Д.В.Беклемишев
КУРС АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
7-е изд., стер. — М.: Высш. шк. 1998.—320 с.
В учебнике F-е изд. — 1987г.) излагается основной материал, входящий в
объединенный курс аналитической геометрии и линейной алгебры: векторная
алгебра, прямые и плоскости, линии и поверхности второго порядка, аффинные
преобразования, системы линейных уравнений, линейные пространства,
евклидовы и унитарные пространства, квадратичные формы, аффинные
пространства, тензорная алгебра.
Для студентов высших учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Греческий алфавит 4
Глава I. Векторная алгебра 5
§ 1. Векторы 5
1. Предварительные замечания E). 2. Определение вектора F). О
другом определении вектора F). 4. Линейные операции над
векторами (8). 5. Линейная зависимость векторов A2).
§ 2. Системы координат 14
1. Декартова система координат A4). 2. Деление отрезка в
заданном отношении A6). 3. Декартова прямоугольная система
координат A6). 4. Полярная система координат A7). 5.
Цилиндрические и сферические координаты A8).
§ 3. Скалярное и векторное произведения 19
1. Скалярное произведение A9). 2. Ориентация тройки векторов
B2). 3 Векторное произведение B2). 4. Смешанное произведение
B3) 5. Выражение векторного и смешанного произведения через
компоненты сомножителей B5). 6. Детерминанты, второго и
третьего порядка B6). 7. Условия коллинеарности и
компланарности векторов B9). 8. Площадь параллелограмма C0). 9
Объем ориентированного параллелепипеда C1). 10. Двойное
векторное произведение C1). 11. Взаимный базис C2). 12. О
векторных величинах C2).
§ 4. Замена базиса и системы координат 23
1 Изменение базиса C3). 2. Изменение системы координат C5). 3.
Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на
плоскости C6).
Глава П. Прямые линии и плоскости 37
§ 1. Общее понятие об уравнениях 37
1. Определение C7). 2. Алгебраические линия и поверхности C9) 3
Параметрические уравнения Линии D3). 4. Параметрические
уравнения поверхностей. Конусы D3). 5. Уравнения, не
содержащие одной из координат D4).
§ 2. Уравнения прямых и плоскостей 45

1. Поверхности и линии первого порядка D6). 2. Параметрические
уравнения прямой и плоскости D7). 3. Исключение параметра из
параметрических уравнений прямой E0). 4. Векторные уравнения
плоскости и прямой E2). 5. Признаки параллельности плоскостей и
прямых на плоскости E5). 6. Уравнения прямой в пространстве
E7).
§ 3. Некоторые задачи о прямых и плоскостях 69
I. Уравнение прямой, проходящей через две точки E9). 2
Уравнение плоскости, проходящей через три точки E9). 3
Признаки параллельности прямой и плоскости F0) 4. Уравнения в
отрезках F1). 5. Полупространство F1). 6. Расстояние от точки до
плоскости F2). 7. Расстояние от точки до прямой F3). 8
Расстояние между параллельными прямыми в пространстве F4). 9.
Вычисление углов F5). 10. Некоторые задачи на построение F6)
II. Пучок прямых. Связка и пучок плоскостей F7). 12. О
геометрическом смысле порядка алгебраической линии G0).
Глава Ш. Линии и поверхности второго порядка 72
§ 1. Исследование уравнения второго порядка 72
§ 2. Эллипс, гипербола и парабола 77
1. Эллипс G7), 2. Гипербола (82). 3. Парабола (87).
§ 3. Линия второго порядка, Заданная общим уравнением 90
1. Пересечение линии второго порядка и прямой (90). 2. Число
асимптотических направлений. Тип линии (91). 3. Диаметр линии
второго порядка (92). 4. Центр линии второго порядка (93). 5.
Сопряженные направления (96). 6. Главные направления (97). 7.
Касательная к линии второго порядка (98). 8. Особые точки (99).
§ 4. Поверхности второго порядка 100
1. Поверхности вращения A01). 2 Эллипсоид A02). 3. Конус
второго порядка A03). 4. Однополостный гиперболоид A04).
Двуполостный гиперболоид A05). 6. Эллиптический параболоид
A06) 7. Гиперболический параболоид A07).
Глава IV. Преобразования плоскости 111
§ 1. Отображения и преобразования 111
1. Определение A11). 2. Примеры A11). 3. Произведение
отображений Обратное отображение A13) 4 Координатная запись
отображений A14).
§ 2. Линейные отображения 116
1. Определение линейных отображений A15). 2. Произведение
линейных отображения A18). 3. Образ вектора при линейном
отображении A19).
§ 3. Аффинные преобразования 121

1. Ортогональные преобразования A21). 2. Образ прямой линия
A34) 3 Изменение площадей при аффинном преобразования A26).
4. Образы линий второго порядка A28). 5. Описание всех
аффинных преобразований A30).
§ 4. Понятие группы 132
1. Аффинная геометрия A32). 2. Значение клейновых геометрий
A33). 3. Определение группы преобразований A34). 4. Группы
A34).
Глава V. Системы линейных уравнений и матрицы 136
§ 1. Матрицы 136
1. Определение A36). 2. Сложение в умножение на число A37). 3.
Транспонирование матриц A38). 4. Столбцы и строки A39).
§ 2. Детерминанты 142
1. Символ ? A42). 2. Определение детерминанта A43). 8. Свойства
детерминантов A45). 4. Элементарные преобразования.
Вычисление детерминантов A50). 6. Миноры произвольного
порядка A81). 6. Формула полного разложения детерминанта по
элементам матрицы A52).
§ 3. Системы линейных уравнении (специальный случай) 154
1. Постановка задачи A54). 2. Правило Крамера A55). 3. Пример
A58).
§ 4. Ранг матрицы 159
1. Базисный минор A69) 2. Приведение матрицы к упрощенному
виду A61). 3. Теорема о базисном миноре A63).
§ 5. Общая теория линейных систем 166
1. Условия совместности A66). 2. Нахождение решений A68). 3.
Приведенная система A68). 4. Множество решения однородной
системы A69). 5. Общее решение системы линейных уравнений
A72). 6. Примеры A73).
§ 6. Умножение матриц 174
1. Определение и примеры A74). 2. Свойства умножения матриц
A76). 3. Обратная матрица A79). 4. Элементарные преобразования
как умножение матриц. Детерминант произведения A81).
§ 7. Комплексные числа и комплексные матрицы 182
1. Арифметические операции с комплексными числами A82). 2.
Число A83). 3. Модуль и аргумент комплексного числа A84). 4.
Комплексно сопряженное число A85). 5. Комплексные матрицы
A86).
Глава VI. Линейные пространства 188
§ 1. Основные понятия 188
1. Определение линейного пространства A88). 2. Простейшие
следствия A90). 3. Линейная зависимость A91). 4. Базис A92). 5.
Замена базиса A96).
§ 2. Линейные подпространства 196

1. Определение и примеры A96). 2. Сумма и пересечение
подпространств A99). 3. Прямая сумма подпространств B01).
§ 3. Линейные отображения 202
1. Определение B02). 2. Координатная запись линейных
отображений B05) 3. Изоморфизм линейных пространств B07). 4
Изменение матрицы линейного отображения при замене базисов
B08) 5. Канонический гид матрицы линейного отображения B09)
6. Сумма и произведение отображений B09).
§ 4. Задача о собственных векторах 211
1. Линейные преобразования B11). 2. Инвариантные
подпространства B13). 3. Собственные векторы B14). 4. Свойства
собственных векторов и собственных значений B17). 5. О
приведении матрицы преобразования к диагональному виду B21).
Глава VTT Евклидовы и унитарные пространства 222
§ 1. Евклидовы пространства 222
1. Скалярное произведение B22) 2. Длина и угол B23). 3.
Ортонормированный базис B25). 4. Выражение скалярного
произведения через компоненты сомножителей B26). 5. Связь
матриц Грама разных базисов B27). 6. Ортогональные матрицы
B28). 7. Ортогональное дополнение подпространства B29).
§ 2. Линейные преобразования в евклидовом пространстве 231
1. Преобразование, сопряженное данному B31). 2.
Самосопряженные преобразования B33). 3. Изоморфизм
евклидовых пространств B37). 4 Ортогональные преобразования
B38).
§ 3. Понятие об унитарных пространствах 240
1 Определение B40). 2. Свойства унитарных пространств B43). 3.
Самосопряженные и унитарные преобразования B44).
Глава VTTI Функции на линейном пространстве 245
§ 1. Линейные функции 245
1. Определение функции B45). 2. Линейные функции B46). 3.
Сопряженное пространство B48). 4. Линейные функции на
евклидовых пространствах B50).
§ 2. Квадратичные формы 251
1. Билинейные формы B61) 2. Другая точка зрения на билинейные
формы B53). 3. Квадратичные формы B53). 4. Ранг и индекс
квадратичной формы B58)
§ 3. Квадратичные формы и скалярное произведение 261
§ 4. Эрмитовы формы 265
Глава IX. Аффинные пространства 267
§1. Плоскости 287
1. Аффинное пространство B67). 2. Плоскости в аффинном
пространстве B70). 3 Линейные функции в аффинном
пространстве B71). 4. Выпуклые многогранники B72).

§ 2 Общая теория линий и поверхностей второго порядка 274
1. Закон преобразования коэффициентов B74). 2. Линии второго
порядка на плоскости B77) 3. Поверхности второго порядка B80).
Глава X. Основы тензорной алгебры 286
§ 1. Тензоры в линейном пространстве 286
1. Геометрические объекты B86). 2. Пространственные матрицы
B88) 3. Определение и примеры B90) 4. Сложение и умножение на
число B93) 5. Умножение тензоров B95). 6. Свертывание B97). 7.
Транспонирование B98). 8. Симметрирование и альтернирование
C00) 9. Замечание C03).
§ 2 Тензоры в евклидовом пространстве 304
1 Метрический тензор C04). 2. Поднятие и опускание индексов
C05). 3. Евклидовы Тензоры C06).
§ 3. Поливекторы. Относительные инварианты 308
1. р-векторы C08). 2. Относительные инварианты C10). 3. Объем
n-мерного параллелепипеда C11).
Рекомендуемая литература 313
Предметный указатель 314
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса 15
Алгебраическое дополнение 152
Альтернирование 301
Аппликата 16
Аргумент комплексного числа 185
Архимедова спираль 71
Асимптота 84
Базис 10, 192
— взаимный 32, 249
— левый (правый) 22
— ортонормированный 17, 225
Билинейная форма 251
симметричная 262
Валентность тензора 291, 307
Вектор 6, 189
— направляющий 47
— нормальный 52
нулевой 6, 189
— присоединенный к линейной
функции 250
— противоположный данной 9, 189
— собственный 215
Векторы коллинеарные 11
— компланарные 11
— линейно зависимые (независимые)
12, 191
— ортогональные 19, 228, 241
— равные 6
Вершина многогранника 273
— конуса 44
Вложение 204
Геометрический объект 287
Геометрия аффинная 132
— евклидова 132
— клейнова 132
Гипербола 75, 278
Гиперболоид двуполостной 105, 285
— однополостный 104, 285
Гиперплоскость 271
Грань многогранника 273
Группа 135
— преобразований 134
Детерминант 27, 144
Диагональный вид квадратичной
формы 254
Диаметр 93
Директриса 80, 86, 88
Длина вектора в, 234

Закон инерции 259
Изоморфизм аффинных пространств
268
— евклидовых пространств 237
— линейных пространств 207
Инвариант 42, 287
— ортогональный 279, 307
— относительный 311
Индекс квадратичной формы 259
— суммирования 142, 290
Индексы ковариантные 290
— контравариантные 290
Канонический вид квадратичной
формы 257
Касательная 82, 87, 89, 98
Квадратичная форма 254
большая (малая) 276
отрицательно определенная 259
положительно определенная
259
полуопределенная 259
Ковектор 291
Компоненты (координаты) вектора
10,
— геометрического объекта 287
— линейной функции 247
— тензора 290
Комплексно сопряженное число 185
Комплексное число 183
Конгруэнтность фигур 132
Конус 44
— асимптотический 105
— второго порядка 103, 285
мнимый 285
Координатная строка 247
Координатный столбец 192, 269
Координаты точки декартовы 15, 268
полярные 18
Критерий Сильвестра 260
Линейная комбинация 9, 139, 191
тривиальная 12, 140, 191
— оболочка 197
Линейное отображение 115, 202
нулевое 203
обратное 211
— преобразование 202
ортогональное 238
присоединенное 261
самосопряженное 233, 244
сопряженное данному 231
унитарное 244
Линия алгебраическая 40
винтовая 43
— центральная OS
Луч 271
Матрица 27, 136
— билинейной формы 252
— Грама 227
диагональная 220
— единичная 145
— квадратичной формы 264
Матрица квадратная 136
— комплексно сопряженная 187
— линейного отображения 205
преобразования 212
— нулевая 138
— обратная данной 179
— ортогональная 228
— перехода 34, 195
— противоположная данной 138
— прямоугольная 136
— расширенная 154
— симметрическая 227
— унитарная 244
— упрощенная 162
— эрмитова 244
— s мерная 289
Метод выделения квадратов 256
— Гаусса 163
— ортогонализации 226
Минор 151
— базисный 159
— дополнительный 145, 152
Мнимая единица 183
Многогранник выпуклый 272
Множество выпуклое 274
Множество значений отображения
204

Модуль комплексного числа 187
Наложение 204
Направления асимптотические 91
— главные 97
— сопряженные 96
Направляющая 44, 45
Нарушение порядка 152
Начало координат 15
Неравенство Буняковского 224
— треугольника 225
Образ 111
Образующая 44, 45, 104, ПО
Объем 31, 312
Ограничение преобразования 214
Окружность 74
Опускание индекса 305
Ордината 15
Ортогональная проекция 111, 230
Ортогональное дополнение 229
Ортонормированная система 225
Оси координат 15
Отображение 111
— аффинное 115
— взаимно однозначное 113, 207
— иньективное 204
— линейное 115,202
—. обратное данному 114, 2IX
— сюръективное 204
Отрезок 271
Пара плоскостей мнимых
параллельных 285
пересекающихся 285
параллельных 285
—. — пересекающихся 285
совпавших 285
— прямых мнимых параллельных 76,
278
пересекающихся 74, 278
параллельных 76, 278
пересекающихся 7Б, 278
совпавших 76, 278
Парабола 76, 278
Параболоид гиперболический 107,
285
— эллиптический 106, 285
Параллелепипед п-мерный 312
Параллелепипед ориентированный 31
Параллелограмм ориентированный
30
Параметр 43, 47
Пересечение подпространств 200
Плоскость s-мерная 270
Площадь параллелограмма 30
— эллипса 127
Поверхность алгебраическая 40
— вращения 101
Поднятие индекса 305
Подпространство 196
— инвариантное 213
— направляющее 270
— нулевое 198
Поливектор 308
— простой 309
Полупространство 61, 271
Полюс 17
Полярная ось 17
Порядок алгебраической линии 40
поверхности 40
Преобразование 111
— аффинное 121
— ортогональное 121
первого (второго) рода 120
Произведение векторов векторное 23
двойное 31
скалярное 19, 222
смешанное 23
— детерминантов 182
— отображений 113,210
— матриц 175
— на число вектора 8, 189
линейного отображения 210
линейной функции 248
матрицы 137
тензора 294
— тензоров 295
Прообраз 111
Пространство аффинное 267
— бесконечномерное 194

— векторов 267
— евклидово 222
комплексное 241
точечное 269
— линейное 189
— Минковского 264
— нулевое 190
— псевдоевклидово 264
— сопряженное 249
— унитарное (эрмитово) 241
Прямая 271
Пучок плоскостей 70
— прямых 67
Равенство векторов 6
— матриц 136
— тензоров 291
— фигур 132
Радиус-вектор 14
Размерность многогранника 273
— пространства 193
Разность векторов 9, 191
— матриц 138
Ранг квадратичной формы 138
— матрицы 169
— линейного отображения 206
Ранги линий и поверхностей второго
порядка 277
Расстояние 63, 64, 230, 260
Ребро многогранника 273
Решение системы линейных
уравнений 154
Решение системы линейных
уравнений общее 172
тривиальное 168
Свертывание тензоров 289
Связка плоскостей 69
Семиинвариант 280
Сжатие к прямой 112
Сигнатура квадратичной формы 260
Сигнатуры линий и поверхностей
второго порядка 277
Символ Кронекера 292
Симметрирование тензоров 300
Система координат декартова 14, 269
прямоугольная 17
полярная 17
сферическая 19
цилиндрическая 18
— линейных уравнений 154
однородная 154
сопряженная 188
приведенная 168
— решении фундаментальная 171
След матрицы 228
Собственные значения 215
Столбец 139
Столбцы (строки) линейно
зависимые 140
Строка 139
Сумма векторов 8, 189
— линейных отображений 209
функций 248
— матриц 137
— подпространств 199
прямая 201
— тензоров 294
Тензор 290
— антисимметрический 303
евклидов 307
— метрический 304
контравариантный 305
— симметрический 302
Теорема Кронекера — Капелла 185
— о базисном миноре 163
— о размерности суммы 200
— о ранге матрицы 164
— Лапласа 162
— об изоморфизме 207
— Фредгольма 166, 232
Тип линии 92
— тензора 290
Точка 267
Точка граничная 271
— начальная 47, 270
— особая 99
Транспонирование матрицы 138
— тензора 298
Тройка векторов левая (праваяJ2

Угловой коэффициент 60
Угол 19, 65, 223
Уравнение множества 37
— плоскости 46
векторное 52
параметрическое 48
— прямой 46
в отрезках 61
векторное 64
параметрическое 47
Уравнения параметрические 43, 44
Фокус 79, 85, 88
Функционал 245
Функция линейная 203, 246
нулевая 246
— на аффинном пространстве 271
— на линейном пространстве 246
— полилинейная 293
Характеристический многочлен 217,
218
Характеристическое уравнение 216
Хорда 92
Центр гиперболы 83
— линии второго порядка 94
— пучка 67
— связки 69
— эллипса 78
Цилиндр 46
— прямой круговой 46
Цилиндрическая поверхность
второго порядка 285
Эксцентриситет 79, 85, 88
Элементарные преобразования 150
Эллипс 74, 278
— мнимый 74, 278
Эллипсоид 102, 285
— вращения 102
— мнимый 265
Эрмитова форма 265
Ядро отображения 204
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга отражает многолетний опыт преподавания аналитической геометрии
и линейной алгебры в Московском физико-техническом институте. Особенности
подготовки студентов в МФТИ вызывают необходимость ускоренного изложения
курса математики, по объему приближающегося к университетскому. В связи с
этим аналитическая геометрия излагается так, чтобы на простом и доступном
материале подготовить студента к изучению линейной алгебры. Собственно
линейной алгебре, т.е. теории линейных пространств, предпослана большая глава
о системах линейных уравнений и матрицах. Ее цель — дать читателю
исследование систем линейных уравнений, независимое от методов линейной
алгебры. В этой же главе собраны и другие сведения, необходимые для
дальнейшего изучения. Более подробное представление о строении книги можно
получить из оглавления. Со времени первого издания в 1971 г. учебник
неоднократно перерабатывался при сохранении общего плана и стиля изложения.
Настоящее издание является стереотипным воспроизведением 6-го издания 1987
г. Мне хочется с благодарностью отметить то влияние, которое оказали на эту
книгу преподаватели кафедры высшей математики МФТИ, прежде всего те, кто
читал лекции по курсу аналитической геометрии и линейной алгебры. Особенно я
благодарен проф. А.А. Абрамову, проф. Л.А. Беклемишевой, чл.- корр. РАН Л.Д.
Кудрявцеву, проф. В.Б. Лидскому, академику Л.В. Овсянникову, проф. С.С.
Рышкову, проф. С.А. Теляковскому. Автор

ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТ
A, a —альфа
E, б — эпсилон
I, i —йота
N, v — ню
2, a — сигма
x, x —»
В, р —бета
Z, С —дзета
К, к — каппа
S, ? — кси
Т, т — тау
?, \j/ — пси
Г, у
Н, г,
Л, X
П, я
т,.
Q, (о
А, 8
в, 0,
М, ц
Р, Р
Ф, </)
— гамма
— эта
— лямбда
— пи
— ипсилон
— омега
— дельта
1? —тега
— мю
— ро
— фи

ГЛАВА I
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
§ 1. Векторы
1. Предварительные замечания. Первые главы этой кни-
книги можно рассматривать как продолжение школьного курса
геометрии. Известно, что каждая математическая дисцип-
дисциплина основывается на некоторой системе недоказываеиых
предложений, называемых аксиомами. Полный перечень
аксиом геометрии, так же как и более подробные рассуж-
рассуждения о роли аксиом в математике, можно найти в книге
Н. В. Ефимова [5]. (Цифры в квадратных скобках озна-
означают ссылки на список рекомендуемой литературы, поме-
помещенный в конце книги.)
Мы не ставим себе целью изложение логических основ
предмета и потому просто опираемся на теоремы, до-
доказываемые в курсе элементарной геометрии. Следователь-
Следовательно, все наши результаты можно считать доказанными
лишь постольку, поскольку доказаны эти теоремы.
Равным образом мы не пытаемся дать определение
основных геометрических понятий: точки, прямой, плоскос-
плоскости. Читатель, интересующийся их строгим введением,
может обратиться к той же книге Н. В. Ефимова; мы
же будем считать, что эти и другие введенные в курсе
средней школы понятия известны читателю.
Мы предполагаем также известными школьное опреде-
определение вещественных чисел и их основные свойства. (Стро-
(Строгая теория вещественного числа приводится в учебниках
математического анализа.) Мы будем широко использовать
то обстоятельство, что при выбранной единице измерения
каждому отрезку можно сопоставить положительное ве-
вещественное число, называемое его длиной. Единицу из-
измерения длин мы будем считать выбранной раз навсегда
и, говоря о длинах отрезков, не будем указывать, какой
единицей они измеряются.

2. Определение вектора. Отрезок прямой задается дву-
двумя равноправными точками—его концами. Но можно
рассматривать направленный отрезок, определяемый упо-
упорядоченной парой точек. Про эти точки известно, какая
из них первая (начало), а какая вторая (конец).
Определение 1. Направленный отрезок (или, что
то же, упорядоченную пару точек) мы будем называть
вектором. К векторам будем относить и так называемый
нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают.
Направление на отрезке принято отмечать стрелкой.
Над буквенным обозначением вектора при письме ста-
ставится стрелка, например! АВ (при этом буква, соответст-
соответствующая началу вектора, обязательно ставится впереди).
В книгах часто буквы, обозначающие вектор, набираются
полужирным шрифтом, например: а. Нулевой вектор
обозначается 0 или просто 0.
Расстояние между началом и концом вектора называ-
называется его длиной (а также модулем и абсолютной величи-
величиной). Длина вектора обозначается | а | или | АВ |.
Векторы называются коллинеарными, если они распо-
расположены на одной прямой или на параллельных прямых,
короче говоря, если сущест-
существует прямая, которой они па-
параллельны. Векторы назы-
называются компланарными, если
существует плоскость, кото-
которой они параллельны.
Нулевой вектор считает-
считается коллинеарным любому век-
Рис- 1# тору, так как он не имеет
определенного направления.
Длина его, разумеется, равна нулю.
Определение 2. Два вектора называются равными,
если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют
равные длины.
Из этого определения непосредственно вытекает, что,
выбрав любую точку А', мы может построить (и притом
только~ч>дин) вектор А'В', равный некоторому заданному
вектору АВ, или, как говорят, перенести вектор АВ в
точку А' (рис. 1).
3. О другом определении вектора. Заметим, что понятие ра-
равенства векторов существенно отличается от понятия равенства,
например, чисел. Каждое число равно только самому себе, иначе
говоря ? два равных числа при всех обстоятельствах могут рас-

смаТриваться как одно я то же число. С векторами, как мы видим,
дело обстоит по-другому1 в силу определения существуют различные,
но равные между собой векторы. Хотя в большинстве случаев у нас
не будет необходимости различать их между собой, вполне может
оказаться (см. с. 14), что в какой-то момент нас будет интересовать
именно вектор АВ, а не другой, равный ему вектор А'В1.
Для того чтобы упростить понятие равенства векторов (и снять
некоторые связанные с ним трудности), иногда идут на усложнение
определения вектора. Мы не будем пользоваться этим усложненным
определением, но сформулируем его. Чтобы не путать, мы будем
писать «Вектор» (с большой буквы) для обозначения определяемого
ниже понятия.
Определение 3. Пусть дан направленный отрезок. Мно-
Множество всех направленных отрезков, равных данному в смысле оп-
определения 2, называется Вектором
Таким образом, каждый направленнный отрезок определяет Век-
Вектор. Легко заметить, что два направленных отрезка определяют
один и тот же Вектор тогда и только тогда, когда они равны. Для
Векторов, как и для чисел, равенство означает совпадение: два Вектора
равны в том и только в том случае, когда это один и тот же Век-
Вектор.
При параллельном переносе пространства точка и ее образ сос-
составляют упорядоченную пару точек и определяют направленный
отрезок, причем все такие направленные отрезки равны в смысле
определения 2. Поэтому параллельный перенос пространства можно
отождествить с Вектором, составленным из всех этих направленных
отрезков.
Из начального курса физики хорошо известно, что сила может
быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть
изображена Вектором, поскольку силы, изображаемые равными нап-
направленными отрезками, производят, вообще говоря, различные дейст-
действия (Если сила действует на упругое тело, то изображающий ее
направленный отрезок ие может быть перенесен даже вдоль той прямой,
на которой он лежит.)
Это только одна из причин, по которым наряду с Векторами,
т. е. множествами (или, как говорят, классами) равных направлен-
направленных отрезков, приходится рассматривать и отдельных представителей
этих классов. При этих обстоятельствах применение определения 3
усложняется большим числом оговорок. Мы будем придерживаться
определения 1, причем по общему смыслу всегда будет ясно, идет ли
речь о вполне определенном векторе, или на его место может быть
подставлен любой, ему равный.
В связи с определением вектора стоит разъяснить значение не-
некоторых слов, встречающихся в литературе.
Вместо определения 2 можно ввести другое определение ра-
равенства векторов, согласно которому векторы равны, если они равны
по длине, лежат на одной прямой и направлены в одну сторону. В
этом случае вектор может быть перенесен не в любуюточку пространст-
пространства, а только вдоль прямой, на которой он лежит. При таком понимании
равенства векторы называются скользящими векторами. В механике
сила, действующая на абсолютно твердое тело, изображается сколь-
скользящим вектором.
Можно для векторов не вводить никакого особого понятия ра-
равенства, т. е. считать, что каждый вектор равен только самому себе
и характеризуется, помимо длины и направления в пространстве,

еще я точкой приложения. В этом случае векторы называются при-
приложенными векторйми. Как уже упоминалось, сила, действующая
на упругое тело, изображается приложенным вектором.
Если нужно подчеркнуть, что равенство понимается в смысле
определения 2, то вектор называется свободным. Свободным вектором
изображается, например, угловая скорость тела. Определение 3
определяет свободный вектор.
4. Линейные операции над векторами. Линейными опе-
операциями называются сложение векторов и умножение
вектора на число. Напомним их определения.
Определение. Пусть даны два вектора а и Ь. .По-
.Построим равные им векторы АВ и ВС (т. е. перенесем
конец а и начало b в одну и ту же точку В). Тогда век-
вектор АС называется суммой векторов а и b и обозначается
а + Ь.
Заметим, чтоу выбрав вместо В другую точку, напри-
например В', мы получили бы в качестве суммы другой вектор
А'С, равный вектору АС.
Сложением векторов называют операцию, сопоставля-
сопоставляющую двум векторам их сумму.
Определение. Произведением вектора а на веще-
вещественное число а называется любой вектор Ь, удовлетво-
удовлетворяющий следующим условиям:
а) |Ь|Ча| 1«1;
б) вектор b коллинеарен вектору а;
в) векторы b и а направлены одинаково, если а > О,
и противоположно, если а < 0. (Если же а = 0, то из
первого условия следует, что Ь = 0.)
Произведение вектора а на число а обозначается аа.
Умножение вектора на число—операция, сопоставля-
сопоставляющая вектору и числу произведение вектора на это число.
6 курсе средней школы были выведены основные свой-
свойства линейных операций. Перечислим их без доказательства.
Предложение 1. 1) Сложение векторов коммута-
коммутативно, т. е. для любых векторов а иЪ выполнено a + b=b -j-a.
2) Сложение векторов ассоциативно, т. е. для любых
векторов a, b и с выполнено a-f (b + c) = (a-{-b)-j-c.
3) Прибавление нулевого вектора к любому вектору а
не меняет последнего: a-f-O = a.
4) Для любого вектора а вектор (— 1)а является про-
противоположным, т. е. а-{-(—1)а = 0.
5) Умножение вектора на число ассоциативно, т. е,
для любых чисел а и |$ и любого вектора а выполнено

6) Умножение вектора на число дистрибутивно по
отношению к сложению чисел, т. е. для любых чисел а и
Э и любого вектора а выполнено (сс+Р)а=аа+ра.
7) Умножение вектора на число дистрибутиёно по
отношению к сложению векторов, т. е. для любых векто-
векторов л и Ъ и любого числа а выполнено a(a + b) = aa + ab.
8) Умножение вектора на единицу не меняет этого
вектора: 1 а — а.
Вектор, противоположный вектору а, обозначается —а.
Разностью двух векторов а и Ь называется сумма век-
вектора а и вектора, противопо-
противоположного Ь, т. е. вектор а-f-
+( — Ь) или коротко а —Ь.
Вычитание — операция, об-
обратная сложению, сопоставляю-
сопоставляющая двум векторам их раз-
разность: по сумме двух векторов
Ь+х = а и одному из слагае-
слагаемых b мы находим второе ела- Рис*
гаемое х = а—b (рис. 2).
Вычитание определяется через сложение, и мы не
будем считать его отдельной операцией. Точно так же не
будем выделять деление вектора на число о, которое можно
определить как умножение на число а. Применяя ли-
линейные операции, мы можем составлять суммы векторов,
умноженных на числа: a^ + a^aj-t-• • •+«*аА. Выраже-
Выражения такого вида называются линейными комбинациями век-
векторов. Числа, входящие в линейную комбинацию, назы-
называются ее коэффициентами.
Сформулированные выше свойства линейных операций
позволяют преобразовывать выражения, составленные из
линейных комбинаций, п» обычным правилам алгебры;
можно раскрывать скобки, приводить подобные члены, пе-
переносить некоторые члены в другую часть равенства с
противоположным знаком и т. д.
Перечисленные в предложении 1 восемь свойств ли-
линейных операций образуют в некотором смысле полный
набор свойств: любые вычисления, использующие линей-
линейные операции над векторами, можно производить, осно-
основываясь на этих свойствах и не обращаясь к определениям
линейных операций. Это обстоятельство будет в дальней-
дальнейшем (гл. VI) иметь для нас принципиальное значение.
Линейные комбинации векторов обладают следующими
очевидными свойствами: если векторы af,..., aft колли-
неарны, то любая их линейная комбинация им коллине-

арна; если векторы а,, ..., ак компланарны, то любая
их линейная комбинация в ними компланарна. Это сразу
следует из того, что вектор оса коллинеарен а, а сумма
векторов лежит в той же плоскости, что и слагаемые, и
даже на той же прямой, если они коллинеарны.
Определение. Базисом в пространстве называются
три некомплаиарных вектора, взятые в определенном по-
порядке.
Базисом на плоскости называются два неколлинеар-
ных вектора на этой плоскости, взятые в определенном
порядке.
Базисом на прямой называется любой ненулевой век-
вектор на этой прямой.
Отметим, что векторы базиса на плоскости ненулевые,
так как, если бы один из них был нулевым, они были
бы коллинеарны. Точно так же никакие два из векторов
базиса в пространстве не коллинеарны—в противном слу-
случае все три были бы компланарны..
Если вектор представлен как линейная комбинация
некоторых векторов, то говорят, чт,о он разложен ад этим
векторам. Чаще всего рассматривается разложение век-
вектора по базису.
Определение. Если elf е§, е, —базис в простран-
пространстве и a^a^+a^ + a^eg, то числа аи at, at называют-
называются компонентами (или координатами) вектора а в данном
базисе. Аналогично определяются компоненты вектора на
плоскости и на прямой. Компоненты вектора пишут в
скобках после буквенного обозначения вектора. Напри-
Например, аA, 0, 1) означает, что компоненты вектора а в оп-
определенном ранее выбранном базисе равны 1, 0 и 1.
Теорема 1. Каждый вектор, параллельный какой-
либо прямой, может быть разложен по базису на этой
прямой.
Каждый вектор, параллельный какой-либо плоскости,
может быть разложен по базису на этой плоскости.
Каждый вектор может быть разложен по базису в про-
пространстве.
Компоненты вектора в каждом случае определяются
однозначно.
Доказательство. Первое утверждение означает,
что для каждого вектора а, коллинеарного ненулевому
вектору е (базис на прямой), существует число а такое,
что а=ссе. Таким числом является либо |а|/|е|, либо
—Jaf/|e|, смотря по тому, направлены ли а и е одинако-
одинаково или противоположно.
ю

Второе утверждение означает, что для каждого векто-
вектора а, компланарного с двумя неколлинеарными вектора-
векторами в| и е, (базис на плоскости), найдутся числа сц и ctj
такие, что a=o,ej-}-atet. Чтобы указать эти числа, поме-
поместим начала всех трех векторов в одну точку О и прове-
проведем через конец А вектора а прямую АР, параллельную
tj (рис. 3). Тогда оА = ОР+РА>, причем ОР коллинеарен
ех, а ТА коллинеарен е$. (В частности, любой из ОР и
А
Рнс. 3.
Рис, 4.
РА может оказаться нулевым.) В силу первого утвержде-
утверждения теоремы существуют щ и щ такие, что ОР = а1е1
и PA*=tajtt. Отсюда следует ОЛ = а1е1+а,е,.
Третье утверждение теоремы означает, что для каж-
каждого вектора а и некомпланарных векторов ef, е$ и ел
найдутся такие числа ос^, «j и а8, что а = а1е1-}-а,е4 +
Н-а,е8. Для доказательства поместим начала всех векто-
векторов в одну точку О (рис. 4) и проведем через конец А
вектора а прямую АР, параллельную вектору е,. Тогда
ОА = ОР + РА, причем РА коллинеарен eg, a OP компла-
компланарен ej и е$. В силу уже доказанных утверждений най-
найдутся такие числа щ, а$ и а„ что РА — сь^ и
«=оце^-}-а,е|. Отсюда прямо вытекает третье утверждение.
Представим себе, что некоторый вектор а разложен
по базису в пространстве двумя способами: л = сь1ъ1-\-
+ ote, + ages н а^Рл + Р**»-!-?^. Вычитая из первого
выражения второе, мы получим (о^—Pi)ej-Haj—Р«) в§ +
+ (а*—Р1)е» = 0- Если хоть одна из разностей в скобках
11

не равна нулю, мы можем разложить один из векторов
базиса по остальным. Например, при сс(—$г?*& имеем
а,—р,
е,=» —
Это противоречит некомпланарности базисных векторов.
Полученное противоречие доказывает единственность раз-
разложения по базису в пространстве. Аналогично доказыва-
доказывается единственность разложения и в других случаях. Тео-
Теорема полностью доказана.
Возвращаясь к доказательству последней части теоре-
теоремы, мы можем заметить, что оно одновременно является
доказательством следующего предложения.
Предложение 2. Равные векторы имеют одинаков
вые компоненты.
В аналитической геометрии геометрические рассуж-
рассуждения о векторах сводятся к вычислениям, в которых
участвуют компоненты этих векторов. Следующие два
предложения показывают, как производятся известные
нам операции над векторами, если заданы их компоненты.
Предложение 3. При умножении вектора на «шс-
ло все его компоненты умножаются на это число.
Действительно, если а^а^ + а^ + ^е,, то
а„е, + а,е,)
Предложение 4. При сложении векторов склады-
складываются их соответствующие компоненты.
Действительно, если a = ale1 + atet + atei и Ь=Р1е1 +
Рр то
а + b = (a1e1 + atet + aee8) + (p^, + p,e. + ft,eg)
5. Линейная зависимость векторов. Линейная комби-
комбинация нескольких векторов называется тривиальной, ес-
если все ее коэффициенты равны нулю. Разумеется, три-
тривиальная линейная комбинация любых векторов равна
нулевому вектору. Линейная комбинация не тривиальна,
если хоть один из ее коэффициентов отличен от нуля.
Определение. Векторы а1( .... а* называются ли-
линейно зависимыми, если существует нетривиальная ли-
линейная комбинация этих векторов, равная нулю; иными
словами, если существуют такие коэффициенты alt ..., ак,
что aia14-...+аАад=* 0 и а\+ ... -fal^O.
В противном случае, т. е. когда только тривиальная
линейная комбинация векторов а1( ..., а* равна нулю,
13

эти векторы называются линейно независимыми, Если
векторы линейно независимы, то из равенства сод +...
...+а*ад = 0 следует % = «,= ... =аЛ = 0.
Отметим следующие свойства понятия линейной зави-
зависимости.
Если среди векторов alf ..., а» есть нулевой, то эти
векторы линейно зависимы. Действительно, рассмотрим
их линейную комбинацию, у которой при нулевом векто-
векторе коэффициент 1, а при остальных—нули. Эта линейная
комбинация нетривиальна и равна нулю.
Если к линейно зависимой системе векторов аг, ..., лк
добавить один или несколько векторов bj, .... by, то полу-
полученная система at, ..., ak, Ь,, ..., bf также линейно зави-
зависима. Действительно, к имеющейся равной нулю нетри-
нетривиальной линейной комбинации векторов а1( ..., ак можно
добавить векторы Ъи ..., by о коэффициентами, равными
нулю.
Предложение 5. Система векторов линейно зави-
зависима тогда и только тогда, когда один из них расклады-
раскладывается в линейную комбинацию остальных.
Доказательство. Пусть аг, .... ak линейно зави-
зависимы, т. е. существуют такие коэффициенты аи ..., ак,
что «ja, +asa2+ .. • +aftaft = 0 и хоть один из коэффици-
коэффициентов, например ctj, отличен от нуля. В этом случае а4
есть линейная комбинация векторов аг, ..., аА. Действи-
Действительно, мы можем написать
Обратно, пусть один из векторов, например ait разложен
в линейную комбинацию остальных векторов:
Отсюда непосредственно видно, что линейная комбина-
комбинация векторов 8j, а2, ..., &к с коэффициентами — 1, Р2, ..,
.... рЛ равна нулевому вектору. Так как она нетривиаль-
нетривиальная, то векторы а(, ..., &к линейно зависимы. Предложе-
Предложение доказано.
Понятие линейной зависимости будет играть большую
роль в дальнейшем. Сейчас мы можем обойтись без него
в силу простого геометрического смысла, который имеет
линейная зависимость векторов.
Предложение 6. Любые два коллинеарных векто-
вектора линейно зависимы, и наоборот, два линейно зависи-
зависимых вектора коллинеарны.
13

Действительно, пусть даны два коллинеарных векто-
вектора. Либо они оба нулевые, и тогда утверждение очевидно,
либо один из них ненулевой, н тогда второе по нему рас-
раскладывается. В обоих случаях векторы линейно зависимы.
Обратно, в силу предложения о из двух линейно за-
зависимых векторов один линейно выражается через дру-
другой, и, следовательно, они коллинеарны.
Предложение 7. Любые три компланарных век-
вектора линейно зависимы, и наоборот, три линейно зави-
зависимых вектора компланарны.
Доказательство. Пусть даны три компланарных
вектора. Рассмотрим какие-нибудь два нз них. Если они
коллинеариы, то линейно зависимы и сами по себе и вме-
вместе с третьим вектором. Если же два вектора не колли-
неарны, то третий вектор по ним раскладывается и век-
векторы линейно зависимы в силу предложения 5.
Обратно, из трех линейно зависимых векторов один рас-
раскладывается по двум остальным и, следовательно, им комп-
компланарен (и даже коллинеарен, если они коллинеарны)
Предложение 8. Каждые четыре вектора линейно
зависимы.
Действительно, рассмотрим любые три из четырех
векторов. Если они компланарны, то линейно зависимы
и сами по себе и вместе с четвертым вектором. Если же
они не компланарны, то четвертый вектор по ним рас-
раскладывается, откуда следует, что все четыре вектора ли-
линейно зависимы.
§ 2. Системы координат
1. Декартова система координат. Фиксируем в прост-
пространстве точку О и рассмотрим произвольную точку М.
Радиус-вектором точки М по отношению к точке О назы-
называется вектор ОМ. Если в пространстве, кроме точки О,
выбран некоторый базис, то точке М можно сопоставить
упорядоченную тройку чисел—компоненты ее радиус-
вектора.
Определение. Декартовой системой координат в
пространстве называется совокупность точки и базиса.
Точка носит название начала координат; прямые, про-
проходящие через начало координат в направлении базисных
векторов, называются осями координат. Первая—осью
абсцисс, вторая—осью ординат, третья—осью аппликат.
Плоскости, проходящие через оси координат, называют
координатными плоскостями.
14

Определение. Компоненты радиус-вектора точки
М по отношению к началу координат называются коор-
координатами точки М в рассматриваемой системе координат.
Первая координата называется абсциссой, вторая—
ординатой, а третья— аппликатой.
Аналогично определяются декартовы координаты на
плоскости и на прямой линии. Разумеется, точка на пло-
плоскости имеет только две координа-
координаты (абсциссу и ординату), а точка
на прямой линии — одну.
Координаты точки обычно пишут
в скобках после буквы, обозначающей
точку.
Например, запись А B, 1/2) оз-
означает, что точка А имеет коорди-
координаты 2 и 1/2 в ранее выбранной
декартовой системе координат на плоскости (рис. 5).
Легко видеть, что при заданной системе координат
координаты точки определены однозначно. С другой сто-
стороны, если задана система координат, то для каждой упо-
упорядоченной тройки чисел найдется одна-единственная точ-
Рис. 6.
Рис, 7,
ка, имеющая эти числа в качестве координат. Система
координат на плоскости определяет такое же соответствие
между точками плоскости и упорядоченными парами чисел.
Рассмотрим две точки А и В, координаты которых от-
относительно некоторой декартовой системы координат 0,
tf, е„ е, соответственно равны xit yit ц и xit у^г2. По-
Поставим себе задачу найти компоненты вектора АВ. Оче-
Очевидно, что А~В =ОВ—ОА (рис. 6). Компоненты радиус-
векторов О~\ и OU равны (xt, tfi, zt) и (jr.,, yt, г,) по on-
onto

ределению координаг. Из предложения 4 § 1 следует, что
АВ имеет компоненты (*,—xlt #,—ylt zt—zt). Этим до-
доказано следующее
Предложение 1. Чтобы найти компоненты векто-
вектора, нужно из координат его конца вычесть координаты
его начала.
2. Деление отрезка в заданном отношении. Найдем
координаты точки М на отрезке АВ, которая делит этот
отрезок в отношении Я/ji, т. е. удовлетворяет условию
-А, *>0,„>0
(рис. 7). Это условие можно переписать в виде
цАМ = ШВ. A)
Обозначив через (xlt yt, zt) и (xt, yit г,) соответственно
координаты точек А и В, а через (х, у, г) координаты точ-
точки М, мы разложим обе части равенства по базису, при-
причем компоненты векторов AM и Мд найдем по предло-
предложению 1. Тогда
—x1) = %(xi—х),
ц(г—г1) = Х(га— г).
Из этих равенств можно найти х, у и г, поскольку А,
-f- [i ф 0. Мы получаем окончательно
Эти формулы известны под названием формул деления от-
отрезка в заданном отношении.
Если в формулах B) мы будем считать одно из чи-
чисел % или ц отрицательным, то из равенства A) видно,
что точка М (х, у, г) будет находиться на той же прямой
вне отрезка АВ, деля его в отношении | \/р |. Поэтому
формулы B) служат решением более общей задачи,
именно, из них можно найти координаты точки, делящей
отрезок АВ в заданном отношении как внутренним, так
и внешним образом.
На плоскости задача о делении отрезка решается так
же, только базис состоит из двух векторов, и потому из
формул B) остаются только первые две.
3. Декартова прямоугольная система координат. Об-
Общие декартовы системы координат используются реже,
16

чем специальный ' класс таких систем^- декартовы пря-
прямоугольные системы координат.
Определение. Базис называется ортонормировая-
ным, если его векторы попарно ортогональны и по длине
равны единице. Декартова система координат, базис кото-
которой ортонормирован, называется декартовой прямоуголь-
ной системой координат.
Нетрудно проверить, что координаты точки относи-
относительно декартовой прямоугольной системы координат по
абсолютной величине равны расстояниям от этой точки
до соответствующих координатных плоскостей. Они име-
имеют знак плюс или минус в зависимости от того, лежит
точка по ту же сторону или по другую сторону от коорди-t
натной плоскости, что и конец базисного вектора, перпен-
перпендикулярного этой плоскости.
Аналогично находят координаты точки относительно де-
декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.
4. Полярная система координат. Декартовы системы
координат—не единственный способ определять при по-
помощи чисел положение точки
относительно некоторого геомет-
геометрического образа. Для этой цели
используются многие другие ти-
типы координатных систем. Здесь
мы опишем некоторые из них.
На плоскости часто употреб-
употребляется полярная система коор-
координат. Она определена, если
задана точка О, называемая
полюсом, и исходящий из полю-
полюса луч /, который мы назовем
полярной осью. Положение точ-
точки М фиксируется двумя числами: радиусом г = \ОМ\ и
углом ф между полярной осью и вектором ОМ. Угол ф
называется полярным углом. Мы будем измерять его в
радианах и отсчитывать от полярной оси против часо-
часовой стрелки. У полюса г = 0, а ф не определено. У ос-
остальных точек г > 0 и ф определено с точностью до сла-
слагаемого, кратного 2я. Это означает, что, например, пары
чисел (г, ф), (г, ф + 2я) и вообще (г, ф + 2«я), где k—
любое целое число, представляют собой полярные коор-
координаты одной и той же точки (рис. 8).
Иногда ограничивают изменение полярного угла каки-
какими-нибудь условиями, например: 0«^ф<2л или —я<
.17

< <р ^ я. Это устраняет неоднозначность, но зато вводит
другие неудобства.
Пусть задана полярная система координат и упоря-
упорядоченная пара чисел (г, <р), первое из которых неотрица-
неотрицательно. Мы можем сопоставить этой паре точку, для Ко-
Которой эти числа будут полярными координатами. Имен-
Именно, если г = 0, то мы сопоставляем полюс. Если же г > О,
то парс (г, ф) ставим в соответствие точку, радиус-век-
радиус-вектор которой имеет длину г и составляет с полярной осью
угол ф. При этом парам чисел (г, ф) и (rt, <pt) сопостав-
сопоставляется одна и та же точка, если r=>rit а ф—<pt — 2nk,
где k—целое число.
Выберем на плоскости декартову прямоугольную сис-
систему координат, поместив ее начало в полюс О и при-
приняв за векторы ^ ие, векторы длины 1, направленные
соответственно вдоль / и под углом я/2 к / (угол отсчи-
тывается против часовой стрелки). Как легко видеть нз
рис. 8, декартовы координаты точки выразятся через ее
полярные координаты так:
C)
б. Цилиндрические и сферические координаты. В пространстве
обобщением полярных систем координат являются цилиндрические
и сферические системы координат, И для тех, и для других фигура,
Рис, 9.
Рис. 10,
относительно которой определяется положение точки, состоит из
точки О, луча /, исходящего из О, и вектора п, равного по длине
единице и перпендикулярного к I. Через точку О мы можем провес-
провести плоскость Р, перпендикулярную вектору п.
Пусть дана некоторая точка М. Опустим из нее перпендикуляр
ММ' на плоскость Р.
Цилиндрические координаты точки At —это три числа (г, <р» h).
Числа г, <р—полярные координаты точки М' по отношению к по»
18

люсу О и полярной оси I, a А—компонента вектора М'М во векто-
вектору а. Она определена, так как эти векторы коллннеарны (рис. 9).
Сферические координаты точки—три числа (г, ф, в). Они опре-
определяются так: г=\ОМ |, как и для цилиндрических координат <р—
угол вектора 6ЙЙ' о лучом /, а в—угол вектора ОМ с плос-
плоскостью Р (рис. 10).
§ 3. Скалярное н векторное произведения
1. Скалярное произведение. Под углом между векто-
векторами мы понимаем угол между векторами, равными дан-
данным и имеющими общее начало. В некоторых случаях
мы будем указывать, от какого вектора и в каком на-
направлении угол отсчитываете». Если такого указания не
сделано, углом между векторами считается тот из углов,
который не превосходит я. Если угол прямой, то векторы
называются ортогональными.
Определение. Скалярным произведением двух век-
векторов называется число, равное произведению длин этих
векторов на косинус угла между ними. Если хоть один
из векторов нулевой, то угол не определен, и скалярное
произведение по определению считают равным нулю.
Скалярное произведение векторов аи b обозначается
(а, Ь). Таким образом, мы можем записать
(а, Ь) = | а 11 b {cos ф,
где ф—угол между векторами а и Ь. Очевидны следую-
следующие свойства операции скалярного умножения:
1. Скалярное умножение коммутативно, т. е. для
любых векторов а и b справедливо равенство (a, b) = (b, a).
2. (а, а) = | а | * для любого вектора а.
3. Скалярное произведение равно нулю тогда и толь-
только тогда, когда сомножители ортогональны или хотя бы
один из них равен нулю.
4. Векторы ортонормированного базиса удовлетворяют
соотношениям
Предложение 1. Если базисные векторы е^, е$, е,
ортогональны, то компоненты любого вектора а находят-
находятся по формулам
*л и *л (a, е»)
19

В частности, если базис ортонормирешнный, то
о,»(a, ej), аа = (а, еа), ее8 = (а, е.).
A)
Рис. II,
Действительно, пусть а = а4+а,4-а4, причем каждое
слагаемое коллинеарно соответствующему базисному век-
вектору. Мы знаем из доказательства теоремы 1 § 1, что
Щ=> ±\&t\1\ti\, где выбирается знак плюс или минус-в
зависимости оттого, одинаково или
противоположно направлены век-
векторы а, и ej. Но, как видно из
рис. 11, ±|ai| = |a|cos<p,, где
<Pi—угол между векторами а ,и
ej. Итак, <Xi = |a|cos<pf/|ef |=(a,
ejVlej]1. Аналогично вычисляются
и остальные компоненты.
Из предложения 1 следует,
что компоненты вектора в орто-
нормированном базисе равны про-
произведениям его длины на косину-
косинусы углов, которые данный вектор
составляет с соответствующими
базисными векторами.
Следующее свойство носит название линейности ска-
скалярного произведения.
Предложение 2. Для любых векторов а, Ь, с и
любых чисел а и Р выполнено равенство (aa + pb, с) =
= сс(а, с) + р(Ь, с). В частности, (оса, с) = а(а, с) и
<а + Ь, с)«(а, с)-НЬ, с).
Доказательство. Если с«=0, то утверждение оче-
очевидно. Допустим, что с^О. Примем с за первый вектор
базиса и выберем остальные ортогонально к нему и меж-
между собой. Выражение (cca-f-Pb, c)/| с|8—первая компонен-
компонента вектора aa + Pb. Точно так же (а, с)/| с|а и (Ь, с)/| с |8—>•
первые компоненты векторов а и Ь. В силу предложений
4 и 3 из § 1 мы имеем
(аа + рЬ, с)/|с|«-а(а, с)/|с|« + Р(Ь, с)/|с|«.
Отсюда прямо вытекает требуемое равенство.
Легко доказать, что такая же формула справедлива
для линейной комбинации любого числа векторов.
Используя коммутативность скалярного умножения,
из предложения 2 мы получаем тождество
(а,
, с).
20

Пусть дан ортонормированный базис. Исследуем, как
выражается скалярное произведение векторов а и b че-
через их компоненты (о1, аг, а8) и (р\, р„ р*,). Используя
линейность скалярного произведения по первому сомно-
сомножителю, напишем
(а, Ь) = (а1е, + а2е2 + а3ез, Ь) =
aa(e2, Ь) + аэ(е„ b).
Но, согласно предложению 1, скалярные произведения
вектора Ь на базисные векторы равны его компонентам
Pi. Р* и Р*- Так мы приходим к следующей теореме.
Теорема 1. Если базис ортонормированный, то
скалярное произведение векторов выражается через их ком-
компоненты по формуле
(а, Ь) = а
Отметим, что требование ортонормированности базиса
в этой теореме очень существенно—в произвольном ба-
базисе выражение скалярного произведения через компо-
компоненты гораздо сложнее. Поэтому для задач, связанных
со скалярным произведением, пользуются ортонормиро-
ванными базисами. Если почему-либо все же надо вычис-
вычислить скалярное призведение в неортонормированном ба-
базисе, следует скалярно перемножить разложения сомно-
сомножителей, по базису и, раскрыв скобки, подставить в по-
полученное выражение известные скалярные произведения
базисных векторов.
Теорема 1 позволяет написать выражение длины век-
вектора через его компоненты в ортонормированном базисе:
C)
а также выражение угла между векторами через их ком-
компоненты в ортонормированном базисе:
Используя формулу C), мы можем вычислить расстоя-
расстояние между точками, если заданы их координаты в де-
декартовой прямоугольной системе координат. В самом де-
деле, пусть точки А и В имеют соответственно координаты
(х, у, г) и (xlt ylt zt). Тогда расстояние между ними равно
E)
21

2. Ориентация тройки векторов. Пусть даны дм орто-
нормированных базиса еи е„ et и е,', е?, е^. Можно ли
совместить эти базисы при помощи движения? Разумеет-
Разумеется, можно перенести и повернуть вектор ej так, чтобы
он совпал с вектором е(. При этом плоскость векторов е,
и ej, перпендикулярная ех', совместится с плоскостью век-
векторов е, и е„ перпендикулярной е*. Далее можно пово-
поворотом в этой плоскости добиться совмещения векторов е,
и et. После этого векторы вз и е, окажутся коллинеарны-
ми. Они либо совпадут—тогда базисы совмещены,—либо
окажутся противоположно направленными. В последнем
случае базисы совместить нельзя.
«3
a)
•Г
Рис. 12, а) Левый базис; б) правый базис.
Из этого рассуждения видно, что если два базиса не
налагаются, то каждый третий базис налагается либо на
первый, либо на второй. Таким образом, все ортонорми-
рованные базисы распадаются на два класса. Базисы,
принадлежащие одному и тому же классу, налагаются,
а базисы из разных классов не налагаются. Базнс назы-
называется правым или левым в зависимости от того, вправо
или влево направлен вектор е*, когда е, направлен от
нас, а вектор е, направлен вверх (рис. 12). Один класо
состоит из всех правых, а другой—из всех левых бази-
базисов. Это же определение распространяется и на любые
базисы следующим образом.
Определение. Упорядоченная тройка некомпланар-
ных^векторов называется правоориентированной или просто
правой, если из конца третьего вектора кратчайший по-
поворот от первого ко второму виден против часовой стрел-
стрелки. В противоположном случае тройка называется лево-
левоориентированной или левой. (Начала векторов тройки
предполагаются совмещенными.)
3. Векторное произведение. Определение. Пусть
даны векторы а и Ь. Построим по ним вектор с, удовлет-
удовлетворяющий условиям:
22

1) I с I = 1 a 11 b I sin фж), где <р—угол между а и b;
2) вектор с ортогонален векторам а и Ь;
3) если а и b не коллинеарны, то векторы а, Ь, с
образуют правую тройку векторов.
Так построенный вектор с назовем векторным произ-
произведением векторов а и b и обозначим [а, Ь]. Приведен-
Приведенные условия определяют векторное произведение с точ-
точностью до равенства, если сомножители—ненулевые век-
векторы. Если хоть один из сомножителей—нуль, то век-
векторное произведение по определению есть нулевой век-
вектор.
Из определения вытекает, что модуль векторного про-
произведения неколлинеарных векторов численно равен пло-
площади параллелограмма, построенного на сомножителях
(если сомножители имеют общее начало). Подробнее это
обсуждается в конце параграфа (п. 1Й).
Векторное произведение равно нулю тогда и только
тогда, когда сомножители коллинеарны2).
Пример 1. Пусть ej, е2, е8— правый ортонормиро-
ванный базис. Тогда [е*, ея] = е„ [е„ е,] = е,, [e8, ef] = e2.
Если flt fa, f3—левый ортонормированный базис, то
ft. f.]~ f,. [f,. f,] f*. [f,. »f] = -f,-
Предложение З. Векторное умножение антиком-
мутативно, т. е. всегда [а, Ь] = — [Ь, а].
Действительно, из определения следует, что модуль
векторного произведения не зависит от порядка сомно-
сомножителей. Точно так же вектор [а, Ь] коллинеарен век-
вектору [Ь, а]. Однако, переставляя сомножители, мы долж-
должны изменить направление произведения, чтобы было вы-
выполнена условие 3) определения. Действительно, если а,
Ь, [а, Ь]—правая тройка, то b, a, [a, b]—левая, а Ь, а,
—[а, Ь]—снова правая тройка.
Ниже мы вернемся к векторному произведению, но
сначала будет удобно ввести еще одну операцию.
4. Смешанное произведение. Определение. Число
(а, [Ь, с]) называется смешанным произведением векторов
а, Ь, с и обозначается (а, Ь, с).
Предложение 4. Смешанное произведение неком-
некомпланарных векторов а, Ь и с по модулю равно объему
параллелепипеда, построенного на сомножителях. Оно по-
), так как 0<<р<л.
*) Мы договорились считать нулевой вектор коллинеарныи лю-
любому вектору.
23

ложительнб, если мрбйка а, Ь, с правая, и отрицатель-
отрицательно, если она левая.
Действительно, объем параллелепипеда, построенного
на векторах a, b и с, равен (рис. 13) произведению пло-
площади основания |[Ь, с]| на высоту |ajjcos0|. Здесь 6 —
угол между векторами а и [Ь, с]. Поэтому мы можем
записать
V—|?Ь. c]||a||cosO| = |(a, [b, c])|-|(a, b, с)|.
Таким образом, первое утверждение доказано. Знак сме-
смешанного произведения совпадает со знаком cos 9, и пото-
потому смешанное произведе-
произведение положительно, когда
а направлен в ту же сто-
сторону от плоскости векто-
векторов b и с, что и вектор
[Ь, с], т. е. когда тройка
а, Ь, с правая. Аналогич-
Аналогично доказывается, что сме-
смешанное произведение левой
тройки векторов отрица-
Рис 13. тельно.
Если ef, ea, es—орто-
нормированный базис, то (ef, е„ е,) = 1 или (ef, e.,
е3)=»—1, смотря по тому, правый это базис или левый.
Предложение 5. Смешанное произведение равно
нулю тогда и только тогда, когда сомножители компла-
компланарны.
Действительно, (а, Ь, с) = |а||[Ь, с]|cos9, где9—угол
между векторами а и [Ь, с]. Равенство |а||[Ь, с]|cos6 =
== 0 возможно только тогда, когда выполнено хоть одно
из условий:
а) |а| = 0. Очевидно,что тогда векторы компланарны.
б) |[Ь, с] | = 0. Тогда b и с коллинеарны и, следова-
следовательно a, b и с компланарны.
в) cos 6 = 0. Тогда вектор а ортогонален [Ь, с], т. е.
компланарен b и с.
Обратное утверждение доказывается аналогично: если
a, b и с компланарны и не имеют места случаи а) и б),
то имеет место случай в).
При перестановке сомножителей в смешанном произ-
произведении, самое большее, может измениться только ориен-
ориентация тройки этих векторов. Поэтому, согласно предло-
предложениям 4 и б, может измениться только знак смешанно-
смешанного произведения. Для любых векторов a, b н с мы по-
24

лучаем, сравнивая ориентации троек векторов,
(а, Ь, е) = (с, а, Ь) = (Ь, с, а)»
<=—(Ь, а, с)=. — (с, Ь, а)« — (а, с, Ь). (в)
Применяя предложение 2 к скалярному произведе-
произведению (Аа^ра,, [b, с]), мы получим тождество
(Аа.+ца,, Ь, с) = Л(а1, Ь, с)+ц(а„ Ь, с). G)
Из равенств F) следуют аналогичные тождества для ос-
остальных сомножителей. Например, для второго сомножи-
сомножителя
(a, AJ^ + fibj, с) = Я(а, Ъи с)+ц(а, blf с).
Действительно, мы можем переставить интересующий
нас сомножитель на первое' место, раскрыть скобки, а
затем выполнить обратную перестановку.
Эти тождества выражают свойство линейности смешан-
смешанного произведения.
Сейчас мы докажем линейность векторного произведе-
произведения, т. е. следующее
Предложение 6. Для любых векторов a, b и с и
любых чисел % и ц имеет место равенство
[Аа + цЬ, с]-Я[а, с]+ц[Ь, е].
Для доказательства воспользуемся линейностью сме-
смешанного произведения по второму сомножителю:
(d, [Аа+цЬ, c]) = Md, [a, c])+n(d, [Ь, с]).
Это равенство имеет место при всех &. Мы можем вы-
выбрать ортонормированный базио еь е2, е3 и подставить
вместо d последовательно каждый вектор этого базиса.
В силу предложения 1 мы получим равенство всех ком-
компонент векторов [Яа + цЬ, с] и Я, [а, с]+ц[Ь, с], а отсю-
отсюда и равенство векторов, которое нам было нужно дока-
доказать.
Аналогично можно доказать линейность векторного про-
произведения по второму сомножителю.
5. Выражение векторного и смешанного произведения
через компоненты сомножителей. Если заданы разложе-
разложения векторов а и b по векторам базиса ех, еа и е„, мы
можем написать, согласно предложению 6,
[a, bj^fja^ + a^-fctje,}, {Ра+Рл + Рл}]*»
**(<hh--aA)[ei, e2] + KP,—a.Pi)[e». es] +
j. (8)
25

Как мы видели в примере 1, в ортонормированием базисе
[е?, е,] = ±е„ [е„ e,] = ±ef, [е„ e^ie^
где берется знак плюс, если базис е,, е„ е, правый, и
знац минус, если базис левый. Чтобы избежать постоян-
постоянных замечаний об ориентации базиса, мы будем считать,
что базис выбирается всегда правый. Таким образом, мы
получаем следующую теорему.
Теорема 2. В ортонормированном базисе векторное
произведение выражается через компоненты сомножите-
сомножителей формулой
[а, Ь] = (аар,—а,р,) е, + (а,р1—аф,) е, + (с^р,—аД) е,.
(Если базис левый, то перед одной из частей этого ра-
равенства следует поставить знак минус.)
Теперь может быть доказана
Теорема 3. Смешанное произведение векторов a, b
и с выражается через их компоненты (<хи а,, а,),
(Pi. Р2' Рз) « (Vi» Vi« Vs) в произвольном базисе elt е„ е,
по формуле
(a, b, c)==(aiPi,v8-fa2psv1 + a8p1Yil—
—аАъ~аАТз—аЛт»)(в1, е8, es).
Для доказательства напишем произведение [Ь, с] по
формуле (8)-
[Ь. с] = (ргу3-
Умножая скалярно обе части этого равенства на вектор
a = a1e1-f-a,e2H-aJles, имеем
(а, [Ь, c]) = a1(P8Y8-P,vs)(e1> [e,, е,]) +
,, [е„ е1]) + а3(р1у,—р,7,)(е8, [е^, е,]).
(Слагаемые, содержащие смешанные произведения с рав-
равными сомножителями, мы не выписываем, так как они
равны нулю) Отсюда, учитывая равенства F) и приводя
подобные члены, мы получаем нужный нам результат.
6. Детерминанты второго и третьего порядка. Найден-
Найденные нами формулы для векторного и смешанного произ-
произведения достаточно громоздки Для их более наглядной
записи употребляются детерминанты второго и третьего
порядка 1).
*) Детерминанты называют также определителями,
26

Рассмотрим четыре числа с^, а„ р\, pt. Из них мож-
можно составить таблицу
|«i аа|
Pi Р.Г
Таблицы такого вида называются матрицами второго по-
порядка. Число otjP,—aapf называется детерминантом дан-
данной матрицы второго порядка или просто детерминантом
второго порядка. Оно обозначается
Теперь выражение для векторного произведения в
ортонормированном базисе перепишется так;
«-и
гк+12
Из компонент трех векторов можно составить табли-
таблицу—матрицу третьего порядка
Iat ctj, a3i
Pi Pa Ps |.
Yi Ya Ysi
Число
a lPa M-4-
MYs Yal"
или, что то же самое,
1 А О I
„ 1 Рз Рз
^ 1 Ya Ys 1
а 1Р*
2lYa
|Pi
"Hyi
P1I+
Yil +
P»| +
Ya| +
IPl Pa
8lYi Ya
a lPi Pa
8 Yi Ya
называется детерминантом этой матрицы (или детерми-
детерминантом третьего порядка) и обозначается
а± а, а3
Pi Pa Ps .
Yi Ya Ys
По теореме З в новых обозначениях
«1
Pi
Yi
«а
Ра
Ya
as
Рз
Ys
(a, b, c)= Pi Pa Рз (eit е„ е,).
В частности, в ортонормированном базисе
(а, Ь, с) =
Of
Pi
Yi
Oj
Pi
I*
a8
Ps
Y«
(9)
A0)
27

При помощи теоремы 2 и определения детерминанта
третьего порядка можно получить следующую запись
векторного произведения через компоненты сомножите-
сомножителей в ортонормированием базисе ех, е2, е„:
[а> Ь]== ? ? ? * (П)
Pi Р» Рз
Детерминанты тесно связаны с системами линейных
уравнений, решения которых удобно записывать с их
помощью. Этому будет посвящена значительная часть
гл. V, а сейчас мы дадим только геометрическую иллю-
иллюстрацию.
Пусть дана система из трех уравнений с тремя неиз;-
вестными
Фиксируем в пространстве некоторый базис и рассмот-
рассмотрим векторы а(а1( av а„), b(bt, bit Ьа), с (с,, с„, с,) и
Hft> fv f»)- Тогда систему можно рассматривать как
координатную запись векторного равенства
:-f. A2)
Значит, решение системы х, у, z—коэффициенты разло-
разложения f по векторам a, b и с. Мы можем быть уверены,
что система имеет единственное решение, если a, b и с
не компланарны, т. е. (а, Ь, с)^0. Предположим, что
это условие выполнено, и найдем решение. Для этого умно-
умножим обе части равенства A2) скалярно на векторное
произведение [Ь, с]. Мы получим *(а, b, c) = (f, b, с),
и, следовательно, х равен отношению детерминантов
к
h
с.
h
b»
И
h
Ч
°2
ct
a»
b»
Ct
Аналогично находятся и остальные неизвестные.
Остановимся на следующем свойстве детерминантов.
Из равенств F) вытекает, что детерминант меняет знак
при перестановке двух строк матрицы. Формула G) озна-
означает, что
Рг
Y»
Р*
Y»
Pi
Yt
аа
Pa
Y»
аа
P.
Ys
«i
к
Vi
a»
P.
Yi
a.*
Рз
Y»

7. Условия коллинеарности и компланарности векто-
векторов. Начнем со следующего полезного предложения.
Предложение 7. Каков бы ни был базис е,, е,, е„
попарные векторные произведения базисных векторов ли-
линейно независимы.
Докажем это от противного. Рассмотрим равную нулю
линейную комбинацию интересующих нас векторов
4е*»
и допустим, что какой-нибудь коэффициент, пусть для
определенности Я, отличен от нуля. Умножив линейную
комбинацию на е„ мы получим Я. fa, е„ ей) — 0, т. е. X 0.
Полученное противоречие доказывает наше предложение.
Следующие предложения дают необходимые и доста-
достаточные условия коллинеарности и компланарности век-
векторов.
Предложение 8. Обращение в нуль детерминанта
матрицы из компонент трех векторов необходимо и до-
статочно для компланарности этих векторов.
Предложение 8 сразу следует из предложения 5 и
формулы (9), поскольку (ер е2, е4)«И=0.
Предложение 9. Пусть (otj, <х„ а4) и (fa, р4,, Pt)-r
компоненты векторов л и Ь в некотором базисе. Эти век-
векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда
\а2 а3\ |а, аг\ |<*| «,1 0 /iox
к Р.Гк Pi Г к Pah0- A3)
Достаточность условия очевидна} из равенства A3)
по формуле (8) следует обращение в нуль [а, Ь], что рав-
равносильно коллинеарности векторов. Заметим, что мы
пользуемся формулой (8), которая справедлива в любом
базисе, и потому можем не требовать ортонормированности
базиса. Наоборот, из обращения в нуль [а, Ь] и форму-
формулы (8) мы можем вывести A3), так как в силу предло-
предложения 7 векторы [е2, е8], [е3, %] и fe, ег] линейно неза-
независимы.
В планиметрии признак коллинеарности двух векто-
векторов, дается следующим предложением.
Предложение 10. Обращение в нуль детерминанта
матрицы из компонент двух векторов на плоскости необ-
необходимо и достаточно для коллинеарности этих векторов.
Для доказательства мы будем считать, что рассматри-
рассматриваемая плоскость помещена в пространство и базис в
этой плоскости дополнен третьим вектором до базиса в
пространстве. Тогда вектор а с координатами (at, at) на
29

плоскости имеет координаты (а1Г аг 0) относительно оа-
оазиса в пространстве. Теперь, применяя предложение 9
к векторам а(с4, а,) и Ь(р\. р»). имеем единственное
условие
для их коллинеарности (остальные два детерминанта равны
нулю в силу а, = р, = 0).
8. Площадь параллелограмма. Если в пространстве
заданы два неколлинеарных вектора а и Ь, имеющих об-
общее начало, то площадь параллелограмма, построенного
на этих векторах, может быть найдена через их компо-
компоненты в ортонормированном базисе по формуле
= К(«А-«А)г + (аА-аАJ + («А-«
Площадь параллелограмма в планиметрии вычисляется
аналогично. Хотя векторное произведение и не определе-
определено, мы можем, как и при доказательстве предложения 10,
предполагать, что изучаемая плоскость помещена в
пространство и третий базисный вектор выбран пер-
перпендикулярно плоскости и имеет длину I. Тогда вектор-
векторное произведение векторов на плоскости имеет одну-
единственную компоненту, отличную от нуля, а именно
третью, и площадь параллелограмма, построенного на
векторах аи Ь, выражается через их компоненты в орто-
ортонормированном базисе на плоскости формулой
s«|«A-«AI. 05)
т. е. равна абсолютной величине детерминанта
Р< Р»
Когда мы составляем выражение OiP8—a2p*i, то существенно,
что вектор а считается первым, a b—вторым. Если бы вторым был
а, а первым Ь, то компонента векторного произведения была бы
Pia8-—pV*i- Площадь параллелограмма не зависит от порядка век-
векторов, так как она равна модулю этого выражения.
Введем теперь понятие ориентации параллелограмма на пло-
плоскости. Будем предполагать, что параллелограмм построен на двух
векторах, т. е. две его смежные стороны являются векторами с
общим началом.
Определение. Параллелограмм называется ориентирован-
ориентированным, если пара векторов, на которой он построен, упорядочена.
Ориентация называется положительной, если кратчайший поворот
от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки/
а отрицательной в противоположном случае.
30

Мы будем предполагать, что параллелограмм, построенный на
базисных векторах ех и е2 («базисный параллелограмм»), ориен-
ориентирован положительно. Если мы помещаем плоскость в простран-
пространство, то [elt ез) = е,, так как базис в пространстве всегда правый.
Неравенство c^Pj—агр1 > 0 означает, что вектор [а, Ь] направлен
•так же, как [еь е,], и, следовательно, параллелограмм, построен-
построенный на векторах а и Ь, ориентирован также положительно.
Принято считать площадь ориентированного параллелограмма
числом со знаком: положительным для положительно ориентирован-
ориентированных параллелограммов и отрицательным для отрицательно ориентиро-
ориентированных.
Как показывают предыдущие рассуждения, если базисный па-
параллелограмм ориентирован положительно/ то число ctiP2—аар^
равно площади ориентированного параллелограмма, построенного
на векторах а(аь а2) и b (Pi, P3). Можно сказать также, что при
«lPa—а«И > 0 ориентация параллелограмма, построенного на век-
векторах а и Ь, совпадает с ориентацией базисного параллелограмма,
а при etiP,—OjPi < 0 противоположна ей.
9. Объем ориеитированного параллелепипеда. Мы будем пред-
предполагать, что параллелепипед построен на трех векторах| т. е, три
его ребра являются векторами, имеющими общее начало.
Определение. Параллелепипед называется ориентирован-
ориентированным, если тройка векторов, на которой ои построен! упорядочена.
Ориентация называется положительной, если эта тройка правая, и
отрицательной в противном случае.
Принято считать объем ориентированного параллелепипеда
положительным, если его ориентация положительна, и отрицатель-
отрицательным, если ориентация отрицательна. Предложение 4 можно теперь
сформулировать следующим образом.
Предложение 11. Смешанное проивведение трех некомп-
некомпланарных векторов равно объему ориентированного параллелепипеда,
построенного на этих векторах.
10. Двойное векторное произведение. Выражение
[а, [Ь, с]] называется двойным векторным, произведением
векторов а, Ь, с. Докажем, что
[a, [b, c]] = (a, c)b-(a, Ь)с. A6)
С этой целью выберем ортонормированный базис ef, e2,
е, так, чтобы вектор е( совпадал по направлению с а
(т. е. a = aef, где « = |а|). Обозначим через (pf, рг, рг),
(yit у,,, Ys) и (ai» Аа» As) координаты векторов b, с и
[Ь, с] соответственно. Тогда по формуле A) имеем
(а, с)Ь
и
(а, Ь) с *- apf (Vie, + ?„е2 -f- y,e8).
Это позволяет преобразовать правую часть формулы A6)
к виду
+ аД2е3.
31

С яругой стороны, из формулы A1) непосредственно
видно, что
[а, [Ь, с]]= — аД,е,4-асА,е8.
Это заканчивает доказательство.
11. Взаимный базис Дадим следующее
Определение. Базис,- составленный из векторов
с»_ [е«, е3] е» _ [es, et] g«_ [elt e8]
1 (ej, е„ е3)' 2 (<tlt е8, е8)' 3 (еь е8, е8)'
называется взаимным для базиса ej, es, е3.
Из предложения 7 вытекает, что е*, е2, ез ие компланарны и
действительно образуют базис.
Нетрудно проверить, что каждый ортонормированный базис
совпадает со своим взаимным.
Предложение 12. Если el, ег» е3—базис, взаимный базису
е*. «г. е3, то компоненты произвольного вектора а в базисе еь е2» е,
находятся по формулам
<*i=*(*i el), а, = (а, ej), as = (a, ej).
Действительно, умножив равенство a=a1ei+aaea-j-asej ска-
лярно на е?, мы получаем (а, et) = aj; *' ¦—Ц , Аналогично до-
казываются и остальные формулы.
Предложение 13. Если ej, ej, eg—бавио, взаимный с ej,
е<? ез; то базис еГ*? е3 t е"» взаимный о et, ej, вз, совпадает о
вц eSi e3
Доказательство начнем о того, что разложим вектор е* по ба-
вису t'ti tl, ез, пользуясь формулами из предложения 12. Поскольку
tl имеет компоненты A, 0, 0), мы видим, что
ех, е, ) = ls (elf e, ) = (е1( е, )=0
Аналогично, раскладывая tl и ез> получаем еще шесть равенств:
е2, е, ) = 1, (е2, е, ) = (е2, es )-.О,
V «* ) = 1' (V е1 )=(е»' «2 ) = 0-
Но эти же равенства, в силу того же предложения 12,- означают,
что компоненты векторов е**, е" и е** по базису ti, e^, е» равны
соответственно A, 0, 0), @, 1, 0) и @, 0, 1)( т. е. ь
[*
e**
e** = es. Предложение доказано,
12. О векторных величинах. В приложениях матема-
математики часто рассматриваются величины, изображаемые
векторами] силы, скорости, моменты сил и т. д. Векто-
Векторам, изображающим такие величины, приписывается раз-
размерность. Не вдаваясь в существо дела, мы ограничимся
32

изложением формальных правил действий о размер-
размерностями.
С формальной точки зрения размерность—это одно-
одночлен, составленный из какого-то набора символов. Такие
одночлены перемножаются и делятся по обычным прави-
правилам действий над одночленами. Имеют место следующие
правила действий с размерностями;
1. Складывать векторные величины можно только в
том случае, когда их размерности совпадают. При этом
размерность суммы та же, что и у слагаемых.
2. При умножении векторной величины на скалярную
их размерности перемножаются.
3. Модуль векторной величины имеет ту же размер-
размерность, что и сама величина.
4. Скалярное и векторное произведение имеют размер-
размерность, равную произведению размерностей сомножителей.
Это легко следует из их определений и предыдущего
правила.
Для того чтобы изобразить векторную величину на
чертеже, мы должны условиться о масштабе) сколькими
единицами длины (например, см) мы будем изображать
одну единицу данной размерности (например, км,
м/сек, Н).
Если в векторном произведении сомножители имеют
размерность длины, то произведение имеет размерность
площади. Масштаб для изображения единиц площади
выбирается так, чтобы одна единица площади изобража-
изображалась одной линейной единицей. При этом длина вектор-
векторного произведения будет численно равна площади парал-
параллелограмма, построенного на сомножителях.
Поскольку единица длины у нас выбрана раз навсегда
и не меняется, указанное соглашение ни к каким проти-
противоречиям привести не может. Однако оно не так безобид-
безобидно, как может показаться. Именно, два математика, поль-
пользующиеся этим соглашением, но разными единицами
длины (например, француз, пользующийся сантиметрами,
и англичанин—дюймами), для одних и тех же векторов
нарисуют несовпадающие векторные произведения.
§ 4. Замена базиса и системы координат
1. Изменение базиса. До сих пор мы предполагали, что
рассматривается один базис. Однако выбор базиса ничем
не ограничен, и принципиальное значение имеет задача о
нахождении компонент вектора в одном базисе по его
33

компонентам в другом базисе. При этом положение ново-
нового базиса относительно старого должно быть задано, а
именно должны быть заданы компоненты новых базисных
векторов е[, е'г, е'3 в старом базисе ег, е„ е3. Пусть1)
A)
Произвольный вектор а разложим по базису е[, e'it e'si
Обозначим компоненты вектора а в старом базисе через
04, а, и at. Раскладывая каждый член предыдущего ра-
равенства по базису et, е2, е8, в силу предложений 4 и 3 § 1
мы имеем
аг = a\a[ + ala, + а\а3, У B)
Соотношения B) и являются решением нашей задачи.
Если нас заинтересует выражение новых компонент через
старые, то нам придется решить систему уравнений B)
относительно неизвестных а{, а"%, а'3.
Точно тем же способом мы можем получить формулы,
связывающие компоненты вектора в разных базисах на
плоскости. Эти формулы таковы!
a, = afaj .{• а
S:}
Коэффициенты при а[, а'2 и о^ в формулах B) можно
записать в следующую матрицу третьего порядка!
a\ flj
of a? at I. C)
4 a\ all
Эта матрица называется матрицей перехода от базиса
ei» е«* е» к базизу е,, ej, e'3. В ее столбцах стоят компо-
компоненты новых базисных векторов е'и е'г и е'3 по старому
базису ец es, pg.
*) Здесь для удобства один из индексов мы располагаем сверху.
Это не покаеатель втейеии. Например, а\ читается «а один-три»,
34

2. Изменение системы координат. Рассмотрим теперь
две декартовы системы координат! старую О, е(, е„ е, и
новую О , е[, ej, ej. Пусть М—произвольная точка, ко-
координаты ее в этих системах обозначены соответственно
(х, у, г) и (*', у', г'). Поставим себе задачу выразить х, у,
г через х', у', г', считая известным положение новой си-
системы координат относительно старой, т. е. считая извест-
известными старые координаты а], а*, D нового начала коор-
координат О' и компоненты новых базисных векторов в ста-
старом базисе, составляющие матрицу перехода C).
Радиус-векторы точки М относительно точек О и О'
связаны равенством ОМ = 00' + О'М, которое мы можем
записать в виде
бй = бб'+х'ь[+у'€г + г'ь„ D)
так как х', у', г'—компоненты О'М в базисе е,', е\, е^.
Разложим каждый член равенства D) по базису ео е„ е,,
имея в виду, что компоненты ОМ и 00* равны коорди-
координатам точек М и О', которые мы обозначили соответст-
соответственно через х, у, г и aj, a\, aj. Мы получим три число-
числовых равенства, равносильных равенству D)i
х=а\х' + а\у' + a\gf + a\t )
y=a\x'+aly'+aZz'+al, \ E)
j
Равенства E) и представляют собой закон преобразова-
преобразования координат точки при переходе от одной декартовой
системы координат к другой.
3. Преобразование декартовой прямоугольной системы
координат на плоскости. Формулы перехода от одной си-
системы координат на плоскости к другой могут быть полу-
получены из E), если там оставить только первые два равен-
равенства и в них вычеркнуть члены, содержащие г\
tt)
Рассмотрим частный случай, когда обе сиотемы коор-
координат декартовы прямоугольные. Через ф обозначим угол
между векторами е^ и el, отсчитываемый в направлении
кратчайшего поворота от et к еа. Тогда (рио. 14)
е,' = cos ф е, + sin ф е„
cos (ф ± jj е, 4-sin (ф ± у) е,

В разложении ei ставится знак плюс, если кратчайший
поворот от ej к ej направлен так же, как кратчайший
поворот от е, к е„ т. е. если новый базис повернут отно-
относительно старого на угол <р. Знак минус в разложении е'а
\IyJL
<
Рис, 14, Два случая взаимного расположения ортонормировании»
базисов на плоскости,
ставится в противоположном случае, когда новый базис
не может быть получен поворотом старого. Поскольку
:*: cos ф,
мы видим что
х=х' cos ф =F yr sin ф4-а1,
у = х' sin ф ± у' cos ч>+а\,
1,1
G)
причем при повороте системы координат берется верхний
знак.

