С.Б. ВЕСЕЛОВСКИЙ
В.Д.РЯБЧИНСКАЯ
дидактические
МАТЕРИАЛЫ
НО ГЕОМЕТРИИ
ДЛЯ 11 КЛАССА
2-е издание
МОСКВА «ПРОСВЕЩЕНИЕ» 1992
ББК 74.262
В38
Рецензенты:
учитель математики школы № 27 Москвы Т. Л. Сытина;
учитель-методист школы Хз 67 Москвы Л. И. Звавич
Веселовский С. Б., Рябчинская В. Д.
В38 Дидактические материалы по геометрии для 11 клас-
са.— 2-е изд.— М.: Просвещение, 1992.— 96 с.: ил.—
ISBN 5-09-003848-1.
Данное пособие содержит самостоятельные и контрольные рабо-
ты по геометрии. Система работ охватывает все разделы гео-
метрии 11 класса и полностью соответствует учебнику А. В. По-
горелова «Геометрия, 7—11 >.
Предыдущее издание вышло в 1988 г. под названием «Дидак-
тические материалы по геометрии для 10 класса».
п 4306010400—231	4СО
В' irmtvn 09 ИНФ- письм0 — 92> № 158	БВК 74.262
I UO	f — *74
ISBN 5-09-003848-1	© Издательство «Просвещение», 1988
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие содержит 32 самостоятельные ра-
боты (С), 32 дополнительные самостоятельные работы (ДС),
6 контрольных работ (К), 12 самостоятельных работ на
повторение (СП) по курсу геометрии VI—IX классов.
Основной целью настоящего пособия является оказание
помощи учителю в обучении учащихся самостоятельному
решению задач по изучаемому материалу, повторению и
закреплению. Число самостоятельных работ избыточное,
поэтому не обязательно проводить их все. Тексты работ
(С, ДС, К, СП) являются ориентировочными. Учитель мо-
жет вносить в них изменения в зависимости от подго-
товленности учащихся, не нарушая программных требо-
ваний к занятиям и умениям. Тексты приведенных работ
можно использовать также в процессе опроса учащихся
и в ходе изложения нового материала. Каждая самостоя-
тельная работа рассчитана примерно на 15—20 мин.
Каждая самостоятельная работа включает четыре вари-
анта, дополнительная самостоятельная работа — два, конт-
рольная работа — четыре.
Дополнительные самостоятельные работы приведены к
тем же пунктам учебного пособия, что и самостоятель-
ные работы, и имеют ту же нумерацию. Но задачи в
дополнительных самостоятельных работах несколько выше
по трудности, чем в самостоятельных работах. Поэтому
рекомендуем предлагать их более успевающим учащимся
при индивидуальной работе.
Самостоятельные работы, как и другие виды приведен-
ных в данном пособии работ, включают задачи на вы-
числение, доказательство, построение.
Все варианты работ примерно равноценны по трудности.
Хорошо, если учитель не будет давать учащимся ответы
к задачам для проверки.
Самостоятельные работы и дополнительные самостоятель-
ные работы распределены по темам следующим образом:
С-1, С-2,	ДС-1,	ДО2.	Многогранные	углы.
03, 04,	ДОЗ,	ДС-4<	Призма.
05, ДС-5. Построение плоских сечений.
06, С-7,	ДС-6,	ДС-7.	Параллелепипед.
08, С-9,	ДС-8,	ДО9.	Пирамида.
з
С-10, ДС-10. Правильные многогранники.
С-11, С-12, ДС-11, ДС-12. Цилиндр.
С-13, С-14, ДС-13, ДС-14. Конус.
С-15, С-16, ДС-15, ДС-16. Шар.
С-17, ДС-17. Уравнение сферы.
С-18, ДС-18. Объем прямоугольного параллелепипеда.
С-19, ДС-19. Объем прямого параллелепипеда.
С-20, ДС-20. Объем наклонного параллелепипеда.
С-21, ДС-21. Объем призмы.
С-22, С-23, ДС-22, ДС-23. Объем пирамиды.
С-24, ДС-24. Объемы подобных тел.
С-25, ДС-25. Объем цилиндра.
С-26, ДС-26. Объем конуса.
С-27, ДС-27. Общая формула для объемов тел вращения.
С-28, С-29, ДС-28, ДС-29. Объем шара и его частей.
С-30, ДС-30. Площадь сферы.
С-31, С-32, ДС-31, ДС-32. Боковая поверхность цилиндра.
Самостоятельные работы на повторение охватывают сле-
дующие темы:
СП-1. Признаки равенства треугольников.
СП-2. Сумма углов треугольника.
СП-3. Геометрические построения.
СП-4. Четырехугольники.
СП-5. Теорема Пифагора.
СП-6. Преобразования фигур.
СП-7. Многоугольники.
СП-8. Площади фигур.
СП-9. Параллельность прямых и плоскостей.
СП-10. Перпендикулярность прямых и плоскостей.
СП-11. Декартовы координаты на плоскости и в пространстве.
СП-1?. Векторы на плоскости и в пространстве.
Почти ко всем работам даны ответы, в некоторых слу-
чаях указания или краткие решения.
В контрольных работах К-1, К-2, К-4 обязательными
задачами являются две первые, в К-3 — первая и третья.
Так как в некоторых республиках (например, на Украине)
экзаменационная работа на аттестат зрелости уже многие
годы включает в себя стереометрическую и плани-
метрическую задачи, то предлагаем для таких республик го-
довую контрольную работу К-5. Для остальных республик
предлагаем годовую контрольную работу К-6.
Замечания и пожелания по совершенствованию дидакти-
ческих материалов просим направлять по адресу: Москва
129846, 3-й проезд Марьиной рощи, 41, издательство «Про-
свещение», редакция математики.
4
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
С-1	Вариант 1
1. Через вершину А параллелограмма ABCD проведен
к его плоскости перпендикуляр AM. Точка М соединена
с точками В и D. Укажите линейный угол между плос-
костями, проведенными через прямые МА и MD, МА и МВ.
2. Из точки О пересечения диагоналей квадрата ABCD
проведен к его плоскости перпендикуляр ОМ. Точка М
соединена с точками А и В. Через прямые МО и МВ, МО и
МА проведены плоскости. Определите меру двугранного
угла, образованного этими плоскостями.
С-2
1. Можно ли составить выпуклый четырехгранный угол
с плоскими углами 100, 75, 82 и 90°?
2. Расстояние от точки М, внутри двугранного угла,
до каждой его грани равно 2 дм. Найдите расстояние от
точки М до ребра двугранного угла. Угол между перпен-
дикулярами, опущенными из точки М на его грани, ра-
вен 120°.
С-3
1. Существует ли призма, у которой только одно боковое
ребро перпендикулярно к плоскости основания? Ответ объяс-
ните.
2. Основанием прямой призмы служит ромб. Диагонали
призмы равны 8 и 5 см, высота равна 2 см. Найдите
сторону основания.
С-4
1. Расстояния между боковыми ребрами наклонной тре-
угольной призмы 2, 3 и 4 см. Боковая поверхность
равна 45 см* 1 2. Найдите боковое ребро.
2. Площадь диагонального сечения правильной четырех-
угольной призмы равна 10у/2 см2, ее высота 2 см. Опре-
делите полную поверхность призмы.
С^5
1. Точка М находится на ребре AAi прямой призмы
ABCA\BiCi, а точка N находится на грани СС\В\В. По-
стройте точку пересечения прямой MN с плоскостью ниж-
него основания призмы.
2. Постройте сечение прямой четырехугольной призмы
ABCDA\B\C\Di плоскостью, проходящей через точки В, С
и Di, если AD и ВС не параллельны.
С-6
1. Будет ли кубом параллелепипед, если известно, что
при двух вершинах одного и того же ребра равны все ребра
и плоские углы? Ответ объясните.
2. В прямоугольном параллелепипеде высота равна 8.дм,
а стороны основания равны 7 и 24, дм. Определите площадь
диагонального сечения.
С-7
1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда больше
его измерений соответственно на 1, 2, 3 см. Определите
диагональ параллелепипеда.
2. В прямом параллелепипеде стороны основания равны а
и Ь, острый угол между ними равен 60°. Большая диаго-
наль основания равна меньшей диагонали параллелепипеда.
Найдите боковую поверхность параллелепипеда.
С-8
1.	Вершина пирамиды равноудалена от сторон основа-
ния. Определите положение проекции вершины пирамиды
на основание и сделайте рисунок пирамиды, если в ее осно-
вании лежит ромб.
2.	Перечислите свойства пирамиды, в основании которой
лежит прямоугольный треугольник, а высота проектируется
на середину гипотенузы.
3.	Высота правильной четырехугольной пирамиды равна
7 см, а сторона основания равна 8 см. Определите боко-
вое ребро.
СЙ)
1. В пирамиде сечение, параллельное основанию, делит
высоту в отношении 3:4. (от вершины), а площадь сече-
ния меньше площади основания на 200 см* 2. Определите
площадь основания.
2. Основанием пирамиды служит прямоугольный тре-
угольник с гипотенузой 26 см и катетом 24 см. Ребро,
проходящее через их общую вершину, является высотой
пирамиды и равно 18 см. Найдите боковую поверхность
пирамиды.
С-10
1. Чему равен угол между двумя диагоналями граней
куба, имеющими общий конец?
2: Вычислите площадь поверхности икосаэдра, длина реб-
ра которого равна а.
6
c-и
'“Г. В цилиндре параллельно оси проведена плоскость,
отсекающая от окружности основания дугу в 60°. Длина
оси 10 см, ее расстояние от секущей плоскости 2 см. Вы-
числите площадь сечения.
2. Цилиндр с радиусом основания 7? пересечен плос-
костью, параллельной оси цилиндра, так, что хорда сече-
ния на основании цилиндра равна его радиусу. Найдите
расстояние от этого сечения до оси.
С-12
1. Квадрат ABCD со стороной а см вращается вокруг
стороны АВ. В образовавшемся цилиндре через середину
ВС параллельно оси АВ и перпендикулярно ВС проведена
плоскость. Найдите площадь получившегося сечения.
2. Найдите радиус основания цилиндра, описанного око-
ло правильной треугольной призмы, если высота призмы
равна А, а боковая поверхность S.
С-13
1. Высота конуса разделена на три равные части. Через
точки деления проведены плоскости, параллельные основа-
нию. Найдите площади получившихся сечений, если радиус
основания конуса /?.
2. Найдите высоту конуса, если в его основании хорда
длиной а см стягивает дугу а, а угол между образующей
и высотой конуса равен 0.
С-14
В конус вписана пирамида, основанием которой служит
прямоугольный треугольник с острым углом а и площа-
дью S. Найдите площадь осевого сечения конуса, если одна из
боковых граней пирамиды наклонена к плоскости основа-
ния под углом р.
С-15 4
Диаметр шара девятью точками разделен на 10 равных
частей. Через первую и четвертую точки деления про-
ведены плоскости, перпендикулярные диаметру. Во сколько
раз площадь одного сечения больше площади другого?
7
С-16
1. Шар касается всех сторон равнобокой трапеции, в ко-
торой боковая сторона равна 8^/2 дм, а тупой угол 135°.
Найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до
плоскости трапеции равно 12 дм.
2. Основание прямой призмы — прямоугольный треуголь-
ник с острым углом а и гипотенузой с. Найдите радиус
шара, вписанного в эту призму.
С-17
1. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой
из координатных плоскостей и проходит через точку
М(2; 1; 3).
2. Составьте уравнение сферы, в которой точки А (— 5; 4;
3) и В(1; 6; 5) являются диаметрально противополож-
ными.
С-18
1. Классные помещения должны быть рассчитаны так,
чтобы на одного учащегося пришлось не менее 6 м3 воздуха.
Можно ли в класс, имеющий вид прямоугольного парал-
лелепипеда с измерениями 8,3 мХб,25 мХЗ,6 м, вместить
30 человек, не нарушая санитарной нормы?
2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
10 V2 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Най-
дите объем параллелепипеда, если одна сторона основа-
ния больше другой на 2 см.
С-19
1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
8 дм и наклонена к плоскости основания под углом 30°;
угол между стороной и диагональю основания равен 60°. Най-
дите объем параллелепипеда.
2. Основанием прямого параллелепипеда служит парал-
лелограмм, один из углов которого равен 30°. Площадь
основания равна 4 дм2. Площади двух боковых граней па-
раллелепипеда равны би 12 дм2. Найдите объем парал-
лелепипеда.
С-20
Основанием наклонного параллелепипеда является квад-
рат со стороной, равной а. Боковое ребро, равное Ь, обра-
зует с двумя смежными ребрами основания углы по 60°.
Найдите объем параллелепипеда.
8
С-21
1. Найдите вместимость сарая
прямоугольной формы с двускат-
ной крышей и прямым углом меж-
ду стропилами (см. рис.), если
а=12,5 м, 6 = 7,6 м, с = 3,5 м с
и высота конька крыши ft = 7,3 м.
2. Найдите объем правильной b
шестиугольной призмы, у которой наибольшая диагональ
равна d, а боковые грани — квадраты.
С-22
1. Найдите объем правильной четырехугольной пира-
миды, если ее боковое ребро составляет с плоскостью ос-
нования угол 45°, а площадь диагонального сечения рав-
на Q.
2. Основанием пирамиды является треугольник со сто-
ронами а, а и Ь. Все боковые ребра наклонены к плоскости
основания под углом 60°. Найдите объем пирамиды.
С-23
Найдите объем правильной четырехугольной усеченной
пирамиды, если стороны ее оснований а и b(a>b), а бо-
ковая грань наклонена к плоскости основания под углом а.
С-24
Высота пирамиды 8 см. На расстоянии 3 см от вершины
параллельно основанию проведена плоскость. Площадь полу-
ченного сечения 27 см* 1 2. Найдите объем пирамиды.
С-25
1. Суточное выпадение осадков составило 15 мм. Сколько
воды могло бы выпасть на круглую клумбу, диаметр ко-
торой 8 м?
2. Основанием прямой призмы служит равнобокая тра-
пеция, основания которой равны 10 и 4 см, а боковая
сторона равна 5 см. Высота призмы равна 10 см. Опреде-
лите объем цилиндра, вписанного в эту призму.
С-26
1. Коническая куча зерна имеет высоту 2,4 м, а окруж-
ность основания 20 м. Сколько тонн зерна в куче, если
масса 1 м3 равна 750 кг?
2. Образующая конуса равна 6 см, а угол между нею
и плоскостью основания равен 60°. Найдите объем конуса.
9
С-27
1. Параллелограмм, площадь которого равна Q, а боль-
шая сторона а, вращается вокруг этой стороны. Найдите
объем тела вращения.
2. Выведите формулу объема конуса, используя формулу
объема тел вращения. (Ось конуса совпадает с осью абс-
цисс.)
С-28
1. Докажите, что если радиусы трех шаров относятся
как 1:2:3, то объем большего шара в 3 раза больше суммы
объемов меньших шаров.
2. Медный куб, ребро которого равно 10 см, переплавлен в
шар. Определите радиус шара. Потерями металла при
переплавке пренебречь.
С-29
Радиус шара равен /?. Определите объем шарового
сектора, если дуга в осевом сечении сектора равна 90°.
С-30
1. Как изменится поверхность шара, если его радиус
увеличить в 2 раза?
2. Первый советский искусственный спутник Земли был
изготовлен в форме шара, внешний диаметр которого ра-
вен 58 см. Определите поверхность спутника.
С-31
1. Полные поверхности равностороннего конуса и равно-
стороннего цилиндра равновелики. Найдите отношение ра-
диусов их оснований.
2. В шар радиуса R вписан цилиндр, диагональ осе-
вого сечения которого наклонена к плоскости основания
цилиндра под углом а. Найдите боковую поверхность ци-
линдра.
С-32
1. В конус вписан шар радиуса г. Угол между образую-
щей конуса и плоскостью основания равен а. Найдите
боковую поверхность конуса.
2. Радиус шара равен /?, а диаметр его сечения плос-
костью равен а. Найдите поверхность меньшего сфери-
ческого сегмента.
10
С-1	Вариант 2
1. Через вершину А прямоугольника ABCD проведен к
его плоскости перпендикуляр AM. Точка М соединена с точ-
кой В. Через прямые МА и МВ проведена плоскость. Ука-
жите линейный угол при ребре АВ.
2. Из точки О пересечения диагоналей ромба ABCD про-
веден к его плоскости перпендикуляр ОМ. Точка М соеди-
нена с точками С и D. Через прямые МО и МС, МО и MD про-
ведены плоскости. Определите меру двугранного угла,
образованного этими плоскостями.
С-2
I. Можно ли составить выпуклый четырехгранный угол
с плоскими углами 118, 92, 230, 20°?
2. Двугранный угол равен 120°. Взятая внутри его точ-
ка удалена от каждой из граней на 6 дм. Найдите расстоя-
ние между основаниями перпендикуляров, опущенных на
каждую грань.
С-3
1. Есть ли призма, у которой только одна грань пер-
пендикулярна к плоскости основания? Ответ объясните.
2. Сторона основания правильной четырехугольной приз-
мы равна а. Диагональ призмы наклонена к плоскости боко-
вой грани под углом 30®. Найдите высоту призмы и угол
наклона диагонали призмы к плоскости основания.
С-4
1. В прямой треугольной призме стороны основания рав-
ны 3, 4 и б см, а полная поверхность равна 84 см* 1 2. Опре-
делите боковую поверхность призмы и ее высоту.
2. Основанием прямой призмы является равнобедренная
трапеция, каждая из боковых сторон которой равна 13 см,
а основания 11 и 21 см; площадь ее диагонального сечения
составляет 180 см2. Определите боковую поверхность призмы.
С-5
1. Точка М находится на ребре АА} прямой призмы
ABCAtBiCi, а точка N находится на грани CCiBiB. Пост-
ройте точку пересечения прямой MN с плоскостью верхнего
основания.
2. Постройте сечение прямой четырехугольной призмы
i4BCD4tB|€tDi плоскостью, проходящей через точки А, В
и точку К, которая лежит на ребре DDi.
11
С-6
1. Сколько равных между собой диагоналей может иметь
наклонный параллелепипед? Ответ объясните.
2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда, в осно-
вании которого лежит квадрат, равна 8 см, а диагональ
боковой грани равна 7 см. Найдите высоту параллелепипеда.
1. В прямоугольном параллелепипеде диагонали равны
И, 19 и 20 см. Определите диагональ параллелепипеда.
2. Основанием прямого параллелепипеда является парал-
лелограмм со сторонами 3 и 5 см, а угол между ними состав-
ляет 60°. Площадь большего диагонального сечения равна
63 см* 1 2. Найдите боковую поверхность параллелепипеда.
С-8
1.	Боковое ребро пирамиды перпендикулярно к одной
стороне основания. Можно ли принять это ребро за высоту
пирамиды? Ответ проиллюстрируйте на рисунке.
2.	Каждое боковое ребро пирамиды, в основании кото-
рой лежит ромб, составляет со смежными сторонами рав-
ные углы. Определите положение проекции вершины пирами-
ды на основание и выполните рисунок этой пирамиды.
3.	Определите апофему правильной треугольной пира-
миды, если высота пирамиды и высота основания равны
каждая 9 см.
С-9
1. На каком расстоянии от вершины пирамиды с высотой
6 см надо провести сечение параллельно основанию, чтобы
площадь сечения была равна половине площади основания?
2. Основанием пирамиды служит параллелограмм со
сторонами 20 и 36 см и площадью 360 см2. Высота пира-
миды проходит через точку пересечения диагоналей основа-
ния и равна 12 см. Определите боковую поверхность пи-
рамиды.
С-10
1. Длина ребра октаэдра равна а. Найдите расстояние
между двумя его противоположными вершинами.
2. Поверхность додекаэдра равна 180 см2. Найдите пло-
щадь его грани.
С-11
1. В цилиндре параллельно оси проведена плоскость,
отсекающая от окружности основания дугу в 60°. Длина
оси 12 см, ее расстояние от секущей плоскости 3 см. Вы-
числите площадь сечения.
2. Диагональ осевого сечения цилиндра имеет длину d
и наклонена к плоскости основания под углом а. Вычислите
высоту и площадь основания цилиндра.
С-12
1. Цилиндр, вписанный в правильную четырехугольную
призму, касается боковых граней призмы по образующим
ДЛ1, ВВ\, CCi, DD\. Найдите радиус основания цилиндра,
если АА\В\В — квадрат, площадь которого равна а2.
2. Основанием прямой призмы является прямоугольный
треугольник с острым углом а. Найдите радиус основа-
ния цилиндра, описанного около призмы, если боковая по-
верхность призмы равна S, а высота /г.
С-13
1. Высота конуса разделена точками на четыре равные
части. Через точки деления проведены плоскости, параллель-
ные основанию. Найдите площади получившихся сечений,
если радиус основания конуса равен R.
