1~

t
~

+~
-

J_
-

~r~tQ

........,
,..._..

~J

--

'!!

~

_/ 4

х

-

Q

z

х
,

-

./

1
ху
./

Зf.i

/

<;

-

-

+

L

УВЛЕКАТЕЛЬНАЯ
НАУКА

МАТЕМАТИКА
О/о

const
_,.,__,

~-

./

•

tg

SIП

-

kAAbk~AЯf OP

../

23
---0
-_,
---·

ДИ(kPИMИtfAtff

•

/J.

~

=1Q

-Гх8

~/

ЦИРk~АЬ

18_,

~~::;а~+

Q2

f f0Ptr1A ПИФАГОРА

с
~

а

~

........,

,..._..

-

~Q~

.,,,

+ -•
х -•

И. Е. Гусев

УВЛЕКАТЕЛЬНАЯ
НАУКА

МАТЕМАТИКА

ИЗДАТЕЛЬСТВО
АСТ

УДК

ББК

087.5:51
22.1
Г96

Серия «Увлекателыюя наука» основана в

2016 году

Гусев, Игорь Евгеньевич.
Г96

Математика/ И. Е. Гусев.
ил.

-

-

Москва

: Издательство АСТ, 2017. -

160 с. :

(Увлекательная наука).

ISBN 978-5-17-100548-1.
Вы уже много лет изучаете математику, но все еще пасуете перед многоэтажными

формулами и сложными теоремами? А может, вам, наоборот, нравится во всем
находить математические закономерности и пробовать свои силы в решении задач,

над которыми ломали головы лучшие математики мира? При любом из этих вариантов
наша книга создана именно для вас! Двигаясь от простого к сложному, от первых

идей Пифагора к математическому анализу, вы без труда разберетесь в правилах и
законах математики, узнаете, как известные ученые делали свои великие открытия,

а также научитесь решать необычные задач и , которые требуют не только знаний, но
и смекалки. А самое главное

-

эта книга написана просто и интересно. В отличие

от школьных учебников, здесь нет бесконечных формул и сухих научных теорий

-

только понятные объяснения, аналогии, сравнения и красочные иллюстрации.
Для среднего школьного возраста.
УДК

ББК

087.5:51
22.1

Оформление, обложка, иллюстрации
ООО «Интеджер», 2017.

©

©
©

ООО «Издательство АСТ» ,

2017

В оформлении использованы материалы ,
предоставленные Фотобанком Shutterstock, lnc.,

ISBN 978-5-17-100548-1

Shutterstock.com, 2017
© В оформлении использованы материалы,
предоставленные Фотобанком Dreamstime, Inc.,
Dreamstime.com, 2017

Воображаемые узоры

3

ВООБРАЖАЕМЬIЕ УЗОРЬI
Математик, как и художник и поэт, создает
узоры. И если его узоры долговечнее, то это
потому что они сотканы из идей.

Т. Харди, анz.лийский математик

э

та книга о царице наук

математике. Она

него к самой современной математике: вектор­

приводит в трепет некоторых своих «под­

ным пространствам, неевклидовой геометрии,

данных», особенно в средней школе. Но

топологии,

-

симметриям,

группам

и

многому

и щедро одаряет своими несметными богатства­

другому. Попутно познакомимся с разделами

ми преданных ей. Или хотя бы почитающих ее.

современной физики, в возникновении которых

Этого достаточно, чтобы понять то, о чем гово­

математика

рится в данной книге. Ну, еще желательно пом­

мер общей теорией относительности, а также

нить хотя бы простейшие вещи из

некоторыми физическими терминами

школьного

курса . Мы пойдем тропинками, ведущими от

сыграла

решающую

ками, суперструнами.

роль,

напри­

-

квар­

4

Мера всех вещей

"

МЕРА ВСЕХ ВЕЩЕН
Господь сотворил целые
числа, а все остальное

-

дело рук человека.

А. Кропекер,
немецкий математик

Возникновение

Все на"аnось с rреков

математики

м

атематика, в широком
смысле слова понимае­
мая

как

использование

всевозможное

чисел

и

геоме­

трических фиrур, возникла не­
сколько тысячелетий назад. Она
создавалась

усилиями

цивилизаций,

ныне

многих

исчезнув­

ших. Наиболее значимыми сре­
ди них были Вавилон и Древний
Египет. Правда, там математика
так и не сформировалась в от­

дельную науку. Она не ставила

перед собой исследовательских
целей, а занималась решением

практических

задач.

Матема­

тика была своего рода инстру­
ментом, набором разрозненных
простых

правил,

Афинская школа. Рафаэль Санти.

позволявших

1511 r.

людям решать насущные про­

блемы:

составлять

определять

сроки

календари,
проведения

сельскохозяйственных работ, вес­
ти торговлю.

м

атематика как полноценная наука и средство по зна­
ния природы

-

творение древних греков. Неизвест­

но, что заставило их прийти к новому пони м а н ию
математики и ее роли,

-

не сохранилось описывающих э тот

Мера всех вещей

5

процесс документов тех времен. Приходится
полагаться лишь на более или менее правдо­

подобные догадки историков .
Как бы

с

ное

то

ни

было,

у

греков

начиная

в. до н.э. сложилось о мире определен­

VI

представление,

в

котором

важная

роль

отводилась математическим понятиям. Счи­
талось,

что

природа

устроена

разумно,

все

события в ней протекают по точному и не­
изменному плану, который является матема­

тическим. Греки верили в силу разума, и по­

тому были убеждены, что если эту силу при­
ложить к изучению природы, то лежащий
в основе мироздания математический план
удастся разгадать.

ссКоманда11

Пифаrора
и

так, план, по которому построена Все­
ленная, имеет математический характер.

Отсюда следует, что только математика

Пифагор. Фрагмент фрески Рафаэля Санти
«Афинская школа».

позволит человеку раскрыть этот план. Понят­

1511 г.

но, что вслед за рождением такой идеи стали
появляться варианты, или модели, устройства

тия», которые в тех или иных комбинациях

мира.

соответствуют

Первой предложила свой вариант «мате­

различным

геометрическим

фигурам. В сумме эти единицы представля­

матизированного плана» строения Вселенной

ют собой материальный объект. Число счита­

группа мудрецов, созданная Пифагором Са­

лось материей и формой Вселенной. Отсюда

мосским (жил в

570 -

около

490 гг. до н.э.). Эти

и основной тезис учения пифагорейцев : « Все

ученые, так называемые пифагорейцы, жили

вещи суть числа». А поскольку число выража­

на юге Италии в городе Кротон, хоть сами были

ло сущность всего, то объяснять явления сле­

греками.

довало только с помощью чисел .

Пифагорейцев поразило, что весьма раз­
личные

в

качественном

обладают

одинаковыми

Пифагорейцы представляли числа наглядно

явления

в виде множеств точек (возможно, символизиро­

математическими

вавших частицы), расположенных в виде фигур,

отношении

свойствами. Значит, решили мудрецы, имен­

которые могли представлять реальные объекты.

•
•

но математические свойства выражают сущ­

ность явлений. Если говорить более точно,

•

•

то пифагорейцы видели сущность явлений

Например,

в числе и числовых отношениях. В этих объ­

назывались

яснениях

и квадратными числами и вполне могли обо­

природы

числу

отводилась

роль

множества

соответственно

и

•

•

треугольными

начала начал . Пифагор находил таинствен­

значать (изображать) треугольные и квадрат­

ный смысл в числах и фигурах, говорил, что

ные объекты. Позже пифагорейцы развили

«число составляет сущность вещей; сущность

и усовершенствовали свое учение и начали во­

предмета

-

число его».

Пифагорейцы считали, что все тела состо­
ят из фундаментальных частиц, «единиц бы-

спринимать числа как абстрактные понятия,

а физические объекты
реализации.

-

как их конкретные

6

Мера всех вещей

Не6есные теnа
и математика
Движения планет пифагорейцы также свели
к числовым отношениям. Планеты не блужда­
ют хаотично среди звезд, как считалось ранее,

а перемещаются по устойчивым постоянным

путям

-

окружностям. Круговые движения не­

бесных тел свидетельствуют, что эти тела также
подчиняются законам математики. Кроме того,
пифагорейцы считали, что тела, двигаясь в про­

странстве, издают звуки. Им было известно, что
звуки

-

это результат движения, точнее, коле­

бания звучащего тела. Пифагореец по имени
Архит обнаружил, что высота тона (частота зву­
ка) прямо пропорциональна скорости движе­

ния тела и обратно пропорциональна его длине.

Мера всех вещей

7

Пифагорейцы решили, что это открытие
является частным

случаем

общего правила

движения, которое распространяется не толь­

ко на звучащие, но и на видимые тела . По их
мнению, планеты движутся тем быстрее, чем

дальше они находятся от Земли. Звуки, изда­
ваемые планетами, изменяются в зависимости

от удаления от Земли и образуют гармони­
ческое созвучие. Эта «музыка сфер», подобно
всякой гармонии, сводится к числовым отно­
шениям, поэтому к ним же сводятся и движе­
ния планет.

Пnатон

иerowкona

с

амой

влиятельной

после

пифагорей­

цев группой мысли_:елей, расширившей
и распространившеи учение о математи­

ческом плане, лежащем в основе природы, были
платоники,

возглавляемые,

как о том

говорит

название школы, Платоном Афинским

347 гг.

(427-

до н. э.). Он был ведущей фигурой духов­

ной жизни Греции . Платон основал в Афинах
Академию

-

центр, который привлек к себе

многих интеллектуалов того

времени

ствовал в течение девяти столетий.

и

суще­

Платон. Фрагмент фрески Рафаэля Санти
«Афинская школа».

1511 г. Этот образ художник
писал с Леонардо да Винчи.

Платон утверждал, что реальность и разумное

устройство физического мира могут быть постиг­
нуты только с помощью математики идеального

мира. То, что идеальный мир устроен на матема­
тических началах, не вызывало у мудреца сомне­

ний. Платон говорил: «Бог всегда является геоме­
тром». В математике геометром был сам ученый,
а потому о его математических достижениях мы

больше поговорим в главе, посвященной геоме­
трии.

Здесь же только упомянем о том, что мате­
матические законы платоники считали вечными

и неизменными, а не только сущностью реально­

сти. Кажется, в этом они были правы!

Академия Платона. Мозаика из города Помпеи.

8

Мера всех вещей

Есть начаnо

нет конца

п

ервое

известное нам

довательное

тики

логически после­

изложение

содержится

в

основ

трудах

матема­

знаменитого

Евклида. Он написал несколько сочинений. Из

дошедших до нас наиболее знамениты «Нача­
ла», состоящие из

13 книг «Начал»,

15

книг (сам Евклид написал

позже к ним прибавились еще

две, принадлежащие другим авторам). Все эти
сочинения

построены

по единой

логической

схеме. Каждая из книг начинается определени­
ем понятий (точка, линия, плоскость, фигура
и т.д.), которые в ней используются, а затем на

основе небольшого числа основных положений

(5 аксиом и 5 постулатав),

принимаемых без до­

казательств, строится вся система соответствую­
щих разделов математики.

Фрагмент «Начал» Евклида, найденный

в древнеегипетском городе Оксиринх.

9

Мера всех вещей

VII, VIII

IX

и

книги «Начал» Евклида содер­

жат сведения о числах. А точнее, они посвящены

теории целых и рациональных чисел. В одном
из этих томов автор приводит, например, такие

определения: »Единица есть то, через что ка­
ждое из существующих считается единым; число
же

-

это множество, составленное из единиц».

Оnераqии
с натура11ьнь1ми "исnами

к

Древние греки ввели также отношения це­
лых чисел, которые позже получили название

акие «блюда» можно приготовить из та­
ких чисел? Прежде всего, построить в ряд
согласно величине каждого, как школьни­

ков на уроке физкультуры по росту. Получаем:

дробей.

1, 2, 3, 4, ... , 8, 9, 10, 11, ...
(О не считается натуральным числом). Эта по­
следовательность

Натураnьнь1е

11111cna

и

з всех видов чисел важнейшими Пифагор

считал натуральные. «Натуральные» бук­
вально означает «естественные». Для лю­

дей далекого прошлого такие числа были есте­
ственными, потому что использовались для сче­
та

предметов,

животных

или, допустим,

звезд.

Числа записывались в виде черточек-зарубок
на деревьях либо костях. Со временем начали
применять особые знаки

-

цифры

-

для запи­

си групп таких черточек. Например, в Древнем
Египте число

10 обозначалось иероглифом n.
- О, 1, 2, ... , 8 и 9 -

Современные цифры

были придуманы полторы тысячи лет назад

в Индии и завезены в Европу арабами. Поэто­

му их прозвали арабскими. С помощью цифр
можно записать любое натуральное число. Спо­
собы записи чисел в виде, удобном для прочте­
ния и выполнения арифметических операций,
называются системами счисления. В настоящее

время наиболее употребимой является пози­
ционная десятичная система счисления: для за­

писи любого числа используются

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;

10 цифр -

О,

при этом значение каждой

цифры определяется ее местом в записи числа .
Множество всех натуральных чисел часто
обозначается как

N.

рядом.

Очевидно

называется

(это

слово

натуральным

математики

не

любят), что он не имеет конца. В самом деле,
как

ла

только

п,

сать
п

+ 1.

мы

доходим

вслед за ним

ближайшее

до

некоторого

чис­

сейчас же можно напи­

к нему натуральное число

В таком случае говорят, что этих чисел су­

ществует бесконечное множество.

10

Мера всех вещей

Пойдем дальше. Над натуральными числа­
ми можно проводить две основные операции:

сложение и умножение. Отметим, что эти опе­
рации применяются и ко многим другим мате­

матическим объектам. Правда, их смысл может
отличаться от привычного нам. Впрочем, к это­

му мы еще не раз обратимся в дальнейшем.
А пока вернемся к натуральным числам.

вают k-й степенью числа а. Само натуральное
число
Итак, сложение. Если а и Ь

-

два натураль­

ных числа, то их сумма обозначается как а+ Ь.
Древние
раньше,

люди
чем

научились

k

называется показателем степени.

ЗАДАНИЕ

1

складывать

числа

Попробуйте найти все натура11Ьные чис­

проводить с ними другие

опера­

ла, которые бo.llЬme своей последней циф­

5 раз.

ции. Если вспомним, что первоначально они

ры в

определяли

Подсказка: подумайте, чему может быть

число

количеством

черточек,

то

поймем, что порядок сложения не влияет на

равна последняя цифра искомого числа.

сумму. Поэтому
а+ Ь = Ь +а.

Это

свойство

называется

(1)
коммутативным

(переместительным) законом сложения.

Произведение также подчиняется опреде­
ленным правилам:

Другое свойство этой операции
а

+ (Ь + с)

= (а

+ Ь) + с

аЬ = Ьа,

именуется ассоциативным (сочетательным) за­
коном сложения.

Первое называется коммутативным законом
умножения, второе

Умножение люди освоили гораздо позже.

(3)
(4)

а(Ьс) = (аЬ)с.

(2)

-

ассоциативным законом

умножения.

Оно означает сопоставление двум числам а и Ь
(называемым сомножителями) третьего числа с

(называемого произведением):
аЬ =с.

3АДАНИЕ2
Упростите выражение а5а-3а 2/а3а-4а- 1 •

Иными словами, произведением натураль­
ных чисел а и Ь считается число с, равное сумме
Ь слагаемых, каждое из которых равно а. То есть
произведение определяется через сложение.

Результат умножения числа на самого себя

· а обозначается как а 2 и называется квадратом
числа а. Произведение из k одинаковых сомно­
жителей а ·а · а · ... ·а пишут в виде ak и назы-

Наконец, последний

пятый

-

закон на-

туральных чисел устанавливает правила сочета­

ния первых двух операций:

а

а(Ь

Он

+ с)

называется

= аЬ

+ Ьс.

дистрибутивным

(5)
(распре­

делительным) законом и говорит нам, что при

Мера всех вещей

умножении

суммы

на

некоторое

целое

число

11

Поясним. Есть такие любопытные штуки

-

можно умножить на это число каждое слагаемое

матрицы. Это таблички, имеющие строки и

и полученные произведения сложить.

столбцы . У них, как и у чисел, имеется операция

сложения. Однако уже на этом этапе возникают
ограничения . В отличие от чисел, складывать

ЗАДАНИЕЗ

друг с другом можно не любые две матрицы, а

Попытайтесь выразить число

восе­

лишь те, у которых равное количество строк и

мью одинаковыми цифрами. Кроме цифр

равное количество столбцов. Матрицы также

1000

разрешается пользоваться также знаками

можно перемножать по определенному прави­

действий.

лу. Но опять же выборочно, при условии, что
количество

столбцов

одной

матрицы-сомно­

жителя равно количеству строк второй матри­

цы-сомножителя.

Наконец,

при

соблюдении

этого условия для матриц А и В в общем случае
АВ =F ВА (хотя бывают и исключения). Вот такая

странная «арифметика» .

Что еще можно

ссвь1жать11
noneзнoro из

и

N

атуральные числа естественно сравнивать

между собой . Ведь мы постоянно сравни­
ваем то, что имеем, с тем, что есть у дру­

гих (то есть чего не имеем). Если у вас

Механический калькулятор 1950-х гг. Германия.

Зачем деnить

10 рублей,
12, то этот факт выражается в виде
10<12 или 12>10. Это - неравенства . В общем
а у друга

случае пишут а< Ь (а меньше, чем Ь) и Ь >а (Ь
больше а). На основе последнего неравенства
вводится операция вычитания:

с= Ь - а.

81Исnа на rpynnь1

в

математике изучается большое количе­
ство объектов самой разной природы и
свойств:

числа,

функции,

уравнения

и

другие. Назовем группы объектов одной приро­
ды категориями (или классами). Натуральные
числа

-

простейшая из математических кате­

горий. Но уже для них устанавливаются опре­

деленные правила, с тем чтобы с ними можно

было работать. Так вот, любая категория, то есть
объекты одинаковой математической природы,
определяется через задание свойств операций,

3

-

2

-

1

которые над ее объектами производятся . Пока
это утверждение звучит туманно, но в дальней­
шем мы встретимся со многими как знакомы­
ми,

так

и

«Экзотическими»

математического
нет ясным .

«зоопарка»,

представителями
и

сказанное

ста­

Число с зовется разностью чисел Ь и а.
Если допустить, что Ь

= а,

то с

= О.

Это осо­

бое число: натуральные числа не считают его
своим, но обойтись без его символа не могут

(10, 30, 1000 .. .).

У него имеются две особенно-

12

Мера всех вещей

сти (даже три, но о третьей позже): для любого
натурального числа а

а +О= а; а

3АДАНИЕ4
Как разделить

· О= О.

7

яблок между

12

мальчи­

ками, если ни одно яблоко нельзя резать
больше, чем на пять частей?

Основные

признаки

делимости

натураль­

ных чисел:

•

в том случае если каждое слагаемое де-

лится на некоторое число, то и сумма делится
на это же число;

•

когда в произведении хотя бы один из

множителей делится на некоторое число, то
и произведение делится на это число;

Современный калькулятор.

•

натуральное число делится

на

лишь

2

в том случае, когда последняя цифра делится на

•

натуральное число делится на

2;

5 тогда,
5;
10 в том
,

когда его последняя цифра либо О, либо

Деnение и деnимость
ледующая операция над натуральными

с

числами

-

деление. Это нахождение од­

ного из сомножителей по произведению

и другому сомножителю. Исходное произве­
дение называется делимым, данный сомножи­
тель

-

делителем, результат

-

: Ь,

,

да делится на

состоящее не

В таком слу­

менее

4 только тогда, ког­

4 двузначное число, образованное

последними двумя цифрами заданного числа;

•

•

если частное а/Ь является целым, т.е. суще­

= Ьс.

натуральное число,

натуральное число делится на

3

натуральное число делится на
натуральное число делится на

только

3;

9

тогда, когда сумма его цифр делится на

или Ь, или а/Ь.

ствует такое целое число с, что а

•

чем из трех цифр, делится на

•

а

Говорят, что целое число а делится на целое
Ь "# О

натуральное число делится на

тогда, когда сумма его цифр делится на

частным.

Деление можно записывать по-разному:

а

•

случае, если его последняя цифра О;

только

9;
11,

если

разность между суммой цифр, стоящих на чет­
ных местах, и суммой цифр, стоящих на нечет­
ных местах, делится на

11

или равна нулю.

чае число Ь называется делителем числа а, кото­
рое, в свою очередь, считается кратным числу Ь.

Например,
Поэтому

6

и

48 делится на 6, так как 48 = 6 · 8.
8 - делители числа 48, которое

ЗАДАНИЕ

5

Напишите

какое-нибудь

девятизначное

кратно каждому из этих чисел (а также числам

число,

1, 2, 3, 4, 12, 16 и 24

цифр (все цифры разНЬ1е) и которое де­

и к тому же самому себе).

Возможность деления а на Ь можно выра­

в

котором

лится без остатка на

нет

повторяющихся

11.

зить по-разному:

•
•
•

число а делится нацело на число Ь;
число Ь является делителем числа а;
число а кратно числу Ь, число а является
кратным числа Ь.
Если частное с

=

а

:Ь

не является натураль­

ным числом, то принято говорить, что а не де­

лится (нацело) на Ь. Натуральные числа, деля­
щиеся на

2,

называются четными, все прочие

-

нечетными.

Число О делится на любое число, отличное
от нуля.

Прость1е чисnа
с
1.

реди натуральных чисел особо выделяют

те, которые делятся только на себя и на

Такие числа называются простыми. На­

пример:

3, 5, 7, 13, 17, 19, 37 ...

Их бесконечно

много. Прочие натуральные числа называют со­
ставными. Между этими двумя группами чисел

есть связь: каждое составное число может быть

Мера всех вещей

разложено на простые множители: 12 = 2 · 2 · 3;
35 = 5 · 7; 51=3 · 17. Два числа, не имеющие ника­
ких общих делителей кроме 1, называют взаим­

13

жители до тех пор, пока все они не окажутся

простыми, например:

60 = 2 · 30 = 2 · 2 · 15 =

= 2 . 2 . 3. 5.
Следующее утверждение относится к тем

но простыми.

самым великим

математическим загадкам,

ко­

торые просто формулируются, но очень трудно
доказываются (или не доказываются вообще).

ЗАДАНИЕ
Пусть р

8р2

-

7

простое число. Докажите, что

+ 1 - простое число только при р = 3.

Про&nема rоnьд&аха
Формулировка этого утверждения предельно
проста. В нем говорится, что каждое четное число
больше

2 можно представить как сумму двух про­

стых чисел. Впервые это утверждение выдвинул

немецкий математик Христиан Гольдбах в
Это все простые числа.

1742 г.

Из него следует, что 10 можно записать в виде сум­

мы 3 + 7 или 5 + 5, где 3, 5 и

7-

простые числа. Дру­

гая (менее известная) формулировка утверждения
Таким образом, простые числа

-

это свое­

Гольдбаха говорит о том, что любое нечетное

образные «КИРПИЧИКИ», или «аТОМЫ», из кото­

число, большее или равное

рых построены все натуральные числа. Сколько

в виде суммы трех простых чисел. Так,

существует

=3+5+5.

атомов

различных

типов,

можно

узнать из таблицы Менделеева. Очевидно, их

Первое

утверждение

9,

можно представить

13 = 3 + 3 + 7 =

называется

количество конечно, то есть ограничено. А вот

проблемой Гольдбаха, а второе

простых чисел существует бесконечное множе­

блемой Гольдбаха.

-

сильной

слабой про­

ство. Первое строгое доказательство этого факта
дал Евклид.

ЗАДАНИЕ&
Известно, что р >

3

и р

-

простое число,

т.е. оно делится только на единицу и на

себя само. Как вы: думаете: а) будут ли чет­
НЬIМИ числа (р + 1) и (р-1)? б) будет ли хотя

бы: одно из них делиться на

3?

Подсказка: вспомните, что р

-

простое

число, т.е. не делится ни на что кроме еди­

ницы: и самоrо себя.

Как ученые разлагают молекулы на атомы, так

и математики любят разлагать натуральные числа
на простые сомножители. В этом занятии им уда­
лось установить немало интересных законов.

Во-первых, каждое составное число может

быть представлено как произведение простых.
Его можно последовательно разлагать на мно-

Христиан Гольдбах.

Мера всех вещей

14

С тех пор как Гольдбах выдвинул эту гипоте­
зу,

математики не сомневались, что она верна.

Тем не менее никто пока не сумел ее доказать.

ЗАДАНИЕ В

1932 r.

но

лет,

Внуку бЬ11lо тоrда ров­

сколько

следние две цифры rода

Kor да

n

выражают

модуnю

no

ри рассмотрении делимости целых чисел
на некоторое определенное целое число

п у доб но пользоваться так называемым

отношением

Дело бЬ11lо в
столько

Сравнения

сравнения,

введенным

Говорят, что два целых числа а и Ь сравнимы

по­

рождения.

по модулю натурального числа п, если при де­

внук рассказал об этом соотноше­

лении на п они дают одинаковые остатки. Это

ero

нии деду, тот заявИ.ll, что с

ero

возрастом

выходит то же самое. Сколько же лет

бЬl.llO внуку И деду?

означает также, что разность а

Так,

27

и

32

-

Ь делится на п.

сравнимы по модулю

Поиско6щей

формуnь1

2.

в остатке). При

Отношения

сравнения

b(mod

обладают

п).

рядом

свойств.

Пусть а= Ь

(mod п), с= d (mod п).
+ d (mod п),
а - с= Ь - d (mod п),
ас= bd (mod п) .

Тогда: а+ с= Ь

найти несложные формулы, которые да­

Таким образом, сравнения по одному и тому

вали бы только простые числа, хотя бы

же модулю можно складывать, вычитать и ум­

без требования, чтобы они давали все простые

-

f(n)

ножать.

Пусть аЬ =О

простое и удобное выра­

жение, дающее много простых чисел:

-

поскольку

Утверждение о сравнимости чисел а и Ь по

модулю п записывают в виде: а=

е одно столетие математики пытаются

числа. Вот пример

где п

5,

их остаток при делении на это число равен

27: 5 = 5 (2 в остатке), 32: 5 = 6 (2
этом 32-27 = 5.

и

немецким

математиком Гауссом.

= п2 - п

(mod п) и числа а и п взаимно
(mod п).

просты. Тогда Ь =О

+ 41,

натуральное число.

При п

= 1, 2, 3, ... , 40f(n)

есть простое число;

но уже при п
формула

= 41j{41)=41 2• То есть приведенная
работает при условии п::::; 40.

Еще больший набор простых чисел дает

Сяожение и умножение

no

модуnю

формула

n2 до п

= 79

79п

+ 1601

включительно; при п

= 80

получается

Т

проводятся

арифметические

операции

с числами по модулю. Допустим, что име­

составное число.

Честно говоря, поиски несложных формул,

ется

дающих только простые числа, оказались без­

доп

последовательность

целых

чисел

от

нуля

- некоторое натуральное число:
{O,l,2,3, ... ,n-2,n-l}.
(6)
Например, если п = 12, то наша последователь­

успешными . Еще хуже обстоит дело с нахожде­

нием такой формулы, которая давала бы только
простые числа, притом все их.

еперь поговорим подробнее о том, как

-1,

где п

ность совпадает с числами на циферблате часов.
Показания значений часа, отличающиеся на

(1

и

12

13, 2 и 14, ... , 7 и 19 и т.д.), есть числа, сравни­
12 (т.к. 13- 1=14-2= ... =12).

мые по модулю

Возвращаясь к случаю произвольного п, сло­
жим любые два числа из множества

(6). Если сум­

ма будет больше п, то вычтем из нее это самое п
и получим в результате число из того же множе­

ства

(6). Это и будет сложение по модулю п.

Мера всех вещей

В заключение этого раздела познакомим­

ТЕОРЕМА ЧЕНА

ся

еще

с

одним

понятием,

встречающимся

Она утверждает, что всякое достаточно

теории чисел. Пусть в выражении

большое четное число представимо либо

р

в виде суммы двух простых чисел, либо

удалим из

в

будет состоять из р

виде

суммы

15

простоrо

и

полупростоrо

-

(6)

в

п = р, rде

натуральное простое число. Кроме тоrо,
число О, тоrда наше множество

(6)

- 1 членов:
{1,2,3, ... ,р -2,р-1}.

(произведение двух простых) чисел.

(7)

На нем обычным образом вводятся опера­
ции

Отметим, что на указанном множестве чи­
сел в операции сложения по модулю роль нуля

сложения

и

умножения

его

членов

друг

с другом по модулю р. Оно имеет специальное
название

-

конечное поле с р элементами. Та­

иrрает само число п. В самом деле, прибавление

кие множества играют важную роль в матема­

его к любому из этих чисел приводит к тому же

тике (например, при решении сложных алге­

самому (по модулю!) числу (для часов 17=5+12 =

браических уравнений) .

= 5 rnod (12)).
Любые два числа из после­
довательности

(6)

можно пе­

ремножить . Разумеется, про­
изведение

может

«улететь»

далеко за пределы этой по­

следовательности.

Несмо­

тря на это, среди ее членов

всеrда найдется число, ко­
торое

отличается

лученного
на

от

по­

произведения

число, кратное п.

ЧИСЛА МЕРСЕННА
Так называются числа вида 21' -1, r дер

-

про­

извольное целое число, называемое показа­

телем. Свое название такие числа получили
в честь фрапцузскоrо монаха Марена Мер­
сенна,

являвшеrося

по

совместительству

математиком. Он наткну лея на эти числа в
поисках универсальной формулы, которая
позволила бы перечислнть все простые чис­

ла. В

1648 r. монах высказал предположение,
21• - 1 должны быть просты­
ми для показателей 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67,
127, 257 и составными длн всех остальных
целых чисел, не превосходящих 257. В про­
что числа вида

п1лом сто11етии математики вьшснили, что

на самом деле список показателей, дающих

простые числа Мерсепна и не превосходя­
щих

257, выr11ядит следующим образом: 2, 3,
5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 и 127. Это первые
12 простых чисел Мерсенна.

16

Мера всех вещей

Как сnожить
мноrо чисеn

в

математике

часто

приходится

К сожалению, простой метод, примененный
в предыдущем примере, не подходит. Чтобы не
утомлять читателя, мы не приводим здесь выво­

да искомой формулы, а лишь укажем итог:

5 =п(п+1)(2п + 1)_

сумми­

(ll)

6

другом

Для особо отважных, желающих вывести

какой-либо зависимостью. Простейшей

эту формулу, дадим подсказку. Используйте

ровать

числа,

связанные

друг

с

задачей такого рода является следующая : найти

формулу куба суммы (п

сумму первых п натуральных чисел :

перенесите

5 = 1 + 2 + 3 + ... + п.

(8)

Запишем это выражение « Задом наперед» :

5 = п + (п - 1) + (п - 2) + ... + 3 + 2 + 1. (8а)
(8) и (8а), объединяя первые,

вторые члены и т.д . :

+ (п + 1) + (п + 1).
+ 1).

-

= 1, 2, 3, ... ,

п. Да­

простор для творчества .

3АДАНИЕ9

(9)

формулу для суммы (п

+ 1)

первых членов любой арифметической

В правой части полученного равенства
одинаковых членов вида (п

в правую часть и распишите по­

Выведите из

25 = (п + 1) + (п + 1) + (п + 1) + ... + (п + 1) +

+ 1)3 = n3 + 3п 2 + Зп + 1,

лученное равенство для всех п
лее

Теперь сложим

n3

-

п

прогрессии:

Р = (а

Поэтому

25=п(п+1),

rде

откуда получаем искомый результат:

5 =п(п+1)_

(9 )

2

Следующая задача подобного типа состоит
в нахождении суммы квадратов п первых нату­

(10)

=

разность прогрессии.

ЗАДАНИЕ

10

Найдите формулу для вычисления суммы
первых п нечетных чисел:

S =1 + 3 + 5 + ". + 2п - 1.

ральных чисел:

5 = 1 + 4 + 9 + ... + п 2 •

d-

+ d) + (а + 2d) + (а + Зd) + ... + (а + nd)
=1/2(п + 1)(2а + nd),

Мера всех вещей

17

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание

Задание

1

При умножении на

последняя цифра не

5

изменилась, значит, она была О или

5.

Если бы

При р

7
= 3 8р2 + 1 = 73 -

простое число. Мы

достигнем поставленной цели, если докажем,

последняя цифра была О, то все число было бы

что в случае р t:: 3 выражение 8р2 +

О, а мы ищем натуральные числа. Значит, по­

ным числом.

следняя цифра была
Ответ:

5. А все число - 25.

1 будет состав­

Очевидно, что из всех чисел, кратных трем,
только само

менателе: а3 а-4 а-1 = аз - 4 - 1 = а-2 • В результате по­

3 является простым. Пусть р t:: 3.
Тогда р = 3k ± 1. Получим: 8р2 + 1=8(3k ± 1)2 + 1 =
= 8(9k2 ±6k+1) + 1=72k2 ±48k+ 9=3(24k2 ±16k+3).
Отсюда видно, что если р = 3k ± 1, то есть
р t:: 3, то число 8р 2 + 1 составное. А это и означает,
что только при р = 3 число 8р2 + 1 будет простым.

лучим: а4/а-2 = а 6 •

Что и требовалось доказать.

25.

Задание

2
· аУ
as- 3+2= а4, а

Используем свойства степеней: ах

В числителе получим: а 5 а-3 а2 =

= ах+у.

в зна­

8

ЗаданиеЗ

Задание

888 + 88 + 8+8+8=1000.

Ясно, что внук родился в ХХ в. Первые две

цифры года его рождения, следовательно,
Задание4

таково число сотен. Число, выражаемое осталь­

Надо сначала разделить между мальчика­

ми

3

яблока (каждому достанется по четверти

яблока), а затем разделить между ними остав­
шиеся

4 яблока

Задание

19 -

(каждому

-

по трети).

ными цифрами, будучи сложено с самим собою,
должно составить

32. Значит, это число 16: год
1916, и ему в 1932 г. было 16 лет.
Дед его родился, конечно, в XIX в.; первые две
цифры года его рождения -:-- 18. Удвоенное чис­

рождения внука

ло, выражаемое остальными цифрами, должно

5

Чтобы решить эту задачу, надо знать при­
знак делимости на

Вот один пример

352 049 786. Проверим его: 3 + 2 + 4 + 7 + 6 = 22,
5 + О + 9 + 8 = 22. Разность 22 - 22 = О. Следова­
тельно, взятое число кратно 11.
Наибольшее

из

11.

всех

таких

чисел

составить

132. Значит, само это число равно по­
132, т.е. 66. Дед родился в 1866 г., и ему
в 1932 г. было 66 лет.
Таким образом, и внуку, и деду в 1932 г. было

ловине

столько лет, сколько выражают последние две

цифры годов их рождения.

987 652 413, наименьшее - 102 347 586.
Задание
Задание

Поскольку р

лящихся на

2

-

его не будет, а среди трех после­

обязательно делится на

2,

+ 1), хотя бы одно

но это не р. Значит,

ответ задачи положительный.

3

d)

+(а +

2d)

+(а+ Зd)

+ ...

простое число, то среди де­

довательных чисел (р-1), р, (р

Для

9

Р =а+ (а+

6

=a(n+l)+d(1+2+ ... +n)=a(n +l)+d

+ (а +
п (п

nd) =

+ 1)

2

=

(п + 1) (2а +п d) .
2

задача решается аналогично, ответ

положительный. Здесь мы пользуемся тем, что

Задание

простое число не может делиться на

Сложим попарно крайние члены этой сум­

10

это не всегда так. Есть два простых числа

2 или 3. Но
2 и 3,

мы: первый с последним, второй с предпослед­

для которых эти соображения неверны. Одна­

ним и т.д. Всего таких парных сумм будет п/2,

ко в условии указано, что р

а искомая сумма выразится как

> 3,

пользоваться этим свойством.

Ответ: а) да; б) да.

поэтому можно

п

S = [1 + (2п - 1)] + [3 + (2п -3)] + ... = 2п · 2 = п 2 •

18

Действительные числа

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Отриqатеnьные

чисnа
в

u
50
40

u
-

50
40
30

спомним операцию вычитания натураль­

20

ных чисел:

10

с= Ь-а,

о

где число с (разность чисел Ь и а) также предпо­

лагается натуральным . Эго возможно только при
условии Ь

>

а, в противном случае эта операция

не выполнима на множестве натуральных чисел.

А хотелось бы уметь вычитать во всех случаях.
Пусть а

= d > О.

>

Ь. Рассмотрим разность а

Тогда Ь

-

а=

-d.

Назовем число

-d

-

Ь

=

отри­

цательным.

Физический

смысл

отрицательных

чисел

легко увидеть, посмотрев на термометр.

Интерпретация положительных (слева)
и отрицательных (справа) чисел.

Действительные числа

Отрицательные температуры

это тем­

-

пературы, меньшие нуля градусов. Отрица­

По

своему

«физическому»

смыслу

19
отри­

цательное число означает уменьшение, убыль

нуля.

имеющегося количества. Причем теперь это на­

В результате получаем новое множество чи­

чальное количество может и не быть положи­

тельные

-

сел

-

числа

это

числа,

меньшие

множество всех целых чисел, как поло­

тельным числом: складывая два отрицательных

жительных (то есть натуральных), так и отри­

числа,

цательных.

равное по модулю сумме модулей слагаемых.

получаем

новое

отрицательное

число,

РОДОМ ИЗ ИНДИИ
Первы :\1 отрнцатеаьные чнсаа ввел 11н­

дус Бра:хl\lаrупта в
ва11

прав1ыа

действ11й

:\111.
XII

над

Позже

г. Он сфор:\1уа11ро­

628

четырех

ар11ф:\1ет11ческ11:х

отр11цате .1ьньв111

11нд11йскнй

же

ч11саа­

:\1ате:\1ап1к

в. Б:хаскара обратил вн1в~ан11е на то,

что квадратный корень 11з по ,1ож11те ,1ь­
ного

-

ч11с ,1а 11:\1еет два зн,1че1111я

жительное

отрицатеаыюе.

11

поао­

Б:хаскара

paccl\loтpea также вопрос о квадрапю:\1
корне

11з

отр11цате ,1ьны:х

11

ч11сеа

пр11-

ше11 к выводу, что такой корень не су1цествует,

так

как

11наче

его

квадрат

отр11цатеаы1ы:\1

ч11сао:\1,

А сумма двух чисел, имеющих разные зна­

а отр11цатеаьное ч11с.10 не :\IОжет быть

ки, есть число, которое имеет тот же знак, что

квадрато:\1.

и слагаемое с большим модулем; чтобы найти

до ,1жен

быть

модуль суммы, надо из большего модуля вы­
честь меньший.

Задать множество объектов

значит опреде­

Произведением двух целых чисел называ­

лить операции над ними. Проще это сделать, введя

ется число, удовлетворяющее следующим ус­

понятие модуля любого числах согласно правилу:

ловиям :

-

1х1 = х

1х1 =

, если х ~ О;
-х, если х < О.

1)

Очевидно, что модуль любого числа есть
всегда число положительное. Для примера:

на предыдущем рисунке слева
ва

1-101

=

1201

произведение двух положительных чисел

есть число положительное и находится по пра­

=

20,

спра­

10.

вилам,

определенным

на

множестве

положи­

тельных чисел;

2)

произведение двух отрицательных чисел

есть число положительное; произведение двух

чисел, имеющих разные знаки, есть число отри­

цательное. Чтобы найти модуль произведения,

Оnерации

надо перемножить модули этих чисел.

с отриqате11ьнь1ми чиС11ами

стве целых чисел выполняется всегда. В отличие

Вычитание и деление целых чисел опреде­

ляются как действия, обратные соответственно
сложению и умножению. Вычитание на множе­

от деления, которое на множестве целых чисел

Т

еперь множество известных нам чисел

возможно лишь тогда, когда частное само будет

поло­

целым числом (неважно, положительным или

отрицательные числа.

отрицательным). При этом знак частного опре­

На этом множестве, как и на множестве нату­

деляется по тому же правилу, что и при умно­

ральных

жении:

выросло

вдвое:

жительные,

чисел,

оно

так и

можно

включает

проводить

как

сложение,

вычитание и умножение. В определенных слу­
чаях возможно и деление.

- 48 - 48 - 48 - 8
-6-- -6 --6--.

20

Действительные числа

Наконец, для множества всех целых чисел

щее нулю), указать единичный отрезок (соответ­

справедливы те же законы сложения и умноже­

ствующий числу

ния, что и для чисел натуральных (коммутатив­

есть порядок расположения чисел при их возрас­

1) и

определить направление (то

ный, ассоциативный и дистрибутивный).

тании). Такая прямая называется координатной,

или числовой, осью. Число, соответствующее кон­
кретной точке, называется ее координатой.

Не имеет значения, располагали ось горизон­

тально или вертикально. Выбор начала коорди­

нат также неважен

-

сгодится любая точка. По­

ложительные целые числа всегда располагаются

справа сверху от начала координат, отрицатель­
ные

-

слева снизу.

2
1
1 )

-2

-1

о

1

2

о

3

-1

Действитеnьные

11исnа
к

онечно, целые числа красиво располо­
жились на координатной прямой. Одна­
ко между ними есть «пропасти»

-

точки

этой прямой между двумя любыми соседними
числами. Всякая прямая линия представляет

собой, как известно, бесконечное количество
точек, непрерывно располагающихся на

ней .

Понятие непрерывности очень важно в матема­

тике. В случае координатной прямой это озна­
чает следующее. Во-первых, для любой данной
точки этой прямой существуют сколь угодно

близкие к ней точки той же прямой; во-вторых,
отрезок, соединяющий любые две точки, мож­

но разбить на сколь угодно много отрезков.

Чисnа

и 11исnовая ось

с

уществует

Возь.чеl\1 две произвольные точки а и Ь
на

числовой

осн.

Таких

пар,

понятно,

:\южно выбрать сколь угодно l\Iного. Ка­
ждая

такая

пара

точек

вместе

со

всеми

соответ­

точкаl\111 l\Iежду ними называется сегмен­

и длинами

ТО:\I (11л11 отрезкоl\1) и обозначается [а, Ь ].

отрезков, отложенными на прямой. Что­

А l\Iножество одних только промежуточ­

ствие

взаимно-однозначное

ОТРЕЗКИ И ИНТЕРВАЛЫ

между целыми числами

бы задать соответствие, необходимо сделать три

ных точек

вещи: выбрать начало координат (соответствую-

ток), обозначаеl\1ый (а, Ь).

-

это интервал (или проl\1ежу­

Действительные числа

21

Раqионаnьные

11исnа

5.3

р

азделим расстояние между двумя соседни­
ми целыми числами на п равных отрезков

(например, п =
сантиметры, п =

100 при делении

метра на

60 при делении часа на минуты).

Обозначим одну такую долю как

1

- .

Если ка­

п

кой-то отрезок состоит из

т

(целое число)

v

таких

долеи,

то

его

длина

выразится

как

т

- .
п

Такой символ называется дробью или отноше­
нием. Причем независимо от всякой привязки

к каким-либо измерениям. Для дробей важно

только, чтобы числа т и п были целыми. Любое
число, допускающее запись в таком виде, назы­
вается рациональным.

Последовательное разбиение отрезка на части.

ЗАДАНИЕ
Поскольку начало координат может быть
произвольно помещено в любую точку число­

1

Найдите Д11Я каждой дроби слева соответ­
ствующую диаrрамму справа.

вой оси, в том числе в находящуюся между точ­

ками с целыми числами, ясно, что все числа этой

оси равноправны. Каждая точка может иметь

целочисленную координату либо не иметь та­
ковой (т.е. соответствовать целому числу или не
соответствовать). Это зависит от выбора начала
координат, после которого и возникает разделе­
ние чисел на целые и все прочие.

Все прочие состоят из чисел двух видов: ра­
циональных и иррациональных. Таким образом,
на числовой оси «обитают» числа трех видов:
целые, рациональные и иррациональные. Все

вместе они образуют большой класс чисел, назы­
ваемых действительными. Их объединяет то, что
они возникли в связи с потребностью людей в
счете предметов (целые числа) и измерении раз­
личных величин (длины, веса и т.д.) . Последние

могут быть разделены на очень маленькие ку­
сочки, даже сколь угодно малые. Огсюда следует
определенное соответствие между действитель­
ными числами и точками на прямой: каждая
точка числовой прямой имеет единственную ко­
ординату, и каждое действительное число
ордината единственной точки.

