Е. П. Бененсон, Е. В. Вольнова, Л. С. Итина
_d/)
МАТЕМАТИКА
ГЕОМЕТРИЯ
УДК 373.167.1:514
ББК22.151я71
Б46 CfLjP	 V V\
ДОРОГОЙ ДРУГ! WjL
Приглашаем тебя в увлекательное путешествие по
стране ГЕОМЕТРИЯ на планете МАТЕМАТИКА.
Книжка, которую ты держишь в руках, расскажет
тебе о плоскости и пространстве. Ты узнаешь, что всё
население страны ГЕОМЕТРИЯ — фигуры — делится
на тех, кто может жить на плоскости, и тех, кто на
плоскости не помещается. Встретишь знакомые фигу-
ры — цилиндры, кубы, квадраты, треугольники...
Узнаешь, как, глядя на пространственное сооружение
с трёх сторон, изображают его на плоскости...
В путешествии тебе понадобятся:
•	ручки и карандаши, линейка;
•	набор геометрических фигур (конструктор);
•	картон или плотная бумага;
•	ножницы, клей или клеящий карандаш;
•	кубики (с рисунками, буквами или цифрами);
•	книжка из картона (книжка-игрушка);
•	3—4 картонные коробки любых размеров, на ко-
торых можно рисовать;
•	пластилин, шнурок или тесьма.
В добрый путь!
ПОЗНАВАЙ, РАССУЖДАЙ, РИСУЙ,
РАСКРАШИВАЙ, ФАНТАЗИРУЙ...
/	\ X 3'	Уважаемые взрослые!
II	Пожалуйста, откройте с. 31 прежде,
чем передадите эту книгу детям.
ISBN 5-8407-0020-7
© Е. Бененсон, Е. Вольнова, Л. Итина, 1999
© Издательский дом «Федоров», 1999
t | Посмотри на свою комнату.
У неё ровный пол? Ровные стены? Ровный пото-
лок?
Представь, что и пол, и стены, и потолок в комнате
идеально ровные. Тогда пол — плоский, вся его
поверхность — часть одной плоскости. А поверх-
ность потолка — часть другой плоскости. Поверх-
ность стены — часть плоскости, но поверхности
разных стен относятся к разным плоскостям
пространства, в котором мы живём.
Как ты думаешь, может ли поверхность какой-
либо из стен в комнате принадлежать той же
плоскости, что и поверхность пола? | | | J
А поверхность потолка и поверхность стены могут
быть частями одной и той же плоскости? | ] [~
Как ты думаешь, в этой классной комнате при-
надлежат ли одной и той же плоскости:
1) закрашенные поверхности двух парт?
2) заштрихованная поверхность учительского сто-
ла и закрашенная поверхность парты? | | | | | |
Книжку поставили на стол вот так:
Скольким разным плоскостям принадлежат стра-
ницы этой книжки: 1, 2, 3, 4, 5-я?
																										
2
Какие страницы принадлежат одной и той же плос-
кости?
Перечисли их:| | | | I I I I I I I I I I I I I I
Скольким разным плоскостям принадлежат стра-
ницы: 1,2,3,4,5-я? I I I I I I I I I I I I I I I
I Возьми книжку-игрушку и положи на стол так,
чтобы её страницы принадлежали как можно мень-
шему числу разных плоскостей.
Нарисуй, как это сделать.
JI На рисунке ты видишь космическую орбитальную
станцию.
Скольким плоскостям принадлежат поверхности
солнечных батарей?	Г-]
3
Поверхность стола, страницы книги имеют края,
то есть границу.
Математики договорились о том, что:
Плоскость не имеет границ.
Плоскость бесконечна.
Плоскость не имеет толщины.
Вернёмся к заданию 5. Чтобы 10 страниц нашей
книжки-игрушки принадлежали как можно мень-
шему числу плоскостей, мы полностью положили
её на стол.
Скольким разным плоскостям принадлежат 10 стра-
ниц книжки — одной или двум? I I I | | | |
Объясни ответ.
Раздели фигуры на две группы.
