Кентавр, или Как математика помогает физике - Соколов Э.Т.

Автор: Соколов Э.Т.
Теги: издания для определенного назначения физика математика математическая физика
ISBN: 5-339-00102-4
Год: 1988
Похожие
Математика. Увлекательная наука
Забавная арифметика
За страницами учбеника математики. Арифметика. Алгебра. Геометрия. Книга для учащихся 10—11 классов общеобразовательных учреждений
Занимательная математика в рассказах для детей
Текст
                    Кентавр,
или
Как математика
помогает физике

Э.Т. Соколов
К»1ТПВР
или
<&Кмк математика
помогает
физике
2-е издание, дополненное
Минск
”Вышэйшая школа”
1988
ББК 22.311
С 59
УДК 087.1 : [53 : 51
Рецензент: старший научный сотрудник Инсти-
тута прикладной математики им. М. В. Келдыша
АН СССР, доктор физико-математических наук
И. П. Павлоцкий
Соколов Э. Т.
С 59 Кентавр, или Как математика помога-
ет физике.— 2-е изд., доп.— Мн.: Выш.
шк., 1988.— 287 с.: ил.
ISBN 5—339—00102—4
Популярный рассказ о математической физике. Автор
знакомит читателя с понятием математической модели,
напоминает ему основные идеи дифференциального и
интегрального исчисления, вводит в мир векторов и др.
2-е издание книги (1-е вышло в 1982 г.) дополнено гла-
вами о вариационном исчислении и нелинейных уравне-
ниях, связанных с солитонами.
Для школьников старших классов, всех, кто хочет
поближе познакомиться с математической физикой.
4802020000—164 ,10_88	ББК 22 3J j
М304(03)-88
© Издательство
«Вышэйшая школа»,
1982
© Издательство
«Вышэйшая школа»,
ISBN 5—339—00102—4	1988, с дополнениями
Когда математик, занятый
исследованием физических дей-
ствий и их результатов, прихо-
дит к своим заключениям, не
могут ли они быть выражены
общепонятным языком так же
полно, ясно и определенно, как
и посредством математических
формул? Я думаю, что это так
и должно быть...
Майкл Фарадей
незнакомки
...математической точности
нужно требовать не для всех
предметов, а лишь для нема-
териальных.
Аристотель. Метафизика
еревние греки верили в суще-
ствование кентавров. Полукони-
полулюди, кентавры были рав-
но близки и тем, и другим. Хи-
рон, «справедливейший всех из кентавров»,
считался основателем врачевания. Он был учи-
телем Ахилла, а курс медицины у него прохо-
дил легендарный врач древности Асклепий.
Сегодняшние исследователи мифов полагают,
что кентавры были для греков символами: они
олицетворяли связь человека с животным ми-
ром — во времена Гомера эта связь, несомнен-
но, ощущалась людьми в гораздо большей сте-
пени, нежели в наши дни. Можно сказать, что
кентавры соединяли в себе две стихии: мате-
риальную — кони и духовную — люди, сущест-
ва мыслящие. Осуществляя связь между дву-
мя мирами, кентавры сами по себе составляли
особый мир. Ведь у них, как и у людей, были
6
о
свои стремления и обычаи, радости и огор-
чения.
Книга, взятая тобою, читатель, в руки, по-
священа математической физике, науке, соеди-
няющей в себе, подобно кентаврам, два ми-
ра — миры математики и физики и, подобно
кентаврам, образующей свой собственный мир,
живущий по особым законам и установлениям.
В отличие от своих родителей — физики и
математики, история которых насчитывает
тысячелетия, математическая физика — наука
сравнительно молодая, хотя в наше время, ко-
гда науки рождаются чуть ли не каждодневно,
считать ее юной уже не приходится. За два сто-
летия развития математическая физика окреп-
ла, возмужала, но сумела при этом не закос-
неть, сохранить гибкость и способность к
совершенствованию. Черпая силы у своих бли-
жайших родственников, которые тоже не стоят
на месте, математическая физика оказалась
благодарной дочерью и сторицей воздала ма-
тематике и физике, обогатив обе науки как но-
выми методами, так и новыми результатами.
Прочитав эту книгу, ты, читатель, сумеешь
составить представление, хотя и не слишком
глубокое, о стройном здании, на фасаде кото-
рого начертаны слова «математическая физи-
ка», однако во всех комнатах этого здания по-
бывать, конечно, не удастся: в одни мы зайдем
ненадолго, в другие только заглянем, а мимо
некоторых пройдем, не останавливаясь. Все
здание слишком велико, да и долгое путешест-
вие требует солидного математического и фи-
зического багажа. Здесь необходимо сделать
оговорку: знакомство со всякой наукой, в осо-
бенности связанной с математикой, требует
В
предварительной подготовки. Так что вряд ли
можно утверждать, что, прочитав книгу, ты
познакомишься с математической физикой,
если только не считать знакомством первое
свидание.
По пути нам будут встречаться формулы:
бояться их не следует, они определенно «не ку-
саются». Зато если приучить их к себе (а точ-
нее говоря, себя к ним), они могут рассказать
много интересного.
Лауреат Нобелевской премии Ричард Фейн-
ман — один из крупнейших физиков современ-
ности — говорил, что понять уравнение — это
значит написать его решение, не решая. Там,
где это окажется возможным, постараем-
ся действовать именно таким способом. Коро-
че говоря, объяснения часто (но не всегда!)
будут заменять вычисления.
Объяснения будут использованы и вместо
доказательств, в особенности вместо тех, кото-
рые называются «строгими». «Строгие» опре-
деления и доказательства, основанные на логи-
ке и не допускающие «догадок» и «веры на сло-
во»,— атрибут учебников и монографий, в чис-
ло которых эта книга ни в коем случае не вхо-
дит. Само собой разумеется, что пускаться в
путешествие по сильно пересеченной местности,
не имея в запасе никакой математической и фи-
зической «пищи», рискованно. Поэтому зай-
мемся поначалу некоторыми «заготовками»,
которые позволят начать путешествие.
Прежде, чем отправиться в путь, помедлим
минуту-другую, как предписывает старинный
обычай, и порассуждаем о вещах, на первый
взгляд ни к математике, ни к физике отноше-
ния не имеющих.
9
Радмышления
у парадного пвдъедда
Что нам стоит дом построить?
Нарисуем, будем жить...
Из детского фольклора
еловек познает мир.
Jg Зрение, обоняние, осязание,
слух и вкусовые ощущения
непрерывно поставляют ему ин-
формацию о самых разных сторонах окружа-
ющей действительности, являясь богатейшим
набором «датчиков». И все-таки самый щедрый
подарок природы, врученный человеку,— мы-
шление.
Именно мышление выделило человека в
процессе эволюции из ряда других животных
и позволило ему в конце концов добиться геге-
монии на Земле, ибо органы чувств у животных
не хуже, а подчас и значительно совершеннее,
чем у человека; они могут видеть в сумерках
(сова и кошка) и даже в полной темноте (ле-
тучие мыши), улавливать запахи, едва ли до-
ступные современным анализаторам (соба-
ки), слышать приближение потенциального
врага за километры (олени).
10

Тем не менее мышление с лихвою возмеща-
ет человеку недостатки природных органов
чувств. Широкий набор оптических приборов —
от микроскопов, позволяющих «разглядывать»
картинки из жизни вирусов и бактерий, до те-
лескопов, с помощью которых человек слышит
пульс Вселенной,— компенсирует относитель-
но слабое зрение. Радар позволяет «видеть» в
темноте не хуже летучей мыши. Чувствитель-
ные акустические приборы — слышать, не при-
падая, подобно сказочным героям, к сырой
земле, звуки от удаленных источников. Логика
расследования преступления, подкрепленная
спектральным анализом и другими достиже-
ниями науки, выводит на след преступника
вернее любой овчарки.
Превосходство человека над животным ми-
ром доказано всем ходом эволюции видов, и
решающая роль в достижении этого превосход-
ства принадлежит способности человека мы-
слить, познавать окружающий мир, его законы.
Грубо говоря, законы — это правила, по ко-
торым происходят события в окружающем ми-
ре, причем эти правила не зависят от воли че-
ловека. Так, камень, брошенный вверх чело-
веческой рукой, всегда упадет на Землю.
Щепотка соли растворяется в стакане воды.
Растение, лишенное света, погибает. Земля вра-
щается вокруг своей собственной оси и вокруг
Солнца. Более общее утверждение (в котором
нетрудно узнать закон всемирного тяготения)
состоит, например, в том, что два любых тела
во Вселенной притягиваются с силой, пропор-
циональной произведению их масс и обратно
пропорциональной квадрату расстояния меж-
ду ними. Такого рода утверждений, справедли-
12
вых для большего или меньшего круга явлений,
существует множество. Они являются предме-
тами исследования различных наук. Наблюдая
за природой, проводя эксперименты, то есть
искусственно создавая ситуации, которые ред-
ко возникают в природе сами или не возникают
вообще, ученые обобщают отдельные факты и
события, объединяя их по схожим признакам,
и формулируют законы. Эти законы в свою
очередь помогают расширять знания о приро-
де, предсказывать течение природных процес-
сов и, следовательно, использовать их в инте-
ресах человечества (к сожалению, иногда и
против этих интересов).
Наиболее важным и даже несколько уди-
вительным свойством этих законов является
независимость их от человека. Такие «незави-
симые» законы носят название объективных.
В практической деятельности человек руковод-
ствуется именно объективными законами.
Игнорировать объективные законы опасно.
Человек, который считал бы, что подброшен-
ный камень не упадет на Землю, рисковал бы
однажды проломить себе голову. А конструк-
торы, отрицающие закон всемирного тяготения,
вряд ли сумели бы запустить ракету в межпла-
нетное пространство.
Хотя содержание законов действительно не-
зависимо от человека, познающего мир, форма
этих законов может зависеть— и, как правило,
зависит — от того, как именно сформули-
рует тот или иной закон конкретный исследо-
ватель, его открывший. Таким образом, зако-
ны объективны, а формулировки законов субъ-
ективны. И здесь нет ни малейшего противоре-
чия. Любая теория, научный результат, даже
13
термины и понятия, в которых выражаются за-
коны, носят отпечаток личности исследователя.
И субъективность различных формулировок
одного и того же закона как раз и является
наилучшим свидетельством его объективности,
независимости от его открывателей.
А что же само мышление? Ведь это не ка-
мень, не кошка- Его нельзя увидеть, взять на
руки и тем более погладить. Иначе говоря, оно
нематериально. И все-таки оно существует.
Есть известная английская шутка о челове-
ке, верившем лишь в то, что он видел собствен-
ными глазами. Довольно ехидный контраргу-
мент заключался в том, что, хотя никто не ви-
дел его мозгов, мало кто сомневается в их
существовании. Не уподобляясь этому неза-
дачливому герою, согласимся с тем, что мы-
шление существует, и зададим себе вопрос:
если во внешнем мире существуют объектив-
ные законы, то существуют ли такие законы
для мышления?
Такие законы есть, и, собранные вместе, за-
коны мышления называются логикой.
Грамматика известна всем. Ее правила ре-
гулируют взаимоотношения между словами
языка. У каждого языка своя грамматика.
Логика же включает те законы, которые явля-
ются общими для мышления, независимо от
языка, на котором оно осуществляется. Иначе
говоря, логика — это грамматика мышления.
Хотя история логики насчитывает тысяче-
летия, первым систематическое изучение логи-
ки как науки начал Аристотель (384—322 гг.
до н. э.). После смерти Аристотеля его труды
по логике были собраны в одну книгу, полу-
чившую название «Органон». Слово это по-
14
гречески означает «орудие». Такое название
не противоречит пониманию Аристотелем ло-
гики как орудия научного исследования. Он
первым сформулировал правила построения
умозаключений (силлогизмов), развил учение
о доказательствах. Логика Аристотеля, как и
все его учение, в средние века была использо-
вана христианской церковью. Труды Аристоте-
ля были объявлены «священными», и всякое
отступление от них рассматривалось как «свя-
тотатство». Такая точка зрения не только про-
тиворечила взглядам самого древнегреческого
философа, но и служила тормозом всякому
движению живой человеческой мысли. В сущ-
ности логика использовалась как еще одно
средство укрепления церкви.
В новое время к развитию логики обраща-
лись многие мыслители.
Уже в двадцатом веке Бертран Рассел и
Людвиг Витгенштейн заложили основы новой
дисциплины — математической логики. В на-
стоящее время она представляет самостоятель-
ную и продолжающую развиваться ветвь ма-
тематики со своим специфическим языком,
широко используемым математиками, которые
работают в самых различных областях.
Надо заметить: хотя законы логики не про-
тиворечат законам материального мира, они
вполне могут обходиться и без него. И это не
должно вызывать удивления. Ведь законы ло-
гики — это законы мышления, а мышление,
как мы согласились, нематериально. Говорят,
что логика обладает относительной самостоя-
тельностью.
Это очень похоже на то, как родители гово-
рят о своем пятилетием ребенке: он у нас со-
15
всем самостоятельный. Но ведь это означает
только, что он в состоянии сам есть, ходить,
короче говоря, заниматься самообслужива-
нием. Ясно, что без родителей пятилетнему ма-
лышу не обойтись.
И все-таки в своем собственном мире— ми-
ре слов и понятий — логика самостоятельна.
Разгадка кажущегося парадокса заключается
в том, что мир вещей и мир понятий связаны
друг с другом надежным мостом: сами поня-
тия складываются и образуются на основе изу-
чения материального мира.
Скажем, каменщик укладывает реальные
кирпичи в стену реального дома. Но прежде
чем к делу приступают каменщики, создается
проект дома. Согласитесь, что проект дома (нг-
бор чертежей) —это еще не дом. В проекте
жить невозможно. Зато, глядя на проект, стро-
ители узнают, как именно надо укладывать
кирпичи, прокладывать трубы, проводить
электропроводку, чтобы в результате возник
дом, пригодный для жилья. Почему же паути-
на карандашных линий способна воплотиться
в здание? Потому, что чертежи созданы по
объективным законам. Кажется, все ясно. Но
вот вопрос: по объективным законам чего?
Природы или мышления?
Наиболее простой ответ таков: по законам
строительной механики. Откуда же в свою оче-
редь берется уверенность в правильности этих
законов? Ведь законы относятся скорее к чер-
тежам, чем к кирпичам.
Эта уверенность основана на том, что зда-
ния, построенные по чертежам, стоят. В них
живут и работают люди, действуют заводы,
магазины, концертные залы, словом, они де-
16
лают то дело, для которого предназначены.
Все это означает, что законы строительной ме-
ханики (а они — часть законов мышления)
проходят проверку опытом. Если дом разва-
лится, ясно, что в чертежах или расчетах есть
ошибка.
Опыт человеческой деятельности, деятель-
ности практической, и есть тот главный инспек-
тор, который выставляет отметки нашему мы-
шлению.
Но когда отметка выставлена, и она поло-
жительна, из мира вещей мы переходим в мир
мыслей, в котором царят законы логики. На-
сколько верно зеркало мыслей отражает реаль-
ный мир? И где мера этой верности? Логика
здесь плохой советчик: верные сами по себе
мысли могут мало соответствовать реальной
жизни.
2 Э. Т. Соколов
Эвддожник и его модель
Лицо так странно молодеет в
пудре...
С. Липким. Два зеркала
сть такая восточная притча.
Некий шах, отличавшийся,
подобно другим шахам, крутым
нравом, пожелал узреть себя
изображенным на портрете. Само по себе это
пожелание шаха ничего особенного не таило,
однако художник, которому выпала столь вы-
сокая честь, впал в отчаяние. И было от чего:
шах был кривым, то есть одноглазым.
Перед художником встала дилемма: либо
изобразить шаха с двумя глазами, один из ко-
торых существовал бы только на полотне, ина-
че говоря, погрешить против истины, либо изо-
бразить шаха как есть — одноглазым. И то, и
другое было одинаково опасно. В первом слу-
чае его казнили бы за нарушение правды, во
втором — за оскорбление шахского величества.
Итак, для художника вопрос состоял, каза-
лось, лишь в выборе мотива для казни. Притча
ничего не сообщает о мучительных раздумьях
18

художника, ломавшего голову над тем, как
выпутаться из постигшего его несчастья. Из-
вестно только, что выход был найден. Худож-
ник написал портрет шаха, сумев при этом
ни солгать, ни оскорбить чувствительное шах-
ское самолюбие.
Шах был изображен на охоте. Восседая на
великолепном коне, он целился из лука в не
менее великолепного оленя. Вполне естествен-
но, что слепой глаз был зажмурен. Ведь, це-
лясь, закрывают один глаз даже шахи.
Так был найден выход из, казалось бы,
безнадежной ситуации.
Как же такой портрет назвать? Правдивый
он или нет? А что же такое правдивый портрет?
Художник преследовал вполне определен-
ную цель: написать портрет шаха, похожий на
оригинал, но скрыть при этом некоторую осо-
бенность оригинала, уже известную читателю.
Сцена охоты как нельзя лучше отвечала этим
требованиям. Когда глаз закрыт, трудно ска-
зать, есть ли он вообще.
Наиболее важный момент для нас в этой
притче заключается в том, что портрет был на-
писан с определенной целью. В самом деле,
если бы шах был немного поумнее, а еще луч-
ше— умным человеком, он вряд ли стал бы
скрывать свой физический недостаток. Он, воз-
можно, предпочел бы предстать на картине с
атрибутами мудрости, скажем, в окружении
книг. Кичившийся своим богатством желал бы,
наверное, видеть себя в окружении драгоцен-
ностей; лошадьми — восседающим на скакуне.
Во всех случаях портрет изображает лишь
часть того, что можно было бы рассказать о
человеке.
20
Такое изображение, где передается часть
качеств, присущих реальному предмету (или
системе), называется модельным.
На самом деле всякое изображение явля-
ется модельным. Даже фотография, казалось
бы, воспроизводящая вещи такими, «каковы
они есть», доносит до нас лишь часть сведе-
ний: если она черно-белая, утраченным оказы-
вается цвет; цветная не передает объема.
Оказывается, во многих случаях и нет не-
обходимости знать абсолютно все о предмете
(оставим пока в стороне вопрос, возможно ли
это). Вполне достаточно немногих, как гово-
рят, главных характеристик, чтобы описать
его достаточно полно.
Вот, например, легковой автомобиль. Что
нужно знать о нем? Цену,— уверенно скажет
рядовой потребитель,— и, может быть, расход
горючего. При чем тут цена? — перебьет его
конструктор,— главное в автомобиле — его
внутреннее устройство! Ну, нет,— скажет ди-
зайнер,— главное — форма, внешний вид, обо-
рудование кабины.
Кто же прав? Правы все и... никто. Факти-
чески все трое говорят о разных характеристи-
ках автомобиля. Иначе говоря, они пытаются
создать различные модели (не надо путать,
конечно, модель с маркой). А какие черты
главнее других, определяется целями, ради
которых и создается модель.
Описание предметов реального мира с по-
мощью моделей удивительно эффективно: очи-
щенная от второстепенных деталей словесная
(или любая другая) копия позволяет часто
гораздо больше узнать о реальном мире, чем
изучение самогог оригинала.
21
Конечно, модель вовсе не обязана быть на-
бором слов или лабиринтом чертежных линий.
Она может быть, например, уменьшенной (или
увеличенной) копией.
Пластмассовые копии настоящих самоле-
тов, разобранные на отдельные части (их надо
склеивать), в мгновение ока исчезают с при-
лавков в магазинах игрушек. Они полюбились
детям, да и родителям (в их детские времена
таких не было!) тоже. Но не всем, вероятно,
известно, что похожими игрушками «играют»
и самые настоящие взрослые конструкторы.
Эти игрушечные подобия реальных реактив-
ных лайнеров, снабженные десятками датчи-
ков, помещают в трубу, сквозь которую гонит-
ся воздух. Такая труба называется аэродина-
мической. Модель самолета неподвижна, но
благодаря движению воздуха в трубе она как
бы «летит» в воздушном потоке. Такая модель-
ная ситуация дополняется «теорией подобия»,
которая утверждает, что модель и настоящий
самолет будут лететь одинаково (подобно),
если определенным и правильным образом
х (теория указывает, как именно) согласовать
скорости воздушных потоков и размеры моде-
ли и оригинала.
Такое «обдувание» самолетных моделей
практикуется и сейчас. Оказалось, однако, что
самые быстроходные самолеты, скорость ко-
торых значительно превышает скорость звука
в воздухе, отказываются вести себя так, как их
«меньшие собратья». Маленькая модель в аэро-
динамической трубе проявляет великолепные
летательные качества, а настоящий сверхзву-
ковой истребитель таких качеств не проявляет.
Вместо устойчивого полета он то впадает во
22
«флаттер» (его начинает трясти), то опроки-
дывается. Почему?
Выяснилось, что при очень больших скоро-
стях «теория подобия» становится неверной, а
вместе с этим становится невозможной и под-
мена настоящего реактивного самолета «игру-
шечным». Они перестают быть похожими. Мо-
дель перестала «работать».
Итак, модели бывают разные.
Именно это обстоятельство, как ни странно,
и обеспечивает плодотворность модельного
описания. Если дверь осела, достаточно под-
ложить шайбы в петли, и она снова открыва-
ется. Если модель плоха, можно улучшить ее!
Ведь именно так поступают с вещами в реаль-
ном мире. А мы уже говорили, что законы мира
вещей и логика мира слов связаны друг с дру-
гом. А это означает, что с моделями можно
обращаться точно так же, как с вещами: если
они «ломаются», их можно «чинить»; если
оказываются слишком просты,— усложнить, а
слишком сложные поддаются упрощению.
Наконец, настало время сказать о том, что
модели бывают математическими. На самом
деле им-то и посвящена вся эта книга. А все,
что говорилось до сих пор, преследовало одну-
единственную цель: привести некоторые сооб-
ражения, которые помогли бы понять, что вся-
кое описание мира — модельное.
Что же такое математическая модель? Фор-
мула, уравнение, график? А может быть, мно-
жество? Или многообразие?
На эти и другие здесь не заданные вопросы
ответы будут даны на следующих страницах,
но, чтобы не откладывать дело в долгий ящик>
понаблюдаем, как бегает голодная мышь.
Голодная мышь,
с помощью которой,
fygym, у^иты д^ауайца
Это очень длинная и грустная
история,— начала Мышь со
вздохом.
Л. Кэрролл. Алиса в стране
чудес
редставим себе гладкую скольз-
кую поверхность, в которой
имеется небольшое углубление.
В этой ямке лежит сырная ко-
рочка и, конечно же, издает аппетитный запах.
На некотором расстоянии от ямки сидит голод-
ная мышь. В какой-то момент мышь слышит
запах сыра. Поскольку мышь в своих действи-
ях руководствуется не разумом, но чувством
(голода), она сразу же бросается к ямке, то
бишь к сыру. Но поверхность скользкая.
Мышь с трудом разгоняется, и, когда подбега-
ет к ямке, и сыр, казалось бы, уже у нее в
зубах, неумолимая инерция гонит ее дальше,
и она оказывается снова на некотором рас-
стоянии от заветного углубления. Это расстоя-
ние меньше первоначального, поскольку име-
ется некоторое трение,— в противном случае
мышь не могла бы и разбежаться. Однако она
24
приобрела кое-какой опыт, и, хотя чувство го-
лода снова толкает ее к ямке, разгоняется она
уже не так сильно, как сначала, и проскаки-
вает ямку на меньшее расстояние. Так повто-
ряется несколько раз, пока мышь не оказыва-
ется достаточно близко к месту, куда она хоте-
ла попасть, а кусочек сыра — у нее в зубах.
Давайте попробуем математически описать
процесс блуждания мыши около ямки с сыром.
Конечно, все описать нам не удастся. За рам-
ками нашего описания останутся чувство голо-
да, которое испытывает мышь, сорт сыра и еще
много, быть может, очень важных деталей. Мы
попытаемся выделить то, что будем считать
главным: проследим способ, которым мышь
приближается к сыру.
Начнем с того, что нарисуем числовую
ось — это понятие известно из курса школьной
математики (рис. 1). На эту числовую ось по-
местим сырную корочку. Куда? Пусть она ле-
жит в точке 0. Вот наша первая (но не послед-
няя!) идеализация реальной задачи. Ведь
кусочек сыра — никакая не точка! Но, как го-
ворят, для простоты пока будем считать его
точкой. Теперь поместим на ту же числовую
ось мышь; ведь если сыр будет на числовой
оси, а мышь — в каком-нибудь другом месте,
она (мышь, конечно, а не числовая ось) риску-
ет умереть с голоду. Поместим мышь в точку /.
Почему в эту точку, а не в другую? Опять же
«для простоты». Если бы мышь на самом деле
находилась в точке 2, мы могли бы просто-на-
просто поменять масштаб и «старую» двойку
считать «новой» единицей. В этом случае 1
надо понимать как «начальное расстояние, раз-
деляющее мышь и сыр».
26
I______1_______I______I_____I______I______I______L
-4	-J	-2	-1	0	1	2	3
Мышь, кстати говоря, мы тоже считаем точ-
кой, но это и понятно: мышь в математическом
смысле ничуть не хуже (и не лучше) сыра.
Итак, сыр лежит в точке 0, мышь сидит в
точке /, она слышит запах сыра, бросается к
нему, проскакивает точку 0 и оказывается сле-
ва от нее. Где именно?
И вот тут становится ясно, что задача сфор-
мулирована недостаточно полно. Мышь ока-
зывается йа расстоянии меньше первона-
чального, то есть меньше единицы (по моду-
лю— абсолютной величине), но неизвестно,
на каком именно. Давайте сами дополним за-
дачу.
Обозначим расстояние, отделяющее мышь
от сыра, через Rn- Легко догадаться, что п—
это номер очередной попытки мыши достигнуть
цели, считая, что первый номер п=1 соответ-
ствует начальному расстоянию 7?i = l.
Наша математическая модель должна удов-
летворять по крайней мере одному требова-
нию: после очередной попытки ухватить корку
мышь должна оказываться ближе к ямке, чем
в предыдущий раз. Иначе говоря, расстояние
Rn должно уменьшаться с ростом п: |/?n+ij<
< | Rn |. В простейшем случае такому требова-
нию соответствует обратно пропорциональная
27
зависимость ~\]п. Дело, однако, осложняется
тем, что в двух очередных попытках мышь
оказывается по разные стороны от сыра (и тем
самым от нуля), то есть 7?n+i и 7?п, помимо то-
го, что |7?n+i | < |^п|, должны отличаться зна-
ком. Перемены знака легко добиться, если
снабдить выражение для расстояния множите-
лем (—1)п. Собирая все заготовки вместе, по-
лучим формулу
/?п=(-1)"+1М,	(1)
которая правильно описывает ситуацию. Про-
стая подстановка п=1, 2, 3, ... дает 7?i=l,
^2=-V2, ^з = 1/з, ^4=-V4, ... Мышь действи-
тельно приближается к ямке, причем она про-
скакивает ее, попеременно оказываясь то сле-
ва, то справа от сыра.
На самом деле эта формула и служит ма-
тематической моделью нашей задачи. Можно
забыть теперь о мышке и сыре и просто-напро-
сто иметь дело с формулой. Более того, если
сыр поменять на известного Зайца, а мышь —
на не менее известного Волка, то составленная
нехитрая математическая модель без всяких
изменений может быть использована для со-
ставления новой серии знаменитого мульт-
фильма «Ну, погоди!»
Итак, записанная формула пригодна для
любой ситуации, в которой один объект при-
ближается к другому.
Разумеется, наша модель очень проста
(под стать ситуации, которую она описывает),
и, конечно же, в ней есть недостатки.
Недостаток первый- Некто (назовем его
Критик), наблюдавший настоящую мышь, го-
ворит: «Конечно, модель правильно передает
28
сам факт приближения мыши к сыру, но на-
стоящая мышь гораздо умнее вашей матема-
тической модели и приближается к цели го-
раздо быстрее».
Что ж, изменим модель так, чтобы мышь
была «умнее», каждый раз разгонялась бы
медленней и оказывалась бы после очередной
попытки на меньшем расстоянии, чем это пред-
писывается формулой (1), например:
7?п=(-1)"+1М	(2)
В этом случае 7?i= 1, Т?2= —74, 7?3= — 7э, #4 =
= —716, ... Еще быстрее? Пожалуйста:
7?п=(-1)^М	(3)
Наконец, очень быстро:
7?п=(-1)^Мп.	(4)
Теперь расстояние убывает с каждой попыткой
просто катастрофически: /?1 = 1, Т?2= —74, ^?з =
= 727, ^4=-7б4,
Можно ли замедлить мышиный бег? Конеч-
но. Для его «ускорения» мы повышали показа-
тель степени числа в знаменателе. Попробуем
теперь уменьшать его (в том же смысле):
/?п=(-1)^М1/?.	(5)
Теперь = /?2= — 1/V2 «0,7, /?3= 1/У3^0,58,
/?4= —7г, ... Процесс приближения действи-
тельно замедлился. Ясно, что, рассуждая точно
так же, как и в «ускоренном» случае, можно,
уменьшая показатель степени, заставить мышь
двигаться черепашьим шагом.
Итак, мы выработали модель (это просто
формула), которая описывает приближение
29
голодной мыши к сырной корке. Тут бы и успо-
коиться, но звучит суровый голос Критика.
Недостаток второй. «Хорошо, ваша модель
действительно приближает мышь к сыру, и вы
можете регулировать скорость ее блужданий,
но так или иначе ваша мышь умрет с голоду,
и этим модель плоха».
Это возражение на первый взгляд может
показаться странным. Коль скоро мышь при-
ближается к сыру, да еще так стремительно,
как предписывает ей формула (4), она в конце
концов до него доберется.
Критик: «Хорошенькое дело! В конце кон-
цов, где же этот конец? Что-то его не видно.
Для простоты возьмем самую первую мо-
дель— формулу (1). После тысячной попытки
мышь все еще будет от сыра на расстоянии
1/1000 от начального. За тысячу таких бросков
у нее кончатся силы (а она и без того голод-
ная), и она, как говорится, протянет лапки».
Действительно...
В чем же причина такого поведения моде-
ли? Давайте проанализируем ее с самого на-
чала. Сыр мы поместили в точку 0, мышь —
в точку 7... Может быть, в этом все и дело?
Ведь мы условились считать сыр и мышь точ-
ками «для простоты». Иначе говоря, нужно
учесть конечность размеров мыши. Для этого
необходимо знать, чему они равны. Пусть дли-
на мыши равна 0,1 начального расстояния
7?i = l. Тогда ясно, что мышь дотянется до
сыра, когда ее центр будет находиться на рас-
стоянии 0,05 — половине ее длины — от точ*
ки 0. Иными словами, говоря о точке, мы не-
явно подразумевали точку, помещенную в
центр мыши. Вот теперь наша модель стала
30
лучше, а оговоренное условие, таким образом,
является такой же принадлежностью модели,
как и одна из формул (1) — (5). Теперь, когда
мы поняли, каким образом можно ввести в
модель размеры мыши, нетрудно учесть и раз-
меры сыра. Кроме того, и тот, и другой разме-
ры можно менять, делая мышь (или сыр)
больше или меньше.
Итак, модель готова.
Само собой разумеется, чтобы построить
математическую модель более сложного явле-
ния, чем бегание мыши около сырной корочки,
нужно привлекать более сложную математи-
ку, чем простые формулы типа (1) — (5).
И все-таки: мы выделили параметр — неко-
торую величину, подлежащую контролю,— рас-
стояние Rn, отделяющее сыр от мыши. Потом
подобрали для него правдоподобную зависи-
мость и научились эту зависимость регулиро-
вать. И, наконец, ввели в модель «физические»
условия, связанные с конечностью размеров
мыши.
Так мы убили первого «зайца».
Что касается второго, то заметим, что вели-
чины 7?i, Rs, •••, задаваемые любой из фор-
мул (1) — (5), представляют собой числовые
последовательности. Выбранные нами после-
довательности таковы, что с увеличением но-
мера п члены этих последовательностей убы-
вают (быстрее или медленнее). При очень
больших п числа становятся очень маленьки-
ми. Нетрудно понять, что они приближаются
к нулю. Такое число, к которому стремятся
члены числовой последовательности (конечно,
это не обязательно нуль), называется ее пре-
делом.
31
Как близко может последовательность при-
близиться к своему пределу? Оказывается, она
может подойти к нему сколь угодно близко. Ка-
кое бы малое расстояние мы ни указали, при
достаточно большом числе «шагов» последова-
тельность «подойдет» к своему пределу ближе
этого малого расстояния. Этой способностью
в сущности и определяется предел.
Дело выглядит так, что числовые последо
вательности (а чуть позже мы увидим, что и
многие функции) ведут себя в точности так же,
как мыши: роль сыра при этом выполняет не-
которое число (предел). В рассмотренном при-
мере этим числом был нуль. Но ведь именно
там и лежал сыр! И все-таки между последо-
вательностью и мышью есть важное отличие:
числовая последовательность может совершить
бесконечное число шагов по пути к пределу,
реальная мышь не в состоянии бесконечно дол-
го метаться вокруг сыра. Не введи мы в нашу
модель дополнительное условие, мышь, конеч-
но, околела бы. Это означает, в частности, что
модель, если она недостаточно искусно состав-
лена, может обнаруживать черты поведения,
не свойственные той «мыши», которую она
призвана представлять. Такое поведение мо-
дели называют «нефизическим». Этим словом
хотят сказать, что модель не вполне похожа
на свой физический прообраз. С такими моде-
лями мы еще познакомимся.
«Нефизичность» модели бывает обусловле-
на не только ее несовершенством, но и непра-
вильным использованием. Всякая модель имеет
область своей применимости. И это нетрудно
понять, если вспомнить, что модель передает
только некоторые, пусть и «главные», черты
32
оригинала. Изменяются условия,— и характе-
ристики, бывшие «главными», становятся вто-
ростепенными, а настоящими главными стано-
вятся совсем другие, которые в модели, воз-
можно, и вовсе отсутствовали. Несмотря на
это, физикам удалось создать немало моделей,
которые обладают весьма большой общностью
и применяются в областях, на первый взгляд
ничего общего между собой не имеющих.
Вернемся, однако, к мышке.
Предел и есть тот второй «заяц», которого
мы собирались «убить» с помощью нашей мы-
ши, согласно математической модели добрав-
шейся до ямки и спокойно уплетающей сырную
корку.
Но этого наша модель уже не описывает.
3 Э. Т. Соколов
па склону
Если я и дальше буду так
уменьшаться,— сказала она
про себя,— я могу и вовсе ис-
чезнуть. Интересно, что тогда
со мной будет?
Л. Кэрролл. Алиса в стране
чудес
» антастические скорости разви-
pj.* д вают горнолыжники при ско-
ростном спуске — сто двадцать
километров в час; это скорость,
доступная малолитражному автомобилю. Горы
для таких соревнований выбирают специально
покруче: у любителя, подошедшего к краю, за-
хватывает дух, и может показаться, что это не
гора, а крутой обрыв. Но горнолыжники смело
бросаются вниз, и, как ни странно, большин-
ство благополучно достигают финиша.
Как охарактеризовать крутизну склона?
Может быть, перепадом высот от старта до
финиша? Рис. 2 убеждает нас, что такой выбор
не совсем удачен. Высокая гора и крутая го-
ра — не всегда одно и то же. Скоростью лыж-
ника? Тоже неудачный выбор: можно разо-
гнаться на крутом участке, а после этого с
большой скоростью нестись по пологому.
34
MllMlMill
3*
Гор на свете много, и все они разные. Есте-
ственно начать с простейшей горы — наклон-
ной плоскости. Мы можем получить наглядное
представление о такой горе, взяв прямоуголь-
ный треугольник и поставив его вертикально
на один из катетов (рис. 3). Крутизну «тре-
угольной» горы определить нетрудно — ведь
она ничем не отличается от треугольника, и
мы вправе использовать для описания такой
горы все, что нам известно о треугольниках.
Здесь нужно сделать одно замечание. Мы
уже используем понятие «крутизна», но нигде
не сказали, что это такое. Подразумевается,
что все понимают, о чем идет речь. Такое по-
нимание называется интуитивным. В этом
36
смысле каждый человек с нормальным зрени-
ем в состоянии определить «на глаз», какая из
двух гор (по крайней мере плоских) более
крутая. Давайте попытаемся количественно
определить, что такое крутизна. Плоская гора
наклонена по отношению к горизонту одина-
ково в любой точке- Но это означает, что до-
статочно одной величины, чтобы описать ее
крутизну. Можно взять, например, острый угол
а при основании или любую функцию этого
угла. В наибольшей степени нашим целям от-
вечает отношение катетов: BC/XC = tg а. По-
чему именно тангенс, а, скажем, не синус или
косинус, станет понятно чуть позже. Итак, при-
мем за характеристику крутизны тангенс угла
при основании. Тогда горе без наклона (то есть
плоской горизонтальной поверхности) будет
соответствовать нулевая крутизна (tgO° = O),
а вертикальному обрыву — бесконечная кру-
тизна (tg90° = oo). В первом случае с «горы»
могут кататься и малыши, впервые ставшие на
лыжи; во втором — вряд ли и профессиональ-
ные лыжники решатся начать спуск. Все
остальные горы расположены в смысле кру-
тизны между этими двумя крайними слу-
чаями.
Мы рассматривали горы, наклон которых
(и, следовательно, крутизна) постоянен. Как
поступать, если крутизна не постоянна?
Самый простой случай, когда гора «со-
ставлена» из нескольких гор с различными, но
постоянными наклонами (рис. 4). Иначе гово-
ря, ее поверхность представляет собой лома-
ную линию. Тогда плоскому участку горы (от-
резку ломаной) соответствует своя крутизна.
Ехать по такой угловатой горе, конечно, не
37
очень удобно, но, опираясь на наше определе-
ние крутизны, нетрудно сказать, какой из
плоских участков круче.
Как определить крутизну горы, которая
вообще не имеет плоских участков? Никакого
угла (рис. 5) здесь не видно, и даже неясно,
как можно его построить.
Попробуем заменить эту плавную кривую
гору другой, которая не слишком бы от нее
отличалась. Для этого построим ломаную ли-
нию, которая «вписывалась» бы в плавную
поверхность горы. Конечно, сделать это можно
множеством способов. Первая ломаная очень
грубо передает истинную поверхность. Вторая
38
делает это лучше. Такую подмену плавной
кривой ломаной линией можно продолжить,
строя все более мелкие отрезки. Есть ли конец
у такого процесса «подмены»? А если есть, то
каков он?
Вся гора слишком длинна, поэтому ограни-
чимся небольшим ее кусочком (рис. 6, а) и по-
пытаемся определить крутизну в точке А (пока
еще мы этого не делали). Примем приближен-
но, что кривизна в точке А совпадает с танген-
сом угла ВАС (с tg а). Невооруженным глазом
видно, что «настоящая» гора более крутая.
Передвинем точку В в положение В'. Величина
tg а' (рис. 6, б) ближе к «истинной» крутизне
(которую мы, правда, пока еще не определи-
ли). Ясно, что чем ближе точка В будет «при-
двигаться» к точке А, тем точнее значение tg а
будет приближаться к значению крутизны
горы в точке А. Сам тангенс будет, разумеется,
в любом случае вычисляться по «классическо-
му» рецепту: отношение противолежащего ка-
тета к прилежащему. Но чем ближе точка В
к А, тем меньше становятся катеты (рис- 6, в),
а если точки совпадут, то оба катета обра-
39
тятся в нуль. В этом не было бы ничего страш-
ного, если бы нам не требовалось вычислить
их отношение, а каждый знает, что деление на
нуль не определено.
Как же поступить?
И вот здесь нам уместно вспомнить о пре-
деле. Длины обоих катетов действительно
устремляются к нулю, но как ведет себя при
этом предел их отношения? Последователь-
ность рис. 6, а, б, в может подсказать, что ги-
потенуза нашего «исчезающего» треугольника
в том же самом пределе совпадает с касатель-
ной к поверхности горы в точке А. Именно
40
тангенс угла наклона (по отношению к гори-
зонту) касательной к поверхности горы в точ-
ке А (или в любой другой точке) и будет опре-
делять крутизну горы, не имеющей плоских
участков (рис. 7).
И все-таки, почему тангенс?
А вот почему. Будем рассматривать контур
горы в качестве графика функции y = f(x)
(рис. 8), где у — высота горы в точке х у подо-
швы. Определим крутизну, отвечающую точке
х как предел отношений f (х+Дх) — f (х) (это
перепад высот между точками х и х + Дх) к
Дх, если последовательность расстояний Дх
стремится к нулю.
Как выбирать эту последовательность? Ины-
ми словами, каким образом уменьшать тре-
угольники на рис. 6? Оказывается, что способ,
которым производится стремление Дх к нулю,
несуществен. В частности, Дх можно сделать
сначала и отрицательным: не подняться, так
сказать, в гору, а спуститься с нее, и стремить
его к нулю, как говорят, слева.
Предел последовательности отношений
\у/Лх, если он существует, называется произ-
водной функции f(x) в данной точке. Обозна-
чается этот предел по-разному:
lim	(б)
дх->0 Ax dx
как предложил Лейбниц, или
Ит = у,	(7)
Дх->о Ах
как предложил Ньютон. Именно им принадле-
жит честь «изобретения» (изобретения в том
41
смысле, что до них это было никому неизвест-
но) производной и связанного с этим понятия
дифференциального исчисления. Само же вы-
числение производной получило название диф-
ференцирования.
Эти важнейшие для математики события,
связанные с появлением производных, произо-
шли в 1675—1677 годах. Первоначально Нью-
тон обозначал предел символом у. Эту величи-
ну он назвал «флюксией». «Флюксия» в виде
точки над функцией продержалась на родине
великого физика до начала нашего века, и
только в 1915 году было принято решение пе-
рейти к обозначению, используемому и теперь:
у'\ по причинам, связанным с типографской
техникой,— точка при наборе частенько теря-
лась. Штрих у функции как обозначение пре-
дела (7) вместе с названием «производная»
был введен французским математиком и меха-
ником Лагранжем сто с лишним лет спустя.
Таким образом, название «производная» на век
«моложе» величины, которую оно обозначает.
Однако ньютоновский символ — точка — про-
должает жить и сейчас. Его часто используют
в механике, что не удивительно, если принять
во внимание вклад Ньютона в эту науку.
Всегда ли существует этот предел? Не все-
гда. Мы постараемся обойтись, как говорят
физики, «хорошими» функциями, которые име-
ют производные во всей области определения.
Между прочим, сама возможность записать
в одну строчку то, на что при словесном опи-
сании требуются страницы, много говорит о
возможностях математики. Правда, чтобы
быть честными до конца, нужно признать (по
крайней мере, пока), что обе формулы — и (6),
42
и (7) — всего лишь символы, и у нас нет пра-
вил обращения с ними.
