Лекции по алгебраической геометрии. Часть 1. Аффинные схемы - Манин Ю.И.

Автор: Манин Ю.И.
Теги: математика геометрия алгебра алгебраическая геометрия аффинные схемы
Год: 1970
Похожие
Введение в теорию схем и квантовые группы
Лекции о кривых на алгебраической поверхности
Принципы алгебраической геометрии. Том 2
Алгебраическая геометрия
Текст
                    Ю. И. МАНИН
ЛЕКЦИИ
ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Часть I
Аффинные схемы
ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
1970
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО
СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ- КАБИНЕТ
ПО ЗАОЧНОМУ II ВЕЧЕРНЕМУ ОБУЧЕНИЮ
МОСКОВСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
имени М В. ЛОМОНОСОВА
Ю. И. МАНИН
ЛЕКЦИИ
ПО АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Часть I
Аффинные схемы
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТ А
1 970
Предисловие
В 1966-1968 гг. автор прочел на механико-математическом
факультете МГУ двухгодовой курс лекций по алгебраической гео-
метрии. Материал первого года был равмножен на рота причте
£2j , материал второго года был опубликован в "Успехах мате-
матических наук" [6J . Оба эти издания сохранили отпечаток
лекционного стиля, с его преимуществами и недостатками.
Предлагаемая сейчас читателю небольшая книжка является
первой главой задуманного учебника по алгебраической геомет-
рии. Она была написана на основе материала нескольких первых
лекций ^2] , значительно расширенных и переработанных.
Специалисту может показаться странным, что в книжке, ко-
торая называется "Аффинные схемы”, на самом деле ни ражу не
появляется определение схемы как пространства с пучком. В
действительности наша цель - практически научить читателя
геометрическому языку коммутативной алгебры. Необходимость
излагать алгебраический материал отдельно и затем "применять*
его к алгебраической геометрии постоянно обескураживала гео-
метров: О.Зариский и П.Самюэль очень выразительно пищут об
этом в предисловии к книге "Коммутативная алгебра".
Появление теории схем А.Гротендика открыло счастливую
возможность вообще не проводить границу между "геометрией”
и "алгеброй” - они выступают теперь как дополнительные аспек-
ты единого целого, подобно пространствам и функциям в других
геометрических теориях.
С этой точки зрения коммутативная алгебра совпадает е
теорией локальных геометрических объектов - аффинных схем.
3
Расшифровка последней фразы и составляет содержание
книжки. Я попытался последовательно объяснить, какого рода
геометрические представления должны быть связаны, скажем, с
примарным разложением, модулями или нильпотентами. По словам
А.Вейля, пространственная интуиция "неоценима, если сознавать
ее ограниченность". Я хотел учесть оба члена этой изящной
формулировки.
Конечно, геометрический акцент оказал сильное влияние
и на выбор материала; в частности, эта глава должна подгото-
вить почву для введения глобальных объектов. Поэтому в параг-
рафе о векторных расслоениях на "наивном" уровне изложены
конструкции, принадлежащие по существу уже теории пучков.
Наконец, мне хотелосс как можно раньше ввести категор-
ные понятия, которые не так важны в локальных вопросах, но
играют все большую роль в дальнейшем. Читателю рекомендуется
заранее просмотреть дополнение "Язык категорий" и возвращать-
ся к нему по мере необходимое^.
Эти записки были предметом семинага на мехмате МГУ в
1969-1970 гг. Семинаром руководили В.Псковских и В.Данилов,
которым я глубоко признателен за ряд замечаний. Задачи и
упражнения, собранные в конце книжки, были составлены до се-
минара и имеют довольно случайный характер. Составление хо-
рошего учебного сборника по алгебраической геометрии было бы
самостоятельным предприятием.
Следующий небольшой список литературы не претендует
на полноту. Он должен помочь читателю быстрее войти в рабо-
чие аспекты теории, которые в этих записках отложены, быть
может, слишком надолго.
4
Литература
Общие курсы
[1]. ПЬфаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии.
„Успехи матеыат» наук, т. 24, вып. 6 (1969), 3-184.
[2]. Манин Ю.И. Лекции по алгебраической геометрии.
МГУ, 1968.
f3j.JbLuTi|o-i-<L *£). 3ntio<tuctcon to ссС^еОкхк ^eornetv^ ;
pxcpxLnL (есть в библиотеке мехмата МГУ).
£43. Дьедонне Ж. Алгебраическая геометрия. Об. перево-
’Дов "Математика", 9 : 1 (1965), 54-126.
Более специальные вопросы
[б]. Мамфорд Д. Лекции о кривых на алгебраической по-
верхности. М., "Мир", 1968.
[б]. Манин Ю.И. Лекции о К-функторе в алгебраической
а
геометрии.иУспехи математ. наук, т. 24, вып. 5 (1969), 3-86
[?]. Серр Ж.П. Локальная алгебра и теория кратностей.
Сб. переводов "Математика", 7 : 5 (1963), 3-94.
[8]. Оерр Ж.П. Алгебраические группы и поля классов.
М.-, "Мир", 1968.
Лётор
5
'. Уравнение и кольца
Изучение алгебраических уравнений - древнейшая мате-
матическая наука. В новые времена мода и удобство диктуют
обращение к кольцам.
Рассмотрим систему уравнений А :
Г;(тр-О; и1,рЗ.
Здесь 1,0 - некоторые множества индексов, "Г- - независи-
мее переменные, F. - многочлены из кольца
Кольцо К , в котором лежат коэффициенты, считается фиксиро-
ванным, оно называется основным кольцом или кольцом щрцотадт.
О системе говорят, что она определена над К »
Таким образом, система уравнений.по определению,состоит
лэ следующих объектов: I) кольцо констант К *, 2) ’’неизвест-
ные” V’ 3) многочлены ("левые части").
Что следует называть решением системы X ?
Одно определение налравшивается: решение есть набор эле-
ментов	кольца К такой, что
при всех t щ 1 • Однако это определение слишком ограничитель-
но: нас могут интересовать решения, не принадлежащие К\ на-
пример, комплексные корни многочлена с вещественными коэффици-
ентами. Более общб, пуоть JL - некоторое кольцо. Чтобы рас-
сматривать решения системы X ® кольце L » мы должны
уметь подставлять элементы из L, в многочлены о коэффициента-
ми из К , в частности, уметь умножать L на элементы
ни К . Класс таких колец L. выделяется следующим определе-
нием.
I.I.	Определение. К -алгеброй L вызывается множество
L , сцабженное структурами К -модуля ш кольца, которые свя-
заны следующими а^никеми:
а) внешнее умножение KXL -^L дистрибутивно относитель-
но сложения слева м справа;
б> к (*А )’(**<) <* для всех кбК,
б
1.2.	Лемма. Пусть 1_> - некоторая К -алгебра, тогда
отображение K-^L.:	является гомоморфизмом яо-
леа*.
Наоборот, пусть JL - некоторое кольцо, /: К ~^1л —
гомоморфизм колец. Тогда умножение KXL —>	• определен
ное формулой
(к. £) az-г	, к«К1 ZtL,
определяет на L. структуру К -алгебры.
Доказательство, сводящееся к автоматической проверке ак-
сиом, мы оставляем читателю.
Гомоморфизмом К -алгебр	называется отоб-
ражение, которое одновременно является гомоморфизмом #<-мо-
дулей и колец.
1.3.	Дид£Р Любое кольцо 1_* является 22 -алгеброй
( Z всегда обозначает кольцо целых чисел). Зга структура
определена однозначно гомоморфизмом Z -*L> > при котором
единица переходит в единицу.
Теперь мы можем определить, что такое решение системы Х«
1.4.	Определение. Решением системы \ со значениями г
К -алгебре L. называется семейство элементов ^)jC? >t е
€L такое, что	D Для ЕСег i » Множество теких
реиеннй обозначается X CL) 
По предыдущему замечанию, для системы с целыми коэффици-
ентами можно рассматривать ее решения в любом коммутативном
кольце.
Пусть {:	- гомоморфизм К -алгебр. Сопоставляй
каждому решению (^) системы X. с° значениями в Ц реше-
ние ({(ij)) этой же системы со значениями в L. , получаем
отображение множеств X (Lt) -* X (L4) •
Следующее старинное рассуждение содержит в зародыше обе
эти идеи.
1.5о	Пример: "язык сравиедий". Пусть п, - целое числе
вида Чги+2) . Вот классическое доказательство того, что и.
не является суммой двух квадратов целых чисел: иначе было бы
разрешимо сравнение "Т^ +"Га =. 3 Ч 5 простейший пере-
7
flop показывает, что это не так
С нашей точки зрения это рассуждение означает следующее.
Пуоть X : "Г*'+'ТЛ'= П , К = ZL .Мы хотим доказать,что
. Рассмотрим гомоморфизм 22. “♦ 3?/бЧ) "редук-
ции mod Ч он определяет отображение множеств решений
X(Z)	- Есля бы XfZj било яепусто.то
 xrz/tz; было бы непусто, что не так.
Более общо', для любой системы уравнений X с целыми
коэффициентами и любого целого числа т, мы можем рассмат-
ривать множества Х(	и пытаться извлекать отсюда
сведения о чг) . Вообще, если X(L)= для какого-
угодно нетривиального (1 + 0) кольца J. , то и Xf'2^0
(Практически обычно проверяются конечные кольца
и поле вещественных чисел К ). Ряд самых глубоких результа-
тов теории диофантовых уравнений связан с вопросом, когда вер-
но обратное утверждение. Прототипом их является теорема Лежан-
ДРа: пусть X t •/^,4ва>'^ж+	0 , К = Z ; если Х(2^=
= { (0,0)0) }	। то хотя бы для одного из колец
(•MfO,!) или L=R имеем XtL)* {(0,0,0) j . (Боревич-
Шафаревич. Теория чисел, та. I, § 7).
*
1.6. Пример. Пусть К=R , число неизвестных конечно
и равно и. . Тогда . X (JR.} с £.п есть алгебраическое множест-
во над R , Х(€) с С - его "комплексификация". Из-за ал-
гебраической замкнутости С изучение XfC) часто оказыва-
ется более легким и в больииистве случаев составляет необходи-
мый первый этап исследования, даже если мы в основном интере-
суемся чисто вещественными вопросами.
Яркий пример доставляет следующая теорема Гарнака.Пусть
- форма степени d с вещественными коэффициен-
тами. Уравнение F- 0 определяет на вещественной проектив-
ной плоскости кривую X(ff-). Теорема Гарнака утверждает .что
число связных компонент этой кривой не превосходит	,
Метод доказательства ее основан именно на вложении х(Ю
В Х(С) , а не в проективную плоскость, где она банально
8
помещается с самого начала. Ограничимся для простоты случаем,
когда кривая Х(С) "неособа", то есть
является компактным ориентируемым двумерным многообразием.Его
род, то есть "число ручек" равен тогда	(на
рисунке <А = 3 , ХСС) - тор). Доказательство теоремы осно-
вано на двух утверждениях.
Прежде всего, автоморфизм комплексного сопряжения дейст-
вует на Х(С) непрерывно, X(R) является в точности
множеством неподвижных точек этого автоморфизма. Кроме того,
если "разрезать" X (С) вдоль Х(В) , ХСС) распадется
в точности на два куска, как распадается сфера Римана, раз-
резанная вдоль вещественной оси (случай J= 1 ). Отсюда оцен-
ка Гарнака получается уже несложными чисто топологическими
соображениями: см., например, Н.Г.Чеботарев. Теория алгебраи-
ческих функций (Москва, 1948), § 44. *
i.?. Пример. X’. 0-Т+£=0 ,	К =	. Очевидно,
X(L) = ^	, если + 0,	и X(L) = h, , если 4/1^=0.
Пример нарочито искусственный, но подобные ему встречаются в
"арифметической геометрии": дискриминанты и дифференты появ-
ляются именно так.
9
1.8. Определение. Две системы уравнений X, с одаими
и теми же неизвестными, заданные аал вольном К , называются
эквивалентными, есдм X(L)= V (L) для любой К -алгебрыL
Среди систем уравнений, которые эквивалентны данной, мы
можем рассмотреть "самум больную", которая однозначно опре-
деляется.
Именно, пусть Р - идеал в кольце многочленов К[Т],
порожденный левыми частями системы упавгеяий X • Г )V
Легко понять, что система уравнений, полученная приравнивани-
ем к кулю всех элементов идеала р , эквивалентна данной сис-
теме
тема
DO
ЭТОМ
в то
Нот
к
физм К -алгебр К [Tj]-*1L \ который на К совпадает со
ураву -нил Г CTj)= 0 . В ти же время построенная сис-
максммальна в том смысле, если к ней добавить еще
одно уравнение F= С , в ней не содержащееся, то получится
новая, неэквивалентная данной, система. Чтобы в этом убедить-
ся, достаточно в качестве К -алгебры J_> взять фактор-коль-
“ kFj'I/p Т - независимые переменные. Б
кольце L решением исходной системы будет
время как F ({г) +0	, потому что F^P
1.9.	Предложение. X fL)=Hcw^ (А 3 L), гаеА=КГт;3/р
- множество гомоморфизмов К -алгебр.
Доказательство. Пусть (£ )€ X(JL) . Существует гомомор-
1 -X f-Г Л	।	1-Х
-
структурным гомоморфизмом K-*L (см. 1-2), а Т” перево-
дит в tj . По определению X (L) * Т-5 принадлежит ддру это-
го гомоморфизма, так что его можно провести через гомоморфизм
Наоборот, пусть дан гомоморфизм К -алгебр А -*1, .Он
однозначно определяет сквозной гомоморфизм КГТу]-тА-»Е.
Пусть tj - образ Т при этом гомоморфизме; тогда (t)eX(L)
потому что все элементы Р переходят в нуль. J
Легко проверить, что построенные отображения X(L) j~*
HorwK(A^L) взаимно обратны, что доказывает предложение.
Система X над кольцом К называется совместной, если
Х(Е)+^ Для некоторой ненулевой К -алгебры L ,и несов-
10
местной в противном случае» Предложение 1.9 показывает, что
система X несовместна лишь в случае, когда ее алгебра
нулевая^ иными словами, 1 € Р .
Резюмируем основной результат обсуждения. Ми установили
эквивалентность двух языков: систем уравнении (который исполь-
зуется во всех конкретных вычислениях) и теории колец. Точнее
говоря, следующие понятия соответствуютедруг другу:
Система уравнений X над
кольцом К с неизвестными
1*П J'VJ
| К-алгебра А с ввде->
{ленной системой образую-'
(щих tj ,	J
Решение системы X в К -) I гомоморфизм К -алгебр
алгебре L	) ’*==^ IА L
Заметим, наконец, что при использовании языка колец нет
никакой необходимости рассматривать фиксированную систему об-
раиующих (fj) . Опуская ее, мы отождествляем системы
уравнений, получающиеся друг из друга взаимно обратимой заме-
ной множества неизвестных. Каждый элемент кольца А играет
роль одной из "неизвестных"; значение, которое зта неизвест-
ная принимает в данном реиении системы, совпадает с ее обра-
зом в 1_» при соответствующем гомоморфизме.
11
2.	Геометрический язык: точки
Пусть по-прежнему I -основное кольцо, X - некоторая
система уравнений над К с неизвестными »• • ••
Для любой К -алгебры L> мы представляем себе множестве
K(L) как некоторый "график" в 12? - координатном пространст-
ве над кольцом ]_ . Точки этого графика суть реиения системы
X • Учитывая реэультат предыдущего параграфа, мы можем вве-
сти следующее определение.
2.1.	Определение. I. Точками К-алгебры A PQ значе-
ниями в К -алгебре L (или просто L -точками А ) назы-
ваются К -гомоморфизмы А 1 ' .
2.	L -точка А называется геометрической, если I  -
поле.
Пример. Пусть К - поле,V - некоторое конечномерное ли-
нейное пространство над ним.
Похажем, что существует К -алгебра, К -точки которой
находятся в естественной взаимно однозначном соответствии о
элементами пространства V •
Обозначим через V* пространство линейных функционалов
на V со значениями в К . Построим симметрическую алгебру
пространства V* над К (см. Ленг. Алгебра, гл.
ХУ1, § 7). Так как _$YV*) = V* составляет систему образую-
щих алгебры	, любой К -гомоморфизм
определяет линейный функционал на V*. который можно канони-
чески отождествить с точкой из V• Наоборот, любой функционал
на V* однозначно продолжается до гомоморфизма
в силу предложения 13 в главе ХУ1 Книги Ленга, согласно кото-
рому р CV*) есть кольцо многочленов от элементов любого бази-
са пространства К • Это показывает требуемсе.
Вернемся к определению 2.1.
Если мы хотим отделить свойства самого кольца А 01
свойств переменной алгебры L , разумно рассматривать вместо
гомоморфизмов их ядра. Ядро гомоморфизма A ~*L , соответ-
ствующего геометрической точке, является, очевидно, простым
идеалом. По многим причинам следует ограничиться ими, вводя
12
основной гео:метрический объект, связанный с кольцом Л .
2.2.	Определение. Множество всех простых идеалов кольца
А (отличных от А ) навивается спектром А и обозначает-
ся	» Элементы Spec А называются его точками.
В дальнейшем мы обогатим множество Sp-ec А дополни-
тельными структурами, превратив его в топологическое простран-
ство и построив на нем пучок колец": это приведет к определе-
нию аффинной схемы. Схемы, то есть топологические пространст-
ва с пучком, локально изоморфные аффинным схемам, являются
основными объектами алгебраической геометрии.
Приступая к изучению спектров, мы прежде всего должны
убедиться в их нетривиальности.
2.3.	Теорема. Spec А V* $ » е&° А=Нс]
Для доказательства этого и ряда других фактов нам пона-
добится
лемма Цорна: всякое частично упорядоченное множество М ,
в котором каждое линейно упорядоченнее подмножесхав /V = И
имеет верхнюю грань в М , обладает максимальным элементом.
Доказательство см«, например, в кзихе Данфорда и Шваоца
"Линейные операторы. Общая теория", стр. 17.
Упорядоченные множества, удовлетворяющие условию леммы
Цорна, называются индуктивными.
Доказательство теоремы 2,.3« Обозначим через М множест-
во всех идеалов кольца А , отличных от А ; оно содержит (о)
и потому непусто. Множество М частично упорядочено по вклю-
чению. Возьмем в М произвольное линейно упорядоченное мно-
жество , где - идеалы А . Тогда U р^ - тоже иде-
ал А (учесть линейную упорядоченность), отличный от А (еди-
ница, разумеется, не принадлежит U ). Отсюда следует ин-
дуктивность множества И . Обозначим через р его максималь-
ный элемент, р - максимальный идеал, а потому и простой: в
фактор-кольце А/p всякий ненулевой идеал, в том числе все
главные, совпадают с А/р . Значит, каждый ненулевой эле-
мент из А/p обратим, так что А/p является полем. Тео-
рема доказана. По пати мы получили
13
Следствие. Каждый простой идеал кольца содержится в не-
котором максимальном идеале.»
Из доказанной теоремы, в частности, следует, что всякое
ненулевое кольцо А имеет геометрические точки (например, го-
моморфизм А -*А/р , где рсА - максимальный идеал).
Назовем центром геометрической точки A ~*JL ее ядро
как элемент Spec А • Из определений легко следует
2.4.	Предложение. Геометрические L -точки К -алгеоры
А с центром х € Spec А находятся во взаимно однозначном
соответствии с К -гомоморфизмами -*]_»,где k(x)~
поле частных кольца А/рх > рхсА ~ иДе6л> соответствую-
щий X . -
Доказательство. В самом деле, гомоморфизм A-*L раз-
лагается в последовательность A "*A^x-»‘k(x)-> 1_ (ибоХ»-
поле). Первые две строки зтой последовательности определены
раз навсегда.
2.5.	Пример. Пусть К - совершенное поле, L - алгебра-
ически замкнутое поле, содержащее К ; А - К-алгебра,
xeSf>?c А , рхс А - соответствующий идеал.
Гели	< о° » то в силу теории Га-
луа имеется ровно deg х геометрических 1д -точек с цент-
ром в х .
Псл< же	неалгебраично над К , а в К доста-
точно много транцендентностей над К , то геометрических 1, -
точек с центром в р может быть бесконечно много.
Вот совсем частный случай.
Рассмотрим jR. -алгебру £2. [Т] . Множество ее геометри-
ческих С -точек есть комплексная плоскость С . S|>ec К [Т} •
это множество всех неприводимых многочленов над IR со стар-
шим коэффициентом единица плюс еще нулевой идеал. Каждый
такой многочлен степени
2 имеет два комплексно-
сопряженных корня, соот-
ветствующих двум разным
геометрическим точкам.
Вообще для любого
совершенного поля К.
геометрические точки
14
К ^алгебры К t"T] со значениями б алгебраическом замыка-
нии К - это просто элементы К , а их центры - зто неприво-
димые многочлены над К , то есть наборы, состоящие иа всех
элементов К , сопряженных над К одному из них.
2.6.	Замечание. Рассматривая Spec А , мн можем забыть
при желании о том, что А - Kf-алгебра, любой идеал кольца
А выдерживает умножение на элемента из К . Когда же мы
интересуемся геометрическими точками (или, более обво, любыми
L -точками), указание К существенно, ибо приходится рас-
сматривать К -гомоморфизмы А ~>1_. • Любые гомоморфизмы
являются, очевидно, Z -гомоморфизмами, так что этот "абсо-
лютный случай" можно рассматривать как специализацию "относи-
тельного" (над К ).
Для систем уравнений переход к абсолютному случаю озна-
чает, что мы забываем о различии между "неизвестными" и "коэф-
фициентами" и можем придавать переменные значения и тем и
другим.
15
3.	Геометрический язык (продолжение). Функции на спек-
трах и топология
пусть X - система уравнений над К от неизвестных "Т.
Каждое решение X - элемент из X(L) - определяет "значения"
“]: -t- € I .	• Таким образом, “Г естественно рассматривать
как функцию иа X (L) со значениями в L .Эта функция, ко-
нечно, зависит линь от класса по модулю идеала, порожден-
ного левыми частями уравнений (см. п. 1). Этот класс является
элементом К -алгебры Д , связанной с системой X ; вооб-
ще все элементы Д являются функциями на XfJL') (A,L)'
для всякого (у: A -*Ъ. * А "значение £ в "}по
определению,равно <р(£) • (Классическое обозначение функций
.не очень хорошо приспособлено к передаче фундаментальной двой-
ственности "пространство - функции на пространстве").
В применении к	это приводит к рассмотрению
любого элемента ^бА как функции на SpecА . Пусть
х 6 А и пусть рх с А - соответствующий идеал.
Тогда	vhocI по определению; мы считаем, что
^(х) принадлежит полю частных А(х) кольца А/р^ • В
дальнейыем, говоря о функциях на Spec А > мы обычно подра-
-умеваем элементы из Д .
Таким образом, всякой точке
-х С Spec А приписано свое
поле 4i(x") • и этим полям
принадлежат значения функций
на	ресД . я попытался нари-
совать график первых четырех
целых чисел, рассматриваемых
как функции на £ pee "Z- • Он
не очень убедителен; нужно до-
бавить, что по разным причи-
нам прямую над полем 2.	- вертикальную ось над точкой
(р) - следовало бы рисовать "свернутой в кольцо", то есть в
виде вершин правильного р -угольника, что нисколько не об-
легчило бы задачу художника.
16
Разным элементам кольца А могут соответствовать одина-
ковые функции на спектре; их разность тогда представляет ну-
левую функцию, то есть принадлежит П . Все нильпотенты
-к е 2(s«c А
заведомо содержатся в этом пересечении; докажем обратное.
3.1.	Теорема. Функция, обращающаяся в нуль во всех точ-
ках спеюра, представляется нильпотентным элементом кольца.
Иначе говоря, Пр - нильрадикал, то есть идеал всех ниль-
f еА'	'
потентных ем з.
потентных элементов.
Доказательство. Достаточно установить, что для каждого
не нильпотентного элемента существует простой идеал, который
его не содержит. *
Пусть к 6 А и к +0 при любом натуральном п- • Пусть
М - множество всех идеалов кольца А , не содержащих к**-
при Vm ; И непусто: в нем еоть нулевой идеал. Индуктивность
М доказывается так же, как в теореме 2.3. Пусть р - макси-
мальный элемент М . Докажем, что он прост.
Пусть	и	• Докажем, что Р
В самом деле, р+Ср и р+(<р = р . Так как р мак-
симален в М , при некоторых т. в ц имеем f>+({!) э‘k,"'
и p+(jp к*4 . Тогда	+	р+(4з)» ко к + | р .
Поэтому и $ р . Тем самым, р -простой идеал, и тео-
рема доказана.
Этот результат может создать впечатление, что нильпотен-
там нет места в геометрической картине. Это неверно: нильпо-
тенты доставляют адэкватный способ описания дифференциально-
геометрических ситуаций типа "касание", "кратность пересече-
ния", "бесконечно малая деформация", "слой отображения" в
точках, где нарушается регулярность.
3.2.	Пример. (Кратные точки пересечения). Рассмотрим в
"Ч	г	аффинной плоскости над jR.
параболу	и пря-
мую О , ttjR
параметр. Их пересечение
задается системой уравне-
ний
Т
а--1523
T<-V=0
которой соответствует кольцо
(см. И.1). Легкое вычисление показывает, что
(	, t>0
At- <	*=o
[ C , t<o .
Геометрически» JR -точки кольца At : при trO
их две, при t»0- одна, при t<0 их нет. Геометрические
С -точку: их всегда две, кроме случаи t* 0 : "касание".
Желай сохранить утверждение, что С -точек пересечения всег-
да дво, если приписать им надлежацие кратности, мм должен
считать, что при t* 0 точка пересечения имеет кратность 2.