По какому признаку ты разделил фигуры на две
группы?
4
Геометрические фигуры бывают плоскими и про-
странственными .
Плоская фигура укладывается на одной какой-
нибудь плоскости, все её точки принадлежат этой
плоскости.
Пространственная фигура не укладывается ни на
какой плоскости, её точки все вместе не принадле-
жат никакой одной плоскости.
Ты разделил фигуры на пространственные и
плоские?
Соедини названия фигур с их изображениями:
красным цветом — названия пространственных
фигур, синим — плоских.
ЦИЛИНДР
КРУГ
ШАР
КУБ
КВАДРАТ
ТРЕУГОЛЬНИК
Возьми книжку-игрушку. Открой её.
В качестве какой фигуры следует рассматривать её
страницу — плоской или пространственной^
(Подчеркни.)
Отметь V, в каком случае всю книжку-игрушку
можно рассматривать как плоскую фигуру:
2] если её закрыть, / /$ / 7 Г~ТТ~Т^ГП
расставить на столе,	7-7-v^/ ;~г~7 1
полностью разложить на столе
5
Дорисуй рисунки так, чтобы они стали одинако-
выми.
Форму какой знакомой тебе пространственной фи-
гуры имеет барабан? I I I I I I I I I I I I I I I
Форму какой всем известной плоской фигуры име-
ет часть барабана, по которой ударяет барабан-
щик? I I I I I I I I I I I I I I
6
I Ч Посмотри на любую монету. Отметь, какую она
имеет форму:
КРУГА □ или ЦИЛИНДРА □
Ты можешь назвать предмет, имеющий форму
«настоящего» круга? | I I I I I I I I I I I I ~1
Вылепи из пластилина модель квадрата.
А «настоящий» квадрат можешь вылепить?
Объясни свои ответы.
Отметь V часть стула, которую можно рассматри-
вать как плоскую фигуру, >|( — как пространствен-
ную:
Ножка
сиденье
заштрихованная
поверхность спинки
, заштрихованная по-
верхность сиденья
поверхность |.
вся заштрихованная
i'q Слепи из пластилина какую-нибудь пространст-
венную фигуру и нарисуй какую-нибудь плоскую
фигуру.
7
2] На сколько квадратов разделена эта плоская
фигура?
На сколько треугольников?
Перечерти эту фигуру. Наклей её на
картон или плотную бумагу. Затем
вырежи её из картона (плотной
бумаги) и разрежь на треугольни-
ки — получишь детали игры «Удиви-
тельный треугольник».
Как . ты считаешь, деталь игры —
треугольник или модель треугольни-
															
А если детали вырезать не из картона
или плотной бумаги, а из тонкой
бумаги — это будут треугольники или
модели треугольников?
Объясни свои Ответы.
Модели трёх плоских фигур составь
на столе из одного и того же числа
деталей игры «Удивительный тре-
угольник». Решение покажи на чер-
теже, разделив фигуры на треуголь-
ники.
Сохрани детали игры — они тебе ещё
пригодятся.
8
Можно ли слепить из пластилина или вырезать из
бумаги пространственную фигуру, состоящую из
двух граней куба? | | |
Вернись к заданию 13. Отметь Ж, что можно сле-
пить из пластилина.
Сделать из какого-либо материала можно только те
пространственные фигуры, которые называются
тела. Тело занимает место в пространстве. Шар —
геометрическое тело; поверхность шара — про-
странственная фигура, но не тело.
9
| Какой фигурой ты считаешь тень тела: плоской
или пространственной
?
Тени этих тел «сбежали». Проведи стрелку от
каждого тела к его тени.
Представь себе нарисован-
ный здесь домик и зашт-
рихуй кружки:
1-й (слева) — для тел;
3-й — для плоских фигур;
5-й — для пространствен-
ных фигур.