-

ко­

Опять же, чтобы пользоваться рациональ­
ными числами, необходимо определить пра-

22

Действительные числа

вила сложения и умножения этих чисел. Они
известны из школьного курса:

такого числа на другое было тоже целым чис­
лом. Если же это не так, то мы просто опреде­
лим частное как число, являющееся решением

а

а

Ь

с

ad +Ьс
-+-=--ь
d
bd

ас

·d = bd ; если

с

(1)

в последнем равенстве с = d,

уравнения ах = Ь, обозначим его как !!_, назовем
а
Ь
дробью и подчиним требованию, чтобы а · - = Ь.
а

Понятно, что теперь деление возможно всег­
ас

то

да, кроме случая, когда а

а

ь.

bd

=

О. Иными словами,

деление на нуль исключается .

Поскольку целые числа также представимы
т

Примеры:

в виде -

21+20
35

3 4 3·7+4·5
-+-=---5 7
5.7
4 7
5 12

4 .7
5.3.4

(хотя в этом случае п является делите-

п

41
35

лем т), то можно считать объединенное множество целых и дробных чисел системой всех
рациональных чисел. В ней упомянутые выше

7
15

операции

и деление

-

сложение, вычитание, умножение

выполнимы всегда (кроме деления

на нуль) и их результатом всегда являются так­
же рациональные числа .

3АДАНМЕЗ
Придумайте: а) три правильНЬ1е несокра­

-4

1

1

тимые дроби, сумма которых

+ 1-

+ -

4

це110е

-

ЧИСlJ.О, а eclJ.И каждую из этих дробей «пе­

2

ревернуть» (то есть заменить на обрат­
ную), то сумма поlJ.учеННЬIХ дробей тоже
Сложение дробей.

будет ЦеlJ.ЬIМ ЧИСlJ.Ом;
б) то же, но чисlJ.ИТеlJ.И дробей

не рав­

-

НЬ1е друr друrу натураlJ.ЬНЬilе чисlJ.а.

Подсказки: а) подберите три дроби с чис­

MAAl-2

29
Какая иэ Аробей боАЬmе: 73

Используя правило

(1),

lJ.ИТеllЯМИ, равНЬIМИ

291
И4И - ?
731

знаменатеllЯМИ, дающие в сумме

можно без труда

установить, что и в области рациональных чи­

сел сохраняются законы натуральных чисел (р,
и

•

rр

q

рациональные числа):

+ q= q+ р -

коммутативный закон сложе­

ния;

•

(р

+ q) + r

= р

+ (q + r) -

ассоциативный закон

сложения;

•
•

pq = qp - коммутативный закон умножения;
(pq)r = p(qr) - ассоциативный закон умноже­
ния;

•

(р

+ q)r = pr + qr -

1;

б) найдите сначма три дроби с равНЬIМИ

дистрибутивный закон .

Теперь о делении рациональных чисел. Как
мы знаем, возможности выполнения этой опе­

рации в области целых чисел ограничены тре­
бованием, чтобы частное от деления одного

1.

Неиз6ежность
иррационаnьных

чисеn
и

так,

мы заполнили числовую прямую

всеми рациональными числами . Рацио­
нальные точки плотно расположены на

всей числовой прямой . Это означает, что вну­

три всякого промежутка данной прямой, как бы
он ни был мал, содержатся рациональные точ-

ки. Пусть такой промежуток есть (а, Ь). Рассмо­

трим другой интервал {о, _.!._),где п - натуральп

Действительные числа

ное число. Взяв достаточно большое п, можно
сделать этот интервал меньше, чем (а, Ь). Тогда

хотя бы одна из точек вида

т

-

внутри (а, Ь).
Более

будет находиться

п

того,

отсюда

вытекает

еще

одно

утверждение: в любом интервале координат­
ной оси содержится бесконечно много раци­

ональных точек. Действительно, если бы в ка­

ком-нибудь интервале было конечное число
рациональных точек, то интервал между двумя

такими соседними точками не содержал бы ра­
циональных точек. А это противоречит дока­

23

Труднее было грекам. Пифагорейцы в

V

до н.э. обожали целые числа и их отношения
именно

в

них

греческие ученые

видели

в.

-

меру

всего. Но некоторые отношения, например от­
ношение гипотенузы равнобедренного прямо­

угольного треугольника к катету (

J2 ), как ока­

залось, непредставимы в виде отношения целых

чисел типа

т

Это огорчало пифагорейцев.

- .
п

Отношения, представимые в виде отношений

целых чисел, пифагорейцы назвали соизмери­
мыми,

а

отношения,

не представимые в виде

отношений целых чисел, получили название

занному выше.

Несмотря на то что множество всех рацио­
нальных чисел плотно расположено на число­

несоизмеримых. Соответствующие им числа
и называют иррациональными. Так, иррацио­

J2

вой оси, они не покрывают всю ее. Это означает,

нальное число

может служить примером

что на ней есть точки, соответствующие числам,

несоизмеримого отношения.

которые не могут быть представлены в виде отношения

т

- .

Их нельзя увидеть или отличить

СМЕРТЬ ЗА ИСТИНУ

п

от точек рациональных. Такие числа и называ-

Открытие несоизмеримых соотношений

ются иррациональными.

легенда приписывает Гиппасу из Мета­

понта (V в. до н.э.). По преданию, в тот мо­
1

мент, когда Гиппас пришел к этому выво­

1

-3

-2

R

1 11 2

о

-1

ду, пифагорейцы находились в открытом

J2
Числовая прямая с нанесенными на нее
у

е

п

некоторыми иррациональными числами.

море. Они выбросили Гиппаса за борт,
обвинив его в том, что он привнес в миро­

здание элемент, противоречивший пифа­
горейскому учению о сводимости всех яв­

лений природы к целым числам или к их

Старая история

с

отношениям.

проблемой чисел, не выражающихся в ви­
де

отношения

кивались

еще

целых
в

чисел,

люди

незапамятные

стал­

времена.

В Древнем Египте и Вавилоне уже были хорошо
знакомы с целыми числами, дробями и с ирра-

циональными числами типа

J2 или ,J3.Для прак­

тических целей иррациональные числа аппрок­

симировали (выражали приблизительно) раци­
ональными.

ЗАДАНИЕ4

Как засеять

ирраqионаnьных

11исеn
ч

исло

J2- одно из бесчисленного множе­

ства

иррациональных

го вида. Числа ,J3,

чисел

специально-

J6 = J2 ·,J3, J2 + ,J3

также относятся к иррациональным. Этот ряд

Существует 11И такое натуральное числ.о

наводит на мысль,

п > 1, что значение выражения ~п~n,J;

двух

явл.яется натурал.ьным числ.ом?

none

что произведение

иррациональных

чисел

также

и сумма
являются

числами иррациональными. И действительно,

этот факт имеет место.
Теорема. Пусть q ональное число и

произвольное ирраци­

r -:/- О - любое рациональное

число. Тогда сложение, вычитание, умножение

Действительные числа

24

и деление, примененные к числам

q и r,

приво­

дят к иррациональным числам. Кроме того, ир-

чисел указанного вида. Скажем, 4 + .J2 и !...-.J2.

1
q

рациональными будут числа-q И-.
Поясним. Эта теорема утверждает, что числа вида

r
q
q + r, q - r, rq, - , - ,

q

Для примера в качестве такой основы возь­

мем J2 и сконструируем с его помощью пару

а также

-q

r

и

1
q

-

(4+ .J2{

l- .J2)
+

являются иррациональными. Отсюда следует,
что,

задав

некоторое

иррациональное

3

Теперь умножим одно на другое:

= ~ - 4.J2 +

l.J2 -

~

2 = ( - 2) +

(!- 4).J2 = _3_ _!_2 .J2.
3

число,

3

3

с помощью этой теоремы можно строить раз­

Согласно вышеприведенной теореме, полу­

личные бесконечные множества новых ирраци­

ченное число иррациональное. Также без труда

ональных чисел (различные потому, что беско­

можно

нечно множество рациональных чисел).

проверить,

с числами вида
рациональные

что

и

остальные

k т г,:;
-+--v2
l
п
'

числа,

где

приводят

к

k, l,

операции

т и п

-

иррациональ­

ным числам такого же вида. Вообще, совокупность
чисел типа

k т
-+-q,
/

п

где

q-

произвольное ир­

рациональное число, называется числовым по­

лем, или системой счисления.

Полезность таких вещей оказывается важной
при рассмотрении алгебраических уравнений.
Число п

=3,14159... -

самое известное

из иррациональных чисел.

Отрицате.льнь~е

...-7, -6, -5, -4, -3, -2, - 1

Действительные (вещественные) числа.

Дро6и всRкие нужнь1
п

оделим единичный отрезок числовой оси
сначала на

10,

затем на

100, 1000 и т.д.

рав­

ных частей. Получающиеся при этом точ­

Так, числу
ная

в

0,13

первом

соответствует точка, расположен­
единичном

интервале,

во

втором

«подынтервале» длины 10- и являющаяся началь­
1

ки деления соответствуют десятичным дробям,

ной точкой третьего «подынтервала» длины

столь

(напомним, что lO-k= 110k).

хорошо

известным

всякому

школьнику.

10-2

Действительные числа

Микрометр

-

прибор для измерения размеров

Любая десятичная дробь, содержащая п зна­

d = с+ а 1 • 10-1 + а 2 • 10-2 +аз · 10-з + ".

+а"

· 10-п, (2)

целое число, а коэффициенты ak -

цифры О,

1, 2, "., 9,

это

обозначающие число деся­

тых, сотых и т.д. Число

показывает резу11Ьтат в виде десятичной дроби.

дробь с конечным числом п десятичных знаков,
как бы ни было велико п . Действительно, если

ков после запятой, имеет вид:

где с -

-

10" = ЗЬ .

следовало бы
тель числа

10

ся в десятичной системе в сокращенном виде

поскольку

3

d = с, а 1 а 2 аз ... а" .
Из

(2)

Например,

ь

в какой-то степени, что неверно,

не входит в разложение никакой

степени десятки. На этом примере мы видим,

следует, что десятичные дроби пред­

ставимы в виде обыкновенных дробей типа

То

1

- = --, то из него
3 1о п
есть число 3 есть дели­

бы выполнялось равенство

обычно записывает­

d

25

а

- .
ь

1
3
7
2137
2,137 = 2 + - + - + - - = - - .
10 100 1000 1000

что есть числа, которые не могут быть записаны

в виде конечной (то есть ограниченной) деся-

~

тичнои дроби.

1
3

-

лишь одно из них. Таковы-

1 5

4

ми будут, например,-,-, -и другие .

6 11 17

ЗАДАНИЕS

Вообще, любая несократимая дробь, у ко­

зачеркнули

торой знаменатель не является делителем ка­

2013-ю цифру после запятой (другие циф­

лена в виде десятичной дроби рассмотренного

В десятичной записи числа

_!_
7

ры не меНЯllи). Как измеНИllось число:
увеличилось или уменьшилось?

кой-либо степени
выше типа

(2).

10,

не может быть представ­

Вместе с тем она как отношение

двух целых чисел является числом

рациональ­

ным. Также являются рациональными числами

1 3 1
-, - :
2 5 80

конечные десятичные дроби -,

Однако есть дроби, которые не подходят к та­
кому определению десятичных дробей. Например,

1

3

не может быть написана как десятичная

1

-=0,5,
2

3

- =0,6,
5

1

- = 0,0125.
80

(3)

26

Действительные числа

Законным будет вопрос: ка­
кие рациональные дроби име­
ют конечные десятичные пред-

ставления?

Возьмем

тимую дробь

т

несокра-

и разложим ее

-

п

знаменатель п на простые мно-

жители. Если среди них имеют­

ся только числа

2и5
т

-

количестве), то

(в любом

имеет конеч-

п

ное десятичное представление.

Иначе говоря, если п делится

на какое-нибудь простое число,
отличное от

2 и 5, то несократи­

мая дробь не имеет конечного
представления.

Посмотрим
ния

(3)

вывод:

и

(4).

на

соотноше­

Можно сделать

всякое

рациональное

число может быть представле­
но в виде десятичной дроби

-

конечной или бесконечной пе­

10% -

Процент

ственно,

сотая часть какого-либо количества. Соответ­

одна десятая часть общего количества,

одна пятая и т.д.

А вот дроби типа

1

- =

3

20% ЗАДАНИЕ&

1 1 5 2
- , ,
3 6 1i'

представлении бесконечны:

риодической.

и им подобные в десятичном

7

Представьте С11едующие ра­
циональНЬ1е

чиС11а

в

виде

десЯТИЧНЬIХ дробей:

5
0,3333"" -

11

=

1
7

а)-; б)

0,454545""

2

1
14

1
17

- ; в)_; г) _ .

7

(4)

2

- = 0,285714285".
7

Превратим
иррационаnьное

чисnо

в дес•ти11ную дро6ь!

у

же попадавшийся нам корень квадрат­

ный из двойки

J2. , как и другие подоб­

ные выражения, не является рациональ­

с какой рациональной точкой, но может быть
представлена в виде бесконечной десятичной

дроби вида
с, а 1 а 2 а 3 ". ak".
После введения таких дробей вся числовая

ось оказывается заполненной всеми действи­

тельными числами. Точнее выражаясь, теперь
установлено

соответствие

между

всеми

точ­

ками числовой оси и всеми (конечными или

бесконечными) десятичными дробями. Тогда

ным числом. А потому не может быть выра­

определим любое число

жен десятичной дробью. Вновь обращаясь к

бесконечную десятичную дробь. Десятичное

как конечную

или

числовой оси, заметим, что точка М на ней, со­

разложение всякого рационального числа об­

ответствующая такому числу, не совпадает ни

ладает свойством периодичности: после неко­
торого числа десятичных знаков одна и та же

Действительные числа

группа десятичных знаков на­

чинает повторяться бесконеч­

3АДАНИЕ7

ное число раз. Те бесконечные

Докажите, что в llЮбой бесконечной десятичной дроби

десятичные

можно так переставить цифры, что полученная дробь

дроби,

которые

не относятся к рациональным

станет рациональным числом.

числам,

Подсказка: рассмотрите отдельно те цифры, которые

называются

ональными

ирраци­

числами.

Такие

дроби являются бесконечны­

27

встречаются конечное число раз, и те, которые встреча­

ются бесконечно много раз.

ми непериодическими.

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
3адание1

3адание5

~ 1
~ 2.

Разделив числитель на знаменатель, полу-

1
0,(142857).
7

чим, что-=

GJ·· 3 .
/~
lгп
.1

Значит, период получив-

шейся дроби содержит

2013

при делении на

6 цифр. Так как число
6 дает остаток 3, то 2013-я

4

цифра после запятой в десятичной записи чис-

5• .

ла - -

1
7

это третья цифра периода, то есть циф-

ра

2. После ее зачеркивания на этом месте будет
стоять цифра 8. Следовательно, число увеличи­
лось.

3адание2

1- 29 = 44 = 440 > 440=1- 291.
73 73 730 731
731
291 29
Значит,->-.
731 73

3адание6
г)

Огвет: 291

а) 0,(142857); б) 0,(285714); в) 0,(714285);
0,(0588235294117647).
3адание7

731

Дробь выражает рациональное число только
в том случае, когда она периодическая, начиная

Задание 3

1 1 1
2 3 6
а) примеры: 2'3'6;б)примеры: 11' 11' 11·
3адание4

с некоторого знака. Цифры от О до

=[.f =n~.
Возьмем для примера п

разделим

торые встречаются в исходной дроби конечное
число раз, во второй

~пМп =~пW =W =С=

9

на два класса: в первый включим те цифры, ко­

-

те, которые встречаются

в исходной дроби бесконечное число раз. Теперь
начнем выписывать периодическую дробь, кото­

рая может быть получена перестановкой цифр.
Вначале после нуля и запятой напишем в про­

извольном порядке все цифры из первого клас­
са

-

каждую столько раз, сколько она встречает­

= 2 = 256. Тогда в са­

ся в записи исходной дроби. Записанные цифры

мом деле ~п~ пFп будет натуральным числом.

дроби. Далее запишем в некотором порядке по

8

первого класса будут являться предпериодом

одному разу цифры из второго класса. Эrу ком­

При п

= 28 значение данного выражения рав­
но 27=128.

бинацию определим как период и будем повто­
рять ее бесконечное число раз. И таким образом
мы выпишем искомую периодическую дробь.

28

Комплексные числа

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Трудности

к

растут

ак уже отмечалось, в Средние века ма­

имело решение при любых целых Ь и а #-О приве­
ло к необходимости введения дробных чисел .

Далее, число

.J2 стало первым обнаружен­

тематики с т рудом п р инимали отрица­

ным образцом иррационального числа. Оно яв­

тельные и и р рациональные числа. Им

ляется одним из решений уравнения х 2 =

стало еще хуже, когда ученые совершили новое

2,

не

имеющего решений в области рациональных

-.J2). Чтобы иметь

открытие, значение которого осознали далеко

чисел (второе решение есть

не сразу,

возможность решать подобные уравнения, при­

-

возникли,
операцию

комплексные числа. Новые числа
когда

математики

извлечения

распространили

квадратного

корня

на

любые числа, которые только могут встретить­
ся,

например,

при

решении квадратных урав­

шлось расширить понятие чисел, ввести новый
их вид

-

иррациональные

-

и присоединить

на

границе наших

к числам рациональным .

Новое

следует искать

представлений . Так, считается, что квадрат лю­

нений .

Вспомним, как появились некоторые типы

бого числа есть число положительное: х 2

> О.

Но

чисел. Дробные числа возникли из потребности

не будем забывать, что в этом утверждении под­

решения уравнений вида ах= Ь, которое выглядит

разумевается, что х

ь

как х = - . Тогда требование, чтобы это уравнение
а

-

действительное число.

А можно ли утверждать, что такими числами
исчерпывается все царство чисел?

Комплексные числа

29

Хотя мы пока не знаем, что это за объекты,
давайте

присоединим

их

к

действительным

числам. Получим новое множество чисел, или,
как

говорят

математики,

числовое

поле,

или

систему счисления (можно употреблять любой
термин) . Его элементы (или числа) можно запи­

сать в общем виде :

r+sH,
где

rиs-

действительные числа. Числа такого

вида называются комплексными.

Законы

дnя

комnnексных

чисеn
Т

еперь следует определить правила, или
операции,

с

помощью

которых

мож­

но обращаться с комплексными числа­
ми. Но сначала стоит сказать, что для выраже­

ния Н обычно используют символ i, введен­
ный великим Леонардом Эйлером в 1777 г.:

i=H.

Тогда

выражение

общего

плексного числа станет таким:

r + is .

Представим себе, что существуют некие ма­
тематические объекты, квадраты которых явля­
ются отрицательными действительными числа­

ми. Для простоты рассмотрим случай

х 2 =-1.

(1)

С точки зрения алгебры это уравнение, не
имеющее решений среди действительных чи­

сел. Тем не менее будем считать, что решения­

ми (1) будут выражения Н и -Н, поскольку

(Г-Т) =-1,(-н)

=-1.

/ .z.:-1

вида

для

ком­

30

Комплексные числа

Например:

и т.п. Часть

5i, 3 + 4i, 12 - 2i, 15i

r называется действительной (иногда ее обозна­
чают как Re), а s - мнимой частью (Im) ком­
плексного числа.

Теперь хотелось бы научиться складывать

и умножать наши новые числа так, чтобы они
подчинялись

коммутативному,

ассоциативно­

помощью

можно

делить

комплексные

числа

друг на друга:

(1 + 5i)(З + 4i)
(3-4i)(3+4i)

1+ 5i
3-4i

-1 7 + 19i
25

17
25

. 19
25

----=--+1-.

То есть, чтобы поделить одно комплексное
число

на

другое,

нужно

умножить

делитель

му и дистрибутивному законам. Это становится

и делимое на

возможным при условии, что в этих операциях

телю число и затем провести алгебраические

i ведет себя как обычное действительное

символ
число,

за

исключением

себя . При этом

i

2

умножения

на

следует заменять на

самого

комплексно

преобразования, чтобы получить частное стан­
дартного вида

r + is.

-1.
ЗАДАНИЕ

ВЕЛИКИЕ ТОЖЕ ОШИБАЮТСЯ

z + z"' = 2Rez; б) z - z"' = 2t1mz;
zz"' 1z12.
Здесь Rez , Imz - соответственно веще­

а)

бление Рене Декарт. Несмотря на это,

в)

отвергал

нений.

В

комплексные

книге

утверждал: «Ни

корни

«Геометрия»

1

Докажите равенства:

Термин «мнимое число» ввел в употре­

011

сопряженное дели­

урав­

Декарт

=

ственная и мнимая части

истинные, ни ложные

чис11а

коМП11.ексноrо

z.

[отрицательные] корни не бывают всег­
да

вещественными,

вятсн

мнимыми » .

отрицательные

корни

заслуживающими
зовав

данное

иногда

Ученый

они

можно

внимания,

уравнение

стано­

считал,

в

что

Как сдеnать

сделать

преобра­
уравнение

комnnексные

с положительными корнями. Теперь из­

11исnа

наrnRднее

вестно, что комплексные корни превра­
тить в вещественные невозможно.

и
Тогда сложение и умножение комплексных

чисел осуществляется согласно формулам

ам проще понять что-либо, если придать
этому зрительный образ. Так и поступил
в

1673 г. английский математик Джон Вал­

лис, найдя простой способ представления ком­

(r + is) + (р + iq) = (r + р) + i(s + q),
(r + is)(p + iq) = (rp - sq) + i(rq + sp).
Если считать r = р, s = q, то
(r + is)(r - is) = r2 + s 2 •

плексных чисел. Он состоит в том, чтобы исполь­

Комплексные числа, отличающиеся друг от

бесконечности в обоих направлениях от нулевой

i,

отметки. Каждое действительное число имеет

зовать точки на плоскости. Мы уже встречались
с вещественной числовой (или координатной)
прямой

друга только знаком перед мнимой единицей

называются комплексно сопряженными по от­

ношению друг к другу. Это обозначается с по­
мощью черточки над буквой или звездочки:

Из

последних двух формул

прямой линией, простирающейся до

собственное место на числовой прямой.
Но где же отыскать уютное « гнездышко»

для~ ? Места на прежней числовой прямой
для него нет. Это число ни положительно, ни

r +is = (r+is)* = r-is.
для любого комплексного числа

-

отрицательно, поэтому ему не место ни справа,

следует,

z

что

ни слева от точки О. Валлис ввел вторую число­

величина

вую прямую, чтобы разместить на ней мнимые
(т.е. кратные

z·z*=zz*
есть число действительное положительное, рав­

ное сумме квадратов действительной и мнимой

частей этого числа. Положительное число
называется модулем комплексного числа

bl

z. С его

i) числа,

и расположил ее под пря­

мым углом к вещественной числовой прямой.
Две числовые прямые, вещественная и мни­

мая, должны пересекаться в точке О. Если чис­
ла вообще имеют смысл, то, по смыслу нуля,
если его умножить на любое число, даже на

i,

Комплексные числа

то должен получиться О. Поэтому начало отсче­

31

Таким образом, геометрическая интерпре­

та на вещественной и мнимой прямых должно

тация

быть одно и то же.

комплексному числу z = х + iy ставится в соответ­

комплексных

чисел

состоит

в

том,

что

ствие точка на плоскости с координатами (х, у).
х-координата

представляет

действительную

часть комплексного числа, у-координата

-

его

мнимую часть. Таким способом устанавлива­
ется взаимно-однозначное соответствие между

комплексными числами и точками плоскости,

которую по аналогии с числовой прямой мож­

но назвать числовой плоскостью.

Портрет Джона Валлиса.
Готфрид Кнеллер.

Комплексное

стей

-

число

состоит

из

1701 г.

двух

ча­

вещественной и мнимой. Чтобы указать

положение заданного числа на плоскости, Вал­
лис предложил отмерить действительную часть

вдоль горизонтальной (вещественной) прямой,
а

затем

проложить

тикального

мнимую часть вдоль

направления,

то

есть

вер­

параллельно

мнимой прямой.

Зi

Представление
комплексных
чисел в виде

3 + 2i

2i

•

точек на
плоскости.

о

-3

-2

1

-1

-i
-2i

-Зi

2

3

32

Комплексные числа

Im

Математики решили, что комплексные чис­
ла можно использовать не только для представ­

ления векторов на плоскости, но и для выполне­

z = х + iy

ния операций сложения, вычитания и умноже­

у

ния векторов.

zy

а+

ь

Re

о

ib

х

а

Рис.

х

1. Представление комплексного
числа вектором.

-у

z= x-iy

Например, сложение двух векторов ОА и ОВ

(рис.
Комплексные числа

z и сопряженное ему z,

отличающиеся знаком мнимой части.

2)

можно выполнить алгебраически, пред­

ставив вектор ОА комплексным числом 3 + 2i, а век­

тор ОВ

- комплексным числом 2 + 4i. Сумма этих

комплексных чисел (комплексное число

5 + бi)

со­

ответствует результирующему вектору ОС.

Они еще и векторь1!

д ва

с 5 + бi

iy

с лишним столетия комплексные

числа для математиков представлялись

мистическими.

Даже

после

открытия

Валлиса . Но оно помогло родиться следующе­
му открытию. Примерно в

1800

г. некоторые

математики поняли, что комплексным числам
можно

сопоставить

плоскости (рис.

1).

направленные

отрезки

на

Такие отрезки называются

векторами. По сути, вектор

-

это очередное

расширение понятия числа. И в дальнейшем
мы с вами будем двигаться в этом направлении,
переходя к все более экзотическим «существам»
математической вселенной.

Так вот, вектор

-

это набор двух (в нашем

случае) чисел, каждому из которых соответству­

о

х

Рис.

2. Сложение комплексных чисел по правилу
параллелограмма.

ет точка на одной из двух числовых осей, о кото­

рых речь шла выше. Аналогично и комплексное

Итог такого сложения соответствует геоме­

число является таким же набором двух чисел,

трическому способу сложения векторов, извест­

откуда

ному как правило параллелограмма и дающе­

и

следует

ним и вектором.

прямое

соответствие

между

му точно такой же результат.

33

Комплексные числа

3АДАНИЕ2

откуда получаем красивое выражение любого

Докажите, что для произвольных ком­

венство

комплексного числа через его модуль и арrумент:

w выполняется ра­
2
1z + w 1 + 1z - w 12 =2( 1z 12 + 1w1 2).

плексных чисел

z

z=a+ib=p(cos<p+i·sin<p).

и

Какой геометрический смысл оно имеет?

(2)

у

ПОСЛЕДНЕЕ СЛОВО ЗА КОРОЛЕМ!
Точку в сомнениях математиков по по­
воду

«реальности»

1831

поставил в

комплексных

(а; Ь)

чисел

ь

г. «король математики»

Гаусс. Он опубликовал несколько работ
по геометрическому представлению ком­

плексных чисел. В них Гаусс не только

+ hi точ­

предложил представлять число а

кой на комплексной плоскости (что гораз­
до раньше сделал Валлис), но и дал геоме­
трическое толкование сложения и умно­
жения комплексных чисел.

rде yrnь1, там

<p=Argz

триrонометрия

n

осмотрим вновь на рис.
дится

на

родное

этой

картинке.

Ну

Рис.

Что-то чу­

1.

каждому

а

х

3. Модуль и аргумент
комплексного числа.

школьнику

да,

это

пря­

треугольника и осью х . Он называется ар­

= 1, тогда
z = cos <р + i · sin <р.
(3)
Пусть <р = 0° , тогда z = 1 - действительная
единица на оси х; а если <р = 90°, то z = i - мни­

гументом

мая единица на оси у. Читатель может потре­

моугольный

дикулярен
буквой

<р =

оси

<р

Argz.

треугольник

угол

х).

(катет

Обозначим

между

Ь

перпен­

греческой

гипотенузой

комплексного

числа

z =

а

этого

+ ib:

Поскольку отрезок, соединяющий

начало координат с этой точкой, можно по­
вернуть на полный угол

ему (п

· 360°),

аргумент

360°

или кратный

не изменяя самого числа

комплексного

числа

z,

Положим р

нироваться на формуле
простейшие числа типа

(2), взяв в качестве z
1 + i, 1 - i и вычислив их

аргументы и модули.

то

определяется

неоднозначно, с точностью до угла, кратного

ЗАДli.ИИЕ

3

полному. Здесь мы снова встречаемся со срав­

Представьте в тригонометрической фор­

нением величин по модулю, в данном случае

ме числа:

углов по модулю

1 + i;
б) 2+{3 +i;
в) 1 + cos <р + i · sin с:р.
а)

360.

Обозначим модуль числа

буква «ро» ):

lzl = р.
Тогда из рис. 3 следует:
а= р

Ь

· cos <р;

= р · sin <р,

z

как р (греческая

Напомним, что тригонометрическая фор­
ма коМПllексного числа имеет вид

z =р (cos <р + i · sin с:р).

34

Комплексные числа

Жемчужина
комnnексноrо

ссморя11
и
числа

нтересно выяснить, каков будет резуль­

Найти выражение Д11Я натуральноrо .11оrа­
рифма произво.11Ьноrо коМП.11ексноrо чис­

.11а

z =х + iy.

ФОРМУЛА ЭЙЛЕРА

тат умножения двух комплексных чисел,

Леонард Эйлер в своей работе «Исследо­

записанных в виде

вания о мнимых корнях уравнений», опу­

(2) . Возьмем два таких
z = р( cos <р + i · sin <р) и q = r( cos а + i · sin а)
zq

=

бликованной в

1751

г., показал глубокую

внутреннюю связь между тригонометри­

и перемножим их:

ческими

pr {( cos <р · cos а - sin <р · sin а) +

+ i(cos <р · sin а+ sin <р · cos

функциями

и

показательной

функцией. Он исходил из формулы М у­

а)}.

Используем теоремы сложения из тригоно­

авра и исследовал ее предел при н ~ х: . Ре­

зультат, полученный Эйлером, выглядит

метрии:

cos <р · cos а - sin <р · sin а= cos(<p +а),
cos <р · sin а+ sin <р · cos а= sin(<p +а)

так:

где е

Тогда

zq = pr {cos (<р +а)+ i · sin (<р +а)} .

(4)

Правая часть полученного равенства пред­

ставляет собой комплексное число с модулем

pr

ЗАДАНИЕ4

cos <р + i · sin <р =е;''.
= 2,718 ... - основание натуральных

логарифмов.

число

Тогда

z = r (cos

вить в виде

z

tp +

всякое

i . siп tp)

комплексное

можно предста­

=pei <r.

и аргументом <р +а. Отсюда можем сделать

такой вывод: при умножении двух комплекс­
ных чисел их модули перемножаются, а аргу­
менты складываются.

q = z, тогда из (4)

Положим,

z =
2

р2 (

имеем

cos 2<р + i · sin 2<р ).

ЗАДАНИЕ

Записать комП.11ексное чис.110 ..fi - i..fi
в

триrонометрической

ной

Очевидно, что

zn= pn(cos n<p + i · sin n<p).
Допустим в этой формуле р =

формах.

где р

Эта

показате.llЬ­

форма

z =а + Ьi =реiч>,

zn = cos n<p + i . sin n<p,

/2

= -va

+ i · sin <ру = cos n<p + i · sin n<p.
(5)
формула - одна из жемчужин матема­

(cos

и

Показате.11ьная

имеет вид

1:

или

5

<р

+Ь

2

tl

ь

р

р

,cos cp = -, sincp=-.

тики! Она носит имя французского математика,

ее нашедшего,

-

формула Муавра.

Рацион.а.льн.ь1е

Аействите.льн.Ьlе чис.ла

Иррац ион.ал ьн. ые

7t
Числа в элементарной
математике.

Комплексные числа

35

РЕШЕНИЯ ЭАДАНМIЙ
Зцание

Пусrь
Тогда

1

3цание4

z = х + iy = Rez + ilmz.
z* = х - iy = Rez - ilmz.

ln(x + iy) = ln(pei'P) = ln
где п

Складывая, вычитая и перемножая эти два

-

ei'P = cos q> + i · sinq>
и

2.

этих

тригонометрических

В параллелограмме,

построенном на данных числах, сумма квадра­

тов диагоналей равна удвоенной сумме квадра­

тов смежных сrорон. Одна из диагоналей есrь
сумма двух комплексных чисел,

вторая

-

их

разносrь. А модули этих чисел есrь квадраты

смежных сrорон. Именно этот факт и выражает

lz + w12 +

периодичносrи

функций с периодом 2п.

2

Посмотрим на рис.

равенсrво

+ i(q> + 2nn),

возникает в силу соотношения

выражения, получим искомые выражения.

Зцание

р

произвольное целое число. Член 2пп

lz-wl 2

= 2(1zl2 +

3цание5

У числа ~ - i~ имеем: а =-fi., Ь = --fi..

.

Отсюда.

~
-fi. .
-fi.
p=v2+2 =2 cosln=- sinln=--.
'
'f'
2'
'f'
2

Следовательно:

7тt

q> = -

lwl 2).

4

.

Тригонометрическая форма:
Зцание

3

а) ~(cos ~ + i sin : }
б) 2~2 + JЗ(cos~
+ i sin ~).
12
12

z=

2(

cos

7тt

..

7тt) .

4 +zsш 4

Показательная форма: z

.7Jt

= 2е'4.

36

Всё начинается с точки

ВСЁ НАЧИНАЕТСЯ С ТОЧКИ

Расширение Вселенной от рождения до наших дней.

13 млрд 700 млн лет назад Вселенная имела невообразимо малый размер: она была во столько же
раз меньше протона, во сколько протон меньше Луны. По какой-то причине произошел взрыв,
названный Большим взрывом, вследствие которого все содержимое «ТОЧКИ» приобрело скорость
и

Отеq rеометрии

8

332

г. до н . э. Александр Македонский без

единой битвы

стало разлетаться в стороны.

древних греков. Предшественники Евклида

Фалес, Платон, Пифагор, Аристотель и другие

-

много сделали для развития геометрии . Но все

покорил Египет. Чтобы

это были отдельные фрагменты, а не единая ло­

закрепить свою власть над этой страной,

гическая схема. Целью Евклида было построить

Александр провозгласил себя фараоном. Заод­

систему так, чтобы в ней не оставалось места для

но он

назвав его

неоправданных допущений, основанных на уга­

собственным именем. Именно в Александрии

дывании, интуиции или приблизительности. То

родился один из наиболее знаменитых матема­

есть он заимствовал результаты у предшествен­

тиков в истории

ников, дополнил своими достижениями и оста­

решил построить там

-

город,

Евклид.

О жизни Евклида сохранилось мало сведе­
ний, куда больше мы знаем о его трудах. На про­

вил все это богатство последователям.
Главная работа Евклида «Начала» в основ­

тяжении многих столетий слова « математика» и

ном содержит изложение геометрии.

«Евклид» воспринимались европейцами прак­

того, в ней рассмотрен ряд вопросов теории

тически как синонимы. Не следует думать, что

чисел и некоторые разделы алгебры, которые,

Евклид сам открыл все математические истины,

правда,

которые встречаются на страницах его книг. На

ций .

самом деле он собрал воедино и упорядочил

до ХХ в ., было продано больше его экземпля­

значительную

ров, чем Библии .

часть

математических

знаний

все

изложены

Кроме

с геометрических пози­

За время существования труда,

вплоть

Всё начинается с точки

Книга

1 «Начала»

угольниках,

посвящена учению о тре­

параллелограммах

никах. В книге

37

и

многоуголь­

111 рассматриваются окружности
IV речь идет о много­

и их свойства. В книге

угольниках, вписанных в окружность или опи­

санных около нее. Книга

VI

содержит учение

о подобии треугольников и многоугольников.

Книги

XI- ХХ

отведены стереометрии . Во всех

этих книгах содержатся доказательства

465

те­

орем, исчерпывающих практически все геоме­

трическое знание того времени.

Евклид дал определения точке, линии (пря­
мой или искривленной), окружности, прямому
углу, плоскости и поверхности. Некоторые по­
нятия он определил довольно точно. «Парал­
лельные

прямые,

-

писал

он,

-

это

прямые

линии, которые, находясь на одной плоскости,

продолженные до бесконечности в обоих на­
правлениях, ни в одном из этих направлений не
пересекаются » .

Окружность по Евклиду есть «плоская фи­
гура, обозначенная одной линией (кривой)
так, что все прямые линии, пересекающие ее
и еще одну из точек внутри нее, называем ую

центром, равны друг другу» . О прямом угле
сказано так: « Когда прямая линия пересекает

другую прямую линию, а образующиеся со­
Евклид. Фрагмент картины художника
Юстуса ван Гента.

XV в.

углов прямой».

Портрет Луки Пачоли
с учеником.

Художник Якопо
де Барбари.
Лука Пачоли

-

XV в.

известный

итальянский математик.

На столе перед ним
лежит доска, на торце

которой нанесена

надпись

седние углы равны друг другу, любой из этих

«EVCLIDES» -

Евклид. На доске мелом
нарисован равнобедренный
треугольник с медианой,
вписанный в окружность,

демонстрирующий одну из

теорем Евклида. На столе также
лежат кусок мела, циркуль,

угломер, чернильница, черный

пенал или губка, шкатулка
для книги, на которой лежит

модель додекаэдра. С потолка
свисает стеклянная модель

ромбокубоктаэдра.

Всё начинается с точки

38

Оказывается, что это предположение логиче­

ГЕОМЕТРИЯ И БИЗНЕС

ски

Один из учеников Евклида спросил его,

эквивалентно

существованию

в точности

одной линии, параллельной заданной л инии

какова будет его выгода от изучения гео­

и проходящей через заданную точку вне этой

:\tетрии. Евклид позвал раба со словами:

линии.

« Дай ::по:\1у человеку три обода, раз 011
хочет извлекать прибыль из учебы».

(Обол

-

серебряная

Ее.ли эти уг.лы в сумме меньше

древнегреческая

180°,

монета.)

то эт и .линии должны

пересечься,

о"емеще

ко.ль скоро продолжены достаточно

nоведаn Евкnид

да.лека
Пятый постулат Евклида.

Е

вклид осуществил два великих нововведе­
ния. Первое

-

это идея доказательства.

Евклид не считал любое математическое
угверждение истинным, пока оно не установле­
но с помощью последовательности логических
шагов, позволяющих вывести данное угвержде­
ние из того, что уже известно.

Второе нововведение

это осознание того

-

факта, что процесс доказательства должен на­
чинаться с исходных угверждений, которые до­

казать нельзя. Евклид формулирует пять таких
фундаментальных предположений-постулатов,
на которых основываются все его дальнейшие

построения . Четыре из них просты и очевидны:

Сnедствив
из евкnидовь1х

аксиом
и

а основе логических построений, опира­
ясь на свои аксиомы, Евклид получил ряд
важных результатов :

•

две точки можно соединить прямой линией;

квадрат гипотенузы прямоугольного тре­

любой конечный отрезок прямой можно про­

угольника равен

должить; можно провести окружность с любым

его сторон (это угверждение мы знаем как тео­

центром и любым радиусом; все прямые углы

рему Пифагора);

равны между собой.

•

Но вот пятый постулат совсем другого

рода. Он длинный и сложный, а утвержда­
емое в нем вовсе не столь очевидно. Его ос­
новное

следствие

состоит

параллельных прямых

-

в

существовании

таких,

которые ни­

когда не пересекаются, но продолжаются без
ограничения в одном и том же направлении,

при этом всегда находясь на одном и том же

на

любой

две

сумме квадратов двух других

угол

равные

можно

части,

точно

используя

раздел ить

только

цир­

куль и линейку;

•

можно построить правильные м ногоуголь­

ники с

3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12 сторонами,

используя

только циркуль и линейку;

•

имеется ровно пять правильных тел : те­

траэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр .
Здесь эти теоремы, как называются любые

расстоянии друг от друга. Как два рельса же­

обладающие доказательством математические

лезной дороги .

утверждения, изложены на современном язы­

В действительности Евклид определяет тре­

ке. Но язык Евклида сильно отличался: он не

бование, чтобы при пересечении двух линий

работал непосредственно с числами. Все, что

третьей первые две пересекались с той сторо­

мы интерпретируем как свойства чисел, фор­

ны, где два образованных угла дают в сумме ве­

мулируется у него в терм инах длин, пл ощадей

личину, меньшую суммы двух прямых углов.

и объемов.

39

Всё начинается с точки

Теорема Пифаrора
на

о

гласит,

что

моугольном
нике

самая

длинная сторона в пря­

находится

в

треуголь­
определен­

ной связи с двумя другими. Эгу
свя з ь

люди

подметили

очень

давно. Есть данные, говорящие
о том, что равенство

32 + 42 = 52

было известно древним егип­
тянам уже около

2300

г. до н.э.,

во времена правления фараона

Аменемхета

1.

Примерно в те

же времена или немного позже
это знание появилось и у вави­
лонян.

Гарпедонапты, или натягиватели веревок. Древние египтяне
строили прямые углы при помощи веревочных прямоугольных

треугольников со сторонами

ЗАДАНИЕ

3, 4 и 5.

1

Yro.t'l треугоАьника равен сумме двух других его уrАов. До­
кажите, что треуго.t'IЬник прямоугоllЬНЬIЙ.

Подсказка: воспоАьзуйтесь теоремой о сумме уrАов тре­
угоАьника.

ПИФАrОРОВЫТРОЙКИ

PIT \GОБА.

С теоремой Пифагора связана арифметическая задача.
Имеются такие тройки натуральных ( т .е. целых положи­

тельных) чисел х, у,

Бюст Пифагора в Риме.

z,

что

xz + у2 = z2.
Так что самая знаменитая
теорема геометрии была

крыта

не

возможно,

первое

Пифагором.
именно

он

убедительное

от­

Зато,
дал

ее

доказа­

(1)

Их называют пифагоровыми тройками. Например, годят­
ся числа х

=3, у =4, z =5: 9 + 16 =25. Это пример. А можно ли

указать все пифагоровы тройки (х, у,

z)?

Иными словами,

можно ли найти все решения уравнения х 2

+

у2

туральных числах? (В данном случае решение

= z2 в
-

на­

это не

тельство. А быть может, это

одно число, а три.) Да. Ответ таков: каждое такое решение

сделал Евклид в своих « Нача­

можно представить в виде

лах» . Точных сведений на этот

х

= 1(111 2 -

n 2 ), у

= 2lmn, z = [(111 2 + n2),

(2)

счет нет. Зато известно, что по

где/, 111, 11 -

случаю

гичном виде, в котором х и у меняются местами. Можно

доказательства

(если

оно было) Пифагор велел при­

натуральные числа, причем т

чуть короче сказать, что х, у,

(2)

со всевозможными

11 суть все возможные решения

(1)

с точностью до перестановки х и у. Например, тройка

(3,

следующим пиршеством, раз­

4, 5)

в

жертву

посетившим

умеется. Теорема того стоит.

l

и 111

из

его музам сотню быков. С по­

нести

натуральными

z

> 11, или в анало­

получается при

>

1=1, 111 =2, 11 =1.

Всё начинается с точки

40

2

А

ЗАДАНИЕ

2

Найдите диагональ прямоуrо11ьника со
сторонами

ЗАД•.НИЕ

5 и 12.

:Za

Какую часть прямоуrо11ьника занимает
этот треугольник?

О чем речь? Теорема утверждает, что если
построить

ного

квадраты

треугольника,

на

то

сторонах

сумма

прямоуголь­

площадей

двух

меньших квадратов будет равна площади боль­
шего из них. Известное древним соотношение

32 + 42 = 52

-

частный случай при а

= 3, Ь = 4, с= 5.

Существует немало доказательств этой тео­
ремы, более поздних, чем те, что нашли древ­
ние. Самое простое и изящное принадлежит
Альберту Эйнштейну, которое он нашел еще
в детстве. Вот оно представлено на рисунке.

Доказатеnьство
теоремы Пифаrора

Зйнwтейном.
Самое nростое
и красивое
Т

еорема Пифагора сообщает определенную
информацию о геометрическом объекте,
но дает ее через числовые отношения. Вы­

ходит, числами можно описывать форму и разме­
ры геометрических фигур, а значит, и предметов

физического мира . Эго имеет огромное значение
как для математики, так и для физики.

Доказательство Эйнштейном теоремы
Пифагора.

Всё начинается с точки

Исходный треугольник подобен двум, на ко­
торые он разбит высотой

h (у них всех равны три

можно получить основное тригонометрическое
тождество :

sin2 А + cos2 А = 1.

угла). Их площади пропорциональны квадра­
там соответствующих сторон, то есть

а 2,

Ь 2,

с2 .

(3)

Но

поскольку два меньших треугольника составля­

ют треугольник большой, то соответствующие
площади суммируются, и в итоге получаем

а2

41

+ ь2 = с2.

ЗАДАНИЕ4
Докажите тождество

(3), используя теоре­

му Пифагора.

Что и требовалось доказать .

ЗАДАНИЕЗ
Углы треугольника относятся как

2: 3: 4.

Найдите отношение внешних углов треу­
гольника.

Пр11менен11•

0606щен11•

11

теоремы

Пифаrора

Рис.

