СМ. Т А Р Г
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ
ЛАМИНАРНЫХ
ТЕЧЕНИЙ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 61 ЛЕНИНГРАД

Редактор В. П. П и л а т о в с к и й. Техн. редактор Н. Я. Мурашова.
Подписано к печати 30/1 1951 г. Бумага 84Х1081/;-. 6.56 бум. л. 21.525
печ. л. 42 910 печ. зн. в печ. л. 23,09 уч.-изд. л. Тираж 4 000 экз.
Т 01405. Цена 13 р. 85 к. Переплёт 2 р. Заказ № 2034.
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова Главполиграф-
издата при Совете Министров СССР. Москва, Валовая. 28.
Отпечатано с матриц в 3 типографии ЛРТПП
г. Рига. ул. Ленина, 137/139.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие • 7
Глава I. Уравнения движения несжимаемой вязкой
жидкости 9
§ 1. Основные свойства и характеристики вязкой жидкости . . 9
1. Вязкая жидкость (9). 2. Плотность. Несжимаемая
жидкость A1). 3. Вязкость. Коэффициент вязкости A2). 4.
Тепловые характеристики жидкостей A9). 5. Закон подобия.
Характеристические числа B1). 6. Ламинарный и
турбулентный режимы B5).
§ 2. Уравнения движения вязкой жидкости в компонентах
напряжений 27
1. Силы, действующие на жидкую частицу B7). 2.
Напряжение на косой площадке. Компоненты напряжений C0).
3. Уравнения движения в прямоугольной системе
координат C2). 4. Уравнения в системе цилиндрических и
сферических координат C3).
§ 3. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости
в компонентах скорости 35
1. Скорость и ускорение жидкой частицы C5). 2.
Уравнение неразрывности C6). 3. Деформация жидкой частицы.
Компоненты скоростей деформации C7). 4. Связь между
напряжениями и скоростями деформаций D0). 5.
Дифференциальные уравнения движения. Начальные и граничные
условия D2).
С 4. Уравнение энергии 46
1. Рассеяние механической энергии D6). 2. Уравнение
притока тепла D8).
Г л а в а II. Простейшие установившиеся течения вязкой
жидкости, ограниченной твёрдыми стенками . 51
§ 5. Примеры точных решений задач об установившемся
течении вязкой жидкости, ограниченной твёрдыми стенками . . 51
1. Течения между перемещающимися параллельными
стенками и соосными цилиндрами E1). 2. Течение между
неподвижными параллельными стенками (плоская труба)
E5). 3. Течения в цилиндрических трубах E6). 4.
Течение в кольцевой трубе. Круглый цилиндрический
поршень F0). 5. Течение между двумя вращающимися
цилиндрами F2).
§ 6. Приближённые решения задач об установившемся течении
вязкой жидкости между твёрдыми стенками 65
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Приближённые уравнения движения вязкого слоя
F5). 2. Поджатие вязкого слоя, заключённого между двумя
круглыми пластинами F8). 3. Качение тяжёлого цилиндра
по плоскости, покрытой слоем вязкого вещества G0).
4. Элементарная гидродинамическая аналогия прокатки
G8). 5. Погружение осесимметричного тела в осеснммет-
ричный сосуд, заполненный вязкой средой (82).
Глава III. Неустановившиеся течения вязкой жидкости,
ограниченной твёрдыми стенками 90
§ 7. Некоторые сведения из операционного исчисления .... 90
1. Оригинал и его изображение (90). 2. Изображения
и оригиналы некоторых функций (95).
§ 8. Примеры точных решений задач о неустановившемся
течении вязкой жидкости 101
1. Течение между двумя параллельными стенками A01).
2. Течение в круглой трубе. Задача И. С. Громеко A04).
3. Движение твёрдой стенки, тормозящейся трением о слой
вязкой жидкости A08).
§ 9. Погружение тонкой пластины и трубы в вязкую среду . . 112
1. Погружение тонкой пластины в вязкую среду A12).
2. Погружение тонкой цилиндрической трубы в вязкую
среду A16). 3. Срезание кольцевого слоя вязкого вещества
A22).
Глава IV. Установившееся течение вязкой жидкости в
пограничном слое 127
■§ 10. Уравнения движения вязкой жидкости в пограничном слое 127
1. Пограничный слой A27). 2. Уравнения
плоско-параллельного течения в пограничном слое A32). 3. Интегральные
соотношения A36). 4. Уравнения движения в пограничном'
слое на теле вращения A41).
§11. Примеры численного расчёта пограничного слоя с
помощью полных уравнений движения 147
1. Расчёт пограничного слоя на плоской пластине A47).
2. Приближённый численный расчёт пограничного слоя
на плоском криволинейном контуре A52). 3.
Приближённый расчёт пограничного слоя в области возрастания
давления A56).
§ 12. Приближённый расчёт пограничного слоя с помощью
интегральных соотношений 163
1. Приближённый расчёт пограничного слоя на плоской
пластине A63). 2. Приближённый расчёт пограничного
слоя на плоском криволинейном контуре A66). 3. Метод
Кочина-Лойцянского A73). 4. Приближённый расчёт
пограничного слоя на теле вращения A76).
§ 13. Расчёт пограничного слоя с помощью приближённых
уравнений движения 178
1. Приближённые уравнения движения вязкой
жидкости в плоском пограничном слое и их интегрирование A78).

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
2. Некоторые примеры приближённого расчёта плоского
пограничного слоя AвЗ). 3. Расчёт пограничного слоя на
теле вращения. Течение в коническом диффузоре A86).
§ 14. Пограничный слои на вращающемся диске 190
1. Сопротивление тонкого диска, вращающегося в
неограниченной вязкой среде A91). 2. Сопротивление
тонкого диска, вращающегося в цилиндрическом кожухе A96).
Глава V. Неустановившееся течение вязкой жидкости в
пограничном слое 201
§ 15. Приближённое интегрирование уравнений
неустановившегося движения жидкости в пограничш м слое 201
1. Развитие пограничного слоя при течении,
возникающем мгновенно из состояния покоя B01). 2. Развитие
пограничного слоя при равноускоренном движении B08).
§ 16. Приближённые уравнения неустановившегося течения
жидкости в пограничном слое и их интегрирование. . . . 210
1. Приближённые уравнения плоско-параллельного
течения и их интегрирование B10). 2. Развитие
пограничного слоя на круглом цилиндре B14). 3. Приближённые
уравнения осесимметричного течения и их
интегрирование B19). 4. Развитие пограничного слоя на шаре B21).
Глава VI. Развитие течения вязкой жидкости в трубах . 225
§ 17. Приближённые методы расчёта течения в начальном
участке трубы 225
1. Понятие о начальном участке B25). 2. Расчёт
начального участка в круглой трубе по методу Буссинеска
B26). 3. Расчёт начального участка в круглой трубе с
помощью методов теории пограничного слоя B34). 4. Расчёт
начального участка в плоской трубе B38).
§ 18. Изучение развития течения жидкости в трубе с помощью
приближённых уравнений движения 240
1. Развитие линейного профиля скоростей в круглой
трубе B40). 2. Развитие линейного профиля скоростей в
плоской трубе B48). 3. Развитие произвольного профиля
скоростей в круглой трубе B49). 4. Предельные режимы
течения в трубах B58).
Глава VII. Течение вязкой жидкости в диффузорах . . . 268
§ 19. Установившееся течение вязкой жидкости в плоском и
коническом диффузорах 268
1. Радиальное течение в плоском диффузоре (конфу-
зоре) B68). 2. Течение в коническом диффузоре (конфу-
зоре) B78).
§ 20. Развитие течения вязкой жидкости в плоском диффузоре . 283
1. Приближённые уравнения движения и их
интегрирование B83). 2. Исследование характера течения в
плоском диффузоре B91). 3. Течение в плоской трубе B98).

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 21. Развитие течения вязкой жидкости в коническом диффузоре 330
1. Приближённые уравнения движения и их
интегрирование C00). 2. Исследование характера течения в
коническом диффузоре C06).
Глава VIII. Течение вязкой жидкости в смазочном слое 314
§ 22,-Установившееся плоско-параллельное течение смазки в
смазочном слое 314
1. Гидродинамическая теория смазки проф. Н. П.
Петрова C14). 2. Смазка плоских поверхностей C19). 3.
Движение смазки в цилиндрическом подшипнике C24). 4.
Работа Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина но
гидродинамической теории смазки C34).
§ 23. Некоторые задачи о неустановившемся
плоско-параллельном течении смазки в смазочном слое 337
1. Неустановившееся движение смазки в слое между
двумя соосными цилиндрами C37). 2. Неустановившееся
движение смазки в слое между двумя наклонёнными друг
к другу плоскостями C42).
Глава IX. Некоторые задачи о теплообмене при движении
капельной вязкой жидкости 352
§ 24. Теплообмен при движении жидкости в круглой трубе . . 352
1. Предварительные замечания C52). 2. Формула акад.
В. Г. Шухова C55). 3. Теплообмен при параболическом
режиме течения C58). 4. Задача акад. Л. С. Лейбензона
о движении подогретой вязкой жидкости C64).
§ 25. Теплообмен в вязком слое, заключённом между двумя
вращающимися цилиндрами 376
1. Уравнения движения и притока тепла C76). 2.
Теплообмен в слое между цилиндрами при установившемся
режиме C78). 3. Теплообмен при неустановившемся режиме
в случае, когда температура внутреннего цилиндра
неизменна (смазочный слой) C84). 4. Предельное
распределение температур при отсутствии отдачи тепла от
внутреннего цилиндра во внешнюю среду C95).
§ 26. Теплообмен при обтекании тонкой пластины капельной
жидкостью с переменным коэффициентом вязкости . . . 398
1. Приближённые уравнения движения и притока
тепла и их интегрирование C98). 2. Примеры расчёта
пограничного слоя и теплоотдачи при обтекании пластины
водою D06). 3. Сравнение с экспериментальными
данными D13).
Именной указатель 416
Предметный указатель 418

ПРЕДИСЛОВИЕ.
Изучение движения вязкой жидкости представляет собой
одну из весьма сложных и в то же время практически очень
важных задач механики.
Во многих отраслях техники приходится в той или иной
мере сталкиваться с необходимостью проведения расчётов
различного рода трубопроводов и диффузоров, решения задач
о движении смазки -в смазочном слое подшипников или
поршневых, систем, определения сопротивлений тел при их
движении в вязкой среде, в частности в воде или в воздухе,
исследования явления теплообмена при течении жидкости вблизи
твердых стенок и т. п. Теоретической базой подобного рода
расчётов является гидромеханика вязкой жидкости.
Опыт показывает, что в зависимости от степени вязкости
жидкости и скорости её движения режим течения может
в каждом конкретном случае быть или ламинарным
(упорядоченным) или турбулентным (неупорядоченным)- При каждом
из этих режимов движение жидкости подчиняется своим
законам и требует применения существенно различных методов
теоретического исследования.
Настоящая книга посвящена изучению ламинарных течений
вязкой жидкости.
Книга не представляет собою систематического курса
гидромеханики вязкой жидкости. Её основной целью является
рассмотрение решений ряда конкретных механических задач,
связанных с изучением движения вязкой жидкости и имеющих
определённые практические приложения. Общие вопросы
теории движения вязкой жидкости затрагиваются при этом
лишь в той мере, в какой это необходимо для решения
соответствующих задач.
Представление о содержании книги даёт оглавление.
В книге излагаются как результаты, известные по трудам
других исследователей, так и решения целого ряда в
большинстве своём новых задач, полученные автором с помощью
применённых им приближённых методов.

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Результаты, полученные автором и ранее не
публиковавшиеся, содержатся в §§ 13, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 25 и 26
и в пп. 4 и 5 § 6 и пп. 2 и 3 § 9.
Желая сделать книгу доступной для возможно более
широкого круга читателей, мы приводим в главе первой основные
сведения о свойствах и характеристиках вязкой жидкости
и даём краткий вывод уравнений движения несжимаемой
вязкой жидкости. Наряду с этим в первой главе содержится
необходимый справочный материал.
С той же целью в § 7 очень сжато изложены некоторые
основные сведения из операционного исчисления. Метод
операционного исчисления, используемый нами в целом ряде
случаев, значительно упрощает процесс решения
соответствующих задач. Одновременно применение этого метода делает
изложение более доступным для тех читателей, которые не
знакомы с общей теорией интегрирования линейных уравнений
в частных производных второго порядка.
Книга может представлять интерес для инженеров и
сотрудников научно-исследовательских институтов,
занимающихся проблемами, связанными с изучением движения вязкой
жидкости, а также для студентов и аспирантов,
специализирующихся в области гидроаэродинампки.
Автор считает своим долгом выразить глубокую
признательность проф. Н. А. Слёзкину, идеями которого он во
многом руководствовался и ценные советы которого значительно
облегчили труд по написанию настоящей книги.

ГЛАВА 1.
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ВЯЗКОЙ
ЖИДКОСТИ!).
§ 1. Основные свойства и характеристики
вязкой жидкости.
1. Вязкая жидкость. Жидкое состояние вещества является
промежуточным между твёрдым и газообразным. Вблизи
критической точки свойства жидкости приближаются к свойствам
газа; наоборот, у кристаллизующихся жидкостей при
температурах, близких к температуре кристаллизации,
увеличивается сходство между жидкостью и твёрдым телом.
Особенностями, отличающими капельную жидкость от твёрдых
тел и газов,, являются: большая подвижность частиц (текучесть)
и сильное сопротивление сжатию.
Твёрдое тело под действием приложенных к нему
конечных сил претерпевает ничтожно малые деформации, почти
не возрастающие со временем; для увеличения деформаций
необходимо увеличить действующие силы. В
противоположность этому в жидкости деформации, вызванные действием
сил, со временем могут стать сколь угодно большими.
Следовательно, в жидкости при действии сколь угодно малых сил
могут с течением времени развиться любые конечные
деформации. В этом и проявляется свойство текучести жидкости.
!) Эта глава служит введением, рассчитанным на то, чтобы дать
читателю основные представления о свойствах и характеристиках
несжимаемой вязкой жидкости и содержит необходимый справочный
материал. Здесь же в возможно более сжатой форме дан вывод
уравнений движения вязкой жидкости и притока тепла; при этом для
уравнений в цилиндрических и сферических координатах приводятся лишь
окончательные результаты.
Более подробный вывод уравнений движения вязкой жидкости
см., например, в книге Н. Е. Кочин, И. А. Кибель, Н. В. Розе,
Теоретическая гидромеханика, ч. II, ГТТИ, 1948.

10 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. [
Однако если действующая сила будет очень мала, то
деформация жидкости будет происходить весьма медленно; для
увеличения скорости деформации необходимо увеличить
действующую силу.
Таким образом, в то время как твёрдое тело обладает
свойством оказывать сопротивление увеличению самой
деформации (свойство упругости), жидкость обладает свойство:.!
оказывать сопротивление увеличению скорости деформации.
Это свойство капельной жидкости называется вязкостью,
а жидкость, обладающая этим свойством, именуется вязкой
жидкостью.
Вязкостью, наряду с капельными жидкостями, обладают
и газы. Поэтому в дальнейшем термин «вязкая жидкость..-
пли «вязкая среда» мы будем употреблять в собирательном
смысле, относя его и к капельным жидкостям и к газам.
Терминами «капельная жидкость» и «газ» мы будем
пользоваться только в тех случаях, когда необходимо будет
различить эти две среды, принимая во внимание другие их
физические свойства, например, сжимаемость, теплопроводность и т. п.
Изучение механических движений жидкостей и газов
составляет предмет гидромеханики. При этом объектом
исследования является или движение всей среды в целом или движение
таких её частиц, размеры которых, хотя мы их и считаем
весьма малыми, всё же очень велики по сравнению с
размерами молекул. Это обстоятельство позволяет отвлечься в
первом приближении от учёта молекулярной структуры реальной
жидкости (газа) и рассматривать их как непрерывную или
сплошную среду.
Наряду с этим мы будем полагать, что рассматриваемая
среда является однородной и изотропной.
Таким образом, вязкая жидкость будет нам!!
рассматриваться в дальнейшем как непрерывная, однородная и
изотропная материальная среда.
Однако и при движении больших объёмов жидкостей или
газов имеют место явления, которые, сказываясь на движении
всей массы в целом, обусловлены- по природе своей именно
молекулярными движениями частиц среды. Такими явлениями
будут, например, сама вязкость, теплопроводность, диффузия
и др. Но учёт этих явлений в гидромеханике производится
не путём анализа молекулярных движений, а путём введения

§ и
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
11
некоторых характеристик (коэффициентов) и установления
с их помощью закономерностей, определяющих суммарное
влияние того или иного из этих явлений на движение среды.
При этом жидкость (газ) продолжают рассматривать как
непрерывную среду, а значения соответствующих характеристик
(коэффициентов) определяют обычно опытным путём.
Ниже вопрос об основных физических характеристиках
вязкой жидкости будет рассмотрен более подробно.
Принимая сделанные выше предположения о
непрерывности, однородности и изотропности вязкой жидкости и
устанавливая для этой жидкости в последующем законы вязкости,
теплопроводности и др., мы руководствуемся данными опыта.
Опытом же мы проверяем, в какой степени и до каких
пределов результаты теоретических расчётов, сделанных на
основании всех принятых допущений и законов, отражают явления,
происходящие в реальных жидкостях и газах.
2. Плотность. Несжимаемая жидкость. Инертность
жидкости характеризуется её массовой плотностью, или
просто плотностью.
Средней плотностью какого-нибудь объёма жидкости
называют отношение массы, заключённой в этом объёме, к
величине самого объёма. Предел, к которому стремится средняя
плотность при стремлении выбранного объёма к нулю,
называется плотностью в соответствующей точке жидкости.
Размерность плотности в технической системе единиц будет:
Плотность капельных жидкостей может, вообще говоря,
изменяться с изменением давления и температуры, однако
в обычных условиях эти изменения весьма незначительны.
Например, у воды изменение давления от 1 до 100 am
вызывает увеличение плотности приблизительно на 0,5°/0, а
изменение температуры от 20 до 100° даёт уменьшение плотности
примерно на 4°/0. Поэтому практически при изучении
движения капельной жидкости можно во Многих случаях изменением
ее плотности пренебрегать. Жидкость, плотность которой при
движении остаётся постоянной (? = const), называется
несжимаемой .жидкостью. Предметом наших исследований в
дальнейшем будет только несжимаемая вязкая жидкость.

12 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ, 1
Однако отсюда не следует, что область приложения
полученных результатов ограничивается только капельными
жидкостями.
Великий русский химик Д. И. Менделеев, анализируя
результаты экспериментальных исследований по определению
сопротивления жидкостей, ещё в 1880 г. указал, что при
небольших скоростях все данные о сопротивлении воды можно
применять и к воздуху!). Позднее акад. С. А. Чаплыгин
в своём классическом исследовании по газовой динамике -)
доказал теоретически, что при скоростях, не близких к
скорости, звука, сжимаемостью газов можно пренебречь и
рассматривать газ как несжимаемую жидкость. Таким образом,
все результаты, которые будут в дальнейшем получены для
несжимаемой жидкости, можно считать справедливыми и для
движения газов (в частности воздуха) при скоростях, не
близких к скорости звука3).
3. Вязкость. Коэффициент вязкости. Вязкостью
называется свойство реальных жидкостей при своём движении
оказывать сопротивление относительному скольжению слоев
жидкости. Одновременно вязкие жидкости, как показывает
опыт, обладают свойством прилипать к поверхности
обтекаемого тела. При наличии прилипания сопротивление
скольжению жидкости по обтекаемому телу будет иметь такой же
характер, как и сопротивление скольжению внутренних её
слоев, так как в этом случае жидкость фактически будет
скользить не по поверхности тела, а по весьма тонкому слою
прилипшей к телу жидкости.
Возникающая при относительном скольжении слоев
жидкости в плоскости их соприкосновения сила сопротивления
называется силой внутреннего трения или силой вязкости;
') Д. И. Менделеев, О сопротивлении жидкостей и
воздухоплавании, С. П. Б., 1880 или Сочинения, т. VII. Изд. Акад. Наук СССР,
1946.
2) С. А. Чаплыгин, О газовых струях. Учёные записки
отделения физ.-мат. наук Московского университета, 1902 или Собрание
сочинений, т. II. ГТТИ, 1948.
•?) Это замечание, как будет показано ниже, справедливо в тех
случаях, когд температуру и жидкости и газа можно во всё время
движения считать всюду постоянной и не относится, в частности,
к задачам о теплообмене.

§ 1] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 13
величину этой силы, приходящуюся на единицу площади, будем
называть напряжением силы трения и обозначать ~.
Напряжение силы трения зависит от скорости деформации
жидких частиц и физических свойств самой жидкости. В
простейшем случае эта зависимость определяется следующим
образом: если между двумя неограниченными, находящимися
на расстоянии h друг от друга параллельными пластинами,
из которых одна неподвижна, а другая движется с
постоянной скоростью v, находится слой вязкой жидкости, то, когда
движение установится, напряжение силы трения в любой
плоскости, параллельной
пластинам, будет
равно
V
численно
A.01)
Согласно сказанному
выше такое же напряжение
силы трения будет и на
каждой из пластин; при этом Фиг. 1.
сила трения, действующая
на движущуюся пластину, направлена против движения, а на
неподвижную — в сторону движения.
Величина ц, определяемая равенством A.01), называется
коэсрфициентом вязкости данной жидкости.
Легко убедиться в том, что в рассмотренном случае
отношение -т- действительно представляет собой скорость
деформации жидких частиц. В самом деле, при установившемся
движении величины скоростей жидких частиц изменяются в
направлении оси Оу линейно от 0 до v (фиг. 1). Тогда,
обозначая скорость жидкой частицы, находящейся на расстоянии у
v
от неподвижной плоскости, через vx, будем иметь vx=—\>.
Если в слое жидкости выделить элемент ABCD, то он по
истечении промежутка времени At деформируется в ABCD';
при этом DD' = (vx — vx) bt = — Ay \t. Деформация элемента
за время Д^ определяется тангенсом угла DBD' и будет равна
отношению DD' к Ду, т. е. -г М; следовательно, скорость

14 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 1
згой деформации действительно равна у- дл~ всех частиц.
жидкости.
Приведённые выше рассуждения позволяют представить
. .. Ли,
скорости деформации жидкой частицы в виде отношения -~ .
лу
Тогда, переходя к пределу, мы получим несколько иное
выражение для напряжения силы трения в слое, определяемом
координатой у:
T=,,|f. A.02)
Соотношение A.02) можно рассматривать как
математическое выражение экспериментально подтверждаемого закона
вязкого трения, утверждающего линейную зависимость между
напряжением силы трения и скоростью деформации жидких
частиц. Впервые этот закон был гипотетически высказан
Ньютоном '). Существенную роль в теоретическом и
экспериментальном обосновании закона вязкого трения сыграли
классические исследования творца гидродинамической теории смазки
проф. Н. П. Петрова2).
Для объяснения природы вязкости следует обратиться
к молекулярной теории строения вещества. Наиболее
разработанная кинетическая теоргга газов даёт следующее
объяснение явлению вязкости газов. Молекулы газа находятся всё
время в состоянии беспорядочного теплового движения
(тепловое перемешивание), кинетическая энергия которого
представляет собою тепловую энергию газа. В результате
теплового перемешивания происходит обмен количествами движения
между двумя соседними слоями газа, движущимися с разными
скоростями. Этот обмен вызывает выравнивание скоростей
течения в соседних слоях газа, что внешне и воспринимается
как явление вязкости. Если считать справедливым закон
вязкого трения A.02), то путём соответствующих расчётов можно
коэффициент вязкости газа выразить через его плотность р,
!) И. Н ь ю т о н, Математические начала натуральной философии,
1("86. Прекрасный перевод этого классического сочинения
принадлежит акад. А. Н. Крылову, см. Собрание трудов, т. VII. Изд. Акад.
Наук СССР, 1936.
2) Н. П. Петров, Трение в машинах и влияние на него
смазывающей жидкости, Инж. журнал, 1883.