2. Угол между образующей и плоскостью основания кону-
са равен а. Найдите образующую конуса, если в его основа-
нии хорда длиной с стягивает дугу ср.
С-14
В конус с радиусом основания /?, а высотой Н вписан
цилиндр, у которого радиус основания г, а высота Л. Дока-
жите, что = 1.
А П
С-15
Шар пересечен плоскостью, отстоящей от центра шара на
24 см. Найдите радиус шара, если длина окружности полу-
ченного сечения составляет 3/5 длины окружности большого
круга его.
13
С-16
1. Шар касается всех сторон прямоугольного треуголь-
ника, катеты которого равны 6 н 8 дм. Найдите радиус
шара, если расстояние от центра шара до плоскости треуголь-
ника равно 14 дм.
2. В усеченный конус, образующая которого I наклонена
к плоскости большего основания под углом вписан шар.
Найдите радиус шара и радиусы оснований усеченного ко-
нуса.
С-17
1. Составьте уравнение сферы, которая касается каждой
из координатных плоскостей и проходит через точку
W (5; 1; 2).
2. Как расположена точка 4(5; 1; 2) относительно сфе-
ры х2 + #2 + г2~-8* + 4# + 2г —4 = 0?
С-18
1. Сколько нужно рабочих для переноса дубовой бал-
ки размером 6,5 мХЗО смХ4,5 дм? Каждый рабочий мо-
жет поднять в среднем 80 кг. Плотность дуба считать рав-
ной 800 кг/м3.
2. Найдите объем прямоугольного параллелепипеда, если
его высота равна hy диагональ его образует с основанием
угол а, а диагональ боковой грани наклонена к основанию
под углом р.
С-19
I. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA\B\C\D\
плоскость, проходящая через точки Д, С\ О|, образует с
основанием угол 30°. Найдите объем параллелепипеда,
если стороны основания его равны 6 и 8 см.
2. Найдите объем прямого параллелепипеда, если в осно-
вании его лежит ромб с острым углом а и меньшей
диагональю d, а боковое ребро параллелепипеда в два
раза меньше стороны основания.
С-20
Основанием параллелепипеда является параллелограмм,
диагонали которого, равные 6 и 10 дм, образуют угол
120°. Диагональ боковой грани, содержащей большую сто-
рону основания, перпендикулярна к плоскости основания,
а боковое ребро наклонено к плоскости основания под уг-
лом 60°. Найдите объем параллелепипеда.
14
С-21
1. Свинцовый брусок массой 18 кг имеет форму пря-
мой призмы, высота которой 30 см. Основанием призмы
является равнобокая трапеция, параллельные стороны ко-
торой равны 3^5 и 11,5 см, а боковая сторона 8,5 см. Узнай-
те, имеются ли внутри бруска пустоты или же он сплош-
ной. Плотность свинца 11,3-103 кг/м3.
2. Наибольшая диагональ правильной шестиугольной
призмы равна d и составляет с боковым ребром угол 30°.
Найдите объем призмы.
С-22
1. Найдите объем правильной треугольной пирамиды, вы-
сота которой равна h, а все плоские углы при вершине
прямые.
2. Основанием пирамиды служит треугольник, длины сто-
рон которого 6, 5 и 5 см. Боковые грани пирамиды обра-
зуют с ее основанием равные двугранные углы, содержащие
по 45°. Найдите объем пирамиды.
С-23
Найдите объем правильной четырехугольной усеченной
пирамиды, если стороны ее оснований равны а и b (а>Ь), а
боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а.
С-24
Через точку М бокового ребра FA правильного тетраэд-
ра FABC проведена плоскость параллельно основанию АВС,
которая разбила тетраэдр на две пирамиды: полную и усе-
ченную. Найдите объем образовавшейся полной пирамиды,
если FM:MA = l:3 и АВ =12 дм.
С-25
1. При постройке городского водопровода длиной 1 км
были использованы трубы диаметром 60 см. Определите
объем земли, подлежащей вывозу при прокладке водопро-
вода.
2. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед,
у которого одна из сторон основания равна Ь. Диаго-
наль параллелепипеда образует с плоскостью основания угол
а, а с боковой гранью, проходящей через данную сторо-
ну основания, угол р. Определите объем цилиндра.
15
С-26
1. Щебень укладывается в кучу, имеющую форму кону-
са с углом откоса 30°. Какой высоты должна быть куча,
чтобы ее объем был равен 10 м3?
2. Образующая конуса равна 6 см, а угол при вершине
осевого сечения равен 60°. Найдите объем конуса.
С-27
1. Ромб со стороной а и острым углом в 30° вращается
около одной из своих сторон. Найдите объем тела вращения.
2. Найдите объем тела, полученного при вращении
вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями у = х* 1 2,
х= 1, у = 0.
С-28
1. Искусственные спутники Земли имеют форму шаров,
диаметры которых равны соответственно 58 и 16 см. Во
сколько раз объем одного из них больше объема другого?
2. Внутренний диаметр чугунного полого шара равен
8 см, а его внешний диаметр 10 см. Определите массу
шара, если плотность чугуна равна 7,3 г/см3.
С-29
Радиус шара равен /?. Определите объем шарового
сектора, если дуга в осевом сечении сектора равна 60°.
С-30
1. Гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника слу-
жат диаметрами трех шаров. Какова зависимость между пло-
щадями их поверхностей?
2. Сколько метров шелковой материи шириной 1 м надо
для изготовления воздушного шара, радиус которого 2 м? На
соединение и отходы идет 10% материала.
С^ЗЛ
1. Длина образующей конуса равна диаметру основания.
Докажите, что площадь всей поверхности конуса равна пло-
щади сферы, диаметр которой равен высоте конуса.
2. Шар касается всех граней куба. Найдите отноше-
ние площадей поверхностей этих фигур.
С-32
1. В сферу радиуса R вписан цилиндр радиуса г. Найди-
те площадь боковой поверхности цилиндра.
2. Радиус сферы равен /?, а дуга шарового сегмента рав-
на а. Найдите поверхность сферического сегмента.
16
С-1	Вариант 3
1. Через точку О пересечения диагоналей прямоуголь-
ника ABCD проведен к его плоскости перпендикуляр ОМ.
Точка М соединена с точками С и D. Через прямые МО и
МС, МО и MD проведены плоскости. Укажите линейный угол,
образованный этими плоскостями.
2. Из вершины А равностороннего треугольника АВС про-
веден к его плоскости перпендикуляр AM. Точка М соединена
с точками В и С. Через прямые МА и МВ, МА и МС про-
ведены плоскости. Определите меру двугранного угла, обра-
зованного этими плоскостями.
С-2
1. Можно ли составить выпуклый четырехгранный угол
с плоскими углами 108, 42, 76, 24°?
2. На грани двугранного угла, мера которого 45°, дана
точка, удаленная от ребра на расстояние а. Найдите рас-
стояние от этой точки до другой грани.
03
1. Призма имеет п граней. Какой многоугольник лежит в
ее основании?
2. В основании прямой призмы прямоугольный тре-
угольник, гипотенуза которого равна а и острый угол а. Че-
рез катет, прилежащий к углу а, проведена плоскость,
составляющая с основанием угол <р и пересекающая
противоположное боковое ребро. Найдите площадь сечения.
04
1. Определите полную поверхность правильной четырех-
угольной призмы, если ее диагональ равна 5 см, а диаго-
наль боковой грани равна 4 см.
2. Каждое ребро наклонной треугольной призмы равно
а, одно из боковых ребер составляет со смежными сто-
ронами основания углы в 30°. Найдите боковую поверх-
ность.
С-5
1. В прямой призме ABCDAiBiCiDi точка М лежит на
ребре А4ь а точка N — на ребре DiCi. Постройте точку
пересечения прямой MN с плоскостью нижнего основания.
2. Постройте сечение прямой треугольной призмы
ABCAiBiCt плоскостью, которая проходит через точку С,
точки М и N, лежащие соответственно на ребрах AAt и А\В\.
2 Дидактические материалы по геометрии
17
С-6
1. Сколько осей симметрии у прямоугольного параллеле-
пипеда, если его измерения различны? Ответ объясните.
2. Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из
вершин его верхнего основания одинаково удалена от всех
вершин нижнего основания. Определите высоту параллеле-
пипеда, если диагональ основания равна 8 см, а боковое реб-
ро равно 5 см.
С-7
1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
3 см, а его измерения относятся как 1:2:2. Определите
ребра параллелепипеда.
2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна
13 см, а диагонали его боковых граней равны 4-\До и
3 V17 см. Определите боковую поверхность параллелепипеда.
С-8
1.	Будет ли пирамида правильной, если все боковые реб-
ра ее равны? Ответ проиллюстрируйте на рисунке.
2.	Перечислите свойства пирамиды, основанием которой
является квадрат, а вершина проектируется в точку пере-
сечения диагоналей квадрата.
3.	Основанием пирамиды служит параллелограмм со сто-
ронами 3 и 7 см, одна из его диагоналей 6 см. Найдите
боковые ребра пирамиды, если ее высота, проходящая через
точку пересечения диагоналей основания, равна 4 см.
1. Высота пирамиды 16 см, площадь основания 512 см2.
На каком расстоянии от основания находится сечение,
параллельное основанию, если площадь сечения равна
50 см2?
2. Основанием пирамиды служит треугольник со сторона-
ми 13, 14 и 15 см. Боковое ребро, лежащее против
средней по величине стороны основания, перпендикулярно
основанию и равно 16 см. Определите полную поверхность
пирамиды.
СЙО
1. В кубе ABCDAiB\C\D\ из вершины Bi проведены диа-
гонали В|Л, BiC и BiDi трех граней, сходящихся в этой
вершине. Докажите, что многогранник BiACD\ — правиль-
ный тетраэдр.
2. Вычислите площадь поверхности октаэдра, длина реб-
ра которого равна а.
—
С-11
1. В цилиндре параллельно оси проведена плоскость,
отсекающая от окружности основания дугу в 120°. Длина
оси 15 см, ее расстояние от секущей плоскости 4 см. Вы-
числите площадь сечения.
2. Площадь осевого сечения цилиндр^ 8 м2, площадь
основания 12 м2. Вычислите площадь сечения, параллель-
ного оси и отстоящего от нее на 1 м.
С-12
1. Прямоугольник со сторонами 5-75 и 8 см вращается
вокруг большей стороны. В образовавшемся цилиндре че-
рез середину радиуса основания перпендикулярно ему про-
ведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося се-
чения.
2. Основание прямой призмы — равнобедренный прямо-
угольный треугольник. Найдите радиус основания цилинд-
ра, описанного около призмы, если высота призмы h, а
боковая поверхность S.
С-13
1. Радиус основания конуса равен R. Высота конуса
разделена в отношении mtn (считая от вершины). Най-
дите площадь получившегося сечения.
2. Осевым сечением конуса является треугольник, пло-
щадь которого равна Q. Найдите длину окружности основа-
ния конуса, если образующая наклонена к плоскости осно-
вания под углом а.
С-14
В усеченном конусе образующая, равная /, составляет с
плоскостью большего основания угол а и перпендикуляр-
на к диагонали осевого сечения. Найдите радиусы основа-
ний усеченного конуса.
С-15
Тело ограничено двумя концентрическими шаровыми по-
верхностями радиусов R и г(/?>г). Обе шаровые поверх-
ности пересечены произвольной плоскостью. Найдите пло-
щадь полученного кольцевого сечения.
19
С-16
1. Через точку А, находящуюся на расстоянии а от
центра шара О, проведена плоскость под углом а к ОА.
Найдите площадь полученного сечения, если радиус шара
равен /?(Я^0).
2. В шар вписана правильная четырехугольная пира-
мида со стороной основания а и двугранным углом при
основании а. Найдите радиус шара.
С-17
1. Составьте уравнение сферы, которая проходит через
начало координат и имеет центр в точке С (4; —4; —2).
2. Какое взаимное расположение сфер x2-+-t/2-|-z2=9
и x2+y2+z2 + l2x— 12у —6z + 45 = 0?
С-18
1. Аквариум имеет форму прямоугольного параллеле-
пипеда. Длина его 0,8 м, ширина 37,5 см. Он должен
вмещать 0,18 м3. Найдите высоту аквариума.
2. Угол между диагональными плоскостями прямоуголь-
ного параллелепипеда равен а, а одна из сторон его ос-
нования равна а. Найдите объем параллелепипеда, если его
диагональ наклонена к плоскости основания под углом 0.
С-19
1. Через вершины С|, В и D прямоугольного параллеле-
пипеда ABCDA\B\C\D\ проведена плоскость, которая обра-
зует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем парал-
лелепипеда, если стороны основания его равны 12 и 5 дм.
2. Стороны основания прямого параллелепипеда 4 и 6 см,
острый угол в основании равен а. Найдите объем парал-
лелепипеда, если высота параллелепипеда равна большей
диагонали основания.
С-20
Основанием наклонного параллелепипеда является ромб
ABCD, со стороной, равной а, и острым углом 60°. Реб-
ро AAi также равно а и образует с ребрами АВ и AD углы
по 45°. Найдите объем параллелепипеда.
20
С-21
1. При рытье колодца, имеющего форму правильной
восьмиугольной призмы со стороной основания а = 6 дм,
было вынуто 25 т земли (плотность земли 1,8-103 кг/м3).
Найдите глубину колодца.
2. Боковое ребро правильной треугольной призмы равно
высоте основания, а площадь сечения, проведенного через
это боковое ребро и высоту основания, равна Q.
Найдите объем призмы.
С-22
1. Найдите объем правильной четырехугольной пирами-
ды, зная угол а при вершине ее диагонального сечения и
радиус R окружности, описанной около него.
2. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник,
основание которого равно 6 см, а высота равна 9 см.
Каждое боковое ребро равно 13 см. Найдите объем.
С-23
Найдите объем правильной шестиугольной усеченной
пирамиды, если стороны ее оснований а и b(a>b\ а бо-
ковое ребро образует с большим основанием угол 0.
С-24
Основание пирамиды параллелограмм, острый угол
которого а, и диагональ, равная d, перпендикулярна сто-
роне параллелограмма. Высота пирамиды, равная h, раз-
делена точками М и N (считая от вершины) на три равные
части. Плоскость, проходящая через точку N параллельно
основанию, делит пирамиду на две пирамиды: полную и усе-
ченную. Найдите объем получившейся полной пирамиды.
С-25
1. Определите вместимость зернового элеватора, имею-
щего 40 резервуаров. Размеры резервуаров: высота 30 м,
диаметр 10 м. Объемная масса зерна 0,8 т.
2. Вокруг куба описан цилиндр. Определите объем ци-
линдра, если диагональ куба равна а.
С-26
1. Сосуд имеет вид усеченного конуса, высота которо-
го 27 см и длины окружностей оснований равны 66 и 96 см.
Сколько литров вмещает сосуд?
2. Осевым сечением конуса является треугольник со сто-
ронами 5, 5 и 8 см. Найдите объем конуса.
21
С-27
1. Треугольник со сторонами 15, 41 и 52 см вращается
около наибольшей стороны. Найдите объем тела вращения.
2. Найдите объем тела, полученного при вращении
вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями
i/=2x-|-l, х=1, х=4, у=0.
С-28
1. Сколько металлических шаров радиуса 2 см можно от-
лить, расплавив шар радиуса 6 см?
2. Резервуар для воды состоит из полушария радиуса
35 см и цилиндра с таким же радиусом основания. Ка-
кой высоты должна быть цилиндрическая часть его,
чтобы объем всего резервуара равнялся 167 л?
С-29
Радиусы оснований шарового пояса равны 3 и 4 м, а ра-
диус шара равен 5 м. Определите объем шарового
пояса, если параллельные плоскости, пересекающие шар,
расположены по одну сторону от центра шара.
С-30
1. Как изменится поверхность шара, если его радиус уве-
личить в три раза?
2. В каком случае^расходуется больше материала: на
никелировку одного шара диаметром 8 см или на никели-
ровку 10 шаров диаметром по 2 см каждый?
С-31
1. Объемы равносторонних цилиндра и конуса равны.
Найдите отношение площадей их боковых поверхностей.
2. В шар радиуса R вписан конус, наибольший угол
между образующими которого прямой. Найдите полную по-
верхность конуса.
С-32
1. В шар вписан равносторонний цилиндр. Найдите от-
ношение поверхностей этих тел.
2. Дуга шарового сегмента в осевом сечении равна 240°.
Определите площадь поверхности сферического сегмента,
если радиус сферы равен R.
22
С-1	Вариант 4
1. Из вершины А треугольника АВС проведен к его плос-
кости перпендикуляр AM. Точка М соединена с точками
В и С. Через прямые МА и МВ, МА и МС проведены
плоскости. Укажите линейный угол, образованный этими
плоскостями.
2. Из вершины А прямоугольника ABCD проведен к его
плоскости перпендикуляр AM. Точка М соединена с точкой В.
Через прямые МА и МВ проведена плоскость. Опреде-
лите меру двугранного угла, образованного плоскостями
ABCD и АВМ.
С-2
1. Можно ли составить выпуклый четырехгранный угол
с плоскими углами 124, 216, 41, 12°?
2. Через основание ВС равнобедренного треугольника
АВС проведена плоскость а. Расстояние от вершины А
до этой плоскости равно 4 см. Найдите угол между плос-
костью а и плоскостью треугольника, если ВС= 12 см,
АВ=АС= 10 см.
1. Существует ли призма, имеющая 14 ребер?
2. Боковое ребро наклонной призмы наклонено к плос-
кости основания под углом в 30°, высота призмы равна
15 см. Определите длину бокового ребра.
С-4
1. В наклонной треугольной призме две боковые грани
взаимно перпендикулярны; их общее боковое ребро рав-
но 10 см и отстоит от двух других боковых ребер на рас-
стоянии 3 и 4 см. Определите боковую поверхность призмы.
2. Основанием прямой призмы является ромб. Диагона-
ли призмы равны 32 и 24 см, а высота равна 4 см. Опре-
делите боковую поверхность призмы.
С-5
1. В прямой призме ABCDAiBiCiDi точка М лежит на
ребре AAi, а точка N—на ребре BiCi. Постройте точку
пересечения прямой MN с плоскостью нижнего основа-
ния.
2. Постройте сечение прямой треугольной призмы
ЛВСЛ1В1С1 плоскостью, проходящей через точку Л, точ-
ки М и N, которые лежат соответственно на ребрах ВВ{
и С\В\.
23
С-6
1. Докажите, что диагональ прямоугольного паралле-
лепипеда, в основании которого лежит квадрат, образует
равные углы со всеми боковыми гранями.
2. Боковое ребро прямого параллелепипеда равно 5 см,
стороны основания равны 6 и 8 см, а одна из диагона-
лей основания равна 12 см. Определите диагонали парал-
лелепипеда.
07
1. При каком соотношении между измерениями а, b и с
прямоугольного параллелепипеда его диагональное сечение
будет квадратом?
2. Боковая поверхность прямоугольного параллелепипе-
да, в основании которого лежит квадрат, равна 32 см* 1 2, а пол-
ная поверхность 40 см2. Определите высоту параллеле-
пипеда.
С-8
1.	В пирамиде все боковые грани — равные равнобед-
ренные треугольники. Будет ли пирамида правильной? От-
вет проиллюстрируйте на рисунке.
2.	Перечислите свойства пирамиды, в основании которой
лежит трапеция, если двугранные углы при основании рав-
ны.
3.	Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами
6 и 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см.
Вычислите высоту пирамиды.
С-9	'
1. В пирамиде площадь основания равна 150 см2, а пло-
щадь параллельного основанию сечения равна 54 см2. Оп-
ределите высоту пирамиды, если расстояние между плос-
костью основания и плоскостью сечения равно 14 см.
2. Основанием пирамиды служит параллелограмм со сто-
ронами 4 и 5 см и диагональю 3 см. Высота пирамиды
проходит через точку пересечения диагоналей основания и
равна 2 см. Определите полную поверхность пирамиды.
С-10
1. В кубе ABCDA\BiC\D\, сторона которого равна а,
проведены диагонали АВ\ и D\C двух граней. Опреде-
лите расстояние между ними.
2. Определите площадь поверхности правильного тет-
раэдра, длина ребра которого равна а.
24
С-11
1. В цилиндре параллельно оси проведена плоскость,
отсекающая от окружности основания дугу в 60°. Длина
оси 20 см, ее расстояние от секущей плоскости 6 см. Вы-
числите площадь сечения.
2. Радиус основания цилиндра равен 37 дм, высота
24 дм. На каком расстоянии от оси цилиндра находится се-
чение, имеющее форму квадрата?
С-42
1. Цилиндр, вписанный в правильную треугольную приз-
му, касается боковых граней призмы по образующим AAlt
ВВ\, ССь Найдите площадь четырехугольника ЛЛ1С1С, ес-
ли высота цилиндра h, а радиус основания R.