2. Теоремы косинусов и

синусов.

Эта же славная теорема поможет получить

и

адо

сказать, что

прямоугольный тре­

угольник и теорема Пифагора

еще один важный результат тригонометрии

-

вещи

теорему косинусов. Она сообщает нам, что в про­

на редкость плодовитые. Из них « Вы­

извольном треугольнике квадрат любой стороны

-

росли » многие разделы математики и физи­

равен сумме квадратов двух других сторон за вы­

ки. В дальнейшем у нас будет много поводов

четом удвоенного произведения этих сторон на

убедиться в этом . А пока

косинус угла между ними. Например, для сторо­

-

несколько приме­

ны а треугольника справа на рис.

ров.

Смотрим на рис.
ник

позволяет

1.

Наш простой треуголь­

определить

основные

тригоно­

а 2 = Ь 2 + с2 - 2Ьс
Здесь ~

-

2 получается:
cos ~·
(4)

угол между сторонами Ь и с. Ана­

метрические функции: синус, косинус и тан­

логичные соотношения справедливы и для сто­

генс.

рон Ь и с.

Далее,

используя

теорему

Пифагора,

ЗАДАНИЕ

5

Докажите теорему косинусов

(4).

Подсказка: опустите высоту на сторону
с и используйте теорему Пифагора.

И последний шедевр школьной тригономе­

трии

-

теорема синусов. Она утверждает, что

в произвольном треугольнике стороны пропор­
циональны

Рис.

1. Связь теоремы Пифагора

с тригонометрическими функциями.

синусам

противолежащих

Для правого треугольника на рис.

имеет вид:

с

sin а

Ь
=-=-а-

sin у

sin Р ·

2 эта

углов.

теорема

(5)

42

Всё начинается с точки

Используя формулы
хитрые
почти

построения,

все

(3), (4)

можно

соотношения

и

(5),

а также не­

получить

все

тригонометрии,

рые изучаются в школе. Рис.

3

или

кото­

предлагает на­

на» представляет собой кривую, а не некоторое
число отрезков.

Многоугольники, как и люди, бывают хоро­
шо сложенными, а чаще не очень. Куда прият­

сладиться ее богатством, просто рассматривая

нее для

несметные россыпи формул.

правильными.

глаза

и

изучения

первые,

Многоугольник

называемые

является

пра­

вильным, если все его стороны имеют одну и ту
же длину, а каждая пара соседних сторон пере­

ЗАДАНИЕ&

секается под одним и тем же углом. На рисунке

Док~е, что ec.llИ стороны а, Ь и проти­

приведены правильные многоугольники с чис­

волежащие им уг1J.Ь1 а и

лом сторон

J3

треуго1lЪника

3, 4, 5, 6, 7 и 8.

связаны соотношением

а

Ь

--=--,
cos а cos р
то треугоlJ.ЪНИК равнобедреlПIЬIЙ.
Подсказка: примените теорему синусов.

Правильные многоугольники.

Иногда пишут: 3-угольник, 4-угольник, 5-уголь­

ник, 6-угольник, 7-угольник и 8-угольник. Вообще,
эту последовательность можно продолжать сколь

Рис.

3.

«Созвездие» тригонометрических

формул.

угодно долго: для каждого натурального числа, на­

чиная с

3,

существует правильный многоугольник

с соответствующим числом сторон (и равным ему
числом вершин). В пределе, когда число сторон

Мноrоуrоnьники

n

стремится к бесконечности, такой многоугольник
становится окружностью.

омимо треугольника на плоскости «Во­

дится» еще много разного рода фигур.

ЗАДАНИЕ7

Эго

Докажите, что выпуклый п-уго1lЪник яв­

главным

образом

многоугольники,

а также окружность. Многоугольник

-

это зам­

ляется правИ1lЪНЬIМ тогда и TOlJ.ЪKO тог да,

кнутая фигура, образованная отрезками прямых

когда он переходит в себя при повороте

линий. Треугольники, квадраты, прямоугольни­

на угол 360° вокруг некоторой точки.

ки, ромбы

-

это все многоугольники. Окруж­

ность к ним не относится, потому что ее «старо-

п

Всё начинается с точки

Правиnьнь1е
мноrоуrоnьники

в

nрироде

и архитектуре

n

43

Повсеместно можно встретить квадрат. Шах­

матно-шашечная доска в форме квадрата разде­
лена на

64

квадрата двух цветов.

Победа
близка ...

равильные многоугольники встречаются
повсюду. Их используют и люди, и при­
рода. Вот несколько примеров .

А вот самый известный правильный пяти­
угольник

-

здание Пентагона, Министерства

обороны США. В переводе с греческого «пента­
гон» и означает «пятиугольник » .

Здание Ми­
нистерства

обороны
США Пента­

гона в форме
правильного

пятиуголь­
ника.

Дорожные знаки в форме правильных
треугольников.

Структура графена

Два перевернутых по отношению друг к дру­
гу правильных треугольника образуют древний
священный символ иудеев

-

звезду Давида .

-

обычного графита, но
состоящего всего из
ОДНОГО СЛОЯ ТОlllЦИ­

НОЙ в атом. Шарики
на картинке

-

атомы

углерода. Каждый из
них химически связан

с тремя ближайшими
соседями, находясь в
центре правИllЬного

треугоllЬника. В резу llЬтате получается краси­

вый узор из правИllЬ­
ных шестиугоllЬников.

Звезда Давида.

ЗАДАНИЕ В
Докажите, что cepeAJUIЬI сторон правиль­

Давид

-

сударством

царь Израиля, правивший этим го­

3000 лет назад.

ного мноrоуrо11Ьника образуют правиль­
НЬIЙ мноrоуrольник.

44

Всё начинается с точки

Правиnьнь1е
мноrоуrоnьники

и симметрия

ЭАДАНИЕ10
Найдите периметр правильного треутоль­
ника, вписанного

в

окружность,

если из­

вестно, что хорда этой окружности, рав­

ная

2,

удалена от центра на расстояние,

равноеЗ.

к

онечно, есть множество красивых формул

Подсказка: зная радиус описанной окруж­

для

ности, найдите сторону равностороннего

вычисления

правильных

(и

разных

характеристик

неправильных)

много­

треугольника: а

=2R sin 60°.

угольников . Их легко можно найти в любом спра­
вочнике по математике. Однако куда интереснее
те свойства многоугольников, которые роднят их

с объектами иной математической природы. На­

ЗАДАНИЕ 10а

пример, с числами, многочленами или алгебраи­

Докажите, что треутольник с вершиной

ческими уравнениями. И даже с элементарными

на

частицами! Слово это магическое

стве

-

«симметрия » .

окружности и

ее

диаметром в

противоположной

стороНЬI

каче­

всегда

Возьмем сначала правильный треугольник.

прямоугольный, где бы ни находилась эта

Как вы, наверное, знаете, у такого треуголь­

вершина.

ника все три его замечательные линии

та, биссектриса и медиана

-

-

высо­

совпадают между

собой. Кроме того, они пересекаются в одной
точке, являющейся центрами вписанной и опи­
санной окружностей, а по совместительству

-

и физическим центром масс (центром тяжести)

этой фигуры (точка О на рис.

4).

'JАДАНИЕ9
Радиус окружности равен

13, хорда

равна

10. Найдите расстояние до нее от центра.
Подсказка:

диаметр,

перпендикулярный

хорде, делит ее пополам.

Рис.

4.

Правильный

треугольник.

в

----~-~

Очевидно, что такой треугольник

-

весьма

«правильная» фигура. В чем заключается эта
«правильность » ? Во-первых, его можно повер­
нуть вокруг любой из упомянутых линий (вы­
соты, медианы) на

180° или кратное ему число и

получить тот же самый треугольник. Такое вра­
щение выводит его за пределы плоскости, а мы

пока занимаемся только планиметрией, то есть

геометрией на плоскости . Поэтому поищем та­
кие манипуляции, которые оставляют плоские

фигуры на плоскости.
Посмотрите на рис.

4.

У правильного тре­

угольника есть одна точка, которая расположе­
на одинаково по отношению ко всем его верши­

нам,

-

точка О. Если повернуть фигуру вокруг

этой точки, например, на

120°

против часовой

стрелки в плоскости, то вершина А совпадет с

Всё начинается с точки

прежним положением вершины С, С

В

-

45

с В, а

с А. В результате получится тот же самый

-

треугольник в той же самой по зиции . Такого не

произойдет, если угол поворота будет прои з­
вольным, не кратным

120°.
- на 120°, 240° и 360° -

Итак, три поворота

переводят правильный треугольник в поло­

жение, не отличимое от первоначального. Та­

кие преобразования в математике называют
симметриями. Другими словами, симметри­

ей считается любое преобра зование, сохраня­
ющее объект .
Таких
три
у

преобра зований

в

нашем

случае

это повороты вокруг точки О. Значит,

-

правильного

треугольника

три

симметрии.

Чтобы лучше освоиться с этим важным поняти­

ем, возьмем еще одну фигуру и исследуем ее на
предмет симметрий .

ЗАДАНИЕ

150

11

На листе прозрачной бумаги нарисован

,

,
,,

60

30

,

'

'

'

1

угол, вершина которого недоступна (на­
ходится вне чертежа). Как без всяких ин­

90

120

,',- о ,

1

'
'

180

струментов построить биссектрису этого

1

'\
1
1

200

00 600

'

о

1

угла?

1
1

1
1

,,

Подсказка: биссектриса угла является его
осью симметрии.

210

330

------240

Квадрат
как

300
270

Рис.

5. Углы поворота, соответствующие
симметриям разных правильных

зеркаnо

-

многоугольников.

математи81ескои

rармонии

ЗАДАНИЕ

12

Определите, симметриям каких правиль­

в

от квадратный стол . Центр, вокруг кото­

ных многоугоllЬ:ников соответсrвуют углы

рого

на рис.

можно

вращать

столешницу-ква­

5.

драт, находится в точке пересечения его

диагоналей . При повороте вокруг этой точки
в плоскости столешницы на угол

ные ему углы (рис.

5)

90°

и крат­

стол сохраняет прежние

вид и ориентацию. Следовательно, у квадрата
четыре симметрии: повороты на
и

90, 180, 270

360°.

0°,

то есть отсутствию вращения.

Потому что стол при полном обороте перехо­
дит

точно

в

первоначальное

положение,

как

если бы и не поворачивался . Такое преобразо­
вание объекта, при котором его состояние не

Последний элемент этого набора
ние на

вращению на

360°,

или полный оборот,

-

-

враще­

равносилен

меняется,
трией.

называется

тождественной

симме­

46

Всё начинается с точки

Нетрудно увидеть, что можно прои зводить
два последовательных поворота, скажем, снача­

ла на

90°, а потом еще на 90° или 180°:
90° + 90° = 180°; 90° + 180° = 270°

дывать. Более того, в результате также получа­
ются симметрии из той же совокупности сим­

метрий квадрата, то есть повороты на
и

n

как ".nены rpynnы

и т.д. Это означает, что симметрии можно скла­

270

Симметрии

90, 180,

оглядим внимательнее на все эти ма­

нипуляции

с

квадратом.

Набор,

или

множество, его поворотов, в результате

которых

он

полностью

совмещается

с

самим

собой, имеет любопытные свойства . Хотя этих,

360°.

Возникает вопрос: а что если сумма двух

вращений будет больше

360°? Например, 180° и
270°. Поскольку 450 = 360 + 90, а поворот на 360°

как мы их назвали, симметрий всего четыре, они

связаны определенным образом друг с другом.
Прежде всего, любые две симметрии можно

равносилен отсутствию вращения, то вращение

суммировать. Результатом будет другая симме­

на

трия из того же набора. Далее, имеется особая

450°

эквивалентно вращению на

90°.

Поэто­

му, если в результате сложения (еще говорят

-

симметрия

-

тождественная, равная в данном

композиции) двух вращений сумма превосхо­

примере

дит

симметрии не меняет эту симметрию. И на­

360°,

из нее вычитаем эти ненужные

360°.

0°. Суммирование с ней любой другой

конец, для каждой симметрии имеется обрат­

Так, в нашем примере

180° + 270° = 90°.

ная

В главе « Мера всех вещей » такая процедура

-

такая, что сумма этих двух равна тожде­

ственной симметрии.

Совокупность всех вращений, удовлетворяю­

была на звана сложением по модулю.
Наконец, введем еще одну полезную опе­

щих этим трем правилам, в математике называ­

рацию. Повернув наш стол на какой-то угол а,

ется группой. Это понятие играет огромную роль

можно

вернуть его

в

первоначальное

положе­

в математике и физике. Подчеркнем его харак­

ние, совершив еще один поворот на угол

терные особенности, присущие всем группам не­

в том же направлении . Так,

зависимо от объекта (в нашем случае квадратного

360° - а
90° + 270° = 360° = 0°.

То есть мы получили тождественную симме­

трию. В этом случае вращение на

270°

называ­

стола), симметрии которого рассматриваются.
Во-первых, элементами групп являются пре­

ется обратной симметрией, или инверсией, для

образования

вращения на

объектом, которые сохраняют сам объект и его

90°.

И так для любой симметрии

всякой плоской фигуры.

-

операции, производимые над

свойства в неизменном виде. Во-вторых, « забыв»

этот объект (в нашем примере квадрат), данные
преобразования (симметрии, которых четыре в
случае квадрата) начинают вести самостоятель­

ное существование . И не какое-нибудь бестолко­
вое, а подчиняющееся вполне четким правилам:
сложение двух элементов группы дает элемент

той же группы; существует тождественный эле­
мент; для каждого элемента группы существует

обратный, опять принадлежащий этой группе.
Совокупность
групповыми

этих

условий,

аксиомами,

обычно

еще одним важным свойством

-

называемых
дополняют
ассоциатив­

ностью: суммирование трех поворотов

(симме­

трий) подряд можно проводить в любой их по­
парной комбинации, не меняя порядка:

(30° + 60°) + 145° = 30° + (60° + 145°) = 235°.
В дальнейшем мы еще вернемся к группам

и сделаем их привычными, как теорему Пифа­
гора.

Всё начинается с точки

47

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
сторонами

Задание

1

Пусть а,

13 и а+ 13 -

да а+ 13+(а+13) =

углы треугольника. Тог­

180°, откуда а+ 13 = 90°.

а

-

h, с -

х и а прямоугольный, причем

гипотенуза. По теореме Пифагора
а2 =

h2 + (с - х)2 = h2 + с2 -

2хс

+ х2•

Теперь обратимся к прямоугольному тре­

Задание

угольнику со сторонами

2

h, х и Ь. Угол между ги­

потенузой Ь и катетом х равен

13.

h=
Задание 2а

Ь

sin р, х =

Ь

13. Тогда

cos р.

Подставим эти выражения в вышеприведен­

Разрежем прямоугольник на две части по

ную формулу для а2, приведем подобные члены

пунктирной линии. Тогда увидим, что стороны

и используем тождество

треугольника рассекают каждую из частей точ­

зультате получим формулу, выражающую тео­

но пополам. Значит, вне треугольника такая же

рему косинусов:

а2 = Ь2

часть прямоугольника, что и внутри. Следова­

sin2

р

+ cos2

р =

1.

В ре­

+ с2 - 2Ьс cos р.

тельно, площадь треугольника в точности равна
половине площади прямоугольника.

Задание

[11:s;J

6

Разделим почленно данное равенство на ра­
венство, вытекающее из теоремы синусов:

Отсюда следует известная истина: площадь

а

Ь

cos а

sin р

Получим равенство

13

tg

'
а =

tg

Поскольку

основания на высоту.

Следовательно, данный треугольник равнобе­
дренный.

1
S=-bh
2

Задание

'

7

Правильный п-угольник переходит в себя
3 0

h1
''

180°,

то а=

13.

каждый из углов а и

'

меньше

13.

треугольника равна половине произведения его

при повороте на

ь

6О вокруг центра описанной
п

окружности. Пусть теперь известно, что выпу-

ЗаданиеЗ
Поскольку внешний угол равен сумме двух
внутренних,

то

внешние

углы

относятся

как

клый п-угольник переходит в себя при повороте
вокруг точки О на угол

360°
- - . Эта точка не лежит
п

(2 +3) : (2 +4) : (3 +4) = 5 : 6 : 7.

хотя бы на одной стороне, поэтому эта сторона
при последовательных поворотах на

Из рис.

1 следует, что а2 + Ь2 = h2• Но а= h sinA,

h cos А.

Подставляя эти выражения в первую

формулу, получим искомое выражение

sin2 А

+

+ cos2 А = 1.

мает п различных положений. Значит, она последовательно совпадет со всеми остальными сторо­

нами, то есть все стороны п-угольника равны. Ана­
логично доказывается равенство его углов.

Задание
Задание

8

Правильный п-угольник переходит в себя

5

Обозначим через

зани-

п

Задание4
Ь=

360°
--

h

высоту треугольника,

опущенную на сторону с, а через х

-

отрезок

стороны с, лежащий между основанием этой

при повороте на угол

360°
--

вокруг его центра.

п

При этом п-угольник с вершинами в серединах

высоты и стороной Ь. Тогда второй отрезок сто­

сторон данного многоугольника также перехо­

роны с равен с - х. Очевидно, что треугольник со

дит в себя. Следовательно, он правильный.

48

Всё начинается с точки

Задание
Диаметр,

9
перпендикулярный хорде,

делит

ее пополам. Поэтому искомое расстояние равно

.Jв 2 -5 2 = 12.

Задание

11

Нужно перегнуть лист пополам так, чтобы
стороны угла совместились. Тогда линия сгиба
и будет искомой биссектрисой, поскольку ли­

ния сгиба

-

ось симметрии угла, т.е. его бис­

сектриса.

Задание

10

Опустим перпендикуляр на хорду, равную 2,

Задание

ности. Из полученного треугольника найдем
радиус окружности:

R=

J9+1 = JW.

п

Получится четырехугольник, вписан­
четы­

рехугольника равны, т.е. это параллелограмм.

Но он не может быть наклонным, потому что
диаметры круга и, следо­

вательно, равны. Значит, это прямоугольник, и
все его углы прямые. Теперь ясно, что угол тре­
угольника всегда прямой.

5

углы

30, 60, 90

и

120°,

получаем

правильные многоуголь­

= 12 (12-угольник), п = 6 (6-угольник),
4 (квадрат), п = 3 (треугольник).

п=

ный в круг. Поскольку мы перевернули тре­
стороны

Подставляя в последнюю формулу указан­

ники:

Задание 10а

-

360°

= --.

следующие искомые

Повернем треугольник вокруг центра круга

противоположные

соотношением

<рп

ные на рис.

Отсюда искомый периметр Р = 3 .JЗО.

его обе диагонали

определяются

n

а= 2R sin 60° = 2.JW. fj2 = .JЗО.

угольник,

п-угольника,

360°

Зная радиус описанной окружности, найдем

180°.

ного

--=<рп, откуда п

сторону равностороннего треугольника:

на

12

Углы, соответствующие симметриям правиль­

и соединим конец этой хорды с центром окруж­

Стереометрия

49

СТЕРЕОМЕТРИЯ
Анаnоrии
в rеометрии

д

о сих пор мы говорили о геометрических
фиrурах на плоскости. То есть о плани­
метрии. Это такая Флатландия

-

«стра­

на», представляющая собой плоскость, «засе­

ленную» плоскими фиrурами.

с

«Одноглазые флатландцы».

Мы живем не на плоскости, а в пространстве,

объекты которого имеют не только площадь, но и

объем. Это пространственные фиrуры. Раздел гео­
метрии, их изучающий, как известно, называется

стереометрией. Часть этого слова, «стерео», про­
исходит

от

древнегреческого

«стереос»,

означа­

ющего «пространственный», «объемный» .
Все

понятия

планиметрии

сохраняются

и в стереометрии, но здесь они обретают как бы
подчиненное положение, становясь составными

элементами фиrур более высокого «ранга»

-

замкнутых пространственных тел.

Пространственные тела.

ЗАДАНИЕ

1

Представьте, что объем в

км3 разреза­

Особое положение среди пространственных

ли на кубические метры и ВЬ111ожили их

фиrур занимают многогранники, поверхность

в одну линию. Какой длины она будет?

которых состоит из некоторого числа плоских

1

многоугольников. Более того, можно провести

аналогию между плоскими фиrурами и много­
гранниками.

Стереометрия

50

Рассмотрим прямолинейный отрезок на пло­

фигурами . Если в плоскости перемещать от­

скости и точку А вне его на той же плоскости. Со­

резок прямой параллельно самому себе, то он

единив крайние точки отрезка с А, получим тре­

опишет параллелограмм. А если перемещать

угольник. Теперь соединим все точки полученно­

многоугольник параллельно самому себе вдоль

го треугольника с точкой В, лежащей над плоско­

прямой, пересекающей содержащую его пло­

стью нашего треугольника. Что получим? Пра­

скость, то он опишет призму.

вильно,

тетраэдр

-

многоrранник,

поверхность

которого составлена из треугольников.

Прямые призмы, у которых боковые ребра

Тетраэдр.

перпендикулярны основанию.

-

Призмы
Такую процедуру можно проделать с лю­
бым

многоугольником

-

ду

и

получить

пирами­

которых

многогранники,

являются

равные

а боковыми гранями

-

основаниями

многоугольники,

параллелоrраммы.

многогранник с треугольниками в каче­

стве боковых граней и выбранным многоуголь­
ником в качестве основания.

ЗАДАНИЕ

:Z

Найдите сумму всех W1оских углов тре­
угольной пирамИДЬI.

Таким образом, между «народами» плоско­
сти и пространства можно провести различные

аналогии. Это помогает получить ряд результа­
тов

стереометрии,

опираясь на

знание

плани­

метрии.

Знаменитые египетские пирамиды. Самая
высокая из них
имеет высоту

- пирамида Хеопса (в центре)
139 м и квадратное основание

со стороной 2зо· м.
Получается, что треугольник на плоскости

аналогичен тетраэдру либо пирамиде в про­
странстве . Можно провести и другие анало­
гии

между

плоскими

и

пространственными

·О-",
'1: -

"

Окружносrь

;

-'

' - "'
К руг

r - - 1

1

1

__ J

1

Квад рат

•

1 \

"' " ' 1

1

\..
Треугольн и к

-

1

Пятиугол ьн и к

Стереометрия

Пространственные

фиrуры

аналоги: тор и сфера
квадрат;

пирамида

додэкаэдр

-

и

и их

плоские

окружность; куб

-

октаэдр

-

-

51

верхней грани. Отбросив одну из частей, полу­
чим фиrуру, изображенную на рис.

треугольник;

2.

с

правильный пятиугольник.

Теорема

Пифаrора
в

в

nространстве

в

от первый пример полезности аналогии
между

плоскими

и

пространственны­

ми фиrурами. Имеется прямоугольный

параллелепипед

-

прямая

призма,

все

грани

которой являются прямоугольниками (рис.
Нужно найти его диагональ

d,

1).

если известны

длина а, ширина Ь и высота с.

1
1 1

с

1 1
1 1
1 1

--------

------~,\

i'
1
1
1

1
1
1

1
1
1

ь
Рис.

1. Прямоугольный параллелепипед.

Предлагаем

в

качестве

самостоятельного

упражнения доказать, что

d2 =a2 +b2 +c2 •

(1)

Формула очень похожа на обычную теорему
Пифагора для прямоугольных треугольников.
Но она справедлива для весьма специфического
вида многогранников. А как насчет других?
Прямоугольный
если

в

треугольник

прямоугольнике

получается,

провести

диагональ

и отбросить один из получившихся треуголь­
ников. Точно таким же образом в прямом па­
раллелепипеде на рис.

1

можно провести пло­

скость, проходящую через одну из диагоналей

основания

и

противолежащую

ей

вершину

А
Рис.

2. Тетраэдр с прямым трехгранным углом
(при вершине

D).

52

Стереометрия

В вершине
каждое

из

D

сходятся три ребра тетраэдра,

которых

перпендикулярно

к

двум

другим. Поэтому трехгранный угол при этой

Элементами многоугольников считаются углы
и стороны. У многогранников

-

двугранные

углы у ребер, образованные гранями, сходящи­

вершине является прямым. Он соответствует

мися вдоль этих ребер, сами ребра и вершины,

прямому углу в прямоугольном треугольнике,

в которых сходятся три или более ребер. Кроме

а сам тетраэдр

-

такому треугольнику. Роль ги­

потенузы мы отдадим грани АВС, а прочие гра­

того, каждая

ни будут довольствоваться ролью катетов. Тогда
можно

доказать,

что

квадрат

площади

грани

грань является многоугольником

с внутренними плоскими углами.

Известно, что сумма углов плоского п-угольни­
ка равна п(п

- 2).

Можно подумать, что и в случае

против

многогранников найдется какая-нибудь формула

вершины с прямыми плоскими углами, равен

для суммы двугранных углов. Однако оказывается,

сумме квадратов площадей остальных граней

что такие суммы не только отличаются для разных

прямоугольного

тетраэдра,

лежащей

. s2
s2
s2 s2
этого тетраэдра.
АСВ =
ADC + ADB + CDB.

многогранников, но и зависят от формы много-

Очевидно, что этот результат совершенно

фагора.

Несмотря на это печальное обстоятельство,
у нас еще остаются

«В

запасе »

ны и ребра. Посмотрим на рис.

Закон Эйnера

,

гранника того или иного вида.

аналогичен обычной, « плоской», теореме Пи­

Г

-

число граней, В

-

грани,

3.

верши­

Обозначим:

число вершин, Р

-

число

ребер в любом из них.

дn•

мноrоrранников

3АДАНИЕ3

к

отмечалось

Сосчитайте число граней, вершин и ребер

ак

в пространстве

выше,

многогранники

аналогичны

фmур, изображеШ1ЫХ на рис.

многоуголь­

никам на плоскости . Потому что пред­

3,

и сведите

по11учеШ1Ые резу11ЬтаТЬ1 в таб11ИЦJ.

ставляют собой замкнутую часть пространства,
ограниченную плоскостями . Заменив в этом
предложении
скость » ,

а

слово

« пространство»

« плоскости »

-

на

на

« пло­

« Отрезки »,

полу­

чим определение многоугольников.

Например, у куба Г =

6, В = 8, Р = 12; у пя­
6, В = 6, Р = 10; у ше­
стигранной призмы Г = 8, В = 12, Р = 18. У этих,
а также остальных фигур на рис. 3 выполняется

тиугольной пирамиды Г =

одно и то же соотношение:

Г+ В= Р+2.

(2)

Оказывается, и это показал Леонард Эйлер,
что вообще в любом выпуклом многограннике
сумма числа граней и числа вершин равна чис­

лу ребер, увеличенному на два.
В

частности,

для

+ 1, В = п + 1, Р = 2п;
п + 2, В = 2п, Р = 3п .

Г= п
Г=

п-угольной

пирамиды

для п-угольной призмы

И последнее замечание. Каждая грань м но­
гогранника есть многоугольник, имеющий соб­
ственные углы, как и положено плоской фигуре.

Их можно сложить для каждой грани, а затем
просуммировать по всем граням. Обозначим

через

L<p

эту сумму всех плоских углов много­

гранника . Как установил все тот же Эйлер, она
связана с числом граней, вершин и ребер про­
стым соотношением:

Формулы
Рис.

3. Выпуклые многогранники.

L<p = 2п(В - 2) = 2п(Р (2) и (3) - истинные

стереометрии!

Г) .

(3)

жемчужины

Стереометрия

53

тоже радиус, но уже описанной окружности. А

3АДАНИЕ4

дальше

Грани некоторого многогранника раскра­
шены в два цвета так, что соседние грани

-

по обстоятельствам. Красота!

Красота

-

великая сила. Но весьма требова­

тельная. Сами судите. Аналогами правильных

имеют разные цвета. Известно, что все гра­

многоугольников в пространстве будут правиль­

ни, кроме одной, имеют число ребер, крат­

ные многогранники. По определению это объ­

3. Докажите, что и эта одна грань име­
ет кратное 3 число ребер.

емные тела, все грани которых являются одина­

ное

ковыми правильными многоугольниками, оди­

наково соединяющимися в каждой вершине.

В плоскости допустимы правильные много­
угольники с любым числом сторон. А вот в про­
странстве, оказывается, возможно существование

только пяти правильных фигур. Всего лишь пять!

тетраэдр

октаэдр

икосаэдр

додекаэдр

Правильные многогранники.

Портрет Леонарда Эйлера.
Художник Эмануэль Хандманн.

куб

1756 г.
Эти многогранники иногда называют плата­
новыми телами по имени греческого мудреца

Платона, который придавал им особое значе­

АТЬ

nnатоновых теn

в

планиметрии
моrут

наиболее

показаться

симпатичными

правильные

много­

угольники. В том числе и потому, что зада­
чи с ними вроде полегче из-за симметричности

этих тел. Опустил перпендикуляр из центра на

сторону

-

вот тебе и радиус вписанной окруж­

ности; соединил центр с вершиной

-

получил

ние в устройстве мироздания. Но об этом чуть
позже. Пока познакомимся с этими замечатель­
ными «персонажами».

Тетраэдр. У него четыре треугольные грани
и четыре вершины, в каждой из которых схо­

дится по три ребра.
Октаэдр. Составлен из двух четырехуголь­
ных пирамид, соединенных своими основания­

ми. Имеет восемь треугольных граней и шесть

вершин, в которых сходятся по четыре ребра.
Куб. Имеет шесть квадратных граней и во­
семь вершин, в каждой из которых сходятся три

ребра.

54

Стереометрия

ЗАДАНИЕ

ЗАДАНИЕ&

5

На трех гранях куба провели диагонали

Найдите ребро куба, вписанного в сферу

так, что получился треуrоllЬник. Найдите

радиусаR.

yrllhl этого треугольника.

Додекаэдр. У него

20

пятиугольных граней,

Почему же их так маnо?!

столько же вершин с тремя сходящимися ре­

брами в каждой.
Икосаэдр.
и

12 вершин,

Имеет

Построение выпуклого многогранника воз­
граней

можно, если только сходящиеся в одной верши­

в каждой их которых встречаются

не правильные многоугольники не лежат в одной

по пять ребер.

20

треугольных

плоскости. Так, у тетраэдра, октаэдра и икосаэ­
дра в вершинах сходятся по три, четыре и пять

треугольников соответственно. Попробуем соеди­
нить в одной вершине больше

-

шесть правиль­

ных треугольников. Чтобы все шесть были плотно
«пристыкованы» сторонами, их придется распо­

ложить в плоскости. Иначе (в разных плоскостях)

не получится (рис.

4)!

Кстати, из того же рисунка можно увидеть,

что в каждой точке плоскости (вершине вообра­
жаемого многогранника) сходятся три правиль­
ных шестиугольника. Это означает, что невоз­
можно соорудить и правильный многогранник

с тремя сходящимися в одной вершине шести­

угольными гранями. Ну разве что скрутить эту
плоскость в трубочку.

Рис.

4. Плоскость, составленная из правильных
треугольников, соединенных по шесть

в каждой вершине.

Стереометрия

55

пятиугольниками . И представьте, такие много­
гранники существуют в природе .

Рис.

5. Трехмерная модель фуллерена.

Свернутый лист графена позволяет полу­
На рис. 5 показана молекула фуллерена С 60 -

чить так называемую нанотрубку.

Но это будет уже совсем другая фигура!

особой формы углерода. Эти молекулы имеют
форму выпуклого полуправильного многогран­

ной своей вершине (так, что верхняя вер­

12 пятиугольными и 20 шестиугольными
гранями. В 60 вершинах расположены атомы
углерода (шарики на рис. 5). Соединяющие
их 90 ребер символизируют химические связи

шина расположена точно над нижней)

каждого атома с тремя ближайшими соседями.

ника с

3АДАНИЕ7
Представьте, что куб стоит на столе на од­

и освещен прямо сверху. Какая в этом слу­
чае получается тень от куба?

Вот такая красота получается. Этот принцип
используют и в градостроительстве.

Поnуnравиnьные
мноrоrранники

в

озможности
резко

в

таком

возрастут,

правильного

если

конструировании
в

определении

многогранника

допустить,

чтобы его гранями могли быть различные пра­
вильные многоугольники. Тогда получается но­
вый класс многогранников, которые называют­

ся полуправильными. Более строго выражаясь,
полуправильным

многогранником

Ромбокубооктаэдр.

называется

выпуклый многогранник, гранями которого яв­

ляются правильные многоугольники (возмож­

Ромбокубооктаэдр

-

полуправильный мно­

но, с разным числом сторон) и все многогран­

гогранник, поверхность которого состоит из гра­

ные углы равны.

ней куба и октаэдра, к которым добавлены еще

Тогда

оказывается

возможным

построить

но в которой

12 квадратов. Всего у него 8 треугольных и 18 ква­
дратных граней, а в 24 вершинах сходятся (по
четыре в каждой) всего 48 ребер. В форме этого

часть шестиугольников замещена правильными

многогранника построено главное здание На-

многогранник, весьма похожий по структуре

на изображенную на рис.

4 схему,

56

Стереометрия

циональной библиотеки Беларуси в ее столице

вещей помимо огня, земли и воды считались ме­

Минске.

талл и дерево. Эгу пятерку назвали пятью пер­
востихиями,

или

пятью первоэлементами, что,

согласитесь, вполне подходяще.

Так вот, именно Платон в своем труде «Ти­
мей» изложил теорию первоэлементов, осно­

ванную на многогранниках. По его представле­
ниям, каждый элемент состоит из атомов опре­

деленного вида. При этом атомы имеют форму
правильных многогранников. Атомы огня
это тетраэдры,

воды

октаэдры, а земли

-

-

икосаэдры,

воздуха

-

кубы. Значит, остается не­

задействованным додекаэдр. Будем считать, что

атомы дерева имеют форму именно этого мно­
гогранника. Однако сам Платон отвел додека­

эдру особое место в своей теории. У него это не
Здание Национальной библиотеки Беларуси
в форме ромбокубооктаэдра.

А nри "ем здесь

Пnатон
д ревние греки полагали, что все в нашем
мире состоит из четырех элементов: огня,

воды, воздуха и земли. Китайцы, как всег­
да, пошли дальше: у них основой материальных

Пять первоэлементов китайской традиции.

какой-то атом, а наглядная модель Вселенной.

То есть додекаэдр, как ребенок своих родите­
лей, повторяет форму Вселенной в целом.

Стереометрия

Поскольку все правильные многогранники

57

Вся современная наука, прежде всего физика

являются симметричными фигурами, можно

элементарных частиц, основана на этой идее.

сказать, что при построении своей картины

Кстати, она тесно связана с понятием группы,

мира Платон руководствовался идеей о том,

о котором мы говорили в предыдущем разде­

что

ле. Но об этом немного позже.

природа

принципах

построена

симметрии.

на

математических

Иными

словами,

в

основе природы лежит симметрия. Конечно,

такое представление о строении материи и об

ЗАДАНИЕ В

атомах неверно . Например, атомы не имеют

Высота конуса равна

форму платановых многогранников и тем бо­

на

лее не являются твердыми телами . Но оказа­

щадь осевого сечения.

l.

h, а образующая рав­

Найдите радиус основания и пло­

лась бессмертной идея о том, что симметрия
определяет структуру, т.е. строение, материи.

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание

В

1

км3 -

1
1 млрд м 3 (1000 х 1000 х 1000 = 109).

Задание6

Поскольку центр сферы, описанной око­

Выложив это количество метров в линию, полу­

ло куба, лежит на прямой, проходящей через

чим прямую длиной

центр грани и перпендикулярной ей, центры

109 м = 106 км = 1 млн км.

сферы и куба совпадают. Значит, диагональ
3адание2

куба является диаметром описанной сферы.

Эга сумма равна сумме углов четырех тре­

Пусть ребро равно х. Тогда диагональ куба рав-

угольников (граней пирамиды), т.е.

180° х 4 = 720°.

r;;

ЗаданиеЗ
Число граней, вершин и ребер фигур, показанных на рис.

3, следующее.

Верхний ряд слева направо:

6, 8, 12; 7, 7, 12; 7, 10, 15; 5, 5, 8.
Нижний ряд слева направо:

8, 12, 18; 6, 8, 12; 6, 6, 10; 5, 6, 9.
3адание4
Общее число ребер многогранника равно
общему числу ребер белых граней и общему
числу ребер черных граней. Одна из этих сумм
(а значит, и вторая) кратна

3. Во второй все сла­
3. Значит, и это

гаемые, кроме одного, кратны
слагаемое кратно

3.
Задание

3адание5
Получили

равносторонний

следовательно, его углы по

треугольник,

2R

на х.JЗ. Из уравнения х...; _, = 2R найдем: х = .J3.

7

Правильный шестиугольник.

60°.
Задание

8

r=~l 2 -h 2 ,

s=h~l 2 - h 2 .

58

Аналитическая геометрия

АНАЛИТИЧЕСКАЯ

Г:ЕОМ:ЕТРИЯ
МАСТЕР НА ВСЕ РУКИ
Декарта нельзя причислять только к

ма­

тематикам. Это был человек многих даро­
ваний. Сам он считал себя прежде всего
философом, во вторую очередь
логом, в третью
логом

и

лишь

-

на

-

физиком, далее
пятом

месте

космо­

-

био­

среди

его

интересов значилась математика. Как ма­
тематик он, конечно, был одним из силь­

нейших в свое время. Судите сами. Декарт
стал

первым

обозначать

личины буквами ас,
ные

-

h ',

известные

ве­

с 5 и т.д., неизвест­

последними буквами латинского

zи

алфавитах, у,

др. Он упростил обозна­

чение степеней: а 2 , х 3 , z 5 и т.п. Ему принад­
лежит формулировка основной теоремы
алгебры:

алгебраическое

уравнение

н-й

степени имеет ровно 11 корней. Декарт
ввел современное обозначение радикала

V

и стал говорить о комплексных чис­

лах,

которые

называл

воображаемыми.

Он имел достижения и в геометрии: оты­
скал связь между числом граней, вершин

Рене Декарт. Гравюра У. Холла.1833 г.

Это 6ыnо давно ...

n

очти 400 лет назад, в

1637 г., в голландском

городе Лейдене вышло в

свет сочине­

ние французского ученого Рене Декарта.

и ребер многогранников, которую позже
обобщил и доказал Эйлер: Г

+В

=Р + 2.

С другой стороны, алгебра тоже получила
большую выгоду от такого союза . В те времена
(и еще долго) она занималась изучением опе­

раций над числами. Обратим внимание на то,
что числа в главе

1 задавались с помощью точек

Один из его разделов назывался «Геометрия ».

на числовой, или координатной, оси. На ней

В ней был совершен революционный прорыв

выбирались начало отсчета и единичный от­

в математике. Две области этой науки раскрыли

резок. После этого алгебраические операции

друг другу братские объятия. Декарт показал,

(сложение, умножение на число и т.д.) своди­

что геометрические фигуры можно описывать

лись

с помощью алгебраических уравнений. Напри­

складывать,

мер, прямая на плоскости задается уравнением

корни и т.п.

-

операциям

над

отрезками:

перемножать,

делить,

их

можно

извлекать

переменные величины;

Таким образом, было найдено соответствие

числа. « Пусть алгебра работает на гео­

между числами и фигурами . Метод, с помощью

ах+ Ьу +с= О, где х и у

а, Ь, с

к

метрию »,

-

-

говорил Декарт.

которого Декарт соединил геометрию и алге-

Аналитическая геометрия

59

бру, назвали методом координат. Он является

натами этой точки будут служить проекции

обобщением понятия числовой прямой на пло­

на координатные оси.

скости.

r

+z

Декартова
система
координат

о

сновная идея метода Декарта заключает­
ся в использовании координат

-

чисел,

связанных с данной геометрической фи­

rурой и полностью ее характеризующих. Чаще

-z

всего используются прямоугольные, или декар­

товы, координаты, с помощью которых фик­

Декартова система координат

сируется положение точек на плоскости либо

в пространстве.

в пространстве. Для этого берутся две (на пло­
скости) или три (в пространстве) взаимно пер­
пендикулярные прямые линии, пересекающие­

ся в одной точке

-

у

начале координат.

По традиции оси обозначают буквами х, у
и

z.

Однако это необязательно

(2; 3)

обозначения

-

3

·--- -·-------1

2

t

можно выбирать в соответствии с поставленной

f

задачей или по желанию .

!

(-3; 1)

у

,----- ~------------ ----

i
!

1~

СDсь х -"'

-3

-2

1

1

2

-2

i

-3

-- -------+--------1

--- -

х

(3; -2)

Х .--1--+--1~+--+--+--...,,._+--+--+~+---1--+--+~+-• Х

-- --- ----- --- ----· --

3

-1

ко~ро~ на tn

/

!t
о

-1

i
r~ Ha~a.лJ

' "-

1

1

i

!
-------------- ----r------ ---- - 1

1

1

:

Координаты точек плоскости

1

в декартовой системе.

Декартова система координат на плоскости.

Это определение легко обобщается на про­
странство.

Координатами точки Р на плоскости в де­

А

именно,

координатами

любой

точки в пространстве называются взятые с опре­

картовой системе называют взятые с определен­

деленным

ным знаком расстояния (выраженные в едини­

в единицах масштаба) от этой точки до коорди­

цах масштаба) от этой точки до осей координат.

натных плоскостей (или проекции радиус-век­

Если ввести радиус-вектор

тора этой точки на координатные оси) .

r точки Р, то коорди-

знаком

расстояния

(выраженные

Аналитическая геометрия

60

z

углом

8

между радиус-вектором И ОСЬЮ Z, а так­

же углом <р между проекцией радиус-вектора

на плоскость хОу и осью абцисс, т.е. осью Ох.
-----~

/

Р =(а; Ь;/с)

/

f-

/

Р(р;<р;8)

z

1

/
р /

'

/
/
1с

/
1
у

/

/

у

.......

а

.......

.......

ь

Рис.

Рис.

1. Координаты точек пространства

3.

Сферическая система координат
в

в декартовой системе.

Друrие системы

координат
п

ЗАДАНИЕ

пространстве.

1

Найдите связь между декартовыми и сфе­
рическими координатами точки. Иными

словами, выразите х, у и

z через р, 0

и qэ.

омимо декартовой системы в математике
часто используются и другие системы ко­

ординат, которые порой бывают удобнее

Наконец, есть еще одна удобная система
координат

в

пространстве

-

цилиндрическая

при решении конкретных задач. На плоскости

(рис.

это полярная система, в которой положение

несколько иными числами: длиной

точки задается двумя числами: длиной ради­

радиус-вектора на ось

ус-вектора этой точки и углом между ним и за­

его же на плоскость хОу и углом <р между этой

данной прямой (рис.

последней проекцией и осью Ох.

2).

4).

Здесь точки пространства маркируются

z

Р( р; <р)

Oz,

z

проекции

длиной р проекции

Р(р; <р; z)

;,е

р

/

/

1

Рис.

2.

Полярная система координат
у

на плоскости.

Аналогом полярной системы в простран­

стве является сферическая система координат
(рис.

3).

В ней положение точки определяется

тремя числами: длиной ее радиус-вектора р,

Рис.

4.

Цилиндрическая система координат.

Аналитическая геометрия

И скоnько, и куда

в

61

ными буквами или буквами со стрелками над

ними: а, F, а,

Fи т.п.

предыдущем разделе мы говорили о ради­
ус-векторе точек пространства. Эго отрезок
прямой,

направленный

пространства (в данном случае

от

-

одной

точки

начала коорди­

нат) к друтой. Он имеет величину

-

расстояние

между начальной и конечной точками

-

и на­

правление, т.е . определенную ориентацию в про­

странстве относительно координатных осей.

До сих пор мы имели дело с двумя матема­
тическими объектами

-

числами и фиrурами .

Теперь нам встретился новый объект, сочетаю­
щий и числа, и пространственные характери­

стики,

-

вектор. Числа же принято называть

скалярами. Например, скаляром является тем­

- она характеризуется одним числом,
скажем, 36,5°. Да, скаляры любят имена - « гра­
пература

дус », «Грамм », « ВОЛЬТ» .

Векторы определяются двумя либо тремя
числами

-

своими

проекциями,

или

Примеры векторов: тg

компо­

f -

нентами, в той или иной системе координат.

Если выбрать друrую систему, ориентирован­
ную в пространстве иначе, проекции изменят­

-

вес тела,

уравновешивающая сила.

Координаты векторов в выбранной декартовой

системе обозначаются индексами внизу: ах'

b!I F,.

ся, и вектор будет определяться другой тройкой
чисел. Однако сам вектор не изменится

-

он не

зависит от того, какую систему координат мы
используем.

Примеры векторов у нас перед глазами: ско­
рость движения тел, магнитное поле, вес пред­
метов и т.д .