(Отметим, что	независимо от t . Равенство
''числу”точек пересечения неслучайно; мн сможем до-
казать теорему об этом, когда введем проективное пространство,
что позволит учитывать и точки, ускользнувши на бесконеч-
ность). Совладение точек пересечения, соответствумцее каса-
нию, приводит к возникновение нильпотентов в кольцо Д .
О
3.3.	Пример. ("Одноточечные спектры"). Пусть Spec А
состоит иэ одной точки, отвечаемой идеалу р СА . Тогда Д/р“
поле, а р состоит из нильпотентов. Если кольцо А к то-
му же иеторовр, стандартное рассуждение показывает, что р -
нильпотентный идеал. Действительно, пусть |*4	его
Образумим м пусть	(СН,-  > «)	. Тогда для любых
а..^А	•,	л ji. тп. имеем
(г‘.	-о.
потому что в каждом одночлене произведения по крайней иере
один из элементов £. входит в степени . Следовательно,
18
р ** с 0 . Факторы рода А? р=» р1-3 •  •=» р*'п- (О) является
конечномерными линейными пространствами над полем А/р .
Поэтому А как модуль над собой имеет конечную длину (см.
Ленг. Алгебра, глава U, § 4).
В вопросах теории пересечений длина локального кольца А
играет роль кратности единственной точки Spec А , как мы
видели в предыдущем примере. Кратность точки равна единиц»,
если и только если ко; цо А является полем.
3.4.	Пример. (Дифференциальные окрестности). Пусть
xe.£f>e.tA - некоторая точка,	- соответствующий иде-
ал. Мы определили значение А в точке -х - это элемент
кольца А/рх (или его поля частных). В дифференциальной гео-
метрии часто рассматривают " гл -ю дифференциальную окрест-
ность точки х ”, то есть учитывают, кроме значений функций,
значения ее производных до м -й включительно. Это равносиль-
но рассмотрению ее разложения Тэйлора, в котором "бесконечно
малыми" порядка выие т. пренебрегают.
Алгебраически это означает, что мн рассматриваем класс
- j »♦’+<
f том рх . Элементы из являются бесконечно малыми
"не ниже первого порядка"; в кольце А/ртт'1 они как раз
превращаются в нильпотенты.
(Позже будет ясно, что Spec А/рГ^ естественно счи-
тать дифференциальной окрестностью точки х ликь когда иде-
ал максимален; в общем случае интуитивная интерпретация
сложнее).
3.5.	Пример. Редукция по модулю ра ). Рассматривая дио-
фантовы уравнения, то есть фактор-кольца колец 2 ГТЧ>..
часто пользуются редукцией по модулю степеней простого числа
(ср. п. 1.5). Это немедленно приводит к нильпотентам; мн ви-
дим, что с алгебраической точки зрения этот процесс ничем не
отличается от рассмотрении дифференциальных окрестностей в
предыдущем примерез
(Сравнение 3 = 7 weal 5" означает, что "функции 3
и 7 в точке (S’) совпадают до второй производной включитель*
но". Этот язык не кажется особенно экстравагантным в теории
1©
чисел после введения |° -адических чисел Гензелем).
Превратим теперь Spec А в топологическое пространство. Мини-
мальное естественное условие согласованности топологии с име-
ющимся набором функций состоит в том, чтобы множество нулей
любой функции было замкнутым.
3.6.	Определение - лемма. Для любого семейства элементов
Е с А обозначим через V (Е.) с S рес А множество всех
точек хе Spec А , для которых 0 при всех
Множества V(Е.) составляют систему всех замкнутых
множеств в некоторой топологии S |>е.с А , которая называется
топологией Зариского или спектральной топологией.
Доказательство. Достаточно проверить, что	до-
пустимо относительно конечных объединений и произвольных пе-
ресечений, потому что	SpecA=VfO)
Обозначим Е^ Е^ - Из 1рЕ<,з‘Е.} . Предоставл»
ем читателю проверить, что
V(E1)UV(EX)= V(EA) ,
0V(e5 = V(UE.y , <€l.
Этим все доказано.
Пользуясь теоремой 3.1, мы можем описать множество функ-
ций, обращающихся в нуль на V(E.) . Очевидно, к нему принад-
лежат все элементы идеала (Е) , порожденного Е , а также
все элементы	такие, что £’’'€ (Е) для некоторого?!.
Это и все.
3.7.	Теорема. Пусть ?(Е)&{|еД| 3 п.7,0,	(Е)}
Если -|сх")= 0 для всех X^VCE) , то е TfE).
Доказательство. ^(х)=0 для всех x^VfE) означа-
ет, что f € 0 р , то есть, что £ мое! (Б) € А/(Е^
принадлежит пересечению всех простых идеалов кольца A/fE).
Поэтому vv-od (Е) = 0 для некоторого и.} по теореме 4.4,
что доказывает требуемое.
20
Идеал 't(a) называется радикалом идеала а. , а идеа-
лы, совпадающие со своим радикалом, называются радикальными.
Из теоремы 3.1 вытекает
3.8.	Следствие. Отображение о.'*-» V(a) устанавливает
взаимно однозначное соответствие между радикальными идеалами
кольца А и замкнутыми подмножествами его спектра.
4.	Основные свойства топологии Зариского
Пространства Spec А имеют очень неклассическую тополо-
гию: они, как правило, неотделимы. Изучение разных аспектов
неотделимости приводит к выделению топологических понятий, ха-
рактерных для алгебраической геометрии. Начнем с обсуждения
двух типичных явлений.
4.1.	Незамкнутые точки.
Пусть xtSpee А - любая точка; как устроено ее замы-
кание? Имеем
= ftV(E) = V(U Е ) xVfpJ = {гр Spec А | p •
Иначе говоря, пространство изоморфно Spec	, и
только точки, соответствующие максимальным идеалам, замкнуты.
Специфическое отношение между точками: t	иног-
да выражают, говоря, что есть специализация точки * : оно
равносильно включению с. .
Если кольцо А не имеет делителей нуля, то {o^feSpecA-
точка, замыкание которой совпадает со всем спектром.
Таким образом, точки спектра Д лежат как бы на разных
уровнях.
Выше всех находятся замкнутые точки; на следующем уровне-
точки, специализации кото-
рых замкнуты,...^ на v -м
уровне - точки, специализа-
ции которых принадлежат уро-
вням с номерами	•
Вершина этой перевернутой
пирамиды - "общая точка" (°),
если Д не имеет делителей
нуля, или конечное число то-
чек, если Д - любое нетеро-
во кольцо (доказательство
см. в п. 4.9).
22
На чертеже изображены спектр кольца целых |> - адических
чисел и спектр С	• Стрелки указывают отношение
специализации. Рисунок	не нуждается в коментари-
ях, стоит лишь отметить, что Spet Д может быть конечным,
но не дискретным пространством. Второй рисунок основан на сле-
дующем утверждении
Предложение. Пусть К - алгебраически замкнутое поде.
Следующий список исчерпывает простые идеалы кольца К
а.	Максимальные идеалы	; i^tr€K -
-,5ые элементы.
б.	Главные идеалы С₽<ьл» .ш F пробегает все
неприводил э многочлены.
~ в. (б)
Доказательство будет дано ниже.
Наглядные представления, связанные с этой картинкой, мож-
но положить в основу рабочей теории размерности в алгебраичес-
кой геометрии. Это будет сделано позже; пока мы ограничимся
предварительным определением и двумя простыми примерами.
Последовательность точек х.;!Гъ..	топологического
пространства X -называется цепочкой длины -и. с началом х„
и концом , если xi 4 х. и х^4 является специали-
зацией	для всех О ь г t п. .
Высотой точки xfeX называется верхняя грань длин це-
почек с началом х .
Размерностью diwX пространства X называется верх-
няя грань высот его точек.
Пример. В пространстве X-SpecKCq, .,,тЛ	( К -
попе) имеется цепочка длины м, , соответствующая цепочке прос-
тых идеалов	«	«=- (Тъ . Поэтому diwX^n,
Аналогично,	tJ ъ Н.+ 1 i есть цепочка
(‘'ИР) с (р>Т,) «	с*. •	‘ На сймом деле’ как
увидим позже, в обоих'’случаях имеет место точное равенство. .
Истоки этого определения размерности можно проследить у
Евклида: (замкнутые) точки ограничивают линии, линии ограничи-
вают поверхности и т.д.
23
4.2.	Большие открытые множества.
Для всякого элемента £ € А положим D(()= &ресАху(ф
~	0} • Множества Т>($) называются специальными от-
крытыми множествами: они составляют базис топологии Spec А ,
потому что для любого Е СА
Spec A ^V(E> U Х>«)
Рассмотрим, например, Spec С[Т] . Его замкнутые точ-
ки соответствуют идеалам T-tjt	, и составляют, тем
самым, "комплексную плоскость"; непустые открытые множества
состоят из (о) и всех точек комплексной плоскости, кроме ко-
нечного числа. Замыкание любого открытого множества совпадает
со всем пространством!
Более общо, если А без делителей нуля, {4 0	, то
множество DCf) всюду плотно в Spec А . Действительно,
XI) содержит (0) , так что 15(f) = (0) ~ Spec А . Тем
самым, все непустые открытые множества спектра кольца без дели-
телей нуля всюду плотны. Анализируя этот тип неотделимости,мы
выделим важный класс топологических пространств.
4.3.	Определение - лемма. Топологическое пространствоX
называет еприводимым, если выполнено одно из следующих эк-
вивалентных условий:
а . Любое непустое открытое множество в X всюду плотно.
б . Любые два непустые открытые множества в X имеют не-
пустое пересечение.
в . Если X = X О X , где X, X - замкнуты, то либо
Х, = Х » либо Хд= Х’. *
Доказательство эквивалентности; а) и б), очевидно, экви-
валентны. Если в) неверно, то есть представление X = X,VX2,
где X, X - собственные замкнутые подмножества X ; тогда
X х Х2 = Х,ч(Х1пХ1)- неплотное открытое множество, так
что а) не выполняется. Наоборот, если а) не выполняется и
Ц « X неплотное открытое множество, то
х = й и (Х'Ц).
Заметим, что хаусдорфово пространство, имеющее больше о^-
24
ной точки, не может быть неприводимым. Пусть теперь А - лю-
бое кольцо, N - его нильрадикал. Следующая теорема устанавли-
вает, когда Spec А неприводим.
4.4.	Теорема. Spec А неприводим, если и только если
Л/ - простой идеал.
Доказательство. Пусть А/ - прост, х - соответствующая
ънд точка в Spec А . Так как /V содержится в любом простом
'деале, Spec А гомеоморфен Spec А/Д/ , a A//V не
имеет делителей нуля.
Наоборот, пусть N не прост. Достаточно проверить, что
Sp.c J ар приводим, то есть можно ограничиться случаем, ког-
,а А не содержит нильпотентов, но содержит делители нуля.
Пусть А, ^=0 ,
Очевидно, Spec А - V({) V V(g)= VC|$) • Стало быть, £
и обращаются в нуль на замкнутых подмножествах всего спек-
тра, вместе покрывающих пространство (это - естественный спо-
соб появления делителей нуля в кольцах функций).
Нужно лишь убедиться, что	#Spec А , но
не нильпотенты.
4.5.	Следствие. Пусть й. с А - некоторый идеал; замкну-
тое множество У(<У) неприводимо, если и только если
прост.
Мы получаем, следовательно, взаимно однозначное соответ-
ствие: точки спектра А 4=> - неприводимые замкнутые подмно-
жества спектра А • Каждой точке xtSpec А соответству-
ет замкнутое множество {х} ; х называется общей точкой это-
го замкнутого множества; у каждого неприводимого замкнутого
подмножества есть единственная общая точке.
Разложение на неприводимые компоненты.
4.6.	Теорема. Пусть А - нетерово кольцо. Тогда прост-
ранство Spec А однозначно представляется в виде конечного
объединения U X। , где У. - максимальные замкнутые непри-
водимые подмножества; они называются неприводимыми компонента-
ми Spec А.
очевидно, ибо <
з о
25
В доказательстве используется лишь геоиетг>ичес;г* след-
ствие обрыва возрастающих цепочек идеалов в кольце А : каж-
дая убывающая цепочка замкнутых подмножеств в Sf>et А стаби-
лизируется. Так как нам встретятся пространства с таким свой-
ством, Не гомеоморфные спектрам, введем
Определение. Топологическое пространство X называется
нете^оьым, если любая убывающая цепочка замкнутых множеств
в нем стабилизуется.
4.7	Теорема. Пусть X - нетерово топологическое прост-
ранство. Тргд§ X является конечным объединением своих мак-
симальных замкнутых неприводимых подмножеств; они называются
неприводимыми компонентами пространства X •
Доказательство. Рассмотрим множество неприводимых замк-
нутых подмножеств в X , упорядоченное по включению. Покажем,
что оно индуктивно: если (Х,)~ линейно упорядоченное семей-
ство неприводимых замкнутых подмножеств в X , то в качестве
верхней грани для него можно взять ( ЦХ ) • Неприводимость его
вытекает, например, из того, что если Ц., ULZ с U Х^ - не-
пустые открытые множества, то для некоторого л Ц, n X
и U. Л X , непусты, а потому непусто пересечение LC п <Л »
*	2.
так как X* неприводимы.
Отсюда следует, что X является объединением всех своих
максимальных замкнутых неприводимых подмножеств: Х^^Х^.
Йо сих пор мы не пользовались нетеровсстью.
Пусть теперь пространство X нетерово и пусть Х-Х иХ,
где ХЪХД замкнуты. Если или Хд приводимы, мы можем
снова представить их в виде объединения дв./'г замкнутых мно-
жеств и т.д.; этот процесс закончится - иначе мы получили бы
бесконечную убывающую цепочку замкнутых множеств ("принцип Не-
веровой индукции"). В получив змея килечном объединении оста-
вим лишь максимальные элементы: X«UX- . Это разложение
1
совпадает с предыдущим: если У - любое (^бсолютно) максималь-
ное замкнутое подмножество в X , то У= Ц X ^7=0 (/• лУ)
откуда Х^7=У для какого-то v ;=?> У=Х. •
26
Если J'<=• 1	- некоторое собственное подмножество индексов,
то UX уже не совпадает с X : пусть X. - выброшенная
Ul' v '	,	>
компонента, то есть ; если бы X с U X , то
Хг и (х.пХЛ И в силу неприводимости X мы имели бы
a itv 1	t • i
Х пХ =Х- ддя какого-то itl : противоречие.
4.8.	Следствие. Пусть А - нетррово кольцо; тогда число
минимальных простых идеалов-в А конечно.
Действительно, минимальные простые идеалы в Sp-ecA да-
ют общие точки максимальных замкнутых подмножеств, то есть не-
приводимых компонент Spec А.
4.9.	Следствие. Пусть А - ветер ово кольцо. Если вс?
точки Sp-ecA замкнуты, то пространство Spec А конечно
и дискретно. Кольца с этим условием называются артиновыми. Спе-
ктры артиновых колец наиболее близки к конечным множествам
обычной топологии. Как отмечено в п. 3.3 и ниже в и. 4.13,каж-
дая точка такого спектра дополнительно снабжена кратностью.
Следующая теорема дает полезную геометрическую интерпре-
тп , - делителей нуля в кольце; она будет уточнена в п. 7.14.
4.10.	Теорема. Элемент £ 6 А » обращающийся как функ-
ция в нуль на одной из неприводимых компонент Spec А явля-
ется делителем нуля а. А .
Наоборот, если	Л/ является делителем нуля
в Д/д/ • где Л/ - нильрадикал кольца А , то / обращает-
ся в нуль на одной из неприводимых компонент Spec А 
Замечание. Из второго утверждения теоремы нельзя исклю-
чить упоминание о нильпотентах: если является делителем
нуля лишь в А , а не в А/д/ , то % может не обращать-
ся в нуль на неприводимой компоненте. Вот пример: пусть
А= В>® Л. как группа, где В> - подкольцо без делителей
нуля, tt с А - идеал с нулевым умножением. Пусть сь как
модуль изоморфен В/р • гДе Р сВ ~ ненулевой простой
идеал. Тогда элементы из р являются делителями нуля в А -
они аннулируются умножением на й_ . С другой стороны, очевид-
но, Spec А = £р«сВ> неприводим, и ненулевые элементы из р
не могут обращаться в нуль на всем Spec А
Доказательство теоремы. Пусть £рхсД = Х^У ,где X -
неприводимая компонента, на которой обращается в нуль|€А ,
У - объединение остальных неприводимых компонент. Так как
У замкнуто и Х4У , существует такой элемент $ еД ,
который обращается в нуль на У , но не равен тождественно
нулю при ограничении на X . Тогда обращается в нуль во
всех точках Spec А
п . Следовательнр, | (f " «ср) О
вает, что
, так что (|^)п = 0 для некоторого
. Это еще не доказы-
является делителем нуля, ведь возможно, что
, но тогда мы снова можем отщепить и продол-
пор, пока не получим
кончится, ибо д’14 О - иначе $ обращался бы
делитель нуля в A//V-
Г’У=о
жать до тех
Этим всегда
в нуль и на
Пусть теперь | rH&d-N
Тогда Spec А = Spec A/а/ = V(|)vV(^). Разлагая v ff)
на неприводимые компоненты, мы получим, что по крайней мере
одна из неприводимых компонент V(|) является таковой и для
Spec А . Иначе все неприводимые компоненты Spec А содер-
жались бы в , а это противоречит тому, что А О , то
есть g А/ . Значит, обращается в нуль на одной из неприво-
димых компонент Spec Д , что и доказывает теорему.
Пример. Пусть Д - кольцо с однозначным разложением,
| С Д .Пространство SpecA/(|) V(P непри-
водимо тогда “ только тогда, когда 4 =	, где р - неразло-
жимый элемеЙт^Это непосредственно следует из теоремы 4.4. В
частности, пусть А=К[Т15 ,т„].К -поле. V(р соот-
ветствует гиперповерхности (в аффинном пространстве), которая
задана одним уравнением | = 0 .Мы подучаем естественный
критерий неприводимости такой гиперповерхности»
Пример, Пусть |^ - поле, гЦлл
- >~7*J~
квадратичная форма. Уравнение | = 0 определяет приво-
димое множество, если и только если ранг | -2 . Действитель-
но, приводимость равносильна тому, что £ =	, где I*-
28
непропорциональные линейные формы.
Связность.
Общетопологическое определение овяанооти вполне годится
для наших нужд (Бурбаки. Общая топология, гл» I, § II).
4.И. Определение. Пространство X называется связным,
если его нельзя представить в виде объединения двух непересе-
кающихся непустых замкнутых подмножеств.
Неприводимое пространство, очевидно, связно.
Всякое пространство X однозначно разлагается в объеди-
нение своих максимальных связных подпространств, которые попар-
но не пересекаются (Бурбаки, loc.cl't ) и называются связны-
ми компонентами.
Каждая неприводимая компонента пространства целиком при-
надлежит одной его связной компоненте. Из теоремы 4.7 следует,
в частности, что у нетерова пространства число связных компо-
нент конечно.
Пространство Spec А может не быть связньм. В обычной
топологической ситуации кольцо непрерывных функций на несвяз-
ном объединении U Хг естественно распадается в прямое про-
изведение колец функций на Х< и X в отдельности.
То же самое происходит со спектрами.
Опишем сначала разложение Spec А , отвечающее разложению
кольца А .
Л Пусть А, . ГДП- некоторые кольца, их произведение
ПА;= А снабжено структурой кольца с покоординатным сложе-
нием и умножением. Множество элементов А , у которых все ко-
ординаты, кроме I -й, нулевые, образуют идеал ее. кольца А ,
причем о. а = 0 при t + i . Положим Ч> = 7? cl	X =
1 J	о	L . к , о
=	< Spec А . Тогда имеем:
t- <	7
Х.лХ^ V((6cUCp) =V(A)=/ при tf-j.
Стало быть, Spec ТТА- разлагается в несвязное объединение
1М
29
замкнутых подмножеств	SpecA/g. z^S^ecA^.
(Для бесконечных произведений это не так: см. упражнение 7).
Верно и обратное утверждение
4.12.	Предложение.Пусть X = Sp«.cA-U X., _£Де_ )С - зам-
кнутые, попарно непе ;е се кающиеся множества. То да существует
такой изоморфизм А = ТГ А. » что в обозначениях предыдущего
U1	*
пункта
Доказательство, Рассмотрим подробно случай п- = 2_ . Пусть
В силу 3»5 имеем:
Х.пХ,-0«» V(«,+«,)=?'<”	,
где Л/ - идеал нильпотентов. Поэтому существуют такие элемен-
ты	C -v и далее число к у 0 , что
М-<, (МУ-о.
В силу упражнения 2 в п. 3 для некоторых оА имеем
е< + 4=4>	<ч«х=°-
Пээтоцу элемент'	являются ортогональными идемпотента-
ми, которые определяют разложение кольца Д :
Остается показать лишь, что \Z(A-eQ = Х^ • Но V(Ав-). оче-
видно, не пересекаются и в объединении дают всё X » кроме то-
го, Де^с€^ , так что VfAe.^X. откуда следует требуемое.
30
Теперь нетрудно завершать доказательство индукцией поп.;
подробности ын оставляем читателю.
4.13.	Пример. Пусть А - артиново кольцо (определение
см. в п. 4.9). Так как SpeeA является объединением конеч-
ного числа замкнутых точек, кольцо А изоморфно произведению
конечного числа локальных артииовых колец. В частности, лю-
бое артиново кольцо имеет конечную длину (см. пример 3.3).
Квазикомпактно сть .
Обычный термин сопровождается приставкой "квази", пото-
му что определение относится и к нехаусдорфовым пространствам.
4.14.	Определение. Топологическое пространство X назы-
вается квазикомпактным, если из любого открытого покрытия его
можно выбрать конечное подпокрытие.
Следующий простой результат несколько неожидан, потому
что не накладывает никаких условий конечности на кольцо А :
4.15.	Предложение. Пространство Spec А квазикомпактно.
Доказательство. Любое покрытие S^«cA можно измель-
чить до покрытия^адвными открытыми множествами: SpecA=UD(f^
.	lei
Тогда	, так что (• jfi, -)®А . Поэтоиу сущест-
вует разложение единицы
в котором лишь конечное число индексов г &J«I таково, что
О . Стало быть. Spec А = U	’ что Д°кааывает
требуемое.	it?
31
5.	Аффинные схемы
В топологии любому непрерывному отображению пространств
Х-*’У соответствует гомоморфизм колец непрерывных функций,
направленный в обратную сторону. Для нас первичным объектом
являются "функции", то есть кольца; поэтому геометрически важ-
ные отображения пространств - это те, которые получаются из
гомоморфизмов колец.
Пусть у. А-*Е>	- некоторый гомоморфизм колец. Каждо-
му простому идеалу р<=В поставим в соответстже его прооб-
раз	• Идеал	’ прост, потому что у индуциру-
ет вложение А/^'4(р) —*В/р , а так как В/p не имеет де-
лителей нуля, то же верно для
Мы определили отображение ♦. S рес В -» Spec А
5.1.	Теорема. 1. "'ey непрерывно как отображение то-
пологических пространств.
г. VY
Доказательство. Достаточно проверить, что прообраз зам-
кнутого множества замкнут; на самом деле
Действительно,
г	а-
Второе утверждение очевидно. Тем самым, Spec есть (контра-
вариантный) функтор из категории коммутативных колец в кате-
горию топологических пространств»
Топологическое пространство Spec А само по себе явля-
ется довольно грубым инвариантом кольца А : ср. примеры ниже.
Поэтому единым геометрическим объектом естественно считать
пару (Spec А, А) , состоящую из пространства Spec. А и эле-
ментов кольца А * более или менее точно сопоставляемых с
32
функциями на 5рлс А
5.2.	Определение (предварительная форма), а..Аффинной^схе-
мой называется тройка (Х,^А) < состоящая из топологическо-
го пространства X » кольца Д инизоморфизма пространств
at X	А •
б.	Морфизмом аффинных схем (У,f>jB) —* (Х,<,А) на-
зываетсяпара ,6) , состоящая ид гомоморфизма колец 6-A-^f
и непрерывного отображения пространств %; У -* X такая, что
диаграмма отображений
У A Spec В
U Г0
X -A С pet А
Kowowjjjga»
Композиции морфизмоц определяется очевидным образом.
(Конечно, это очень важное определение: оттого-то оно
такое чопорное).
Каждому кольцу А отвечает аффинная схема (Spec A, id t А)
(id _ тождественное отображение), которую мы для краткости
будем чаще воего обозначать просто Spec А „ Любая аффинная
схема изоморфна такой. Аффинные схемы образуют категорию„Двой-
ственная к ней категория эквивалентна категории колец.
Определение, которое мы дали, не является окончательным,
потому что оно плохо приспособлено к глобализации - склеива-
нию общих схем из аффинных. Впоследствии оно будет изменено:
дополнительные элементом структуры, превращающим пространство
Spec А в схему Spec А , будет не кольцо А , а пучок. Но
эти кольцо и пучок однозначно восстанавливаются друг по другу,
и пока мы не выходим за пределы категории аффинных схем, ныне-
шнего определения хватит для всех нужд.
Для того, чтобы оценить различие между множеством
Нот (А,Е>) (единственно важным для нас) и множеством всех не-
прерывных отображений Spec В -» Spec А , рассмотрим несколь-
ко простых примеров.
33
3JE23
Пример. A3B-Z . ^ес2? состоит из замкнутых то-
чек (р), р пробегает все простые числа, и (о) . Замыканием
(0) является все пространство; остальные замкнутые множест-
ва состоят из конечного числа замкнутых точек. Топологическое
пространство Sf>uZ- имеет гного автоморфизмов: можно как
угодно переставлять замкнутые точки. Между тем, How, (Z,Z)
содержит лишь тождественное отображение.