ГЛАВА II
ПРЯМЫЕ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ
§ 1. Общее понятие об уравнениях
1. Определение. Начнем о простого примера. Пусть в
пространстве задана декартова прямоугольная система
координат. Рассмотрим сферу радиуса г, центр которой
находится в точке О о координатами (а, Ь, с). Сфера —
множество точек, отстоящих от центра на одно и то же
расстояние г. Обозначим через х, у, г координаты произ-
произвольной точки М и выразим через них равенство \ОМ\=г.
Мы получим
К(*-а)'-К*/-й)8-Нг-с)« - г. A)
Возводя в квадрат обе чаоти равенатва A), мы придадим
ему более удобную форму!
(*_„)¦+ (у_6)« +(г—су = г\ B)
Очевидно, что это соотношение выполнено для всех точек
сферы и только для них, и, следовательно, его можно рас-
рассматривать как запись определения сферы при помощи
координат. Равенство B) называется уравнением сферы
в рассматриваемой системе координат.
Приведем еще один пример из геометрии на плоскости.
Графиком функции f(x) называется линия L, состоящая
из точек, координаты которых связаны соотношением
y=af(x). Если нас интересует в первую очередь линия, а
не функция, мы можем встать на другую точку зрения и
считать, что соотношение y=f(x) есть уравнение линии Ь.
Определим теперь, что следует вообще понимать под
уравнением некоторого множества.
Пусть выбрана система координат. Под уравнением
множества S в этой системе координат мы будем пони-
понимать выражение определения S через координаты его то-
точек, т. е. высказывание, верное для координат точек, при-
37

надлежащих S, и неверное для координат точек, ему не
принадлежащих.
Чаще всего уравнение представляет собой равенство,
записанное «математическими символами», но это вовсе
не обязательно: оно может быть словесным описанием,
перечислением, программой для ЭВМ и т. д. Это должно
представляться естественным для читателя, знакомого
с общим определением функции и способами задания
функций.
Часто уравнению множества точек в планиметрии
придается форма F (х, у) = 0, где F—функция от двух
переменных, а в стереометрии—F(x, у, г) —0, где' F —
функция от трех переменных. Написанное выше уравне-
уравнение сферы имеет такой вид, если не замечать то несу-
несущественное обстоятельство, что член г* написан в другой
части равенства.
Может оказаться, что уравнение какого-либо множе-
множества удобнее записать в виде неравенства. Например,
шар, ограниченный сферой с уравнением B), имеет
уравнение
(х—а)? Ч- (у—Ь)* + (z—сJ < г*.
Уравнения такого вида мы будем называть неравенствами.
Однако напрасно было бы надеяться разделить множества
на такие, которые задаются равенствами, и такие, кото-
которые задаются неравенствами. Действительно, равенство
Ф(х, у, z) = F(x, у, z)-\F(x, у, г)| = 0
задает то же множество, что и неравенство F (х, у, z) ^ 0.
Следует подчеркнуть зависимость уравнения от систе-
системы координат: уравнения одного и того же множества в
разных системах координат, вообще говоря, различны.
Это связано с тем, что при изменении системы координат
меняются и координаты точки.
Обучаясь математике, мы знакомимся с логическими
и математическими правилами, по которым из одного
верного высказывания можно получить другое верное
высказывание. Строгое изучение этих правил относится
к специальной науке—-математической логике. Мы же,
формулируя приведенные ниже предложения, будем про-
просто считать, что такие правила известны. Естественно
поэтому, что о доказательстве этих предложений не мо-
может быть речи.
Предложение 1. Если Р$ и РТ—уравнения лцно-
жеетв S и Т, то уравнение пересечения S(\Tесть выока-
38

вывшие, состоящее в том, что Ps и РТ верны одно-
одновременно.
Пусть Ps и РТ—равенства, содержащие координаты
точкш Fs(x,y, г) = 0 и FT(x, у, г) = 0. Тогда уравнение
пересечения есть система уравнений
Fs(x> У> г) = 0, FT(x, у, г) = 0.
Предложение 2. Если Ps и РТ—уравнения мно-
множеств S и Т, то уравнение объединения S[)T есть выска-
высказывание, состоящее в том, что из Ps и РТ верно хотя бы
одно.
Если Ps и РТ имеют вид Fs(х, у, г)=0 и FT(x, у, z)=0,
то уравнение объединения можно написать в виде
Fs(x' y,z)-FT(x, у, г) = 0.
Предложение 3. Если Ps и РТ—уравнения мно-
множеств S и Т, и S есть подмножество Т, то из Ps сле-
следует РТ.
Предложение 4. Множества S и Т совпадают
тогда и только тогда, когда их уравнения эквивалентны,
т. е. из Ps следует РТ, а из Рт следует Ps.
Проиллюстрируем два последних предложения. Урав-
Уравнения A) и B) эквивалентны! переходя от B) к A), мы
можем не ставить двойного знака перед корнем, так как
г > 0. Наоборот, уравнение
г—с= ]/~г*—(х—ау—(у—Ь)* C)
не эквивалентно уравнению B). Действительно, хотя воз-
возведением в квадрат можно получить B) из C), но при
извлечении корня из B) мы получаем
г—с - ± Vr*—(х—а)*—(у—Ь)\
Это означает, что равенство B) выполнено не только для
точек, удовлетворяющих уравнению C), но и для точек,
удовлетворяющих уравнению
z—с = — У г*—(х—а)*—(у—Ь)*. D)
Уравнение B) следует также и из D). Таким образом,
уравнения C) и D) определяют части сферы—«верхнюю»
и «нижнюю» полусферы.
Иногда предложения 3 и 4 считают определениями
отношений «следует» и «эквивалентно» для уравнений.
2. Алгебраические линии и поверхности. Изучение
произвольных множеств точек—задача совершенно не-
необъятная. В этом пункте мы определим сравнительно
39

узкий класс множеств, все еще чересчур широкий для
того, чтобы быть подробно изученным.
Определение. Алгебраической поверхностью назы-
называется множество, которое в какой-нибудь декартовой
системе координат может быть задано уравнением вида
0, (б)
где все показатели степени—целые неотрицательные
числа. Наибольшая из сумм1) kt + 1г + щ, ..., ka + ls+ms
называется степенью уравнения, а также порядком ал-
алгебраической поверхности.
Это определение означает, в частности, что сфера,
уравнение которой в прямоугольной системе координат
имеет вид B), является алгебраической поверхностью
второго порядка.
Определение. Алгебраической линией на плоскости
называется множество, которое в какой-нибудь декартовой
системе координат на^ плоскости может быть задано
уравнением вида
Л^у -г- ¦ • • + A^syis ж* о, F)
причем все показатели—неотрицательные целые числа.
Наибольшая из сумм As-f-/If ..., ka + la называется сте-
степенью уравнения, а также порядком линии.
Легко видеть, что алгебранческая поверхность не обя-
обязательно является поверхностью в том смысле, какой мы
интуитивно придаем этому слову. Например, уравнению
х* + у* + г* + 1 =0 не удовлетворяют координаты ни одной
точки. Уравнение
определяет две точки, уравнение у* + г* = 0 определяет
линию (ось абсцисс). Такое же замечание следует сде-
сделать и об алгебраических линиях. Читатель сам сможет
найти соответствующие примеры.
Приведенные определения имеют существенный недо-
недостаток. Именно, неизвестно, какой вид имеет уравнение
поверхности в какой-нибудь другой декартовой системе
координат. Если же уравнение и имеет в некоторой дру-
*) Разумеется, здесь имеется в виду наибольшая из сумм, фак-
фактически входящих в уравнение, т. е. предполагается, что после
приведения подобных членов найдется хотя бы одно слагаемое с
ненулевым коэффициентом, имеющее такую сумму показателей.
Это же замечание относится и к определению порядка алгебраи-
алгебраической линии, приведенному ниже..
40

гой системе координат вид E), то степень какого иэ этих
уравнений мы будем называть порядком поверхности?
Такие же вопросы возникают и об алгебраических линиях.
Ответом служат следующие теоремы, называемые теоре-
теоремами об инвариантности (неизменности) порядка.
Теорема 1. Если поверхность в некоторой декар-
декартовой системе координат может быть задана уравнением
вида E), то и в любой другой декартовой системе коор-
координат она может быть задана уравнением того же вида,
имеющим ту же степень.
Теорема 2. Если линия на плоскости в некоторой
декартовой системе координат может быть задана урав-
уравнением вида F), то и в любой другой декартовой системе
координат она может быть задана уравнением того же
вида, имеющим ту же степень.
Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем, на-
например, теорему 2. С этой целью перейдем от той декар-
декартовой системы координат О, е{, е,, о которой шла речь
в определении, к произвольной новой декартовой системе
координат О', ei, е'г. Старые координаты х, у связаны
с новыми координатами х, у' формулами F) § 4 гл. I:
y=alx'+aly'+al.
Чтобы получить уравнение линии в новой системе коор-
координат, подставим в ее уравнение выражения хну через
х' и у'. При возведении трехчлена а\х' -\~a\y' + а\ в
степень k мы получим многочлен относительно х' и у1
степени k. При возведении а\х' + а\у' + al в степень /
мы получим многочлен степени /. Перемножая получен-
полученные многочлены, заметим, что каждый член вида Ах*у*
в левой части уравнения F) переходит в многочлен сте-
степени k + l относительно xj и у'. Сумма многочленов —
это многочлен, степень которого не выше степеней слагае-
слагаемых. (Она могла бы оказаться ниже, если бы члены с
наибольшей суммой показателей уничтожились.) Итак,
мы доказали пока, что алгебраическая Линия в любой
декартовой системе координат имеет уравнение вида F),
причем степень уравнения при переходе от одной систе-
системы координат к другой не может повыситься. Нам оста-
остается доказать, что она не может и понизиться и, сле-
следовательно, должна^ оставаться постоянной. Это легко
доказать от противного. В самом деле, при обратном пе-
переходе от системы координат 0е, ei, t't к системе коор-
координат О, ti, е2 старые координаты х'\ у1 точки выража-
41

ются через ее новые координаты х, у приведенными вы-
выше формулами, но решенными относительно х', у'. По-
Поэтому, если при переходе от О, et, е, к О', е^, е^ много-
многочлен F(x, у) перешел в многочлен G(x', у'), то при об-
обратном переходе многочлен G(x', у') перейдет в F (х, у).
Теперь допустим, что при переходе от системы коорди-
4» е* к системе О\ ' '
низилась. Тогда при обратном переходе от О', ej, e, к
нат О, ej, е„ к системе 6', ej, t't степень уравнения по-
0, е,, е§ степень должна была бы повыситься, что, как
мы знаем, невозможно.
Замечание. Свойство неизменности порядка не от-
относится к различным уравнениям, которые линия или
поверхность могут иметь в одной и той же системе коор-
координат. Хотя такие уравнения и эквивалентны, среди них
могут быть уравнения различных степеней и даже не
имеющие вида E) или F). Действительно, следующие
три уравнения определяют окружность радиуса 1 с цен-
центром в начале декартовой прямоугольной системы коор-
координат:
1)» = 0. G)
Принято считать, что эквивалентные уравнения вида F),
имеющие разные степени, задают разные алгебраические
линии (хотя множества точек, им удовлетворяющих, и
совпадают!). Например, говорят, что уравнение G) опре-
определяет «сдвоенную окружность».
Порядок алгебраической линии—первый встретивший-
встретившийся нам пример инварианта. Вообще инвариантом назы-
называют всякую величину, не меняющуюся при изменении
системы координат. Только инвариантные комбинации
величин (коэффициентов, показателей и т. д.), входящих
в уравнение линии или поверхности, характеризуют гео-
геометрические свойства' самой линии или поверхности, не
зависящие от ее расположения относительно системы
координат. Какой геометрический смысл имеет порядок
линии, мы увидим в конце главы.
Теперь мы можем указать основной предмет курса
аналитической геометрии. В нем исследуются главным
образом алгебраические линии и поверхности первого
и второго порядка, которые доступны для изучения сред-
средствами элементарной алгебры.
Прежде чем перейти к их свойствам, рассмотрим не-
несколько более общих уравнений. Мы будем говорить
о линиях н поверхностях. Формулирование их общих оп-
42

ределений не входит в нашу задачу. Читатель, который
любит, чтобы все было точно определено, может под ли-
линией и поверхностью понимать соответственно алгебраи-
алгебраическую линию и поверхность, однако все результаты
имеют место и в более общем случае.
3. Параметрические уравнения линий. Представим се-
себе, что линия—это траектория движущейся точки.
В каждый момент времени / нам известно положение
точки, т. е. ее координаты относительно выбранной за-
заранее системы координат. Это означает, что координаты
точки (х, у, г) (или (х, у) для линии на плоскости) яв-
являются заданными функциями времени:
* = <р(/), j/ = t|>@, 2-%@. (8)
Здесь не существенно, что переменная величина t имеет
физический смысл времени. Если мы зададим координаты
точки как функции от какой-нибудь переменной величи-
величины, или, как говорят, параметра, мы тем самым зада-
зададим линию.
Уравнения вида (8) называются параметрическими
уравнениями линии в пространстве, а уравнения вида
х = ц> (t), y = ty (t)—параметрическими уравнениями линии
на плоскости. Напомним, что уравнение линии есть вы-
высказывание о координатах точек, верное для точек ли-
линии и только для них. В данном случае полная форму-
формулировка этого высказывания следующая: существует та-
такое число /, что выполнены равенства (8).
Например, уравнения x=/-cos/, у = тsin/ задают ок-
окружность радиуса г с центром в начале координат.
В этом легко убедиться, если заметить, что t—здесь
угол между радиус-вектором точки окружности и базис-
базисным вектором et.
Уравнения x = rcost, у—г sin t, z = at задают винто-
винтовую линию, лежащую на цилиндре радиуса г и имеющую
шаг винта, равный 2яд.
4. Параметрические уравнения поверхностей. Конусы.
По аналогии с параметрическими уравнениями линии
введем параметрические уравнения поверхности. Уравне-
Уравнения вида
*=q>(u, v), у*=У(и, v), г«=х(«. ») (9)
называются параметрическими уравнениями поверхности,
если для, каждой 'точки М. на поверхности существует
.пара чисел и, щ при которой координаты М получаются
43

из этих уравнении, и наоборот, для точки, не лежащей
на поверхности, такой пары чисел не существует.
В качестве примера получим параметрические уравне-
уравнения конуса. Конусом называется поверхность, составлен-
составленная из прямых линий, проходящих через фиксированную
точку—вершину конуса- Прямые носят название образую-
образующих (рис. 15), а линия, которая
лежит на конусе, не проходит че-
через вершину и пересекает все об-
образующие, называется направляю-
направляющей конуса
Пусть задана декартова сис-
система координат, начало которой
совпадает с вершиной конуса О,
н даны параметрические уравнения
направляющей дс = /(и), y = g(u),
z = ft(a). Образующая, проходя-
проходящая через произвольную точку
М (х, у, г) на конусе, пересекает
направляющую в точке Р с коор-
координатами / (и), g(u), ft (и), где и—
соответствующее значение пара-
параметра. Векторы ОМ и ОР кол-
линеарны, и потому существует число v такое, что
Рис 15. L—направ-
L—направляющая, МР—обра-
МР—образующая.
vOP. Записывая это равенство в координатах, мы
выразим координаты произвольной точки на конусе через
параметры и и v:
x = vf{u),
y-vg(u).
Читатель проверит, что точка» не лежащая на конусе,
не удовлетворяет этим уравнениям ни при каких и и о.
5, Уравнения, не содержащие одной из координат.
Рассмотрим частный ел у чай,[когда в уравнение поверхности
не входит одна из координат, например г, и уравнение
имеет вид G (х, у) = 0. Пусть точки Mt о координатами х0,
у0, г„ лежит на поверхности. Тогда точки с координата»
ми х0, у„, г при любых г также лежат на поверхности.
Легко заметить, что все точки с координатами такого
вида заполняют прямую, проходящую через М, в направ-
направлении вектора е2. Таким образом, вместе со всякой точ-
точкой Мв на поверхности лежит прямая, проходящая че-
через М, в направлении et.
44

Рис. 16. L—направляющая,
МвМ —образующая.
Определение. Поверхность, которая состоит из пря-
прямых линий, параллельных заданному направлению, на-
называется цилиндрической поверхностью или цилиндром,
а прямые линии— ее образу-
образующими (рис. 16). Линию, лежа-
лежащую на поверхности и пересе-
пересекающую все образующие, на- е5,
зывают направляющей.
Мы показали, что уравнение,
не содержащее одной из коор-
координат, определяет цилиндр с
образующими, параллельными
соответствующей оси коорди-
координат.
В качестве примера реко-
рекомендуем читателю построить
поверхность, заданную уравнением хг+у* — гг относи-
относительно декартовой прямоугольной системы координат в
пространстве. Эта поверхность—прямой круговой цилиндр.
§ 2. Уравнения прямых и плоскостей
Этот и следующий параграфы посвящены уравнениям
плоскости, прямой линии на плоскости, а также прямой
линии в пространстве. В этих уравнениях много общего,
и мы будем изучать их одновременно. В тех случаях,
когда сходные предложения имеют, по существу, одина-
одинаковые доказательства, мы будем доказывать только одно
из них.
1. Поверхности и линяй первого порядка. Уравнение
первой степени, или линейное уравнение, связывающее
координаты точки в пространстве, имеет вид
O, A)
причем предполагается, что коэффициенты не равны ну-
нулю одновременно, т. е. АЯ + В*+С*ФО. Аналогично,
уравнение первой степени, или линейное уравнение, свя-
связывающее координаты точки на плоскости,—это уравне-
уравнение
Ах + Ву+С = 0 B)
при условии Л* + В*#0.
Мы докажем, что поверхности и линии первого по-
порядка—это плоскости и прямые. Точнее, имеют место
следующие теоремы.
45

Теорема 1. В общей декартовой системе координат
в пространстве каждая плоскость может быть задана
линейным уравнением. Обратно, каждое линейное уравне-
уравнение (I) в общей декартовой системе координат определя-
определяет плоскость.
Теорема 2. В общей декартовой системе координат
на плоскости каждая прямая линия может быть задана
линейным уравнением. Обратно, каждое линейное уравне-
уравнение B) в общей декартовой системе координат на пло-
плоскости определяет прямую линию.
Обе теоремы доказываются одинаково. Докажем, на-
например, теорему 1.
Пусть нам дана некоторая плоскость. Выберем систе-
систему координат следующим образом. Начало координат О
и первые два базисных вектора ej и е^ мы поместим в
плоскости, а вектор es выберем произвольно. В такой си-
системе координат наша плоскость будет иметь линейное
уравнение z = 0. В силу теоремы об инвариантности по-
порядка она имеет линейное уравнение и в любой другой
декартовой системе координат.
Обратно, пусть даны общая декартова система коорди-
координат и уравнение A). Найдем множество точек, коорди-
координаты которых удовлетворяют этому уравнению. Предпо-
Предположим для определенности, что в уравнении коэффици-
коэффициент С не равен нулю, и сделаем замену системы коорди-
координат, положив
х' = х, у' = у, z' = Ax + By+Cz + D. C)
Множество, определяемое в старой системе координат
уравнением A), в новой системе координат будет иметь
уравнение г'= 0 и, следовательно, является плоскостью.
Нам остается только доказать, что уравнения C) дейст-
действительно определяют переход к новой системе координат.
Для этого решим их относительно х, у и г. Мы получим
, , А , В
х=х', у=у', г = — Тх —и
»
На основании формул E) § 4 гл. 1 мы можем сказать,
что эти равенства задают переход от исходной системы
координат к системе О'; е[, e't, е'„ где О'(О, 0.—D/C),
ei(f, О,— А/С), е',@, 1,— В/С), е'а@, О, 1/Q. Компонен-
Компоненты векторов el, t't и ei таковы, что независимо от значе-
значений А, В в С векторы эти не компланарны. Это закан-
заканчивает доказательство теоремы.
46

Теоремы этого пункта полностью решают вопрос об
уравнениях плоскости н прямой на плоскости. Однако
ввиду важности этих уравнений мы получим их еще в
других формах.
2. Параметрические уравнения прямой и плоскости.
Прямая линия (на плоскости или в пространстве) пол-
полностью определена, если на ней задана точка Мо и за-
задан ненулевой вектор, параллельный этой прямой. Разу-
Разумеется, и точку, и вектор можно выбирать многими раз-
различными способами, но пока мы будем считать, что они
как-то выбраны, и назы-
называть их начальной точкой
и направляющим вектором
прямой. Аналогично, плос-
плоскость задается точкой и
двумя неколли неарными
векторами, лежащими в
этой плоскости, — началь-
начальной точкой и направляю-
направляющими векторами плоскос-
плоскости.
Мы будем предполагать, °ис 17.
что задана декартова систе-
система координат в пространстве или на плоскости (если мы
изучаем прямую линию в планиметрии). Это, в частно-
частности, означает, что каждой точке сопоставлен ее радиус-
вектор относительно начала координат.
Пусть дана прямая. Обозначим через г0 и а соответ-
ственнно радиус-вектор ее начальной точки Мв и направ-
направляющий вектор прямой. Рассмотрим теперь некоторую
точку М, радиус-вектор которой обозначим г (рис. 17).
Вектор г—г„, начало которого Мв лежит на прямой, па-
параллелен прямой тогда и только тогда, когда его конец,
точка М, также лежит на прямой. В этом и только в
этом случае для точки М найдется такое число t, что
г—го = /а. D)
Наоборот, какое бы число мы ни подставили в формулу
D) в качестве /, вектор г в этой формуле будет радиус-
вектором некоторой точки на прямой.
В формуле D) переменная величина t, пробегающая
все вещественные значения, называется параметром, a
уравнение D) носит название векторного параметричес-
параметрического уравнения прямой.
47

Векторное параметрическое уравнение пряной выгля-
выглядит одинаково и в планиметрии, и а стереометрии, но
при разложении по базису оно сводится в одном случае
к двум, а в другом случае к трем скалярным уравнениям.
Действительно, обозначим координаты точек М и М9 че-
через (х, у) и (*„ у„), если изучается прямая на плоскости,
и через (х, у, г) и (хв, у0, г0), если прямая в простран-
пространстве. Компоненты вектора а обозначим соответственно (а^,
а%) и (ао аг, а,). Тогда, раскладывая по базису обе части
равенства D), мы получим
или
X—X^ — Oft, )
x—xt*=att.
E)
F)
в зависимости от того, сколько векторов составляют ба-
базис. Уравнения E) называются параметрическими урав-
уравнениями прямой на плоскости, а уравнения F;—пара-
F;—параметрическими уравнения-
уравнениями прямой в пространстве.
Получим теперь пара-
параметрические уравнения
плоскости. Обозначим че-
через г0, р и q радиус-век-
радиус-вектор начальной точки М„
и' направляющие векторы
плоскости. Пусть точка М
с радиус-вектором г—про-
г—произвольная точка в прост-
пространстве. Начало вектора
г—г„ лежит на плоскости.
Рис> 18* Следовательно, его конец
М лежит на плоскости
тогда и только тогда, когда этот вектор лежит в рас-
рассматриваемой плоскости. Векторы р и q не коллинеарны
(рис. 18). Поэтому, если точка М лежит в плоскости (и
только в этом случае), найдутся такие числа /, и /„ что
г—ro = /iP + *»q. G)
Это уравнение называется векторным параметрическим
уравнением плоскости. Каждой точке плоскости соответ-
соответствуют значения двух параметров tt и /,. Наоборот, ка-
48

кие бы числа мы ни подставили как значения парамет-
параметров, уравнение G) определяет радиуе-вектор точки на
плоскости.
Если (х, у, г) и (дс,, yt, z0) —координаты точек М и
М„ a (pt, Pi, pt) и (qt, qa, 9,)—компоненты векторов
р и q, то, раскладывая обе части равенства G) по бази-
базису, мы получаем
Уравнения (8) называются параметрическими уравне-
уравнениями плоскости.
Отметим, что начальная точка и направляющий век-
вектор прямой образуют на этой прямой ее внутреннюю де-
картову систему координат. Значение параметра t, соот-
соответствующее какой-либо точке, является координатой этой
точки по отношению к внутренней системе координат.
Аналогичное замечание можно сделать и о плоскости.
Ее начальная точка и направляющие векторы образуют
на ней внутреннюю сие ему координат. Значения парамет-
параметров /( и tt, соответствующие какой-либо точке, являются
координатами этой точки по отношению к внутренней
системе координат.
Рассмотрим переход от общих линейных уравнений
плоскости и прямой на плоскости к их параметрическим
уравнениям. Начальная точка находится просто: если в
уравнении плоскости A), скажем, коэффициент А отли-
отличен от нуля, то положим yo = z0~0 и найдем х0 из урав-
уравнения. В результате получается точка Мо(—D/A, 0, 0),
координаты которой удовлетворяют уравнению A), и она
может быть принята за начальную точку. Для прямой
на плоскости координаты начальной точки определяются
аналогично.
Покажем теперь, как найти направляющие векторы.
Пусть прямая линия на плоскости задана своим уравне-
уравнением Ах + Ву+С = 0 в общей декартовой системе коор-
координат и (х0, у0)—координаты какой-либо точки Мо на
прямой. Вычитая из уравнения прямой равенство Ах0 -f
•+¦ В#о + С = 0, мы приведем его к виду
Рассмотрим теперь вектор с компонентами (х—х0, у—уа).
Его начало Мд лежит на примой, а потому он паралле-
49

лен прямой тогда и только тогда, когда его конец—точ-
конец—точка М с координатами (х, у)—лежит на прямой» и пре-
предыдущее уравнение удовлетворено. Обозначив компоненты
вектора М^М через at и а,, мы получаем следующее
Предложение 1. Каждый ненулевой вектор, ком-
компоненты которого аи аг удовлетворяют уравнению
i4aj + Baj = 0, может быть принят за направляющий
вектор прямой Ах + Ву + С = 0. В частности, направля-
направляющим вектором будет вектор с компонентами (— В, А).
Аналогично доказывается следующее
Предложение 2. Любые два неколлинеарных век-
вектора, компоненты которых удовлетворяют уравнению
i4aj4-/faa + Czs = 0, могут быть приняты за направля-
направляющие векторы плоскости, имеющей уравнение Ах -J- By -f-
+ Сг + D = 0 в общей декартовой системе координат.
3. Исключение параметра из параметрических уравне-
уравнений прямой. Рассмотрим на плоскости прямую линию,
заданную параметрическими уравнениями E). Поскольку
направляющий в,ектор ненулевой, то отлична от нуля хо-
хотя бы одна из его компонент аи а„.
Допустим сначала, что а^О. В этом случае из пер-
первого уравнения найдем t = (x—x^lat. Подставив t во вто-
второе уравнение, имеем
или
y — kx + b, (9)
где k^ajcii, а & = #„—a^cjat. Уравнение (9) называют
уравнением прямой, решенным относительно ординаты
Его можно получить также, решая уравнение Ах-^Ву +
+ С — 0 относительно у.
Определение. Отношение компонент направляю-
направляющего вектора aja^ называется угловым коэффициентом
прямой.
Положив лс=О в уравнении (9), получим у=*Ь. Это
означает, что точка о координатами (О, Ь) лежит на пря-
прямой (рис. 19) Она является точкой пересечения прямой
с осью ординат. Все выше сказанное можно объединить
в следующее
Предложение 3. Если прямая не параллельна оси
ординат (at Ф 0), то ее уравнение может быть записано
в виде (9), причем k—угловой коэффициент, а Ь—орди-
Ь—ордината точки пересечения прямой о осью ординат.
60

Рассмотрим уравнение, решенное относительно орди-
ординаты, в декартовой прямоугольной системе координат.
В этом случае свободный член Ь по абсолютной величине
равен расстоянию от начала координат до точки пересе-
пересечения прямой с осью ординат; Ь положительно, если эта
точка лежит с той же стороны от начала координат, что
и конец вектора е2; в противоположном случае Ь отри-
отрицательно.
Угловой коэффициент в декартовой прямоугольной
системе координат представляет собой тангенс угла, ко-
[Рис. 19,
ЩЬ)
Рис. 20.
торый прямая образует с осью абсцисс. Угол этот отсчи-
тывается от оси абсцисс в направлении кратчайшего по-
поворота от оси абсцисс к оси ординат (рис. 20).
Предложение 4. Если прямая параллельна оси
ординат (с^ = 0), то ее уравнение имеет вид х—х„ где
хв—абсцисса точки пересечения прямой с осью абсцисс.
Для доказательства достаточно подставить а^ = 0 в
уравнения E). Тогда первое из этих уравнений прини-
принимает вид * = *,, а второе сводится к утверждению, что
у произвольно. Иными словами, прямая состоит из точек
с координатами (#„, у) для всевозможных у.
Исключим теперь параметр из параметрических урав-
уравнений F) прямой в пространстве. Сначала допустим, что
ни одни из компонент направляющего вектора не равна
нулю. Тогда
/_*—х% . _^g—yt ,__г—г*
и мы получаем два равенства]
—- У» _*—**
~ а, '
A0)
5f

которым удовлетворяют координаты любой точки прямой
и ие удовлетворяют координаты точек, не лежащих на
прямой. Поскольку прямая в пространстве всегда может
быть представлена как линия пересечения двух пло-
плоскостей в соответствии с предложением 1 § 1, она и дол-
должна задаваться системой из двух линейных уравнений.
Если обращается в нуль одна из компонент- направ-
направляющего вектора, например Of, то уравнения прямой при-
принимают вид
*-*• *?-*?• <10'>
Эта прямая лежит в плоскости лг=х0 и, следовательно,
параллельна плоскости *=0. Читатель легко напишет
уравнения прямой, если в нуль обращается не at, а дру-
другая компонента.
Когда равны нулю две компоненты направляющего
вектора, например at н аг, прямая имеет уравнения
х = лг0, у = у0. A0')
Такая прямая параллельна одной из координатных осей,
в нашем случае—оси1 аппликат.
Часто пишут уравнение произвольной прямой в виде
A0), условливаясь считать равным нулю числитель, если
равен нулю знаменатель.
4. Векторные уравнения плоскости и прямой. Пло-
Плоскость вполне определяется заданием ее начальной точ-
точки и ненулевого вектора п, перпендикулярного плоско-
плоскости. Такой вектор называется нормальным вектором. Ес-
Если г—радиус-вектор точки плоскости, то г—г, лежит
в плоскости и, следовательно,
(г-г0, п) = 0. A1)
Обратно, легко видеть, что точка с радиус-вектором г ле-
лежит в плоскости, если г удовлетворяет A1). Равенство
A1) мы назовем векторным уравнением плоскости.
Если р и q—направляющие векторы плоскости, то
вектор [р, q] может быть принят за нормальный вектор.
Это приводит нас к векторному уравнению вида
О1-',, p. q)-o. AГ>
Векторному уравнению плоскости можно придать форму
(г, п) + ?> = 0, A2)
где D — — (г0, п). Такое уравнение не содержит радиус-
вектора начальной точки.
63

Предложениеб. Пусть х, у, г — компоненты векто-
вектора г в декартовой системе координат. Тогда скалярное
произведение (г—г0, п) при пФО записывается линейным
многочленом Ax+By+Cz+D (Л* + В*+С»^=0).
Обратно, для любого линейного многочлена найдутся
такие векторы г0 и п Ф О, что в заданной системе коор-
координат Ax+By+Cz + D — (r—г„, п).
Первая часть предложения очевидна) подставим раз-
разложение вектора г по базису в данное нам выражение
e,—г0, п),
раскроем скобки и получим многочлен
в котором D — — (г0, п) и
A = (to n), В = (еа> п), С = (е„ п). A3)
А, В, С одновременно не равны нулю, так как ненулевой
вектор п не может быть ортогонален всем базисным век-
векторам.
Для доказательства обратного утверждения найдем
сначала вектор п из равенств A3), считая А, В и С за-
заданными. Будем искать этот вектор в виде
ej. »'
Умножив скалярно это равенство на ef, получаем
(tu n) = a(e1, е„ е$). Отсюда а—А/(%, е8, е8). Аналогич-
Аналогично находим Р и у. Вектор п не нулевой, так как [е,, е,],
[е„ et] и [ej, е,] линейно независимы (предложение 7 § 3
гл. I), а а, р* и у не равны нулю одновременно, так же
как Л, В и С.
Итак, мы можем придать заданному многочлену вид
Вектор Го должен удовлетворять условию —(г0, п) = ?>.
Один из таких векторов мы можем найти в виде г„ = А.п.
Подставляя, находим —Я (n, n) »=« D, откуда г0 = — Dn/| n}».
Заметим, что из доказанного предложения легко вы-
вытекает теорема 1. Кроме того, в качестве следствия полу-
получим следующее
Предложение 6. Если система координат декар-
декартова прямоугольная, то вектор с компонентами А, В и С
является нормальным вектором для плоскости
Это вытекает сразу из формул A3) в силу предложе-
предложения 1 § 3 гл. I. '
53

В случае общей декартовой системы координат A, B,rjC—ком-
B,rjC—компоненты вектора п по базису е*, ej, eg, взаимному с е*, е,, е3.
Все, сказанное выше о плоскостях, почти без измене-
изменений может быть сказано и о прямых на плоскости. Если
г0—радиус-вектор начальной точки прямой, а п—нену-
п—ненулевой ' вектор, перпендикулярный этой прямой, то урав-
уравнение прямой на плоскости может быть написано в виде
(г—г0, п) = 0 или (г, n)-f-C = O.
В координатной форме это уравнение имеет вид Ах-\-
+ Ву+С = 0, где
Л = (е1, п), ? = (е2, п).
Имеет место
Предложение 7. Если система координат декар-
декартова прямоугольная, то вектор с компонентами (А, В)
перпендикулярен прямой с уравнением
Ax+By+C=Q.
В этом предложении, как и выше
в предложении 6, очень существенно,
что система координат предполагается
декартовой прямоугольной. Чтобы под-
подчеркнуть это обстоятельство, изобразим
на рис. 21 прямую х + у=*0 и вектор
ei с компонентами A, 1) в том случае,
когда базисные векторы хотя бы раз-
Рис, 21, личны по длине.
Перейдем теперь к векторному урав-
уравнению прямой линии в пространстве. Оно может быть
написано в виде
[г-г0, а] = 0. A4)
Здесь а—направляющий вектор прямой, а г0—радиус-
вектор начальной точки прямой. В самом деле, это урав-
уравнение, как и векторное параметрическое уравнение пря-
прямой, выражает коллинеарность векторов г—г0 и а. Если
мы обозначим [г„, а] через d, мы получим векторное урав-
уравнение прямой, не содержащее начальной точки!
[г, a] = d. <15)
Если прямая задана уравнением A5), мы можем найти
начальную точку прямой, например, в виде ro = f[a, d].
Подставляя *, в A5),. мы получаем t [[a, d], a]=d, откуда,
по формуле двойного векторного произведения, t {(a, a) d —
-54

— (a, d)a} = d. Так как (a, d) = 0, мы находим t — (a, a)~*
и r. = |a|-[a, d].
Отметим, что так определенная точка г0 есть основа-
основание перпендикуляра, опущенного из начала координат
на прямую, а г = /[а, d]—параметрическое уравнение
этого перпендикуляра.
5. Признаки параллельности плоскостей и прямых на
плоскости. Из предложения 1 легко получить условие,
накладываемое на коэффициенты уравнений двух прямых
на плоскости, при котором эти прямые параллельны.
Аналогичное условие для плоскостей вытекает из пред-
предложения 2 и формул A3). Следует, однако, иметь в виду,
что это условие выполнено не только тогда, когда урав-
уравнения определяют различные параллельные прямые, но
и в том случае, когда рассматриваемые уравнения опре-
определяют одну и ту же прямую. В этом случае нам будет
удобнее говорить, что прямые, определяемые уравнения-
уравнениями, совпадают.
Предложение 8. 1) Прямые линии, задаваемые
уравнениями
в общей декартовой системе координат, параллельны
тогда и только тогда, когда соответствующие коэффи-
коэффициенты при переменных в их уравнениях пропорциональ-
пропорциональны, т. е, существует такое число К что
Af = kA, Bt = KB. A6)
2) Прямые совпадают в том и только в том случае,
когда их уравнения пропорциональны, т. е., помимо ра-
равенств A6), выполнено (с тем же Я,) равенство
Q-ЛС. A7)
Доказательство. Первая часть предложения
прямо следует из того, что векторы с компонентами
(—В, А) и (—Bt, At)—направляющие для соответствую-
соответствующих прямых.
Докажем вторую часть, В равенствах A6) и A7) А,
не может равняться нулю, так как коэффициенты урав-
уравнения прямой одновременно в нуль не обращаются. По-
Поэтому, если выполнены эти равенства, уравнения эквива-
эквивалентны и определяют одну и ту же прямую.
Проверим обратное. Если прямые параллельны, то,
как мы видели, их уравнения должны иметь вид Ах +
-\-Ву4-С<=0 и k(Ax+By)+Ct**Q при некотором Я..
55

Если, кроме того, точка с координатами (дс0, у0) принад-
принадлежит обеим прямым, то выполнены равенства Ахв -f-
+ Вуо + С=*0 и k(Axo~\-Byo) + Ci = O. Из этих равенств
вытекает, что Сх = кС. Предложение доказано.
Предложение 9. Пусть плоскости Р и Q заданы
уравнениями
в общей декартовой системе координат. Для того чтобы
они были [параллельны, необходимо и достаточно, чтобы
существовало такое число Я, что
At = kA, Bt = XB, Cx = №. A8)
Плоскости Р и Q совпадают тогда и только тогда, когда,
кроме соотношений A8), выполняется (при том [же X)
равенство
Dt-kD. A9)
Доказательство. Необходимость. Согласно
предложению 5 уравнения плоскостей Р и Q можно пред-
представить в виде (г—г„, п) = 0 и (г—rt, ni) = 0, где векторы
п и rij связаны с коэффициентами уравнений формулами
A3). Если плоскости параллельны, то п и п, коллннеарны
и, следовательно, существует такое число К, что nj=A,n
Теперь, в силу A3), мы имеем Л1=(е1, ni) = X(ei, п)=Я,Л.
Аналогично получаем и остальные равенства A8). Пусть
теперь Р и Q совпадают. Тогда, по доказанному выше,
уравнение Q имеет вид К(Ах+ Ву+Сг) + Dt=0. Поскольку
плоскости имеют общую точку, из
следует Dti^KD.
Достаточность. Нам нужно доказать, что два
уравнения, удовлетворяющие условиям A8) и A9), яв-
являются уравнениями одной и той же плоскости, а урав-
уравнения, удовлетворяющие условию A8), определяют па-
параллельные плоскости. Первое из утверждений очевидно,
поскольку такие уравнения эквивалентны. Второе утвер-
утверждение следует из предложения 2. Действительно, если
выполнены условия A8), то компоненты направляющих
векторов обеих плоскостей должны удовлетворять одно-
одному и тому же уравнению. А это означает, что одна и fa
же пара векторов может быть принята за направляющие
векторы и той и другой плоскости. Предложение доказано^
56

Условия A6) выражают не что иное, как коллинеар-
коллинеарность векторов с компонентами (А, В) и (Alt Bt). Ана-
Аналогично, условия A8) означают коллинеарность векторов
с компонентами (А, В, С) и (Аи Bt, Ct). Отсюда сле-
дует, что условие параллельности прямых на плоскооти
можно записать в виде
А В
Аг Вг
= 0,
а условие параллельности плоскостей—в виде
В
С
с,
с
с*
А
М
—
А
At
В
Вг
A6')
0. A80
(См. предложения 9 и 10 § 3 гл. I.)
Предложению 8 можно придать чисто алгебраическую
формулировку, если учесть, что координаты точки пере-
пересечения прямых—это решение системы их уравнений.
Предложение 10. Если
А в
At Вг
то система уравнений
= 0,
не имеет решений или имеет бесконечно много решений
{в зависимости от С и Ct). Если
\А В
\At Вг
то, каковы бы ни были С и Clt система имеет единст-
единственное решение (х, у).
Разумеется, предложение 10 [легко доказать и непо-
непосредственно, не прибегая к геометрическим соображениям.
Для гораздо более общего случая это будет сделано
в гл. V. Такое доказательство является другим доказа-
доказательством предложения 8.
6. Уравнения прямой в пространстве. Прямая в про-
пространстве может быть задана как пересечение двух пло-
плоскостей и, следовательно, в общей декартовой системе
координат определяется системой уравнений
Ах+Ву + Сг -f D*= 0, Atx+Bty + Ctz+D% =* 0. B0)
Полученный нами признак параллельности плоскостей
позволяет указать условие, при котором эта система оп-
определяет единственную прямую. Пересечение плоскостей
67

есть прямая линия тогда и только тогда, когда они не
параллельны (в частности, не совпадают). Поэтому систе-
система B0) определяет единственную прямую линию тогда
и только, тогда, когда хоть один из детерминантов A8')
отличен от нуля, т. е.
А в
Ах Si
Разумеется, система B0) может быть заменена на
любую, ей эквивалентную. При этом прямая линия бу-
будет представлена как пересечение двух других проходя-
проходящих через нее плоскостей. Уравнения A0) представляют
ее как пересечение плоскостей
У—Уо_г—г0 x—xo_y—ffo
п% Оа * ai Q% '
параллельных соответственно оси абсцисо и оси аппликат.
Важно уметь находить какую-нибудь начальную точку
и какой-нибудь направляющий вектор на прямой, задан-
заданной системой линейных уравнений. Условие B1) озна-
означает, что из трех детерминантов второго порядка хотя
бы один отличен от нуля. Допустим для определенности,
что ABf—AtB =5^0. Чтобы найти начальную точку пря-
прямой, будем рассматривать систему B0) как систему урав-
уравнений относительно неизвестных хну. Переменной г
придадим произвольное числовое значение, например 0.
Для хну получится система уравнений
В силу предложения 10 у этой системы существует ре-
решение, которое мы обозначим (хл, у0). Точка М9 с ко-
координатами (х0, у0, 0) лежит на нашей прямой, так как
ее координаты удовлетворяют системе B0).
Найдем теперь направляющий вектор прямой. Если
система координат декартова прямоугольная, то векторы
с компонентами А, В, С и Ait Bt, Ct перпендикулярны
плоскостям Ax + By4-Cz-\-D = 0 и AiX+Bty4"Ctz -f-
•i-Di—0, Следовательно, векторное произведение этих
векторов параллельно прямой B0), по которой плоскости
пересекаются. Вычисляя компоненты [векторного произ-
произведения в ортонормированном базисе, мы получим сле-
следующие компоненты направляющего вектора прямой:
В С j [(
м

Предложение 11. Вектор с компонентами B2)
есть направляющий вектор прямой B0), какова бы ни
была декартова система координат.
Доказательство. Согласно предложению 2 каж-
каждый ненулевой вектор, компоненты которого с^, а2, ал
удовлетворяют уравнению A(t1-\-Bat-\-Cat = 0, паралле-
параллелен плоскости Ax+By + C2 + D = Q. Если, кроме того,
с^, а, и а4 удовлетворяют уравнению Ар^В^-^
+ Cjtt, = 0, то вектор параллелен также плоскости Ахх -\-
+ B^ + CiZ + Di^O и, следовательно, может быть при-
принят за направляющий вектор прямой B0). Вектор о
компонентами B2)—ненулевой в силу неравенства B1).
Непосредственно легко проверить, что его компоненты
удовлетворяют обоим написанным выше условиям. На этом
доказательство заканчивается.
§ 3. Некоторые задачи о прямых и плоскостях
1. Уравнение прямой, проходящей через две точки.
Пусть в пространстве задана общая декартова система
координат и две точки Мг и Mt с координатами (хо уъ гг)
и (xt, у%, z,). Чтобы написать уравнение прямой, прохо-
проходящей через Mt и Ма, достаточно принять Mt за началь-
начальную точку, a MjM, за направляющий вектор прямой.
Этот вектор не нулевой, если точки не совпадают. По
формуле A0) § 2 мы получаем
*—-*i _ У—У\ ^_ г—zj .
*»—xt у%—У1*=га—г1' w
Если в этих равенствах какой-нибудь из знаменателей
равен нулю, то следует приравнять нулю соответствую-
соответствующий числитель.
В планиметрии эта задача решается так же. Отличие
только в том, что координаты точек теперь (хи уг) и
(**> Уз)' и мы получаем (согласно предложениям 3 и 4
§ 2) уравнение
*-Л = §3| (*-¦*!)• B)
если xt Ф-Хц и
если ! ,
2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.
Дусть Mv Mv Mt—не лежащие на одной прямой точки
с координатами (*t, yv gt), {xit yt, Zj) и (xt, yt, z8) в
€9

общей декартовой системе координат. Чтобы написать
уравнение плоскости, проходящей через эти точки, выбе-
выберем Aft в качестве начальной точки, а векторы MtMt и MtMt
в качестве направляющих векторов. Тогда по формулам
A1') § 2 настоящей главы и A0) § 3 гл. I имеем
х —XI у —ух х — zt
*»—*i V*—yi zt—Zi =0.
x»—xt Уг—Vi Zz—Zi
3. Признаки параллельности прямой и плоскости.
Пусть прямая задана уравнением г—ro = fa, а плос-
плоскость—одним из уравнений (г—rlt п) = 0, (г—rit p, q) «
= 0 или г—Г1=/Хр+f2q. Прямая параллельна плоскости
(а возможно, и лежит в плоскости), если (а, п) = 0 или
(а, р, q) = 0. Пусть плоскость задана линейным урав-
уравнением Ах+Ву + Cz + D — O. Согласно предложению 2
§ 2 получаем
где
а„ at—координаты вектора а.
Пусть прямая линия задана двумя линейными урав-
уравнениями;
А гх + Biff + Cxz + Dx = 0, А гх + Вгу + С,г + Dt = 0.
Тогда по предложению 11 § 2, мы можем положить
i ci I „ _ I ci Ai I
и условие (З) переписывается в виде
_М*
~М
.0*1
"In г I "Г
или
И б С
Л( Bl С,
/4, Ва Са
в,\_
Аг В,
= 0,
= 0.
D)
Легко проверить, что все приведенные здесь условия
являются не только необходимыми, но и достаточными.
Из формулы D) следует, что три плоскости пересе-
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда коэф-
коэффициенты их уравнений удовлетворяют условию
ABC
At Si C\
At Bt С,
E)
60

Действительно, это неравенство означает, что прямая
линия, по которой пересекаются какие-нибудь две из
плоскостей, не параллельна третьей плоскости.
4. Уравнения в отрезках. Уравнение вида
i+^ + i-1 F)
называется уравнением плоскости в отрезках. Относи-
Относительно него справедливо следующее
Предложение 1. Если плоскость имеет уравнение
вида F) в декартовой прямоугольной системе координат,
то тела а, Ь, с по абсолютной величине равны длинам
отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат
(рис. 22). Знаки этик-чисел зависят от того, на какой
полуоси (положительной или
отрицательной) лежат соотве-
соответствующие отрезки.
Для доказательства доста-
достаточно подставить в уравнение
F) следующие тройки чисел:
(а, 0, 0), @, Ь, 0) и @, 0, с). D
Уравнение в отрезках для
.прямой линии на плоскости
имеет вид
G)
Рис, 22,
Относительно этого уравнения справедливо предложение,
аналогичное предложению 1.
5. Полупространство. Пусть дана плоскость Р и вы-
выбран определенный ее нормальный вектор п. Полупрост'
ранством, определяемым Р и п, называется множество
точек М таких, что для некоторой точки Mt на плоско-
плоскости вектор МЛМ составляет с п угол, не больший л/2.
Если г—радиус-вектор точки М, а г„—точки М„ то
определение полупространства эквивалентно неравенству
(г—г„, п)^0. Это неравенство н является уравнением
полупространства.
Используя это, нетрудно проверить, что определение
полупространства не зависит от выбора точки Ма на
плоскости. Действительно, если Mj(rJ)—другая точка
плоскости, то вектор а»г,-rj перпендикулярен п и мы
имеем
(г—rj, n)«=(r—г„+а, п)«=(г—г„ п).
61

Мы получим уравнение полупространства в коорди-
координатной форме, если вспомним, что выражение (г—г„, п)
в координатах записывается линейным многочленом
Ax+By+Cz+D. Итак, полупространство в декартовой
системе координат задается линейным неравенством
Обратно, каждое такое неравенство согласно предложе-
предложению 5 § 2 можно записать в виде (г—г0, n) ^ 0, откуда
сразу получаем, что оно определяет полупространство.
Плоскость Р и вектор п = — п определяют другое
полупространство, задаваемое неравенством (г—r0, n )"^
~^0 или (г—г„ п)^0. Его можно назвать «отрицатель-
«отрицательным» полупространством, в отличие от «положительного»
полупространства (г—г„, п)>0. Однако такое наимено-
наименование условно—оно определяется выбором вектора п.
Изменение направления этого вектора равносильно изме-
изменению знаков коэффициентов и свободного члена в урав-
уравнении плоскости или умножению уравнения плоскости
на отрицательный множитель. При этом положительное
полупространство становится отрицательным, и наоборот.
Если Mt(xif yt, Zf) и Mt(x2, у„ zt)—две точки, не
лежащие в плоскости, и Axi-^-By^Cz^D и А*,-К
-\-Bya+Czt + D—результаты подстановки их координат
в левую часть уравнения плоскости, то совпадение или
несовпадение знаков этих чисел не зависит от выбора
вектора п или от умножения уравнения плоскости на
любой числовой множитель. При совпадении знаков точ-
точки лежат в одном полупространстве.
При решении задач иногда бывает полезно следую-
следующее замечание} если точка х0, у0, г, лежит на плоско-
плоскости, то точка о координатами xt + A, y,+B и г,4-С ле-
лежит в «положительном» полупространстве. Иначе говоря,
вектор с координатами А, В, С всегда направлен в
«положительное» оолупроотранство. Читатель легко может
проверить это непосредственной подстановкой.
Вполне аналогично сказанному о полупространствах,
мы можем определить, что такое полуплоскость, и дока-
доказать, что неравенство A*«f»B#+C>0, связывающее де-
декартовы координаты точки на плоскости, определяет по-
полуплоскость. Вторая полуплоскость, ограниченная пря-
прямой Ах+Ву+С=*0, задается неравенством А+В +
С<0
в. Расстояние от точки до плоскости, Пусть дааа плов*
кость о уравнением (г—г„ р, q)*=0 и точка М о радн-
64

ус-вектором R. Расстояние от точки до плоскости проще
всего определить, разделив объем параллелепипеда, по-
построенного на векторах R—г„, р и q, на площадь его
основания (рис. 23). Мы полу-
получим
и 1 (R -го. P. Q) \
П~ Ир. чП '
Для каждого вектора п, нор-
нормального к плоскости, можно
так выбрать направляющие век-
векторы р и q, чтобы [р, q] = n.
Поэтому при любом нормаль-
нормальном векторе п имеем
(К—Г0< П)\ /fiv
ffi
Рис.23.
Если в декартовой прямоугольной системе координат
точка М имеет координаты X, У, Z, то равенство (8)
запишется (предложение 6 § 2) так!
h_\AX+BY+cz+D\ (9)
Здесь D = —(r0, n), а А, В, С—компоненты п.
Очевидно, Л = 0 тогда и только тогда, когда М лежит в плос-
плоскости. Уравнение
Ax+By+Cg+j) _Q
называют нормированным уравнением плоскости. Имеет место сле-
следующее
Предложение 2, Расстояние от точки до плоскости равно
абсолютной величине ревультата подстановки ее координат в нор-
нормированное уравнение плоскости,
7. Расстояние от точки до прямой. Если прямая за-
задана уравнением [г—г0, а] = 0, мы можем найти рас-
расстояние h от точки с радиус-вектором R до этой прямой,
разделив площадь параллелограмма, построенного на
векторах R—г0 и а, на длину его основания (рис. 24).
Результат можно записать формулой
sssJ—rn « C1U)
В случае прямой в пространстве мы не будем приво-
приводить координатной записи этого выражения. Рассмотрим
63

прямую на плоскости, заданную в декартовой прямо-
прямоугольной системе координат уравнением Ах + Ву+С = 0.
Возьмем в качестве направляющего вектор а (—В, А).
Согласно формуле A5) § 3 гл. I
.
(И)
где M0(xt, yt)—некоторая точка прямой, X, Y—компо-
Y—компоненты R. Учитывая, что С = — Ллг„—Ву„, мы находим
и _ \AX+BY+C\
Исходя из A1), легко заметить, что
где п(А, В)—нормальный вектор прямой. Сравнив это
выражение с формулой (8), мы видим, что аналогия
между плоскостями и пря-
прямыми на плоскости сохра-
сохраняется н в этой задаче.
Уравнение вида
называется нормированным
уравнением прямой на плоскос-
плоскости. Относительно него имеет
место предложение, аналогич-
аналогичное предложению 2.
8. Расстояние между
Рис, 24. непараллельными прямы-
прямыми в пространстве. Пусть
прямые р и q не параллельны. Известно, что в этом
случае существуют две такие параллельные плоскости Р
и Q, что прямая р лежит в Р, а прямая q лежит в Q.
(Если уравнения прямых г—rt = tat и г—rs = fa,, то
плоскость Р имеет начальную точку rt и направляющие
векторы &t и а,. Аналогично строится плоскость Q.) Рас-
Расстояние h между плоскостями Р и Q называется рас-
расстоянием между прямыми pug. Если р и q пересека-
пересекаются, то Р и Q совпадают и ft = 0.
Для того чтобы вычислить расстояние /i, проще всего
разделить объем параллелепипеда, натянутого на векто-
64

'ры r2—rt, at и а„ на площадь его основания <рис. 25).
Мы получим
ь_ I (г»—rt, ли а»)|
Знаменатель этого выражения отличен от нуля, посколь-
поскольку прямые не параллельны.
Предложение 3. Прямые линии с уравнениями
t = rl±alt и г = га+аг< пересекаются тогда и только
тогда, когда ft = 0, т. е.
(га—ri. «1. at) = 0, [af, a,]#0.
9. Вычисление углов. Чтобы определить угол между
двумя прямыми, следует найти их направляющие векто-
векторы и вычислить угол между
ними по формуле D) § 3 гл. I.
При этом следует иметь в виду,
что, выбрав на одной из прямых
направляющий вектор, направ-
направленный в другую сторону, тем
же способом мы получим дру-
другой угол, дополняющий первый
до л.
Для вычисления угла меж-
между прямой и плоскостью опре-
определяют угол в между направ-
направляющим вектором прямой и век-
вектором, перпендикулярным плоскости, н по нему находят
искомый угол. Если направляющий вектор прямой выб
рать так, чтобы созв^О, и взять 0 ^9 < я/2, то угол
между прямой и плоскостью дополняет 9 до я/2.
Угол между плоскостями находят как угол между
векторами, перпендикулярными плоскостям.
Все вычисления проще всего делать в декартовой
прямоугольной системе координат. Тогда в качестве век-
вектора, перпендикулярного плоскости, можно взять вектор
с компонентами, равными коэффициентам при перемен-
переменных в уравнении этой плоскости.
Пусть две прямые линии на плоскости заданы в де-
декартовой прямоугольной системе координат уравнениями
A3)
Рис. 25,
Обозначим через <р угол, отсчитываемый от первой пря
мой ко второй в том направлении, в котором производит-
производится кратчайший поворот от первого базисного вектора ко
3-102

второму; tgq> можно найти как тангенс разности углов,
которые прямые составляют с осью абсцисс, а тангенсы
этих углов равны угловым коэффициентам прямых. Мы
получаем
Следует отметить, что эта формула не имеет смысла,
когда знаменатель дроби обращается в нуль. В этом слу-
случае прямые перпендикулярны. Действительно, согласно
предложению 1 § 2 векторы с компонентами A, kj и
(I, #,)—направляющие векторы прямых, и их скалярное
произведение равнр 1 4- ktkt.
Предложение 4. Для перпендикулярности прямых
A$) необходимо и достаточно выполнение равенства
10. Некоторые задачи на построение, а) Перпендику-
Перпендикуляр из точки на плоскость. Если плоскость задана урав-
уравнением (г—г„ п) = 0 и дана точка М о радиус-вектором
R,to прямая r=HR + 'n проходит через М и перпендику-
перпендикулярна плоскости. Решая совместно уравнение плоскости
и уравнение прямой, найдем ортогональную проекцию
точки на плоскость. Из (R—го + /п, п) = 0 получаем /«»
= —(R—r0, n)/|n|a, откуда радиус-вектор проекции
г =» „(R—г0, п)
rf = R-n |и|, .
б) Перпендикуляр из точки на прямую. Пусть пря-
прямая задана уравнением [г—гЛ, а] = 0 и дана точка М о
радиус-вектором R. Вектор p«=[R—г0, а] перпендикуля-
перпендикулярен плоскости, проходящей через прямую и точку М.
Будем считать, что р=й=О. Вектор [р, a] = [[R—г0, а], а]
перпендикулярен а и р и, следовательно, лежит в ука-
указанной плоскости и перпендикулярен прямой. Итак, пря-
прямая
r^R-HO, [a, R-rJ]
есть перпендикуляр, проведенный через М к заданной
прямой.
в) Проекцию точки Л! (R) на прямую Ге=г„-Ьа< мож-
можно найти, решая совместно уравнения прямой и плоско-
плоскости (г— R, а)«=0, проходящей через точку М перпенди-
перпендикулярно прямой. Из (ro-M/ —R, а) в 0 получаем f=
=(R—гв, а)/1 а |а, откуда радиус-вектор проекции
ri*=re-|.a(R-re, a)/|a|».
вв

г) Уравнение проекции прямой на плоскость просто
получить, если не требуется находить ее направляющий
вектор и начальную точку. Пусть заданная плоскость
имеет уравнение (г, n)+D = 0, а прямая—уравнение
[г—г„, а]=0, причем (а, п]^0. Тогда плоскость
(г—г„, а, п)«=0 проходит через прямую перпендикулярно
заданной плоскости. Таким
образом, проекция прямой на
плоскость может быть задана
системой двух уравнений как
пересечение плоскостей. Если
же нужно параметрическое
уравнение проекции, то, по-
видимому, лучше найти про-
проекции каких-либо двух точек
прямой на плоскость.
д) Общий перпендикуляр
к двум скрещивающимся
прямым. Пусть прямые г =
^-fa,* и г = г2 + а8< не параллельны, т. е. [аи ^т
Вектор р = [alf а,] перпендикулярен обеим прямым. По-
Поэтому плоскость
(г-rf, alt Ialf ag]) = 0 A5)
проходит через первую прямую и общий перпендикуляр
(рис. 26), а плоскость
(г-г4, а„ [alt a,l)=-0 A6)
— через вторую прямую и общий перпендикуляр к обеим
прямым. Следовательно, общий перпендикуляр можно за-
задать системой уравнений A5) и A6) как пересечение плос-
плоскостей. Чтобы найти его начальную точку, можно решить
совместно уравнение первой прямой и уравнение плоскости
A6). Направляющим вектором является вектор р = [аи а,].
11. Пучок прямых. Связка и пучок плоскостей.
Пучком прямых на плоскости называется совокупность
прямых, проходящих через фиксированную точку — центр
пучка. Обозначим через U (х, у) и V(x, у) трехчлены
A^ + Biy + Ci и Atx + Вгу + Сг, причем будем предпола
гать, что AtBt—АгВ1фО. В этом случае уравнения
U (х, #) = 0 и V(x, y) = 0 определяют пересекающиеся
прямые и и v. Обозначим координаты их точки пересе-
пересечения Мо через (х9, ул). Уравнение
*U(x, y)+fV{x, y) = 0,
A7)
67

где аа+р*^О, называется уравнением пучка прямых,
определяемого прямыми и и о. Основанием для такого
названия служит следующее
Предложение 5. При любых а и р\ не равных
одновременно нулю, уравнение A7) определяет, fпряядю-
линию, проходящую через центр пунка Мв. Обратно,
каждая прямая, проходящая через М„, имеет уравнение
такого вида.
Покажем, что коэффициенты при переменных в урнв*
нений A7) одновременно не равны нулю. Перепишем это
уравнение в виде
Допустим, что аЛ,+рЛ, = 0 и aBj + PB,=-0. Из пред-
предложения 10 § 2 вытекает, что значения а*=0 и р = 0
единственные, которые удовлетворяют этим двум условиям.
Но эти значения мы исключили. Таким образом, наше
предположение неверно, уравнение A7) линейное и опре-
определяет прямую линию.
Поскольку очевидно, что
U(xt, jJ=O« V(x0, 0„) = О,
мы имеем
Это' значит, что прямая с уравнением A7) принадлежит
к пучку.
Вторая часть предложения будет доказана, если ока-
окажется, что через любую точку, отличную от точки Мс,
проходит прямая линия с уравнением вида A7). Легка
проверить, так ли это. Рассмотрим некоторую [точку Мг
с координатами /х„ yt). Подставив эти координаты в
уравнение A7), имеем
Так как точка Mt отлична от центра пучка, то числа
U (xv Ui) и V(xit yt) одновременно в нуль не обращаются.
Поэтому мы вправе положить
о V(xt yt), P = */(*„ Уг).
При таких значениях аир" прямая с уравнением A7)
проходит через Mit и предложение полностью доказано.
Заметим только, что каждая пара а.'р" определяет един-
единственную прямую, ио каждой прямой соответствует бес-
бесконечно много пропорциональных между собой пар аир.
68

Если иам известны координаты центра пучка, то урав-
уравнение пучка можно написать в виде
а (х-х9) + Р(у-у.)«-О,
•положив, что пучок определяется прямыми о уравнениями
х—хв=*О и у—ji,=0.
Впрочем, и без того очевидно, что это — уравнение про-
произвольной прямой, проходящей через заданную точку.
Связкой плоскостей называют совокупность плоскостей,
проходящих через фиксированную точку—центр связки.
Пусть плоскости о уравнениями
U(x, у, z)
V(x,y, г)
W(x, у, z)
пересекаются в единственной точке Мо. Уравнение
aU(x, у, г) + рТ(*. у, г) + уф(х, y,j) = 0. A8)
где а*+р*-{-у*=^0, называется уравнением связки а цент-
центром в точке М„. Имеет место
Предложение 6. При любых а, $ и у, не разных
нулю одновременно, уравнение A8) определяет плоскость,
проходящую через центр связки М„, и каждая плоскость,
проходящая через Мо, может быть задана уравнением тако-
такого вида.
Для доказательства, используя предложение 5 § 2,
представим U, V ц W в виде
У(х, у, г) = (г
V(x, у, г)-(г, n
W(x, У, г) = (г
Тогда уравнение A8) заменится на
(г, an1 + Pnt + Vn,) + (a0i + P'0»-bV^.)-О- О9)
Поскольку плоскости пересекаются в единственной точке,
их нормальные векторы не компланарны. Следовательно,
ani+ftat+y11»^0» как только a'-J-p'+^^O. Это оз-
означает, что уравнение A9), а вместе с ним и A8), опре-
определяет плоскость. Эта плоскость проходит через центр связ-
связки. Действительно, его координаты xt, yt, г, удовлетво*
ряют уравнению A8), так как
Uix» У», *.)=^0, V(xt, у„ г,)=0 и

Рассмотрим произвольную плоскость, проходящую че-
через центр связки М,. Пусть ее уравнение (г, п) + #—Ф-
вектор п мы можем разложить по некомпланарным век-
векторам nit па и п8!
(г, anI + Pn2 + Yns) + D = 0.
Сравним теперь это уравнение с уравнением A9) при тех
же а, р и у. Радиус-вектор г0 центра связки Мо удов-
удовлетворяет обоим уравнениям. Подставим его в каждое из
уравнений и вычтем полученные числовые равенства одно
из другого. Мы получим D = aD1 + pDs + y?>i, что озна-
означает, что оба уравнения совпадают. Предложение дока-
доказано.
Предоставим читателю самостоятельно вывести уравне-
уравнение пучка плоскостей, т. е. совокупности плоскостей, про-
проходящих через фиксированную прямую — ось пучка. Урав-
Уравнение пучка плоскостей имеет вид
,х + Вгу + С,г + Dt) + p (Atx + Bty + Ctz * Dt) = О,
где в скобках стоят правые части уравнений двух пло-
плоскостей пучка и a*-f Р2^=0.
Посмотрим на уравнение пучков прямых с несколько
более общей точки зрения. Систему из уравнений прямых,
определяющих пучок, можно рассматривать как уравне-
уравнение центра пучка. Поэтому уравнение каждой прямой,
проходящей через центр пучка, есть следствие этой сис-
системы. Так же можно рассуждать и о пучке, и о связке
плоскостей. Наши результаты теперь можно сформулиро-
сформулировать так: если система линейных уравнений имеет реше-
решение, то некоторое линейное уравнение является ее след-
следствием тогда и только тогда, когда оно есть сумма урав-
уравнений системы, умноженных на некоторые числа.
Мы доказали это для нескольких частных случаев.
В 'общем виде это вытекает из результатов гл. V о си-
системах линейных уравнений.
12. О геометрическом смысле порядка алгебраической
линии. Пусть на плоскости задана алгебраическая линия
L, имеющая уравнение
A,xk>yl' + A2x*'yl'+^.. + Asxktylt=*Q B0)
в декартовой системе координат. Рассмотрим произволь-
произвольную прямую, заданную параметрическими уравнениями
B1)
ТО

в той же системе координат. Найдем точки пересечения
прямой и линии L. Они будут известны, если мы найдем
соответствующие значения параметра t. Это будут те
значения, при которых х и у, выраженные по формулам
B1), удовлетворяют уравнению B0). Подставляя B1) в
B0), получим
ati)'< = 0. B2)
При раскрытии скобок в каждом члене мы получим много-
многочлены степеней /fex + Z^ ..., kt-f /,относительно t. Их
с,умма будет многочленом относительно t степени не боль.'
шей, чем максимальная из степеней
слагаемых. Но максимальное из чи-
чисел kx-{-llt ..., ks + l3 является по-
порядком линии L. Таким образом,
степень уравнения B2) не превосхо-
превосходит порядка линии.
Может, конечно, случиться, что
все коэффициенты уравнения равны
нулю и оно представляет собой тож-
тождество. В этом случае прямая всеми
своими точками лежит на линии. 0л ei
Если исключить этот случай, число „ ;„_,_..„.,_.
корней уравнения и, следовательно, пением y=J.
точек пересечения не превосходит по-
порядка линии. Мы доказали следующее
Предложение 7. Число точек пересечения алге-
алгебраической линии L с прямой, которая на ней не лежит
целиком, не может превосходить порядка линии L.
Существуют линии, которые ни с одной прямой не
имеют наибольшего возможного числа точек пересечения,
равного порядку линии. Примером может служить линия
четвертого порядка, имеющая в декартовой прямоугольной
системе координат уравнение у = х*. Она пересекается
с любой прямой не более чем в двух точках (рис. 27).
Пример. Архимедова спираль — линия с уравнением
г = аф в полярной системе координат — пересекает каж-
каждую прямую, проходящую через полюс, в бесконечном
числе точек. Следовательно, она не является алгебраи-
алгебраической линией.
71

Г Л А В А III
ЛИНИИ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В первых параграфах этой главы мы будем заниматься
линиями второго порядка на плоскости. Такую линию
можно задать уравнением второго порядка общего вида1)
i4xs + 2Bx0 + Q/* + 2Djt + 2?«/ + F = O, A)
в котором коэффициенты А, В и С не равны нулю од-
одновременно.
§ 1. Исследование уравнения второго порядка
Мы хотим исследовать, что представляет собой произ-
произвольная линия второго порядка. Для этого мы зададим-
зададимся некоторым уравнением A), причем не будем относи-
относительно него предполагать ничего, кроме того, что Л, В и С
не равны одновременно нулю. Найдем множество точек,
которые удовлетворяют уравнению A), не предполагая
заранее, что хоть одна такая точка существует.»С этой
целью мы будем менять декартову систему координат так,
•чтобы уравнение стало возможно проще. С самого начала
¦будем считать систему координат декартовой прямоуголь-
прямоугольной, так как при переходе к прямоугольной системе- ко-
координат общий вид уравнения A) не изменится.
При повороте базиса -декартовой прямоугольной си-
системы координат на угол <р старые координаты х, у бу-
будут связаны о новыми координатами х', у1' формулами
перехода (ер. G) § 4 гл. I)
х tmx1 eos ф—у' sin ф, у=* х' sin ф+#' cos ф.
В новых координатах уравнение A) примет вид
А (х' совф—у' sin ф)* + 2В{х' совф—у' sir^)x
-... =0.
х) Коэффициента при произведении переменных и при их первых
степенях обозначены 2В, 2D и 2?, так как ниже часто будут встре-
встречаться половины этих коэффициентов,
72

Здесь многоточием обозначены члены первой степени от-
относительно х' и у' и свободный член, которые нам нет
необходимости выписывать. Нас будет интересовать член
с произведением х'у' в преобразованном уравнении. В не-
выписанные члены произведение х'у'' не входит, и мы
легко можем подсчитать, что коэффициент при х'у'
В' = — /4sinq>coscp + B (cos2cp—sinaqp)+Csincpcos<j>.
Если В = О, то поворачивать систему координат не будем.
Если же ВфО, то выберем угол <р так, чтобы В' обра-
обратилось в нуль. Это требование приведет к уравнению
2Всоэ2ф = (Л—C)sin2(p для <р. Если А = С, то cos2q> = 0
и можно положить <р = я/4. Если же А^С, то вы-
выбираем q> = V2arctg[2B/(.A—С)]. Для нас сейчас важно
то, что хоть один такой угол всегда существует. После
поворота системы координат на этот угол рассматриваемое
уравнение заменится на уравнение
А'х'% + Су'* + 2D V + 2Е'у' + F' =. 0. B)
Выражения для коэффициентов уравнения B) через коэф-
коэффициенты уравнения A) и угол <р получить нетрудно, но
они иам не нужны. Важно только, что за счет поворота
системы координат произвольное уравнение второго по-
порядка можно привести к виду B). Теперь Д' = 0, а ос-
остальные коэффициенты мы по-прежнему считаем произволь-
произвольными.
Сформулируем следующее вспомогательное
Предложение 1. Если в уравнение B) входит,
(с ненулевым коэффициентом) квадрат одной из коорди-
координат, то при помощи переноса начала координат вдоль
соответствующей оси можно обратить в нуль член с
первой степенью этой координаты.
В самом деле, пусть, например, Л'^О. Перепишем
B) в виде
Если мы сделаем перенос начала координат, определяе-
определяемый формулами х" = х' + D'/A', у"*=у , то уравнение B)
приведется к виду
А'х"*+С'у"* + 2Е'у" + F" = 0.
Предложение доказано.
А) Предположим, чт& в уравнении B) А'С'ФО, т.е.
А'' и С оба отличны от нуля. Согласи© предложению 1
73