Таким образом, с точки зрения геометрии
вектор

-

это направленный отрезок, который

Векторна•

anre&pa

может перемещаться параллельно самому себе,
ничуть не меняясь. Поэтому два вектора, име­
ющие одинаковые длину и направление,

счи­

в

таются равными, т.е. одним и тем же вектором.

Векторы в текстах обычно обозначают жир-

екторы бывают всякими и могут находить­
ся между собой в различных «отношени­
ях». Так, каждому вектору может быть

сопоставлен равный ему по длине, но направ­

ленный в противоположную сторону. Его так и

- противоположным - и обозначают
той же буквой, но со знаком минус: -а, -F.
называют

с

/'\в

/

Q(a > l)

А

Рис.

5

Рис.6

Веl<_!О.РЫ ~жно складывать: суммой двЕ ве~

+ ВС
С (рис. 5).

торов АВ и ВС называется вектор АС= АВ

с началом в точке А и концом в точке

62

Аналитическая геометрия

Произведением вектора а и действительно­
го

числа

а

считается

вектор,

длина

которого

Используя соотношения
_,

в а раз больше (или меньше), а направление то

---+

(2),

легко убе-

--+

4

а+Ь =Ь +а ,

.....

же (при а> О) или противоположно (при а< О)

а для любых трех векторов а

направлению вектора а (рис.

ся векторное равенство

6).

и

(1)

диться, что

_,

_,

_,

_,

.....

.....

Ь и с выполняет-

,
--+

_,

а+ (Ь + с )= (а+ Ь) +с.
Иными словами, векторы можно складывать

в любом порядке, что означает справедливость
коммутативного и ассоциативного законов для

векторов (вспоминаем главу

-с=-а+ь

3АДАНИЕ2

б

а

.....

Рис.

7. Два способа графического сложения
векторов: а - как на рис. 5;
б - по правилу параллелограмма.

Вычитание

векторов

осуществляется

1).

ДаНЬI векторы а

-+

= (2; З; -1), Ь

7

=(О; 1; 8), с

=(-1;

2; 4) в некотором базисе. Найдите коорди-.+-+
-+
-+
паты вектора а =2tl - ЗЬ + с в этом базисе.

ана­

логично сложению с той лишь разницей, что

вычитаемый
ем

вектор

вместе

с

приобретени­

минуса меняет свое направление на прямо

противоположное (как если бы вычитаемый
вектор умножили на

бы

найти

-1).

координаты

Соответственно, что­

вектора-разности

с,

нужно к уменьшае~ому вектору а прибавить
вектор,
-+

противоположный вычитаемому век-

тору Ь. При этом эти векторы нельзя менять
местами

при

zt-ь*ь -

проведении

расчетов,

zt.
с -а

-

.

в

ернемся к рис.

5 и вспомним теорему Пи­

фагора для прямоугольного параллеле­
пипеда:

d2 =

-

наль; а, Ь и с

а2

+ Ь2 + с2,

где

его диаго­

d-

длины ребер. Нетрудно видеть,

ЧТО ДЛЯ радиус-вектора У ВЫПОЛНЯеТСЯ анало­
ГИЧНОе соотношение:

= х2 + у2 + 2 21

,2
где х, у и

z-

Величина
Рис.

-

кскаnнрам

поскольку

L\ ~ ь
а

От векторов

8. Разность двух векторов.

составляющие

r=

r в декартовои системе.

.....

v

~х 2 + у 2 + z 2 называется длиной,

или модулем, или нормой, радиус-вектора

r.

Как-то незаметно мы сумели из вектора из­
влечь скаляр, то есть число. Посмотрим на этот

КООРДИНАТНАЯ ЗАПИСЬ

резуль тат внимательнее.

Операции с векторами приобретают бо­

Запишем r2 в виде:
..... -+

r ·r =

лее ясный смысл, если использовать их ко­

х

· х + у· у+ z · z.

или в простран­

Что мы видим? Компоненты вектора (его

стве. Допустим, что в некоторой выбран­

проекции на координатные оси) умножаются

ной

сами на себя. В результате получается число

ординаты на

нами

заданы

плоскости

декартовой

своими

системе

проекциями

на

векторы
коорди­

квадрат длины вектора,

-

-

не зависящее от в ы­

бора системы координат. Такие величины назы­

натные оси:

вают инвариантами, или скалярами. Исходя из

а'= (а ,,· а .•!· а : )' ь' = (Ь ,,· Ь.•!· Ь: ).

(1)

вида последнего равенства,

его можно на звать

произведением вектора самого на себя . Если те­

Тогда сумма с·= а' + ь' является вектором
с координатами

перь попробовать определить по аналогии про­
изведение двух разных векторов как

-+

с' = (а,

+ h,; а"+ ь,.; а, + ь )·

(2)

а

.....

· Ь = а · Ь + а · Ь + аz · Ьz = а
х

х

у

у

Ь

хх

+а

у

Ь

у

+ аzz
Ь , (3)

Аналитическая геометрия

то окажется, что

эта величина также является

числом и инвариантом, т.е. не зависит от того,

Здесь

vx' vif vz -

63

компоненты вектора скоро­

сти в декартовой системе координат.

в какой системе вычисляется. Эту замечатель­

Другим примером скалярного произведе­

ную операцию назвали скалярным произведе­

ния может служить работа, производимая си­

нием двух векторов. Оно имеет много полезных

лой при перемещении тела на какое-либо рас­

применений в математике и физике.

стояние. Сила, как мы знаем, это вектор . Обо­

Выберем систему координат так, чтобы ось
-->

-->

значим его как

F.

Пусть под ее воздействием

вектор Ь

какое-нибудь тело переместилось ~з точки М1

а= (а, О, О), ь = (Ьх = Ь cos <р, Ьу = Ь sin <р, bz =О),

пространства с радиус-вект~ом R1 в дру~ую
точку м2 с радиус-вектором Rz Тогда вектор ЛR,

х была направлена вдоль вектора а

,а

лежал в плоскости хОу. Тогда

соединяющий начальное и конечное положе­
--> -->

а ·Ь = аЬ

cos <р.

(За)

ния тела, называется перемещением (рис.

10).

Не следует путать его с путем. Если ученик вы­
шел из школы, погулял с друзьями и пришел

~а.

в конце концов домой, то его перемещение есть
направленный

Рис.9.

В последней формуле а =

-->

la 1,

-->

Ь = 1Ь 1 -

мо-

дули перемножаемых векторов. Поскольку ска­
лярное произведение

-

отрезок,

соединяющий школу

и дом . Ну а путь, возможно, будет довольно за­

это число, то его зна­

путанной кривой произвольной длины .

3АДАНИЕ4
ВычиСllИТЬ проекцию вектора ii = (1, О, -2)
на направllение вектора Ь = (2, -1, 3).

чение не зависит от выбора системы координат.

Значит, последняя формула верна в любой ко­
ординатной системе.
у

ЗАДАНИЕ

3

Покажите, что Д11Я скалярного произведе­

ния вьmоАняется дистрибутивный (рас­
предеllитеllьный) закон:

ii · (Ь + ёJ = ii · Ь + ii · ё.

Скаn•рное
nроизведение -

В JКИ3НЬ!

r

де используется скалярное произведение?
Как

говорил

персонаж,

известный

литературный

«ближе к телу». Физическое

тело с массой т, движущееся со скоростью
имеет

энергию движения,

называющуюся

нетической. Обозначим ее через

Ek. Это

v,

ки­

скаляр,

но тем не менее выражающийся через скорость:
2 = _!_m(v · v) = _!_m(v 2
Еk = _!_mv
2
2
2
х

+ v 2+ v
у

2).
z

х

Рис.

10. Траектория и перемещение
материальной точки.

Сила, как известно из физики, способна со­
вершать работу. Эта работа зависит от величи­
ны силы, перемещения тела под ее действием

и угла между этими векторами. Обозначим ра­

боту через А. Тогда А = F ·ЛR.
Или, что то же самое,

А= lfl ЛR cos <р,
где <р - угол между векторами F и лR.

Аналитическая геометрия

64

Орть1

Такой набор единичных векторов, направ­
ленных вдоль координатных осей, называется

ортонормированным базисом данной системы
координат. «Орто»
векторы

взаимно

потому что единичные

-

перпендикулярны,

а

« нор­

мированный» базис, потому что длина (норма)

в

спомним числовую прямую, используе­

этих векторов равна

мую в теории чисел. На ней обязательно

вектор

был отрезок единичной длины для нане­

сения на эту прямую целых чисел. При исполь­
зовании в пространстве систем координат часто

вводятся единичные векторы вдоль каждой из

В таком базисе всякий

1.

а можно записать в виде (рис.
--7

--7

12)

-:-7

--7

a=a·i+a· ;· + a·k.
(4)
z
Числа а , а , а называюся компонентами векх
у
z
--7 --7 ~
тора а в данном базисе (i; j ; k ).
х

у

координатных осей. Единичными они называ­

z

ются потому, что их скалярное произведение на

самих себя равно
->

1. Поясним.

i - такой единичный вектор. Тогда
= 1. Скалярное произведение любого вектора

Пусть
-;+ 7

i ·i

....

--7-;+

на единичныи равно а·
--->
-;>

1

=а

cos

<р, где <р

-

угол

между векторами а и 1. То есть такое произведе-

ние равно проекции вектора на единичный.

Возьмем какую-нибудь декартову систему
координат в пространстве
~

Ох,;

-

Oxyz.

Введем в ней

~

-;>
три вектора:

единичныи вектор вдоль оси

1 -

единичный вектор вдоль оси Оу,

ничный вектор вдоль оси

Oz.

-->

k

у

-еди-

Эти три вектора

взаимно перпендикулярны, т.е. угол между лю­

быми двумя из них равен

= 1, cos 90° =О,
--> ->
О, k · k = 1.

90°. А поскольку cos 0°
--7
-:-7
--7
--7
--7
--7
то i · j = О, i · k =О, j · j = 1, j · k =
--7

--7

Рис.

12. Разложение вектора по

базисным
векторам.

z
ЗАДАНИЕ

5

Используя разложение
скалярное

(4),

произведение

покажите, что
двух

векторов

равно ·

а · Ь =а" · Ь" +ау · Ьу +а · Ь =аЬ +аЬ
+аЬ.
уу
%

j

%

""

%%

у

ЗАДАНИЕ&
Найти прямоугольные декартовы коор-

__,

динаты вектора а, если углы между ним
и осями равны:

L<il, i) =120°, L<il, f) =60°,
Рис.11. Единичные векторы (орты) в декартовой
системе координат.

--->

,....

--->

L (a , k) = 45°, la 1 = 6.

Аналитическая геометрия

65

Яинейна• Изменение
зависимость системь1

векторов координат
и

так, если выбран базис

-;t

~

-4

(z ; ; ; k ), то

всякий

вектор можно представить в виде комби­

нации базисных векторов :
___.. ,

а=а

-)

х

·i

----+

+а·;· +а
у

·k.

комбинацией векторов ->Т, ]7 ->и k.-> Но не только: для

F,

->

с/
где с 1 , с 2 , с 3 -

S

Н,
->

зисных ортов,

может быть различным .

В разных системах векторы остаются сами

Выражение такого вида называется линейной

любых трех векторов

ыбор системы координат, т.е. набора ба­

собой, поскольку они от этих систем не зависят.

4

z

в

выражение вида

->

Однако составляющие векторов меняются при
переходе от одной системы к другой . Такой пе­

реход называется преобразованием декартовых
координат. Он может производиться на плоско­
сти и в пространстве .

+ с2Н + с3 5,

постоянные величины (числа), так­

у

же именуется линейной комбинацией этих век­
торов. Если
->

с/

->

->

+ с2Н + с3 5 = О

тогда и только тогда, когда все с; = О
векторы

->

->

->

Н,

F,

S

(i = 1, 2, 3), то

называются линейно зависимы-

ми. Это всего лишь означает, что один вектор

может быть выражен через остальные.
Посмотрим, как это выглядит для двух век_,

->

п

->

->

усть с 1 а 1 + с 2 а 2 =
2•
Отсюда следует, что

торов а 1 и а

с,

-

о

.
Рис.

-

а 2 =--а, =са,,

Cz
с,
- - - число.
Cz
это значит,
как векторы

13. Две

декартовы системы координат

на плоскости с различной ориентацией.

где с=

->

->

а 1 и а 2 лежат на од-

ной прямой (либо на параллельных прямых).
Следовательно, два линейно зависимых вектора

коллинеарны :

al lla2.

Для простоты рассмотрим преобразование
на плоскости, состоящее в повороте осей одной

системы координат относительно другой на не­

который фиксированный угол <р (фактически
поворот в плоскости хОу вокруг оси

Вернемся из плоскости в пространство, и пусть

Oz).

Рис.14. Координаты
точки в двух системах.
у

причем с 3 °1' О. Тогда
с1 -

с2 -

С3

С3

-

а 3 =--а, --а 2 =та,

с1

где т =--,и п

С3

Cz
=-- -

+na- 2 ,

числа.

С3

Отсюда следует, что вектор а 3 лежит в одной
плоскости с векторами а 1 и а 2 • Это означает, что
три линейно зависимых вектора компланарны.
о

А

х

Аналитическая геометрия

66

А

Некоторая точка Р плоскости имеет коор­
динаты (х; у) в одной системе и (х'; у') в другой.
Из рис.

(5а)

-

коэффициенты

l

cos <р sin <р
R = - sin <р cos <р

z' =z.
Последнее равенство означает, что при дан­

вид:

Как было отмечено ранее, в декартовых си­

OJ
О

о

.

1

-->

-->

F ' =RF.

cos

<р

Илиl~ Т'~"~

странства) характеризуются двумя или тремя
своими составляющими,

о

rFx'J r

стемах векторы, как и точки (плоскости, про­

-

и

В таких обозначениях система (5а) примет

ном преобразовании декартовых систем третья

числами

(5)

в форме особой таблицы:

14 можно найти связь между ними:
х , = х cos <р + у sin <р,
у , = у cos <р - х sin <р,
(5)

координата точек плоскости не изменяется.

преобразований

или ком­

понентами. Поэтому при переходе от одной

sin

<р

cos

<р

(6)

о

декартовой системы к другой эти числа преоб­
разуются по тем же формулам
динаты точки (рис.

F,
х

=

что и коор­

F cos
х

у

Соотношение

(6)

называется матричной фор­

мой записи закона преобразования декартовых

F , = F cos
у

(5),

15):
<р

координат. А таблица

+ F sin <р,

<р -

у

F sin <р,
х

(5а)

f z, = f z.

матрицей поворота

R -

(ведь наше преобразование представляло собой
поворот осей координат). Или в более общем слу­
чае (не обязательно поворота) преобразования от
одной координатной системы~ другой

цей перехода. Представление

F

-

матри­

в виде столбиков

называется вектор-столбцом.

Чтобы получить из соотношения

.go
F

(6)

R,

нения (5а), нужно строки матрицы

урав­

каждую

отдельности, умножить на вектор-столбец
по правилу: первый элемент первой строки

умножить на верхний элемент вектор-столбца,
второй элемент этой же строки

-

на средний

элемент вектор-столбца, наконец, третий эле­
мент первой строки

-

на нижний элемент, за­

тем сложить эти произведения; и так же посту­

пить со второй и третьей строками. Резу ль таты

представим в виде строк нового столбца:
Рис.

15. Компоненты произвольного вектора
в двух системах координат.

Знакомимся
с матрицами

3

апишем

l

co_s <р sin <р
- sш <р cos <р
О

О

O][Fx]
FY
О

=

1 F2

cos q> · Fx + sin q> · FY + О · Fz
[
- - sin q> · Fx + cos q> · FY + О · Fz

J
=

O·F +O·F +1·Fz
х

у

-->

F в виде вертикального столбца:

F =

Fx']
l;,rFxJ lr;,:
.
'F' =

Приравняв каждый элемент этого столбца
_, со-

ответствующему элементу вектор-столбца
лучим уравнения (5а).

F , по-

Аналитическая геометрия

Осо6енности
и видь~ матриц

м

атрица, с которой мы познакомились,

-

67

Если матрица состоит из одной строки, она
называется матрицей-строкой, а если из одного

столбца, то матрицей-столбцом (как вектор

-->

F

в предыдущем разделе).
Следует упомянуть, что в математике широ­

это часrnый пример из обширного клас­

ко используются векторы, все или часть компо­

са математических обьектов, · также име­

нент которых моrут быть не действительными,

нуемых матрицами. У матрицы
и три строки. Эго

три столбца

R-

а комплексными числами.

матрица 3 х 3. В самом общем

-

виде матрицы представляют собой прямолиней­

Что можно

ные таблицы с т строками и п столбцами:

А=

а,,

а,2".

al,n-l

а,п

а2 ,

а22"'

a2,n- l

а2п

ат,

ат2

am,n- l

атп

деnать
~

Члены этой таблицы

all'

с матрицеи

а12' а21'

".,

атl' атп

называются элементами матрицы. Ими моrут

быть числа, функции или алгебраические вы­
ражения. Их обозначают как aif где

i-

номер

строки, в которой расположен этот элемент,

а

j -

номер его столбца. То есть этот элемент

стоит на пересечении i-й строки и j-го столбца.
Матрицы с т

=

п называют квадратными.

Элементы таких матриц, имеющие одинаковые
индексы, т.е . а 11 , а 22, а 33,

м

а потому у них гораздо больше свойств.
Прежде

всего,

их

можно

умножать

на числа. Чтобы умножить матрицу А на чис-

:0k~ин~~:.::::, ::::е::[т ~м~ожуи)~ь на
х

а k = 4 то
'

kA = [ 4

4х 2

О

3 10

4у)

12 40 ·

" ., апп' идут слева напра­

во и сверху вниз, подобно диагонали квадрата.
Они

атрицы устроены сложнее, чем числа,

образуют главную диагональ

матрицы.

Матрицы одного размера можно склады­

вать. Суммой будет матрица того же размера,

Если все элементы, кроме диагональных, равны

элементами которой

нулю, то и матрица называется диагональной.

ствующих элементов матриц-слагаемых. Ины­

Если все диагональные элементы равны едини­

ми словами, если С= А +В, то с ..

це,

а остальные

-

нулю,

матрица называется

единичной. Наконец, есть еще нулевая матри­

ца, у которой вообще все элементы

-

это нули.

бых

служат

суммы

ч

i иj.

соответ­

= а1).. + Ьlj. для лю-

Операция сложения обладает свойствами
коммутативности и ассоциативности:

А +В=В+А;

N-MEPHOE

А

ПРОСТРАНСТВО

+ (В+ С) =

(А +В)

+ С.

Наконец, матрицы можно умножать друг

Соответственно «большим» матрицам мож­

на друга. Делается это путем перемножения

но ввести понятие вектора в п-мерном про­

строк первой матрицы на столбцы второй ма­

странстве для произвольного п. А именно,

трицы

назовем таким вектором совокупность

ченных произведений. Из этого следует, что

11

чи­

и

последующего

суммирования

полу­

сел, идущих в определенном порядке. Эти

матрицы

числа называются составляющи:\1и (компо­

число столбцов первой матрицы в произведе­

нентами) этого вектора: х(х 1 , х2 ,

нии равно числу строк второй.

.",

х).

Совокупность всех таких векторов обра­
зует

п-мерное

векторное

обозначаемое как

R".

пространство,

можно умножать лишь тогда,

Примеры:

l)(x

з(~ :)=(х·2+3·у x · l+З·z)=

= (2х+3у х+Зz},

когда

68

Аналитическая геометрия

2) [2у

l)(x)
[2·х+1·3) [ 2х+З)
3 у·х+х·3 ху+Зх

z

=

=

первого столбца В и эти два произведения сло­
жить :

;

з) [~ :)(~: ~)-[::;~:z :с4:)

с11 = а1 1 Ь1 1 + а12Ь21 •
(9)
Чтобы получить второй элемент первой строки

(7)

матрицы С, нужно умножить на первый эле­
мент первой строки матрицы А на первый эле­
мент второго столбца матрицы В, второй эле­

4)

х2
[ -5

у)[2
4 у

1)

z

[2х 2 +у2 х 2 +yz)
= -10+4у -5+4z .

мент первой строки А на второй элемент второ­

(8)

го столбца В и эти два произведения сложить:

с12 = а11 ь12 + а12ь22·
Аналогичным

образом

элементы

(10)
второй

строки матрицы С получаются путем перемно­

3АДАНИЕ7

жения второй строки А на столбцы В и последу­

Посмотрите на равенства

(7)

и

(8).

Какое

ющего сумми рования :

свойство матриц они выражают?

с21 = а21Ь11 + а22Ь21;
с22 = а21ь12 + а22ь22·

(11)

(12)

Нетрудно заметить общее правило пере­

Выводим о6щее nравияо

множения матр иц:

2

ciJ

Если внимательнее присмотреться к рассмо­
тренным

примерам,

умножения матриц А

можно

· В=

цы А и В имеют размер
Чтобы

понять

(13)

n;)

правило

С. Допустим, матри­

2 х 2.

получить первый

= а;1Ь11 = а;2Ь21 = L a;пbnJ·

Здесь знак

I

означает суммирование по ин­

дексу п в пределах от

элемент первой

жений

1 до 2,

как видно из выра­

(9)-(12).

строки матрицы С, нужно умножить первый
элемент первой строки матрицы А на первый
элемент первого столбца матрицы В, второй
элемент первой строки А на второй элемент

ЗАДАНИЕ&
Запишите

правило перемножения

двух

матриц А размера т х п и В размера п х
в виде, аналогичном

(13).
'

1

k

Аналитическая геометрия

69

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание

Задание

Из рис.

Пусть вектор а имеет координаты (х; у;

1
3 находим :
х = р sin 8 cos q>, у= р sin 8 sin q>, z = р cos 8.

6

z).

По определению координат вектора, используя
результат предыдущей задачи, имеем:

Задание

2

Координаты вектора а найдем, используя
правила действий над векторами в координат­

ной форме (см. формулы

(1) и (2)),
d = 2 · (2; 3; -1) - 3 ·(О; 1; 8) + (-1; 2; 4) =
= (4; 6; -2) - (О; 3; 24) + (-1; 2; 4) = (4- 0-1; 6- 3 + 2; -2 - 24 + 4) = (3; 5; -22).
Задание

3

~

-t

- 1
у =а 1 =а
=6 ·l=3
.
1-1 cos(L(a,i))=6cos60°

.fi г,;.
z=ax =а
1-1 cos(L(a- , -k))=6cos45 ° =6·т=3-v2
в итоге получаем : а= (-3; 3; 3./2.).
Задание

Используем соотношение
--+

х =а; = l ~lcos(L(;,7)) = 6cos120° = 6 {-~) = -3.

(3):

-

а. (Ь +с)- ах(Ьх

=

7

Некоммутитавность матриц:

+ Сх) + ау(Ьу +Су)+ az(bz + cz) =
_,->
->7
(ахЬх + ауЬу + azbz) + (ахСх + аусу + azcz) =а · Ь +а · i;.

(у2 zl)(x-5

у) ( х 2 у)(2

2

Что и требовалось доказать .

4

:f.

-5

1)

у z .

4

Задание4

Используем тормулы

·

(3)

и (За):

Задание

а Ь = ахЬх + ауЬу + a,bv
--+ --+
--+ --+
~
а · Ь = la llb lcos q> = аь lЬ 1,
где аь = lalcos q> - направление вектора а. Из этих
а ·Ь

--ь - 1ь1 -

1·2+0 ·(-1)+(-2)·3

~2 2 +(-1) 2 +3 2

Задание
а

2-6
4
-------

м- м·

--+

х

--+

--+

+ау "} +аz · k )(Ьх

--+

--+

--+

· i + Ь ·;· +Ьz · k ).
у

При перемножении этих скобок произве­
дения, содержащие различные единичные век­

торы (ах Ь1 ау Ь, и т.п.), обращаются в нуль, по--+ --+

i ·j

= О,

--+

--+

i ·k

--+

= О, j

--+

·k

= О. Остаются лишь

члены с одинаковыми индексами. Поскольку
--+--+

--+--+

i · i = l,j ·j

=

--+--+

1, k · k

=

1,

то в результате остается

искомое соотношение
->

->

а ее элементы вычисляются

С; 1 = ailblJ + а; 2 Ь21 + ...+ а;11 Ь111

=

La;sbsJ,
s=l

причем

i = 1, 2, ...,

т;

j

=

1, 2, ..., k.
1<~

· Ь =(а · i

скольку

k столбцов,

следующим образом:

[1" {~)" .... ::.у

5

--+--+

строк и

ll

соотношений находим:
а

8

Результирующая матрица будет иметь т

а ·Ь =ах ·Ьх +ау ·Ьу +аz ·Ьz =аЬ
+аЬ
+аЬ
.
хх
уу
zz

5,~и_

70

Пространства чисел, звуков и цветов

ПРОСТРАНСТВА
ЧИСЕЛ, ЗВУКОВ И ЦВЕТОВ
Отстреnки

ностью. Это означает, что одно и то же понятие

-

-

в данном случае «вектор »

описывает

к а6страктному

множество разнообразных объектов. Как оно

вектору

свойств. Эти свойства выражены в законах опе­

это делает? Путем указания общих для всех них
раций, производимых над векторами.

Таким

образом,

отбрасывая

конкретную

природу векторов, можно найти общие законо­

в

предыдущей главе мы говорили о векто­

мерности, присущие любому множеству объек­

рах,

их как направленные

тов, для которых определены операции сложе­

отрезки. Они определялись своими свой­

ния и умножения на число. Более того, не суще­

рассматривая

ствами, главными из которых являются опера­

ственно, являются ли эти операции обычными

ции сложения и умножения на число. В мате­

умножением и сложением. Важно лишь то, что

матике и физике часто встречаются объекты

они должны удовлетворять нескольким услови­

другой природы, которые тоже можно умно­

ям . (Будем теперь обозначать векторы просто

жать на числа и складывать между собой. Тако­

жирными буквами без стрелок над ними. )

вы,

например,

комплексные числа,

о

которых

шла речь в третьем разделе, а также алгебра­

1.

Сложение.

Для любых векторов а и Ь

ические функции, определенные на одном от­

а+Ь=Ь+а

резке значений аргумента . Они не являются на­

(коммутативность сложения);

правленными отрезками, но обладают такими

(а+ Ь) +с= а+ (Ь +с)

же свойствами по отношению к упомянутым

(ассоциативность сложения);

операциям. Поэтому подобные объекты в мате­

существует такой вектор О, что х

матике принято также называть векторами.

О называется нулевым; для любого вектора х су­

Здесь мы встречаемся с одним из харак­
терных качеств

математики

-

ее универсаль-

+

О

=

х; вектор

ществует вектор у, такой, что х +у = О. Этот век­
тор называется противоположным х.

Пространства чисел, звуков и цветов

71

А вот сейчас внимание! Даем определение
важнейшего математического понятия.

Множество объектов (называемых векторами),
для которых введены операции сложения и умно­
жения и которые удовлетворяют утверждениям

1 и 2, называются линейным векторным простран­
ством (или просто линейным пространством).

Сами утверждения

1

и

2

называются аксио­

мами линейного пространства.

Примеры

1.

Обычное пространство типа того, в ко­

тором мы живем и которое изучается в стерео­

метрии. Его элементами являются обычные векто­
ры-стрелочки, о которых шла речь в предыдущем

разделе. Там же для них показана справедливость
аксиом линейного пространства.

2.

Непрерывные функции f(x) переменной х,

определенные на отрезке х 1 ~ х ~ х 2, образуют ли­
нейное пространство. Сумма двух таких функций

будет непрерывной функцией с той же областью
определения. То же самое относится и к произве­

дению таких функций на числа .

3.

у=

-4

3

llx

4

Указанные на рисунке функции образуют
линейное векторное пространство на интерва­

< х < О и О< х < оо.
4. Множество комплексных чисел а+ Ьi (где
а и Ь - действительные числа, i =Гl ), как легко

лах -оо

2.

Умножение

Если х и у

-

векторы, а т и п

1 ·х=
т

-

числа, то:

х;

· (пх) = (тп) · х

(умножение на числа ассоциативно);
(т

+ п)(х +у)=
=

проверить, также образуют линейное вектор­
ное пространство.

т(х +у)+ п (х +у)=

тх +ту+ пх

+ пу.

ЗАДАНИЕ

1

Покажите, 'ПО коМПllексные числа удов­

(дистрибутивность умножения на числа и сло­

летворяют всем аксиомам линейною про­

жения векторов).

странства.

72

Пространства чисел, звуков и цветов

&аз и с
в

предыдущей главе были введены понятия

-

равенство

разложением данного вектора по

данному базису. Любой вектор пространства
однозначно представляется набором своих ком­
понент. Поэтому нередко говорят, что вектор

есть упорядоченный набор чисел.

Такие наборы принято записывать в виде

линейной комбинации и линейной неза­

столбцов или

висимости геометрических векторов. Эти

в предыдущей главе для случая п =

строчек, о которых шла

речь

Действия

2.

понятия естественным образом обобщаются на

над векторами (сложение и умножение на чис­

любые векторные пространства. Пусть в некото­

ло) производятся как над матрицами.

ром линейном пространстве
Х 1 , Х2' Ху

R

есть п векторов

... , Хп _ 1, Хп И пусть а 1 , а 2, аЗ' ..., ап-l' ап -

числа. Векторы х1, х2, х3,

••• ,

хп_1, хп называются

линейно независимыми, если для их линейной

комбинации равенство

МАТРИЧНЫЕ ЕДИНИЧНЫЕ

ВЕКТОРЫ
Если базисные векторы взять в таком виде:

а1Х1 + azXz + а3Х3 + ... + an_lxn-l + anxll

"

=I

asxs =о

s= I

е1

= (1,

О, О,

е 3 =(О, О,

... , О, 0), е 2 =(О, 1, О, ... , О,
1, ... ,О, 0),

выполняется только в том случае, когда все чис­

е"_ 1 =(О, О,

ла равны нулю . Если это не так (т.е. это равен­

то аюбую вектор-строку :\ЮЖНО предста­

ство справедливо, когда некоторые из коэффи­

вить в виде

х

циентов а5 отличны от нуля), то векторы х1 , х2,

В этом случае хотя бы один из них может быть

стоабец

их линейную ком­

е" =(О, О,

... ,О, 1),

1

От:\1епв1,

-

1, О),

= (х1 , х-,, ..., х" ) =.\' е 1 + х-,е,... + ... + х е

х3, •••, хп_1 , х" называются линейно зависимыми.
выражен через остальные

... ,

О,

О),

-

что

вектор-строка

и

11

n

. (1)

вектор-

равнозначные объекты. Исrl(МЬ­

зование того 1ы11 другого

-

дед о удобства.

бинацию. Так, в обычном пространстве любые
три некомпланарных (т.е. не лежащих в одной
плоскости) вектора линейно независимы.
Помните, как в обычном пространстве, в ко­

тором имеется фиксированная декартова систе­
ма

координат,

--> -->

.,..

i, j , k

вводились

единичные

векторы

вдоль координатных осей? Благодаря им

любой вектор можно выразить линейной ком­
бинацией его проекций на координатные оси:
~

7

7

Что такое Р.азмерность
~

nинеиноrо
nространства

k.,..

v=vi +v.; +vz .
х

Из-за этой способности тройка 1, }, k полу­
чила название базиса обычного пространства.

м

уравей по проволоке может ползти
только в одном направлении, а на пло­

скости

-

в двух: вдоль любой прямой и

Эти векторы, как мы должны помнить, являют­

по перпендикулярной к ней. Куда больше воз­

ся линейно независимыми.

можностей у муравья, если ему встретится тра­

Сказанное можно обобщить на произволь­

винка: по ней он сможет двигаться еще и вверх.

ное линейное пространство. А именно, базисом

Возможное направление движения

некоторого линейного пространства

что называется в математике измерением .

R

называ­

ется такая система линейно независимых векто­

ров е 1 , е 2, ••• , е"_1, еп, что каждый вектор из

R мож­

Вспомним
ловую

ось,

координатные

декартовы

-

это то,

системы :

системы

на

чис­

плоскости

но представить в виде линейной комбинации

и в пространстве. Для чего они нужны? Для ука­

этих векторов:

зания положения точек. На прямой достаточно

11

Х

=

I xses .
s=l

одного числа, на плоскости
стве

Коэффициенты разложения в этом равен­
стве называют координатами, или компонента­

ми, вектора х в базисе (е1 , е2,

•••,

еп_1,

eJ

А само

-

-

двух, в простран­

трех.

Поскольку мы уже знаем, что эти числа
можно

рассматривать

как

координаты

векто­

ров в соответствующих пространствах, то коли-

Пространства чисел, звуков и цветов

73

но, если в линейном пространстве существуют
только п линейно независимых векторов, но не

больше, то пространство на зывается п-мерным,
а п

-

размерностью этого пространства.

В п -мерном пространстве непременно су­

ществует базис из п линейно независимых век­
торов. Таковым, например, является базис, ис­
пользованный в равенстве

(1).

Всеrда nи
nространство
«nространственно»

чество этих координат

произвольного

вектора

также свидетельствует о пространстве, которо­

му он принадлежит. Таким образом, приведен­
ное выше равенство

(1) характеризует простран­

r

оворя о векторных пространствах, так или

иначе п~едставляешь себе некий « объем »,
которыи

заполнен

всякими

предметами

вроде стрелок, параллелограммов, кубов и про­

ство с п координатами.

чих геометрических фигур, а также нас с вами .
На самом деле измерения таких пространств

вовсе не обязаны иметь геометрическую при­
роду. Стоит вспомнить смысл координат, или

измерений, чтобы понять это .
Координаты

-

это

переменные,

исполь­

зующиеся для описания геометрических фи­
гур . Зная их, мы знаем о таких фигурах все . То
есть имеем полную информацию о них. Но это
только геометрия. Чтобы получить необходи­

мую информацию об объектах иной природы,
требуются иные переменные .

Количество координат пространства, в ко­
тором

введена

система

координат,

называется

размерностью этого пространства. Каждую из
этих координат называют измерением. Значит,
линия или прямая имеет одно измерение и яв­
ляется одномерным

пространством,

плоскость

или поверхность (например, шара)

-

двумер­

ное

в

котором

пространство,

а

пространство,

мы живем, имеет три измерения (х, у и

z)

и, ста­

ло быть, трехмерно .
Векторное
количеством

пространство
линейно

характеризуется

независимых

векторов,

которые имеются в нем. Размерность такого
пространства прямо связана с ними. А имен-

74

Пространства чисел, звуков и цветов

Например, если речь идет о погоде, то по­

относительности, являясь «Сценой » физических

мимо географических координат местности не­

процессов,

лишне будет указать температуру воздуха там .

скоростями.

Это еще одна переменная, еще одна «коорди­

ната» и еще одно измерение. Неплохо также
знать,

каковы давление воздуха и скорость ве­

тра. Это еще

1+(1+1+1) = 4 измерения . Итого
2 (географические координаты широта и долгота) + 1 (температура воздуха)+
+ 1 (атмосферное давление)+ 3 (три компоненты
скорости ветра)= 7.
получается:

Стало быть, наше « погодное» пространство
семимерно! Лихо . Но ясно, что и эти «измере­
ния» еще не все. Есть, например, еще влажность

воздуха. К тому все эти параметры-измерения
погоды меняются со временем. Так что возника­
ет довольно сложная картина.

~·

Ч-;.

'

v
Символическое изображение
пространства-времени.

Упростим ее. Представим все имеющееся

в обычном трехмерном пространстве точками
в нем (т.е. координатами), а все случающееся
еще и временем

t,

когда это происходит. Таким

образом, в координаты любого события вклю­
чается помимо пространственных переменных

также временная координата . Возникающая в
результате этой процедуры конструкция тоже

будет векторным
спец_иальное

мя

-

пространством.

название

Оно имеет

пространство-вре-

и используется в так называемой теории

происходящих

с

очень

высокими

Пространства чисел, звуков и цветов

75

Что такое

мноrомернь1е

nространства

Т

аким образом, координаты в линейных
пространствах можно представить как те

или иные свойства, или качества, изучае­

мых объектов, а сами пространства

-

как про­

странства свойств. От этого они не перестают

быть векторными, поскольку в них выполняют­
ся аксиомы линейных пространств.

Мориц Эшер. «Относительность » .

1953 r.

МНОГОМЕРИЕ НЕ НОВОСТЬ
Идея о возможности существования в про­
странстве пе трех, а четырех измерений

возникла в математике оче111. давно. Пер­
вые смутные соображения на сей счет по­

явились во времена Диофанта, в

250 r.

до

н.э. В более отчетливой форме ее выска­
зал средневековый математик Абу ль-Ва­

фа Мухаммад ибп Мухаммад аль-Бузджа­
ни, живший в Х в. в Багдаде. У него немало
научных достижений: он изобрел триго­

нометрические функции тангенс и котан­
генс и построил их таблицы, а также вы­

вел формулу для синуса суммы двух углов.

Одно-,
привычны
Выше говорилось о том, что размерность
пространств выражается натуральным числом,

двухнам

и

-

трехмерное
линия,

пространства

плоскость,

объем.

А как быть, скажем, с четырехмерным

про­

странством?

причем это число может быть, вообще говоря,

Мы с вами трехмерные существа. А наша

любым. На число п в определении векторных

тень, отбрасываемая на пол, двумерна. Конечно,

пространств не накладываются никакие ограни­

это не мы, но тем не менее, тень несет кое-какую

чения. Как представить себе пространства?

информацию о нас. Если у вас большой жи­
вот, у тени тоже будет некая выпуклость. Тень,

76

Пространства чисел, звуков и цветов

по сути, это плоская, т.е. двумерная, проекция

трехмерного объекта (нашего тела). Точно так
же

можно

попытаться

представить

четырех­

мерные тела, рассматривая их трехмерные про­
екции.

Пусть наше четырехмерное пространство

-

это упоминавшееся выше пространство-время.

Это значит, что четвертым измерением в нем

является

время.

Остановить

время

означает

оставить только три измерения. Это как раз и
делает фотография. Правда, трехмерный объ­
ект на фото проецируется в конечном счете на
плоскость

-

фотография-то плоская. Благода­

ря этому получается трехмерное пространство

с двумя пространственными и одной времен­
ной координатами.

Существуют

различные

способы

предста­

вить себе многомерные объекты в образах, по­
нятных нашим чувствам. Тем не менее в полной

мере мы не в состоянии вообразить даже четы­
рехмерное пространство. Да в этом и нет особой
необходимости! Математика предоставляет все
необходимое для конструирования таких про­
странств и изучения их свойств. А наглядные

картинки

-

лишь подсобные средства для того,

чтобы почувствовать себя там немного уверен­
нее. Поэтому вернемся снова к многомерным

пространствам и посмотрим, что бы такое там
«соорудить», опираясь на уже знакомую геоме­
трию.

77

Пространства чисел, звуков и цветов

СКОЛЬКО ПРАВИЛЬНЫХ

Эта формула выражает теорему Пифагора

ФИrУР В ЧЕТЫРЕХМЕРНОМ

для трехмерного пространства.

ПРОСТРАНСТВЕ
Выше мы говориди о тессеракте

-

прави11ь­

пой фигуре в четырехмерном простран­
стве. Это выпук11ый многогранник

кнутая фигура в

-

Докажите формулу

зам­

данном пространстве.

Подсказка:
-->

-->

(3).

умножьте

скалярно

а

может существовать? На п11оскости (двух­

ную перпендикулярность.

-

мерное пространство)

бесконечно мно­

го. В трехмерном пространстве

-

всего

Расстояние между двумя точками в трехмер­

только пять (тетраэдр, куб, октаэдр, ико­

ном пространстве определяется как длина век-

саэдр и додекаэдр). Прави11ыюсть много­
гранника

в

четырехмерии

все его границы
плоские грани

-

-

вектор

-->

+ Ь + с на самого себя и учтите их попар-

Ско11ько прави11ы1ых многогранников там

означает,

_,

-->

тора с = а

что

ячейки, (трехмерные),

-

-->

Ь разности двух векторов с концами

в этих точках и началом в начале системы коор­
динат.

яв11яются правильными

фигурами. Так вот, в четырехмерном про­
странстве

возможны

шесть

прави11ьных

многогранников.

о

И здесь тоже

Пифаrор!

в

предыдущей главе в ра зговоре о векто­
рах было введено число, характеризую­
щее их « взаимоотношения »

-

скалярное

произведение двух векторов . Оно выражается
через их компоненты в декартовой системе ко­
ординат:

-->

а

-->

· Ь = ах ·
Е ели

Ьх

+ ау ·

Ьу

+ а2 •

Ь 2 = ахЬх

__,

представить, что а

где 1~1 =~а; +а~ +а;
-->

-

+ ауЬу + а 2 Ь,. (2)

ь
_,

__, __,

= , то а

2

2

2

·а =ах +ау + а 2 1

длина, или норма,

~

вектора а, число деиствительное неотрицатель-

-->

ное. Если а

·

-->

Ь

О, то говорят, что эти векторы

В трехмерном линейном пространстве для лю­
бых трех взаимно перпендикулярных векторов
-->

-->

,Ь

(а х

-

Ь,
ау
х

-

Ь.1
аz
у

-

Ь z). Его длина определяется

через скалярное произведение на самого себя:

с· с= (ах -Ь)2 +(ау -Ь/ +(а, -Ь,).
Отсюда
-->

вектора с

получаем

выражение для длины

или расстояния

s между двумя точка-

ми трехмерного пространства с координатами

(ах' а 1 а) и (Ьх, Ь1 Ь,).

F-=: / -bJ 2 +(ау
s=-vc·c=-y(ax

2

2

-Ьу ) +(а, -Ь, ).

В математике множество элементов любой
природы, для каждой пары которых введено по­
нятие

расстояния

между ними,

именуется

ме­

трическим пространством. А способ, каким это
расстояние определено, называется метрикой .

А если метрика введена через скалярное произ­
ведение так, как это только что сделано, то такое

=

взаимно перпендикулярны, или ортогональны.

а

Такой вектор имеет следующие составля­
ющие (компоненты) по координатным осям:

пространство получило название в честь самого
великого геометра всех времен

Другая формула скалярного произведения
-->

-->

а

-->

·Ь

= аЬ

cos ер .
(2) и (4)

Сравнение равенств

(3)

евклидово.

выражает его через угол между векторами :

и с выполняется равенство

- -1 1-1 2 +Ь1-1 2 +с.
1-1 2
1-а+Ь+с=а

-

получить

замечательную

(4)
позволяет нам

формулу,

выража­

ющую угол между векторами через их компо­

ненты в любой декартовой системе:

78

Пространства чисел, звуков и цветов

(5)

К6оnьwим
размерностям

п

оскольку
с

мы

уже

многомерными

немного

освоились

пространствами,

по­

пробуем распространить и на них глав­

-

ные понятия трехмерной геометрии

длины,

угла и скалярного произведения. Итак, мы от­
правляемся в п-мерное пространство (конечно,
линейное векторное), или пространство п

> 3

измерений. Хоть там и трудновато ориенти­
роваться, но идти-то куда-нибудь надо. То есть
Инструменты нашего метрического
пространства.

проходить расстояния-длины . Раз уж раньше
мы использовали скалярное произведение для

этих целей, попытаемся определить его и здесь.

Поскольку измерений много, расписывать мно­
жество компонент векторов неудобно. А посему
используются

специальные

символы

для

ска­

лярного произведения и суммирования.

Итак.

Любым

двум

векторам

линейного

п-мерного пространства

Х = (х1, х2, ..., xJ и У= (У1' У2' ..., Уп)
поставим в соответствие число, называемое их

скалярным произведением, обозначаемое как
(х, у) и равное следующей сумме:
п

(х,у) = Х1У1 +Х2У2 + ... +ХпУп

=

L>;Y;·

(6)

i=n

Два вектора называют взаимно перпендику­
лярными или ортогональными, если их скаляр­

ное произведение равно нулю:

(х, у)= О.

Скалярное произведение в любом вектор­
ном линейном пространстве должно удовлетво­
рять следующим условиям, или аксиомам:

1.

(х, у)= (у, х).

Иными словами, от перемены мест сомно­
жителей скалярное произведение не меняется.

2) (kx, у) = k(x, у),
где k - число. Это

означает, что если один из

сомножителей увеличить или уменьшить в

k

раз, то во столько же раз изменится и скалярное
произведение.

3.

(х +у,

Это

z) = (х, z) +(у, z), (х, у+ z) = (х, у)+ (х, z).

распределительный

закон,

который

справедлив для любого числа слагаемых.

4.

(х, х) ~ О, причем (х, х)

где О= (О, О,

... , О) -

= О только

при х

= О,

нулевой вектор.