Чтобы прояснить их смысл, давайте рас-
суждать так: мы выбрали значение функции
в точке А (иначе, высоту горы в точке Д). Если
подняться немного выше этой точки (в точку
В), результат будет такой же, как если бы мы
переместились на Ах вдоль оси х и поднялись
на высоту Az/ вдоль оси у. Как связаны между
собой эти два перемещения? Эта связь опре-
деляется как раз видом функции, или формой
поверхности нашей горы. Во всех случаях, по
определению, она будет иметь вид
A«/=f(x+Ax)-jF(x).
В такой общей форме эта связь неочевидна, но
в каждом конкретном случае ее нетрудно уста-
новить, пользуясь даже самыми элементарны-
ми знаниями по математике. Рассмотрим, на-
пример, такую несложную функцию, как у =
= х2. Это уравнение параболы, и нет никаких
препятствий, чтобы поверхность горы имела
такую форму. Тогда f(х+Ах) = (х+Ах)2, а
приращение функции (перепад высот), соглас-
но формуле (3), будет ку = (х+Ах)2 — х2. Но
(х+Ах)2 = х2 + 2хАх+(Ах)2 и
Az/ = 2xAx+ (Ах)2.	(8)
Итак, для квадратичной функции мы нашли
связь Az/ с Ах. Действуя по тому же принципу,
можно найти эту связь и для других, более
сложных функций. И теперь, располагая этой
связью, мы можем начать «скоростной спуск»,
то есть «поехать» из точки В в точку Д, или,
что то же самое, устремить Ах к нулю. Но как
бы быстро мы ни спускались, будем следить за
43
поведением tga = Ay/Ax. Подставим из форму-
лы (8) выражение для Ау, которое мы вычис-
лили:
tg a = 2x + Ax.
Теперь очевидно, что предел этого выраже-
ния при Ах -> 0 равен
lim	= (х2)' = 2х.
дх->о Дх dx
Итак, мы вычислили производную квадратич-
ной функции и заодно поняли, хотя и на част-
ном примере, какой конкретный смысл вкла-
дывается в символы Лейбница и Ньютона.
Этот простой пример достаточно поучите-
лен. Один из выводов, который важен сам по
себе и хорошо поясняет, почему дифференци-
альное исчисление называют еще анализом
бесконечно малых, состоит в том, что все чле-
ны в выражении для Ду, которые содержат
(Ах)2 и более высокие степени, в пределе при
Ах->0 обязательно обращаются в нуль. Со-
храняется лишь член, содержащий Ах в первой
степени. Сохраняется благодаря, конечно же,
тому очевидному факту, что Ах/Ах=1! Благо-
даря этому же свойству определяющую роль
из всего приращения функции Ау играет та его
часть, которая пропорциональна Ах в первой
степени, или линейная по Ах. Эту линейную
часть приращения функции называют ее диф-
ференциалом и обозначают символом Ду или
dy:
dy=f' (x)dx-
Такое определение позволяет легко получить
выражение для производной как отношения
двух дифференциалов:
44
f'(x) = dy/dx.
Здесь надо заметить, что символ dx имеет
смысл дифференциала независимой перемен-
ной, и означает то же, что и Дх.
В частности, для квадратичной функции
у = х2 имеем
dy = (x2ydx=2xdx.
Чтобы закрепить успех в вычислении про-
изводных, получим выражение (оно нам еще
понадобится) для производной функции у=
= cos х. Сначала вычислим приращение функ-
ции Дг/, соответствующее приращению аргу-
мента Дх:
Дг/ = соз (х+Дх) —cos x=cos х cos Дх —
— sin х sin Дх —cos x
(здесь использована формула для косинуса
суммы двух углов).
Учитывая, что cos Дх-> 1 при Дх-> 0, выяс-
sinAx
ним, как ведет себя отношение —при
Дх -> 0. Обратимся к рис. 9, где Дх — централь-
ный угол {/АО В) в единичном круге. Очевид-
но, что площадь АОАВ<площади сектора
О АВ < площади АОСЛ. Учитывая, что радиус
круга равен единице {О А = 05 = 1) и СА =
= tgAx, приходим к следующим неравенствам:
1	- Л 1 А / 1 4- А
— sin Дх < — Дх < — tg Дх.
2	2	2
Разделим эти неравенства на sin Дх (0<
<sin Дх<1):
45
9
J <	<	*
sin Дх cos Дх
откуда для обратных величин имеем
. . sin Дх .	.
1 >----- > cos дх.
Дх
Поскольку cos Дх -> 1 при Дх -> 0, можно
сделать вывод, что
lim	i.
Дх->0 Дх
Используя этот результат, получим
d (cos х)	/ЛЧ
— ------- = —sinx.	(9)
dx
Очень похожие рассуждения, только осно-
ванные на использовании формулы для синуса
суммы двух углов (sin(a + |3)=sinacosj3 +
+ sin|3cosa), дадут вам возможность вычис-
лить производную функции sin х. Ответ таков:
d(sinx)
——- = cosx.	(10)
Прозводные, образуясь по определенным пра-
46
вилам от функций, сами являются функциями.
Иначе говоря, меняться может не только высо-
та горы, но и ее крутизна. А это значит, что
можно забыть о происхождении производных и
вычислить производную от производной. Такая
величина называется второй производной. Су-
ществуют третьи, четвертые и так далее про-
изводные. Легко, например, пользуясь проде-
ланными расчетами (9) и (10), вычислить
вторую производную косинуса (обозначается
d2(cos х) \
S2 /
Она такова:
d2 (cos х)___
dx2
did (cos x)
dx \ dx
d (sin x)
—-----— = —COS X.
dx
Ясно, что
d2(sinx)
—------L = — sin X.
dx2
Таким образом, взятие второй производной от
cos х и sin х эквивалентно умножению их на
(-1)!
Остановимся кратко на дифференцировании
функции, зависящей от аргумента более сложно,
чем мы до сих пор рассматривали. Рассмотрим
тот же sinx, но пусть х есть функция другой
переменной /, а именно: х = со/, где со — неко-
торая постоянная. Попробуем найти производ-
d (sin со/) п
ную —--------Для этого умножим и разделим
dt
d (sin со/) тт .
эту производную на со : со —-----Но сог = х,
d {(at)
тогда
47
d (sin co/) d (sin co/) d(sinx)
—-------= co —----------co —---— = CO COS X =
dt	d (co/)	dx
= co cos co/,
то есть дифференцирование sin со/ по перемен-
ной / сводится к простому умножению cosco/
на со. Рассуждая точно так же, можно понять, что
d2 (sin со/) 9	,
—------} = —со2 sin со/;
dt2
d2 (cos со/) 9	,
—------- = —со2 cos со/.
dt2
Запомним этот результат!
И еще одно: как продифференцировать про-
изведение двух функций y = u\x)v (х)?
Будем рассуждать так: если задать некото-
рое приращение аргумента Ах, то функция у
возрастет на Ау; поскольку она сама есть про-
изведение двух функций: и и у, которые воз-
растут при этом на Ац и Av, то
Ау= (u + Ац) (v + Av) — uu = uAu +
+ vA^ +AuAv.
Производная функции у выглядит так:
dy	/Ди . Ди . Ди А \
—- = lim —v + u---------1---Av .
dx Дх->о \Дх	Дх	Дх	/
Понимая, что последний член в скобках стре-
I	Г	А
мится к нулю ведь-------a Av->0 , полу-
\ Дх	/
чим результат
(uvy = urv + wur,	(11)
Конечно, формулу (И) можно получить для
любого данного произведения двух функций,
48
но «для экономии», чтобы не начинать каждый
раз «от печки», удобнее пользоваться готовым
результатом. Такие же экономные формулы
есть и для производных суммы и частного двух
функций:
(u + vy = u'+v'; (u/v)'= (u'v — v'u)/V2.
Нам понадобится еще правило дифферен-
цирования сложной функции. Рассмотрим в
качестве примера такую функцию
Щ) =§[<₽(*)]= (1 + COS X)2.
Ясно, что аргументом этой функции является
переменная х. Наша задача — вычислить про-
изводную функции f(x) по х. Как же это сде-
лать? Мы знаем правило вычисления произ-
водной степенной функции, известно нам и то,
как вычислить производную косинуса. Но здесь
мы имеем дело как бы сразу с двумя функция-
ми. Функция f(x), хотя ее аргументом, несо-
мненно, является х, зависит от него не непо-
средственно, а, так сказать, через косинус. Вот
такая-то функция и называется сложной. Мы
можем эту «сложность» отразить и в формаль-
ной записи, обозначив cos х новым символом:
cp = cosx. Теперь функцию f(x) можно считать
функцией этого «нового» аргумента: f=g(<p).
А этот аргумент уже в свою очередь зависит
непосредственно от х, т. е. от «старого» аргу-
мента функции f(x).
Давайте на минуту забудем о «сложности»
функции f и будем рассматривать ее как «про-
стую» функцию аргумента ср. Всякому прира-
щению Ах =7^=0 будет соответствовать прираще-
ние Аф, а приращению Аф будет соответство-
вать приращение Ag. Если устремить Ах к ну-
4 Э. Т. Соколов
49
лю, то и Аф устремится к нулю. А вместе с Аф
устремится к нулю и Ag.
Приращение функции g, рассматриваемой
как функция аргумента ф, можно записать так:
Дёг=йг/(ф)Дф + еДф.
Здесь первый член в правой части — это глав-
ная, линейная по Аф часть приращения функ-
ции, а величина г включает члены более высо-
кого порядка по Аф, причем 8 стремится к ну-
лю вместе с Аф. Поскольку Ag = A^(x), то
Дх Дх	Дх
Устремим теперь Ах к нулю. Величина 8 также
устремится к нулю, левая часть, по определе-
нию, стремится к пределу f'(x), а= ф'(х)-
И вот наш результат:
Конкретно для выбранной функции он таков:
[(1+cos х)2]'=2(1 +cos х)[—sin х].
Ясно, что если функция еще более «сложная»,
то, применяя полученное правило несколько
раз, мы можем продифференцировать и ее.
Действительно, если
// = £(ц), и = ф(у), и=ф(х),
то, последовательно применяя правило диффе-
ренцирования сложной функции, получим
= g'(u)<S>'(v)V(x) =
dy du du
du du dx
50
Заканчивая наши «катания» по крутым
склонам функций, зададим себе вопрос: для
чего нужны производные?
В природе и в физике очень часто встреча-
ются такие ситуации, когда мы ничего (или
почти ничего) не знаем о функции, зато знаем
ее производную, причем не обязательно пер-
вую. Кроме того, производные имеют зачастую
не менее важный физический смысл, нежели
сами функции. Например, если положение тела
можно задать одной координатой х (как при
прямолинейном движении) и это тело движет-
ся (то есть положение тела является функцией
времени), производная v = dx/dt является не
чем иным, как скоростью тела, а вторая про-
изводная — его ускорением: a = d2xldt2.
Второй закон Ньютона, утверждающий про-
порциональность ускорения приложенной силе,
служит хорошей иллюстрацией важности поня-
тия производной. Если речь идет о движении
одного тела, например Земли под влиянием
притяжения Солнца, и сила этого притяжения
известна (по закону всемирного тяготения она
пропорциональна произведению масс этих тел
и обратно пропорциональна квадрату расстоя-
ния между ними), то тем самым нам известна
и вторая производная от положения Земли по
времени. Если так, то возникает естественный
вопрос: а как найти саму функцию, если изве-
стна ее производная? Или иначе: как опреде-
лить положение планеты, зная ее ускорение,
пропорциональное известной силе?
Но, задав этот вопрос, мы вступаем в но-
вую область, называемую интегральным исчи-
слением.
4*
51
/ а&томм1иле
Такая маленькая девочка
должна знать, в какую сторо-
ну она едет, даже если она не
знает, как ее зовут!
Л. Кэрролл. Алиса в стране
чудес
от, кому доводилось путешест-
вовать во время каникул в
автомобиле, знает, какое это
ни с чем не сравнимое удоволь-
ствие. Не то, что в поезде или самолете. Из
вагонного окна только и увидишь, что беско-
нечно тянущиеся телефонные и телеграфные
провода и мелькающие столбы и деревья, а из
самолетного иллюминатора и того меньше: как
неровные серые холмы, протянулись, сколько
хватает глаз, облака, да светит ослепительное
солнце, сияние которого не ослабляется, как
на поверхности Земли, слоем атмосферы.
Иное дело автомобиль: по скорости он не
уступает поезду, но независимость от железно-
дорожного полотна и посадочных полос аэро-
дромов
лес, на
всюду,
рога.
позволяет ему ехать, куда угодно: в
озеро, по историческим местам, словом,
где есть мало-мальски пригодная до-
52
I
Итак, мы отправляемся в путешествие на
автомобиле. Запускаем двигатель, выжимаем
сцепление, включаем передачу и...
С какой скоростью мы поедем? Вообще-то,
с какой захотим, но, разумеется, без наруше-
ния правил: не свыше 60 км/ч в городе, 90 км/ч
на шоссе. Кажется, все условия нашего путе-
шествия оговорены, за исключением одного:
мы не договорились, в какую сторону направля-
емся.
Есть много способов определить направле-
ние движения. Можно назвать шоссе, город,
куда направляешься; моряки указывают стра-
ны света, куда они плывут: зюйд, зюйд-вест,
норд-ост.
Математика предлагает свой способ опре-
делять перемещения тел в пространстве. Он
связан с понятием вектора и известен сравни-
тельно недавно — примерно с середины про-
шлого века. Однако прежде чем установить
способ, которым задается изменение положе-
ния, посмотрим, как определить само поло-
жение.
Объясняя знакомому, как его найти, чело-
век называет свой адрес. Это означает, что он
указывает на расположение своей квартиры
относительно дома (третий подъезд, пятый
этаж), дома — по отношению к другим домам
(номер дома пятьдесят, расположен между со-
рок восьмым и пятьдесят вторым), улицы —
по отношению к другим улицам города.
Иначе говоря, он указывает на положение
одних предметов относительно других. Эти
«другие» предметы служат, как говорят физи-
ки, системой отсчета.
Для городов системой отсчета служит Зем-
54
ля, для Земли — далекие звезды, цепочка эта
бесконечна, как беспредельна Вселенная.
У математики своя «система отсчета» —
система координат. Два этих понятия — «си-
стема отсчета» и «система координат» — не
одно и то же. Ведь в идеализированных про-
странствах математики нет ни городов, ни улиц,
ни домов. Простейшая система координат —
числовая ось. Называя число, мы указываем на
оси точку, определенным образом расположен-
ную относительно нуля. Но числовая ось —
это «ненастоящий», не материальный, а иде-
альный объект. Он, можно сказать, «нигде» не
расположен. Физическая же система отсчета —
это обязательно материальное тело или не-
сколько материальных, «настоящих» тел.
Означает ли это, что они никак не связаны?
Вовсе нет. Физики широко используют систе-
мы координат, но связывают их при этом с си-
стемами отсчета. Если, грубо говоря, напра-
вить числовую ось вдоль улицы, а за «нуль»
принять положение определенного дома, то
вместо номеров домов можно называть числа.
Эти числа будут не хуже номерных знаков
определять, какой дом имеется в виду.
Можно сказать, что система координат дает
нам способ определять относительное положе-
ние точек, а «привязывая» начало координат
(например, нуль на числовой оси) к какой-ни-
будь точке материального мира, мы можем
использовать систему координат и для опреде-
ления положения материальных предметов.
Но числовая ось определяет положение, так
сказать, «вдоль» улицы. А «поперек»? О том,
что происходит «поперек», числовая ось ничего
«не знает».
55
Решающий шаг в этом направлении был
сделан Рене Декартом. Он ввел систему коор-
динат в виде трех взаимно перпендикулярных
числовых осей, пересекающихся своими нуле-
выми точками. Почему три, а не две или четы-
ре? Три оси отвечали тому общеизвестному
факту, что наше пространство трехмерное.
Отмечая три числа — по одному на каждой
из осей, мы определяем положение некоторой
точки в пространстве. Эти три числа соответ-
ствуют ширине, длине и высоте. Они указы-
вают на положение точки относительно нача-
ла системы координат — того места, где три
оси пересекаются. Где же находится это ме-
сто? Математике это безразлично. А физика
может «привязать» его, а заодно и оси к опре-
деленным предметам. Очень хороший пример
такой привязки — поместить начало коорди-
нат в угол комнаты, две оси направить вдоль
линий пересечения пола со стенами (или потол-
ком), а третью — вдоль линии пересечения
этих стен (эти три линии скорее всего перпен-
дикулярны друг к другу).
Три числа, откладываемых по осям, опреде-
ляют вектор и называются его компонентами.
Можно сказать, что вектор «переносит» точку
«нуль» в некоторую другую точку. А посколь-
ку точка «нуль» выбрана произвольно, то век-
тор просто осуществляет «перенос» одной точ-
ки в другую (рис. 10).
Кроме декартовой прямоугольной системы
координат, существуют и другие. Наиболее ча-
сто используются цилиндрическая и сфериче-
ская системы координат. Цилиндрическая си-
стема представлена на рис. 11. Три числа г, ср и
z так же. как и три проекции вектора в декар-
56
10
товой системе координат, определяют положе-
ние точки (ax = r cos ср; a?/ = r sin ср; az = az).
В сферической системе (рис. 12) использу-
ются другие три числа: 7?, 0 и ср (ax = R sin 0Х
X cos ср; ау =R sin 0 sin ср; nz = 7?cos0).
Если бы пространство было одномерным,
можно было бы обойтись и одним числом. Так
и обстоит дело, если нужно, скажем, опреде-
лить положение бусинки на натянутой нитке
(это расстояние от конца нитки до бусинки).
Величины, которые можно задать одним чис-
лом (масса, высота над поверхностью Земли,
длина и т. д.), называются скалярами.
Существует несколько способов указать на
то, что данная величина — вектор. Самый ста-
рый из них — черточка или стрелка над буквой:
а или а- Обозначение векторов «жирными»
буквами — а — принадлежит английскому ма-
тематику и физику Хевисайду.
Как всегда, для наглядной интерпретации
незаменимой оказывается геометрия: вектор
принято изображать стрелкой (см. рис. 10).
Там же изображены его компоненты: ах, аУ) az.
Другое их название — проекции вектора на
57
12
оси координат. Компоненты и есть три числа,
определяющих вектор. Длина стрелки (это, ко-
нечно, число) называется модулем вектора.
Его либо изображают той же, что и вектор,
только нежирной буквой, либо помещают век-
тор в прямые скобки: а = | а |.
Вектор, модуль которого равен единице, на-
зывается единичным. Единичные векторы
играют особую роль среди прочих векторов.
Они напоминают самую мелкую монету, из ко-
торых простым добавлением можно набрать
любую сумму денег. С помощью тройки еди-
ничных векторов i, j, к, каждый из которых на-
58
13
правлен вдоль одной из трех осей декартовой
прямоугольной системы координат, можно
представить любой вектор, причем векторные
«монеты» в отличие от настоящих можно умно-
жать на любые, а не только на целые числа.
В векторном мире — мире упорядоченных
троек чисел (порядок достигается указанием
способа, как именно образовать вектор по за-
данным трем числам; этого можно достичь, за-
давая, например, тройку единичных векторов,
составляющих базис) — существуют свои пра-
вила сложения и своя «таблица умножения».
Хотя эти правила, разумеется, отличны от
правил для обычных чисел — скаляров, между
ними имеется и сходство.
Как сложить два вектора? Нужно сложить
одноименные компоненты. В результате полу-
чится вектор с компонентами, равными сумме
компонентов слагаемых векторов (рис. 13):
а+Ь = с,	(12)
причем cx=ax + bx\ cy=ay+by-, cz = az+bz, Из
школьного курса известны также правила тре-
угольника и параллелограмма, с помощью ко-
59
торых можно осуществить суммирование, не
прибегая к компонентам. Естественно, что при
любом способе суммирования результат полу-
чится один и тот же.
Как умножить вектор на число? Достаточ-
но умножить на это число каждую его компо-
ненту. Важно, что при умножении на положи-
тельный скаляр вектор не меняет своего на-
правления. Иначе говоря, векторы а и За
направлены одинаково, но, конечно, модуль
второго вектора в три раза больше. Модуль
вектора —За такой же, что и За, а направле-
ние противоположное.
Теперь мы можем представить любой век-
тор с помощью единичных векторов i, j, k:
a = axi + aj + azk.
Результат сложения трех векторов, стоящих в
правой части этой формулы, представлен на
рис. 14.
Совершенно иначе обстоит дело с умноже-
нием векторов. Во-первых, имеется два вида
произведения: скалярное и векторное. Такие
60
названия даны им потому, что в результате
скалярного умножения получается обычное чи-
сло — скаляр, а векторное произведение есть
вектор.
Итак, скалярное произведение обозначается
а-b. Конечно, точка — всего лишь символ, но
этот символ имеет расшифровку:
а • b = cixbx 4" &yby 4~ ctzbz.	(13)
Похоже на обычное умножение чисел, не
правда ли? Но поскольку вектор — это три чи-
сла, то не удивительно, что произведение век-
торов — это сумма трех произведений, и логи-
ка скалярного произведения легко просматри-
вается. Нетрудно доказать, что
a-b = a&cosa,	(14)
где a — угол между векторами а и Ь. Отсюда
следует важное свойство скалярного произве-
дения двух перпендикулярных векторов: оно
равно нулю (cos90° = 0).
Примером использования скалярного произ-
ведения в физике служит выражение для рабо-
ты, совершаемой силой F при перемещении,
определяемом вектором s. Если сила постоян-
на, то работа А представляется скалярным
произведением силы и перемещения: 4 = F-s.
Отсюда, в частности, следует, что наибольшая
по модулю работа совершается силой, направ-
ление которой совпадает или противоположно
направлению s. Напротив, если сила и переме-
щение перпендикулярны, то работа в этом слу-
чае равна нулю. Вот почему работа силы тя-
жести при спуске или подъеме с одной высо-
ты на другую зависит не от пути перемещения,
а только от перепада высот.
61
Можно ли умножить вектор на самого се-
бя? Такая операция, произведенная с обычным
числом, называется возведением в квадрат.
Нет никаких формальных препятствий, чтобы
проделать это с вектором. Положим для этого
в выражении (13) а = Ь. Получится
а • а = а2 = ах 4"	4- ciz. (15)
Поступая аналогично в соотношении (14), по-
лучим
аа = а2.	(16)
Но это значит, что скалярное умножение век-
тора на самого себя эквивалентно возведению
в квадрат его модуля. Заметим теперь, что ле-
вые части выражений (15) и (16) равны; при-
равнивая правые части этих равенств, мы по-
лучим выражение для квадрата модуля век-
тора:
О 2,2,2
tz — их + % 4- a>z*
Сам модуль получится, естественно, после из-
влечения корня:
а — 4- ]/"А 4" 4" az •
Полученное соотношение напоминает теорему
Пифагора. Ему действительно, можно дать
геометрическую интерпретацию. Вот она: квад-
рат диагонали прямоугольного параллелепи-
педа равен сумме квадратов его ребер (см.
рис. 10). Вы можете попробовать доказать это
утверждение, основываясь на настоящей тео-
реме Пифагора.
Можно ли возвести вектор в квадрат, поль-
зуясь его представлением через единичные
62
15
векторы? Используйте для этого представле-
ние вектора (12). При этом надо помнить, что
три вектора i, j, к взаимно перпендикулярны и,
кроме того, i2 = j2 = k2 = 1.
И, наконец, векторное произведение векто-
ров aXb. Согласитесь, было бы странно, если
бы в результате умножения векторов всегда
получался бы скаляр. Векторное произведе-
ние — именно такая операция, которая обра-
зует из двух векторов новый. Мы уже знаем,
что вектор вполне характеризуется своими ком-
понентами. Обозначив этот новый вектор с =
= aXb, компоненты его мы найдем по прави-
лам:
Сх — aybz azby\
су = azbx — axbz, 
Cz — Clxby CLybx. t
(17)
Эти правила, хоть и просты, но недостаточно
наглядны. Рис. 15 представляет операцию век-
торного умножения «проще». Вектор с перпен-
дикулярен к обоим векторам, но поскольку
при таком определении он может быть направ-
63
лен и «вверх», и «вниз», то правило дополняет-
ся утверждением: с конца с кратчайший пово-
рот от а к b виден совершающимся против хо-
да часовой стрелки. Сказанное определяет
лишь направление вектора с. Можно доказать,
что модуль его определяется выражением
|с| =ab sin а,
где а — угол между векторами а и Ь.
Отсюда видно, что векторное произведение
параллельных или антипараллельных векто-
ров равно нулю, поскольку sinO° = sin 180° = 0.
Казалось бы, вектор с ничем не хуже тех
векторов, произведением которых он является:
он тоже имеет три компоненты, модуль и на-
правление. И все-таки он на них похож не
вполне.
Давайте вернемся к рис. 10 и мысленно пе-
ременим направление осей нашей системы ко-
ординат на противоположные (такая операция
носит название отражения — все, что было
правым, становится левым, как при отражении
в настоящем зеркале). Ясно, что все проекции
векторов, бывшие положительными, станут от-
рицательными, и наоборот, иначе говоря, они
изменят знак. Что же произойдет при этом с
проекциями вектора с? Ответить на этот во-
прос можно на основе их определения (17): по-
скольку образованы они произведением двух
проекций, каждая из которых при изменении
направления координат меняет знак, сами про-
екции вектора с при этом знака не изменят.
Ведь «минус на минус дает плюс»! Именно
эта особенность и выделяет векторное произ-
ведение из компании обычных векторов. Век-
торы со свойствами векторов с называются
64
псевдовекторами («псевдо» — по-древнегрече-
ски означает «как бы»).
В каких же случаях псевдовектор меняет
знак? Обратимся снова к определению. Мож-
но убедиться, что к перемене знака приводит
перестановка векторов а и b в произведении:
aXb=-bXa.
Физика имеет дело с реальным миром, который
характеризуется именно тремя измерениями, и
работы векторам хватает, хотя ради справедли-
вости надо признать, что хватает работы и
скалярам. Например, масса, температура,
объем, площадь, длина, заряд, давление, энер-
гия — все это скаляры. А вот скорость, ускоре-
ние, напряженность электрического поля, сила,
поток теплоты — векторы. Что же остается на
долю псевдовекторов? Они тоже не сидят без
дела. Напряженность магнитного поля, момент
количества движения, угловая скорость враще-
ния, например,— псевдовекторы. И математика
предписывает всем этим величинам «правила
поведения». Знать эти правила необходимо
всякому, кто хочет иметь дело с физическими
величинами. Ведь неправильная математика
неизбежно приведет к неправильной физике.
И попытка обращаться, скажем, с псевдовек-
тором, как с обычным вектором, может ликви-
дировать различие между электрическими и
магнитными явлениями.
Казалось бы, двух разновидностей произве-
дений, которые можно образовать из векторов,,
вполне достаточно. Но нет! Математика на
этом не успокаивается, и, как мы увидим ни-
же, это удивительным образом соответствует
потребностям физики.
5 Э. Т. Соколов
65
Существует еще одна форма (на самом де-
ле не одна, а множество форм, но мы пока по-
знакомимся с одной), которая может быть об-
разована из векторов,— это прямое произве-
дение. Его обозначение, пожалуй, самое
простое из всех: ab—два вектора, записанные
рядом. Такое произведение называют еще ди-
адным или диадиком. Понимать его надо так:
б/ ХЬ
ctybx
azbx
ctxby
ayby
azby
axb2
aybz
azbz
(18)
Девять величин, образованных попарным
перемножением компонент векторов, образуют
тензор. И теперь наступило время сказать вот
что: скаляры и векторы, о которых шла речь
выше,— тоже тензоры. Но такие различные ве-
личины, как скаляры и векторы,— пусть они и
называются одним словом «тензор»,— должны
чем-то отличаться друг от друга, и они, конеч-
но, отличаются. Скаляры, векторы и величины,
определяемые выражением (18),— все это тен-
зоры различных рангов. Правило, по которому
можно определить ранг тензора, очень простое.
Ранг тензора — это показатель степени, в ко-
торую нужно возвести размерность простран-
ства (в нашем случае это просто тройка — ведь
наше пространство трехмерное), чтобы полу-
чить число компонент тензора, то есть
ЛГ=3Г.
Попробуем произвести классификацию из-
вестных нам величин по этой формуле. При
г=0 получим #=1. Величина, имеющая одну
компоненту,— это, конечно, скаляр. Итак, ска-
ляр— это тензор нулевого ранга. При г=1 чи-
66
ело компонент равно трем; это обычный век-
тор, который является, таким образом, тензо-
ром первого ранга. Наконец, тензор второго
ранга (^ = 2) имеет девять компонент. Именно
эта величина и представлена формулой (18).
Понятно, что могут быть тензоры и высших
рангов: тензор третьего ранга имеет двадцать
семь компонент, четвертого — восемьдесят
одну; числа компонент являются целыми степе-
нями тройки, и подсчитать их нетрудно.
Необходимо только помнить, что речь идет
о трехмерном пространстве. В пространствах
иной размерности число компонент у тензоров
будет иным. Например, легко понять, что в
одномерном пространстве есть только скаля-
ры: ведь любая степень единицы всегда дает
единицу!
Тензорное исчисление довольно молодо, оно*
появилось в самом начале нашего века благо-
даря усилиям итальянских математиков Риччи
и Леви-Чивита. А само слово «тензор» было*
введено немецким математиком и механиком
Фохтом. Он назвал так набор девяти коэффи-
циентов, определяющих деформацию твердого
тела при растяжении. Tendo по-латыни как
раз и означает «растяжение». Позже выясни-
лось, что набор этих коэффициентов действи-
тельно образует тензор второго ранга.
Здесь можно дать такое пояснение. При де-
формации твердого тела каждая точка его пе-
ремещается в новое положение. Перемещение
точки определяется вектором — тремя величи-
нами. Но различные точки смещаются по-раз-
ному, и вектор переноса меняется от точки к
точке. По-разному меняются и три ее компо-
ненты. Каждая из них меняется по-своему в
5*	67
каждом из трех направлений. Эти-то измене-
ния трех компонент смещений в трех направ-
лениях и образуют девять величин — тензор
деформаций.
Сфера применения тензоров в физике по-
истине неограниченна. Особенно широко при-
меняются тензоры для описания кристалличе-
ских сред. Если сжимать воду в цилиндре с
поршнем, то определенной силе давления на
поршень будет отвечать определенная степень
сжатия воды, причем связь между ними мож-
но описать одним коэффициентом — модулем
всестороннего сжатия. Иное дело кристалл: де-
формация его зависит не только от величины
прилагаемой нагрузки, но и от ее направления.
В самом общем случае упругие свойства кри-
сталла описываются тензором четвертого ран-
га — тензором модулей упругости, то есть во-
семьдесят одним коэффициентом.
На самом деле некоторые из этих коэффи-
циентов в зависимости от конкретного кристал-
ла оказываются равными. Это находит свое
отражение в свойствах симметрии тензоров,
приводящих к тому, что определенные компо-
ненты тензоров равны друг другу. Например,
тензор второго ранга симметричен, если a,ij =
== Clji-
Настоящей «вотчиной» тензоров является
общая теория относительности — теория про-
странства и времени, созданная великим физи-
ком Альбертом Эйнштейном. Можно сказать,
что на языке скаляров эту теорию вообще не-
возможно было бы сформулировать.
В примерах, которые будут рассмотрены,
мы ограничимся тензорами до второго ранга
включительно и поэтому познакомимся с неко-
68
торыми операциями, которые можно совершать
с тензорами.
Во-первых, компоненты тензоров любого
ранга вовсе не обязательно должны быть свя-
заны с осями координат — их можно обозна-
чать и просто порядковыми номерами: 1, 2, ...
Скажем, компоненты вектора а обозначают
а чтобы указать на то обстоятельство, что та-
ких компонент три, указывают значения, кото-
рые индекс «пробегает»: /=1, 2, 3. В тех же
случаях, когда размерность пространства (и,
следовательно, число компонент тензора при
заданном ранге) задана, число значений, кото-
рое может принимать каждый индекс, вообще
не указывается; в трехмерном пространстве
(других мы рассматривать не будем) это все-
гда 1, 2, 3. По существу такие обозначения ни-
чем не отличаются от «координатных». На язы-
ке этих индексов скалярное произведение за-
пишется так:
з
а • b = 2	= ЯЛ + а2Ь2 4- а3Ь3.
i=i
Знак суммы, фигурирующий в этом выражении,
часто опускают. Его отсутствие компенсирует-
ся дополнительным правилом: если в выраже-
нии индекс встречается дважды, по нему про-
изводится суммирование. Такая операция носит
еще название свертки. В этих же обозна-
чениях тензор второго ранга можно записать
так: aij. Поскольку каждый из индексов i и /
принимает три значения, всего имеется девять
чисел, представляющих этот тензор, что согла-
суется с нашими предыдущими утверждения-
ми. Один из самых простых тензоров второго
69
ранга — единичный тензор, обозначаемый 6ij.
Его компоненты определяются так:
Попробуйте сами доказать, что с помощью
этого тензора скалярное произведение можно
записать в виде
=	(19)
При доказательстве надо не забыть о том, что
по дважды встречающимся индексам произво-
дится суммирование, а в выражении (19) —
две такие пары.
Выражение (19) для скалярного произве-
дения дает основания для еще одного интерес-
ного наблюдения. Произведение представ-
ляет собой не что иное, как прямое произведе-
ние двух векторов. Оно является, таким
образом, тензором второго ранга. Выражение
(19) определяет вот что: мы умножили тензор
второго ранга на другой тензор второго ранга
и произвели двойную свертку по тензорным ин-
дексам. В результате мы получили скаляр, то
есть тензор нулевого ранга. Это может озна-
чать только одно: каждая свертка понижает
ранг тензора на два. Свертка как бы «поедает»
тензорные индексы, а поскольку она «поедает»
их парами, то такой результат выглядит впол-
не естественно. И чтобы подтвердить это, да-
вайте вычислим свертку тензора второго ран-
га, так сказать, с самим собой: аи. Правила
суммирования дают:
йц = tin + #22 + ^33.	.
70
Такая величина является скаляром и носит на-
звание следа тензора. Ее обозначение Бран-
или TrOfj.
Наука о тензорах называется тензорным
исчислением. Это солидный раздел математи-
ки, тесно связанный с другими ее областями,
такими, как теория групп, линейная алгебра,
теория матриц и многие другие. Тензоры раз-
личных рангов, в частности векторы, широко
используются физиками самых разных специ-
альностей. Как всякий плодотворный форма-
лизм, тензорное исчисление позволяет рациона-
лизировать и упростить многие выражения и
преобразования. И происходит это прежде все-
го по той причине, что огромное число важных
физических величин действительно имеет тен-
зорную природу. Они являются тензорами, а не
представляются таковыми по соображениям
удобства.
Вот куда нас завело путешествие в автомо-
биле и попытка определить, в какую сторону
мы едем.
Означает ли это, что водителям автомоби-
лей следует в ответ на вопрос «куда вы едете?»
указывать компоненты вектора скорости?
Разумеется, нет. Как и раньше, им доста-
точно называть город, куда они направляются,
или шоссе, по которому намечена поездка.
Однако в физических задачах, где нет проло-
женных дорог, векторы оказываются незамени-
мыми помощниками всякого, кто хочет продви-
нуться вперед, и в этом мы очень скоро убе-
димся.
(fflak научиться
играть на на$ле
Живем, ее не слыша и не зная,
Но вдруг, в одну волшебную
минуту,
В душе подняв спасательную
смуту,
Нам эта песнь откроется...
С, Липкин. Музыка земли
отя, казалось бы, мы уже разо-
брались, какие горы более кру-
тые и какие — менее, и даже
научились сносно определять
крутизну, надо признаться, что горы, подобные
тем, что мы рассматривали, почти не встреча-
ются. С настоящей горы можно съехать в лю-
бую сторону: и вниз, и вправо, и влево. Между
прочим, ни один горнолыжник на свете не едет
очертя голову прямо вниз. Это было бы равно-
сильно тому, чтобы падать, а не кататься на
лыжах. Чтобы управлять своей скоростью, гор-
нолыжники «хитрят»: они едут под углом к
склону. Чем меньше угол, тем меньше ско-
рость, а если ее нужно уменьшить, достаточно
поехать вверх, и скорость очень быстро упадет
до нуля.
Итак, крутизна горы зависит от того,
под каким углом к склону мы поедем. Если же
72
•ехать параллельно склону, скорость вообще
не будет нарастать,
В математике реальным горам отвечают
функции многих переменных. Хотя перемен-
ных может быть сколь угодно много, мы огра-
ничимся тремя, и это, конечно же, снова связа-
но с трехмерностью нашего пространства. Как
определить для такой функции производную?
Ведь изменения функции, вызванные измене-
нием одной из переменных, определяются зна-
чениями, которые принимают остальные пере-
менные. Вот очень простой пример: функция
двух переменных f(x, у)=ху при изменении у
на Ау получает приращение &f=x\y, но в точ-
ке х = 0 приращение функции равно нулю.
И все-таки производная по какой-либо пере-
менной от функции, зависящей от многих пере-
менных, очень похожа на ту производную, ко-
торую мы уже рассматривали. Основное сход-
ство заключается в том, что при вычислении
производной по какой-либо переменной осталь-
ные переменные фиксируются, как если бы они
вообще не могли изменяться. Такое «неравно-
правие» переменных существует только при вы-
числении производной. Как только она вычи-
слена, переменные немедленно восстанавли-
вают свойства, отраженные в их названии.
Итак, обозначим через Axf приращение
функции трех переменных х, у, z, когда у и z
остаются постоянными, а переменная х полу-
чает приращение Ах. Предел lim -XL называ-
дх_>о Дх
ется частной производной функции f по х и обо-
значается дЦдх. Это обозначение принадлежит
французскому математику Лежандру. Разуме-
ется, постоянство остальных переменных под-
74
разумевается и включается в определение
частной производной. Понятно, что у функции
трех переменных три первые производные:
df/dx, df/ду, df/dz, и каждая определяет кру-
тизну в своем направлении. Хотя функцию в
каждой точке можно характеризовать тремя
этими производными, мы недаром разбирались
с векторами. Три величины, определяющие ско-
рость изменения функции в трех направлениях*
естественно объединить в вектор, и сделать это
можно с помощью единичных векторов i, j, k<
Сумма вида
i — + j — + к — — grad f
dx 3 ду dz &	1
носит название градиента функции и играет
огромную роль. Своим появлением на свет по-
нятие градиента обязано выдающемуся физи-
ку, создателю теории электромагнитного поля
Джеймсу Клерку Максвеллу и происходит от
латинского слова gradior, означающего «идти
вперед», «расти». Градиент, как видно по его
определению, является вектором и, стало
быть, определяет некоторое направление. За-
мечательное свойство градиента состоит в том,
что он определяет направление наибыстрейше-
го изменения функции. По нашей «лыжной»
терминологии, это означает направление, в ко-
тором — в данной точке — гора имеет наиболь-
шую крутизну. Чтобы убедиться в этом, допу-
стим, что в направлениях у и z уклона нет во-
обще; функция при смещениях вдоль этих осей
остается постоянной, и, значит, ее частные про-
изводные по у и z равны нулю. Если при этом
df/dx=/=O, то градиент направлен вдоль оси х.
75
Сам Максвелл собирался назвать этот вектор
словом slope — «склон».
Градиент — это сумма трех векторов, а мы
уже знаем, что сумма векторов — тоже вектор.
Нельзя ли как-то этот вектор обозначить?
Именно такая мысль пришла в голову Макс-
веллу, но оказалось, что до него сэр Вильям
Роуэн Гамильтон уже придумал для этого век-
тора обозначение: он просто перевернул гре-
ческую букву А, и обозначение у закрепилось
за вектором градиента:
г . df , . df . f df
у/ = 1 — + J — + k —.
v/ dx J dy dz
Вполне естественным казалось перевернуть и
название, и некоторое время значок жил под
именем «атлед» — прочитанное задом наперед
английское название греческой А — дельта
(delta). Но это имя не прижилось, и новорож-
денного «перекрестили»: по одним сведениям,
это сделал уже упоминавшийся Хевисайд; по
другим,— друг Максвелла математик Ро-
бертсон Смит. Но все историки математики
сходятся на том, что именем «набла», под ко-
торым градиент известен и теперь, его нарекли
из-за сходства с остовом древнеассирийского
музыкального инструмента, напоминавшего
арфу. Успех наблы был столь велик, что Макс-
велл посвятил ей специальную оду в восьми
частях. Это и не удивительно, ведь то, что
раньше занимало многие страницы, с помощью
наблы удавалось записывать в несколько
строк.
Роль наблы в физике трудно переоценить.
Как и повсюду, где появляются векторы, гро-
моздкие выражения немедленно «худеют». Бо-
76
лее того, применение наблы делало ясным мно-
гие вещи, которые без нее приходилось объ-
яснять изощреннейшими методами. Тот же
Максвелл для лучшего понимания предложен-
ной им теории электромагнитного поля приду-
мал десятки механических моделей: они изо-
бражали электромагнитное поле в виде систе-
мы шестеренок. Набла сделала это ненужным.
«Музыка», которую удавалось играть на этом
родственнике древнеассирийской арфы, оказа-
лась поистине волшебной. Но прежде, чем эта
музыка могла зазвучать, нужно было научить-
ся виртуозной игре. Человеком, сделавшим
это, был другой друг Максвелла — Питер Тэт.
Чтобы познакомиться с основами «игры» на
набле, нам придется вернуться ненадолго к
обыкновенным производным.
Операция дифференцирования, обозначае-
мая, по Лейбницу, dfldx, означает, как мы уже
знаем, предел отношения приращения функции
Af к приращению аргумента Ах при Ах->0.
Кажется, не имея функции, дифференцирова-
ние выполнить невозможно, и так оно и есть.
Однако поскольку смысл операции дифферен-
цирования понятен, иначе говоря, понятна по-
следовательность действий, которые нужно
произвести, чтобы вычислить производную, то
оказывается, что функцию можно отделить от
знака производной! Что же будет означать
символ d/dx7 Отделенный от «своей» функции,
он будет означать как раз действие, которое
можно произвести с любой функцией. Лишен-
ный функции символ d/dx не теряет смысла, и
его название «оператор» (латинское operator —
делатель, работник) хорошо отражает его
суть.
77
В этом смысле набла тоже является опера-
тором, а значит, градиент тоже можно отделить
от функции. В результате набла принимает
такой вид:
.	д	. д	- д
V =	i-------Н-F	к—
дх	3 ду	dz
и становится, пользуясь выражением Максвел-
ла, оператором, «жаждущим продифференци-
ровать, что угодно».
Здесь можно провести некоторую аналогию
с хищными зверями. Всем известно, что тигр
питается мясом. Но для этого вовсе не обяза-
тельно представлять себе тигра с растерзан-
ным оленем в пасти. Вполне достаточно пред-
ставить пасть тигра, она не менее красноречи-
ва. В этом смысле оператор набла является
дифференциальным «тигром», который «готов»
продифференцировать любую функцию.