Пример. В =2 , А=КГТ] , К " конечное поле» Очевид-
но, Spec А и Spec В изоморфны как топологические простра&
ства, тогда как множество Ног* (А,В) пусто.
Эти примеры наводят на мысль, что морфизмов аффинных
схем гораздо меньше, чем непрерывных отображений их спектров.
Возможен. , одна ко, и обратный эффект.
Пример. Пусть К - поле. Spec К состоит' из одной точки,
так что все автоморфизмы пространства Sf=ec К тождественны;
между тем автоморфизмы схемы Spec К соответствует автомор-
физмам поля К , и потому могут образовывать даже бесконечную
группу.
Тем самым, одноточечные схемы могут иметь "внутренние
степени свободы" подобно элементарным частицам. Присутствие
нильпотентов еще увеличивает число этих степеней свободы.
Пример ("причесывание нильпотентов"). Пусть А - некото-
рое кольцо, В = А[Т]/(тх) } ±="Tmotl (Т1) . Естест-
венный гомоморфизм €:В"»А (где 6(a.-t#t)=cu ), инду-
цирует изоморфизм топологических пространств "-в*. £ресД-*%сВ
но, конечно, не схем. Схема (SpecB, cd, Р>) "богаче" схемы ’
(S^ecA^iJ, А) нильпотентами i А . Чтобы уяснить, как
это проявляется, рассмотрим всевозможные "проекции" “’jr: SpecB-»
->SpaA?TO есть морфизмы схем, отве-
чающие гомоморфизмам колец А -* В>
с условием	. Тогда
€ At.
Для каждого такого X опреде-
лим отображение : А -* А фор-
мулой
х
На. А

34
Из того, что X - гомоморфизм колец, вытекает, что ? Q)
удовлетворяет условиям


потому что	t4*o . Ста-
ло быть, *4) является дифференцированием вольна А .
Легко убедиться, что и. наоборот, для любого дифферент-
рования 2: А-»А отображение я: Дл>£» , определенное форму-
лой зс({)«	, является гомоморфизмом колец и оп-
ределяет проекцию °-;ц .
В дифференциальной геометрии дифференцирование кольца
функций интерпретируется как "векторное поле" на многообразии.
Удобно представлять себе, что схема Spec В , по сравнению со
схемой Spec Д , снабжена полем векторов, "торчащих вовне".
Морфизм "приглаживает" их, превращая в векторное поле
на S ре.с А
В частности, если К - поле, схема Spec К есть точка,
а схема Spec КГ*г1/(Т*)	- "вектор" (или "направление"),
исходящий из этой точки.
Мы и в дальнейшем будем иногда изображать на чертежах
нильпотенты стрелками, хотя очевидно, что даже для схем
Spec КП)/(Т") , или Spec К[Т,Тг]/(тДт,ТгтЧ
или, наконец, Spec^/(p*) , р - простое, такие картийиг
имеют лишь очень ограниченную информативность.
Пример (нежесткость аффинных пространств). Пусть К -
для простоты поле, V - линейное пространство над ним,A=SK(V)
Рассмотрим группу С- автоморфизмов К -схемы Sp«.c А .Эта
группа инверсна грутвте К -автоморфизмов кольца многочленов
К Ст,,. ,,Т„] , где и - ДомV • В ней содержится подгруп-
па невырожденных нес дно рг,: -к линейных преобразований;
> чА«к,
1st 4 V	“
35
то есть обычная аффинная группа G-c •
Более того, легко видеть, что при п»! разе Go*G •
Это далеко не так при и.о В самой деле, з этом случае лю-
бая "треугольная" подстановка вида

Т, Т. + R (т т. 'j
где Fc е К Ст,,	КСТО . . . ,Т„]	, очевидно,
принадлежит G • Тем самым, группа автоморфизмов схемы аффинно-
го пространства размерности содержит нелинейные подста-
новки сколь угодно большой степени.
Их существование «пользуется для доказательства так называемой
леммы Нетера о нормализации*
Отметим еще, что при п.-2 группа G порождается ли-
нейными и треугольными подстановками (Энгель;
И.Р.Шафаревич)
При п^З неизвестно, так ли это.
Пример (линейные проекции). Пусть V^V*- два линейные
пространства над полем К , Х =£|,ес5	• Морфизм ХЛ^Х1?
индуцированный вложением SK(y,) с S (Vx) • называется про-
екцией схемы X на Х5 : на множествах К -точек он индуциру-
ет естественное^отображеиие Хх(К) =)£*-*V'* = Х,(к) (ср.
2.1), при котором линейный функционал ограничивается с V
на V, .	Д
36
6. Топологические свойства некоторых морфизмов
В этом параграфе мн исследуем самые элементарные свойст-
ва морфизмов . Spec В —*Spec А « дающие частичный ответ
на вопрос, какова структура топологического пространства
(5 pet &)•
Любой гомоморфизм у:А-гВ разлагается в произведение
сюръективного гомоморфизма колец А -* А/Кег у и влояенид
А/Кех у —> В> • Выясним свойства в этих двух случаях.
Первый из них совсем прост.
6.1. Предложение. Пусть у:А ->’В - эпиморфизм колец.
Тогда отображение является гомеоморфизмом пространства
на замкнутое подпространство V( Кетер) с бресД .
Это прямо следует из определений, и мы оставляем провер-
ку читателю (обратить внимание на доказательство непрерывнос-
ти обратного отображения
В частности, пусть А - кольцо конечного типа над неко-
торым полем К или кольцом целых чисел Z . По определению,
это означает, что А есть фактор кольца многочленов К[Т,,...
• •  ,”^3 или 2 СТ,, ,,Т]. спектр кольца многочленов игра-
ет роль аффинного пространства (над К или над % соответ-
ственно; ср. пример в п. 2.ф. Значит, спектры колец конечного
типа соответствуют вф^инш многообразиям ("арифметическим
аффинным многообразиям", если над ): они вкладываются в
конечномерные аффинные пространства.
Итак, сюръективные гомоморфизмы колец превращаются во
вложения пространств. Однако вложения колец не обязательно
индуцируют отображения спектров на: только замыкание Afc(^ferR)
совпадает со Spec А . Это следует из несколько более обще-
го факта.
6а2. Предложение. Для любого гомоморфизма колец
и_г;1	1^-В имеем:
Uy(V(4)) = У(у~Чв)).
3?
(В частности, при Кгтс^= 4с} получаем *^(У(о)) =|/|Й
то есть образ Spec В плотен в «SpecА )•
Доказательство. Можно считать, что & - радикальный иде-
ал, потому что V(t(€))=VW и
Множество (V(<0) является пересечением всех замкнутых
множеств, содержащих°у\/(О , то есть множеством общих нулей
всех функций А , обращающихся в нуль на e‘^(V(€)) ..Но
обращение i в нуль на ( \/(€)j равносильно обращению
в нуль на V(€) « есть включению	(пото-
му что £ радикален) или, наконец, включению |б(^'1(€)
Поэтому интересующее нас замыкание равно
Теперь мы приведем.примеры вложений колец, в которые
действительно (Spec В) не совпадает со Spec А.
Пример (проекция гиперболы на координатную ось):
Г
уст;7а
где К - поле. Здесь °"С(’(Spec6)-D(T,)?
в соответствии с картинкой.
Действительно, переводит общую
точку в общую. Простой идеал (^(Т{))сД,
где ^сТ, - неприводимый многочлен, является прообразом
простого идеала	(TjT^-1)) с£> • Наконец, Т, вмес-
те с T,T-f порождают единичный идеал вКГТ.Т)по>. зму
. 1 X	.	>
В этом примере образ й(р($рсе,В) открыт; но он мо-
жет быть не открыт ж и незамкнутым:
Пример. А = КГМ,Л/] В = К (М, WД]/(нТ-Л).
/^{уу /// / ^итателю пРедлагается провери в, что
\\ \\\ \ *4 и что 310 множество действительно не яв-
/ / /1/ / / // / ляется открытым (незамкнутость его оче-
видна).
Этот пример иллюстрирует явление, давно замеченное в теории
уравнений. Образ л с (Spec В) ~ это "множество тех значений"
38
коэффициентов , при которых уравнение М"Г-А/ 0 тиоси-
тельно неизвестной Т разрешимо (в какой-нибудь К -алгебре).
Вообще говоря, усл огнем разрешимости является неравенстве
(Ч 4 0 «но даже при М-0 разрешимость обеспечена, если
также f^ — 0.
Можно доказать, что если кольцо А нетерово, а А -алгеб-
ра В имеет конечное число образующих, то множество С^ре<В)
является объединением конечного числа локально аамннутых
множеств (пересечений замкнутого и открытого тожеств).
Такие множества называются конструктивными; образ  конст-
руктивного множества относительно в описанных условиях
всегда конструктивен (теорема Шевалле).
В терминах неопределенных коэффициентов (конечной) систе-
мы уравненийОзначает, что условие ее совместности имеет сле-
дующий вид: коэффициенты должны удовлетворять одному из конеч-
ного числа утверждений, а каждое утверждение представляет
собой набор конечного числа полиномиальных равенств и нера-
венств (нулю).
Для МТ-/\| =0 утверждение I: М 40 ; утвержде-
ние 2: М = ДА0 .
В разобранных случаях что-то "уходило на бесконечность".
Мы опишем сейчас важный класс морфизмов , для кото-
рых этого не происходит. Они подобны "конечнолистным накрыти-
ям" римановых поверхностей.
6.3.	Определение. Пусть В - некоторая А -алгебра; эле-
мент называется целым над Д , если он удовлетворяет
некоторому уравнению вида	-О ("уравне-
ние цеддй. зависимости"), где	t Д.
Кольцо В называется-полым над А , если любой эле-
мент В цел над А .
Есть два важных случая, когда целость В над Д легко
установить.
Случай 1. Если В как А -модуль имеет конечное число
образующих, то В цело над Д .
Действительно, если кольцо А нетерово , то для лэбого
элемента $ € В возрастающая последовательность А - модулей
В - у~ a„l стабилизируется. Поэтому для некоторого <
39
w-i
имеем	v , что и доставляет уравнение целой за-
висимости. u=e
Общий случай сводится к разобранному с помощью следующего
приема. Пусть B=2Z А£- • Положим SJ.	с
14	1 v км М т* >
а* € Д и g.= 2Z Jcft >	€ А • °°0значим че“
рез АвсД наименьшее подкольцо, содержащее все Л* и •
и положим Во=. Очевидно, А- нетерово кольцо, -
Ас-алгебра и 9еД>- Поэтому g удовлетворяет уравнению це-
лой зависимости с коэффициентами в А,.
Случай 2о Пусть Ст - некою ая конечная группа автомор-
физмов кольца В , А*В> - подкольцо G* -инвариантных эле-
ментов. Тогда В цело над А •
Действительно, все элементарные,симметрические многочле-
ны от j5 , ьсй для любого gfcB принадлежат А < а
g удовлетворяет уравнению IT (.J-£Сд7) =0.
St (у
6.4.	Теорема. Пусть f: А <-*£> - вло! ение колец и £
цело над А • ToragL. (SpecB) = Spec A .
Доказательство. Мы сначала докажем два частных случая те-
оремы, а затем сведем к ним общее утверждение.
Случай 1о Теорема верйа, если В - поле.
Тогда <L(fCSf>*cb) = с^есД . и зпиморфность
равносильна тому, что у Д нет других простых идеалов, то
есть что Д - поле. Проверим это. Пусть f fcA , f + Oj
покажем, что элемент f “ 6 В) принадлежит Д . Он цел надД
то есть удовлетворяет уравнению	J
{ +2Га1{"1=0) а;еА
i-0	1
откуда, умножая на { находим
1'0
40
что доказывает требуемое.
Случай 2. Если А - лркально„е кольцо, то в условиях тео-
ремы единственная замкнутая точка Spec А принадлежит
; болед того, она является -образом любой
замкнутой точки Sf>ecB>.
Действительно, пусть р - максимальный идеал А , q, -
любой максимальный идеал В • Тогда Е>/у - поле, целое над
подкольцом A/Acq. • которое, по доказанному, тоже должно
быть полем. Это означает, что А л - максимальный идеал
в А и, стало быть, Anq. - f "i Cq';® Р 
Общий, случай. Пусть рс А ; мы хотим показать, что су-
ществует идеал <j, с <|пА= р.
Положим 3 * А р . Это - мультипликативное множество
(Ленг. Алгебра, глава П, § 3), потому что оно состоит из функ-
ций, не обращающихся в нуль в точке j р} е S/>ec А .
Рассматривая £ как подмножество А и "В, мы можем по-
строить кольца частных А с В (у Ленга они обозначаются
и т.д.)	. Положим Рч=А^А|	^егк0 ви"
деть, что РзсА^- простой идеал. Он максимален, так как
A<J 4 состоит из обратимых элементов з/1.
Кольцо пело наД fA^ , потому что если {еВ> Удов-
летворяет уравнению {”+27 oL|L=0 , то {
*-=о	n-i
удовлетворяет уравнению (£/<,)* +2Г a t /s ($ А)1 = О 
Следовательно, по предыдущему утверждению, существует
такой простой дидеал q сВ^ , что А^ л q.s =	-
ПрообразСр^''’ в£, (относительно естественного гомомор-
физма	) прост. Остается проверить, что Anq,=p.
Включение - л « - _—------------
Пусть
что
’ р< Anq очевидно.
£ 6 А л q • Существуют и. е 2? и такие,
€	• поэтому	=rpg , так что
для некоторого т^О . Следовательно, ftp •
Доказательство закончено.
В этом доказательстве кольцо частных появилось как
технический трюк, позволяющий "изолировать" простой идеал
41
р f- п , сделав его единственным максимальным идеалом в
Д <4	. Именно с такими геометрическими представлениями
связан .ермин "локализация" в применений к конструкции колец
частное.
Дальше нам будет полезно следующее дополнение к теореме
6.4. Обозначим через Spm А множество максимальных идеалов
в кольце Д ("максимальный спектр").
6.5.	Предложение. В условиях теоремы 6.4, ИИ
 С?)” (Sp™А)г£р*В.
Доказательство. Пусть ptSp™ о ; тогда В/p поле,
целое над Д/Дор® A/if’Vp) • в СИЛУ случая I теоремы 6.4,
Д/тоже поле, так что	максимален в А .
Для доказательства второго утверждения рассмотрим прос-
той идеал *= В> такой, что р=Ал<^ с А максимален.
Кольцо без делителей нуля В/^, пело над полем А/р
но проверить, что оно i
элемент
конечномерной /А/p ~ алгебре, порожденной степенями .
Умножение на в зтой алгебре линейно и не имеет ядра, поэ-
тому является эпиморфизмом. В частности, разрешимо уравнение
= 1	, что доказывает требуемое.
6.6.	Предупреждение. Пусть Ь: А -*£> - гомоморфизм ко-
и пусть хе$р>иВ , уелрп’ А . Вообще говоря, точ-
’^(jc) незамкнута, а	содержит и незамкну-
> ; нуж-
является полем. В самом деле, 'любой
| бВ/^, , будучи целым над Л/р , принадлежит
лец
ка
тые точки, так что предложение 6.5 описывает довольно специ-
альную ситуацию. Вот пример:
ly.	~ естественное вложение, - кольцо
целых р -адических чисел. Пусть (1-рТ)- максимальный
идеал в СТ] (его фактор-кольцо изоморфно полю Q р-
адических чисел). Очевидно, ^\рх) = 2 п С<- рТ) = Р(О) •
Поэтому	. Более того, замкнутая точка х
имеет своим образом общую точку в	, которая является
открытым множеством, будучи дополнением к (р) !
В частности, А не является функтором от А , в
отличие от Sjssx А .
42
:' ать теперь	2рГт1 ,х-<Р?с^р «Тогда
Ч е (R{f)'l(x) ; точка -х замкнута, a jj - нет. Впрочем, здесь
нет ничего 'неожиданного. Еще очевиднее она бы пример проекции
плоскости на прямую KtT-t 1	Прообраз точки
Т »О на прямой содержит, конечно, общую точку -оси, не-
замкнутую в плоскости.
43
7. Замкнутые подсхемы и приварное разложение
7.1.	Определение. Пусть X-Spec А - аффинная схема,
о, А - некоторый идеал. Замкнутой подсхемой X , соответст-
вующей идеалу а. , называется схема (\/(«и) , ос , /\/А) , где
и.:	^ySbccA/д. - канонический изоморфизм пространств,
определенный в п. 6,1.
Таким образом, замкнутые подсхемы схемы X = Spec А на-
ходятся во взаимно однозначном соответствии со всевозможными
идеалами кольца А , в отличие от замкнутых подмножеств прос-
транства Spec А • которые отвечают радикальным идеалам (см.
3.8).
Мы будем часто обозначать подсхему (\/(с>-)^ A/а) просто
Spec А/сс и опускать слово ’’замкнутый”, потому что в
этой параграфе никакие другие подсхемы не рассматриваются.
Носителем подсхемы У-Spec АДесД называется прост-
ранство V(o.) ; оно обозначается Харр У .
Каноническому гомоморфизму колец А -*А/а_ отвечает мо-
номорфизм схем У —> X , который называется замкнутым вло-
жением подсхемы У
Для любого кольца £. мы будем обозначать через X (L )
множество Ном CSp«L,X) « Ном (A ti_) и называть его
множеством L - точек схемы X (ср. с определением 2.1). Тог-
да L -точки подсхемы У образуют подмножество"/(L) СХ(Ц) а
функтор Z.'^-vVfL) - подфунктор для
На множестве замкнутых подсхем схем., Y имеется естест-
венная упорядоченность: У( , если Д => (где (Li - иде-
ал, определяющий У- )» Использоъзнив знака включения оправда-
но тем, что X X всех колец С .
Отношение "у есть замкнутая подсхема X " транзитивно
очевидном смысле слова.
Для всякого замкнутого меткости	X существу-
ет единственная наименьшая замкнутая	с носителей
V(O • она определен? идеалом ‘t (СЮ) и в ее ко.лг
нет нильпотентов. I.1-:: . схемы назы-. ;.?тс? . .^спныии. Б част-
вост;', подсхема	{ Д/	Д >) являв*
ск чпименьией заысвуто-. подсхемой, носитель которой - л;.е про-
странство S|>«< А . Если Х=^>*‘А , схему £ре«А/л/ часто
обозначают X ,
7.2,	Определение. Пересечением А У семейства под-
схем У, = £р«сА/<и называется подсхема, определенная идеа-
лом X. а* -
'Название оправдано тем, что для любого кольца I— мно-
аество L -точек (ЛУ^) (L-) естественно отождествляется
с 0\(L) • Действительно, I— -точка	принад-
лежит А \(1_) в том и только том случае, когда kety^cv.
для всех^ i. , что равносильно включению K«iy=»zL<V. Это же
рассуждение показывает, что Supp (ЛУ;) = л £и|»р‘Х •
В этом смысле понятие объединения семейства подсхем не
определено. Вообще говоря, для данных у. не существует зам-
кнутой подсхемы у такой, что yfL).‘UV(L) для всех L «
L I
Однако существует наименьшая подсхема У со свойством
Y(L)^Uy(L)
для всех L- . Она определяется идеалом П а. •
В самом деле, если У(1_)	• то идеал а. под-
схемы У удовлетворяет условию? "всякий идеал, содержащий
один из а. , содержит а. ".
Сумма всех таких идеалов а, удовлетворяет атому же ус-
ловию и является единственным максимальным элементом этого
множества; с другой стороны, все они содержатся в и, зна-
чит, в Ла...
* i i
7.3.	Определение. Квазиобъединением V У{ семейства
замкнутых подсхем (,\) схемы X называется подсхема, соот-
ветствующая пересечению всех идеалов подсхем У .
Важно заметить, что квазиобъединение подсхем Yi не за-
висит от того, внутри какой замкнутой подсхемы, содержащей
все , мы его строим.
Главная цель этого параграфа - построить для нетеровых
45
аффинных схем теорию разбиения на "неприводимые” в некотором
омысле компоненты,аналогичную построенной в п. 4.6 - 4Л0 для
нетеровых топологических пространств. При этом мы будем поль-
зоваться операцией квазиобъединения. На носителях она совпада-
ет с объединением (для конечных семейств подсхем),
7.4.	Лемма (V\) = VSubpV •
i=1	' г ’
В самом деле, включение =» yse доказано. Наоборот, ес-
ли О^иррУ. , то для всех I существует элемент
• t fees,' 1 , для которого {.(*)# О » Поэтому (ТГ£С*)) + О
и, значит, х не принадлежит множеству нулей всех функций
из Ht	, которое и ость £илрр(\/ У-) (см. также п. 3, уп-
ражнение 1).
Теперь нам нужно перенести на подсхемы понятие неприво-
димости. Первое, что приходит в голову, - имитировать опреде-
ление неприводимости для пространств.
7.5.	Определение. Аффидяая схема X называется приводи-
мой, если существует представление. вида X = У v X, , гаа X,,
У - собственные замкнут подсхемы X •
7.6.	Теорема. Всякая нетерова поданная схема X разла-
гается в квазиобъединение конечного числа замкнутых неприво-
димых подсхем.
(Аффинная схема X называется нетеровой» если ее кольцо
петерово. Эквивалентное определение! убывающие цепочки замк-
нутых подсхем X стабилизируются).
Доказательство. То же рассуждение, что и в конце п. 4.7,
: риводат к требуемому результату. Если )( приводима, мы ии~
а₽м X-^,vXx , затем при необходимости разлагаем и Х?
и т.д. Процесс оборвется в силу нетеровости.
Это понятие неприводимости оказывается все же чересчур
то-дам. Более полезен класс примерных аффинных схем.
7.7.	Определение. Идеал А пинается примерным,
гели любой делитель нуля в A/q чильп;, ентзн.
Замкнутая подсхема называется примаркой-, если она спреду -
длится примарным идеалом.
7.8.	Предложение. Всякая неприводимая петерова схема при-
парна.
Обратное утверждение неверно. В самом деле, рассмотри
зддьцо А = К х\/ , где V - идеал с кулевым умножением, К -
бесконечное поле. Идеал (0) прижарен, и для любого подпрост-
ранства V'CV идеал (О^прнмарен. 3 то же время, если
? 1, существует бесконечно много представлений вида
(й - V,n V, , (Vt е V ~ собственные подпространств^
то есть представлений X S\VY » где	А • Это не-
поправимо портит надежды на единственность разложения в квази-
объединение неприводимых подсхем. С примерными подсхемами,как
мы увидим ниже, дело обстоит лучше.
Доказательство предложения 7.8. Покажем, что непримарная
метерова схема \ приводима. Действительно, в ее кольце А
есть два элемента	такие, что /д = 0z g 4С
и | не является нильпотентом.
Положим ак= Ann|*= {lifeA j	. Последова-
тельное! ьидеал ов возрастает и потоку стабилизируется.
Пусть а^а^.
Тогда имеем: (0)= (f") Л (^) • Действительно:
к---	>
но 4Д	«откуда = О , потому чао
" а'п. ’ Поэтому	, где Y^ определяется
идеалом (|*) « а V, - идеалом tg) *
7.9.	Замечания, а. Носитель примаркой нетеровой схемы не-
приводим. Действительно, радикал примерного идеалы прост.
б. Результаты 7.6 и 7.8 вместе показывают, что ветерова
аффинная схема разлагается в квазиобъединение своих примерных
подсхем: X = \/Х. .Мы могли бы оставить в этом разложении
лишь максимальные элементы и затем попытаться доказать его
единственность аналогично тому, как это делалось для прост-
ранств в конце п. 4.7. Но это рассуждение не проходит сразу
47
в двух ме^тх. Во-первых, форму на Xn (V У.) = V (ХпУ;}» в0“
i~l С-л
обще говоря, неверна. Во-вторых, как мы выяснили, нами привар-
ные подсхемы Xсеми вполне могут быть приводимы.
Л Поэтому вместо вычеркивания немаксимальных элемитов иг
Vх/ нужно применить менее тривиальный процесс, и лаке после
1
этого теорема единственности будет сложнее формулироваться и
доказываться.	л.
Назовем примерное разложение Х= V X несократимым,
4=4	11
если выполнены следующие два условия:
I)	S«f>p X; ♦ Su|>p Xj ПРИ i
2)	X VYj, для всех к .
* i + *c
7.10.	Теорема. Всякая нетерова аффинная схема X ра~шага-
ется в несократимое квази объединение конечного числа своих
примерных замкнутых подсхем.
Доказательство. Начнем с как го-нибудь примерного разно-
1%
жеяия X— VX- (см. выше, 7.с	). Пусть М .•((»<,..
<м 1	.	J *
-квазиобъединения всдх тех подзх м д , которые имеет общий
носитель. Тогда X-VY. • Ес: у <--\/У-	> вычеркнем
j»i <•	1 j«x &
7^ . Продолжая так же, за конечное число шагов мы придем к объ-
единению Х= \/У	• которое удовлетворяет второму условию
в определении несократимости. Остается лишь убедиться, что под*
схемы Yj примерны.
Лемма. Квазиобъединение конечного числа примариых подсеем
с общим носителем примдрно (и имеет тот же носитель).
К
Доказательство. Пусть	i - Su-pp у
для всех п . Пусть Y. соответствует идеалу а. в кольце Д
схемы У . Тогда П а.. -• (о) . Рассмотрим делитель нуля |еД,
Пусть	а; для некоторого I г в силу
примарности -fnfcO- для некоторого п . Но так как
48
V4M’ V(0)	, состоит из нильпотентов, так что
нильпотент. Это завершает доказательство.
