2 //!
"н + Ун “Ь
И п И
лн
H
____ __ H
r H r -H I /Н -Г-н sin(prH •
Наконец, обозначим через ft' угол, образованный век-
тором абсолютной скорости я' с горизонтальной плоскостью
в точке //, и через i|>'— абсолютный азимут, т. е. угол, ко-
торый горизонтальная составляющая абсолютной скорости
образует с направлением на север. Найдем составляющие
абсолютной скорости по направлению меридиана, параллели
и вертикали в точке Н, проектируя на эти направления не-
посредственно вектор я' и по отдельности его составляю-
щие х", у" и z"n (см. рис. 17.2):
<=<cos Кcos = - <sin фгн cos (Ч — Ч -
- Ун Sin ФГН Sin (Ч — Ч + 4 C0S Фгн>
v'B = v'a cos О' sin ф' =
= - < Sin (1н — 10) 4- y”a cos (Хн —10),
V'B = < sin К = х» cos Фгн cos (\ — 4+
(17.8)
Отсюда уже легко найти v'u, О' и ф' по формулам,
гичным (17.7):
v'
tgo„ =------- —
VM
, VB
v =--------г
н sin 0н
анало-
(17.9)
VB______
7*—, 7z'
'm + un
vn
v»+vn2
COS ft'
112 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
Формулы (17.4) — (17.9) определяют начальные условия
абсолютного движения ракеты на участке свободного полета.
Наша ближайшая задача—интегрирование системы (17.3).
Результаты интегрирования будут непосредственно приме-
нимы к абсолютному движению, а для относительного дви-
жения они дают лишь среднюю траекторию для различных
направлений стрельбы и точек старта.
§ 18. Интегрирование уравнений движения
Приступаем к интегрированию уравнений движения ра-
кеты в пустоте, которые имеют вид
г-г^ = -^~, (18.1)
4-(f2X)=0- (18.2)
где (рис. 18.1) г — полярный радиус-вектор центра тяжести
ракеты относительно центра Земли; х — угол между радиу-
сом-вектором г и какой-либо осью, проходящей через центр
Земли и принятой за начало отсчета углов х*» f — гравита-
ционная постоянная; М — масса Земли.
Обозначим k — fM. Как уже говорилось в § 3, вели-
чина k равна
k = 3,9862 • 1014 м*!сек?.
Интегрируя уравнение (18.2), получим
r2X = Ci-
(18.3)
Запишем это выражение так:
При этом
d%
dt
Vr.
где vr— горизонтальная составляющая скорости в данной
точке траектории. Обозначая через Ф угол наклона вектора
§ 18. Интегрирование уравнений движения
113
скорости к местному горизонту, получим
vr = v cos
где v — скорость по траектории.
Тогда формула (18.3) перепишется так:
сг = rv cos (18.4)
Значение сх определится из начальных условий движения
ракеты
сх = гнг/н cos йн. (18.5)
Перепишем уравнения (18.1) и (18.2) в таком виде:
Г —ГХ2 =
k
г2 ’
2/тх + г2х = 0.
(18.6)
(18.7)
8 Р. Ф. Ann азов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
114 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
Умножив уравнение (18.6) на 2г, а уравнение (18.7) на 2%,
и сложив полученные результаты почленно, получим
2гг - 2rri2 + 4г>х2 + 2г2п = - ,
или
2(>г + га2 + /-2ХХ) = --^. (18.8)
Дифференцируя выражение (15.20) для скорости
^2 = ;2 + r2^2t (18.9)
имеем
^p-=,2(rr-\-rri^r^i). (18.10)
Сравнивая выражения (18.8) и (18.10), найдем
d (v2) _ 2k dr _ d / 2k \
dt ~ r2 dt dt\r)'
t. e.
или
®2—^- = c2. (18.11)
Это соотношение справедливо для любого момента вре-
мени, в частности при t — tn получим
С2 = ®2н-^-- <18Л2)
” ' н
Из уравнений (18.9) и (18.11) имеем
;2-br2X2=V- + c2.
откуда
Г = c2 + ^—rfy.
Учитывая, что
dr •
Г=^гх
и (из уравнения (18.3))
§ 18. Интегрирование уравнений движения
115
будем иметь
г
откуда
(18.13)
Преобразуем знаменатель:
Покажем, что величина под первым радикалом не отрица-
I & л
С1
тельна:
Действительно, подставив вместо q и с2 их выражения
(18.5) и (18.12), получим
। *2 2
2fe . k2
гн /^^cos2«H
rKvH) \ rHvu )
Если v?rH =# k или О,, #= 0, то
. Л2 . п
С2+7Г>0,
и мы имеем право обозначить
= tt2,
(18.15)
8*
116 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
откуда
(18.16)
Дифференцируя, найдем
du = -
(18.17)
Учитывая выражения (18.14), (18.15) и (18.17), уравне-
ние (18.13) приведем к виду
Интегрирование дает
% = arccos и -|- с3,
или
tf = cos(x —Сз). (18.18)
Возвращаясь к переменной г, из выражений (18.16) и
(18.18) получим
£
_ k
г~ л/
l + cos(x — с3) |/ l+c2-g5-
Обозначая для краткости постоянные величины
найдем уравнение траектории в виде
14-е cos (х —с8)‘
(18.19)
(18.20)
(18.21)
Известно, что это — уравнение конического сечения в поляр-
ных координатах, где р — параметр сечения, а е — его экс-
центриситет.
§ 18. Интегрирование уравнений движения
117
Введем угол (см. рис. 18.1)
Р = Х — Хн»
где Хн— угол, характеризующий положение начального ра-
диуса-вектора гн относительно оси, принятой за начало от-
счета углов, р—угол, определяющий положение ракеты
в любой момент времени относительно начального радиуса-
вектора. Следовательно,
Х-Хн + Р- (18.22)
Подставляя выражение (18.22) в уравнение (18.21), по-
лучим
г = т-|-----7#Т-------г- (18.23)
1+^cos(§4-jch —с9) v ’
Обозначим через рв угол, соответствующий вершине
траектории. В вершине траектории (при р = рв) г имеет
максимальное значение. Из (18.23) следует, что это может
быть только тогда, когда
cos(₽B + x„ —Сз) = —1,
t. e. при Рв-ЬХн — С3 = я-
Отсюда имеем Хн — С3=л — ₽„. (18.24)
Подставляя (18.24) ние траектории в (18.23), окончательно получим уравне- Г“ 1 —«COS (Рв —Р) <1826>
Поскольку вид траектории характеризуется эксцентрисите-
том, найдем выражение для е. Подставив в формулу (18.20)
вместо q и с2 их значения (18.4) и (18.11), получим
р —r^cos2^
>+-—4—-
Вводя новую величину
t/2r
v=nr*
2v2r \ 2 0.
I cos2 v .
(18.26)
118 Гл. V. Теория свободного пблета на больших высотах
найдем
е = |/1 ~(2 — v)vcos2 ft. (18.27)
Из начальных данных имеем
(18.28)
е = У 1 — (2 —vJvhCos2^,,. (18.29)
Формула (18.29) показывает, что траектория будет
эллиптической при vH < 2, так как е < 1;
параболической при vH = 2, так как е= 1;
гиперболической при vH > 2, так как е > 1.
Итак, траектория ракеты в ее абсолютном движении от-
носительно Земли есть коническое сечение, один из фокусов
которого находится в центре Земли.
В течение долгого времени параболические и гиперболи-
ческие траектории, уходящие в бесконечность, практического
значения не имели. По этой причине теория движения тел
в пустоте под действием притяжения Земли получила в бал-
листике название эллиптической теории.
В дальнейшем будем рассматривать только эллиптические
траектории и пользоваться обозначениями, приведенными на
рис. 18.2: F — центр Земли, являющийся одним из фокусов
эллипса; О — точка старта; Н — начальная точка эллиптиче-
ского участка траектории; С — точка падения ракеты; хн,
ун—координаты начальной точки относительно точки старта;
гн—радиус-вектор начальной точки относительно центра
Земли; — скорость в начальной точке; ftH — угол наклона
вектора скорости в начальной точке к горизонту; R = гс—
радиус Земли (радиус-вектор точки падения); В — вершина
траектории; б — центральный угол, соответствующий актив-
ному участку траектории; 0С — центральный угол, соответ-
ствующий участку свободного полета; 0В—центральный угол,
определяющий положение вершины траектории относительно
начального радиуса-вектора.
Будем считать, что угол б и начальный радиус-вектор гн
(или начальная высота /гн=гн— R) известны, так как они
легко определяются по заданным координатам хн и ун на-
чальной точки относительно места старта. Действительно,
§ 19. Приложения эллиптической теории
119
из рис. 18.2 имеем
tgd=ri?H
6 Я + Ун
и
г __ #Ч~Ун хн
11 cos d sin 6 ’
(18.30)
(18.31)
Для решения практических задач весь участок свобод-
ного полета примем за
тельно небольшой атмос-
ферный участок при под-
ходе к цели. Это не вне-
сет большой ошибки в
определение дальности,
так как большое сопро-
тивление воздуха на ат-
мосферном участке почти
не меняет эллиптическую
форму траектории. Оно
оказывает значительное
влияние лишь на скорость
и время движения ракеты.
Условимся под даль-
ностью полета понимать
длину дуги на поверхно-
сти Земли. Тогда полная
дальность полета от стар-
та до цели будет равна
:Ч- ^св»
где ZH — дальность актив-
ного участка; /св—даль-
ность участка свободно-
го полета. В дальнейшем
эллиптический, включая и относи-
будем считать, что дальность активного участка уже опреде-
лена по формуле ZH = R6, где 6 находится из уравнения (18.30).
§ 19. Приложения эллиптической теории
Перечислим шесть практически важных задач:
1. По заданным скорости, высоте и углу в начальной
точке найти дальность.
120 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
2. По заданным дальности, высоте и углу найти необхо-
димую скорость.
3. По заданным дальности и высоте найти оптимальный
угол, требующий минимальной скорости.
4. По заданным скорости и высоте найти оптимальный
угол, обеспечивающий максимальную дальность.
5. Определить .изменение дальности в зависимости от
малых приращений высоты, скорости и угла в момент выклю-
чения двигателя.
6. Определить параметры движения по траектории.
Перейдем к детальному рассмотрению перечисленных
задач.
1. По заданным скорости высоте hH и углу Фн найти
дальность L.
Из уравнения (18.25) имеем
cos(₽B-₽)=4(’ - Я • (191)
Используя соотношения (18.4). (18.26) и (18.19), получаем
в частности,
P = Vhcos2^h- (19.3)
Подставим (19.2) в (19.1):
cos (рв — ₽) = -1 (1 — v cos2 О). (19.4)
Очевидно, что __________________
sin (рв — ₽) = У 1—cos2(pB—₽) = ]/\ ~ -Jr (1 — v cos2^)2 =
= — (1 —vcos20)2.
Учитывая выражение (18.27), будем иметь
sin (₽„ — ₽) =
—-1 у 1 —2vcos2О'-|-v2cos2(1— 1 -|-2vcos2O— v2cos4(l ,
т. е.
sin (рв — ₽) = ^ v sin О cos О, (19.5)
§ 19. Приложения эллиптической теории
121
(19.6),
При извлечении корня сохранен только знак плюс, так
как на восходящей ветви р < рв и О > 0, а на нисходящей
Р > рв и О < 0, т. е. sin(pB- р) и sin О всегда имеют оди-
наковые знаки.
При р — 0 получим
COS рв = (1 — VH COS2 «„),
sin рв = ^-vH sin б'ц cos «„.
Представим выражение (19.1) в следующей форме:
cos₽Bcosp + sinpBsinp = ^l — у).
Подставляя вместо cospB, sinpB и р их выражения
(19.7) и (19.3), найдем
(1 — vH cos2 Он) cos р 4-vHsinOHcosOHsinp =
_ । _ унгн COS2
г
Выражая sinp и cosp через tg-|- по формулам
2 tg —
sin Р --------г- .
l+tg’4
i-tH
cos Р =-------тг-
l+tg2f
и умножая обе части уравнения на 1 -|- tg2 , будем иметь
(1 — Ч, cos2 $н) (1 — tg2 -|- 2vH sin cos tg =
_ I. vHrH cos2 »„ \ / _ p \
(19.6)
(19.7)
(19.8)
Получили квадратное уравнение относительно tg . Приве-
дем в нем подобные члены:
(2 - VH cos^Ojj - ^r-"-CfOs2<>H) tg2| -
— 2vu sin cos tg 4 +- vh CCS2 — „VHfHCOs2ftH __ 0.
г
122 Гл. V. Теория свободного полета на больших, высотах
или
12г — (гн 4- г) vH cos2 dH] tg2 —
— 2v„r sin &„ cos &„ tg 1 — (rH — r) vH cos2 = 0.
Разделив на cos2f)H, получим
[2r (1 + tg2 0„) - (rH + r) v„] tg21 -
— 2vHr tg &„ tg-|- — (r„ — r)vH = 0. (19.9)
Это уравнение, связывающее текущие значения г и р
с начальными значениями rH, vH, Од, по существу совпадает
с уравнением (18.25), но по форме значительно удобнее, так
как начальные значения входят в него в явном виде. С его
помощью легко решается большинство поставленных выше
прикладных задач эллиптической теории.
Обозначим для краткости коэффициенты этого уравнения
через
а = 2r (1 -Ь tg2 Оя) - (г„ + г) V.,. (19.10)
b = vnrtg$„, (19.11)
c = vH(rH-r). (19.12)
Уравнение примет вид
« tg2 у — 2Mg — с = 0.
Решая это уравнение относительно tg -&, найдем
tg£= + , (19.13)
£, а
причем знак минус соответствует углам р восходящей ветви,
а знак плюс — нисходящей ветви траектории.
Следовательно, для получения дальности всего эллипти-
ческого участка нужно положить r = R и в формуле (19.13)
взять знак плюс. Тогда получим
₽с Ь + Уь2 + ас
2 а
(19.14)
/Си = /?₽с-
§ 19. Приложения эллиптической теории
123
Итак, имеем следующую схему расчета дальности:
а = 2R (1 + tg2 <>„) — (г„ 4- R) v„.
Z> = vH/?tgO-H,
e = vn(rII —/?)=vHftH,
tcr Pc _ b + Vb^ + ac
ё 2 a
4в = Я₽с.
Для частного случая r — r„ имеем -|- = рв и из уравне-
ний (19.10) —(19.12)
o = 2rH(14-^2^H—v„), b = v„rBtg$tt, с = 0.
Следовательно, из уравнения (19.13) получаем
₽ 26
т. е.
ЕЬ=1+^-*. <1916>
и
l = 2R$B.
2. По заданным дальности L, углу ^н, высоте hH найти
необходимую скорость sfh.
Из формулы (18.28) имеем
Следовательно, нужно найти vH, что может быть сделано
следующими двумя способами:
Первый способ. Из уравнения (19.9) имеем
[(/•и 4- r) tg2 у + 2г ‘g й„ tg + гн - -г ] VH =
= 2/-tg2|(l+tg2«'H);
124 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
отсюда
2rtg2| (1 +tg20H)
VH -------------------------g----------. (19.17)
<Г« 4- г) tg2 4- 2r tg tg i 4- rH — r
При r — R и p = pc получаем
2/?tg2-^(14-tg2OH)
Vh= P7 *
(Гн 4- 7?) tg2 -f 4- 2fltg®H tg^ 4- r„ - R
Второй способ. Из (19.8) имеем (при r = rc и р = рс)
rc cos рс — rc cos рс cos2 • vH 4-
4- гr sin pr sin (L cos fL - vH 4- cos2 (L - vH = rrt
<_, V H titlln Hti С»
rc(l-cospc)
t. e.
V“ ~cos ftH (r cos ft„ — r „ cos Pr cos ftM + r„ sin fL sin ftj
ti\U H V, C, ri Hz
__ tp. Pc ___________________rc Sin Pc__________________ _
ё 2 COS ftH [(rH -rc cos pc) cos ftH + rc sin pc sin ftH]
Pc________________1______________________
2 / С rfcos tV \ *
COS ftH I —----Б----— COS ftH + sin ftn I
H\ f^sinPc /
На рис. 18.2 проведем отрезки НС и СК перпендику-
лярно к HF. Обозначая через со угол FHC, будем иметь
СК rr sin рг
toco =---=--------£----с —.
НК 'H““''cC0S₽c
Учитывая (19.18), получим
g 2 cos ttH (-^^-4- sin ®н)
В „ sin о
for _Q. -
& 2 COS ftH (COS ftH COS co 4“ S,n Sin co)
и, окончательно,
Pc sin co
v“ “2” cos ftH cos (co — ftH) ’
(19.18)
(19.19)
§ 19. Приложения эллиптической теории
125
Итак, имеем следующие две схемы расчета скорости.
Первая схема расчета:
о ___L
₽с — я •
о
2/?(1 -h tg* ен) tg2
VH = О о *»
(Гн + R) tg2-f +2/?tgftH tg-g +rK-R
/kvB
г H
Вторая схема расчета:
r — L~l"
/?Sin₽c
gtt) rH— #cos₽c ’
Pc sin (D
Vh ~2 COS Ah cos (co — #H) •
В частном случае, если г = гн и 0/2 = рв, то из уравне-
ния (19.17) получаем
_ l+tg2OH д
н— tg₽B4-tg0H tgpB-
3. По заданным дальности L и высоте йн найти опти-
мальный угол в* н опт, требующий минимальной скорости mln.
Из уравнения (19.16) имеем
®нш1п = 1/Г ^7^- (19.20)
г ' н
Следовательно, нужно найти vHmIn. Это может быть сделано
двумя способами.
Первый способ. Продифференцируем выражение (19.9),
рассматривая vH как неявную функцию от tg$H, и при-
равняем нулю - Полагая г—гс и р = рс, получим
” В.,
2rcvH mln tg — 4rc tg2 tg опт = 0,
т. е.
р_
'’и mln === tg -j— tg 'О'ц опт<
(19.21)
126 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
Решая совместно уравнения (19.9) и (19.21), найдем
[(^Н+г с) fg2 у + 2rc tg опт tg 4-гн—г с] 2 tg tg #н опт=
= 2rctg2-^(l_|_tg2OHOnT),
ИЛИ
h + г с) ig2 у-4- Гн — rc] tg опт = г с tg (1 — tg2flHOnT),
что можно переписать в виде
tg 2'&н опт
2 tg ‘О'н опт
1 tg2 'О’н опт
₽г
2rctg-f
В„
(Гн+Гс)‘е2-Г
(19.22)
н с
Вычисление угла Онопт значительно упрощается, если
ввести угол
е = 2^н опт + 4 • (19.23)
Тогда найдем:
В ₽ “ 6 2
tg2flHOnT +tg-y (гн + гс)1ё2т+гн-/'с
tg е = ₽т ~ (С =
1— tg 2&н опт tg 2rCtS'T ₽с
1 Е
(гн + гс)‘й2Т + гв-гс
_ [(^+гс)1£24+гн~гс+2гс]‘е4 _
~ ₽г (V ~
(Гн +- rc) tg2 -± + rB-rc- 2ГС tg2
_ rH+rc)(l+tg2-f) pc
~ / ₽„\ tg 2 •
(rH -'с)(1+‘82-г/
Окончательно:
tge^- г—гр tg-^- (19.24)
гн rC Z
J 19. Приложения эллиптической теории
127
и из уравнения (19.23) имеем
^нопт=='2'(е 2”)* (19.25)
Зная йнопт, по формулам (19.21) и (19.20) находим vHtnin
И ^11 filin’
Второй способ. Из уравнения (19.19) получаем:
sin о
V" ~ 2 tg ~2 cos®4-cos(2fl'H —®) ’ <19’26)
Как видно из формулы (19.18), значение угла со не зависит
от Фн, поэтому vH будет наименьшим при cos(2ftH — <о)= 1,
т. е. при условии
2^нопТ = <0. (19.27)
Используя уравнение (19.18), получим
г„ sin
tg2»HOnT^-r-Jr^cosp^ (19.28)
При cos (2*0,, — со) = 1 из уравнения (19.26) имеем
Pr sin® р_ cd
vh n«in — 2 ~2“ cos ® + 1 “ 2 Т 7’
Учитывая соотношение (19.27), окончательно будем иметь
р_
vH mm = 2 tg tg Он опт (19.29)
и по формуле (19.20) найдем t^Itnln.
Таким образом, имеем следующие две схемы расчета
«нопт и ®нп,1.1 (ПРИ ГС=^-
Первая схема расчета:
О ___ L
Рс-—.
гн — К 2
VH ОПТ 2 \ 2 / ’
mln 2 tg tg 0н опт,
min
min I/ r •
г гн
128 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
Вторая схема расчета:
₽С ——-
R sin ₽г
tpr 9 Л — ---------Р —
ё ^нопт Гн__яС08рс ’
р
mln == tg” 2 опт*
_______-в / mtn
vh mln_Гн
о
В частном случае, при гс=га и у = рв, из формулы (19.24)
имеем tge=oo, т. е. е=90°. Следовательно, из уравне-
ния (19.25) получаем
В
опт = 45° - -f « 45° - . (19.30)
4. По заданным скорости vH и высоте Лн найти опти-
мальный угол опт» обеспечивающий максимальную даль-
ность £тах.
Дифференцируя выражение (19.9). считая tg р неявной
. « х а rftgp
функцией от tg vH и приравнивая производную нулю,
получим (при г = гс и Р ~ рс)
2rc tg2 -^f22- • 2 tg опт — 2vc tg -^f22 = °.
т. е.
Vh
to- max____________________________
2 2 tg t}H оПТ
(19 31)
Решая совместно уравнения (19.9) и (19.31), найдем
v2
[2гс (1 + tg2flHOnT) - (Гн 4 rc) v„] -------
ин от
— 2vHrc tg Фн опт 2 jg опт г с) Ч< ==
или
2'Л + 2'с\ tg2 <>„ опт - (\ + Г с) VH -
— 4vBrc tg2 опт - (гИ — гс) • 4 tg2 опт = 0.
т. е.
I2v„rc + 4 (гн - rc)l tg2 Он опт = vH [2гс — (г„ -|- rc) vHJ.
J 19. Приложения эллиптической теории
129
Следовательно.
*£2$нопт
_ Ун^с-(гн + гс)ун1
~ 2[vZc+2(rH-rc)| •
(19.32)
Таким образом, данная задача может быть решена по
следующей схеме (при rc — R):
х? г
V
н k
о- л _ -I f Ч 2Z? — (г„ + /?) vH
ь vIIOnT у 2 • Vn/? + 2(rH —/?) .
Н V
1 С max _____н
2 2 tg Оц ппт
^эл max == max*
Дпах = + ^эл max*
Для частного случая гн = гс из уравнения (19.32) имеем
tgOBonT= (19.33)
5. Определение изменения дальности L в зависимости
от малых изменений высоты Лп. скорости vH и угла Фн.
Очевидно, нужно найти производные
£₽С, £₽С и £₽С
дг„ dv„ д0„ •
Будем пользоваться уравнением (19.9), а именно,
12г с (1 + tg2 ^н) - (rH -+ rc) vH] tg2 —
— 2vHrc tg tg - (гИ — rc) vH = О.
В общем виде это уравнение запишется так:
VH, 0н, Рс)= 0.
Дифферен пируем:
4^-dr» 4- d$„ 4- dftc = 0. (19.34)
дга н <7Ун н н '
9 Р. Ф. Аппазов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
130 Гл. V, Теория свободного полета на больших высотах
Поскольку зависит от vv и гн:
VH = /(VH. Гв).
то
^vh — ^гн 4“ (19.35)
Подставляя (19.35) в (19.34), получим
н *С
Отсюда
<*Рс
_ 1 (dF
— dF Ur-н
<фс
dF df
dvH drн
dr d/ dF
dF H dF 1
и, следовательно,
dF df\fdF
(19.36)
dpc dF df I dF
ЭДС _ dF ,dF^
(19.37)
(19.38)
Находим производные
dF
drK
= — v„tg2-y— vB =
Vh
₽r
cos2
n D
= — (re + rc) tg2 - J- — 2rc tg tg — (r„ — rc).
§ 19. Приложения эллиптической теории
131
Но из уравнения (19,17) имеем
(г„ + г с) tg2 4- 2г с tg tg + Г„ — г с =
2rc(l+tg=^)tg2-^.
Следовательно,
=—v2 о^н)
vH Z
Поскольку VH — —J- , то
df v2 vH
и
df _ 2vKrB _ 2vH
<toH k vK •
Далее,
I2rc О + ^в) ~ (гн+rc) vH] tg % — vHrc tg O„
Но из уравнения (19.9) имеем
о
(2rc (1 + tg2 O„) — (rH + rc) vH] tg — v„rc tg •&„ =
/ p \ 1
= VH (rH — rc + rC fg Vg -£)------p-
tg-7?
6 2
Следовательно,
dP vu(ra-rc + rclSK^-^)
9*
132 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
и, наконец,
дР _ 2гс1г-2 /о+„ РС(„А .. 'I
Мн — cos2 -О-,, 2 tg^H v"/'
Подставляя найденные производные в выражения (19.36) —
(19.38), получим:
Рг Рг
tg-^ cos2
₽г
COS2 ~
н z
2гг ₽г
vH + -^<1+tK2^sin2-^
____' н___________£_
р
(19.39)
2 ’
йрс 2rc tg2 (1 + tg2 On) tg cos2 • 2vH
vh (^н - rс + rс,g *« ‘g v) v«
4r 0 + fg2 *h) sin2 tg
= ir-—/---------------—ту- <19-4°)
H vH('-H-rc+'-cwg^;
₽r / ₽r \ Pr Pr
^Pc *с1£^\\-21£^^Гё-тС0&2-г
dF— / p_\ —
cos20H • VH (rH- rc + rctg-f)
(R \ R
v„ — 2tgOHtg^sin2-^
------/-------------рд- ~ " • (19Л1)
'’..(''H-'-c + 'VgVg-fJ
§ 19. Приложения эллиптической теории
133
Итак, для решения данной задачи имеем следующие фор-
мулы (при rc = R):
2R (V
0/св „ун + — (l + tg^.,)Sin2.ftg-f ,
V„ (гн — Я + Я tg tg j
dl Ы* a+^w-^tgb
-----(19.42)
Vh (rH —/? + Я tg0Нtg
(D \ О
vH —2tgflHtg-^lsin2-^
ЛЙ- = -------------------------—
O V u / Pzi\
VH ('h — R + R tg фн tg j
В частном случае rc=prH из уравнений (19.39) — (19.41)
легко получаем следующие формулы:
dpc vH + 2 sin2 (1 + tg2 <tH)
vHrHtg«H ’
₽r
d₽c 4sin2^-(l + tg2flH)
vnvHtgftH ’
<?PC (vH-2tg©Htg-^-)(l+tg2#H)slnPc
vHtg,8'H
6. Определение параметров движения h, *&, Zb любой
точке траектории, определяемой центральным углом 0.
а) Высота полета над поверхностью Земли в любой точке
траектории равна
h = г — R.
Для определения г имеем выражение (18.25):
1 — е cos (Рв — Р) •
134 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
при этом р и е находят по формулам (19.3) и (18.29), а
именно,
/’=v, cos1 2eH>
е = ]/ 1 — (2 —v„) vHcos2#„.
Значение рв найдется из уравнений (19.6) и (19.7):
_ vH sin Ян cos Ян _
ёРв l-VHcos2tfH 1 + tg* Яи - vH ’
Полезны также следующие формулы. Из (18.11) получаем
v2r — 2k
Сп--------------------- ’
Z г
откуда, с учетом обозначения (18.26),
с2 ________________________v — 2
k г 9
С другой стороны, из (18.19) и (18.20) следует:
с2 ег— 1
Ь р
Отсюда получаем:
1 1 ? 1 сч (19.43)
в частности,
Гн _ Р 2 —vH 1—е2' (19.44)
Формула (19.43) позволяет легко выразить любую из вели-
чин г, v, р, е через три другие.
Из (18.25) получаем
1 — ecos(pB — ₽) = 7
и, на основании (19.43),
1 —ecos(pB — = (19.45)
откуда
1— 2ecos(PB — Р)4-г2
1 —ecos(pB—Р)
(19.46)
§ 19. Приложения эллиптической теории
135
б) Скорость полета в любой точке траектории может быть
найдена, если воспользоваться формулой (18.26):
Если теперь выразить v через г с помощью формулы (19.43).
то получим
что можно с помощью формул (19.44) и (18.28) записать
в виде
+ <19-47)
Можно также на основании формул (18.25) и (19.46) полу-
чить для скорости v выражение непосредственно через угол р:
f == у/~j(l — 2ccos(0B — Р)-Н2) •
в) Угол наклона вектора скорости к местному гори-
зонту fl найдем, замечая, что на основании формул (19.5)
и (19.4)
v sin fl cos fl = e sin (pB — p),
v cos2 fl = 1 — e cos (pB — p),
откуда
tg fl = —f sin (Рв — P) „ (19 48)
g 1 — e cos (рв —P) ’ ЦУЛб)
Из соотношения (19.2) получаем другую простую формулу:
cos О = ]/-£.. (19.49)
г) Время полета до любой точки траектории определяется
из уравнения (18.3):
Разделяя переменные и интегрируя, получим
х
t==-7- f r2dX-
C1 J
хн
136 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
Из уравнения (18.22)
х = Хн+₽
Учитывая также (18.25), будем иметь
Р
I [l-*cosP(₽B-₽)]’ ’ <’9'5°)
Интегрирование выполним следующим образом. Введем
новую переменную х, связанную с р соотношением
cos(₽в — ₽) = ±+-cos х . (19.51)
\нв г/ 1 _[_ е cos х \ J
Дифференцируя, получаем
4in/ft R1 rfR — ° + С COS %) Sitl *)—<* + COS (— е sin *) л..
81Пфв р;ар— (l-|-«cosx)2 ах~
= ~а+е^“х- <|952>
Для исключения siп (рв—Р) воспользуемся соотношением (19.51):
_in2 /а _ m — 1 — 4~ 2i cos л 4~ c°s2 х _ (1—г2)(1 — cos2*)
'Р® 1 + 2^ cos х в2 cos2 х (1 4- е cos л)2 *
откуда
. /д л\ [ 1 е2 sin х .. л
sin(₽B — р)= ± ' , . (19-53)
1 v tUo Л
Чтобы связь между р и х была однозначной, остановимся
в формуле (19.53) на. одном из знаков, а именно — на знаке
минус; тогда из соотношений (19.52) и (19.53) получим
dp= tV—— dx. (19.54)
‘ 1 4“ cos X v 7
Далее из выражения (19.51) находим
1 __^2
1 - е cos (₽в - ₽) = ттгттБГГ • (19.55)
§ 19. Приложения эллиптической теории
137
что позволяет записать интеграл (19.50) в виде
х ____
. Р2 f (l+ecosx)2 —е2 , _________
f — cf J (1—е2)2 l+ecosxax~
к
р2 с
=---------579 (1 + 0COSX)dX =
Лн
= с a-e^(x + esinx)\X • (1956)
Ч V1 *9 L-
Соотношения (19.53) (с учетом выбранного знака) и (19.55)
дают
sinx = —
/1 - е2 sin (рв - р)
1—ecos(pB —Р) •
Сравнивая эту формулу с формулой (19.48), получаем
1Л1 /?2
sin х =---------—------tgO*.
(19.57)
Из сопоставления формул (19.45) и (19.55) находим также
2 —v = 1 + е cos х,
откуда
1 —v
cos х =------.
я
На основании полученных формул можно написать:
1 —v
— arccos---- на восходящей ветви траектории,
(19.58)
arccos----на нисходящей ветви.
е
Подставим выражение (19.57) для sinx в формулу (19.56):
z= ж(х~ хн4-VT=^tgaH)=
с, (1 — е-1)'
= —— ( *~Хи - tg 4- tgен).
q(l—«*) k/1 —е2 /
138 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
Постоянный коэффициент в этой формуле можно, используя
формулу (18.19), а также (19.44) и (19.2), преобразовать
к виду
Ml-*2) 1-
rHvH cos
(2 — Ун) ’
так что окончательно получаем:
Р
^^+tg^-tgOj =
( * — X" + sin frH — cos O„ tgfr), (19.59)
М2 — vH) \У(2 — vH)v„ /
где x и хн определяются по формуле (19.58). Для наиболее
распространенного случая, когда начальная точка участка
свободного полета расположена на восходящей, а конечная —
на нисходящей ветви траектории, получаем
/ 1 — v . 1 — vH \
/— I arccos---р arccos-5 i
тст---------—+**'-**}•
(19.60)
Итак, имеем следующую схему расчета для определения
траектории в любой ее точке, заданной централь-
₽:
t
1— е2
r HVH
параметров
ным углом
1)
2)
О Рв < st
3)
4)
5) cos хн
sin f>H;
6)
7)
8)
при
vh— k ;
to-R =. V"fg^
‘ё Рв 1 -h tg* - VH ’
0H > 0, — л < ₽B < 0 при < 0;
P=rKVaCO^^,
e= /1 — (2 — vJVhCos2^;
1 r~' “ Vu •
——знак sinxH противоположен знаку
г =---------^-5----д—;
1— 4?COS(₽B — ₽) ’
h = r — R\
р
t = —^-
1 —
§ 19. Приложения эллиптической теории
139
10) cos,ft= Т/ — , знак sin О совпадает со знаком
у rv
sin (₽„ — ₽);
i 14 1 —v
11) cosx = —-—, знак sinx противоположен знаку
sin(pB —р);
12> (тВН’л-И-
Частный случай 1. Параметры движения в вершине
траектории. Высота в вершине определяется так:
Лв=гв —/?,
(индекс «в» соответствует вершине траектории).