Кстати, о любой функции. До сих пор мы
предполагали, хотя ничего и не говорили об
этом, что наша функция — скаляр. Иначе го-
воря, хотя ее значения и зависят от точки в
пространстве, они являются обыкновенными
числами. На самом деле нет никаких препят-
ствий, чтобы функция была вектором или даже
тензором. И наилучший пример такой функ-
ции — это сам градиент функции. Действи-
тельно, он меняется от точки к точке, но при
этом в каждой точке характеризуется вполне
определенным направлением. Здесь уместно
вспомнить о производной функции, которая
также является функцией.
Возвращаясь к набле как оператору, нуж-
но заметить, что, хотя она и определяет «толь-
ко» правила, по которым нужно произвести
78
операцию с некоторой функцией, сама при этом
она является вектором.
Верны ли для нее правила, справедливые
для обычных векторов? Хотя ответ на этот
вопрос и утвердительный, он все же нуждается
в некоторых оговорках.
Разберемся сначала с теми правилами, ко-
торые совпадают с обычными. Действуя наб-
лой на некоторую функцию, нужно определить,,
какая векторная операция имеется в виду.
Скалярное произведение наблы и векторной
функции а(х, //, г) называется дивергенцией:
dav дет. да. /ппх
diva = и-а=+	+	(20>
v	дх 1 ду 1 dz
или расходимостью.
Дивергенция, определяющая, как видно из
ее формального выражения, скорость измене-
ния каждой компоненты вектора, так сказать,,
в своем «собственном» направлении,— очень
важная характеристика векторного поля, кото-,
рым и является вектор а, заданный в каждой
точке пространства (х, у, z). Если связать с
вектором а некоторый поток (например, жид-
кости), то, оказывается, положительность ди-
вергенции (div а>0) в данной точке означает,
что из этой точки вытекает больше жидкости^
чем в нее притекает. Иначе говоря, такая точка
служит источником. Напротив, если div а<0,
то баланс наблюдается обратный, и точка слу-
жит стоком, то есть в нее поступает больше
жидкости, чем из нее вытекает. И, конечно,
можно догадаться, что условие div а = 0 долж-
но означать равенство «прихода» и «расхода»
жидкости, ведь в этом случае «перепада» век-
тора нет.
79*
Дивергенция — это скаляр, как и положено
скалярному произведению. Если скалярное
произведение в формуле (20) заменить на век-
торное, получится величина, именуемая рото-
ром вектора:
/ дау да2 \	, / daz
rota = v ха-----------------S^J + ЦТ;---------
(21)
dz ) 1	\ ду дх J '	'
или вихрем. Ротор в отличие от дивергенции
все время «смешивает» производные и компо-
ненты. Он «следит» за тем, как меняются ком-
поненты вектора а не в «своих» направлениях.
Изменения составляющих в «чужих» направ-
лениях, скомбинированные по правилам век-
торного произведения (21), определяют как бы
«закрученность» вектора, меру его «враще-
ния» .
Вот пример, иллюстрирующий смысл рото-
ра: вектор угловой скорости (это вектор, на-
правленный по оси вращения) есть ротор ско-
рости линейной: co = -^-r°t v. Если вращения
нет, то есть вектор скорости v не поворачива-
ется от точки к точке, то угловая скорость и с
нею ротор равны нулю. Кстати, само название
«ротор» обязано своим происхождением имен-
но этой связи линейной и угловой скоростей.
Ротор, как и положено векторному произ-
ведению,— псевдовектор.
Градиент, дивергенция и ротор — три вели-
чины, образуемые с помощью наблы, находят
самое широкое применение в физике.
Однако на этих трех операциях превраще-
ния наблы не кончаются. Все они представля-
80
ют результат действий оператора ria функции,,
в результате которых получаются другие функ-
ции. Оказывается, возможны такие манипуля-
ции с наблой, которые приводят к новым опе-
раторам. Наиболее простая из них — и тоже
очень важная для физики — это скалярное
произведение наблы на себя. Результат этого
умножения — новый оператор, называемый
оператором Лапласа или лапласианом:
Д = v . V = V2.	(22)
Его обозначением является уже самая настоя-
щая, неперевернутая дельта, а явный вид не-
трудно восстановить по правилам скалярного
умножения:
A =	+	+	(23)
дх2 ду2 dz2	7
Иначе говоря, оператор Лапласа представляет
собой сумму вторых производных. Этот опера-
тор появляется во многих уравнениях матема-
тической физики, примеры которых мы рас-
смотрим.
А вот как выглядит оператор Лапласа в ци-
линдрических и сферических координатах:
л д / д \ , 1 д2 , д2
дг \ дг / г дер2 dz2
А д D2 & \ i 1 д / • д д \ .	1 д2
А — —	--------1 sin 0 —) -4--------
dR dR I sin 0 d0 \ d0 / sin 0 дф2
Вывод этих выражений мы здесь рассмат-
ривать не будем.
Таковы некоторые правила игры на дале-
ком потомке древнеассирийской арфы. Ну, а
чтобы стать виртуозом, нужно, как и при уче-
бе на настоящих музыкальных инструментах,
упражняться и упражняться.
6 Э. Т. Соколов
81
^то покидал
спидометр.
Сложению тебя обучали? —
спросила Белая Королева.—
Сколько будет один плюс
один, плюс один, плюс один,
плюс один, плюс один, плюс
один, плюс один, плюс один,
плюс один?
Не знаю,— ответила Алиса.—
Я сбилась со счета.
Л, Кэрролл. Алиса в стране
чудес
теперь вернемся к нашему
автомобилю. Пока мы занима-
лись «музыкальными» опера-
циями, он, наверное, уехал до-
вольно далеко. Впрочем, это нетрудно подсчи-
тать. Всякий знает, что достаточно умножить
скорость на время, проведенное в пути, и по-
лучится как раз пройденное расстояние. Так
оно и будет, если, конечно, автомобиль ехал с
постоянной скоростью. Но всякий также зна-
ет, что ехать все время с одной и той же ско-
ростью невозможно. Во-первых, когда вы тро-
гаетесь с места, скорость изменяется от нуля
до некоторой величины. Она уменьшается,
когда приходится тормозить, растет при обго-
нах и падает до нуля перед красными сигна-
лами светофоров. Короче говоря, скорость
меняется со временем и, стало быть, является
1
I
*
82
функцией времени. Как подсчитать путь в этом
случае?
Присмотримся для начала к графику функ-
ции, когда она постоянна (рис. 16). Длина
пройденного пути равна, очевидно, площади
прямоугольника: S = VotQ.
Если бы скорость менялась «скачками», то
есть была различной на различных временных
промежутках, но постоянной на каждом из них,
ситуация выглядела бы так, как на рис. 17, а
пройденный путь можно было бы вычислить по
формуле
S = Д/1 4" V2^2	Vn&tn + ••• —	•
i
Как рассчитать пройденное расстояние, если
скорость является «плавной» функцией време-
ни, скажем, как график на рис. 18?
Чтобы разобраться в этом, нам придется
прибегнуть к помощи производных.
В простейшем случае — при прямолинейном
движении — скорость в момент времени t опре-
деляется как производная от пути S(t) по вре-
мени:
84
at
Можно ли что-нибудь извлечь из этой форму-
лы для нашей цели? Все решилось бы просто,
если бы мы владели способом определения
5(0 по известной скорости.
Отвлечемся ненадолго от физической ситуа-
ции и вслед за математиками определим пер-
вообразную F(x) для функции f(x) соотноше-
нием
F'(x)=f(x).
Всякая ли функция имеет первообразную?
85
Вопрос этот достаточно тонкий, и мы не будем
вдаваться в подробности. Как и в случае про-
изводных, ограничимся в дальнейшем «хоро-
шими» функциями, у которых первообразные
есть.
Пусть S(t) в рассмотренном примере явля-
ется первообразной скорости: v = S', В свою
очередь скорость в том же примере — первооб-
разная ускорения: a = v'.
Достаточно очевидно, что если F(x) —пер-
вообразная функции f(x), то F(x)+c1 где с —
постоянная, также будет первообразной этой
функции. Чтобы убедиться в этом, вычислим
производную: (^(*) +r), = F,(x) +c'=F'(x),
так как производная постоянной равна нулю.
В некоторых частных случаях первообраз-
ную можно «угадать». Хорошей иллюстрацией
служит равноускоренное прямолинейное дви-
жение точки, которая в момент времени
имела координату So и скорость у0. Коль скоро
ускорение постоянно: а(/)=а, то v'(t)=a, и
первообразная ускорения — скорость — тако-
ва: y(Z)=a/ + ci. Величину ci можно опреде-
лить из условия v(Zo)=^o, то есть Ci = v0, и
v(t) =at + vQ. Но скорость имеет в качестве
первообразной путь S'(t) = at + v0. Хорошо из-
вестный из физики результат (можете подкре-
пить его непосредственной проверкой) так
определяет путь при равноускоренном дви-
жении:
S(t)=at2/2 + v0t + S0.
Изобразим теперь всю ситуацию на графи-
ке (рис. 19), положив для простоты So = O,
vQ = 0, а = 1. Теперь S = /2/2, v = S'=t. Забудем
о размерности этих величин и представим их
86
19
на одном графике. Путь, пройденный за про-
межуток времени — очевидно, равен S =
= /2/2 —/2/2. Скорость v за этот же промежуток
времени возросла от ^i = /i до ^2=^2- Если вы-
числить теперь площадь заштрихованной фи-
гуры на рис. 19, окажется, что она равна
S(/2)— S(/i), иначе говоря, она в точности рав-
на приращению первообразной за промежуток
времени t2—ti.
Это правило справедливо и для многих дру-
гих функций: площадь фигуры на рис. 18, огра-
ниченной графиком функции f(x)t отрезком
[а, Ь] и прямыми х=а и х=Ь (эта фигура на-
зывается криволинейной трапецией), равна
приращению первообразной F(x) на отрезке
[а, Ь]:
S — F(b)—F(a).	(24)
Но это означает, что, располагая графиком,
передающим зависимость скорости от времени,
мы может подсчитать пройденный путь, изме-
ряя площадь соответствующей криволинейной
трапеции. И это можно сделать даже в том
случае, когда первообразная неизвестна.
87
Как же вычислить эту площадь?
Нам придется снова обратиться к графику,
представленному на рис. 18.
Идея альтернативного вычисления без помощи
первообразной площади криволинейной трапеции
заключается в разбиении промежутка [а, Ь] на
п равных частей Ax& = (Ь— а)/п (k = 1, ..., п).
Можно разбить далее площадь криволинейной
трапеции на п соответствующих вертикальных
полос. Если построить теперь прямоугольники
указанным на рисунке образом, то совершенно
очевидно, что площадь Sk отдельной полоски
заключена между площадями двух прямоуголь-
ников: т^хь <Sk<i Mk\Xk- Это утверждение
верно для любой полоски, а значит, и для суммы
п
их площадей: S —	— площади криволиней-
ной трапеции. Ясно, что отличие площади S от
сумм площадей больших и меньших прямоуголь-
ников будет тем меньше, чем больше число п.
п	п
Оказывается, обе суммы у, rtik^Xk и у, Mk^Xk
k=\	k=\
при п->оо стремятся к одному пределу, а
именно: к площади криволинейной трапеции.
Этот предел называют определенным интегралом
функции f (х) от а до b и обозначают символом
ь
§f(x)dx. И поскольку он, как и " соотношение
а
(24), определяет площадь криволинейной тра-
пеции, то справедлива формула Ньютона — Лейб-
ница
f (х) dx = F(b) — F (а),	(25)
88
где F(x) —первообразная функции f(x). Для
определенности принято считать, что Ь>а.
Существует еще одно название первообраз-
ной — неопределенный интеграл. Его обозна-
чение
F(x) + c=$f(x)dx.
Пределы интегрирования здесь не указывают-
ся, поэтому интеграл «неопределенный», а
связь между определенным и неопределенным
интегралами опять-таки осуществляется фор-
мулой Ньютона — Лейбница (25).
Знак J носит название знака интеграла и
является искаженным написанием латинской
буквы S. Так Лейбниц записывал начальную
букву слова Summa (сумма), в его времена
писавшуюся именно так, как мы теперь обозна-
чаем знак интеграла. Так что искаженным знак
J является лишь по отношению к современно-
му написанию буквы S.
Задача интегрирования функции, или на-
хождения ее первообразной, отнюдь не проста.
Более того, можно утверждать, что первооб-
разную в виде формулы удается отыскать
лишь в сравнительно немногих случаях. Су-
ществуют специальные таблицы интегралов,
где собраны в систематизированном виде функ-
ции с известными первообразными, то есть те
интегралы, которые, как говорят, «берутся».
Как же решается задача вычисления интегра-
ла, когда формулу для первообразной получить
не удается? Здесь на помощь человеку прихо-
дят ЭВМ — электронные вычислительные ма-
шины. При заданной подынтегральной функ-
ции f(x) с их помощью на основе различных
приближенных методов можно вычислить пло-
89
щадь любой криволинейной трапеции, а зна-
чит, и интеграл функции. Но применение
ЭВМ — тема отдельного разговора, выходяще-
го за рамки этой книги.
Рассмотрим несколько случаев определе-
ния первообразных. Начнем с функции cosx,
а первообразную будем записывать в виде не-
определенного интеграла:
jcos х dx= J(sin x)zdx = sin x + c.	(26)
Аналогично
J sin x dx= —cos x + c.
Но вот другой интеграл: sin x cos x dx.
Нам неизвестна первообразная. Как посту-
пить здесь? Снова используем формулу (10):
j sin х cos х dx= jsin x(sin x)'dx =
= jsinxd(sinx).	(27)
Введем теперь новую переменную £ = sinr.
Интеграл (27) примет вид tdt. Но первооб-
разную функции t мы хорошо знаем! Это, ко-
нечно, /2/2. Теперь мы можем возвратиться к
нашей «старой» переменной и окончательно
записать:
Jsinxcosxdx = (sin2x)/2 + c. (28)
Такой прием называют заменой переменной.
Другой прием — интегрирование по частям.
Он основан на том, что производная произве-
дения функций определяется выражением (И).
Применяя его, можно записать:
j vdu= $d(uv) — ^udv = uv — $udv + c.
Использовать его имеет смысл, когда интеграл
$udv «проще» исходного интеграла §vdu. Вы-
90
числим с помощью этого приема интеграл
Jx cos х dx, полагая x = v, du = d(sin х);
Jx cos x dx= jxd(sin x) =x sin x— jsin x dx =
= x sinx+cos x+c.
Есть и другие приемы вычисления интегра-
лов. Все они так или иначе основаны на сведе-
нии их к интегралам от таких функций, для
которых первообразная известна. Конечно,
применение этих приемов требует определен-
ного навыка и находчивости, а то и другое при-
ходит после многочисленных упражнений.
Теперь ясно, что, замеряя по спидометру
скорость, которая является производной от
пройденного пути, сам путь мы можем найти
как первообразную скорости или как ее инте-
грал. И какова бы ни была зависимость ско-
рости от времени, мы всегда сможем найти
пройденный путь, вычислив площадь криволи-
нейной трапеции — все равно каким способом,
ведь в сложных случаях можно привлечь ЭВМ.
Интеграл, таким образом, и является отве-
том на вопрос, как найти функцию, если извест-
на ее производная. И хотя вычислить его почти
всегда непросто, сам факт его существования
имеет очень важные следствия для физики, где
большая часть явлений описывается диффе-
ренциальными уравнениями.
^оло для курантов с й&и,
или (ffiak работает
дверная пружина
Если Вы посмотрите историю
физики, то увидите, что глав-
ные открытия по существу бы-
ли колебательные.
Академик Л. И. Мандельштам.
Лекции по некоторым вопро-
сам теории колебаний
асы существуют на Земле мно-
гие тысячелетия. Миллионы их,
сначала солнечных и песочных
позднее пружинных и маятни-
ковых, а в последнее время — электронных,
служили и служат человечеству. И всех их,
какими бы они ни были, объединяет одна об-
щая черта: в любых часах существует нечто,
совершающее периодические, повторяющиеся
движения. В солнечных часах такое периоди-
ческое движение совершает сама Земля, вра-
щающаяся вокруг Солнца, вслед за нею дви-
жется солнечная тень. Песочные часы необхо-
димо переворачивать, как только песок
пересыпался из одной их половины в другую,
причем переворачивать периодически, иначе
они «остановятся». В часах с маятником ко-
леблется маятник. В электронных часах, кото-
рые, как представляет реклама, не имеют ходо-
92

вых частей, движение все-таки есть: периоди-
ческие колебания совершает кристалл кварца,
возбуждаемый генератором, который питается
от батареек.
Такая общность наталкивает на мысль, что
должна существовать некая математическая
модель периодического движения, которая при
всем разнообразии движений этого рода схва-
тывала бы главное в них — периодичность.
Модель эта действительно существует, и мы
сейчас попытаемся ее построить, ограничив-
шись простейшим, одномерным движением, ко-
торое определяется одной координатой.
Наиболее простой путь — использование
второго закона Ньютона, утверждающего, как
известно, пропорциональность силы и ускоре-
ния:
ma = F.	(29)
Здесь ускорение и сила — скаляры благодаря
предположению об одномерности движения.
Самой важной «частью» этого уравнения
является сила. Что такое ускорение, мы уже
знаем — это вторая производная от координа-
ты. Будем считать, что масса нам тоже извест-
на (Ньютон говорил, что это количество ве-
щества), но сила — другое дело. Чтобы опре-
делить силу, нужно конкретно представлять, с
чем именно мы имеем дело: маятник это или
пружина, кристалл или планета. Здесь уместно
вспомнить, что мы хотим построить математи-
ческую модель, а значит, извлечь все общее,
что содержится в периодических движениях.
Общее же для периодических движений заклю-
чается в том, что каждые полпериода меняется
направление движения. Маятник, отклоненный
94
от положения равновесия, смещается то впра-
во, то влево, иначе говоря, его смещение меня-
ет знак. Как при этом ведет себя сила? Она,
согласно выражению (29), тоже должна ме-
нять знак. И самое простое предположение,
которое можно сделать, состоит в том, что сила
пропорциональна смещению, но направлена в
противоположную сторону — пружина, кото-
рую вы растягиваете, стремится сжаться, но
если ее сжимать, она стремится к растяжению.
Первый на основе экспериментальных исследо-
ваний это понял Гук, и такое соотношение
между смещением и силой называется законом
Гука. Закон Гука: F = — kx (это его простей-
шая форма) — справедлив далеко не всегда.
Если смещение — малая величина, он хорошо
выполняется, но при больших отклонениях от
положения равновесия он становится неспра-
ведливым. Теперь наше дифференциальное
уравнение приобретает более определенный
вид:
m—= — kx.	(30)
dt2
Коэффициент k называется жесткостью пру-
жины: чем он больше, тем больше сила.
Уравнение (30) можно переписать, обозна-
чив &/т = й)2 (смысл этого обозначения будет
ясен позднее):
сРх/сП? = — ®о > 0	(31)
(для маятника уравнение имеет вид	—уф>
где ср — угол отклонения его от вертикали).
В таком виде мы получили просто дифферен-
95
циальное уравнение. Дифференциальных урав-
нений существует множество, и все они назы-
ваются так потому, что содержат производные
неизвестной функции. Если дифференциальное
уравнение составлено для функции, зависящей
только от одной переменной, оно называется
обыкновенным. Таково уравнение (31). Если
же функция зависит от нескольких перемен-
ных, то соответствующее уравнение называет-
ся дифференциальным уравнением в частных
производных. С несколькими уравнениями в
частных производных мы познакомимся. По-
рядок дифференциальных уравнений — еще
один признак, по которому их отличают друг от
друга. Порядок уравнения определяется по-
рядком старшей производной, которую содер-
жит уравнение. Например, уравнение (31) —
обыкновенное дифференциальное уравнение
второго порядка.
Наконец, все дифференциальные уравнения
делятся на два класса: линейные и нелиней-
ные. Линейные — это те, которые содержат
искомую функцию и ее производные в первой
степени. Нелинейные уравнения — это все
остальные. Для решения линейных уравнений
в математике разработаны надежные методы.
Что касается нелинейных, здесь ситуация со-
вершенно иная. Нелинейные уравнения, реше-
ние которых удается записать в виде некото-
рой функции, можно пересчитать по пальцам.
И до сих пор для них не удалось построить
методы решения, которые обладали бы той же
общностью, что и методы, развитые для ли-
нейных уравнений.
Здесь уместно сказать, что решением диф-
ференциального уравнения называется функ-
96
ция, которая при подстановке в уравнение об-
ращает его в верное равенство.
Итак, обратимся к решению линейного
обыкновенного дифференциального уравнения
второго порядка — уравнения (31).
Его решение должно быть функцией вре-
мени, причем такой, чтобы дифференцирова-
ние, произведенное дважды (это левая часть
уравнения), давало бы ту же самую функцию,
умноженную на — (то есть правую часть
уравнения). Но такие функции мы знаем! Это
синусы и косинусы. Легко убедиться, что обе
функции: sin соо^ и cos — являются реше-
ниями уравнения (31). Какую же из них пред-
почесть? Поскольку основания для альтерна-
тивного выбора нет, возьмем в качестве реше-
ния сумму этих функций, заметив к тому же,
что любая из них, умноженная на некоторую
постоянную Ci sin (Oq/ и с2 cos соо/, тоже являет-
ся решением нашего уравнения. В результате
получим
x=Ci sin a)Qt + c2 cos (dot.	(32)
Есть ли у уравнения (31) другие решения, от-
личные от (32)? Доказательство единственнос-
ти решения — дело сложное, но это доказа-
тельство существует, и можно сказать, что
других решений у нашего уравнения нет.
Принцип, по которому сумма частных ре-
шений также является решением, называется
принципом суперпозиции; он справедлив для
линейных уравнений и будет неоднократно
использован нами в дальнейшем. В полученное
решение входят две постоянные. Как их опре-
делить? Это можно сделать, используя началь-
ные условия. Ими являются значения функции
7 Э. Т. Соколов
97
и ее производной, заданные в некоторый мо-
мент времени.
Слова «начальные условия» можно пони-
мать буквально. Это те условия, в которых дви-
жущееся тело находилось в начале движения.
Хорошей иллюстрацией начальных условий
могут служить соревнования по прыжкам в
длину: все прыгуны отталкиваются примерно
в одном месте и прыгают примерно под одним
углом к горизонту, но скорость, с которой они
отрываются от земли, различна. Естественно,
что, дальше прыгнет тот, у кого начальная ско-
рость больше. Нечего и говорить о том, что
успех не ждет прыгуна, решившего отталки-
ваться намного раньше контрольной позиции.
Итак, разные прыгуны прыгают на разное рас-
стояние в зависимости от места и скорости
толчка, хотя летят они по одним законам в
поле притяжения Земли, определяемым одними
и теми же уравнениями.
Точно так же уравнение (31) нуждается в
дополнительной информации: где находилось
движущееся тело в некоторый момент времени
(для определенности выберем в качестве этого
момента 1=0) и какую скорость оно при этом
имело. Здесь надо вспомнить, что скорость —
это первая производная от координаты v =
= dx[dt.
Записываются начальные условия так:
X =Хо,	=%0-	(33)
t =0 dt t =о
Штрих у Xq означает, конечно, производную, х0
и х'о— это ПРОСТО числа, имеющие смысл поло-
жения и скорости при t = 0.
98
Возникает вопрос: как ими пользоваться?
Давайте снова обратимся к угаданному нами
решению (32). Выбирая какие-нибудь конкрет-
ные значения постоянных, например Ci = l, с2 =
= 0, мы получим вполне определенную кривую,
описывающую движение: sin — синусоиду с
периодом 2л/о)0. Меняя эти постоянные, мы по-
лучим бесконечный набор родственных кривых
приблизительно такого же вида. За это «родст-
во» набор кривых, отличающихся значением
постоянных, называют семейством. А из всего
семейства решением является лишь тот «род-
ственник», который проходит через точки,
определяемые начальными условиями. Но это
означает, что смена начальных условий повле-
чет за собой изменение решения.
Конкретный же рецепт использования на-
чальных условий таков: в равенстве (32) нуж-
но положить t=0 в правой части; тогда в ле-
вой, согласно начальным условиям, должно
получиться х0, то есть с2 = *о- Чтобы воспользо-
ваться вторым начальным условием, нужно вы-
числить скорость — взять производную от ко-
ординаты по времени [здесь мы используем
формулы (9) и (10)]:
х'=dxjdt=c^ cos W—с2соо sin
Снова приравнивая в правой части t = 0, полу-
чаем d = Хо/о0. Итак, мы определили, какая
линия из семейства кривых является решением
нашего уравнения. Оно таково:
Z
X = sin С00/ + Xq COS (Bq/.	(34)
%
Выражение для скорости теперь имеет вид
7*
99
Xr = Xq COS C00/ — %0^0 sin (tint.
Движение, которое описывается получен-
ным нами решением, называется гармонически-
ми колебаниями, а уравнение (31)—уравне-
нием гармонических колебаний. Согласно на-
шим собственным предположениям о малости
смещений, гармонические колебания соответ-
ствуют именно таким отклонениям от положе-
ния равновесия. Если сила нелинейна, то коле-
бания гармоническими не будут.
Если, в частности, начальные условия тако-
вы, что Xq = 0 и %о = О, то из полученного реше-
ния следует х = 0. Это означает, что маятник,
находящийся в положении равновесия и име-
ющий в этом положении нулевую скорость, во-
обще не будет двигаться, что, впрочем, доста-
точно очевидно.
Выражение (34) можно преобразовать к бо-
лее компактному виду, если обозначить aTq/cd0—
= Xcosq> и x0=^sinq). Тогда, воспользовав-
шись формулой синуса суммы двух углов, по-
лучим
х=А sin (соо/+ф).	(35)
В таком виде решение представляет собой чис-
тую синусоиду, а входящие сюда величины на-
зываются: А — амплитудой; со0 — частотой;
<р — фазой колебательного процесса, который
этой синусоидой описывается.
Заметим, что все три понятия не были зало-
жены в нашу модель: они возникли в резуль-
тате ее математического исследования. Смысл
этих величин таков: амплитуда определяет
наибольшее отклонение от положения равно-
весия, частота — сколько колебаний соверша-
100
20
ется в единицу времени, а фаза — значение
амплитуды в начальный момент времени. По-
следнее означает, что два колебания, разня-
щиеся только фазой, просто «сдвинуты» во вре-
мени относительно друг друга, и это единствен-
ное, чем они отличаются (рис. 20).
В тех же обозначениях, что и смещение,
скорость можно записать так:
х' = (Оо A cos ((Dot+ф).
Заменяя здесь косинус на синус согласно из-
вестному соотношению соз(соо/+ф) =sin(co0^ +
+ ф + л/2), получим
х'=(о0А sin(co(/+ (ф + л/2)).	(36)
Величина, стоящая в круглых скобках,—
это, конечно, фаза. Сравнивая выражение (36}
с (35), можно убедиться, что фазы смещения
и скорости всегда отличаются на л/2. А по-
скольку сила пропорциональна смещению, то
эта разность фаз сохраняется для силы и ско-
рости.
Что это означает? Если вы отклоняете маят-
ник, то там, где смещение (и сила) максималь-
но, скорость равна нулю. Когда вы отпускаете
161
21
маятник, он устремляется к положению равно-
весия, в котором смещение обращается в нуль
(вместе с силой), но скорость достигает наи-
большего значения. Это и есть проявление раз-
ности фаз (рис. 21).
Разобранная модель, описываемая диффе-
ренциальным уравнением, конечно же, сложнее
простой формулы для погони мыши за сыром.
Тем интереснее проследить, что мы заложили
в эту модель и что смогли из нее извлечь, вы-
яснить, так сказать, «прибыль», которую мы
сумели извлечь из модели.
Опираясь на общую закономерность — за-
кон Ньютона, мы сделали одно-единственное
предположение относительно вида силы: она
пропорциональна смещению и направлена в
противоположную сторону. Это «расходы» на-
шей модели.
Каковы же «доходы»? Мы получили точное
значение смещения колеблющегося тела от по-
ложения равновесия в любой момент времени,
а также его скорости. Мы поняли, что движе-
ние представляет периодические колебания;
установили, что эти колебания характеризу-
102
ются частотой, амплитудой и фазой. Мы связали
частоту колебаний с массой и коэффициентом
пропорциональности между силой и сме-
щением, установив, что ($Q=yklm. Такая зави-
симость частоты показывает, что она не зави-
сит от амплитуды. Иначе говоря, два одинако-
вых маятника, отклоненных от положения рав-
новесия на разные расстояния, будут качаться
с одинаковой частотой. По этой причине, неза-
висимо от того, идет ли речь о маятнике, пру-
жине или о чем-либо другом, эта частота назы-
вается собственной: она определяется лишь
собственными параметрами колебательной си-
стемы и не зависит от причины, возбуждающей
колебания.
Даже поверхностный взгляд подсказывает,
что наша модель «рентабельна». Ее доходы
явно превышают расходы. И все-таки ценность
модели состоит не только в этом.
Оказалось, что составленная для простых
систем типа маятника и пружины модель при-
менима к самым различным и гораздо более
сложным системам и ситуациям.
Оказалось, что такие же колебания совер-
шает Мировой океан: он представляет собой
как бы гигантский маятник с периодом колеба-
ний около тридцати часов!
По такому же закону проходит электриче-
ский ток в колебательном контуре, а на основе
этого принципа действуют вся аппаратура и
телевидение. Что касается периода колебаний,
то он может быть самым различным — от се-
кунд до миллиардных их долей.
Но самое удивительное, что атомы в раз-
личных кристаллах также совершают колеба-
ния сходным образом!
103
Физика, этих явлений, конечно, совершенно
разная, но описывается она одной математи-
ческой моделью. От Мирового океана до ато-
ма— таков диапазон, в котором «работает»
рассмотренная нами модель, представляемая
достаточно простым дифференциальным урав-
нением.
Чем наша модель хороша, это, кажется,
уже понятно. Но, как и всякая модель, она опи-
сывает реальный колебательный процесс не-
полностью. Давайте проанализируем поведе-
ние смещения, описываемого формулой (35), и
сравним его с колебаниями реального маятни-
ка. По формуле смещение имеет вид синусои-
ды, причем какое бы время ни прошло с нача-
ла движения, формула предсказывает его не-
изменный вид. Однажды возникнув, колебания
продолжались бы вечно! Такой результат не-
вольно наводит на подозрения: все ли правиль-
но в нашей модели? Ведь вряд ли кому-нибудь
приходилось встречаться с вечными колебания-
ми, которые происходили бы сами по себе.
Реальный маятник, выведенный из положения
равновесия, если его не подталкивать, раньше
или позже остановится. Означает ли это, что
наша модель неправильно описывает движение
маятника? Такой вывод был бы неверным. Это
означает лишь, что наша математическая мо-
дель описывает математический маятник, а
реальные маятники, каковы бы они ни были,
называются в отличие от него физическими.
Само собой разумеется, что математических
маятников на свете нет. Но если так, зачем
изучать модель, которой в природе нет соот-
ветствия?
Во-первых, правильней будет сказать, что
104
нет полного соответствия. Но ведь модель по-
тому так и называется, что она полного соот-
ветствия не дает. Во-вторых, сравнение двух
маятников (физического и математического)
позволяет выявить не только различие, но и
сходство. Оба они совершают периодические
колебания, причем при равных параметрах
частоты их будут очень близки. Уже это
«оправдывает» нашу модель, ведь главную
черту движения — периодичность — она схва-
тывает отлично. Что же касается отсутствия
в ней затухания, то можно показать, и мы сей-
час это сделаем, что небольшое усовершенст-
вование модели позволит учесть и это.
Однако прежде нам придется получить ре-
шение нашего дифференциального уравнения
еще раз, и получить его иным образом.
Квадраты чисел, с которыми нам приходит-
ся иметь дело в повседневном обиходе (такие
числа называют действительными или вещест-
венными), всегда положительны. Есть, однако,
числа, которые, если возвести их в квадрат,
дают в результате отрицательное число. Такие
числа называют мнимыми — это историческое
название; первоначально господствовало мне-
ние, что в отличие от действительных мнимые
числа ничему не соответствуют. Позже выяс-
нилось, что это далеко не так.
«Родоначальником» мнимых чисел являет-
ся мнимая единица, ее обозначают буквой I.
По определению, квадрат мнимой единицы ра-
вен обычной единице со знаком минус, а сама
Она равна корню квадратному из минус едини-
цы: i2= — 1, £=у— 1. Легко понять, что квад-
ратный корень из любого отрицательного числа
можно представить в виде произведения корня
105
из противоположного ему положительного чис-
ла на мнимую единицу, например У~9=У9 L
Числа, состоящие из суммы действительных и
мнимых чисел, называются комплексными и за-
писываются в виде а + bi, где а и b — уже дей-
ствительные числа. При этом а называется
действительной, b — мнимой частью комплекс-
ного числа.
Первыми стали пользоваться комплексны-
ми числами итальянские математики Кардано
и Бомбелли еще в шестнадцатом веке. История
развития и использования представлений о
комплексных числах увлекательна и интерес-
на, но нам понадобится пока только формула,
установленная Эйлером и носящая его имя:
elx = cos x+i sin х.	(37)
Число е также называется числом Эйлера; оно
является пределом суммы е = limSN, где SN =
2V->oo
N 1
= V —, а п\ = 1 • ... • и, и приблизительно
п=\ п’
равно е = 2,718281 ... (все знаки указать невоз-
можно, поскольку е — пример иррационального
и трансцендентного числа).
Замечательное свойство числа е состоит в
том, что показательная функция с основанием
е — ех (она носит название экспоненциальной
функции или экспоненты) имеет в качестве
производной ту же самую функцию, то есть
(ех)' = ех. А взятие производной от функции ekx
сводится к простому умножению на число k:
d(ehx)/dx==kekx (попробуйте доказать это сами,
умножив и разделив dehx/dx на k и перейдя к
новой переменной).
106
Формула Эйлера связывает тригонометри-
ческие функции с показательной. Ее удобно
использовать там, где встречаются суммы три-
гонометрических функций, а ведь именно они
встречались нам при исследовании решения.
Вернемся к дифференциальному уравнению
и запишем его в виде
d2x/dt2 + cdqX = 0.	(38)
Формула Эйлера (37) и вид решения (34)
наводят на мысль, что решение можно искать
в форме x=ent. Что такое п, мы пока не знаем,
но раз вид решения известен, подстановка его
в уравнение не должна нарушать равенства.
Взятие производной от решения, выбранного в
такой форме, эквивалентно умножению его на
п, а второй производной — на и2. В результате
подстановки в выражение (38) получим
п2 + а>0 = о.	(39)
Поскольку п неизвестно, соотношение (39) —
уравнение. Вот тут нам немедленно понадобят-
ся мнимые числа. В самом деле, (о0 — это вели-
чина, составленная из совершенно определенных
величин типа массы, силы и т. д., которые за-
даются действительными числами, и квадрат ее
положителен; но это означает, что (—<»о) —
число отрицательное и п2 = —<»о или
п=±цо0-	(40)
Квадратное характеристическое уравнение
имеет два корня, и подстановка любого из них
в решение ent удовлетворяет уравнению (39).
По тем же соображениям, что и при выборе
решения в виде суммы синуса и косинуса, мы
107
будем считать решение суммой двух, каждое из
которых соответствует одному из корней:
х =	4- с2е“*<°<	(41)
где Ci, с2— постоянные, которые нужно опре-
делять, как и раньше, из начальных условий.
Итак, мы получили две формы решения
одного и того же уравнения. Убедимся в этом,
использовав для определения постоянных на-
чальные условия (33). Полагая в формуле (41)
£ = 0, в результате чего экспоненты становятся
равными единице, получим
•^о = ^1 + ^2«	(42)
Для производной смещения справедливо
такое выражение:
Полагая f = 0, получим
%о = ко0(й — с2).	(43)
Разрешим соотношения (42) и (43) относитель-
но Ci и с2:
1	{	, *о \ if хо
= --- Xq Н--:- I, С2 — - I Хо---:-- I f
2	\	“°0 /	2 \ U /
а смещение (41) выглядит так:
х =—— Хо+^- е1й>0< + — х0------------Д-
2 \	/	2 \ iWo /
(44)
Выражение для скорости можно теперь полу-
чить, дифференцируя формулу (44) по време-
ни и учитывая, что производная е±г'юо* равняет-
ся ±ko0e±i(M. Результат таков:
108
xr = (xo + tox0) + -у (*o— ^Xo) er1^.
Если использовать теперь формулу Эйлера
(37), то выражение (44) в точности переходит
в прежнее решение (34), записанное с по-
мощью sin (Oof и cos (o0f. Точно так же при под-
становке формулы (37) в последнее выраже-
ние для скорости она представляется теми же
функциями. Убедимся в этом:
1	/	х0 \
х = — I Хо + -— (cos (o0f + i sin (o0f) +
2	\	lCt)o /
1	[	Xq \
H------x0--------— (cos (o0f — i sin (o0f).
2	\	tcoo /
Проделывая простые преобразования (про-
ще говоря, перемножая и складывая), получим
хо
X = Хо COS CO0f Н-------------Sin (00f.
G)o
Аналогичное преобразование выражения для
скорости проделайте сами.
(QcmaHotlume маятник
А она все падала и падала.
Неужели этому не будет конца?
Л. Кэрролл. Алиса в стране
чудес
огда водителю нужно остано-
вить автомобиль, он не задумы-
вается. Левая нога жмет на
педаль сцепления, правая — на
тормоз, раздается визг шин, трущихся о мос-
товую, и, проехав большее или меньшее рас-
стояние (на официальном языке ГАИ оно на-
зывается тормозным путем), автомобиль зами-
рает на месте. То же самое произойдет с
автомобилем, если просто выключить двига-
тель: на дороге без уклона он остановится.
Произойдет это в обоих случаях, как всем из-
вестно, вследствие трения. Шины автомобиля
трутся о поверхность дороги, корпус испыты-
вает сопротивление воздуха, детали двигателя
трутся друг о друга.
Физический маятник также испытывает со-
противление воздуха. Как ввести сопротивле-
ние в нашу модель?
ПО

Отметим прежде всего, что сила сопротив-
ления всегда направлена в сторону, противопо-
ложную движению, в противном случае она не
замедляла бы движение, а ускоряла его. Не-
сколько сложнее понять, что сила трения о воз-
дух пропорциональна скорости тела, но в этом
легко убедиться, сравнив давление, оказывае-
мое воздухом на ладонь при ходьбе и выстав-
ленную из окна движущегося с большой ско-
ростью автомобиля. Итак, сила сопротивления
(на самом деле это экспериментальный факт)
может быть записана в виде FCOnp= — W. Как
и в законе Гука, такая зависимость силы со-
противления от скорости — простейшая, спра-
ведливая, когда скорость мала. Скорость —
первая производная от координаты, а значит,
сила Гсопр=—v^. По закону Ньютона, мы
должны произведение массы на ускорение при-
равнять полной силе, а она будет равна сумме
упругой силы и силы сопротивления. В ре-
зультате наше дифференциальное уравнение
примет вид
^- + 2И-^ + ^х = 0.	(45)
at	at
Здесь введено обозначение 2p = v/m.
Решать уравнение (45) будем так же, как
только что решали уравнение (38), то есть
будем искать решение в виде x=ent. Подстав-
ляя его в формулу (45), получим новое харак-
теристическое уравнение:
и2 + 2рп + (Оо = 0.
Это снова квадратное уравнение относительно
и, и два его корня имеют вид
112
п = —fi ± ]/~ fi2 — coo.	(46)
Если сопротивления движению нет, ц = 0, и
мы сразу же получаем старый результат (40).
Хотя полученная формула и определяет ре-
шение, его окончательный характер зависит
от соотношения двух параметров: ц и too- Если
ц>(о0, что соответствует преобладанию силы
сопротивления над упругой силой, то под кор-
нем стоит положительная величина, и он име-
ет действительные значения. Если знак нера-
венства обратный: ц<(о0, то значения корней
мнимые: Уц2 — со2= ±цо, п = — ц±гсо. Эти два
случая различаются принципиально, и мы рас-
смотрим их отдельно, причем сначала возьмем
мнимые значения корня. Решение в этом слу-
чае примет вид
х = (ciei(of + c2e~ia)*) = е~^ (c'i sin art +
4-C2COS(oZ).	(47)
Как ведет себя функция в скобках, нам уже
известно: это периодические колебания. Но по-
лученное решение — это не только периодичес-
кие колебания. Его вид зависит еще и от того,
как ведет себя множитель перед скобками, а
он, как нетрудно заметить, убывает со време-
нем — это число больше единицы в отрицатель-
ной степени. Объединяя эти два множителя, мы
получим поведение функции, показанное на
рис. 22. Это по-прежнему колебания, но они
уменьшаются по амплитуде: такие колебания
называют затухающими гармоническими коле-
баниями. Интересно, что частота таких колеба-
ний со=У(о2 — ц2 не равна со© — частоте незату-
хающих свободных колебаний.
8 Э. Т. Соколов
113
к
22
Итак, пройдет какое-то время (зависящее от р)
и амплитуда колебаний маятника уменьшится до
нуля, то есть маятник остановится. Это означает,
что нам удалось добиться поставленной цели —
наша модель описывает теперь и затухание.
Можно, конечно, сказать: это было ясно и без
того, ведь мы ввели силу трения. Верно, общий
характер поведения модели был ясен до реше-
ния уравнения. Но вот что было не ясно, — это
конкретный характер затухания. И вряд ли нам
удалось бы угадать его без математической
модели. Иными словами, то, что мы представ-
ляли себе качественно, математическая модель
(дифференциальное уравнение) проясняет коли-
чественно. Если сила трения велика, а это соот-
ветствует условию р > (о0, то под знаком корня
в формуле (46) оказывается положительная ве-
личина, а значение корня по абсолютной вели-
чине |/ р2 — СОо | < р и п = (—р ± ]/р2 — СОо)<
< 0 при обоих знаках перед корнем. Но это
означает, что ent — затухающая непериодическая
функция (см. рис. 23). Никаких колебаний в
114
X
23
этом случае вообще не будет: выведенная из
положения равновесия «колебательная» система
при р > (о0 будет сразу же стремиться снова
вернуться к нему без каких-либо колебаний.
Надо прямо сказать, что этот вывод без мате-
матики никак не очевиден!
Итак, мы «остановили» наш маятник. Роль
тормоза сыграла первая производная от сме-
щения. И это дает неплохой пример усовершен-
ствования математической модели.
8*
на качелях
Часы не свершили урока,
А маятник точно уснул,
Тогда распахнул я широко
Футляр их — и лиру качнул.
И. Анненский. Лира часов
Ст Ег лучалось ли вам когда-нибудь
качаться в парке на качелях?