§ 11
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
15.
соедпюю скорость ~?плового движения молекул и и
среднюю длину свободного пробега молекул / формулой:
р = 0,5ри/.
Так как температура газа пропорциональна его тепловой
энергии, т. е. и2, то отсюда следует, что с повышением
температуры коэффициент вязкости газа должен возрастать
поопорционально квадратному корню из его абсолютной
температуры. Эксперимент, подтверждая этот результат
качественно, даёт несколько более быстрый рост ц с увеличением
температуры. Если представить зависимость ]х от температуры
газа в виде
ц_,Т+273у» A_03).
(i0 V 273
где Т — температура в градусах Цельсия, то по кинетической
теории газов будет п = 0,5. Эксперимент даёт значения п,
изменяющиеся от я = 0,7 для наиболее совершенного газа —
водорода, до я=1 для других газов; для воздуха, в
частности, я = 0,76.
Отметим в заключение, что аналогичным образом кннетич •
екая теория газов объясняет явление диффузии и явленгт
теплопроводности в газе как процесс происходящего
вследствие теплового движения молекул переноса массы в первом
случае и кинетической энергии — во втором.
Явление вязкости в капельных жидкостях сильно отличается
от того же явления в газах. Внешним признаком этого
отличия является то, что, как показывает эксперимент,
коэффициент вязкости капельных жидкостей с увеличением
температуры не возрастает, как у газов, а, наоборот, убывает.
Кинетическая теория жидкостей далеко ещё не достигла
уровня развития кинетической теории газов и не даёт при
расчётах достаточно удовлетворительных количественных
результатов. Однако принципиальные основы этой теории могут
в настоящее время считаться установленными главным образом
благодаря трудам советских учёных. С точки зрения
современной кинетической теории жидкостей их молекулярная
структура при температурах, не очень далёких от температуры
кристаллизации, гораздо ближе к структуре твёрдых
кристаллических тел, чем к структуре газов. Это положение
подтверждается и экспериментально результатами рентгеаогра-

16 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
фнческого анализа. Тепловое движение молекул, по теории,
развитой Я- И. Франкелем1), сводится в основном к очень
быстрым колебаниям частиц в некотором ограниченном
объёме, подобно тому, как это происходит в твёрдых телах.
Однако в отличие от твёрдых тел центры этих колебаний
вместе с самой молекулой время от времени совершают
скачкообразные перемещения на расстояния порядка размеров
молекулы; этими перемещениями и объясняется явление
текучести жидкости.
В настоящее время имеется целый ряд теорий вязкости
жидкостей, исходящих из указанной или близких к ней схем
теплового движения молекул2). Все эти теории сходятся в
том, что вязкость жидкостей не может быть объяснена
передачей количества движения, совершаемой путём залёта
молекул из слоев, движущихся с разными скоростями, как это
имеет место в газах. По теории Г. М. Панченкова передача
количества движения происходит за счёт временного
объединения на границе слоев некоторых из тех молекул, средняя
кинетическая энергия которых недостаточна для преодоления
притяжения между молекулами. Так как с повышением
температуры средняя кинетическая энергия молекул возрастает, то
число временно объединяющихся молекул будет при этом
убывать, следовательно, будет убывать и вязкость жидкости.
Я. И. Френкель в своей теории исходит непосредственно
из подвижности отдельных частиц жидкости и полагает
коэффициент вязкости обратно пропорциональным подвижности
частиц или, что то же, коэффициенту диффузии. Так как
с увеличением температуры коэффициент диффузии возрастает,
то коэффициент вязкости будет при этом убывать, что
качественно согласуется с экспериментальными данными. Однако,
что касается вытекающих из соответствующих теорий формул
для определения количественной зависимости вязкости
жидкостей от температуры, то они или слишком сложны по
структуре или дают значительное расхождение с результатами
опытов.
!) Я. И. Френкель, Кинетическая теория жидкостей. Изд.
.Акад. Наук СССР, 1945.
г) См. Г. М. Панченков, Теория вязкости жидкостей. Гос-
•\гоптехиздат, 1947.

§ 1]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
17
Наиболее простой по форме и дающей хорошее совпадение
с экспериментом является формула А. И. Бачпнского'):
где р — плотность жидкости, а со и С—постоянные числа.
Если, как это было в своё время предложено п самим
Бачннским, представить зависимость удельного объёма — от
температуры Т в виде:
то формулу Бачпнского можно привести к виду:
bL=l+ai7 + a2r-f..., A.04)
где av а2>. . . — постоянные, значения которых, так же как
значения со и С в предыдущем выражении, должны
практически устанавливаться на-основании экспериментальных данных.
Некоторые авторы2) представляют зависимость |1 от Г
для жидкостей в виде:
где А и В — постоянные. Эта формула даёт
удовлетворительное совпадение с экспериментом на малом интервале
изменения Т.
Как видно из приведённых формул, зависимость р. от Т
для капельных жидкостей и газов принципиально различна.
Поэтому сделанное выше замечание о том, что результаты,
получаемые при изучении движений капельных жидкостей,
справедливы и для движений газов с малыми дозвуковыми
скоростями, будет верно только в тех случаях, когда температуру
жидкости, а с ней и коэффициент вязкости, можно во всё
время движения считать всюду постоянными.
1) А. И. Б а ч и н с к и й, Временник о-ва им. Леденцова, прилож.
№ 3, 1913. См. также Phys. Zeit. 1912, Zeit. physik. Chem. 84, 1913.
2) См. выше цит. книги Я. И. Френкеля и Г. М. Панченкова.
2 СМ. Тарг
Библиотека кафедры
гидромеханики МГУ

18
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
[гл. i
Отсутствие надёжных, теоретически обоснованных формул
для п., заставляет при всех практических расчётах пользоваться
значениями коэффициентов вязкостей, полученными
экспериментально.
В последующем мы будем всегда пользоваться технической
системой единиц: килограмм (кг), метр (м), секунда (сек).
В этой системе, как видно из A.02), величина и. будет иметь
размерность [/л] =кг сек\мг.
Влияние вязкости на движение жидкости определяется,
как мы увидим в дальнейшем, отношением ji к плотности
и-
2.0
IS
IJ5
IM
и
1.0
03
0.6
а*
.
I
■
I
L
\
д
^
\/>
osdyx({L-106)
i | |
Смазочное масло(р-Ю'Г
1
'
Войащ-ю 1
жидкости р. Эта величина
v=4 A.05)
называется
кинематическим коэффициентом
вязкости; его
размерность
[v] = мг\сек.
В отличие от v,
коэффициент [1 иногда
называют динамическим
коэффициентом вязкости.
В приведённой ниже
таблице I даны значения
динамического и кинема-
90 ЮОЪ тнческого коэффициентов
вязкости для воздуха,
воды и смазочного масла
при различных температурах. Для большей наглядности эти
зависимости представлены на фиг. 2 в виде графиков.
Как видно из таблицы, вязкость воздуха и воды очень
мала по сравнению с вязкостью, например, смазочного масла;
так, при 20° Ц вязкость тяжёлого смазочного масла примерно
в 180 раз, а вязкость цилиндрового масла (данные о нём в
таблице не содержатся) в 950 раз больше, чем вязкость
воды. В последующем мы будем иногда различать маловязкпе
жидкости, такие как вода и воздух, от сильно вязких жидкостей
(смазочные масла, глицерин и т. п.).
20 30
40 50 60
Фиг. 2.
W 80

§ и
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
19
В тех случаях, когда необходимо будет представлять
зависимость jx от 7 для капельных жидкостей аналитически, мы
будем пользоваться формулой A.04), подбирая в ней значения
коэффициентов по имеющимся экспериментальным данным.
Для воды, в частности, эта зависимость, как нашёл Пуа-
зейль, имеет вид:
£° = 1 -f 0,0337 Т -f 0,00022 Г2,
где т—температура в градусах Цельсия. Во многих случаях
достаточную для практики точность даёт простая двучленная
формула
UL =14-^7-. A.06)
Что касается зависимости р. от давления, то, как
показывают экспериментальные данные, при тех изменениях
давления, с которыми приходится практически сталкиваться в
гидродинамике, вязкость капельных жидкостей изменяется весьма
незначительно. Например, у воды при изменении давления
от 1 до 100 атм вязкость изменяется приблизительно на 1°/0.
Ещё в меньшей степени изменяется с изменением давления
вязкость газов.
Поэтому в последующем мы будем считать коэффициент
вязкости не зависящим от давления.
У большинства жидкостей вязкость с повышением давления
несколько повышается. Вода представляет собой исключение: в
интервале температурит 0 до 20° Ц вязкость воды с увеличением
давления уменьшается, а при более высоких температурах (больше 20°)
увеличивается. Приведённая выше цифра A°/0) даёт представление
о среднем изменении вязкости.
Значительное повышение вязкости у жидкостей наблюдается при
очень больших давлениях, порядка нескольких тысяч атмосфер;
в обычных условиях (при обтекании тел жидкостью, при смазке) мы
с такими давлениями не сталкиваемся.
4, Тепловые характеристики жидкостей. При
движении вязкой жидкости имеет место обусловленный наличием
внутреннего трения процесс рассеяния (диссипации) энергии,
состоящий в том, что часть механической энергии движущейся
жидкости переходит в тепловую и вызывает нагревание
жидкости. Если вязкость жидкости или скорость её движения не
2*

20 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
очень велики, то это нагревание, как показывают и опыты и
теоретические расчёты, будет весьма незначительным.
Поэтому в тех случаях, когда температура твёрдых тел,
ограничивающих объём жидкости или обтекаемых ею, равна
температуре самой жидкости, мы можем в первом приближении
считать, что температура жидкости во всё время движения
остаётся • всюду постоянной. Это предположение сильно
упрощает решение задач гидродинамики, так как позволяет считать
постоянным во всё время движения и коэффициент вязкости jjl.
Жидкость, температура которой во всё время движения остаётся
постоянной, мы будем называть ненагреваемой. В дальнейшем
во всех задачах гидродинамики, кроме задач о
теплообмене, мы будем рассматривать только ненагреваемую вязкую
жидкость.
Однако в тех случаях, когда температура жидкости
значительно отличается от температуры обтекаемых ею твёрдых
тел или когда нагревание жидкости вследствие рассеяния
энергии становится значительным (достаточно быстрые
движения сильно вязких жидкостей), оказывается необходимым
при изучении движения жидкости рассматривать одновременно
и происходящий в ней процесс теплообмена, а следовательно,
и принимать во внимание её тепловые характеристики.
За техническую единицу тепла принимается одна
килограмм-калория (ккал), равная количеству теплоты,
необходимому для нагревания при атмосферном давлении 1 кг воды
ет 14,5 до 15,5° Ц. Количество тепла q может быть измерено
и в килограммометрах; при этом
О KZM , л .-.«,
q ккал= —— , A.07)
где 7=427 кгм/ккал— механический эквивалент тепла.
Теплоёмкость определяется как количество теплоты,
необходимое для нагревания данной массы на определённое
число градусов.
Удельной теплоёмкостью с, отнесённой к единице массы,
называют количество тепла в ккал, необходимое для
нагревания одной технической единицы массы A кг секг\м) на 1°Ц.
Размерность с будет:
[с] = ккал м\кг сек2 °Ц.

§ 1]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
21
Если не принимать во внимание зависимость удельной
теплоёмкости от температуры, то из определения будет следовать,
что
д = ст(Тг — Т1), A.08)
где ц—количество тепла, необходимое для нагревания тела
массы m от температуры 7\ °Ц до температуры Т2 °Ц.
Для жидкостей и газов различают удельную теплоёмкость
при постоянном давлении ср и при постоянном объёме сь.
Теплопроводноеть данного вещества, т. е. его способность
проводить тепло, характеризуется коэффициентом
теплопроводности X. Значение X можно определить из равенства
Д?=-ХД5^Д/, A.09)
где kq— количество тепла, проходящее за время Д/ при
температурном градиенте дТ/дп через элемент площади Д5,
перпендикулярный к направлению п. Размерность X будет
[Х]="лгл,-ал/л; сек °Ц.
При тепловых процессах в движущейся жидкости скорость
изменения температуры, как мы увидим, зависит от величины
а==— м2/сек, A-Ю)
ср?
называемой коэффициентом температуропроводности.
Заметим, что размерность а совпадает с размерностью
кинематического коэффициента вязкости.
Величины с , X и а являются основными тепловыми
характеристиками жидкости. Все они в- той или иной мере
зависят от температуры. Таблица I даёт представление о
характере этой зависимости для воздуха, воды и смазочного масла 1).
5. Закон подобия. Характеристические числа. Вопрос
о подобии двух течений имеет в гидромеханике весьма
существенное значение, особенно в связи с возникающей при
1) Таблица составлена на основании данных, взятых главным
образом из книг: 1) М. А. М и х е е в, Основы теплопередачи, Госэнерго-
издат, 1947; 2) Современное состояние гидроаэродинамики вязкой
жидкости, т. 1, Изд. иностр. лит., 194S г. При этом все величины
пересчитаны в соответствии с принятыми нами размерностями и
исправлены замеченные неточности.

22 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
Таблица 1
Основные физические характеристики воздуха, воды
и смазочного масла (при р = 1 кг/см2).
т
оц
кг сек*
10V
кг сек
10«v
м'
ккал м
кгсек' °Ц
104
ккйл
мсек °Ц
105Х
а) Воздух.
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,128
0,123
0,118
0,114
0,111
0,108
0,105
0,102
0,099
0,096
0,093
о
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0,0175
0,0181
0,0186
0,0191
0,0196
0,0200
0,0204
0,0208
0,0213
0,0218
0,0222
13,7
14,7
15,7
16,6
17,6
18,5
19,5
20,4
21,4
22,6
23,8
2,36
2,36
2,37
2,37
2,37
2,38
2,38
2,38
2,39
2,39
2,39
101,9
101,9
101,7
101,5
101,2
100,7
100,2
99,7
99,2
98,5
97,8
1,827
1,333
1,024
0,817
0,669
0,560
0,473
0,414
0,364
0,323
0,290
1,792
1,308
1,007
0,804
0,661
0,556
0,477
0,415
0,367
0,328
0,296
б) Вод а.
9,93
9,87
9,85
9,84
9,84
9,84
9,85
9,87
9,88
9,90
9,91
5,67
5,84
6,01
6,17
6,34
6,51
6,68
6,84
7,01
7,18
7,34
132
137
142
147
151
154
157
159
161
162
163
в) Смазочное масло1).
94,1
93,6
93,0
92,5
92,0
91,5
91,0
90,5
89,9
89,4
450
243
145
75
44
27
19
13
8,1
5,7
480
260
156
81
48
30
21
14
9,2
6,4
,23
,32
41
,49
,58
66
,75
,83
,92
5,00
31,2
31,0
30,7
30,5
30,3
30,1
29,9
29,6
29,4
29,2
18,8
20,1
21,5
22,8
24,1
25,4
26,8
28,2
29,6
31,3
33,1
0,130
0,137
0,143
0,148
0,153
0,156
0,159
0,162
0,165
0,167
0,169
0,079
0,077
0,075
0,074
0,072
0,071
0,069
0,068
0,067
0,066
х) Данные таблицы примерно соответствуют характеристикам
яжёлого светлого смазочного масла отечественного производства.

§ 1]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
23
экспериментальных исследованиях задачей перехода от
модели к натуре.
Первым и очевидным условием такого подобия будет
геометрическое подобие, т. е. подобие границ. Например, если
рассматривается задача обтекания, то обтекаемые тела
должны быть геометрически подобны и одинаково ориентированы
по отношению к потоку. Динамическое подобие можно
оценивать или по распределению скоростей и давлений в
текущей жидкости или по суммарному воздействию потока на
обтекаемое тело. Рассмотрим вопрос о динамическом подобии
установившихся течений несжимаемой вязкой жидкости при
отсутствии внешних сил и будем, например, оценивать
подобие по величине силы сопротивления F,
Влияние силы тяжести сказывается на подобии течении только
в тех случаях, когда у жидкости есть свободные поверхности, где
имеет место процесс волнообразования. Задачи такого рода нами
рассматриваться не будут.
Если ввести какой-нибудь характерный для данного
течения линейный размер / (например, большая полуось при
обтекании эллипсоида, средняя хорда при обтекании крыла
и т. п.) п характерную скорость U (например, скорость
набегающего потока на бесконечности), то силу F можно
представить в виде
F=Cy2c/2, A.11)
где, как легко убедиться, С—некоторый безразмерный
коэффициент.
Тогда два течения, в которых характерный размер и
характерная скорость U выбраны одинаково, будут называться
динамически подобными, если коэффициент С, входящий
в A.11), будет иметь для обоих течений одно и то же
значение.
В рассматриваемом случае значение С может зависеть
только от величин /, U, р, р., X, с. Так как коэффициент С
безразмерен, то в его выражение могут входить только
безразмерные комбинации названных величин. Пользуясь
соображениями теории размерностей1), легко убедиться, что из этих
!) См. Л. И. Седо в, Методы теории размерностей и теории
подобия в механике, Гостехиздат, 1944 или П. В. Бридж мен,
Анализ размерностей. ГТТИ, 1934.

24 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
величин можно составить только две независимые между
собою безразмерные комбинации. Если при эгом потребовать,
чтобы одна из них не содержала тепловых характеристик
(т. е. X и с), а другая не зависела от скорости течения U,
то этими комбинациями будут
к==рШ=Ш AЛ2)
[IV
II
Р = ^ = ^. A.13)
Безразмерные величины пли, как их ещё называют,
характеристические числа R и Р принято именовать: R — числом
Рейнольдса, Р — числом Прандтля.
Таким образом, в нашем случае
C = F(R, P)
и сформулированное выше условие можно иначе выразить так:
при соблюдении геометрического подобия два установившиеся
течения несжимаемой вязкой жидкости, не имеющие свободных
поверхностей, будут динамически подобны, если для обоих
течений характеристические числа R и Р совпадают.
К такому же результату можно придти и из оценки
распределения скоростей и давлений в текущей жидкости.
Из A.13) видно, что число Р определяется только
физическими характеристиками данной жидкости. Для газов
величина Р оказывается постоянной, близкой к единице;
например, для воздуха Р = 0,73. Для капельных жидкостей,
наоборот, число Р может изменяться в значительных пределах и
сильно зависит от температуры (см. табл. 1).
Если изменением температуры при движении жидкости можно
пренебречь (ненагреваемая жидкость), то в рассматриваемом
нами случае будет C — F(R) и единственным критерием
подобия двух течений явится совпадение чисел Рейнольдса ').
!) Более строго и полно вопрос о подобии можно рассмотреть,
исходя непосредственно из уравнений движения вязкой жидкости
с учётом начальных и граничных условий (см. Н. Е. К о ч и н,
ц. А. К и б е л ь, Н. В. Розе выше цит. или Л. Г. Лойцянский,
Аэродинамика пограничного слоя. ГТТИ, 1941).

§\ 1 ] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ 25
6. Ламинарный и турбулентный режимы. Роль числа R
в гидромеханике вязкой жидкости не ограничивается только
тем, что оно является критерием подобия. Опыт показывает,
что существуют два принципиально различных режима течения
вязкой жидкости: ламинарный и турбулентный. При
ламинарном режиме имеет место плавное слоистое течение
жидкости с ясно выраженными линиями тока. Наоборот, турбулентный
режим характеризуется беспорядочным движением отдельных
частиц жидкости и значительной пульсацией скоростей в
каждой точке потока.
Основоположник гидродинамической теории смазки проф.
Н. П. Петров в своей упомянутой выше классической работе
установил, что сопротивление движению жидкости Существенно
зависит от режима течения, т. е. от того, будут ли траектории
её частиц плавными линиями (ламинарный режим) пли нет
(турбулентный режим) и, что при исследовании движения жидкости
необходимо обязательно принимать во внимание, при каком
именно режиме это движение происходит.
Исследования О. Рейнольдса *), подтверждающие выводы
И. П. Петрова, гтоказали, что налтгчтге того гглгг гггюго режима
течения вязкой жидкости зависит в свою очередь от величины
характеристического числа R, а именно, при сравнительно
малых значениях R режим течения является ламинарным, при
больших же числах R — турбулентным. Это обстоятельство
можно объяснить следующим образом. Число R можно
рассматривать как величину, характеризующую в .движущейся
жидкости отношение инерционных сил к силам вязкостц.
Действительно, инерционные силы, отнесённые к единице объёма будут
U2 . J
иметь в данном течении порядок р —г , а порядок сил
вязкости, также отнесённых к единице объёма, будет, как видно
из A.01), равен \i -^-, где I \\ U имеют тот же смысл, что
и в п. 5. Отношение названных сил и даёт величину R. При
малых значениях числа R вязкие силы преобладает над
инерционными и мы имеем плавный ламинарный режим; П|эи больших
же числах R имеет место преобладание инерционных сил над.
выравнивающими течение вязкими силами и режим становится
беспорядочным, турбулентным.
1) О. Reynolds, Phil. Trans. Roy. Soc, 1883.

26 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
Как показывают экспериментальные исследования, если
постепенно уменьшать значение числа R путём, например,
уменьшения скорости течения, то при некотором R = RKP режим
течения скачкообразно перейдёт от турбулентного к ламинарному.
Число RKp, обладающее тем свойством, что при R <^ RKp
режим течения является заведомо ламинарным, называется
нижним критическим числом Рейнольдса. Значение RKp для
каждого конкретного вида течения определяется
экспериментально. Например, для течения в круглой трубе, если взять
R=— (R — радиус труоы, и — средняя по расходу
скорость в поперечном сечении), будет RKp г= 1100. Это означает,
что в круглой трубе при R<^1100 возмущения во входном
сечении, каковы бы они ни были, по мере удаления от входа
будут затухать и движение жидкости станет ламинарным. Однако
отсюда не следует обратный вывод о том, что при R^>1100
течение в трубе будет всегда турбулентным; если принять
соответствующие меры, а именно, дать жидкости предварительно
хорошо отстояться, плавно закруглить выход из резервуара
в трубу, предохранить саму трубу от возможных случайных
сотрясений и т. п., то можно наблюдать ламинарный режим
течения в трубе и при числах R, равных нескольким десяткам
тысяч. Вопрос о существовании Еерхнего критического числа
Rkp, т. е. такого, что при R^>Rhp течение при любых
условиях будет заведомо турбулентным, остаётся открытым.
Вероятнее всего, что такого числа нет, т. е. что при всё более
тщательном устранении возмущений можно получить
ламинарное течение при любом R.
Мы в дальнейшем будем рассматривать только задачи о
ламинарных течениях вязкой жидкости. Эти задачи имеют
практическое значение не только при изучении движений с
малыми числами R, таких, например, как медленные течения в
цилиндрических пли конических трубах или в смазочном слое.
При внешнем обтекании тел маловязкими жидкостями
(воздух, вода) влияние вязкости сказывается лишь в очень
тонком, непосредственно примыкающем к обтекаемой поверхности
слое, называемом пограничным слоем.
Многочисленные экспериментальные исследования на
моделях и в натуре показывают, что течение в пограничном слое
остаётся ламинарным при достаточно больших значениях

§ 2]
УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ НАПРЯЖЕНИЙ
27
числа R. Так, например, по утверждению Л. Прандтля ')
наблюдения над движением хорошо заостренных пластинок в воде
показали, что течение около них может оставаться
ламинарным при значениях R=:£///v (где / — длина пластины),
доходящих до 500 000, а при обдувке пластины с хорошо
закруглённым передним краем в аэродинамической трубе
ламинарный режим наблюдался даже при R =3 000000.
Заметим, наконец, что течение в некоторых областях вблизи
поверхности обтекаемого тела продолжает оставаться
ламинарным и в тех случаях, когда общий режим течения становится
турбулентным (ламинарный подслой).
Таким образом, решение целого ряда практически важных
гчдро- и аэромеханических задач связано с изучением именно
ламинарных течений вязкой жидкости.
§ 2. Уравнения движения вязкой жидкости
в компонентах напряжений.
1. Силы, действующие на жидкую частицу. При
изучении движения непрерывной жидкой среды исходят из
рассмотрения движения выделенной в данной среде произвольной
жидкой частицы; при этом предполагается, что результат
исследования не зависит от того, какую именно геометрическую
форму будет иметь выделенная частица. Силы, действующие
на выделенную в среде жидкую частицу, можно разделить на
массовые или объемные и поверхностные.
Массовыми называются внешние силы, действующие на
все частицы данного объёма жидкости. Примерами таких сил
могут служить сила тяжести или центробежная сила, действующая
на частицы жидкости, заключённой во вращающемся сосуде.
В гидромеханике массовые силы характеризуют вектором F,
величина которого равна отношению силы, действующей на
данную частицу, к массе этой частицы. Например, в случае,
когда действующей силой является сила тяжести, будет F= g,
где g—ускорение силы тяжести.
Размерность F совпадает с размерностью ускорения:
\F)=MlceKz. A.14)
•) Л. Прандтль, Гидроаэромеханика. Изд. иностр. лит. 1949,
стр. 143.

28 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
Проекции величины F на оси прямоугольной системы
координат будем соответственно обозначать через Fx, F и F,.
Поверхностные силы представляют собой результат
действия на выделенную жидкую частицу окружающей её
жидкости и приложены к элементам поверхности, ограничивающей
объём жидкой частицы. Поверхностные силы характеризуются
вектором рп, называемым напряжением поверхностной силы,
величина которого равна отношению силы, действующей на
элемент поверхности с нормалью я, к величине площади этого
элемента. Размерность рп будет:
[/>„]= кг\м\ A.15)
Следует обратить внимание на различный смысл индексов в
выражениях Fx и рп. Величина Fx означает проекцию вектора F на
ось Ох; выражение же рп означает вектор, действующий на элемент
площади с нормалью п, причём направление рп вообще не совпадает
с направлением п.
Если провести через вектор рп н нормаль я плоскость,
то в этой плоскости можно вектор рп разложить на две
составляющие: одну,
направленную вдоль я, и другую, ей
перпендикулярную и лежащую в
касательной плоскости.
Величины этих составляющих будем
обозначать рпп и pnt и
называть соответственно
нормальным и касательным
напряжениями на элементарной
площадке с нормалью п (фиг. 3).
Касательное напряжение pnt и
представляет собой для данного
элемента то напряжение силы
внутреннего трения, которое для простейшего случая было
определено в п. 3 § 1.
Если в движущейся жидкости пренебречь наличием
вязкости, то мы придём к понятию о невязкой или так
называемой идеальной жидкости. В идеальной жидкости pnt = 0 и
напряжение на любой элементарной площадке будет
направлено вдоль нормали внутрь выделенного объёма жидкости. Это
нормальное напряжение называется давлением в данной точке
Фиг. 3.