Теперь мы в состоянии доказать первую теорему единствен-
ности.	п
7.II.	Теорема. Пусть X=VX- - несократимое примарное
нетеровой	с-л
разложение»аффинной схемы X . Система общих точек неприводи-
мых замкнутых множеств SuppX, не зависит от выбора тако-
го разложения. Она обозначается АиХ (или Ass А , ес-
njj X« SpfcA ) и называется множеством простых идеалов, ассо-
циированных с X (или А ).
Мы установим более сильный результат, дающий инвариант-
ную характеризацию множества As$X • Пусть )(=Sbcc А
X- А
7.12.	Предложение. Следующие два утверждения эквивалентны,
а. Простой идеал р с- А соответствует общей точке одного из
множеств SuppX-(
б.	Существует такой элемент	, что идеал =
прима ре н, а р - его радикал.
Доказательство, а. => fi . Пусть р^. - идеал общей точ-
ки Supp X, Л. - идеал, определяющий X; . Очевидно,
°	о	i И
несок-
д-1 °
___________________________"Ct. И ПО-
j*i i *•
примерен с радикалом .
I в кольце А /сое-
. I <иб° Р<
при естественном
A/а.). Кроме того, а;сДпп| ,
*.а. cfta.s (о). Следовательно,
• i J
, *•• - идеал, определяющий X;
О	с ..
) . Так как представление X - V X
Выберем элемент п©,. "
ратимо, a i ПЛ,
1 j*i *
кажем, что Ann (
Прежде всего,
тоит только ив нильпотентов,' поэтому Ани | С р .
является прообразом нильрадикала в А/сс
гомоморфизме А —♦ Г
потому что по построению
г(Дии|) =	.
Проверим теперь, что в А/Аии^ все делители нуля -
нильпотенты.
Пусть это не так; тогда существуют элементы
такие, чте £Аии|
: ! -23
Ann
не является ниль-
49
потевтом mod Анп{ и, стаю быть, также mod а...
С другой стороны, f С|4ъ = 0	; так как j mod af не
нильпотент, из примарности а. следует, что |-k incd л; = 0 ,
го есть € (П.Л ) р а г (0)	, откуда -ReАии/‘ ,воп-
*	д'	
реки выбору Vi . Полученное противоречие устанавливает примар-
ность Аии{.>
б)	=& «). Пусть Д такой элемент, что Аии{ при*
карей о радикале» р . Полежим х.= (а..|) ={^eA|gpa€- J .
Ио кого, что Па^ = (0) , легко следует, что Дии| =пг
и далее p = t (Аии|)вп »(«() .Если | € Си; , то
Если же |фб-[ » то Анк (pvtoda-) ч кольце А/а.
состоит ив нильпотентов, так что т(:с)-р. .
Следовательно, мы имеем р = П pf , где 1= р | | ^ц-J.
Отсюда вытекает, что р совпадает с одним ив идеалов р. .
Действительно, V(p)- (J V(p-) и V(p) неприводимо. Прадло-
1«Т
жеиие докавано, а с ним ш теорема единственности 7.II.
7.13.	Самоепхарактерное отличие несократимого примарного
разложения X-VX, от разложения пространства SuppX
i«4
в объединение максимальных неприводимых компонент состоит в
следувцем. Хотя среди носителей подсхем содержатся все
неприводимые компоненты Supp X по одному рагу, носители
могут не исчерпываться втим; возможно, что с
для некоторых .
Простой пример доставляет кольцо, описанное в замечании
к теореме 4.10. В обозначениях п. 4.10, имеем в кольце В :
(0)® (0,а) Л (р,0) .гак что
Х=Х^УХД. где
Swpp Хх - V ((р,о))-
Пространство £uj»p Хх целиком
содержится в пространстве £иррХъ
во как подсхема Хд выделяется
"на обцем фоне" своими нидьпомен-
тами (см. чертеж):
50
Supp Xj

(XCr,TJ»»)
e.(W, * = Rrr,Tj/(T)

А/r С-П/СТ9 .
Это замечание о нильпотентах имеет общий характер. В са-
ком деле, пусть	<= Xj в несократимом разло-
жении,	Тогда	, НО Х.лХ^
является собственной подсхемой в X,. Это может быть лишь в
том случае, когда нильпотентов в кольце схемы X- больше, чем
в кольце пересечения	, где они индуцированы нильпо-
тентами?"пришедшими" с большего пространства Xj
Среди компонент несократимого примерного разложения
те, для которых Su-ppX  максимален, называются изодиоовандм-
ми, остальные - вложенными,
самим множествам SuppX .
ДиХ.
Пространство вложенной
Та-хе терминология применяется к
и I кс общим точкам, элементам
компоненты может принадлежат* од-
новременно нескольким (изолированным или вложенным) компонен-
там. Кроме того, цепочка компонент, последовательно вложенных
друг в друга, может быть как угодно длинна.
Таким образом,невинное
на взгляд пространство аф-
финной схемы может таить в
себе сложную структуру вло-
женных примерных подсхем,
вроде изображенной на чер-
теже. Читатель должен при-
выкнуть к геометрической
реальности этой структуры.
Пространство
Схема
(Конечно, изображая нильпотенты стрелками, невозможно пе-
редать детали сколько-нибудь точно. Ясно лимь, чтсгвложеннах
компонентах нильпотенты растут гуще, что и надает их присутст-
вие) .
Конечное множество простых идеалов А**А , которые мы
инвариантно связали с каждым нетеровым кольцом А , имеет
51
ряд важных свойств. В частности, оно позволяет уточнить тео-
рецу 4.10.
7.14.	Теорема. Элемент |еА является делителем нуля,
если и только если он обращается (как функция) в нуль на од-
ной из компонент несократимого примарного разложения £|»ее А •
Иными словами, множество делителей нуля в Д совпадает
с Up .
pt Дм А
Доказательство. Покажем, сначала, что если U р .	,
Р,* Дм А
ю А пи | s (0).
Пусть (0) = 0 о-с - несократимое примарное разложение,
i
где	• Пусть =0 . Так как	, из при-
марности CL следует, что	• Это верно для всех i ,
следовательно, g = О.
Наоборот, пусть Али^ *(()) . Предположим, что
и придем к противоречию. Если | е р i , то для некоторого
в силу нетеровссти А получим | ьр* <= а£ , то есть
М**)=А . С другой стороны, А ли . Отсюда
(0) = Аии | - г (а а*) - П (в.	_>Па.
а вто противоречит несократимости разложения и завершает дока-
зательстве.
Отметим, наконец, что теорема единственности 7.11 отно-
сится лишь к носителям примерных компонент несократимого раз-
ложения, а не к самим компонентам. О них можно утверждать лишь
следующее.
7.15.	Теорема. Множество изолированных компонент несокра-
тимого примарного рд^ложения негеровой схемы А не зави-
сит от выбора разложения.
Для вложенных компонент этс, вообще говоря, неверно.
Мы опускаем доказательство; читатель может обратиться к
книге О.Зариского и П.Самюэля "Коммутативная алгебра" (т.1,
гл. 1У, § 5, теорема 8) или С .Леша "Алгебра" (гл. УТ, § 5,
теорема 3).
52
8.	Теорема Гильберта с нулях
В этом разделе мы уст ан сейм, что замкнутые подсхемы ко-
нечномерных аффинных пространств над полем или над кольцом
имеют много замкнутых течек.
8.1.	Теорема. Пусть А - кольцо конечного типа (опреде-
ление см, в п. 6.1). Тогда множестве замкнутых точек Sfm А,
всюду плотно Spec- А.
8.2.	Следствие. Для любого открытого или замкнутого под-
множества х А пересечение ХпБрииД всю-
ду ПЛОТНО В X •
(Действительно, если X ~V(^) и мы отождествим X
с Spec. А/СЕ) , то £ р>м А л V f Е ) совпадет с
А /(Е) «а А/Е является кольцом конечного
типа вместе с А . Отсюда легко следует утверждение и для от-
крытых множеств).
Пространство 5 А легче поддается геометрической
интуиции из-за отсутствия в нем незамкнутых точек (все же
"большие открытые множества" остаются). С другой стороны, из
следствия Я.2 вытекает, что для колец конечного типа простран-
ство Spee А однозначно восстанавливается по ^р»м А
(если считать, что индуцированная топология в А из-
вестна) .
Рецепт следующий:
1)	точки $р«.с А находятся во взаимно однозначном
соответствии с неприводимыми замкнутыми подмножествами в
А . (Тем самым, каждому неприводимому замкнутому
подмножеству в £рич А	отвечает его "общая точка" в
Spec А ).
2)	каждое замкнутое множество в Spec А состоит из об-
щих точек всех неприводимых замкнутых подмножеств некоторого
замкнутого множества в Sp*< А.
(Чтобы освоиться с этими утверждениями, читателю рекомен-
дуется доказать их).
4Х-1523
53
Доказательство теоремы 8.1. Мы будем последовательно рас-
ширять класс колец, для которых верна теорема.
а.	Пусть К - алгебраически замкнутое поле» В КГц,
,.Т] множество замкнутых точек плотно.
a Замыкание множества замкнутых точек совпадает с простран-
ством нулей всех функций, обращающихся в нуль во всех замкну-
тых точках. Поэтому достаточно доказать, что многочлен
р .принаддежарйвсем максимальным идеалам кольца KfT1(.
...Т], тождественно равен нулю. Но такой многочлен обладает
свойством F - J » О для всехG К » легкая
индукция по н показывает, что Г-- О (здесь по существу
используется даже не замкнутость, а лишь бесконечность поляК)
б.	То ge утверждение, чтс в а), но поле К не предпола-
гается алгебраически заметутым.
Обозначим через R => к алгебраическое замыкание поля
К .Имеем А-КТТ,,...;г/) К{ТЪ• Кольцо В
цело над А , поэтому, в силу результатов 6.4 и 6.5 имеем:
%>~А ^Q'^SpwB) =	А
в.	Теорема 8.1 верна для колец без д лителей нуля конеч-
ного типа А над полем К •
Действительно, согласно теореме Нетера о нормализации
(см. Денг. Алгебра, гл.10, § 4), существует подалгебра много-
членов О: В А такая, что Д цела над "В . Так как уже
доказано, что &р»м В = (рееВ , в точности такое же рассужде-
ние, как в предыдущем пункте, показывает, что £р>м A -Spec А.
г.	Теорема 8.1 верна для любых колец конечного типа Д
над полем.
Действительно, любая неприводимая компонента Spec А го-
месморфна Spec А/'р , где р - некоторый простой идеал.
Кольцо А/p удовлетворяет условиям предыдущего пункта.
Поэтому замкнутые точки плотны на всех неприводимых компонен-
тах Spec А и, следовательно, на всем пространстве.
д.	То же для колец А конечного типа над 2 « В этом слу-
чае Spec A- U V(p) , где р пробегает простые числа. Замк-
₽
54
нутое множество V(p) гомеоморфно спектру Z/^Z - алгеб
ры конечного типа А/рА ; поэтому на нем замкнуты» точка
плотны. Отсюда следует, что они плотны на S|»ae А.
Теорема доказана.
8.3.	Предложение. Пусть р ° А - максимальный идеал В
кольце конечного типа над Z (соотв, над полем К )• Тогда
А /р	является конечным полем (соотв, конечным алгебраичес-
ким расширением К ).
Доказательство. Пункт д) доказательства предыдущей теоре-
мы показывает, что достаточно ограничиться случаем кольца А
над полем К . Фактор-кольцо по максимальному идеалу А/р ,
буДучи полем, содержит единственный максимальный идеал. С дру-
гой стороны, по теореме Нетера о нормализации, оно является
целым расширением кольца многочленов В и tv переменных
над К • Случай n в i невозможен, так как тогда кольца В
и, значит, А имело бы бесконечно много максимальных идеа-
лов . Поэтому п  0 , и А - целое расширение конечного
типа поля К . Это доказывает требуемое.
Результаты 8.1 и 8.3 служат основанием для введении дзе-
та-функций колец конечного типа над Z- • Мы обсудим элементар-
ные сведения о них в следующем параграфе.
Сейчас обратимся к случаю алгебраически замкнутого поля
к .
Согласно предложению 8.3, в этом случае замкнутые точки
в Sf>ec А находятся во взаимно однозначном соответствии с
К -точками схемы £$>« А ; пространство последних и назы-
вается "аффинным алгебраическим множеством” над К в клас-
сическом смысле слова. Обсуждение в п. 8.2 показывает, что в
этом случае А со спектральной топологией и множест-
во геометрических К -точек схемы £|>ес А с топологией Ва-
рнского являются, по существу, эквивалентными понятиями: пере-
ход от одного к другому не требует никакой дополнительной ин-
формации.
Приведем, наконец, классическую формулировку теоремы о
нулях на языке систем уравнений.
55
8.4.	Теорема. Пусть гл - алгебраически замкнутое поле,
€ К [Т, ... jTh"]	, i fc I	- некоторое семейство
многочленов.
а.	Система уравнений = О , tel имеет решение в
К , если и только если уравнение 1 - 2Г F, X - нераэ реии-
мо в	, то есть идеал (р;) не совпадает со
всем кольцом.
б.	Если многочлен G е КСТЪ...,ТМ] обращается в
нуль во всех решениях системы р. ж О i * I , то для неко-
торого натурального числа и- имеем
G"- Г F;6C , С’,‘кГт1>...х1-
Доказательство. Если идеал (Р\)не совпадает со всем
кольцам, то И[тъ...Л] I CFJ непуст (теореш
2.3); поэтому в нем есть и максимальный идеал, поле классов
вычетов которого совпадает с К (предложение 8.3); образы Т.
в этом поле дают решение системы уравнений F- = О.
Если (□ обращается в нуль во всех решениях этой систе-
мы, то его образ в кольце. К ГТ, ,..	/ (F;) принадле-
жит пересечению всех максимальных идеалов этого кольца и зна-
чит, по теореме 8.1, пересечению всех простых идеалов. Поэто-
му он нильпотентен в силу теоремы 3.1.
56
9.	Отступление: дзета-функция
Назовем кольца конечного типа над полем геометрическими,
а кольца конечного типа над - арифметическими,
Эти два класса колец имеют непустое пересечение - кольца
конечного типа над конечными полями. Сплав арифметических и
геометрических свойств, которым обладают кольца такого типа
(и склеенные иа них спектры пространств), был продемонстриро-
ван А.Вейлем в его знаменитых гипотезах о дзета-функции.
Мы введем здесь дзета-функции арифметических колец А и
укажем их простейшие свойства.
Мотивировка введения дзета-функдаи состоит в тон, что
замкнутые точки х в спектре арифметического кольца имеют
естественную "норму" N’(») - число элементов в конечном по-
ле k(x) (см. 8.3) и количество точек данной нормы конечно.
Можно ожидать, что прямой подсчет таких точек доставит инте-
ресные инварианты кольца.
9.1.	Лемма. Пусть А - арифметическое кольцо. Введем
следующие инварианты кольца А и пространства Spec А :
n-fp6")- число замкнутых точек х е Sрес А , для которых
/7(х) - р5' • ?(|>а )	- число геометрических точек кольца А
со значением в ff* (поле та р11 элементов). Все эти числа
конечны и связаны следующими.соотношениями
€гг(ре) .
ь/cv
Доказательство. Каждая геометрическая -точка кольца
А есть гомоморфизм A и . Рассмотрим все геометри-
ческие точки с одним и тем же центром х ; тогда р «А -
ядро соответствующего гомоморфизма, а его обраэ совпадает с
единственным подполем F t F , где р6 = Д/гх) .
Всего гомоморфизмов с фиксированнымРядром и образом имеется
ровно Ъ , ибо f I F расширение Галуа степени g .По-
этому	г Г
=ru(.‘)
5?
НИЯХ

(Это равенство имеет очевидный смысл, даже если мы не внаем,
что V(pa) и rv(p®) конечны).
В частности,	*-vCp“') , и достаточно доказать
конечность V . Sbtc А отождествляется с замкнутым подмно-
жеством в Spte , 37Л и N(x) не зависит от то-
ге, рассматриваем мы точку х как принадлежащую £f>ec А
или 5|>се X (7^ ;"ТИ]	• Поэтому в очевидных обозначе-
Va<-P*)£V	(ол)-рпа-
А г 2СТЪ.. ,T„J ’ 7 Г
( р - это просто число, геометрических точек тъ -мерного
аффинного пространства над полем из р*" элементов).
Леша доказана.
9.2.	Теперь мы определим -функцию любого арифметичес-
кого кольца А сначала как формальное произведение.
Определение:	(.4)=- С 4-А/(х)'$)-*
A eceSpmA
Конечно, для А ~ Z. получается обычное эйлерово произ-
веден иь
р
по всем простым числам р .
Связь дзета-функция с числами л(ре) и Vfp*-) дается
следующим очевидным тождеством:
(»)^пп (I'!>'**)'п(р%п
Р	р
и еще одним, несколько менее очевидным;
<2>	«.< Ы= Г £
А р а
(Доказательство:
(I)	<
58
"X X tn (<-рл(р^) =
А р &	'
9	гае> <р*	— С»К1
~ "Л- X X 1Ч-(рЪ "~“”" ~
/* |.:4 <г,
***	е
- X Z X в Л n<s<).
? «--'» 6(0.
' X Z vcr)p’eV -
Р о-
в силу леммы 9.1).
Поэтому вычисление -'уьвпии	вычкс
чисел -К(р°") или v(pc’ ) для г ’
Формула (1) зокавывчвт, чг-о	разОи^аег'с».
взведение дзета-функций >а> г хчио.г„ типа над .ыы
полем. Отсюда ни в коей мырг сдует- конечно, к ним
сводится изучение 'С -фузнф  пример функции Ри -да показы-
вает* насколько не три вив ль аы.’ может быть 'сведение глобальной
дзете-функции при прсстейакх локальных >-^гатзлях.
Однако и отдельные р -мнег- тел? могут быть достаточно
сложно устроены, если А - не’ ,аьл«.й>;<ое кольцо.
Часть гипотез Вейла,	л д-.Длсрком, показывает, _
однако, что для любого •	того типа А характер!fl-
тики р	(») /’X-Cii • ‘И1Й функцией от
Для таких колец у но вес завееу переменной р =Т
и положить
Z (г)
А	А
Тогда формула (2) показывает, что
= Z	'
A-
или

л-4
Рациональность 2^ft) , в частности, устанавливает, что пос-
ледовательность должна удовлетворять некоторо-
му рекуррентному соотношению типа
п-1
v = У т V
с=с » й*;
дан достаточно больших а. ( %*£. - некоторые фиксированные
константы). Так как - числа решений системы уравнений в
конечных полях растущей степени, утверждение о рациональности
имеет прямой арифметический смысл.
Для всех исследований дзета-функции колец А характе-
ристики р фундаментальное значение имеет то обстоятельство,
что	можно представить как число неподвижных точек
некоторого отображения F , действующего на множестве геомет-
рических точек кольца.
9.3.	Определение .Морфизмсм фросениуса	кольца
характеристики р называется отобоь^гис	9 еД
Тот же термин применяется к соответст'ьулщему морфизму
спектров , к степеням Г * и	и к отображениям,
которые они индуцируют на различных других объектах. Б част-
ности, пусть fp - алге рзичеокоз замыкание простого поля
характеристики р . Тогда морфизм Фробениуса R индуцирует
отображение множества (Г -точек в себя, которое мы для
краткости обозначаем так хе ь 
Р • А (ЕГр ) —»А (1Е₽)
9.4.	Предложение. A (f »") совпадает с множеством не-
подвижных точек отображения ' р-4-
60
Доказательство. Пусть A(Ff)
лен гомоморфизмом (|:A-* flTp , a - гомоморфизмом
I«A	_
Условие A (F •) означает, что I-м </е1ГасЕ,
’ 0<v P '	»	_	'	F—tv P
то есть что wr = w для всех I
Обратное утверждение следует из теории Галуа: fF
г— ft* _
полем инвариантов для I- . Предложение доказано.
; if представ-
.	। . tv *
I . Стало быть, F =
о. является
P
9.5.	Если на компактном топологическом многообразии V
действует некоторый эндоморфизм F" , то для числа v(F) его
неподвижных точек (надлежащим образом определенного) справед-
лива знаменитая формула Лефшеца:
AwV
(3)	v(rp Z envTv г| .
iso	Ih4v)
(под знаком суммы стоят следы линейных операторов, которые F
индуцирует на пространствах когомологий V с комплексными ко-
эффициентами).
Мы еще не ввели геометрических объектов, которые были бы
"достаточно похожи" на компактные топологические многообра-
зия - их роль играют гладкие проективные схемы. Позже, когда
они будут в нашем распоряжении, мы введем и дан них дзета-
функции и сформулируем точно гипотезы Вейля. Существенная
часть этих гипотез состоит в предположении, что числа v(pft)
всегда выражаются формулами типа Лефшеца (3). (В упражнениях
мы предлагаем читателю вывести отсюда рациональность Z. -функ-
ций).
В заключение остановимся на вопросе о сходимости зйлеров-
ск.чх произведений и рядов Дирихле, с которыми мы оперировали
' vMX нор чисто формально.
9.6.	Определение. Пусть А - арифметическое кольцо, -
общие точки его неприводимых компонент. Определим ра; мерность
кольца А , положив
61
(max (t«ae<|1t(9Q)+l » если ^*=A
,„L (t-a.j *«.» * ®°’™“ “5'’“ 
(Степень трансцендентности вычисляется над простым под-
полем поля классов вычетов • Размерность, которую мы
ввели, рассматривал еще Кронекер).
9.7.	Теорема. Эйлерово произведение ТТ H-A/fa)'*)
абсолютно сходится при Re 4 > А Ст д хИрмА
Доказательство. Как в доказательстве теоремы 8.1, мы бу-
дем проверять теорему, последовательно расширяя класс рассмат-
риваемых колец. Мы считаем известным сходимость произведения
для функции Римана
а.	Пусть A=tF СТЪ...,ТИ]. Из формулы (2) следует,
что ряд (2) абсолютно сходится при Re's = dim А к
функции Сп. (()"4	, ПОТОМУ ЧТО УСр0-)гр“П
Отсюда вытекает, что в тех же условиях эйлерово произве-
дение для кольца А абсолютно сходится к (1- ph"r)-1.
б.	Пусть А - кольцо без делителей нуля конечного типа
над . Пользуясь теоремой о нормализации Нетера, найдем
подкольцо многочленов В^Б^ C"TJ	с А такое, что
Д - В -модуль с конечным числом образующих. Существует
такая константа Л , что над каждой геометрической Е* -точ-
кой кольца В лежит не больше А. геометрических точек коль-
ца А .В самом деле, пусть гомоморфизм А задан на
подкольце В . Чтобы продолжить его на А , мы должны задать
образы в jp конечного числа образующих В над А , каждый
из которых Является корнем целого уравнения с коэффициентами
в А • Образы этих коэффициентов уже определены, поэтому кор-
ни уравнений определяются конечным числом способов.
Отсюда следует, что	& d^p^s d pnft’ • Сле-
довательно,	(5) , как выше, абсолютно сходится при
Res •> и *	• Более юго, в этой области верна оценка
W |€м^д(5)| < «А еи(1-рп'5 ,
62
в.	A - произвольное кольцо конечного типа над IF.
Пусть pj СА - все минимальные простые идеалы кольца А ,
Ас= А/р- . Каждая геометрическая точка Spec А лежит на
какой-нибудь неприводимой компоненте, поэтому
VA (рЧ * £ vA_ (p*) ,
так что эйлерово произведение для А сходится при Re s 7
> МВ.-Х dlMAi И мажорируется там
|Сн 4ао>| 4
Г. А=2[т....1Т]. Вычисление в пункте а) показывает,
что в этом случае
(О’Пиу'*Л^($-й)
А р
обычная дзета-функция Римана со сдвинутые аргументом, эйлеро-
во произведение которой, как хорошо известно, абсолютно схо-
дится при Re (с-к) > 1 , то есть Re т > п+1»- А •
д. А -кольцо без делителей нуля, содержащее ~Z . Если
бы мы могли найти подкольцо многочленов 2ГТЪ...,ТМ1 О А ,
над которш А было бы цело, рассуждение пункта б) привело
бы к цели. К сожалению, зто не всегда возможно; но можно поп-
равить дело ценой локализации по конечному числу простых чи-
сел.
Точнее говоря, применим теорему Нетера к кольцу А' =
»С>®А и найдем в нем подкольцо многочленов фГГ,,...,*Т^],
над^которш А цело. Умножив в случае необходимости 'Т на
целые числа, мы сможем добиться того, что Т- с А . Любой
элемент кольца А над 2£ ЕТ,удовлетворяет некото-
рому уравнению, старший коэффициент которого является целым
числом. Рассмотрим множество простых делителей всех таких
старших коэффициентов для некоторой конечной системы образую-
63
щих А над	и обозначим через S порожден-
ную или мультипликативную систему. Тогда А цело над ГТ
Далее,	1>
(5)
ЮГТ $	|J) .
Множество ре$ конечно и,по доказанному выше, 4 , (i)
равномерно сходится для Rci >сйи4 А/p S 4in<A-f Ч
При	имеем	<*)=	и консганту И
для пары колец 2,СТ. ...Ж> саЖ , определенную
в пункте б), можно выбрать независящей от р • Действительно,
класс мо4 р фиксированной системы целых образующих А&
над ГТ,ТИ1 дает систему образующих в Ал/(р)
для всех . Поэтому второе (бесконечное) произведение
в (5) для <•=₽«< > А/p мажорируется произведением
ГТ (t
f+S
и, стало быть, равномерно сходится при 6 7 п-tl- Аг™ А .