Последнее условие позволяет ввести длину,
или норму, каждого вектора в п-мерном линей­

ном пространстве. Поскольку согласно

(6)

Пространства чисел, звуков и цветов

(х,х) = "
L..,x;,
'' 2
то

длина

вектора

х

79

ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ ВЕКТОРЫ

определяется

как

корень

Часто бывает у доб но пользоваться векто­

квадратный из его скалярного произведения

рами единичной длины. Такие векторы

на себя:

называют нормированными. Любой ие­
ну левой вектор можно превратить в нор­

(ба)

мированный, поделив его па собственную
длину:

Теперь можно определить и угол между

lz =1~ 1 ·

двумя векторами в п-мерном пространстве. Это

Говорят, что векторы е 1 , е 2 , ••• , е" образу­

угол, косинус которого равен отношению

ют

(х,у)
(бб)

lxllYI.

ортогональный

ный
в

(или

ортонормирован­

ортонормированный)

1z-мерном

евклидовом

базис

пространстве,

если они взаимно ортогональны и длина
каждого

ЗАДАНИЕ

3

(

Покажите, что для векторов обычного
пространства последнее выражение совпа­

дает с

из

(5).

е; ,

них

ei

равна

) = { 1,

если i = j;

векторов,

можно

ввести

и

метрику

в п-мерном пространстве: определить расстоя­

.

Последнее соотношение часто записыва­

где

6 .. '1

= b;i'

так называемый символ Кронеке­

ра, определяемый условием

ние между его точками как длину разности век­
торов, имеющих концы в этих точках.

Линейное п-мерное пространство, в котором
определено скалярное произведение векторов,
называется евклидовым.

nонятии

размерности

nространства
Е

.

О, ес.ш 1 *- J.

(е; , ei )

о

если

ют в изящном виде:

После того как мы научились определять
длины

единице, т.е.

ели посмотреть на водяной шланг издалека, он будет вы­
глядеть как линия, т.е. будет казаться одномерным. Но при

ближайшем рассмотрении становится ясно, что шланг в

действительности трехмерен и имеет маленькие круглые сечения.

Эта скрытая структура нового измерения объясняет кое-что из
того, что можно наблюдать с большого расстояния, а именно то,
как шланrу удается подавать воду. Для этого сечения должны быть
соответствующей формы, с полостью посередине. Теперь пред-

_ { 1, ес.ш i =j;

6 ;Г

O,ecлui'l:-j.

80

Пространства чисел, звуков и цветов

ставим

себе, что толщина шланга меньше,

НЕ МАТЕМАТИКОЙ ЕДИНОЙ

чем размер атома. Чтобы заметить дополни­

П11фагор еще в 11ача .1 е

тельные

, 1а.1,

размерности,

в

этом

случае

потре­

что

Зе:-.1.1я

бовалось бы разглядывать шланг необычай­

нространстве

но

сч111 а.1

скрупулезно.

Такой

невероятно тонкий

шланг не смог бы подавать воду, но достаточ­

oeJ

\ ' ! в .. ю 11. J.

шарооора .н1а
BCЯhOi l

11

утв ерж­
в11оп

II0.1. 1epжi-.11.

в

Он

.1у1111ыi1

све 1 01 раже1111е:-.1 со .111 ечyi-.aJa.1 11р11ч1111у . 1унны:\ фаJ,
ооъясня . 1 00.1 ынсi1 11.111 :-.1е11ынсi1

1ю1л с11яш1я,

но маленькие объекты все же смогли бы по

~-.оторые

нему путешествовать.

сте11е11ыо

осве1не111юс111

, lУны .

П11фа1·ор

оорапI . 1

Bllll\IaHJit:' на ч111в11 .Н1у гpaiillllbl
OCBt:'Illt:'l!IIOil 11 l!l'OCBL'Illl'HIIOil частя­
\111 , lуны , JIJ Чt'ГО C.ll'.1a.1 ВЫВО. 1 о ТО\1 , что
1ly11a шарооора .н1а, а не яв.1яется 11.1oci-.oi1.
По а11<1.1оп111 с 1 ly11oi1 П11фагор Jai-..11oч11. 1 ,
что 11 Зе:-.1.1я ес1ъ шар.
\leЖ.l\'

Мноrомерие
внутри нас
м

ожно задать законный вопрос: имеют
ли какое-нибудь отношение к «реаль­
ному» миру все эти многомерные про­

странства? Нам и в трех измерениях неплохо.

-

ведь есть еще время. Куда

от него денешься. Но

5, 6 и больше измерений ...

Ну, пусть в четырех

Музь1ка сердца

материи
в

общем-то, древние греки были правы в том,
что материя построена из атомов. Атомы

-

это такие крохотные сrустки, состоящие из
плотных

ядер,

окруженных

электронами,

еще

более мелкими частичками. Считалось, что элек­
троны не имеют никакого строения, т.е. у них нет

составных частей. «Лего-электрон» состоит всего
из одной детали.

Мир в представлении древних индийцев.

Когда-то люди были убеждены в том, что
Земля плоская. И в том, что вокруг нее кружит­
ся Солнце. И верили в это очень-очень долго.
Потом оказалось, что все не так. Правда, не ис­
ключено,

что

некоторые

до

сих

пор

считают

нашу планету плоской. Но это их проблема,
а не науки, которая шагнула далеко за горизонт

обыденных человеческих представлений.

Пространства чисел, звуков и цветов

Ядро, напротив, имеет структуру. Физики
выяснили, что оно состоит из нуклонов

-

про­

81

Если бы у нас был фантастический микро­
скоп,

позволяющий

рассматривать

объекты,

10 ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО ООО (десять милли­

тонов и нейтронов. Потом они прозондирова­

в

ли протон и нейтрон и открыли, что те состоят

онов миллиардов миллиардов) раз меньшие, чем

из кварков, казалось бы, по-настоящему точеч­

атомы,

ных частиц. С точки зрения математики у них

бы в них протяженные отрезки линий

нет внутренней геометрии, следовательно, это

Раздел науки, изучающий такие объекты, назвали

нульмерные объекты. Современная физика как

очень просто

раз и основана на кварках и электронах в каче­

суперсовременный и ДОВОЛЬНО сложный «КОК­

стве точечных элементарных частиц.

тейль» из математики с физикой.

МАТЕРИЯ

то вместо точечных частиц

-

Атомы
АТОМ

Ядро

Молекулы

Протон

Электрон

НЕЙТРОНЫ

Кварки

Строение материи
науки.

-

струны.

теорией струн. На самом деле это

МОЛЕКУЛА

в представлении современной

мы увидели

Пространства чисел, звуков и цветов

82

Теория струн утверждает, что элементарные

Однако из теории струн следует, что струны

частицы не являются точечными, а представляют

полноценно

собой крошечные одномерные нити, подобные

ном пространстве-времени. Наш знакомый мир

бесконечно тонким, непрерывно вибрирующим

состоит из большой четырехмерной части (того

резиновым лентам-струнам. Эги струны лежат

пространства, в котором мы живем) и малень­

очень глубоко, в самом сердце материи. Именно

кой шестимерной. (Это можно представлять

они представляют собой ультрамикроскопические

наглядно таким образом, что каждая точка на­

компоненты, из которых состоят частицы, образу­

шего пространства при «пристальном» взгляде

ющие атомы. А в конечном счете и мы с вами

-

только из струн и ни из чего больше.

-

только

в

десятимер­

имеет внутреннее шестимерное строение.)

Все характеристики элементарных частиц,

Каждая струна является двумерным объек­
том

существуют

таким, у которого есть только одно про­

странственное и одно временное направления.

например их заряды и массы, приобретают
здесь геометрический смысл. Некоторые из них
возникают как размеры различных частей ма­

ленького шестимерного пространства. Таким

образом, теория струн является наукой на стыке
физики, геометрии и алгебры.

А ТУТ ЕЩЕ И МЕМ&РАНЫ
Недавно теория струн получила дальней­
шее

развитие

в

виде

теории

:\1ногоi\1ер­

ных :\1еi\1бран, или бран. В сущности, это
те же струны, но плоские. Один из

авто­

ров идеи i\1е:\1бран пошутил, что они от­
личаются от струн примерно так же, как
лапша отличается от вермишели.

РЕШЕНИЯ ЗАД•.НИЙ
Все атомные частицы в теории струн
представляют собой различные типы

колебаний ультрамикроскопических струн.

При

этом

пространственное

направление

Задание

1

Непосредсrвенной подставкой комплекс­

z, w, q легко доказывается, что
z + w = w + z, (z + w) + q = z + (w + q), m(nz) = (тп)z
ных

чисел

ит.д.

имеет совсем крохотные размеры. Струны мо­
гут быть открытыми или замкнутыми в петлю.
Главная идея теории струн состоит в том, что

их колебания создают все известные элементар­

3адание2
-+
la-+ + Ь~ + с-+ 12 = (а-+ + Ь-:-+ + с)

-+

· (а

--+

--+

~

-+

+ Ь + с).
--+

ные частицы и силы, действующие между ними.

Учитывая, что веКТОJ>Ы а, Ь . и с взаимно
--ь
перпендикулярны: а
· = а----ь
· с= ---· с = о, по-

Различные колебания

лучим:

волн

вдоль

-

с разным числом длин

пространственного направления

-

la + Б + ё1 2 = а· а + Б · Б + ё· ё= 1а1 2 + 1Б1 2 + 1ё1 2 •

отвечают разным сортам известных частиц. Эго

означает, что наблюдаемые физиками частицы

ЗаданиеЗ

суть

Чтобы доказать соотношение

просто

различные

гармоники,

или

моды,

колебаний струн. Струна может вибрировать
бесконечным числом образов, и каждая из мод
ее вибрации представляется нам на большом
удалении какой-то точечной частицей.

Оказалось также, что среди возбуждений
струны

есть

такие,

которые

не

встречаются

в физике. Быть может, их откроют в будущем.

cos <р

=

ах ·Ьх +ау ·Ьу + az ·bz

~а; +а~ + а; -~ь; +Ь~ + ь; '
нужно воспользоваться выражениями

(6) и (ба)
при п = 3 и подставить их в соотношение (66).

Неевклидова геометрия

83

НЕЕВКЛИДОВА

ГЕОМЕТРИЯ

Пnоскость
и nnocкoe

вой системе изменяются, но расстояние между

любыми двумя из них сохраняется. Например,
параллельные

линии

остаются

параллельны­

ми, т. е . они нигде не пересекаются. По той же
причине сохраняются углы между прямыми.

nространство

в

спомним декартову систему координат.

Каковы ее особенности? Это две (на пло­
скости) или три (в пространстве) коор­

динатные

оси,

перпендикулярные

друг

другу.

Вуnкань1
и rеодезические

И бесконечные, поэтому пригодны для опре­
деления координат любых точек, в том числе
сколь угодно удаленных от начала. Когда име­
ется

возможность использования единой ко­

п

лоскость
ведь

-

двумерная поверхность . Но

существуют

поверхности.

и

другие

Посмотрите

двумерные

на

планету

ординатной системы для всей плоскости или

Маленького принца из повести Сент-Экзюпе­

пространства, такие плоскость и пространство

ри. Мало того что она шарообразна, так на ее

называют плоскими.

поверхности имеются всякие неровности вроде

Особенностью плоского пространства явля­

вулканов. Их было три: два действующих и один

ется возможность перемещения начала выбран­

потухший. Представим, что Маленький принц

ной системы координат в любую другую точку.

захотел бы соединить прямыми линиями эти

При этом координаты точек пространства в но-

три вулкана. Эти линии, конечно, пришлось бы

84

Неевклидова геометрия

вести по поверхности планеты. Поэтому пря­
мыми в обычном смысле они не являются. Ка­
ковы будут эти линии?

Камень

-

nреткновения
~

nять1и

в

то

время

nостуnат

евклидова

геометрия

счита­

лась наиболее надежным и уважаемым

разделом математики. Это был образец
построения математических теорий. Не менее
важным было то, что ее теоремы полностью

укладывались в резуль таты физической науки .
Например, законы Ньютона действуют в трех­
мерном евклидовом пространстве.

Несмотря на все почтение к древнему гре­
ку, кое-что в его геометрии беспокоило мате­

матиков. А именно
Маленький принц
на своей планете-астероиде Б-612.

-

формулировка пятого

постулат а. Его часто называют также аксиомой

о параллельных. Евклид сформулировал пятый
постулат следующим образом: «Если прямая,
падающая на две прямые (рис.

1), образует вну­

Две точки можно соединить линиями раз­

тренние и по одну сторону углы, меньшие двух

личной длины. Среди них одна будет особен­

прямых, то продолженные эти две прямые нео­

ной

граниченно встретятся с той стороны, где углы

-

та, длина которой наименьшая. Такие

линии называются геодезическими. На плоско­

меньше двух прямых».

сти это, естественно, прямые, соединяющие две

точки. На поверхности шара

дуги больших

-

окружностей с центром, совпадающим с цен­

тром шара. На картах Земли эти окружности
именуются меридианами.

Какую

форму имеют геодезические,

или

кратчайшие, пути, на такой поверхности, как

поверхность планеты Б-612? Ясно, что они изме­
няются в зависимости от формы поверхности
и при переходе от одной области к другой.
Отрезками геодезических Маленький принц

Рис.1. Пятый постулат Евклида.

может соединить свои три вулкана и получить

простейшую геометрическую фигуру

тре­

-

Это означает, что если углы

угольник. Затем установить его свойства. На­

меньше

пример,

достаточно далеко, пересекутся.

на

плоскости

сумма

углов

треуголь­

треугольников

справедлива

1

и

2

в сумме

то прямые а и Ь, продолженные

Если бы во времена Евклида существовал

ника равна сумме двух прямых углов. А для
прямоугольных

180°,

железнодорожный транспорт, он бы, наверное,

теорема Пифагора. Останутся ли верными эти

не

утверждения на сфере? А если она с «горбамю>

бесконечные непересекающиеся прямые.

вроде вулканов? Или если нужно будет выде­
лить квадратный участок на этой планете

-

как

проводить его параллельные стороны?
Эти и подобные вопросы встали перед мате­
матиками
Евклида.

200 лет назад.

И началось все опять с

сомневался

Почему

в

том,

Евклид

что

могут

существовать

сформулировал

аксиому

о параллельных именно так, а не иначе? Он мог

бы утверждать, например, что если сумма углов

1и2

равна

180°,

то прямые а и Ь параллельны.

Так нам говорили и в школе. Дело в том, что

Евклид боялся предположить, что могут суще-

Неевклидова геометрия

85

ствовать бесконечные прямые, которые никог­

возможно свободное от внутренних противоре­

да не пересекаются. Утверждение о бесконеч­

чий построение «геометрических» предложе­

ных прямых не соответствовало человеческому

ний о точках, прямых и т.д . исходя из системы

опыту. А по мнению древних, аксиомы должны

аксиом, в которой аксиома параллельности за­

быть истинами о физическом мире. Тем не ме­

менена противоположной . Построенная таким

нее, опираясь на свою аксиому о параллельных

путем геометрия называется неевклидовой.

и другие аксиомы, Евклид доказал существова­
ние параллельных прямых.

В результате появились новые геометрии
с иным пятым постулатом, которые сосущество­

вали с евклидовой геометрией. Вполне мирно
и опираясь на взаимопомощь. Они позволяли
получать логичные результаты и не имели вну­

тренних противоречий.

Физика и JКизнь

с

о временем жизненно важной стала про­
блема, которой придавал большое значе­

ние еще Евклид: существуют ли в физиче­

ском пространстве бесконечные прямые?

Свержение nятоrо
nосту11ата
Тот факт, что аксиома параллельности не
допускает проверки опытом, выдвигает на пер­

вый план вопрос о том, является ли она неза­

висимой от прочих аксиом. Если бы она была

неизбежным

логическим

следствием

Постепенно люди осознали, что положения

геометрии, описывающие свойства физического
пространства, можно и нужно проверять
на опыте.

других

постулатов, то тогда нужно было бы просто не

Согласно Евклиду, бесконечные прямые су­

считать ее аксиомой, а доказывать как теорему

ществуют: если бы прямые были конечными,

с помощью остальных евклидовых аксиом. И

то их нельзя было бы продолжать сколь угод­

много столетий математики потратили, пыта­

но далеко. Можно вообразить себе две линии,

ясь найти такое доказательство.

Попытки доказать евклидову аксиому о па­
раллельных или вывести ее из девяти остальных

аксиом Евклида оказались безуспешны. Выхо­

которые никогда не пересекаются и всегда нахо­
дятся на одинаковом расстоянии друг от друга.

Однако это нельзя доказать экспериментально.
Евклидова

геометрия

содержит

основные

дило, что этот постулат на самом деле незави­

понятия любой геометрии, такие как точки,

сим от других. Тогда что же означает независи­

прямые и плоскости. Но эти понятия в новых

мость аксиомы параллельности? Только то, что

геометриях требовалось пересмотреть. Теперь

86

Неевклидова геометрия

прямой линией стала называться любая линия,
которая

является

кратчайшим

расстоянием

между двумя точками, а плоскостью считается

такая поверхность, которая обладает следую­
щим свойством: если две точки на прямой при­
надлежат этой поверхности, то все другие точ­

ки на этой прямой также будут принадлежать
этой поверхности.

Эти идеи действительны во всех геометри­
ях и характеризуют новый подход к восприя­

тию форм. Неевклидовы прямые линии могут
оказаться искривленными, а в так называемой

сферической геометрии, к которой относится

и геометрия Маленького принца, сфера счита­
ется плоскостью и большие окружности на ее

поверхности являются прямыми линиями. Обе
геометрии имеют общую терминологию, по­
тому что и там, и там прямая линия является

самой простой линией, а плоскость

-

самой

простой поверхностью.

Короnь всеr да
~

nервыи

n

ервые важные результаты в новой гео­
метрии

получил

«король

математики»

Карл Гаусс. Сначала он называл ее анти­

евклидовой, позже

астральной (звездной

-

считая, что она может быть справедливой на да­
леких звездах) и, в конце концов, неевклидовой
геометрией.

Гаусс исходил из упомянутой выше идеи
о

возможности

нового

типа

геометрии,

кото­

рая удовлетворяла бы всем евклидовым аксио­
мам,

кроме аксиомы о параллельных прямых .

Он убедился, что логически непротиворечивые
неевклидовы геометрии возможны. Но, считая
полученные

им

результаты

слишком

револю­

ционными, Гаусс не решился публиковать их.
Важнейшим из них стала его идея о том, что

не только объекты, находящиеся в пространстве,
но и пространство само по себе также может
быть искривлено . Гаусс ввел понятие внутрен­

ней геометрии

-

идею, согласно которой объ­

ект или поверхность имеет свою собственную
кривизну (так называемую гауссову кривизну),
которая не зависит от того, как этот объект рас­
полагается в окружающем его пространстве .

Неевклидова геометрия

Кроме того, Гаусс считал, что саму по себе
поверхность можно считать пространством. На­
пример,

пространством

является

поверхность

Земли или яйца.

87

rауссова
кривизна
в

озьмем обычный лист бумаги. Можно
ожидать,

что

его

кривизна

равна

нулю

(ведь он же ровный). Так оно и есть. За­
тем свернем этот лист в цилиндр. Двумерная
поверхность цилиндра, согласно Гауссу, имеет
две

главные кривизны,

проходящие в направ­

лениях, перпендикулярных друг другу: первая
кривизна относится к окружности и имеет ве­

личину

l/r,

где

линдра. Если

r -

это радиус основания ци­

r = 1, то

эта кривизна также равна

единице. Вторая кривизна проходит вдоль об­

Математик писал об этом так: «Если мы изу­

разующей цилиндра, которая представляет со­

чаем поверхности как независимые пространства,

бой прямую линию. Кривизна прямой линии,

то соответствующие этим пространствам двумер­

очевидно, равна нулю, поскольку прямая не яв­

ные геометрии могут оказаться весьма причуд­

ляется кривой.

ливыми в зависимости от формы поверхностей».
Так,

эллипсоидальная

поверхность,

имеющая

форму мяча для регби, имеет иную геометрию,
нежели сферическая поверхность.
Такие поверхности называются многооб­
разиями.

Портрет Карла Фридриха Гаусса.
Художник Г. Бирман.1887

r.

88

Неевклидова геометрия

КАК ГЕОМЕТРЫ ХАРАКТЕРИЗУЮТ

КРИВИЗНУ ИСКРИВЛЕННОЙ

он свернут,

-

он совершенно плоский. Нулевая

собсrвенная кривизна цилиндра обусловлена тем,
что цилиндр можно сделать из листа бумаги, не

ПОВЕРХНОСТИ В ОКРЕСТНОСТЯХ

деформируя его. Измерения расстояний между

ИЗ6РАННОЙ ТОЧКИ

любыми двумя точками на поверхности листа вне

Сначала онн строят плоскость, касатеаь­

зависимости от того, лежит ли лист на столе или

ную к поверхности в исследуе .чой точке,

свернут в трубочку, дадут одинаковые результаты.

и

За­

Эго значит, что геометрия и, следовательно, соб­

те:\1 проводят через перпендику,1яр :чно­

сrвенная кривизна листа бумаги остаются неиз­

восстанавливают

перпендику,1яр.

жество секущих плоскостей. Каждая из

менными вне зависимости от того, плоский этот

них пересекает поверхность по какой-то

лист или свернутый.

кривой, которую вбл1ви точки

,\1

считать

большего

частью

окружности

:\южно

илн :\1еньшего радиуса. И вот оказывается,
что окружности са:\юго большого и са:\ю­
го

:\~а ,1енького

вза11:\1но

радиусов

лежат всегда

перпендикулярных

во

плоскостях

сечения. Г ео:\1етры берут величины, об­
ратные эпв1 радиуса:\1 (их называют глав­
НЫ:\Ш радиуса:\ПI кривизны), и пере:\ШО­
жают:

l/R

тах

· l/R .

тт

=К.

Полученная величина называется полной, 1ыи гауссовой, кривизной.

Цилиндр

-

это свернутая в трубочку плоскость.

ЗАДАНИЕ

1

Есть кран с водой и цилиндрическая ка­
стрюля. Как налить в кастрюлю воды ров­
но ДО ПОЛОВИНЬI?

Гауссова кривизна цилиндра, как любого дру­
гого двумерного объекта, равна произведению
одной кривизны на вторую, которое в нашем

случае равно

1

·О= О. Таким образом, в понятиях

собсrвенной кривизны цилиндр представляет со­
бой то же самое, что и лист бумаги, из которого

Неевклидова геометрия

ЗАДАНИЕ2
Радиус основания и высота цилиндра рав­

ны соответственно r и

89

Продоnжатеnи

Найдите длину

h.

кратчайшего пути по боковой поверхно­
сти цилиндра между диаметрально про­

с

тивоположными точками разных основа­

ледующий решительн~1й шаг в создании не­
евклидовых геометрии сделали два других

математика: венгр Янош Бойяи и русский

Николай Лобачевский. Они первыми опублико­

ний.

вали

изложения

своих новых систем,

и

потому

именно их принято считать создателями таких ге­

А вот сфера сильно отличается от цилиндра.

Рассмотрим сферу радиуса

ометрий.

r. В этом случае кри­

Со временем математики более подробно из­

визна одинакова по всей поверхности сферы,

учили эти новые геометрии и стали интерпрети­

и ее можно определить как

l/r2 • На поверхности

ровать их как геометрии геодезических

-

крат­

сферы все направления эквивалентны, что явно

чайших путей на

неверно в случае цилиндра. Именно по этой

Критерием различения геометрий стало понятие

причине не важно, как ориентирована сфера в

кривизны. Если поверхность имеет постоянную

трехмерном пространстве. Маленький жучок,

положительную кривизну, как сфера, то геоме­

искривленных поверхностях.

живущий на ее поверхности, вряд ли замеча­

трия называется эллиптической. Если кривизна

ет пространственную ориентацию сферы . Ему

постоянна и отрицательна (поверхность в каждой

интересна только геометрия двумерного мира

своей точке по форме напоминает седло), то это

вблизи него самого. А далеко ли многие из нас

гиперболическая

ушли от этих жучков?

трия соответствует нулевой кривизне

геометрия.

Евклидова

-

геоме­

плоскому

пространству. Эги геометрии можно охарактери­
зовать их метрикой

-

формулай для расстояния

между двумя точками. С ней мы уже встречались
в предыдущей главе. Кроме того, кривизна не обя­
зательно должна быть постоянной: она может из­
меняться от точки к точке.

Если раздувать воздушный шарик, то радиус

r будет увеличиваться, а сама
1/r2, - уменьшаться.
При приближении r к бесконечности кривизна
кривизны

кривизна, равная

будет стремиться к нулю, а геометрия
поверхности шара

-

к евклидовой.

Портрет Николая Ивановича Лобачевского.
Художник Л. Д. Крюков. 1830-е гг.

Неевклидова геометрия

90

Осо6енности Риманова
неевкпидовы~с. reoмe'l'pИR
rеометрии

r

еометрия и тригонометрия в простран­
ствах Лобачевского и Бойяи сильно отли­
чаются от знакомых нам со школы. Так,

в

опрос о том, какая геометрия лучше всего

соответствует физическому пространству,
способствовал появлению еще одной но­

вой геометрии, окончательно убедившей матема-

180°, причем

тиков в том, что структура физического простран­

не все треугольники имеют одинаковую сумму

ства может быть неевклидовой. Создателем новой

углов. Она зависит от площади фигуры. Чем

геометрии стал Георг Фридрих Бернхард Риман

больше эта площадь, тем меньше сумма углов.

(1826-1866), ученик Гаусса.

сумма углов треугольника меньше

Отсюда вытекает, что не существует подобных
треугольников,

т.е.

не

существует треугольни­

ков одинаковой формы, но разного размера.
Далее, если два треугольника имеют одинако­

вые углы (как говорят, конгруэнтные углы), то
и сами треугольники равны, то есть совпадают
при наложении друг на друга.

Треугольник на сфере, или сферический
треугольник.

Теперь представим прямоугольник в таком
пространстве и проведем в нем прямую из од­

ного угла в другой, т.е. диагональ. Сумма углов
двух

образовавшихся

180°.

А потому сумма углов прямоугольника

меньше

треугольников

Географические координаты

меньше

на поверхности Земли.

Следовательно, в неевклидовой

Риман дал свою интерпретацию понятий «точ­

геометрии нет и прямоугольников в обычном,

ка», «прямая» и «плоскость» . В качестве плоскости

евклидовом, смысле.

он выбрал поверхность сферы. Точки на ней име­

360°.

Но особо важное значение новых математи­

ют собственное

местоположение,

характеризу­

-

ческих открытий состояло в том, что неевклидо­

емое криволинейными координатами

ва геометрия оказалась пригодной для описа­

чисел, для сферы называющихся иногда широтой

ния свойств физического пространства ничуть

и долготой. Линиями Римана служили большие

не в меньшей мере, чем евклидова геометрия.

круги

-

геодезические сферы.

парой

Неевклидова геометрия

91

ИМЕНЕМ РИМАНА
Римановой геометрией называют много­
мерное обобщение геометрии на поверх­
ности,

представлиющее

римановых

собой

пространств

(или

теорию

многооб­

разий), т.е. таких пространств, где в ма­

лых областих приближенно имеет место
евклидова геометрии. В целом эта геоме­

трии не ивлиетси евклидовой. Простей­
шим

примером

риманова

пространства

служит люба и г ладкаи поверхность.

Риманова
Бернхард Риман.

метрика
п

06о6щение

оскольку

речь

многомерных

идет

об

искривленных

пространствах,

неплохо

бы найти способ измерения расстояний

между парами их точек.

Затем Риман перенес эти идеи с поверхно­
сти, или, иначе, с пространства двух измерений,

на пространства трех и более измерений. Он
считал, что если моrут существовать разные по­

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
rЕОМЕТРИЯ

пло­

Возможность метрики менитьси от то'f­

ские, сферические или такие поверхности, как

ки к точке привела Рие\1а11а к исследо­

верхности, т. е. двумерные пространства

-

плоскость Лобачевского, то так же моrут суще­

ванию

ствовать и трехмерные и еще более высоких раз­

странств

мерностей пространства, а в них

-

поверхно­

говорят

геометрических

в

малых

свойств

областих,

матее\ытики,

нро­

или,

локалынно

как

11ове­

сти. Поверхности в многомерных пространствах

дении пространства. Такой 1юдход нолу­

он назвал многообразиями.

чил название дифференциалы1ой геое\tе­

В результате этих обобщений оказалось, что

трии, в отличие от геометрии нрострав­

геометрия Евклида и геометрия Лобачевского,

ства в целом, которой занималси Евклид,

так же как и геометрия пространств типа сферы,

а

которую теперь называют геометрией Римана,

Бойии и Лобачевский.

в

пеевклидовой

геометрии

-

Гаусс,

являются лишь частными случаями. Рассматри­
вая вопрос о пространстве положительной кри­

визны, Риман распространил на него все свойства

Поскольку свойства пространств в неевкли­

сферической поверхности . Так же как на сфере

довых геометриях меняются от точки

«прямые» линии не моrут продолжаться беско­

Риман решил определить расстояния между

нечно, потому что замкнуты сами на себя, в сфе­

двумя точка м и, координаты которых отличают­

рическом пространстве с числом измерений п

>2

«прямая» линия должна быть замкнутой.
Это значит, что сферическое пространство
любой

размерности

должно

быть

конечно

к точке,

ся на очень малые величины. Расстояние между

такими бесконечно близкими точками Риман
обозначил как

ds

(это и есть то, что называют

метрикой пространства). Он предположил, что

и безгранично, как конечна и безгранична по­

квадрат

верхность любого шара.

странстве (в действительности Риман рассма-

этого

расстояния

в

трехмерном

про­

92

Неевклидова геометрия

тривал общий случай п-мерного пространства)

несмотря на всю важность нововведений Рима­

можно представить в виде

ds2 = g11dx12 + g12dx1dx2 + gвdx1dxз + gz1dx1dx2 +
+ g 22 dxi + g23dx 2dx 3 + g 13dx 1dx 3+ g32dx 2dx 3+ g33 dxi,
где

gii (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3) -

некоторые функции

координат х 1 , х 2 и х 3 ; при этом

gii = gii и

правая

ds

представляет собой обоб­

щение формулы Пифагора для трехмерного ев­
клидова пространства, с которой мы уже встре-

чались:

ds 2 =

от

пространства. Без Пифагора никак!
Пространство,

наделенное

римановой

ме­

трикой, носит название риманова многообра­
зия. Зная метрику, можно измерить длину лю­

кривой,

принадлежащей

многообразию

произвольной размерности. Таким же спосо­
бом возможно измерять и площади поверхно­
стей в подобных пространствах, причем поня­
тие «поверхность» в этом случае не ограничено

dx~ + dxi + dxi .

Допуская
что

на, по-прежнему основан на теореме Пифагора,
только переформулированной для неевклидова

бой

часть положительна при всех значениях g;г

Выражение для

Таким образом, новый подход к измерению,

зависимость

координат,
природа

Риман

тем

пространства

привычными нам двумя измерениями.

коэффициентов
самым
может

gii

учитывал,
изменяться

от точки к точке (это значит, что метрика явля­

ется функцией координат).

Сравнение
~

трех rеометрии

r

ауссова кривизна полностью характеризу­
ет поверхность в конкретной точке. Если
измерения дали величину гауссовой кри­

визны К= О, то следует пользоваться евклидовой
геометрией. Двумерное пространство нулевой
кривизны

-

плоскость. Та же нулевая величи­

на кривизны определяет и евклидово простран­

ство, отличающееся от плоскости только нали­
чием еще одного измерения.

Если же число К

>

О на всей поверхности,

ряд постулатов Евклида теряет смысл и нуж­
но применять законы другой, так называемой

сферической геометрии. В ней сумма углов тре­
угольника больше

180°,

а через точку вне дан­

ной «прямой» нельзя провести ни одной «пря­
мой», не пересекающейся с данной .

Двумерное
кривизны

-

рицательная

пространство

отрицательной

плоскость Лобачевского. Та же от­
величина

кривизны

определяет

и неевклидово пространство Лобачевского, от­
личающееся от плоскости Лобачевского лишь
наличием еще одного измерения. Представить

себе его наглядно трудно, но математически

оно

описывается

безукоризненно.

Кривизну

пространства можно измерить опытным путем.

И тогда в пространстве отрицательной кривиз­

ны сумма углов треугольника будет зависеть от
величины его сторон и составлять меньше
Расстояние между двумя близкими точками
пространства называется метрикой.

180°.

Через точку, лежащую вне «прямой», можно

будет провести не одну, а целый пучок «пря­
мых», не пересекающихся с данной, и т.д.

Неевклидова геометрия

93

Физическое

01 + 02+03>180°.
Положительная

nространство

кривизна.

Сферическая
геометрия.

м

ысль о том, что пространство может
искривляться само по себе, а не во что­

то еще, позднее оказалась востребо­
ванной в общей теории относительности (ОТО)
Эйнштейна.

Все знают, что есть геометрия, и есть физи­
ка. Причем не только в школе. Физика «живет»

в пространстве (в нем происходят физические
процессы), но пространство, описываемое геоме­

трией, существует само по себе, т.е. не зависит от

01 + 02 + 03 = 180°.

того, что в нем происходит. Это просто фон или

Нулевая

сцена, на которой разыгрываются события в ми­

кривизна.

роздании. Например, считалось, что гравитация

Евклидова

создается

геометрия.

материальными

в нашем обычном

-

телами

и

существует

трехмерном евклидовом

-

пространстве, ничуть не влияя на него.

Любое событие (движение и столкновения

тел, распад атомов, взрывы звезд

-

в общем,
четырьмя

может

числами

местом в пространстве (тремя про­

-

быть

помечено

все-все-все)

странственными координатами), где оно прои­

зошло, и моментом времени, когда это событие
случилось. В классической физике, в том числе
в ньютоновской теории тяготения,

простран­

ственные и временная координаты существуют

независимо друг от друга. Ну, это как разные
этикетки на одном товаре, сообщающие нам
о

его различных достоинствах.

01 + 02 + 03 < 180°.
Отрицательная

Нерушимый союз

кривизна. Ги­

перболическая

nространства

геометрия.

На поверхности с положительной кривиз­

ной (такой как сфера) сумма углов треугольни­
ка больше

180° и линии,

кажущиеся параллель­

и времени

ными, обязательно пересекаются (как мериди­
аны на Северном и Южном полюсах земного
шара). На плоской поверхности (с нулевой кри­
визной), которая является основой евклидовой
геометрии,

сумма

углов

треугольника

в

теории относительности к трем основ­

ным измерениям пространства добавля­
ется еще одно

-

время. В результате по­

равна

лучается единое геометрическое пространство,

и параллельные линии не пересекаются.

названное пространством-временем. В нем все

На поверхности с отрицательной кривизной,

координаты равноправны и имеют одинаковую

например имеющей форму седла, сумма углов

природу. В отличие от обычного трехмерного

180°

треугольника меньше

180°, а линии,

кажущиеся

параллельными, на самом деле расходятся.

пространства, где мы обитаем, новое простран­
ство является четырехмерным.

94

Неевклидова геометрия

Эйнштейн в ОТО объединил геометриче­

обычная сила, а следствие того, что простран­

ские свойства такого пространства с физиче­

ство-время

ской природой гравитации . Иными словами,

было думать раньше. В ОТО пространство-вре­

он

мя

на

математическом

языке

геометрических

пространств сумел описать физическую реаль­

-

ность

гравитацию . Правда, геометрия эта,

как и описываемые ею пространства, не евкли­

не является

изогнуто,

или

плоским,

искривлено,

как принято

помещенными

в него массами и энергией (любой). Тела, по­
добные

Земле,

движутся

по

искривленным

орбитам не под действием силы, именуемой

дова, а риманова. Каждое событие, которое слу­

гравитацией, а по геодезическим, т.е. по крат­

чается во Вселенной, представляет собой собы­

чайшим путям.

тие, происходящее в четырехмерном мире про­

А риманово пространство в ОТО является
обобщением подобной геометрии поверхности

странства-времени.

с двух измерений на четыре . Представить его

наглядно в виде какого-то образа никак невоз­
можно.

Когда гравитация слаба и не играет никакой
роли (например, на уровне атомных явлений), это
четырехмерное

пространство

неискривленное,

плоское, евклидово. Но в космических масштабах
оно наделяется кривизной, определяющей дви­

жение материальных объектов. Гравитационные
поля в ОТО выражаются через кривизну четырех­
мерного пространства-времени.

Пространство-время особенно искривляется
в присутствии тел с большой массой, таких как
Солнце. Чем ближе к нему, тем больше кривиз­
на. Иными словами, геометрия пространства-вре­
мени в окрестности больших материальных тел
становится

неевклидовой.

Это

искривление

и

есть поле тяготения. Планета, движущаяся вокрут

Солнца, перемещается по эллипсу не потому, что
Солнце притягивает ее, а благодаря особым свой­
ствам искривленного пространства-времени.

Событие в физике и астрономии помечается
местом, где оно случилось, и временем,

когда произошло.

Значит, Вселенную следует рассматривать
как

четырехмерный

пространственно-времен­

ной мир . Но каким образом гравитация удер­
живает различные тела на поверхности Земли

и планеты на их орбитах?

Несиnы,
но кривизна!

r

лавная идея, с помощью которой Эйн­
штейн
к

объяснил

другу,

очень

притяжение
проста.

тел

друг

Гравитация

не

Искривление пространства-времени

вблизи Солнца и Земли.

Неевклидова геометрия

PEWEHltR ЗАДАНИЙ
3адание1

Наберите сначала полную касrрюлю, а по­
том отлейте лишнее, наклоняя касrрюлю до тех
пор, пока не покажется дно.

3адание2

Пусrь

прямоугольник

ка боковой
АВ =

поверхносrи

ABCD цилиндра,

разверт­
причем

h, AD = 2nr. Искомый путь равен кратчай­

шему пути между точкой А и серединой М сrо­

роны ВС, т.е. длине отрезка АМ. По теореме Пи­

фагора из прямоугольного треугольника АВМ
находим, что

95

96

Топология

топология

_ _ _"
,_,

.;-1'

Портрет Августа Мёбиуса. Художник А. Нейман.

Великий геометр

XIX в. А.

Мёбиус

(1790-1868)

б6льшую часть жизни занимал должность
астронома в одной из небольших немецких
обсерваторий. В возрасте

68 лет он открыл

существование односторонних поверхностей.

Одну из них впоследствии назвали его именем.
Идеи Мёбиуса положили начало новой области
геометрии

-

топологии.

Топология

Чем интересуете•

ГЕОМЕТРИЯ И ТОПОЛОГИЯ

бам,

опология

занимается

-

В ЧЕМ РАЗНИЦА

тononorи•
Т

97

В геометрии главную роль играет рассто­
яние. При изучении двух точек па од­

геометрическими

ном

острове

важно

понимать,

сколько

свойствами, которые остаются неизмен­

времени потребуетси, чтобы дойти из

ными, когда фигура подвергается изги­

одной точки

скручиванию,

сдавливанию,

в другую,

сплющива­

яние

нию, в общем, всякого рода деформациям, при

пути

-

надо

rюдни:\1атьси

условии, что она остается непрерывной

-

за­

:\1ежду

точками,

каково
каков

рассто­

характер

можно ли дойти по равнине или

с

в

точки

гору,

а

затем

зрения

спу­

прещается делать разрывы, разрезы и склейки.

скаться.

А

топологии

Топологию можно рассматривать как разно­

главным

вопросо:\1

видность геометрии.

вообще дойти от одной точки до другой,

являетси,

можно

ли

Топология является одной из наиболее мощ­

расположены ли эти две точки па одно:\1

ных областей в современной математике и име­

острове или они лежат па разных остро­

ет множество применений в физике. Она ис­

вах. Можно ли донлыть из одного озера

следует свойства не только двух- и трехмерных

до другого по протокам или этих прото­

пространств,

ков нет, и два

но и

многомерных,

важных в

кос­

озера друг от 11.руга от 11,е­

-

мологии и физике элементарных частиц. В кос­

лены? То есть вопросы то11ологии

мологии важно знать форму пространства-вре­

вопросы гораздо более простые и, те:\1

мени

са:\lЫ:\1 1 лежащие в основе всего того, что

на

максимально

больших

расстояниях,

это

т.е. в масштабах всей Вселенной. В физике, как

мы используем дли описания окружаю­

уже говорилось, на первое место вышла теория

щего нас пространства.

струн

-

чрезвычайно малых объектов, колебания

которых порождают все известные элементарные

частицы. Здесь все большее значение принимает
проблема поведения пространства и времени на
очень малых масштабах, в миллиарды раз мень­

Ото6ражениR

ших размера атомов.

д

еформации фигур, о которых говорит
топология, имеют более точное выра­
жение

в

определенных

математиче­

ских терминах. Фигуры рассматриваются как
п-мерные

пространства,

о

которых

говори­

лось в предыдущих разделах. Точка в таком

пространстве представляет собой последова­
тельность из п действительных чисел (х 1 , х 2 ,

х 3,

• •• ,

xJ

Простейшими из них будут такие:

одномерное пространство

ность;

двумерное

-

-

линия и окруж­

плоскость

или

любая

поверхность в обычном пространстве; трех­
мерное

-

любой замкнутый объем в таком

пространстве. С помощью таких фигур ма­
лых измерений можно наглядно представлять
принципы

топологии,

справедливые

и

для

пространств больших размерностей.
Пространства любой размерности предпо­

лагаются непрерывными. Это очень важное их
свойство означает, что для любой точки про­
странства

существуют

сколь

угодно

к ней точки того же пространства.

близкие

Топология

98

f

у=2х+1

Деформация в топологии

А~В

означает преобразование фи­
гуры из ОДНОГО состояния в не­
которое другое,

конечное,

от­

2-----t~~--~~+---.S

личное от начального. То есть

в некоторую, вообще говоря,
другую фигуру. На математи­
ческом языке такое преобразо­
вание называется отображени­

Область

Область

ем. Более строго, отображение

определения

значений

f из пространства А в простран­

функции (х)

функции (у)

ство В (не забудьте, что фигу­
ры

и

тела

мы

Пример отображения

договорились

называть пространствами)

одномерноrо пространства

-

Х в одномерное же

это правило, сопоставляющее

пространство У: это знакомая

всякому элементу х из А неко­

нам со школы обычная

торый единственный элемент

j(x)

из В. Это обозначается как

х ~
Огображени:е /из просrрансrваА
в пространство В и обратное

отображение

1- из В в А.
1

функция одной переменной
у = f(x) = 2х

+ 1.

j(x). Чтобы быть тополо­

гическим, отображение долж­
но

удовлетворять

нескольким

требованиям.

Что такое

трии,

которая

рассматривает

исключительно

топологические свойства фигур.
В топологии понятие геометрической фигу­

тоnоnоrи11еские

ры обобщается. Делается это посредством от­

nрео6разования

положение частей фигуры в пространстве. Важ­

влечения от таких свойств, как размеры и точное

ным остается только взаимное расположение ее

Т

опологическое преобразование одной ге­

частей и закон их отображения друг в друга. Та­

ометрической фигуры А в другую В опре­

кое пространство называется топологическим.

соответствие

Наиболее наглядными примерами тополо­

между точками р фигуры А и точками р'

гических преобразований могут служить де­

фигуры В, обладающее следующими свойствами:

формации. Вообразите, что фигура вроде сфе­

деляется

р ~ р'

как

произвольное

взаимной однозначностью. Это значит,

ры или треугольника сделана из тонкого слоя

что каждой точке р фигуры А сопоставлена одна

резины (либо нарисована на таковом), и затем

и только одна точка р' фигуры В, и наоборот;

растягивайте и крутите резину самыми разно­

1)

2)

взаимной непрерывностью. Это значит,

образными способами, лишь бы не рвать ее и не

что если мы возьмем две точки (р, q) фигуры А

приводить

и станем двигать р так, чтобы расстояние между

физического совпадения .

р и

q неограниченно

двух

различных

точек

в

состояние

уменьшалось, то расстоя­

ние между соответствующими точками р' и

q'

фигуры В также будет неограниченно умень­
шаться, и наоборот.

Всякое свойство геометрической фигуры А,
которое сохраняется также и для той фигуры
В, в которую А переходит при топологическом
преобразовании,

называется

топологическим

свойством (или топологическим инвариантом)

фигуры А . А топология

-

это та отрасль геоме-

· тополоrические преобразования.

Топология

Фигура в окончательном ее положении
после указанных операций

-

99

-

будет находить­

ся в топологическом соответствии с фигурой
в ее первоначальном положении. Треугольник

можно деформировать в другой треугольник,
или окружность, или эллипс, и потому назван­

ные фигуры обладают совершенно одинако­
выми топологическими свойствами. Но никак

нельзя деформировать круг в отрезок прямой
либо поверхность сферы в боковую поверхность
цилиндра.

Так можно представить себе многосвязную
область.