10
1)	домик в целом ООООО»
2)	крыша ООООО;
3)	поверхность крыши ООООО »
4)	дверь ООООО»
5)	внешняя поверхность двери (вместе с поверх-
ностью ручки) ООООО;
6)	стена ООООО;
7)	поверхность боковой стены ООООО 5
8)	поверхность трубы ООООО 5
9)	поверхность оконного стекла ООООО»
10)	труба ООООО •
На какую известную тебе фигуру похожа труба?
На | | | I I I I I I I I I I I -
_ | Дорисуй рисунки. На них должен быть изображён
точно такой же домик, как в задании 18.
11
Художник рисовал озеро четыре раза, глядя на не-
го с разных сторон.
Первый раз художник смотрел на озеро так, как
смотришь на него ты. Отметь рисунок V.
Во второй раз художник любовался озером с
противоположного берега. Поставь X.
12
Третий рисунок создан на правом берегу, правее
домика для лебедей. Отметь его Ж.
Рисунок, созданный на левом берегу, пометь Ж.
Раскрась верхний рисунок и составь по нему рас-
сказ. Не забудь: тебя интересуют форма предметов
и их взаимное расположение в пространстве.
Поставь цилиндр на стол так, чтобы он стоял, а не
катился. Какую плоскую фигуру ты видишь, глядя
на него сверху? | | | | | | | |
А если посмотреть сверху на куб? | | I I I I I I
Тщательно расправленная гладкая бумажная
салфетка квадратной формы это — плоская Фи-
гура
или тело
Представь, что такую салфетку сложили пополам и
ещё раз пополам. Затем отрезали кусочек. Остав-
шуюся часть разложили на столе.
Какую плоскую фигуру ты уви-
дишь, посмотрев сверху? Отметь
её любым способом.
Проверь свой выбор экспериментально.
13
_1 Дорисуй рисунки так, чтобы они стали одинако-
выми.
Представь, что ты стоишь перед скворечником.
Какую плоскую фигуру ты видишь? Отметь её V.
ЕН
Подумай над словами Анри Пуанкаре, француз-
ского математика, физика и философа: «Не будь в
природе твёрдых тел, не было бы и геометрии».
14
j Винтик и Шпунтик брали разные цилиндры и ку-
бы, ставили их друг на друга и склеивали. Винтик
ставил цилиндр на куб, а Шпунтик — куб на ци-
линдр. Потом они смотрели на полученные скульп-
туры сверху и рисовали увиденные плоские фи-
гуры.
Соедини каждого с его фигурами.
с
										
15
Реальные предметы «не живут» на плоскости. Но
люди договорились использовать для их описания
чертежи, состоящие из трёх плоских фигур. Пер-
вая фигура показывает, как выглядит предмет
спереди, вторая — сверху, третья — слева.
Собери конструкцию из кубиков и обведи:
вид спереди — красным, вид сверху — синим, вид
слева — зелёным.
Волшебного человечка зовут Конструк-
тор. У него необыкновенная шея, которая
может как угодно поворачиваться и рас-
тягиваться. Он любит придумывать раз-
личные конструкции из кубиков и посы-
лать чертежи своим друзьям.
А те по чертежам собирают его
J конструкции из своих куби-
ков.
Вот он придумал такую кон-
струкцию.
16
И стал делать её чертёж.
Собери конструкцию из кубиков.
Соедини каждый из трёх видов чертежа с рисун-
ком, на котором Конструктор чертит этот вид.
ЕИ А этот чертёж Конструктор прислал тебе. Собери по
нему конструкцию из кубиков.
17
Е Собери конструкцию из кубиков и отметь: вид
спереди — V, вид сверху —X, вид слева —
а)
18
I] Принято на чертежах три вида размещать так:
|^ВИД СПЕРЕДИ^ С2ЭИД СЛЕВА^
(^ВИД СВЕРХУ^
Собери конструкцию из кубиков по чертежам.
Дорисуй левый рисунок. Для этого из правой рам-
ки в левую перенеси все недостающие линии.
19
Какой из трёх рисунков можно полностью обвести
одной линией? Обведи рамку с этим рисунком.
Выложи на столе модель этой линии (из шнурка
или тесьмы).