г.	Наконец, общий случай арифметического кольца Д три-
виально сводится к уже разобранным разложением Spec А на
неприводимые компоненты, как в пункте 4.
Теорема доказана.
64-
10.	Расслоенное произведение
В этен параграфе нет никаких содержательных теорем. Здесь
излагается конструкция расслоенного йрсизьедения аффинных
схем. Это понятие, несмотря на свою простоту, относится к чис-
лу самых фундаментальных и объясняет популярность тензорных
произведении в современной коммутативной алгебре. Наша глав-
ная цель - связать с ними геометрические интуитивные представ-
ления.
Перед чтением этого раздела мы рекомендуем просмотреть
дополнение "Язык категорий", особенно п.п. 4, 9, 10.
Начнем с общего определения.
10.1.	Определение. Пусть С - некоторая категория,
С*,- категория "объектов над £ " ("Язык категорий", п. 4).
Расслоенным произведением двух объектов над £> :~й : X ft ,
Г	называется их произведение в (	.
Иначе говоря, это расслоенное произведение*представляет
собой тройку (г?зг,эзгх') , где Z 6 О€ С ? 5*. :
5ГА: Z- У 00 следующими свойствами:
а. Диаграмма
(П
Z
7
X
и
$
= (Z Tn ) «01^,
KQVK3twtifBSL&. (Тогда (Z,
® Мох 
б.	Для любого объекта	(ниже сн обознача-
ется престо 21 ) в С множество
вляетоя с (Z*xHo^CZ1
индуцированных морфизмами к, . (Иначе говоря, tZ,’*,
универсальный объект в классе таких троек, делающих диаграмму
пом rz.Z) отождест-
) с помощью отображений.
5-1523
65
(I) коммутативной).
Диаграмма типа (1) со свойствами (I) иногда называется
"декартовым квадратом". Объект 2Г в ней обычно обозначается
Xх У	и называется сам пс себе расслоенным произведением
X 'и У над £ . Пользуясь зтим кратким обозначенной, не
следует забывать, чтс в нем опущено явное указание морфизмов
и X.JV-.X, X5v-»v.
Обычнее прямее произведение, формально говоря, не явля-
ется частным случаем расслоенного; но это так, если в катего-
рии С имеется "конечный объект" £. такой, чтс Но nt (У.Е)
состоит ровно из одного элемента для всех X * 0g С . Тогд
Х*У - по существу тс же самое, что и Х*У.
Расслоенное произведение существует без ограничений в
категории множеств Еп$ ; мы проиллюстрируем егс смысл на
нескольких примерах.
10.2.	Лемма. Пусть X —, У	- отображения
множеств; положим
2 = { (Х,у)€Х>У|	сХ*У
и определим ОТ, . Z->X .	как отображения,
индуцированные цроедпиями Х*У-*Х, Х*У -* У . Тогда
тройка	образует расслоенное произведение X и У
над 5 •
Доказательство абсолютно тривиально.
Эта конструкция объясняет название нашей операции: над
каждой точкой слой отображения 2 является прямым
произведением слоев X и У над этой точкой.
Частными случаями этой конструкции являются следующие
понятия, которые встречаются на каждом шагу.
Пример: произведение. В Ens множество из одной точ-
ки Е является конечным объектом, и ХХУ » ХхУ.
Пример: пересечение. Пусть <|> «|/ вложение X и У
как подмножеств в £ . Тогда, отождествляя Z с подлы охе ст вом
£ , имеем Z. = ХлУ.
объект - это Spec 2
ном" произведении X
50.н. Предупреждение.
за редкими исключениями, не
ем множеств точек X и У
чек со значениями в С -алгебрах (,S=Sp«c С)
для множеств морфизмов над £' . Х*У
Пример: слой отображения. Пусть УГЕ , у(Е)» J
Тогда Z =
Более обще, если <|> - вложение, отождествляя У с
имеем 2	-1 СУ) •
Пример: аамена базы. Эта терминология употребляется в то-
пологии: если X - расслоение (в каком нибудь смысле),
у  $'-> £	- морфизм топологических пространств, расслое-
ние х' =	называется получившмея из Х-*^
S .	•
"заменой базы" ф на £ . Другое название - "индуцированное
расслоение".
Эти примеры послужат нам образцом для введения соответ-
ствующих понятий в категории схем (пока только аффинных).
Прежде всего теорема существования.
10.5.	Теорема. Пусть Х= Sf<tc А ,7=%^ CJ
где А иВ - С -алгебры. Расслоенное произведение схем \
и У над £ существует и представлено тройкой (£ь*с АсвВ
ч	С-
_ГД^ (00 отв. т*. ) - отображение, индуцированное
гомоморфизмом Q -алгебр А А ® В '• |	| ® 1
(соотв. В-тА®В :	С).
Доказательство: мы отсылаем читателя к "Алгебре" Ленга,
гл. ХУ1, § 4, предложение 9, где установлено, что в категории
колец Ann существуют "расслоенные копроизведения" и опи-
сываются именно так, как указано. "Обращение стрелок" дает
нужный нам результат.
Отметим, что в категории аффинных схем есть конечный
так что можно говорить об "абсолют-
= State а®в
Z.
Множество точек схемы Xх У ,
£
является расслоенным произведени-
над JS . Это верно лишь для то-
пай, что тс же,
...	_ , ,	.	• Вот два ти-
пичных примера, показывающих, что может Происходить.
Пример. К - поле, S = S|»« к t	,N=s^Kltl
с очевидными морфизмами. Здесь Х*у - плоскость над К > и
на ней есть масса незамкнутых точек - общие точки неприводимых
кривых, "непараллельных осям" - которые не представлены пара-
ми точек 1Х|£) , хеХ(^еУ.
Пример. Пусть L^K - пара полей; будем считать, что
ато конечное расширение Галуа. Пусть X=Sf>ecL> £ = Sf>ec К-
попытаемся вычислить X хХ » 10 есть L_®L •
к
Представим второй из сомножителей L. в виде L
= КСП/(Р(Т» , где гспг)- неприводимый многочлен. Ина-
че говоря, выЗерем в 1_ "примитивный элемент" 't='Tk*o«l (F)
над К,
Из определения тензорного произведения легко следует,
что в этом случае L»L_ — L^T]/ (F(T)) гак L -
алгебра, если считать, что структура I -алгебры на L®L
определяется отображением I ->• t®l . Нс, по предположению,
F(T) распадается в L(T) на линейные множители:
п
р(Т) = ТУ СТ-f ) • где (t.}- все Сопряженные t над 1^,
И. [икр"’
По общей теореме о структуре модулей над кольцом глав-
ных идеалов (Ленг. Алгебра, гл. ХУ, § 2, теорема Заполучаем
отсюда:
В частности, Sf>«c MPL.	: хотя Sptc L
_ <=<
состоит из единственной точки, ъьес L®L имеет их п. !
к
Неприятность другого характера может произойти, если в
этом же примере взять в качестве I чисто несепарабельное
расширение поля К • Пусть, например, F(T) *ТР- <$. » где
5 t к F . р - характеристика поля к • Тогда в LM
имеем Tp-g ={"T-t) р • где Ур , так что
68
L®L~	L[TJ/(V).
к	1
мы приобрели нильпотенты, которых раньше не было. "Зато"
по-прежнему состоит из единственной точки.
В качестве упражнения читателю предлагается разобрать,
как устроено кольцо L.&U для произвольного конечного рас-
ширения полей L3K . ^частности, какова структура L -ал-
гебры L»L в вычисленных примерах относительно отображе-
ния £	?
Теперь мы приведем несколько примеров, параллельных те-
оретико-множественным конструкциям.
10.5.	Пример. Пусть X = А / X у УА —i* X -
две замкнутые подсхемы X , определенные идеалами а, еД.
В силу 7.2 их пересечение	представляет функтор
(X.) л /Х)	, то есть должно совпадать с их расслоен-
ным произведением над X • Так оно и есть: соответствующее ут-
верждение о кольцах
А/A/а, ® А/«Л
А
легко проверяется непосредственно.
10.6.	Пример. Пусть Г^ееВ = У~* X ~ SpwA - морфизм
аффинных схем, хбХ - некоторая точка, -йод - алгебраи-
ческое замыкание ее поля вычетов. Естественный гомоморфизм
А -* М»? представляет геометрическую точцу с центром в ».
Расслоенное произведение
У* = У х Sp«e
X
называется геометрическим слоем У над точкой х , а
У х£|>ес'^(ж) “ обыкновенным слоем.
X
69
5 -1523
Частный случай: для любого простого числа р и кольца
Д Spec А/p А является слоем £|,«А над (p)*Sp«Z.
10.7.	Диагональ. Пусть В = X —Spec А - мор-
физм аффинных схем; коммутативная диаграмма
К X
У -* £
определяет морфием У: Х-*Х*-Х (см. ЮЛ б.), который
называ ется диагональным. S’
Ю.8. Предложение. Морфизм ? отождествляет X с замк-
нутсй подсхемой Л схемы Х*Х , которая называется (от-
--------------- х X
носительной) диагональю и определяется идеалом
I = Kc't (вс₽е> А &) , и( 64,.
Л *	» д
Доказательство. Выписывая все необходимые диаграммы ко-
лец, убеждаемся, что	. Так как у- - сюръективное
отображение, его ядро определяет замкнутую подсхему, изоморф-
ную образу Г .
70
II.	Отступление: аффинные групповые схемы
В этом параграфе мы приведем определение и несколько
важнейших примеров аффинных групповых схем.Кроме важности са-
мого понятия, оно интересно тем, что выпукло показывает роль
и возможности "категорного" и "структурного" подходов. Мы сно-
ва пользуемся обозначениями дополнения 'Язык категорий".
Мы последовательно приведем два определения групповой
структуры на объекте категории и сравним их, в частности, в
категории схем.
II.1.	Первое определение групповой структуры. Пусть С -
некоторая категория, X £ 06 С . Групповая структура на
объекте X состоит в задании (теоретико-множественных) груп-
повых структур на всех множествах
которое подчинено следующему условию;
для всякого морфизма Y1 соответствующее отобра-
жение множеств k (У ) -♦ к (V ) является гомоморфизмом
групп.
Объект X вместе с групповой структурой на нем называ-
ется группой в категории С и часто обозначается просто X •
Морфизм объектов Х^-»Хд в С называется морфизмом соответ-
ствующих групп, если все отображения к Су ) —> k (V) -
гомоморфизмы групп.	х*
Группу в категории аффинных схем мы будем называть
аффинной групповой схемой или просто аффинной группой.
Вот список важнейших примеров с их стандартными обозначе-
ниями и названиями.
П.2, Пример: мультипликативная группа
Для любой схемы X«tyecA морфизм X.-—однозначно
определяется элементом -t е А - образом Т при гомоморфиз-
ме	. Наоборот, + соответствует такому
морфизму, если и только если -t €Д* (группа единиц или об-
ратимых элементов кольца А ) Поэтому
(Л|>«сА)= (С- (A) af Д*
m	>
71
и на множествах А -точек определена естественная групповая
структура (умножение). Далее, любой гомоморфизм колец А-* В,
очевидно, индуцирует гомоморфизм групп А*-»В*« Этим опреде-
ляется групповая структура на (Р-м
Пример; аддитивная группа ^*а,в^|’ее ZCT1 Как выше,
морфизм £|а<е А -* однозначно определяется элементом
"b t А , образом Т, который можно выбрать произвольно.
Аддитивные группы колец А определяют структуру группы на
Иначе говоря, (£ представляет функтор £|о<£ Д А*, а
С"а- функтор	А*.
Пример: полная линейная группа
Л	I*- J
, где =	. Она представляет функтор
''ibctA (группа обратимых (п,«) -матриц с элементами
из А ).
Очевидно, d DL — dr 
Пример: группа корней из единицы степени гы у
Sf>ee ^ГТД’’J) • Она
ставляет функтор
л
пред-
Sffct. А	множество	1 3
Схема этой группы является замкнутой подсхемой (г^,.
Схема этой группы являемся замш^той подсхемой Более
общо', пусть задана аффиннаяУсхема X и ее замкнутая подсхема
'У ; если для всех схем И подмножество ,(Z)c < (Z)
. .	УХ
является подгруппой, тс у вместе с индуцированной групповой
структурой называется замкнутой подгруппой группы X • Тем
самым, замкнутая подгруппа О .
Более тоге, отображение т "Г*4 определяет гомомор-
физм групповых схем -* "возведения в степень и, ",
и представляет ядро этого гомоморфизма.
Пример; схема конечной группы G . Пусть (Z- обычная
(теоретико-множественная) конечная группа. Положим А =2^-
. Иначе говоря, А как группа есть свободный модуль
с таблицей умножения
72
I о при g Hl. ,
£ <
а й " ( £ ПРИ g = |v
К-A несвязен и состоит из компонент ff.ec 2Z , прону-
М/ерованных элементами из G • Для любого кольца g> , спектр
которого связей, множество морфизмов Г|>ее В -♦ Х|,вс Д
находится поэтому в естественном взаимно однозначном соответ-
ствии с элементами группы G •
Если Sf.ee В несвязен,морфизм ${>*<-В Д опре-
деляется своим набором ограниченийусвязные компоненты -Sf.ee В .
Обозначим их множество символом Сонп В ; тогда, как мы по-
казали
* х	- л , С.ОИП Е>
4<(%«еВ) 2» (Gr)
А"
Таким образом, схема X=Sf>ecA имеет естественную группо-
вую структуру. Она называется схемой группы G .
Пример: пусть £=£(эее К . Групповой объект в катего-
рии аффинных схем над $ называется аффинной -группой
(или К -группой). Полагая	dr *S> и - ц х Г
*»,К ги г ) гJ п
и т.д., мы получаем серию групп над произвольной схемой £
или кольцом К . Каждая из них представляет "тот хе" функтор,
что и соответствующая абсолютная группа, но ограниченный на
категорию К -алгебр.
Пример: линейные алгебраические группы. Пусть К - поле.
Замкнутая подгруппа полней линейной группы	называ-
ется линейной алгебраической группой, определенней над полем
к.
Иначе говоря, линейная алгебраическая группа определяет-
ся системой уравнений
которая обладает следующим свойством. Пусть (t^
два .решения системы X j К -алгебре А , образующие невырож-
73
дррные матрицы. Тогда матрица (4q )(f^) *	- такие
является решением X •
Место линейных алгебраических групп в общей теории вы-
ясняет следующая фундаментальная теорема (Розенлихт, Шевалле),
котерую мы приведем здесь без доказательства.
II.3.	Теорема. Пусть X - аффинная групповая схема ко-
нечного типа над полем К . Тогда X изоморфна линейной ал-
гебраической группе.
Напомним, что Герман Вейль присвоил полной линейной
группе титул "Ее Всеобъемлющее Величество".
II.4.	Пример: группы дают еще один повод поговорить о
нильпотентах. Пусть К _ поле характеристики р # О . Тогда
/%>к KCtJ/c-tP-D X Spec КСП/((Р1/).
Очевидно, К[Т)/((Т-ОР') - локальная артлнова алгебра
длины р ж ее спевтр должен рассматриваться как 0 р -крат-
ная точка". Это вполне осответствует обычной интуиции: корни
из единицы р -й степени все склеиваются и превращаются в
один корень кратности р .
Белее общо
КСП/ еГ"°Г >
г >
так чтс длина нильрадикала может быть как угодно большой.
Оказывается, однако, что наличие нильпотентов в группах
существенно связано с конечностью характеристики .
,11^5. Те0Рема (Картье). Пусть X - линейная адгебраичес-
к^ёхста^над полем характеристики нуль. Тогда она приведена,
то есть в ее кольце нет нильпотентов.
У нас еще де хватает технических средств для доказатель-
ства этог^ результата: см., например, Д.Мамфсрд. Лекции о
кривых на алгебраической поверхности, § 25.
Теперь мы приведем второе определение групповой структу-
ры на объекте X категории С , которое оперирует только с
74
самим объектом К , а не со всеми объектами категории.
Пусть в С существует :
а) конечны! объект Е. •,
б) произведен» Х*Х} Х>Х*Х.
И.6. Второе определение групповой структуры. Групповая
структура на объекте X состоит в задании трех морфизмов ;
m : Х*Х -*Х ("умножение") ,
i •- X —* X ("обращение"),
< • Е -* X ("единица") ,
которые удовлетворяют следующим аксиомам.
Аксиома ассоцидтивности : диаграмма
(«"/О
Х-Х*Х —* Х*Х
>"*) I 4 m
х»х ----------> X
m
коммутативна.
Аксиома левого обращения: диаграмма
Xх х	х*х
s f	|
X	X
Е
( $> - диагональный морфизм) коммутативна.
Аксиома левой единицы: дна мма
I
Х*Х —* Е *х —► Х*Х
коммутативна.
Упражнение. Сформулируйте аксиому коммутативности группы.
75
II.7.	В категории множеств Ёпь это обычное определе-
ние группы на несколько непривычном языке. Пусть X - множест-
во, x^JtX ; тогда в стандаптных обозначениях
еСЕ) = 1-
Аксиомы (в порядке их появления) записываются в виде:
0^)1= Х(^) ,
х’*-?С - 1
f V. - « ,
и, стало быть, превращают X в обычную группу.
П.8. Эквивалентность двух определений групповой структу-
gH. Пусть на X е Ов С задана групповая структура в смыс-
ле второго определения. Тогда для всякого Уе Ов С морфиз-
мы	индуцируют структуру группы на множестве У -
точек -it (.У) в СИЛУ предыдущего значения. Проверку совмести-
мости этих структур с отображениями СУ,) -+ Ь (У )
мы оставляем читателю.
Наоборот, пусть на ХбО€ С задана групповая структу-
ра в смысле первого определения. Мы хотим восстановить по ней
морфизмы »м, i, с..
а.	В группе <кА(ХхХ) есть "проекции":	: Х>Х-гХ
Положим rw - 31,ЛХ (произведение в смысле группового закона!)
б.	В группе	есть элемент . Обратный и нему
(в смысле группового закона) обозначим г .
в.	В группе к
его «- Е ,
Упрак алия. I) Доказать, что «м.ё,® удовлетворяют
аксиомам второго определения.
2) Проверить, что построенные отображения
(Е.) есть единичный, элемент. Обозначим
множество структур группы на X 1	I тс же в смысле
в смысле первого определения	J	£ второго определен!
взаимно обратны.
76
II.9.	Выясним теперь, как описываются групповые структу-
ры ке заданной аффинной схеме Х~ Sf>ecA в терминах ее
кольца.
Мы будем сразу рассматривать относительный случай, то
есть считать А К -алгеброй.
11.10.	Определение. Структура биалгебры на К -алгебре
определяется заданием трех гомоморфизмов К -алгебр ;
А “*> А ® А	("коумножение") ,
V; А	("кообращение") ,
t : Д -> К	("коединица") ,
которые подчинены следующим аксиомам.
Аксиома коассоциативности: диаграмма
А®А®А	*----- д®д
f	V
Ав>А <-------- А
Л
коммутативна.
Аксиома левого кообращения: диаграмма
А®А	♦—	Д®Д
I	t Г
А	А
к'
Е>£рт^кдл»и»у.
(левая v стрелка - умножение: Ctee-v-» а в ).
Аксиома левой коединицы: диаграмма
А®А А *—А А»А
(левая стрелка - умножение; левая стрелка в верхней
строке: a *v~* ( 9<к	).
77
Лингвистическое примечание. Серр называет бмалгебры
"бигебрами", очевидно ощущая как варва-ризм комбинацию "би-
ал" - "ал" происходит из артикля единственного числа "аль".
II.II.	Разумеется, это определение построено по двойст-
венности с определением II.6, так что групповые структуры на
К -схеме X_eSp«cA находятся во взаимно однозначном соот-
ветствии со структурами биалгебры на К -алгебре А .
Пример. Выпишем явно отображения ул о, ь длн аддитив-
ной групповой схемы Cf ® ^lsec 2-Гт] :
CD=T®1-Н®Т,
-Т
* Ст)-О
Читателю предлагается проделать вычисления
для остальных примеров, рассмотренных в п. 11.2.
II.12.	Определение 11.10 не только доставляет удобное
для вычислений описание групповых схем, но также позволяет
вскрыть существование красивой и важной двойственности, впер-
вые замеченной Картье.
Чтобы ввести ее, заметим сначала, что сама структура К -
алгебры на К-модуле А может быть описана данными, близки-
ми к тем, которые введены в п. II.10. Именно, эта структура
задается К -линейными отображениями .
и . А ® А -* А
к
ё . К ->А
. J4	а С
 е(,к>г1л
с аксиомами ассоциативности и коммутативности для уГ и едини*
цы для &, .
Если групповая схема \ к тому же коммутативна,
то есть коумножение /- "симметрично" ( ул с sojt , где
А® А -* А®Апереставляет множители), то мы получаем на
К -модуле А структуру "бикоммутативной биалгебры", кото-
рая определяется морфизмами модулей
(I)
А®А А А®А ,
К А -К,
А- А
и списком аксиом, часть которого содержится в п. II.10 (за
исключением коммутативности у- ), другая часть получается_за-
меной направления стрелок на обратные и превращением
в	; наконец, нужно еде потребовать, чтобы был
гомоморфизмом алгебр с умножением
Пусть теперь А - свободный К -модуль, А = Нож (А.К)
к 1 '
Тогда любая структура биалгебры (I) на А определяет струк-
туру биалгебры на А* , если перейти от (I) к двойственна!
диаграммам, отождествив ГА®А )*с А*(?А* и К* с К :
(1)»
U*	-*
. а*,*» а* А л* А . * А*
( А ®А —» Д —г А <®А ,
t* * г*	к
( К ~Z А К ’
( A*i А*.
Проверка аксиом биалгебры для А совершенно тривиальна.
II.13.	Определедке.^^^	(где А свобод-
ный К ->|одуль)^и^$*ляшя схема над К . Тогда .рупповая
схема X =^«А* (со структурой определенной выше), назы-
вается двойственной^по Картье схеме X •
II.14.	Пример-упражнение. Пусть \ = ji* , V - г.хе»©
циклической группы 2/и 2 . Доказать, что X^V,№^X
41.4£
Пример. Фиксируем К -алгебру К* ; пусть К является
свободным К -модулем конечного ранга.
Группа автоморфизмов алгебры К' над К является основ-
ным объектом изучения, например, в теории Галуа (где рассмат-
ривается лишь случай полей К'-эК )• Однако эта группа может
оказаться тривиальной - если расширение полей ненормально или
несепарабельно и т.п.
Функторная точка зрения подсказывает следующую мысль:
рассмотреть всевозможные замены базы К , то есть для пере-
менной К -алгебры L построить jj = |_® и вычислить
группу автоморфизмов АчЛ (^L/K). К
Мы одновременно покажем, что отображение L	Aut(L/L)
является функтором и что этот функтор представим.	,
Выберем раз навсегда свободный базис модуля К над К :
, w	(
к = ® к«.. В этом базисе закон умножения К задается сис-
1=4 v
темой коэффициентов с* ;
I '**’	I	I
Имеем, далее L- = ® L-С- (мы пишем е.	вместо 1 ® €	),
«-=< u	к С
и любой эндоморфизм г L-модуля L задается некоторой матри-
""	1VH
80
Условие того, что эта матрица определяет эндоморфизм ал-
гебры, записывается в виде соотношений
= х с.“ т(<>.
Записывая равенство коэффициентов при слева и справа в
терминах неопределенных коэффициентов Т\. , мы получим неко-
торую фиксированную систему алгебраических соотношений дляТ-,
с коэффициентами из К , выполнение которой необходимо и дос-
таточно для того, чтобы Т”, давали эндоморфизм алгебры L.' /L.
Автоморфизмы получаются, если мы введем дополнительную
переменную Т и добавим соотношение
T<kt СТ.Л-1 - О
у z
(ср. пример ClLa ).
Профакторизовав кольцо КТТ,Тц] по описанной сис-
теме соотношений, мы, как легко видеть, получим К -алгебру,
представляющую функтор L A u-t ( С /1_)
Эта К -алгебра является интересным инвариантом, заменяю-
щим в общем случае группу Галуа расширения К'/К.
Рассмотрии простейший частный случай, когда К - поле,
К’=К№) ,
Мы мохем положить здесь «,=1,	; таблица ум-
ножения сводится к е£ = а..
VCOH ; пусть Tr(\Q=T;+Ta\^.
Учитывая, что т; (,Va-)A= cl , находим уравнения, связывающие
Т и дополнительную переменную Т;
|V-t(LTa=<L,
< ЯЛ/ГХ=О ,
\ТТх-1«0
(последнее обеспечивает обратимость аг ). Теперь будем раз-
личать два случая.
6-1523
81
Характеристика |\ отлична от 2, так что 2 обратима в
любом К -алгебре. Функтор автоморфизмов представлен К -алгеб
РО1	VT,.-!)-
Если не имеет делителей нуля, то L - точки этой
алгебры устроены просто: так как ~ГЛ не должен переходить в
нуль, Т 0 , откуда -1 • Как обычная группа Галуа,
здесь группа изоморфна : автоморфизмы просто меняют знак
Га- ! Когда у X, имеется делители нуля, группа может быть
гораздо больие.
Характеристика К равна 2. Функтор автоморфизмов пред-
ставлен к -алгебре! К Гт,Тл ,Тх1/(Т/+а1;г+а. ГЛ;-!)-
Иначе говоря, L - точками здесь являются все t_ -точки окруж-
ности Т 2 -t aJT г - а. = О » в которых значение Т обрати-
мо! 1 Х	*
Посмотрим на это ближе. Пусть 1_ - поле и пусть (t^
такая L -точка; тогда либо t = 0 и мы получаем
тождественный автоморфизм, либо о. -	Значит, нетри-
виальные 1_ -точки могут существовать лишь если Га. € 1_ ;
тогда уравнение окружности превращается в квадрат линейного
(,Тп+х/£Тх+ \Го-)г = 0 и мы имеем целую прямую автомор-
физмов! (без точки Та,-0 ). Группа AutLJ/L_ здесь, оче-
видно, изоморфна 1_* (при итерации автоморфизмов коэффициенты
при Га. перемножаются.