Если да, то вы, конечно, знае-
те, что особенно трудно раска-
чаться сначала. Другое дело, если кто-нибудь
третий, стоящий на земле и «внешний» по от-
ношению к двоим на качелях, будет их раска-
чивать. Чтобы раскачать качели, нужна опре-
деленная ловкость. Толкать их следует не как
попало, а в определенные моменты времени.
То, что мы назвали «ловкостью», связано с
интересным и важным явлением, которое но-
сит название резонанса. Это слово вы, конечно,
слышали.
О резонансе ходят легенды, и многие из них
(что не так уж часто с легендами случается)
соответствуют действительности. Во времена
Наполеона в Испании, в горном районе, обо-
рвался цепной мост, когда по нему в ногу про-
116
I

ходила французская воинская часть. Похожая
история случилась в Петербурге: обвалился
Египетский мост через Фонтанку, когда по
нему маршевым шагом шла гвардия. Жертвой
резонанса пали многочисленные морские суда:
вибрация корпуса при включении двигателя
бывала так значительна, что нормальное пла-
вание становилось невозможным. Не обошел
резонанс своим вниманием и авиацию. Конеч-
но, серийные самолеты строятся так, чтобы
резонансные явления при полетах не наблю-
дались, но в процессе создания новых моделей
бывали случаи, когда самолет в воздухе раз-
валивался на куски, а летчик спускался на
парашюте.
И все-таки, что такое резонанс?
Чтобы ответить на этот вопрос, вернемся
к модели математического маятника, описывае-
мого уравнением (31). Затухания там еще нет,
и маятник, выведенный из положения равнове-
сия и предоставленный самому себе, соверша-
ет свободные колебания с собственной частотой
(до. Что будет, если его подталкивать? Первая
мысль, которая может прийти в голову,— ма-
ятник будет раскачиваться все сильнее и силь-
нее. Такое действительно может случиться, но
совсем не обязательно. Раскачка маятника, как
и качелей, под влиянием внешней силы зависит
от того, насколько «ловко» происходит подтал-
кивание. Что же является математической ме-
рой этой ловкости?
Настало время снова подправить нашу мо-
дель. Будем считать, что «подталкивание» ма-
ятника производится периодической внешней
силой, меняющейся со временем также по гар-
моническому закону, но с частотой, в общем
118
случае отличнойют собственной частоты маят-
ника: сое#=соо, =Де sin соеЛ Величины Ае и
о)е являются амплитудой и частотой силы.
Как в этом случае будет выглядеть урав-
нение колебаний?
Мы снова должны исходить из закона Нью-
тона — ведь он справедлив для любых сил, в
том числе и периодических. Ограничимся сна-
чала рассмотрением незатухающих колебаний.
Тогда
dAxIdt2 + (OqX = Ае sin	(48)
Теперь к названиям этого уравнения: обык-
новенное дифференциальное линейное второго
порядка следует прибавить «титул» неоднород-
ное. Это слово означает, что не все члены урав-
нения содержат искомую функцию. Это, в част-
ности, приводит вот к чему: если решение
уравнения умножить на постоянную, оно пере-
станет быть решением уравнения. И это понят-
но: ведь это все равно, что разделить неодно-
родный член (не содержащий функцию) на эту
самую постоянную, а в результате получится
совсем другое уравнение.
Старый способ поиска решения в виде ent
здесь не пригоден, и в этом можно убедиться.
Конечно, математики давно поняли, как
правильно обращаться с такими уравнениями,
но нам строгие математические рецепты не-
доступны. По этой причине попытаемся опять
«угадать» решение. Самое лучшее, что можно
сделать,— это приглядеться повнимательнее к
уравнению. Будем рассуждать так: мы должны
взять вторую производную от смещения, при-
бавить к результату смещение, умноженное на
со о, и после сложения получить Ае sin (£>et. Но
119
мы уже хорошо поняли, что вторая производ-
ная от синуса sin равна — cojsin соеЛ Можно
попытаться искать решение в таком виде: х =
= x0sincoe/. Единственное, что ограничивает
этот вид решения,— частота колебаний: что бы
мы ни делали со смещением, выбранным в та-
ком виде, частоту уже не изменить. Но ампли-
туда Xq будет определяться именно уравнением.
Итак, подставим смещение в уравнение (48):
(«о — *о sin aet = Ае sin соЛ (49)
Дифференциальное уравнение исчезло. Из
того, что от него осталось, следует:
и решение имеет вид
д
х = —z-sin(og/.	(51)
Казалось бы, решение найдено, и оно действи-
тельно найдено.
С другой стороны, мы знаем, что для х =
= Ci cos a)0t + c2 sin cdq/ справедливо уравнение
(38). Иначе говоря, подстановка собственных
колебаний в левую часть уравнения (48) дает
нуль. Но это означает, что
д
х = с 1 cos <W + с2 sin co0Z Ч-9— 9 sin (0(/ (52)
®о —
тоже является решением уравнения (48). Дело
в том, что правильный путь для нахождения
решения (48) таков: оно состоит из суммы об-
щего решения однородного уравнения (без пра-
120
вой части) — это и есть собственные колеба-
ния — и частного решения неоднородного
уравнения — это угаданное нами (51). Так что
формула (52) как раз и есть решение. И это
также результат линейности уравнения.
Собственные колебания нам, кажется, уже
понятны. Наибольший интерес представляет
выражение для амплитуды вынужденных ко-
лебаний (50). Величина соо — это собственная
частота колебаний, ее изменить нельзя, если
не менять колебательную систему, а сое — это
частота раскачивающей силы, ее можно ме-
нять. Давайте так и сделаем. Если плавно
увеличивать сое от нуля, то амплитуда выну-
жденных колебаний будет увеличиваться, а
когда частота собственных колебаний сравня-
ется с частотой вынужденных (сое=со0),
амплитуда обнаруживает тенденцию к не-
ограниченному росту (рис. 24)!
Именно это явление и называется резо-
нансом. Выходит, что гвардия, обрушившая
Египетский мост через Фонтанку, нежданно-
негаданно «попала» в резонанс. Частота уда-
ров гвардейских сапог сое совпала с собствен-
ной частотой моста со0 или оказалась близкой
121
к ней. Мост охотно «поддержал» эти колеба-
ния, а результат известен.
Теперь понятно, почему не все одинаково
успешно могут раскачивать качели. Большего
успеха достигнет тот, кто будет подталкивать
качели с частотой, близкой к их собственной.
Но что означает обращение амплитуды в
бесконечность? Мост не мог отклониться от
своего положения равновесия на бесконечно
большое расстояние. Есть и другая, формаль-
ная трудность: уравнение (48) справедливо
лишь для малых отклонений (закон Гука!),
а тут — неограниченный рост!
Дело отчасти заключается в слишком
вольном обращении с формулой (50). Вер-
немся к предыдущей формуле (49) и положим
там сое=соо. В результате выражение (49) пе-
рейдет в уравнение 0=Ле sin со^, удовлетво-
ряющееся только при t = 0. Таким образом,
при (ое = соо выражение для амплитуды (50)
попросту несправедливо.
И, конечно, дело снова в нашей математи-
ческой модели. Она обнаруживает нефизиче-
ское поведение. Выходит, наш результат для
амплитуды вынужденных колебаний (51) не-
верен?
Ответить «да» или «нет» здесь мало.
Наш результат верен, так сказать, с точ-
ностью до нашей модели. Более того, модель
правильно улавливает главную черту резо-
нанса — сильное увеличение амплитуды. И не
ее вина, что смещение обращается в беско-
нечность. Она, как и всякая модель, лишь
частично отражает реальный мир.
Модель можно подправить, и мы сейчас
это сделаем, но перед этим попробуем увели-
122
чивать частоту колебаний сое дальше, когда
она станет больше собственной: сое>со0. При
переходе точки сое=(о0 амплитуда вынужден-
ных колебаний совершает скачок из +°о в
— оо, после чего плавно уменьшается до нуля,
оставаясь все время отрицательной. Опять
недоразумение: ведь амплитуда должна быть
всегда положительной — так она определена,
знак же должно менять смещение. Чтобы из-
бежать этого, выгодно «списать» минус, по-
являющийся в формуле (50), на sin
Заменим sin в выражении (51) на
sin(со^--л). В этом случае удается примирить
противоречия, но для сое>соо вместо соотно-
шения (51) примем такой вид решения:
X ~ —5---5-sin((0^—л), (0g >(!)()•
Вместо —л можно было бы добавить к аргу-
менту синуса +л, но чуть ниже станет понят-
но, почему добавлено именно —л.
А теперь приступим к «починке» модели,
сделаем ее более физической. Для этого, как
и при исследовании собственных колебаний,
введем затухание:
d х t a dx 12 л • i
—2- + 2|X----h (00Х = Ае Sin	(53)
dt	dt
<3 этим уравнением справиться будет легче —
ведь теперь мы знаем, что к старому решению
однородного уравнения (50) нужно прибавить
частное решение неоднородного уравнения.
К тому же основная идея подбора частного
решения будет та же, что и без затухания.
Единственное, что придется подправить в
123
предполагаемом виде решения, учитывая сме-
ну знака амплитуды при переходе частоты
внешней силы через шо в незатухающих коле-
баниях,— это фазу. Действительно, смещение
вовсе не обязано иметь наибольшую величину
в тот же самый момент времени, когда наи-
большей является и внешняя сила. По этой
причине будем искать решение для вынужден-
ных колебаний в форме
xe=xosin (сое^ + ф).	(54)
Подставим это «решение» в уравнение (53) и
получим
—Х0(0? Sin (<0^ + ф) + 2[ЛХ0^е cos (сое£ + ф) +
+ (DqXo sin (aet + ф) = Л sin
Если синус и косинус суммы представить в
виде произведений, то
Хо («о — о)2) (sin aet cos ф + cos a)et sin ф) +
+ 2|i%o4> (cos a>et cos ф — sin cousin ф) =
= y4esin co^.
Единственный способ обеспечить это равен-
ство— приравнять нулю коэффициенты при
sin (ое/ и cos В результате
=___________Л_________.
((®0-“e)2+(2H®e)2)1/2’
sin ф ___
COS ф	—
Эти две формулы определяют амплитуду и
фазу вынужденных колебаний. Их поведение
представлено на рис. 25. Самое замечательное,
124
(55).
(56)
что вносит затухание в поведение амплитуды
вынужденных колебаний,— это ее конечность
при совпадении собственной и вынужденной
частот. Амплитуда действительно вырастает
при подходе к собственной частоте, но в бес-
конечность она не обращается. К тому же наи-
большего значения она достигает уже не точ-
но при (ое = (0о, а при несколько меньшем зна-
чении. Это, конечно, происходит вследствие
затухания [см. формулу (55)]. Что касается
разности фаз между силой и смещением, то
она равна нулю при низкой частоте вынужда-
ющей силы (смещение, так сказать, поспевает
за силой), принимает в точке сое=соо значение
— л/2, а затем плавно уменьшается до —л.
Это означает, что с ростом частоты смещение
начинает «запаздывать» и нарастает позже,
чем это делает сила.
Значение — л/2 нам уже встречалось: ско-
рость маятника опережает его смещение как
раз на л/2. Но ведь это означает, что при ре-
зонансе сила и скорость совпадают по фазе!
И это вовсе не формальное обстоятельство.
Если вдуматься, такое совпадение вполне ло-
125
гично: когда маятник разгоняется (скорость
его нарастает), тут его и подталкивай.
Все сказанное до сих пор относится к вы-
нужденным колебаниям. А что же происходит
с колебаниями собственными? Ведь они, со-
гласно правилам, также вносят свой вклад в
решение.
Ответить на этот вопрос тем проще, что
у нас есть решение (47) однородного уравне-
ния (45) — это уравнение (53) без вынуждаю-
щей силы, и ответ таков: собственные колеба-
ния будут затухать и по прошествии опреде-
ленного времени, зависящего от р, исчезнут.
Останутся только вынужденные колебания,
описываемые выражением
X =sin (со t — 2^е
(57)
[оно получено подстановкой выражений (55),
(56) в (54)].
Нам осталось ответить еще на один во-
прос: почему при высоких частотах амплитуда
обращается в нуль?
При слишком большой частоте смещение
окончательно «отстает» от силы. Едва маят-
ник начнет смещаться из положения равнове-
сия, как сила тут же меняет направление и
начинает его тормозить, а при движении
маятника в противоположную сторону все
повторяется снова. Попробуйте трясти качели
с высокой частотой, и вы увидите, что они не
тронутся с места.
Можно сказать еще немало слов относи-
тельно разностей фаз между силой, скоростью
126
и смещением при разных частотах, но суть
в том, что вся информация о движении маят-
ника содержится в формуле (57), которая бы-
ла извлечена из нашей математической мо-
дели.
Итак, наша модель обрела физические
черты: из нее исчезли бесконечности; ампли-
туда остается всюду положительной.
И здесь необходимо сделать некоторое за-
мечание относительно слова «маятник». Мы
уже говорили, что роль смещения при коле-
бании маятника играет малый угол отклоне-
ния. Это же самое уравнение со всеми
следствиями, связанными, в частности, и с
явлением резонанса, описывает изменение
электрического тока в колебательном контуре,
составленном из сопротивления R, конденса-
тора емкости С и катушки с индуктивностью
L (рис. 26), возбуждаемом внешним электро-
магнитным полем с частотой сое. В этом случае
«смещение» следует понимать как ток /, а
уравнение запишется так:
т d? I г г) di .	1 г гт •	.
127
Хотя коэффициенты здесь имеют совер-
шенно другой смысл, чем в уравнении для
маятников, математическая модель осталась
той же самой, потому что оказалось тем же
самым уравнение: это обыкновенное неодно-
родное линейное дифференциальное уравнение
второго порядка. А это значит, что все выво-
ды, сделанные нами относительно маятника,
справедливы и для колебательного контура.
В частности, собственная частота колеба-
тельного контура такова: (Оо=1/УЬС; затуха-
ние собственных колебаний определяется от-
ношением сопротивления к индуктивности
R/L, а резонанс наступает, когда частота
внешнего электромагнитного поля совпадает
с coo- На этом языке легко понять, что означа-
ют слова «поймать» станцию. Радиостанция,
работающая на некоторой частоте сое, испу-
скает волны во всех направлениях. Ясно, что
если при распространении эти волны и не за-
тухают, до приемника, который при любой
антенне представляет собой точку в простран-
стве, доходит совсем малая толика энергии
источника — радиостанции. Энергия же эта с
самого начала далеко не беспредельна. С по-
мощью антенны волна от станции попадает
в колебательный контур, и здесь-то ее судьба
кардинальным образом зависит от того, сов-
падает ее частота с собственной частотой кон-
тура или нет. Если нет, то в контуре колеба-
ния не возникнут или, вернее говоря, ампли-
туда этих колебаний будет очень маленькой.
Но приемник устроен так, что собственную
частоту контура можно менять. Поворачивая
ручку настройки, вы меняете емкость конден-
сатора, встроенного в контур, и при условии,
128
что в вашем приемнике есть нужный диапа-
зон, можете изменить <оо=1/УЬС так, чтобы соо
совпала с частотой радиостанции. Тогда в де-
ло вступает резонанс: амплитуда колебаний
возрастает в точности в соответствии с резо-
нансной кривой, и вы слышите станцию.
Вот какие далекие и на первый взгляд со-
вершенно различные явления описывают разо-
бранная математическая модель.
На этом можно было бы окончить рассказ
о колебаниях, но мы с ними не расстанемся.
Причина для этого достаточно серьезная, и
она выяснится скоро. Но для этого нам при-
дется рассмотреть совсем другую область че-
ловеческой деятельности, которая называется
строительством и архитектурой.
9 Э. Т. Соколов
Строительства
и архитектура
Архитектура — это не только
сами здания и сооружения, но
еще и искусство организовы-
вать пространственную среду.
Что такое. Кто такой
ч » Ег детстве все играют в кубики.
Чего только из них не строят!
Рожденные неуемной детской
фантазией, поднимаются с по-
ла дворцы, небоскребы, сложнейшие строи-
тельные конструкции, и все это создается из
деревянных или пластмассовых фигурок,
имеющих правильную кубическую форму. Ну,
а если форма «кубиков» более разнообразна,
и они могут быть параллелепипедами, тре-
угольниками, полукруглыми арками, тут и
говорить нечего! Самые смелые фантастиче-
ские проекты «бледнеют» перед возможностя-
ми, открывающимися перед детским строи-
тельством, хотя изначальные элементы сами
по себе достаточно незатейливы по форме.
В сущности и взаправдашнее, «взрослое»
строительство ведется по правилам, очень на-
поминающим игру с детскими кубиками. Са-
130
9*
мне причудливые архитектурные произведения
собираются из строительных деталей, имею-
щих по отдельности несложную форму. Про-
стейшим примером служит обыкновенный кир-
пич. Но и современные строительные элементы
из железобетона также не слишком сложны.
Как правило, это параллелепипеды различных
размеров. Но искусство и фантазия архитек-
тора превращают набор «примитивных» кир-
пичей в жилые дома, дворцы спорта, универ-
маги, библиотеки — в любые здания, потреб-
ные человеку.
Представьте себе на минуту, что космиче-
ский пришелец, прилетевший на Землю из
мира, где вообще не ведется строительства
(скажем, по причине благоприятных клима-
тических условий), впервые увидел все много-
образие земных зданий. Естественно, что он.
ничего не знает о земном строительстве, о тех-
нологии, кирпичах, цементе и т. д. Как вы ду-
маете, догадается он, что все здания — от ста-
ринных церквей до самых современных небо-
скребов — составлены из одних и тех же или
во всяком случае очень похожих элементов?
Учтите, что логически его задача обратна
той, которую решают строители. Они синтези-
руют — составляют целое из элементов, а при-
щельцу, чтобы догадаться, нужно анализиро-
вать— разложить целое на части. Пришелец
мог бы, конечно, разломать какое-нибудь зда-
ние (или несколько зданий) и убедиться в том,
что они «синтезированы» строителями из кир-
пичей. Но, допустим, что его силы не таковы,
чтобы разламывать здания, или, что более
вероятно, он не хочет вмешиваться в дела
земной цивилизации. В такой ситуации ему
132
лучше всего было бы попасть на стройку и по-
смотреть, как делают новые здания. А как
сделаны уже существующие, он мог бы дога-
даться.
Очень похоже дело обстоит с «архитекту-
рой» в мире функций. Оказывается, очень мно-
гие сложные и причудливые функции, подоб-
но зданиям, могут быть составлены из «кир-
пичей» достаточно простой формы. Роль этих
«кирпичей» исполняют функции.
Но здесь мы оказываемся примерно в та-
кой же ситуации, как и придуманный прише-
лец из космоса. Перед нами необозримое ко-
личество функций (вы можете сами нарисо-
вать любую, самую причудливую кривую с
условием, чтобы любая вертикаль пересекала
ее только в одной точке, и назвать ее графи-
ком функции), и даже если мы примем на
веру, что они «синтезированы» из каких-либо
простых частей, совершенно неясно, каким об-
разом можно догадаться, что это за части.
«Разломать» функцию еще труднее, чем зда-
ние. Неплохо было бы попасть на «стройку»,
где функции собирают из «кирпичиков», но
адрес этой стройки неизвестен.
Единственное, что мы можем сделать,—
это самостоятельно попытаться «построить»
функции. Правда, это будет скорее игра в «ку-
бики», а не настоящая стройка, ведь мы не
знаем, что у нас получится, но именно «игру-
шечность» нашего строительства делает риск
минимальным.
Для начала запасемся «кубиками». Пусть
это будут знакомые нам гармонические коле-
бания вида (35). Здесь надо сделать одну ого-
ворку: функции (35) действительно описыва-
133
ют гармонические колебания, но сами колеба-
ния — это физическое понятие, связанное с
реальными процессами. С точки зрения мате-
матики синусоида есть просто периодическая
функция.
Периодических функций много, и синусы
с косинусами — простейшие из них. Вообще
периодическая функция напоминает искусный
орнамент, в котором узоры повторяются сно-
ва и снова: она такова, что значения ее повто-
ряются при сдвиге аргумента на определенную
величину Т, называемую периодом: для любо-
го t f(t + T)=f(t). Известно, что sin х и cos х
имеют период Т = 2п. Что касается синусоиды
Л sin (со/4-qp), то она может быть записана и
в виде суммы я cos со/+ 6 sin со/. И в том, и в
другом случаях период связан с частотой; по-
чему это так, понять нетрудно: если период
sin х равен 2л, а х = со/, то период sin со/ (при
выборе в качестве переменной /) будет равен
2л/со (при изменении х на 2л переменная t =
=х/со изменится как раз на 2л/со). Иначе го-
воря, чем выше частота, тем меньше период.
Итак, «кирпичи» заготовлены. Попробуем
сложить из них функцию. Для начала сложим
две синусоиды: sin х и sin 2х. Представим гра-
фики этих функций на рис. 27. Естественно,
что мы ограничились изображением этих
функций на отрезке [—л, л]. Ведь это перио-
дические функции, и продолжить их вправо и
влево по оси ничего не стоит; они, как орна-
мент, будут в точности повторять форму изо-
браженных кривых. Сложить их тоже нетруд-
но, достаточно в каждой точке просуммиро-
вать значения обеих функций. Результат
суммирования представлен на том же рисун-
134
27
ке. Хотя функция sinx4-sin2x есть сумма
двух синусоид, она сама ни в коей мере сину-
соиду не напоминает. С синусоидой ее объ-
единяет периодичность: период этой новой
функции такой же, как и у синусоиды. Вид
у кривой, представляющей сумму, довольно
причудливый, ведь мы сложили только два
«кубика», да к тому же самых, можно сказать,
простых. Складывая большее число синусов
от различных аргументов (Зх, 4х, 5х и т. д.)
и умножая, кроме того, каждый член суммы
на какое-нибудь число (все равно, какое —
ведь пока наша фантазия ничем не ограниче-
на: мы просто смотрим, что получится; напри-
мер 2sin x+5sin 6х), можно получать все бо-
лее диковинные функции.
И если теперь забыть о том, что эти затей-
ливые кривые получены суммированием «про-
стых» функций, и задать себе вопрос: можно
135
ли их представить в виде суммы каких-либо
синусоид, станет ясно, что, не зная ответа
заранее, получить его нелегко. А ведь в запасе
у нас есть и косинусы, так что формы кривых
могут быть еще сложнее.
И все-таки результат сложения кирпичи-
ков-синусоид невольно наводит на подозрение,
что если не все, то многие функции представ-
ляют собой сумму функций простого вида, на-
пример синусов и косинусов. И поскольку наш
небогатый опыт показал, что сложение перио-
дических функций дает также периодическую
функцию, давайте первым делом попробуем
разложить на простые части именно периоди-
ческую функцию f (х) и именно с периодом 2л.
Если такая функция действительно может
быть составлена из синусов и косинусов, то за-
пишем ее в виде
/ (х) = а0/2 + а{ cos x + &i sin х+«2 cos 2х +
+ &2 sin 2х+...
Если не выписывать все члены (это все равно
невозможно), а использовать обозначение сум-
мы 2, то эту формулу можно записать и так:
оо
f (х) = а0/2 + у, (ап cos пх + bn sin пх). (58)
п=1
Причина, по которой здесь появилось слагае-
мое а0/2, записанное в такой форме, выяснит-
ся чуть позже.
Хотя мы и написали знак равенства между
функцией и суммой, он выражает лишь одно:
нашу веру в то, что функция может быть со-
ставлена из синусов и косинусов,— ведь коэф-
фициенты ап и Ьп нам совершенно неизвест-
136
ны. И если не указать способ их определения,
ценность этой формулы невелика. Выражаясь
«строительным» языком, можно было бы ска-
зать, что мы знаем, из каких кирпичей стро-
ить здание, но неизвестно, сколько и каких
кирпичей надо укладывать в стену.
Итак, мы хотим разработать рецепт вы-
числения коэффициентов ап и Ьп при условии,
что функция f (х) известна.
Нам уже приходилось вычислять интегралы
от cos х, sinx и их произведения cosxsinx
[см. формулы (26), (27) и (28)]. Здесь нам при-
дется снова вернуться к вычислению интегра-
лов от тригонометрических функций, а заодно
вспомнить кое-что из тригонометрических соотно-
шений. Конкретно необходимо вычислить такие
интегралы: Л == f cosnxdx; /2 — J sin nxdx*,
—л	—л
л	л
/3 = J cos пх cos mxdx; Ц = cos пх sin mxdx и
—л	—л
л
/5 = sin пх sin mxdx, где тип — целые по-
—л
ложительные числа. Пределы интегрирования
выбраны так, чтобы они были симметричны от-
носительно нуля. Вычислим их по очереди.
Интегралы от cosx и sinx нам известны. Пер-
вые два из пяти — /1 и /2 — могут быть вычисле-
ны, как и соотношение (26), если представить
dx в виде dx — d(nx) (мы просто умножили
п
и разделили на п). Тогда
л
г 1 С	1/	\ sinnx
=___ I cos nxd (пх) =---- =
nJ	п -л
—л
137
= — (sin лп — sin (—ли)) = 0;
T If. J 7	\ cos nx
/2 = — I sm nxd (nx) --
nJ	n
—Л
---— (cos пл — cos (—пл)) = 0.
1\ равен нулю из-за того, что sin пл =
= sin( — лп)=0 при любом целом n=#0, а /2 —
потому, что cos пл = cos ( — пл) (cos х — функ-
ция четная).
Чтобы вычислить /3, /4 и /5, вспомним, что
cos mx cos их = —(cos(m — n)x + cos(/n-(- n)x);
(59)
sin mx cos nx = —(sin (m —n)x + sin (m + n)x);
(60)
sin mx sin nx = —(cos(m —ri)x — cos (m + ri)x).
2
(61)
Использование этих формул позволяет вы-
разить интегралы от произведений тригоно-
метрических функций через интегралы от са-
мих этих функций, а такие интегралы мы уже
вычисляли. Если приглядеться к правым час-
тям соотношений (59) — (61), то можно заме-
тить особенность, возникающую при т =
— и : cos (иг —п)х= 1, a sin(m— п)х=0. Этот
случай мы выделим отдельно, потому что ре-
зультат интегрирования получается иной, чем
при т^п. Мы вычислим подробно лишь /3, а
138
для остальных приведем результаты — вычис-
ляются они аналогично. Итак,
л
cos mx cos nxdx =
—л
л
• J cos (m — п) xdx +
—л
л
1	• /
— sin (т —
2	т — п
—Л
— п) X
1	1 . ,
	sin (п
2	т-\- п
= СО, т#= п;
[л, т = п.
1Л
(62)
л
л
Результаты для /4 и /5 таковы:
л
Л = [ cos mx sin nxdx = 0;	(63)
—л
/6= f sin mx sin nxdx = P’ m^=n> (64)
J	I л, m = n,
--5T.	к 7	1
а получить их попробуйте сами.
Теперь возвратимся к нашей первоначаль-
ной цели — определению коэффициентов ап и
Ьп. Для этого проинтегрируем «построенное»
выражение для функции (58) от —л до л:
J f (х) dx = -y-^у dx = -у 2л = ла0.
—л	—л
Все остальные интегралы имеют такой же вид,
как /1 и /2, и обращаются в нуль. Отсюда сле-
дует
л
а0 — — ( f (х) dx.	(65)
л J
—Л
139
Один коэффициент определен. Чтобы опре-
делить коэффициенты ап, умножим функцию
(58) и ее представление в виде суммы на
cos kx и снова проинтегрируем это равенство
по тому же промежутку:
Л	Л	оо /
j f (х) cos kxdx = -у- J cos kxdx + I ak x
—л	—л	4
Л	Л	\
X J cos kx cos nxdx + bk j" cos kx sin nxdx j.
—л	—л	/
Из всех этих интегралов, согласно нашим
собственным вычислениям [см. формулу (62)],
«уцелеет» только тот, который содержит под
своим знаком произведение косинусов с n = k.
Итак,
л
ап = —J f (х) cos nxdx, n=l, 2, ... (66)
—л
Нетрудно догадаться, что для вычисления
коэффициентов Ьп нужно умножить функцию
f(x) на sin kx и снова проинтегрировать. Ис-
пользование формулы (64) позволяет полу-
чить такие выражения:
п
bn =(x)smnxdx, п =	2,...	(67)
—Л
Теперь становится ясным, что множитель 1/2
в обозначении постоянной составляющей
функции f(x) был введен для единообразия
записи коэффициентов. Ведь если бы его не
ввести сначала, он появился бы в выражении
(65).
140
Итак, мы определили способ, которым мож-
но вычислять коэффициенты ап и Ьп, и тем
самым убедились, что всякую функцию, имею-
щую период 2л, действительно можно пред-
ставить в виде суммы синусоид. Всякую ли?
На самом деле, не всякую. Но чтобы расшиф-
ровать то, что стоит за словами «на самом
деле», необходимо обладать широкими мате-
матическими познаниями. Поэтому примем на
веру, что очень многие функции действитель-
но могут быть представлены в виде (58). Это
представление функции называется ее рядом
Фурье. И хотя такого рода представления
были известны и до Фурье, это название было
предложено другим выдающимся математи-
ком Риманом в знак признания огромного
вклада Фурье в математику.
Невольно возникает вопрос: а зачем ну-
жен, собственно говоря, ряд Фурье? Ведь ко-
эффициенты этого ряда определяются в виде
интеграла от функции, а это означает, что
вычислить их можно лишь при условии, что
сама функция известна. Но если функция из-
вестна, какая разница, в каком виде она пред-
ставлена?
На этот вопрос можно дать по крайней
мере два ответа.
«Любая» функция может быть сложной, и
разложить ее на простые составляющие, ка-
ковыми являются синусоиды, всегда небеспо-
лезно. Если такую функцию надо анализиро-
вать, то проще изучать ее по составным час-
тям, которые заведомо более просты, нежели
сама функция. Но этот аргумент не главный.
Давайте вспомним, как мы решали урав-
нение гармонических колебаний. Хотя, каза-
141
лось бы, мы угадывали решение, но это было
не гадание вслепую. Мы допустили, что реше-
ние имеет некоторый вид, а именно ent, при-
чем дифференциальное уравнение свелось к
алгебраическому, что существенно упрощает
дело, но само п нашли из уравнения. Такого
рода прием может стать эффективным и в
том случае, если мы заранее знаем, что реше-
нием некоторого уравнения является функция,
которая может быть разложена в ряд Фурье.
Если это действительно так, то подстановка
ряда Фурье (58) в уравнение должна свести
задачу определения функции к задаче опре-
деления коэффициентов ряда Фурье, а по-
скольку эти коэффициенты — обычные числа,
то задача их определения может оказаться
более простой, нежели определение функции
«в лоб».
В этом смысле изучение отдельного гармо-
нического колебания довольно поучительно.
А ряд Фурье — это не что иное, как сумма
отдельных гармонических колебаний, или гар-
моник.
Самый главный недостаток всех наших
рассуждений таков: они справедливы для пе-
риодических функций, да еще с периодом 2л.
Эти ограничения могут быть сняты.
Если функция, которую мы хотим разло-
жить в ряд Фурье, периодическая, но период
ее не 2л, как требуют наши правила, а 2/, где
Z — любое число, перейдем тогда к новой
переменной t с помощью соотношения x = at.
Такая замена переменной ничего не меняет,
функция остается той же самой, но после за-
мены переменной х на t ее период станет 2//а.
Величину а мы пока не оговаривали и можем
142
выбрать ее так, чтобы 2//ц = 2л. Следователь-
но, а = 1]я>. Но это значит, что х=///л, и функ-
ция	будет иметь период 2л.
Наши правила сразу же становятся при-
менимыми, и функция может быть разложена
в ряд Фурье по переменной t:
/ // \ 00
f | —) = — + V (a«cosn^ + bnsinn/),
\ л /	2	.
'	и=1
а для коэффициентов сохраняются «старые»
формулы (65) — (67), например
«0 = —) dt.
л J \ Л /
—л
Если же теперь вернуться к переменной х, то
ряд примет вид
00
е / \ ал . ХЛ /	ПЛХ . <	. ППХ\
/(х)=-^-+	fa«cos —+ b„sin—j, (68)
n~\ x	7
а коэффициенты ряда:
i
a0 = -yj f (*) dx-,	(69)
-I
I
an = -y-J f (x) cos dx; (70}
—i
i
bn = -pj f (x) sin dx. (71}
—i
Вот как обстоит дело с периодическими функ-
циями, имеющими произвольный период. Ока-
145
зывается, этот период можно сжать (если он
больше 2л) или растянуть (если меньше).
В сущности это просто смена масштаба, вроде
перехода от одних единиц к другим, а замена
переменной играет ту же роль, что бинокль:
удаленные и кажущиеся мелкими предметы
«приближает» и делает их «крупнее», а слиш-
ком «крупные» можно «уменьшить», перевер-
нув бинокль.
Означает ли это, что с ростом периода
Т~21 по сравнению с 2л ничего не меняется?
Конечно, не означает.
Ряд, составленный из sin пх и coszzx, «ша-
гает» как бы через единичные ступеньки: аргу-
мент тригонометрических функций принимает
значения х, 2х, Зх, ... Шаги функции с большим
периодом 21 иные; sin—-—выстраивает «лесен-
ку» почаще — «ступеньки» имеют размер -у-х,
то есть чем больше / по сравнению с л, тем
чаще расположены аргументы sin (и cos^y^,
)от 2л Зл	ч
: — х, —х, —х, ... Если, например,
/ = 100л, то «шаг» составляет 0,01: 0,01х; 0,02х;
0,03х; ...
Что будет, если I очень велико? «Шаг»
уменьшается с ростом /, а при I -> оо «лесен-
ка» исчезает: «ступеньки» станут настолько
мелкими, что аргумент будет меняться непре-
рывно.
Но что такое функция с бесконечным пе-
риодом? Это просто-напросто непериодиче-
ская функция. Выходит, что непериодическую
функцию тоже можно разложить в ряд Фурье?
144
Это почти верное утверждение, а слово
«почти» означает здесь, что (вспомним инте-
гральное исчисление) сумма (68) перейдет в
интеграл:
f (0 [а (о) cos (o/dco + f b (со) sin (оМсо;	(72)
о	6
называемый интегралом Фурье функции /(/).
Доказательство справедливости перехода от
суммы к интегралу существует, но выходит за
рамки нашей книги.
Что касается коэффициентов (на самом
деле теперь это функции) а (со) и &(со), они
определяются соотношениями, напоминающи-
ми формулы для коэффициентов ряда Фурье
(70) и (71):
4-00
а (о) = -2- \ f (0 cos <atdt-, (73)
4-00
b (co) = — J f (0 sin totdt. (74)
—00
Одно интересное обстоятельство связано
с переменной со, которая теперь (при перехо-
де от ряда к интегралу) ничуть «не хуже» пе-
ременной t — ведь она меняется также непре-
рывно. Допустим, что переменная — это вре-
мя, единица измерения которого секунда
(с). Аргумент тригонометрической функции
должен быть безразмерным, это можно обе-
спечить лишь в том случае, если переменная
измеряется в обратных единицах (1/с). Она
является, таким образом, частотой.
В известном смысле безразлично, что за-
дано — сама функция или ее Фурье-образ:
10 Э. Т. Соколов
145
функции а (со) и Ь(о). В том и другом случа-
ях можно рассчитать те или иные величины
по формулам (72) — (74).
Некоторая асимметрия, существующая при
переходе от функции к ее Фурье-образу и об-
ратном переходе, может быть ликвидирована
с помощью формулы Эйлера (37). Переходя
от синусов и косинусов к показательной функ-
ции, можно записать:
f (/) = J f (о)	(75)
—00
4-00
f(<o) = -L	(76)
2зт J
—00
Здесь «равноправие» f(t) и ее Фурье-образа
f(oj) просматривается лучше.
Пять предыдущих формул — один из при-
меров интегральных преобразований. Полез-
ность их выявляется при решении дифферен-
циальных уравнений, которые в результате
интегрального преобразования могут преобра-
зовываться в алгебраические или трансцен-
дентные уравнения для соответствующих об-
разов, таких, как функция f(co) из формулы
(76). Решать же алгебраические уравнения
проще, чем дифференциальные. После того
как образ функции (будем для определеннос-
ти говорить о Фурье-образе) найден из реше-
ния алгебраического уравнения, саму функ-
цию можно определить с помощью обратного
преобразования по формуле (75).
Подводя итог возможностям построения
сложных функций из простых, необходимо
сказать, что синусы и косинусы — не един-
146
ственный строительный материал для этих
целей. Существует множество бесконечных
наборов функций, из которых также можно
строить ряды Фурье (те, что мы рассматри-
вали, называются для отличия тригонометри-
ческими рядами Фурье). В зависимости от
«архитектурных» потребностей — вида и осо-
бенностей функций — подбираются соответст-
вующие «кирпичики» для их построения.
Часто для этих целей используют набор
функций, представляющих собой полиномы
(суммы степенных функций). Умножая поли-
номы на некоторые коэффициенты, можно, как
и в случае тригонометрических рядов, «стро-
ить» из них различные функции, или, как
говорят математики, разлагать по ним функ-
ции в ряды Фурье. В зависимости от спосо-
бов, которыми объединяются степенные функ-
ции, разложение можно проводить по полино-
мам, связанным с именами Лежандра,
Чебышева, Лагерра, Эрмита. Существуют и
другие полиномы, которые, как и перечислен-
ные, мы здесь рассматривать не будем, но сам
факт существования элементарных «кирпичи-
ков» играет огромную роль в физических при-
ложениях математики. Ведь очень часто, как
говорят, из физических соображений можно
составить примерное представление о виде
решения, то есть представить его качественно.
Разлагая решение, поначалу неизвестное, по
некоторой системе функций, то есть пред-
ставляя его в виде суммы этих функций с не-
известными коэффициентами, можно на осно-
ве тех или иных соображений эти коэффициен-
ты вычислить или подобрать. Как только это
удастся сделать, решение будет получено.
ю*
до пароходных гудков
До свидания, камень,
И да будет волна!
Д. Самойлов. Волна и камень
трунные музыкальные инстру-
менты — одни из древнейших
на земле. Может быть, только
ударные превосходят их по
возрасту. Древнеассирийские наблы, о кото-
рых уже шла речь, древнегреческие лиры,
ставшие символом музыки вообще, средневе-
ковые лютни, преобразованные искусством
мастеров, постепенно приняли современные
формы: скрипки, альты, виолончели, контра-
басы, арфы и гитары — наследники музыкаль-
ных тысячелетий — предоставляют композито-
рам неисчислимое богатство музыкальных кра-
сок. Эти «краски» называются тембрами.
Именно тембры отличают звучание одних
инструментов от других. Всякий мало-мальски
искушенный в музыке человек сумеет отличить
звук скрипки от беглой речи фагота, рокот кон-
трабаса от пения флейты, иначе говоря, тембры
инструментов отличаются заметно.
148
Самый популярный инструмент современ-
ности— гитара. Благодаря усилиям четырех
парней из Ливерпуля, имена которых теперь
известны всему миру, гитара перешагнула по-
роги гостиных и заняла в современной попу-
лярной музыке место не менее важное, чем
скрипка в музыке симфонической.
Современная гитара значительно отличает-
ся от своего классического прообраза: дере-
вянный полый корпус, выполнявший роль ре-
зонатора, заменен «доской», звук усиливается
сложными электронными системами, но основа
гитары — струна, инициирующая звук, сохра-
нила свое значение.
Сегодня на гитаре играют, кажется, почти
все. Но далеко не всем известно, что матема-
тическая модель, описывающая процесс коле-
бания струны, была создана еще в восемна-
дцатом веке, а уравнение, описывающее
эти колебания—волновое уравнение, играет
фундаментальную роль в разнообразных об-
ластях физики: от акустики до космических
источников радиоволн.
Сама по себе возможность применения
уравнения, полученного в одной физической
ситуации, для описания совершенно иных фи-
зических систем говорит о важности разра-
ботки математических моделей и тех перспек-
тивах, которые открывает их изучение.
Приступая к построению модели колебаний
струны, необходимо сразу же оговориться, что
настоящая струна для этих целей слишком
сложна. Ведь она не идеально одинакова по
толщине, неоднородна по длине, может быть
обмотана более или менее тонкой металличе-
ской проволокой, обладать рядом других не-
150
совершенств. Кроме того, настоящая струна
в состоянии совершать колебания, образно
говоря, во все стороны — как в плоскости,
перпендикулярной к поверхности гитары, так
и в параллельной плоскости.
Сложную реальную струну мы подменим
идеальной, свойства которой сейчас будут опи-
саны. Такая замена похожа на модель мате-
матического маятника, вводимого вместо фи-
зического, и по аналогии ее можно было бы
назвать математической струной, хотя этот
термин и не употребляют.
Вот каковы свойства нашей «математиче-
ской» струны, изображенной на рис. 28: в по-
ложении равновесия (когда на гитаре не игра-
ют и струна покоится) струна натянута и на-
правлена по оси х. Силу натяжения обозначим
То- Эта величина характеризует каждую от-
дельную струну, будем считать ее величиной
произвольной. Если струну вывести из состоя-
ния равновесия, силы упругости будут стре-
миться вернуть ее в исходное положение.
Дальше движение струны будет напоминать
колебания маятника: достигнув положения
151
равновесия, струна приобретает какую-то ско-
рость, из-за чего она пройдет дальше; после
этого вся картина повторится.
Для составления уравнения, описывающе-
го движение струны, нам снова придется опи-
раться на какой-нибудь общий принцип. Та-
ким принципом может стать второй закон
Ньютона: им мы уже пользовались при состав-
лении уравнения для маятника. Но этот закон,
вообще говоря, применим к материальной
точке или к системе материальных точек, а
струна, и это достаточно очевидно,— не точка,
а непрерывный набор точек. Для того чтобы
воспользоваться вторым законом Ньютона,
рассмотрим движение очень маленького участ-
ка струны, который в некотором смысле бли-
зок к материальной точке. Для такого участ-
ка произведение его массы на ускорение
будет равно сумме всех сил, к нему прило-
женных, и эти силы необходимо найти.
Дальнейшие ограничения модели будут
связаны с предположением, что каждый учас-
ток может смещаться только в направлении,
перпендикулярном к оси х, то есть перпенди-
кулярном к самой струне в положении равно-
весия. Это соответствует тому, что мы будем
рассматривать только поперечные колебания.
Как обычно, мы ограничимся рассмотрением
только малых колебаний. Такое ограничение,
как мы увидим, введено для того, чтобы урав-
нения остались линейными. И, наконец, будем
считать, что сила натяжения TQ не изменится,
если струну вывести из положения равно-
весия.
Вооружившись сделанными предположе-
ниями, приступим к определению силы, дей-
152
ствующей на маленький участок струны, вы-
веденной из состояния равновесия.
Здесь нам сразу же пригодятся векторы.