§ 2]
УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ НАПРЯЖЕНИЙ
29
идеальной жидкости. Легко показать, что давление в данной точке
идеальной жидкости не зависит от направления той площадки,
на которую оно действует. Для этого выделим элементарную
частицу в форме призмы с основанием ABC и высотою,
равной единице (фиг. 4) и обозначим давления на её боковых
гранях через рх, рг и ря. Тогда,
составляя уравнения движения
частицы в проекциях на оси
координат и переходя к
пределу, убедимся, что "~~р
/?1=P2=/>3- A-16)
I
т
А
А
В я
I'
Фиг. 4.
В самом деле, заметим, что
действующие на частицу массовые
силы и силы инерции при
переходе к пределу, т. е. при
приближении площадки ВС к точке А, дадут нуль, так как они
пропорциональны кубу линейного элемента. Для сил же
давления уравнение в проекции на координатную ось Ох даст
Pi'AC—р3-СВ cosa = Q, откуда pi=.pi. Аналогично
получим р2=р3, чем и доказываются равенства A.16).
Таким образом, давление в идеальной жидкости есть
функция только координат точки и времени: р=р (х, у, z, t).
Аналогичный результат будет, очевидно, иметь место и для
гидростатического давления в покоящейся вязкой жидкости.
Для движущейся вязкой жидкости можно также ввести
понятие о давлении р в данной точке, если допустить, что
нормальное и касательное напряжения на любой площадке
с внешней нормалью п можно представить в виде:
Рпп = —Р-
Рт = ~nt<
A.17)
A.18)
где р есть функция только координат данной точки и времени.
Величины тпп и xnt характеризуют при этом ту часть
напряжения, которая определяется наличием вязкости, и зависят
не только от х, у, z и t, но и от направления площадки в
каждой данной точке. С исчезновением вязкости величины тлп и
тп, обращаются в нули, а р принимает значение давления
в идеальной жидкости.

30 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
2. Напряжение на косой площадке. Компоненты
напряжений. Пусть положение жидких частиц определяется по
отношению к некоторой прямоугольной системе координат *)
Oxyz. Выделим в жидкости элементарную частицу в виде
тетраэдра ABCD, три грани которого перпендикулярны
направлениям координатных осей, а четвёртая BCD с нормалью и —
наклонна (фиг. 5); эту грань
будем называть в
дальнейшем наклонной или косой
площадкой.
Обозначим напряжения
на площадках,
перпендикулярных осям координат,
соответственно через pt, ру,
рг. Проектируя эти векторы
на оси координат, получим
следующие девять величин:
Фиг. 5.
Рхх1 Рху> Рхг
"у*> Руу
)
PVx> Рп> РугЛ П-19>
' УХ- • уу r yZ'
Pzx> Ргу> Ргг'/
Здесь, в соответствии с принятыми обозначениями,
р—проекция рх на ось Ох, р —на ось Оу и т. д. Заметим,
кроме того, что рхх, р и ргг представляют собою
нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных
соответствующим осям координат, а остальные шесть членов, содержащиеся
в табличке A.19)—-касательные напряжения на тех же
площадках; при этом по закону парности касательных напряжений
имеем:
Pxv = Pyx> Pyz = Pzy Ргх=Рхг- П-20>
Величины, входящие в табличку A.19), называются
компонентами напряжений в данной точке жидкости. При заданных
направлениях осей координат они будут функциями только
х, у, г и г.
Так как силы, действующие на частицу ABCD, должны
удовлетворять уравнениям движения этой частицы, то напря-
!) Мы всюду будем пользоваться только прямоугольными
декартовыми осями координат и в дальнейшем нигде это
обстоятельство специально оговаривать не будем.

§ 21
УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ НАПРЯЖЕНИЙ
31
жение рп на косой площадке BCD может быть выражено
через компоненты напряжений A.19). Нормаль п к площадке
BCD образует с осями координат углы, косинусы которых
обозначим соответственно через а, р, у, где
/\ /Ч /Ч
а= cos{n,x), p = cos(«, ,v), у = cos (/;, г). A.21)
Тогда, составляя уравнения движения частицы ABCDb
проекциях на оси координат и принимая во внимание, что при
переходе к пределу, т. е>. при приближении площадки BCD
к точке А, члены уравнения, содержащие массовые силы и
силы инерции, дадут нули, получим:
Рпх=Рхх*+Рху$+РхгЪ }
Рпу=Руха + Ру^+РугЪ \ A22>
РПг=Ргх<* + Ргу$ + Р;гЧ> J
где Рпх, Р„у, Рп,— проекции напряжения рп на оси координат.
Из A.22) видно, что заданием компонент напряжений
определяется напряжённое состояние в данной точке, т. е.
напряжение на любой, проходящей через эту точку площадке.
Проектируя рп на нормаль п к площадке BCD, получим,
значение нормального напряжения на косой площадке
Pnn = Pnx* + Pny$ + PnX-
Подставляя сюда значения проекций рп из A.22), найдём
окончательно:
РПп=Рхха2-ЬРУу$2+РггГ+2Рху4+2РуЛ1+2РЛа- A-23)
Заметим, что по аналогии с A.17) компоненты напряжений,
можно представить в виде:
Рхх = — Р + *хх> Руу~—Р + ^уГ Ргг = ~Р + ХгЛ A.24)
Рху тху> Pyz — 'tyzi Pzx — Tzx- >
Тогда из A.23), используя A.17) и A.24) и принимая во
внимание, что a.2 -f- р? -f- у2 = 1 . получим следующее
выражение для той части нормального напряжения тлл, которая
определяется наличием сил вязкости:
\п = Ъ* + vp2 + ~zzf + 2т,,,ар + 2VpY + 2t«Y«- A -25>

-32 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
Кроме составляющей р , вектор рп будет в общем
случае иметь ещё и касательную составляющую pnt, величину
которой можно определить из очевидного равенства
2 I 2 2 | 2 I
Piit~\- Pim = Pnx -+- Рпу ~Г р.
В заключение отметим, что в каждой точке жидкой среды
существуют три таких взаимно перпендикулярных площадки,
на каждой из которых действуют только нормальные
напряжения, а касательные
напряжения равны нулю. Доказательство
этого замечательного
положения можно найти, например, в
книге Н. Е. Кочина, И. А.
Кибель, Н. В. Розе
«Теоретическая гидромеханика», ч. I.
ГТТИ, 1948.
3. Уравнения движения
в прямоугольной системе
координат. Рассмотрим в
движущейся жидкости некоторую
точку М с кооодинатами х, у, z и выделим вблизи точки М'
элементарную жидкую частицу в форме прямоугольного
параллелепипеда с рёбрами Дх, Д_у, Lz (фиг. 6). Пусть напряжения
поверхностных сил на гранях, проходящих через точку М,
будут рх, ру, рг, а на соответственных им параллельных
гранях: рх, ру, рг (на фиг. 6 показаны лишь векторы р , ру). При
этом, считая напряжения функциями координат точки и
принимая во внимание направления напряжений на гранях, будем
с точностью до малых высшего порядка иметь:
ду - '
Фиг. 6.
Рх = — px+-Jfebx, р'у=—р
дх
р'.=-р.+ д-£ь*.
A.26)
Далее, будем полагать, что для каждой частицы имеет
место основное уравнение динамики: произведение массы
частицы на её ускорение равно геометрической сумме
приложенных сил. Тогда, обозначая силу, действующую на единицу
массы частицы, через F, а ускорение частицы через w. будем

§ 2j УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ НАПРЯЖЕНИЙ 33
иметь:
рта> Ах Ду \z = р/7 Дл: Ду Дг -f- (рж -}-/»*) Ду &z +
+ (Ру + Ру) & ЬХ -\- (рг -f Рг) ЬХ Ду.
Заменяя здесь р*, />и, рг их значениями из A.26), деля
на рДхДуДг и переходя к пределу, стягивая параллелепипед
в точку, найдём окончательно следующее уравнение движения
жидкости в векторной форме:
-='+т№+£+*)- "•27>
Если спроектировать обе части уравнения A.27) на оси
координат и представить одновременно компоненты напряжений
в виде A.24), то мы придём к следующим уравнениям
движения жидкой среды в компонентах напряжений:
w =F — ±-?Р4-±(*у.*4-*уу4-!*у*\ I A28)
wy ГУ p dy^ p { dx ^ ду * dz ) ' f ■ 0>
Wz Гг p di ^T p ^ ^ -f dy- "Г" dz J ■ }
Заметим, что A.28) представляют собою уравнения
движения любой однородной и непрерывной деформируемой
среды в прямоугольной системе координат. В этих трёх
уравнениях содержится 9 неизвестных величин: 6 компонент
напряжений и 3 компоненты ускорения'). Чтобы сделать эту
систему полной, необходимо обратиться к рассмотрению
физических свойств изучаемой среды и исходя из них
установить связь между компонентами напряжений и величинами,
характеризующими деформацию среды. Для несжимаемой
вязкой жидкости эта связь и будет нами установлена в
следующем параграфе.
4. Уравнения в системе цилиндрических и
сферических координат. При решении ряда конкретных задач
бывает удобно пользоваться криволинейными ортогональными
!) Если для рассматриваемой жидкой частицы (фиг. 6.) составить
уравнения моментов, то они дадут только уже использованные
нами условия парности касательных напряжений A.20).
3 с. М. Тарг

34 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
системами координат, в частности системой цилиндрических
или сферических координат. Приведём для этих двух систем,
опуская выкладки, окончательный вид уравнений движения
вязкой жидкости в компонентах напряжений в форме,
аналогичной A.28).
Цилиндрические координаты г, <р, z (фиг, 7) связаны с
прямоугольными декартовыми координатами соотношениями;
х = г costs, _y = rsin<p, z = z.
Компоненты напряжений в этой системе координат, по
аналогии с предыдущим, будем обозначать:
Prr = — P + "r^ />„ = — /> + *„, f'^'= — P + TzA {h29)
Pn = Tr9i P*z = hz> Pzr = ~zr> f
где первая Строка содержит нормальные, а вторая —
касательные напряжения.
Фиг. 8.
Тогда в цилиндрической системе координат уравнения
движения в компонентах напряжений будут иметь вид:
1 др | 1 {д*„ , 1 dv» д-!гг , У —т?
дг ~~i г д-р ' дг ' г
Wr = Fr~-JTr
W,r-
<f or Из I о \ дг ' Г дер I
д;р
1 дт„
Г Йср
дг "т" г
2^
г
A.30)
дг ' р \ дг
Сферические координаты г, ср, 0 (фиг. 8) связаны с
прямоугольными декартовыми соотношениями:
х = г sin 6 cos f, y = rsinQsin<{>, г = r cos 6.

§ 3J
УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ СКОРОСТИ
35
Компоненты напряжений в этой системе координат будут
обозначаться так же, как в A.29), с той лишь разницей, что
всюду вместо индекса z будет стоять индекс 0.
В сферической системе координат уравнения движения
в компонентах напряжений будут иметь вид:
с 1 dp i
ГдХгг , 1 ^Ы
1
Р
1
ъ~
дг
I г д0
1 др
г sin 0 d-f
+ '
- Vo — тев+xer cte'
р/- sin б d-f
+
1 ру? 1 Дт?е
"т" р [ б/- i г дО '
с- 1 Ф I
1 йт„ , 3Tr= + 2T_ectg(
_5х_1
г sin 0 д'.в
, A.31)
1
'Р
дцг
дг '
1 Л,
1
д\п . (твв —V)ctSe + 3V
г sin 0 d-f
+ ■
§ 3. Дифференциальные уравнения движения вязкой
жидкости в компонентах скорости.
1. Скорость и ускорение жидкой частицы. Мы
будем при изучении движения жидкости следовать методу
Эйлера, т. е. рассматривать изменения скорости н давления
в некоторой точке пространства, занятого движущейся
жидкостью. Тогда скорость v каждой жидкой частицы будет
зависеть от того, в какой момент времени мы эту частицу
рассматриваем и в какой точке пространства частица в этот момент
находится, т. е. v = v (x, у, z, г). Если распределение
скоростей в пространстве, занятом движущейся жидкостью, с
течением времени не изменяется, то такое движение будем
называть установившимся или стационарным. В этом случае
v = v(x, у, z). Проекции вектора v на прямоугольные оси
координат будем обозначать vx, v , vz.
Линии, касательные к которым в каждой точке совпадают
с направлением вектора скорости частицы, находящейся в этой
точке, называются линиями тока и играют большую роль
при изучении течений жидкости. Подробное исследование
характера и свойств этих линий содержится в магистерской
S*

36 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
диссертации Н. Е. Жуковского '). Там же дан полный анализ
движения жидкой частицы.
Ускорение жидкой частицы w определяется как полная
производная от вектора скорости v частицы по времени:
w — —. При этом изменение dv вектора скорости за время
lit происходит, во-первых, за счёт изменения скорости жидкой
частицы в данной точке пространства (это изменение равно
-г— dt и при установившемся движении обращается в нуль!
и, во-вторых, за счёт того, что жидкая частица перемещается
за это время в другую точку пространства, где она должна
иметь в общем случае другую скорость. Ввиду этого будем
иметь:
dv , dv rf£ , dv dy , dv dz
™~-~Ш>дхдГ1~ду di'dzdl
dx
или, принимая во внимание, что ~-j-=vr и т. д.,
dv , dv , dv , dv ,. 00.
w=di+v*si+vydy+v'd;- <L32)
Из A32) следует, что w представляет собою в общем
случае также функцию координат точки г.. времени.
2. Уравнение неразрывности. Установленный
гениальным русским учёным М. В. Ломоносовым закон сохранения
вещества позволяет получить уравнение, которому при
движении любой непрерывной среды должны удовлетворять
компоненты скоростей её частиц. Найдём это уравнение для
случая несжимаемой жидкости.
В пространстве, занятом текущей жидкостью, возьмём
произвольную точки К с координатами х, у, г. Построим
вблизи этой точки элементарный прямоугольный
параллелепипед с рёбрами, равными Ах, Ду, &z и параллельными осям
координат (фиг. 9). Тогда за промежуток времени Д< через
заднюю, перпендикулярную оси Ох грань втечёт количество
жидкости, равное pvxhyAzM. На передней грани скорость
;) Н. Е. Жуковский, Кинематика жидкого тела. Матем. сб.,
т. VIII, 1876 или Поли. собр. соч., т. II, ОНТИ, 1935.

§ 3] УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ СКОРОСТИ 37
течения
за тот
dv,
будет равна v'x = vx -j- ~ Дл;
же
dv.
, — и через нее
промежуток вытечет количество жидкости
?[vx~\—-s^&xjAyAz. Следовательно, суммарное количество
жидкости, вытекающее из параллелепипеда за время It в
направлении оси Ох, будет: р ~ Ах Ду Az. Аналогичные
выражения получатся для количеств жидкости, вытекающих в
направлениях осей Оу и Oz. Так
как жидкость несжимаема, то
на основании закона сохранения
вещества количество втёкшей в
параллелепипед жидкости
должно равняться количеству
вытекшей, и следовательно,
сумма определённых выше величин
должна быть равна нулю,
откуда получим:
*
/*.
. '*■■-
t/
h>i
У
vi
'О
di< dvv , dv.
дх
ду
A.33)
Фиг. 9.
Уравнение A.33) называют уравнением неразрывности
для несжимаемой жидкости в прямоугольных координатах.
Выражение уравнения неразрывности в цилиндрических и
сферических координатах приведено ниже в п. 5.
3. Деформация жидкой частицы. Компоненты
скоростей деформации. Пусть какая-нибудь жидкая частица
перемещается вместе со всей жидкостью относительно системы
осей Oxyz. Рассмотрим две очень близкие друг к другу точки
этой частицы: точку Л с координатами х, у, z и точку Л}
с координатами x-j-J, у-\-ц, £-}-£, где
1=Ах,
■■ Ду, С = Аг
A.34)
Скорости этих точек в данный момент / назовём
соответственно v = v(x, у, Z) и ©, = г» (лг-j-S, y-\-rh z-j-O- Тогда,
с точностью до малых величин высшего порядка, будем иметь:
. dv - , dv , dv „
ду1
A.35)

38 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
".
Введе
4(
м обозначения:
дх £-"'
dvx dvy
ду ' ду
н
кроме того,
1 /dv.
~2\~ду~
диу
' ~ду~г
)=£-vr
дх 1 dz ,
*>v\
¥ {'дх ~
уу> dz с-у
1 fdVy ^ dv,
2"\¥ 1 Ту
1 /dvx
«' 2 \ дг
dvx \
dv / г
*»
)=
at>3
й*
-уг>
A.36)
A.36')
Тогда проекции равенства A.35) на оси координат после
несложных преобразований можно представить в виде:
AvK = (wyr — юл) -f (s„S + s^tj + е,гС) = Д^ + №x, \
д^ = (ю,5—u>xQ + (8ул5 + вуущ + 6у2о = Дт>; + ыу> Wi.37)
Полученные равенства устанавливают, что разность Av
скоростей двух соседних точек жидкой частицы складывается
из приращения скорости Av", обусловленного поворотом
частицы, как твёрдого тела, вокруг точки А с угловой
скоростью со и из приращения скорости Дг»', обусловленного
деформацией жидкой частицы. При этом, как видно из A.37),
д*;=к,^+s^Ti+s,^), д*;
-ух-
^-Hr/i + s.A
Д< = (8«5+Ьу11 + е«С)
)
A.38)
Величина Д©' и определяет скорость движения жидкой
частицы, обусловленную деформацией этой частицы в
данный момент.
Если рассмотреть две точки А и Аг, лежащие на
прямой, параллельной оси Ох, то, полагая в A.38) 7j=r£ = 0
и принимая во внимание обозначения A.34), получим, что
в этом случае

•§ 3] УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ СКОРОСТИ 39
Аналогичные выражения получатся для точек, лежащих
на прямых, параллельных двум другим осям. Отсюда можно
заключить, что величины вхх, е , ггг характеризуют
скорости относительных удлинений жидкой частицы в
направлении соответствующих осей координат, a s , s„„ ггд. —
скорости относительных сдзигов в плоскостях, перпендикулярных
этим осям. В совокупности величины г,у, определяемые
равенствами A.36), называются компонентами скоростей
деформации в данной точке жидкости.
Скорость относительного удлинения жидкой частицы по
произвольно взятому направлению, обусловленная деформацией
частицы, может быть выражена через компоненты скоростей
деформации A.36). Пусть, в частности, взятое направление
представляет собою направление нормали п, проведённой
в какой-нибудь точке поверхности, ограничивающей жидкую
частицу. Обозначим направляющие косинусы этой нормали
a, fi, Y (I-25)- Тогда скорость движения по направлению п,
обусловленная деформацией жидкой частицы, будет равна:
Подставляя в правую часть значения проекций Дг>' из
A.38), а величин 5, ц, £ из A.34) и деля затем обе части
равенства на Дя, получим после перехода к пределу:
ди'
-Ш = £«°а + by? + s~?8 + 2г^ + 2зу& + 2£««?. A -39)
Ьх Д_|/ Д.г „
так как в пределе отношения -т-, -~- -г~ будут
соответственно равны а, р, у.
Выражение A.39) и определяет обусловленную
деформацией скорость относительного удлинения жидкой частицы
в направлении данной нормали п.
Если через какую-нибудь точку жидкой частицы провести
какие-нибудь три взаимно перпендикулярных направления, то
в общем случае при деформации частицы она будет иметь
скорости относительного удлинения вдоль этих направлений
и скорости относительного сдвига в плоскостях, им
перпендикулярных. Однако подобно тому, как это имеет место для
напряжений, в каждой точке жидкости существует три
взаимно перпендикулярных направления, обладающих тем свой-

40 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. 1
ством, что при деформации имеют место только скорости
относительного удлинения вдоль этих направлений, а
скорости относительного сдвига в перпендикулярных плоскостях
отсутствуют. Эти направления называются главными осями
скоростей деформации в данной точке.
4. Связь между напряжениями и скоростями
деформаций. Будем рассматривать в дальнейшем только
несжимаемую вязкую жидкость. Тогда в ней деформация частицы
будет обусловлена только изменением формы, так как
изменение объёма в этом случае места не имеет. Предположим,
что закон вязкого трения, установленный в простейшем
случае для касательных напряжений в виде A 02), имеет место
в общем случае и для нормальных напряжений, т. е. что
обусловленное наличием вязкости нормальное напряжение тпп
пропорционально скорости относительного удлинения жидкой
dvn
частицы по направлению той же нормали -^—:
dv'„
*.« = **?• (L40>
где коэффициент k характеризует вязкость данной жидкости
и ввиду её изотропности не зависит от направления п.
Заменим входящие в A.40) величины их значениями из
A.25) и A.39). Тогда полученное таким образом равенство
будет иметь место при любых значениях а, р, у только в том
случае, если будет:
0.41)
Рассмотрим простейшее течение (см. § 1, п. 3), для
которого vx = vx(y), v ==vz = 0. Принимая во внимание A.36),
найдём, что в этом случае из равенств A.41) сохранится
только одно:
k dvx
Сравнивая это равенство с выражением A.02), на
основании которого было определено понятие коэффициента
вязкости ц, приходим к выводу, что k = 2ц.
Ххх ™хх>
хуу == кгуг
lzz n"zz'
xxv — bexy.
V=*ey."
T*r = *e»'

§ 3]
УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ СКОРОСТИ
41.
Тогда из A.41), заменяя в них значения компонент
скоростей деформации выражениями A.36), найдём окончательно:
dv..
t„=2jie„ = 2»i
dv,
fdvx dv„\ ,
(dvv &иг\
dz '
dv, dvx
*zx = 2i**x = H-fc+ !*-)•
A.42).
Равенства A.42) и устанавливают для несжимаемой
вязкой жидкости связь между компонентами напряжений и
компонентами скоростей деформаций в прямоугольных
декартовых координатах.
Аналогичные зависимости могут быть установлены и в
криволинейных координатах.
В цилиндрических координатах выражения компонент
напряжений будут определяться равенствами:
/ 1 dv„ vr
т., = 2^ = 2,1 G^ +7'
т„=2дб
г, dv.
■ 2u —-
' dz '
I 1 dvr dv,„ vA
fdvx
1 dv,
^ = 2^* = »-{ж + Т^)'
A.43).
где err, £„,
деформаций.
■ соответствующие компоненты скоростей'

42 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
В сферических координатах компоненты напряжений
будут иметь выражения:
*%■ ъ = *»».=*(гт?+?)-|
1 dv.. _,_ ur , «e ct2 ^
г sin 8 д-f ' /• '
d«9 1 <kv u„
:2ll
*„ = 2^ = KtF +
г sin 0 да
VJ
= 2jie_,=Ji
1 ди,
/■ sin 8 д?
1 а«. <fy
. = 2jis4r=ii(—-ДЙ- +
1 дг^
Т~дй
va ctg О
где е.
-Й6>
'8
— соответствующие компоненты скоростей де-
A.44)
формаций.
5. Дифференциальные уравнения движения.
Начальные и граничные условия. Установив зависимость
компонент напряжений от скоростей, мы можем получить
уравнения движения в компонентах скорости. Для этого подставим
в A.28) значения компонент напряжений из A.42). Тогда,
считая р — const, и принимая во внимание обозначение A.05),
получим:
dvr д fdvx dvv\ д
w„ = F'
1 dp д dvr д /dvx dvv
p OX OX OX dy \ Ojl OX
+ <Tz"
dvx dvz
dz dx
■w„
F„
1 dp
(dvv dvx\ д dvy
p dy+ dx V [дх + ду) +2оуУ dy + dzV
dvy dv„
lz~+dy
■w, = F,
1 dp d
p dz dx
dvg dvx
dx"i"d7
d (dv, dvy ..z
+ dy-"{W + ^)+2TzyJz-
d dvx
Jz~-
1.45)
Уравнения A.45) являются уравнениями движения
несжимаемой вязкой жидкости в прямоугольной системе координат.
При пользовании ими следует иметь в виду, что левые
части должны быть представлены в том виде, который они
имеют в уравнениях A.46). Так как v = vG'), где
Т—температура жидкости, то система A.45) содержит пять
неизвестных функций: vx, v , v , р, Т. Чтобы эта система была

§ 3] УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ СКОРОСТИ 43
полной, к ней следует присоединить уравнение неразрывности
A.33) н полученное ниже уравнение притока тепла A.55).
В случае ненагреваемой жидкости, исследованием которого
чаще всего и занимаются, будем иметь v = const. Тогда,
представляя левые части A.45) в виде, вытекающем из A.32),
и присоединяя сюда уравнение неразрывности A.33), получим
после несложных преобразований правых частей:
dt
г vx ТьГ + vy dv ^ z dz ~
■Рх-
dvy
х1х
dy
dp
дх
dvv
1 ' I dr.2 1 ду2
У ду !
1 др ,
= ру--?Ъ-у + "
dv, , dv. , dv, i
dx*
dvv
dvJk_
dz ~~~
d*vv
dy^
дх ' "Уду
г r, dz I \ nr?
dz
dvx . dv.
dx
\дх* '
&
' dz*
' dz*
&
A.46.)
Первые три из уравнений A.46) представляют собой
уравнения движения несжимаемой и ненагреваемой вязкой
жидкости в прямоугольной системе координат (уравнения Навье-
Стокса). Вместе с уравнением неразрывности они дают
полную систему четырёх уравнений в частных производных
относительно неизвестных vK, v vz, p, которые должны
быть определены как функции координат х, у, z и времени /.
Решение этой системы требует задания начальных и
граничных условий.
Начальные условия носят здесь обычный для задач
механики характер и должны определять в начальный момент
t = t0 значения искомых величин во всех точках движущейся
жидкости. В задачах об установившемся движении жидкости
необходимость задания начальных условий отпадает.
Граничные условия должны определять скорости жидких
частиц на границах, а также давление на свободной
поверхности жидкости и на поверхностях раздела.