Возьми картонную коробку, на которой можно
рисовать. Твоя коробка — плоская фигура О или
пространственная L_J?
Перерисуй на картонные коробки рисунки:
На скольких плоскостях нарисован каждый
рисунок?
Нарисуй на коробке зелёным цветом линию, цели-
ком лежащую!/в одной какой-либо плоскости,
красным — линию, разные части которой принад-
лежат нескольким плоскостям.
Продолжи линию.
20
Линия, которую чертят в тетради,
плоская фигура? | | | | | |
А линия, изображённая на вазе,
плоская фигура? I I I I I I
Отметь зеркала с плоской поверхностью.
На одном из зеркал проведи зелёным плоскую ли-
нию, а красным — пространственную линию, раз-
ные точки которой принадлежат многим разным
плоскостям.
Раскрась тех, кто смотрится в зеркало, не лежащее
в одной плоскости.
21
Ученики лесной школы сделали чертёж конструк-
ции, стоящей на прозрачном столике.
22
Вид спереди начертил Зайчик.
Кто выбрал место или позу, не подходящую для
создания чертежа? Отметь V тех, кто расположил-
ся не с той стороны от столика. Раскрась тех, кто
выбрал нужное место, но не так повернулся.
Напиши около каждого вида, кто его начертил.
Собери конструкцию по чертежу.
23
Цр| Ты читал книгу Л. Б. Гераскиной «В стране невы-
ученных уроков»? Путешествуя по этой стране,
школьник Виктор Перестукин встретил двух че-
ловечков по имени Плюс и Минус. Человечки про-
давали газированную воду, но не за деньги, а за
правильные ответы на математические вопросы.
А Виктор и его говорящий кот Кузя очень хотели
пить.
Представь, что Виктора спросили: «Сколько пря-
мых можно провести на плоскости? »
Что ты ответил бы на его месте?
Посмотри, как могли бы рассуждать Виктор и его
друг Кузя.
Ещё 1000
прямых проведу.
Начерчу-ка я
100 прямых.
И я рядом
проведу прямую.
Ещё прямую
добавлю.
Получается, сколько бы прямых
я ни провёл, Кузя всегда сможет
добавить свои!
24
Ты согласен с Виктором? | | | I I I I I I I I I
Как ты думаешь, сможет ли кто-нибудь сосчитать
число прямых, которые можно провести на плос-
кости? | | | | | I I I I I I I I I I I I I I I I
А если считать много-много лет?
НА ЛЮБОЙ ПЛОСКОСТИ МОЖНО
ПРОВЕСТИ БЕСКОНЕЧНО МНОГО
ПРЯМЫХ.
Раскрась рисунок и придумай к нему рассказ —
геометрическое описание.
ffil Как ты думаешь, сколько плоскостей можно вы-
делить в пространстве? | | | | | I I I I I I I I
25
Р| Посмотри на зоопарк. Художник рисовал его четы-
ре раза.
Первый раз художник смотрел на зоопарк так, как
смотришь на него ты. Отметь рисунок V-
Во второй раз он рисовал зоопарк сзади. Поставь X.
В третий раз он расположился правее клетки для
льва. Отметь Ж.
26
Рисунок, созданный с левой стороны, пометь *.
Раскрась зоопарк и составь геометрическое описа-
ние раскрашенного рисунка.
Собери конструкцию из кубиков и отметь: вид
спереди —V, вид сверху —X, вид слева —*.
Собери по чертежу конструкцию из кубиков.
27
2. Геометрическое тело.
3. Тело.
4. Где мы живём — с точки зрения
геометрии.
28
5. Число разных плоскостей, которым принадле-
6.	Тоже можно рассматривать как
геометрическое ....
7.	Можно представить как бесконечно продолжен-
ную полированную поверхность крышки стола.
8.	На какое наименьшее число частей надо раз-
делить эту линию, чтобы каждая
часть была плоской?
9.	Плоская фигура.
10.	И куб, и квадрат, это — ..., куб — пространст-
венная, а квадрат — плоская.