Участок покоящейся струны AAi (см. рис. 28)
переходит в ВВЪ На этот кусочек ВВХ дейст-
вуют две силы со стороны частей струны, ле-
жащих левее точки В и правее точки то
есть кусочек как бы тянут в разные стороны
две силы. Хитрость заключается в том, что
эти силы (они обозначены То и T'Q) неодинако-
вы. И здесь нет противоречия с нашим преж-
ним утверждением, что сила натяжения не
меняется при растяжении струны. Она не ме-
няется по модулю. Но сила — это вектор, и То
и T'Q имеют различные направления, следова-
тельно, это разные векторы. Направлены оба
вектора по касательным в точках В и В{. При-
чина достаточно очевидна: наша струна — это
тонкая нить, и единственное сопротивление,
которое она в состоянии оказывать внешнему
воздействию, это натяжение при растяжении,
а оно не может быть направлено иначе, как
вдоль нити. Если же нить натянута, то «вдоль»
нити фактически означает «по касательной»
к ней.
Есть еще одно обстоятельство, упрощаю-
щее задачу, и уже на словах учтенное нами:
мы рассматриваем только поперечные колеба-
ния. Это значит, что из полной силы То + Т
нам понадобится только ее составляющая, на-
правленная «поперек» начального положения
струны, то есть перпендикулярно к оси х, дру-
гими словами, проекция силы на ось у. Это
следует непосредственно из закона Ньютона,
записанного в векторном виде:
153
ma = F.	(77)
Поперечность колебаний означает, что смеще-
ния происходят только вдоль оси у. Точно так
же направлены и скорость любой точки струны,
и ускорение. Но, согласно формуле (77), сила
и ускорение направлены одинаково, и именно
поэтому причиной движения является только
проекция силы на ось у. Для ее вычисления спро-
ецируем То и То на ось у. Поскольку они состав-
ляют с осью у углы а и а' (пока это просто обоз-
начения), то проекции То и То на ось у таковы:
(Т0)у = —То sin а; (Т0)у = Tosina'.
Здесь придется привлечь наши знания три-
гонометрии, а именно формулу, связывающую
тангенс и синус:
0111	-- »
V 1 + tg2 а
С тангенсом обойтись уже проще: ведь это
тангенс угла наклона касательной, или про-
изводная от смещения и(х, /):
tg а = ди1дх.
Само смещение, по договоренности, мало.
Малы и его производные: в самом деле, если
струну натянуть чуть-чуть, то и углы ее на-
клона по отношению к положению равновесия
будут малы. По этим соображениям прибли-
женно примем
sin a~tg a.
И, конечно, полная сила равна сумме этих
двух натяжений:
154
y = T0(tga'-tga) = T0(^	-
7	1 дх
(78)
ди
дх а
А теперь приглядимся повнимательней к
выражению в скобках. Оно представляет со-
бой приращение производной за счет того, что
мы «продвинулись» из точки В в точку что
соответствует продвижению по оси х из точки
А в точку Аь Обозначим расстояние между А
и Ai через Ах и умножим и разделим выра-
жение (78) на Ах:
А
Гу = Т0
Ах
Лх = Т0- \ил/ Дх.
0 Ах
Если теперь перейти к пределу при Ах->0,
то мы получим производную величины, стоя-
щей в скобках. Но она сама является произ-
водной от смещения. Поэтому предел дает
вторую производную смещения, а Ах заменим
пока на дифференциал dx. Итак, сила, дей-
ствующая на участок струны ВВ{, а после
выполнения предельного перехода это беско-
нечно малый участок, такова:
г	лр д2и 1
Fy	То dx.
*	дх2
Теперь настала пора использовать закон
Ньютона. Нужно только еще записать произ-
ведение массы нашего участка на его ускоре-
на ,
ние:	(здесь использована частная произ-
водная по времени — ведь смещение участка
струны зависит не только от времени, но и от
155
того, где этот участок расположен; иначе го-
воря, смещение — функция двух переменных).
Если струна однородна, а мы уже вложили
в модель такое предположение, то масса лю-
бого участка струны пропорциональна его
длине: m = pd%; здесь р — плотность (масса
единицы длины). Окончательно уравнение дви-
жения принимает вид (dx в правой и левой
частях сократились)
Л д2и гр д2и
р — 1 п-----.
dt2 0 дх2
Введем теперь величину = С ее по-
мощью уравнение можно записать так:
д2и 9 д2и
dt2 дх2	4 '
Выведенное нами уравнение называется
волновым уравнением. Ему принадлежит в
теории волн такая же важная роль, как и
уравнению гармонических колебаний (38) в
теории колебаний.
Хотя волновое уравнение получено для ко-
лебаний струны, оно оказывается применимым
к самым разнообразным ситуациям. Этим же
уравнением описывается распространение зву-
ковых волн; оно лежит, таким образом, в
основе описания акустических процессов. Им
же описывается распространение электромаг-
нитных волн, хотя и имеет в этом случае со-
вершенно другой смысл. Полученное для по-
перечных'колебаний, оно может быть обоб-
щено и на произвольные виды волн, при этом
в правой части появляются вторые производ-
ные и по другим координатам:
156
d2u/dt2 = a2Auy	(80)
где Д — уже известный нам оператор Лапла-
са (22). Таким образом, волновое уравнение
служит математической моделью различных
волновых процессов, и, что наиболее сущест-
венно, эта модель одинакова для волновых
процессов самой различной физической при-
роды. От колебаний струн в гитарах рок-му-
зыкантов до гудков пароходов, слышных за
километры, и радиоволн от удаленных на рас-
стоянии в тысячи световых лет галактических
источников — таков диапазон возможностей
построенной математической модели.
Такова сила математики, «угадывающей»
общие черты различных явлений окружающе-
го мира.
Как и всякая модель, уравнение (80) или
(79) применимо не всегда. Оно, например, не
учитывает затухания волн. Но мы уже стал-
кивались с такой ситуацией и знаем, что, «под-
правляя» модель, ее можно усовершенство-
вать так, чтобы она включала, в частности, и
затухание.
Что ж, уравнение получено, нужно его ре-
шать.
&>олны, которые
стоят на месте
Передо мною волны моря.
Их много. Им немыслим счет.
Волна подаст свой голос в хоре
И новой очереди ждет.
Б. Пастернак. Волны
волной неразрывно связано
движение. В самом деле, от
камня, брошенного в воду,
бегут в разные стороны волны.
Звук отдаленного источника долетает до нас.
Волны, испускаемые радиостанцией, доходят
до антенны нашего приемника. И все эти вол-
ны действительно бегут— распространяются
от источника в пространстве.
Но существуют волны, которые стоят. Они
так и называются: стоячие волны. И лучший
пример существования этих волн опять дает
гитарная струна (и не только гитарная).
Сейчас мы получим решение волнового
уравнения (79) для колебаний гитарной стру-
ны, оно позволит нам понять, что такое стоя-
чая волна.
Способ, которым это решение будет полу-
чено, был придуман Фурье. Он достаточно
158
прост, и, кроме того, нам понадобится знание
рядов Фурье и решений уравнения гармони-
ческих колебаний.
Идея Фурье заключалась в том, чтобы
искать смещение и(х, t), зависящее от коор-
динаты х и времени /, в виде произведения
двух функций, каждая из, которых -зависит
только op одной из этих переменных, то есть
и(х, /)=Х(х)Т(0.	(81)
В этом случае зависимости от переменных
разделяются, а сам< метод, основанный на
формуле (81), называется методом разделе-
ния переменных.
Здесь, конечно, можно спросить: а откуда,
собственно говоря, известно, что решение
можно представить в виде такого произведе-
ния двух функций?
Конечно, заранее это неизвестно, но су-
ществует возможность проверить, так это или
нет. Итак, мы можем попробовать отыскать
решение в виде (81). Если же это решение не
может быть представлено в таком виде, в ре-
зультате мы неизбежно столкнемся с противо-
речием.
Опыт обращения с уравнением гармониче-
ских колебаний подсказывает, что прежде
всего необходимо подставить предполагаемое
решение в уравнение (79). Вот что полу-
чается:
4 ' <№	дх2 4 * * 7
Если разделить этот результат на X(x)T(t),
то можно записать его так:
160
1 Т" (0  X" (х)
а2 Т (О X (х) ’
Слева стоит функция только времени,
справа — только координаты. И в любой мо-
мент времени в любой точке струны эти
функции разных переменных должны совпа-
дать.
Это можно обеспечить, допустив, что ле-
вая часть не зависит от времени, а правая —
от координаты. И, конечно, в этом случае они
должны быть приравнены к одной и той же
постоянной. Обозначим эту постоянную — X2:
1 Т" (/) __ X" (х)
a2 T(t) ~~ Х(х)
Почему постоянная выбрана так, а не иначе,
мы сможем понять немного позже, а пока что
заменим выражение (82) двумя уравнениями:
X"(x) + Z2X(x) = 0;l	мох
Т" (/) + aWT (/) = 0.J	'
Узнаете старых знакомых? Да, эти урав-
нения похожи на уравнение гармонических
колебаний, решение которого нам известно:
X (х) = С cos Xx+D sin Zx;
Т (t) =А cos аМ + В sin aXt.
И поскольку вид функций X и Т найден, мож-
но записать решение волнового уравнения
согласно соотношению (81). Вот оно:
и(х, 0 = (С cos Kx+D sin Хх) (Л cosaV +
+ В sin aXt).	(84)
Решение получено, но формула (84) со-
11 Э. Т. Соколов
161
держит изобилие неизвестных величин: все по-
стоянные А, В, С, D и Л. Как и при решении
уравнения гармонических колебаний, для
определения постоянных нужно привлечь на-
чальные условия.
Начальные условия не содержатся в урав-
нении. Они как бы придаются ему дополни-
тельно и отбирают то решение, которое им
«подходит». Установить эти условия можно,
рассуждая следующим образом.
Гитара сама по себе, как известно, играть
не станет (если это не волшебная гитара из
сказки, но наше волновое уравнение, конечно,
не для нее). Что делает музыкант, когда игра-
ет? Он выводит струну из положения равно-
весия. Другими словами, он натягивает стру-
ну. Если тот момент времени, когда рука
музыканта струну отпускает, принять за на-
чальный, то начальным условием будет форма
струны в этот самый момент. Как задать эту
форму? Достаточно указать, какое положение
в этот момент времени занимала каждая точ-
ка струны. Призывая на помощь снова наш
«колебательный» опыт, можно вспомнить, что
мы задавали еще и скорость маятника в этот
же начальный момент. Перенося эти сообра-
жения на струну, нетрудно догадаться, что в
этом случае надо задать начальную скорость
каждой точки струны (она, конечно, в общем
случае различна для различных точек). Сум-
мируя сказанное, запишем начальные усло-
вия так:
п(х, Ок=о = ф(х);
^•1 = <р.И;
dt |/=о
(85)
162
<р(х), ф1(*) —функции, предполагающиеся из-
вестными. Если гитарист отпускает покоящую-
ся натянутую струну, то в этом случае
Ф1 (х)=0.
Но то, что было достаточным для маятни-
ка, недостаточно для струны. Гитарная струна
имеет еще одну особенность: она закреплена
с двух концов. А это означает, что две точки
на струне неподвижны в любой момент вре-
мени. Считая, что эти точки имеют координа-
ты х=0 и x=l (I — длина струны), можем за-
писать:
и(х, f)U=o = 0; OU=z = 0.
Эти соотношения носят название граничных
условий. Они задают искомую величину на
краях (на границах) струны.
Воспользуемся ими, приняв t = 0 (эти усло-
вия справедливы в любой момент времени):
С-1 + D-0 = 0; Ceos M+Dsin 2J=0.
Решение этой системы уравнений снова разо-
чаровывает: С = 0, и это бы еще ничего, но
D sin А7=0, что указывает на возможность ра-
венства нулю и второй постоянной (D = 0).
Если это так, то все решение (84) обращается
в нуль. Такое решение называется тривиаль-
ным, и для его получения не нужно было ло-
мать копья: нуль, подставленный непосред-
ственно в уравнение (79), лучше всего дока-
зывает, что он является решением.
К счастью, есть и другая возможность:
£>=^= 0, sin Ц = 0.
Но синус, как известно, обращается в нуль
лишь в точках, кратных л: %1=±пп или
п*
163
К=±пп!1.	(86)
Несмотря на свою простоту, полученное
соотношение чрезвычайно важно. Во-первых,
нам удалось определить значение постоянной
%, о которой мы и понятия не имели, но этого
мало. Главный вывод, который можно сделать
из выражения (86), состоит в том, что нетри-
виальное решение нашего уравнения сущест-
вует только при таких %. Всякие другие зна-
чения % неизбежно ведут к тривиальному ре-
шению.
Подставим теперь полученные значения Л
в решение, приняв, что С = 0, и обозначив про-
изведения A-D=A, B-D = B, имея в виду, что
они пока все равно неизвестны. Кроме того,
ограничимся только положительными собст-
венными значениями; ведь отрицательные
будут просто менять знак у синусов, а изме-
нения знака также можно считать «запрятан-
ными» в постоянные А и В. И, наконец, вос-
пользуемся уже знакомым принципом супер-
позиции, который в данном случае требует
сложить все решения, отвечающие различным
собственным значениям (86), причем припи-
шем каждому отдельному решению свои по-
стоянные Ап и Вп. Частное решение (его мож-
но отметить индексом) имеет вид
„ (л	nnat , D . nnat \ . tuix
ип = I An cos—--(- Bn sin_r_ __| sin—, (87)
\	*	I j I
а «настоящее» решение — сумма частных ре-
шений:
оо
и (х, t) =	(л„ cos———— -I-
п=Л
164
. nnx
sin----.
I
+ Bn sin
nnat
(88)
Это уже почти готовое решение: остается
определить постоянные Ап и Вп. Для этого
придется использовать начальные условия
(85), а поскольку их два, то вычислим выра-
жение для скорости точки струны, продиффе-
ренцировав смещение (88) по времени:
оо
ди VI / ппа Л . nnat .
« =2Д—гЛ5Ш—+
п=1
. ппа п nnat \ • ппх	/ол\
+ — Bn COS —jsin —•	(89)
Теперь положим в формулах (88) и (89) £ = 0
и приравняем получившиеся выражения на-
чальным значениям смещения и скорости:
оо
fl ЭТА*	• ПТСХ	f л«\
= V—-j— BflSin——.	(91)
п=1
(90)
В таком виде решение было получено еще в
восемнадцатом веке известным математиком
Даниилом Бернулли. Чего не удалось сделать
Бернулли,— это определить коэффициенты Ап
и Вп, за что и само решение многочисленными
его критиками подвергалось сомнению. При-
чина неудачи Бернулли заключалась в том,
что ему был неизвестен ряд Фурье.
Нам сегодня нетрудно узнать в формулах
(90) и (91) разложения функций ср(х) и срДх),
165
представляющих начальные значения смеще-
ний и скорости струны, в ряды Фурье по сину-
сам. Косинусы здесь отсутствуют, и понятно
почему: ведь на краях струны и смещение, и
скорость должны быть равны нулю в любой
момент времени, включая начальный. Коси-
нус же отличен от нуля как раз там, где синус
равен нулю. И поскольку струна имеет длину
от 0 до I (а не от — I до /, как предписывают
правила разложения в ряд периодических
функций), это различие компенсируется не-
четностью синуса (sin( — х) = — sin х), что по-
зволяет заменить интеграл J ...dx на 2f...dx:
i
An, — -—J Ф (х) sin -у- dx\ (92)
о
i
Вп = —— [ф1 (х) sin nTlx - dx. (93)
ппа J	I
о
Теперь решение действительно получено, то
есть в формуле (89) нам известны все вели-
чины, и оно соответствует всем наложенным
условиям.
Прежде чем разобраться, что полученное
решение означает, совершим еще одно преоб-
разование, в точности похожее на переход от
формулы для гармонических колебаний (34),
составленной из суммы синуса и косинуса, к
формуле (35), где остался один только синус.
Для этого обозначим An = Nnsm^m, Вп =
— Nn cos фп и используем формулу синуса
суммы:
166
Ля-С08 + вп sin^- = Nn (sin Ф; COS^+
+ COS ф„ sin nJT-a~~^ = Мг sin + фл^. (94)
Здесь нетрудно узнать амплитуду Nn и фазу
фп гармонического колебания: в точности, как
в формуле (35). Но струна при всей похожес-
ти существенно отличается от маятника, или,
выражаясь более общо, от материальной точ-
ки. И это отличие проявляется прежде всего
в том, что отдельный член (87) ряда (88) име-
ет вид не (94), а
»т • ( tiTtat t \ • /тлх /лк\
иа = Nnsml—-— + Ф/Jsm——.	(95)
Зато любая отдельная точка струны действи-
тельно совершает гармоническое колебание,
причем амплитуда этого колебания зависит
от положения самой точки:
а само колебание (95) называется стоячей вол-
ной. Частота колебаний отдельной стоячей
волны с номером п
(йп = ппа11.	(96)
При п=1 мы получаем основной тон струны.
Номера /г = 2, 3, ... соответствуют обертонам.
Высота звука определяется частотой соп, а
громкость — величиной амплитуды Nn.
Как же выглядит стоячая волна?
Ответ на этот вопрос содержится в решении
167
и
29
(95). Легко заметить, что в точках х = 0, —>
п
n Z . ,	• ПЯХ
2—,	I значения sin—, а вместе с ними
п	I
и амплитуда гармоники с номером п — ип об-
ращаются в нуль. Эти точки называются узлами
стоячей волны с номером п, а точки, в которых
амплитуда достигает наибольшего (по модулю)
1 /	3 /	(2п— 1) г
значения: х =------,-------,	------'-I, но-
2 п 2 п	п
сят названия пучностей этой волны. В результате
в некоторый момент времени /, для которого
. ( nnat ,	\ , л
sm--------И срп I =/= 0, стоячая волна принимает
вид, изображенный на рис. 29.
Дело обстоит так, как будто струна разби-
вается на п независимых «струн» размером
1]гг^ каждая из которых колеблется независи-
мо. Узлы действительно «стоят» на месте — их
положение не меняется со временем. Волна
есть, ведь колебания совершаются, но эти
волны, так сказать, локализованы в простран-
стве — они «стоят», а не «бегут» по струне.
168
И причина «стоячести» волн заключается в
том, что концы струны закреплены.
Бегущую волну можно получить, если трях-
нуть за конец лежащую на полу длинную ве-
ревку, второй конец которой не закреплен.
Нетрудно убедиться, что в этом случае возму-
щение распространяется вдоль веревки. Это
распространяющееся возмущение и есть бегу-
щая волна.
Описывается ли бегущая волна волновым
уравнением? Да. Но, конечно, граничные усло-
вия при этом будут иными, чем для закреп-
ленной струны.
Итак, что происходит, когда рука музы-
канта отпускает натянутую струну? Струна
совершает колебания различной частоты. Эти
частоты соответствуют различным стоячим
волнам.
Позвольте, но как же быть со звуком? Ведь
мы привыкли к тому, что каждой ноте соот-
ветствует определенная частота, а здесь при-
сутствуют сразу все частоты? Может быть,
наше решение неверное?
Решение верное, и противоречия здесь нет.
В каждом колебании струны действитель-
но имеются все частоты, но колебания различ-
ной частоты (разные стоячие волны) имеют
разные амплитуды. С ростом частоты ампли-
туды убывают, и это убывание оказывается
решающим фактором, который делает воз-
можным игру на струнных инструментах. Ведь
если бы колебания разной частоты имели оди-
наковые амплитуды (а амплитуда, как уже
говорилось, определяет громкость), человече-
ское ухо воспринимало бы все звуки разных
частот как одинаково громкие и вместо опре-
169
деленного тона слышало бы набор тонов, со-
ставляющих 1, 2, 3, ... частоты основного тона
в соответствии с выражением для частоты
(96). Такая музыка звучала бы как немузы-
кальный шум (вы можете убедиться в этом
сами, одновременно нажав несколько распо-
ложенных подряд клавиш на рояле).
К счастью, реальная ситуация выглядит со-
вершенно иначе. Наибольшую амплитуду име-
ет основной тон, частота которого равна ппа)1.
С ростом частоты амплитуды обертонов доста-
точно быстро убывают. Именно обертоны
определяют тембр звука, его окраску. И когда
о звучании инструмента можно сказать, что
оно «богатое», «полное», это означает, что
обертоны с малыми номерами (низкие обер-
тоны) обладают значительной амплитудой, в
то время как амплитуда более высоких, начи-
ная с седьмого и выше, мала по сравнению
с амплитудой первых шести обертонов.
Чем же определяются амплитуды оберто-
нов? Ответ на этот вопрос мы получили в ходе
решения задачи. Они определяются коэффици-
ентами Ап и Вп, которые в свою очередь опре-
делены как Фурье-коэффициенты (92), (93)
начальных условий. Означает ли это, что, под-
бирая начальные условия (форму изгиба и на-
чальную скорость), мы можем влиять на вели-
чину амплитуд обертонов?
Оказывается, дело обстоит именно так.
Попробуйте ударять по гитарной струне
медиатором с разной силой и в различных
точках струны: тембр звука будет зависеть от
этих факторов. Совсем иное звучание полу-
чится, если резко ударить по струне, например
ножом. Послышится резкий, дребезжащий,
170
даже звенящий звук. Своим «звоном» он обя-
зан присутствию в колебаниях обертонов с
высокими номерами.
Такой звук издают старинные рояли — в
прежние времена молоточки, ударяющие по
струне, были узкие. Звук современных роялей
мягче благодаря более широким молоточкам.
Такова важная роль начальных условий.
Все эти выводы и многие другие, здесь не
сделанные, могут быть получены на основе
анализа математической модели.
Волновое уравнение, как и уравнение гар-
монических колебаний, приводит к незатухаю-
щим стоячим волнам. Мы помним, что для по-
лучения затухания нам пришлось добавить в
модель гармонического осциллятора (45) пер-
вую производную от смещения. Оказывается,
добавление первой производной в волновое
уравнение (79) дает похожий эффект и здесь.
Колебания становятся затухающими. Это лег-
ко понять, если заметить, что добавление пер-
вой производной приведет к замене первого
из уравнений (83) на уравнение типа (45) со
всеми вытекающими последствиями. Модель
волнового уравнения тоже можно совершен-
ствовать.
Подобно тому как уравнение затухающих
колебаний маятника (45) при замене угла от-
клонения на ток сохраняет свою «работоспо-
собность», но только уже для электрического
контура, содержащего сопротивление, конден-
сатор и катушку, волновое уравнение с первой
производной
д2и , ди 9 d2u
----И ц — = а2 —
dt2 г дх dx2
171
также описывает распространение электриче-
ских сигналов и называется телеграфным
уравнением. Это название закрепилось за ним
по той причине, что впервые оно было получе-
но при изучении распространения электриче-
ских сигналов в проводах; ведь именно с их
помощью передают телеграммы. Решение
уравнения связывает амплитуду волны с ем-
костью, индуктивностью и сопротивлением
передающей линии. Если к приемнику придет
слишком слабый сигнал (волна с малой
амплитудой), приемник его «не заметит» — у
него есть, как говорят, порог чувствительности.
Так, человеческое ухо не воспринимает слиш-
ком тихо сказанное слово, а глаз не различает
недостаточно освещенные предметы. Этот по-
рог чувствительности известен, а зная зависи-
мость амплитуды волны от расстояния, мож-
но определить, на каком расстоянии от пере-
датчика она уменьшится до «незаметной»
величины. В этом месте (или чуть раньше)
нужно ставить усилитель. Таким образом, ре-
шение телеграфного уравнения помогает про-
ектировать линии связи: зная его решение,
можно заранее рассчитать, сколько усилите-
лей потребуется в линии данной длины, изго-
товленной из определенного материала.
Это же самое уравнение применимо к опи-
санию акустических колебаний в различных
средах: твердых, жидких, газообразных.
А формальное совпадение уравнений позволя-
ет сделать неформальные выводы. Можно не
только описывать акустические и электриче-
ские колебания одной математической мо-
делью, но и изучать одни колебания под видом
других. И поскольку электрические колебания
172
создавать и регистрировать проще, чем аку-
стические, часто акустические задачи модели-
руют эквивалентными электрическими схема-
ми. Подбор же параметров этих схем осущест-
вляется так, чтобы совпадали уравнения. Ака-
демик Л. И. Мандельштам называл такие
ситуации «взаимопомощью» различных разде-
лов физики.
И это распознание общности, казалось бы,
совершенно различных физических явлений,
может быть, не менее важно, чем конкретные
физические результаты, получаемые с по-
мощью моделей.
Волновое уравнение — пример гиперболи-
ческого уравнения.
При различных граничных условиях это
уравнение описывает распространение самых
разных волн в трехмерном пространстве: от
волн на поверхности океана до электромагнит-
ных волн в лазерах.
В математической физике, кроме гипербо-
лических, встречаются параболические и эл-
липтические уравнения. Причины, по которым
уравнения получили такие названия, не столь
уж и важны.
Гиперболические уравнения описывают
распространение волн. На что же годны пара-
болические и эллиптические уравнения?
Параболическим является, как мы увидим,
уравнение, описывающее распространение теп-
лоты: уравнение теплопроводности. Мы поста-
раемся не только записать это уравнение, но
и привести некоторые соображения, поясняю-
щие, почему оно имеет именно такой вид.
Понять это нам поможет обыкновенная
печка.
Распали костер, сумей
Разозлить его блестящих,
Убегающих, свистящих
Золотых и синих змей!
И. Бунин. У шалаша
то не жил в доме с печкой, тот
_________не изведал ни с чем не сравни-
мого удовольствия, когда рано
утром кто-нибудь из взрослых
(чаще всего бабушка или мать) приносит из
сеней охапку дров, слышится чирканье спич-
ки о коробок, через некоторое время доносится
треск сухих поленьев, и еще позже благодат-
ное тепло разливается по выстуженной за ночь
комнате. Постепенно воздух нагревается, и не
так уже страшно вылезать из-под одеяла и
начинать новый день.
Дрова, сгорая в печке, выделяют энергию.
Эту энергию называют теплотой. Как, по ка-
кому закону теплота распространяется от
печки? Из физики известно, что понятие теп-
лоты тесно связано с понятием температуры.
Что такое температура?
Большинство материалов и веществ, с ко-
торыми нам приходится иметь дело, состоят
174

из атомов и молекул. (Есть, кроме них, еще
вещества, состоящие из ионов тех же атомов
и молекул, у которых недостает электронов
или имеется их избыток, и самих электронов.
Это плазма — ее примером служит обыкно-
венный огонь,— растворы электролитов, на-
пример соль, растворенная в воде.)
Атомы (или молекулы — соединение не-
скольких атомов) находятся в непрерывном
движении. Если скорость атома у, то его кине-
тическая энергия EK = /?w2/2. Если бы мы име-
ли возможность измерить кинетическую энер-
гию каждого атома, можно было бы сложить
все £к и разделить сумму на число атомов.
В результате получилась бы средняя кинети-
ческая энергия £к (черточка над Ек заменяет
слово «средняя») на один атом. Энергия изме-
ряется в джоулях. Температура может изме-
ряться в разных единицах, в том числе и в
джоулях, но' более принято измерять ее в гра-
дусах. Среди многих есть абсолютные граду-
сы— шкала Кельвина (К). Средняя кинети-
ческая энергия связана с абсолютной темпе-
ратурой таким соотношением:
-	3
Ек = — kT.
Коэффициент k здесь введен на тот случай,
если температура измеояется не в джоулях.
Температура (с точностью до множителя 3/2,
коэффициент k не в счет) и является спедней
кинетической энергией, приходящейся на один
атом. И слово «нагревать» означает в сущ-
ности «разгонять атомы». Чем выше темпера-
тура, тем быстрее движение (в среднем)
атомов.
176
Теперь нам нужно понять, как связаны
температура и теплота. Для этой цели удобно
использовать понятие теплоемкости. Это энер-
гия, которую надо сообщить телу, чтобы на-
греть его на один градус. Однако нагревать
тело, оказывается, можно по-разному. Тела
при нагревании, как правило, расширяются
(очень немногие при определенных условиях
могут и сжиматься). Если телу действительно
дать возможность расширяться, то часть
энергии, предназначенной на нагрев, уйдет
на работу по его расширению. Если же изме-
нения объема при нагревании не допускать,
то вся энергия пойдет на нагрев, а соответ-
ствующая теплоемкость называется теплоем-
костью при постоянном объеме и обозначает-
ся cv. Удобно иметь дело с удельной величи-
ной cv — теплоемкостью, приходящейся на
единицу массы. Ею мы и будем пользоваться.
Вывод таков: в теле, нагретом до темпера-
туры Т, содержится такое количество теплоты
(на единицу массы):
Q = pcvT,	(97)
где р — плотность тела.
Это и есть связь между теплотой и темпе-
ратурой. Здесь, правда, есть некоторая недо-
говоренность: на самом деле (ох, уж эти слова
«на самом деле»!) энергия, потребная на на-
грев тела, скажем, от 2 до ЗК, не равна энер-
гии, идущей на нагрев от 20 до 21 К. Иначе
говоря, теплоемкость сама зависит от темпе-
ратуры. Но мы будем считать, что такой зави-
симости нет, и это, конечно, опять модель.
Теперь нам надо понять, что происходит с
теплотой.
12 Э. Т. Соколов
177
Если самый раскаленный электрический
утюг выключить, раньше или позже он осты-
нет. Энергия (теплота), которая в нем содер-
жится, передается окружающему воздуху.
В этом нетрудно убедиться, приближая (но не
слишком) руку к горячему утюгу. Если утюг
накрыть толстой тряпкой (при условии, что
она не загорится), будет он остывать быстрее
или медленнее? Хозяйка, конечно, не берет
с плиты горячую сковородку голой рукой, а
пользуется тряпкой или рукавицей. Этот не-
хитрый прием основан на использовании очень
важного свойства вещества — теплопровод-
ности, способности пропускать теплоту. Разные
вещества имеют разную теплопроводность.
Всякий знает, что металлическая ложка на-
гревается быстро, а деревянная — гораздо
медленнее.
И еще, выключенный утюг обязательно
остынет сам по себе, и для этого ничего не
нужно делать. Но он никогда сам по себе не
нагреется, если только его температура не ни-
же температуры окружающей среды. Остыва-
ние означает, что теплота переходит от утюга
к воздуху. Но когда их температуры сравня-
ются, переход теплоты прекратится. И это
общая закономерность. Теплота передается
только в тех случаях, когда имеется перепад
температур, иначе говоря, когда температура
неодинаковая в разных точках. Мы хорошо
знаем, как характеризовать «неодинаковость»
любой величины, включая и температуру, в
пространстве,— с помощью градиента \/Т.
Именно градиент температуры служит мерой
ее неоднородности. Если температура всюду
одинакова, V Т = 0. Однако количество переда-
178
ваемой теплоты зависит не только от того,
каков перепад температуры, но и от того, на-
сколько хорошо эта теплота проводится сре-
дой, то есть от теплопроводности. Градиент
температуры, умноженный на коэффициент
теплопроводности, называется тепловым пото-
ком (это можно рассматривать как определе-
ние):
q=XvT.	(98)
Как видно из определения, это вектор. Поче-
му он выбран так, а не иначе? Это простей-
шая, линейная связь между градиентом тем-
пературы и тепловым потоком. Может ли сам
коэффициент теплопроводности зависеть от
температуры? Не только может, но и зависит,
но мы будем считать, что такой зависимости
нет (модель!).
Нам остался только один шаг до уравне-
ния, описывающего распространение теплоты,
но чтобы этот шаг мог быть сделан, нам при-
дется воспользоваться законом сохранения
энергии, подобно тому как при выводе волно-
вого уравнения мы пользовались другой общей
закономерностью — вторым законом Ньютона.
Если выбрать в среде единичный объем
(мысленно вырезать внутри тела кубик) и
условиться, что энергия его меняется только
за счет прихода и ухода теплоты, то закон
сохранения энергии может быть записан так:
dQldt = y -q.
Не зная некоторых теорем, трудно понять,
почему в правой части стоит дивергенция теп-
лового потока, а не сам тепловой поток, и по-
этому придется просто поверить, что доказа-
12*
179
тельство этого соотношения имеется. Наводя-
щее соображение, поясняющее появление ди-
вергенции теплового потока, заключается в
том, что поток теплоты «втекает» в объем и
«вытекает» из него через поверхность объема.
Если же поток будет постоянен во всех точ-
ках, то есть v*q = 0, то «приток» и «отток»
теплоты сравняются. Но это будет означать,
что количество теплоты, содержащееся в
объеме, меняться не будет. Такой частный
случай учитывается уравнением (99), ибо при
Y«q = 0 и dQ/dt =0, что, конечно, означает не-
зависимость количества теплоты Q от времени.
Подставляя в уравнение (99) выражения
для энергии и теплового потока, мы получим
уравнение теплопроводности, записанное уже
только для температуры [см. формулы (97),
(98)]:
рс„—= ZA7.	(100)
dt
Это линейное уравнение, и получилось оно та-
ким потому, что мы сами неявно это предпо-
ложили. В самом деле, стоит допустить, что
теплоемкость, плотность или теплопроводность
зависят от температуры, и уравнение будет
содержать температуру не в первой степени,
то есть станет нелинейным.
Уравнение можно преобразовать к более
«складному» виду, если ввести коэффициент
температуропроводности х=%/(pcv) = а2:
dT/dt = a2\T,	(101)
Записанное так, оно очень похоже на волно-
вое уравнение, за одним исключением: вместо
второй производной по времени здесь стоит
180
первая. И это небольшое на первый взгляд
отличие существенно меняет закон распрост-
ранения теплоты по сравнению с законом, по
которому распространяются волны.
Давайте попробуем решить уравнение теп-
лопроводности, но перед этим его упростим.
Уравнение (101) записано для трехмерного
пространства. Такая задача слишком сложна,
и поэтому в качестве первого шага к решению
«сократим» число измерений до одного, иначе
говоря, сделаем задачу одномерной. Для это-
го достаточно в операторе Лапласа (23) оста-
вить только одну производную:
— = а2 —.	(102)
dt дх*	v '
Это уравнение описывает распространение
теплоты только вдоль одной координаты.
В отличие от уравнения для колебаний струны
это уравнение мы не выводили из физической
модели, и поэтому имеет смысл выяснить, ка-
кой физической модели оно соответствует.
В самом общем случае можно ответить так:
уравнение (102) пригодно, когда передача
теплоты вдоль оси х намного превышает теп-
лопередачу в поперечных направлениях. Не-
плохой пример -— ложка, погруженная одним
концом в горячий чай. Теплота передается
главным образом вдоль ложки, хотя неболь-
шая часть ее уходит от ложки в воздух (попе-
рек ложки). Можно приближенно считать, что
вся теплота идет вдоль ложки.
Более строгий ответ таков: оно справедли-
во для передачи теплоты вдоль очень тонкого
стержня. Насколько тонкого? Вообще говоря,
уравнение написано для стержня, не имеюще-
181
го никакой толщины, для бесконечно тонкого
стержня, ведь иначе пришлось бы вводить еще
одну координату. Это, так сказать, «матема-
тический стержень». Он из той же породы, что
и «математический маятник» и «математиче-
ская струна». Но мы уже имели возможность
убедиться, что такого рода схемы, как бы гру-
бы они ни были, позволяют уловить главные
черты поведения вполне реальных объектов.
Некоторая «похожесть» уравнения тепло-
проводности на волновое уравнение подсказы-
вает нам возможность применить способ Фу-
рье и для его решения.
Допустим снова, что температура, завися-
щая и от времени, и от координаты на стерж-
не, может быть представлена в виде произве-
дения двух функций, каждая из которых за-
висит только от одной из переменных:
Т(х, /)=Т(0Х(х).
Подставим температуру, записанную в таком
виде, в уравнение (102) и получим
Тг (0 = X" (х) = _%2
а*Т (0 X (х)
Постоянная %2 появилась здесь по тем же со-
ображениям, что и в формуле (82). Получен-
ное уравнение можно заменить двумя:
X"(x)+VX(x)=0;	(103)
Г(0+%2а2Г(/)=0.	(104)
Первое из этих уравнений невозможно не
узнать — это, конечно, уравнение гармониче-
ских колебаний, и его решение имеет обычный
вид:
182
Х(х) =А cos Кх + В sin кх.	(105)
Со вторым нам еще не приходилось встреча-
ться, но мы можем искать его решение в виде
T(t)=ent. Подставляя такую форму в выра-
жение (104), получим линейное уравнение
для п\
откуда следует такое решение для п:
п=-№а2.	(106)
Итак, решение — это произведение уравне-
ний (106) и (105):
Г (х, t) =	2а2 (A cos Кх + В sin Хх).
Опыт, приобретенный при решении волно-
вого уравнения, подсказывает, что % должно
определиться из некоторых начальных усло-
вий. В задаче о распространении теплоты по
тонкому стержню начальные условия явля-
ются ответом на вопрос: как был нагрет стер-
жень сначала? Другими словами, какая тем-
пература в каждой точке стержня была в на-
чальный момент времени? И, разумеется,
уравнение теплопроводности на этот вопрос
ответить не в состоянии. Ответ должны дать
мы сами. Чтобы не очень связывать себя этим
ответом, давайте будем считать начальную
температуру некоторой функцией координат:
Г(х, О)=ср(х).	(107)
Относительно функции ср(х) сделаем единст-
венное предположение, что она «хорошая»
функция. Это слово означает вот что: если не-
обходимо. чтобы ср(х) удовлетворяла каким-
183
нибудь специальным условиям, то она им
удовлетворяет.
Задания начальных условий, однако, недо-
статочно. Мы действительно решаем задачу о
распространении теплоты по стержню, но
стержень стержню рознь. С этой точки зрения
можно различать три разных стержня: 1) бе-
сконечный; 2) ограниченный с одной стороны;
3) ограниченный с двух сторон, или конечной
длины.
Для всех трех стержней начальные условия
могут быть «одинаковы» (ведь конкретный вид
функции (107) не задан). Но, кроме началь-
ных, существуют еще и граничные условия.
Для струны они сводились к тому, что концы
ее были закреплены. Но мы рассматривали
струну конечной длины.
Давайте рассмотрим и стержень конечной
длины I. Можно ли «закрепить» на его концах
температуру? Да, можно. Для этого будем по-
лагать, что температура на концах стержня
все время поддерживается постоянной. Мате-
матически это можно выразить так:
Г(0,/)= Т (/,/)= То.	(108)
Однако всякое математическое утверждение
относительно нашей модели должно иметь фи-
зический смысл. И если математически под-
держивать температуру постоянной на концах
стержня легче легкого, то как это обеспечить
физически? В действительности для матема-
тической модели безразлично, как именно бу-
дут обеспечены условия (108). Один из кон-
кретных способов обеспечить постоянство тем-
пературы на концах стержня — поместить оба
конца в смесь воды со льдом, которая всегда
184
имеет (при нормальном давлении) температу-
ру О °C.
Еще одно упрощение можно сделать, пере-
менив уровень отсчета температуры, введя но-
вую переменную 6 = Г— То. Уравнение для 0
будет таким же, как и для Г, ведь производ-
ные от постоянной То равны нулю. Но гранич-
ные условия переменятся. Для сдвинутой тем-
пературы 0 они примут вид
0(0, /)=0(/, t)=0.
Что же касается решения, то оно, как и урав-
нение, сохранит свой вид и для
0(х, t) = е~к2°2(А cos Х,х+В sin кх). (109)
Теперь, как и при рассмотрении колебаний
струны, нам нужно определить допустимые
условиями задачи значения %. Надо отметить,
что допустимые значения задачи о распрост-
ранении теплоты по стержню длиной I те же,
что и в задаче о колебании струны длиной Z.
Там в точках х = 0 и х = 1 была закреплена
струна, здесь «закреплена» температура.
В этом можно убедиться непосредственно, рас-
суждая точно так же, как и при получении
уравнения (86):
Х = ± nnfl.
Подставляя эти собственные значения в фор-
мулу (109) и по принципу суперпозиции сум-
мируя все частные решения, соответствующие
различным собственным значениям, получим
формулу, выражающую зависимость темпера-
туры стержня от времени и координат:
ОО — nnd2f
0 (X, о = 2 в^е~ 1 sin ^х.	(110)
П==1	1
185
Коэффициенты Вп в этом соотношении опре-
деляются так же, как коэффициенты Ап фор-
мулой (92).
При / = 0 формула (ПО) является разло-
жением Фурье по синусам начального распре-
деления температуры.
Наиболее интересно проследить за тем, как
температура зависит от времени. Как следует
из полученного решения, временная зависи-
---аЧ.
мость определяется множителями вида е i
Это убывающие функции времени, причем
скорость убывания зависит от значения коэф-
фициента ппа211. Чем выше номер гармоники,
тем быстрее она затухает. Самая низшая гар-
моника убывает по закону е i а Помимо но-
мера, на затухание оказывает влияние, конеч-
но, и величина коэффициента температуропро-
водности: чем он больше, тем быстрее убывает
температура. Такой вывод кажется понятным.
Действительно, чем лучше стержень проводит
теплоту, тем быстрее она «растекается» по
стержню.
Но наиболее интересным свойством реше-
ния является его поведение при очень больших
значениях времени (£->оо). Все гармоники,
независимо от номера, устремятся к нулю,
обращая тем самым в нуль и решение. Здесь
нужно вовремя вспомнить, что 0 — не «настоя-
щая» температура, а переопределенная соот-
ношением 0 = Т— TQ и равенство 0 = 0 означает,
что истинная температура принимает значе-
ние Т = TQ. Но ведь это как раз то значение тем-
пературы, которое поддерживалось>нд концах
стержня! Иными словами, как бы ни был на-
186
грет (или охлажден) стержень, по прошествии
определенного времени (зависящего от значе-
ния коэффициента температуропроводности)
его температура станет такой же, как и окру-
жающей среды.
Нужно обязательно отметить, что задачи
для тел другой формы, на краях которых под-
держивается постоянная температура, имеют
решения, поведение которых при больших зна-
чениях времени такое же: температура прини-
мает то же значение, которое поддерживается
на границах.
Итак, уравнение подтверждает известный
факт — самопроизвольное остывание нагретых
тел, помещенных в среду с более низкой тем-
пературой. И не только подтверждает, но и
дает точную количественную меру этого
процесса. Более того, решение уравнения по-
зволяет связать скорость остывания с характе-
ристиками самого тела: его плотностью, тепло-
емкостью и теплопроводностью. Меняя началь-
ные и граничные условия, можно исследовать
самые различные процессы передачи теплоты.
И, надо сказать, решения уравнения теплопро-
водности достаточно хорошо изучены.
Всегда ли оно применимо?
Лучший способ определить границы приме-
нимости уравнения — это вспомнить, как оно
получено. Мы использовали для его получе-
ния закон сохранения энергии, предположив,
что энергия выделенного в среде кубика мо-
жет меняться только за счет ухода и прихода
теплоты через его поверхность. Именно это
предположение и определяет условия, в кото-
рых полученное таким образом уравнение теп-
лопроводности работает.
187
Как воздух в комнате нагревается от печки
(или любого другого источника теплоты)?