ЗАДАНИЕ

1

По поверхности пllанеты, имеющей фор­
му бубАика, пропоllЗllИ, оставllяя за собой
Сllеды, две у Аитки: одна

экватору, а друrая

-

-

по внешнему

по винтовой Аинии

(см. рис.). На скоllько частей раздеllиllи
поверхность

пllанеты

Сllеды

у Аиток?

Представьте себе две круговые области, или
диски: одну без дыр, а другую с дырами. Первая
областьодносвязна, вторая - многосвязна. Одно­
связность

и

многосвязность

-

топологические

свойства. Область с дырами не может перейти

при гомеоморфизме в область без дыр. Но если
в многосвязной области провести по разрезу от
каждой из дыр до края области, то она станет
односвязной.

Центраnьное

nонятие

Что такое От~~~~~~=~~

С В А 3 И ОСТЬ

п

~:::1 ~::~~~~~~~;ор~:::о~:ь;~:, ~:~;~~

наковый» и

«ВИД», «форма»), если

morphe -

элементов п-мерного

оно происходит без разрывов и без склеиваний,

пространства, содержащее по крайней

т.е. не только отображение f, но и обратное ото­

мере одну точку, называется областью.

бражение f1 являются непрерывными.

юбое множество

Наглядно это можно представить как разные

Например, буквы Г, Л, М, П, С (если они изо­

области одной страны. Область, в которой лю­

бражены тонкими линиями без «ХВОСТИКОВ»)

бую замкнутую простую (т.е. гомеоморфную

гомеоморфны между собой. Буквы Е, У, Т, Ч,

окружности) кривую можно стянуть в точку,

Ш, Ц Э также гомеоморфны между собой, но

оставаясь все время в этой области, называется

не гомеоморфны буквам предыдущей группы.

односвязной, а соответствующее свойство об­

А вот буква О не гомеоморфна никакой другой

ласти

-

односвязностью. Если же некоторую

замкнутую простую кривую этой области нель­
зя стянуть в точку, оставаясь все время в этой

букве русского алфавита.
Сравним

понятия

гомеоморфизма

и

ра­

венства фигур. В геометрии рассматриваются

области, то область называется многосвязной,

отображения, сохраняющие расстояние между

а соответствующее свойство области

точками,

связностью.

-

много-

-

сдвиги и вращения в пространстве.

Они называются движениями. В результате дви-

Топология

100

жений каждая фюура перемещается на новое
место как твердое целое, без изменения рас­

стояний между ее точками. Две фиrуры, кото­
рые переводятся одна в друrую (совмещаются)
с

помощью

движения,

называются

равными

и рассматриваются как одинаковые, не отлича­

ющиеся (с геометрической точки зрения) друг
от друга.

В топологии рассматриваются отображе­
ния более общие, чем движения, а именно

гомеоморфные отображения. Две гомеомор­

фные между собой фиrуры рассматриваются
(с топологической точки зрения) как одинако­
вые, не отличающиеся друг от друга. Те свой­

ства фиrур, которые сохраняются при гомео­
морфных отображениях, называются, как уже
было

сказано,

топологическими

свойствами

фиrур. Именно такие свойства изучаются в то­

В топологии куб, конус, тетраэдр, сфера,

пологии.

цилиндр и призма рассматриваются как экви­

валентные, поскольку они могут быть получены

Tononorи•

друг из друга путем растяжения или сжатия без

двумернь1х

поверхности бывают замкнутые и открытые,

~

nоверхностеи

разрывов и разрезов.

С точки зрения топологического строения
ориентируемые и неориентируемые. Замкну­
тые поверхности не имеют края, который есть
у открытых поверхностей.

Поверхности, являющиеся ориентируемы­

д

вумерные пространства можно разде­

ми, подобно мячу, имеют две стороны, а не

лить на два фундаментальных типа: это

одну, как лента Мёбиуса, которая является при­

либо сферы, либо бублики. Точнее го­

мером неориентируемой поверхности.

воря, речь идет о поверхностях этих тел. Они

Двумерные поверхности, которые являют­

являются двумерными, потому что положение

ся одновременно компактными (замкнутыми

точки на них определяется двумя числами, на­

и ограниченными в пространстве) и ориенти­

пример широтой и долготой на сфере.

руемыми

Топология рассматривает любую двумер­

(подобные

римановыми),

можно

поверхности

называют

классифицировать

по

ную поверхность как сферу в том случае, если

числу дырок в них, или по роду. Сфера имеет

в ней нет дырок, при этом включая в эту ка­

род О, т.к. в ней нет дырок. А бублик, имеющий

тегорию

одну дырку, относится к роду

знакомые

нам

геометрические

тела :

1. И это различие

кубы, призмы, пирамиды и даже похожие на

принципиально: невозможно превратить сфе­

дыни объекты, которые носят название эллип­

ру в бублик, не проделав в ней дыру.
Бублик с одной дыркой называется тором,

соидов.

но бубликоподобные поверхности могут иметь
любое число дыр. Объекты, имеющие различ­

ЗАДАНИЕ2
Бублик разрезали на сектора, сделав

ный вид в двух измерениях, считаются тополо­

10 раз­

резов. Сколько получилось кусков?
Подсказка: первым разрезом бублик пре­
вращается в цилиндр.

гически идентичными, если они относятся к од­

ному и тому же роду.

Топология

101

(а точнее, пространство-время), в котором оби­
таем мы, а также движутся планеты, звезды и

галактики, имеет собственную непростую топо­
логию.

Род2

Классификация поверхностей по родам.

В предыдущей главе упоминалось о том, что,
согласно ОТО, мы живем в четырехмерном про­
странстве-времени. Оно искривлено, а гравита­

3АДАНИЕЗ

ция, знакомая всем нам, является проявлением

Идентичны ли :эти объекты и какого они

этого свойства. Материя искривляет, « прогиба­

рода?

ет» пространство вокруг себя, и тем больше, чем
она плотнее.

Если

пространство-время

способно

изги­

баться, то возможно предположить, что оно

могло бы принять, например, форму трубы,
соединяющей

области,

которые

разделены

огромными расстояниями. А быть может, даже
эпохи, далекие друг от друга. Тогда в этих обла­
стях возникнет по дыре.

Кротовь1е норы

и

з формул ОТО следует, что в космосе
должны существовать особые «коридоры»
в пространстве и времени, названные кро­

товыми норами.

О том, что все эти бублики с дырками

-

не

детские забавы математиков, а нечто имеющее
отношение

к

нашему

миру,

свидетельствует

физика. Оказывается, «обычное» пространство

Кротовая нора, или мост Эйнштейна - Розена.

Топология

102
В

1935

г. А. Эйнштейн и его сотрудник ма­

тематик Н. Розен доказали, что ОТО допускает
образование особых топологических структур,
которые они

назвали мостами.

Позднее

эти

структуры стали именоваться кротовыми нора­
ми, что является довольно вольным переводом с

английского языка слова
кий его перевод

-

wormhole.

Более близ­

«червоточина » (в космосе).

Впервые кротовые норы встречаются в сказке

английского математика и писателя Льюиса
Кэрролла «Алиса в Стране чудес», написанной
в

1865 г. Кроличья нора, падая через которую
Алиса попадает в волшебный мир, и есть

кротовая нора, соединяющая город Оксфорд со
Страной чудес.

Свойства
кротовь1х нор

Кротовая нора может соединять либо две
разные Вселенные, либо одну и ту же Вселен­
ную в разных частях. В последнем случае рас­

стояние через кротовую нору (между входами
в нее) может оказаться короче, чем расстояние

между входами, измеренное снаружи (хотя это

м

ост

-

это

тонкая

трубка

простран­

вовсе и не обязательно).

почти

Кротовые норы, через которые свет и мате­

плоских и одинаковых пространства-вре­

рия могут проходить в обе стороны, называют­

мени, т.е. две неискривленные области простран­

ся проходимыми кротовыми норами. Суще­

ства-времени,

соединяющая

два

ства. Место соединения и называется кротовой

ствуют и непроходимые кротовые норы. Это

горловиной

такие объекты, которые внешне (на каждом

кротовой норы. Пространство вблизи горловины

из входов) являются как бы черной дырой, но

кротовой норы достаточно сильно искривлено.

внутри такой черной дыры нет сингулярности

норой, а его центральный участок

Наглядный трехмерный образ
кротовой норы. Но надо

понимать, что подобную форму
может иметь четырехмерное
пространство-время, а не само

по себе обычное трехмерное
пространство.

-

Топология

(сиюулярносrью

103

в физике на­

зывают бесконечную плотность
материи,

которая

разрывает

и уничтожает любую друrую
материю, попадающую в нее).

Материя
внутрь

может

попасть

непроходимой

крото­

вой норы, но выйти из нее уже

не может (что очень похоже на
свойство черной дыры). То есть,
если кротовая нора является не­

проходимой, то внешне ее прак­
тически

невозможно

отличить

от черной дыры.

Вход в кротовую нору внешне неотличим
от черной дыры.

Влияние черной дыры
на попадающие в зону

ее воздействия тела.

Космический корабль, который
приближается к границе черной
дыры, как будто застывает
навеки. Все реже и реже доходят
сигналы от него ... Напротив,

по часам на корабле граница

черной дыры (называемая ее
горизонтом) достигается за
впоllНе конечное время. Когда
корабль минует его, он вскоре
упрется в сшпулярносrь. Так
называют место, где кривизна
и гравитация становятся

бесконечными. В сшпулярности
(точнее еще на подходе к ней)
протяженное тело неизбежнq
будет разорвано и раздавлено.

КАК ОПИСЫВАЮТСЯ КРОТОВЫЕ
НОРЫ

полностью характеризует и поле тяготения,

и геометрию пространства-времени. Геоме­

Четырехмерные кротовые норы в космо­

трически проходимые кротовые норы в кос­

се, через которые можно было бы пройти,

мосе проще по строению, чем черные дыры.

онисываются с помощью метрики. Той са­

В них нет горизонта, за которым останавли­

мой, о которой говорилось в предыдущей

вается время, а с телами происходят всякие

главе. Метрика

-

это набор величин, ис­

нехорошие вещи. В различных точках норы

по11ьзуя который можно вычислить четы­

время

рехмерные интервалы, существующие меж­

оно при этом пе замирает в полной недви­

ду точками-событиями. Этот набор величин

жимости.

может идти

в

разном темпе, однако

104

Топология

Норь1как

Уравнения
ствование

Эйнштейна

множества

допускают

разных

типов

суще­

машины

времени. В частности, один из них предусма­

маwинь1 времени

тривает использование проходимых кротовых

округ кротовой норы образуется сильное

мени точки. Это пространственно-временной

гравитационное поле, в котором объекты

туннель, дыры

достигают скоростей, близких к скорости

которые можно свободно перемещаться впе­

в

света. Внутри самой норы время и пространство

нор,

соединяющих

в

две

разделенные

во

вре­

пространстве-времени, через

ред и назад во времени.

перестают функционировать и меняются места­

В частности, по мнению некоторых ученых,

ми, в результате чего путешествие в простран­

в космосе есть кротовые норы, образовавшиеся

стве становится перемещением во времени. По­

при зарождении нашей Вселенной, через кото­

этому многие астрофизики полагают, что чер­

рые можно переместиться в другие Вселенные

ные дыры являются коридорами времени.

или совершить путешествие во времени.

_,.,,;::-.

-.,,.-- ...... -

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Заданиеl

ЗаданиеЗ

На три части.

И диск от штанги, и гиря имеют по одной
дыре, следовательно, их поверхности относятся

Задание2

к первому роду.

После превращения в бревно каждый по­
следующий разрез добавляет один кусок: по­
сле второго разреза получилось
третьего

- 3 и т.д.,

2

после десятого

куска, после

- 10.

Всё о функции

105

ВСЁ О ФУНКЦИИ

Что
в

функция

такое

мире, где мы живем, все тесно взаимо­

Само х, как известно, именуется независимой

свя зано. Иными словами, взаимозави­

переменной или аргументом.

симо:

каждое

«что-то»

определяется

«чем -то » другим. Скажем, рост ребенка зави­
сит от его возраста, т.е. от одного фактора

времени. А его успеваемость

-

-

способностей, т.е. уже от двух факторов. И
по­

IQ -

ко­

мощью чисел (ну, может быть, через

интеллектуальности),

имеет числовое выражение.
который

меняется

со

а) давление воздуха
высоты

h

то

время

Поэтому рост,

временем,

называют

функцией времени.

t в атмосфере зависит от

над поверхностью Земли:

от усердия и

если эти два фактора нельзя выразить с
эффициент

Примеры:

t

= j(h);

б) количество простых чисел, даваемое при­

веденной в первой главе формулой

f(n) = п2
где п

-

-

п

+ 41,

натуральное число, есть функция этого

числа;

в) объем газа

V,

заключенного в цилиндр,

есть функция температуры Т и давления р, ока­

В более общем случае говорят, что величина

зываемого на поршень:

v = f(Т, р),

у является функцией некоторой другой величи­
ны х, если каждое значение х определяет неко­

таким

торое значение у. Это записывают как у

не одной, а двух переменных;

= f(x).

образом,

объем

является

функцией

Всё о функции

106

г) площадь треугольника является функци­
ей длин его трех сторон:

S = ~ р(р - а )(р - Ь )(р - с)
р=

а+Ь+с

Интервая
и окрестность

в

2

приведенных

примерах

вели­

чины имеют тот или иной физический
смысл

ь

раньше

-

время, расстояние, температура

и т.п. Но в математике отвлекаются от конкрет­

с

ного физического смысла величин и считают
переменную величину (или просто перемен­
ную) заданной, если известно множество всех
численных значений, которые она может при­
нимать.

Численные значения переменной величины
образуют некоторое

а

Формула Герона.

множество действитель­

ных чисел. Ему соответствует множество точек

на числовой оси. Оба эти множества могут быть
д) положение малого физического тела (мате­

самыми различными (в зависимости от рас­

риальной точки) в пространстве определяется чис­

сматриваемой переменной). Чаще приходится

ловыми значениями трех его координат и, следо­

иметь дело с множествами чисел, которые на­

вательно, будет функцией трех переменных (х, у,

зываются интервалом и сегментом.

z).

Таким образом, функция может зависеть как

Интервалом называется множество чисел х,

удовлетворяющих неравенствам а< х

от одной переменной, так и от нескольких.

ментом

Оnредеnение

-

< Ь,

а сег­

множество чисел а ~ х ~ Ь, в обоих

случаях а и Ь

-

действительные числа.

Окрестностью точки х

= а радиуса Е называ­

ется множество точек числовой прямой, рас­

функций

стояние от которых до а меньше Е. Говорят, что

о

открытого множества является интервал. А вот

пираясь

на

странств

и

знание

векторных

отображений,

про­

которое

мы

получили в предыдущих главах, можно

некоторое множество А точек этой прямой от­
крыто, если каждая точка х из А имеет окрест­
ность, целиком содержащуюся в А. Примером
множество точек х, для которых а ~ х
крыто, потому что точка х

=а

< Ь,

не от­

не имеет окрест­

привести более строгое определение функций

ности, целиком содержащейся в этом множе­

как одной, так и многих переменных. Перемен­

стве: часть точек любой окрестности точки х = а

ные (х 1 , х 2 ,

••• ,

xJ,

как мы знаем, образуют век­

торное, или евклидово, п-мерное пространство

(п = 1, 2, 3, ... ).Его обычно обозначают символом
R". А функция - это число, точка на числовой
оси, то есть в одномерном пространстве R1 = R.

Значит, функция представляет собой отображе­
ние

R" ~ R.

Е

а

Е

х

а-~--·__7.+Е

Иными словами можно сказать, что

функция п переменных

-

это правило, кото­

рое каждой точке х = (х 1 , х 2 , ••• , х) пространства

R"

меньше, чем а, и поэтому они выходят за преде­
лы этого множества.

Рис.

1.

Е -

окрестность точки а.

ставит в соответствие действительное число

g. Функцию п переменных
g = f (х1, х2, ... , xJ

записывают в виде:

Для функций двух переменных открытой

окрестностью точки р(х, у) будет внутренность

В дальнейшем мы сосредоточимся в основном

круга с центром в этой точке . Окружность, огра­

на функциях одной переменной, специально ого­

ничивающая этот круг, не является частью дан­

варивая случаи большего числа переменных.

ной окрестности .

Всё о функции

107

«Открытое множество».

ИНТЕРВАЛЫ В

Rn

Определение окрестности точки на чис­
ловой оси может быть обобщено на слу­

чай

функций

пространств

R",

многих
11

стыо радиуса 1· в х

> 1.

переменных,

т.е.

А именно, окрестно­

= (х 1, х2, " . , х,)

в R"называ­

ется множество точек, расстояние от ко­

торых дох меньше 1·. Определенная таким
образом окрестность точки представляет
собой открытый 11-мерный шар с центром
н ".>ТОЙ точке.

rрафики
м

ножество

всех

возможных

значений

ар~умента называют областью опреде­
ления функции. А то множество зна­

чений функции, которые она принимает, когда
ар~умент «пробегает» всю область определения,
именуется областью ее значений.
Графиком функции называется множество

всех точек на координатной плоскости, абсцис­
сы которых равны значениям ар~умента, а орди­

наты

-

соответствующим значениям функции.

Если некоторому значению х =

xk соответствуют

несколько значений (а не одно) у, то такое со­
Рис.

2. Открытая окрестносrъ точки на плоскости.

ответствие не является функцией. Для того что­
бы множество точек координатной плоскости

Всё о функции

108

являлось графиком некоторой функции, необ­
ходимо и достаточно, чтобы любая прямая, па­

раллельная оси Оу, пересекалась с графиком не
более чем в одной точке.
Для каждого х функция имеет единствен­
ное значение

j(x), но совсем
каждому j(x) отвечало

чтобы

Простейший тому пример

не обязательно,

единственное х.

-

функция у = х 2,

каждому значению которой, кроме у = О, отве­
чают два значения аргумента.

1
1
1

6-

i
1
1
1
j1

-'-

-'-

-

_ __j

1
1

1

-

..!.---'1
1
1

t-

+

5

1

1

1

L

~

'-

1

1

1
1

1

+

1
1
1

у

"-

t

4

J

3

-j

-'-

1

1

'-

-L

1

f·

1
1

1

1

+

1
1

L

L3

1

1

·j

-т

-4

1

1
1
1

1
1
1

1

1

г-

1
1

о

-i
г·

-

~}

1
1

1

1

;2

3

г

1

х 1

4

1

-

1

1

г
1

1
1

1

-2

'-

1

1

1

-.-

-i

1

1
т
1

т

-2

r

г
1

1

1
_ l_ _

L

1

L

1

_L

-

1

'

Рис.

3. График функции у= х2 •

О6ратная
функция

n

усть дана некоторая известная функция
у=

в том случае, если функция у=

j(x) определяет

взаимно однозначное отображение области ее
определения на область ее значений. Это озна­
чает, что из неравенства х 1

=t. х 2 для любых двух

значений переменной х всегда будет следовать

неравенство

j(x 1) =t. j(x/

Лишь при этом усло­

вии каждому значению у будет соответствовать
единственное значение х.

Рассматривая это соотношение

Примером однозначного отображения мо­

как уравнение, допустим, что его можно

жет служить функция у= х 3 • Ее областью опре­

j(x).

решить относительно х и выразить через у как

деления

функцию:

значению

х

чение

= g(y).

В таком случае функция g(y) называется об­
ратной относительно функции

j(x).

Описанная

процедура дает однозначный резу ль тат только

служит

х

вся

числовая

соответствует

функции.

ось,

Соответственно,

определена и обратная функция

х = з[У.

и

каждому

единственное

зна­

однозначно

Всё о функции

109

Сnожнь1е
функции

[-у~-~2-·:

·-----------·
[-у -~- ~з-·:
'----------- '

функцию у= f(z), аргумент кото­
р ассмотрим
рой является функцией переменной х:

х

z = ср(х).
Тогда переменная у также будет функцией
х . Эта функция называется сложной функцией
и обозначается как
у =х2

х

о

:1 :2

---

3 ! -1 -2 -3

0 : 1 :4

!о
!о

у

4 9

- ---~ -----" -- -- -- - -... -- - -

4.

-- ---- ---- -----

- - - - J _____

9!1

Рис.

-~---

х

- - - - t - - - - -:- - - - - - - - - - ~ - - - -

у

у= f[cp(x)].

у = хз

1 2
-- --

- - - -

1 8

Переменная
----

-1 -2
-----

-- - -

-1 -8

= х2

не имеет однозначно

определенной обратной . Причина, очевидно,
в том, что для любого х имеем
у= х2 = (-х ) 2,

т.е . каждому (положительному) значению функ­

ции (образу) соответствуют два разных значения
аргумента (прообраза) . Правда, если оговорить,

что под корнем квадратнымр понимается толь­
ко положительное число, то за обратную функ­

цию можно принять
х

x=.JY при условии

Пример: если у= 3z2, а

z = 2sin х,

то у=

12sin2 х

есть сложная функциях .

2

О, у

2

с

функции

3

лементарной функцией называется функ­
ция,

которую

литическим

можно

задать

выражением,

одним

ана­

составленным

из основных элементарных функций с помощью
вычитания, умножения и деления) и операций

О.

помощью

Эnементарнь1е

четырех арифметических действий (сложения,
взятия функции от функции, последовательно

Существование обратной функции нетруд­
установить

называется промежуточным

Графики функций у= х 2 и у = х3.

А вот функция у

но

z

аргументом сложной функции.

графика

примененных конечное число раз .

данной

функции. Обратная функция существует, опре­
деляясь однозначно, в том случае, если каждо­

му значению у=

f(x)

соответствует только одно

значение х . Геометрически это означает, что
нет такой прямой, параллельной оси х, которая

пересекала бы график более чем в одной точке .
Это имеет место в том случае, если функция

у =

f(x)

монотонная, т . е. при возрастании х она

все время возрастает или, наоборот, все время

убывает. Например, если функция у= f(x) всюду

> х 1 всегда выполняется
f( x2 ) > у 1 = f(x 1 ). Тогда для данно­

возрастающая, то при х 2

неравенство у 2 =

го значения у существует не более одного такого

значения х, что у =

f(x),

и обратная функция бу­

дет определяться однозначно. График обратной

функции х

= g(y) получается и з данного графика

просто зеркальным отражением относительно

прямойу=х.

Основными элементарными функциями счи­
таются: многочлен, рациональная функция, ко-

Всё о функции

110

торая представляет собой отношение двух мно­
гочленов,

степенная

функция,

показательная

функция, логарифмическая функция, тригоно­
метрические функции и обратные тригономе­
трические функции.
Наиболее простым типом математической
функции одной независимой переменной явля­
ются многочлены (полиномы), имеющие вид

= ао + alx + а2х2 + ... + а пхп .

рп = f(x)

В этом выражении arr а 1 , •• •, ап -

постоянные

относятся также

рацио­

нальные функции, являющиеся отношениями

х5 +4х 3 -2x+l ·

х

1

1
1

1
1
1
1
--~------ t г---L-1
1
1
1
-

1
t1
1
1
1

-~---~-

1

1

+-

,-

1

1
1
_J

1
-

1
1
~-

1

1

1

1

1

1

1

1
1
1

1
1
1

1
1

+---4--

1
1
1

1

1
1
1

1
1
1

1

1

1

1
1

1
1

1
1

1

:

г

:2

+
1
1

-~

-2- ,
1
1

1

-г---г--

,-

1
1

1

- t --t--

1

-~-

1

1

1

1

1

1

1

1

1

'

1

1

_L ___ L ___

~

г-1

-~

1

- l1
1

g f

1

-~---~-

функция,

отображение,
имеет

1

1

1

1

1

1

1

1
1

1
1

1
1

1
1

1
1

1

!

1

1

1

1

-s--:--

рассматриваемое

значения

на

множестве

как
М,

нами

конструкция

является

сложной функцией и называется композицией
жен порядок расположения функций, посколь­

ку, вообще говоря,

g

0

f *f

Например, функцию

g.
h(x)
0

=

cos

(х 2 )

можно

считать композицией функций

у= f(x)

1
1

~-

-

Тогда

0

fиg (отображений, функций) . Причем здесь ва­

4 :
- +1 -+1
1
1

множестве

Соорудим из них третье

0

х :

1

f.

(g j)(x) = g[f(x)].

= х 2 и g(y) = cos у.

+---~

+-:---4----:- --4---1--

1

___ L __

g как функция определена на

Построенная

-t- -

+-

-3-~

1

1
1

3

f и g, при­

~ Р Это означает, что отобра­

определяемые формулой

1

-1

1
1

N, g: N

g o f:M~P

1

,_ - --+- -

о

1
1

М~

Это

+---f---

1

-,

f

~---~---~---~---L

1

1
1
--,---! 1
1
1
1
1
1

есть образ точки х.

-L

1

'

1
1
t-1

г

f(x)

значив его как

1
1

1

1

-4

говорят, что

отображение, которое отображает М в Р, обо­

1

1

-4--

--

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1----г---L---

1
1

f отображает М в N if. М ~ N)
f переводит данный элемент х из М
в элемент у из N. Эго записывают как f х ~ у и

значений функции

1
1

1

--f--

-г

-> --

1

1

Х 1

мулировать, используя понятие отобра­
жения одного множества в другое. Напом­

жение

у=------­

=-,

онятие сложной функции можно сфор­

ним: тот факт, что

чем

Зх-7

1

у=-,

JI

n

Возьмем теперь два отображения

многочленов, например

1

функций

означает, что

коэффициенты (числа).
К элементарным

Комnозиqия

3АДАНИЕ2
Решите уравнение

-t-- -:----t---t-1

1
cos 2х = - .
2

.

ВаJКное nонятие

Добавив к ним триг_онометрические функ-

неnрерывности

Рис.

ции

cos х,

.
sm х

и

5.

График функции у = -

sшх

tg х = --,
cosx

х

получим почти все

основные элементарные функции. Ну, за ис­

ключением показательной и логарифмической,
о которых поговорим чуть позже.

в

веденное

ранее

определение

открытого

множества точек в области значений неза­
висимой переменной (интервала на чис­

ловой прямой) позволяет дать полезное и корот­
кое определение важного понятия непрерывной

ЗАДАНИЕ

функции, или, что то же, непрерывного отобра- .

1
. 3 х = -1t .
3

Решите уравнение sш

жения.

Отображение/: М ~

N

непрерывно в точке

х из М, если любое открытое множество в

N,

со-

Всё о функции

держащее

j(x), содержит образ некоторого от­

крытого множества из М, содержащего точку х.

f

Огображение непрерывно на М (или просто не­
прерывно), если оно непрерывно во всех точках М.
Для функций одной переменной опреде­
ление непрерывности обычно дается несколь­
ко иначе. Пусть

функция одной пере­

f(x) -

f

менной. Это означает, что

R

(то есть

f

R

j(x). Функция

R

в

Предеn функции

n

опробуем более наглядно представить не­
прерывность функций в точке на число­
вой прямой. Вернемся к рис.

1 и предста­

вим, что нам надо выяснить, является ли задан­

ная функция у =

f(x)

непрерывной в некоторой

переводя число х в число

точке х = а. Пусть аргумент пробегает значения,

непрерывна в некоторой точ­

приближающиеся к а слева и справа. При этом

~

f

отображает

111

R),

ке а, если для любого положительного числа Е

значения функции

существует такое положительное число Ь, что

ли они стремиться к значению функции в точ­

lf(x)- f(a)I < Е для всех х, удовлетворяющих нера­
lx - al < Ь (рис. 6).

ке х = а? Не обязательно. Но если окажется, что

венству

Эти неравенства определяют интервалы, то

значения

неограниченно

f(x)

к f(a) (говорят

f(x) будут меняться . Будут

приближаются

<1 стремится к пределу f(a) »), при­

есть открытые множества. Само же определе­

том независимо от того, приближается ли х к а

ние непрерывности в терминах Е - Ь означает,

слева или справа, то говорят, что функция

что функция

f

непрерывна в точке а, если ка­

ждая окрестность

f(x)

непрерывна в точке а.

содержит образ некото­

f(a)

рой окрестности точки а.

Это вполне совпадает с первым определе­

нием непрерывности в терминах отображений
и открытых множеств.

У

А

;---:---: +;: -ь•·--~--~
1
~ -

-

1
-

1

-1- -

-

-

1 - -

-

1

1
1

1

1

1

1

у' (2 - ;}

--1--1

/J

1

А

1

1

~

1

1

_I_ 1
1

_1_ 1
1

1_ -

-1- -

_1_ -

1

А

1
1

-

_1 -

о

1

1

-

1-

__ J __

1
-1- -

r- - -,- -

1

1
_J -

-

1
-

...1.

1
-

..L.

-

1
-

-

!.. -

2

-

х:

х

1

о

а

Рис.

6. Непрерывная функция в точке

Функция

f

а.

переводит окрестность точки а

радиуса Ь в окрестность точки А = f(a) радиуса Е.

Для обозначения предела функции

f(x)

при

х ~ а используется символическое выражение

lim/(x) = f(a)
х ~а

В графическом представлении непрерывная

или запись вида

j(x) ~ j(a) при х ~а.

функция изображается плавной, без разрывов,

Аналогичным образом формулируется по­

линией.

f(x)

нятие предела функции при х ~ оо.

~·.

J (x)

= sin x

-1

Функции

всегда

значения

функции

при

отражающее такие случаи. А именно, пусть х ~а,

+1
1

г·

не

му существует понятие одностороннего предела,

х

о

- 21

Далеко

стремлении х к а справа и слева совпадают. Поэто­

- +

f(x)

= cosx

причем х

> а,

и при этом j(x) ~

число). Тогда число

F1

F1 (это

некоторое

называют пределом спра­

cos х, sin х непрерывны на всей

ва (или правосторонним пределом) функции j(x)

числовой оси.

и обозначают одним из следующих выражений:

Всё о функции

112

lim f

х-м+О

(х)

= F;

или

lim f(x)

х -;а+

слева). В этом случае

= F;.

j(x) ~ f 2 при стремлении

х ~а со стороны меньших значений арrумента:

lim f(x)

х~а-0

ЗАДАНИЕЗ

= F2

или

lim f(x)

х~а-

= F2 .

Для существования обычного (двусторонне­
го) предела функции в точке х = а необходимо

Предсrавьте в виде многочлена выражение

и достаточно, чтобы пределы справа и слева

(х2-./5)2.

были равны:

lim f(x)

х~а+О
у

и тогда

= lim

х~а-0

f(x)

= F,

limf(x) = F.
х~а

1

у= х 2 +1

0,8

0,5
0,2

-2

0,5

-1

х

2

-1

Рис.

7.

Предел функции у=
при х

1

--х2 + 1'

---+ ±оо равен О.

Аналогичным образом можно определить

понятие левостороннего предела (или предела

то"ки разрь1ва

Е

ели же непрерь~вность функции наруша­
ется в некоторои точке, т.е.

lim f(x)

х~а+О

7:

lim f(x),

х~а-0

то такая точка называется точкой разрыва. Точ­

ки разрыва можно классифицировать по вели­
чине моду ля разности между односторонними
пределами

l lim f(x) х~а+О

lim f(x)I,

х~а-0

который называют скачком функции при пере­
ходе через точку а. Если этот скачок равен нулю,

Рис.

8. График функции у = lxl, имеющей равные
пределы при х ~ О +их~ О-.

Всё о функции

но функция j(x) не определена в точке а, то такая
точка называется точкой устранимого разрыва .

Например, функция

.
f(x) = sшх
х

не определена в нуле, однако ее предел в этой

точке существует и равен

1

(здесь х выражается

в радианном измерении) . Поэтому для устра­

нения разрыва достаточно доопределить функ­
цию

j(x)

при х =О, исходя из соображений не­

прерывности, следующим образом:

f(x)

= {si:x,
1,

когда х -:t= О,

когда х =О.

В случае произвольной функции j(x), для ко­
торой точка а является точкой устранимого раз­

рыва, нужно расширить область определения

функции, включив в нее также точку а и полагая

j(a) = limf(x).
х--->а

1

1
1
1

у

1
1

----i----

4

1

1

-3
2
х-2

у=--

х-3

-3

-2
1

1
1

:
1
1
1

1
_,_

Рис.

4
1

-1

-г

1
1

-2

---"Т--

1
1

1

--,---,---г

1

-3

----L---~--

1

.t

1
1

1

1

j....

1

3

-г--

1

--~

+

-1

----L---~-1
1

1
1
1

1
1
J ___ .l ___ _J - - - l - - - 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
-i- -+---1t 1
1
1
1
1
1
1
1
1
.l
J
1
1
1

1

1

1
1
1

-4-

1
1
1

"---г

"
----г-

1
1
1

----~---г

1
1

-----

-5

___ J_
1
1

1

1
1

-.---...L---L
1
1

1

х-2

9. График функции у = - -, имеющей
х-3

разрыв второго рода в точке х

=

3.

х~о

113

114

Всё о функции

Если скачок функции в точке а имеет конеч­

Функция, непрерывная в каждой точке ин­

ное значение, то эту точку называют точкой раз­

тервала (а, Ь), называется непрерывной в (а, Ь).

рыва первого рода. Скачок функции в точке а

График такой функции на этом интервале явля­

равен бесконечности, если какой-либо односто­

ется сплошной кривой.

ронний предел равен бесконечности. В этом
случае говорят о точке разрыва второго рода.

'lt
е
<р

3, 14151265358979323846264338327958288419716939937511 •.•
2, 71828182845984523536828747135266249775724789369996 •..
1, 61883398874989484828458683436563811772838917988576 ...
«Звезды» мира иррациональных чисел:

n, <р и е.

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Заданиеl

Поскольку 1t > 1, а lsin al ~ 1, указанное урав3

Огсюда получаем ответ:
1t
х=±-+пх.

6

нение не имеет решений.

ЗаданиеЗ
3адание2

Используем

Используем формулу квадрата разницы:
метод решения

просrейших

тригонометрических уравнений:

2х = ±arcco{ ~) + 2хп = ±; + 2хп.

(х 2 +/5) 2 = (х 2 ) 2 -2х 2 .JS +5 =х4 - 2/5х 2 +5.

В поисках неизвестного

115

В ПОИСКАХ

НЕИЗВЕСТНОГО
d) )J Y.j,-2)l.-+ q=-о
'l)=-(-~)~ Ч·~·З=16-12~-56<0
о

Это6ь1nо
очень давно

к

...

методы их решения. А что такое эти уравнения?
Уравнения представляют собой способ, при по­
мощи которого находятся значения какой-ли­

бо неизвестной величины (но которая кому-то
очень нужна) исходя из некоторых данных.
Вавилонские

ак известно, Вавилон был одним из цен­

правило

тров

цедуру

математической

мысли

Древнего

-

-

математики

определенную

открыли

стандартную

некое
про­

для решения таких уравнений. Они

мира. Одним из достижений математи­

умели решать квадратные уравнения, и такой

ков тех лет стало то, что они первыми поняли

метод, хотя и в измененном виде, люди исполь­

важность уравнений и необходимость искать

зуют до сих пор .

В александрийский период алгебра достигла
своего наивысшего расцвета в трудах Диофанта.

До него греки свои алгебраические труды из­
лагали в описательной манере, не прибегая ни
к какой символике. Не приводили математики
и

доказательств

правильности

используемых

приемов. Большой заслугой Диофанта явля­
ется введение в алгебру некоторой символики.

В своем главном труде «Арифметика» он ввел

символы, соответствующие нашим обозначени-

ям х, степеням неизвестного х вплоть до х 6 и .!..
х
Появление такой символики замечательно само

по себе, но еще больший интерес представляет
введение степеней выше третьей.

Один из листов книги Диофанта «Арифметика».
В верхней строке записано

уравнение х3

·8-

х2 •

16 = х3 в

обозначениях

и порядке, использовавшихся автором.

РАЦИОНАЛЬНЫЙ rPEK
Диофант признавал только положитель­
ные рациональные корни и отбрасывал все
остальные. Даже при решении квадратно­
го уравнения с одним неизвестным, имею­
щего

два

положительных

рациональных

корня, Диофант приводил только один
(больший). Если же уравнение имело два
отрицательных

корня,

иррациональные

или комплексные, то Диофант отвергал та­
кое уравнение, считая его неразрешимым.

Если уравнение

имело

иррациональные

корни, то Диофант шаг за шагом, от конца
к началу, прослеживал полученное реше­
ние

и

показывал,

как

изменить

исходное

уравнение, чтобы новое уравнение имело
рациональные корни.

В поисках неизвестного

ЗАДАНИЕ

1

Найдите все значениях и у, удовлетворя­
ющие равенству ху

+ 1 =х + у.

Ара6ские
корни anre6pь1

117

Ру6аи
и

3

уравнения
наменитый персидский поэт
изведения

которого

и

XI

сейчас

в ., про­

издаются

огромными тиражами, в свободное от со­

чинения стихов (называющихся рубаи) время
лгебра, как принято считать, возникла в

А 830

г., когда математический центр пере­

занимался также алгеброй. Славу Хайяму как
математику

принесла

теория

геометрических

местился из греческого мира в арабский.

решений алгебраических уравнений. В заслуrу

В тот год астроном и математик Мухаммад ибн

поэту стоит поставить решение им кубических

Муса аль-Хорезми написал книrу, озаглавлен­

уравнений, выполненное методами греческой

ную «Китаб Аль-Джабр в'аль Мукабала», что

геометрии,

переводится

«восстановление

линейки. Но ему пришлось по необходимости

и упрощение». В ней излагались стандартные

выйти за рамки геометрии Евклида. Хайям впер­

примерно

как

т.е.

с

использованием

циркуля

и

способы приведения уравнений к виду, удобно­

вые высказал мысль о том, что уравнения тре­

му для их решения. От «аль-джабр» происхо­

тьей степени не решаются с помощью « свойств

дит современное слово «алгебра». В трудах уче­

круга» (т.е. с помощью циркуля и линейки). Он

ных Ближнего Востока и Средней Азии алгебра

утверждал, что их можно решить только с при­

оформилась в самостоятельную ветвь матема­

влечением конических сечений. Так называют

тики, занимающуюся решением уравнений

специальные кривые,

первой степени (линейных) и квадратных.

ить, пересекая конус плоскостью, -

~ • ) ~,.. </~\ ~'fo

.(:-J1 (-J v#- J 1-; ~

которые

можно постро­

параболу,

гиперболу, окружность и эллипс.

-1 _,., ~t.J ~ 1.~ li.i..o.li ~,;,.и• ~ ~
./>J .&:k U..»j 1.. J:... -

1...11 \..;\; ~~ ~\ tJ.;\

~ ", J'.L'" .р!\ y l ~ t}.i ", i:J,; .,;; ~
,.;
.~, .;,...,; ~~

_,,.

~!; ~1~'· ~ J~ ~..,.i ~) .io-.~

JI.. \с~

~ ~-;;\ ~ .", t!.JI JF. i...~... IJ... Jl:.1 ..,...=
J"J ~С" t_l.i1.-.I ~ и.г

f!-")1 ../}f-" \).. ~\

;;;:~ ~ ~1....J1 J,lo .;'-> .......
t:!J"

t:- . ){ ..J "~,

i;r" ;_,:..

8

~~ ~

'+ ,) ~ ",

.J ~)_,..... ,.,u1 .-.1 .)~ lt~A t'-"11 ~1..s,.
1$#.:..- J ~~ J'.c Jli l..U ·~ ~~ J, ~1 ~
.,JJ ,>\J.,ol ;_,:..; ~, ~ ...1,1..) '.:..1.с !.о'~'·~ J~
~ . ..!.,. •..;...:., ·;-:- .i. L...и ~., ...... ;;::- _ ,_,
~
..Т-•
~

J-.

--~

"_

•

•

L-

(,,,;"

'

Фрагмент трактата

«Китаб Аль-Джабр в' аль Мукабала».

Омар Хайям. Художник Аделаида Хансон.1905 г.

Пользуясь

коническими

сечениями,

Хайям

разработал геометрические решения для всех ку­
бических уравнений и разъяснил их в своей книге
«Алгебра», законченной в

1079 г. Поскольку отри­

цательные числа в то время еще не получили пра-

118

В поисках неизвестного

ва на существование, уравнения приходилось каж­

дый раз преобразовывать так, чтобы все слагаемые
оказывались положительными.

Хайям дал полную классификацию куби­
ческих уравнений,

имеющих

корни. Он выделил

19

положительные

классов; из них

5

сводят­

ся к линейным и квадратным. Для остальных

14

классов ученый указал метод решения с по­

мощью конических сечений .

06 уравнениях
и их характере

О ТЕРМИНАХ
Алгебраическое выражение вида 2.х4
4х2

-

+9

ражением

о

-

7х 3

-

называется полиномиальным вы­
или,

иначе

говоря,

многочле­

мар Хайям дал первое дошедшее до нас

ном. Такие выражения образованы путем

определение алгебры как науки. Он на­

сложения друг с другом различных степе­

звал алгебру наукой об отыскании неиз­

ней неизвестного. Числа

2, - 7, - 4 и 9, на

ко­

вестных величин, состоящих в некоторых отно­

торые умножаются эти степени,

шениях с величинами известными. Определе­

ются коэффициентами. Старшая степень,

ние

в

неизвестных

осуществляется

с

помощью

составления и решения уравнений.

которой

член,

Как выразился один известный современный

неизвестное входит в

называется

степенью

гочлен имеет степень

уравнения оказываются довольно дружелюб­

альные названия

-

ясными, четкими, иногда

этого

много­
много­

члена, так что приведенный выше мно­

математик С. Иэн, «после знакомства с ними
ными созданиями

называ­

4.

Имеются специ­

для многочленов млад­

ших степеней (от

1

до

3

включительно):

даже прекрасными. Тайная истина об уравне­

линейный, квадратичный и кубический.

ниях состоит в том, что они представляют собой

Решения

простой, ясный язык для описания целого ряда

2х 4

"рецептов" по вычислению разных вещей » .

многочлена.

-

7х3

-

соответствующего

4х 2

+9=

уравнения

О называются корнями

В уравнениях используются три типа обо­
значений. Одно из них

знакомый нам еще с

-

начальных классов х, т.е. неизвестное. Оно обо­
значает число, которое мы еще не знаем, но зна­

чение которого почему-то желаем найти.

Обозначения второго типа

икса. Так, х2 означает х

·

х

,

-

это степени

а х3 = х

·

х

·

х. Чи­

Уравнения
и зоnотое се"ение

таются такие выражения, как «квадрат», «куб»,
ечь пойдет об уравнениях второй степени.

« четвертая степень» и т.д.

А третий тип обозначений в алгебраических

уравнениях

-

а, Ь, с, р,

qи

т.п. -

«маркирует»

р Задачи, приводящие к ним, рассматривают­
ся во многих древних математических руко­

данные, или известные, величины, т.е. числа, ко­

писях и трактатах. Такие уравнения умели решать

торые мы знаем.

еще в Вавилоне во П тыс. до н.э. Древние греки
решали

3АДАНИЕ2
Решите уравнение

квадратные

уравнения

геометрически.

Например, Евклид использовал деление отрезка
в среднем и крайнем отношениях.

Со

времен

Древнего

Египта

и

Вавилона

и вплоть до появления работы Виета математи­

<h> 2 2+П =2012.
2х

ки решали уравнения первой степени, квадрат­

ные, кубические и уравнения четвертой степени,
ограничиваясь всякий раз лишь какими-либо

В поисках неизвестного

коэф­

х2

-

фициентов. При подобном подходе уравнения

х2

+8

Зх 2 +

Sx + 6 =О и 4х2 + 7х + 8 =О считались раз­

ний одной и той же степени, каждый из кото­

личными, хотя было ясно, что оба решаются

рых приходилось рассматривать в отдельности.

конкретными

числовыми

значениями

7х

119

+8

= О, принято было записывать в виде

= 7х. Возникало множество типов уравне­

одним и тем же методом. Кроме того, матема­

Как животные

тики стремились избежать отрицательных чи­
сел; поэтому такое,

например, уравнение,

используют

как

золотое
сечение.

а+Ь =~=1,611803 ...
Ь

а

а

Известнь1й

всем

wкоnьникам Виет

r

лавный вклад француза Виета в развигие
алгебры состоял во введении буквенных ко­
эффициентов.

Огдельные

математики

ис­

пользовали буквенные обозначения и до Вие­
та, но делали это лишь от случая к случаю. Виет

был первым, кто продуманно ввел буквенные
обозначения и систематически их использовал.
Основное новшество состояло в том, что бук­
вами обозначались не только неизвестные или

степени неизвестных, но и коэффициенты урав­
нений.

Такой

рассматривать

подход
все

позволял

квадратные

единообразно
уравнения,

за­

писав их (в современных обозначениях) в виде

ах2

+ Ьх + с = О,

где буквенные коэффициенты а, Ь

и с мшуг означать любые числа, а х

-

неизвест­

ную величину, значения которой требуется найти.