При ₽ = ₽в из уравнения (18.25) получаем
Учитывая (19.44), найдем
09.61)
z VH
Угол наклона касательной в вершине траектории равен нулю.
Для определения скорости в вершине из уравнений (18.4)
п (18.5) имеем
r<vn cos cos OR;
D tl U DO O<
поскольку (>B=r=0, TO
______ rC0S
vb___r
г в
Учитывая уравнение (19.61), получим
= (2-VH)^HCosfrH > (19.62)
Далее из выражения (19.46) следует
vB= 1 — е,
и из формул (19.58) получаем
хв = 0.
140 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
Подставляя это значение в формулу (19.59) и учитывая,
что -&в=0, получим следующее выражение для времени по-
лета до вершины траектории:
Р
1 —е*
(2 vH)
sin'&H
______-*h_______
V (2 — VH) V„
(19.63)
Частный случай 2. Вертикальный пуск. Для этого слу-
чая найдем максимальную высоту и время полета до вер-
шины. Поскольку при вертикальном пуске 'Од—у, то
е= — (2 —vH)vH • 0= 1.
Следовательно, из уравнения (19.61) получим
г — -н
в-п 2 — vH ’
^в. п == ^в. п R»
(19.64)
где индекс «в. п» соответствует случаю вертикального пуска.
Время полета до вершины найдем из уравнения (19.63),
полагая Фл=у и учитывая формулу (19.58):
^н(2 — vH)
arccos (1 — vH)
V(2 —VH)vH
(19.65)
или, в другом виде,
tB п =--------7^—г fvH + 1Л о V” ~ arccos (1 — vj) .
вп vH(2 —vH) \ H 1 Г 2 —vH v “7
На рис. 19.1, 19.2 и 19.3 изображены семейства харак-
терных траекторий полета ракеты. Траектории на рис. 19.1
получаются при постоянной начальной скорости, но при раз-
личных углах бросания Он. На рис. 19.2 показаны траекто-
рии, получающиеся при оптимальном угле бросания для раз-
личных vH< 1. Рис. 19.3 изображает траектории при vH> 1
и -Од —0.
Рис. 19.1. Рис. 19.2. Рис. 19.3.
142 Гл. V. Теория свободного полета на больших высотах
§ 20. Возврат к относительному движению
Полученные выше формулы позволяют решить задачу об
абсолютном движении ракеты. При рассмотрении относитель-
ного движения эти формулы пригодны лишь для определения
средней траектории» от которой возможны отклонения в раз-
ные стороны вследствие
вращения Земли. Но во
многих случаях абсолют-
ное движение интересно
не само по себе, а тем, что
от него можно перейти к
относительному, учиты-
вая наряду с движением
ракеты вращение Земли.
Зная географические
координаты начальной
точки свободного полета
<Ргн и абсолютный ази-
мут ф„ и центральный
угол, пройденный раке-
той в абсолютном движе-
нии р', легко можем най-
ти географические коор-
динаты фг и Z' точки Р в предположении, что Земля непод-
вижна, по формулам синусов и косинусов сферической три-
гонометрии ♦) (рис. 20.1):
cos (90° — ф') =
= cos (90° — <ргн) cos р' + sin (90° — фгн) sin р' cos ф'э
или
sin ф' = sin фгн cos р' 4- cos фгн sin р' cos ф^, (20.1)
и
sin (л/ — Лн) sin ф„
sin Р' cos <р'
*) Основные формулы сферической тригонометрии выводятся
следующим образом. Рассмотрим на сфере единичного радиуса
с центром в точке О треугольник Д АВС, образованный дугами
§ 20. Возврат к относительному движению
143
откуда
sin (Л' — Хн)
sin р' sin ф„
cos ср'
(20.2)
Учтем теперь, что Земля вращается одновременно с дви-
жением ракеты. В результате этого вращения точка с гео-
графическими координатами ф' и X' уйдет по параллели на
угол (031 t — время полета от начальной точки) в сто-
рону вращения Земли, т. е.
ракетой (на одном радиусе
с той же географической
широтой фг = ф', но с дол-
к
с
востоку. Следовательно, под
ней) будет находиться точка
Рис. 20.2.
больших кругов (рис. 20.2)
Построим вспомогательную си-
стему координат Oxyz, напра-
вив ось Ох по радиусу ОА
и совместив плоскость Оху с
плоскостью ОАВ. Радиусы-век-
торы точек А, В,С будут иметь
в системе Oxyz составляющие-
ОА (I, 0, 0),
ОВ (cos с, sin с, 0),
ОС (cos bt sin b cos A, sin b sin Л):
Вычисляя скалярное про-
изведение единичных векто-
ров ОВ и ОС, получим
cos а — cos b cose
-f-sin b sin с cos А.
Эта формула называется фор-
мулой косинусов. ___ ____ ____
Вычислим смешанное произведение трех векторов ОЛ, ОВ и ОС:
ОА • (ОВ X ОС) =
1
cos с
cos b
0
sin с
sin b cos Л
0
0
sin b sin А
= sin b sin с sin Л.
Из соображений симметрии можно написать два других выражения:
ОА • (ОВ X ОС) = sin a sin с sin В = sin a sin b sin С.
Деля на (sin a sin b sin с), получаем формулу синусов
sin Л _ sin В sin С
sin а
sin b
sine
144 Гл, V. Теория свободного полета на больших высотах
готой Х=Х'— <»3Л Таким образом, географические коорди-
наты ракеты в относительном движении могут быть опреде-
лены по формулам
sin <pr — sin <PrHcos р' + cos ф sin р' cos ф', (20.3)
sin pz sin ф’
,ln(X-X. + .^)=- со,фг - (20.4)
По географическим координатам легко найти центральный
угол р, пройденный ракетой в относительном движении, и
угол фн, образованный плоскостью меридиана с плоскостью,
проходящей через центр Земли, точку Н и ракету:
cos р = sin фгн sin фг -|- cos фгн cos фг cos (X — Хн), (20.5)
5|пЧ,н= (М6)
Абсолютный азимут в точке Р определится из формулы
, cos фгн sin ф'
sin Ч|/ =---™. (20.7)
Y COS фг 7
Имея значения v', О' и ф' для абсолютного движения
в определенной точке, географические координаты которой
фг и X вычисляются по формулам (20.3) и (20.4), по фор-
мулам, подобным (17.8) и (17.9), можем определить пара-
метры V, # и ф относительного движения для этой точки
в земной системе координат, принимая во внимание, что
v = v ,
м м’
Vu = -- °3ГР C0S Фг’
=
Часть вторая
Баллистические
расчеты
управляемых ракет
дальнего действия
Глава VI
Методы проектировочного расчета
летных характеристик
§ 21. Классификация баллистических расчетов
На различных этапах создания новых образцов управляе-
мых ракет дальнего действия перед баллистикой ставятся
различные задачи, в соответствии с которыми можно клас-
сифицировать все баллистические расчеты.
В начале эскизного проектирования проводятся так назы-
ваемые проектировочные расчеты, имеющие своей целью оп-
ределение границ значений основных проектных параметров
ракеты по заданным тактико-техническим требованиям (ТТТ)
и выбор наивыгоднейших значений этих параметров с учетом
всех реальных условий. Эти параметры в дальнейшем яв-
ляются исходными при проектировании ракеты (компоновке,
выборе силовой схемы ракеты и т. д.).
В зависимости от заданных требований при проектиро-
вочных расчетах могут встречаться самые разнообразные за-
дачи, но наиболее часто возникает задача по определению
основных проектных параметров ракеты, соответствующих
наибольшей прицельной дальности, весу полезной нагрузки
и точности попадания, заданным ТТТ. Ее решение, как пра-
вило, сопровождается исследованием влияния различных па-
раметров на летно-технические характеристики.
Таким образом, методика проектировочных баллистиче-
ских расчетов должна позволять, не прибегая к громоздким
вычислениям и численному интегрированию, быстро опреде-
лять летные характеристики ракеты по ее конструктивным
параметрам и, обратно, по заданным летно-тактическим ха-
рактеристикам — конструктивные параметры ракеты.
Эта методика должна также позволять оценивать влия-
ние изменения основных проектных параметров на летно-так-
тические характеристики ракеты с тем, чтобы иметь возмож-
ность выбрать наивыгоднейшее сочетание этих параметров.
10*
148
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
К точности проектировочных баллистических расчетов предъ-
являются нежесткие требования. Точность в 2—5% в сторону
уменьшения летных характеристик вполне устраивает проек-
тантов.
В заключение эскизного проектирования проводится пове-
рочно-проектировочный баллистический расчет, целью кото-
рого является уточнение летно-тактических характеристик
ракеты при полученных в результате эскизного проектиро-
вания параметрах ракеты, проверка их соответствия заданным
тактико-техническим требованиям.
В результате этого расчета должна быть выбрана в пер-
вом приближении форма траектории активного участка, опре-
делены основные исходные данные, необходимые для расче-
тов конструкции на прочность (внешние нагрузки), исходные
данные, необходимые для расчетов устойчивости полета и
разработки аппаратуры управления.
При этих же расчетах должна производиться оценка точ-
ности попадания при выбранных принципах управления и
должны быть выработаны требования к аппаратуре управле-
ния и двигательной установке, которые необходимо соблюсти
для выполнения ТТТ по точности попадания.
В процессе дальнейшего проектирования ракеты и изго-
товления опытных образцов производятся уточнения повероч-
ных расчетов по мере уточнения исходных данных. Как
в проектировочных, так и в поверочных баллистических рас-
четах влияние вращения Земли не учитывается, так как
проектантов и конструкторов интересуют средние значения
летных характеристик ракеты.
К моменту заводских летных испытаний первых опытных
образцов ракет дальнего действия должны быть составлены
предварительные таблицы стрельбы, содержащие в первом
приближении зависимости прицельных данных ракет от дально-
сти стрельбы (для определенных координат места старта и на-
правления стрельбы, соответствующих выбранному полигону).
Эти таблицы составляются для всего заданного ТТТ диа-
пазона дальности стрельбы на основании уточненных бал-
листических расчетов, с учетом особенностей системы упра-
вления и использованием уточненных исходных данных, полу-
ченных расчетным и экспериментальным путем (действительные
веса конструкции и положение центра тяжести, эксперимен-
тальные аэродинамические характеристики, стендовая харак-
§ 22. Приближенный метод определения скорости
149
теристика двигателя, экспериментальные параметры аппара-
туры управления и т. д.). На этом же этапе производится
уточненный расчет рассеивания.
Следующим этапом баллистических расчетов является со-
ставление таблиц прицельной стрельбы по данным опытных
и специальных отстрелов. Основное требование к расчету
таблиц прицельной стрельбы — это повышение точности рас-
четов до такой степени, чтобы устранились систематические
расхождения между расчетными данными и данными стрельб
при любых дальностях и условиях стрельбы.
Методы проектировочного расчета летных характеристик
ракеты, излагаемые в настоящей главе, применяются на пер-
вом этапе эскизного проектирования, т. е. с целью опреде-
ления, как было указано выше, границ значений основных
проектных параметров ракеты.
Исходя из пониженных требований к точности таких рас-
четов, мы и рассмотрим некоторые из возможных схем по-
строения приближенной методики.
§ 22. Приближенный метод определения скорости
В § 19 было показано, что полная дальность полета опре-
деляется четырьмя кинематическими параметрами в момент
выключения двигателя, например скоростью, углом ее наклона
к местному горизонту, высотой и удалением от точки
старта, т. е.
L = f>H, Лн, /J. (22.1)
Определяющим среди этих параметров является скорость
в конце активного участка. Угол наклона касательной к траек-
тории ‘О' довольно жестко связан со скоростью условиями
обеспечения максимальной дальности и поэтому самостоя-
тельного значения в большинстве проектных задач не имеет.
Активный участок траектории по своей протяженности
составляет небольшую часть от полной дальности полета
(4-н10%). Поэтому даже довольно существенные ошибки
в координатах конца активного участка не могут оказать
сильного влияния на полную дальность полета. В дальнейшем
мы покажем, что возможно ограничиться весьма простыми
графическими зависимостями, позволяющими учесть долю
150
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
активного участка. Таким образом, основное внимание должно
быть уделено определению скорости в конце активного
участка.
Воспользуемся уравнениями движения ракеты как мате-
риальной точки, учитывающими лишь основные силы, дейст-
вующие в полете (рис. 22.1): dv Р — X . Л —= FsinO, (22.2) dt m v ' -^ = «/cos0, (22.3) v sin 6. (22.4)
Здесь ш — масса ракеты; Р — тяга; g— ускорение силы тя-
жести; X — сила лобового сопротивления; 0 — угол наклона
касательной к траектории относительно горизонта (углами
атаки пренебрегаем).
Для тяги принимается следующий закон изменения с вы-
сотой:
Р = Р0 + $а(р0-р). (22.5)
Заметим, что тяга достигает максимального значения при
р = 0, т. е. в пустоте:
Pa = PO+SaPo. (22.6)
§ 22. Приближенный метод определения скорости
151
Сила сопротивления воздуха определяется выражением
(22.7)
Запишем уравнение (22.2) в несколько ином виде:
^=(4~^sin0“4)dz <22-8>
и введем следующие обозначения:
m mQ (22.9)
Т = ^~\сек\, (22.10)
m
0 ’ (22.11)
m сек.
<=-М—к (22.12)
/и сек
U, SS а ч 1 1 о |°° II 2 (22.13)
О ^0 уд ° G кГ /сек . (22.14)
р уд п“ 6 {кГ1сек\ , (22.15)
причем из (22.9) и (22.10) вытекают соотношения
m m0 — mt m0 «о 1 - 1 т . (22.16)
/=Т(1-|Л), (22.17)
т=т^—. 1—ц (22.18)
В этих выражениях:
р— безразмерный коэффициент, характеризующий отно-
сительный вес ракеты, т. е. показывающий, какую долю
первоначального веса сохраняет ракета в рассматриваемый
момент. Коэффициент р теоретически может изменяться в пре-
делах от 1 до 0. В момент старта р = 1, в момент выклю-
чения двигателя р принимает минимальное для данной траек-
тории значение рк. Величина рк в известной степени ха-
рактеризует совершенство конструкции. Величина (1 — р)
152
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
показывает, какая доля первоначального веса израсходована
к рассматриваемому моменту.
Т — идеальное время, т. е. время работы двигателя такой
«идеальной» ракеты, у которой конечное значение |1К = 0.
Другими словами, Т — время, в течение которого при данном
постоянном секундном расходе сгорело бы количество топ-
лива, равное по весу стартовому весу ракеты. Величины р,
Т и t связаны между собой определенными зависимостями
(22.16), (22.17) и (22.18).
й' — фиктивная скорость истечения продуктов сгорания
у земли, вычисляется как отношение абсолютной тяги у земли
(за вычетом потерь на управление) к секундному расходу
массы.
// — фиктивная скорость истечения продуктов сгорания
в безвоздушном пространстве, вычисляется как отношение
абсолютной тяги в пустоте (за вычетом потерь на управле-
ние) к секундному расходу массы.
Ни ни и'ъ не являются истинной скоростью истечения
газов из сопла, которая практически не зависит от высоты
полета ракеты. Фиктивные скорости истечения *) и фи-
зически означают величину абсолютной тяги за вычетом по-
терь на управление, приходящуюся на каждую единицу се-
кундного расхода массы.
Под секундным расходом массы понимается суммарный
расход всех компонентов, участвующих в уменьшении веса
ракеты. Его изменением с течением времени пренебрегаем.
рм — начальная нагрузка на мидель, или поперечная на-
грузка, т. е. стартовый вес, приходящийся на единицу пло-
щади наибольшего поперечного сечения ракеты.
РуД о —удельная тяга на земле,
Руд. п — удельная тяга в пустоте.
Из (22.11) и (22.14) можно получить:
«от = РудОд.
или
“0 = ^,0- (22-19)
*) В дальнейшем вместо термина «фиктивная скорость исте-
чения» будем для краткости пользоваться термином «скорость
истечения».
§ 22. Приближенный метод определения скорости
153
и, аналогично,
< = «-Руд„- <22-2°)
В выражении (22.10) на основании (22.11) и (22.19)
О
поэтому
уд о &Руд о _
т =----р---— ро = vopyn 0 [сек], (22.21)
здесь
V
0— Ро
Преобразуем каждый член выражения (22.8) в отдельности.
Первый член учитывая (22.5), (22.6) и (22.9)—(22.12),
имеем
Р = Ро + ^(Ро-Р) = Рп~<Р"~Р°)£ =
m mop. mQ\k
Второй член оставляем в неизменном виде. Третий член —:
v2 о pt»2
X _ р“2"с^ _ g ~2~с*
m G ря ц
Подставляя эти значения в уравнение (22.8), получим:
I PV* с* I
dv = I ” °”) тУ “ ё sin 0 ~ Idt'
Из (22.17) имеем
dt= — Т dp,. (22.22)
Поэтому окончательно
dv=- [и« -- ("n - °о) -£| v + sin 0
OV2
где скоростной напор обозначен через q.
154
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
Проинтегрируем полученное уравнение в пределах от г/0
до и от р0 до pi:
и
<о— zl= — и' 1п — -|-(и' — л') f
° п Ио 1 х 11 °' J Ро и
Но
н н
4-7 I g-sin6dn4--|^ I
J Рм J И
Но Но
В качестве нижнего предела интегрирования примем пара-
метры движения в момент старта, т. е. pi0 = 1, t/o=O. По-
лучим
1
г/ =— — (и'— и'} f JL-^L—
п V п QJ J р0 Ц
и
1 1
— 7 [ g-sinOdp,—— f — dp,. (22.23)
J Рм •>) H
H H
Обозначим в уравнении (22,23)
/1= J ^sin0Jp, и (22.24)
1
^2 — f J qc* н ’ (22.25)
и
1
f р dv J Ро Н и (22.26)
Таким образом, для вычисления скорости получим следующее
основное выражение:
= — и; In м — 7/j — -^/2 — («п — мо) ,з> <22-27)
или, учитывая (22.19) — (22.21),
Г> 1 Г) Г ^О^УДО -
V= — gP3A. n In |Х — УоРуЛ 0 II----—----12 —
S (Рул. п Рул о) 73’
§ 22. Приближенный метод определения скорости
155
Из (22.27) видно, что скорость ракеты определяют сле-
дующие основные конструктивные параметры: р— отноше-
ние текущего веса к начальному; Руд п — удельная тяга
в пустоте; v0—отношение начального веса к начальной тяге;
рм—начальная нагрузка на мидель; Руд0—удельная тяга на
земле, или разность (Руд.п — Руд0) = ЛРуд, определяемая вы-
сотностью сопла двигателя.
В формуле (22.27) член —и'п In р определяет скорость
ракеты, движущейся при условии отсутствия притяжения
Земли и влияния атмосферы. Скорость истечения газов
(а следовательно, и тяга) будет в этом случае постоянной
и максимальной. Членом TIY определяется потеря скорости,
вызванная действием силы тяжести. Эта потеря является наи-
более существенной среди всех других и должна быть учтена
в первую очередь. Третье слагаемое составляет потерю
Рм
скорости на преодоление сопротивления воздуха. Относи-
тельная величина потери скорости на преодоление сопроти-
вления воздуха ~тем меньше, чем мощнее ракета.
Рм
Являясь важным фактором при определении скорости не-
больших ракет, эта потеря постепенно уменьшается, составляя
для дальних ракет 2-4-3% и даже еще меньше.
Так как ракета движется в атмосфере, причем давление
атмосферы с высотой переменно, то и тяга согласно (22.5)
будет переменной, увеличиваясь от минимального наземного
значения до максимального в пустоте. Поэтому произведе-
ние — // In р дает завышенное значение скорости. Последний
член уравнения (22.27) (я' — wo)/3 представляет соответ-
ствующую поправку, учитывающую это обстоятельство.
Если заданы все характеристики ракеты, то вычисление
первого члена уравнения (22.27) никаких затруднений не
вызывает. Вычисление второго члена уравнения (22.27) свя-
зано с определением численного значения /Р Для этого не-
обходимо знать g и sin 6 в функции р или t.
В первом приближении и с достаточным основанием (вы-
ебты на активном участке по сравнению с радиусом Земли
малы) можно считать g = const. Однако угол 0 нельзя ни
считать постоянным, ни принимать каким-либо средним зна-
чением, не рискуя сделать грубую ошибку. В то же время
156
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
известно, что зависимость О = 0(р), выбираемая с учетом
реальных ограничений, для всех дальних ракет имеет примерно
один и тот же характер. Известно также, что небольшие
изменения зависимости 0 = 0 (р) на конечную скорость влияют
незначительно.
Поэтому, желая избавиться от большого числа вариаций
зависимости 0 = 0(р) и тем самым облегчить вычисления и
сделать их применимыми для более общего случая, целесо-
образно принять для всех траекторий единую зависимость.
Если принятая зависимость после соответствующих расчетов
и сравнений с более точными методами покажет удовлетво-
рительную точность, то ее можно будет использовать во
всех дальнейших расчетах без изменения. Такая зависимость
может быть принята в виде кривой, на которую наложены
следующие условия.
До момента времени соответствующего началу криво-
линейного полета (началу «программы»), угол 0 = 90°. Зна-
чение относительного веса р в этот момент обозначим рР
Необходимый конечный угол наклона касательной к траек-
тории достигается в момент t2t соответствующий р — р2.
В этой точке производная угла 0 по времени (и по р) равна
нулю. В промежутке между p = Pi и р = |л2 угол 0 изме-
няется по квадратной параболе.
После р = р2 угол наклона касательной к траектории
остается неизменным до момента выключения двигателя.
Уравнение параболы удобно записать в виде
0 = А (р — р2)2 4- В (р — р2) 4- С. (22.28)
Коэффициенты А, В и С легко определить из указанных
условий. Для того чтобы задача была более конкретной,
необходимо задаться определенными значениями pj и р2, по-
стоянными для всех возможных случаев расчета. Можно
считать установленным, что вертикальный участок продол-
жается до значений р, близких к 0,95. Поэтому вполне
естественно принять pj = 0,95.
Далее, активные участки почти всех ракет дальнего дей-
ствия обладают тем свойством, что после р = 0,4н- 0,5
траектория либо прямолинейна, либо очень близко подходит
к прямой. В то же время значения рк больше, чем 0,3-?-0,4,
как правило, не встречаются. Исходя из этого, можно участки
траектории после р = 0,45 считать для всех ракет прямо-
§ 22. Приближенный метод определения скорости
157
линейными и отличающимися друг от друга только величи-
ной угла наклона, так что р2 = 0,45.
Поскольку выгодно вести стрельбу при оптимальных
углах, то 0К для разных траекторий будут разными. Таким
образом, потери скорости от силы тяжести будут функцией
конечного угла 6К и р.
Зависимость 0 = 0 (р) при параметре 0К, удовлетворяю-
щая всем перечисленным условиям, имеет вид
0 = 90°
при
1>Р>0,95,
0 = 4 (у-eK)(g-0,45)4-ек при 0,95>р>0,45,
(22.29)
0 = 0к
при 0,45 ^>р.
Графически зависимость 0 = 0 (р) представлена на рис. 22.2.
Значения интеграла
I
/х= | g sin 0 dp
и
158
Г л. VI. Методы проектировочного расчета
приведены в табл. 22.1 и на рис. 22.3, которыми и следует
пользоваться при проведении конкретных расчетов.
Интеграл /2 выражает влияние сопротивления воздуха:
I*
Для того чтобы вычислить этот интеграл, необходимо за-
0^2
ранее знать q — и h) в функции р. Для по луче-
§ 22. Приближенный метод определения скорости
159
ния этих зависимостей воспользуемся первыми двумя членами
уравнения (22.27), дающими скорость в функции р при
условии отсутствия атмосферы.
Обозначим
vt = — и'п 1п р, — TIV (22.30)
Тогда высоты, соответствующие этим скоростям, будут
t 1
>4 = J^sinO dt = T J* v1 sin 0 dp,. (22.31)
0 Ji
Таблица 22.1
— In JI л-А 1 сек2
6K = 30° eK=35° 0K = 4O° eK=45°
1,00 0,0000 0,000 0,000 0,000 0,000
0,90 0,1054 0,978 0,978 0,979 0,979
0,80 0,2231 1,887 1,899 1,910 1,919
0,70 0,3567 2,656 2,700 2,741 2,779
0,60 0,5108 3,283 3,381 3,472 3,555
0,50 0,6931 3,811 3,976 4,130 4,272
0,45 0,7985 4,058 4,259 4,447 4,620
0,40 0,9163 4,303 4,540 4,762 4,967
0,35 1,0498 4,548 4,822 5,077 5,313
0,30 1,2040 4,794 5,103 5,392 5,660
0,28 1,2730 4,892 5,215 5,519 5,799
0,26 1,3471 4,990 5,328 5,645 5,938
0,24 1,4271 5,088 5,441 5,771 6,076
0,22 1,5141 5,186 5,553 5,897 6,215
0,20 1,6094 5,284 5,666 6,023 6,354
0,19 1,6607 5,333 5,722 6,086 6,423
0,18 1,7148 5,382 5,778 6,149 6,493
0,17 1,7720 5,431 5,834 6,212 6,562
0,16 1,8326 5,480 5,891 6,275 6,631
0,15 1,8971 5,529 5,947 6,338 6,701
0,14 1,9661 5,579 6,003 6,401 6,770
0,13 2,0402 5,628 6,060 6,464 6,839
0,12 2,1203 5,677 6,116 6,527 6,909
0,11 2,2073 5,726 6,172 6,591 6,978
0,10 2,3026 5,775 6,228 6,654 7,048
0,09 2,4079 5,824 6,285 6,717 7,117
0,08 2,5257 5,873 6,341 6,780 7,186
0,07 2,6593 5,922 6,397 6,843 7,256
0,06 2,8134 5,971 6,453 6,906 7,325
0,05 2,9957 6,020 6,510 6,969 7,394
160
Гл. VL Методы проектировочного расчета
Назовем и у1 скоростью и высотой первого прибли-
жения. Зная и легко вычислить
1
/2= [
J 2 х р
в
При вычислении /2 вместо v будем подставлять vt;
р будем брать не по истинным значениям у, а по ур сх будем
также определять по и yv
Большое количество расчетов, проведенных с целью
определения /2, позволило установить следующую эмпири-
ческую зависимость: значения интеграла, соответствующие
одному и тому же значению скорости, нанесенные на график
в зависимости от величины *)
q = T /iFsin0K • IO"3, (22.32)
где «ср = («п + «о)/2. имеют незначительный разброс вокруг
некоторой средней кривой. Поэтому оказалось возможным
построить зависимость I2 — при параметре о (рис. 22.4 и
рис. I Приложения**)). Значения /2 получаются достаточно
близкими к действительным, так как скорости при вычисле-
нии /2 берутся завышенные (из первого приближения), а
плотности заниженные (из-за завышенных высот первого при-
ближения).
Таким образом, для определения потери скорости от
сопротивления воздуха достаточно вычислить
о — Т /«'psinOK • IO'3
и, взяв его в качестве параметра, найти /2 в зависимости
от заранее известной из первого приближения скорости
Полученное /2 надо умножить затем на величину -2—, ко-
Рм
торой характеризуется каждая отдельно взятая ракета. От-
*) При вычислении о по формуле (22.32) необходимо брать Т
в сек, а и —в м/сек.
**) В Приложении даны графики, которыми можно пользо-
ваться для проектировочных расчетов.
§ 22. Приближенный метод определения скорости
161
сюда видно, что потеря скорости на преодоление сопроти-
вления воздуха зависит от поперечной нагрузки. Чем больше
Рис. 22.4.
поперечная нагрузка, тем меньше потеря скорости при про-
хождении ракетой атмосферы. Поэтому рм желательно иметь
по возможности большим, не причиняя ущерба, однако,
другим летным характеристикам ракеты.
11 Р. Ф. Аппазов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
162
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
Нужно заметить, что при вычислении /2 для всех ракет
были приняты одинаковые коэффициенты сх. Это обстоя-
тельство. однако, не приводит к значительным ошибкам по
следующим причинам:
1) для всех ракет нормальной баллистической схемы
коэффициенты сх примерно одинаковы;
2) зависимости ^(44, Л), по которым ведутся точные
расчеты для конкретных ракет, сами по себе обладают зна-
чительными ошибками;
3) влияние сопротивления воздуха, вообще говоря, неве-
лико, в особенности для мощных ракет, предназначенных для
стрельбы на большие дальности. Поэтому ошибка за счет сх
оказывает незначительное влияние.
Последняя поправка (и'п — zQ/3 учитывает изменение тяги
с высотой. Для вычисления /3 необходимо знать зависимость
— = /(Ц). которая будет известна, если известна высота у
Го
в функции р. Было проведено большое количество расчетов
с целью определения /3, причем высоты у брались из вто-
рого приближения. Высотой второго приближения называем
высоту, полученную при интегрировании уравнения (22.4),
в котором скорость определяется по формуле (22.27) с уче-
том первых трех членов, т. е.
1
у2 — J [—z/'lnp. —TVj — -~^-/2j TsinGdp. (22.33)
В результате обработки этих расчетов удалось для вели-
чины т], равной *)
n = o,oou;p ]Z«'psineK/3,
установить эмпирическую зависимость от параметра v0 и
времени полета t. Эта зависимость изображена на рис. 22.5
и рис. II Приложения.
Параметр v0 вычисляется по одной из трех формул:
v0=^ = -2_ = ^.
и0 ^уд О Л)
♦) При вычислении q необходимо и'ср брать в
§ 22. Приближенный метод определения скорости
163
Таким образом, имея конкретную ракету, вычисляем для
нее v0 и находим для интересующего нас момента времени
параметр т]. Затем вычисляем /3 по формуле
h=-----------------------------г- . (22.34)
' 0,001«'р V и'ср sin ©к
Произведение — ку) лает искомую потерю скорости на
преодоление противодавления воздуха.
После определения всех потерь вычисляем по формуле
(22.27) окончательную скорость. На рис. 22.6 приводятся
11*
164
Гл. VI. Методы, проектировочного расчета
кривые, позволяющие на частном примере*) проследить за
изменением скорости в зависимости от р и соотношением
между отдельными членами формулы (22.27). На этом графике
вниз отложены потери скорости Дт^, Дт>2 и Д^3, отнесенные
к истинной скорости V.
Здесь обозначено: Дг^ — Т?!—потеря скорости на пре-
одоление силы тяжести; Д^2
Рм
/2— потеря
скорости на
преодоление силы сопротивления воздуха; Д^3=(к'—ко)^з—
*) При следующих начальных условиях: v0 = 0,577; Руд п =
= 288 К,г ; Ру, о = 240 ; р„ = 10000 Д-; 0к = 38° 20'.
кг/сек ’ уд0 кг/сек ’ ™ м2 к
§ 22. Приближенный метод определения скорости
165
Рис. 22.8.
166
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
потеря скорости на преодоление противодавления атмо-
сферы.
На рис. 22.7, 22.8, 22.9 дается сравнение отдельных
потерь (Д^, Дг/2, Д^3), вычисленных для этого же примера
двумя методами, а именно, численным интегрированием си-
стемы (22.2) — (22.4) и только что изложенным методом.
§ 23. Определение полной дальности
Для целей проектирования можно предложить несложные
зависимости, дающие возможность найти полную дальность
полета в функции скорости, достигнутой к моменту выклю-
чения двигателя, или, наоборот, потребную скорость для
достижения заданной дальности, не прибегая к расчету ко-
ординат конца активного участка. Предлагаемые формулы
не являются точными, но для первого приближения дают
вполне удовлетворительные результаты.
§ 23. Определение полной дальности
167
Выразим полную дальность как
L = kL3X.^
(23.1)
Здесь под Аэл понимается дальность, заключенная между
двумя радиусами МК и ЛШ, проведенными из центра Земли
и пересекающими траекто-
рию на ее восходящей и
нисходящей ветвях на высо-
те конца активного участка
(рис. 23.1).
Таким образом, коэф-
фициент k выражает отно-
шение полной дальности к
ее чисто эллиптической ча-
сти, определяемой дугой ED
вдоль поверхности Земли.
Термин «чисто эллиптиче-
ская часть траектории» мы
применяем лишь условно,
понимая под этим только
ю, что влияние атмосферы
сказывается на полет пре-
небрежимо мало. Дальность
полета, соответствующую
этому участку траектории,
определяем по формулам
эллиптической теории, о
которых речь шла в § 19.
Из всех схем расчета,
рассмотренных для этого
случая, воспользуемся толь-
ко одной, соответствующей
случаю стрельбы под оптималь-
ным углом (см. (19.31) и (19.33)):
(232)
откуда, учитывая, что £эл==2/?рв,
L = АЛЭЛ 2kR arctg —^к . (23.3)
2У1— vK
168
Г л. VI. Методы проектировочного расчета
Здесь *)
v2r
V =_____!£JL_
398620 ’
и2
Если принять rK= R, то vK— ^57 * Подставляя это значе-
ние vK в (23.3), получим
V2
L = 2kR arctg--------z .....- . (23.4)
15,82 V 62,57 — v2
Если дугу arctg-------- — взять в градусах, то
15,82 V 62,57—
v2
L = 222,4k arctg------, к . (23.5)
15,82/б2,57-v*
Величина коэффициента k не одинакова для различных
ракет, а зависит от скорости или дальности и от основных
конструктивных параметров, в первую очередь от тех, кото-
рыми определяется продолжительность, вернее, протяженность
*) В этой и последующих формулах следует vK выражать
в КМ •, a rK, R и L — в км.