Близкие к печке слои воздуха прогреваются
сильнее, с ростом температуры их плотность
падает, они становятся легче и, подчиняясь за-
кону Архимеда, «всплывают». Если выделить
в воздухе кубик, то в него может втекать и
вытекать из него не только теплота, но и воз-
дух. Но ведь воздух, втекающий в кубик, сам
содержит теплоту. А это означает, что энергия
воздушного кубика будет меняться не только
за счет притока теплоты, но и за счет притока
(и, конечно, оттока) массы, также несущей
теплоту. Такого механизма изменения энергии
уравнение теплопроводности не «предусмат-
ривает». И в этом состоит ограниченность опи-
сываемой им модели.
Когда же оно применимо?
Уравнение теплопроводности хорошо опи-
сывает процессы передачи теплоты в твердых
телах, где масса из-за перепада температур
не переносится, как в жидкости и газе, с одно-
го места на другое.
Что касается жидкости и газа, то в них воз-
никновение температурных неоднородностей
сопровождается перемещением массы, которое
называется конвекцией. Вы можете наблюдать
такие движения дома при кипении воды в чай-
нике или заметить, открыв форточку, как хо-
лодный воздух с улицы «вливается» в комнату
даже в совершенно спокойную погоду. Для них
модель теплопроводности, имеющая вид (101),
не подходит именно потому, что она не вклю-
чает конвекцию. Чтобы ее учесть, нужно рас-
считать количество теплоты, притекающей с
массой, которая движется со скоростью v.
188
Здесь можно рассуждать так: если перепад
температур отсутствует, т. е. температура всю-
ду одинакова, то движение газа не приведет
к изменению энергии в выделенном кубике, о
котором шла речь раньше (здесь нужно толь-
ко оговориться, что и плотность газа мы счи-
таем постоянной). Отсюда можно догадаться,
что переносимое с газом количество теплоты
должно быть пропорционально градиенту тем-
пературы у?. Оно должно также быть связан-
ным и со скоростью — ведь мы хотим вычи-
слить перенос в единицу времени, а скорость
как раз и указывает, насколько перенесется
точка в единицу времени. Но скорость и гра-
диент — векторы, а количество теплоты — ска-
ляр. Из двух векторов можно образовать один
скаляр, и это скалярное произведение v-yzT
И, наконец, эту величину придется умножить
на теплоемкость и плотность. Все приведенные
соображения очень приблизительны, но более
строгие рассуждения связаны с необходимо-
стью более глубоких знаний математики.
В итоге модель с учетом конвекции принимает
такой вид:
РСО(—+ v-vTl = XAT. (Ill)
\ dt	J
Казалось бы, модель построена. Вместе с
тем остается неясным, чему равна скорость.
Можно, конечно, скорость задать самим, но
это будет какой-то частный случай. Кроме то-
го, скорость в различных точках может быть
неодинаковой и к тому же меняться со време-
нем. Иначе говоря, она такая же функция ко-
ординат и времени, как и температура. Нель-
зя ли составить для нее уравнение? Можно, и
189
составляется оно на основе закона сохранения
импульса (подобно тому как для получения
уравнения теплопроводности используется за-
кон сохранения энергии). В простейшем слу-
чае это уравнение выглядит так:
p-^- + pv> Vv = —VP- (И2)
В правой части стоит градиент давления. Его
появление связано с тем, что при одинаковом
повсюду давлении скорость течения равна ну-
лю. В быту это называется тихой погодой. Из
этого уравнения действительно можно найти
скорость, если бы была известна... плотность.
Но ведь и плотность может изменяться со вре-
менем и в пространстве. И для нее есть урав-
нение
2L + v.(pv) = 0.	(113)
Оно называется уравнением неразрывности.
В него входят только сама плотность и ско-
рость, для которой уже имеется уравнение.
Три уравнения (111) — (ИЗ) определяют три
величины и все вместе действительно позво-
ляют найти скорость, плотность и температу-
ру как функции времени и координат, если...
известна связь между давлением, температу-
рой и плотностью.
Такую связь принято задавать в виде соот-
ношения, которое носит название уравнения
состояния (более строго: термического уравне-
ния состояния). Это уравнение выражает дав-
ление как функцию температуры и плотности.
Простейшее уравнение состояния — это урав-
190
некие состояния идеального газа, или уравне-
ние Менделеева — Клапейрона:
p = NkT!V1
где N— число частиц в газе; Т — его темпера-
тура; V — объем, который этот газ занимает;
k — постоянная Больцмана (k = 1,380622 X
ХЮ23 Дж/К). Величина N/V представляет чи-
сло частиц в единице объема; умноженная на
массу одной частицы, она дает плотность.
Идеальный газ — тоже модель, но модель фи-
зическая. Частицы этого гипотетического газа
не взаимодействуют между собой. Хотя таких
газов и не существует, уравнение состояния
Менделеева — Клапейрона все-таки прибли-
женно описывает давление в реальных газах,
причем тем лучше, чем они разреженнее. Для
плотных газов и жидкостей уравнения состоя-
ния, к сожалению, до сих пор неизвестны. На-
помним, что одно уравнение состояния мы уже
использовали: это соотношение (97) между
количеством теплоты (энергией) и температу-
рой тела; это калорическое уравнение со-
стояния.
Так усложнение одной модели приводит к
необходимости построения новых. И нужно ли
говорить, что эти модели также несовершенны!
Ведь на то они и модели, чтобы описывать
только отдельные стороны реальных процес-
сов. Но, расширяя набор математических мо-
делей, можно расширять и круг описываемых
физических явлений.
Алгебра гармонии
Речка движется и не движет-
ся...
Из песни
отя решение задачи об остыва-
нии стержня и подтверждает
наш повседневный опыт, гораз-
до чаще приходится иметь дело
с совершенно другими ситуациями. Тот же са-
мый утюг, остывающий, если его выключать,
в действительности имеет совсем иное назна-
чение. Чтобы утюг гладил, он должен быть го-
рячим. Но поскольку нагретый утюг всегда
находится в среде с меньшей температурой,
чем его собственная, он всегда остывает, а хо-
лодным утюгом много не нагладишь. Извест-
но, что нужно делать, чтобы утюг, теряя теп-
лоту, не остывал: через его нагревательный
элемент пропускают ток от сети, и выделяемая
нагревательным элементом теплота компенси-
рует тепловые потери из-за теплоотдачи в воз-
дух и нагревания белья. В результате отток
теплоты сравнивается с притоком, и тепловое
состояние утюга не меняется со временем.
192
13 Э. Т. Соколов
Такие состояния, в которых имеется перенос
теплоты (и не обязательно теплоты), но кото-
рые при этом не меняются со временем, назы-
ваются стационарными. Говорят, что они явно
от времени не зависят.
Следует сказать, что большая часть про-
цессов, используемых человеком, именно ста-
ционарна. Еще один тепловой пример — цент-
ральное отопление. Хотя теплота от батарей
непрерывно добавляется к внутренней энергии
комнаты, она так же непрерывно уходит из
комнаты, передаваясь через стены (предпола-
гается, что щелей нет и холодный воздух че-
рез окна не втекает). Температура батарей ре-
гулируется так, чтобы обеспечить постоянство
температуры в квартире, и не любой темпера-
туры (для этого не надо прилагать никаких
усилий — она сама опустится до уличной), а
заданной. Если теплоты уходит больше, чем
поступает, квартира будет, конечно, остывать.
Но равновесие «приход-уход» все равно уста-
новится. Ведь чем меньше разность температур
между воздухом комнаты и улицы, тем мень-
ше будет тепловой поток, и меньший приход
соответствует меньшему оттоку. А влияние сте-
ны, которая делается из материала с низкой
теплопроводностью, делает установление ста-
ционарного состояния достаточно медленным.
Вот совершенно другой пример стационар-
ного движения: плавное течение реки. В том,
что вода в реке течет, сомневаться не прихо-
дится. Если же измерять скорость течения во-
ды в определенной точке, она оказывается не-
изменной. Иначе говоря, скорость не меняется
со временем, хотя, она, разумеется, различна в
разных точках.
194
Два процесса — тепло- и массопереноса,
объединенных вместе, лежат в основе боль-
шинства современных процессов химической
технологии. И большая часть этих процессов
стационарна.
Что означает стационарность для матема-
тики? И температура, и скорость зависят, как
правило, и от времени, и от координаты. В ста-
ционарных процессах, где, как говорилось»
явная зависимость от времени отсутствует,
частная производная по времени равна нулю:
dT/dt=O.
И вот ,что в этом случае остается от уравнения
теплопроводности:
дт=о.
Это уравнение называется уравнением Лапла-
са. Оно действительно описывает стационар-
ный теплообмен. И хотя в этом уравнении опе-
ратор Лапласа Д действует на температуру,
оказывается, точно такому же уравнению
удовлетворяют и многие другие величины, на-
пример стационарное электрическое поле, по-
ле точечной массы и др.
Само собой разумеется, что в задаче, где
нет явной зависимости от времени, нет и на-
чальных условий. Но граничные условия, ко-
нечно, остаются.
При выводе уравнения теплопроводности
мы считали, что изменение энергии какого-то*
замкнутого объема происходит только за счет
теплообмена с окружающей средой. И этот-
теплообмен учитывался в уравнении (99) из-
менением по пространству теплового потока:
V-q. Что, если внутри объема также есть
13*	19S
источники теплоты? Батарея центрального
отопления — хороший пример такого источни-
ка, но слово «источник» можно понимать и бо-
лее широко: тающий кусок льда в комнате,
отбирающий теплоту воздуха для собственно-
го плавления,— тоже источник, только, так
сказать, отрицательный. Если комната, в кото-
рой мы находимся, хорошо изолирована, на-
столько хорошо, что теплота из нее не уходит,
а в нее не поступает, то количество теплоты в
комнате может изменяться только за счет
источника (например, батареи). А чему равна
скорость разогрева? Конечно, той скорости, с
которой источник «снабжает» комнату. Если
эту скорость обозначить /, то
dQJOt=I,
ведь скорость изменения количества тепло-
ты — это не что иное, как производная по вре-
мени, так что справа и слева стоят действи-
тельно равные величины. Если теперь изоля-
цию «снять» и допустить, что комната обмени-
вается теплотой с окружающей средой, то в
правую часть снова нужно добавить диверген-
цию теплового потока. В результате уравне-
ние теплопроводности с внутренними источни-
ками будет иметь вид
dQ/dt=^ -q + Л
Если снова перейти к стационарному слу-
чаю: dQldt=Q, то
К\Т=-1.
Это уравнение Пуассона. Для него, конечно
же, нет начальных условий, как и для уравне-
ния Лапласа,— ведь раз нет зависимости от
196
времени, нет и «начала». И здесь нужно обя-
зательно заметить, что стационарных движе-
ний в строгом смысле этого слова не сущест-
вует. Но если скорость изменения некоторой
величины со временем пренебрежимо мала
(плавное течение реки, например, может коле-
баться от слабых возмущений, вызванных вет-
ром или проехавшей лодкой, и скорость в дан-
ной точке слегка отклоняется от постоянного
значения), то с хорошей точностью процесс
можно считать стационарным. Стационарные
задачи проще тех, в которых зависимость от
времени существенна, и это обусловлено
«исчезновением» из них времени или уменьше-
нием числа переменных.
Возвращаясь к уравнению Лапласа или
Пуассона, разберемся еще, что такое гранич-
ные условия. Если источник задан или он от-
сутствует (то есть равен нулю), то на «языке»
комнаты граничные условия задаются одним
из следующих утверждений: мы знаем темпе-
ратуру потолка, пола и стен комнаты, которая
поддерживается постоянной; мы знаем, сколь-
ко теплоты уходит и приходит (тепловые по-
токи) через все поверхности, эту комнату огра-
ничивающие. Целью решения задачи на основе
уравнения Лапласа или Пуассона является
отыскание температуры внутри комнаты. Та-
кая задача называется внутренней. Есть и
внешняя задача для этих уравнений, и по на-
званию можно догадаться, что она собой пред-
ставляет.
Хорошо, если источника нет, то есть тепло-
та в комнату не поступает: известно, что зимой
комната раньше или позже остынет до темпе-
ратуры внешнего воздуха. Как согласовать
197
это с уравнением Лапласа (89), согласно ко-
торому зависимости от времени у температу-
ры нет? Согласовать два этих утверждения не-
возможно, потому что такая задача нестацио-
нарна и, конечно, не описывается уравнением
Лапласа. В этом смысле задача об остывании
комнаты ничем не отличается от задачи об
остывании стержня и описывается уравнением
теплопроводности (100).
На что же годится уравнение Лапласа?
Если продолжать разбор его применимости на
примере комнаты, то стационарную задачу без
источника можно описать так: если в одной
из комнат выключить батареи отопления
(источника нет), температура в комнате, ко-
нечно, начнет понижаться. Однако, если эта
комната примыкает к другим, отапливаемым,
по мере понижения температуры из соседних,
более теплых комнат начнется поступление
теплоты — возникнет тепловой поток, который
компенсирует другой тепловой поток, унося-
щий теплоту через стенку, граничащую с ули-
цей. В конце концов установится равновесие
между приносимой и уносимой теплотой: имен-
но тогда и начинает «работать» уравнение
Лапласа. Ясно, что температура в комнате, у
которой одна стенка «горячая», а другая «хо-
лодная», не может быть повсюду одинакова.
И как именно она «неодинакова», определяет
как раз уравнение Лапласа.
Уравнение Лапласа, разумеется, справед-
ливо не только для температуры. Хотя мы «по-
лучили» его, рассматривая закон сохранения
энергии для объема, находящегося в тепловом
равновесии с окружением, после того, как оно
получено, уравнение попадает в распоряжение
198
математики. «Переводя» с физического языка
на математический задачу об определении тем-
пературы в комнате, можно «сказать» так:
имеется функция, удовлетворяющая уравне-
нию Лапласа, причем на границе (стенки ком-
наты) некоторой области (комната) заданы
значения самой функции (температура стенок)
или ее производной (теплового потока через
стенку). Требуется определить значения функ-
ции внутри этой области (в комнате). Такая
задача для функции носит название задачи
Дирихле.
До сих пор нам удавалось более или менее
ловко справляться с уравнениями в частных
производных, так как методом разделения пе-
ременных мы сводили их к уравнению гармо-
нических колебаний, как в случае волнового
уравнения, или к такому же и еще более про-
стому уравнению (104), как при рассмотрении
нестационарной задачи теплопроводности
(остывание стержня).
Функции, которые удовлетворяют уравне-
нию Лапласа в некотором объеме, называются
гармоническими в этом объеме.
К сожалению, решение «более простого»
уравнения Лапласа в общем случае оказыва-
ется непростым и требует достаточно сложной
математики.
Все же есть несколько частных случаев,
где можно обойтись и «малыми» математиче-
скими средствами. Это связано с возможно-
стью уменьшения числа переменных благода-
ря симметрии.
Понятие симметрии, интуитивно понятное
каждому человеку, играет чрезвычайно боль-
шую роль в физике, да и в математике. Пред-
199
мет ее столь обширен, что сколько-нибудь
полно описать его «попутно» с другими тема-
ми не представляется возможным.
Один из самых распространенных видов
симметрии — зеркальная симметрия. Зеркаль-
но симметричны тело человека, многие здания,
узоры. Это означает, что отраженная в зерка-
ле одна половина тела (здания, узора) в точ-
ности совпадает с другой ее половиной. Пра-
вильные многоугольники переходят сами в се-
бя при поворотах на определенные углы (углы
эти кратны 360°/и, если п — число сторон мно-
гоугольника). Цилиндр, вращающийся вокруг
своей оси, всегда совпадает с самим собой точ-
но так же, как сфера при вращении вокруг
своего центра. Во всех перечисленных случаях
симметрия обнаруживает независимость како-
го-либо качества, например формы, относи-
тельно некоторых преобразований: отражения,
поворотов на определенные углы или на про-
извольный угол.
Но симметрией можно не только любовать-
ся. Всюду, где есть симметрия, дорога по-
знания становится короче. Представим себе на
мгновение, что тело человека не обладает зер-
кальной симметрией. Это может означать, на-
пример, что одна половина имеет обычный
вид, зато вторая выглядит как угодно, но ина-
че, чем первая: глаз, скажем, квадратный и
выполняет функции уха. Ухо в свою очередь
треугольное и выполняет функции рта. Вы мо-
жете не стеснять свою фантазию и окончить
этот портрет любым способом, лишь бы он от-
личался от нормально устроенного человека.
Ясно, что две фотографии такого человека,
снятого в профиль с разных сторон, будут со-
200
вершенно непохожи, тогда как такие же фо-
тографии нормального человека при отраже-
нии совпадут. Таким образом, если симметрия
отсутствует, трудоемкость фотографирования
возрастает вдвое.
Именно одинаковость, когда какая-то часть
системы представляет ее целиком, и является
тем преимуществом симметрии, которое
используется и в физике, и в математике.
Возвращаясь к уравнению Лапласа в трех-
мерном пространстве, вспомним, как выглядит
оператор Лапласа в сферической системе ко-
ординат [см. выражение (23)], и запишем с его
помощью уравнение в таком виде:
д / D2 dU \ ,	1 д / . Q dU \ ,
— R2 — +------------sin 0 — +
dR \ dR ) sin 0 сЮ dQ
+ _l_^ = 0.
sin2 0 dtp2
He выясняя пока смысла функции [7, предпо-
ложим, что она сферически симметрична. Это
означает, что функция зависит только от рас-
стояния R от начала координат и не зависит
от углов 9 и ф (см. рис. 12). Но если функция
от них не зависит, то производные по углам от
этой функции равны нулю: dU/dQ = 0, dU/dq =
= 0, и уравнение Лапласа приобретает вид
d (^>2 dU \ __ q
dR \ dR)
Здесь частная производная заменяется на
обычную — ведь R остается единственной пе-
ременной, и мы получаем обыкновенное диф-
ференциальное уравнение. Дальше будем рас-
n9 dU
суждать так: производная от величины а2-^,
201
стоящей в скобках, равна нулю; это означает,
что величина в скобках равна постоянной, то
есть
R2 — =С1
dR 1
или
dU С1
dR ~~
Интегрируя это уравнение, получим: dU =
R2 J R2
(114)
U = C1IR + c2.	(115)
Для определения постоянных нужно за-
дать, как обычно, некоторые дополнительные
условия. Но оказывается, независимо от их
конкретных значений, функция U, определя-
емая формулой (115), задает потенциал поля
точечной массы или точечного заряда, а произ-
водная этого потенциала — формула (114) —
силу, действующую на одну точечную массу со
стороны другой, или то же самое для двух то-
чечных зарядов. Если речь идет о массах, то
формула (114) является математическим вы-
ражением закона всемирного тяготения Нью-
тона, если о зарядах,— то закона Кулона.
В обоих случаях сила взаимодействия убывает
как квадрат расстояния между массами или
зарядами.
Что происходит в точке 7? = 0? Сила неогра-
ниченно растет. Это значит, что формула (114)
не верна в этой точке. Она определяет силы
всюду, кроме точки 7? = 0, а в этом месте как
раз и находится масса или заряд.
202
Следствия, которые можно извлечь из вы-
ражения для силы, поистине неисчислимы. На
его основе можно рассчитывать, прибегая ко
второму закону Ньютона, самые разнообраз-
ные движения тел — от свободного падения на
Землю до движения планет солнечной систе-
мы и их спутников, причем движение планет
описывается с поразительной точностью. Исто-
рия открытия планеты Нептун с помощью рас-
четов слишком известна, чтобы ее пересказы-
вать; подчеркнем здесь только, что при вычи-
слении использовалось выражение для силы
(Н4).
То же самое решение, называемое законом
Кулона для заряженных точечных частиц, поз-
воляет рассчитывать стационарные электриче-
ские поля и лежит, таким образом, в основе
электростатики.
Существуют ли на самом деле точечные ча-
стицы?
Представление о любом реальном объекте
как о точке всегда является идеализацией, так
что, строго говоря, в реальном физическом ми-
ре точек нет: все тела имеют конечные разме-
ры. Но не надо забывать и о том, что точка ни
в коем случае не является телом, а является
всего лишь математической моделью. Напри-
мер, Земля и Солнце в задаче об их взаимо-
действии могут рассматриваться как точки
(такие точки в механике называют материаль-
ными точками из-за того, что они обладают
массами), и основанием для этого служит ма-
лость их собственных размеров по сравнению с
расстояниями между ними. По этой причине
практически во всех астрономических задачах
планеты, даже самые большие из них, можно
203
считать точками, так что успех закона всемир-
ного тяготения в объяснении наблюдаемого
движения планет был связан с удачным выбо-
ром «точечной» модели.
Как поступать, если модель точки не подхо-
дит? И где могут встретиться такие ситуации?
Такого рода задачи встречаются, напри-
мер, в электростатике, где приходится иметь
дело с заряженными телами самой причудли-
вой формы. Уравнение Пуассона «работает» и
в этом случае, хотя, разумеется, отыскание ре-
шения зачастую оказывается непростым де-
лом. В результате определяется электрическое
поле, создаваемое зарядом заданной формы.
Но вернемся к уравнению Лапласа. Попро-
буем применить его к решению совершенно
конкретной задачи: нагреванию металлической
болванки, имеющей цилиндрическую форму,
на поверхности которой поддерживается по-
стоянная температура. Поставим себе целью
определить, как нагрета болванка внутри, по
своему сечению. Самый простой на первый
взгляд путь — измерить температуру — ока-
зывается неосуществимым: внутрь болванки
не проникнешь. Допустим, что болванка разо-
гревается для ковки, а способность металла де-
формироваться под влиянием удара молота
сильно зависит от температуры. По этой при-
чине, собственно говоря, металл и разогре-
вают перед тем, как ковать.
Поскольку речь идет о цилиндрической
болванке, запишем уравнение Лапласа для
температуры в цилиндрической системе коор-
динат (см. рис. 30):
д / дт\ . 1 д2Т . д2Т а
— г—Н-------------h г — = 0.	(116)
dr \ dr J г дф2 дг2
204
30
Что это дает? Почему не воспользоваться,
скажем, сферической системой координат или
обычной прямоугольной декартовой? Сама по
себе запись в той или другой системе коорди-
нат, конечно, не дает ничего. Другое дело, если
в задаче имеется симметрия. Как же узнать:
есть симметрия в задаче или нет? Прямых ука-
заний на это, как правило, нет, во всяком слу-
чае, само уравнение Лапласа ничего не может
сказать о симметрии. О ее существовании фак-
тически можно догадаться из рассмотрения
физической задачи. Если температура на всей
боковой поверхности цилиндра поддержива-
ется постоянной, а сам цилиндр бесконечный,
то температура внутри цилиндра будет зави-
сеть только от расстояния от его оси — это ко-
ордината г. Но что означают слова «бесконеч-
ный цилиндр»? Ведь на свете нет бесконечных
цилиндров, однако есть длинные цилиндры.
Как отличить длинные цилиндры от коротких?
Можно считать длинным всякий цилиндр, дли-
на которого I намного больше его радиуса г0:
В этом случае влияние концов будет ма-
лым, и хотя оно никогда не исчезает совершен-
205
но, при /^>r0 им можно пренебречь. С некото-
рой степенью точности можно считать, что тем-
пература в длинном цилиндре будет такой же,
как и в бесконечном (хотя у торцов она может
заметно отличаться). Если это так, то есть тем-
пература внутри цилиндрической болванки
при данном расстоянии от оси не зависит ни
от угла ср, ни от продольной координаты z
(ось z совпадает с осью цилиндра), то от урав-
нения (116) остается «всего ничего»:
-L(r—\ = Q.	(Ц7)
dr \ dr )
Решение его имеет такой вид (примиритесь с
тем, что вы не знаете формулы J drlr=ln г+
+ £):
Т(г)=с1 1пг+с2.	(118)
Постоянные интегрирования (их две —
уравнение (117) второго порядка) нужно опре-
делить из граничных условий. Но граничное
условие одно: мы знаем температуру То на
стенке цилиндра.
Пусть радиус цилиндра г0 будет равен еди-
нице, тогда
T(r)|-i = Т.,
Поскольку логарифм единицы — всегда нуль,
то, полагая в выражении (118) г=1, получим
7*0 — С2-
Как определить вторую постоянную? Ведь
больше граничных условий у нас нет.
Будем рассуждать так: допустим, что Ci=/=0.
Тогда продвижение внутрь цилиндра, что со-
ответствует устремлению г к нулю, приведет
206
к тому, что температура на оси (г=0) обра-
тится в +оо или — оо в зависимости от того,
€i<0 или Ci>0. Ни то, ни другое не имеет
физического смысла, и единственный способ
избежать бессмыслицы — это принять Ci = 0.
В результате решение таково:
Т(г)=Т0,
или, проще говоря, температура в любой точке
цилиндра одинакова. Итак, болванка прогрета
равномерно, если греть ее одинаково со всех
сторон.
А если не одинаково?
Усложним нагрев. Будем считать, что тем-
пература стенки одинакова вдоль оси ци-
линдра-болванки, но неодинакова «сверху» и
«снизу». Эта неодинаковость может быть вы-
ражена соотношением T\r=r 0 = TQ(q), то есть
температура поверхности зависит от угла ср.
Поскольку это не что иное, как граничное усло-
вие, то функцию То (ср) нужно задать самим, но
мы воздержимся от ее конкретизации. Коль
скоро температура на поверхности зависит от
угла ср, естественно предположить, что и тем-
пература внутри болванки будет зависеть от
этого угла. Но поскольку она постоянная вдоль
оси цилиндра, можно думать, что температура
внутри также будет постоянной вдоль любой
линии, параллельной оси цилиндра. Последнее
означает, что температура зависит от г и ср, но
не зависит от г; тогда d2T!dz2 = Qy и уравнение
Лапласа приобретает такой вид:
— (г—W—— = 0.	(119)
дг\ дг ) г dtf	v ’
Оно, как видно, содержит две переменные и
207
напоминает до некоторой степени волновое
уравнение (хотя им и не является). Но эта по-
хожесть подсказывает нам прибегнуть к испы-
танному приему: методу разделения пере-
менных.
Все теперь выглядит так, будто бы ника-
кого цилиндра у нас нет и в помине, а мы име-
ем дело просто с кругом. И это не удивительно,
ибо сечением цилиндра, перпендикулярным к
его оси, действительно служит круг. И когда
мы решим уравнение (119) для круга, мы ре-
шим его и для цилиндра, потому что темпера-
тура в любом другом сечении будет такая же.
Собственно говоря, в этом и состоит симмет-
рия: нам известно что-то относительно части
рассматриваемой системы, а остальные части,
симметричные, имеют точно такие же свойства.
Относительно нашей задачи можно сказать,
что ее решение не зависит (инвариантно) от
переноса вдоль оси цилиндра.
Вряд ли нужно напоминать, что метод раз-
деления переменных в качестве первого шага
требует представить решение в виде произве-
дения двух функций, каждая из которых за-
висит только от одной из переменных:
-Т(г, ф)=Т1(г)7’2(ф).	(120)
Подставляя это выражение в уравнение (119),
получаем
д /	д2Т2 (Ф)
дг \ дг / ___	дер2 __у 2
tTW “	7Т(Ф)	“ '
Рассуждая уже известным образом, получаем
из этого равенства два уравнения для двух
функций:
208
т"2 — ^т2 = ^,	(121)
r-L(r^l\ — ^T1 = O. (122)
dr \ dr )	v '
Уравнение (121)—это снова уравнение гар-
монических колебаний! Его решение, конечно,
таково:
Т2(ф) =А cos Хф + В sin Хф. (123)
Теперь необходимо определить допустимые
значения X. Их отыскание упрощается тем, что
мы имеем дело с цилиндром. Если, находясь
на некотором расстоянии от оси цилиндра, мы
повернемся вокруг нее на угол 2л, то мы со-
вершим, так сказать, «кругосветное путешест-
вие» и окажемся в точности в том же месте,
откуда начали.
Что же должно произойти с функцией
Т2(ф)? Разумеется, ровным счетом ничего. Ее
значение не должно зависеть от нашего «кру-
госветного путешествия». Ведь мы окажемся
в том же месте, откуда вышли. Но это озна-
чает, что функция Т2(ф) периодическая и име-
ет период 2л. С другой стороны, она имеет вид
(123), а функции cos tap и sin tap могут иметь
период 2л только в том случае, если % — целое
число. Вот, собственно, и все, что касается зна-
чений %.
Примемся теперь за уравнение (122) для
функции, определяющей зависимость темпера-
туры от координаты г. Это уравнение содер-
жит, помимо производных, еще и некоторые
степени переменной г. Можно допустить, что
решение этого уравнения также имеет вид не-
которой степени г. Обозначим эту степень k, а
само решение, следовательно, 7\(г)=г\ Под-
14 Э. Т. Соколов
209
ставляя такой вид функции в уравнение, полу-
чим соотношение, связывающее k и X:
£2 = V.
Решение этого уравнения k=±X указывает,
что k может принимать целые положительные
и отрицательные значения. Поскольку предпо-
чтения нельзя отдать ни тем, ни другим, при-
дется учесть все:
T^r)=Cr^+Dr-^.	(124)
Постоянные С и D следует определить из
граничных условий, но одну из них можно
определить и без них. Посмотрим, как ведет
себя функция Г1(г) на оси цилиндра при г = 0.
Сгк обращается в нуль, но Dr~K — в бесконеч-
ность. Этого, конечно, быть не должно. Но
сказать «быть не должно» — мало. Чтобы это-
го действительно не было, есть один выход:
положить £) = 0.
И, наконец, восстанавливая функцию
Г(г, ср) (120) для некоторых Х = я, можем за-
писать:
Тп(г, ф) = rn(An cos Пф + Вп sin Пф).
И поскольку это решение справедливо при лю-
бом п, по принципу суперпозиции мы должны
просуммировать по всем п. В итоге решение
имеет вид
Т (г, ф) = гП cos П(Р + ^ri sinmp), (125)
п=0
а коэффициенты Ап и Вп, все равно пока что
неизвестные, включают в себя и коэффициенты
С из формулы (124). Именно их и остается
210
определить из граничных условий, которые
сводятся к тому, что на поверхности болванки
температура известна (ее, например, можно
измерить непосредственно).
Полученное решение (125) должно опреде-
лять температуру во всем цилиндре, в том чис-
ле и на его поверхности. С другой стороны,
эта температура задана. Два этих утвержде-
ния будут непротиворечивыми, если коэффи-
циенты в решении определить как раз по за-
данной температуре на поверхности. Для этого
положим в уравнении (125) г = г0 (радиусу ци-
линдра) и приравняем получившееся соотно-
шение функции, которая как раз и определяет
температуру на поверхности. Вот что полу-
чится:
Т (г, ф)|г=Го = 2 ro (Ап COS П(р + Вп sin жр) =
п=0
= 70(ф).	(126)
Сравним эту формулу с рядом Фурье для
температуры Т0(ф) на поверхности:
7"о(ф) = а0/2 4- 2 (а» cos шр + P„sinmp),
п—\
(127)
коэффициенты которого определяются обыч-
ным образом — по формулам (65) — (67):
л	л
а0 =	fЛ (ф) ^ф; «л = — I То (ф) cos пфйф;
л. J	л J
—л	—л
1 л
Рл = —j то (ф) sin тр</ф.
Л —л
14*
211
Выражения (126) и (127) совпадают, ес-
ли коэффициенты в них связаны соотношени-
ями:
Ло = &о/2*, An ~ Omlf 0*, Вп — $п/Го*
И они, конечно, должны совпадать, поскольку
представляют одну и ту же функцию. Итак,
граничные условия использованы, коэффици-
енты определены, и окончательно распределе-
ние температуры в цилиндрической болванке
таково:
Т{г, <р) = а0/2 + 2 (r/r0)ra («» cos пф + ₽’sin mp).
п=\
Конечно, пока явный вид функции, опреде-
ляющей температуру на поверхности, не задан,
решение является формальным. Но если эта
функция задана и коэффициенты ее ряда
Фурье вычислены, оно полностью определя-
ет температуру внутри цилиндрической бол-
ванки.
На самом деле со строгой математической
точки зрения не всякую задачу можно решить
таким приемом. Функция Т0(ф) должна удов-
летворять некоторым требованиям, но это уже
тонкости, в которые мы здесь вдаваться не
будем.
Уравнения Лапласа и Пуассона, именно
потому что они определяют стационарные поля,
не меняющиеся со временем, находят широ-
чайшее применение в различных областях
человеческой деятельности. Уравнение Пуас-
сона позволяет рассчитать толщину стен, ко-
торую необходимо обеспечить, чтобы при за-
данных источнике и внешней температуре
212
внутри помещения обеспечивалась необходи-
мая температура.
Их решения используются геофизиками при
поисках полезных ископаемых. Для этого один
из электродов батареи (такой, как для кар-
манного фонарика, только помощней) опуска-
ют в пробуренную скважину и заземляют, вто-
рой электрод заземляют на поверхности. Меж-
ду электродами возникает ток, создающий
электрическое поле. Это поле стационарно, по-
тому что ток постоянный, и оно является ре-
шением уравнения Лапласа. Если среда между
электродами неоднородна, а это наиболее ин-
тересный случай, поскольку всякие подземные,
не выходящие на поверхность залежи угля,
различных руд и составляют причину неодно-
родностей, то в каждой однородной области
поле удовлетворяет уравнению Лапласа, а на
границах этих областей сами поля и токи
должны совпадать. Подбирая конкретные мо-
дели среды и измеряя поле на поверхности,
можно получить богатую информацию о струк-
туре неоднородности, например о толщине
слоя, количестве слоев и др., если, конечно,
иметь в распоряжении решения уравнения
Лапласа.
Другой пример использования уравнения
Лапласа — физика неразрушающего контроля,
где сходное решение задачи о магнитном поле
на поверхности металлических деталей позво-
ляет обнаружить существование внутри них
пустот.
Такая универсальность уравнения Лапласа
создает предпосылки для моделирования одних
стационарных полей другими. Если правильно
подобрать физические параметры (само урав-
213
некие Лапласа «подсказывает», как это сде-
лать), то нет никаких препятствий для того,
чтобы, изучая стационарные электрические
поля, переносить результаты на стационар-
ные ноля температур. Ибо одинаковая мате-
матика свидетельствует и о физическом по-
добии.
Независимо от сходства несхожих на пер-
вый взгляд физических явлений, уравнение
Лапласа служит мощным инструментом иссле-
дования каждого из них. Оно дает возмож-
ность «на кончике пера» проникнуть в недо-
ступные для непосредственного, а зачастую и
косвенного наблюдения глубины Земли, внут-
ренние части сплошных предметов.
Признайтесь, что мощь математической фи-
зики не может не производить впечатления.
Используя такой, казалось бы, непрочный фун-
дамент, как некоторое дифференциальное ура-
внение в частных производных, решая это
уравнение с помощью приемов, никак на пер-
вый взгляд не связанных с миром реальных
предметов, манипулируя какими-то, казалось
бы, совершенно абстрактными символами и
значками, пользуясь, наконец, только бумагой
и пером, она в состоянии предсказывать и опи-
сывать совершенно реальные факты, которые
удивительным образом подтверждаются экспе-
риментом.
Это ли не поразительно? Таковы плоды
правильно построенной математической мо-
дели.
Известный итальянский физик Энрико Фер-
ми на основе этого уравнения рассчитал од-
нажды количество топлива, необходимого для
поддержания зимой нормальной температуры
214
в его доме. Однако, несмотря на то что дом
отапливался на строго научной основе, в нем
было холодно. Вера Ферми в справедливость
уравнения была настолько сильной, что он по-
началу отказывался согласиться с женой,
утверждавшей, что надо топить больше, Когда
же различие, между рассчитанной и наблюдае-
мой температурами стало неоспоримым, он
повторил свой расчет и обнаружил ошибку.
Уравнение не ошибалось, ошибался человек!
Расход топлива увеличили, и в доме стало
тепло.
брахистохрона,
или <
(£Дакой путь
быстрее
Тысяча есть путей.
Пиндар. Дифирамбы
ебезызвестный Карлсон, жи-
вущий на крыше, герой сказ-
ки шведской писательницы
А. Линдгрен, любимец детворы
всего мира, передвигался, как известно, с по-
мощью моторчика, оснащенного пропеллером.
Такой «вертолетный» способ передвижения не
исключал, разумеется, и других возможностей
перемещаться в пространстве. Зная озорной
характер Карлсона, можно предположить, что
он сначала попросту скатывался с крыши вниз,
а уж потом пользовался своим знаменитым
двигателем. Зная также его нетерпеливость,
можно предположить, что самым заветным его
желанием было спуститься с крыши как мож-
но быстрее. Допустим, что Карлсон по своему
желанию может мгновенно менять форму ска-
та крыши. Вопрос состоит в том, какую форму
ската следует выбрать Карлсону, чтобы как
можно быстрее съехать вниз по крыше.
216

31
Математический аспект проблемы проил-
люстрирован до некоторой степени рис. 31.
Чтобы «съехать» из точки А в точку В за наи-
меньшее время (при условии, что точки А и В
не лежат на одной вертикальной прямой), нуж-
но подобрать какую-то конкретную форму кри-
вой. Линия, обеспечивающая самый быстрый
спуск, называется брахистохроной (от греч.
brachistos — кратчайший и chronos — время).
Интуитивно ясно, что брахистохрона не есть
прямая, проведенная из точки А в точку В, Де-
ло в том, что мы ищем не кратчайшее расстоя-
ние между двумя точками (в геометрии наше-
го мира это действительно прямая), а линию
быстрейшего спуска, что совсем не одно и то
же. Самый быстрый спуск между уровнями, на
которых лежат точки А и В — это, конечно,
спуск по вертикали, на которой обе точки не
лежат по условию (иначе задача была бы
тривиальной).
Итак, вопрос тот же: какую форму кривой
должен выбрать Карлсон? Прямая не подхо-
дит по той причине, что вдоль нее скорость бу-
дет возрастать не слишком быстро. Если же
прогнуть кривую так, как показано на рис. 31,
218
то хотя путь при этом станет длиннее, за счет
крутизны возле точки А скорость будет нара-
стать быстрее, и в этом случае Карлсон, воз-
можно, съедет вниз за меньшее время, чем по
плоской крыше (последняя соответствует пря-
мой). Какой же совет мы можем дать Карл-
сону?
Так как надежда на его собственные мате-
матические способности невелика, придется
нам самим подобрать форму ската, обеспечи-
вающую наименьшее время спуска. Задача не-
простая, особенно, если учесть, что из точки А
в точку В можно провести бесчисленное мно-
жество всевозможных кривых.
К счастью для Карлсона (и для нас), та-
кая задача возникла не впервые. Еще в 1696
году Иоганн Бернулли обратился к математи-
кам мира с письмом, в котором выдвинул
именно эту задачу, получившую название за-
дачи о брахистохроне — линии быстрейшего
ската.
Как это нередко бывает, задача, поначалу
казавшаяся частной, положила начало само-
стоятельной и обширной области математики,
которая называется вариационным исчисле-
нием. Методы вариационного исчисления по-
лучили широкое применение в разных задачах
математической физики. Оказалось, что в раз-
личных по своему физическому смыслу ситуа-
циях есть свои «брахистохроны», отыскание
которых имеет большое значение для физики,
механики, биологии и многих других наук.
Само собой разумеется, что эти «брахистохро-
ны» не обязательно являются линиями быст-
рейшего ската, хотя во всех подобных ситуа-
циях что-то быстрейшее, кратчайшее, наиболь-
219
шее или наименьшее приходится отыскивать.
Это что-то с приставкой «наи» носит в общем
случае название экстремального.
Как и в других разделах математики, в ва-
риационном исчислении разработаны строгие
методы. Эти методы совсем непросты, и в наши
задачи не входит их рассмотрение и примене-
ние. Мы только попытаемся понять, в чем суть
вариационного исчисления и на каком языке
оно «разговаривает».
Для этого вернемся к задаче о брахисто-
хроне. Наш совет Карлсону желательно облечь
в математическую форму, а именно: указать
формулу, описывающую кривую, которая обе-
спечивает быстрейший скат по крыше. Мы
должны указать некоторую функцию г/(х),
определенную на отрезке, соответствующем
абсциссам точек А и В.
Как же должна выглядеть эта функция?
Этого мы пока не знаем. Но вот что ясно без
всяких вычислений: если мы наугад начнем
задавать различные функции, то будет как-то
изменяться и время спуска! Что же получает-
ся? Время спуска — это число. Задавая разные
функции, мы будем получать разные числа.
Таким образом, множеству функций ставится
в соответствие множество чисел. Это уже что-
то новое. И это новое отличается от понятия
функции, с помощью которой одному множест-
ву чисел ставится в соответствие другое мно-
жество чисел. Такое соответствие между мно-
жеством функций и множеством чисел полу-
чило название функционала. Обозначается
функционал так: ц[у(х)]. Его обозначение при-
звано подчеркнуть, что это не обычная функ-
ция, а, так сказать, «функция от функции».
220
Плодотворность понятия функции хорошо из-
вестна. Весь классический анализ, и по сей
день пронизывающий здание современной на-
уки, целиком опирается на понятие функции,
ее производных, интегралов и т. д. Функцио-
налы, хотя они также давно и широко исполь-
зуются в различных научных дисциплинах, в
частности в физике, известны гораздо меньше.
Именно функционалы и являются предме-
том изучения вариационного исчисления. Оно
играет для функционалов ту же роль, что и
дифференциальное исчисление для функций.
Как и в классическом анализе, в вариацион-
ном исчислении существует множество задач.
Не имея, разумеется, возможности разобрать
и даже просто перечислить все эти задачи, мы
остановимся подробно на одной из них, кото-
рая тем не менее достаточно полно иллюстри-
рует как само понятие функционала, так и
основные идеи вариационного исчисления.
Речь идет об исследовании функционалов на
минимум и максимум. Такие задачи, в которых
необходимо исследовать функционал на мини-
мум или максимум, носят название вариацион-
ных. Задача о брахистохроне — один из при-
меров.
Именно эту задачу мы и рассмотрим. Од-
нако, прежде чем установить, какой из путей
самый быстрый, нам необходимо познакомить-
ся с языком вариационного исчисления.
Как и ранее, мы воспользуемся не только
«строгими определениями», но и всеми допу-
стимыми аналогиями с тем, что нам уже из-
вестно.
Несмотря на существенное отличие функ-
ции от функционала, между ними есть нечто
221
общее, но это общее имеет характер не тожде-
ственного совпадения, а именно аналогии.
Начнем с того, что функция z = f(x) каж-
дому значению х из некоторой области изме-
нения х ставит в соответствие некоторое зна-
чение г; иначе говоря, числу х ставится в со-
ответствие число z.