2. Найдите боковую поверхность правильной четырех-
угольной призмы, вписанной в цилиндр, если радиус основа-
ния цилиндра R, а угол между диагональю осевого сече-
ния и образующей цилиндра равен а.
С-13
1. Высота конуса h. На каком расстоянии от вершины сле-
дует провести плоскость, параллельную основанию, чтобы
площадь сечения была равна 1/3 площади основания?
2. Осевое сечение конуса треугольник, угол между рав-
ными сторонами которого 2а. Радиус окружности, описан-
ной около этого треугольника, R. Найдите высоту конуса.
ОЛ4
Радиусы оснований усеченного конуса R и г. Образую-
щая наклонена к его большему основанию под углом а.
Найдите площадь осевого сечения усеченного конуса.
С-15
Дан шар радиуса R с центром в точке О. Через точку
A(QA=d<.R) проведены три взаимно перпендикулярные
плоскости, причем ОА перпендикулярна одной из них. Най-
дите площади получившихся сечений.
С-16
1. Радиусы сфер 17 и 25 дм. Длина линии пересечения
сфер Зл м. Найдите расстояние между центрами сфер.
2. В конус, образующая которого наклонена к плоскости
основания под углом а, а площадь основания равна S,
вписан шар. Найдите расстояние от вершины конуса до
плоскости круга, по окружности которого поверхность шара
касается боковой поверхности конуса.
25
С-17
1. Составьте уравнение сферы, которая проходит через
точку Л (2; —1; — 3) и имеет центр в точке С (3; —2; 1).
2. Укажите взаимное расположение сфер х2-j-у2-j-г2 = 16
и x2 + y2 + z2 —4%4-бу — 2z + 5 = 0.
С-18	—
1. Бак прямоугольного сечения 3,2 мХ1>2 м вмещает
9000 л воды. Сколько квадратных метров оцинкованного
железа пошло на его изготовление?
2. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна d
и образует с боковым ребром угол а. Найдите объем па-
раллелепипеда, если периметр его основания равен 2d.
С-19
1. Угол между диагоналями А\С и BDi прямоуголь-
ного параллелепипеда ABCDA\BiC\D\ равен 60°. Вычислите
объем параллелепипеда, если его диагональ, равная 10 дм,
образует с плоскостью основания угол в 30°.
2. Основанием прямого параллелепипеда является ромб,
диагонали которого равны 6 и 8 см. Найдите объем па-
раллелепипеда, если высота его равна высоте ромба.
С-20
Длины ребер параллелепипеда равны а, Ь и с. Ребра,
длины которых равны а и Ь, взаимно перпендикулярны,
а ребро длиной с образует с каждым из них угол 60°. Най-
дите объем параллелепипеда.
С-21
1. Сколько солдат потребуется для того, чтобы вырыть
за 8 ч траншею длиной 25 м и ход сообщения такой
же длины, учитывая, что каждый солдат в час может вы-
копать 0,75 м3? Профили траншеи и хода сообщения и
размеры в метрах даны на рисунке.
2. Основанием прямой призмы служит ромб с острым уг-
лом а. Меньшая диагональ призмы равна d и составляет
с плоскостью основания угол р. Найдите объем призмы.
С-22
1. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды
составляет с основанием угол а, а середина его удалена от
основания пирамиды на расстояние а. Найдите объем пи-
рамиды.
2. В основании пирамиды лежит прямоугольник, пло-
щадь которого равна S; боковые ребра пирамиды равны
и образуют с плоскостью основания угол 45°. Угол между
диагоналями основания равен 60°. Найдите объем пирамиды.
С-23
Найдите объем правильной четырехугольной усеченной
пирамиды, если стороны ее оснований равны а и b (а>Ь),
а боковое ребро составляет с высотой пирамиды угол а.
С-24
В треугольной пирамиде две боковые грани взаимно
перпендикулярны и перпендикулярны плоскости основания
пирамиды. Площади этих граней равны Р и Q, а длина
их общего ребра равна а. Плоскость, проведенная через
середину высоты параллельно основанию, делит пирамиду на
две пирамиды: полную и усеченную. Найдите объем обра-
зовавшейся полной пирамиды.
С-25
1. В цилиндрическую цистерну емкостью 12 т налито го-
рючее. Сколько горючего содержится в цистерне, если ее
высота равна 6 м, а уровень горючего 2 м?
2. В цилиндр вписана прямая призма, в основании ко-
торой лежит прямоугольный треугольник с углом а и про-
тиволежащим этому углу катетом а. Определите объем ци-
линдра, если диагональ большей грани призмы образует
с плоскостью основания угол 0.
С-26
1. Жидкость, налитая в конический сосуд, высота кото-
рого равна 0,18 м и диаметр основания равен 0,24 м,
перелита в цилиндрический сосуд, диаметр основания кото-
рого равен 0,1 м. Чему равен уровень жидкости в сосуде?
2. Осевым сечением конуса является равнобедренный
треугольник с основанием 12 см. Образующая конуса на-
клонена к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем
конуса.
27
С-27
1. Треугольник со сторонами 9, 10 и 17 см вращается
вокруг высоты, проведенной из вершины его меньшего
угла. Определите объем тела вращения.
2. Найдите объем фигуры, полученной при вращении во-
круг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями у = 2х—х* 1 2,
У=0-___________________________________________________
С-28
1. 125 одинаковых шариков диаметром 9 см сплавили в
один шар. Определите диаметр получившегося шара.
2. Докажите теорему Архимеда: «Объем равностороннего
цилиндра в полтора раза превышает объем вписанного в
него шара».
С-29
1. Радиусы оснований шарового пояса равны 3 и 4 м, а ра-
диус шара равен 5 м. Определите объем шарового поя-
са, если параллельные плоскости, пересекающие шар, рас-
положены по разные стороны от центра шара.
С^ЗО	'
1. Если принять за единицу диаметр Земли, то диаметр
Луны составляет -^- такой единицы. Найдите отношение по-
верхностей Луны и Земли.
2. Сколько кожи потребуется для изготовления покрышки
футбольного мяча диаметром 20 см, если на обрезки и
швы идет 8% материала?
С31
1. Докажите, что площадь сферы радиуса R равна пло-
щади полной поверхности цилиндра, высота и радиус кото-
рого равны R.
2. Вокруг равностороннего цилиндра описана сфера.
Полная поверхность цилиндра равна Q. Найдите площадь
сферы.
С-32
1. Высота конуса равна радиусу окружности его осно-
вания. Полная поверхность конуса равна площади сферы.
Определите радиус сферы, если высота конуса равна а.
2. Радиус сферы равен 1 дм. Определите площадь по-
верхности сферического сегмента, если дуга сегмента в осе-
вом сечении равна 120°.
28
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ДС-1	Вариант 1
1. Из вершины А прямоугольного треугольника АВС
(Z. А СВ=90°) проведен перпендикуляр AM к его плоскости.
Точка М соединена с точками В и С. Через прямые
МВ и МС проведена плоскость. Укажите линейные углы
между плоскостями АВС и МВС, АМВ и АМС. Ответ
объясните.
2. Через вершину А прямоугольника ABCD проведен к
его плоскости перпендикуляр AM. Точка М соединена с точ-
ками С и D. Через прямые МС и MD проведена плоскость.
Определите меру двугранного угла, образованного плоскос-
тями MDC и АВС, если AM=AD.
ДС-2
1. Докажите, что каждый плоский угол трехгранного уг-
ла меньше суммы двух других плоских углов.
2. В трехгранном угле два плоских угла по 45°, третий
плоский угол 60°. Найдите двугранный угол, противоле-
жащий третьему плоскому углу.
дс-з
1. Основанием наклонной призмы является трапеция.
Две боковые грани призмы перпендикулярны к основанию.
Через какие стороны основания могут проходить эти грани?
Выполните рисунок.
2. Каждое из ребер правильной шестиугольной призмы
равно а. Найдите диагонали призмы.
ДС-4
1. Определите полную поверхность призмы, боковые гра-
ни которой — квадраты, а основание — правильный тре-
угольник, вписанный в окружность радиуса R.
2. Высота правильной шестиугольной призмы равна а.
Диагонали двух смежных боковых граней, проведенных из
одной вершины, взаимно перпендикулярны. Определите бо-
ковую поверхность призмы.
29
ДС-5
1. В прямой призме ABCDA\B\C\D\ точка М лежит на
грани ЛЛ1В1В, а точка N—на грани CQDiD. Постройте
точку пересечения прямой MN с плоскостью нижнего осно-
вания.
2. Постройте сечение прямой призмы ABCDAiBiCiDi
плоскостью, проходящей через точку А и точки М и N,
которые лежат соответственно на ребрах BBi и DD\, если
АВ и CD не параллельны.
ДС-6
1. Сколько боковых граней, перпендикулярных к плос-
кости основания, может иметь параллелепипед? Выполните
рисунок.
2. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб
со стороной 60 см. Плоскость диагонального сечения,
проходящая через большую диагональ основания, перпен-
дикулярна к плоскости основания и ее площадь равна
0,72 дм* 1 2. Найдите меньшую диагональ основания, если боко-
вое ребро равно 80 см и образует с плоскостью основа-
ния угол в 60°.
ДО7
В прямоугольном параллелепипеде стороны основания от-
носятся как 7:24, а площадь диагонального сечения рав-
на 50 см2. Определите его боковую поверхность.
ДС-8
1. Боковые ребра пирамиды равны гипотенузе прямо-
угольного треугольника, лежащего в ее основании, и рав-
ны 12 см. Вычислите высоту пирамиды.
2. В правильной треугольной пирамиде угол между апо-
фемами равен 60°. Докажите, что боковые грани пира-
миды — прямоугольные равнобедренные треугольники.
ДС-9
1. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 5,
5 и 6 см. Двугранные углы при основании равны по 60°.
Определите полную поверхность пирамиды.
2. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде
апофема равна 12 см, боковое ребро равно 13 см и боко-
вая поверхность равна 720 см2. Определите стороны осно-
ваний.
ЧП
ДС-10
Докажите, что правильные многоугольники, являющиеся
гранями правильных многогранников, не могут иметь боль-
ше пяти сторон.
дс-п
В цилиндре, радиус основания которого R, а высота h,
проведены два взаимно перпендикулярных диаметра осно-
вания АВ и CD и образующие BBi и CCi. Найдите
длину отрезка MCi, где М — середина BiD.
ДС-12
1. В цилиндр вписана правильная пятиугольная призма.
Найдите угол между диагональю боковой грани и осью
цилиндра, если радиус основания равен высоте цилиндра.
2. В правильную четырехугольную пирамиду, сторона ос-
нования которой равна а, а двугранный угол при ребре
основания равен а, вписан цилиндр. Найдите радиус ос-
нования цилиндра, зная, что он равен образующей ци-
линдра.
ДС-13
1. Через вершину конуса проведена плоскость под уг-
лом а к основанию конуса; эта плоскость пересекает ос-
нование по хорде, равной а, которая видна из центра ос-
нования под углом 2₽. Найдите образующую конуса.
2. Угол при вершине в осевом сечении конуса равен 2у,
а периметр осевого сечения 2р. Найдите высоту конуса.
ДС-14
1. В конус вписана правильная треугольная пирамида
со стороной основания а, боковая грань которой накло-
нена к плоскости основания под углом а. Найдите площадь
осевого сечения конуса.
2. В усеченном конусе радиусы оснований равны 27 и
12 дм, а высота 20 дм. На каком расстоянии от больше-
го основания следует провести параллельную ему плоскость,
чтобы площадь полученного сечения была средней пропор-
циональной величиной между площадями оснований?
31
ДС-15
1. Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют
общую хорду длиной 16 дм. Найдите радиус шара, если
площади этих сечений 185л и 320л дм* 1 2.
2. Найдите радиус шара, если два диаметра большого
круга образуют острый угол 2а, а разность хорд, соеди-
няющих конец одного из них с концами другого, рав-
на с(с>0).
ДС-16
1. Шар вписан в усеченный конус, у которого площадь
одного основания в четыре раза больше площади другого
основания. Найдите угол между образующей конуса и плос-
костью большего основания.
2. В шар вписана правильная треугольная пирамида,
высота которой равна h, а двугранный угол при основа-
нии а. Найдите радиус шара.
ДС-17
Найдите геометрическое место точек пространства, сум-
ма квадратов расстояний каждой из которых до данных
точек А (3; —2; 1) и В(1; 4; —3) имеет одно и то же зна-
чение, равное 36.
ДС-18
1. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед.
Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основа-
ния угол а, а с боковой гранью — угол р. Найдите объем
параллелепипеда, если радиус основания цилиндра ра-
вен R.
2. В шар радиуса R вписан прямоугольный параллеле-
пипед, диагональ которого образует с плоскостью основания
угол а, а с боковой гранью — угол р. Найдите объем па-
раллелепипеда.
32
ДС-19
1. В конус, радиус основания ко-
торого R и образующая наклонена
к плоскости основания под углом а,
вписан прямой параллелепипед, в ос-
новании которого квадрат. Найди-
те объем параллелепипеда, если
угол между его диагональю и осно-
ванием равен а.
2. В правильную четырехуголь-
ную пирамиду со стороной основа-
ния а и высотой Н вписан куб так, что стороны его верхнего
основания лежат в боковых гранях пирамиды (см. рис.).
Найдите объем куба.
ДС-20
Основанием наклонного параллелепипеда является пря-
моугольник со сторонами а и Ь. Две смежные боковые
грани составляют с плоскостью основания углы, соответст-
венно равные аир. Найдите объем параллелепипеда,
если боковое ребро равно с.
ДС-21
1. В правильной ^треугольной призме через сторону ниж-
него основания и противоположную вершину верхнего ос-
нования проведена плоскость, которая образует с плоскостью
нижнего основания угол 45°. Площадь сечения равна Q.
Найдите объем призмы.
2. В наклонной призме основание — равнобедренный
треугольник, каждая из равных сторон которого равна Ь, а
угол между ними равен 2а. Боковое ребро призмы, рав-
ное радиусу окружности, вписанной в основание, составляет
с его плоскостью угол а. Найдите объем призмы.
ДС-22
1. В правильной треугольной пирамиде сторона основа-
ния равна а, плоский угол при вершине а. Найдите объем
пирамиды.
2. В треугольной пирамиде все четыре грани — равные
равнобедренные треугольники с основанием а и боковой сто-
роной Ь. Найдите объем пирамиды.
3 Дидактические материалы по геометрии
33
ДС-23
1. Боковая грань правильной усеченной четырехуголь-
ной пирамиды наклонена к плоскости большего основа-
ния под углом а. Площадь нижнего основания пирамиды
в девять раз больше площади верхнего основания, а ее объем
равен V. Найдите стороны оснований пирамиды.
2. Основанием пирамиды является ромб с острым уг-
лом а. Боковые грани наклонены к плоскости основания
под углом 0. Найдите объем пирамиды, если радиус впи-
санного в ромб круга равен г.
ДС-24
Центры граней правильного тетраэдра служат вершина-
ми нового тетраэдра. Найдите отношение объемов этих
двух тетраэдров.
ДС-25
1. Насос, подающий воду в паровой котел, имеет два во-
дяных цилиндра. Размеры каждого цилиндра: ход поршня
150 мм, диаметр 80 мм. Определите часовую подачу этого
насоса, если известно, что каждый поршень делает 50 ра-
бочих ходов в минуту.
2. В правильную четырехугольную пирамиду, сторона
основания которой равна а и двугранный угол при осно-
вании равен а, вписан цилиндр. Найдите объем цилиндра,
зная, что высота и радиус его основания равны между со-
бой.
ДС-26
В усеченном конусе диагонали осевого сечения взаим-
но перпендикулярны, образующая равна I и составляет с
плоскостью основания угол а. Найдите объем усеченного
конуса.
ДС-27
Найдите объем тела, образованного вращением одной
волны синусоиды около оси абсцисс.
ДС-28
1. Можно ли в цилиндр, высота которого равна 2 дм,
а диаметр основания 1 дм, поместить шар, объем кото-
рого в два раза меньше объема цилиндра?
2. Бочка имеет форму шарового слоя с равными осно-
ваниями. Какие нужно произвести измерения, чтобы опреде-
лить вместимость бочки? Выведите формулу, по которой
можно находить объем бочки.
34
ДС-29
1. Радиусы оснований шарового слоя равны 15 и 7 см,
радиус шара равен 25 см. Найдите объем шарового слоя,
если сечения расположены по разные стороны от центра
шара.
2. Объем шара равен -^-ла3. Найдите объем его сектора,
у которого центральный угол в осевом сечении равен а.
ДС-30
1.	Поверхность шара равна 225л м2. Определите его
объем.
2.	Объемы двух шаров относятся как т:п. Как относят-
ся их поверхности?
3.	В шаре по одну сторону от центра проведены два
параллельных сечения, площади которых равны 49л см2
и 4л дм2. Определите поверхность шара, если расстояние
между плоскостями равно 9 см.
ДС-31
1. В конус вписана сфера. Найдите площадь сферы,
если образующая конуса равна I, а угол между образую-
щей и плоскостью основания равен а.
2. Найдите площадь сферического пояса, если радиус
сферы равен R, а высота сферического пояса равна Н.
ДС-32
Круговой сектор с дугой 120° и площадью S враща-
ется вокруг прямой, содержащей средний радиус. Найдите
площадь поверхности фигуры вращения.
35

ДС-1	Вариант 2
1. Из вершины А прямоугольника ABCD проведен к его
плоскости перпендикуляр AM. Точка М соединена с точка-
ми В и С. Через прямые МВ и МС проведена плоскость.
Укажите углы между плоскостями МВС и АВС, АВМ и ADM.
Ответ объясните.
2. В кубе ABCDA{B\C\Di проведена плоскость, проходя-
щая через отрезок АВ и точку Ь\. Определите меру двугран-
ного угла, образованного этой плоскостью и плоскостью
ABCD.
1. Докажите, что сумма плоских углов выпуклого много-
гранного угла меньше 360°, если известно, что каждый плос-
кий угол трехгранного угла меньше суммы двух других
плоских углов.
2. В трехгранном угле два плоских угла содержат по 60°,
а третий угол — 90°. Найдите угол между плоскостью пря-
мого угла и противолежащим ребром.
дс-з
1. Две боковые грани наклонной призмы, в основа-
нии которой лежит прямоугольник, перпендикулярны к плос-
кости основания. Какой вид имеют две другие грани? Вы-
полните рисунок.
2. Площади параллельных боковых граней прямой приз-
мы, в основании которой лежит трапеция, равны 16 и 10 см* 1 2.
Вычислите площадь сечения, проходящего через средние
линии оснований призмы.
1. Стороны основания прямой треугольной призмы 10,
17 и 21 см. Наибольшая боковая грань и основания равно-
велики. Определите полную поверхность призмы.
2. Основание прямой призмы трапеция, у которой па-
раллельные стороны равны 9 и 19 см. Три боковые гра-
ни призмы — квадраты со стороной 9 см. Определите полную
поверхность призмы.__________________________________
ДС-5
1. В прямой призме ABCDAiBiCiDi точка М лежит на
грани AA\BiB, а точка N—на грани BBiC\C. Постройте
точку пересечения прямой MN с плоскостью нижнего осно-
вания.
2. Постройте сечение прямой призмы ABCDAiBiCiDi
плоскостью, проходящей через точки М, N и К, которые ле-
жат соответственно на ребрах AAlt DD\ и СС\.
37
ДС-6
1. Две противоположные боковые грани наклонного па-
раллелепипеда — квадраты. Определите вид остальных бо-
ковых граней, если его основанием является ромб. Вы-
полните рисунок.
2. Основанием наклонного параллелепипеда служит ромб
с острым углом 60° и стороной 5 см. Плоскость диаго-
нального сечения, проходящего через меньшую диагональ
основания, перпендикулярна к плоскости основания. Найдите
её площадь, если боковое ребро равно 10 см и образует
с плоскостью основания угол 60°.
ДС-7
Основанием прямого параллелепипеда служит ромб,
а площади диагональных сечений равны Q и Р. Определи-
те боковую поверхность параллелепипеда.
ДС-8
1. В основании пирамиды лежит квадрат. Высота пира-
миды равна стороне квадрата и проходит через одну из его
вершин. Определите двугранные углы при основании пира-
миды.
2. Апофема правильной треугольной пирамиды равна 8 см
и составляет половину стороны основания. Определите пло-
щадь сечения, проходящего через две апофемы.
ДС-9
1. Основание пирамиды — прямоугольная трапеция, у ко-
торой большая из параллельных сторон равна 15 см, а
большая из непараллельных сторон равна 12 см и меньший
угол равен 30°. Все двугранные углы при основании
равны по 60°. Определите боковую поверхность пирамиды.
