/
Автор: Ньюэлл А.
Теги: физика математика естественные науки гидродинамика теория волн
Текст
А.Ньюэлл
СОЛИТОНЫ В МАТЕМАТИКЕ И ФИЗИКЕ
Книга американского специалиста, содержащая широкий обзор интересной и
быстро развивающейся области науки. Автор показывает тесную связь теории
солитонов с прикладными задачами физики — гидродинамикой, нелинейной
оптикой, теорией волн на воде. Он делает попытку объединить некоторые
математические подходы к проблеме точной решаемости, ему удается определить
место теории солитонов в современной науке. Книга удачно дополнит
имеющуюся на русском языке литературу по данной тематике.
Для математиков и физиков разных специальностей, для аспирантов и
студентов вузов.
Содержание
От редактора перевода 5
Введение 7
Глава 1. История солитона 23
Глава 2. Вывод уравнения Кортевега-де Фриза, нелинейного уравнения 50
Шрёдингера и других важных в математической физике
канонических уравнений
Глава 3. Семейства солитонных уравнений и методы их решения 94
Глава 4. т-функция, методы Хироты, свойство Пенлеве и преобразование 159
Бэклунда для солитонных уравнений семейства Кортевега-де Фриза
Глава 5. Связующие звенья между чудесами солитонной математики 198
Литература 311
Предметный указатель 320
Предметный указатель
Алгебра Ли (Lie algebra) Бэклунда преобразование (Becklund
- бесшпуровых матриц (traceless transformation) 12, 36, 48, 185,
matrices ~) 244 195,201,289,293
- Гейзенберга (Heisenberg ~) 303 Взаимодействие двухсолитонное (two
- Каца—Муди (Kac-Moody) 193, 199 soliton interaction) 121
- петель (loop ~) 302 Возмущений теория (perturbation
- центральное расширение (central theory) 128
extension) 273 Волна кноидальная (cnoidal wave) 29
- S1B,Q 11,216 - уединенная (solitary ~) 23, 57
- A1! 302 - Стокса (Stokes ~) 25
Безотражательные потенциалы - Ферми—Пасты—У лама (Fermi-
(reflectionless potentials) 119 Pasta-Ulam ~) 27
Бенджамина—Оно уравнение Гамильтонова структура (Hamiltonian
(Benjamen-Ono equation) 14 structure) 11, 99
Бенджамина—Фейра неустойчивость - - вторая (second —) 276
(Benjamen-Feir instability) 75, 89 Гейзенберга алгебра (Heisenberg
algebra) 303
Градуировка (grading) 274
Группа симметрии (symmetry group)
203
Данные рассеяния (scattering data) 38,
112, 122,283
- - временная динамика (time
dependence) 123
Дуальная алгебра (dual algebra) 216
Закон сохранения {conservation law)
34, 105, 164, 229
- - в теории возмущений 133
- Грина (Green ~) 57
Захарова—Шабата "одевание"
(Zakharov-Shabat "dressing")
198, 289, 293
Иерархия AKHC (AKNS hierarchy)
11,211,249,277
- КдФ (KdV ~) 94
-HyiIin(DNSE~)ll
Изинга модель (Ising model) 21, 92
Изомонодромные деформации
(isomonodromic deformations)
244, 251
Изоспектральные деформации
(isospectral deformations) 244
Инвариант Римана (Riemann
invariant) 13, 91
Интеграл движения (motion invariant)
16, 164, 246
Каноническое преобразование
(canonic transformation) 41
Коэффициент прохождения
(transmission coefficient) 37
- отражения (reflection ~) 37
Лоренца модель (Lorentz model) 21
Матрица рассеяния (scattering matrix)
245
- Картона (Cartan ~) 273
Модуляционная неустойчивость
(modulation instability) 77
Монодромия (monodromy) 263
Начальная задача Коши (Cauchy
initial problem) 16
Нелинейная суперпозиция (nonlinear
superposition) 15
Нормальная мода (normal mode) 26,
38
Пенлеве свойство (Painleve property)
19, 179
- трансцендент (~ transcendent) 20
Переменные действие—угол (action-
angle variables) 16, 283
Приближение двухволновое
(bidirectional approximation) 26,
57
- одноволновое (unidirectional ~) 26
Потенциал (potential) 287
Поток отраженный (reflected flow)
137
Преобразование Бэклунда (Becklund
transformation) 12, 36, 48, 185,
195, 201, 289, 293
- каноническое (canonic ~) 41
- Миуры (Miura ~) 33, 35, 187
- Шлезингера (Schlesinger ~) 12, 198,
267, 271, 289
Проблема Римана—Гильберта
(Riemann-Hilbert problem) 12,
198, 247, 279
Расслоение (bundle) 282
Решения автомодельные (selfsimilar
solutions) 252
- конечнозонные (finite gar ~) 32, 141,
253
- рациональные (rational ~) 141
- N-солитонные (N-soliton ~) 9, 120,
141
Риманова поверхность (Riemann
surface) 145, 152, 244, 249
Симметрия (symmetry) 164
Скобка Пуассона (Poisson bracket) 41,
279
Солитон (soliton) 7, 23, 28
Соотношения Рэнкина—Гюгонио
(Rankin-Hugonio relations) 35
Странный аттрактор (strange attractor)
7,17
Теория Колмогорова—Арнольда—
Мозера (Kolmogorov-Arnold-
Moser theory) 18
- рассеяния (scattering ~) 108
- Уизема (Whitham ~) 8, 81
Уравнение Бенджамина—Оно
(Benjamen-Ono equation) 14
- Бенни—Роскеса—Дэви—
Стюартсона (Benny-Roskes-
Davey-Stewartson ~) 14
- Гельфанда—Левитана (Gelfand-
Levitan-) 119
- гиперболического типа (hyperbolic
~O
- для огибающей неустойчивой
волны (unstable wave envelope
~O4
- Захарова (Zakharov ~) 70, 79
- Кадомцева—Петвиашвили
(Kadomtsev-Petviashvili ~) 14,
59, 199
- кирального поля (chiral field ~) 14
- Кортевега—де Фриза (Korteweg-de
Vries-) 8, 13,29,44
- Лакса (Lax ~) 42, 201, 216, 279
- логистическое (logistic A) 17
- модифицированное Кортевега—де
Фриза (modified Korteweg-de
Vries ~) 14, 44
- точное интегрируемое (exactly
integrable-) 16
- Хироты (Hirota ~) 16, 229, 234, 302
- Шрёдингера нелинейное (nonlinear
Schrodinger ~) 8, 13, 51, 71, 207
- Шрёдингера стационарное
(stationary Schrodinger ~) 35, 94
- Эйлера (Euler ~) 24
- sin-Гордон (sin-Gordon ~) 14
Условие коммутативности
(commutativity condition) 214
Форма Киплинга (Killing form) 283
Формализм Хироты (Hirota
formalizing, 19,47, 168
Формулы следов (trace formulae) 114
Функционал Казимира (Kasimir
functional) 136
Цепочка ангармоническая
(anharmonic chain) 26
-Toflbi(Toda-) 14,46
Энергия (energy) 27
Эргодичность (ergodicity) 17
Якоби многообразие (Jacoby
manifold) 152
ad-инвариантная функция (ad-
invariant function) 217, 283
т -функция (т-function) 9, 19, 22, 47,
159
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
На протяжении двух последних десятилетий мы были свиде-
телями рождения и расцвета теории солитонов. Эта теория ока-
зала заметное влияние как на развитие физики, так и на мате-
матику. С точки зрения физика она дала богатый материал
для оттачивания «нелинейной интуиции», позволила разрешить
ряд парадоксов (таких как проблема Ферми — Пасты — Ула-
ма), обеспечила запасом нетривиальных точно решаемых (ин-
тегрируемых) моделей классической теории поля. Среди этих
моделей оказалось много хорошо известных и чрезвычайно важ-
ных для приложений уравнений, таких как уравнение Кортеве-
га — де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение
sin-Гордона и др. — здесь несомненно присутствует элемент
удачи. Для математика теория солитонов представляет собой
удивительный сплав классической теории линейных дифферен-
циальных операторов, теории функций алгебр Ли (в том числе
бесконечномерных), элементов алгебраической геометрии и мно-
гих других дисциплин. Она углубила наши представления об
интегрируемости бесконечномерных динамических систем, и
даже в конечномерном случае позволила существенно продви-
нуться в классической теории уравнений Пенлеве.
В настоящее время по теории солитонов имеется обширная
литература. В издательстве «Наука» в 1980 году вышла одна
из первых монографий на эту тему («Теория солитонов. Метод
обратной задачи», В. Е. Захаров, С. В. Манаков, С. П. Нови-
ков, Л. П. Питаевский). Сравнительно недавно появилась мо-
нография Л. А. Тахтаджяна и Л. Д. Фаддеева «Гамильтонов
подход в теории солитонов». Много сборников статей и моно-
графий опубликовано за рубежом. Лучшие из них переведены
на русский язык и вышли в издательстве «Мир». Несмотря на
большое количество публикаций и немалые тиражи изданий,
книги по теории солитонов пользуются неослабевающим спро-
сом, их попросту невозможно купить в магазинах. Однако не
это обстоятельство побудило нас заняться переводом моногра-
фии профессора Ньюэлла. В настоящей книге сделана попытка
6 От редактора перевода
показать многообразие точек зрения на теории солитонов и по
возможности увязать их друг с другом. Особую ценность пред-
ставляет дополнение, присланное автором для русского изда-
ния, в котором изложен новый, чрезвычайно интересный и кон-
структивный взгляд на проблему интегрируемости — многообе-
щающий побег аналитической теории нелинейных уравнений в
частных производных. Автор не ставил своей целью отразить
все существующие подходы и методы в теории солитонов, его
книга представляет собой скорее мгновенное изображение остро
развивающегося сюжета. Пригодная для первого знакомства
с предметом, она представляет интерес и для профессионалов.
Алан Ньюэлл неоднократно приезжал в Советский Союз.
Книга еще не была завершена, а мы уже обсуждали вопрос
о ее переводе. Нам приятно выразить благодарность профессору
Ньюэллу за постоянный контакт и сотрудничество при подго-
товке издания на русском языке. При переводе было трудно со-
хранить непринужденный стиль (книга во многих местах напи-
сана от первого лица), свойственный Алану Ньюэллу, человеку,
впечатляющему своей активностью в науке, спорте и многом
другом, но с этой задачей успешно справились переводчики
(И. Р. Габитов перевел введение, главу 4, начало главы 5 и при-
ложение, Е. И. Шульман — главы 1, 2, 3, А. Ю. Орлов — конец
главы 5).
А. В. Михайлов
ВВЕДЕНИЕ
За последние двадцать лет в нелинейной физике произошла
революция. Два значительных открытия, каждое из которых
(любопытное совпадение) было сделано с помощью вычисли-
тельного эксперимента, радикальным образом изменили наши
представления о природе нелинейности и ввели в динамику
две новые теоретические конструкции. Первым из них является
солитон, вторым — странный аттрактор. Накануне этих откры-
тий понимание нелинейного поведения в системах со мно-
гими степенями свободы ограничивалось ситуациями, которые
либо можно было описать системой уравнений гиперболиче-
ского типа (сжимаемые течения, ударные волны), либо они
являлись малыми возмущениями линейных состояний. Хотя
по-прежнему существует много нелинейных процессов, таких
как развитая турбулентность и процессы в квантовых систе-
мах с большими флуктуациями, о которых пока известно
довольно мало, но есть также и несколько других типов
нелинейного поведения, широко встречающихся в природе,
которые теперь могут быть классифицированы, предсказаны и
поняты. Ныне слово нелинейность, которое буквально означает
«отсутствие линейности», больше не является синонимом обла-
сти, лежащей за пределами доступного пониманию.
Эта книга о солитонах и о том, как они выглядят в мате-
матике и физике. Она является итогом лекций, прочитанных
мною в июне 1982 г. в рамках цикла, поддержанного Нацио-
нальным научным фондом через Консультативный совет по ма-
тематическим наукам. При ее написании я старался ориенти-
роваться на серьезного студента, не специалиста в данной обла-
сти, принимая во внимание как стиль изложения, так и цену.
Книга не является энциклопедией информации по солитонам,
в которой каждое предложение прерывается либо ссылкой,
либо спором по поводу приоритета. Я скорее сделал попытку
изложить историю солитона так, как я хотел бы услышать ее
в качестве аспиранта, с некоторыми историческими отступле-
ниями, подробной мотивировкой, часто пытаясь установить
8 Введение
связь обсуждаемой темы с целостной картиной и ясным указа-
нием направления или направлений, в которых происходит раз-
витие изучаемого предмета. Важные идеи зачастую повторя-
ются несколько раз, иногда в несколько отличающихся контек-
стах. Вследствие такой манеры изложения книга местами явно
не оценивает должным образом вклада многих коллег, так
много сделавших для развития этой удивительной темы. Я при-
ношу извинения за эти опущения.
С другой стороны, книга не является простой и, исключая
начальную главу, в которой повествуется об открытии солитона,
не предназначена для чтения в кресле. Она требует остро за-
точенного карандаша и еще более острой сообразительности.
В ней пять глав, цель первой я уже изложил. Вторая глава зна-
комит читателя с истоками и физикой уравнения Кортевега —
де Фриза (КдФ) и нелинейного уравнения Шрёдингера (НУШ),
причем особый упор делается на их универсальность и широкую
распространенность. Об этом я больше скажу во второй поло-
вине введения. В этой главе также обсуждается вывод этих
уравнений как условий асимптотической разрешимости. В по-
пытке подчеркнуть, что именно носит универсальный характер,
в данной главе мы уделяем особое внимание неустойчивости
Бенджамина — Фейера, или модуляционной неустойчивости оги-
бающей, которая играет важную роль во многих физических
приложениях. Она представляет собой проявление того, что
монохроматическая волна зачастую неустойчива и порождает
локальное поведение, подобное импульсу или солитону. В одно-
мерном случае импульс эволюционирует до тех пор, пока не
сформируется солитон огибающей. В многомерном случае эф-
фект более впечатляющ, так что решение может стать сингу-
лярным за конечное время; это наблюдается в нелинейной
оптике (самофокусировка) и в физике плазмы (коллапс ленгмю-
ровских волн). Последний раздел посвящен детальному обсуж-
дению связи теории Уизема и нелинейного уравнения Шрёдин-
гера. По виду может показаться, что последнее представляет
собой простой предел малых амплитуд предыдущего. Это не
так, используются намного более тонкие предельные переходы.
Оказывается, что этот случай является прямым аналогом про-
блемы, касающейся поведения непрерывной системы вдали и
в окрестности фазового перехода. Вдали от точки перехода ам-
плитуда параметра порядка жестко привязана к градиенту
фазы (как это имеет место в решениях теории Уизема), в то
время как вблизи от нее амплитуда обладает независимой ди-
намикой развития.
В третьей главе стандартным образом вводится солитонная
математика. Сначала мы покажем, как выводится семейство
Введение 9
интегрируемых уравнений, связанное е заданной (спектральной)
задачей, и как наделять уравнения гамильтоновой структурой.
Хотя эта глава в основном посвящена двум простейшим семей-
ствам, КдФ и НУШ, материалы упражнений в конце разделов
ЗЬ и Зс включают более трудные темы. Читатель должен на-
учиться уверенно обращаться с этими упражнениями; в част-
ности, упражнение ЗЬ E) знакомит со схемой метода обратной
задачи для эволюционных уравнений с пространственной раз-
мерностью больше единицы. Основываясь на этих разделах,
я приведу метод обратной задачи и покажу, как решать на-
чально-краевую задачу для уравнения Кортевега — де Фриза
на бесконечной оси. Я также привожу пространное обсуждение
того, как использовать идеи теории обратной задачи для изуче-
ния ситуаций, которые могут быть описаны возмущенным урав-
нением Кортевега—де Фриза. В частности, весьма подробно
обсуждается задача о распространении уединенной волны в ка-
нале с медленно меняющейся глубиной и развивается общий
метод расчета поля возмущенного потока, включая волну отра-
жения. Как вы увидите, эта проблема нетривиальна, так как
возмущение не только изменяет уединенную волну, но также
порождает новые компоненты потока. В последнем разделе этой
главы рассматриваются пути построения специальных классов
решений, которые зачастую наиболее интересны в приложениях;
здесь вы встретите многосолитонные решения, рациональные
решения и, наконец, многофазные периодические решения. В по-
следней части гл. 3 начинают проявляться некоторые особенно-
сти нового подхода к солитонным уравнениям, который будет
представлен в гл. 5. Постоянно подчеркивается, что отыскива-
ется решение не просто одного какого-то уравнения, а целого
семейства уравнений.
В гл. 4 появляется новый герой. Им является т-функция.
В первых разделах этой главы я показываю, как она вводится
в виде потенциальной функции и в качестве естественного
следствия формы законов сохранения и симметрии. На этой
стадии читателю должно быть абсолютно ясно, что он имеет
дело с бесконечным набором коммутирующих потоков и что т
должна рассматриваться как функция времен {tk} всех потоков,
выбранных в качестве независимых переменных. В централь-
ных разделах для построения многосолитонных решений исполь-
зуется формализм Хироты и уделяется особое внимание алге-
браической структуре билинейных уравнений Хироты, которые
допускают Af-солитонные решения для произвольного N. В част-
ности, мы покажем, каким образом существование iV-солитон-
ного решения (для произвольного N) специального уравнения
Хироты является эквивалентным существованию бесконечного
10 Введение
семейства уравнений Хироты возрастающей степени, к которому
принадлежит специальное уравнение и которое характеризуется
общей для всех уравнений семейства функцией фазового сдвига.
Особо подчеркивается роль функции фазового сдвига при по-
строении бесконечного семейства. Некоторые из этих идей аб-
солютно новы. После обсуждения формализма Хироты в сле-
дующем разделе я знакомлю читателя со свойством Пенлеве,
которым, по-видимому, обладают все интегрируемые системы1).
Подчеркивается связь этого важного свойства, из которого вы-
текает легко реализуемый тест на точную интегрируемость
систем, с условием Хироты (условие, которому должен удовле-
творять заданный многочлен Хироты для того, чтобы соответ-
ствующее билинейное уравнение допускало Af-солитонное реше-
ние). В заключительном разделе этой главы вводятся преобра-
зования Бэклунда, при помощи которых из простых могут быть
построены значительно более сложные решения. Оказывается
особо полезным представить преобразование Бэклунда в форме
тстар = е^Тнов- Оператор У является очень важным. Он назы-
вается вершинным оператором.
На протяжении первых четырех глав происходило постепен-
ное изменение концепции. Поначалу солитонное уравнение по-
нимали как нелинейное эволюционное уравнение, как рецепт, по
которому изменяется заданная функция пространственно-подоб-
ной переменной х относительно времени-подобной переменной t.
Несомненно, что принимается именно эта точка зрения, когда
применяется метод обратной задачи рассеяния, в котором для
эволюционного уравнения рассматривается задача Коши (за-
дача с начальными условиями). Однако по мере прояснения чу-
дес солитонных уравнений становится все яснее, что данное
уравнение правильнее всего считать локальным соотношением
между функцией (или функциями) бесконечного числа незави-
симых переменных и ее различными производными по отноше-
нию к независимым переменным — соотношением, являющимся
весьма специфическим из-за заложенной в нем алгебраической
структуры. Благодаря локальности уравнения нет необходимо-
сти рассматривать какую-либо переменную как пространствен-
но-подобную и поэтому специальным образом выделенную.
Новая концепция подхода к солитонным уравнениям, осно-
ванная на этих идеях, приведена в гл. 5. Это самая большая
глава, посвященная материалу, который должен быть новым для
всех, кроме нескольких специалистов в этой области. Я ста-
') Обсуждению этой гипотезы посвящено множество работ. В ряде част-
ных случаев ее удалось обосновать. Однако в последнее время становится
ясно, что свойство Пенлеве не является ни необходимым, ни достаточным
для интегрируемости. Контрпримеры можно найти в работе [1*]. — Прим. ред.
Введение 11
рался избежать изложения новых идей на чрезмерно матема-
тическом языке, так что я рассчитываю, что у читателя хватит
выносливости, чтобы ее осилить. Я начну с пояснения роли, ко-
торую играет метод Уолквиста — Эстабрука при выявлении ал-
гебраической структуры, присущей заданному уравнению. В слу-
чаях КдФ и НУШ оказывается, что фазовое пространство, в ко-
тором «живут» солитонные потоки, является бесконечномерной
градуированной алгеброй Ли G = slB7*C), алгеброй петель
-N -N
Y, XjtT1 Для si B, С). Выражение ? XjZT1 является про-
сто степенным рядом, в котором все коэффициенты принадле-
жат si B, С) и могут быть представлены в матричном виде мат-
рицами 2X2 с нулевым следом. Физик легко увидит, что спи-
новые матрицы Паули можно использовать в качестве базиса
в этом векторном пространстве.
Алгебру G можно разложить на две подалгебры, и на орто-
гональном дополнении к одной из них, которая может быть
отождествлена с двойственной к другой и поэтому является мно-
гообразием Пуассона, имеются естественные гамильтоновы век-
торные поля или потоки. Векторные поля являются солитонными
уравнениями, если они порождаются специальным набором (по-
следовательностью) функций. Они являются переопределенной
бесконечной системой обыкновенных дифференциальных урав-
нений с бесконечным числом независимых переменных {^}о°.
При желании выделить одну из независимых переменных, ска-
жем t\, которую мы затем назовем х, эти уравнения можно
использовать для выражения бесконечного числа зависимых пе-
ременных в виде производных все более и более высокого по-
рядка по х от первых членов этой последовательности. Остав-
шиеся уравнения дают тогда хорошо известную иерархию соли-
тонных уравнений АКНС; первым нетривиальным ее членом
является нелинейное уравнение Шрёдингера (НУШ). Однако
равно допустимо выбрать в качестве выделенной переменной х
переменную ti, и в этом случае бесконечное число зависимых
переменных выражается как производные по х от первого и
второго членов этой последовательности. Оставшиеся уравне-
ния тогда дают новую иерархию солитонных уравнений; в этом
случае они известны как иерархия НУШП (нелинейного урав-
нения Шрёдингера с производной). В разделах, в которых об-
суждаются эти вопросы, мы также затронем связи между новой
гамильтоновой структурой, которая естественным образом свя-
зана с алгеброй, и старой вариационной гамильтоновой струк-
турой, знакомой из предыдущих глав. В конце раздела, в кото-
ром очерчены эти идеи, я приглашаю читателя попытаться (и
12 Введение
помогаю ему) выполнить несколько упражнений, в которых с
этой точки зрения выводятся уравнения для гармонического
осциллятора и конечной цепочки Тоды со свободными концами.
Оказывается также, что форма уравнений подсказывает
идею ввести потенциалы, которые заменяют бесконечное число
зависимых переменных. Ими являются т-функции Хироты
(для si B, С) существуют три из них, одна «главная», назы-
ваемая т, и две вспомогательные функции о и р, хотя мы уви-
дим, что этот триплет лучше всего воспринимать как последо-
вательную тройку р, т, о бесконечной последовательности {тл}),
и, будучи выраженными через эти новые потенциалы, эволюци-
онные уравнения являются билинейными уравнениями Хироты.
В этом разделе мы также введем обобщенные потоки Fik =
*=(d2/dtjdtk)ln%, которые играют очень важную роль во всей
теории.
В последующих разделах этой главы с чисто алгебраической
точки зрения продолжаются обсуждения калибровочных преоб-
разований, преобразований Бэклунда и Шлезингера, метода об-
ратной задачи и проблемы Римана — Гильберта, а также дру-
гие разнообразные вопросы, объединившиеся под зонтом нашего
нового подхода. Более подробное обсуждение этих вопросов от-
кладывается до пятой главы, а сейчас я хочу обсудить с вами
немного подробнее значение открытия солитона и его влияние
на другие разделы физики. Однако, прежде чем это сделать,
я хочу, чтобы в вашем сознании нестираемо запечатлелась одна
мысль. Она состоит в том, что солитонные уравнения являются
магическими исключительно по алгебраическим причинам, ко-
торые должны проявляться в структуре уравнений в виде весь-
ма специфического отношения между функцией и ее различны-
ми производными. Не требуется никаких глобальных свойств,
чтобы обеспечить особую значимость этого отношения.
Дальнейшее обсуждение. Солитон сам по себе является дра-
матически новой концепцией в нелинейной теории. В нем нако-
нец на классическом уровне реализуется объект, существова-
ние которого специалисты по теории поля постулировали мно-
гие годы: локальный бегущий волновой импульс, компактная
когерентная структура, удивительно устойчивое решение поле-
вого уравнения и частице-подобные свойства. Он существенно
нелинеен и возникает благодаря равновесию двух сил; одна из
них линейна и стремится размазать импульс, другая является
нелинейной и сжимает его. До появления солитона физики ча-
сто говорили о волновых пакетах и фотонах, которые являлись
решениями линейного не зависящего от времени уравнения Шрё-
дингера. Но такие пакеты всегда будут расплываться за время
Введение 13
обратно пропорциональное квадрату ширины пакета в ?-про-
странстве. Нелинейность существенна для прекращения и урав-
новешивания дисперсионного расплывания. В одномерии взаи-
модействие дисперсии и сжатия волновых пакетов описывается
нелинейным уравнением Шрёдингера (НУШ)
= О, A)
которое описывает эволюцию огибающей q(x, t) цуга волн (в
системе координат, движущейся с групповой скоростью несущей
волны). Оно является универсальным уравнением нелинейной
физики и возникает в огромном разнообразии ситуаций: в нели-
нейной оптике [19], в теории волн на глубокой воде [59], при
описании переноса энергии вдоль а-спиралей белков [112].
Оно не только универсально; легко предсказать условия, при
которых оно возникает.
Хотя НУШ первым появилось среди солитонных уравнений
[21], но родоначальником солитона стало не оно, а знаменитое
уравнение Кортевега — де Фриза (КдФ) [12],
4t + 6<7<7* + Чххх = 0. B)
Оно также универсально. Уравнение КдФ описывает, как инва-
риант Римана, который при отсутствии посторонних воздей-
ствий распространялся бы неискаженным вдоль прямых парал-
лельных характеристик линейной гиперболической системы
(вспомните решение Даламбера u(x,t) = f(x — t) + g(x + t) ли-
нейного волнового уравнения), эволюционирует под воздей-
ствием нелинейности и дисперсии. В B) х измеряется относи-
тельно системы отсчета, движущейся с характеристической
скоростью линейной волны. В КдФ нелинейность порождает тен-
денцию к опрокидыванию волны и появлению сходимости в се-
мействе характеристик и поэтому стремление к возникновению
за конечное время бесконечных пространственных производных.
С другой стороны, дисперсия сглаживает процесс, расщепляя
все более крутой фронт в цуг импульсов или солитонов, каждый
из которых, взятый отдельно, имеет следующий вид:
q {х, t) = 2if sech2 ц (х — х0 — 4ф). C)
Уравнение КдФ также встречается повсюду, и, как и для НУШ,
можно сформулировать условия, при которых оно возникает.
Это уравнение списывает эволюцию волн на мелкой воде, ионно-
акустические волны, длинные волны в сдвиговых потоках (см.
[120]) и множество других ситуаций, которые читатель может
найти перечисленными в различных обзорах и материалах, ука-
занных в списке литературы.
14 Введение
Как уравнение КдФ, так и НУШ появляются в качестве
асимптотических условий разрешимости. Вкратце формулировка
«асимптотическое условие разрешимости» означает условие на
главный порядок аппроксимации решения более сложной си-
стемы уравнений, которое обеспечивает равномерную ограни-
ченность последующих итераций аппроксимации. Другими уни-
версальными уравнениями, возникающими аналогично и также
допускающими солитонные решения, являются модифицирован-
ное уравнение Кортевега — де Фриза (мКдФ), нелинейное урав-
нение Шрёдингера с производной (НУШП), уравнения трехвол-
нового взаимодействия (УТВ), уравнение Буссинеска, уравнение
Кадомцева — Петвиашвили (двумерное КдФ или КП), уравне-
ние Бенджамина — Оно (БО), уравнение для умеренно длин-
ных волн, уравнение Бенни — Роскеса — Дэви — Стюартсона
(двумерное НУШ), уравнения sin-Гордон и sh-Гордон, мас-
сивная модель Тирринга, уравнение Ландау — Лифшица, мо-
дели кирального поля Вакса — Ларкина — Намбу — Ионы Ла-
зинио.
Что примечательно и, насколько мне известно, до сих пор
не объяснено, это то, что многие уравнения, полученные как
асимптотические условия разрешимости при очень общих и ши-
роко применимых предположениях, также являются солитонны-
ми уравнениями. Другими словами, почему уравнение, являю-
щееся универсальным в физике, должно также обладать столь
удивительными математическими свойствами? Я буду объяснять
эти свойства более подробно как в следующих абзацах, так и
на протяжении всех этих лекций, но одно из ключевых свойств
солитонного уравнения состоит в том, что оно обладает беско-
нечным числом законов сохранения и ассоциированными сим-
метриями. Несомненно ясно, что при построении математиче-
ских моделей для физических приложений естественным обра-
зом учитываются некоторые симметрии, вроде трансляционной
инвариантности, при помощи которых отбрасывается ненужное
и выявляются существенные особенности изучаемого процесса.
Однако почему процесс нахождения асимптотического условия
разрешимости должен вводить так много симметрии, большин-
ство из которых скрытые и не обладают легко понятной физи-
ческой интерпретацией? Чтобы нагляднее подчеркнуть необыч-
ность ситуации, предположим, что вам предлагают полную шля-
пу уравнений и просят случайным образом выбрать одно из них.
Очень маловероятно, чтобы оно оказалось полностью интегри-
руемым. Однако в совокупности уравнений, которые возникают
в физике в качестве асимптотических условий разрешимости,
пожалуй, содержится непропорциональная доля уравнений с со-
литонными свойствами. Может ли это быть просто совпадением?
Введение 15
Что мы понимаем под солитонным уравнением? Все, что я
до сих пор говорил о солитоне, сводится к тому, что он пред-
ставляет собой уединенный бегущий волновой импульс нелиней-
ного дифференциального уравнения в частных производных
с выраженными свойствами устойчивости и поведением, подоб-
ным частице. Я намекнул, что истинный солитон, решение урав-
нения с очень специфическими свойствами, — это нечто суще-
ственно большее, чем просто уединенная волна. Это действи-
тельно так. Многие уравнения допускают уединенные волны, а
именно локальные бегущие волновые решения с нелинейными
свойствами устойчивости. Например, если мы заменим керрову
или кубическую нелинейность в A) на насыщенную нелиней-
ность — iq(\ -\-2qq*)~l или слагаемое 6qqx в B) на 6q3qx, то
по-прежнему будут существовать бегущие волновые решения,
нейтрально устойчивые по отношению к малым возмущениям.
Однако решения в виде уединенных волн солитонных уравнений
имеют дополнительные свойства. Одно из свойств состоит в том,
что две уединенные волны проходят друг через друга, не утра-
чивая своей индивидуальности. Например, заметим, что ско-
рость уединенной волны C) зависит от амплитуды. Теперь пред-
ставим, что в некоторый начальный момент времени две уеди-
ненные волны далеко отстоят друг от друга, причем волна слева
имеет большую амплитуду и скорость. Большая волна в конце
концов догонит меньшую. Взаимодействие будет существенно
нелинейным и будет совершенно непохожим на взаимодействие
двух линейных волн, в котором результирующее решение явля-
ется линейной суммой двух индивидуальных волн. Тем не менее
после нелинейного взаимодействия опять появляются два им-
пульса с большим в качестве лидера, причем каждый примет
в точности прежнюю форму. При этом не возникнет никакого
излучения, процессом рассеяния не порождается никакой дру-
гой моды. Единственным последствием взаимодействия явля-
ется фазовый сдвиг; каждый импульс будет сдвинут на некото-
рое расстояние от того положения, в котором он находился бы,
перемещаясь беспрепятственно. Хотя данное свойство взаимо-
действия представляется примечательным и в действительности
часто используется как тест для обнаружения солитонных урав-
нений, само по себе оно недостаточно. Существуют уравнения,
которые допускают решения, представляющие собой нелиней-
ную суперпозицию двух уединенных волн, но не обладающие
всеми свойствами, присущими решениям солитонных уравнений.
Солитонное уравнение, если оно допускает решения типа уеди-
ненных волн, должно допускать решение, представляющее со-
бой нелинейную суперпозицию N уединенных волн при произ-
вольном N.
16 Введение
Оно также является точно интегрируемым в смысле беско-
нечномерного обобщения полностью интегрируемой гамильтоно-
вой системы. Мы говорим, что конечномерная Bт переменных)
гамильтонова система полностью интегрируема, если она до-
пускает т интегралов движения Fit i=l, ..., т, которые не-
зависимы и находятся в инволюции по отношению к скобке
Пуассона, связанной с гамильтоновой структурой, и поверхность
уровня, определенная пересечением поверхностей Ft = с,-, явля-
ется компактной и связной. Существует теорема, которая гла-
сит, что такую систему каноническим образом можно преобра-
зовать (тем самым сохраняя гамильтонову структуру) в набор
новых координат, переменных типа действие — угол, в которых
система полностью расцепляема. Переменные действия /<-, 1 ^
^ I ^ m (которые являются функциями интегралов движе-
ния F{), неизменны во времени, а угловые переменные 0» ли-
нейно меняются во времени; т. е. 0,- = ео,? + а{, 1 ^ i ^ т, щ, ец
постоянны. Как следствие, движение должно быть квазиперио-
дическим и осуществляться на /n-мерном торе, топологически
эквивалентном прямому произведению т окружностей. На се-
годняшний день все известные солитонные уравнения имеют
гамильтоновы структуры и бесконечный набор интегралов дви-
жения, находящихся в инволюции. Существует также канони-
ческое преобразование (метод обратной задачи или МОЗР, не-
линейный аналог преобразования Фурье), которое трансформи-
рует солитонное уравнение в бесконечную систему отдельных
уравнений с переменными типа действие — угол, каждое из ко-
торых может быть проинтегрировано тривиальным образом. На
этом пути можно в принципе решить начальную задачу Коши.
При этом оказывается, что некоторые переменные действия яв-
ляются солитонными параметрами; в этом заключается причина
сохранения индивидуальных признаков солитона при рассеянии,
а именно параметров, задающих его форму, скорость, амплиту-
ду, собственную частоту и т. д. Остальные переменные действия
связаны с энергией излучения каждой нелинейной моды, нели-
нейным аналогом континуума мод Фурье линейной системы.
Сравните это поведение с тем, которое ожидалось бы в ме-
ханической системе с сильной связью между многими степенями
свободы. В общем случае не следует ожидать, что такая система
будет расцепляемой. Следовательно, нельзя ожидать, чтобы
энергетический спектр временных рядов для какой-либо из за-
висимых переменных состоял из т отдельных частот, как это
было, например, в случае полностью интегрируемой гамильто-
новой системы с компактным гамильтонианом. Напротив, сле-
дует ожидать по крайней мере небольшого спектрального уши-
рения, свидетельствующего о стохастичности поведения, хотя
Введение 17
оно не обязательно будет эргодическим. Действительно, вторым
значительным открытием последнего десятилетия, упоминав-
шимся в первом абзаце, является осознание того, что в системах
уравнений с небольшим числом степеней свободы может суще-
ствовать стохастическое поведение зависимости от времени.
Важна качественная природа системы уравнений, а не размер-
ность системы. Если уравнения таковы, что решения сильно за-
висят от начальных условий, то малые погрешности начальных
данных экспоненциально растут в фазовом потоке, и начиная
с некоторого момента становится совершенно невозможно пред-
сказать будущее состояние системы. Этот процесс может про-
исходить даже в диссипативных системах, в которых имеет ме-
сто сжатие заданного объема в фазовом потоке пространства
состояний. Оказывается, что для систем обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений размерности три или более (например,
уравнения Лоренца и Реслера), для двумерных обратимых ото-
бражений (например, отображений Хенона и Икеды) или для
одномерных необратимых отображений (например, логистиче-
ского уравнения лгл+1=м.ЯлA —хп), автомодельная структура ко-
торого в пространстве (ц, х) была открыта в новаторской ра-
боте Митчелла Фейгенбаума), движение может происходить на
аттракторе нового типа (в противоположность известным ти-
пам, которые были либо фиксированной точкой, либо предель-
ным циклом), названном странным аттрактором. Аттрактор на-
зван странным не просто благодаря своей структуре (локально
он может быть представлен как прямое произведение между
Rn, и =1,2,3, ..., и канторовым множеством), а потому что
движение на нем очень сильно зависит от начальных условий.
В самом деле, разумно ожидать, что в некоторых случаях явно
стохастический характер зависимости от времени системы со
многими степенями свободы может быть объяснен с помощью
движения точки пространства состояний на странном аттрак-
торе, размерность которого много меньше. Экспериментальное
обоснование этого предположения может быть найдено в ра-
боте [123].
Это отступление в теорию неинтегрируемых систем имело
целью максимально заострить внимание на том, что для полной
интегрируемости уравнение должно обладать очень специаль-
ными свойствами. Заметим, что решения интегрируемых систем
не обладают большой чувствительностью к начальным усло-
виям. Начальные погрешности растут со временем самоё боль-
шее линейным образом. До появления солитонных уравнений
число интегрируемых систем можно было пересчитать по паль-
цам одной руки. Наиболее упоминаемыми были гармонический
осциллятор, движение тела в поле центральных сил, движение
18 Введение
жесткого тела. Действительно, единственный пример бесконеч-
номерной точно решаемой физической задачи был вовсе не свя-
зан с ньютоновской механикой. Напротив, это была двумерная
модель равновесной статистической механики — модель Изинга
с взаимодействием ближайших соседей, предложенная для опи-
сания фазовых переходов. Знаменитым «силовым приемом» Он-
загер вычислил статистическую сумму этой модели, применив
ряд искусных и кажущихся колдовскими трюков. В том, что не-
сомненно должно восприниматься как совершенно неожиданное
развитие, обнаружилась глубокая связь между солитонными
уравнениями и точно решаемыми моделями равновесной стати-
стической механики, а также квантовой теории поля. Позже
этот вопрос будет обсуждаться более подробно.
К сожалению, свойство полной интегрируемости нельзя уста-
новить непосредственно из самого уравнения1). Поэтому полез-
но поискать другие свойства, характеризующие солитонные
уравнения, которые легче применить в качестве теста на инте-
грируемость к заданному уравнению. Также поучительно вы-
яснить, что происходит с этими свойствами, когда солитонная
природа уравнений нарушается либо добавлением новых членов,
либо изменением некоторых критических коэффициентов. Ожи-
дается, что такое возмущение породит некоторые области сто-
хастичности в фазовом пространстве, в частности вблизи гомо-
клинных или гетероклинных орбит. Если возмущение мало,
можно ожидать, что будет иметь место результат типа Колмо-
горова— Арнольда — Мозера (КАМ) (хотя для бесконечномер-
ных систем это до сих пор не доказано). Повторим, что в пол-
ностью интегрируемых гамильтоновых системах с ограниченным
гамильтонианом движение осуществляется на инвариантном
m-мерном торе, параметризуемом т значениями переменных
действия. Теорема КАМ гласит, что под действием малых воз-
мущений большинство этих торов сохраняется. Однако между
этими торами существуют узкие области стохастичности. Мож-
но задаться вопросом, каким образом проявляется эта особен-
ность при нарушении других свойств солитонных уравнений.
Более того, можно также использовать эти идеи для описания
турбулентного или стохастического поведения в других моделях
физики, моделях, которые, будучи невозмущенными, являются
точно решаемыми, вроде модели Изинга, и которые тесно свя-
заны с солитонными уравнениями.
') С этим утверждением автора можно не согласиться. В настоящее
время имеется строгая и последовательная теория, позволяющая не только
ответить на вопрос об интегрируемости конкретного уравнения, но и описать
все интегрируемые уравнения заданного вида (порядка) [2*], [й*]. — Прим.
ре§.
Введение Id
Среди многих специальных свойств солитонных решений, ко-
торые будут обсуждаться в этих лекциях, существуют два свой-
ства, на которых я хочу остановиться. Первым из них является
свойство Хироты, открытое Хиротой, который нашел очень по-
лезный и важный метод вычисления многосолитонных решений.
Необходимо, чтобы уравнения были записаны в билинейной
форме; для уравнения B) этот шаг (для которого не существует
общего алгоритма) осуществляется с помощью представления
?(*, 0 = 2^1пт. D)
Функция х(х, t) удовлетворяет квадратичному уравнению
tixt — V* + ™ХХхх — 4хххххх -f Зт** = 0. E)
Для этих уравнений Хирота создал новое исчисление, в котором
производные d/dt, д/дх заменены операторами Dt, Dx; в этих
обозначениях квадратичное уравнение E) может быть записано
в виде
P{Dt, Dx)x-x^(DtDx + Dx)x-x = 0; F)
здесь Р — многочлен от своих аргументов. Из этого уравнения
довольно просто определить условия (условия Хироты), кото-
рым должен удовлетворять многочлен Р для того, чтобы урав-
нение допускало iV-солитонные решения для произвольных N.
Для P(Dt, Dx) = DxDt + Dx (уравнение КдФ), или P{Dt, Dx) =
= DxDf-\-Dx (уравнение Кортевега — Савады) условия Хиро-
ты выполняются. Для Р (Dt, Dx) = DtDx -f Dx их нет, и могут
быть найдены только решения в виде двойной уединенной вол-
ны. Одни и те же условия на Р допускают родственный класс
решений, бесконечную последовательность рациональных реше-
ний, для каждого из которых т-функция является многочленом
от х и t и для которых соответствующее решение q является
рациональной функцией. Первыми тремя нетривиальными ра-
циональными решениями E) являются т = х, х = х3+ Ш, т =
= х6-{-60хН — 720t2. Соответствующие решения q(x,t) имеют
двойной полюс с коэффициентом —2 в каждом из нулей х —
= x(t) функции х(х, t).
Существование этих рациональных решений эквивалентно
другому свойству, которым обладают солитонные уравнения,—
свойству Пенлеве. Это свойство было первоначально введено
в связи с обыкновенными нелинейными уравнениями второго
порядка. Целью являлась классификация всех уравнений вто-
рого порядка, свойством решений которых было то, что един-
ственными подвижными особенностями были полюса. Это озна-
20 Введение
чает, что единственным типом сингулярностей, положение кото-
рых зависит от начальных данных, являются полюса.
Например, решением уравнения dy/dx = —у2, у@)=1/с
служит у(х)= 1/(* + с), имеющее полюс при х ——с. С дру-
гой стороны, точки х = 0, оо представляют собой неподвижные
критические точки уравнения 2xdy/dx — y. Пенлеве обнаружил,
что существует пятьдесят типов уравнений, удовлетворяющих
этому требованию, состоящих из сорока четырех приводимых
к известным уравнениям и шести новых уравнений, решения ко-
торых названы трансцендентами Пенлеве. Вторым в списке ше-
сти уравнений является
G)
о котором значительно больше будет сказано в гл. 4 и 5. В дан-
ный момент важно, что G) допускает решение вида
<х-ХоI\ (8)
в котором xq и а3 произвольны, а все остальные ап определя-
ются единственным образом. Уравнение, которое определяет а3,
имеет вид 0-аз = 0; нуль справа возникает в результате как
раз нужного сочетания слагаемых в G). Если бы ху было за-
менено на х2у или слагаемое у3 на г/4 (что потребовало бы, что-
бы членом главного порядка являлся полюс второго порядка),
то возникла бы несовместность в уравнениях на {ап}, которая
неизбежно повлекла бы необходимость введения слагаемого,
пропорционального (х — л:о)т1п(х — х0). Тогда уравнение не
имело бы свойства Пенлеве, для произвольной начальной точ-
ки хо более не существовало бы сингулярности в виде полюса.
Примечательно то, что все интегрируемые уравнения пред-
ставляются обладающими свойствами Пенлеве, хотя эта гипо-
теза должна быть несколько изменена, когда она применяется
к уравнениям в частных производных. Это свойство представля-
ется в точности эквивалентным существованию бесконечной по-
следовательности рациональных решений. Отметим в нашем
примере, что если т разложима в ряд Тейлора вблизи точки
поверхности, на которой она обращается в нуль, то q разла-
гается в ряд по полюсам. Поэтому представляется, что выра-
женное в терминах т-функции свойство Пенлеве требует, чтобы
т-функция не имела подвижных критических точек.
Это наблюдение существенно и имеет потенциально важные
следствия не только в контексте эволюционных уравнений, но
также и для других точно решаемых моделей. Я уже упоминал,
что двумерная модель Изинга с взаимодействием ближайших
Введение 21
соседей представляется связанной с солитонными уравнениями.
Эта связь была впервые установлена в работе Сато, Мивы и
Джимбо [103], которые показали, что в скейлинговом пределе
/г-точечная корреляционная функция удовлетворяет системе
очень специальных нелинейных деформационных уравнений, ко-
торые выражают тот факт, что сохраняется группа монодромии
соответствующей линейной системы. Рассмотрим конкретный
пример линейной системы порядка п
в которой п-точечная корреляционная функция т содержится
в коэффициентах матриц А, В, С. Данная система имеет иррегу-
лярные сингулярности в точках ? = 0, оо. Условие, что группа
монодромии этой системы не зависит от аргументов /г-точечной
корреляционной функции, вынуждает последнюю удовлетворять
нелинейному деформационному уравнению. Решение этого урав-
нения в принципе может быть построено с использованием свой-
ства изомонодромности. Этим способом в замкнутом виде
могут быть получены решения /г-точечной корреляционной функ-
ции. Эта замечательная конструкция тесно смыкается с кон-
струкцией солитонов и другими специальными типами решений
солитонных уравнений. В частности, двухточечная функция (в
скейлинговом пределе) удовлетворяет тому же уравнению, что
однофазное автомодельное решение уравнения sh-Гордон. Кро-
ме того, существуют наводящие на дальнейшие размышления
связи между моделями Изинга и интегрируемыми системами.
Например, Маккой и By [109] показали, что при критической
температуре двухточечная корреляционная функция как функ-
ция дискретных расстояний удовлетворяет точно интегрируемой
дискретной версии цепочки Тоды.
В самом деле, если оказалось возможным установить точ-
ную связь между солитонными уравнениями и другими интегри-
руемыми моделями, кажется естественным задаться вопросом
о турбулентном или стохастическом поведении последних. Ме-
рой или критерием потери интегрируемости этих моделей явля-
ется потеря свойства Пенлеве. В самом деле, Грином и Перси-
валем [ПО] показано, как в дифференциальном уравнении, мо-
делирующем проявление стохастического поведения, полюса
накапливаются в плоскости комплексного времени вдоль есте-
ственных границ, которые сами по себе имеют интересное авто-
модельное поведение. Кроме того, Сегур [111] показал, что при
очень специальном выборе параметров в модели Лоренца, для
которой имеет место свойство Пенлеве, модель является инте-
грируемой.
22 Введение
Что тогда следует ожидать в неинтегрируемои модели стати-
стической физики? В принципе всегда могут быть введены ста-
тистическая сумма, свободная энергия и корреляционные функ-
ции. Наиболее естественным было бы предположить, что корре-
ляционная функция как функция своих аргументов (повторим,
что она является аналогом т-функции Хироты) не имеет свой-
ства Пенлеве и вместо этого имеет алгебраические и существен-
ные особенности, зависящие от данных. Поэтому функции бу-
дут вести себя вблизи сингулярностей очень нерегулярным
образом; при этом небольшая неточность в знании исходных
данных привела бы к катастрофической погрешности.
Подводя итог обсуждений, еще раз выделим два момента.
Первый состоит в том, что алгебраические свойства решаемых
моделей являются объединяющим элементом, и второй в том,
что многое может дать понимание связей между солитонными
уравнениями и их разрешимыми аналогами в статистической
и квантовой физике.
Благодарности. Я хочу поблагодарить тех, кто прочитал и
сделал полезные замечания по некоторым разделам или по
всему курсу лекций: Алехандро Асевеса, Джерри Бона, Джона
Грина, Эрику Джин, Дейва Маклохлина, Мартина Крускала,
Боба Миуру, Тюдора Ратиу, Нормана Забуски. Неоценимы-
ми были, зачастую острые и безжалостные, но всегда умест-
ные, критика и советы моего большого друга Германна Флашки.
Я также чрезвычайно благодарен Гейл Дискерсен, которая су-
мела перепечатать рукопись и сохранить при этом юмор и здра-
вый смысл. Книга посвящается моим учителям Виктору Грэму,
Дэвиду Бенни, Виллему Малкусу и Мартину Крускалу и моим
детям Джейми, Шейну, Мэту и Пиппе, которые также многому
меня научили.
Кроме того, я признателен математическому отделу Управ-
ления оборонных исследований и Управления научных исследо-
ваний военно-воздушных сил за щедрую и вдохновляющую под-
держку.
Университет шт. Аризона
Декабрь 1983 г.
ГЛАВА
1
ИСТОРИЯ СОЛИТОНА
1а. Открытие Джона Скотта Расселла. Открытие солитона,
его замечательных свойств и необыкновенного богатства мате-
матических методов его описания осуществлялось в два этапа,
на протяжении почти ста сорока лет. История берет свое на-
чало с наблюдения Джоном Скоттом Расселлом «большой
волны трансляции». Я позволю себе рассказать об этом со-
бытии.
«Я полагаю, что наилучшее представление об этом явлении даст описание
обстоятельств моего первого знакомства с ним. Я наблюдал за движением
баржи, которую быстро тянула по узкому каналу пара лошадей, когда бар-
жа неожиданно остановилась. Но масса воды, которую баржа привела в
движение, не остановилась, а собралась у носа судна в состоянии интенсив-
ного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с ог-
ромной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения,
то есть округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который
продолжал свой путь вдоль канала, не меняя своей формы и не снижая
скорости. Я последовал за ним верхом, и, когда нашел его, он по-прежнему
катился вперед со скоростью приблизительно восемь или девять миль в час,
сохранив свой первоначальный профиль возвышения длиной около тридцати
футов и высотой от одного до полутора футов. Его высота постепенно умень-
шалась, и после одной или двух миль погони я потерял его в изгибах канала.
Так в августе 1834 г. мне впервые довелось столкнуться с необычайным и
красивым явлением, которое я назвал уединенной волной трансляции; теперь
это название общепринято».
Если считать, что большого ученого отличает способность
осознать, что является существенно новым, — а это действи-
тельно одно из ключевых качеств, то Расселл, без сомнения,
заслуживает этого титула. С самого первого наблюдения он по-
нял, что обнаружил новое явление, и вследствие этого боль-
шую часть своей профессиональной деятельности он посвятил
экспериментальному изучению свойств большой волны.
«Это самое прекрасное и необычное явление: в первый же день я понял,
что это счастливейший момент моей жизни. Никому до меня не посчастли-
вилось наблюдать его или, во всяком случае, понять, что оно значит. Теперь
оно известно как уединенная волна трансляции. Никто никогда и вообра-
зить не мог, что существует такое явление, как уединенная волна. Когда я
24 Глава 1
описал ее сэру Джону Гершелю, он сказал: «Это просто отсеченная поло-
вина обычной волны>. Но это не так, поскольку обычные волны распростра-
няются частично выше, а частично ниже уровня поверхности, и кроме того,
ее скорость отличается от скорости обычных волн. Поэтому уединенная вол-
на— полная волна, а не половина, с той разницей, что она вся целиком рас-
полагается выше поверхности, а не частично выше и частично ниже. Такой
водяной холм не может стоять на месте, а распространяется вдоль кана-
ла» [2].
Он знал, что обнаруженный им способ распространения
фундаментален в том смысле, что произвольное возвышение
воды распадается на основную и остаточную волны. Он знал,
что ее скорость пропорциональна ее высоте, и после многочис-
ленных экспериментов предложил закон с2 = g(А + г\), где
g, h, r\ — ускорение свободного падения, глубина невозмущен-
ной жидкости и максимальная высота волны относительно не-
возмущенного уровня соответственно. Он знал, что волны пони-
жения ведут себя совершенно не так, как волны повышения и
не превращаются в волны, распространяющиеся без изменения
формы. Он знал о взаимодействии уединенных волн, но, кажет-
ся, не заметил их солитонного характера — свойства, которое
я буду вскоре обсуждать. Действительно, если бы он применил
свойство обратимости во времени уравнений Эйлера и исполь-
зовал тот факт, что при t-+-±°o две волны бесконечно удалены
друг от друга, он смог бы обнаружить это поистине замечатель-
ное свойство. Он знал также о странных и уникальных свой-
ствах отражения волн малой крутизны.
Знал он также и о том, как их создавать! Недавно я имел
честь принять участие в удивительно приятной и хорошо орга-
низованной конференции в Университете Хериот-Уатт, посвя-
щенной столетию со дня смерти этого большого человека. Это
были прекрасные дни, наполненные оживленными разговорами
и стимулирующими дискуссиями, собравшие международный
коллектив ученых, представлявший самое меньшее дюжину раз-
личных дисциплин. Кульминацией этой встречи должно было
стать воспроизведение наблюдения Расселла в том самом ме-
сте канала Юнион, где произошло когда-то это событие. С огор-
чением вынужден признать, что мы потерпели неудачу и при
всех наших обширных знаниях и опыте мы не смогли быстро
придумать способ создания этой волны, когда оказалось, что
двигатель мощной моторной лодки, так хорошо работавший во
время испытаний, за день до события отказал. А виновник тор-
жества обычно делал это, располагая только парой лошадей,
парой канатов, старой баржей и глубоким интуитивным пони-
манием того, как передается импульс от баржи к воде. Стоя
на насыпи и наблюдая за усилиями роя молодых и ретивых уче-
История солитона 2S
пых, бегущих вдоль канала в роли больших лошадей, можно
было видеть много биноклей, поднятых в молчаливом ува-
жении.
Тем не менее, несмотря на неудачи этого дня, ни одна живая
душа не сомневается в существовании большой волны, так как
эксперименты Расселла повторялись при тщательно контроли-
руемых условиях и его предсказания проверены. Однако не
всегда дело обстояло таким образом. Сначала идеи Расселла
встретили большую враждебность и скептицизм у крупнейших
светил научного общества того времени. И Эйри, и Стоке со-
мневались в том, может ли волна, распространяющаяся без из-
менения формы, целиком располагаться выше уровня воды и
ссылались на уменьшение ее амплитуды как на указание о внут-
ренне присущей этой волне изменчивости. Расселл предположил
(правильно), что это несоответствие вызвано трением. Дело в
том, что Стоке в своей работе 1849 г. методом разложения си-
нусоидальной волны по малой амплитуде «доказал», что един-
ственной неизменяющейся волной может быть только синусои-
дальная в своей основе с нелинейными членами, которые при-
водят лишь к небольшому изменению формы (вторая и высшие
гармоники) и скорости (она становится слабо зависящей от
амплитуды). В действительности решение, найденное Стоксом,
является другим предельным случаем более общего решения
уравнений движения (кноидальной волны), соответствующим
стремящемуся к нулю модулю эллиптической функции, в то
время как для уединенной волны он равен единице. Впослед-
ствии Стоке понял и признал свои ошибки. Есть некоторая
ирония в том, что волна, открытая Стоксом (волна Стокса),
неустойчива, если отношение глубины жидкости к длине волны
близко к единице (это отношение мало для уединенной вол-
ны). На более глубокой воде почти монохроматический цуг
волн типа волны Стокса распадается на отдельные волновые
пакеты.
Лишь в 1870-х гг. работа Расселла была окончательно под-
тверждена, и ее научное значение можно измерить тем, какой
величины фигуры это сделали. Буссинеск [3] A872) и Рэлей
A876) независимо нашли решение для возвышения свободной
поверхности в виде квадрата гиперболического секанса. Работа
Буссинеска в действительности этим не ограничивалась и ввела
много новых понятий, используемых в современной науке.
В частности, он нашел сохраняющуюся плотность третьего ин-
теграла движения — величину, которую он назвал моментом
неустойчивости. Он вывел свое решение из уравнений волн на
воде в приближении, носящем теперь его имя. В этом прибли-
26 Глава 1
жении еще возможны двухволновые (встречные) движения1),
но присутствует основная идея баланса между нелинейностью
и дисперсией. Осталось сказать о Кортевеге и де Фризе, которые
в работе 1895 г. (они, видимо, не знали результатов работ Бус-
синеска и Рэлея), пытаясь ответить на возражения Эйри и
Стокса, вывели уравнение одноволнового приближения, носящее
теперь их имя. (Это исследование планировалось как диссер-
тационная работа де Фриза.)
На этом первом этапе открытия основной упор был сделан
на установление существования уединенной волны и ее устой-
чивости. Открытие универсальной природы солитона и других
его свойств еще ждало своего часа — когда еще один экспери-
мент, предпринятый для исследования совершенно другой про-
блемы, привел к неожиданному результату.
1Ь. Ферми — Паста — Улам. Декорации меняются. Мы пере-
носимся почти на шестьдесят лет вперед, в совершенно другое
место. Теперь мы в Лос-Аламосе, а главные герои этих собы-
тий — Энрико Ферми, Джон Паста и Стен Улам. Их интересо-
вал вопрос: почему твердые тела обладают конечной теплопро-
водностью? Моделью твердого тела служила одномерная ре-
шетка, набор точечных масс, связанных пружинами.
В 1914 г. Дебай предположил, что конечная теплопровод-
ность решетки связана с ангармоничностью возвращающей
силы пружин. Если сила линейна (закон Гука), то энергия
беспрепятственно переносится независимыми фундаментальны-
ми (нормальными) модами. Эффективная теплопроводность
бесконечна, для передачи тепла с одного конца решетки на
другой не нужно никакого перепада температуры, и уравнения
диффузии тепла не получается. Дебай полагал, что если ре-
шетка будет слабонелинейной, то нормальные моды (вычислен-
ные для линеаризованных упругих сил) станут вследствие нели-
нейности взаимодействовать и тем самым ограничат перенос
энергии. Суммарный эффект нелинейных взаимодействий (со-
ударений фононов) проявился бы в конечности коэффициента
переноса в уравнении диффузии. Это предположение побудило
Ферми, Пасту и Улама (ФПУ) [5] предпринять численное мо-
делирование одномерной ангармонической цепочки на компью-
тере Маниак I в Лос-Аламосе. Они собирались доказать, что
') Я имею в виду уравнение B.14) с D — I, которое является двухвол-
новым. На самом деле Буссинеск упростил правую часть, заменив Ft на
—Fx и Fxt на —Fxx в соответствии с одноволновым приближением. Его имя
поэтому связано скорее с уравнением B.26), которое хотя и допускает встреч-
ное движение волн, но не описывает встречные волны на воде, а не с урав-
нением B.14).
История солитона 27
гладкое начальное условие, при котором энергия содержится
в низшей моде, или, возможно, в нескольких низших модах,
благодаря нелинейному взаимодействию будет постепенно ре-
лаксировать к состоянию статистического равновесия. В этом
состоянии энергия распределяется поровну между всеми мо-
дами колебаний. По времени же релаксации можно было бы
измерить коэффициент диффузии.
Модель, использованная ФПУ для описания одномерной
решетки длины L, состояла из цепочки N— 1 одинаковых масс,
связанных со своими соседями и с фиксированными концами
решетки с помощью N нелинейных пружин длины h. Эти пру-
жины при сжатии или растяжении на величину Д создавали
силу
F = ?(A + aA2), A.1)
где k — линейная жесткость пружины и а, принятое положи-
тельным, служило мерой нелинейности. Динамика решетки при
этом описывалась следующими уравнениями:
m{yi)it=k(yl+l—2yi+yl_l)(l+a(yl+l — y}_i)), i=\, 2 N — \,
A.2)
Уо = Ук = 0.
где yi — отклонение t-й массы от положения равновесия.
В экспериментах ФПУ энергия обычно была вначале сосре-
доточена в нескольких низших модах линейной задачи. В ли-
нейной задаче энергия неизменно оставалась бы в этих модах
и высшие моды не могли бы возбуждаться. Благодаря нелиней-
ности энергия перетекает от низших мод к высшим, и ФПУ
ожидали, что это в конце концов приведет к равнораспределе-
нию по всем степеням свободы, имеющимся в их численной
схеме. Взятая ими решетка из 64 точек (в х-пространстве) име-
ла 64 различные собственные моды, между которыми они ожи-
дали увидеть перераспределение энергии. Если бы их ожидания
относительно эволюции энергии оправдались, это позволило бы
рассматривать их расчет как модель установления теплового
равновесия более сложных физических систем.
Результат был удивительным — по крайней мере он казался
таковым всем, кто участвовал в этой работе или слышал о ней.
Энергия не термализовалась! Вместо этого содержавшаяся вна-
чале в наинизшей моде энергия затем распределялась по не-
скольким низшим модам, после чего постепенно вновь собира-
лась в наинизшей моде с точностью до двух процентов, и затем
процесс приблизительно повторялся. ФПУ знали, что это явле-
ние не могло объясняться возвращением по Пуанкаре, время
которого для системы из 64 точек огромно. Процесс более по-
28 Глава 1
ходил на поведение системы линейно связанных осцилляторов,
двигающихся в фазовом пространстве по тору квазипериодиче-
ским образом. (Если есть две собственные частоты coi и со2,
и coi/gJ ~ /га/л, где т, п — взаимно простые целые числа, то
возвращение произойдет приблизительно через время 2ял/а>2.)
Но как это может быть? Почему нелинейность не возбуждает
все фурье-гармоники? Может быть, ответ в том, что система,
будучи записана в подходящих координатах, эквивалентна си-
стеме независимых гармонических осцилляторов?
Эксперимент ФПУ не привел к ожидаемому результату,
но, так же как в предыдущем столетии эксперимент Майкель-
сона — Морли, бросил вызов основным представлениям физиков
того времени. Тем не менее, так как это не было связано с воп-
росами, находившимися в то время на переднем крае физики
(в этом отношении все времена похожи), этот результат легко
мог быть отнесен, как это и произошло со многими, к разряду
любопытных диковинок и забыт. Например, в 1962 г. Перринг
и Скирм нашли двухсолитонное (соответствующее двухчастич-
ному упругому столкновению) решение уравнения sin-Гордон,
которое они использовали в нелинейной мезонной теории поля.
Это точное решение, проявляющее нелинейный принцип супер-
позиции, можно было связать с работами Бэклунда и Бьянки,
которые в конце девятнадцатого столетия развили в рамках тео-
рии поверхностей постоянной отрицательной кривизны общую
схему построения многосолитонных решений уравнения sin-Гор-
дон. Было ясно, что это уравнение обладает весьма специаль-
ными свойствами, однако Перринг и Скирм не пошли по этому
пути.
К счастью, странный результат ФПУ был забыт не всеми.
Счастливая возможность была использована двумя специали-
стами по прикладной математике из Принстонского универси-
тета— Мартином Крускалом и Норманом Забуски (КЗ). Они
решили понять необычное явление и в процессе работы открыли
солитон и прекрасный новый мир нелинейных явлений, притя-
гивающий сейчас воображение ученых всех физических дисцип-
лин, мир, который обогатил арсенал математической физики и
дал новую жизнь многим классическим математическим струк-
турам.
1с. Крускал, Забуски и открытие солитона. Крускрал и За-
буски (КЗ) [6] — [10] рассмотрели проблему ФПУ в непрерыв-
ном пределе. Они полагали, что так как энергия содержится
в наинизших модах системы и смещения соседних масс отли-
чаются на O(h/L), то можно ввести непрерывные смещения
y(x,t), где y(ih,t) = t/i. Разлагая смещения yi+i и y,_i в ряды
История солитона 29
Тейлора, полагая kh2/m = c2, 2ah = e, /г2/12е = б2, из A.2)
получаем
У и — с2Ухх = ы2ухухх + ес262ухххх, A.3)
где члены порядка е2 отброшены и е — малый параметр. Как
мы увидим, сохранение второго члена в правой части (члена
с четвертой производной) является решающим обстоятельством
при приближении конечной разности второго порядка. Так как
ФПУ решали свое уравнение с центрированной временной раз-
ностью, то в A.3) следовало бы включить также член у tut, но
с хорошей точностью у tut = с4уХХхх, и это приведет только к пе-
реопределению величины б2. Так как численная схема должна
удовлетворять условию Куранта — Фридрихса — Леви, то знак б2
при этом не изменится.
Как анализировать A.3)? Ясно, что для времен и расстоя-
ний порядка единицы решение ведет себя так, как если бы оно
удовлетворяло линейному уравнению. Начальный профиль рас-
падается на компоненты, идущие вправо и влево, каждая из
которых распространялась бы без возмущений, если бы не со-
вместное действие нелинейных и дисперсионных членов в пра-
вой части A.3). Как эволюционирует каждая из этих компонент
под действием этих новых влияний? Чтобы изучить этот вопрос,
КЗ стали искать решение A.3) в виде
у(х, t) = f(|, Т) + гуМ(х, *)+..., A.4)
где | = х — ct, T — et, и зависимость f от Т описывает эволю-
цию профиля f (|, Т) на больших расстояниях и временах по-
рядка 1/е. Уравнение для у<'> имеет вид
УП> - сЭД) = 2cflT + c%f „ + сЩшг A.5)
Решение у<'> будет линейно расти по переменной |- = х + ct,
и асимптотический ряд A.4) станет неоднородным на больших
временах, если только зависимость / от Т не выбрана так, чтобы
обратить правую часть A.5) в нуль. Полагая 6<7 = /5> т = с7/2,
получаем
+ 62<7u| = O, A.6)
т. е. уравнение Кортевега — де Фриза. Уединенной волне, наблю-
денной Расселлом, соответствует зависящее от параметра т)
решение в виде квадрата гиперболического секанса (б2 = 1)
-in;); A.7)
получающееся из периодического решения (кноидальной вол-
ны) предельным переходом к бесконечному периоду.
30
Глава 1
Из вышесказанного становится ясно, почему было необхо-
димо ввести второе приближение для центрированной конечной
разности yi+x — 2#; + i//_i. Если 62 = 0, то уравнение A.6) имеет
решения, становящиеся за конечное время разрывными. Напри-
мер, беря начальное условие в виде q(l, 0) = A/6) па cos 2я?,
соответствующем начальным условиям у (х, 0) = a sin 2nx,
yt{x,0) = 0 (напомним, так как yt(x, 0) = 0, распространяться
вправо будет только половина начального профиля). Макси-
мальный отрицательный наклон q^ увеличивается монотонно от
—я2а/3 при ^ = 0 до —оо при t=l/(n2aec). Таким образом,
0,5 1,0 1,5
Нормированное расстояние
2,0
Рис. 1. Развитие во времени формы волны q(x) (по [6]).
наивная непрерывная аппроксимация системы A.2) становится
непригодной. При конечных, но малых б2 возникает другая кар-
тина. Рис. 1, взятый из знаменитой работы Забуски и Крускала
1965 г. [6], в которой анонсируется солитон, показывает ре-
зультат их численных расчетов, в которых для решения урав-
нения КдФ A.6) была использована схема с центрированной
разностью, сохранявшая массу и (приблизительно) энергию.
Они взяли периодические граничные условия, и начальный про-
филь был синусоидальным. Сначала участки с отрицательными
уклонами становились более крутыми, после чего член с третьей
производной приводил к образованию вблизи максимумов и
слева от них тонкой структуры в виде колебаний с длиной вол-
ны б (см. рис. 1, профиль В). Со временем колебания разделя-
лись, образуя цепочку распространяющихся вправо импульсов.
При этом самый большой импульс оказывался самым правым,
и каждый из них, казалось, сохранял свою индивидуальность и
История солитона 31
имел скорость, пропорциональную его амплитуде. Каждый из
этих импульсов приближенно может быть описан солитонным
решением A.7), хотя, строго говоря, это решение описывает изо-
лированный импульс на бесконечной прямой. Вследствие перио-
дических граничных условий солитонные импульсы последова-
тельно возобновлялись на левой границе, и вследствие большей
скорости большие импульсы набегали на меньшие. И тут ис-
следователи обнаружили удивительное явление. В то время как
в ходе взаимодействия два импульса вели себя самым нели-
нейным образом, после него они восстанавливались в таком
порядке, что больший оказывался впереди, при этом каждый
из них в точности сохранял свою индивидуальность (высота, ши-
рина и скорость). Единственным свидетельством столкновения
был фазовый сдвиг: больший импульс оказывался сдвинутым
вперед по отношению к положению, которое бы он занимал,
если бы распространялся без столкновения, а меньший — назад.
Если два импульса были почти одинаковыми, при взаимодей-
ствии импульсы, казалось, обменивались своими характеристи-
ками, так что передний и меньший импульс становился выше
и уже, как только к нему подходил передний фронт большего
импульса, который в свою очередь приобретал характеристики
меньшего. Если импульсы были существенно разной амплитуды,
больший адиабатически проходил сквозь меньший. Для проме-
жуточного соотношения амплитуд взаимодействие было более
сложным. Впоследствии, анализируя взаимодействие, Лаке [14]
A968) строго обосновал эти наблюдения.
Такое поведение импульсов было, в самом деле, очень не-
обычным. Они заслуживали специального названия, и они его
получили. Их назвали солитонами, чтобы подчеркнуть их час-
тицеподобные свойства. После многократного повторения про-
цесса прохождения сквозь решетку из остальных солитонов их
прежнее относительное положение восстанавливалось, и они об-
разовывали тонкую структуру с постоянно уменьшающимся
отрицательным наклоном, пока почти полностью не восстанав-
ливался начальный синусоидальный профиль. Этот процесс
представляет собой зеркальное отражение (как во времени, так
и в пространстве) первоначального распада исходного профиля.
Время, через которое импульсы сливаются в начальный про-
филь, называется временем возвращения. Причина этого «почти
возвращения» за такое короткое время состоит в том, что на-
чальный профиль распадается на относительно небольшое число
солитонов. Время возвращения можно оценить как минималь-
ное время, за которое импульсы, двигающиеся по окружности
длины L с различными постоянными скоростями, снова попадут
в общую точку.
32 Глава 1
Эта картина является только аппроксимацией точного ре-
шения по двум причинам. Во-первых, как было показано в бо-
лее поздних работах 1976 г., если начальный профиль аналити-
чен по |, решение A.6) при периодических граничных условиях
может быть приближенно так называемым «конечнозонным»,
являющимся второй логарифмической производной от в-функ-
ции Римана, зависящей от векторного аргумента kfe + ш/т, /=
= 1, ..., N, где N— число степеней свободы. Это эквивалент-
но высказыванию, что для гладкого начального профиля боль-
шая часть энергии распределяется по относительно небольшому
числу солитонных состояний. Для больших N ширины зон экс-
поненциально малы. Если N=1, то конечнозонное решение
становится периодической эллиптической функцией
где т2 = (и — P)/(a — у), а > р > у, и мы приняли 62 = 1.
В пределе бесконечного периода, т2->1, получаем A.7) с а =
= 2ц2, если мы накладываем условие q-*-Q при х-+±°о. Во-
вторых, в то время как по ? решение периодично (поскольку
периодичен начальный профиль), по т оно только квазиперио-
дично, так как частоты ©;, вообще говоря, несоизмеримы. Таким
образом, время «возвращения» определяется рациональной ап-
проксимацией частот, соответствующих энергонесущим модам
(зонам). Точность возвращения поэтому является функцией чи-
сла таких мод и выбранной точности аппроксимации их час-
тот1).
В любом случае странные свойства взаимодействия солито-
нов вместе со свойством «почти возвращаемости» к начальному
состоянию все более и более указывали на полную (в некото-
ром смысле) интегрируемость КдФ, что должно было бы быть
связано с большим количеством сохраняющихся величин. Од-
нако исследователи были далеки от мысли о связи с теорией
гамильтоновых систем, и мотивировка поисков законов сохра-
нения пришла с другой стороны. Перед тем как описать это,
я должен отметить важную и плодотворную роль численного
экспериментирования в этих открытиях, как это часто подчер-
кивает Забуски. (Я очень рекомендую его статью [10].) Это
был первый случай в истории науки, когда исследователи по-
лучили доступ к новой могучей силе — вычислительной технике.
') Более точно было бы сказать, что время возвращения в случае об-
щего положения определяется допускаемым отклонением конечного состояния
от начального, а это допустимое отклонение в свою очередь определяет точ-
ность рационального приближения частот. — Прим. перев.
История солитона 33
В самом деле, в течение немногих последних лет мы видели
непрекращающиеся свидетельства того, как этот новый стиль
исследования — комбинация анализа и численного эксперимен-
та — становится все более важным в научном открытии. Стран-
ный аттрактор, новое и фундаментальное понятие теории дина-
мических систем, играющее центральную роль в нынешних по-
пытках понимания некоторых видов турбулентности, тоже был
открыт на этом пути.
Теперь предостережение. Тот факт, что у уравнения есть
решения типа уединенной волны, сохраняющие свою форму в
процессе нелинейного взаимодействия, часто рассматривается и
как лакмусовая бумажка на наличие солитонов, и как опреде-
ление солитона. Я хочу предостеречь читателя, что это условие
только необходимо. Есть уравнения (например, в A.54) заме-
ните D\ на D%)> допускающие двухфазные решения типа уеди-
ненных волн (и поэтому асимптотическая форма каждого та-
кого индивидуального решения сохраняется после столкнове-
ния), но тем не менее они не обладают всеми необходимыми
свойствами, чтобы их можно было отнести к солитонному клас-
су. Надлежащее определение солитона включает его связь
с определенным типом данных рассеяния задачи на собственные
значения. Это мы обсудим в разд. 1е. Тем не менее численное
моделирование столкновения двух уединенных волн для про-
верки их поведения в процессе их взаимодействия является
очень полезным. Более хорошим тестом служит в добавление
к проверке столкновения двух уединенных волн проверка упру-
гости взаимодействия уединенной волны с другими частными,
но локальными решениями уравнения. В случае КдФ, например,
можно сталкивать уединенную волну с волной понижения.
Id. Законы сохранения и преобразование Миуры. Следую-
щий шаг в серии открытий был сделан в результате попытки
описать решение A.6) при малом б2 усреднением по осцилля-
циям тонкой структуры решения. Эта процедура, естественно,
пригодна не для всех времен и должна быть изменена, когда
тонкая структура развивается в четкую солитонную цепочку,
как на рис. 1(С). Тем не менее она может позволить исследо-
вать замечательные свойства (типа обратимой ударной волны)
той части решения, где q^ велико. Следовательно, по аналогии
с газовой динамикой важно найти законы сохранения, для того
чтобы можно было записать условия на скачках в областях
резких изменений решения. Нужно знать четыре таких вели-
чины (число характеристических скоростей до и после скачка
плюс положение самого скачка) вместо трех для обычной
2 А. Ньюэлл
34 Глава 1
газовой динамики. Два закона сохранения
+b2qxx)x = 0, A.8)
соответствующие сохранению массы и импульса A.8) и энер-
гии A.9) для волн на воде и сохранению импульса и энергии
для нелинейной пружины, были уже известны. Уизем, развив-
ший к этому времени плодотворную теорию для изучения мо-
дулированных периодических волн, нашел третий, соответствую-
щий знаменитому моменту неустойчивости Буссинеска. Забуски
и Крускал искали и нашли четвертый, и их метод поиска (на-
хождение уравнений для коэффициентов всех членов веса 4,
5, 6 и т. д. при условии, что вес q есть 1, а вес д/дх равен 1/2)
указал, что уравнения для коэффициентов на стадии 6 (как и
для следующих) переопределены, и поэтому они были не очень
удивлены, когда не нашли закона сохранения этого веса. Од-
нако они сделали алгебраическую ошибку, и прошло более
года, прежде чем они вновь двинулись по этому пути.
Следующий шаг вперед был сделан с привлечением Роберта
Миуры, которого Крускал попросил попытаться отыскать за-
кон сохранения веса 7. Он нашел его и быстро получил пропу-
щенный вес 6. Вскоре были найдены восьмой и девятый, и Кру-
скал и Миура стали вполне уверены, что их бесконечное число.
Однако из Института Куранта пришел слух, что девять — это
предел. (Что исследователи на самом деле открыли — это нечто,
что они сочли изменением в алгебраической структуре.) Миура
после этого почувствовал себя обязанным найти десятый. Он
сделал это в течение двух недель каникул в Канаде летом
1966 г. (Есть также молва, что его видели примерно в это же
время на горе Синай, несущего все десять.) Теперь было ясно,
что есть законы сохранения любого веса. (Каждый закон со-
хранения имеет вид (dl)/dt)-\-(dF/dx) = Q; U называется со-
храняющейся плотностью, a F — соответствующим потоком. Им
может быть приписан вес, получающийся сложением степени q
с половиной числа операций 8{д/дх) в каждом члене в этих
величинах. Например, вес q — единица, веса 3q2 и &2qxx оба
равны двум, 1qb, f>2qqxx и 52qx все имеют вес три и так далее.
Вес закона сохранения определяется по весу сохраняющейся
плотности.) Как их найти и к какого рода ограничениям на
решения уравнения КдФ они могут привести —эти вопросы вол-
новали исследователей. Первоначальная мотивировка поиска
законов сохранения временно стала неактуальной. Внезапно
появилось слишком много независимых законов сохранения, и
История солитона 35
все условия на скачке (соотношения Рэнкина — Гюгонио), вы-
водящиеся из этих законов, должны были быть совместными.
Как часто бывает с новыми открытиями, этот вопрос уже не ка-
зался таким важным, как раньше.
К слову сказать, до сих пор так и не ясно, почему тепло-
проводность твердых тел конечна!