сек
§ 23. Определение полной дальности
169
170
Г л. VI. Методы проектировочного расчета
активного участка. Такими параметрами являются Руц0 и vo«
влияние которых в совокупности можно заменить величи-
ной T = v0Pya0.
Для определения k на рис. 23.2 (рис. III Приложения)
приводится график k—k(vK) при параметре Т, построенный на
основании обработки большого количества точных расчетов.
Если формулу (23.5) переписать относительно <пК1 то найдем
<2з.б>
В (23.6) величина измеряется в градусах. Для опре-
деления k в зависимости от дальности на рис. 23.3 (рис. IV
Приложения) построен график k = k (L) при параметре Т.
По формулам (23.5) и (23.6) произведены расчеты и на
рис. 23.4 (рис. V Приложения) построена зависимость
L = /(^k), пользуясь которой можно решать прямую и обрат-
ную задачи баллистики.
§ 24. Конечные формулы для грубой оценки
дальности полета
В проектных баллистических расчетах иногда оказы-
вается полезным установить хотя бы весьма приближенную
зависимость летных характеристик ракеты от ее основных
конструктивных параметров, выражающуюся посредством
конечных формул. Такую зависимость можно получить, рас-
сматривая движение ракеты под действием лишь двух основ-
ных сил: тяги Р и веса О, считая, что ускорение силы
тяжести g имеет одно и то же значение (по величине и по
направлению) во всех точках пространства.
Направим ось х прямоугольной системы координат по
касательной к поверхности Земли в точке старта, ось
у — вертикально вверх. Будем считать, что в начальный
момент (при /=0) координаты и скорость ракеты равны
нулю. Движение будем считать плоским; таким оно и должно
быуь, если помимо сделанных допущений потребовать, чтобы
сила тяги в течение всего времени работы двигателя дей-
ствовала в одной плоскости. Угол, который эта сила соста-
§ 24. Формулы для грубой оценки дальности
171
вляет с плоскостью горизонта (с осью х), обозначим ср.
Тогда уравнения движения ракеты будут иметь вид
d2x
m —— — Р cos ср,
dtz
d2y п . п
m = Р sin <р — О,
at2 т
или
-^2-=^nCOS(p,
d^v
-^- = £(nsin<p — 1),
(24.1)
где через п обозначено отношение (перегрузка), которое
будем считать известной функцией времени ti = п (t).
Дважды интегрируя уравнения (24.1), получим:
dX f Z X z X J
= n(T)cos<p(T)rfT,
0
/ z
n(T)sinq>(T) dx — t
V о
и
х = g | п (т) cos <р (т) dx dxv
о б
/ * Т!
(24.2)
(24.3)
у —J J П (Т) Sin <р (т) dt dTt —1.
\ о о /
В
в
полученных двойных интегралах область интегрирования
плоскости переменных х и Т] представляет собой треуголь-
ник, определяемый неравенствами
Меняя порядок интегрирования, получим
х = g J | п (т) cos <р (т) dxr dx — g J (t — x)n (t) cos ср (t) dx
0 % 0
i?2
Гл. VL Методы проектировочного расчета
и, аналогично,
(t — т) п (т) sin ф (т) dx-------
Пусть время работы двигателя (продолжительность актив-
ного участка) равно ZK, так что
п (/) 0 при 0 t tK
и
n(t) — Q при t > tK.
Тогда для будут справедливы формулы
к
vx = g J п cos ф dx,
о
/ *к \
vy = g I f n sin ф dx — 11;
\o /
x = g J (t — t) n cos ф dx,
0
/ Zk X
if t2 I
y = g-l (t — x)ns\nqdx--------2" I,
4 0 '
(24.4)
где n и ф в подынтегральных выражениях являются функ-
циями т. Этими формулами можно воспользоваться, в част-
ности, для определения координат точки падения, подставляя
в них вместо t время полета до встречи с поверхностью
Земли tc (предполагая, конечно, что tc >
VxC — S f ПСО8фЛ,
о
/ к
vyC = g j j n sin ф dx —1{
\o
(24.5)
§ 24. Формулы для грубой оценки дальности
173
J (Zc — т) п cos <р dr,
о
Ус = ^
К
(/с — т) п sin ф dx
(24.6)
Для определения полного времени полета tc надо подставить
выражения для хс и ус в уравнение поверхности Земли
у = /(х) (24.7)
и решить полученное уравнение относительно tc. Пока не
будем конкретизировать вид функции f(x) в уравнении (24.7).
Естественно стремиться к получению максимальной даль-
ности полета ракеты. Поэтому решим следующую вариа-
ционную задачу: какова должна быть функция ф = <р (т),
чтобы абсцисса хс точки падения была максимальной. Для
этого найдем вариации Дхс и Дус за счет вариации 6ф.
Как обычно, можно написать:
bxc = t>xc-i-vxCMc,
дУс = бУс-!-®ус д^с«
(24.8)
где Д^с — вариация времени полета, Ъхс и бус — вариации
координат при фиксированном значении t=tc. Эти вариа-
ции равны
бхс — — g J (tc — т) n sin <р &p dx,
о
6yc = 8 J (*C — T)n cos Ф ^Ф
0
(24.9)
Исключая из уравнений (24.8) и (24.9) величины Д/с, бхс
и бус, получим
— vyC Дхс + VxC дУс =
= g J (tc — х)п (vyC sin ср 4- vxC cos ф) бф dx.
о
174
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
Кроме того, хс и ус связаны между собой уравнением
поверхности Земли,
Ус —/(хс)*
а поэтому
дУс = f (*с) Дхс- (24 •1 °)
Таким образом,
[— ®yC + ^xcf (*с) 1 ДхС =
'к
— g J (tc — х)п (vyC sin <р 4~ vxC cos ф) 6ф dx.
О
Необходимым условием экстремума величины хс является
тождественное обращение в нуль первой вариации Дхс, дру-
гими словами, выполнение равенства
J (fc — (VyC sin Ф + VxC C0S ф) бф Л = 0.
0
На вариацию dtp в нашей постановке задачи не наклады-
вается никаких ограничений, так что применима основная
лемма вариационного исчисления, из которой следует, что
угол (р должен удовлетворять уравнению
*yyCsinq) + 4yjrCcos(p = 0, (24.11)
по крайней мере для тех значений г, где п ¥= 0, а только
такие значения нас и интересуют. Значение <р, удовлетво-
ряющее условию (24.11), обозначим через (р0. Условие (24.11)
можно переписать в виде
tg Фо = —= —ctg0c,
где 6С— угол, составленный вектором скорости в точке
падения с осью х. Отсюда следует:
Ф0=ес±-^.
Таким образом, для достижения максимальной дальности
полета необходимо, чтобы в течение всего времени работы
двигателя направление тяги оставалось неизменным, причем
§ 24. Формулы для грубой оценки дальности
175
таким, чтобы направление скорости ракеты в момент ее
встречи с поверхностью Земли оказалось перпендикулярным
к направлению тяги. Изучим подробнее этот оптимальный
режим движения ракеты.
Введем обозначения:
|п<7т=Л7, (24.12)
О
(24.13)
о
При <р = <р0= const выражения (24.5) и (24.6) можно
переписать в виде
Vxt^gN c°s<p0-
t'yc = S’(/Vsin<p0— tc)\
(24.14)
xc = g(Ntc- A/^cos^o.
/2
Ус = £ (Ntc — Wi)sin % ~
(24.15)
Подставим выражения (24.14) для vxC и vyC в уравне-
ние (24.11), которому должен удовлетворять оптимальный
угол ср0. Получим
g (N sin % — /с) sin ф0 4- gN cos2 ф0 = 0.
или
N — tc sin ф0 = 0, (24.16)
откуда
tc = —^—. (24.17)
с sin фо 4
Это выражение для tc подставим в формулы (24.15) для
координат точки падения:
хс = ^(^-Л/1)со8фо. (24.18)
= • (24-19)
176
Г л. VI. Методы проектировочного расчета
Вместо величин N и в дальнейшем будет удобнее
воспользоваться безразмерными величинами
« = (24.20)
(24.21)
К
где R — радиус Земли. В этих обозначениях
7V2 — Д7 _
g ’ 1 g
и
хс = /?ftctgq)0(l —asin<p0), (24.22)
Ус = у£П7^(2 81п2Ф°—2os|n3<jp°— 1). (24.23)
Уравнение для угла <р0 может быть получено в резуль-
тате подстановки этих выражений в уравнение земной поверх-
ности (24.7). Если считать Землю шаром радиуса /?, то это
уравнение (точнее, уравнение сечения земной поверхности
плоскостью стрельбы) имеет вид
у=—у/?2 —X2.
Вместо него будем пользоваться приближенным уравнением,
получающимся, если R2— х2 разложить в ряд по степе-
ням x/R и ограничиться двумя членами этого разложения:
у=-я+я(1 -зЙ-).
ИЛИ
X2
У — ^R- <2424)
Вывод этого уравнения оправдывает его использование
при малых х. Однако применение этого же уравнения и для
больших х не лишено оснований. Известно, что в централь-
ном поле силы тяжести тело, брошенное по касательной
к поверхности Земли с начальной скоростью т/0 = Уй’Я,
будет все время двигаться по круговой орбите вдоль этой
поверхности. В рассматриваемом поле силы тяжести тело,
которому в начале координат сообщена та же скорость v0
в горизонтальном направлении, будет двигаться, как легко
определить, по параболе, описываемой уравнением (24.24).
§ 24. Формулы для грубой оценки дальности
177
Таким образом, эта парабола в некотором смысле является
аналогом поверхности Земли для тел, движущихся с началь-
ной «круговой» скоростью vQ.
Подставляя в уравнение (24.24) вместо х и у выраже-
ния (24.22) и (24.23) для хс и ус, получим
2s^o (2 sin2 Фо—2а sin3 ф0-1) = — (1 — a sin ф0)2.
или
2 sin2 ф0 — 2asin3<p0— 1 =— b cos2 <р0 (1 —a sin <р0)2.
Заменяя cos2(p0 на 1 —sin2 <р0 и перенося все члены в правую
часть, приведем это уравнение к виду
a2£sin4q)04“2#(l —#) sin3<p0— (2 — £-]—o2£)siii2€p0—f—
—|—2б^А> sin ср0 —|— 1 — £> = 0. (24.25)
Это уравнение легко может быть решено тем или иным
численным методом. Довольно быстро сходится, например,
итерационный процесс, основанный на формуле
51Пф0= [у^-у(а2^>5!п4фо+2л(1 —&)5!п3ф0 —
И/2
— a2£sin2(p0-|-2fl#sin(p04- 1—6)1 , (24.26)
вытекающей из уравнения (24.25).
Итак, если задан закон изменения перегрузки n(t), то
формулы (24.12) и (24.13) для /V и A/lf (24.20) и (24.21)
для а и Ь, уравнение (24.25) для ф0 и, наконец, формулы
(24.22) и (24.23) позволяют определить координаты хс и
ус точки падения ракеты. Координату хс можно считать
приближенным значением дальности полета, во всяком слу-
чае для малых дальностей, где уравнение (24.24) достаточно
хорошо описывает форму поверхности Земли.
Чтобы получить лучшую точность и для больших даль-
ностей, рассмотрим предельный случай мгновенного сжига-
ния топлива (/к—>0). В этом случае интеграл N имеет ко-
нечное предельное значение, связанное со скоростью в конце
активного участка соотношением
12 Р- Ф. Аппазов. С- Q. Лавров, В. П. Мишин
178
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
(см. формулы (24.4)). Для интеграла на основании фор-
мулы (24.13) получаем
N1 = | пх < J nt* dx — Nt*
о о
и, следовательно, предельное значение /Vb а вместе с тем
и а, равно нулю.
Формула (24.26) дает при я = 0
s,n(Po=]/
после чего по формуле (24.22) получаем
ЙЬ
xc=y^i-- (24 27)
При мгновенном сжигании топлива координаты х* и ук,
очевидно, равны нулю. Задача об определении максимальной
дальности полета в условиях эллиптической теории была
решена в § 19 гл. V. Для случая rn — rc — R была полу-
чена формула (19.33):
tg ОПТ == 1 VH *
где
_ VHrH _ _SN'2
V" k gR2 R °'
Из формул (19.31) и (19.33) следует:
fр. Рс шах Ь
2 ^VT^-b ‘
Сопоставляя эту формулу с формулой (24.27), получаем
в х
to- С max _ С
ё 2 ~ 2R ’
откуда, принимая во внимание, что при хк — ук —О
L — l3n — R$c,
находим
L— 2R arctg -Jh- • (24.28)
4i\
§ 24. Формулы для грубой оценки дальности
179
Эту формулу, устанавливающую соотношение между даль-
ностью полета L в условиях эллиптической теории и коор-
динатой хс, вычисленной описанным выше методом, целесо-
образно применять и при а =/= 0. Объединяя формулы (24.28)
и (24.22) в одну, получим
L = 27? arctg [-у ctg <р0 (1 — a sin q>0)] •
Изложенный метод в чистом виде является слишком гру-
бым для определения дальности, главным образом потому,
что в нем не учитываются потери скорости (а следовательно,
и дальности) на преодоление сопротивления воздуха движе-
нию ракеты. Однако уже формула
£ = 0,75хс
дает для дальностей до 5000 н-7000 км ошибку, не превы-
шающую 10% при изменении конструктивных параметров
ракеты почти во всем диапазоне практически разумных
значений.
Остановимся теперь на вопросе о выражении интегралов
/V и TVj через конструктивные параметры ракеты. Рассмот-
рим случай составной ракеты, состоящей из m ступеней.
Обозначим тягу двигателей Z-й ступени через секундный
расход топлива на Z-Й ступени через Gz, начальный вес i-й
ступени через Go/, время конца работы Z-й и (для I < т)
начала работы (Z-|- 1)-й ступени — через tKi. На протяжении
работы Z-й ступени, т. е. при ZK/_1<Z^ZKf, величины
и С/, будем считать постоянными. Тогда при /к
для перегрузки n(t) получаем выражение
л(0 =
Л _ Pi
Gai I-1)
или
z ^УД i
n (0 Ti — t ’
где РУд z = — удельная тяга двигателей l-И ступени,
Gi
Л = (24.29)
Gi
12*
180 Гл. V/. Методы проектировочного расчета
В этих обозначениях
'к гп I г>
«=/ = J ^jdt.
0 / = 1<к/-1
m 'к/ р .
".=2 \
1=1 'к i-I
Но
J ^_rf/ = _pyjiln(T-Z),
с Py.t С руд17'—(7’ —О]
J T=tdi = J Т-1-----------^=Pyfl[-Tln(7'-/)-fl.
Отсюда следует, что
(24.30)
m
Z-l
t«i] • (24.31)
§ 25. Проектировочные расчеты с использованием
электронных вычислительных машин
Эффект от использования электронных вычислительных
машин особенно велик при решении таких задач, которые
требуют многократного обращения к одному и тому же
алгоритму, являющемуся наиболее трудоемкой частью общего
расчета. Проектно-баллистические расчеты, проводимые
с целью выбора основных конструктивных параметров ракеты,
относятся как раз к такого рода задачам.
В самом деле, если требуется, например, исследовать
влияние на дальность полета ракеты только трех каких-либо
независимых параметров и при этом каждому из этих пара-
метров придать хотя бы пять значений, то количество воз-
можных сочетаний параметров будет равно 53=125. Для
f 25. Использование вычислительных машин
181
каждого из этих сочетаний необходимо выбрать траекторию,
реализующую максимум дальности. Если принять, что доста-
точно пяти расчетов для отыскания оптимальной траектории,
то общее количество расчетов траекторий будет равно
5- 125 = 625.
Основную часть времени займет интегрирование системы
дифференциальных уравнений движения, повторяемое 625 раз.
Сведя полученные результаты в определенную систему, удоб-
ную для анализа (сетки кривых или таблицы), можно выбрать
наиболее выгодное сочетание интересующих нас параметров.
В некоторых случаях на машину можно возложить и реше-
ние экстремальной задачи по какому-то числу параметров,
не вычисляя сеток, а применяя один из известных методов
поиска экстремума по многим переменным.
В подобных случаях ради экономии времени рекомен-
дуется выводить на печать не все получаемые траектории,
а только конечные результаты расчетов, и лишь для несколь-
ких вариантов можно вывести траектории для использования
их в расчетах нагрузок, устойчивости движения и управляе-
мости, при проведении тепловых и аэродинамических расче-
тов и пр. Как правило, для целей выбора проектных пара-
метров используется система уравнений движения (14.25),
написанная в предположении идеальной системы управления
(а0 = оо), но учитывающая наличие углов атаки. Программа
угла тангажа для одноступенчатой ракеты задается в виде
однопараметрического или двухпараметрического семейства
кривых, причем за один параметр принимается максимальная
величина угла атаки на дозвуковом участке траектории, а за
второй — начало разворота оси ракеты по тангажу*).
Для двухступенчатой ракеты появляется возможность
варьирования еще двумя параметрами программы: начальной
величиной угла тангажа на второй ступени и угловой ско-
ростью, принимаемой за постоянную величину для данной
траектории.
Совершенно аналогичные расчеты проводятся для выявле-
ния влияния отклонений в сравнительно небольших пределах
основных конструктивных параметров на дальность полета.
Полученное изменение дальности, отнесенное к приращению
*) О задании программы угла тангажа см. подробнее в части
четвертой.
182
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
исследуемого параметра, приравнивается соответствующей
производной, если решать задачу в линейной постановке.
Следует только заметить, что при проведении подобных
расчетов программа угла тангажа не должна приниматься
для возмущенных траекторий такой же, как для невозму-
щенной, а каждый раз должна выбираться из условия обес-
печения максимума дальности. Полученные в результате та-
ких расчетов производные могут быть использованы и
в некоторых других проектных задачах. Пусть требуется,
например, установить между какими-то двумя конструктив-
ными параметрами и Л2 соотношение, отвечающее посто-
янству предельной дальности полета. Отношение произ-
водных
__ 0L / dL dKj
дК2 • d\2
и дает нам нужную величину без проведения дополнительных
расчетов. Обычно при проектных расчетах интересуются
средними значениями летных характеристик ракеты, и поэтому
влиянием вращения Земли пренебрегают. Однако при про-
граммировании задач для машинного счета в уравнениях дви-
жения рекомендуется сохранять соответствующие члены,
так как в ряде случаев исследования с учетом вращения
Земли являются очень нужными. В остальных случаях лиш-
них операций можно избежать, задавая в исходных данных
угловую скорость вращения Земли равной нулю.
Во многих случаях определение полной дальности полета
целесообразно проводить не с помощью перехода к форму-
лам эллиптической теории, а продолжая интегрирование
уравнений движения до момента встречи с Землей. При
этом удобнее для расчета активного и свободного участков
полета пользоваться одной и той же системой уравнений
движения, исключая при расчете свободного участка траек-
тории члены, связанные с работой двигателя и системы
управления (задавая, например, тягу равной нулю).
При машинном счете наиболее удобен метод интегриро-
вания Рунге — Кутта, причем шаг интегрирования должен
выбираться автоматически, исходя из заданной точности
расчета. Это гарантирует и от неэкономного расходования
машинного времени (если шаг задан очень маленьким) и от
недостаточной точности расчета. В остальном надо придер-
§ 26. Определение скорости встречи ракеты с целью
183
живаться рекомендаций, общих для расчетов траекторий при
любой принятой системе уравнений движения и приведенных
в гл. VII, а также в гл. XI—в отношении выбора про-
граммы угла тангажа.
§ 26. Определение скорости встречи ракеты с целью
Часто бывает важно определить скорость встречи ракеты
с целью, так как с этой скоростью связаны условия движе-
ния ракеты перед встречей. Это можно сделать следующим
способом, принадлежащим проф. В. П. Ветчипкипу [1].
Пусть при входе в атмосферу на нисходящей ветви тра-
ектории ракета имеет следующие начальные параметры дви-
жения: высоту Лн, скорость wH и угол наклона вектора ско-
рости к местному горизонту Он ♦). Примем траекторию
ракеты на атмосферном участке прямолинейной. Это не
внесет большой ошибки в расчет, так как истинная траекто-
рия незначительно отклоняется от прямолинейной. Далее
заменим коэффициент сопротивления сх его средним значе-
нием и будем пренебрегать зависимостью g от высоты.
Таким образом, делаем допущения
ft = Он == const,
сх == сх Ср == const,
£ = £Ь= const.
Уравнение движения на атмосферном участке будет иметь
вид
X I . л слсрРо$ Р 9 : а /г>/? i\
—7Г=--------h^’sin6' =-------£------rosinftH, (26.1)
dt m ' 2m р0 1 н 7
где ш—масса ракеты; S — площадь миделя; р—плотность
воздуха на высоте; р0 — плотность воздуха у земли.
Уравнение движения можно записать так:
dv dv dh CjrcpPo-S P 9 , . «
=-------+ (262)
*) В этом параграфе для удобства расчетов положительное
направление отсчета угла ft принято от горизонта по часовой
стрелке.
184
Г л. VI. Методы проектировочного расчета
здесь h — высота ракеты над поверхностью Земли; ——отно-
Ро
сителъная плотность воздуха.
Очевидно, что
— wsinftH. (26.3)
Подставляя (26.3) в (26.2), получим
• CL Сх СР Р 9 -а
•V Sin VH -ТГ- = —~------V2 — gQ sin (L,
н dh 2m p0 H
или
dty*) cx^pQS p
—77— =------v—n----v2 — (26.4)
dh msin^H p0 u 4 7
Обозначим
__ cx cp Po ____ £Po cx cp
2 sin •0*1I m 2 sin Фн pM ’
где
___________________________G Г 1
Рм~~ s M
Тогда уравнение (26.4) примет вид
rf(v2) _
dh ~
2ЛТ’г'2_ 2^°-
Po
Интегрируя это уравнение от h = hn до Л = 0, найдем
окончательное выражение для скорости встречи с целью
лн h
-2ft f ^-dh й -2ft f v_dhx
J Po “ J Po *
= 0 -|-J 2^0e 0 dh. (26.5)
о
Учитывая, что при сделанных допущениях
ft h р
f ±-dh = - f —L f dp==Po-Pt
J Po J £Po SPo J ^Po
0 0 Po
формулу (26.5) можно записать следующим образом:
-сжср(Рр-Рв) Лн схср(Рр-Р)
= ₽Ms,nftH -]-2^| е рм81п#н dh. (26.6)
о
§ 26. Определение скорости встречи ракеты с целью
185
По формуле (26.6) был произведен расчет и построены
графики (рис. 26.1—26.3 и рис. VI—VIII Приложения).
При этом за начальную высоту прямолинейного участка при-
нималась та высота, на которой при заданной начальной
60
40
го
VfT /ОООУсеп
иг&ЮМжп
Vr500D4teK
v,r WOOtycen
ь„= 3000м/сек
и^гШсен
- ия=Ю00%ек
0 OJ/OOOO 0.000/0 0000/6 0.00030 600035 0,00030 k
Рис. 26.2.
скорости vH ускорение от сопротивления воздуха составляет
от ускорения, сообщаемого ракете силой тяжести, т. е. равно
0,1£'sin sin йн.
186
Гл. VI. Методы проектировочного расчета
Таким образом, высота находится из равенства
1 Р 2 * П
Ъ— Сх со Ро — О — Sin VH,
2/И х СР ° р0 “
следовательно,
-Р- == _2G_sin_^H 1 . (26.7)
Ро Wx ср S®n kv«
По уравнению (26.7) построен график уи = f (k, vH) (рис. 26.2).
Расчет скорости vc по приведенным графикам произво-
дится следующим образом. Зная для данной ракеты сЛср и
рм, а также угол 0н, равный углу в конце активного
участка, из графика рис. 26.1 (рис. VI) находим k. Из рас-
чета активного участка должны быть известны vK и ук. Из
графика рис. 26.2 (рис. VII) по г/к и k находим ун; наибо-
лее вероятно, что значение ун не будет равно ук. Тогда
определяем новое значение скорости по формуле
^H = ^K-b g(Vyil) • (26 8>
VK
По новому значению скорости ин и величине k из графика
рис 26.3 (рис. VIII) находим скорость встречи vc.
и > —
Ч сен
6000
4000
2000
о
ин=7000“/сеп
ин=6Жм/сек
Ъ=5Шсек
ьн~тм/сек
ин=2000*/сеп
________________________________ у^000м/сек
' 0.00005 0.00010 0,00015 0,00020 0,00025 0,00030 h
Рис. 26.3.
Расчеты, проведенные по графикам, показывают, что
ошибка в определении vc по сравнению с численным интег-
рированием вполне допустима для проектировочных расчетов.
Глава VII
Поверочные баллистические расчеты
После того как при помощи изложенного выше метода
проектировочного расчета выбраны главные конструктивные
GK
параметры ракеты: Нк = -7^ — отношение конечного веса
к начальному; Руд. п — удельная тяга в пустоте; Vp=-p^-—
Go
стартовое отношение веса к тяге; рм = —^~— нагрузка на
мидель; ДРуд = Рул. п — Рул. о — высотная характеристика
сопла, выраженная как разница между удельными тягами
в пустоте и у земли; сх(М)— закон сопротивления, можно
приступить к более полному и детальному проектированию
с дальнейшим уточнением перечисленных параметров.
Этим более точным данным должны соответствовать и
более точные расчеты, которые проводятся по уравнениям
движения, полученным в первой части. Наиболее подходящими
здесь являются системы уравнений (14.30) и (14.25) для рас-
чета активного участка траектории и системы уравнений
(15.19) и (15.12) — для расчета свободного участка.
Одновременно с этими расчетами проводится выбор
«программы» или формы траектории, по которой должно
осуществляться движение на активном участке и в соответ-
ствии с которой проектируются приборы, задающие ракете
это движение. Вопросы, связанные с выбором программы,
будут рассмотрены в четвертой части книги.
После уточнения главных конструктивных параметров
ракеты и выбора программы производятся поверочные рас-
четы, учитывающие некоторые особенности системы упра-
вления, более полную схему действия сил и, если нужно,
конкретную точку старта и направление стрельбы. Наиболее
подходящими для этой цели являются системы уравнений
(14.20) — (14.23) и (16.18) для расчета активного участка
траектории и система уравнений (15.3) — (15.7) — для расчета
участка свободного полета. На основании этих расчетов
188
Гл. VII. Поверочные баллистические расчеты
составляются предварительные таблицы стрельбы и прово-
дятся летные испытания спроектированной ракеты.
При расчете траектории прежде всего необходимо выбрать
ту или иную систему дифференциальных уравнений, исходя
из требуемой точности* определения дальности полета и дру-
гих интересующих нас элементов траектории и в соответ-
ствии с наличием и точностью исходных данных, потребных
для проведения расчета. Соответствующие рекомендации
по применению той или иной системы уравнений движения
были даны при выводе этих уравнений.
В настоящей главе рассмотрим конкретные системы наи-
более употребительных для расчета уравнений и дадим
рекомендации для проведения численных расчетов.
§ 27. Расчет активного участка траектории
Одной из наиболее полных для расчета активного участка
траектории является система уравнений (16.18):
= ^ip — cxqS)~ gsinO — yg-cosG,
1 f а Г Zj— Хд 1
-~rr= — I — P— TCjo + j----“CtfS —gcosO +
dt v I m [ 1 Zi — xT J s 1
+ jr g sin 0 | -J- 2co3 cos фг sin ф,
rfa 1 f p Г Zf — x„ I )
—- = —] — P— ------c tfSH-agsinO?—
dt v [ m [ ’ Zl—хт у1 J 1 & J
— 2<o3(sin <pr cos 0 — cos (pr cos ф sin 6),
dx Q
—- = cosO,
(27.1)
dy - Л
_^_ = ^sin(3,
dt
dz
~dt
vo.
Здесь
t
niQ — [ tn dt,
d
где fn0—масса ракеты в момент отрыва от пускового стола.
£ 27. Расчет активного участка траектории
189
Значение т0 не совпадает с массой полностью заправлен-
ной ракеты, а меньше ее на величину так называемого до-
стартового расхода, под которым понимается масса топлива,
расходуемого до момента отрыва ракеты от пускового стола.
Этот момент характеризуется равенством тяги и веса ракеты,
а соответствующее количество топлива, израсходованного
до этого момента, определяется на основании имеющейся
статистики по результатам стендовых испытаний двигателей.
Таким образом, за нуль времени в баллистических расчетах
принимается момент отрыва ракеты от пускового устройства.
Секундный расход массы m определяется характеристи-
ками двигательной установки. При расчете должно быть
учтено изменение m в зависимости от баллистических пара-
метров движения и зависящих от них изменений условий
подачи топлива для каждого компонента в отдельности. Учет
характера нарастания ш после включения двигателя и паде-
ния m после выключения двигателя обязателен.
Тягу определяем по формуле
P=_^(P0_|-Sap0) — Sap = c,~--------с2—. (27.2)
mQ pQ
где для величин, не изменяющихся во время полета, введены
обозначения
Cj — Р() -|~ ЗдРо»
с2 = SaPo>
Р0 и /и0 — номинальные значения тяги и секундного расхода
массы на земле. Формула (27.2) учитывает дроссельную (для
малых изменений расхода) и высотную характеристики дви-
гателя. Отношение ~~ берется из таблиц стандартной (нор-
мальной) атмосферы в зависимости от высоты полета.
Лобовое сопротивление газовых рулей равно
^1р = 4Qpo -|- X (dj 262 6з) -4- 4Z —
= 4 (<2ро + К + X (di -р 2б| 61),
где Qpo и X определяются экспериментально; а — средняя
амплитуда колебаний рулей вокруг программного положения.
190
Гл. VII. Поверочные баллистические расчеты
Так как в расчет углы отклонения рулей / и 3 не вхо-
дят, то для определения суммарной потери тяги на рули
пользуемся формулой
*1Р = 4 (<2ро + X 4) +
где обозначено
^з=4(^+х4).
с4 = 2Z.
Член cxqS для удобства расчетов представляется в не-
сколько ином виде:
cxqS = v2cx,
Ро Ро
где обозначено
сх берется в зависимости от числа Маха М (или величины
где а0—скорость распространения звука у земли)
и числа Рейнольдса (или высоты полета) с поправкой на
угол атаки; отношение — берется из таблиц стандартной
Ро
атмосферы в зависимости от высоты полета.
Ускорение силы тяжести g рассчитывается по формуле
R2
где ускорение силы тяжести у поверхности земли gQ следует
определять в зависимости от географической широты точки
старта <рг по формуле
g0 = 9,7805 + 0,0519 sin* <pr .
Высота полета ракеты над поверхностью Земли опредеч
ляется по формуле
h = у АЛ,
где
27. Расчет активного участка траектории
191
Если дальность активного участка слишком велика, то высоту
следует подсчитывать так:
h = }Л(/? 4-у)2-f-№ + г2 — R.
где
= 6371 км.
Ц—,
Член ------c'qS удобно записать в несколько ином виде:
it—хт У
T^rc>s = c5-rv2-f—r с’у- (27-3>
т~т
дСу
Здесь су — -fa- и са берутся из таблиц аэродинамических
коэффициентов *) в зависимости от числа Л4; у-величина,
постоянная для ракеты; -у берется из графика или таблицы *),
которую удобнее всего иметь в зависимости от массы ракеты.
Для интегрирования уравнений движения (27.1) приме-
няется метод Адамса. Для расчета начальных точек приме-
няется метод последовательных сближений, предложенный
акад. А. Н. Крыловым, который рекомендовал метод Адамса
для решения основной задачи внешней баллистики. При ин-
тегрировании уравнений движения (27.1) необходимо поль-
зоваться некоторыми конечными соотношениями:
р — — А (о — Yi sin 0 4- у2 cos 0),
а = Л(фпр —y3—0),
Д<р = — (1 — Л) (<рпр — у3 — 0),
|де через А обозначена величина
д__________2a0R' (lt — хт)_______
2д0/?' (/1 — хт) 4- c'yqS (хд — хт)
7’j-I'
*) Составляются в процессе проектирования ракеты в виде
весовых, центровочных и аэродинамических расчетов.
192
Гл. VII. Поверочные баллистические расчеты
Здесь а0—коэффициент статической зависимости между
углом отклонения оси ракеты и углом отклонения газовых
рулей 2 и 4:
б2 = 64 = а0 Д<р.
Значение aQ зависит от характеристик системы управления
и органов управления и должно быть задано. Уравнения
настоящего параграфа допускают как постоянное, так и пере-
менное значение а0. Далее, R'—производная подъемной
силы газового руля по углу его отклонения. R' зависит
от конфигурации и площади газового руля и характеристик
газовой струи. Считая углы отклонения рулей небольшими,
а характеристики струи и самих рулей неизменными в полете,
можно R' принять каким-либо средним значением. В дейст-
вительности из-за обгорания газовых рулей и изменения
характеристик струи R' не остается постоянной величиной,
но это изменение, как показывают опыты, невелико.
Необходимые для расчетов значения ур у2, у3, учиты-
вающие вращение стартовой системы координат, вычисляются
по формулам (16.4):
Yj = о)3/ cos фг cos ф,
v2 = sin <РГ.