2. Основаниями усеченной пирамиды служат правильные
треугольники со сторонами 5 и 3 см. Одна из боковых сто-
рон равна 1 см и перпендикулярна к плоскости основа-
ния. Определите боковую поверхность этой усеченной пи-
рамиды.
ДС-10
Докажите, что в одной вершине правильного много-
гранника не может сходиться более 5 ребер.

ДС-11
В цилиндре, радиус основания которого R, а высота h,
проведены два взаимно перпендикулярных диаметра ос-
нования АВ и CD и образующая СС\. Найдите длину
отрезка NP, где N— середина AD, Р — середина ЛСь
ДС-12
1. В цилиндр вписана правильная пятиугольная призма.
Найдите кратчайшее расстояние от диагонали боковой гра-
ни до оси цилиндра, если радиус основания его равен R.
2. Площадь боковой поверхности правильной четырех-
угольной призмы, вписанной в цилиндр, равна Q. Диаго-
наль осевого сечения цилиндра составляет с его образую-
щей угол а. Найдите радиус основания цилиндра.
ДС-13
1. В основание конуса вписан квадрат, сторона которо-
го равна а. Плоскость, проходящая через вершину ко-
нуса и сторону квадрата, в сечении с поверхностью кону-
са образует треугольник, угол при вершине кото-
рого равен а. Найдите высоту конуса.
2. Высота конуса равна ft, а угол при вершине осево-
го сечения равен 2а. Найдите периметр осевого сечения.
ДС-14
1. Около конуса описана правильная треугольная пира-
мида со стороной основания а. Найдите площадь осево-
го сечения конуса, если боковое ребро пирамиды составляет
с плоскостью основания угол а.
2. Высота усеченного конуса равна Л, образующая накло-
нена к плоскости основания под углом а, а диагональ осе-
вого сечения — под углом 0. Найдите радиусы основа-
ний усеченного конуса.
ДС-15
1. Из точки поверхности шара проведены три равные
хорды под углом а одна к другой. Найдите их длину, ес-
ли радиус шара равен R.
2. Под каким углом виден из центра шара диаметр
его сечения, площадь которого в п раз меньше площади
большого круга? Вычислите угол при п=2.
39
ДС-16
1. В шар вписан конус. Площадь осевого сечения ко-
нуса равна S, а угол между высотой и образующей ра-
вен а. Найдите радиус шара.
2. Сторона основания правильной треугольной пирамиды
равна а, плоский угол при вершине пирамиды равен а. Най-
дите радиус шара, вписанного в пирамиду.
ДС-17
Принадлежат ли точки О (0; 0; 0), А (2; 0; 0), В (0; 6; 0),
С (0; 0; —4) и D (4; 1; —3) одной сфере? Ответ объясните.
ДС-18
1. В цилиндр вписан прямоугольный параллелепипед. Бо-
ковое ребро параллелепипеда образует с диагональю парал-
лелепипеда и с диагональю боковой грани, исходящими из
одной вершины, соответственно углы аир. Найдите объем
параллелепипеда, если радиус основания цилиндра равен /?.
2. В шар радиуса R вписан прямоугольный параллеле-
пипед, диагональ которого образует с меньшей боковой
гранью угол а, а диагональ основания параллелепипе-
да образует с большей стороной основания угол р. Найдите
объем параллелепипеда.
ДС-19
1. В конус, радиус основания ко-
торого /?, а высота й, вписан пря-
моугольный параллелепипед со сто-
ронами основания а и Ь. Найдите
объем параллелепипеда.
2. В правильную четырехуголь-
ную пирамиду, в которой сторона
основания а и боковое ребро со-
ставляет с основанием угол а, впи-
сан куб так, что стороны его верх-
него основания лежат в боковых гранях пирамиды (см. рис.).
Найдите объем куба.
ДС-20
Основанием наклонного параллелепипеда является пря-
моугольник ABCD со сторонами АВ = а и AD = b. Боко-
вое ребро ЛД1, равное с, составляет со сторонами осно-
вания АВ и AD соответственно углы аир. Найдите объем
параллелепипеда.
40
ДС-21
1. Найдите сторону основания правильной треугольной
призмы, объем которой равен V, если угол между диагона-
лями двух граней, проведенными из одной и той же вер-
шины, равен <р.
2. В основании наклонной призмы лежит правильный
треугольник со стороной, равной а. Одна из боковых гра-
ней призмы перпендикулярна к плоскости основания и пред-
ставляет собой ромб, диагональ которого равна Ь. Найдите
объем призмы.
ДС-22
1. Найдите объем правильного тетраэдра, в котором рас-
стояние между противоположными ребрами равно d.
2. Основанием пирамиды является параллелограмм,
смежные стороны которого равны 9 и 10 см, а одна из диа-
гоналей равна 11 см. Противоположные боковые ребра
равны и каждое из больших ребер равно 10,5 см. Вычисли-
те объем пирамиды.
ДС-23
1. Найдите объем правильной усеченной четырехуголь-
ной пирамиды, если стороны оснований равны а и b(a>b\
а острый угол боковой грани равен а.
2. Боковые грани треугольной пирамиды взаимно перпен-
дикулярны, а площади их равны а* 1 2, Ь2 и с2. Найдите объем
пирамиды.
ДС-24
Основанием пирамиды является ромб с диагоналями d\
и d2 (d\>d2). Высота пирамиды проходит через вершину
острого угла ромба. Площадь диагонального сечения, про-
веденного через меньшую диагональ, равна Q. Через сере-
дину высоты параллельно основанию проведена плоскость,
которая делит пирамиду на две пирамиды: полную и усе-
ченную. Найдите объем образовавшейся полной пирамиды.
ДС-25
1. 25 м медной проволоки имеют массу 100,7 г. Найдите
диаметр проволоки, если плотность меди 8,9 г/см3.
2. Высота боковой грани правильной треугольной пира-
миды равна b и составляет с плоскостью основания угол а.
В эту пирамиду вписан цилиндр, у которого высота равна
диаметру основания. Определите объем цилиндра.
41
ДС-26
В цилиндр с периметром осевого сечения 20 см вписан ко-
нус, вершина которого лежит в центре верхнего основания,
а основание конуса совпадает с нижним основанием цилинд-
ра. Определите объем конуса с наименьшей образующей.
ДС-27
Найдите объем тела, образованного вращением одной
волны косинусоиды около оси абсцисс.
ДС-28
1. В цилиндрический сосуд, наполненный водой до по-
ловины, опущен шар диаметром 4 см. Высота сосуда равна
8 см, радиус 2 см. Достигнет ли уровень воды краев сосуда?
2. Шаровой слой и цилиндр имеют общую высоту и об-
щие основания. Объем тела, заключенного между их боко-
выми поверхностями, равен 36л см3. Определите их высоту.
ДС-29	"	7
1. Стальная заклепка имеет форму цилиндра, на который
насажен шаровой сегмент. Диаметр цилиндра 16 мм, высота
35 мм, высота сегмента 10 мм, радиус шара 16 мм. Вычислите
массу 1000 заклепок, если плотность стали 7,5 г/см3.
2. Радиус кругового сектора АОВ равен г, дуга АВ рав-
на а. Сектор вращается около прямой, на которой ле-
жит радиус ОА. Найдите объем получившегося шарового
сектора.
ДС-30
1.	Объем шара равен V. Определите его поверхность.
2.	Поверхности двух шаров относятся как т:п. Как от-
носятся их объемы?
3.	По разные стороны от центра шара проведены два па-
раллельных сечения, площади которых равны 25л и 9л м2.
Определите поверхность шара, если расстояние между сече-
ниями равно 16 м.
ДС-31
1. Поверхность шара, вписанного в конус, равна Q.
Найдите поверхность конуса, если угол при вершине его
осевого сечения равен а.
2. Поверхность полусферы равновелика поверхности сфе-
рического пояса, который получен при вращении дуги в 90°
вокруг диаметра, параллельного хорде дуги. Найдите от-
ношение радиусов полусферы и сферического пояса.
ДС-32
Круговой сектор с дугой 120° и площадью S враща-
ется вокруг прямой, содержащей крайний радиус. Найдите
площадь поверхности фигуры вращения.
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ НА ПОВТОРЕНИЕ
Вариант 1
СП-1
1. На биссектрисе АР угла MAN взята точка В. Через
точку В проведена прямая I перпендикулярно АВ. Пря-
мая I пересекает AM в точке С, a AN — в точке D. До-
кажите, что BC = BD.
2. Докажите равенство остроугольных треугольников по
стороне и проведенным к ней высоте и медиане.
СП-2
1. В равнобедренном треугольнике АВС с основанием
АС и углом при вершине, равным 36°, проведена биссеггри-
са AD и в треугольнике ADB — медиана DM. Наедите
угол ADM.
2. Биссектрисы внутренних углов треугольника АВС пере-
секаются в точке D. Докажите, что угол ADC тупой.
СП-3
1.	Постройте треугольник АВС по стороне а, выссге ha
и медиане /п?.
2.	При помощи циркуля и линейки разделите прямой
угол на три равные части.
3.	Найдите геометрическое место вершин треуголыиков
с общим основанием а и медианой гпа.
СП-4
1. В параллелограмме одна сторона равна 4 см, а две его
диагонали равны 5 и 7 см. Определите периметр парал-
лелограмма.
2. В треугольник вписан ромб со стороной пг так что
один угол у них общий, а противоположная вершина ромба
лежит на стороне треугольника и делит эту сторогу на
отрезки длиной р и д. Найдите стороны треугольника.
• Здесь и дальше введены следующие обозначения. В треугольнике
АВС а, Ь, с — соответственно стороны ВС, AC, АВ; ma, tnb, — иедиа-
ны соответственно на стороны ВС, АС, АВ', /и, A*, he — высоты соот-
ветственно на стороны ВС, AC, АВ; la, lb, 1с — биссектрисы соот-
ветственно углов А, В, С.
43
СП-5
1. В прямоугольном треугольнике точка касания вписан-
ной в него окружности делит гипотенузу на отрезки длиной
5 и 12 см. Найдите катеты треугольника.
2. Около окружности диаметром 15 см описана равно-
бокая трапеция с боковой стороной 17 см. Найдите основа-
ния трапеции.
СП-6
1.	На сторонах угла ВАС отложены отрезки: ЛК=20 см
и КВ = 8 см на ЛВ; Л£=15 см и LC = 6 см на АС. Дока-
жите, что KL\\BC.
2.	Постройте равнобедренный прямоугольный треуголь-
ник так, чтобы вершина его прямого угла находилась в
данной точке С, а две другие — на данных окружностях <о и у.
3.	Докажите, что точки, симметричные ортоцентру Н
остроугольного треугольника АВС относительно его сторон,
принадлежат окружности, описанной около треугольника
АВС.
СП-7
1.	Сумма углов выпуклого многоугольника на 360° боль-
ше суммы его внешних углов, взятых по одному при каж-
дой вершине. Найдите число сторон этого многоугольника.
2.	Найдите радиус окружности, вписанной в правильный
многоугольник со стороной ал = 3 см, если радиус окруж-
ности, описанной около этого многоугольника, равен 2,5 см.
3.	С вала сняли стружку слоем 2 мм, после чего длина
окружности вала стала 4,72 мм. Определите длину окруж-
ности вала до обработки.
СП-8
1. Одна сторона прямоугольника больше другой на 1 см
и меньше его диагонали на 8 см. Найдите площадь прямо-
угольника.
2. Круг; вписанный в прямоугольный треугольник, делит
точкой касания один из катетов на отрезки в 3 см и 5 см.
Найдите площадь треугольника.
44
СП-9
1. Докажите, что две прямые параллельны, если прове-
денные через них плоскости пересекаются по прямой, кото-
рая не пересекает данные прямые.
2. Точка М — середина ребра BiCi куба ABCDA\B\C\D\,
а точка N — середина ребра AAi. Найдите расстояние от
точки пересечения прямой MN с плоскостью ABCD до вер-
шины С, если ребро куба равно а.
СП-10
1. Концы отрезка отстоят от плоскости а на расстоянии
1 и 4 см. Найдите расстояние от середины отрезка до
плоскости а, если отрезок не пересекает плоскость а.
2. В правильную треугольную пирамиду вписан конус,
образующая которого равна b и образует с плоскостью
основания угол а. Найдите объем этой пирамиды.
СП-11
1.	Вычислите длину медианы ВВ' треугольника с верши-
нами А (4; -8), В (2; 3) и С (16; 2).
2.	Точки А (3; —6; 2) и А' симметричны относительно
координатной плоскости yz. Найдите расстояние А'А.
3.	Сторона АВ равнобедренного прямоугольного тре-
угольника АВС (АС = ВС) лежит в плоскости л, высота CD
этого треугольника наклонена к плоскости л под углом а. Вы-
числите углы наклона сторон АС и ВС треугольника к
плоскости л.
СП-12
1. Даны вершины треугольника: В(—1; 2), Л (3; 5) и
С (5; 10). Найдите его внешний угол <р при вершине В.
2. Найдите длины отрезков, отсекаемых плоскостью
6x-2^4-15z-30=0 от координатных осей.
45

СП-1	Вариант 2
1. Стороны ВС и AD (рис. 1) прямоугольных треуголь-
ников АВС и ADC пересекаются в точке М так, что
BM—MD. Равны ли AM и МС? Если да, то почему?
2. На сторонах угла О взяты точки А и В (рис. 2) так,
что ОА = ОВ. Перпендикуляры СВ и DA к сторонам уг-
ла О пересекаются в точке Е. Докажите, что £\BED =
= ДДЕС.
СП-2
1. В треугольнике ABC Z.4 = 40°, ZB = 36°. Найдите
острый угол между биссектрисами углов АВС и АСВ.
2. В треугольнике АВС АВ — основание, АВ—АС,
AAi — медиана, СС\ — высота, Z.(AAt, СС|) = 40°. Найдите
углы треугольника АВС.
СП-3
1.	Постройте треугольник АВС по высоте hc, биссектрисе
1С и углу С, равному у.
2.	Постройте прямоугольный треугольник по гипотенузе
с и разности катетов р.
3.	Найдите геометрическое место центров окружностей,
описанных около треугольников с общим основанием.
СП-4
1. Один из углов параллелограмма равен 60°. Перпен-
дикуляр, опущенный из точки пересечения его диагоналей
на большую сторону, равен -|--73 см. Определите меньшую
сторону параллелограмма.
2. Около круга описана равнобокая трапеция, средняя ли-
ния которой равна а. Определите боковую сторону трапе-
ции и периметр трапеции.
47
СП-5
1.	Центр вписанной окружности делит высоту равнобед-
ренного треугольника, опущенную на основание, на отрез-
ки 5 и 3 см, считая от вершины. Определите стороны треуголь-
ника.
2.	Высота ромба, проведенная из вершин тупого угла, де-
лит его сторону на отрезки длиной тип. Определите
диагонали ромба.
СП-6
С	1. В треугольнике (см. рис.) со сто-
ронами ВС =12 см, 4В=16 см, АС =
«/	=20 см проведены прямые QM\\BC и
PN\\BC так, что AN = CM=5 см.
I	Найдите стороны трапеции MQPN.
В О. Р А 2. Точки А и В находятся по одну
сторону от прямой I. Найдите на прямой I такую точку С, что-
бы сумма отрезков АС и СВ была наименьшей.
3.	Отрезки одинаковой длины АВ и CD параллельны.
Один из них центрально-симметричен другому. Найдите
центр их симметрии.
СП-7
1.	Сумма углов выпуклого многоугольника на 180° мень-
ше суммы его внешних углов, взятых по одному при каж-
дой вершине. Найдите число сторон этого многоуголь-
ника.
2.	Найдите радиус окружности, описанной около пра-
вильного многоугольника со стороной ап = 8 см, если радиус
окружности, вписанной в этот многоугольник, равен 3 см.
3.	Представьте, что земной шар обтянут по экватору
жестким обручем и таким же обручем обтянут мяч. Длину
каждого обруча удлинили на 1 м; обручи равномерно,
т. е. по окружности, отошли от соответствующих поверх-
ностей тел. Докажите, что эти расстояния равны.
48
СП-8
1. Квадрат со стороной а и прямоугольник со стороной b
равновелики. Докажите, что периметр прямоугольника боль-
ше периметра квадрата.
2. Площадь ромба равна 96 дм* 1 2. Диагонали ромба от-
носятся как 3:4. Найдите радиус вписанного круга.
СП-9
1. Через каждую из двух параллельных прямых а и Ь
и точку М, не лежащую в плоскости этих прямых, проведе-
ны плоскости. Докажите, что линия пересечения этих
плоскостей параллельна прямым а и Ь.
2. В треугольной пирамиде SABC проведено сечение
Л|В1С| параллельно плоскости основания. Известно, что
Л5= 12 см, Sfi + CCi = 19 см, SC-j-BBi = 17 см. Определите
длину ребер SB и SC.
СП-10
1. Из точки Л проведен к плоскости а перпендикуляр
АС длиной 10 см. Из точки В к плоскости а проведена наклон-
ная BD длиной 11 см. Найдите АВ, если CD=6 см и
ABA.BD.
2. Боковая грань правильной четырехугольной пира-
миды SABC образует с плоскостью основания угол 2а. Най-
дите боковую поверхность пирамиды, если объем шара, впи-
санного в эту пирамиду, равен 36л см3.
СП-11
1. Точка В' симметрична точке В (3; —4) относительно
координатной оси у. Найдите расстояние В'В.
2. Найдите координаты концов отрезка АВ, который
точками С (2; —4; 0) и 0(6; 3; 4) разделен на три рав-
ные части.
3. Через гипотенузу АВ=с прямоугольного треугольника
АВС проведена плоскость л, образующая с катетами АС
и ВС углы в 60 и 30°. Вычислите расстояние от вершины
до гипотенузы АВ.
49
СП-12
1. Дан треугольник АВС: А (3; —5), В (0; —6), С(3; 1).
Найдите угол между стороной АС и медианой ВВ'.
I 2_4 —0
3x4-y--2z— 1 =о'
с координатной плоскостью yz.
СП-1	Вариант 3
1. В треугольнике ABC Z.A = Z.B. На сторонах АС
и ВС соответственно отложены равные отрезки AD и ВМ.
Равны ли треугольники ABD и ВАМ?
2. На одной стороне угла О отложены отрезки ОВ и OD,
а на другой — ОС и OF, причем ОВ = ОС, OD = OF. До-
кажите, что точка А пересечения отрезков BF и CD принад-
лежит биссектрисе угла О.
СП-2
1. Угол между неравными высотами равнобедренного
треугольника равен 130°. Найдите углы треугольника.
2. Биссектрисы внутренних углов треугольника АВС
пересекаются в точке F. Докажите, что угол AFC тупой.
СП-3
1.	Постройте окружность, проходящую через данную
точку А и касающуюся данной окружности в данной точ-
ке В.
2.	Постройте треугольник по высоте hc, биссектрисе 1С и
стороне Ь.
3.	Найдите геометрическое место середин отрезков, сое-
диняющих данную точку А со всеми точками данной пря-
мой I.
СП-4
1. Основание равнобедренного треугольника равно
4-^2 см, а медиана боковой стороны равна 5 см. Найдите
длины боковых сторон треугольника.
2. Один из углов трапеции равен 30°, а боковые сто-
роны при продолжении пересекаются под прямым углом. Най-
дите меньшую боковую сторону трапеции, если ее средняя
линия равна 10 см, а одно из оснований 8 см.
СП-5
1. Точка на гипотенузе прямоугольного треугольника,
равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрез-
ки 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника.
2. Периметр ромба равен а, длины его диагоналей от-
носятся как 3:4. Определите диагонали ромба.
51
СП-6
1.	Докажите, что в подобных треугольниках радиусы
вписанных окружностей пропорциональны соответственным
сторонам.
2.	Через данную точку Р провести прямую так, чтобы
ее отрезок между данной прямой I и данной окружностью
со разделился точкой Р пополам.
3.	Если в остроугольном треугольнике ABC AAi, BBi,
CCi — высоты, а Н — точка их пересечения, то АН'НА\ =
=ВН‘НВ\ — СН‘HCi. Докажите.
СП-7
1.	Сумма углов выпуклого многоугольника в два раза
больше суммы внешних его углов, взятых по одному при
каждой вершине. Сколько сторон у этого многоугольника?
2.	Радиус окружности, описанной около правильного
шестиугольника, равен 4 см. Найдите радиус окружности,
вписанной в него.
3.	Дуга окружности стягивает хорду длиной б см. Опре-
делите радиус окружности, если эта дуга соответствует
центральному углу в 90°.
СП-8
1. Площадь треугольника равна 84 см* 1 2, основание
Z> = 14 см, одна боковая сторона а = 15 см. Найдите другую
боковую сторону.
2. Круг, вписанный в прямоугольный треугольник, касает-
ся гипотенузы в точке, делящей ее на 3 и 10 дм. Найдите
площадь круга.