44 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
Исходя из указанного ранее свойства вязкой жидкости
прилипать к поверхностям обтекаемых ею твёрдых тел, мы
будем в дальнейшем считать, что на неподвижных твёрдых
поверхностях скорости жидких частиц равны нулю, а на
движущихся в жидкости твёрдых поверхностях скорости жидких
частиц совпадают по величине и направлению со скоростями
соответствующих точек поверхности. При движении
неограниченного объёма жидкости должны быть дополнительно
заданы условия на бесконечности. Движения тяжёлой жидкости,
имеющей свободные поверхности, нами рассматриваться не будут.
Для сжимаемой жидкости система четырёх уравнений,
аналогичных A.46), будет содержать пять неизвестных функций vx, vv,
vz, р к ?. Чтобы сделать эту систему полной, к ней надлежит
присоединить уравнение состояния, устанавливающее зависимость между
давлением р и плотностью р. Мы всюду в дальнейшем будем
рассматривать движение только несжимаемой вязкой жидкости, для
которой уравнением состояния будет условие несжимаемости р = const.
Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости
могут быть представлены и в криволинейных координатах.
Если выразить компоненты ускорения w и уравнение
неразрывности в цилиндрических координатах и затем
подставить в A.30) значения компонент напряжений из A.43), то мы
придём к следующим уравнениям движения несжимаемой и не-
нагреваемой вязкой жидкости в цилиндрических координатах:
dvr
W
dv,
dv,
■IF
v,L dvr
dvr
dp
r r p dr~
"lid/* *" г2 сМ ~т~ дг*~Т~ г
dv,.
•~St
dvr
~dT
2_dv.f Vr
v,. dvm
dv„
?4-v
г <?ф ' * dz
fd2v,, 1 d2v,.
r
d\ IAi? 2
/=■„
■W + Vr
dt
dv2
~dr
"Г r d-s>
dr
= F.
't
dvr
72 ~Щ~
1 dp
1 ? 1 _
~ dz* ' r
d-f 1 J* dz
+ v№ 4-1^
~ \ dr- ~ r2 d'f
dvr 1 <?«„ , dv, , vr
dr ' r d'f ' dz ' r
1 dp
_ JL_L
/-2
A.47)
p с*г
d2f-, 1 1 dvz
dz2 *~ r dr

§ 3] УРАВНЕНИЯ В КОМПОНЕНТАХ СКОРОСТИ 45
Последнее из уравнений A.47) представляет собою
уравнение неразрывности в цилиндрических координатах.
Поступая аналогичным образом с A.31) и A.44), получим
следующие уравнения движения несжимаемой и ненагреваемой
вязкой жидкости в сферических координатах:
~57
dvr
~д7
dv.
■К
)
г sin tl d'f
' р дг
ctj9 dv.
\ Or2 ^ г' дЧ2
2 dvH
1 d-vr | 2 &vr
г2 sin29 d-f2
г Or
+
dv
di
dv,r
r2 d9
«9 dv-P
2 dv,
r2 sin 9 d?
1 _1_ __f_l___2J
~diiVrdr~* r db ' r sin 9 d?
r
2ct<j9
W ctg 9
p/- sin 9 d?
2 du
_1 11? i ~"°
' г дг "Т л2
d2v„ I d'ut 1
Л2" "T" Г2 "^2- + JH
d2«,„
ctg 9 di/,
sin2'J d-f2
da
r2 sin U d^
<^9 i
■57 + ^
d?
dr
r sin 0 d-f
2 cos 9 dir9
"T" л2 sin2 U d-p
<fy} , vA'n
&9 "I Л
_F L^_L
— " =/• d9 '
2 di>6 , ^g ° dt>,
> dr ' r2 dO
■2 I /-2"
dr2 ' r2" d92 I r2 sin2 9
! + Д1
dur 1 dvh
dT~T~TW~
2 cos 9 du,5 2 dvr
' r2 sin2 9 "dlp"^-?2" "dT
' <4 , 2tv f 9 ctg 9
л sin 9 d-f ' л ~Г г
r2 sin2 9/ '
0.
Последнее из уравнений A.48) является уравнением
неразрывности в сферических координатах.
Если изучается движение нагреваемой жидкости (у=^= const.),
то вместе уравнений A.47) и A.48) должны быть взяты
уравнения, аналогичные по виду A.45), в правых частях
которых v будет стоять под знаком производных.

46 УРАВНЕНИЯ ДСИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
§ 4. Уравнение энергии.
1. Рассеяние механической энергии. При движении
консервативной механической системы работа, совершённая
приложенными к ней силами, идёт целиком на изменение
кинетической энергии системы. В случае движения вязкой
жидкости наличие внутреннего трения приводит к тому, что часть
работы приложенных сил идёт на нагревание жидкости.
Процесс этот, как указывалось в § 1, называют процессом
рассеяния или диссипации механической энергии.
Если рассмотреть единицу объёма несжимаемой жидкости,
то изменение её кинетической энергии за единицу времени
будет равно1):
mx-2) = F>di = y°w-
Обозначим работу, совершаемую за единицу времени
массовыми и поверхностными силами, действующими на единицу
объёма жидкости, соответственно через АР и Ар, а количество
механической энергии единицы объёма, переходящей за
единицу времени в тепловую, через Е. Тогда будем иметь:
Ap-\-Ap = rlVWJrE. A.49)
Найдём значение Е в случае несжимаемой вязкой жидкости.
Из определения работы непосредственно следует, что
AF=pFv, A.50)
где F—массовая сила, действующая на единицу массы.
Для определения Ар рассмотрим выделенную при точке
ЛЦх, у, z) жидкую частицу, имеющую форму прямоугольного
параллелепипеда с рёбрами кх, Ду, Д' (см. фиг. 6). Для
напряжений на гранях этого параллелепипеда воспользуемся
обозначениями п. 3 § 2. Тогда работа, совершённая за единицу
времени поверхностной силой, действующей на грань,
перпендикулярную оси Ох и проходящую через точку М, будет:
pxv Ду Д,?.
') Здесь, как и всюду далее, ab представляет собою скалярное
произведение каких-нибудь двух векторов а и Ь. Напомним, что
аЬ = ахЬх-\-ауЬуЛ-агЬ1С.

§ 4] УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ 47
На противоположной грани, принимая во внимание
направления напряжений и зависимость рх и v от координат точки,
получим для соответствующей работы выражение
~P»V ' дх
*±Ш&Х
Д у Az.
Аналогичные выражения получим для остальных четырёх
граней. Складывая все эти величины и деля результат
на ДлтДуАг, найдём, что
л _а0У) , djpyv) d(p.v)
р дх "Г ду ~i dz
Но из A.27), если умножить обе части этого равенства
на рг» и принять во внимание A.50), следует, что
(дРх , tyv , ФЛ .
Заменяя в A.51) соответствующие члены правой части
полученным выражением и подставляя найденное таким
образом значение А в A.49), найдём:
,, dv i dv i dv .. rn.
ь=р*д:ЛРу<Б,+Р*тг- A-52>
Величину /f, определяемую равенством A.52) и равную
количеству механической энергии единицы объёма вязкой
жидкости, которое за единицу времени переходит вследствие
рассеяния энергии в тепловую, будем называть функцией
рассеяния. Заметим, что размерность её в технической системе
единиц будет:
1 - лАсек
Найдём выражения Е через компоненты скоростей
деформаций. Раскрывая скалярные произведения, стоящие в правой
части A.52), будем иметь:
dv dvv, dvx, dvx
Px dx pxx дх iP*s dy~ ~tP*i~fa

48 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
■и аналогичные выражения для двух других слагаемых.
Пользуясь равенствами A.24) и A.42), заменим в этих выражениях
.компоненты напряжений через компоненты скоростей
деформаций е(у-; одновременно соответствующие комбинации частных
производных от vx, vy, v2 также заменим через г,7 с
помощью A.36). Тогда, принимая ещё во взимание уравнение
неразрывности A.33) найдём окончательно:
Е=Ы*1Л*1у + *Ъ + 2*1у + Ц; + *Ъ)- A-53)
В системе цилиндрических, а также в системе сферических
координат выражение Е сохраняет вид A.53), но при этом в
круглой скобке вместо квадратов компонент скоростей деформаций в
прямоугольной системе координат будут стоять квадраты
компонент скоростей деформаций в соответствующей
криволинейной системе координат (вместо £хх будет ггг, вместо е
будет г и т. д.). Значения этих компонент определяются из
A.43) и A.44).
2. Уравнение притока тепла. В тех случаях, когда при
изучении движения вязкой жидкости принимается во внимание
зависимость \у от температуры Т, к уравнениям движения
жидкости необходимо будет присоединить уравнение притока
тепла, которое и будет служить для определения Т как
функции координат х, у, г и времени t.
Для получения этого уравнения возьмём в пространстве,
занятом движущейся жидкостью, произвольную точку К{х, у, z)
и построим вблизи этой точки элементарный параллелепипед
с рёбрами Ах, Ay, Az (см. фиг. 9). Вследствие
теплопроводности через заднюю грань параллелепипеда, перпендикулярную
•оси Ох, за время At пройдёт определяемое равенством A.09)
количество тепла
Одновременно через противоположную грань выйдет
количество тепла
' ' l ОХ
Отсюда, пренебрегая изменением коэффициента
теплопроводности 1 с температурой и считая его постоянным, найдём,

§ 4]
УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ
49
что количество тепла, проникающее в параллелепипед
д-Т
по направлению оси Ох, равно X -^—2 Ах Ay Az At;
аналогичные выражения получим для притока тепла по двум
другим направлениям. Общий приток тепла внутрь
параллелепипеда за время At вследствие теплопроводности тогда
будет равен:
С другой стороны, пользуясь введённой выше функцией
рассеяния Е и принимая во внимание A.07), найдём, что
вследствие рассеяния энергии внутри выделенного объёма за
то же время Д^ накопится количество тепла, равное
Р
q2 = ~ Ах Ду Az At.
Обозначая через AT вызванное суммарным притоком тепла
Я\-\~Я2 повышение температуры выделенного объёма жидкости
будем на основании A.08) иметь, что
АТсрр Дх Ay Az — ql -|~ q2.
Подставляя сюда найденные значения q1 и q2, деля обе
части равенства на Дх Ay Az At и переходя к пределу, стягивая
параллелепипед в точку, получим:
Изменение температуры жидкой частицы за промежуток
времени dt будет происходить, во-первых, вследствие
изменения её в данной точке пространства со временем и,
во-вторых, вследствие перемещения жидкой частицы из данной точки
пространства в соседнюю. Таким образом, температура
частицы Т, так же как и скорость v, будет функцией t и х, у, z.
Тогда аналогично A.32) будем иметь:
dT
dt "
дТ ,
dt ' ■'
д Т
■ дх
+
дТ .
V.
дТ
■дг
4 С. М. Тарг

50 УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. I
Подставляя это значение в A.54) и деля обе его части
на с о, найдём окончательно, принимая во внимание A.10):
дТ , дТ , дТ , дТ
= аЫ + сР + ^]+^7, A-55)
где £ даётся формулой A.53).
Уравнение A.55) и представляет собою уравнение
притока тепла для несжимаемой вязкой жидкости в
прямоугольной системе координат.
Заметим, что при изучении явления теплообмена,
вызванного различием температур жидкости и обтекаемых ею твёрдых
стенок, в случаях, когда скорость течения не очень велика,
изменением температуры жидкости вследствие рассеяния
энергии обычно пренебрегают, отбрасывая в правой части A.55)
член, содержащий Е.
В случае, когда к уравнениям движения вязкой жидкости
присоединяется уравнение A.55), должны быть дополнительно
заданы начальные и граничные условия для Т, вид которых
зависит от характера рассматриваемой задачи. Подробнее этот
вопрос будет рассмотрен в главе IX.
Аналогичным путём может быть получено уравнение
притока тепла для несжимаемой вязкой жидкости в криволинейных
координатах. В частности будем иметь:
в системе цилиндрических координат
дТ, дТ.^дТ, дТ__
dt ~T~vrdr~T~ г ду tV*dz~~
Е , Г 1 д ( дТ\ , 1 д*Т , д^П ,, ,_.
в системе сферических координат
дТ, дТ , ундТ , f» дТ =
dt "i V'dr ' г дЬ +Asin8a-f —

ГЛАВА II.
ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ
ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ,
ОГРАНИЧЕННОЙ ТВЁРДЫМИ СТЕНКАМИ.
§ 5. Примеры точных решений задач об установившемся
течении вязкой жидкости, ограниченной
твёрдыми стенками.
Решение задач гидродинамики несжимаемой и ненагревае-
мой вязкой жидкости сводится к интегрированию системы
нелинейных уравнений 2-го порядка в частных производных A.46)
при соответствующих начальных и граничных условиях. С
математической стороны проблема эта настолько сложна, что её
точные решения удалось до сих пор получить только в очень
немногих частных случаях. Ниже приводятся те из точных
решений, которые, по на нему мнению, представляют
наибольший теоретический и практический интерес. Все приводимые
решения относятся к случаю движения слоя вязкой жидкости
(плоского или цилиндрического), ограниченного твёрдыми
стенками. Такой слой мы будем в дальнейшем называть для
краткости вязким слоем ').
1. Течения между перемещающимися параллельными
стенками и соосными цилиндрами. В качестве первого
простейшего примера рассмотрим установившееся течение
вязкой жидкости, заполняющей всё пространство между двумя
горизонтальными плоскостями, из которых нижняя (у = 0)
движется влево с постоянной скоростью t/j, а верхняя (y = h)—
1) Представляющее в некоторых отношениях особый интерес
точное решение задачи о течении в плоском диффузоре рассмотрено-
в главе VII. Более подробный обзор других точных решений можно-
найти в статье К. И. Страховича «Классическая гидромеханика
вязкой жидкости», ч. I, Прикл. матем. и мех., т. И, вып. 1, 1934 или А. Ро-
зенблатта (A. Rosenblatt, Mem. d. Sciences Math., f. 72, 1935).
4*

52 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
вправо с постоянной скоростью U (см. фиг. 1). Будем, кроме
того, считать, что скорости частиц жидкости всюду
параллельны оси Ох, а давление везде постоянно и будем
пренебрегать действием внешних массовых сил (в данном случае
силы тяжести). Так как движущиеся плоскости являются
неограниченными, а жидкость однородной и изотропной, то,
очевидно, течения во всех плоскостях, параллельных
плоскости Оху, должны выглядеть тождественно и, значит, скорость
течения не должна зависеть от координаты z. Тогда из всех
сделанных допущений следует, что
р = const, vy = vz — 0, vx = v{x, у)
и система уравнений A.46) будет для данной
иметь вид:
ду- ' дх
B.01)
задачи
B.02)
Последнее из этих уравнений даёт v = v(y) и, следовательно,
общее решение B.02) будет:
v = C1yJrC2.
Считая, как всегда, что жидкость прилипает к стенкам,
будем иметь в нашей задаче следующие граничные условия:
при у = 0 v=r-—Ux; при y = h v = U.
Определяя по этим условиям постоянные интегрирования Q
и С2, найдём окончательно следующий линейный закон
распределения скоростей в любом поперечном сечении:
v = y±U}y—U1. B.03)
В случае, когда нижняя плоскость неподвижна (£/,=0),
получаем из B.03) тот именно закон распределения скоростей,
наличие которого мы предполагали в п. 3 § 1. Для
напряжения силы трения находим из A.42) и B.03) следующее
значение единственной отличной от нуля компоненты:
указывающее, что напряжение трения во всех плоскостях,
параллельных стенкам, в том числе и на самих стенках, остаётся по-

§ 5] ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ 53
о
ж
стоянным. В случае U{=0 формула 12.04) совпадает с A.01).
Таким образом, все выводы, полученные для данной задачи
интегрированием системы A.46) и использованием
соотношений A.42), совпадают с теми, из которых мы исходили при
установлении понятия вязкости жидкости.
Аналогично решается задача о течении жидкости между
двумя соосными цилиндрами, из которых внешний, радиуса R,
движется вправо с постоянной
скоростью U, а внутренний,
радиуса Rx — влево со
скоростью Ux (фиг. 10). Беря
систему цилиндрических
координат, ось Oz которой совмещена
с общей осью цилиндров, и
считая, что течение
параллельно оси Oz (vr = v,t = 0), мы из
соображений симметрии найдём,
что vz = v(r, z). Полагая попрежнему /7=0 и р = const,
получим, что в данном случае уравнения движения жидкости
в цилиндрических координатах A.47) примут вид:
c^j__l_du - dv_ „
дгг> г дг ' дг
Из последнего уравнения следует, что v — v(r). Тогда
первое уравнение, которое можно представить в виде
Фиг. 10.
d_ I dv
dr V Г dr
= 0,
будет иметь общее решение
v = Cx\n r-f C2.
Граничные условия в нашей задаче будут:
при r = R v=U; при r = Rx v— — U{.
Определяя по этим условиям постоянные Сх н С2,
получим окончательно закон изменения скорости в виде
г
(U+ Щ In
«1
In
■£/..
B.05)

54 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
Замечая, что v = vz, найдём в данном случае из A.43)
следующее выражение для напряжения силы трения:
т =ц^ = ^+^1 B06)
Таким образом, напряжение трения с удалением от
внутреннего цилиндра будет убывать.
Рассмотрим случай, когда просвет между цилиндрами
будет мал по сравнению с радиусами цилиндров. Тогда,
обозначая R — R1==h иг—Rr=y и разлагая соответствующие
логарифмы в ряды, получим:
In rjRi __ ln(l-Kl'//?i) __Д>1 Z R\ _
In/?//?, ln(l Н-Л//?!) _ft |_l*i, ~'
= iA-T^+T^+-)-B-07>
Подставляя это значение в B.05) и пренебрегая членами
порядка Л//?1, получим приближённое выражение для v,
совпадающее с B.03). В пределе при 5 ►О отброшенные
"■1
члены обратятся в нули и решение B.05) перейдёт в
решение B.03) для течения между параллельными плоскими
стенками.
Подобного рода приближёнными выражениями и
предельными переходами мы часто будем пользоваться в
дальнейшем.
В заключение заметим, что аналогичные задачи могут быть
рассмотрены для течений д^жду различного рода другими
цилиндрическими поверхностями. Решения этих задач сводятся,
как легко видеть из A.46), если считать vz = v, к
интегрированию уравнения Лапласа:
^JL _l ^У - о
дх- ' ду-
при соответствующих граничных условиях (v = U на
поверхности одного из цилиндров и v = иу — на поверхности
другого). Эта задача может быть в свою очередь сведена к не-

§ 5]
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ
55
которой задаче о плоском потенциальном течении идеальной
жидкости (см. выше цитир. книгу Н. Е. Кочина, И. А.
Кабеля и Н. В. Розе, стр. 329).
2. Течение между неподвижными параллельными
стенками (плоская труба). Рассмотрим установившееся течение
вязкой жидкости, происходящее параллельно оси Ох между
неподвижными плоскостями у = — h и _у = А (фиг. 11).
Пренебрегая массовыми силами, мы сразу убедимся, что в
данном случае, как и в предыдущей задаче, имеют место все
условия B.01), кроме /> =
— const. Тогда система урав- ^
нений A.46) примет вид
dp дЧ_
дх~~^ ду*'
дЛ
dz
dv_
дх~
ду
;-о.|
B.08)
B.09)
:0.
Из B.09) следует, что в
B.08) левая часть зависит только от х, а
от у. Но это может лишь быть при условии
dJL
дх
= const
или
дх
Ро~Р\
I
B.10)
где р0 и р1 — давления в двух поперечных сечениях,
находящихся на расстоянии I друг от друга.
Тогда, принимая во внимание B.10) и B.09), найдём, что
общее решение уравнения B.08) будет;
^ifev' + C^ + C,. B.11)
Граничные условия в данной задаче имеют, очевидно, вид:
при \'=+'г 11 = 0.
Определяя с помощью этих условий постоянные Сг и С2
в B.11), найдём окончательно следующий закон
распределения скоростей:
— т^'-У
B.12)

56 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
Таким образом, скорости в любом поперечном сечении
рассматриваемой плоской трубы будут изменяться по
параболическому закону (см. фиг. 11).
Вычислим секундный объём Q жидкости, протекающей
через поперечное сечение трубы, ограниченное плоскостями
y = h,y=—/in z = 0, z = b. Принимая во внимание B.12),
получим: h
— h
Деля обе части этого равенства на величину площади
поперечного сечения 2hb, найдём следующее значение средней
по расходу скорости U0 в поперечном сечении трубы:
и*=-Ш- BЛЗ)
Подставляя значение -^- из B.13) в B.12), получим для
закона распределения скоростей выражение
v = ^U0(\-£y B.14)
Из B.14) видно, что в плоской трубе скорость на оси
(при у = 0) в полтора раза превышает значение средней по
сечению скорости.
Для перепада давления вдоль трубы получаем из B.13),
принимая во внимание B.10), значение
Ф At — Рл 3<i£/[)
ох I №
B.15)
Полученные здесь результаты могут в первом
приближении применяться к течению в трубе с прямоугольным
сечением, у которого высота мала по сравнению с шириной.
3. Течения в цилиндрических трубах. Рассмотрим одну
из наиболее важных задач об установившемся течении вязкой
жидкости, допускающих точное решение, задачу о течении
в неограниченной круглой трубе.
Пусть в круглой трубе радиуса R по направлению,
параллельному её оси, совершается установившееся течение вязкой
жидкости. Для изучения движения выберем систему
цилиндрических координат, ось Oz которой направим вдоль оси

§ 5]
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ
57"
трубы. Тогда, пренебрегая действием массовых сил н
принимая во внимание симметрию течения, будем иметь:
F = 0, vr = vri = 0, vz = v{r,z). B.16)^
При этих условиях уравнения движения в цилиндрнческих-
координатах A.47) примут для нашей задачи вид:
гг—*\т^-ттг)' I 17,
Последнее из уравнений B.17) вместе с B.16) даёт
v = v(r). Тогда в первом из B.17) левая часть есть функция
только г, а правая только г, откуда следует, подобно B.10), что-
fP = const = — ^=£i. B.18)
dz I v '
В результате первое из B.17) превращается в
обыкновенное дифференциальное уравнение, которое можно представить,
в виде:
±1(Г*Л=±Ё£ /2 19V
г dr\ dr) !i dz ,/Л9;
и общее решение которого при условии B.18) будет:
г' = Йгг + С11пг+С2. B.20).
Так как скорость на оси трубы должна быть ограниченной,
следует положить С1=0. Для определения Сг используем
очевидное граничное условие v = 0 при r=R и найдём
окончательно: I Лп
Таким образом, профиль скоростей в любом поперечном
сечении оказывается параболическим, подобным изображённому
на фиг. 11.
Для секундного объёма жидкости, протекающего через-
любое поперечное сечение трубы, получим в данном случав;
значение r
r.R'dp
а=$*2*ыг~—ъ-д1.

;58 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
Отсюда средняя по расходу скорость в любом сечении
"трубы будет:
U ~ Q — - ^ др (9 99)
Пользуясь найденным значением U0, мы можем
представить закон распределения скоростей B.21) в виде
*=2£/0(l —g). B.23)
Из этого выражения следует, в частности, что в круглой
трубе осевая скорость равна удвоенной1 средней по сечению
-скорости.
Принимая во внимание равенство B.18), находим из B.22)
следующее выражение для перепада давления вдоль осп трубы:
Уравнение B.24) выражает известный закон Гагена-Пуа-
"зейля. Закон этот был установлен экспериментально Га геном
A839 г.) и независимо от него Пуазейлем A840 г.).
Приведённые теоретические расчёты дают в данном случае прекрасное
совпадение с результатами опыта. Это может служить
косвенным подтверждением правильности тех допущений, из
которых исходят при выводе уравнений движения вязкой
жидкости и при установлении граничных условий. Следует
иметь в виду, что все приведённые результаты, как
показывает опыт, справедливы только для ламинарного течения, т. е.
при R <^ RKp (см. § 1, п. 6). Кроме того, в реальных
условиях трубы конечной длины течение, подчиняющееся законам
B.23) и B.24), будет устанавливаться только на достаточно
большом расстоянии от входного сечения (подробнее об этом
см. в главе VI).
Рассмотрим теперь задачу о течении в произвольной
неограниченной цилиндрической трубе, ось которой параллельна
оси Oz, а поперечное сечение дано уравнением / (х, у) = 0. При
этом опять полагаем, что жидкость течёт параллельно оси Oz
и пренебрегаем действием массовых сил. Тогда будет F = Q,
•vx — vy = Q и уравнения A.46), если положить в них vz — v,

§5] ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ 59
примут вид:
*! + *!_ \_дрш <2Чо)
tfTV ц dz ' к ■ >
dP=Q, д/ = 0, р = 0. B.26)
дх ' ду ' dz *
Из B.26) следует, что p = p(z), a v = v(x, у) и,
следовательно, в B.25) правая часть опять будет удовлетворять
условию B.18). Таким образом, задача сводится к
нахождению решения уравнения B.25), в котором v^=v(x, у) и
правая часть постоянна, при граничном условии г/^0, на
поверхности f(x, y) = 0. К этой же проблеме сводится задача
о кручении упругих призматических стержней, решённая для
довольно большого числа контуров1). Таким образом,
используя эти решения, можно сразу найти законы течения в
трубах с соответствующими поперечными сечениями.
В качестве частного примера рассмотрим течение в
эллиптической трубе, сечение которой дано уравнением
# + £-1=0. B-27)
Легко сразу убедиться, что функция
w(*'>') = -2iIS+T^A-^-F) B-28)
удовлетворяет одновременно и уравнению B.25) и условию
v = 0 на поверхности B.27), следовательно, B.28) и есть
решение поставленной задачи, дающее закон распределения
скоростей в эллиптической трубе. При а = Ь это решение
даёт, как и следовало ожидать, закон распределения
скоростей в круглой трубе B.21), а при а=оо, b = h B.28) даёт
закон течения в плоской трубе B.12).
Из B.28) можно определить величину протекающего через
поперечное сечение секундного объёма жидкости, которая
будет равна:
др каъЬь
<э=-£
4(J(??<72_|_Z,2'
!) См. А. Л я в, Математическая теория упругости, ОНТИ, 1935,
стр. 328.