«Ключ» нашел Миура [11]. Он обнаружил, что модифици-
рованное уравнение Кортевега — де Фриза (мКдФ)
vt + 6v2vx + vxxx = 0 A.10)
тоже имеет бесконечное число законов сохранения, и ему уда-
лось установить соответствие между ними и соответствующими
законами сохранения КдФ с помощью преобразования, нося-
щего теперь его имя:
q = v2-ivx. A.11)
Начиная с этого места, мы будем писать х, t вместо |, т и при-
мем б2 = 1. В действительности Миура показал, что
qt + 6<7<7* + Чххх = Bv-i -§^) (vt + Qv2vx + vxxx), A.12)
и поэтому если v(x, t)—решение A.10), то q(x,t)—решение
A.6). Далее, так как A.11) представляет собой уравнение Рик-
кати, преобразование Миуры может быть линеаризовано:
A.13)
в результате чего воз :т уравнение Шрёдингера с нулевой
энергией
A.14)
В силу галилеевской инвариантности уравнения A.6) ничего
не изменится, если к q добавить постоянную скорость Я, после
чего A.14) принимает вид
o, A.15)
т. е. становится стационарным уравнением Шрёдингера с по-
тенциалом V(x) = —q(x, t) и энергией Е = %. (Замечание: вре-
менная переменная в нестационарном уравнении Шрёдингера
не имеет ничего общего с временем t в уравнении КдФ.) Те-
перь уже в наличии имеются все составляющие, из которых
должно появиться обратное преобразование рассеяния1). На
этой стадии Гарднер и Грин объединили свои усилия.
'') В литературе иа русском языке принят термин «метод обратной за-
дачи рассеяния» (МОЗР).
2*
36 Глава 1
Перед описанием дальнейших событий имеет смысл описать
гарднеровскую модификацию преобразования Миуры, автома-
тически включающую Я и приведшую к идее, что бесконечное
число сохраняющихся величин какого-либо уравнения может
быть выведено из одной сохраняющейся величины для другого
уравнения, если только их решения связаны преобразованием
специального вида (вариантом преобразования Бэклунда).
Гарднер положил
q = xso -f- hwx -f 82да2 A.16)
и получил эквивалент A.12) в виде
Яг + bqqx + qxxx = A + 2е2да -f ie -^) (wt+6 (да-f e2©2) wx + wxxx).
AЛ7)
После линеаризации A.16) подстановкой
^ + i=T^ 0-18)
A.16) принимает вид
() = 0. A.19)
Теперь выразим да через q и его производные в виде асимптоти-
ческого ряда по е при малых е (мы увидим позднее, что асимп-
тотическое разложение ф для больших Я очень существенно
в теории) и найдем, что
да = q-isqx - в2 (qxx + q2) + ... . A.20)
Так как \ wdx постоянно во времени, если интеграл берется
по бесконечной прямой и q стремится к нулю вместе со всеми
своими производными при x-v±oo, или по интервалу при пе-
риодических граничных условиях, то не зависят от времени
\ qdx, \q2dx, \(q3 — A/2)^2W;ch т. д. Таким образом, из пер-
вого закона сохранения для уравнения да* + 6(ш + s2w2)wx-\-
+ Wxxx=0 получается бесконечное число законов сохранения
для уравнения КдФ.
1е. Обратное преобразование рассеяния [12]. Получив урав-
нение A.15), естественно спросить: если потенциал —q(x,t)
эволюционирует в соответствии с уравнением КдФ
+ Яххх = 0. A-21)
то как меняются %(t) и ф(х, t)? Мы рассмотрим случай, когда
q определено на всей вещественной прямой, —оо < х < оо, и q
История солитона 37
обращается в нуль вместе со всеми своими производными в
±оо. Это можно сделать, подставив q из A.15) в A.21). Путем
прямой подстановки получаем
= o, A.22)
где Q = qpf — уххх — 3(А, — Я)ц>х- Если <р квадратично интегри-
руема и обращается в нуль при *->±оо, то Xt = O. Таким об-
разом, дискретные собственные значения %п < 0, п=\, 2 N
уравнения A.15) — интегралы движения. Оставшаяся часть
A.22) дает
$5 A.23)
и, так как ф обращается в нуль в ± оо, D = 0. Мы примем
такую нормировку собственных функций связанных состояний
Ф„, что ф„~ехрУ— %пх при х-*- — оо. Таким образом, С„ =
= 4(—Л„K'2, и если ф„ ~ bn (f) ехр (— У—Л„ х) при #-»-+оо, то
bnt = 8(-lnfl4n A.24)
и bn(t) = bn@)exp(8(—%пK'Ч). Для А, = ?2>0 решение A.15)
при больших |*| представляется линейной комбинацией из
е±1&. Мы наложим на ф граничные условия
ер ~ e-'t* + Я (?, Ое*С* при лг^оо, A.25а)
~ Г ft, /) e-'t*. х -+ - оо. A.25Ь)
При обычной квантовомеханической интерпретации A.15) ко-
эффициенты единица в A.25а) и (подразумеваемый) нуль в
A.25Ь) указывают на заданное стационарное излучение, исхо-
дящее только из х — ±оо. Коэффициенты прохождения Т(%, t)
и отражения /?(?, t) удовлетворяют, как будет показано в гл. 3,
условию |Г|2+ |#|2= 1. Спектр для Я > 0 непрерывен, и мы
можем считать Я константой, так что вновь справедливо A.23)
при условии D = 0. Поскольку мы приняли нормировку ф на
-foo, C = 4it,3. Подставляя A.25а, Ь), получаем
Г«(С. ') = <>, Rt(t, t) = 8i?R (g, t). A.26)
Это означает, что коэффициент прохождения как функция %
является интегралом движения, а коэффициент отражения
/?(?, t) эволюционирует очень просто — от времени зависит
только его фаза, причем линейно.
С начала 1950-х гг. было известно, что потенциал —q(x)
уравнения Шрёдингера может быть полностью восстановлен по
так называемым данным рассеяния
S = {{K> bn)i> ^ (О, С вещественно}. A.27)
38 Глава 1
По 5 может быть вычислен также и коэффициент прохождения
Г(?). Но если известны данные рассеяния 5 для q(x, 0) при
^ = 0, то A.24) и A.26) позволяют нам вычислить S(t) очень
просто. Следовательно, q(x, t) может быть найдено для любого
времени t. Процедура восстановления потенциала включает ре-
шение линейного интегрального уравнения, уравнения Гельфан-
да — Левитана — Марченко. Эта и многие другие детали будут
выведены в гл. 3. А сейчас заметим, что общее решение A.21)
включает несколько компонент. Солитоны, распространяющиеся
с положительной скоростью, являются физическим проявлением
дискретного спектра, каждый солитон соответствует одному соб-
ственному значению. Вне области взаимодействия (при t =
= ±оо) каждый солитон имеет высоту, ширину и скорость, про-
порциональные —Яп, V—кп и —Яп соответственно. Его поло-
жение в любой момент времени может быть вычислено с по-
мощью Ъп. Непрерывному спектру соответствует компонента ре-
шения, которая, хотя и нелинейна, имеет многие характерные
черты решения линеаризованного уравнения A.32). Амплитуда
группы волн, связанной с волновым числом ?, измеряется ве-
личиной |#(?)|, а ее положение — величиной Arg/?(?). Вблизи
х = 0 эти два решения объединяются. Это решение включает,
помимо всего прочего, автомодельное решение уравнения A.21)
и является довольно сложным, но в основном играет роль не-
линейной функции Эйри (Джон Грин любит морально-рели-
гиозную трактовку двух компонент решения, в которой солито-
ны— это душа решения, а компонента, возникающая из непре-
рывного спектра — это бренная плоть. Я полагаю, что от вашей
точки зрения зависит, какая из компонент заслуживает назы-
ваться хорошей). Если рассматривать различные компоненты
решения как нормальные моды нелинейной системы — и такое
рассмотрение полезно, — то следует специально выделить соли-
тонную часть, поскольку она является полностью новой и не
имеет линейного аналога.
Итак, суть применения МОЗР состоит в следующем. Инте-
ресующее нас уравнение
0 A.28)
переписывается как условие интегрируемости двух линейных
уравнений,
(-L + Я) Ф - Ф„ + (Я + q (X, 0) Ф = 0 A.29)
Вер = -4уххх - З^ф - 6w* + Сф = A.30а)
= (Чх + С) Ф + 4 (Я - q/2) ф, A.30Ь)
История солитоНа 3d
(где С определяется по выбранной для <р(х, t;%) нормировке).
Затем q(x,0) отображается в данные рассеяния 5@) уравне-
ния A.29). Эволюция S(t) проста и описывается линейно. Зная
S(t), мы восстанавливаем q(x,t). Схематически это выглядит
так:
q (х, 0) —> прямое преобразование —> 5 @)
I временная
ЭВОЛЮЦИЯ /| о 1 \
данных V1#O1/
Y рассеяния
q (X, t) *— обратное преобразование *— 5 (t).
Процедура полностью аналогична тому, как решается линеари-
зованный вариант уравнения A.28),
Ъ + Чххх = 0, A.32)
с помощью преобразования Фурье. Роль прямого преобразова-
ния здесь выполняет
оо
b(k,t) = -±\ д(х, t)er"«dx, A.33)
и b{k, 0) известно, если задано q{x, 0); временная эволюция
задается уравнением
bt(k, t) = ik3b(k, /). A.34)
Обратным преобразованием является
оо
q(x, 0= \ b(k, t)eikxdx. (I-35)
— оо
В самом деле, мы покажем, что МОЗР в линейном пределе сво-
дится к преобразованию Фурье.
Нам известно также, что мы можем интерпретировать и
A.28), и A.32) как бесконечномерные гамильтоновы системы;
каждую из них формально можно записать в виде
где 8/б<7 — вариационная производная функционала Гамильтона
H[q],T.e.
оо
llm 1 (Я [q + e&q] - Н [q]) = \ М- bqdx.
40 Глава 1
Уравнение A.36) аналогично выражению
*), A.37)
справедливому для конечномерных систем. Здесь z есть 2Л^-век-
тор (т. е. qi, ..., <7jv. Pi. •••> Pn), J — антисимметричная матри-
ца Г например, (-/^о*)) и V —оператор градиента (d/dqu ...
..., д/дрц)- В A.36) q(x) следует рассматривать как беско-
нечномерный вектор, д/дх — это заменяющий матрицу кососим-
метричный оператор и 8/8q — вариационная производная, заме-
няющая оператор градиента. Соответствующая сохраняемая по-
током два-форма ? 6^ Л 6pt есть
bq{y)dy\dx. A.38а)
Интеграл \ — это оператор, обратный к /, где / = д/дх. Функ-
ция Пуассона двух функций F и G есть
оо
Для A.21) гамильтониан Я= jj (j q\ — ?3) dx\ для A.32) Я =
— оо
оо
= \ -jq^dx. Преобразование Фурье — это каноническое преоб-
—оо
разование, связывающее старые координаты q(x), —оо < *<оо
и новые A = 2n\b\2/k, б = Argb(k, t), в которых два-форма
A.38)
ч ОО
6qdy\dx=\dA{k)A№{k)dk A.39)
/ 0
сохраняется1) (читателю следует проверить A.39) самостоя-
тельно); для тех, кто не знаком с обозначениями, 6qAbw озна-
чает 8iq82w — 62761а', где 6i и 6г — независимые вариации.
') Вопрос о перенесении скобки Гарднера на функционалы с неубываю-
щими при х —*¦ ±<х> плотностями решается в работе Фаддеева и Тахтад-
жяна [1*]. Скобки Гарднера и Фаддеева—Тахтаджяна не каноничны в
k = 0. Каноническая скобка для КдФ построена в работе Аркадьева, По-
гребкова и Поливанова [2*]. Скобка Фаддеева — Тахтаджяна получается из
канонической наложением связи. — Прим. перев.
История солитона 41
В A.39), так как wx = q, не следует рассматривать q(x) и
w(x)= \ q(y)dy как сопряженные переменные. Скорее, сле-
— оо
дует смотреть на A.39) как на непрерывный предел выражения
V bqf. С другой стороны, новые координаты А и 6 яв-
{
ляются сопряженными. Из A.34) имеем
At = 0, Qt = k?, A.40)
что суть уравнения Гамильтона
л ^^ л ^^
где
1 г if
ti ¦— -jr* \ q clx — ^т- \ /гл \*^/ cirZ*
& j * ^ j
—оо 0
Точно так же обратное преобразование рассеяния является ка-
ноническим преобразованием, связывающим старые координаты
(q(x), —оо <; х <; оо) с новыми — данными рассеяния S, задан-
ными по A.27).
Гарднер [13] первым осознал, что уравнение КдФ может
быть записано в гамильтоновом виде. Впоследствии Захаров
и Фаддеев [13] показали, что это уравнение может быть интер-
претировано как полностью интегрируемая гамильтонова систе-
ма. Для конечномерной системы размерности 2N термин полная
интегрируемость означает, что система обладает N независи-
мыми интегралами движения F/(p,q) (p = (pi, ..., Pn), q =
= {q\, ..., qw)), /=1» •••, N, которые находятся в инволюции
по отношению к скобке Пуассона. В этом случае можно опреде-
лить N переменных действия (как функции F/) и N соответ-
ствующих угловых переменных. Для бесконечномерных систем
все это выглядит более формально. По отношению к ним мы
будем использовать термин «полная интегрируемость» для обо-
значения того факта, что можно найти бесконечное число но-
вых координат, аналогичных переменным действие — угол, та-
ких что первые являются интегралами движения, а вторые
меняются линейно со временем. Как читатель может уже дога-
даться, переменные действия являются функциями бесконечного
числа сохраняющихся плотностей.
Теперь следует сделать еще одно замечание о временной
зависимости преобразованных переменных и о том, в каком
смысле задача на бесконечной прямой для A.28) (q{x, fy-^O,
42 Глава 1
при всех t) проще, чем периодическая задача (q{x, t) =
— q(x-\- P,t), x и t произвольны). В первом случае мы знаем
q в двух точках интервала, а именно х = ±оо во все моменты
времени. В самом деле, данные рассеяния являются мерой того,
как меняются асимптотические решения A.29) (ехр(± i л/hx))
по мере того, как х пробегает интервал между —с» и +оо. Из
A.30) можно видеть, что в ±оо производная по времени от
q>(oo,t;t,) не зависит от q, так как там q и его производные
равны 0. Во второй, периодической, задаче q не известно во все
моменты времени ни для одной точки интервала [0, Р]. И вслед-
ствие этого временная зависимость данных рассеяния намного
сложнее.
Оба этих случая кардинально отличаются от метода, с по-
мощью которого линеаризуется уравнение Бюргерса щ = ихх +
+ 2иих. Это уравнение может быть записано в виде условия ин-
тегрируемости уравнений ц>х = иц> и <p? = (и2 + их) <р. Хотя и ка-
жется, что временная эволюция у(х, t) зависит от знания и(х, t),
это в действительности не так, поскольку («2 + их)ц> = ц>хх. По-
этому после подстановки ф* = иц> для <р получается линейное
уравнение теплопроводности. Для уравнения КдФ на бесконеч-
ной прямой уравнение для q>(x, t;i) не линеаризуется. Вместо
этого появляется свободный параметр Я, и A.28) является усло-
вием интегрируемости для A.29) и A.30) для всех Я. Поэтому,
не зная функцию q>{x, t;k) при всех х и Ч, мы знаем ее при
всех t и % в точках х = ±оо.
If. Уравнение Лакса [14]. Несмотря на то, что временная
динамика угловых переменных более сложна, но как периоди-
ческий, так и быстроубывающий случай обладают тем ключе-
вым свойством, что если q(x, t) эволюционирует согласно A.28),
то спектр оператора L в A.29), рассматриваемого как оператор
в L2(R) (/?=(—оо, оо) или [0, Р]), остается неизменным. Это
свойство было элегантно сформулировано Лаксом A968) в той
же статье [14], в которой он исследовал двухсолитонное взаи-
модействие. Он заметил, что если оператор L(t) (в данном слу-
чае— самосопряженный) и L@) имеют одинаковые спектры, то
они унитарно эквивалентны, т. е. существует унитарный опера-
тор U{UU* = U*U = I, т. е. равны тождественному оператору),
такой что
L(t)U(t) = U(t)L(O). A.41)
Таким образом, если <р(х, 0; Я) является собственной функцией
оператора L = — (d2/dx2) — q(x) при t = 0 с собственным зна-
чением Я, то ц>{х, /;Я)= U(t)q>(x,0;K) есть собственная функция
оператора L{t) с тем же собственным значением. Это видно
История солитона 43
прямо из A.41), поскольку L(t)[U{t)^{x, 0; X) = W(t)(p(x, 0; X).
Дифференцирование A.41) по времени дает
Lt = BL-LB = [B, L], A.42)
где B = UtU* — кососопряженный оператор. Уравнение A.42)
называется уравнением Лакса, a L и В — парой Лакса. Заме-
тим, что В может быть получен из таких соображений:
<pt{x,t;b)=Ut<p{x,O-A)=UtU*<p{x,t;%). Для КдФ из A.30)
получаем В в виде (напомним, что Хц>х = —Ц>ххх — (qq>)x)
Оказывается, что все интегрируемые уравнения типа КдФ мо-
гут быть представлены в форме Лакса. Как показал Лаке, су-
ществует бесконечная последовательность дифференциальных
по х операторов В всех нечетных порядков и поэтому бесконеч-
ное семейство потоков qt, сохраняющих спектр L. Мы получим
формулы для них в гл. 3. Читатель может прямым вычислением
проверить, что A.42) — это на самом деле A.21).
lg. Спонтанные явления в нелинейной оптике и преобразо-
вания Бэклунда. Приблизительно тогда же, когда были до-
стигнуты эти успехи, солитон появился в совершенно новом кон-
тексте, а именно при распространении ультракоротких A0~12 с)
оптических импульсов в резонансных средах. В 1967 г. Макколл
и Хан [15] открыли язление самоиндуцированной прозрачно-
сти — эффект, при котором передний фронт импульса вызывает
инверсию заселенности атомных уровней, в то время как задний
фронт возвращает заселенность в начальное состояние путем
индуцированного излучения. Этот процесс реализуется, если
время его осуществления мало по сравнению с временем фазо-
вой памяти среды и импульс достаточно интенсивен, чтобы вы-
звать инверсию заселенности. Если мы предположим, что среда
состоит из атомов с двумя невырожденными уровнями, и пре-
небрежем эффектами неоднородного уширения (вызванное доп-
плеровским сдвигом несоответствие между несущей частотой
входящего импульса и разностью между энергиями двух уров-
ней), то процесс может быть описан в терминах одной, полевой
переменной, подчиняющейся уравнению sin-Гордон
uxt = s'\nu, A-44)
где х — расстояние от границы среды, t — время (растянутое)
и ди/дх пропорционально амплитуде огибающей электрического
поля Е(х, t).
44 Глава 1
Это уравнение было известно в течение длительного времени.
Очень давно оно исследовалось в связи с теорией поверхностей
постоянной отрицательной кривизны. В частности, А. Ф. Бэк-
лунд (см. [16]) открыл, что новое решение (или поверхность)
Ui(x,t) может быть получено из старого uo{x,t) преобразова-
нием
«и ~ «о* = 4i? sin -^Цр-, A.45а)
и» + «о/ = 7Г sin "' ~2 "° ' A.45Ь)
Такие преобразования известны как преобразования Бэклунда
(определение мы дадим позже в гл. 4) и позволяют очень про-
сто конструировать многосолитонные решения. Например, возь-
мем «о = 0; интегрируя A.45), получим
щ = ± 4 arctg exp-f—2t\x—o~)> A-46)
что описывает импульс и, для которого соответствующая оги-
бающая электрического поля Е равна 4т] sech Bцх + t/2i\) и
00
площадь \ Edx = и (оо) — и (—оо) равна 2я. Эти импульсы из-
— 00
вестны как 2я-импульсы и называются кинками (антикинками),
если и увеличивается (уменьшается) на 2я при х, изменяющем-
ся от —оо до -г-°°- Более сложные решения могут быть полу-
чены шаг за шагом с помощью теоремы о перестановочности,
приписываемой Бьянки, которая может быть записана в виде
(Вывод этой формулы я оставляю читателю в качестве упраж-
нения.) Более сложные решения известны как Оя-импульсы
(и меняется на 2я на полуоси (—оо, 0] ив противоположную
сторону на [0, +оо), этот импульс представляет собой супер-
позицию кинка и антикинка) и как 4я-импульсы (суперпозиция
двух кинков).
Так же как и уравнение Кортевега —де Фриза, уравнение
sin-Гордон возникает во многих приложениях:
A) как модель для описания дислокаций в кристаллах (в этой
задаче Зегер, Донт и Кохендорфер [17] нашли 2я-импульс
с помощью преобразования Бэклунда еще в 1953 г.);
B) в теории поля (мы уже упоминали работу Перринга и
Скирма [18]);
История солитона 45
C) как модель джозефсоновского контакта в теории сверхпро-
водимости (и описывает разность фаз волновых функций
по разные стороны контакта).
Оно описывает также наглядную механическую модель, пред-
ложенную Скоттом, представляющую собой цепочку маятников,
подвешенных к горизонтальной проволоке так, что каждый ма-
ятник может вращаться вокруг этой оси, закручивая ее. При
этом и(Х,Т) представляет собой угол поворота, измеряемый
от вертикали. После замены х = (Х + Т)/2, t = (X—Г)/2 урав-
нение A.44) принимает вид
итт — ихх + s'n и = 0. A-48)
Кинк представляет собой закрутку проволоки на угол 2я про-
тив часовой стрелки. Антикинк имеет противоположную ориен-
тацию.
Не хотелось бы оставить обсуждение уравнения sin-Гордон,
не упомянув о важном вкладе, внесенном в этот вопрос Джорд-
жем Лэмом. В серии из нескольких статей, подытоженных в
1971 г. в статье [20], он подверг тщательному анализу физи-
ческие приложения многосолитонных и автомодельных реше-
ний уравнения sin-Гордон. Он предвидел, что уравнение sin-Гор-
дон является близким родственником уравнения Кортевега —
де Фриза. И он независимо открыл «обратный» метод его ре-
шения. Нужно отдать должное этому скромному человеку (ред-
кая порода!), который даже удержался от соблазна перечислить
свои достижения в своей собственной книге и внес в список ли-
тературы лишь одну из своих работ.
lh. Солитонный бум и результаты 1970-х. При всем том
объеме знаний, который был накоплен к 1967 г., кажется до-
вольно удивительным, что потребовалось пять лет, чтобы доба-
вить к КдФ новое интегрируемое уравнение. Многие восприни-
мали результаты по интегрируемости КдФ как трюк, изощрен-
ное преобразование типа преобразования Хопфа — Коула (см.
также Форсайт, т. 6, с. 100, где линеаризация уравнения Бюр-
герса дана в качестве упражнения). Однако в 1971 г. Захаров
и Шабат [21] нашли пару Лакса для нелинейного уравнения
Шрёдингера, еще одного универсального уравнения, о котором
говорится в основном в гл. 2. Результат Захарова — Шабата,
Потсдамская конференция 1972 г. и лекции Крускала о уравне-
нии sin-Гордон вызвали мощную волну интереса к этим пробле-
мам. Вадати [22] нашел постановку, в рамках которой можно
проинтегрировать модифицированное уравнение Кортевега —
де Фриза (мКдФ). Абловиц, Кауп, Ньюэлл и Сегур (АКНС)
46 Глава 1
[23], руководствуясь несколькими ключевыми наблюдениями
Крускала, решили уравнение sin-Гордон (независимо решенное
Лэмом и, несколько позднее, Фаддеевым и Тахтаджяном) и
вслед за этим показали, как выписывать полный набор урав-
нений (АКНС-иерархия), решаемых с помощью задачи Заха-
рова — Шабата на собственные значения
v2x — it,v2 = r(x, t)vt.
К. этому времени стало ясным, как обращаться с любой за-
дачей на собственные значения и выписывать эволюционные
уравнения, оставляющие неизменным ее спектр. По всему миру
начался солитонный бум.
Появились результаты по более трудным задачам. Было
показано (Флашка, Хенон), что цепочка Тоды (см. [24])
Mn<i = eun+1-"«_eun-u«-i A.50)
является интегрируемой моделью. Она оказала такое же плодо-
творное воздействие в области нелинейных дифференциально-
разностных уравнений, как и КдФ в области уравнений с част-
ными производными.
Периодическая задача для КдФ была решена в несколько
этапов несколькими авторами в течение и после 1976 г. Первым
открытием было так называемое конечнозонное решение, для
которого спектр периодической и антипериодической задач для
оператора A.29) с периодическим потенциалом q(x) (уравне-
ние Хилла) состоит из Bп -f- 1) простых собственных значений
А-оДь ..., %2п, а все остальные сдвоены (Макин и Ван Мёрбеке
[25], Новиков [26], Итс и Матвеев [27], Кричевер [28]). Бес-
конечнозонный предел был рассмотрен Макином и Трубовицем
[29]. Многие результаты оказались переоткрытием более ран-
них работ Бейкера, Драха, Бёрчнелла и Чонди [30]. Пары
Лакса были также найдены для неодномерных уравнений.
В частности, мы будем обсуждать некоторые результаты, ка-
сающиеся уравнения Кадомцева — Петвиашвили (КД)
± ?w + (ft + 6w*+ ?*«)* = 0 A-51)
(слабодвумерное уравнение Кортевега — де Фриза). Задача
с начальными данными для этого уравнения очень сложна и
была решена лишь недавно (Манаков [31], Абловиц, Фокаш
и Сегур [32]). Был также найден инстантон — солитон авто-
дуальных уравнений Рига — Миллса, а также конструкция ^-па-
раметрического инстантонного решения (Атья, Хитчин, Дрин-
История солитона 47
фельд, Манин [33]). Была также показана интегрируемость
нескольких других полевых уравнений, важных в нелинейной
физике.
Перед тем как завершить этот раздел, я хочу рассказать
об одном колоссе, В. Е. Захарове. В скольких областях внес он
свой вклад — уравнение Захарова в физике плазмы, его статьи
с А. Б. Шабатом, в которых впервые был дан общий метод по-
строения пар Лакса для уравнений с более чем одним про-
странственным измерением, его работа по самофокусировке и
его статья в сборнике, изданном Буллафом и Кодри [113] (см.
ссылки на «метод одевания» — построения иерархий решений).
Вы будете здесь часто встречать его имя.
li. Чудеса солитонов и необходимость создания объединяю-
щей точки зрения. Вместе с конструктивными методами по-
строения решений (МОЗР, преобразования Бэклунда, метод
Хироты) был открыт целый новый мир интегрируемых систем.
Метод Хироты [34], который я упомянул во введении, чрезвы-
чайно остроумен. Для уравнения КдФ он сводится к замене
q(x,t) = 2-^\nx(x,t), A.52)
приводящей к уравнению второго порядка для х(х, t),
™xt - V* + "W - *v«« + Чх = о. A.53)
которое Хирота переписал в виде
+ Dx)x-x = 0, A.54)
где Dx, Dt — введенные им новые дифференциальные операторы.
Обозначения я объясню в гл. 4. Из A.53), A.54) довольно про-
сто могут быть получены N-солитонные и рациональные реше-
ния, если взять х(х, t) в виде суммы экспонент, фазы которых
линейно зависят от х и t, а также содержат произвольные кон-
станты (которые оказываются вышеупомянутыми сдвигами
фаз). Для N>2 уравнения на константы являются переопре-
деленными, но совместными. Что обеспечивает эту совместность?
Уравнение [pxDt + Dx) х • т = 0 имеет аналогичные свойства.
Однако (DxDt + Dx) т • т = 0 имеет только двухсолитонные ре-
шения.
Вначале метод Хироты рассматривался в основном как хит-
роумный трюк, придуманный для нахождения решений соли-
тонных уравнений. Было даже такое рабочее определение ин-
тегрируемых уравнений: пошлите ваше уравнение Хироте; если
вы его получите решенным в течение трех недель, то оно
48 Глава 1
интегрируемо. Однако недавно обнаруженные связи с квантовой
теорией поля и статистической физикой показывают, что метод
Хироты играет гораздо более существенную роль в теории, чем
полагали раньше. Я надеюсь продемонстрировать в этих лек-
циях один способ, с помощью которого метод Хироты может
быть связан с общей теорией. Я предполагаю также показать
ясную его связь со свойством Пенлеве [35], которому должны
удовлетворять интегрируемые системы. Это свойство, которое
я буду обсуждать в гл. 4, состоит в том, что единственными
особенностями интегрируемых систем, которые не фиксированы
и могут зависеть от начальных данных, являются полюса. Это
почти эквивалентно утверждению (не совсем, так как бывают
неподвижные особенности с весьма неприятными свойствами),
что т-функция Хироты аналитична по всем своим переменным.
И действительно, как мы покажем, для некоторых классов ре-
шений это так.
Что же тогда можно назвать общей теорией? Что это за
структура, связывающая воедино все возникающие в солитон-
ной математике чудеса? Чудеса включают: бесконечное число
законов сохранения, принадлежность бесконечному семейству
коммутирующих потоков (я объясню этот термин в гл. 3), га-
мильтонову структуру, формулировку Хироты и т-функцию,
свойство Пенлеве, связь с линейной задачей на собственные
значения, обратное рассеяние, изоспектральную, изориманову
поверхность, изомонодромные (последние два термина еще
должны быть объяснены) деформации [36], преобразования
Бэклунда.
Связующее звено, я полагаю, связано со следующим вопро-
сом: если дано эволюционное уравнение, как можно определить,
интегрируемо ли оно и обладает ли всеми этими замечательны-
ми свойствами? Первыми, кто дал достаточно разумный ответ
на этот вопрос, были Уолквист и Эстабрук [37], и свою версию
того, что они сделали, я опишу в гл. 5. По существу, они пы-
таются представить интересующее их эволюционное уравнение
в виде условия интегрируемости двух линейных уравнений, со-
держащих неизвестную переменную и ее производные по х
в качестве коэффициентов. В итоге они получают бесконечно-
мерную алгебру, или, иными словами, незамкнутый набор ком-
мутационных соотношений.
Наше утверждение (моими коллегами в этой работе были
Германн Флашка и Тюдор Ратиу) состоит в том, что метод
Уолквиста — Эстабрука указывает на то, что истинным фазо-
вым пространством, на котором живут все потоки, является
бесконечномерная алгебра Ли, которая для одномерных задач
изоморфна алгебре Каца — Муди. Эта алгебра может быть
История солитона 49
представлена как прямая сумма двух подалгебр, ортогональное
дополнение к каждой из которых дуально к другой. На дуаль-
ной алгебре есть естественные динамические структуры — скоб-
ки Пуассона и гамильтоново векторное поле. Частный класс
гамильтонианов порождает набор коммутирующих потоков, и
каждый такой поток является вполне интегрируемым уравне-
нием1). Важно подчеркнуть, что интегрируемые эволюционные
уравнения всегда возникают как члены бесконечного семейства.
Многие свойства из списка чудес оказываются естественными
следствиями этого факта [38], и мы с двух точек зрения отве-
чаем на вопрос:
«Какое отношение к КдФ имеет алгебра Ли si B)?»
Весь этот материал будет обсуждаться в гл. 5. Наша работа
служит дополнением к недавней работе групп из Киото [39]
(М. и Ю. Сато, Т. Мива, М. Дзимбо, М. Касивара, Е. Дэйт)
и Оксфорда [40] (Дж. Уилсон и Дж. Сегал).
') Более правильно было бы сказать «точно решаемым уравнением>.
Как показано в работах [3*], [4*], [5*], точная решаемость (означающая бес-
конечное число законов сохранения) не эквивалентна полной интегрируемости
для бесконечномерных гамильтоновых систем типа эволюционных уравнений.—
Прим. перев.
ГЛАВА
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ КОРТЕВЕГА —
ДЕ ФРИЗА, НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ
ШРЁДИНГЕРА И ДРУГИХ ВАЖНЫХ
В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКЕ
КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
2а. Набросок того, что мы собираемся сделать. Цель этой
главы — убедить вас в вездесущности и, следовательно, важно-
сти уравнения Кортевега — де Фриза (КдФ) и нелинейного
уравнения Шрёдингера (НУШ). Обсуждение этих уравнений
займет большую часть главы, а в последнем разделе я упомяну
вкратце другие канонические системы.
Уравнение КдФ появляется во всех тех ситуациях, когда
в главном порядке возникает гиперболическая система первого
порядка плюс малые нелинейные и дисперсионные члены. Это
уравнение описывает, как каждый из инвариантов Римана (ко-
торый в отсутствие нелинейности и дисперсии распространял-
ся бы вдоль соответствующей характеристики без изменений)
медленно и независимо меняется вследствие этих влияний. Мы
видели пример этого в первой главе. Там механическая система
описывалась в первом порядке линейным волновым уравнением,
а слабые нелинейность и дисперсия возникали вследствие ан-
гармоничности упругого потенциала и дискретности решетки
соответственно. Возмущение, первоначально сосредоточенное
внутри пространственного интервала первого порядка длины1),
на временных масштабах первого порядка будет распадаться
на идущие влево и вправо компоненты, как и полагается в ли-
нейном волновом уравнении. Однако на больших временах и
расстояниях, обратно пропорциональных нелинейности и диспер-
сии, последующая эволюция каждой компоненты будет описы-
ваться двумя независимыми уравнениями КдФ. В следующем
разделе мы покажем, как появляется КдФ в контексте длинных
волн на воде в узком и мелком канале. Я выбрал этот пример
по двум причинам. Первая — историческая, вторая состоит в
том, что он дает возможность наглядно представить и интуи-
тивно понять контекст, в котором ясно проявляется, как разного
рода другие влияния портят интегрируемость КдФ. В частности,
мы изучим, что будет происходить с длинными волнами в канале
с медленно увеличивающейся или уменьшающейся глубиной.
') Имеется в виду метод многих масштабов. — Прим. перев.
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 51
Отклик волн не будет чисто адиабатическим. Мы выведем так-
же уравнение (или я попрошу вас вывести его в качестве упраж-
нения), моделирующее ситуацию, когда все гребни волн не
совсем параллельны линии берега или друг другу. Это уравне-
ние называется уравнением Кадомцева — Петвиашвили (КП),
или иногда двумерным уравнением КдФ. Оно также обладает
замечательными свойствами. В упражнениях я попрошу вас
вывести уравнения для цепочки Тоды и подумать, в каком пре-
деле волны в этой решетке описываются уравнением КдФ. Мы
также встретимся с уравнением Буссинеска, которое, так же
как и уравнения КдФ и КП, обладает свойством интегрируемо-
сти, и мы обсудим, в каких ситуациях оно появляется.
Если на вас произвели впечатление разнообразные приложе-
ния, в которых возникает уравнение КдФ или родственные ему
уравнения, вас, без сомнения, удивит вездесущность нелиней-
ного уравнения Шрёдингера (НУШ) и уравнений, тесно с ним
связанных. Это есть уравнение на комплексное скалярное поле
q(x,t),
B.1)
* означает комплексное сопряжение. Оно описывает эволюцию
огибающей волнового пакета и в отличие от соответствующего
линейного уравнения срдержит в себе солитонное решение, во-
площающее концепцию волнового пакета. Для осуществления
такого решения необходимо, чтобы волновой пакет был сильно
диспергирующим, почти монохроматическим и слабонелиней-
ным. В B.1) х — это координата в системе отсчета, движущейся
с групповой скоростью линейных волн, соответствующей волно-
вому числу несущей волны, а само уравнение описывает баланс
между линейной дисперсией, стремящейся размазать пакет, и
фокусирующим действием кубичной нелинейности, возникающей
вследствие самовоздействия волн. Мы встретимся также с моди-
фикациями этого уравнения. Нелинейность не всегда имеет про-
стой вид q2q*, диктуемый типом взаимодействия q2e2iQ-q*e~iQ
(9 = kx — at), но может также включать среднюю (неосцилли-
рующую) компоненту р(х, t) вида pq. В некоторых случаях
среднее поле р алгебраически пропорционально qq*, и тогда
получается B.1). В других случаях B.1) дополняется другим
уравнением, связывающим эволюцию среднего поля р с про-
странственными производными от qq*. Вместо обширных вы-
числений, возникающих во многих физических ситуациях, я
предлагаю читателю анализ каждой из ситуаций в простейшей
нетривиальной постановке, подчеркивая те аспекты, которые от-
личают одну ситуацию от другой, и затем указывая читателю
на соответствующие работы.
52 Глава 2
Я хочу также ввести некоторые связанные с этим уравне-
нием понятия и показать их связь с НУШ. В частности, мы
увидим, как получать НУШ предельным переходом из теории
Уизема, предназначенной для описания эволюции полностью
нелинейных волновых пакетов в слабо изменяющихся условиях.
Этот предел не вполне тривиален и не очень известен в ли-
тературе. Мы также познакомимся с эффектами большего числа
пространственных измерений. В противоречии с обычной нашей
интуицией замена в B.1) д2/дх2 на V2 при знаке плюс перед
нелинейностью приводит к усилению фокусирующих свойств
уравнения до такой степени, что решения становятся локально
неограниченными за конечное время. Это явление фокусировки
широко распространено в физике и встречается в плазме в виде
коллапса ленгмюровских волн и в оптике при самофокусировке.
Естественно, что когда амплитуда пакета и величина, обратная
его ширине, становятся очень большими, теряют применимость
те предположения, в которых были выведены уравнения, и тре-
буется новое описание. Тем не менее уравнение все же описы-
вает начальную стадию процесса локальной самофокусировки
волн.
2Ь. Длинные волны малой амплитуды в канале слабо ме-
няющейся глубины. Уравнения типа КдФ [41], [42], [43].
В этом разделе мы возвращаемся к модели, с которой все на-
чалось. Мы хотим аккуратно вывести уравнения КдФ для волн
на воде. Следуя статье Джонсона [44], мы включим также
влияние слабо меняющейся глубины и коснемся методов реше-
ния возникающего в результате возмущенного уравнения Кор-
тевега — де Фриза. В конце раздела сделаны некоторые заме-
чания об уравнении Буссинеска (двухволновом) и Кадомцева —
Петвиашвили (слабодвумерном КдФ).
Рассмотрим следующую ситуацию, изображенную на рис. 2.
(Отношение масштабов амплитуды и длины возмущения сильно
изменено так, чтобы на рисунке поместилось все необходимое.)
Рассмотрим двумерное безвихревое поле скорости U (х, у, t)
жидкости в односвязной области, ограниченной независящей от
времени границей «/ = —Н(х) и свободной поверхностью «/ =
= Ло + N(x, t). Условия на концах х = —оо, +°° останутся
пока неопределенными, но мы будем представлять себе, что в
этих точках глубина жидкости постоянна. Мы также введем
потенциал скорости U = Уф.
Предположим также, что рассматриваемые возмущения
имеют следующие свойства. Их горизонтальный размер I ве-
лик по сравнению со средней глубиной Ао: г = Щ112 <; 1. Их
амплитуда а мала по сравнению со средней глубиной Ао, так
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза
53
что a/ho = ц <С 1. Интересующее нас явление происходит, когда
эти две величины одного порядка. Кроме того, расстояния, на
которых дно заметно меняется (на величину порядка единицы)
больше /. Помня все это, обезразмерим зависимые и независи-
мые переменные следующим образом:
l y-+hoy, t-+—=t,
/ё* B.2)
Здесь g — ускорение силы тяжести, и в соответствии с послед-
ним предположением мы полагаем, что hx = shx, Х = гх и hx
Рис. 2. Уединенные волны, распространяющиеся по каналу переменной
глубины.
самое большее порядка единицы. В этих безразмерных пере-
менных уравнение неразрывности, граничное условие на нор-
мальную скорость при у = —А, условие непрерывности нормаль-
ного напряжения (давления) на свободной поверхности, запи-
санное с использованием уравнения Бернулли, и кинематическое
граничное условие на свободной поверхности, состоящее в ра-
венстве нормальной скорости жидкой частицы на поверхности
нормальной скорости самой поверхности, примут следующий вид
(нижние индексы обозначают частные производные):
B.3)
B.4)
+ I"I. B.5)
<ty = —R2hxq>x, у = -А,
^ + ^ 0 0
1
B.6)
54 Глава 2
Решение получается разложением потенциала в B.3) в степен-
ной ряд по у (более удобно по (y-j-h)). Используя B.4), по-
лучаем
<р(х, у, t) = F(x, t)-±Fxx{y + h? +
+ е2 (^ Fxxxx (у + hf -hxFx(y + h))+.... B.7)
Выведем сначала уравнения мелкой воды, получающиеся при
е-*-0 и конечных (л. Из B.7)
Т Ф» = -Fхх A + |it| + Л) - Fxhx,
где мы записали hx вместо г/гх. Теперь рассмотрим предел е->0
и положим фл: = и. Для B.5) и B.6) получаем
щ + 1ших + цх = О,
Л* + «1 + Л
т. е. уравнения мелкой воды. (В решеточной модели этот пре-
дел соответствует нулевому расстоянию между массами.) Хо-
рошо известно, что для большинства начальных условий за ко-
нечное время происходит образование ударного фронта, на
котором У]х и их становятся бесконечными за конечное время.
Однако для нас интересен предел, когда нелинейность, из-
меряемая ц, и дисперсия, измеряемая е, малы и уравновеши-
вают друг друга. Полагая ц = еи разлагая B.5) и B.6) вблизи
у=\, получаем
Ф, + П + у8Ф^ = 0> 0=1, B.9)
— %, У=1, B.10)
где теперь
¦J4V = -РххA + Л) +\FXXXXA + ЛK -zFxhx.
Фундаментальная разница между этими двумя пределами со-
стоит в том, что дисперсия, входящая в виде высших производ-
ных F, входит таким образом, что может уравновесить стрем-
ление волны обрушиться. Принимая u = Fx (и — единственная
горизонтальная компонента скорости в главном порядке, так
как <px = Fx — (е/2) (у + Л) 2FXXx + О (е2)), мы после дифференци-
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 55
рования B.9) по х получаем
Щ + ть = е D" D2uxxt - иих) , B.11)
B.12)
где D=\-\-h. (Напомним, что q>x(y = l) = u — e(h2/2)uxx +
+ О(е2).) Эти уравнения описывают движение жидкости с вол-
нами, идущими как вправо, так и влево, однако, если искать ре-
шения B.11), распространяющиеся только в одну сторону, мож-
но в пределе получить более простое уравнение КдФ- Очень
важно использовать правильные характеристики
g B.13)
где X = гх. Из B.11) и B.12) можно получить одно уравнение
для F, интегрируя B.11) или разрешая B.9):
Подставляя B.7) в B.12), получаем
Ftt - (DFX)X = -2sFxFxt - zFtFxx + в-у* Fxxxx. B.14)
Теперь уже нетрудно вывести уравнение, описывающее поведе-
ние F на больших расстояниях. Во-первых, положим D=\.
Далее, будем решать B.14) итерациями (аналогичная процедура
использовалась в разд. 1с). Положим F = f -}- eFi-{- ... , где
f = f(&+ = —t + x, Х = гх). Тогда в главном порядке B.14)
будет удовлетворено, а члены порядка О (г) приведут к уравне-
нию для Fi (полагаем 6+ = в)
F\tt — F\xx = —4 dQ_gQ = 2fex + 3/в/вв + у /вввв.
где в_ = t + х. Член 2/ех возник из Fxx и учитывает слабую
зависимость f от X. Так как правая часть этого уравнения не
зависит от в_, Ft будет линейной функцией в_, если только /
не будет удовлетворять уравнению
2/вх + 3/в/вв + у /eeee = 0. B.15)
Теперь, если D не константа, а зависит от X = гх, вся процеду-
ра останется точно такой же, если только пользоваться пра-
вильными характеристическими координатами в+ и 0_, опреде-
ленными в B.13). Я оставляю читателю в качестве упражнения
56 Глава 2
показать, что для исключения секулярного роста Fi, где Fi —
= f(e+, X)-\-zFi+ ..., необходимо выполнение условия
<7x + 6We + <7eee=-4^<7, B.16)
где мы написали в вместо в+,
f
j B.17)
и т выражается через расстояние X по формуле
B.18)
Мы будем называть B.16) возмущенным уравнением КдФ, или
вКдФ.
Следует сделать несколько замечаний. Во-первых, заметим,
что избранная нами форма записи уравнения является эволюци-
онной по х, а не по t для профиля q(x,в), зависящего от (от-
рицательного) времени с запаздыванием,
Если D постоянно, одинаково удобно использовать и /, и х как
эволюционную переменную. Если, однако, среда сама зависит
от х, необходимо использовать последнюю. Одна из проблем,
которую мы будем позже достаточно подробно анализировать,
формулируется следующим образом: если при х = 0 задано q
как функция t, обращающаяся в нуль при ^->±оо, найти
q(x, t) для всех х ^ 0.
Во-вторых, мы покажем, что для того, чтобы считать правую
часть B.16) возмущением, необходимо, чтобы Dx/D было по-
рядка о<1. Однако, как мы помним, мы уже пренебрегли чле-
нами порядка е2 в уравнениях B.11), B.12), и поэтому мы
должны потребовать
8<о<1. B.19)
В-третьих, рассмотрим поток массы через сечение х в зави-
симости от времени. Из самих уравнений получаем
= —r\t, B.20)
-ft
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 57
где й — ц>х — это истинная горизонтальная скорость. Таким об-
разом, если массы при t = -\-oo и —сю совпадают, получаем
+ет) v
S йау)=
-h /
¦к И S йау)=°> B-21>
и в главном порядке это означает, что
оо
~ J Dudt = O B.22)
— ОО
с u = Fx. Теперь заметим, что из B.16) можно увидеть, что
B.23)
или, возвращаясь к координатам х и t,
O. B.24)
Это означает, что вКдФ не сохраняет полный поток массы
через заданное сечение. Объясняется это тем, что происходит
отражение части воды. Поэтому для корректного анализа влия-
ния переменной глубины следует рассматривать также движе-
ния противоположного направления. Мы сделаем это, когда
будем разбирать распространение уединенной волны в сторону
берега.
В-четвертых, выведем закон Грина, известный уже около
150 лет. Представим себе линейную волну, входящую в область
медленного изменения глубины. Тогда уравнение, описывающее
эволюцию ее амплитуды q, дается B.16) без двух последних
членов в левой части. Результат состоит в том, что D9/iq, DZ!iu
и Dxl\ (напомним, что ц ~ —<pt ~ D~xl\x) зависят только от
в и поэтому не меняются вдоль истинных характеристик.
Теперь мы можем описать, как надо работать с уравнением
B.16) и с полной двухволновой задачей B.11), B.12). Вообра-
зим следующую ситуацию. Уединенная волна qs амплитуды щ
появляется в момент времени t = 0 в точке х = 0, в которой на-
чинает изменяться невозмущенная глубина. Уединенная волна
будет адиабатически изменяться (т. е. будет медленно меняться
ее амплитуда) так, чтобы выполнялся закон сохранения энергии
58 Глава 2
Однако при q = qs закон сохранения массы
не будет выполняться. Поэтому мы должны добавить к иду-
щему направо потоку «шельф» с амплитудой (относительно ам-
плитуды уединенной волны) порядка а, простирающийся между
точкой в+ = 0, до которой могут дойти бесконечно малые воз-
мущения, и самой уединенной волной, т. е. располагающийся
на длине порядка а~1 (в единицах ширины уединенной волны).
Поэтому этот шельф переносит поток массы того же порядка,
что и уединенная волна. В области, непосредственно следую-
щей за задним фронтом солитона, его амплитуда определяется
невязкой в балансе массы. Его дальнейшая эволюция из этой
области происходит по закону Грина.
Этого, однако, еще недостаточно, так как мы уже видели,
что закон сохранения потока массы по-прежнему не выполня-
ется для полных (двухволновых) уравнений, допускающих
встречные волны. Поэтому мы должны добавить еще одну ком-
поненту— отраженную волну, имеющую амплитуду (относи-
тельно уединенной) порядка ае и сосредоточенную на интервале
с длиной, равной величине (ore)-1, умноженной на ширину уеди-
ненной волны, так что поток массы, создаваемый ею, имеет тот
же порядок, что и поток массы, вызванный двумя другими ком-
понентами, движущимися вправо. Поле скорости этой отражен-
ной волны задается на «правой» характеристике при 6+ = О
и имеет величину, определяемую различием в потоках массы,
определяемых по вКдФ и по полным двухволновым уравнениям.
Ее пространственное поведение определяется решением задачи
Гурса: заданы и на 6+ — 0 и т] = « = 0 на в_ = 0, нужно найти
т], и, удовлетворяющие линеаризованным уравнениям B.11),
B.12) в квадранте в+< 0, в_ > 0. Оказывается, что Du и -ц —
константы с точностью до О (воJ вдоль отрицательных харак-
теристик в_. Закон Грина здесь неприменим, поскольку гра-
диенты полевых переменных и, т] одного порядка с градиентом
невозмущенной глубины.
Исходя из этих идей (которые могут быть охарактеризованы
как «разумное использование законов сохранения»), можно по-
лучить полностью самосогласованное решение исходной задачи.
Любопытно сравнить потоки массы, связанные с каждой из трех
компонент решения. Поток массы будем нормировать на
(8/3) Tjgpe1/2/^ (D/3) т]2еА0 — амплитуда набегающей уединенной
волны, р — плотность, ho, h(x) и hf — начальная, текущая и ко-
Вывод уравнения Кортевега —де Фриза 59
нечная невозмущенные глубины соответственно):
А
уединенная волна -д-,
хвост солитона (-г~) —г- . B.25)
отраженная волна \"т~) — I "у J •
Сумма всех этих трех есть постоянная величина (hf/ho)I/4, рав-
ная потоку массы вправо после того, как импульс достигнет
новой невозмущенной глубины и дальнейшего отражения уже
не будет. Отметим, в частности, такой интересный факт: если
h; <С ко, основная доля воды отражается. Некоторые из этих
вычислений мы проделаем в гл. 3. Более детально с этими вы-
числениями и связанными с ними результатами можно познако-
миться по работам [43, 45, 46]. Для некоторых необходимость
введения отраженной волны все еще является предметом спо-
ров. Это связано с ощущением, что слабо меняющийся уклон
будет в лучшем случае приводить к адиабатическому отклику
волны, а отраженная волна будет экспоненциально малой. Од-
нако существование точки, начиная с которой глубина начинает
меняться, означает, что отклик не адиабатичен. Уединенная вол-
на и амплитуда следующего за ней «хвоста» (шельфа) меня-
ются незначительно, однако это не относится к области, зани-
маемой последним. Он тянется от заднего фронта солитона до
точки, до которой распространились бы вышедшие из на-
чальной точки наиболее длинные линейные волны. Это озна-
чает, что двигающийся вправо хвост имеет конечную длину и
поэтому за его счет весь поток массы не может быть скомпен-
сирован.
Этот раздел мы закончим некоторыми пояснениями о роли
точно решаемых уравнений Буссинеска [47] и Кадомцева —
Петвиашвили [48]. Первое из них имеет вид
»« — vxx = vxvxx -f vxxxx. B.26)
Мы видим, что решеточное уравнение A.3) имеет точно та-
кой же вид, и если мы позволим себе некоторую широту (а
именно, заменим Ft на —Fx), то же относится к уравнению
B.14) '). Однако в каком смысле B.26) дает более точное опи-
сание событий, чем два несвязанных КдФ? Ответ заключается
') Заметим, что B.14) с D = 1 принимает вид B.26), только если мы
ищем бегущие лишь в одну сторону решения F(—t + x), полагая Ft = —Fx,
Fxt = —r«. Именно этот вариант уравнения связывается с именем Бусси-
неска.
вО Глава 2
в том, что оно не является более точным, поскольку для того,
чтобы правая часть в A.3), т. е. нелинейный и дисперсионный
члены, была одного порядка с левой, нужно, чтобы отброшен-
ные нами члены (е2уХХхххх и нелинейные типа в2уХхУхххх) были
одинаково важны. Можно поэтому задать другой вопрос: бы-
вает ли ситуация, в которой каноническим уравнением является
B.26)? Ответ положителен. Напомню, как я уже указывал, что
если в первом приближении система является гиперболической
с несовпадающими характеристическими скоростями, то малые
отклонения соответствующего инварианта Римана вблизи каж-
дого характеристического направления описываются уравнением
КдФ. Однако если две эти характеристические скорости близки,
то эволюции вдоль них не могут рассматриваться по отдельно-
сти. Очень просто показать, что поведение на больших временах
решений уравнения
V— ди д*и , д*и
действительно описывается уравнением Буссинеска. В системе
отсчета, движущейся с промежуточной скоростью с, эволюция
поля и как функция от Х = х — ct и Т — ^гг описывается
уравнением B.26). Причина того, что нелинейный член должен
быть выбран меньше дисперсионного, состоит в том, что на-
чальная амплитуда должна увеличиться в l/V8" Раз за счет
начального резонанса (в главном порядке (d/dt-j- сд/дхJи=0),
прежде чем вступят в игру нелинейность и дисперсия.
В качестве последнего замечания в этом разделе, посмотрим,
что произойдет, если в задаче о волнах на воде или в решетке
допустить слабую зависимость от другой горизонтальной коор-
динаты, которую мы будем обозначать z. Это приведет к появ-
лению в левых частях B.14) и A.3) дополнительных членов,
пропорциональных —zFZz и —ес2угг соответственно. Не состав-
ляет труда показать, что соответствующее A.6) каноническое
уравнение, описывающее поведение на больших временах, те-
перь будет иметь вид
Если положить fi = 6u, x = cT/2 и принять 62=1, то его
можно записать в другом виде:
"гг + Щ («г + 6««s + Um) = 0. B.27)
Вывод уравнения Кортевега —де Фриза 61
Уравнение B.27) известно как уравнение Кадомцева — Петви-
ашвили и также обладает рядом замечательных свойств.
Упражнения 2Ь
1. Выведите уравнение для длинных волн в решетке для
случаев, когда возвращающая сила имеет вид F = k (Д + аД3).
Вы обнаружите, что соответствующее уравнение — это модифи-
цированное уравнение Кортевега — де Фриза (мКдФ). Иссле-
дуйте его решения, имеющие вид бегущих волн. Зависит ли их
существование от знака а?
2. Оказывается, что комплексный вариант мКдФ — тоже
универсальное уравнение в том смысле, что оно возникает во
многих асимптотических задачах. Одна из них — это задача
о низших гибридных волнах в плазме. Читателю рекомендуется
обратиться к ссылкам в [118], и в частности к статье Г. Дж. Мо-
ралеса и И. Ц. Ли «Солитоноподобные структуры в плазме»
в Rocky Mountain J. Math., 8, 1,2, зима, весна 1978.
3. Покажите, что асимптотическое по пространству и вре-
мени поведение поля и (х — ct, Vе t или Vе ¦*)» подчиняюще-
гося уравнению
ди_ дЧ_ . Rd4i_
дх дх2 ' дх* '
задается уравнением Буссинеска. Можете ли вы указать ка-
кой-либо конкретный пример, который приводил бы к этому
уравнению1)? Найдите также стационарные волны в B.26). Чем
они отличаются от аналогичных решений КдФ?
4. Рассмотрите двумерную решеточную модель, в которой
каждая масса связана с двумя типами соседей — правым, ле-
вым и верхним, нижним. Если упругая постоянная &х верти-
кальных пружин намного меньше постоянной k горизонтальных
пружин и одного порядка с квадратичной нелинейностью а по-
следних, то если k± ~ а ~ Л2, где h — смещения решеточных
масс, то уравнение для слегка наклонных, распространяющихся
вправо или влево волн в этой решетке будет уравнением Ка-
домцева — Петвиашвили. Будьте осторожны. Помните, что в за-
кон Гука входит удлинение пружин, а не его вертикальные или
горизонтальные составляющие. Найдите бегущие волны для
этой модели. Как они связаны с бегущими волнами КдФ?
') После того как я задал этот вопрос на лекциях ИВМС, Ц.Х.Сю нашел
такой пример [49].
62 Глава 2
2с. Нелинейное уравнение Шрёдингера и другие уравнения
для огибающих. Лучше всего начать с простого примера. Рас-
смотрим описанную в гл. 1 модель Скотта, состоящую из рабо-
тающей на кручение проволоки с вертикально подвешенными
к ней и очень близко друг к другу расположенными связанными
маятниками, которые могут вращаться в вертикальной плоско-
сти вокруг линии подвеса. Если u(x,t) — угол поворота маят-
ника в точке х, то его движение описывается уравнением
sin-Гордон
ип — с2ихх + со2 sin и = 0, B.28)
где сила — со| sin и возникает вследствие действия силы тяже-
сти, а сила с2ихх моделирует влияние кручения. Теперь вообра-
зим, что мы колеблем один конец цепочки маятников с очень
малой амплитудой и частотой со. Достаточно разумно предпо-
ложить, что можно исследовать возникающее в результате дви-
жение, разлагая sin и в ряд Тейлора вокруг и = 0. Удерживая
первые два члена, получаем
-тг + <229)
Линеаризованное уравнение допускает гармонические решения
и = е-ш+1кх, где k вещественно, и определяется дисперсионным
соотношением
ш2 = <s>l + c2k\ B.30)
если только со > сор. При ю < ьар величина k является чисто мни-
мой, и начальные колебания экспоненциально затухают по х.
Предположим, что со > сор, так что вдоль струны (из маятников)
распространяются настоящие волны. Теперь естественно также
ожидать, что постепенно нелинейные члены будут модифициро-
вать эти движения, так как мы знаем, что период нелинейной
пружины (так же, как и период одного маятника) зависит от
амплитуды. Чтобы найти эти изменения, будем искать решения
B.29) в виде
ы1 + е2м2+ ...), B.31)
где
«о = аеПх~ш + а*е~1Ьх+ш, B.32)
и мы считаем, что а может быть медленной функцией времени,
at = еАх (а, а) + еМ2 (а, а') + .... B.33)
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 63
Коэффициенты А, (а, а*) выбраны таким образом, чтобы пода-
вить секулярное поведение1) Ui,u2 Если бы мы пользова-
лись обычным методом многих масштабов, нам следовало бы
записывать Ах как да/дТ\, Ti = et, А2 — как да/дТ2, Т2 = гЧ
и т. д. Решая B.29) итерациями, получаем щ = О,
в то время как
-С) B.34)
и период движения возрастает2). В контексте волн на воде ре-
шение, вычисляемое таким способом, называется волной Сток-
са. Читатель при желании может вычислить период колебаний
маятника с максимальным отклонением 2е|ао| через эллипти-
ческий интеграл и проверить, что в результате разложения по
амплитуде получится B.34) (см. упражнение 2с A)). Отметим,
что при всех этих вычислениях пространственная структура
eikx Иррает пассивную роль. Если со фиксировано, то в соответ-
ствии с B.30) фиксировано и k. Но поскольку колебания со
строго фиксированной частотой создать невозможно, то спектр
частот колебания будет иметь хоть и малую, но конечную ши-
рину A. Как учесть это в нашем описании? Один из способов —
это искать решение щ в виде конечной суммы волн
B.35)
Но этот подход громоздок и приводит к системе связанных
нелинейных уравнений на амплитуды а,-, что не слишком про-
ясняет ситуацию. Другой способ, на который указывает нам
B.35), состоит в поиске решения в виде волны, амплитуда ко-
торой а является медленно меняющейся функцией х и времени,
был первоначально предложен в [53]. Наиболее интересный ба-
ланс разных эффектов возникает, когда ц = е.
Повторим предыдущие вычисления, предполагая, что Ль
А2 — функции от ах, ах, ахх и т. д., от Z = ex, а также от
') Секулярное поведение относится к ситуации, в которой итерации
«I «2, ¦ • • алгебраически растут по быстрому времени или быстрой коорди-
нате. Если это допускается, асимптотический ряд B.31) не будет равно-
мерно пригоден на больших временах и расстояниях.
2) Символ (*) обозначает комплексно сопряженное выражение. — Прим.
перев.
64 Глава 2
а, а*. В порядке О(е) имеем
«ш - с\хх + «#*i = B<ю«г, + 2'*с2%)е' (*х-ш" + ("). B-36)
где aTx = Av Для подавления секулярного роста щ необхо-
димо, чтобы
«г, + -?"% = 0. B-37)
т. е. чтобы а двигалось с групповой скоростью волнового пакета
©' = da/dk, вычисленной по B.30). Тогда щ = 0. В порядке г2
«и/ - СЧ*, + °>>2 = "Г
и условие отсутствия секулярного роста дает
^0- <2-38>
Для получения B.38) мы использовали B.37), выразив атт
через ахх. Кроме того, | = е (х — u>'t), Т2 = гН и ю" есть дис-
персия d2a>/dk2, вычисленная по B.30). Уравнение B.38) есть
нелинейное уравнение Шрёдингера. Заметим, что оно в качестве
частного решения содержит не зависящее от х частотно-моду-
лированное решение B.34), но (и это очень существенное но)
это решение неустойчиво, если произведение коэффициентов пе-
ред дисперсионным (со"/2) и нелинейным (A/4)оJ/ш) членами
положительно — ситуация, которая имеет место в нашем при-
мере. Это неустойчивость, открытая Бенджамином и Фейром
[51] '), когда они экспериментально пытались доказать суще-
ствование для волн на воде решения Стокса. Это чрезвычайно
существенная неустойчивость, поскольку она вызывает превра-
щение почти монохроматического цуга волн в серию импульсов.
Я буду вскоре несколько детальнее обсуждать природу этой
неустойчивости.
Пока же, однако, я хочу вернуться к причинам универсаль-
ности НУШ и показать универсальную структуру всех линейных
членов в нем. Рассмотрим уравнение
=N(u\i?,...), B.39)
ll) Эта неустойчивость была предсказана теоретически в кандидатской
диссертации В. Е. Захарова 1966 г. Этот результат, в отличие от гамильто-
нового формализма для воли на воде, не получил широкой известности. —
Прим. перев.
Aывод уравнения Кортевега — де Фриза 65
где Lu и N(u2,u3, ...) — линейный и нелинейный операторы
с постоянными коэффициентами, содержащие и и ее производ-
ные. Пусть линейная часть B.39) допускает гармонические ре-
шения вида
и = аецкх-ш)г B.40)
где
L(~ie>, ik) = 0 B.41)
есть линейное дисперсионное соотношение, определяющее со как
функцию от k, или наоборот. Так как B.41) выполняется для
всех k, мы можем получить, что
- /co'Li + il^i = 0, B.42)
— м»"!, — co/2Lu + 2co'L12 — L22 = 0, B.43)
дифференцируя по k один и два раза соответственно. Теперь
будем искать решения B.39) в виде
и {х, t) = e (щ + ей, + е2«2 + ...) B.44)
при wo, заданном по B.32), с медленно меняющейся в зависи-
мости от координаты и времени амплитудой а. Теперь заметим,
что в соответствии с алгоритмом многомасштабных разложений
L(d/dt, д/дх) формально принимает вид
j (
L \
д . д . 2 _?_ д I д
Ж + е dTi + е Й71, ' йа; + е дХ
-\-e4L, —Ln—5" + ^i2 1—Z^2—rib •••» B.45)
что мы будем записывать в виде L<0) + eLA) -f- e2L<2>. Решая
B.39) итерациями, получаем
(wir)^O B.46)
с решением
«о = а (X, Ть Т2, ...) ё <**-«*> + (*) B.47)
и а» и ^, удовлетворяющими B.41). В следующем порядке О(е)
L@)U[ = _ ?(i)Mo + JV («2). B.48)
Какие здесь члены секулярные? Это те члены в правой части
B.48), которые приводят к решению и\, алгебраически расту-
щему по х или t. Их можно отличить по тому, что их структура
3 Л. Ньюч.пл
66 Глава 2
по х и t принадлежит ядру оператора L<0). Например, 1A)«0
принадлежит к такому классу, если Z/O)L(I)«o = Z.A)Z.(O)«o- Какие
члены в N (и2) являются секулярными? Член ы2 содержит вто-
рую гармонику a2exp2i(kx — at) и средний член аа*. Но по-
скольку дисперсия сильная, то почти для всех k справедливо
а>B&)=й=2(о(&), и поэтому цо). е2цкх-е>п фо Однако средний член
аа* может принадлежать ядру L<0). Если это так и JV (и2,) ф О,
то в решение нулевого приближения ио необходимо включить
средний член, медленно меняющийся по х и /. В такой ситуации
«волна» е@) является третьей участницей триады в трехволно-
вом резонансе (см. разд. 21).
Чаще бывает, что N-aa* в этом порядке равно нулю. Это
происходит из-за того, что уравнение имеет внутренние симмет-
рии типа галилеевой инвариантности, что делает невозмож-
ным просто добавлять средний поток. (В качестве примера та-
кого N можно представлять себе д/дх.) С другой стороны,
вследствие медленной зависимости огибающей от х локальные
средние потоки типа е2{д/дХ)аа* могут возникать и, если их
не удалить, вызывать секулярный отклик в порядке е2 в «2- Та-
кой член не нарушает никаких глобальных законов сохранения.
Он может на каком-то участке повысить среднее значение, на ка-
ком-то наоборот, так что полная «масса» системы не меняется.
Я, однако, делаю акцент на возможном присутствии этого чле-
на, так как иногда его очень легко упустить. Для учета этого
эффекта от среднего мы должны включить однородное реше-
ние b в «1 (или просто в wo, но в порядке е — это то же самое).
Этот средний член Ь затем влияет на возможное секулярное
поведение е'(**-в>о в и2 на уровне О(е2) из-за квадратичного
члена N(uqUi). Устраняя в этом порядке секулярные члены, по-
лучаем систему связанных уравнений на огибающую а и мед-
ленно меняющееся среднее Ь. Иногда Ъ можно выразить в виде
величины аа*, умноженной на константу, иногда нет. Мы встре-
тимся с обоими этими случаями в упражнениях, и я укажу на
три конкретных физических примера, где эти эффекты важны.
Сейчас давайте предположим, что среднее течение не при-
надлежит к ядру L@), что выполняется, например, в случае,
если L = d2/dt2— с2д2/дх2 + а?. Тогда единственным секулярным
членом в B.48) будет LA)«o> и поэтому мы должны так выбрать
зависимость а от X и Т\, чтобы //"«о = 0, а именно
~» dTi ' ~2 ax
Однако из B.42) L2 = +co'Lb н если L\ Ф 0 (что мы предпола-
гаем), то
а = а (л — со i 1, i 2). (Л4У)
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 67
Дальше мы находим щ, содержащее вторые гармоники и, воз-
можно, средний член, пропорциональный аа*. В порядке е2 се-
кулярные члены, нелинейные по а и а*, возникают из квадра-
тичного произведения «o«i и кубичного члена и\. Это приводит
к появлению члена, который мы запишем как $L\a2a*. Линей-
ные секулярные члены имеют вид Z.B)«0, что с учетом B.49)
может быть записано как произведение ехр?(&х— cof) на
т да , ( \ ,1, ft , 1 г "\ д2а
Однако с учетом B.43) это равно
да • J
1
2 дХг
и поэтому универсальный вид НУШ таков:
да to" д*а* . .о , * /п en \
rj- + фа2а . B.50а)
дТг 2
При большем числе пространственных измерений я оставляю
в качестве упражнения показать, что (опять предполагая сред-
нее несекулярным)
да i \-i д2а д*а .. , .
дТ2 2L dkrdks d%rd%s -Ф«а.
где d2G>/dkrdks — дисперсионный тензор, %г = е (хг — а>4) и в>г =
= d®/dkr — компонента (вектора) групповой скорости в направ-
лении хг.
Я сейчас хочу сказать, а также подчеркну приведенным
в упражнениях примером, что х и t взаимозаменяемы. Мы точ-
но так же можем искать решение в виде а(е(^ — k'x), e2x)
с kr = dk/d(x> = l/(da/dk), и тогда коэффициент дисперсии'бу-
дет ik"/2. Такая формулировка удобна, когда один или оба па-
раметра с2 и со2 (например, крутильная жесткость проволоки,
связывающей маятники, или их длина в исходном примере)
медленно меняются в зависимости от х.
Уравнение B.50а) принадлежит к классу точно решаемых
моделей. Преобразование
приводит его к каноническому виду
qx + iqxx + 2isqy = 0, B.50 b)
где s = sign(p/(o")- Мы покажем в гл. 3, как можно вложить
B.50Ь) в схему обратной задачи рассеяния. Для s = +1 асимп-
3*
68 Глава 2
тотическое решение начальной задачи для B.50Ь) состоит из
последовательности солитонов огибающей
q (X, т) = 2ti sech 2rj {X + 4«т - Хо) X
X ехр (- 2ivX — М (v2 -г?)% — кр0) B.51а)
и мод излучения. Для каждого солитона первоначальное поле
и(х, t) имеет вид
u(x, t) = 2 л/ -p ет]sech 2ет] (л; — со' (& — 2«е)^ — х0) X
X ехр.{г (k - 2ое) л: — гсо (k - 2ve) t + 2гсо"т]2е2О. B.51 b)
Это выражение показывает на основной недостаток НУШ
как модели для физических задач. В то время как скорость
распространения фазы колебаний зависит от амплитуды (от
г\), скорость амплитудного импульса (солитона огибающей) от
г\ не зависит. Параметры солитона v. r\ определяются (так же,
как и А'о, фо) начальными данными q(x,0) (они аналогичны ве-
личине X>k = Щк для уравнения КдФ), однако, как видим, ско-
рость в аргументе гиперболического секанса есть линейная груп-
повая скорость с волновым числом k — 2ие. Трудность состоит
в том, что разложение выполнялось так, чтобы вычислить фазу
с точностью до О (г2), однако фаза гиперболического секанса
имеет е в качестве общего множителя. На самом деле было бы
желательно получить выражение для фазы с точностью до е3,
т. е. в виде
2eTi (x -o>'(k — 2ae) f — О (е2/)).
Последний член будет тогда зависеть от г\. Без сомнения, это
все можно проделать, однако при этом мы получим другое урав-
нение, являющееся возмущением НУШ и уже не принадлежа-
щее к точно решаемым. Тем не менее в некоторых обстоя-
тельствах нужно пожертвовать математическими удобствами
точной решаемости, чтобы отразить существенные физические
свойства моделируемой системы. Иллюстрацией к этому служит
драматическая история изучения туннелирования солитонов. Бо-
лее подробно с этим вопросом можно познакомиться по [52].
Упражнения 2с
1. Показать, что период колебаний маятника с максималь-
ной амплитудой А есть
г- я/2
- „ Vl — >n* sin* cp '
Показать, что для малых А эта формула согласуется с B.34).
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 69
2. Вывести НУШ для следующих примеров:
(i) utt — ихх + со^к A — ии*) = О, и — комплексное скалярное
поле.
(и) щ + иххх = —&авиих. Заметьте, что в этом примере
и = const удовлетворяет линейному уравнению, и ыо = ае(в +(*),
Q = kx — e>t, со = — k3. В порядке е получите aTi — 3k?ax = 0 и
ul = b(X, Tu r2) + (a/F)aV№ + («AV2e'9. В порядке е2
. ди0 q д3и0 ди, о d2ut
un-tu2xxx— gT о gxgx2 gT -5 дхдх
д д
— 6a -т— (иощ) — 6a -tv aa ¦
Исключите в правой части члены, пропорциональные е-ге и е°,
с помощью надлежащего выбора аг и 6Г. Вы получите, что
bTi = — &a(aa*)x = (—2a/k2) (аа*)^ и поэтому b = (-2а/k2)aa. По-
лучите также условие ат + 3ikaxx — Fa2/&) • ш2а* = 0. Обра-
тите внимание на члены вида a?e2'ea*e"'9 и аеЩ, из которых
возникает нелинейность в уравнении. Убедитесь в том, что, если
вы не учтете вклад Ь, знак нелинейного члена будет противопо-
ложным, что приведет к полностью ошибочным выводам.
(Hi) utt — с2ихх + уихххх = фихихх,
ио = ае1в + ае-'в + Ь; 9 = Ье-со/; а>2 = c?k2 + yk\
В порядке О(е2) устраните секулярные члены и получите, что
ат + и'ах - е (— аЛЛ - -^ аЬх + -^ • а2а ) = 0,
Положите 6х = р и перепишите систему в виде
ат + со ах - е (-2- аЛХ - -j^- ар + ;1^ а2а ) = 0,
Сравните эти уравнения с взаимодействием ленгмюровских и
ионно-акустических волн в плазме, применительно к которому
они называются уравнениями Захарова [58]. Правая часть
в уравнении для среднего поля b(X, T) возникает вследствие
70 Глава 2
так называемой пондемоторной силы. Это уравнение можно за-
писать как
писать как
Ртт ~
поскольку (аа*)т = —со' (аа*)х + О (в). Поэтому та часть сред-
него поля, которая индуцируется малыми градиентами огибаю-
щей быстрого поля, может быть получена в явном виде:
Следует отметить возможность резонанса, когда групповая
скорость быстрого поля совпадает с фазовой скоростью длинных
волн, или среднего поля. Читатель может почерпнуть подробную
информацию об этом резонансе в статьях Бенни (Stud. Appl.
Math., 55 A976), pp. 93 if; 56 A977), pp. 81—94) и Ньюэлла
(SIAM J. Appl. Math., 35 A978), pp. 650—664). Теперь можно
переписать уравнение для огибающей а(% = Х — со'Г, % = гТ),
ia," ,
И наконец, комментарий к уравнениям Захарова. Если в на-
шем примере мы включили бы второе пространственное изме-
рение,
= epv« • V (Vw),
V = (d/dx, д/ду), то мы не смогли бы так просто выразить сред-
нее поле р через аа*. Причина этого состоит в том, что в дву-
мерном случае (см. обсуждение в разд. 2d) «уединенная волна»
коллапсирует, и аргумент огибающей не является больше рав-
номерно постоянным на характеристике групповой скорости ни-
где, кроме начальной стадии. По мере развития коллапса оги-
бающей и среднего поля приближения, в которых были выведе-
ны уравнения, теряют силу и становится необходимым учесть
члены, отброшенные при анализе. Тем не менее поведение ре-
шений уравнений Захарова часто рассматривают как указание
на то, что происходит в реальных ситуациях.
Примеры (и) и (iii) служат также прототипами для ряда
одномерных задач теории волн на воде. Пользуясь работами
[54] и. [55], выведите НУШ
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 71
для поверхностных гравитационных волн. В этом уравнении
о
2 =±
gkT, T = th kh, S = sech kh,
gh~(o
где т( (л:, /), уровень свободной поверхности, есть (a/2)ei{kx-mt) -\-
+ (*), g— ускорение силы тяжести и h — невозмущенная глу-
бина. Заметим, что р меняет знак при kh = 1.36. Это означает,
что солитоны образуются на глубокой воде (&/г>1.36), но
этого не происходит, если глубина меньше. Случай двух про-
странственных переменных обсуждается у Бенни и Роскеса [56]
и у Дэви и Стюартсона [57].
(iv) Следующий пример основывается на эксперименталь-
ных наблюдениях By, Кесляна и Рудника (препринт), указы-
вающих на существование явления, названного ими гидродина-
мическими поляронами в резонаторе в виде наполненного водой
желоба. Идея в общих чертах такова. Линейное дисперсионное
соотношение для волн в прямоугольной кювете есть ю2 = gk X
X th kh, где k = (k2x + k2I12. Допустим, что размер кюветы Ly
в направлении у мал по сравнению с ее размером Lx в направ-
лении х. В эксперименте было Ly = 2.54 см и Lx = 38 см, глу-
бина воды была равна 2 см, однако вода была глубокой в том
смысле, что kh « 3. Компонента по оси у волнового числа низ-
шей моды равна ky = n/Ly, Отметим, что если частота ю источ-
ника меньше собственной частоты моды @, 1) ckx = 0, ky =
= njLy, (?>ly — gkyih.kyh, то волна не может распространяться
по х, а будет захваченной у стенки кюветы со смещением сво-
бодной поверхности
г\ {х, у, t)~e ^ х> cos kyy (Ае~ш + А*еш),
где G>20l>(i>2 = g(k2x + kiyi4h(k2x + kiyi2h и k\ < 0. Вышеупо-
мянутые авторы обнаружили, что вследствие компенсации не-
линейными эффектами дисперсионных, импульсы типа солито-
нов могут располагаться в произвольных местах канала. Они
пишут об удивлении, с которым они обнаружили локализован-
ные импульсы в случае, когда возмущение было однородным
по х. Это, однако, нисколько не удивительно, и мы увидим
в следующем разделе, что однородный отклик неустойчив, и не-
устойчивость приводит к росту солитонов нелинейного уравне-
ния Шрёдингера. Для изучения этого явления я использую мо-
?2 Глава й
дель Лэраза и Паттермана (препринт), которые заметили, Что
в этой задаче получается НУШ и, следовательно, решения со-
литонного типа возможны. Однако опять они не поняли, что эти
решения неизбежны. Рассмотрим уравнение
ин — c2V2« + YV4m = ev2 (аи2), 0 < е < 1
с
щ = (А(Х, Т)е-™ + С))со*ку,
и, = В {X, Т) + (А2е~2Ш- + В2 + А*2е*ш) cos 2ky,
где мы выбрали k{=ky) и со такими, чтобы
со2 = c2k2 4- Yfe4 ~ е2Х = ©01 ~~
Мы так подберем зависимость от времени А (х, Т), где X = ех,
и В(Х,Т), чтобы исключить секулярные добавки, пропорцио-
нальные е'е и е° в щ, и2 и и3 соответственно. Несложное вы-
числение показывает, что f i = О (нулевая групповая скорость
(da>/dkx) @,ky) в направлении слабой модуляции), и
2шАт + е (с2 US- - %А - ak2A - а*М BВ - -^
Втт — с2В х х = а -^гГ А А' 4- О (е).