Y3 = — co3Z cos <pr sin ф,
(27.4)
где
(o„ = 7,2921 • 10-4-L];
з l сек J
<pr — широта точки старта; ф — азимут направления стрельбы.
Истинное положение оси ракеты определяется углами
<р=ФпРН-Дч).
£ — (1 — Л) (о — Yi sin 0 + Y2 cos 0)-
Третье и шестое уравнения системы (27.1) можно инте-
грировать с некоторого момента t 0. В качестве такого
момента рекомендуется выбрать конец вертикального участка
с начальными условиями
0 = 9О°-у3,
o = Yi-
J 27. Расчет активного участка траектории
193
Во всех расчетах программное изменение угла наклона
оси ракеты (рпр должно быть задано в виде таблиц с интер-
валом, равным шагу численного интегрирования.
Уравнения движения, полученные в § 14, отличаются
от уравнений § 16 только отсутствием члзнов, учитывающих
уход гироскопов по отношению к земной системе координат
вследствие вращения последней. Поэтому все расчеты не-
сколько упрощаются. Сама система уравнений имеет такой вид:
= — (Р— — cxqS) — g’sinO— х — cos0,
dt m lp & / & r
L ll.
— g cos 0 -|- x у sin 014- 2co3 cos <pr sin ip,
lx
do 1 f P Г T ~Cjl , 1
— — — < — P —;----------------c aS H-cg' sin 6 } —
dt v 1 tn [ *P 1 It лт yz J 1 b )
T~'T
- 2(o3 (sin <pr cos 0 — cos €pr cos ip sin 0),
dx n
—— — v COS0,
dt
sin 0,
dt
(27.5)
где
ct= Д (fpnp —0), 0 = _ До,
^(т"т)
Л)'
б2=х а0Дф,
Дф=—(1 — Л) (<рпр — 0),
Ф = ФпР4- Л<Р-
13 Р- Ф- Аппазов. С. С. Лавров. В. П. Мишин
194
Гл. VII. Поверочные баллистические расчеты
Все сказанное относительно вычисления отдельных вели-
чин для системы уравнений (27.1) и ее интегрирования
остается в силе и для системы (27.5).
Для расчета активного участка траектории без учета
вращения Земли и в предположении «идеальной» системы
управления (а0=оо) надо воспользоваться системой урав-
нений (14.25):
-^-== <р - - ^1Р — wS) - g sin e — у g cos e.
dO I
~dt v
i i
— geos 0-|- y-gsin0
ил Л
= v COS 0,
= v sinO,
at
a=(pnp—0.
Если изменение 0 по времени заранее известно, а про-
граммное изменение направления оси неизвестно, то вторым
уравнением написанной выше системы можно воспользоваться
для определения а и фпр:
/ о х Д
m -|-gcose — — gsinOj
a= *Д , ’
<Pnp=^0-t a-
Упрощения, в результате которых была получена последняя
система, позволяют в расчетах пренебрегать изменением
секундного расхода массы и изменением потерь тяги на газо-
вые рули в зависимости от их отклонения и принимать их
средним значением (Аг1р=Аг1рср—средняя потеря тяги на
газовые рули). Точно так же и сама тяга определяется без
учета этих изменений, с учетом только высотной характери-
стики двигателя
§ 28. Расчет пассивного участка траектории
195
При необходимости определения угла отклонения про-
граммных рулей можно воспользоваться выражением
с'9$(хд — хт)
&2~ 2R'(l,~xT) (<Рп₽
Наконец, наиболее простой системой уравнений движения
является система (14.30):
^Г = -^р— *!₽— cx4s>~ £sin<pnp,
dx
— = t,COS<pnp.
dy
-^=-У5.Пфпр,
получающаяся из системы уравнений (14.25), если пренебречь
х
углом атаки а и членом
Так как система уравнений (14.30) применяется для при-
кидочных расчетов, необходимых главным образом при про-
ектировании ракеты, многие параметры и исходные данные
могут быть не вполне точными. Поэтому здесь нет смысла
учитывать нарастание тяги после включения. Секундный
расход и потеря тяги на газовые рули принимаются на всем
активном участке постоянными. Изменение сх в зависимости
от высоты можно также не учитывать. Благодаря этим осо-
бенностям шаг интегрирования может быть выбран достаточно
большим, т. е. до 4н-5 сек, а иногда и более.
§ 28. Расчет пассивного участка траектории
В § 15 было указано, что главными факторами, влияющими
па совпадение расчетной дальности с фактической, являются
совершенство системы управления и точность расчета участка
свободного полета. При идеальной работе системы управле-
ния дальностью любая ошибка в расчете участка свободного
полета приведет к расхождению между расчетной и факти-
ческой дальностью. Поэтому большая точность расчета
участков свободного полета при стрельбе в намеченную цель
пли при составлении таблиц стрельбы является совер-
шенно необходимой. Такой точности удовлетворяет система
13*
196
Гл. VII. Поверочные баллистические расчеты
уравнений (16.22):
dvx . P Sr z ,
= — kc* — Wj.--------(x — Xr)-------to- +
dt Po <o3 1
an (x — xc) 4- a12 (y — yc) 4-
4- «и (z—zc) 4 ^y + ^13^’
- — (У - yc) —— <03y +
+ с21 <Л - Xc) + a22 (y — yc) +
-i" fl23 (z — zc) H- ^2ivx H~ ^23®z>
gf f X g{& .
^“>3,+
dvv
~dt
dvz
~~di
. Р Sr . .
Ьсх-^1‘иъг — — (<г — гс)
+ Озз (Z — zc) + + />32г>у,
(28.1)
dx
dy
dz
~dt
где
SPo .
2m
xc — aa sin 2фг cos яр,
yc = —g(1 —asin2<pr),
zc = — aa sin 2фг sin ip;
°u = (sin2 % c°s2 4 sin2 Ф)’
a21 — al2 = — со| sin <pr cos фг cos яр,
a13 — a31 = co| cos2 фг sin яр cos яр,
a22= to2 cos2<pr,
^23 = «32 = ®3 sin Фг C0S <Pr Sin Ф«
a33 — co2 (sin2 <pr 4- cos2 фг cos2 ip)t
Л[2 = — b2l = — 2to3 cos <pr sin яр,
Ь13 = — ft3i = — 2®3siii<jPr.
t>23 = — ^32 = 2й)3 C0S % C0S Ф-
§ 28. Расчет пассивного участка траектории
197
Все эти величины для данной траектории являются постоян-
ными и их значения вычисляются заранее; сх определяется
по таблицам аэродинамических коэффициентов в зависимости
от числа М (или величины w) и высоты. Зависимость сх от
угла атаки не учитывается, так как полет предполагается
происходящим без угла атаки.
Значения и определяются по таблицам стан-
дартной атмосферы в зависимости от высоты.
Составляющие ускорения силы тяжести g'r и g вычи-
сляются по формулам
g'r=^-— -£(5 sin2 <рц— 1).
2|Л .
£<•>=-Fs,n «Ри-
Для определения г и <рц используются формулы
г= У (х - хс)2 + (у - ус)2 -\-(z-ztf .
m _ (•* — хс) cos <pr cos + (у — yc) sin <pr — (г — zc) cos фг sin ф
sin —
г2
Высота h может быть определена по формуле
h— г - а(1 - а51п2фц).
Для вычисления углов, определяющих направление каса-
тельной к траектории, и величины скорости v пользуемся
следующими соотношениями:
"у
и* ’
vz cos 0
Ух
tg е
tgo =
V =-----х-----.
cos 6 cos а
Постоянные, входящие в уравнение движения, имеют
значения
а = 6 378 245 м,
______1
а— 298,3 ’
1/3
fM = 3,9862 10м-^-5-,
f сек2
р = 26,245 • 102«^С.
сек2
198
Гл. VII. Поверочные баллистические расчеты.
Расчет производится посредством численного интегрирова-
ния уравнений движения методом Адамса. Начальными усло-
виями для интегрирования являются параметры конца активного
участка траектории.
Рассмотренная система уравнений движения для свободного
участка (28.1) не является обязательной для всех дальностей.
Для дальностей, не превышающих 500 км, возможно исполь-
зовать уравнения, приведенные в § 15, в которых сплюсну-
тость Земли не учитывается:
- ЛГ = — kcx%- ™>х~ -7-^4-«11^ + «12(^ + у) +
at ро г
+ a13Z + ^12^У Ч~ #13^’
dvv р g
— = — kcx — vvy — 7 (Я + у) + a2i*+
+ а*22 (Л + у) + #23^ + + ^23^2’
dvz , Р S \ ।
— “ = — kcx — — — Z + о31* +
dt х Ро z г 1 61 1
+ Л32 (Я + У) + Язз? + ^31Чг + ^32^У’
Остальные уравнения и соотношения остаются прежними,
за исключением выражений для g', gw, г vl h, вместо которых
следует пользоваться формулами
Г = /(fl + y)2+x2-|-z2 ,
h= r — R.
Если сплюснутость Земли не учитывается, то расчеты
при помощи численного интегрирования рекомендуется при-
менять только до тех пор, пока сопротивление воздуха
оказывает влияние на движение. Последующую часть сво-
бодного участка следует рассчитывать по формулам эллип-
тической теории, полученным в гл. V. При этом необходимо
воспользоваться переходом от абсолютного движения к отно-
сительному, как это было показано в § 17 и 20. Последова-
тельность расчетов при этом следующая.
$ 28. Расчет пассивного участка траектории
199
Имея исходные данные хн, ун, zH, хн, ун, гн, переходим
к вспомогательной системе координат:
х' = — (хн cos ip — ги sin гр) sin <pr+(R + ун) cos <рг,
у' = хн sin ip + zH cos Ф>
<= (хн cos Ф — *и sin ip) cos <рг + (Я + Ун) si П <рг.
Определяем составляющие абсолютной скорости в этой же
вспомогательной системе:
х' = — (хн cos ip — ZH sin ф) sin <pr + уи cos <jpr — ®3y^.
У' = хц sin ip -f- zK cos ip+ro3x',
z'H = (xH cos ip — z* sin ip) cos <pr + yH sin q>r.
Находим сферические координаты начальной точки (дол-
гота отсчитывается от точки старта)
у„ z' cos А,
WH= —
Лн
Sill фгн
Определяем составляющие абсолютной скорости по мери-
диану, параллели и радиусу Земли:
®Фн = ~ (< C0S Ч 4- Ун Sin Ч) Sin Фгн 4" < C0S Фгн-
<H=-<SinZH + yHCOS\,’
V'rH = (< COS \ + Ун Sin М COS Фгн 4- Z’tt Sin фгн.
Вычисляем абсолютный азимут
V
срн
угол наклона касательной к абсолютной траектории
t„<_ *’гнС08Фн_ v'nsln Фн
VH----- 1 - 7
V<PH
п величину абсолютной скорости
н sin
200
Гл. VII. Поверочные баллистические расчеты
Далее определяем вспомогательный параметр
,2
Л, / Л/З \
v' = I fM = 3,9862 . 1014 -Ай,
н fM. \J сек2 J
рассчитываем центральный угол в абсолютном движении
f Р' - r VHfg<
ё 2 i+tg4;-< ’
вычисляем вспомогательную величину х' из соотношения
1 — у'
х VH
cos х' =
причем 0 < х' < л, и
f = 2гнун
V1 — (2 — v') у' cos2 •&' ’
г 4 Н' И Н
находим время полета по формуле
v'h(2 — о ^Sln^”+ V(2—<)v'/
Находим географические координаты конечной точки
(лежащей на одной высоте с начальной точкой rp — г J
sin фгР = sin сргн cos 0' + cos <ргн sin 0' cos ф',
, sin ₽'sin ф'
Sin (Xp - \ + G)3/ ) = cosq)rp
и определяем азимут в конечной точке
sin ф' cos <р
sin фо —--------------------------.
₽ cos фгр
Затем получаем составляющие скорости в конечной точке:
V=®HCOS^HCOS%-
VKP = C0S К Sln % — ®3rH COS ФгР’
Vrp = — V»Sin4=-Vr№’
и находим азимут и угол наклона касательной в конечной
точке в относительном движении
tglpp=-^-.
to A __ VrPCOS^P _ VrPSin^P
Р V<fP VKP
§ 28. Расчет пассивного участка траектории
201
а также величину относительной скорости
vD = -^-
р sin йр ‘
Для определения только полной дальности формулы эллип-
тической теории можно применять вплоть до точки падения
на Землю, так как сопротивление атмосферы на нисходящей
ветви траектории для дальностей свыше 600 н-800 км не
оказывает существенного влияния на дальность.
При необходимости, кроме дальности, определить другие
элементы траектории на участке падения в атмосфере, на-
пример ускорение, скорость и т. д., следует, начиная с мо-
мента t', вновь воспользоваться системой уравнений (28.1).
В этом случае после расчета участка падения в атмосфере
с исходными данными vpt Op, <ргр, фр, hp=hn по уравне-
ниям (28.1) снова вводим вспомогательную систему координат,
в которой определяем координаты точки падения по формулам
х" =—(хс cos фр — Zc sin фр) sin <prp+(Я+ус) cos фгР,
у" = хс sin фр + zc cos фр,
ge — (хс cos ’I’p — sin фр) cos фгр + (Я + ус) sin <ргр.
Затем находим географические координаты точки падения
//
Ус
tg (^С — ^р) = —’
хс
cos (Лс — Лр)
хс
после чего определяется азимут направления на точку падения
с^Фос =
tg ФгС cos <РГ — cos Лс sin <рг
sin Лс
и полная дальность полета
sin рс =
cos <ргС sin Лс
sin%C
L — R&c
202
Гл. VI/. Поверочные баллистические расчеты
Боковое отклонение от плоскости прицеливания может быть
определено по формулам
sin |с = sin рс sin (i|>oc — 4’).
zc = fi&c-
В случае расчета траектории с целью определения средних
летных характеристик можно воспользоваться системой урав-
нений (15.12):
dvx
~dF
dvy
^~dt
dx
dy
~dT — v-
Скорость и угол 6 определяются по формулам
Vv
Vx
V—-----
cos 0
(28.2)
у-
Высоту над поверхностью Земли можно найти по формуле
h = у —ЛЛ,
где АЛ =
Можно также
определяется в зависимости от координаты х.
вычислять высоту как
h = У^ + уЯ+х2 — R.
При расчетах траекторий на очень большую дальность
удобнее пользоваться системой уравнений движения в поляр-
ных координатах (15.19):
Г — гх2 = — kcx -£ -or — gч- <o2r.
ri + 2ri = — kcx vr%.
HO
Вводя обозначения: 5 = r2x — удвоенная секториальная ско-
рость ракеты по отношению к центру Земли, — даль-
(28.3)
§ 29. Использование вычислительных Машин
203
ность по дуге земной поверхности, легко получить из системы
уравнений (28.3) систему:
ds . р
—тг = — kcr—vs,
dt х Ро
dvr d2r ___ s2
~dT~~di2~~ г3
dr
~dt~'Vr'
dl Rs
dt
, Р
— VV.
х Ро 1
(28.4)
г2 *
Скорость
соотношений
и угол наклона касательной определяют из
(28.5)
Необходимые
из таблиц в
р
для расчета значения
и g берутся
зависимости от высоты. Полезно также иметь
2
таблицу значений величины g— -^co^r, то>ке зависящей от
высоты.
§ 29. Использование электронных вычислительных
машин для поверочных расчетов
Не касаясь техники программирования задач для прове-
дения баллистических расчетов, мы очень кратко остановимся
на некоторых различиях между ручным и машинным счетом.
Это, прежде всего, способ задания различных переменных
величин, которые при ручном счете обычно задаются либо
графиками (например, аэродинамические, центровочные харак-
теристики). либо таблицами (например» параметры атмосферы),
допускающими линейную интерполяцию. Принципиально можно
и при машинном счете воспользоваться таблицами, кото-
рые позволяют обходиться только линейным интерполиро-
ванием. Однако такие таблицы получаются громоздкими, за-
нимают недопустимо большую емкость в оперативной памяти
=---“а •
г cos -0
204
Га Vll. Поверочные баллистические расчеты
машины или, будучи помещенными в устройствах внешней
памяти, требуют частых обращений к этим устройствам
и тем самым резко сокращают темп работы, приводя к не-
производительным затратам машинного времени. Кроме того,
подготовка и ввод этих данных в машину также требует
дополнительного довольно большого времени.
Наиболее широко поэтому используется метод задания
подобных зависимостей с помощью полиномов. Аппроксими-
руемая кривая разбивается на ряд участков, каждый из кото-
рых может быть представлен в виде полинома (обычно
третьей степени) с требуемой точностью. Соседние участки
должны давать при равных аргументах равные значения
функции и ее первой производной.
Наиболее удобная форма записи такого вида полинома:
У = У1 + (У2 - У1) (3 - 2£) £2 + £ (1 - У [(1 - £) Т), - ^2],
(29.1)
где ₽ % * Х2 — Хх ’ л,Н^)|=('й’)1(Х2-Х1)’ Hw)2=(BL(Хг ~ *1):
и у2 — значения аппроксимируемой функции на концах
участков (т. е. при х = и х = х2), a и —
производные в тех же точках.
Если по каким-либо причинам невозможно непосредст-
венно вычислить значения производных на концах, то можно
воспользоваться следующим способом их определения. Уча-
сток разбиваем на три равные части и снимаем с графика
значения уг, у2, у3 и у4, соответствующие
Значения производных (”^)4* ПРИ
х2, х3 и х4.
условии прохо-
ждения полинома через все четыре точки, определяются по
формулам
„ — (дУ\ _ _ -ИУ1 + 18у2^9уз + 2У4
— 2
_ —2у t + 9у2 — 18у3 + 11у4
2
$ 29. Использование вычислительных машин
205
Здесь
X — xt
Xj *
Можно разбить участок и на четыре части, как показано на
рис. 29.1.
Из условия прохождения полинома через обозначенные
четыре точки можно написать для производных на концах
выражения
„ _ ( &У \ —19У1+24у2 — 8у3-|-Зу4
- ргА - з •
__( ду \ —Зу 1 -|- 8у2 — 24у3 -f- 19у4
~ Ш ~ 3
Процесс подбора коэффициентов и разбиения на необхо-
димое количество участков также можно поручить машине.
Эта работа выполняется заранее и при основном расчете
траектории используются уже подобранные описанным спо-
собом участки и коэффициенты.
В некоторых случаях удобнее пользоваться не аппрокси-
мирующими полиномами, а дополнительными дифференциаль-
ными уравнениями, интегрируемыми параллельно с основной
системой уравнений. Например, вместо того, чтобы опре-
делять давление и плотность атмосферы по таблицам или
с помощью выражений (4.3) и (4.4), содержащих интегралы,
можно воспользоваться дифференциальным уравнением (4.2).
приведенным к виду
dp _ dh — £Р dr
dt ~ dt ~ RT dt '
206
Гл. Vll. Поверочные баллистические расчеты
Производную используя соотношение (1.2), можно за-
менить выражением
dr 1 Г,п < ч dy . dx . dz~\
-5r = 7[(«-by)-5fL+x^-+^J =
-^x+(^+y)Py4-gp^
r
так что
dp gp xvx + (R 4- y) vy + zvz
dt ~ RT r
(29.2)
Это уравнение следует присоединить к системе дифферен-
циальных уравнений движения. Увеличение порядка системы
не вызывает принципиальных трудностей при ее численном
интегрировании, а правую часть уравнения (29.2) вычислить
проще, чем найти значение р с помощью аппроксимирующих
полиномов или из выражения (4.3). Входящая в уравнение
(29.2) функция Т — Т (h) состоит из нескольких линейных
участков и поэтому также очень просто вычисляется. Плот-
ность воздуха р находится с помощью выражения
р — 7~0 р
Ро Ро
Однако плотность в уравнениях движения присутствует
только в выражении для скоростного напора
которое можно преобразовать следующим образом:
9=^-Р(л^И)2.
где Л4 — число Маха, а а—скорость звука в воздухе, вы-
ражающаяся формулой
k = 1,405 — отношение теплоемкостей. Таким образом,
q=±pAP. (29.4)
J 29. Использование вычислительных машин
207
Поскольку р и Л4 используются и в других членах уравне-
ний движения, выражение (29.4) для скоростного напора
предпочтительнее, чем (29.3).
Для интегрирования уравнений движения удобно пользо-
ваться методом Рунге— Кутта. Выбор шага интегрирования
зависит от задач, поставленных перед расчетом. Если важны
только конечные результаты, то лучше применить автомати-
ческий выбор шага, задавая требуемую точность расчета.
Если же требуется получить все элементы траектории по
времени полета, то лучше проводить интегрирование с задан-
ным постоянным шагом, который должен быть не больше
допустимого из условий заданной точности расчета.
Рекомендуется параллельно интегрировать кажущееся ус-
корение ракеты (перегрузку, умноженную на ^0) в проекции
на продольную ось, так как соответствующий интеграл (ка-
жущаяся скорость) во многих случаях является настроечной
величиной для автомата управления дальностью *).
Очень удобен машинный счет при решении краевых за-
дач. Наиболее часто встречается задача по определению ази-
мута прицеливания и момента выключения двигателя (т. е. на-
чальных условий), обеспечивающих попадание в точку земной
поверхности с заданными координатами — прямоугольными
или, чаще, географическими. Из ряда возможных способов
решения краевых задач поясним только один, основанный,
по существу, на последовательном приближении к заданным
краевым условиям с помощью предположения о линейной
зависимости между заданными координатами и начальными
условиями.
Обозначим: <р0 и Zo—заданные географические широта и
долгота точки прицеливания; t0 и ф0— искомые начальные
условия, т. е. время выключения двигателя и азимут напра-
вления прицеливания. Вначале проводится расчет некоторой
опорной траектории при каких-то значениях t = t и ф=ф
и определяются соответствующие значения ср и Z; затем рас-
считываются две возмущенные траектории, каждая из кото-
рых отличается от опорной за счет какого-либо одного
отклонения, Л/ или Дф. Отношения полученных отклонений
*) Об управлении дальностью полета см. § 36 и 37 части
третьей.
208
Гл. VII. Поверочные баллистические расчеты
Дф и ДХ к отклонениям Л/ или Дф принимаются за соот-
ветствующие производные
dtp дХ дф дХ
Ot ’ dt ’ дф * дф *
Далее» предполагая зависимость между заданными координа-
тами и начальными данными линейной во всем интервале,
определяем, какими должны быть поправки Д/х и Дф! к t и
ф, чтобы попасть в заданную точку. Для этого решаем си-
стему из двух уравнений:
Дф1 = <р0 — <р = _|__2L Д^,
Д^ = К - X = АЛ + •
Берем новые значения tx = t-\-\t1 и ф1=ф-|-Дф1 и
снова рассчитываем траекторию и получаем координаты точки
падения и ХР Принимая эту вновь полученную траекто-
рию за опорную, весь цикл расчетов повторяем. Процесс
продолжается до тех пор, пока не получим координаты
точки падения с заданной точностью.
§ 30. Составление предварительных таблиц
стрельбы
Предварительные таблицы стрельбы составляются по рас-
четным данным и содержат основные величины, по которым
производится установка приборов, управляющих дальностью.
Предварительными таблицами стрельбы пользуются при про-
ведении опытных стрельб с заданной точки старта по задан-
ному направлению. Поэтому, прежде чем приступить к их
составлению, необходимо знать географическую широту точки
старта и азимут стрельбы. Что касается метода составления
этих таблиц, то он заключается в следующем.
По наиболее точным уравнениям движения, которые можно
применить для расчета траектории в соответствии с наличием
исходных данных, производится расчет активного участка
траектории.
Для расчета участков свободного полета выбирается ряд
моментов выключения двигателя. Точки выключения характе-
§ 30. Предварительные таблицы стрельбы
209
ризуются элементами траектории ZK/, хк/, yKh vKl, 6к£, где I —
= 1, 2, ...» п—по количеству выбранных опорных точек.
Производятся расчеты для п свободных участков и для
каждого из них определяются: Ll — полная дальность; Ct —
установка прибора, управляющего дальностью (выключаю-
щего двигатель), и другие представляющие интерес характе-
ристики траектории, например hBi—максимальная высота
траектории; vBi — скорость в вершине траектории; vQi—ско-
рость в точке встречи с целью; TL — полное время полета
и т. п. В качестве основного параметра, в зависимости от
которого будут определяться другие величины, содержащиеся
в таблицах стрельбы, принимается дальность L или установка
прибора С.
При помощи одного из обычных методов интерполяции
определяются основные элементы траектории для любых про-
межуточных значений L или С. Например, если используется
интерполяционная формула Лагранжа
(х — х2)(х — х3) ... (х —хл)
У УЧ*1— *2)(*i~ *з) ...(^1—^/?) ~1~
I (х — xQ (х — х3) ... (х — х„)
у‘2 (х2 — xt) (х2 — х3) ... (х2 — хп) ”
i (* — xt) (х — х2) .., (х — x„_t)
' ” Уп (*п — *д(хп^х2) ... (Xrt —xn_t) ’
то в нее подставляются:
вместо ур у2, •••* Уп — значения какого-либо элемента,
полученные в результате расчета п траекторий;
вместо х2, ...» хп — значения L (или С), полученные
в результате расчета п траекторий;
вместо х—промежуточные значения L (или С), для ко-
торых желательно определить другие элементы траектории,
содержащиеся в предварительных таблицах стрельбы.
Число опорных точек п не рекомендуется брать слишком
большим (свыше п=3-н4). Даже если рассчитано большее
количество опорных траекторий, то для интерполяции следует
использовать не все полученные данные, а только данные
но трем-четырем опорным траекториям, ближайшим к той,
для которой производится интерполяция.
При описанном способе составления предварительных
таблиц стрельбы, которым обычно пользуются при ручном
счете, выбранные опорные точки являются, вообще говоря,
14 Р. Ф- Аппазов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
210 Гл. VII. Поверочные баллистические расчеты
произвольными, надо только позаботиться, чтобы они более
или менее равномерно покрывали весь заданный диапазон
дальностей.
При использовании электронных машин появляется воз-
можность решить несколько краевых задач по числу пред-
полагаемых целей, и определить все необходимые установоч-
ные данные для приборов, а также траектории полета именно
для этих целей.
Полезно снабжать предварительные таблицы стрельбы
таблицами поправок, позволяющими учитывать влияние малых
изменений конструктивных характеристик ракеты и прицельных
данных на траекторию полета ракеты, в частности, на коор-
динаты точки падения. Методы расчета таких поправок рас-
сматриваются в следующей главе.
Часть третья
Рассеивание
при стрельбе ракетами
дальнего действия
Глава Vltl
Постановка задачи
§ 31. Некоторые сведения из теории вероятностей
Как известно, если величина и является линейной функ-
цией независимых случайных величин х, у, ..., t
и — ах-|-^у+ ... (31.1)
причем эти величины имеют нормальное распределение со
средними значениями х, у, ..., F и средними квадратиче-
скими отклонениями ох, оу, то величина и также имеет
нормальное распределение со средним значением и* равным
и = ах + by + ... 4- kt
и со средним квадратическим отклонением ош, равным
GU = ]/(«ох)2+(&ау)2-{- ... +(feoZ)2. (31.2)
В теории стрельбы рассеивание часто характеризуется
вероятным (срединным) отклонением В, связанным со
средним квадратическим отклонением соотношением В =
= 0,6745о. За максимальное отклонение А обычно при-
нимают такое значение, что вероятность р получения ббль-
ших по абсолютной величине отклонений достаточно мала.
Это значение также связано некоторым постоянным коэф-
фициентом пропорциональности со средним квадратическим
отклонением о. Так, при Д = 4В= 2,698о 2,7о вероят-
ность р равна 0,007, а при Д = 3о р — 0,003. Таким об-
разом, максимальное отклонение—это понятие условное, но
довольно удобное для практических целей, если твердо пом-
нить о его смысле. Для вероятного и максимального откло-
нения случайной величины и справедливы формулы, являю-
щиеся следствием формулы (31.2):
Ви = /(авх)2 + (йВу)2-|- ... -|-(АВ/)2
И
Аа = V (а Ах)2+ (А Ду)2 + ... + (А А/)8.
214
Гл. VIП. Постановка задачи
Отсюда следует, что если и есть общая функция и =
— f(xt у, ...» I) независимых величин х, у, ...» /, под-
чиняющихся нормальному закону распределения, и макси-
мальные отклонения Дх, Ду, ..., Д/ настолько малы, что
частные производные
df_ д/ df
дх 9 ду 9 9 dt
можно считать постоянными при
х — Дх < х < х Дх,
У- Ду <у <7+Ду,
t - М <t <i + ДЛ
то среднее значение и можно определять по формуле
“==“о + 'Й'(*_ Хо) + -^(у — Уо)+ •••
(31.3)
где х0, у0, .t0—некоторые фиксированные (номиналь-
ные) значения величин х, у, ..., /, достаточно близкие
к средним значениям этих величин х, у, .. ., t (так что
|х0—х|<Дх и т. п.), a u0=f(x0, у0.t0).
Среднее квадратическое, срединное и максимальное от-
клонения величины и выражаются следующими формулами:
<31<>
*-/(Н+(И+--+(Нм
В формулах (31.3)- (31.6) проявляется разница между
систематическими отклонениями и средними квадратическими,
срединными и максимальными отклонениями. Если система-
тические отклонения складываются, как показывает формула
(31.3), по закону
Уо)4- ••• —4>)
§ 32. Постановка задачи о рассеивании
215
(в подобных случаях будем говорить, что величины склады-
ваются алгебраически), то средние квадратические, средин-
ные и максимальные отклонения складываются по закону,
выраженному формулами (31.4) — (31.6). Про такие величины
будем говорить, что они складываются геометрически. За-
метим, что отдельные случайные отклонения складываются
алгебраически: .
«—« = —*) + -ду(у—у)+ ••• О-
§ 32. Постановка задачи о рассеивании
При стрельбе ракетами дальнего действия возникают как
случайные, так и систематические отклонения. Следовательно,
фактические траектории ракет отличаются от расчетных, и
для каждой выпущенной ракеты отличаются по-своему.
Каковы причины, вызывающие отклонение траектории
ракеты от расчетной?
Во-первых, целый ряд постоянных величин, входящих
в уравнения движения, фактически имеет значения, отличаю-
щиеся от тех, которые приняты при расчете. Важнейшие из
этих величин следующие: стартовый вес ракеты, номинальная
тяга двигателя у земли, определяющаяся удельной тягой и
секундным расходом, установочные данные приборов упра-
вления, параметры атмосферы у земли и т. п.
Во-вторых, фактические законы изменения ряда величин
отличаются от законов, принятых при расчете. Таковы законы
нарастания тяги и секундного расхода при включении дви-
гателя и спада этих величин при выключении, изменения
секундного расхода в полете, изменения аэродинамических
коэффициентов, изменения угла наклона оси ракеты, изме-
нения параметров атмосферы с высотой и пр.
И, в-третьих, ряд факторов вообще не учитывается
в уравнениях движения. Примерами могут служить возму-
щающие силы и моменты, возникающие в результате геоме-
трической асимметрии ракеты, наличие углов атаки при сво-
бодном полете ракеты и т. д.
Такое деление является до некоторой степени условным.
Например, методами теории случайных процессов (случайных
функций) все практически возможные виды закона изменения
216
Гл. VIII. Постановка задачи
какой-нибудь величины могут быть представлены с доста-
точной степенью точности в виде семейства, зависящего от
нескольких независимых случайных параметров. Эти пара-
метры наравне с постоянными величинами первой группы
определяют полет ракеты, и влияние как тех, так и других
может быть исследовано одинаковыми методами.
Что касается третьей группы факторов, то она зависит
от вида уравнений движения, используемых для расчета траек-
тории. Принципиально возможно написать уравнения движе-
ния, учитывающие любые факторы, физическое проявление
которых достаточно хорошо известно, но эти уравнения,
ввиду их громоздкости, далеко не всегда могут быть исполь-
зованы для численного расчета траектории даже на электрон-
ных машинах. Поэтому для оценки влияния таких факторов
на полет и рассеивание ракет должны быть разработаны
особые методы. Обычно задача сводится к доказательству
возможности пренебрегать этими факторами.
Все величины, вызывающие рассеивание, будь то откло-
нения постоянных величин от их номинальных значений, или
отклонения переменных величин от номинальных законов их
изменения, или причины, которые не учитываются в уравне-
ниях движения, будем называть возмущающими факто-
рами. Возмущающие факторы могут быть как системати-
ческими, так и случайными. Некоторые факторы, например,
отклонения аэродинамических коэффициентов от их рас-
четных значений, носят преимущественно систематический
характер, другие, например, отклонения в удельной тяге
двигателя, преимущественно случайный характер.
При выводе общих уравнений движения для решения
задач баллистики мы пренебрегли колебаниями ракеты отно-
сительно центра тяжести, поскольку они мало влияют на
движение центра тяжести. Там же было отмечено, что закон
изменения угла наклона касательной мало влияет на дальность
полета.
Поэтому и при исследовании рассеивания будем считать
угол наклона касательной заданной функцией и положим
в основу лишь первое, третье и четвертое из уравнений
системы (14.25), причем при расчетах будем также прене-
брегать членом с gx. Для участка свободного полета будем
пользоваться формулами эллиптической теории. Влиянием
вращения Земли будем пренебрегать, так как оно приводит
§ 32. Постановка задачи о рассеивании
217
лишь к систематическому отклонению от траектории, рас-
считанной без учета этого вращения, и только для очзнь
больших дальностей приходится считаться с зависимостью
этого отклонения от вида возмущенной траектории.