По вертикали:
В сказке Мориса Метерлинка «Синяя птица» в
ночь перед Рождеством дочь дровосека ф и её
брат Ф пошли на поиск Синей птицы. Их велафф.
С ними шли Кот Ф, их верный Пёс ©, а также
ожившие (Z), ©, ®, Хлеб и Вода.
29
На эти рисунки тебе понадобится по 9 деталей игры
«Удивительный треугольник».
30
УВАЖАЕМЫЕ ВЗРОСЛЫЕ!
Не забудьте вырезать эти страницы.
Советуем ознакомиться с рекомендациями и ответами к
конкретным заданиям до начала занятий с детьми.
Цель этой книги — развивать пространственное воображение.
Основной путь выполнения заданий — самостоятельная работа детей.
Для этого им необходимо уметь внимательно прочесть хотя бы одну стра-
ницу текста.
Для решения кроссворда в задании 43 детям необходимо знакомство со
сказкой Мориса Метерлинка «Синяя птица».
Наряду с работой в книжке-тетради дети обсуждают окружающее:
когда классная доска ровная, её поверхность, на которой пишут, —
плоская фигура. Но можно раздвинуть доску так, что её поверхность не
будет плоской. Вся доска — тело, учительский стол — тело, его ножка —
тело, вся поверхность ножки — пространственная фигура, но не тело.
Аналогичную работу хорошо бы проделать на улице. Полезно обсудить:
можно ли зелёный или пожелтевший лист рассматривать как плоскую
фигуру? Что мешает считать такой лист плоской фигурой? Расправленный
платок — это квадрат? Или его можно считать моделью квадрата, но не
квадратом? Что правильнее: ковёр — прямоугольник или прямоугольный
параллелепипед? (Если детям знакомы эти фигуры.)
Обсуждайте с детьми их решения.
Ответы и рекомендации к заданиям
9.	Если дети не занимались по нашей книжке-тетради «Знакомство с
фигурами» и плохо знают такие понятия, как цилиндр, куб, покажите им
различные геометрические тела. Можно использовать детали конструкто-
ров. Важно, чтобы дети увидели идеальные шары, цилиндры, кубы.
Предложите детям поискать похожие на эти тела предметы.
10.	Ни в каком положении книжку-игрушку нельзя рассматривать
как плоскую фигуру, так как плоскость не имеет толщины.
11.	Барабан имеет форму цилиндра, барабанщик ударяет по кругу.
12.	Если отбросить шероховатости, то монету можно рассматривать
как цилиндр (но не круг, так как плоская фигура — круг — не имеет
толщины).
15.	При изготовлении игры аккуратность
и точность важнее самостоятельности, иначе
дальнейшая работа будет затруднена.
Голубым цветом показано другое решение.
Если ребёнок не занимался по тетради
«Знакомство с фигурами», он может не справиться с заданием. Не
подсказывайте ему, а предложите составить на столе из двух деталей
квадрат и больший треугольник, затем квадрат из четырёх деталей. После
этого пусть он вернётся к заданию. В крайнем случае неполучающуюся
31
фигуру можно составлять непосредственно на чертеже.
18. Как тело и, следовательно, пространственная фигура отмечаются:
домик в целом, крыша, дверь, стена, труба; как плоская фигура —
поверхность боковой стены, поверхность оконного стекла; остальное —
пространственные фигуры, но не тела.
20. В верхнем ряду: слева, спереди, в нижнем — сзади, справа.
22. Средняя фигура.
26. Плоскость.
30. б) Вид спереди — средняя плоская фигура в верхнем ряду, слева —
последняя в верхнем ряду, сверху — последняя в нижнем ряду;
в) вид спереди — средняя фигура в нижнем ряду, сверху — средняя в
верхнем ряду, слева — последняя в нижнем ряду. Если ребёнок вместо
вида слева укажет на вид справа (здесь легко перепутать), попросите
показать, как он работал со своей конструкцией из кубиков.