Как и в примере (ш), к правой части последнего уравнения
можно добавить (—а/с2) (д2/дТ2)АА*, поскольку этот член по-
рядка О(е2), и получить
п если т = еТ, то
2/соЛ, + с2Лхх + (а2/е2рЛЛ* - %) А = 0
- — + — +
с2 в«ь* >
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 73
Если у положительно, то положительно и р. Сделаем несколько
замечаний.
(a) Поскольку произведение дисперсии (в направлении мо-
дуляции х) на р положительно, асимптотическое состояние со-
стоит из солитонов вида B.51а).
(b) Двигаться они могут (т. е. v ф 0) только при некотором
специальном виде неоднородности начальных условий или при
приложении внешних сил. Их скорости не зависят от их ампли-
туд. Их положения и амплитуды находятся из начальных
условий.
(c) Параметр ^ устраняется просто изменением фазы А.
А теперь — предостережение. В эксперименте By, Кесляна и
Рудника волны возбуждались непрерывно из-за диссипации,
в отсутствие которой можно было бы, создав начальное возму-
щение самой низкой моды, предоставить его самому себе. Это
означает, что в правую часть НУШ нужно добавить члены, со-
ответствующие возбуждению и затуханию, т. е. Е = ГЛ. (Если
устранить расстройку частоты —%А, Е приобретает фазовый
множитель еш, A = (t%/2cu)e2.) Отклик возмущаемой диссипа-
тивной системы может состоять просто в порождении солитонов
с некоторой фиксированной амплитудой (см. [45]). Однако воз-
можны и другие отклики, зависящие от ? и Г. Я не собираюсь
обсуждать их здесь, а отсылаю интересующегося читателя
к статье Бишопа, Фессера, Ломдаля и Траллинджера (Physica D,
7 A983), р. 259), в которой изучается влияние внешней силы
на бризер уравнения sin-Гордон. Бризеры малой амплитуды
для этого уравнения — это солитоны НУШ.
(v) utt — с~ихх + о»2 (е?я) и = e2v«3 -у, с2 — постоянные. Нас
интересует пространственная эволюция волнового пакета. Со-
ответствующие координаты —
u2 Q2-4(*2)
с*
Отметим, что
_J^L __ еге / ^2а _|_ 2ikeax + e2 Bikay -\-ay r 4- ikra)) -4- (*).
В порядке е
74 Глава 2
где k' = 1/co' = dk/dm. В порядке е2 мы получим
В качестве дополнительного упражнения преобразуйте это урав-
нение к каноническому виду qx — iqoe = 2iq2q* = T{kx/k)q. Что
такое Г, т, 0, д? Подробности см. в [52].
(vi) Уравнение для огибающей неустойчивой волны. Пред-
положим, что L в B.39) зависит от параметра R таким обра-
зом, что волновое решение и (х/, t) ~ е' ( lxl~at\ а = ю — iv рас-
тет или затухает в зависимости от R ^ Rc. Параметры v и со
как функции kj и R задаются комплексным алгебраическим
уравнением L(—/ю + v, kj, R) = 0. Критическая поверхность —
это поверхность в пространстве kj, R, соответствующая у = 0.
Критические значения kj и R — те точки на этой поверхности,
при которых R минимально. Это наименьшее значение пара-
метра, при котором решения волнового типа растут. Исполь-
зуйте идеи этого раздела и покажите, что (медленно меняю-
щаяся) огибающая A (xj, t) растущей волны подчиняется комп-
лексному уравнению
з
Ы дА 1 V1 / <?v d*R , . д2а> \ д*А
dt ~т~ 2-j dk} дх} 2 2-j\dR dkjdkl "^ l dkjdk[
Исходное поле запишем как и(х, t) = еЛ (х, t) •exp(ikcA: —
— ia(Rc)t) + (*)+O(e2), R = RcA + e2%) и ke —один из крити-
ческих векторов, соответствующих R = Rc. (Часто вследствие
симметрии исходной системы критический вектор вырожден;
например, задача о конвекции между двумя бесконечными го-
ризонтальными плоскостями имеет вращательную симметрию.)
Коэффициенты в уравнении для огибающей оцениваются в точ-
ке кс. Замечания, аналогичные сделанным в этом разделе о не-
обходимости учета возбуждения среднего течения малыми гра-
диентами АА*, верны и в этой задаче.
После того как вы прочитаете следующий раздел о неустой-
чивости Бенджамина — Фейра, покажите, что пространственно
однородное решение (рассмотрите одномерную ситуацию)
Л =
неустойчиво в смысле Бенджамина — Фейра, если
Pm + PrYr < о,
Вывод уравнения Кортевега — де Фрнза 75
где
Подробности см. в [127].
2d. Неустойчивость Бенджамина—Фейра. Вспомним, что
наше волновое поле и(х, t) имеет вид
где а — функция от ?, = е(х—coV) и T = e2t, удовлетворяющая
аг = г-^ак + /ра2а*. B.52)
Запишем а = Ае'ч>. Естественно определить локальное волновое
число k как производную по х и локальную частоту как взятую
с обратным знаком производную по Т от полной фазы 0 = kox —
-сооГ + ф(|,Г):
k == kQ + вф6, (о = ю0 + есо^ф^ — е2фг.
Отметим соотношение
е3(Рг5> B-53)
выражающее сохранение числа волн. Запишем изменение вол-
нового числа ец>1 как еК- Тогда мнимая часть B.52) дает
и, дифференцируя по |, получаем
^ (^f) B.54а)
где р = Л2. Уравнение B.54а)—это то же уравнение сохране-
ния числа волн B.53), поскольку
(D = <
(напомним, что d/dt = s2д/дТ— еа>'од/д1, д/дх —
С другой стороны, вещественная часть B.52)
= 0 B.54Ь)
есть уравнение сохранения волнового действия.
76 Глава 2
Далее, рассмотрим монохроматическое решение
А = Ло, ф = рЛ2Г + const, B.55)
для которого
k
Это — волна Стокса. Проверим ее линейную устойчивость, по-
лагая А — Ао-\- А, К = К, и из B.54) получим
II
°0
2 An '
ИЛИ
Атт — — pco" Л2Л6Е — ¦—- Л„„. B.56а)
Поэтому если Л ~ е'й^+оГ, то
а2 = р(о"Л2/С2 1— /С4, B.56Ь)
и поэтому если р©^' > 0, то решение B.55) всегда неустойчиво
по отношению к длинноволновым возмущениям из интервала
волновых чисел 0 < /С2 < 4рЛ2со". Максимальная скорость роста
осуществляется, когда /С2 = 2рЛо/(о"( и равна Р2Л2. Читателю
следует прочесть работу [59] Лэйка, Юэна, Рюнгальдье и Фер-
гюсона, изучавших эту неустойчивость экспериментально для
волн на воде. Следует прочесть также оригинальную статью
Бенджамина и Фейра [51].
Причину этой неустойчивости можно понять следующим об-
разом. Представим себе монохроматическую волну постоянной
амплитуды Ло с частотой со0 — рЛ^е2, возмущенную в точке Р
так, что амплитуда в точке Р меньше Ло. Пусть р > 0. Тогда
со в точке Р больше, чем со слева от Р. Следовательно, в этой
области а>х > 0 и вследствие сохранения волн kt < 0. Следова-
тельно, k уменьшается, и если со" > 0, то со^ также уменьша-
ется. Справа от Р со^ возрастает. Следовательно, области слева
и справа от Р продолжают разделяться и амплитуда возмуще-
ния возрастает. При рсо" < 0 возмущение ограничено и со вре-
менем затухает.
Итак, что же происходит с цугом поверхностных гравита-
ционных волн, возбуждаемым в точке 5 волнопродуктором с
почти постоянной частотой о>? Если k,h> 1.36, то р©" > 0 (см.
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 77
упражнение 2сB) (И)) и монохроматический цуг волн неустой-
чив. При принятой нами постановке задачи лучше всего изу-
чать эволюцию а по X = г2х в зависимости от Т = e(t — x/®').
Если время действия волнопродуктора конечно, то возникаю-
щий волновой пакет разбивается на последовательность импуль-
сов специального вида — солитонов нелинейного уравнения Шрё-
дингера, описываемых формулой B.51). Если же источник дей-
ствует непрерывно с постоянной по времени или периодической
амплитудой, то нам нужно решать такую краевую задачу с на-
чальными данными, в которой амплитуда а(Х,Т) периодична
по Т. Поэтому, поскольку профиль эволюционирует по X, мож-
но ожидать возвращаемость того же типа, что и в уравнении
КдФ. Разница состоит только в том, что здесь поле периодично
по времени и квазипериодично по пространству. А именно, вна-
чале волновой цуг разбивается на несколько изолированных
импульсов, однако потом, при некотором большем значении ко-
ординаты, они вновь собираются, воспроизводя начальное (как
функцию времени при х = 0) условие. Эта возвращаемость и
в самом деле наблюдалась, и я отсылаю читателя к статье
Юэна и Фергюсона [60].
Если рсо" <0 и мы создаем малое длинноволновое возму-
щение огибающей, то это возмущение будет распространяться
в соответствии с уравнением КдФ. Читатель может увидеть ли-
нейную часть решеточного уравнения A.3) в B.56а). В каче-
стве упражнения я попрошу вас учесть нелинейные члены и
вывести соответствующее уравнение КдФ.
Неустойчивость Бенджамина — Фейра (ее иногда называют
также модуляционной) широко распространена в физике и иг-
рает важную роль в разнообразных нелинейных волновых урав-
нениях. Попросту говоря, если дисперсия и нелинейность про-
тиводействуют друг другу, монохроматический цуг волн не хо-
чет оставаться монохроматическим. Побочные, гармоники вытя-
гивают энергию из несущей волны с помощью резонансного
механизма, что приводит к модуляции огибающей. В одномер-
ной задаче модуляция огибающей постоянно растет вплоть до
образования солитона, после чего наступает точный баланс не-
линейности и дисперсии и дальнейшее искажение больше не
происходит.
В двумерных задачах, если произведение р на дисперсион-
ный тензор d2a>/dkrdks, r, s = 1, 2, является положительно опре-
деленной матрицей, процесс фокусировки продолжается непре-
рывно, пока не образуется локально бесконечная амплитуда,
что происходит за конечное время. В контексте нелинейной оп-
тики такое нитеобразование наблюдалось, а форма этих нитей
обсуждалась в работе Захарова и Сынаха [61]. Рассмотрим
78 Глава 2
q{r,t), подчиняющуюся уравнению
у которого имеются следующие интегралы движения:
dx.
Пространственная размерность задачи п, а о измеряет степень
нелинейности. Для а < 2/я можно доказать глобальное по вре-
мени существование решения q(v,t). В интересующем нас слу-
чае п = 2, о = 1, так что а = 2/п и это значение а критическое.
В одномерной задаче критическое значение а равно двум. Те-
перь, если N(q(r,0), q*(r,O)) меньше No-критического значения,
получающегося подстановкой в N(q,q*) сферически симметрич-
ного решения q(v,t) = eit/2R(\v\) с везде положительным
/?(|г|), с /?'@)=0, #@)=оо и удовлетворяющего V2/? — R +
_|_ p^2a+i _ о; то снова q (r, t) существует при всех временах,
если только q{r, 0) удовлетворяет весьма слабому условию
Читателю для самопроверки следует доказать, что
^йх^Ш. B.57)
Заметим, что если <?(г, 0) таково, что Я, интеграл движения,
отрицателен (Я в точности равен нулю, когда q(r,t) =
= eit/2R(\r\)), то положительная по своей природе величина
^qq'dr становится за конечное время отрицательной. По-
скольку это невозможно, мы приходим к выводу, что до этого
в q{r,t) должна образоваться сингулярность в |г| = 0. Это та
самая сингулярность, которая обсуждается в [61]. Основной
вывод таков, что вблизи времени схлопывания t = to ампли-
туда q(r, t) при п = 2 имеет аксиально симметричную форму,
пропорциональную КЯ(%\г\), где %(t) — {t — *о)~2/3- Для того
чтобы учесть разницу в плотности числа частиц между реше-
нием в начальный момент времени и решением М?(А,|г|) (по-
следнее несет в себе No частиц), необходимо к этому централь-
ному пику добавить шельф, который на больших расстояниях
почти постоянен по |г|, а потом внезапно исчезает при пока
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 79
что невычисленном значении. Эти последние замечания осно-
ваны на наблюдениях над численными экспериментами и неко-
торых теоретических работах. Структура схлопывающегося ре-
шения при критическом значении а = 1 пока в точности не из-
вестна. Неизвестно также, схлопываются ли за конечное время
решения уравнений Захарова в двух пространственных измере-
ниях, т. е. уравнений
аг — ieV2a — герЛ = 0, B.58)
Для этих уравнений нет соотношения, эквивалентного B.57).
И наконец, если соответствующее НУШ имеет незнакоопре-
деленную дисперсионную матрицу, как в случае гравитацион-
ных волн на глубокой воде, где
ат — iaxx + iciyy — 2wV = О,
то солитон, образовавшийся вдоль оси х, будет неустойчив
к зависящим от у возмущениям, однако это разрушение про-
текает менее драматично, чем процесс, описанный в предыду-
щем абзаце. Причиной неустойчивости является отток энергии
от основной волны к распространяющимся под углом побоч-
ным гармоникам, вступающим вместе с основной волной в че-
тырехволновой резонанс. (См. книгу Уизема [55], в которой
обсуждается предложенный Филлипсом четырехволновой резо-
нанс.)
Замечание. Удивительно, но неустойчивость волны Стокса
не была открыта, пока не были выполнены эксперименты Бенд-
жамина и Фейра. (Читатель может также обратиться к работе
М. Дж. Лайтхилла в Proc. Roy. Soc. A, 299, pp. 28—53.) Фор-
мальный метод построения несинусоидальных периодических
решений был предложен Стоксом в 1849 г. (Дж. Дж. Стоке,
On the theory of oscillatory waves, Trans. Cambridge Phil. Soc,
8, pp. 441—455), а доказательство сходимости ряда для пологих
волн было дано Т. Леви-Чевита (Math. Ann., 93, pp. 264—314)
в 1925 г. Хороший обзор роли НУШ в описании неустойчивости
и сравнений с экспериментами содержится в [59].
Упражнение 2d
Включите члены с квадратичной нелинейностью в B.56а) и
покажите, что
80
Глава 2
где
Q - -г" Л (ев 4| X )
Заметьте, что если рсо" < 0 и мы рассматриваем однонапра-
вленные решения, то
А = А(Х = 1- сТ, гТ), с2= - р<Л§,
К = - ^- А0А, Q = -2(ЦЧ (Л V,
и нелинейный вариант B.56а) —это уравнение Буссинеска. За-
метьте также, что солитоны у возникающего в результате урав-
нения КдФ возможны только, если А < 0. Так как такие соли-
тоны представляют собой локальное уменьшение интенсивности
монохроматической до этого волны, то они называются темными
солитонами. Покажите также, что если Рш^ < 0, то B.52) имеет
решения
( , IV ( V'/)^
(v " \
Заметьте, что когда а?->р|;, h-*-0, то
p->pothpo^ 2~
2е. Теория Уизема [55]. В середине 1960-х годов была со-
здана другая остроумная теория для описания распространения
сильнонелинейных, почти периодических цугов волн. Эта теория
существенно связана с именем Уизема, хотя некоторые идеи
были независимо развиты Крускалом при его попытках понять,
что происходит в районах осцилляции, появляющихся при ре-
шении задачи о решетке Ферми — Паста — Улама. Идея чрез-
вычайно проста. Представим себе, что у уравнения в частных
производных существует 2я-периодическое бегущее волновое ре-
шение f(Q, Л), 9 = kX — со Г, А — постоянная амплитуда, возни-
кающая как константа интегрирования. Тогда можно строить
более широкий класс решений, получающихся из вышеупомяну-
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 81
того в предположении, что входящие в него константы — волно-
вое число Qx = k, частота QT = —со и амплитуда А — могут быть
медленно меняющимися функциями координаты X и времени Т.
Уравнения на k, со и А как на функции от х = гХ, t = еГ,
0<е< 1 получаются следующим образом.
Во-первых, поскольку со и k получаются из потенциала (фазы
в), имеем
kt + со* = 0, B.59)
т. е. закон сохранения волнового числа. Во-вторых, после под-
становки решения в виде такого анзаца в уравнение с частными
производными, получается обыкновенное дифференциальное
уравнение по в на f(9). Мы знаем, что оно имеет периодическое
решение вследствие нашего предположения о существовании у
исходного уравнения в частных производных решений в виде
периодической бегущей волны. Наложение условия периодич-
ности с фиксированным периодом (обычно выбирается 2я) дает
алгебраическую связь между w, k и А, которая называется
дисперсионным соотношением. (Очень существенна фиксация
периода. Если допустить, что период является медленно меняю-
щейся функцией, невозможно контролировать рост следующих
приближений.) Поскольку эти параметры меняются медленно,
то в уравнении с частными производными появляются О (г) -чле-
ны, содержащие первые производные от k, со и А по х и t. Тре-
бование, чтобы следующая итерация, удовлетворяющая линей-
ному обыкновенному дифференциальному уравнению по в с ко-
эффициентами, зависящими от f и его производных, также была
2я-периодической, дает условие разрешимости этого уравнения.
Это условие является дифференциальным уравнением в частных
производных первого порядка на k, А и о и выражает сохране-
ние волнового действия. Таким образом, возникает три уравне-
ния, одно алгебраическое и два дифференциальных, на три не-
известных k, со и А.
Далее, мы уже видели в разд. 2с, что слаболинейная огибаю-
щая несущей волны также характеризуется тремя параметра-
ми—-A, k и со (см, уравнения B.49) — B.53)), связанными по-
средством НУШ. Являются ли эти описания эквивалентными в
том смысле, что последнее возникает из теории Уизема в пре-
деле малой амплитуды? Ответ отрицательный. То, что НУШ
как слаболинейная теория не может включать себя пригодной
при любых амплитудах теории Уизема, очевидно. С другой сто-
роны, в теории Уизема амплитуда -определяется алгебраически
из нелинейного дисперсионного соотношения, в то время как в
НУШ она живет достаточно независимой жизнью, являясь ре-
шением дифференциального уравнения в частных производных
82 Глава 2
Почему же теория Уизема не содержит НУШ? Трудность со-
стоит в том, что при конечной амплитуде условие разрешимости
в порядке е меняется таким образом, что ядро линейного опе-
ратора, действующего на первую итерацию решения, составляет
лишь половину (оно одномерно) ядра, которое возникло бы,
если бы А было мало. Это приводит к тому, что появляется
только одно уравнение сохранения волнового действия, которое
является уравнением на фазу волны и соответствует мнимой
части НУШ, определяющей фазу <р комплексной амплитуды
(огибающей). Амплитуда А уже зафиксирована дисперсионным
соотношением. Что же происходит при малом Л? В этом случае
оказывается, что дисперсионное соотношение нужно дополнить,
чтобы удовлетворить дополнительным условиям разрешимости.
Дополнительные члены содержат производные от А, поэтому
то, что было алгебраическим соотношением, определяющим А
как функцию со и k, теперь превращается в дифференциальное
уравнение на А. Это уравнение соответствует амплитудной части
НУШ. Мы сейчас приведем модификацию теории Уизема, объ-
единяющую ее с НУШ и равномерно пригодную при малой
амплитуде. Идеи, которые использую я, базируются на разложе-
ниях, использованных Абловицем и Бенни в работе по много-
фазной теории Уизема [62]. Как Абловиц и Бенни, так и Мей
Г63] указали области потенциальной неприменимости теории
Уизема и идентифицировали соответствующие члены. Более
того, сам Уизем показал, как включить эти дисперсионные чле-
ны более высоких порядков в технике усредненных лагранжиа-
нов (см. [55], с. 503 русск. изд.).
Интересно отметить, что точно такие же трудности возни-
кают при макроскопическом описании систем, далеких от равно-
весия, описываемых посредством параметра порядка. Вдали от
фазового превращения амплитуда параметра порядка опреде-
ляется алгебраически модулем градиента фазы (выражение,
аналогичное нелинейному дисперсионному соотношению или
уравнению эйконала), в то время как вблизи критических зна-
чений бифуркационного параметра (являющегося мерой нало-
женного на систему внешнего воздействия — так же, как число
Рэлея в задачах конвекции жидкости или как температура в
магнетизме) амплитуда становится малой и удовлетворяет диф-
ференциальному уравнению в частных производных. Это урав-
нение аналогично НУШ и, рассматриваемое совместно с соот-
ветствующим уравнением для фазы параметра порядка, известно
как уравнение Ландау—-Гинзбурга. Читатель, заинтересовав-
шийся этими замечаниями, может найти более подробное об-
суждение в [64]. Мы же теперь проиллюстрируем эти замеча-
ния на двух конкретных примерах.
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 83
Выбор первого примера достаточно очевиден, поскольку в
нем возможны решения вида / @) = Аеш, что делает все вы-
числения явными. Рассмотрим комплексное скалярное поле
и(Х, Т), описываемое уравнением
итт — ихх + со2 A - рш*) и = 0. B.60)
Мы ищем решения вида
и(Х, Г)==/F, А)+ещ + е%+ .... B.61)
где f(@) = Aeie и вл: = /г, вг = —со и А — функции от х — гХ
и t — гТ. Производные д/дТ, д/дХ перепишем как —шд/дв +
+ ед/dt, kd/dQ + ед/дх соответственно. Подстановка в B.60)
дает
...) = 0. B.62)
Первый порядок в этом уравнении дает
ffl ~ Л ) -дог + % A — Р"о"о) "о=: ^» B.63)
что приводит к решению
щ = ле , v = m2_fe2
с наименьшим периодом 2я, если только v = 1, или
B.64)
Если бы мы позволили периоду быть произвольной функцией
х и t, то при вычислении дио/дх появились бы члены вида ivx®,
возникающие в следующем порядке, и оказалось бы невозмож-
ным найти п{ с тем же периодом, что и и.о. Это аналогично пер-
вому шагу метода В КБ, в котором очень важно выбрать пра-
вильный масштаб быстрого времени.
Уравнение B.64) —это дисперсионное соотношение, опреде-
ляющее А как функцию от со и k. Однако в этом месте мы не
будем прямолинейны, а последуем по пути, предложенному Аб-
ловицем и Бенни [62], рассматривая B.64) как главный поря-
док в разложении по амплитуде:
со2 - k2 - сор A - М2) = eg<'> + e2g<2> + . .. . B.65)
84 Глава 2
Теперь B.62) принимает вид
+ * ) + (^ + «ОТ +*2 (
ж) + (^ + «ОТ w +*2 (ж
- есо^р (иои\ + иХ) - еЦ$ («„«', + <«2 + «,«!) } X
Члены первого порядка дают ио = Ле'°. Следующий порядок
дает
со* A -
)/ + (kA\)
откуда мы получаем gcl)=0, «i = 0 и
(ioA'-)t + (/гЛ2)Л == 0. B.66)
Условие B.66) необходимо, поскольку иначе ы: ~ 9е'е; удобно
выбрать gA>=0, после чего как следствие получаем Wi=0.
В порядке е2
со2 A - р Л2)
И здесь нам потребуется некоторое искусство. Заметим, что лю-
бое решение и% вида ет уничтожает правый член в левой ча-
сти B.67). Поскольку правая часть равна произведению вещест-
венной величины на е'в (А и (иоЦ* + и*«2) вещественны), то
B.67) разрешимо. Например, если правая часть равна - Geie,
то и2 = — (G/2) tu^.4pefe и 2я-периодична. Отметим, однако, что
при Л-*-0 асимптотический ряд B.61) плохо упорядочен. По-
этому этот предел не является равномерным. Иначе говоря,
ядро оператора, действующего на ы2, одномерно и натянуто на
е'е, когда А не мало, и оно двумерно и натянуто на 1еш, iei%,
когда Л мало. (Если учитывать комплексно сопряженные поля
e~ie, оно четырехмерно.)
Для того чтобы выполнить предельный переход, мы будем
обращаться с 1е'е-членами как с секулярными и выберем g^2>
так, чтобы обратить правую часть B.67) в нуль. Тогда
. B.68)
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 85
Эволюция со, k и А определяется из B.59), B.66) и B.68), и
в этом простом случае решение и = Ле'в является точным. Пра-
вая часть B.68) важна только если А —О (г) и со2 — к.2 — а>2 =
= О (е2), при этом B.68) будет дифференциальным уравнением
на А.
Повторю: член (d2fdt2 — d2/dx2)A в B.67) не является секу-
лярным при конечных Л. Однако если иметь в виду предельный
переход к малым Л, полезно обращаться с ним как с секуляр-
иым и включить его в дисперсное соотношение.
Предельный переход к почти монохроматической волне ма-
лой амплитуды Л осуществляется следующим образом. Пусть
А-^гА\ выберем ш~ш0, k~k0, а1~ Ч~а1 и запишем
в = kQX — щТ + Ф (х, t). B.69)
Теперь © = щ — eq>t, k — kQ + ecp*, и уравнение сохранения волн
имеет вид
((со, - ар,) А\ + ({ко + ефж) А2)х = 0, B.70)
а дисперсионное соотношение
е (—2сооф^ — 2/г0фл) -\- е2(ф2 — ф2) + Pco2eM2 =-т (Лй — ^^)- B.71)
Глядя на члены первого порядка в B.70) и порядка е в B.71),
убеждаемся, что Л2 и ф зависят от х и t только в комбинации
! = x —«о/, о^ = А>0/со0. Пусть i = et, и тогда B.71) и B.70)
превращаются соответственно в
.'2
B.72)
^ ^) B-73)
или, если а = Ле'*,
ат = -~Г аи + г'Р "ajrfl2a*' ^ = —^Г"' B74)
В упражнении 2cB)(i) мы видели, что B.74) — это НУШ для
B.60). Итак, если учесть член, которым пренебрегают в теории
Уизема, а именно (е2/Л) (Аи — Ахх), то мы вновь получим НУШ.
Этот член соответствует первому члену в правой части B.72).
Я хочу еще показать, что происходит, когда /(в) нельзя
найти в явном виде. Я использую модель, которой первоначаль-
86 Глава 2
но пользовался Уизем,
итт — uxx + F (и) = 0, B.75)
где F берется нечетной по и и при малых и равной и — уи3. Чи-
татель может вывести НУШ в качестве упражнения. Если
и с~ га(х — Шд/, еЛ е'(*°*-юоГ) _|_ (•) _|_ ...
с ю2 — &2=1, Шо = /го/со0 (групповая скорость), то
im" Згу 2 ,
где т = е/ — е2Г и 1 = х — о$ = е (X — со^Г).
Далее, применяя теорию Уизема к B.75), введем
e = -iiiiiL, x==8j) /==еГ> B.77а)
иг - k2 = g + eg"» + e2gB) + ... , B.77b)
« = / + еы<1> + е2и<2>+ ... B.77c)
и получим
cf —i—1_ p I f\ —¦ о (у 7Яя\
e^S- + F'(t)u^ = Ru B.78b)
ж + ^С213^ BJ8c)
где
Умножая B.78а) на fe(df/d@) и интегрируя, получаем
jgfl+V(f) = E, V' = F,
откуда
f
грируя, получаем
B.79)
f
4 [ , df =в, КГ/ ) = ?. B.80)
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 87
Без потери общности примем f нечетным по в. Дисперсионное
соотношение тогда примет вид
Vi
Гу1^Щ B.81)
и определяет Е как функцию g или наоборот.
Следующей нашей задачей будет получение условий на /?i
и R2, обеспечивающих 2л-периодичность н(|) и иB> по 0. Рас-
смотрим
gSr + F'(f)v = R B.82)
B.83)
и перепишем это в виде системы
dV ™, ,
где
B.84)
Матрица Е 2я-периодична, и нам следует применить теорию
Флоке. В частности, если U, вектор-строка, является решением
уравнения
% — UE, B.85)
то для 2л-периодичности V необходимо (доказательство полу-
чается просто умножением B.83) на строку U и последующим
интегрированием)
2я
jj U • ( J d9 = 0. B.86)
Пусть Ф — фундаментальная матрица решений уравнения
dV/dQ = EV, тогда Ф(в + 2л) — тоже фундаментальная матри-
ца (она удовлетворяет уравнению), и существует не зависящая
от в матрица М = е2як, называемая матрицей монодромии, та-
кая что Ф(в + 2я) = 'Ф(в)ЛГ Собственные значения М назы-
ваются множителями Флоке. Если единица является двукрат-
ным собственным значением, то по крайней мере один из
соответствующих собственных векторов дает 2л-периодическое
решение однородной системы B.83), а строки обратной матрицы
ф-'(в) удовлетворяют B.85).
88 Глава 2
В нашем случае Ф(в) можно построить явно. Заметим, что
vi — fe и v2 = fg + 0/e/2g (индексы обозначают частные про-
изводные) удовлетворяют однородному варианту B.82). Здесь
\fee fge + ^/e + ^e/ee/
detO@) = — Eg (продифференцируйте B.79))
-Zee /e
В этом случае матрица М имеет единицу двукратным собствен-
ным значением и равна
Необходимое условие B.86) 2я-периодичности V таково:
\fe-RdQ=Q. B.87)
о
Теперь решим B.83) вариацией постоянных:
в
(
Cl~"k
в \
^-5fe-/fdeJo2(e). B.88)
Налагая условие 2я-периодичности у (в), получаем
2Я
Следовательно, при таком выборе с2 асимптотический ряд
B.77с) остается хорошо упорядоченным (это означает, что
отношения соседних членов остаются порядка е при всех значе-
ниях параметров) и условие B.87) является как необходимым.
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза
Гак и достаточным. Применяя это к B.78Ь), получаем
;2Л -'Л
условие сохранения волнового действия, аналогичное B.66). По-
скольку /(в) нечетна, член с gA) равен нулю.
Что происходит, когда параметр Е в / становится малым?
Несложное вычисление показывает, что в пределе малой ампли-
туды
/ (в) = Л sin © + 4l VA*sin 30 + •••' B.91a)
g=l-^yA2+ ... , B.91b)
E = ±A2+ ... . B.91c)
Теперь обратимся к с2 и, в частности, вычислим его вели-
чину в случае, когда в качестве R в R2 взят член
— (d2/dt2 — d2/dx2)f. Мы заметим, что /g + 6/е/2g г~ Л8 sin ©
порядка Л-1, поскольку gA, = О A). Так же и Eg — ЕД2 ¦ (Л2) g-=
о
= — -Q-Y+ •••• Поэтому с2 порядка 1/Л и такого же порядка
получающееся решение иB). Это означает, что предельный пере-
ход к А — О(е) в B.77с) не является равномерным.
Для того чтобы все-таки уловить как-нибудь поведение ь
этом случае, мы не будем использовать с2 для условия 2я-перио-
дичности у (в), а лучше используем g<2>. Мы потребуем
(член иA> не вносит вклада сравнимой величины) и получим,
используя B.91), что
(AAxx). B.92)
Теперь дисперсионное соотношение
Ш2 _ ?2= ! _ 3. уА2 + _? (Лм _ Л^) + # . . B<93)
имеет в точности тот же вид, что и в B.68), и предельный пере-
ход к НУШ получается из B.90) и B.93) точно так же, как и
раньше.
Хотя теория Уизема не содержит всего НУШ, она содер-
жит достаточно для проявления неустойчивости Бенджамина —
dO Глава 2
Фейра. При Л2, определяемом дисперсионным соотношением,
уравнения B.59) и B.66) представляют собой систему первого
порядка с k и со в качестве неизвестных. Если эта система эллип-
тична, задача Коши для нее некорректна в том смысле, что
любое возмущение растет экспоненциально и быстрее всего ра-
стут самые короткие волны. Если мы запишем в как 6/е и раз-
решим B.59), полагая к — 6*, со = —6*, то из B.66) получим
(—QtA2)t-\-(QxA2)x = 0, где Л2 зависит от х и t посредством
комбинации 1 — Щ — 6^. Имеем
- л» - 292 -!?-) + 2в,м i* + ежх (> - 29^ ) = о.
B.94)
Система эллиптична и неустойчива, если
Л2(Л2 + 2^)<О, B.95)
где
Р V «* )
Для малых Л это осуществляется, когда р > О или рсо" > О,
поскольку Шц' = (Шц — Щ)/&1 всегда положительно. Поскольку
теория Уизема не включает члена Л^^, входящего в B.56), она
не способна указать наиболее быстро растущие побочные гар-
моники несущей волны, а также не предсказывает конечную
область неустойчивых волновых чисел. С другой стороны, одна-
ко, ее сильная сторона в том, что она не ограничивается малыми
амплитудами.
Мы закончим этот раздел вопросом о физических следствиях
нелинейного дисперсионного соотношения. В частности, нас бу-
дет интересовать, могут ли нелинейные волны туннелировать.
Представим себе, что мы создали цуг волн с амплитудой А и
частотой со в среде, в которой шр медленно меняется. Тогда k(x)
определяется из
k2 = a2 — &2p{l — И2)-
Предположим вначале, что со2 > (й2р, но что <а2р растет (ма-
ятники в модели Скотта становятся короче). Линейные волны не
могут распространяться дальше точки, в которой сор = ш. Одна-
ко если р >¦ 0, то точка, в которой и2 A — А2) = ш2, расположена
дальше, чем каустика линейных волн. Означает ли это, что не-
линейные цуги волн могут без потерь туннелировать через
барьеры, непрозрачные для линейных волн? Ответ одновременно
и положительный, и отрицательный. Он отрицателен, поскольку
Вывод уравнения Кортевега — де Фриза 91
только что мы показали, по крайней мере в слабо нелинейном
пределе, что монохроматический нелинейный цуг волн неустой-
чив, если Р > 0. Однако он распадается на импульсы — соли-
тоны НУШ, которые действительно могут туннелировать без
потерь. Дальнейшие детали читатель может найти в [52].
При больших амплитудах B.95) принимает вид ЗА2—2/р<0.
Поэтому, хотя р > 0, для волн достаточно большой амплитуды
устойчивость восстанавливается.
Остается много интересных вопросов в случае гиперболич-
ности уравнений Уизема, но в то же время уже сделано не-
сколько прекрасных работ. Смотрите книгу Уизема [55], пре-
красную и изящную статью Флашки, Фореста и Маклохлина
[65] (они обнаружили, что инварианты Римана — это просто
спектр периодической задачи КдФ) и интригующую работу
Лакса и Ливермора [66]. Принципиальными среди этих вопро-
сов являются вопросы поведения этих систем на больших вре-
менах. Возникают ли разрывы? Если возникают, то что они
означают? Как включать новые фазы? (В работе Лакса и Ливер-
мора предполагается, что плоскость (х, t) разбивается на обла-
сти, в каждой из которых осуществляется одно-, двух- или
многофазный поток.) Какие еще могут быть типы поведения на
больших временах? Мой аспирант Кришна [67] численно про-
интегрировал уравнения Уизема для широкого класса началь-
ных условий, при которых огибающая быстрых колебаний стре-
мится к нулю на бесконечности, и в этих условиях применим
метод обратной задачи рассеяния. Он получил, что в случае
однофазного решения характеристики, принадлежащие двум или
трем семействам, превращаются в параллельные прямые по мере
увеличения времени. При этом уравнения становятся не гипер-
болическими, а скорее параболическими. Линии в плоскости
(х, t), вдоль которых образуются параллельные характеристи-
ки, соответствуют скоростям уединенных волн, получающихся
при решении начальной задачи.
Упражнение 2е
Полагая Л->-2еЛ, решите подправленные уравнения Уизема
©2_ k2 = 1 - ЗуЛ2е2 +'г»Аи~ААхх ,
*! + », = 0, (юЛ2),
итерациями, полагая со = ю0 + ecoi + e2«2, k = k0 + еК. Пока-
жите, что coo, ko должны быть константами (в противном случае
образуются скачки), о»о = k\ + 1, ©i = кйК/щ и как А2, так и К
являются функциями от ? = х — (ko/(i>o)t и т = it. Вводя /( = <pv
92 Глава 2
получаем
что вместе эквивалентно НУШ для а = Ae'f.
2f. Другие канонические уравнения. Есть много других важ-
ных в физике уравнений, проявляющих солитонные свойства.
Список ссылок содержит много обзорных статей, специальных
изданий, труды конференций, и читатель при желании может
заняться поисками интересующего его уравнения. Тем не менее
есть еще два уравнения, заслуживающие особого упоминания
из-за их распространенности.
Одно из них — это уравнение sin-Гордон. Оно встречается в
нелинейной оптике (в модели распространения импульсов в ре-
зонансной среде), в физике конденсированных сред в магне-
тизме, где оно моделирует волны зарядовой плотности в перио-
дическом потенциале подложки и спиновые волны в жидком
гелии-3. В сверхпроводимости оно описывает динамику джозеф-
соновских контактов, в статистической механике оно возникает
при описании критической области в моделях типа модели
Изинга. Причиной такой вездесущности является то, что многие
системы оказываются эквивалентны динамической системе с ла-
1 Г 2.
гранжианом, состоящим из кинетической энергии -=- \ ф* ах и
потенциальной, состоящей из двух частей — упругой энергии, ко-
торую в непрерывном пределе можно описать членом
и потенциала, создаваемого некоей наложенной решеткой. Часто
наилучшим приближением для этого потенциала является
\ A — cos(f)dx.
Нетрудно видеть, что из этого лагранжиана получается уравне-
ние Эйлера вида
Ф«-с2флх + с0рз!пф = 0. B.96)
Обсуждение и перечень задач, в которых появляется уравнение
B.96), можно найти в [68], [69], [19], [71].
Второе из упомянутых уравнений — это не одно уравнение,
а система, описывающая резонансное взаимодействие трех волн*
Вывод уравнения Кортеве! а — де Фриза 93
Эту систему можно записать в виде [53]
ЗА,
— + с; • VA, = QlklAlAi, B.97)
где (/, к, I) — циклические перестановки A, 2, 3), Aj(x, t) — мед-
ленно меняющаяся огибающая волнового пакета с основной
гармоникой е ^ /*~м/\ со, = со (&;), с/ — линейная групповая ско-
рость V%. Левая часть получается из тех простых соображений,
что в порядке е (здесь е — спектральная ширина пакета с основ-
ным волновым числом к) огибающая а(Х, Т{), входящая в
НУШ, удовлетворяет ат -|- оэ'а^ = 0. Правая часть возникает из
квадратично нелинейных членов, которые в слабонелинейной си-
стеме соответствуют наиболее сильному взаимодействию с резо-
нансными соотношениями
0. B.98)
В терминах дуализма волн и частиц B.98) описывает сохране-
ние импульса и энергии в трехчастичных столкновениях.
Структура B.97) такова, что нас не должна удивлять та
важная роль, которую эта система играет в тех областях фи-
зики, в которых доминируют волновые процессы. По существу
она описывает перераспределение энергии по спектру вследствие
нелинейных резонансных взаимодействий. Она появляется в фи-
зике плазмы, в волнах в атмосфере и океане. (Иногда линейное
дисперсионное соотношение со (к) не допускает B.98) ни для
каких триад волновых векторов ki, кг, к3. В этих случаях пере-
распределение энергии осуществляется в следующем порядке за
счет четырехчастичных процессов, как, например, для поверх-
ностных гравитационных волн.)
Наилучшим подробным обзором по B.97) и ее свойствам
интегрируемости (при определенном выборе 8,-« она точно ре-
шаема) является статья Каупа, Римана и Берса [72]. (По по-
воду ее решения см. [74].)
ГЛАВА
СЕМЕЙСТВА СОЛИТОННЫХ УРАВНЕНИЙ
И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ
За. Введение. В этой главе мы коснемся четырех тем. В раз-
делах ЗЬ, с используются традиционные и несколько скучные ме-
тоды идентификации семейств нелинейных интегрируемых диф-
ференциальных уравнений в частных производных. В разделах
3d, е, f мы довольно глубоко обсудим метод обратной задачи
рассеяния, используемый при решении начальной задачи на ин-
тервале —оо < х <. оо для членов КдФ-иерархии. В разд. 3g
мы займемся методами возмущений и весьма подробно разберем
задачу о распространении уединенной волны по каналу умень-
шающейся глубины. У этой задачи много нетривиальных свойств,
и, как оказалось, справиться с ней довольно трудно. Наконец,
в разд. 3h мы обсудим методы построения многосолитонных, ра-
циональных и многофазных периодических решений солитонных
уравнений.
ЗЬ. КдФ-иерархия. Первая цель этого раздела — продемон-
стрировать, как получаются семейства солитонных уравнений.
Вторая — показать, в каком смысле каждый из потоков гамиль-
тонов. Третья — ввести некоторые важные асимптотические раз-
ложения, коэффициенты которых — интегралы движения, про-
порциональные гамильтонианам.
Для вывода семейств уравнений мы используем следующий
алгоритм:
(i) выберем задачу на собственные значения (по х), коэффи-
циенты которой зависят от другой переменной t;
(И) выберем общий вид изменения собственных функций при
эволюции коэффициентов по t;
(iii) запишем условие разрешимости этих двух уравнений и
определим, какие эволюционные уравнения совместимы с этим
условием.
Мы проиллюстрируем всю процедуру на семействе уравнения
КдФ. Как мы уже видели в гл. 1, соответствующая задача на
собственные значения — это уравнение Шрёдингера
/)Ь>-0, C.1)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 95
которое может быть записано также в виде системы первого по-
рядка:
= 4(x, t)v2,
v v = v % = t2
Запишем зависимость v от t в виде
vt = A(l; q, qx, ...)v — B(X; q, qx, ...)vx. C.3)
Зависимость от высших производных v учитывается посредством
зависимости Л и В от Я. Дифференцируя перекрестно C.1) и
C.3), вычитая и приравнивая нулю коэффициенты при v и vx,
получаем
А = -^-Вх +const, C.4)
qt = — i MB — 2XNB, C.5)
где
OX
Теперь мы переходим ко второй половине части (Ш) алгоритма.
Вспомним, что наша цель — найти такие функции В (К; q, qx,
qxx, ...)> что условие разрешимости C.1) и C.3), а именно C.5),
представляет собой эволюционное уравнение вида
Достаточно простым классом таких функций В является класс
полиномов
В = В0Ъп+...+Вп, C.7)
поскольку из C.5) Bqx = 0, и посредством сравнения соседних
степеней X каждое Вк+1 можно выразить явно через его ближай-
шего левого соседа Bk. Без потери общности мы можем принять
бо== — 1 и найти
Л = 0, 1 л—1. C.8)
Тогда при Х° получаем
C.9)
где мы определили Вп+\ равенством
4-МВ„. C.10)
86 Глава А
Мы можем записать
M = —4NL, C.11)
где
L = - j-D2-9 + -l J dxqK C.12)
— (Xi
— нелокальный оператор.
Проделаем некоторые вычисления. Заметим, что Вп+\ =
= LBn-\- const. Про константу пока забудем. Тогда
1 , l
2
B2 = 4- Ц = — -?- (qxx + 3q2),
C.13)
В3 = \ L2q -
1-
где мы предположили, что q вместе со всеми производными
обращается в нуль в точке х = оо. В результате получаем урав-
нения
qu=qx, C.14)
Яи = -\{Ях, + Ч)х, C-15)
<7n = iV ^— + 5^ + 10W" + 10^^' (ЗЛ6)
где мы приписали Bм+1)-му потоку с линейным дисперсион-
ным соотношением со(/г) = —2(/г/2J1, п = 0, 1, 2, .... времен-
ную координату t2n+i. Константы в Вк с k < л просто добавляют
к я-му потоку члены, пропорциональные /г-м потокам. Полагая
все эти константы нулями, мы получим то, что называется «чи-
стым» семейством. Константа же в C.4) имеет совершенно дру-
гую природу. Выбирая ее, мы можем надлежащим образом нор-
мировать собственную функцию v(x, t; ?). Мы сделаем это в
разд. Зс.
Каждый поток имеет гамильтонову структуру. Сейчас я пе-
рехожу к наиболее важному результату, а именно к гамильто-
новости каждого из потоков семейства. В разд. 3f будет дока-
зано, что справедлива формула
2fin+l = Z.»<7 = -$%±J_, C.17)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 97
где вариационная производная по q определяется как
d \п дН(д{п))
d у
dx)
то есть
nmH[q + *4]-H[q]= к - ^ C.18)
где
qW — Dnq, D = d/dx,
~ „ C.19)
H[q]= \ H{q, qx, qxx, ...)dx.
Например,
oo oo
Я» = Т \ ^^ Яз = Т \ {ql-2q3)dx,
— OO —OO
и их вариационные производные суть q и —j- (qxx + 3q2) соот-
ветственно. Таким образом, поток с п = 0, соответствующий
просто переносу начального профиля, может быть записан в
виде
поток КдФ, п=\, можно записать как
д ЬНз
а Bп + 1)-й поток семейства — как
д ЪНг
Или, используя C.11), получим
поскольку 8H2n+i/8q = 2Bn+l = 2LBn, a 2NLBn = — (l/2)MBn =
= — (l/4)MF#2n-i/69). Отметим, что каждый поток имеет вид
C.24)
где / — кососимметричныи оператор, V — градиент, а Я — функ-
ционал Гамильтона.
4 А. Ныоэ;
98 Глава 3
Замечательно, что каждый из функционалов #2л+ь л =
= 0, 1, ..., порождающих соответствующий поток, является ин-
тегралом движения для всех остальных потоков, и эти интегралы
коммутируют друг с другом относительно естественной скобки
Пуассона (Гарднер [13]):
оо
W^rWdx- C-25)
Естественность этой скобки состоит в том, что если мы рассма-
триваем развитие q под действием потока с временем t2k+u то
скорость изменения I[q] функционала от q,
определяется из равенства
dl
., /}. C.26)
Все это означает, что q можно рассматривать как функцию бес-
конечного числа независимых переменных х, t2k+u k — 0, I, ...,
и (d/dt2i+i) (dq/dt2k+i) — (d/dt2k+i) (dg/dt2i+\). Представление о
том, что решения солитонных уравнений — это функции беско-
нечного числа переменных, очень важно. Вследствие свойства
коммутативности можно начать с q(x, 0), сдвинуться на t2k+\
в силу (КдФJй+ь а потом на %+1 в силу (КдФJЖ, и резуль-
тат будет такой же, если осуществлять сдвиги в обратном по-
рядке.
Заметьте, что каждый поток имеет две гамильтоновы струк-
туры. Выражение для qt можно получить, используя в ка-
честве функционала Гамильтона Н2п+\ и N в качестве оператора
Пуассона, а можно — используя Н2п-\ и М. Такая дуальная
структура существует во всех интегрируемых моделях, и она
позволяет рекуррентным образом идентифицировать все интегри-
руемые потоки в семействе точно так, как мы это уже делали,
используя C.10). Если даны две независимые симплектические
структуры М, N и гамильтониан Яь генерирующий поток, опре-
деляемый NHU то следующий поток возникает из j-MH\
(КдФ)- Мы записываем это в виде NH3, затем строим следую-
щий поток 2~Л1#з и т' Д-
Теперь я покажу, как получаются эти функционалы, но от-
ложу до разд. 3f доказательство того, что они интегралы дви-
Семейства семитонных уравнений и методы их решения 99
жения. Замечу только, что если поток рассматривается при пе-
риодических граничных условиях по х, то интеграл в C.25) бе-
рется по периоду.
Асимптотическое разложение для v(x, %) при ?;->оо. Алго-
ритм построения интегралов движения состоит в следующем.
Положим для собственной функции v(x, t; t,) задачи C.1) v =
—2/?ФЛ. = q + Фхх + Ф*. C.27)
и будем искать ее асимптотическое разложение при ?->оо. Ите-
рациями получаем для Фх'
оо
1 г>
откуда получаем Ri ==—q и рекуррентное соотношение
Rn+i = -Rnx-tRkRn-k, п>1. C.28)
Первые пять членов имеют вид R{ = —q, R2 = qx, Яз = —<7** —
-Я\ R4 = qxxx + *qqx, Rs = -(qxx +3q2)xx + ql-2q\ В част-
ности, по причинам, указанным в разделах Зе, f, нас будут
интересовать величины
х
^\ C.29а)
оо оо
- Е w \ **dx- C-29b)
Первая позволяет получить q(x) из v (x, %)е~1^х, а вторая ока-
зывается интегралом движения (движения по всем временам
t2n+\)¦ Вспомним, что у2 = v, vi=—vx + i%v (см. C.2)). В ка-
честве упражнения я попрошу вас связать этот результат с тем,
который получается из преобразования Миуры — Гарднера
(разд. Id). Мы покажем, что
, я = 0, 1, 2 C.30)
100 Глава 3
Отметим, что Ri не является членом этого семейства и что
оо
R2ndx = 0y л= 1, ... . Действительно, функционал — у Н_х =
— оо
оо
= \ qdx имеет нулевую скобку Пуассона с любым другим
— оо
функционалом (положите F = H-\ в C.25)). Такой функционал
называется функционалом Казимира.
Упражнения ЗЬ
1. Пользуясь определением C.25), покажите, что эта скобка
Пуассона удовлетворяет тождеству Якоби {{F, G}, Н) -\-
+ {{H,F}, G} + {{G,H},F}=0.
2. Вспомните, что в A.18) мы определяли да + 3/е2 =
= F//е)у^/о и получали vxx + (<7 + 1/4е2)у = 0. Отождествите
? с —1/2е и покажите, что w=—I2it,({vx/v)— it) = —12/?Фл>
Поэтому сохраняющиеся плотности уравнения КдФ, введенные
оо
в гл. 1, имеют вид \ Rndx и пропорциональны гамильтониа-
— оо
нам. Другие члены иерархии КдФ приводит нас к тем же сохра-
няющимся величинам.
3. На первый взгляд это упражнение может показаться бес-
смысленным. Но поверьте мне на слово, смысл есть. Мы вер-
немся к используемым в нем идеям в гл. 4. Положите
q(x, t3, ...)=-2-^j-Inт(ж, t3, t5, ...)
и покажите, что с точностью до ОAД5)
— 1ПТ (*, /3. ^5. •••
и что асимптотически
г, (y t\ ,^ JU+4'u+tvt, х(х —
t(x, t3, h, ...)
Указание: нужно записать
X XX
R3dx как — -^
—оо
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 101
и воспользоваться тем, что
— оо —оо
4. Покажите, что из C.1), C.3) с А = -^-Вх, B = —X-\--
получается
3 3
Щ = —vxxx — -j-qvx — T qxv.
5. Произведите следующие формальные выкладки. Пусть
где D — д/дх и D~l— формальный интегральный оператор
X
\ dx. Определим Вп =(?")+, что обозначает дифференциальную
часть Ln. Например, (L)+=D, (L2) + = D2 + 2au (L3)+ = D3 +
+ 3atD + 3Da\ -j- Заг. Рассмотрим иерархию уравнений
vXn = Bnv, n = 2, 3, 4, 5,
Условие их разрешимости есть
(Вп)хт-(Вт)Хп + [Вп, Вт] = 0. (А)
хт
Случай (i). Предположим, что коэффициенты а\, а2 не зави-
сят от х2, и в таком случае можно положить v—f-e^-v и заме-
нить у*2 = B2v на Ху = B2v. Покажите, что тогда (А) дает а2 =
и
Заметьте, что если мы обозначим х3 = —/, то vXs — B3v в точ-
ности является формой уравнения vt = Bv в последнем упраж-
нении.
Случай (И). Пусть а\, а2 не зависят от л'3. Тогда
X
1_ _|_J_f 1С — — —
1
о" а1хххх 6 {aiuixfx == 0.
2
1
Положим ах = -s- (о — с2/2) и придем к уравнению Буссинеска
B.26) 2
— c2qxx = — -у ^Л« — 2 (qqx)x.
102 Глава 3
Случай (Hi). Наконец, пусть аи а2 зависят от х, х% и лг3. Те-
перь вы должны получить
1 3
a б {^a) —2" aiXjX,= 0,
что после надлежащих преобразований превращается в уравне-
ние КП B.27).
Замечание 1. Система vXn = Bnv, n = 2, 3, ... порождает
иерархию уравнений КП. Интересующийся читатель может най-
ти обсуждение алгебраической структуры т-функции этого се-
мейства в [39].
Замечание 2. Для случая КдФ (i) начальная краевая задача
решается в основном исходя из задачи на собственные значения
Xv = B2v, и уравнение vX3 = B$v используется для определения
зависимости данных рассеяния от х3. В случае уравнения Бус-
синеска (и) задача на собственные значения %v = B3v имеет тре-
тий порядок. Эволюция данных рассеяния этой задачи по х2 на-
ходится из vX2 = B2v. В случае (ш) все оказывается совсем не
так просто. В этом случае вообще нет задачи на собственные
значения! Вместо этого нужно решать двумерную задачу рас-
сеяния vX2 — vxx-\-q (x, x2; x3) v. Читатель может обратиться к
трудам Киевской конференции 1983 г. [124], в особенности к
работам Абловица, Фокаша и Захарова, Манакова, в которых
имеются необходимые ссылки.
Зс. АКНС-иерархия и ее свойства [23]. Сейчас мы начнем
с другой задачи на собственные значения, обобщающей задачу,
введенную Захаровым и Шабатом [21] при изучении НУШ:
Какие эволюционные системы уравнений могут быть решены с
использованием C.31)? Если q n r зависят от t, то пусть
(h e \
Vt = QV, Q = {f _h). C.32)
Условие разрешимости C.31) и C.32) имеет вид
Pt-Qx + [P, Q] = o, (З.зз)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 103
где [Р, Q] — это матричный коммутатор PQ— QP. Записывая
C.33) поэлементно, получаем
\ /0 0\
) F = {i о) C-35)
Мы будем искать Q в виде полинома степени п (и обозначать
такое Q как Q<n>, а соответствующее время — как tn). Для удоб-
ства вычислений введем матрицы
1 0 \ /0 1
> *4 о
удовлетворяющие коммутационным соотношениям алгебры
si B)')
[Н, Е] = 2Е, [Н, F] = —2F, [E, F] = H. C.36)
Здесь эта алгебра просто удобна нам для вычислений, но в гл. 5
мы увидим, что она играет центральную роль во всей теории.
Мы ищем решения C.33) в виде
Qin) = -iHC + Q,^-1 + . • • + Qn, C.37)
где P = QW = —iHt + qE + rF, Qk = hkH + екЕ+ fkF. Компо-
ненты gfe и fk перед Е и F в Qk определяются из членов при
?«-fe+1, а диагональная компонента hk находится из членов при
?"-fe. Приведем несколько первичных матриц. Имеем
--L(qxx-2q*r)
Q» = | I Г • <3-38>
.— -^(rxx — 2qr2) T(qrx-qxr) J
Уравнение
Pt»-Qnx + [(°r qQ),Qn] = o C.39)
ta
') Эти матрицы называются базисом Вейля алгебры slB). — Прим. переа.
104 Глава 3
является эволюционным относительно q и г. Потоки, соответ-
ствующие п = 0, 1, 2, 3, имеют вид
qu = —Щ, г и = 2ir C.40а)
с
с
QB) =
Чп =
Q
QA)=-
Яи=-^-(Яхх — 2Я2
-iHg + Z,(qE + rF,
|l = — Ш;
: Ях, ft, = rx
~iH% + qE + rF;
r), ru = -\(r
)-Щ-н + ±Ях
_ 1 .
хх-2яг2)
E-\txF;
:x — bqrrx)
C.40b)
C.41a)
C.41b)
C.42a)
C.42b)
C.43a)
rF) + g (- -^Я + 4- <7*? - -f
- т ^rx - qxr) H - 4- (</« - 2<72/") ? - 4- (rxje - 29r2) F. C.43b)
Нулевой поток (^>) соответствует такому преобразованию коор-
динат, при котором остается неизменным qr; следующий (^i) по-
ток— это перенос; второй (t2), с самосогласованной редукцией
г = ±q*, — это НУШ, третий (?3), с самосогласованной редук-
цией г = ±<7, — это мКдФ. Отметим, что Qw для всех потоков
tk с k ^ n конгруэнтны в том смысле, что Q<*+1) = CQ(fe) + Q*+i>
* = 0, 1, ..., (я-1).
Справедливы следующие результаты, которые, однако, в та-
ком формализме доказать непросто.
(i) Все уравнения Ptn — QL"' + [Cfn\ P] коммутируют, т. е.
(ii) Все эти уравнения гамильтоновы. Существуют некие
функционалы {F^o", такие что
_ ЬРп „ ufп . /о лл\
например, для п = 2, F2 = — (i/2) ^ (qxrx + q2r2)dx
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 105
(iii) Все Fn являются интегралами от неких полиномов Fn от
q, г и их производных по х; Fn удовлетворяют соотношениям
вида
dFn dGni
-Щ- = -ЗГ-> п = 0, 1,2,..., C.45)
которые называются законами сохранения. Fn называется сохра-
няющейся плотностью, a Gn/-— потоком. Все Fn, как и для иерар-
хии КдФ, обычно находятся асимптотическим по ? разложением
нескольких функционалов. В гл. 5 я получу для Gn,- выражения,
локальные по q, r и их производным.
Сейчас я хочу сделать несколько замечаний. Во-первых, все
эти результаты мы получим с единой точки зрения в гл. 5. Во-
вторых, для уравнений Гамильтона более общепринятой явля-
ется запись Z = /V#, где Z = (*) и / = (_° J), В таких системах
q и г являются сопряженными переменными, а сохраняющаяся
00
два-форма имеет вид \ бг Л bqdx, где использовано обозначе-
— оо
ние 6глб<7Для b\rb2q — b2rb\q, и 61 и б2 обозначают независимые
вариации. В-третьих, это особая роль переменной х в вышепри-
веденных формулах: например, все коэффициенты в Qr являются
производными по х. Заметьте, однако, что в Q3 коэффициент пе-
ред Е может быть записан как производная по t2 вида (i/2)qt2.
Кроме того, все законы сохранения имеют вид
-^-(сохраняющая плотность) = -^ (поток).
В действительности, есть много других соотношений вида
Читатель может возразить, что особая роль х связана с тем,
что область интегрирования, входящая в определение Fn, распо-
ложена на оси х, в то время как эволюция по всем временам
локальна. Все это верно, однако вспомните, что 8Fn/8q — это
оо
всего лишь символ, обозначающий ? (—d/dx)r (dF/dq^), где
о
q@ = drq/dxr, и все возникающие при этом члены чисто ло-
кальны.
В-четвертых (и это замечание позволит нам по-новому взгля-
нуть на вещи), должны выполняться равенства
Q\k!-Q{Pk + Wk\ Q(/)l=o, C.46)
106 Глава 3
являющиеся условиями совместности всех уравнений
k C.47)
Теперь вспомним, что QW> — это полином по % степени /. Разде-
лим C.46) на %1 и в получившемся уравнении сделаем предель-
ный переход j-*-oo. Если мы обозначим
- C-48)
то из C.46) получим (lim (Q'/'ДЛ = 0, поскольку g предполага-
ется большим)
Ql C.49)
Теперь уравнения для всех потоков приобрели гораздо более
алгебраическую структуру и одновременно форму Лакса (хотя
здесь Q представляет собой ряд Лорана по ?, а не дифференци-
альный по х оператор). Уравнение C.49) допускает решение
Q = VQ0V~\ C.50)
где V удовлетворяет C.47), a Qo — произвольная постоянная
матрица, не зависящая от tk- Часто принимают такую норми-
ровку V, в которой <3о = —Ш. В других случаях Qo записывают
как Q@)— значение Q при каких-то значениях х и 4 (напом-
ним, что х и t\ можно поменять ролями).
Упражнения Зс
1. Прямым вычислением докажите, что qtj3 = <7*,<2.
2. Попробуйте найти для Q решение вида Q(-1) =(l/^)Q-i и
получить из него уравнение sin-Гордон
uxt_l = sin и.
Указание: возьмите —q = r = ux/2; что произойдет, если взять
q = r = ux/2?
3. Заметьте, что если наложить ограничения типа q — r, то
они согласуются лишь с некоторыми из потоков. Например, если
вначале было г = ±q, то все четные потоки (т. е. t2n) разрушают
это соотношение, а все нечетные (т. е. /2*+i) сохраняют его. Про-
тивоположное происходит при г = ±q*.
4. Найдите линейные комбинации чистых потоков Q^\ QC) и
Qt-1), приводящие к уравнениям
a) qt = 7qx + 4 (qxxx + 6q2qx),
b) uxt = sln-a + uxxxx + ¦§¦ u\uxx.
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 107
То есть найдите такую комбинацию Q = aQA)-f PQ + yQ{~l\
чтобы условие разрешимости уравнений V( = QV и C.31) при
г = —^давало соответственно (а) и (Ь).
5. Если считать, что параметр ? зависит от времени так, что
?t=2arSri то в результате получается уравнение с завися-
щими от х коэффициентами. Покажите, что эволюционное урав-
нение, соответствующее Q = Q<2> — ixaH (член it,t, здесь приня-
тый равным la, а вещественно, добавляется в левую часть пер-
вого уравнения C.34)), имеет вид
= Y (Яхх - 2q2r) - 2iaxq,
Это позволяет нам изучать влияние градиента плотности в тех
задачах, к которым применимо НУШ. Это влияние приводит к
тому, что точки дискретного спектра (который был введен в
гл. 1 и который мы более подробно рассмотрим в следующем
разделе), бывшие до сих пор неподвижными, начинают дви-
гаться предписанным образом. (См. [75].I)
6. Рассмотрите задачу на собственные значения
vx=\±p* /РяЕ г \v, Ер,-о
и покажите, как выбрать Vt так, чтобы в результате получились
одномерные уравнения трехволнового взаимодействия, а именно
Pt -f- Cipx = d\q*r* и еще два уравнения, получающиеся цикличе-
ской перестановкой р, q и г.
7. По поводу общей («X") матричной задачи вы можете
обратиться к работам [76] и [77].
') Решаемые методом обратной задачи уравнения с переменными коэф-
фициентами возникают в двух эквивалентных подходах: а) когда спектраль-
ный параметр зависит от координат и б) при введении в (Р, Q)-napy про-
изводной по спектральному параметру. Уравнения такого типа впервые
появились, по-видимому, в работах [3*] и [4*]. В общей постановке такие
системы и их физические приложения изучались в серии работ [1*, 2*]. Подход
б) важен в теории симметрии солитонных уравнений: если задана иерархия,
порожденная некоторым Р-оператором, то с помощью техники инфинитези-
мального одевания можно для любого входящего в нее уравнения построить
бесконечную серию дифференциальных (по спектральному параметру) Q-one-
раторов, определяющих бесконечномерную алгебру некоммутативных симмет-
рии, содержащую данную иерархию в качестве коммутативной подалгеб-
ры [5]. См. также библиографический комментарий к гл. 5.
108 Глава 3
8. Рассмотрите задачу на собственные значения
и покажите, как выбрать Vt так, чтобы получить нелинейное
уравнение Шрёдингера с производной (НУШП) и массивную
модель Тирринга.
Замечание. Мы увидим, что получающийся из этой спек-
тральной задачи набор уравнений является родственным по от-
ношению к иерархии АКНС. (См. [38].)
3d. Прямое преобразование для нелинейного уравнения Шрё-
дингера, или рассеяние на бесконечной прямой [12, 80]. По при-
чинам, указанным в гл. 1, кажется естественным связать урав-
нение Шрёдингера
/))o = 0 C.51)
с решениями уравнения КдФ. В разд. ЗЬ мы обнаружили, что
если q{x, t) эволюционирует по параметру t согласно уравнению
qt + Qqqx + qxxx = O, C.52)
то В = —4?2 -\-2q, A = qx-\- С, С — свободная константа и
vt = (qx + Q v + D?2 - 2?) vx. C.53)
(См. C.15) и соответствующее ему В = В<-1\ Заметьте, что мы
положили /3 = 4*.) «Ну и что?» — можете вы спросить. «Чем
это может нам помочь?» Преобразование от q(x, t) к v(x, t; 5)
не приводит к какому-то простому, легко решаемому уравнению
для v (x, t; ?). Например, оно не линеаризует КдФ, как это про-
исходит для уравнения Бюргерса (см. упражнение Id). К сча-
стью, группа, сделавшая открытие (Гарднер, Грин, Крускал,
Миура), была хорошо знакома с квантовой физикой, и когда
возникло уравнение Шрёдингера, им показалось естественным
вычислить для него данные рассеяния. Более того, как я уже
упоминал в гл. 1, оказалось, что это преобразование от потен-
циала q(x, t) к данным рассеяния (или их подмножеству) и
есть правильное преобразование, позволяющее перевести си-
стему с бесконечным числом связанных степеней свободы C.52)
в разрешимую систему с разделенными степенями свободы.
Основные идеи теории рассеяния. Слово «рассеяние» подра-
зумевает наличие времени, состояния «до» и «после» и наводит
на мысль о некотором распространяющемся импульсе или волне,
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 109
который частично (в одномерном случае) отражается, а частич-
но проходит сквозь некую неоднородность, представленную по-
тенциалом q{x, t). Первое, что нужно сказать, —это что время,
на которое указывает понятие «рассеяние», и параметр t {вре-
мя) в уравнении КдФ не имеют между собой ничего общего.
Первое из этих времен мы назовем т, а второе временно зафик-
сируем. Рассмотрим, например, модель Скотта, состоящую из
непрерывно распределенных маятников, подвешенных на тор-
сионной проволоке, и представим себе, что при х->-±°о или
исчезает сила тяжести, или становится бесконечной длина маят-
ников. Тогда B.28) можно записать как
где коэффициенты с2 и «в2,— функции х, такие что с2^-с\, со2^-0
при дс-»-±оо. Для простоты примем с2 = 1 при всех х. Уравне-
ние C.54) будет описывать распространение волн по струне, по-
груженной в части своей длины в упругую среду. Во всяком
случае, поскольку со2 не зависит от т, можно искать решения
оо
уравнения C.54) в виде и (х, т)= \ v (x, Qe~i^xdt>, где v(x, ?)
— оо
удовлетворяет C.51) с — ©2 (x) = q(x, t). Вообразим, что t в
q(x, t) представляет собой параметр, с помощью которого
можно непрерывно изменять q(x, t). Но я опять подчеркиваю,
что когда речь идет о теории рассеяния, t считается константой.
Поскольку q(x) обращается в нуль при jc-»-±°°, асимптоти-
ческое поведение v (x, ?) задается линейной комбинацией экспо-
нент е±1^х с коэффициентами, зависящими от ?. Решения е±1^х
представляют собой в и(х, т) члены, зависящие от х + х и по-
этому двигающиеся влево (вправо). Следовательно, если из
х==+оо по направлению к потенциалу впускается импульс в
виде б-функции Дирака, то часть его отразится от потенциала,
и поэтому v(x, t,) будет иметь асимптотику на *-»--}-<» вида
о»(*. О = е-'6*+ /?(?)*«*, C.55)
где /?(?) называется коэффициентом отражения. Часть же им-
пульса пройдет, и поэтому асимптотика v(x, ?) при х = —оо
имеет вид
о-» (*, C) = 740e-'t* C.56)
и Т (?) называется коэффициентом прохождения. Из теории
обыкновенных дифференциальных уравнений и из простых ин-
туитивных соображений следует (мы вкратце скажем, почему),
что
?l. C.57)
110 Глава 3
В этом примере (уравнение sin-Гордон) мы выбрали q (х)= — со^,
т. е. величину, отрицательную всюду. Однако в квантовой фи-
зике потенциал —q(x), в котором движется электрон, может
местами быть и отрицательным, и у C.51) возможны решения
не волнового типа. Это так называемые связанные состояния, и
они возникают при отрицательных значениях энергии Я = Е =
= t? с чисто мнимыми ?. В отличие от волноподобных решений,
осуществимых при всех вещественных ? (положительных Е),
существует лишь дискретное и конечное число собственных зна-
чений "С,к(—Щк), которым соответствуют интегрируемые в квад-
рате собственные функции на интервале (—оо, оо). В этом
можно убедиться таким образом. Представим себе решение, ве-
дущее себя при х-*—оо как v-<x>(x, ?)==e-'E* и экспоненциаль-
но убывающее в этой области при ? = щ, ц > 0. В общем случае
можно ожидать, что после взаимодействия с потенциалом при
х-*--\-оо возникнут компоненты, пропорциональные е~'& и е%х.
В то время как вторая компонента ведет себя как е~^х, т) > 0
и вполне допустима, первая, очевидно, нет, поскольку она на-
рушает квадратичную интегрируемость. Следовательно, возмож-
ны только некие специальные значения ?, при которых асимпто-
тика v(x, ?) ПРИ Jt-> + oo содержит только член е%х.
Именно по этой причине изучаемые нами решения задачи
C.51) удобно нормировать следующим образом. Для веществен-
ных i определим решения <р(х, ?), ^(л:, ?) так, чтобы они имели
асимптотики
ф(х, ?)~е-'&*, х->— оо, C.58а)
i|i(jc, ?,)~е*х, д;-^-+оо. C.58Ь)
В качестве линейно независимых решений мы будем брать пары
Ф, Ф и г|), г|). Функция ф асимптотически ведет себя как е'^х при
х-*—оо, а -ф ¦—- ег*& при х^--\-оо. Для вещественных^(х) и ?
верны соотношения <р(х, ?) = ф(х, —?,) — <{>*(х, ^) и -ф (лг, %) =
= ty(x, —?) = i|)*(jc, t,). Звездочка обозначает комплексное со-
пряжение. Эти два набора линейно независимых решений свя-
заны:
Ф (х, ® = а @ ф (х, -О + Ь(®Ц (х, Q; C.59)
из вышеприведенных условий симметрии легко увидеть, что
а*E) —а(—?) и b*(Z)=b(—?). Кроме того, уравнение второго
порядка C.51) не содержит первой производной (в системе C.2)
это выражено нулевым следом матрицы коэффициентов), и по-
этому вронскианы функций (<р, ф) и (i|), ф) не зависят от х. По-
скольку ^(ф, ф) = ффх — фжф = 2tg и W(ty, г|)) = 2гХ, имеем (вы-
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 111
полните это вычисление!)
aa*-bb*={. C.60)
Теперь сравним C.59) и C.55), C.56). Для того чтобы получить
единицу перед е~^х при х->-+оо, поделим C.59) на а(?). Теперь
очевидно, что
и что C.60) — это просто C.57).
Замечание. «Линейный» предел. Сейчас самое время по-
смотреть, как связан коэффициент отражения R(t,) с простым
преобразованием Фурье от q(x)
Для этого используем формулировку C.2) и запишем два инте-
гральных уравнения для % =—tyx-\- i?it> и $2 = 'ф, где ty(x, ?) —
решение уравнения C.1) с асимптотическим поведением C.58Ь),
-'С* = 1
Теперь будем решать эти уравнения итерациями, находя после-
довательно члены со все более высокими степенями q. По су-
ществу именно эти разложения используются для доказатель-
ства утверждений C.64), приведенных ниже. Сейчас, однако, мы
будем считать q малым и сохраним только линейные по q члены.
х
Мы получим, что i(>ie'S* приблизительно равно \ q{y)enr°vdy.
— оо
Однако из соотношения, обратного к C.59),
Ч> (х, Q = a (О Ф (х, -5) - Ь (-g) Ф (х, 5), C.62)
мы видим, что ¦ф1е'^ = (—¦ф* + 1'?'Ф)е'г* стремится к —2iZJb(—t))
при х-*-—оо. Таким образом,
-2i?6(-?)= \
112 Глава 3
и поэтому
«<*>---?»D)-
Кроме того, в этом предельном случае а = 1, и поэтому данные
рассеяния — это преобразование Фурье.
Я хочу подчеркнуть, что это вычисление — лишь пример, по-
казывающий без излишних сложностей, что обратное преобра-
зование рассеяния является нелинейным аналогом преобразо-
вания Фурье. В действительности то, что понимается под пре-
делом малых q, требует большой аккуратности. Есть много
потенциалов, которые, будучи малыми при всех х, тем не менее
имеют связанные состояния. Например, в упражнении 3dC)
амплитуда Q может быть сколь угодно мала, и тем не менее
всегда есть одно связанное состояние. В этом смысле предел
а-> 1 при всех ?, Imt, > 0, не является равномерным.
Данные рассеяния и их свойства. До сих пор мы имели дело
с решениями при вещественных ?. Оказывается, что если q(x)
удовлетворяет условию
l + x2)\q(x)\dx<oo, C.63)
то справедливы следующие результаты.
(i) <p(jt, 0e'Zx, ty(x, Qe~lt°x и a(g) (определенное как
A/2)/?№(<р, г|))) аналитичны по ? при1т?>0. C.64а)
(И) ф (х, ?) е^х, г|) (х, ?) е~'^х и их производные по ?
существуют и непрерывны в области Im ? ^ О
везде, включая % = 0. C.64Ь)
За деталями читатель может обратиться к работе Дейфта
и Трубовица [80]. Математические проблемы, возникающие в
обратной задаче рассеяния, сводятся к тому, чтобы охарактери-
зовать данные рассеяния, возникающие из потенциалов задан-
ного класса. Первоначально Фаддеев исследовал класс q(x), для
оо
которых \ A -\-1 х \)q(x)dx < оо, но Дейфт и Трубовиц ука-
—оо
зали, что для контроля над производной по ? от -ф(л:, %)е~Ъх при
? = 0 необходимо несколько более сильное условие C.63).
Далее, рассмотрим C.29) с и = -ф. Вспоминая, что -фг =
= —Фх + '&ф. и пользуясь C.62), получаем, что величина
Семейства солитонных уравнений и методы нх решения 113
(¦ф -f(l/2tt) (tyx — г?ф))е-'?* стремится к а(?) при х->—оо. По-
этому C.29) дает
оо
In а «) ~ - ? -^п \ Rndx. C.65)
Записывая C.65), мы, естественно, предполагаем, что все инте-
гралы в правой части существуют, а это гораздо более сильное
условие, чем C.63). Если бы мы располагали только C.63), то
мы могли бы только утверждать, что а (?)-»-1 при ?-»-оо, Im? ^
^ 0. Пока, однако, это все, что нам нужно. Мы знаем, что а(?)
аналитична при 1т?>0, существует при Im? = 0 и стремится
к единице при ?->-оо, Im? ^ 0. Поэтому а(?) может иметь лишь
конечное число нулей, ./V, в области Im ? > 0, поскольку в про-
тивоположном случае она имела бы точку сгущения нулей и из
соображений аналитичности должна была бы быть тождествен-
ным нулем. (Если точкой сгущения служит ? = 0, то требуются
более тонкие аргументы.) Из C.59) мы видим, что а(?) пропор-
ционально вронскиану решений ф(л:, ?), -ф(лг, ?)
a@= = j
а поэтому в каждом нуле ?ft, k = l, ..., ./V функции a(^) = 0
Ф(х, С») = ***(х, W, k=l N. C.66)
Заметьте, что а(?) может иметь полюс при ? = 0. И это действи-
тельно, как правило, осуществляется. Исключения бывают при
|/?@)|< 1. Читатель может подумать на эту тему после того,
как сделает упражнения (и), (Hi), (iv) и (v) в конце этого раз-
дела.
Набор величин
называется данными рассеяния (a'k = da/d?L \. По нему можно
восстановить a(t,) следующим образом. Функция
114 Глава 3
аналитична при 1т?>0, стремится к 1 при
и поэтому по теореме Коши
1
DO
=-ш \ т
Заменяя ?-»—| в последнем уравнении, замечая, что при ве-
щественных | f(?)/(—?) = я(?)а(—?) = |яAI2> и складывая
оба уравнения, получаем
4=1 * -оо
откуда уже тривиально следует, что
(Легко видеть, что возможный простой полюс a{t) при ? = 0 не
влияет на результат.) Асимптотическое разложение обеих частей
C.68) при ?->оо дает
4/ Г 8i2n+2
H ) Rdx
C.69)
00
4 Г
о
Уравнения C.69) — это формулы следов, определяющие функ-
ционалы Гамильтона H2n-i, д=1, 2, ... (формула справедлива
и при п = 0, однако #_! не является разумным гамильтониа-
номI) как функции от собственных значений {т)А}?=1 и модуля
коэффициента отражения |/?(?)|, ? вещественно и положитель-
но. Они поэтому выражают константы движения в старых пере-
менных (<7, <7*> Qxx, • • •) как функции констант движения в новых
переменных (данных рассеяния) и, в частности, показывают, как
отображаются гамильтонианы при переходе от q(x, t) к S(t).
') #_i приводит к потоку qt = 0.
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 115
Имеет смысл выписать в явном виде несколько первых равенств:
оо
\
C.70а)
дЧх = -?¦ ? г)| - |- $ I2 In A - | R |2) d%, C.70b)
1 О
N оо
| - -f- J 6* In (I - | /? I2) dl. C.70c)
-оо 1 0
Стоит проверить эти формулы в случае, когда q(x)— односоли-
тонный безотражательный потенциал. Под безотражательностью
мы понимаем тождественное равенство R(t,) нулю. При этом
нетривиальные данные рассеяния — это просто связанные со-
стояния {?fe = '\., bfe}f- В частности, при ТУ = 1 q(x) =
= 2т) sech2 т) (л: — х), где t)i=t), bv — e2n*. Отметим, что при
./V > 1 энергия Af-солитонного состояния просто равна сумме
энергий входящих в решение солитонных компонент. Это неуди-
вительно, поскольку энергия сохраняется, и в пределе больших
времен ./V-солитонное состояние представляет собой линейную
сумму N отдельных солитонов (см. C.108)). Полезно отметить
также, что из C.70а) следует, что масса, содержащаяся в соли-
лг
тонах, 2 4r)ft, всегда больше действительно содержащейся в ре-
оо
шении q(x) массы \ qdx, поскольку 0<С|^|2<1. Поэтому
— оо
вклад непрерывного спектра в массу всегда отрицателен. Этот
результат имеет важные ответвления при рассмотрении возму-
щений уравнения КдФ. Сейчас же самое время детально ра-
зобрать несколько примеров.