60 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
и величину средней по сечению скорости:
П —JL— 1 др аЧг
0 mb 4y.dza* + bi-
Ряд других случаев, а также приближённый способ
определения средней по сечению скорости, основанный на
аналогии с упоминавшейся задачей теории упругости, рассмотрены
в книге акад. Л. С. Лейбензона1).
4. Течение в кольцевой трубе. Круглый
цилиндрический поршень. Рассмотрим течение вязкой жидкости
в кольцевой трубе, образованной двумя соосными круглыми
цилиндрическими поверхностями: внешней—радиуса/? и
внутренней— радиуса Rt. Полагая, что течение в просвете между
поверхностями происходит параллельно образующим, найдём,
так же как и в п. 3, что уравнение движения жидкости в этом
случае сведётся к B.19) и общее решение его будет иметь
вид B.20). От предыдущей данная задача отличается только
граничными условиями, которые теперь будут:
при r = R и при r=/?t v = 0.
Определяя в B.20) значения Сх и С2 по этим условиям,
найдём окончательно следующий закон изменения скоростей
в сечении кольцевой трубы:
'=-™£[<**-«Я'"*-<',-«5К;
В предельном случае при /?1==0 формула B.29) после
раскрытия неопределённости переходит, как и следовало
ожидать, в B.21).
Рассмотрим другой предельный случай. Пусть просвет
между трубами будет мал по сравнению с радиусом. Положим
тогда R — R1=h1 и г—R1 = y. Разлагая соответствующие
логарифмы в ряды, получим выражение B.07), в котором
только вместо h будет стоять h1.
Подставляя выражение B.07) в B.29) и отбрасывая члены
высшего порядка малости, найдём окончательно следующее
приближённое значение для v.
B.29)
!) Л. С. Лейбе н зон, Руководство по нефтепромысловой
механике, ч. 1. Гидравлика, ГНТИ, 1931, стр. 15—33.

§ 5J
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ
61
Если теперь положить в пределе h1\R1 =0, то отброшенные
в B.30) члены обратятся в нули и B.30) будет давать
точное значение v для течения в плоской трубе. В последнем
легко убедиться, замечая, что B.12) переходит в B.30), если
только заменить в B.12) х на г, совместить ось Oz с
нижней стенкой и положить 2h = hl.
Из предыдущего легко получить закон течения жидкости
в кольцевой трубе с перемещающимися стенками. Это решение
даёт в первом приближении (без учёта влияния концов) закон
течения смазки в просвете между боковыми стенками круглого
поршня и цилиндра. Рассмотрим течение между двумя
цилиндрами, из которых внешний, радиуса R, неподвижен, а
внутренний, радиуса R1 (поршень), перемещается влево со
скоростью Ux (см. фиг. 10). Уравнение движения жидкости
будет в этом случае опять иметь вид B.19), а закон
распределения скоростей в слое между цилиндрами будет в силу
линейности уравнения B.19) даваться выражением, равным
сумме правых частей, стоящих в B.29) и B.05), где только
надо положить U=0. Это выражение можно получить и
непосредственно из общего решения B.20), определяя Сх и С2
по соответствующим граничным условиям. Рассмотрим случай,
когда просвет между цилиндрами h = R— R1 достаточно мал
по сравнению с R1. Обозначая тогда попрежнему г—Rl=y,
заменам правую часть B.29) через B.30), а правую часть
B.05) через B.03), положив при этом U=0. Тогда,
принимая во внимание B.18), получим для скорости течения в
кольцевом просвете следующее приближённое выражение:
Отсюда найдём величину секундного объёма жидкости,
протекающего через кольцевое сечение:
л
Q = 2ТГ/?! \vdv = 2тг/?,А П£о-^№_ и
B.32)
Приведённое решение даёт (без учёта влияния концов) закон
течения смазки между стенками круглого поршня и
неподвижного цилиндра. При этом в B.32) соответственно будут:
/?!, / и U1—-радиус, длина и скорость перемещения поршня;

62 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. И
h = R— /?! — толщина просвета между поршнем и цилиндром;
/;0 и рх—давление перед и за поршнем; jx—коэффициент
вязкости смазки.
Интересно отметить, что если при данной разности
давлений р0— рх поршень будет перемещаться в направлении,
противоположном градиенту давления, со скоростью
if (Рп — Pi) I'2
то, как видно из B.32), расход смазки будет равен нулю.
Для напряжения силы трения на поверхности внутреннего
цилиндра (поршня) найдём значение
^\ду]у=о Р h 21 п-
Отсюда полная сила трения, действующая на поршень
длины /, будет равна:
F=2KR1lT = 2np.Rll^ — T:R1h(pQ — p1).
Последним членом по сравнению с разностью сил давле-
ння, действующих на поршень, равной тт/?} (/;0—рх), можно,
очевидно, пренебречь.
5. Течение между двумя вращающимися цитиндрами.
Рассмотренные выше примеры относились, как легко видеть,
к одномерным течениям вязкой жидкости. Обратимся теперь
к одному из простейших случаев плоско-параллельного
движения.
Рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости между
двумя неограниченными в направлении оси Oz круглыми соос-
нымп цилиндрами, из которых внутренний, радиуса Rx,
вращается с постоянной угловой скоростью 0)j, а внешний, радиуса
R2,— с постоянной же угловой скоростью ш2' Массовыми
силами будем, как обычно, пренебрегать. Для описания
движения воспользуемся системой цилиндрических координат, ось Oz
которой совместим с осью цилиндров. Ввиду однородности
среды мы можем в рассматриваемом случае полагать, что
течения во всех плоскостях, перпендикулярных Oz, будут
тождественны. Кроме того, будем считать, что жидкость движется по
концентрическим окружностям с центрами на оси Oz и что

§ 5]
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ
63
в силу симметрии течения характеристики его не зависят от
координаты у. Тогда будет:
vr = vz = 0, v9 = v (г), р = р{г),
I! уравнения движения жидкости в цилиндрических
координатах A.47) примут вид:
g=?, - B.33).
^ + 1?~-v=0. B.34)-
drl ' r dr r- • '
Легко убедиться, что общее решение уравнения B.34) будет:,
г '
Граничные условия в нашей задаче имеют вид:
при r=Rx v = alR1; при r=R2 v = (iJR2.
Определяя с помощью этих условий постоянные
интегрирования Сх и С2, найдём окончательно следующий закон
изменения скорости:
(со2/?2 _ «,,#2) rs + (@, - «,,) R\R\
v==- ~ . B.35).
{Rl-R\)r
Подставив это значение v в B.33), можно определить закон,
изменения давления в радиальном направлении.
Подсчитаем напряжение силы трения в движущейся
жидкости. Из A.43) и B.35) найдём для единственной, отличной от
нуля компоненты т,.,. значение
fdv v\ 2|1(и,-мг)/?;/г5
Из B.36) видно, что напряжение силы трения убывает по
мере приближения к поверхности внешнего цилиндра.
Если выделить в движущейся жидкости цилиндрическую,
поверхность радиуса г и высоты Н, то на этой поверхности тг?
будет постоянно, и сила трения, действующая на всю
поверхность, будет равна 2пгНт ; для момента относительно оси Oz~

'64 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
-сил трения, действующих на ту же поверхность, получим
выражение
Мг= 2ш*Нтп=- 'J J x~: B.37)
г<2 — 1\\
Величина этого момента, как видим, не зависит от г. Так
как при вычислении компонент напряжений мы считаем
положительным направление внешней по отношению к выделенному
объёму нормали, то B.36) и B.37) дают значения тгв и М„
возникающие на поверхности радиуса г вследствие её трения
о поверхность радиуса r-J-Ar. Если же рассматривать трение
этой поверхности о поверхность радиуса г—Аг, то тогда
внешняя нормаль будет иметь направление —г и правые части
B.36) и B.37) изменят знак. Из B.37) в силу сделанного
замечания следует, что моменты сил трения, действующие на
каждый из вращающихся цилиндров, будут численно равны, но
противоположны по знаку.
Полагая R1u>1 = —Ux, R2a2 = U, R2—R1=h>r—Ri=y
и считая h и у малыми по сравнению с Rlt мы легко найдём
в этом случае из B.35) приближённое выражение для v,
совпадающее с B.03). В пределе при ^ — 0 формула B.35)
переходит в B.03), дающую скорость течения между
параллельными плоскими стенками.
Другой предельный случай найдём, полагая R2=<x, ш,=0.
Получаемое решение будет определять течение вязкой
жидкости, вызванное медленным вращением в ней круглого цилиндра.
Формула B.35) даст при этом следующий закон распределения
скоростей в жидкости:
<*>\R\
г '
а величина момента сил трения будет:
Полученные здесь результаты дают в случае ламинарных
течений достаточно хорошее совпадение с соответствующими
экспериментальными данными. Это также может служить
косвенным подтверждением правильности тех предположений, из
которых исходят при выводе уравнений движения вязкой
-жидкости.

§ 6] ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 65
§ 6. Приближённые решения задач об установившемся
течении вязкой жидкости между твёрдыми стенками.
1. Приближённые уравнения движения вязкого слоя.
Сложность уравнений движения вязкой жидкости заставляет
при решении большинства задач ограничиваться теми или
иными приближёнными результатами. Идея этих приближённых
решений сводится обычно к внесению в уравнения движения
вязкой жидкости таких физически обоснованных упрощений,
которые сделали бы соответствующие уравнения
интегрируемыми для большего числа конкретных задач. Характер
упрощений зависит при этом от особенностей рассматриваемых
течений. Этим обстоятельством объясняется разнообразие
методов, применяемых при решении задач гидродинамики вязкой
жидкости.
В настоящем параграфе будут рассмотрены приближённые
решения ряда задач о движении вязкой жидкости в достаточно
тонком слое, который мы условились называть вязким слоем.
При этом предполагается, что течения жидкости в слое
происходят при малых числах Рейнольдса и не очень сильно
отличаются от течений, рассмотренных в п. 1 § 5.
То обстоятельство, что вязкий слой тонок, а течение в нём
совершается достаточно медленно, позволяет использовать при
решении задач
соответствующие приближённые
уравнения, которые в ряде случаев
довольно легко интегрируют- /^^^г^
ся до конца. ^Sj^~—_^r 5
Ниже будут рассмотрены ^тя//"»'"''
приближённые уравнения
движения вязкого слоя для слу- Ф»г. 12.
чаев, когда течение в слое
является плоско-параллельным или когда оно совершается в
слое, ограниченном двумя поверхностями вращения.
а) Приближённые уравнения
плоско-параллельного течения вязкого слоя. Рассмотрим
установившееся плоско-параллельное течение вязкой жидкости между
двумя цилиндрическими поверхностями, сечения которых
плоскостью, перпендикулярной образующим, показаны на фиг. 12.
При этом предполагается, что течение жидкости происходит
Б СМ. Тарг

66 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
в направлении, показанном на фиг. 12, и что
расстояние h между поверхностями мало по сравнению с величиной
-j-i, где U—характерная скорость течения.
Для изучения движения жидкости выберем ортогональные
криволинейные координаты х и у, причём координату х будем
отсчитывать вдоль одной из направляющих АВ, а координату у
по направлению нормали к ней. При этом ввиду малости h
кривизной координатных линий будем пренебрегать и примем,
что для течения в рассматриваемом вязком слое остаются
справедливыми уравнения A.46). Так как течение является
плоскопараллельным, то прежде всего отбросим в уравнениях A.46)
члены, содержащие vz и производные по г. Далее, ввиду
малости h будем считать, что составляющая скорости v много
меньше vx (v <^vx) и что, кроме того, вследствие прилипания
жидкости к стенкам изменение vx в направлении оси Ох
происходит гораздо медленнее, чем в направлении Оу, т. е. что
дх "^ ду
Тогда, отбрасывая в A.46) члены с v и dvx/dx, как малые
по сравнению с другими, и пренебрегая, как обычно, массовыми
силами, получим следующие приближённые уравнения
установившегося плоско-параллельного течения вязкого слоя:
5^ = 1^, ^ = 0; B.38)
дуг v дх ду к '
^4-^ = 0- B.38')
дх ' ду v '
Уравнение неразрывности B.38') здесь сохраняется, так как
входящие в него члены имеют одинаковый порядок малости').
б) Приближённые уравнения течения в слое
между поверхностями вращения. Рассмотрим теперь
течение вязкой жидкости в слое, заключённом между двумя
соосными поверхностями вращения, меридиональные сечения
которых показаны на фиг. 13. Течение жидкости полагаем
происходящим в меридиональном направлении.
Если течение не будет плоско-параллельным, то к B.38) доба-
#vz 1 дР
вшей ещё одно уравнение. -~==— ~г •
Jr дуг (л дг

§ 6] ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 67
Кроме того, будем считать, что поверхности,
ограничивающие вязкий слой, не очень сильно отличаются от круглых
цилиндров, а просвет h между ними попрежнему мал. Тогда
течение между поверхностями будет мало отличаться от
рассмотренного в п. 1 § 5 течения между соосными круглыми
цилиндрами. Выберем для изучения движения жидкости
цилиндрические оси координат и направим ось Oz вдоль оси
симметрии, а ось Or по нормали к ней. Тогда, по аналогии с
предыдущим, будет vr<<ivz\\ dvjdz<^dvjdr. Принимая теперь
во внимание симметрию течения и
пренебрегая в уравнениях A.47)
членами с vr и dvz'dz, а также
массовыми силами, получим следующие
приближённые уравнения
установившегося течения вязкого слоя,
ограниченного поверхностями вращения:
_1_ д_ ( Лу
г дг \ дг
д (rv.
\_dj_
V- dz '
дгк
^ = 0;B.39)
or
dz
:0.
B.39')
Уравнения B.38) и B.39) не
содержат инерционных членов и,
следовательно, пригодны лишь для
изучения достаточно медленных течений
вязкой среды. От аналогичных
уравнений, рассматривавшихся в предыдущем параграфе они
отличаются лишь тем, что в них нет оснований считать величины dp\cbc
или dpjdz постоянными. Это обстоятельство в каждом
конкретном случае более или менее усложняет соответствующие
расчёты, но решение всё же остаётся достаточно простым.
Впервые уравнения вида B.38) были применены Рейнольдсом')
к задачам о движении жидкости в смазочном слое. Задачи
этого рода будут нами рассмотрены несколько подробнее
в главе VIII, посвященной изложению основ гидродинамической
теории смазки.
') О. Reynolds, Phil. Trans., 1886. См. также сборник
Гидродинамическая теория смазки, под ред. акад. Л. С. Лейбензона, ГТТИ, 1934.

68 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
В данном параграфе, в начале (п. 2) даётся решение одной
простейшей задачи, рассмотренной ещё Рейнольдсом. На
примере этого решения, результат которого используется в
дальнейшем, легко уяснить все особенности метода.
Остальная часть параграфа посвящена приложениям
приближённых уравнений B.38) и B.39) к решению некоторых новых
механических задач. На возможность такого использования
этих уравнений указал проф. Н. А. Слёзкин в работе,
содержание которой изложено в п. 3.
2. Поджатие вязкого слоя, заключённого между
двумя круглыми пластинами. Рассмотрим две одинаковые
горизонтальные круглые пластины радиуса R, расположенные
параллельно друг другу так, что линия их центров
перпендикулярна пластинам. Пусть при этом нижняя пластина
неподвижна, а верхняя приближается к ней поступательно с
постоянной скоростью V, сжимая заключённый между пластинами слой
вязкой среды. Найдём движение среды в слое и сопротивление,
испытываемое верхней пластиной1).
Для решения задачи выберем цилиндрическую систему
координат, начало которой поместим в центре нижней пластины, а
ось Oz направим вертикально вверх. Течение между
пластинами будет осеснмметрично и будет несколько отличаться от тех,
которые описываются уравнениями B.38) и B.39).
Для получения приближённых уравнений движения в
данном случае обратимся непосредственно к системе A.47).
Полагая, что течение в слое является в основном радиальным, будем
^ dv, .- dvr
считать, что vz<^.vr и что, кроме того, ~л^<^-~а7'
Тогда, принимая во внимание симметрию течения и
пренебрегая массовыми силами, получим из A.47) следующие
приближённые уравнения движения:
^ = 1а/, ^ = 0, B.40)
1 d{rvr) , a«s = 0_ B 4])
г бг ' дг
Для установления граничных условий введём расстояние
между сближающимися пластинами /;; заметим, что величина h
v) О. Рейнольдсом был рассмотрен более общий случай, когда
пластины являются эллиптическими (см. выше цит. сборник).

§ 6] ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 69
изменяется с течением времени, но не зависит от г. Тогда,
обозначая давление на внешнем крае пластин через р0 и считая
его по толщине слоя постоянным, будем иметь в нашей задаче
следующие граничные условия:
при z = 0 vr=^Q, г>, = 0;
при z = h v, = 0, vz = —V; \ B.42)
при r = R p =Ръ.
Так как в первом из уравнений B.40) правая часть не
зависит от z, то, интегрируя его по z, найдём:
Определяя Сх и С2 из условий B.42) для vr и подставляя
эти значения в B.43), будем иметь:
±d£t
2ii dr [
v. = Tr--r(z'—?iz). B.44)
Для нахождения др/дг обратимся к уравнению B.41).
Интегрируя обе части его по z в пределах от 0 до h м используя
при этом условия B.42) для v2, а также то, что h не зависит
от г, получим:
о о
Отсюда, умножая обе части равенства на rdr и
интегрируя по г, найдём:
л
rvrdz = ~VriArAy B.45)
где А — постоянная интегрирования.
Подставляя в левую часть B.45) значение vr из B.44) и
вычисляя интеграл, получим:
dp 6;iV
дг~~~~ Ifi
г. B.46)
При этом здесь положено Л = 0, так как иначе мы полу.
чили бы в дальнейшем при г=:0 /;=оо. Подставляя значе-

70 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
нпе -f из B.46) в B.44), найдём окончательно vr(r, z) в виде:
^=3^xU-ir
B.47)
Интегрируя теперь выражение B.46) и используя условие
B.42) для р, найдём следующий закон изменения давления
вдоль радиуса:
P = P* + jf-W-r*
B.48)
Беря, наконец, от обеих частей B.48) интеграл по площади
всей пластины, получим для силы полного давления на
верхнюю пластину значение
Р =
ЗяцК/?<
2ЛЗ •
B.49)
Таким образом, задача оказывается решённой до конца.
Из полученных результатов, в частности, следует, что по
мере сближения
пластин сопротивление
движению растёт обратно
пропорционально Л".
3. Качение
тяжёлого цилиндра по
плоскости, покрытой
слоем вязкого
вещества. Решение
рассматриваемой ниже задачи
принадлежит, как
указывалось, проф. Н. А.
ТЯРХ7777777Щ7Щ&77777777Г/
- Ь-
Фиг. 14.
•.-■■;:—-
Слёзкину ').
Рассмотрим круглый цилиндр (каток) длины /, радиуса R и веса q,
катящийся без скольжения с угловой скоростью со по
горизонтальной плоскости, покрытой слоем вязкого вещества
толщины Н (фиг. 14). Найдём величину потребной для качения
цилиндра силы тяги Q.
Для решения задачи применим, следуя Н. А. Слёзкину,
к части вязкого слоя ABDE, находящейся в данный момент
1) Н. А. С л ё з к л и, Докл. Акад. наук СССР, т. LII, №
1946.

§ 6]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
71
непосредственно под цилиндром, приближённые уравнения
<2.38).
Выбирая оси координат так, как показано на чертеже и
обозначая переменную толщину слоя под цилиндром через А,
будем иметь:
h = hQ-\-R — VR2 — *2, B.50)
где А0— толщина слоя при х = 0.
Обозначая далее абсциссы точек А и В через — а и b
и полагая, что мгновенная ось вращения цилиндра проходит
через точку К@, А0), примем для рассматриваемой задачи
следующие граничные условия:
при у = 0 vx = 0, vy = 0,
при y=h vx = w(h — А0), vy——<ох;
при х = — а и х = b @ <^y<^h) р =0, \
прид:=—в @<_у<А) ^=0. |
B.51)
B.52)
Условия B.51) являются известными условиями
прилипания. Первое из условий B.52) означает, что давление вне
объёма поджатой части вязкого слоя полагается постоянным.
Наконец, последнее условие принято для того, чтобы
избежать отрицательных давлений в слое ABDE вблизи границы AD.
Переходим к интегрированию системы B.38) при условиях
B.51) и B.52). Общее решение уравнения B.38) имеет вид:
•°*=%д£уг+Ау+в> B-53)
где А и В — некоторые функции от л;. Определяя значения/!
и В по условиям B.51), найдём из B.53):
"* = ^0'3-Aj') + »y(l-£). B.54)
Для определения давления р обратимся к уравнению B.38').
Беря от обеих частей этого уравнения интегралы по у в
пределах от 0 до А и принимая во внимание условия B.51),
получим:
h h

72 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [гл. II
Отсюда, интегрируя по х, находим:
h
2 \ vxdy = со (л-2 + If- — 2h0h -f С). B.55)
о
Подставляя в левую часть B.55) значение vx из B.54) и
вычисляя интеграл, будем иметь:
Заменяя здесь h его значением из B.50) и Определяя С
по последнему из условий B.52), найдём окончательно:
я2 — хг
—RT-- B-56)
д£=6*а
У №—& + ]/№—х\
Выражение B.54) вместе с B.56) даёт закон
распределения скоростей в слое.
Для закона распределения давлений находим Нз B.56),
принимая во внимание первое нз условий B.52):
X
р<х) = 6р» \ ^1-у——+^—- ] f*=£V B>57)
—а
Равнодействующая Р сил давлений со стороны слоя на
цилиндр будет, очевидно, проходить через центр С цилиндра,
а её проекции на оси координат будут равны:
p>=~l\fmhs ",=<j/>(*>«*, B.58)
—а —а
где р (х) должно быть взято нз B.57). При этом абсцисса
точки S приложения равнодействующей будет:
Переходя к определению сил трения, заметим, что порядок
их в задачах, подобных рассматриваемой, когда вязкий слой
между поверхностями тонок, ниже, чем порядок си^ давления;
в этом мы убедимся на примерах всех расчётов, проводимых
ниже. Поэтому составляющими сил трения можно обычно по
сравнению с соответствующими составляющими ciiji давления

§ 6] ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 73
пренебрегать. В рассматриваемой задаче этот вывод,
очевидный для составляющей вдоль оси Оу, нуждается по
отношению к составляющей вдоль оси Ох в проверке.
Для оценки величины силы трения ограничимся
рассмотрением достаточно тонкого слоя, у которого среднее
значение h мало по сравнению с а. Это условие, как видно из
B.50), будет выполнено, если в свою очередь а будет мало
по сравнению с R, причём порядок малости величин hja и ajR
будет одинаков, а величина hjR будет иметь порядок a2jR2.
Принимая всё это во внимание, будем в дальнейших расчётах
пренебрегать величинами порядка a2jRz по сравнению с
единицей во всех случаях, за исключением тех, когда
коэффициент при члене порядка единицы может в результате
последующего интегрирования обратиться в нуль.
Напряжение силы трения на элементе поверхности
цилиндра, внутренняя нормаль к которому образует с осью Оу
угол и, определяется по известной формуле
т = ~2 (\хХ — V sin 2c? — T-v cos 2?-
Зависимость эта может быть легко получена с помощью-
A.22) и A.24). Отсюда, принимая во внимание A.42) и B.38'),,
а также то, что cos 2cp =s: 1 — 2 ~ , sin 2у = 2 ~ , найдём:
' . <?«_ .* f dv..
dx R V dy 1 dx )\ /c' )}y=h
Входящие в правую часть производные от vx вычисляются
непосредственно из B.54) и B.56), причём в B.56) второе
из слагаемых, стоящих в квадратной скобке, заменяется на h0j2R.
Далее из B.38') находим:
у
\ск'хл<, — Р" Уг №\ Р' ,,ги' i ">/1о-у2 /;'
v,= — \ -tedy—2t[T — -2-)—4f.yh ~]~^h^fl'
о
где штрихи означают производные по х. Отсюда, пользуясь-
указанным выше приближённым значением B.56) и равен-
dvv
ством B.50), найдём --р. Полагая во всех вычисленных
производных у = Л, определим с указанной выше степенью при--

■74 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
•ближення величину т. Тогда для проекции на ось Ох
результирующей приложенных к поверхности цилиндра сил трения
-получим значение
°x=iU
Fr = l zdx
= — 3jj.oj/
2/?"I" № j ЗЛ
dx. B.60)
Для момента сил трения относительно оси С цилиндра
•найдём приближённо;
М= — RFX. B.61)
Из сравнения B.60) с B.58) следует, что порядок
составляющей Р значительно выше, чем F , выражение которой
отличается от Fx тем, что под интегралом будет ещё стоять
множитель XJR. Поэтому величиной F по сравнению с Р
будем в дальнейшем пренебрегать. Что касается составляющих
Fx и Р , то порядок их может быть оценён только после
• соответствующих конкретных расчётов.
Найденные выше формулы содержат три заранее
неизвестных параметра: а, Ь и h0. Для их определения используем:
а) второе из условий B.52), б) уравнение равновесия
приложенных к цилиндру сил в проекции на ось Оу, в)
предположение, что вблизи точки А, где слой наименее
деформирован, можно приближённо считать AD=H (H—заданная
толщина недеформированного слоя). Тогда для определения
a, b и /г0 получим уравнения:
р(Ь) = 0, д = Ру, \
Наконец, составляя уравнение равновесия приложенных
к цилиндру сил в проекции на ось Ох, найдём для потребной
• силы тяги Q выражение
Q=s — (Px + Fx), B.63)
где величины, стоящие в право.'! части, определяются
формулами B.58) и B.60)."
Таким образом, задача оказывается решённой. В каждом
- конкретном случае все интегралы, входящие в полученные
- формулы, можно определить численным интегрированием.
B.62)

§ 6] ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 75
Для оценки полученных результатов произведём
приближённый подсчёт, полагая величину xIR. столь малой, что
в B.50) можно приближённо принять h — h0 = H. Тогда из
B.57) найдём:
X
р(х) = ^ [ (a? — x*)dx = 2-]^Ba3 + 3aZx — xZ). B.64)
—а
Первое из условий B.62) приводит при этом к уравнению
Лз — ЗаЧ — 2а3 = 0,
единственным положительным корнем которого будет: Ь = 1а.
Подставляя найденные значения р и b в B.58), получим:
Для силы трения при Ь = 2а найдём из B.60) значение:
Fx = 3-ш/а A + 3,6 _g.) . B.66)
Если во всех полученных выражениях выделить общий
множитель р.о)/?/ и заметить, что величины Hja и a\R имеют
одинаковый порядок малости, то легко видеть, что Р' Рх
и Fx имеют соответственно порядок а2///2, а\Н и ajR.
Таким образом, в данном случае в B.63) величина F может
быть отброшена как очень малая по сравнению с Рх.
Практически её влияние скажется лишь в том, что она будет
создавать момент B.61) порядка ajR, тормозящий качение.
Используя теперь вторые из равенств B.62) и B.65),
найдём для определения а выражение
?=13,5^. B.67)
Так как все наши расчёты справедливы при Hja малом,
то из B.67) следует, что полученное решение годится лишь
в том случае, если вес единицы длины катка q\l будет очень
велик по сравнению с величиной \mR. Это же условие будет
иметь место и в рассматриваемой ниже задаче о скольжении.