33.	Дано для повторения понятия линия, в первую очередь для тех, кто
не работал с тетрадью «Знакомство с фигурами». Убедитесь, что ребёнок
сознательно выбрал рисунок, который можно обвести, не отрывая
карандаша и не проходя более одного раза один и тот же участок
(отдельные точки можно проходить много раз).
36.	Если ребёнок для проведения линий выберет плоское зеркало, он не
сможет провести вторую линию. Важно, чтобы, выбрав затем другое
зеркало, он провёл на нём обе линии.
37.	Вид сверху начертила Сова, слева — Лисичка. Не на тех местах
расположились: Волчонок, Медвежонок, Ёжик. Не так повернулись:
Ворона, Белка.
38.	Если понятие бесконечно много вызовет удивление и повышенный
интерес, то полезно разыграть с детьми сценки, аналогичные диалогу
Виктора и кота Кузи. Для диалогов используйте как геометрические
объекты (например, сколько точек принадлежит прямой), так и нату-
ральный ряд чисел. Начиная с последнего класса начальной школы
аналогичный диалог можно построить на тему «Существует ли самое ма-
ленькое дробное число».
39.	Бесконечно много.
40.	В первом ряду: сзади, слева, во втором — справа, спереди.
41.	Вид спереди — 1-я фигура в нижнем ряду, слева — последняя
фигура, сверху — 1-я фигура в верхнем ряду.
42.	По горизонтали: 1) плоская, 2) цилиндр, 3) шар, 4) пространство,
5) семь, 6) тело, 7) плоскость, 8) три, 9) треугольник,
10) фигура. По вертикали: 1) Митиль, 2) Тильтиль, 3) и
4) Душа Света, 5) Тилетто, 6) Тило, 7) Молоко, 8) Огонь,
9) Сахар.
44.	Последовательность работы прежняя: составлять
рисунок на столе, результат показать в тетради. Если
составление рисунка не получается, то в крайнем случае
деталями покрывается рисунок тетради.
32
Бененсон Е. П. и др.
Б46 Математика. Геометрия: Плоскость и пространство / Е. П. Бененсон,
Е. В. Вольнова, Л. С. Итина / Под ред. Е. П. Бененсон. - Самара:
Корпорация «Федоров», Элиста: Издательский дом «Федоров», 2000. -
32 с.: ил.
ISBN 5-8407-0020-7
Тетрадь знакомит младших школьников с основными пространственными
и плоскими фигурами. Интересные творческие задания направлены на
развитие логического и геометрического мышления.
Тетрадь может быть использована для самостоятельной работы дома,
а также на занятиях в школе.
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я71
Учебное издание
Бененсон Евгения Павловна
Вольнова Елена Валерьевна
Итина Лариса Самуиловна
МАТЕМАТИКА
Геометрия
ПЛОСКОСТЬ И ПРОСТРАНСТВО
Ответственный редактор С. В. Степанова
Редактор А. М. Младковская
Оформление А. В. Кузнецов
Художник О. Г. Мелкумова
Художественный редактор А. В. Кузнецов
Компьютерная верстка и графика О. Г. Мелкумова
Технический редактор В. Ф. Козлова
Корректор Л. А. Малинина
ОАО «Корпорация «Федоров»
Лицензия ИД № 00681 от 5.01.2000
ООО «Издательский дом «Федоров»
Лицензия ЛР № 071838 от 5.04.99
Подписано в печать 24.04.2001. Формат 70x100 1/16
Бумага офсетная. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная
Усл. печ. л. 2,6. Тираж 10000 экз. Заказ № 840
Отпечатано с готовых цветоделенных диапозитивов
во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати», 432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14
По вопросам приобретения учебников и учебной литературы
обращаться по адресу: 443086, Самара, ул. Брошевского, 3
ЗАО «Учебная литература». Тел.: (846) 70-30-26,34-67-13
Предлагаемые задания познакомят детей с основными
понятиями геометрии, помогут развить их пространственное
воображение, сформировать логическое и геометрическое
мышление. Будут способствовать общему развитию,
побуждать к творческому подходу при изучении математики.
ISBN 5-8407-0020-7
785840
700204