Итак, исследование движения ракеты состоит из следую-
щих основных этапов:
1. Подготовка исходных данных: определение основных
конструктивных данных ракеты, двигателя и системы упра-
вления, выявление возмущающих факторов и оценка их
вероятностных характеристик (средних значений и средних
квадратических отклонений).
2. Баллистический расчет, имеющий своей целью опре-
делить с той или иной степенью точности среднее движение
ракеты при номинальных значениях всех конструктивных
параметров, без учета возмущающих факторов и без учета
колебаний ракеты.
3. Расчет устойчивости бокового движения, в результате
которого определяется влияние на полет ракеты тех возму-
щающих факторов, которые не могут быть введены в урав-
нения движения для баллистического расчета, а также коле-
баний ракеты вокруг центра тяжести.
При расчете устойчивости бокового движения рассматри-
ваются совместно уравнения для углов направления каса-
тельной (6 и о), уравнения движения вокруг центра тяжести
(для ф, £, т]) и уравнения управления (для углов отклонения
исполнительных органов). Значения скорости и координат
ракеты берутся из баллистического расчета, так как их от-
клонения мало влияют на исследуемые величины. В случае
необходимости отклонения скорости и координат можно
рассматривать как возмущающие факторы.
4. Расчет устойчивости в продольном движении или рас-
чет рассеивания по дальности, назначение которого — опре-
делить влияние на полет ракеты таких возмущающих фак-
торов, которые можно явно ввести в уравнения движения,
не изменяя формы последних. При этом рассматриваются
совместно уравнения движения центра тяжести ракеты (для
скорости и координат), а направление касательной (углы 0
и о) и прочие угловые величины, в которых может встре-
титься необходимость, берутся из баллистического расчета,
так как влияние отклонений этих величин на скорость и
координаты невелико. Если в этом есть необходимость,
218
Гл. VIII. Постановка задачи
отклонения направления касательной вводятся как возму-
щающие факторы. Разумеется» схема расчета рассеивания по
дальности может, а в некоторых случаях и должна быть
усложнена. Но так как при этом формулы только становятся
несколько более громоздкими, а методы расчета рассеивания
принципиально не изменяются, то мы ограничимся этой про-
стейшей схемой.
Главной задачей в дальнейшем будет разбор вопросов,
связанных с расчетом рассеивания по дальности. При этом
начнем с определения влияния малых возмущающих факторов
на траекторию ракеты и лишь в конце установим связь
между средними характеристиками рассеивания этих факторов
и соответствующими характеристиками рассеивания ракет.
Поскольку и систематические и случайные отклонения скла-
дываются алгебраически, не будем делать различия между
ними до тех пор, пока речь не пойдет о средних характе-
ристиках рассеивания. Это означает, что полученные резуль-
таты могут быть приложены не только к исследованию рас-
сеивания, но и к определению влияния малых изменений
конструктивных параметров ракеты на ее летные характе-
ристики.
Глава IX
Влияние малых возмущающих факторов
на траекторию ракеты.
Расчет рассеивания
§ 33. Отклонения на активном участке траектории
На конкретном примере дадим общий метод для иссле-
дования влияния малых возмущающих факторов, явно вхо-
дящих в уравнения движения, на траекторию ракеты. Урав-
нения движения для активного участка возьмем в виде
dv P — Xif — X — g sin 0,
dt m
dy dt = ^sin0, (33.1)
dx
dt = VCOS0,
где согласно (10.16), (6.15), (5.23) и (3.3) при т — const
P=muf — Sapt (33.2)
*iP = 4rQ-^Sp, (33.3)
X = cxS^-S. (33.4)
m = mQ — mt. (33.5)
Величины mt u'9 Cq, up, Sp будем считать случайными, т. е.
изменяющимися от ракеты к ракете, но постоянными на про-
тяжении активного участка. Будем предполагать, как и
раньше, что т и и' не зависят друг от друга, что плот-
ность рр газового потока, набегающего на руль, пропор-
циональна секундному расходу т, что коэффициент лобо-
вого сопротивления руля cQ обратно пропорционален ско^
рости ир потока, набегающего на руль (закон cQ = const/М
220
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
вполне приемлем для малых изменений числа М газово! о по-
тока), и, наконец, что величина яр прямо пропорииональна фик-
тивной скорости истечения и'. Тогда выражение (33.3) для ло-
бового сопротивления газовых рулей можно переписать в виде
Х1р = km и',
где k — некоторая постоянная, а тяга за вычетом потерь на
рули может быть представлена выражением
р — Ллр = (1 — k) mu’ — Sap -- ОРуд. п. р—Sap0 ,
где
р _ x~k '
7УД- п. р о- 11
— удельная тяга двигателя в пустоте с учетом потерь на
рули, отличающаяся лишь постоянным множителем от фик-
тивной скорости истечения и'\ G = gQm — весовой секундный
расход топлива.
Чтобы учесть возможные отклонения коэффициента лобо-
вого сопротивления сх от расчетного значения, введем в фор-
мулу (33.4), как принято в баллистике, коэффициент формы Z:
pv* 2
X = lcx^-S
ФО5 Р 2
—Сх------V2.
2 * Ро
Наконец, выражение для массы m запишем в таком виде:
60
Уравнения движения принимают вид
dv п. р “ $аРь -у- сх &
~ЗГ = ^--------------Ре А,—--------52-----^sin0-
Go — Gt
= v sin 6,
at
= V COS 6.
at
(33.6)
Исследуем, в частности, влияние на траекторию малых
отклонений следующих параметров, которым присвоим обо-
значения Kk:
Xi = OQ - стартовый вес;
Х2 = О — секундный расход;
§ 33. Отклонения на активном участке траектории
221
^з = Руд.п. р — удельная тяга;
Х4 = — коэффициент в выражении для лобового
сопротивления;
X5 = Sap0 —коэффициент высотной характеристики.
Коэффициент Х4 может меняться как за счет изменения
коэффициента формы /, так и за счет плотности воздуха
у земли р0. Коэффициентом Х5 учитывается возможное изме-
нение давления воздуха у земли, а также изменение высот-
ной характеристики двигателя.
Наконец, чтобы учесть возможные отклонения формы
траектории от расчетной, будем считать угол наклона каса-
тельной 0 изменяющимся по закону
е=ерасЧ+^+М- (зз.7)
Член Z6 представляет собой постоянное отклонение угла 0
от расчетного 0расч, а член X/ — равномерный уход этого
угла от расчетного закона изменения. Номинальные значения
параметров Z6 и Х7 равны нулю.
Читателю в качестве упражнения предлагается рассмотреть
систему уравнений, которая получится, если систему (33.1)
дополнить уравнением
1 Г Ф — 0 / Л —Xj. \ 1
= _ ------1 р — xUy -г------- с qS) — g cos 0 ,
dt v [ m \ 1p ' /!—xT у 7 b J
служащим для определения 0 совместно с v, х и у.
Выражение (33.7) следует заменить выражением
_( фпр при
1 Фпр+^б + М* — zi) ПРИ
где Z6 и 17 имеют прежний смысл, но определяют погреш-
ности в задании программы угла тангажа, — время начала
программного разворота. Возможными отклонениями от но-
минала функции
А — хд /
/,—хт S
можно пренебречь. Для расширенной системы можно провести
выкладки, вполне аналогичные тем, которые будут проведены
в этом и следующих параграфах.
222
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
Общий вид уравнений движения (33.6) при принятых
обозначениях следующий:
dt У* ^1’ ^2* ^3’ ^4* ^5» ^6» ^7)» df У2 ^6» ^7)’ -^х=/з(Л A6, (33.8)
где
Л2Х3— ----— v2
/1“£b — Kt ~ &Sin ^РасчН"^б4"М)»
1 2 (33.9)
f2= V Sin (врасч + ^6 + М)’
/з= v cos (0расч + 16 + V)-
При начальных условиях
г» = 0, у = 0, х=0 (/ = 0) (33.10)
решение системы (33.8) имеет вид
^~Ф1(^* ^2» •••* ^7)»
У = Ф2 (^» М» ^2» • • • * ^7)*
X фд (t, X| , Х-2» • - • » Ху)
(33.11)
Эти выражения показывают, что скорость и координаты
центра тяжести ракеты зависят не только от времени по-
лета t> но и от значений параметров Х2. .. ., Л7. Иссле-
дуем эту зависимость. При малых изменениях времени t и
параметров Xk можно считать, что
k=l
7
(33.12)
Лх = фА/ + £ ^ЛХ.,
k=l
т. е. зависимость у и х от ДХЛ определится, как только
будут известны частные производные
§ 33. Отклонения на активном участке траектории
223
Введем обозначения:
<*Pi
dt
гг,
^Р2= у
dt у‘
dfj
dv
«/1.
ду — а'2’
<*Рз •
di ~Xt
dfi o
d(pz
(33.13)
Все эти частные производные должны вычисляться при номи-
нальных значениях параметров и при значениях v9 х,
у, 0, взятых для каждого значения t с расчетной траекто-
рии. В этих обозначениях зависимости (33.12) принимают
следующий вид:
Дг> = Д/ -|- 2 zlk ДХЛ,
и
— у Д/ + 2 Z2k
k
Ах — х At -|- 2 z3k ДХЛ.
k
(33.14)
Величины г/, у, х определяются при интегрировании си-
стемы (33.8). Для того чтобы получить систему уравнений
для определения интересующих нас величин zikt продиффе-
ренцируем уравнения системы (33.8) по Поскольку под
знаком функций /z от параметра зависят лишь v> у и
получим:
д (dv\_ dfi dv । dfi дУ i dfi
dlk \ dt ) dv 9 dkk dy ’ dkk dkk ’
d (dy\= d^2 dv I d?2
d^k \ dt J dv d^k d^k ’
—\ =—h. dv I
dkjt \ dt / dv ’ dkk ’ d)\.k
Поменяем порядок дифференцирования в левых частях
этих уравнений и используем обозначения (33.13):
dt — + a12Z2ft + ₽1А*
~dt — ^l^lk + ₽2Л»
dz4b
dt = “Ь РзА-
(33.15)
224
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
Эта система линейных дифференциальных уравнений при
определенных допущениях (существование и непрерывность
частных производных aZy- и pzz>, /,/=1,2, 3, k= 1, 2, ...
. . ., 7) может служить для определения величин zik. Строгое
доказательство этого утверждения можно найти в общей
теории систем дифференциальных уравнений.
Поскольку никакие изменения параметров не могут
повлиять на начальные значения (33.10) функций v, у, х,
начальными условиями для интегрирования системы (33.15)
будут zik = 0 при / = 0.
Чтобы найти явные выражения для частных производных
aZy и pZft, будем дифференцировать выражения (33.9) для
функций fi по v, у и а для упрощения результатов
дифференцирования воспользуемся формулами (в которых Л4з
и обозначают массу и радиус Земли):
м = —,
а
CL — CLq
p = pRT,
dp
_fM3
S /2 ’
Примем также во внимание, что коэффициент лобового со-
противления сх зависит от числа М и от высоты у, а абсо-
лютная температура воздуха Т — только от высоты.
После довольно длинных, но не сложных выкладок можно
получить следующие выражения:
(г I ЙСИ
m \х2 дМ)'
1 dT / Л/ dcx
~T~dy\Cx' 2 ЛЙ7 ~ду
0.
dv
«п
«12
«21
<7.
dv
ду
(33.16)
sine, (33.17)
(33.18)
§ 33. Отклонения на активном участке траектории
2%
а31 = 4г1 — cos 6, 61 до (33.19)
<Vi Р-А1р-Х (33.20)
₽п— дА, — g0m2
ft — dfi — Руд'п' р I * (Р _ р12 дХ2 m gom*v Х1р-Х), (33.21)
113 dka m ’ (33.22)
й - dfl - - 2* (33.23)
ри—— p0S/n ’
(33.24)
Р15 m Ре '
Pi6 = 7& = -^COS0’ (33.25)
₽17 = -^ = -^COSe’ (33.26)
021 = 022 = 023 = 024 — 025 = 0’ (33.27)
p^^-ycos 0, (33.28)
Рет = vt COS 0, (33.29)
031 ~ 032 — 033 — 034 ~ 035 “ 0» (33.30)
Рзв = — tfsine, (33.31)
Р37 = — Ttf sin0. (33.32)
Значения величин
. А1 дс^_ дсх g 2 дМ ' ду ’ RT ’ 1 дТ Т ду
вычисляются с помощью таблиц или графиков аэродинамиче-
ских коэффициентов данной ракеты и таблиц стандартной
атмосферы [4]. Остальные величины, необходимые для вычи-
сления коэффициентов (33.16) — (33.32), берутся из балли-
стического расчета.
После определения всех необходимых коэффициентов ве-
личины zik вычисляются путем численного интегрирования
системы (33.15). Когда эти величины найдены, определение
влияния малых отклонений параметров на активный уча-
сток траектории сводится к использованию формул (33.14).
15 Р- Ф- Ann азов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
226
Г л. IX. Влияние малых возмущающих факторов
§ 34. Отклонения точки выключения двигателя
Применяя уравнения (33.14) к точке выключения двига-
теля, получим связь между отклонениями времени выключе-
ния двигателя, скорости и координат в момент выключения и
отклонениями параметров
Д®1 = Vt 4- 2 Д^- k
Ayi = Д/j -|- 2 Zzk k Axj = Xj Д/j —|- z3k (34.1)
k
Но этих трех формул для определения четырех отклоне-
ний Д^, Дг>р Ду1 и ДХ] недостаточно. Недостающее соот-
ношение может быть получено исходя из уравнения работы
прибора, управляющего выключением двигателя. Рассмотрим
следующие три способа выключения двигателя:
1) выключение в заданный момент времени, считая с мо-
мента старта;
2) выключение при достижении ракетой заданного значе-
ния скорости;
3) выключение от интегратора перегрузок.
При выключении по времени отклонение скорости и ко-
ординат в точке выключения двигателя определяется форму-
лами (34.1), в которых вместо Д/j надо подставить инстру-
ментальную ошибку Д/и временного механизма, подающего
команду на выключение:
Д/1 = Д/и,
А • A J. А П (34.2)
АУ1 — У1 + Zj *2*
Дх2 = Xj Д/и -|- 2 z3k
В случае выключения по скорости отклонение скорости
в момент выключения от заданного значения представляет
собой инструментальную ошибку Д^и прибора, измеряющего
скорость:
Av' = Av.
Л и
§ 34. Отклонения точки выключения двигателя
227
Штрихом сверху будем отмечать величины, относящиеся
к выключению двигателя по скорости.
По формулам (34.1) находим отклонения остальных ве-
личин, характеризующих точку выключения двигателя:
Д/J = 4- Av„ — V 4*. ДХ
Ду I=д®и + 2 (г2*—2is) ДЧ-
д*;=+ У (*3*—*14 дч«
или
Д^1 = -V- Дг»и + zQk
Д»{ = Дпи>
Ay^-^-A^ + S^ ДЧ-
Д-Vj = -4- Av„ + Д16,
где обозначено
Z'
°* V, ’
22Л ~ Z2k Zlk = Z2k У l^Oft’
V1
Z3k ~ Z3k ~Т~ Zlk = Z3k “1“ Х1^0Л-
V1
(34.3)
(34.4)
Прежде чем выводить формулу для отклонений в точке
выключения двигателя при выключении от интегратора, рас-
смотрим несколько упрощенную теорию этого прибора.
Рассмотрим материальную точку, связанную с корпусом
ракеты. Пренебрегая вращательным движением ракеты вокруг
центра тяжести, будем считать, что ускорение этой мате-
риальной точки равно ускорению центра тяжести ракеты.
Но ускорение рассматриваемой точки создается двумя силами:
силой тяжести m^g (гн* — масса точки) и силой Л, действую-
щей на точку со стороны ракеты (рис. 34.1).
15*
228
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
Напишем уравнение движения точки в проекции на не-
которое направление, образующее угол а* с касательной
к траектории центра тяжести ракеты, и угол ср*, равный
— 0 «♦,
(34.5)
— с горизонтом (за горизонт принимаем ось Ох и напра-
вление силы тяжести считаем параллельным оси Оу). Это
уравнение имеет вид
/и* (w cos a*-}-1/0 sin а*) = /?<₽* — m*g sin ф*. (34.6)
где *и cos а* — проекция касательного ускорения центра тяже-
сти ракеты на рассматриваемое направление; cHJsina* — про-
екция нормального ускорения центра тяжести ракеты на это
Рис. 34.1.
направление; Rq* — проекция силы R на то же направление;
— m*g sin ф* — проекция силы тяжести на то же направление.
Такая материальная точка является чувствительным элемен-
том каждого интегратора.
Сила вызывает какой-либо физический эффект, дей-
ствие которого интегрируется на протяжении всего активного
участка. Например, в одной из конструкций интегратора
гироскоп, центр масс которого не совпадает с центром под-
веса (гироскопический маятник)» прецессирует под действием
§ 34. Отклонения точки выключения двигателя
229
силы Rq? с угловой скоростью, пропорциональной этой силе.
Измеряемой величиной является угол прецессии.
Таким образом, интегратор вырабатывает величину, про-
порциональную интегралу
t
J R<c* dt,
О
или, поскольку масса т* остается постоянной, интегралу
t
** R
(34.7)
о
Этот интеграл будем называть кажущейся скорое шью,
а подынтегральную величину
= (34.8)
— кажущимся ускорением. Кажущееся ускорение есть
не что иное, как перегрузка в направлении ф*. умноженная
на gQ. Направление, определяемое углом ф*, вдоль которого
происходит интегрирование перегрузки, называется напра-
влением чувствительности интегратора.
Подставляя из уравнения (34.6) в формулу (34.7),
получим
/
vs — J (v cos а* + гЮ sin а* + g sin ф*) dt —
о
' ' . * - с
— J ^cosa*d£-|- J T>0sina*d/4- J gslntfdt.
0 0 0
Первое слагаемое интегрируем по частям:
t t t
J v cos a* dt = v cos a* — J vd (cos a*),
о 0 0
Поскольку v—0 при Z=0, to
t t
J v cos dt = v cos a*-|- J v sin a*a* dt
о о
230
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
и
t t
vs — v cos a* + J v (6 + a*) sin a* dt -|- J g sin <p* dt.
о о
Но на основании равенства (34.5)
<p*=0-J-a*.
поэтому
t t
^ = -ycosa*+J i/(p*sina*d/+J ^sincp*^. (34.9)
о о
В частности, при t = tx
ti tt
vsl = cos a* -j- J ^sin (jp*^+J vq)* sina*df.
о 0
Ограничимся пока рассмотрением интегратора, жестко
закрепленного на борту ракеты так, что направление чув-
ствительности совпадает с направлением продольной оси ра-
кеты. При этом
Ф* = ф, а* = а»
h 6
^1 = ^1 cosaj-P J sin<рJ wpsinad/. (34.10)
о о
Последний член мал, так как малы угловая скорость на-
клона оси ракеты <р и угол атаки а. В первом члене cos
близок к единице. Для оценки рассеивания можно пользо-
ваться приближенной формулой
Л
+ J Я sin Ф dt> (34.11)
о
или
«1 = — J g sin Ф dt- (34.12)
о
При рассматриваемом способе выключения двигателя те-
кущее значение кажущейся скорости непрерывно сравни-
§ 34. Отклонения точки выключения двигателя
231
вается с заданным значением» на которое настроен интегра-
тор. Когда эти два значения совпадают, прибор подает
команду на выключение двигателя. Из формулы (34.12) видно,
что отклонение конечной скорости обусловливается по-
грешностью Д^5И, с которой удается выдержать заданное
значение кажущейся скорости отклонением Д^ времени
работы двигателя и отклонением бф угла ф на протяжении
всего активного участка. Кроме того, возможно отклонение g
за счет изменения высоты, но им можно пренебречь, поэтому
'1 + Д4
®1 + Дг\и — f g-sin (<p + 6<p)dt
О
Двумя штрихами отмечаем величины, относящиеся к вы-
ключению двигателя при помощи интегратора. Считая
cos 6ф = 1 и 81пбф = 6ф, получим:
-h Д^" — Vs] + Д^5и — J g (sinф 4- cos ф бф) dt —
о
Л Л
= ^14“Д^и— J dt— J ^бфСОЗфЛ—
О О
-- j £81Пф£//— J ^бфСОЭф^.
Л
Последним членом, имеющим порядок g-Д^бф, можно пре-
небречь, а в предпоследнем считать g’sincp постоянным
и промежутке времени от tx до ^4-Д/[. Тогда
h
f, 4- Д®'' = + Д^и — J g sin <р dt —
О
6
— J ^бфСОЗф^/—- gx 81Пф1 Д/".
о
232
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
Вычитая отсюда почленно равенство (34.12), получим:
Аг," = Дг/Ли — | g бф cos (p dt — gj sin фх A/'
о
Обозначим второй член через Аг^ф:
(34.13)
А<^= — J g&pcosq>dA
О
Его величина может быть найдена, если известен закон от-
клонения оси ракеты от расчетного положения. Окончательно
А< = д^и -4- д%—£1 sin «Pi A^i • (34.14)
Подставляя в первую из формул (34.1) выражение (34.14),
получим:
Аг/ + Аг, — g. sin ф. Af" = г/. А£" + У z.b
откуда
АГ = ------!-----
Vi 4-£i sin q>i
------AXft.
+ sintpi
(34.15)
Теперь, подставляя выражение (34.15) в формулы (34.1),
легко найти отклонения остальных величин в точке траекто-
рии, где от интегратора поступает команда на выключение
двигателя:
Щ = - V1-;----(Аг»5И + Аг») 4-
»i + gi s,n Ч>1
ViZik
Vl+^lSintpJ
ау;
— - У‘- ,----( ДЧги 4- A^sq,) 4-
Vi4-£i sintp, *
г2й-----------------W*.
«'i+ffi sinq»!/
(34.16)
Ax!
• . , (Л^и4-Д^) +
Щ + gi sin <Pi v
гзл г . .
k’
§ 35. Влияние процесса выключения двигателя
233
Введем для краткости обозначения
z” — — Z0k — Zlk = Zlk *lk
®14gl Sin<J>( ’ VlZlb = —^sintp,^
Vt+gt Sin<P|
Z2k — Z2k yi*ik ®i4^is,n<₽i ~ Z2k + У^011’
Z3k Z3k *lZlk i>i + gl sintp! Z3k ”b
(34.17)
Тогда формулы (34.15) и (34.16) примут такой вид:
Л/" = -----------(А® 4- А® W- У. -г" AJL.
1 4gi sin Ф1 v « Nk‘
A®" = -----------(A® 4- A® J4- У z” t&b.
1 ®i4^isin<p/ 511 « *'
А/ = ------------(A« + A®cm)4- У z” AX
1 v.+^sirKp, v ™ 2Л r
A< = -----------(A®w 4 A® J4- У z” AX..
«! 4^81114)! V зь ь
Формулы (34.2), (34.3) и (34.18) дают решение вопроса
об отклонениях в точке выключения двигателя при различных
способах выключения.
§ 35. Влияние процесса выключения двигателя
на рассеивание
Рассмотрим участок траектории между точкой, в которой
подается команда на выключение двигателя, и точкой, где
процесс выключения заканчивается. Промежуток времени
(/lt t2) между обеими точками выберем постоянным и таким,
чтобы при любом практически возможном законе спада тяги
процесс выключения успел бы закончиться за это время.
Сделаем следующие допущения:
1) выключение двигателя ступенчатое,, т. е. после первой
команды, подаваемой в начальный момент рассматриваемого
234
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
промежутка времени, происходит лишь уменьшение величины
тяги до некоторого промежуточного значения и только после
второй команды, подаваемой внутри рассматриваемого про-
межутка времени, тяга начинает спадать до нуля;
2) угол атаки настолько мал, что в уравнениях движения
им можно пренебречь;
3) изменение угла наклона касательной по времени одно
и то же, независимо от закона спада тяги;
4) к моменту окончания спала тяги лобовое сопротивление
ракеты пренебрежимо мало.
При этих допущениях уравнения движения ракеты при-
нимают вид
Jv Л>_ xlp — X
dt тп
gs\nQ = —-----gsinO,
& m ь
—T>sin6,
dt
dx n
—- = VCOS0,
(35.1)
где —проекция всех сил, действующих на ракету, кроме
силы тяжести, на направление оси ракеты. Обозначая момент
подачи команды на полное выключение двигателя через tK,
можем написать:
или
g sin 6 dt.
*К *2 *2
I» d C R Г
®2 = ®i+J j J ^sinOrfz- (35.2)
Второй и третий члены представляют собой приращения
скорости за счет всех сил, кроме силы тяжести, на участках
соответственно между двумя командами и после команды
на полное выключение. Эти приращения за счет большого
§ 35. Влияние процесса выключения двигателя
235
разброса в характере спада тяги сами подвержены большому
разбросу. Для участка между двумя командами (Zlt /к) этот
разброс может быть доведен до минимума при надлежащем
способе подачи второй команды. Легко убедиться, что при
наших допущениях таким способом будет выключение от
интегратора. Действительно, на основании первого урав-
нения (35.1), второго из сделанных выше допущений и фор-
мулы (34.11)
dv dv dv
-5r+fi'sine=-^-+^sin<P
и, следовательно,
(35.3)
В силу формулы (35.2) и третьего допущения
а это значит, что ошибка в скорости в момент t2 склады-
вается из ошибки в момент t\ и разбросов интегралов
f4
I ——dt и
*1
Ошибка в величине первого интеграла будет минимальной
тогда, когда команда на полное выключение подается при-
бором, замеряющим величину этого интеграла. Формула (35.3)
показывает, что таким прибором является именно интегратор
осевых перегрузок.
Обращаясь ко второму интегралу, заметим, что после
команды на полное выключение двигателя масса ракеты m
уже практически не изменяется. Поэтому
ti ti
Г R,„ If I
-^-dt —— Rvdt ——, (35.5)
J m mK J v mK 4 '
zk ZK
236
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
где буквой / обозначен так называемый импульс последей-
ствия — суммарный импульс всех сил (кроме силы тяжести),
действующих на ракету после подачи команды на полное
выключение двигателя. Главной из этих сил является тяга,
создаваемая двигателем вследствие догорания и истечения
компонентов топлива, остающихся в камере и в топливных
магистралях между камерой и отсечными клапанами. Часть
импульса последействия обусловлена также задержкой в сра-
батывании отсечных клапанов после подачи команды на выклю-
чение. Силы Х1р и X не играют существенной роли в про-
цессе последействия и, согласно нашим допущениям, обра-
щаются в нуль вместе с тягой к моменту t < f2, так что
рассматриваемый интеграл не зависит от выбора времени t2,
лишь бы соблюдались перечисленные выше условия.
Величина разброса второго интеграла в полете ничем
не может быть ограничена, об ее уменьшении следует поза-
ботиться на земле. При прочих равных условиях этот разброс
будет тем меньше, чем меньше импульс последействия.
Последний может быть уменьшен за счет уменьшения тяги
к моменту подачи команды на полное включение двигателя
(в этом и заключается смысл ступенчатого выключения),
а также за счет более быстрого спада тяги.
Интегрируя второе и третье уравнения (35.1), найдем
^2
у2 = ух -|- J <и sin 0 dt,
ti
h
x2 = хг + | tfcosGd/,
/i
и, следовательно,
tz
Ду2 = Ду2 | &u sin 0 dt,
tx
h
Дх2 = Дл4 -J- J Дх/ cos 0 dt.,,
(35.6)
(35.7)
Величинами порядка Д^(/2— ^i) можно пренебречь, так
как продолжительность процесса выключения невелика.
Но тогда ошибки в координатах при переходе от точки
§ 35. Влияние процесса выключения двигателя
237
к точке /2 не изменяются:
Ду2 = Ду1.
Дх2 = АхР
(35.8)
Эти формулы вместе с выражением (35.4) решают задачу
об отклонениях основных баллистических параметров в конце
участка выключения двигателя. В частности, если команда
на полное выключение подается интегратором, то на осно-
вании уравнений (35.3) и (35.5)
Д«»2 = Д®1 + Д(^К — V )_|_д(^_]. (35.9)
Формулы (35.4) и (35.9) будем записывать коротко так:
Д^2 ~ Л^1 + Д^12, (35.10)
где
/ *к \
л^=л/4"' +лШ <з5“)
\л J
в общем случае, и
Д«г12 = Д(^к_^1) + дШ (35.12)
при выключении от интегратора.
Наконец, заметим, что все изложенное остается в силе,
если за момент примем не момент подачи команды на
уменьшение тяги, а момент tK подачи команды на полное
выключение двигателя. В качестве t2 тогда нужно будет
взять момент, отделенный постоянным промежутком времени
от /к, и мы получим
(35.13)
где
Дт>2 = Д vK -|- Л^к2,
Ду2 = Дук, |
Дх2 = Дхк. /
(35.14)
(35.15)
Формулами (35.13) — (35.15) следует пользоваться, когда
вторая команда подается независимо от первой
238
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
выра-
§ 36. Рассеивание по дальности
При рассмотрении рассеивания по дальности ограничимся
случаем, когда полное выключение двигателя заканчивается
при пренебрежимо малом сопротивлении воздуха. Тогда боль-
шая часть участка свободного полета будет лежать в прак-
тически безвоздушном пространстве и для расчета рассеивания
можно пользоваться формулами эллиптической теории. Рас-
сеивание от воздействия атмосферы в конце нисходящей
ветви траектории должно быть исследовано особо, его мы
касаться не будем.
Влияние отклонений hu и *&н в начальной точке эллип-
тической траектории на дальность свободного полета
жается формулами (19.42) (с заменой гн на +
2/? ₽с Р
= V"+^+^(1+tg2^)Sln2'flg-f ,
dZcB о (1 + tg2 Он) (vB - 2 tg Он tg sins
Ж"= 2/?2 7 РД ’
vH(oH-|-/?tgOHtg-^j
где
_ «'н(/?+Лн)
н~ go/?2 ’
tg — положительный корень квадратного уравнения
[2/? (1 + tg2 Он) - (2R + ftH) VH] tg2 -
— 2vHR tg 0H tg — ftHvH == 0.
Полная дальность полета L складывается из дальности /н
до начальной точки (за которую принимаем точку /2) и даль-
ности /св свободного полета: „
^=ZH+^CB> (36.4)
(36.1)
(36.2)
(36.3)
§ 36. Рассеивание по дальности
239
где
ZH=/?d.
^св = /?₽с.
tg6 = *” •
® #4~Ун
Величины б, Лн и связаны с хн, ун и Он соотношениями
/?+y„ = (/? + 6H)cos6,
хн — (/? -|- Лн) sin 6,
= +
(36.5)
Проследим, как зависит дальность полета от кинемати-
ческих величин т>н, ун, хн и 6Н в начальной точке участка
свободного полета. При изменении г»н изменяется только ZCB
в формуле (36.4). При изменении хк или ун изменяется /гн,
влияющее на /св, а также б, от которого зависит как ZH,
так и ZCB (через ^д); наконец, при изменении 6Н меняется •&„,
а вместе с ним и ZCB. Поэтому
dL _____ dlQB а
~dv^~~ dvn ’
(36.6)
dL
ду»
dL
dZH । dl^Q
dZH . dZCB
dx„ ' dx*
Для
db
И -ч--
вычисления
_ p ^6 । dh^ .
-Kdyti dhn dy„
— /? | ^Zcb |
~ д*н дЛн dx„ *
dL ____ dlCR __ dlcB
aeH d0H ’
частных производных
<^ZCB ^'О'н
dyH
dlcft .
dxn 9
продифференцируем соотношения (36.5):
dyu = dhK cos d — (/? -|- ZzH) sin 6 di>9
dxH = dhn sin d + (R + ZzH) cos d dt\
откуда
dhn — dyn cos 6 -j- dx* sin 6,
sin<6 , , cos d
db~— аУ« + /?4-лн dx'
Следовательно,
^Zzi| «» dha . »
—”- = COSO,
dyH dx„
d6 ____ sin 6 d6 __ cos 6
dyu R-\-hn ’ dx^ ~~ R-\-hn •
(36.7)
(36.8)
^ZiH d6
(36.9)
240
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
На основании последней из формул (36.5)
дО'ц дЪ д'О'н дЪ
(36.10)
Подставляя выражения (36.9) и (36.10) в формулы (36.7),
получим
___ rnQ А ^св Sift в (Р I ^св \
дун “cos6 аУн /?ч-лн Г+ЖГГ 1П
„ с / лг X ' (36.11)
t^+j^^ + sind
дха /?4-Лн \ ' дй„) ‘ dh„
Итак, связь между малыми отклонениями скорости, коор-
динат и угла наклона касательной в начале участка свобод-
ного полета и отклонением дальности полета может быть
выражена формулой
Д£ = -^-Д®в+-#-ДУн+^:-Лл:н + -^-А0н. (36.12)
н 1 дуп ™ * дхн н 1 <ЮН н 7
где коэффициенты при отклонениях Д-ин, Дун, Дхц, Д0Н опре-
деляются по формулам (36.1) — (36.3), (36.6), (36.8) и (36.11),
а сами отклонения — по формулам предыдущих параграфов.
Перейдем к конкретным способам выключения двигателя.