СП-9
1. Докажите, что если данная прямая параллельна двум
пересекающимся плоскостям, то она параллельна их линии
пересечения.
2. Через вершины A, Bi и середину ребра CCi куба
ABCDA\Bi^Di проведена секущая плоскость. Найдите
длину отрезка, по которому эта плоскость пересекает грань
DDiCiC, если ребро куба равно а.
52
СП-10
1. В основании пирамиды лежит прямоугольный тре-
угольник, один из катетов которого равен 6 см, а прсгиво-
лежащий ему угол равен 60°. Определите объем пирами-
ды, если каждое боковое ребро ее равно 4 см.
2. Диагонали ромба равны 15 и 20 см. Шар касается
всех его сторон. Радиус шара равен 10 см. Найдите рас-
стояние от центра шара до плоскости ромба.
СП-11
1.	Точка С' симметрична точке С (7; 4) относительно
точки А (0; 4). Найдите расстояние С'С.
2.	Отрезки АВ, АС и AD взаимно перпендикулярны.
М — середина отрезка CD. Найдите длину ВМ, если АЕ = Ь,
АС—с, AD = a.
3.	В прямоугольном треугольнике ABC Z_A =а, катет ВС
лежит в плоскости о, гипотенуза АВ составляет с плосксстью
а угол р. Найдите угол наклона катета АС к плоскостл о.
СП-12
1. Вычислите площадь параллелограмма, построенного
на векторах АВ (3; —4) и АС (5; 0).
л п	/ 4х+у — 7z 4-8=0,
2. Докажите, что прямая ( 5х1|у + бг_ 1б=0
пересекает ось у.
53

СП-1
Вариант 4
1. Стороны AD и ВС треугольников АВС и ADC пере-
секаются в точке М и AD = BC, AB = CD. Докажите, что
АМ = СМ.
2. В равнобокой трапеции ABCD (AB\\CD) AAt и ВВ\
(точки At и Bi лежат на прямой DC) —биссектрисы уг-
лов А и В. Докажите, что дДЛ1Д= ДВВ1С.
СП-2
1. Угол между равными высотами равнобедренного
треугольника АВС равен 150°. Найдите углы треугольника
АВС.
2. Найдите углы равнобедренного треугольника, если в
нем основание равно биссектрисе угла при основании.
СП-3
1.	Постройте треугольник АВС по основанию а, высоте ha
и радиусу описанной окружности R.
2.	Постройте треугольник АВС по высоте hc, биссектрисе
1С и углу А, равному а.
3.	Найдите геометрическое место центров окружностей,
касающихся данной прямой I в данной точке А.
СП-4
1. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной,
равной 4 см, проведена медиана боковой стороны. Найдите
основание треугольника, если длина медианы равна 3 см.
2. Если в четырехугольнике диагонали являются и бис-
сектрисами, то такой четырехугольник есть ромб. Докажите.
55
СП-5
1. Радиусы вписанной и описанной окружностей около
прямоугольного треугольника соответственно равны 2
и 5 см. Найдите длины сторон этого треугольника.
2. Найдите диагональ и боковую сторону равнобокой
трапеции с основаниями 20 и 12 см, если известно, что
центр описанной около трапеции окружности лежит на боль-
шем основании трапеции.
СП-6
1.	Высоты АА\ и ВВ\ остроугольного треугольника АВС
пересекаются в точке Н. Найдите отрезки АН и А\Н высо-
ты ЛЛ1, если ВН = Ъ дм, В\Н = 3 дм, ЛЛ| = 10 дм.
2.	Постройте равносторонний треугольник, вершины ко-
торого лежали бы на трех данных параллельных прямых
а, b и с.
3.	Докажите, что в остроугольном равнобедренном тре-
угольнике сумма расстояний от любой точки основания до
боковых сторон есть величина постоянная, равная высоте,
проведенной к боковой стороне.
СП-7
1.	Сумма внешних углов выпуклого многоугольника,
взятых по одному при каждой вершине, вдвое меньше сум-
мы его внутренних углов. Найдите число сторон этого мно-
гоугольника.
2.	Радиус окружности, вписанной в правильный тре-
угольник, равен 2 см. Найдите радиус окружности, описан-
ной около него.
3.	Дуга окружности стягивает хорду длиной 6 см. Опре-
делите радиус окружности, если эта дуга соответствует
центральному углу в 120°.
СП-8
1. Периметр равнобокой трапеции равен 124 см. Меньшее
основание равно боковой стороне и меньше другого осно-
вания на 20 см. Найдите площадь трапеции.
2. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник
со сторонами 7, 6,5 и 7,5 м.
56
СП-9
1. Докажите, что если плоскость и прямая, не лежащая
в этой плоскости, параллельны одной и той же плоскости,
то они параллельны.
2. Докажите, что плоскость а, проходящая через сере-
дины двух ребер основания тетраэдра и его вершину, па-
раллельна третьему ребру основания. Вычислите периметр
многоугольника, полученного при пересечении плоскости а с
тетраэдром, длины всех ребер которого равны 20 см.
СП-10
1. Меньшая сторона основания прямоугольного парал-
лелепипеда, вписанного в цилиндр, равна а. Диагональ па-
раллелепипеда образует с плоскостью основания угол а, а с
большей боковой гранью — угол 0. Найдите боковую по-
верхность цилиндра.
2. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15 см. Найдите
расстояние от плоскости треугольника до центра шара, ка-
сающегося сторон треугольника, если радиус шара ра-
вен 5 см.
СП-11
1.	Точки 0(3; 4) и D' симметричны относительно ко-
ординатной оси х. Найдите расстояние D'D.
2.	М и N — середины реберBjB и Л1О1 куба ABCDA\B\C\D\,
ребро которого равно 2а. Найдите длину MN.
3.	Найдите угол между плоскостями треугольника АВС
и квадрата ABMN, если ЛВ = 6 дм, ВС = 8 дм, ЛС= 10 дм,
СМ = 8 дм.
СП-12
1. Вычислите площадь треугольника ЛВС, если А (9; —2),
В (6; 2), С (0; 13).	(
2. При каком значении т прямая |
пересекает ось z?
73х—89y+2z + zn=0,
313х—145у—4z-|-12 = 0
57

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
К-1	Вариант 1
1.	Сторона основания правильной четырехугольной пира-
миды равна а. Двугранные углы при основании равны а. Оп-
ределите полную поверхность пирамиды.
2.	В основании прямой треугольной призмы лежит пря-
моугольный треугольник с катетами 8 и 6 см. Опреде-
лите боковое ребро призмы, если ее боковая поверхность
120 см* 1 2 3.
3.	Стороны основания прямого параллелепипеда равны 3
и 5 см, угол между ними равен 60°. Большая диагональ
параллелепипеда равна 10 см. Найдите боковое ребро па-
раллелепипеда.
К-1	Вариант 2
1.	Боковое ребро правильной четырехугольной пирами-
ды, равное 12 см, образует с плоскостью основания угол 60°.
Найдите боковую поверхность пирамиды.
2.	Найдите площадь боковой поверхности прямоуголь-
ного параллелепипеда, стороны основания которого равны а
и Ь, а диагональ наклонена к плоскости основания под
углом а.
3.	В основании прямой призмы лежит равнобедренный
треугольник с основанием 5 см. Высота призмы 3 см.
Определите площадь сечения призмы плоскостью, проходя-
щей через основание равнобедренного треугольника и проти-
воположную вершину верхнего основания призмы, если диа-
гонали равных боковых граней по 6,5 см.
К-1	Вариант 3
1. Сторона основания правильной четырехугольной пи-
рамиды равна а, высота Ь. Определите полную поверхность
пирамиды.
2. В прямой треугольной призме стороны основания от-
носятся как 17:10:9, а боковое ребро равно 16 см. Опре-
делите стороны основания, если боковая поверхность приз-
мы 1152 см2.
3. Основанием прямого параллелепипеда служит ромб
с диагоналями 6 и 8 см. Диагональ боковой граны равна
д/бТ см. Определите большую диагональ параллелепипеда.
Б9

К-1	Вариант 4
1.	Высота боковой грани правильной четырехугольной
пирамиды равна 10 см. Определите полную поверхность
пирамиды, если боковая грань наклонена к плоскости ос-
нования под углом 60°.
2.	Основанием прямого параллелепипеда является ромб
со стороной а и острым углом а. Меньшая диагональ
образует с основанием угол р. Определите полную поверх-
ность призмы.
3.	Сторона основания правильной шестиугольной призмы
равна а, наибольшая диагональ призмы наклонена к плоскос-
ти основания под углом а. Найдите высоту призмы.
К-2	Вариант 1
1.	Цилиндр, вписанный в правильную шестиугольную
призму, касается боковых граней призмы по образующим
AAi, ВВ\, СС\, DDi, EEit FFi. Найдите площадь четы-
рехугольника ЛЛ1Г|Г, если диагональ осевого сечения ци-
линдра равна d и составляет с плоскостью основания ци-
линдра угол а.
2.	Около правильной треугольной пирамиды описан ко-
нус. Двугранный угол при основании пирамиды равен а, а
сторона основания равна а. Найдите высоту и площадь
основания конуса.
3.	Из точки поверхности шара проведены три взаимно
перпендикулярные равные хорды. Найдите радиус шара, если
длина хорды равна а.
К-2	Вариант 2
1. В цилиндр, радиус основания которого равен R, впи-
сана треугольная призма, ее основанием является прямо-
угольный треугольник с острым углом а. Угол между диаго-
налью боковой грани, содержащей гипотенузу, и гранью, про-
тиволежащей углу а, равен 45°. Найдите высоту и пло-
щадь поверхности цилиндра.
2. В конус вписана правильная треугольная пирамида,
сторона основания которой равна а, а боковое ребро состав-
ляет с плоскостью основания угол а. Найдите площадь
осевого сечения конуса.
3. Найдите координаты центра и радиус сферы:
x* 1 2 3 + y2 + z2-4х+ 10z —20=0.
61

К-2	Вариант 3
1.	Правильная шестиугольная призма описана около
цилиндра, высота которого h, а радиус основания R.
Боковые грани касаются цилиндра по образующим AAi, BBi,
CCi, DDi, EE\, FFi. Найдите площадь четырехугольника
AAiEiE.
2.	Около конуса описана правильная четырехугольная
пирамида, каждое ребро которой равно а. Найдите высоту и
площадь осевого сечения конуса.
3.	Правильная треугольная призма вписана в шар радиу-
са R. Ребро основания призмы равно а. Найдите высоту
призмы.
К-2	Вариант 4
1.	Около цилиндра описана призма, основанием которой
является ромб с тупым углом 2а. Найдите радиус осно-
вания цилиндра, если высота призмы равна h и образует
с большей диагональю призмы угол 0.
2.	В конус вписана правильная шестиугольная пирами-
да, у которой сторона основания равна а, а боковое ребро
наклонено к плоскости основания под углом а. Найдите
площадь осевого сечения конуса.
3.	Около конуса, у которого радиус основания равен г и
высота равна h, описан шар. Найдите радиус шара.
К-3	Вариант 1
1. Основанием наклонного параллелепипеда является
квадрат со стороной а, а боковые грани — ромбы с остры-
ми углами по 60°. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основанием наклонной призмы является прямоуголь-
ный треугольник с катетами 6 и 8 см. Боковая грань,
проходящая через гипотенузу основания, имеет площадь
200 см* 1 2 3 и перпендикулярна к основанию. Найдите объем приз-
мы.
3. Основание пирамиды — ромб с тупым углом 20 и мень-
шей диагональю d. Высота пирамиды проходит через точку
пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды,
если большее боковое ребро наклонено к плоскости ос-
нования под углом а.
63

К-3	Вариант 2
1. В прямом параллелепипеде стороны основания, рав-
ные 4 и 6 см, образуют угол 60°. Большая диагональ
параллелепипеда образует с плоскостью основания угол
43*. Найдите объем параллелепипеда.
2. Основание призмы — треугольник со сторонами 8, 9
и 11 см. Найдите объем призмы, если высота ее равна
большей высоте основания.
> 3. Основание пирамиды DABC — треугольник, в кото-
ром 2-Л = а, АВ = ВС=Ь. Найдите объем пирамиды, если
боковое ребро AD перпендикулярно к плоскости основания
и угол между плоскостями АВС и BCD равен р.
К-3Вариант^
1. Основанием прямого параллелепипеда является ромб,
площадь которого равна Si. Площади диагональных сече-
ний равны S2 и S3. Найдите объем параллелепипеда.
, i 2. В правильной шестиугольной призме диагональ наи-
большего диагонального сечения равна d и образует с плос-
костью основания угол а. Найдите объем призмы.
3. По высоте h правильного тетраэдра найдите его объем.
К-3	Вариант 4
1.	Основанием прямого параллелепипеда служит ромб со
стороной 6 см и углом 120°. Меньшая диагональ парал-
лелепипеда образует с плоскостью основания угол 45°. Най-
дите объем параллелепипеда.
2.	Боковое ребро правильной треугольной призмы равно
высоте основания, а площадь сечения, проведенного через
это боковое ребро и высоту основания, равна S. Найдите
объем призмы.
3.	Каждое из боковых ребер пирамиды равно I. Ее ос-
нованием является прямоугольный треугольник, катеты кото-
рого относятся как т:п, а гипотенуза равна с. Найдите объем
пирамиды.
К-4	Вариант 1
1.	Найдите объем и боковую поверхность конуса, диа-
метр основания которого равен d, а угол при вершине
осевого сечения равен а.
2.	Боковая поверхность цилиндра в три раза больше пло-
щади его основания. Найдите отношение высоты цилиндра к
радиусу его основания.
3.	Около правильной четырехугольной призмы со сторо-
ной основания 4 см и высотой 2 см описан шар. Опреде-
лите объем и площадь поверхности шара.
65

К-4	Вариант 2
1.	Образующая конуса равна а, угол при вершине осе-
вого сечения равен а. Найдите объем конуса и его боковую
поверхность.
2.	В шаре на расстоянии 12 см от центра проведена се-
кущая плоскость так, что образовавшийся в сечении круг
имеет радиус 5 см. Найдите площадь поверхности сфери-
ческого сегмента, отсеченного от шара этой плоскостью.
3.	Стороны прямоугольника равны 4 и 5 см. Найдите пло-
щадь поверхности и объем тела, полученного при вращении
прямоугольника вокруг его меньшей стороны.
К-4	Вариант 3
1.	Диагонали осевого сечения цилиндра взаимно перпен-
дикулярны. Периметр сечения равен 8а. Найдите объем ци-
линдра и площадь его боковой поверхности.
2.	Площадь боковой поверхности конуса втрое больше
площади основания. Найдите отношение образующей конуса
к радиусу его основания.
3.	В шар вписана правильная четырехугольная призма,
высота которой равна 14 см и сторона основания 8 см. Опре-
делите объем шара и площадь сферы.
К-4	Вариант 4
1.	Найдите объем и боковую поверхность равносторон-
него цилиндра, если длина окружности его основания равна
16л см.
2.	Сечение шара плоскостью, отстоящей от его центра на
расстоянии 3 см, имеет радиус 4 см. Найдите площадь
сферы и объем шара.
3.	Прямоугольный треугольник с катетом а и прилежа-
щим острым углом а вращается вокруг этого катета. Найдите
поверхность тела вращения.
К-5 (Годовая контрольная работа)	Вариант 1
1. Длина стороны правильного треугольника, вписанного
в основание конуса, равна а, угол при вершине в осевом
сечении конуса 2а. Найдите площадь боковой поверхности
конуса. Рассмотрите случаи, когда а = 6 см, а = 30°.
2. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь
равна 12 дм* 1 2, а длина перпендикуляра, опущенного из вер-
шины на диагональ прямоугольника, равна 2,4 дм.
67

К-5 (Годовая контрольная работа)	Варшнт 2
1. В основании пирамиды лежит прямоугольны) тре-
угольник с катетом а и прилежащим к нему углом р. Н1йдите
объем пирамиды, если все боковые ребра пирамиды гакло-
нены к плоскости основания под углом а. Рассмэтрите
случаи, когда а=6 см, а = 30°, р = 60°.
2. В равнобокой трапеции диагональ равна 25 см. Найди-
те площадь трапеции, если ее основания равны 19 и 11 см.
К-6 (Годовая контрольная работа)	Варшнт 1
1. В основании прямой призмы лежит равнобед:енный
треугольник с углом р при основании. Диагональ грани,
которая проходит через боковую сторону основания, равна
а и наклонена к плоскости основания под углом а. Ешдите
объем призмы. Проведите вычисления при а=8 см, с = 60°,
р=75°.
2. В правильной треугольной пирамиде FABC чере.' боко-
вое ребро FA и высоту пирамиды проведена пложость.
Докажите, что эта плоскость перпендикулярна к стороне
основания пирамиды ВС.
К-6 (Годовая контрольная работа)	Варшнт 2
1.	В цилиндре параллельно его оси проведена пложость,
отсекающая от окружности основания дугу 2а. (Урезок,
соединяющий центр верхнего основания цилиндра с ‘очкой
окружности нижнего основания, образует с плоскостью ос-
нования угол р. Найдите площадь сечения, если задиус
основания равен R. Проведите вычисления при /?=10 см,
а=60°, р = 30°.
2.	Докажите, что в правильной треугольной пирамиде
FABC боковое ребро BF перпендикулярно к стороне Ас осно-
вания пирамиды.
69

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ
К САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
С-1
Вар. 1. 1. Z-BAD. Указание. Плоскость ABCD перпендикулярна
ребру AM. 2. 90°. Указание. Докажите, что Z.40B искомый.
Вар. 2. 1. Z-MAD. Указание. Через прямые AM и AD проведите
плоскость и докажите, что АВ перпендикулярно этой плоскости. 2. 90°.
Указание. Докажите, что Z.COD искомый.
Вар. 3. 1. Z-COD. Указание. Плоскость ABCD перпендикулярна
к ОМ. 2. 60°. Указание. Докажите, что Z-CAB искомый.
Вар. 4. 1. ABAC. Указание. Докажите, что плоскость АВС пер*
пендикулярна к AM. 2. 90°. Указание. Докажите, что A MAD искомый.
С-2
Вар. 1. 1. Да. 2. 4 дм. Решение. Из точки
М проведем MN1.AB (рис. 1), а через точку W —
плоскость у, у±ЛВ. Тогда точка М принадлежит у,
так как MN± АВ; аир пересекают у по полупрямым
NK и NP. Следовательно, AKNP— линейный угол
двугранного угла. Так как по условию МК=МР,
где МК и МР — перпендикулярны к граням, то
NM — биссектриса AKNP и Z МИР=0,5 ZKMP =
=60°. Из прямоугольного треугольника NKM
NM = KM:cos 00°=2КМ=4 дм.
Вар. 2. 1. Нет. 2. 6 дм.
Вар. 3. 1. Да. 2.	• Указание. См. ре-
шение С-2, вар. 1, 2.
Вар. 4. 1. Нет. 2. 30°.
С-3
Вар. 1. 1. Нет. 2. 4,5 см.
Вар. 2. 1. Да. Указание. Например, треугольная призма, боко-
вые грани которой — ромбы. 2. а ^2; 45°.
_ о	,	,	«	°2 s’n 2а
Вар. 3.	1.	(и — 2)-угольник.	2.	—.	Указание. Воспользуй-
тесь теоремой о площади ортогональной проекции многоугольника.
Вар. 4. 1. Нет, так как число ребер призмы кратно трем. 2. 30 см.
С-4
Вар. 1. 1. 5 см. 2. 90 см2. Указание. Воспользуйтесь тем, что
Диагональное сечение — прямоугольник, а основание призмы — квадрат.
Вар. 2. 1. 72 см2; 6 см. 2. 522 см2. Указание. Определив, что
высота трапеции равна 12 см, найдите ее диагонали.
Вар. 3. 1. (18 + 12^7) см2. 2. 2а2. Указание. Одна из боковых
граней — квадрат, она лежит против ребра, которое составляет со смеж-
ными сторонами основания равные углы.
Вар. 4. 1. 120 см2. 2. 320 см2.
71
С-5
Вар. 1. 1. Указание. Опустите перпендикуляр из точки Я на
плоскость основания. Получите точку AG, которая является проекцией
точки N на плоскость АВС. Точка А — проекция точки М на плоскость
АВС. Точка пересечения прямых MN и 4AG будет искомой. 2. Указа-
ние. Найдите точку пересечения прямых ВС и AD и соедините ее с
точкой Di. Полученная прямая пересечет AAi в искомой точке.
Вар. 2. 1. У казан ие. Используйте метод следов (см. С-5, вар. 1, 1.).
2. Указание. См. указание к С-5, вар. 1, 2.
Вар. 3. 1. У к а з а н и е. См. решение С-5, вар. 1. 1. 2. Указание.