Французский
математик

Франсуа Виет.

В поисках неизвестного

120

По образованию и роду занятий Виет был
юристом. А математикой он занимался в сво­

бодное время, печатая и рассылая свои работы
за собственный счет.
К квадратным уравнениям сводятся многие

уравнения путем замены переменной . Напри­
мер, биквадратное уравнение
ах4

+ Ьх2 + с =

О

сводится к квадратному заменой переменной

х2

=w.

ЗААНIИЕЗ

Решите уравнение (х 2 + х) 2 + ~ х 2 -1 =О.

ФОРМУЛА КАРДАНО
Так

в.ныв.нот

фо1н1у .1ы,

выражающllе

решеш~н кубllческого ураввешш.

Пусть

х' +ах=

/1. Тогда реше111ш :Jтого уравпепllн

.1.110 го1

фо1н1у .1оit

' ,,
х= ·'

{/

,,:

' h

{/

~

\2 \27

- + ·- ·+ --- + -· - -

\2 \27

/J:

- +- .
~

.J.,ншан фо1н1у.ы есть не нросто решепllе
о.\пого TllП.1 куб11ческllх ypaввeвllit . Это
1ю . 1пое

решенllе

всех

п11юв

-

куб11ческ11х

ур.ш11е1111i1 с точностью до простых .1 .пе­

СJра11ческ11х 11реобр.нова1111it. Ес.111 куб11че­

ск11i1 ч .1l'll есть, ск,1же:\\,

5.\·', .1

3ААМИЕ6

Решите уравнение ~

не У', то '1ож­

но просто ра .це .11пъ все ур.ш11еп11е на

хз

4-х 2

+ х 2 - 4 = О.

5.

А ес.111 в yp.Шlll'lllll' вхо. 11п ква.1рат 11е1в­
Нl'Ст1101·0 , от llt'ГO нсег.1а '\OЖllO 1во.1в11ть-

01: 11.1,10 3,1'\l'lll\Tl> Х l\,1Х11 . 110С CIH.'IH1.1 .1Ьllbl'I
oCJp.H0'1 110.1обр.11111.1н lIOCГOHIIll.1H; 11 t'C.111
BCl' с.1е . 1.1ть 11р.11н1 . 1ы10 , то Cl.1Г.ll',\0(' с КВ.1.1р.по,1 11росто 1кчс .),1ст.

Повь1wая стеnень

в

течение

XVI

в. было установлено, что ал­

гебраические уравнения третьей и чет­
вертой степеней решаются посредством

той же процедуры, что и квадратные . Эта про­

цедура может быть охарактеризована следую­
щим образом: решения, или корни, уравнения
представляются в виде выражений, составлен­

3АА•.НИЕ4

ных из коэффициентов уравнения и содержа­

Решите уравнение х3 + х2 + х =- ~·

щих

операции,

из

которых

каждая

является

или рациональной (сложение, вычитание, ум­

3ААНIИЕ5

ножение, деление) или же извлечением корня

Докажите, что произвольное уравнение

третьей степени

z3 + Az2 + Bz +

(квадратного, кубического или четвертой сте­

С = О при

пени). По-другому говорят, что алгебраическое

помощи линейной замены переменной

уравнение не выше четвертой степени «реша­

z

=х + fJ можно привести к виду х3 + рх +

+q=O.

ется в радикалах» (слово « радикал»
по-латыни означает «корень» ).

- radix -

В поисках неизвестного

121

Казалось как нельзя более естественным пы­

ных операций и операций извлечения корней?

таться обобщить эту процедуру на уравнения

Именно стремление добиться полной ясности

пятой и более высоких степеней,

в этом вопросе послужило толчком для мощно­

конечно,

и

радикалами

пользуясь,

соответствующих

сте­

го развития современной алгебры.

пеней. Но ни одна из попыток не увенчалась

успехом . В

XVIII

в. были случаи, когда даже вы­

3АДАНИЕ7

дающиеся математики впадали в заблуждение,

Решите уравнение х8 + 4х4 + х2 + 1

предполагая, что решение ими найдено.

XIX в. у итальянца Паоло
Руффини (1765-1822) и норвежского матема­
тика Нильса Абеля (1802-1829) возникла рево­
люционная для того времени идея доказать

=О.

Лишь в начале

невозможность решения в радикалах общего

алгебраического уравнения степени п.
Нужно четко понимать, что речь не идет

о решении алгебраического уравнения степени
п: существование решений было строго доказа­
но Гауссом в

1799 г.

Радикаnь1

и аnrе6раи"еские
уравнения

Поэтому уже не было ника­

ких сомнений в том, что каждое алгебраическое
уравнение действительно имеет корни, в осо­

бенности после того, как были разработаны

с

тремясь найти решения алгебраических
уравнений разных степеней, математики

во второй половине

XVIII

в . обнаружили

приближенные методы их вычисления с какой

связь между радикалами и комплексными чис­

угодно степенью точности .

лами . О последних мы говорили в третьем раз­

Абелем и Руффини проблема была постав­

деле. Ключом к новому подходу стала формула

лена совсем иначе: может ли быть найдено ре­

Муавра (равенство

шение

и понятие корня п-й степени из единицы.

с

помощью

одних

только

рациональ-

(5)

в упомянутом разделе)

ЗАДАНИЕ В
Докажите, что если х + iy

то х2 + у2

=(s

2

=(s + it)",

+ t2)".

Подсказка: домножьте равенство на со­
пряженное.

Согласно общему определению,

корнем

п-й степени из числа а считается каждое число

Ь

-

такое, что Ь"

= а.

Например, единица име­

ет два квадратных корня:

= (-1) 2 = 1.

Корней четвертой степени оказы­

вается четыре:

i

и

-i

1 и -1, потому что 12 =

и

1

-1

(действительные корни),

(предлагаем читателю проверить это) .

Несколько сложнее дело обстоит с кубиче­
ским корнем из
это

1,

1:

один корень очевиден

-

а каковы остальные, сразу не скажешь.

Но по аналогии с двумя предыдущими слу­
чаями

можно

предположить,

что

дол жны

существовать еще два корня кубических из

1,

вероятно, мнимых (а всего, стало быть, их бу­
дет три). Корней пятой степени из
Итальянский математик Паоло Руффини.

быть пять . И так далее
значений корня из

1.

-

1

должно

для более высоких

В поисках неизвестного

122

К_орни
11-и

и

стеnени

так, искомые корни п-й степени из
должны находится из соотношения ьп =

1
1.

Найдем третий корень кубический из

получается из

1. Он

k = 2:

2л·2
. 2л·2
4л
. 4л
Ь =cos--+i·sш--=cos-+i·sш-=
2

3

3

3

3

= cos 240° + i · sin 240°.

Поскольку cos 240° = _ _!_, sin 240° = - .J3,

получаем

2

2

ь =-_!_-i.JЗ .

Представим Ь в виде

cos <р + i · sin <р.
Тогда ьп = cos n<p + i · sin n<p согласно форму­
Ь=

ле Муавра

при

(1)

2

2

(3)

2

Сравним выражения для второго и третьего

(cos <р + i · sin <р)п = cos n<p + i · sin n<p.
1 имеем:
cos n<p + i · sin n<p = 1 = 1 + i · О.

корней . Очевидно, они отличаются знаками пе­

Из условия ьп =

ред мнимыми частями. Это означает, что дан­
ные корни являются комплексно сопряженны­

Два комплексных числа равны тогда и толь­
ко тогда, когда равны их действительные и мни­

ми, то есть ь; =ьl, ь1· =ь2.
Звездочка означает комплексное сопряже­
ние

мые части:

cos n<p = 1; sin n<p =О.

-

замену

знака

перед

мнимой

частью

на противоположный.

Оба эти равенства выполняются при усло­
вии, что аргумент обеих функций кратен
потому что

cos 2nk = 1, sin 2nk = О,

где

360°,

k -

це­

лое число или нуль. Из этого условия имеем :

n<p = 2nk, откуда

Это соотношение определяет набор корней

k

k= О

и

k= п

(1 + i)";

б) (l+iJ3)";

п

(при

Вычис11ИТе с11едующие выражения:
а)

2лk

<р=-.

п-й степени из единицы для

3АДАНИЕ9

=О,

1, 2, .. .,

п-1

корни совпадают), т.к.

в) (1 +

cos <р + sin <р)";

r) (J3 +i)".
Подсказка: представьте каждое из чисе11

2л·п

cosO = cos-- = cos 2л = 1.

в триrонометрической форме.

п

Значения корней будут находиться из формулы

. <р = cos -2nk- + l. . sш-. 2nk
ь = cos <р + l.. sш
(1)
.
п

п

rеометрическая картина
Вспомним приведенную в третьем разделе
геометрическую интерпретацию

Рассмотрим для примера корень кубиче­
ский из

1:

п

= 3. Для k =О имеем уже знакомый
1. Для k = 1 получаем из (1):

нам корень Ь 0 =

комплексных

чисел. Она состоит в том, что комплексному
числу

z=

х

+ iy

ставится в соответствие точка на

плоскости с координатами (х, у) . х-координата
представляет действительную часть комплекс­

Ь1 = cos 2 л + i · sin 2 л = cos 120°+i·sin120°.
3

ного числа, у-координата

Но cos 120° = _ _.!_ ,
2

sin 120° =

ь1 =-2-+i.JЗ .
2

2

его мнимую часть.

ния для кубических корней из

.J3 .

1 нанести

на пло­

скость. Картина будет выглядеть так, как пока­

2

зано на рис.

Поэтому второй кубический корень из единицы равен

-

Пользуясь этим приемом, можно выраже­

3

2. Точки,

соответствующие корням,

лежат на окружности единичного радиуса (по­

чему?). Соединяющие их прямые образуют пра­

(2)

вильный треугольник, вписанный в эту окруж­
ность .

В поисках неизвестного

123

1

-z
Рис.

2. Корни третьей

степени из

1

на комплексной плоскости.

Рис.
из

06о6щим

1в

3. Изображение

корней пятой степени

комплексной плоскости (слева) и корней
пятой степени из

2 (справа).

Полученные нами результаты можно обоб­

щить для

больших

значений

п.

Существует

уравнение на корни 17-й степени из

2

имеет

решений. Общее правило таково: число ре­

ровно п корней степени п из единицы. На ком­

17

плексной плоскости эти корни изображаются

шений равно степени уравнения.

вписан­

Оказывается, оно выполняется не только для

ного в окружность единичного радиуса и имею­

уравнений на корни п-й степени, но и вообще

щего в качестве одной из вершин точку с коор­

для любого алгебраического уравнения.

вершинами

динатами

(1,

правильного

О) . На рис.

п-угольника,

3

сверху показано рас­

положение корней пятой степени из

1.

ментальной теоремы в алгебре на исходе

Если дан любой конкретный корень пятой
степени не из

1,

q, q2, q3

360° . . 360°
q4, где q = cos--+1sш--,
п

где п =

5.

дал Гаусс.

а из некоторого числа, то мож­

но получить еще четыре, умножая его на
и

Первое строгое доказательство этой фунда­

Найдите все значения корней:

п

Эти числа также располагаются по

окружности с центром в О . Например, корни
пятой степени из

3АДАНИЕ10

2 показаны на рис. 3.

Из приведенных примеров можно увидеть
следующее. Корни пятой степени из

2

можно

а)
б)

Ji;
v::i;

в) .J-Si;

2.

r>

V1-;;

Это уравнение пятой степени, и у него пять ре­

д)

v::t.

рассматривать как решения уравнения х 5 =

шений (одно вещественное и четыре комплекс­

ных). Уравнение х4 =

2

имеет четыре решения

(все корни четвертой степени из

2).

А скажем,

XVIII в .

124

В поисках неизвестного

Основ на•

теорема anre6pы

А

лгебраическим уравнением с одним не­
известным называется уравнение вида:

j(x) = а 0х" + а 1

х2

+ ." + а"_ 1 х +а"= О.
(4)
... , а"_ 1 , а " могут быть

Постоянные art а 1 , а 2,

действительными или комплексными числами.

j(x)

= а0 (х - и 1 )(х - и 2) ...

То, что числа и 1 , и 2 ,

- и"_ 1 )(х - и)= О. (5)
и "_ 1 , и" являются кор­

(х

••• ,

нями уравнения, ясно из самого вида
скольку

при

х,

множителей в

равном

(5)

одному

и

1

(5),

по­

один

= .х4

- 1.

Вспомним,

О (что равносильно равенству .х4 =

1=

из

обращается в нуль.

Возьмем многочлен j(x)

что .х4-

из

Корнями уравнения

являются числа

1).

1, i, -1, -i.

Значит, этот многочлен разлагается на множи­
тели так:

Говоря о решении этого уравнения, имеют

j(x) = (x- l)(x- i)(x + l)(x + i).

в виду отыскание формул, выражающих корни
уравнения через его коэффициенты при помо­
щи сложения, умножения, вычитания, деления

и извлечения корней (решение в радикалах). Ре­
шением уравнения

(4)

называется всякое число

ЗАДАНИЕ

11

Пусть х1, х2,
а"х"

•••,

+ ... + а 1х + а0

-

х"

= О.

и, действительное или комплексное, такое, что

уравнений

при подстановке его вместо х в

а) а()""х" + ... + а 1 х + а
О;
6) а"х2"+ ••. + а 1х2 + а 0 =О?

это уравнение

имеет место тождество

j(u) =О.

п-

п

корни уравнения

Какие корни 6удут у

=

Подсказка: по смыслу задачи а 0 '1: О, поэто­

То, что сделал Гаусс, состояло в доказатель­
стве существования решений уравнения

(4)

при

му все корни отличны от нуля. Заменами

а) х

=Г1, 6) х2 =t

соответственно эти урав­

любом п. До этого было неизвестно, существуют

нения приводятся к исходному виду

ли вообще решения для п. Правда, обобщить

+ ... + а 1 t + а 0 =О.

на случай степеней п

>5

a"f' +

классические форму­

лы, позволяющие находить корни с помощью

ЗАДАНИЕ

рациональных операций и извлечения корней,

Перепишите формулы Муавра, исполь­

не удалось.

зуя вместо тригонометрических функций

Из теоремы Гаусса вытекает другая теорема,

названная основной теоремой
уравнение

(4)

... ,

комплексную экспоненту.

алгебры: если

ЗАДАНИЕ

имеет п различных корней
и1, и2,

12

13

Выразите функции

ип-1' и п,

то многочлен, стоящий в его левой части, может

sin <р и cos <р через ком­

плексную экспоненту.

быть представлен как произведение п сомножи­
телей вида

PEWEHMR ЗАДАНИЙ
Задание

1

1
2012

Отсюда получаем: х = - - - .

Данное равенство можно записать в виде

(x - l)(y - 1) =О. Поэтому решением
пара чисел вида

(1, k)

или

(k, 1),

будет всякая

где

k-

произ­

вольное число.

ЗаданиеЗ

Так как числа (х2 + х) 2 и ~ х 2 -1 неотрицатель­
ны, а их сумма равна нулю, то оба эти числа рав­

Задание2

ны нул ю . С другой стороны, если оба эти числа

Выражение, стоящее в левой части уравне­

равны нулю, то их сумма равна нулю . Следова­

ния, имеет смысл только при х
можно переписать в виде:

-х~х = 2012.
2х

< О.

Поэтому его

тельно, исходное уравнение равносильно следу­

ющей системе:

х) 2 =О, или{х 2 + х =О,
{ (х~2х+2 -1
=О,
х 2 -1 =О.

{

х(х+ 1) = О,

(х + l)(x -1) =О.

В поисках неизвестного

Теперь очевидно, что оба равенства верны
только при значении х =

-1,

Задание

которое и будет ис­
а

комым решением.

cos

..

пп

пп) ;

4 +z · sш 4

б)2п (соs пп + i · sin пп)·

Задание4

3

Преобразуем данное уравнение:

2х 3

3 '

в)-512(1 + ifj);

3.х3 +
+ 3х + 1 = О. Отсюда
= -(х + 1)
или xVi =-х-1 . Решая это равенство относи­
3х2

%
(

)2

9

3,

тельно неизвестной, получаем:
г)

1
x=---

2 " ( cos

2n cos"

<р( cos ~<р + i · sin п2<р}

. . пп)

пп

6 +z·sшб.

Vi+i"

Задание

Задание

5

При замене

z

= х

~ коэффициент при

+

в полученном многочлене равен 3~

+ А.

х2

а)±

Он об­

ратится в ноль при ~ = -А/3.
Задание

б)±

6

Из данного уравнения следует, что

l+i

./2;

l±i

./2;

в)± 2(1-i);

3

х 3 = (4 - х 2 ) ) 4 - х 2 = (4 - х 2 ) 2.

г

6 г;::;( cos(-п +2nk)
. (-п+2nk)
) 'V2
- - -i·sm
-- ,

Возводя обе части в квадрат и извлекая ку­

бический корень, получаем:

х2

=

2их

Ji -

х 2,

откуда

±Ji . Проверка показывает, что от­

=

рицательный

х=

4-

х2 =

корень

посторонний.

корень данного уравнения.

где

k =О,

12
1, 2, ".

3

12

3

д)соs(~+ 2nk)-i·sin(~+ 2nk)

Поэтому

12

где
Задание

10

6

12

6

'

k = 1, 2, 3, 4, 5.

7

Так как степени неизвестного во всех сла­

Задание

11

Задание

12

Задание

13

гаемых четные, то выражение слева всегда не

меньше

1 и,

следовательно, не равно нулю. От­

сюда следует, что данное уравнение не имеет

решений.

Задание
х

8

+ iy

=

(s + it)" , х - iy

=

(s - it)".

Умножим попарно левые и правые части
этих равенств:

(х

+ iy)(x - iy)

=

(s + it)" (s - it)",
e ;'I' +e- i'I'

или

х2

+ у2

=

cosrn =

(s + it)" (s - it)".

't'

Представим правую часть в виде

(s + it) (s + it) ... (s + it) · (s - it) (s - it) ... (s - it).
Каждый

из этих двух сомножителей по-

вторяется п раз. Произведение каждой из пар

(s + it) (s - it) повторяется также п раз, при
(s + it) (s - it) = s2 + t2 • Отсюда следует, что
х2 + у2 = (s2 + t2)".

этом

2

.

;

e ;<i> - e-i<i>

s1nrn = - - 't'

2i

125

126

Симметрии и группы

СИММЕТРИИ

fРУППЬI

Как решить

при

помощи

только

четырех

элементарных

аnrе6раи"еское

операций

уравнение

корня . В таких случаях говорят, что уравнение

и деления

-

сложения, вычитания, умножения
и включали операцию извлечения

разрешимо в радикалах.

Поэтому предполагалось, что и алгебраи­

к

аким должен быть метод решения алге­

ческие уравнения степеней п

браического уравнения п-й степени с од­

разрешимы

ним

«атаки»

неизвестным

для

произвольного,

в

радикалах.

математиков

>4

должны быть

Первым

объектом

стало уравнение

пятой

т.е. любого, п? То, что такое уравнение имеет

степени. В течение почти трех столетий продол ­

решение (корни), доказал Гаусс . Но математи­

жались безуспешные попытки найти формулы

кам начала

для его корней . И только в

XIX

в . нужна была формула! Ведь к

1824

г. норвежский

ней сводились решения уравнений от первой

математик Нильс Абель доказал, что алгебра­

до четвертой степени. Эти решения выража­

ические уравнения степеней выше

лись через коэффициенты уравнения, причем

случае не разрешимы в радикалах. Конечно,

4

в общем

Симметрии и группы

в

частных

х7 -

3

случаях,

например

для

уравнения

= О, можно найти g_ешение в радикалах

(одно из решений

-

это '!JЗ).

127

когда он погиб. В ночь перед дуэлью этот юно­
ша

при

свечах

завершить

свою

лихорадочно

рукопись,

писал,

стараясь

содержащую

идеи

Получается, что одни (как только что приве­

симметрии чисел и новой ветви математики,

денное, да и ряд других, более сложных) алге­

названной теорией групп. Сделав это, Галуа от­

браические уравнения высоких степеней имеют

правил работу своему другу и попросил помо­

корни (разрешимы в радикалах), а другие

-

щи в ее опубликовании. Однако его идеи были

нет. Что же отличает уравнения одного типа от

настолько необычны, что их поначалу никто

другого? Какие уравнения вообще можно ре­

из

шить в радикалах, а какие

-

математиков не понял. Лишь

14

лет спустя

рукописи Галуа опубликовал французский ма­

нет?

Ответ на этот вопрос изменил развитие ма­
тематики и со временем дал в руки физиков
мощные средства исследования материи.

тематик Жозеф Лиувилль.
Ранним утром, закончив писать, Галуа по­
кинул свою комнату и

направился

к находив­

шемуся поблизости . пруду, где ему предстояла

дуэль. Обстоятельства дуэли не выяснены, но
известно, что соперника Галуа звали Пеше д'Эр­

бенвиль.
Противники стреляли друг в друга из писто­

летов на расстоянии нескольких метров . Пуля
попала Галуа в живот. Он был брошен на месте
дуэли. Несколько часов спустя один из местных
жителей случайно наткнулся на раненого и от­

вез его в больницу. В

10 часов утра 31мая1832 г.

Эварист Галуа скончался.

Портрет Нильса Хендрика Абеля.

Художник Йохан Горбиц. XIX в.

&ессмертие
на

э

nopore

смерти

тот ответ дал человек, чье имя стало в ма­
тематике символом гениальности. Звали

его Эварист Галуа. Ему было всего

20

лет,

Эварист Галуа в

15 лет.

Симметрии и группы

128

Что JКе он cдenan

3

определенным правилам и потом у на з ывает­

ся группой.

анимаясь теорией алгебраических уравне­

Группы в математике имеют общие для всех

ний, Галуа нашел необходимое и достаточ­

них характерные особенности. Их мы и изучим

ное условие для того, чтобы корни уравне­

далее.

ния допускали выражение через радикалы. Но
наиболее ценным был даже не этот результат,
а те методы, с помощью которых Галуа удалось

его получить. Он заложил основы современной
алгебры, ввел новые фундаментальные понятия,
такие как группа и поле (эти поля носят название

полей Галуа, а их симметрии образуют группу,
названную группой Галуа) .
Надо сказать, что понятие группы вовсе не

новое для нас с вами . С ним мы познакомились
в четвертом разделе. Там рассматривались гео­

метрические фигуры
ник и квадрат

-

-

правильный треуголь­

и преобразования (повороты

вокруг центра этих фигур), которые переводят
треугольник и квадрат в положения, неотличи­
мые от первоначального.

Такие преобразования в математике на­
зывают операциями

симметрии или

просто

симметриями . Иначе выражаясь, симметри­

ей считается любое преобразование, сохраня­
ющее объект. Затем оказалось, что совокуп­
ность всех таких вращений (т.е. симметрий)

для каждой

из

фигур удовлетворяет трем

Дворец Тадж-Махал в Индии

образец

-

проявления симметрии в архитектуре.

Симметрии
имметрия некоторого ма­

с

тематического объекта

это преобразование,

торое

сохраняет

ко­

структуру

объекта. Это значит, что сим­
метрия

представляет

собой

процесс, а не сам объект.
В определении симметрии
внимание

следует

сконцентри­

ровать на трех ключевых словах:

«преобразование», «структура»
и «Сохраняет» . Обратимся сно­
ва

к

него

примеру

треугол ьника
нию

все

три

одинаковую
угла

равносторон­

треугольника.

-

по

У такого
определе­

стороны
дл ину,

одну и

ну, а именно

а

ту же

60°.

и м еют
все

три

вел ичи­

Из-за этих

свойств трудно отличить одну

Симметрии и группы

129

сторону от другой; углы также

ческих свойств, которые полагаются существенными. Эго три сто­

неразличимы. Невозможность

роны, составленные из трех отрезков прямой, соотношение длин

отличить одну сторону от дру­

этих сторон и т.д.

гой или один угол от другого

Сохраняет.

Структура

преобразованного

объекта должна

является следствием геометри­

соответствовать структуре начального. Преобразованный тре­

ческой

угольник должен также иметь три стороны, поэтому растягива­

симметрии

равносто­

А ею

ние или сминание его исключается. Стороны должны оставать­

симметрии

ся прямыми и иметь прежнюю длину. И положение фигуры на

роннего треугольника.
определяются его
как

определенные

операции

над ним.

плоскости должно быть тем же самым, так что сдвиг в сторону не
дозволяется.

Разберем упомянутые три
понятия по отдельности.

Преобразование. Оно гово­
рит, что мы можем совершить

некое

действие

над

нашим

треугольником. Например, со­
гнуть его,

растянуть,

как если

бы он был сделан из резины,
покрасить в какой-нибудь цвет
или повернуть на некоторый

угол. Мы выбрали последний
вариант.

Структура. Структура (сrро­
ение) треугольника

представ­

ляет собой набор из математи-

А6страrируемся

с

3.

Имеется элемент

g1 = I,

называемый еди­

войства, справедливые для комбинаций

ничным элементом, такой, что для всех g; в

поворотов

полняется соотношение

треугольника,

присущи

лю­

бому множеству операций симметрии

4.

G вы­

Ig;= gJ = g;.

Каждый элемент из

G

имеет единствен­

над любой системой элементов. Они называ­

ный обратный. Это означает, что для каждого

ются групповыми свойствами. Эти элементы

имеется единственный элемент

не

что выполнено равенство

обязательно

должны

быть

вращениями

геометрической фигуры, такой, как треуголь­
ник. Например, рассмотренные ранее алге­

браические уравнения также имеют особые
симметрии,

которые

можно описать так на­

зываемыми групповыми аксиомами. Эти ак­
сиомы и дают полное описание математиче­

ской группы. Итак.
Совокупность (множество) элементов

g2,

".)

G = (g1,

вместе с правилом комбинирования («умно­

жения») любых двух из них в «произведение» на­
зывается группой, еtли выполняются следующие

четыре условия (аксиомы):

1. Произведение ggi любых двух элементов
G также является элементом этого множества.
Иначе говоря, ggi = gk Е G (gk принадлежит G).
2. Умножение элементов ассоциативно:
(gg)gk = g/gf/
из

из

G,

g;

такой,

g;g71 = g71 g;= I.

(Следует помнить, что
тельная степень

g;

1

g;1

-

это не отрица­

g, а обратный к нему элемент.)

Симметрии и группы

130

Какие 6ь1ва1От

rpynnь1
Е

круг можно повернуть на любой угол, и он оста­
нется все тем же кругом. То есть угол вращения

может меняться непрерывно

от

-

0°

до

360°.

Эти повороты, или симметрии, представляют
непрерывный ряд и также образуют группу.
В этом и подобньrх случаях говорят, что имеет

сли количесгво элементов в группе ограни­

место непрерывная симметрия объекта либо

ченно

что этот объект допускает непрерывную группу

4

(3 в группе правильного треугольника,

в группе симметрий квадратного сгола),

то она называется конечной группой. Число эле­

преобразований симметрии.
Во второй половине

XIX

в. такие группы

ментов в конечной группе называется ее поряд­

глубоко изучал норвежский математик Софус

ком. Другой отряд образуют бесконечные группы:

Ли. В его честь эти группы симметрий были

1,

названы группами Ли. Поскольку параметры

примером может служить группа целых чисел:

таких групп (например, углы вращений) об­

2, ...,-1,-2, .. .

разуют непрерывный ряд, подобно числам на

ЗАДАНИЕ

координатной оси, Ли использовал методы

1

дифференциального и интегрального исчис­

Докажите, что множество целых чисел

образует группу в соответствии с требо­

умножение

не

тативно, т.е. в общем случае

ggi = gf; для

Группы Ли находят широкое применение

в современной квантовой физике.

ваниями групповых аксиом.

Групповое

ления (см. последнюю главу) .

всегда

комму­

ggi -:/- gf;·

Если

любой пары элементов группы, то

она называется коммутативной, или абелевой,
группой.

Иногда бывает так, что часть элементов ка­
кой-либо группы

G сама

образует группу отно­

сительно той же операции умножения. Тогда
эту меньшую совокупность элементов называ­

ют подгруппой группы

G.

Понятно, что любая

подгруппа обязана содержать единичный эле­
мент группы.

Для рассмотренных ранее примеров рав­
ностороннего

треугольника

и

квадрата

харак­

терно то, что эти фигуры совпадали с самими
собой при поворотах на углы, кратные некото­
рым минимальным
во втором). Это

-

(120°

в первом случае и

90°

Симметрия бабочки

-

пример зеркальной

геометрической симметрии. Такая симметрия
встречается не только в живой природе, но и,
например, в мире элементарных частиц.

дискретная симметрия. А вот

Перестановки

меняя

их порядок,

но

оставляя

неизменным

их число. Каждая из получающихся таким

п

усть у нас есть п каких-нибудь элемен­

образом комбинаций (в том числе и пер­

тов,

воначальная)

расположенных

порядке.
книги

на

Например,

полке,

которые

в

определенном

это

могут

называется

перестановкой.

элементарной математике доказывается, что

переставляются,

общее число перестановок Рп из п элементов

фигуры на шахматной доске, переходящие с

равно произведению всех целых чисел от

клетки на клетку, и т.п. Будем переставлять

п включительно:

эти

элементы

В

быть

всевозможными

способами,

Рп

= 1 · 2 · 3 · ... · (п -1) · п =

п!.

1 до
(1)

Симметрии и группы

Символ

п!

представляет

(читается:
собой

произведения

«ЭН

131

факториал»)

сокращенную

запись

1 · 2 · 3 · ... · (п -1) · п.

3АДАНИЕZ
Докажите, что произведение

k посllедова­

теllЬНЬIХ це.4ЬIХ чисеll деllИТся на

k! = 1 . 2 . 3 . ... . (k - 1) . k.

Найдем число перестановок из трех элемен­
тов а, Ь, с. Из

(1)

имеем: Р 3

= 1 · 2 · 3 = 6.

Выпишем эти комбинации:
аЬс; асЬ; Ьас; Ьса; саЬ; сЬа.
Перестановка,

в

естественном

в

которой

(здесь

(2)

элементы

алфавитном)

идут

порядке,

называется основной перестановкой . Буквой а
в ней обозначен первый элемент, буквой Ь
второй, буквой с

-

третий.

3АДАНИЕЗ
В футбоllьной команде

(11 чеllовек) нуж­

(!Нв1sтr.1INI.A

но выбрать капитана и его заместитеllя.

lO.

CARL JOHAll SGADE

Скоllькими способами это можно сде­
llать?

СофусЛи.

rpynna
n

nерестановок
ереход от основной перестановки к ка­

Ь

-

элемент асЬ, т.е. а, на второе место
элемент, то есть с, а на третье

т.е. Ь. В результате получаем асЬ

-

исходную ком­

(123) не
- как

в рассмотренной, так и в любой другой.
Теперь возьмем любую другую перестанов­

Ьса, осуществляется путем замены а на Ь,

например:

на а. Эта операция называется пе­

второй ее

меняет порядок элементов в комбинации

ку, допустим

-

-

третий элемент,

бинацию. Это означает, что перестановка

кой-либо другой комбинации, например

на с и с

-

(213). Как она действует? А так,
(213) сЬа = Ьса. Эта запись говорит

следующее: поставьте второй элемент сЬа на

-

первое место, первый

по которому получаются различные комбина­

на третье. Так же следует понимать и остальные

ции из

четыре перестановки из

(2).

Будем обозначать такие операции

С учетом сказанного перепишем

(2) в виде
(123); (132); (213); (231); (312); (321).
(3)
Возьмем первую перестановку (123) и пред­
ставим, что она действует на какую-то одну из

запись

(2),

советует

скажем, вторую:
нам

поместить

в

(3).

Посмотрим, что получится, если совершить

цифрами, заключенными в скобки.

комбинаций

на второе, а третий

-

рестановкой и означает определенный рецепт,

две перестановки подряд:

(213)(312)

аЬс

= (213)

Следовательно,

саЬ

= асЬ = (132)

аЬс.

(213)(312) = (132).

Видим, что умножение двух элементов из

(3)

асЬ. Эта

дает также элемент из этого множества. При­

результиру­

чем эта процедура осуществляется посредством

(123)

ющей комбинации на первое место первый

перестановки сначала справа, а затем слева.

Симметрии и группы

132

Подобным образом можно убедиться, что
все перестановки из трех элементов образуют
группу. Роль единичного элемента выполняет

(123).

Аналогично, множество перестановок п

элементов любой природы составляют груп­
пу,

которая

называется

симметрической.

Ее

порядок, т.е. количество элементов в ней, рав­

но п! Такая группа имеет специальное обозна­

чение

- S". Для группы из пяти элементов, 55,
5! = 1 2 · 3 4 · 5 = 120.

Перестановки

иranya
с

порядок равен

Важно

элементами

корней

являются

уравнения.

как мы поняли,

-

перестанов­

Перестановка,

это способ переупо­

рядочить (изменить) некоторый упорядочен­

групп являются не буквы, а действия, или опе­

ный список. В теории уравнений перестановки

в резуль тате

что

ками

Галуа

этих

рации,

понимать,

имметрии

которых получаются раз­

личные комбинации объектов.

возникают потому, что корни данного

много­

члена можно рассматривать как список ((х 1 , х 2 )
в случае квадратного уравнения) . Некоторые
важные

3АДАНИЕ4
В

пассажирском

свойства уравнений

непосредственно

связаны с эффектом перетасовки этого списка.

17

вагонов.

Например, уравнение не должно «Знать», в ка­

Сколькими способами можно распре­

ком порядке мы выписываем его корни, так что

17 проводников, если

перестановка корней не должна приводить ни

делить по вагонам
за

каждым

проводник?

поезде

вагоном

закрепляется

один

к каким серьезным различиям . В частности,

коэффициенты уравнения должны быть пол­
ностью симметричными выражениями от кор­

ней

-

такими, которые не меняются, когда кор­

ни переставляют.

Так вот, симметрии полиномиальных урав­
нений любого порядка образуют группу, на­
званную в честь Галуа. Именно он установил,
что решения таких уравнений в радикалах су­
ществуют тогда и только тогда, когда соответ­

ствующая группа Галуа имеет определенную
структуру и является так называемой разреши­

мой группой . Оказывается, квадратные, куби­
ческие и биквадратные уравнения имеют раз­
решимые группы Галуа. Именно поэтому ре­
шения этих уравнений можно записать в виде

формул. А вот группа Галуа уравнения пятого
порядка (или выше) в общем случае не является
разрешимой. А потому не существует формул
в радикалах для решений таких уравнени й .

Представnения

rpynn

А

вайте вспомним преобразования век­
оров,

происходящие

екартовых

систем

при

поворотах

координат

вокруг

Симметрии и группы

начала. Об этом шла речь в главе «Аналитиче­
ская геометрия». Эги преобразования задавались
матрицей поворота:

=l~~:~~ :~~: ~J

R,

(4)

Иными

словами,

композиция

двух

133
вра­

щений на углы

<р 1 и <р 2 дает вращение на угол

(<р 1

= -<р 1 , то результирующий угол

+ <р 2 ).

Если <р 2

поворота равен нулю.

Итак, что у нас получилось? Мы вращали
одну систему декартовых координат относи­

тельно другой. Такое вращение можно рас­

Здесь <р

угол поворота одной координатной

-

системы относительно другой вокруг оси

Oz.

в неизменном пространстве (в данном случае

Поскольку при таких поворотах z-коорди­
наты векторов не меняются, матрица

(4)

сматривать не как преобразование координат
плоскости), а как вращение пространства при

равно­

неизменности координатных осей. Такие вра­

сильна матрице поворота на угол <р в плоскости

щения сами по себе образуют группу, как мы

хОу вокруг начала координат:

только что показали. Элементами этой груп­

R
'Р

sinq>)
sin q> cos q>

= [ COS<j>
-

пы

(4а)

являются

каждому

повороты

углу

на

углы

соответствует

<р,

один

причем
элемент

группы. Сама она имеет специальное обозна­

Если произвести два последовательных по­

чение

- 50(2).

ворота на углы <р 1 и <р 2, используя правило ум­

Матрицы, реализующие в конкретной фор­

ножения матриц и формулы синуса и косинуса

ме эти вращения, называются представлением

суммы, то получим:

этой группы. В более общей формулировке:
представлением некоторой группы

(5)

G

одной матрице для каждого элемента

ЗАДАНИЕ

называ­

ется система квадратных матриц М 1 , М2,

g,

.",

по

при­

чем равенство

5

ми словами,

Докажите форму11у

(5).

ggi = gk означает M,Mi = Mk. Ины­
представление группы это сово­

купность матриц, которые умножаются друг на

друга так же, как и элементы группы, и по этой

причине сами образуют группу.
Если матрицы имеют размер п х п, то это

п-мерное

представление

группы.

Например,

(4) дает трехмерное представление
группы 50(2), а (4а) - двумерное.

равенство

Давайте

уrnу6имся
м

ожно немного пойти дальше, обобщив
полученные

результаты.

Во-первых,

пространства любой размерности мо­
гут быть комплексными. Это означает, что век­
тор в таких пространствах имеет п компонент,

Терракотовая армия. Это захоронение

8099

статуй китайских воинов, выполненных
из глины.

Все фигуры сделаны в полный человеческий
рост. Глиняные воины с конницей были

погребены в

210-209 гг. до н.э. вместе

с императором Цинь Шихуанди.

являющихся вещественными или комплексны­

ми числами. Простейший пример

-

комплекс­

ная плоскость хОу с одной вещественной и од­
ной мнимой осями (см. раздел «Комплексные
числа»).

Интуитивно ясно, что вращения обычной
плоскости,

рассмотренные

выше,

эквивалент-

Симметрии и группы

134

ны преобразованиям в комплексной плоско­
сти. А именно переходу от точки, характеризу­
ющейся одним комплексным числом, к другой,
в которую перешла эта точка в результате вра­
щения плоскости и которая соответствует ново­
му комплексному числу.

Эти преобразования образуют группу сим­

метрии, очень похожую на

Математик

50(2).

скажет, что эти две группы изоморфны. Это
значит, что между элементами групп имеется

взаимно однозначное соответствие. Обозначает­
ся эта группа как

и называется унитарной

U(l)

группой преобразований с единственной ком­
плексной переменной.

Соответствующая группа в п-мерном ком­
плексном пространстве также называется уни­

тарной и обозначается И(п). Ее можно рассма­
тривать как своего рода симметрии, соответству­
ющие вращениям в комплексном пространстве,

подобно тому как группа

50(2) связана с враще­

Обычно из U(n) выделяют подгруппу с опре­
вы

должны

любят

матрицы

с

единичным

определителем, обозначая соответствующие

ниями плоскости.

делителем, равным

Физики

1.

помнить

группы как

5U(n).

Они находят самое обшир­

Что такое определитель,

ное применение в физике. Например, атом­

из

ные ядра, как вы

школьного

курса,

где

знаете,

-

составлены

из двух

он встречался в связи с системами уравнений.

весьма похожих частиц

протона и нейтро­

Определитель похож по виду на матрицу, име­

на. Эта парочка описывается группой

ет те же самые строки и столбцы. Однако счи­

Но куда интереснее история ее « Старшей се­

тается числом, которое вычисляется по опреде­

стры» 5U(З), к краткому рассказу о которой

ленным правилам.

мы сейчас переходим .

5U(2).

ссТри nоросенка11, иnи Сказо"ка
о том, как физики nовиnи кварки

r

руппы

5U(n),

как и всякие другие, име­

ют представления. У 5U(З) есть несколь­
ко представлений разных размерностей:

восьмимерные (октет), десятимерные (деку­
плет) и два трехмерных (триплет). Оказалось,

и Цвейг
ления

-

сопоставили эти два

с двумя семействами

элементарных частиц,

которые

Поначалу

кварков

было

«нижний» и «странный»

ментарные частицы. Не все, но самые глав­

ских слов

-

они

назвали

кварками.

что они чудесна описывают имеющиеся эле­

ные

представ­

« самых-самых»

up, down

и

три:

«верхний»,

- и, d и s (от англий­
strange). Не следует бук­

протоны, нейтроны и многие близ­

вально понимать эти слова. Просто ими обо­

кие им по свойствам, называемые адронами.

значаются определенные свойства этих частиц,

Часть

отличающие одну от другой.

из

них,

вписывающаяся

представление, показана на рис.

в

октетное

1.

Элементарные частицы, а точнее адроны, со­

Но самыми важными оказались два трех­
мерных представления

группы 5U(З)

стоят либо из трех кварков, либо из кварка и анти­

(три­

кварка. Со временем понадобились и другие виды

плеты) . Из них строятся октет и декуплет ча­

кварков, и они были найдены в экспериментах. Те­

стиц. Авторы этих идей

перь их шесть: и,

-

физики Гелл-Ман

d и s, а также с, t и Ь.

Симметрии и группы

135

5=0

5 =-1

S=-2

Q=-1
Рис.

Q=O

Q=+l

1. Диаграмма октета элементарных частиц (Q - электрический заряд
S - особая характеристика частиц, называемая

в единицах заряда электрона,
странностью).

Кварковое строение частиц атомных ядер
Глюоны

-

-

протона и нейтрона.

частицы, благодаря которым кварки удерживаются вместе.

Симметрии и группы

137

РЕWЕНИА ЗАДАНИЙ
Задание

1

Групповой операцией на множестве целых

чисел
ЬЕ

Z

будет обычное сложение. Пусть а Е

Z. Тогда:
1) сумма двух целых чисел,

Z,

очевидно, явля­

ется целым числом:

Z;

сложение целых чисел ассоциативно:
(а+ Ь) +с= а+ (Ь +с);

3)

поскольку для любого числа а выполня­

ется равенство а

+

из п

+k

из

элементов, выбранных из данных п

k

личных

О = а и О Е

Z,

Это количество групп

причем

порядок

·... · (п + k)

делится на

k!

располо-

зать.

Задание

- а = а + (-а) = О, а О является еди­

3

Капитаном может стать любой из
заместителя могут претендовать

человек. Таким образом, всего есть

Таким образом, все групповые аксиомы вы­
потому множество целых чисел

11

фут­

болистов. После выбора капитана на роль его

ратным к а элементом.

а

раз­

Что и требовалось дока­

ничным элементом, то число (-а) является об­

полняются,

+k

то ноль играет

так как для любого числа а справедливо

соотношение а

элементов,

k.

что c :+k - целое число, а потому (п + 1). (п + 2).

роль единичного элемента;

4)

элементов по

жения этих элементов в группе не важен. Ясно,

а+ Ь =с Е

2)

ки

Выражение c:+k в особом разделе математи­
- комбинаторике - называется сочетанием

разных вариантов. Значит, есть

10

оставшихся

11 · 10 = 110
110 вариантов

выбора.

Z образует группу. Что и требовалось доказать.
Задание4

Задание

Искомое число равно количеству перестано­

2

Указанная последовательность

целых чисел,

k

начиная с произвольного числа п = (О,

1, 2, ... ),

вок

17 элементов

(проводников): существует

17!

способов.

имеет такой вид:

(п

+ 1) (п + 2) ...

(п

+ k).
k!,

Разделим это выражение на

Задание5
одновремен­

но умножив числитель и знаменатель на

· 3 · ... · п =

1·2·

Выписав матрицы
и <р

=

вида

(4а) для

<р =

<:р 1

<:р 2, перемножив их по правилу умножения

матриц и используя формулы синуса и косину­

п!

1·2 · ... ·n·(n+1)(n+2) ... (n+k)
k!n!

= (n+k)! =Ck
k!n!

J;-puf;ZJf

i~t\

n+k·

са суммы двух углов, докажем требуемое равен­
ство

(5).

138

От геометрии к интегралу

ОТ ГЕОМЕТРИИ

К ИНТЕfРАЛУ

Время рождения -

ния в зависимости от расстояния до основания.

111 в. до нашей зры

объема цилиндра с тем же основанием и такой

Т

а дисциплина, с которой студенты-пер­
вокурсники

начинают

знакомство

временной математикой,
ский анализ

-

-

с

со­

математиче­

на самом деле зародилась очень

Оказалось, что этот объем равен одной трети
же высотой.

Однако до Архимеда не существовало об­
щего метода вычисления площадей и объе­

мов. В своей работе «Послание к Эратосфену
о методе» (другое название

-

«Метод механи­

давно. Архимед, больше известный почтенной

ческих теорем») он использовал бесконечно

публике своим законом плавания тел, изобрел

малые величины. В этом методе важную роль

метод,

ис­

играет механический принцип рычага. Как пи ­

числение . Древние греки любили вычислять

сал Архимед, он «исследовал несколько мате­

площади и объемы разных фигур и тел. Напри­

матических задач средствами механики». Эти

мер, Демокрит нашел объем конуса, проводя

идеи со временем легли в основу математиче­

его поперечные сечения и исследуя их измене-

ского анализа.