76 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
Отбрасывая теперь в B.63) член с Fx и подставляя в это
соотношение значения Рх из B.65) п а из B.67), получим:
<22з0,8а-^- B.68)
или
^0'417(Sf)'4- B-69>
В последнем выражении коэффициент при qjR может
рассматриваться как коэффициент трения качения /. Величина
этого коэффициента, как видно из B.69),убывает с
уменьшением Н и веса единицы длины катка qjl и с увеличением р. и со,
причём зависимость от последних трёх параметров значительно
слабее, чем от Н. Все эти выводы хорошо согласуются с
физическим смыслом задачи. В частности, при р.= сю
(«абсолютно твёрдый» слой) получается, как и следует ожидать,
/■=--0. Что касается некоторого уменьшения / с увеличением
скорости движения, то этот факт подтверждается целым
рядом экспериментальных данных.
Для сравнения рассмотрим ту же задачу при условии, что
цилиндр совершает чистое скольжение по вязкому слою. В
этом случае изменится лишь второе из условий B.51),
которое теперь примет вид:
при y = h vx=U, г> =0,
где U— поступательная скорость цилиндра.
Тогда из тех же уравнений найдём для vx вместо B.54)
выражение
**=21^-*?>+"£■ <2-7°)
Повторяя выкладки, в точности аналогичные предыдущим,
найдём из B.38'), используя равенства B.70), B.50) и соот-
др
ветствующне граничные условия, величину ~ , а затем и закон
распределения давлений в виде
X

§ 6] ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШеНИЯ ЗАДАЧ 77
Напряжение силы трения может быть в данном случае
с принятой ранее точностью определено по формуле
так как остальные члены, которые в предыдущем случае
должны были приниматься во внимание, будут пренебрежимо
малы. Вычисляя Т с помощью B.70) и B.71), найдём для
горизонтальной составляющей силы трения значение
Fx = — ЗцШ
а1~х2 \-И\аЛ B 72)
ywzr&+yw=r#^ 3j ft2 • v-">
—а
Все остальные величины будут здесь, как и при качении,
определяться формулами B.58), B.62) и B.63).
Произведём и в данном случае приближённый подсчёт,
полагая -^ столь малым, что можно считать Л = /г0 = #.
Тогда из B.71) получим:
bv-U Г
Р (х) ^ 2Й№ \ (а2 — х2)dx-
Это выражение отличается от B.64) лшль тем, что в нём
вместо со стоит ^. Следовательно, и в этом случае будет
а = 2Ь, а формулы для Р и Р получатся из B.65), если
и
только в них также заменить № на ^. Для составляющей
силы трения F найдём приближённое значение
f, = -3;xG/~. B.73)
При этом оказывается, что величина Fx здесь имеет такой
же порядок а\Н, как и Рх, и, следовательно, не может быть
в B.63) отброшена'). Одновременно сила трения будет в
данном случае создавать момент, равный —RFX и вызывающий
!) Это обстоятельство в выше цнт. работе Н. А. Слёзкина хотя
и отмечено, но не учтено, так же как и добавочный член в
формуле B.66).

?8 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
качение цилиндра. Для определения величины а получим,
аналогично предыдущему, равенство
9 = 6,75^. B.74)
Сравнивая B.74) с B.67), видим, что при скольжении со
скоростью U^mR ширина слоя под цилиндром в у/2, т. е.
приблизительно в 1,2 раза, больше, чем при качении.
Наконец, подставляя в B.63) величину Fx из B.73), а
вместо Рх соответствующим образом изменённое значение
B.65), найдём для силы тяги выражение
Q>3jiW^ + (),8f B75)
или
Q3
'•86^)'+^ид
q. B.75')
Сравнение с B.68) показывает, что в данном случае, если
положить l/=cd/?, потребная сила тяги будет значительно
больше, чем при качении.
Величины ~г н тт имеют, по сделанным выше оценкам,
п К
одинаковый порядок. Таким образом, большее влияние на
значение Q будет оказывать первое слагаемое, где больше
численный коэффициент. Если для очень грубой оценки по-
V-UI ч
дожить величины —ту и ~ просто равными друг другу, то,
принимая ещё во внимание отмеченное выше увеличение а,
найдём, что в этом случае потребная сила тяги Q будет при
скольжении почти в шесть раз больше, чем при качении.
В заключение заметим, что в выражении B.75')
величина, стоящая в квадратных скобках, может рассматриваться
как коэффициент трения скольжения. При оценке его
зависимости от параметров задачи не следует упускать из виду,
что рассмотренное решение годится только для очень малых
чисел R, т. е. для слоя, обладающего достаточно большой
вязкостью.
4. Элементарная гидродинамическая аналогия
прокатки. Тот экспериментально установленный факт, что
металл при прокатке течёт, толкнул многих исследователей
на путь построения гидродинамических аналогий прокатки.

§ 6] ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 79
Наиболее полное решение соответствующей
гидромеханической задачи было дано творцом механики переменной массы
проф. И. В. Мещерским ').
Ниже даётся очень простое по форме приближённое
решение той же задачи.
Рассмотрим установившееся движение вязкой полосы,
прокатываемой между двумя цилиндрическими валками радиуса Ry
которые вращаются в разные
стороны с постоянной угловой
скоростью ш (фиг. 15).
Обозначим толщину полосы до
обжатия 2Н0, после обжатия 2Н{,
а переменную толщину полосы
между валками 2А. При этом
будет:
Я, — V~R} — х2.
B.76)
h — R +
Фиг. 15.
Ушпренпем полосы
пренебрежём и будем считать
течение плоско-параллельным.
Проводя осп координат так, как
показано на фигуре, и
рассматривая в силу симметрии только верхнюю половину слоя
AAjBBj длиною а, применим к ней уравнения B.38).
Полагая, что вещество прилипает к валкам и пренебрегая*
давлением вне объёма /1/1,55,, будем в силу симметрии иметь*
для рассматриваемой задачи следующие граничные условия:
при у = У -^ = 0, z
д\>
:0;
при у = h vx = — (о (R -\- Нх
при л- = 0 и х = а @<^,у<^Л) р = 0
Л). vy = -
тх;
B.77).
Тогда, интегрируя B.38) по у и удовлетворяя условиям
B.77) для vK, получим:
1 др
*'« = 2= Ъ (у2 ~ Н2) - (° {R + ^ - k)-
B.78)
1) И. В. Мешерский, Гидродинамическая аналогия прокати,.
Изб. Первого Петрогр. политехи, института, т. XXVIII, 1919.

'#0 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
Переходя к определению р, проинтегрируем уравнение
{2.38') по у в пределах от 0 до А. В результате получим:
h h
о о
откуда
А
2 [ vxdy — со [А2 — 2 (/? + Ях) /г -f я3] = const.
Подставляя в полученное равенство vx и х из B.78) и
•{2.76) н используя условия B.77) для р, найдём окончательно:
p(JC) = 3)«ol|[A'-(/? + W1)A + C]g-> > BJ9)
/>(fl) = 0.
Последнее из выражений B.79) служит для определения
•постоянной интегрирования С.
Формулы B.76), B.78), B.79) и дают полное решение задачи.
С их помощью можно в каждом конкретном случае
подсчитать, пользуясь методами численного интегрирования, силы
давления и трения, действующие на валки при прокатке
вязкого вещества.
Мы ограничимся в дальнейшем только приближённым
-определением величины опережения при прокатке, полагая,
что обжатие полосы мало, т. е. что Я0 — h<^.R. В этом
-случае можно приближённо положить
dk Щ — Hi
dx a
Тогда из B.79) получим:
С
т
ък+«+4тГ-7гУ?{*
tf + tfi-
■tfl tfl
H{)\
B.80)
tf0 + tf, V'4 ' "l ЛЬ-
Опережением при прокатке называется величина А,
определяемая равенством
Qi
B.81)

§ 6]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
81
где Q—количество вещества, проходящее за единицу
времени через сечение AAly a Qt — количество вещества, которое
прошло бы через сечение ААХ, за то же время, если бы все
частицы двигались со скоростью, равной окружной скорости
валков.
Следовательно,
Q = — 2[ v.,a dy, Q, = 2<aRHv
6
где
vXo = vx при A' = 0.
Подставляя в B.78) значение р из B.80) и полагая затем
h = H1, найдём:
/ 3 £, н\ — у-\
где обозначено:
B.82)
ft lZli±M_2^Lln4.
1 г, 4-1 гг — 1 '
Вычисляя теперь Q и подставляя значения Q и Qj в B.81),
убедимся, что величина опережения k будет как раз равна
тому выражению, которое обозначено в B.82) через kx.
Для упрощения дальнейших подсчётов разложим величину
In rj = In [1 -f-(l—Щ в Ряд- Ограничиваясь в этом
разложении, ввиду малост)! щ — 1, первыми тремя членами, получим
из B.82):
Все найденные результаты относятся к течению вязкой
среды. Однако представляет интерес проверить, в какой мере
гидродинамическая аналогия отражает явления, происходящие
при течении горячего металла, где наряду с вязкими имеют
место и пластические деформации.
Даваемые опытом значения k для металлов колеблются
в пределах от 3°/0 до 10°/0, но могут быть п значительно
выше. Эксперименты и промышленная практика показывают,
что величина опережения зависит как от' геометрических
параметров, так и от температуры прокатываемой полосы. Послед^
6 с. М. Тарг

82 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
нее обстоятельство формулой B.83) не учитывается. Однако,
как показывают многочисленные опыты, результаты которых
приведены в книге И. М. Павлова1), наибольшая величина
опережения при прочих равных условиях, получается при
температурах порядка 700—900°. Можно поэтому полагать, что
при этих температурах имеет место наибольшая текучесть
металла и что, следовательно, здесь формула B.83) должна
давать значения k, наиболее близкие к опытным.
Произведённые по формуле B.83) подсчёты дают для k
следующие значения:
при р= 0,225 и 7]= 1,1 А=3,5°/0;
при ^ = 0,225 и г, = 1,2 /г = 6,5°/0.
Опыты, данные о которых приведены в книге И. М.
Павлова, дают в указанном выше интервале температур при тех
же $ и 7) значения k, лежащие в пределах:
при 7) = 1,1 £ = 2-^3°/0; при jj = 1,2 A = 4^6°/0.
Таким образом, как и следовало ожидать, формула B.83)
даёт значения /г, несколько большие экспериментальных,
однако совпадение с опытом следует считать вполне
удовлетворительным.
Заметим в заключение, что закон распределения давлений,
даваемый формулой B.80), качественно также довольно
хорошо совпадает с экспериментальными данными. В частности,
эта формула, так же как и эксперимент, даёт некоторое
смещение максимума давлений в сторону выхода полосы.
5. Погружение осесимметричного тела в осесиммет-
ричный сосуд, заполненный вязкой средой. Рассмотрим
осеспмметрпчный сосуд, частично заполненный вязкой
средой. В этот сосуд с постоянной скоростью U погружается
осеспмметричное тело, выжимая среду и заставляя её течь
в просвете между телом и сосудом. Найдём силу
сопротивления, действующую при этом на погружаемое тело2).
При решении задачи будем различать случаи, когда сосуд
и погружаемое тело заострены (фиг. 16, а) и когда дно со-
') И. М. Павлов, Теория прокатки и основы пластической
деформации металлов. ОНТИ, 1938.
-) Решение этой задачи частично опубликовано. См. С. М. Т а р г,
Докл. Акад. наук СССР, т. LIV, № 4, 1946.

§ 6]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
83
суда и тела срезаны (фиг. 16, б). Выберем систему
цилиндрических координат, связанных с движущимся телом, оси
которой направим так, как показано на чертеже. Ввиду
постоянства U уравнения движения в этой системе координат будут
иметь обычный вид.
Пренебрегая действием
сил тяжести и считая
просвет между телом
и сосудом малым,
применим к слою, текуще
му в этом просвете,
приближённые
уравнения B.39).
Обозначим в
некоторый произвольный
момент времени
расстояние между дном
погружаемого тела и
дном сосуда через /, а высоту вытесненного слоя, считая от
дна тела, через Н и будем считать, что образующие
погружаемого тела и сосуда даны соответственно уравнениями:
a = a(z) и b = b{z).
Тогда, пренебрегая внешним давлением, будем иметь для
рассматриваемой задачи следующие граничные условия:
Фиг. 16.
при г = а
при т=Ь
при z = H
v. = —U,
v. = О,
[а </"</>)
г>л = 0;
Р-
= 0; ,
= 0. )
I
B.84)
Интегрируя уравнение B.39) по г, получим общее
решение в виде B.20), откуда, удовлетворяя условиям B.84) для v„
найдём окончательно:
п b | 1 dp / ,
v. — —и h тг зЧ г- —
г , а ' 4р. дг\
др
г г >
a- In-; fc2 lii — '
о а
B.85)
Для определения р проинтегрируем уравнение B.39')
по г в пределах от а до Ь. Тогда, принимая во внимание
6*

84
простейшие установившиеся течения [гл. п
условия B.84), будем иметь:
h b
откуда
О = \ -^rdr=~ vjdr — Ua '-^,
dz dz ' - dz
2\v/dr—Ua? = C1
Для определения С1 применим уравнение постоянства
массы ко всей среде, заполняющей сосуд. Приравнивая
количество вещества, протекающее за промежуток времени Д^ через
верхнее сечение слоя, тому количеству, которое вытесняется
погружающимся телом, будем иметь:
ь
2тг \ ©.. (Я, г) г dr М=т:аг (Н) U\t.
а
Сравнивая это равенство с предыдущим, приходим к
выводу, что Cj=0 и, следовательно:
*
vjr dr = -^ Ua2.
Подставляя сюда v, из B.85) и вычисляя интеграл,
получим:
dp _ —A\iU
02 (&2_|-д2Iп L _ ф2_ а2)
B.86)
Выражение B.85) вместе с B.86) и даёт закон
распределения скоростей в слое.
Интегрируя B.86) по z и используя последнее из
условий B.84), найдём закон распределения давлений в виде:
/' = —4jitff ~ . B.87)
J (b -f- a2) .n {If- — а")
Н и
Перейдём к определению сил сопротивления,
действующих на погружаемое тело. В силу симметрии
равнодействующая этих сил будет направ'лена вдоль оси Oz.

§ 61 ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 85
Напряжение силы трения на боковой поверхности
погружаемого тела при принятых приближениях будет равно:
I dv.
Вычисляя правую часть с помощью B,85) и B.86) п
интегрируя по всей смоченной боковой поверхности, получим для
осевой составляющей силы трения выражение
н
Р=2щхи[ ^zf^l . B.88)
J (б2-4-й2) In- — да—д2)
о я
Переходя к определению сил давления, обозначим осевую
составляющую силы давления, действующей на боковую
поверхность, через Рх. а силу давления на дно погружаемого
тела через Р,. Тогда для Рх найдём сразу:
и
P1=2n\pa^dz, B.89)
где р даётся формулой B.87).
Для определения Р2 воспользуемся формулой B.48),
дающей закон распределения давлений по площади круглой
пластинки, сжимающей вязкий слой. Обозначая радиус дна
погружаемого тела через R, будем на основании B.48) иметь
для закона распределения давлений по дну выражение:
P=tJo-\—jr(R" — '")-
В данном случае величина р0, означающая давление у
края дна, т. е. при r = R, наперёд неизвестна. Для её
определения примем, что давление в нижнем сечении вытесняемого
слоя, т. е. в сечении z = 0, также равно р0. Тогда, полагая
в B.87) 2 = 0, получим:
н

86 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
Подставляя это значение р0 в предыдущее равенство и
интегрируя по площади дна, найдём:
н
Р2 = -| ttjiC/ ^ + 4тт;лШ?
dz
<Р
-я2Iп ф- —а2)
B.90)
Таким образом, полная сила сопротивления погружению
будет в случае заострённого тела (фиг. 16, а) складыв^ься
из F и Ръ а в случае тела со срезанным дном (фиг. 16, tf)
из F, Рх и Р2.
Если величина b — a = h будет мала по сравнению с а,
то для вычисленных выше сил можно получить следующие
приближённые выражения:
6uu.il
№
dz,
о
н н
Pj = 12-гт^С/
a dz
da ,
a-z—dz,
dz
P, = uu.U
3 /?4 | „ ra, (' я д".г
B.91)
Из B.91) видно, что при малых h сила давления на дно
погружаемого тела оказывается величиною значительно
большей, чем сила трения о боковую поверхность.
Рассмотрим два частных примера.
а) Погружение конического тела в
конический сосуд. Считая, что погружаемое тело и сосуд
представляют собою конусы с одним и тем же углом раствора а
и обозначая tga = k, будем в данном случае иметь:
a = kz, b = k(l-\-z), h = b— a = kl.
Полное сопротивление погружению будет равно F-\-Pl.
Считая h малым и пользуясь приближёнными выражениями
B.91), получим:
.№
F=2w,iU ^-,
Р=Р,:
3 №
/з •
B.92)

§ 6]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
87
При этом легко найти, что между Н и / имеет место
зависимость
V ?,lDU — /••<) — ЗР
где /0 — начальный уровень среды в коническом сосуде.
Из полученных формул следует, что сопротивление
погружению не зависит от угла а. При оценке этого факта не
надо, однако, упускать из виду, что по характеру
предположений, сделанных при составлении уравнений B.39), угол а
должен быть малым.
Отметим интересное соотношение между сопротивлением
трения и сопротивлением давления, вытекающее из формул
B.92). В начальной стадии, когда Н <^ -=- / или когда Г>0,46/0,
т. е. пока погружающееся тело проходит приблизительно
первую половину своего пути, силы сопротивления сравнительно
не очень велики и при этом сопротивление трения больше,
чем сопротивление давления. Если обозначить безразмерные
/\ /\
отношения F и Р к [i.U/n соответственно через F и Р, то, на-
/\ /\
пример, при /=0,6/0 будет F=\,3, Р=0,7.
При H=-s-/(/=0,46/0) оказывается, что ,Р=Р=6,8.
При дальнейшем погружении, когда #^>-^- /(/<^0,46/0),
сопротивление давления становится больше, чем
сопротивление трения, причём силы сопротивления по мере
уменьшения / значительно возрастают. Например, при /^0,2/0
оказывается Р= 265, Р= 1180.
Укажем на некоторый косвенный результат, даваемый этим
решением. При изучении задач о проникании тел в очень
вязкую, первоначально неподвижную среду, можно, исходя из
чисто физических соображений, считать, что погружающееся
тело приведёт в движение не всю среду, а только какую-то
её часть, непосредственно примыкающую к погружаемому
телу. Если головная часть погружаемого тела будет конусом
и если в первом приближении считать границу, отделяющую
возмущённую часть среды от невозмущённой также конической,
то приведённое решение будет давать некоторое
представление о возникающих при погружении силах сопротивления.

88 ПРОСТЕЙШИЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ [ГЛ. II
R. Тогда, считая тт
к
б) Погружение круглого цилиндра в
цилиндрический сосуд. В этом случае a = R и b = b0, где R
и bQ— постоянные величины, а /г = ^0-
малым, найдём из B.91) для полной силы сопротивления Р
следующее приближённое выражение:
2 f> ~r Л3 J
Сила F в уравнении B.93) отброшена как малая по
сравнению с Р2.
Л
Если ввести величину погружения цилиндра у, то при
Р=Р2 = тф.с/
B.93)
малом будем иметь:
1=/0—у,
и вместо B.93):
Н
■ щиИ3
R
I 2 Л
2Ryl
R
B.94)
Kk-y? [ is ]•
где /0—начальный уровень среды в сосуде.
При этом работа, которую нужно произвести для
погружения цилиндра на величину у, будет равна:
А= Pdv
tt\j.UR3
RBl0y— у-) , Ry*'
2/02(/0-.y)= "^ Л".
B.95)
Чтобы дать в этом случае представление о картине
течения, на фиг. 17 изображён приближённо рассчитанный по
формулам B.85) и B.86) профиль
скоростей в слое между
цилиндрами при b0=l,\R.
Максимум скорости получается при
этом примерно в середине слоя.
Формулы B.94) и B.95)
определяют силу сопротивления
и потребную работу при
погружении круглого
цилиндрического поршня в цилиндрический
сосуд, заполненный вязкой
жидкостью. Такое устройство встречается в различного рода
демпферах.

§ 6] ПРИБЛИЖЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ S9
Кроме того, приведённое решение, подобно
гидродинамической аналогии прокатки, может быть использовано, как
дающее в первом приближении картину течения помещённого-
в цилиндрический сосуд горячего металла при вдавливании
в него цилиндрического пуансона (горячая штамповка). О
наличии этой аналогии можно, например, судить по
экспериментальным данным, приведённым в книге А. А. Рыбаржа :).
Эти данные дают, в частности, картину течения в слое
металла при штамповке, очень близкую к той, которая показана на
фиг. 1 7.
J) А. А. Р ы б а р ж Производство снарядов. Оборонгиз, 1943,,
стр. 116.

ГЛАВА III.
НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ,
ОГРАНИЧЕННОЙ ТВЁРДЫМИ СТЕНКАМИ.
§ 7. Некоторые сведения из операционного
исчисления.
При решении задач настоящей и некоторых последующих
тлав мы будем пользоваться методами операционного исчис-
-лення. Поэтому для удобства читателей в начале § 7 даётся
конспективное изложение тех основных сведений из
операционного исчисления, которые будут необходимы для
понимания последующего'). Одновременно во второй части § 7
рассмотрен вопрос об отыскании оригиналов некоторых
изображений, часто встречающихся в решаемых задачах.
1. Оригинал и его изображение. Пусть и есть
непрерывная и однозначная функция действительного аргумента г,
определённая при t'^sO и обращающаяся в нуль при ^<^0.
Пусть, далее, ^ = -S-f-'rj есть некоторый комплексный
параметр, действительная часть которого предполагается такой,
что стоящий в C.01) интеграл сходится.
!) Желающим ознакомиться с операционным исчислением более
подробно следует обратиться к соответствующей литературе,
например, А. И. Лурье, Операционное исчисление и его
приложения к задачам механики, ГИТТЛ, 1950 или X. К а р с л о у,
Д. Е г е р, Операционные методы в прикладной математике, Изд.
нн. лит. 1948.
Читателю, не знакомому с элементами теории функций
комплексного переменного, придётся опустить рассмотрение выкладок,
связанных с получением формул C.22) и C.27). Однако на примерах,
рассматриваемых далее в этой главе, он сумеет уяснить, как в
аналогичных случаях можно использовать эти формулы для решения задач.