Тем самым, несепарабельные расширения в некотором смысле
имеют даже больше автоморфизмов, чем сепарабельные. Причина
здесь состоит в том, что когда tL , алгебра 12-L®K'
содержат нильпотенты: действительно, K(Va) с i , так
что K(Va)® K(V<0 U ; с другой стороны, это произ-
ведение изоморфно K(V<t)IXj/(х*-л) — К CVa)
Автоморфизмы просто умножают на обратимые элементы.
Аналогично можно исследовать случай произвольных конеч-
ных несепарабельных расширений и построить для них теорию Га-
луа, которая является обобщением теории Джекобсона.
82
12.	Векторные расслоения и проективные модули
12.1.	Пусть	- некоторый морфизм аффинных
схем; к = Spec А , ^=SpecB , f MB -соответствую-
щий гомоморфизм колец. Мы хотим выделить класс таких морфиз-
мов, подобный локально тривиальным векторным расслоениям в то-
пологии.
Удобно начать с введения более широкого понятия "семей-
ства векторных пространств" (термин заимствован из кн я
Атья). Пример в п. 2.1 показывает, что аналог векторного прос-
транства V над полем К доставляет схема £pec-SK(V*) »
где V* " Н ОГИ V, к), $K(V*) - симметрическая алгебра
пространст V *. Заменив здес$ поле К на произвольное коль-
цо А , а пространство V^-на А -модуль Ь4 , мы приходим к
следующему ..ленив.
12.	. Спределение. В обозначениях предыдущего пункта
пусть М - некоторый А -модуль, Х: М - гомоморфизм
А -модулей. Предположим, что индуцирует изоморфизм Д -
алгебр	=5 g, . Тогда пара ( £ •, у.
называется семейством линейных пространств над 'A = S|>ec.A -
И паче говоря, на £> должна быть задана явная структура
симметрической алгебры над А : это определяет послойную ли-
неаризацию морфизма у .
Морфизм семейств векторных пространств над фиксированной
базой определяется очевидным образом. Категория таких семей-
ств двойственна категории Д -модулей, так что, в частности,
семейство определяется своим модулем с точностью до изоморфиз-
ма.
Для нас важнее сейчас другое понятие.
12.3.	Определение, В прежних обозначениях пусть еще дан
гомоморфизм колец Д -т д’ , определяющий морфизм схем
Х'=$>р<х А1 —> X ^$>|»есА • Рассмотрим семейство векторных прос-
транств,	yi-rx') • где \'=St>x.A,®B , 1‘=
= LA®£: М'= А®М-•>А»В.Это семейство называется индуцирован-
ным заменой базы X Ана X »
83
X1 действительно является семейством векторных прост-
ранств, потому что есть канонический изоморфизм
(D
S (а'®м) д’® < см).
А	А А
В частности, пусть А - поле; тогда У - "схема" век-
торного пространства (А®М) над А . Это означает, что
А
все слои семейства у •, У —* \ над геометрическими точками
являются векторными пространствами, что оправдывает название.
Размерности слоев могут, конечно, претерпевать скачки.
Отметим еще, что в силу (I) схема . у отождест-
вляется с расслоенным произведением Х'_*У , так что наша
операция замены базы в точности соответствует топологической.
12.4.	Определение. Семейство векторных пространств
(13 У —* X ) называется тривиальным, если определяю-
щий его А -модуль свободен.
Векторными расслоениями, естественно,называть те семейст-
ва векторных пространств, которые в окрестности любой точки
тривиальны. Не совсем ясно, однако, как определить свойство
локальной тривиальности; ведь окрестности точек в Срео А
являются лишь топологическими пространствами, но не схемами.
Здесь мы впервые сталкиваемся с задачей, которая будет систе-
матически исследована в следующей главе. Для ближайших целей
естественно принять следующее паллиативное определение.
12.5.	Определение. Семейство векторных пространств
(X; У^гХ)называется локально тривиальным в точке хеХ , ес
ли существует такая открытая окрестность LL э х , что для лю-
бого морфизма 4/« X' —* X со свойством	lL ин-
дуцированное семейство \ ‘ —* X1 тривиально.
Мы заменим сейчас это условие другим, которое легче про-
веряется. Прежде всего, специальные открытые множества D(0
(см. п. 4.2) образуют базис топологии Sf>ecA . Поэтому в оп-
ределении 12.5 достаточно рассматривать лишь окрестности UL’
84
Они обладают следующим замечательным свойством.
12.6.	Предложений. Пусть А - некоторое кольцо, jit А
не нильпотент, А^ - кольцо частных А относительно мульти-
пликативной системы " ) П7 о • Положим Х^ Spec
и обозначим через v: X® морфизм, индуцированный гомо-
морйицом А^А^:
Выполнены следующие утверждения;
a.	t определяет гойбморфиам пространств Х.^ и
б.	Для любого морфизма : X'-* X. со свойстве»»
с-существует единственный морфизм у* yj X/ такой,
что диаграмма	*
I
коммутативна.
Все это означает, что специальные открытые множества
снабжены канонической структурой аффинной схемы ( (J ) } L-il г
А/ } . Далее отсюда следует, что семейство векторных прост-
ранств "У -* X локально тривиально в точке хе Spec А , ес-
ли и только если для некоторого элемента A
семейство, индуцированное над , тривиально. Переводя это
на язык модулей, находим простое условие, которое будет ис-
пользовано позже.
12.?. Следствие. А -модуль М, определяет семейство
векторных пространств, локально ^тривиальнее в точке з;с2ресд,,
если и только если существует А , |(х) + О такой,
что А - модуль М, = А. ®Й свободен.
4	т • А
12.8.	Доказательство предложения £2.6.
а.	Прежде всего L определяет взаимно однозначное отоб-
ражение	на	(аналогичное утверждение верно
для любой мультипликативной системы SCA , а не только
). Действительно, пусть Д^ - простой идеал.
В 1523
85
Его прообраз в Д имеет вид р - cyt А | 3	, g Ц
Иначе говоря, 1(р0 есть идеал "числителей" элементов из
f>£ . Так как | /1 обратим в А^, если идеалы числителей
для и совпадают, то р-^ • Поэтому i - мономор-
физм. г
Наоборот, пусть р - любой идеал из . Тогда его
локализация = <{ $ /1п | дер] не совпадает с Д« , явля-
ется простым идеалом в и удовлетворяет условию р
Так как отображение ъ непрерывно, для доказательства
утверждения еще остается проверить, что оно открыто,
деле, как нетрудно убедиться,
первого
В самом
Ч V /(“'))--DQjnCUIXjj)-
б.	Второе утверждение выражает известное универсальное
свойство колец частных. Действительно, пусть у: А ’А -
такой гомоморфизм колец, что “'у (Sp«c-A') СР(() • Это оз-
начает, что | не принадлежит ни одному из идеалов
рь Spec А' , то есть что не обращается в нуль на
Урсе А* • Поэтому	обратим в А'. В категории таких
А -алгебр А -» А| является универсальны! объектом (см.
Ленг. Алгебра, гл. П, § 3). Это доказывает требуемое.
В частности, если ТЩ)= _D(j) » кольца А и А
канонически изоморфны: ср. п. 4, упр. I.	г 2
Теперь мы можем сформулировать основное определение и
главный результат этого параграфа.
12.9.	Определение. Векторным расслоением над схемой
А называется	векторных пространств, локально
тривиальное в каждой точке х е Spt* А .
В остальной части этого параграфа, если не оговорено об-
ратное, мы рассматриваем лишь нетеровы кольца и модули.
12.10.	Теорема. А -модуль М определяет векторное
расслоение над “spec. Д , если и только если он проективен.
Напомним, что модуль М называется проективным, если он
86
иоморфен прямому слагаемому свободного модуля.
Назовем модуль М , удовлетворяющий условию -12.7 для
всех точек х e Spec А , локально свободным. Теорема 12.10
утверждает, что класс локально свободных модулей совпадает
с классом проективных модулей. Это мы и будем доказывать: сна-
чала включение в одну сторону, затем в другую. Придется про-
делдовольно длинную работу; мы воспользуемся случаем я
установим по дороге несколько больше вспомогательных результа-
тов, чем строго необходимо в этом месте. Они пригодятся нам
позже в теории пучков.
12.II. Пусть с А - мультипликативное множество, со
дернащее I, но не О, М - некоторый А -модуль. Пусть -
локализация кольца А относительно S ; положим М = А ® М
л
и т.п.). Хотя здесь нам
, ничего не стоит получить
(но мы пишем вместо Aqh
нужны лишь сведения об A f > И.
их для общих ,S •
Элементы из А^ мы записываем в виде {еА, 4е<
тогда выполняются обычные правила действий над дробями. В чао
есть образ | при естественном гомоморфив-
Аналогично можно записывать элементы из М . , по
; легко видеть, что tm/ts-m//
тности, | ( 1
ме А А^.
Л ОЖИВ Vn.fi =
к далее
frt/j + п-с'/з’ — ( 4*im + i'nt')I 55 ! ,
Q В) ( иг/4' ) - pvt t
в частности, любой элемент из имеет вид ntp
12,52.	Лемма, гпр-= 0	3 t е£ такой, что
хм. - и . в частности, ядро естественного гомоморфизма
И г Г4 л •	•*’/1 состоит из таких элементов m , что
А пл М о $ t f/ 
Доказательство. t - С tm /i>\ = 0 = m/j , /Цгя
доказательства обратной импликации рассмотрим сначала частный
87
случай:
а.	М -свободный модуль. Пусть - свободный А-
баэис М тогда = т- /1 J - свободный А базис •
Положим m - Z	wt/i = O^ =0
для всех v =? d-but^, tcft =t?	• Поло-
жим t" = TT-fc^ J? (произведение распространено наконечное
множество индексов L , для которых frf О ); очевидно,
0 i пъ = 0 •
б.	Общий случай. Существует точная последовательность
г Хг Хм—О,
1 о	'
где Fo F - свободные модули. Умножая ее тензорно на А
J 1 ,
получаем точную последовательность
г	0
(см. Ленг. Алгебра, гл. ХУ1, § 2, предложение 6). Здесь мы
ПОЛОЖИЛИ (| =с<1д ® и т.ц.
Пусть	} ш = у(п-) , n a Fo . Тогда
^(л/«)’О	"7*=	= <f(«)/t ,raeCeF^
Ь а Д’ . Иначе говоря, (tn - sy(£)) /^ = 0 в Fe .
Так’как Го свободен, существует te$ такой, что г£л-
xs у(() в г . Применяя к этому соотношению у , находим
г t ш =
y('ctn)^ rs у°у> (_(.)- О,
что доказывает требуемое.
Заметим, что мы не пользовались нетеровостью.
12.13.	Следотвие. Пусть М - неперов А -модуль, |еД .
Существует такое целое число ср -у 0 , что | щ = 0 для
всех m е Kvt ( М-г .
1 Действительно, нужно выбрать свое значение о для каж-
'i
88
дой из конечного числа образующих ядра и положить ij, =	).
В доказательстве 12.12 мы использовали общье свойство
тензорного умножения; оно переводит короткие точные-последова-
тельности в точные всюду, кроме крайнего левого члена.
Однако умножение на А^ обладает более сильным свойст-
вом: оно сохраняет точность полностью. Технически говоря, А&
является плоской А -алгеброй.
12.14.	Предложение. Для любой точной последовательности
А -модулей М X Л/ Р последовательность А -моду-
лей
Мв АЛ Р
S $
точна.
Доказательство. у*у = О	= 0 kety^=>In>^
Наоборот, пусть n/te Kot <^ ; тогда уКЧ/з —С , отсюда,
по предыдущему, ty(n)-0 для некоторого "t fc $ . Значит,
tn=if(»«.) .откуда п/i = bt/ts = if (к) /и = и'(m/bs),
что доказывает требуемое.
Пусть теперь : М-*Л/ - гомоморфизм А -модулей,
f е А .Он индуцирует гомоморфизм А, -модулей : М,-?Д/,,
•	•	‘	• Г
=*-«д ®Ч> (мы будем говорить иногда, что и> поднимается
до ц> )/ „	4
1 ’ Лемей
12.15.	¥Пусть F - свободный нетеров А -модуль, М -
нетеров А -модуль, | €. А. М^- свободный А^-модуль.
Тогда для любого гомоморфизма	существует та-
кое целое число , что гомоморфизм	-г
нимается до некоторого гомоморфизма : M-*F.
Доказательство. Прежде всего, свободен с конечным
числом образующих, так что "состоит" из конечного числа
координатных А.-гомоморфизмов М|-#А^. Если после умноже-
ния на надлежащую степень каждый из них поднимается до
М -? А , то же верно и для is . Поэтому мы будем считать,
ЧТО Р = А.
под-
89
Пусть mt- (vh ,kv) - система образующих M . Умножив
(с на подходящую степень | , мы можем считать, что yni.p-
- Чс/1 , у € А , для всех i .
Напрашивается мысль поднять у. А^ до гомоморфиз-
ма у. И-"' А , положив if (mj = gt- . Это, однако, может
оказаться невозможным из-за наличия соотношений У~ £гп-0
К	П	i-f 'и *	>
для которых	. Но всегда Л
поэтому множество
14	т
=А
i-1	1=1
в силу 12,12 образует нетеров А -подмодуль, принадлежащий
ядру А^А| . По следствию 12.13, этот подмодуль аннулиру-
ется умножением на для некоторого . Отсюда следует,
что существует гомоморфизм И А • для которого
; • Леииа доказана, потому что
Теперь мы можем установить первую часть теоремы 12.10.
12.16.	Предложение, Локально свободные модули проективны.
Доказательство. Пусть М - нетеров локально свободный А -
модуль, Г ^М~*0 - некоторый эпиморфизм, где F - нетеров
свободный модуль. Мы хотим доказать, что К выделяется из F
прямым слагаемым; для зтого нужно найти гомоморфизм - сечение
Ч>: М -» F t для которого у у =	, Более общо', вве-
дем А - модуль
Р - { и Н
©ж
А
Покажем сначала, что для любой точки хе Spec А найдется
элемент рА ,	такой, что	£Р для
некоторого а 0	t1
Для этого выберем | так, чтобы был Ар-свобо-
ден. Тогда гомоморфизм Гу*М^-гО имеет сечение
у	—* F	* в силу 12.15 .ру поднимается до гомо-
90
морфизма /: МF (для некоторого 'to? О ). Так как
у о*|> =UM , отсюда следует, что (у-о/.)^ = р«1м ,
в частности^	),(yv’i')=0 для конечного числа
образующих ; модуля М . Поэтому для некоторого it О
имеем	) = 0	, так что ^t+tUH==(pf^£P
Теперь выберем из покрытия Spec А ~ О ( f (,-x.jt‘O
.хе$р«д к х J
свободен над А^ ) конечное подпокрытие U	:
это возможно в силу квазикомпакгности Spec А : см. п. 4.15
Л
Найдем общее число м, , для которого f id е Р
’	V	* L
при всех v . Так как D(f• ' )= D(ft, (|/) порождают
единичный идеал. Из соотношения £ii.paf следует

Это завершает доказательство.
.1,. Теперь мы должны установить, что проективные мо-
ули локально свободны. Сначала мы проверим это для более
сильной процедуры локализации, вплоть до локального кольца.
Следующий простой, но фундаментальный результат извес-
тен под названием леммы Накаяма.
12.18.	Лемма. Пусть А - локальное кольцо, р с А -
максимальный идеал, М — А -модуль конечного типа. Если
М=р И , то
Примеры, показывающие необходимость условия конечности.
а.	Пусть Д - без делителей нуля, М - его поле част-
ых. Очевидно, если рф-Jo} , то р И = М ,но
б.	Пусть А - кольцо ростков С °°-функций вблизи ну-
ля в fR , р - ... еал функций, обращающихся в нуль в начале
СО
координат; М = 0 рп - идеал "плоских" функций, т.е. имею-
щих s нуле гсэ нулевые производные. Нетрудно установить, что
р М- И • Это следует из того, что для любой плоской функ-
S1
ции | и координатной функции ос частное /*	, доопре-
деленное нулем в нуле, является плоской функцией.
Доказательство леммы Накаяма. Пусть	» выберем
минимальную конечную систему образующих im,,. модуляМ.
Так как И - р М . имеем = Д 1 |-v fc р > то
есть (4 {J =Х’. Так как элемент |-| 4Р об-
ратим, М1 выражается линейно через ж .	, что противо-
речит минимальности системы образующих.
12.19.	Следствие. В условиях леммы Накаямы, если элемен-
ты FF-- pH li = l, ,г) порождают М/рМ
как линейное пространство над полем А | р , то элементы
*^1 порождают А -модуль И . В частности, образующие А/р-
иространства р/р5 порождают идеал р .
Доказательство. Пусть М1 = И / (A w,+ . ..+• А ; так
как И = рИ +	+ ... + А»*г , имеем М' = рМ' , отку-
да М' = О.
12.20.	Предложение. Проективный модуль М конечного ти-
па над локальным кольцом А свободен.
Доказательство. М / р М - конечномерное пространство
над А/р ; пусть	i =1,-его
базис. По предыдущему, т. составляют систему образующих И ;
покажем, что она свободна. Рассмотрим эпиморфизм F-’-M-’-O,
где R = А х - свободный модуль ранга т , свободные образующие
которого отображаются в (»*)•). Так как И проективен, су-
ществует сечение v М R . Оно индуцирует изоморфизм
(р: М/р И —* F/p F » потому что размерности обоих линейных
пространств равны t . Отсюда следует, что Г= (р[М) + р F ,
или Г/(р(М) = р	• в силу леммы Накаяма Г=^(И),
так что ip - изоморфизм. Предложение доказано.
Мы можем, наконец, закончить доказательство теоремы
12.10.
12.21.	Предложение. Проективный нетеров модуль М над
нетеровым кольцом Д локально свободен.
92
Доказательство. Пусть xeSf>ecA , рс А - соответ-
ствующий простой идеал. Обозначим через Д локальное кольцо-
локализацию А по мультипликативной системе Дхр (не-
последовательность обозначений - ср. А^ и Ар - общеприня-
та). Модуль М = А ® М проекгивен и, следовательно, по
f> ГА
12.20,	свободен. Выберем его Ар-базис; приводя элементы ба-
зиса к общему знаменателю, можем считать, что они имеют вид
, ги-бМ, geA ,	rv . Рассмотрим гомомор-
физм у , А* —> И , пере водящий элементы свободного ба-
зиса А^ в	» и положим К-Kot (f , C-Cokuy>.
Умножив точную последовательность - модулей
(I)	t с-о
тензорно на Ар (это кольцо является локализацией также Aj.
по А^хр^ ), мы,по 12.14,получим точную последователь-
ность Ар -модулей. Но ее средняя стрелка является изомор-
физмом, поэтому А ® К АО} и А ® С =•{о/. Пусть к\ к
РА.	Г Д„ I J	> 1 iJ
с< ) > сг - образующие А -модулей	в силу леммы
"	i
12.12 существуют элементы Ji t ( к,
-4i.ic.= 0 h'c =0 ; в частности,
> d I
аннулирует К и С. Пусть к . |/д
С. . Умножая точную последова-
тензорно над А „ и пользуясь
такие,что
s .
1	j=1 J 3
f е Д'-p ; тогда
даже 11 аннулирует К и
тельность (I) на (А^ )|Л
изоморфизмом А с -модулей
изоморфизм	oj. ,
Так как (х) f 0 , М
Доказательство закончено.
I$ , находим
потому что К. = 4t>} С
локально свободен в точке jt .
93
13. Нормальное расслоение и регулярн”о вложения
13.I.	Определение. Пусть У - замкнутая подсхема схемы
X=Spec А » определенная идеалом о> . Тогда	- модуль
называется ненормальным модулем к у (относительно
погружения V ^Х ), а семейство векторных пространств
/V = Spec	“ нормальным семейством.
С этим определением связаны наглядные дифференциально-
геометрические представления: а. - идеал "функций" на X
обращающихся в нуль на У , аЗ - функции, обращающиеся в
нуль" не ниже второго порядка" сс/оЗ - модуль линейныа
частей этих функций в окрестности У . Касательный вектор
X в некоторой точке из У определяет линейную функцию
таких линейных частях.
Нормальный вектор к У (при отсутствии естественной
в точке ч ty
к
на
мет-
Позтому в
"достаточно рег^врных" случаях а/ок-
рики) - это класс касательных векторов к X
по модулю тех из них, которые касаются У , то есть обраща-
ются в нуль на линейных частях функций из ct
образуют (локально)
пространство, двойственное к пространству нормальных к У
векторов. Этим объясняется название "ненормальный модуль".
Этот модуль, вообще говоря, отнюдь не является свободным
или проективным, но есть очень важный класс подсхем, для ко-
торых это так.
13.2.	Определение. Последовательность элементов г
кольца А называется регулярной (длины тг) , если для всех
i £ п- элемент mzU (f, ,	не является делите-
лем нуля в кольце А / ((, , > {<.-0	• (уДОбн° считать,
что пустая последовательность регулярна длины Q и порож-
дает нулевой идеал).
Замкнутая подсхема У <= X = $ рес Д называется
регулярно вложенной (коразмерности тг), если в А существу-
ет регулярная последовательность длины п , порождающая иде-
ал подсхемы У .
Геометрический смысл регулярности становится вполне проз-
94
рачен, если вспомнить теорему 7.14. Мы задаем У , постепен-
но добавляя по одному уравнению - 0 . Так получаетсн
убывающая последовательность подсхем X=y<=»'/Z=.,. =у^=у.
Условие регулярности состоит в том, что Ус не должна содер-
жать целиком носитель ни одной иг компонент несократимого
примарного разложения Vi_1 . Иначе говоря, очередное урав-
нение	должно быть "трансверсально" ко всем этим но-
сителям (в очень слабом смысле слова).
Иногда о регулярно вложенной подсхеме говорят, что она
твляется "полным пересечением".
13.3.	Предложение. Пусть У <-» X - регулярно вложен-
ная замкнутая подсхема коразмерности ft . Тогда ее ненормаль-
ный модуль свободен ранга п. .
В частности, число ft не зависит от выбора регулярной
системы образующих идеала, что позволяет называть его кораз-
мерностью.
Доказательство. Пусть а - ({tj   с А , где ,( -
регулярная последовательность. Очевидно, элементы vwdta.
порождают А /а. -модуль a>fa.3- . Поэтому достаточно прове-
рить, что они свободны. Проведем индукцию по ft .
Пусть сначала нН ,	{ , £ = g mJ АО . Если
|4 = 0	» то	= ДЛЯ некоторого h е\Д , откуда
4 ( З'МЬ^З’Ч’ иб° { “ Н€ Делитель нуля в А . Следо-
вательно, J-0.
Пусть результат уже доказан для регулярной последователь-
ности (fl >. ,(*.<) . Допустим, ЧТО	в afo*
где с|. - улоА ц. . Можно считать, что у п .р. = 0 в Д :
п	и.	°
иначе 2Z	’ где uve,tL * и можно заме-
нить g . на	,не изменив
Так как класс | не является делителем нуля в кольце
.U,)/3 Равенства	следу-
ет, что	. т° есть'	,
• 'i
95
n-t
откуда 2Z	= 0	. По индуктивному предположе-
i
нию, отсюда следует, что	((,, ..,£„.х) ПРИ
i = f .. t п- 1	, так что а «, для всех » , то есть
= о , что завершает доказательство.
Более общее понятие локально регулярно вложенной под-
схемы получится, если имитировать рассуждения п.п. 12.5-12.7.
Оставляя читателю подробности, заметим лишь, что рабочая фор-
ма определения такова: подсхема У X называется локаль-
но регулярно вложенной в точке У » если существует та-
кая окрестность DC()3y , что	регулярно
вложена в £>(()• Пересечение У fl Dff ) , разумеется, оп-
ределено идеалом 0.^ с Д и совпадает о расслоенным произ-
ведением У х %, (ср. п. 12.6).
К *
Нормальные семейства к локально регулярно вложении»
подсхемам являются векторными расслоениями. потому чт
(о_/а?)	так что А/а.
схемы локально свободен.
модуль а./а/ для такой под-
Заметим, что подсхема вполне может быть локально регуляр-
но вложена, но не глобально. Впервые это выяснилось в теории
чисел.
Пример. Пусть A - конечное целое расширение; иначе
говоря, А - кольцо целых алгебраических чисел некоторого по-
ля К. Если число классов поля К больше единицы, в А есть
неглавные идеалы а, < А (даже простые). Однако любой такой
идеал, как известно, является "локально главным". Поэтому сь
определяет локально регулярно вложенную подсхему коразмернос-
ти единица.
Пусть теперь х е X - замкнутая точка; будем для крат-
кости обозначать через х также единственную приведенную
подсхему с носителем в этой точке. Обсуждение в п. 13.I пока-
зывает, что ненормальный модуль к х является аналогом ка-
сательного пространства к X в этой точке. Это - так называ-
емое "касательное пространство Зариского".
Замкнутые точки могут быть, а могут и не быть локально
регулярно вложены.
96
Например, все замкнутые точки пространства А. =
Spec	- для простоты предполагается алгебраичес-
ки замкнутым полем) в силу результатов п. 8 отвечают идеалам
(T^-tn	• Выписанная система образу-
ющих такого идеала, очевидно, является регулярной последова-
т-ельностью.