уравнение может быть приведено к виду
О. B')
Могут быть сделаны следующие предположения относи-
относительно знаков коэффициентов в этом уравнении.
1) Коэффициенты А' и С имеют один и тот же знак.
Для знака F" имеются три возможности:
а) Знак F" противоположен знаку А' и С. Перене-
Перенесем F" в правую часть равенства и разделим на него
Уравнение примет вид
?+?-¦. <3>
где а'= — F'/A', 6*=-Г/С
Мы можем считать, что в этом уравнении а ^ Ь, В са-
самом деле, если а < Ь, можно сделать дополнительную
замену координат
х* = у", у*=х\ D)
Определение. Линия, которая в некоторой де-
декартовой прямоугольной системе коррдинат может быть
задана уравнением C) при условии а~^Ь, называется
эллипсом, а уравнение C)—каноническим уравнением эл-
эллипса.
При а = 6 уравнение C) есть уравнение окружности
радиуса а. Таким образом, окружность есть частный слу-
случай эллипса.
б) Знак F" совпадает с общим знаком А' и С. Тог-
Тогда, аналогично предыдущему, мы можем привести урав-
уравнение к виду
^г+^г=-1- E)
Этому уравнению не удовлетворяют координаты ни одной
точки. Уравнение, которое приводится к каноническому
виду E), называется уравнением мнимого эллипса.
в) f = 0. Уравнение имеет вид
' = 0. F)
Ему удовлетворяет только одна точка *" = (), у" — 0.
Уравнение, приводящееся к каноническому виду F),
называется уравнением пары мнимых пересекающихся
прямых. Основанием для такого названия служит сход-
сходство с приведенным ниже уравнением (8).
2) Предположим, что в уравнении B') коэффициенты
А' и С- имеют- разные знаки. Относительно свободного
члена возможны два предположения.
74

a) F" фО. В случае необходимости делая замену D)*
мы можем считать, что знак F* противоположен знаку
А'. Тогда уравнение приводится к виду
где a*=*-F"/A', P-F4C
Определение. Линия, которая в некоторой декар-
декартовой прямоугольной системе координат может быть за-
задана уравнением G), называется гиперболой, а уравнение
G)—каноническим уравнением гиперболы.
б) F" = 0. Уравнение имеет вид
о«/_с»/=0. (8)
Его левая часть разлагается на множители
(axr-cy")(axr+ctf)
и, следовательно, обращается в нуль тогда и только тог-
тогда, когда равен нулю хоть один из множителей. Поэтому
линия с уравнением (8) состоит из двух прямых. Пря-
Прямые эти пересекаются в начале координат, и мы имеем,
таким образом, пару пересекающихся прямых.
Б) Допустим теперь, что Л'С'=0 и, следовательно,
один из коэффициентов А' или С равен нулю. В случае
необходимости делая замену D), мы можем считать, что
Л' = 0. Заметим, что С фО, так как иначе порядок урав-
уравнения B) понизился бы. Используя предложение 1, мы
приведем уравнение линии к виду
а) Допустим, что Df фО. Сгруппируем члены сле-
следующим образом!
Теперь очевидно, что, перенеся начало координат вдоль
оси абсцисс в соответствии с формулами перехода х* =
= x' + F'ftD', y**=y", мы приведем уравнение к виду
или
У*г = 2рх*, (9)
где р*=*—D'/C Мы можем считать, что /?>0, так как
в противном случае можно сделать дополнительную заме-
замену координат, изменяющую направление оси абсцисс.
75

Определение. Линия, которая в некоторой декар
товой прямоугольной системе координат может быть за-
задана уравнением (9) при условии р>0, называется па-
параболой, а уравнение (9)—каноническим уравнением
параболы.
б) Допустим теперь, что D'»0, т. е. уравнение
имеет вид
Если знаки С и F" противоположны, то, разделив
на С, мы можем записать у—a%ts{y"—а)(/ + в)«=0
Обращение в нуль каждого из множителей определяет
прямую и вся линия представляет собой пару парал-
параллельных прямых.
Если знаки С и F* совпадают, то, разделив на С,
мы приводим уравнение к каноническому виду
Этому уравнению не удовлетворяет ни одна точка. Урав-
Уравнение, приводящееся к каноническому виду A0), назы-
называется уравнением пары мнимых параллельных прямых.
Может случиться, что F*=0. Тогда уравнение линии
равносильно у' ««О. Линия второго порядка представля-
представляет собой прямую. Левая часть уравнения A), приводя-
приводящегося к каноническому виду у" =0, представляет со-
собой квадрат линейного многочлена, и потому уравнение
эквивалентно линейному. Такое уравнение носит назва-
название уравнения пары совпавших прямых.
Соберем вместе полученные результаты.
Теорема 1. Пусть в декартовой системе координат
задано уравнение второго порядка
Тоеда существует такая декартова прямоугольная 'си-
'система координат, в которой это уравнение принимает
один и$ следующих девяти канонических видов}
3)
б)
7)
9)
Гв

В соответствии с этим существует семь классов ли-,
ний второго порядка: 1) эллипсы, 3) точки (пары мни-
мнимых пересекающихся прямых), 4) гиперболы, 5) лары
пересекающихся прямых, 6) параболы, 7) пары парал-
параллельных прямых, 9) прямые (пары совпавших прямых).
Уравнению 2) мнимого эллипса и уравнению 8) пары
мнимых параллельных прямых не удовлетворяет ни
одна точка.
§ 2. Эллипс, гипербола и парабола
В предыдущем параграфе мы познакомились с клас-
классификацией линий второго порядка. Геометрические
свойства только трех классов линий не являются оче-
очевидными. Ими мы и займемся в этом параграфе
1. Эллипс. Напомним, что мы назвали эллипсом ли-
линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной си-
системе координат определяется каноническим уравнением
при условии а~^Ъ. Система координат, о которой гово-
говорится в определении, называется канонической.
Из уравнения A) сразу следует, что для всех точек
эллипса |*|<[а и |«/|^Ь, т. е. эллипс лежит внутри
прямоугольника со сторонами 2а и 2Ъ. Точки пересече-
пересечения эллипса с осями ка-
канонической системы ко- ъ
ординат, имеющие коор-
динаты (а, 0), (—а, 0),
@, Ь) и @, —6), на-
называются вершинами эл-
эллипса. Расстояния от
начала координат до
вершин а и Ь называ-
называются соответственно
большой и малой полу-
полуосями эллипса.
Поскольку в каноническое уравнение A) входят только
квадраты координат, это уравнение обладает следующим
свойством: если координаты (х, у) какой-либо точки М
ему удовлетворяют, то ему удовлетворяют и координаты
(— х, у), (х, —у) и (— х, —у) точек Mt, Л*ь и М,
(рис. 28). Отсюда вытекает такое предложение.
77

Предложение I. Для эллипса оси канонической си-
стемы координат являются осями симметрии, а начало
канонической системы—центром симметрии.
Центр симметрии называют просто центром эллипса.
Внешний вид эллипса A) проще всего описать, срав-
сравнив его с окружностью радиуса а с центром в центре
эллипса. Уравнение этой
окружности напишем в
виде
При каждом х таком,
что |*| <а, найдутся две
точки окружности с ор-
ординатами ± a Vi — х*/а*
и две точки эллипса с ор-
ординатами ±& уг\—х%/а2
Пусть точке окружности
соответствует точка эллип-
эллипса с ординатой того же
знака. Тогда отношение
Рис. 29 Эллипс как сжатие окруж
ности. Здесь 6/а=1/2
ординат соответствующих точек равно b/а. Итак, эллипс
получается из окружностн таким сжатием ее к оси абсцисс,
при котором ордината каждой точки уменьшается в одном
и том же отношении b/а (рис. 29)
Рис. 30
Геометрически преобразование окружности в эллипс
можно осуществить, взяв вторую плоскость Р2, пересе-
пересекающуюся с исходной Pt вдоль оси абсцисс под углом
а = arccos (b/a) (рис. 30) Ha плоскости Pt выберем де-
78

M(xy)
картову прямоугольную систему координат О, еи е,,
у которой начало и базисный вектор tf совпадают с на-
началом и вектором tt системы координат на плоскости Pit
а вектор е^ составляет угол а с йектором eg. Рассмотрим
окружность Х* + У* = а* на плоскости Pt. Если из точки
М(Х, Y) на плоскости Pt опустить перпендикуляр на
плоскость Pf, то координаты (х, у) его основания N
получатся по формулам х = Х, у = У cos a — bY/a. По-
Поэтому эллипс является множеством оснований перпенди-
перпендикуляров, опущенных из точек окружности, или, как гово-
говорят, ортогональной проекцией
окружности.
С эллипсом связаны две
замечательные точки, назы-
называемые его фокусами. Пусть
по определению
с* = а*—Р B)
и с^О, Фокусами называют- Рис. 31.
ся точки Fj и Fa с коорди-
координатами соответственно (с, 0) и (—с, 0) в канонической
системе координат.
Для окружности с = 0 и оба фокуса совпадают с
центром. Ниже мы будем предполагать, что эллипс не
является окружностью.
Отношение
—г
C)
называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что всег-
всегда е< 1.
Предложение 2. Расстояние от произвольной точ-
точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов
является линейной функцией от ее абсциссы xi
г, = |
| = а—ex,
— RX, 1
-\-ъх f
Доказательство. Очевидно, что
D)
(рис. 31). Подставим сюда выражение у*, найденное из
уравнения эллипса. Мы получим
79

Преобразуем подкоренное выражение, учитывая равен-
равенство B):
Мы видим, что под корнем стоит квадрат линейного дву-
двучлена, т.е. rt — \a—вх |. Так как е<1 и х^а, имеем
а—ех > 0. Мы доказали первое из равенств D). Второе
доказывается аналогично.
Предложен ие 3. Для того чтобы точка лежала на
эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее рас-
расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а
Необходимость условия очевидна: если мы сложим
равенства D) почленно, то увидим, что
Г1 + гг = 2а. E)
Докажем достаточность. Пусть для точки М (х, у) вы-
выполнено условие E), т. е.
Возведем обе части равенства в квадрат и приведем по-
подобные члены:
^ " F)
Это равенство также возведем в квадрат и приведем по-
подобные члены, используя соотношение B). Мы придем
к равенству, равносиль-
равносильному уравнению эллип-
эллипса A).
. ,>? С эллипсом связаны
две замечательные пря-
прямые, называемые егоды-
ректрисами. Их урав-
уравнения в канонической
системе координат (рис.
32);
Рис 32
а а
х = т и *- — .
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону
от центра, будем считать соответствующими друг другу.
Предложение 4. Для того чтобы точка лежала на
эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее
расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей
директрисы равнялось эксцентриситету эллипса е.
во

Докажем это предложение для фокуса Ft{—c, 0).
Обозначим расстояние от произвольной течки эллипса
М (х, у) до директрисы о уравнением х= — а/е через d2
Тогда, согласно формуле A2) § 3 гл II,
что только множителем 1/е отличается от выражения D)
ДЛЯ Г2
Обратно, пусть для какой-нибудь точки плоскости
rjdt = z, т. е.
Учитывая, что е = с/а, это равенство легко привести к
виду F), из которого, как мы знаем, вытекает уравне-
йне эллипса A).
Для другого фокуса предложение вытекает из сим-
симметрии эллипса относительно оси ординат канонической
системы координат.
Получим теперь уравнение касательной к эллипсу,
заданному каноническ м уравнением. Известно, что уг-
угловой коэффициент прямой, которая касается графика
функции в какой-то точке (ха, </„), равен производной
этой функции в точке ха. Пусть у0ф0. Через точку
(х9> у0) на эллипсе проходит график функции f (х), цели-
кбм лежащий на эллипсе. (Для </„>0 это —график
функции ft (х)«bV 1 — хг1а*, для у0 <0—функции ft(x) »=
= —&|/"i—х*1аг. Не уточнял знак у0, обозначим через
f{x) подходящую функцию.) Для функции f(x) выполне-
выполнено тождество
Дифференцируя его по х, находим
2х л. W о
Подставляя х = ха, f(xl)) = y9 и решая относительно /'
получаем, в силу у0 Ф 0,
Теперь мы можем написать уравнение касательной в точ-
точке (*„, ^0): а
УУ = —^~ (x-xj
81

Для упрощения преобразуем его к виду а*уув + Ь*хх9 =
— b*xl + а%у\. Так как точка (хс, «/„) удовлетворяет урав-
уравнению эллипса, имеем Ьах1 + а*у1 = а*Ь2, откуда a*yyt 4-
+Ьгххе s= а*Ь*. Итак, уравнение касательной к эллипсу
в точке (*„, «/„) имеет вид:
о» + ft*
1.
(8)
При выводе уравнения (8) мы исключили вершины эл-
эллипса (а, 0) и (—а, 0), положив у0ф0. Для этих точек
уравнение (8) превращается соответственно в уравнения
х = а и х= —а, которые
определяют касательные
в вершинах. Проверить
это можно, заметив, что
в вершинах х как функ-
функция от у достигает эк-
экстремума. Предоставим
читателю проделать это
подробно и показать тем
самым, что уравнение (8)
определяет касательную
Рис. 33, к эллипсу для любой точ-
точки (х0, у0) на эллипсе.
Предложение 5. Касательная к эллипсу в точке
Мо (jc0, yt) есть биссектриса угла, смежного с углом меж-
между отрезками, соединяющими эту точку с фокусами.
Доказательство. Пусть L—точка пересечения
касательной о осью абсцисс (рис. 33). Из уравнения (8)
сразу находим, что ее абсцисса равна а*/х0. Заметим, что
а*/\х9\>а и, следовательно, Ь лежит вне отрезка FtFt.
Расстояния от Ь до фокусов равны \F1L\ = \a3/x0 — c\ и
\FtL\ — \a^lx(l-\'c\, поэтому их отношение
\FtL\
\а+ех„\
равно отношению длин отрезков MjFj и MuFt. Отсюда
мы заключаем, что МвЬ есть биссектриса внешнего угла
треугольника M0FiFt, что нам и требовалось. Следует
заметить, что наше доказательство теряет смысл для вер-
вершин эллипса. Но для них утверждение очевидно.
2. Гипербола. Гиперболой мы назвали линию, которая
в некоторой декартовой прямоугольной системе координат
определяется каноническим уравнением
82

Система координат, о которой говорится в определении,
называется канонической.
Из уравнения (9) сразу вытекает, что для всех точек
гиперболы |х|>а, т. е, все точки гиперболы лежат вне
вертикальной полосы ширины 2а (рис. 34). Ось абсцисс
канонической системы пересекает гиперболу в точках
(а, 0) и (— а, 0), называемых вершинами гиперболы. Ось
ордннат не пересекает гиперболу. Числа а и b называ-
называются соответственно ве-
вещественной и мнимой
полуосями гиперболы.
В точности так же,
как и для эллипса, до-
доказывается следующее
Предложение 6.
Для гиперболы оси ка-
канонической системы ко-
координат являются осями
симметрии, а начало
канонической системы —
центрам симметрии.
Центр симметрии называется центром гиперболы
(рис. 34).
Для исследования формы гиперболы найдем ее пере-
пересечение с произвольной прямой, проходящей через нача-
начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде y = kx,
поскольку мы уже знаем, что прямая х = 0 не пересекает
гиперболу. Абсциссы точек пересечения находятся из
уравнения
Рис. 34.
или, если Ь2—а8А>*>0,
х = ±
аЪ
Это позволяет указать координаты двух точек пересе-
пересечения:
(ab/v, abk/v) и (—ab/v, —abk/v),
где обозначено v = (bi—a^k*I'*. В силу симметрии доста-
достаточно проследить за движением первой из точек прн из-
изменении k (рис. 35).
Числитель дроби ab/v постоянен, а знаменатель при-
принимает наибольшее значение при k = 0. Следовательно,
83

наименьшую абсциссу имеет точка с координатами
(а, 0). С ростом * знаменатель убывает и абсцисса * ра-
растет, стремясь к бесконечности-, когда k приолижается
к числу Ыа. Прямая у = Ьх/а с угловым коэффициентом
Ыа не пересекает гиперболу, и прямые с ббльшими уг-
угловыми коэффициентами тем более ее не пересекают.
Любая прямая с мень-
' '- шим положительным уг-
угловым коэффициентом-
пересекает гиперболу.
Если мы будем пово-
поворачивать прямую от го-
горизонтального положе-
положения по часовой стрелке,
то k будет убывать, а
к*—расти и прямая бу-
будет пересекать гипербо-
гиперболу во все удаляющихся
точках, пока не займет положения с угловым коэффи-.
цнентом — Ыа. К прямой у=—bx/а относится все, что
сказано о у = Ьх/а: она не пересекает гиперболу и отде-
отделяет прямые, пересекающие ее, от непересекающих.
Определение. Прямые с уравнениями у=Ьх/а и
yt=—bxja в канонической системе координат называются
асимптотами гиперболы.
Из приведенных выше рассуждений вытекает, что. ги-
гипербола имеет вид, изображенный на рис. 35.' Гипербола
состоит из двух отдельных кусков, называемых ее ветвями.
Запишем уравнения асимптот в виде Ьх—ау — 0 и
Ьх + ау*=0. Расстояния от точки М с координатами (х, у)
до асимптот равны соответственно (ср. A2) ? 3 гл. II)
й _ \Ьх-ау\ . \Ьх+ау\
Рис. 35.
Если точка М находится на гиперболе, -то Ь*х*~ а*у* ¦
« а*Р и
»— а*у»|'_ 'a»ft*
Предложение?. Произведение расстояний от точки
гиперболы до асимптот п стоянно и равно ° ^.
Отсюда следует важное свойство асимптот.
-Предложение 8. Если точка движется по гипер-
гиперболе так, что ее абсцисса по абсолютной величине неог-
84

раниченно возрастает, то расстояние от точки до одной
из асимптот стремится к нулю.
Действительно, хотя бы одно из расстояний ht или
ht при этих условиях должно неограниченно возрастать,
и, если бы предложение
было неверно, произве-
произведение не было бы пос-
постоянно.
С гиперболой связа-
связаны две замечательные
точки, называемые ее
фокусами. Введем число
с, положив по опреде-
определению
A0)
Рис, 36,
и с > 0. Фокусами гиперболы называются точки Ft и Ft
с координатами соответственно (с, 0) и (—с, 0) в кано-
канонической системе координат (рис. 36).
Отношение еа= с[а, как и для эллипса, называется
эксцентриситетом. У гиперболы всегда е > 1.
Предложение 9, Расстояния от произвольной
точки М (х, у), лежащей на гиперболе, до каждого из
фокусов следующим об-
образом зависят Ып ее
абсциссы х!
г, *= | FtM | = \а—вх |,
A1)
Доказательство этого
предложения почти дос-
дословно совпадает с дока-
Рис. 87, г,—rj=2o( rl--ri-=2a. зательством предложе-
предложения 2, и мы не будем
его воспроизводить.
Равенства A1) подробнее можно записать так (рис. 37):
для *>а (правой ветви гиперболы)-
—а,
для *^ — а (левой ветви гиперболы)
г, =ю—ех, /-, = — гх— а.
85

Мы видим, что для правой ветви гиперболы rt—rt =
= 2а, а для левой rt—г, = 2а. В обоих случаях
|rt-rt| = 2a. A2)
Это доказывает необходимость условия в следующем
предложении.
Предложение 10. Для того чтобы точка лежала
на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы разность
ее расстояний до фокусов по абсолютной величине равня-
равнялась вещественной оси гиперболы.
Для доказательства достаточности условия его нужно
представить в виде
± У{х—с)> + y> = 2a±V(x+c)> + у\
Дальнейшее отличается от доказательства предложения 3
только тем, что нужно воспользоваться равенством A0),
а не B).
С гиперболой связаны две прямые линии, называемые
ее директрисами. Их уравнения в канонической системе
координат!
Директрисы гиперболы лежат ближе к центру, чем
вершины, и, следовательно, не пересекают гиперболу.
Директрису и фокус, которые лежат по одну сторону от
центра, будем считать соответствующими друг другу.
Предложение 11. Для того чтобы точка лежала
на гиперболе, необходимо и достаточно, чтобы отноше-
отношение ее расстояния до фокуса к расстоянию до соответст-
соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету гипер-
гиперболы е.
Докажем это предложение для фокуса Ft. Обозначим
расстояние от произвольной точки гиперболы М(х, у) до
директрисы с уравнением х = — a/е через dt (рис. 38).
Тогда, согласно формуле A2) § 3 гл. II, имеем
что только множителем 1/е отличается от г, (ср. (И)).
Достаточность условия доказывается так же, как в
предложении 4 для эллипса.
Уравнение касательной к гиперболе в точке (*„, yt),
лежащей на гиперболе, выводится так же, как и соответ-
86

ствукицее уравнение (8) для эллипса. Оно имеет вид
Предложение 12. Касательная к гиперболе в точ-
точке М0(х0, yt) есть биссектриса угла между отрезками,
соединяющими эту точку с фокусами.
Доказательство почти не отличается от доказательства
предложения 5. Рекомендуем читателю полностью прове-
провести доказательство этого и остальных утверждений, сфор-
а/е
Рис. 38.
мулированных, но не доказанных для гиперболы в этом
пункте.
3. Парабола. Параболой мы назвали линию, которая
в некоторой декартовой прямоугольной системе коорди-
координат определяется каноническим уравнением
У1
A5)
при условии р > 0. Система координат, о которой гово-
говорится в определении, называется канонической.
Из уравнения A5) вытекает, что для всех точек па-
параболы х^О. Парабола проходит через начало канони-
канонической системы координат. Эта точка называется верши-
вершиной параболы.
Поскольку вместе с каждой точкой М (х, у) уравнению
параболы удовлетворяет и точка Mi(x, —у), ось абсцисс
канонической системы координат является осью симмет-
симметрии параболы.
Форма параболы известна из курса средней школы,
где парабола встречалась в качестве графика функции
ув=ах*. Отличие уравнений объясняется тем, что в кано-
канонической системе координат по сравнению с прежней оси
координат поменялись местами и коэффициент а~х обо-
обозначен через 2р.
87

Фокусом F параболы называется точка с координатами
(р/2, 0) в канонической системе координат (рис. 39).
Директрисой параболы называется прямая с уравне-
уравнением х = — р/2 в канонической системе координат.
Предложение 13. Расстояние от произвольной
точки параболы до фокуса равно
'=*+?. Об)
Для доказательства подставим уг из уравнения A5) в
выражение r = V(x—р/2)* + уг для расстояния от точки
1±±у
p/)f/ д р
М(х, у) до фокуса:
Преобразовав
ние, мы находим
подкоренное [выраже-
[выражеоткуда в силу х^О вытекает A6).
Заметим, что расстояние от точки
параболы до директрисы, согласно
формуле A2) § 3 гл. II, также рав-
равняется
Рис. 39. ""
Отсюда вытекает необходимость условия в следующем
предложении.
Предложение 14. Для того чтобы точка М лежа-
лежала на параболе, необходимо и достаточно, чтобы она бы-
была одинаково удалена от фокуса и от директрисы этой
параболы.
Докажем достаточность. Пусть точка М (х, у) одинако-
одинаково удалена от фокуса и от директрисы параболы A5), т. е.
Возводя это равенство в квадрат и приводя подобные
члены, мы получаем из него уравнение параболы. Это
заканчивает доказательство.
Параболе приписывается эксцентриситет е=* 1. В силу
этого соглашения формула
г
88

связывающая расстояния от точки линии до фокуса н до
директрисы, будет верна и для эллипса, и для гиперболы,
и для параболы.
Выведем уравнение касательной к параболе в точке
Мв(*0> у0), лежащей на параболе. Пусть у0ФО. Через
точку Мй проходит график функции y*=f(x), целиком
лежащий на параболе. (Это у = ]/рх или t/ = —V2px,
смотря по знаку у0.) Для функции f(x) выполнено тож-
тождество (/ (*))* = 2рх, диф-
дифференцируя которое имеем
2/ (х) f (х) = 2р. Подставл яя
х = ха и / (х0) = ув, находим JM^|
поскольку yo?=Q- Теперь мы
можем написать уравнение ка-
касательной к параболе;
У—y<,=*fa(x—х,).
Упростим его. Для этого раск-
раскроем скобки) уув—у% = рх— Рис. 40,
— рхе—и заметим, что у% = 2рх0.
Геперь уравнение касательной к параболе принимает окон-
окончательный вид:
УУо — Р (х + *о). A7)
Заметим, что для вершины параболы, которую .мы
исключили, положив уоф0, уравнение A7) превращается
в уравнение *«==(), т. е. уравнение касательной в вершине.
Итак, уравнение A7) справедливо для любой точки
М0(х0, у0) на параболе.
Предложение 15. Касательная к параболе в точ-
точке Мо есть биссектриса угла, смежного с углом между
отрезком, который соединяет точку Мл с фокусом, и
лучом, выходящим из этой точки в направлении оси па-
параболы (рис. 40).
Доказательство. Вектор I, который направлен
вдоль биссектрисы указанного в предложении угла, мож-
можно получить как сумму векторов единичной длины, на-
направленных по сторонам угла, т. е. FMj\FM0\ и е^. Если
Мо имеет координаты *0 и у0, то
(*„—р/2)е1 + yttt
89

Теперь мы можем подсчитать угловой коэффициент бис-
биссектрисы k = yjBxt). burnt мы вычислили угловой коэф-
коэффициент касательной к' = р/у0. Докажем, что k=*k'. Дей-
Действительно, k/k'= yi/Bpxe) = 1. Предложение доказано.
§ 3. Линия второго порядка,
заданная общим уравнением
1. Пересечение линии второго порядка и прямой.
Рассмотрим линию второго порядка, заданную общим
уравнением
0 A)
в декартовой системе координат, и исследуем пересечение
этой линии с произвольной прямой
x = x9 + at, y = yo + $t. B)
Значения параметра t, соответствующие точкам пересе-
пересечения, должны удовлетворять уравнению, получаемому
подстановкой B) в A):
А (*, + aty + 25 (jc, + at) (у, + flt) + C (у,
Раскрывая здесь скобки и приводя подобные члены, мы
получим квадратное уравнение
Pt* + 2Qt + R = O, D)
в котором
E)
F)
или при другой группировке слагаемых
Q = (A* + ?P)jt, + (Ba + Cp)fc + Da + ?p. G)
Свободный член есть значение многочлена при t = 0, т. е.
R = Ах\ + 2Bxaya + Cyl + 2Dx, + 2Еу0 + F. (8)
Вообще говоря, уравнение D)—квадратное, оно имеет
не больше двух корней, и прямая пересекает линию или
90

в двух точках, или в одной (кратные корни) или не пе-
пересекает ее (комплексные корни). Но возможны исклю-
исключительные прямые, для которых Р = 0, т. е.
= 0, (9)
и, следовательно, уравнение D) является линейным.
В этом случае оно имеет один корень при (}фО, а при
Q = 0 либо выполнено тождественно (если и R — 0), ли-
либо не имеет решений. Следовательно, «исключительные»
прямые пересекают линию в единственной точке, или
лежат на ней целиком, или ие пересекают совсем.
В равенство (9) не входят координаты *0, у0 началь-
начальной точки прямой. Кроме того, оно остается справедли-
справедливым, если умножить ос и р" на ненулевой множитель, т. е.
взять другой направляющий вектор прямой. Поэтому
свойство «исключительности» связано только о направле-
направлением прямой.
Определение. Направление, определяемое векто-
вектором, компоненты которого удовлетворяют уравнению (9),
называется асимптотическим направлением линии второго
порядка
2. Число асимптотических направлений. Тип линии.
Выясним, сколько асимптотических направлений может
иметь линия второго порядка. Обозначив
6 | \
сформулируем следующее
Предложение 1. Линия второго порядка имеет
два асимптотических направления, если б < О, одно, если
8 = 0, и ни одного, если б >0.
Для доказательства рассмотрим несколько случаев!
1) Пусть Л = С = 0. Тогда обязательно ВфО и о =*
=—5*<0. Уравнение (9) имеет вид 2Всф*=0, и ему
удовлетворяют векторы A, 0) и @, 1).
2) Пусть СфО. Тогда вектор @, 1) не является ре-
решением уравнения (9), и каждое решение этого уравнения
можно задать угловым коэффициентом & = р7<х, удовлет-
удовлетворяющим уравнению C3k*-\-2Bk + A=*0. Дискриминант
этого уравнения В*—АС — — б. Следовательно, оно имеет
два корня при б<0, один корень при 6 = 0 и не имеет
вещественных корней при б > 0.
3) Пусть А Ф§. Мы поступаем, как и в предыдущем
случае, с той разницей, что рассматривается не угловой
коэффициент, а отношение ?f = a/p, удовлетворяющее
01

уравнению j4?i+2B?f+C=O. Дискриминант этого урав-
уравнения также равен —б.
Поскольку случаи 1)—3) исчерпывают все возможно
сти, предложение доказано.
В силу предложения 1 не только знак б определяет
число асимптотических направлений, нот л обратно, их чис-
число определяет знак 6. Это сразу проверяется от противного
Мы определили асимптотические направления при по
мощи аналитического условия (9). Поэтому в принципе
при изменении системы коор
дииат асимптотическое направ-
направление могло бы перестать быть
асимптотическим или, наоборот,
обыкновенное направление сде-
сделаться асимптотическим. Можно
доказать, хотя мы и не будем
этого делать, что определение
асимптотических направлений
на самом деле не зависит от
выбора системы координат.
Используя канонические
уравнения, Легко проверить, что
эллипс не имеет асимптотичес-
асимптотических направлений, парабола имеет
одно, а гипербола два асимп-
асимптотических направления (рис.
41). На этом основании линии
второго порядка называются ли-
линиями гиперболического, парабо-
параболического или эллиптического типов, смотря по тому,
имеют ли они два, одно или не имеют ии одного асимпто-
асимптотического направления.
Для линий гиперболического типа б < 0, для парабо-
параболического типа 6 «о и для эллиптического б>0,
3. Диаметр линии второго порядке. Назовем кордой
любой отрезок, концы которого лежат на линии, а осталь-
остальные точки на ней не лежат. Таким образом, хорда не
может иметь асимптотического направления.
Мы предположим, что рассматриваемая линия второго
порядка имеет по крайней мере одну хорду. Этому усло-
условию удовлетворяют эллипсы, гиперболы, пары пересека-
пересекающихся прямых, параболы, пары параллельных прямых.
Формально почти все следующие вычисления остаются
справедливыми и для остальных линий и даже для урав-
уравнений мнимого эллипса и пары мнимых параллельных
92
6)
Рис. 41. Асимптотические
¦вправления: а) у параболы;
6\ у гиперболц.

прямых, но геометрического смысла полученные резуль-
результаты иметь не будут.
Фиксируем какое-нибудь неасимптотическое направле»
ние и исследуем множество середин хорд, имеющих это
направление. Если начальная точка М0(х0, у0) секущей B)
находится в середине хорды, "К* корни уравнения D) рав-
равны по абсолютной величине и отличаются знаком (рис. 42).
Это выполнено в том и только в том случае, когда Q«=«0.
В силу выражения G) для Q это означает, что середины
хорд направления (а, р*I) лежат на прямой
(Aa + Bfr)x + (Ba+Cfl)y + Da + E$ = O. A0)
Определение. Прямая A0) называется диаметром
линии второго порядка, сопряженным направлению (а, Р).
Стоит обратить внимание на
то, что диаметром называется
вся прямая. Это не означает,
что середины хорд ее заполня-
заполняют целиком. Такое положение
возможно, но возможно также,
что множество середин хорд
есть, например, отрезок или
луч.
Конечно, остается сомнение,
действительно ли уравнение A0)
определяет прямую: не окажут- Рис. 42.
ся ли коэффициенты при пере-
переменных в нем оба равными нулю? Допустим, что это
так. т. е.
Умножим первое из этих равенств на а, второе на 0 и
сложим. В результате мы получгм равенство (9), которое
по предположению не имеет места. Итак, уравнение A0)
определяет прямую.
4. Центр линии второго порядка. Изучим множество
всех диаметров линии второго порядка. Оно описывается
уравнением A0), в котором аир меняются так, чтобы
, направление (а, Р) не было асимптотическим. Используя
F), мы перепишем это уравнение в виде
0, (П)
') Здесь и далее мы обозначаем направление компонентами ка-
какого-нибудь ненулевого вектора, имеющего это направление. Ясно,
/что аир интересуют нав только с точностью до общего множителя.
93

сразу заставляющем вспомнить пучок прямых. И действи-
действительно, если прямые Ax + By+D—О и Вх-\-Су-\-Е*=*0
не параллельны, т. е.
все диаметры принадлежат пучку, определяемому этими
прямыми. Не утверждается, что каждая прямая этого
пучка—диаметр: исключение составляют прямые асимп-
асимптотического направления.
Центр пучка A1) при условии A2) определяется си-
системой уравнений
=0. J
( '
Предложение 2. Точка О, координаты которой
удовлетворяют системе уравнений A3), является центром
симметрии линии второго порядка.
Предложение будет доказано, если мы покажем, что
пересечение линии с любой прямой, проходящей через
точку О, симметрично относительно этой точки.
Примем точку О за начальную точку прямой B). Ес-
Если прямая имеет неасимптотическое направление, то в си-
силу равенств F) и A1) уравнение D) для этой прямой
имеет вид Pt%-\- R = 0, причем Я^=0. Если это уравнение
имеет различные вещественные корни, то они отличаются
один от другого только знаком. Если корень один, то он
равен нулю. Итак, в любом случае множество точек пере-
пересечения симметрично относительно точки О.
Рассмотрим теперь прямую асимптотического направ-
направления. Для нее в уравнении D) P = Q = O, и либо пря-
прямая целиком лежит на линии, либо не имеет с ней об-
общих точек. Следовательно, и для прямых асимптотичес-
асимптотического направления множество точек пересечения симмет-
симметрично относительно точки О.
Заметим, что предложение справедливо для любой
линии второго порядка, независимо от условия A2). Ра-
Разумеется, предполагается, что линия содержит хоть одну
точку. В противном случае утверждение становится бес-
бессодержательным. При этом же условии мы можем дока-
доказать и обратное предложение.
Предложение 3. Координаты центра симметрии
линии A) удовлетворяют системе уравнений A3).
Доказательство. Пусть О(л:0, у0)—центр симмет-
симметрии линии. Рассмотрим пересечение линии с произволь-
94

ной прямой, проходящей через О, приняв эту точку за
начальную точку прямой. Относительно О имеются две
возможности:
1) Точка О лежит на линии. Пусть прямая имеет не-
неасимптотическое направление (а, Р). Тогда точка О —
единственная точка пересечения, так как в противном
случае с учетом симметрии точек пересечения было бы
не меньше трех. Следовательно, уравнение D) имеет крат-
кратный корень /=0, откуда следует Q = 0. Итак, координа-
координаты О удовлетворяют равенству (И).
Из равенства A1) не следует еще, что координаты О
удовлетворяют системе A3). Нам придется написать такое
же равенство для другого неасимптотического направле-
направления (а', Р'). Тогда для координат (*0, у„) имеем
(Ах, + By, + D)a' + (Bxa + Су, + Е) Р' = О,
где ар'—a'p=j?O. Рассматривая эти равенства как си-
систему уравнений с коэффициентами a, p, a!, P', мы по-
получаем
O, A4)
как и требовалось.
2) Пусть точка О не лежит на линии. Если прямая,
проходящая через О в направлении (a, P), пересекает ли-
линию в точке М, ^которой соответствует значение парамет-
параметра /t, то существует симметричная точка пересечения со
значением параметра —tt. Итак, />/?•+¦2Qtt + /? = О и
Pt\ — 2Q/, + /? = 0, откуда в силу /, Ф 0 следует Q = 0.
Таким образом, если линия имеет точки пересечения
в двумя различными прямыми, проходящими через О, то,
как и выше, мы можем получить равенства A4) для ко-
координат точки О.
Докажем, что две такие прямые обязательно найдутся.
Действительно, в противном случае все точки линии ле-
лежат на одной прямой. Эта прямая имеет неасимптотнчес-
кое направление. В самом деле, она имеет с линией по
крайней мере две общие точки, и, будь она асимптотиче-
асимптотического направления, все ее точки лежали бы на линии, в
том числе и О. Это противоречит сделанному выше пред-
предположению, что О не лежит на линии. Теперь легко ви-
видеть, что линия состоит ровно из двух точек. Но из тео-
теоремы 1 § 1 следует, что таких линий нет. Предложение
доказано.
95

Предложения 2 и 3 показывают, что условие 6^=0
необходимо и достаточно для того, чтобы у линии второ
го порядка существовал единственный центр симметрии
Линии, имеющие единственный центр симметрии, называ-
называются центральными. Таким образом, неравенство 6^=0
является инвариантным (не
зависящим от системы ко-
координат) признаком цент-
центральной линии. Равенство
8 = 0 является инвариант-
инвариантным признаком нецентраль-
нецентральной линии.
\> Вспомним, что 6^=0
/_ ^ для линий эллиптического
и гиперболического типов.
Это—центральные линии.
Линии параболического
типа — нецентральные.
5. Сопряженные нап-
направления. Направление
(а', Р'), определяемое диа-
диаметром, сопряженным нап-
/ /7
S)
Рнс. 43. Сопряженные направления:
а) у эллипса; б) у гиперболы. . -
равлению (а, р), называется
сопряженным для направления (а, Р). Компоненты нап-
направляющего вектора диаметра A0), согласно предложе-
предложению 1 § 2 гл. II, удовлетворяют условию
= 0 A5)
или
Ааа' Ч- В (а'Р + р"а) + Срр" = 0.
A6)
В последнее выражение пары чисел а, р* и а', р*' входят
симметричным образом. Отсюда вытекает t
Предложение 4. Если направление (а, р ), со-
сопряженное с (а, Р), не является асимптотическим, то
сопряженным для (а«, Р') будет (а, Р) (рис. 43).
Возникает вопрос, при каких условиях направление,
сопряженное какому-нибудь направлению (а, Р), может
оказаться асимптотическим. Это легко выяснить.
Из равенства A5) следует, что в качестве аир
можно выбрать соответствеино — (Ва + Ср) и (Ла + ВР).
Подставим эти выражения в уравнение (9) для асимпто-
асимптотических направлений:
66

После приведения подобных членов мы получаем
(АС—В') (Даа + 2Вар + Ср») -0.
Поскольку (а, Р)—не асимптотическое направление, это
произведение может обращаться в нуль только за счет
первого сомножителя. Мы получаем следующий результат
Предложение 5. Если линия нецентральная F = 0),
то для любого направления (а, Р) сопряженное направле-
направление— асимптотическое Если линия центральная F=^=0),
то для любого направления
(а, Р) сопряженное направле-
направление — не асимптотическое
(рис 44).
6. Главные направления.
Если диаметр перпендикуля-
перпендикулярен хордам, которым он соп-
сопряжен, то он является осью
симметрии рассматриваемой
линии Введем следующее
Определение. Нап-
Направление (а,Р)и направление
(а', Р') сопряженного ему диаметра называются главными
направлениями, если они перпендикулярны.
Если система координат декартова прямоугольная, то
для главного направления аир должны быть пропор-
пропорциональны коэффициентам уравнения A0), т. е. должно
существовать такое число X, что
Рис. 44. У параболы любому
направлению сопряжено асимп-
асимптотическое.
Исключая X,, мы получаем уравнение для а и
(Л—
а*)=0. A8)
Если В = 0 и А*=С, то это уравнение выполнено тожде-
тождественно. Если В~0, АфС, то ему удовлетворяют на
правления осей координат A, 0) и @, 1). Если же B=j?O,
уравнение A8) приводится к квадратному уравнению
для углового коэффициента & Р/
Читатель заметит, что последнее уравнение всегда имеет
два корня kt и kt, удовлетворяющих условию ktkt = — 1.
Согласно предложению 4 § 3 гл. II это означает, что
4-102

направления с угловыми коэффициентами kt и kt взаимно
перпендикулярны. Мы получаем
Предложение 6. Каждая линия второго порядка
имеет хотя бы одну пару главных направлений. Или
эта пара единственная, или каждая пара направлений
является главной.
Нетрудно доказать, что в последнем случае (т. е. ког-
когда В = 0, А == С) уравнение A) приводится к одному из
следующих канонических видов: х*+у**=г*, х* + у* = 0
или х* + у*** — г*.
Для нецентральной линии главными являются асимп-
асимптотическое направление и перпендикулярное к нему.
7. Касательная к линии второго порядка. Как извест-
известно, касательной к линии называется предельное положе-
положение секущей, когда хорда стягивается в точку. Здесь мы
выведем уравнение касательной к линии второго порядка,
заданной уравнением A). Дадим предварительно следую-
следующее
Определение. Особой точкой линии второго по-
порядка называется центр симметрии, который лежит на
линии.
Особыми точками являются: точка пересечения пары
пересекающихся прямых, единственная точка пары мни-
мнимых пересекающихся прямых и каждая точка пары сов-
совпавших прямых.
В особой точке касательная не определена. Если точ-
точка лежит на прямой, входящей в состав линии, то каса-
касательная совпадает с этой прямой. Для общего случая
докажем
Предложение 7. Если неособая точка не лежит
на прямой, входящей в состав линии, то через эту точ-
точку проходит диаметр.
Доказательство. Пусть точка Afo(jco, y9), лежа-
лежащая на линии, не является центром симметрии. Тогда
числа
а (Bxt + Cyt + E) и Р = Л
одновременно не равны нулю и уравнение
O B0)
есть уравнение диаметра* проходящего через Мь и сопря-
сопряженного направлению (а, р), если только это направле-
направление не асимптотическое. Допустим, что (а, р)—асимпто-
р)—асимптотическое направление. Тогда для прямой, проходящей
через М, в направлении (а, р*), все коэффициенты урав-
98

нения D) равны нулю: Р=0 по определению асимптоти-
асимптотического направления, Q—0 в силу равенств F) и A9),
R=Q, так как Af, лежит на линии. Таким образом, М,
лежит на прямой, входящей в состав линии, что проти-
противоречит предположению.
Мы получим касательную к линии в точке М(, если
проведем через эту точку прямую линию в направлении
A9), которому сопряжен диаметр, проходящий через эту
точку. Эта прямая имеет уравнение р* (х —*,) —а (у—у,) «*0,
или
Преобразуем это уравнение с учетом того, что дс, и ус
удовлетворяют уравнению A). Мы получим уравнение
касательной к линии A) в точке М%(хь, уь):
y0) + F = 0.
B1)
8. Особые точки. Исследуем, при каких условиях на
коэффициенты уравнения A) линия второго порядка име-
имеет особую точку. Для координат х%, уь такой точки долж-
должны быть справедливы равенства
Ах] + 2Вх,у, + Су' + 2D*. -f 2Eyt + F = 0.
Умножим первое из них на х„ второе на у, и вычтем
из третьего. Мы получим эквивалентную систему равенств
B2)
Рассмотрим векторы р(<4, В, D), щ(В, С, Е) и r(?>, E, F).
Равенства B2) представляют собой координатную запись
векторного равенства
Отсюда следует, что при наличии у линии особой точки
векторы р, q и г компланарны, что может быть следую-
следующим образом записано через их компоненты!
IA В D
ВСЕ
D E F
-.9. B4)

Если, линия центральная, то векторы р и q не коллине-
арны и условие компланарности B4) равносильно суще-
существованию разложения B3), т. е. существованию решения
системы B2). Мы получили
Предложение 8. Центральная линия имеет осо-
особую точку тогда и только тогда, когда Д = 0.
Итак, сочетание условий 6^ 0 и Д = 0 характеризует
пары пересекающихся прямых и пары мнимых пересекаю-
пересекающихся прямых.
Рассмотрим нецентральные линии. Для них равенство
Д = 0 выполнено всегда, когда существует центр симмет-
симметрии, хотя бы и не являющийся особой точкой. Действи-
Действительно, в силу 6 = 0 прямые A3) параллельны. Если
система A3) имеет решение, то прямые совпадают. В этом
случае их коэффициенты и свободные члены пропорцио-
пропорциональны и, следовательно, векторы р и q коллинеарны,
откуда Д = 0.
Обратно, пусть для нецентральной линии Д = 0, т. е.
векторы р, q и г компланарны. Это может быть в двух
случаях. 1) Векторы р и q не коллинеарны, и г раскла-
раскладывается по ним. Тогда, как и в случае центральных
линий, существует особая точка. 2) Векторы р и q кол-
коллинеарны. Это означает, что существует центр симметрии,
не обязательно являющийся особой точкой, и даже целая
прямая, каждая точка которой— центр симметрии. Мы
доказали
Предложение 9. Для нецентральных линий усло-
условие Д =0 равносильно существованию центра симметрии.
Итак, сочетание условий 6 = 0 и Д = 0 характеризует
пары параллельных и пары совпавших прямых. Оно вы-
выполнено также и для уравнения пары мнимых параллель-
параллельных прямых.
Из предложений 8 и 9 следует, что равенство Д = 0
является инвариантным, т. е. не может измениться при
переходе к другой системе координат.
§ 4. Поверхности второго порядка
Подобно тому как в § 2 были описаны все наиболее
интересные линии второго порядка, в настоящем парагра-
параграфе мы опишем важнейшие поверхности второго порядка,
а полную классификацию таких поверхностей отложим
до гл. IX. Составить себе общее представление о боль-
большинстве поверхностей второго порядка можно, рассмат-
100

ривая поверхности вращения линий второго порядка во-
круг их осей симметрии.
1. Поверхности вращения. Поверхность 5 называется
поверхностью вращения с осью d, если она составлена из
окружностей, которые имеют центры на прямой d и ле-
лежат в плоскостях, перпендикулярных этой прямой. В ос-
основе этого определения лежит следующее представление
Рассмотрим линию L, которая лежит в плоскости Р, про-
проходящей через ось вращения d
(рис. 45), и будем вращать ее
вокруг этой оси Каждая точка
линии опишет окружность, а
вся линия—поверхность враще
ния.
Выберем начало декартовой
прямоугольной системы коорди
нат О, elt e8, е, на оси враще-
вращения d, вектор е3 направим вдоль
d, а вектор е, поместим в плос-
плоскости Р. Таким образом, точка
О и векторы е^ и е3 образуют
на плоскости Р декартову сис-
систему координат. Допустим, что
линия L, вращением которой получена поверхность, имеет
в этой системе координат уравнение <р(х, г) = 0.
Рассмотрим точку М (х, у, г) Через нее проходит ок-
окружность, которая имеет центр на оси d и лежит в пло-
плоскости, перпендикулярной этой оси Радиус окружности
равен расстоянию от М до оси, т е. Vx* + y*. Точка М
лежит на поверхности вращения тогда и только тогда,
когда на указанной окружности имеется точка М„ при-
принадлежащая вращаемой линии L
Точка Mt (xt, ylt zj лежит в плоскости Р, и потому
у1 = 0 Кроме того, г1=г и \xl\ — Vx% + у2, так как М1
лежит на окружности, проходящей через М Коорди-
Координаты точки Mj удовлетворяют уравнению линии L:
Ч>(Хц г1) = 0. Подставляя в это уравнение xt и zlt мы
получаем следующее условие на координаты точки М,
необходимое и достаточное для того чтобы М лежала на
поверхности вращения S: равенство
Рис 45
должно быть выполнено хотя бы при одном из двух зна-
знаков перед корней. Это условие» которое, может быть
W

•«писано в эквивалентном виде
и является уравнением поверхности вращения линяй L
вокруг оси а.
2. Эллипсоид. Рассмотрим поверхности, которые полу-
получаются при вращении эллипса вокруг его осей симмет-
симметрии. Направив вектор еа сна-
сначала вдоль малой оси эллип-
эллипса, а затем вдоль большой
оси, мы получим уравнение
эллипса в следующих видах!
(Здесь через с обозначена ма-
малая полуось эллипса.) В си-
силу .формулы A) уравнения
соответствующих поверхнос-
поверхностей вращения 'будут
= 1 C)
D)
Поверхности C) и D; назы-
называются сжатым и вытянутым
эллипсоидами вращения. Они
изображены на рис. 46 а, б.
Каждую точку М (х, у, г)
на эллипсоиде вращения C)
сдвинем к плоскости V (ко-
(координатной плоскости, прохо-
проходящей через tf и е») так, чтобы расстояние от точки до
этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех то-
точек отношении а< 1. После сдвига точка М совпадаете
точкой М', координаты которой определяются равенст-
равенствами х' = х, у' = ^у, г' = г. Таким образом, все точки
эллипсоида вращения C) переходят в точки поверхности
с уравнением
Рис. 46. а), 6) Сжатый и
вытянутый эллипсоиды вра-
вращения; ^ эллипсоид
ж'1 ,»"
г"
E)
102

ф
где Ь=Ха. Поверхность, которая в некоторой декартовой
прямоугольной системеч координат имеет уравнение E),
назовем эллипсоидом (см. рис. 46 в). Если случайно ока-
окажется Ь = с, мы получим снова эллипсоид вращения, но
уже вытянутый.
Эллипсоид, так же как и эллипсоид вращения, из ко-
которого он получен, представляет собой замкнутую огра-
ограниченную поверхность. Из уравнения
E) видно, что начало координат—
центр симметрии для эллипсоида, а ко-
координатные плоскости—его плоскости
симметрии.
Эллипсоид получается нз эллипсоида
вращения сжатием так же, как эллипс
получается сжатием окружности. Сжа-
Сжатием сферы х* + у* + г* — а* можно по-
получить эллипсоид вращения C). Для
того чтобы из сферы получить вытянутый
эллипсоид, нужно сделать аналогичное
преобразование, но с Х> 1—растяже-
1—растяжение.
В этом параграфе нам часто придет-
придется прибегать к сжатию, и мы не будем
каждый раз описывать его подробно.
3. Конус второго порядка. Рассмотрим на плоскости
Р пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе
координат О, е1, е, уравнением а*х*—c*z* = 0. Поверх-
Поверхность (рис. 47), получаемая вращением этой линии во-
вокруг оси аппликат, имеет уравнение
а*(х* + У*)—
Рис. 47.
:0 F)
и носит название прямого кругового конуса. Сжатие к
плоскости Y переводит прямой круговой конус в поверх-
поверхность с уравнением
а*х% -\-Ь*у9—с*г* = 0. G)
Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоу-
прямоугольной системе координат имеет уравнение G), называ-
называется' конусом или, подробнее, конусом второго порядка.
Конус состоит из прямых линий, проходящих чере» на-
начало координат. Сечения конуса плоскостями с уравне-
уравнениями г = а для различных а представляют собой эллипсы
юз

4. Одноподостный гиперболоид. Однтолоапный гипер-
гиперболоид «ращения—это поверхность вращения гиперболы
* а* 1
вокруг той ее оси, которая ее не пересекает. По формуле
A) мы получаем уравнение однополостного гиперболоида
вращения
•В результате сжатия этой поверхности мы получаем по-
поверхность с уравнением
Поверхность, которая в некоторой декартовой прямо-
прямоугольной системе координат^ имеет уравнение (9), назы-
называется однополостным гипер-
гиперболоидом (рис. 48).
Интересное свойство од-
однополостного гиперболоида—
наличие у него прямолиней-
прямолинейных образующих. Так назы-
называются прямые линии, все-
всеми своими точками лежащие
на поверхности. Через хажс
дую точку однополостного ги-
гиперболоида проходят две
прямолинейные образующие,
уравнения которых можно
получить следующим образом.
Перенесем член уЧЬ* в пра-
правую часть уравнения (9) и разложим обе части равенства
на множители г
D+т)(т-4)=('+*)('-*)•
Рассмотрим теперь прямую линию с уравнениями
Рис. 48
)
где Я. и |1—некоторые числа. Координаты каждой точки
прямей* удовлетворяют обоим уравнениям, а следователь-
104

но, и их произведению — уравнению (9). Поэтому все
точки прямых линий с уравнениями вида A0) при все-
всевозможных Яиц лежат на однополостном гиперболоиде
Такое же рассуждение можно провести и для семейства
прямых
' >
,(?_?)
Подставляя координаты точки, лежащей на однополост-
однополостном гиперболоиде, в одно из уравнений A0) и в одно из
уравнений A1), мы найдем значения параметров Я., ц и
А., ц', которые соответствуют прямолинейным образую-
образующим, проходящим через эту точку. Естественно, что
каждая пара параметров определена с точностью до об-
общего множителя.
Если вместе с гиперболой мы будем вращать и ее
асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, назы-
называемый асимптотическим конусом гиперболоида враще-
вращения. При сжатии гиперболоида вращения в общий одно-
полостный гиперболоид прямой круговой конус сжимает-
сжимается в некоторый конус, который называется асимптоти-
асимптотическим конусом однополостного гиперболоида.
5. Двуполостный гиперболоид. Двуполостный гипер-
гиперболоид вращения—это поверхность вращения гиперболы
вокруг той ее оси, которая ее пересекает По формуле
A) мы получаем уравнение ^двуполостного гиперболоида
вращения
$***!. 02)
В результате сжатия этой поверхности получается по-
поверхность с уравнением
у—у—у1
Поверхность, которая в некоторой декартовой прямо-
прямоугольной системе координат имеет уравнение* вида A8),
называется деумлветным гиперболоидом (рис. 49). Двум
ветвям гиперболы соответствуют- зде&> две не связанные
между собой части («полости») поверхности, в то время
105

как при построении однополостного гиперболоида враще-
вращения каждая ветвь гиперболы описывает всю поверхность.
Асимптотический конус для двуполостного гипербо-
гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.
Рис. 49.
6. Эллиптический параболоид. При вращении пара-
параболы хг = 2рг вокруг ее оси симметрии мы получаем по-
поверхность с уравнением [
х*+у*~2рг, A4)
называемую параболоидом вращения. Сжатие к плоскости
у=0 переводит параболоид вращения в поверхность
с уравнением
И
Поверхность, которая имеет такое уравнение в некото-
некоторой декартовой прямоугольной системе координат, назы-
называется эллиптическим параболоидом (рис. 50). Внешний
вид эллиптического параболоида ясен из способа его по-
построения. Отметим, что сечения этой поверхности пло-
плоскостями г=а при а>0 представляют собой эллипсы
+*1 **¦«•'
а сечения плоскостями, параллельными другим коорди-
натным плоскостям, например плоскостями у—а, —па*
раболы
106 .

7. Гиперболический параболоид. По аналогии о урав-
уравнением A5) мы можем написать уравнение
?-?- Ъ- 06)
Поверхность, которая имеет в некоторой декартовой
прямоугольной системе координат- уравнение вида A6),
назовем гиперболическим параболоидом. Исследуем внеш-
внешний вид этой поверхности. Для этого рассмотрим сечение
гиперболического параболоида плоскостью х=а при
произвольном а. В этой плоскости выберем декартову
прямоугольную систему'координат О', е„ е, с началом
в точке О' (а, 0, 0). Относительно этой системы линия
пересечения имеет уравнение
-*-* (-
Эта линия—парабола, в чем легдо убедиться, перенеся
начало координат в точку О* с координатами @, а*/2а*)
(координаты относительно исходной системы координат
О, elt е„ е, в пространстве равны (а, 0, а*/2а*)). Точка
О", очевидно, является вершиной параболы, ось парабо-
параболы параллельна вектору е,, а Знак минус в левой части
равенства A7) означает, что ветви параболы направлены
в сторону, противоположную направлению вектора е,.
Заметим, что после переноса начала координат в точку
О" величина а не входит в уравнение параболы,, и, сле-
следовательно, все сечения гиперболического параболоида
плоскостями х = а представляют собой равные параболы.
Будем теперь менять величину а и проследим за
смещением вершины О* 'параболы в зависимости от а.
Из приведенных выше координат точки (У в системе О,
ei. *st «» следует, что эта точка смещается по линии с
уравнениями-
.в системе координат О, е,-, е,, еа. Эта линия—парабола
в плоскости у—0. Вершина параболы находится в на-
начале координат, ось симметрии совпадает с осью аппли-
аппликат, а ветви параболы направлены в ту же сторону, что
и вектор tt.
Теперь мы можем построить гиперболический пара-
параболоид следующим образом: зададим две параболы и
будем перемещать одну из них так, чтобы ее вершина
107

скользила по другой, оси обеих парабол были параллель-
параллельны, параболы лежали во взаимно перпендикулярных
плоскостях и ветви их были направлены в противополож-
противоположные стороны. Пра таком перемещении подвижная пара-
парабола описывает гиперболический параболоид (рис. 51).
Рис. 51, АОВ—неподвижная парабола, KLM, NOP и QRS—разные
положения подвижной параболы.
Сечение гиперболического параболоида плоскостью
г*=а представляет собой гиперболу, которая в этой пло-
плоскости имеет уравнение
в системе координат О', е*. е, с началом в точке
О* @, 0, а). Для больших положительных а полуоси
гиперболы |/*2аа и V 2а Ь велики и уменьшаются с умень-
уменьшением а. При этом та ось гиперболы, которая ее пере-
пересекает, параллельна вектору е^ (рис. 52). При а = 0 ги-
гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых.
Если а <; 0, то ось гиперболы, которая ее пересекает,
параллельна вектору е2. Полуоси растут с увеличением
ia|. Отношение полуосей для всех гипербол при одном
знаке а одно и то же. Поэтому, если мы нарисуем все
сечения гиперболического параболоида на одной и той же
плоскости, тр получим семейство всех гипербол, имею-
имеющих в качестве-асимптот пару пересекающихся прямых с
уравнением -^—|г=»9 (рис. 53).
108

Рис. 52.
Рие, 53, Проекция сечений гиперболического параболоида. Тонкие
линии соответствуют о < 0, толстые—о > О,
Рис. 54.
109

Гиперболический параболоид, как и одиополостныи
гиперболоид, имеет два семейства прямолинейных обра-
образующих (рис. 54), уравнения которых следующие!
Выводятся эти уравнения так же, как и уравнения
прямолинейных образующих однополостного гиперболоида

ГЛАВА IV
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ
§ 1. Отображения я преобразования
1. Определение. Под отображением f плоскости Р в
плоскость R понимают закон или правило, по которому
каждой точке плоскости Р сопоставлена некоторая опре-
определенная точка на плоскости R. Мы будем пользоваться
обозначением f: P—>/?. Если потребуется указать, что
точке А на плоскости Р соответствует точка В на пло-
плоскости R, мы будем писать В = ЦА). Точки плоскости
Р называются прообразами, а соответствующие им точки
плоскости R—их образами.
Из курса средней школы известны отображения пло-
плоскости на нее же. Такие отображения, для которых пло-
плоскости Р н R совпадают, мы будем называть преобразо-
преобразованиями. В этом параграфе мы приведем для отображе-
отображений основные факты, известные читателю для преобра-
преобразований.
Подчеркнем, что ни для отображений, ни для преоб-
преобразований мы не предполагаем, что каждая точка пло-
плоскости R является образом некоторой точки. Вполне мо-
может оказаться, что множество всех образов не совпадает
с R.
2. Примеры. 1) Рассмотрим две плоскости Р и 'R и
сопоставим каждой точке плоскости Р основание перпен-
перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость R.
Так будет определено отображение, называемое ортого-
ортогональным проектированием. При ортогональном проекти-
проектировании, вообще говоря, каждая точка плоскости R имеет
единственный прообраз. В одном случае ортогональное
проектирование резко меняет свои свойства. Именно,
если плоскости взаимно перпендикулярны, то не каждая
точка плоскости R имеет прообраз, а только точки, ле-
лежащие на линии пересечения плоскостей. Зато каждая
из этих точек имеет бесконечно много прообразов—они
заполняют перпендикуляр к R, восставленный из этой точки.
Ill

2) Примерами преобразований могут служить извест-
известные читателю параллельный перенос, поворот, осевая
симметрия, гомотетия.
3) Рассмотрим прямую р на плоскости Р и зададим
число Я > 0. Из произвольной точки М, не лежащей на р,
опустим перпендикуляр на эту прямую и обозначим его
основание через N. Точку f (M) определим соотношением
N\ (М) = ЯЛШ. Если JA лежит на р, то положим f (М) = Л1
м (рис. 55). Так построенное преоб-
преобразование f называется сжатием
к прямой р в отношении Я (Если
уточнено, что Я > 1, определенное
здесь преобразование можно на-
-9 -р зывать растяжением )
Mt=f(Mt) N I Мы уже пользовались сжатием
\ г к прямой в § 1 гл. III, когда изу-
мг чали форму эллипса. Аналогичное
Рис. 55. преобразование пространства —
сжатие к плоскости—мы применя-
применяли при определении поверхности второго порядка в § 4
гл. III.
4) Выберем на каждой из плоскостей Р и R декартову
прямоугольную систему координат и сопоставим точке
с координатами х и у на плоскости Р точку с коорди-
координатами х* = х*—у*, у* = 2ху на плоскости R. Нетрудно
убедиться, решая эти уравнения относительно х и у, что
каждая точка плоскости R имеет два прообраза, за
исключением начала координат, которое имеет один про-
прообраз.
5) Зададим точку О и сопоставим каждой точке М,
отличной от О, точку f (M), которая определяется равен-
равенством
\ом\
Положим f (О) = О. При этом каждой точке плоскости
сопоставляется единственная точка внутри круга радиуса
я/2 с центром в точке О. Каждая точка, лежащая внутри
этого круга, имеет единственный прообраз, а точки, не
лежащие внутри круга, не имеют прообразов.
6) Можно сопоставить каждой точке плоскости осно-
основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на
фиксированную прямую р, а каждой точке на прямой —
112

саму эту точку. При этом всем точкам каждой прямой,
перпендикулярной к р, сопоставляется одна и та же точка
7) Можно сопоставить каждой точке на плоскости Р
одну и ту же точку на плоскости R.
3. Произведение отображений. Обратное отображение.
Из курса средней школы известно понятие композиции
преобразовании. Мы будем называть ее произведением и
определим также и для отображений
Определение Пусть даны отображения f: P—*R
и g: R—+S. Отображение h, сопоставляющее точке А на
плоскости Р точку g(f(/4)) на плоскости S, называют
произведением отображения f на отображение g и обозна-
обозначают gof Отображение, которое производится первым,
пишется справа
Подчеркнем, что для того, чтобы можно было соста-
составить произведение отображений, нужно, чтобы плоскость,
в которую отображает первое отображение, совпадалз
с плоскостью, которая отображается при втором отобра-
отображении
Разумеется, произведение отображений, так же как
и произведение преобразований, зависит от порядка со-
сомножителей, т. е. gof, вообще говоря, не совпадает с fog
Стоит отметить, что для отображений оба произведения
одновременно определены только тогда, когда f: Р —> R
ид: Я —Я
Предоставим читателю самостоятельно убедиться, что
умножение отображений обладает свойством ассоциатив-
ассоциативности, т. е. если произведение (fog)oh определено, то
произведение fo(goh) также определено и равно ему
Если мы обозначим через ер и ей тождественные пре-
преобразования плоскостей Р и R, то для любого отобра
жения i: Р—> R будем иметь foe/)=f и eRof = f. Когда
f—преобразование плоскости, эти равенства сводятся
к eof = foe = f
По определению отображения f: P—>R каждая точка
плоскости Р имеет только один образ. Примеры 4) и Ь)
показывают, что одна точка на плоскости R может иметь
много прообразов, а в примерах 5), 6) и 7) не каждая
точка плоскости R служит образом какой-нибудь точки
Определение. Отображение \: Р—*R называется
взаимно однозначным отображением плоскости Р на пло-
плоскость R, если каждая точка плоскости R имеет прооб-
прообраз и притом только один.
Отображения, рассмотренные в примерах 2), 3), вза-
взаимно однозначны, а в примерах 4)—7)—нет.
из

Пусть дано отображение f: P—+R. Точке А на пло-
плоскости Р оно сопоставляет ее образ f (А) на плоскости R.
Теперь, наоборот, образу i(A) любой точки А мы сопо-
сопоставим саму эту точку. Очевидно, что такое соответствие
удовлетворяет нашему определению отображения в том
и только в том случае, когда каждая точка плоскости R
является образом некоторой точки и при этом одной
единственной. Это означает, что отображение f должно
быть взаимно однозначным.
Определение. Обратным отображением для вза-
взаимно однозначного отображения U P^*R мы назовем
отображение f- R —¦ Р такое, что (~1A(А)) = А для каж-
каждой точки А на плоскости Р.
Легко видеть, что определение обратного отображения
равносильно соотношению fof = ep, где ер—тождест-
ер—тождественное преобразование плоскости Р.
Совпадающие точки должны иметь совпадающие об-
образы, поэтому f(f-1(f(y4))) = f(/l) или f(f-*(fi)) = fi для
любой точки В на плоскости R. Это, в частности, озна-
означает, что обратным для отображения f будет отобра-
отображение f. Условие f(f~1(S)) = fi равносильно равенству
fof~1 = e^, где е^—тождественное преобразование пло-
плоскости R.
Если f—взаимно однозначное преобразование пло-
плоскости, то
4. Координатная запись отображений. Пусть нам за-
задано некоторое отображение плоскостей f: Р —»¦ R По
определению это означает, что задан закон, по которому
каждой точке М на плоскости Р сопоставлен ее образ
f(M) на плоскости R. Если мы выберем на плоскости Р
систему координат О, ех, е2, а на плоскости R систему
координат Q, р,, р2, то точка М будет определена парой
чисел х, у, а точка М* — числами х*, у*. Следовательно,
отображение сопоставляет каждой паре чисел х, у неко-
некоторые числа х* и у*. Таким образом, задать отображение
при выбранных системах координат—все равно что за-
задать две функции, каждая из которых зависит от двух
независимых переменных;
у), у* = ^(х, у). A)
Координатной записью отображения мы пользовались
в примере 4) этого параграфа.
114

Подчеркнем, что системы координат на плоскостях
Р и R, вообще говоря, не связаны между собой: точка Q
не Должна совпадать с ббразом точки О, а векторы pt и
р,—с образами векторов ех и е,.
При координатной записи преобразования, естественно,
достаточно выбрать одну систему координат, так как и
образ и прообраз находятся в одной плоскости.
Если функции ф и if определены для любых пар чисел,
то формулы A) при заданных системах координат на
плоскостях Р и R определяют отображение f: P -+ /?.
Отсюда, в частности, следует, что изучение произволь-
произвольных отображений—задача столь же необозримая, как и
изучение произвольных функций или произвольных линий.
Здесь мы займемся очень узким, простым, но важным
классом отображений. Среди остальных отображений они
выделяются так же, как прямые линии среди произволь-
произвольных линий на плоскости.
§ 2. Линейные отображения
1. Определение линейных отображений. Рассмотрим две
плоскости Р и R н дадим следующее
Определение. Отображение f; P—+R называется
линейным, если существуют такие декартовы системы
координат на плоскостях Р и R, в которых f может быть
задано формулами
Взаимно однозначное линейное отображение называется
аффинным отображением.
Подчеркнем, что в определении линейного отображе-
отображения вовсе не требуется, чтобы коэффициенты at и bt или
а, и bt не обращались в нуль одновременно. Правые
части формул A)—многочлены степени не выше 1. Для
аффинных отображений они линейные, и, более того,
справедливо следующее
Предложение 1. Для того чтобы линейное ото-
отображение, задаваемое формулами A), было взаимно одно-
однозначным, необходимо и достаточно, чтобы
B)
Таким образом, аффинное отображение определяете»фор-
определяете»формулами A) при условии B).
115

Доказательство. Наше утверждение вытекает,
по существу, из предложения 10 § 2 гл. II. Нам нужно
узнать, при каком условии каждая точка М* (х*, у*) имеет
единственный прообраз М(х, у). Координаты прообраза
находятся решением системы A), а она имеет единствен-
единственное решение при любых свободных членах х*—сх и у*—сг
тогда и только тогда, когда выполнено условие B).
Приведем примеры аффинных и линейных отображе-
отображений и преобразований.
1) Ортогональное проектирование (пример 1 § 1) яв-
является линейным отображением. Для доказательства вы-
выберем на плоскостях Р и R декартовы прямоугольные
системы координат так, чтобы линия пересечения этих
плоскостей была их общей осью абсцисс. Тогда при орто-
ортогональном проектировании i: P—> /? точки М и f(M)
имеют одну и ту же абсциссу, а отношение их ординат
равно косинусу угла между плоскостями. Итак,
х* = х, У* —у cos ф.
Отображение аффинное тогда и только тогда, когда пло-
плоскости не перпендикулярны, т. е. cosq^O.
2) Гомотетия проще всего записывается в декартовой
системе координат с началом в центре гомотетии О. По-
Поскольку вектор ОМ при гомотетии переходит в вектор
Of (M)== WM, то точка М с координатами х, у перехо-
переходит в точку f(M) с координатами he, Ky. Итак, гомоте-
гомотетия определяется равенствами
3) Сжатие к прямой (пример 3) § 1) мы запишем,
приняв прямую, к которой производится сжатие, за ось
абсцисс декартовой прямоугольной системы координат.
Легко видеть, что в такой системе
*• = *, у**=Ц,
где *К—коэффициент сжатия.
4) Проектирование на прямую (пример 6) § 1) мы за-
запишем, приняв эту прямую за ось абсцисс декартовой
прямоугольной системы координат. В этой системе коор-
координат проектирование на прямую записывается формулами
*• = *, «Л = 0.
Это—линейное, ио не аффинное преобразование,
не

5) Отображение, сопоставляющее каждой точке пло-
плоскости Р одну и ту же точку С плоскости R, записы-
записывается формулами x* — ct, y* — ct, где cv с,—координаты
точки С. Это также линейное, но не аффинное отображение
Определение линейного отображения обладает тем же
недостатком, что и определение алгебраической линии¦
оно зависит от систем координат, и мы не знаем, будет
ли линейное отображение задаваться формулами вида A)
в другой паре систем координат. Этот недостаток устра-
устраняется следующим предложением.
Предложение 2. Каковы бы ни были декартовы
системы координат на плоскостях Р и R, линейное ото-
отображение f: P—+R задается формулами вида A).
Доказательство. Пусть отображение f задано
равенствами A) в системах координат О, et, e2 и Q, р,, рг
на плоскостях Р и R соответственно Перейдем к новым
системам координат О', е\ е,' и Q', pi, p'2. Пусть на пло-
плоскости Р старые координаты точки выражаются через
новые по формулам
= <**'+ РУ + У, \
I ( '
а на плоскости R новые координаты выражаются через
старые по формулам
0»+Vlf ^
Нам нужно найти выражение новых координат х*', у*'
точки М* через новые координаты х', у' точки М. С этой
целью мы подставим в равенства D) выражения A) коор-
координат образа Л!» через координаты прообраза М. Мы
получим новые координаты М*, выраженные через старые
координаты Mi
у*' = Я,, (а, а + &,(/ + с,) + цг (агх + bty + ct) + v2.
Для нас важно, что правые части этих равенств—мно-
равенств—многочлены степени не выше 1 относительно х и у, т. е.
имеют вид
Подставив в E) выражения для х и у по формулам C),
мы найдем зависимость новых координат образа от новых
117

координат прообраза, т. е. искомую зависимость
*•' = А, (о,*' + р,у' + у,)
Мы видим, что правые части этих равенств—многочлены
степени не выше 1 относительно х' и у', т. е.
Это и требовалось доказать.
Заметим, что аффинные отображения выделяются из
линейных условием взаимной однозначности, которое не
зависит от выбора систем координат. Поэтому определе-
определение аффинного отображения в дополнительном обоснова-
обосновании не нуждается.
2. Произведение линейных отображений. Доказатель-
Доказательство предложения 2 было основано на том, что резуль-
результат подстановки многочленов степени не выше 1 в мно-
многочлен степени не выше 1 будет снова таким же много-
многочленом. Это же обстоятельство лежит в основе следую-
следующего предложения.
Предложение 3. Если произведение линейных ото-
отображений определено, то оно является линейным ото-
отображением.
Доказательство. Пусть заданы линейные отобра-
отображения f! Р —¦ R н gs R —* S и на плоскостях Р, R н S
выбраны декартовы системы координат. Тогда координа-
координаты точки f(M) выражаются через координаты точки М
формулами
ct, \
с» I
х*=aiX+biy+ ct, \
а координаты точки g(f(M)) через координаты точки
f (At)—формулами
I ( '
Подстановка F) в G) дает выражение координат g(f (M))
через координаты М:
Мы видим, что правые части—многочлены степени не
выше 1, Это доказывает наше утверждение.
118

Предложение 4. Произведение аффинных ото-
отображений является аффинным отображением
В силу предложения 3 нам достаточно доказать, что
произведение взаимно однозначных отображений также
взаимно однозначно. Это довольно очевидно: при отобра-
отображении: g: R—*S каждая точка А плоскости 5 имеет
единственный прообраз В на плоскости /?, а он, в свою
очередь, имеет единственный прообраз С на плоскости Р
при отображении f: P—*R. Эта точка С и будет един-
единственным прообразом точки А при отображении gof
Предложение доказано.
Как и всякое взаимно однозначное отображение, любое
аффинное отображение имеет обратное.
Предложение 5. Отображение, обратное аффин-
аффинному отображению, также является аффинным.
Для доказательства нам надо решить уравнения A)
относительно хну. Умножим первое уравнение на Ьг,
второе—на —bt и сложим их. Мы получим
—аЛ) х=bt (x*—ct)—bt (у*—сг).
и (xt, yt). Тогда вектор fAtMt имеет компоненты (лг,—j^,
,— j/J. Пусть формулы A) задают линейное отображение
P—+R в системах координат О, е^, е, и Q, pit p,.
Тогда образы М\ и Щ точек Mt и М, имеют абсциссы
Из условия B) следует, что х—линейный многочлен от
х* и у*. Аналогично получаем выражение для у.
3. Образ вектора при линейном отображении. Рассмот-
Рассмотрим на плоскости Р вектор MtMt Обозначим координаты
точек Mt и Мш в системе координат О, е^ е, через (xt, yt)
f
Следовательно, первая компонента вектора М'М? равна
х\ —х1« at (xt—xt) + bt (yt—yt).
Аналогично находим вторую компоненту М\М\\
yl—y\ = at (xt—xt) + bt {yt—yx).
Обратим внимание на следующее обстоятельство; ком-
компоненты М\М\ выражаются только через компоненты
MtMt, а не через координаты точек Mt и Mt по отдель-
отдельности. Рассмотрим Два равных вектора на плоскости Р.
119

Их компоненты одинаковы, и, следовательно, они при
линейном отображении перейдут в векторы, компоненты
которых также одинаковы.
Предложение 6. При линейном отображении рав-
равные векторы переходят в равные векторы. При атом ком-
компоненты образа (а,*, oj) в базисе ft, p, выражаются через
компоненты прообраза (аи а,) в базисе е1г е, формулами
Из этих формул вытекает, что для линейного отобра-
отображения f при любых векторах а и b и любом числе а
tHb)'}
Докажем, например, первое из равенств (9). Пусть
Ti и ft — компоненты вектора f(a + b). Тогда
где Of, а, и Pi, р,—компоненты векторов а н Ь. Отсюда
V,* = atdt + lrtat + аД + bfit=о,'
Т.* - «Л + 6,«,+a JJ, + ЬД - оц*
Следующее предложение устанавливает геометрический
смысл коэффициентов в формулах A).
Предложенное 7. Пусть отображение I: P—*R
записано в системах координат О, elt e, u Qx, p(l р, на
плоскостях Р и R формулами A). Тогда fa, сг)—коор-
дтаты точки f (О) в системе координат Q, р„ р, а (Oj, а,)
и (bf, bj—компоненты f (е,) и f(e,) в базисе pj, p,.
Подставим в A) значения jc«=O и ^"=0, т. е. крврди-
наты точки О. Мы-видим, что координаты 1@) равны
с, и с,.
Положим а, и о, в (8) равными компонентам е1( т. е.
€4 = 1, о,=0. Тогда а' = а„ aj = a, Следовательно, f(e,)
имеет компоненты в,, at. Аналогично доказывается, что
компвнвнты f(e^ равны bt и Ьл.
Предложение 8. Каковы бы ни были три тонки
L, М и N, н$ лежащие на одной прямой на плоскости Р,
и три тонки !•' М* и N* на плоскости Q, существует
единственное линейное отображение f такое> что ?**=
=>f(L), M»=f(M) и №*=1Щ. Это отображение будет
120