Найдите точку Р пересечения прямой MN с плоскостью нижнего осно-
вания. Проведите NK\\PC (теорема 15.6).
Вар. 4. 1. Указание. См. решение С-5, вар. 1. 1. 2. Указание.
Найдите точку Р пересечения прямой MN с плоскостью нижнего осно-
вания. Проведите NK\\AP (теорема 15.6).
С-6
Вар. 1. 1. Да. 2. 200 дм2. Вар. 2. 1. Не более трех. 2. -у/34 см.
Вар. 3. 1. Три. 2. 3 см. Вар. 4. 2. 13 см; 9 см.
С-7
Вар. 1. 1. (3-|-^2) см. Указание. (3—\[2) см не подходит, так
как (3—^)—3<0. 2. 2 (а 4-6) -\j2ab. Указание. Примените теорему
косинусов и свойство суммы квадратов диагоналей параллелограмма.
Вар. 2. 1. 21 см. Указание. Обозначьте измерения прямоуголь-
ного параллелепипеда через х, у и z, составьте уравнения х2+у2=112,
y24-z2= 192, x24-z2 = 202 и решите полученную систему. 2. 144 см2.
Вар. 3. 1. 1 см; 2 см; 2 см. 2. 168 см2. Указание. Обозначь-
те стороны оснований а и 6, высоту — Я, тогда а?=(4	— Н2 (1),
д2=(3У17)2-Я2 (2), а24-62=132-Я2 (3). Подставив (1) и (2) в (3),
получите /7=12 см.
Вар. 4. 1. с2 = а24-Ь2, или а2 = Ь2 + с2, или Ь2=а2 + с2. 2. 4 см.
С-8
Вар. 1. 1. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения диа-
гоналей ромба. 2. Так как в прямоугольном треугольнике середина
гипотенузы является центром описанной около него окружности, то вер-
шина пирамиды равноудалена от вершин этого треугольника, поэтому боко-
вые ребра равны. 3. 9 см.
Вар. 2. 1. Нет. Боковое ребро можно принять за высоту пирамиды
только тогда, когда оно перпендикулярно двум непараллельным сторо-
нам основания. 2. Вершина пирамиды проектируется в точку пересечения
диагоналей ромба. 3. 3 \Тб см.
Вар. 3. 1. Нет. Например, пирамида, в основании которой лежит
прямоугольный треугольник, вершина которой проектируется на середи-
ну гипотенузы. 2. Правильная пирамида. 3. 5 см; 6 см.
Вар. 4. 1. Да. 2. Вершина пирамиды проектируется в центр окруж-
ности, вписанной в трапецию. 3. 12 см.
72
09
Bap. 1. 1. 245 см2. 2. 600 см2. Вар. 2. 1. 3^/2 см. 2. 768 см2.
Вар. 3. 1. 11 см. 2. 448 см2. Вар. 4. 1. 35 см. 2. (224-2^34) см2.
010
Вар. 1. 1. 60°. 2. 5а2 ^3. Вар. 2. 1. а ^2. 2. 15 см2.
Вар. 3. 1.Указание. Легко доказать, что все ребра равны. 2. 2а2 -д/3.
Вар. 4. 1. а. 2. а2 ^3.
ОН
Вар. 1. 1. 40^3/3 см2. 2. R^3/2.
Вар. 2. 1. 24 -у/3 см2. 2. d sin а; nd2 cos2 а/4.
Вар. 3. 1. 120^3 см2. 2. «7 м2.
Вар. 4. 1. 80V3 см2. 2. 35 дм. Указание. Учесть, что хорда, по
которой плоскость сечения пересекает основания цилиндра, равна высо-
те цилиндра.
012
Вар. 1. 1. а2 -у/3 см2. 2. S -д/З/ЭА. Указание. Зная боковую поверх-
ность S и высоту призмы А, сначала следует найти сторону основания приз-
мы из соотношения S = 3ah.
Вар. 2. 1. а^-. 2.  /  ,—г—— --г. Указание. Зная боко-
г	2 2A(14-sma4-cosa)
вую поверхность S и высоту призмы А, сначала следует найти периметр
основания призмы. После этого выразить периметр через радиус R
и тригонометрические функции угла а.
с
Вар. 3. 1. 120 см2. 2. ---. См. указание к С-12, вар. 2. 2.
2й(1+л/2)
Вар. 4. 1 *Ауз.2.*£Л
2	tg <х
С-13
Вар. 1.
л/?2	4л/?2	a
1. —— и . 2. ------------- .Указание. Сначала паи-
’	9	Z.lni-UP
дите радиус основания конуса.
nR2 nR2 9nR2	с
Bap. 2. 1. -Гт-, —— и - -. 2. ---------. Указание. Сна-
lo 4	16	®
2 cos a sin -Z-
чала найти радиус основания конуса.
„	„ л nm2R2	л л _ / Q	„
Вар.	3. 1.	т—;—Г5.	2. 2л V —. Указание. Чтобы	наити дли-
(т + п)2	V tg a
ну окружности основания конуса, надо знать ее радиус R, который на-
А	1
ходим из следующих соотношений: —-=tga и — •2R-h = Q (А — высота
R
конуса).
Вар. 4. 1. Л д/3/3. 2. 2/? cos2 а. Указание. Учесть, что центр окруж-
ности, описанной около треугольника, находится на пересечении сере-
динных перпендикуляров к сторонам треугольника — осевого сечения ко-
нуса.
73
С-14
Вар. 1. S tg $J2 °°s a.
Bap. 2. Указание. Решение (рис. 2)
следует из подобия треугольников O\A\F и OAF\
OiAi_ O\F г _ H—h г h ,
ОА OF ' R	И ; Я + H .
_	_ _ I	/cos2a
Bap. 3. R=-z-----. r=—^----------
2cosa	2cosa
(R и r — радиусы оснований усеченного конуса).
Вар. 4. (tf2-r2)tg a.
С-15	2
Вар. 1. В 2— раза. Вар. 2. 30 см.
«3
Вар. 3. л (Я2 —г2). Указание. Если через d обозначить расстоя-
ние от центра шаров до секущей плоскости, а через и и г2 (л > г2) —
радиусы кругов, которые получились в сечении, то г/2 = Я2—Н=г2—г>.
г2 — г2=Я2 — г2. л (г? — гг) = я/?2 —лг2 = 5
Вар. 4. лЯ\ aR\ a(R2-d2).
кольца*
В	с-1в
Ч	Вар. 1. 1. 4дм- Указание. Сначала
X	найти радиус окружности, вписанной в трапецию.
\	л с sin 2a	..	WI
X	2. т-;; —:-;-----г. Указание. Через
—X	2 (1 4-sin acos a)
f	центр шара провести плоскость параллельно осно-
—ванию призмы. В сечении получим треугольник ЛВС,
в ЖОТОРЫ® вписана окружность — большая окруж-
-У	ность сферы (рис. 3). Используя две формулы для
С	Д вычисления площади треугольника: S=0,5*p«r и
$=0,5«ЛС«ВС, где р — периметр дЛВС, найдем
Рис. 3	г — радиус шара.
Вар. 2. 1. 10^2 дм. Указание. Решение аналогично решению
упражнения № 38 $ 19 «Геометрии, 6—10» А. В. Погорелова. 2. — sin a,
I cos2 , / sin2 . На рисунке 4 ABCD — сечение усеченного конуса,
проходящее через центр шара О перпендикулярно
плоскости основания. Из ДС1СВ находим
fl=-ysina (R — радиус шара). Для нахождения
радиусов оснований усеченного конуса и и г2 со-
ставляем систему уравнений: Гг14-г2 = /,
\г1—Г2 = 1 cos a.
Вар. 3. 1. л (/?2—a2 sin2 a). 2.	Ре-
Рис. 4	4 ‘g «
ш e н и e. На рисунке 5, а изображена правиль-
ная четырехугольная пирамида, вписанная в шар,
а на рисунке 5, б — сечение шара и пирамиды
плоскостью, проходящей через вершины пирамиды Л, С и Р. Поиск ре-
шения этой задачи проведем аналитико-синтетическим методом. Рас-
74
смотрим прямоугольный треугольник 4PQ. Найдем R — радиус шара, вы-
числив АР (обозначим ЛР=/) и PF (обозначим PF=h} из формулы
/2=2/?Л; h найдем из прямоугольного треугольника MPF (рис. 5^а), в ко-
тором Z.PAfF=a; A=FM-tga; FM нетрудно найти из треугольника
ACD: FM=0,5 CD=0t5a-t I найдем из треугольника APF’. l=^JPF2-^AF2'
ft=-|-tga,/’=ytg2a+y (из &.AFP), •^-tg,a+
. a2 пп а .	.	..	Л o(tg2a + 2)
4—тг=2/?--5-tg а (из ДЛР<2). И окончательно отсюда /?=	1—-
Z	Z	4 ig ОС
7
>! I
Рис. 5
Вар. 4. 1. 41,89 дм. 2. 2*^S/h tg aX
Xsm2-^-. Решение. Проведя анализ ус-
ловия задачи (см. указания к решению за-
дачи 2 вар. 3, С-16), получим следующий
план решения. 1) Из формулы для вычис-
ления площади оснований конуса находим
радиус основания r=^S/h. 2) Из &AOD
(на рис. 6 — изображение осевого сечения
конуса) OD=r tg-^- = OB. 3) Из дОВС
BC=r tg-—sin а. 4) Из &BCF CF=
=BC-tga, CF=r tg-—sin a-tga, CF=
=2V$7Atga-sin*-y.
C-17
Bap. I. 1. (ж—3)*+(jf—3)2+(z—3J*=9 или (*-5y+(g-5)*+
5)2=25. Указание. Если сфера касается всех координатных
плоскостей, то ее центр будет иметь координаты С (г; п И» где г — радиус
сферы. 2. (x4-2)24-(i/—5f+(z—4)2=11.
Вар. 2. 1. (х—3)24-О/—3)2+(z—3)2=9	или	(х—5)2+Q/—5f+
4-(2—5)2=25 (см. указание к задаче 1 вар. 1, С-17). 2. Точка А находится
внутри сферы, так как расстояние точки А до центра О (4; —2; — 1) меньше
радиуса (^Т<5).
75
Bap. 3. 1. (x —4)2 + (f/ + 4)2 + (z + 2)2=36. Указание. Радиус сферы
равен расстоянию точки С до начала координат. 2. Сферы касаются, так
как расстояние между центрами сфер
С! (0; 0; 0) и С2( —6; 6; 3) равно сумме ра-
диусов сфер.
Вар. 4. 1. (x-3)* 2 + (i/ + 2)2 + (z-1)2=18.
Указание. Радиус сферы равен расстоя-
нию между точками А и С. 2. Сферы пере-
секаются, так как расстояние между центра-
ми сфер Ci (0; 0; 0) и С2 (2; —3; 1) меньше
суммы радиусов.
С-18
рмг 7	Вар. 1. 1. Можно, так как на одного
8,3-6,25.3,6
учащегося будет приходиться ----—-----«
3U
«6,2 (м3) воздуха. 2. Высота параллелепипеда будет равна 10 см и рав-
на диагонали основания параллелепипеда. Пусть одна сторона основания
параллелепипеда равна а см, тогда другая сторона основания будет
(а+ 2) см. По теореме Пифагора (a-|-2)2+<*2= 102. Отсюда находим, что
а=6 см. Тогда другая сторона основания параллелепипеда будет рав-
на 8 см. И объем параллелепипеда будет равен 6.8*10 см3=480 см3.
Вар. 2. 1. 9 человек. 2. Л3 ctg р Vctg2 a —ctg2 р.
e’ctgytgP
Вар. 3. 1. 6 дм. 2. ----------.
sin т
Решение. 1) Пусть ВС = а. Обозначим AB = b, DDi=h (рис. 7).
Тогда (из A BCD) BD=——. 2) DC=a ctg 4 (из ABCD). 3) DD, =
ОС	X
s,ny
=BD-tgP= atg P- (из ABDiD). 4) Объем V=BC-CD DDt =
oc
s,nT
a3 ctg у tg P
~~ sin oc
2
Bap. 4. 1. «24 m2. 2. 0,5d3 cos3 ос. Решение. 1) Из прямоуголь-
ного треугольника BD\D (рис. 7) найдем D\D~d cos а и BD=d sin а.
2) Пусть АВ—х, ВС=у. Тогда x2+y2=d2 sin2 а (из прямоугольного
ABCD). 3) Из условия находим x+y=d. Отсюда x2-j-//2-|-2xi/=d2,
d2 sin2 ос-J-2xi/= d2, xi/=0,5 (d2 —d2 sin2 a)=-^-d2.cos2 a. 4) Вычислим объ-
ем параллелепипеда: V=xy-D)D=0,5d2 cos2 а-d cos a = 0,5d3 cos3 a.
C-19
Bap. 1. 1. 48 ^3 дм3. 2. 24 дм3. Указание. Пусть высота паралле-
лепипеда равна h дм, а стороны основания х дм и у дм. Тогда из условия
задачи
76
f xy sin 30° = 4,
J х«Л = 6, Jxt/ = 8,
(y-h = \2;	(x»i/«/i2= 12*6;
8-/z2=12-6; h2 = 9, h = 3 (дм).
Bap. 2. 1. 384 ^3/5 см2. Указание.
Следующий план решения. 1) Найти диаго-
наль основания параллелепипеда. 2) Из двух
формул для площади треугольника ACD
(рис. 8) найти DE (DEA.AC): DE=AD^C.
3) Из &D\DE иайти высоту параллелепипеда. 4) Найти объем
параллелепипеда. 2. s*n g
16 sin3
3600
Вар. 3. t. —л—л/3 дм3. Решение аналогично решению задачи С-19,
I и
вар. 2, 1. 2. 48 sin a V13-J- 12 cos а.
Вар. 4. 1. 125 -^2 дм3 2. 115,2 см3.
С-20
Вар. 1. а2Ь^2/2.
Вар. 2. 315 дм3.
Вар. 3. а3/2.
Вар. 4. abc^2/2.
С-21
Вар. 1. 1. 513 м3. 2. 3d3 V15/50.
Вар. 2. 1. Пустоты занимают около 95 см3. 2. 9d2/64.
Вар 3. 1. »8 м. 2. QVQ73-
Вар. 4. 1. 13 солдат. 2. d3 sin р • cos2 р • ctg	.
С-22
Вар. 1. 1. 2Q ^[Q/3. 2. а2Ь -V3/12. Указание. Использовать следую-
щий план решения. 1) Из &OFC (рис. 9) h = OF=ОС *tg 60° =
= /?V3 (R = OC — радиус окружности, описанной около ДАВС). 2) Найти
площадь основания пирамиды S = abc/AR = a2b/4/?.
3) Вычислить объем пирамиды У=— X
Вар. 2. 1. Л3 л/3/2. Решение. Обозна-
чим боковое ребро пирамиды (рис. 9) че-
рез х. Тогда вычислим объем пирамиды
(если BCF принять за основание):
£ J_
3 ’ 2
(1).
У =
С другой стороны, BC=x^j2 и следовательно,
ЗдЛВС=ВС2л/3/4=х2 ^3/2. А объем пира-
миды (если АВС принять за основание)
77
V=^-^-°F=^fl (2).
□ z	о
Из (1) и (2) получаем: x=h^j3. И тогда У»х3/6 = Л3-73/2. 2.6 см3.
Вар. 3. 1. 4-/?3 sin2 a «cos* . 2. 108 см3. Решение. Найдем пло-
о	z
щадь основания АВС (рис. 9): 5 дддс=—-6-9=27 (см2). Осталось най-
ти высоту пирамиды FO. Сможем вычислить ее, если будем знать OC=R —
радиус описанной около основания окружности. Вспомним формулу, свя-
зывающую площадь треугольника со сторонами и радиусом описанной
окружности: S = abc/4R. Неизвестна еще одна сторона £±ЛВС — ВС. Из
двое ВС=V92 + 32 = 3-/10 (см). Итак, 27=^^^, /? = 5 см. Из
&OCF OF=V134—52=12.
Объем У=—27-12=108 (см3).
„	. . 16 з . 2 „ V27-SVS ,,	„
Вар. 4. 1. — a3 etg2 а. 2. —2—д—-—. Указание. Принять одну
(меньшую) сторону основания за х, тогда другая сторона прямоугольника
будет равна х^/З. Отсюда найдем х=-^-—=—-——. Высота же пира-
миды Н=х.	*
С-23
а3 — Ь3
Вар. 1. -----g---tg а. Указание. Находим высоту усеченной пира-
миды---------tg а. Если воспользоваться результатом решения задачи
№ 42 J 20 «Геометрии, 6—10> А. В. Погорелова, то получим:
„	1 a — b 4	, 2 । ,2 I a3—b3 .
——tga-(a24-b24-ab)=---------tg а.
-^---T2-tg а. Вар. 3. а л/3 tg р. Вар. 4. а ~^-т/2.
V=T
Вар.
С-24
Вар.
2.
1.
Вар.
4.
з -	« 9	„ 8d2h
512 см3. Вар. 2.	-J2 дм3. Вар. 3.	—.
4	ol tg а
PQ
-777-. Указание. Если обозначить длины
12а
перпендикуляр-
™ = р — = Q,
2	’ 2 4
-	1	. 2PQ
зГ’
. После этого находим
PQ
основания пирамиды через х и у, то получим
2Р 20	1	*.1 v
Отсюда х=—, у=.— . Площадь основания пирамиды S=— ху=-^-
К	л	\/	1 2Р(? 2PQ
а объем данной пирамиды /=—•—r,fl=‘7—•
3 а	За
к X,	a	I1 Vi	V	,
объем У| искомой пирамиды: 9Т=-п-> ’/|='я"=Т9—•
& V	О 1 &CL
С-25
ных сторон
Вар. 1. 1.	»753,6 л. 2. 40я см*. Вар. 2. 1.	»282,6 м3.
nb3 sin a «cos2 а
4 cos3 0’
78
Bap. 3. 1. «75 360 т. 2.	. Bap. 4. 1. 4 т. 2. P .
6->/3	4 sin3 a
C-26
Bap. I. 1. «19 t. 2. 9л/3л см*. Bap. 2. 1. «1,47 M. 2. 9т/3л см3.
Bap. 3. 1. «14,3 л. 2. 16л см3. Bap. 4. 1. «0,35 m. 2. ,72л см3.
Примечание. При решении задач № 1 из всех вариантов С-2:
и С-26 желательно использовать микрокалькулятор.
°-27	л<?2
Вар. 1. I.2SL.
а
2. 4" nR?H. Решение. Рассмотрим
О
треугольник ОАВ (Z_OAB=90°), который вра-
щается вокруг осн абсцисс (рис. 10). Соста-
вим уравнение прямой ОВ в виде y*=kx, где
. ВА „
fe=tga=-^. Получим
н
у=Т7*. Тогда У=л $f1(x)dx=
Н	о
о
Вар. 2. 1. 4-ла3. 2. 4* л. Вар. 3. 1. 1404л см3. 2. 117л.
4	Э
Вар. 4. 1. 504л см3. Указание. Учтите, что высота, проведение
из вершины меньшего угла данного треугольника, падает на продолжи
16л
иие основания. Поэтому	— VK. 2. -г=-. Указание. Реши»
уравнение 2х—х2=0, найдите границы а и Ь.
С-28
Вар. 1. 1. Указание. Обозначьте радиус меньшего шара буквсй
х, тогда радиусы двух других шаров будут соответственно равны 2х и 3/
2. «6 см.
Вар. 2. 1. «48 раз. 2. «1,9 кг. Вар. 3. 1. 27. 2. «20 см.
Вар. 4. 1. 22,5 см. 2. Указание. В равностороннем цилиндр’
Н= 2R и диаметр вписанного в него шара также равен 2R.
Примечание. Все задачи из С-28, кроме вар. 1.1 и вар. 4.2, жел&
тельно решать с помощью микрокалькулятора.
С-29
Вар. 1. яЯ3(2—>/2)/3. Вар. 2. лЯ3 (2-^/5)/3.
о	9
Вар. 3. 12— л м3. Вар. 4. 144-^-л м3.
о	о
С-30
Вар. 1. 1., Увеличится в четыре раза. 2. «1 м2.
Вар. 2. 1. Бблыпая поверхность равновелика сумме двух других
2. «55 м.
Вар. 3. 1. Увеличится в девять раз. 2. На никелировку шара дна
метром 8 см расходуется материала больше.
Вар. 4. 1. $л:$3«0,07. 2. «1357 см2.
7$
031
Bap. 1. 1. /?ц:/?к=2:1. 2. 2л/?2 sin 2a. Bap. 2. 2. SK:Sm=6:n.
Bap. 3. 1. S6. K.:S6. U.=V3:^. 2. л/?2(л/2+1). Bap. 4. 2. 4Q/3.
032
яг ctg2 —
Bap. 1. 1. --ёо&'а~' 2‘ я/? (2Я-V4/?2~ a5).