Упражнения 3d
1. Рассмотрите (a) vx = u(x, t)v и (b) vt = {u2 + Ux)v. Убе-
дитесь, что условие интегрируемости — это уравнение Бюргерса
(с) ш = 2иих + ихх. Однако, дифференцируя (а), убеждаемся,
что (Ь) превращается в vt = vxx, т. е. в уравнение теплопровод-
ности. Поэтому (с) может быть точно решено с помощью ото-
бражения (а).
2. Рассмотрите q(x) = Q08{x) и покажите, что а(?) =
= (Qo + 2it,)/2it, /?(?)=—Qo/(Qo + 2t?). Есть одно связанное
состояние при ? = /Q/2, и, кроме того, /?@) = —1. В действи-
116 Глава 3
тельности для всех потенциалов, кроме безотражательных (для
которых /?(?)= 0), /?@) = —1. Проверьте выполнение C.60).
Вычислите <р(х, ?), -ф (л:, ?) и найдите bk-
3. Возьмите q(x) = Q при 0 <. х <. L и q = 0 при остальных
х. Покажите, что
а (С) = е^ (cos s/WTQ L - ?%^ sin
b (i) = e- «*• ч sin V?2 + Q L.
Почему a(?) аналитично при Im? > 0? Отметьте, что /?(?)-»- — 1
при Z,-*-0.
Чтобы найти нули а(?), положите ?,==i^QcosQ и получите
а(?) = sin B8 + о sin 8)/sin 28, где a = ^QL. Исследуйте зависи-
мость нулей а(?) от а по поведению точек пересечения графи-
ков у = a sine и г/ = пп — 28, п = 1, 2, ... при 0 < 8 < я/2.
Замечание. Отметьте, что в этом случае а(?), 6(?)/а(?) и все
собственные функции ц>(х, ?), -ф(л:, ?) аналитичны везде, кроме
? = 0, оо. Это свойство выполняется для всех <7(л:) с компактным
носителем..
4. Рассмотрите q(x) = 2тJ sech2т)(jc — х) и покажите, что
преобразованием Шц(х — x) = t уравнение C.51) может быть
превращено в присоединенное уравнение Лежандра. Покажите,
что .?(?;)= 0. Получите в явном виде а(?), собственные функции
и собственные значения (есть только одно t,\ = i-x\) и нормиро-
вочную константу Ь\ и покажите, что
5. Рассмотрите q(x) — Asech2x и покажите, что C.51) мо-
жет быть решено в гипергеометрических функциях и что коэф-
фициенты отражения и прохождения даются Г-функциями с
аргументами, зависящими от ? и А. Покажите, что в частном
случае А=п{п-\-\), п — положительное целое, выполняется
./?(?)==() и возникает в чистом виде /г-солитонное решение. За-
метьте, что когда А « п (п -\- 1), то /?@) = —1, в то время как
при А = п(п-\- 1) R{1) == 0. (Детали читатели могут найти в
книге Лэма [69].)
Зе. Обратное преобразование. Основная наша цель в этом
разделе—показать, как восстанавливать потенциал q(x) по
данным рассеяния 5. Конечным результатом будет знаменитое
уравнение Гельфанда — Левитана [81], хотя попутно мы полу-
чим уравнение, более удобное для нахождения безотражатель-
Семейства солитоиных уравнений и методы их решения 117
ных (чисто солитонных) потенциалов. Мы рассмотрим в дета-
лях двухсолитонный потенциал и объясним, что понимается под
сдвигом фаз.
Первая и наиболее утомительная часть анализа — это вос-
становление фундаментальной матрицы решений
ЕМ ,.„.
J CJ2)
Если известна Ф и, в частности, ее элементы, то можно полу-
чить, что она удовлетворяет уравнению Шрёдингера, и из этого
извлечь потенциал q(x). Наиболее удобный, но не единственный
способ сделать последний шаг состоит в том, чтобы выделить
q{x), производя асимптотическое разложение для ¦^(х)е~'^х,
определенное в C.29а). Получаем
q (х) = lim - Щ-jL (ф (Х, l) е-Ъ _ 1),
Е-*~ йх C.73)
Im?>0.
Аналогичный анализ, основанный на C.29), показывает, что
функции ц>(х, ?)е&х, ц>(х, —?,)е~'&, -ф (л:, —?)е'& все стремятся
к единице в полуплоскостях, в которых они аналитичны
(I0)
Мы хотим найти ц>(х, ?)el^x (или ty(x, ?)е~%х), которая, как
мы уже знаем, аналитична в верхней полуплоскости с асимпто-
тическим поведением фе'Е*-»-1 при ?-»-оо, Im?>0. Мы также
знаем, что г|>(х, —?)е%х аналитична при Im^<0 и на вещест-
венной оси ?, ? = |, уравнение C.59) определяет скачок между
(<р/а)е%х, имеющей лишь конечное число полюсов при Im? > О,
и -ф(л:, —?)е^х. Этот скачок, R(?)^(x, ?)e^x, должен быть не-
прерывной функцией. Это — классическая задача Римана —
Гильберта, решение которой строится следующим образом.
При Im?>0 рассмотрим интеграл вдоль вещественной
оси |:
/ = -!-
2л/
— ОО
Вычислим / двумя способами. Во-первых, мы воспользуемся тем
фактом, что ц>(х, ?)е'& и а(?) аналитичны при 1т?;з=0, и де-
формируем контур интегрирования в окружность ||| = /?, /?-мх>,
О < Arg 1 < я. Получим
118 Глава 3
Первый член в C.75) представляет собой вклад от нулей функ-
ции а(?), которые просты и расположены в точках ?ь в которых
Ф* = bktyk (tyk обозначает ty(x, t,k))- Мы определяем yk как
bk(a'k^~l, где a'k = da/d?,\tk- Второй член происходит от интегра-
ла по полуокружности на оо, относительно которого мы знаем,
что подынтегральное выражение стремится к |-1.
Теперь оценим /, используя C.59):
Из свойств аналитичности подынтегрального выражения в пер-
вом интеграле получаем
/ = - ¦ (х, 0 е-'* + 1 + ^- ^ F) * (%У[^ ^ • C.77)
Теперь мы получаем из C.75) и C.77) замкнутое интегральное
уравнение на -ф (лг, ?)
I / f\ Их 1 V ^^feg/ Й* I 1 Г D /^ * (A:> S) е^ ^5 /Ч 7Й\
* (x' s) e~'lx = i - 2, -гкГ + 1йг H(l) i + s d|-C78)
k-l -oo
Отметим, что необходимые для решения C.78) данные — это в
точности 5 =(/?(!), | вещественно,^, Yfc)f)- ^ля завеРшения
решения C.78) и доказательства существования и единствен-
ности решения иногда удобно взять преобразование Фурье от
C.74) и ввести «временную» переменную, которую мы в разд. 3d
назвали т. Мы сделаем подстановку
ф(*, С)е-'С*=1 -f \ K(x, s)e't(»-*>d», Im?>0. C.79)
X
Несложно показать, что такое К(х, s), не зависящее от ?, су-
ществует [12]. Асимптотическое разложение C.79) дает
и сравнение с C.73) приводит к
2-^K(x,x). C.80)
Подставим C.79) в C.78), умножим на е и проинтегрируем по
? от —оо до +00 вдоль контура, расположенного чуть выше
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 119
вещественной оси. Тогда, пользуясь формулами
-o = 2я6 (s - т),
«*-1Н(х-х),
где Я (у)—функция Хевисайда, мы получим
оо
X
где
N оо
Я B) = - * У Y*^Z + 4г U F) ^ rfg. C.82)
Уравнение C.81)—это уравнение Гельфанда — Левитана. Это
фредгольмово уравнение, из которого находится К(х, т) как
функция от т > х по В(х-\-х). После этого q(x) находится из
C.80). Иногда удобнее записывать C.82) в более компактной
форме
±\ C.83)
где контур С идет из | = —оо в | = -}-оо над полюсами R(l).
Эта формула верна только тогда, когда /?(|) допускает анали-
тическое продолжение в верхнюю полуплоскость.
Класс безотражательных потенциалов. Класс безотражатель-
ных потенциалов q(x) возникает, когда коэффициент отражения
R(Z,) тождественно равен нулю. В этом случае проще работать
непосредственно с C.78):
J]!*** C.84)
120 Глава 3
Заметим, что из C.71) при t,k = ir)k получается
N
Положим в C.84) ? = ?/ = щ и получим систему N линейных
уравнений относительно ф^,
из которой можно найти прямым вычислением -ф (л:, t,)e~'^x и
q(x). Пользуясь свойствами bk и а(?), легко показать, что у к
является чисто мнимым и что
Y, = 2/^*4 C.86)
Односолитонное решение с ?i = щ (каждое дискретное собствен-
ное значение приводит к возникновению одного солитона)
6 + гт)
. . it) sech т) (x ¦
Щ
6 е^
C-87)
Ф
q (x) = 2rf sech2 т) (jc — х).
В частности, параметр 6Ь отношение ф(^) и г|з(^) в точке ?ь ра-
вен е211-5 и поэтому определяет положение солитона. В следующем
разделе мы получим, как он зависит от времени t.
Кроме того, можно показать, что потенциал q(x), соответ-
ствующий TV-солитонному решению, может быть записан в виде
второй производной по х от логарифма функции, которую мы
будем называть %(х) (это не то т, которое входит в уравнение
Гельфанда — Левитана) и которая имеет вид
и,-о,
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
121
где
:-*,), **'/ =
C.89)
и первая сумма берется по всем (л/ = 0 или 1. Читатель может
при N = 2 проверить, что
Х= I -{- e-2r\i{x-xJ _j_ е-2г\2(х-х2) _|_ e-2tii(x-JE,)-2ti2(*-Je2)+i415i C.90)
х = 4 П \t + ДГ,
дг = 4 г)
Рис. 3. Двухсолитонное взаимодействие.
Двухсолитонное взаимодействие. Давайте забежим вперед и
воспользуемся тем, что если q(x, t) эволюционирует согласно
КдФ, то X] = 4гJ/ -j- xf\ и исследуем двухсолитонное взаимо-
действие. Предположим, что ц\>г\2 и рассмотрим окрестность
х ~ х2. Поскольку х1 — х2 = 4 (rfc — r\f) t, второй и четвертый чле-
ны в C.90) экспоненциально малы при t-*-—сю и поэтому
вблИЗИ X = Х2
х ~ 1 -f- е~2Цг<-х~^
и
q (x) =¦¦ 2гJ sech2 v\2 (х — х2).
122 Глава 3
С другой стороны, при х а: х,\ доминируют третий и четвертый
члены, и
т си.
Соответствующее #(*) равно
9 (*) = 2tj, sech2 ti, [x — ху - -~ Л12) .
Аналогично при /->-|-оо вблизи х = Х\
q (x) = 2tii sech2 л, (х - х,),
а вблизи jc = ^2
9 (х) = 2щ sech2 % (х — хя - -^ А12) .
Поэтому меньший солитон тJ, который при больших отрицатель-
ных временах располагается справа от солитона t|i, испытывает
сдвиг фазы на (l/2tt2)/4i2, т. е. на отрицательную величину.
Больший солитон rji сдвигается вперед на положительную вели-
чину— A i2/2tii.
И наконец, из C.88) читатель должен заметить, что если
есть N солитонов rji > щ > ... > т\ы, то при изменении t от
—оо до 4*°° полный сдвиг фазы, испытываемый каждым соли-
тоном, складывается из попарных сдвигов.
Справедливо также утверждение (и в гл. 4 я объясню по-
чему), что функция, выражающая сдвиги фаз
л 9 in I Т1' ~Т1»
Л12 —21п ,
одна и та же для каждого уравнения, входящего в иерархию
КдФ. Можете ли вы сейчас сообразить, почему это верно?
3f. Временная динамика данных рассеяния и влияние малых
вариаций потенциалов. В этой части я в первую очередь хочу
продемонстрировать вам, как меняются во времени данные рас-
сеяния, если q(x, fak+i) изменяется в силу любого из уравнений
C.9). Мы начнем со случая, когда q(x, t) удовлетворяет C.52).
Потом я хочу вывести формулы, позволяющие вычислить инфи-
нитезимальные вариации данных рассеяния, порождаемые инфи-
нитезимальными вариациями 6<? потенциала. Инфинитезималь-
ное изменение потенциала может быть произвольным и не долж-
но удовлетворять какому-либо из уравнений C.9). Эти формулы
важны для:
(i) построения теории возмущений в случае, когда q(x, t)
изменяется согласно уравнению типа qt + 6qqx + Цххх =
= BF(g, qx, ...). 0<в< 1;
Семейства солитонных уравнений н методы их решения 123
(И) доказательства C.17), устанавливающего связь между
потоками L"q и вариационными производными от H2n+i',
(iii) выражения q и 6q через базис из квадратов собствен-
ных функций по аналогии с преобразованием Фурье.
Временная динамика данных рассеяния. Используя C.53),
легко вычислить зависимость данных рассеяния от времени. Пер-
вая задача состоит в выборе константы С таким способом, чтобы
нормировка собственных функций оказалась совместимой с опре-
делениями функций ф(х, t; ?) и г|з(х, t; ?). Вспомним, что по
определению C.58) ф(х, t; ?,) ~ е~^х ПРИ х->—оо при всех t,
и для этого необходимо выбрать С = 4i?3. Аналогично для
¦ф(дг, t; ?) следует выбрать С = —4it,3. Следовательно,
Ф/ = (qx + 4#) Ф + D?2 - 2q) Ф„ C.91)
^ = (9х-4/{*)Ф + DЕ2-2</I|)х. C.92)
Для нахождения производных по t от а(?, t), b{t,, t) исполь-
зуем прямо формулу C.59) или ее асимптотический вид при
х-> + оо. Дифференцируя по t левую часть C.59), получаем
(qx + 4#) (аМр (х, -® + Мр (х, ?)) +
+ D?2 - 2q) (a$x (x, - ?) + Ь$х (х, 0),
а дифференцируя правую —
а«Ч>(х, -0 + ЬЪ(х, 0 + а(qx + 4Ц*)ф(х, -0 +
+ аD?2 - 2q) $х (х, -Q + b(qx- Щ3) ф (х, ?)+6 Dg2—2^) фх (х, Q.
Приравнивание двух этих выражений дает
(ц = 0, bt = 8Ц*Ь. C.93а)
Аналогичные вычисления для C.66) дают
C.93b)
Заметим, что C.93а) и C.93Ь) совместимы в том смысле, что
если потенциал q(x, t) таков, что b(t,, t) допускает аналитиче-
ское продолжение в ? = ?*, то C.93а) там совпадает с C.93Ь).
С другой стороны, подстановка в C.91) асимптотического вида
ф(х, t, $), т. е. а&, *)егЪ*-\-ЬA, t)e%x, также дает C.93а).
Существенное замечание, которое необходимо сделать, со-
стоит в том, что хотя эволюция ф и ij) зависит от неизвестной
величины q(x, t) и всех ее производных по х, данные рассеяния
включают только относительное поведение собственных функций
в точках х = ±оо, в которых известна q(x, t) вместе со всеми
ее производными (они все равны нулю). С другой стороны, если
124 Глава 3
бы мы решали периодическую задачу на интервале 0 ^ х ^ L,
то у нас бы не было в распоряжении такой точки, в которой
q{x, t) известна в любой момент времени, и это делает эволю-
цию новых координат в этой задаче гораздо более сложной.
Постоянство а (?) играет центральную роль в теории. Во-пер-
вых, оно означает неизменность во времени дискретных соб-
ственных значений t,k —щк, k=l, ..., N. Во-вторых, из C.65)
и C.69) мы видим, что гамильтонианы H2n+i, га = 0, 1, ..., и
qdx являются интегралами движения. Это справедливо
— оо
для любого потока из семейства КдФ- Единственное, чем отли-
чается (КдФ)з от (КдФЬл+ь — это, в соответствии с C.9) (на-
помним, что t, входящее в C.9), в 4 раза больше, чем t в C.52),
C. 53)), то, что в первом случае
C.94)
в то время как во втором
bt =2%2n+ib. C.95)
Таким образом, хотя в физическом пространстве трудно увидеть
разницу между потоками с га=1, 2, 3, ... (сравните C.15) и
C.16)), в пространстве данных рассеяния их различие триви-
ально и сводится просто к разным степеням t, и %к в фазах
b(t,, t) и bk(t). По этой причине легко рассматривать линейные
комбинации этих потоков. Например,
дает at = 0, и
•¦•)**¦
Одним из следствий этого является формула, определяющая
многосолитонное решение C.88) сразу для всех потоков. Доста-
точно использовать подходящую фазовую скорость в х,к- Вспом-
ним, что bk = eiX[kXk = e~2tikXk. Многосолитонная формула для
Я(х, h, U, •••) как функции чистых потоков C.9) задается
C.88), C.89) с
Я/ = 2/(?/* + ?3/3 + ?5/8+ ...). C.96)
Влияние инфинитезимальных вариаций потенциала. Следую-
щая наша задача состоит в определении инфинитезимальных ва-
риаций данных рассеяния, возникающих вследствие инфините-
зимального изменения потенциала д(х). Как мы увидим, эти
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 125
формулы важны с самых разных точек зрения. Если q подвер-
гается изменению q->-q-\-8q, то при вещественных (фиксиро-
ванных) ? вариация г|з(х, ?) удовлетворяет уравнению
C.97)
Мы знаем два линейно независимых решения однородного урав-
нения г|}(х, ?,) и $(х, —?) и поэтому можем решить C.97) ва-
риацией постоянных. Получаем
х
+ ОО
Устремляя х-*-—оо, получаем
оо
ба=ж Sб<? {х) *(х> 5) ф (л;> 5) dx> C-98a)
Из C.98) находим
оо
() [x. C.99)
Получить формулы для 8t,k и 6y^ проще всего, допуская сущест-
вование аналитического продолжения в t = tk- Даже если оно
неприменимо, полученные формулы будут верными, так как не
могут зависеть от того, является ли носитель q компактным или
нет. Маленькая трудность состоит в том, что для вещественных
? й*(?)|=Р(—?). Для комплексных J; продолжение й(?) в t, = ?fc
должно удовлетворять &(?;*)&(—&*) = —1, поскольку а(^) = 0.
Поэтому продолжение 6* в ? = ?* есть —1/й/г. Я оставляю чи-
тателям в качестве упражнения показать, что
оо
\б^1^ (злоо)
C.101)
126 Глава 3
где $k = — l/bka'k и a'k, a"k, (dif>2/d?)ft — это первая и вторая про-
изводные от а (?) в точке ?й и первая производная if>2 по ? в ?«.
Формула C.100) известна в квантовой механике и выражает
изменение энергетического уровня как функцию вариации по-
тенциала.
Теперь мы используем C.98а) для доказательства C.17). Не-
трудно показать, что для L, определенного в C.12), выполняется
Решая итерациями, получаем
ф* 1 _ 1
а (С) ^
Поэтому, пользуясь C.98а), находим
2
6<? 2ig a E) 2/g ^ 2
Теперь сравним C.103) с C.65) и C.69). Получаем
Lnq = ^±-. C.104)
Это есть C.17), и это очень важная формула, позволяющая нам
все потоки записывать в гамильтоновой форме.
В следующем разделе мы займемся задачей о том, что про-
исходит при возмущении интегрируемой системы, и для этого
нам придется существенно использовать материал настоящего
раздела. Но сначала я хочу отметить другую особенность. Как
мы показали в разд. 3d, в пределе малых q (ik/2n)p(k/2) — это
просто $, преобразование Фурье .от q. Этот факт и то, что ва-
риации данных рассеяния определяются по C.99), C.100) и
C.101) как внутреннее произведение между б<7 и квадратами
собственных функций или их производных, наводит на мысль о
возможности обращения этих соотношений и определении б<? как
функции от 8(Ь*/а), б?*, бр&. Это и в самом деле возможно. Де-
тали читатель может найти в [75]. Ответ таков:
..05,
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 127
Набор производных по л; от квадратов собственных функций
T<*' ®> * вещественно, \х , ^ , *=1
C.106)
образует базис в классе функций C.63). Вам следует с помощью
C.99) — C.101) проверить, что если изменение 6<7 осуществляется
согласно временной динамике какого-либо уравнения из семей-
ства КдФ, то
C.107)
Чтобы убедиться в этом, скажем, при п= 1, замените в C.99)
8q на — -j (qxx + 3q2)x, проинтегрируйте по частям и используйте
для вычисления интеграла уравнение, которому удовлетворяет
В заключение укажем на возможность записи q(x) в виде
оо N
я (х) = 4- S ?* @ *2 (х> S) <%> - 4 Е Yfe^2 <*•?fe)- CлО8)
Уравнение C.108) легко получается из
О О
C.109)
где Z5 обозначает интеграл в смысле главного значения, вычис-
лением правой части деформацией контура в полукруг |?| = о°,
Im? > 0. Из C.27) имеем ффа-1 — 1 ~ q/2c?+ ... при |?|-»-оо.
Замечание. Из этих результатов видно, что интегрируемые
потоки лежат на бесконечном семействе поверхностей
|/? (|)| = const, 1к = const. C.110)
По аналогии с конечномерными гамильтоновыми системами
можно представлять себе пересечение этих поверхностей уровня
C.110) как бесконечномерный тор. Возмущения общего вида,
выводящие систему из класса интегрируемых — как, например,
влияние переменной глубины (см. следующий раздел)—могут
приводить к изменениям траекторий как вдоль, так и перпенди-
кулярно поверхности этого тора. Из C.105) мы видим, что изме-
128 Глава 3
нения, не выводящие за пределы тора, образуют некоторое про-
странство, натянутое на векторы дц>2/дх, в то время как нор-
мальные к тору вариации натянуты на производные этих вели-
чин по ?.
3g. Теория возмущений. Уединенные волны в канале медлен-
но меняющейся глубины. В разд. 2Ь мы получили B.16)
<7t + 6<7<7е + <7еве = - Т^Ч C.111)
в качестве модели для описания длинных волн, распространяю-
щихся вправо по каналу переменной глубины. Если относитель-
ное изменение глубины Dx/D мало по сравнению с длиной рас-
сматриваемых волн, то зависящий от т параметр Г = (9/4) Z)T/Z)
мал, скажем, порядка о, где 0<8<о< 1. Может показаться,
что такую на вид несложную задачу можно решить в лоб, ис-
пользуя стандартную технику теории возмущений. Однако это
не так. Потребовалось около десяти лет, чтобы прояснить боль-
шинство трудностей, связанных с уравнением C.111), и его
связь с полной двухволновой задачей о волнах на воде. А не-
которые вопросы до сих пор остаются открытыми. Поэтому это
прекрасный пример для иллюстрации различных подходов к
решению возмущенных солитонных уравнений. Результаты, ко-
торые я намереваюсь обсудить, получены в серии статей с моим
коллегой Дэвидом Каупом [45] и позже с моим студентом Кол-
леном Кникербокером [43]. Карпман с коллегами [46] незави-
симо получили многие из этих результатов почти одновременно
с нами.
Задача, которую мы рассмотрим, такова: вообразим уединен-
ную волну
q F, т) = 2т|§ sech2Ti0 F - 4tgr - 60), C.112)
входящую в область меняющейся глубины при 0 = т = 0. (На-
помним связь новых координат q, 6, т со старыми:
х х
возвышение N пропорционально D2q, где D(X)—безразмерная
глубина.) Наша цель — описать дальнейшую эволюцию. Для
этого есть много способов, одни в чем-то лучше других, но нет
единственно верного. В пунктах (i) и (И) ниже мы опишем как
прямой метод возмущений, так и связанный с обратной задачей,
и укажем их преимущества и недостатки. Метод, разбираемый
в п. (ш), который я называю методом разумного использования
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 129
законов сохранения, я считаю весьма удобным, если уже есть
некоторое понимание того, чего следует ожидать,— понимание,
приобретаемое посредством метода (и). В п. (iv) я вкратце
опишу, как пользоваться (ш) для преодоления несоответствия
между постоянным потоком массы М = \ D (х) U (x, t) dt в пол-
ных двухволновых уравнениях и величиной, сохраняющейся
оо
в одноволновом приближении, w ~ J D3li(x)U+(x, t)dt.
—оо
В упражнениях есть несколько примеров, на которых вы можете
себя проверить.
(i) Прямой метод. Самое простое, что приходит в голову,—
это искать решение C.111) в виде
«7F, т)=--<7«» + (г«7О)+ ..., C.113)
где предполагается, что <7@) имеет вид солитона C.112) с той
разницей, что ц, параметр амплитуды, является медленно ме-
няющейся функцией х (ц — Ц(Т), Т — ат), а соответствующая
фазовая скорость равна
Эх = 4т12 + О(а). C.114)
Исходя из этого, естественно использовать систему коорди-
нат, движущуюся вместе с солитоном (? = 6 — (Г, s = x), в кото-
рой уравнение для ^A) имеет вид
qii) _ 4tf^> -f q^ + 6${<V> + б^П) = - Г/aqV» - qf. C.115)
Как видим, при G@)(8, т) общего вида решить C.115) до-
вольно трудно, поскольку неясно, как можно разделить пере-
менные (метод (П) автоматически приводит к такому разделе-
нию). Однако в данном случае, когда <7@) зависит только от g,
решение возможно. Если мы ищем <7A)> зависящее только от |,
но не от s, тогда условие разделимости C.115) сводится к тре-
бованию ортогональности правой части решению сопряженного
уравнения LAV = —V|n + 4'n2V6 — 6q(°>Vb = 0, убывающего при
|->+оо. Единственным кандидатом является само <7<0)- Поэтому
мы потребуем, чтобы
оо оо
-JL J ф^т = —Щ- \ q^dQ, C.116a)
—оо —оо
откуда
r,t = --|rti. C.116b)
5 А. Ньюэлл
130 Глава 3
Если не требовать C.116а) и допустить зависимость <?(i> от s, то
тогда оно будет линейно расти по s, и на больших расстояниях
порядка s = t = OA/c) будет нарушаться равномерность
асимптотического разложения C.113).
Теперь найдем q(l):
<?A) = ¦? {-1 + th Ч& + sech2 ЧБ C - Зт? th ЧБ + 2чБ -
th чБ)} + у A - th чБ) sech2 чБ.
Отметим, что qW-*-Q при |->+оо, однако в хвосте уединенной
волны, Б~>—°°,
?A) = -^-. (З.П7)
т. е. равно ненулевой (почти) константе. Увы! Ряд C.113) схо-
дится неравномерно в хвосте уединенной волны. Этот факт был
впервые открыт и подтвержден численными расчетами Лейбови-
чем и Рэнделлом [82].
Однако впереди еще худшее. Проверим точный закон сохра-
нения,
= -T J q(Q)dQ, C.118)
что представляет собой запись закона сохранения потока массы
m=\D9liqdQ для движущегося вправо потока. (Я буду поль-
зоваться строчным т, чтобы отличить его от истинного потока
массы М в полной двухволновой задаче, допускающей движения
как вправо, так и влево.) Если q близко к <7@)> то левая часть
C.118) равна (д/д%) {4ц) — 4f\ (— -о-Г) , в то время как правая
часть равна —ГDт]). Поэтому (пусть Г < О, D уменьшается) из
дополнительной массы жидкости, накопляемой в области ме-
няющейся глубины, только 2/3 идет на рост уединенной волны.
Куда девается остальное?
В то время как трудности, связанные с C.117), были заме-
чены при использовании прямого метода, только что описанная
трудность оказалась незамеченной.
(ii) Использование обратной задачи рассеяния. Как преодо-
леть две эти трудности? В 1976 г. Дэвид Кауп и я вновь обрати-
лись к этой задаче с точки зрения теории рассеяния. Идея со-
стояла в том, что в этой задаче естественнее всего изучать эф-
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 131
фекты возмущения, преобразовав возмущенные уравнения к пе-
ременным действие — угол или нормальным модам точно решае-
мой системы. Кауп [73] еще раньше показал, как выписывать
эти уравнения для возмущенного НУШ. В этом подходе мы
прямо приходим к C.99), C.100) и C.101). Вспомним, что если
8q или qt эволюционирует в соответствии с любым уравнением
из КдФ-иерархии, например (КдФ)з. как в C.52), то все инте-
гралы вычисляются и соответственно дают 8it?b*/a, 0 и 8i?,3kb*/a.
Для вычисления эффекта от возмущения —Г^ используем для q
главный порядок — односолитонное решение — и вычислим со-
ответствующие квадраты собственных функций. Для чисто
односолитонного решения мы знаем из C.110), что (%х = щ)
q = —4-\>i!;iit>2(x, Si), и поэтому C.100) приобретает вид $it =
= ;% = — B/3)/Гт), что в точности дает C.116b). Когда мы ис-
пользовали C.99) для вычисления возмущений непрерывного
спектра (напомним, что при т = 0 Ь*/а = 0), мы получили, что
сингулярный вклад в окрестности 5 = 0 приводит к появлению
нового поля qc, которое для малых расстояний имеет вид
0 в других случаях.
Таким образом, образуется шельф, располагающийся между
текущим положением солитона 0 и 8 = 0. В исходных координа-
тах он находится между уединенной волной и местом, до кото-
рого может распространяться наиболее длинная волна, выходя-
щая из точки начала изменения глубины. Он в точности имеет
величину той части q(l\ а именно C.117), которая не убывает
при ?-»—оо. Это тот шельф, который обнаружили Лейбович и
Рэнделл, однако они не осознали, в каком смысле он имеет ко-
нечную протяженность. Хотя шельф медленно меняется по
амплитуде, его протяженность меняется со скоростью порядка
единицы. Это означает, что отклик решения на медленное изме-
нение глубины не является чисто адиабатическим! И именно
этот факт позволил нам удовлетворить условию сохранения по-
тока массы в локальной форме:
оо оо
dQ = ~ f A- ]qdB. C.120)
—оо
Поскольку qc мало и меняется медленно, из (ЗЛИ) мы
ожидаем, что dqc/dx= — — (Dx/D)qc, т. е. просто закон Грина:
постоянство EPIAqc вдоль правых характеристик 9 = — / 4-
в«
132 Глава 3
+ \ dx/D112. Следовательно, левая часть C.120) равна (введем
¦к
о
= -Г
— оо
т. е. правой части. Отметим решающую роль второго члена
— D/3)лГ, возникающего вследствие^ неадиабатичности потока
(область, занимаемая qc, 0 < 6 < 6, меняется не медленно).
И действительно, по локальному дефициту потока массы можно
вычислить начальную амплитуду шельфа («начальная» означает
амплитуду после его возникновения непосредственно за уеди-
ненной волной); таким образом, вместо того чтобы проверять
формулу C.120), мы можем воспользоваться ею для нахожде-
ния qc(Q).
Метод обратной задачи силен с теоретической точки зрения
тем, что он переводит возмущенное уравнение в правильные ко-
ординаты. В сущности он разрешает основную трудность пря-
мого метода — как разделить переменные в C.115). Базис, по
которому следует разлагать <?A)—эт0 C.105). В этом базисе
C.115) автоматически разделяется вне зависимости от степени
сложности <7@)(Ф, t)- Более того, формулы, получающиеся для
зависимости от времени коэффициентов разложения qW по этому
базису, а именно порождаемые возмущением вариаций Ь*/а, ?*
и (Ь, — это в точности те же формулы, которые получаются раз-
ложением C.99) — C.101) в ряд теории возмущений с 8 = д/дт,
q1={qx)i'-{-fa)p {{qx)i — это «интегрируемая часть» C.111),
a (qx)p — это часть, связанная с возмущением). Квадраты соб-
ственных функций аппроксимируются односолитонными выра-
жениями.
Этот метод, однако, слаб в практическом аспекте. Ясно, что
на больших расстояниях порождаются новые компоненты по-
тока (которые порядка О (а), однако несут 0A) потока массы).
Поэтому приближение односолитонными собственными функ-
циями неприменимо на больших временах. Причина состоит в
сингулярности поправок к собственным функциям при 5 = 9- Тем
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 133
не менее в C.100) можно пользоваться таким приближением на
больших временах. Однако, несмотря на эти слабости, подход,
основанный на обратной задаче, дает ключ к разрешению ост-
рых и принципиальных вопросов, связанных с балансом потока
массы, и уже только по этой причине заслуживает высокой
оценки. Сейчас я опишу подход, объединяющий преимущества
подходов (i) и (ii) и позволяющий успешно рассматривать раз-
витие шельфа солитона на больших расстояниях порядка О(о~1).
(Hi) Разумное использование законов сохранения. Если
знать все то, что мы знаем, то это, оказывается, лучший метод.
Мы знаем, что законы сохранения точны. Используя закон со-
хранения энергии
оо оо
J- J дЧв=-2Г J q2dQ, C.121)
— ОО —CO
а в действительности любой из остальных, мы, заменяя q на
медленно меняющуюся одиночную солитонную волну, приходим
к C.116b). Причина правильности этой операции в том, что дру-
гие компоненты потока порядка О (о) по амплитуде и не больше
О (о-1) по длине. Поэтому единственная сохраняющаяся плот-
ность, в которую они дают вклад порядка единицы, — это поток
массы. Поправки к энергии и к высшим сохраняющимся вели-
чинам не превосходят О (а). Все законы сохранения, начиная с
энергии и выше, дают одно и то же поведение т), а именно
C.116b). Теперь мы уже знаем, что меняющаяся уединенная
волна не может (вспомним, что Г = (9/4) DT/Z) << 0) нести до-
статочную массу воды, чтобы удовлетворялся закон сохранения
оо оо
~ J qdu=-T J q№ C.122)
— оо —оо
потока массы, и непосредственно за уединенной волной обра-
зуется шельф амплитуды qc = —Г/Зт|. Мы можем вывести это
следующим образом. Предположим, что ^@, т) состоит из уеди-
ненной волны <7s(9, т) с ц, медленно меняющимся в соответ-
ствии с C.116b), и из компоненты qc{$, т), располагающейся
между 9 = 0 и 8 = 8, т. е. текущим положением уединенной
волны. Поскольку qc медленно меняется по 0 и мало по ампли-
туде, его эволюция по т определяется законом Грина, который
при Г = (9/4) DT/Z) дает, что dqc/dx — —Vqc и что D9^qc зави-
сит только от 9 и поэтому постоянно вдоль идущих вправо ха-
рактеристик. Теперь используем C.122): (д/д%) 4ц + qc (б) 9Т =
( и поэтому qc(В) = —Г/Зт). Чтобы получить <7С@, т)
134
Глава 3
везде, посмотрим на рис. 4. Мы знаем, что D9/iqc{Q, т) постоянно
вдоль траектории 9 = const. Поэтому проследуем вдоль идущей
вправо характеристики, проходящей через бит, обратно вплоть
до ее пересечения с траекторией солитона. В этой точке мы
знаем qc и, следовательно,
Рис. 4. Движущийся вправо шлейф.
где qc задается как функция 9 интегрированием и обращением
формулы траектории солитона
Для конкретности рассмотрим пример. Пусть — (9/4)Dt/D = c,
т. е> постоянно. Тогда
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 135
Траектория солитона имеет вид
Далее, мы знаем, что на траектории Ps(9s, xs)
а-(х)— а — е~
Мы знаем также, что
qc F, т) =» е° С-'.),, (т.) = з^-
что после обращения формулы траектории солитона дает
Вычислим теперь поток массы, связанный с шельфом,
б
Используя закон Грина, а именно, что вдоль характеристики
6 = const,
П9/4 (т\ П((Х т\ — П9/4 (~ \ п (Q _ Д т \
мы можем записать это в виде интеграла по xs, переменной
вдоль траектории солитона, от xs = 0, т. е. точки, начиная с ко-
торой глубина меняется, и до xs = х т. е. текущего положения
уединенной волны:
х
mc = jj D9'4 (ts) qc (9S, xs) -~ dxs =
о
t
и так как tjD3/2 = ti0D^/2 = т)а (поскольку D0=l), то /пс = 4г)а —
— 4tj0D3/4(t). Однако поток массы, связанный с уединенной
волной, есть
ms = D9'4 (т) • 4т1 (т) =
136 Глава 3
Поэтому полный поток массы, связанный с идущей вправо ком-
понентой потока,
оо
т = ms + тс = \ D9/4 (т) q @, т) dQ == 4ti0,
действительно постоянен, как и требуется в соответствии с урав-
нением C.111).
Прежде чем разобраться с несоответствием между потоком
массы в уравнении КдФ, описывающем только распространяю-
щиеся вправо волны, и потоком в полных уравнениях, посмот-
рим, как выразить шельф через данные рассеяния. Вспомним
первую из формул следов C.70) для массы:
Из C.111) получаем, что \ q dQ в точности совпадает
— оо
с 4t]0A/D)9/4. Солитонная компонента решения qs, с которой мы
связываем солитон tji, имеет массу 4т)[ = 4tioA/Z)K/2. Если
1 > Д глубина уменьшается; тогда, поскольку вклад непрерыв-
оо
ного спектра B/я) \ In A —| Rf)dt, всегда отрицателен, qc долж-
о
но быть разложимо на солитоны для осуществления баланса в
C.70), поскольку 1/Л9/4 > 1/D3'2. Шельф, имеющий в этом слу-
чае положительную амплитуду порядка о и длину порядка <г"',
будет разлагаться на большое число солитонов, представленных
в спектре набором точек t,k = Щи, k = 2, ..., N, плотно распо-
ложенных на отрезке мнимой оси между ^ = 0 и ?, = 0A0).
(Подумайте об упражнении 3dC) с Q = a, L = l/o.) Посте-
пенно, за время A/оIпA/о), солитоны, составляющие шельф,
отделяются друг от друга.
Я думаю, что такие сложности при анализе безобидного на
вид возмущения могут вызвать удивление. Хотя этот вопрос для
меня полностью не ясен, частичная причина — в принципиально
различном влиянии возмущения на «сохраняющуюся величину»
\qdx,т. е. функционал Казимира, возникающий вследствие вы-
рожденности скобки Пуассона C.25), и на все остальные инте-
гралы движения \ q2dx, \ Гу д\ — q3) dx, ....
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
137
(iv) Отраженный поток [43]. Сейчас мы займемся отыска-
нием поля отраженного потока ч\-(х, t) и и~(х, t), порожденного
взаимодействием распространяющейся вправо компоненты
¦ц+(х, t) и и+(х, t) с изменением глубины. Мы воспользуемся
той же стратегией, что и раньше. Сначала вычислим ы_ на
идущей вправо характеристике 6+ = 0, для чего рассмотрим
рис. 5.
в.-о
Рис. 5. Отраженный поток.
Зафиксируем х, О < х < х, где х — текущее положение со-
литона. Поскольку амплитуда отраженного потока оказывается
порядка О(сте), в этом вычислении мы можем пренебречь раз-
личием между реальной траекторией солитона и 6+ = 0. Кроме
того, y\-(x, t) и и~(х, t) удовлетворяют линейным уравнениям
n^t + (Du_)x = 0, C.123а)
ц_, + т1_х = 0 C.123Ь)
(см. B.11), B.12)) в треугольной области плоскости (х, t), изо-
браженной на рис. 5. Пусть t+(x) — точка пересечения верти-
кальной линии х = const и кривой 6+ = 0, a t-(x) — точка пере-
сечения этой прямой с характеристикой, идущей влево и
проходящей через текущее положение солитона (х, t). Тогда,
138 Глава 3
оо
поскольку \ D(x)u (x, t) dt не зависит от х в главном порядке
— оо
ПО 8, ТО
4- \ D(x) и_ (х, t)dt + 4~ D (х) [ D3>* (x) u+ (x, t)dt = O.
0Х J ОХ 1
C.124)
Второй член в этом уравнении равен
где m =(8/3)т]о, поток массы идущего вправо потока, и не зави-
сит от х. Уравнение C.124) означает, что (вспомним: dtjdx =
= l/л/Д dtjdx = — 1/VZf)
- Z) (x)«_ (х, *_) - D1/2 (x) u_ (x, t+) + n_ (x, t_) + л_ (*, <+) =
= - | ЛоО^-3/4 - ч_ (х, /_) - л_ (х, /+) = - Y\D*D~m'
где мы заменили (Du-)x с помощью C.123а). Вычитая и добав-
ляя Dl/2(x)u-(x, t+), имеем
D (х) и_ (х, t+) = 1 Д-1/4/)Л - нг
«_)<+- C.125)
Теперь мы можем выбрать х произвольно близким к х, и тогда
t+-*-t-->l. В этом случае C.125) дает нам двоякую информа-
цию. Во-первых, непосредственно за идущей вправо компонен-
той
D {х) м_ (*, t) = j т]о?>~1/4?>* C.126а)
и, во-вторых,
^( V^_)==0. C.126b)
Поскольку те же рассуждения применимы вне зависимости от
расположения идущей вправо компоненты вдоль характеристики
0+ = О, мы получаем, что и-{х, t) на 9+ = 0 определяется по
C.126а) и что C.126Ь) верно во всей треугольной области на
рис. 5. Небольшое вычисление с помощью C.123) и C.126Ь)
показывает, что
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 139
что означает, что как т)_, так и Du- постоянны вдоль характе-
ристик 9_.
Эти факты проверялись численно при решении C.123) как
задачи Гурса: заданы м_, х\- = 0 на 6_ = 0, и при ы_, заданном
из C.126а) на 0+ = О, находятся ц-, и~
Поэтому закон Грина не выполняется для отраженных волн.
Причина состоит в том, что закон Грина следует из соображе-
ний геометрической оптики, для справедливости которых тре-
буется медленное изменение характеристик среды по сравнению
с горизонтальными градиентами в волне. Здесь же как
A/и-)ди-/дх, так и Dx/D имеют одинаковый порядок малости
О (се). Из C.123а) ясно также, что амплитуда отраженной вол-
ны порядка О(аг). Однако, поскольку ее длина ~О(а&)-1, она
переносит поток массы порядка единицы, и мы сейчас его вы-
числим.
Пусть х = Xf — это точка, в которой глубина снова стано-
вится постоянной Df. Тогда полный поток массы через произ-
вольное сечение х должен быть равен потоку массы, переноси-
мому движущейся вправо компонентой через сечение в точке
х;, поскольку правее ее уже нет отражения.
Мы уже получили, что поток, переносимый правонаправлен-
ной компонентой, равен
Теперь мы получаем, что поток массы, связанный с отраженной
волной, равен
Рассмотрим выражение
D(x)u_(x,tydt
и запишем его как интеграл вдоль пути 0+ = О от х = х до
х = Xf, пользуясь постоянством Dii- вдоль характеристик 6—
Отметим, что ^-координата точки Р(х, t) на рис. 5 и х-компо-
нента Р+(у, ty) точки, в которой пересекаются идущая влево
х у
через точку/* характеристика t + \ ?Г1/2(s)ds = te-\-\ D~ll2(s)ds
140 Глава 3
у
с кривой 6+= 0, tg = \ D~m{s)ds, связаны соотношением
х у
t+]D~1/2(s)ds = 2 J D~m(s)ds.
Поэтому
*f
j (t
что и требовалось.
Читателю следует обратить внимание на постоянство пол-
ного потока массы через сечение х, который равен
3 ]о f '
Это означает, что при малом Df большая часть воды отражается
и лишь очень небольшая распространяется до берега.
Упражнения 3g
1. В нижеприведенных примерах найдите, как изменяется
параметр т), а также форму шельфа при условии, что q(x, 0)==
2h2
(a) qt + 6qqx + qxxx = aqxx> 0 < о < 1
(b) qt + 6q2qx + qxxx = aq, 0 < a < 1.
Ответы.
(a) T|=Tto^i+_^_J ,
,c = -^exp(=^), 0<X<X,
xt = 4rf.
(b) 4 = ^06*"
qc=
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 141
2. Используйте законы сохранения
-^- ^ qq dx, -§f ^ (qq*x — q*qx) dx
и найдите, как меняются параметры ц, | солитона НУШ
q (х, t) = 2ц sech 2т] (х — х) exp (~2ilx — 2ia),
удовлетворяющего уравнению
qt = Щхх + Щ2Ч' ~ Г<7 - Ее^'К Г, Е < 1.
Покажите, что (Itl)* — —ГAл)- Предположите, что ? = 0. По-
кажите тогда, что
i\t = — 2Гт) + 4" я?1 sin W + 2а), af == —2rf.
Проанализируйте эти уравнения и покажите, как фаза уединен-
ной волны привязывается к вынуждающей частоте соо- Подроб-
ности можно найти в [45].
3h. Многосолитонные, рациональные и конечнозонные ре-
шения [25—29], [83—85].
Что мы собираемся делать. Первой нашей задачей будет по-
лучение многосолитонных решений для КдФ-иерархии новым и
поучительным способом. Подход этот поучителен тем, что он
демонстрирует единую структуру собственных функций
ty(x, t2k+i', t), связанных с многосолигонным решением. В под-
ходящей нормировке они имеют вид произведения многочлена
по ?-1 на простую экспоненту, и при выводе формулы для реше-
ния непосредственно используется эта структура. Затем анало-
гичным способом вводятся рациональные решения, что прояс-
няет их связь с многосолитонными, предельным случаем которых
они являются. В обоих случаях q(x, ^/и-i) задается формулой
d2
q(x ^) 2lnT
где т — это определитель матрицы N X N, после раскрытия при-
нимающий вид C.88). В пределе рационального решения % яв-
ляется полиномом.
Вторая и большая часть этого раздела посвящена выводу
конечнозонных, или иначе многофазных, квазипериодических
решений. Это значит, что q(x, ^*+i) является периодической
функцией jV фаз 6,-, i—l,...,N, каждая из которых линейна по
х и t^k+i, б,- = X ci^h h==:X- Поскольку сц не обязательно
нечетн. /
142 Глава 3
соизмеримы, q лишь квазипериодично по /гл-н и х. Однозон-
ное решение уравнения КдФ </< + Qqqx + Цххх = 0 имеет вид
Я разбил вычисления, связанные с подобными решениями, на
три этапа. Сначала я покажу связь iV-зонного решения с не за-
висящей от /г*+ь k = 0, .... N, римановой поверхностью
2/V
п. ,.2 T\(k — k\
Потом я введу новые координаты щ, / = 1, .... Л/, лежащие в
фиксированных интервалах fru-u Яг/), /=1, -••, N. Их зави-
симость от t2k+u k = Q Л', определяемая формулой C.167),
получается из простого н красивого вычисления. На первый
взгляд эти уравнения не кажутся проще первоначальных, из
которых они были выведены. Однако на третьем этапе я покажу,
как осуществить отображение из римановой поверхности, на ко-
торой лежат цу, в новое многообразие, называемое многообра-
зием Якоби, так чтобы новые, соответствующие щ, координаты
на многообразии Якоби изменились линейно по всем временам.
Решение для q(x, fa*+i) имеет вид
_ J_ О 1 п С\ /Q С\ (\ \
С* ' I"" Z* , ь Ш ^У v^l» ^2» * • • ^Л//»
где с — константа, в — это 0-функция Римана, а бу =
= Ij cifo> и константы с, сц могут быть определены. Отме-
нечетн./
тим, что решение снова имеет вид 2 (d2jdx2) In т. Здесь т =
Многосолитонные и рациональные решения. Если вы снова
посмотрите на C.84), вы заметите, что собственная функция
¦ф(л:, t, l) как функция ? имеет вид мероморфной функции с по-
люсами в точках ? = —?* = —1Щ, k = 1 N. Можно пере-
нормировать 1|>(л:, t, l), умножая C.84) на Г"Пй + %).
после чего получится произведение е'?* на многочлен степени N
по ?-'. Так как перенормировка не затрагивает х и /, то i|> по-
прежнему удовлетворяет C.1) и C.92).
Исходя из этих наводящих соображений, давайте искать мно-
госолитонные решения сразу для всего семейства КдФ {3.9)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 143
(первые три уравнения приведены в C.14) —C.16)), отыскивая
решения уравнения C.1) и семейства уравнений C.3),
k, C.128)
где
Вт = -%k + В,*.*" + ... + Вк, C.129)
в виде')
v(x, tit h, ...) = e"K>(l + fx+... + -S_) C.130)
Я = fcc + %% + • •. + it2n+%n+l + • ¦ • • C.131)
Перенос qt, = qx сюда не включен; он может быть вновь вве-
ден подстановкой Jt + *i вместо х. Совместность C.1) и C.128)
гарантирует, что q(x, ts, ts, ¦ ¦ ¦) как функция /3> h, ¦ ¦ ¦ удовлетво-
ряет уравнениям семейства КдФ. Подстановка C.130) в C.1)
и сравнение коэффициентов при различных степенях ?-' дает
нам соотношение между С\, С2, ..., CN, с одной стороны, и q
и его производными по х — с другой. В самом деле, С\, С2, ...
..., Cn — это первые N членов асимптотического разложения
для v(x, ?), получающиеся из C.27). Вот первые два:
q = ~2Clx, C2 = C? + -f-. C.132)
Тот факт, что Сц+г = 0, г^ 1, означает, что возникающие в ре-
зультате этой процедуры решения q(x,t3, ¦ ¦ ¦) удовлетворяют
системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Позже мы
вернемся к этому вопросу в настоящем разделе.
Поскольку v(\, t,)(x = (x, /3. •¦•)) удовлетворяет C.1), то же
можно сказать и о линейно независимом решении v(\, —Z,). Если
мы возьмем v(\, ?) пропорциональным ty(x, ?), определенным
в разд. d, то v(\, —t,) примет вид асимптотического разложения
для ф(х, %). Мы знаем, что в точках дискретного спектра ? = 1Щ,
k=\, ..., ^V, ф пропорционально >J>. Определим поэтому функ-
ции С\, ..., CN из условия, чтобы в несовпадающих точках % =
= Щк, л* > 0> k = 1, ..., N, выполнялось
v (х, 1щ) = Г^ (х, -/л*), C.133)
где е4*** — коэффициент пропорциональности. Тогда C.133)
превращается в систему N уравнений для N неизвестных,
') Такую собственную функцию часто называют формальной функцией
Бейкера—Ахиезера. — Прим. перед.
144 Глава 3
которая легко может быть решена. В результате получим
В этой формуле при нечетных
ch G, —T]1sh91 T]?ch9, . .. \
• ¦ • . C.135)
. ch9iV —т^зЬЭдг ¦•• /
При четных N первый столбец состоит из sh 9/, в остальных
столбцах поочередно стоят то ch9/, то sh 9/. Фаза 9/ линейна по
всем независимым переменным и равна (Я определено в C.131))
9, = Я (щ) + ц1х1 = т]/ (х — Xj) + Ц% - Ц% + ....
Читатель может теперь легко вычислить несколько первых ре-
шений. Для N= 1 C.133) имеет вид
откуда Ci = TiIth0i, q = —2С1х — 2т\\ sech29b т. е. представляет
собой односолитонное решение.
Теперь произведем действия в обратном порядке. Рассмот-
рим v(\, t,), v(x, —t). заданные в C.130), и потребуем, чтобы
выполнялось C.133). Тогда из всего предыдущего следует, что
такое v(x, ?;) единственно (Ct, ..., C,v определяются однознач-
но). Таким образом, существует одна и только одна функция
f(x> t)> удовлетворяющая C.130) и C.133). Я теперь утверж-
даю, что полученная таким образом функция v(x, %) удовлетво-
ряет C.1) и C.128). Проверим это прямым вычислением:
Поэтому функция w(x), которую мы определим как
где d/ = Cixx-\-2Cl+lx, /=I, ..., N, di>i — CNxx, имеет вид мно-
гочлена no t,-1 степени N. Однако зсе d,-, j— I, ..., N, должны
Семейства семитонных уравнений и методы их решения 145
равняться нулю, поскольку иначе можно было бы добавить
w(x, ?) к v(\, %) и сумма v(\, t,)+w(x, ?) удовлетворяла бы
C.130) и C.133). Однако v(\, ?) единственно и, следовательно,
w(x, ?) = 0. Таким образом, у(х, ?) удовлетворяет C.1) с q =
= —2С\х- В качестве упражнения покажите с помощью анало-
гичных рассуждений, что
Обратите серьезное внимание на эти рассуждения. Аргументы
такого рода, использующие единственность функций, вновь и
вновь возникают в стройной теории, созданной И. М. Кричеве-
ром для нахождения конечнозонных решений семейства КдФ.
Рациональные решения возникают как специальный предель-
ный случай многосолитонных. Следует устремить все %k к нулю
согласованным образом, и коэффициент пропорциональности в
C.133) становится равным (—ЛI*. Причина этого станет вам
ясной, если вы проведете эти вычисления. Возьмем N =1 и при-
меним C.133),
Теперь разложим вблизи ?t = 0. Для баланса членов порядка
?Г! необходимо, чтобы expBi?,\X\) ->—1. Это соответствует
сдвигу фазы xi=n/2t,\. Переходя к пределу ?i-»-0, мы полу-
чаем С\Х-\- 1 = 0 или С] = —Л/х = —(d/dx)\nx. Следовательно,
q = 2-?r\nx=--lr. C.136a)
Читателю предлагается проверить, что для N = 2
д = 2-^\п(х3 + 3(). C.136b)
Предельный переход утомителен, но несложен. ЛГ-фазное ра-
циональное решение определяется формулой
<7 = 2-^rlnTw, C.137)
где тлг проще всего получается последовательным применением
преобразования Бэклунда D.107).
Конечнозонные решения и их связь с фиксированной рима-
новой поверхностью. Мы теперь переходим к конечнозонным ре-
шениям, специальным предельным случаем которых являются
многосолитонные решения. Название же возникло в теории
14в Глава 3
уравнения C.1) с периодическими граничными условиями. Если
задано периодическое по х q(x) с интервалом периодичности
[О, Р], то известно, что спектр (набор таких ?2 = Я, при кото-
рых по крайней мере одна из собственных функций задачи C.1)
периодична или антипериодична) состоит из дискретного набора
Яо <С Я] ^ %2 <С Лз ^ %4 • • •<С ^2п—\ =Sj %2п • • • (Ло, Яз, Я<1> Я7, ^8, ¦ ¦ ¦
соответствуют периодическим собственным функциям, а Яь Х2,
Я5, Я6, ... — антипериодическим). Зоны (hn-т, %2п), которые мо-
гут иметь и нулевую длину, называются зонами неустойчивости,
поскольку в этих областях соответствующие блоховские соб-
ственные функции, определяемые условиями
i$>±(x, ?)=!, х = х0, О^.хо^.Р, х0 фиксировано,
экспоненциально растут по х (т. е. р, зависящее от ?, по абсо-
лютной величине больше единицы). Если потенциал q(x) таков,
что лишь конечное число зон неустойчивости имеет ненулевую
длину, то он называется Af-зонным. Поскольку каждый поток из
семейства КдФ сохраняет спектр, q(x, t3, t5, ¦ ¦ ¦) остается N-зон-
ным потенциалом при всех значениях ?3, ^5. • • ¦ и, как мы уви-
дим, является периодическим по всем временным переменным
решением. Общее решение периодической задачи возникает как
предел N-зонного с N-+oo. Читатель может получить дополни-
тельную информацию в [29].
Класс решений, исследуемый нами в этом разделе, возни-
кает при ослаблении требования периодичности q(x, t3, ...) по
х с фиксированным периодом Р. Возникающее в результате
N-зонное решение будет квазипериодическим по х и по всем
временам U, ..., /2уи- Начнем мы с того, что перепишем урав-
нения C.1) и C.128) системы в виде
{z!\ l) (ЗЛ38)
и в общем случае
Предположим, что нам нужно найти решение для
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 147
т. е. условия совместности C.138) и C.139) в виде q(X=x—ct3).
Пусть X = x — ct3, T = t3, тогда C.138), C.139) принимают вид
VX = QO)V, VT = (Qm + cQ{n)V. C.142)
Однако матрица коэффициентов зависит только от X, и можно
решить уравнение по Т, разделяя переменные, V = UeyT, после
чего C.142) дает
Ux = Q{l)U, C.143)
yU = (QC) + cQ{l)) U = QU. C.144)
Условие совместности C.143), C.144) имеет лаксов вид
Qx = [Q(l\Q] C.145)
или, после раскрытия,
Я ххх + §ЯЯх — 4cqx = 0 C.146)
и допускает решения
Q {X, 0 = U {X, О Q (Хо, 0 U~l (X, ?), C.147)
где связь U с QA) определяется в C.143). Следовательно, харак-
теристический многочлен для Q не зависит от X и
R(y, ?) = det(Q-*//) = 0 C.148)
является алгебраической кривой с постоянными по X коэффи-
циентами. В нашем случае C.148) имеет вид
где А = ?2. Но из C.146)
Ях д3 . сд2 ЯЕ1
16 8 ~*~ 4 2 —"^2.
откуда
у2 = -Я3 - 2сЯ2 - (?, + с2) Я + (Е2 -f c?,). C.149)
148 Глава 3
Уравнение C.149) определяет риманову поверхность первого
рода (топологически эквивалентную тору или бублику), кото-
рая не зависит от X.
Обратно, добавим к C.138), C.139) связь yV=(Q™+cQW)V,
тогда q зависит от х и t3 только в комбинации Х = х — ctz и вы-
полняется C.146). Посмотрим на это с более общей точки зре-
ния и добавим к списку C.138) — C.140) связь
yV=QV, Q = [hf Д) C.150)
C.151)
где u2r+i — константы. Дифференцируя C.150) и пользуясь
C.138) и тем, что
?/+1 = o, C.152)
убеждаемся, что
Л'
L, u?r+iQt2r+1 = 0,
или
1 C.153)
Можно смотреть на C.153) двояко. С одной стороны, как диф-
ференциальное уравнение в частных производных первого по-
рядка по х, U, к, ..., t2N+u оно означает, что q является функ-
цией от N фаз, образованных из соотношений
dx dt, dt,., ,
— = —!==...= 2N+l , C.154)
линейных по х, t3, ..., ^w+i. Однако мы можем смотреть на
C.153) как на нелинейное автономное обыкновенное дифферен-
циальное уравнение по х порядка 2N-{- 1; заменим qt2r+l на
д1/ (
дх ч х
дх 6<7 дх
где оператор L определен в C.12). Поэтому yV-зонное решение
q(x, tz, ..., t2N+\) со связанными согласно C.154) независимыми
переменными принимает вид автономного обыкновенного диф-
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 149
ференциального уравнения на q как функцию х:
N
X! u2r+lLrq = const. C.156)
о
Уравнение C.156) известно как уравнение Лакса — Новикова.
Поскольку все потоки коммутируют и совместны с C.156), урав-
нение C.156) описывает форму Л^-зонного решения для всех вре-
мен t\, h, U, ..., t2N-i- Мы вскоре увидим, что эти времена па-
раметризуют его решения. Более того, связанный с временем
t2m+l, Ш^ N, ПОТОК
qt ,_ =-^-Lmq C.157)
хМожет быть записан как линейная комбинация потоков Qt2r+t,
г = 0, ..., N—1 (t\=x) с помощью C.156). Поэтому N-зои-
ныс решения — это решения не только для первых N членов се-
мейства КдФ, но и для всей КдФ-иерархии.
Новые координаты и их зависимость от времени. Как же нам
получить эти решения? В методе обратной задачи мы отправ-
лялись от уравнения по х C.138) и получали из него данные
рассеяния, эволюция которых во времени находилась из C.139),
C.140). В периодической по х задаче мы можем пойти по этому
же пути, хотя я уже упоминал, что найти временную динамику
этим способом затруднительно, поскольку у нас нет точки оо
(х = ±°°), в которой было бы известно q в любой момент вре-
мени. Однако при исследовании Л/-зонного решения с ослаблен-
ным требованием периодичности по х (квазипериодичность)
удобно начинать не с C.138), а с алгебраической системы урав-
нений C.150). Мы немедленно получаем условие существования
нетривиальных решений V:
2ЛГ
>^). C.158)
Уравнение C.158), характеристический многочлен для Q, яв-
ляется алгебраической кривой в (у, К) и определяет гиперэллип-
тическую риманову поверхность рода N. Определитель матрицы
Q — это многочлен по % степени 2N-\-\. Легко проверить, что
старший коэффициент равен —1, и мы предположим, что его
корни %j, / = 0, ..., 27V, вещественны. Риманова поверхность R
играет ту же роль для конечнозонных решений, что и спектр
для начальной задачи. Первым и важнейшим ее свойством яв-
ляется ее независимость от х, t\, tz, ..., т. е. она — интеграл
движения. Чтобы убедиться в этом, продифференцируем C.150)
150 Глава 3
по любому из времен и получим
с решением
-1, C.160)
где Qo не зависит от х и t\, U, h, ... . Поэтому характеристиче-
ский многочлен Q действительно является интегралом движения.
Как следствие, корни Ко, Ki, ..., K2n многочлена detQ — также
интегралы движения, и для q, периодического по х, представ-
ляют собой простой спектр задачи C.1) для периодических и
антипериодических граничных условий.
Далее введем новые переменные ц/, j = 1, ..., N, являю-
щиеся корнями f{K), B, 1)-элемента Q (см. C.150)). (В нашем
примере C.144) N=1, / = —K + q/2 — с и есть только одно ц,
равное q/2 — с.) Для выяснения свойств этих переменных нуж-
ны некоторые вычисления. Если мы переведем C.159) в три
уравнения для hk, e^, fk, вспомнив, что
qB*-i)_ ( hk ek
то для полиномов Л, е, f получим
C.161)
fx 2щ = 2л,
и для htk, etk, ftk получаются уравнения, из которых нам
нужно только первое:
A/2*_, = e*f-/*e- C.162)
Теперь несложные вычисления показывают, что из C.161) сле-
дует
f=--YffM + -J-/I- (К + q)f\ C.163)
и поскольку / всегда вещественно, f/2 (р./) = -=- /« (Л, = Цу) > 0.
Следовательно, корни / лежат между A,2*-i и X2k, k=\, ..., N,
и мы перенумеруем их так, чтобы %2k-i ^ Ц* <| Я**, k=\ N,
N
ц
Семейства солитонных уравнений и методы их решения 151
Теперь, сравнивая коэффициенты при X2N, получим из C.162),
C.163), C.164)
2N N
?=-E^/ + 2E(iy. C.165)
Проверим это для N=1: \a = q/2 — с и q(x) = —Хо — %i — А,2 +
-\-q(x)— 2с; но мы видели, что сумма корней равна —2с, и по-
этому выполняется C.165).
Все |х/ содержатся внутри интервалов (А,2/-ь %2j) и движутся
при изменении х, U, ••-, <2#+ь Сейчас мы найдем эту зависи-
мость. Поскольку h2 + ef постоянно, то
_, + e//rt_1 + *2t_1f = 0. C.166)
При K = \ij, используя C.162), получим из C.166)
2А (ц7) {-eh (ji/)) + eft2k^ (|i7) = 0.
Вспоминая C.164), имеем
ft2k-i (»*/) = —\4t2k-i П (Щ - \ч),
и из C.158)
/'2N \ 112
Поэтому
!/2
)
=l.....N, C.167)
и мы получаем зависимость ц/ от /i = jc, t3, ¦ ¦ ¦, t2N-i- В част-
ности, для k=l (ti=x)
l/2
II (pi-
Для fe = 2, т. е. для потока КдФ,
W Vl/2
П №'->*/) I (-D
o У . C.168)
""•=т По.-») С4--¦>/)• <31М>
и <7 следует выразить через А.,- и [х,- с помощью C.165).
152 Глава 3
Отображение Абеля из римановой поверхности в многообра-
зие Якоби. На первый взгляд уравнения C.167) выглядят ужас-
но. Тем не менее мы собираемся показать, что после некоторых
манипуляций в них начнут проявляться порядок и структура.
Вначале я напомню, что при равном единице u2n+i
f = «i/i + u3f2 + ... + Щм-х!ы + /дг+i, C.170)
где
fk = lk-lLi0)(-l) + lk~2L1(-l)+ ... +l°Lk~1(-\). C.171)
В C.171) L — это оператор C.12), a L°(—1) = — 1L(—1) = q/2.
Отметим, что f2 = q/2— X. Как это можно увидеть? Заметим,
что если записать /-уравнения C.3) в виде системы с v2 = v,
t2k, \fk —hkJ\v2J'
то тогда fk = S(ft)= Bo№~1 + • ¦ • + Bk_u где Вг определены в
C.13). Кроме того, поскольку
ЦУ), C-172)
то сравнивая коэффициенты при различных степенях X, по-
лучаем
51 = L(-1) + mw_1L(-1),
-S2 = L2(-l) + Нзл,-,!1 (-1) + «2W_3L° (-1),
-l)^1 SN = L"(-1) + u2N_{LN~l (-1) + ... + UlL°(-1), C.173)
где {5r}^=i — симметрические многочлены от корней \xk:
? 2 5^ = Ц! ... цдг. C.174)
И наконец, удобно определить последовательность {АГ}Т соотно-
шением
_.l)^) = 2^- C-175)
Вот первые несколько:
Ло=1, ^l = JV-l> •^2 = —«2ЛГ-3 + «2JV-1,
+ «2iv-i, C.176)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения i S3
При этих определениях можно обратить C.173) и получить
L8(-l) = S3 + AS2 + ^!!S1 + /43, C177)
Отметим, что первое уравнение C.177) совпадает с C.165):
1 1 ^
-7Г-А{ = — u2N_\ =—ZjA,,-, поскольку Kj — это корни h2-{-ef.
II О
Теперь исследуем C.167) и запишем это уравнение так:
d\ij 2fk (ц/)
У \№l) ТI (ц/ — ц/)
1Ф1
Введем для точки гиперэллиптической римановои поверхности R
2/V
координаты (у, X). Далее образуем N линейно независимых
голоморфных дифференциалов над R
/л \ А «А л Л/ 1 (*Х 1 Q^
Из C.178) получаем
/V
г. Т~\
N N
7W fy7W)
N N
-2 Ул. у ^/fe(ti/)
?-1 Lj JJ С,,., _ ц.л
1Ф1
^-у [iy (jHy~'L0(— 1) + |j (—1)+...
1Ф1
s = 0, ..., N - 1. C.180)
154 Глава 3
Мы получили замечательный результат: величины
C.181)
n
не зависят от х, h, ..., h,-\ Поэтому можно легко про-
интегрировать C,180), поскольку \?% = Ф5, \dt2k-i=t2k-i.
Для доказательства нам нужно воспользоваться тем, что
N s
/* = ЕТГ7^ 7efl«.Af-i Для s<JV-l C.182)
77\ 11 Wi — W
i?>i
и что оставшиеся члены последовательности IN, IN+u .... /2/r-i
удовлетворяют рекуррентным соотношениям
C.183)
/ с/ С/ I I / \\^~l Q /
'2ЛГ-1— ^l'2N-2 ^->2'2N-3i • ' • i \ l) '-'N'N-i-
Доказательство этого я оставляю читателю в качестве упражне-
ния, а C.182) доказывается рассмотрением
1 f 2s dz
где С — бесконечноудаленная окружность.
Доказательство же C.183) получается вычитанием соответ-
N
ствующих кратных zpJJ_(z — \ik), p = 0, ..., г из числителя
i
zN+r для обеспечения сходимости интеграла при |г|-»-оо.
Показать справедливость C.181) проще всего, вычисляя не-
сколько первых выражений. Для k = 1
Т. Tr'il~l) ^ = -*'.*-' И3 (ЗЛ28):
U П (w - w)
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
155
для k = 2, пользуясь C.183), C.182) и первым из уравнений
C.177), получаем
C184)
I), L2(— 1) из C.177),
Для /е=:3, заменяя
поскольку и —/лг+i + Si/tf — S2In-u и In — Si равны нулю вслед-
ствие C.183). Теперь картина ясна, и по индукции легко пока-
зать, что (строки s = 0 N— 1, столбцы k=h ..., N)
0 0 0 ... -1
?t П (v -
о о
-1 Л,
C.186)
/-1
Теперь вернемся к C.180) и проинтегрируем, поскольку теперь
переменные разделяются. Из правой части получаем
2t2k-iMsk, s=0 N— 1, k=\,...,N, t{ = x.
Левую часть, а именно
?
, проинтегрируем от фиксиро-
ванной точки на римановой поверхности Ро(у(цо), (х)
Pi(y(\4), V-i)'
N Р1 N
ф3 (Pi, • • •. Рдг) = J] $ cos (цу) = 2 J] /2ft_!Msft. C.187)
Фазы ф^(рь ...,
это просто линейные комбинации х, t3, ...
, 2N\
Однако подождите! Интегралы в левой части C.187) неодно-
значно определены, поскольку не зафиксированы пути интегри-
рования. Рассмотрим рис. 6 с контурами {ai)i, {bl}1r. Контур
аг окружает разрез между точками ветвления %%r-\, tar. Контур
156
Глава 3
же bs приходит из —оо к разрезу (A,2/-i, far), там переходит на
другой лист и возвращается обратно. Поэтому левые части опре-
делены с точностью до сумм вида
\ ®s (М-/) +
ak
— 4.
Рис. 6. Контуры {а/}, {&/} на ^.-плоскости.
Удобно следующим образом нормировать замкнутые интегралы
по циклам ak: положим
и выберем Cms так, чтобы
Теперь определим фазы Qr:
и из C.187) получаем
JV—1
о
¦(Crs),
N "I
/=1 Ро
=i
C.188)
где N — это произведение СМ. Перепишем C.188) как в =
где в = @ь •••, Qn) Ht=(tu ..., t2n-i). Теперь, когда мы про-
интегрировали уравнения, нам осталось вычислить всевозмож-
ные симметрические многочлены от щ, определяющие q, Lq, ...
..., LNq, которыми мы интересуемся. Вопрос состоит в следую-
щем: заданы
01, 6а» • • •» 8*
Семейства солитонных уравнений и методы их решения
и требуется определить р\, рг. •••. Pn1) и, в частности,
157
Для ответа на этот вопрос нам следует обратиться к свойствам
отображения, носящего имя Абеля,
(Ри .... /to)—(еь е2, ...,ev), (ЗЛ89)
и к его обращению. Поскольку любая перестановка набора
A, ..., N) в любой части C.189) дает те же 0/, отображение
осуществляется из R X R X • ¦ ¦ X R/Pn, т. е. из прямого произ-
ведения N идентичных римановых поверхностей, профакторизо-
ванных по модулю PN (группы перестановок N символов), в Сы,
т. е. в yV-мерное комплексное пространство. Поскольку правая
часть зависит от путей интегрирования, к Qr можно добавить
любую линейную комбинацию
/и* — целые. Назовем
( = 1 V ч{
mt
ь,
где nt,
C.190)
и примем без доказательства, что (Brt) — симметричная матрица
и ее мнимая часть положительно определена [85]. Вспомним
нормировку \ Ur = бг/. Поэтому возникающая в результате точ-
ai
ка в CN определена с точностью до целочисленной линейной ком-
бинации из 2N векторов:
1
0
0
0
0
1
Вп
Bi2
Bin
В
IN
.в
'NN
Эти 2N векторов порождают решетку Л в CN ~ R2N. Например,
при iV =: 1 комплексная плоскость покрывается решеткой из
параллелограммов периодов, как известно из теории эллипти-
ческих функций. Таким образом, (ри ..., pN) определена внутри
yV-мерного параллелограмма периодов, внутри которого лежит
точка @ь ..., 0#), и не меняется при ее замене на конгруэнтную
11) Эта задача называется задачей обращения Якоби. — Прим. перед.
158 Глава 3
точку в другом параллелограмме периодов. Следовательно,
симметрические многочлены от р/ периодичны по всем 04, и
удобно отождествить противоположные грани параллелограммов
периодов. Теперь мы видим, что точка @Ь ..., вдг) живет на
iV-мерном торе, называемом многообразием Якоби кривой
C.148).
Конечнозонное решение для семейства КдФ поэтому эквива-
лентно линейному потоку на многообразии Якоби. Решение
q(x, tz, ...) выражается через риманову 0-функцию
q(x, t3, ...) = 2-^-1пв(в„ 92 %) + с, C.191)
где
оо / N N \
в @„ . . ., вдг) = Е exp I ? 2nlvfik + in Z Bk!vkv,); C.192)
здесь Z—множество целых чисел, а с — сложная константа
[85]. Отметим тесную связь Af-зонных решений с АЛсолитонны-
ми. Отметим также, что т-функция, определяемая по q =
= 2 (д2/дх2) In т, о которой я уже вкратце говорил и которая
будет наиболее важной функцией в оставшейся части этих лек-
ций, для конечнозонных потенциалов равна произведению
6-функции на е{с1А)х\
ГЛАВА
т-ФУНКЦИЯ, МЕТОД ХИРОТЫ,
СВОЙСТВО ПЕНЛЕВЕ И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
БЭКЛУНДА ДЛЯ СОЛИТОННЫХ
УРАВНЕНИЙ СЕМЕЙСТВА КОРТЕВЕГА
— ДЕ ФРИЗА
4а. Введение. До сих пор мы придерживались той точки
зрения, что класс задач, которые мы пытаемся решать, это на-
чально-краевые задачи. А именно, во всех уравнениях мы счи-
тали х пространственной координатой, а в качестве граничных
условий рассматривали периодичность или убывание на беско-
нечности. Такой подход выделяет в качестве первоочередной
задачи, а фактически делает необходимым изучение аналитиче-
ской природы функций, с которыми мы имели дело. Например,
мы обнаружили, что если q(x, 0) убывает достаточно быстро
при ;е->-±оо и удовлетворяет некоторому интегральному усло-
вию, то данные рассеяния обладают определенными аналитиче-
скими свойствами. Но в действительности уравнения, которые
мы изучаем, являются «магическими» из-за своих локальных
свойств; например, тот факт, что уравнение КдФ имеет многосо-
литонные и рациональные многополюсные решения, никак не
связан с граничными условиями и является просто следствием
весьма специфического равновесия, которое имеет место между
различными членами уравнения. Изменение этого равновесия до-
бавлением членов q или qqxx нарушает магические свойства
уравнения. Изменение граничного условия на бесконечности мо-
жет сделать уравнение более сложным с точки зрения решения
начально-краевой задачи, но не разрушает его свойства локаль-
ной интегрируемости.
Поэтому в данной главе мы стараемся сосредоточиться на
тех методах, которые зависят скорее от локальных, чем от гло-
бальных свойств уравнений. Центральной фигурой в списке дей-
ствующих лиц служит т-функция, готовая теперь предъявить
свои права и потребовать, чтобы весь свет был направлен на
нее. Она является вездесущей и возникает почти в каждой
сцене, зачастую независимо от наших первоначальных намере-
ний. Ей, по-видимому, откуда-то известно, насколько она важна.
4Ь. т-функция. Эта многоликая функция была впервые от-
крыта Хиротой как средство порождения солитонных решений,
и его метод мы будем обсуждать в следующем разделе. Однако
160 Глава 4
ее подлинная значимость (и центральная роль в теории солйто-
нов) не была понята до появления работы группы из Универси-
тета в Киото, включающей М. Сато, Миву, Дзимбо, Касиверу,
Дейта, Ю. Сато [39], и я полагаю, следует честно признаться,
что даже сейчас значение этой функции не понято до конца. Как
сам дьявол, она многократно появляется в различных масках.
Иногда она является простым многочленом (рациональные ре-
шения уравнения КдФ), иногда — конечной суммой экспонент
(многосолитонное решение). В других случаях она становится
более сложной, скажем, в-функцией Римана (умноженной на
безобидный коэффициент) или корреляционной функцией. Зву-
чит интригующе, не правда ли?
Сначала мы познакомимся с ней как с потенциальной функ-
цией, вторая логарифмическая производная которой позволяет
вычислить все сохраняющиеся плотности и потоки. Рассмотрим
семейство потоков КдФ
Для удобства мы введем
да = ^ qdx. D.2)
Тогда D.1) имеет вид
Lnq^2Bn+l. D.3)
Следовательно, функцию w(x, tz, ¦¦) можно рассматривать как
потенциальную функцию для бесконечной последовательности
{Lnq = 2Bn+1}™. Сейчас известно, что производные всех этих
функций относительно различных времен, а именно (d/dt2m+i)Lnq,
могут быть записаны как производные по х или t\ от локальных
величин. Поэтому естественно использовать потенциальную
функцию т(^ь h, ...), определенную формулой
? In т (t f i \ (A 4\
(jt \
вместо самой w. Тем самым вы видите, что
д jn <Lo-
и, таким образом, все производные по времени последователь-
ности {Lnq} заданы одним уравнением в форме закона сохране-
ния по отношению к выделенной переменной х. Заметим, однако,
что выражение для потока, соответствующее скорости изменения
плотности Lnq в потоке (КдФ)з, наиболее удобно задать в виде
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 161
производной относительной времени t2n+u соответствующему по-
току (п+1) в иерархии КдФ. Этим подчеркивается тот факт,
что когда ищутся решения интегрируемого уравнения, полезно
понимать, что в действительности ищутся общие решения для
всей иерархии потоков данного семейства.