аффинным тогда и только тогда, когда L*, М* и N* не
лежат на одной прямой.
Доказательство. Векторы LM и LN не колли-
неарны. Следовательно, L, LM, LN—декартова система
координат на плоскости Р. На плоскости R выберем си-
систему координат произвольнЪ, и пусть с„ сг—координа-
сг—координаты L*, a alt at и fy, Ьг—компоненты векторов L*M* и
L*N* в этой стистеме координат. Формулы
определяют линейное отображение f i Р —*¦/?, которое, как
легко видеть, обладает требуемым свойством L* = f(L),
M* = f(M), N* = i(N) Более того, согласно предложе-
предложению 7 это свойство однозначно определяет коэффициенты
в формулах.
Условие B), равносильное аффинности отображения,
необходимо и достаточно для того, чтобы L*M* и L*N* не
были коллинеарны, т. е. L*, М* и N* не лежали на одной
прямой.
Предложение 9. При аффинном отображении f
образ М* точки М в системе координат ЦО), f(e,),
f (et) имеет те же координаты, что и точка М в системе
координат О, е,, ег
Иными словами, в системах координат О, elt e, и f (О),
f (et), f (et) аффинное отображение f записывается форму-
формулами х* = х, у* —у. Это утверждение немедленно следует
из предложения 7.
Выберем на плоскостях Р и R какие-либо декартовы
системы координат и сопоставим точке М на плоскости
Р точку М* на плоскости R с теми же координатами.
Это соответствие будет аффинным отображением, опре-
определяемым формулами х* = х, у* = у. Из предложения 9
вытекает, что любое аффинное отображение можно описать
таким* образом.
§ 3. Аффинные преобразования
1. Ортогональные преобразования. Изучение аффин-
аффинных преобразований мы начнем с пункта, посвященного
перемещениям плоскости. Здесь и далее мы будем назы-
называть их ортогональными преобразованиями. Докажем сна-
сначала, что три основных вида ортогональных преобразо-
121

ваний—параллельный перенос, поворот и осевая симмет-
рия—являются аффинными преобразованиям!. ¦
а) Параллельный перенос на вектор с сопоставляет
точке М о координатами х, у в некоторой декартовой
системе координат точку Л** с координатами х+%, y+ct,
где ci и ct—компоненты с. Следовательно,
A)
б) Рассмотрим поворот плоскости вокруг точки О на
угол а. В полярной системе координат с полюсом в точ-
точке О образ М* точки М (г, q>) имеет координаты г и
Ф+а. По формулам C) § 2 гл. I мы можем перейти от
полярной системы координат к декартовой прямоугольной
системе координат с началом в точке О:
r sin (<?+«)•
Отсюда» согласно формулам косинуса и синуса суммы
двух углов, мы имеем
* cos a—a sin a, \
} B)
, \
}
. J
в) Чтобы получить координатную запись осевой сим-
симметрии, выберем ось симметрии за ось абсцисс декар-
декартовой прямоугольной системы координат. Тогда точка
М(х, у) переходит в точку М* с координатами х, —у
Итак, при осевой симметрии
*•=*, tf = -y. C)
Формулы A), B) и C) имеют в правых частях линей-
линейные многочлены и, следовательно, задают линейные пре-
преобразования. Поскольку эти преобразования взаимно од-
однозначны, они аффинные.
Ортогональное преобразование определяется как пре-
преобразование плоскости, сохраняющее расстояние между
точками. Известно, что оно сохраняет также pi углы
между прямыми.
Отсюда вытекает, что при ортогональном преобразо-
преобразовании декартова прямоугольная система координат О,
е*. е4 перейдет в декартов у прямоугольную систему коор-
координат О*, ej, e,*, а точка М с координатами х, у отно-
относительно О, е^, е, перейдет в точку М* с теми же коор-
координатами х, у относительно системы координат О*, ej, ё*,.
Но связь координат одной и той же точки в разных сис-
системах координат нам известна (формулы G) § 4 гл. I).
В применении к точке М* эти формулы дают выражение
122

ее координат *•, у* в системе координат О, е^, е, через
ее координаты х, у в системе О*. е,\ eji
Здесь (ct, ct)—координаты точки О*, а ф—угол между
векторами ^ в е|, отсчитываемый в направлении от
Ь к ej.
Вспомним, что х, у—координаты прообраза М. Это
означает, что на формулы D) можно смотреть как на
координатную запись рассматриваемого ортогонального
преобразования в системе координат О, е*, е,. Итак,
доказано
Предложение 1, Произвольное ортогональное пре-
преобразование является аффинным и записывается в любой
декартовой прямоугольной системе координат формулами
вида D).
Из этого предложения легко следует
Предложение 2. Любое ортогональное преобразо-
преобразование есть произведение поворота, параллельного переноса
и, возможно, осевой симметрии.
В самом деле, пусть некоторое ортогональное преоб-
преобразование записано в декартовой прямоугольной системе
координат формулами D). При осевой симметрии отно-
относительно оси абсцисс этой системы координат точка
М(х, у) переРдет в точку N (и, v), где и = лг, v = — y.
При повороте на угол <р вокруг начала координат точка
/V перейдет в точку /С(о>, г), где
w = и cos (f—v sin <p = х cos <p + У sin <p,
.x sin <p—i/coscp.
Наконец, после параллельного переноса на вектор с (г1( ct)
точка K(w, г) перейдет в точку M*(w + cit г + с,), коор-
координаты которой выражаются через координаты х, у по
формулам D) при нижних знаках у коэффициентов при у.
Формулы D) при верхних знаках мы получим, если про-
пропустим осевую симметрию.
Мы видим, что произвольной точке плоскости постро-
построенное произведение преобразований сопоставляет тот же
образ, что и заданное ортогональное преобразование.
Предложение доказано.
Следует иметь в виду, что полученное разложение
ортогонального преобразования в произведение не одно-
однозначно. Более того, можно поворот или параллельный
123

перенос разложить в произведение осевых симметрии,
произведение параллельного переноса и поворота пред-
представить как один поворот и т. д. Мы не будем уточнять,
как это сделать, а выясним следующее общее свойство
всех таких разложений.
Предложение 3. При любом разложении данного
ортогонального преобразования в произведение любого числа
поворотов, параллельных переносов и осевых симметрии
четность числа осевых симметрии, входящих в разложение,
одна и та же
Для доказательства рассмотрим на плоскости произ-
произвольный базис и проследим за изменением его ориента-
ориентации (направления кратчайшего поворота от et к е2) при
ортогональном преобразовании. Следует заметить, что
поворот и параллельный перенос не меняют ориентацию
ни одного базиса, а осевая симметрия меняет ориентацию
любого базиса. Поэтому, если данное ортогональное пре-
преобразование меняет ориентацию базиса, то в любое его
разложение должно входить нечетное число осевых сим-
симметрии, и тогда меняется ориентация и любого другого
базиса. Если же ориентация базиса не меняется, то число
осевых симметрии в разложении может быть только чет-
четным, и в этом случае ориентация любого базиса остается
прежней.
Определение. Ортогональные преобразования, ко-
которые могут быть разложены в произведение поворота
и параллельного переноса, называются ортогональными
преобразованиями первого рода; остальные называются
ортогональными преобразованиями второго рода. Мы мо-
можем сформулировать
Предложение 4. Ортогональные преобразования
первого рода записываются формулами D) при верхних
знаках у коэффициентов при у и не меняют ориентацию
ни одного базиса. Ортогональные преобразования второго
рода записываются формулами D) при нижних знаках
и меняют ориентацию каждого базиса.
2. Образ прямой линии. Ниже в этом параграфе f
обозначает аффинное преобразование плоскости, записы-
записываемое в декартовой системе координат О, е1( е2 фор-
формулами
x* = ax + by+c \
У + с* )
при условии
F)
<h
ltt

Рассмотрим ha плоскости прямую линии) с уравнением
г = го+а< и найдем ее образ при аффинном преобразова-
преобразовании Г Радиус-вектор образа М* произвольной точки М
прямой можно вычислить так:
()+() + ()
Здесь с—постоянный вектор Of (б), а г—радиус-вектор
точки М. Согласно свойству (9) § 2 аффинных преобразо-
преобразований, мы получаем
r* = c + f(ro) + f(a)/. G)
При аффинном преобразовании ненулевой вектор пере-
переходит в ненулевой. Действительно, иначе нашлись бы две
различные точки, которые переходят в одну, что невоз-
невозможно для взаимно однозначного преобразования. Поэто-
Поэтому f(a)#O и уравнение G) является уравнением пря-
прямой линии. Итак, образы всех точек прямой г = гв+а/
лежат на прямой G).
Более того, преобразование f задает взаимно однознач-
однозначное соответствие между точками прямых линий. При
сделанном нами выборе начальных точек и направляющих
векторов образ точки М имеет на прямой G) то же зна-
значение параметра t, что и точка М на исходной прямой.
Отсюда мы получаем следующее
Предложение 5. При аффинном преобразовании
прямая линия переходит в прямую линию,
отрезок переходит в отрезок,
параллельные прямые переходят в параллельные.
Для доказательства второго утверждения надо заме-
заметить, что отрезок прямой состоит из точек, у которых
значения параметра удовлетворяют неравенству вида
<!<*<*«• Третье утверждение следует из того, что
в силу формул (9) § 2 коллинеарные векторы переходят
в коллинеарные.
Предложение 6. При аффинном преобразовании
отношение длин параллельных отрезков не изменяется,
Доказательство. Пусть отрезки АВ и CD парал-
параллельны. Это означает, что существует такое число Я, что
AB=*hCD. Поэтому образы векторов АВ и CD связаны
той же зависимостью A*B*=hC*D*. Отсюда вытекает, что
МБ

Следствие. Если тонка С делит отрезок АВ в не-
некотором отношении к, то ее образ С* делит образ А*В*
отрезка АВ в том же отношении %.
3. Изменение площадей при аффинном преобразова-
преобразовании. Для начала рассмотрим произвольный параллело-
параллелограмм. Выберем общую декартову систему координат О,
е^, е, и обозначим через {xit yt) и (xt, yt) компоненты
векторов р и q, на которых наш параллелограмм построен
Площадь параллелограмма мы можем вычислить, поль-
пользуясь свойствами векторного произведения
S -1 [Р, q] | -1 [*Л + &е„ хл+У&] I =
|. е*]1-
Пусть афинное преобразование f записывается в выб-
выбранной системе координат формулами (б). Из предложе-
предложения 7 § 2 следует, что f (еЛ=ал -f ajtt и f (et) = b^ -f bjtt.
Согласно предложению 9 § 2 векторы f(p) и f(q) в ба-
базисе f fa), f (e,) имеют те же компоненты (xit yt) н (xv yt),
что и их прообразы р и q в базисе е,, е,. Образ парал-
параллелограмма построен на векторах Г(р) и f(q), и его
площадь
% —xtyt 11 <hbt—atbt 11 [e^ e,] |.
Отсюда окончательно
S«/S = |«A-aA|. (8)
Это выражение показывает, что отношение площади S*
образа к площади S прообраза одно и то же для всех
параллелограммов. Отсюда же видно, что величина
\albt*—atbi\ на самом деле не зависит от системы коор
динат, в которой записано преобразование, хотя в ее выра-
выражение и входят коэффициенты, зависящие от системы
координат. Эта величина представляет собой инвариант
(см с. 42), выражающий геометрическое свойство пре-
преобразования.
Пусть xtfi—x&t > 0, Тогда, как мы видели в п. 8 § 3 гл. I,
лары векторов р, q и е*, е, ориентированы одинаково и пары f (р).,
'D) и f(ex)> '(««) также ориентированы одинаково. Поэтому, если
при аффинном преобразовании ориентация базисных векторов ме-
меняется, то меняется и ориентация любой пары р, q, имеющей ту xde
ориентацию Точно так же можно доказать, что меняется ориента-
ориентация н любой пары, ориентированной противоположно пэре базисных
векторов,
126

Если же при аффинном преобразовании ориентация базиса не
меняется] то не меняются ориентации и других упорядоченных пар
векторов.
Это свойство, разумеется, не зависит от того, какая пара век-
векторов выбрана в качестве бааяса: или меняется ориентация каждой
пары векторов, или не меняется ни у одной. Мы уже доказали это
свойство для ортогональных преобразований.
Отметим теперь, что пара векторов f (ei)8 f (e,) ориентирована так
же, как ej, e,, в том и только в том случае, когда а^—афх > 0.
Отсюда мы заключаем, что не только модуль детерминанта о^.—с,*^
но и его знак не зависят от выбора системы координат. Можно
утверждать, таким образом, что величина вхб»—са6{ представляет
собой инвариант, связанный в аффинным преобразованием. Геометри-
Геометрический смысл его—отношение площади произвольного ориентирован-
ориентированного параллелограмма к площади ориентированного параллелограмма,
который в него переходит при рассматриваемом аффинном преоб-
' разованни.
Займемся теперь площадями других фигур. Каждый
треугольник может быть дополнен до параллелограмма,
площадь которого равна удвоенной площади треугольни-
треугольника. Поэтому отношение площади образа треугольника к
площади самого треугольника удовлетворяет равенству (8).
Каждый многоугольник может быть разбит на тре-
треугольники. Следовательно, формула (8) справедлива и для
площадей произвольных многоугольников.
Мы не будем здесь касаться определения площади про-
произвольных криволинейных фигур. Скажем лишь, что в тех
случаях, когда эта площадь определена, она равна пределу
площадей некоторой последовательности многоугольников,
вписанных в рассматриваемую фигуру. Из теории Преде-
Пределов известно следующее предложение: если последователь-
последовательность Sn стремится к пределу 5, то последовательность
&Sn, где б—постоянное, стремится к пределу 65. На
основании этого предложения мы, заключаем, что форму-
формула (8) справедлива в самом общем случае.
В качестве примера найдем выражение площади эл-
эллипса через его полуоси. В § 2 гл. II мы доказали, что
эллипс с полуосями а и Ь может быть получен сжатием
окружности радиуса а к прямой, проходящей через ее
центр. Коэффициент сжатия равен bja. Очевидно, что при
этом преобразовании квадрат со стороной 1, основание
которого Лежит яа указанной прямой, перейдет в'пря-
в'прямоугольник со сторонами bja и 1. Таким образом, отно-
отношение площади образа квадрата к площади самого квад-
квадрата равно b/а. Мы видели, что при, аффинном преобра-
преобразовании площади всех фигур меняются в одном и том
же отношении. Поэтому для площади эллипса мы имеем
127

S = (па2) {b/a). Отсюда получаем, что
S = nab.
4. Образы линий второго порядка. Мы видели, что
прямая линия переходит в прямую. Это частный случай
следующего предложения.
Предложение 7. Аффинное преобразование пере-
переводит алгебраическую линию в алгебраическую линию того
же порядка.
В самом деле, пусть линия L в декартовой системе
координат О, е^ еа имеет алгебраическое уравнение по-
порядка р. Согласно предложению 9 § 2 образы всех точек
линии L при аффинном преобразовании f имеют в сис-
системе координат } (О), f (с,), f (e2) те же координаты, что
их прообразы в системе координат О, ех, еа. Следователь-
Следовательно, координаты образов в системе f@), f (et), f(es) свя-
связаны тем же алгебраическим уравнением порядка р. Это
означает, что образ линии L в декартовой системе коор-
координат f (О), f (ej), f (ea) определяется алгебраическим урав-
уравнением порядка р. Мы получили, что образ линии L
является алгебраической линией того же порядка, что и
сама линия.
Из предложения 7, в частности, следует, что линия
второго порядка при аффинном преобразовании перейдет
в линию второго порядка. Мы докажем более сильное
утверждение. Именно, в теореме 1 § 1 гл. III линии вто-
второго порядка разделены на семь классов. Будет доказано,
что класс линии сохраняется при аффинных преобразова-
преобразованиях. На этом основании классы линий второго поряд-
порядка, перечисленные в указанной теореме, называют аффин-
аффинными классами. Точнее наше утверждение формулируется
так.
Предложение 8. 'Линия второго порядка, принад-
принадлежащая к одному из аффинных классов, при любом аф-
аффинном преобразовании может перейти только в линию
того же класса. Кроме того, каждую линию второго по-
порядка подходящим аффинным преобразованием можно
перевести в любую другую линию того же класса.
Доказательство. Линию мы назовем ограничен-
ограниченной, если она лежит внутри некоторого параллелограмма.
Легко видеть, что при аффинном преобразовании ограни- <
ченная линия должна перейти в ограниченную, а неогра-
неограниченная — в неограниченную.
1) Эллипс — ограниченная линия второго порядка, а
кроме эллипсов ограничены только линии, состоящие из
12S

одной-едкнственной* точки,— пара мнимых пересекающих*
ся прямых. Поскольку эллипо ограничен и состоит боль-
больше чем из одной точки, он должен перейти в аллипо при
любом аффинном преобразовании.
2) Гипербола состоит из двух не связанных между
собой ветвей. Это свойство можно сформулировать так,
что станет ясна его неизменность при аффинных преоб-
преобразованиях. Именно, существует прямая линия, не пере-
пересекающая гиперболу, но пересекающая некоторые ее
хорды (т. е. такая, что по обе ее стороны лежат точки
гиперболы).
Из всех линий второго порядка только гиперболы и
пары параллельных прямых состоят из двух не связан-
связанных между собой ветвей. У гиперболы эти ветви — не
прямые линии, и поэтому она при аффинном преобразо-
преобразовании может перейти только в гиперболу.
3) Парабола — неограниченная линия второго поряд-
порядка, состоящая из одного непрямолинейного куска. Этим
свойством не обладают никакие другие линии второго по-
порядка, и потому парабола может перейти при аффинном
преобразовании только в параболу.
4) Если линия второго порядка представляет собой
точку (пару мнимых пересекающихся прямых), прямую
(пару совпавших прямых), пару пересекающихся или
пару параллельных прямых, то из доказанных ранее
свойств аффинных преобразований следует, что эта линия
не может перейти в линию никакого другого класса.
Докажем теперь, что каждую линию второго порядка
подходящим аффинным преобразованием можно перевести
в любую другую линию того же аффинного класса. Для
этого заметим следующее. В теореме 1 § 1 гл. III кано-
канонические уравнения линий второго порядка написаны
в декартовой прямоугольной системе координат и содер-
содержат параметры а, Ь,... Таким образом, по существу,
каждое из выписанных в теореме уравнений представляет
собой целое множество уравнений, соответствующих раз-
разным значениям параметров. Если мы откажемся от орто-
нормированности базиса, мы сможем привести все это
множество к одному и тому же каноническому виду, уже
не содержащему параметров. Например, замена коорди-
координат дс'взд/а, ук*=у1Ь переводит уравнение эллипса
х*/а*+у*1Ь*=1 в уравнение *'*+ «/'»= 1, каковы бы ни
были а и Ь. (Последнее уравнение не есть уравнение ок-
окружности, так как система координат не декартова пря-
прямоугольная.) Читатель без труда покажет, что для каж-
5-102 12»

дого уравнения второго порядка существует общая декар-
декартова ' система координат, при переходе к которой это
уравнение приводится к одному из видов)
у*=\, 2)
4) х»-«/» = 0, 5) *» + «/» = 0, 6) j? = 2jc,
7) I/»—1 =0, 8) у*+1 = 0, 9) у* = 0.
Такую систему координат мы назовем аффинной канони-
канонической системой.
Из предложения 9 § 2 следует, что аффинное преоб-
преобразование, которое совмещает аффинные канонические
системы координат двух линий одного класса, совмещает
и эти линии. Предложение, таким образом, полностью
доказано.
Предложение 9. Линии второго порядка одного
аффинного класса при равных значениях параметроё в
канонических уравнениях могут быть совмещены подхо-
подходящим ортогональным преобразованием.
В самом деле, их совмещает то ортогональное преобра-
преобразование, которое совмещает их прямоугольные канониче-
канонические системы координат.
5. Описание всех аффинных преобразований. Мы ви-
видели, насколько аффинное преобразование может изменить
все фигуры: окружность может перейти в произвольный
эллипс, правильный треугольник — в совершенно произ-
произвольный. Казалось бы, никакие углы при этом сохра-
сохраниться не могут. Однако имеет место следующее неожи-
неожиданное.
Предложение 10. Для каждого аффинного преоб-
преобразования существуют две взаимно перпендикулярные
прямые, которые перейдут во взаимно перпендикулярные.
Для доказательства рассмотрим какую-либо окружность.
При рассматриваемом аффинном преобразовании она пе-
перейдет в эллипс. Каждая ось симметрии эллипса — мно-
множество середин хорд, параллельных другой оси. При аф-
аффинном преобразовании хорда перейдет в хорду, парал-
параллельность хорд должна сохраниться и середина хорды
переходит в середину (предложение 5). Поэтому прооб-
прообразы осей симметрии эллипса — отрезки, обладающие тем
же свойством: каждый из них есть множество середин
хорд окружности, параллельных другому отрезку. Такие
отрезки непременно являются двумя взаимно перпенди-
перпендикулярными диаметрами окружности. Таким образом, пред-
предложение доказано: существуют два взаимно перпенди-
130

кулярных диаметра окружности, которые переходят во
взаимно перпендикулярные отрезки—оси симметрии эл-
эллипса.
Это предложение позволяет нам описать все аффин-
аффинные преобразования.
Теорема 1. Каждое аффинное преобразование пред-
представляет собой произведение ортогонального преобразо-
преобразования и сжатий к двум взаимно пер-
перпендикулярным прямым.
Доказательство. Обозначим
через е^ и е$ два взаимно перпен-
перпендикулярных вектора, которые при
рассматриваемом аффинном преобра-
преобразовании f перейдут во взаимно пер-
перпендикулярные векторы. Такие век-
векторы существуют согласно предложе-
предложению 10. Рассмотрим какую-нибудь
точку О и систему координат О, ех,
et. 3*га система перейдет в систему Рис. 66.
координат f (О), f (ъ), f (е,) (рис. Бб).
При помощи ортогонального преобразования g мы можем
перевести точку О в f(O) и совместить направления ба-
базисных векторов е[ и е, с направлениями их образов, т. е.
мы можем выбрать g так, что
g (О) -. f (О), М (е,) = f (ex), X,g (e,) = f (et), **, X, > 0.
Пусть hi—сжатие в отношении A,t к прямой, прохо-
проходящей через ((О) в направлении вектора f (е,). Оно пе-
переводит g (е,) в f (ej, а точку f (О) и вектор g (е,) не из-
изменяет:
hiog(e1)s-f(e1), htog (О) = f (О), hlOg(et) = g(e,).
Пусть h, — сжатие в отношении X, к прямой, прохо-
проходящей через f (О) в направлении вектора f (%). Оно пе-
пе() f() f(O) f (e)
дщ р () р р (%)
реводит д(е,) в f(ea), а точку f(O) и вектор f (ej) не из-
изменяет. Таким образом,
h,ohf од (О) = f (О), h,ohlOg (е^) = f
Мы видим, что преобразование h,ohjog переводит си-
систему координат О.е,, е, в ту же систему координат, что
и преобразование f. "Мы знаем из предложения 8 § 2, что
аффинное преобразовавание вполне определяется образом
какой-нибудь декартовой системы координат. Поэтому
аффинные преобразования f и t^ohjog совпадают, и тео-
теорема доказана.
5» 131

§ ¦» Пойятяе группы
1. Аффшляая геометрия. Геометрия изучает свойства, общие для
¦О» конгруэнтных фигур Мы не исследуем, например, по отдель-
отдельности треугольники со второнами длиной 3, 4 н 8, начерченные на
разных листах бумаги. Конгруэнтные фигура рассматриваются как
равнее, и понятие конгруэнтности (равенства) фигур является, та-
таким образом, одним из основных геометрических понятий
Подчеркнем, что равенство (конгруэнтность) фигур определяется
как возможность наложить одну фигуру на другую при помощи
Перемещения, т. е. преобразования, сохраняющего расстояние между
точками.
Сейчас мы обсудим, что получится, если вместо ортогональных
преобразований выбрать какую-нибудь другую совокупность пре-
преобразований и объявить равными фигуры, которые можно совмес-
совместить преобразованиями из данной совокупности. Разумеется, фигуры,
равные в таком смысле, будут, вообще говоря, не равны в смысле
обычного определения Поэтому у равных в новом смысле фигур будут
общими не те свойства, какие были общими у фигур, равных в
обычном смысле слова Таким образом, изменится все содержание
геометрии, и, введя новое определение равенства фигур, мы должны
будем говорить о новой геометрии. Теоремы о свойствах фигур, не-
неизменных при преобразованиях из некоторого заданного множества
преобразований, образуют содержание геометрии, порождаемой данным
множеством преобразований. Каждую геометрию, порождаемую неко-
некоторым множеством преобразований, называют клейновой геометрией.
Классическая геометрия, т. е. клейнова геометрия, в которой
равенство определяется при помощи ортогональных преобразований;
носит название евклидовой геометрии1).
Дадим краткое описание геометрии, в которой фигуры считаются
равными) если их можно совместить аффинным преобразованием.
Такая геометрия называется аффинной.
Аффинное преобрэеование переводит прямую линию в прямую
линию. Поэтому в аффинной геометрии имеет емысл понятие прямой.
Если бы некоторые аффинные преобразования—движения нашей но-
новой геометрии — переводили прямые ливни, скажем, в окружности,
то понятие прямой утратило бы свой смысл.
Точно так же сохраняется определение параллельных н пересе-
пересекающихся прямых
Рассмотрим тройки точек, лежащих на одной прямой. Если одну
такую тройку можно при помощи аффинного преобразования совмес-
совместить с другой тройкой, то отношение, в котором ередняя точка делит
отрезок между крайними, одно и то же для обеих троек. Это отно-
отношение представляет собой свойство, общее для всех троек точек, рав-
равных в аффнпной геометрии. Все теоремы, касающиеся этого отно-
отношения, входят в состав аффинной геометрии. Примером может служить
теорема о том, что параллельные прямые отсекают на второнах угла
пропорциональные отрезки.
*) Здесь следует отметить; что большинство теорем евклидовой
геометрии относится к свойствам фигурs ив зависящим от выбора
единицы измерения длин, и, таким образом, принадлежит к геомет-
геометрии, порождаемой множеством преобразований подобия (произведений
гомотетий н ортогональных преобразований). По указанной причине
•ту последнюю геометрию иногда также называют евклидовой.
132

Рассмотрим теперь отрезок прямой, Из предложения 8 J.2 еле»
дует, что каждый отрезок можно совместить с любым другим отрез-
отрезком при помощи подходящего аффинного преобразования., Бели аф-
аффинные преобразования мы считаем движениями, то должны сделать
вывод, что все отрезки равны между собой. Поскольку равными
оказываются отрезки любых длин, длина не является общим свойст-
свойством всех равных между собой отрезков н не может рассматриваться
в аффинной геометрии. Здесь мы не можем считать длину свойством
отрезка, так же как в евклидовой геометрии мы не считаем свойст-
свойством отрезка угол, который он составляет с направлением на север
Аналогично обстоит дело с измерением углов. Любые два некол
линеарных вектора, имеющих общее начало, можно при помощи
подходящего аффинного преобразования перевести в любые другие
два неколлниеарных вектора, имеющих общее начало. Поэтому в аф
финной геометрии все углы равны между собой (за исключением
углов в 0 и л) и измерение углов не имеет смысла
Предложение 8 § 2 показывает также, что для любых двух тре-
треугольников существует аффинное преобразование, их совмещающее
Поэтому мы должны считать, что в аффинной геометрии все тре-
треугольники равны между собой.
Медиану треугольника в аффинной геометрии мы определить
можем при аффинном преобразовании медиана переходит в медиану,
так как середина отрезка переходит в середину Теорема о том,
что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая де-
делит каждую нз них в отношении 2.1, относится к аффинной гео-
геометрии.
Те же свойства треугольников, которые формулируются при
помощи понятии длины и угла, не относятся к аффинной геометрии
Например, не имеет смысла говорить о высоте треугольника, так
как высота перейдет, вообще говоря, не в высоту при аффинном
преобразовании.
В аффинной геометрии имеет смысл понятие алгебраической
линии и, в частности, понятие линии второго порядка. Предложение
8 § 3 показывает, что все линии второго порядка, принадлежащие
одному аффинному классу, равны между собой, а линии из разных
аффинных классов не равны. Например, в аффинной геометрии ок-
окружности неотличимы от эллипсов, и окружности и эллипсы с лю-
любыми полуосями—это с точки зрения аффинной геометрии разные
положения одной и той же линии, которую можно назвать эллип-
эллипсом.
Эллипс не имеет фокусов и директрис В их определение вхо-
входит понятие расстояния, и, следовательно, это определение не имеет
смысла в аффинной геометрии. А вот центр у эллипса имеется—его
можно определить, используя только понятие середины отрезка, ко-
которое относится к аффинной геометрии.
2. Значение вдейновых геометрий. Здесь описана одна нз многих
геометрий, некоторые из них разработаны не менее детально, чем
евклидова. Разумеется, при описании физического пространства
евклидова геометрия была и останется незаменимой, но построение
таких геометрий, как аффинная, и многих других, гораздо более
диковинных, существенно с двух точек зрения.
Во-первых, их развитие играет важную роль в общем развитии
математики и, таким образом, связано с физикой и другими науками,
имеющими непосредственное приложение к практике. Например,
идеи, о которых идет речь, сыграли существенную роль при постро-
построении теории относительности.
133

Во-вторых, изучение разного рода обобщенных геометрий поз-
позволяет глубже понять нашу евклидову геометрию. Например,
М. И. Лобачевский построил свою геометрию, исследуя независимость
постулата о параллельных от остальных аксиом. (См. по этому по-
поводу книгу 15].)
3. Определение группы преобразований. Рассмотрим теперь воп-
вопрос о том, какие совокупности преобразований могут быть нсполь-
вованы для определения равенства фигур в некоторой клейновой
геометрии. Всякое понятие равенства должно удовлетворять трем
аксиомам:
1. Каждая фигура F равна самой себе, или F = F.
2. Если фигура F равна фигуре О, то фигура G равна F, или из
F = G следует G«=F.
3. Если фигура F равна фигуре G, a G равна И, то фигура F
равна фигуре Н, или из F = G и G=H следует. F = H.
Эти аксиомы налагают определенные условия на совокупность
преобразований <§, определяющую равенство в клейновой геометрии.
Именно, первая аксиома равносильна условию
1'. Тождественное преобразование принадлежит совокупности $.
Если бы мы, например, условились считать равными только те
фигуры, которые можно совместить отражением, то фигуры, не имею-
имеющие осей симметрии, оказались бы не равными самим себе.
Вторая аксиома будет выполнена, если
2'. Каждое преобразование из совокупности <f имеет обратное
преобразование, также принадлежащее совокупности <§.
Если, например, совокупность g содержит только преобразова-
преобразование, которое сопоставляет любой точке какую-нибудь одну точку
At, то любая фигура F будет равна точке At, а точка Л» может
быть равна только самой себе, н, следовательно, Aq Ф F, хотя
Рассмотрим третью аксиому. Пусть фигура F совмещается е G
преобразованием ( из совокупности % a G совмещается с И преоб-
преобразованием g также из $. Преобразование gof совмещает фигуры F
и Н. Поэтому третья аксиома означает, что
3'. Произведение любых двух преобразований из совокупности $
принадлежит к совокупности <§.
Определение. Совокупность преобразований <§ называется
группой преобразований, если она удовлетворяет приведенным выше
условиям 1', 2', 3'.
Из сказанного видно, что каждой группе преобразований плос-
плоскости соответствует некоторая клейнова геометрия на плоскости.
Приведем некоторые примеры групп преобразований. Доказанные
нами свойства ортогональных и аффинных преобразований позволяют
заметить, что совокупность всех ортогональных преобразований и
совокупность всех аффинных преобразований являются группами.
Читатель без труда поверит, что совокупность всех ортогональ-
ортогональных преобразований первого рода является группой, а также что
группу представляет собой совокупность всех преобразований по-
подобия.
4. Группы. Рассмотрим произвольное множество объектов любой
природы—чисел, точек, преобразований или чего угодно другого.
Мы говорим, что на этом множестве задана операция, если задан
закон, по которому любым двум элементам множества а и Ь сопос-
сопоставлен некоторый элемент с. Операцию чаще всего называют умноже-
умножением. В соответствии с этим элемент с называют произведением и
обозначают аЬ.
134

Мномевтво, на котором задана операция, называют врдппой, мая
операция удовлетворяет следующий условиям:
1. Умножение ассоциативно, т. е. а(Ьс) = (аЬ)в.
2. Существует мемеит е, называемый tdu/шчным, таков, что для
любого аяшеита а выполнены равенства
3. Для каждого алемента а сущеотвует элемент а, называемый
обратным, такой, что аа-1=*а~1аш*е.
В случае преобразований, как было оказано в § 1, маоцнатяв-
нооть обязательно имеет место. Поэтому группы преобразований яв-
являются группами в смысле этого определения.
Примерами групп могут служить также: множмтво целых чноел
а операцией сложения, множество не равных нулю вешеетаетген чи-
чисел о операцией умножения, множество мех векторов • операцией
вложения.
Множество целых чисел • операцией умножения не являетая
группой. Также не является группой множество векторов проотранот-
ва а операцией векторного умножения
Подробнее е темой настоящего параграфа можно познакомнтыя
по книгам [9], [5], [6].

ГЛАВА V
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
И МАТРИЦЫ
§ 1. Матрицы
1. Определение. Мы будем называть матрицей разме-
размеров т х п совокупность тп чисел, расположенных в виде
таблицы из т строк и п столбцов!
а\ а\ ... а\
О\ а% <¦• а„
а\ <г2 ... с
Числа, составляющие матрицу, мы будем называть эле-
элементами матрицы. Если число строк в матрице равно
числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число
строк—ее порядком. Остальные матрицы носят название
прямоугольных
Можно дать и такое определение матрицы.
Рассмотрим два множества целых чисел» /={1,2,..., т\
и J = {1,2, ..., п). Через I у. J обозначим множество
всех пар вида (i, /), где f—число из /, а /—из /. Мат-
Матрицей называется функция на множестве / х J, т. е.
закон, сопоставляющий каждой паре (I, /) некоторое
число а'.
Две матрицы мы будем называть равными, если они
имеют одинаковые размеры и равны их элементы, стоя-
стоящие на одинаковых местах.
Рассматривая произвольные матрицы, мы будем обо-
обозначать их элементы буквами о двумя индексами. Если
оба индекса расположены снизу, то первый из них обо-
обозначает номер строки, а второй—номер столбца; если
один из индексов расположен сверху, как в написанной
выше матрице, то этот индекс обозначает номер строки.
Не следует путать верхние индексы с показателями сте-
степени.
136

Часто удобно бывает рассматривать матрицу как со*
вокупность столбцов или как совокупность строк. Пусть
a]
«J
•Г
a —
t *
al
e|
'...
«Г
» • • t el» —
¦ • *
Тогда написанную вначале матрицу можно записать в
виде
Аналогично, если
то та же матрица записывается в виде
2. Сложение и умножение на число. Пусть А я В —
матрицы, состоящие из т строк и п столбцов. Мы можем
сопоставить им третью матрицу С тех же размеров тхп,
элементы которой равны еуммам стоящих на тех же ме-
местах элементов матриц А и В. Иными словами, элементы^
Сц матрицы С связаны о элементами а„ и bt/ матриц А
и В равенством
для всех !«1, .. .,т и /=1, .... п.
Определение. Матрица С, определяемая по А и
В формулой A), называется их суммой и обозначается
Подчеркнем, что сумма определена только для матриц
одних и тех же размеров.
Определение суммы матриц вполне соответствует оп-
определению суммы функций: складываются значения, со-
соответствующие одному н тому же элементу области оп-
определения—одной и той же паре (I, /).
Определение. Матрица С, элементы которой ct/
равны произведениям элементов alf матрицы А на число
а, называется произведением Л на а и обозначается а А.
Мы имеем
ct,-aatf B)
для всех ?=1, ..., т; /=1, .... п.
Из свойств сложения и умножения чисел легко выте-
вытекает следующее
13?

Предложение I. Для любых матриц А, В и С
едких и тех же размеров и любых чисел о«Р выполнены,
равенства
А + ВтВ+А, (А + В)+СтА+(В+С),
а(А+В)шаА+аВ, (a+fi) А-
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется
нулевой матрицей. Если О—нулевая матрица размеров
man, to для любой матрицы Л тех же размеров имеем
Матрицу (—1) А мы будем называть противополож-
противоположной матрице А и обозначать —А. Она обладает тем свой-
свойством, что
(— А)шО.
Сумма матриц В и — А называется разностью матриц
В я Д. Мы будем обозначать ее В— А.
3. Транспонирование матриц. Рассмотрим матрицу
из т строк и п столбцов. Ей можно сопоставить матрицу
? из л строк и т столбцов по следующему правилу. Эле-
Элементы каждой строки матрицы А записываются в том
же порядке в столбцы матрицы В, причем номер столбца
еовпадает с номером строки. Ясно, что при этом 1-я стро-
строка В состоит из тех же элементов в том же порядке, что
и t-Pi столбец А. Эту матрицу
В
••' "я
Т транспонированной по отношению к Л и обоз-
Лг. Переход от Л к Лг называется транспони-
называют
иачают
рованием.
Определение транспонированной матрицы можно запи-
записать в виде тп равенств
b/tsaat/>
138

связывающих элементы матриц А н В, для всех J=l, ...
..., т и } = 1, . •., п.
4. Столбцы и строки. Матрицу размеров 1хп, т. е.
состоящую из одной строки, мы будем называть строкой
длины п или просто строкой. Матрицу размеров mxl,
состоящую нз одного столбца, мы будем называть столб-
столбцом высоты т или просто столбцом. Сложение строк оп-
определено для строк одной длины, так же как сложение
столбцов—только для столбцов одной высоты. Для этих
двух видов матриц мы подробнее изучим сложение и ум-
умножение на число. При этом речь будет идти только
о столбцах, так как для строк все свойства формулиру-
формулируются и доказываются совершенно аналогично.
Столбцы и строки мы будем обозначать полужирными
буквами.
Определение. Столбец q назовем линейной комби-
комбинацией столбцов pit ...,pm одинаковой высоты, если при
некоторых числах ccf ат
или, в более подробной записи,
я1
я*
q«
i
Pi
ft'
ft1
•»#
Ph
• • •
Отметим, что в силу определений сложения и умноже-
умножения на число это равенство равносильно п числовым ра-
равенствам
+ ... +amplm.
<7" = «,/>?+
Выражение «линейная комбинация» мы употребляли по
отношению к векторам. Здесь имеет место не только фор-
формальное сходство определений. При выбранном базисе
векторам соответствуют строки их компонент (длины 3),
а линейной комбинации векторов—линейная комбинация
координатных строк. Мы продолжим аналогию между
векторами и строками и столбцами, определив понятие
линейной зависимости. Обозначим символом о столбец,
все элементы которого равны нулю, н введем следующее
139

Определение. Система из s столбцов а,, ...,а5
одной и той же высоты называется линейно независимой,
если из равенства
o C)
следует о^ = а, =» ... = а, = 0. В противном случае, т. е
если существуют s чисел at, ..., as, одновременно не
равных нулю и таких, что выполнено равенство C), си-
система аь ..., а, называется линейно зависимой.
Определения линейно зависимой и линейно независи-
независимой системы строк формулируются дословно так же.
Линейную комбинацию, все коэффициенты которой
равны нулю, принято называть тривиальной. С помощью
этого термина определение можно сформулировать так.
Система столбцов линейно зависима, если существует
равная нулю нетривиальная линейная комбинация этих
столбцов. Система столбцов линейно независима, если
только тривиальная линейная комбинация этих столбцов
равна нулю.
Пример. Столбцы
| |.-.| ^« =| о*
(в столбце et на t-м месте стоит 1, остальные элементы
равны нулю) являются линейно независимыми. Действи-
Действительно, равенство а^Ч-... +апе„=*о можно записать
в виде
1
Отсюда видно, что ох =
Укажем несколько свойств линейно зависимых систем
столбцов. Предложения 2, 3, 4 формулировались в гл. I
для векторов, и доказательства совпадали с приводимыми
ниже.
Предложение 2. Система из s> 1 столбцов линейно
зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из
столбцов есть линейная комбинация остальных.
В самом деле, пусть система линейно зависима. Сог-
Согласно определению выполнено равенство вида C), в кото-
котором хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Допу-
Допустим для определенности, что это ах. Тогда мы можем
140

переписать равенство в виде
Огеюда видно, что первый «голбец—линейная комбина-
комбинация остальных.
Наоборот, когда один из столбцов (для определенности
пусть это at) есть линейная комбинация остальных, имеет
место равенство вида aj = Pgas-J-... +P,a,. Если пере-
перенести все члены в одну часть равенства, то это соотно-
соотношение превратится в равенство нулю нетривиальной ли-
линейной комбинации столбцов аи . ., аг.
Из доказательства видно, что можно представить как
линейную комбинацию остальных столбцов каждый стол-
столбец, который входит в равную нулю линейную комбина-
комбинацию с коэффициентом, отличным от нуля.
Предложение 3. Если в систему входит, нулевой
столбец, то система линейно зависима.
Действительно, нулевой столбец представляет собой
тривиальную линейную комбинацию любых столбцов. Наше
утверждение сводится к предложению 2.
Предложение 4. Если некоторые из столбцов
аи ..., а, составляют сами по себе линейно зависимую
подсистему, то и вся система аи ..., а, линейно зависима.
Нам дано, что существует равная нулю нетривиальная
линейная комбинация некоторых из столбцов а,, ..., а,.
Если мы добавим к ней остальные столбцы с нулевыми
коэффициентами, то получим равную нулю нетривиальную
линейную комбинацию всех столбцов.
Предложение 5. Любые столбцы, входящие в ли-
линейно независимую систему, сами по себе образуют ли-
линейно независимую систему.
В самом деле, в противном случае мы пришли бы к
противоречию на основании предыдущего предложения.
Предложение 6. Если столбец а есть линейная
комбинация столбцов at, ...,at, то он является также
линейной комбинацией любой системы столбцов, содер-
содержащей аи .... as.
Для доказательства к данной линейной комбинации
достаточно добавить недостающие столбцы о нулевыми
коэффициентами.
Предложение 7. Любой столбец а высоты п ест»
линейная комбинация столбцов еи ..., еп, введенных фор-
формулой D).
141

Это видно из следующего равенства:
а*
1
0
0
0
1
0
»t*
0
...+О"
Коэффициентами линейной комбинации являются эле-
элементы столбца а.
§ 2. Детерминанты
В гл. I мы уже познакомились с детерминантами
квадратных матриц второго и третьего порядков. Задача
этого параграфа—определить и изучить детерминанты
квадратных матриц любых порядков. Для этой цели удобно
использовать символику, которую мы сейчас введем.
1. Символ 2- В математике часто приходится рас-
рассматривать суммы большого числа слагаемых, причем
все слагаемые имеют один и тот же вид и различаются
только индексами. Для таких сумм принято следующее
п
обозначение. Символ 2 • после которого стоит некото-
некоторое выражение, содержащее индекс к, обозначает сумму
таких выражений для всех значений индекса к от 1 до
п, например:
л л
S^^ о а
Индекс к называется индексом суммирования. Разумеется,
в качестве индекса суммирования может быть употреблена
и любая другая буква, т. е.
л я
*\р*-&р'-
Имеют место следующие правила обращения со зна-
знаком суммы 2> которые читатель без труда проверит.
Предложение 1. 1) Множитель, не зависящий от
индекса суммирования, может быть вынесен за знак
суммы:
2)
2
2
2
142

Последняя формула представляет собой частный слу
чай (т = 2) следующего утверждения.
Предложение 2. Два знака суммы могут быть
переставлены, т. е.
Действительно, выражения Pik, стоящие под знаком
двойной суммы, зависят от двух индексов и могут быть
выписаны в виде матрицы из т строк и п столбцов. И
правая и левая части доказываемого равенства представ-
представляют собой сумму всех элементов матрицы: справа сна-
сначала сложены элементы каждого столбца и потом взята
сумма всех полученных сумм, а слева сначала сложены
элементы каждой строки и затем сложены полученные
суммы.
Это предложение можно также получить, применяя
несколько раз правила 1), 2).
л л л
Двойную сумму 2 2 Рц, обозначают через 2 Л*»
(= 1 *= 1 Л *= 1
если оба индекса пробегают одинаковые значения 1, ...
..., п. Последовательным применением предложения 2
можно доказать, что многократная сумма
55
•• J/.v,.../,
не зависит от порядка, в котором расположены знаки
суммирования. Такую сумму обозначают
„.?./'• -v
если все индексы пробегают одни и те же значения.
Иногда нам будет требоваться записать сумму всех
слагаемых, кроме одного или двух. Если пропущено сла-
слагаемое с номером /, мы будем записывать эту сумму такт
2 Рь- Аналогично, если пропущены слагаемые с номе-
рами ( и /, мы пишем 2 Р/с
2. Определение детерминанта. Детерминанты1) опре-
определены только для квадратных матриц. Детерминант
квадратной матрицы—это число, которое ей сопоставлено
1) Детерминанты называются также определителями,
143

и может быть вычислено по ее элементам в соответствии
со следующим определением.
Определение. 1) Детерминантом матрицы по-
порядка I называется единственный элемент этой матрицы.
2) Детерминантом матрицы
порядка п> 1 называется число
л
A)
где М\—детерминант матрицы А\ порядка п—1, полу-
полученной из А вычеркиванием первой строки и &-го столбца.
Детерминант матрицы А обозначается det А или, если
нужно выписать элементы матрицы,—прямыми чертами
по бокам этой матрицы-!
«л! • • • ап
На первый взгляд определение детерминанта может
показаться неэффективным: детерминант матрицы поряд-
порядка п определяется через детерминанты матриц порядка
п—1, а эти детерминанты сами не определены. В дей-
действительности же в этом ничего плохого нет. Для опре-
определения чисел Ml мы можем воспользоваться той же фор-
формулой, поскольку она имеет место для матриц любого
порядка. Тем самым мы выразим det А через детерми-
детерминанты матриц порядка п—2. Можно продолжать этот
процесс, пока мы не придем к матрицам первого порядка,
а для них детерминант определен непосредственно.
Применим наше определение к матрицам порядка 2
и 3. Для матрицы
имеем М\е=аи, Щ*=*ал% и, следовательно,
Для матрицы
А.
144

очевидно,
*." Mi-
an ajS I* 3 I a»
Эти формулы совпадают с определением детерминантов
второго и третьего порядков, введенным в гл. I.
Вычислим в качестве примера детерминант матрицы
1 0 0 ОН
О 1 0...0
О 0 0 ... 1
Такая матрица называется единичной матрицей. Для нее
Mi = det?n_i, где En_t—такая же матрица на единицу
меньшего порядка, и aIft»=0, если k Ф 1. Поэтому det?,,=
= det?n_f. Применяя это равенство п—1 раз, мы полу-
получим det?B = det?i = l.
Число Mi называется дополнительным минором эле-
элемента aik. По аналогии мы можем определить дополни-
дополнительный минор произвольного элемента alf как детерми-
детерминант матрицы А), получаемой из исходной матрицы А
вычеркиванием той строки и того столбца, в которых
расположен элемент at), т. е. 1-й строки и /-го столбца.
Дополнительный минор элемента atf обозначим Л1/. Часто
говорят о строках и столбцах минора, имея в виду строки
и столбцы матрицы А). Мы будем пользоваться этой
вольностью, так как к ошибке она привести не может.
3. Свойства детерминантов. Методом полной индукции
докажем
Предложение 3. Для каждой матрицы А поряд-
порядка п имеет место формула
det4 = 2 (— 1)'+1ааМ[. B)
Эта формула называется разложением детерминанта
по первому столбцу.
Доказательство. Очевидно, что для матриц вто-
второго порядка формула справедлива. Допустим, что наше
утверждение имеет место для матриц порядка п—1, и
докажем его для матриц порядка п. Для этого перепи-
перепишем формулу A), определяющую детерминант матрицы
145

порядка я, выделив первый член суммы:
При любом k ^ 2 в матрицу Л? входит (без своего
первого элемента) первый столбец матрицы А. Пользуясь
предположением индукции, мы можем разложить Mi по
этому столбцу. Надо только учесть, что i-я строка мат-
матрицы А в матрицу А\ входит под номером i—1, так как
в А\ не вошла первая строка матрицы А. Поэтому при
k>2
1 = 2
Здесь М\[—детерминант матрицы порядка п—2, полу-
получаемой из А\ вычеркиванием ее (i—1)-й строки и 1-го
столбца или, что то же самое, получаемая из А вычер-
вычеркиванием 1-Й и 1-й строк и 1-го и ?-го столбцов.
Подставляя полученное выражение для М\, находим
det A=aitM\+ S {(_l)*«Olft 2 (-
к2 V 1 1
к=2
Внесем множитель, не зависящий от i, под внутренний
знак суммы:
det А =вйМ1 + S Д
Изменим порядок суммирования и вынесем множитель, не
зависящий от k, за внутренний знак суммы!
det А=айМ\+Д (-1)'+1 aa J] (-1)*д«МЦ. C)
Нетрудно заметить, что внутренняя сумма представляет
собой результат применения определения детерминанта
к минору М[. Действительно,
мг= 2 (-1)*ОйМй,
4=2
так как в матрице А[, детерминантом которой он явля-
является, по сравнению с А пропущен первый столбец и все
номера столбцов уменьшены на 1. Теперь мы можем
146

написать C) в виде
л
det A=anM\+ 2 (-
tat
'!»
что совпадает с доказываемым равенством B).
Предложение 4. Для любой квадратной матрицы
det Д = det Лг.
Докажем это предложение по индукции. Для матриц
порядка 1 оно очевидно. Предположив, что предложение
верно для матриц порядка п—1, докажем его для матриц
порядка п. Пусть А)—матрица, получаемая из Л вычер-
вычеркиванием первой строки и /-го столбца, а В[—матрица,
получаемая из АТ вычеркиванием /-й строки и первого
столбца. Легко видеть, что ??{ «= Ау. Поэтому из предпо-
предположения индукции следует, что det B[ = det А), или, сло-
словами, дополнительный минор элемента а^ в матрице А
равен дополнительному минору элемента Ьд в матрице Ат.
Кроме того, ^ = Ьд, и разложение det Л по первой стро-
строке совпадает с разложением det AT по первому столбцу.
Из предложения 4 следует равноправность строк и
столбцов. Именно, если справедливо какое-либо утверж-
утверждение о детерминантах, касающееся строк соответствую-
соответствующих матриц, то верно и аналогичное утверждение, касаю-
касающееся столбцов, и обратно. В силу этого обстоятельства
следующие ниже предложения достаточно доказать только
для строк.
Предложение 5. Если в квадратной матрице
поменять местами какие-нибудь две строки (или два
столбца), то детерминант матрицы изменит знак, не
изменившись по абсолютной величине.
Докажем это утверждение для двух соседних строк
методом полной индукции. Для матриц второго порядка
оно проверяется непосредственно. Предположим, что ут-
утверждение верно для матриц порядка п—1, и докажем
его для матриц порядка п.
Пусть номера переставляемых строк k и /г+1. Напи-
Напишем разложение детерминанта по первому столбцу, выде-
выделив в нем два слагаемых, соответствующих переставляе-
переставляемым строкам:
det А - (-1)*+* акМ+(-1)*+* e4+f. ,Af *« +
+ 2 ()
Аналогично для матрицы В, которая получается из А
147

перестановкой ft-й и (*-H)«fr строк!
2 Ы
**1
При t=?k, *4*1 в М{ и ЛГ{ входят *-я и
строки, но в разном порядке, а остальные их строки
одинаковы. Следовательно, по предположению индукции
#{=*—М{ при l*?k, k+\.
Матрицы, детерминанты которых обозначены Щ и #?+',
совпадают! оии получаются вычеркиванием (Л -+- 1)-й стро-
строки из матрицы В или, что то же самое, k-Ъ строки мат-
матрицы А. Поэтому М?в=#,*+1. Аналогично, М?+1 = ЛГ}.
Теперь, сравнивая det А и det В, мы видим, что они
равны по абсолютной величине и отличаются знаком.
Пусть теперь в матрице А порядка я переставляются
строки о номерами f и /, и пусть для определенности
i < /. Тогда между l-Ъ и /-й строками находится /—I—1
строк. Перестановку t-Ъ if /-й строк можно осуществить,
переставляя только соседние строки! сначала /-ю строку
переставляем последовательно с /—I строками, стоящими
над ней (последней из них будет i-я); затем f-ю строку
переставляем на /-е место, меняя местами с каждой из
/—1—1 строк ниже нее. Всего будет проделано нечет-
нечетное число 2(/—i)—1 перестановок соседних строк. По-
Поскольку при каждой из них детерминант меняет знак,
при перестановке 1-й и /-й строк он тоже должен изме-
изменить внак.
Свойство, выражаемое предложением 5, называется
антисимметрией детерминанта по строкам (столбцам).
Используя свойство антисимметрии по строкам и столб-
столбцам, мы можем доказать разложения детерминанта по
любой строке и любому столбцу.
Теорема 1. Для каждой матрицы А порядка п
при произвольном I (I <f<n) имеет место формула
f D)
и при произвольном /A<7<п)—формула
det А - 2 (—ly+'awAf*. (б)
Ы1
Заметим, что при ?*-1 формула D) есть определение
детерминанта, а при /=1 формула E) совпадает о дока-
148

занным в предложении 3 разложением по первому столбцу.
Докажем формулу D) при »^2. Для этого переставим
»'-ю строку матрицы на первое место так, чтобы не нару-
нарушить порядок остальных строк. Нужная нам переста-
перестановка будет осуществлена, если мы переставим f'-ю строку
последовательно со всеми строками, расположенными-
выше нее. Выше t'-й находится i—1 строка. Поэтому,
если В—матрица, полученная после перестановки, то
det /1 = (—l)'~xdetB. Разложив detfl по первой строке
A-й строке матрицы А), мы получим
det А = {— 1)'-* 2 (—iy^atkNL
Щ—детерминант матрицы, получаемой из В вычеркива-
вычеркиванием первой строки и k-vo столбца или, что то же самое,
из матрицы А вычеркиванием t-й строки и fe-ro столбца.
Поэтому Щ = М1к, что и доказывает нужное разложение.
Формулу E) можно получить таким же путем из раз-
разложения по первому столбцу.
Предложений 6. Если i-й столбец {строка) мат-
матрицы А есть линейная комбинация столбцов {строк) р
и q, т. е. имеет вид ар+fig, то
det A = a det Ар + р det Aq,
где матрицы Ар и А9 получаются из А заменой i-го
столбца {строки) соответственно на р и на д.
Для доказательства достаточно обратить внимание на
то, что в силу определения операций со столбцами мы
имеем для всех k A<I6<;«) равенства aki = apk-\-§qh,
где через р* и qk обозначены элементы столбцов р и q.
Подставляя эти равенства в разложение det Л по t'-му
столбцу, мы получаем
det А ш. 2 (—1)*+Ч/М? =
k=i
«а 2 (-1)*+'/7*М? + Р 2 (-1)*
*i k
что и заканчивает доказательство.
Свойство, выраженное этим предложением, носит на-
название линейности детерминанта по столбцу (строке).
Разумеется, det Л можно представить аналогичным обра-
образом и тогда, когда столбец матрицы А есть линейная
комбинация «(/>,+ • • • +a,Ps-
149

Иногда линейность детерминанта по столбцу форму-
формулируют в виде двух отдельных свойств]
1) При умножении столбца матрицы на число ее де-
детерминант умножается на это число.
2) Если столбец матрицы есть сумма двух столбцов,
то ее детерминант есть сумма детерминантов соответ-
соответствующих матриц.
Предложение 7. Если в матрице А столбцы (или
строки) линейно зависимы, то det Л = 0.
Отметим, что если матрица содержит нулевой столбец
(или строку), то ее детерминант равен нулю. Это следует
из разложения по столбцу (строке). Допустим теперь, что в
матрице нет нулевого столбца.
Согласно предложению 2 § 1 доказываемое утвержде-
утверждение имеет и такую формулировку! если один из столбцов
(одна из строк) матрицы А есть линейная комбинация
остальных столбцов (строк), то det Л = 0. Эту последнюю
формулировку мы и докажем. Начнем с частного случая.
Если в А есть два одинаковых столбца, то, переставив
их, мы не изменим матрицу, а изменим знак у детерми-
детерминанта. Следовательно, det Л = 0.
В общем случае пусть /-й столбец at есть линейная
комбинация остальных столбцов: а, => 2 «*<**• (Некоторые
коэффициенты ak могут равняться нулю, т. е. не все
столбцы должны фактически входить в эту линейную ком-
комбинацию.) Применяя свойство линейности по столбцам,
имеем det Л «= 2 aft det Лл, где Ак—матрица, получаемая
из А заменой /-го столбца на &-й. В этой матрице стол-
столбец ак повторяется дважды; поэтому det Ак = 0, что за-
завершает доказательство.
4. Элементарные преобразования. Вычисление детер-
детерминантов, В связи с задачей вычисления детерминанта
мы введем и в первый раз применим важное понятие —
элементарные преобразования матрицы.
Определение. Мы назовем элементарными пре-
преобразованиями матрицы следующие преобразования:
1) умножение строки яа число, отличное от нуля;
2) прибавление к одной строке другой строки;
3) перестановку строк;
4) те же преобразования столбцов.
Комбинируя элементарные преобразования первого и
второго вида, мы можем к любой строке прибавить линей-
линейную комбинацию остальных строк.
150

Предложение 8. Детерминант матрицы не изме-
изменится, если к какой-либо его строке (столбцу) прибавить
линейную комбинацию остальных строк (столбцов).
Для доказательства нужно применить свойство линей-
линейности по строкам и учесть обращение в нуль детерми-
детерминанта в линейно зависимыми строками.
Детерминант матрицы А можно вычислить так. Если
все элементы ее первого столбца—нули, то detA«=sO.
Если же в первом столбце есть ненулевые элементы, то
берем любой из них (например, максимальный по абсо-
абсолютной величине). Пусть это akt. В каждой строке, кроме
Л-й, мы прибавим k-ю строку, умноженную на —ап/ак1,
где йц—первый элемент преобразуемой строки. В резуль-
результате все элементы, кроме одного, в первом столбце пре-
преобразованной матрицы будут равны нулю, и нам удобно
будет разложить ее детерминант по первому столбцу.
Мы получаем
det Л««(— l)**laktuetA'.
Здесь det Л'—дополнительный минор элемента aki в пре-
преобразованной матрице. Для вычисления det А' мы приме-
применяем тот же способ. Через п—1 шагов (если не раньше)
детерминант будет найден.
Описанный здесь способ хорош тем, что по сравнению
о другими требует меньшего числа арифметических опе-
операций. Для нахождения детерминантов небольших матриц,
элементы которых—целые числа или обозначены буквами,
этот способ лучше сочетать с разными искусственными
приемами.
5. Миноры произвольного порядка. Рассмотрим неко-
некоторую, не обязательно квадратную матрицу А. Выберем
какие-нибудь s номеров строк it, ..., is и s номеров
столбцов /f, ..., /,, причем будем предполагать, что эти
номера расположены в порядке возрастания: it < it <...
Определение. Минором порядка s матрицы А
называется детерминант матрицы порядка s, образованной
элементами, расположенными на пересечении выбранных
строк и столбцов, т. е. число
¦й < -Л
¦Й «Й --fc
1S1

Каждая матрица имеет столько миноров данного по-
порядка s, сколькими способами можно выбрать номера
t1( ...,/, и /х, ..., /,. Нам удобно будет говорить, что
минор L/J /* расположен в строках с номерами i± is
и столбцах с номерами /lf .... j3.
Если матрица А квадратная, то каждому минору
L)\, )ss порядка s мы можем сопоставить дополнительный
минор М]\ /*. Это по определению есть детерминант мат-
матрицы порядка п—s, получаемой из А вычеркиванием
строк с номерами ilt ..., i3 и столбцов с номерами jlt ...
.... /,, т. е. тех, в которых расположен минор Ц\''f •
Алгебраическим дополнением минора мы назовем ёгб
дополнительный минор, умноженный на
Имеет место следующее предложение, известное под
названием теоремы Лапласа.
Предложение 9. Выберем S строк матрицы с номе-
номерами <!, ..., i3 и составим произведения всех миноров,
расположенных в выбранных строках, на их алгебраиче-
алгебраические дополнения. Детерминант рассматриваемой матрицы
равен сумме всех составленных произведений.
Аналогичное утверждение имеет место и для столбцов.
Доказательство этого предложения мы не приводим
и в дальнейшем не будем на него ссылаться. Заметим
только, что разложение детерминанта по строке пред-
представляет собой частный случай предложения 9 для s = l.
6. Формула полного разложения детерминанта по але>-
ментам матрицы. Мы будем называть перестановкой чисел
1 п эти числа, написанные в каком-либо определенном
порядке. Например, из чисел 1,2 можно образовать две пере-
перестановки: 1, 2 и 2, 1. Произвольную перестановку чисел
1 я мы обозначим iu ..., („.
Будем говорить, что число ik виновно в нарушении
порядка в перестановке iu ..., in, если оно стоит левее
меньшего числа. Например, при п = 4 в перестановке 2,
4, 3, 1 числа 2 и 3 виновны каждое в одном нарушении
порядка, число 4—в двух. Итак, общее число нарушений
порядка в этой перестановке равно четырем. Число нару-
нарушений порядка в перестановке ilt .. •, in мы обозначим
N(iu .... »и).
Перестановка iu ..., in называется четной, если
N(i-i, ..., in)—число четное, и нечетной в противном
случае.
152

Докажем формулу полного разложения
=г. ?, (—!)"<'••• •'»>вх.л/, ••• ап1п. F)
\Ч 1П)
Сумма в правой части равенства берется по перестанов-
перестановкам. Это означает, что каждой перестановке чисел 1, ...
..., п соответствует слагаемое. Слагаемое, соответствую-
соответствующее перестановке i\, ..., in, составляют так: берут эле-
элемент из первой*строки и i,-ro столбца, элемент из второй
строки и 1,-го столбца и т. д. и перемножают их. В ре-
результате в произведение входит по одному и только
одному элементу из каждой строки и каждого столбца.
Произведения складываются со знаками, определяемыми
четностями соответствующих перестановок.
Доказательство. Формулу F) мы докажем мето-
методом полной индукции. Пусть п — 2 и дана матрица
Двум перестановкам A, 2) и B, 1) соответствуют два
слагаемых (—l^c-^aj^j и (—ЦЩ2> х) Оцпц. Их сумма
равна altatt—аиап, т. е. как раз детерминанту данной
матрицы.
Допустим, что формула верна для матриц порядка
п—1, и докажем ее для произвольной матрицы А по-
порядка п. Детерминант определяется формулой A). В k-e
слагаемое этой формулы входит множитель М\. По пред-
предположению индукции
M* = det^= 2 (-1)" <'«••••'—> a%h...anin_1,
(U ¦ in-i)
здесь все номера it in_, отличны от к, а первые
индексы у сомножителей равны 2 п, так как, сохра-
сохраняя старые обозначения для элементов матрицы А, мы
должны учесть, что в матрицу А\ не входят первая
строка и Л-й столбец.
Теперь в k-ы слагаемом в формуле A) можно внести
множитель (—1)*+1 а1к под знак суммы и записать это
слагаемое так:
2 (-
Числа k, ilt ..., in_x составляют перестановку чисел
1, ..., п, причем N(k, iu .... in^i) = N(i1, .... tn_i) +
+ k—1, так как правее к стоит ровно k—1 чисел, мень-
153

ших k. Следовательно, N(kt lt, .... fn_T) имеет ту же
четность, что NAг> ..., fn_i)-M-b 1. и мы имеем
В правой части этого выражения собраны все те члены
из суммы F), которые соответствуют перестановкам, имею-
имеющим k на первом месте. В сумму A) входят слагаемые
для любого Л, и потому сумма A) содержит все члены
суммы F) и, конечно, не содержит никаких других чле-
членов. Формула F) доказана.
§ 3< Системы линейных уравнении
(специальный случай)
U Постановка задачи. Систему уравнений вида
а]х1 +а\хг + ... Л-а\хп=*Ь\
а\х1 + а\х* + ... -Ь а\х» = Ь\
мы 'будем 'называть системой т линейных уравнений с п
неизвестными х*, ..., х). Коэффициенты этих уравне-
уравнений мы будем записывать в виде матрицы
I/.1 Л1 /.' П
Hi 41 и» Ail
называемой матрицей системы. Числа, стоящие в правых
частях уравнений, образуют столбец Ь, называемый столб-
столбцом свободных членов.
Матрица системы, дополненная справа столбцом сво-
свободных членов, называется расширенной матрицей си-
системы и в этой главе обозначается А*\
1
а? а? ... cffb
Если свободные члены всех уравнений равны нулю,
система называется однородной.
Определение. Совокупность п чисел а1, ..., а"
называется решением системы A), если каждое уравнение
г) Индексы, различающие неизвестные, мы пишем вверху; так
как в дальнейшем нам будет удобно записывать совокупность не-
неизвестных в виде столбца.
154

системы обращается в числовое равенство после подста-
подстановки в него чисел ос' вместо соответствующих неизвест-
неизвестных х{ для всех 1=1, ..., п.
Наша задача состоит в нахождении решений системы
A), причем мы не делаем заранее никаких предположе-
предположений относительно коэффициентов и свободных членов си-
системы и даже относительно числа уравнений и числа не-
неизвестных. Поэтому могут представиться различные воз-
возможности. Система может вообще не иметь решения, как
система
(если бы решение существовало, то х1 + х* равнялось бы
одновременно и нулю и единице). Система может иметь
бесконечное множество решений, как система (я = 2,
т=1)
Решением этой системы является любая пара чисел, от-
отличающихся знаком и равных по абсолютной величине.
Примеры систем, имеющих одно-единственное решение,
в изобилии встречаются в школьном курсе алгебры.
Системы, не имеющие решений, мы будем называть
несовместными, а имеющие решения—совместными.
2. Правило Крамера. Сейчас мы рассмотрим простей-
простейший случай, когда число уравнений равно числу неиз-
неизвестных, п = т. Кроме того, мы наложим определенные
условия и на коэффициенты системы. Если этого не сде-
сделать, нам придется изучать здесь, например, и систему,
состоящую нз одного уравнения, повторенного п раз. Мы
хотим, чтобы все уравнения системы были в определен-
определенном смысле независимы. Уже в школьном курсе широко
применялся следующий прием: умножали первое урав-
уравнение на число й, второе уравнение—на число р\ а за-
затем складывали эти уравнения почленно. Полученное
уравнение (его естественно назвать линейной комбина-
комбинацией исходных уравнений) является их следствием. Мы
хотим, чтобы в нашей системе нн одно уравнение не яв-
являлось линейной комбинацией остальных. Если это вы-
выполнено, мы будем говорить, что уравнения линейно не-
независимы.
В случае т*=п для линейной независимости уравне-
уравнений системы достаточно потребовать, чтобы детерминант
матрицы системы был отличен от нуля. (Поскольку т =
155

чя п и > матрица квадратная, ¦ имеет смысл- говорить о ее
детерминанте.) Действительно* заметим, что при умноже-
умножении какого-нибудь уравнения на .число соответствующая
строка матрицы системы умножается на это число. При
сложении уравнений строки матрицы складываются. По-
Поэтому, если одно из уравнений является линейной ком-
комбинацией остальных, соответствующая строка матрицы
системы есть линейная комбинация остальных строк. Из
предложения 7 § 2 следует, что при этом детерминант
матрицы равен нулю.
Теорема 1 (правило Крамера). Система из п
уравнений, с п неизвестными
B)
в случае, когда детерминант матрицы системы отличен
от нуля, имеет решение, и притом только одно. Это реше-
решение находится по формулам
*-¦?
(для всех /= 1,
п),
C)
где через Д обозначен детерминант матрицы системы, а
через Д'—детерминант матрицы, получаемой из матрицы
системы заменой i-го столбца столбцом свободных чле-
членов, т. е.
... a\-i b1 a}+i ,,. i
Д'.
а" ... о?-1
Для доказательства возьмем расширенную матрицу
системы А* и припишем к ней сверху произвольную ее
строку. Пусть номер этой строки /. В результате полу-
получается квадратная матрица А порядка л-f-l. В этой мат-
матрице две одинаковые строки, и потому
а{ ... akb
det
о? ...
=0.
С другой стороны, мы можем вычислить det Я по опре-
определению. Итак,
—l)»+i+* det AV ** 0.
156

Здесь через Mt обозначен детерминант матрицы, получае-
получаемой из расширенной матрицы А* вычеркиванием 1-го
столбца. Следовательно, учитывая, что A«-det Л>уьО, мн
можем написать
Если внести множитель под знак еуммы, это равенство
примет вид
где
Так определенный набор чисел х1, ..., #", как мы видим,
удовлетворяет /-му уравнению системы. Существенно, что
числа х1, ..., хя не зависят от / и потому удовлетворяют
всем уравнениям системы, т. е. являются ее решением.
Существование решения доказано/
Мы приведем х< к нужному виду, если переставим
в Д последний столбец Ь на f-e место, т. е, поменяем его
местами последовательно со столбцами о номерами я,
п— 1, ..., f +1. Всего нужно п—I перестановок. Поэтому
(_ \)n+t —!)»-< д/ д<
Это и есть требуемый вид для х*.
.Нам осталось доказать единственность полученного
решения. Сделаем это от противного. Пусть нашлось два
решения системы!
а\ .... а* и 0», .... Э". D)
Пользуясь операциями ео столбцами, мы можем вапи-
сать систему A) в виде (см. в. 139)
... Ч-.-К
1
нли, короче, х^+... +л;"а„ ¦» ft, где ait..., ап—столбцы
матрицы системы, Ъ—столбец свободных членов. Такая
запись системы очень удобна, и мы будем часто ею поль-
пользоваться.
157

Результат подстановки решений D) в систему имеет
вид
Вычитая почленно второе равенство нз первого, мы по-
получаем
(a»—P1) at +... + (a»—p») dn - о.
Если решения не совпадают, то хоть одна из разностей
а'—р* отлична от нуля. Это означает, что столбцы а*, ...
..., а„ линейно зависимы. В силу предложения 7 § 2
это противоречит тому, что det А фО. Теорема до-
доказана.
Стоит заметить, что в доказательстве единственности
мы вначале не использовали совпадение числа уравнений
и числа неизвестных и, по существу, доказали более об-
общее утверждение] если столбцы матрицы системы ли-
иейно независимы, то система не может иметь двух раз-
различных решений.
3. Пример. В качестве применения правила Крамера
получим условие, при котором три плоскости пересекаются
в одной точке. В общей декартовой системе координат
плоскости могут быть заданы уравнениями
F)
Координаты точки пересечения должны-удовлетворять
одновременно всем трем уравнениям, т. е. быть решением
системы (в). Мы видим, что при условии
At в? ct
A, Bt ct
At в, c,
существует единственная точка пересечения. Это условие
мы получили в § 3 гл. II! Из правила Крамера следует
только достаточность условия, поскольку оно само по себе
является достаточным условием существования решения
и его единственности.
Еще одна геометрическая интерпретация правила
Крамера для систем ив трех уравнений была приведена
в п. 6 § 3 гл. I. Из нее вытекало не только условие един-
единственности решения, но и формулы для нахождения этого
решения.
168

Для исследования произвольной системы Линейных
уравнений нам потребуется изучить свойства прямоуголь-
прямоугольных матриц. Им и отведен следующий параграф.
§ 4. Ранг матрицы
1. Базисный минор. Определение минора порядка г мат-
матрицы А было дано на с. 151. Введем теперь следующее
Определение. В матрице А размеров тхп минор
порядка г называется базисным, если он отличен от нуля,
а все миноры порядка г +1 равны нулю или миноров
порядка г +1 вообще нет, т. е. г совпадает с меньшим из
чисел т или п.
Ясно, что в матрице может быть несколько разных
базисных миноров. Все базисные миноры имеют один и
тот же порядок. Действительно, если все мнноры порядка
г +1 равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка
г + 2, а следовательно, и всех больших порядков. Это
становится очевидным, если применить определение детер-
детерминанта к какому-нибудь минору порядка r-f-2; все до-
дополнительные миноры элементов его первой строки явля-
являются минорами порядка г-М нашей матрицы и, следова-
следовательно, равны нулю.
Столбцы и строки, на пересечении которых располо-
расположен базисный минор, мы назовем базисными столбцами
н строками.
Определение. Рангом матрицы называется поря-
порядок базисного минора, или, иначе, самый большой поря-
порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры.
Если каждый элемент матрицы равен нулю, то ранг такой
матрицы, по определению, считают нулем.
Ранг матрицы А мы будем обозначать RgA.
Перебирать все миноры в поисках базисного—задача,
связанная с большими вычислениями, если размеры мат-
матрицы не очень малы. Проще всего находить ранг матрицы
и ее базисный минор при помощи элементарных преобра-
преобразований.
Предложение 1. Элементарные преобразования не
меняют ранга матрицы.
Доказательство. 1°. При умножении строки на
число кфО базисный минор либо не изменится, либо ум-
умножится на Я. Ни один минор. равный нулю, не вделается
отличным от нуля.
2°. Если все миноры порядка г +1 равны нулю, то
сложение строк не сделает ни один из них отличным от
159

нуля. Действительно, полученный после преобразования
Мйнор либо равен алгебраической сумме двух Миноров
порядка г -J-1 исходной матрицы (в том случае, когда
к строке, входящей в минор, прибавили строку, в него не
входящую), либо он равен сумме минора порядка г -f-1
и детерминанта матрицы с двумя одинаковыми строками
(в том случае, когда к строке, входящей в минор, приба-
прибавили другую строку, в него входящую). Из этих сообра-
соображений следует, что ранг матрицы не может повыситься.
Ясно, что он не может и понизиться, так как в противном
случе при обратном преобразовании—вычитании строк —
он бы повысился.
3". При перестановке строк минор может изменить
знак (если в него входят обе переставляемые строки),
или может замениться на минор, не больше чем знаком
отличающийвя от другого минора той же матрицы (если
содержит только одну из переставляемых строк), или во-
вообще не изменится. Ясно, что при этом порядок базисного
минора останется тем же.
4 . Неизменность ранга при элементарных преобразо-
преобразованиях столбцов доказывается аналогично.
Элементарные преобразования строк матрицы будут
для нас предпочтительнее ввиду их тесной связи с преоб-
преобразованиями систем линейных уравнений. Для системы
из т уравнений с п неизвестными
alixl+...+alnxn =Ьи\
A)
Ь)
расширенная матрица имеет вид
\ati ,,, aln
Перестановке етрок этой матрицы соответствует изме-
изменение порядка уравнений в системе. Умножение отроки
на число %ФЪ равносильно умножению соответствующего
уравнения на это число. Наконец, прибавить в матрице А*
к одной строке другую—то же самое, что вложить соот-
соответствующие уравнения оивтемы. При всех этих преобра-
преобразованиях множество решений система, разумеется, не
меняется. Итак, доказано
Предложение 2. Элементарным преобразованиям
строк расширенной матрицы соответствуют преобразова-
преобразовала