Bap. 2. 1. 4nr -y/R2—r2. 2. 2л/?2 1 — cos.
Bap. 3. 1. Sn. ц :$ш=3:4. 2. Зл/?2. Bap. 4. 1. у VV2+1. 2. л дм2.
ДС-1
Вар. 1. 1. Z-ACM, Z.BAC. Указание. Так как ACJ-BC по усло-
вию, то MC-LBC по теореме о трех перпендикулярах, поэтому плоскость
АСМ перпендикулярна к ребру ВС. 2. 45°. Указание. Докажите, что
Z.MDA искомый.
Вар. 2. 1. Z_ABM, Z.BAD. Указание. Докажите, что плоскость
АВМ перпендикулярна ребру ВС. 2. 45°. Указание. Ребром искомого
двугранного угла является отрезок АВ. По условию AB.LAD и АВ±.АА\,
поэтому плоскость AA\D\D перпендикулярна отрезку АВ. Плоскость AA\D\D
пересекает грани двугранного угла по полупрямым AD и AD\t следова-
тельно, Z-D\AD — линейный угол двугранного угла. Так как AA\D\D —
квадрат, то Z_D\AD = bb°.
ДС-2
Вар. 1. 1. Указание. Эта теорема доказана в учебнике геомет-
рии А. П. Киселева. 2. 90°.
Вар. 2. 1. Указание. Эта теорема доказана в учебнике геометрии
А. П. Киселева. 2. 45°.
ДОЗ
Вар. 1. 1. Через основания трапеции. 2. 2a; а^5.
Вар. 2. 1. Прямоугольники. 2. 13 см2.
ДО4
Вар. 1. 1. 9/?2+-^-/?2. 2. 6a2V2.
Вар. 2. 1. 360 см2. 2. (432 + 56 V14) см2.
ДС-5
Вар. 1. 1. Указание. Проведите прямые MN и MiNi (точки
Afi и Wi — проекции точек М и /V на плоскость основания). 2. Указа-
ние. Найдите точку пересечения прямых АВ и CD и проверите прямую
через эту точку и точку /V. Точка пересечения этой прямой с прямой
СС\ является искомой.
Вар. 2. 1. Указание. См. указание к ДС-5, вар 1. 1. 2. Пря-
мые MN и AD пересекаются в точке X, прямые и CD пересекают-
ся в точке К Прямая XY — линия пересечения плоскости сечения с
плоскостью основания (след). Прямые BD и XY пересекаются в точке Z.
Прямая ZN пересечет прямую ВВ\ в искомой точке Р. Примечание.
Если точка Р лежит на ребре BBit то сечение — четырехугольник.
Если точка Р лежит на продолжении ребра BBi, то сечение — пяти-
угольник.
80
ДС-6
Вар. 1. 1. Две или четыре. 2. 60 см. Указание. Так как диаго-
нальное сечение АА\С\С перпендикулярно к плоскости основания, то высо-
та параллелепипеда С\К будет являться и высотой этого сечения.
Вар. 2. 1. Ромбы. 2. 25->/3 см2. Указание. См. указание к ДС-6,
вар. 1, 2.
ДС-7
Вар. 1. 124 см2. Решение. Пусть стороны основания равны 7х
и 24х, а высота равна Н. Тогда диагональ основания равна
</=л/(7х)2 + (24х)2 = 25х; Sce4 = #«d, откуда 50 = 25х// и х = 2:Я. Так как
S6oK=H-P. то 56ок = Я.(2.7х+2.24х)=Я.2.(И+^) = 124 (см2).
Вар. 2. Решение. Пусть диагонали ромба, лежащего в основании,
равны d\ и rf2- Обозначим высоту параллелепипеда через Я, тогда
d\ = Q'.H и d2 = P".H. По свойству ромба его сторона равна
а= v(fd,)^bG’‘/2)2 = 2FA/^+^; 5бок=//'4а=2 -№+РГ
ДС-8
Вар. 1. 1. 6<3 см. 2. Указание. Докажите, что треугольник, об-
разованный двумя апофемами, равносторонний. Обоснуйте, что отрезок,
соединяющий концы апофем, является средней линией треугольника, ле-
жащего в основании.
Вар. 2. 1. 45°; 90°. 2. 16 <3 см2.
ДС-9
Вар. 1. 1. 36 см2. 2. 20 см, 10 см.
Вар. 2. 1. (63-18^3) см2. 2. 16 см2.
ДС-10
Вар. 1. Решение. Пусть в правильном многоугольнике шесть сто-
рон. Тогда один его плоский угол равен 120°. Так как в одной вершине
многогранного угла сходится не менее трех плоских углов, то их наименьшая
сумма равна 120°«3 = 360°, что невозможно.
Вар. 2. Решение. Пусть в одной вершине сходится шесть ре-
бер и каждая грань — правильный треугольник. Тогда один плоский
угол равен 60° и наименьшая сумма всех плоских углов при одной вершине
равна 60° «6=360°, что невозможно.
ДС-11
Вар. 1. -\J\0R2—h2/2. Решение. Для решения этой задачи целе-
сообразно применить координатный метод. Выбрав систему координат,
81
Рис. 11
как показано на рисунке 11, получим следующие
координаты точек: С\ (0; — R\ h\ 0(0; R\ 0).
0; Л). Тогда м(-1-	А).
—л/(1У+(-4)+(«-4)’=
=-Lj\OR*+rf.
Вар. 2. дМА*2 + ^/2. Решение. Приме-
няя координатный метод и выбрав систему коор-
динат так, как показано на рисунке 11, полу-
чим A (R; 0; 0), D (0; R; 0), Ct (0; -R; Л), ЛЦ
-гл/(44)Ч44)Ч4-»)'=
=ут/4Л2+Л’.
ДС-12
Рис. 12
Рис. 13
Вар. 1. 1. tg<p=2sin36°, где <р — искомый
Л a tg а п	„
угол 2. . ..	--г. Решение. Пусть радиус
2(l+tga)
основания цилиндра равен х. Тогда (рис. 12)
ВС=СО = 00=Х. 04 =А. z04f=a. Из
ДОЛГ OF=* — tg а. Из подобия треугольни-
ков FCB и FOA находим
OF __ОА a tg a а
N CF ~ СВ '	/ а Г=2х’
_ a tg а	42	7
Вар. 2. 1. R>cos 36°. 2.--------. Реше-
_	4
н и е. Применяя аналитико-синтетическии метод,
поиск решения этой задачи можно провести
следующим образом. Надо найти радиус осно-
вания цилиндра R. Он входит в треугольник
А\C\D\ (рис. 13), из которого следует, что сторона
квадрата Л iBi = -дД Кроме того, сторона
квадрата а входит в формулу боковой поверх-
ности, из которой получаем Q = 4ah = 4hR -у/2,
h=—(1) (h — высота призмы). С другой
4/?-у2
стороны, Ruh входят в ДЛЛ|С1, из которого
следует Л=-^- (2). Из уравнений (1) и (2)
tg а
2R Q
находим ----=—
, Q л/2 tg а
R ~	16

82
ДС-13
Вар. 1.
Вар. 2.
1 S/1 '	1 о Р-СОЗУ
2 V tg2 0 cos2 а * 1 H-sin у '
a Vcos а 2h (1 +sin а)
*	. а ’ cos а
2 sin —
ДС-14
Вар. 1. 1.	2. 12 дм. Решение. На рисунке 14 изображено
осевое сечение усеченного конуса. Пусть MN^r— радиус искомого се-
чения, х = ОМ — искомое расстояние. Тогда (лг2/=(л- 122)-(л272), г = 18 дм.
Из подобия треугольников QBN и DBA находим	—» х=== дм.
О n I a2 tg a Zz(ctga + ctg0) /z(ctg0 —ctga)
Вар. 2. 1. —г—. 2. ------------------,	X
ДС-15
Вар. 1. 1. 21 дм. 2. —-------------.
2 (cos a —sin а)
Рие. 14	Рис. 15	Рис. 16
Вар. 2. 1. 2/?~\/. Решение. Пусть РА = РВ = РС = 1
(рис. 15), радиус шара R (PQ = 2R\ Z_APB=Z_APC=Z_BPC = a, пря-
мая РЕ перпендикулярна плоскости ABC>PE = ht АВ = ВС = СА = а. Тог-
да /2 = 2/?Л (из дВР<2), /2=й2+4- (из ДРВ£). 1 = —-— (из дДРО).
□	a
fl Sin Т
..	. ~~_ /1 + 2 cos a	. ср
Из последних трех равенств находим / = 2/? у----. 2. sin -у =
=-^- , ф — искомый угол. При л =2, ф = 90°.
Vn
ДС-16
Вар. 1. 1. arccos . Решение. На рисунке 16 изображено осевое
О
83
сечение усеченного конуса и вписанного в него шара. Пусть радиусы
оснований усеченного конуса OB = R и О\С = г. Тогда jiR = 4лг2, т. е.
г = 1
г ~ 3 '
ооп	-	АВ	R —
R = 2r. Пусть ср — искомый угол, тогда cos Ф = тго=-б-г
Со К
Вар. 2. 1.
Рис. 18
Решение. Из дЛСР и A4PQ (рис. 17)
PC2 4- А С2
находим ЛР2 = СР2+ЛС2=Р(?-РС, R = OP=	0)- Но AC-PC=S,
-^-=tga, pc=~\fj^ (2)- Из (0 и (2) получим R=PC + Р? tg “ =
г С/	ж lg Сь	£г С/
На рисунке 18 изображена правильная пирамида, точка О — центр
вписанного в нее шара. Пусть Z-KDF — y. Радиус шара ОК=г найдем
из &OKD-. r = KD.tg-^-=-4^-tg-^-=—^-tg^. Из &KDF находим
*	*	9 л/З *
84
ДС-17
Вар. 1. Окружность с центром в точке С (2; 1; —1) и радиусом, рав-
ным 2.
Вар. 2. Принадлежат, так как уравнению сферы
+ (z-|-2)2 = 14, проходящей через точки О, Л, В и
координаты пятой точки D (4; 1; —3).
ДС-18
_	. . 8/? sin a- sin 0 .—2
Bap. 1. 1. ---&—--ycos a — sin 0.
2. 8R3 • sin a sin 0 ->Jcos2 a —sin2 0.
Bap. 2. 1. 8/?3 ctg2 a • tg 0 • Vl — ctg2a • tg2 0.
2. 8R3 sin2 a tg 0 Vcos2 a —sin2 a«tg2 0.
ДС-19
(x-l)2+(f/-3)2 +
С, удовлетворяют
4/?3
Вар. 1. 1. -^y-tga. Решение. На рисунке 19
изображено осевое сечение конуса, проходящее через
диагональ параллелепипеда. Пусть сторона основа-
ния параллелепипеда х. Тогда ВМ=х^/2. Так как
Z_BAC= Z_MCD= Z.MDC=а.у то МС\\АВ. Следова-
тельно, МВАС — параллелограмм. Поэтому МВ=АС =
2R к R-fi
=_=х^2, х=-3—
OD
=^tga (из AMNC).
2R2 2R 4	4/?3 4
=-—rtga=-2Ftgo- 2-
куба х. Тогда из подобия треугольников OAF и
_<М,
ОА
Высота параллелепипеда
H — x x^2-2 aH к .
х=^+й-А объем куба
2 L	2 e3tg3a
2/?	(л/2 + tg a)3
ние аналогично решению ДС-19, вар. 1.2.
ДС-20
D N С А
Рис. 19
MjV = jVC-tga =
И объем параллелепипеда V = x2'MN =
а3 И3
(а-|_Я)3~ ’ Решение. Пусть сторона
O\F
OiAiF получим -ттЕ=
Ur
v= a3"3.
ОТ
Указание. Реше-
Вар. 1.	   •. Решение. Пусть DiBi ±ЛВ, DiC\ ±
V* +ctg2a + ctg2p
.LAD, DtBi=x, D\Ci=y, AtDt—h (410! перпендикуляр к плоскости
ABD) (рис. 20). Тогдаx=h-ctg а (из a4iBi£>i), y=ft-ctg p (из A.AiCiDi),
c2=ft2 + ft2 ctg2 a+ft2 ctg2 p (из Д44|О|), й= C - т  д объ-
.	V»+ctg2a+ctg2p
..	abc
ем параллелепипеда V— 	——.
VI + ctg2 a + ctg2 p
Bap. 2. abc Vsin2 a—cos2 p. Решение. Из д441В| (рис. 20)
4Bi=ocosa; из ДЛЛ|С! XCi=c-cos0. Из ^ABiDi AD\ = c2 (cos2 a +
-|-cos2 0). ПустьЛ1Р|=А. Из ДЛЛ1Р| h2=c2—c2 (cos2 a + cos2 P) = g2 (1 ~~
— cos2 a — cos2 0). Объем параллелепипеда V=abc Vsin2 a—cos2 0.
85
ДС-21
Рис. 20
Рис. 21
Вар. 1. 1. №-:Q^ 2. -63-sil?2 2а
р	2	' 4(l-f-sina)~
Вар. 2. 1. -===-. Ре-
V3-9fg2i
ш е н и е. Пусть АВ = ВС=СА=х,
CiC = h, AD = DB (рис. 21). Тогда
ABC.D), CD=^ (из АЛВС),
---------j-=/i2 (2) (из ACCiZ)).
4tg2‘2
Подставив в (2) значение h из (1)
и выполнив преобразования, получим
„А
х=АВ =—— и . 2. V12a2-3i2.
ДС-22
Вар. 1. l.£^3ctg2|-l.
лиз решения задачи. Надо найти объем пирамиды V=—'$&abc'OF =
Решение. Проведем сначала ана-
--	1 о
3У-'ДЛВС	“
=—-----I—.OF (рис. 22). Решение задачи сводится к нахождению высо-
ты пирамиды OF в &0DF, в котором 0D=— DB=—g—. Из &0DF
найдем OF, если будем знать DF. Из &ADF AD—-^, Z_AFD=-^-.
По этим данным найдем DF и все остальные величины. Итак, 1) из &ADF
Z>f=-|-ctgy; 2) из &ABD 00=2^-,	3) из &ODF
т-1 -nV3 *г-'• 2-
Решение. Пусть AF=BF=AC=BC=^b (рис. 23). Объем пирамиды
4) объем пирамиды
86
соотношения DC-OF — FC* DM, где DM.LFC,
XAB-DC—F-Cn°M =~AB.FC-DM =
DC о
=-i- a-a~ V462—2a2=^ ^4tF—2a2.
Bap. 2. 1. d3/3. Указание. Пусть
FABC — данный правильный тетраэдр
(рис. 24). AD — DB. Тогда FD1.AB и
CD 1.АВ. Следовательно, пл. CDF 1.АВ,
а значит, DAf±AB, FM=MC, тогда
DM1.MC, поэтому DM = d. Пусть ВС—х,
FO=h {F0±w\. АВС). Тогда DC=x^/3/2.
Из &CDM находим \ -f-—=
= d2t
Of==F£^M	£
DC ’	6 Х
Рис. 25
x2 = 2d2. Запишем значения удвоенной площади треугольника CDF,
принимая за основание
CD и CF: CD-FO = CF-DM, т. е. ^--h = x*d,
, 2d 1 х2 л
откуда й = —— и V=—----7
д/3	34
диагональ основания: 2 (92+ 102)= 1124-х2, х2 = 241, х=-\^4Т=15, ...> И.
Пусть (рис. 25) РВ = 11 см. Тогда FC = FA = \0,5 см. Из &OFC
h. 2. 200 см3. Решение. Найдем вторую
FO=-y 10,52-^-=т/
Объем пирамиды V=-|--60-72,5-V2=200 (см3).
О
:осН=2-$длов=2-л/15-5.4.6=60 72.
ДС-23
Вар. 1. 1.
V 13tga
и 3
V 52 tg a
Примечание. Воспользо-
ваться результатом упражнения 42 § 20 из «Геометрии, 6-10» А. В. Погоре-
лова. 2.
4г3 tg ft
3 sin a
87
a3 * * * —63
Вар. 2. 1.	— cos 2a. См. примечание к задаче №1, вар. 1,
ДС-23. 2. --. Указание. Пусть в пирамиде DABC AD1.BD,
BDJlDC. DC-LAD. Обозначим AD = x, BD = y, CD = z. Примем &ADB
за основание, а DC за высоту пирамиды. Тогда К =	xyz=-^- xyz,
-±-ху = а2, -^-yz = b2, -±-xz = c2. Отсюда x2y2z2 = 8a2b2c2, xyz = 2abc -^2.
ДС-24
Bap. 1. 1:27. Указание. Стороны данного и полученного тетраэд-
ров относятся как 1:3.
Вар. 2.	V16Q7 —	. Решение. Пусть (рис. 26) данная пи-
рамида FABCD. V^L-L-d,-d2-h=^^h, Ld2-FO = Q, FO=^. Из
3	2	О 2	U2
AMO	,.±1,
	V 02	4	202	6
-V16Q2 —Пусть Vi — искомый объем пирамиды.
2(12	12
Тогда
V Z	О УО
Рис. 26
и
Рис. 27
. с з л ла3 tg3 а ..	_
4,5 кг. 2. — - , ° Указание. Обозначьте высоту
2(2 + tga)3	’
ДС-25
Вар.
цилиндра через х, тогда г = х. Проведите через основание высоты пи-
рамиды ОМ-LDC. тогда ОМ = -^-а и ОМ = х-|-КМ=х+х ctg а, откуда
a(l+ctga)’	з з
Вар. 2. 1. «0,75 мм. 2. 7^, .Указание. Пусть Z.SKO = a,
(2 + tga)3
тогда SK = bt О — основание высоты пирамиды, OK = b «cos а. Если W—
точка касания верхнего основания цилиндра с боковой гранью, а значит,
с SK и NM— образующая цилиндра, то из £±MKN MN = MK-tga. Но
MN = 2-0M по условию и МК=ОК— ОМ — b cos а — ОМ. Поэтому
2 + tg a
88
ДС-26
Вар. 1. л/3 sin а (2 —cos 2а)/12. Решение. 1) Пусть осевым сече-
нием усеченного конуса будет равнобедренная трапеция ABCD (рис. 27) с
острым углом: Z.B4D = a, диагоналями АС и BD (AC1.BD) и боковой сто-
роной АВ = Ь. Проведем BK±AD. Из дАВК BK=Zsina, 4/( = Zcosa.
2) дЛС£)=д£)ВЛ (ЛВ = СР, AD общая, Z_BAD= A A DC), тогда
/_CAD = Z.ADB. Поэтому прямоугольный треугольник ADE является рав-
нобедренным и Z_CAD= Z.BDA =45°. 3) Z_BAE = a~45°. 4) Из прямо-
угольного треугольника ABE BE=l sin (a — 45°). 5) Из £±ВО\Е
л/2
(ZBOi£ = 90°, Z.O|BE = 45°) ВО| =r = B£-cos 45° =^—Z-sin (a-45°) =
==-^-(sin a —cos a). 6) /? = ЛО = Л/( + КО = /cos a + -^-(sin a —cos a) =
(sin a + cos a). 7) VnH (R2+ Rr+ r2)= В О/ C
=-y л/ sin a(-^- I2 (sin a-J-cos a)2>+-^- /2 (sin2 a—	/\
--cos2 a)4--|-/2 (sin a—cos a)2 ) =Д n/3 sin aX	/	\
X(2-cos 2a).	/	\
Bap. 2. 34 см3. Решение. 1) Пусть ABOiCD —	i
осевое сечение цилиндра и вписанного в него ко- А	О
нуса (рис. 28), PABCD = 2 (АВ +ЛВ) = 2 (Я + 2/?) и
Р = 20. Отсюда Я-|-2 /?==10 и Я=10-2/?. 2) Из__________
ДЛВО, ЛО,=/=л/№ + /?2 = 7(Ю-2/?)2 + /?2=л/100-40/? + 5/?2. Обра-
зующая Z примет наименьшее значение, если функция у = 100 — 40/? + 5R2
имеет наименьшее значение. 3) Исследуя функцию на промежутке (0; 10),
получим, что в точке R = 4 функция имеет наименьшее значение.
4) ЛВ = Я = 2 см, V«34 см3.
ДС-27
Вар. 1. л2. Указание.
. 2	(1 —cos 2х)
,,п Х = ~-2-----•
Вар. 2. л2. Указание.
2	(1 + cos 2х)
!OS2 Х= —-—----— .
Преобразуйте подынтегральную функцию
Преобразуйте подынтегральную функцию
ДС-28
Вар. 1. 1. Нет. Указание. Вычислив объем цилиндра, найдите объем
шара, а затем найдите диаметр. Сравните диаметр цилиндра и диаметр
шара. 2. Решение. Пусть начало координат совпадает с центром ша-
ра, тогда Уб0ЧКИ = 2Ушар сл =2л (/?2 —х2) dx, где а = 0, 6=уЯ. Имеем
I/ о п2 Я п Я3 12Н лЯ3 „	*
Уб = 2л/? ——2л — = —-----— . Поэтому для нахождения объема бочки
2	24	4 л 12
Надо измерить наибольшую длину окружности бочки (Z) и высоту бочки (Я).