При выключении в фиксированный момент времени, вос-
пользовавшись формулами (34.2), (35.8) и (35.10), получим
~ “l” k^k + ^12) +
+ (У1 + 2 *2* +
+(* ".+S2» “«)+
Введем обозначения:
dL • . dL • , dL • ;
Ll' (36.13)
-^Дгг12=Д£12, (36.14)
-^-Д0в = Д£е, (36.15)
+ <36-16)
§ 36. Рассеивание по дальности
241
где верхний индекс (п) обозначает количество штрихов, т. е.
указывает на способ выключения.
При этих обозначениях
= Lx Д^и 2 A£i2 (36.17)
Заметим, что эта формула остается справедливой, если
отклонение времени выключения двигателя Д/и вызвано
не ошибками измерения, а любыми другими причинами.
Переходя к выключению по скорости, воспользуемся фор-
мулами (34.3), (35.8) и (35.10):
АЛ'-<4»-+Л’-)+(I 4*’-+ S "*)+
дхя U1 и з* Ч де„ н
или, при вновь введенных обозначениях,
АГ = А Av„ + У z<k AXft + AL12 + ALe. (36.18)
Для выключения от интегратора на основании формул
(34.18), (35.8) и (35.10) получим:
+
dL
ДА" =----
\Vl+^lsin<Pl
j dL I Д^и + А^ф
дУн XVi + ^iSintpi
[ dL /Д^и + Д^ф
дхИ Vvi+^islntp,
+ ДЧ) +
х 1 Н~ j Н Д®1
В обозначениях (36.13) —(36.16)
- ;,+t.nT, <4’'"++S <•4Х*+4Д»+4^
(36.19)
Проанализируем формулы (36.17)—(36.19). Первые члены
в правых частях этих формул зависят от Д/и, Д^и, Д^5И,
т. е. появляются за счет инструментальных ошибок при-
боров, управляющих выключением двигателя. Они могут быть
I© Р. ф. Аппавов, С. О. Лавров, В. П. Мишин
242
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
уменьшены за счет конструктивного усовершенствования этих
приборов, но не могут быть уничтожены совсем, так как
не существует идеально точных приборов. Члены вида
2 представляют собой методические ошибки при-
боров выключения двигателя. Они появляются вследствие
того, что эти приборы контролируют параметры, не свя-
занные непосредственно с дальностью полета, - время, ско-
рость или кажущуюся скорость. Если некоторая причина,
например отклонение ДХЛ параметра вызвала изменение
траектории, то дальность полета изменится на величину г^ДХЛ
даже при условии, что контролируемый параметр в момент
выключения точно равен заданному значению. Методические
ошибки могут быть значительно снижены и даже почти уни-
чтожены (см. § 37) в результате усовершенствования прин-
ципа работы приборов управления дальностью. В частности,
расчеты показывают, что применение интегратора вместо вре-
менного механизма снижает методические ошибки раз в десять,
а замена интегратора выключением по истинной скорости
дополнительно дает примерно трехкратное снижение мето-
дических ошибок.
Также методической ошибкой является последний член
в формулах (36.17)— (36.19). Он появляется потому, что
ни при одном из рассмотренных способов выключения не учи-
тывается влияние угла наклона касательной в момент выклю-
чения на дальность. Устранить его можно, учитывая это
влияние при выключении двигателя. Но можно пойти и
другим путем, выбирая форму траектории так, чтобы влияние
отклонений в угле наклона на дальность было сведено к нулю.
При этом было бы недостаточно обратить в нуль последний
член в формулах (36.17)—(36.19), добиваясь выполнения
равенства = 0. Надо учесть влияние на дальность не только
конечного угла наклона касательной, но и изменения угла
наклона касательной на протяжении всего управляемого полета.
У нас это влияние характеризуется членами 2^9 ДХб-]- z$ ДХ7,
а в общем случае они должны быть заменены (в сумме с Д£е)
вариацией полной дальности в зависимости от вариации функ-
ции 6(0- Таким образом, задача об устранении рассеивания
по дальности, возникающего за счет отклонений угла наклона
касательной, является вариационной задачей.
$ 37. Способы уменьшения рассеивания
243
Заметим, что вариация полной дальности (а в нашем слу-
чае— члены z^ ДХ6 -|- ДХ7) зависит от способа выклю-
чения двигателя. Следовательно, решение вариационной задачи
будет также от него зависеть. Подробнее эти вопросы рас-
сматриваются в гл. XI.
Независимо от способа выключения, в отклонение по даль-
ности входит величина ДЛ12— отклонение за счет возможного
разброса сил, действующих на ракету после подачи команды
на окончательное выключение двигателя, т. е. после полного
прекращения управления. В число этих сил входит прежде
всего тяга, затем лобовое сопротивление, а также силы, свя-
занные с конструкцией ракеты (например, если от ракеты
отбрасываются части, то импульс, сообщаемый этим частям,
сообщается и ракете в противоположном направлении). О спо-
собах уменьшения величины ДЛ12 говорилось выше, в связи
с возможностями уменьшения Дт>12.
§ 37. Способы уменьшения рассеивания
Выше было установлено, что рассеивание по дальности
зависит как от инструментальных, так и от методических
ошибок системы управления, главным образом от ошибок
приборов, выключающих двигатель. Рассмотрим в общих
чертах возможные пути снижения этих ошибок.
Начнем с интеграторов осевых перегрузок. Как упоми-
налось выше, методическая ошибка в дальности, получаю-
щаяся при выключении от интегратора, раза в три выше,
чем ошибка при сохранении постоянной скорости полета
ракеты при выключении. Иначе говоря, ббльшая часть ошибки
при выключении от интегратора возникает за счет отклоне-
ния скорости в момент выключения. Формула (34.14) показы-
вает, что отклонение скорости появляется за счет следующих
трех факторов: инструментальной ошибки интегратора, откло-
нения оси ракеты и отклонения времени выключения, причем
на числовых примерах легко убедиться, что отклонение вре-
мени выключения играет в данном случае решающую роль.
Это наводит на мысль сочетать интегратор с временным меха-
низмом, т. е. выключать двигатель тогда, когда некоторая
16*
244
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
функция от кажущейся скорости vs и времени t
vt = vt(vs, f) (37.1)
достигает заданного значения
0 = ^1- (37.2)
Такой прием называется введением в интегратор времен-
нбй компенсации.
Для средней траектории кажущаяся скорость однозначно
связана со временем полета, следовательно, средние значе-
ния и кажущейся скорости в момент выключения, и самого
времени выключения однозначно определяются формулой (37.2).
Но для каждой фактической траектории равенство (37.2) будет
выполняться при иных значениях кажущейся скорости и вре-
мени, отличающихся от средних на Дг^ и Д/j соответственно.
В силу равенства (37.2) имеем
Д^51 + Д^ = Дг//И
ovs 1 ot 1 £И
с точностью до величин высшего порядка малости. Здесь
Д^/и — инструментальная ошибка прибора, вырабатывающего
величину vt.
Отсюда
Ья>Л = А1Д^ Д^н.
dv,
где
Л1 = —(37’3)
1 dt I dvs х '
Коэффициент ky называется коэффициентом компенса-
ции интегратора. Нашей задачей будет выбрать этот коэф-
фициент так, чтобы по возможности уменьшить рассеивание
по дальности. Подставляя в формулу (34.14) Дг>51 вместо Дгг5И,
получим следующую связь между отклонением скорости
в момент выключения и отклонением времени выключения:
А®1 = (Л1 — gi sin <Pi) ДЧ Ч~ Д^<рЧ- &utK.
dvs
§ 37. Способы уменьшения рассеивания
245
Используя первую формулу (34Л), будем иметь:
(*1 — £1 sin фх) Д/j 4- Дгц, + ~ kvtu = Д#! + 2 zik Д\.
dvs
АЛ = -^“7-------------Т ДгЧ +
+ gi sin <pj — kt т
। 1 л
+ -------------------------А^,. —
OV/ • . ni
^-(«'1+^1 Sin <₽, — £,)
— У t---------—-------Д V (37.4)
«'i+^iSinqh — kt
Формулы (34Л) дают при этом
А^
__________£i_________
i 1 + g\ sin <р, — kx
। dvt ; u vt« <
(»i + gi sin q>i — kt)
dvt . • . _ . v
(«1+^1 ЙПф!— kt)
(37.5)
®1 + gl sin tft — kj
.----—----Дг>™-|-
«1 + £18,пФ1~ *i *
।Xt
dv, • ^°tK
(wi + sin 4>i — kt)
+ У -
- , ------)длй.
»i4-^i sin q>, — A,/
246
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
Используя эти формулы, а также соотношения (35.8) —
(35.10) и (36.12), получим в обозначениях (36.13) — (36.16)
KL
L,
-—।------:------Г
Vl + ^lSinq,, — kt
Lt
dvt - +
+ sinq>i — Л,)
z4ft-:-------------) ДХ. + ДЛ2 + ДДе.
. 4ft v.+^sinq),-kJ 126
Рассмотрим часть отклонения Д£, вызванную только слу-
чайными отклонениями параметров
д^ = У ----------=---—----------) ДЧ-
4 «1 + gl Sin <Р1 — kt I
Предположим, что — независимые величины, подчиняю-
щиеся нормальному закону распределения со средними ква-
дратическими отклонениями оХЛ. Тогда на основании фор-
мулы (31.4)
w2=£(*«- —-V (оV-
»i + gi sin <pi — kt I
Примем за независимую переменную величину
<7 = -^-;- L!-------- (37.6)
vi + ^i singh—Л,
и найдем минимум по q величины
(о^)2 = 2 (z4fc - qz^ (o-ktf. (37.7)
Для этого заметим, что производная
— 2 (г4Л Qz\k) zik =
= 2 (°^л)2 + z\k (°^)2
обращается в нуль при
2 z^kzik (а^л)2
(37.8)
§ 37. Способы уменьшения рассеивания
247
При этом среднее квадратическое отклонение по даль-
ности за счет отклонения только параметров Kk будет мини-
мальным, так как вторая производная
положительна. Из (37.6) и (37.8) найдем значение klt кото-
рое будем называть оптимальным для времени
kl = 4- gl Sin Ф1----f = V! 4- £1 Sin ф, - - .
(37.9)
Эта формула определяет оптимальный коэффициент ком-
пенсации интегратора kx как функцию времени полета tv
Из (37.3) получаем, что функция vt должна удовлетворять
дифференциальному уравнению в частных производных
Л1^-4--^- = 0. (37.10)
1 dvs 1 dt 7
Простейшим решением такого уравнения будет функция
t
vt = vs—jkjdt. (37.11)
^0
Время /0 выбирается произвольно, но так, чтобы оно не
превосходило времени работы двигателя при стрельбе на
минимальную дальность. Если комбинация интегратора с вре-
менным механизмом, вырабатывающая величину (37.11), кон-
структивно трудно осуществима, в качестве функции vt
можно взять
vt = vs—kJ- (37.12)
Для такой функции уравнение (37.10) будет удовлетворяться
только при времени выключения, равном Следовательно,
на заданную дальность должна быть настроена не только
величина по которой выключается двигатель, но и вели-
чина — коэффициент компенсации.
Этот способ уменьшения рассеивания может дать хорошие
результаты при условии, что ошибки Дгц>, ДА12, Д^е малы»
а главное, если коэффициенты z^k и сохраняют примерно
постоянное отношение для различных параметров
248
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
особенно для тех, которые дают большие значения произ-
ведения т. е. сильно влияют на дальность. Это
видно из формулы (37.7).
Остановимся в общих чертах на других способах сниже-
ния рассеивания при использовании интегратора. Рассмотрим
интегратор, стабилизированный в пространстве, т. е. с по-
стоянным наклоном оси чувствительности (ср* = const). Для
такого интегратора формула (34.9) примет вид
z>jl = t/1cosa*-|-sinq)* j gdt=vx cos(ф*—00 +sinф* J gdt.
о о
Если команда подается при заданном значении то
Дт^ cos (<р* — 60 + Vj sin (ф* — 00 Д0Х + gt sin ф* Д^ =--• 0.
(37.13)
Подставим сюда выражение для Дт^ из формул (34.1):
fai Д* i 4" 2 Д^л) cos (ф* — ^1) +
+ vx sin (ф* — 00 Д0! + gx sin ф* Д^ = 0,
откуда
vt sin (ф* — 00 Д01 + cos (ф* — 00 2
L^tx-- -- - 9 .
Vi cos (Ф* — 00 + gi Sin ф*
Если это выражение для Д^ подставить вместо Д£и в фор-
мулу (36.17), то получим, учитывая выражение (36.15):
Д£ = У -----------г 1«СУ <<.-*»>*»* ) +
“Л № v,cos(<p* — 01)+ 54 sin <р* /
+ /.у.в<П(Ф*-е,)--------\до + д,
\ д0н Vj cos (ф* — 00 + gi sin ф* / *
Отсюда видно, что при надлежащем выборе наклона оси
чувствительности ф* можно компенсировать часть влияния
конечного угла наклона касательной на дальность полета,
обращая в нуль коэффициент при Д0Х в полученном выра-
жении для Д£. В самом деле, приравнивая этот коэффи-
циент нулю, получим
dL__________LjVj sin (ф* — 0Q ____q
d0H vx cos (ф* — 00 + g\ sin ф*
§ 37. Способы уменьшения рассеивания
249
Это уравнение легко решается относительно tg <р*:
sin 0i +4^- t'i cos 0t
W = ~.
cos 0i — (Vi sin 0! 4- gj)
Однако, как уже говорилось в конце предыдущего пара-
графа, уничтожение члена с в формуле для Д£ не пол-
ностью устраняет влияние отклонений угла наклона каса-
тельной на отклонение по дальности. Более совершенным
подходом к решению этой задачи было бы найти зависи-
мость о£ от угла ф*, а затем определить значение <р*. доста-
вляющее минимум о£, как это было сделано выше при опре-
делении оптимального коэффициента компенсации.
Однако выведенные нами формулы недостаточны для реше-
ния задачи в такой постановке (те читатели, которые сумели
продвинуться вперед, добавив к системе (33.1) уравнение
для , находятся в лучшем положении I. Можно пойти
еще дальше: ввести в интегратор, ось чувствительности которого
наклонена к горизонту под постоянным углом <р* (или к про-
дольной оси ракеты под постоянным углом у*), временную
компенсацию с коэффициентом рассмотреть зависимость о£
от двух параметров <р* (или у*) и kx и найти минимум этой
функции двух переменных. Это позволит снизить рассеива-
ние до еще мёньших значений, чем при использовании только
временнбй компенсации или только установки интегратора
под произвольным углом.
Дальнейшее улучшение можно попытаться получить, ис-
пользуя двукратный интегратор, который в сочетании с вре-
менным механизмом может свести на нет ошибки по даль-
ности за счет отклонений в скорости, координатах и наклоне
касательной в момент выключения двигателя. Это осуще-
ствляется путем надлежащего выбора коэффициента компен-
сации и направлений чувствительности при первом и втором
интегрировании. Рассеивание по дальности останется лишь
за счет инструментальных ошибок первого и второго интегри-
рования, за счет разброса сил, действующих после команды на
полное выключение двигателя, и за счет возмущений, полу-
чаемых ракетой при свободном полете.
Отвлекаясь от того, какой прибор выключает двигатель,
получим уравнение, по которому должен работать такой
250
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
прибор, чтобы свести к минимуму методические ошибки.
Будем исходить из уравнений (35.13), (35.15) и (36.12),
принимая за начальную точку свободного полета точку /2:
АЛ = (Дфк 4- А©^) + Аук + 4^- Ахк + Л0к.
v к 1 к2/ ' дун лк 1 длн к ’ д0н к
(37.14)
Так как /к близко к Z2, можно считать, что
Д0К — Д02 — Д0Н.
Прибор, вырабатывающий величину
т t dL dL । dL . dL л /0*7 i
L + —v + i—6 (37.15)
r dyH J r <**н d0H
и подающий команду на выключение двигателя в момент,
когда эта величина достигает заданного значения
' __ dL , dL . dL . dL
Lpac4 ^расч ~ду^ урасч ' ~дх^ Храсч "ЖГ Орасч*
удовлетворяет упомянутому требованию. Действительно, из
(37.15)
АЛ: = (А®к + А®и) + ~ (Аук + Ауи) +
+ -^-(Дхк4-Ахи)-|-^-(Аек4-Аеи). (37.16)
где ДЛИ — ошибка в выработке команды; Дг/К — отклонение
фактической скорости от расчетной в момент выключения;
Д-уи — отклонение измеренной скорости от фактической;
Дук, Дхк, Д0К, Дуи, Дхи, Д0И—аналогичные величины для
координат и угла наклона касательной в момент выключения.
Сравнивая (37.14) и (37.16), получим
At = At; + -g- (- &v. + Ito J - Ay, -
—<3717>
Видно, что методические ошибки при подобном способе
выключения отпадают. В действительности небольшие мето-
дические ошибки остаются за счет неточности выраже-
ния (37.14), в котором отброшены члены второго порядка
относительно Дт>к, Дук, Дхк, Д0К.
В формуле (37.15) величина U зависит от четырех кине-
матических параметров: vt у, х и 0. Но того же результата
§ 37. Способы уменьшения рассеивания
251
можно добиться, ограничиваясь измерением лишь двух пара-
метров: проекции скорости на направление, составляющее
с расчетным направлением касательной к траектории угол со,
определяемый из соотношения
dL
. д0и
V
и проекции пути, пройденного ракетой, на направление,
составляющее с горизонтом точки старта угол ф, где
. . dL / dL
ду„ I dx„ •
В самом деле, обозначим первый из этих параметров ^(0,
а второй 5^. Для справедливо выражение
vfb=* iv cos (0.
Вычислим с точностью до линейных членов, замечая,
что при изменении фактического направления касательной
к траектории Дсо =— Д0:
Дг>cosco— ^sincoAco= Дг, cos со 4- vsinco Д0.
Отсюда
1 dL * dL « dL . дд
А”-*= -Я7Ао+*8“Ле =
= ^А” + <Ав- <3718>
Далее,
— х cos ф 4- у sin ф,
следовательно,
Д$,ф — Дх cosip +Ду sinty
и
1 dL a dL а । dL , . а
cos ф dxa dxa х dxn £
<37,9>
Таким образом, если прибор вырабатывает величину
1 dL . 1 dL
——_________—1____________£
cosco dvn ш 1 cosф dx* Ф
252
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
и подает команду на выключение двигателя в тот момент,
когда эта величина достигает расчетного значения, то для
момента подачи этой команды справедливо следующее соот-
ношение между фактическими - отклонениями Ат/О к и А$^ к
величин и и ошибками измерений А£и, А^и, А^и:
------+ АЧйи) Ч--------------Цг к + А$Л и)-
cos <0 dvH v <DK 1 <йИ ’ cos ф dxn 4 ip к • ip и/
Отсюда получаем с учетом формул (37.14), (37.J8) и (37.19):
а / а гff 1 dL д 1 dL * . dL а
А А -—'• /\Lu —----'з— Ат//Л »------ з— As,.]. и —1~ з— A^X-q.
cos© доИ ®и соэф dxH *и
(37.20)
Таким образом, как и в формуле (37.17), здесь отсутствуют
линейные составляющие методических ошибок, вызванных
отклонением кинематических параметров в конце активного
участка. Отклонение по дальности зависит лишь от ошибок
измерений и вычисления величины L" и от причин, дейст-
вующих после подачи команды на выключение двигателя.
§ 38. Боковое рассеивание
Боковое рассеивание определяется главным образом сле-
дующими факторами: ошибками в прицеливании по направ-
лению, отклонениями координаты z и боковой скорости vz
от их расчетных значений и возмущениями, действующими
на участке свободного полета.
Ошибка в прицеливании приводит к тому, что величины
z и а также любые другие величины, контролируемые
системой управления, например, угол рыскания £, соста-
вляющая кажущейся скорости по направлению оси z и т. п.,
измеряются не в той системе координат, в которой нужно.
Ясно, что система управления не может исправить эту ошибку.
Это относится как к полностью автономной системе, так
и к такой, которая использует наземные измерения для
контроля за направлением полета ракеты. Во втором случае
система управления может обнаружить, что ракета была не-
точно ориентирована перед стартом и поэтому начала дви-
§ 38. Боковое рассеивание
253
гаться не в той плоскости. По командам с земли эта неточ-
ность может быть исправлена и ракета будет приведена
в заданную плоскость. Но эта заданная плоскость сама
может иметь неточное направление и даже быть не пло-
скостью, а слегка искривленной поверхностью из-за ошибок
в установке наземных средств управления (антенн радиоло-
каторов, пеленгаторов и т. п.). Таким образом и при управ-
лении с земли ошибки прицеливания хотя и могут быть, как
правило, уменьшены, но не исключаются совсем. Эти ошибки
естественно считать инструментальными ошибками.
Задача управления боковым движением принципиально
отличается от управления дальностью полета характером по-
даваемых команд. Для управления дальностью требуется
определить и точно выдержать всего лишь одну величину:
момент выключения двигателя. Правда, для определения этой
величины, как мы видели, может потребоваться довольно
много измерительных средств и измерения должны вестись
непрерывно, по крайней мере в конце активного участка.
Для управления боковым движением нужны также непрерыв-
ные измерения кинематических параметров, от которых за-
висит это движение. Но и команды управления боковым дви-
жением должны подаваться и исполняться непрерывно, с тем,
чтобы к моменту выключения двигателя, когда бы он ни
наступил, все возмущения, влияющие на боковое отклонение
точки падения, были бы скомпенсированы соответствующей
работой управляющих органов. Непрерывный характер управ-
ления требует применения специфических методов исследо-
вания и расчета, которые, как уже говорилось выше, обычно
не относятся к числу баллистических методов и в этой книге
не рассматриваются. В баллистике определяются только част-
ные производные координат точки падения L и Z по кине-
матическим параметрам точки выключения двигателя. Подобно
тому как для управления дальностью важны в первую оче-
dL dL dL dL
редь производные —, -s—, — и , для управления
GVK оук ОХК ovK
А dZ dZ
боковым движением нужно прежде всего знать — и .
В первом приближении боковое отклонение выражается
формулой
А — dZ к . dZ к
254
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
где Лг^к и AzK— отклонения боковой составляющей ско-
рости и координаты z от их расчетных значений.
Однако для больших дальностей полета, когда все про-
изводные начинают сильно возрастать и пространственная
кривизна траектории становится существенной,
dL dL
учитывать и другие производные: ------ и -т—
dZ dZ dZ
рассеивания по дальности и ~dy~r
приходится
в расчете
dZ
1ё7~при
расчете рассеивания в боковом направлении. Иногда при-
ходится принимать во внимание и вторые частные произ-
водные.
Для того чтобы сделать расчеты рассеивания по дальности
и по направлению менее зависимыми друг от друга, иногда
отклонения АЛ и AZ измеряют в системе координат, отли-
чающейся от той, в которой мы до сих пор вычисляли L и Z.
Начало этой системы координат помещают в расчетную точку
падения (другими словами, в точку цели), ось АЛ направляют
по касательной к той линии на поверхности Земли, по которой
перемещается точка падения при изменении времени выклю-
чения двигателя и неизменном направлении прицеливания.
Ось AZ направляют в горизонтальной (в точке цели) пло-
скости под прямым углом к оси АЛ.
§ 39. Расчет рассеивания
В предыдущих параграфах были изложены некоторые
теоретические основы и методы расчета рассеивания по даль-
ности. Остановимся более подробно на вычислительной сто-
роне дела, так как на практике расчеты часто проводятся
с отступлениями от изложенной выше схемы.
Частные производные zik, как уже было сказано, опре-
деляются с помощью системы (33.15). Однако помимо пря-
мого численного интегрирования этой системы существуют
другие приемы отыскания ее решений, позволяющие в не-
которых случаях сократить количество вычислений. Важ-
нейшим из таких приемов является использование сопряжен-
ной системы дифференциальных уравнений.
Поскольку часто приходится оперировать с системами
более общего вида, чем система (33.15), рассмотрим систему
§ 39. Расчет рассеивания
255
порядка п:
= ап£1л + ... Н- а1Л^пл + ₽1л»
(39.1)
— ал1я1Л + .. - + ал/2£ла+Рл#,
где aZy, pzfc, Z, /=1» 2, .я; fc=l. 2, .... /п, — извест-
ные функции времени. Фактически равенства (39.1) опреде-
ляют не одну систему, а пг таких систем с одними и теми же
коэффициентами aZy при неизвестных функциях Zjk и ме-
няющихся от системы к системе свободных членах pzft. Вто-
рой индекс у величин Zjk и р/Л представляет собой номер
системы.
Введем вспомогательные дифференцируемые функции вре-
мени и19 ...» ип и найдем производную по времени функции
ulzlk + • • • + unZnk-
• • + unznk)~
__ dui ~ । dun ~ । &z\k । i dznb
dt Z™ dt Znk 4“Ux dt + • • • + dt ’
г» dzib
Вместо производных подставим их выражения из урав-
нений (39 Л):
б/ t \ dU\ 1 dun
~dt {4\z\k Ч~ • • • Ч~ ^nznk^ = dt “Ь • • • Ч ~dj~ znk л~
4~ wi (aiizu + • • • + atnznk 4- Pi*) 4~
4- • • • 4- ип (a„]Zlft 4- • • • 4- annznk 4~
Сгруппируем теперь члены, содержащие Z\k.......znk:
^f(.ulzik ~^~ • • • 4- «п2лл) =
== [~dt~ 4-«u«i 4~ • • • 4~аЯ1«л) г1*4“- • 4-(^f-4-«in«i4-- ••
• • • 4- annunj znk 4" “1Р1Л 4“ • • • 4- “п₽ий- (39.2)
Полученное выражение значительно упростится, если потре-
бовать, чтобы функции «1, ...» ип удовлетворяли системе
256
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
дифференциальных уравнений:
du,
— = — — ., . _ anXunt
dun
..- — annun
(39.3)
Эта линейная однородная система д-го порядка называется
системой, сопряженной системе (39.1), точнее, любой из
систем (39.1), получающихся при различных значениях k.
Матрица коэффициентов сопряженной системы получается из
матрицы коэффициентов исходной системы транспонированием
и изменением знака всех элементов.
В дальнейшем будем считать, что функции ..., ип
образуют решение системы (39.3). Тогда равенство (39.2)
принимает вид
(И1^1Л + • * • + unZnk) — ^1₽1Л + • • • + urfink'
Интегрируя это равенство почленно в пределах от £ = 0 до
t=tu получим
Л
(ulzlk + • • • + unZnk^ ~ | + • • • + un$nk) (39.4)
о
Будем считать, что нас интересует частное решение си-
стемы (39.1) с начальными условиями при t—6:
zik= — = Ъ (39.5)
(так оно и есть, в частности, для системы (33.15) и ей по-
добных). Тогда результат подстановки значения t = 0 в левую
часть равенства (39.4) обращается в нуль и равенство при-
нимает вид
Л
’ • + unZnk> |/s J (к1₽1л+- • -Н“Я/г₽йл) (39.6)
О
Оно справедливо, если ..., ип — произвольное частное
решение системы (39.3). Возьмем теперь некоторое из част-
ных решений этой системы, а именно, решение ип, ..., uni,
удовлетворяющее при t=tx начальным условиям
«у/ = 0 при J + I,
ип=\ при
(39.7)
§ 39, Расчет рассеивания
257
Фактически формулы (39.7) определяют не одно частное ре-
шение системы (39.3), а п таких решений, соответствующих
различным значениям i = 1, 2, ..., п. При подстановке та-
кого частного решения в соотношение (39.6) все слагаемые
левой части, кроме одного, обратятся в нуль и мы получим
tx
Zik\t=t' — [ (tti/₽u+ • • • Uni$nk) (39.8)
б
Таким образом, если найдены п частных решений си-
стемы (39.3) при начальных условиях (39.7) для Z=1,2, .. ., л,
то величины zik при любом k могут быть найдены, уже
не прибегая к численному интегрированию дифференциаль-
ных уравнений, а лишь с помощью значительно менее трудо-
емкого процесса вычисления определенных интегралов в фор-
мулах (39.8) для i= 1, 2, . . ., п\ k= 1, 2, .. ., m. Если
порядок п системы (39.1) меньше числа m вариантов этой
системы, то общий объем вычислений сокращается. Более
того, часто нет необходимости определять значения всех
величин zik при t—tx. Достаточно бывает ограничиться
вычислением некоторой их линейной комбинации
(39.9)
где ct....сп — некоторые не зависящие от k коэффициенты.
Так, из формул (34.4) видно, что такими линейными комби-
нациями являются величины z'2k и z^k. Формулы (34.17)
показывают, что таким же свойством обладают величины
zve z2k и z3k- Наконец, исходя из формулы (36.16),
можно заключить, что то же самое справедливо относитель-
но z$, Например,
t'l + gi sin q>i
x,z,k \
п dL п I dL п । dL п dL
4k dvu lk dyH 2k dxH dv„
+-^-s>- . ) +44*,» - • 1 I -
<ty(i \ + gi sin q>! / dxa \ Vt+gt sin <p, /
1 / dL dL • dL \ ,
= -^-7----J---teiS'nip,--------У1-----хг—— pu +
v, -|- gt sin V dva dyu dx„ J
dL । dL
"г ctyH Zik dx„ Z3k"
17 P. Ф. Аппазов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
258
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
Линейные комбинации (39.9) для А?= 1, 2.....m можно
вычислить, определив предварительно все zlk по формуле
(39.8). Это потребует п раз проинтегрировать систему (39.3)
с начальными условиями (39.7) для всех значений /, а затем
вычислить п X m интегралов (39.8). Но если проинтегри-
ровать систему (39.3) с начальными условиями при t = tx
= ...» ип = сп (39.10)
и обозначить через их.....ип полученное частное решение,
то из формулы (39.6) следует, что
Л
+ • • • + fA*)|z=Z1= J + •••
о
(39.11)
Таким образом, вычисление линейных комбинаций (39.9) для
всех значений k может быть сведено лишь к однократному
интегрированию системы (39.3) с начальными условиями
(39.10) и вычислению ш интегралов (39.11).
Метод сопряженных систем не лишен и недостатков.
Во-первых, он позволяет вычислять по описанной схеме
значения zik(z'ikt z"^ лишь при одном значении t, равном tv
Если эти значения нужны для нескольких значений /, то за-
дача сразу усложняется и становится сравнимой по трудо-
емкости с прямым интегрированием системы (39.1). Во-вторых,
интегрирование сопряженной системы (39.3), начальные усло-
вия для которой задаются при t = tv должно проводиться
при убывании t от tx до нуля. Поэтому его нельзя вести
параллельно с интегрированием основной системы дифферен-
циальных уравнений движения ракеты в направлении от t = 0
к t — t\. Если при ручном интегрировании это не вызывает
особых затруднений, то при использовании электронных
вычислительных машин нужно либо вычислять коэффи-
циенты и параллельно с интегрированием уравнений
движения и накапливать их в памяти машины (это требует
большого объема памяти), либо повторять интегрирование
уравнений в обратном направлении (от t = tx к t = 0).
Параллельно с обратным интегрированием вычисляются коэф-
фициенты aZy и pz/fe, интегрируется сопряженная система (или
системы) и вычисляются интегралы (39.8) или (39.11).
£ 39. Расчет рассеивания
259
Оба метода — прямое интегрирование системы (39 Л)
и использование сопряженной системы (39.3) — требуют вы-
числения большого количества коэффициентов aZy и р/А> по
довольно громоздким формулам. Поэтому при машинном
счете для унификации расчетов и сокращения объема про-
граммы влияние малых возмущений на траекторию часто
исследуется методом конечных разностей. Поясним этот метод
на примере. Предположим, что требуется найти производ-
ную z"k дальности полета по параметру Kk при выключении
двигателя от интегратора. Сначала рассчитывается номи-
нальная траектория и определяется номинальная дальность
полета Ао и значение кажущейся скорости в момент
выключения двигателя. Затем рассчитывается возмущенная
траектория, для которой все параметры, кроме задаются
своими номинальными значениями, а параметру придается
значение, отличающееся от номинального на максимально
возможную величину -|- На этой возмущенной траекто-
рии момент выключения двигателя выбирается так, чтобы
значение кажущейся скорости в этот момент совпадало бы
с ранее найденным номинальным значением Просчиты-
вается участок свободного полета и определяется возмущенное
значение L vk- Если почему-либо есть уверенность в том, что
зависимость дальности полета от параметра линейна при
изменении последнего в рассматриваемых пределах, то этим
можно ограничиться и принять, что
<3912>
Однако чаще просчитывается совершенно аналогично
и возмущенная траектория, соответствующая максимальному
отрицательному отклонению —ДХ* параметра X* при номи-
нальных значениях остальных параметров. Если L._k— соот-
ветствующая дальность полета, то формула
L" — L"
(39л3)
дает более точное значение производной, чем предыдущая,
а выражение
2
17*
260
Гл. IX Влияние малых возмущающих факторов
может служить для оценки нелинейности зависимости даль-
ности от параметра Xk. Если эта нелинейность велика, го
линейные формулы типа формул (36.17) — (36.19) не пол-
ностью отражают зависимость отклонений дальности полета
от отклонений конструктивных и прочих параметров. Однако
в подавляющем большинстве случаев с нелинейностями в фор-
мулах указанного типа можно не считаться.
Поэтому на приближенном определении производных
высших порядков с использованием конечных разностей
можно не останавливаться, хотя делается это довольно просто.