ния системы линейных уравнений в эквивалентную си-
стему.
Покажем теперь, как находить базисный минор мат-
матрицы при помощи элементарных преобразований.
2. Приведение матрицы к упрощенному виду. Пусть
дана матрица А размеров тхп. Несколько первых ее
столбцов могут оказаться состоящими из нулей. Пусть
It—номер первого столбца, содержащего ненулевые эле-
элементы. Если такого столбца не нашлось, ранг матрицы —
нуль, а базисного минора нет.
Пусть a,i/t—ненулевой элемент /гго столбца. Пере-
Переставим ff-ю строку на первое место и разделим ее на atjt.
Обозначим элементы преобразованной матрицы через а'A.
Мы имеем a'lly = 1. Элементарными преобразованиями строк
обратим в нуль все остальные элементы jt-ro столбца. Для
этого надо из каждой строки с (новым) номером k Ф1
вычесть первую строку, умноженную на a'klt.
После этого преобразования наша матрица примет вид
|0 ... О 1
. о ... о о
|о ... о о
Здесь Ut—матрица размеров тх(п—ft).
Может оказаться, что последние т—1 строк матрицы
Л,—нулевые. Тогда преобразования закончены. В про-
противном случае пусть /",—номер самого левого столбца,
содержащего ненулевой элемент в одной из последних т— 1
строк. Переставим строки так, чтобы строка с этим
ненулевым элементом стала' второй, и разделим ее йа этот
элемент.
Обозначим элементы преобразованной матрицы через а"ц.
Тогда а,,, = 1
Элементарными преобразованиями строк обратим в нуль
все остальные элементы /,-го столбца. Для этого из каж-
каждой строки с номером k Ф 2 надо вычесть вторую строку,
умноженную на а\1%. При этом первые ]t столбцов мат-
матрицы At не изменятся, так как вторая строка в этих
столбцах имеет нули. Матрица примет вид
10 ... О 1 [^
О ... 0 0 0 ... 0 1
о ... о о о ... 6 о
6-102 161

Здесь I/,—матрица размеров mx(n—/i—/»); звездочками
обозначены элементы, о которых мы ничего не можем
сказать.
Еели в последних т—2 строках есть ненулевые але*
менты, то мы проделываем такое же преобразование, пре-
превращая столбец с номером /, в столбец, состоящий из
нулей, за исключением единицы на третьем месте. Левее
этого столбца в последних т—2 строках—только нулевые
элементы, поэтому ранее преобразованные столбцы не изме-
изменятся.
Мы можем продолжать такие преобразования до тех
пор, пока не окажется, что последние от—г строк очеред-
очередной матрицы Л, состоят из нулей, или не будут исчерпаны
все строки.
Итак, мы получили следующее
Предложение 3. При помощи элементарных пре-
преобразований строк каждую матрицу размеров тхп можно
привести к следующему виду: некоторые г столбцов сов-
совпадают с первыми г столбцами единичной матрицы по-
порядка т. Если г <т, то последние т—г строк состоят
из нулей.
Вид матрицы, описанный в этом предложении, назовем
упрощенным видом. Матрицы такого вида коротко назовем
упрощенными.
Рассмотрим упрощенную матрицу. Ее минор, располо-
расположенный в первых г строках и столбцах jlt ..., jr, равен
единице. Ненулевых миноров большего порядка, очевидно,
нет. Следовательно, минор—базисный, а ранг упрощенной
матрицы равен г.
Если мы привели матрицу Л к упрощенному виду и
получили упрощенную матрицу ранга г, это означает, что
ранг исходной матрицы А также был равен г. В самом
деле, ранг не мог измениться при элементарных преобра-
преобразованиях. За базисный минор матрицы Л можно принять
минор, расположенный в столбцах с номерами jir ..., jr
и строках, которые после перестановок попали на места
1, ..., г в упрощенной матрице. Это видно из того, что
преобразуя матрицу, мы не прибавляли к строкам этого
минора никаких строк, которые в него не входят. По-
Поскольку полученный минор ненулевой, исходный тоже не
равен нулю.
Обратим внимание на то, что в предложении 3 упро-
упрощенный вид матрицы достигается за счет преобразований
строк. Это важно ввиду связи, отмеченной в предложе-
162

нии 2. Метод, примененный при доказательстве, называется
методом Гаусса.
Рассмотрим квадратную матрицу с детерминантом, от-
отличным от нуля. У нее все столбцы—базисные, и, следо-
следовательно, ее упрощенный вид—единичная матрица. Отсюда
вытекает
Следствие. Каждую квадратную матрицу с нену-
ненулевым детерминантом при помощи элементарных преоб-
преобразований строк можно превратить в единичную матрицу.
Поиск базисного минора при доказательстве предложе-
предложения 3 приводит нас к самому левому набору столбцов,
в котором существует базисный минор. Для упрощенного
вида матрицы это не существенно. Имеет место
Предложение 4. Пусть А—матрица размеров
тхп. Каков бы ни был базисный минор этой, матрицы,
при помощи элементарных преобразований строк А мы
можем превратить базисные столбцы в столбцы единич-
единичной матрицы. Если Rg Л = r<m, то последние т—г
строк будут нулевыми.
Доказательство. Пусть базисный минор распо-
расположен в строках lit .... ir и столбцах /„ ..., /,. Переста-
Переставим базисные столбцы на первые г мест и будем дейст-
действовать так же, как при доказательстве предложения 3,
с той разницей, что ненулевой элемент в очередном
столбце берется не произвольно, а из строк с номерами
ilf ..., ir. Такой элемент обязательно найдется, так как
в противном случае оказалось бы, что мы обратили в нуль
базисный минор элементарными операциями только с его
строками. После окончания преобразований надо вернуть
столбцы на прежние места. Впрочем, можно и не трогать
столбцов, а немного видоизменить метод приведения мат-
матрицы.
3. Теорема о базисном миноре. Дальнейшее изложение
существенно опирается на следующее утверждение, назы-
называемое теоремой о базисном миноре.
Теорема 1. В произвольной матрице каждый стол-
столбец является линейной комбинацией базисных столбцов,
а каждая строка—линейной комбинацией базисных строк.
Для доказательства второго утверждения теоремы
вспомним, какими элементарными преобразованиями мы
приводили матрицу к упрощенному виду при доказатель-
доказательстве предложения 4. Помимо перестановок строк и умно-
умножения базисных строк на числа, мы прибавляли к какой-
либо строке матрицы одну из ее базисных строк, умно-
умноженную на число. При этом базисные строки заменяются
6* 163

на линейные комбинации базисных строк, а к небазисным
прибавляются линейные комбинации базисных. В упро-
упрощенной матрице небазисные строки—-нулевые. Значит, мы
прибавили к каждой небазисной строке исходной матрицы
такую линейную комбинацию ее базисных строк, что по-
получилась нулевая строка. Отсюда непосредственно выте-
вытекает доказываемое.
Первая часть теоремы будет доказана, если мы при-
применим уже доказанное утверждение о строках к транспо-
транспонированной матрице, заметив предварительно, что после
транспонирования базисный минор остается базисным.
В предложении 7 § 2 утверждалось, что детерминант
матрицы, столбцы которой линейно зависимы, равен ну-
нулю. Из теоремы о базисном миноре следует обратное
утверждение.
Предложение б. Если А—квадратная матрица
«det А —0, то по крайней мере один из столбцов—ли-
столбцов—линейная комбинация остальных столбцов, а также одна
из строк—линейная комбинация остальных строк.
Действительно, условие det^ = O означает, что
g4n—1, где п — порядок матрицы. Поэтому по
крайней мере один из столбцов и одна из строк не пере-
пересекают базисный минор. Столбец и строка, не пересекаю-
пересекающие базисный минор, линейно выражаются соответственно
через столбцы и строки, в которых расположен базисный
минор.
Теорема 2 (теорема о ранге матрицы). Ранг
матрицы А равен максимальному числу линейно незави-
независимых столбцов в этой матрице.
Если Rg А = 0, то все столбцы нулевые и нет ни од-
одного линейно независимого столбца. Пусть RgA = r > 0.
Покажем, что в А существует г линейно независимых
столбцов. Действительно, рассмотрим составленную из
элементов матрицы А матрицу А' порядка г, детерминан-
детерминантом которой является базисный минор. Столбцы А' пред-
представляют собой части столбцов А.
Если бы столбцы А, в которых расположен базисный
минор, были линейно зависимы, то были бы линейно за-
зависимы столбцы А1 и базисный минор равнялся бы нулю.
Докажем теперь, что любые р столбцов матрицы А
линейно зависимы, если р> г. Составим матрицу В из
этих р столбцов. Rg В ^ г, так как каждый минор матри-
матрицы В является минором матрицы А и, следовательно, в В
нет отличного от нуля минора порядка, большего чем г.
164

Таким образом, RgJ3<p и хотя бы один из столбцов
матрицы В не входит в ее базисный минор.
Этот столбец линейно выражается через остальные.
Тем самым теорема доказана.
Точно так же доказывается, что ранг матрицы равен
максимальному числу линейно независимых строк. Отсю-
Отсюда вытекает интересное следствие.
Следствие. Максимальное число линейно независи-
независимых строк в матрице равно максимальному числу линей-
линейно независимых столбцов в этой матрице.
§ 5. Общая теория линейных систем
1. Условия совместности. Теорема о базисном мино-
миноре позволяет дать простое и эффективное условие совме-
совместности системы линейных уравнений
A)
носящее название теоремы Кронекера—
Теорема 1. Система A) имеет хотя бы одно реше-
решение в том и только в том случае, когда ранг матрицы
системы А равен рангу расширенной матрицы А*.
Для доказательства перепишем систему A), пользуясь
определением операций со столбцами. Мы получим
HI KI I*1!
х* ... +...+*• ... = .... B)
ieg» I \cg\ ЦИ
1°. Если существует решение, то запись B) означает,
что столбец свободных членов есть линейная комбинация
столбцов матрицы системы. Значит, добавление этого
столбца не увеличивает общего числа линейно независи-
независимых столбцов и Rg.A* = Rg/l.
2°. Пусть Rg/4*=Rg/4. В этом случае базисный ми-
минор матрицы А является базисным и в матрице А*. Это
означает, что столбец свободных членов есть линейная
комбинация тех столбцов матрицы А, в которых располо-
расположен базисный минор. По предложению 6 § 1 в этом слу-
случае столбец свободных членов есть линейная комбинация
всех столбцов матрицы А. Коэффициенты этой линейной
комбинации представляют собой решение системы A).
Следствие. Система A) несовместна тогда и толь-
только тогда, когда в упрощенный вид расширенной матрицы
165

А' входит строка JO ... О 1J. (Предполагается, что
столбцы не переставлялись.)
Доказательство. Если RgA*>RgA, то любой
базисный минор матрицы А* должен содержать последний
столбец. Если последний столбец является базисным, то
в упрощенный вид матрицы Л* должна входить строка
|0 ... О 11. Обратно, если такая строка содержится в
матрице, то ее последний столбец не может быть линей-
линейной комбинацией остальных, и система с упрощенной
матрицей несовместна. Но исходная система эквивалентна
системе с упрощенной матрицей.
В качестве примера получим из теоремы Кронекера —
Капелли условие параллельности двух не совпадающих
прямых на плоскости Прямые
г = 0 |
параллельны, если не имеют общей точки, т. е. если
Равенство рангов матрицы системы и расширенной
матрицы можно выразить, понимая ранг как максималь-
максимальное число линейно независимых строк. Это приведет нас
к нижеследующему предложению 1, известному как тео-
теорема Фредгольма. Для практического исследования сис-
систем уравнений она не очень удобна, но имеет существен-
существенное теоретическое значение.
Транспонируем матрицу А системы A) и рассмотрим
систему из п линейных уравнений
-б! D)
с т неизвестными, с матрицей АТ и свободными членами,
равными нулю. Она называется сопряженной однородной
системой для системы A).
Предложение 1 (теорема Фредгольма).
Для того чтобы система линейных уравнений A) была
совместна, необходимо и достаточно, чтобы каждое ре-
решение сопряженной однородной системы D) удовлетворяло
уравнению
Pf/i + ... 4- Ьаут=О, E)
где Ъх, ..., 6"—свободные члены уравнений A).
166

Докажем достаточность. Если соотношение E) выпол-
выполнено для всех решений системы D), то система уравнений
решений иметь не может. Поэтому для нее ранг расши-
расширенной матрицы больше ранга матрицы системы. Транс-
Транспонируя обе матрицы и учитывая, что ранг матрицы не
меняется при транспонировании, мы получаем, что
U\ ... ok ы
Rg
u± ... an v
0 ... 0 1
Rg
I «1
6"
Теперь из теоремы о ранге матрицы следует, что строка
(О ... О 1Q не является линейной комбинацией строк
матрицы
а] ... ах„
1
и потому строка такого вида не может входить в упро-
упрощенный вид этой матрицы. Отсюда на основании следст-
следствия из теоремы Кронекера—Капелли мы заключаем, что
система A) совместна.
Необходимость условия будет установлена, если мы
допустим, что условие не выполнено, и докажем, что тог-
тогда система A) несовместна. Пусть условие не выполнено
Это означает, что существует решение уи ...,уя системы
D), для которого btyi +•...+ bmym = рфО. Умножим
уравнения системы A) на числа yt, ..., уя с соответст-
соответствующими номерами и сложим их. Мы подучим уравнение
0х1+...+0хп = р,
которое не имеет решений. Если бы система A) имела
решения, они должны были бы удовлетворять этому урав-
уравнению. Следовательно, система несовместна.
В качестве примера применим теорему Фредгольма к
выводу условия параллельности двух различных прямых
на плоскости. Система C) не имеет решений, если сущест-
существуют такие числа yt и yt, что yiAi-\-yiAt — 0, ^
В 0 CfA^O Л
yt yt, yiiyit
+ Угг — 0, но ^Cj-f&A^O. Легко видеть, что & и у,
не равны нулю. Поэтому можно положить —^,/й = ^ "
167

записать полученное условие в виде: существует число К
такое, что At = XAt, Bt = XBt и СхФ%Сг.
2. Нахождение решений. В этом пункте мы будем
предполагать, что дана совместная система из т линей-
линейных уравнений с п неизвестными. Обозначим буквой г
ранг матрицы системы. Поскольку ранг расширенной
матрицы тоже равен г, мы можем выбрать базисный ми-
минор расширенной матрицы так, чтобы он был расположен
в матрице системы. Применяя элементарные преобразо-
преобразования строк, приведем расширенную матрицу к упрощен-
упрощенному виду (предложение 3 § 4). Данная нам система ли-
линейных уравнений, согласно предложению 2 § 4, перей-
перейдет в эквивалентную ей систему из г линейно независи-
независимых уравнений.
Для удобства записи будем предполагать, что базис-
базисный минор расположен в первых г столбцах. Тогда пре-
преобразованную систему можно записать в виде
G)
... +агпх").
Здесь а\ и Ы—элементы преобразованной расширенной
матрицы. В левых частях равенств мы оставили неизвест-
неизвестные, соответствующие столбцам выбранного нами базис-
базисного минора, так называемые базисные неизвестные.
Остальные неизвестные—называемые параметрически-
ми—перенесены в правые части равенств.
Как бы мы ни задали параметрические неизвестные,
по формулам G) мы найдем базисные так, что они вме-
¦ете с заданными параметрическими образуют решение си-
системы A). Легко видеть, что этим способом мы получим
вею совокупность решений.
На формулах G) можно было бы остановиться, но ни-
ниже мы дадим более простое и наглядное, а также прин-
принципиально важное описание совокупности решений систе-
системы линейных уравнений.
3. Приведенная система. Сопоставим системе уравне-
уравнений A) однородную систему с той же матрицей коэф-
коэффициентов, т. е. систему
а*. :\'+апХ. г/ } (?)
По отношению к системе A) она называется приведенной.
F8

Предложение 2. Если'yl, ..., yl —решение си-
системы A), то у1, ..., у"—также решение системы A)
тогда и только тогда, когда найдется такое решение
приведенной системы х*, ..., хп, что y' — yl + x* для
любого i—l, ..., п.
Доказательство. 1°. Пусть ait ...,«„—столбцы
матрицы системы A), Ь—ее столбец свободных членов,
у], •••« Уо—решение:
ylat+... + tfian = b, (9)
а также х1, ..., х"—решение приведенной системы:
x1af+...+x.-'O. A0)
Складывая равенства (9) и A0) почленно, мы получаем
т. е. числа у\ + х1, ..., у2 + х" удовлетворяют системе A).
2°. Пусть у1, ..., уп—решение системы A):
у*а, + ...+упап^Ъ. A1)
Вычитая (9) из A1), имеем
{у1—yl) at +... + (у" - tfi) an = о.
Это значит, что числа х* = у1—yl, ..., х"=у"—уЧ удов-
удовлетворяют приведенной системе. Предложение доказано.
Записывая решения в столбцы высоты п, предложение
2 можно сформулировать так: если у0—решение систе^
мы A), то у—также решение этой системы тогда и толь-
только тогда, когда найдется такое решение х приведенной
системы, 4Toj;=,y0 + x.
Далее для краткости мы будем пользоваться подоб-
подобной записью.
4. Множество решений однородной системы. Любая
однородная система линейных уравнений совместна. Она
имеет решение 0, ..., 0, которое называется тривиальным
решением. Все предыдущие результаты о системах ли-
линейных уравнений, разумеется, верны н для однородных
систем. В частности, справедливы формулы G), которые
для однородной системы имеют вид
**=— (а\1хг+1+...+а'пхп), )
¦ ¦ • ¦ j ¦- ¦ • (Г)
I
Действительно, в формулах G) bl — 0, ..., br — 0, посколь-
поскольку при элементарных операциях со строками нулевой
169

столбец свободных членов может перейти только в нуле-
нулевой столбец.
Множество решений однородной системы обладает
двумя важными свойствами, выраженными в следующем
предложении.
Предложение 3. Если столбцы xt и хг—решения
(инородной системы, то их сумма xt + xt—также ре-
решение этой системы. Произведение решения однородной си-
системы на любое число является решением той же системы.
Доказательство. Нам дано, что
==o и
Из этих равенств вытекает
\) а, +
каково бы ни было *к. Предложение доказано.
Доказательства двух следующих предложений исполь-
используют формулы G'), и потому принятая в них нумерация
переменных соответствует сделанному в формулах G) и
(Т) предположению, что базисный минор матрицы систе-
системы расположен в первых г столбцах.
Предложение 4. Если ранг матрицы однородной
системы равен г, то система имеет п—г линейно неза-
независимых решений.
Для доказательства придадим параметрическим неиз-
неизвестным следующие п—г наборов значений]
2)
= 0,
¦о."
.0;
Для каждого набора значений параметрических неиз-
неизвестных найдем соответствующие значения базисных неиз-
неизвестных. Полученные решения запишем в виде столбцов:
х\
"xi
i
0
• • *
0
, хг*=
4
4
0
1
0
&П — Т
о
¦ • •
о
1
A2)
Эти решения линейно независимы. Действительно, соста-
170

вим матрицу из столбцов xt, ..., х„_г. Она имеет минор
порядка п—г, равный единице (в последних п—г стро-
строках), поэтому ее ранг равен п—г, и все столбцы линей-
линейно независимы.
Совокупность решений A2) называется нормальной
фундаментальной системой решений. Вообще, любая си-
система из п—г линейно независимых решений называется
фундаментальной системой решений.
Предложение 5. Пусть xIt..., х„_г—произволь-
х„_г—произвольная фундаментальная система решений однородной си-
системы линейных уравнений. Тогда любое решение х си-
системы представляет собой линейную комбинацию реше-
решений х„ ..., хп_г.
Для доказательства составим матрицу X, столбцами
которой являются решения х и xit..., лг„_г. Ранг этой
матрицы не меньше чем п—г, так как в ней есть п—г
линейно независимых столбцов. С другой стороны, он и
не больше чем п—г. Действительно, первая из формул
G') выражает первую базисную неизвестную х1 как ли-
линейный многочлен от параметрических неизвестных, при-
причем коэффициенты этого многочлена одни и те же для
каждого столбца матрицы X. Поэтому первая строка мат-
матрицы есть линейная комбинация последних п—г строк.
Иначе можно сказать так; если последние п—г строк
матрицы X мы умножим на коэффициенты первой из
формул G') и сложим, то мы получим первую строку
этой матрицы. Аналогично при помощи остальных фор-
формул G') можно показать, что строки с номерами 2,...
..., г—линейные комбинации последних строк. Поэтому
элементарными преобразованиями можно обратить в нуль
первые г строк матрицы X, а это значит, что ранг ее не
превосходит п—г.
Мы видим, что ранг нашей матрицы равен п—f. Сле-
Следовательно, она имеет базисный минор, расположенный
в столбцах хи ..., хп„г, и доказываемое предложение
следует из теоремы о базисном миноре.
Пусть хи ..., х„_г—фундаментальная система реше-
решений однородной системы линейных уравнений. Рассмотрим
столбец дг = С1дг, + ... + С„_гдгп_г, или, в развернутом
виде,
ж»
К-,|
А
• ••+с»-г - • 03)
Из предложения 1 вытекает, что линейная комбинация
171

любого числа решений однородной системы также явля-
является решением. Следовательно, каковы бы ни были числа
Cf,.... С„_г, столбец х, определяемый формулой A3),
является решением рассматриваемой однородной системы
уравнений. Наоборот, согласно предложению 5 для каж-
каждого решения однородной системы существуют такие числа
Cf, .... С„_г, при которых оно имеет вид A3).
Естественно возникает вопрос, нет ли такой совокупности из
s < ft—г решений, что каждое решение однородной системы ли-
линейных уравнений есть линейная комбинация решений из данной
совокупности. Легко доказать, что ответ отрицательный, В самом
деле, допустим, что такая совокупность решений существует, и
составим матрицу О размеров пх(п—r+s), столбцами которой
являются решения, входящие в эту совокупность и в нормальную
фундаментальную систему решений. С одной стороны, мы имеем
RgG = s, а с другой, RgG = n—г, и мы приходим к противоречию.
5. Общее решение системы линейных уравнений. Те-
Теперь мы можем собрать воедино наши результаты —
предложения 2 и 5:
Теорема 2. Если хх, .... лг„_г—фундаментальная
система решений приведенной системы уравнений, а
yt—некоторое решение системы A), то столбец
У ^Ус + С.х, + ... + Сп_,х„_г,
или в развернутом виде,
...
У"
б Уо
= [••¦
U
Ы
+с, ...
I х1
хх
• . »
лп- Г
A4)
при любых числах Ct,..., С„_, является решением систе-
системы линейных уравнений A). Наоборот, для каждого ре-
решения этой системы найдутся такие числа Сх, ..., Ся_г,
при которых оно имеет вид A4).
Выражение, стоящее в правой части равенства A4),
называется общим решением системы линейных уравнений.
Теорема верна для любых систем линейных уравне-
уравнений, в частности для однородных. Формула A4) совпада-
совпадает с A3), если уа—тривиальное решение.
Правило Крамера гласит, что для существования и
единственности решения системы из п уравнений с п
неизвестными достаточно, чтобы детерминант матрицы
системы отличался от нуля. Из теоремы 2 следует необ-
необходимость этого условия.
Предложение 6. Пусть А—матрица системы из
п линейных уравнений с п неизвестными. Если det^ = O,
172

то система либо не имеет решения, либо имеет бесконечна
много решений.
Доказательство. Равенство det.A = O означает»
что ранг матрицы А меньше п, и, следовательно, приве-
приведенная система имеет бесконечно много решении. Если
рассматриваемая система совместна, из формулы A4) вы-
вытекает, что и она имеет бесконечно много решений.
6. Примеры. Рассмотрим уравнение плоскости в де-
декартовой системе координат
Ax + By+Cz + D = 0 A5)
как систему из одного линейного уравнения о тремя
неизвестными. Пусть АфЪ и, следовательно, является
базисным минором матрицы системы. Ранг расширенной
матрицы не больше единицы, и система совместна. Одно
ее решение можно найти, положив у = г = 0. Мы полу-
получим х — — D/A. Так как п = 3 и /¦=!, фундаментальная
система решений приведенной системы состоит из двух
решений. Мы найдем их, дав параметрическим неизвест-
неизвестным два набора значений! у=\, 2 = 0 и у~0, z=l.
Соответствующие значения базисной неизвестной х бу-
будут—В/А и —С/А. Итак, общее решение системы A5)
|*| |— D/Ai 1| 1
#Ы ° |+с,| i \+сА о
Выясним геометрический смысл полученного решения.
Очевидно, прежде всего, что решение (—D/A, 0, 0) со-
состоит из координат некоторой (начальной) точки пло-
плоскости или, что то же, из компонент ее радиус-вектора.
В формуле (И) в качестве решения у0 мы можем брать
любое решение системы. Это соответствует тому, что на-
начальная точка выбирается произвольно. Согласно предло-
предложению 2 § 2 гл. II компоненты лежащих в плоскости
векторов удовлетворяют уравнению Aai + Bai -|-Ca8 = 0,
т. е. приведенной системе. Два линейно независимых ре-
решения этой системы могут быть приняты за направляю-
направляющие векторы плоскости. Таким образом, формула A6) —
не что иное, как параметрические уравнения плоскости,
причем Сг и С,—параметры. Произвол в выборе фунда-
фундаментальной системы решений означает произвол в выбо-
выборе направляющих векторов плоскости.
В качестве следующего примера рассмотрим прямую
линию в пространстве. Относительно декартовой системы
173

координат она может быть задана системой уравнений
Мы будем предполагать, что минор AtBt—AtBt отличен
от нуля и, следовательно, является базисным. Так как
ранг расширенной матрицы не может превосходить двух,
система совместна.
Для того чтобы выразить базисные иеизвестые х я у
через параметрическую г, в нашем случае (система из
двух уравнений с буквенными коэффициентами) естест-
естественнее воспользоваться не методом Гаусса, а правилом
Крамера.
Одно решение системы—компоненты радиус-вектора
начальной точки прямой—можно найти, положив z4 —0.
Мы получим
B1Dt—BtDi
Приведенная система имеет вид
= 0,
= 0.
Ее фундаментальная система решений состоит из одного
решения. Придав параметрической неизвестной г значе-
значение zl = l, мы найдем из A8)
*< - ЛХВ,- AtB1' й - AkBt-
Однако нам удобнее взять не нормальную фундаменталь-
фундаментальную систему, а умножить найденное решение однородной
системы на AlBt—AtBt. Итак, общее решение системы
A7) имеет вид
1*1 1*4| 15,0,-3^1
H^boJ+clCi^-c^l. A9)
г\ |0| \Afit-AM
Направляющий вектор прямой в такой форме мы получи-
получили в предложении 11 § 2 гл. II.
§ в. Умножение матриц
1. Определение и примеры. Рассмотрим сначала стро-
строку а с элементами al (i— 1,.... п) и столбец Ь с элемен-
элементами bt (/в=1,..., п). Существенно, что в а н в Ь число
174

элементов одинаково. Произведением а на Ъ называется
число, оавное сумме произведений элементов с одинако-
одинаковыми номерами, т. е.
ОЬ=ajbi+atbt -+•... -+• a A-
Пусть теперь дана матрица А размеров тхп и мат-
матрица В размеров их р. Матрицы таковы, что длина стро-
строки (число столбцов) первой равна высоте столбца (числу
строк) второй. Умножим каждую строку А на каждый
столбец В. Полученные тр произведений запишем в виде
матрицы С размеров ту.р. Именно, каждый столбец
матрицы С составим из произведений всех строк матрицы
А на соответствующий столбец матрицы В. Любая строка
С состоит из произведений строки А, имеющей тот же
номер, на все столбцы В. Таким образом, элементы мат-
матрицы С можно записать следующей формулой!
2 alk
'А/
A)
т\
р).
Определение. Матрицу С, элементы которой вы-
выражаются через элементы матриц Л и В по формулам
A), назовем произведением А на В и обозначим АВ.
Определение произведения матриц формулируется бо-
более сложно и кажется менее естественным, чем определе-
определение суммы. Однако если бы кто-нибудь захотел опреде-
определить произведение для матриц одинаковых размеров, пе-
перемножая соответствующие элементы, то такое определе-
определение не нашло бы себе существенных применений. Что же
касается приведенного определения, то оно, как чита-
читатель в этом убедится, широко применяется.
Приведем несколько примеров.
1) Произведение квадратной матрицы А порядка п на
столбец х высоты п:
X"
Произведение представляет собой столбец высоты п.
В обратном порядке эти матрицы перемножать нельзя,
т. е. произведение хА ие определено.
175

2) Произведение строки длины п на квадратную мат-
матрицу порядка п будет строкой длины т
= 2 ак1хк... 2 я*„** •
и 8*= 1 *= • II
3) Произведение столбца высоты т на строку длины
я—матрица размеров mx.ni
хтаг..
4) Пусть А—матрица размеров mxn, et—t-й стол-
столбец единичной матрицы1) порядка т, а е, — /'-й столбец
единичной матрицы порядка п. Тогда
о
eJAef=l0..A...0l
Предложение 1. j-й столбец матрицы АВ есть
линейная комбинация столбцов А с коэффициентами,
равными элементам j-го столбца матрицы В.
i-я строка матрицы АВ есть линейная комбинация
строк В с коэффициентами, равными элементам i-u
строки матрицы А.
Оба утверждения доказываются одинаково. Докажем,
например, первое. Для этого обозначим столбцы матриц
А, В и АВ соответственно через at, ..., ап, bt, ..., b?
и cit..., ср. Отметим, что столбцы матриц А и АВ
имеют одинаковую высоту. Поскольку для составления
С/ мы последовательно умножаем все строки А на bf,
имеем Cj = Abj. Но, как видно из примера 1), произведе-
произведение Abj можно записать b/ial-\-... -f b/nan. Этим наше
предложение доказано.
2. Свойства умножения матриц. Умножение матриц
не коммутативно. Даже если определены оба произведе-
произведения АВ и ВА, они могут быть не равны, как показывает
следующий пример!
I1 411° °fl S1 4=^1° oll-fl0 °Iil Ч
о 0 1 1 = о oMi i-i it о •
1) Определение единичной матрицы см. на с. 145.
176

Если какие-нибудь матрицы А и В удовлетворяют со-
соотношению АВ = ВА, то 'они называются перестановоч-
перестановочными. Перестановочные матрицы существуют. Например,
единичная матрица порядка п
и о о ... о о
«о 1 о ... о о
go о о ... о 1
перестановочна с любой квадратной матрицей того же
порядка, т. е.
Предоставим читателю самостоятельно проверить эти ра-
равенства в качестве упражнения на умножение матриц,
То обстоятельство, что каждая матрица А не меня-
меняется при умножении на единичную матрицу, представля-
представляет собой важное свойство единичной матрицы, которему
она обязана своим названием. Если бы какая-нибудь дру.
гая матрица Ё обладала этим же свойством, мы имели
бы ЁЕ = Е и ЁЕ = Ё, откуда следовало бы Е = Ё.
Очевидно, что каковы бы ни были А и В, если О—
нулевая матрица, то
А0 = 0, 0В = 0.
(Предполагается, что произведения определены.)
Предложение 2. Умножение матриц ассоциативно,
т. е. если определены произведения АВ и (АВ)С, то оп-
определены ВС и А (ВС) и выполнено равенство (АВ)С =
= А (ВС).
Действительно, обозначим размеры матриц А, В и С
соответственно через тАхпА, твхпв и тсхпс. Если
АВ определено, то пА*=тв и матрица АВ имеет размеры
тАхпв. Поэтому, если определено произведение4.АВ)С,
то пв = тс. Матрица АВ состоит из элементов
"А
<х = I
и, следовательно, элементы (АВ)С имеют вид
2 ( 2 в^ОсР* ('=!.•••. тА\ к=\, .... пс). C)
р= I \ot = l /
177

Поскольку nB = /nc, определено произведение ВС. Его
элементы
"в
2 ЬарРрх (а=1,..., тА\ Х~\, ..., яс).
p=i
Высота столбца матрицы ВС равна пА, т. е. длине строки
матрицы А. Таким образом, определено произведение
А (ВС). Элементы А (ВС) имеют вид
"A f "В
тА; Х=\, .... пс). D)
В силу предложений 1 и 2 § 2 выражения C) и D) сов-
совпадают, и наше предложение доказано.
Предложение 3. Умножение матриц дистрибу-
дистрибутивно по отношению к сложению, т. е. если имеет
смысл выражение А (В + С), то
Если имеет смысл выражение (А + В)С, то
Обе части предложения доказываются одинаково. До-
Докажем, например, первую. Очевидно, что В и С должны
иметь одинаковые размеры тхп, а А—размеры рхт
(р может быть любым). Мы можем выразить элементы
матрицы А(В + С) через элементы матриц А, В и &
т
2 ал/(Ь/а+С/а) (Я,= 1, ..., р; а = 1, ..., п).
Согласно предложению 1 § 2 эта сумма может быть пред-
представлена в виде
т т
2 ЯяАа + 2 а*А<*-
i=l i=l
Суммы, составляющие это выражение, равны элементам
матриц АВ и АС, стоящим в строке с номером Я и в
столбце с номером а. Этим утверждение доказано.
Легко может быть доказано следующее свойство ум-
умножения матриц.
Предложение 4. Если произведение АВ имеет
смысл, то
для любого числа а..
178

Предложение 5. Ранг произведения двух матриц
не превосходит рангов сомножителей.
Для доказательства рассмотрим матрицу D, составлен-
составленную из всех столбцов матриц А и АВ. Запишем ее:
D = \A\AB\. Очевидно, что Rg/4fl<RgD. По предло-
предложению 1 столбцы АВ являются линейными комбинаци-
комбинациями столбцов А. Отсюда следует, что Rg?> = Rgy4. Мы
имеем Rg/45s^Rg.A. Аналогично доказывается, что
Rg АВ ^ Rg В. Для этого нужно составить матрицу D'
из строк матрицы В и строк матрицы АВ.
Предложение 6. Если определено произведение
A3, то определено и произведение ВТАТ и выполнено ра-
равенство
Пусть матрицы А и В имеют соответственно размеры
тхп и пхр. В матрице АВ на пересечении 1-й строки
и /-го столбца стоит элемент
я
2 aiabai (f=l, .... m; /=1, ...,р). E)
<x = l
/-я строка матрицы ВТ состоит из элементов bi/f ..., bnf,
а t-й столбец матрицы Ат—из элементов аЛ, ..., а(п.
Поэтому произведение ВТАТ определено, и в нем на пере-
пересечении /-Й строки и i-ro столбца стоит элемент
Он совпадает с элементом E), а индексы I и / пробегают
в обоих выражениях одни и те же значения t = l, ...,m;
/ = 1, .... р. Этим предложение доказано.
Следствие. Если определено произведение ЛВС, то
Действительно, (АВС)Т « Ст (ABf=СТВТАт.
3. Обратная матрица. Исследуем теперь, насколько
возможно ввести операцию деления, обратную операции
умножения. Введем следующее определение.
Определение. Матрица X, удовлетворяющая вме-
вместе с заданной матрицей А равенствам
ХА = АХ = Еп F)
(где Е„—единичная матрица некоторого порядка п), на-
называется обратной к Л и обозначается А~\
179

Поскольку А и А~1 перестановочны, они обе должны
быть квадратными того же порядка п. Из F) в силу
предложения 5 мы имеем Rg Еп <[ Rg А. Отсюда Rg А = п.
Поэтому матрица А может иметь обратную только тогда,
когда ее детерминант не равен нулю. Приведенное усло-
условие является не только необходимым, но и достаточным
для существования обратной матрицы.
Предложение 7. Каждая квадратная матрица
с детерминантом, отличным от нуля, имеет обратную
матрицу, и притом только одну.
Док а за те л ьство.'Для каждой матрицы Ac det АфО
существует единственная матрица X такая, что АХ = Е.
Действительно, при любом / столбец xt матрицы X дол-
должен удовлетворять условию Axf — et, где ef—j-й столбец
единичной матрицы. Подробнее это условие записывается
системой линейных уравнений
G)
аа1х]
По правилу Крамера эта система уравнений имеет един-
единственное решение, и, следовательно, каждый столбец ма-
матрицы X однозначно определен.
Докажем, что ХА = Е. С этой целью заметим, что
detX=^=0 и по только что доказанному существует такая
матрица Y, что XY = E. Мы найдем Y, если умножим
обе части последнего равенства слева на матрицу Л. Тогда
AXY=*A, откуда в силу АХ = Е следует К==Л. Итак,
матрица X удовлетворяет обоим условиям F).
Способ, примененный при доказательстве существова-
существования, является основой для нахождения обратной матрицы.
Согласно правилу Крамера i-я неизвестная в системе G)
находится по формуле A;/ = A,/det А, где Д,—детерминант
матрицы, получаемой из А заменой ее i-ro столбца на
/"-й столбец единичной матрицы. Разлагая А, по этому
столбцу, мы имеем только одно слагаемое, так как в ef
только один элемент равен 1, а остальные—нули. Следо-
Следовательно, А/==(—iy+'М1,, где М(—дополнительный минор
элемента а\ в матрице А. Окончательно!
(—1)/+/ М[
xi= La '• (8>
180

Можно решать систему G) и методом Гаусса. По-
Поскольку det А Ф 0, по следствию из предложения 3 § 4,
элементарными преобразованиями строк расширенной ма-
матрицы системы мы можем превратить матрицу Л в еди-
единичную матрицу. При этом столбец свободных членов ef
превратится в решение системы X/ (ср. формулы G) § 5,
в которых в данном случае отсутствуют параметрические
неизвестные).
При различных / системы G) отличаются только столб-
столбцами свободных членов. Поэтому элементарные преобра-
преобразования строк расширенной матрицы одни и те же при
любых /. Мы можем решать все системы одновременно,
приписав к Л столбцы свободных членов всех систем:
1 о ... о ой
(9)
\а„1 ... апп 0 0 ... 0 1II
Из сказанного выше следует: если мы при помощи
элементарных преобразований строк матрицы (9) превра-
превратим ее левую половину в единичную матрицу, то ее пра-
правая половина превратится в матрицу Л.
Из свойств обратной матрицы укажем следующие: не-
непосредственно из определения видно, что
(Л)~1 = Л.
Кроме того,
(АВ)-1 = В~1А-\ A0)
(АТ)-* = (А-у. A1)
Проверим формулу A0): ЛВ(ВЛ-1) = А(ВВ~1)А-^Ё.
Для доказательства формулы A1) транспонируем обе части
равенства АА~1^Е, мы получим (А~1)ТАТ~В, откуда
следует доказываемое.
4. Элементарные преобразования как умножение ма-
матриц. Детерминант произведения. Каждое элементарное
преобразование строк матрицы Л размеров пгхп равно-
равносильно умножению Л слева на некоторую квадратную
матрицу порядка т. Именно, рассмотрим матрицу Su ко-
которая получается из единичной матрицы перестановкой
t-й и /-й строк. Из предложения 1 легко следует, что при
умножении Л слева на Sl соответствующие строки ма-
матрицы Л переставятся.
Пусть Sa—матрица, получаемая из единичной заменой
1-й единицы на диагонали на % Ф 0. Из предложения 1
следует, что при' умножении Л на Sa слева i-я строка А
умножится на К.
181

Обозначим через St матрицу, которая отличается от
единичной заменой на единицу нулевого элемента на пе-
пересечении 1-й строки и /-го столбца. Умножение А слева
на St равносильно прибавлению /-й строки А к 1-й.
Заметим, что детерминанты Sit St и St отличны от
нуляз det5j = — I, detS, = X, detSt = l. Если матрица А
квадратная, то
det(Sj/l) = — det Л, det (StA) = X det A, det(S,4) = det A.
Таким образом, для матриц элементарных преобразований
det (ЯЛ) = det S det Л. A2)
Последовательному выполнению элементарных преоб-
преобразований соответствует умножение слева на произведе-
произведение соответствующих матричных множителей.
Элементарные преобразования столбцов А можно осу-
осуществить, умножая А справа на аналогичные матрицы.
Предложение 8. Если det А Ф О, то найдутся
матрицы элементарных преобразований Sit..., Sp такие,
что A = St.. .Sp.
Доказательство. Если det Л Ф 0, то существует
Л~х. Так как det Л"*=?(), элементарными преобразова-
преобразованиями строк матрица Л может быть превращена в еди-
единичную. Поэтому найдутся матрицы элементарных пре-
преобразований Slt ...,Sp, для которых St. ..SpA~l—E.
Очевидно, что это и есть нужные нам матрицы.
Теперь мы можем доказать
Предложение 9. Для любых квадратных матриц
А'и В одного порядка det (AB) = det A det В.
Действительно, в случае de^ = O утверждение выте-
вытекает из оценки ранга произведения матриц (предложе-
(предложение 5). Если же det Л Ф 0, матрицу А можно предста-
представить как произведение матриц элементарных преобразо-
преобразований Л = 51...5/,. Теперь, применяя формулу A2), мы
получаем
det (АВ) = det E4.. .SpB) =
= det St... det Sp det В = del A det B.
§ 7. Комплексные числа и комплексные матрицы
1. Арифметические операции с комплексными числами.
В дальнейшем нам неоднократно придется иметь дело
с комплексными числами. Поэтому дадим определение и
изложим вкратце основные свойства комплексных чисел.
182

Комплексным числом мы назовем упорядоченную пару
вещественных чисел (а, Ь). Комплексные числа г1 = (а, Ъ)
н zt = (с, d) равны, если а = с и b = d. Вещественные числа
будем считать частным случаем комплексных. Именно,
отождествим вещественное число а с комплексным числом
(а, 0) (но не с @, а)\).
Сложение комплексных чисел определяется формулой
(а,, h) + (a» bt) = (
т. е. так же, как для строк длины 2. Свойства операции
сложения легко следуют из этого определения. Сложение
коммутативно и ассоциативно, прибавление нуля (который
мы отождествили с парой @, 0)) не меняет комплексного
числа. Комплексное число (—а, —Ь) является противо-
противоположным числу (а, Ь), т. е. в сумме с ним дает нуль.
Число, противоположное г, мы обозначим —г. Разность
zi—ze чисел zt и г9 определяется как сумма Zj-f(—zt).
От строк длины 2 комплексные числа отличаются тем,
что для них определено умножение. Именно, произведением
чисел (ait bt) и (a,, bt) называется число
В частности, при умножении на вещественное число с
имеем
с (а, Ь) = (с, 0)(а, 6) = (са, сб),
как и для строк длины 2. Умножение обладает обычными
свойствами коммутативности и ассоциативности, оно дистри-
дистрибутивно по отношению к сложению. Очевидно, что 1 • г = г
для любого комплексного числа г.
Пусть комплексное число г*=(а, Ь) отлично от нуля.
Это значит, что а и b не равны нулю одновременно, или
г\Ь*ф0 Рассмотрим число
Для него
Число г'1 назовем обратным к г, а произведение zt-z~l —
частным от деления zt на г. Таким образом, возможно
деление на комплексное число, не равное нулю.
2. Число i. Обозначим буквой i и будем называть
мнимой единицей число @, 1). Согласно определениям
183

операций-слежения н умножения любое комплексное число
(а, Ь) можно представить в виде
(а, Ь) = (а, 0) + @, b) = a(\, 0)+6@, l) = c + W.
Это—принятая запись комплексных чисел, которой мы
будем пользоваться в дальнейшем. Из определения умно-
умножения следует, что
Р = @, 1)@, 1) = (-1,0) = -1. A)
Можно показать, что арифметические операции с комп-
комплексными числами производятся как с двучленами, при-
принимая во внимание соотношение A).
Из равенства A) видно, что комплексные числа могут
удовлетворить уравнениям, которым никакое вещественное
число не удовлетворяет. Именно, уравнение xa-J-l=O*
не имеющее вещественных корней, имеет два комплексных
корня! Xi = i и xt = —i. Очевидно, что, каково бы ни было
отрицательное число а, комплексные числа г1 = »К|а| и
г3 = —»К|я| являются квадратными корнями из а, т. е.
г\ = а и г|=а.
Имеет место следующая теорема, называемая основной
теоремой алгебры: каждый многочлен степени п с комп-
комплексными (а в частности и с вещественными) коэффици-
коэффициентами имеет п, вообще говоря, комплексных корней, среди
которых могут быть и совпадающие. На эту теорему мы
будем несколько раз ссылаться. Ее доказательство обычно
приводится в курсах теории функций комплексного пере-
переменного.
3. Модуль и аргумент комплексного числа. Рассмотрим
на плоскости декартову прямоугольную систему коорди-
координат О, elf ea. Мы можем сопоставить комплексному числу
(а, Ь) точку с координатами а и Ь относительно этой си-
системы. При этом каждому комплексному числу соответст-
соответствует точка, каждой точке—комплексное число.
Пусть комплексному числу г = (а, Ь) соответствует
точка М, Обозначим \ОМ\ через г, а угол от е4 до ОМ,
отсчитываемый против часовой стрелки, обозначим через <р.
Тогда точка М будет иметь координаты (гсоэф, rsmq>)
и мы получим
г = г (cos ф -f / sin ф).
Число г называется модулем комплексного числа г и
обозначается \г\. Модуль—неотрицательное вещественное
184

число. Если г~а + Ы, то
|г| равен нулю тогда и только тогда, когда а = 6 = 0, т. е.
г = 0. Если г вещественно, то |г|—абсолютная величина г.
Число ф называется аргументом г и обозначается Arg г.
Аргумент г определен не однозначно, а, как и полярный
угол точки в полярной системе координат, с точностью
до слагаемого, кратного 2я.
При помощи простейших формул тригонометрии можно
проверить, что при умножении комплексных чисел их
модули перемножаются, а аргументы складываются.
4. Комплексно сопряженное число. Число а—Ы назы-
называется комплексно сопряженным числу а + Ы. Число, комп-
комплексно сопряженное г, принято обозначать г. Поскольку
а—(—b)i — a + bi, мы имеем г = г. Отметим следующие
простые, но важные предложения.
1°. Число z вещественно тогда и только тогда, когда
z — г. Действительно, равенство а-\-Ы — а—Ы показывает,
что 6 = 0.
2°. Произведение числа на комплексно сопряженное
равно квадрату его модуля!
B)
Следовательно, произведение гг всегда вещественно и не-
неотрицательно.
3°. Для любых комплексных zf и z%
C)
D)
Чтобы доказать, например, второе из равенств, напишем
(а, + V) К + fea0 = М2—bjbt)—i (аф2 -f V2
г"а78 - С^—btt) (at—b2t) = (alaa—b1b2)—Ha1b2
Первое равенство доказывается аналогично.
По индукции нетрудно показать, что, сколько бы ни
было дано чисел, число, комплексно сопряженное их сум-
сумме или произведению, равно соответственно сумме или
произведению комплексно сопряженных им чисел.
4°. Пусть аахп+ ... + ctiX + а0—многочлен с вещест-
вещественными коэффициентами и Я—его корень. Согласно пре-
185

дыдущему из а„кп+ .. .+аг\ + а,<='0 следует
Таким образом, к—также корень данного многочлена.
Отсюда вытекает, что многочлен с вещественными коэф-
коэффициентами всегда имеет четное число невещественных
корней. Это предложение имеет такое следствие! любой
многочлен нечетной степени с вещественными коэффици-
коэффициентами имеет хоть один вещественный корень.
5. Комплексные матрицы. Перечисленные в п. 1 свой-
свойства четырех арифметических действий над комплексными
числами такие же, как и для вещественных чисел. По-
Поэтому все утверждения о вещественных числах, в кото-
которых используются только эти свойства, распространяются
и на комплексные числа. В частности, мы можем, как и
в § 2, определить детерминант квадратной матрицы, эле-
элементы которой—комплексные числа. Это будет комплексное
число, но относительно него будут справедливы все пред-
предложения, доказанные нами в § 2. ,
При исследовании систем линейных уравнений в §§ 3,
4 и 5 мы пользовались только теми свойствами сложения,
вычитания, умножения и деления, которые совпадают
для вещественных и для комплексных чисел. Поэтому все
доказанное нами справедливо и для систем линейных
уравнений с комплексными коэффициентами и свободными
членами.
На матрицы с комплексными элементами распростра-
распространяется все сказанное о матрицах в §§ 1 и 6. Определение
и свойства сложения и умножения матриц, включая по-
построение обратной матрицы, формулируются и доказываются
одинаково для вещественных и для комплексных чисел.
Собственно, в предыдущих параграфах этой главы мы
нигде не уточняли, с какими числами имеем дело. Это
было и не нужно, так как все сказанное в одинаковой
мере относится к обоим случаям. Следует только подчерк-
подчеркнуть, что, рассматривая линейные комбинации комплекс-
комплексных столбцов, мы можем брать в качестве коэффициентов
любые комплексные числа.
Остановимся на некоторых особенностях комплексных
матриц. Пусть гк/—элементы матрицы Z. Если zk/ = ak/ +
+ bklt, то матрица Z может быть представлена в виде
Z^A + Bi,
где матрицы А и В составлены из элементов ак/ и Ьк/ со-
соответственно. А называется вещественной частью, а В —
186

мнимой частью матрицы Z. Две комплексные матрицы
Z и Zt равны тогда и только тогда, когда А = At и В = Bt.
Таким образом, одно равенство, связывающее комплекс-
комплексные матрицы, равносильно двум равенствам между веще-
вещественными матрицами. Здесь полное сходство о равенст-
равенством комплексных чисел»
Матрицу, составленную из элементов гк/, мы будем
называть комплексно сопряженной матрице Z и обозна-
обозначать Z. Из сказанного в предыдущем пункте видно, что
для любых матриц
Z^+Y2 = Z1 + Zit E)
?i?L=ZIZ,1 F)
detZ = detZ G)
(если только сумма, произведение и детерминант в одной
из частей равенства определены).
При доказательстве последнего соотношения можно
воспользоваться разложением F) § 2. Мы получим
2 (O»)^ г =
(/«••¦/л) »
Равенства E) и F) доказываются аналогично.
Матрица вещественна (т. е. состоит из вещественных
чисел) в том и только в том случае, когда она равна своей
комплексно сопряженной, поскольку тогда каждый ее
элемент равен своему комплексно сопряженному.

ГЛАВА VI
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Основные понятия
1. Определение линейного пространства* В этой книге
нам уже встречались множества, в которых были опреде-
определены операции сложения и умножения на число. В гл. I
мы рассматривали множество векторов (направленных
отрезков). Двум векторам по правилу параллелограмма
мы сопоставили вектор, называемый их суммой. Вектору
а и числу а сопоставлен вектор, названный произведе-
произведением а на а.
В множестве матриц одних и тех же размеров мы
ввели операцию сложения, назвав суммой матрицу, эле-
элементы которой равны суммам соответствующих элементов
слагаемых. Была для матриц введена и операция умно-
умножения на число) произведение матрицы на число есть
матрица, элементы которой—произведения элементов
исходной матрицы на это число. При этом, если элемен-
элементы матрицы—комплексные числа, то имеет смысл умно-
умножение и на комплексное число. Свойства этих операций,
выраженные предложением 1 § 1 гл. V, совпадают со
свойствами тех же операций о векторами, сформулирован-
сформулированными в предложении 1 § 1 гл. 1.
В каждом множестве операции определяются по-свое-
по-своему, но имеют одни и те же свойства: коммутативность и
ассоциативность сложения, дистрибутивность умножения
на число по отношению к сложению чисел и т. д. При
вычислениях о векторами или с матрицами мы не вспо-
вспоминаем определения операций, а используем только эти
свойства. Ниже мы приведем и другие примеры мно-
множеств, в которых определены операции, обладающие теми
же свойствами.
Естественно возникает необходимость исследовать
множество, состоящее из элементов какой угодно приро-
природы, в котором определены операции сложения двух эле-
188

ментов и умножения элемента на число. Эти операции
могут быть определены каким угодно способом, лишь бы
они обладали определенным набором свойств.
Определение. Множество ?? мы назовем линей-
линейным пространством, а его элементы—векторами, если)
1) Задан закон (операция сложения), по которому лю-
любым двум элементам х и у из J? сопоставляется элемент,
называемый их суммой и обозначаемый х + у.
2) Задан закон (операция умножения на число), по
которому элементу х из J? и числу а сопоставляется эле-
элемент из 3?, называемый произведением х на а и обозна-
обозначаемый ах.
3) Для любых элементов х, у и г из J? для любых
чисел а и Р выполнены следующие требования (или ак-
аксиомы)!
1°. х4-у^у+х.
2°. (х + у) + ж-х + (у+ж).
3°. Существует элемент о ргакой, что для каждого х
из 2 выполнено равенство *-f o = *.
4°. Для каждого д; существует элемент — х такой, что
( )
( )
5°. а (* + #)= си:+ ш/.
6°. (а + P)* = ax + p\*.
7°. а(р*) = (аР)*.
8°. Произведение любого элемента х на число 1 равно
х, т. е. \х = х.
Если в п. 2) мы ограничиваемся вещественными чис-
числами, то 3? называется вещественным линейным прост-
пространством; если же определено умножение на любое
комплексное число, то линейное пространство 2 называ-
называется комплексным.
Вектор —х называется противоположным вектору х.
Вектор о называется нулевым вектором или нулем.
Мы будем обозначать векторы строчными латинскими
буквами, а числа, как правило, греческими.
Приведем еще несколько примеров линейных про'
странств.
Пример 1. Рассмотрим множество всех функций от
одной независимой переменной g, определенных и непре-
непрерывных для 0^?^1. Любым двум функциям f(%) и
g(|) из этого множества можно сопоставить их сумму в
обычном смысле слова f(%)+g(l), которая будет также
определена и непрерывна для О <Г | <Г 1 и, следователь-
следовательно, будет принадлежать рассматриваемому множеству.
Числу а и функции /(|) сопоставляется функция а/(|)
189

(обычное произведение функции на число), которая опре-
определена и непрерывна для Os^ga^l, если этим свойством
обладает /(§). Все восемь аксиом выполнены. Роль нуля
играет функция, тождественно равная нулю.
Пример 2. Пусть Я?—множество всех многочленов
от одной переменной, степень которых не выше задан-
заданного числа п. Сумма двух многочленов из & есть также
многочлен степени не выше п, и произведение многочлена
из 2 на число принадлежит 2. Легко проверить, что
аксиомы линейного пространства выполнены и в этом слу-
случав. Роль нуля играет многочлен, все коэффициенты ко-
которого равны нулю 2 будет вещественным или комп-
комплексным линейным пространством, смотря по тому, рас-
рассматриваем мы многочлены с вещественными или с комп-
комплексными коэффициентами.
Пример 3. Множество комплексных чисел по отно-
отношению к обычным операциям сложения и умножения на
комплексное число представляет собой комплексное ли-
линейное пространство. Аналогично, множество веществен'
ных чисел по отношению к обычным операциям будет
вещественным линейным пространством.
Пример 4. Множество комплексных чисел по отно-
отношению к обычным операциям сложения и умножения на
вещественное число представляет собой вещественное
линейное пространство.
Пример 5. Существует линейное пространство, со-
состоящее из одного элемента. Такое пространство называ-
называется нулевым. Единственный элемент по необходимости
оказывается нулем и самому себе противоположным. Опе-
Операции задаются равенствами o-f-o = o и ао=>о.
2. Простейшие следствия. Из аксиом, определяющих
линейное пространство, вытекает, что может быть только
один нулевой вектор и для каждого вектора только один
противоположный. Действительно, допустим, что сущест-
существуют два вектора ot и ох, удовлетворяющих аксиоме 3°.
Тогда их сумма должна быть равна каждому из них;
°i + oie°i==0*' Аналогично, если какой-нибудь век-
вектор х имеет два противоположных —xt и —xv то
сумма (—xt)-\-x-\-(—xa) должна быть равна и — хг
и —xt.
Равенство о + о=ао означает, что противоположным
для нулевого вектора является он сам, а из равенства
(—х) + (х) = о следует, что противоположным вектором
для —х является вектор х.
190

Сумму векторов у и —х мы будем обозначать у—х и
называть разностью векторов у и х.
Легко видеть, что для любого вектора х выполнрно
равенство Ох»о. В самом деле,
О* г4 0*+х—х = A + 0) х — х жш о.
Отсюда вытекает, что (—1)*=—х для любого х.
Действительно,
Отметим также, что произведение любого числа на
нулевой вектор равно нулевому вектору, поскольку
ао — а(х—х) = оис—ах=>о.
Если ах = о, то либо а = 0, либо хг=о. В самом деле,
пусть а Ф 0. Тогда мы можем умножить данное равенство
на а и получить 1х = о.
Выражение вида cc^i-J-... Н-а„д;п, как и [в преды-
предыдущих главах, мы будем называть линейной комбинацией
векторов xt, . ••,хп с коэффициентами щ, ..., ап.
Из всего вышесказанного следует, что действия с век-
векторами в линейном пространстве производятся по тем же
правилам, что ;и действия о векторами (направленными
отрезками) обычного геометрического пространства.
3. Линейная зависимость. По аналогии с соответствую-
соответствующими определениями для векторов и для столбцов, вве-
введенными в гл. I и V, мы можем определить линейно за-
зависимую и линейно независимую систему векторов в ли-
линейном пространстве. Напомним, что линейная комбина-
комбинация называется тривиальной, если все ее коэффициенты
равны нулю.
Определение. Система векторов называется ли-
линейно зависимой, если существует равная нулю нетри-
нетривиальная линейная комбинация этих векторов. В против-
противном случае, т. е. когда только тривиальная линейная ком-
комбинация векторов равна нулю, система векторов назы-
называется линейно независимой.
О линейно зависимых и линейно независимых систе-
системах векторов справедливы те же предложения, что и о
таких же системах столбцов. Мы приведем здесь только
формулировки, так как доказательства не отличаются от
доказательств предложений о столбцах (см. предложения
2—5 § 1 гл. V).
Предложение 1. Система из А>1 векторов ли-
линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один
из векторов есть линейная комбинация остальных.
191

Предложение 2. Если в систему входит нулевой
вектор, то она линейно зависима.
Предложение 3. Если некоторые из векторов, вхо-
входящих в систему, сами по себе образуют линейно зави-
зависимую подсистему, то вся система линейно зависима.
Предложени е 4. Каждая подсистема линейно не-
зависимой системы векторов сама линейно независима.
4. Базис. Следующее определение будет играть важ-
важную роль в дальнейшем.
Определене. Базисом в пространстве 2 мы на-
назовем упорядоченную конечную систему векторов, если)
а) она линейно независима и б) каждый вектор из 3
есть линейная комбинация векторов этой системы.
В определении сказано, что базис—упорядоченная
система векторов. Это означает, что каждому вектору в
базисе приписан определенный номер. Из одной и той же
системы векторов можно получить разные базисы, по-раз-
,ному нумеруя векторы.
Коэффициенты линейной комбинации, о которой идет
речь в определении, называются компонентами или коор-
координатами вектора по базису.
Векторы базиса eit...,en мы будем записывать в
строку! е = \\е1. ,.еп§, а компоненты §\ ...,?" вектора я
по базису е—в столбец!
I б"
который назовем координатным столбцом вектора.
Теперь разложение вектора по базису можно записать
в любом из следующих видов 1):
"Жг"
.
Предложение 5. Если задан базис, то компонен-
компоненты вектора определяются однозначно.
В самом деле, в противном случае мы имели бы два
равенства x—^Vei и * = 2?ief» из которых вытекало бы
2(V—5{)е/1=('' Поскольку система векторов ег, ...,е„
линейно независима, все коэффициенты линейной комби-
комбинации равны нулю, и, следовательно, |' = |{ при всех I =
= 1, .... п.
х) Элементы строки е—век"оры, га не числа. Мы можем рас-
распространить на такие строки определения операций с матрицами.
192

Предложение 6. Координатный столбец суммы
векторов равен сумме их координатных столбцов. Коор-
Координатный столбец произведения вектора на число равен
произведению координатного столбца данного вектора на
это число.
Для доказательства достаточно выписать следующие
цепочки равенств:
где \ и х\—координатные столбцы векторов хну. .Здесь
используются свойства умножения матриц—предложения
3 и 4 § 6 гл. V.
Из предложения 6 легко следует, что координатный
столбец линейной комбинации векторов есть линейная
комбинация их координатных столбцов о теми же коэф-
коэффициентами. Отсюда вытекает
Предложение 7. Векторы линейно зависимы тог-
тогда и только тогда, когда линейно зависимы их коорди-
координатные столбцы.
Доказательство очевидно! равенство нулю нетриви-
нетривиальной линейной комбинации векторов влечет за собой
обращение в нуль линейной комбинации их координат-
координатных столбцов о теми же коэффициентами. Так же дока-
доказывается и обратное предложение
Теорема 1. Если в линейном пространстве сущест-
существует базис из п векторов, то любой другой базис в этом
пространстве состоит из того же числа векторов.
Действительно, пусть в пространстве существуют два
базиса elt ..•.еп и ft, ...,/m, причем m>«. Каждый из
векторов базиса ft, ..., fm мы расположим по базису ev...
...,еп и составим матрицу, столбцами которой будут по-
полученные координатные столбцы. Каждый столбец имеет
высоту п, а всего их т Поэтому матрица имеет размеры
пхт, и ранг ее не превосходит п. В силу теоремы 2 § 4
гл. V столбцы матрицы линейно зависимы, а следователь-
следовательно зависимы и векторы ft, ..., fn. Таким образом, наше
предположение приводит к противоречию.
Теперь мы можем ввести следующее
Определение. Линейное пространство, в котором
существует базис из п векторов, назовем п-мерным, а чис-
число п—размерностью пространства.
В нулевом пространстве нет базиса, так как система,
состоящая из одного нулевого вектора, является линейно
193
7-102

зависимой. Размерность нулевого пространства по опре-
определению считаем равной нулю.
Может случиться, что, каково бы ни было натуральное
число /л, в пространстве J? найдется т линейно незави-
независимых векторов. Те кое пространство называется беско-
бесконечномерным. Базис в нем не существует.
Примеры. 1) Множество векторов на плоскости яв-
является двумерным линейным пространством, а множест-
множество всех векторов пространства, изучаемого в элементарной
геометрии, представляет собой трехмерное линейное про-
пространство (см. предложения 7 и 8 § I гл. I).
2) Линейное пространство столбцов высоты п имеет
размерность п. Действительно, столбцы единичной мат-
матрицы порядка п линейно независимы (см. пример на
с. 140) и любой столбец высоты п является их линей-
линейной комбинацией (предложение 7 § 1 гл. V). Линейное
пространство столбцов высоты я называют арифметиче-
арифметическим п-мерным пространством.
3) Линейное пространство функций от одного аргу-
аргумента, определенных и непрерывных на отрезке 0 <! ? <! 1,
является бесконечномерным. Чтобы это проверить, до-
достаточно доказать, что при любом m в этом пространстве
существуют т линейно независимых векторов. Зададимся
произвольным числом т. Векторы нашего пространст-
пространства—функции ?°гз 1, \, g», ...,lm~i—линейно незави-
независимы. Действительно, то, что линейная комбинация этих
векторов с коэффициентами а0, ...,0Lm_t равна нулевому
вектору, означает, что многочлен
тождественно равен нулю. А это возможно только тогда,
когда все его коэффициенты равны нулю.
В линейной алгебре изучаются конечномерные линей-
линейные пространства. Далее всюду, кроме некоторых при-
примеров, мы будем предполагать пространство конечно-
конечномерным.
В пространстве конечной размерности существует бес-
бесконечно много различных базисов. Это видно из следую-
следующих предложений, которыми мы будем пользоваться и в
дальнейшем.
Предложение 8. В п-мерном пространстве каждая
упорядоченная система из п линейно независимых век-
векторов является базисом.
В самом деле, если дана такая система векторов, то
каждый вектор пространства раскладывается по этим
194

векторам* так как иначе в пространстве нашлось бы п +1
линейно независимых векторов.
Предложение 9. В п-мерном пространстве каж-
каждую упорядоченную линейно независимую системд из
k<n векторов можно дополнить до базиса.
Это вытекает из того, что к любой такой системе мож-
можно присоединить еще один вектор, который через нее ли-
линейно не выражается. (Если бы это было не так, то си-
система сама была бы базисом.) Теперь мы имеем fc-fl
линейно независимых векторов. Если k •+¦1 < п, то повто-
повторяем рассуждение. Мы действуем так до тех пор, пока
не. получим п линейно независимых векторов, в число
которых входят данные k векторов.
В частности, до базиса можно дополнить любой не-
ненулевой вектор.
5. Замена базиса. Если в n-мерном пространстве даны
два базиса et, ...,е„ и е[, ..., е'п, то мы можем разложить
каждый вектор базиса е[,...,е'п по базису eit ...,еп\
п
с} — 2 ofe/ (fsli •••, л). A)
Компоненты <з\ можно записать в виде квадратной матри-
матрицы порядка т
Столбцы матрицы—это координатные столбцы векторов
е[, ..., е'п по базису е. Поэтому столбцы матрицы S ли-
линейно независимы и detS=?O.
Определение. Матрицу, /-й столбец которой есть
координатный столбец вектора e't по базису е, мы назо-
назовем матрицей перехода от базиса е к базису е'.
Равенство A) можно переписать в матричных обоз-
обозначениях!
\e[...en\**\ei...en\S, B)
или
e'=*eS.
Это легко проверить, перемножая матрицы. Умножая обе
части равенства B) на матрицу S справа, мы получим
193

Отсюда следует» что- S~l будет матрицей перехода от
е'ке.
Предложение 10. Пусть задан базис е. Каждая
матрица S с детерминантом, не равным нулю, служит
матрицей перехода от е к некоторому базису е'.
Действительно, если det БфО, столбцы матрицы 5 ли-
линейно независимы. Они служат координатными столбца-
столбцами п линейно независимых векторов, которые и составля-
составляют нужный нам базис е'.
., Вычислим, как связаны между собой компоненты од-
одного и того же вектора в двух базисах е и е'. Рассмот-
Рассмотрим вектор х и обозначим через ? и %' его координатные
столбцы в базисах е и е'. Это означает, в частности, что
*=?«'?'. Подставим сюда выражение е' через е и матрицу
перехода S от базиса е к базису е'. Мы получим х =
=ч eS|\ Но, с другой стороны, х — е\. Сравнивая два пос-
последних выражения, в силу единственности разложения
вектора по базису имеем
S-S&'. C)
Подробнее эта формула может быть переписана в виде
64 Н-.-аШБ'* I
или, если выполнить умножение матриц,
?'=2о#" A=1 л). D)
/«=1
Этот результат мы уже имели для трехмерного простран-
пространства (формула B) § 4 гл. I).
§ 2. Линейные подпространства
t. Определение и примеры. В обычном геометриче-
геометрическом пространстве сумма векторов, лежащих в некоторой
плоскости, также лежит в этой плоскости, и умножение
вектора на число не выводит его из плоскости, в которой
он лежит. Теми же свойствами обладают векторы, лежа-
лежащие на прямой линии. Для линейных пространств обоб-
обобщением плоскости и прямой служат линейные подпро-
подпространства.
Определение, Непустое множество S11 векторов
в линейном пространстве 3 называется линейным под-
196

пространством, если: а) сумма любых векторов из' ?"
принадлежит J2" и б) произведение каждого вектора из
S?.' на любое число также принадлежит &'.
Читатель без труда докажет, что в силу этого опреде-
определения любая линейная комбинация векторов из ^"'при-
^"'принадлежит 3?'. В частности, нулевой вектор, как произве-
произведение Ох, должен лежать в jg. Точно так же для каждою
вектора д: из J?" противоположный вектор, равный —1#,
лежит в JZ".
> Сложение и умножение на число, определенные в про-
пространстве :?, будут такими же операциями в его подпро-
подпространстве J2". Справедливость аксиом линейного прост-
ранства для JZ" прямо вытекает из их справедливости
в М. Таким образом, каждое линейное подпространство
само является линейным пространством.
Пример 1, Пусть дано некоторое множество 9* век-
векторов в линейном пространстве ??. Обозначим через -2"
совокупность всевозможных линейных комбинаций, каж-
каждая из которых составлена из конечного числа векторов,
принадлежащих 9*. Множество Я?к является подпрост-
подпространством в :?. Действительно, если х н у принадлежат
J2", то
где все р, и qt принадлежат g>t Мы видим, что
— S^/Pz + SV/' т-е- сУмма снова является линейнойч
комбинацией конечного числа векторов из 9*. Точно так
же для вектора *=»2^/Р/ имеем а*т*5|(а^«)Р/-
Так построенное подпространство jSr называется ли-
линейной обоЛЬчкой множества 9*.
Пусть ри ..., рт—линейно независимая система век-
векторов из 9*, обладающая тем свойством, что каждый век-
вектор из 5* есть линейная комбинация этих векторов. (Если
пространство конечномерно, то очевидно, что в каждом
.множестве, содержащем ненулевые векторы, такая система
найдется.) Векторы pit .... рт образуют базис в линей-
линейной оболочке множества 3*. В самом деле, каждую ли-
линейную комбинацию векторов из 9* множно представить
как линейную комбинацию векторов pt, ..., рт, так как
каждый вектор из 9* можно разложить по pit ..., р„ н
подставить эти разложения в рассматриваемую линейную
комбинацию.
В частности, если 9*—конечное множество векторов,
мы имеем отсюда
!97

Предложение 1. Размерность линейной оболочки
конечного множества векторов не превосходит числа этих
векторов.
Пример 2. Рассмотрим однородную систему линей-
линейных уравнений с п неизвестными. Совокупность всех ре-
решений этой системы представляет собой подпространство
в линейном пространстве столбцов высоты п.
Для доказательства достаточно сослаться на свойства
решений однородной системы (предложение 3 § 5 гл. V).
Каждая фундаментальная система решений рассмат-
рассматриваемой системы уравнений является базисом в этом
подпространстве.
Пример 3. В каждом линейном пространстве мно-
множество, состоящее из одного нулевого вектора, является
линейным подпространством. Это подпространство назы-
называется нулевым.
Пример 4. Множество, состоящее из всех векторов
пространства 3, является подпространством, т. е. все про-
пространство 3 можно считать и подпространством.
Предоставим читателю проверить определение в двух
последних примерах.
Предложение 2. Пусть 3'—подпространство
п-мерного линейного пространства 3„. Тогда 3' имеет
размерность k^.n. Если k = n, то 3' совпадает с Зп.
Доказательство нужно только для того случая, когда
3'—ненулевое подпространство. В этом случае мы мо-
можем, исходя из любого ненулевого вектора, построить
базис в 3' так, как это сделано в доказательстве пред-
предложения 9 § 1. Процесс построения должен закончиться
не дальше, чем на я-м векторе, так как каждая линейно
независимая система в 3' есть такая же система в Зп
и, следовательно, не может содержать более п векторов.
Пусть базис в 3" содержит п векторов. Тогда любой
вектор из 3„ раскладывается по этому базису и, таким
образом, принадлежит 3'. Мы видим, что подпростран-
подпространство 3 совпадает с 3„.
Поскольку 3' есть линейная оболочка своего базиса,
из предложения 2 вытекает, что каждое подпространство
конечномерного пространства есть линейная оболочка
конечного множества векторов. Это относится и к нуле-
нулевому подпространству, так как оно—линейная оболочка
нулевого вектора.
Сформулируем еще следующее достаточно очевидное
Предложение 3. Пусть 3'—подпространство в
п-мерном пространстве 3. Если базис еи ..., ек е Зъ
198

дополнить до базиса еи ..., ек, «»+,, ..., е„ вЗ.товба-
вЗ.товбазисе eit ..., е„ все векторы из 3 и только такие векто-
векторы будут иметь компоненты ?*+1=*0, ..., ?я=я0.
Действительно, если для вектора х имеем ?*+| = 0, ...
..., Iя = 0, то х — 1% •+¦ ... -f S*** и, следовательно, ле-
лежит в 3'. Обратно, вектор х из 3' раскладывается в ли-
линейную комбинацию х = g'ej + ... + ?^. Это же разло-
разложение будет разложением по базису et, ..., еп, если поло-
положить ?*+1 = 0, ... |" = 0.
Заметим, что равенства ?*+l = 0, ..., ?" = 0 можно рас-
рассматривать как систему линейных уравнений, связываю-
связывающую координаты вектора х. Это—система ранга п—k,
и множество ее решении—подпространство J2". Нетрудно
показать, что 3' и в любом базисе определяется одно-
однородной системой уравнений ранга п—k. Действительно,
при изменении базиса старые компоненты вектора выра
зятся через новые по формулам D) § 1 и в новом базисе
система уравнений примет вид
2?Т 2#
Ранг этой системы равен также п—k, поскольку строки
матрицы перехода линейно независимы. Итак, мы дока-
доказали
Предложение 4. Пусть в п-мерном пространстве
3 выбран базис. Тогда координатные столбцы векторов,
принадлежащих k-мерномц подпространству 3\ удов-
удовлетворяют однородной системе линейных уравнений
ранга п—k1).
2. Сумма и пересечение подпространств. Рассмотрим
два подпространства 3' и 3" одного линейного прост-
пространства 3.
Определение. Будем называть суммой поднро-
странств 3' и 3" и обозначать З'+З* линейную обо-
оболочку их объединения 3' и 3".
Подробнее определение означает, что вектор х из
З'+З" (и только такой) представим в виде х =¦ 2 aipl +
+ 2 Р/?/« гДе векторы р{ лежат в З1, а векторы qf—в 3"'.
Обозначая написанные выше суммы через х% и к", мы
видим, что подпространство З' + З" состоит из векто-
1) При J(?'=»J<? система имеет ранг 0, т, е. не содержит ни од-
одного нетривиального уравнения,
199

ров, представимых в виде х = х' + х", где х'—вектор из
.2", а х"—из Я?".
Пусть размерности подпространств «$" и S* равны k
и /. Выберем базис elt ..., eh в ^' и базис /х, • •-, ft
в J2*". Каждый вектор из -2"' + 3* раскладывается по век-
векторам ех, ..., ек, fu ..., /,. Мы получим базис в ?'+&",
если удалим из этой системы векторов те векторы, кото-
которые линейно выражаются через остальные. Сделать это
можно, например, так.
Выберем какой-либо базис в пространстве & и соста-
составим матрицу из координатных столбцов всех векторов
*и •' еь fn •••» /*• Те векторы, координатные столбцы
которых содержат базисный минор этой матрицы, состав-
составляют базис в Л?' -f ??" Доказательство не сложно, и мы
его предоставим читателю.
Определение. Назовем пересечением подпрост-
подпространств &' и &" и обозначим ??' [\?" множество векто-
векторов, которые принадлежат одновременно обоим подпрост-
подпространствам
Пересечение J^'n^* есть подпространство.
Действительно, если векторы хну лежат в J?'()?",
то они лежат и в .2" и в &*. Поэтому вектор х-\- у и
при любом а вектор ах также лежат и в 3?' ив J?",
а следовательно, и в J2"(\JZ".
В конечномерном пространстве ?? подпространства ?'
и 3F задаются системами уравнений. Их пересечение за-
задается системой, получаемой объединением всех уравнений
из систем, определяющих <?' и 3?*. Фундаменталь-
Фундаментальная система решений такой системы уравнений—базис
в подпространстве ??'[\&".
Теорема 1. Размерность суммы двух подпространств
равна сумме их размерностей минус размерность их пе-
пересечения.
Доказательство, Пусть ?' и J2"—два подпро-
подпространства в пространстве 3? конечной размерности. Рас-
Рассмотрим в их сумме J?' + &* следующую систему векто-
векторов Если пересечение ??'[\?" — ненулевое пространство,
го возьмем базис еи . ., ек в 3?'[\S?" и дополним его
векторами /х, ...,/, до базиса в S' и векторами glt ...,&,
до базиса в S?". Если же &' [\&" — нулевое простран-
пространство, то просто берем объединение базиса в ??' и базиса
в ?" Докажем прежде всего, что каждый вектор х в
J?' + &" является линейной комбинацией выбранных на-
нами векторов Это следует из того, что х — х'-\-х", где х'
лежит в -2", а х" — в &". Тргда х' разлагается по век-
200

торам /и ..., /,, et, ..., ek, a x"—no векторам eit ,. „ ekt
ft. •••» 8m-
Теперь покажем, что рассматриваемая система векто-
векторов линейно независима. Возьмем какую-нибудь равную
нулю линейную комбинацию этих векторов!
Вектор дг«= 2 Г*^* лежит в 3*. Но, очевидно, х=*
=*-— 2 а'//—2'Pfyi и поэтому дс лежит и в 3'. Таким
образом, вектор х должен наудиться в пересечении
З'пЗ'. Отсюда на основании предложения 3 можно
заключить, что ft1» ...» а1 = 0 и у» =»¦.. =« ует =* 0. В ра-
равенстве A) остаются только члены
если J2" П 3* ф о. Но и их коэффициенты равны нулю,
так как векторы eit ..., ек линейно независимы. Таким
образом, линейная комбинация A) обязательно тривиаль-
тривиальная и все векторы линейно независимы. Мы показали,
что система векторов fu ..., /,, et, ..., ек, gv ..., ga
является базисом в подпространстве 3?1-\-3".
Теперь закончить доказательство не представляет
труда. В самом деле, размерность З1 равна /+^> раз-
размерность 3" равна к+ту размерность З'ПЗ" есть ft,
а размерность суммы З' + З", как мы показали, равна
±+
Из теоремы 1 следует, в частности, что два подпрост-
подпространства, сумма размерностей которых больше п—размер-
п—размерности всего пространства, обязательно имеют ненулевое
пересечение. Действительно, размерность их суммы не
может превосходить п.
3. Прямая сумма подпространств. Если пересечение
подпространств 3' и 3*—нулевое подпространство, то
сумма З' + З" называется прямой суммой и обозна-
обозначается З' + З' или 31@3*.
Размерность прямой суммы равна сумме размерностей
слагаемых. Пусть /„ ..,, /,—базио в 3", a git ..., gm—
базис в 3*. Из доказательства теоремы 1 видно, что си-
система векторов ft, ..,, ft, gt, .... ga является базисом в
З'фЗ".
редложение б. Каждый вектор х в прямой
З'®3" раскладывается в сумму векторов х' из 3*
из 3 единственным образом.
201
рд
сумм З'®3" раскладывается в су
и х" из 3 единственным образом.