§ 7] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОПЕРАЦНОН. ИСЧИСЛЕНИЯ
Введём тогда в рассмотрение величину и, являющуюся
функцией комплексного параметра р и связанную с a (t)
зависимостью: ю
u = y\ue-Vdt. C.01)
6
Будем в дальнейшем называть и оригиналом, а и —
изображением этого оригинала. Иногда для обозначения
операции C.01) мы будем пользоваться символом
й~*а, C.01')
означающим, что и есть изображение функции и (t).
Формула C.01) даёт правило построения изображения
и(р) по его оригиналу u(t).
Одновременно можно показать, что если известно
изображение и, то будет
i-\-i ос
«=i ( «^ir- C-02)
3 —ICC
где интеграл берётся в плоскости р вдоль любой прямой,
параллельной мнимой оси и расположенной справа от всех
особых точек функции и(р). Формула C.02) даёт правило
построения оригинала и по его изображению и.
Формулы C.01) и C.02) устанавливают взаимную связь
между оригиналом и его изображением. Связь эта, если
функция и (t) непрерывна, будет однозначной, т. е. данному
изображению будет соответствовать один и только один
оригинал и наоборот, данному оригиналу будет соответствовать
одно и только одно изображение. Следовательно, если
найдено изображение v какой-нибудь неизвестной функции v и
если установлено (например, по таблице изображений основных
функций), что w = v, то будет: v = ,w.
Рассмотрим основные свойства изображений.
а) Изображение постоянной величины. Пусть
с = const. Тогда по C.01)
со ее
с = р \ се-t* dt = — ce-W = с.
о о

92 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
Следовательно, изображение постоянной величины равно
самой постоянной величине:
с = с. C.03)
б) Изображение суммы. Из C.01) очевидно, что
если w=u-\-v, то
w = u-{-v, C.04)
т. е. что изображение суммы равно сумме изображений.
в) Изображение производной. Пусть -r- = v.
Тогда, пользуясь формулой C.01) и интегрируя по частям,
найдём:
ОО СО 00
v = ;, Г ^ erWdt = $1 ue~V -f- р С ae-Wdt \ .
О 0 0
Полагая и и р такими, что предел произведения ие~*" при
^—<• оо равен нулю, получим из предыдущего:
v = \>u — рм@)
или
рй— рв@)-г*^-. C.05)
Если а@) = 0, то будем иметь:
p«^g. C.05')
Точно так же доказывается, что
р% —р=«@) —ра'@)-->5- C.06)
где штрих означает производную по t. При и @) = и' @) = 0
находим:
¥~"^%- C-06')
Изображения производных более высокого порядка строятся
аналогично. Таким образом, при переходе от оригиналов к
изображениям, операция дифференцирования сводится к
умножению изображения на параметр р в соответствующей
степени.

§ 7] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОПЕРАЦНОН. ИСЧИСЛЕНИЯ
Полученными здесь весьма существенными формулами
раскрывается идея применения методов операционного исчисления
к интегрированию дифференциальных уравнений. Оказывается,
что если в обыкновенных дифференциальных уравнениях
перейти от неизвестных функций к их изображениям, то для
изображений вместо дифференциальных получатся
соответствующие алгебраические уравнения. Решив эти уравнения и
найдя изображения, мы можем по ним определить искомые
функции, например, с помощью C.02).
Соответствующие упрощения, как видно из
рассматриваемого ниже свойства, получаются при переходе от оригиналов
к изображениям и в уравнениях с частными производными.
г) Дифференцирование по параметру. Пусть а
есть функция t и некоторого параметра а, т. е. u = u(t, a).
Тогда на основании правила дифференцирования интеграла по
параметру будет:
о о
Отсюда, принимая во внимание C.01), получаем:
C.07)
ди . ди
да 'да'
Из C.07) следует, что если и есть функция нескольких
переменных, например и (х, у, t) и если преобразование C.01)
производится по переменному t, то изображения частных про-
ди ди ~
нзводных к— и -5— будут равны соответствующим частным
производным от изображения и, т. е.
ди . ди д*и _^ д2и .„ „„,
дх ' дх ' дх2 ' дх1 * ' '
и т. д. Преобразования же от частных производных по t
будут, очевидно, определяться формулами C.05) — C.06')-
д) Изображение интеграла. Пользуясь формулой
интегрирования по частям, получим:
С/0 ,' t 00 t
р \ {J и F) affl} e-f'dt = — | «н* f а F) db | + f « @ е~* dt.
о о ооо

94 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ЕЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
t
Отсюда, полагая, что предел произведения е~& \ кF)а?8 при
о"
t—>-оо равен нулю и принимая во внимание C.01), будем
иметь:
t
и
. , udt. C.08)
о
Таким образом, при переходе к изображениям операция
интегрирования сводится к делению изображения на
параметр р.
е) Произведение изображений двух функций.
Опуская доказательство, укажем, что если известны
изображения и и v двух функций u(t) и v(t), то произведение—uv
t
является изображением интегралов: \ и (Ь) v (t — 0) db или
о
t
\ tt(t—b)v(b)dQ. Таким образом, если принять во внимание
о
C.05'), будет:
t
~av ->^j и (9) v (t — 6) tff) = jt Г и (t — 6) v F) af9. C.09)
о о
ж) Значения оригинала при t = 0 и t = oo.
Введём в C.01) вместо t новое переменное т = рг'. Тогда
получим:
со
Приближая теперь р к бесконечности, получим:
ос
1"Ь= о- = и @) { e—'dz = и @),
о
или, иначе
и@) = а(оо). C.10)

§ 7] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ОПЕРАЦНОН. ИСЧИСЛЕНИЯ
95-
Такпм образом, чтобы получить значение оригинала при
t=0, нужно взять значение его изображения при р = х>.
Для получения второго соотношения заметим, что
выражение C.05) можно с помощью формул C.01) представить
после сокращения на р в виде:
СО
о
Положив в этом равенстве р = 0, получим:
со
Й» = о — a@) = jj'<tt = a(oo) — а@),
о
откуда следует, что
а(оо) = а@). C.11)
Таким образом, чтобы получить значение оригинала при
t=oo, надо взять значение его изображения при р = 0.
Справедливость формул C.10) и C.11) можно, в
частности, проверить на рассмотренных ниже примерах C.12)—
(ЗЛ5).
2. Изображения и оригиналы некоторых функций.
Ниже рассматриваются только те немногие примеры, которые
нам понадобятся при решении задач этой и некоторых
последующих глав. Рассмотрим вначале два примера построения
изображения по оригиналу.
а) Изображение степени. Пусть u = t", где-
л>—1. Тогда по C.01):
СО
а = р [ t"e-V dt.
о
При п~^>— 1 стоящий справа интеграл сходится и может
быть выражен через гамма-функцию Эйлера. По определению-
Г (я 4-1)== \e~xxndx.
о
Полагая здесь x = \it и сравнивая с предыдущим
выражением, получим:
Пл-КО (Я>_1). C.12),

96 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
В частности, при п =— —, так как Г f —- ,==]/" тг, будем
иметь:
Vw-i+-L=. C.13)
Наконец, если я — целое число, то C.12) примет вид:
fn^t". C.14)
б) Изображение показательной функции.
Пусть и = е~а:, где й^>0. Тогда из C.01) следует, что
й = р [e-V+W'dt.
Отсюда, вычисляя интеграл, найдём:
C.15)
Аналогично можно получить изображения ряда других
функций.
Рассмотрим теперь два примера решения более сложной
обратной задачи построения оригинала по данному его
изображению. Результаты, которые мы здесь получим, будут
неоднократно использованы в дальнейшем.
в) Оригинал дробной функции. Пусть
изображение и некоторой функции tt(t) есть дробная или мероморфная
функция (т. е. однозначная функция, не имеющая •».'
плоскости р никаких особенностей, кроме полюсов1),
представленная в виде отношения двух целых трансцендентных
функций комплексного переменного р:
и=т- (ЗЛ6)
Пусть при этом функция и имеет только простые
полюсы pk, расположенные на отрицательной часта действи-
1) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики,
т. III. Гостехиздат, 1939, стр. 443.

§ 7] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ 0ПЕРАЦИ0Н. ИСЧИСЛЕНИЯ 97 .
•),
C.17)
тельной оси, т. е. пусть
Л(Ь) = ° (*=1.2,
где 0>^>^2>...
Точка р = 0 может при этом или быть тоже простым
полюсом функции и (р) или не быть им.
Найдём по данному изображению и (р) его оригинал «(/),
пользуясь формулой C.02). Для этого рассмотрим в
плоскости р = £ -\- щ интеграл от функции — ае^ по контуру
ABCDEFGHA (фиг. 18). Тогда будет:
1 «"?=!»""?+! ■•*?+$■•"
rf|)
(АВ...ИА)
(АВ)
(CUE)
(FG)
так как интегралы вдоль ВС, EF и GHA равны нулю').
Но сумма интегралов по АВ и
FG представляет собою как раз
интеграл, стоящий в правой части
C.02), так как прямая AG лежит
правее всех особых точек функции
и(р). Следовательно, будем иметь:
(АВ...НА)
+*и
C.18)
"е* '^==:-/1+-/2-
(EDC)
Перейдём к определению
интегралов, стоящих в правой части C.18).
По принятым условиям и имеет в.
области АВ . . . НА только простые
полюсы \)k. Тогда, принимая во внимание C.16) и пользуясь
Фиг. 18.
1) Последнее утверждение будет справедливо, если можно
указать такие постоянные величины с0, С и k (k > 0), что "при
).) = ре'? (— - < ср sg я) будет и < Со—*, когда а > р0. Доказательство
этого положения см., например, в выше цитированной книге X. Карслоу
и Д. Егера, § 31. Легко проверить, что во всех тех случаях, в
которых мы будем в дальнейшем пользоваться окончательной
формулой C.22), это условие выполняется.
С. М Тарг

98 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
известной формулой разложения дробной функции на
элементарные дроби '), мы можем представить и в области
АВ . . . НА в виде ряда
u= > —jr,—: . 3.19)
^»*/2**)» — »*
который сходится равномерно всюду, кроме окрестностей
полюсов :pft. По вставляя это значение и в первый из
интегралов равенства C.18) и замечая, что
найдем:
у U ft*) ^kt%
1 fc^-J»ft/2(Pft.
* = 1
Для вычисления J2 разложим подннтегральную функцию
в области р = 0 в ряд Лорана. В случае, когда р = 0 есть
простой полюс функции и (р), это разложение будет иметь
вид:
а £- = L (р) + *«>.4-*МД , C-20)
где L (р)— регулярная часть ряда. Тогда, как известно из
теории вычетов, будет:
Л = &(')•
В случае, если точка р = 0 не является полюсом
функции C.16), g2 — 0 и из C.20) следует, что
£1 = [*Ь = о = £Ц. C.21)
Подставляя найденные значения У, и J, в C.18), получим
окончательно:
со
J) См., например, цитированные выше книги В. И. Смирнова
или А. И. Лурье.

§ 7] НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИИ ИЗ ОПЕРАЦПОН. ИСЧИСЛЕНИЯ 99
При этом следует иметь в виду, что штрих в
знаменателе означает производную по р.
Формула C.22) и даёт оригинал функции, изображением
которой является дробная функция C.16),
удовлетворяющая условиям C.17). Вопрос о сходимости стоящей в правой
части суммы должен в каждом конкретном случае
рассматриваться отдельно.
г) Оригинал многозначной функции. Пусть
изображением некоторой функции и (t) является функция и
комплексного переменного р = ре*'*, не
имеющая в плоскости р никаких
особенностей, кроме точки разветвления
в начале координат '). Таким образом:
« = /(¥■),
где C.23)
Найдём по данному изображению
/(р) его оригинал и (t). Обращаясь опять
к формуле C.02), перейдём в ней от
интеграла в плоскости комплексного
переменного р к интегралу от функций
действительного переменного. Для этого
рассмотрим интеграл от —/(р)е'3' по
контуру ABCDF.FGA (фиг. 19). Из
условий, наложенных на / '(р), следует, что в области,
ограниченной названным контуром, подинтегральная функция
никаких особенностей не имеет и, следовательно, рассм тривае-
мый интеграл будет равен нулю. С другой стороны, этот
интеграл может быть разбит на интегралы по GA, АВ, ВС,
CDE, EF и FG. Интегралы по АВ и FG, как отмечалось,
при выполнении соответствующих условий дают нуль, а
интеграл по GA представляет собой интеграл, стоящий в правой
Фиг. 19.
г) Точкой разветвления называется такая точка, при обходе
вокруг которой функция меняет своё значение. Например, у
функции да —е i> точка р = о есть точка разветвления. Действительно,
если и —?(>j-f) т0 лр„
7*
V~ 1
-.{_> w = e ■ , а при tp = 2- w = —т= .

100 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Ill
части C.02). Принимая всё это во внимание, получим:
(С В) (FE) {Г: DC)
C.24)
Перейдём к определению стоящих в правой части
интегралов. При интегрировании по СВ р изменяется от 0 до —оо.
Введём здесь новое переменное а, полагая
р = ег1'а2 = — а2 или а = е 2 ' У у = — / Кр. C.25)
Тогда будет dp = —2а da, и замечая, что а вдоль С£
изменяется от 0 до оо, найдём:
ОО
* — о 1 f * /л\ л—j-г
(СВ) о
где /* (а) представляет собою значение /(р) на прямой СВ.
При интегрировании по FE р изменяется от — оо до 0.
Перейдём здесь к новому переменному аг, полагая:
а-
пли а1 = е2 ' Y\ = iV\\ C.26)
Сравнивая с C.25), видим, что а1=—а. Следовательно,
будем иметь:
(FE) 0
где /* (— а) представляет собою значение /(р) на прямой FE.
Заметим, что на основании C.23) f*(a)~^f*(—а) и
полученные интегралы в сумме не дают нуль.
Наконец, последний из интегралов в C.24) будет равен
вычету подинтегральной функции в точке р = 0. Тогда, так
как по принятым условиям /(р) не имеет полюса в точке р = 0,
получим:
Ы \ /(Р)^у=/(°)-

§ 8]
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
101
Подставляя все наиленные значения в правую часть C,24),
будем окончательно иметь:
со
„(/) = / @) +1 f [f* (а) — Г (— а)] ег ■* J . C.27)
о
Формула C.27) и будет давать оригинал функции,
изображением которой является C.23). Сходимость стоящего в
правой части интеграла должна будет и здесь в каждом
конкретном случае доказываться отдельно.
§ 8. Примеры точных решений задач о неустановившемся
течении вязкой жидкости.
1. Течение между двумя параллельными стенками.
Пусть вязкая жидкость заполняет всё пространство между
двумя горизонтальными плоскостями, находящимися на
расстоянии h друг от друга. Пусть при этом нижняя плоскость
всё время неподвижна, а верхняя начинает в момент t = U
двигаться вправо с постоянной скоростью U (см. фиг. 1).
Пренебрегая действием силы тяжести и считая давление всюду
постоянным, найдём, как будет изменяться со временем
движение жидкости между плоскостями, если в момент t = 0 она
была всюду неподвижна. Течение полагаем направленным
параллельно оси Ох.
При сделанных допущениях движение жидкости будет
плоско-параллельным п будут иметь место равенства B.01)
с той лишь разницей, что будет vx = v (t, у). При этом мы
использовали вытекающий из уравнения неразрывности факт,
что в данном случае vx не зависит от х. Тогда из уравнений
движения вязкой жидкости A.46) сохранится только первое,
которое будет иметь вид:
Начальными граничными условиями в нашей задаче будут:
при 1 = 0 т> = 0, .
при v = 0 (/>0) ?' —0, I C.29)
при y = h (/>()) v—U. J

102 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Ill
Таким образом, задача сводится к интегрированию
уравнения C.28) при условиях C.29). К тому же самому сведётся
решение задачи о распространении тепла в стержне длиною h
при заданных температурах на его концах. Решение этой задачи
хорошо известно. Мы воспроизведём его здесь, пользуясь
методами операционного исчисления. Для этого перейдём в C.28)
от оригинала v к его изображению v; при этом
преобразование будем производить по переменному t. Тогда, так как
у нас v @) = 0, то на основании C.05') и C.07') будет:
- . dv rf2u дЧ>
f dt dy2 ■ dv2
При этом v будет функцией только одного переменного у л
комплексного параметра }л. В результате вместо C.28) получим
для v уравнение
rfJy D-
___тг, = о.
Интегрируя по у, найдём общее решение этого уравнения
в гиде:
i = A(»)sh ( |/-Н- у) +fi (p)ch ( |/| У/
Из C.03) следует, что условия C.29) для v сохранятся
и для v. Определяя по этим условиям А и В, получим:
sh [/' — v
v = U У 1_ = U £fj. C.30)
sh |/'^-A /s(W
Таким образом, мы определили изображение искомой
функции. Это изображение представляет собою дробную функцию
вида C.16), удовлетворяющую условиям C.17); при этом
точка р = 0 не будет полюсом v, в чём легко убедиться,
раскрывая получающуюся неопределённость. Следовательно, v
будет даваться формулой C.22).
Замечая, что полюсы v пли, иначе, нули /2 (р) находятся
в данном случае в соответствии с C.17) в точках, где

§ 8]
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
103
получим из C.30):
Далее по C.21), раскрывая неопределённость, будем иметь:
Подставляя все эти значения в C.22), найдём окончательно:
v = U
- 1)* / v
— sin (/™T)e
C.31)
Легко убедиться, что величина v, определяемая формулой
C.31), действительно обращается в нуль при / = 0, так как,
пользуясь известным рядом >)
О!
I)*-1 sin кх х
*=1
будем иметь:
_2_ у (— 1)*
к
sin ( Атг ^- ) = -
(— тг<л-<тт),
^ (—Л<^<А). C.35
Из доказанного следует, что ряд, стоящий в правой части
C.31), равномерно сходится, так как каждый из его членов
по модулю меньше соответствующего члена в C.32).
Формула C.31) и даёт закон течения жидкости между
рассматриваемыми плоскостями.
Заметим, что в пределе при t=oo решение C.31)
переходит в решение соответствующей стационарной задачи. Этот
результат можно было бы получить на основании C.11) сразу,
полагая в C.30) р = 0 и раскрывая получающуюся
неопределённость так же, как мы это делали при определении gt.
Найдём в заключение напряжение силы трения. Для
рассматриваемого случая из C.31) получим:
U
dv
п ду h
1+22'
1 )* cos [kn^-)e
It
C.33)
Полагая здесь _v = 0 и y = h, найдём напряжения трения
') См., например, И. М. Рыжик, Таблицы интегралов, сумм,
рядов и произведений. Гостехиздат, 1948, стр. 276.

104 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Ш
на стенках. Оказывается, что в каждый данный момент t эти
напряжения не будут равны между собой.
Если воспользоваться известным разложением
со
Vu , р (COS X — 5)
, р* cos А-х = г!—-г 4—,.
■*-"' г 1 — 2о cos х 4- s2
Л =1 ' '
то из равенства C.33) легко найти, что в начальный момент
напряжение на нижней (неподвижной) стенке равно нулю, а на
верхней — бесконечности. В последующем движении
напряжение на нижней стенке будет возрастать, а на верхней убывать,
стремясь к общему пределу тэо = ;л-р.
Заметим, наконец, как отмечалось в п. 5 § 5, что
полученное решение даёт одновременно приближённое выражение для
распределения скоростей и напряжений между двумя сооснымп
цилиндрами, когда просвет h между ними мал по сравнению
с радиусами цилиндров и когда внутренний цилиндр
неподвижен, а внешний в момент t = 0 начинает равномерно
вращаться ').
2. Течение в круглой трубе. Задача И. С. Громеко.
Рассмотрим течение вязкой жидкости в неограниченной
круглой трубе радиуса R. Пологая, что во всё время движения
скорости жидких частиц направлены параллельно оси трубы
(ось Oz), будем иметь vr = v,^ = 0. Тогда из уравнения
неразрывности найдём, что vz-=v не зависит от z и система
уравнений A.47), если пренебречь массовыми силами, примет
ВПД ^_..^.i.ld» 1±^\ 1^ /3 34\
dt \дг? i г дг~ г2 dfj p дг
^ = 0, t = °- C.34')
Так как v = v(r, и), то из C.34) следует, что перепад
давления р =-^- не зависит от координат и может оыть
только заданной функцией времени.
') Решение задачи о течении между параллельными стенками
при различного рода других начальных и граничных условиях можно
найти и книге: А. И. Л у р ь е, Операционное исчисление, ОНТИ,
1938, стр. 192 и в цитированной выше книге X. Карслоу и Д. Егера,
§ 75. Там же в § 77 приведено полное решение задачи о развитии
течении между двумя вращающимися цилиндрами.

§ 8 I ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ Ю5
Тогда рассматриваемая задача может быть в самом общем
случае сформулирована так: в начальный момент / = 0
профиль скоростей во всех сечениях трубы одинаков и задан
в виде v = F(r, (p); определить при соответствующих
граничных условиях, как этот профиль скоростей будет изменяться
с течением времени, если перепад давления вдоль оси трубы
изменяется с момента / — 0 по заданному закону р'= ■])(+).
Задача в такой общей постановке была поставлена и
решена известным русским механиком профессором Казанского
университета И. С. Громекойх). При этом им были даны
решения для трёх видов граничных условий: 1) жидкость
прилипает к стенкам трубы (условие, обычно применяемое в
гидромеханике в настоящее время); 2) жидкость скользит вдоль
стенок трубы и коэффициент внешнего трения л отличен от
нуля (см. стр. 316); 3) жидкость скользит вдоль стенок и
). = 0.
Мы ограничимся здесь изложением решения задачи проф.
Громеко для одного из рассмотренных им частных случаев,
полагая, что жидкость в начальный момент неподвижна, а
установившийся в этот момент перепад давления р' остаётся
всё время постоянным. Течение при этом будет осесимме-
трнчным, а начальные и граничные условия, если считать
жидкость прилипающей к стенкам трубы, примут вид:
при t = 0 v = 0; при r=R (t>0) v = 0. C.35)
Для решения задачи воспользуемся опять методами
операционного исчисления и перейдём в уравнении C.34) от v к его
изображению v по переменному t. Тогда, принимая во
внимание C.07'), C.05'), C.03) и симметрию течения получим:
iV-v , 1 dv у - р' „ „„.
j-,i j -±-v= — , C.36)
dr- ' r dr v pv v '
где v будет функцией только г и параметра р.
•) И. С. Г р о м е к а, К теории движения жидкости в узких
цилиндрических трубках, Казань, в университетской типографии, 1882.
До настоящего времени первое решение названной задачи
неверно приписывалось П. Шиманскому (см. например, Аэродинамика,
т. III, Оборонгиз, 1939, стр. 77, статья Л. Прандтля), опубликовав.-
шему свои более частные резз'льтаты лишь в 1930—1932 гг.

106 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
Уравнение C.26) без правой части имеет, как известно,
своими линейно независимыми решениями цилиндрические
функции мнимого аргумента1):
u(/ir) „ к,(/1л).
Присоединяя сюда частное решение ——, получим общее
решение уравнения C.36) в виде:
- = Л (р) 10( ]/> г) + В („) К0( /f r)-^.
Так как Ко @) = <х>, то, полагая скорость течения на оси
трубы конечной, мы должны принять В = 0. Далее, на
основании C.03) и C.35) при r=R будет т» = 0.
Определяя по этому условию А, найдём:
... ./»
1
* = _£.
Задача сводится теперь к нахождению v по данному его
изображению v.
Принимая во внимание C.04) и C.14), можем утверждать,
что
v = -£r\t—<t(t,r)], C.37)
где
ГГГ~/^> C'38)
Plo J,
R
есть дробная функция вида C.16), удовлетворяющая
условиям C.17) и имеющая в точке р = 0 простой полюс.
Следовательно, ш будет даваться формулой C.22). Если обозначить
х) Все используемые здесь и далее формулы для цилиндрических
функций можно найти в книге: Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции,
ОНТИ, 1935.

§ 8]
ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ
107
через аь корни уравнения J0 (х) = О х), то, так как Ifl (ix) = J„ (.v),
легко видеть, что полюсы функции у или, что то же, нули
/2 (р) находятся в соответствии с C.17) в точках, где
**=-&
(fe=l,2,
C.39)
Тогда, исходя из обозначений C.38) и замечая, что
\'0{х) = \1(х) и 1, (/л')==/Л1 (х), найдём:
.Л (Р*/ = Jo ^,,-ц). V*/2(Р*) = ^ Ji (а*).
Далее, пользуясь разложениями
М*>=1+? + •••
С-
■ 1+V-
мы, деля и перемножая соответствующие ряды, получим ряд
C.20) в виде:
л2_/?2
+ '
-L + -L
Отсюда следует, что ^ (f) равно выражению в квадратной
скобке. Подставляя все найденные значения в C.22), получим:
Jo I **
W^) = t^-R-
^) + ^I^
>',;
ft.-l SbJl(lA)
Внося это значение ш в C.37) и принимая во внимание C.39),
найдём окончательно:
г
V-
ф
1 —
Jo я*
/?2
,у "V д к
w
. C.40)
Помножив C.40) на 2urdr и интегрируя, найдём расход:
ft — \ аА
1 е-Ъ'
C.40')
!) Все эти корни, как доказывается в теории цилиндрических
функций, действительные и простые. Значения их можно найти,
например, в книге: А. А. Л юс терн и к, И. Я. А к у ш с к и й,
В. А. Д и т к и н, Таблицы бесселевых функций, Гостехиздат, 1949,
стр. 349.