Вар. 2. 1. Нет. Указание. Вычислив объем воды, налитой в ци-
линдр, и объем шара, найдите их разность. 2. 6 см. Решение. Пусть
задана декартова система координат пространства так, что начало коор-
89
А	А1
В НМ С В1 М1 q
Рис. 29
Динат совпадает с центром шара. Тогда Кшар сл = 2л^(7?2 — x2)dx =
2л	а
= 2л/?2 (Ь — а)—— (А3 — а3). Здесь b=h (высота шарового слоя H=2h),
а = 0 и /? = V/r 4-г2, где г — радиус основания шарового слоя. Поэтому
^шар. сл = 2я(Л2 + г2)-А—у лЛ3=-^- лА3-|-2лг2А. Так как Кц = лг2Я =
О	м
4
= 2лгЛ, то Ктсла= Ушар. сл— Vu=-y nh\ По условию Утела = 36л, тогда
~-лА3 = 36л и й = 3.
ДС-29
Вар. 1. 1.
вых сегментов
Вар. 2. 1.
60676л	3
з см ’
и вычтите их
«55,5 кг. 2.
Указание. Найдите объемы двух шаро-
*	2	3/	. а\
из объема шара. 2. — ла* 1 — sin ) .
4 з . л ® \г	п
— лг sin —. Указание. При вращении
о	Л
сектора получается шаровой сектор, высота которого равна r — fcosa =
= г (1 — cos a) = 2r sin2 ~ •
ДС-30
Вар. 1. 1. 562,5л м3. 2. Ут1: У?. 3. 25л дм2.
Вар. 2. 1. УЗблУ2. 2.	3. 61л м2.
ДС-31
Вар. 1. 1. 4 л/2 cos2 a«tg2 . 2. 2л/?Я. Указание. Рассмотрите раз-
ность площадей двух сегментных поверхностей.
Вар. 2. 1. -7-sin—ctg2f 45°—. 2. \/2:\.
4л z \	4 /
ДС-32
Вар. 1. 1,53-(2+л/3).
Вар. 2. 1,5 (6 + ^3) S.
СП-1
Вар. 1. 2. Указание. Если в треугольниках АВС и А\В(С\
(рис. 29) АН и А\Н\ — высоты, AM и А\М\ — медианы, то следует после-
довательно доказать равенство треугольников АМН и Д1М1//1, АМС
и А\М 1С|.
90
Рис. ЗО1
Вар. 2. 1. Да, так как равны треуголь-
ники АМВ и CMD. 2. Указание. До-
казать сначала равенство треугольников
OAD и ОВС.
Вар. 3. 1. Да, равны по двум сторонам
и углу между ними. 2. Указание. До-
казать равенства: 1) треугольников OBF и
OCD; 2) треугольников BDA и CFA\ 3) тре-
угольников OAD и OAF (рис. 30).
Вар. 4. 1. Указание. Доказать ра-
венства: 1) углов ВАМ и DCM~ 2) углов
АВМ и CDM\ 3) треугольников АВМ и CDM.
ВВ\С равны по стороне (AD=BC) и двум прилежащим углам (ZT=Z.C,
£.DAAx = £CBB').
о
[. 2. Треугольники АЛ|Р и
СП-2
Вар. 1. 1. 54°. 2. Указание. Обозначим углы треугольника *ВС со-
ответственно через 2а, 20, 2у. Тогда а-Ь0+у=9О° и Z.BDC=*180° —
-40 + ?) = 180° - (90° - а)=90°+а > 90°.
Вар. 2. 1. 70°. 2. 40, 40 и 100*.
Вар. 3. 1. 80, 50 и 50°: 2. Решение аналогично решению СП-2, мр. 1. 2.
Вар. 4. 1. 30, 75 и 75°. 2. 36, 72 и 72°.
Щ1-3
Вар. 1. L Построение. 1) Строим прямоугольный треугольник
НАМ по катету AH=ha и гипотенузе АМ^та. 2) На прямой НМ по раз-
ное стороны от точки М откладываем МС—МВ=а/2. Треугольник АВС
искомый. 2. Построение (рис. 31). 1) Проводим дугу АВ радиуса
гс центром в точке О. 2) Проводим дугу с центром в точке В радиуса
г, получим точку Е. 3) Проводим дугу с центром в точке А радиуса г,
получим точку D. 4) Z_BOD= Z_DOE= Z.AOE. 3. Окружность.
Вар. 2. 1. Построение (рис. 32). 1) Строим прямоугольный
треугольник HCD по гипотенузе CD=lc и катету CH=he. 2) По разные
стороны от CD строим ZlNCD— Z-MCD—y/2. Находим точки'Л я В пере-
сечения прямой DH со сторонами угла MCN. 4), Треугольник АВС иско-
мый. 2. Построение (рис. 33). 1) Строим &ABD по сторонам
ЛЛ=р, АВ = с и Z_BDA = 135°. 2) Проводим ВС-LAD. 3) Треуголь-
ник АВС искомый. 3. Серединный перпендикуляр к основанию ттеуголь-
ника.
Вар. 3. 1. Указание. Центр искомой окружности будет находить-
ся на пересечении прямой ОВ (О — центр данной окружности) и сере-
динного перпендикуляра / к-отрезку АВ. 2. Указание. Сначала пост-
роить прямоугольный треугольник CDH по катету CH — hc и гиготенузе
CD = lc (см. рис. 32) . Затем найти точку Л из условия, что АС=Ь. 3. Пря-
мая, параллельная прямой. / и- проходящая через середину отрезка
ЛВ, где В — произвольная точка прямой.
91
Bap. 4. 1. Построение (рис. 34)
1) Строим окружность радиуса R и хорду
ВС = а. 2) На расстоянии ha от ВС проводим
прямую 1\\ВС — находим точку А. 3) дАВС
искомый. 2. Построение (см. рис. 32).
1) Строим прямоугольный треугольник АН С
по катету СН и Z.A=a. 2) Проводим окруж-
ность (о с центром в точке С и радиусом 1С.
3) Строим Z_DCB= Z-DCA. 4) ДЛВС иско-
мый. 3. Прямая, проходящая через точку Л
и перпендикулярная прямой I.
Вар. 1. 1. 2(8+л/2Т) см. 2. р + <?; от(р+<7) ; т^-.
Указание. Воспользуйтесь теоремой Фалеса.
Вар. 2. 1. 10 см. У к а з а н и е. Воспользуйтесь свойством средней ли-
нии треугольника. 2. а; 4а. Указание. Воспользуйтесь свойством ка-
сательных, проведенных из одной точки к окружности.
Вар. 3. 1. 6 см. У к а з а н и е. Дополните треугольник до параллело-
грамма, у которого одна диагональ является боковой стороной треуголь-
ника, а вторая диагональ — удвоенной медианой боковой стороны. 2. 2 см.
Вар. 4. 1. V10 см. У к а з а н и е. См. указание к СП-4, вар. 3.1. 2. У ка-
зан и е. Пусть дан четырехугольник ABCD. Докажите, что дЛВР =
= &CBD, откуда получите, что Z. BA С = Z_ A CD, а потому AB\\CD. Ана-
логично доказывается, что BC\\AD, т. е. ABCD — параллелограмм. Из
равенства треугольников АВО и СВО (О — точка пересечения диагона-
лей) следует, что АВ —ВС.
СП-5
Вар. 1. 1. 8 см, 15 см. Указание. Воспользуйтесь свойством ка-
сательных, проведенных из одной точки к окружности. 2. 9 см, 25 см.
Вар. 2. 1. 10 см, 12 см. У к а з а н и е. См. указание к СП-5, вар. 1. 1.
2. У2т (т л), -\]4т2 + бтп + 2л2.
Вар. 3. 1. 42 см, 56 см. Указание. Обозначьте расстояние от
данной точки на гипотенузе до катетов через х и рассмотрите два подоб-
ных треугольника. 2. 6а/5; 8а/5. Указание. Воспользуйтесь свойст-
вом сторон и диагоналей параллелограмма.
Вар. 4. 1. 6, 8, 10 см. См. указание к СП-5, вар. 1, 1. 2. 4^5, 8 У5 см.
СП-6
Вар. 1. 1. Указание. Доказать сна-
чала подобие треугольников AKL и АВС.
2. Указание. Одна из искомых вершин бу-
дет находиться в точке пересечения окруж-
ности у с окружностью со', полученной из
окружности (о путем поворота последней
вокруг точки С на 90°. 3. Пусть АА\ и СС\
(рис. 35) — две высоты ДАВС, а точка D сим-
метрична точке Н относительно АС. Около
четырехугольника ABCD можно описать
окружность, если Z.ADC+ ААВС = 180° (1).
Докажем это. Z.A i//С i-|-Z. В = 180° (2) —из
92
AiBCiH. Z_A\HC\ = Z.AHC (3). Z_ADC =
= Z_AHC (4) как симметричные относитель-
но AC. Из (2), (3), (4) следует (1).
Вар. 2. 1. 10, 8, 3 и 9 см. Указание.
Найти сторону MN, а затем рассмотреть подоб-
ные треугольники APN, АВС и AQM. 2. У ка-
зан и е. Построить точку Bi, симметричную
точке В относительно прямой I. 3. Центр сим-
метрии отрезков АВ и CD (рис. 36) будет
в точке пересечения отрезков ВС и AD либо АС
и BD.
Рис. 37
Вар. 3. 1. У к а з а н и е. Пусть (рис. 37) ДЛВС со ДЛ1В1С1, О и О\ —
центры, OD и O\D\ — радиусы окружностей, вписанных в эти треуголь-
ники. Тогда Z-Л = Z.Лi=a, Z.B=Z.Bi=p. Но тогда ДЛВО со ДЛ|В|О|
/	а ₽ \	АВ OD _ v
(по двум углам — и -g- J , из которых следует, что р-=а-л>- . 2. У к а-
2	2 /	AiBi U\D\
3 а н и е. Построить окружность со', центрально-симметричную окружности
со относительно точки Р. Точка пересечения окружности а/ с прямой / будет
одним из концов искомого отрезка. 3. Если ЛЛ| и ВВ\ (рис. 38) —
высоты ДЛВС, то &АВ\Н со &ВА\Н. Отсюда	» АН*А\Н =
Вп А\П
=вн-ВхН.
Вар. 4. 1. 4 и 6 дм. См. решение СП-6, вар. 3. 3. 2. Указание.
Выбрав произвольную точку А на одной из прямых (например, а), по-
вернуть другую прямую (например, Ь) вокруг точки А на 60°. 3. Указа-
ние. Выполнить преобразование осевой симметрии, приняв основание
треугольника за ось симметрии.
СП-7
Вар. 1. 1. 6. 2. 2 см. 3. «17 мм.
Вар. 2. 1.3. 2. 5 см. 3. Указание. Пусть старые радиусы — г\
и г2, а новые — R\ и /?2 Тогда 2л/? i = 2лп + 1 и 2л/?2 = 2лг2 + 1. Откуда
и /?2 = г24-^ . Поэтому расстояния будут одинаковые и рав-
2л	2л
НЫ У-.
2л
Вар. 3. 1. 6. 2. 2-\/3 см. 3. 3^2 см.
Вар. 4. 1. 6. 2. 4 см. 3. 2 д/3 см.
93
СП-8
Вар. 1. 1. 420 см2. Указание. Если обозначить длины смежных
сторон прямоугольника через х см и у см, то получим систему уравнений
х = у + 1 и х2 у2 = (8 + %)2. Отсюда находим, что х = 21 см, у = 20 см.
2. 60 см2. Указание. Если СМ = 3 см, AM = 5 см (рис. 39)., то А£> = 5 см,
CW = 3 см. Пусть ВК = х см, тогда BD = x см, АВ2 = АС2 СВ2, (х4-5)2 =
= (х4-3)2 4-82, х=12 см. Тогда СЯ = 15 см, S = ~ 15-8=60 (см2).
Вар. 2. 1. pi >р2. Указание. Другая сторона прямоугольника
а2	( а2 \
равна —, тогда периметр прямоугольника 0i=2(&+— J, а периметр
квадрата р2 = 4а. Сравним р} и р2. 2^6 4--^- Д4а, а2 + Ь2 /\2аЬ, (а — Ь)2>0,
что очевидно, так как a<Zb. Следовательно, р\>р2. 2. 4,8 дм.
Вар. 3. 1. 13 см. 2. 4л дм2. Указание. Решение аналогично СП-8,
вар. 1, 2.
Вар. 4. 1. 864 см2. 2. 4л м2.
СП-9
Вар. 1. 1. Указание. Примените свойство транзитивности парал-
лельных прямых. 2. 2,5а. Указание. Надо найти КС, где К — точка
пересечения прямых MN и MtA (Mt — проекция точки М на плоскость
ABCD).
Вар. 2.1. Пусть плоскости пересекаются по прямой с. Так как а\\Ь и b ле-
жит в плоскости р, то а||р, поэтому прямые о и с не пересекаются, так
как а и с лежат в плоскости а, то а||с. Аналогично доказывается, что
Ь\\с. 2. 16, 20 см.
Вар. 3. 1. Указание. Через произвольную точку М прямой с (ли-
нии пересечения плоскостей) проведите прямую параллельно данной пря-
мой. Тогда эта прямая лежит в плоскостях а и р, т. е. совпадает с пря-
„ а д/2
мои с. 2. ——.
Вар. 4. 1. Указание. Примените метод от противного. 2. (20 \/3 4-
4-10) см.
СП-10
Вар. 1. 1. 2,5 см. 2. ->/ЗЬ3' sin a -cos2 а.
_	„ <	г~=	_ 36 ctg2 а ..	..
Вар. 2. 1. л/15 см. 2. --. Указание. Центр шара, вписан-
cos 2а
ного в правильную четырехугольную пирамиду, находится на пересече-
94
нии высоты пирамиды и биссектрисы угла SKO, который является ли
нейным углом двугранного угла при ребре ВС.
Вар. 3. 1. 4 см3. Указание. Высота пирамиды проектируете»
на середину гипотенузы прямоугольного треугольника АВС. 2. 8 см.
_ л , ла2 sin 2а Л о
Вар- 4- *• - 21ЙРТ' 2- 3 СМ-
СП-11
Вар. 1. 1. ВВ' = 10. 2. ЛЛ'=*=6. 3. sin ф = -~^ а где <р — искомый
угол.
Вар. 2. 1.	ВВ' = 6. 2. Л	( — 2; —11; —4), В (10; 10; 8). 3.	.
Вар. 3. 1.	С'С=14. 2.	Указание. Для решения этой	задач»
целесообразно применить координатный метод. Примем АВ за ось л
(рис. 40), АС	— за ось yt	AD — за ось г. Тогда в вы боа иной	систе
ме	координат	В (а; 0; 0),	С (0; Ь; 0), 0(0; 0; с), М\0;	-у)
О w -* / 2 . Ь2 , с2 _	. sin 6	.
ВМ=^\ аН—-——-. 3. sin ф=-------—, где Ф — искомый угол.
V 4	4	cos а
Вар. 4. 1. D'D = 3. 2. а^6. Указание. Оптимальным решение*
этой задачи будет использование координатного метода. Систему коорди
иат выберем, как показано на рисунке 41. Тогда Af (2а; 0; а), А/ (0; а; 2а.
MN=^4a2 + a2 + a2 = а -^3. 3. созф=3/8, где ф — искомый угол.
Рис. 40
СП-12
Вар.
Вар.
1.
2.
,	АВ-ВС 24	о
1. созф=-=—=-= — ;г=-. 2. 5, 15 и 2.
ГЛВ1-1ВС1 25
1. cos ф = 4/5, где ф — искомый угол. 2.
Л4 (0; -1; -1.
АВ-АС
1. 20 кв. ед. У к а з а н и е. Сначала найдем cos Ф=—==—
1ЛВМЛС1
Вар. 3.
Затем найдем sin ф, и тогда площадь параллелограмма 5 = |ЛВ|>
Х1ЛС|-51*пф. 2. Если данная прямая пересекает ось у в точке М, tv
координаты ее М (0; ум\ 0) должны удовлетворять уравнению прямо!
{^2у '"Уб-0	8. Прямая пересекает ось у в точке М (0; —8; 0,
Вар. 4. 1. 4,5 кв. ед. Решение аналогично решению задачи СП-12
вар. 3, 1. 2. т= — 6. Решение аналогично решению задачи СП-12, вар. 3, 2
ОТВЕТЫ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
К-1
2
Вар. 1. 1. ---(1 4-cos а). 2. 5 см. 3. лЙТ см.
cos а
Вар. 2. 1. 72^7 см2. 2. ? (а + 6) tg а-\)а2 + Ь2. 3. 15 см2.
Вар.	3.	1.	а2 + а	2. 34 см;	20 см;	18	см.	3.	10	см.
Вар.	4.	1.	300 см2.	2. 2 а? sin а + 4а2	V^’tg ₽ Vl	—	cos	а.	3.	2а tg а.
К-2
о	1	1	• п	« ал/3 * п
Вар.	1.	1.	— sin 2а.	2. —--tga. 3.	—7—.
4	6	4
Вар. 2. 1. 2R Vcos 2а. 2. tg а. 3. С (2; 0; -5); R = 7.
О
Вар. 3. 1. Rh^/3. 2.	. 3. 2~\1 R2 —.
Z	Vo
h	—I— h?
Вар. 4. 1. ytgp-cosa. 2. a2 tg а. 3.	.
К-3
Вар. 1. 1.	2. 480 см3. 3. ^tga-tg20.
Вар. 2. 1. 24 л/57 см3. 2. 315 см3. 3. у Ь3 sin2 2а-tg 0.
Вар. 3. 1.	2.	о~^ -sin a-cos2 а. 3.	.
2	о	о
_ J < 1АО 3 _ е _ Г$ о ГППС2	— С2
Вар. 4. 1. 108 д/3 см . 2. S^/y.- 3.	12(/п2_|_Л2) •
К-4
Вар. 1. 1. S=——-------. V=-^nd3ctg-£. 2. Я:Я=3:2. 3. Збя см2
г	л . а 24	2
4S1ny
и 36л см3.
Вар. 2. 1. У=-—ла3 sin2• cos, $ = na2«sin. 2. 26л см2.
3. 90л см2 и 100л см3.
Вар. 3. 1. К = 2ла3, $б=4ла2. 2. /:Я=3:1. 3. 324л см2 и 972л см3.
Вар. 4. 1. 256л см2 и 256л см3. 2. V = 1024л см3, 5 = 256л см2.
3. nfl2tga.(tga+^L_).
К-5
Вар. 1. 1. $б = —^—, 24л см2. 2. 3 и 4 дм.
° 3 sin а
_ л , a3 sin p-tg а	,	,
Вар. 2> L 12 cos2 Р’ 36 СМ • 2* 300 СМ •
К-6
Вар. 1. 1. — a3 sin a cos2 a «sin 2р; 16д/3см3.
Вар. 2. 1. 2R2 sin a«tg р; 100 см2.
96
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие	3
Самостоятельные работы .	.	5
Дополнительные самостоятельные работы	29
Самостоятельные работы на повторение .	43
Контрольные работы	.	59
Ответы, указания и решения к самостоятельным работам	71
Ответы к контрольным работам	96
Учебное издание
Веселовский Сергей Борисович
Рябчинская Виктория Дмитриевна
ДИДАКТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
ПО ГЕОМЕТРИИ ДЛЯ 11 КЛАССА
Зав. редакцией Т. А. Бурмистрова
Редактор Н. А. Шагирова
Художественный редактор Ю. В. Пахомов
Технический редактор Н. Н. Бажанова
Корректор И. Н. Панкова
И Б № 13882
Сдано в набор 11.06.91. Подписано к печати 25.11.91. Формат 84Х108'/|2.
Бум. тип. № 2. Гарнит. Литературная. Печать высокая. Усл. печ. л. 5,04.
Усл. кр.-отт. 5,25. Уч.-изд. л. 4,38. Тираж 600 000 экз. Заказ 1221.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Ми-
нистерства печати и информации Российской Федерации. 127521, Москва.
3-й проезд Марьиной‘рощи, 41.
Отпечатано с диапозитивов Саратовского ордена Трудового Красного
Знамени полиграфического комбината Министерства печати и информации
Российской Федерации. 410004, Саратов, ул. Чернышевского, 59 на Твер-
ском ордена Трудового Красного Знамени полиграфкомбинате детской
литературы им. 50-летия СССР Министерства печати и информации Рос-
сийской Федерации. 170040, Тверь, проспект 50-летия Октября, 46.
2