Действительно, если мы имеем два таких разложения
д р
х**х'+х" и х**у'+у*, то х*—jf><=Blf—*"• Ясно, что
вектор х'—у'?Зс, но он равен у—х и, следовательно,
принадлежит 3*. Таким образом, к'—у( ? 3'f\3",
откуда х(**у' и jt'=/.
В заключение параграфа отметим, что понятия суммы
и пересечения подпространств легко могут быть распро-
распространены на любое конечное число подпространств.
Сумма нескольких подпространств называется прямой
суммой, если каждое из них имеет нулевое пересечение
о суммой остальных.
§ 3. Линейные отображения
1. Определение. Пусть 3 и &—два линейных прост-
пространства, оба вещественные или оба комплексные. Под
отображением А пространства 3 в пространство 3
понимается закон, по которому каждому вектору из 3
сопоставлен единственный вектор из St. Мы будем пи-
писать коротко А! 3—*3. Образ вектора х обозначается
А(лг).
Определение. Отображение Aj 3—+& назы-
называется линейным, если для любых векторов х и у из 3
и любого числа се выполнены равенства
), А(ох)«аА(х). (\)
Следует подчеркнуть, что знак «+¦» в правой и левой
частях первой из формул A) обозначает две, вообще го-
говоря, различные операции: сложение в пространстве 3
и сложение в пространстве 3. Аналогичное замечание
относится и ко второй формуле.
Из определения немедленно вытекает, что при линей-
линейном отображении линейная комбинация векторов перехо-
переходит в такую же линейную комбинацию их образов.
Линейное отображение мы будем называть линейным
преобразованием, если пространства 3 и 3 совпадают.
Приведем несколько примеров линейных отображений.
1) Пусть X—фиксированное число. Сопоставим каж-
каждому вектору х пространства 3 вектор Ьк. Легко видеть,
что это линейное преобразование.
2) При аффинном преобразовании плоскости двумер-
двумерное пространство векторов, в ней лежащих, отображается
само на себя. При этом сумма векторов переходит в сумму
202

образов, а результат умножения вектора на число—в про-
произведение его образа на это же число-.
3) Выберем в я-мерном вещественном линейном про-
пространстве Зп какой-нибудь базис. Это сопоставит каж-
каждому вектору его координатный столбец и, следовательно,
определит линейное отображение рассматриваемого про-
пространства в пространство столбцов высоты п.
Если мы сопоставим каждому вектору его первую
компоненту, то получим отображение пространства ?Рп
в линейное пространство 91 вещественных чисел. В силу
правил действий с компонентами векторов такое отобра-
отображение является линейным. Линейные отображения 3„ —<¦
—+91 называются линейными функциями на Зп. Мы бу-
будем изучать их ниже, в гл. VIII.
4) Пусть С°[— 1, 1] и С0 [0, 2]—пространства функ-
функций, непрерывных соответственно на отрезках [—1, 1]
и [0, 2]. Сопоставим функции f(x) из С°[—1, 1] функцию
/(f 1) С0 [0 2] Т б
] фуц f() [, ] фу
/( 1) из С0 [0, 2]. Так построенное отображение, оче-
очевидно, является линейным. Менее тривиальный пример
можно получить, сопоставив каждой функции из С°[—1, 1]
ее первообразную F(x), удовлетворяющую условию
F @) = 0.
5) Рассмотрим л-мерное арифметическое пространство
Я„ (пространство столбцов высоты п) и прямоугольную
матрицу А размеров тхп. Сопоставим каждому столбцу \
из 91„ столбец А%. Он имеет высоту т. Таким образом,
будет определено отображение Zha в Э1т. В силу свойств
умножения матриц это отображение—линейно.
6) Отображение, сопоставляющее каждому вектору
нулевой, является линейным. Оно называется нулевым
отображением.
В дальнейшем в этом параграфе буквы пит будут
обозначать размерности пространств 3 и 3 соответст-
соответственно.
Докажем следующее общее свойство линейных отобра-
отображений.
Предложение 1. При линейном отображении Ai
3„ —*¦ J?m линейное подпространство „2" из 3?п переходит
в линейное подпространство A(J2") из &т, причем раз-
размерность А (.?") не превосходит размерности 3'\
В самом деле, пусть elt ..., е»—базис в З1. Для лю-
любого вектора х из З1 имеем x = fe1«i+ ••• +?*«*. и, сле-
следовательно,
А (х) = А (^ + ... + 1*е„) - ГА (et) + ... + fc*A (ek). B)
203

означает, что произвольный элемент множестэа A(J2")
образов всех векторов из J2" есть линейная комбинация
векторов A (et), .... А (ек). Наоборот, каждая такая ли-
линейная комбинация, очевидно, является образом вектора
из J2". Итак, множество А {&') совпадает с линейной
оболочкой векторов А(е^, ..., А(ек) и, следовательно,
есть подпространство. Размерность этого подпространства
не превосходит k в силу предложения 1 § 2.
Необходимо отметить частный случай доказанного
предложения: множество образов всевозможных векторов
из 3!п является подпространством в ??я.
Мы обозначим это подпространство &¦(&„) и будем
называть множеством значений отображения.
Определение. Размерность множества значений
отображения А называется рангом этого отображения.
Если ранг А равен /л, т. е. А(в27„) совпадает с &'„,
то каждый вектор из 3!т является образом некоторого
вектора из J?n. Отображение, обладающее этим свойст-
свойством, называется наложением или сюръективным отобра-
отображением.
Предложение 2. Множество векторов из J2?п, пе-
переходящих в нулевой вектор при отображении А, является
линейным подпространством в &п.
Это очевидно: если два вектора переходят в нулевой
вектор, то и их сумма переходит в нулевой вектор. Если
А(х) = о, то А(ах)«=ао = о.
Определение. Подиространство векторов, отобра-
отображающихся в нулевой вектор, называется ядром отобра-
отображения А.
Ядро отображения не может быть пустым множест-
множеством: оно во всяком случае содержит нулевой вектор.
Действительно, А(о)*=А@дс) = 0А(*) = о. Если размер-
размерность ядра отлична от нуля и ядро содержит хоть один
ненулевой вектор, то в &т существуют векторы, имею-
имеющие не один прообраз, а по меньшей мере два (таким
является, например, нулевой вектор из J?m). Верно и об-
обратное утверждение! если существует вектор х, который
имеет два различных прообраза, т. е. А(х) = А(у) — ~х,
то ядро А содержит ненулевой вектор. Действительно,
в этом случае х—уф о и А(х—у) —о.
Отображение, при котором разные векторы имеют раз-
различные образы» называется вложением или инъективным
отображением. Итак, мы получили
204

Предложение 3. Отображение является вложе-
вложением тогда и только тогда, когда егд ядро—нулевое под-
подпространство.
2. Координатная запись линейных отображений. Рас-
Рассмотрим линейные пространства 3„ и $?я размерностей
п и т и отображение А: Зп —*¦ За. Пусть eit ...,е„~—
базис в пространстве 3а. Тогда образ произвольного век-
вектора * = ?1е1+ ... -f IX может быть представлен в виде
А (х) -= 6» А (ех) + ... + &"А (О. C)
Значит, А(х) может быть найден по компонентам х, если
известны п векторов А(ел), ..., А(е„) в Sт.
Выберем базис также и в пространстве Зт. Пусть
это fx, •••>/m- Каждый из векторов А(е,) мы можем раз-
разложить по этому базису:
т
Если компоненты А(х) по базису f мы обозначим
ij1, ..., т)*, то равенство C) может быть переписано такз
p=i i, р
Отсюда, в силу единственности разложения по базису,
?=5X1' D)
для любых р—\, ..., т.
Если мы составим матрицу А из чисел а?, то равен-
равенства D) могут быть записаны в матричной форме:
или, подробнее,
ИЧ I «i ... «И! !Ч
Здесь координатный столбец образа (в базисе /) выражен
как произведение матрицы размеров mxn на координат-
координатный столбец прообраза (в базисе е). Это полезно срав-
сравнить с примером 5) предыдущего пункта.
Определение. Матрицей линейного отображения
А: ??п —*¦ &а в паре базисов ей/ называется матрица,
20»

столбцы которой (в их естественном порядке)—коорди-
порядке)—координатные столбцы векторов A (et), ..., А (еп) по базису /.
Матрица А, которую мы построили выше из элемен-
элементов а?, как раз является матрицей отображения А в рас-
рассматриваемой паре базисов.
Матрица линейного отображения в следующем смысле
однозначно определена: если для любого вектора х=е\
координатный столбец образа А (х) в базисе / есть tj=B|,
то столбцы матрицы В—координатные столбцы векторов
А (с,) и матрица В совпадает с матрицей А.
Это утверждение нетрудно проверить. Умножим мат-
матрицу В на координатный столбец вектора е,, т. е. на ?-й
столбец единичной матрицы порядка п. Очевидно, что
произведение равно l-щ столбцу В, и это есть коорди-
координатный столбец А (в,).
Пример 5) показывает, что при выбранных базисах е
и / каждая матрица размеров тХп служит матрицей
некоторого линейного отображения Зп—+3?т.
Итак мы видим, что выбор базисов в пространствах
3'„ и J&m устанавливает взаимно однозначное соответствие
между линейными отображениями &п в S& т и матрицами
размеров tnxn.
Предложение 4. Ранг матрицы линейного отобра
жения равен рангу этого отображения.
Доказательство. Пусть /t, ..., /,—номера столб
цов, в которых расположен базисный минор матрицы А
линейного отображения А Это значит, что векторы
А (е/(), ..., А (е/г) линейно независимы и каждый вектор
A(et) (i—\, ...,n) есть их линейная комбинация. Следо-
Следовательно, мы можем выразить образ любого вектора А(л-)
только через A (efi), ..., А (в/г) Таким образом, эти век-
векторы образуют базис в множестве значений отображения
А и их число равно размерности A(J?n), т. е. рангу ото-
отображения. Предложение доказано.
Из предложения 4 следует, что ранг матрицы линей-
линейного отображения один и тот же, какую бы пару базисов
мы ни выбрали.
Воспользуемся координатной записью линейного ото-
отображения для доказательства следующего предложения.
Предложение 5 Сумма ранга отображения и
размерности его ядра равна размерности отображаемого
пространства.
Доказательство. Согласно формуле E) ядро ото-
отображения определяется однородной системой линейных
206

уравнений Л$ = о с п неизвестными. Как видно из пред-
предложения 4, ранг матрицы этой системы равен рангу ото-
отображения г. Пусть размерность ядра равна d. Из свой-
свойства множества решений однородной системы уравнений
тогда вытекает, что d = n—г. Предложение доказано.
В частности, равенство r — п необходимо и достаточно
Для того, чтобы отображение имело нулевое ядро, т. е.
было вложением.
Напомним, что отображение называется взаимно од-
однозначным, если каждый вектор х из Зт является обра-
образом одного и только одного вектора х из 3„. Это озна-
означает, что взаимно однозначное отображение является
одновременно и вложением и наложением. Для вложения
r — п, а для наложения г = т. Итак, имеет место
Предложение 6. Отображение А: Зп—*За вза-
взаимно однозначно тогда и только тогда, когда размер-
размерности пространств совпадают и равны рангу отображения.
Это предложение легко получить и из исследования
системы линейных уравнений D): взаимная однозначность
отображения означает, что эта система имеет единствен-
единственное решение | при любом столбце свободных членов tj.
3. Изоморфизм линейных пространств. Дадим следую-
следующее
Определение. Взаимно однозначные линейные
отображения линейных пространств называются изомор-
изоморфизмами. Если существует изоморфизм 3 на 3, то
пространства 3 и 3 называются изоморфными.
Из предложения 6 следует, что для того чтобы два
пространства были изоморфны, необходимо, чтобы их
размерности совпадали. Оказывается, что условие является
и достаточным, т е. имеет место следующая теорема об
изоморфизме.
Теорема 1. Два вещественных пространства изо-
изоморфны тогда и только тогда, когда их размерности
равны. То ж$ верно и для комплексных пространств.
Нам остается доказать только достаточность условия.
Пусть 3 и 3—два n-мерных линейных пространства.
Если в каждом из них выбран базис, то любая квадрат-
квадратная матрица порядка п определяет некоторое отображе-
отображение 3 в 3 по формуле E). Это отображение будет иво-
морфизмом, если ранг матрицы равен п. Итак, чтобы ва-
дать изоморфизм 3 на 3, достаточно выбрать в этих
207

пространствах базисы и задать матрицу ранга п (т. е.
о детерминантом, отличным от нуля).
Значение теоремы об изоморфизме состоит в следую-
следующем. Линейные пространства могут состоять из чего
угодно—столбцов, многочленов, чисел, направленных
отрезков, функций, матриц,— природа их элементов роди
не играет, когда изучаются только их свойства, связан-
связанные с операциями сложения и умножения на число Все
эти свойства у двух изоморфных пространств совершенно
одинаковы. С алгебраической точки зрения изоморфные
пространства тождественны. Если мы условимся не раз.
личать между собой изоморфные пространства, то в силу
теоремы об изоморфизме для каждой размерности найдется
только одно линейное пространство
4. Изменение Матрицы линейного отображения при
замене базисов. Рассмотрим линейное отображение А:
&п—*3т. Если 3„ и 3 т выбраны соответственно ба-
базисы е и /, то А определяется матрицей А. Пусть другая
пара базисов е' и /' связана сей/ матрицами перехода
S и Р. В базисах е' и /' отображение А имеет матрицу
А'. Наша задача—найти связь между матрицами А и А'.
Рассмотрим произвольный вектор х из пространства
Я?п и его образ у = А(х) Обозначим координатные столбцы
х в базисах е и е' соответственно через | и |\ а коор-
координатные столбцы вектора у в базисах / и /' через ц
и ч'. Согласно формуле C) § 1 мы имеем следующую
•«вязь старых и новых координатных столбцов рассмат-
рассматриваемых векторов:
Подставив эти выражения в формулу E), мы получим
/>!)' = Л5|'. Поскольку матрица перехода всегда имеет
обратную, мы можем найти ц' из этого равенства; q'=
=P~lAS\'. Но, с другой стороны, ц' = Л'|' по определе-
определению А'. Так как матрица линейного отображения для
данной пары базисов однозначно определена, мы получаем
/4'*/>-MS. F)
Это и есть искомая связь между матрицами А и Л'.
Если обозначить элементы матриц А и А' через а1/
и аI, а элементы Р~1 и S соответственно через р{ и of,
то матричное равенство F) можно переписать в виде тп
208

числовых равенств)
2?Н G)
,
Здесь индексы принимают следующие значения! t, k=*
= 1, ..., m; /, / = 1, ..,, п.
5. Канонический вид матрицы линейного отображения.
Как видно из формулы F), матрица линейного отображе-
отображения Аз 3„ —*¦ 3 т может существенно изменяться при
Замене базисов в Зп и 3 т. Естественно возникает во-
вопрос, как выбрать базисы в 3'„ и 3'т с тем, чтобы мат-
матрица линейного отображения А имела наиболее простой
вид.
Теорема 2. Для любого линейного отображения А;
&„ —* 3„ можно так выбрать базисы е и f в простран-
пространствах 3'„ и Зт, что матрица отображения будет иметь
вид1)
где Ег—единичная матрица порядка г.
Доказательство Пусть ранг отображения А ра-
равен г. Базис е в пространстве Зп, мы выберем следую-
следующим образом 1 векторы er+i, ...,е„ мы поместим в ядре
отображения А (его размерность как раз равна п—г),
а векторы eit ...,er можем выбрать произвольно В силу
такого выбора, каков бы ни был базис / в пространстве
?т% последние п—г столбцов матрицы будут нулевыми.
Так как ее ранг равен г, первые г столбцов должны быть
линейно независимыми. Это означает, что линейно неза-
независимыми будут векторы А(^), ...,А(ег). Примем их
8а первые г базисных векторов в пространстве 3'т\ fx=*
=A(ej), ..., fr"= A(er), а остальные векторы fr+t, ...
..., fa можем выбрать произвольно При таком выборе
базиса первые г етолбцов матрицы будут первыми г столб-
столбцами единичной матрицы порядка т. Это и есть вид (8)
для матрицы отображения
в. Сумма и произведение отображений. Рассмотрим
два линейных отображения А' 3—>¦ 3! и В: 3 —*3.
Назовем суммой отображений А и В и обозначим через
*) Если г=т или г=п, в матрице <8) нет нулевых отрок или
соответственно столбцов.
209

А + В отображение Ci 3—*3, определяемое равенст-
равенством С(дс) = А(*) + В(дс). Не представляет труда прове-
проверить, что С—линейное отображение. Действительно,
если в 3 и 3 выбраны базисы, то координатные столбцы
векторов А(х) и В (дс) запишутся через матрицы отобра-
отображений как А% и В%. Следовательно, С(х) будет иметь
координатный столбец А%-\-В\ — (А-\-В)\. Итак, А+В —
линейное отображение и его матрица равна сумме матриц
отображений А и В.
Произведение линейного отображения A: 3—*3 на
число а определяется как отображение В: 3—+3, сопо-
сопоставляющее вектору х вектор ссА(дс). Нетрудно проверить,
что оно линейное и имеет матрицу аА, если А—матрица А.
Результат последовательного выполнения двух линей-
линейных отображений А: 3~* 3 и В: У-»:? называется
их произведением, и обозначается В о А (отображение,
которое делается первым, пишется справа). Разумеется
В о А отображает 3 в 3 и является линейным отобра-
отображением. _
Пусть в пространствах 3, 3 и 3 выбраны базисы
соответственно е, f и g. Обозначим через А матрицу ото-
отображения А в базисах е и /, а через В матрицу В в ба-
базисах / и g
Предложение 7. Отображение В о А имеет матри-
матрицу ВА в базисах е и g.
Для доказательства рассмотрим координатный столбец
1 произвольного вектора х из 3. Координатные столбцы
векторов А (х) и В (А (а:)) обозначим соответственно через
т) и ?. Тогда по формуле E) г\=А% и t, = Br\ = BA%, как
нам и требовалось.
Поскольку рант^ отображения совпадает с рангом его
матрицы, отсюда и из оценки ранга произведения матриц
(предложение 5 § 6 гл. V) следует
Предложение 8. Ранг произведения отображений
не превосходит рангов сомножителей.
Произведение отображения А на число можно рассмат-
рассматривать как его произведение на линейное преобразование,
состоящее в умножении всех векторов-на это число (см.
пример 1) на с. 202).
Свойства сложения и умножения отображений легко
вытекают из соответствующих свойств умножения матриц,
и мы не будем на них останавливаться. Предоставим чита-
210

телю сформулировать и доказать, например,- свойство
ассоциативности умножения отображений.
Пусть дано линейное отображение Ai Зп—*Зт. Ли-
Линейное отображение Ci Зт —* Зн мы назовем обратным
для А и будем обозначать А, если ВоА«=Е и АоВ=Ё,
где Е и Ё—тождественные преобразования пространств
3„ и 3п. Иначе говоря, для каждого х из 3,, должно
быть B(A(jc))««JC и А(В(у))=*у—для каждого д из 3п.
Предложение 9. Линейное отображение А имеет
обратное тогда и только тогда, когда оно—изоморфизм.
Доказательство. Пусть А—изоморфизм. Тогда
его ранг удовлетворяет условию г мшап и к системе
уравнений /4|"»т), связывающей координаты образа и
прообраза в некоторой паре базисов, применимо правило
Крамера. Она имеет единственное решение при любом
столбце свободных членов. Рассмотрим отображение Вз
Зт —* Зп, сопоставляющее вектору у с координатным
столбцом tj вектор х с координатным столбцом §, равным
решению этой системы А~*т\. Поскольку столбец %*вА~1ц
получается из ц умножением на матрицу, отображение
В является линейным. Очевидно также, что всегда
В (А (*))-«* и A(B(y))ray. Итак, отображение В—обрат-
В—обратное для А.
Пусть теперь А—не изоморфизм. Тогда либо г</и,
либо г < п. В первом случае в 3т существует вектор и,
не принадлежащий АC„). Если бы существовало обрат-
обратное отображение, мы имели бы и «= А (А (и)) ? А C„),
что противоречит выбору и. Во втором случае существует
вектор гфо, принадлежащий ядру А. Если бы сущест-
существовало обратное отображение, мы получили бы противо-
противоречащее выбору г равенство г = А~1(А(г)) = о. Предло-
Предложение доказано.
При доказательстве первой части предложения мы
нашли матрицу отображения А'1. Именно, если отображе-
отображение А в базисах ей/ имеет матрицу А, то отображение
A-i в базисах /ив имеет матрицу Д~*.
§ 4. Задача о собственных векторах
1. Линейные преобразования. В предыдущем параграфе
мы назвали линейным преобразованием линейное ото-
отображение, которое отображает пространство само в себя.
Все результаты об отображениях, полученные в § 3, вер-
211

нЫ и для преобразований, ж> здесь должны быть сделаны
существенные оговорки, касающиеся координатной записи
преобразования.
Именно, записывая в координатах линейное отображе-
отображение' А: $—*S, мы выбираем базисы в обоих простран-
пространствах 3 и 3. Если пространства 3 и 3 совпадают,
естественно пользоваться одним и тем же базисом для
образов и для прообразов. Поэтому дается следующее
Определение. Матрицей линейного преобразований
А: 3—*¦ 3 в базисе е—\ех ... ej называется матрица,
столбцы которой—координатные столбцы векторов
А Ы А (е„) по базису е.
В соответствии с этим определением формула F) § 3
для матрицы преобразования принимает вид
Л' = 5"М5. A)
Множество матриц А', получаемых из данной матрицы
А по формуле A) при различных 5, уже, чем множество
матриц, получаемых из той же А по формуле F) § 3 при
не связанных между собой матрицах перехода S и Р.
Отсюда вытекают особенности координатной записи пре-
преобразований. Главнейшая из них состоит в том, что в
более узком множестве, вообще говоря, не найдется мат-
матрицы канонического вида (8) § 3 и теорема 2 § 3 неверна
для преобразований.
Не следует думать, что это—случайное обстоятель-
обстоятельство, связанное с «неудачным» определением матрицы пре-
преобразования. Матрица отображения определяет это ото-
брэжение, и потому все свойства отображения содержатся,
среди свойств его матрицы. Свойствами отображения
являются те свойства матрицы, которые инвариантны,
т. е. не меняются при переходе к другой паре базисов.
Остальные свойства матрицы определяются не только
отображением, но и парой базисов. Теорема 2 § 3, по су-
существу, означает, что при фиксированных пространствах
3 и 3 единственным инвариантным свойством отобра-
отображения является его ранг, поскольку все отображения
одного ранга в подходящих парах базисов записываются
одной и той же матрицей.
Линейные преобразования имеют больше инвариант-
инвариантных свойств, чем линейные отображения. Это связано с
тем, что образ и прообраз лежат в одном пространстве, и
мы получаем возможность говорить об их взаимном рас-
расположении. Например, приобретает смысл вопрос о том,
212

коллинеарен ли образ прообразу. Для, отображения про-
пространства- S в .#, отличное от 3, этот вопрос лише»
смысла.
В этом параграфе мы будем заниматься исключительно
линейными преобразованиями и теми их свойствами, кото-
которыми не обладают линейные отображения в общем случае.
2. Инвариантные подпространства. Рассмотрим линей-
линейное пространство S? и линейное преобразование А этого
пространства.
Определение. Подпространство Я" пространства
SP называется инвариантным относительно А, если для
каждого вектора к из &' образ А(х) лежит в S'.
Можно сформулировать это определение иначе, сказав,
что3?' инвариантно, если А(ЛР') есть подпространство в 3?'.
Пример 1. Рассмотрим обычное геометрическое про-
пространство и поворот А этого пространства вокруг заданной
оси р на угол а. При повороте вектор переходит в век-
вектор, и, следовательно, поворот порождает преобразование
в трехмерном векторном пространстве. Очевидно, что это
преобразование линейное. Векторы, лежащие на оси р,
образуют двумерное инвариантное подпространство, так
как для них А (*) = *. Векторы, перпендикулярные оси р,
образуют одномерное инвариантное подпространство, так
как вектор, перпендикулярный оси, после поворота оста-
останется ей перпендикулярным.
Пример 2. Нулевое подпространство всегда перехо-
переходит само в себя и, следовательно, инвариантно относи-
относительно Любого преобразования.
ftp и мер 3. Пространство 3, рассматриваемое как
подпрЬатраиство, является инвариантным подпростран-
подпространством.
Пример 4. Каждое подпространство является инва-
инвариантным относительно тождественного и нулевого пре-
преобразований
Пример 5. Ядро преобразования и множество его
значений являются инвариантными подпространствами.
Пусть в я-мерном линейном пространстве 3 задано
линейное преобразование А, и пусть 6-мерное подпрост-
подпространство J?' инвариантно относительно А. Выберем в S
базис et, ...» еп так, чтобы векторы еи ..., ек лежали в
J0". Матрица А преобразования А может быть разделена
на четыре клетки;
213
A ax I rn* I «У1,

Клетки y4j, A,, At и At являются матрицами размеров
Ах А, Ах (я—*), (я—А)хА и (п—А)х(л—А) соответст-
соответственно. Докажем, что клетка At нулевая, т. е. элементы а'
матрицы Л равны нулю для значений индексов / =
— 1, .*.,k и i — k+\, ...,n. Действительно, первые А
столбцов матрицы А—координатные столбцы векторов
А(е,), .... А(?к). Так как &'—инвариантное подпрост-
подпространство, эти векторы лежат в 3' и согласно предло-
предложению 3 § 2 их компоненты а} по базисным векторам
ек+1, ...,«„ равны нулю.
Легко видеть, что, и обратно, если в каком-нибудь
базисе матрица линейного преобразования А имеет вид
Ш1 B)
то линейная оболочка векторов?*, ...,ек есть инвариантное
подпространство. В самом деле, из вида матрицы следует,
что для всех / = 1, ..., А
и потому образ линейной комбинации векторов eit ..., ек
является линейной комбинацией тех же векторов. Резю-
Резюмируем сказанное.
Предложение 1. Матрица А преобразования А
имеет вид B) тогда и только тогда, когда линейная обо-
оболочка векторов г,,..., е„—инвариантное подпространство.
Преобразование А каждому вектору из инвариантного
подпространства &' сопоставляет вектор из &'. Этим
определено преобразование пространства &', которое мы
назовем ограничением преобразования А на подпростран-
подпространстве 3' и обозначим А'. Для векторов из 3' имеем
А'(лг) = А(дс), а для векторов, не лежащих в ?", преоб-
преобразование А' не определено. Преобразование А' отличает-
отличается от А только множеством векторов, для которых оно
определено.
Ограничение линейного преобразования, очевидно, бу-
будет линейным преобразованием.
Сохраним обозначения, введенные при доказательстве
предыдущего предложения. Нетрудно доказать, что в ба-
базисе еи ..., eh пространства JZ" матрицей преобразования
А' будет клетка At матрицы B).
3. Собственные векторы. Рассмотрим одномерное под-
подпространство J?i линейного пространства J?. Базис в St
состоит из одного вектора х, не равного нулю, и каждый
214

вектор и из 3\ имеет вид ах, где а—подходящее число.
Если ?et инвариантно относительно заданного в 3 линей»
иого преобразования А, то А<*) лежит в &г. Следова-
Следовательно, существует такое число к, что
U. CJ
Обратно, если для некоторого ненулевого вектора!из
3t выполнено условие C), то оно выполнено и для любо-
любого вектора из Si (это легко проверить, умножив |обе
части равенства C) на произвольное число). Поэтому 3t
будет инвариантным подпространством.
, Определение. Ненулевой вектор х, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию C), называется собственным вектором пре-
преобразования А. Число К в равенстве C) называется соб-
собственным значением. Говорят, что собственный вектор х
принадлежит собственному значению К.
Мы видели, что каждое одномерное инвариантное под-
подпространство определяется собственным вектором и, на-
наоборот, каждый собственный вектор определяет одномер-
одномерное инвариантное подпространство.
Поставим себе задачу найти все собственные векторы
заданного Линейного преобразования А. Эта задача имеет
большое значение как в случае пространств конечной раз-
мерности, так и в случае бесконечномерных пространств.
Мы рассмотрим ее для пространств конечного числа изме-
измерений п.
Если в пространстве 3 выбран базис, то равенство C)
записывается как соотношение Л|=*>?, связывающее мат-
матрицу А преобразования А и координатный столбец \ век-
вектора х. Обозначив через Е единичную матрицу порядка п,
мы можем переписать это соотношение в виде
о D)
E)
или, подробнее,
(-...+• а\Ъп *» О,
—ЯN» = 0.
Равенства E) мы будем рассматривать как систему урав-
уравнений для нахождения компонент 5х, ..., %п собственного
вектора х. Это система из п линейных однородных уравне-
уравнений с п неизвестными. Так как вектор х должен быть
отличен от нуля, нас интересуют только нетривиальные
215

решения, т. е. такие, что хоть, одна из компонент |' не
равна нулю. Система имеет нетривиальное решение только
тогда, когда ее ранг меньше числа неизвестных. В нашем
случае это означает, что должен равняться нулю детер-
детерминант матрицы системы:
= 0. F)
а? a,"...(ctf-Jl) W
Равенство (б) называется характеристическим уравнением.
Это условие на параметр X, которому должны удовлетво-
удовлетворять все собственные значения преобразования А. Разу-
Разумеется, в вещественном пространстве комплексные корни
характеристического уравнения не могут быть собствен-
собственными значениями, так как для них не имеет смысла ра-
равенство C).
Если учитывать последнее замечание, условие, которое
мы получили, является н достаточным. В самом деле,
для каждого значения X, удовлетворяющего условию F),
ранг системы E) понижается, и она имеет нетривиальное
решение. Это решение является координатным столбцом
собственного вектора х, соответствующего данному X. Мы
получили следующую теорему.
Теорема 1. В комплексном пространстве все корни
характеристического уравнения и только они являются
собственными значениями преобразования. В вещественном
пространстве то же утверждение имеет место для веще-
вещественных корней характеристического уравнения.
Левая часть характеристического уравнения представ-
представляет собой многочлен степени п. Действительно, согласно
формуле F) § 2 гл. V детерминант равен алгебраической
сумме произведений, в каждое из которых входит по п
элементов матрицы. Содержат X только элементы, стоящие
на главной диагонали. Существует одно произведение
в котором все сомножители содержат X. Если в какое-
нибудь другое произведение вошел сомножитель а\ (i Ф /),
то в него не могут войти сомножители (а[—X) и (а{—X).
Поэтому каждый член суммы, кроме G), содержит X в
степени не выше п—2. Раскрывая скобки в выражении
G), выпишем два члена со старшими степенями Xi
(_l)»A»-f (— l)"-*(o}-f-... -f-a2)&,"-\ Эти же члены будут
старшими и во всем многочлене. Свободный член много*
216

члена равен его значению при Х = 0, а это значение равно
det(i4—O?)=sdet>4. Таким образом, многочлен в левой
части равенства F) имеет вид
(_ 1 )»я» + (— 1 )•-»&.¦-» 2 а + ... -f det A.
Этот многочлен называется характеристическим многочле-
многочленом матрицы А. Не представило бы труда выписать и
остальные его коэффициенты, но это нам не понадобится.
Многочлен степени п, как известно, не может иметь боль-
больше, чем п различных корней и всегда имеет хотя бы один
комплексный корень. Если мы рассматриваем веществен-
вещественное пространство, то может случиться (при четном п),
что характеристическое уравнение не имеет ни одного
вещественного корня и, следовательно, линейное преобра-
преобразование не имеет собственных значений и собственных
векторов. Примером может служить поворот плоскости.
В комплексном пространстве каждое линейное преоб-
преобразование имеет хоть одно собственное значение и, сле-
следовательно, хоть один собственный вектор.
4. Свойства собственных векторов и собственных зна-
значений.
Предложение 2. Все собственные векторы,
принадлежащие одному и тому же собственному значе-
значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное под-
подпространство.
Утверждение немедленно следует нз того, что коорди-
координатные столбцы этих векторов составляют множество всех
решений однородной системы линейных уравнений.
Теорема 2. Если собственные векторы Xf, ..., xk
принадлежат попарно различным собственным вначениям,
то они линейно независимы.
Теорема доказывается по индукции. Проверим утвер-
утверждение для двух собственных векторов xt и хг, принад-
принадлежащих различным собственным значениям Я, и \. Пусть
они линейно зависимы. Так как векторы ненулевые, в этом
случае найдется число о такое, что xtt=auct. Применяя
преобразование А, мы получим А(л:1) = Х1л-1 н
A (Xj) = «А (Хг) «
Это означает, что Я1дг1== ^^Cj, что невозможно при
Итак, векторы линейно независимы.
Допустим теперь, что любая система из k—1 собст-
собственных векторов, принадлежащих различным собственным
217

значениям, линейно независима, и докажем это утвержде-
утверждение для системы из k векторов.
Пусть система векторов xit ,...,хк удовлетворяет
условию теоремы. Рассмотрим их равную нулю линейную
комбинацию
»о. (8)
Отсюда действием преобразования А и умножением на
мы получаем соответственно
и
Почленное вычитание этих равенств дает нам
Of (*! — **) *1 +•••+ «*-! (Ч-t — **) *fc-I «= °- (
По предложению индукции эта линейная комбинация
тривиальная, и, следовательно,
**)-0
Поскольку собственные значения попарно различны, име-
имеем ctj= ... вац.,юО. Учитывая это в равенстве (8), на-
находим ока0. Итак, линейная комбинация (8)—тривиаль-
(8)—тривиальная. Теорема доказана.
Предложение 3. Если А и А'—матрицы преоб-
преобразования А в разных базисах, то характеристические
многочлены этих матриц совпадают.
Действительно, согласно формуле A' *=S~lAS мы имеем
det (А'—Щ ** det (S'MS—Я?) ~ det S~» (A—XE) S .
- det (A—Щ det S det S« det (A —KE).
Из этого предложения следует, что мы можем назы-
называть характеристический многочлен матрицы А характе-
характеристическим многочленом преобразования А.
Коэффициенты характеристического многочлена явля-
являются инвариантами, связанными с преобразованием. В част-
частности, детерминант матрицы преобразования не зависит
от выбора базиса. Другим важным инвариантом является
коэффициент при (—&)"""*, называемый следом матрицы:
i S+й
+ Ьй
Рассмотрим теперь произвольный многочлен ()
"йУ|Л"+ • • • +?A+Y«- Если X,—корень этого многочлена,
то Р(К) делится на двучлен 4,—it, т. е. представляет
218

собой произведение Я—X, на многочлен Р1(Х)г). Может
случиться, что Р(к) делится не только на X—Я,, но и
на (А,—А,,)* при некотором целом s > 1, иначе говоря, Р(к)
имеет вид (А—\)sPt(ty, гДе ?*—многочлен. Самое боль-
большое число s, обладающее этим свойством, называется
кратностью корня А,. Корни кратности 1 называются
простыми.
Теорема 3. Пусть собственное значение X, преобра-
преобразования А является корнем характеристического уравнения
кратности s. Тогда ему принадлежит не более s линейно
независимых собственных векторов.
Доказательство. Пусть существуют h линейно
независимых собственных векторов, принадлежащих Яф.
Обозначим их еи ..., ek и дополним векторами ek+i, ...,e
до базиса в пространстве 2. В этом базисе матрица А
преобразования А имеет вид
в
б
где Я—некоторая матрица размеров пх(п—k). Действи-
Действительно, для каждого i^k столбец с номером i—коорди-
i—координатный столбец вектора А(г,)|=А,ое,—состоит из нулей,
за исключением t-ro элемента, равного А,,. Составим мат-
матрицу А—ХЕ. Раскладывая ее детерминант последовательно
по каждому из первых k столбцов, мы имеем det(/4—%Е)=
=(Я,0—Х)*Р(Х). По определению кратности мы видим
теперь, что ?s^s.
Собственному значению кратности s может принадле-
принадлежать и меньше чем s линейно независимых собственных
векторов. Например, читатель проверит, что линейное
преобразование двумерного пространства, задаваемое мат-
>) Для читателя, не знакомого с этим фактом, приведем следую-
следующее доказательство. Заменим ^многочлене Р (X)=«Yn^+.i.+vA+Y«
аргумент X па двучлен Ь*+А*, где А,*—новый аргумент) Р»(Х*) =
= VB(^*+^)" + "-+Vi(J'*+^«)+Ye- Эхт многочлен может быть
записан по степеням X*: r*(X*) = Y^*"+"»+Yi't*+Yo» Свободный
член Yo многочлена Р* равен его значению при Xе = 0, т. в. Я(Х»).
Следовательно, еуш X,—корень многочлена Р, имеем То ¦*°- Теперь,
подставляя Xе=Х—Х«, мы получимР (Х) = y*(X—Х,)"+.. >+y\Q>—X»)«
или Р (X) = (X—X,) (yJ (X—X,)» + • • • + Yjl< Многочлен в квадрат-
иых скобках мы и обозначим через Рг (X).
219

рицей |0 Л. имеет собственное значение кратности 2 и
всего один независимый собственный вектор.
Предложение 4. Линейное преобразование имеет
собственное значение, равное нулю, тогда и только тогда,
когда оно не является взаимно однозначным.
Действительно, из предложения 6 § 3 следует, что вре*
образование взаимно однозначно в том и только в том
случае, когда его ранг равен п, т. е. детерминант его мат>
рицы отличен от нуля. Но детерминант—свободный член
характеристического многочлена и равен нулю тогда и
только тогда, когда нуль—корень характеристического
уравнения.
Заметим, что для собственного вектора, принадлежа-
принадлежащего нулевому собственному значению, А(*)=»о. Это
означает, что ядро А содержит ненулевой вектор к.
Предложение 5. Пусть А—линейное преобразование вещест-
венного линейного пространства. Комплексному корню характеристи-
характеристического многочлена преобразования А соответствует двумерное инва-
инвариантное подпространство.
Если число а+»'Р удовлетворяет уравнению det (А—А.?) = 0,
то система линейных уравнений {А — (ot-j-tP)?}I=o имеет нетриви-
нетривиальное решение. Оно будет комплексным столбцом высоты п, я мы
можем записать еговвидет)+«?, где ц и С—вещественные столбцы
Равенство двух комплексных столбцов Л| = Х| равносильно двум
равенствам между вещественными столбцами, именно:
Лц=а!,~р?, Л? = {>!,+«?. A0)
Столбцы rj и ? вещественные, н им соответствуют векторы, которые
мы обозначим у » г. Равенства A0) означают, что А(у) = &у—pi н
А(г)>=$у-\-а,г. Отсюда следует, что линейная оболочка векторов у
и г—инвариантное подпространство. В самом деле,
А (цу+vz) = цА (у) + vA (г) = (ца + vP) у + (va-A0) г. A1)
Осталось доказать, что векторы у и г линейно независимы. До-
пустим противное: при каких-то (t и v (ц*+л>а ф 0) имеем (i^+vz <=»<>.
Тогда, в силу A1), ((ta-r-vP)ir+(va—fiP)z^=o. Предположим ддя
определенности, что у Ф 0. Умножив два предыдущих равенства соот-
соответственно на va—fip* и на v вычтем одно из другого. Мы получим
[v (ца + vP)—ц (va—(tP) ] у =» о,
откуда (v*+fi2) Р=0, т. е. Р = 0, хотя мы предполагали, что
комплексный корень.
Замечание. Как известно (см. § 7 гл. V), если а-\-Сй удов-
удовлетворяет алгебраическому уравнению с вещественными коэффициен-
коэффициентами, то комплексное сопряженное число a—ф удовлетворяет тому
же уравнению. В нашем случае двум комплексно сопряженным кор-
корням соответствует одно и то же инвариантное подпространства. Пре-
Предоставим читателю это показать.
220

5. О приведении матрицы преобразования к жиаго-
нальиому виду. Мы будем говорить, что квадратная мат-
матрица А с элементами а' имеет диагональный вид или диа-
диагональная, если oj=0 при »т^/, т. е. могут быть отличны
от нуля только элементы а', расположенные на главной
диагонали.
Предложение 6. Матрица линейного преобразова-
преобразования А в базисе ех, ..., еп имеет диагональный вид тозда
w только тогда, когда все векторы базиса—собственные
векторы преобразования.
. < Действительно, если вектор et собственный, то
K(e,) — %fii и, следовательно, t-й элемент координатного
столбца вектора А(«,) равен А,,, а остальные элементы
равны нулю. Остается вспомнить, что t-й столбец матрицы
преобразования—координатный столбец А(е,).
Обратное утверждение доказывается аналогично.
Из теоремы 2 следует простое, но важное условие,
достаточное для того, чтобы существовал базис из собст-
собственных векторов преобразования.
Предложение 7. Если преобразование имеет п
попарно различных собственных значений, то существует
базис из собственных векторов этого преобразования.
Если характеристический многочлен преобразования
имеет кратные корни, то его матрица может не иметь
диагонального вида ни в каком базисе. Пример такого
преобразования, не имеющего базиса из собственных век-
векторов, был приведен на с. 219—220.
Однако вполне может случиться, что линейное преобра-
преобразование имеет меньше чем п собственных значений, но
все же имеет базис из собственных векторов. В самом
деле, мы можем задать базис и рассмотреть преобразова-
преобразование, определяемое какой-нибудь диагональной матрицей
с равными элементами на главной диагонали. Для нуле-
нулевого и тождественного преобразования каждый ненулевой
вектор собственный, и в каждом базисе их матрицы имеют
диагональный вид.
Предложению 7 можно придать и следующую форму.
Предложение 8. Если все корни характеристик
ческого многочлена матрицы А различны, то существует
такая матрица S с детерминантом, не равным нулю,
что матрица S~lAS диагональная. Если матрица А ве-
вещественна и мы хотим, чтобы вещественной была и S,
то нужно, чтобы корни характеристического многочлена
были вещественны.
221

ГЛАВА VII
ЕВКЛИДОВЫ И УНИТАРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Евклидовы пространства
1, Скалярное произведение. Линейное пространство,
введенное в предыдущей главе, существенно отличается
от множества векторов обычного геометрического прост-
пространства тем, что в линейном пространстве не определены
понятия длины вектора и угла между векторами. В на-
настоящей главе мы дадим эти определения.
В гл. I, исходя из длины и угла, мы определили ска-
скалярное произведение. Здесь удобнее поступить наоборот.
Мы аксиоматически определим операцию скалярного умно-
умножения векторов, а длину и угол введем при помощи ска-
скалярного произведения.
Полученные до сих пор результаты, как правило,
относились как к вещественным, так и к комплексным
пространствам. Определение скалярного умножения в этих
двух случаях формулируется различно. Этот параграф
посвящен вещественным пространствам.
Определение. Вещественное линейное простран-
пространство называется евклидовым, если в нем определена опе-
операция скалярного умножениях любым двум векторам хп у
сопоставлено вещественное число (обозначаемое (х, у)), и
это соответствие удовлетворяет следующим условиям,
каковы бы «и были векторы х, у и г и число он
I". (х, у)**{у> х).
2°. (х+у, *)»(*, г)+(у, г).
8°. (а*, у)=*а(х, у).
4°. (х, х)>0, если хфо.
Укажем простейшие следствия из аксиом 1° —4°i
1. (х, ау)~(ау, х)=*а(у, х), и потому всегда
(х, ау)ж*а(х, у). A)
2. Аналогично доказывается тождество
(х, у+г)~(х, 0Ж*. г). B)

3. Последовательно применяя аксиомы 2° и 3° и два
предыдущих следствия, легко доказать, что для любых
векторов и чисел
U 2
\ *=1
О)
= 2,Р»<*. Ун)-
4. Каков бы ни был вектор х, имеем
(*, о) = 0. D)
Действительно, положим о = 0х. Тогда (х, о) =
Пример 1. Для векторов—направленных отрезков —
было определено скалярное произведение как произведе-
произведение их длин на косинус угла между ними. Так опреде-
определенное скалярное произведение обладает свойствами 1°—4°
и зависит от выбора единицы измерения длин. Поэтому,
если единица измерения длин выбрана, векторы обычного
геометрического пространства образуют трехмерное евкли-
евклидово пространство в определенном здесь смысле.
Пример 2. В линейном пространстве столбцов вы-
высоты п мы можем ввести скалярное произведение, сопо-
сопоставив столбцам | и 1) число
E)
где через ?' и г\' обозначены элементы столбцов. Число
E)—матричное произведение строки %т на столбец т|.
Читатель легко проверит, что аксиомы 1°—4° выполнены.
При таком определении скалярного произведения про-
пространство столбцов высоты л становится л-мерным евкли-
евклидовым пространством.
Пример 3. В пространстве функций, непрерывных
на отрезке [0, 1], можно ввести скалярное произведение
по формуле
Аксиомы 1°—4° вытекают из известных свойств опреде-
определенных интегралов.
2. Длина и угол* В гл. I мы получили формулы, вы-
выражающие длину вектора и угол между векторами через
скалярное произведение. В соответствии о ними введем
следующее определение.
223

Определение .Назовем длиной вектора * и обо-
обозначим | х] число V(x, x). Углом между векторами хну
назовем каждое число ф, удовлетворяющее условию
C03cp==WFP <6>
В силу аксиомы 4° длина вектора—вещественное не-
неотрицательное число (мы рассматриваем арифметическое
значение корня). Длина вектора равна нулю тогда и только
тогда, когда вектор нулевой.
С определением угла дело обстоит несколько сложнее.
Нам предстоит доказать, что выражение в правой части
равенства F) по абсолютной величине не превосходит
единицы. Это следует из неравенства
(х, уУ<(х, х)(у, у), G)
связываемого о именами Шварца, Коши и Буняковского.
Докажем это неравенство.
Пусть х и у—произвольные векторы в евклидовом
пространстве. При любых а и Р имеет место соотношение
(8)
причем равенство нулю достигается тогда и только тогда,
когда ои4-Р#=о. Положив здесь а=(у, у) и р = — (х, у),
мы получим
(У. У)[(х, х){у, у)—(х, у)%]>%
откуда и вытекает требуемое неравенство, если у=?*о.
В случае у***о соотношение G) очевидно.
Равенство в формуле G) имеет место тогда и только
тогда, когда х и у линейно зависимы. Действительно, если
они независимы, то в (8) выполнено строгое неравенство
при а*^-^*фО. Следовательно, строгое неравенство вы-
«олнено и в G). Обратно, пусть существует нетривиаль-
нетривиальная линейная комбинация ах + $у, равная нулю. Умно-
Умножая ее последовательно на л; и на у, получим равенства
а(х, х) + ${у, «)-0 и а(х,
Детерминант однородной системы, имеющей нетривиаль-
нетривиальное решение, равен нулю. Отсюда еледует нужное равен-
равенство.
Из неравенства (Г) еледует еще одно проотое и полезное нера-
неравенство, а именно:
?24

Оно вытекает яз следующей цепочки соотношений:
Знак, равенства имеет место, если (х, д)=*[х\\у\, т. е. если угол
«екду х и у равен нулю, и только в этом случае. Неравенств» (9)
называется неравенством, треугольника! так как, еоли векторы
являются направленными отрезками, оно означает, что сторона тре-
треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Рекомендуем читателю выписать неравенства G) и (9)
для евклидовых пространств, рассмотренных в примерах
2 и 3.
Векторы х и у называются перпендикулярными или
ортогональными, если (х, #) = 0. Если хоть один из век-
векторов х или у равен нулю, правая часть выражения F)
не имеет смысла. Нулевой вектор мы по определению
будем считать ортогональным любому вектору
Предложение 1. Только нулевой вектор ортвго-
нален каждому вектору.
Действительно, если (я, у) —0 для всех у, то, положив
у — х, имеем (х, х) — 0, что возможно только для нуле-
нулевого вектора.
3, Ортонормированный базис. Систему векторов
ft • • •» fm B евклидовом пространстве мы назовем орто-
нормированной, если (/„ /,) = () при i Ф\ и (/„ ^) = 1,
каковы бы ни были номера i и /.
Предложение 2. Ортонортированная система век-
векторов линейно независима.
Доказательство Пусть /,, .... fm—ортонорми-
рованная система векторов. Рассмотрим равенство а^-Ь...
... H-am/? = o, Из него вытекает, что а, = 0 при произ-
произвольном I. В самом деле, умножим скалярно на f( обе
части равенства. Все слагаемые, кроме i-ro, обратятся
в нуль, и мы получим a,{(fi, /,) = a< = 0. Таким образом,
каждая равная нулю линейная комбинация векторов
fit .... fm необходимо тривиальная Предложение дока-
доказано
Теорема 1. В п-мерном евклидовом пространстве
существует ортонортированная система из п векторов.
Заметим, что в силу предложения 2 такая система
векторов является базисом. Мы будем называть этот базис
одгцонормированным.
Доказательство проведем методом полной индукции.
1) При п =* 1 утверждение очевидио1 Если /—• ненуле»
вой вектор, то вектор e—\f\~lf—-ортонормированная си-
система из одного вектора.
8-102 225

2) Предположим, что в каждом (л—1)-мерном евкли-
евклидовом пространстве существует ортонормированный базис,
и докажем то же утверждение для произвольного л-мер-
ного евклидова пространства ?н. Пусть fit ..., /„—про-
/„—произвольный базис в ?л. Линейная оболочка векторов
/it • • •, /„_! представляет собой (п—1)-мерное евклидово
пространство, и, по предположению индукции, там су-
существует ортонормированная система из п—1 векторов
еи •••» еп~\- Рассмотрим вектор 7ввя/в—<Ч*\—••• —
—ап-\еп-х- Коэффициенты с^, ... , aB_i выберем так,
чтобы вектор /„ был ортогонален ко всем векторам eit ...
, • •» en-i« Так как система eJt ... , eB_s ортонормирована,
имеем GП, еу)«=(/вг е,)—а„ откуда а, «=(/„, е{) для всех
tssl, ... , п—1. Теперь рассмотрим вектор enm*\fn\~lfa.
Длина его равна единице, и он перпендикулярен векто-
векторам eit ... , eB_j. Легко видеть, что система eit ...
• • м е«-1» ер ортонормированная.
Метод, которым доказана эта теорема, называется ме-
методом ортогонализации. Для его практического примене-
применения сначала нормируют вектор fu т. е. строят вектор
ei = |/i|/i- Затем находят ортонормированный базис eit e2
в линейной оболочке векторов Д, /г. Это делают так же,
как во втором пункте доказательства. Потом точно так же
строят ортонормированный базис в линейной оболочке
векторов /„ /„ /, и т. д.
4. Выражение скалярного произведения через компо-
компоненты сомножителей. Пусть в евклидовом пространстве
&н задан базис ef, ... , еп. Это позволяет нам записать
Любые векторы х и у в виде *=2!'е/ и y^SVfy- Здесь
и далее, если не оговорено противное, индекс суммиро-
суммирования принимает значения от единицы до размерности
пространства п. Итак, мы имеем
Пользуясь формулами C), мы можем переписать скаляр-
скалярное произведение в виде
2
Если базис ортонормированный, то (еп еу).==О при
хф\ и в сумме остаются только те слагаемые, для кото-
которых 1=/. Поскольку (et, ef)al, то в ортонормйрованном
226

базиса
Каков бы ни был базис, рассмотрим числа (е,, ef)
(I, / = 1, ... , п.)—всевозможные попарно скалярные про-
произведения базисных векторов. Их принято обозначать
через glf и записывать в виде квадратной матрицы:
jgii... fin J [ (et, ей ... (ей е„> |
Ignl ...Swill l(en- et)... (е„, е„) |
Матрица A2) называется матрицей Грана базиса
еи ... , е„. В силу коммутативности скалярного умно-
умножения gtj=sgtl, и, следовательно, матрица удовлетворяет
условию ГГ=Г, т. е. не меняется при транспонировании.
Такие матрицы называются симметрическими.
Мы обозначим через % и т| координатные столбцы век-
векторов х я у. Тогда, как легко проверить, перемножая
матрицы, равенство A0) можно записать в матричной
форме так!
(х,у) = ?Гп. A3)
Базис ортонормирован тогда и только тогда, когда
его матрица Грама Г—единичная матрица. Поэтому мы
инеем для ортонормированного базиса
(х, у) = ЪТЦ. A4)
Это совпадает о A1).
5. Связь матриц Грама разных базисов. Пусть нам
даны два базиса eit ... , е„ н е'и ... , е„, связанных дри
помощи матрицы перехода 5 по формулам «/^, где
через of обозначены элементы S. При произвольных i и ]
мы имеем теперь, в силу формулы A0),
Полученное равенство выражает элемент матрицы Грама
Г' базиса е' через элементы матрицы Грама базиса е. Со-
Совокупность таких равенств для всех in] равносильна
матричному соотношению
A5)
Это легко проверить, выписывая подробно правую
часть A5).
8« ЮГ

Рассмотрим формулу A5) в том частном случае, когда
базис е ортонормированный. Тогда Г»? и F' = Sr5.
Вычисляя детерминант обеих частей равенства, получим
detr-sdetSrdetS-^detS)*. Поскольку базис е' про-
произвольный, отсюда следует такое
Предложение 3. Детерминант матрицы Г рама
любого базиса положителен.
Последнее предложение может быть усилено следую-
следующим образом.
Теорема 2. Пусть xt, ./. , хк—произвольные (не
обязательно линейно независимые) векторы в евклидовом
пространстве. Тогда детерминант матрицы
I |
(**. *i) • • • (•**. **) В
составленной из их попарных скалярных произведений,
положителен, если векторы линейно независимы, и равен
нулю, если они линейно зависимы.
Первое утверждение теоремы прямо следует из пред-
предложения 3, так как, если xlt ..., xk линейно незави-
независимы, они образуют базис в своей линейной оболочке.
Докажем второе утверждение. Если векторы линейно
зависимы, то выполнено равенство ol1x1+ ... -\-алхн^=б,
в котором среди коэффициентов а^, ... , ак есть отличные
от нуля. Умножая это равенство скалярно на каждый из
векторов xt xk, мы придем к системе линейных
уравнений
«1 (**. Ч) 4- • •. 4- «* (*i. Ч) - °.
оц <•**. х%) + • • • + «* (хк, хк) = 0,
которой удовлетворяют коэффициенты аи ... , ак. Так
как система имеет нетривиальное решение, детерминант
ее матрицы должен равняться нулю, что и требовалось.
Заметим, что доказанное выше неравенство Коши —
Буняковского является частным случаем этой теоремы
для Л = 2.
6. Ортогональные матрицы. Пусть в формуле A5)
Г = Г' = Е, т. е. оба базиса ортонормированные. Тогда
формула принимает вид
STS = E. A6)
Определение. Матрица, удовлетворяющая усло-
условию A6), называется ортогональной.
228

Мы видим, что ортогональные матрицы и только они
могут служить матрицами перехода от одного ортонорми-
рованного базиса к другому. Равенство A6) равносильно
следующему
ST = S-\ A7)
В силу свойств обратной матрицы отсюда вытекает, что
E. A8)
Это означает, что матрица ST будет также ортогональной.
Обозначив элементы матрицы S через а1к, мы можем
переписать равенства A6) и A8) соответственно так;
" ГО, 1Ф1,
' '^ B0)
!,•**-{ •:
Впрочем, соотношения A9) можно получить и непосред-
непосредственно по формуле A1), если вспомнить, что столбцы
матрицы перехода—это координатные столбцы новых
базисных векторов по старому базису.
Вычисляя детерминант каждой части равенства A6),
мы получим (det S)* — 1. Поэтому детерминант ортогональ-
ортогональной матрицы равен +1 или —1
Рекомендуем читателю проверить все соотнощения
этого пункта для матрицы
II cos a —sln<z|j
IJ sin a cos ас У '
7. Ортогональное дополнение подпространства. Рас-
Рассмотрим ^-мерное подпространство <&к в п-мерноы
евклидовом пространстве ?а.
Определение, Ортогональным дополнением tпод-
простравдтва $к называется множество всех векторов,
перпендикулярных каждому вектору из ?к.
Ортогональное дополнение подпространства &к обозна-
обозначим через St-
Предложение 4. Ортогональное дополнение k-мер-
ного- подпространства ?к есть подпространство п—k из-
измерений.
Доказательство. Пусть о^, ..., ак—базио в &к.
Вектор х лежит в $? тогда и только тогда, когда
(x.aJ^Q, .... (х, a*)-0. B1)
229

Действительно, если х лежит в ?>?, то условия B1), оче-
очевидно, выполнены. Обратно, при выполнении этих усло-
условий х ортогонален к любому вектору а из &к, поскольку
/* \ *
(х, я) = ( х, 2
Выберем в ^„ ортонормированный базис и обозначим че-
через ol\, ..., а.р компоненты вектора ар (при любом р ««
= 1, .... А), а через ?\ ..., ?" компоненты вектора х.
Условия B1) запишутся тогда в виде однородной систе-
системы из k линейных уравнений с п неизвестными:
= 6.
Ранг матрицы системы равен k, поскольку ее строки —
строки из компонент векторов alt ..., ак—линейно не-
независимы. Совокупность всех решений системы, как мы
показали, определяет «?*¦, а с другой стороны, как из-
известно, совокупность всех решений такой системы опре-
определяет (я—А)-мерное подпространство. Предложение до-
доказано.
Рассмотрим (St)L—ортогональное дополнение орто-
ортогонального дополнения подпространства &к. Из опреде-
определения видно, что d>k s (&?)*-. Но размерность (&?)*-
равна п—(п—k) = k. Итак, согласно предложению 2
§ 2 гл. VI (Л-)х=**.
Очевидно, что 4>к и ?к не имеют общих ненулевых
векторов. Отсюда следует
Предложение 5. Евклидово пространство 4>а есть
прямая сумма любого своего подпространства &h и его
ортогонального дополнения.
Таким образом, согласно предложению 5 § 2 гл. VI
каждый вектор х из <§п однозначно раскладывается в сум-
сумму векторов х' из &h и х" из &jt. Вектор х' называется
ортогональной проекцией х на &к. Легко видеть, что век-
вектор х"—ортогональная проекция х на §^.
Длина х"—ортогональной проекции х на &?—назы-
&?—называется расстоянием от вектора х до подпространства ?к.
Она обладает следующим свойством минимальности.
Предложение 6. Если вектор х представлен как
сумма векторов х' из $к их" из ?*-, то для любого век-
230

тора у из &к, отличного от х', выполнено
\х>\-\х-х'\<\х-у\.
Доказательство. Обозначив х'—у через г, име-
имеем \х-у\' = \х'-у+х'\*г=\г + х'\* = (г + х', г+*') =
= |г|'-|-2(г, лс*) + |*Т- Но (г, х") = 0, так как г лежит
в $к, и, следовательно, |*—|/|* = |.к"|* + |г|*. Отсюда не-
непосредственно вытекает доказываемое утверждение.
§ 2. Линейные преобразования
в евклидовом пространстве
1. Преобразование, сопряженное данному. Все, ска-
сказанное в предыдущей главе о линейных преобразованиях
в линейных пространствах, остается, конечно, в силе и
для евклидовых пространств. В евклидовом пространстве
наличие скалярного произведения позволяет определить
некоторые важные классы преобразований. Их изучением
мы и займемся в настоящем параграфе. Все дальнейшее
относится только к вещественным евклидовым простран-
пространствам.
Определение. Линейное преобразование А* ев-
евклидова пространства называется сопряженным данному
преобразованию А, если для любых векторов х и у имеет
место равенство
, у) = (х, А*(у)). A)
Допустим, что данное преобразование А имеет сопря-
сопряженное А*. Выясним, как связаны матрицы преобразо-
преобразований А и А* в некотором базисе е. Обозначим матрицы
этих преобразований соответственно А и А*, а коорди-
координатные столбцы векторов х и у—через % и ц. Тогда ра-
равенство A) можно переписать в виде
где Г—матрица Грама базиса е. После очевидных пре-
преобразований имеем
ГЛ«)Ч = 0. B)
Так как | и tj—произвольные столбцы, отсюда можно
заключить, что
ЛТ—ГЛ* = О, C)
где О—нулевая матрица. Чтобы сделать это заключение,
вспомним пример 4 на стр. 176. Мы видели, что для
231

любой матрицы Р и столбцов единичной матрицы е{ и ef
произведение e[Pet равно элементу рц матрицы Р. Под-
Подставляя вместо | и 1) столбцы единичной матрицы, мы
можем показать, что любой элемент матрицы ЛЛГ—Г Л*
равен нулю.
Итак, матрицы преобразований А и А* связаны соот-
соотношением C). В частности, если базис ортонормирован-
ный и Г = ?, мы имеем
Л»=-Лг. D)
Предложение 1. Каждое линейное преобразование
в евклидовом пространстве имеет сопряженное преобра-
преобразование, и притом только одно.
Для доказательства выберем ортонормированный ба-
базис и рассмотрим преобразование В с матрицей АТ, если
А—матрица заданного преобразования А. Условие A)
для преобразования В равносильно очевидному равенству
(A%)Ti\='lT (ATi\). Следовательно, В — преобразование,
сопряженное для А. Если бы имелось два преобразова-
преобразования, сопряженных одному и тому жечА, то в силу D)
их матрицы совпадали бы Предложение доказано.
Поскольку (АГ)Т==*А, из формулы D) вытекает, что
(АТ = А. E)
В качестве приложения введенного в этом пункте по-
понятия дадим «геометрическое» истолкование теоремы
фредгольма для важного частного случая систем из п
уравнений с п неизвестными. Для этого рассмотрим
n-мерчое евклидово пространство $п и ортонормирован-
ортонормированный базис в нем. Каждый столбец будем считать коорди-
координатным столбцом некоторого вектора, матрицу системы
А—матрицей линейного преобразования ,А.
Теорему Фредгольма можно сформулировать так: хотя
бы один вектор ху для которого А (х) = Ь, существует тог-
тогда и только тогда, когда вектор Ь ортогонален каждому
у, удовлетворяющему условию А*(у)=*о. Существование
вектора х означает, что Ь принадлежит подпространству
А(^и). Множество векторов у—ядро преобразования
А*. Мы пришли4 # следующей формулировке теоремы:
Множество значений преобразования А совпадает с
ортогональным дополнением ядра его сопряженного пре-
преобразования А*.
В гл. V мы доказали теорему Фредгольма, но и эта
ее формулировка легко непосредственно проверяется.
232

Действительно,
, у)шт(х, А»
Следовательно, А(?„) принадлежит ортогональному до-
дополнению ядра А*. Сравнение размерностей показывает,
что пространства совпадают.
2. Самосопряженные преобразования. Определе-
Определение. Линейное преобразование А евклидова простоанст-
ва называется самосопряженным (или симметрическим),
если А = А*.
Из формулы D) непосредственно следует такое
Предложение 2. Преобразование является самосо-
самосопряженным тогда и только тогда, когда его матрица в
любом ортонормированием базисе симметрическая (т. е.
удовлетворяет условию А = АТ).
Собственные значения и собственные векторы само-
самосопряженных преобразований обладают рядом важных и
интересных свойств, к изложению которых мы и пере-
переходим.
Теорема 1. Все корни характеристического много-
многочлена самосопряженного преобразования вещественные.
Доказательство. Обозначим через А матрицу рас-
рассматриваемого самосопряженного преобразования в ка-
каком-нибудь ортонормированном базисе. Допустим, что ха-
характеристическое уравнение (let (А—ХЕ) = 0 имеет комп-
комплексный корень Я„. Рассмотрим систему линейных урав-
уравнений
о F)
с п неизвестными I*, .... 1Г (п—размерность простран-
пространства). Матрица системы комплексная, и потому реше^
ние|, вообще говоря,—комплексный столбец. Нетривиаль-
Нетривиальнее решение обязательно существует, поскольку
де\{А—X^E)—!). Пусть |в—некоторое нетривиальное ре-
решение. Подставим |( в систему и умнбжим обе части
полученного равенства слева на строку |?j
8ГЛ*.-*ЛГ«.. G)
Так как \f|e =» fc?!S + ... ¦+¦ Ш2 — вещественное число,
то для получения противоречия достаточно показать, что
вещественным является число ЫА%,. С этой целью обоз-
обозначим <о=^Л§0. При транспонировании квадратная мат-
матрица порядка 1 не меняется, и мы имеем
233

о другой стороны,
Но А—вещественная симметрическая матрица^ и, сле-
следовательно А<= АваАт. Поэтому мы имеем <о=<о, и, зна-
значит, ю вещественно. Разделив обе части равенства G) на
отличное от нуля число |Дв, мы видим, что А.в обязатель-
обязательно вещественное.
Доказанное утверждение допускает матричную фор-
формулировку.
Пред л ожени е 3. Если А—вещественная симмет
рическая матрица, то все корни уравнения det (Л—кЕ) =»
=» 0 вещественные.
Теорема 2. Собственные векторы самосопряженного
преобразования А, принадлежащие разным собственным
значениям, ортогональны.
Действительно, пусть Х^Ц и А(х) = Кх, А(у)=\».у.
Тогда
(А(х), у)*=Х(х, у).
Но иначе можно получить
), у) = (х, А@)-|*(*. У).
Из этих двух равенств следует (К—ц)(х, j/)=O, откуда
(х, у) = 0, как и требовалось.
Теорема 3. Если подпространство <§' инвариантно
относительно самосопряженного преобразования А, то
ортогональное дополнение &'*- этого подпространства —
также инвариантное подпространство.
Доказательство. Нам дано, что для каждого х
из tf' образ А (л:) также лежит в €'. Это значит, что
(А(дс), #) = 0 для любого у из ?'±. Но так как преобразо-
преобразование А самосопряженное, мы имеем отсюда (х, А(#))=0,
и, следовательно, А (у) лежит в ^"-Ц как и требовалось.
Теперь мы можем доказать теорему, которая позволяет
описать все возможные самосопряженные преобразова-
преобразования. Мы будем называть ее основной теоремой о самосо-
самосопряженных преобразованиях.
Теорема 4. Пусть А—самосопряженное линейное
преобразование п-мерного евклидова пространства #„.
Тогда в ёп существует ортонормированный базис из соб-
собственных векторов преобразования А.
Доказательство проведем индукцией по числу измере-
измерений пространства. Для одномерного пространства ?t тео-
234

рема очевидна, так как в таком пространстве каждый
вектор—собственный для Айв качестве искомого ба-
базиса достаточно взять любой вектор длины 1.
Предположим теперь, что теорема доказана для про-
пространств размерности k—1, и докажем ее для ^-мерных
пространств. Согласно теореме 1 самосопряженное преоб-
преобразование А в €к имеет по крайней мере одно собствен-
собственное значение1) и, следовательно, хотя бы одно одномер-
одномерное инвариантное подпространство. Обозначим такое под-
подпространство ?It а единичный вектор в нем—через е.
В силу теоремы 3 ортогональное дополнение Sk-i под-
подпространства St является (k—1)-мерным подпространст-
подпространством, также инвариантным относительно А.
Рассмотрим ограничение А' преобразования А на
подпространстве 4?к„% (см. с. 214). Легко видеть, что
это—самосопряженное преобразование в #»_t. Дейст-
Действительно, равенство (А(х), у)>=(х, А (у)) выполнено для
всех векторов из &к, а значит, и для всех векторов из
#»_!, а для вектора х из ?k_t по определению А' (х) =
=>А(х). Если х—собственный вектор преобразования
А'.тоА' (х) в» А (х) = he, и он является собственным для А.
По предположению индукции в €k-i существует орто-
нор мированный базис еь ..,, eft_ j из собственных векто-
векторов преобразования А'. Рассмотрим систему векторов
elt ..., ek_it е. Все векторы попарно ортогональны! et, ...
•••» ek-i—п0 построению, а е ортогонален каждому из
них, так как ?д_{—ортогональное дополнение^. Длина
каждого из рассматриваемых векторов равна 1. Каждый
из них является собственным для преобразования А. Та-
Таким образом, система векторов et, .. •, ek.f, e н есть тот
базис, который нам нужно было построить.
Доказанная нами теорема допускает матричную фор-
формулировку.
Предложение 4. Если А—симметрическая матри-
матрица, то существует ортогональная матрица S такая, что
S~%AS—диагональная матрица.
Действительно, матрица А задает самосопряженное
преобразование в ортонормированном базисе. В качестве
S можно взять матрицу перехода от этого базиса к базн-
су, построенному в теореме. Напомним, что в базисе из
*) В саном «худшем» случае все корни характеристического
многочлена совпадают, в тогда А имеет только одно собственное
вначенве.
235

собственных векторов матрица преобразования диагональ-
диагональная (предложение 6 § 4 гл. VI).
В теореме 1 § 3 гл. IV мы рассматривали, в частности,
аффинное преобразование плоскости, состоящее в сжатии
(растяжении) по двум взаимно перпендикулярным на-
направлениям. В л-мерном евклидовом векторном простран-
пространстве обобщением такого преобразования будет сжатие
(растяжение) по п попарно перпендикулярным направ-
направлениям. Выберем ортонормированный базис так, чтобы
его векторы имели данные направления. Тогда каждый
базисный вектор е{ перейдет в ему пропорциональный
вектор Кfit, где к1—коэффициент сжатия. (Собственно,
это свойство является аккуратным определением сжатия
по попарно перпендикулярным направлениям.) В таком
базисе матрица преобразования будет диагональной, при-
причем по главной диагонали будут стоять коэффициенты
сжатия. Поскольку диагональная матрица симметрична,
а базис ортонормирован, сжатие по п попарно перпенди-
перпендикулярным направлениям будет самосопряженным преоб-
преобразованием.
Обратно, в силу нашей теоремы каждое самосопряжен-
самосопряженное преобразование с положительными собственными зна-
значениями будет сжатием по п попарно перпендикулярным
направлениям. Нулевому собственному значению соответ-
соответствует уже не сжатие, а ортогональное проектирование,
а отрицательному собственному значению—произведение
сжатия и симметрии.
Если К*—собственное значение кратности s, то ему
соответствует s-мерное инвариантное подпространство ^,.
Действительно, иначе не мог бы существовать базис из
собственных векторов: сумма всех кратностей равна п,
а число линейно независимых векторов, принадлежащих
каждому значению, не может превосходить его кратность.
При Я* > 0 ограничение преобразования А на таком
инвариантном пространстве €, представляет собой гомо-
гомотетию, т. е. равномерное сжатие по всем направлениям
в к* раз.
Рассмотрим теперь способ практического нахождения
базиса, существование которого доказано в теореме. Вы-
Выбрав некоторый (удобнее, если ортонормированный) базис,
составляем матрицу данного преобразования. Находим
корни ее характеристического многочлена det (Л—ХЕу?=О
и для каждого корня находим собственные векторы, ре-
решая систему уравнений (А—кЕ) | = о. Для простых корней
нетривиальное решение системы остается пронормировать.
236

Для ' Корня кратности s мы получаем фундаментальную
систему из s решений. Это—линейно независимые собст-
собственные векторы, но они, вообще говоря, не ортогональны.
Их следует ортогонализовать и нормировать.
3. Изоморфизм евклидовых пространств. Дадим сле-
следующее
Определение. Евклидовы пространства # и rf"
называются изоморфными, если существует взаимно одно-
однозначное линейное отображение А: &—>¦&', при котором
(А (х), А («,)) = (х, у) (8)
для любых х и у из $• Отображение А называется изо-
морфизмом евклидовых пространств.
Таким образом, термин «изоморфизм» имеет различные
аначения в зависимости от контекста. Если речь идет ©б
евклидовых пространствах, то при изоморфизме, помимо
сохранения результатов линейных операций, требуется
и сохранение скалярного произведения.
Для того чтобы два евклидовых пространства были
изоморфны, разумеется, необходимо, чтобы были равны
их размерности. Действительно, в противном случае они
не изоморфны даже как линейные пространства. Оказы-
Оказывается, что это условие и достаточно.
Теорема 5. Любые два евклидовых пространства
одной размерности изоморфны. Евклидовы пространства
равных размерностей не изоморфны.
Для доказательства первого утверждения выберем
в ^каждом из рассматриваемых пространств # и ?' по
ортонормированному базису. Отображение А: 4> —> ?' за-
зададим, сопоставив друг другу векторы, имеющие одина-
одинаковые координатные столбцы в выбранных базисах. Мат-
Матрица этого отображения единичная, поэтому отображение
будет изоморфизмом пространств <В и &', рассматриваемых
как линейные пространства. Из формулы A1) § 1 следует,
что при таком отображении сохраняется скалярное про-
произведение.
Интересно отметить, что условие (8) очень сильное.
Из него следует, что А—линейное отображение и, более
того, вложение. Действительно, рассмотрим произвольный
вектор х из & и произвольное число а. Скалярный квад-
квадрат вектора А (ах)—аА(х) из &' можно записать в виде
(А (ах), А (ах)) — 2а (А (ах), А (*)) + а8 (А (х), А (х)). Учиты-
Учитывая (8), видим, что это равно (ах, ах)—2а (ах, х) ¦+ а" (х, х),
т. е. нулю. Таким образом, A(a*)=aA(%). Аналогично
доказывается, что А (х 4- у) = А (х) + А (у).
837

Далее, пусть вектор х принадлежит ядру отображения
А, т. е. А(х) = о. Это означает, что (А(х), А(х)) = 0
и, в силу (8), что (х, х) = 0. Таким образом, ядро А-1-
нулевое подпространство н А—вложение.
В общем случае отображение А, удовлетворяющее
условию (8), не взаимно однозначно: оно может быть
изоморфизмом $ на подпространство в ?'.
Пусть размерность т пространства 4>' равна размер-
размерности п пространства #. Поскольку А—вложение, его
ранг г равен п, и тем самым т = п = г. Согласно предло-
предложению 6 § 3 гл. VI А является изоморфизмом. Мы дока-
доказали
Предложение 5. Произвольное отображение евкли-
евклидова пространства 4?п в евклидово пространство $'п той же
размерности является изоморфизмом, если оно сохраняет
скалярное произведение.
4. Ортогональные преобразования. Преобразование А
евклидова пространства ?п называется ортогональным,
если оно сохраняет скалярное произведение, т. е. если
условие (8) выполнено для любых векторов из <8.
Из предложения 5 следует, что ортогональное преоб-
преобразование является изоморфизмом <8 на себя.
Предложение 6. Для ортогонального преобразова-
преобразования сопряженное преобразование равно обратному преоб-
преобразованию: А* = А~*.
Действительно, по формуле (8) имеем (х, А» о А (у)) —
=*(х, у), или (х, А* о А (у) —у) = 0. Это означает, что
вектор А* о А {у)—у ортогонален любому вектору прост-
пространства и, следовательно, является нулевым. Поскольку
равенство А* о А (у) — у выполнено для всех векторов,
преобразование А* о А является тождественным. Отсюда
прямо следует доказываемое предложение.
Следствие. В ортонормированном базисе ортого-
ортогональное преобразование имеет ортогональную матрицу:
АТА = Е.
Предложение 7. Корни характеристического многочлена
ортогонального преобразования А (в том числе и комплексные корни)
по абсолютной величине равны единице.
Пусть А—матрица А в ортонормированием базисе и X—корень
уравнения det (Л—\Е)—0 (возможно, комплексный). Система урав-
уравнений (Л—Л?)| = о имеет, вообще говоря, комплексное нетривиаль-
нетривиальное решение. Из равенства <4|=А,| следует |Г/4Г=Х?Г. Помножим
каждую часть первого равенства слева иа соответствующую часть
BToporo:jM^6 = Ulr6- Так как АТА=*Е "!г ^
отсюда М,= 1, как в требовалось,
238