Впервые в литературе я приведу формулу тензора потока
P 2D.5)
Ol2m+lat2n + l
Заметим, в частности, что
L9=2^vw D-6)
Для того чтобы вывести эту формулу, мы сначала выпишем
общее уравнение для всех В„. Так как
»w.=is*»-s' «*• <4-7a>
где
n
о
нетрудно показать, что
Теперь определим
разделим D.8) на Хп и перейдем к пределу А,-»-оо, считая
|Я,|> 1. Тогда
^^ D.9)
Записывая D.7) в виде системы для вектора V=(viy
v2 ==v, Vi= —V2x + it,V2, мы имеем (К = I2)
tn+1 :D.10a)
где
Я + (р& —^ - qBw) E + B^F,
D.10b)
6 А. Ньюэлл
162 Глава 4
а Н, Е, F являются базисом
С °) () (
для si B, С). Легко показать, что для
п->°° 5 о ^
уравнение D.9) принимает лаксову форму с обычным матрич-
ным коммутатором
<4Л2)
Приравнивая компоненты Х" в D.9), мы находим
2п+1
D.13)
В качестве примера (довольно трудного) я предлагаю показать,
что правая часть этого выражения может быть записана как
половина производной по х от
I s-0
2n+l v
+ У sQ Q >, D.14)
s-0 J
где Tr (QiQi) — след произведения матриц и Q, определена фор-
мулой D.11). Ясно, что выражение D.14) симметрично относи-
тельно замены шнали наоборот. Простая перестановка индек-
сов дает нам закон сохранения для каждого тензора потока:
, 2m+l-
Зная т как функцию времен х = U, t3, h, t2n+i, • ¦ ¦, мы
знаем все о решениях каждого члена семейства КдФ. В некото-
ром смысле функция т действует как потенциал, из которого
могут быть получены все компоненты и все градиенты беско-
нечномерного вектора В относительно всех времен. Она также
имеет вторую интерпретацию, которую мы будем обсуждать,
кбгда перейдем к преобразованиям Бэклунда. Однако для того,
чтобы расчистить путь, очень полезны следующие результаты,
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 163
которые собственные функции v(x, t3, ¦¦¦) ставят в соответствие
с функцией т.
Результат, который я сейчас приведу, является формальным,
потому что он использует C.29а), т. е. асимптотическое разло-
жение v{x, t3, ¦ ¦ ¦, ?) в окрестности ? = оо. (В зависимости от
природы существенной особенности на оо формальное разложе-
ние C.29а) может не являться равномерным во всей окрестности
? = оо; однако для специальных классов решений, включая
многосолитонные решения, формальное разложение C.29а) яв-
ляется рядом Лорана для ? = оо.) Зависимость асимптотическо-
го разложения от времен U, h, ... обеспечивается заменой экспо-
ненты — /?х в C.29) на —i ? ?2fe + 1^2jfe+i- Мы находим
о
v{x,tit...)~ ехр (/ ? ?2*+1/2п+1) еф, D.15а)
где
(Для многосолитонных решений D.15Ь) имеет место во всех
секторах ? = оо и, значит, является рядом Лорана. Поэтому в
D.15) можно заменять асимптотический символ на знак равен-
ства.) Запишем интегралы трех первых слагаемых D.15Ь) в тер-
минах функции т:
1 а*1пт
1 дг\пх . 1 дЧпх1 д\пх
2?2 dt\ ^ б1-?3 dt> 3/g3 dtz
где мы использовали тот факт, что
Продолжение этого процесса (см. для доказательства работу
Флашки [86]) дает
6*
164 Глава 4
Поэтому
D.17)
Мы введем оператор
X (?) = ехр(I У ?к+%к.Лехр(У ~' .. ., —^. D.18а)
^ , dt2k+l)
Операторы этого типа имеют тесное отношение к объектам, на-
зываемым в литературе вершинными операторами [101], [102].
Теперь мы видим, что
v(x, t3, ...; С)~-?*(?)-т D.18b)
дает нам (формально) соотношение между функцией, которая
порождает решения семейства КдФ, и собственными функциями
v(x, t3 ...; ?). Эта частная формула будет использоваться, когда
мы введем в разд. 4f преобразование Бэклунда.
4с. Симметрии, законы сохранения и интегралы движения.
Рассмотрим частицу единичной массы с координатным вектором
(<7ь ?2) и вектором импульса (ри р2), движущуюся в плоскости
под действием консервативного поля центральных сил. Гамиль-
тониан этой системы имеет вид
и движение задается формулой
z = /УЯ, D.20)
где г = (<7ь Ц% Pi, P2), V — градиент по этим четырем перемен-
ным и / = (Oj 0); здесь / — единичная матрица @ i).
Далее, интуитивно ясно, что мы могли бы выбрать для опи-
сания движения в любой системе отсчета, которая представляет
собой поворот координат z в плоскости на угол 6,
где
<М ON / cos9 sin9\
MJ' \—sin 9 cos9/
и где 9, которая определяет величину угла вращения, является
произвольной. Поскольку как гамильтониан Н, так и уравнения
т-фуикция, метод Хироты, свойство Пенлеве 165
движения инвариантны относительно действия группы враще-
ний (это означает, что H'(z'{z)) = H(z) и z' = JYH'), то инфи-
нитезимальное изменение dz /dQ, вычисленное при 0 = 0, удовле-
творяет линеаризованному уравнению D.20). Читатель может
проверить это сам. Для малых 0 q[ = ql-\-Qq2, д/др'1=д/др1-\-
-\-Q(d/dp2), и поэтому q\ = dH'jdp'1 принимает вид (qi-\-Qq2) =
= ((д/дР1)+в(д/др2))Н (напоминаем, что Н'(z') = Н(г)), что
действительно имеет место.
Поэтому можно видеть, что свойство инвариантности гамиль-
тониана и уравнений движения относительно действия группы
вращения может быть выражено посредством того, что частная
производная решения <9,г/<901 е=о. вычисленная при 0=0, яв-
ляется решением линеаризованного уравнения. Как мы уже под-
черкнули, линеаризация может быть осуществлена относительно
любого решения исходных уравнений D.20).
Группу преобразований, под действием которых гамильто-
ниан и уравнения движения не изменяются, мы назовем сим-
метрией системы. Как мы упоминали, необходимое и достаточное
условие того, чтобы действие непрерывной группы было сим-
метрией, состоит в том, что ее инфинитезимальное действие, из-
меряемое здесь выражением 5(;г) = дг/<30|е=о, является реше-
нием линеаризованных уравнений движения. О самой функции
ст(г) мы также будем говорить как о симметрии.
Симметрии очень полезны. В гамильтоновых системах каж-
дая симметрия связана с интегралом движения (теорема Нё-
тер), благодаря чему размерность системы может быть умень-
шена на два. В упомянутом примере интеграл движения, свя-
занный с группой вращения, является моментом количества
движения. Угловая переменная, соответствующая моменту ко-
личества движения (одна из двух переменных действия в D.19),
другая сам Н), может быть также исключена (она становится
циклической или несущественной в гамильтоновом формализме)
путем соответствующего выбора координат. Поэтому, фиксируя
момент количества движения h, можно найти редуцированное
уравнение размерности два. Действительно, в этом случае, ис-
пользуя полярные координаты r = (q\-\- qfI12, получаем уравне-
ние
h3 , dV n
из которого с помощью анализа на фазовой плоскости легко
описывается орбитальное движение частицы. Для некоторых по-
тенциалов V движение r{t) может быть точно вычислено в тер-
минах известных функций.
166 Глава 4
Идея о том, что симметрия может быть использована для
уменьшения размерности механической системы, была известна
давно [87]. Однако в большинстве классических примеров сим-
метрии были довольно очевидными и имели простые геометри-
ческие интерпретации (движение инвариантно относительно
сдвига или вращения). Такими же представляются соответ-
ствующие законы сохранения, которые имеют соответственно
простую физическую интерпретацию сохранения импульса или
момента количества движения. Однако в солитонных уравне-
ниях дело обстоит не так просто. Я уже обратил ваше внима-
ние на то, что после первых двух законов сохранения уравнения
КдФ (которые соответствуют сохранению массы (или импульса)
и энергии) бесконечная серия, следующая за ними, не имеет фи-
зической интерпретации. Ее не имеют и соответствующие сим-
метрии. По этой причине они называются скрытыми (подразу-
мевается: неочевидными) симметриями. В начале гл. 5 мы уви-
дим, что они связаны с действием некоторых бесконечномерных
групп Ли. В случае семейства КдФ группа симметрии является
группой Каца — Муди, соответствующей градуированной алгебре
Ли si B, С), алгебре петель для si B, С). Позже в гл. 5 мы
также обсудим метод редукции для этих случаев и покажем,
используя обобщенный Марсденом и Вейнстейном [88] класси-
ческий метод редукции, что семейства уравнений, заданные фор-
мулами C.9) и C.49), являются редукциями значительно более
простых потоков на многообразии большей размерности.
Теперь давайте определим и идентифицируем симметрии и
соответствующие законы сохранения семейства КдФ. На осно-
вании предыдущего примера мы назовем функцию у (и), озна-
чающую v(u, ux, ихх, •••)> симметрией скалярного уравнения
ut = Q(n), D.21)
если u-{-bv(u) также удовлетворяет D.21) для всех решений и
этого уравнения при произвольно малом е. Это означает, что
о (и) должно удовлетворять линеаризованному варианту урав-
нения D.21), имеющему вид
vt = tf(u)lv]. D.22)
Правая часть D.22) обозначает пространственную производную
(Фреше) от Q в точке и по направлению v, т. е. Quv + QU]vx +
+ • • •, и определяемся как
т-функция, метод Хироты, свойство Пснлеве 167
Отметим, что левая часть D.22) также может быть записана в
виде t/(u) [Q], так как
vt = vuut + vuxuxt + ... = vuQ + vUxQx +
Мы имеем много кандидатов в качестве симметрии для ти-
пичного представителя семейства КдФ C.9)
так как мы знаем, что все потоки D.23) коммутируют, и поэто-
му q можно считать функцией бесконечного числа независимых
переменных х = t\, t3, ¦ ¦ ¦, feft+i, ¦ • ¦ • Таким образом, мы можем
дифференцировать D.23) по /2/+i и приходим к тому, что
dq/dt2j+\ удовлетворяет линеаризованному уравнению. Следова-
тельно, симметриями всех без исключения членов семейства КдФ
являются eij+i = dq/dt2i+i, / = 0, 1, 2, ... . Уравнение D.23)
также может быть один раз проинтегрировано и дает
dw ...rk
~dt ~~L q-
С каждой симметрией ct2/+i связан локальный закон сохранения
д dw д д2 In т
dt2k+i ' dt2l+l - dt, ¦ dt2k+idt2j+i '
причем интегралами движения (когда х рассматривается как
выделенная переменная) являются выражения
dw
= ] L'qd
Читатель может проверить, что они являются интегралами дви-
жения; случай / = 0 представляет полную массу (или импульс),
/ = 1—энергию, / = 2 пропорционален первой скрытой симмет-
рии Я3, т. е. гамильтониану, генерирующему уравнение. КдФ-.-
(Однако следует указать, что функционал Н3 очень полезен при.
доказательстве устойчивости уединенных волн.(см. [126]К Бус-,
синеск назвал его моментом устойчивости.)
Существуют также другие симметрии. Они связаны с преоб-
разованиями Бэклунда, которые я буду обсуждать в разд. 4f.
Пока что рассмотрим следующую идею. Пусть q(x, t\, t3, ...; ty,
лго) является односолитонным решением семейства КдФ C.9),
п = 0, 1,2, 3, ...
168 Глава 4
Так как оно является решением для всех значений параметров
амплитуды т) и местоположения х0, то dq/dv\ и dq/dx0 являются
решениями семейства линеаризованных уравнений КдФ и по-
этому также являются симметриями. В частности, они являются
решениями уравнений, линеаризованных вблизи тождественного
состояния (либо Ti = 0, либо хо = оо). Преобразованием Бэклун-
да является преобразование, которое порождает новые и более
богатые решения (в том смысле, что преобразование может до-
бавить дополнительные компоненты к данным рассеяния, кото-
рых прежде не было) из старых решений семейства КдФ. Они
также могут быть построены непрерывным способом, начиная
с тождественного состояния. Это означает, например, что мы
можем добавить решение с произвольно малыми значениями па-
раметра амплитуды т] или при сколь угодно больших расстоя-
ниях так, что параметр b = exp Btix0) будет настолько малым,
насколько мы захотим.
Поэтому в дополнение к симметриям, связанным с потоками
(трансляция временных координат), существуют непрерывные
симметрии, связанные с преобразованиями, которые преобра-
зуют один тип решения в другой непрерывным образом. В по-
следнем разделе этой главы, разд. 4g, я покажу, каким образом
оба набора симметрии комбинируются в виде алгебры Каца —
Муди, связанной с алгеброй петель алгебры siB, С).
4d. Рассказ о преобразованиях Хироты [34], [89]. Я вновь
напомню, что в гл. 1 я кратко упомянул об остроумном методе
Хироты для нахождения многосолитонных решений семейства
КдФ. Основываясь как на форме, которую имеет iV-солитонное
решение, так и на аналогичном преобразовании для уравнения
Бюргерса, Хирота связал с решением q{x, t3) уравнения КдФ
функцию т(х, г3), определенную формулой
<7(*. *8) = 2-|^1пт. D.24)
Как мы видели в разд. 4а, этот выбор является очень естествен-
ным в том смысле, что полный тензор потока семейства КдФ
может быть выражен через одну скалярную функцию.
Теперь мы изложим формализм Хироты. Удобно определить
q = wx. D.25)
Тогда уравнение КдФ
+ qxxx = 0 D.26)
после однократного интегрирования принимает вид
ш^=0. D.27)
т-фуикция, метод Хироты, свойство Пенлеве 169
Константа интегрирования выбирается равной нулю в соответ-
ствии со свойством интересующего нас класса решений. (Для
того чтобы устранить дробные коэффициенты в последующих
вычислениях, я произведу масштабное преобразование C.9)
t2n+i^-22nt2n+i.) Теперь вычислим следующие величины:
Заметим, что если сложить две последние величины, что в точ-
ности дает комбинацию линейного дисперсионного члена и квад-
ратичной нелинейности, входящей в D.27), то исчезают все
отношения, содержащие кубические члены или члены более вы-
сокого порядка и их производные, после чего мы находим
Поэтому уравнение КдФ для новой переменной т принимает вид
™* - V, + ««. ~ **Л» + Чх = 0. D.28)
Первая интересная особенность этого уравнения состоит в том,
что оно квадратично по т. Заметим, что решение т = 1 соответ-
ствует нулевому полю q. Далее пусть
х=1+е^х-*К D.29)
где функция 6(х, t) = kx -f- <o? + 90 линейна по х и t. Форма
D.29) является точным решением, если взять о = —k3; коэффи-
циент при вторых гармониках е29 автоматически обращается в
нуль. Попробуем испытать анзац
т=1+е9' + еег,
где 9; = kjX — k3jt + 60/. Он не является решением, поскольку,
хотя и обращаются в нуль коэффициенты при е29' и е2вг, но
коэффициент при ев'+вг остается. Уберем его, добавив в анзац
этот член, умноженный на постоянную, выбираемую так, чтобы
170 Глава 4
исключить коэффициент при e9i+92, который возникает по двум
причинам: в результате квадратичной комбинации е9' и е9г,
а также 1 и е9'+9*. Коэффициенты при е26^9', ев>+2в' и е29'+29»
чудесным образом обращаются в нуль. Причину этого мы скоро
увидим. Поэтому представление
т (х, 0 = 1+ е9' + е9' + еЬ+»>+А» D.30)
дает решение для D.26), если
В разд. 3d мы уже обсуждали природу решений D.29) и D.30)
и интерпретировали Al2(ki, k2) как функцию фазового сдвига.
Здесь kj = —2ri/. В частности, решение D.30) может быть по-
нято как нелинейная суперпозиция двух решений с амплитудами
-JJ-&1 и -кЩ• Если k\> Щ, то при изменении t от —оо до -f-°°
первый импульс догоняет второй, взаимодействует с ним и про-
ходит сквозь второй импульс, аналогично тому, как обсуждалось
в гл. 3. После взаимодействия больший импульс сдвигается впе-
ред на расстояние —^i2/|&i| относительно положения, в котором
он находился бы, двигаясь беспрепятственно, меньший смеща-
ется на расстояние —Л12/|&2| назад. Напоминаем, что Л]2<0.
Если уравнение записать в квадратичном виде, то всегда су-
ществует двухсолитонное решение. Однако это не так для трех-
солитонных решений, для которых
Ев ? e/+e*+V + eVt+^tAi+V D.32)
В этом случае для того, чтобы сократились коэффициенты при
e9i+9i+e', коэффициенты в исходном квадратичном уравнении
D.28) должны быть подобраны абсолютно точно. Заметим так-
же, что коэффициенты при ев>+в2+вз представляют собой экспо-
ненту от функции фазового сдвига двухсолитонного взаимодей-
ствия. Это свойство сохраняется в общем случае, и Af-фазным
солитонным решением для КдФ является
=о.
D.33)
Рассмотрим случай k\>k\> ... > k\. При изменении времени
t от —оо до -f-°° больший солитон приобретет фазовый сдвиг,
состоящий из суммы фазовых сдвигов, возникающих при про-
хождении им через каждый солитон.
t-фуикция, метод Хироты, свойство Пенлеве 171
Сейчас я покажу вам, как строить эти решения. Но вначале
я скажу о том, что Af-солитонное решение каждого из членов
семейства КдФ имеет в точности ту же форму. Единственным
отличием является
'„ 'б. ¦¦¦)-^=%У^Т+%п+{. D.34)
(Я снова хочу подчеркнуть, что t2n+i в D.34) равны произведе-
нию 2-2" на ^2я+1» которые определены в разд. ЗЬ. Это изменение
внесено с тем, чтобы исключить множители 1, 2~2, 2~4, ..., 2~"
в C.14), C.15), C.16), C.22), возникающие в интегральных чле-
нах аналогичного D.28) уравнения для потока (КдФЬп+i-)
Заслуживает внимания, что не только D.33) с 9/, определен-
ными формулой D.34), т. е. Af-солитонное решение для всех по-
токов семейства КдФ, но и функция фазового сдвига АцAц, kj),
и сам результирующий сдвиг
Atl+ ^ ik\Ai"i=l' ••-Nt D-35)
mAtl+ ^ ik
одни и те же для всех уравнений семейства. Это обстоятельство
менее интересно, после того как понято, что оно является пря-
мым следствием коммутативности потоков и что q(x, fa, fa, fa, ¦ ¦ •)
является общим решением. Для того чтобы увидеть это, пред-
ставим, что мы начинаем с двухсолитонного решения q(x, 0,0,...)
семейства КдФ. Исследуем эволюцию двумя способами. Вна-
чале выберем заданную форму в качестве начального условия
для (КдФ)з и рассмотрим эволюцию по времени fa до тех пор,
пока не осуществится взаимодействие. Затем в качестве началь-
ного условия возьмем q(x, fa, О, ...) и предоставим достаточное
время t7 в потоке (КдФЬ- Так как скорость для (КдФЬ также
положительна, дальнейшего взаимодействия не происходит. Да-
лее обратим процесс. Результирующая форма q(x, fa, 0, fa, 0,...)
должна быть той же, и поэтому одинаковыми должны быть фа-
зовые сдвиги, связанные с потоками fa и t7.
Впоследствии Мы будем часто пользоваться этим свойством,
но вначале я хочу познакомить вас с новым методом, изобретен-
ным Хиротой, и покажу, как строить iV-солитонные решения.
Хирота заметил, что слагаемые в D.28) были очень похожи на
формулу Лейбница для дифференцирования произведения. За
исключением знаков, D.28) до некоторой степени похожа на
д* 2 I J— 2
dxdt "¦" дх*
172 Глава 4
Хирота изобрел новый оператор Dx, определенный на упорядо-
ченной паре функций а(х), х(х) следующим образом:
Dxa • х = lim -5- а (х + е) т (х — е) = ахх — ох*. D.36)
е->0 °е
Это определение можно распространить на функции а(хь хъ .. .)>
х{х\, х2, ...) бесконечного числа переменных и на операторы бо-
лее высокого порядка
п а
оУ°ах' ¦ ¦ • D> • т = П Iim -Ч- а (хг + *г)х (хг - е,)- D-37)
xi Х2 хп 11 ег-ю деаг ^ r r> v r П \
Например,
DxDtx • т = 2 (ее*, — тЛтг),
т = 2 (тт^ - 4тЛх;е + Зту.
В этих обозначениях уравнение КдФ D.28) принимает очень
компактный вид
-x = 0. D.38)
Также упрощается вычисление многосолитонных решений. Для
того чтобы увидеть это, посмотрим, как операторы Dx, Dt дейст-
вуют на экспоненты. Легко показать, что
Для многочлена общего вида
P{DX, Dt) ek'x+ti>it - ete+tot
D.40)
В общем случае, если мы возьмем
то
P(Dt,...,Dt
P(Dt,...,Dt
= P(ki-kf, .... (-1)г(^+1-^
Из этих формул можно видеть, почему коэффициенты при е29',
е201+ег> ee,+292j полученные при рассмотрении двухсолитонных ре-
шений, автоматически обратились в нуль. Сначала отметим, что
в случае класса уравнений, с которым мы будем иметь дело,
Р (-Dtl - Dtt, ...) = P(Dtl, Dh, ...), D.43)
P@, 0, ...) = 0 D.44)
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 173
Р (k) = P (k, - k\ k5, ...) = 0. D.45)
Последнее уравнение D.45) выражает тот факт, что дисперсион-
ное соотношение для солитонного решения
т=1+ее, B = kx + ®Ja + <stf6+...
выполняется при @2r+i =(—l)rk2r+l. Более того, оно дает одно-
параметрическое семейство поверхностей, на которых алгебраи-
ческие функции хххъ + х\ или в общем случае Р(хи х3, ¦¦ ¦), оче-
видным образом связанные с уравнениями Хироты D.38), обра-
щаются в нуль.
Вычислим функцию фазового сдвига A\2{k\, k2) общего урав-
нения
P(Dtl, Dh, ...)т.т = 0, D.46)
выраженного в представлении Хироты. Р—многочлен от своих
аргументов. Возьмем
т (/„ /3) t5, ...) = 1 + е6' + ^ + ев.+в.+А^ D.47)
где Bi—'?l(—l)rkf+ltar+i. Коэффициенты при в0, е29', е*г и
е2в,+2иг представляют собой .Р(О) и поэтому равны нулю. Коэф-
фициент при таком слагаемом, как e2Bi+e\ возникающий при
умножении е9'+92 на е9', это
+ k2-kv -Щ + Щ-Щ, ...) = P(kl> -Щ, ...),
который также равен нулю. Единственным не равным нулю сла-
гаемым является ев>+&2, которое имеет коэффициент
где по определению
P(kl-k2) = P(kl-k2, -Щ + Щ,..., (-ly^f^-kf^), ...).
D.48)
Таким образом, в общем случае
Так как для уравнения (КдФK D.38) многочлен Р(х1, х3, х5, ...)
есть х{х3 -f- x\, то
Кроме того, мы имеем мощный результат, состоящий в том, что
поскольку фазовый сдвиг каждого члена семейства КдФ один
174 Глава 4
и тот же, то члены данного семейства характеризуются всей
совокупностью многочленов P(Dtl, Dtt, ...), обладающих в до-
полнение к D.43) — D.45) свойством
(Л, - k2f Р (к, + к2) + (&, + k2f P (к, - к2) = 0. D.51)
Для того чтобы представить это утверждение в должном
контексте, давайте проанализируем сделанное. Мы нашли, что
введением преобразования D.24) уравнение КдФ можно запи-
сать в представлении Хироты
P{Dtl, Dt )т-т = 0, D.52)
где P{xi, х3, .. •) = х\хъ + х\. Далее я сформулировал утверж-
дение, что оно обладает iV-солитонным решением для произволь-
ного IV. Естественным образом возникают следующие вопросы:
(i) Приводит ли каждый четный многочлен Р(х\, х3, ...) к
появлению Af-солитонных решений при N > 2? На основании
последних расчетов нам известно, что для любого четного Р
можно всегда найти двухсолитонное решение. Но как обстоит
дело для N > 2? Ответ отрицателен. Многочлен Р должен будет
удовлетворять жестким ограничениям.
(и) Можно ли в удобной форме охарактеризовать эти огра-
ничения и посредством этого выписать все многочлены
Р(х\,хъ,...), которые допускают Af-солитонные решения? Мы
будем называть их многочленами Хироты. Ответ положите-
лен. Мы можем задать более конкретный вопрос.
(ш) Задан многочлен Р, скажем х,х3 + х\. Можем ли мы
(а) определить, имеет ли он ./V-солитонные решения для произ-
вольного N, (Ь) найти в представлении Хироты все другие члены
семейства и (с) найти все другие многочлены Хироты, совмест-
ные с заданным, и определить, сколько их существует? Отве-
тами, по-видимому, являются ДА, ДА и ДА. Я покажу, как
подойти к доказательству, но, однако, я пока не придал ему
строгость или полноту. Я должен объяснить более подробно, что
означает вопрос (с). Если т такова, что удовлетворяет
то удовлетворяет ли она другому уравнению с весом 6? Заме-
тим, что многочлены Хироты однородны в том смысле, что если
Dt2k мы поставим в соответствие вес 2&+ 1 и будем склады-
вать веса в произведениях, то каждый член в уравнении Хироты
имеет один и тот же вес. Например, вес, связанный с D.38), ра-
вен 4. Суть вопроса состоит в следующем. Дано, что т удовле-
творяет D.38); каким образом «применить» оператор D2X к этой
функции? Простым умножением это сделать нельзя.
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 175
Четвертый вопрос, который приводит нас к выяснению связи
всех различных подходов, ставится следующим образом:
(iv) Существует ли алгебраический способ объяснения спе-
циального вида многочленов Хироты? Я надеюсь, что это так.
Что я хотел бы иметь, так это ответ на вопрос (iv), который дан-
ные ограничения ставит в соответствие алгебрам, связанным
с si B). Причина этого заключается в моей вере (читатель уви-
дит предпосылки этому в гл. 5) в то, что данное свойство явля-
ется «общим знаменателем» всех «методов» анализа солитонных
уравнений, введенных в данной главе.
Вернемся теперь к вопросам (i), (и) и (ш). Предположим,
что Р удовлетворяет D.43) — D.45), и будем искать трехсоли-
тонное решение для D.51) в следующем виде:
т __ J _1_ ев, I e92 I g6, _|_ ева+в,+Аа _|_ ее3+8,+Л„ _j_ е81+82+Л„ _|_
Используя свойства D.43) — D.45) и D.50), убеждаемся, что
все слагаемые, исключая е9>+9'+9», имеют нулевые коэффициен-
ты. Коэффициент при eeH-9i+e, строится из четырех квадратич-
ных взаимодействий и имеет вид
А»Р (к, - к2 - к3) + еА»+А«+А»Р (к, + к2 + к3),
где pi23 — циклическая перестановка индексов 1, 2, 3 и
P(kl+\+k3) = P(kl+k2+k3, -k\-k\-k\, Щ + Щ + Щ,...).
Это выражение также может быть переписано (с использова-
нием D.50)) в виде
РтР (к2 + к3) Р (к, - к2) Р (к3 - к,) Р (к, - к2 - к3) +
+ Р (к2 - к3) Р (к3 - к,) Р (к, - к2) Р (к, + к2 + к3). D.53)
Поэтому условием того, что D.52) имеет трехсолитонное реше-
ние, является равенство нулю выражения D.53). Далее, анало-
гичным путем можно показать, что условием существования
iV-солитонных решений уравнения D.52) является условие
ц , /()/// D.54)
Мы назовем его условием Хироты. Будем говорить, что урав-
нение, приводимое к представлению Хироты с многочленом Р,
удовлетворяющим D.54) (и некоторым дополнительным свой-
ствам, подобным D.23) — D.25)), обладает Н-свойством. В част-
ных случаях, таких как (КдФK, где Р — лг,*3 + х\, можно пока-
зать, что D.54) имеет место. Доказательство обычно проводится
176 Глава 4
по индукции. Однако мне представляется ясным, что это усло-
вие весьма неуклюже, неудобно и трудно доказывается в общем
случае, поэтому полезно иметь альтернативный подход.
Я утверждаю, не имея пока завершенного доказательства,
следующее. Рассмотрим многочлен Рь(х\, х3, ...) с заданным
весом и вычислим для него функцию фазового сдвига
iл 55)
( }
Затем вычислим все многочлены Рм, которые обладают тем же
фазовым сдвигом. Зачастую их больше одного для каждого веса.
Если существует по крайней мере один такой многочлен для бес-
конечного ряда весов, то справедливы три следующих утверж-
дения:
(i) Pl является многочленом Хироты, т. е. для произвольного
/V обладает Af-солитонным решением (удовлетворяющим E.54)).
(И) Каждый Рм порождает уравнение Хироты Рлгг-т = 0 в
семействе Pl-
(Hi) Каждое уравнение Рмт-т = 0, содержащееся в списке,
является многочленом Хироты (т. е. удовлетворяет D.54) и по-
этому обладает iV-солитонным решением для произвольного N).
Проиллюстрируем эти утверждения на некоторых конкрет-
ных примерах. В качестве Р4 выберем хгх3 + х\. Тогда предпо-
ложим, что Р6 имеет следующий вид (из D.43) следует, что до-
пустимы только четные значения весов):
Р6 = х{хъ + ах\ + Ъх\хг + сх\.
Ясно, что D.43) и D.44) удовлетворяются. То же верно для
D.45), если
1 + а — Ь + с = 0. D.56)
Теперь потребуем, чтобы
№ + h? Ръ (к, - к2) + (?, - k2) Р6 (к, + к2) = О
имело место для всех k\, fe. Левую часть можно записать в виде
2 (А, + k2f (kx - k2f {k\ + ЩЩ + k$ +
+ a (k* + ЩЩ + k$) -b(k\+ Щ + c(k\ + ЩЩ + k*)}.
Поэтому дополнительно к D.56) мы должны выбрать
а = -2с-1/3. D.57)
Следовательно, поскольку с произвольно,
Р§ = х,хь + я» + } (*?*, + я*) + (с + 1) (*? - 2x1 ~ х\*з) D-58)
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 177
представляет собой однопараметрическое семейство многочле-
нов Хироты с весовым значением 6, базисными многочленами
которого служат
рA) (Y r v \ г6 9 г2 r3r Id 4QM
Представлением Хироты для (КдФ)б является
PW (Dh, Du, Du) x • х — 0, D.60)
и D.59b) представляет собой уравнение, найденное «примене-
нием» Щ к
Pi(Di, Dt3)x • т = 0.
Отметим, как важно располагать в задаче тремя временами.
(КдФЬ не может быть выражено в представлении Хироты толь-
ко в терминах t\ и tgl
Я предоставляю читателю убедиться в том, что
| х3х5 + |-*?% D.61 а)
D.61Ь)
D.61c)
ф D.6Ы)
где Р^т: • х = 0, г = 1, 2, 3, 4. Pg'^ • т = 0 является предста-
Х ) %\
р
влением Хироты для (КдФ)г Р%\ г = 2, 3, 4, являются тем,
что возникает в результате „применения" D?,, D\ и D?, к соот-
ветствующим комбинациям D,59а, Ь) и (D^Dt, + D$,) т • т = 0.
Повторяя этот процесс, нетрудно видеть, что для каждого
весового значения Рт, М > 2, существует несколько многочле-
нов Хироты. Я укажу вам лучший способ интерпретации этого
по сравнению с просто «применением ?>?, к D.37)», когда мы
вновь будем обсуждать этот вопрос в гл. 5. Я также предложу
идею подсчета числа многочленов для каждого весового зна-
чения.
В качестве упражнения предлагаю читателю вычислить по-
следовательности, представляемые многочленами
P = xlXi-x\, D.62а)
Р = ххх7 + х\. D.62Ь)
Р из D.62а) порождает серию Котеры — Савады [104] и обла-
дает нетривиальными многочленами при бесконечном наборе
178 Глава 4
весовых значений, который не включает всех четных номеров.
Можете ли вы определить, что они из себя представляют?
С другой стороны, D.62Ь) не обладает бесконечным набором
многочленов с одной и той же функцией фазового сдвига. Более
того, похоже, что у него их вообще нет. Поэтому оно имеет
только двухсолитонное решение.
Также открытыми остаются следующие вопросы:
(i) Можно ли охарактеризовать свойства, необходимые для
выражения уравнения в представлении Хироты? Коль скоро
уравнение представлено в этом виде, известно, что оно обладает
двухсолитонным решением. Имеет ли оно Af-солитонное решение
при произвольном N, зависит от того, можно ли найти бесконеч-
ную серию Рм, удовлетворяющую условию
pL (k, - к2) рм (к, + к2) - pl (к, + к2) рм (к, - к2) = о,
где PL — заданный многочлен. Эта формула весьма содержа-
тельна, поскольку она выражает то, что оказывается условием
коммутируемости многочленов и естественным образом приво-
дит к определению скобок Пуассона на многообразии много-
членов.
(И) Предположим, что можно найти лишь конечное число
таких РМ- Возможно ли это или, если найден один Рм, то их
должно существовать бесконечное число? Если последнее не-
верно, то значит ли это, что при условии существования М мно-
гочленов Рм существуют Af-солитонные решения вплоть до
{M)
4е. Свойство Пенлеве1)
(i) Классический случай. Рассмотрим систему фуксовых
дифференциальных уравнений
iV. D(й)
где V есть m-мерный вектор, а А} являются постоянными
(тХ^) -матрицами. В общем случае фундаментальным реше-
нием уравнения D.63) является многозначная функция комп-
лексной переменной г. Действительно, если мы обойдем регу-
лярную особенность в точке а/, то после обхода Ф = Ф (а/ +
+ (г — а/)е2я/), причем фундаментальная матрица решений
D.63) не равна Ф(г); вместо этого ее столбцы являются линей-
') Смотрите на с. 197 историческое замечание об основополагающей ра-
боте С. Ковалевской.
t-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 179
ной комбинацией столбцов Ф(г). Матрица М/, связывающая
ф(г) и ф{а! + (г — ay)e2«').
D.64)
называется матрицей монодромии. Можно поставить следующий
вопрос. Как можно представить At в виде функции положения
полюсов аг так, чтобы группа (легко видеть, что они образуют
группу) матриц монодромии не изменялась? Общий ответ на
этот вопрос был дан Шлезингером [90]:
?^ = b fp = 0. D.65)
да a. — a'Z-ida. v '
Т IT i /
Для т = 2 линейным уравнением является система 2X2, ее
регулярные особенности могут быть локализованы в фиксиро-
ванных точках г = 0, 1, оо и одна точка z = s подвижна. Вообще
говоря, существуют двенадцать подгоночных параметров — эле-
ментов матриц А;, }= 1, 2, 3, но все они могут быть выражены
в терминах одной функции y(s), которая удовлетворяет урав-
нению
-»f^)-o. D.66)
Уравнение D.66) является наиболее общим уравнением второго
порядка вида
y" = R(y,y',s), D.67)
где R — рациональная функция по у, у', аналитичная по s, кото-
рая имеет следующее свойство.
Свойство Пенлеве. Положение любой алгебраической, лога-
рифмической или существенной особенности решений уравнения
не зависит от начальных условий. Это означает, что от произ-
вольных констант интегрирования может зависеть только поло-
жение полюсов.
Уравнения второго порядка вида D.67) с такими свойствами
(условия на R и свойства Пенлеве) были изучены с исчерпы-
вающей подробностью Пенлеве и Гамбье [91]. Существуют пять-
десят канонических типов уравнений, которые включают такие
уравнения, как у"=у, разрешаемых в эллиптических функциях
и имеющих вид
3 D.68)
180 Глава 4
и шесть типов уравнений, решения которых не могут быть вы-
ражены (исключая специальные предельные случаи) в терминах
известных специальных функций. Эти шесть уравнений названы
уравнениями Пенлеве и их решения — трансцендентами Пенлеве.
Читатель может найти список этих уравнений в работе Айнса
[92]. Два уравнения, которые появляются в этих лекциях, это
второе,
3-v, D.69)
и третье (после преобразования z = eu),
(xux)x = -shu, D.70)
уравнения Пенлеве.
Далее, какое отношение все это имеет к полностью интегри-
руемым дифференциальным уравнениям в частных производных
или, в более общей форме, к полностью разрешимым физическим
моделям? Удивителен следующий факт: обнаружено, что нели-
нейные обыкновенные дифференциальные уравнения, которые
возникают очень естественным образом в этих точно решаемых
моделях, обладают свойством Пенлеве. Не верится, чтобы этот
факт был случайностью. Вероятнее, что существуют глубокие
внутренние связи между точно решаемыми моделями и свойст-
вом Пенлеве. В следующем разделе я дополнительно проком-
ментирую эту идею.
(И) Гипотеза АРС (Абловиц, Рамани, Сегур). В 1977 г. Аб-
ловиц и Сегур [93], [35] отметили, что после того как была
установлена точная разрешимость уравнений
<7< + 6<7<7* + ?*** = 0, D.71)
vt — 6v2vxx + vxxx = 0 D.72)
(при определенных граничных условиях), можно также решить
нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, полу-
ченные наложением различных свойств симметрии на эти урав-
нения. Например, галилеева инвариантность означает, что D.71)
имеет решения вида q(x, t) = f(X = x — ct), удовлетворяющие
уравнению
f
Масштабная инвариантность означает, что если q(x, t) удовле-
творяет D.71), то то же имеет место для Р27(Р*, Р30 и, если
v(x, t) удовлетворяет D.72), то это верно и для pw(px, $4). По-
лагая
t-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 181
после однократного интегрирования мы получаем
-v, D.73)
т. е. второе уравнение Пенлеве D.69). В качестве упражнения
я попрошу читателя показать, что при помощи подходящего пре-
образования (подсказка: взгляните на преобразования Миуры)
решения уравнения D.71) вида q(x, t) = (l/{3tJ'3)g(x/Ct)V3)
удовлетворяют D.73) при v = 0.
Абловиц и Сегур указали, что однопараметрическое семей-
ство решений D.73) при v = 0, убывающих экспоненциально при
х->-оо и алгебраически при х->—оо, может быть найдено не-
посредственным применением метода обратной задачи. Основа-
ние для этих ограничений состоит в том, что метод обратной за-
дачи требует, чтобы решения q(x, t) стремились к нулю на обеих
бесконечностях. В разд. 5f (ill) я расскажу, как искать общее
решение начальной задачи для уравнения D.73).
Далее, зная специфические свойства решений уравнения Пен-
леве и заметив, что все обыкновенные дифференциальные урав-
нения, выводимые из известных полностью интегрируемых урав-
нений, обладают этим свойством, Абловиц и Сегур, к которым
на этом этапе присоединился Рамани [35], высказали предпо-
ложение, что это верно всегда: а именно, все обыкновенные диф-
ференциальные уравнения, полученные из полностью интегри-
руемых дифференциальных уравнений в частных производных,
обладают свойством Пенлеве. В некоторых случаях может по-
надобиться некоторая изобретательность при выборе зависимой
переменной (см. D.70)). Большим преимуществом этой идеи
является то, что она дает простой и конструктивный тест на
интегрируемость.
Проиллюстрируем это на примере D.73) с v = 0. Предполо-
жим, что Хо является полюсной сингулярностью функции f{X).
Теперь мы должны построить ряд Лорана для / в окрестности Хо
/Ш= Е ап(Х-Х0)п. D.74)
Легко показать, что для того, чтобы D.74) удовлетворяло урав-
нению D.73), N должно быть единицей. Подстановка D.74) в
D.73) дает систему нелинейных алгебраических уравнений
(я + 1) (я + 2) ап+2 = а„_, + Х<ца +
j + k + l = n, D.75)
для гс^З(а„ = 0, п<.—1), к решению которой мы переходим
методом итераций, выражая ап+2 через коэффициенты более низ-
182 Глава 4
кого порядка. Это можно сделать только в том случае, если су-
ществует совместность при значениях п = —3, /г = 1, что необ-
ходимо, поскольку в каждом случае мы получим коэффициенты
ап+2 равными нулю, если не будут выполнены условия
а2_, = 1, D.76)
ao + *oaI + 6a_1df = O. D.77)
Мы находим, что для п — —2, —1, О
ao = O, a, = -^-, ъ = -*=±-, D.78)
D.76) и D.77) при этом удовлетворяются выбором a_i = ±l.
После этого все а„ определены однозначно, и нетрудно показать,
что полученный в результате ряд сходится для достаточно ма-
лых значений X— Х0Ф0. Данное семейство решений имеет два
свободных параметра Хо и аз, что и следовало ожидать, по-
скольку уравнение имело второй порядок. Если бы условие сов-
местности D.77) не было выполнено, то в локальное разложе-
ние для f(X) следовало включить слагаемое 1п(Х — Хо), которое
означало бы, что Хо является точкой ветвления решения. Если
бы это имело место, положение точки ветвления зависело бы от
начальных условий и уравнение не имело бы свойства Пенлеве.
Большим преимуществом гипотезы AFC является простота в
применении. Ее недостаток состоит в том, что для тестирования
на интегрируемость необходимо проверить все обыкновенные
дифференциальные уравнения, связанные с симметриями диф-
ференциального уравнения в частных производных. Было бы
лучше, если бы существовала возможность непосредственно изу-
чать и тестировать само исходное уравнение. Проделаем это для
D.71), используя разложение
^> = 77^- + -(^) +«о + М*-*о)+ -.., D.79)
где xq и все коэффициенты могут быть функциями от t. Подста-
новкой в D.71) мы находим уравнение
п{п— 1)(« — 2)а„ + 6 ?
-2
r+s=n-2
л>-2, D.80)
которое решаем для ап, выражая его через ап-т. Для п = —2,
— 1, 0, 1 мы находим а_2 =—2, a_i=0, ао = A/6)?о<, ai=0.
При п = 2 коэффициент а2 равен нулю, но тем же является сум-
ма других слагаемых в уравнении. Следовательно, аг(<) — про-
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 183
извольная функция. Для п = 3 находим a$ = -^ xott. Если
п = 4, вновь равен нулю коэффициент при а4, но уравнение при
этом имеет вид
24а4 + 6 B0^ + 2а_2а4) + аи - 2a2x0t = О
и удовлетворяется тождественно. Все последующие ап определя-
ются однозначно. Поэтому q(x, t) имеет локальное решение,
которое может быть записано в виде ряда Лорана с тремя про-
извольными функциями от t, xo(t), a2(t), a4(t). Этот подход был
развит Вейссом, Табором и Карнивейлем [96] и модифициро-
ван Крускалом. Я отсылаю читателя к их работе. В сущности,
гипотеза АРС была модифицирована так, что теперь она озна-
чает существование локального разложения функции q(x, t)
в ряд Лорана в окрестности тех поверхностей в (х, ^-простран-
стве, на которых она имеет полюсное поведение.
То, что я хотел здесь сделать, — это привлечь ваше внимание
к связи этих результатов с результатами последнего раздела,
поскольку я верю в существование непосредственного соответ-
ствия между свойством Хироты и свойством Пенлеве заданного
уравнения. В обоих случаях для того, чтобы соответствующее
свойство имело место, должно происходить нечто магическое.
В первом из них должна существовать возможность, во-первых,
записать заданное уравнение в представлении Хироты и, во-вто-
рых, показать, что полученный многочлен принадлежит классу,
допускающему iV-солитонные решения при произвольном N- Это
означает, что его коэффициенты, унаследованные из исходных
уравнений, должны быть связаны друг с другом специальными
соотношениями. Это также именно то, что должно иметь место,
когда применяется тест Пенлеве. Коэффициенты должны быть
в точности такими, чтобы ряд D.74) (или D.79)) был рядом
Лорана.
Но на самом деле связь более глубока, чем это простое
наблюдение. Заметим, что
т2 т
q(x,t) = — 2-jr+2-2-. D.81)
и поэтому полюс второго порядка функции q (x, t) является про-
стым нулем вездесущей т-функции %(х, t3, t5, ...). Далее, мы
знаем, что D.71) обладает бесконечной серией рациональных
решений (см. разд. 3h), соответствующей бесконечному ряду
многосолитонных решений, и требование, предъявляемое к Р
для существования того и другого, одно и то же, а именно усло-
вие Хироты D.54). Рациональные решения определяются выра-
жением т в виде конечной полиномиальной функции x = tu t3}
184 Глава 4
t5, ... заданного веса (х, х3-{-I2t3, ...). Условия, при которых
можно получить последовательность конечных полиномиальных
решений, являются в точности условиями Хироты. Теперь взгля-
нем на это с точки зрения свойства Пенлеве. Если т может быть
выражена как конечный многочлен х, U, ¦. ¦, то ясно, что она
допускает представление в виде ряда Тейлора в окрестности
точек, лежащих на поверхности т = 0. Но если т имеет разло-
жение в виде ряда Тейлора вблизи поверхности, где она обра-
щается в нуль, то соответствующая q(x, t%, ...) обладает ло-
кальным разложением в ряд Лорана вблизи своих полюсов.
Предположение, что т-функция является аналитической по
каждому из своих аргументов, все еще подлежит доказатель-
ству. Одной из трудностей является то, что это верно лишь для
определенных классов решений. Прежде всего необходимо
найти удобный способ исключения всех точек, где т и, следова-
тельно, q имеют алгебраические, логарифмические или сущест-
венные особенности. Разумеется, этот набор точек фиксирован
и не зависит от начальных условий.
Однако я убежден, что тест Пенлеве содержит больше ин-
формации, чем просто ответ «да» или «нет» на вопрос об инте-
грируемости уравнений. Хотя работа до сих пор носит предва-
рительный характер, существуют все указания на то, что точно
так же, как в случае многочленов Хироты, свойство Пенлеве
обусловлено внутренней алгебраической структурой, лежащей в
их основе. Другими словами, мое предположение состоит в том,
что некоторая версия теста Пенлеве приводит к той же самой
алгебраической структуре (в случае КдФ- и АКНС-иерархий это
будет бесконечномерная алгебра петель, связанная с si B)), ко-
торая возникла бы при использовании метода Уолквиста — Эста-
брука, обсуждаемого в первой части гл. 5.
Однако по-прежнему существует много досаждающих вопро-
сов. Крускал постоянно подвергал сомнению необходимость
устранения логарифмической и других особенностей. В самом
деле, кто стал бы отрицать, что уравнение dy/dx = (у — а) X
Х(# — Р) (У — Y)--- является интегрируемым (так ли это?) и тем
не менее х как функция у имеет логарифмические особенности.
Более того, число контрпримеров предположению, что полно-
стью интегрируемые дифференциальные уравнения имеют свой-
ство Пенлеве (на что указывалось в последней серии статей),
растет, и самая последняя весть из Парижа (где работает груп-
па Рамани) состоит в том, что тест Пенлеве умер! Хотя это
вне всякого сомнения, является преувеличением, тем не менее
ясно, что необходимы некоторые изменения. Крускал сделал
предположение, что тест Пенлеве — слишком сильное утвержде-
ние, и он считает, что необходим более тонкий тест, в котором
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 185
анализируется поведение уравнения вблизи слияния полюсов
(т. е. «наихудшее» сингулярное поведение уравнения). Его идея
нова, и я не буду пытаться здесь описывать ее до тех пор, пока
она не будет опубликована. Идея имеет по крайней мере две
привлекательные черты. Первая состоит в том, что она содержит
исходный тест Пенлеве в случае, когда он применим. Однако
более важно то, что она ведет в сердце природы интегрируе-
мости (что такое полностью интегрируемая система?) и непо-
средственно связана с тонкими свойствами, отличающими эрго-
дические и интегрируемые потоки на компактных многообразиях.
(Например, х' = а, у' = р представляет собой интегрируемый
поток на торе 0 << х, у << 1 (на котором склеиваются противо-
положные границы) только в том случае, если отношение аир
рационально. Почему? Причина в том, что на торе интеграл дви-
жения С = р* — ау ведет себя очень нерегулярно и в действи-
тельности неизмерим, если а/р иррационально.)
4f. Преобразование Бэклунда. Центральная и постоянно по-
вторяющаяся тема метода обратной задачи рассеяния состоит
в том, что рассматриваемые нелинейные уравнения возникают
как условия интегрируемости переопределенных линейных си-
стем. Мы показали, каким образом уравнение КдФ и все члены
его семейства представляют условия интегрируемости линейных
уравнений вида
+ q{x,tz, ..*.)) 0 = 0 D.82)
— Bwvx. D.83)
Запишем пару уравнений для уравнения КдФ D^ = ^з)
qt + &qqx + qxxx = О D.84)
в виде системы
Ух-
-С? 1>
где V = {vi=—vx + it,v, v2 = v)T. Потерпите, пока я выполню
следующие небольшие вычисления. Определим
Y-3- D.87)
1S6 Глава 4
и найдем
ух = - 2/Cy + Я + Y2, D.88а)
+ 2ty? - Яхх ~ 2<72) - B*7 - 4?2) Y2- D.88b)
Условием интегрируемости этих уравнений Риккати также яв-
ляется D.84). Далее положим
откуда и(х, t) удовлетворяет уравнению
«|-з«4 + ««, = о D-89)
(мы положили константу интегрирования равной нулю) или
(в зависимости от того, какое t мы взяли в иерархии КдФ) со-
ответствующему члену данного семейства, проинтегрированному
один раз по х. Определим й формулой
Y_*? = A=Ji. D.90)
Утверждается, что если и(х, t) удовлетворяет D.89) (или для
других / другим членам семейства КдФ), то (х, t) также удов-
летворяет D.89) (или соответственно другим членам указан-
ного семейства). Сейчас мы докажем это. Однако сначала рас-
смотрим дальнейшие следствия этих утверждений. Подставляя
D.90) в D.88), найдем
+ (^J D.91а)
_%% D.91b)
Уравнения D.91) представляют однопараметрический (с пара-
метром ?2) набор соотношений
Ri(u, ихх, щ; й, йх, йхх, щ; ?2) = 0, D.92)
включающих й, и и их частные производные. Соотношений здесь
меньше, чем переменных. Далее, нам известно, что и(х, t) удов-
летворяет D.89). Я предлагаю читателю прямыми вычислениями
показать, что п(х, t) тоже удовлетворяет D.89). Существует
также другое доказательство, которое позволяет глубже про-
никнуть в тесные связи между уравнениями D.91) и D.85),
D.86), D.88). Используя D.91а), мы можем показать, что D.91)
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 187
можно также записать в виде соотношения
й. + и. ( й — и \ ( й — и \2
-Ц-1- = 2qx {-^-) - 2? (—2~J + q2 - %2q, D.91c)
которое есть просто D.91Ь), где переставлены местами и и й.
Поэтому уравнения D.91а,с) можно записать как D.88а, Ь), где
произведены замены у^*-—у, ?-»-—? и вместо q стоит q. Но пе-
ремена знака у и % не нарушает условий разрешимости, и по-
этому q(x, t) удовлетворяет D.84) и п(х, t) удовлетворяет
D.89).
Мы назовем набор соотношений, подобных D.91), преобразо-
ванием Бэклунда. Оно позволяет построить сложные решения
из более простых. Например, если мы возьмем и = 0 и решим
полученную пару уравнений первого порядка D.90) по х и t, мы
найдем п(х, t) = — 2ц th ц (х — 4я2/ — х0), l = ir\. Для более об-
щего и(х, t) труднее решить уравнение для «, поэтому сущест-
вуют значительно лучшие способы построения решений из ста-
рых, чем прямое решение D.91). Я вкратце покажу вам, как
это делается.
Однако сейчас я хочу вернуться к понятию преобразования
Бэклунда. В литературе этот термин существует длительное
время. Очень трудно найти его ясное определение. Определение,
которое я приведу, было дано Ханно Рундом [95] и сейчас яв-
ляется общепринятым. Пусть и(х, t) и п(х, t) удовлетворяют
дифференциальным уравнениям в частных производных
Е(и) = 0 D.93а)
?>(й) = 0 D.93Ь)
соответственно. Тогда набор соотношений
*/((«), B), Ю) = 0, /=1, ...,я, D.94)
где (и) и («) обозначают наборы, необязательно одинаковой
длины, состоящие из и, п и их различных частных производных,
называется преобразованием Бэклунда, если эти соотношения
гарантируют следующий факт: « удовлетворяет D.93Ь) вся-
кий раз, когда и удовлетворяет D.93а), и наоборот. Если и и и
удовлетворяют одному и тому же уравнению, то перед этим тер-
мином ставится приставка «авто». Набор соотношений D.91)
является автопреобразованием Бэклунда, связывающим решения
соответствующих членов семейства КдФ. Первая половина этих
соотношений D.91а) связывает решения всех членов каждого
семейства. Преобразование Миуры
(x, t) = v2 (x, f) - ivx (x, t) D.95)
188 Глава 4
связывает решения каждого члена семейства КдФ с каждым
членом семейства модифицированного КдФ, первым нетривиаль-
ным уравнением которого является
vt + Qv2vx + vxxx = 0. D.96)
Из уравнения A.12) гл. 1 (уравнение, которому удовлетворяет
каждый член соответствующих семейств, см. [96]) мы знаем,
что если v(x, t) удовлетворяет D.96), то q(x, t), заданная соот-
ношением D.95), удовлетворяет D.84). С другой стороны,
q(x,t), которая удовлетворяет D.84), может привести к v(x, t),
не обязательно удовлетворяющей D.96). Действительно, реше-
ние A.12) даёт
vt + Qv2vx + vxxx = А ехр ^— 2i \ q dyj,
и поэтому мы не можем само D.95) назвать преобразованием
Бэклунда, если не дополним набор соотношений (в данном слу-
чае добавлением одного соотношения) другим соотношением
(таким, как само уравнение D.96)), гарантирующим, что v(x, t)
будет удовлетворять модифицированному уравнению КдФ.
Должно быть ясно, что если мы желаем сохранить централь-
ное понятие о том, что q является функцией бесконечного числа
независимых переменных, то преобразование Бэклунда, которое
взаимоувязывает решения целого семейства, обязательно долж-
но быть бесконечным рядом соотношений, включающих все про-
изводные по времени. Можно формально вывести их точно тем
же способом, как мы получили D.91Ь). Более быстрый и эле-
гантный путь представлен в разд. 5g, где мы определяем пре-
образование Бэклунда в терминах действий над т-функцией.
Вспомним, что
и так как обе функции и(х, t) и п(х, t) удовлетворяют D.89), то
мы можем записать
и(х, 0 = -2^-1пт, й(х, 0 = -2-|г1пт. D.98)
Поэтому уравнение D.90), которое определяет п, это просто
x = xv. D.99)
Необходимо иметь возможность обратить формулу; а именно,
пусть
т = т0(х, 0, D.100)
т-фуикция, метод Хироты, свойство Пенлеве 189
где v — решение уравнения D.82), в котором q заменено на q.
Но из D.91а) мы можем записать
q=-q-2V-±--%\ D.101)
и поэтому l/v удовлетворяет
Важно подчеркнуть, что t, в D.97) — D.101) является конкрет-
ным значением параметра, характеризующим солитон, на кото-
рый решение q богаче, чем решение q. Поэтому мы его обозна-
чим 5ь В качестве примера я оставлю читателю показать, что
если v(x, t,\) = v\{x) удовлетворяет D.82) с ? = ?i и q = q,
v(x, ?) удовлетворяет D.82), то
д (х, 0 = vx (х, 0 - -^L v {x> С) D.102)
удовлетворяет D.82) с учетом замены q на q (заданным фор-
мулами D.90) и D.92) или D.101)). Этот результат принадле-
жит Фаддееву [96]. Скомбинируем эти результаты с результа-
тами разд. 3d и определим, что делает преобразование Бэклунда
с данными рассеяния. Я буду придерживаться работы Флашки
и Маклохлина [96].
Пусть потенциал q(x) обладает данными рассеяния
5 М = {R (О, С (Im С =--• 0); (С, = Щ„ у,У»_2}.
Для того чтобы v(x, t,) не имела полюсов в нуле v\(x), мы
должны потребовать, чтобы ?\ лежала слева от спектра, свя-
занного с q(x), в этом случае v\(x) не имеет нуля на (—оо, оо).
Возьмем (полагая А ф 0)
0!(ДГ)=Д1|)(ДГ, С,) + Вф(ДГ, С).
Повторяем, что поскольку \\ не принадлежит спектру, связан-
ному с q, q>(x, t,i) и ^(jc, ^i) линейно независимы. Далее выберем
v(x, ?) таким образом, что 6(х, ?)= ^(х, t,), т. е. д(х, %) •— еЧ*
при х-»-оо для вещественных t,. В качестве простого упражнения
предлагаю показать, что v(x, ?) = (й;—i\i)~ll^{x,^), если В Ф 0,
и равна (tE+iii)-4|>(.!i:, t,), если 5 = 0. Если ВфО, то при
190 Глава 4
что при сравнении с C.62) означает, что (напомним: /?(?) =
б(»ма)
D.103)
и связанным состояниям отвечает ?/ = гп/ при / = 1, ..., N, где
Y; = (t)i+t)/)/(t]i — Л/)у/ (просто взят вычет ^!(?) в точке ? =
= 'т1/)> /' = 2, ..., N и yi зависит от Л и Б. Аналогично, если
5 = 0,
i
что означает
«Ю-«<0. RiQ^j^R®, v/^-^v/. D.104)
При. этом новых связанных состояний не добавилось.
Заметим, что поскольку D.103) добавляет в спектр связан-
ное состояние %i = гг|1, оно также изменяет коэффициент отра-
жения на фазовый множитель. Для того чтобы q имело те же
данные рассеяния, что и q, исключая добавление одного связан-
ного состояния, нужно сначала применить преобразование Бэк-
лунда D.104) (где В = 0) и затем преобразование Бэклунда
D.103). Результирующее преобразование дает q с данными рас-
сеяния
S[q] = {R(?), С(ImС = 0); (?, = щ, Y/)JL,},
где yi зависит от выбора Л и Б в D.103). Заметим, однако, что,
если начать с безотражательного потенциала R(t), не потре-
буется никакого фазового сдвига, обусловленного преобразова-
нием Бэклунда, добавляющим солитон.
Далее взглянем на то, как преобразование Бэклунда воз-
действует на т-функцию. Поскольку мы широко пользовались
соотношениями D.15) и D.18), т. е. формальным результатом,
который реально применим только для солитонных и рациональ-
ных решений (в этом случае асимптотическое разложение в
точке 5 = оо является разложением Лорана), мы ограничимся
безотражательными потенциалами. Я оставляю читателю по-
пытку расширить область применимости формул. Для того что-
бы записать D.99) в виде
х = то (х, Q = х (Лф (х, 0 + ВМр (х, - 0), D.105)
сначала воспользуемся D.18), где v(x, ?) записана в виде ли-
нейной комбинации двух линейно независимых решений
т-функция, метод Хироты, свойство Йенлеве
191
ф(х, ?), г|)(х, —?), связь которых (формальная или асимптотиче-
ская) с т-функций дана формулой D.18), а именно:
(Л) = Ш±, *(x,_0=a*?i2i.
D.106)
где из D.18) следует
— 1
i Bk +1) rs+1 at
Так как мы решили в большей части этой главы работать с
22^2&+ь а не с t2k+\ (вспомните, что это исключило множитель
l/22ft перед правой частью потока t2k+\ C.14)), запишем
l = exp (i У С (ЗД« ^Л exp (^ ~1 д
Используя D.106), формулу D.105) можно представить в виде
т„Ов. = (АХ @ + ВХ (- О) тстар, D.107)
Рассмотрим несколько примеров, чтобы показать, как все это
работает на практике. Сначала возьмем то = 1- Следовательно,
-Ве~в, D.108)
где
Выберем А = а#-Ъ*>, B = aeit*°, Пусть ? = И| и
назовем
T1 = 2ach(e —60)
односолитонным решением. Далее,
т2 = (Л2Х (Ь) + В2Х(- И) (Л,ЯГ (С,) + В, X (-
В качестве несложного упражнения покажите, что
D.109)
S-C
1/2
,9+6'
D.110)
Таким образом, используя очевидное обозначение
1/2
которое после выбора единичных коэффициентов при первых
трех слагаемых и деления на ев'+в2 принимает вид (?/ = Й1/,
192 Глава 4
/== 1, 2) двухсолитонного решения
т _ gS.+Sj ( 1 I g-26, Л. g-262 I
V
Напомним, что экспоненциальный множитель, стоящий спереди,
в котором показатель экспоненты линеен по t2k+\, k = 0, I, ...,
не дает вклада в поле q(x, t%, t$, ...). Этот процесс может быть
повторен.
Прежде чем завершить этот раздел о преобразованиях Бэк-
лунда, я хочу рассмотреть еще одно вычисление, приводящее
к формуле для преобразований Бэклунда членов иерархии
АК.НС при г = —q. Напомним (см. C.36b)), что соответствую-
щей этому случаю задачей на собственные значения является
' D.111)
— qvi.
Следовательно, у, определенная как v2/vi, удовлетворяет
D.112)
Если мы примем
Y-tgiti. D.ЦЗ)
где q —— (l/2)ux, q = —{\/2)пх, то ^4.112) принимает вид
ux-ux = 4iZsin-^-. D.114)
Соответствующие соотношения между ut k и Шгк+1 могут быть
найдены простым преобразованием соответствующих уравнений,
описывающих зависимость vu v2 от времени, к виду Риккати.
Легко показать, что если q(xt /2ft+i)==—(l/2)ux{x, /2^+1) (k мо-
жет также быть отрицательным, k = —1 приводит к уравнению
sin-Гордон, см. [97]) удовлетворяет потоку t2k+i в иерархии
АКНС, где r = —q (заметим, что в этом многообразии решений
допускаются только нечетные потоки), то этому потоку удов-
летворяет также q{x, t2k+i)r=—(W2)ux(x, tak+i)- Поэтому
D.114) и соответствующие соотношения являются преобразова-
нием Бэклунда.
Я привожу эти вычисления ввиду очевидных связей метода
их вывода с преобразованием Бэклунда для иерархии КдФ.
Однако в гл. 5 мы опять возьмемся за эти же вопросы с другой
и более общей точки зрения, преимущество которой состоит в
том, что полный набор соотношений, соответствующих D.114),
и формул, ставящих в соответствие «<2fe+1 и Щ k+ , задается од-
ним выражением. Более того, выбор преобразования D.113) пре-
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 193
вращается в очевидное следствие. Затруднение, связанное с
D.113), состоит в том, что в то время как для решения уравне-
ния Риккати естественно подставить tg (следствие отношения
Y*:2у : 1 + у2), заранее неясно, почему введенная таким спосо-
бом й будет удовлетворять тому же уравнению, что и и. Это
становится понятным лишь потом, при анализе симметрии
D.114) и соответствующих временных соотношений.
4g. Появление алгебры Каца — Муди. В этой главе мы ви-
дим, что т-функция, т(/ь ^з, ^5 hk+u ••¦), содержит всю не-
обходимую информацию о пространстве решений для семейства
КдФ- Она меняется одним из двух способов. В первом случае
она может изменяться из-за потоков, когда независимые пере-
менные {t2k+\}7 эволюционируют, а функциональная форма т
остается прежней. Например, двухсолитонное решение D.47)
т __ 1 _|_ ее, _|_ ее2 -j- ев,+вг+Аи>
т),
О
эволюционирует под действием потоков, но по-прежнему остает-
ся двухсолитонным решением. Во втором случае, как мы только
что выяснили в предыдущем разделе, т-функция может изменить
свой функциональный вид под действием преобразования Бэк-
лунда, в то время как последовательность независимых перемен-
ных {^2fe+i}o° сохраняется неизменной. Каждое изменение яв-
ляется действием группы, и в каждом случае новая т также
удовлетворяет всем уравнениям семейства КдФ, т. е. или беско-
нечной последовательности квадратичных уравнений Хироты,
или последовательности
=~Lkq, Lkq = 2^-^ In т. D.115)
Поэтому пространство решений семейства КдФ отображается
совместным действием потоков и преобразований Бэклунда. Ин-
финитезимальные симметрии формируют бесконечномерную гра-
дуированную алгебру Ли (алгебру Каца — Муди), изоморфную
центральному расширению алгебры петель si B, С); последняя
обозначается как siB, С). Этот подход развит в работе Дейта,
Дзимбо и Мивы [39]. Данная точка зрения противоположна
подходу, развитому в гл. 5, в котором часть si B, С) использу-
ется как фазовое пространство. Переход от последней картины,
в которой решения представляются кривыми в алгебре Ли,
к предыдущей, в которой решения являются точками в простран-
7 А. Ньюэлл
194 Глава 4
стве представлений, т. е. т(^, U, ¦¦•), все еще не разработан
логически в рамках теории групп Ли, однако я попытаюсь объ-
единить эти две точки зрения посредством некоторых наводящих
на размышления формул в разд. 5j.
Сейчас мы вернемся к задаче нахождения и представления
инфинитезимальных симметрии, соответствующих потокам и пре-
образованиям Бэклунда. Сначала заметим, что действие потоков
на x(tu /з, • • ¦) есть просто действие трансляции аргументов и
может быть представлено формулой
V
expl У (hk+i-ai ]%(h, • • •» hk+\ ••¦)==
= т(/,+а„ ..., t2kU+a2k+l) D.116)
при произвольных значениях аь ..., a2k+u Инфинитезимали
действий этой группы представляются последовательностью
{d/dt2k+1}™. Заметим также, что поскольку все интересующие
нас величины
?пт <4Л17>
являются вторыми логарифмическими производными от т-функ-
ции, то можно умножить т на экспоненту, аргумент которой ли-
неен по {^2fc+i}o°> т- е- на ехР X ?>2*+i^>ft+i при произвольных
о
Ь\, ..., b2k+i- Инфинитезимали этого класса симметрии пред-
ставлены посредством {^2fc+i}o°- Для набора элементов {djdt2k+,}^
и {4ft+i}o° генерируют алгебру Гейзенберга
D.118)
Еще раз напомню читателю, что эта алгебра является след-
ствием симметрии, возникающих из потоков и того факта, что
существует класс эквивалентности т-функций, причем все функ-
ции одного класса соответствуют одному и тому же решению q
семейства КдФ. Сейчас полезно перейти на язык метода обрат-
ной задачи рассеяния. Мы знаем, что тип решения характери-
зуется «начальными» данными рассеяния
S @) = {R(|, 0), Im I = 0; (?7 = щ„ Ь, @) = e2V/)f}. D.119)
Потоки линейно во времени изменяют данные рассеяния, меняя
только фазу коэффициента отражения и координаты местона-
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 195
хождения X/ солитонов. Изменение задается формулой
5 (t) = \r (I, 0) ехр B1 ? I2k+%k+ X Im g = 0;
1 Ч ° J D.120)
b, @) exp f
(Отступление. Мы уже указали на то, что метод обратной за-
дачи представляет собой каноническое преобразование, которое
старым координатам q(x) сопоставляет новые переменные типа
действие — угол (см. [13], [70], [75]):
соответствующие скобки Пуассона также образуют алгебру Гей-
зенберга
{Р/, <7ft} = 6,k, {p (I), q {I')} - б (| - I');
все остальные скобки равны нулю. Я до сих пор не знаю способа
идентификации при помощи теории Ли этих двух гейзенбергов-
ских алгебр, а также не знаю, является ли на самом деле одна
из них проявлением другой.)
Потоки сохраняют тип решения. С другой стороны, преобра-
зования Бэклунда изменяют тип решения в том смысле, что они
добавляют новые компоненты к данным рассеяния. Например,
начиная с вакуумного состояния
0)^0, Img = 0; W = 0},
можно построить односолитонное состояние
E, 0) = 0, Im| = 0; b = ii\,
применяя преобразование Бэклунда
D.122)
где Тстар = 1 и X(t,) — оператор, задаваемый D.18). В принципе
можно построить все решения из вакуумного состояния преоб-
разованиями Бэклунда, но в действительности анализировать
можно только многосолитонные решения. Группа из Киото пред-
почитает считать многосолитонные решения плотным множест-
вом в пространстве всех решений, но они не поясняют, в каком
196 Глава 4
смысле следует понимать это. Однако в целях продолжения
нашего обсуждения примем эту точку зрения. Для многосоли-
тонных решений можно переписать D.122) в виде
тНов = A + РП&))тстар, D.123)
где р = В/А = ?-2ч*» описывает начальное положение солитона,
который мы собираемся добавить, а
D.124)
Соотношение D.123) справедливо, так как всегда можно выде-
лить из т экспоненциальный множитель, аргумент которого ли-
неен по времени. Читателю следует доказать, что
Y (О Y (О 1 = (-|^Jехр ( - 2* ? (?»+' + ?'2ft+I) t№+A. D.125)
^ о
Заметим, в частности, что У2(?I = 0, и поэтому можно запи-
сать D.123) в виде
(У)) D.126)
Инфинитезимальное действие (при хо->-°° Р становится меньше
и меньше) задано вершинным оператором У(?). Формально
У( может быть представлен как бесконечный ряд Лорана
Поскольку операторы У(?), Y(t,') не коммутируют, когда
? + ?' = 0 (из-за того, что множитель (? + ?'J входит в знаме-
натель D.125)), коэффициенты Y^fc+i удовлетворяют нетривиаль-
ному набору коммутационных соотношений [39].
Важным обстоятельством является следующее. Леповски и
Уилсон [102] показали, что эти соотношения совместно с алгеб-
рой Гейзенберга D.118) изоморфны бесконечномерной градуиро-
ванной алгебре Ли (алгебре Каца — Муди)з1B, C)©Z, обозна-
чаемой А\, т. е. центральному расширению лагебры петель
для siB, С). Каждый член в siB, С) является произведением
градуирующего параметра Я, умноженного на элемент из
siB, С), который может быть записан в матричном представле-
нии как ЛЯ+ еЕ + fF с базисными векторами
/1 0\ /0 1\ /0 0\
"Ко -J' Чо о)' F4i о)'
т-функция, метод Хироты, свойство Пенлеве 197
Поэтому мы имеем один ответ на вопрос: «Какое отношение
имеет si B, С) к КдФ?» Решения солитонных уравнений семей-
ства КдФ образуют орбиту (набор всех t(/i, h, ...)) вектора с
наибольшим весом (соответствующего т=1) в базисном пред-
ставлении siB, C)®Z. Алгебра действует на решения как ал-
гебра симметрии. Альтернативная точка зрения, в которой ал-
гебра используется как фазовое пространство, и связи между
этими двумя точками зрения приведены в гл. 5.
Историческое замечание. При анализе уравнений движения
волчка общего вида Ковалевская обнаружила, что в двух част-
ных случаях (волчки Эйлера и Лагранжа), для которых была
известна интегрируемость, решения содержали эллиптические
в-функции и не имели сингулярностей, кроме полюсов, для ко-
нечных комплексных значений времени. Она заинтересовалась,
может ли это свойство (которое мы сейчас называем свойством
Пенлеве) иметь место для волчка общего вида. Выяснилось, что
ответ отрицателен, но во время своих исследований Ковалевская
открыла новые типы соотношений параметров (между момен-
тами инерции и т. д.), для которых данное свойство имеет место
и уравнения волчка интегрируемы. Поэтому Ковалевская была
первой, кто использовал свойство Пенлеве. Читателю следует
ознакомиться с работами С. Ковалевской, Acta. Math., 12 A889),
pp. 177ff; 14 A890), pp. 81ff. Смотрите также статью X. Иосиды
в работе, цитированной в [39].
ГЛАВА
СВЯЗУЮЩИЕ ЗВЕНЬЯ МЕЖДУ ЧУДЕСАМИ
СОЛИТОННОИ МАТЕМАТИКИ
5а. Обзор. В этой главе мы изучаем математическую струк-
туру солитонных уравнений и пытаемся развить подход, из ко-
торого большинство (если не все) чудес солитонной математики
возникают как естественные следствия. Как минимум мы хотим
увидеть некоторую общую нить, связывающую их воедино. Эти
чудеса включают в себя:
1. Бесконечное число локальных законов сохранения и сим-
метрии; принадлежность бесконечному семейству коммутирую-
щих потоков; гамильтонову структуру (иногда структуры).
2. Эквивалентную формулировку нелинейных уравнений в би-
линейной форме (уравнения Хироты); т-функцию, которая, рас-
сматриваемая как функция бесконечного числа независимых
переменных, содержит богатую информацию о многообразии ре-
шений; свойство Пенлеве.
3. Связь с линейной задачей на собственные значения; обрат-
ную задачу рассеяния; изоспектральную, изориманову поверх-
ность и изомонодромные деформации; задачу Римана — Гиль-
берта.
4. Преобразования Бэклунда и Шлезингера; вершинные опе-
раторы.
5. Идеи Уолквиста — Эстабрука и наличие богатой алгебраи-
ческой структуры; «что общего у si B, С) с НУШ и КдФ?»; по-
нятие редукции и связь со схемой «одевания» Захарова — Ша-
бата.
Ключевые моменты нашего нового подхода состоят в том,
что соответствующее фазовое пространство, в котором «живут»
(одномерные по пространству) солитонные уравнения, является
алгеброй Каца — Муди (бесконечномерная, градуированная ал-
гебра Ли), и в том, что каждую зависимую переменную важно
считать функцией бесконечного числа независимых переменных
(времен потоков it), из которых ни одна не выделяется среди
других. Одну из переменных важно выделять только в том слу-
чае, когда зависимым переменным мы приписываем некоторое
глобальное поведение в виде функций одной из независимых
переменных. Это имеет место например, если мы хотим решить
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 199
интересующее нас уравнение с начальными условиями. Резуль-
таты, описанные в этой главе, получены совместно с моими
коллегами Германом Флашкой и Тюдором Ратиу из Аризонского
университета и опубликованы (или скоро появятся) в серии ста-
тей в журнале Physica D [38].
Желательно также понять удивительные связи между соли-
тонной математикой и нелинейными интегрируемыми уравне-
ниями в частных производных с другими точно решаемыми мо-
делями статистической физики, такими как модель взаимодейст-
вия ближайших соседей Изинга. В настоящих лекциях я сош-
люсь на эти последние достижения [103], но не буду развивать
их подробно. Ничего не будет сказано и об иерархиях солитон-
ных уравнений с пространственной размерностью, большей чем
единица, но интересующемуся читателю следует знать о работе
[39]; в этой работе группа из Киото обсуждает иерархию урав-
нений КП (Кадомцев — Петвиашвили). (См. также упражнение
ЗЬE).)
План главы таков. В разд. 5Ь мы покажем, как, отправляясь
от уравнения или от системы уравнений, можно выяснить, явля-
ется ли оно интегрируемым, и если да, то как можно найти
алгебраическую структуру фазового пространства решений. Ис-
пользуемый метод является вариантом метода Уолквиста —
Эстабрука, который следует его основным идеям, но стремится
избежать терминологии дифференциальной геометрии. В част-
ности, мы покажем, что алгебраическая структура иерархии
АКНС является изоморфной подалгебре алгебры siB, С), а
именно алгебре петель ? Х-&{, -Х_/ е si B, С), ассоциирован-
— оо
ной с siB, С). Как указывают многие вычислительные резуль-
таты, похоже, что более подходящей может быть расширенная
алгебра Каца — Муди Л'/', состоящая из ЛA1}(siB, C)@Z) с до-
бавлением дифференциального члена. Однако с использованием
Л'1' связаны некоторые трудности, которые я буду обсуждать
в разд. 51.
Идеи Уолквиста — Эстабрука обосновывают выбор фазового
пространства. После того как установлено и осознано, что фазо-
вое пространство является прямой суммой двух алгебр К, N,
в которых ортогональное дополнение К1 одной из них является
двойственным (N*) другой по отношению к соответствующим
образом определенному внутреннему произведению, существует
естественный путь для определения скобок Пуассона и гамиль-
тоновых векторных полей на KL = N*. Если последние порож-
даются функциями специального класса, так называемыми ad-
инвариантными функциями Фк, сразу же возникает бесконечное
200 Глава 5
семейство коммутирующих потоков в лаксовой форме Qt =
= [Q(k), 0], где Q является общим элементом в фазовом простран-
стве (двойственном к одной из подалгебр), и Q(ft> = л#УФб, где
V является градиентом и jcjv — проекцией в подалгебру N. Все
свойства коммутируемости являются автоматическими след-
ствиями очень общих теорем. Этот материал содержится в
разд. 5с. Раздел включает также обсуждение того, как соотно-
сятся потоки и гамильтоновы структуры, введенные описанным
выше способом, с потоками и гамильтоновыми структурами, ко-
торые возникают, если х является выделенной переменной, как,
например, в случае, когда мы начинаем с известной задачи на
собственные значения VX = PV, где Р — многочлен по ?. Напом-
ним читателю (разд. Зс), что если Р является многочленом пер-
вой степени (посредством калибровочного преобразования, см.
разд. 5g, можно всегда свести задачу к виду C.31)), то резуль-
татом является иерархия АКНС; если его степень равна двум,
то получается иерархия НУШП [78].
В конце разд. 5с я приведу несколько упражнений, в которых
примеры гамильтоновых векторных полей на двойственных под-
алгебрах даны в иных контекстах. Первые два примера приво-
дят к уравнениям для простого гармонического осциллятора и
цепочке Тоды со свободными концами. Третий пример показы-
вает, как включить семейства КдФ и мКдФ в структуру алгебр
Ли. Непосредственным следствием является преобразование
Миуры, сопоставляющее решения двух семейств.
В разд. 5d мы воспользуемся преимуществом специального
вида лаксовых уравнений и непосредственно выпишем все за-
коны сохранения вида
-дт- (сохраняющаяся плотность) = -~— (поток),
где х и t — два любых члена бесконечного набора переменных
{tk}\ более того, мы можем привести явное выражение для всех
сохраняющихся плотностей и потоков. Эти формулы являются
новыми.