Заметим, что пользоваться конечными разностями особенно
удобно, когда расчеты ведутся на электронной вычисли-
тельной машине. На этих машинах легко обеспечить запас
точности вычислений, достаточный для того, чтобы при вы-
читании близких значений и сохранилось требуемое
число верных знаков. О том, что сами расчеты методом
конечных разностей ведутся по более однотипным формулам,
уже было упомянуто. Само собой разумеется, что с по-
мощью конечных разностей можно вычислять и производные
dL dL dZ
типа -з—, -т—, -s— ,
dvK dyK dzK
особенно в тех случаях, когда участок
свободного полета рассчитывается более сложным способом,
чем было принято в § 36, например численным интегриро-
ванием уравнений движения, учитывающих сопротивление
воздуха и сплюснутость Земли.
Одним из методов, пригодных для исследования рассеивания
ракет в случае как линейных, так и нелинейных зависимостей
координат точки падения от возмущающих факторов, является
метод, для которого принят ряд названий: метод стати-
ческих испытаний, метод Монте Карло, или, наконец,
метод математических стрельб — термин, лучше всего
отражающий существо дела. В этом методе рассеивание оце-
нивается на основании результатов расчета нескольких де-
сятков возмущенных траекторий. Расчет производится по
возможно более полным уравнениям движения, в которых
учитываются все известные возмущающие факторы или,
по крайней мере, те из них, учет которых не осложняет
чрезмерно интегрирование уравнений движения. Возмущаю-
щие факторы выбираются так, чтобы они физически или
хотя бы в вероятностном смысле были независимы друг
от друга. Значения этих возмущающих факторов задаются
g 39. Расчет рассеивания
261
как независимые случайные величины для каждой из рас-
считываемых траекторий и для каждого фактора. В основу
задания этих значений кладутся известные или предпола-
гаемые законы распределения возмущающих факторов. Как
правило, это нормальный закон со средним значением нуль
и со своим для каждого фактора средним квадратическим
отклонением. При выработке случайных значений исполь-
зуются либо таблицы случайных чисел (обычно при ручном
счете), либо специальные датчики случайных чисел, подклю-
ченные к вычислительной машине, или подпрограммы, вы-
рабатывающие последовательности так называемых псевдо-
случайных чисел, внешне ведущих себя как случайные
с определенным законом распределения.
Для каждой из возмущенных траекторий вычисляются
не только кинематические характеристики, но и величины,
контролируемые системой управления, в частности, системой
управления дальностью. Момент выключения двигателя опре-
деляется исходя из выбранного уравнения управления, т. е.
соотношения между величинами, измеряемыми системой
управления дальностью, по которому эта система определяет
момент подачи команды на выключение. Таким образом,
в нашем распоряжении оказывается набор из некоторого
числа N возмущенных траекторий, более или менее точно
воспроизводящих траектории, которые могут реализоваться
при фактических пусках ракет. Для каждой из этих траек-
торий определяются координаты точки падения Lt и Zz,
где I— номер траектории (i = 1, 2, N), которые затем
обрабатываются, как будто они являются результатами реаль-
ных пусков. Приведем хорошо известные формулы, по кото-
рым проводится такая обработка. Средние значения даль-
ности и бокового отклонения вычисляются по формулам
N
= (39.14)
1=1
N
z=tf2z‘- (39.15)
1 = 1
Эти значения называются также координатами центра груп-
пирования точек падения. Дальнейшей обработке подвер-
гаются отклонения точек падения от центра группирования:
262
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
отклонение по дальности
ДА, = Lt — L
и отклонение в боковом направлении
AZz = Zz — Z.
Среднее квадратическое отклонение по дальности находится
по формуле
/ N
oL=l/ (39Л6)
г 1=1
а среднее квадратическое отклонение в боковом направле-
нии — по формуле
oZ = |/ <39J7)
Можно обойтись и без вычисления отклонений от центра
группирования, а пользоваться непосредственно отклонениями
от расчетной точки падения; тогда формулы для oL и oZ
примут вид
оЛ—
-£0)2-Д/(£_ £())2 L
(39.18)
где Lq—номинальная дальность полета,-и
(39.19)
Эти формулы дают те же значения, что и предыдущие,
но позволяют сократить вычисления, особенно, если Lq— круг-
лое число, что имеет значение при ручном счете.
Корреляционный момент между отклонениями по дальности
и в боковом направлении оценивается по формуле
/V
К и - 2 (39-2°)
§ 39. Расчет рассеивания
263
или
/ N
= ЛГ=Т( S(^-io)Zz-W(r-£o)Z
V Z=1
(39.21)
Если этот момент не равен нулю» то рассеивание точек па-
дения характеризуется эллипсом, оси которого повернуты
по отношению к осям L и Z. Угол поворота а может быть
найден из соотношения
Л £*\ / 7
щ 2а =--------s
(аЛ)2 — (aZ)2
(39.22)
Это соотношение определяет угол 2а с точностью до л и,
следовательно, угол а с точностью до л/2. Иначе говоря,
формула (39.22) оставляет возможность выбора одного из
двух взаимно перпендикулярных направлений. Чтобы выбор
стал однозначен, надо учесть, что при К LZ > 0 большая ось
эллипса рассеивания располагается между положительными
направлениями осей L и Z, а при К Lz < 0 — между поло-
жительным направлением одной из этих осей и отрицатель-
ным направлением другой. Обычно средние квадратические
отклонения gL и oZ близки по величине, поэтому знаменатель
формулы (39.22), а вместе с тем и значение а определяются
с малой точностью. В пределе, при o£ = oZ, если при этом
и /<£Z —О, эллипс рассеивания превращается в круг и угол а.
определяющий направление осей эллипса, вообще становится
неопределенным.
Другие параметры, характеризующие рассеивание, а именно
L, Z, gL и aZ, определяются этим методом со вполне доста-
точной для практических целей точностью. Так. например,
если эти параметры оцениваются по результатам расчета 50
возмущенных траекторий, то L определяется с ошибкой, не
превосходящей 0,4oL, a gL — с относительной ошибкой не
более 30%. В таком же соотношении ошибки определения
Z и aZ находятся к значению oZ. Обычно ошибки определе-
ния параметров рассеивания оказываются значительно меньше
указанных здесь пределов. Причина появления этих оши-
бок понятна — расчет возмущенных траекторий производится
с использованием случайных чисел, поэтому и характеристики
рассеивания этих траекторий сами являются случайными
264
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
величинами, подверженными разбросу. Повысить точность
определения этих характеристик можно, увеличивая число
траекторий, но точность растет, вернее, погрешности убывают
при этом лишь пропорционально корню квадратному из числа
возмущенных траекторий, так что определить о Л или oZ
с гарантированной ошибкой не свыше 10% можно по резуль-
татам расчета около 500 траекторий. Поэтому, как уже было
сказано в начале, обычно мирятся со сравнительно высокой
возможной ошибкой в расчете gL и oZ, но ограничиваются
расчетом нескольких десятков траекторий.
Величины £, Z, оЛ, oZ и KLZ полностью характеризуют
рассеивание точек падения, если это рассеивание подчиняется
двумерному нормальному закону распределения. Как правило,
на рассеивание влияет множество причин и влияние каждой
из этих причин мало по сравнению с суммарным влиянием
всех остальных. В этих условиях закон распределения и дол-
жен быть близок к нормальному. Для распределения откло-
нений, полученного в результате математических стрельб,
гипотезу о нормальном характере распределения можно под-
вергнуть проверке, пользуясь либо критерием %2 Пирсона,
либо критерием Колмогорова. Методика применения этих кри-
териев здесь не описывается.
Метод математических стрельб наряду с рядом достоинств
имеет и некоторые недостатки. Основным из них является
невозможность выделить влияние на рассеивание отдельных
возмущающих факторов, поскольку при расчете возмущен-
ных траекторий проявляется лишь их совместное действие.
Поэтому трудно бывает определить, с какими из причин,
вызывающих рассеивание, следует бороться в первую очередь,
если это рассеивание чрезмерно велико. В связи с этим метод
математических стрельб чаще используется как поверочный
метод, а проектные расчеты рассеивания обычно ведутся
другими методами, подобными описанным выше. Однако
и в некоторых проектных расчетах метод математических
стрельб может быть полезен. Пусть, например, требуется
сравнить несколько законов управления дальностью и выбрать
из них оптимальный, подобно тому как в § 37 выбирался
оптимальный коэффициент компенсации интегратора. Для этой
цели можно провести несколько серий математических стрельб,
со своим законом управления дальностью в каждой серии.
Для каждой серии определяется среднее квадратическое откло-
§ 39. Расчет рассеивания
265
нение по дальности oL и выбирается тот закон, при котором о£
оказывается минимальным.
Если в каждой из таких серий значения возмущающих
факторов задавать независимо от других серий, то на зна-
чение oL помимо закона управления будет влиять принятый
для данной серии набор значений возмущающих факторов.
В результате выбор оптимального закона может оказаться
ошибочным. Чтобы существенно уменьшить вероятность такой
ошибки, целесообразно использовать один и тот же набор
значений возмущающих факторов во всех сериях. Точнее го-
воря, для различных траекторий в пределах первой серии воз-
мущающие факторы выбираются случайно и независимо друг
от друга. Выбранные значения этих факторов запоминаются.
При расчете Z-й траектории (i — 1, 2, .. ., N) любой после-
дующей серии значения возмущающих факторов берутся
те же, что и для i-й траектории первой серии. В результате
зависимость рассеивания от вида закона управления стано-
вится более ,четкой. Если сравниваемые законы управления раз-
личаются лишь численным значением одного или нескольких
параметров (например, коэффициента компенсации интегра-
тора, угла установки его чувствительного элемента и т. п.),
то зависимость характеристик рассеивания от этих парамет-
ров оказывается плавной и оптимальные значения параметров
легко находятся.
Во многих случаях для оценки рассеивания и при решении
других задач, связанных с влиянием малых отклонений кон-
структивных параметров на дальность полета, могут оказаться
полезными приближенные формулы, позволяющие вычислить
производные дальности по конструктивным параметрам, не
прибегая к численному интегрированию. Такие формулы, обла-
дающие приемлемой точностью, могут быть получены на
основе приближенного метода расчета дальности полета, изло-
женного в § 24. Найдем сначала частные производные даль-
ности по величинам 7V и Nv Дифференцируя формулы (24.15),
выражающие хс и ус через N, <р0 и tc. получим:
dxc = geos <р0 (tc dN — dN]) -f-
4- gN cos <p0 dtc — g (Ntc — Л^) sin <p0 /Z<p0,
dyc ~ £ sin To (fc dN — dNy) +
+ g (N sin q;0 — tc)dtc -f- g (Ntc — N J cos <p0 d(p0.
266
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
Исключим отсюда tf<p0:
cos <р0 dxc + sin <р0 dyc=g (tc dN—dA/J -|-g(N—tc sin <p0) dtc.
Коэффициент при dtc на основании формулы (24.16) обра-
щается в нуль. Дифференцируя соотношение (24.24), найдем
хг
dyc==----^-dxc.
Это выражение для dyc подставим в предыдущее уравнение:
(хг \
cos ср0-sin <р01 dxc — g (tc dN — dNj)
или, на основании формул (24.17) и (24.22),
gl-^—dN—dN,}
dx ^Vsincpo_______')
с cos фо — b cos фо (1—a sin фо) *
Следовательно,
дХС gN /ОП ODA
dN sin фо cos фо (1 — b -|- ab sin ф0) * (39.23)
dxQ g
dNi cos фо (1 — b~}-ab sin ф0) * ^9 •
Производную координаты xc по конструктивному пара-
метру можно вычислить по формуле
длс дхс dN dxc dN}
~ЗК^~ ~ ~dN~ ~dX^ + ~dN\~ ~dXk '
dN dN{
где частные производные и могут быть определены
дифференцированием формул (24.30) и (24.31) по входящим
§ 40. Предельная дальность стрельбы
267
в них конструктивным параметрам:
dN - In Tl-^1-'
дРуЛ1 T,-tKt ’
dN _p ( 1 1 A _
^уд I (^k i 4 /-l)
dN Рум ^удГ-ы
St^r = л--*к7~ л+i-^z ’
^7~ z K/-1
dN{ __D rz-4i-i ^(^KZ-4z-i) 1
dTi —^УД/[|П 7}-/K/ J’
dNi __ I Рум ^удл-i V
~dl^ \Ъ-1К1 Tl+l~tKl)^
В этих формулах следует полагать
Асо~ О*
^уд т+1 = О-
Если дальность определяется по формуле (24.28), то для
dxr dL
перехода от к следует воспользоваться формулой
dL
dL
дК„
dL dxc
dx„ dL.
с к
1____ дхс
ХС V
§ 40. Предельная дальность стрельбы
К числу задач, связанных с влиянием на полет ракеты
малых отклонений различных факторов, относится и задача
об определении максимальной дальности стрельбы.
Рассмотрим одноступенчатую ракету, двигательная уста-
новка которой использует топливо, состоящее из двух ком-
понентов: окислителя и горючего. Каждый из этих компонен-
тов размещается в своем баке.
Для достижения заданной дальности полета L такая ракета
должна израсходовать определенное количество окислителя
и горючего. Однако если рассмотреть целую серию ракет
268
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
одинаковой конструкции и с одинаковыми номинальными
характеристиками, то окажется, что каждой из них потре-
буется различное количество как окислителя, так и горючего
для достижения одной и той же дальности полета. Это
объясняется тем, что значения основных технических характе-
ристик ракеты, а также условия ее полета подвержены
случайному разбросу.
К числу характеристик ракеты, существенно влияющих
на количества компонентов топлива, потребные для достиже-
ния заданной дальности полета, относятся вес конструкции
ракеты, веса окислителя и горючего, заправленных в баки
ракеты перед ее запуском, удельная тяга двигателя, суммар-
ный секундный расход топлива (окислителя и горючего
вместе), соотношение расходов компонентов топлива и др.
Из внешних факторов могут играть роль температура и плот-
ность воздуха, ветер и т. п.
Случайный разброс всех названных величин приводит
к тому, что остатки компонентов топлива в баках в тот момент,
когда двигатель ракеты выключается, также подвержены раз-
бросу, т. е. являются случайными величинами. Отсюда сле-
дует, что расчетные значения остатков окислителя и горючего
для номинальных характеристик ракеты и номинальных усло-
вий ее полета не должны быть слишком малы. В противном
случае ракета может не достичь заданной дальности из-за
преждевременного израсходования одного из компонентов
топлива.
Каждому значению прицельной дальности полета L может
быть поставлена в соответствие вероятность P(L) того, что
запасы компонентов топлива окажутся достаточными для до-
стижения этой дальности. Вероятность P(L) тем меньше, чем
больше прицельная дальность стрельбы L, т. е. дальность,
на которую настраивается прибор, подающий команду на
выключение двигателя. Если задаться некоторой достаточно
близкой к единице вероятностью Ро, то значение дальности Апр,
для которого Р(Лпр) = Р0, называется предельной даль-
ностью стрельбы, соответствующей надежности Ро. Короче
говоря, предельная дальность стрельбы — это дальность,
достижимая с вероятностью Ро. Подчеркнем, что речь идет
о дальности, достижимой почти любой ракетой из рассматри-
ваемой серии. Отдельно взятая ракета с благоприятным со-
§ 40. Предельная дальность стрельбы
269
четанием конструктивных параметров и в благоприятных
условиях может полететь на дальность, значительно большую,
чем £np. С другой стороны, некоторая незначительная доля
ракет (1 — Ро) не сможет достичь этой дальности. Предель-
ная дальность £пр характеризует всю серию или данный тип
ракет в целом и не имеет прямого отношения к максимальной
возможной дальности полета отдельной ракеты.
Номинальные остатки компонентов топлива в баках
(т. е. остатки, рассчитанные для номинальных значений ха-
рактеристик ракеты и номинальных внешних условий полета),
соответствующие предельной дальности стрельбы, называются
гарантийными запасами компонентов топлива. Другими
словами, гарантийные запасы топлива — это такие запасы,
наличие которых в баках ракеты при ее движении по номи-
нальной траектории обеспечивает достижение заданной даль-
ности полета с вероятностью Ро.
Задача об определении предельной дальности стрельбы
и гарантийных запасов топлива может решаться различными
способами. Более точный способ основан на получении за-
висимости Р (£) и решении уравнения Р(£) = Ро. Мы не будем
идти этим путем, так как он приводит к громоздким анали-
тическим выкладкам и трудоемким числовым расчетам. Оста-
новимся на другом, менее точном способе, который прост
по своей расчетной схеме.
Будем считать, что факторы Xz, влияющие на траекторию
полета ракеты, испытывают лишь малые отклонения AXZ, при-
водящие к малым отклонениям дальности полета б£ и остат-
ков окислителя 6Go°CT) и горючего dG(r0CT) в баках, и что связь
между этими малыми отклонениями достаточно точно опи-
сывается линейными уравнениями вида
б£ = + /2А£2 + ... + /ЯА1Л, (40.1)
6Gok = Л1АЛ1 —|— «гАХг Н” • • • —|-#лАХл» (40.2)
6GJ°ct) = M£i + M£2 + ... + £ЛАХЛ. (40.3)
В этих формулах предполагается, что отклонения 6£, 6Go°KCT)
и 6Gr°CT) соответствуют неизменному времени работы двигателя,
равному номинальному времени работы tu необходимому
для достижения заданной дальности при полете по невозму-
щенной траектории. Для достижения той же дальности при
270
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
движении по возмущенной траектории необходимо изменить
время работы двигателя. Производные величин L. G^CT), GpOCT1
по времени работы двигателя будем обозначать точкой. От-
клонения этих величин от номинальных значений с учетом
изменения времени работы двигателя обозначим АЛ, А(7о°ст)
и АОгост). Для них справедливы выражения
АЛ^дЛ + ЛА/р
до^=60'Г’+оГ’Д*! = 60^ - ОокАб’
ДО<ост) = бО(гост) + О^’Дб =6G(r0CT) — ОГДЛ.
где через GOK и Ог обозначены секундные расходы окисли-
теля и горючего:
док=|д<°кст)|-
Gr = |G<0CT)|.
Изменение времени работы двигателя на возмущенной тра-
ектории A/j определится из условия постоянства дальности
полета
АЛ = О,
откуда
АЛ =-----—.
1 L
Следовательно,
Д0<°кСТ) = 60^т) + -^-б£.
Используя формулы (40.1)—(40.3), получим
л
ДО’оТ’ = У (а6 + Ач) АХЛ. (40.4)
Л=1 ' '
п
ДО<ост)=У^+-^/Л)д^. (40.5)
Л=1 ' 7
Во всех практически встречающихся случаях можно пред-
положить, что отклонения АХЛ факторов, влияющих на даль-
§ 40. Предельная дальность стрельбы
271
ность полета и на остатки компонентов топлива в баках,
представляют собой независимые случайные величины, под-
чиняющиеся нормальному закону распределения со средним
значением нуль и со средним квадратическим отклонением о!Л.
При этом предположении из формул (40.4) и (40.5) вытекают
следующие выражения для средних квадратических отклоне-
ний остатков окислителя и горючего:
(40.6)
(40.7)
Из формул (40.4) и (40.5) можно также заключить, что
остатки компонентов топлива представляют собой случайные
величины, имеющие нормальный закон распределения, и что
их средние значения равны нулю (см. § 31).
Зададимся некоторой вероятностью Ро, близкой к единице.
Из уравнения
kG
р,= f
-ku
1 fl
—==- e 202 dz= —== e 2 dt
а/2л J V&T
— R
можно определить такое значение k, что с вероятностью Ро
случайное отклонение величины £, подчиняющейся нормаль-
ному закону распределения со средним значением нуль и
средним квадратическим отклонением о, по абсолютной вели-
чине не будет превосходить ko. Как уже упоминалось в § 31,
наиболее употребительны значения 0,997, соответствую-
щее /г = 3, и Ро^ 0,993, которому соответствует значение
/5^2,698^2,7.
Примем в качестве гарантийных запасов окислителя и
горючего значения
ОЙ1ар) = йаО£Г) (40.8)
И
О<гар)=ЛоО<°ст) (40.9)
соответственно, где оОо°ст) и aGr0CT)— средние квадратиче-
ские отклонения остатков компонентов, определяемые по
272
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
формулам (40.6) и (40.7). Оценим вероятность достижения за-
данной дальности L при полете по любой возмущенной траек-
тории, если запасы компонентов топлива выбраны так, что
при полете на эту дальность по номинальной траектории
остатки компонентов в момент выключения двигателя имеют
значения, определяемые по формулам (40.8) и (40.9).
Дальность L может быть достигнута при полете по неко-
торой возмущенной траектории, если остатки окислителя 6о°ст}
и горючего Ог°ст\ рассчитанные для момента выключения дви-
гателя на этой траектории, соответствующего дальности по-
лета L, оказываются положительными. Рассмотрим каждый
компонент топлива в отдельности. С вероятностью PG слу-
чайное отклонение остатка компонента не превзойдет k oG(OCT).
В этом случае остаток компонента заведомо положителен,
так как номинальное значение остатка принято равным k oG(0CT).
Если же отклонение остатка превышает k oG(0CT), то опасным
в отношении нехватки этого компонента является лишь слу-
чай отрицательного отклонения. В силу симметричности нор-
мального закона распределения вероятность нехватки данного
компонента топлива равна у(1—Ро).
Возможны четыре исхода пуска ракеты:
1) о<°ст)>о, О<осЪ >0;
2) П(ОСТ) иок >0, о'ост) < СО;
3) ог>< ;о, G(r0CT) >0;
4) О’°кСТ,< ;о, G(r0CT) < со.
Их вероятности обозначим соответственно через Рх, Р2, Р3
и Р4. Сумма этих вероятностей должна быть равна единице:
Р1+Р2+Р3+Р4=1.
(40.10)
Нехватка окислителя, имеющая по доказанному вероятность
1.(1—встречается при третьем и четвертом исходах,
так что
^ + ^4= |(1 - Л>)- (40-11)
5 40. Предельная дальность стрельбы
273
Аналогично вероятность нехватки горючего равна
/>2+^ = у(1 -Л>)- (40.12)
Вычитая из равенства (40.10) сумму равенств (40.11) и (40.12),
получим
—Р4=1-(1 -Ро),
откуда
Л = РО+Р4>РО.
Но Рх — это вероятность единственного благоприятного
исхода, т. е. вероятность достижения заданной дальности
полета. Таким образом, изложенный метод определения гаран-
тийных запасов топлива в случае одноступенчатой ракеты,
у которой запас топлива размещается в двух баках, обеспе-
чивает достижение заданной дальности полета с вероятностью,
хотя и не точно равной Ро, но во всяком случае не мень-
шей Ро. Из-за его простоты этот метод применяется и в более
сложных случаях, т. е. для ракет с более чем двумя баками
(важно именно число баков, а не число различных компонен-
тов топлива, так как гарантийный запас должен быть преду-
смотрен в каждом отдельном баке). Но в этих случаях уже
нельзя утверждать, что вероятность достижения предельной
дальности будет не ниже Ро.
В заключение этого параграфа коснемся метода определе-
ния коэффициентов ак и bk в формулах (40.2) и (40.3).
Коэффициенты /ft, характеризующие влияние различных воз-
мущающих факторов на дальность полета, совпадают с коэф-
фициентами z4ft, введенными в § 36, и рассчитываются мето-
дами предыдущих параграфов. Расчет же коэффициентов ак
и bk обычно производится значительно проще. Так, напри-
мер, для остатка окислителя в момент tx можно написать
выражение
о<Г’=о<°>- /.бок,
где Оок— вес окислителя, заправленного в бак ракеты перед
стартом. Расход окислителя Оок целесообразно выразить через
суммарный расход топлива G и соотношение расходов ком-
понентов
Док
Or
18 Р- Ф- Аппазов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
274
Гл. IX. Влияние малых возмущающих факторов
Дело в том. что для жидкостных ракетных двигателей именно
величины G и k могут рассматриваться как независимые слу-
чайные величины, тогда как расходы компонентов Оок и Ог
связаны довольно существенной корреляционной зависимо-
стью. Выражение для G0K через G и k, очевидно, имеет вид
й<>к =
так что
= gS — у^у Gtt (40.13)
и, аналогично,
0’°"* = G*0) — G/j. (40.14)
Дифференцируя эти зависимости и заменяя дифференциалы
конечными приращениями, получим для t\ = const:
6G*,°CT’ = U/k0’ — AG - \k, (40.15)
K ~r 1 \к “Г 1J
6G’0CT’ = \G’,0) - yyL- AG + ДА. (40.16)
Величины Gok, Gr0>, G и k должны быть включены в число
параметров Xk. Полученные формулы представляют собой
конкретную запись соотношений, которые в общем виде были
представлены формулами (40.2) и (40.3). Если какой-нибудь
из параметров например удельная тяга Руд, непосред-
ственно не влияет на остатки компонентов топлива (при
фиксированном Z=^), то соответствующие коэффициенты ak
и Ьк в формулах (40.2) и (40.3) следует считать равными
нулю. Точно так же следует считать равным нулю коэффи-
циент 1к при отклонении такого параметра который вхо-
дит в формулы (40.2) и (40.3), но не влияет на дальность
полета при неизменном времени работы двигателя (например,
соотношение расходов компонентов k).
Для различных конкретных схем двигательных установок
зависимости (40.2) и (40.3) могут оказаться более сложными
и содержать большее количество различных факторов, чем
в формулах (40.15) в (40.16), но это принципиально ничего
не меняет в методе расчета гарантийных запасов топлива.
Часть четвертая
Выбор
формы траектории
Глава X
Постановка задачи о выборе программы
§ 41. Требования к программе
В этой части будут затронуты основные вопросы, связан-
ные с выбором программы угла тангажа.
Программой угла тангажа, а иногда и просто про-
граммой называем закон изменения угла наклона оси ракеты.
Иногда программой называют закон изменения угла, выра-
батываемого программным механизмом. Углы наклона оси
ракеты и углы, задаваемые программным механизмом, не
совпадают. Однако влияние этого несовпадения на основные
свойства траектории незначительно. Поэтому во всех балли-
стических расчетах, кроме расчетов по наиболее общим урав-
нениям движения (§ 14, 16), принимается, что ось ракеты
строго выполняет задаваемые ей программным механизмом
угловые повороты.
Обычно закон изменения угла тангажа задается в зависи-
мости от времени. Закон изменения, вырабатываемый про-
граммным механизмом, обозначаем в виде функции <рпр(0»
истинное изменение угла наклона оси записываем в виде ф (f).
Как уже упоминалось, будем считать, что ф(/) = фпр(О-
Уравнения движения содержат программу как заданную
функцию. Поэтому конечные результаты интегрирования
уравнений движения, т. е. г/к, ук, хк, 0К, полная дальность L
или другие интересующие нас характеристики в значительной
степени определяются функцией ф (Z). На выбор этой функции
оказывают непосредственное влияние три основных фак-
тора: конструктивные параметры ракеты, особенности системы
управления и задачи, поставленные перед траекторией при
пуске ракеты.
Если, например, требуется выбрать траектории, обеспе-
чивающие максимальную дальность для двух разных ракет с
одинаковыми системами управления, то это потребует примене-
ния различных программ ф (/). Для формирования траекторий,
19 Р. Ф. Аппазов, С. С. Лавров, В. П. Мишин
278
Гл. X. Постановка задачи о выборе программы
обеспечивающих минимальное рассеивание, для одной и той
же ракеты потребуются различные программы, если исхо-
дить из различных принципов управления дальностью стрель-
бы. Одна и та же ракета с заданной системой управления
требует применения различных программ угла тангажа в за-
висимости от того, требуется ли обеспечить наибольшую
дальность, минимальное рассеивание, максимальную высоту
полета или какое-нибудь другое качество траектории.
Таким образом, единого рецепта по выбору программы,
пригодного для всех возможных случаев, дать невозможно.
Однако есть некоторые общие принципы, которыми следует
руководствоваться почти во всех случаях. На них мы и оста-
новимся более конкретно.
В главе V были выведены зависимости, позволяющие
судить о влиянии конечного угла 0к на дальность. Там же
было показано, что для каждой пары значений vK и hK можно
найти угол 0К, при котором дальность будет максимальной.
Такой угол был назван оптимальным, потому что он позво-
ляет наилучшим образом использовать приобретенную ракетой
на активном участке энергию. Но сами значения и hK за-
висят от угла 6К и функции ср (О-
В большинстве случаев, исходя из требований к траекто-
рии, функция ф(£) должна выбираться таким образом, чтобы
дальность получилась по возможности наибольшей. Однако
это не значит, что перед программой ставится задача о до-
стижении максимальной теоретической дальности как обяза-
тельная и основная, хотя дальность полета является одной из
наиболее важных тактических характеристик. Требование
получения максимальной дальности в случае необходимости
должно быть подчинено другим, более важным требованиям,
выполнение которых технически более сложно, чем достиже-
ние заданной дальности. К ним в первую очередь следует
отнести требование о минимальном рассеивании. Поэтому
задачей выбора программы является определение такой функ-
ции ф (/), которая для заданной ракеты при принятом способе
управления, в частности, способе выключения двигателя,
обеспечила бы заданную дальность, незначительно отличаю-
щуюся от максимальной, при минимальном рассеивании.
В настоящее время известно несколько решений вариа-
ционной задачи по выбору оптимальной (с точки зрения по-
лучения максимальной дальности) программы, однако боль-
g 41. Требования к программе
279
шинство из них получено при тех или иных упрощающих
предположениях или для частных случаев движения и без
учета особенностей определенной системы управления и спо-
соба выключения двигателя.
Но даже при наличии общего решения задачи в нашей
постановке необходимо было бы проверить полученную при
этом программу с точки зрения выполнения ряда требований,
накладываемых условиями прочности, устойчивости, удобства
эксплуатации и др. Следовательно, на решение вариационной
задачи необходимо наложить соответствующие дополнительные
ограничения из условий выполнения упомянутых требований.
К таким ограничениям в первую очередь относятся:
1) вертикальный старт и определенная продолжительность
вертикального полета;
2) непрерывность ф(/), ф(0* ф(0 и ограниченность ф(£);
3) ограниченность нормальных перегрузок;
4) нулевые углы атаки при скоростях, близких к звуковым;
5) специальные условия, обусловленные способом упра-
вления и выключения двигателя;
6) стрельба на любую дальность в заданном диапазоне
с одной или минимальным количеством программ.
Перейдем к рассмотрению причин, которыми вызваны ука-
занные требования.
1. Вертикальный старт является наиболее удобным, простым
н не требует специальных направляющих и других устройств
и приспособлений. Установить ракету вертикально значи-
тельно легче, чем точно установить ее под заданным углом.
Кроме этого, при вертикальном старте сводятся к мини-
муму боковые перемещения ракеты, которые могут иметь
место при наклонном старте на первых секундах полета.
Продолжительность вертикального участка определяется
главным образом временем, необходимым для того, чтобы
органы управления оказались достаточно эффективными. Это
в свою очередь определяется характеристиками двигателя.
2. Требование о непрерывности ф(/), ф(0« ф(0 и огра-
ниченности ф(£) обусловлено возможностями приборов и
органов управления. В самом деле, разрыв функции ф(/)
противоречит физическому смыслу программы, а разрыв
функции <р (/) (или перелом кривой ср (t)) соответст-
вует бесконечно большим управляющим моментам. Разрыв
19*
280
Гл. X. Постановка задачи о выборе программы
функции <р(/) соответствует мгновенному изменению моментов,
т. е. углов отклонения рулей или бесконечно большим
угловым скоростям рулей. Ограниченность же ф(/) диктуется
ограниченными возможностями органов управления, так как
максимальное значение <р(/) определяется максимальным от-
клонением рулей.
Таким образом, программа, задаваемая той или иной
схемой управления, требует выполнения условий п. 2. В не-
которых случаях от точного соблюдения этих требований
можно отказаться, если возникающие рассогласования между
ф и фпр существенного влияния на дальнейший полет не ока-
жут, так как смогут быть отработаны системой управления за
достаточно короткий промежуток времени.
3. Осевые нагрузки на ракету определяются главным
образом двумя параметрами, а именно, v0 и рк. Поэтому
программа не может оказать существенного влияния на пере-
грузки в осевом направлении. Что касается поперечных нагру-
зок, то они зависят главным образом от величины аэродина-
мического момента, который тесно связан с углами атаки и,
следовательно, с программой.
Это обстоятельство накладывает на программу требова-
ние, ограничивающее величину аэродинамического момента,
определяемого произведением
Маг, = — 0) (Хл — О
(формулы (11.17) и (11.19)).
Расчеты показывают, что существенного изменения момента
можно добиться только за счет углов а, так как изменение
дсу pv2
е'у ~ и = по траектории от программы зависит
в гораздо меньшей степени. Таким образом, при расчете
программы необходимо ограничить углы атаки так, чтобы
получающиеся аэродинамические моменты не требовали слиш-
ком прочной и тяжелой конструкции. Ясно, что это требо-
вание в отношении величины допускаемых углов атаки отно-
сится главным образом к участкам траектории с большими
скоростными напорами. Эти участки желательно проходить
с минимальными или нулевыми углами атаки.
4. Как правило, эффективность органов управления не
зависит от скорости ракеты и условий обтекания. Но об-
42. Дальность и рассеивание
281
ласть скоростей (чисел Маха) 214 = 0,8-4-1,2 характеризуется
резким изменением аэродинамических коэффициентов. Для
работы органов управления особенное значение имеют коэф-
дсу dmz
фициенты и Желая свести влияние резких изме-
нений этих коэффициентов к минимуму, нужно позаботиться
о том, чтобы указанная область проходилась с нулевыми
углами атаки.