Предложение 8. Если $'—подпространство, инвариантное
относительно ортогонального преобразования К, то ортогонально»
дополнение tf'-L подпространства & также инвариантно.
пая доказательства заметим, что ограничение А' преобразова-
преобразования А на ^"—ортогональное преобразование и, следовательно, вза-
взаимно однозначно, В частности, оно является наложением. Итак, если х
лежит в $', то вектор А~1(х) также лежит в ^".
Рассмотрим произвольный вектор у нз $'¦*¦. Нам надо доказать
что его образ А (у) ортогонален каждому х из $', Мы имеем
(*, A(y)) = (A-»W.y)=0,
поскольку у ортогонален каждому вектору нз ?'. Предложение
доказано.
Теорема 6. Пусть А—ортогональное преобразование п-мерного
евклидова пространства ?„. Тогда ?„ является прямой суммой одно-
одномерных и двумерных подпространств, инвариантных относительно А.
Доказательство. Любое ортогональное преобразование
в каждом евклидовом пространстве имеет хотя бы одно одномерное
или двумерное инвариантное подпространство, так как его характе-
характеристический многочлен имеет хотя бы одни вещественный или комп-
комплексный корень.
Используя это соображение, докажем нашу теорему по индукции.
Для пространств размерностей 1 и 2 утверждение не вызывает сом-
сомнений Предположим, что мы уже доказали теорему для пространств
размерностей k—1 и k—2, и докажем ее для fe-мерного простран-
пространства. В $ь существует одномерное или двумерное инвариантное
подпространство ?', а его ортогональное дополнение $'¦*¦ представ-
представляет собой соответственно (k—1)-мерное или (k—2)-мерное инвари-
инвариантное подпространство. К ограничению А' преобразования А на ?'х-
мы применим предположение индукции. Подпространства^", ?'",....
на которые распадается ^>'J-, будут инвариантными также относи-
относительно А. Поскольку &), есть прямая сумма ^" и ^>'J- и $ J—прямая
сумма ?", &'", ... , пространство gh является прямой суммой ?',
&", & • ••• Теорема доказана.
Можно предполагать, что двумерные инвариантные подпростран-
подпространства не содержат внутри себя одномерных инвариантных подпрост-
подпространств. Действительно, если в двумерном инвариантном подпростран-
подпространстве ^j содержится одномерное ^ь то содержится и второе одномерное
инвариантное подпространство ^"jj—ортогональное дополнение пер-
первого до St- Таким образом, ?3 есть прямая сумма $х и ^"f-, и в раз-
разложении <?„ мы можем заменить слагаемое <?а на два слагаемых $%
Выберем в каждом из двумерных и одномерных инвариантных
подпространств, на которые распадается ?п, по ортонормированному
базису и объединим все эти базисы. Мы получим ортонормированный
базис в], ..., е„ в <§п. Построим матрицу А преобразования А в этом
базисе.
Пусть базисный вектор «,• соответствует одномерному инвариант*
пому пространству, т. е. является собственным. В силу предложе-
предложения 5 соответствующее собствеииое значение равно 1 или—1. Поэтому
все элементы i-то столбца матрицы равны нулю, кроме элемента <xj
на главной диагонали, равного 1 или —I,
239

Рассмотрим базисные векторы е* и ек+и лежащие в двумерном
инвариантном подпространстве ^".Векторы А(е*) и A(ct+]) рас-
раскладываются только по векторам е/, и e*+i. и потому в k-м и (Л—|— 1) м
столбцах матрицы А равны нулю все элементы, за исключением
клетки второго порядка
afc a*+ij
на главной диагонали. Эта клетка является матрицей ограничения А'
преобразования А на подпространстве ^". Согласно предложению б
§ 2 ryi, IV и, формуле D) § 3 гл IV матрица ортогонального преоб-
преобразования в двумерном пространстве в ортонормированием базисе
имеет вид
Icos ф Т sin ф |
sin ф ± cos ф |
где верхние знаки берутся для ортогональных преобразований пер-
первого рода, а нижние—для преобразований второго рода. С нижними
внЪками матрица является симметрической. Поэтому ортогональное
преобразование второго рода самосопряженное и, следовательно, им^
два одномерных инвариантных подпространства. Это противоречит-
сделанному выше предположению Таким образом, существует такое
число ф», что
°f|J — Sin фЛ
Предоставим читателю самостоятельно выписать общий вид
матрицы А.
§ 3. Понятие об унитарных пространствах
1. Определение. В этом параграфе мы покажем, как
определяется скалярное произведение в комплексных ли-
линейных пространствах. При этом мы не будем приводить
доказательств, поскольку их можно получить незначитель-
незначительным видоизменением доказательств соответствующих пред-
предложений из § 1. Здесь все числа, вообще говоря, комп-
комплексные.
Рассмотрим комплексное линейное пространство &
и предположим, что мы каким-то образом сопоставили
каждой паре векторов хну число (х, у). Оказывается,
что естественные аксиомы, приведенные в определении
евклидова пространства, выполнены быть не могут. Дейст-
Действительно, пусть х—ненулевой вектор. В нашем простран-
пространстве определено умножение вектора на комплексное число,
и мы можем взять вектор tx, где i —мнимая единица Если
выполнены аксиомы 1° и 2°, то имеет место равенство
(tx, ix) - — (х, х).
240

При положительном произведении справа 'произведение
слева отрицательно Это противоречит аксиоме 4°.
В силу этого обстоятельства в комплексных простран-
пространствах вводятся другие определения скалярного произве-
произведения. В одном из них заменяют аксиому 4° более слабым
требованием4 чтобы из того, что (х, у) —О при всех х,
вытекало у = 0 Комплексное линейное пространство, в ко-
котором так определено скалярное произведение, называется
комплексным евклидовым пространством Комплексные
евклидовы пространства используются сравнительно редко,
Гораздо чаще в приложениях встречаются так называемые
унитарные пространства.
Определение Комплексное линейное простран-
пространство & называется унитарным (или эрмитовым), если
задан закон, сопоставляющий каждым-двум векторам х и у
из S? комплексное число (х, у), и закон этот удовлетво-
удовлетворяет следующим аксиомам, каковы бы ни были векторы
х, у и г и число а.
1°. (х, у) = (у, х), т е. при перестановке сомножителей
скалярное произведение заменяется на комплексно сопря-
сопряженное число
2°. (ах, у) = а(х, у)
3°. (х + у. г)=*(х, г) Л-(У, г).
4° (х, х) > 0, если хфо.
Число (х, у) называется скалярным произведением век
торов хну.
Заметим, что для любого вектора (х, х) = (х, х), и по-
потому скалярный квадрат вектора—всегда вещественное
число В аксиоме 4° требуется, чтобы это число было по-
положительно для хфо.
Из аксиом 1° и 2° вытекает такое правило вынесения
числового множителя от второго сомножителя в скаляр-
скалярном произведении*
(х, ау) = (ау, *) = «({/, х)=~а(у,' х)
(ср. D) § 7 гл. V). Окончательно
(х, ау) = а(х, у). (I)
Длина вектора и угол между векторами определяются
теми же формулами, что и в вещественном случае. Длина
вектора всегда вещественна и неотрицательна. Угол, вообще
говоря, комплексный
Векторы называются ортогональными, если их скаляр-
скалярное произведение равно нулю. Нулевой вектор и только
он ортогонален каждому вектору.
241

Отметим, что имеет место неравенство
(х, х)(у, у)>\(х, у)\' = (х, у)(у, х).
Оно доказывается так же, как и неравенство G) § 1,
с учетом того, что
, ах + р» = аа(х,х) + ар(х,у)+fa(y,x)+pf (у,у).
Пример 1. Комплексное линейное пространство
столбцов высоты п становится n-мерным унитарным про-
пространством, если определить скалярное произведение
столбцов | и т) по формуле
F. Ч) = &1ч4.--+6""П". B)
Действительно, по этой формуле имеем также
Из формул C) и D) § 7 гл. V следует, что A, *0 = (ц, |).
Аксиомы 2° и 3° следуют из свойств умножения мат-
матриц, если заметить, что правая часть B) представляет
собой произведение lrti, где г\—столбец из элементов
гI, ..., rj". Наконец,
A, D=efi+...+K"=4sii*+...+i6"i'. C)
а следовательно, скалярный квадрат столбца неотрицате-
неотрицателен и равен нулю только для нулевого столбца.
Пример 2. Одномерное унитарное пространство
можно построить следующим образом. Рассмотрим в ка-
качестве множества векторов все векторы обычной плоско-
плоскости. Операцию сложения определим, как обычно, по пра-
правилу параллелограмма.
Для того чтобы определить операцию умножения на
комплексное число, выберем некоторый ортонормирован-
ный (в обычном смысле) базис elt e3. Произведением век-
вектора х с компонентами I1, ?* на число а-\-ф мы назовем
вектор с компонентами а!1—р|* и а|2Н-Р|1. Смысл этого
определения такой. Каждому вектору мы можем сопоста-
сопоставить комплексное число ?1 + f?1» при этом соответствие
между числами и векторами взаимно однозначно: вектору
соответствует только одно число, и каждому числу соот-
соответствует единственный вектор. Произведение (а-f ф)х
соответствует числу (о + ф) (|* -j- i?a). Заметим, что сумме
векторов соответствует сумма чисел, соответствующих
слагаемым.
242

Проверим, выполнены ли аксиомы линейного прост-
пространства. Первые четыре аксиомы, относящиеся к сложе-
сложению векторов, разумеется, выполнены. Далее, равенства
(А,+ц)х = А,х+цх и Л(х +у) = Лх +Ау следуют из дистри-
дистрибутивности умножения комплексных чисел. Равенство
Л, (|ix) = (Aft) х вытекает из ассоциативности умножения.
Очевидно также, что 1х = х. Таким образом, мы имеем
комплексное линейное пространство. Размерность его
равна 1, так как каждый вектор х равен (?* + t?*)ef, где
|1 + /?*—комплексное число, определяемое вектором х.
Базисом является вектор е*.
Скалярное произведение векторов x = Xef и у = це^
определим по формуле (х, i/)==Xft. He представляет труда
проверить аксиомы скалярного умножения в унитарном
пространстве.
Унитарная длина вектора A-M)ei равна V%. Скаляр-
Скалярное произведение (е^, e1) = (ei, le^e— /, хотя по отно-
отношению к скалярному произведению на вещественной пло-
плоскости векторы е( и е, перпендикулярны.
2. Свойства унитарных пространств. Все рассмотренные
выше свойства евклидовых пространств, иногда с незна-
незначительными изменениями, переносятся на унитарные про-
пространства.
В конечномерном унитарном пространстве существует
ортонормнрованный базис, т. е. базис из попарно ортого-
ортогональных векторов единичной длины. Такой базис можно
получить из произвольного базиса методом ортогонали-
зации.
Скалярное произведение выражается через компоненты
сомножителей в ортонормированном базисе по формуле
(х. #)=* ?4 + ...+?"?*.
Для произвольного базиса вводится матрица Грама —
матрица Г, составленная из попарных скалярных произ-
произведений базисных векторов. Скалярное произведение век-
векторов х и у с координатными столбцами ? н ц находится
по формуле
(«с, 0-&ПЧ?
Поскольку (е{, йу) = («у, е{), матрица Грама в унитар-
унитарном пространстве удовлетворяет условию
Р-=Г. D)
243

(Здесь и далее черта над матрицей означает замену всех
ее элементов на комплексно-сопряженные.)
Определение. Каждая матрица, удовлетворяющая
условию D), называется эрмитовой.
Матрица перехода S от одного ортонормированного
базиса в унитарном пространстве к другому такому же
базису должна удовлетворять равенству
E. E)
Это означает, что 5 = ST, а отсюда следует
Определение. Матрицы, удовлетворяющие равен-
равенству E), называются унитарными.
Отметим, что из равенства E) и формулы G) § 7 гл. V
следует _ _
tiet (STS) = det ST det S = (det S) (defS) = | det S |a = 1,
и, таким образом, детерминант унитарной матрицы—<
комплексное число, по модулю равное единице.
Ортогональное дополнение подпространства определя-
определяется так же, как в евклидовом пространстве. Точно так
же можно доказать, что ортогональное дополнение будет
подпространством дополнительной размерности.
3. Самосопряженные и унитарные преобразования.
Преобразование унитарного пространства называется са-
самосопряженным, если для любых векторов хну выпол-
выполнено равенство
<А(х), у)«(х, А (у)).
Из этого определения вытекает, что преобразование уни-
унитарного пространства является самосопряженным тогда
и только тогда, когда его матрица в любом ортонорми-
ортонормированием базисе эрмитова. На самосопряженные преобра-
преобразования унитарных пространств без изменений переносят-
переносятся теоремы 1—4 § 2.
Преобразование унитарного пространства, удовлетворя-
удовлетворяющее условию
<А(х), А(у))~(х, у)
для любых векторов хну, называется унитарным пре-
преобразованием. Нетрудно проверить, что преобразование
унитарно тогда и только тогда, когда его матрица в лю-
любом ортонормированном базисе унитарная.
244

ГЛАВА VIII
ФУНКЦИИ НА ЛИНЕЙНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Линейные функции
1. Определение функции. Как и в гл. VI, мы будем
рассматривать произвольное линейное пространство. В тех
случаях, когда различие между вещественными и комп-
комплексными пространствами окажется существенным, будут
сделаны дополнительные предположения. Если слово
«число» употребляется без уточнения, следует иметь в
виду комплексное число для комплексного пространства
и вещественное число для вещественного. Как правило,
мы не вводим скалярного произведения, но значительная
часть результатов относится к евклидовым пространствам
Определение. Будем говорить, что на линейном
пространстве & задана функция (от одного вектора), ес-
если каждому вектору х из & сопоставлено число; задана
функция от двух векторов, если каждой упорядоченной
паре х, у векторов из & сопоставлено число.
Число, которое функция f сопоставляет вектору х,
мы будем называть значением функции f на векторе х
и обозначать Цх). Аналогично определяется значение
9(*| У) функции g от двух векторов.
Функции на бесконечномерных пространствах принято
Называть функционалами.
Пусть пространство S?n имеет размерность п. Если
мы выберем некоторый базис, то каждому вектору х из
&п будут сопоставлены п его компонент б1, ..., |". На-
Напомним, что в математическом анализе называют функ-
функцией от п переменных закон, который ставит в соответ-
соответствие некоторое число каждому упорядоченному набору
из п чисел ?\ ..., ?", входящему в определенную сово-
совокупность таких наборов. Таким образом, при выбранном
базисе функция f на линейном пространстве Sn задается
функцией от п переменных, определенной для всевозмож-
всевозможных наборов ?х, ..., ?". Если базио изменится, тому же
245

вектору х будут соответствовать новые компоненты I'1, ...
..., 1 " н, следовательно, прежняя функция f будет за-
задаваться новой функцией от п переменных.
2. Линейные функции. Введем
Определение. Функция f на линейном простран-
пространстве J? называется линейной, если для любых векторов х
и у из S? и любого числа а выполнены равенства
i(ax)~a1(x). A)
- Читатель может заметить, что линейная функция на
линейном пространстве не является новым для него
объектом. Это в точности то же самое, что линейное отобра-
отображение данного линейного пространства в одномерное
арифметическое пространство (ср. пример 3) § 3 тл. VI).
Пример 1. Функция, сопоставляющая каждому век-
вектору число нуль, является линейной. Функция, сопостав-
сопоставляющая всем векторам одно и то же число, не равное
нулю, линейной быть не может, так как для каждой ли-
линейной функции f (о) = 0. Рекомендуем читателю самосто-
самостоятельно проверить эти утверждения.
Пример 2. Пусть &„—я-мерное евклидово простран-
пространство. Выберем в нем некоторый фиксированный вектор а.
Тогда каждому вектору х из ?п мы можем сопоставить
число ? = (а, х). Очевидно, что равенства A) выполнены,
и мы имеем линейную функцию на ?„.
Пример 3. Пусть в линейном пространстве 3'„ вы-
выбран базио б|, ..., е„. Сопоставим каждому вектору х
его 1-ю компоненту ?' в данном базисе. Очевидно, что это
соответствие—линейная функция на &п. Мы обозначим
ее р'. Так может быть построено я функций р1, ..., р".
Конечно, они зависят от того, какой базис мы выбрали.
Пример 4. Рассмотрим бесконечномерное линейное
пространство &, состоящее яз функций от одной незави-
независимой переменной \, определенных и непрерывных для
0<?<1. Пусть v(l)—фиксированная функция нз &,
например t/(?)=sini. Тогда каждой функции ы(|) из 3?
можно сопоставить число
Очевидно, что это соответствие—линейный функционал.
Впрочем, если вспомнить пример 3 § 1 гл. VII, станет
ясно, что этот функционал достроен по образцу линейдой
функции из примера 2.
246

Еще один линейный функционал на том же простран-
пространстве 31 мы получим, если сопоставим каждой функции
«(I) из & ее значение ы@) при | = 0.
Рассмотрим произвольное «-мерное линейное прост-
пространство &п и выберем в нем некоторый базис еи ..., е„.
Значение линейной функции f на векторе к из Зп мо-
может быть записано через компоненты этого вектора
V- 5"i
f (х) = f (e*t + ... + 1»е„) = 14 (ег) +...+&»[ (еп).
Числа ffo), ..., \{еп) не зависят от вектора х, а опре-
определяются только по функции f и базису еь ..., еп. Мы
доказали следующее
Предложение 1. Каждая линейная функция на
п-мерном линейном пространстве в произвольном базисе
еи ..., еп задается линейным однородным многочленом
fW-xtf+.-.+H-S" B)
от компонент вектора по этому базису. Коэффициенты
многочлена щ, ..., к„ равны значениям функции на ба-
базисных векторах.
Значения функции f на векторах базиса е удобно на-
называть компонентами (или коэффициентами) функции f
в базисе е. Матрица линейного отображения п-мерного
пространства в одномерное имеет размеры 1хя, т. е.
представляет собой строку длины п. В нашем случае
это—строка JX(...xnJ. Предоставим читателю проверить
это. Формула B) в матричном виде записывается так:
I P 1
fM = ||4(.,.xJ ... =к|. C)
I Iй \
Легко видеть, что каждая строка к по формуле C)
определяет линейную функцию. В самом деле, k(| + tj)«=
- к|+хп и к (а%) = а (к1).
Формула F) § 3 гл. VI выражает матрицу отображе-
отображения в новых базисах через старую матрицу отображения
и матрицы перехода к новым базисам. Так как в одно-
одномерном арифметическом пространстве базис фиксирован
раз навсегда, для линейной функции эта формула прини-
принимает вид
xe = xS. D)
Здесь х—строка коэффициентов функции в базисе е,
а к'—строка ее коэффициентов в базисе е' = eS. Разумеется,
формулу D) легко получить и непосредственно. Действи-
247

тельно, запишем f (х) в каждом из двух базисов: f (x) =
= х|<=х'|е. Отсюда согласно C) § 1 гл. V! х$|е = х'|* или
(xS—х')|' = о. Здесь |*—произвольный столбец. Подстав-
Подставляя на его место последовательно каждый столбец еди-
единичной матрицы, мы увидим, что каждый элемент стро-
строки xS—х' равен нулю.
3. Сопряженное пространство. В гл. VI мы ввели оп-
определения суммы линейных отображений и произведения
линейного отображения на число. В применении к линей-
линейным функциям эти определения формулируются так;
Определение. Суммой линейных функций I и g
называется функция h, значение которой на каждом век-
векторе х определено равенством h (x) = f (x) + g (ж). Произ-
Произведением линейной функции \(х) на число а называется
функция д(х), значение которой на каждом векторе х
определяется равенством g(*) = af (х).
Предложение 2. Пусть f и д—линейные функции
на линейном пространстве ??и я и К—их строки коэффи-
коэффициентов в некотором базисе е. Тогда сумма f + g — линей-
линейная функция, имеющая строку коэффициентов х -+¦ К в ба-
базисе е, и для произвольного числа а произведение af —
линейная функция, строка коэффициентов которой в ба-
базисе е есть ах.
Для произвольных линейных отображений это было
доказано в п. 6 § 3 гл. VI. Воспроизведем, однако, это
доказательство для случая суммы линейных функций.
Для произвольного вектора х значения f и g записыва-
записываются в базисе е как х| и 1%. Тогда значение суммы
f+g на том же векторе равно х$ + Ц = (х+*,)?. Отсюда
видно, что f + g—линейная функция со строкой коэффи-
коэффициентов х + Я,.
Предложение 3. Множество S* всех линейных
функций на п-мерном линейном пространстве Зп по от-
отношению к введенным выше операциям сложения и умно-
умножения на число представляет собой п-мернов линейное
пространство.
Действительно, существует взаимно однозначное ото-
отображение множества Я?* в множество строк длины п.
Соглаено предложению 2 при этом отображении сумме
функций соответствует сумма строк и произведению функ-
функции на число соответствует произведение строки на это
число. Поскольку аксиомы линейного пространства выпол-
выполнены для операций со строками, они будут выполнены
и для операций в &*. Следовательно, j?*—линейное
пространство, изоморфное пространству строк длины п.
248

Определение. Линейное пространство $* всех
линейных функций на линейном пространстве & называ-
называется сопряженным пространству 3'.
Выберем в пространстве 2?„ базис е и рассмотрим
линейные функции р< (i = l, .... и), определяемые ра-
равенствами р'(х)'=У, где У—t-я компонента вектора х
(ср. пример 3). Это означает, что
О, i?=i,
1 Г_; (Б)
или, иначе, координатная строка функции р' есть 1-я
строка единичной матрицы. Отсюда легко следует, что
функции р\ ..., р" линейно независимы.
Строка к = |и1.. .xn| раскладывается по строкам еди-
единичной матрицы с коэффициентами Xj, ..., ии. Это значит,
что элемент f пространства ??* со строкой коэффициен-
коэффициентов |х1...и„5 имеет разложение
Таким образом р*, ..., р"—базис в пространстве^.
Определение. Базис р\ ..., р" пространства &*п,
определяемый формулой E), называется взаимным (или
биортогональным) базису еи ..., е„ пространства S?А.
Введем столбец р, составленный из функций р'. Те-
Теперь разложение F) можно переписать в матричной,
форме:"
I D» I
' *Р- G)
Если для пространства S?'n придерживаться соглашения
писать компоненты вектора в столбец, то формулу G)
следовало бы' написать f=prxr.
Пусть в пространстве 3% базисы «ив1 связаны ра^
венством e'^eS. Найдем матрицу перехода между их
взаимными базисами р и р'. Для этого напишем форму-
формулу D) в виде C) § J гл, VI, решив ее относительно ета-
рых компонент и записав компоненты в столбец. Мы по-
получим
Отсюда видно, что матрицей перехода от базиса р к ба-
базису р! в пространстве &*п будет матрица (S~1)T, т. е.
имеет место равенство р'Т = рт (S~l)T'. Если вернуть-
вернуться для пространства Sa K записи элементов базиса в
249

столбец, зависимость между базисами примет вид
p-Sp'. (8)
Пространство 3*п—такое же линейное пространство,
как и любое другое, и, следовательно, имеет сопряжен-
сопряженное пространство:?'", элементы которого—линейные функ-
функции на 3*п.
Предложение 4. Пространство 3*п* может быть
отождествлено с 3„.
Доказательство, фиксируем определенный век-
вектор х из Зп и сопоставим каждому элементу f из 3*п
число Цх). Таким образом, х можно рассматривать как
функцию на 3\. Эта функция линейная. Действительно,
0 + g)(x)={(x) + g(x)f и, следовательно, функция х сум-
сумме элементов из 3„ сопоставляет сумму чисел, сопостав-
сопоставляемых слагаемым. Аналогично, равенство (af)(jf) = af (x)
означает, что произведению элемента f на а функция х со-
сопоставляет произведение а на число, сопоставляемое f.
Итак, х можно рассматривать как элемент из 3*п*.
Докажем, что все пространство 3'„ совпадает с под-
подпространством в ЗЦ''• Для этого достаточно доказать,
что сумма и произведение на число для векторов из 3„
совпадают с их суммой и произведением на число, если
их понимать как линейные функции на 3*п. Но это оче-
очевидно. Например, для суммы это равносильно условию
f (х + У)ж' (•*) + Ну)> верному для любых х и у из 3'„
и любого f из 3*п.
Теперь совпадение Зп и 3*п* вытекает из равенства
их размерностей в силу предложения 2 § 2 гл. VI.
4. Линейные функции на евклидовых пространствах.
Выбор базиса в линейном пространстве 3 устанавливает
изоморфизм между 3 и 3*. Если пространство евклидо-
евклидово, то изоморфизм между ним и его сопряженным можно
установить независимо от базиса. Именно, в примере 2
было показано, что по формуле f(x) = (a, x) каждому век-
вектору а евклидова пространства можно сопоставить линей-
линейную функцию на этом пространстве.
Назовем вектор а присоединенным функции f (x) =*
=¦» (а, х) и запишем связь между строкой к коэффициен-
коэффициентов этой функции и координатным столбцом вектора а в не-
некотором базисе е. Мы имеем f (л) = к|=атТ|, где а и
%—координатные столбцы векторов а и *, а Г—матрица
Грама базиса е. Так как коэффициенты линейной функции
определены однозначно (это ее значения на векторах ба-
360

виса), из последнего равенства следует, что
или хг = Га.
Последнюю формулу можно рассматривать как координат-
координатную запись линейного отображения П Sn—*Sn в паре
базисов е и р, причем базис р—взаимный базису е. По-
Поскольку detr=/=O, отображение Г является изоморфизмом
€а на &*„, рассматриваемых как линейные пространства.
Отсюда, в частности, следует, что для любой линей-
линейной функции f на $п найдется присоединенный вектор f
такой, что f(x)=(f, х).
В пространстве Sn пока не введено скалярное умно-
умножение. Но мы можем ввести его по формуле (Г (а),
Г(Ь)) = (а, Ь). Если это сделано, то отображение Г будет
изоморфизмом евклидовых пространств.
Итак, между евклидовым пространством $п и его со-
сопряженным существует вполне определенный, связанный
со скалярным произведением изоморфизм, который позво-
позволяет отождествить эти пространства. Такое отождествле-
отождествление является общепринятым.
Рассмотрим векторы р' = Г~*(р') (i=l? ..., п), отождествля-
отождествляемые с элементами базиса р. Из формулы (б) следует] что они
удовлетворяют условию
Отсюда нетрудно вывести, что ори п=3 взаимный баэио, определен-
определенный нами в § 3 гл. I, совпадает о взаимным базисом в смысле опре-
определения на о. 249.
§ 2. Квадратичные формы
1. Билинейные формы. Введем следующее
Определение. Билинейной функцией или билиней-
билинейной формой на линейном пространстве Зп называется
функция Ь от двух векторов на J?a, удовлетворяющая
(для любых векторов х, у и г и любого числа а) равен-
равенствам
Ъ(х+у, г) = Ь(х, г)+Ь(у, г), Ь(ах, у)«аЬ(х, у),\
Ь(ж, у+г) - Ъ(х, у) + Ь(х, г), Ь{х, ау) ~аЪ(х, у).)
Выберем в пространстве J?n базис eit ..., еа. Если
?$'е/ и У =«2 Vе/» то значение билинейной формы
b на векторах хну может быть вычислено следующим
251

образом:
или окончательно*
Ь(*. ^^SPz/gV. B)
n* чисел ptj—значения билинейной формы на всевозмож-
всевозможных парах базисных векторов—называются коэффициен-
коэффициентами билинейной формы в базисе eit .... е„. Их приня-
принято записывать в виде квадратной матрицы порядка п:
|Р« Ра ... Р
II Ps2 ••• Р
ii Pnt •• Pan
Эта матрица называется матрицей билинейной формы
в данном базисе. В матричном виде, как легко проверить
умножением матриц, равенство B) записывается в виде
Ь(х, у)=*1ТВц. C)
При замене базиса матрица билинейной формы, разу-
разумеется, изменяется. Получим закон ее изменения. Пусть
векторы нового базиса е[, ..., е'п выражаются через
векторы старого базиса eit ...,en равенствами е*«=2°^е*»
где через at обозначены элементы матрицы перехода S.
Для коэффициентов билинейной формы b в базисе е' мы
имеем при любых i, /=1, ..., п
/л я \
b (е(, е',) »-= Ь ( S ofek, 2 o'et I = 2 ofojb (ek, et),
\Ы <=t / k,l
или
k,l
Как легко проверить, равенства C) равносильны матрич-'
ному равенству
B'^STBS, E)
в котором В'—матрица билинейной формы в базисе е'
Билинейная форма Ь называется симметричной, если
при любых х и у имеет место равенство Ь(х, у) = Ь(у, х)
Если билинейная форма b симметрична, то Ъ(е{, ej)—
t=b(e/( ej) при всех i и /, и, следовательно, матрица би-
билинейной формы симметрическая. Обратно, пусть матрица
252

билинейной формы симметрическая, т.е. В = ВТ. Тогда,
поскольку матрица размеров 1 х 1 не меняется при транс-
транспонировании,
Ь (х, у) - (VBtf = ЧТВ*1 = цтВЪ - b (jf, *),
и, следовательно, билинейная форма Ь симметричная. Мы
доказали
Предложение 1. Билинейная форма симметрична
тогда и только тогда, когда ее матрица симметриче-
симметрическая (какое бы ни был базис).
?. Другая точка зрения на билинейные формы. Рассмотрим би-
билинейную форму b (х, у) на линейном пространстве Х„ н фиксируем
произвольный вектор у из Хп Тогда b (*,</)•—линейная функция
от х. Чтобы подчеркнуть это, мы можем обозначить Ь(х, у) как
Ъу (х). Таким образом, каждому вектору у из Хп сопоставлена ли-
линейная функция на Х„, т.е. мы имеем Отображение В. Хп—уХ*л.
Легко видеть, что отображение В линейное. Действительно рассмот-
рассмотрим образ ВДж-(-$ суммы двух векторов х и у. Это—линейная функ-
функция Ь\,+„, сопоставляющая произвольному вектору г число Ъ(г,х-\-у).
Нов'силу линейности Ь по второму аргументу Ь(г, x+y)=cb(t, х)-\-
+ Ь (г, у). Отсюда ЬХ+„«=ЬХ+Ь„. Итак, В(х+у)±9{х)+Ъ{д).
Аналогично доказывается, что В (адс) = аВ|л;).
Наоборот, пусть дано Линейное отображение В: Хп —»• Х*п. Век-
Вектору х из Хп оно сопоставляет линейную функцию Ьх на Jf^. Cne-
доэательно, двум векторам х и у из Ssn можно сопоставить число
Ьх {0, которое мы имеем право обозначить Ь(х, у). Функция Ь(х, у)
лийейна по первому аргументу, так как В—линейное отображение,
и линейна по второму аргументу, так как by-лннейная функция.
Итак, билинейную форму на Хп можно определить как линей-
линейное отображение Хп в Хп.
Пусть е—вазио в Ха, а р—взаимный ему базис в X*. Найдем
матрицу линейного отображения В соответствующего билинейной
форме Ь Образ В («/) базисного вектора е/—линейная функция Ь( (у).
Она имеет строку коэффициентов bfa, «/), ..., b(ea, ej). Эти же
числа образуют i-й столбец искомой матрицы, так как они—коор-
они—координаты В (е/) по базису р. Мы видим что матрица отображения В
в базисах е и р совпадает е матрицей В билинейной формы b в ба-
базисе е.
Из сказанного видно, что закон изменения матрицы билинейной
формы E) есть простое следствие формулы преобразования матрицы
линейного отображения F) § 3 гл. VI н равенства (8) § 1,
Теорема 2 § 3 гл. VI не относится к билинейным формам, так
как базисы е н р не произвольны, а р—взаимный для е.
Если билинейная форма не симметричная, то, фихсируя первый
аргумент, а не второй,мы получим" другое отображение Вг: X—*¦ X*.
Его матрица в Паре взаимных базисов е и р равна транспонирован-
транспонированной матрице билинейной формы ВТ. Проверить это—полезное уп-
упражнение.
3. Квадратичные формы. Сейчас мы переходим к изу-
изучению важного класса функций на линейных пространст-
пространствах, тесно связанного с билинейными формами.

Определение. Квадратичной формой называется
функция к на линейном пространстве 3# значение кото-
которой на любом векторе х определяется равенством к (х) =
¦=• Ь (х, х), где Ь—симметричная билинейная форма на &п.
По заданной квадратичной форме к однозначно опре-
определяется соответствующая симметричная билинейная фор-
форма Ь. Действительно, пусть х и у—произвольные векторы.
Рассмотрим значение квадратичной формы на векторе х+у
к(х+у)**Ь(х+у, *+#)=*
/. У)-
Отсюда, используя симметричность билинейной формы,
получаем
У)
и, следовательно, значение Ь на любых векторах выра-
выражается через значения к.
Матрица симметричной билинейной формы b называется
матрицей соответствующей квадратичной формы к.
Согласно B) значение к (х) квадратичной формы к запи-
записывается через координаты вектора х в каком-либо базисе
формулой
g F)
или в матричном виде
|гв|. G)
Правая часть F)—однородный многочлен второй степени
относительно р, ..., Iя. Приведенная его запись содер-
содержит подобные члены. Именно, при %ф\ члены Р/Д'ё' и
Р/Д7!' совпадают. Поэтому после приведения подобных
членов F) принимает вид
(8)
М*)«Ри (&*)i-t-2piire+|$M(?T+2p<,!1&*-b... (8)
Теорема 1. Для каждой квадратичной формы к
существует базис, в котором
J5
т. е. матрица квадратичной формы является диагональной.
Вид (9) называется диагональным видом квадратичаои
формы.
«4

Доказательство. Рассмотрим квадратичную фор*
му к и обозначим ее матрицу в некотором исходном базисе
через В. Мы применим к матрице В последовательность
элементарных преобразований, которую для удобства опи-
описания разобьем на ряд шагов. На первом шагу возможны
два случая:
1) Общий случай: Ри=/=0. Если это условие выпол-
выполнено, вычитаем первую строку, умноженную на подходя-
подходящие множители (р\,/ри Для /-й строки), из всех нижеле-
нижележащих строк и вычитаем первый столбец, умноженный
на те же множители, из всех столбцов, расположенных
правее него. Множители выбираются так, чтобы матрица В
перешла в матрицу Bt вида
е} 0 ,,. 01
0
...С*
0
A0)
где Ci—симметрическая квадратная матрица порядка п — 1.
2) Особый случай: $ц = 0. Здесь имеются две возмож-
возможности: а) 0^ = 0 для всех i = 2, ..., п. При этом матрица
уже имеет вид A0), б) Найдется i, для которого р^т^О.
При этом делается вспомогательное преобразование: если
fin Ф 0, то /-я строка переставляется с первой и /-й столбец
переставляется с первым; если же Р/; = 0, то 1-я строка
прибавляется к первой и г-й столбец прибавляется к пер-
первому. В преобразованной матрице оказывается $'цфО.
После вспомогательного преобразования матрица приво-
приводится к виду A0) так же, как и в общем случае.
Пусть в результате k шагов мы получили матрицу
8*
О
A.1)
Здесь Ск—симметрическая матрица порядка п—k, а через
еи ..., еА обозначены левые верхние элементы матриц Ch
полученных на предыдущих шагах.
Следующий Л+1-й шаг состоит в применении к ма-
матрице Вк такой последовательности элементарных преоб-
преобразований, которая равносильна применению преобразова-
преобразований; первого шага к матрице Ск и не затрагивает первых k
строк и первых k столбцов матрицы В„. В результате-мы
2S5

получаем матрицу Bk+t, имеющую тот же вед а'-большим
на единицу значением к.
После п—1-го шага матрица Cn_t имеет порядок 1 и
не нуждается в преобразовании. В результате матрица В
будет превращена в диагональную матрицу
Разумеется, если исходная матрица нулевая или ну-
нулевой окажется какая-либо из матриц Ch, то в дальней-
дальнейших преобразованиях нет необходимости, так как матрица
уже диагональная. Это равносильно тому, что на всех
последующих шагах осуществлется особый случай а).
Ёажно заметить, что после каждого элементарного
преобразования со строками осуществлялось такое же пре-
преобразование со столбцами. Если осуществляемое элемен-
элементарное преобразование со столбцами равносильно умноже-
умножению преобразуемой матрицы справа на матрицу Sa (ср. п, 4
§! ф гл. V), то та же операция со строками равносильна
умножению преобразуемой матрицы слева на S?.
В результате всей последовательности элементарных
преобразований мы получим матрицу B'=*STBS, где 5=
=St...SN—произведение всех матриц, соответствующих
проделанным преобразованиям со столбцами.
Мы доказали, таким образом, что матрица В' является
матрицей квадратичной формы к в базисе е', который свя-
связан с исходным базисом е матрицей перехода 5. Теорема
доказана.
Для приведения квадратичной формы к диагональному
виду можно воспользоваться методом выделения квадра-
квадратов. Покажем его на примере. Пусть квадратичная форма
задана формулой вида (8)
к (х) = 2 ?»
Заметив, что коэффициент при E1)* отличен от нуля, со-
соберем вместе все члены, содержащие ?*:
2 Ю* + 214*} + 3 (Е«)« + 4|*|* + 5 (g»)«.
Теперь дополним выражение в квадратных скобках до
квадрата суммы, прибавив и вычтя 2 (?')'
269

Теперь квадратичную форму ложно переписать в виде
к (х) =* 2 (I1 +?*)* + к' (*), где к' (л:)—квадратичная форма,
значение которой зависит только от ?* и |'|
К ней можно применить тот же прием:
Теперь к{х) принимает вид
где
Последние формулы задают преобразование координат
вектора при переходе к базису, в котором квадратичная
форма имеет диагональный вид.
При доказательстве теоремы 1 для приведения к сумме
квадратов была предложена определенная последователь
ность элементарных преобразований Метод выделения
квадратов только формой записи отличается от приведения
с помощью этой последовательности преобразований. Но
полезно иметь в виду, что можно использовать любую
последовательность элементарных преобразований, приво-
приводящую матрицу к диагональному виду, при единственном
существенном условии: после каждого элементарного пре-
преобразования со строками должно выполняться то же эле-
элементарное преобразование со столбцами.
Диагональный вид квадратичной формы в веществен-
¦ «ом пространстве мы будем называть каноническим видом,
если числа ък могут быть равны только 1, —1 и 0. В комп-
комплексном пространстве диагональный вид квадратичной-
формы—канонический, если eft могут равняться только 1
или 0.
Теорема 2. Для каждой квадратичной формы су-
существует базис, в котором она имеет канонический вид
Для доказательства приведем сначала квадратичную
форму к произвольному диагональному виду, а затем сде-
сделаем следующее преобразование. Если какой-либо из диа-
диагональных элементов ей отличен, от нуля, то умножим k-vi
базисный вектор на (ек)~1/г в случае комплексного про-
пространства или на |ей|-»/2 в случае вещественного прост-
пространства. Легко видеть, что это соответствует умножению
й-й' строки и k-то столбца матрицы квадратичной формы
на тот же множитель. Сделав это для всех k, таких что
9-102 557

е»=?^0| мы приведем квадратичную форму к каноничес-
каноническому виду.
4. Ранг и индекс квадратичной формы. Существует
много базисов, в которых данная квадратичная форма
имеет канонический вид. Коэффициенты е, должны были
бы быть, вообще говоря, свои для каждого из таких ба-
базисов. Однако оказывается, что они одни и те же (с точ-
точностью до порядка), как бы мы ни приводили квадратич-
квадратичную форму к каноническому виду.
Начнем со следующего вспомогательного предложения,
имеющего и самостоятельное значение.
Предложение 2. Если det А фО и определены' про-
произведения АВ и С А, то RgAB=Rg? и RgCA = Rgt.
Действительно, согласно предложению 5 § б гл. V мы
имеем одновременно Rgfi«=RgA~l(AB)^.RgAB и
RgAB^.RgB. Отсюда следует, что RgB^RgAB. Ана-
Аналогично предложение доказывается, если множитель А
стоит справа.
Теорема 3. Ранг матрицы квадратичной формы tie
зависит от базиса.
Действительно, согласно формуле E) матрицы К и К'
квадратичной формы к в базисах вне' связаны равен-
равенством K' = STKS, где detS=/:O. Отсюда, в силу предло-
предложения 2 Rg/C' = Rg/CSa Rg/f. Если квадратичная форма
имеет канонический вид, то ранг ее матрицы равен числу
коэффициентов е„ отличных от нуля. Таким образом, это
число не зависит от базиса.
Определение. Число не равных нулю коэффици-
коэффициентов е, в каноническом виде квадратичной формы к на-
называется рангом к.
Мы видели, что ранг к равен рангу ее матрицы в про-
произвольном базисе.
Заметим, что «геометрическую» интерпретацию ранга квадратич-
квадратичной формы можно получить, рассматривая соответствующую симмет-
симметричную билинейную форму как отображение Хп—* Х*п.
В комплексном пространстве все квадратичные формы
одного и того же ранга г приводятся (каждая в своем ба-
базисе) к одному и тому же каноническому виду (?*)* +...
Рассмотрим теперь квадратичную форму к в вещест-
вещественном пространстве Зп.
Определение. Мы будем говорить, что к положи-
положительно определена на подпространстве 3' пространства
<9?п, если к (х) > 0 для любого ненулевого вектора х из 3*.
268

Аналогично, к отрицательно определена на 3\ .если
к (дс) < 0 для любого ненулевого к из 3'.
Если к(х)>0 или к(ж)<0 для любого хфЪ из .5^,
то про к говорят, что она положительно определенная или
соответственно отрицательно определенная квадратичная
форма.
Квадратичные формы, для которых при любом к вы-
выполнены неравенства к(дс)^О или к(дг)^О, называются
положительно или отрицательно полуопределенными.
Удобно считать, что на нулевом подпространстве каж-
каждая квадратичная форма и отрицательно определенная и
положительно определенная одновременно. В силу этого
соглашения всегда существует (хотя бы нулевое) подпро-
подпространство, на котором квадратичная форма отрицательно
определена, и мы можем выбрать среди всех этих под-
подпространств подпространство максимальной размерности.
Определение. Пусть 3{~}—подпространство мак-
максимальной размерности из всех, на которых квадратичная
форма к отрицательно определена. Размерность J24 назо-
назовем индексом квадратичной формы к.
Теорема 4 (закон инерции квадратичных
форм). Число отрицательных и число положительных
коэффициентов е{ в каноническом виде квадратичной формы
не зависит от выбора базиса, в котором она приведена
к каноническому виду.
Мы докажем равносильную формулировку: если в ка-
каком-либо базисе квадратичная форма к приведена к кано-
каноническому виду, то число отрицательных коэффициентов
совпадает с индексом к. Так как общее число положи-
положительных и отрицательных коэффициентов равно рангу, из
последней формулировки вытекает, что и число положи-
положительных коэффициентов не зависит от базиса.
Действительно, пусть в базисе еи ..., еп квадратич-
квадратичная форма с индексом s имеет канонический вид
Обозначим через 3t линейную оболочку векторов et, ...
..., et, а через ??г линейную оболочку е/+1, ..., еа.
Для вектора х из Si имеем %>+х = ... =» ?" = 0 и к(х) =
= — (?1)а— • • • — (V)* < 0. если только хФ0. Следова-
Следовательно, на /-мерном подпространстве J?( форма к отрица-
отрицательно определена и s^/\
Допустим теперь, что s > / и существует s-мерное
подпространство 31~\ на котором к отрицательно опре-
определена. Компоненты любого вектора х из 3% удовлетво-
9* 259

ряют равенствам I1 «¦ .. ж У -»0, и, следовательно,
к(х)>0 для всех х из SB%. Размерность 3% равна л — /,
и сумма размерностей jg7, и J?*"' превосходит л. По тео-
теореме 1 § 2 гл VI 3?% и J?'"' имеют ненулевое пересе-
пересечение. Для ненулевого вектора г из ^„nJ?*"' мы дол-
должны были бы иметь одновременно к(г)<0 и к(г)>0.
Иэ полученного противоречия видно» что s « j. Теорема
доказана.
Положительно определенные квадратичные формы имеют
раяг п и индекс 0 и приводятся к каноническому виду
№* +...+ (!")*• A2)
Отрицательно определенные квадратичные формы имеют
ранг п и и-ндекв п. Они приводятся к виду
Положительно и отрицательно полуопределениые формы
ранга г приводятся соответственно к каноническим видам
A1У+•..+(?)', -(?>)'-...-(&')*•
Мы видели* что в вещественном пространстве квадра-
квадратичной форме сопоставляются два числа— ее ранг и ин-
индекс. Она характеризуется этими числами в том смысле,
что все квадратичные формы, имеющие одинаковые ранги
и, индексы, приводятся (каждая в своем базисе) к одному
и' тому же каноническому виду. Вместо ранга и индекса
можно характеризовать квадратичную форму любыми
двумя величинами., по которым можно найти ранг и ин-
индекс Например, часто вместо ранга задают число положи-
положительных коэффициентов в каноническом виде Оно вместе
с индексом—числом отрицательных коэффициентов — ха->
растеризует квадратичную форму. В § 2 гл. IX нам
будет удобно характеризовать квадратичную форму рангом
и разностью числа положительных и числа отрицатель-
отрицательных коэффициентов в каноническом виде. Эта разность
называется сигнатурой квадратичной формы.
' Полезно уметь определять, является ли данная квад-
квадратичная форма положительно определенной, не приводя
ее к каноническому виду. Это можно сделать при помощи
следующей теоремы, называемой критерием Сильвестра,
Х.еррема 5. Для положительной определенности
квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы
260

миноры ее матрицы удовлетворяли неравенствам
Ри ••• Р»*
>0 A3)
для всех k — 1, ..., л.
Миноры вида A3) называются главными минорами
матрицы.
¦ Для доказательства вспомним преобразования матрицы
квадратичной формы, примененные при доказательстве
теоремы 1.
1°. Необходимость Если квадратичная форма к (х)
положительно определенная, то диагональные элементы
ее матрицы в любом базисе удовлетворяют условию
и, следовательно, при приведении матрицы к диагональ-
диагональному виду особый случай не встретится. В общем случае
к любой строке может быть прибавлена только вышеле-
вышележащая, а к любому столбцу—только расположенный ле-
левее. При таких преобразованиях главные миноры матрицы
не изменяются. Но у диагональной матрицы в случае по-
положительно определенной квадратичной формы главные
миноры положительны. Поэтому они должны быть поло-
положительны и у исходной матрицы.
2°. Достаточность. Пусть все главные миноры
матрицы В положительны. В частности, Mt =¦ р*1{ > О,
и первый шаг преобразования приводит матрицу к виду
A0) с ej > 0. Допустим, что после k шагов мы получили
матрицу Вк с положительными гь ..., ек, причем не воз-
возникало особого случая. Тогда для левого верхнего эле*-
мента матрицы Ск имеем ек+1 = Мк+1/Мк, так как глав-
главные миноры не менялись. Отсюда следует et+1 > 0. На
очередном шаге преобразования имеет место основной слу-
случай, и полученная матрица Bk+i имеет положительные
элементы е1( .... ek+v Проводя такое рассуждение для
всех k от 2 до п, придем к доказываемому утверждению.
§ 3. Квадратичные формы и скалярное произведение
Если в вещественном линейном пространстве задано
скалярное произведение (т. е. пространство евклидово),
то каждой билинейной форме независимым от выбора ба-
базиса образом может быть сопоставлено линейное преобра-
преобразование.

Определение. Линейное преобразование А евкли-
евклидова пространства €п называется присоединенным били-
билинейной форме Ь, если для любых векторов х и у из ёи
выполнено равенство
Ь(*. у) = (х, А (у)). A)
Предложение 1. Каждая билинейная форма име-
имеет одно-единственное присоединенное преобразование.
Для доказательства допустим сначала, что присоеди-
присоединенное преобразование для b существует. Обозначим чет
рез В и А матрицы b и А в некотором базисе е и запи-
запишем равенство A) в координатной форме
Здесь Г—матрица Грама базиса е. Последнему равенству
можно придать вид V(B—IM)t) = 0. Выберем произволь-
произвольные векторы хну равными базисным векторам et и ef.
Тогда их координатные столбцы | и ц будут соответст-
соответственно равны (*-му и /-му столбцам единичной матрицы.
Этим будет показано, что равен нулю элемент в i-Ъ строке
и /-м столбце матрицы В—ТА (ср. пример 4, с. 176).
Так как i и / могут быть взяты любыми, мы видим, что
В—Г А=з О. Отсюда мы можем выразить матрицу А че-
через матрицу В:
А = Y~lB. B)
Это означает, что билинейная форма не может иметь
больше одного присоединенного преобразования— если
оно существует, его матрица равна Т~ХВ.
Теперь легко доказать и существование присоединен-
присоединенного преобразования. Для этого достаточно проверить,
что преобразование с матрицей B) является присоединен-
присоединенным. Но из B) следует В = ТА, а, значит, при любых
столбцах 1 и ц выполнено \тВг\*=\тТАт\. Следовательно,
равенство A) имеет место для любых векторов хну
из &п. Предложение доказано.
Заметим, что в случае ортонормированного базиса связь
между матрицами билинейной формы и ее присоединен-
присоединенного преобразования особенно проста—эти матрицы совпа-
совпадают:
В = Л.
Отсюда и из предложения 2 § 2 гл. VI мы получаем
Предложение 2. Для симметричных билинейных
форм и только для них присоединенное преобразование
является самосопряженным.
262

Если линейное преобразование присоединено симмет-
симметричной билинейной форме Ь, то его называют также при-
присоединенным той квадратичной форме, которую определя-
определяет Ь. Таким образом, каждой квадратичной форме при-
присоединено самосопряженное преобразование.
Тесная связь между квадратичными формами и само-
самосопряженными преобразованиями позволяет доказать сле-
следующую важную теорему.
Теорема I. В евклидовом пространстве для каждой
квадратичной формы существует ортонормированный ба-
базис, в котором она имеет диагональный вид.
Теорема почти очевидна: базисом, существование кото-
которого утверждается, будет ортонормированный базис из
собственных векторов линейного преобразования, присо-
присоединенного квадратичной форме. В нем В — Аи Л —диа-
—диагональная матрица.
Теорема 2. Евклидово пространство можно опреде-
определить как такое вещественное линейное пространство,
в котором задана положительно определенная квадратич-
квадратичная форма.
Действительно, сопоставив каждому вектору евкли-
евклидова пространства ?п его скалярный квадрат, мы получим
функцию к(х) = (х, х). Если Г—матрица Грама некото
рого базиса, а |—координатный столбец вектора х в этом
базисе, то функция к запишется формулой к(дс) = 1гГ|
Значит, это—квадратичная форма. В силу аксиомы 4°
определения -евклидова пространства, к(дс)>0 для хфО,
и наша форма положительно определена.
Обратно, пусть в вещественном линейном простран-
пространстве 3п задана положительно определенная квадратичная
форма к. По ней однозначно восстанавливается соответст-
соответствующая симметричная билинейная форма Ь. Введем в S? п
скалярное произведение, положив (х, у) = Ъ(х, у). Акси-
Аксиомы 2° и 3° выполнены, так как Ь—билинейная форма.
Аксиома 1° удовлетворена, поскольку b симметрична. По-
Положительная определенность к равносильна аксиоме 4°.
Теорема доказана. Отметим только, что (х, у) в базисе е
записывается через координатные столбцы векторов и мат-
матрицу квадратичной формы равенством (х, «/) = 1Г/Сп, и.
следовательно, К является матрицей Грама базиса е.
Из доказательства теоремы 2 видно, что положитель-
положительная определенность квадратичной формы нужна только
для выполнения аксиомы 4 . Рассматриваются пространств
ва, в которых скалярное произведение определяется про-
произвольной квадратичной формой. В таких пространствах
263

существуют векторы с отрицателвмы** скалярным квадра-
квадратом и геометрия значительно отличается от евклидовой.
Если скалярное произведение определено квадратичной
формой ранга, равного размерности пространства, то про-
пространство называется псевдоевклидовым. Из псевдоевкли-
псевдоевклидовых пространств в математической физике существенную
роль играет четырехмерное пространство, в котором за-
задана квадратичная форма — (I1J—(ga)B—(|3)а + (|4J. Это
так называемое пространство Минковского.
Используем теорему 2, чтобы доказать следующую
теорему
Теорема 3. Пусть в линейном пространстве &Л
заданы две квадратичные формы к и h, причем h-—поло-
h-—положительно определенная. Тогда в J?n существует базис,
в котором обе формы имеют диагональный вид (а форма
h имеет даже канонический вид).
Для доказательства введем в &п скалярное произве-
произведение при помощи положительно определенной формы h.
По отношению к этому скалярному произведению орто-
номированными будут те базисы, в которых h имеет кано-
канонический вид A2) § 2, так как их матрица Грама еди-
единичная По теореме 1 для формы к существует ортонор-
мированный базис, в котором она имеет диагональный вид.
Это и есть базис, существование которого мы доказываем.-
Замечание Если 3?п евклидово, то теорема 3 оста-
остается, конечно, справедливой Уже существующее скаляр-
скалярное произведение оставляется без внимания, а вводится
новое скалярное произведение при помощи формы h.
Базис, в котором к и h имеют диагональный вид,
вообще говоря, не будет ортонормированным по отноше-,
нию к старому скалярному произведению.
Чтобы практически привести две квадратичные формы
одновременно к диагональному виду, сначала строят базис,
в котором h имеет канонический вид, и находят матрицу
К' формы к в этом базисе. Это осуществляет переход
к базису, который ортонормирован по отношению к вспо-
вспомогательному скалярному произведению, введенному при
доказательстве теоремы. Линейное преобразование, Имею-
Имеющее в найденном базисе ту же матрицу К.\ будет присо1
единенным к форме к. Следует найти собственные векторы
этого преобразования, ортогонализовать их и нормировать,
находя скалярное произведение по формуле A1) § 1
гл. VII. Так будет получен базис из собственных векто-
векторов, ортонормированный по отношению к вспомогательно-
вспомогательному скалярному произведению. Он и является искомым
264

базисом. В нем матрица формы h.единичная, а матрица К"
формы к диагональная, причем ее диагональные элементы
равны корням характеристического многочлена матри-
матрицы К'.
Одновременное приведение двух квадратичных форм
к диагональному виду может быть осуществлено и иначе.
Пусть /С и И—матрицы квадратичных форм в исходном
базисе е. Как отмечалось при доказательстве теоремы 2,
Н будет матрицей Грама базиса е для вспомогательного
скалярного произведения. Матрица А — Н^К, является
матрицей линейного преобразования, присоединенного к
форме к. Характеристическое уравнение преобразования
имеет вид det (Н^К—Щ = 0 Так как Н~1К—'кЕ =
= Н~*A(—%Н) и detН~гф(У, характеристическое урав-
уравнение имеет те же корни, что и уравнение
det (/С—А,Я) = 0. C)
Для каждого из этих корней система линейных уравне-
уравнений (H~%I{—ХЕ)% = о для нахождения собственных век-
векторов эквивалентна системе
При каждом Я фундаментальную систему решений такой
системы следует ортогонализовать и нормировать, находя
скалярное произведение по формуле A3) § 1 гл. VII
с матрицей Грама Н. Так будет построен базис е. Так
как он ортонормирован относительно вспомогательного
скалярного произведения, матрица формы h в нем будет
единичной. Так как он состоит из собственных векторов
преобразования, присоединенного к форме к, матрица фор-
формы к в нем будет диагональной с корнями уравнения C)
на диагонали.
§ 4. Эрмитовы формы
Для квадратичных форм в унитарных пространствах
теоремы § 3 не имеют места Они справедливы для других
функций, называемых эрмитовыми формами. Приведем
только формулировки. Доказательства почти не отлича-
отличаются от доказательств соответствующих теорем в § 3.
Функция b от двух векторов в комплексном линейном
пространстве _!?„ называется эрмитоюй- билинейной фор-
формой, если для любых векторов х, у и г и любого
265

комплексного числа а выполнены равенства
Ъ(х + у, г)-Ь(дг, у) + Ъ(у, г), b(ou, у)^аЪ{х, у),
Ъ(х, у+г)ш*Ь(х, у) + Ъ(х, г), Ь(х, ау)=*аЪ(х, у).
Отличие этого определения от определения билинейной
формы в том, что при умножении второго аргумента на чис-
число а значение эрмитовой билинейной формы умножается
на комплексно сопряженное число а.
Если в Зп выбран базис, то значение Ь на паре век-
векторов х, у может быть записано в виде
Ь(лг, у)-2Р//п/ или Ь(х, у)
где | и х\—координатные столбцы векторов хну. Мат-
Матрица 5 = ||Р,у| называется матрицей эрмитовой билиней-
билинейной формы. При замене базиса она преобразуется по за-
закону STBST.
Эрмитова билинейная форма называется симметрич-
симметричной, если Ь(х, у) = Ь(у, х). Это условие равносильно
тому, что ее матрица эрмитова.
Функция к (дс) на &п называется эрмитовой квадра-
квадратичной формой или просто эрмитовой формой, если
к(х) = Ъ(х, х) для некоторой симметричной эрмитовой
формы Ь. Форма b однозначно определяетс'я по к.
Рассмотрим эрмитову форму к в унитарном простран-
пространстве 11п. Линейное преобразование А в Щ, называется
присоединенным форме к, если оно самосопряженное и
к (*) = (*, А(дс)) для всех х. В ортонормированном базисе
матрица присоединенного преобразования совпадает с мат-
матрицей, комплексно сопряженной матрице формы к. Отсю-
Отсюда следует, что для каждой эрмитовой формы к сущест-
существует ортонормированный базис, в котором ее матрица
диагональная с вещественными элементами на диагонали.
Растягивая базисные векторы, мы можем привести эрми-
эрмитову форму к каноническому виду, в котором на диаго-
диагонали стоят числа 1, —1 или 0. Для эрмитовых форм
справедлив закон инерции.
Унитарное пространство можно определить как такое
комплексное линейное пространство, в котором задана
положительно определенная эрмитова форма.
Для пары эрмитовых форм, из которых одна положи-
положительно определенная, можно найти базис, в котором они
обе имеют диагональный вид.
266

ГЛАВА IX
АФФИННЫЕ ПРОСТРАНСТВА
§ 1. Плоскости
1. Аффинное пространство. В гл. I мы считали изве-
известным из школьного курса понятие обычного геометриче-
геометрического пространства и ввели определение вектора как
упорядоченной пары точек. В гл. VI—VIII была пост-
построена теория многомерных векторных пространств. Те-
Теперь, исходя из нее, мы можем дать аксноматическое оп-
определение точечного пространства любой размерности.
Рассмотрим я-мерное вещественное линейное прост-
пространство Зп и дадим следующее
Определение. Множество &п называется п-мер-
ным аффинным пространством, а его элементы—точ-
элементы—точками, если задан закон, сопоставляющий каждой упоря-
упорядоченной паре его элементов А, В единственный вектор
из Зп (который мы обозначим АВ) таким образом, что:
1°. Для любой точки А из сУя н любого вектора х из
J?n существует единственная точка В такая, что АВ**х.
Эта точка будет обозначаться Р(А, х).
2°. Для любых трех точек А, В и С выполнено ра-
равенство AjB + BC=*A~5.
Мы назовем J?n пространством векторов простран-
пространства *fn, а его элементы—векторами в Sfn.
Чтобы установить соответствие с определениями из
§ 1 гл. I, заметим, что первая аксиома соответствует воз-
возможности отложить любой вектор из произвольной точки,
а вторая аксиома соответствует определению сложения
векторов.
Приведем простейшие следствия из определения аф-
аффинного пространства.
а). Для любых двух точек АА + АВ=АВ. Поэтому
вектор, соответствующий паре совпавших точек, является
267

нулевым вектором. Для любой точки А имеем
Р(А, о) = А, поскольку Р(А, о) = Р(А, АА) — А.
б) Аксиома 2° для точек А, В, А дает А~В-\-ВА= А~А,
откуда ЛВ = —В А.
в) Предоставим читателю доказать, что для четырех
точек А, В, А' и В' равенство АВ = А'В' имеет место
тогда и только тогда, когда АА' = ВВ'. Это свойство со-
соответствует определению равенства векторов из § 1 гл. I.
Исходя из линейного пространства 3'„, можно по-
построить аффинное пространство. С этой целью возьмем $
качестве множества в?п множество векторов пространст-
пространства 2?п и сопоставим каждой паре векторов х и у вектор
ху~4)—*• Легко проверить, что аксиомы 1° и 2° в этом
случае выполнены. Интуитивно это построение означает,
следующее. Представим себе векторы из 3п как направ-
направленные отрезки, исходящие из одной точки. Тогда точ-
точками пространства afn мы будем считать концы наших
векторов
О if р е д е л е н и е. Аффинные пространства ?рп и о?'п называ-
называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное
отображение: f. ?fn —*¦ ($Р'п и такой изоморфизм их пространств вгк-
торов F: Хп—*¦ Х'п, что для любых точек А и В из <У„ выполнена
равенство f (A) f (В) = F {АВ).
Из определения сразу видно, что изоморфны могут быть только
пространства одной размерности.
Если для некоторой точки А известен ее образ ((А) при ню-
морфизме f и задан изоморфизм F, то отображение f однозначно оп-
определено. Действительно, образ любой другой точки В может быть
найден по формуле f (В) = P(f (A), F (АВ)) С другой стороны, как
бы мы ии задали {(А) и F, мы обязательно получим изоморфизм
f: ?fn—+zf'n Действительно, легко проверить, что из ЦА) I (В) =»
= F(AB) и f(A)i(C) = F(AC) следует f (В) f (С) = F (ВС) для любых
точек В и С. Отсюда вытекает
Предложение 1. Любые два аффинных пространства од'
ной размерности изоморфны. Изоморфизм однозначно определяется
заданием образа одной из точек и изоморфизма F. ?„ —>- Х'а.
В изучении каждого класса пространств особую роль играют
те преобразования пространств, которые являются их изоморфиз-
изоморфизмами на себя (ср § 4 гл. IV) Для линейных пространств это про-
произвольные невырожденные линейные преобразования, для евкли-
евклидовых пространств—ортогональные преобразования. Изучим изо-
изоморфные преобразования аффинного пространства
С этой целью предположим сначала, что в качестве изомор
физма F: Ха—<-Jfn выбрано тождественное преобразование. Зада
268

димоя образом 1(А) некоторой точки А и раасмотрим преобразо-
преобразование; определяемое равенством f (B) = P(f (Ai, 1Й) для любо»
точки В. Обозначив для краткости ЦА)**А*, \(Щ=*В*. Предыду-
Предыдущее равенство означает что А*В**=*'АВ. А это в свою очередь,
в силу в), эквивалентно равенству ВВ'^АА*. Итак, образ каждой
точки получается сдвигом этой точки на один и тот же вектор А А*
Такое преобразование естественно назвать параллельным переносом.
Если мы предположим, что 1(Л) = /4, a F—невырожденное
линейное преобразование то мы получим преобразование аффин-
аффинного пространства, задаваемое формулой I (В) = Р (А, ?(АВ)). Эта
формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между
невырожденными линейными преобразованиями и изоморфными пре-
преобразованиями аффинного пространства, оставляющими аеподвиж-
нбя точку А.
Мы видим, что существенное отличие аффинных про-
пространств от линейных состоит в том, ято множество их
изоморфных преобразований шире) оно содержит парал-
параллельные переносы.
Определение. Аффинное пространство называется
точенным евклидовым пространством, если его простран-
пространство векторов евклидово.
В точечном евклидовом пространстве расстоянием
между точками А и В называется длина вектора АВ.
Трехмерное точечное евклидово пространство совпа-
совпадает с пространством, изучаемым в элементарной гео-
геометрии, если в последнем фиксировать единицу мас-
масштаба.
Декартовой системой координат в аффинном прост-
пространстве Уп называется совокупность точки О и базиса е
в'п-ространстве векторов 3?„. Бели задана система коор-
координат О, е, то каждой точке А пространства <У„ одно-
однозначно сопоставляется упорядоченная система из п чи-
чисел,' а именно компоненты вектора О А в базисе е. Эти
числа называются декартовыми координатами точки А в
системе О, е, а столбец, из них составленный, —ее ко-
координатным столбцом. Точка однозначно определяется
своими координатами при заданной системе координат.
Если даны координатные столбцы |f и |, точек А и В,
то координатный столбец вектора АВ равен %t—!,. Это
доказывается рассуждением, уже примененным в § 2 гл. I.
Закон преобразования координат точки при замене
декартовой системы координат выводится так же, как это
делалось для трехмерного пространства в § 4 гл. 1.
269

2. Плоскости в аффинном пространстве. Пусть зада-
па точка А, в аффинном пространстве afn н 6-мерное
подпространство «?% в его пространстве векторов <?%.
Множество всех точек вида P(At, x), где х принадлежит
J?\, называется k-мерной плоскостью в <SPn. Точка At са-
сама, разумеется, лежит в плоскости Мы назовем ее на-
начальной пинкой, а подпространство 3\—направляющим
подпространством.
Любая точка плоскости <$% может быть принята за
ее начальную точку. Действительно, пусть А — Р (Аа, х)
лежит в е?ь Тогда любая точка В = Р(А0, у) из <Sfk пред-
ставима в виде В = Р(А, у—х), поскольку А0В—AtA =
г=АВ, AJB — y и АлА=х, причем у—х принадлежат ,5V
Аналогично, для каждого г из 3% имеем Р (А, г) —
= Р(Ле, г -f-лт), и, следовательно, Р(А, г) принадлежит
плоскости.
Не представляет труда доказать, что Л-мерная пло-
скооть является 6-мерным аффинным пространством с
пространством векторов 3\.
Предложение 2. Если в &'„ выбрана декартова
система координат, то координаты точек любой k-мерной
плоскости удовлетворяют системе линейных уравнений
ранга п—k. Обратно, множество точек, координаты ко-
которых удовлетворяют совместной системе линейных урав-
уравнений ранга г, является (п—г)-мерной плоскостью.
Для доказательства обозначим через |„ и | столбцы
из координат, соответственно, начальной точки Ао и пе-
переменной точки А в плоскости <5%. Тогда, поскольку век-
вектор AtA лежит в 3"к, его координатный столбец %—1„
удовлетворяет однородной системе уравнений ранга
л—k (предложение 4 § 2 гл. VI). Пусть U—матрица
этой системы. Тогда U (|—!„) = 0 и | удовлетворяет си-
системе линейных уравнений t/|-f-p* = O, где р* = —U\t.
Вторая часть предложения следует из теоремы 2
§ 5 гл. V.
Общее решение системы линейных уравнений (фор-
(формула A4) § 5 гл. V) дает нам параметрические уравне-
уравнения (п—г)-мерной плоскости, в которых параметрами яв-
являются коэффициенты в линейной комбинации фунда-
фундаментальной системы решений, а сама фундаментальная
система—базисом в направляющем подпространстве.
Начальная точка плоскости—частное решение неодно-
неоднородной системы.
270

(n—1)-мерная плоскость называется гиперплоскостью.
Она задается уравнением <х1|1 + ... +aBg" + p = 0.
Одномерная плоскость называется прямой линией.
Она определяется системой уравнений ранга п—1 или
же параметрическим уравнением | = 1о-Н»Ь в котором
1о—координатный столбец начальной точки, а т|—коор-
т|—координатный столбец ненулевого вектора из направляющего
подпространства 3V
Множество точек прямой, соответствующих значениям
t~^t0 при некотором выборе вектора т|, называется лу-
лучом, а множество точек, соответствующее /,^/^fi, на-
называется отрезком.
3. Линейные функции на аффинном пространстве.
Функция на аффинном пространстве—это закон, сопо-
сопоставляющий каждой его точке некоторое вещественное
число. Функция называется линейной, если ее значение
в каждой точке А пространства ?Рп удовлетворяет усло-
условию f(A) = f(At) + (p(A0A), где А„—фиксированная точ-
точка, а ф—линейная функция на пространстве век-
векторов 3?а.
В этом определении точка Аа играет особую роль.
Докажем, что на ее месте можно использовать любую
другую точку. Действительно, скажем, для точки At мы
имеем_Д(Л,) ==/(Ао) + <р(/О,), _и потому f (А) = /(А0) +
+ <р (ДА + уО) = f (Аг) + ф {ATA).
Если в &'„ выбрана декартова система координат О, е,
то точке А соответствует ее координатный столбец 1,
функции ф—ее строка коэффициентов х и функция /
записывается в виде /(^) = /@) + х|, так как ? одно-
одновременно является координатным столбцом вектора ОА-
Значение линейной функции мы будем обозначать так-
также через /A).
Нетрудно доказать, что уравнение гиперплоскости
можно записать в виде f(A)~ 0, где /—линейная функ-
функция на &п. В самом деле, пусть выбрана система коор-
координат О, в и гиперплоскость задана уравнением afc1 + ...
...-f-anS"-f-P = O. Обозначим левую часть уравнения че-
через f(A), где под А понимается точка о координатами
I1, ..., |". Простая подстановка показывает, что /(О) =
=р\ Кроме того, ясно, что a^-f ... +аД"—линейная
функция ф от вектора О А.
Линейные функции /(, ..., fh на аффинном простран-
пространстве называются линейно независимыми, если линейно
271

независимы соответствующие линейные функции щ, ...
• • •» Фд на 3п.
^-мерная плоскость определяется системой линейных
уравнений. Это означает, что каждая ее точка лежит в
любой из гиперплоскостей, задаваемых уравнениями си
<зтемы. Отсюда следует
Предложение 3. Каждая k-мерная плоскость яв-
является пересечением п—k гиперплоскостей, независимых
в том смысле, что линейно независимы задающие их
функции.
4. Выпуклые многогранники. Назовем полупростран
ством множество точек аффинного пространства, для ко-
торых некоторая линейная функция / принимает неотри
цательные значения! f(A)^6. Очевидно, что неравенство
/(/4)^0 также определяет полупространство, так как оно
равносильно неравенству —/ (А) ^ 0. Гиперплоскость
f (/4) = 0 является пересечением, т. е. общей частью, этих
полупространств.
Предложение 4. Отрезок прямой пересекает ги-
гиперплоскость тогда и только тогда, когда его концы при-
принадлежат разным полупространствам относительно дан-
данной гиперплоскости.
Д'оказательвтво. Оставим без рассмотрения оче-
очевидный случай, когда хоть один из концов отрезка ле-
лежит в гиперплоскости. Пусть выбрана система коорди-
координат О, в и отрезок задан уравнением \ «= |„ -f t (|, —10)
где !„ и §f—координатные столбцы его концов и ()<>
</<1. Напишем / (S W @) + ф (|„)-Иф (I,— |в). Если
мы прибавим и вычтем tf @), то заметим, что f{%) —
=в A—t) f (In) + if (!()• Следовательно, значение парамет-
параметра t, при котором отрезок пересекает гиперплоскость,
должно удовлетворять равенству A—0 / (!о)-И/(!i) = 0.
Так как t и A — t) положительны, /(|0) и f (%t) должны
быть разных знаков.
Докажем достаточность. Из написанного выше ра-
равенства следует, что l/t «я 1 — f (%^/f (|0). Если /(|0) и
f(!i) имеют разные знаки, то решение существует и
1//>1, т.е. 0</ <1.
Определение. Пересечение конечного числа по-
полупространств называется выпуклым многогранником.
Из определения вытекает, что выпуклый многогран-
многогранник есть множество точек, удовлетворяющих системе ли-
линейных неравенств ft(A)^b, где f,— линейные функции
на <Р„ и i= 1, .... г.
272

Пример 1 I1 + I > О, ?* — 1 <^ гиперплоскости с
гбщим направляющим подпространством не имеют об-
общих точек (параллельны) Многогранник—часть прост-
пространства, ограниченная этими гиперплоскостями.
Пример 2 S'+l^O, ?'—l>0i гиперплоскости
параллельны, многогранник не содержит ни одной
точки.
Пример 3. ?'^0, ?' ^ 1 (/<и»1, ..., п)\ параллеле-
параллелепипед, построенный на базисных векторах и с вершиной
в начале координат.
Пример 4. 5l^0, gx^0i гиперплоскость
Пример 5. ?'>0, Б<<0 A=1 п— 1), g">0,
?"^li отрезок прямой.
Пример 6. Е'>0 (?=l, ...,n); первый координат-
координатный угол.
Из этих примеров видно, что многогранник может
лежать в некоторой плоскости — несколько из определя-
определяющих его неравенств могут выполняться только как ра-
равенства. Мы назовем размерностью выпуклого много-
многогранника минимальную из размерностей плоскостей, его
содержащих В этом смысле размерность отрезка равна
1, а размерность треуюльника—2.
Рассмотрим выпуклый многогранник. Пусть некоторое
из Определяющих его неравенств, скажем ^(^4)^2=0, мо-
может выполняться как строгое неравенство, т. е. сущест-
существует точка А, для к торой Д(Л)>0. Точки многогран-
многогранника, в которых это неравенство выполнено как равенст-
равенство, по определению являются его граничными точками.
Вообще, граничными называются те точки многогранни-
многогранника, в которых обращаются в равенства одно или не-
несколько неравенств, выполненных как строгие неравенства
для каких-либо точек многогранника.
Из этого определения вытекает, что множество гра-
граничных точек выпуклого многогранника есть объедине-
объединение выпуклых многогранников (меньших размерностей),
называемых гранями. Грани каждой из граней состоят
из граничных точек исходного многогранника.
Последовательно рассматривая грани граничных
многогранников все убывающих размерностей, мы либо
придем к грани, являющейся плоскостью размерности
k^\, либо к грани, являющейся одномерным много-
многогранником, т. е. отрезком или лучом. Такие грани назы-
называются ребрами. Их границы — точки — называются вер-
вершинами. Вершины можно рассматривать как 0-мерные
грани.
273

Теперь разъясним, что означает слово «выпуклый», которое мы
уже много раз употребляли. Выпуклым множеством в аффинном про-
пространстве называется множество, которое вместе о любыми двумя
своими точками содержит и весь отрезок, их соединяющий. Из
предложения 4 следует, что полупространство—выпуклое множе-
множество. Из определения можно заключить, что пересечение конечного
числа выпуклых множеств есть выпуклое множество. Поэтому на-
наши выпуклые многогранники являются выпуклыми в этом смысле.
Во многих прикладных вопросах, особенно в экономике, встре-
встречается задача об отыскании максимального значения линейной
функции на выпуклом многограннике. Эта задача называется ва-
дачей линейного программирования. Из математического анализа
известно, что функция, дифференцируемая в области, может дости-
достигать максимального значения только в тех точках области, где все
ее частные производные равны нулю.
Если функция линейна, то частные производные равны ее
коэффициентам и одновременно равны нулю только для тождест-
тождественно постоянной функции, Поэтому максимум- линейной функции
на выпуклом многограннике, если вообще достигается, то дости-
достигается в граничной точке. Последовательно применяя эти сообра-
соображения к граням все меньших размерностей, мы увидим, что макси-
максимальное значение может достигаться либо в вершине, либо на та-
такой грани положительной размерности, на которой функция—тож-
функция—тождественная постоянная.
Поэтому вопрос кажется простым: его решение сводится к срав-
сравнению значений функции в вершинах многогранника. Однако на
практике встречаются многогранники, задаваемые десятками и сот-
сотнями неравенств. Число вершин у них таково, что и с помощью
ЭВМ не может быть просмотрено за приемлемый срок, Это обстоя-
обстоятельство вызвало создание ряда методов, позволяющих решать та-
такого рода задачи. Эти методы объединены общим названием теории
линейного программирования.
§ 2. Общая теория линий
и поверхностей второго порядка
В этом параграфе мы возвращаемся к геометрии
трехмерного точечного пространства, которой были по-
посвящены первые главы книги. Поэтому настоящий па-
раграф может изучаться независимо от § 1. Он содер-
содержит применение результатов, полученных для квадра-
квадратичных форм в евклидовых векторных пространствах, к
исследованию произвольной линии или поверхности вто-
второго порядка.
1, Закон преобразования коэффициентов. Мы начнем
с рассуждений, одинаково пригодных для линий второго
порядка на плоскости и для поверхностей второго порядка
в пространстве, и потому не будем фиксировать размер-
размерность п—она равна двум или трем в зависимости от
того, какой случай иметь в виду. И линии и поверхности
мы будем называть поверхностями, чтобы не делать боль-
большого числа оговорок.
274