На этом этапе можно действовать в любом из двух следую-
щих направлений; каждое из них связано с чудесами, приведен-
ными выше под номерами B) и C).
Первое: заметим, что законы сохранения обладают структу-
рой, отражающей тот факт, что роторы трех бесконечномерных
векторов равны нулю. Это неизбежно приводит к мысли о вве-
дении потенциалов, которые являются набором т-функций Хи-
роты, состоящим для si B, С) из триплета {т, ~, р}. Если урав-
нения движения переписаны с этими потенщ лами в качестве
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 201
зависимых переменных, то возникают билинейные уравнения
Хироты. Как мы уже упоминали в гл. 4, условия наличия много-
солитонных решений эквивалентны условиям, обеспечивающим
свойство Пенлеве.
Второе: заметим, что уравнения Лакса можно решить фор-
мально путем введения вспомогательной матрицы V, Q=VQoV~1,
где Qo является константой при всех временах. Матрица V удов-
летворяет уравнениям Vtk = Q(WV', являющимся последователь-
ностью вспомогательных уравнений, условия интегрируемости
которых во всех иерархиях связаны с siB, С). Любое из этих
уравнений может быть выбрано в качестве «задачи на собствен-
ные значения» введением глобальных ограничений на поведение
зависимых переменных Q как функций одной независимой пере-
менной. Например, можно потребовать, чтобы матричные эле-
менты Q, не равные константе, стремились к нулю при стрем-
лении выделенной независимой переменной к ±<х>. Поэтому все
остальные независимые переменные играют роли, подобные вре-
мени, и их можно трактовать в рамках формализма начальной
задачи. Например, в иерархии АК.НС t\ и является выделенной
переменной; в иерархии НУШП, к которой принадлежат нели-
нейное уравнение Шрёдингера с производной и массивная мо-
дель Тирринга, выделенной переменной является t2. С ограниче-
ниями на выделенную переменную связано определенное ана-
литическое поведение подходящим образом нормированной мат-
рицы V, рассматриваемой как функция ?, градуирующего пара-
метра в алгебраической структуре Каца — Муди. В частности,
может быть введено понятие изоспектральных потоков. Эта
идея совместно с обсуждением изоримановой поверхности и изо-
монодромных потоков изложена в разд. 5f.
Связь между этим вторым направлением и функциями Хи-
роты снова устанавливается в разд. 5е, когда, как и в гл. 4 для
уравнений КдФ, мы изучаем формальное асимптотическое пове-
дение матрицы V по ?. Оказывается, что асимптотические ряды,
которые вначале выражены в терминах элементов Q, могут быть
переписаны в терминах потенциалов и дают формальные соот-
ношения между V и {т, а, р} с помощью подходящим образом
определенных «вершинных» операторов.
В разд. 5g мы вводим преобразования Бэклунда. Наш под-
ход является очень общим. Мы просто задаем вопрос: какие
преобразования V сохраняют неизменной форму уравнения
Лакса Qt = [Qk\ Q]? Полученные калибровочные преобразо-
вания
' нов. == *» * стар.")
202 Глава 5
в которых основную роль играет R, индуцируют преобразование
Бэклунда для Q; действительно, соотношение между новой и
старой Q имеет очень простую форму. Она является алгебраи-
ческой:
Qhob. = RQctap.R •
Обсуждается несколько примеров и вводится два типа преоб-
разований Бэклунда. С первым читатель, возможно, знаком; это
тот тип, который добавляет солитоны. Подобно временным по-
токам, такие преобразования Бэклунда являются непрерывными
симметриями; а именно, новые солитоны могут быть построены
непрерывной деформацией старых. Второй тип, называемый пре-
образованием Бэклунда — Шлезингера, представляет собой неч-
то новое. Он сконструирован так, чтобы изменить монодромию
' фундаментальной матрицы решения в точке ? = оо, и при после-
довательном применении принимает вид разностного уравнения.
Это преобразование соответствует дискретной симметрии семей-
ства уравнений и добавляет новую целочисленную переменную
п к списку независимых переменных. Мы увидим, каким обра-
зом (как функции от п и ti) зависимые переменные иерархии
АКНС удовлетворяют дифференциально-разностному уравнению
цепочки Тоды.
Кроме того, преобразования Бэклунда, которые добавляют
солитоны, могут быть переписаны в терминах «вершинных»
операторов, действующих на т-функции {т, а, р}. Оказывается,
что вспомогательные t-функции р и а могут быть получены при-
менением преобразований Бэклунда — Шлезингера к основной
т-функции т. В действительности повторное применение преоб-
разования Бэклунда — Шлезингера дает последовательность
т-фуикций т(п, t\, t2, h, ...) для семейства цепочки Тоды; а
именно, тD5, U) является зависимостью от времени ^, для
т-функции цепочки Тоды (по соседствующим парам которой мо-
гут быть вычислены смещения) в 45-м узле цепочки.
В разд. 5h мы введем понятие градуировки. Основная идея
состоит в том, что существует несколько способов разложения
заданной алгебры G на две подалгебры К и N. Каждое из неза-
висимых разложений приводит к разным наборам потоков. Раз-
личные разложения можно найти при помощи процедуры, на-
званной градуировкой, при помощи которой всем базисным век-
торам ставятся в соответствие веса (согласованные со всеми
коммутационными соотношениями) и производится выбор гра-
дуирующего параметра. В случае slB, С) базисными векторами
являются Н, Е, F, определенные в E.40) и эквивалентные спи-
новым матрицам Паули, градуирующий параметр — это ?, об-
Связующие звенья между чудесами солитоиной математики 203
оо
щим элементом служит X = ? Х_ .?/, X =/iff + е Е + f ,F.
— со III it
Число независимых градуировок связано с числом независимых
автоморфизмов конечного порядка исходной алгебры. Для
siB, С), элементы которой мы разложили в элементы двух под-
алгебр К и N со степенями меньше нуля и больше или равной
нулю соответственно, существуют две градуировки. Первая, на-
зываемая однородной градуировкой, приводит к появлению по-
токов АКНС, вторая, называемая главной градуировкой, — к се-
мействам КдФ и мКдФ.
В разд. 5i мы вводим вторую гамильтонову структуру, возни-
кающую при изменении определения понятия внутреннего про-
изведения на алгебре. Оказывается, что такая структура более
удобна в разд. 5], в котором мы покажем способ представления
уравнений Лакса Qt = [Q<fe), Q] в виде редукции существенно
более простого потока в фазовом пространстве большей раз-
мерности. Редукция достигается использованием симметрии, ко-
торыми обладает система уравнений. Идея, лежащая в основе
этого, не нова. Давно известно, что если m-мерная гамильтоно-
ва система имеет п ^ т интегралов движения, находящихся в
инволюции (эквивалентных в силу теоремы Нётер п симметри-
ям), то размерность фазового пространства может быть снижена
от 2т до 2(/п — п). Если т — п, говорят, что система полностью
интегрируема. В разд. 4с я показал, каким образом двумерную
систему, описывающую движение прикрепленной к пружине мас-
сы на плоскости, можно свести к одномерной системе (описывае-
мой обыкновенным дифференциальным уравнением второго по-
рядка) с помощью закона сохранения момента количества дви-
жения, который соответствует вращательной симметрии, прису-
щей задаче. Для уравнений Кортевега — де Фриза и нелиней-
ного уравнения Шрёдингера некоторые из бесконечного числа
интегралов движения допускают простую физическую интерпре-
тацию, подобно закону сохранения массы, импульса, энергии,
числа частиц, плотности тока и т. д., но большинство такой ин-
терпретации не имеет. По этой причине они названы скрытыми.
Однако, как только мы идентифицируем алгебру Ли G, которой
принадлежат решения уравнений, их сущность становится из-
вестной. Если G — соответствующая группа Ли и К, N — под-
группы, соответствующие подалгебрам К, N, то верно следую-
щее. Большое симплектическое многообразие, на котором потоки
являются простыми (так же как для переменных действие—•
угол, половина переменных константы, другая половина меняет-
ся линейно со временем), — это T*G, кокасательное расслоение
G. Группой симметрии, с помощью которой мы редуцируем фа-
204 Глава 5
зовое пространство T*G, является К (абстрактный аналог клас-
сической теоремы редукции, доказанный Марсденом и Вейнстей-
ном [88]), за которым следует (тривиальная) редукция по N.
Редуцированным фазовым пространством является N*, и именно
на нем «живут» решения Q уравнений Лакса Qt = [Q(fe), Q].
Более того, процесс редукции в принципе дает нам способ
решить уравнения Лакса. Ключевой шаг состоит в том, что эле-
мент g из G разлагается в произведение k~ln, где левый и пра-
вый множители принадлежат К я N соответственно. Этот шаг
алгебраически эквивалентен задаче Римана — Гильберта. Это
разложение дает нам еще одну прекрасную возможность опре-
делить т-функцию. Она возникает как бесконечномерный опре-
делитель (мы напомним, что вначале она появилась в качестве
потенциала; см. разд. 4b, 5d). Все это делается в разд. 5j.
В конце этого раздела мы демонстрируем, каким образом фор-
мальное решение уравнений Лакса также приводит к алгоритму
преобразования решения одного типа в другое и, в частности,
как из вакуумного состояния строятся многосолитонные реше-
ния. Этот алгоритм оказывается полным аналогом схемы «оде-
вания», предложенной Захаровым и Шабатом. Одновременно
мы обсудим также отображение фазового пространства сов-
местным действием потоков и преобразований Бэклунда, являю-
щихся непрерывными симметриями семейства уравнений, а так-
же преобразований Бэклунда — Шлезингера, представляющих
дискретные симметрии. В случае главной градуировки, порож-
дающей семейства КдФ и мКдФ, при которой у солитонных
уравнений существует лишь одна т-функция, преобразований
Бэклунда — Шлезингера нет. В этом случае, как мы обсуждали
в разд. 4g, можно проследить соответствие между появлением
алгебры Каца — Муди в качестве фазового пространства, с од-
ной стороны, и в качестве алгебры симметрии — с другой. Для
однородной градуировки, в которой присутствуют дискретные
симметрии, полного соответствия достичь значительно труднее.
В разд. 5к мы присоединяем к потокам Qt = [Q(fe), Q], k ^ 0,
потоки, соответствующие отрицательным значениям времен tk,
k<0.
Наиболее знакомые примеры представлены уравнениями
sin-Гордон и массивной моделью Тирринга. Этот материал яв-
ляется новым.
Наконец, в разд. 51 мы обсудим изменения, необходимые,
когда в качестве фазового пространства выбирается расширение
алгебры петель. Дополнительными элементами являются произ-
водная и центр. На полезность включения внешних элементов
существует много указаний; например, при их использовании не-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 205
которые формулы становятся значительно осмысленнее. Имеется,
однако, существенное затруднение. В то время как сами уравне-
ния Лакса, видимо, по-прежнему имеют место, понятие ad-инва-
риантной функции, столь важное в разд. 5с, утеряно. В новой
алгебре такие функции могут даже не существовать. Во всяком
случае, мы не смогли выявить ни одной. Другое разочаровываю-
щее свойство существующей теории состоит в том, что она до сих
пор не дала возможности определить т-функцию с помощью ал-
гебры Ли. Мы не имеем даже никаких идей относительно про-
странства, в котором она существует. Она появилась вполне
естественным путем как потенциал и как определитель матрицы
коэффициентов бесконечного набора линейных уравнений; ее
также можно формально определить через вспомогательную
функцию V, с помощью которой решаются уравнения Лакса, и
через ее производную по J; (которая соответствует действию
производной в расширенной алгебре). Но это скорее вычисли-
тельные реалии, чем необходимые конструкции алгебры Ли, и
очевидна необходимость более глубокого понимания этого заме-
чательного объекта.
В качестве заключительного замечания этого обзора я вклю-
чил диаграмму, приведенную на рис. 7, в которой сделана по-
пытка дать наглядную картину взаимоотношений различных со-
литонных чудес.
5Ь. Подход Уолквиста —• Эстабрука '> [37], [77], [97].
(i) Введение. Целью этого раздела будет ответ на вопрос:
является ли данное уравнение интегрируемым, и если да, то ка-
ково естественное представление, в котором интегрируемость
почти очевидна? При ответе на этот вопрос принимаются во вни-
мание два ведущих принципа, приобретенные на основании деся-
тилетнего опыта. Первый состоит в том, что солитонные уравне-
ния возникают как условия интегрируемости линейных систем.
Второй заключается в том, что каждое солитонное уравнение при-
надлежит бесконечному семейству коммутирующих потоков. По-
этому сначала мы должны попытаться написать нелинейное урав-
нение как условие интегрируемости пары линейных систем Vx =
=PV, Vt=QV с помощью подходящего выбора Р и Q. Этот шаг
приведет к выражениям для зависимости Р и Q от зависимой пе-
ременной нелинейного уравнения и их производных, а также к
бесконечному набору коммутационных соотношений. Дальнейшие
ограничения на Р и Q возникают из требования коммутируе-
') Раздел 5Ь довольно длинен; при первом прочтении можно ознако-
миться с выводами и перейти к следующим разделам. Прочтите также ком-
ментарии в замечании на с. 309.
206
Глава 5
мости бесконечной последовательности возможных Q. Это второе
требование прямо приводит к выбору алгебры Каца — Муди в
качестве фазового пространства. В случае иерархии АКНС ока-
Нелинейное уравнение
в частных производных
Если нет
Тесты
(I) Ленлеве
(//) Уолквиста-Эстибрука
Не интегри-
руемо
Если да
Алгебраи-
ческая
структура
Связь с другими
решаемыми моде-
лями в физике
Уравнения
Макса
Редукция решений
уравнений Лакса
Схема „одевания"
Зазсарова-Шибата
Законы сохранения,
потоки, вариационные
гамилътоновы структу-
Потенциала,
г-функиии
Пенпевв
I
Введение собственных
функций V
Многосалитон-
нъге решения
Хироты
Асимптотические
разложения вершинных
операторов
Метод
обратной
задачи
Калибровка, преобразования
Бэклунда и Шлезингера
Рис. 7.
зывается, что матрицы коэффициентов являются элементами
si B, С) бесконечномерной алгебры петель, в которой каждый
базисный вектор может быть выписан как произведение одного
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 207
из базисных векторов
)' F = {i о)
о
из si B) и комплекснозначного параметра ?, возведенного в це-
лую степень. Полная алгебра Каца—-Муди si B) = si B)+
+ CZ -\- CD содержит центр и производную, роль которой бу-
дет обсуждаться в разд. 51.
Насколько нам известно, здесь впервые бесконечная алгебра,
построенная методом Уолквиста — Эстабрука, получила интер-
претацию в рамках подхода Каца — Муди.
(п) Нелинейное уравнение Шрёдингера. Рассмотрим первую
пару нетривиальных уравнений иерархии АКНС
qt = i/2(qxx-2q*r),
rt = -U2(rxx-2qr*). EЛ)
Попытаемся написать эти уравнения как условие интегрируе-
мости
Pt~Qx + [P,Q] = 0 E.2)
пары линейных уравнений
VX = PV, E.3)
Vt=QV. E.4)
Здесь под Р и Q мы понимаем матрицы произвольного порядка,
коэффициенты которых зависят от q, r и их производных. Мы
можем взять E.3), E.4) в нелинейном виде Vx = F(V), Vt =
= G(V), в этом случае коммутатор в E.2) был бы общей скоб-
кой Ли, но до сих пор во всех случаях более удобно было брать
линейное представление соответствующей алгебры.
Мы начнем с простейшего предположения, что Р зависит
только от q и г. Если это так, то она должна зависеть от этих
переменных линейным образом, как показывают следующие со-
ображения. Если P = P(q, г), из E.1) мы имеем Pt==
= (i/2)Pq(qxx — 2q2r)—(i/2)Pr(rxx — 2qr2), где индексы обозна-
чают частные производные. Для того чтобы скомпенсировать
эти слагаемые в E.2), матрица Q должна зависеть от qx, rx, q, r,
причем Qx = Qgqx + Qrrx + Qqxqxx + Qr/xX- Компенсация чле-
нов с qxx, гхх приводит к уравнениямQ4x — (i/2)Pq, Qrx= —
— (i/2)Pr, которые после интегрирования даютB— (i/2)Pqqx —
-(i/2)Prrx+Q(q, г). Тогда Qx = (i/2)Pqqxx-(i/2) Prrxx +
-\- (//2) Pqqqx — (г/2) Рт/\ плюс члены, которые могут быть
208 Глава 5
лишь линейными по qx, гх. Поскольку коммутатор содержит чле-
ны, самое большее пропорциональные qx, rx, мы должны иметь
равенство Pqq = Prr = 0, которое означает, что P(q, r) может
иметь вид —Ш + qE + rF + qrG. Однако, как может быть легко
проверено, G коммутирует со всеми другими элементами (так
как коэффициенты при q2rx, r2qx и rqx — qrx должны обратиться
в нуль) и поэтому принадлежит центру. По этой причине она не
дает никакого вклада в коммутатор уравнения E.2) и является
просто проявлением закона сохранения Pt = Qx (уравнение E.2)
без коммутатора), который в данном случае имеет вид (qr)tG=
= {i/2){rqx — rxq)xG. Так как эта информация уже содержится
в уравнениях, мы будем без потери общности просто опускать
этот элемент.
По этой причине принимаем
F, E.5)
и с учетом E.1) уравнение E.2) преобразуется в
Qx = [Q, Р] = т (Я** - Чг) Е - 4 (rxx - 2qr2) F. E.6)
Теперь решим уравнение E.6) относительно Q; сначала запишем
Q = \i/2)qxE— (i/2)rxF + Q(q, r). Затем, собирая полные произ-
водные по х из коммутатора, определим Q = qE\ -f- rF\ —
— (i/2)qrH0 — i#2, где Я0) Eh F\ заданы формулами
[E, F] = Ho, [H, E] = 2EU [H, F] = - 2FX E.7)
и —j#2 — это просто постоянная матрица — константа интегри-
рования. Поэтому выполняется равенство
Q = - Ш2 + qE, + rF{ + 4 qxE ~^rxF- ±qrH0, E.8)
обеспечивающее соотношение
[Q,P] = -iq*rE + iqr*F. E.9)
Приравнивая коэффициенты при q2r, qr2, q2, r2, qr, q, г, 1, мы
находим, что
<72г: [Н0,Е] = 2Е, E.10а)
qr2: [H0,F] = -2F, E.10b)
q1: [?,?,1 = 0, E.10c)
r2: [f,f,] = 0, E.10d)
Связующие звенья между чудесами солитоннои математики 209
qr:
Я-
г:
1:
A/2) [Но, Я] + [Е, F
\Т4 рЛ \U p Л
\l±2t ?*J \_Г1 у ^lJ»
[Я2, F] = [H,Fl],
[Но, Я] = 0.
'iJ ~ [Еи
F] = 0,
E.10е)
E.1 Of)
E.10g)
E.1 Oh)
Здесь необходимы некоторые замечания.
1. Набор коммутационных соотношений не замкнут. Их пе-
речень будет приведен в табл. 2.
2. Набор E.10) содержит замкнутую подалгебру si B) Яо,
Е, F (см. E.7) и E.10а, Ь)).
3. Поясним, в каком смысле солитонные уравнения содержат
взаимную компенсацию нелинейности (представленную здесь
слагаемыми q2r, qr2) и дисперсии (qxx, rxx). Уравнения E.10а,Ь)
возникли как следствие взаимной компенсации [—(i/2)qrHo,
qE + rF] и —iq2rE + iqr2F. Однако последний член возникает
непосредственно из нелинейности в уравнении, в то время как
предыдущий является результатом интегрирования произведения
интегралов линейных членов qxxE и rxxF с qE -f- rF. Если бы не-
линейными членами были q3r2 и q2rz, никакой баланс не был бы
возможен и единственно возможной парой Р, Q была бы три-
виальная пара Р ~ qrG, Q ~ (rqx — rxq) G, выражающая су-
ществование (единственного) закона сохранения. В этом заклю-
чается одно из реальных преимуществ метода Уолквиста —
Эстабрука. Несолитонные уравнения быстро демонстрируют свои
несообразности!
4. Согласно тождеству Якоби, из E.10е) следует
[Я, Я0] = 0 E.101)
[E,F{\ = [EUF], E.10J)
и мы определяем
[?,/?,] = #,. E.10k)
5. Последние три уравнения E.10f,g,h) определяют Я2, про-
извольную константу интегрирования; они не дают никакой ин-
формации о том, что мы должны рассматривать в качестве ба-
зисных элементов Я, Е, F, с помощью которых порождаются все
остальные элементы. Например, [Нх, Е] = 2?\ и, как мы увидим
при составлении таблицы для E.10), [Я, Е\] = 2Е2 и так далее.
Однако #2 можно использовать для искусственного замыкания
коммутационных соотношений. Положив #2 = ?Я, где ? — про-
извольная константа, удовлетворим соотношению E.10h). Тогда
[Н2, Е){=1[Н, Е] = 2Еи и E.10f), E.10g) дают [Я, ?,] = 2Е
и [Я, Fi] = —2^! соответственно. Мы получаем табл. 1.
210
Глава 5
Таблица 1
Яо
Е
F
Я
я,
Ei
Я»
О
Е
IE
О
F
—2F
Яо
О
И
О
я,
О
2F,
О
2f,
0
О
Ег
2?,
О
-Hi
2Е?,
22?,
О
^.
-2F,
я,
О
2t/*"i
2t/*"i
о
Эта алгебра допускает хорошо известное представление
/О 14
0 0
( '
Искусственное замыкание является средством, с помощью
которого Уолквист и Эстабрук в контексте уравнения Корте-
вега—де Фриза пришли к выражению для Р и Q, и именно в
этом направлении действовали последующие авторы [97]. Те-
перь мы вновь займемся исследованием таблицы, не делая ника-
ких предположений о замыкании. В табл. 2 числа в правых уг-
лах клеток означают: 1 — по определению; 2 — непосредствен-
ный вывод из E.10); 3 — следствие E.10) и тождеств Якоби.
В качестве упражнения по применению, тождества Якоби я
предлагаю читателю завершить заполнение таблицы. Заметим,
что если элементы
[Н,Н1] = 2Х„ /=1,2 E.12)
равны нулю, то элементы Нр, Eq, Fr подчиняются соотношениям
>
[Нр, Eq\ = 2Ep+q, [Hp, Fr] = - 2Нр+г, [Ея, Fr] = Hq+n
[Нр, Н„] = [Ер, Eq\ = [Fq, Fr] = 0
(в табл. 2 индекс 1 мы связываем с Н). Алгебра, определенная
соотношениями E.13), является тем, что мы называем si B), а
именно каждый член может быть представлен как произведение
элементов Нр = ?PH, Eq = ?"?, Fr = t,rF, где Я, Ё, F~— ба-
Связующие звенья между чудесами солитоннои математики 211
Таблица 2
Но
Е
F
Я
я,
Ег
Ft
Я2
Ег
F2
Нг
Но
Е
2
2Е
F
2
-2F
1
Но
Я
2
0
1
-2?i
1
2Ft
я,
3
0
3
-2?,
3
2F,
3
2Xt
?,
3
2?,
2
0
2
-Я,
1
2Е2
3
2?2
+ №1
1
F,
3
-2F,
1
Я,
2
0
1
-2F2
3
-2F2
- [FX,]
3
я2
+Xl
я2
3
0
-2?2
-2 [ЕХ,]
2F,
+ 2 [F2X,]
2Х2
?2
3
2?;
3
0
3
-Я»
-2Xi
1
2?,
3
2?з
+ [BiX,]
3
-2F2
1
Я2
0
I
-2F3
3
-2F3
- IFtXt]
Яг
3
-4X,
2
-2Ег
2
2F,
2
0
зис si B). Однако непосредственно из нелинейного уравнения
Шрёдингера само по себе не следует, что Х,= 0, / = 1, 2, ... .
Ясно, что такой выбор совместим с E.13), однако не является
обязательным. Причина того, что Х,= 0, / = 1, 2, ..., связана
со вторым определяющим принципом, а именно требованием,
чтобы уравнение E.1) принадлежало бесконечному набору ком-
мутирующих потоков. Однако, прежде чем наложить это усло-
вие, мы будем исследовать алгебру, генерируемую n-м уравне-
нием иерархии АКНС.
(ш) п-я пара уравнений иерархии АКНС. Можно записать
п-ю пару уравнений иерархии АКНС в виде
4tn = Кх — 2anq,
rtn = спх — 2апг,
E.14)
212 Глава 5
где ап, Ьп и сп определены итеративным образом из
-г 2ibs+i = bsx — 2asq, E.15а)
2ics+l = csx + 2asr, E.15b)
asx = rbs — qcs, s = 0, 1, ..., n— 1, E.15c)
0,) = — /, &0 = c0 = 0. E.15d)
Константа интегрирования для as выбрана нулем. Мы предпо-
ложим и затем проверим, что
1. qbs, rcs, qcs, qas, ras и as функционально независимы;
rbs = qcs + asx.
2. qbs и rcs не являются полными производными по х, исклю-
чая s = 2; в этом случае
Мы хотим выбрать Р, Q("> так, чтобы E.14) являлось условием
интегрируемости
P] = Ptn E.16)
пары уравнений
VX = PV, Vtn = QWV. E.17)
Опять же можно обосновать выбор
P= — iH + qE + rF, E.18)
откуда E.16) представимо в виде
Qin)+[Q(n), P]={bnx-2anq)E + {cnx + 2anr)F. E.19)
Непосредственно проверяется, что мы можем записать
Q<«) = - апН0 + ЬпЕ + rnF + QC-», E.20)
где
r"[(n1) ] r)FI. E.21)
Для того чтобы из E.20) получить E.21), мы должны опреде-
лить
[E,F] = H0, [H,E\ = 2E{, [H,F] = -2F1; E.22)
заметим, что [ЬпЕ -\- cnF, qE -f- rF] = —anxHo, и используем
E.15а,b) с s = n—1. Кроме того, функциональная независи-
мость anq, anr налагает условие
[Яо, Е] = 2?, [Но, F] = - 2F. E.23)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 213
Далее, уравнение E.21) представляет собой попросту уравнение
E.20) в других обозначениях, поэтому можно повторить процесс
и получить
Q(n)=? Q* + Qf2), E.24)
где
Qs = - asHn_s + bsEn_s + csFn_s E.25)
и
Q<f> + [QB), P] = ф2х - 2a2q) En-2 + (c2x + 2a2r) Fn-2 E.26)
со следующими наложенными соотношениями. По определению
[Я, En_s] = 2En_s+u [Я, Fn_s] = -2Fn_s+u [E, Fn_s] = Я„_2,
E.27)
в то время как коэффициенты при an-sq, an-sr, an-s, qbn-s, rcn-s
дают для s = n, ..., 3
[Я„_8, ?] = 2?n_s, [Я„_5, F] = -2Fn_s,
[Я, Я„_5] = [?, En_s] = [F, Fn_s] = 0. (Ь-га}
Из этого факта, что rbn-s — qcn-s = un-sx, мы находим
[?„-„ Л = 1^, ^«-.1 = Я„_,. E.29)
Используя тождества Якоби, определяем, что при всех р -\- q ^
s^rt — 3
[Яр,??] = 2?р+?> [Яр> F,] - -2Fp+?, [?p, F,] = Яр+9; E.30а)
все остальные скобки этого порядка — нули. Причина, по кото-
рой мы не можем продолжить таблицу, состоит в том, что при
s = 2 мы сталкиваемся с аномальным поведением, описанным
в предположении 2. Решая E.26), находим
Q<2> = 62?„_2 + c2Fn_2 - а2Нп_2 + -^ [Е, Еп_2] -
- -г- IF, Fn_2] + &,?„_, + с^„_, - /Я„, E.30Ь)
где на новые элементы наложены следующие ограничения:
q3: [E,[E,En-2]] = 0, E.31а)
г3: [F, [F,Fn_2]] = 0, E.31b)
qh: [Hn_2, E] = 2Еп_2 - A/2) [F, [Е, Еп_2\], E.31с)
qr2: [Я„_2, F] = -2Fn_2 + A/2) [?, [F, Fn_2]], E.31d)
?2: [?, ?„_,] + A/4) [Я, [Е, Еп_2}] = 0, E.31е)
214 Глава 5
г2: [F, /=•„_,] - A/4) [Я, [F, Fn_2]] = О, E.3Н)
дг: - A/2) [Я, Я„_2] + [Е, /?„_,] - [?„_„ F] = О, E.31g)
q: [Йп,Е] = [Я, ?„_,], E.3lh)
г: [Я„, Л = [Я, FB_,], E.31i)
1: [Я„,Я] = 0. E.31 j)
Заметим, что если п = 2, Еп-2 = Е0 = Е, /v_2 = -Fo = F и E.31)
сводится к E.10). Так же как в случае п = 2, тождество Якоби
приводит к тому, что [Я, Я„_2] = 0 и [Е, Fn-i] = [Er, Fs] =
= [Еп-и Hn-i], r-\-s = n—1. Точно так же, как при п = 2, мы
можем бесконечно расширять эту алгебру, определяя новые эле-
менты согласно правилу
[H,E,] = 2E,+U [H,F,] = -2Fr+1, [E,Fr] = Hr+u r>n-\.
Полученная алгебра бесконечномерна и содержит в себе si B),
но по-прежнему оставляет неопределенными элементы
[Я, Н,\, }>п-\, [Е,Еп_2], [F,Fn_2]. E.32)
(iv) Наложение условия коммутативности. Мы видели, как
любая пара уравнений иерархии АКНС, взятая изолированно,
порождает, после бесконечного расширения, бесконечную алгеб-
ру, содержащую si B) в качестве совместного решения, но
оставляющую неопределенными коммутаторы E.32). Легко за-
метить, что это вырождение устраняется требованием взаимной
коммутируемости потоков. Если мы потребуем, чтобы q, r яв-
лялись решениями первых двух пар уравнений в иерархии
АКНС, то дополнительно к E.16) при п = 2, 3 мы должны по-
лучить
QfJ Q?> + [Q<2)> QC)] = о. E.33)
Эти условия означают, что элементы Нр, Eq, Fr удовлетворяют
таблице коммутаторов, общей для п = 2, 3; а именно, мы нахо-
дим, что [Е, E\] = [F, Fi] = 0 (условие, необходимое при п = 2,
но не для п== 3) и [Я, Hi] = 0 (наложенное при п = 3, но не
для п = 2). Поэтому таблицей п =2, 3 является si B), за исклю-
чением того, что [Я, Hj] при / ^ 2 неопределен. Далее, требуя,
чтобы коммутировали п = 2, 3, 4, находим, что [Е, Е2], [F, F2],
неопределенные таблицей п = 4, сейчас, так же как [Я, Я2],
должны быть равны нулю. В общем случае условие коммутируе-
мости потоков имеет вид
ОЦ-О^+Ю", <Л = 0. E.34)
Связующие звенья между чудесами солнтоннои математики 215
Продолжая процесс, на n-м шаге мы находим, что включение
п-то уравнения иерархии АКНС в семейство коммутирующих
потоков обращает в нуль коммутатор [Я, Я„_2], оставшийся не-
определенным таблицей, общей для г = 2, ..., п—1. Комму-
таторы [Е, Еп^2], [F, Fn-2], также оставшиеся неопределенными
при г = п, сейчас равны нулю в силу того, что они нулевые для
расширенных таблиц с г = 2, ..., п—\. Сейчас ясно, что в пре-
деле n-voo элементы Я, Яр, Eq, Fr удовлетворяют соотношениям
[Нр, Eq] = 2Ep+q> [Нр, Fr] = —2Fp+r,
[Eq, Fr]=Hq+r, [Hp, Hq] = [Ep, Eq] = [Fp, /g = 0. ^ &>
Коммутаторы элемента Я являются теми же, что и для Яь
(v) Выводы. Мы увидели, как два ведущих принципа (т. е.
что солитонные уравнения представляют условия интегрируе-
мости системы линейных уравнений и что каждое из них при-
надлежит бесконечному семейству коммутирующих потоков)
приводят нас к заключению, что естественным фазовым про-
странством, в котором «живут» уравнения, является алгебра
Каца — Муди. Действительно, E.34) представляет собой есте-
ственную конструкцию для выражения уравнений. В следую-
щем разделе мы увидим, каким образом эти уравнения могут
быть представлены в лаксовой форме
Q] E.36)
посредством анализа эволюции Q = lim ?~'QG) (где ? — градуи-
рующий параметр).
На данном этапе также должно стать ясно, что можно осла-
бить требование линейности вспомогательных уравнений Vt.=
=Q(/)F. Линейность является просто следствием того факта,
что мы всегда можем найти линейное представление алгебры
si B). В данном случае оно имеет вид
1 0\ /0 1\ /0 0\
о -i> Е< = По о> ^Ъ о) E-37)
Мы могли бы использовать иное представление, например
t,p(y2(d/dy), y{d/dy), d/dy), и найти вместо линейных систем
B X 2) Vtj = QU)V последовательность уравнений Риккати для
Y = fi/O2, где V = (';).
В заключение отметим, что, хотя целью этого раздела явля-
лось понимание структуры бесконечно расширенных алгебр, по-
рождаемых иерархией АКНС, на практике более удобно скон-
струировать искусственное замыкание. Однако следует созна-
216 Глава 5
вать, что, сделав это, необходимо проводить различие между
элементами ?@ _°) и @ _°) в том смысле, что мы рассматри-
ваем их как линейно независимые. Только в том случае, когда
фазовое пространство рассматривается как бесконечная вере-
ница таких элементов (формальный степенной ряд Q =
~т (hrH + erE + frF)), коммутатор [Qw, Q] E.36) имеет
естественную интерпретацию как гамильтоново векторное поле.
Упражнение 5Ь
Испытаем метод на уравнении
qt I"™q чх~f~яххх — *
Положим Р = qX\ + Х2 (покажите, что если Р = P(q), то Pqq =
= 0) и решим E.2) относительно Q,
Q = — qxxX\ + qx \%ъ %2\ —гтг
(Подсказка: сначала решите для Q = —qxxX\-\- R(q, qx) и про-
должите R = qx[Xi, X2]-i-S(q) и т. д.) Из E.2) мы находим,
приравнивая члены при одинаковых степенях q, что Хз = 0, если
р ф 0, 1 или 2. В этом случае Х\ и Х2 пропорциональны, и запись
уравнения как условия разрешимости E.3), E.4) просто отра-
жает тот факт, что оно имеет очевидный закон сохранения.
С другой стороны, если р=\, 2, то возникает нетривиальная
алгебра. В том случае, когда р = 2, мы можем решить коммута-
ционные соотношения, выбирая
X = —Щ3Н, X1 = E — F, #2 =
Каковы возможные решения при р= 1?
5с. Уравнения Лакса, связанные с slB, С). Материал этого
раздела воспроизводит текст статьи II в нашей серии статей,
посвященных алгебрам Каца — Муди и солитонным уравне-
ниям. В предыдущих разделах мы видели, каким образом есте-
ственное фазовое пространство системы АКНС связано с беско-
нечномерной алгеброй Ли G = sTB, С) формальных рядов
м
Х=^ X_jtj, M произвольно, но ограничено, E.38)
— оо
где каждый элемент Хч принадлежит siB, С).
Связующие звенья между чудесами солнтояной математики 217
Алгеброй Ли является векторное пространство, снабженное
коммутатором; в нашем случае им является
[X,Y]=Z ? [X-i> Y-kR'- E.39)
Для вычислений полезно представлять каждый Х-,- выражен-
ным в виде (комплексной) линейной комбинации /г_/Я + e-jE +
+ f-jF базисных элементов Н, Е, F, имеющих матричное пред-
ставление
0 1\ /0 0\
о> F={i о) <5-40)
где [Я, Е] = 2Е, [Н, F] = —2F, [E, F] = H и все остальные
коммутаторы равны нулю. На G мы определим невырожденную
симметричную билинейную форму (форму Киллинга или внут-
реннее произведение)
(X, Y)=Tr(XYH= Z ТгХ.уГ.ь E.41)
/feo
и при помощи этой операции G можно отождествить с ее дуаль-
ной алгеброй G*.
В формуле E.41) lr(X4Y-k) можно взять в виде следа про-
изведения матричных представлений Х-/ и У_&. (По-другому
его можно определить как след матриц, представляющих при-
соединенные действия этих двух величин. Эти два определения
приводят к результатам, которые пропорциональны, но не рав-
ны.) Необходимо также проверить формулу «объема паралле-
лепипеда» <Х, "[У, Z)} = <Y, [Z, X]} = (Z, [X, У]>.
Мы можем определить градиент комплекснозначной функции
f(X), определенной на G* = G, следующим образом. Пусть
8X^TXG является элементом касательного к G пространства
в точке X. Тогда производная по направлению
функции / в точке X в направлении дХ является линейным
функционалом на 8Х, который может быть записан в виде
(Vf(X), ЬХ). E.42)
S7f(X) мы назовем градиентом f(X) в X. В качестве примера
покажите, что Ve/==jP-/, Vf/ =?-/, V/г; =A/2)#_/, где F-S =
FliE EV Н НУ
i
Введем понятие ad-инвариантной функции f{X), обладающей
свойством
М(Х),Х]=--0 E.43)
218 Глава 5
для всех X^G. Это уравение выражает следующую идею. Если
g является элементом группы Ли, связанной с G, то присоеди-
ненное действие g на X, gXg~l, которое осуществляет отобра-
жение в новый элемент G, оставляет неизменным значение /.
Функция с таким свойством называется ad-инвариантной. Это
свойство может быть выражено в виде следующего условия:
для всех KeG
O = ~
С использованием формулы объема параллелепипеда она озна-
чает, что < [V/, X], Y) = 0, и невырожденность внутреннего про-
изведения приводит к E.43). Далее, рассмотрим
. E-44)
прямой суммой которых является G. Множество N*, дуальное
к N относительно внутреннего произведения E.41) (минималь-
ный набор всех элементов, внутреннее произведение которых с
любым членом из N равно нулю), также является ортогональ-
ным дополнением К1 к К (набор всех элементов, внутреннее
произведение которых с любым элементом из К равно нулю):
Оно будет нашим фазовым пространством, элемент которого я
буду записывать в виде
Q = ? (firHr + erEr + frFr), E.45)
о
где Hr = tr'H, Ег = 1~<Е nFr = l~'F.
Далее, на /С1, рассматриваемом как дуальное к N, сущест-
вуют естественные скобки Пуассона. Для двух функций f(Q),
g(Q) на Кх они определяются формулой
if. g) (Q) = - <I%Vf, %Vg], Q), E.46)
где nN — проекция Vf{Q) на N. Читателю следует проверить, что
справедливы два свойства: антикоммутативность, т. е. {f, g} =
= —{§> f}> и тождество Якоби, {{f, g), h} + {{h, f}, g} +
+ {{g, h}, f}=0. Кроме того, каждой функции f{Q), Q^K1
соответствует гамильтоново векторное поле
Q]. E.47)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 219
Это означает, что производная любой функции g(Q) для Q в
направлении Xf задается выражением {f,g}(Q).
Поэтому для каждой функции f(Q) существует поток или
векторное поле. Еще одной компонентой, которая необходима
для того, чтобы сделать систему полностью интегрируемой, яв-
ляется набор функций {f/}, приводящих к коммутируемым век-
торным полям: {fj, fk} = 0. Поэтому каждая функция из набора
{//} сохраняется вдоль векторного поля, связанного с любой из
них.
Кандидатами в этот класс являются функции, которые ad-ин-
вариантны. Теорема Адлера — Константа — Симеса гласит, что
если f(X) и g(X) ad-инвариантные функции, то
@ {/,?}= 0 на J^;
(ii) векторные поля Xf, xg коммутируют.
Иерархия АКНС возникает с помощью этой теории из про-
стейших ad-инвариантных функций
- Ф* (Q) = yEfeQ, Q), / = 0, ..., со, E.48)
где Sk является сдвигом
т. е. умножением на ?*. Чтобы увидеть это, заметим, что для
X<=G
V<$k(X) = -SkX; E.49)
при этом ясно, что
[УФ,(Х), Х} = 0. E.50)
Далее, заметим, что для Q е Кх
k (Q), Q] = якХ [якуФ6 (Q), Q]; E.51)
из E.50)
Так как [пкуФ, Q]^KX, то
Qtk = - [пыУФь (Q), Q] = [Q(fe), Q], E.52)
где
(?*) = nNSkQ = tk (Qo + ... + -|f-), E.53a)
причем
rF. E.53b)
220 Глава 5
Это в точности потоки C.49) в иерархии АКНС. Свойство
ad-инвариантности fk было важным при устранении оператора
проектирования (якЛ из коммутатора.
Подчеркнем следующие моменты:
(i) Заранее не существует выделенного tk, которое необхо-
димо было бы назвать х. В предыдущем анализе t\ играла осо-
бую роль; она является независимой переменной в задаче на
собственные значения. Когда этот выбор сделан, возникает
иерархия АКНС. Но если в качестве спектральной переменной
х выбрана ?2> в результате получается другая иерархия.
Частным случаем этой «новой» иерархии, связанной с ^
является то, что иногда называют иерархией НУШП; она вклю-
чает нелинейное уравнение Шрёдингера с производной. С другой
стороны, которую я буду обсуждать в разд. 5к, она содержит
массивную модель Тирринга точно так же, как иерархия АКНС
содержит уравнение sin-Гордон. Но на самом деле она вовсе не
является действительно новой иерархией; уравнение E.52), за-
писанное в покомпонентной форме E.55), не изменяется. Обе
эти иерархии являются частью большой иерархии, связанной с
siB, С): перефразируя Редьярда Киплинга,
Система АКНС
И вся иерархия НУШП
Как сестры родные близки
(И). Несмотря на то что выбор si B, С) был обусловлен
записью интересующего нас уравнения в виде условия интегри-
руемости, после того как задана G и ее разложение на две под-
алгебры К и N, потоки возникают естественным образом без
ссылок на какую-либо концепцию вроде изоспектральной де-
формации. Все те или иные «изо» вытекают как естественные
следствия наложения дополнительной структуры аналитического
характера. До сих пор все осуществлялось чисто алгебраиче-
ским путем.
(ш). При построении иерархии АКНС различные Qk были
выражены в терминах q, г (здесь е\, f\) и их производных по х.
Формула E.52) представляет собой просто систему уравнений
для бесконечного набора переменных {hr, еГ, />} как функций
бесконечного числа времен {t\, tz, ...}.
(iv). To, что все потоки иерархии АКНС коммутируют, три-
виальным образом следует из общей теории.
Читателю следует самому проверить следующие факты:
(a) <Dft(Q) являются коэффициентами при ?~fe в рядах
оо
2 = (h2 + ef), где h, е, /=?(*„ е„ /Г)ГГ-
Связующие звенья между чудесами солитоянои математики 221
(b) Скобками Пуассона для hr, er, fq являются
{К, еЛ = er+s, {hr, fs} = — fr+s, {er, fs} = 2hr+s; E.54)
остальные скобки равны нулю.
(c) Уравнения для hr, ep, fq могут быть получены либо из
E.54), либо из E.52) и имеют вид
min(/-l, ft)
ец =2 Yi (Ке-+к-.г — еЛ+к-г),
k о
min(/-l, ft)
//.«* =-2 I (hrfl+k_r-frhf+k_r), E.55)
mln(/-l, ft)
Отсюда немедленно следует, что ho, e0, fo, hi не зависят от
всех tk- Выберем ho = —i, e0 = fo = hi = 0 в качестве опреде-
ления канонических уравнений. Заметим также, что h2 + ef не
зависит от tk и в соответствии с нашим выбором h0, во, /о можно
выбрать эту константу равной —1. Отсюда hk определяются
как линейные комбинации произведений ей/. Читателю также
следует показать, что все Qk = hkH + вкЕ + fkF могут быть за-
писаны как функции от e\{q) и fi(r) и их производных по х. На-
пример, el, tl= —2ie2, e2,tl = —2ie3 — 2h2ei, h2 = — {i/2)eifi, отку-
да e2 = (i/2)eliti, e3 = — (lf4)(ei,tlh — 2e2fl). Заметим также,
что уравнения C.42а) (обобщающие НУШ) представляют собой
просто е\, <3= —2ie3 и ft, <2 — —2/^ Более того, мы можем также
записать все Qk, к~^Ъ, как функции от е\, \\, е2, f2 и их произ-
водных по t2. В качестве следующего упражнения читателю
следует записать уравнения для е\, \\, е%, f2 в виде уравнений
в частных производных по t2 и ?4. Можете ли вы найти согласо-
ванную редукцию (е2 = /2 = 0, fl = ±e\), которая дает НУШ с
производной
ии — iutjtt ± («2«*)<2?
(Подсказка: вам необходимо совершить преобразование вида
ех ~ « ехр Гш \ ии' (ИЛ. \
(d) Связь между подходом алгебр Ли и вариационной га-
мильтоновой структурой.
После того как выбрана х, скажем U, можно рассмотреть
фазовое пространство, являющееся дифференциальной алгеб-
рой, состоящей из многочленов от в\ = д, fi = г и их производ-
222 Глава 5
ных по х произвольного порядка совместно с символом д/дх,
который трансформирует q в qx, qx в qxx и т. д. Оно является
фазовым пространством, которое наиболее часто изучалось
([40], [106]) и допускает следующий гамильтонов подход. Рас-
смотрим
Hblq, Л = и , 1 \ hk,2(q, г, qx, г,, ...)dx E.56а)
и вариационный градиент Фреше
где
и ЬНк/Ьг определяется аналогично. Символом g(s) обозначается
dsq/dxs. В §Hk/bq читатель узнает частную вариационную про-
изводную, т. е.
k[q q]
е->0 8
Потоки E.52) могут быть записаны в виде
И =
JVHk, E.56c)
где / = (_i J). Для доказательства этого см. [75]. Скобки
Пуассона двух функций F[q, r], G[q, r] имеют вид
{F, G}=\jVF-VGdx, E.56d)
где V — вариационный градиент. Доказательство того, что Hk,
определенные формулой E.56а), находятся в инволюции под
действием этих скобок, также приведено в [70], [75]. В разд. 5d
я расскажу о том, что является гамильтонианом и сопряженны-
ми переменными, если в качестве особой переменной х выбрана
th />1.
Сейчас я хочу подчеркнуть два момента. Первый состоит в
том, что солитонные потоки, порождаемые в подходе посред-
ством алгебр Ли с помощью ad-инвариантных функций Фк, яв-
ляются особенными, если также потребовать, чтобы имела
смысл интерпретация с точки зрения дифференциальной алгеб-
ры. Основанием этому является то, что если х должна быть
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 223
особой в том смысле, что все величины, подобные еь f{ и т. д.,
мы можем понимать как функции независимой переменной х,
то на Кх допустимы только такие векторные поля (соответ-
ствующие выбору других независимых переменных tk, tk?=x),
которые коммутируют с x = t\. Поэтому если мы хотим сво-
боды в выборе любого tj в качестве выделенной х, то в К1 мы
должны выбрать только те векторные поля, которые коммути-
руют с векторным полем хфг генерируемым гамильтонианом
Ф/. В [39] нами доказана теорема, гласящая, что единственными
векторными полями, удовлетворяющими этому условию, явля-
ются векторные поля, порождаемые при помощи выбора в ка-
честве гамильтониана линейной комбинации Фк.
Второй момент состоит в том, что в рамках подхода алгебр
Ли величины гамильтонианов Фк (которые для набора канони-
ческих уравнений мы выбрали равными Фо= 1, Ф* = 0, k 5= 1)
не имеют значения. С другой стороны, в подходе дифференци-
альной алгебры значения гамильтонианов Hk важны. Они яв-
ляются интегралами сохраняющихся плотностей, интегралы дви-
жения которых могут быть непосредственно сопоставлены дан-
ным рассеяния (параметры для непрерывного спектра и солито-
нов) при помощи формулы следа (см. C.70), C.71), C.72)
и [75]).
Упражнения и примеры. Сейчас мы обсудим три примера,
используя алгебраический подход. Первым является гармони-
ческий осциллятор, вторым — конечная цепочка Тоды и
третьим — новый способ разложения siB, С), при котором се-
мейства КдФ и мКдФ возникают естественным образом без
привлечения требования f\=—1 или fi=±ei. В разд. 5h я по-
кажу, как при рассмотрении альтернативных градуировок
si B, С) это новое разложение появляется естественным образом.
Упражнения 5с
1. Возьмите G = slB, С), X = hH + eE + fF, {X, Y}=TrXY.
Найдите такое разложение G = К-\- N, что Q, произвольный эле-
мент пространства /С1, имеет вид hH -}- еЕ. Единственная (с точ-
ностью до умножения на число) ad-инвариантная функция Ф —
это — {h? + ef); при этом — УФ\Х) = hH-f еЕ -\- fF. Покажите,
что гамильтоново векторное поле на /С1 запишется так:
Q = _ пк1 [nNWO, Q] = - [nNVO, Q],
откуда следует
h = 0, ё — 2he.
224
Глава 5
Для мнимых h и комплексных е это есть уравнение гармониче-
ского осциллятора.
2. Рассмотрите алгебру Ли бесшпуровых п X я-матриц
bx ax dx 1
С] Ъ2 сц '
1 с2 . . '
с обычным матричным коммутатором;
мите разложение
О Й1 dx
— ах 0 а2 d2
— dx — a2
К
— а„_, О
, У> —Tr(XY). Возь-
1
'¦п-х К
где К — кососимметричная, а Л^ нижнетреугольная матрица.
X также может быть разложено в /С1 + ^V1, где К1 — множе-
ство симметричных матриц
Q =
a,
Ь2
a NL состоит из строго нижнетреугольных матриц
О
i — rf, c2 — a2
Сп_х _ ап_х о
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
225
К и N (в отличие от /Сх) суть подалгебры.
Ф(а, Ь, с, d, e, ...) = y
— ad-инвариантная функция с градиентом ЧФ(Х) = Х. Гамиль-
тоново векторное поле на /С1 задается так:
(Q), Q] = [я^УФ (Q),
Поэтому уравнение движения есть Q = [В, Q], где
О a, dj
— а.\ 0 аз
¦ 0»-l
— а„_, О
Отметим, что если мы ограничимся трехдиагональными матри-
цами X (т. е. если d — e= ... =0), то матрица Q симметрична
и трехдиагональна. Далее, B = aKVO(Q) и коммутатор [В, Q]
также трехдиагональны. Следовательно, гамильтонов поток, по-
рожденный Ф, сохраняет трехдиагональную структуру Q. Сле-
довательно, мы можем сделать согласованную редукцию к трех-
диагональной форме и получить более простой набор уравнений.
В компонентах они записываются так:
Ьг = Ъаг — 2ат-\, г=\,...,п, ао = ап = О,
аг = аг(йг+1 — br), г=1, ..., п—1.
Положим
br = —
ти,.
Тогда уравнения превратятся в
йг = еи<-*~и' — еи'~и'+1, г=\, ...,«, «о = — оо, ыя+, = оо.
Эти уравнения описывают конечную цепочку Тоды (см. упраж-
нение 2b(iv) в гл. 2), у которой нулевая и (л+1)-я частицы
удалены на разные бесконечности. Решение этой системы дано
Мозером в [98], а Констант [99] описал весьма подробно ее
алгебраическую структуру.
8 А. Ньюэл
226 Глава 5
3. Рассмотрите другое разложение алгебры siB, С), G
, где
м
4
К = I [h,H + е,Е + f,F) ¦ ЯГ' + foF
с внутренним произведением1), определенным с помощью
E.41). Тогда произвольный элемент Q в пространстве К1 имеет
вид
оо
Q = hH + fQF + Z (h,H + e ;
Для набора ad-инвариантных функций
где h, e, f — ряды (векторы с бесконечным числом компонент),
а индекс относится к члену при %rk, мы положим величины
ф[ = 1, фк = о, k ф 1. Это означает, что мы взяли Ло = О, /0 = 1,
е\ = 1. Выбор этот аналогичен сделанному ранее в этом разделе
выбору h0 = —i, во = /о = 0. Величины
имеют вид
k=l, —KF + hiH + E,
K {hxH + E + hF) + h2H + e2E, E.57)
+ А*-' (АГЯ + erE + f,F)+... + hkH
Покажите, что уравнения
Qtk = [Q{k), Q] E.58a)
') Мы увидим в разд. 5h, что это разложение совершенно естественно
и соответствует главной градуировке si B, С).
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 227
имеют вид
(/-1.6)
лм*==е/+*+ Z (erff+k-r — fret+k-r)-\-ejfk, E.58b)
(/-l.ft)
el,tk = 2 Z {hrei+k-r — erhl+k-T), E.58c)
/Mfe = -2A/+fe-2 ? (hrft+k.r-frhJ+k_r)-2hlfk, E.58d)
где обозначение (/—1, &) означает, что суммировать можно
либо до /— 1, либо до к.
Я прошу вас убедиться (а в некоторых случаях доказать) в
следующем.
(i) Последовательность е,- порождается потенциалом, по-
скольку
де/+1 __ dek+l
dtk ~ dt, ¦
Предвидя то, что получится, я запишу
dt/_l
(ii) e2 = ±hiti+jhl /1 = 1а1>л_1а2.
Перед доказательством взгляните на первое соотношение. Оно
вам знакомо?
Доказательство. Из E.58b, d)
К tk = ek+i + eJk, /i, tk = -2Afe+1 - 2hJk,
что дает нам
2Mi, tk + «if i, <ft = 2A!efe+1 - 2e!Aft+1.
Небольшое вычисление показывает, что
К tkh = 2Л1е*+1 — 2eiA*+i + е\! 1, <fe»
и, если это вычесть из предыдущего равенства, получится
2hlhhtk — hutktl = --2elfutk = —2fhik, так как е, = 1.
Следовательно, /, = ^ A, <fc —yAf, и из еь+1 = Л, ^ — /ft полу-
чим е2= 2-Л1;/1+уА».
8*
228 Глава 5
(iii) hi как функция U, t2 удовлетворяет модифицированному
уравнению Кортевега — де Фриза
так как
К и = ез + h = К, и = (- Т К ип + Тhf)h >
К = ~ Т f I.«, — Л1^1 = ~ Т Ai. *1<1"" ~2
(iv). Следствие. Как функция fi, <2> величина е2 удовлетво-
ряет уравнению КдФ, причем е2 = у А^ и + у А, есть преобра-
зование Миуры.
(v). Я оставляю вам для доказательства соотношение
ei,tk = e\ek+i-u+ ••• +ekejx — euek+1_l — ... —ekxet.
Смотрите D.13)!
(vi) Nef+l = —-jMei = NLej, где L, M и N определены C,6),
C.12). Это значит, что
Таким образом, et=— Bj_{ (напомним, что Во=—1, Bl=q/2, ...
..., Br+l = Y^rQ) - и отсюда, а также из D.6) мы видим, что
потенциал т, введенный посредством е/ = —{d/dtj-{) {d/dt\)\nx,
и в самом деле есть т-функция семейства КдФ-
(vii) Заметим, что решением E.58а) является Q = УСУ,
С — постоянная матрица, а У удовлетворяет
k E.59)
Получив Q<*> с помощью E.57), мы найдем для У = {vu v2)T
e<o2, ex = 1, и2л; = — Ао,
где
^
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 229
Отметим, что как v\, так и v2 удовлетворяют уравнению Шрё-
дингера с потенциалами q = — 2е2 = — hlx — Щ и hu — h\ соот-
ветственно. Перепишем эти уравнения для переменных
v = vu vx = v2-{-hlvl
и получим
vx)x V-X + h^ + h* Oj\vx
vо,Л*=Vf(A)+2AiA(fe)+Ai.^fe~hYk) h^k)~h{k)Л0*''
Обратим внимание, что A(fe) — h^k) = — у exk) и что эти урав-
нения суть в точности матричная форма C.3).
5d. Законы сохранения, токи, потенциалы и уравнения
Хироты. Далее как немедленное следствие E.55) получим
dhl+i _ dhk+\ dei+i _ dek+\ df]+i
dtk - dt{] ' dtk dtlB' dtk ~ dt, ¦ V-ou>
Это означает, что ряды h, e, f могут быть записаны с помощью
трех потенциалов. В частности, из самих уравнений и из соот-
ношений
мы знаем, что е\ и fi выступают в роли потенциалов для всех
компонент соответствующих векторов. Еще мы знаем из пре-
дыдущих вычислений, что величины \ hk dx являются сохраняю-
щимися плотностями, поэтому hj+i оказываются не только про-
изводными по tj от потенциала, но и производными по t\. По-
этому мы определим новый потенциал x(t\, t2, ...) с помощью
id\nr
То, что теперь нам хочется показать — это, конечно, что
г, д* In т
F
есть локальная функция от (hr, ep, fq). Уместно назвать F-jk тен-
зором тока. В работе [38] мы получили явное выражение для
230 Глава 5
этой величины. Оно таково:
Г ' 1 г- k
1 I V* /• \п п I '
Lr-0 J Lr=0
= (C-Jg-Q<» ?*Q)o. E.63)
Основная идея доказательства — использовать E.55), чтобы пе-
реписать
dh
-#±=2;(^+/+1-,-/
* 1
как производную по th Заметьте, например, что
Два выражения в E.63) эквивалентны, если нормировать
ряды h, e, f таким образом, что h2-\-ef =—1. В противном слу-
чае они отличаются на величину, зависящую от гамильтониана
cDfc(Q). Чтобы сохранить симметрию, я определю Fjk как сим-
метризованную сумму, но во всех вычислениях мы будем счи-
тать, что h2-\-ef = —1, и поэтому мы сможем вычислить тензор
тока, используя лишь одно из этих выражений.
Впервые в литературе мы действительно получили выраже-
ния для токов всех сохраняющихся величин по отношению ко
всем потокам:
dh,,, д i
Ч
Интересно отметить, что токи естественнее всего выражаются с
помощью производных по всем временам от единственной функ-
ции lnt(^i, ^2. •••)• Иными словами, ток для сохраняющейся
плотности hi (интеграл которой является гамильтонианом для
НУШ) по отношению к /2 — потоку НУШ — наилучшим образом
выражается через производные второго порядка по t2 и по /3 —
времени для совершенно другого потока, а не через производ-
ные по U и х; а именно, (d/dt2)h4 = (d/dti)i/2-d2\nx/dt2dt3. Ко-
нечно, можно также выразить d2lnx/dt2dt3 через е\, f\ и их про-
изводные по t\, но эти выражения не имеют естественной струк-
туры и крайне громоздки.
Далее предположим, что мы выбрали другое tk (скажем, t2)
в качестве выделенной координаты х. Это было бы уместным,
например, при изучении нелинейного уравнения Шрёдингера с
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 231
производной. В этом случае законы сохранения суть
д F д F
Fk2 — сохраняющиеся плотности, а соответствующие гамильто-
нианы пропорциональны \ Fk2 dB. В тех случаях, когда в каче-
стве выделенной координаты х мы берем время t,- (и тогда ei+r,
fj+r, r > О,1 мы выражаем через еи ег, ¦ ¦ ¦, в/, /i /7 и их про-
изводные по x = tj), сохраняющиеся плотности суть Fki, а га-
мильтонианы — это
Здесь я упомяну без доказательства (интересующийся читатель
может найти его в [38]), что сопряженными переменными яв-
ляются в этом случае не {е\, //), (е2, //-i), •¦•, (е/, /i), a
(ёи ft), ..., {ejt fi), где ёг, \, — коэффициенты перед 1~г в фор-
мальных рядах разложений e/V* — Л и //У г — h вблизи ?, = оо.
Для /=1 и 2 сопряженными переменными являются (е\, /i) и
(вь h)> (e2, h) соответственно, но при больших / они другие.
Наконец, оказывается, что удобнее использовать сг и р, опре-
деленные соответственно как хв\ и т/ь в качестве скалярных по-
тенциалов для рядов е и f.
Мы видим, как можно заменить тройной бесконечный ряд
уравнений E.55) тремя скалярными уравнениями на потен-
циалы т, а и р. Естественно задать вопрос: каким уравнениям
они удовлетворяют? Это можно вычислить непосредственно. Из
E.55) имеем
де, де,
—2iek+i = -дг- = -si- + 2Afeei,
д* ( а \ ¦ . д* In т
что означает
dtk \ т ) ~ 2 df,,
Получаем
i), E.65)
dtx dtk_l
где индекс / обозначает частную производную по ts. Теперь вер-
немся к формулам D.36), D.37) разд. 4с, где определяются
операторы Хироты. Уравнение E.65) — это просто
.x = 0. E.66)
g Глава 5
Аналогично
(z>,fe-i-ZW,)p-* = °. E.67)
Третье уравнение получается, если заметить, что
переходит в
Д2т-т = —2ар. E.68)
Из этих уравнений легко вычислить многосолитонные решения.
Для этого удобно произвести замену независимых переменных
2itk-+tk
(заметим, что новое время чисто мнимое), после чего уравнения
Хироты принимают вид
(Dtk-Dtptk_x)o-x = Qt E.69а)
(Dtk-DtlDtk_l)p-'c^0, E.69b)
>т.т = -1-сф. E.69с)
Ищем решения в форме
/ N N _
г, а, р= Z D%> р (п., v) exp I Z \>ГНГ+ Z v,#r +
цг, vs-0,1 V 1 1
Z Arsy.,xs+
где
D
p
=| 1,
I 0
если Z Mr = Z vr>
в противном случае,
если Z Mr = Z vr + 1,
в противном случае,
— 1, если Z IV + ! = Z vr,
О в противном случае
E.70)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 233
Для еи /( общего вида \k не связана с ?fe. Однако если
fi = — e*, то lk = Ck, где ^ — это величина, комплексно сопря-
женная с ?fe.
Каждое из уравнений Хироты E.69) записываются в форме
P(Dtk)f-g=0, E.71)
где Р таково, что
Р@) = 0, E.72а)
? = 0. E.72b)
При выводе E.70) широко используется правило
= Р (of - 4») ехр ( ? (а<*> + ар) th). E.73)
Как и раньше, сдвиги фазы Ars, Ars и Brs одинаковы для
каждого члена иерархии siB, С). Поэтому, как и в гл. 4, мы
можем определить все многочлены в этой иерархии, как только
заданы все сдвиги фазы. На каждом уровне (уровень — это
сумма индексов в уравнениях Хироты, например, уравнение
E.69а) принадлежит уровню k) существует много (попробуйте
вычислить, сколько именно) уравнений Хироты, которые сов-
местны друг с другом.
Упражнение 5d
Вычислить односолитонное решение, когда
N=\, 1, = 1\ = 1-
/71 + В11), ог=-ехрЯ„ ехр (_
=- — = 2л ехр (. ' 2 j sech ( ' ^ д " j;
5е. Задача на собственные значения, асимптотическое раз-
ложение и вершинные операторы. Цель этого раздела — ввести
234 Глава 5
собственную функцию V(tk; ?) и получить некоторые ее свой-
ства:
(i) ее асимптотическое разложение вблизи ? = оо;
(ii) то, что фазовое пространство Q(tk) является орбитой,
проходящей через элемент —Ш;
(Hi) разложение для %dV/d%;
(iv) связь между V и уравнениями Хироты.
Введение V{tk\ t,). Мы вывели иерархию siB, С), не вводя
вспомогательных переменных. Как они появляются в общей
картине? Ответ очень прост. Уравнение в форме Лакса
Q^ = [Q(fe), Q] E.74)
тут же позволяет искать решение в виде
Q = VQ0V~\ E.75)
Подставляя это в E.74), убеждаемся в том, что <3о не зависит
от всех tk и что
Vtk = Q{k)V. E.76)
Конечно, верно и обратное: как мы показывали в разд. Зс,
E.74)—^это условие интегрируемости уравнений E.76). Хотя
E.75) не решает E.74) в явном виде, сама форма записи в та-
ком виде полезна. Она наводит на мысль, что потоки E.74) яв-
ляются редукциями более простых потоков на большем много-
образии. Подробно мы обсудим эту идею в разд. 5j.
Асимптотическое разложение V вблизи t, = оо. Так же как в
случае иерархии КдФ, полезно поискать формальное асимптоти-
ческое разложение для V{t\, t2, ...; ?)
где ijj и ф — ряды по обратным степеням ?. Имеют место сле-
дующие результаты:
± Yj [hmbn, EJ8a)
m+n-r
отчЬО'
Y 2_j hmCn- E.78b)
m+n=r v
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 23S
Они записываются в компактной форме
2le = b(t — h), E.79а)
2if = c{i-h), E.79b)
где( ho = —i, hi = 0)
1
E-80)
-
r ¦
В качестве упражнения я оставляю показать, что
уе1+, E.81а)
)Tfi-, *= 1,2,.... E.81b)
Выполнено следующее:
где
+ 1|5 = 1пт_ — 1пт, E.82а)
— -ф = 1пт+ — 1пт, E.82Ь)
Можно показать, что
Мы вводим операторы
Х+ © = ехр (/ X 5%) exp
Г- E) = ехр (- I ^ S4) ехр (- ? -^г ^") • (Б.8БЬ)
Замечание. Мы можем назвать эти операторы «вершинны-
ми» операторами по аналогии с похожими операторами У(?),
введенными в D.124) в связи с т-функцией семейства КдФ.
В том контексте, однако, когда оператор X (или линейная ком-
бинация X(t,) и Х(—?)) применялся к т или когда экспонента
от У(?) применялась к т, получалась другая т-функция. Хотя
использовать Х+(?), Л-(?) в вычислениях, чтобы получать мно-
236 Глава S
госолитонные решения (мы делаем это в разд. 5g) — весьма
простая процедура, трудно описать пространство функций, на
котором естественно действуют операторы X+(t,) и X-(t,).
Будем обозначать;, части этих операторов без множителей
ехр(± / Yj ffik) посредством Х+ (?) «и -Х_ (?) соответственно. Те-
перь, используя эти результаты, получим
+ Н X х I — H X
Но
ei + X+x = X+eiX = X+a и /,_Я_т = X_fxx =¦¦ Х_р.
Поэтому
1 ( x-x ~~kx+
E.8ба)
Определитель этой матрицы равен единице, потому что из E.84)
Поэтому обратная матрица такова:
V Ц < у г
—"гГ^-р х-х
Нужно прокомментировать, как были получены эти резуль-
таты. Во-первых, нужно подставить анзац E.77) в E.76) и при-
равнять коэффициенты при %г, —оо < г < k. Для г ^ 0 E.78)
получается довольно легко. В дополнение следует доказать, что
это также верно при г < 0, при этом появляются производные
от 1|э и ф. Для этого следует использовать уравнения, которым
удовлетворяют hr, er и />. Выражения E.78) должны быть, ко-
нечно, независимы от того, какое из уравнений (какое время tk)
мы используем. Пригодятся два уравнения
Л, = -т Z emCn + Un E.87а)
т+п—г
ИЛИ
S (emcn -fmbn) = О, E.87Ь)
т+п—г
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 237
которое записывается в виде
ее = fb.
Q принадлежит орбите, проходящей через —Ш. Затем мы
показываем, что типичный элемент фазового пространства Q
лежит на орбите, проходящей через —Ш.
Мы хотим показать, что
V(-IH)V-X = Q, E.88а)
или, что то же самое
V(-iH), E.88b)
где
V=\ . е**+Ф E.89а)
является левым множителем V в асимптотическом разложении
вблизи ? = оо, т. е. формально
V = V ехр (- / Z CVO- E-89b)
Так как правые множители в E.89а, Ь) коммутируют с Н, нуж-
но показать, что
\f -h)\L
2C
Это следует из E.79), E.87).
Выпишем уравнение, которому удовлетворяет Р. Из E.76)
и E.89Ь) получаем
Vtk = Q{k)V + V{iHlk). E.89c)
С этим уравнением мы снова встретимся в разд. 5j.
Я также отмечу, что если в качестве выделенной коорди-
наты х брать ti, то фазовым пространством будет алгебра мно-
гочленов от в\, в2, ..., е/, f\, ..., f/ и их производных произволь-
ного порядка по x = tj. Набор {ей ..., е,-, fu ..., //}, если его
рассматривать как функцию х = tj, порождает фазовое про-
странство. А так как эти функции в точности есть элементы, со-
держащиеся в Qin = hu>H + eWE + fU)F, где hU) = tj ? п?~г
о
(и аналогично определены е^\ /(/)), то QW можно считать фа-
238 Глава 5
зовым пространством. Из E.89с) типичный элемент этого фазо-
вого пространства тогда запишется так:
:~l + Vt]V~l. E.89d)
Замечание. Слово орбита употреблено здесь сознательно, и
в нем заложен определенный смысл. Если всякий элемент X
фазового пространства, которое является алгеброй G*, двойст-
венной к алгебре G, может быть получен коприсоединенным
действием X = gXog~l (в матричном представлении) элемента
g группы G на элемент Хо пространства G*, то тогда мы знаем,
что фазовое пространство является симплектическим многооб-
разием с невырожденной 2-формой. Например, если мы возь-
мем x = U в качестве выделенной координаты, а в качестве
фазового пространства возьмем пространство пар е\{х, /*).
/i(x> h), то фазовое пространство — это симплектическое мно-
оо
гообразие с 2-формой \ б^лб^^х (см [75]). При выборе
х = tj фазовое пространство состоит из пар сопряженных функ-
ций (ё,, fj), ..., (ё/, fj), определенных в разд. 5d, а 2-формой
является
(бё[ Л 6f j -f- ... -f- bej Л 6f i) dtj.
Можно трактовать E.89d) как утверждение, что фазовое про-
странство— это орбита коприсоединенного действия, проходя-
щая через элемент —1Щ/ — d/dtj (А. Рейман; частное сооб-
щение).
Упражнение 5е (важное)
Рассмотрите уравнения Лакса E.58а) из упражнения 5с C).
Они также решаются с помощью V(tk, А,), если положить
E.90а)
где С не зависит от tk, a V удовлетворяет
Vfk = QWV. E.90b)
заданы в E.57) С в E.90а)—это (—iHt,), если взять
;) 4«(<*,0\
. > E.90с)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 239
где ?2 = Я,, v(tk, ?) — это v, удовлетворяющее C.1), C.9)
(в разд. ЗЬ время, обозначаемое как tk в E.58а) и выше, обо-
значалось t2k-\)> с асимптотическим разложением, заданным в
упражнении ЗЬ(ш)
~~ ' * E.90d)
x(ii, fa, ...) — это т-функция семейства КдФ. Читатель может
проверить E.90а) в вакуумном случае, когда q = 0. Теперь
E.90Ь) можно записать как
V = V ехр (- I S ?k-4kH}, E.90е)
где
t?(ft==QWy + V(iH?2k-1), E.90f)
или, разрешая относительно Q'ft),
Q{k) = y{—iHgk~x) V~l + VtkV~\ E.90д)
Читатель должен также заметить, что если взять
то уравнения E.90f, g) для ?7 будут отличаться лишь заменой
—Ш?**-' на Х?Л где Х = — F + E/%.
Дальнейшее замечание. Формулы E.88а) и E.90а) важны,
ибо оказывается, что с их помощью устанавливается связь
между двумя ролями, которые играет в нашем изложении ал-
гебра Каца — Муди Л',1'. Читатель помнит, что в разд. 4g мы
обсуждали, каким образом алгебра А^ выступает в роли сим-
метрии и как решения x{tu U, ¦ ¦ ) солитонных уравнений семей-
ства КдФ образуют орбиту, проходящую через вектор старшего
веса (т=1) в некотором базисном представлении Л',1*, орбиту,
определяемую квадратичными уравнениями Хироты. С другой
стороны, в настоящей главе эта алгебра является фазовым про-
странством. В разд. 5j мы увидим, что формулы E.88а), E.90а)
естественно возникают как коприсоединенное действие «груп-
пы» Каца — Муди на специальный элемент е (который есть
либо —Ш, либо Х = —F-\-(E/t,)). В последующем подразделе
240 Глава 5
мы также увидим, как E.88а) содержит уравнения Хироты.
Выражение для t,(dV/dt,). В разд. 51 мы объясним, почему
оператор D = ?(д/д?) является важным элементом теории в це-
лом. Поэтому стоит вычислить
E.91а)
Из E.91а) попробуйте показать, что
(' _?'tf>0=3Jji. E.91b)
Член —it,>H — это V<D/(—Ш), градиент гамильтониана Ф/, вы-
численный в точке —Ш. Уравнение E.91Ь) является той фор-
мулой, с помощью которой исследователи из Киото определяют
т-функцию [39]. При доказательстве E.91) мы используем сле-
дующие факты:
Db
-—¦--<<.+!=«•)¦
be 2Л
1 "Г 4 — i-h '
а также E.79) и E.84).
Связь с теорией Хироты. Давайте попробуем взглянуть по-
другому на формулу E.89) и запишем ее в виде
у _ i у Л
л-т оГл+°г 1/ _
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 241
что приводит к четырем соотношениям:
(i + h)X_x = --±-eX_p, E.92а)
-g- О + Щ Х+о = &Х+х, E.92Ь)
1 „ ¦ ,,.ч v . *_v t> E.92c)
?a. E.92d)
Давайте снова докажем E.92b) способом, помогающим на-
учиться обращаться с вершинными операторами. Коль скоро
а = в\х, то также верно Х+о = Х+е1х — Х+е1Х+х. В силу оче-
видного свойства оператора сдвига это равно t,bX+x = BietJ(i —
— h))X+x. Умножение на ехр(г 2?*4) дает A/2)A + ih)X+a —
— t,eX+x, что есть E.92Ь). Но эти уравнения также являются
уравнениями Хироты. Разложите E.92Ь), используя
1 „ , ,,, , 1 V- 1 _^!_1пт>
dh dtk-i
det _ a , l V ' gfe-iT~gTft-i
t2
Напоминаем читателю, что нижние индексы у т, а, р обозна-
чают частные производные. Коэффициент при %~2 есть
Коэффициент при g-3 включает уравнения
Равенства при степенях более высокого порядка, по-видимому,
дают все остальные уравнения
иерархии Хироты. Я не имею доказательства этого факта.
242 Глава 5
Другой более мощный способ вывода всех уравнений Хи-
роты состоит в использовании тождества
1
2nl
\ V (х + у; 5) V -' (х - у; ?) dt, = 1, E.93)
где контур С — это круг вблизи ? = оо, ориентированный про-
тив часовой стрелки, и x=(xi, x2, х3, ...), (*/ = //). Подобная
форма записи была предложена Дейтом, Дзимбо, Касиварой,
Мивой [39] для членов иерархии КП. Я нахожу их доказатель-
ство слишком сложным для понимания. Лучший способ рассмот-
рения E.93) — обратиться к соображениям аналитичности и счи-
тать, что E.93) выражает полноту собственных состояний для
Vx = Q(l)V. Для обсуждения этого свойства читателю следует
просмотреть третью работу из указанных в литературе под но-
мером [23], приложение 6.
В любом случае E.93) говорит нам, что ?-'-компонента
У(х + у; t^V-^x — у; ?) есть единица. Используя E.86), E.87),
получаем
Х+г
где верхний индекс вершинного оператора означает, что аргу-
мент сдвинут на плюс или минус у, т. е.
Х±т = ехр (- *? (х, + у{) - %2 (х2 + у2) ...) X
v. ( \ L _1_ —
Таким образом,
' XtxXlr - -jjr X% aXZp - -L (xtaXZr - X+aXtx)
f / V"t*a V — — v+_ лт—¦ \ V"^~—V—f \
f \Л— рЛ+Т — Л+ТЛ—р/ Л+ТЛ— Т — ~ATt~ **
)
Я предлагаю вам разложить каждый член при \/% в ряд Тей-
лора по у=(«/ь «/2, •••)• Вы обнаружите, что коэффициенты при
у2- у3> у\ нетривиальны, и, приравнивая их нулю, получите
уравнения Хироты.
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 243
В качестве примера я разложу матричный элемент A, 2). Он
таков:
- ехр (-И ? ?ук) a (xk - yk + ^) т (хк + ук -
Мы ищем компоненту ?°. Второй член получается из первого
заменой г/&->—г/&. Поэтому все четные по у члены автомати-
чески обращаются в нуль [у\, уху2> ухуъ и т. д.). Во-первых, не-
сложное вычисление показывает, что
где Dk — оператор Хироты D.36), D.37). Умножьте это выраже-
ние на ехр B/ 2 ?*%)> возьмите компоненту ?°, затем замените
yk-i—ук и вычтите последнее выражение из предыдущего. На-
ходим следующее:
Ух- D{-Db
у3: Ld3-^
±
Приравняв нулю эти выражения, получим
-x^ О,
244 Глава 5
Читатель может развить более прихотливые обозначения и по-
лучить выражения для многочленов Хироты через многочлены
Шура р„(хи х2, ...)
Можно также подсчитать, сколько уравнений Хироты на каж-
дом уровне [39]. Уровню п принадлежит такое же число урав-
нений Nn, сколько существует разбиений целого числа п в сумму
нечетных целых чисел щ + «2 + • • • + пг, каждое ns ^ п.
5f. Изоспектральные, сохраняющие римановы поверхности и
изомонодромные деформации.
(i) Изоспектральные деформации. Вплоть до настоящего мо-
мента в этой главе все рассмотрение было локальным в том
смысле, что в нашей интерпретации уравнения E.52) описывали
эволюцию точки Q в бесконечномерном пространстве в беско-
нечномерном времени t{U, t2, ...).
В этом разделе мы обратимся к более традиционному под-
ходу, в котором одна из независимых переменных выделена.