из

которого

выросло

интегральное

От геометрии к интегралу

Чтосдеnаn

Архимед
д

139

Расстояние от физического тела до точки
опоры, как мы знаем из механики, называется

плечом рычага, а произведение веса этого тела
на плечо

-

моментом.

РЬ/ЧАГ

ля примера рассмотрим, как Архимед
вычислил объем шара. При этом, не вда­

Ml

ваясь в детали, обсудим суть его метода.

ха=М2 х Ь

Шар может быть образован вращением окруж­
ности вокруг одного из ее диаметров. Затем Ар­
химед построил еще два тела вращения
и

цилиндр,

геометрически

Разбивая эти три тела
поперечными

-

связанные

с

-

конус

шаром.

шар, конус и цилиндр

-

сечениями на тонкие диски пере­

.-.~~~

менных радиусов, он рассматривал их как физи­
ческие тела, подвешенные на некоторых расстоя­

ь

~~--

Условие равновесия рычага, открытое

ниях от точки подвеса, или точки опоры.

ЗАДАНИЕ

расстояние

......

Архимедом.

В схеме Архимеда оказалось, что моменты

1

двух дисков-сечений равны моменту третьего

Определите вид тел.а, пол.ученноrо в ре­

диска. Переходя затем от бесконечно тонких

ero

дисков трех упомянутых тел вращения к самим

зу.ll.Ьтате

вращения

квадрата

вокруr

диаrона1lИ.

телам, грек получил равенство

V ш

объем шара,

V к

Vш +

Vк = Vц, где

объем конуса,

V ц

объ-

ем цилиндра.

Поскольку

формулы

объемов

цилиндра

и конуса к тому времени уже знали, Архимед
без труда нашел искомый объем шара (можете
освежить свои школьные знания, вспомнив его

формулу).
Главное, что следует уяснить, это революци­
онный шаг

-

переход от поперечных сечений

тела ко всему телу. Или, на современном языке,

переход от бесконечно малой части к целой ве­

личине, от дифференциала к интегралу.

Как nоссори11ись

Ньютон

и nей6ниq
в

ХVП в. математиков занимали две главные

пр~блемы. Во-первых, проблема кас~тель­
нои: определить касательную к даннои кри­

вой. Эго стало основной задачей дифференциаль­
Архимед. Художник Доменико Фетти.1620 г.

ного исчисления. Во-вторых, проблема квадраrу­
ры; так называлась задача определения площади,

140

От геометрии к интегралу

связанной с заданной кривой на плоскости. Она
превратилась

в

основную

задачу

интегрального

К счастью, в те времена нашлись два чело­
века, которые обнаружили внутреннюю связь

между этими двумя проблемами. Это были

исчисления.

Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц.
Современную форму математический ана­
лиз приобрел в первую очередь благодаря сим­
волическим обозначениям, придуманным Лейб­
ницем. Это был блестящий юрист, дипломат

и философ, один из самых выдающихся и раз­
носторонних умов своего века. Он изучил новей­
шую математику в невероятно короткое время

у знаменитого физика Гюйгенса во время своего
пребывания в Париже в дипломатической мис­

сии. Вскоре после этого Лейбниц опубликовал
результаты, которые содержали в себе ядро со­

временного интегрального и дифференциально­
го исчисления.

Портрет Готфрида Вильгельма Лейбница.
Художник Кристоф Франке.1700 г.

КАК ПОНИМАЛИ &ЕСКОНЕЧНО
МАЛЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Развиваи свой вариа1п дифференциального
и и1пегрального исчислении, Лейбниц ввел
величины, названные им инфинитезимаш,­

ными или бесконечно малыми. Бесконечно
малаи, по Лейбницу, отлична от нули, но
меньше

0,1, 0,01, 0,001

и любого другого по­

ложительного числа. Он говорил, что с бес­
конечно малыми величинами надлежит об­
ращатьси так же, как с обычными числами.

Бесконечно малые величины, по мнению
ученого,

были

идеалы1ыми

;,лементами,

фикциими, однако приносили 1шолне ощу­
тимую peaill.нyю пользу. Отношение двух
бесконечно малых определяло производ­
ную

-

ОДНО из основных ПОIПТТИЙ матеl\tа­

Арифмометр Лейбница. Лейбниц изобрел
арифмометр (калькулятор), с помощью
которого можно было выполнять умножение,
деление, извлечение квадратных и кубических

тического анализа. И с бесконечно болыпи­

корней, а также возведение в степень.

ми ве,п1чипами Лейбниц обращалсн так же,

Конструкция этого устройства стала основой

как с обычными числами.

всех последующих арифмометров вплоть
до начала ХХ в.

От геометрии к интегралу

141

Ньютон то же самое открытие сделал гораз­

Будем осторожно приближаться к заветной

до раньше, но не напечатал его. Такое вот было

площади с помощью «встроенных» в нее прямо­

время в науке. Зато его почитатели вступили в

утольников. А именно: разделим сегмент а

жестокую схватку с друзьями Лейбница из-за

на

приоритета, обвиняя ученого в плагиате (т.е.

новим перпендикуляры в каждой точке деления;

в том, что он попросту «Содрал» у Ньютона его

каждую полоску области под кривой заменим

идеи). Что было полной чепухой, так как не

прямоутольником.

было из чего «Сдирать». Работы Ньютона тогда

считать значение JCE,) функции в точке Е.;, в кото­

еще лежали в его столе.

рой ее график пересекает прямоутольник.

множество

маленьких

промежутков,

Высотой

последнего

::::; х::::; Ь

восста­

будем

Интеrраn

n

ервым основным понятием математиче­
ского анализа является интеграл. Обыч­
но он трактуется как площадь под кри­

вой, выраженная с помощью предела. Пусть

дана

у

непрерывная

= f(x),

например у

положительная

= х2 •

функция

Рассмотрим часть пло­

скости под кривой, ограниченную отрезком оси

Ох между точками а и Ь и двумя перпендику­
лярами к данной оси в этих точках (рис.

1).

5
Сумма

5

площадей этих прямоугольников

даст приближенное значение истинной пло­
щади под данной кривой. Точность этого при­
о

ближения будет тем лучше, чем больше чис­

ь

а

ло

Рис.

1. Интеграл как площадь .

прямоугольников

и

чем

меньше

каждой отдельной полоски (рис.

2).

ширина

Поэтому

можно принять такое определение интересу­

ющей нас площади: если мы построим после­

Хотелось бы вычислить площадь

5

этой

довательность

51, 5 2, 53' ...

приближений пря­

области. Ясно, что сделать это с помощью

моугольниками площади под кривой, причем

скудных школьных знаний невозможно. Но

основание

вспомним, что когда-то в той же школе длина

в сумме

окружности

тает, то упомянутая последовательность стре­

метров

определялась

вписанных

угольников.

в

нее

Почему бы

той же идеей?

как

предел

правильных

не

пери­
много­

воспользоваться

5"

самого

широкого

прямоугольника

стремится к нулю, когда п возрас­

мится к пределу

5:
lim S = S.
11

/J~OO

142

От геометрии к интегралу

у

Для него Лейбниц ввел специальное обозначе­

ние

f ydx. А точнее:
ь

S=

Jf(x)dx.
а

у

ь

а

Рис.

2.

х

Площадь как предел последовательности
сумм площадей прямоугольников.

Эгот предел

предсrавляющий собой пло­

5,

щадь под данной кривой, не зависит от того,

каким именно образом выбрана последователь­
носгь

51, 52, 53,

•.. , при условии, что основания

о

ь

а

х

прямоугольников неограниченно уменьшаются.

Площадь

5

данной обласги, полученную этим

предельным

от функции

переходом,

f(x)

называют

интегралом

в пределах от а до Ь (рис.

~

замечании
в

лось,

определении

что

интеграла

функция j(x)

3.

Определение интеграла от функции

как площади под ее графиком.

3).

Нескоnько
нашем

Рис.

счита­

х идет в направлении возрасгания этой пере­

менной. Из последнего равенства видно, что
Ь

а

J

f(x)dx =

-J

а

f(x)dx.

Ь

j(x)

у

положительна

(точнее, неотрицательна) в промежутке
а

::;

х

::;

Ь. Это значит, что никакая часть ее гра­

фика не лежит под осью абцисс. Но это условие
ничуть не мешает определению интеграла как

предела сумм видаfО;)Лх, даже если на отдель­
ных учасгках оси Ох функция j(x)

<

О. В таких

случаях геометрически интеграл от j(x) будет
алгебраической суммой площадей, ограничен­

ных графиком и осью Ох, причем площади, ле­
жащие над этой осью, считаются положитель­

ными, а остальные

-

отрицательными (рис.

4).

Иногда случается, что нижний предел ин­
тегрирования больше верхнего, т.е. Ь::; а. Тогда

в определении интеграла члены типа
будут отрицательными, когда

j(E,) >

JCE,)

О, Лх

Лх

<

О

и т . д. Но выражение

-f(~)Лх = j(~)(-Лх) >О,
причем в последнем случае отсчет приращений

Рис.

4.

Интегрирование в случае

знакопеременной функции.

От геометрии к интегралу

Техника

изведение суммы оснований на высоту), получим:

ь
1
ь2
а2
f xdx =-(Ь+а)(Ь-а) = - - - .
2
2
2

интеrрировани•

а

3.

1

Несколько более сложное рассмотрение

Пусrь j(x)

интеграла от квадратичной функции

пример,

показывает, что

= const на промежутке (а, Ь). На­
если j(x) = 4, то интеrрал как пло-

• щадь р~вен

143

f(x)

= х2

ь

f4dx=4f dx=4(b-a).
а

а

4.

На самом деле это выражение представляет

собой площадь прямоугольника со сторонами

4

Последние две формулы наводят на до­

гадку, что при любом натуральном п интеграл
от степенной функции/(х) =

и Ь-а.

2.

ь

Пусть f(x)

является

= х.

Интеграл от этой функции

площадью

трапеции,

f(x) =

основаниями

xn

равен

ьп+ l -an+l

Jxndx = - -+ 1п

а

опущенные

Эго действительно так, причем формула спра­

из точек (а, а) и (Ь, Ь) на ось абцисс. Вспоминая

ведлива не только для натуральных п, но и для

формулу для площади этой фигуры (полупро-

любых рациональных чисел, исключая

которой

будут

перпендикуляры,

Правиnа

Положив в этой формуле с= а, получим ра-

нее приведенную формулу
а

Ь

ff(x)dx -f f(x)dx.
=

интеrрировани•

Ь

3.

с

-1.

а

Значение интеграла не зависит от того,

уществует несколько общих правил ин­

как мы обозначаем независимую переменную

тегрирования, которые нередко облегча­

интегрируемой функции:

ют поставленные задачи, сводя их к более

простым и легко решаемым. Эти правила могут
быть получены из определения интеграла как

ь

ь

ь

а

а

а

ff(x)dx = ff(z)dz = ff(t)dt.

предела частичных сумм и из геометрической
интерпретации интеграла как площади.

1.

Интеграл от суммы двух функций равен

сумме интегралов от этих двух функций. Инте­
грал от произведения функции на постоянную
с равен произведению интеrрала от функции
на эту постоянную. Эти два правила выразим

одной формулой:
ь

ь

ь

f

f

f[kf( x) + mg(x)]dx = k f(x)dx + т g(x)dx.
а

2.

а

а

Следующее

правило

достаточно

оче­

видно вытекает из определения интеграла как
площади:
ь

с

а

Ь

с

ff(x)dx+ ff(x)dx ff(x)dx.
=

а

Английский физик Поль Дирак, открывший

антиматерию и придумавший дельта-функцию.

Поднимаемся
медnенно в

ropy...

ся, о касательной к окружности как пределе се­
кущей, когда точки ее пересечения с окружно­
стью стремятся друг к другу.

у

к

огда мы поднимаемся в гору или спускаем­

f(x 0 +Лх)

ся с нее, то ощущаем степень ее крутизны.

Со слишком крутого склона можно ска­
титься и сильно травмироваться. Мерой крутиз­
ны горы является ее наклон в данной точке. Что

,

f(x 0)

- - - _

_:41

1

~:'J~ -------'
1
1

это? Вроде всем ясно, но это только физиологиче­
ски. Однако математики

-

j(x

о

+Лх)-f(х о )

народ дотошный. Лю­

бят всему давать безупречно четкие определения .
Лх

Придется последовать их примеру.
Наклон проще всего определить на приме­

ре кривой линии на плоскости (рис.

5).

Допу­

стим, что эта линия является графиком, притом
гладким, какой-нибудь функции

f(x).

Наметим

о
Рис.

f(x 0)).

5.

Секущая и касательная к графику

функции у= f(x) в точке А.

на ней произвольную точку А с координатами
(х 01 у0 =

х

Проведем теперь через эту точ­

ку прямую, которая пересечется с графиком

Так вот, касательная может быть проведена

в некоторой точке В. Тогда наклоном прямой

и к графику функции в прои звольной точке. Не

АВ принято считать тангенс угла а между нею

во всякой, конечно. Иногда функции ведут себя

и положительным направлением оси х .

кое-где не очень хорошо (рис .

Ситуация

схожа

с

секущей

6).

Такие функ­

окружности,

ции нам не нужны. А под наклоном «хорошей »

о чем нам поведали школьные учителя. Поми­

кривой будем понимать наклон ее касательной

мо секущей, они говорили, насколько помнит-

в этой точке.

От геометрии к интегралу
А

в

с

5

Из рис.

145

видно, что наклон секущей дается

отношением

tga =
Рис.

6. График такой функции в точках.А,

Ви С

не имеет определенноrо наклона.

Обозначив
в точках х 0

f(xo + Лх)- f(xo)
.
(х0 + Лх)-х0
разность

значений

+ Лх и х0 символом

Задача наша теперь будет заключаться в том,

чтобы найти способ вычисления наклона гра­

функции

Л, будем иметь:

Лf(х)

Лу

Лх

Лх

tga=--=-.

фика заданной функции j(x).

Это равенство говорит о том, что наклон се­
кущей

равен отношению

разности

значений

Производная

функции Лу к разности значений независимой

ернемся к рис. 5. Пусть точка В расположена

с касательной в точке х 0 , а наклон этой касатель­

неподалеку от точки А и имеет координаты

ной получается предельным переходом:

переменной Лх.
В пределе при Лх ~ О секущая сливается

в

(х0 + Лх, j(x0 + Лх)). Прямая, проходящая че­

.

Лу

tga 0 = 11m-,

рез точки А и В, является секущей нашей кривой

Лх~О Л;х.

у= j(x), образуя утол а с осью абсцисс.

где через а0 обозначен угол наклона касательной
к оси Ох в точке х 0 •

Поскольку этот наклон, вообще говоря, ме­
няется от точки к точке, т.е. зависит от х, то он

является некоторой функцией этой перемен­
ной, отличной от j(x). Он называется произ­

водной от функции j(x) и обозначается как f(x).
А предельный процесс, с помощью которого
она получается, именуется дифференцирова­

нием функции j(x).
Дифференцирование

представляет

собой

некоторую операцию, которая по определенно­

му правилу сопоставляет данной функции j(x)
некоторую другую функцию

g(x) =f(x).

Другим обозначением производной служат
символы, придуманные Лейбницем:

dy

-

dx

Представим теперь, что точка В, подобно
крошечному

жучку,

скользит

приближаясь к точке А.

вдоль

df(x)

--

dx

кривой,

Может, там лежит

что-то вкусное. При этом координаты В бу­

ПРЕДЕЛ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

дут стремиться к координатам А: х0 + Лх ~ х0 ,

Швейцарский математик Симон Люилье

j(x0 + Лх) ~ j(.xr). Ну а Л:х.0 ~ О, естественно. Секу­

впервые в 11ечат110:\1 тексте ввел дли обо­

щая же будет приближаться к некоторому пре­

значения пре11,ела символ

дельному положению, которое и является каса­

тельной к кривой в точке А.

ную

dР

--

Люилье

lim.
.
06ол1ачал l1m

с/х

Прои ·шо11,-

ЛР
Л\'

Таким образом, получаем следующий ре­
зультат: касательная есть предел секущей, а угол
наклона касательной есть предел наклона секу­

щей при рассмотренном предельном переходе.

Символ

dx

называют дифференциалом или

бесконечно малой величиной от х.

От геометрии к интегралу

146

Как иссnедовать nоведение функции

с

но определить поведение самой функции

j'(x) <О, то кривая падает (значения
у убывают). Наконец, если j'(x) = О, то это обо­

на отдельных участках оси абцисс. Будем

значает горизонтальное направление касатель­

помощью производной от функции мож­

ют). А если

считать, что мы движемся по ее графику в на­

ной к кривой для соответствующего значениях.

правлении

В точках максимума и минимума наклон дол­

возрастающих

значений

х.

Тогда

на основании сказанного выше можно сделать

жен быть равен нулю (рис.

следующие выводы. Если производная в неко­

решая уравнение f '(x) = О относительно х, мож­

торой точке положительна,

но определить положение экстремумов функ­

f(x) >

О, то кривая

в этой точке поднимается (значения у возраста-

7).

Таким образом,

ции (т.е. ее максимумов и минимумов).

Точка локального
максимума
у

Точка недифференц ируемости

~f'(c)=O

и точка локального максимума

;\-1

\'\)'

Точка недифференцируемости
и точка локального минимума

локального

минимума

,

х

~~+-~~~~---~~~~~~~---~~~~--~~~~~~--~~~~~~~~~~~

о

Рис.

7. Точки

экстремумов (С1 , С2 ) и точки недифференцируемости функции (С3 , С 4 ).

Как зто деnается

н

адо сказать, что изучающие математиче­

Лу
Лх

f(x 1

-х)

(х 1 -х)(х1

+ х)

(х, -х)

Х 1 -Х

ский анализ больше любят дифференциро­
вать, чем интегрировать. Наверное, потому,

что дифференцирование

-

более механическая

процедура, а интегрирование требует некоторой

Переходя к пределу х 1 ~ х, получаем для

f(x) = х2

сообразительности. Существует множество пра­

j'(x) = 2х.

вил и формул для дифференцирования различ­

Аналогичным образом можно показать, что

ных функций, которые нетрудно запомнить, хотя

производная функции

бы основные. Да и это необязательно

пониже:

справочники и таблицы. Главное

-

-

ведь есть
понимать

j'(x)

f(x) =

х3 будет «рангом»

= Зх 2 •

смысл используемых приемов и формул, а не
применять их механически.

Для

разминки

сделаем

пару

простейших

3АДАНИЕ2
Найдите:

упражнений.

Отыщем производную функции у=

f(x) =

х2

а) производную функции /(х)

(как называется ее график?). Из определения

r де с =const;

производной имеем (х 1 -

б) производную функции /(х)

стремящаяся к х):

переменная точка,

= с,

=х.

Подсказка: используйте опреде.11ение про­
изводной и rрафики этих функций.

От геометрии к интегралу

ЗАДАНИЕ

147

3

Докажите формулу производной кубиче­

3АДАНИЕ4
Найти производную функции

ской функции.

f(x)=Vx.

)

У =-иn

Производная от синуса.

Методь1
дифференцирования

А
щ

ля быстрого и удобного вычисления
производных от самых разнообразных
функций математики придумали ряд
эффективных методов. Они позволяют

почти

автоматически

находить

производные

в любых случаях. Вот некоторые из этих правил.

1.

Производная линейной комбинации двух

дифференцируемых функций

j(x)
где тип

Оказывается, что для функции вида j(x) = х",
где п

-

целое положительное число, произво­

постоянные, вычисляется по формуле

f'(x)

= mg'(x) + nh'(x).

Формула остается справедливой при любом
числе слагаемых.

дная имеет вид

f'(x) =

2.

пхп-l.

Более того, эта формула остается справедли­
вой вообще при любом рациональном
положительном, хоть
зателе степени п.

-

= mg(x) + nh(x),

отрицательном

-

-

хоть
пока­

Если данная функция представляет собой

произведение двух функций

j(x) = g(x) h(x),
то ее производная находится согласно формуле

f'(x) = g'(x) h(x) + g(x) h'(x).

148

От геометрии к интегралу

У= 3х'+2~+ 3
)

У=-АЯ){5"t

3.

Нередко функция представляет собой от­

ношение двух функций:

f(x)

= g(x).
h(x)

В этом случае

f'(x)

=

h(x)g'(x)- g(x)h'(x)
[h(x)]2

ЗАДАНИЕ&
Найдите производную от функции у= tg х,
испо..11Ьзуя правИ110 диффереIЩИрования
частного.

ЗАДАНИЕ

7

Найдите производную функции
Производная от полиномиальной функции.

1-х

f(x)=-.

l+x

ЗАДАНИЕ

5

Найдите производную функции

/(х)

=x1sin х.

ПРОИЗВОДНАЯ ОТ ПРОИЗВОДНОЙ
Скорость движения тела, как утверждает
физика, :\Iожет ин1еняться со временем.
Быстрота ее ин1енен1ш характеризуется

У= iлi (х')

другой, не :\Iенее важной величиной,

а тела при его движении по пря:\ЮЙ есть
производная от скорости:

J

у=.

-

ускорение:\1. Ины:\1и с11ова:\1и, ускорение

dv
а = - .

(ff
(/S
Поскольку, как :\IЫ Уже знае:\1, i• = - ,то
•

•

(/f

а = !!_ ( tls ) = '' 2 ~· •
(/f

(/f

(// "

Поаученное выражение называется вто­
рой производной от функции

s(t).

Она,

как види:\1, получается в результате диф­

ференцирования

первой

производной

от той же функции. Часто встречается
другое ее обозначение:

-,(s, = s "(t).
Производная от логарифмической функции
по натуральному основанию е.

(//"

От геометрии к интегралу

149

Стартующая с Земли ракета движется
с большим ускорением, пока не выйдет

на заданную орбиту.

ЗАДАНИЕ В
Найдите вторые производные от функ­
ций

Основная теорема
математическоrо

анаnиза

sin х и cos х.

Именно эту связь обнаружили в свое время

Ньютон и Лейбниц. Они открыли основную
теорему математического анализа,

названную

позже их именами. С ней мы сейчас и позна­

и

нтеграл и производная

-

тесно связан­

комимся.

ные между собой понятия. Более того,

Будем считать в нашем определении инте­

они являются взаимно обратными опе­

грала верхний предел переменной величиной:

рациями,

подобно

умножению

и

делению.

Ь

=х

#

const.

Чтобы не путаться с именами пе-

От геометрии к интегралу

150

ременных, аргумент функции обозначим как и.

Смысл этой теоремы состоит в том, что ин­

Тогда искомый интеграл можно записать в виде

тегрирование функции, в резуль тате которого
из j(x) получается F(x), противоположно диф­

х

Jf(u')du .

F(x) =

(1)

ференцированию, ведущему от F(x) к j(x):

а

у

у

о

F(x) дифференцирование~ f(x).

+--- интегрирование
=f(u)

ь

а

Рис.

8. Интеграл с

и

переменным

верхним пределом.

Этот интеграл зависит от переменного верх­

него предела и, таким образом, является функ­
цией х . Как и определенный интеграл с посто­

янными пределами, F(x) геометрически являет­
ся площадью под кривой в пределах от точки

и

=а

до и

= х.

Из-за этого F(x) называют также

неопределенным интегралом.

Теперь сформулируем основную теорему ма­
тематического анализа.

Производная

(1)

неопределенного

интеграла

по его верхнему пределу равна значению по­

дынтегральной функции в точке и = х:

dF(x) = f(x).
dx

(2)

Первоо6разные

3АДАНИЕ9
Найти неопределенный интеграл

о
G(x)

=

братим внимание на то, что функция F(x)
при данной функции j(x) в

(2)

ется неоднозначно: всякая функция вида

F(x) + С, где С

-

F' =j(x)

0

постоянная, также бу­

дет удовлетворять этому равенству,

С'=

sinxdx
I 4+3cosx

определя­

поскольку

(производная от постоянной, как мы

Из

этой

формулировки

следует,

что

знаем, равна нулю). Всякая функция, произво­

у функции может быть сколько угодно много

дная от которой равна j(x), называется первооб­

первообразных, и все они отличаются одна от

разной функцией от функции j(x).

другой на постоянную величину. Этот важ-

От геометрии к интегралу
ь

ный факт поможет нам обнаружить ценное
правило вычисления

лов

-

Jf( x )dx = G(b)-G(a).

определенных интегра­

при условии, что нам и з вестна хотя бы

j( х).

(4)

а

Таким обра зом, чтобы вычислить опреде­

одна из первообразных интерируемой функ­
ции

151

ленный интеграл функции, СЛе-ДJ'ет найти какую­
нибудь ее первообразную, а затем вычислить

х

разность значений этой первообразной на верх­

/ТН·-4

нем и нижнем пределах интегрирования .

-Первообразная степенной функции.

Действительно, пусть

G(x) -

одна из таких

первообразных. Как утверждает основная тео­
рема, выражение

Первообразная функции

х

F(x)

= Jf(u)du
Пример.

а

ь

также является одной из первообразных от j(x).

J

Найти cos xdx. Так как cos х = (sin х)', то

Две первообразные, как мы только что выясни­
ли,

отличаются друг от друга

F(x) =

G(x)

на

а

постоянную:

+С. Отсюда имеем:

Ь

Jcos xdx = sinb-sin а.
а

х

f Ли)du=G(x)+C.

(3)

2

а

а

С, откуда С

(3),

= -G(a).

2

Этот резу лътат геометрически дает площадь

Jf(x)dx =О,
= G(a) +

J
о

2

а

значение С в

7!

Если Ь = ~' а= О, то cosxdx = sin ~-sin О= 1.

Положим в этом равенстве х =а. Так как

то О

1

- -cos2 х

Подставив это

под графиком функции у

интервале

(О, тт/2) (или (О,

а= О, Ь = тт,

90°))

то

7!

х

о

F(x)= Ли)du=G(x)-G(a).
а

Конечно, чтобы пользоваться этой замеча­

= cos х в
9). Если же

Jcosxdx =О.

получим желанную формулу:

f

(рис .

Это

вполне

вспомнить рис .

ожидаемый

результат,

если

4: площади, расположенные над

и под осью абцисс, берутся с противополож­

9

тельной формулой, лучше заменить верхний

ными знаками . А на рис.

предел на нечто более определенное; положим

ных площадей в интервалах площади (О, тт/2)

х = Ь. Тогда имеем окончательно:

и

ь

Jf(uyJu = G(b)-G(a) .

сумма положитель­

(3тт/2, тт) равна по величине отрицательной

площади в интервале (тт/2, 3тт/2) .

а

Или, поскольку мы больше привыкли поль­
зоваться иксом, а значение интеграла не зависит

от обозначения независимой переменной,

ЗАДАНИЕ

10

ВЬIЧИсllить интегрu

ь

Jsin xdx.
а

152

От геометрии к интегралу

Производные
от векторнь1х

функций
в

главе

«Аналитическая

геометрия»

мы

разбирали понятие вектора. В частности,
положение точки в пространстве (трех­

мерном) задавалось радиус-вектором

r,

проек­

ции которого на координатные оси (или компо­

ненты) обозначались как (х, у,

z).

Эти величины

можно рассматривать как координаты движу­

щегося в пространстве малого тела. В таком слу­
чае его

координаты,

как и

сам

радиус-вектор,

будут изменяться с течением времени (рис.

10).

Лs

Рис.

10. Движение малого тела в декартовой
системе координат.

Это можно представить в виде

r = r(t) = x(t)f + y(t)] + z(t)k,

f(x)

где

(5)

единичные векторы (орты) коорди­
z соответственно.
Пусть за малое время Лt = t2 - t1 наше тело пе­

i, ], k-

натных осей х, у,

реместится из точки 1вточку2. Его радиус-век­
тор будет теперь

f(x)

=

sinx
Лr
Величина, равная отношению- , есть век­

-2

Лt

f(x)

=

cosx

Рис.

9. Графики функций sin х

тор средней скорости.

Устремив интервал времени к нулю, получим:

-1
и

cos х.

_ . л-r dr
v= 11 m - = - .
лно Лt
dt

От геометрии к интегралу

Это соотношение является

определением

вектора скорости (мгновенной). Дифференци­

руя

(5),

ние физического тела пропорционально дей­
ствующей на него силе и выглядит так:

обнаружим, что компоненты этого век-

тора равны

dх
dy
dz
v =-· v =-· v =х
dt ' у dt ' z dt

ma=F '
где буквой т обозначена масса тела. С учетом
вышеприведенного определения ускорения за­

Значит, дифференцирование любого векто­

ра по его арrументу (в нашем случае

153

-

кон принимает вид:

време­

d 2r

-

(6)

m--=F.
2

ни) дает какой-то новый вектор .

dt

Уравнения подобного вида, в которых неиз­
вестная функция входит не только сама по себе,
но

и

со

своими

производными,

называются

дифференциальными уравнениями.

Закон Ньютона
какnример
дифференqиаnьноrо

уравнен и•

Отсюда, вспоминая, что

r = r(t) = x(t)T + y(t)] + z(t)k,
имеем определение компонент ускорения:

ах

d 2x

=-2-,

dt

ау

d 2y

=-2-,

dt

d 2z

az =-2-·
dt

Давайте теперь вспомним, что такое второй

закон Ньютона. Он сообщает нам, что ускоре-

Портрет Исаака Ньютона.
Художник Томас Барлоу.1863 г.

ЗАДАНИЕ

11

НайАиТе какое-нибуАЬ решение уравнения (ба), а 11учше все ero реше­
ния. Д11я простоты можно считать т

= k = 1.

Подсказка: ищите среди рассмотреlПIЬIХ вЬIШе производных элемен­
тарных функций.

Or геометрии к интегралу

155

РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ
Задание

8

Задание

1

Два одинаковых конуса, совмещенных осно­
ваниями диаметров,

(sin х)" = (cosx)' = -sin х,

равных длине диагонали

(7)

квадрата.

(cosx)" = (-sinx)' =-cosx.
Задание2
Задание9

а) (с)'= О;
б) х' =

1.

т ак

ЗаданиеЗ

Лу f(x 1 -х)
-=
дх

=

х, -х

=

(х~ -х 3 )
х, -х

(х1 -х)(х; +х1 х+х 2 )

2

=х 1

=

J

f- -3 d(4+3cosx)

Введем новую переменную

·

s = 4 + 3 cos х, тог­

f+=-3f[·
-.!dt

получим

1 dt

Это табличный интеграл:

Задание4

Следует использовать формулу f(x) =

1
3

с п = - . Получим:

пх"-1

1
=-х

з

- ~3 = -1- .

гдe

зif;i

f(x)

h'(x).

F(x) = .x3sin х получим:
+ х3 cos х.

= 3х2 sin х

,

tg'(x) = ( sinx) = cosxcosx- sinx(-sinx) =
cosx
cos2 х
cos2 x+sin 2 х
cos2 х

1

= cos2 х ·

Задание7

Применим формулу дифференцирования

,

= (-1) ·(1+х)-(1-х)·1 =
(1+х) 2

-2
(1+х) 2

логарифм (по основа­

Окончательно получаем:

Применим формулу дифференцирования
произведения двух функций:
f(x) = g'(x) h(x) + g(x)

ln 1t1 - натуральный
2,718 ... ).

нию е =

Задание5

Для функции

ftdt = lnltl-

,

l г
3
(:vx)'
= ( х.!.J

=

4+3cosx

да наш интеграл примет вид

кубов двух величин. Переходя к пределу х 1 ~ х,

Задание6

. d
-d · cosx.
smx
х =

1

- d( cosx )
4+3cosx =

2
+х 1 х+х.

Выражение в числителе было преобразова­

1+х

.

=-sшх, то

знаменателя в подынтегральное выражение:

но с использованием выражения для разности

( 1-х)

d(cosx)
dx

Подставим правую часть этого равенства вместо

х, -х

частного:

как

•

sin
1
- -xdx
= - - l1n tl I+C=--ln(4+3cosx)+C.
f-4+3cosx
3
3

156

Or геометрии

к интегралу

л

--

--

1

Первообразная функции :х·

Задание
Вновь

=

-d cos х,

двукратного

10

используем

соотношение

sin xdx

=

а также формулу Ньютона-Лейбница:

ь

а

а

Пусть а

=

cosa-cosb.

1t

= О; тогда при Ь =2 и Ь = тт получим:

t или х = cos t,

то эти функции удовлетворят ему. Более того,
всякая линейная комбинация этих функций

также удовлетворяет этому уравнению. Следо­
вательно, общее решение уравнения

тт / 2

тт

Jsin xdx =1; Jsin xdx = 2.

дит так:

о

о

где А, В

(8)

выгля­

x(t) =А sin t +В cos t,
-

постоянные.

Уравнения
Задание

переходят

самое происходит и с функцией х = x(t). Значит,
если в уравнение подставить х = sin

ь

Jsinxdx =-J d(cosx) =-(cosb-cosa)

дифференцирования

сами в себя, правда, с обратным знаком. То же

типа

(8)

описывают

гармони­

ческие колебания, которые часто встречаются

11

Для простоты будем считать, что в уравнении

Например, колебания механического маят­

d 2x
m-=-kx
dt 2

ника, колебания тока в электрических цепях,

отношение !5_ = 1. Физический смысл уравнения
т

от такого допущения не изменится, зато проще

будет его решить. Тогда получим:

d 2x
dt 2

(8)

--=-х

Обратимся к заданию

в физике.

•

8. Видим, что обе глав­

ные тригонометрические функции в результате

электромагнитные волны и др.

СОДЕРЖАНИЕ
Воображаемые узоры

..........................................3

Превратим иррациональное число

в десятичную дробь!

.................................. 26
Решения заданий ..................... ............................ 27
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА .................................. 28
Трудности растут

.._........................................... 28

Законы для комплексных чисел ................... 29
Как сделать комплексные числа

МЕР А ВСЕХ ВЕЩЕЙ ........ .......................................4
Во зникновение математики

........................... .4
Всё началось с греков ........................................ .4
«Команда» Пифагора ........................................ 5
Платон и его школа .................................. ......... 7
Есть начало - нет конца ........... ....................... 8
Натуральные числа ............................................ 9
Операции с натуральными числами ............ 9
Зачем делить числа на группы ... .................. 11

нагляднее

............................ ........... .............. 30
......................................... 32
Где углы, там тригонометрия ....................... 33
Жемчужина комплексного «моря » ............. 34
Решения заданий ................................................. 35
Они еще и векторы!

Что еще можно «выжать»

N .......................................... 11
......................................12
Простые числа ................ ............. ..................... 12
Поиск общей формулы .................................. 14
Сравнения по модулю ....................................14
Сложение и умножение по модулю .......... 14
Как сложить много чисел ..............................16
Решения заданий ................................................. 17
полезного из

Деление и делимость

ВСЁ НАЧИНАЕТСЯ С ТОЧКИ ......................... 36
Отец геометрии ................................................ 36
О чем еще поведал Евклид

............................38
Следствия из евклидовых аксиом ................ 38
Теорема Пифагора .......................................... 39
Доказательство теоремы Пифагора
Эйнштейном. Самое простое
и красивое .................................................... 40

Применения и обобщения
теоремы Пифагора ................................... .41
Многоугольники ............ ................. .................. 42
Правильные многоугольники

в природе и архитектуре

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА ............................ 18
Отрицательные числа ................................ .....18

Операции с отрицательными числами

..... 19
Числа и числовая ось ...................................... 20
Действительные числа .................................. ..20
Рациональные числа ....................................... 21
Неизбежность иррациональных чисел ...... 22
Старая история ................................................. 23
Как засеять поле иррациональных чисел ..... 23
Дроби всякие нужны ....................................... 24

................. ...... ..43

Правильные многоугольники
и симметрия ................................................ 44
Квадрат как зеркало
математической гармонии ..................... .45

Симметрии как члены группы .................... .46
Решения заданий ................................................ .47
СТЕРЕОМЕТРИЯ ...... ...... ... .................................... 49
Аналогии в геометрии ................................... .49

Теорема Пифагора в пространстве

............. 51

Закон Эйлера для многогранников ............ 52
Пять платановых тел ....................................... 53
Полуправильные многогранники ................ 55

А причем здесь Платон ............. " .................. .56
Решения заданий ................................................. 57

............ 58
............................................. 58
Декартова система координат ...................... 59
Другие системы координат ...........................60
И сколько, и куда ............................................. 61
Векторная алгебра ........................................... 61
От векторов - к скалярам ............................. 62
Скалярное произведение - в жизнь! ......... 63
Орты .................................................................... 64
Линейная зависимость векторов .................. 65
Изменение системы координат .................... 65
Знакомимся с матрицами ............................. 66
Особенности и виды матриц .........................67
Что можно делать с матрицей ..................... 67
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Это было давно ...

Решения заданий ................................................. 69

Физика и жизнь ................................................ 85
Король всегда первый .....................................

86
Гауссова кривизна ............................................ 87
Продолжатели .................................................. 89
Особенности неевклидовых геометрий ...... 90
Риманова геометрия ....................................... 90
Риманова метрика ........................................... 91
Сравнение трех геометрий ............................ 92
Физическое пространство .............................. 93
Нерушимый союз пространства
и времени ..................................................... 93

.................................... 94
Решения заданий ................................................. 95
Не силы, но кривизна!

топология

......................................................... 96

ПРОСТРАНСТВА ЧИСЕЛ, ЗВУКОВ

Чем интересуется топология

ИЦВЕТОВ

Отображения

............................................................... 70

От стрелки

-

к абстрактному вектору ....... 70

Базис ....................................................................

72

Что такое размерность линейного
пространства ............................................... 72
Всегда ли пространство

«пространственно»

.................................... 73
....... 75
И здесь тоже Пифагор! ................................... 77
К большим размерностям ............................. 78
О понятии размерности пространства ....... 79
Многомерие внутри нас ................................. 80
Музыка сердца материи ................................. 80
Решения заданий ................................................. 82

Что такое многомерные пространства

НЕЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ

......................... 83

Плоскость и плоское пространство ............. 83
Вулканы и геодезические ............................... 83

пятый постулат .......................................... 84

Камень преткновения

........................ 97
.................................................... 97

Что такое топологические

преобразования .......................................... 98

..................... " ... " ............. 99
Центральное понятие топологии """""""" 99

Радикалы и алгебраические уравнения "".121

Топология двумерных поверхностей""""100

Основная теорема алгебры"""" """""""""124

Кротовые норы""""""""""""""""""""""". 101

Решения заданий""""".""""""""""""""""""124

Свойства кротовых нор"" " """"""""""""".102
Норы как машины времени"""""""""""" 104

СИММЕТРИИ И ГРУППЫ """"""""" """ "" ".126

Решения заданий"""""."""""""""""""""""" 104

Как решить алгебраическое уравнение .... 126

Что такое связность

Корни п-й степени """""""""""""""""""".122

Бессмертие на пороге смерти """"" """"" .127

Что же он сделал""""""""""""""""""""""128
Симметрии ...................................................... 128

Абстрагируемся .............................................. 129

Какие бывают группы""""""""""""""""".130
Перестановки.""."".""."".""""""."".""". ""130
Группа перестановок """"""""""""""""""131
Перестановки и Галуа """"""""""""""""".132
Представления групп " " " ." " """"." "" ." " "".132
Давайте углубимся """"""""""""""""""""133
«Три поросенка», или Сказочка о том,

ВСЁ О ФУНКЦИИ """""""""""""""""""""""105

как физики ловили кварки" " "" "" """"134
Решения заданий""".""."""""".""""""."""". 137

Что такое функция """"""""""""""""""""105
Определение функций ................................. 106

Интервал и окрестность """"""""""""""".106
Графики ............ " ..............................................107

Обратная функция

........................................108
Сложные функции """"""""""""""""""""109
Элементарные функции ............................... 109
Композиция функций"""""""""""""""""110
Важное понятие непрерывности """"""".110
Предел функции ............................................ 111

Точки разрыва"""""".""""".""".""""""."".112
Решения заданий"""""""""""""""""""""" ".114

ОТ ГЕОМЕТРИИ К ИНТЕГРАЛУ """"""""".138
Время рождения

-

III в. до нашей эры""""" " """"" """""".138

В ПОИСКАХ НЕИЗВЕСТНОГО """""""""""115
Это было очень давно". """"""""""""""".115

Что сделал Архимед"""""""""""""""" . "".139

Арабские корни алгебры """""""""""""".117

Как поссорились Ньютон и Лейбниц """.139

Рубаи и уравнения ......................................... 117

Интеграл ........................................................... 141

Об уравнениях и их характере """"""""""118
Уравнения и золотое сечение """""""""".118

Несколько замечаний """."".""""""""""".142

Известный всем школьникам Виет"""" ""119

Правила интегрирования

Повышая степень"""""" " "" " "" " "" " "" """.120

Техника интегрирования

.............................143
............................143
Поднимаемся медленно в гору". """""""144
Производная "".""."" .. """"""."".""".""."".145
Как исследовать поведение функции """ .146
Как это делается """""" """"" """"" """""" .146
Методы дифференцирования """"""""""147
Основная теорема

математического анализа """""""""""149
Первообразные"""""" .. """""""" ..""."."" ".150
Производные от векторных функций""".152
Закон Ньютона как пример

дифференциального уравнения

"""""153

Решения заданий".""."."" .""".".""."".""""". 155

Научно-популярное издание

ГУСЕВ Игорь Евгеньевич
МАТЕМАТИКА
ДЛЯ СРЕДНЕГО ШКОЛЬНОГО ВОЗРАСТА

Ответственный за выпуск И. В. Резько
Подписано в печать

16.0 1. 2017.

Формат 60х84 1 / 8 • Бумага офсетная.
Усл. печ. л.

18,6.

Тираж

2000

экз. Заказ

3248.

ООО «Издательство АСТ».

129085,

г. Москва, Звездный бульвар, д.

21,

стр.

3,

комната

5

www.ast.ru
«Баспа Аста» деген ООО

129085,

г. Мэскеу, Ж\')Iдызды гулзар, д.

21, 3

Б iзд i li электрондьщ мекенжайымыз:

!q'рылым,

5 белме

www.ast.ru

К:азаI<стан Республикасында дистрибьютор

жэне е н iм бойынша арыз -талаптарды I<абылдаушыньщ
екiлi «РДЦ-Алматьш ЖШС, Алматы !\" Домбровский кеш" 3«а», литер Б, офис
Тел.:

факс:

8(727) 2 5 1 5989,90,91,92
8 (727) 25 1 58 12 вн. 107; E-mai l: RDC-Almaty@eksmo.kz
8нiмнi1-1 жарамдыльщ мерзiм i шектелмеген.
енд i рген мемлекет: Ресей
Се ртификация I<арастырылrан
Мы в с оциал ьных с етя х . При с о ед иня йте сь!

https: //vk.com/AST_p lanetadetstva
https://www. instagram.com/ AST_planetadetstva
https://www.facebook.com/ASTplanetadetstva
Отпечатано в филиале «Тверской полиграфический комбинат
детской литературы» ОАО «Издательство « В ысшая школа»

170040, г. Тверь, проспект 50 лет Октября, д. 46
+7 (4822) 44-85-98. Факс: +7 (4822) 44-61-51

Тел.:

1.

Электронный вариант книги:

Скан 1 обработка 1 формат:

manjak1961

~

L

1f4

-

tg

зh

у

о

00

J_

А

-

-"'

+
-

tg

);(;

-

./

_,

+

"'

Знаете ли вы, что даже самые серьезные предметы из школьной

программы бывают весьма занимательными? Не верите? Тогда
загляните в книги серии, которая так и называется: «Увлекательная
наука». Она создана для тех школьников, которые стремятся знать

много больше, чем изучается в школе.
Благодаря этой книге вы с головой окунетесь в волшебный мир
математики и увидите, что она не зря названа царицей наук

-

по математическим правилам и законам живет вся Вселенная,
а длинные формулы не так уж и сложны, если в них как следует

разобраться. Вы попробуете свои силы в решении нестандартных
задач и узнаете об открытиях величайших математиков в истории.
А еще удивите учителей и друзей своей эрудицией! Текст книги

написан простым языком, все законы, факты и формулы объясняются
с использованием аналогий, сравнений, иллюстраций и схем.

Вперед -

к новым знаниям! Откройте мир заново, изучив законы

математики и увидев скрытые закономерности!

•

const

16,

SIП
_,

зh

-71

ху

tg

-18

О/о .

О/о

~tg

_,

ху
_,,

./

_,

/

ar~tg

00

_,;

9 785171 005481

(R[

Q

Z:

~Q~

А

х
-

~

-"'

-"'

--"'

4
+

-

ISBN 978-5-1 7-100548-1

_,

с~
_,

::::;

xyz

а~
-

Ь/ 2

+

)(·
/

/

:/

L

+

1&~

зh

~
~

-1

J_
~'
/ f!,

Q
1

3:

~

m
3:

~

s

")>