Мы рассмотрим произвольное уравнение второго по-
порядка
2 <t,fil' + 2 2 a{.V + «.. -О, A)
I /1 tt
связывающее координаты точки на плоскости или в про-
пространстве, причем о точках, которые ему удовлетворяют,
не будем предполагать ничего, даже того, что такие точ-
точки вообще существуют. Если мы изменим систему коор-
координат и подставим в A) выражение старых координат
текущей точки через новые, то мы получим новое урав-
уравнение (также второго порядка согласно теоремам 1 и 2
§ 1 гл. II). Мы будем говорить, что уравнение A) при
замене координат перешло в новое уравнение или же что
преобразовались его коэффициенты.
Сейчас мы получим закон, по которому преобразуются
коэффициенты уравнения второго порядка при изменении
системы координат. Напомним, что декартова система
координат состоит из точки (начала) и векторного базиса.
Замена системы координат распадается на перенос начала
и изменение базиса (см. § 4 гл. I).
Если мы изменим базис при неизменном начале коор-
координат, то старые координаты выразятся через новые по
формуле
где а{к—элементы матрицы перехода от старого базиса
к новому. Подставив это в уравнение A), мы получим
уравнение второго порядка
2 a,/»WET+2 2
** /»kf t i» k
с коэффициентами
a« = Sa,/)W, a» = 2 «/.о». ai> =«,,•• B)
и l i
Если мы перенесем начало координат в точку с коор-
координатами pf (l^t^tt), оставив базис без изменения, то
старые координаты выразятся через новые по формуле
Подстановка в уравнение A) дает
2
275

«ли
Отсюда
2 C)
так как суммы Sa/yf'p^ и' 2«/Д^ отличаются только
обозначением индексов суммирования.
Формулы B) и C) выражают закон преобразования
коэффициентов уравнения A) при замене системы коор-'
динат. Выражение для свободного члена осм нам не по-
потребуется.
Члены второй степени в уравнении A) образуют одно-
однородный многочлен второго порядка. Мы видим, что его
коэффициенты <xif не меняются при переносе начала коор-
координат; а при замене базиса преобразуются как коэффи-
коэффициенты квадратичной формы. Поэтому многочлен
можно рассматривать как хвадратнчную форму. Назовем
ее малой квадратичной формой. Из сказанного вытекает
Предложение 1. Ранг и сигнатура малой квадра-
квадратичной формы D) не меняются при изменении декарто-
декартовой системы координат.
Сейчас мы получим закон преобразования коэффициен-
коэффициентов уравнения A) в другой форме, позволяющей доказать
инвариантность еще двух чисел.
Рассмотрим однородный многочлен второй степени от
л+t переменных
Я ЯП
р, J«0 i, /ml {ml
Левая часть A) получается из E) при |*=1.
Если мы произведем какую-либо невырожденную ли-
линейную замену переменных, коэффициенты многочлена E)
будут преобразовываться как элементы матрицы квадра-
квадратичной формы. Эту квадратичную форму мы назовем боль-
большой квадратичной формой. Нам понадобятся не произ-
произвольные замены, а только имеющие следующий вид (на-
276

пишем его для п = 2):
и
1 О О
о» <л о»
з » „t
It Oi Os
о\ о\
ol ol
?=0.
F)
Тут переменная 1° не меняется, а остальные преобра-
преобразуются по формулам
Если здесь положить ?°=1, то мы получим наиболее
общее преобразование декартовой системы координат.
Итак, мы доказали
Предложение 2. Ранг и сигнатура большой квад-
квадратичной формы E) не меняются при замене декартовой
системы координат.
Поверхность, определяемая уравнением A), не изме-
изменится, если мы умножим уравнение на какой-нибудь
отличный от нуля множитель. При этом ранги квадра-
квадратичных форм D) и E) не меняются, а сигнатуры могут
изменить только знак (если множитель отрицательный).
Отсюда следует
Теорема 1. Четыре числа—ранги и модули сигна-
сигнатур большой и малой квадратичных форм—являются
инвариантами поверхности второго порядка.
Мы обозначим ранг и модуль сигнатуры квадратичной
формы D) соответственно через г и а, а ранг и модуль
сигнатуры формы E)—через R и 2.
2. Линии второго порядка на плоскости. В гл. III
(теорема 1 § 1) мы показали, что самое общее уравнение
второго порядка на плоскости за счет выбора декартовой
прямоугольной системы координат может быть приведено
к одному из девяти канонических видов. В соответствии
с этим существует семь классов линий второго порядка
на плоскости (уравнениям двух классов не удовлетворяют
координаты никаких точек).
Составляя матрицы большой и малой квадратичных
форм для канонических уравнений, мы можем непосред-
непосредственно усмотреть значения г, a, R и 2, соответствующие
каждому из классов уравнений. Единственное затрудне-
затруднение возникает в случае параболы. Матрица ее большой
квадратичной формы не диагональная, а имеет вид
|о о —И
о t ol
-/> о of
277

Чтобы найти ранг R и модуль сигнатуры 2, преобразуем
эту матрицу по формуле STAS при помощи матрицы
II О II
О I 01.
-1 0 1|
Мы получим
12р 0 0 |
0 1 О
О 0 —2р|
и обнаружим, что R — 3 и 2 = 1. Матрица S не имеет
вида F), но R и 2 не меняются при преобразовании при
помощи произвольной невырожденной матрицы.
Выпишем канонические виды уравнений второго по-
порядка на плоскости вместе с соответствующими значе-
значениями рангов и модулей сигнатур в табл. 1.
Из табл. 1 видно, что всем уравнениям одного класса
соответствует один и тот же набор инвариантов, а инва-
инварианты, соответствующие уравнениям разных классов,
различны. Согласно предложению 8 § 3 гл. IV любые две
линии одного класса можно совместить подходящим аффин-
аффинным преобразованием, а ни одна линия не может быть
Таблица 1
Назвавир
Эллипо
«Мнимый эллипс»
«Пара минных пересе-
пересекающихся прямых»
Гипербола
Пара пересекающихся
прямых
Парабола
Пара параллельных
прямых
«Пара мнимых парал-
параллельных прямых»
Две совпавшие прямые
Каноническое уравнение
(W+(|3! ,
а» (Е1)*+6* (?*)»«<)
а*(!1)*—Ь*(Б*)'-'О
(|*)»в_а»
R
3
3
2
3
2
3
2
2
1
2
1
3
2
I
0
1
0
2
1
г
2
2
2
2
2
1
1
1
о
2
2
2
0
0
1
1
1
1
278

переведена аффинным преобразованием в линию другого
класса. Отсюда мы получаем такое
Предложение 3. Числа R, Е, г и а для двух ли-
линий второго порядка совпадают тогда [и только тогда,
когда эти линии можно совместить некоторым аффин-
аффинным преобразованием.
Если мы, как и в гл, III? будем пользоваться только декарто-
декартовыми прямоугольными системами координат, то малую квадратичную
форму мы сможем привести лишь к диагональному виду, но не к ка-
каноническому. Например, в случае эллипса в каноническом уравне-
уравнении остаются коэффициенты при квадратах 1/а1 и 1/6*. Это обстоя-
обстоятельство связано с тем, что в ортонормированном базисе матрица
квадратичной формы должна совпадать о матрицей присоединен-
присоединенного преобразования (ср. с. 262), Поэтому, если мы приведем мат-
матрицу
«41 *»Ъ Л
квадратичной формы D) к диагональному виду в ортонормированном
базисе, то на диагонали должны стоять собственные значения при-
присоединенного преобразования.
Поскольку при замене одного ортонормированного базиса другим
матрица А остается матрицей одного и того же линейного преобразо-
преобразования, корни ее характеристического многочлена не меняются при
переходе от одной декартовой прямоугольной системы координат
к другой такой же системе.
Определение. Величины, не меняющиеся при замене одной
декартовой прямоугольной системы координат на другую декартову
прямоугольную систему координат, называются ортогональными (или
евклидовыми) инвариантами.
Более удобно вместо корней характеристического уравнения
матрицы G) использовать равносильную систему ортогональных ин-
инвариантов— коэффициенты характеристического уравнения этой
матрицы:
Преобразование переменных F) имеет специальный вид. Поэтому
большая квадратичная форма не может быть, вообще говоря, при-
приведена даже к диагональному виду (именно в случае R=3, r=l,
т. е. параболы). Однако если прямоугольная система координат
меняется на прямоугольную, матрица
И °1а
Ног" al
будет ортогональной, и ее детерминант равен 1 или —I. В этом слу-
случае детерминант матрицы перехода в формуле F) также равен ±1
н при преобразовании F) детерминант матрицы
А-
<*i« «и аи| (9)
а,0 alt ot2,J
279

квадратичной формы E) остается неизменным Мы получили еще
©дин- ортогональный инвариант уравнения второго порядка:
Легко видеть, что матрица перехода в формуле F) ортогональна
тогда и только тогда, когда ортогональна матрица (8) и Оо —о"о=0,
т е. ортонормирсванный базис заменяется на ортонормированный, а
перенос начала координат ие производится. Коэффициенты характерис-
характеристического многочлена матрицы А останутся неизменными, если матри-
матрица перехода ортогональная, поскольку в этом случае А остается
равной матрице присоединенного к форме E) преобразования. Поэтому
величины 1)
I«и ам| ' Iа10 «и! I«го «asI
ие меняются при ортогональной замене базиса и, возможно, меняются
при переносе начала координат. Величины такого типа называют
семиинвариантами (т. е. полуинвариантами). Вычитая нз A0) и A1)
соответственно инварианты /х и /а, мы получим семиинварианты ссм н
v I (Xqq &ю I , I GCqq О«зо I
I ^10 ^11 1 I 20 ^82 I
Впрочем, то, что ам—семиинвариант, видно н из формул B).
Значения полученных здесь ортогональных инвариантов и семи-
семиинвариантов позволяют найти коэффициенты a, b и р в канонических
уравнениях и потому определяют линию второго порядка с точностью
до положения иа плоскости (см. предложение 9 § 3 гл. IV). Подсчет
коэффициентов канонических уравнений по ортогональным инвариан-
инвариантам производится во всех подробных курсах аналитической геометрии.
Следует помнить, что величины 1\, 1%, It и Ki связаны с мно-
многочленом второго порядка, а ие с линией. Они меняются очевидным
образом, если уравнение умножить на отличное от нуля число.
Здесь уместно напомнить, что для читателя, ознакомившегося
с §3гл. III, ортогональные инварианты /2 и /3 не являются совсем
новыми. В гл. III они были обозначены б и А и инвариантность их
обращения или необращения в нуль была доказана из геометриче-
геометрических, соображений. Нетрудно заметить, что условие /t = 0 'равно-
'равносильно г=\, а условия lt > 0 или /2 < 0 равносильны г=2 и
-соответственно а=2 или о = 0. Обращение в нуль ]3 означает, что
/? < 3. Теперь, глядя в табл. 1, мы можем снова установить гео-
геометрический смысл этих условий.
3. Поверхности второго порядка. Пусть уравнение A)
связывает координаты точки в трехмерном пространстве.
Мы покажем, что существует такая декартова прямоуголь-
прямоугольная система координат, при переходе к которой уравнение
принимает один нз 17 канонических видов.
*) Соответственно равные коэффициентам при № и —Я, в харак-
характеристическом уравнении,
280

В качестве базиса искомой системы хоордшш мы вы-
выберем тот ортонормированный 4>азис, а котором малая
квадратичная форма имеет диагональный вид. Таким об-
образом, мы будем исходить из уравнения
*i (I1J + К (IsJ + К &3Г + 2«1О51 + 2аа,?а + 2а80|3 + а00 = О
A2)
и запомним, что уже выбран' определенный ортонормиро-
ортонормированный базис. На коэффициенты уравнения не наклады-
накладывается никаких ограничений, за исключением того, что
Aj, А, и А8 не обращаются в нуль одновременно. Дальней-
Дальнейшие упрощения определяются следующим вспомогательным
предложением.
Предложение 4. Если в уравнение A2) входит
(с ненулевым коэффициентом) квадрат одной из коорди-
координат, то при помощи переноса начала координат вдоль
соответствующей оси можно обратить в нуль член с пер-
первой степенью этой координаты.
Это предложение доказывается так же, как и предло-
предложение 1 § 1 гл. III.
Нам удобно будет рассмотреть отдельно несколько
случаев, соответствующих различным значениям инвари-
инвариантов R, 2, г и о.
1. Пусть г = 3. Тогда в силу предложения 4 начало
координат может быть перенесено в такую точку, что
уравнение A2) примет вид
O- A3)
Здесь Alt А, и Аа не равны нулю. v
1А. Условие /? = 4 равносильно тому, что свободный
член ц в A3) отличен от нуля. Разделив на него, получим
-^гA1Г—%¦&*)*—?Ч?3)*=1. (И)
г* И f*
1Аа. Пусть 2 = 4. Это означает, что А,, А„, А* и ц од-
одного знака, коэффициенты в A4) отрицательны. Уравнение
приводится к каноническому виду
а1J . (IV , (?3)*_ ,
Ему не удовлетворяет ни одна точка. Уравнение назы-
называется уравнением мнимого эллипсоида.
1А6. Если 2 = 2, а 0=^3, то общий знак Aj, А, и А,
противоположен знаку ц. Коэффициенты в A4) положи-
281

тельны. Уравнение приводится к каноническому виду
Поверхность—эллипсоид.
1Ав. При 2 = 0 и а=1 знак одного из собственных
значений—не уменьшая общности, можно считать, что
это К3,—противоположен общему знаку двух других (А.,
и кг) и совпадает со знаком ц. В уравнении A4) два
положительных и один отрицательный коэффициент. Ка-
Канонический вид уравнения:
Gl)s,(iJ)8 <?¦)•_ 1
"«r"t" Ps Y*~
Поверхность—однополостный гиперболоид.
1Аг. Пусть теперь 2 = 2, а=1. Знак одного из собст-
собственных значений (например, ^) противоположен общему
знаку двух других (Кг и А,) и противоположен знаку ц.
В уравнении A4) два отрицательных и один положитель-
положительный коэффициент. Оно приводится к виду
и определяет двуполостный гиперболоид.
1Б. Пусть /? = 3. В рассматриваемом случае г = 3,
и это условие равносильно ц = 0; уравнение A3) при /? = 3
однородно. Заметим, что обязательно 2= а
1Ба. При а = 3 в уравнении A3) все собственные зна-
значения kv кг и Яэ имеют один знак, и уравнение может
быть записано в виде
(I1)» , (?»)' , (EV..Q
а» "Г pa Т уа — "•
Оно называется уравнением мнимого конуса. Поверхность
состоит из одной точки.
1Б6. Если о"=1, то одно из собственных значений
отличается знаком от двух других. Уравнение приводится
к каноническому виду
Поверхность является конусом второго порядка.
2. Пусть теперь г = 2. В уравнении A2) одно из соб-
собственных значений равно нулю. Не уменьшая общности,
мы можем считать, что это Kt Используя предложение 4,
282

приведем уравнение к виду
0. A6)
При этом мы перенссим начало координат вдоль осей ?*
и |*. Выпишем детерминант матрицы квадратичной формы E)
для уравнения A5):
lie 0 0 o80
О Xt О О
О О Л, О
а*, О О О
A6)
2А. Условие /? —4 в силу равенства A6) равносильно
^О. Уравнение A5) можно переписать в виде
Это показывает, что переносом начала координат вдоль
оен ?'»:
С1-6*. f•-!'•. 1в
уравнение можно преобразовать в
l0. A7)
Далее могут представиться две возможности в соот-
соответствии со значением инварианта о.
2Аа. a = 2. В этом случае А, и А.3 одного знака и при
необходимости, заменяя базисный вектор е, на —es, мы
приведем уравнение к виду
Это—каноническое уравнение эллиптического параболоида.
2А6. 0=0, В этом случае А, и А,, разных знаков
и уравнение приводится к каноническому виду
(f1)' (I*)' _Qga
-55 р5 ^
(тут также может потребоваться изменение направления е3).
Это уравнение определяет гиперболический параболоид.
2Б. Допустим теперь, что /? = 3 Как видно из A6),
для таких уравнений а,о = О и левая часть уравнения
не содержит переменной V- В соответствии со сказанный
в п. 5 § 1 гл. II это означает, что уравнение определяет
цилиндрv образующие которого параллельны базисному
вектору е„ а направляющая определяется в плоскости
283

векторов ef и е, уравнением
^i(i'1)t + ^(irV + ai. = 0. A8)
которое является уравнением A5) при а,„ = 0.
Уравнение A8) на плоскости может определять одну
из пяти центральных линий второго порядка. Им соот-
соответствуют пять цилиндров, которые оно может определять
в пространстве: эллиптический цилиндр, гиперболический
цилиндр, пара пересекающихся плоскостей (здесь направ-
направляющая—пара пересекающихся прямых), пара мнимых
пересекающихся плоскостей (поверхность состоит из одной,
прямой линии, направляющая—точка, т. е. «пара мнимых
пересекающихся прямых») и, наконец, «мнимый эллипти-
эллиптический цилиндр (поверхность не содержит ни одной точки,
«направляющая»—мнимый эллипс). Сами канонические
уравнения приведены в табл. 2.
3. Теперь рассмотрим случай г = 1. Выберем ортонор-
мированный базис так, чтобы квадратичная форма D) имела
диагональный вид. Мы придем к уравнению
= 0, A9)
где X,j отлично от нуля.
ЗА. Допустим, что а\а+a|e^0. Тогда мы можем сде-
сделать поворот базиса вокруг et:
Здесь у = Ка!о+ «!<>• Теперь A9) примет вид
МГТ + ЗаюГ' + г^'Ч-а^О,
который в силу предложения 4 преобразуется в
Далее, переносом начала вдоль оси |§:
мы преобразуем уравнение к виду
= °- B0)
Уравнение B0) приводится к каноническому виду (!*)*»
= 2af\ где a > 0. (При необходимости можно изменить
направление е^.) Это—уравнение параболического ци-
цилиндра.
ЗБ. Если aao = aso=O, то уравнение A9) содержит
только I1 и выделением квадрата приводится к одному
из трех последних канонических видов в табл. 2.
На этом классификация заканчивается. Ее результаты
собраны в табл. 2.
284

т
Наявянпе
«Мнимый эллипсоид*
Эллипсоид
Однополостный гипербо-
гиперболоид
Двуполостный гипербо-
гиперболоид
«Мнимый конуо*
Конуа
Эллиптический парабо-
параболоид
Гиперболический пара-
парабол рил
Эллиптический цилиндр
«Мнимый эллиптический
цилиндр»
Гиперболический ци-
цилиндр
Пара пересекающихся
плоскостей
«Дара мнимых пересека-
пересекающихся плоскостей»
Параболический цилиндр
Пара параллельных пло-
плоскостей
«Пара Мнимых параллель-
параллельных плоскостей»
Пара совпавших плоско-1
стей
Кв'иоямеско* уррюетг
ft1)',, (E*)*t (№ш ,
(Ех)* \5*)* E*)'
(Ц)" .(?')» (&)*т}
G1J (Is)* (I3)* ,
"S3 р5 ^—'
i1)', gv j ^з)*^0
(?l)i fg*}g ^3^*
~a» ' p» 7*"в
"a* • p» ^6
^)»=2a6«
-
4
4
4
4
3.
3
4
4
3
3
3
2
2
3
2
2
1
абл
z
4
2
0
2
3
1
2
0
1
3
1
0
2
1
0
2
1
r
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
«
2
2
1
1
1
1
8 2
.0
3
3
,.
1
3
1
2
0
2
,2
0
0
r.
2
1
1
I
1
285

ГЛАВА X
ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Тензоры в линейном пространстве
1. Геометрические объекты. В главах VI—VIII мы
рассматривали линейное пространство и в нем разного
рода объекты: линейные преобразования, квадратичные
формы и т. д. Изучение каждого объекта основывалось на
определении, которое формулировалось независимо от ба-
базиса. Например, линейное преобразование определялось
как отображение пространства в себя, удовлетворяющее
двум условиям (ср. A) § 3 гл. VI). Таким образом, наши
объекты существуют и в принципе могут быть изучены
без введения базиса, как объекты, изучаемые в геомет-
геометрии. Для обозначения таких объектов мы будем пользо-
пользоваться словами геометрический объект.
Хотя геометрический объект и существует независимо
от базиса, нам удобнее, выбрав некоторый базис, задать
объект относительно этого базиса при помощи упорядо-
упорядоченной системы чисел—компонент объекта. Например,
выбор базиса задает взаимно однозначное соответствие
между линейными преобразованиями и квадратными
матрицами. Линейное преобразование n-мерного прост-
пространства имеет п* {компонент. Неизменность объекта при
замене базиса приводит к изменению компонент. Во всех
встречавшихся нам случаях мы могли вычислить компо-
компоненты объекта в одном базисе через его компоненты в дру-
другом базисе и через элементы матрицы перехода от первого
базиса ко второму.
Помимо изученных нами, существуют и другие геомет-
геометрические объекты. Не для каждого из них удобно давать
инвариантное, не зависящее от базиса, определение. Иногда
геометрический объект определяют при помощи компонент,
Компоненты геометрического объекта отличаются от про-
произвольного набора чисел следующим признаком, который
принимается за строгое определение.
486

Определение. Мы будем говорить, что в линейном
пространстве задан геометрический объект, если каждому
базису однозначно соответствует упорядоченная система
чисел (компонент) и компоненты в одном базисе могут
быть выражены через компоненты в другом базисе и эле-
элементы матрицы перехода. Это выражение называют зако-
законом преобразования компонент геометрического объекта
Например, если каждому базису соответствует одно
и то же число, то задан геометрический объект, называемый
инвариантом, с одной компонентой. Закон преобразования
состоит в том, что эта компонента не меняется при изме-
изменении базиса.
В качестве еще одного примера рассмотрим квадра-
квадратичную форму к и сопоставим каждому базису е детер-
детерминант 6" ее матрицы К в этом базисе. Мы получим
геометрический объект с одной компонентой 6«det/C.
Поскольку в базисе e'«=eS мы имеем К.' *=»STKS, закон
преобразования компоненты этого объекта имеет вид
()
Пусть задан вектор х. Сопоставим базису е сумму
компонент I' этого вектора в данном базисе. Каждому
базису будет сопоставлено вполне определенное число
у =» 2 ?'• Однако это соответствие не будет геометрическим
i
объектом. Действительно, число у', соответствующее ба-
базису в', выражается не через у, а через все компоненты
вектора по отдельности:
l
(Здесь т/—элементы матрицы перехода от е' к е.)
В этой главе мы будем рассматривать вещественное
я-мерное линейное пространство &п. Мы сохраним все
обозначения, принятые ранее. Если имеются два базиса
в и в', то всегда матрицу перехода будем обозначать S,
а ее элементы а}, так что е' = eS или е, = 2 о)е(. Элементы
матрицы обратного перехода S будем обозначать через т/.
Рассмотрим произвольный геометрический объект. Обозначим его
компоненты в базисе е через аь ..., a.N, а компоненты в базисе
е' через aj5 .,., a^. Закоя преобразования компонент объекта оп-
определяется N функциями Ff, ¦•., Fff, каждая из которых вависит
от N-\-na независимых переменных:
a-k^F^i aN. Oi» •••,<#) (K=l, .,ltN)i
или, короче,
287

Рассмотрим третий бази~ e" = e'R — eSR. Пусть «i, ».., а/у —
компоненты объекта в этом базисе От е не" можно перейти непв-
¦средственво, причем матрицей перехода будет произведение SR. Мы
получим
a"K = FK(a, SR).
С другой стороны, можно от е перейти к е', а от е' — к е" Тогда
aK = FK(a', R) = FK(Fl (a,S), .... FN(a,S), R).
Поскольку компоненты объекта однозначно определяются базисом,
функции Fk для всех К—\, ..,, N должны удовлетворять условно'
Fk(a, SR)=Fk(Fi(o, S), ,.., FN{a, S), R), {Щ
каковы бы ни были a, S и R. Мы получили
Предложение 1. Если функции вида A) задают вакон пре-
преобразования какого-нибудь геометрического объекта, то они необходимо
удовлетворяют условию B)
Справедливо и обратное утверждение
Предложение 2. Каждый набор функций вида A), удовлет-
удовлетворяющий условию B), определяет ва, он преобразования некоторого
геометрического объекта
Для доказательства мы построим этот геометрический объект
следующим образом. В некотором базисе е зададим компоненты
произвольно (предполагается, что рассматриваемые функции опреде-
определены для любых значений независимых переменных) Компоненты
объекта в остальных базисах мы найдем, пользуясь заданным набо-
набором функций как чаконом преобразования. При этом компоненты в
Произвольном базисе е" определяются этими же функциями от ком-
компонент в любом базисе е' и элементов матрицы перехода от в' к е".
В самом деле, при введенных выше обозначениях мы имеем а^ —
= FK{a,SR) и a/f = />(a, S). Отсюда, в силу B), ujef/ffa', R),
как и требовалось
Осталось показать, что наше построение сопоставляет каждому
базису единственную систему чисел. Единственность может нарушать
ся только потому, что к одному и тому же базису можно прийти
разными путями: если е', е", ..., в'*1 —какие-то базисы, то можно
переходить от е к е', те' к е" и т. д. и, наконец, от в<*> к /
Многократно применяя условие B), можно убедиться, что переход
по каждому из путей дает те же компоненты в базисе /, что и не-
непосредственный переход от е к /.
Мы будем изучать простейшие геометрические объек-
объекты, называемые тензорами. Закон преобразования их ком-
компонент таков, что новые компоненты являются линейными
однородными многочленами от старых компонент. Подробно
он будет описан ниже. Компоненты тензоров принято
упорядочивать, нумеруя их несколькими индексами. Сле-
Следующий пункт мы посвятим обозначениям.
2. Пространственные матрицы. Напомним, что на
с, 136 было дано второе определение матрицы, как функ-
функции, сопоставляющей некоторое число каждой упорядо-
упорядоченной паре (i, I), где i€{l» ...,m\, /€{1. ...,п\. Мы

обобщим это определение. Поскольку нам потребуются
только матрицы, аналогичные квадратным матрицам, все
индексы будут принадлежать одному и тому же множе-
множеству {1, ...,«}•
Определение, s-мерной матрицей порядка п на-
называется функция на множестве всевозможных наборов
вида (it is), где tlt..., is принимают значения I,. ,.,n.
Подчеркнем, что порядок матрицы совпадает с размер-
размерностью рассматриваемого линейного пространства. Для
того чтобы разъяснить происхождение термина «s-мерная
матрица», рассмотрим трехмерную матрицу с элементами at/k.
При любом фиксированном значении индекса k = k0 эле-
элементы матрицы вида ащ,, составляют квадратную матрицу
порядка п. Таким образом, все элементы alfk составляют
упорядоченный набор из п квадратных матриц порядка п.
| a(/i |], .... J а1/п |. Можно представлять себе эти матрицы
расположенными одна под другой- в виде слоев, так что
образуется куб, разделенный на пг ячеек, в каждой из
которых записано число. Аналогично, четырехмерная мат-
матрица может рассматриваться как упорядоченный набор
из п трехмерных матриц и т. д.
Строку и столбец удобно считать одномерными матри-
матрицами Их элементы нумеруют одним индексом.
Выбирая обозначение для s-мерной матрицы, мы для
удобства можем условиться писать некоторые из индексов
сверху, а остальные снизу. Но, как только обозначение
выбрано, мы будем строго придерживаться принятого
нами расположения индексов. Если порядок индексов не
установлен иначе, мы будем считать, что нижние индексы
следуют за верхними так, как если бы они были написа-
написаны правее верхних.
Многомерные матрицы полностью выписывать сложно.
Принято следующее соглашение: буквенный индекс рас-
рассматривают как переменную величину, принимающую зна-
значения 1, ..., п, и если написано выражение, содержащее
буквенный индекс1), не являющийся индексом, суммирова-
суммирования, то предполагается, что выписаны п таких выраже-
выражений для каждого значения этого индекса. Когда имеется
несколько индексов, сказанное относится к каждому из
них. В соответствии с этим, например, а'» •'* обозначает
всю совокупность элементов s-мерной матрицы, а запись
х) У нас в качестве буквенных индексов будут, как правило,
употребляться буквы I, /, k, I, возможно, снабженные своими индек-
индексами. Буква п всегда обозначает фиксированное числе—-размерность
пространства.
10-102 689

Л;**3^)* означает, что равны друг другу стоящие на оди-
одинаковых местах элементы двух трехмерных матриц, т. е.
матрицы равны.
Введем следующее новое обозначение суммирования.
Пусть написано выражение, состоящее из одной буквы
или произведения нескольких букв с индексами, причем
какой-нибудь индекс встречается дважды—один раз
вверху, а другой раз снизу. Под этим выражением мы
будем понимать сумму членов такого вида, написанных
для всех значений повторяющегося индекса, а знак суммы
писать не будем. Если описанным образом повторяются
несколько индексов, то имеется в виду многократная
сумма. В гл. V—VIII мы постоянно .сталкивались с сум-
суммами такого типа, но писали знак суммы. Теперь мы этого
делать не будем. Например, формулы
* (*) - 2 *?'. ^ = 2
/=i i, i
будем писать в виде
C)
3. Определение и примеры. Мы рассматриваем веще-
вещественное n-мерное линейное пространство 3'„.
Определение. В 3? а задан тензор типа (р, а), если
каждому базису сопоставлена (р + #)-мерная матрица по-
порядка п. При этом, каковы бы ни были базисы е и е',
элементы в, ' ив, г соответствующих им матриц
должны быть связаны соотношениями
где о'—элементы матрицы перехода от е к е\ а т(_
элементы обратной ей матрицы.
В правой части D) суммирование осуществляется по
всем индексам k и /, т. е. мы имеем (/>+^)-кратную сум-
сумму. Мы условливаемся писать сверху те индексы, кото-
которым в каждом из п"*9 слагаемых соответствуют- множи-
множители т«. Эти индексы называются контравариантными.
Внизу же мы пишем те индексы, которым в каждом сла-
слагаемом соответствуют множители а'. Это—ковариантные
индексы.
Элементы матрицы, соответствующей некоторому бази-
базису, называются компонентами тензсгра в этом базисе.
290

Число p+q называют валентностью тензора, а щ и
р—соответственно ко- и кон трава риантной валентностью.
Подчеркнем, что, несмотря на сложность суммы в пра-
правой части формулы D), в каждое слагаемое входит в ка-
качестве множителя одна-единственная старая компонента
тензора. Это означает, что новые компоненты выражаются
как линейные однородные многочлены от старых компо-
компонент. Сложность формулы D) связана с выражением ко-
коэффициентов .этих многочленов через элементы матрицы
перехода.
Два тензора равны, если они одного типа и имеют
равные компоненты в некотором базисе. Тогда из закона
преобразования вытекает, что равны их компоненты и
в любом базисе.
Пример 1. Вектор является тензором типа A,0).
Действительно, если задан вектор, то каждому базису
соответствует одномерная матрица—столбец. При этом
элементы столбцов, соответствующих равным базисам,
связаны формулой D) § 1 гл. VI;
6'-oil'*.
Найдем отсюда выражение ?'* через |'j
это закон преобразования компонент тензора типа A,0).
Пример 2. Линейная функция на пространстве З.а
является тензором типа @, 1). Действительно, если задана
линейная функция, то каждому базису соответствует
одномерная матрица—строка коэффициентов этой функ-
функции. При изменении базиса коэффициенты линейной функ-
функции преобразуются по формуле D) § 1 гл. VIII:
Это и есть закон преобразования компонент тензора типа
@, 1). Тензоры типа @, 1) называют ковекторами.
Пример 3. Линейное преобразование пространства
3п является тензором типа A, 1). Действительно, если
задано линейное преобразование, то каждому базису со-
соответствует двумерная матрица порядка п. Если базис
меняется, то элементы матрицы преобразуются по формуле
A) § 4 гл. VIi A' = S~MS, или
Пример 4. Билинейная форма на пространстве &а
является тензором типа @, 2). В самом деле, если задана
to» 291

билинейная форма, то каждому базису соответствует дву-
двумерная матрица порядка п. Элементы матриц, соответст*
вующих двум базисам, связаны формулой;
Следует заметить, что симметричная билинейная форма
и соответствующая ей квадратичная форма—один и тот
же тензор, поскольку их матрицы в любом базисе со-
совпадают.
Пример 5. Инвариант можно считать тензором типа
@,0).
Пример 6. Важным тензором типа A, 1) является
так называемый символ Кронекера, компоненты которого
в некотором базисе составляют единичную матрицу!
1 i-i <5>
11 * •— J*
Согласно закону преобразования
б,'' = Т*0;6/ . F)
Если 6* определяются формулой E), то из пг слагаемых
в правой части F) равны нулю все, кроме тех, для кото-
которых Л = /. Поэтому 6/' = Та0*, a x^af—элемент произведе-
произведения S~*S. Значит, б,'' = б}. Мы видим, что тензор типа
A, 1), имеющий в одном базисе единичную матрицу,
имеет единичную матрицу и в любом другом базисе.
Пример 7. Рассмотрим обобщение билинейной фор1-
мы—функцию F(jCj, .. .,xq) от q векторов, линейную по
каждому из них, если остальные фиксированы. Разложим
каждый из векторов по произвольному базису е. Тогда,
в <;илу линейности по каждому вектору
F (х1г ..., Хд) ==F A'г'е{1, .... llQieiq) =*
= Щ' ¦••1'^ (*<„ • • •. е1д) = а,, ,^«... Щу
где коэффициенты а;, 1(/ = F(e<,, ..., etq) играют ту же
роль, что и коэффициенты билинейной формы. Докажем,
что при замене базиса они преобразуются как компоненты
тензора типа @, q). Для этого рассмотрим базис е\—а\ек
и снова воспользуемся линейностью функции
-o*-...o»«F(e* ,eH).
Полученное равенство доказывает наше утверждение.
292

Таким же способом можно построить пример тензора
любого типа (р, q). При этом функция F должна зависеть
от q векторов и р ковекторов и быть линейной по каж-
каждому из них. Значение такой функции на векторах хо..., xq
и ковекторах I1, ...,/" можно вычислить, разложив век-
векторы по произвольному базису et, ...,еа, а ковекторы —
по базису р\ ..., ря в пространстве ковекторов 3*т кото-
который мы выберем биортогональным базису et, ..., ен. На-
Напомним (ср с. 249), что базис р1, ..., р" в пространстве
3*п всех ковекторов называется биортогональным базису
elt .... е„ в J?a, если
р (ей)=»6?.
В силу линейности функции F мы имеем
Базис р'*, .... р'п, биортогональный базису е"и ...,«„, со-
состоит из ковекторов р'' = Т(р1, Действительнр,
р'/ (el) _ tip' (afe,)
Отсюда, так же как и выше, вытекает, что Ф\лр преоб-
преобразуются как компоненты тензора типа (/>, q}.
Функции, рассмотренные в этом примере, называются
полилинейными функциями.
Из последнего примера видно, что существуют тензо-
тензоры любого типа (р, q). Тензор типа (р, q) будет опреде-
определен, если мы построим полилинейную функцию от р ко-
ковекторов и q векторов. Ее можно построить, задав базис
и какую-нибудь матрицу коэффициентов ajj • jp. После
этого каждому набору из р ковекторов и q векторов мы
можем сопоставить число
что и определяет полилинейную функцию.
4. Сложение и умножение на число. Для тензоров од-
одного и того же типа определена операция сложения.
Именно, пусть a^J/ н Р''|"//'—компоненты двух тензоров
А и В типа (р, q) в одном и том же базисе е. Сопоставим
293

этому базису (р+^)-мерную матрицу, сложив компоненты
тензоров А и В, имеющие одинаковые наборы индексов!
'It—It /«•••/« ' */<•••/« v Л
Предложение 3. Если мы сопоставим каждому
базису числа Y/V-I"/*** определяемые по компонентам те'нзО'
ров А и В в этом базисе формулой G), то этим будет
определен, тензор типа (р, q).
Для доказательства достаточно выяснить, как преобра-
преобразуются числа у1^' Y при замене базиса. Мы имеем
а''/ '/ = т'«.. .т'/а'1.. .(/«of1' )'
1 ¦
о tit. Лр 1, JPqI, (^«ft*1 kP
Складывая почленно эти равенства, получаем
т. е. тензорный закон преобразования для у','"'/.
Определение. Тензор С с компонентами yy—fr,
определенными по формуле G), называется 'суммой тен-
тензоров А и В и обозначается А + В.
Таким образом, при сложении тензоров складываются
их соответствующие компоненты. Это значит, что обыч-
обычная сумма векторов будет их суммой, если их складывать
как тензоры. То же относится к сумме линейных преобра-
преобразований, которую мы определили в гл. VI. (Определение
суммы там было дано для произвольных отображений.)
Предложение 4. Поставим в соответствие каж-
каждому базису числа Яа|« •• 1г, где о;'| -'.р—компоненты тензора
А в этом базисе. Такое соответствие определяет тензор.
Доказательство этого предложения мы не приводим —
оно проводится по образцу доказательства предложения
3 и, как и оно, по существу, вытекает из того, что правые
части уравнений D)—линейные однородные многочлены
от старых компонент.
Определение. Тензор, построенный в предложе-
предложении 4, мы назовем произведением тензора А на число X
и обозначим ЯА.
Свойства введенных операций списываются следующим
предложением.
294

Предложение 5. По отношению к операциям сло-
сложения и умножения на число множество всех тензоров
одного и того же типа (р, q) является линейным прост-
пространством размерности пр+«.
Предоставим читателю проверить все аксиомы в опре-
определении линейного пространства.
Выберем какой-нибудь базис в S'„ и рассмотрим тен-
тензоры, у которых одна из компонент в данном базисе рав-
равна единице, а остальные компоненты равны нулю. Су-
ществует ровно tw*" таких тензоров, так как произволь-
произвольный тензор типа (р, q) имеет пр+« компонент. Эти тензо-
тензоры линейно независимы, и каждый тензор является их
линейной комбинацией (коэффициенты которой — компо-
компоненты данного тензора). Таким образом, размерность про-
пространства тензоров типа (р, q) равна п.р+«.
5. Умножение тензоров. Пусть А—тензор типа (р, q),
а В—тензор типа (г, s) Произвольному баэису е мы мо-
можем сопоставить (р -f q -f r -f s)-MepHyio матрицу, состав-
составленную из произведений каждой компоненты А на каж-
каждую компоненту В. Эти произведения упорядочим, запЛ-
сав сначала индексы, относящиеся к А, а затем индексы,
относящиеся к В, так, как показывает формула
t
Предложение 6. Если каждому базису мы сопо-
сопоставим числа y'f ¦ ktr, определяемые по компонентам тен-
тензоров А и В в этом базисе формулой (8), то этим будет
определен тензор типа (p + r, q + s).
Доказательство мы проведем для случая тензоров ти-
типов (I, 1) и @, 1). В общем случае доказательство отли-
отличается только более громоздкой записью. Выразим ком-
компоненты тензоров А и В в базисе е' через их компоненты
в базисе е;
a\i =*
Отсюда
т. е. величины у?а преобразуются при замене базиса как
компоненты тензора типа A, 2).
Это Доказательство, в отличие от предыдущих, исполь-
использует выражение через а) и х) коэффициентов при старых
компонентах в формулах D).
Определение. Тензор, построенный в предложении
6, называется произведением тензора А на тензор В я
обозначается А®В.
295

Пример. Рассмотрим две линейные функции f и h
на 3'„ и сопоставим каждой паре векторов х и у число
Нх) h(t/). Пусть в некотором базисе значения f и h за-
записываются {(х) — %$ и h (л:) == jAftTj*» гДе V и ц*—компо-
ц*—компоненты векторов х и у. Тогда
Ь <*, у) = f (л-) • h (у) = (*,?') (цкП") = (х,,ц) Е'л»,
поскольку при перемножении многочленов каждый член,
одного сомножителя умножается на каждый член друго-
другого. Итак, построенная нами функция b—билинейная
форма, т. е. тензор типа @, 2). Этот тензор является тен-
тензорным произведением тензоров, соответствующих f и h.
Мы можем записать b = f(g)h или, в компонентах, Э/А=
Тензорное умножение не коммутативно. Покажем это
на следующем примере. Тензорное произведение двух
векторов х и у есть тензор х@у типа B, 0). пг его ком-
компонент составляют квадратную матрицу (первый индекс—
номер строки). Если ?' и tj*—компоненты х и у в неко-
некотором базисе, то матрица из компонент х&)у в этом
базисе имеет вид
IIV IV ... IV f
IV IV ••• IV
Составив таким же способом матрицу из компонент тензо-
тензора у®х, мы получим транспонированную матрицу. Каж-
Каждая- компонента §'i*—произведение чисел, и, следователь-
следовательно, ?'т)*=т)*§/. Но упорядочиваются компоненты тензоров
*®# и #®# разными способами. То же относится и к
произведению произвольных тензоров.
Предоставим читателю самостоятельно убедиться в
том, что тензорное произведение ассоциативно и дистри-
дистрибутивно по отношению к сложению. Легко заметить так-
также, что -введенное ранее умножение тензора на число
совнадает с умножением на тенчор типа @, 0), имеющий
это число в качестве компоненты.
Предложение 7. Любой тензор типа (р, q) есть
линейная комбинация произведений, в каждое из которых
входит р векторов и q ковектаров.
Для доказательства достаточно показать, что .произве-
.произведениями требуемого вида являются тензоры, из которых
в предложении 5 был построен базис в пространстве
296

е8 имеют компоненты @, 1, 0, ..., 0) и
., 0), произведение ea(g)ea0f имеет только
ту (с номерами 2, 3 и 1), равную единице,
тензеров типа (/>, q). Мы сделаем это для тензоров
типа B, 1), пеекедьку в общем случае рассуждение ана-
аналогично.
Пусть тензор Q таков, что в базисе^, ..., еп его ком-
компонента вр=1, а остальные компоненты равны нулю.
Рассмотрим базисные векторы еа, е, и ковектор f, кото-
который в базисе et, ..., е„ имеет компоненты A, 0, ..., 0).
Так как е, и е8 имеют компоненты @, 1, 0, ..., 0) и
@, 0, 1, 0, 0) (g0f
одну компоненту
а остальные компоненты этого произведения равны нулю.
Таким образом, Q — et(g)e8(g)f, как и требовалось.
Точно так же утверждение доказывается и для остальных
тензоров, составляющих базис в пространстве тензоров
рассматриваемого типа.
в. Свертывание. Пусть а}»*;;}1'—компоненты тензора
типа (р, q) в базисе е, причем р^ 1 н q~&> 1. Выберем
какой-нибудь верхний индекс, например первый, и ка-
какой-нибудь нижний индекс, например последний. Прн
каждом фиксированном наборе значений остальных индек-
индексов составим сумму тех компонент тензора А, у которых
равны значения выбранных индексов:
jj'. \р =о!'« 'я . +a?'«yj» , + ... + «?'* ,'р . (9)
Hi Iq-i h /e-«l ' If /«-i2 ' ' Л iq-ii \ '
Предложение 8. Сопоставим кцждому базису си-
систему чисел, получаемую из компонент а;'< 'р тензора
тина (р, а) по формуле (9). Такое соответствие опреде-
определяет тензор типа (p-~l, q—1).
Для доказательства выясним, как преобразуется ука-
указанная система чисел при изменении базиса. Мы имеем
rh ¦ iq-t /i> /e-i*  m, otp Л /j_i ft l,...Jj
Но так как t^eje = 6^, то это выражение равно
б'« t'> ... т^ о'».. .о'ч-ч*?1 •,'ЯЛ
т, т, тр I, iq-i lt 1ц
При суммировании по индексам lq и тх равны нулю все
слагаемые, за исключением тех, для которых /ч=/и,.
Обозначив /в = /и1 = А, мы можем написать
rh iq-t mt тр h Iq-i *i'- «e-i*
Это означает, что числа Р}*,';./' , преобразуются как ком-
компоненты тензора типа {р—1, q—1).
297

Определение. Тензор, получаемый из тензора А
по формулам (9), называется его сверткой по первому
верхнему и последнему нижнему индексам. Аналогично
определяется свертка по любому верхнему и любому ниж-
нему индексу.
Сверткой двух тензоров называется какая-либо сверт-
свертка их произведения по верхнему индексу одного сомно-
сомножителя и нижнему индексу другого. Например, образ
вектора х с компонентами ?' при линейном преобразова-
преобразовании А с матрицей а| есть свертка соответствующих тен-
тензоров: а' = o)g/ = а& + •, • + а?".
Значение линейной функции I с коэффициентами ¦л1
на векторе х с компонентами %! есть свертка ^ = и,|/.
Важным примером является свертывание тензора ти-
типа A, 1). При этом получается тензор типа @, 0), т. е.
инвариант. Если мы обозначим компоненты тензора А
типа A, 1), через а), то его свертка имеет вид а\=
=а{-J-...-f-*"• Это—сумма диагональных элементов
матрицы А из компонент А. Сумма диагональных эле-
элементов матрицы А называется ее следом и обозначается
\х А. На с. 216 мы видели, что tr^4—инвариант, если
А—матрица линейного преобразования. Теперь мы полу-
получили это с более общей точки зрения.
Напротив, для тензоров типа @, 2) свертка не опре-
определена. В соответствии с этим след матрицы квадратичной
формы [не будет инвариантом—он может быть изменен
при изменении базиса. Предоставим читателю прове-
проверить это.
7. Транспонирование. Рассмотрим множество элемен-
элементов s-мерной матрицы, для которого все индексы, кроме
некоторых двух, имеют фиксированные значения. Это мно-
множество ^разует двумерный слой—квадратную матрицу.
¦Таким образом, вся матрица распадается на двумерные
слои, соответствующие различным сочетаниям значений
всех индексов, кроме выбранных двух.1
Транспонированием s-мерной матрицы по каким-ни-
каким-нибудь двум индексам называется такая перестановка ее
элементов, при которой транспонируется каждый слой,
получаемый фиксированием всех индексов, кроме данных
двух. Например, при транспонировании матрицы aj»—jr
по первым двум верхним индексам она переходит в мат-
матрицу Р'|;;'Л которая связана с исходной матрицей ра-
равенством
298

Вообще, под транспонированием по некоторому множе-
множеству индексов понимают результат последовательного
выполнения транспонирований по различным парам ин-
индексов из этого множества.
Операцию транспонирования иногда называют опера-
операцией перестановки индексов.
Пусть для примера п = 2. Рассмотрим трехмерную
матрицу а{/н. Значениям 1 и 2 первого индекса соответ-
соответствуют два слоя. Мы выпишем их один рядом о другим:
aiit\atii atit\
I Г
Транспонирование по двум последним индексам перево-
переводит эту матрицу в матрицу Р//Л = <*,-*/, или, в развернутом
виде,
(Pffl Pinlflail 0»I«|__|atH aW|as« ««til
Pis! Pi» I Pitt Ршб б «иа aiailaals «aaaS'
Если при более сложном транспонировании ?//А = аЛ/у, то
yiJh имеет вид
GШ TiulYsn Yai2J_Jaiii аш|аШ «sail
Yui Ylaa IY22I Yaaai Цвги вам I «fa* «загГ
Предложение 9. Пусть каждому базису сопостав-
сопоставлена (р + а)-мерная матрица P'j;;^ получаемая из мат-
матрицы а'л-'р компонент тензора А транспонированием,
при котором переставляются только верхние или только
нижние индексы. Это соответствие определяет тензор В
того же типа, что и А.
Нам достаточно доказать это для транспонирований,
меняющих порядок только двух индексов, поскольку лю-
любое транспонирование—результат последовательного вы-
выполнения таких транспонирований. Кроме того, для лю-
любой пары верхних или нижних индексов доказательство
одинаково. Поэтому мы докажем предположение для
транспонирования по первой паре верхних индексов, за-
записанного в формуле A0). Имеем
В''»-- \г = о'',«'»'»-'я = т?« т'< т'»... т/ро'« .. .о'.«а?'*ф- -*я.
Мы имеем право изменить обозначение индексов сумми-
суммирования kt на k2, a kt на kt и в каждом слагаемом пере-
переставить сомножители. Тогда мы получаем формулу
ivlq *» *» *» «j» /1 7 «
*= ^i1 t1« xi*. • .tfroi1.. .о|вв}»М«- ¦kP,
*i *t'*i *p It lqrli-.-lq '
299

которая выражает тензорный закон преобразования для
"и 1в
Определение. Тензор В, построенный в предло-
предложении 9, называется результатом транспонирования тен-
тензора А.
Заметим, что доказательство предложения 9 не про-
прошло бы, если бы мы захотели переставить какой-нибудь
верхний индекс с каким-нибудь нижним Например, этим
объясняется следующий факт. Если мы возьмем две мат
рицы А и S~MS, определяющие одно и то же линейное
преобразование в разных базисах, и транспонируем их,
то полученные матрицы АТ и STAT(S~1)T определят раз-
разные линейные преобразования
Если же мы транспонируем матрицы В и STBS, опре-
определяющие в разных базисах билинейную форму Ь, то
получим матрицы Вт и STBTS, также определяющие одну
и ту же (но, вообще говоря, новую) билинейную форму
Ьг Эти билинейные формы инвариантно связаны между
собой Легко проверить, что Ьт (х, у) = Ъ(у, х)
Тензоры, являющиеся произведениями двух данных
тензоров в разном порядке, получаются один из другого
транспонированием
8. Симметрирование и альтернирование. Рассмотрим
тензор А, контравариантная валентность которого р не
меньше заданного числа s^2. Выберем какие-нибудь s
верхних индексов и подсчитаем, сколько тензоров можно
получить из А транспонированием по выбранным индек-
индексам. Переставляя индексы попарно, можно расположить
их в произвольном порядке Поэтому вопрос сводится к
подсчету того, сколькими способами можно расположить
в ряд s индексов. Это можно сделать s! способамих). Итак,
транспонируя исходный тензор по s индексам, можно по-
получить s! тензоров Сложим все эти тензоры и разделим
сумму на s!. Полученный тензор называется результатом
симметрирования исходного тензора А по выбранной
*) Число всех перестановок s индексов равно произведению
всех натуральных чисел, не превосходящих s, т. е. 1 2...(s—l)s
Это число обозначает s! (читается «эс-фактор и ал») Докажем это
по индукции. Очевидно, что при $ = 2 утверждение справедливо
Допустим, что для s—1 индексов существует (s—1)! перестадо-
вок В каждом из них мы можем поместить s ю букву на одно из
s мест слева, справа и в s—2 промежутках между уже стоящими
буквами. Итак, всего мы получаем (s—I)fs=s' перестановок
для s индексов. Разумеется, результат этот имеет место не только
для индексов, но и дли перестановок элементов любого множества,
содержащего s элементов,
300

группе индексов. Его компоненты обозначаются заключе-
заключением в юруглые скобки этой группы индексов у компо-
компонент тензора А Индексы, не участвующие в симметриро-
симметрирований, могут быть выделены вертикальными черточками.
Аналогично определяется симметрирование по нижним
индексам. Приведем следующие примеры:
1
Рассмотрим снова тензор А типа (р, q), p^s, и выбе-
выберем группу из s верхних индексов Если мы перенумеруем
индексы этой группы числами 1, .... s, то каждому тен-
тензору, получаемому из А транспонированием, будет «©по-
«©поставлена некоторая перестановка о„ ..., as номеров 1, ...
..., s (это значит, что при транспонировании на первое
место в рассматриваемой группе индексов поставлен ин-
индекс с номером а„ на второе место—индекс с номером о2
и т д ). Обозначим через N (Oj, .,., os) число нарушений
порядка в перестановке ох, ..., os, т e число таких пар
о0, ор, что а<р\ a aa>a^ (ср с. 152).
Транспонируя тензор А по выбранным s индексам, мы
получим s! тензоров. Сложим все эти тензоры, умножив
каждый из них предварительно на (—l)'v<«i- . os)t где
Од, ..., as—перестановка, ему соответствующая. Сумму
разделим на s'. Так построенный тензор называется резуль-
результатом альтернирования исходного тензора по выбранной
группе индексов Его компоненты обозначаются заключе-
imm в квадратные скобки тех индексов, по которым
пронэведйтея альтернирование, например:
а[<1Л*] = 1(а'>А—а*").
Диалогично определяется альтернирование по нижним
индексам, например:
Приведем еще один пример. Рассмотрим детерминант
матрицы линейного преобразования. В § 4 гл. VI мы отме-
отмечали, что это инвариант. Теперь мы выразим этот инва-
инвариант при помощи тензорных операций. Пусть а\—эле-
а\—элементы матрицы линейного преобразования А в некото-
некотором базисе е. Тогда «-кратное тензорное произведение
301

преобразования А на самого себя A (g) A (g).. .(g) А имеет ком-
компоненты a''a/J.. .aft. Альтернируем это произведение по
всем нижним индексам, а затем свернем по всем индек-
индексам. Мы получим инвариант
Здесь п индексов суммирования, каждый из которых при-
принимает по п значений. Следовательно, правая часть рас-
распадается на п" слагаемых. Каждое из этих слагаемых
представляет собой алгебраическую сумму га! членов, воз-
возникающих при альтернировании. Если в [наборе индек-
индексов, определяющем какое-нибудь слагаемое, есть два рав-
равных индекса, то такое слагаемое равно нулю. Действи-
Действительно, для каждого члена в нем, взятого со знаком плюс,
найдется неотлнчающийся член, взятый со знаком минус.
Если же в наборе индексов, определяющем слагаемое, все
индексы различны, то, переставляя сомножители в каждом
члене этого слагаемого, мы можем привести его к виду
<Х{,...a"j. Всего слагаемых второго типа га!. Следова-
Следовательно,
Расписав подробно альтернирование, мы получим
Д="!1ГГ 2 (-l)"<*.---*»'<...aZn
(ft, ... к„)
Определение. Тензор называется симметричным
по паре индексов, если результат его альтернирования по
этой паре равен нулю.
Симметричный по паре индексов тензор не меняется
при транспонировании по этой паре индексов. В самом
деле, если, например, at//, = 0, то <хи = а./{.
Тензор симметричен по группе индексов, если он сим-
симметричен по любым двум индексам из этой группы. В этом
случае он не меняется при любом транспонировании по
индексам из этой группы.
Не представляет труда убедиться, что результат сим-
симметрирования тензора по нескольким индексам будет тен-
тензором, симметричным по этим индексам.
Определение. Тензор называется антисимметрич-
антисимметричным по паре индексов, если равен нулю результат его
симметрирования по этим индексам.
Антисимметричный по паре индексов тензор меняет
знак при транспонировании по этой паре индексов.
302

Тензор антисимметричен по группе индексов, если он
антисимметричен по любой паре индексов из этой группы.
В этом случае он не меняется при транспонировании,
которому соответствует перестановка с четным числом
нарушений порядка, и меняет знак, если транспонирова-
транспонированию соответствует перестановка с нечетным числом нару.
шений порядка. Действительно, такие транспонирования
сводятся соответственно к четному и нечетному числу
транспонирований, переставляющих пары индексов.
Можно доказать, что результат альтернирования тен-
тензора по нескольким индексам антисимметричен по этим
индексам.
Если тензор антисимметричен по двум индексам, то
равны нулю все те его компоненты, у которых совпадают
значения этих индексов. Действительно, пусть, например,
аы»;. — — a/J/l/i- Тогда для тех компонент, у которых
i% = i, = k, мы имеем a'jjj> = — а,**,/, и, следовательно,
В качестве примера докажем следующее
Предложение 10. Каждый тензор типа @, 2) одно-
однозначно представляется в виде суммы симметричного и
антисимметричного тензоров.
Действительно, пусть такое представление имеет место,
т. е. a^P./H-Yi/. гДе P\,/j = ° и Т<//) = °- Тогда, альтер-
альтернируя и симметрируя сбе части равенства, мы получаем
соответственно
С другой стороны, всегда
auj> + аил — у ai/ + у
т. е.
= «//.
и предложение доказано.
9. Замечание. Пусть имеется какое-нибудь соотноше-
соотношение между тензорами, написанное при помощи введенных
нами тензорных операций. Если выбран базис, ему соот-
соответствуют такие же соотношения между компонентами
рассматриваемых тензоров. Тензорные операции инвари-
инвариантны в том смысле, что соотношения между компонен-
компонентами выглядят одинаково, каков бы ни был базис. Скажем,
соотношение А = х(&у + г®г, где х, у и г—векторы,
303

равносильно равенству ar/ = ?'V + S'S/ ¦мещяу компонен-
компонентами, причем безразлично, в каком базисе, так как во всех
базисах оно выглядит одинаково
В силу этого обстоятельства часто, говоря о тензорах,
имеют в виду их компоненты или, наоборот, говоря о
компонентах, имеют в виду тензоры Говорят, например,
«тензор a(/ft» вместо «тензор, компоненты которого в та-
таком-то базисе равны o,l/k» Это не может вызвать недора-
недоразумения и сильно упрощает речь В дальнейшем мы будем
пользоваться подобными сокращениями
§ 2. Тензоры в евклидовом пространстве
1. Метрический тензор. Все сказанное о тензорах в ли-
линейном пространстве, разумеется, справедливо и в случа-
евклидова пространства. Однако в евклидовом простран-
пространстве тензоры обладают многими свойствами, которых они
не имели в линейном.
Теорему 2 § 3 гл. VIII мы можем, пользуясь тензор-
тензорной терминологией, сформулировать следующим образом:
n-мерное евклидово пространство можно определить как
такое n-мерное линейное пространство, в котором задан
симметричный тензор G с компонентами g:/, причем
gij&V > 0 Для каждого ненулевого вектора ?'. Компоненты
тензора G в базисе е—это элементы матрицы Грама этого
базиса.
Определение. Сопоставим каждому базису евкли-
евклидова пространства матрицу Грама этого базиса. Опреде-
Определяемый этим соответствием тензор типа @, 2) называется
метрическим тензором пространства.
Предложение 1. Сопоставим каждому базису ев-
евклидова пространства матрицу, обратную матрице Грама
этого базиса. Это соответствие определяет, тензор типа
B, 0).
Доказательство. Пусть Г и Г'—матрицы Грама
базисов е и е' = eS. Нам нужно выяснить, как связаны
матрицы Г и Г'. Мы будем исходить из формулы A5)
§ 1 гл. Vlli Г' == STTS. Найдем матрицы, обратные
обеим частям равенства, пользуясь формулой A0) § 6
гл Vs
Как мы видели в § 6 гл. V, для любой невырожденной
матрицы (Sr)~1 = (S~l)r. Следовательно,
r'-^S-ir-^S-y. A)
304

Перепишем формулу A), обозначив через gfJ, g'<s и х\ аге-
'менты матриц Г, Г'"х и S'1 Мы получим
т. е, закон преобразования ко понент тензора типа B, 0).
Определение. Тензор, построенный в предложе-
предложении 1, называется контравариантным метрическим тен-
тензором.
Равенства YT~l — E и Г-1Г = ? могут быть переписаны
через компоненты gtj и gV так
Кроме того, поскольку (Г~1)г = (Г7") = Г, контрава-
риантный метрический тензор симметричен:
2. Поднятие и опускание индексов. Наличие
ского тензора позволяет ввести в евклидовом пространстве
еще две операции над тензорами—поднятие и опускание
индексов
При опускании индекса тензору типа (р, q),p^l, со-
сопоставляется тензор типа (р—1, (/+ 1)> получаемый свер-
свертыванием данного тензора с метрическим тензором по тому
лндексу, который мы хотим опустить. При этом порядок
индексов сохраняется в следующем смысле. Мы отказы-
отказываемся от соглашения, по которому каждый нижний индекс
следует за каждым верхним. Для того чтобы отметить
порядок индексов, над каждым нижним индексом и под
каждым верхним индексом ставится точка. Например, при
опускании первого индекса у тензора aclk мы получаем
тензор ?„<*"* = a,-V
При поднятии индекса данный тензор сворачивается
с контравариантным метрическим тензором по тому ин-
индексу, который следует поднять. Результат будет тензэрэм
типа (/»+1, q—1). Разумеется, для этого нужно, чтобы
исходный тензор имел хотя бы один нижний индекс, т е.
q ;> 1 Например, поднятие первого индекса у аД дает
а%, = ?''аД, а поднятие третьего дает а/* =» ёыщ'\.
Перед этим мы уже встречались с опусканием индекса.
В § 2 гл VII было введено понятие линейного преоб-
преобразования А*, сопряженного даиному линейному преобра-
преобразованию евклидова пространства. В произвольном базисе
матрицы Л и Л* преобразований А и А* связаны равен-
305

ством C) § 2 гл. VII, которое можно переписать в виде
ГЛ* = (ГЛ)Г. Обозначив через а\ и а.}1 элементы матриц
А и А*, мы запишем это равенство в тензорных обозначе-
обозначениях:
Как легко заметить, оно означает следующее! после опу-
опускания индексов у тензоров А и А* один из них получается
из другого транспонированием. Для самосопряженного
преобразования А тензор gufl) симметричен.
В § 3 гл. VIII мы ввели понятие линейного преобра-
преобразования А, присоединенного билинейной форме Ь. В произ-
произвольном базисе матрица А присоединенного преобразования
выражается через матрицу ^билинейной формы равенством
А = Г~1В. В тензорных обозначениях это может быть
переписано как
Мы видим, что тензор А получается из тензора Ь подня-
поднятием первого индекса.
В § 1 гл. VIII был введен вектор, присоединенный
линейной функции на евклидовом пространстве. Строка
коэффициентов и этой функции выражалась через коорди-
координатный столбец вектора а формулой х = огГ. Переходя от
матричной записи к записи через компоненты, мы получим
¦ji. = akgkt. Отсюда вытекает a/ = gtJx{ (гл. VIII).
3. Евклидовы тензоры. При изучении евклидова пространства
часто можно ограничиться только ортонормированными базисами. При
этом все формулы, связанные со скалярным произведением, значи-
значительно упрощаются, так как метрический тензор имеет единичную
матрицу
При замене одного ортоиормированного базиса на Другой орто
нормированный матрица перехода ортогональна, т. е. удовлетворяет
соотношению S~1 = ST. Это значит, что элементы S и ее обратной
связаны равенствами
«i = *J. C)
Если мы внесем соотношения C) в закон преобразования компо-
компонент тензора D) § 1, мы получим
•Л.. • /в ^* ?« ко К Ja к*. . .кя
«',:.../'= s с.1...о,;о/,...«../,'. D)
^t» ...» яр
'|> . . • • 'д
Здесь индексы суммирования klt ,.., kp расположены сверху, поэтому
мы пишем Знак суммы, Формула D) показывает, что, ограничиваясь
306

ортонормированными базисами, мы уничтожаем различие между верх-
верхними и нижними индексами: верхним индексам в законе преобразова-
преобразования D) соответствуют такие же множители, как и нижним.
Заметим еще, что в силу B) в ортонормированием базисе совпа-
совпадают компоненты всех тензоров, которые отличаются друг от друга
поднятием или опусканием индекса. Действительно, мы имеем, на-
например, <*(//=я/дог?/ — ai*'f, так как из п слагаемых в сумме по к
отлично от нуля только то, у которого i=k, а в нем gu=\.
Из сказанного следует, что, ограничиваясь рассмотрением орто-
нормированных базисов, мы можем отождествлять все тензоры, кото-
которые можно получить один из другого поднятием или опусканием
индекса. Точнее говоря, все тензоры, имеющие в ортонормированных
базисах одинаковые компоненты, мы объединяем в один класс и
рассматриваем этот класс как некоторый новый объект. Объект этот
является евклидовым тензором.
Определение. В евклидовом пространстве ?п задан евклидов
тензор валентности s, если каждому ортонормированиому базису
сопоставлена s-мерная матрица порядка п. При этом, каковы бы ни были
ортонормированные базисы в я е', элементы аA...{,и а^_ ^ соот-
соответствующих матриц связаны соотношением
Все индексы у евклидовых тензоров равноправны, и мы будем писать
их внизу.
Из формулы C) ясно, что каждый тензор типа (р, q) определяет
евклидов тензор валентности (/?+</). При этом все тензоры, отли-
отличающиеся друг от друга поднятием или опусканием индекса, опре-
определяют один и тот же евклидов тензор.
Если задан евклидов тензор, то его компоненты в неортонорми-
рованных базисах не определены. Однако для каждого евклидова
тензора валентности s можно определить эти компоненты так, чтобы
получился тензор любого типа (р, q), где p-{-q = s. Для этого их
нужно найти, пользуясь законом преобразования компонент тензора
соответствующего типа. Таким образом, каждый евклидов тензор
порождается любым тензором из некоторого класса тензоров. Легко
видеть, что все тензоры этого класса отличаются один от другого
поднятием или опусканием индекса.
Числовые величины, не меняющиеся при переходе от одного
ортонормированного базиса к другому, на с. 279 мы назвали ортого-
ортогональными (или евклидовыми) инвариантами. Теперь мы видим, что
это евклидовы тензоры валентности 0.
Для евклидовых тензоров можно определить операции, введенные
для тензоров в § 1. Определения, а также формулировки и доказа-
доказательства соответствующих предложений были бы почти дословным
повторением сказанного, и мы не приводим их. Заметим только, что зля
евклидовых тензоров свертывание возможно по любой паре индексов
и транспонировать их можно тоже по любому множеству индексов.
Например, если, ограничиваясь ортонормированными базисами, мы
отождествим квадратичную форму с присоединенным к ней преобра-
преобразованием, то полученный новый объект—евклидов тензор валентно-
валентности 2—будет иметь инвариантную свертку (как линейное преобразо-
преобразование) и инвариантно будет удовлетворять равенству а// = (Ху, (как
квадратичная форма). Инвариантность здесь, разумеется, имеет место
только относительно замены ортонормированного базиса другим.
307

§ 3. Поливекторы. Отнеедоедыше инварианты
1. р-векторы. Мы начнем этот параграф с изучения
одного специального класса тензоров.
Определение. Антисимметричный по всем индек-
индексам тензор типа (р, 0) мы будем называть р-вектором
или поливектором, если тип не уточняется.
Антисимметричный по всем индексам тензор типа @, q)
называется д-ковектором или q-формой.
Теория <?-ковекторов аналогична теории поливекторов.
Мы будем заниматься в основном /?-векторами.
Заметим прежде всего, что при р > п существует только
нулевой р-вектор. Действительно, из р > п индексов,
принимающих значения 1, .... п, хотя бы два должны
принимать равные значения. Это значит, что в каждой
компоненте есть два одинаковых индекса. При транспо-
транспонировании тензора, переставляющем эти индексы, компо-
компонента должна изменить знак. Но, так как индексы равны,
она не меняется и потому равна нулю. Так можно рас-
рассуждать для каждой компоненты.
При р = п могут быть отличны от нуля только те
компоненты, у которых значения индексов представляют
собой перестановку чисел 1, ..., п (иначе снова окажутся
два равных индекса). Все такие компоненты выражаются
черзз одну из, них по формуле
a'r-'»=(_l)^'i '*)a'--\ A)
в которой Л' (/,,..., 1„)—«число нарушений порядка в пе-
перестановке i'x, ..., «'„ (ср. с. 152).
Действительно, мы покажем сейчас, что значения ин-
индексов «lt ..., in можно расположить в порядке возраста-
возрастания при помощи Л' (tj, .... »„) транспонирований, пере-
переставляющих два индекса, а каждое такое транспонирование
мейяет знак у компоненты. Расположить значения индек-
индексов в порядке возрастания можно так. Среди /х, ..., in
одно из чисел равно п. Переставим его на последнее
место, последовательно меняя его местами со всеми чис-
числами, стоящими правее него; со всеми этими числами п
образовывало нарушение порядка. Таким образом, мы
сделаем столько перестановок, в скольких нарушениях
порядка виновно число п, и не изменим порядка осталь-
остальных чисел. Теперь возьмем число п—1 и переставим его
таким же образом на предпрследнее место. При этом мы
сделаем столько попарных перестановок, в скольких на-
нарушениях порядка виновно число п—1, и не изменим
308

взаимного расположения остальных чисел. Поступим да-
далее таким же образом с числами п—2, ..., 2. После
этого все числа, включая 1, которая автоматически ока-
окажется на первом месте, будут расположены в порядке
возрастания. Чтобы этого достичь, мы сделали N (it, ..., in)
попарных перестановок.
/>-вектор а'» р называется простым, если он представ-
представляется как альтернированное произведение векторов, т. е.
где, например, \1р—компоненты вектора хр.
Предложение 1. Каждый п-вектор является про-
простым.
Доказательство. Рассмотрим какой-нибудь нену-
ненулевой простой п-вектор р'1 'п = |['1- • -V^- Отношение ком-
компоненты а1 ¦ " данного нам n-вектора к Р1- " мы обозначим
через X. Из формулы A) следует, что тогда и для всех
компонент а'1 '» = Я^'1- '«. Положив ц' = ХЪ[, имеем
аЧ- 'o==T|f'i^a., -Vnn\ как и требовалось.
Пусть даны р векторов xlt ..., хр с компонентами
Составим матрицу, столбцами котдрой будут коорди-
координатные столбцы векторов xlt .... хр\
Ч--Л
ц
C)
Выберем р строк этой матрицы с номерами it </,<...
.., < ip и рассмотрим минор, расположенный в этих
строках:
м^-'р= Е (-i)w<V"S)g',<'i..y>.
ov ...a,
Здесь ад, .. .,ор различны и принимают значения 1, ...,/>.
Сравнивая это выражение с B), мы находим те компо-
компоненты простого р-вектора, у которых значения всех ин-
индексов попарно различны и расположены в порядке воз-
возрастания:
Остальные компоненты либо равны нулю (если среди ин-
309

дексов есть равные), либо отличаются от уже найденных
множителем (—l)N, где N—число нарушений порядка
среди значений индексов.
В частности, для n-вектора имеем
J_
E)
Из формулы D) следует, что простой р-вектор явля-
является нулевым тогда и только тогда, когда составляющие
его векторы линейно зависимы, т. е. ранг матрицы C)
меньше р.
2. Относительные инварианты, n-вектор вполне харак-
характеризуется в каждом базисе одним числом—его компо-
компонентой а1—". Попробуем выписать закон преобразования
этого числа при замене базиса без участия других ком-
компонент n-вектора. Мы получим а'1-"*=т/1...%" а'*""'» =
=* У\ (—l)^1 n)xt .. .х? а1—"» или
{? I \ 1 Я
0j 1.«.» —— /q?[ i3~) Ot ^= IGCl сМ^ ОС ^в (о)
Мы видим, что соответствие, относящее каждому базису
независимую компоненту n-вектора, определяет геометри-
геометрический объект с одной компонентой и законом преобразо-
преобразования F). В самом деле, каждому базису сопоставлено
единственное число, и число, соответствующее одному ба-
базису, выражается через число, соответствующее другому
базису, и матрицу перехода. Этот объект—не тензор, так
как тензор с одной компонентой необходимо имеет тип
(О, 0) и, следовательно, является инвариантом.
Другой пример геометрического объекта такого рода
мы видели в начале § 1] детерминант матрицы из компо-
компонент тензора типа @, 2) преобразуется по закону
6' = (det Sf 6. G)
Определение. В линейном пространстве задан от-
относительный инвариант веса г, если каждому базису
сопоставлено число так, что числа, соответствущие бази-
базисам е и e' = eS, связаны равенством
а' = (det Sf а. (8)
Инвариант, или, как говорят, чтобы подчеркнуть отли-
отличие от относительного инварианта, абсолютный инвари-
инвариант, является относительным инвариантом веса 0.
310

Аналогично формуле F) можно показать, что един-
единственная независимая компонента n-ковектора является
относительным инвариантом веса 1.
Отметим следующие свойства алгебраических опера-
операций с относительными инвариантами.
Предложение 2. 1) Пусть даны два относитель-
относительных инварианта а и Ь одного и того же веса г. Сопостав-
Сопоставляя каждому базису сумму компонент а и b в этом базисе,
мы получим относительный инвариант веса г.
2) Пусть даны относительные инварианты а и b весов
соответственно rt и /¦„. Сопоставляя каждому базису про-
произведение компонент а и b в этом базисе, мы получим
относительный инвариант веса rt -f- г2.
3) Пусть дан относительный инвариант а веса г
Сопоставляя каждому базису р-ю степень компоненты а
в этом базисе, мы получим относительный инвариант
веса рг.
Все три утверждения доказываются одинаково. Дока-
Докажем для примера второе из них. Перемножая равенства
вида (8), написанные для а и для Ь, мы получаем соот-
соотношение
a'b' = (det Sy^r'ab,
связывающее произведения компонент а и & в двух любых
базисах е и ef, т. е. нужный закон преобразования
Теперь мы можем убедиться, что существуют относи-
относительные инварианты любого веса г. Чтобы построить от-
относительный инвариант веса г, достаточно возвести в сте-
степень г какой-нибудь относительный инвариант веса 1.
3. Объем «-мерного параллелепипеда. Рассмотрим в
обычном трехмерном пространстве параллелепипед, натя-
натянутый на векторы х{, х, и х„, исходящие из начала ко-
координат. Его можно определить как множество всех тех
векторов, которые имеют вид a = A1xl-t-A,,x,-{-A,,x,, при-
причем 0<Л„<1, 0<A,t<l и 0<А,,<1. Из формулы ПО)
§ 3 гл. I видно, что объем параллелепипеда равен абсо-
абсолютной величине детерминанта
6?
6S
6J
Б!
61
ч
ч
составленного из компонент векторов xit x, и ха в орто-
ортонормированием базисе. Детерминант равен произведению
31 на ту компоненту порожденного этими векторами
3-вектора, которая имеет индексы 1, 2 и 3.
311

Введен следующие, определения.
Определение. В я-.черном лпнейном пространстве
векторов внда о = V,+.. .+S.^, где xt хр —
фиксированные линейно независимые векторы и при каж-
каждом о= I р выполнено неравенство 0<Я„<1
странстве л-черный параллелепипед Р построен на веьго-
торан в ортонормированном базисе, то ми назовем объе-
объемом я-мерного параллелепипеда число
. е. произведение п\ в? модуль той компоненты n-век го-
гоа, порожденного векторами хл, .... ха1 которая имеет
В определении не уточняется, о каком ортонормирован-
ортонормированем базисе идет речь Поэтому мы должны доказать,
то V(P) не зависит от выбора ортонорчнрова иного ба-
баса Согласно формуле F) при переходе от ортонорми-
ованното базиса е к базнсу е' =еа мы имеем V (Р) ^
I det S~4 V {Р). Если баэнс е' ортонорийрованный, то
р альнап и | del S"' 1 = 1, что доказы-
Мн видим, что V{Р)'—ортогональный инвариант, т. &.
те р ентности 0 (см. с. 279).
час мы м выражение для объема л-мерного
|роизвольном базисе. Для этого заме-
замето G) детерминант матрицы метркче-
то гда det Г > 0 {предложение 3 j 1 гл. VII).
оэточу мы вправе рассмотреть величину i^dslT, которая,
У5Тг№---&1 является абсолютным
ва то Но в ортонормированием Саэисе det Г= 1,
¦рмир^ванном базисе
^!. A0)
аа — инвариант, а, следовательно, ра-
есто в любом базисе.