Если в качестве таковой мы возьмем t\ и обозначим ^i = x, то
в результате получим уравнения
ei,t, = eu t/ (еи /,, elx, flx, ...), E.94а)
fi, t, = fu tt (eu fi, elx, fix, ...), E.94b)
называемые иерархией АКНС. Если же мы выберем t2, то урав-
нения составят иерархию НУШП (нелинейное уравнение Шрё-
дингера с производной). Какую бы независимую переменную мы
бы не выделили, в дальнейшем ставится задача Коши с гра-
ничными условиями на —с» <х< оо с заданными граничными
условиями е(х, 0), f(x, 0), которые устроены так, чтобы все ве-
личины, входящие в метод обратной задачи, были подходящим
образом определены. Может быть также поставлена периоди-
ческая задача на конечном интервале. Рассмотрим E.94) на
—оо < х < оо и предположим, что е\(х, t/), f\(x, t,)^-0 при
л:->±оо. Пусть V — фундаментальное матричное решение для
E.95)
и так как еь Д->-0 при *-v±oo, мы можем нормировать V та-
ким образом, чтобы
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 245
при х~*-~-оо. Так убранное У_мы обозначим Ф со столбцами
Ф = (фь ф2)г и —ф=(—фь — фг).1) Эта нормировка приводит
к изменению временной эволюции:
O^Q^O-OCViT'Qi'Vo), l>2, E.96)
где Qj/'— это асимптотика Q(/) при л:-*~±оо. Легко показать,
что дополнительный член в правой части не изменит условий
интегрируемости. При перекрестном дифференцировании E.96)
и E.95) или же двух разных уравнений из E.96) последние чле-
ны в E.96) автоматически обращаются в нуль.
Далее, если W является фундаментальным матричным реше-
нием E.95), таким что W-t-Vo при х-»-+оо, то тогда Ф и W
связаны постоянной (по х) матрицей
равной УР-'Ф. При лс-»-+,оо
j). E.97b)
Мы называем А (?, tj) матрицей рассеяния.
Здесь и далее я буду использовать обозначения из работы
[23], и читателю следует заглянуть в нее, если ему интересны
подробности. Строго говоря, матрица, называемая матрицей
рассеяния, связывает состояния <р(х, %) (т. е. первый столбец Ф)
и ф(х, %) (второй столбец W) с состояниями —ф, г|), т. е. соот-
ветственно со вторым и первым столбцами Ф и W. Причина со-
стоит в том, что первое состояние относится к испускаемому, а
второе — к приходящему излучению. В качестве упражнения по-
кажите, что
(~ -
\ а а
Временная зависимость Л(?, /,-) находится с помощью под-
становки E.97Ь) в E.96):
At/ = [Vo-'Qc/Vo. Л]. E.98)
В этих иерархиях мы считаем, что
') Ф1 не обозначает функции, комплексно сопряженной к q>i.
246 Глава 5
В частности, E.98) имеет лаксов вид, и диагональные элементы
а(?) и а (?) матрицы А суть интегралы движения. Далее можно
оо
показать, что при заданном интеграле \ (\е{\, \f\\)dx<.oo ве-
личины
можно аналитически продолжить соответственно в верхнюю и
нижнюю полуплоскости ?. Но если Im?;>0, то Ф (~( i )e~'s*)
и 'ф(~( 1 )е'Е*) являются единственными решениями, зату-
хающими в —оо и в -|-оо соответственно. Значит, если ?/ таково,
что ф(х, ?/)->0 в х = +оо, то
ф(*. Су)
и а E/) = 0. Аналогично, нули gy функции a(g), Imgy < 0, порож-
дают связанные состояния ф(*, gy) и ф(*. gy); ф(дг, gy) = ё/ф (д:, |у).
Поэтому спектр уравнения E.95) сохраняется под дейст-
вием любого потока этой иерархии. Как и в изученном ранее
случае КдФ, собственные значения ?у, ?у связаны с солитонной
частью решения. Я также отмечу факт, который много раз
использовался при построении солитонных решений (как в
разд. 3h или в следующем разделе о преобразованиях Бэклун-
да). Он состоит в том, что для собственных значений ?у столбцы
(ф, ф) фундаментального матричного решения пропорциональны.
В тех случаях, когда /, = — е\, fl = — e1(r — — q*, — q в [23]),
имеется некоторое упрощение. В частности, в первом случае
gy = gy, а в последнем g;- = — gy. В частности, если fl = — el
вещественны, то собственные значения чисто мнимы (t,i = ii\j)
(солитоны, кинки) или появляются парами (gy, —gy) (бризеры
или бионы).
Обратная задача разрешается стандартно, и мы приведем
здесь краткий обзор результатов. Подробности читатель найдет
в [23]. Что мы хотим сделать — это восстановить Ф или W по
данным рассеяния. Зная эти функции, мы получим QU\ и в
частности Qi = е\Е -+- f\F. Легче всего найти Qu вычисляя чле-
ны разложения фи? или 1Д вблизи ? = оо (см. предыдущий
раздел).
Рассмотрим функцию (q>(l)/a{l))e*x, мероморфную при
Im | > 0, с асимптотикой (q) при |->оо. С функцией ^(E)e'K
аналитической при Im | <С 0 и имеющей асимптотику @) при
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 247
|Ц-»-оо, она связана посредством (&Ш/а(|))я])(|)е'** (попро-
сту выпишите уравнение для первого столбца Ф = ЧГЛ) на ве-
щественной оси. Поэтому мы хотим решить задачу Римана —
Гильберта: найти функцию, аналитическую при всех |, имею-
щую лишь конечное число полюсов, с заданным поведением при
?->оо и заданным скачком на вещественной оси. Для решения
этой задачи мы рассматриваем при Im ? < О
и вычисляем этот интеграл дважды, сначала замыкая контур
полуокружностью \ = оо, Im | > 0, а затем заменяя <р на а\|) +
+ &-ф и вычисляя первый интеграл, замыкая путь интегрирова-
ния в нижней полуплоскости. Получается
где ^ = 1})^), Y/ = 6/(a;) ', aj = (dq/d?) в ? = ?,, /=
N — число нулей функции а(?). Следуя аналогичному рецепту,
мы можем найти линейное по \|> уравнение для i|}(^, x)e~'l^x
Aт?>0). Именно тот факт, что скачки при переходе через
вещественную ось ? линейны по г|) и ф, и позволяет линеаризо-
вать обратную задачу.
Если мы имеем дело с безотражательными потенциалами, то
Ь = Б г= 0 и уравнения на \f>, <§, ф, ф таковы:
? E.99а)
, ImC>0, E.99b)
/ 0, E.99c)
E.99d)
1
где $l = bl(a't)~l, ?/ = */(«/)• Пусть t, = lk в E.99а, с) и $ = ?fe
в E.99b, d); тогда полученные линейные уравнения на яр/, г|э/
248 Глава 5
легко решаются. Определитель матрицы коэффициентов (с точ-
ностью до экспоненциального множителя с линейной по tk фа-
зой) есть т-функция.
Читателю следует разобрать односолитонныи случай, кото-
рый соответствует паре ?ь ?i. Если г = —q*, то \х = ?*, и реше-
ния таковы:
ех = 2т) sech 6 ехр кр, /, = —е*,
где
и задающие начальное положение параметры х0, Фо связаны с
коэффициентами bjt Ъ, — Ъ*,.
А теперь мне хочется, чтобы вы запомнили структуру фунда-
ментальной матрицы решений. Заметьте, что каждый столбец
ф и г|) имеет конечное число не зависящих от х, tk, k = 2, ...
полюсов. Мы вольны переопределить фундаментальную солитон-
N
ную матрицу, умножая решение ф на Z,~N П (? — 5/). и в этом
случае фе'Е* имеет вид
Подобным образом можно переопределить произведение ф
чтобы оно превратилось в многочлен степени iV по обратным
степеням %. Такая нормировка достигается умножением V спра-
ва на /F'(U о \
Ва На V О F, (t)J •
Наоборот, как это делалось в гл. 3, можно показать, что если
мы возьмем
N
Я E.100а)
E.100b)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 249
для a = (gj Z,N ,lv ..., Ijj), b<=(bv ..., bN, bl
то столбцы матрицы V удовлетворяют соотношению
Ff.=:Q</>K. E.101)
Элементы матриц Q</) связаны с Cift, C2S и различными их про-
изводными. Например,
(см. разд. 5е). Интегрируемость E.101) гарантирует, что в\ и /i
удовлетворяют иерархии АК.НС.
Доказательство предположения, что из E.100а, Ь) следует
E.101), вытекает из соображений единственности, которые
были описаны в разд. 3h в связи с семейством КдФ- Во-первых,
заметьте, что 2(N-{-fl) уравнений E.101Ь) единственным об-
разом определяют Ci*,, Сг*. как функции х, tj, j 2> 2. Затем рас-
смотрите векторные величины
И/ = («л* + »?o/i — е,о/2, vl2x — itpj2 — fiVn)T
с v/=(t»/i, VjiY, /=1, 2. Несложные вычисления показывают,
что эти функции имеют асимптотические разложения
N N
и, кроме того, u1(a)= bu2(a). Итак, вектора V1 + U1, V2 + U2
удовлетворяют всем условиям E.100), E.101). Но вектора,
удовлетворяющие этим условиям, единственны (мы можем в
явном виде вычислить Сш С2к) и, следовательно, Ui = u2 = 0.
Поэтому вектора Vi и v2 удовлетворяют E.101) для /= 1. Дока-
зательство для других t,- аналогично.
(ii) Деформации, сохраняющие римановы поверхности.
В разд. 3h я показал, каким образом конечнозонные решения
семейства КдФ связаны с независящими от времени римано-
выми поверхностями, поэтому достаточно краткого напомина-
ния. Рассматривается связь
l = yV, E.102)
добавленная к перечню E.76). Она может быть записана как
?«/<?»>-*/) У = 0, E.103)
250 Глава 5
так что нетривиальное решение существует только когда
. E.104)
Уравнение E.104) задает алгебраическую кривую (для siB, С)
гиперэллиптическую)
(Jty E.105)
Перекрестное дифференцирование E.96) и E.103) показывает,
п
что Р= Yi %Q(/) удовлетворяет уравнению
Рц = №п,Р]. EЛ06)
которое означает, что Р можно записать в виде
Р = УРоу-\ PW/ = 0. E.107)
Следовательно, характеристический многочлен для Р равен
det(P0 — yl) и поэтому он не зависит ни от какого времени.
Кроме того, из совместности E.102) и E.76) получим (доста-
точно перекрестно продифференцировать по tk и использовать
$У 0, k = \,2 E.108)
Таким образом, (i) означает, что каждое Q(ft) — это функция
лишь (п—1) линейных комбинаций t\, ..., tn, a (ii) означает,
что, в частности, QO удовлетворяет обыкновенному дифференци-
альному уравнению по t\ = х, потому что ei, t, и /i t можно
записать как функции еь /i и их производных по t\. Конечно-
мерное многообразие решений этого уравнения левоинвариантно
относительно всех потоков во всей иерархии Qtj = [Q(/), Q]. Это
означает, что решение уравнения
?«/(#> = 0 E.Ю9)
в момент времени, равный нулю, если ему позволить эволюцио-
нировать в силу любого временного потока, останется решением
E.109). Уравнение E.109) часто называют уравнением Лакса —
Новикова. Решения E.109), как и их эволюция по временам,
можно построить в явном виде, и мы показали один из спосо-
бов сделать это в разд. 3h. Эта задача решается в абелевых
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 251
функциях. Метод построения, использующий теорию римановых
поверхностей и единственность обладающих определенными
свойствами функций, заданных на этих поверхностях, был дан
И. М. Кричевером. Я не буду здесь объяснять его идеи и вместо
этого рекомендую читателю работу [28].
(ш) Изомонодромные деформации. Предположим теперь,
что вместо связи E.102) связь
ii,tl E.110)
наложена на набор уравнений
Vt, = QW, /=1,...,га. E.111)
Условие интегрируемости теперь таково:
что можно переписать в виде
га
1
где
Р = ^ =
Коэффициент при 1/^ дает
(xQi)x + E /^Qi, </ = °, E-113)
2
что есть аналог E.109). Это означает, что Qi — функция вида
E.114)
с п — 1 фазой.
Теперь поясним, почему мы выбрали связь E.110). Идея
состоит в том, что такая связь отражает масштабную инвари-
антность, которой обладают некоторые уравнения в этой иерар-
хии,— в точности так же, как выбор конечнозонной связи отра-
жает трансляционную инвариантность уравнения (может быть,
вам захочется вернуться к разд. 3h). Для большей конкретности
я сосредоточу внимание на иерархии мКдФ — подмножестве
иерархии уравнений
Q), E.115)
252 Глава 5
котЬрое получается, если положить f\ = е\ = q и заморозить
все потоки по четным временам /гл-
Первые три члена последовательности суть
Яи = Ях, E.116)
} E.117)
(ххх \ \ )Х EЛ18)
они соответствуют
4? «) EЛ19а)
ЛC) __ I
E.119b)
Вычисление Q'5> я оставляю читателю в качестве упражнения.
Заметьте, что E.117) обладает масштабной инвариантностью,
т. е. если q(x, t) является решением E.117), то $q{$x, b%) тоже
является решением. Решение q(x, t), инвариантное относительно
масштабного преобразования, называется автомодельным, и
это значит, что
или
<7 + *<7„ + 3*з<7„ = 0, E.120)
что совпадает с E.113) при п = 3. Итак, q(x, t3) имеет вид
q(x,t3) =
Удобно заменить переменные в
yx==Q(i)yt Vu — Q{3)V E.122)
на переменные
Х = —^7=-, T = tt, E.123)
/п I \ ИЛ О' ^ *
чтобы отразить структуру коэффициентов Q<^ и Q<3). Мы видим,
что У (a:, t3; ?) преобразуется при изменении масштаба как
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 253
W(X, l), где ? = ?Cf3I/3, и что уравнения E.122) превраща-
ются в
~ )W EЛ24)
~ % - if | - Щ I2/ + ®xP + v
Условие интегрируемости для E.124), E.125) — это
2f-v; E.126)
если q задано выражением E.121), это совпадает с проинтегри-
рованным по X уравнением E.117), при этом v — константа ин-
тегрирования.
Выражение E.126), описывающее автомодельное решение
.уравнения E.117), есть уравнение Пенлеве второго рода (см.
[35], [36] и разд. 4е). Это нелинейное неавтономное уравнение,
левоинвариантное относительно потока. Например, выберете
функцию f(x), удовлетворяющую E.126). Возьмем ^3 = 1/3.
Позвольте решению q(x, tz) вида E.121) эволюционировать в
силу E.117) на интервале 1/3 < h < t. Тогда q(x, t) при h = t
будет иметь вид E.121), где f(X) снова является решением
E.126), только X — это теперь х/{ЫI/3.
Мы делаем более общее утверждение: класс совместных со
связью E.110) решений имеет многофазную автомодельную
структуру и удовлетворяет автономному нелинейному обыкно-
венному дифференциальному уравнению по х, именно E.113),
с коэффициентами, зависящими от х, U, ..., tn. Далее, многооб-
разие решений левоинвариантно относительно потоков Q\,t,,
/ = 1, ..., п в том смысле, что решение E.113) в момент
^20), .. •, № ПРИ эволюции в силу потоков Qlt t , j = 2, ..., п
до времен /2, •¦¦> tn снова будет удовлетворять E.113), только
40), •••, in надо заменить текущими временами ^2. •••, tn- Од-
нако в отличие от конечнозонных решений, эти решения не яв-
ляются, я это подчеркиваю, левоинвариантными относительно
высших потоков Qlt tj, j > п, данной иерархии.
Теперь про то, как можно решить задачу Коши для E.126)
при заданных f и fх в точке X = Хо. В методе обратной задачи,
как вы помните, мы сконцентрировали внимание на задаче на
собственные значения
254 Глава 5
и использовали второе уравнение E.122), чтобы определить
временную эволюцию данных рассеяния. Для решения обыкно-
венных нелинейных автономных уравнений, связанных с конеч-
нозонными решениями, мы сосредоточили внимание на связи
и использовали задачу на собственные значения и другие урав-
нения Vtf = Q{l)V в качестве вспомогательных уравнений для
определения зависимости ц от х и t/ (см. разд. 3h).
Здесь мы снова сосредоточимся на связи E.125) и исполь-
зуем E.124) в качестве вспомогательного уравнения. Уравнение
E.125) выглядит сложно, но если его рассматривать как функ-
цию от |, оно в действительности очень простое, ибо все коэф-
фициенты рациональны по ?. Есть две особые точки, одна ре-
гулярная (| = 0), другая — нерегулярная точка третьего поряд-
ка (| = оо). Из теории обыкновенных дифференциальных урав-
нений известно, что структура фундаментальной матрицы реше-
ний полностью определяется своим поведением вблизи особых
точек. В частности, это поведение характеризуется матрицами
монодромии, описывающими, как меняется фундаментальная
матрица решений при обходе вокруг особой точки.
Около | = 0 уравнение E.125) имеет решение вида
'Г
E.127)
где ф аналитична по | (для полуцелых v в решении общего
вида, как правило, вдобавок появляются логарифмы). Матрица
монодромии /, соответствующая ? = 0, есть
E.128)
и / имеет вид
EЛ29)
где /i присутствует лишь если v полуцелое. Для v=l/2, J\ =
= 2(fx + f2-{-2X)e-2u, ux=f. Заметьте, что Jlx = 0.
Вблизи ? = оо E.125) имеет формальное фундаментальное
решение
E.130)
где в = /|Х + «|3/3 и #= 2 с,1~' — формальный ряд Лорана.
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 255
В каждом секторе 5/, (я/3) (/ — 1)< Argg <(я/3)/, существует
настоящее решение Ф/, для которого E.130) является асимпто-
тическим разложением в S/. Однако при обходе вокруг с» мы
сталкиваемся с явлением Стокса. А именно, при переходе от Si
к S2, когда Arg | = я/3, аналитическое продолжение асимпто-
тического разложения в Si не является более асимптотическим
разложением аналитического продолжения настоящего решения.
Приходится умножать настоящее решение Y на «матрицы Сток-
са» вида
-С, !)¦
E.131)
чтобы получить новое решение ЧЪ, асимптотическое разложение
которого в S2 есть E.130). Происходит следующее: «рецессив-
ное» решение в Si (т. е. решение, пропорциональное ее, которое
убывает экспоненциально) становится доминантным решением
в S2, но определенное количество (аи множитель Стокса) рецес-
сивного в Si решения следует добавить к доминантному в этой
области, чтобы их комбинация была рецессивна в следующем
секторе. Фундаментальные решения Ч1",- с асимптотическим раз-
ложением E.130) в шести секторах вблизи бесконечности свя-
заны соотношениями
40+1= *И/> E-132)
где ненулевые недиагональные элементы в А/ (множители Сток-
са) чередуются от угла к углу. Детали проработаны в [36].
Набор матриц ], А\, ..-, А6 вместе со связующей матрицей
А, которая устанавливает связь между фундаментальным реше-
нием Ф, определенным образом нормированным в | = 0, и Ч^,
Ф = Ч\А, задают данные монодромии. (Вследствие симметрии
при заданном v среди всех этих данных есть только два неза-
висимых параметра, соответствующие неизвестным f и fx.)
Теперь мы можем сформулировать замечательный резуль-
тат. Коль скоро f(X) меняется согласно E.126), все эти матри-
цы не зависят от X. Отсюда термин изомондромная деформа-
ция. Решение E.126) можно получить так. При заданных f, fx
в Х = Хо вычислим данные монодромии. Затем при некотором
другом X при заданных этих данных и в = igX + t|3/3 можно
восстановить Wi и, следовательно, коэффициенты ее формаль-
ного асимптотического разложения, которые зависят от f(X) и
fx[X). Поэтому можно найти / при всех X. Детали процедуры
обращения и некоторые сведения о решении даны в [36].
Я закончу этот раздел замечанием, что оператор \dfd% очень
важен во всей теории в целом, а не только в связи с автомо-
256 Глава 5
дельными решениями. Некоторые замечания о его роли будут
даны в следующем разделе.
5g. Калибровочные преобразования и преобразования Бэк-
лунда. Мы начнем с теоремы, утверждающей, что под дей-
ствием преобразований
Q(k)->RQ(k)R~l + RtkR~i = Q(k), E.133)
Q->/?Q/?~'==Q E.134)
уравнение
Q(J) — Q(k) _|_ [Q(/O Q(&>] = 0 E.135)
ft /
и его предел
Qtk = [Qm,Q] E.136)
сохраняют свой вид. Доказывается это непосредственно. Такой
выбор преобразования мотивируется тем, что E.135) и E.136)
суть условия интегрируемости последовательности уравнений
E.137)
и уравнения E.137) сохраняют свой вид при преобразовании
V-+RV = W, E.138)
если выполняется E.133).
Кроме того, иногда также бывает полезно нормировать V,
добавляя член в правую часть E.137):
yt _ Qwy _|_ у]у(к) E.139)
Условие интегрируемости для E.139) есть в точности E.135),
если ротор бесконечномерного вектора АЛ&> равен нулю, т. е.
N^ = N^1. E.140)
(Я напомню, что мы выбрали NA) = 0, Nik) = it,kH при k^2,
чтобы быть уверенным, что асимптотика V в —с» имеет вид
0 е'^
(см. разд. f(i)). Добавление нормировки ЛД*> выполняется пре-
образованием V
= V ~ E.141)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 257
и легко показать, что
N{k) = S-1Stk. E.142)
Условие E.140) тогда выполняется, если
[JV<«, NW] = 0. E.143)
Обратите внимание, что преобразование E.134) матрицы Q не
включает S. Это происходит потому, что умножение V справа
просто сводится к замене базиса столбцов V. Преобразование
E.141) с условием E.143) вместе с E.133) и E.134) называется
калибровочным преобразованием. Но взгляните на E.134). Мы
знаем, что если Q удовлетворяет E.136), то и Q = RQR~l удов-
летворяет этому соотношению. Но уравнение E.134) есть просто
бесконечный набор соотношений между переменными {hr, er, fr}
в Q и соответствующими переменными {hr, ёг, fr} в Q. Следо-
вательно, E.134) есть автопреобразование Бэклунда между
двумя произвольными членами набора интегрируемых уравне-
ний, ассоциированных с siB, С).
До сих пор мы ничего не сказали про R и S, кроме того, что
они должны быть обратимыми. Как их следует выбирать? Мы
уже отметили, что S не имеет существенного значения. Поэтому
все зависит от того, как мы выберем R.
Во-первых, заметьте, что R обладает легко выводимым из
E.133) свойством
4- det R = (Tr Q<*> - Tr Q<*>) det R = 0,
ибо TrQ<ft) не зависит от tk, а из E.134) то же следует для
Tr <3<ft>. Поэтому det R не зависит от tk и может быть лишь функ-
цией %. Пусть а — нуль detR, и предположим, что это не нуль
det У. Тогда detV(о) = det/?(a)detV(a) = 0 и столбцы V ли-
нейно зависимы при ? = а. Теперь, вспоминая обсуждение в кон-
це части (i) предыдущего раздела, мы видим, что это в точ-
ности условие наличия у V связанного состояния в точке а. Мы
знаем, что добавление пары связанных состояний в а, а соот-
ветствует добавлению солитона. С другой стороны, если det/?
имеет полюс в а, то мы видим, что обратное преобразование
V — R~lV создает новую фундаментальную матрицу V с допол-
нительным связанным состоянием, параметризуемым а.
Итак, нули detR соответствуют связанным состояниям V, не
содержащимся в V. Пара связанных состояний соответствует до-
бавлению солитона. Более сложные функциональные формы
detR соответствуют добавлению более сложных решений, что
выходит за рамки этих лекций. Однако есть другой простой
>/29 А. Ньюэлл
258 Глава 5
класс преобразований Бэклунда, соответствующих det# =
= constant. Эти преобразования, меняющие монодромию фунда-
ментальной матрицы решений в ? = оо и известные как преоб-
разования Шлезингера [125]. Они играют центральную роль в
той истории, которую я сейчас хочу рассказать.
Давайте обратимся к конкретным случаям, иллюстрируя эти
идеи несколькими примерами. Непосредственная цель этого
раздела — выписать формулы, выражающие новые т-функции
т, 5, р через прежние т, в, р. Но, как мы увидим, лучше рас-
сматривать каждый такой триплет в качестве трех следующих
друг за другом членов бесконечной последовательности.
Первый пример хорошо известен (хотя, возможно, вы не
встречались с изложенным выше подходом) и состоит в попытке
добавить к решению Q один дополнительный солитон. Я вновь
напомню, что вся информация о солитоне содержится в струк-
туре фундаментальной матрицы решений. Ее столбцы стано-
вятся линейно зависимыми при значениях ?, соответствующих
солитонным параметрам. С помощью преобразования базиса,
действующего на столбцы V посредством S, этот критерий
можно сформулировать в вполне эквивалентной форме, если
потребовать, чтобы первый столбец в RV обращался в нуль при
? = ?ь а второй в сопряженной точке %и Вспомним краткое об-
суждение задачи рассеяния для задачи на собственные значения
Захарова — Шабата в разд. 5f. Для г и q общего вида собствен-
ные значения появляются парами, %, %— нули соответственно
а(?) и а(?) в верхней и нижней полуплоскостях. Если fx = — e\
(или г =—q*), то ? = ?* = ! — щ и г\ и | — амплитуда и ско-
рость огибающей солитона. В целях настоящего обсуждения мы
возьмем г = —q и в этом случае %\ = ir\, ?i = —щ. Вычисления
упрощаются, и результат читателю уже знаком из разд. 4f. По-
ложим
\ (Vn Va\
Нетрудно показать, что условия того, что
= 0 при ? = ~^'
приводят к следующим значениям а, Ь, с, d:
Fr J = C=W d = 0' EЛ44)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики
259
где (вспомните обозначения, используемые в разд. 4f)
(—ir
E.145)
Последнее равенство справедливо, поскольку из разд. 5f мы
знаем, что если V\(x, ?), V2(x, t,) — решение уравнений Захаро-
ва—Шабата, то V2{x, —?), —Vi(x, —?) тоже являются реше-
ниями, если r = —q. Вычислив R, давайте используем преобра-
зование Бэклунда ( 5.134) для вычисления новых рядов h, ё, f
через старые h, e, f.
Несложные вычисления показывают, что если
+ а Ъ \ (h
то E.134) можно записать как
я-
ё —
г _
h
е
f.
=
Вспомните, что ho = ho = — i, eo = f0 — eo =
Вычисляя коэффициенты при ?°, мы получим
4T1V
е, — е, = 2ib = -^
E.146)
E.147а)
E.147Ь)
откуда видно, что поскольку f\ = —еь то f\ = —ё\, т. е. мы
остаемся в классе решений. Пусть в\ = —их/2, ё\ = —пх/2 и
у = tg(u + й)/4, откуда из E.147а) имеем
их - йх = 4л sin -
E.148)
— определенно знакомый результат (см. разд. 4f). Коэффициен-
ты при высших степенях % дают соотношения между Я5, es, fs
и hs> es, fs. Вспоминая, что es = {i/2)dei/dts-u мы получим все
соотношения Бэклунда для потоков семейства мКдФ. В этом
примере мы, конечно должны зафиксировать t2n, n=\, 2, ...,
ибо в противном случае мы не сохраним класс /i = —в\. По-
этому выражения, полученные с помощью вычислений коэффи-
циентов при нечетных степенях ?, удовлетворяются автомати-
чески и не дают нам новых соотношений Бэклунда.
Они играют одну важную роль. Вы можете спросить, почему
я смог выбрать у = tg(u-\- й)/4. Строго говоря, это совсем не
260 Глава 5
следует из того, что я рассказал. Однако, если вы взглянете на
коэффициенты при ?-' в E.146), вы обнаружите, что
ё2-е2 = а(ё1 + е1). E.149)
Теперь продифференцируйте E.147а) по х или t\ и умножьте
на i/2. Получится
h — е2 — Щ cos щ>х>
где мы воспользовались тем, что e2 — (i/2)de\/dti, и положили
У — *ё(ф/2). Теперь вспомним, что а = —щ cos ф, и поэтому
или
Поэтому введение v = tg[(« + «)/4] совершенно естественно.
Это не фокус и не обман!
Второй пример иллюстрирует преобразование Шлезингера
[86], [125]. На этот раз мы выбираем R таким образом, чтобы
асимптотическое разложение фундаментальной матрицы реше-
ний V имело канонический вид, заданный E.77), но к тому же
умноженный на матрицу
( -!-)•
V 2it /
щ
которая меняет монодромию в % = с».
Сначала позвольте привести ответ и изучить его ограниче-
ния. Как найти нужное R, я расскажу после. Возьмем
E.150)
fi 0
Канонический вид V есть
Х_х --±гХ+
E.151)
и, как я сказал, # была выбрана так, чтобы
j_). E.152)
9/Т /
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 261
Здесь Vc обозначает V, нормированную умножением на зави-
сящее от ? преобразование, с тем чтобы добиться канонического
вида (т. е. E.77) и E.151) с заменой %, а, р на т, а, р). Так как
= — 1, то ejl = l.
Но из E.152) и E.151)
^lT_
, E.153)
где %+ = x(tk + i/2kt,k), р_ = рD — i/2kt,k). Все экспоненци-
альные множители eT *k в Х+ и Х_ сокращаются. Теперь,
сравнивая E.150) и E.153), мы находим
сг+р_=т+т_, E.154)
р_т, —"jFT ^+P- == f i^ == Рт- E.155)
Но f 1 = еГ1 (det /? = — 1) означает, что
per = тт. E.156)
Мы находим (вспоминая, что х+х- — о+р-/4?2 = т2 из-за
detV=l)
f = or, р==т E.157)
и, раскрывая выражение
1__
получаем
5= — -х—Dt.o • о, E.158)
где Dtx — оператор Хироты. Записывая E.151) в терминах еь
fi и воспользовавшись тем, что e,fl = — Тц/т + т^/т, находим
(нижние индексы — это производные по t\ =x)
ё, = — е. + — + <#.. E.159)
Кроме того,
f,=-i-. E.160)
9 А. Ньюэлл
262 Глава 5
Теперь давайте представим, что нам захотелось применить это
преобразование Бэклунда — Шлезингера много раз. Пусть
(ei, fi) = (qn+u rn+i) и (et, fi) = (qn, rn).
Тогда последовательное применение преобразования Бэклун-
да, меняющего монодромию V на множитель
Г -4
V щ /
дает последовательность
I 'flX | о /С 1 С 1 \
rn+1 = -i-. E.161b)
Пусть qn = eUn. Тогда гп = е~и"—1 и E.161а) есть
"л**"""""-1 — e"n+l~"n. E.162)
Если мы обозначим x = it, это будут уравнения цепочки Тоды!
Итак, мы имеем замечательный результат, что цепочку Тоды
можно решить последовательным применением преобразований
Бэклунда определенного вида к иерархии siB, С).
Можно не добавлять, что уравнения Хироты для цепочки
Тоды — это
и (так как х = t\ = it)
On = -^ DfCfn-l • СГл-i = -g^ DfCfn-l • On-l-
Аналогия с цепочкой Тоды полезна потому, что она позволяет
следующим образом наглядно представить действие R. Допу-
стим, что мы считаем триплет {р, т, а} т-функциями цепочки
Тоды, связанными с положениями п— 1, п и п + 1, т. е. тл-1 = р.
Хн = т, Тя+1 = о. По правилам для цепочки Тоды т-функция в
точке п-\-2 задается выражением
1 2
^л + 2 о_ ^t^n + l ' T'n + l*
Давайте применим R. Будучи матрицей, R не действует непо-
средственно на скаляры. Мы будем поэтому обозначать буквой
R ее эффективное действие:
Связующие звенья между чудесами солитоннои математики 263
Применяя R к а, получим
что эквивалентно
Действие /? на функцию т„_2, заданную формулой A/2т„)Х
X Dt%n-i ¦ т„_1, состоит в сдвиге индексов на единицу и
дает т„_1. Итак,
/?{¦••, тп-1, т„, т,(+!, ...} = {..., т„, тп+1, т„+2, ...}. E.163)
Поэтому лучше всего считать, что R действует не на триплет
{р, т, or}, а на последовательность {т„}^от.
Наконец, я расскажу, как вычислять матрицы R, которые
изменяют монодромию в % = <х>. Попросту возьмем
E.164)
где суммировать надо от 0 до оо, и выпишем уравнения
о
t
Для коэффициентов при %-"¦ находим
п
К (К-г — hn_r) + brfn_r — сгёп_г} = 0, E.165а)
Е (М^л-г — hn_T) — cren_r + brfn_r} = 0, E.165b)
о
л
Е {Orten-r — ёа-т) — ЬгкК-т + К-т)} = 0, E.165с)
О
Е (б, (/я_г - h-r) + сг (/г„_г + Л„_г)} = 0. E.165d)
о
Чтобы изменить монодромию V на множитель
-2/g 0
О -^
поищем решение, для которого бг = 0, аг, рЛ, уг — нули при
г^=2 и ро = 7о = О. Теперь решим уравнения и найдем
<z0 = constant = —21, а{ =-¦ 21
264 Глава 5
Несложные вычисления показывают, что
Ля_, = Ля_, + у dtx dtn_2 In е„
и это дает
T = rei — or.
Другие соотношения E.157) и E.158) также выводятся прямым
вычислением. Подводя итоги, мы воспользуемся более удобными
обозначениями. Если
V^V+=R+V E,166)
EЛ67)
то асимптотическое разложение V+ имеет вид
1 I, E.168)
* ЛГ _ \ С\ *с. Г\
it /
0 ж
где
1+ = а, Р+ = т, or+ = —— Dfor-or. E.169а)
В терминах цепочки Тоды это запишется как
{..., т„_1( т„, т„+1, ...}+ =={..., т„, тп+1, тд+2, ...}. E.169Ь)
Заметьте, что последнее уравнение согласуется с E.67), третьим
уравнением в последовательности Хироты для т, а, р, потому что
Ща ¦ а = D)x+ ¦ т+ = —2а+р+ = - 2а+х.
Заметим также, что определитель /? постоянен и равен —1.
Из E.166) мы находим, что компоненты («i+, u2+) столбца
V+ связаны с соответствующим столбцом в V (напомним, что
е2 = i/2ei, t) соотношениями
g) ы2+ = -^-Ы1. E.170)
Дуальное преобразование
V-+V_=^RJf E.171)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 265
С
(° т \
/?-= ' « E.172)
изменяет монодромию У в точке ? = оо на множитель
1
V 2.
то есть
^-~Т-( ЛТ~ "^X+ff~V~^ M E.173)
и
1
х = р, ог_ = т, р_ = — -75— -05 Р • Р¦ E.174а)
В терминах цепочки Тоды это запишется как
{•••> *„_!, т„, т„+1, ...}_ = {. .., т„_2, т„_1, т„, ...}. E.174Ь)
Столбцы V- связаны со столбцами V соотношениями
2. E.175)
Читателю следует получить уравнения, аналогичные E.161).
Сейчас мы намерены использовать преобразования Бэклун-
да—-Шлезингера, чтобы выписать формулу Бэклунда для до-
бавления солитонов. Применяя ту же стратегию, что и в первом
примере, мы потребуем, чтобы R = RL было выбрано так, чтобы
один из двух столбцов Vl = RlV имел нуль в ? = а. Если взять
' E.176)
с а, Ь, с, d, независящими от ?, то это означает, что
(—2/а + а) щ + Ьи2 = 0, с«! + d«2 = 0. E.177)
Из преобразования Бэклунда
26G Глава о
которое в компонентах записывается в виде
-2/? (h-h) = bf — ёс, E.178а)
(—2? + а)е = &(Л + й) + г</, E.178Ь)
(-21Z + а) f = с (h + ft) + fd, E.178с)
ce = fb-d(h-h), E.178d)
мы получаем, вычисляя коэффициенты при степенях ?,
—2/ (Л2 - Aj) = е,/, - gj,,
, E.17У)
Г: 2le + ae ed
Из E.177), E.179) имеем
И
-2/ (Я2 - h2) = е,/, + -g- (_2/es + 2/ое, - е\^) = -^In
что получено после несложных вычислений, использующих урав-
нения, которым удовлетворяют и\ и и%, а именно
Щх = — '?«1 + е,Ы2> «2* = »S«2 + /l"l-
Так как li/t = (i/2)d2lriT:/dtidik-i, то это дает нам
t = TO!. E.180)
Мы также найдем
р = f,f = —^i • та, = — </тыа. E.181)
Мы вскоре покажем, что й? должна быть константой; нам удобно
выбрать ее равной —1. Окончательно
(a). E.182)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 267
Какой замечательный результат! Налицо близкое сходство меж-
ду формулами E.180) и E.182). Разница в том, что новая о
задана в терминах старых т, or, p и ии н2, которые были под-
вергнуты плюс-преобразованию Шлезингера. Рассматривая
снова E.181), мы найдем из E.175)
р = т«2 = х/1ы1_ = р«!_ = т_«,_. E.183)
Снова формула имеет тот же вид, что и E.180), только она
применена к (т, а, р) и (щ, и2), которые были подвергнуты
минус-преобразованию Шлезингера.
Причина, по которой d является константой, состоит в том,
что det V = — 2id(t,— а). Так как этот определитель к тому же
является вронскианом фундаментального решения для набора
уравнений Vtk = Q{k)V, он должен быть независим от всех вре-
мен tk- Выбор d = — 1 делает асимптотическое разложение для
V подобным асимптотическому разложению для V, за исклю-
чением множителя 2/(? — а) в первом столбце. Итак, в резуль-
тате применения
Ч *.-ь ' -J <5'84)
к V получаем VL, при всех k удовлетворяющую VLt =Q(l)Vl
cQ^W'Y' + V'h
RlQ = QlR; E.185)
кроме того,
xl = t«i (a)
) = T+«I+(a). E.186)
Вектор и\ обозначает тот столбец в V, для которого соответ-
ствующий столбец в Vl равен нулю при ? = а. Тогда м2 — это
другой столбец. При помощи подходящего линейного преобра-
зования мы будем, как правило, делать так, что левый столбец
в Vl будет иметь нуль; отсюда и употребление индекса L.
Теперь, поскольку после применения плюс (минус) преобра-
зования Шлезингера х+ = а (т_ = р), то мы можем обозначить
cri = T+i (pl = x-l). Тогда естественно переписать E.186) (обо-
значая т = то) так:
T_L = T_u,_(a),
rQL = rou1(a), E.187)
T+L — t+u,+(о).
268 Глава 5
Следовательно, преобразование Бэклунда, добавляющее связан-
ное состояние при ? = а, может быть выражено в простой фор-
ме, аналогичной D.99) для семейства КдФ, для которого задача
на собственные значения является скалярной (уравнение Шрё-
дингера), а не матричной задачей. Главная т-функция то пре-
образуется в точности, как D.99), а вспомогательные т-функции
т_(р) и т+(а) преобразуются подобным же образом после при-
менения соответственно минус- и плюс-преобразований Бэк-
лунда — Шлезингера.
Несложно выразить E.187) через операторы Х+ и Х-, дейст-
вующие на прежние т, а, р, потому что нам известно, как вы-
ражается и (а) через эти величины. Вспомним, что каноническая
форма V задавалась в E.86) формулой
E.188)
Х+х J
V- и V+ имеют асимптотический вид
Х+а_ \
E.189а)
E.189b)
соответственно. Следовательно, если в качестве (щ, м2) взять
линейную комбинацию столбцов V в E.188), то в качестве
(«i_, и2_) и («1+, U2+) следует взять ту же комбинацию E.189а)
и E.189Ь) соответственно.
Пример: построение односолитонного решения. Применим
один раз это преобразование, начиная с тривиального решения
% = 1, ог = р = О. Пусть (щ, и2) — линейная комбинация из А,
умноженного на первый, и В, умноженного на второй столбец
матрицы V. Тогда
pL ==%L = --A-X_ (a) ¦ т_ + ВХ+ (а) ст_ = ВХ+ (а) • 1 E.190а)
(потому что т- = р есть нуль и а- = х = 1),
(<z)-1 E.190b)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 269
И
<?l = t+l = 0. E.190с)
Следовательно, pL = В ехр (/ ]? <*%)¦ xL = А ехр (— i 2 <Л*)>
О? = 0. Это соответствует решению
ei = 0, /.-^-ехр^^А) E.191)
иерархии уравнений.
Точно так же можно создать нуль определителя RV в точке
? = а, если применить
1 е, = -^ (а) Л
E.192)
/, 2f? - 2m - f,?, /
к У. Соответствующие величины суть
^д = ^од = to«2 (а).
Ря = т_я = т._ы2_(а), E.193)
Снова я напоминаю читателю, что если мы возьмем в качестве
(«1, Ыг) линейную комбинацию столбцов канонической матрицы
V, заданной E.188), то в качестве и_ и и+ следует взять ту же
линейную комбинацию столбцов E.189).
Теперь применим E.193), где исходные т-, то, т+(р, ?, от) за-
даны E.190). Несложные вычисления показывают, что
*+(?)•*+(?')/('*) =
= EЛ94)
где мы использовали тождество
) • EЛ95)
Мы возьмем в качестве и2 в E.193) следующую линейную ком-
бинацию: С, умноженное на первый, плюс D, умноженное на
270 Глава 5
второй столбец матрицы V. Находим (мы опускаем индекс R
У т, а, р):
о = A ~ тГ СА ехР (~' Е <а* - **> '0 ехР (~я Z *
E.196)
Это односолитонное решение иерархии АКНС. Если мы рас-
смотрим специальный случай r = —q*, то а=а*, и при выборе
—
уравнения таковы:
е, = -2л sech (x J] (afe - ak) tk + 2Tjjf0) X
/, = 2л sech (/ J] (aft - a*ft) tk + 2щ0) X
<5Л97>
Читателю следует также проверить, что формулы E.196) экви-
валентны формулам, которые получаются из метода Хироты
E.70). Они не совпадают в точности, но отличаются лишь экспо-
ненциальными множителями с линейной по tk фазой, которые
не играют роли ни при вычислении отношений a/т, ни при вы-
числении вторых логарифмических производных.
Заметьте, что в точности, как в случае КдФ (см. разд. 4f),
сдвиги фазы появляются в виде множителей при последователь-
ном применении вершинных операторов.
Итак, в результате калибровочное преобразование
V~>RR (ая) ...RR (a,) RL («„) ... RL (a,) V
добавляет к решению иерархии АКНС связанное состояние
(N, R), которое при M=N является ЛЛсолитонным состоянием.
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 271
В качестве заключительного замечания в этом разделе ис-
следуем действие повторных преобразований Бэклунда — Шле-
зингера на точное решение в виде связанного состояния (.V, N).
Предположим, мы нормировали решение V так, что оно записы-
вается в форме E.100а).
В частности, ?-' во второй компоненте вектора V2 и в первой
компоненте вектора Vi равны соответственно (i/2)fl и —(i/2)ei,
где последние как функции от х имеют форму решения, отве-
чающего связанному состоянию (N, N). Применим R+, плюс-
преобразование Шлезингера. Но из определения плюс-преобра-
зования Шлезингера мы знаем, что его действие состоит в изме-
нении монодромии V в точке ? = оо на множитель
(
:
U
Это означает, что новое V имеет вид (—2i?Vi, (l/2i?)V2), где
Vj и V2 заданы E.100а) с векторами С^, C2ft, заданными точно
теми же выражениями, как и прежде, где ряды е, f, h заменены
новыми рядами ё, f, h, полученными после преобразования
Шлезингера. Читатель может проверить, например, что происхо-
дит с вектором
V
при умножении на
Находим
/ а т
\ etfi In в,
2? J " 21, 3/,
I Of- 1 О?" Л* yi
¦rN+l
2?2 Глава 5
Вспомните, что fi = 1/ei, и проверьте, что
X X
i Г , id, i Г ~
гг Sе^ ~ жжln ei=ж )е if
используя h2 —h2 — (i/2)(d2/dt2i)\nei (см. непронумерованное
уравнение после E.165)). С другой стороны,
Поэтому новая матрица V соответствует решению ёи fi, отно-
сящемуся к связанному состоянию (N -\- I, N— 1). После N при-
менений /?+ второй столбец новой V имеет второй столбец I ( I,
что означает, что новое еи которое мы называем q-^ (первое
ех — это q, второе e\=q\ и так далее), есть нуль. Но из E.161)
мы знаем, что последовательное применение N преобразований
R+ дает решение для цепочки Тоды между точкой, помеченной
нулем, и точкой, которую мы называем N.
Следовательно, если q — это решение, отвечающее связан-
ному состоянию (iV, N) иерархии АК.НС, то движение помечен-
ной нулем точки в цепочке задается пространственной формой
решения q. Далее, точка, помеченная N, будет иметь решение
<7дг = О, которое означает, что ujj, определенное с помощью
expu-jj = q-ft, равно —оо. Поэтому последовательное применение
плюс-преобразования Шлезингера к связанному состоянию
(N, N) дает последовательность qr, O^r^iV, qo = q, причем
форма последнего решения как функция х описывает движение
во времени точек с номерами от нуля до N в конечной цепочке
Тоды со свободными концами.
Набор дифференциально-разностных уравнений, ассоцииро-
ванных с si (л -f- 1, С)-потоком посредством преобразования
Шлезингера, еще не вычислен.
Мы опять вернемся к теме преобразований Бэклунда в кон-
це разд. 5j. Там я покажу, как они соотносятся со схемой «оде-
вания» Захарова — Шабата и с методом редукции.
5h. Замечание о градуировке. В общем случае алгебра Ка-
ца — Муди А\1) может быть определена заданием шести порож-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 273
дающих элементов р0, р\, qo, q\, r0, r\ (для алгебры, ассоцииро-
ванной с sl(«+l. С), нам бы потребовалось 3(n-f 1) таких
элементов) и их коммутаторов следующим образом:
[Pi, Р/] = 0,
[Pt, <7/] = Atlqt,
[Pi, r,\ = - Atlrh
ad],'*" qi = adlr~Atir, = 0, E.198)
где Ац — это элементы обобщенной матрицы Картана (J ~2Л
алгебры Л',1', по повторяющимся индексам нет суммирования.
Выражение ad? li qi означает \qu [qt, .... [qit qt]]], где ком-
мутатор применяется 1—Ац раз (в нашем случае три раза),
т. е. [qit [qt, [qi, q,] ] ] = 0, 1ф\. Например, рассмотрим отожде-
ствление
Ро Рг ,о Я, г г,
-H + Z И Ft, E ЕГ F.
Правила коммутирования E.198) согласованы с правилами,
установленными для X,- = h/F,- -f e,-?;- + f,Fj при Hs = t,-'H, E,- =
= t,-lE, Fj = t,-iF. Заметьте, что элемент po-\-pl=Z коммути-
рует со всеми другими; он называется центром. Обратите вни-
мание, как порождаются новые элементы; Hi или ?;# получа-
ется с помощью [qu qo]; F2 или Z,~2F с помощью — -^-[[^ь ^0]. Яо]
и так далее. Читатель может проверить, что последнее условие
из E.198) удовлетворено.
Когда центр Z добавлен к базису петель {Н), Es, FjYl^,
новый набор называется центральным расширением алгебры пе-
тель siB, С).
Каждому порождающему элементу мы хотим приписать вес
W так, чтобы это согласовывалось с правилами коммутации
E.198). Например, мы могли бы сделать это следующим спо-
собом:
Pa Pi Яо <7i Го Гу
0 0 10-10 E-200а)
Приняв правило, что вес коммутатора есть сумма весов входя-
щих в него элементов, мы замечаем, что приписывание ве-
сов— действительно непротиворечивая процедура; например,
W([ ]) = 0=W(pi). Сравнивая отождествление E.199) с
274 Глава 5
E.200а), получаем выражение для эквивалентного приписыва-
ния весов в случае нашего базиса:
Н Е F %
oooi (
Заметьте, что каждое из слагаемых
имеет равный вес. Это называется однородной градуировкой.
Но есть другие возможности. Рассмотрим приписывание
весов
Р° Pl Ч° Г° ГХ E 201а)
0 0 11-1-1 E.201а)
которое может быть достигнуто тем же отождествлением
E.199)
0 0 11-1-1 E.201Ь)
— H + Z H Ft, E EC1 F
Но теперь мы приписываем веса
= 0, W(E)=l, W(F)=>-1, W(l) = 2 E.201c)
H, E, F и градуирующему параметру ?.
Как связаны две градуировки? Рассмотрим отображение,
действующее на элемент общего вида X (?) = ? (hj
оо
' алгебры si B, С),
i-)xotC О- E-202а)
в котором мы отождествляем коэффициенты при Л/, еь //:
E.202Ь)
E.202с)
FC'-^FK'21'1. E.202d)
Используем это отождествление, чтобы приписать новые веса
Я, Е, F, t, в левой части при условии, что в правой части веса
таковы: W(H)= W(E)— W(F) = 0, W(X)=\. Ясно, что веса
должны совпадать с E.201с). И не удивительно, что существует
изоморфизм между двумя элементами siB, С), даже несмотря
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 275
на то, что базисные векторы и градуирующий параметр имеют
другие веса.
Но как это отличие может повлиять на динамику? Дело в
том, что разные градуировки порождают различные разложения
алгебры. В первой градуировке члены h0H, е0Е, f0F все имеют
один вес, именно нуль, и поэтому приписаны к N. Они также
принадлежали пространству N* = KL, которое было фазовым
пространством. Во второй градуировке члены еоЕ и f0F принад-
лежат разным подалгебрам, первый имеет вес единица и при-
надлежит N, в то время как последний имеет вес —1 и поэтому
приписан к К- Теперь вспомним, что это в точности разложение,
использованное в третьем примере в конце разд. 5с, а именно:
-м
N = Е (Л/Я + SjE + fjF) t,~! -f Л0Я -f e0E, M произвольно,
-i
К = E (Л/Я + e,E + fjF) g"' + foF.
l
Заметим, что все члены в N имеют веса, большие или равные
нулю; члены в К имеют веса, меньшие или равные —1. Элемент
общего вида, принадлежащий фазовому пространству К1,
оо
Q = h0H + foF + Е (Л/Я + е,Е + f/F) g,
i
может быть записан в более подходящей форме,
оо оо
<?==*, +Y>/Z2/+Y4-(-// + */+¦>" '
E.203)
I, ii ¦ Ал
В E.203)
~
а нижние индексы обозначают обратные веса каждого члена.
Читатель также вспомнит, что в разд. 5с(ш) мы брали /го = О,
—/о = 01 = 1, и этот выбор был согласован с введением времен-
ных потоков.
276 Глава 5
В то время как первая градуировка естественно приводит
к семейству нелинейных уравнений Шрёдингера (НУШ), вторая
градуировка столь же естественно приводит к семействам КдФ
и мКдФ. Я сознательно употребляю слово «естественно». Семей-
ство НУШ, конечно, содержит в себе семейства КдФ и мКдФ,
но, чтобы их выделить, надо налагать ограничения на фазовое
пространство (fi = —1 для КдФ или fi = ±e\ для мКдФ). Во
второй градуировке эти уравнения появляются без наложения
каких-либо связей. Единственная наложенная нами связь (ко-
торая выглядит несколько произвольно) — это выбор ho = О,
аналогичный выбору ho = —i, eo = fo = O в уравнениях, связан-
ных с первой градуировкой. Этот сравнительно небольшой про-
извол может быть устранен, если использовать фазовое про-
странство г-j-K1 вместо /С1, где е — отмеченный элемент, вы-
бранный (с некоторыми ограничениями) в двойственном к К
пространстве К*. В разделах 5i, 5j мы еще встретимся с этой
идеей.
В качестве заключительного замечания к этому разделу мы
упомянем, что все независимые способы градуировки алгебры
петель si B, С) определяются автоморфизмами si B, С) конеч-
ного порядка. Автоморфизм от конечного порядка есть отобра-
жение на алгебре, сохраняющее скобку Ли, т. е. [а(Х), a(Y)] =
— о([Х, Y]), X, FeslB, С), такое что ат равняется единице
при некотором целом т. Все такие отображения суть преобразо-
вания подобия а(Х) — аХагх для некоторого а в siB, С), ат = /.
Для si B, С) заметьте, что при а — Н а действует как линейное
преобразование на пространстве Я, Е, F и разбивает его на два
подпространства а(Н) = Н, о(Е, F) = (—Е, —F). Заметьте, что
в E.203) элементы Н и Е, Р появляются как соответственно
четные и нечетные степени взвешивания.
5i. Вторая гамильтонова структура. Я начну с напоминания
читателю, что гамильтонова структура, введенная в начале
разд. 5с, и вариационная гамильтонова структура, введенная
в разд. ЗЬ и с помощью E.56), E.57) в конце разд. 5с, совер-
шенно различны. Вспомните вариационную гамильтонову струк-
туру, введенную в разд. ЗЬ для иерархии КдФ, а именно
где N и М задаются C.6). Две симплектические структуры N
и М локальны (хотя также вырождены) в том смысле, что при-
менение любой из них к элементу фазового пространства (т. е.
к элементу дифференциальной алгебры, содержащей q и все
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 277
производные q по х) не выводит за пределы этого фазового про-
странства. С другой стороны, вариационная гамильтонова струк-
тура для иерархии АКНС, оказывается, не допускает введения
двух локальных структур. В разд. 5d мы показали, что (а = еи
E.205)
и в [75] было показано, что это может быть записано как / V Нп,
где
V \6q • 6r
и Нп является интегралом движения, пропорциональным коэф-
фициенту при ?-" в асимптотическом разложении 1па(?;) вблизи
? = оо (см. разд. 5f(i)). Оператор L был выписан в разд. 5d, и
хотя E.205) можно записать в форме
n_2 и т. д.,
но симплектические операторы JL, JL2 и т. д. более не являются
локальными, они выводят нас за пределы исходного фазового
пространства, которое вариационной гамильтоновой струк-
туры состоит из q, r и юизводных всех порядков по х.
Поэтому интересно, что гамильтоново описание, связанное
с алгебраическим подходом разд. 5с, вполне естественно позво-
ляет ввести две локальные структуры. Вторую структуру мы по-
лучим, если определим форму Киллинга или внутреннее произ-
ведение (X, У> на G как коэффициент при ?-', а не при t,°, в
выражении для следа произведения XY. Эту форму мы будем
обозначать (X, У>_ь Если мы теперь чуточку подумаем, то пой-
мем, что К1 = К (и так же N1 = N). Как и раньше, существует
естественная гамильтонова структура на Кх, которая перено-
сится также на KL-\-г, где е — фиксированный элемент G. Мы
выбираем элемент е таким образом, чтобы он содержался в
ортогональном дополнении как к [К, К], так и к [N, N]. Он
несомненно принадлежит к последнему, поскольку написав
е + KL, мы уже указываем, что е не принадлежит К1. Поэтому
он должен принадлежать N1- и ортогональному дополнению к
[N, N]. Это может быть, только если e = Xt,°, так как [К, К]
содержит лишь члены ?р, р ^ —2, а [N, N] содержит лишь чле-
ны t,", /?^0; (новое) внутреннее произведение е с тем и другим
равно нулю.
278 Глава 5
Если е удовлетворяет этому условию и если Ф — это ad-инва-
риантная функция на G, то гамильтоново векторное поле за-
дается с помощью
Хф (X + в) = [ЯКЧФ (X + е), X + г]. E.206)
Более того, если ф и W — две ad-инвариантные функции на G,
то они находятся в инволюции по отношению к скобке Пуассона
на К1 + е. Для наших целей мы берем
8 = - 1Н~; Ф, = - 4-(SkX, X\=-±(Sk~lX, *>_,, E.207)
где индексы 0 и —I обозначают, какое внутреннее произведение
мы выбираем. Тогда Ф^+i — это гамильтониан, порождающий
поток вдоль tk- Тогда для Р е /Сх = К потоки задаются с по-
мощью
Ptk = - [%сУФ*+1 (е + Р), е + Р] =
- [nNSk (е + Р), г + Р] = [Q<4 в + Я]. E.208)
Это в точности те же уравнения Лакса, что и E.52), если
8 + P-Q.
Основные различия между двумя подходами, связанными с
двумя гамильтоновыми структурами, таковы: (i) гамильтонианы
сдвинуты; (И) элемент ?°, который постоянен вследствие ха-
рактера действия потоков в первом подходе, фиксирован раз и
навсегда во втором. В нашей первой градуировке е = —Ш,
тогда как во второй градуировке, введенной в разд. 5h, e =
= —F-\-E/t,. Выбор второй гамильтоновой структуры позволяет
избежать того, что выглядит как довольно произвольный выбор,
вроде е0 = fo = 0 в разд. 5с и Ао = 0 в разд. 5h. Тем не менее
хочу подчеркнуть, что между этими двумя структурами нет су-
щественной разницы, нет также значительных преимуществ ис-
пользования одной структуры вместо другой.
В следующем разделе, в котором мы обсудим процедуру ре-
дукции, мы пользуемся первой структурой, где Кх = N*
+ Ё Х?Ч, K' = N± (х == X) X?f) и элемент е, принадле-
жащий К*, есть —iHt,. Характерным элементом нашего фазового
пространства теперь будет использованная ранее матрица Q,
умноженная на %:
где Q, Qi, Q2 и т. д. в точности такие, как раньше.
Связующие звенья между чудесами солитонний математики 279
5j. Метод обратной задачи и задача Римана — Гильберта,
алгебраический подход. Я надеюсь, что к настоящему моменту
вы уже убедились, что особые свойства, которыми наделены
интегрируемые системы, являются по своему характеру алге-
браическими. Поэтому уместно спросить, существует ли алге-
браическая аналогия метода обратной задачи или задачи Ри-
мана — Гильберта. Она существует. Основная идея в том, что
уравнение Лакса E.52) является редукцией более простого по-
тока на большем многообразии, причем редукция осуществля-
ется при помощи интегралов движения более простого потока
и соответствующих им симметрии с целью получить меньшее
фазовое пространство. За меньшее фазовое пространство при-
ходится платить тем, что простой поток уже не выглядит столь
простым.
В разд. 4с я отмечал, что каждой симметрии гамильтоновой
системы отвечает интеграл движения (теорема Нётер) и наобо-
рот1). Хорошо известные симметрии, вроде инвариантности га-
мильтониана относительно трансляций или вращений, приводят
к законам сохранения импульса и момента количества движе-
ния. Группа симметрии соответствует векторам импульса и мо-
мента количества движения, компоненты которых являются ин-
тегралами движения и которые находятся в инволюции друг с
другом относительно скобки Пуассона на динамическом много-
образии. Теорема такова: если существует п независимых сим-
метрии и, следовательно, п интегралов движения в инволюции,
то 2п из 2т переменных фазового пространства можно исклю-
чить. Если п = т, то фазовое пространство редуцируется до
одной точки и движение полностью интегрируемо. Такая си-
стема называется полностью интегрируемой. Эта классическая
теорема была исследована в более общей постановке Марсденом
и Вейнстейном [88], а процесс исключения переменных с по-
мощью симметрии назван редукцией. Грубо говоря, метод со-
стоит из нескольких шагов. Чтобы получить более полное пред-
ставление, читателю следует почитать книги Абрахама и Марс-
дена [84], В. И. Арнольда [105] и новую книгу Марсдена,
Ратью, Вейнстейна, Шмидта и Спенсера.
Пусть нам дано симплектическое многообразие Р с группой
симметрии О, действующей на Р каноническими преобразова-
ниями, т. е. действие G сохраняет 2-форму со на Р. Пусть G —
алгебра Ли группы G, a G* — пространство, двойственное к G.
*) Речь идет о симметриях, сохраняющих гамильтониан. Если же пони-
мать симметрию как уравнение, коммутирующее с исходным, то соответ-
ствующих интегралов движения может и не существовать. Примером может
служить преобразование подобия. — Прим. перев.
280 Глава 5
Тогда отображение моментов J, приписанное к точке многооб-
разия Р, принимает значение в G*; а именно, / есть вектор, при-
надлежащий G*, перечисляющий все интегралы движения. На-
бор уровней J~l(n), т. е. набор точек р в Р, для которых J(p) =
— ц, является многообразием и инвариантен относительно ко-
присоединенного действия подгруппы изотропии Од группы G;
а именно, Gp,— это набор g e G, такой что (в матричном пред-
ставлении) gug-1 = [х. Тогда теорема Марсдена—-Вейнстейна
утверждает, что факторпространство Рр, = J~ {^/G^ — это сим-
плектическое многообразие со своей симплектической формой
Ыд, индуцированной со. Рр,— это редуцированное фазовое про-
странство. Кроме того, если Ф — функция Гамильтона на Р, ин-
вариантная относительно действия G, то она индуцирует гамиль-
тониан Фр, на Рр,. Если Ft — поток гамильтонова векторного
поля, соответствующего Ф, то из-за Ас1*-эквивариантности /
(Ас1*-эквивариантность означает, что J (g ¦ р) = Ас1^_lJ(p)==
=glig~l,rA? g-p обозначает действие G на Р) набор уровней
1~1{\х) инвариантен относительно Ft и Ft индуцирует поток F?
симплектических диффеоморфизмов на редуцированном много-
образии Рр,. Вторая часть теоремы Марсдена — Вейнстейна
утверждает, что F*t является потоком гамильтонова векторного
поля, соответствующего Фр,.
Мы будем использовать также второй тип редукции, пуассо-
нову редукцию. Если задано симплектическое многообразие Р
с канонической группой симметрии G, то фактормногообразие
Р/О имеет естественную скобку Пуассона, индуцированную
скобкой Пуассона на Р. Более того, гамильтоновы векторные
поля, соответствующие Ф на Р и ф на P/G, Ф([р])|=Ф(р)
([р]—^эт0 класс реР на P/G). связаны проектирующим ото-
бражением Р->Р/О, которое, если оно каноническое, сохраняет
скобки Пуассона.
В нашем случае мы берем в качестве исходного многообра-
зия T*G~, кокасательное расслоение группы G, т. е. группы Ли
алгебры петель G = slB, С). (Под этим я имею в виду, что
каждый элемент G является экспонентой exp t% некоторого эле-
мента | в алгебре. Последующие рассмотрения, связанные с
преобразованиями Бэклунда —Шлезингера из разд. 5g и об-
суждаемые в резюме этого раздела, наводят на мысль расши-
рить группу G, включив в нее некоторые дискретные симметрии
в дополнение к непрерывным, наподобие включения отражения
при построении 0C) из soC). Но настоящее определение удов-
летворит наши насущные цели.) Многообразие T*G является,
естественно, симплектическим и состоит из базы G, над каждой
точкой g которой висит слой, т. е. пространство, двойственное
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 281
к касательному пространству в точке g. На языке классической
механики, G — это набор координат q, касательное пространство
в точке g— это набор скоростей q, а слой—это пространство
импульсов р. Всякий элемент g группы G может быть единствен-
ным образом разложен в произведение (аналог задачи Рима-
на — Гильберта)
g = k~ln, E.209)
где k и п — экспоненты от элементов, принадлежащих подал-
гебрам К а N соответственно. Запись левого множителя в виде
обратного выбрана из соображений удобства. Группой симмет-
рии, с помощью которой мы осуществляем редукцию Марсде-
на —Вейнстейна на фазовом пространстве T*G, будет К — под-
группа, соответствующая К- Редуцированным многообразием бу-
дет Л?Х(е + N*), где е — это единственный отмеченный элемент
в К*, который вскоре будет указан. Тогда тривиальное приме-
нение пуассоновой редукции с помощью N редуцирует наше
многообразие до e-\-N*, фазового пространства разд. 5с. Вре-
менные потоки в s + N*, порождаемые определенными в E.48)
гамильтонианами Ф/, могут быть «проинтегрированы» и дают
Q@) =*(*/) (-*#)*-'('/), E-210)
где К~1—левый множитель в разложении элемента g(tj). Мы
увидим, что g(tj) очень просто эволюционируют во временах,
g(t,) = exp(-iZt!t,H)g0, E.211)
где g0 = k~l @) и Q @) = А: @) (—Ш) krl @).
Мы проделаем эту процедуру за пять шагов. Во-первых, мы
тривиализуем расслоение T*G, представив его как GX О*, и по-
средством этого наделим его координатами. Во-вторых, мы возь-
мем наши исходные гамильтонианы ф, из разд. 5с, которые
Ас1*-инвариантны на G*, и расширим их определение на все рас-
слоение T*G. Мы затем используем естественную симплектиче-
скую структуру на T*G, чтобы определить поток, порожденный
Ф/. Поток на T*G будет очень походить на поток, действующий
в силу E.98) на матрицу рассеяния. В-третьих, мы найдем поток
на редуцированном многообразии JVX(e + Af*) (N — это под-
группа G, ассоциированная с подалгеброй N, а ./V* двойственно
к N) с канонической симплектической структурой. Тогда пуас-
сонова редукция к е + N* тривиальна. Типичный элемент вто-
рой компоненты в jVX(e + -^*). который есть матрица Q (см.
E.45)), помноженная на ?, будет эволюционировать согласно
E.210) и удовлетворять уравнению Лакса E.52). В-четвертых,
мы отождествим k(t,) из E.210), обратную степень левого мно-
282 Глава 5
жителя элемента g(tj), с матрицей V(tj), определенной в
разд. 5е.
Наконец, на пятом шаге мы обсудим, как решить уравнение
Лакса E.52) алгебраически. Наиболее важный шаг, как мы
увидим, — это разложение группового элемента g в k~ln. Это
разложение и есть алгебраическая аналогия задачи Римана —
Гильберта, которая, как вы помните, явилась главным шагом при
построении фундаментальной матрицы решений ф из данных
рассеяния в разд. 5f(i). Найдя k, мы получим решение уравне-
ний Лакса. Из-за того что эти шаги требуют введения целого
ряда новых математических идей и обозначений, я попытаюсь
обсудить результаты на языке, уже знакомом читателям этой
книги. Читателя, который заинтересуется дальнейшим изучением
деталей, я отсылаю к четвертой статье из нашей серии «Алгебра
Каца — Муди и солитонные уравнения» [38].
Я хочу отметить, что замечание о том, что потоки АК.НС яв-
ляются редукциями более простых потоков на больших много-
образиях, не является введенной нами новинкой. Я сошлюсь на
статьи Реймана и Семенова-Тян-Шанского [106]; эти идеи так-
же весьма близки к идеям, которые использовали Костант,
Каждан, Стернберг [100], Мозер [107] в связи с цепочкой Тоды,
системами Калоджеро и Мозера — Сюзерленда; они также тесно
связаны со схемой одевания Захарова — Шабата [108]. Мы
(Флашка, Ратью и автор) впервые включили в общую картину
потоки, которые соответствуют отрицательным временам tk,
й<0 (потоки уравнения sin-Гордон). Я буду это обсуждать
в следующем разделе. А сейчас я хочу поподробнее разработать
шаги от первого до пятого.
Шаг 1. Мы осуществляем (правую) тривиализацию расслое-
ния T*G, отождествляя его с C?XG*, где G* — пространство,
двойственное к алгебре Ли G = TeG~, т. е. к пространству, каса-
тельному к G в единице этой группы. Отождествление произво-
дится следующим образом. Берем кривую е^, ^eG, проходя-
щую через единицу группы G, и берем ее касательный вектор
(af/af/)e^|^=o в этой точке. Перенесём касательный вектор с по-
мощью правого действия g и назовем этот элемент TeRel. В мат-
ричном представлении, когда ?eslB, С) и определитель g рав-
няется единице, Te_Rgl— это просто lg. Затем мы задаем для
элементов \ie^.T*G, лежащих в слое над g, координаты (g, ц),
ц е G*, где
<(i, ?) = <цв, TeRg%), E.212)
а <•, •> — это спаривание между G и G*. Правая часть может
быть записана как (T*RgyLg, |>, откуда ц = T*Rgpig; т. е. ц явля-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 283
ется элементом G*, слоя в единице, который под действием пра-
вого переноса с помощью g переносит (е, ц) в цв.
Шаг 2. Пусть Ф(ц) — Ас1*-инвариантная функция на G*, т. е.
Ф(?Г'ц?) = Ф(ц)- Как вы помните, в разд. 5с мы очень скоро
отождествили G* с G, ибо на самом G можно было ввести внут-
реннее произведение. В этом случае Ф(Х) была Ас1*-инвариант-
ной на G функцией, если <D(etYXe-tY)= Ф(Х) для всех X, Y <= G
и вещественных t. Это условие выражалось как [VO(X), Х] = 0.
Здесь такое же обозначение расшифровывается так: Ф — это
АA*-инвариантная функция на G*, если Ф (e~tYXetY) = Ф (X) для
всех ХеС, Уеб. Мы расширяем Ф(ц) на Т*Ь следующим
образом:
E.213)
Теперь можно работать с потоком, заданным на Т*О\ детали
даны в [38, IV]. Это просто прямолинейное движение
|i = 0, E.214а)
?7^ (
которое в матричных обозначениях записывается в виде
S = ^g. E.214c)
Здесь 6Ф/6ц, элемент из G, — это градиент ф по |я, т. е.
= <6Ф/6ц, (i>, где ?>Ф(ц)—производная Фреше ф по ц. Инте-
грируя E.214), получим
I* = |*о, E.215а)
? = exp(/-J?)ff0. E.215Ь)
Обратите внимание на связь с временным потоком для перемен-
ных действие — угол. Переменные действия (новые импульсы)
есть интегралы движения, тогда как аргументы новых коорди-
нат, угловые переменные, меняются линейно по времени. Это в
точности подобно поведению данных рассеяния в E.98). Без
потери общности можно взять —iHt, в качестве матричного
представления для ц0. Далее, если Ф(ц)— это Ф/_ь т. е. t,~l+K
компонента в разложении —(h2-\-ef), то это А<1*-инвариантная
функция, и по отношению к форме Киллинга <•, ->0
5Ф,
E.216)
284 Глава 5
Далее, как функция всех времен
o- E.217)
Шаг 3. Теперь доведем до конца симплектическую редукцию
расслоения T*G с помощью К и элемента е, принадлежащего
К* = K-L. Оказывается, более удобно использовать первую га-
мильтонову структуру и выделенный элемент е, равный -—/#?.
Я не буду проделывать все вычисления подробно, а просто
вкратце изложу результаты. Для более подробного обсуждения
читателю следует обратиться к [38, IV].
Как уже было упомянуто, мы тривиализовали T*G, взяв
его в виде G~XG*. Пусть ср — отображение, которое приписы-
вает координаты (g, (i = T*eRgng^ элементу ng в T'G. К — это
группа симметрии, с помощью которой мы будем редуциро-
вать_Г*С К действует слева на T*G, и в тривиализации для
(Kg, ц)-»(*?, Ad;_,n), E.218)
что в матричном представлении есть (kg, kpik^1). Отображение
моментов для левого действия К на Т*О
J: T*G-+k*
записывается в координатах в виде
I*,-"!*!*, E.219)
где (i |^ означает, что ц = T*eR \x должно лежать в К* и поэтому
должно быть ограничено на К. Если мы отождествим G* с G,
К* с N-1, то это означает, что внутреннее произведение ц\к с
любым элементом ./V есть нуль. При тривиализации отображе-
ние моментов есть
7 = /-ф-1:(г, ц)-»ц|*. E.220)
Теперь введем набор уровней 7-1(е) для элемента е, принадле-
жащего К* = N1.
что из-за отождествления G* и G можно записать как
r'(8) = GX{e + v}, E.221)
где v—-это любой элемент К1-
Затем мы определим подгруппу изотропии Ке элемента е.
Можно показать, что это есть К- Важно, что е выбран так, что
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 285
г\[К,К1~®- Тогда в 7""'(б)//С8 всякий элемент (g = K~ln, e + v)
набора уровней 7-1 (е) эквивалентен при действии К элементу,
у которого первая координата лежит в N, т. е.
Я уже говорил, что удобно писать g как k~ln. Но что такое Л?
Чтобы отделить k~l от k~ln в первом элементе, естественно по-
действовать k на (k~ln, e + v). Но мы уже знаем, что действие
это таково:
k (k~ln, е + v) = (n, Ad;_, (e + v)). E.222)
Нетрудно показать, что Ad^_i(e + v) также принадлежит
s-\-N*. В матричных обозначениях это k(e-\-v)k~]; ясно, что
как k, так и k~l могут быть записаны в виде рядов по степеням
Хг'> начиная с единицы при / = О, и так как e + v принадлежит
e + N*, то ^(e + v)^" тоже принадлежит e-j-iV*.
Последняя (пуассонова) редукция, осуществляемая с по-
мощью правого действия N, попросту убирает групповой элемент
п из N Х(е_+ N*). Из-за того, что действие К коммутирует с
действием N (они действуют с разных сторон) и N оставляет
7~' (е) неизменным, то эта редукция тривиальна. Следовательно,
элемент общего вида в редуцированном фазовом пространстве
е + /V* = е + К1 задается формулой k (e -f- v),^-
Временные потоки k и e + v задаются E.215а) и E.217);
а именно, k~l(tj) — это левый множитель элемента
ехр (— i X tjt/H) g0, a e + v — интеграл движения, выбранный
нами в виде е = —Ш%. Следовательно, движение точки ц, ко-
торую мы обозначали t,Q(tj), в редуцированном фазовом про-
странстве е + /V* будет (после выбрасывания множителя ?) та-
ким:
iH)k-x(t,). E.223)
Шаг 4. Сейчас полезно отождествить элемент k(t,) с элемен-
тами, которые нам уже встречались. После несложных вычисле-
ний перепишем E.223) в виде
Qtj = [ktjk-\Q\ E.224)
Но из E.217)
gtj = - ttJHg = - k-'kttk-'n + kntr
что записывается также в виде
Vk (— iH) k~l = - kt.k~l + nt /n E.225)
286 Глава 5
Каждый член в E.225) — это элемент G. Возьмем проекцию на
/V и найдем
тл~1 = П t'k (- Ш) ^ = П S'Q (ti) = QU) E.226a)
' N N
в согласии с C.48) и E.52). Следовательно,
ktj = Q</>? + k {iHt>). E.226b)
Теперь вспомним собственную функцию V из разд. 5е. Чтобы
вычислить ее асимптотическое разложение, мы записали ее как
Рехр(—i^tJtjH), где V удовлетворяет E.226Ь). Фактически
(см. E.88)) Q = V (- Ш) F = V (— Ш) V~\ потому что экспо-
ненциальный множитель в V коммутирует с Н. Поэтому элемент
k— это просто V, т. е. левый множитель V, записанный в виде
асимптотического разложения вблизи ? = оо. Затем посмотрим
на соотношение E.224). Это
Qtl = [QuKQ] E.227)
— уравнение Лакса E.52) для семейства siB, С). Итак, времен-
ные потоки элемента ?Q, принадлежащего е + /V*, полученные
как редукции линейных потоков на T*G, те же самые, что и
определенные с помощью гамильтоновых векторных полей в
разд. 5с.
Шаг 5. Как нам «решить» E.227)? При заданном Q@) вы-
числим матрицу k@), которая определяется с помощью
Ad;_I(o)(-tfO = Q@), E.228)
т. е. k@)(—iH)k"l@) = Q@). Именно тот факт, что мы всегда
можем найти такую k@), для которой матрица ?Q@) будет по-
добна —Ш%, и позволяет нам взять е = —/#? без потери общ-
ности. Мы можем также взять п@)=1; определенная таким
образом матрица &@) не будет единственной, так как она мо-
жет быть умножена справа на любой множитель, коммутирую-
щий с Я. Но это не важно. Мы можем взять любую k{0) в этом
классе эквивалентности, так как коммутирующий с Н правый
множитель матрицы k@) превращается в левый множитель
матрицы А~'@) и поэтому коммутирует также с временной за-
висимостью g (см. E.229) ниже). Поэтому этот множитель по-
просту включается в правый постоянный множитель при k(t,),
и поэтому он не вносит вклада в Q(tj) при вычислении с по-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 287
мощью E.223). Читатель мог уже заметить, что матрица k(tf),
которую мы определяли как
уже имеет правый множитель, коммутирующий с Н. При вычис-
лении Q — V{—iH) К этот множитель, содержащий нелокаль-
ные члены, исчезает. Вспомним, что эти нелокальные члены вы-
ражаются через логарифмические производные от -с и поэтому
являются интегралами от hf, er, fr — координат в фазовом про-
странстве.
Решение E.227) — это E.223), где k — величина, обратная
левому множителю в
г = ехр(«2:с///Я)Л-1@), E.229)
которая может быть вычислена. Факторизация — это не всегда
простая задача, и у меня нет доказательства, что это может
быть сделано. Переписывая E.209) как
и беря затем проекцию на К, получаем
0. E.230)
Эти уравнения эквивалентны E.99). Для jV-солитонного реше-
ния уравнения E.229) — это система неоднородных линейных
уравнений порядка 2N. Оказывается, что матрицей коэффициен-
тов для нее служит /V-солитонная т-функция, т из E.70). В слу-
чае общего решения система линейных уравнений имеет беско-
нечный порядок, и определитель матрицы коэффициентов, кото-
рый и есть т-функция, тоже бесконечного порядка.
Поэтому у нас есть второй способ ввести и определить
т-функцию. Вспомните, что впервые мы ввели ее в разд. 5d как
потенциал. Здесь это определитель бесконечного порядка, по-
рожденный решением задачи Римана — Гильберта. Напомним
(см. разд. 5g), что вспомогательные т-функции о, р могут быть
построены из т с помощью преобразований Бэклунда — Шле-
зингера.