Чтобы получить примеры нелокально регулярно вложенных
точек, достаточно рассмотреть спектр локального артпнова
кольца, но не поля: все элементы его максимального идеала-ниль
потентны и поэтому не существует системы образующих, первый
элемент которой не есть делитель нуля»
Более содержательные примеры доставляют гиперпове рхно стп,
то есть подсхемы аффинного пространства , заданные одним
уравнением.
13.4.	Пример. Пусть X с - замкнутая подсхема, про-
ходящая через начало координат « п определенная уравнением
F = 0 , где F= F ± Г +... ( Г- - форма I ~й степени от
Ь	V	Y
Точка ос локально регулярно погружена в л , если и
только если + 0.
Следствие. Пусть F СЦ,О , -Ь & К” . Точ-
ка « , определенная идеалом (••• (T-t.)) детально регулярно
погружена в X , если и только если
Э«,	(ч-Л.)*»-
Действительно, перенесем начало координат в (t,r/tn);
тогда линейная часть F вблизи нового начала будет равна
X —	Л/) (T—tJ
«ат	’	' i- ' >
и остается применить утверждение 13.4»
7-1523
97
Этот дифференциальный критерий показывает, что охально
регулярно погруженные точки в точности совпадают с тени, кото-
рые в классической теории называются "неособыми".
Оставляя систематическую теорию таких точек на будущее,
ограничиися здесь линь теш общими фактами, которые нужны для
раэбора примера 13.4.
Сначала мы проверим, что если F О , то начало коор-
динат локально регулярно погружено в X • Для этого нужна
следующая лемма.
13.5.	Леша, Пусть	- регулярная последова-
тельность элементов в кольце А . Тогда последовательность,
полученная из нее любой перестановкой, тоже регулярна.
Доказательство. Как известно, симметрическая группа по-
рождена перестановками, которые меняют местами два соседних 1
элемента. Поэтому достаточно установить, что если последова-
тельность	{ и.) регулярна, то же верно для
.Заменив кольцо Д на А/((',.
сведем дело к случаю, когда i = I , я = 2- . Это мы и будем •*
предполагать дальше.
Итак, пусть последовательность	регулярна. Пока-
жем, что (.(,,/,) также регулярна. Пусть д, е Д^2 ;
нужно установить, что	Действительно:
=*	^иб°	А регулярен в	),
откуда	£ ) = 0 , то есть %. , потому что
% 1 регулярен в Д . Леша доказана.
13.6.	В условиях 13.4, если R|=f 0 , то начало коорди-
нат локально регулярно погружено в X .
В самом деле, сделав невырожденную линейную замену пере-
менных, можем считать, что F, =	•
Для любого элемента (3 е •('['Tj , - ,ТП] обозначим через
& класс	в кольце В“ К[Т,5. Ди1/(О
схемы X •
Прежде всего, элементы ~Га).. Дй образуют регуляр-
ную последовательность в кольце ft /ГД , потому что
98
р =	, Q^K. По лемме 13.5,
р Тд . . э Т^. х тогда также образуют регулярную последова-
тельность. Стало быть, Тх j.jX, - регулярна^последователь-
ность в кольце £ . Пусть Сг(Т )е	такой многочлен,
что Г(Т)= 6(7,)^ jrJ. Корень_'Т1= 0 у СхСТ,)
имеет кратность единица. Поэтому идеал . /Та) в кольце
£> определяет замкнутую подсхему с носителем в конечном
числе замкнутых точек, причем начало координат входит в нее
"с кратностью единица". Отсюда уже легко следует требуемое.
Формально положим Н (Т,) = б-(Т, )/Т, , Н = Н n*cd(F).
Тогда в D(H ) с X идеал (Тх/1}. X / I ) есть в точ-
ности идеал замкнутой приведенной подсхемы с носителем в на-
чале координат.
13.7.	Для доказательства утверждения, обратного к 13.6,
заметим прежде всего, что достаточно рассматривать локализо-
ванные кольца. Точнее, пусть р= (То.. ,ТЛ) с А , р -
с В . Если начала координат локально регулярно по-
гружено в X , то максимальный идеал локального кольца В —
должен быть порожден' регулярной системой элементов. Но
В_ = Ар /(₽/!) .
Далее, в А максимальный идеал порожден.регулярной систе-
мой (тJi . , Т^/1) , а условие = 0 означает, что
F/1 принадлежит квадрату максимального идеала. Поэтому
остается установить следующую лемму.
13.8.	Лемма. Пусть А - нетерово локальное кольцо, р с А~
его максимальный идеал, порожденный регулярной последователь-
но сгх>ю длины п . Если { е р* , | регул»)**, то в локальном
кольце А/(() мак шильный идеал не может быть порожден
регулярной последовательностью.
Доказательство. Пусть максимальный идеал в A/(f) по-
рожден регулярной последовательностью	, где
ц ) t А •	(.(, go jSk) “
99
гулярная последовательность в А , порождающая р .Так как
длина любой такой последовательности равна п (п. 13.3), мы
должны иметь к= . Но элементы	-•,$><) по”
рождают в п. -мерном	А/р-пространстве р/р*- подпрост-
ранство размерности 4 к = n—1	, потому что / е рг .По-
лученное противоречие доказывает лемму и завершает разбор при-
мера 13.6.
100
14. Дифференциалы
Пусть А |В - кольца, F> — А-алгебра. Как в п. 10.8,
положим
1 “1 в/А = КетУ , в = в®в-*В ,/(WJ4V
Очевидно, х - идеал в Вв>Е> и
А
14.1. Определение. FS -модуль
В®В/1 -В.
А
О 1	= I / т1
%/д	1 В/А 71 В/А
называется модулем (относительных) дифференциалов А -алгеб-
ры В (объяснение названия см. ниже, в п. 14.2).
По предложению 10.8, идеалТопределяет диагональную под-
схему А* С X X X , где X = Spec В ,	= Spec А .
Согласно интерпретации в п. 13.1, модуль Q1 является
р/А
конормальньм к диагонали. В дифференциальной геометрии нор-
мальное расслоение к диагонали Д изоморфно касательному
расслоению к самому многообразию X : обычное рассуждение сос-
тоит в том, что, снося векторное
поле на одном из слоев произ-

дуля" к X (вдоль слоев морфизма
ведения X х X "параллель
но" на диагональ, мы полу-
чаем векторное поле, всюду
трансверсальное к диагона-
ли (см. чертеж). Поэтому
& 1 является кандидатом
В/А
на роль "кокасательного мо-
X -г £ )• С другой сто-
роны,при интерпретации нильпотентов в п. 5 в качестве анало-
га "касательного модуля" к X (над $ ) выступал В -
модуль D В/А дифференцирований А -алгебры В, (каса-
тельное поле на X '’есть”дифференцирование кольца функций на
X ).
101
В дифференциальной геометрии касательное и кокасатель-
ное расслоения двойственны. Здесь это, вообще говоря, невер-
но: лишь "одна половина" двойственности сохраняется:
(I) db/a =	,в).
Тем самым е>/д восстанавливается по ^^/д ♦ 510
не наоборот. Это объясняет преимущественную роль дифференциа-
лов перед дифференцированиями.
Мы докажем более сильное утверждение, чем (I), но преж-
де отметим, что в ряде вопросов полезно рассматривать "диф-
ференциальные окрестности диагонали" более высоких порядков,
представленные подсхемами Spec В® Ь / I , и-?-1 .
Они заменяют "пространства д*етов" дифференциальной геомет-
рии.
Определим отображение
‘^ь/а '• Ь -* S2 В/А
формулой
4(€)=	I*
14.2. Лемма. I) Отображение d является А - дифферен-
цированием, то есть удовлетворяет тождествам:
а(<А) = MV ,
d	, а.е А ,
где А~>В - структурный гомоморфизм.
2) Г'/сть (6. )- некоторая система образующих А -алгебры
В .Тогда	составляют систему образующих В -модуля
102
Доказательство. Первое утверждение проверяется б ? тру-
др; ограничимся тождеством для	:
зсть, что умножение в Q /А на & индуцировано умно-
В/А
жением на € ® f или на 1 ® С в I д/6).
Для доказательства второго утверждения заметим сначала,
что
2-е®^'е1	'-о
•	Ъ/А	‘	i ь
®«/-Х е-в''!
Отсюда следует, что ^\,/д как Е> -модуль ; -ш
.^ментами вида при всех	. Так как - диф-
.енцирование, обращающееся в нуль на образе А , т отсюда
легко получается требуемое.
14.3.	Пример. Пусть В=- А£Тъ...,ТЛу. Тогда -
свободный В -модуль, свободно порожденный эл ментами .
14.4.	Предложение. Для любого дифференцирования А’:
кольца В в В -модуль И , обращающегося в нуль на образ
А , существует единственный гомоморфизм В -модулей
tp. Q1 -> М , для которого
• В/А	'
4.’-гаь/л .
(Применяя этот результат к И = Р> , получим изоморфизм
(I)).
Доказательство. Единственность ш немедленно следует
из того, что	для всех feeg, , так что у од-
нозначно определен на системе образующих Q1
В/А
103
Для доказательства существования определим сначала го-
моморфизм групп
р. в®в -* м ,
А
положив /. (€®е’) =-,
"г 2.
Он обращается в нуль на 1^д. Действительно, прежде все-
го, X является гомоморфизмом £> -модулей, если действие В
на В®В определить через в	. Далее, как было по-
А
казано выше, элементы	порождают В -модуль
I. Поэтому попарные произведения
порождают В -модуль Следовательно, достаточно прове-
рить, что X обращается в нуль на них. Действительно,
Поэтому X индуцирует некоторое отображение (р
Имеем
(<U)= ср(€®<	= 44,
что завершает доказательстве.
14.5. Рассмотрим теперь следующую ситуацию. Пусть 1;Ус,Х~
замкнутое вложение схем. В дифференциально геометрической мо-
дели при соблюдении некоторых условий регулярности ограниче-
ние на У касательного пучка к X содержит касательный пу-
чок к У , а фактором является нормальный пучок к У . Мы
хотим выяснить, в какой мере это перенести на случай схем.
Переведем вопрос на алгебраический язык.
Пусть В - некоторая А -алгебра, € с В - идеал. Тогда
В=6/€ также является Д -алгеброй, и мы имеем относитель-
нее А ) кокасательные пучки к SptxEb и
, представленные модулями Q* , и .
е>/А	е>/А
ные (над
В
104
С другой стороны, ненормальный пучок вложения SpccK-^-SsecES
представлен	-модулем 6/61 . Аналог классической
ситуации доставляет
14.6. Предложение. Существует точная последовательность
В / 4 -модулей
Л -*о.
е>	ь/д
Доказательство. Определение гомоморфизма Р . Пусть
£её/4* представлен элементом ее# ; положим
= i ®d .
В/А
Результат не зависит от выбора е , потому что если е = 0 ,
то есть е eg* , то de е 4	, так что
1 ®d„ . С • То, что ? является гомоморфизмом групп,
В В/А
очевидно; совместимость с действием £,/€ следует из то-
го, что для любого элемента { гмЛ G имеем
= d(fe) *1 g>	Ле
в	В	В
Определение гомоморфизма ц. • Отображение В —
Q£_	, для которого
В/А
(|n<x>c!g)
очевидно, является дифференцированием над Д . Поэтому (п.
14.4) его можно пропустить через некоторый однозначно опреде-
ленный гомоморфизм £ -модулей	> О . Так как
в/А в/А
второй модуль аннулируется умножением на 4 , этот гомоморфизм
определяет гомоморфизм 6/^ -модулей
Б/# ® Q1 й4
В &/А	1/А
8-1523
105
который, по определенно, и есть и . Легко видеть, что
и, следовательно, является эпиморфизмом.
Проверка того, что ц • S' = О:
iz® S' (e]s='u(f6l(ie)=cl(e <м>Л €) = 0.
Точность в среднем члене. Построим гомоморфизм
V! й1 — В® й1 / 1^9
такой, что и. и v будут взаимно обратны. С зтсй целью
определим сначала дифференцирование ct': В -*В llrni
В &/А
положив
dt'(.{) = 4 ®АВ/а f иллЛ Ьи?,
О
Независимость от выбора следует из того, что 1
при ее € . Это дифференцирование определяет гомоморфизм тг.
Так как
ц.тг (Af ) =	,
1fo1l ( t	^) =	ГИоЛЬмР,
v и U взаимно обратны на некоторой системе образующих
наких модулей, что доказывает требуемое.
Отметим отличие от дифференциально-геометрической ситу-
ации; может оказаться, что Ке* , даже в случае, когда
подсхема У о X вложена регулярно. Вот пример.
106
Пусть х = Spec Z , У = Spec Z/p 2	, где p - прос-
тое число;, $ = Spec Z • Тогда S21 = О и = ® 5
между тем »/€ - одномерное линейное пространство над
^/Р2-
Неформально говоря, "в арифметическом направлении" нель-
зя дифференцировать.
107
15.	Отступление: проблема Серра и теорема Сешадри
Серр поставил следующий вопрос: существуют ли над аффин-
ным пространством размерности ft нетривиальные векторные рас-
слоения?	ЛМ
Иначе говоря, любой'Агетеров проективный модуль над коль-
цом многочленов К Ст,,... ,1"^] ( К - поле) свободен?
При n.=i кольцо К[Т] является целостньы кольцом
главных идеалов. Поэтому любой нетеров модуль без кручения
(в частности, всякий проективный модуль) свободен (Ленг. Ал-
гебра, гл. ХУ, § 2).
При п =5, нетривиальных расслоений также не существует.
Эта теорема принадлежит Сешадри; ее доказательству посвящен
этот параграф.
При	ответ на вопрос Серра дс сих пор неизвестен.
Задача крайне привлекательна и имеет все черты "классичности":
она очень естественна, относится к фундаментальным объектам и
трудна. Во венком случае, десять лет со времени ее постановки
не принесли существенно новых результатов о кольцах многочле-
нов сверх теоремы Сешадри и следующего факта, установленного
самим Серром.
15.I.	Теорема. Пусть Р - нетерсв проективный модуль
над кольцом К С7, э...,J . Тогда существует такой нетеров
свободный модуль р , что р ф F свободен.
Иначе говоря, векторные расслоения над аффинным простран-
ством стабильно свободны в терминологии топологов.
Доказательство легко следует из "теоремы о сизигиах1'
Гильберта, естественное место которой не здесь.
Мы ограничимся поэтому теоремой Сешадри. Она относится к
классу колец, включающее креме К	, например,Z Гт].
15.2.	Теорема. Пусть Д - целостное кольцо главных идеа-
лов. Тогда любой проективный нетеров AfT] - модуль р сво-
боден.
Доказательство будет разбито на ряд лемм. Его движущей
пружиной является простое замечание о том, что если А -поле,
108
то теорема известна. Из Д можно "сделать" поле двумя спосо-
бами: перейти от кольца А к его полю частных К или к фак-
тор-полю Д = А/(р)	. где р - любой простой элемент.
Модули К fT] 0 Р и Д. [у] ® р скажутся свободными.Вос-
АГП	АП1
пользуемся по очереди этими двумя обстоятельствами.
15.3.	Лемма. Существует точная последовательность А Гт] -
модулей
(D
0-*F-*P~* Р/F-О
со следующими свойствами:
a.	F - максимальный А [Т]-свободный подмодуль Р.
б.	AnnP/.F Л А
Доказательство. Пусть	- свободный КТт]-ба-
зис модуля КГТ]®Р . Существует такой элемент O^-feA ,
что im t = f е р К ГП® Р • Подмодуль f' ср .по-
рожденный элементами щ,. ,<=4,. свободен. С другой сторо-
ны, любой элемент из конечной фиксированной системы обргвую-
щих модуля р представляется в КСТ]®Р в виде линейной
комбинации 2Z Р^(ь) ин (	, где F. (т) е КТТ] . Общий
знаменатель коэффициентов всех многочленов Г. (Т) в А ан-
нулирует P/F' . Теперь в качестве F можно*1 взять максималь-
ный свободный подмодуль Р , содержащий F* : он существует в
силу нетеровости. Очевидно, Ann Р/г => Ann V/ р' , так
что Апл Р/ рлА • Лемма доказана.
Дальше мы сохраняем обозначения леммы (1) и намерены при-
вести к противоречию предположение о том, что R *р .В та-
ком случае Ann V/V nA =(£)«= А • f необратим (ибо А -
кольцо главных идеалов). Пусть р - простой элемент A t деля-
щий Г • Положим -& = А/(р) и умножим точную последователь-
ность (I) тензорно на 4гт] над А Гт] , положив F^F/pR=
=&ГТ]®Г и т.п.:
А Гт]	_
F -^Р
Вх-1523
109
Пусть E| -^м-1 } у =Г»* t . Так как Р проективен над
-ICTj	, не имеет кручения и, значит, свободен. Следо-
вательно, тоже свободен и выделяется из F прямим слага-
емым, так что определена расщепляющаяся последовательность
свободных £ [т]-модулей:
(2)	0 -* Г, i р Л -г 0 .
15.4.	Лемма. Г, +{£>}•
Доказательство. В самом деле, j(F))=pPcFy/pF.
Пусть ^ = |°з . Так как gfAn-nP/F ОА .имеем gPcpF=?
(ибо р не имеет кручения). Но pgP=|P<=pPnF
так что тем более р Рл F р F . Лемма доказана.
Последний шаг требует некоторых дополнительных соображе-
ний.
|Г с р , имеющий
15.5.	Лемма. Существует свободный AfT] - подмодуль
свободное прямое дополнение и такой, что
говоря, последовательность (2) можно поднять
до расщепляющейся точной последовательности свободных модулей
над А ГТ] -
15.6.	Вывод теоремы 15.2. пусть R, с F - подмодуль,
существование которого утверждается в лемме, F^cF - его
свободнее прямое дополнение. Так как F /р Г( = i , все
элементы с F с р делятся на р внутр: Р . Положим
Г5' = ^ тер|
г- 1
Очевидно, F свободен (умножение на р определяет изомор-
физм р^’ р ) и строго больше (по лемме 15.4). Поэтому
модуль р’ =1F,*®FacP свободен и содержит F в качестве
собственного подмодуля, что противоречит максимальности F и
завершает доказательство теоремы Сешадри.
15.7	Доказательство леммы 15.5.
Любой автоморфизм (у модуля F индуцирует некоторый
автоморфизм модуля F . Нам понадобится следующее вспсмо-
110
гательнс: утверждение:
Откровение	f>L (п, A [Tj) (п}1 ГтЗ)
сюръективно» Для доказательства воспользуемся классическим
результатом о приведении матрицы над евклвдовьм кольцом 1Гт]
к диагональному виду "допустимыми преобразованиями". Этот ре-
зультат содержится в книге ван дер Вардена "Современная алгеб-
ра", т. П, § 108, где изложен на языке базисов. Для его фор-
мулировки обозначим через I единичную
4 ГТ1 , через ) (соотв. f и3)
(«,•*) матрицу над
) - матрицу, получен-
ную из I перестановкой г-й и j
через Е^ - матрицу, у которой на
на всех остальных местах - нули.
—й строк (соотв. столбцов}
((])-м месте стоит I, а
Доказательство "теоремы об элементарных делителях" в
книге ван дер Вардена показывает, в частности, что в фиксиро-
ванном базисе Р любой автоморфизм с определителем единица
представляется в виде произведения матриц одного из следую-
щих типов:
а) Т +<Ё • Л 6k ГТ] }
в) Iй*1 ,
г) диагональные матриц с коэффициентами из k и с оп-
ределением единица.
Матрицы первых трех типов поднимаются дс матриц из
SL (tij А Гт] ) очевидным образом. Матрицы третьего типа
разлагаются в произведение диагональных матриц с определите-
лем I, у которых лишь два диагональных элемента Ф 1 . Тем
самым, задача сводится к подъему матриц вида
до матриц из ^L(SjA).
Это можно сделать совершенно -Элементарно. Выберем снача-
ла элемент | £ А такой, что £ = f’nwjfp) , затем элемент
о€ Д такой, что {-1 - g w>(р) и = l (это воз-
можно в силу китайской теоремы об остатках). Теперь

in
Решил А ура ?,ление ^х + <^=£
_	» так что матрица
; тогда
(f* л решает
k ГУ- Ч'РХ/
нашу проблему.
Вернемся теперь к доказательству леммы 15.5.
Выберем свободный ALT1- базис (mJ модуля Г ; его
редукция по модулю р даст свободный -£Гт] - базис(т. )
модуля F . Далее, выберем свободный	базис (KJ мо-
дуля F , согласованный с расщепляющейся последовательностью
(2) (в том_ смысле, что первые tF Ft его элементов составля-
ют базис F, ). Можно считать, что матрица Fj е d-L (п,И Гт]),
переводящая (HQ) в (nJ, принадлежит ,5ь(пДГтД) : если
это не так, достаточно заменить п, на (d.ct гй)'1	. Те-
перь поднимем И до М ££LOjA[TJ) и обозначим че-
рез (nj А Ст] -базис (wjM модуля Г" • Пусть
далее Г - подмодуль F , порожденный первыми F, элемен-
тами базиса (nJ , а - подмодуль, порожденный остальными
элементами. Их конструкция показывает, что они удовлетворяют
лемме 15.5, что завершает доказательстве.
112
Добавление. Язык категорий (общая часть)
Язык категорий воплощает "социологический" подход к ма-
тематическому объекту: группа или пространство рассматривает-
ся не как множество с внутренне присущей ему структурой, но
как член сообщества себе подобные.
"Структурное" и "категорное" описания объекта (черев
представляемый им функтор ) дополнительны. Второе играет
все возрастающую роль в алгебраической геометрии, хотя его со-
держательность впервые была продемонстрирована, кажется,, в
топологии - пространствами К (ТТЛ п.)
Предлагаемая читателю сводка (определений и примеров)
задумана как краткий фразеологический словарь языка категорий
(построенный, однако, в логическом, а не алфавитном порвдке).
I.	Определение. Категория С состоит из следующих дан-
ных:
а . Множество 06. С , элементы которого называются объ-
ектами.
б . Для каждой упорядоченной пары X, У с 0€ С зада-
но множество (возможно, пустое) Нет (.X, У) (или
Hom (X, У )	), элементы которого называются морфизмами
(из X в. У )•
Вместо убНои<(Х)У/ часто пишут у i X —* У
или X -М	; морфизмы иногда называют стрелками; X есть
начало, а У - конец стрелки tf ; каждая стрелка из С имеет
однозначно определенные начало и конец. Множество 11
обозначается Мег С	х,уеовс
в .Для каждой упорядоченной тройки объектов X У, Z
категории С задано отображение
(X3yJ х	Hom f X,Z)
Паре. у : Y У , у : У —*	оно ставит в соответствие
морфизм, обозначаемый ’{'ср: X —и называемый композици-
ей у и у .
Эти данные должны удовлетворять следующим двум аксиомам:
ИЗ
Ассоциативность. Для любых Х-*У;
(%<f) у=X(r<f)
Тождественные морфизмы» Для каждого объекта X е С
существует морфизм ъД* . Х~*Х.	» для'которого icbvf = <f> ,
4* =у всякий раз, когда эти композиции определены.
Легко видеть, что id* определен однозначно. Морфизм
if X-^У называется изоморфизмом , если существует та-
кой морфизм у; У—* X » что <^y=tdy , <fy=tdy«
2.	Комментарии. В ряде текстов 0€ С является классом,
а не множеством, а категории, где 0€ С - множество, называ-
ются "малыми". Мы не можем рассматривать "большие" категории,
потому что очень скоро нам придется ввести фундаментальную
для алгебраической геометрии категорию функторов, которую нево
зможно определить, если считать С классом.
С другой стороны, приняв наше определение, мы отказываем-
ся от рассмотрения, скажем, категории "всех" множеств, что
крайне неудобно.
Из этой ситуации был предложен выход: нужно ввести "уни-
версум" - большое множество множеств, стабильное относительно
всех операций, какие могут понадобиться, после чего рассматри-
вать лишь категории, принадлежащие этому универсуму. Список
аксиом "универсума" содержится, например, в диссертации
Р. Gabriel. Categories abfeliennes, Bull. Soo. Math.France,
1962. Мы также будем подразумевать присутствие "универсума" за
неимением лучшего. Однако при современном состоянии основа-
ний математики и вопроса о непротиворечивости автору вся проб-
лема представляется несколько академической. Наша позиция
близка к точке зрения физика-экспериментатора, не склонного
ни фетишизировать, ни ломать свои приборы, пока они приносят
результаты.
Мнение Николя Бурбаки и по этому вопрооу отличается галль-
ским здравомыслием и терпимостью:"Математики, кажется, сходят-
ся на том, что между нашими’Интуитивными" представлениями о
114
множествах и числах и приз ванными описывать их формализмами
имеется не более чем поверхностное сходство. Разногласия от-
носятся лишь к вопросу о выборе между теми и другими”.
(N.Bourbaki, Elements d’Hist. ре des Mathematiques, Hermann,
, TrisJ 1969 -конец сноски на стр. 61).
3.	Примеры категорий. Мы разделим примеры на три группы;
сии входили в математический обиход в разное вреоя.
Первая группа примеров. Объекты -«это множества,снабжен-
ные тем или иным видом структуры, а морфизмы - все отображе-
ния множеств, сохраняющие зту структуру (по поводу понятия
структуры см., например, добавление переводчика к книге
К.Шевалле. Теория групп Ли; т. П, Москва, 1958).
Вот список важнейших для нас категорий с их стандартными обоз-
начениями, используемыми В этой книге:
Ens - категория множеств и всевозможных отображений;
ТЬр - категория топологических пространств и непрерыв-
ных отображений;
Gt - кате-ория групп и гомоморфизмов групп;
- категория абелевых групп;
Дил - категории коммутативных колец и их гомоморфиз-
мов.