Функционал 4у(*)] также устанавливает
соответствие, но это соответствие совершенно
другого рода: выбранной функции ставится
в соответствие число. Так, в задаче о брахи-
стохроне заданной форме ската отвечает не-
которое время спуска, заданной же форме
ската соответствует некоторая функция. Что
же, можно выбирать совершенно произвольную
функцию? Ответить на этот вопрос поможет
аналогия с функцией, для которой следует за-
дать область изменения х. Откуда же берется
область изменения аргумента функции? Если
говорить о математических задачах, имеющих
физическую интерпретацию, то область изме-
нения независимой переменной должна выби-
раться из физических соображений. У функции
у = х2 область изменения х — вся действитель-
ная ось, а у функции y=x\iz (будем говорить
только о действительных значениях функции)
область изменения х — только правая полуось.
Так или иначе область изменения аргумента
функции задается на основе некоторых сооб-
ражений — математических или физических.
Нечто подобное имеет место и для функ-
ционала. Здесь также задается «область из-
менения» аргумента, но аргументом функцио-
нала служит функция, так что «областью
изменения» теперь служит некоторый класс
функций, т. е. множество функций, отобранное
222
в соответствии с некоторыми критериями мате-
матической или физической природы, конкрет-
ный же набор критериев зависит от задачи.
Такова первая аналогия.
Все дифференциальное исчисление основа-
но на анализе бесконечно малых. Этот анализ
начинается с установления соответствия меж-
ду приращением аргумента и приращением
функции и приводит к важным понятиям не-
прерывной функции, ее производной и диффе-
ренциала.
Аналогичные понятия вводятся и для функ-
ционалов, но, конечно, при этом они сущест-
венно модифицируются и, можно сказать, ус-
ложняются.
223
Грубо говоря, функцию можно считать не-
прерывной, если малому изменению аргумен-
та соответствует малое изменение функции.
На рис. 32 приведена функция, имеющая раз-
рыв в некоторой точке Хь Если взять две точ-
ки х2 и х3 по обе стороны от разрыва, доста-
точно близкие друг к другу, то ясно, что пере-
ход от точки х2 к точке х3 приведет к большому
изменению функции, несмотря на малость при-
ращения аргумента.
Можно ввести похожее определение для не-
прерывности функционала. Функционал непре-
рывен, если малому изменению функции соот-
ветствует малое изменение функционала. Пока
аналогия между функционалом и функцией
сохраняется — и тут, и там речь идет о малом
изменении аргумента. Но если малое измене-
ние аргумента функции — это просто малое
число, то что такое малое изменение аргумен-
та функционала, то есть малое изменение
функции?
Обратимся к наглядной иллюстрации. На
рис. 33, а представлены две функции: у(х)—
гладкая и у\(х)—волнистая. Эти функции
можно в каком-то смысле считать близкими
(все, понятно, зависит от масштаба рисунка).
Будем считать, что две функции у(х) и у\(х)
являются мало отличающимися, или близки-
ми, если модуль их разности */(х) — z/i(x) мал
для всего интервала, на котором заданы обе
функции, иначе говоря, модуль разности двух
функций не превышает некоторого малого
числа.
Представьте, однако, что вы «съезжаете»
попеременно по двум кривым, изображенным
на рис. 33, а. Поскольку «общий» наклон двух
224
кривых примерно одинаков, то скорее всего
более быстрым окажется спуск по гладкой
кривой, причем, чем больше «извивается»
волнистая кривая, тем большее время займет
спуск по ее «ухабам». Но время спуска — это
и есть функционал, зависящий от формы кри-
вой. Таким образом, функции в указанном
выше смысле могут быть близкими, а соответ-
ствующее им изменение функционала может
оказаться вовсе не малым (хотя это и не обя-
зательно так). Интуитивно понятно, что «бли-
зость» функций нужно как-то усилить, то есть
класс, из которых выбираются близкие функ-
ции, нуждается в более строгом определении.
Например, близкие функции не должны отли-
чаться слишком большой «волнистостью», а
должны быть более гладкими. Здесь уместно
вспомнить, что гладкость функции определя-
ется поведением ее производной. Сравните
мысленно производные двух функций, изобра-
женных на рис. 33, а, У гладкой функции про-
изводная на всем интервале отрицательна.
У «волнистой» же функции производная резко
меняется от «кочки» к «кочке», обращаясь в
нуль в точках максимумов и минимумов и ме-
няя знак с положительного на отрицательный
и наоборот. В этом, собственно говоря, и про-
является количественная мера гладкости и не-
гладкости функции.
Более строгий взгляд на близость функ-
ций заключается в том, чтобы потребовать
малости не только модуля разности функций,
но также и модуля разности их производных,
то есть величины z/'(x) — ух (х). Чтобы разли-
чать эти два случая, говорят, что кривые у(х)
и у\ (х) близки в смысле близости нулевого по-
15 Э. Т. Соколов
225
рядка, если мал модуль их разности у(х)~
— У1(х). Если же дополнительно к этой вели-
чине малым оказывается и модуль разности
производных этих функций, то есть величина
у'(х)	(х), то говорят, что кривые у(х) и
У1(х) близки в смысле близости первого по-
рядка. Следуя этой логике, нетрудно дога-
даться, что означает утверждение, что функ-
ции близки в смысле близости &-го порядка.
Это означает, конечно, что модули разностей
производных вплоть до производных &-го по-
рядка малы.
Малость разностей производных не озна-
чает, разумеется, что вариационное исчисле-
ние имеет дело лишь с гладкими функциями.
Это означает только, что характер изменения
функций, которые называются близкими, дол-
жен быть схожим, а количественная мера этой
схожести задается малостью модулей разнос-
ти производных соответствующих порядков.
Мы помним, что приращение непрерывной
функции Af = f(x + Ax) — f (х) может быть пред-
ставлено в виде Af(x) =а(х) Ах + р(х, Ах)Ах,
где величина а(х) не зависит от приращения
аргумента, а функция р(х, Ах) стремится к
нулю при Ах->0 [см. формулу (8)]. Линейная
часть приращения функции а(х)Ах называет-
ся ее дифференциалом, обозначается f'(x) и
в пределе Ах-> О а(х)=Г(х).
Функционал называется непрерывным в
смысле близости &-го порядка, если малому
изменению функции и ее производных вплоть
до &-го порядка соответствует малое измене-
ние функционала. В тех случаях, когда прира-
щение функционала, соответствующее измене-
нию функции 6#, удается представить в ви-
226
де Ay = L[z/(x), бг/]+₽(«/(х), ду) max|6|, где
Цу(х),Ьу]— линейный по Ьу функционал; бу
означает изменение функции, служащей аргу-
ментом функционала, а величина р(у(х), бу)
стремится к нулю, когда наибольшее значение
бу->0, линейная по отношению к бу часть при-
ращения функционала, иначе говоря,величина
Цу(х),8у], называется вариацией функциона-
ла. Вариация обозначается символом 8v.
Итак, подобно тому как дифференциалом
функции называется главная, линейная по от-
ношению к приращению аргумента часть при-
ращения функции, вариацией функционала
называется главная, линейная по отношению
к приращению аргумента функционала, то есть
к приращению функции, часть приращения
функционала. Этим сходством определений
обусловлена и важная роль вариации функ-
ционала при его исследовании, которая вполне
сравнима с ролью, которую играет дифферен-
циал при исследовании функции. В чем же за-
ключается эта роль?
Мы помним, что производная, посредством
которой определяется дифференциал функции,
обращается в нуль в тех точках, в которых
функция достигает минимума или максимума,
или, если использовать общее название для
точек этого типа, в точках экстремума. Соот-
ветственно в точках экстремума обращается
в нуль и дифференциал.
Нечто похожее имеет место и для функцио-
нала. Похожее, да не совсем. Существует тео-
рема (доказывать ее мы, конечно, не будем),
которая утверждает, что если функционал
имеющий вариацию, достигает мини-
мума или максимума при у = Уо(х), то его ва-
15*
227
риация обращается в нуль. В этом смысле ва-
риация ведет себя, подобно дифференциалу.
Что же касается отличия между этими вели-
чинами, то оно происходит от различной их
природы.
Допустим, мы нашли брахистохрону, для
которой время спуска минимально. Время
является функционалом формы кривой, по ко-
торой осуществляется спуск, и существование
минимума у функционала означает, что для
брахистохроны вариация этого функционала
должна обратиться в нуль. Но время спуска
является минимальным при сравнении брахи-
стохроны с близкими кривыми. Какая же бли-
зость имеется в виду? Если функционал
достигает минимума или максимума для неко-
торой кривой у=Уо(*) (пусть это будет брахи-
стохрона) в сравнении с кривыми, близкими
к У=Уо(х) в смысле близости нулевого поряд-
ка, то такие максимумы или минимумы назы-
ваются сильными. Если же класс функций, по
которым проводится сравнение, содержит
функции, близкие по отношению к у=Уо(х)
в смысле близости первого порядка, то есть
необходима близость не только функций, но и
их производных, то такой максимум называ-
ется слабым.
Овладев простейшей терминологией, мы,
однако, ни на йоту не продвинулись к решению
задачи о брахистохроне. Чтобы продвинуться
в этом направлении, нам придется рассмот-
реть решенную Эйлером в 1744 году задачу о
нахождении экстремума «простейшего» функ-
ционала вида
v [у (х)] = f F (х, у (х), у' (х)) dx. (128)
•*о
228
Этот функционал является интегралом не-
которой функции, которая зависит от незави-
симой переменной х, функции этой независи-
мой переменной у(х) и производной этой функ-
ции у'(х). Вид самой функции F(x, у(х),
у'(х)), аргументами которой являются х, у(х)
и г/'(х), для нас в общем случае значения не
имеет. Для каждой конкретной задачи этот
вид задается на основе некоторых физических
или математических соображений. Еще раз
подчеркнем, что функционал 4#(х)] — это уже
не функция, а число, зависящее от выбора
функции у(х), причем, как и Эйлера, нас инте-
ресует вопрос о том, какую нужно выбрать
функцию у(х), чтобы функционал у[у(х)] при-
нял экстремальное значение (имел минимум
или максимум). То, что функционал является
интегралом функции F(x, r/(x), i/z(x)), в пре-
делах от х0 до Xi, означает, что все кривые, ко-
торые будут фигурировать в нашем дальней-
шем рассмотрении, проходят через точки
у(хо)=Уо Hy(Xi)=yt.
Как же все-таки определить вид кривой,
которая обеспечивает экстремум функцио-
нала?
Предположим, что эта кривая нам извест-
на и имеет вид у(х). Наша задача в сущности
сводится к тому, чтобы доказать, что для лю-
бой другой функции, близкой (в каком-то
смысле) к у(х), значение функционала боль-
ше, чем для самой функции у(х). Выберем
близкую к у(х) кривую, обозначив ее у=у(х).
Было бы неплохо записать обе функции еди-
ным образом, чтобы одна запись относилась
одновременно и к той, и к другой функции. Это
можно сделать с помощью некоторого пара-
229
метра а, записав целое семейство функций, за-
висящих от этого параметра, а именно:
*/(*, а) = у(х) + а (у (х) —г/(х)). (129)
Действительно, при а=1 получим у(х, а) |а=1 =
= г/(х), а при а=0 функция (128) переходит
в функцию у(х) (см. рис. 33, б). Разность
функций Ьу=у (х) — у(х), собственно говоря, и
является вариацией функций у(х). Сама ва-
риация, как нетрудно догадаться, также явля-
ется функцией независимой переменной х.
Если это «хорошая» функция, а мы будем счи-
тать, что дело обстоит именно таким образом,
то ее можно дифференцировать. Что же даст
дифференцирование вариации? А вот что:
(&/)' = у' (х)-у' (х).
Это соотношение равносильно утвержде-
нию, что производная вариация равна вариа-
ции производной, иначе говоря, можно пере-
ставлять местами операции вариации и взятия
производной.
Мы, конечно, ввели семейство кривых (129)
не «для красоты». Здесь скрыта некоторая
дальняя цель, к достижению которой мы сей-
час перейдем. Будем считать далее, что наш
функционал (128) определен именно на кри-
вых этого семейства, определяемого значения-
ми параметра а. Но коль скоро так, то функ-
ционал превращается теперь в функцию этого
параметра! В результате мы можем записать:
и[у(х, а)] = ф(а).	(130)
Действительно, значение параметра а оп-
ределяет форму кривой у(х, а), которая в
230
свою очередь определяет значение функциона-
ла. Таким образом, каждому значению пара-
метра а будет соответствовать значение функ-
ционала. А мы знаем, что такого типа соответ-
ствие определяет функцию. Следовательно,
мы как бы подменили функционал функцией,
зависящей от параметра, играющего роль не-
зависимой переменной.
Взглянем теперь на нашу первоначальную
задачу с этой новой точки зрения. Мы хотели
найти экстремум функционала, которому со-
ответствует некоторая форма кривой. С по-
мощью параметра а мы ввели целое семейство
кривых, в результате чего стало возможным
наш функционал рассматривать как функцию
этого параметра. В результате задача об
отыскании экстремума функционала может те-
перь быть сформулирована следующим обра-
зом: каково значение параметра а, при кото-
ром экстремумом обладает функционал, рас-
сматриваемый как функция этого параметра?
Задача отыскания экстремума функции
одной переменной несравненно проще, чем
задача отыскания функционала.
231
Из нашего опыта обращения с производ-
ными мы усвоили, что производная равна тан-
генсу угла наклона касательной. На рис. 34
представлена функция, имеющая максимум в
точке Xi и минимум в точке х2. Из геометриче-
ских соображений ясно, что касательные в
этих точках будут параллельны оси абсцисс, то
есть угол их наклона по отношению к оси х
равен нулю. Но тангенс угла, равного нулю,
также есть нуль. Таким образом, необходимым
условием существования у функции минимума
или максимума является обращение ее произ-
водной в нуль: у7(х)=0. Необходимым, но не
достаточным, потому что существуют так на-
зываемые точки перегиба (точка х3 на рис. 34),
в которых производная функции обращается
в нуль, а ни минимума, ни максимума в таких
точках не имеется. Тем не менее для сущест-
вования экстремума необходимо обращение
производной функции в нуль, и мы этим вос-
пользуемся.
Прежде, однако, вернемся к нашему функ-
ционалу, который одновременно является и
функцией (130). По предположению, экстре-
мум функционала достигается на кривой г/0(*),
которой соответствует значение а = 0. Но, рас-
сматривая этот функционал как функцию а,
мы должны согласиться с тем, что необходи-
мым условием существования экстремума у
этой функции является обращение производ-
ной <р(а) по а в нуль: q/(a)=0. Чтобы согла-
совать два этих положения, нужно принять,
что функция <р(а) имеет экстремум в точке
а = 0. Фактически мы приходим к уравнению
<р'(0)=0.
232
Как же воспользоваться этим уравнением
для получения позитивного результата? Дело
в том, что мы не так уж мало знаем о функции
ф(а). Хотя явный вид кривой у(х) нам неиз-
вестен (ведь его-то мы и хотим отыскать), мы
твердо знаем, что общее представление этой
функции, по определению, имеет вид
Х1
ф(а) = J F(x, у(х, а), у' (х, a))dx. (131)
х0
Для получения результата нам нужно ак-
куратно продифференцировать эту функцию
по а, а затем приравнять а нулю.
Здесь нам понадобится правило дифферен-
цирования сложной функции. Это правило
сводится к тому, что производная функции
F(y(x)), которая является функцией незави-
симой переменной х, но зависит от этой пере-
менной не непосредственно, а через другую
функцию (поэтому-то она и называется слож-
ной функцией), определяется выражением
j-F(y (x)) = Fyyx,
где Fy означает производную: Fy = dFjdy.
Пользуясь этим правилом, можно смело
приступить к дифференцированию функции-
функционала (131), который как раз зависит
от а не непосредственно, а через функцию
у(х, а) и ее производную у'(х, а). В результа-
те получим
,	_ С MpL + Fy.
J \ y да	da )
Xq
233
Здесь фигурируют величины:
F =^-F(x, у(х, а), у'(х, а));
у ду
Fy'—//~;F (х, у(х, а), у' (х, а)).
ду
Теперь нам нужно рассчитать производные
по а функции у(х, а) и ее производной. Сде-
лать это тем более легко, что мы знаем явный
вид обеих функций, если иметь в виду их за-
висимость от а. Операция дифференцирования
выглядит так:
ду ’ а) =-7-ly (*) + аб#1 = 8У>
да	да
дуг (х, а)	д
5а~" = Т [У' W + а6У ] =
Проще говоря, производные ду(х, а) /да и
ду'(х, а)/да по а оказались равными соответ-
ствующим вариациям. Это, конечно, результат
нашей «игры» с функцией-функционалом. Те-
перь нужно подставить результат в выраже-
ние для производной <р'(а), что дает
Vi
ф' (а) = J (Fy (х, у (х, а), у' (х, а)) ду +
х0
+ Ру' (*> У (*> а)> У' (*> «)) 6/) dx.
Наконец, нас интересует то значение про-
изводной, которое она принимает при а = 0.
Это значение равно
ф' (0) = J (Fy (х, у (х), у' (х)) Ьу +
+ Fy (.х, у(х), у' (х))б/.
234
Именно это выражение называется вариацией
функционала и обращается в нуль на кривой
у0(х), форма которой нам по-прежнему неиз-
вестна.
Итак, для нашего исходного функционала
(128) необходимое условие экстремума имеет
вид (опустим аргументы F)
х0
Прежде чем разобраться с полученным вы-
ражением, мы его несколько преобразуем, вос-
пользовавшись уже известным нам приемом,
который носит название «интегрирование по
частям». Рассмотрим отдельно второе слага-
емое в последнем равенстве:
/ Fy'Sy'dx,
х0
где под знаком интеграла фигурирует произ-
ведение двух функций, вторая из которых
представляет производную вариации функции
у(х) по той же переменной, по которой прово-
дится интегрирование. Правила интегрирова-
ния по частям утверждают, что в этом случае
Xi	%!
^FySy'dx = (Fy8y) *— Fytydx,
J	J dx
x0	u x0
причем смысл первого слагаемого в правой ча-
сти состоит в том, что стоящие в скобках чле-
ны должны быть взяты в точках х0 и Это
относится, конечно, и к вариации ду. Но ва-
риация в этих точках равна нулю, ведь по усло-
вию задачи кривые «закреплены» в этих точ-
ках! Следовательно, все первое слагаемое
235
обращается в нуль. В итоге необходимое усло-
вие экстремума функционала можно записать
в форме
*1
Ьи = J (Fy — tydx = 0.
Х0
Теперь мы добились того, что под знаком
интеграла стоит произведение двух множите-
лей, одним из которых является комбинация
производных известной функции (мы не зада-
вали ее в явном виде, но в каждой конкретной
задаче эта функция должна быть известна,
иначе функционал останется не определен-
ным), а другим — вариация функции у(х).
Существуют строгие правила, как обраща-
ться с последним равенством, если первый
множитель является «хорошей» функцией (в
частности, непрерывной), а второй удовлетво-
ряет некоторым общим требованиям. Не вда-
ваясь в подробности, воспользуемся следст-
вием доказательства, согласно которому для
обращения последнего интеграла в нуль необ-
ходимо (при оговоренных условиях, которые
будем полагать выполненными), чтобы выра-
жение в круглых скобках обращалось в нуль.
Это можно пояснить, заметив, что вариация
8у выбирается с некоторым элементом произ-
вола и может быть выбрана так, чтобы на от-
резке [х0, *i] удовлетворяла всем необходимым
требованиям, обращаясь в нуль на его концах.
И вот, наконец, результат:
Fy-^-Fy = 0.	(132)
Л dx
Это дифференциальное уравнение второго
236
порядка называется уравнением Эйлера и
впервые получено им в 1744 году. Его реше-
нием являются кривые £/ = £/(*, Сь С2), назы-
ваемые экстремалями, потому что именно на
этих кривых достигается экстремум функцио-
нала (128).
Брахистохрона — линия быстрейшего ска-
та — также является решением этого уравне-
ния при определенном выборе функционала.
По каким же правилам конструируется функ-
ционал для конкретной задачи? Здесь исполь-
зуются некоторые физические или математи-
ческие соображения, основанные на постанов-
ке задачи. Сейчас мы покажем, как конкретно
найти линию быстрейшего ската, но перед этим
отметим, что в общем случае уравнение (132)
проинтегрировать в конечном виде не удается,
а случаи, когда решение имеет вид формулы,
можно пересчитать по пальцам. Но в действи-
тельности это не так уж важно, ведь сущест-
вует множество способов решать дифферен-
циальное уравнение, в частности с помощью
численных методов на ЭВМ. Важно то, что по-
лучен точный и достаточно универсальный
(для данного класса функционалов) рецепт
отыскания экстремалей.
Так что теперь мы можем дать хотя и не
очень конкретный, но точный совет Карлсону:
для того чтобы съехать по скату крыши вниз
за кратчайшее время, нужно выбрать форму
ската, получив решение уравнения (132) для
интересующей его задачи. И хотя Карлсон
известен как лучший в мире специалист в лю-
бом деле, с нашей стороны было бы, пожалуй,
жестоко ограничиться таким правильным, но
слишком общим ответом. Тем более, что мы в
237
состоянии конкретизировать наш ответ, предо-
ставив Карлсону формулу, аналитически опи-
сывающую искомую форму кривой.
Чтобы достичь этого, нам придется на вре-
мя бросить математику и обратиться к физике.
Здесь мы, конечно, снова столкнемся с мо-
делью. Рассмотрим движение материальной
точки (мы помним, что это материальное тело,
обладающее массой, размерами которого мож-
но пренебречь) по некоторой кривой (см. рис.
31) в поле тяготения Земли из некоторой точ-
ки Л, расположенной более высоко, в точку В,
расположенную ниже. Два важных фактора —
трение точки о поверхность и сопротивление,
оказываемое ее движению средой,— мы учиты-
вать не станем.
Мы нарисовали «словесный портрет» моде-
ли. Для того чтобы найти форму кривой, обе-
спечивающую наискорейшее движение из точ-
ки Л в точку В, этого недостаточно, необходи-
мо перевести слова на язык математики.
Будем исходить при этом из двух известных
из механики фактов. Прежде всего наша точ-
ка совершает перемещение во времени вдоль
некоторой кривой, проходя в единицу времени
некоторое расстояние. За малое время dt она
продвинется на малое расстояние ds, которое
является элементом длины дуги. Таким обра-
зом, скорость движения точки (вернее, мо-
дуль скорости, ведь мы помним, что скорость—
величина векторная) может быть записана
как v = ds!dt. С другой стороны, в отсутствие
диссипативных сил (сил сопротивления) закон
сохранения энергии утверждает, что тело раз-
гоняется за счет снижения потенциальной
энергии, вследствие чего кинетическая энергия
238
в сумме с потенциальной составляет постоян-
ную величину: «Из ничего ничто не возникает!»
Кинетическая энергия, как известно, есть ве-
личина, равная т^2/2; потенциальная энергия
в поле тяготения определяется (в выбранной
системе координат) величиной — mgy, где g—
ускорение земного тяготения; у — координата,
которая играет здесь роль высоты (знак ми-
нус стоит потому, что координатная ось у на-
правлена вниз). Сумма, равная нулю, следо-
вательно, выглядит так:
шу2/2 — mgy = Q.
Перепишем это уравнение в виде
(2gi/)1/2
и воспользуемся выражением скорости через
элемент дуги и дифференциал времени:
dsldt=^gyyi\
Это все, что понадобится нам от физики.
Теперь настал черед математики. Но прежде
перепишем последнее выражение еще раз, при-
дав ему вид
Л = Л/(2^)>/2.
Из геометрии известно, что элемент дуги
может быть выражен через малые прираще-
ния координат, соответствующие «продвиже-
нию» вдоль кривой на ds, а именно ds2 = dx2 +
+ dy2 или ds = (dx2 + dy2)^2.
Проделаем теперь несколько формальных
преобразований. Во-первых, вынесем из-под
знака корня квадратного в последнем выраже-
нии величину dx2, в результате чего получим
ds=(l + (dy/dx)2) V2.
239
Во-вторых, вспомним, что величина dy/dx есть
не что иное, как у'. В итоге
М1+/Г.
Теперь подставим полученное выражение
для ds в другое, которое связывает ds с dt, по-
сле чего получим
Л = (1 + г/'2)1/2/(2^)1/2.	'
До получения формы функционала, кото-
рым здесь является время, зависящее от фор-
мы кривой, по которой спускается материаль-
ная точка, нам осталось сделать только один
шаг. Предварительно отметим, что нас инте-
ресует время, за которое точка спустится из
положения Л (0, 0) (точка А расположена в
начале координат) в положение В(х{, у{) (в
круглых скобках указаны координаты точ- .
ки В). Для того чтобы узнать, каково это ’
время, нам необходимо проинтегрировать по- I
лученное равенство. Интегрирование левой
части дает искомый промежуток времени; инте-
грирование правой части выполняется не так
элементарно, так что запишем для начала про-
сто интеграл по переменной х от 0 до имея !
в виду, что при этом #(0)=0, y(Xi)=yi.	"
И вот, наконец, мы установили вид функ-
ционала, который нам предстоит изучить:	|
Х1 (	2\1/2
(IsWI = nSfe2'b- (|33)
о
В принципе нам необходимо было бы те-
перь найти вариацию этого функционала, при-
равнять ее нулю и т. д., но весь этот путь мы
уже прошли и знаем, что результатом такой
240
процедуры является уравнение Эйлера (132),
и мы можем непосредственно им воспользо-
ваться.
Разберемся, однако, сначала со структурой
функционала. При выводе уравнения Эйлера
мы предполагали, что функционал, экстремум
которого мы отыскивали, имеет вид (128), ина-
че говоря, подынтегральная функция не со-
держит явной зависимости от независимой пе-
ременной х. Остальные зависимости у урав-
нений (128) и (133) одинаковы. Чтобы понять,
в чем состоит различие между этими двумя
случаями, запишем уравнение (128) в не-
сколько более развернутом виде, выполнив
дифференцирование второго члена по прави-
лам для сложной функции. Это дает
Fy Fy'x	F у'Уу'	Fу'у'у" == 0.
Второй член в этом выражении предусма-
тривает дифференцирование подынтегральной
функции в формуле (133) по х — переменной,
от которой эта функция явно не зависит, а не-
явная зависимость от х через у(х) и у' (х) учи-
тывается следующими членами этого равенст-
ва. Поскольку явной зависимости нет, диффе-
ренцирование по х даст нуль и
F у Fуу'у'	F у'у'У = 0.
Чтобы упростить это выражение, придется,
как это нередко бывает, его несколько услож-
нить. Проделаем такой математический трюк:
умножим последнее равенство на у' и, кроме
того, прибавим и отнимем член вида Fy'y". В
результате получим
(РуУ' + Fy>y") —(Fy’y" + Fyy'y'y' + Fylyly"y')= 0.
16 Э. Т. Соколов
241
Теперь заметим, что, согласно все тем же
правилам дифференцирования сложной функ-
ции,
а остающиеся члены можно представить как
-у- (У'Ру') = У"Ру' + Руу'У'У’ + Ру'УУпУ'-
ах
Окончательный результат нашего усложне-
ния — это, конечно, упрощение:
±(F-y'F^=0.
ах
Это равенство, полученное нами путем тожде-
ственных преобразований, утверждает, что
производная некоторой функции (она заклю-
чена в круглые скобки) по переменной х рав-
на нулю. В таком случае, поскольку х — един-
ственная независимая переменная, можно
утверждать, что эта функция равна постоян-
ной, т. е.
Р — У'ру = С,
или, иначе, уравнение Эйлера имеет первый
интеграл, а С — это, конечно, постоянная. На-
помним, что все это верно в том случае, если
подынтегральная функция не зависит явно
от х.
Итак, мы пришли к дифференциальному
уравнению, которому удовлетворяет функ-
ция F, имеющая, согласно выражению (133),
вид
Р=(1+У'Т2/У1/2
(мы опустили здесь множитель (2g)1/2, поскольку
242
он не влияет на результат; можно считать его
включенным в постоянную С). Теперь нужно
вычислить производную Fy'f для которой получим
F,' =У!(у (1+ЛГ
так что для искомой функции #(х) (ведь имен-
но она и является той кривой, которую мы
ищем), получается такое дифференциальное
уравнение:
d + y'T2/y^~y'2l{y{i+y'2)r = c.
Его можно упростить (преобразования имеют
элементарный характер, и читатель без труда
проделает их самостоятельно), что дает
Щу(Д+у'))'/2=с
ИЛИ
У (1 + /2) = Ci-
Это и есть дифференциальное уравнение,
которое нам предстоит решить. Трудность со-
стоит в том, что уравнение нелинейное и про-
сто так его не решить. Здесь можно применить
один не слишком сложный трюк, догадаться о
котором тем не менее совсем не просто. Он со-
стоит в том, чтобы ввести параметр и такой,
чтобы выполнялось равенство #' = ctgw, кото-
рое надо рассматривать как определение вве-
денного параметра.
Подставим выражение для у' в последнее
дифференциальное уравнение:
у = ——----= С sin2и = — (1 — cos 2н).
1 + ctg2 и 1	2 v	7
Здесь использована последовательность
тригонометрических равенств, хорошо извест-
ных из школьного курса. Чего мы добились?
16*
243
Во-первых, наше дифференциальное соотноше-
ние превратилось в тригонометрическое выра-
жение. Во-вторых, поскольку это тождество,
проку от этого выражения, можно сказать, ни-
какого. Для того чтобы превратить его в про-
дуктивное выражение, нужно выразить еще и
х через этот же параметр. В таком случае у и
х окажутся выраженными через одну и ту же
величину, и есть надежда, что их удастся свя-
зать друг с другом. И здесь уместно напом-
нить, что мы-то ищем именно зависимость
у(х). Чтобы продвинуться в этом направле-
нии, поступим так: запишем еще одно тождест-
во dx=dylyr^ правую часть которого можно
вычислить непосредственно: dy = 2Cx sin их
Xcos и du\ i/z=ctg и. В результате
dx=2Ci sin и cos rz/ctg u = 2Ci sin2udu = C*i (1 —
— cos 2u)du.
Интегрируя это равенство, получаем
х = Сг [и —	-|_ С2 =	(2н — sin 2и) + С2.
Нам действительно удалось выразить у и х
через один параметр. В принципе, проявив не-
много изобретательности, можно на основе
этих двух равенств связать у и х, получив, та-
ким образом, вид искомой кривой, обеспечи-
вающей наибыстрейший спуск материальной
точки из положения А в положение В. В этом,
однако, нет никакой необходимости. Если вве-
сти вместо параметра и другой параметр U=
= 2щ учесть, что величина С2 = 0 (это получа-
ется потому, что наша кривая проходит через
начало координат), то будем иметь систему
уравнений вида:
244
У
определяющую семейство кривых, называемых
циклоидами. Величина Ci/2 является радиусом
катящегося круга, одна из точек обода кото-
рого при качении и «прочерчивает» циклоиду
(рис. 35). Это и есть брахистохрона.
Таков наш совет Карлсону, если, конечно,
принять его за материальную точку, что сде-
лать не так-то просто, учитывая его габариты.
Итак, варьируя функционал, мы получили
ответ на вопрос, какая форма кривой обеспе-
чивает наименьшее время спуска.
Это, разумеется, всего-навсего одна из про-
стейших задач, которые можно решить, исполь-
зуя понятие функционала — этого «двоюрод-
ного брата» функции. Вариационные методы
широко используются в физике для самых раз-
ных целей, в различных ее разделах — от ме-
ханики до современных полевых теорий. По
этой причине рассказ о функционале и способе
отыскания его экстремума и попал в наше по-
вествование о математической физике.
Q^unokan (олна
(/ океане
Так несло нас мили четыре, и
вдруг разъяренный вал, высо-
кий, как гора, набежал с кор-
мы на нашу шлюпку.
Д. Дефо. Робинзон Крузо
унами — слово японское. Оно
означает гигантскую волну,
возникающую на океанской по-
верхности под влиянием силь-
ных подводных землетрясений или извержений
подводных либо островных вулканов. Кораб-
лю, встретившему цунами в океане, можно
сказать, ничего не грозит. Пассажиры такого
корабля скорее всего его даже не заметят.
Как же можно не заметить гигантскую вол-
ну? Дело в том, что цунами представляет со-
бой нечто вроде водяного холма. Этот холм,
сохраняя свои очертания, с постоянной скоро-
стью «плывет» по океану. А поскольку «скло-
ны» у него довольно покатые, то в открытом
океане его воздействие на корабль сведется к
более или менее плавному опусканию и подъ-
ему. Зато дойдя до берега, цунами становится
источником грозной опасности. Причина в том,
246
я
что на берегу цунами попадает в особые усло-
вия, ведь берег — это граница суши и воды.
Водяной холм, который мирно вел себя в океа-
не, выплескивается на берег, буквально сме-
тая все на своем пути. Сотни тысяч тонн воды
обрушиваются на побережье, захватывая и
унося в море все, что недостаточно прочно
держится за землю. Цунами — источник мно-
гочисленных трагедий на побережьях океанов,
особенно Тихого (еще раз убеждаешься в
условности названий), унесший жизни сотен
тысяч людей. Цунами представляет собой при-
мер солитона, или, иначе говоря, уединенной
волны.
С волнами мы уже встречались, и даже
рассмотрели один простой способ решения вол-
нового уравнения. Это было, как мы помним,
линейное волновое уравнение, главная отли-
чительная особенность которого состоит в том,
что функция, описывающая пространственную
и временную структуру волны, входит в него
в первой степени [это уравнение (79)]. Соли-
тоны же являются нелинейными волнами и опи-
сываются соответственно нелинейными урав-
нениями.
Решение нелинейного уравнения в аналити-
ческом виде — задача почти всегда безнадеж-
ная. Как правило, в этих случаях приходится
использовать ЭВМ. И все же существуют не-
которые нелинейные уравнения, решения ко-
торых удается найти именно в аналитическом
виде. Эти-то уравнения, в частности, и описы-
вают солитоны. Мы рассмотрим один такой
случай, чтобы составить представление о том,
как решается нелинейное уравнение, хотя бы
и в исключительном случае, а заодно познако-
248
мимся с нелинейной волной, причем сделаем
это на математической основе.
Первая встреча человека с уединенной вол-
ной, которая была осознана именно как уеди-
ненная волна, произошла задолго до того, как
дело дошло до ее аналитического описания.
Неизвестно в то время было еще и само слово
солитон. Об этой встрече сохранилось пись-
менное свидетельство шотландского инженера
и ученого Джона Скотта Рассела. Оно на-
столько выразительно, что редкий рассказ о
солитонах обходится без того, чтобы не проци-
тировать, можно сказать, столь же художест-
венное, сколь и научное описание Рассела. Не
удержимся от такого соблазна и мы. Вот это
описание, изложенное в «Докладе о волнах»:
«Я следил за движением баржи, которую
быстро тянула по узкому каналу пара лоша-
дей, когда баржа неожиданно остановилась;
но масса воды, которую баржа привела в дви-
жение, не остановилась. Вместо этого она соб-
ралась около носа судна в состоянии бешено-
го движения, затем неожиданно оставила его
позади, катясь вперед с огромной скоростью
и принимая форму большого одиночного воз-
вышения, т. е. округлого, гладкого и четко
выраженного водяного холма, который продол-
жал свой путь вдоль канала, нисколько не ме-
няя своей формы и не снижая скорости. Я по-
следовал за ним верхом, и когда я нагнал его,
он по-прежнему катился вперед со скоростью
приблизительно восемь или девять миль в час,
сохранив свой первоначальный профиль воз-
вышения длиной около тридцати футов и вы-
сотой от фута до фута с половиной. Его высота
постепенно уменьшалась, и после одной или
249
двух миль погони я потерял его в изгибах ка-
нала. Так в августе 1834 г. мне впервые дове-
лось столкнуться с необычайным и красивым
явлением, которое я назвал волной трансля-
ции; теперь это название общепринято.
С тех пор я обнаружил, что такие волны
играют важную роль почти во всех случаях,
когда жидкость оказывает сопротивление дви-
жению, и пришел к убеждению, что к тому же
типу относятся огромные движущиеся повыше-
ния уровня моря, которые с регулярностью об-
ращения небесного тела входят в наши реки и
катятся вдоль наших побережий.
Для подробного изучения этого явления с
целью точно установить его природу и управ-
ляющие им законы я придумал другие, более
удобные способы его вызвать... и применил
разнообразные методы наблюдений».
«Разнообразные методы наблюдений» позво-
лили Расселу установить ряд важных свойств
«волновой трансляции», но все же его выводы
были далеки от того, чтобы стать теорией в
полном смысле этого слова. К тому же эти вы-
воды попали под огонь критики двух видных
современников Рассела — Джорджа Бидделла
Эри и Джорджа Габриеля Стокса. Они выска-
зали сомнение в верности наблюдений Рассе-
ла. Вывод о том, что какая-то волна — пусть и
уединенная — может распространяться в воде,
сохраняя постоянную форму, казался им подо-
зрительным. И в самом деле, получалось, что
диссипативные процессы, которые неизбежно
должны существовать в вязкой жидкости, ни-
как не влияют на расселовскую «волну транс-
ляции». Понять это необычное, даже необы-
чайное, явление на основе известных теорий
250
не удавалось. Мнение авторитетов привело к
тому, что долгие годы на удивительный волно-
вой феномен никто всерьез не обращал вни-
мания.
Сегодня мы знаем, что Рассел наблюдал
так называемые волны на мелкой воде. Среди
тех, кто внес вклад в изучение этих волн, мы
встречаем имена французского исследователя
Жозефа Валентина Буссинеска, знаменитого
английского физика лорда Рэлея, но наиболее
ясного понимания существа дела достигли гол-
ландские исследователи Дидерик Йоханнес
Кортевег и Густав де Фриз. Их заслуга состоя-
ла в том, что они в 1895 году (Рассела уже три
года как не было в живых) вывели уравнение,
которое давало описание объекта, удивитель-
но походившего на наблюдавшуюся Расселом
волну трансляции. Это уравнение носит теперь
название уравнения КдФ, а его дальнейшие
исследования показали, что оно обладает до-
вольно широкой универсальностью, описывая
не только волны на мелкой воде, но и многие
другие солитоны, относящиеся к совершенно
другим физическим системам.
Вклад Буссинеска состоял в получении дру-
гого нелинейного уравнения, которое носит
его имя. Уравнение Буссинеска дает еще один
пример нелинейного уравнения, для которого
существует аналитическое решение.
Со временем выявился достаточно широкий
класс нелинейных уравнений, решения кото-
рых удается найти с помощью специальных
приемов. Из этого множества мы наряду с
уравнением Кортевега — де Фриза рассмотрим
еще одно уравнение, непосредственно к соли-
тонам не относящееся, а являющееся приме-
251
ром одного из самых «простых» уравнений, со-
держащих нелинейность,— уравнение Бюр-
герса.
Здесь следует пояснить, что означает сло-
во «рассмотрим». В действительности, как уже
говорилось, решение нелинейных уравнений
представляет сложнейшую математическую
задачу, для решения которой надо виртуозно
владеть различными разделами математики.
Решение нелинейного уравнения всегда срод-
ни изобретению: если линейные уравнения, как
мы видели, можно решать, опираясь на неко-
торые общие методы, то столь же подробно (и
даже не подробно) разработанных методов ре-
шейия нелинейных уравнений пока не сущест-
вует. Огромную роль в этом деле играет мате-
матическая интуиция, а порой и просто сооб-
разительность.
Мы начнем рассмотрение нелинейных урав-
нений с уравнения Бюргерса. Можно было бы
сразу записать это уравнение, но мы изберем
другой путь: постараемся вывести это урав-
нение, опираясь на некоторые наводящие
соображения. В этом случае его структура
будет более понятна, что облегчит и его ре-
шение.
Уравнение Бюргерса, как и другие уравне-
ния математической физики, описывает не
одну какую-то фиксированную физическую си-
стему, не одну физическую ситуацию, а целый
класс систем и соответственно целый класс си-
туаций. Мы, впрочем, уже убедились в этом на
примере линейных уравнений. Для большей
наглядности мы получим уравнение Бюргерса
на примере течения вязкой жидкости.
Чтобы описать течение жидкости, нужно
252
определить поле скоростей, т. е. указать, какое
значение имеет вектор скорости в каждой точ-
ке движущейся жидкости. Нам снова поможет
здесь закон Ньютона, согласно которому уско-
рение, приобретаемое телом под влиянием при-
ложенной силы f, пропорционально этой силе
и обратно пропорционально его массе. Особен-
ность использования закона Ньютона по отно-
шению к текущей жидкости состоит в том, что
при этом остается не вполне ясным, что такое
«тело». Вся ли это движущаяся жидкость или
же только часть ее? Если часть, то какая?
Трудность состоит в том, что как скорость, так
и ускорение могут меняться от точки к точке.
Если посмотреть на течение обычной реки, то
нетрудно понять, что на быстрине скорость ве-
лика, у берега она поменьше, в тихой же за-
води равна нулю, тогда как на перекате ско-
рость воды увеличивается и т. д.
При движении материальной точки — мо-
дели классической механики — ситуация го-
раздо проще. Мы знаем координату этой точки,
задаваемой вектором в трехмерном (в общем
случае) пространстве. Этот вектор при движе-
нии точки является функцией времени: q =
= q(/). Зная (неважно откуда) эту функцию,
легко отыскать скорость материальной точ-
ки—производную координаты по времени:
v = dq(Q/d/ и ускорение — вторую производ-
ную по времени вектора q или первую произ-
водную по времени вектора скорости: а =
= d2q/d^2 = dv/d^. Здесь важно то, что все три
величины, определяющие движение матери-
альной точки, зависят только от времени. Все
три функции — это функции только одной пе-
ременной, что и находит отражение в форме
253
производной. Как же обстоит дело при течении
жидкости?
В принципе ничто не мешает нам говорить
при движении жидкости о частице. Следует
только хорошо понять, что это за частица.
Если нам удастся понять, что это такое, у нас
есть потенциальная возможность применить
к частице жидкости закон Ньютона о пропор-
циональности ускорения и силы.
Материальная точка — это нечто отдель-
ное, обособленное, например частица твердого
тела, планета, снаряд. В жидкости тоже мож-
но выделить частицу, но сделать это можно
только мысленно. Выделить мы ее в состоя-
нии, а вот гарантировать ее «сохранность»
вряд ли сможем. Ведь у частицы жидкости
нет никакой реальной, физической границы —
нельзя же считать таковой поверхность, кото-
рую мы создали в своем воображении. Части-
ца воды настолько необособлена от своих со-
седей, что различить ее в движущемся потоке
нет никакой возможности (и вовсе не потому,
что вода прозрачна).
Как же все-таки применить уравнение
Ньютона к жидкой частице? Сделать это все
же можно, но только, разумеется, не букваль-
но. Как это обычно бывает в науке, перенос
идей из одной области в другую, даже и в
очень близкую, не дается без дополнительных
усилий. Нам также придется предпринять эти
усилия.