Позвольте показать, как выполняется E.230) в случае про-
стого примера. Этот пример соответствует простейшему виду
связанного состояния (N, N), описанному в разд. 5g, а именно
288 Глава 5
N=1, N = 0. Тогда из E.99а, Ь) (я нормирую собственные
функции так: ^
¦tt,
откуда i|5i = (J)e'ei. Итак,
Можно найти f\(tj), вспоминая, что первый член асимптотиче-
ского разложения матричного элемента B, 1) в А есть i/i/2?, где
Заметим, что f,_, = — 2iy Bit,{) ет' ==(— //2)'-' f, ^ ___ Л, где
/[ t t обозначает производную порядка / от f\ по U = х; ей
а потому и е, суть тождественные нули. Таковы уравнения
Лакса в этом случае.
Давайте проверим, что проекция kg на К равна нулю. Рас-
смотрим
е-'е О
Вы заметите, что полюс в ?i можно удалить и что ^ разла-
гается в ряд Тейлора около ?ь Поэтому kg принадлежит N. Да-
лее, давайте проверим также
( ~l °\
,) = (^ ^2^ g2i9i . J = - i
( \
Q = k (t,) (- /Я) А (*,) = (^ ^2^ g2i9i . J = - iH
Но мы знаем, что
и так как fi,</ = 2/S{/i T0
Связующие звенья между чудесами солитоннои математики 289
Так как е = О, то h2 = — 1, или h — —L Итак, E.223) есть
Еще о преобразованиях Бэклунда; схема «одевания» [108]
Захарова — Шабата. Полезно заметить, что вид E.223) весьма
напоминает E.134)
1
для преобразований Бэклунда. Также E.226Ь) в точности сов-
падает с E.133), если вместо k написать R. Действительно, что-
бы добавить одно связанное состояние в точке % = %\, к вакууму
ОGЛ = iff V it, г\ = р~№н
оо
с 0=XS^/> MbI используем E.184):
— 2/ (S — Si) <?i =
f{ = — 2гуе2'9' —
что можно нормировать и получить
/ 1 О
1
Интерпретация (? — ^)~' как 2 (S{/?/+1) означает, что такое R
оо
в точности имеет форму / + 2 RfiT1 • Поэтому R можно запи-
оо
сать как экспоненту от элемента Yj ^/S~7 подалгебры К и,
следовательно, R принадлежит К- Читателю следует сравнить
это со структурой R, используемой в преобразовании Бэклун-
да— Шлезингера и не имеющей этой формы.
Принципиальное различие между E.223) и E.134) состоит,
конечно, в том, что первое соотношение говорит нам, как на-
чальное состояние Q@),
iH)k-l@), E.231)
эволюционирует под действием набора потоков {4}^°, тогда как
последнее связывает два разных типа решений при фиксирован-
ном наборе значений tk, k=\, 2 Тем не менее они тесно
связаны, и я сейчас покажу с помощью E.231) и E.223), что
мы можем описать преобразование Бэклунда на языке метода
редукций.
290 Глава 5
Давайте начнем, например, с вакуумного состояния (для него
мы используем индекс 0)
которое эволюционирует под действием потоков как
Q(t,) = -iH, V (f/f ?) = e-'e*.
С другой стороны, если мы начнем с начального состояния
то его временная эволюция описывается формулой
где б[ = Yj Wr Соответствующая собственная матрица F, есть
где k{tj) — это величина, обратная левому множителю в разло-
жении элемента
ё~ткГ1 @),
который я обозначаю
(е-1внк
Заметьте, что это также равно
потому что ешн принадлежит N, а любой элемент N можно умно-
жить справа под знаком нижнего индекса минус, т. е.
(ft-W)- = (ft-1n)- = Ar1.
Эти наблюдения подсказывают алгоритм получения новых
решений из вакуумного состояния. Возьмем элемент А-'@), при-
надлежащий К, который, как я упоминал, связывает два типа
решений в момент времени нуль (здесь это одно связанное со-
стояние и вакуум). Образуем произведение
и обратим его левый множитель
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 291
Тогда собственная матрица
соответствует решению Q(t,) с одним связанным состоянием.
Это в точности алгоритм одевания Захарова — Шабата [108].
Что получится, если мы применим этот алгоритм снова?
Я попрошу вас показать в упражнении в конце этого раздела,
что
а это указывает, что данное действие обладает групповым свой-
ством [40], [106].
Резюме. В заключение этого раздела я хочу сделать несколь-
ко важных наблюдений. Во-первых, я напоминаю читателю, что
характерный элемент Q(t,) фазового пространства задан с по-
мощью E.223):
где k(tj) вычисляется как (ехр(— iQH)k '@))_ . Элемент k ' @)
определяет тип решения, т. е. будет ли это решение односоли-
тонным, двухсолитонным, связанным состоянием A,0) и т. п.
Можно считать АН @) аналогом данных рассеяния в нулевой
момент времени. Коль скоро тип решения определен, поток всей
последовательности времен {tk}™ отображает его на некоторое
подмножество фазового пространства. В следующем разделе мы
увидим, что оператор потока d/dtk можно связать с элементами
—iHt,k, k^sO, алгебры siB, С). Эти элементы вместе с элемен-
тами —iHt,k, k < 0, образуют подалгебру Гейзенберга в
siB, C)-\-Z, т. е. в алгебре петель siB, С), пополненной цен-
тральным элементом.
С другой стороны, переход от одного типа решений к дру-
гому (при фиксированных значениях tk) осуществляется преоб-
разованием Бэклунда. Сейчас мы подошли к очень важному
вопросу. Для подхода этого раздела пригодны лишь такие пре-
образования Бэклунда E.134), в которых
Причина в том, что для того, чтобы R совпадало с k, оно должно
оо
записываться с помощью экспоненты от элемента ? D/t,~ .
292 Глава 5
Преобразования Бэклунда, относящиеся к этому классу R, вклю-
чают преобразования, добавляющие связанные состояния и со-
литоны, но не включают преобразования Бэклунда — Шлезин-
гера. Эти последние относятся к дискретным симметриям, и
соответствующий элемент группы g не может быть просто пред-
ставлен как krxn, но должен включать в матричном представ-
лении средний элемент, являющийся диагональной матрицей.
Поэтому многое нужно еще сделать. Во-первых, следует по-
нять, как расширить группу G, чтобы включить в нее дискрет-
ные симметрии. Во-вторых, хотелось бы иметь теорию, подоб-
ную теории семейства КдФ, которая обсуждалась в разд. 4g.
Здесь аналогией E.223) является E.90)
Q = kXk~\ k = U, E.232)
где Х = —F-\-E/K и О задано в E.90). Фазовое пространство
целиком покрывается с помощью присоединенного действия по-
токов и преобразований Бэклунда. Дискретных симметрии нет.
Не составит большого труда установить прямое соответствие
между формулой E.232) и соответствующим поведением т-функ-
ции x(ti, 4» h, ¦ ¦ ¦) под действием потоков и под действием пре-
образований Бэклунда (см. упражнение 5jB)).
В нашей ситуации фазовое пространство разделено на ди-
скретные части, каждая из которых помечена монодромными
свойствами V в точке t, = °о. В каждой части потоки и преобра-
зования Бэклунда, добавляющие солитоны и связанные состоя-
ния, действуют как непрерывные симметрии. Чтобы перейти от
одной части фазового пространства к другой, требуется преобра-
зование Бэклунда — Шлезингера. Теперь вспомним из E.169Ь)
и E.174Ь), что действие преобразования Бэклунда — Шлезин-
гера можно трактовать как сдвиг бесконечной в обе стороны
последовательности
{• • •» Хп-Ь хп> т/г+1> • • •}>
соответствующей состоянию цепочки Тоды при любых заданных
значениях времен tk. Введенные ранее потенциалы р, г, о могут
быть любой тройкой стоящих друг за другом членов этой после-
довательности, и этот триплет будет удовлетворять семейству
уравнений Хироты и соответствовать решению иерархии АКНС.
Похоже, что аналог т-функции семейства КдФ — это не одна
функция или триплет, но бесконечная последовательность.
Если это действительно так, то т-функцию нужно считать не
просто функцией бесконечного числа непрерывных времен, но
также функцией целого числа п. Потоки меняют непрерывные
времена. Преобразования Бэклунда меняют характер т, пере-
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 293
водят вакуумное состояние в односолитонное и т. д., но сохра-
няют неизменными п и {^КГ* Преобразования Бэклунда —
Шлезингера меняют дискретную переменную. Какая группа
связана с этими действиями и как инфинитезимальные действия
связаны с алгеброй Каца — Муди? Как выбор градуировки ука-
зывает на необходимость дискретных симметрии? В главной
градуировке в siB, С), которая давала нам (упражнение 5сC))
семейство КдФ, была лишь одна т-функция и не было дискрет-
ных симметрии. В однородной градуировке был бесконечный
набор дискретных симметрии и т = т(п, 4) как функция п и t\
удовлетворяла уравнениям цепочки Тоды. Алгебра петель, свя-
занная с si (г, С), г > 2, может иметь более чем один набор ди-
скретных симметрии, в зависимости от градуировки. Каким диф-
ференциально-разностным уравнениям они удовлетворяют? На-
пример, если бы т зависела от двух дискретных переменных
т, п, то должны ли «решеточные» уравнения, которым удовле-
творяет %{т, п, tk), иметь какое-нибудь отношение к статистиче-
ской механике?
Идея, что важно позволить т-функции зависеть от дискрет-
ных переменных, восходит к работе Дзимбо и Мивы [125]. Чи-
тателю, который хочет узнать о последующем развитии, следует
посмотреть том 2 новой шпрингеровской серии, где опублико-
ваны доклады конференции Research Institute of Mathematical
Sciences (RIMS), проведенной в Калифорнийском университете
в Бэркли. Название этой конференции «Вершинные операторы
в математике и в физике».
Упражнения 5j
1. Покажите, что последовательное применение «одевания»
Захарова — Шабата является групповой процедурой.
Ответ. Пусть Vi = {(VogVo^)^\ Vo] рассмотрите
V2={(vlhVT1)_}Vl =
= {(^og'^o)- VohVol(VogVo1)_}_ (VogVo1)!1 Vo.
Первый множитель слева в фигурной скобке уже принадлежит
К и поэтому может быть слева отброшен; после взятия обрат-
ной степени он оказывается справа и сокращается с {VogVol)_ '
Тогда мы имеем
294 Глава 5
Но из-за (k 1п)_ == (k 1пп')_ мы можем умножить под вторым
индексом минус на {VogVo~l)+. Поэтому
2. Вспомним, что в E.90) мы выражали элемент фазового
пространства Q= lim Q'^/A* с матрицей Q<k\ заданной в E.57)
в упражнении 5с C), как
XQ=-V(—iHQV~l = UXW-1. E.233)
В частности, заметим, что в главной градуировке разд. 5h, ко-
торая порождает разложение, использованное в упражнении
5с C), матрица XX принадлежит К*, а О, которая имеет асимпто-
тическое разложение/ +члены веса (—1) или меньше, является
экспонентой от элемента К. Матрица О может быть выражена
в терминах т-функции КдФ:
где %± = x(tk±i/Bk—l)^2*"), k=l, 2 ... . Теперь интерпре-
тируем уравнение E.233) (которое естественно возникает, когда
мы рассматриваем алгебру как фазовое пространство, а потоки
как кривые в этом пространстве) в качестве уравнения, из ко-
торого мы узнаем, что происходит с т-функцией. Во-первых, по
аналогии с последним подразделом разд. 5е покажите, что
E.233) содержит уравнения Хироты для семейства КдФ. Во-вто-
рых, используя E.233) и объясненную ранее схему одевания
Захарова — Шабата, покажите, что формула добавления одного
солитона к вакуумному состоянию может быть записана как
т-»-ехррУ(г;)-т, где 0 = ехр (—-2цх0), t, = lr\ и У(&) — это вер-
шинный оператор D.124).
5к. Потоки уравнения sin-Гордон. В разд. 5с мы ввели урав-
нение Лакса для положительных временных (tk, k ^ 0) пото-
ков E.52)
где Q —это lim(l/gOQ(/), и
/-»оо
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 295
Эти уравнения Лакса есть условия интегрируемости для
Vtk = Qk>V, &>0. E.234)
Но известно [23], что потоки уравнения sin-Гордон получаются,
если включить в E.233) новые уравнения, соответствующие
к < 0. Например, при к = —1
и совместность уравнений E.234) при k= 1 и при к = —1 дает
Приравнивание коэффициентов при степенях ? дает
q __ о q —- \q Oil Q = ГО 0 1 E 235)
Несложные вычисления показывают, что это уравнение sin-Гор-
дон. Пусть Qo = —iH, Qi = qE -\- rF, Q_i = h~\H -\- e~\E -j- f-\F.
Находим
qt =2ie_v E.236a)
rt = — 2if_{, E.236b)
h_lx = qf_l — re_l, E.236c)
i, E.236d)
E.236e)
Теперь посмотрим на уравнения, которым удовлетворяют квад-
ратичные произведения:
гДе о|) и 1|з — векторные решения E.234), определенные в
разд. 5f(i), с тем отличием, что при х-^--\-оо они нормированы
на асимптотику
E.238)
Находим
hx = qf — re,
E.239)
296 Глава 5
Заметьте, что если разлагать E.239) вблизи t, = оо,
- E-240)
то в точности получим h, e, f в
Jsi±M.
V ¦
о
Теперь разложим около %, = 0. Отметим, что первые члены удов-
летворяют в точности тем же уравнениям, что и h-\, e~u f-u По-
этому E.236а,Ь) суть
^_, = -4WiU' r'_1==~4^2!s=0- E-241)
Для простоты_ возьмем q==r = {ux/2). Тогда -фх = sh(u/2),
•ф2 = ch(«/2), >tyi = ch(«/2), гр2 = sh(u/2) (где требуется, чтобы
и-*-0 при *-»-±оо), откуда E.241) — это просто уравнение
sh-Гордон
E.242)
Аналогично, если мы возьмем q==—г = —их/2, мы обнаружим,
что E.241) дает уравнение sin-Гордон. В этом случае мы можем
позволить и быть любым числом, кратным я, при л:->+°о. Мы
можем продолжить. Нетрудно показать, что если взять
^_, = (?-!!>K = (-^Q_1 +|Q_2)F, E.243)
то тогда
1№Ы- E.244)
Перекрестное дифференцирование E.243) и E.233) с k = 1 дает
Qo*_3=O, E.245а)
Qu_2 = - [Qo, Q-2], E.245b)
Q-u = [Qi,Q-i], E.245c)
Q-2, = [Qi, Q-2] + [Qo, Q_i]. E.245d)
Заметьте, что E.245с) совпадает с третьим уравнением E.235),
и элементы А_2> е_2, f_2 матрицы Q_2 = й_2# + е-г^ + f-2^7 удов-
летворяют тем же уравнениям, что и dh/dt,, de/dt,, df/dt, в точке
0
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 29?
После этих вычислений выпишем уравнение Лакса
Qtk = \Qih), Q], E.246)
QW=\ V 6 I J E.247)
E.248)
Если мы возьмем j-*~-\-oo в E.248), мы получим знакомый эле-
мент
оо
ZT' Qo=»-W, E.249)
т. е. элемент общего вида фазового пространства /V* = К1-
(в первой гамильтоновой структуре) или —Ш -|- ^С-1 (во второй
гамильтоновой структуре). С другой стороны, при j->—оо мы
имеем
Q=ZQ-i-/?/. E.250)
о
что является элементом общего вида в К* = NX во второй га-
мильтоновой структуре.
Теперь вспомним, что уравнения Лакса формально решаются
с помощью
,-1 , -,т„,, ..„, - TlT. . E>251)
где
7== | Г T1 1 E.252a)
с асимптотикой
У~ехр|
при ?->-оо. (Обратите внимание, что суммирование в экспоненте
включает отрицательные степени и времена.) Теперь относи-
тельно легко понять, что асимптотическое разложение E.251)
вблизи ? = оо — это в точности E.249).
10 А. Ньн 1 л
(- I Z У*,н) E.252Ь)
\ —оо /
298
Глава S
Упражнения 5к
1. Покажите, что
дх J
-2q\> dyq
, E.253)
2r\dyr- Ж + 2r \ rfW
тогда для е = 2ii|)iij3i, / = —2/-ф2г^2 (напоминаю, что в\ = q,
E.254)
Далее, мы знаем из [23], что потоки E.246) при k ^ 0 могут
быть записаны в виде
Но из E.254)
Но из E.55) мы знаем, что ех,<„ = — 2/е„+1, fittn = 2ifn+u и,
таким образом, правые части —это в точности ей/, определен-
ные в разд. 5с. Величина h = —/(afi^ + i'i^) задается Л2 +
+ ef = —1 в точном согласии с разд. 5с. Поэтому асимптотиче-
ское разложение E.251) — это знакомое выражение Q =
ОО
о
Далее, разложим матрицу Q, заданную с помощью E.251),
00
вблизи 5 = 0. Мы получаем Е Q-i-itJ, а частные суммы, помно-
0
женные на %->, — это матрицы QH) в E.233).
Как все это связано с тем, что мы делали в последнем раз-
деле? Вспомним, что положительные потоки возникли при ре-
дукции простых потоков
|i = 0, g = ^g E.257)
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 299
на Т*& сначала_с помощью симметрии К в редукции Марсдена —
Вейнстейна к N~X.(—iH%-\- К1) и затем с помощью тривиаль-
ной пуассоновой редукции к —iHt, -\- К1. На редуцирован-
ном фазовом пространстве поток был задан формулой E.210)
Q (*/) = *(*/)(-*#)*-'(*/),
и я показал вам, что матрица k(tj) —это левый множитель V
в асимптотическом разложении V вблизи ? = оо, т. е.
V ~ V ехр (- i ? №]Н\. E.258)
Она была также матрицей, обратной к левому множителю, при
факторизации
g — ехр ( — i ? l't,HJ g0 =
Предположим теперь, что вместо факторизации G в виде
(g = k~~1n) мы факторизуем G в виде NK(g = n~~lk). Тогда
точно тем же способом, как и в разд. 5j, мы найдем, что элемент
Q на редуцированном фазовом пространстве —Ш + N1- задается
формулой
;) = Ad;_, (- Ш) = п(- Ш) п~\ E.259)
где n(tj) — это левый множитель в разложении V вблизи ?=0.
Правый множитель — это ехр I — i Yj ?й4# )"> он коммутирует с
\ -00 /
—ш.
Поэтому потоки положительных времен tk находятся редуци-
рованием большого фазового пространства Т*& с помощью ле-
вого действия симметрии К (редукция Марсдена —Вейнстейна),
за которым следует тривиальная пуассонова редукция в резуль-
тате правого действия симметрии N. Потоки отрицательных вре-
мен tk находятся с помощью_ дуальной процедуры, т. е. с по-
мощью факторизации G = NK.
Замечание. Я хочу подчеркнуть, что при отождествлении
k{tj) с V{tj) мы имеем в виду, что в качестве V берется левый
множитель в формальном асимптотическом разложении V
оо
вблизи t, = оо, а не сама функция V (t,, Q = V (tlt g) exp i Y, QtjH.
— 00
Аналогично, обратный левый множитель в двойственной факто-
ризации n(tj) отождествляется с формальным разложением V
вблизи ?=0. Так как ?=0 становится нерегулярной особой
10*
300 Глава 5
точкой при включении отрицательных потоков, то это разложе-
ние не обязательно равномерно пригодно во всех секторах
окрестности точки ? = 0. Если бы нам была известна полная
аналитическая структура V как функции {;, то мы могли бы свя-
зать k с п с помощью функции V. Но с алгебраической точки
зрения мы ее не знаем и должны считать асимптотические раз-
ложения V вблизи ? = оо и ? = 0 не связанными между собой;
k~x — это просто левый множитель элемента g = e~mHgo, если g
факторизуется в виде k~ln', и п — это его левый множитель,
если g факторизуется как «-'&'. Я использую штрихи у правых
множителей, чтобы подчеркнуть, что n(k) в последней (первой)
факторизации — это не правый множитель n'(k') в первой (по-
следней) факторизации. Тем не менее интерпретация k и п в
терминах V как функции Е; все же полезна.
Мы теперь используем прямой метод, чтобы показать, что
два набора потоков, относящихся к положительным и отрица-
тельным временам, коммутируют между собой.
Рассмотрим разложение
G = K + N, E.260а)
E.260b)
ОО
где Q = 2 Qr?~r e /С1 и ^EQ-^'eiV1, а внутреннее про-
о ' 1
изведение выбираем в виде (X, Y) = Tr(XYH. Заметьте, что
здесь Q есть ?, умноженное на разложение в ряд по ? выра-
жения Q== V (— iH)V~1 около ? = 0. Далее, мы знаем, что для
], E.261а)
» ). Ql E.26ib)
и для & < 0
$Q], E.262а)
* *_i (Q), Q]. E.262b)
Вспомним, что
<S** *>, E.263а)
где S** = ?Jr?
(X) = -SkX. E.263b)
Как и прежде, Ф*(Х) ad-инвариантна на G, алгебре петель ал-
гебры siB, С).
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 301
оо
2. Проверьте, что если мы умножим Q=XlQ_,?r на ?*"'
при КО и удержим лишь члены, для которых г + k — 1 ^
<-1, мы получим Q(fc) = ?*(Q_,+ ... +Q_4g-*~1).
Определим на G* aiG гамильтониан
%(Х) = Фк(як±Х) E.264а)
Х^^Ф^п^Х), E.264Ь)
где J = Q + Q, Qe/C1, QeeN±. Тогда E.262) можно записать
как
X], k>0 E.265a)
и E.262) может быть переписано так:
Xtl = -[4Xi(X),X], КО. E.265Ь)
Чтобы доказать E.265а), мы хотим показать, что
Щк{Х) = я„Фк(пк±Х). E.266)
Доказательство. По определению
L=4гф* (ях^+tn^x
(так как внутреннее произведение элемента К с элементом
есть нуль)
так как пк±X' = X' — nN±K' и внутреннее произведение эле-
мента N и элемента N1 есть нуль. Отсюда следует E.266).
При помощи аналогичных вычислений можно доказать, что
потоки, порождаемые гамильтонианами ifk{X), A>0 н X'W>
/ < О, находятся в инволюции относительно скобки Пуассона
{Фь X»} (X) = - (X, №k (X), VXi (X)]).
3. (i) Докажите, что {q>k, X'} W = ° (см- I38. VID-
(ii) Покажите, используя E.236), что
, i д2 In т
1 2 dtidt^i '
Заметьте, что е_1 = (//2)е1)<_1, /_, = — ('/2)/i, <_,. Покажите,
что, вообще говоря,
. i д* In т
**—S О Я* Я*
302 Глава 5
и
(iii) Каковы уравнения Хироты для отрицательных времен-
ных потоков?
51. Расширение si B, С) до A(,1J. Позвольте сначала напомнить
основные идеи этой главы. Мы берем алгебру петель G =
f -N \
= YtXjC', JyeslB, C)\ алгебры siB, С), на которой
мы определяем форму Киллинга (X, Y)o= ? TrX,Yk. G раз-
i+k=o
лагается на две подалгебры, G = /С + N, и с помощью введен-
ной на G формы Киллинга двойственное к N пространство N*
отождествляется с ортогональным дополнением К1 к К- К1-
имеет естественную пуассонову структуру, и можно выписать
гамильтоновы векторные поля, порожденные функцией ф на К1-
Существует специальный класс функций, ad-инвариантные функ-
ции ф?, которые являются коэффициентами при t,~k в разложе-
нии — A/2)ТгХ2, играющие особую роль. Из-за свойства ad-ин-
вариантности гамильтоновы векторные поля
k K), Q], Qe/C-1- E.267)
приобретают форму Лакса
), Ql Qe/c-L. E.268)
В разделах 5i,j мы сочли удобным расширить фазовое про-
странство Кх до е + К1-, где se^^JV1 — это выделенный
элемент в алгебре, двойственной к алгебре группы симметрии
К. Пространство е + К1 также имеет скобку Пуассона при лю-
бом eeG, и для тех е, которые принадлежат ортогональным
дополнениям коммутаторов [К, К] и |W, Л^] (последнее оче-
видно вследствие того, что е ф. Кх и поэтому е е Nx), мы имеем
набор коммутирующих потоков
(е + Q)fh = - [%VO>*_i (e + Q), e + Q]. E.269)
Любой элемент вида (аН + ЬЕ -\- cF) t, можно взять в качестве
е; в случае однородной градуировки мы выбираем е = —iHt,.
Теперь читателю следует проверить, что E.269) в точности то
же самое, что E.268), если мы выбираем Ло = —i, eo = fo = O
в E.268) и считаем, что Q в E.269) —это ? QrCr"'» Qr = hrH +
+ eTE+frF. Для другой градуировки, которую мы использовали
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 303
в третьем примере в разд. 5с, мы берем элемент е = —Ft, -f- E
(который имеет вес 1).
Почему вообще необходимо включать какие-то новые эле-
менты в алгебру? К несчастью, в настоящее время я этого не
знаю. Очевидно, однако, что теория в чем-то не завершена. Не
найдено естественного способа введения т-функции в рамках
теории Ли. Более того, некоторые формулы, например E.63)
для тензора тока, по-видимому, требуют введения оператора
t,d/dt,. Далее, так как полная интегрируемость уравнений Лакса
означает, что мы с помощью канонических преобразований мо-
жем свести сильно взаимодействующую систему E.268) к не-
взаимодействующим гармоническим осцилляторам, то следует
ожидать появления алгебры Гейзенберга. Но не существует
подалгебры siB, С), которая является алгеброй Гейзенберга.
Требуется дополнительный элемент — центр Z.
Рассмотрим поэтому расширенную алгебру
Q = G + cZ + dD, D = %¦?-. E.270)
Нам нужно задать правила коммутирования и взятия внутрен-
него произведения, связанные с включением новых элементов.
Они таковы (X, Уе G):
[Z, все что угодно] = 0, E.271а)
-N
[D, X] = ? 4L = ? _ д/Г/, E.271Ь)
оо
[X, Y] = [X, Y]~ + ([D, X], Y)Q Z. E.271c)
В E.271с) [X, Y]~~ обозначает коммутатор по старым правилам
siB, С); например, [Н, Е] ~ = 2Е. Новый член —это (DX, Y}oZ.
Новое нетривиальное правило внутреннего умножения есть
(Z, D)=l; E.272)
оно необходимо, чтобы выполнялся закон объема параллелепи-
педа
(X, [Y, 2]) = B, [X, ?]) = (?, [2, X]) E.273)
для X,Y,Z^G. Проверте его, например, для X = D, ? =
= Z = K6=G.
Давайте рассмотрим несколько примеров. Пусть IgG;
jv
вычислим [уФк(Х), X]. Опять уФк(Х) = — SkX= — Ц X_/?/+fe,
оо
X_j e si B, С), но обратите внимание, что из-за дополнительных
304 Глава 5
членов, пропорциональных центру в E.271с), коммутатор не
нуль. Поэтому функции Фк(Х) больше не являются ad-инва-
риантными, и мы теряем одну из отправных точек исходной
теории. Тем не менее можно проверить, проследив за всеми
деталями, что если
со
Q = Л iKH + егЕ + frF) Гг + cZ + dD,
о
то уравнения Лакса Qtk = [Q(A), Q]~ останутся справедливыми
и с и d — константы.
Далее вычислим коммутатор градиентов от Ф*-ь Ф/-ь т. е.
гамильтонианов для потоков tk и /; на siB, С). Мы вычисляем
градиенты в выделенной точке е = —г'Я? пространства К*, т. е.
*-1 (—Ш?) = —Шф. Мы находим
= - 2k61+k, 0Z.
Поэтому последовательность {УФ*_1 (—«Я$)}"=_оо порождает
подалгебру Гейзенберга в А[1\ и мы можем ввести пред-
ставление
-iH&-*>2jt_h }<0.
Читателю также следует проверить, что последовательность
{УФ*-1(е)}, где е — это выделенный элемент е = —/?? + ?' в
альтернативной градуировке, также порождает подалгебру Гей-
зенберга. Тот факт, что всем управляющая алгебра А\1> имеет
подалгебру Гейзенберга, убедителен, ибо мы знаем, что алгебра
скобок Пуассона между данными рассеяния — это алгебра Гей-
зенберга. Читатель помнит, что основная идея метода обратной
задачи состоит в переходе от старых координат q, r, qx, rx, ...
и т. д. (в нашем обсуждении мы считаем х выделенным време-
нем) к новым координатам типа действие — угол, которые при
г = —q* суть
р = (— In аа (I), I вещественно, 2it,k, 2«?*, k = l, ...,
q=(ln&(?), \nbk, \nb-k).
В [70] показано, что по отношению к скобке
Г ( &F SG *>F 6G
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 305
оказывается, что (рь q,} — 6tj, {ph pj] = {qh q,} = 0, и для
вещественных 1, |' {p (I), q (!')} = б (| - |'), (p (I), p (!')} = 0,
{<7(|), <7(|/)} = 0. Я еще не знаю, как отождествить эту под-
алгебру Гейзенберга с той, которая порождается последователь-
ностью {-—*#?*}"„, но верю, что одна является проявлением
другой.
В дополнение я хочу обратить ваше внимание на ряд ситуа-
ций, когда важен элемент с производной t,d/dt,. Мы знаем, что
при третьем определении т-функции формула E.91Ь) имеет вид
(V-lDV, -^Я)о = J-lnr.
Мы также отмечали, что формулу для тензора тока Fjk лучше
всего записывать в виде
оо
где Q=XQrS~r. Qo — — iH и D — ?,d/dt,. Читатель узнает этот
о
коэффициент как дополнительный член, пропорциональный цен-
тру Z, который появляется в коммутаторе
и который описывал бы временную эволюцию элемента ?'Q под
действием потока tk, если бы ?'Q принадлежал Кх. В общем
случае, конечно, это не так. Однако на чисто формальном уров-
не, если записать временную зависимость для i'Q + CjZ + d/D,
тогда
^- (?/Q + c,Z + d,D) = [<?*), VQT + FlkZ. E.274)
Это означало бы, что dj является константой и что су — это гра-
диент 1пт, т. е. д In x/dtj. Заметьте, в частности, что в случае
/ = 0, когда формула E.274) действительно выполняется,
d\n%/dto = O. Это оттого, что зависимость всех величин er, fr
от /о экспоненциальна; ех (t0, tb ...) = ех {tu .. .)e^2it\ /, (t0, tu ...
•••) — fi (tu ¦ • -)^iU- Тогда из-за того, что hr вычисляется из ?-г-
компоненты уравнения h2 + ef = — 1, все функции hr (и, следова-
тельно, т) не зависят от ft>-
Наконец, я хочу, чтобы вы обратили внимание, как важен
оператор t,d/dt, вместе с его произведениями на степени % для
построения точно решаемых неавтономных уравнений. Эти урав-
нения также являются естественной иерархией для A{i\ но
совершенно отличны от тех, что мы уже видели. В некоторых
предельных случаях это те уравнения, которые получились бы
306 Глава 5
при поиске обладающих масштабной инвариантностью решений
предыдущей иерархии. Читателю следует вспомнить обсужде-
ние в разд. 5f(iii). Мы найдем один из простейших примеров
этих новых потоков, если рассмотрим условие интегрируемости
пары уравнений
V Q<W E.275а)
. E.275b)
В результате перекрестного дифференцирования получаем
Q(/> + С -%¦ QA) - Q<3) - №% + [(?•>, Q<3)]~ = 0,
где [ •, • ]~ есть старый матричный коммутатор алгебры
?1B, С). Член ?(d/^?)QA) сокращается с членом 1-QO из (xQl)x,
и остается
Это уравнение удовлетворяется в точности при нашем первона-
чальном выборе Q<3> = — ;Я?3 + Q&* + Q2? + <Эз, Qr = hrH +
+ er? + /г/7. Приравнивая коэффициенты при ?°, мы получаем
эволюционные уравнения
qt ~ (xqx) + -J- (<7*« - bqrqx) = 0, E.276а)
^ - (хг)х + -j (гххх - 6qrrx) = 0. E.276b)
У этих уравнений есть несколько черт, на которые стоит обра-
тить внимание. Во-первых, как уже упоминалось, они отражают
масштабные симметрии, присущие иерархии АКНС, некоторые
детали которых обсуждались в разд. 5f(iii). Легко проверить,
что если бы мы написали правую часть E.275Ь) в виде 3^3QC>
вместо QC), то третий член в E.276а, Ь) превратился бы в
— 3^3<7f и — 3t3rt соответственно, и из уравнений следовало бы,
что q и г суть функции от X = {x/Ct3)yi) и Т = хе'. Если мы
потребуем, чтобы q и г были независимы от t, мы снова придем
к автомодельным решениям того же типа, что и обсуждавшиеся
в разд. 5f(iii). Вторая интересная черта — это природа законов
сохранения. Без членов (xq)x и (хг)х они задаются выраже-
ниями
— F — — F /—19
например,
Связующие звенья между чудесами солитониой математики 307
Но что такое —r(xq)x— q(xr)x? Это просто производная от
(—xqr + д In х/дх) по х, и, таким образом,
dqr
~W
= ~Ш {"Г (г^« + Чг** ~ Г*Ч* * 3^г2) — ХЧГ + ~Ш 1п т} •
ИЛИ
Опять появляется градиент от In т. Давайте исследовать даль-
ше. Рассмотрим F\2 = —2ih$ = i/2(rqx— rxq).
4 < И) + (*') - <7 (^«) - rx (xq)x) =
3 tox ~ rxq)) =
dF32 | д p | о Э21пт _ д /p p o Э In т
Но если мы собираемся вводить время ?2 и считать его незави-
симой переменной, мы должны быть уверены, что поток t2 ком-
мутирует с потоком t. Чтобы обеспечить это, нам нужно приба-
вить член 2^2QB) к правой части E.274), который не портит сов-
местность E.275а, Ь); он просто эквивалентен выбору h2-\-ef =
= — 1 + C\trl + ... при подходящем выборе с\. Рассмотрим
E.277а)
E.277b)
Vt + IV\ = (QC) + 2/2QB) + *QO>) V. E.277c)
Перекрестно дифференцируем E.277а, с) и находим после не-
сложных вычислений
Qu ~ (xQi)x - 2t2Qlt2 + [Q,, Q3] = 0, E.278)
где мы использовали совместность
Q^ ~ Qf? + [QA>> QB)l = 0 E.279)
E.277а, b). Из E.277b, с) мы имеем
Напомним, что Q<>> = Q<f - [QA>, Q<2>] и Qg) + [Q0), QW] = Qg).
Тогда имеем
QB) _ Q^ _ 2^QB) _ xQ№> _ QB) = 0.
308 Глава 5
Вычисляя коэффициенты при степенях %, получаем
Читателю следует проверить, что последние уравнения действи-
тельно совместны.
Подводя итоги, мы отмечаем:
(i) Включение новых базисных элементов t,d/dt, и Z в фазо-
вое пространство приводит к новому классу потоков, и эти по-
токи неавтономны.
(ii) Может оказаться, что в дополнение к переменным фа-
зового пространства (hr, er, fr) следует также ввести в качестве
зависимых переменных tj и dln%/dt,; /= 1, 2, ..., последнюю в
качестве коэффициента при центре.
(Hi) Новые потоки имеют также бесконечный набор локаль-
ных законов сохранения и симметрии, если считать dlnx/dtj
новыми локальными переменными. Например, так как
d\nx/dt,— — 2i \ hj+1dx, мы можем считать новую перемен-
ную нижним пределом интегрирования. Похоже, что эти сим-
метрии совпадают с симметриями, предложенными Ченем, Ли
и Л ином [122], хотя я не проверял этого. Я отмечаю, что ал-
гебра, которой удовлетворяют эти симметрии оп, определяется
соотношениями [ат, оп]=(т — п)от+п-\. Обратите внимание,
что это в точности алгебра Вирасоро, которой удовлетворяет
последовательность оп = —t,nd/di.
(iv) Моя гипотеза: элемент
играет важную роль во всей теории.
Итак, я оставляю вам множество открытых вопросов. Я на-
деюсь, что намеки и предложения этого раздела раздразнят
вас, как и меня, и, более того, вы сделаете что-нибудь на эту
тему. Желаю удачи').
') Примечание переводчиков. Наверно, как раз, когда писались эти
строки, мы (А. О. и Е. Ш.) сделали первую работу [5*, 6*] из серии работ,
посвященных некоммутативным симметриям интегрируемых систем. Далее в
[7*] для неодномерных B+l)D уравнений были найдены симметрии, опи-
сываемые операторами §"(d/d?)m и соответствующие им L—А пары. В [8*],
в частности, было анонсировано, как эти симметрии описываются в терминах
d-задачи и с помощью вершинного оператора. Подробности, свойства (га-
мильтоновость, законы сохранения) и изложение с других точек зрения (сво-
бодные фермионы, грассманианы и проч.), а также краткое изложение
суперслучая см. в [9*]. Все ссылки относятся к списку дополнительной ли-
тературы к гл. 3.
Связующие звенья между чудесами солитонной математики 309
Замечание. Я не хочу, чтобы после прочтения разд. 5Ь у чи-
тателя осталось впечатление, будто метод Уолквиста — Эста-
брука дает несложный способ находить лаксово представление
для интегрируемых систем. Многое зависит от способности уста-
новить зависимость Р в E.3) от координат q, qx, qXx, ... на фа-
зовом пространстве. В самом деле, я знаю несколько примеров
конечномерных интегрируемых систем, для которых известны
все интегралы движения, но для которых не найдена лаксова
пара. Например, я предлагаю читателю рассмотреть стацио-
нарное уравнение для потока t% семейства КдФ Яхххх + ^Чх "Ь
+ 10<7<7лл: + Ю<73 = 0, про которое нам известно, что оно гамиль-
тоново с каноническими координатами
с гамильтонианом
и вторым интегралом движения
G = - -j (р2 + 4"
в инволюции. Я порождает поток х, G — поток tz- Зная уравне-
ние и сообщенную выше информацию, можете ли вы, используя
метод Уолквиста — Эстабрука, показать, что уравнение Лакса
есть Q* = [QA), Q], т. е. условие совместности для yV = QV,
Vx==qwv, где
Q = (i%B -1 Bx ) H + (- 1 Вхх + %ВХ -qB)E + BF,
Другой пример (в котором я еще не знаю ответа) порождается
со вторым интегралом движения
G = q\ + Aq\q\ - Ap\q2
Трудность в том, что у нас нет хорошего рецепта для вычисле-
ния зависимости Q, Q<!> от координат, в которых задана исход-
ная задача.
310 Глава S
Однако я не хочу, чтобы мое замечание звучало слишком
пессимистично, потому что иногда эта схема действительно ра-
ботает (особенно если использовать данный метод вместе с ин-
формацией, полученной из теста Пенлеве), и тогда она имеет
то крупное преимущество, что указывает координаты, в кото-
рых интегралы движения разделяются. Например, в первом при-
веденном выше примере возьмем
и найдем
что разделяется следующим образом:
_ 5__й_ _1_, _ у 2 _
___5__Я_ 1_, _ \2 2_Л
а это совпадает с C.168) и, как мы показали, интегрируется с
помощью отображения Абеля.
Поэтому уместно задаться вопросом: имеет ли гамильтонова
система, интегрируемая по Лиувиллю (N интегралов движения
в инволюции), эквивалентную формулировку с помощью лаксо-
вой пары, и если имеет, то как ее построить?
ЛИТЕРАТУРА
[1] J. Scott Russel A844). Report on waves. Rept. Fourteenth Meeting of
of the British Association for the Advancement of Science. John Murray,
London, pp. 311—390.
[2] —A865). The Modern System of Naval Architecture, 1. Day and Son,
London, p. 208.
[3] J. Boussinesq A872). Theorie des ondes et des remous qui se propa-
gent... — J. Math. Pures Appl., 17 B), pp. 55—108.
[4] D. J. Korteweg and Q. de Vries A895). On the change of form of long
waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long
stationary waves. — Phil, mag., 39, pp. 422—443.
[5] A. Fermi, J. Pasta, S. Ulam A940, 1955). Studies of Nonlinear Problems.
I. Los Alamos Report, LA 1940, 1955; in: Nonlinear Wave Motion.
A. C. Newell ed. Lectures in Applied Math., 15, American math. Soc,
Providence, RL, 1974, pp. 143—196.
[6] N. J. Zabusky, M. D. Kruskal A965). Interaction of «solitons» in a
collisionless plasma and the recurrence of initial states. — Phys. Rev.
Lett., 15, pp. 240—243.
[7] M. D. Kruskal A965). Asymptotology in numerical computations:
Progress and plans on the Fermi — Pasta — Ulam problem. — Proc. IBM
Scientific Computing Symposium on Large-Scale Problems in Physics,
IBM Data Processing Division, White Plains, N. Y., pp. 43—62.
[8] —A974). The Korteweg—de Vries Equation and Related evolution
equations. In: Nonlinear Wave Motion. A. C. Newell, ed. Lectures
in Appl. Math., 15, Amer. Math. Soc, Providence, RI, pp. 61—83.
[9] M. D. Kruskal, N. J. Zabusky A963). Progress on the Fermi — Pasta—
Ulam non-linear string problem, Princeton Plasma physics Lab. Annual
Rept. MATT-Q-21, Princeton, NJ, pp. 301—308.
[10] N. J. Zabusky A981). Computational synergetics and mathematical
innovations. — J. Сотр. Phys., 43, pp. 195—249.
[11] R. M. Miura A968). Korteweg—de Vries equation and generalizations.
I. A remarkable explicit nonlinear transformation. — J. Math. Phys., 9,
pp. 1202—1204.
[12] С S. Gardner, J. M. Greene, M. D. Kruskal, К. М. Miura A967). Method
for solving the Korteweg—de Vries equation. — Phys. Rev. Lett, 19,
pp. 1095—1097.
— A974). The Korteweg—de Vries equation and generalizations. VI.
Methods for exact solution. — Comm. Pure Appl. Math., 27, pp. 97—133.
[13] С S. Gardner A971). The Korteweg — de Vries equation and generali-
zations. IV. The Korteweg — de Vries equation as a Hamiltonian
system. —J. Math. Phys, 12, pp. 1548—1551.
B. Е. Захаров, Л. Д. Фаддеев A971). Уравнение Кортевега — де Фри-
за — вполне интегрируемая гамильтонова система. — Функц. анал. и
его прилож. 5, № 4, с. 18—27.
312 Литература
[14] P. D. Lax A968). Integrals of nonlinear equations of evolution and
solitary waves. — Comm. Pure Appl. Math., 21, pp. 467—490.
[Имеется перевод: П. Д. Лаке. Интегралы нелинейных эволюционных
уравнений и уединенные волиы. — Математика, 13:5, с. 128—150.—
М.: Мир, 1969.]
[15] S. L. McCall, E. L. Hahn A967). Self-induced transparency by pulsed
coherent light. —Phys. Rev. Lett., 18, pp. 908—911.
— A969). Self-induced transparency. — Phys. Rev., 183, pp. 457—485.
[16] L. P. Eisenhart A909). A Treatise of the Differential Geometry of
Curves and Surfaces. Ginn & Co, reprinted by Dover, New York, 1960.
[17] A. Seeger, H. Donth, A. Kochendorfer A953). Theorie der Versetzungen
in eindimensionalem Atomreihen. — Z. Phys., 134, pp. 173—193.
[18] J. K. Perring, Т. Н. R. Skyrme A962). A model unified theory.—
Nucl. Phys., 31, pp. 550—555.
[19] A. C. Scott, F. Y. F. Chu, D. W. McLaughlin A973). The soliton:
A new concept in applied science. — Proc. IEEE, 61, pp. 1443—1483.
[20] G. L. Lamb, Jr. A971). Analytical descriptions of ultra-short optical
pulse propagation in a resonant medium. — Rev. mod. Phys., 43,
pp. 99—129.
[21] В. Е. Захаров, А. Б. Шабат A971). Точная теория двумерной само-
фокусировки и одномерной автомодуляции волн в нелинейной среде. —
ЖЭТФ, 61, с. 118—134.
[22] М. Wadati A972). The exact solution of the modified Korteweg —
de Vries equation. — J. Phys. Soc. Japan, 32, pp. 1681ff.
[23] M. J. Ablowitz, D. J. Каир, А. С Newell, H. Segur A973). Method
for solving the Sine-Gordon equation. Phys. Lett., 30, pp. 1262—1264.
— A973) Nonlinear-evolution equations of physical significance. — Phys.
Rev. Lett., 31, pp. 125—127.
— A974) .The inverse scattering transform — Fourier analysis for non-
linear problems. — Stud. Appl. Math., 53, pp. 249—315.
[24] H. Flaschka A974). The Toda lattice. I. Existence of integrals. Phys.
Rev. В., 9, pp. 1924—1925.
— A974). On the Toda lattice. II. Inverse scattering solution. Progr.
Theor. Phys., 51, pp. 703—716.
[25] H. P. McKean, P. van Moerbeke A975). The spectrum of Hill's
operator. — Invent. Math., 30, pp. 217ff.
[26] С. П. Новиков A974). Периодическая задача Кортевега — де Фриза.—
Функц. анализ и его приложения, 8, с. 54—66.
[27] А. Р. Итс, В. Б. Матвеев A975). Об операторах Хилла с конечным
числом. — Функц. анализ и его приложения, 9, с. 69—71.
[28] I. M. Krichever, S. P. Novikov A980). Mathematical Physics Reviews,
Vol. 1, S. P. Novikov, ed., pp. 5—23. (см. также И. М. Кричевер,
С. П. Новиков A980). Голоморфные расслоения над алгебраическими
кривыми и нелинейные уравнения. — Успехи матем. наук, 35, с. 47—68).
[29] Н. P. McKean, E. Trubowitz A976). Hill's operator and hyperelliptic
function theory in the presence of infinitely many branch points. —
Comm. Pure Appl. Math., 29, pp. 143—226.
[30] J. L. Burchnall, T. W. Chaundy A922, 1928). Commutative ordinary
differential operators I, II. —Proc. London Math. Soc, 21, pp. 420—440;
Proc. Royal Soc. London, Ser. A, 118, pp. 557—583.
[31] S. V. Manakov A981). The inverse scattering transform for the time
dependent Schrodinger equation and Kadomtsev — Petviashvili
equation. — Physica, D, 3, pp. 420—427.
[32] A. S. Fokas, M. J. Ablowitz A983). On the inverse scattering and
direct linearizing transforms for the Kadomtsev — Petviashvili
equation. — Studies in Applied Mathematics, 68, pp. 1—12,
Литература 313
Н. Segur A981). Comments on inverse scattering for the Kadom-
tsev — Petviashvili equation. — Proc. La Jolla Workshop.
[33] M. F. Atiyah, N. J. Hitchin, V. Q. Drinfeld, Yu. I. Manin A978J.
Construction of instantons. — Phys. Lett., A, 65, p. 285.
[34] R. Hirota A980). Direct methods in soliton theory.— In: Topics in
Current Physics, 17, R. Bullough and P. Caudrey, eds, Springer-
Verlag, New York, pp. 157—175.
[35] M. J. Ablowitz, A. Ramani, H. Segur A978). Nonlinear evolution
equations and ordinary differential equations, of Painleve type. — Lett.
Nuovo Cimento, 23, pp. 333—338.
— A980). A connection between nonlinear evolution equations and
ordinary differential equations p-type I, II.—J. Math. Phys., 21, pp. 715—
721, 1006—1015.
[36] H. Flaschka, A. C. Newell A980). Monodromy and spectrum preserving
deformations. — Comm. Math. Phys., 76, pp. 65—116.
[37] H. D. Wahiquist, F. B. Estabrook A973). Backlund transformation for
slutions of the Korteweg—de Vries equation. — Phys. Rev. Lett., 31,
pp. 1386—1390.
— A975). Prolongation structures ef nonlinear evolution equations.—
J. Math. Phys., 16, pp. 1—7.
[38] H. Flaschka, A. C. Newell, T. Ratiu A983). Kac-Moody algebras and
soliton equations, II. Lax equations associated with A\[\ Physica, D,
9, pp. 300—323.
— A983). Ill, Stationary equations associated with A^K Physica, D, 9,
pp. 324—331; Papers I, IV to follow.
[39] E. Date, M. Jimbo, M. Kashiwara, T. Miwa A983). Transformation
groups for soliton equations. — Proc. RIMS Symposium on Nonlinear
Integrable Systems — Classical and Quantum Theory. M. Jimbo and
T. Miwa, eds., World Scientific Press.
[40] G. Segal, G. Wilson A983). Loop groups and equations of KdV type.—
Proc. Math. Inst., Oxford Univ.
[41] J. W. Miles A981). The Korteweg—de Vries equation: A historical
essay.— J. Fluid Mechanics, 106, pp. 131—147.
[421 —A979). On the Korteweg —de Vries equation for a gradually chang-
ing channel. —J. Fluid Mech., 91, pp. 181—190.
[43] С J. Knickerbocker, A. C. Newell A980). Shelves and the Korteweg —
de Vries equation. — J. Fluid Mech., 98, pp. 803—818.
— A980). Internal solitary waves near a turning point. — Phys. Lett.,
75A, pp. 326—330.
— A985). Reflections from a solitary wave in a chaneel of varying
depths. —J. Fluid Mech., 153, pp. 1—16.
[44] R. S. Johnson A973). On the development of a solitary waves moving
over an uneven bottom. — Proc. Camb. Phil. Soc, 83, p. 183.
[45] D. J. Каир, А. С. Newell A978). Solitons as particles, oscillators and
in slowly changing media: a singular perturbation theory.— Proc.
Roy. Soc, London, A 361, pp. 413—446.
[46] В. Н. Карпман, Е. М. Маслов A977, 1978). Структура хвостов,
образующихся при воздействии возмущений на солитоны. — ЖЭТФ,
73, с. 537, 75, с. 504.
[47] В. Е. Захаров, А. Б. Шабат A974). Схема интегрирования нелинейных
уравнений математической физики методом обратной задачи рассея-
ния. — Функц. анализ и прилож. 8, с. 43—53.
314 Литература
[48] Б. Б. Кадомцев, В. Н. Петвиашвили A970). Об устойчивости уединен-
ных волн в слабодиспергирующих средах. — Доклады АН СССР, 192,
с. 753—756.
[49] G. H. Su A983). An evolution equation for a stratified flow having
two characteristics coalesced. Preprint, Div. Appl. Math., Brown Univ.,
Providence, RI; Advances in Nonlinear Waves, Cambridge Univ. Press,
to appear in special volume.
[50] M. Toda A981). Theory of nonlinear lattices. — Solid State Sciences, 20,
Springer — Verlag, New York.
[51] T. B. Benjamin, I. F. Feir A967). The disintegration of wave trains
on deep water. — J. Fluid Mech., 27, pp. 417—430.
[52] A. C. Newell A977). Nonlinear tunneling. — J. Math. Phys., 19,
pp. 1—26.
[53] D. J. Benney, A. C. Newell A967). The propagation of nonlinear wave
envelopes. — J. Math, and Phys. (now Stud. Appl. Math.), 46, pp. 133—
139.
[54] H. Hasimoto, H. Ono A972). Nonlinear modulation of gravity
waves.— J. Phys. Soc. Japan, 33, pp. 805—811.
A. Davey A972). The propagation of a weakly nonlinear wave. — J.
Fluid Mech., 53, pp. 769ff.
[55] Q. B. Whitham A974). Linear and nonlinear waves. — Wiley-Interscience,
New York. [Имеется перевод: Дж. Уизем. Линейные и нелинейные
волны. — М.: Мир, 1977.]
[56] D. J. Benney, G. J. Roskes A969). Wave instabilities. — Stud. Appl.
Math., 48, pp. 377—385.
[57] A. Davey, K. Stewartson A974). On three-dimensional packets of
surface waves. — Proc. Roy. Soc. London A, 338, pp. 101—110.
[58] В. Е. Захаров A972). Коллапс ленгмюровских волн. — ЖЭТФ, 62,
вып. 5, с. 1745—1759.
[59] В. М. Lake, H. С. Yuen, H. Rungaldier, W. E. Ferguson A977). Non-
linear deep water waves: theory and experiment, Part 2. — J. Fluid
Mech., 83, pp. 49—74.
[60] H. G. Yuen, W. E. Ferguson A978). Fermi — Pasta — Ulam recurrence
in the two-space dimensional nonlinear Schrodinger equation. — Phys.
Fluids, 21, P. 2116—2118.
[61] В. Е. Захаров, В. С. Сынах A975). О характере особенности при са-
мофокусировке. — ЖЭТФ, 68, вып. 3, с. 940—947.
[62] N. J. Ablowitz, D. J. Benney A970). The evolution of multi-phase
modes for nonlinear dispersive waves. — Stud. Appl. Math., 49,
pp. 225—238.
[63] M. J. Ablowitz A971). Applications of slowly varying nonlinear dis-
persive wave theories. — Stud. Appl. Math., 50, pp. 329—344.
[64] M. G. Cross, A. C. Newell A984). Convection patterns in large aspect
ratio systems. — Physica D, 10, pp. 299—329.
[65] H. Flaschka, Q. Forest, D. W. McLaughlin A979). Multiphase averaging
and the inverse spectral solution of KdV. — Comm. Pure Appl. Math.,
33, pp. 739—784.
[66] P. D. Lax, D. Levermore A979). The zero dispersion limit for the
Korteweg — de Vries equation. — Proc. Natl. Acad. Sci., 76, pp. 3602—
3606.
[67] M. V. G. Krishna A974). Ph. D. thesis, Clarkson College of Technology,
Potsdam, N. Y.
[68] G. L. Lamb A971). Analytical descriptions of ultrashort optical pulse
propagation in a resonant medium. — Rev. Mod. Phys., 43, pp. 99—124.
[69] —A980). Elements of Soliton Theory.— John Wiley, New York.
Литература 31S
[70] Н. Flashka, А. С. Newell A973). Integrable systems of nonlinear
evolution equations. — In: Dynamical Systems, Theory and Applications,
J. Moser ed., Lecture Notes in Physics, 38, Springer — Verlag, New
York, pp. 355—440.
[71] A. R. Bishop, J. A. Krumhansl, S. E. Trullinger A980). Solitons in
condensed matter: A paradigm, Physica D, 1, pp. 1—44.
[72] D. J. Каир, A. Rieman, A. Bers A979). Space-time evolution of nonlinear
three wave interactions I, Interaction in a homogeneous medium. —
Rev. Mod. Phys., 51, pp. 275—309.
[73] D J. Каир A976). A perturbation theory for inverse scattering trans-
forms. — SIAM J. Appl. Math., 31, pp. 121—123.
[74] —A981). The solution of the general initial value problem for the
full three-dimensional three-wave resonant interaction. — Physica D, 3,
P. 374—395.
[75] A. C. Newell A980). The inverse scattering transform, in Topics in
Current Physics 17, R. Bullough and P. Caudrey eds., Springer — Ver-
lag New York, pp. 177—242. [Имеется перевод: Солитоны. Под ред.
С. П. Новикова. — М.: Мир, 1983.]
[76] М. J. Ablowitz, R. Haberman A975). Resonantly coupled nonlinear
evolution equations. — J. Math. Phys., 16, pp. 2301—2305.
[77] A. C. Newell A979). The general structure of integrable evolution
equations. — Proc. Roy. Soc. London A, 365, pp. 283—311.
[78] D. J. Каир, А. С Newell A978). An exact solution for a derivative
nonlinear Schrodinger equation. — J. Math. Phys., 19, pp. 798—801.
[79] D. J. Каир, А. С Newell A977). On the Coleman correspondence and
the solution of the massive Thirring model. — Lett. Nuovo Cimento, 20,
pp. 325—331.
[80] P. Deift, E. Trubowitz A979). Inverse scattering on the line. — Comm.
Pure Appl. Math, 32, pp. 121—151.
[81] И. М. Гельфанд, Б. М. Левитан A951). Об определении дифферен-
циального уравнения по его спектральной функции. — Известия АН
СССР, сер. математ., с. 309—360.
[82] S. Leibovich, G. D. Randall A973). Amplification and decay of long
nonlinear waves.— J. Fluid Mech., 58, pp. 481—493.
[83] I. M. Krichever, S. P. Novikov A981). Holomorphic bundles and non-
linear equations. — Physica D, 3, pp. 267—293.
[84] R. Abraham, J. E. Marsden A978). Foundations of Mechanics. Benjamin-
Cummings, New York.
[85] S. P. Novikov A980). A method for solving the periodic problem for
the KdV equation and its generalizations, in Topics in Current Physics
17, R. Bullough and Ph. Caudrey, eds., Springer — Verlag, New York,
P. 325—338, [Имеется перевод: Солитоны. Под ред. С. П. Новико-
ва.—М.: Мир, 1983.]
[86] Н. Flashka A983). Construction of conservation laws for Lax equations.
Comments on a paper by Q. Wilson. — Quart. J. Math. Oxford, 34,
pp. 61—65.
[87] H. Goldstein A950). Classical Mechanics. — Addison-Wesley, Reading,
MA. [Имеется перевод: Г. Голдстейн. Классическая механика. — М.:
Наука, 1975.]
[88] J. Marsden, A. Weinstein A974). Reduction of symplectic manifolds
with symmetry. — Rep. Math. Phys., 5, pp. 121—130.
[89] R. Hirota A972). Exact solution of the Korteweg—de Vries equation
for multiple collisions of solitons. — Phys. Rev. Lett., 27, pp. 1192—1194.
— A972). Exact solution of the sine-Gordon equation for multiple
collisions of solitons. — J. Phys. Soc. Japan, 33, pp. 1459—1463.
31 в Литература
— A973). Exact envelope-soliton solutions of a nonlinear wave
equation. — J. Math. Phys., 14, pp. 805—809.
— A973). Exact JV-soliton of a nonlinear lumped network equation.—
J. Phys. Soc. Japan, 35, pp. 289—294.
— A973). Exact Af-soliton of the wave equation of long waves in
shallow water and in nonlinear lattices. — J. Math. Phys., 14, pp. 810—
814.
— A973). Exact three-soliton of the two-dimensional sine-Gordon
equation.— J. Phys. Soc. Japan, 35, pp. 1566.
— A974). A new form of Backlund transformation and its relation to
the inverse scattering problem. — Prog. Theor. Phys., 52, pp. 1498—1512.
— A976). Direct methods of finding exact solutions of nonlinear
evolution equations. — In: Backlund Transformations, R. M. Miura ed.,
Lecture Notes in Mathematics 515, Springer — Verlag, New York.
— A977). Nonlinear partial difference equations I. — J. Phys. Soc.
Japan, 43, pp. 1429—1433.
— A977). Nonlinear partial difference equations II. Discrete time Toda
equation. — J. Phys. Soc. Japan, 43, pp. 2074—2078.
— A977). Nonlinear partial difference equations III. Discrete sine-
Gordon equations. — J. Phys. Soc. Japan, 43, pp. 2079—2089.
— A978). Nonlinear partial difference equations IV. Backlund trans-
formation for the discrete Toda equation. — J. Phys. Soc. Japan, 45,
pp. 321—332.
— A979). Nonlinear partial difference equations V. Nonlinear equations
reducible to linear equations. — J. Phys. Soc. Japan, 46, pp. 321—219.
[90] L. Schlesinger A912). J. Reine Angew., Math., 141, pp. 96—145.
[91] R. Garnier A919). Sur une classe de systems differentials abeliens
deduits de la theorie des equations lineares. — Rend. Cir. Mat. Palermo,
43, pp. 155—191.
[92] Э. Л. Айне A939). Обыкновенные дифференциальные уравнения.—
Харьков, ДНТВУ.
[93] М. J. Ablowitz, H. Segur A977). Exact linearization of a Painleve
transcendent. — Phys. Rev. Lett, 38, pp. 1103—1106.
[94] J. Weiss, M. Tabor, G. Carnevale A983). The Painleve property for
partial differential equations.— J. Math. Phys., 24, pp. 522—526.
[95] H. Rund A974). Variational problems and Backlund transformations
associated with the sine-Gordon and Korteweg — de Vries equations
and their extensions. — In: Backlund Transformations, R. M. Miure ed.,
Lecture Notes in Math. 515, Springer — Verlag, New York, P. 199—226.
[96] A. G. Newell A974). The interrelation between Backlund transformations
and the inverse scattering transform. — In: Backlund Transformations,
R. M. Miura ed., Lecture Notes in Math. 515, Springer — Verlag, New
York, pp. 227—240.
H. Flashka, D. W. McLaughlin A974). Some comments on Backlund
transformations. — ibid, pp. 251—295.
L. D. Faddeev A963). The inverse problem in the quantum theory of
scattering. — J. Math. Phys., 4, pp. 72—104.
[97] D. J. Каир A980). The Wahlquist — Estabrook method with examples
of applications. — Physica D, 1, pp. 391—411.
[98] J. Moser A975). Dynamical systems, finitely many mass points on the
line under the influence of an exponential potential — an integrable
system. — In: Dynamical Systems. Theory and Aplications, J. Moser
ed., Lecture Notes in Physics, 38, Springer — Verlag, New York.
[99] B. Konstant A979). The solution to a generalized Toda lattice and
representation theory.— Adv. Math., 34, 3, pp. 195—338.
Литература 317
[100] D. Kazhdan, В. Kostant and S. Steinberg, Hamiltonian group actions
and dynamical systems of Calogero type, Comm Pure Appl. Math.,
31 A978), pp. 481—507.
[101] I. B. Frenkel and V. G. Kac, Basic representations of affine Lie
algebras and dual resonance models, Invent. Math., 62 A980*.
pp. 23—66.
[102] J. Lepowsky and R. L. Wilson, Construction of the affine Lie algebra
Comm. Math. Phys., 62 A978), hh. 43—63.
[103] M. Jimbo, T. Miwa, Y. Mori and M. Sato, Density matrix of an
impenetrable box gas and the fifth Painleve transcendent, Physica D,
1 A980), pp. 80—139.
—, Holonomic quantum fields, in Lecture Notes in Physics 116,
Springer — Verlag, New York, 1979; pp. 119ff.
M. Sato, T. Miwa and M. Jinbo, Aspects of holonomic quantum fields,
Lecture Notes in Physics 126, Springer-Verlag, New York, 1979,
pp. 429ff. [Имеется перевод: Голономные квантовые поля. Под ред.
В. С. Владимирова.—М.: Мир, 1983.]
[104] К. Sawada and T. Kotera, A method for finding n-soliton solutions of
the KdV equation and KdV-like equations, Prog. Theor. Phys., 51
A974), pp. 1355ff.
[105] В. И. Арнольд A974). Математические методы классической меха-
ники. — М.: Наука.
[106] A. Reyman and M. Semenov-Tian-Shansky, Reduction of Hamiltonian
systems, affine Lie algebras and Lax equations. II, Invent Math., 63
A981), pp. 423—432.
— А. Рейман, М. А. Семенов-Тян-Шанский A980). Алгебры токов и
нелинейные уравнения. — Доклады АН СССР, 251, с. 1310—1312.
[107] J. Moser, Dynamical Systems, CIME Lectures, Bressarone, Italy, Pro-
gram in Mathematics #8, Birkhauser, Boston.
[108] В. Е. Захаров, А. Б. Шабат A979). Интегрирование нелинейных
уравнений математической физики методом обратной задачи рассея-
ния. II. — Функц. анализ и его прилож., 13, вып. 3, с. 13—22.
А. V. Mikhailov, The reduction problem and the inverse scattering
method, in Solitons, Topics in Current Physics 17, R. Bullough and
P. Caudrey, eds., Springer — Verlag, New York, 1980, pp. 243—285.
[109] B. McCoy and Т. Т. Wu, preprint.
[110] J. M. Greene and I. G. Percival, Hamiltonian maps in the complex
plane, Physica D, 3 A981), pp. 530ff.
[Ill] H. Segur, Lectures given at the International School of Physics (En-
rico Fermi), Varenna, Italy, unpublished, 1980.
[112] A. S. Davydov, The role of solitons in the energy and electron transfer
in one-dimensional molecular systems, Physica D, 3 A981), pp. 1—22.
J. M. Hyman, D. W. McLaughlin and A. C. Scott, On Davydov's
alpha-helix solitons, Physica D, 3 A981), pp. 23—44.
[113] R. Bullough and P. Caudrey, eds., Solitons, Topics in Current Physics
17, Springer — Verlag, New York, 1980. [Имеется перевод: Солитоны.
Под ред. С. П. Новикова. — М.: Мир, 1983.]
[114] М. J. Ablowitz and H. Segur, Solitons and the Inverse Scattering
Transform, SIAM Studies in Applied Mathematics 4, Society for In-
dustrial and Applied Mathematics, Philadelphia, 1981. [Имеется пере-
вод: M. Абловиц, X. Сигур. Солитоны и метод обратной задачи Под
ред. В. Е. Захарова. —М.: Мир, 1987.]
[115] К. Lonngren and А. С. Scott, eds., Solitons in Action, Acidemic Press,
New York, 1978. [Имеется перевод: Солитоны в действии. Под ред.
А. В. Гапонова-Грехова, Л. А. Островского. —М.: Мир, 1981.]
318 Литература, добавленная при переводе
[116] F. Calogero and A. Degasperis, Solitons and the Spectral Transform I,
North-Holland, Amsterdam, 1982. [Имеется перевод: Ф. Калоджеро,
A. Дегасперис. Спектральное преобразование и солитоны. Под ред.
B. Е. Захарова.—М.: Мир, 1985.]
[117] W. Eckhaus and A. Van Harten, The Inverse Scattering Transformation
and the Theory of Solitons: An Introduction, Mathematical Studies 50,
North —Holland, Amsterdam, 1981.
[118] H. Flaschka and D. W. McLaughlin, eds., The Theory and Application
of Solitons, Rocky Mountain J. Math. vol. 8, issues 1, 2, 1978.
[119] F. Calogero, ed., Nonlinear Evolution Equatfons Solvable by the Spectral
Ttransform Research Notes in Mathematics 26, London, Pitman, 1978.
[120] R. Miura, The Korteweg—de Vries equation, a survey of results, SIAM
Rev, 18 A976), pp. 412—459.
[121] Q. S. Emmerson, J. S. Russell, A Biography, John Murray, London,
1971.
[122] H. H. Chen, Y. С Lee and J. E. Lin, On a new hierarchy of symmetries
for the integrable nonlinear evolution equations, preprint. (См. также
[5] в списке дополнительной литературы к гл. 5).
[123] Н. L. Swinney and J. P. Qollub, eds., Hydrodynamic Instabilities and
the Transition to Turbulence, Topics in Applied Physics 45, Springer —
Verlag, New York, 1981. [Имеется перевод: X. Л. Суинни, Дж. П. Гол-
луб (ред.). Гидродинамические неустойчивости и переход к турбу-
лентности. Под ред. А. В. Гапонова-Грехова и М. Н. Рабиновича. —
М.: Мир, 1984.]
[124] Nonlinear and Turbulent Processes, Proceedings 2nd International Work-
shop, Kiev, 1983, Gordon and Breach, New York, 1984. [Имеется рус-
скоязычное издание: Проблемы нелинейных и турбулентных процессов
в физике. — Киев: Наукова Думка, части I и II, 1985.]
[125] М. Jimbo and T. Miwa, Monodromy preserving deformations of linear
ordinary differential equations with rational coefficients II, Physica D,
2 A981), pp. 407ff.
—, III, Physica D, 4 A981), pp. 26ff.
[126] T. Brooke Benjamin, Lectures on Nonlinear Wave Motion, Lectures in
Applied Mathematics 15, American Mathematical Society, Providence,
Rhode Island, 1974, pp. 3—48.
[127] A. C. Newell, Envelope Equations, Lectures in Applied Mathematics 15,
American Mathematical Society, Providence, RI, 1974, pp. 157—163.
Bifurcation and nonlinear focusing, Pattern Formation and Pattern
Recognition, H. Haben, ed., Springer Series on Synergetics, Vol. 5,
Springer — Verlag, New York, 1979, pp. 244—265.
Литература, добавленная при переводе
К главе 1
[1] L. D. Faddeev, L. A. Takhtajan A985). Poisson structure for the KdV
equation. — Lett. Math. Phys., 10, pp. 183—188.
[2] В. А. Аркадьев, А. К. Погребков, А. К. Поливанов A988). Замечание
о Пуассоновой структуре для уравнения КдФ. — Доклады АН СССР,
298, с. 324—328.
[3] V. Е. Zakharov, E. I. Schulman A980). Degenerative dispersion laws
motion invariant and kinetic equations. — Physica D, 1, pp. 192—202;
— A988). On additional motion invariants of classical Hamiltonian wave
systems. — Physica D, 29, pp. 283—320.
Литература, добавленная при переводе 319
[4] В. Е. Захаров, Е. И. Шульман A985). О матрице рассеяния и полной
интегрируемости классических гамильтоновых волновых систем. — До-
клады АН СССР, 238, с. 1325—1328.
[5] Е. И. Шульман A988). О дополнительных интегралах движения клас-
сических гамильтоновых волновых систем. — ТМФ, 76, № 1.
К главе 3
[1] С. П. Буцев, В. Е. Захаров, А. В. Михайлов A987). Метод обратной
задачи с переменным спектральным параметром. — ТМФ, 70, с. 323—341.
[2] И. Р. Габитов, В. Е. Захаров, А. В. Михайлов A985). Уравнение Макс-
велла— Блоха и метод обратной задачи рассеяния. — ТМФ, 63, с. 11—31.
[3] В. А. Белинский, В. Е. Захаров A978). Интегрирование уравнений Эйн-
штейна методом обратной задачи рассеяния и вычисление точных со-
литонных решений. — ЖЭТФ, 75, с. 1953—1971.
[4] F. Calogero, A. Degasperis A978). Exact solution via the spectrum
transform of a nonlinear evolution equation with linearly X-dependent
coefficients. — Lett. Nuovo Cimento, 22, p. 138.
— A978). Exact solution via the spectrum transform of a generalization
with linearly X-dependent coefficients of the nonlinear Schrodinger
equation. — Lett. Nuovo Cimento, 22, p. 420.
[5] А. Ю. Орлов, Е. И. Шульман A984). Дополнительные симметрии ин-
тегрируемых систем и представления конформной алгебры. — Препринт
ИАиЭ № 217, с. 16.
[6] А. Ю. Орлов, Е. И. Шульман A985). Дополнительные симметрии не-
линейного уравнения Шрёдингера. — ТМФ, 64, с. 323—328.
[7] А. Ю. Орлов, Е. И. Шульман A985). Дополнительные симметрии дву-
мерных интегрируемых систем. — Препринт ИАиЭ № 277, с. 19.
[8] A. Yu. Orlow, E. I. Schulman A986). Additional Symmetries for Integrab-
Ie Equations and Conform Algebra Representations. Lett. Math. Phys., 12,
pp. 171—179. _
[9] A. Yu. Orlow A988). Vertex operator, d-problem, Variational Identities
and Hamiltonian structure for B + 1)-Integrable Systems. — In: Plasma
Theory and Nonlinear and Turbulent Processes in Physics. — V. G. Bar'yac-
tar et all, eds., vol. 1. — Singapore: World Scientific, pp. 116—134.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Ли (Lie algebra)
— бесшпуровых матриц (traceless matrices ~) 244
— Гейзенберга (Heisenberg ~) 303
— Каца — Муди (Kac-Moody) 193, 199
— петель (loop ~) 302
—, центральное расширение (central extension) 273
— SI B, С) 11, 216
— Л',0 302
Безотражательные потенциалы (reflectionless potentials) 119
Бенджамина — Оно уравнение (Benjamen-Ono equation) 14
Бенджамина — Фейра неустойчивость (Benjamen-Feir instabi-
lity) 75, 89
Бэклунда преобразование (Becklund transformation) 12, 36, 48,
185, 195, 201, 289, 293
Взаимодействие двухсолитонное (two soliton interaction) 121
Возмущений теория (perturbation theory) 128
Волна кноидальная (cnoidal wave) 29
— уединенная (solitary ~) 23, 57
— Стокса (Stokes ~) 25
— Ферми — Пасты — У лама (Fermi-Pasta-Ulam ~) 27
Гамильтонова структура (Hamiltonian structure) И, 99
.вторая (second ~ ~) 276
Гейзенберга алгебра (Heisenberg algebra) 303
Градуировка (grading) 274
Группа симметрии (symmetry group) 203
Данные рассеяния (scattering data) 38, 112, 122, 283
, временная динамика (time dependence) 123
Дуальная алгебра (dual algebra) 216
Предметный указатель 321
Закон сохранения (conservation law) 34, 105, 164, 229
— —, в теории возмущений 133
— Грина (Green ~) 57
Захарова — Шабата «одевание» (Zakharov-Shabat «dressing»)
198, 289, 293
Иерархия АК.НС (AK.NS hierarchy) 11, 211, 249, 277
— КдФ (KdV ~) 94
— НУШП (DNSE ~) 11
Изинга модель (Ising model) 21, 92
Изомонодромные деформации (isomonodromic deformations)
244, 251
Изоспектральные деформации (isospectral deformations) 244
Инвариант Римана (Riemann invariant) 13, 91
Интеграл движения (motion invariant) 16, 164, 246
Каноническое преобразование (canonic transformation) 41
Коэффициент прохождения (transmission coefficient) 37
— отражения (reflection ~) 37
Лоренца модель (Lorentz model) 21
Матрица рассеяния (scattering matrix) 245
— Картана (Cartan ~) 273
Модуляционная неустойчивость (modulation instability) 77
Монодромия (monodromy) 263
Начальная задача Коши (Cauchy initial problem) 16
Нелинейная суперпозиция (nonlinear superposition) 15
Нормальная мода (normal mode) 26, 38
Пенлеве свойство (Painleve property) 19, 179
— трансцендент (~ transcendent) 20
Переменные действие — угол (action-angle variables) 16, 283
Приближение двухволновое (bidirectional approximation) 26, 57
— одноволновое (unidirectional ~) 26
Потенциал (potential) 287
Поток отраженный (reflected flow) 137
Преобразование Бэклунда (Becklund transformation) 12, 36, 48,
185, 195, 201, 289, 293
— каноническое (canonic ~) 41
322 Предметный указатель
— Миуры (Miura ~) 33, 35, 187
— Шлезингера (Schlesinger ~) 12, 198, 267, 271, 289
Проблема Римана — Гильберта (Riemann-Hilbert problem) 12,
198, 247, 279
Расслоение (bundle) 282
Решения автомодельные (selfsimilar solutions) 252
— конечнозонные (finite gar ~) 32, 141, 253
— рациональные (rational ~) 141
— iV-солитонные (Af-soliton ~) 9, 120, 141
Риманова поверхность (Riemann surface) 145, 152, 244, 249
Симметрия (symmetry) 164
Скобка Пуассона (Poisson bracket) 41, 279
Солитон (soliton) 7, 23, 28
Соотношения Рэнкина — Гюгонио (Rankin-Hugonio relations) 35
Странный аттрактор (strange attractor) 7, 17
Теория Колмогорова — Арнольда — Мозера (Kolmogorov-Ar-
nold-Moser theory) 18
— рассеяния (scattering ~) 108
— Уизема (Whitham ~) 8, 81
Уравнение Бенджамина — Оно (Benjamen-Ono equation) 14
— Бенни — Роскеса — Дэви — Стюартсона (Benny-Roskes-Da-
vey-Stewartson ~) 14
— Гельфанда — Левитана (Gelfand-Levitan —) 119
— гиперболического типа (hyperbolic ~) 7
— для огибающей неустойчивой волны (unstable wave envelo-
pe ~) 74
— Захарова (Zakharov ~) 70, 79
— Кадомцева — Петвиашвили (Kadomtsev-Petviashvili ~) 14,
59, 199
— кирального поля (chiral field ~) 14
— Кортевега — де Фриза (Korteweg-de Vries ~) 8, 13, 29, 44
— Лакса (Lax ~) 42, 201, 216, 279
— логистическое (logistic ~) 17
— модифицированное Кортевега — де Фриза (modified Korte-
weg-de Vries ~) 14, 44
— точное интегрируемое (exactly integrable ~) 16
— Хироты (Hirota ~) 16, 229, 234, 302
Предметный указатель 323
— Шрёдингера нелинейное (nonlinear Schrodinger ~) 8, 13,
51, 71, 207
— Шрёдингера стационарное (stationary Schrodinger ~) 35,94
— Эйлера (Euler ~) 24
— sin-Гордон (sin-Gordon ~) 14
Условие коммутативности (commutativity condition) 214
Форма Киллинга (Killing form) 283
Формализм Хироты (Hirota formalizm) 9, 19, 47, 168
Формулы следов (trace formulae) 114
Функционал Казимира (Kasimir functional) 136
Цепочка ангармоническая (anharmonic chain) 26
— Тоды (Toda ~) 14, 46
Энергия (energy) 27
Эргодичность (ergodicity) 17
Якоби многообразие (Jacoby manifold) 152
ad-инвариантная функция (ad-invariant function) 217, 283
т-функция (т-function) 9, 19, 22, 47, 159
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Введение •••.¦. 7
Глава 1. История солитона 23
Глава 2. Вывод уравнения Кортевега — де Фриза, нели-
нейного уравнения Шрёдингера и других важ-
ных в математической физике канонических
уравнений 50
Глава 3. Семейства солитонных уравнений и методы их
решения 94
Глава 4. т-функция, методы Хироты, свойство Пенлеве и
преобразование Бэклунда для солитонных урав-
нений семейства Кортевега — де Фриза . . . 159
Глава 5. Связующие звенья между чудесами солитонной
математики 198
Литература 311
Предметный указатель 320