Вторая группа примеров. В этой группе объекты по прежне-
му представляют собой структурированные множества, но морфиз-
мы не являются больше отображениями этих множеств.
Пример. Основная категория гомотопической топологии: ее
объекты - топологические пространства, а морфизмы - гомотопи-
ческие классы непрерывные отображений. Проверка аксиомы ас-
социативности проводится на первых страницах любого стандарт-
ного курса.
Пример. Категория "аддитивных отношений": ее объектами
являются абелевы группы. Морфизмом f : Х-^У называется
любая подгруппа прямого произведения X * У . Композиция
Ч’' X ~*У	и у". У — Z определяется соотношением:
| СМ)€Х*2| 3 такой, что	•
115
Эта категория изучена, например, в работе С.Маклейна
"Алгебра аддитивных отношений". Математика 7:6, 1963.
(В алгебраической геометрии существует важный аналог
этой конструкции, приводящий к категории соответ вий).
Третья группа примеров. В эту группу входят некоторые
класси еские виды структур, которые иногда удобно рассматри-
вать как категории.
Пример. Пусть I - (частичке) упорядоченное множество.
С ним сопоставляется категория С(1) , в которой: СьС(Т)^
I } и HcHt(at^) состоит из одного элемента при
и пусто в противном случае.
Эта интерпретация особенно употребительна, когда I - мно-
жество индексов, скажем, индуктивной системы групп.
Пример. Пусть Е - некоторое топологическое пространство.
С ним связана категория Те, объектами которой являются откры-
тые множества в Р , а морфизмами - естественные вложения
этих множеств.
(Эта тривиальная переформулировка содержит зародыш пора-
зительно глубокого обобщения понятия топологического простран-
ства - так называемых "топологий Гротендика": см. статью
Д.Мамфорда "Проблемы модулей и их группы Пикара". Математика
13:2, 1969).
Пример. Категория, связанная со осемой диаграммы.
Схема диаграммы - это формализация следующего-понятия:
указано некоторое множество вершин и стрелок между ними. При-
меры:
Точное определение (Гротендик): схемой диаграммы называется
тройка, состоящая из двух множеств I ("вершины"), F ("стрел-
ки") и отображения A: F -*1 *1 , которое ставит каждой
стрелке из М в соответствие две вершины: "начало" и "конец"
этой стрелки.
116
Пусть Л - некоторая схема диаграммы. Удобно связать с
ней две категории, которые нм сейчас спишем.
Категория D определяется так: 0$1) = Г . Пусть X,
yef ; тогда How (Х,У) -это "пути по стрелкам" от
вершины X к вершине У. Точнее говоря, если X «вся-
кий элемент из Цот(Х)У) - это, по определению, конечная
последовательность стрелок	такая, что на-
чало - X » конец ~ У и для любого с конец
совпадает с началом [. .4	. Если же X -У , нужно доба-
Т V-M
вить еще тождественный мсрфиэм. Композиция морфизмов определя-
ется очевидным образом, как композиция путей.
Категория D п определяется так: 0 € D снова сов-
падает с I ; кроме того,	(X,У) состоит из одного
элемента, если Ноги (Х.У) непусто; Но™ (Х,У)
13
пусто в противном случае. Интуитивная формулировка: "все пути
от объекта X к объекту У определяют один и тот же мор-
физм" ; D — это конструкция категории из коммутативной
диаграммы.
4.	Некоторые конструкции. Существует ряд полезных фор-
мальных конструкций, которые позволяют строить из данных ка-
тегорий новые. Мы ограничимся описанием трех.
Двойственная категория. Пусть С - некоторая категория;
двойственная к ней категория С задается так.
Ое С° находится во взаимно однозначном соответствии с
0€ С : объект X отвечает объекту X °е С °.
„ (X’, У') находится вс взаимно однозначном соот-
ветствии с с Не™»о С X,X ) : морфизм У-r X отвеча-
ет морфизму . Xе ~^У°
Умножение морфизмов определяется правилом:
/О О , о
t т =(W .
CD
получается из Q. "обращением стре-
лок".
117
Эта конструкция бывает интересна в двух крайних случа-
ях. Если категория С° "похожа" на категорию С (например,
эквивалентна ей, как в случае конечных абелевых групп) - тог-
да это сцена для различных "законов двойственности".
Наоборот, для C = Arvn_ категория Ann® "есть" ка-
тегория аффинных схем, очень далекая от А п-п. в В результа-
те обращения стрелок в А п.п она приобретает неожиданные
"геометрические" качества, позволяет производить склеивание
глобальных объектов из локальных и другие операции, вопиюще
неестественные внутри А .
Категория объектов над данной базой. Пусть С - катего-
рия, g € 06 С - фиксированный объект. Введем категорию
О .	, положив:
(X - всевозможные морфизмы (X 3 ) £ Ме-е С ,
тех морфизмов
ЦегИ^)(где	(у: У , у; V -* £	) состоит из
(X, У) , для которых диаграмма
X ~^у
А / г
$
коммутативна.
Композиция морфизмов в индуцирована композицией в С.
Двойственная конструкция исходит из морфизмов $ -* X
Примеры: К - алгебры, где К - фиксированное кольцо;
топологические векторные расслоения над данной базой.
Произведение категорий. Пусть (С-) - семейство катего-
рий. Определим категорию ГГ (А , положив:
0€ПС. = ГГО«Сг
Н«пс (ПХ.,ПУ.) = ГГН.м
118
композиция морфизмов "покоординатная".
Полине подкатегории. Пусть С,D - две категории, та-
кие, что С Сё Т) ? Нотс (У, У )=Мо^Х,У) всех
X, У £ 0€ С и композиция морфизмов в С- совпадает с ком-
позицией в JD . Тогда С называется полной подкатегорией ка-
тегории •
Функторы
5. Определение. Функтор F из категории С со значе-
ниями в категории JT) (обозначение F; С —* D ) состоит из
следующих данных:
отображение О G С —*	’• X	F (X ) j
для всех X. , У £ Ов С отображения F . Нсн4с(Х;У/,
-* H^(F(X),F(Y)) з
(чаще всего вместо Fy у пимется просто F ).
Эти данные должны'быть подчинены следуввдм условиям:
F ( у у) = Г(<р) Р(у)для всех	Мет С , для ко-
торых	определен.
Иногда такие F называются ковариантными функторами, а
функторы из С' в J) - контравариантными функторами из С в
JD . Функтор R; С	называют функтором от двух
аргументов и т.п.
Определение. Пусть С} Dj Е - категории, F:
(j : D -» Е - функторы. Композиция С- F: С -* Е полу-
чается композицией составляющих F и G отображений в обы-
чном теоретико-множественном смысле.
Если наш "универсум" не слишком велик, существует кате-
гория, объектами которой являются категории, а морфизмами -
функторы между ними.
Примеры функторов. Важнеймие функторы получаются "естест-
венными конструкциями": когомологии и гомотопии топологичес-
ких пространств; кольца характеров конечных групп и т.п. Эти
119
примеры слишком содержательны, чтобы их обсуждать здесь.
Контравариантный функтор из категории открытых множеств
Tg топологического пространства Е. со значениями в Еил
(соотв. » Анн, ... ) называется предпучком множеств
(соотв. групп, колец..♦) на Е .
Пусть &	- некоторая схема диаграммы, D и - свя
занные с ней категории (см. п. 3). Функтор из D в категорию
С - это то, что принято называть диаграммой из объектов С
(типа д ). Функтор из Вс - подобная же диаграмма с усло-
виями коммутативности.
Если Г - упорядоченное множество, рассматриваемое как
категория, функтор из I в С есть семейство объектов из С
пронумерованных индексами I и связанных морфизмами так,
что эти объекты образуют проективную или индуктивную систему
в С .
6. Определение. Пусть Г (у - два функтора из С вО.
Функторным морфизмом (или естественным преобразованием) F ъ_
G- (запись F G ) называется множество морфизмов
(X) : F (X )->(> (X) по одному для каждого объекта X
удовлетворяющее следующему условию:
для всякого морфизма у Y -у У	в категории С ди-
аграмма
F(X) ИЯ 6(Х)
Г(У) —6(У)
W)
коммутативна. Композиция функторных морфизмов определяется
очевидным образом.
Функторный морфизм ? называется функторным изоморфиз-
мом, если морфизмы |(Х )€	являются изоморфизмами
для всех X е М С
Согласно этому определению, функторы из С в_D обра-
120
зуют множество объектов категории, обозначаемой Funct (C,D).
7. Определение. Функтор F: С -*_О называется экви-
валентностью категорий, если существует такой функтор d- :
J3 С , ЧТО
изоморфен тождествэнному функтору T<L ;
функтор Cr F
функтор FC- изоморфен тождественному функтору .
КатегооиI С называются эквивалентными, если между ними
существ ет эквивалентность.
Примеры; а. Категория конечных абелевых групп
эквивалентна двойственной категории . Функтор - экви-
залентность сопоставляет каждой группе группу ее характеров.
б.	Категория Амс эквивалентна категории аффинных
схем.
Венцом всей этой серии скучных определений является важ-
ное понятие представимого функтора и связанное с ним погруже-
ние любой категории С в Fu-nc’t ( С” Eris).
Представимые функторы
Положим С = Fu-Kict (С > Ervi) .
Для любого объекта X категории С- обозначим через
£ eQf С Функтор
х
4г С У) = Нет (У,х ) у у°€ Об С°
А	*—	1	X
который каждому морфизму	ставит в соответствие
отображение множеств
переводящее морфизм \ X в композицию
8.	Определение. Функтор F ; С°-гЕп1 называется пред-
ставимым, если он изоморфен функтору вида для некоторого
X € 06 С . Объект X называется представляющим функтор F .
121
Пусть Хл -»	- некоторый морфизм в С . Ему соот-
ветствует морфизм функторов £ :-Ау -> fv* , который любому
объекту У € 0€ С сопоставляет отображение
Ч(У): Ч (У)
и переводит морфизм V —* X. в сквозной морфизм У -Хх X •
Очевидно, =
9.	Теорема. В описанных обозначениях отображение ft
определяет изоморфизм множеств	*f
Н ₽V14 ( X J У) Н 0144	(L	) •
о-	t х г
Более того, это изоморфизм функторов от аргументов Х,У . Пр-
этому функтор -ft ; С -г С определяет эквивалентность кате-
гории С, с,полной подкатегорией С , состоящей из представи-
мых функторов.	А
Следствие. Если функтор из С представим, представляю-
щий его объект определен однозначно с точностью до изоморфиз-
ма.
10.	Комментарий. Доказательство этой теоремы, которое
будет проведено ниже, сводится к тщательному выписыванию оп-
ределений и проверкам коммутативности. Оно никак не проясняет
содержательный смысл этого результата; именно это мы попыта-
емся сделать сейчас.
Теорема 9 служит исходной точкой для нескольких идей, ко-
торые можно развивать в разных направлениях.
Первое направление. Функтор А часто удобно представ-
лять себе как "множество точек объект^ X в (со значениями
во всевозможных объектах У £ 6Ч> С ; часто используется обоз-
начение (N) = X (У)) •
£ - О А (У) с дополнительной структурой.
Х VOTC*
Эта дополнительная структура, конечно, состоит в рзбиении ft
на непересекающиеся подмножества ft. (У) ив задании мно-
122
жества отображений L (У ) -* /L (VA) . индуцированных все-
возможными морфизмами \ 4 -* У,
Тем самым в принципе возможен переход от категорной
точки зренйя к структурной, потому что все категорные свойства
объекта X точно отражаются в категорных свойствах структу-
ры С-
Второе направление. Замена X на £ позволяет перено-
сить на nt 'извольную категорию определения обычных теоретико-
множ’'ст венных конструкций. Вот самые стандартные примеры.
Пример. Объект X £ 0& С вместе с парой морфизмов
F : X “’Х, Рх,-X^Xj, называется произведением и Х£ ,
если отображения	- \	‘	4А	о,ож“
дествл«1>т с	,в теоретико-структурном смысле.
X	x-i
Не.кол-'-о злоупотребляя краткостью, можно сказать, что
X > X - гто объект, представляющий функтор х ; в си-
*	*•	х1 Хд_
лу теоремы 9, как это уже отмечалось он определен однозначно
с точностью до изоморфизма, если вообще существует.
Оговорка о существовании здесь весьма существенна: про-
верка его и составляет обычно содержательную часть "теоре-
тико-множественных1’ конструкций в различных конкретных кате-
гориях.
Пример. На объекте Хе 0% С можно "задать структуру"
группы, кольца и т.д.: дело сводится к введению соответствую-
»"й структуры на каждом из множеств V -точек \(У) , ко-
торые должны быть согласованы относительно отображений, инду-
цированных морфизмами У, . Более подробное изложение
содержится в § И.
Третье направление. Пусть С - некоторая конкретная ка-
тегория структур данного типа. Среди функторов С -?• Е-лз
то есть объектов категории С , могут существовать естествен-
ные функторы, которые априори строятся не как , но в кон-
це концов оказываются представимыми. (К содержательным приме-
рам ОТНОСЯТСЯ qwMUTop»! когомологий X н*Чх,тг)
на гомотопической категории). В таких случаях часто оказыва-
ется, что свойства функтора, представимого таким объектом, и
123
являются важнейшими свойствами самого объекта, которые лишь
неявно содержатся в его структурном описании.
Более того, мож'т оказаться, что некоторые естественные
функторы С -* ЕпЛ непредставимы, хотя "хотелось бы" иметь
представляющие их объекты. Чаще всею это бывает, когда мы
пытаемся провести некоторую обычную теоретико-множественную
конструкцию, например, факторизацию по группе автоморфизмов
(или по более сложному отношению эквивалентности).
В таких случаях может оказаться полез :ым добавить соот-
ветствующие функторы и категории С , погруженной в £ , и
рассматривать их как "обобщенные" структуры типа С .
В алгебраической геометрии последних лет этот ход мысли
привел к определению чудовищных образований, которые Б.Мойше-
зон называет "минисхемами", М.Артин - п еЧаСе. scAewa.", а
А.Гротендик - просто многообразиями.
На этом мы заканчиваем общие замечания.
II.	Доказательство теоремы 9. Построим отображение
I :	(к А )	(X}V) ,
С *	’	1
к, к сопоставляет
Л	'
тнссительно отображения
fiy(X), определенного этим функторным морфизмом.
и I являются взаимно
в силу определения к. •
У
морфизм о:	.
(21)	£ М У
которое каждому морфизму функторов i
образ xd € 'А. (X) в £ (X )
х х	у
Проверим, что отображения у А.
обратными.	'
V Ь (А у) =	= (f
2) Наоборот, пусть дан функторный
Он состоит из отображений ty(Z-) ' f>-x
для всевозможных 2Г € С . По определению, <-(^) = ч(Х) 6-Л )
и мы должны проверить, что
4>tZ,“S(Z>
Согласно определению,
Ч fz) ставит в соответствие
124
морфизму .S’ —* X композицию X У . Следова-
тельно, нужно установить, что
g(^Kf)= ^)otf .
Воспользуемся коммутативностью диаграммы (см. определение 6):
<х(Х }

I МН
k (Z) —* <у^)
№
г4 е £ (ХЛ двумя разными путями в
X X
Переведем элемент
.’.равый нижний угол. Верхний путь переводит его сначала в
затем в	. Нижний путь переводит его сначала в
W <4 ) =	’ а 8атем в	• Эт0 доказывает
требуемое.
Т^м самым, мы проверили, что образ функтора 'L
ся по’ ••'й подкатегорией в С-
фен С- • Остальные утверждения проверяются тривиально. Быть
являет-
, поэтому он, очевидно, изомор-
мок'т, стоит лишь отметить, что
функторов 'А, из С- добавить
изоморфные уже имеющимся в ней,
эквивалентна прежней.
если к полной подкатегории
представимые функторы, то есть
то новая подкатегория будет
Упражнение
В обозначениях теоремы 9 пусть I- е Of С ? X е 0& С.
Построить функториальный изоморфизм множеств
Нем л К К(Х),
с, *
- е -1523
Упражнения
I.
I.	Система 2.T= 0 эквивалентна системе T-Jt = О ,
веж и только если 2 обратима в кольце констант К •
2.	Система (т-1)х =0 не эквивалентна системе Т~1 = 0 .
3.	Пусть система { Fi (Xj) = о] > i- 61 , J е □ не-
совместна. Тогда у нее есть конечная подсистема, которая также
несовместна.
4.	Т,,	- неизвестные; (Т) - i -й элементар-
ный симметрический многочлен от них. Над какими кольцами кон-
стант эквивалентны системы уравнений
Х1: Ч (т) = 0 , с=
ХХ! ГТ/=О ,
(Указание: использовать формулы Ньютона).
5.	Любая система уравнений над кольцом К от конечного
числа неизвестных эквивалентна конечной системе уравнений, ес-
ли и только если кольцо К нетерово.
6.	Пусть X - система уравнений над К , А - соответству-
юцее ей кольцо. Отображения L	и |  Ka^^fA^L)
определяют ковариантные функторы на категории К -алгебр со
значениями в категории множеств. Проверить, что предложение
1.9 определяет эквивалентность этих функторов (см. Дополнение)
2.
!• Слабая форма теоремы Гильберта о нулях. Рассмотрим сис-
1.26
тему уравнений | Fc (Tj ) = 0 } над кольцом К • Тогда ибо
эта система имеет решение со значениями в некотором поло, либо
существуют такие многочленн d-; £ К ] (конечное чме*
которых фО ), что
ZG^.F- =1 .
с €
Указадие: применить теорему 2.3 к кольцу, соответствувце-
му системе.
3.
I.	Пусть	А - Идеалы. Доказать, что
V(a<= Л Решение: ol ... с ... л	,
поэтому У(й< • лп)=> У(я,Л. Лй-^) • Наоборот, пусть -
И,
простой идеал; рхб У(<Ц... ос е (J V(Qj -?• ха VfeJ
1=1
для некоторого г , поэтому	t то есть
хе V...л	.
2.	Пусть f; еД . Если	.то
для любых целых гис-^0 имеем (Ц*”'	^’*’X‘J = A
Решение. В силу 3.5 имеем:
(з<>-
Кроме того, ^(5w) = V(j) при т-гО . Отсюда следует тре-
буемое .
3.	Элементы f € А , не обращающиеся в нуль ни в одной
точке £|5«х A t обратимы.
4.
I.	Пусть 5 СА - мультипликативное множество (см.Лемг.
12?
Алгебра, глава П, § 3). Назовем 3 полным, если
и	6 А). Каждое мультипликативное
множество £ имеет однозначно определенное пополнение $ :
минимальное полное мультипликативное подмножество, содержащее
5*
Показать, что D(.f)-JDC<|) <=? (£И)~,О =
2.	Показать, что пространства ) кваэикомпактны.
3.	Связны ли пространства:
a.	Spec КСт]/(Тг-1) , К - поле .
б.	гГО/стМ)
4.	Неприводимые компоненты каждое из плоских кривых
WT?)=o >
ТХ(Т,-ТД)=О
в Spec. С Г Т, , 1\] состоят из прямой и параболы и поэтому
попарно изоморфны. Точка пересечения двух компонент в обоих
случаях есть вершина параболы. Доказать, что тем не менее коль-
ца этих кривых неизоморфны.
5.	Пусть А - нетерово кольцо. Построим граф, вершины
которого взаимно однозначно соответствуют неприводимым компо-
нентам Spec А , а две вершины соединены, если и только если
соответствующие компоненты имеют непустое пересечение. Доказать
что связные компоненты пространства Spec А находятся во вза-
имно однозначном соответствии с линейно связными компонентами
графа.
128
6.	Закопать доказательство предложения 4.12. Однозначно
ли определено разложение А = П А » существование которого
j. издается?
Пусть ) itj - некоторое семейство полей.
Положиь А =ТТ К и обозначим через Я : А —* к. гомо-
.:«! ъ £ v
морфизмы проекции.
а .Пусть а, с А - некоторый собственный идеал. Опреде-
лим по нему систему подмножеств Ф^ множества I .положив:
К ^Ф^Э I'ea, такой,что	.если и только если
ь£ К.
Показать, что К непусты и что система обладает
следующими двумя свойствами:
е К с Ф к к => К =* К е
б .Система ф непустых подмножеств множества I со
< юйствами а. ) и ) называется фильтром на 1 .
Пусть Ф - некоторый фильтр; поставим ему в соответствие
множество о. с А , положив:
{1|этсСП=£)3 еФ-
Показать, что множество СЬ является идеалом в кольце А .
в .Показать, что отображения а ла* SP и 47 cl
определяют взаимно однозначное соответствие между идеалами
кольца А и фильтрами на I • Далее, дед «ф сф
1	*•
В частности, максимальным идеалом соответствуют максимальные
129
фильтры; они называются ультрафильтрами.
г .Пусть tel } Ф 1^ = j КСГ |сеК} . Показать,
тх (Л)
что Ф - ультрафильтр. Показать, что если миожество I т-
иет, то любой ультрафильтр имеет вид Ф1^ для некоторого
id , , Какие идеалы в А отвечают фильтрам Ф1^? Каковы
факторкольца А по этим идеалам?
д .Показать, что если I бесконечно, то на I существу-
ет ультрафильтр, отличный от фильтров Ф . (Указание: пусть
Ф -1К с 1114 К конечно } ; пусть Ф - какой-нибудь
максимальный фильтр, содержащий Ф • Проверить, что Ф
для всех i €1.
е .Пусть А ~ТГ7Ll\~ZL , I - множество всех простых
чисел, пусть р с А - простой идеал, отвечающий некоторому
ультрафильтру,отличному от всех ФС^. Показать, что А/р -
поле нулевой характеристики.
6.
I.	Пусть В - некоторая А -алгебра. Доказать, что эле-
менты В ? целые над А , образуют А -подалгебру В •
2.	Пусть АсВсС - три кольца, В цело над Д , С
цело над В • Доказать, что С цело над Д .
3.	Пусть А - кольцо с однозначным разложением на множите-
ли. Тогда Д целозамкнуто в своем поле частных, то есть любой
элемент	, целый над Д , принадлежит Д .
Решение. Пусть	удовлетворяет
уравнению (f/g)n+	• Тогда
130
g'X = C .откуда Я//”' и
если	, то с обратим в А . Значит //g е А 
7.
I.	Пусть К - алгебршчески замкнутое поле. Описать все
примерные замкнутые подсхемы прямой Spec. К . То хе в
случае незамкнутого поля. То хе для Spec Z. .
2.	Описать с точностью до изоморфизма примерные замкнутые
подсхемы плоскости С/эесК	с носителем V(T, ТА)
локальные кольца которых имеют длину & ?>.
9.
I.	Найти формулы, вырахающие Ср1) через •
2.	Вычислить количество неприводимых многочленов от одной
переменной степени d над полем из элементов .
3.	Вычислить <а(«) .где А =г . ..,ТК] /(р)
Г - квадратичная форма.
4.	Пусть А - кольцо конечного типа над , Р - мно-
хество натуральных простых чисел
$ = { р &Р | 3 х eSpexA f Cha/t k(ic) = f> } ‘
Доказать, что либо $ конечно, либо	конечно. Привести
пример, когда $ и Р\^ бесконечны, для области целостнос-
ти не конечного типа над .
12.
!• Конструкция несвободного проективного модуля с по-
мощью листа Мебиуса.
131
Пусть А - кольцо непрерывных вещественнозначных фуняпий
% на Го,1] с условием ((О) = {(1) ; М — Д -модуль
таких функций с условием |(.О) = -f(il . Дока' л , что М
не свободен, но М ® М - А ® А
Доказательство. I .Пусть ; И ; тогда (^)-
и £ А. > е А • Поэтому любые два ела’
мента из М зависимы над А . Значит, если М свободен, он
должен быть ранга I. Но М тА А|	для любой pH , ибо {
обращается в нуль где-то на [О,1J , а в М есть функции,
не обращающиеся в нуль в любой наперед заданной точке.
2 .Элементы	ч Л t ? с<!>3 ЗГ t ) , g	Ли Jet }
образуют свободный базис в М ® И ; для любых (ш,
(	- uc«i3i,t = Ы,
С“с,е“	»№3.ач>0
разрешима в А.
132
Содержание
Стр.
Предисловие.......................................   S
Литература........................................   о
1.	Уравнения и кольдр................................... 6
2.	Геометрический язык: то жи.......................   12
3.	Геометрический язык (продолжение;, функции на
спектрах и топология................................... 16
4.	Основные свойства топологии Зариского.............. 22
5.	Аффинные схемы. .............. ...........	.... 32
6.	Топологические свойства некоторых морфизмов........ 37
7.	Замкнутые подсхемы -и примарное разложение......... 44
8.	Теорема Гильберта о нулях.......................... 53
9.	Отступление: дзета-фу нкция........................ 57
10.	Расслоенное произведение........................... 65
11.	Отступление: аффинные групповые схемы.............. 71
12.	Векторные расслоения и проективные моду хи......... 83
13.	Нормальное расслоение и регулярные вложения.........94
14.	Дифференциалы......................................101
15.	Отступление: проблема Серра и теорема Сешадри......108
Добавление. Язык кате-орий (общая часть)...........113
Упражнения.......................................  126
133
ПОДИ. К ПЕЧАТИ 15/УП-70 Г. Л-В3490. S>. 10x9J 1S
ФИЗ.ПЛ. 8,5. УЧ.-ИЗД.Л. 8,57. ЗАКАЗ 1523
ТИРАЖ 3 000. ЦЕНА 18 КОП.
ОТПЕЧАТАНО Н\ РОТАПРИЧ’ АХ В ТИП. ИЗП. МГУ
МОСКВА, Л1-МГОРЫ