Выделим в жидкости (конечно, мысленно)
единичный объем. Масса единичного объе-
ма — это плотность. Допустим, что к такому
объему применимо уравнение Ньютона в обыч-
ной форме: pa = f.
254
По виду оно напоминает уравнение Ньюто-
на для материальной точки, но это совпадение
чисто формальное. Важно не то, что уравнения
похожи, а то, чем отличаются буквы, исполь-
зуемые в этих уравнениях в двух случаях.
В последнем уравнении р — это плотность (а
не масса); а — ускорение; f — сила, которая
действует на единичный объем, так что это,
пожалуй, не сила, а плотность силы, подобно
тому как массу единичного объема мы назы-
ваем плотностью. Как может показаться, все
три величины нам известны. Торопиться, одна-
ко, не следует. Применительно к движению
жидкости эти величины приобретают, можно
сказать, совершенно новое толкование, кото-
рое находит отражение не только в физиче-
ском смысле этих величин, но и в их матема-
тическом выражении.
Установление этих различий мы начнем с
ускорения, тем более, что именно с этой вели-
чиной и связана появляющаяся в уравнении
нелинейность. В классической механике мате-
риальной частицы независимость скорости от
времени сама по себе приводит к равенству
нулю ускорения. В механике жидкости, или в
гидромеханике, дело обстоит не совсем так,
а чаще всего совсем не так.
Еще раз вернемся к течению реки. Пред-
ставьте, что погода совсем тихая, нет даже
малейшего дуновения ветра, течение реки спо-
койно, так что в любой точке движущейся
жидкости скорость постоянна в том смысле,
что не меняется со временем.
А теперь проследим за нашей жидкой «час-
тицей», которая по воле течения с быстрины
попадает в заводь. Скорость ее изменится от
255
некоторого конечного значения до нуля! Таким
образом, хотя в каждой точке течения скорость
постоянна во времени, частица воды все же
меняет свою скорость при движении. Но из-
менение скорости — это и есть ускорение. При-
чина, конечно, заключается в том, что в дви-
жущейся жидкости скорость в общем случае
является не только функцией времени, но и
функцией положения, которое задается векто-
ром q(/): v = v(q, t).
Попытаемся определить ускорение жидкой
«частицы». Для этого необходимо одно — стро-
го соблюдать все правила вычисления произ-
водных. Прежде всего рассчитаем изменение
(«приращение») скорости за малый промежу-
ток времени А/. Пусть в некоторый момент
времени t скорость частицы в точке q равна
величине v(q, t). Тогда нетрудно понять, что
в момент времени t+At скорость примет зна-
чение... Одну минуту, не торопитесь! Можно
подумать, что скорость частицы будет равна
v(q, Z+AZ), но это совершенно не так! Поче-
му? Да потому, что частица уже не находится
в точке q, ведь она движется и за время At
успела уйти из точки q в новое положение (пе-
решла с быстрины в заводь, а может быть, и
наоборот). Как определить это новое положе-
ние? Сделать это нетрудно. Оно зависит от
скорости течения в той точке, где частица на-
ходилась, и равно старому положению q плюс
изменение этого положения за счет перемеще-
ния: Aq = vA/. Теперь мы можем выписать
истинное значение скорости в момент времени
/ + АЛ Оно равно
v(q + Aq, t + At) =v(q + vAZ, / + AQ.
256
Результат может показаться несколько обе-
скураживающим. Действительно, скорость,
оказывается, зависит от самой скорости. Но
падать духом не следует! Ведь это совсем раз-
ные значения скорости в том смысле, что они
относятся к разным точкам пространства и к
разным моментам времени. Нужно помнить,
что наша цель — расчет ускорения, которое
является производной скорости, а для его вы-
числения необходимо знать приращение ско-
рости за малый промежуток времени. Для
малого промежутка (а только такой нас и
интересует при вычислении производной) ма-
лым будет и приращение координаты, т. е. пе-
ремещение Aq, которое характеризует измене-
ние координаты частицы за время АЛ Из диф-
ференциального исчисления нам известно, что
главная часть приращения функции пропор-
циональна приращению ее аргумента. В нашем
конкретном случае она пропорциональна ве-
личинам vAZ и А/, а коэффициентами пропор-
циональности служат частные производные по
соответствующим переменным. Таким образом,
с точностью до членов первого порядка (ли-
нейных членов по приращениям аргументов)
для скорости частицы в момент времени t + At
получим следующее выражение:
v(q 4- vAZ, t + At) = v(q, t) + v * yvA^ + — АЛ
dt
Чтобы получить приращение скорости, нуж-
но вычесть из этого выражения значение ско-
рости в момент времени t:
Av = v • yvA^ 4- М.
17 Э. Т. Соколов
257
Теперь для вычисления ускорения осталось
сделать совсем немного: нужно разделить при-
ращение скорости на промежуток времени, за
который она претерпела это изменение:
Av/Д/ = v • у v dNjdt,
Последний шаг—вычисление предела это-
го отношения при А/->0, в результате чего
получим для ускорения такое выражение:
а = lim Av/AZ = v • yv + dvldt.
A/-*0
Это и есть выражение для ускорения частицы
жидкости. Зная правила обращения с опера-
тором V, член vyv мы можем представить
в виде
dv . dv . dv
v • vv = vx----F vv----F v, —.
v x dx y dy z dz
Теперь нам ясно, насколько сильно отли-
чается выражение для ускорения частицы в
жидкой среде от соответствующего выраже-
ния для материальной точки в классической
механике, созданной Ньютоном. Эту производ-
ную иногда обозначают специальным симво-
лом: £>v/D/ = dv/d/+v-yv и в отличие от
обычной производной по времени называют
субстанциональной производной, чтобы под-
черкнуть, что она вычисляется при движении
частицы в среде (так сказать, в субстанции, в
веществе).
Теперь наше уравнение для движения час-
тицы, или уравнение для ее скорости, приоб-
ретает более конкретные черты:
dv/d/ + v-yv = f.
258
Присмотримся к этому уравнению внима-
тельнее. Своего главного итога мы уже, соб-
ственно говоря, достигли: уравнение стало
нелинейным. Причина этой нелинейности свя-
зана именно с субстанциональной производ-
ной, включающей член v-^v, в котором ско-
рость присутствует как бы в квадрате, а точнее
говоря, не в первой степени. Какова бы ни
была структура силы (а мы сейчас установим
эту структуру), уравнение уже является нели-
нейным. Это сразу же отличает его от линей-
ных уравнений. Легко, например, убедиться,
что методы решения, применяемые для линей-
ных уравнений, здесь совершенно не годятся.
Испробуем, например, метод разделения пере-
менных. Подставим даже в одномерный аналог
полученного уравнения искомую функцию в
виде произведения двух функций, каждая из
которых зависит либо от времени, либо от про-
странственной координаты, и легко убедимся,
что из-за нелинейности переменные не разде-
ляются. Это означает, что решения в виде про-
изведения двух функций скорее всего не су-
ществует.
Теперь обратимся к определению структу-
ры силы, стоящей в правой части уравнения.
Ведь если мы действительно хотим решать
уравнение, нам придется понять, что стоит за
буквой f. Дело в том, что уравнение записано
для скорости, а справа стоит величина, кото-
рую мы назвали плотностью силы. Если не
выразить эту плотность силы через скорость,
то уравнение будет просто незамкнутым, и нам
придется искать еще одно уравнение, опреде-
ляющее силу. К счастью, с этим дело обстоит
не так уж сложно. Мы ограничимся рассмот-
17*
259
рением течения вязкой жидкости, которое
происходит под влиянием сдвиговых напря-
жений.
Грубо говоря, силы вязкости возникают в
жидкости оттого, что слои жидкости при дви-
жении «цепляются», «трутся» друг о друга.
Результатом этого внутреннего трения явля-
ется пространственная неоднородность тече-
ния. Рассмотрим, например, течение жидкости
в трубе. Тот слой жидкости, который непосред-
ственно соприкасается со стенками трубы, во-
обще неподвижен. «Цепляясь» за прилегаю-
щий к нему слой, он, будучи неподвижным, в
свою очередь замедляет движение соседа,
тот — следующего слоя и т. д. Физической
причиной вязкости служит взаимодействие
атомов и молекул, но, рассматривая жидкость
как сплошную среду, не подразделяя ее на
частицы микроскопических размеров, мы мо-
жем описывать движение жидкости с помощью
макроскопического параметра, каковым и яв-
ляется вязкость, точнее говоря, сдвиговая вяз-
кость (есть еще и объемная вязкость, но о ней
здесь речь идти не будет).
Пространственная неоднородность течения
нуждается в характеристике. Мы уже знаем,
что для этой цели используется оператор V.
Как объединить его со скоростью, чтобы опи-
сать ее пространственную неоднородность? Из
трех известных нам операций — градиент, ди-
вергенция и ротор — в данном случае ни одну
использовать не удастся. Наиболее подходя-
щей характеристикой пространственной неод-
нородности скорости является прямое произве-
дение вектора V на вектор v [см. формулу
(18)]. Она подходит более других, поскольку
260
содержит все производные всех компонентов
скорости:
dvx	dvx	dvx
дх	ду	dz
diiy	dvy	dvlt
дх	ду	dz
dv2	&vz	dvz
dx	~dy~	dz
По существу это тензор второго ранга,
имеющий, как ему и положено, девять компо-
нентов. Но сила — вектор, имеющий только
три компонента. К тому же размерность тен-
зора отличается от размерности силы. В физи-
ке в подобных случаях часто для получения
правильной размерности, так сказать, для ее
«выравнивания», добавляют коэффициент. По-
ступим именно так. Обозначим новый тензор
специальной буквой o=r)Vv. Это все еще не
сила вязкости, это тензор вязких напряжений
(хотя и не в самом общем виде). С силой его
связывает еще одно равенство, которое полу-
чается скалярным умноженим оператора V на
тензор о. Если допустить, что сам коэффициент
вязкости от координат не зависит (такие слу-
чаи нередки), тогда для силы вязкости (с уче-
том только сдвиговой вязкости) мы получим
такое выражение:
f = t)v2v = y]Av,
где v2 = Д — уже известный нам оператор Лап-
ласа. Выражение такого типа было предложе-
но Ньютоном, и жидкость, для которой связь
вязкой силы с тензором скоростей деформаций
yzv может быть представлена в виде линейной
261
связи с некоторым коэффициентом пропорцио-
нальности, имеющим смысл сдвиговой вязкос-
ти, называется ньютоновской. Другие жидкос-
ти, у которых эта связь имеет более сложный
вид, называются неньютоновскими. Они явля-
ются предметом специальной области гидро-
динамики, называемой реологией.
Вот как теперь выглядит уравнение движе-
ния:
dv/d/-l-v- vv = r]Av.
Полученное уравнение записано для трех-
мерного случая. Наш опыт обращения с ли-
нейными уравнениями показал, что в качестве
первых (а иногда и последних) шагов легче
иметь дело с одномерными задачами. Тем бо-
лее это справедливо для нелинейных уравне-
ний. Для одномерного случая последнее урав-
нение примет вид
dv , dv o2v
-----h V — = п —.
dt дх дх2
(134)
Уравнение такого вида называется уравне-
нием Бюргеса. Если опустить в нем нелиней-
ный член, то легко обнаружить, что это урав-
нение (с точностью до обозначений) совпада-
ет с уравнением (102), которое описывает
распространение теплоты в одномерной зада-
че. Впрочем, такими метаморфозами в матема-
тической физике никого не удивишь. Уравнение
(102), которое мы только что упомянули, по
форме совпадает еще с соответствующим од-
номерным уравнением диффузии. Опыты по
диффузии читателю, вероятно, приходилось
ставить в школе: в стакан, наполненный зава-
ренным чаем, осторожно, чтобы не переме-
262
шать, наливают чистую воду. Со временем за
счет процесса диффузии — перемещения мо-
лекул вещества, происходящего под влиянием
неоднородной концентрации, вся жидкость в
стакане окрашивается однородно. По этой при-
чине члены дифференциальных уравнений в
частных производных, имеющих вид лапла-
сиана функции с некоторым коэффициентом,
называют диффузионными членами.
Имея в виду такую терминологию, можно
в уравнении (102) говорить о диффузии тепло-
ты. С этой точки зрения уравнение (134) являет-
ся в некотором смысле простейшим уравнением,
которое отражает одновременно и эффекты не-
линейного распространения^член v—V и эффекты
\ дх /
, .	/	d2v \
диффузии (член ЛуН-
В теории, имеющей дело с нелинейными
уравнениями, почти всегда или во всяком слу-
чае чаще всего оперируют именно с одномер-
ными уравнениями — из трех пространствен-
ных координат остается только одна. Для не-
которого упрощения, точнее, для большей
компактности записи при этом используют
обозначения производных, которые мы уже
применяли в предыдущей главе, а именно vt =
= dv/dty vx = dvldx, yxx = d2^/dx2.
С помощью этих обозначений уравнение
Бюргерса можно записать в виде
+	=	(135)
Как же решать такое уравнение? Читатель,
который ожидает, что мы займемся сейчас
какими-то особо сложными вычислениями, бу-
263
дет, возможно, даже несколько разочарован.
В строгом смысле слова мы вообще не будем
решать уравнение (135), хотя и укажем спо-
соб, с помощью которого это решение может
быть получено.
Простота приема, который будет сейчас
продемонстрирован, не должна вводить в за-
блуждение и порождать иллюзию легкости по
двум причинам: во-первых, это простота ко-
лумбова яйца; во-вторых, этот прием «прохо-
дит» в исключительных случаях, модифици-
руясь к тому же для различных уравнений
тогда, когда он вообще оказывается приме-
нимым.
Уравнение (135) или (134) решается с по-
мощью так называемой подстановки Коула —
Хопфа, которая состоит в том, что искомая
функция v заменяется другой функцией, одно-
значно с ней связанной, а именно функцией
<р, удовлетворяющей равенству v = — 2т)фх/ф.
Что дает такая подстановка? Чтобы про-
яснить ее смысл, введем еще одно определе-
ние, положив у = фх.
Эту новую функцию ф, согласно равенству,
подставим в уравнение (135), что дает
фх/ + фхф XX = ПФ XXX-
Теперь проинтегрируем это уравнение по х,
в результате чего получим
1	9
+ — Фл = ПФхх-
Здесь мы воспользовались равенством
(фх)* — 2фхф*х-
Наконец, введем еще одно соотношение
264
ф=—2т]1пф,	(136)
которое находится в согласии с использован-
ными выше. Действительно, по определениям,
имеем равенство
фх = — 2т]фх/ф,
интегрируя которое, получаем выражение
(136). Какому же уравнению удовлетворяет
функция ф? Подставьте соотношение (136) в
уравнение для ф, воспользуйтесь тем, что
(In ф)х = фх/ф, и вы немедленно убедитесь, что
функция ф удовлетворяет уравнению вида
Ф/ = Лфхх.	(137)
Да ведь это линейное уравнение! К тому же
оно фактически (опять-таки с точностью до
обозначений) совпадает с уравнением тепло-
проводности. А это уравнение исследовано,
можно сказать, вдоль и поперек. Даже мы,
ограничиваясь весьма малым арсеналом мате-
матических средств, получили его решение.
«Хорош ваш способ решения нелинейного
уравнения,— может сказать скептик,— да вы
просто свели его к линейному уравнению».
Что ж, такое замечание было бы верным. Мы
действительно свели нелинейное уравнение к
линейному, но сделали это с помощью нелиней-
ной подстановки. Получив решение линейного
уравнения, мы можем найти решение нелиней-
ного, сначала прологарифмировав это решение
и умножив его на — 2т) [по формуле (136)], а
потом продифференцировав результат соглас-
но определению ц=фх. Можно только сожа-
леть о том, что такой изящный математический
прием пригоден лишь в ограниченном числе
265
случаев. Стоит добавить, что сама форма под-
становки требует некоторой фантазии, и при-
думать подстановку бывает отнюдь не просто.
Таков пример решения нелинейного урав-
нения. Единственный «недостаток» этого
уравнения состоит в том, что оно не имеет
отношения к уединенной волне, в частности
к той, которую наблюдал Рассел в августе
1834 года на канале, соединявшем Глазго с
Эдинбургом.
Мы уже упоминали о том, что описание
уединенной волны на мелкой воде было дано
в наиболее полной форме Кортевегом и де
Фризом. Физика солитонов — это интересней-
шая и захватывающая область, влияние кото-
рой все больше ощущают различные области
физической науки — от физики твердого тела
и физики плазмы до астрофизики и физики
элементарных частиц. Рассказ об этом не вхо-
дит в наши задачи, что обусловлено, с одной
стороны, ограниченным объемом книги, с дру-
гой — выбранной точкой зрения, которая ба-
лансирует на границе физики и математики
(физике солитонов посвящена вышедшая в се-
рии «Квант» превосходная книга А. Т. Филип-
пова «Многоликий солитон».— М., 1986.—
224 с.).
Уравнение, полученное Кортевегом и де
Фризом, имеет вид
— = v — + D—,	(138)
dt дх дх3
где D — некоторый коэффициент, характери-
зующий среду, в которой распространяется вол-
на. Вывод этого уравнения, хотя он и не слиш-
266
ком сложен, потребовал бы довольно широкого
рассмотрения различных вопросов распростра-
нения волн, что увело бы нас слишком далеко
от намеченных целей. Поэтому мы удовлетво-
римся тем, что уравнение, полученное Корте-
вегом и де Фризом — КдФ-уравнение,— вы-
глядит так, а не иначе.
Сразу бросается в глаза, что это уравнение
похоже на уравнение Бюргерса. Оно отличает-
ся лишь тем, что вместо второй производной
искомой функции в нем стоит третья производ-
ная. В этом различии заключается, однако,
очень глубокий физический смысл, анализиро-
вать который, к сожалению, у нас здесь нет
возможности.
Уравнение (138) со времени своего появ-
ления в 1895 году изучалось многими исследо-
вателями. Эти исследования продолжаются до
сих пор, так что решение уравнения остается
актуальной задачей. Для этого решения раз-
работаны изощренные методы, значение кото-
рых выходит за рамки данного частного урав-
нения. Увы, методы эти слишком сложны, что-
бы говорить о них на элементарном уровне.
И все же кое-что об уравнении и его решении
на элементарном уровне рассказать можно, и
мы сейчас это сделаем. Конечно, легкий успех,
достигнутый при решении уравнения Бюргер-
са, вызывает искушение подобрать некоторую
похожую подстановку, но сделать это не так-то
просто. Поэтому мы рассмотрим некоторое
специальное решение уравнения КдФ, относя-
щееся к специальному случаю стационарной
бегущей волны. Это такая волна, которая со-
храняет свою форму во времени, так что, хотя
она и распространяется в пространстве, явной
267
зависимости формы волны от времени не на-
блюдается. Это означает, что частная произ-
водная dv[dt равна нулю, в результате чего
уравнение (138) приобретает вид
dv р. d3v
дх	дх3
dv 1 д (у2)
Учитывая, что v— =----------это уравне-
дх 2 дх
ние можно один раз проинтегрировать, что дает
<139>
дх 2
где и0 постоянная интегрирования, которую
далее положим равной единице (это не нару-
шает общности рассуждений).
Введем функцию w = v3l§ — v/2, с помощью
которой уравнение (139) можно записать в
виде
=	(140)
дх2 дх	V 7
Рассматривая функцию w как некоторый
«потенциал», его производную можно рассмат-
ривать как «силу».
Присмотритесь к уравнению (140) повни-
мательней. Здесь напрашивается такая анало-
гия: если рассматривать коэффициент D как
«массу» некоторой частицы с «координатой»
v, то в левой его части стоит произведение
«массы» на «ускорение», если переменную х
трактовать как «время», в правой же части
этого уравнения стоит «сила». Мы будем да-
лее употреблять все эти термины без кавычек,
потому, что полученное обыкновенное диффе-
ренциальное уравнение хорошо известно и изу-
чено в теории колебаний. Это уравнение коле-
268
баний своеобразного математического маятни-
ка, отличающееся от уравнения гармонических
колебаний тем, что вызывающая колебания
сила не линейна, а квадратична по координа-
те. Одно из решений уравнения (140) имеет
вид
u = 3/ch2(x/(2yF)),	(141)
в чем можно убедиться непосредственно, под-
ставив решение (141) в уравнение (140). При
этом следует учесть, что функция ch z есть
гиперболический косинус, определяемый как
ch 2= (ez+e-z)/2.
Уравнение (141) как раз и описывает фор-
му солитона (рис. 36) — бегущей стационар-
ной уединенной волны, которая сохраняет
свою форму неизменной во времени. Именно
такую волну и наблюдал Рассел на поверх-
ности канала.
Это одно из возможных решений уравне-
ния КдФ. Существуют и другие решения, по-
лучение которых требует более совершенной
математической техники, чем та, которой мы
располагаем.
269
Два рассмотренных примера убедили нас
в том, что хотя решение нелинейных уравне-
ний — дело действительно непростое, но все-
таки в некоторых случаях возможное. Там же,
где аналитические усилия не дают результа-
тов, для решения нелинейных уравнений при-
ходится привлекать ЭВМ, но это уже совсем
другая тема.
Круг задач, связанных с изучением нели-
нейных волновых процессов в самых различ-
ных физических системах, наряду с упомяну-
тыми описывается и другими уравнениями, на-
пример нелинейным уравнением Шрёдингера,
так называемым уравнением sin-Gordon и др.
И для этих уравнений удалось все-таки разра-
ботать довольно общий метод решения, кото-
рый получил название метода обратной зада-
чи. Сущность этого метода не поддается эле-
ментарному пересказу, он- представляет собой
весьма сложную математическую теорию, по-
нимание которой требует знания многих разде-
лов математики, названия которых даже не
упомянуты в этой книге. Существенно, что с по-
мощью метода обратной задачи удается полу-
чить именно точные решения в аналитическом
виде. По мнению некоторых специалистов, ме-
тод обратной задачи представляет собой «одно
из самых красивых открытий математической
физики XX века».
Нелинейные уравнения и связанные с ними
солитонные решения многочисленными нитя-
ми связаны с различными аспектами разнооб-
разных физических задач. В последние годы
были высказаны предположения, что так на-
зываемые элементарные частицы также явля-
ются своего рода солитонами. И хотя физика
270
все еще пользуется в большинстве случаев
линейными уравнениями, ясно, что всякая ли-
нейность— это частный случай более общей
закономерности, которая скорее всего нели-
нейна по своей природе. Нелинейность связа-
на, например, с такими физическими эффек-
тами, как самофокусировка света, ударные
волны, взрывы и многие другие. Мир, окру-
жающий нас, нелинеен, и математическая
физика все больше старается учесть это об-
стоятельство, откликаясь на него развитием
адекватных методов.
Отдели и мир,
Я провожу четкое различие
между реальным, действитель-
ным миром и несколькими мо-
дельными мирами, созданными
человеческим умом. Следова-
ло бы воздать хвалу тому, кто
додумался до различия этих
миров.
Дж. Синг. Беседы о теории
относительности
аш разговор о том, как мате-
матика помогает физике, под-
ходит к концу. И подобно тому,
как в классической фортепиан-
ной сонате реприза возвращает главную, на-
чальную тему, мы вернемся к проблеме связи
моделей с реальным физическим миром. Хотя
об этом вначале уже и шла речь, теперь воору-
женные, пусть небогатым, но конкретным опы-
том построения и исследования математиче-
ских моделей, мы можем взглянуть на эти свя-
зи с новой точки зрения.
И здесь надо отметить, что мир моделей,
как и его реальный прообраз/— вовсе не за-
стывшее нагромождение раз и навсегда зафик-
сированных схем и правил. По мере того, как
человек расширяет свои познания о реальном
мире, появляются и новые модели, отражаю-
щие то новое, что удалось человеку «выпы-
272
18 Э. Т. Соколов
тать» у природы. Но вместе с тем модельный
мир — отнюдь не зеркало, равнодушно отра-
жающее все, что попадает в поле его зрения.
Связанные живым кровотоком — человеческой
мыслью — два мира непрерывно и интенсивно
обмениваются идеями, указывая друг другу
пути и способы познания действительности.
Отталкиваясь от реальных наблюдений, физи-
ка строит математические модели, которые
помогают осмыслить наблюдаемый мир, объ-
яснить его и сверх того понять, какие вопросы
еще надо задать Ее Величеству Природе, что-
бы она охотнее раскрывала свои тайны.
Мы построили несколько моделей. Это мог-
ло показаться нетрудным делом, но легкость
эта обманчива, ведь она основана на опыте
многих поколений. Часто сроки, разделяющие
открытие физического явления и появление его
математической модели, составляют годы, а то
и десятилетия. Камерлинг-Оннес в 1911 году
обнаружил, что проводник из ртути, охлажден-
ный до нескольких градусов абсолютной тем-
пературы, перестает оказывать сопротивление
прохождению электрического тока. Несколько
поколений исследователей безуспешно пыта-
лись объяснить это загадочное до поры до вре-
мени явление. И хотя успех пришел не сразу,
постепенно накопленный опыт выкристалли-
зовался в математическую модель, позволяю-
щую не только подтвердить наблюдения
Камерлинг-Оннеса, но и понять физическую
природу сверхпроводимости. Это произошло
в 1950 году. Оказалось, что электроны, пред-
ставляющие собой вращающиеся «волчки»
(это свойство называется «спином»), при опре-
деленных условиях могут «спариваться» меж-
274
ду собой, причем спариваются «волчки», вра-
щающиеся в противоположные стороны (с
противоположными спинами). Такие пары, на-
зываемые «куперовскими» (по имени Купера,
предложившего такую модель), пролетают
сквозь решетку, не испытывая сопротивления.
Ценность модели, однако, не исчерпывает-
ся ее способностью объяснять известные фак-
ты. Модель считается продуктивной, когда
наряду с тем, что известно, она описывает не-
известное ранее. Еще лучше, если она подска-
зывает, как именно это неизвестное обнару-
жить. Сверхпроводимость, как выяснилось, на-
блюдается при очень низких — несколько
градусов Кельвина — температурах. Это весь-
ма затрудняет ее практическое использование,
имеющее огромное значение.
Сегодня всем известно, что человечество
сталкивается с серьезной нехваткой энергети-
ческих ресурсов. Электрическая энергия, вы-
рабатываемая на электростанциях, передается
потребителям по проводам, при этом часть
энергии безвозвратно теряется. Эти потери
могли бы быть существенно уменьшены, если
ток передавать по сверхпроводящему кабелю.
Известные материалы обладают сверхпрово-
дящими свойствами, как говорилось, лишь при
очень низких температурах. Содержание кабе-
ля при низкой температуре само по себе тре-
бует немалых затрат энергии. Поэтому стоит
задача получения сверхпроводящих материа-
лов при нормальных, комнатных температу-
рах. Как такую задачу решить? И здесь на
помощь приходят математические модели. Их
анализ показал, что такие материалы следует
искать среди сплавов.
18*
275
Эти поиски позволили поднять температуру
сверхпроводящего перехода до трех десятков
градусов. В значительной степени этот про-
гресс был обеспечен теоретическим анализом.
Экспериментаторы, впрочем, тоже не дремали.
Их поиски увенчались сенсационным успехом:
совсем недавно (1987 г.) удалось на основе
сложных систем — керамических материалов
поднять границу сверхпроводимости до 100 К
и даже выше. Что касается модели этого явле-
ния в керамических системах, то пока ее по-
просту нет. И не в последнюю очередь вслед-
ствие этого результаты по изготовлению высо-
котемпературных сверхпроводников не отли-
чаются пока стабильностью.
И все-таки значение моделей шире непо-
средственной, практической пользы.
Однажды один из создателей квантовой ме-
ханики Гейзенберг рассказал Эйнштейну о
своем замысле создать такую физическую тео-
рию, которая целиком основывалась бы на
измерениях и не содержала бы никаких «фи-
зических» допущений. В ответ на это Эйнштейн
заметил, что замысел Гейзенберга неосущест-
вим по той причине, что мерить можно лишь
то, что «допускает» и «понимает» теория.
Чтобы проиллюстрировать это замечание
Эйнштейна, рассмотрим процесс взвешивания
на пружинных весах, таких, которые стоят в
большинстве магазинов (со стрелкой). Пред-
положим, что продавец кладет на тарелку
весов сыр и, глядя на стрелку, говорит вам:
«Триста граммов». Стрелка действительно
стоит около цифры 300, но давайте разберемся,
что видит продавец. Он видит отклонение
стрелки от цифры 0. На каком же основании
276
он утверждает, что масса (или вес, пропорцио-
нальный массе) именно такова, а не иная?
Когда сыр попадает на чашку весов, благода-
ря собственному весу он оказывает на нее
определенное давление, пропорциональное
массе. Под влиянием этой силы происходит
деформация пружины (она сжимается), а си-
стема рычагов, связывающая пружину со
стрелкой, «переводит» сжатие пружины в от-
клонение стрелки. Таким образом, в действи-
тельности измеряется некоторое расстояние, а
не масса. Можно, конечно, рассуждать так:
возьмем килограммовую гирю, положим ее на
весы и заметим, насколько сжалась пружина;
после этого можно считать, что всякая масса,
вызвавшая такое же сжатие пружины, равна
килограмму. Такое рассуждение будет вер-
ным, и так, собственно говоря, и поступают.
Но какие основания есть для того, чтобы это
«килограммовое» отклонение стрелки разде-
лить на тысячу равных частей и после этого
считать, что отклонение на одно деление соот-
ветствует приросту массы в один грамм? Осно-
вание может быть только одно: мы неявно
предполагаем, что сила пропорциональна сме-
щению. Это утверждение нам уже встречалось:
оно составляет закон Гука, простейшую мо-
дель, связывающую упругую силу со смеще-
нием. А если учесть еще, что переход к массе
связан с предположением о пропорциональ-
ности массы и веса, то окажется, что простей-
ший процесс взвешивания сыра опирается
сразу на две теоретические модели!
Мы видели, что модели можно строить,
основываясь на некоторых общих утвержде-
ниях, таких, например, как законы Ньютона,
277
закон сохранения энергии, и такой путь по-
строения моделей отражает одно их важное
и неотъемлемое свойство: они не должны про-
тиворечить физическим законам, справедли-
вость которых надежно установлена. Однако,
вычислив силу или энергию на основе некото-
рых физических предположений, мы вступаем
в совершенно иную область человеческого
мышления — математику, оперирующую с
уравнениями.
Но если построенная математическая мо-
дель физического процесса оказывается в
«сфере влияния» математики, то чем же она
отличается от «обычной» математической за-
дачи?
Ответ на этот вопрос чрезвычайно важен,
ибо он проясняет различие физического и ма-
тематического подходов к решению уравнений.
Если рассматривать уравнение с точки зрения
«чистой» математики, то все его решения в
равной степени имеют смысл, а любые значе-
ния параметров равноправны. Иначе говоря,
для математики важна лишь структура урав-
нения. Когда за уравнение принимается фи-
зика, она также использует логику математики,
но эта логика дополняется логикой природы —
той дополнительной информацией, которую
доставляет физике знание реального мира.
Эта дополнительная информация может вы-
ступать в самом различном обличье, напри-
мер: как малость некоторых величин в сравне-
нии с другими (вспомните резонанс маятника
без затухания), заведомая положительность
или отрицательность каких-либо членов урав-
нения, соображения симметрии, вытекающие
из рассмотрения реальной физической задачи,
278
и многие другие. Академик Мандельштам го-
ворил, что физика учит нас, как допрашивать
дифференциальные уравнения.
И еще одно различие, вытекающее из это-
го: полученное решение с точки зрения мате-
матики должно удовлетворять одному-единст-
венному требованию — быть правильным. Что
же касается проверки правильности, ее обе-
спечивает само уравнение: решение, естествен-
но, должно удовлетворять уравнению, для
которого оно получено, и это достаточно оче-
видно. С точки зрения физики дело обстоит со-
вершенно иначе: решение также должно удо-
влетворять уравнению, но, помимо этого, оно
не должно противоречить экспериментальной
информации, получаемой из опыта.
Если же расхождение между решением и
экспериментом все-таки наблюдается, то это
означает, что рассматриваемая математиче-
ская модель не соответствует физическому
явлению и по этой причине должна быть за-
менена другой, более совершенной. А измене-
ние модели, возможно, перенесет нас в совер-
шенно другую область математики. И тогда
немедленно встает вопрос: известно ли полу-
чившееся уравнение (если наша модель —
уравнение) математикам, то есть знают ли
они, как с ним обращаться?
Математика — наука «независимая», раз-
вивающаяся по своим внутренним законам,
вообще говоря, не связанным непосредственно
с потребностями математических моделей, воз-
никающих при решении физических задач
или, проще, при исследовании природы. Мы
уже отмечали в начале нашего повествования,
что логика мира идей, хотя и не противоречит
279
логике материального мира, но обладает от-
носительной самостоятельностью. По этой при-
чине в практическом взаимодействии матема-
тики и физики бывает всякое: может статься,
что математическая модель уже известна ма-
тематикам, а может быть, и нет. Вот что гово-
рит по этому поводу Ричард Фейнман: «Когда
в физике проблема оказывается трудной, мы
можем заглянуть к математикам — вдруг они
уже встречались с такими вопросами и имеют
готовые способы доказательства? Но может
оказаться, что они этим еще не занимались.
Тогда нам придется самим изобрести доказа-
тельства и потом передать их математикам».
Математика возникла первоначально из по-
требностей людей в счете (арифметика), зем-
лемерии и астрономии (геометрия и тригоно-
метрия). Сегодняшние потребности людей в
математике возникают практически во всех
областях человеческой деятельности. И надо
сказать, что математика в большей части слу-
чаев соответствует предъявляемым требова-
ниям. Как же поступают в тех случаях, когда
обнаруживается нехватка математических
средств? Такие физические (а более широко —
химические, биологические, экономические и
прочие) ситуации, подобно центрам кристал-
лизации в перенасыщенном растворе, играют
роль узловых точек, в которых начинается рост
новых направлений математики.
В 1926 году выдающийся английский фи-
зик Поль Дирак, один из создателей кванто-
вой механики, ввел в физический обиход
«странную» функцию. Все, что поначалу было
о ней известно, определялось соотношением
вида
280
4-00
J Ф (x) б (x — x0) dx = ф (x0),
—00
где ф(х)—самая обычная функция. Смысл
дельта-функции, таким образом, заключается
в том, что она ставит в соответствие одно зна-
чение функции другому: ф(х)->ф(х0).
Математика в те времена не знала ничего
подобного, и многие встретили новую функцию
«в штыки». Но прошло некоторое время, функ-
ция прижилась, оказалась плодотворной при
решении многих физических задач. Признали
ее и математики. Анализ показал, что сущест-
вует множество функций, обладающих сход-
ными «странными» качествами. Для отличия
от классических они получили название обоб-
щенных функций. Сегодня теория обобщенных
функций — вполне классическая область ма-
тематики со всеми атрибутами строгости и
стройности, присущими этой науке.
Это, конечно, лишь один из многочислен-
ных примеров того, как физика, широко ис-
пользуя известные математические средства
при исследовании природы, «расплачивается»
с математикой выдвижением новых математи-
ческих проблем, которые после математиче-
ского «перевоспитания» могут быть эффектив-
но использованы для решения физических
задач.
И в этом непрерывном обмене идеями, в по-
стоянном взаимодействии двух наук, обогаща-
ющем и способствующем развитию обеих,—
залог их плодотворного и успешного развития.
указатель
Базис 59
Близость k-ro порядка
226
— нулевого порядка 225
— первого порядка 226
Брахистохрона 216, 218,
228, 237, 245
Вариационное исчисление
219
Вариация функционала
227, 230, 235
Вектор 54
— единичный 58
Векторное поле 79
Волна нелинейная 249
— стационарная бегущая
267
— стоячая 158, 167
—	трансляции 250
Волны электромагнитные
156
Вторая производная 47
Высота звука 167
Вязкость жидкости 260
—	объемная 260
—	сдвиговая 260—262
—	функции 75
Градусы абсолютные 176
Граничные условия 163
Громкость звука 167
Движение материальной
точки 253
Дивергенция (расходи-
мость) 79
Дифференциал 44, 223,
226, 228
Дифференциальное исчи-
сление 42
—	уравнение 91, 95, 96
----в частных произ-
водных 96
----обыкновенное 96
Дифференцирование 42
Диффузионные члены
уравнения 263
Жесткость пружины 95
Жидкость неньютонов-
ская 262
— ньютоновская 262
Гармоники 142
Градиент температуры
189
Задача Дирихле 199
— о брахистохроне 219
Задачи вариационные 221
Закон Гука 95, 112, 277
282
— Ньютона 49, 112, 203,
253
Законы 12, 13
— объективные 13
Замена переменной 90
Интеграл Фурье 145
Интегральное исчисление
50
— преобразование 146
Интегрирование 60, 235
Источник 79
Класс функций 222
Колебания акустические
172
— вынужденные 121
— гармонические 100
-----затухающие 113
— поперечные 152
— свободные 118
— электрические 172
Компоненты вектора 57
Конвекция 186
Конечность амплитуды
колебаний 125
Коэффициент температу-
ропроводности 180, 187
Криволинейная трапеция
87
Кривые близкие 228
Куперовские пары элек-
тронов 275
Логика 14
Математическая логика
15
— струна 151
Математические модели
28, 94, 203, 272—281
Материальная точка 203,
238, 253
Маятник математический
104
—	физический 104
Метод обратной задачи
270
—	разделения перемен-
ных 160
Модели 18—23
Модель продуктивная
275
Модельное изображение
21
Модуль вектора 58, 62
Начальные условия 97,
98
Неопределенный инте-
грал функции 89
Нечетность синуса 166
Обертоны 167
Оператор Лапласа (лап-
ласиан) 81, 261
Определенный интеграл
функции 88
Опыт 17
Основной тон струны 167
Отражение 64
Период функции 134, 143,
144
Первообразная функция
85, 90
Плотность силы 255, 259
Поведение модели нефи-
зическое 122
Подстановка Коула —
Хопфа 264
Поле скоростей 253
— стационарное 201
283
Полиномы 147
Порядок дифференци-
ального уравнения 96
Потенциал 202
Правило дифференциро-
вания сложной функ-
ции 233
Предел 40, 41
Принцип суперпозиции 97
Произведение векторное
60, 63
—	диадное (диадик) 66
—	прямое 66
— скалярное 60, 61
Производная функции 41,
223, 224
Пространство трехмер-
ное 56, 67
Псевдовекторы 65
Пучность волны 168
Ранги тензоров 66
Резонанс 116, 127
Реология 262
Решение тривиальное
163
— уравнения дифферен-
циального 96
----общее 120
---- частное 121, 164
Ротор (вихрь) 80
Ряд Фурье 42, 141, 143
----тригонометрический
147
Свертка 69, 70
Сверхпроводимость 274,
275
Сдвиговые напряжения
260
Семейство кривых 99
Силы упругости 151
Сильные максимумы 226
— минимумы 228
Симметрия 199
— зеркальная 200
— тензоров 68
Система отсчета 54
Скаляр 57
Скорость тела 49
Солитон (уединенная
волна) 248, 249, 251, 266,
269, 270
Состояние стационарное
194
Спин 274
Сток 79
Субстанциональная про-
изводная 258, 259
Схемы электрические эк-
вивалентные 173
Тембр звука 170
Тензор 66
— второго ранга 261
— вязких напряжений
261
Тензорное исчисление 71
Теплоемкость 177
— при постоянном объ-
еме 177
Течение вязкой жидкости
260
Точки перегиба 232
Узлы стоячей волны 168
Уравнение Буссинеска
251
— Бюргерса 252, 262,
263, 267
— волновое 150, 156
----- линейное 248
----- нелинейное 248,
251
— гармонических коле-
баний 100
284
— Кортевега — де Фри-
за (КдФ) 251, 266,
267, 269
— Лапласа 42, 195, 198,
201, 205, 213
— нелинейное 243
— неоднородное 119
— неразрывности 190
— Пуассона 196, 212
— состояния (термиче-
ское уравнение состоя-
ния) 190, 191
----- калорическое 191
— телеграфное 172
— теплопроводности 180,
187, 265
— Эйлера 237, 241
Уравнения гиперболиче-
ские 173
— параболические 173
— эллиптические 173
Ускорение тела 49
Формула Ньютона —
Лейбница 88, 89
— Эйлера 107, 109
Функции близкие 224
— гармонические 199
— многих переменных
74
— обобщенные 281
— «хорошие» 42, 86
Функционал 220, 228—
—230, 232, 237, 240,
245
— непрерывный в смы-
сле близости k-ro по-
рядка 226
Функция волнистая 224
— гладкая 224
— затухающая неперио-
дическая 114
—	квадратичная 45
—	непериодическая 144
—	непрерывная 223
— периодическая 134
— сложная 233
— сферическая симме-
тричная 201
Фурье-образ функции
145
Циклоиды 245
Цунами 246, 248
Частица жидкости 254
Частная производная 74
Частота колебаний соб-
ственная 103
— функции 145
Часть комплексного чи-
сла действительная
106
------- линейная 106
Числа действительные
(вещественные) 105
— линейные 105
Экспонента (экспоненци-
альная функция) 106
Экстремали 237
Экстремум функционала
232
— функции 233
Энергия средняя кинети-
ческая 176

Портрет неунакошки
у парадного подъезда.
Звддожник и его модель
Голодная мышь,
с помощью которой
будут убиты дка уайца
ю
18
24
34
/ актомобиле
52
(0{,ак научиться
играть на наоле	72
Щто показал
спидометр	82
сфоло для куранток с коем,
или (kfCak работает
укорная пружина	92
(^станоките маятник	ПО
@Moe на качелях	116
Строителъстко и архитектура ($т битлуок уо парохоуных гуукок &>олны, которые стоят на месте	130 148 158
Скак греет печка Алгебра гармонии брахистохрона, или (£Какой путь быстрее у инока я колна к океане	174 192 216 246
О^оуели и мир	272
<§Среуметный указатель	282
Научно-популярное издание
Соколов Эдгар Терентьевич
КЕНТАВР,
или Как математика
помогает физике
Редактор С. Ю. Липец
Художник В. И. Шелк
Художественный редактор Ю. С. Сергачев
Технический редактор М. Н. Кислякова
Корректор В. П. Шкредова
ИБ № 2639
Сдано в набор 12.02.87. Подписано в печать 09.12.87.
АТ 16814. Формат 70Х90’/з2. Бумага мелованная. Гарни-
тура литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 10,53.
Усл. кр.-отт. 10,75. Уч.-изд. л. 10,66. Тираж 20 000 экз.
Зак. 143. Цена 1 р. 50 к.
Издательство «Вышэйшая школа» Государственного ко-
митета БССР по делам издательств, полиграфии и книж-
ной торговли. Минск, 220048, проспект Машерова, 11.
Минский ордена Трудового Красного Знамени полиграф-
комбинат МППО им. Я. Коласа. 220005, Минск, ул. Крас-
ная, 23.

Э.Т. Соколов
КЕНТЙВР
или
^Rak математика
помогает