5. Требования этого пункта не являются общими и в оди-
наковой мере обязательными для всех ракет. В зависимости
от условий работы систем измерений и приборов управления
ракетой, а также обеспечения определенных свойств траекто-
рии могут появиться специальные требования к программе,
например требование обеспечения прямолинейности траекто-
рии на каком-то отрезке, ограничения в заданных пределах
угла между осью ракеты и линией связи ракеты с наземным
пунктом, движения при постоянном угле тангажа и ряд подоб-
ных требований.
6. Этот пункт предусматривает возможность стрельбы на
все дальности в заданном диапазоне с одной или минимальным
количеством программ. Для ракет, обладающих сравнительно
небольшими дальностями (до 1500-^-2000 км) или большими
дальностями, но в достаточно узком диапазоне, это условие
удовлетворяется сравнительно легко, так как оптимальные
программы не могут сильно отличаться друг от друга.
Для ракет, обладающих широким диапазоном дальностей,
когда невозможно выбрать достаточно удовлетворительную
программу (одну) для всех дальностей, может появиться не-
обходимость разбить диапазон на несколько более мелких
диапазонов. В этом случае надо стремиться число диапазонов
довести до минимума.
Требование настоящего пункта, так же как и предыду-
щего, не является обязательным для всех ракет.
§ 42. Максимальная дальность и минимальное
рассеивание
Рассмотрим в общем виде условия получения максималь-
ной дальности и минимального рассеивания.
При решении задачи о достижении максимальной даль-
ности мы должны исходить из того, что ракета обладает
282
Г л. X. Постановка задачи о выборе программы
опргделенным запасом топлива» которое полностью расхо-
дуется при разгоне на активном участке траектории. Этому
количеству топлива при номинальных значениях конструк-
тивных параметров ракеты может быть поставлено в соот-
ветствие определенное время работы двигателя tK. Рассмотрим
для простоты плоское движение (аналогичные рассуждения
можно провести и для пространственного движения), при кото-
ром дальность полета можно выразить как функцию четырех
кинематических параметров, например скорости, угла ее
наклона к горизонту и двух координат, взятых в момент
выключения двигателя:
А = /(^к« 9к» У к)' (42.1)
Будем варьировать программу угла тангажа, сохраняя
все прочие параметры ракеты постоянными. Это значит,
что вместо движения ракеты по номинальной траектории
с Ф = ФПр(О рассматривается движение с Ф = Фпр(О + ^Р(О»
где &p(Z)— произвольное отклонение (ошибка в выполнении
программы), возможное в реальных условиях. При этом мы
получаем вариации параметров движения в конце активного
участка и, следовательно, вариацию полной дальности. В со-
ответствии со сказанным выше, эти вариации следует брать
для фиксированного момента tK, соответствующего полному
израсходованию топлива, и необходимое условие достижения
максимальной дальности можно записать в виде
w.=-^to| +-^бе| =о.
(42.2)
Прежде чем записать условие минимального рассеивания,
заметим, что в реальном полете при работающей системе
управления дальностью отклонение точки падения от задан-
ной непосредственно не зависит от максимального времени
работы двигателя tK, а определяется отклонениями парамет-
ров движения vKt 0К, хк и ук в момент фактического вы-
ключения двигателя по команде от автомата управления
дальностью. Таким образом, обозначая эти отклонения Дг/К,
Д6К, Дхк и Дук, условие минимального рассеивания запи-
шем так:
м=^дФк+^дек+-^Лхк+-^-Дук^о. (42.3)
g 42. Дальность и рассеивание
283
Точнее говоря, это есть условие минимального влияния от-
клонений программы тангажа бф(/) на отклонение точки па-
дения при работающей системе управления дальностью.
В общем случае выключения двигателя одним из возмож-
ных способов (при помощи интегратора осевых перегрузок,
при достижении заданной скорости, при достижении задан-
ного сочетания координат и скорости и т. д.) вариации
параметров движения в конце активного участка будут скла-
дываться из вариаций параметров в расчетный момент вы-
ключения двигателя tK и вариаций, вызванных изменением
времени выключения двигателя Д£к, так что
Д^=^ик4--^Д#К.
дек=бе| +-^д,к,
дх <42-4>
> Ахк=Ъх |/=<к+А/к,
ДУк — Ьу А^к
вызываются
(напомним, что как те, так и другие вариации
в рассматриваемом случае только вариацией угла тангажа
Подставляя эти вариации в выражение (42.3), условие
минимального рассеивания получим в следующем виде:
А£=:4^бг’1 +-7й-б01 +4~бх1 +4М +
{ I dL dv . dL dQ , dL dx t dL dy\ n
dt de dt ' dx dt ' ~5Г) —
ИЛИ
A, dL . I
AL = -т— &v
dv l/=/
К
^-де| +4^6x1 +
66 1/=// дх |<=<к^
+ -г?Ч-, +тА'« = °- <42-5>
Сопоставляя условия максимальной дальности (42.2) и
минимального рассеивания (42.5), приходим к заключению,
что в общем случае эти условия не одинаковы, они не мо-
гут быть выполнимы одновременно.
284
Г л. X. Постановка задачи о выборе программы
Если условие максимальной дальности от способа выклю-
чения не зависит, то условие минимального рассеивания зави-
сит от способа выключения двигателя, так как Д/к опреде-
ляется именно способом выключения двигателя. Лишь в одном
частном случае, а именно, когда выключение двигателя про-
изводится по достижении заданного времени работы, эти
условия полностью совпадают и, следовательно, выполняются
одновременно.
Это отнюдь не означает, что такой способ выключения
является хорошим, а означает только то, что из всех воз-
можных программ, выбранных для такого способа выключе-
ния, наилучшей в смысле кучности окажется та, которая
одновременно соответствует максимальной дальности. Сам же
способ выключения по времени на практике не применяется
ввиду свойственных ему чрезвычайно больших методических
погрешностей.
Поскольку при всех прочих возможных способах выклю-
чения двигателя условия максимальной дальности и мини-
мального рассеивания не совпадают, надо при расчете кон-
кретной программы угла тангажа задаться условием, выпол-
нение которого должно быть обеспечено в первую очередь,
а выполнение второго условия может быть только проверено;
вернее, может быть проверено не выполнение второго усло-
вия, а степень отклонения от него. На практике чаще всего
приходится отыскивать некоторое компромиссное решение,
дающее удовлетворительную кучность и в то же время не
очень большую потерю в дальности сравнительно с макси-
мально возможной.
Чтобы особенности выбора программы стали яснее, необ-
ходимо остановиться еще на одном вопросе. Дело в том, что
важно обеспечить выполнение условия минимального рассеива-
ния не только для верхнего предела заданного диапазона
дальностей стрельбы, но и для любой дальности, начиная
с минимальной. В противном случае стрельба на меньшие
дальности будет производиться с большими погрешностями,
чем на большие.
Принципиально такая задача выполнима, тем более, что
условие обеспечения максимальной дальности отпадает при
выборе программ для стрельбы на любые дальности, кроме
области максимальных дальностей. Таким образом, программа,
обеспечивающая выполнение условия минимального рассеива-
J 42. Дальность и рассеивание
285
ния на всем диапазоне дальностей (и без больших потерь
в максимальной дальности), была бы наилучшей.
Решение соответствующей вариационной задачи может
определить программу, удовлетворяющую выбранным усло-
виям, только для какой-то одной дальности. Если за эту
дальность принять максимальную, то для любой другой даль-
ности, лежащей между максимальной и минимальной, полу-
ченная программа не обеспечит минимального рассеивания,
так как для каждой дальности решение вариационной задачи
будет давать свою программу, отличную от других. Таким
образом, приходим к выводу, что решение вариационной
задачи в принципе не позволяет выбрать такую программу,
которая давала бы минимальное рассеивание на всем диапа-
зоне дальностей. Можно только, найдя одно из решений,
проверить его для других дальностей с целью выяснения
пределов применимости одной программы.
Независимо от того, каков способ выключения двигателя
и какова программа, обеспечивающая минимальное рассеива-
ние, максимальная дальность во всех случаях проверяется
расчетом.
Глава XI
Методы выбора программы
§ 43. Выбор программы максимальной дальности
Остановимся на применяемых приемах определения макси-
мальной дальности ракеты. Заметим, что точное решение
задачи о максимальной дальности в конечном виде не полу-
чено. Однако известен ряд решений, полученных при тех или
иных упрощающих предположениях, которые дают хорошую
ориентировку для выбора программы максимальной дальности
в реальных условиях движения.
В § 24 рассмотрена вариационная задача по определению
программы максимальной дальности в условиях плоскопарал-
лельного поля сил и отсутствия атмосферы. Показано, что
некоторое постоянное направление тяги двигателя, зависящее
от основных конструктивных параметров ракеты, реализует
максимум дальности.
В статье [11] рассмотрена вариационная задача по выбору
программы угла тангажа, обеспечивающей максимальную
горизонтальную скорость на заданной высоте.
Задача решена в предположении, что движение происходит
вне атмосферы в плоскопараллельном поле сил. В результате
решения получено, что тангенс угла тангажа при оптимальной
программе должен быть линейной функцией времени, т. е.
tg<P = tg<JPo — с4- (43.1)
Можно установить, что решение вариационной задачи на отыс-
кание экстремума функционала, выражающегося через пара-
метры движения в конце активного участка, приводит к про-
грамме, определяемой уравнением (43.1) или более общей
дробнолинейной функцией
В этой же статье рассмотрена и другая задача в более
сложной постановке, а именно, учтены переменность поля
§ 43. Выбор программы, максимальной дальности
287
тяготения и вращение Земли. Для получения оптимальной про-
граммы приходится решать сложную систему трансцендент-
ных уравнений, привлекая численные итерационные методы.
Не останавливаясь на этом более подробно, скажем лишь,
что разнообразные примеры численного решения рассматри-
ваемой задачи приводят к программам угла тангажа, весьма
близким к линейной зависимости угла тангажа от времени:
ф = Фо + Ф*- (43.2)
В зависимости от основных конструктивных параметров ра-
кеты, значения <р0 и ср принимают различные значения, реа-
лизуя максимум дальности.
До сих пор мы говорили лишь о результатах и возмож-
ностях, вытекающих из постановки и решения вариационных
задач при тех или иных упрощающих предположениях. Как
же нужно поступать при отыскании оптимальных программ
в реальных условиях?
Надо учесть, что все сказанное выше может быть без каких
бы то ни было серьезных изменений применено к участкам
траектории, пролегающим вне атмосферы. Если речь идет об
одноступенчатой ракете, то это справедливо для самой по-
следней части активного участка траектории, на которой роль
атмосферы уже незначительна. Если рассматривается много-
ступенчатая ракета, то обычно это относится ко всем сту-
пеням, начиная со второй. Возможности выбора траектории
первой ступени составной ракеты и большей части траектории
одноступенчатой ракеты довольно жестко ограничены теми
условиями, о которых говорилось в § 41.
Таким образом, мы приходим к следующей довольно
стандартной схеме выбора программы угла тангажа:
1. Проводится расчет вертикального участка траектории
до некоторого момента Это время может варьироваться
при выборе траектории и потому рассматривается как один
из свободных параметров.
2. Продолжается расчет траектории от момента при
условии, что ненулевые углы атаки могут допускаться только
до значения числа Маха М — 0,74-0,8. После этого углы
атаки должны быть близки к нулю на протяжении всего
полета вплоть до момента, когда влияние атмосферы на
движение не окажется достаточно малым. Такому условию
288
Гл. XI. Методы выбора программы
хорошо отвечает зависимость вида
a = afc(Aj — 2), (43.3)
где
k = (2ea^t\
a — предельное значение угла атаки на дозвуковом участке
траектории, а — некоторый постоянный коэффициент, обычно
подбираемый для всего рассматриваемого класса ракет.
Траектория наиболее чувствительна к величине а, которая и
рассматривается как второй параметр семейства программ.
Легко видеть, что зависимость (43.3) задает угол атаки
в виде кривой, которая довольно быстро достигает своего
максимального (по абсолютной величине) значения, а затем
убывает, сначала быстро, но по мере увеличения времени —
все медленнее, стремясь к нулю при t^oo. Коэффициент а
подбирается так, чтобы при Л1 = 0,7-н 0,8 угол атаки был бы
уже практически равен нулю. Таким образом, можно рас-
сматривать семейство программ угла тангажа, зависящее от
дв^ух параметров: и а.
Для одноступенчатых ракет, активные участки которых
достаточно коротки, траектория максимальной дальности и
выбирается из такого семейства двухпараметрических про-
грамм. Задача обычно решается на электронной машине пу-
тем расчета некоторого количества траекторий и отыскания
экстремального решения по двум параметрам.
Если активный участок достаточно продолжителен, так
что в конце его после выхода из области интенсивного аэро-
динамического воздействия можно вновь двигаться с нену-
левыми углами атаки, то обычно с какого-то момента пере-
ходят к программе с постоянным углом тангажа. Основанием
для этого служат результаты решения вариационной задачи
на максимум дальности в условиях плоскопараллельного
поля сил тяжести и тот факт, что на активном участке это
поле мало отличается от плоскопараллельного.
В рассматриваемом случае программа угла тангажа имеет
вид, изображенный на рис. 43.1. На этом же рисунке по-
казан характер изменения угла атаки. Для программ, полу-
чающихся при каждой паре значений и а, величина угла
<р — с nst на последнем отрезке однозначно связана со вре-
менем /3 перехода к этому постоянному углу. Поэтому
§ 43. Выбор программы максимальной дальности
289
время t3 можно рассматривать как третий параметр, подби-
раемый при решении экстремальной задачи на максимум
дальности.
Таким образом, в общем случае задача сводится к трех-
параметрической экстремальной задаче, если нет каких-либо
особых условий или ограничений, которые определяют какой-
то из этих параметров независимо от условий максимальной
дальности. Можно указать, например, на встречающиеся на
практике ограничения по максимальной величине скоростного
напора, связанные или с условиями нагрузок на ракету и ее
прочности, или с условиями стабилизации при ограниченной
эффективности органов управления. Могут встретиться и
ограничения по максимально допустимой величине угловой
скорости разворота ракеты или по минимально допустимой
290
Гл. XL Методы выбора программы
величине времени tx (или пути, проходимого на вертикальном
участке полета).
При расчетах траектории по выбору программы угла
тангажа лучше всего пользоваться уравнениями движения
вида (14.25), т. е.:
dv _ Р — Х
dt m
g*sin0— — g cos 6,
_2_ = ^sin0,
dt
1 Га / Л Z.—x„ \ x I
—- = ——------------------c'J—g’cosO-l—g-sinO .
dt v [m \ 1 Zi—хт у] b ’ r J
На вертикальном участке третье из уравнений этой
системы не интегрируется, так как
__ ____ зт
На интервале от tx до t3 угол атаки задается в соответст-
вии с зависимостью (43.3), причем описанный выше прием
выбора значения а обеспечивает малость угла атаки в транс-
звуковой области.
Программный угол тангажа определяется как сумма задан-
ного угла а и получаемого в результате интегрирования
угла 6. После момента /3, наоборот, угол тангажа задан
в виде q)= const и зависимость
Ф= 0-f- а
используется как статическое соотношение для определения
угла атаки.
Задача выбора программы угла тангажа, как видно из
приведенных выше рекомендаций, даже для наиболее простого
случая, каким является условие максимума дальности для
простой одноступенчатой ракеты, в вычислительном отноше-
нии достаточно сложна. Приходится проводить много одно-
типных расчетов, причем ошибка в одном из них ставит под
сомнение и некоторые другие. Поэтому работа вручную, как
правило, занимает очень продолжительное время, требует
высокой квалификации расчетчиков и применения наиболее
экономных методов отыскания оптимальных значений пара-
метров программы. Сейчас подобные расчеты проводятся
только с использованием электронных вычислительных машин,
§ 43. Выбор программы максимальной дальности
291
что позволяет избавиться от указанных недостатков руч-
ного счета.
Непосредственно для расчетов траектории надо руко-
водствоваться рекомендациями, данными в § 27. Что касается
методов отыскания экстремального решения, то, вообще го-
воря, можно пользоваться любым из известных проводящему
расчетов. Пригодны методы градиентного или наискорейшего
спуска.
Можно воспользоваться также аппроксимацией зависимости
L= f(tv а, /3) в виде полинома второй степени:
L = Lq 4~ + Ltf* 4“ ^8^3 + у (^/1 + ^аа0^ “Ь +
“1“ (43.4)
десять коэффициентов которого определяются из решения
системы алгебраических уравнений, составленных по резуль-
татам расчетов десяти траекторий с различными десятью
сочетаниями параметров а и t3. Далее, приравнивая нулю
первые производные от дальности по каждому из параметров,
получаем систему трех алгебраических уравнений:
+ L^r/з — О,
+4/.+4^+4а=°.
= 4 + 4/1 + Ltsaa + 4'А — °>
(43.5)
решение которой и дает искомые значения параметров a
и /3, реализующие в первом приближении максимум даль-
ности.
При отыскании программы максимальной дальности для
двухступенчатой ракеты поступают примерно так же. Отличие
заключается в том, что принципиально количество парамет-
ров программы может быть увеличено до какого угодно зна-
чения, так как ограничений, подобных тем, которые были на
атмосферном участке, здесь уже нет. Однако, опираясь на
известные решения вариационных задач, нельзя ожидать, что
программы более сложных форм, чем линейно изменяющиеся
по времени, могут дать существенный выигрыш.
292
Гл. XL Методы выбора программы
Не останавливаясь на доказательствах этого положения,
отметим лишь, что многими расчетами проверена невозмож-
ность получения практически заметного выигрыша в даль-
ности за счет усложнения программ сравнительно с простыми.
Однако даже рассмотрение линейных программ доставляет два
дополнительных параметра, каковыми являются начальный
угол (рон и скорость его изменения на второй ступени
и, таким образом, количество свободных параметров увели-
чивается до пяти, а вместе с этим растут и трудности чисто
вычислительного свойства, связанные с отысканием экстремума.
Задачу в таких случаях сводят к трехпараметрической, исходя
из следующих соображений.
Параметр £3 можно опустить вовсе, так как за счет
вариации программы на кратковременном участке траектории
между моментом /3 и концом первой ступени добиться прак-
тического выигрыша трудно. Продолжительность вертикаль-
ного участка траектории (до момента tx) выбирается по воз-
можности малой, так как чем она больше, тем круче траек-
тория (увеличиваются потери скорости на преодоление земного
притяжения) и тем труднее осуществить разворот скорости
в последующем (требуются большие углы атаки).
Таким образом, выбор траектории первой ступени про-
изводится только по одному параметру а. К каждой из
траекторий этого семейства может применяться любая про-
грамма на второй ступени из двухпараметрического семейства
(<Роп> <Рп)«
Тут необходимо сделать одно замечание. Дело в том,
что при подобном методе составления программ угла тангажа
углы в конце первой ступени <рк I и в начале второй сту-
пени фоп могут не стыковаться, между ними могут образо-
ваться разрывы большей или меньшей величины. Это будет
нарушать пункт 2 требований к программе, установленных
в § 41. Однако это нарушение будет только формальным,
так как оно допускается лишь на предварительной стадии
определения наивыгоднейшей программы. После того как
определился вид и основные количественные характеристики
программы, в дальнейшем она «облагораживается», т. е.
сглаживаются острые углы на стыках соседних участков и
ликвидируются «скачки» с помощью плавных переходов от
одного участка программы к другому. При организации таких
§ 44. Выбор программы минимального рассеивания
293
плавных переходов обычно исходят из величины допустимого
углового ускорения, определяемого возможностями системы
и органов управления.
Двигаясь на первой части участка сопряжения с постоян-
ным ускорением одного знака, а на второй части — другого
знака, можно осуществить достаточно плавный переход между
двумя заданными участками программы, как это показано
на рис. 43.2. При этом
продолжительность участ-
ка программы, на кото-
ром реализуется скачок
заданной величины, будет
минимальной.
Из всего сказанного
следует, что оптимальная
в смысле наибольшей
дальности программа для
двухступенчатой ракеты
выбирается из семейства
трехпараметрических про-
грамм, причем в каче-
стве параметров выби-
раются максимальная величина угла атаки а на дозвуковом
участке траектории, начальный угол тангажа фоп и угловая
скорость <рп на второй ступени. Этот метод целесообразен
и для ракет с числом ступеней, ббльшим двух. На всех сту-
пенях, начиная со второй, угол тангажа должен описываться
единой линейной зависимостью вида <р - -- ф0 — ф/. Существен-
ные отступления от нее приводят лишь к потерям дальности.
Однако иногда они неизбежны для удовлетворения требова-
ний, упомянутых выше в пункте 5 § 41.
§ 44. Выбор программы минимального рассеивания
Рассмотрим теперь, как учитывается при выборе программы
условие минимального рассеивания. Из выражения (42.3)
видно, что с совершенствованием способа выключения дви-
гателя требования, накладываемые на программу с целью
2Q Р Ф Анпрзор. С. С. Лавров, В. П- Мнипщ
294
Гл. XI. Методы выбора программы
выполнения условий минимального рассеивания, сокращаются,
роль программы как бы снижается.
В самом деле, в вариацию дальности АЛ входят вариации
кинематических параметров, вызванные только отклоне-
нием б<р(£) программы тангажа от номинальной. Но совер-
шенная система управления стремится обратить вариацию АЛ
в нуль независимо от того, какова причина появления этой
вариации.
Можно себе представить способ выключения двигателя,
основанный на измерении всех шести параметров движения и
непрерывном вычислении с помощью специального счетно-ре-
шающего устройства дальности полета:
vz, х, у, z) (44.1)
или
L = f(xi)9 1= 1, 2, .... 6,
где xb .... x6— любые шесть величин, взаимнооднозначно
связанные с vx, ...» z, которые могут быть измерены си-
стемой управления дальностью. Когда данная функция дости-
гает заданного значения, подается команда на выключение
двигателя.
Очевидно, в данном случае методические погрешности,
в том числе и вызванные отклонением (/), будут сведены
к нулю, и отклонения в дальности будут появляться только
как следствие инструментальных погрешностей измерения
параметров движения. С точностью до линейных членов от-
клонение по дальности будет равно
АЛ = A-у и + и + ^vz и + 4— Л*и +
dvx х и 1 dvy Уи 1 dvz zu 1 дх и 1
+ -^-Ау„ + -^-Аги (44.2)
или
6
А£= &xt и,
Z = 1
где А^хи, А-г/уи, ..., &zn или Ах/И— инструментальные
погрешности измерений соответствующих параметров.
Влияние программы угла тангажа на рассеивание по даль-
ности в рассматриваемом случае будет проявляться черев
§ 44. Выбор программы минимального рассеивания 295
dL dL dL
величины производных , .... зависящие от
расчетных значений параметров движения в момент выклю-
чения двигателя. Поэтому в принципе с помощью выбора
программы можно минимизировать величину среднего квад-
ратического отклонения в дальности. Это отклонение, если
считать инструментальные ошибки ............Д^и (Дх/И)
случайными и независимыми и обозначить соответствующие
средние квадратические ошибки измерений gvx, ...» gz (ох£),
можно записать в виде
(44.3)
или
Производные от дальности по параметрам движения следует
считать функциями параметров программы и отыскивать такие
значения последних, которые сводят значение выражения (44.3)
к минимуму.
Формулу выключения двигателя (44.1) можно представить
и в другом виде, разлагая функцию в ряд Тейлора в окрест-
ности расчетной точки по степеням отклонений параметров
движения от расчетных значений:
6
аг 6L А .1 d2L А .
ДА = ----Дх, И---------s-Дх? I “И
dxt 1 1 2 fix’- 7
6
-ь У -^—-&xt&xl+...==Q.
1 dxtdxj 1 J 1
*,/ = 1
(44.4)
Если в формуле (44.4) ограничиться конечным числом членов
разложения, например только линейными членами, то кроме
инструментальных погрешностей появятся и методические
в виде суммы отброшенных членов. Ясно, что с помощью
программы угла тангажа можно влиять не только на инстру-
ментальные погрешности, но и на методические, используя
20*
296
Гл. XL Методы выбора программы
зависимость коэффициентов формулы (44.4) (т. е. частных
производных) от программы. Но тут важно и другое обсто-
ятельство, заключающееся в зависимости методических по-
грешностей от величин Axz, которые в конечном счете опре-
деляются действующими на ракету в полете случайными воз-
мущениями. О методах определения влияния на траекторию
малых отклонений конструктивных параметров и некоторых
других причин говорилось в гл. IX. Используя эти методы,
можно определить для заданной совокупности случайных неза-
висимых возмущений и для заданной программы угла тангажа
отклонения в дальности при условии выключения двигателя
по заданной формуле. Это даст нам методические ошибки
в дальности.
Таким образом, задача сводится к выбору параметров про-
граммы из условия минимума суммарного среднего квадрати-
ческого отклонения в дальности за счет как методических,
так и инструментальных погрешностей управления.
Описанный подход к выбору программы минимального
рассеивания является достаточно общим и пригоден для лю-
бых способов выключения двигателя. Остановимся более кон-
кретно на способах, связанных с применением интеграторов
перегрузок в различных вариантах.
Для случая, когда выключение двигателя производится
от интегратора осевых перегрузок, формулы для определения
методических и инструментальных ошибок были получены
в § 36 и 37. Уравнение работы простейшего интегратора
t t
<y5 = -ycosa+ J gsincpd/H- J txpsinad/
о о
не содержит никаких коэффициентов, подбирая которые над-
лежащим образом, можно было бы влиять на методические
ошибки в дальности. Таким образом, как методические, так
и инструментальные ошибки являются только функцией па-
раметров программы угла тангажа. При этом предполагается,
конечно, что вероятностные характеристики (в первую очередь
среднее квадратическое отклонение) случайной погрешности
измерения кажущейся скорости являются заданной величиной.
Так же заданы разбросы возмущающих факторов. Видим,
что задача сводится к определению значений некоторого коли-
§ 44. Выбор программы минимального рассеивания
чества параметров программы из условия минимума суммар-
ного отклонения в дальности.
Интегратор осевых перегрузок с временной компенсацией
позволяет распоряжаться еще одной величиной, а именно,
коэффициентом компенсации. Для каждой программы, опре-
деляемой совокупностью какого-то количества ее параметров,
можно рассматривать выключение двигателя при различных
значениях коэффициента компенсации, но при заданных веро-
ятностных характеристиках инструментальных погрешностей
и возмущающих причин. Значение коэффициента компенсации,
при котором будет реализована минимальная ошибка в даль-
ности, и будет оптимальным для данной программы.
Поскольку такой относительный минимум существует для
каждой программы рассматриваемого семейства, надо выби-
рать ту программу и тот коэффициент, которые дают абсо-
лютный минимум отклонения в дальности. Однако выбор,
произведенный описанным способом, даст наилучший резуль-
тат только для какого-то одного момента выключения двига-
теля, т. е. для какой-то одной дальности. Таким образом,
теоретически надо было бы иметь бесчисленное количество
программ и соответственно подобранных коэффициентов ком-
пенсации. На практике обходятся небольшим количеством про-
грамм, охватывающих весь диапазон дальностей. Конечно, при
этом приходится для каких-то дальностей отступать от условий
обеспечения минимально возможного рассеивания.
Примерно так же обстоит дело с выбором программ
в случае выключения двигателя от интегратора с постоянным
наклоном оси чувствительности, т. е. установленного на ста-
билизированной платформе. Здесь рассматривается задача по
минимизации суммарного отклонения в дальности за счет
определенного количества параметров собственно программы
и угла наклона оси чувствительности интегратора.
Если управляющий функционал усложнен введением дву-
кратного интегрирования перегрузки, то при минимизации
отклонений в дальности подлежит определению также и
направление оси чувствительности, вдоль которого произво-
дится вычисление кажущегося пути.
Нетрудно видеть, что почти во всех задачах мини-
мизация должна производиться по количеству параметров,
колеблющемуся от одного до пяти. Поскольку строгое ре-
шение иногда затруднено даже с применением электронных
298
Гл. XI. Методы выбора программы
вычислительных машин, можно предварительно провести упро-
щенный анализ рассеивания. При этом рассматриваются раз-
дельно инструментальные погрешности в зависимости от про-
граммы и методические погрешности для более или менее
подходящих программ в зависимости от коэффициентов упра-
вляющего функционала (коэффициента компенсации, направле-
ний осей чувствительности и пр.). В § 37 было показано, что
оптимальные значения указанных коэффициентов из условия
минимума методической ошибки определяются достаточно
просто. Этого бывает, как правило, достаточно, чтобы оста-
новиться на каком-то узком пучке программ и составить
представление об основных закономерностях, которым под-
чиняются те или другие составляющие суммарного отклонения
в дальности.
Проведя подобные расчеты для верхней и нижней границ
заданного диапазона дальностей, а также для одной-двух
промежуточных точек, можно сделать выбор как количества
программ, так и числовых значений параметров этих про-
грамм. Необходимо при этом помнить, что программы как
минимального рассеивания, так и максимальной дальности
существенно зависят от направления стрельбы и широты точки
старта. При стрельбе на восток эффект вращения Земли
(ускорение Кориолиса и разворот гироскопов, выраженный
углом у3) как бы поднимает траекторию, делает ее круче,
а при стрельбе на запад, наоборот, траектория как бы при-
жимается к Земле, становится более пологой. Поэтому про-
граммы угла тангажа в первом случае должны выводить ра-
кету на меньшие углы наклона касательной к траектории,
а во втором случае — на большие углы. Естественно, что
этот эффект увеличивается по мере уменьшения географи-
ческой широты точки старта.
Все сказанное не исчерпывает всех вопросов, связанных
с выбором программы, но дает подход к решению задачи и
фиксирует внимание на наиболее существенных сторонах
проблемы.
Приложение
Графики для проектировочных расчетов
Рис. I. График зависимости интеграла /2 от и о»
300
Приложение
Рис. II. График изменения т] в зависимости от t и v0.
13
Рис. Ш. График изменения коэффициента Л в зависимости от и Т.
Приложение
2
Рис. IV. График изменения коэффициента k в зависимости от L и Т,
§
Рис. V. График изменения L в зависимости от vK и Т.
Приложение
О «25°
9^-
Приложение
г /В
C&B.jqS
Pm
С г ср
Рис. VI. График изменения коэффициента k в зависимости от -0^ и отношения ----.
ио
У#км
60
40
1 th*7OOOM/ce/f
^5Ooiw/cei<
p^200i м/сек
~у„=т WM/см
0,00010
0,00000
0
Д'
0,00000
Рис. VII. График изменения ун в зависимости от k и vK.
Приложение
8
Рис. VIII. График изменения vc в зависимости от k и va.
Приложение
Литература
1. Ветчинкин В. П., Избранные труды.Т. 1.Динамика самолета,
М., Изд-во АН СССР, 1956.
2. Гантмахер Ф. Р., Левин Л. М., Об уравнениях движения
ракеты, Прикл. матем. и мех., т. IX, 1947.
3. Гордеев А. И., Автономные системы управления баллистиче-
ских ракет, М., Воениздат, 1964.
4. ГОСТ 4401—64. Таблица стандартной атмосферы, М., Изд-во
стандартов, 1964.
5. Дмитриевский А. А., Кошевой В. Н., Основы теории
полета ракет, М., Воениздат, 1964.
6. Д о б р о л е п с к и й Ю. П., И в а н о в а В. И., Поспелов Г. С.,
Автоматика управляемых снарядов, под ред. Поспелова Г. С.,
М., Оборонгиз, 1963.
7. К а р а г о д и и В. М., Теоретические основы механики тела пере-
менного состава, М., Оборонгиз, 1963.
8. Киселев С. П., Ч у е в Ю. В., Рассеивание ракет, М., Воен-
издат, 1964.
9. Космическая техника, под ред. Г. Сейферта, пер. с англ,
под ред. А. И. Лурье, М., «Наука», 1964.
10. Лахтин Л. М., Свободное движение в поле земного сфероида,
М., Физматгиз, 1963.
11. ОхоцимскийД. Е., Энеев Т. М., Некоторые вариацион-
ные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли,
Успехи физ. наук, т. LXIII, вып. 1а, 1957.
12- П о г о р е л о в Д. А., Теория кеплеровых движений летательных
аппаратов, М., Физматгиз, 1961.
13. Ф е о д о с ь е в В. И., С и н я р е в Г. Б., Введение в ракетную
технику, изд. 2-е, испр. и доп., М., Оборонгиз, 1960.
Рефат Фазылович Ап пазов,
Святослав Сергеевич Лавров,
Василий Павлович Мишин
БАЛЛИСТИКА УПРАВЛЯЕМЫХ РАКЕТ
ДАЛЬНЕГО ДЕЙСТВИЯ
М., 1966 г., 308 стр. с илл.
Редактор Д. А. Абашева
Техн, редактор С. Я. Шкляр
Корректор Е. С. Статникова
Сдано в набор 3/XI 1965 г. Подписано к печати
21/11 1966 г. Бумага 84 X ЮЭ’/зг- Физ. печ. л. 9,625.
Условн. печ. л. 16,17. Уч.-изд. л. 14,94. Тираж 7000 экз.
Т-01590. Цена книги I р. 19 к. Заказ № 2012.
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой Главполиграфпрома Комитета
по печати при Совете Министров СССР
Измайловский проспект, 29.