108 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТКЧЕННЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
Разложение функции 1 — у2 в ряд Фурье-Бесселя имеет вид:
1—V3
_g у Jq(ЧУ) .
C.41)
t,= 0,05
t,= 0.10
/ М
сч/~>
WXvV
0J5
= 0.20
t, = 0,30
/~U=~0A0
\/U=0$
W t, = 0J5
\ \\« if — °°
Щ
следовательно, ряд, стоящий в правой части C.40),
равномерно сходится, так как каждый из его членов меньше
соответствующего члена в
C.41). Этим одновременно
проверяется, что C.40)
действительно даёт ^ = 0 при
t = Q.
Полученные проф. И. С.
Громекой формулы C.40)
определяют закон
изменения скоростей в любом
сечении трубы и расхода с
течением времени при
условии р' = j- = const. В
пределе при t = оо решения
C.40) переходят в решения
B.21) и B2 2)
соответствующей стационарной задачи.
Профили скоростей для
разных моментов времени,
рассчитанные по формуле
C.40), показаны на фиг. 20.
Другой весьма
интересный частный пример,
рассмотренный проф. И. С. Громекой, относится к случаю, когда
перепад дазлення р' есть некоторая периодическая функция
времени. Оказывается, что и в данном случае при t.—*oo
устанавливается режим течения, определяемые законом B.24),
если только в этом законе заменить U0 (или расход Q) а
перепад давления р' их средними за целый период значениями.
3. Движение твёрдой стенки, тормозящейся трением
о слой вязкой жидкости. Рассматриваемая ниже задача
представляет собою интересный пример точного решения
системы совместных уравнений, описывающих движение твёрдого
Фиг. 20.

§ 8] ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЮЗ
тела в вязкой жидкости и течение жидкости, вызнанное
движением этого тела J).
Рассмотрим две неограниченные горизонтальны; пластины,
находящиеся на расстоянии h друг от друга, пространство
между которыми заполнено вязкой жидкостью. Пусть при этом
верхняя пластина всё время неподвижна, а нижняя начинает
двигаться из состояния покоя вправо под действием
приложенной к ней в момент / = 0 постоянной силы. Обозначим
величину силы, приходящуюся на единицу площади нижней
пластины, через q, а массу единицы площади этой пластины -
через т. Выбирая оси так, как показано на фиг. 1, и
пренебрегая массовыми силами, найдём, что движение жидкости
i слое между пластинами описывается уравнением C.2S).
Начальные и граничные условия при этом будут:
при г=0 г> = 0, м = 0, \
при у = 0 ((> 0) v = г/, 1 C.42)
при y = h (*>°) ^=0. )
где и—переменная скорость движения нижней пластины.
Для определения а составим уравнение движения единицы
площади нижней пластины; в результате получим:
da
111 lit = 11 — т<<-
Так как в данном случае напряжение трения на нижней
з- ) т0 ок'°
fdv\
пластине т0 =—;л I -j- , то окончательно оудем иметь:
at /п ' т \oyjy — o '
Переходя в C.28) и C.43) от оригиналов к их
изображениям по переменному / и замечая, что при / = 0 т> = 0 и
и = 0, получим:
dy2 v '
' m ' m \ dy Jy—O'
C 44)
') Изложение аналогичного решения в случае вертикально
падающей пластины приведено в книге X. Карслоу и Д. Егеоа, § 76.

ПО НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Ill
При этом для первого из уравнений C.44) граничные
условия C.42) принимают вид:
при у = 0 v = u, при y = h ■» —0.
Тогда, интегрируя это уравнение по у и удовлетворяя
граничным условиям, получим:
sh\(h—y) \/-\
Подставляя в последнее из уравнений C.44) значение v
из C.45), найдём изображение и, которое можно представить
в виде:
- qh qh
-ут*(а]/|+5с,,,аУ
т /,(»)•
C.46)
Легко видеть, что и представляет собою функцию вида
C.16), удовлетворяющую условиям C.17). Следовательно,
оригинал и будет даваться формулой C.22). Если ввести
безразмерную величину
« = ^ C.47)
т
и обозначить через ak последовательные корни уравнения
xtgx = n, C.48)
то изображение и будет иметь простые полюсы в точках, где
Тогда, принимая во внимание C.47) и то, что ak = na.gak,
получим:
чтаг , ,
*УНРа) = -27^D + «2 + я).
Далее, легко убедиться, что точка р = 0 не является
полюсом функции и, следовательно, используя C.21) и
раскрывая получающуюся неопределённость, будем иметь:

§ 8| ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧ 111
Подставляя все найденные значения в C-22), определим
окончательно скорость движения нижней пластины:
qh
■2«2 X
*=1 4(a* +  + ")j
C.49>
Таким образом, оказывается, что скорость движения
пластины стремится с течением времени к предельному значению
U=— . Этот результат можно получить сразу, приравнивая
q предельной величине напряжения трения \i-r-. Значение
решения C.49) состоит в том, что оно позволяет оценить, как
быстро скорость а приближается к своему предельному
значению.
Для нахождения закона течения жидкости между
пластинами, подставляя в C 45) величину а из C.46), получим:
qh sli (Л — v) 1/
Легко видеть, что v есть также функция вида C.16) и что-
полюсы её совпадают с полюсами функции и в равенстве C.46)
(точки, где — Л2 = — А2тт2, как легко проверить, не полюсы).
Тогда, аналогично предыдущему, найдём окончательно из
C.22) следующий закон распределения скоростей в слое:
•о = Щ\
00 sin a J l—^i
h ktt а\ (а1 -г «2 + ")sin a"
.C.50)
Таким образом, задача оказывается решённой до конца ]).
Полученные здесь на первый взгляд довольно отвлечённые
') Мы опускаем доказательство равномерной сходимости рядов
в C.49) и C.50), аналогичное tomv, которое приведено для рядов,
встречающихся в § 20.

НЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Ш
результаты будут использованы для приближённого решения
практически интересной задачи о вращении круглого вала,
тормозящегося трением о смазочный слой (см. § 23). Там же
рассмотрен вопрос об определении величин ak—корней
уравнения C.48). В заключение нельзя не отметить той
сравнительной простоты, с которой метод операционного исчисления
позволяет строить решение рассмотренной здесь достаточно
сложной задачи 1).
§ 9. Погружение тонкой пластины и трубы
в вязкую среду.
I. Погружение тонкой пластины в вязкую среду.
Решения рассматриваемых ниже задач основываются на
использовании приближённых уравнений
движения вязкой жидкости, в
которых инерционные члены и
члены, зависящие от вязкости,
учитываются не полностью, а лишь
частично. При этом учёт
инерционных членов производится
подобно тому, как это делается в методе
' "/у/-v' / '•//'///• v Озеена> а Учёт вязких — как в за-
ib^^/iM,^^!-^ дачах § 6- Благодаря тому, что
система координат связывается с
Фиг. 21. движущимся телом (как в п. 5 § 6),
уравнения принимают вид
уравнений установившегося течения, хотя по существу, по
отношению к системе отсчёта, связанной со свободной
поверхностью жидкости, движение жидкости будет неустановившимся.
В такой постановке решение задачи о погружении пластины
в вязкую среду было дано проф. Н. А. Слёзкиным2).
1) Решения ряда других задач о неустановившемся течении
вязкой жидкости и ссылки на литератур}' можно найти в книге: Г. Л а м б,
Гидродинамика, Гостехиздат, 1947 и в цитированной выше книге
X. Карслоу и Д. Егера. См. также работы проф. Н. А. Сле'зкина,
опубликованные в Докл. Акад. Наук СССР, т. XIV, № 6, 1937 и
т. XXX, № 4, 1941 и в Учёных записках МГУ, т. 46, 1940.
=) Н. А. Слёз к и и, Докл. Акад. Наук СССР, т. XLVI, № 1,
2945.

У
§ 9] ПОГРУЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ И ТРУБЫ В ВЯЗКУЮ СРЕДУ ИЗ
Рассмотрим Еязкую среду, заполняющую всё
полупространство ниже плоскости АВ (фиг. 21). Пусть в момент /=^-0
в эту среду начинает погружаться с постоянной скоростью U
тонкая вертикальная пластина ОС. Совместим с нижним
концом О пластины начало подвижной системы координат и
направим ось Ох вверх вдоль пластины, а ось Оу —
горизонтально. Считая течение плоско-параллельным, обозначим
проекции абсолютной скорости какой-нибудь жидкой частицы на
оси координат через vx и v , а проекции её относительной
скорости на те же оси через г>х и vy. Так как система
отсчёта Оху инерциальна, то в ней уравнения движения
сохранят вид A.46) с той лишь разницей, что всюду вместо г>х
и v будут стоять vx и Vy (v2 = 0).
Будем в дальнейшем считать давление вдоль Ох
постоянным и пренебрегать массовыми силами. Тогда, переходя в
названных выше уравнениях от относительных скоростей к
абсолютным, с помощью равенств
v'x = vx-\-U, v'y=v_
получим первое из этих уравнений в виде:
Так как скорость в направлении движения изменяется
значительно медленнее, чем в направлении, перпендикулярном
пластине, отбросим в правой части производную по х по
сравнению с производной по v. Далее, считая, что профиль
скоростей относительно пластины не изменяется с течением
времени, т. е., считая, что распределение скоростей в
плоскости Оху как бы «погружается» вместе с пластиной, отбросим
в левой части производную по времени. Наконец, полагая v .
и v малыми, по сравнению с U, отбросим в левой части члены,
содержащие их произведения. Заметим, что это можно сделать
и вблизи стенки, где. правда, vr = U и -=г^ велико, но зато
Л ду
ди
g-J? = 0 и у _0. Тогда уравнение C.51) примет вид:
,,du, d2vx ,., ,,.
U to =*'!&■ Cо2)
8 с. М. Тарг

114 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
Тонкая пластина ОС при своём погружении в вязкую среду
приведёт в движение главным образом ближайшие к пластине
частицы среды, поэтому будем считать, что вязкая среда
впереди погружаемого края пластины будет оставаться в покое.
Кроме того, примем, что частицы среды прилипают к пластине
и что по мере удаления от пластины скорости частиц убывают
до нуля. Тогда получим для рассматриваемой задачи
следующие граничные условия:
при х < 0 vx = 0, \
при v=0 (x>0) vx = — U, \ C.53)
при у=оо г\. = 0. J
Задача опять свелась к интегрированию уравнения
теплопроводности C.52), решение которого при условиях C.53)
хорошо известно. Построим это решение для области _У^>0
с помощью методов операционного исчисления. Для этого
перейдём в C.52) от vx к его изображению по х. Тогда
в силу первого из условий C.53) и C.05') получим:
где обозначено
и
C.54)
Интегрируя полученное уравнение по у, найдём:
vx = Схе "уГ»У-\-Сге~ » v ~*у .
Так как в силу C.03) условия C.53) сохраняют свой вид
и для vx, то, удовлетворяя этим условиям, получим:
vx = —Ue-nV^y. C.55)
Правая часть C.55) представляет собой функцию, не
имеющую в плоскости комплексного переменного р никаких
особенностей, кроме точки разветвления при £ = 0. Следовательно,
она удовлетворяет условиям C.23) и оригинал vx будет
определён по формуле C.27). Замечая на основании C.25), что
yp = ia, получим в данном случае:
f@) = —U, f*(a) = —Ue-in*y, /*{—а) = —ие<""У.

§ 9] ПОГРУЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ II ТРУБЫ В ВЯЗКУЮ СРЕДУ 115
Тогда из C.27) найдём окончательно закон распределения
скоростей в среде в виде:
U
2 Г „„,. . , , г/а
1 е~ах sin (nay) —
C.56)
Интеграл, стоящий в правой части, можно представить
в ином виде. Пользуясь известным соотношением1)
• /"—
е-*** cos (да) da = ~ у —е
4х
возьмём от обеих его частей интеграл по q в пределах от О
до пу. Тогда получим:
пу
»у
[ e~«*sin (nay) ^=V* \е ix^==V^ \ е~? d$.
о о b
Последний интеграл получается из предыдущего, если
положить <7=2|/лг[3.
Подставляя найденное выражение в C.56), будем иметь:
где обозначено
U
Erf (.у):
1 — Erf
пу
2\fxJ}'
о
jA v
d'$.
C.57)
C.57')
Функция Erf (у) представляет собою известный интеграл
вероятности ошибок; значения её можно найти е
соответствующих таблицах 2).
Пользуясь решением C.57), можем определить напряжение
силы трения на пластине:
dvx \ у.пЦ
ду )у=о~ у^ "
!) См., например, выше цитированные таблицы И. М. Рыжика,
стр. 152.
2) См., например, Е. Я н к е и Ф. Э м д е, Таблицы функций,
Гостехиздат, 1948, стр. 129. В этих таблицах интеграл вероятности
ошибок обозначен Ф (х).
8*

116 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Ill
Заменяя здесь п его значением нз C.54), найдём
To = ]iX/H=l/Ml_ C.58)
" ^ V ЮХ Г WC
Заметим, что значение т0 может быть найдено прямо по
его изображению. Действительно, нз C.55) имеем:
Р-
diK
у—О
dy
откуда па основании C.13) находим сразу
y-nU
То:
V т.х
Если обозначить ширину пластины Ь, а глубину её
погружения Л, то, интегрируя C.58) по х в пределах от 0 до h
и принимая во внимание, что трение происходит на обеих
сторонах пластины, найдём для полной силы сопротивления
выражение
F=-^=.VwMT*. C.59)
В заключение отметим, что выражения C.58) и C.59)
для т0 и F имеют такой же вид, как те, которые получаются
для этих величин в случае обтекания пластины на основании
теории пограничного слоя (см. п. 1 § 11).
2. Погружение тонкой цилиндрической трубы в
вязкую среду. Рассмотрим опять вязкую среду, заполняющую
всё полупространство ниже некоторой горизонтальной
плоскости z = const. Пусть в эту среду в момент £ = 0 начинает
погружаться с постоянной скоростью U тонкая
цилиндрическая труба радиуса а, ось которой всё время остаётся
вертикальной. Совместим с центром нижнего основания трубы О
начало подвижной цилиндрической системы координат, ос Oz
которой направим вертикально вверх, a Or — вдоль радиуса
трубы. Замечая, что ввиду симметрии v =0, обозначим
проекции абсолютной скорости жидкой частицы на выбранные
оси через vz и vr, а относительной через v'z и v . Тогда третье
нз уравнений A.47) сохранит в выбранных осях свой вид с тем
лишь отличием, что всюду вместо v будут стоять v'. Полагая
в этом уравнении давление вдоль Oz постоянным, а также

§ 9] ПОГРУЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ II ТРУБЫ В ВЯЗКУЮ СРЕДУ
пренебрегая массовыми силами и замечая, что v'r = vr
v'r = vz-\-U, получим:
■£+•,&+«'.+<'>& =
ч ^ 1 dv2 j_ d2v
+7-^ + -^- <3-60>
Повторяя рассуждения, аналогичные тем, которые были
сделаны по поводу C.51) в предыдущей задаче, придём к
выводу, что C.60) можно заменить следующим приближённым
уравнением:
., dv I d-v , 1 dv\ /о ci\
"т^Ы + ти?)' C-61)
где для сокращения записей обозначено vz = v.
При установлении граничных условий будем, как и в
предыдущей задаче, считать, что до подхода трубы (т. е. ниже
плоскости z = 0) скорости всех частиц равны нулю и что
частицы прилипают к боковой поверхности трубы. Кроме того,
будем полагать, что внутри трубы скорости жидких частиц
остаются конечными, а во внешней области по мере удаления
от поверхности трубы убывают до нуля. Тогда граничные
условия будут
при z sg; 0 v = 0,
при r = a (z">0) г> = —U,
Ч C.62)
при 0^г<^а B^>0) г>=с=с*,
при г=оо т'= 0.
Из условий C.62) первые два относятся и к внутренней
и к внешней областям, третье же только к внутренней, а
четвёртое только к внешней области.
Рассматриваемая задача также аналогична задаче о
распространении тепла в круглом цилиндре. Заметим, однако, что
течение во внутренней области в данном случае будет
отличаться от того, которое было получено в п. 2 § 8, так как
здесь это течение вызвано движением стенок трубы; а там
мгновенно наложенным градиентом давления.
Для решения задачи воспользуемся опять методами
операционного исчисления и перейдём в C.61) от оригинала v к его

118 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. III
изображению по переменному г. Тогда, принимая во внимание
формулу C.05') и то, что t; @) = 0, получим:
$ + 14-^ = 0, C.63)
где л имеет то же значение, что и в C.54).
Интегрируя C.63) по г, получим, как в п. 2 § 8:
i=A\(){nVvr)JrBKu{nV^r), C.64)
где А (р) н В(р) должны быть определены отдельно для
внутренней и внешней области. При этом в силу C.03) условия
C.62) сохранят свой вид и для v.
а) Решение для внутренней области. В этом
случае, так как К0@) = сю, следует положить В = 0. Тогда,
определяя А по условию C.62) на стенке трубы, получим
из C.64):
^ = _иЬ(п]ф. = _иЩ. C.65)
1о (и V* a) h <*»
Легко видеть, что C.65) есть дробная функция вида C.16),
удовлетворяющая условиям C.17) и не имеющая полюса в
точке р=0. Следовательно, v будет даваться формулой C.22).
Обозначая, как в п. 2 § 8, через ак корни уравнения J0(.tr) = 0,
найдём, так как l0(ix)=J0(x), что полюсы v находятся
в точках, где
Тогда из C.65) будем иметь:
Д (pft) = J0 [ak~) , pj'2 (рк) = - Ц- J, (ak).
Кроме того, на основании C.21) получим g{=\, так
как J0 @) = 1. Подставляя все эти значения в C.22) и
принимая во внимание C.54), получим закон распределения
скоростей во внутренней области трубы в виде:

§ 9J ПОГРУЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ II ТРУБЫ В ВЯЗКУЮ СРЕДУ 119
Равномерная сходимость стоящего в правой части ряда
доказывается так же, как это было сделано для C.40).
б) Решение для внешней области. В этом
случае, так как 10(оо) = оо, следует в C.64) положить Л = 0.
Тогда, определяя В по условию C.62) на стенке трубы,
найдём из C.64):
£ = _tfIW5^ = _C//(]l). C.67)
Кп (л I'- Р")
Стоящая в правой части функция не имеет в плоскости
комплексного переменного р никаких особенностей, кроме
точки ветвления р = 0, т. е. удовлетворяет условиям C.23).
Следовательно, v будет даваться формулой C.27).
Тогда, пользуясь известным в теории цилиндрических
функций соотношением
К0 (ix) = J0 (x) — / Y0(-v)
н полагая на основании C.25) y$ = ia, получим в нашем
случае из C.67):
f*t~\ - Jo (""г) — / Yn (W) f*( ■ J0(nar) + <Y0(/iar)
1 ya>— i0(naa) — iYn{naa) ' J [ ' Ju(naa) + iY0(naa) '
так как Jrt{—x) = in(x), a Y0 (—x) = —Y0 (x).
Наконец, раскрывая неопределённость, найдём, что в C.67)
/@) = 1. Подставляя все найденные значения в C.27) и
вводя безразмерный параметр $ = паа= 1/ —аа, найдём
окончательно закон распределения скоростей во внешней
области в виде:
■» = — U
9 \е Uai
t~, Jo'P^o(p4)-yo(P)Jo(p^, 4
P0(h + 4(h
C.68)
Интеграл, стоящий в правой части, сходится, так как
доказано, что
г \ „,„../„ г
Jo(P)Y0( ?^)-Y0(P)J0
a) •""•^°Vr a j dp ,„_
Jo№ + Y5(?J

ISO НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ'. III
Пользуясь найденными решениями, подсчитаем напряжения
силы трения на стенках трубы. Они будут определяться
формулой
*.,-- = н^ (-£),=„• <3-69>
где, принимая во внимание направление нормали к
поверхности трубы, знак минус соответствует внутренней поверхности
трубы, а знак плюс — внешней.
Тогда, подставляя в C.69) значение v из C.66) и
замечая, что Jg (х) = — Jj (х), найдём для напряжения трения на
внутренней поверхности трубы выражение
о
СО >'rfr
11=2^£Г^г. C.70)
Подставляя теперь в C.69) величину v из C.68), получим:
v.'
2^)е uai —,8„v,v2,.;'?•
о
Но числитель стоящей под знаком интеграла дроби
представляет собою определитель Вронского (вронскиан) цилинд-
9
рпческнх функций и равен, как известно, -£^-. Отсюда
получаем для напряжения силы трения на внешней поверхности
трубы выражение
со
->?
W * ""' rf? /37П
о
Заметим, в частности, что из C.71) при а—► оо
получается формула C.58) для пластинки. Чтобы убедиться в этом,
следует положить [J = aa и заменить стоящие в C.71)
цилиндрические функции их асимптотическими разложенчями.
Тогда получим:
JHaa) + Yl(a2)=^.
Подставляя это значение в C.71) и вычисляя интеграл,
придём к формуле C.58), где только вместо х будет стоять z.

§ 9] ПОГРУЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ II ТРУБЫ В ВЯЗКУЮ СРЕДУ 121
Подсчитаем в заключение полные силы трения F1 и F2 на
внутренней и внешней поверхностях трубы при погружении
её на глубину Н. Умножая для этого правые части C.70)
и C.71) на 2ттй■ dz и интегрируя по z от 0 до Н, найдём:
С1Т \ /
Ua*
* = 1 и*
■iVH
F2=±?lPcfi
1-е Ua> dl
J J5(?) + Yg(p)
C.72)
C.73).
Отметим следующее интересное обстоятельство. В то время
как Fo — сила трения на внешней поверхности — с
увеличением Н неограниченно возрастает,
величина полной силы трения на
внутренней поверхности по мере
погружения трубы стремится к
предельному значению
1
F\ == 4ттр СГ-а2 NT -А- = itplPa*,
так как значение стоящей справа
суммы равно 0,25 *). При этом
Fj равно секундному количеству
движения вязкой среды, которая
втекала бы в трубу с постоянной
по всему поперечному сечению о ОМ
скоростью U.
Чтобы нагляднее
представить определяемые формулами
C.72) и C.73) силы, приводим изображённые на фпг. 22
графики. На этих графиках дана зависимость безразмерных вели-
/\ /\
чин Fx и F, от безразмерной же величины Н, где
0J0 0,15 OJ0 Я
Фиг. 22.
?U*
FU2
И .
у//.
a4J
х) См. Р. О. Кузьмин, выше цнт., стр. 112.

122 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Ill
Как видно, полная сила трения на внутренней поверхности
меньше, чем на внешней, причем разность F2 — Fx по мере
погружения трубы растёт.
Полное сопротивление погружению трубы будет, очевидно,
равно сумме величин Fx и F2, определяемых формулами C.72)
и C.73).
3. Срезание кольцевого слоя вязкого вещества.
Рассмотрим вязкую среду, заполняющую всё полупространство
ниже горизонтальной плоскости 2 = const за исключением
цилиндрической полости радиуса Ь. Пусть в эту среду
погружается тонкая цилиндрическая труба радиуса а^>Ь,
вертикальная ось которой совпадает с осью имеющегося в среде
цилиндрического выреза. Таким образом, труба при своём
погружении будет срезать кольцевой слой среды толщиною
h = a — b. C.74)
При этом будем считать среду столь вязкой, что
течением её под действием силы тяжести можно за время
погружения трубы пренебречь. Найдём сопротивление,
испытываемое трубою при её погружении.
Задача, как и предыдущая, сводится к интегрированию
урлвнения C.61) для v, или, переходя к изображениям,
уравнения C.63) для v. Общим решением этого уравнения будет
опять C.64). Так как граничные условия для внешней области
остаются в данном случае такими же, как в C.62), то течение
в этой области будет определяться уравнением C.68), а сила
сопротивления на внешней поверхности трубы формулой C.73).
Перейдём к решению задачи для внутренней области.
Первые два из граничных условий C.62) сохранятся и в этом
случае; третье условие, полагая, что внешняя граница
срезаемого слоя свободна от напряжений, получим в виде
при r=b (г>0) -^ = 0. C.75)
Тогда, определяя в C.64) значения А и В по условиям
C.62) (для г = а) и C.75), найдём:
10(л VV)Ki {nYbb) + K0(n VViMrc ]Л) 6)
= ._£/ЛМ C.76)

§ 9] ПОГРУЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ II ТРУБЫ В ВЯЗКУЮ СРЕДУ 123
Правая часть C.76) представляет собою функцию
вида C.16), удовлетворяющую условию C.17), причём точка
р = 0 не будет полюсом. Следовательно, и в данном случае
значение v будет даваться формулой C.22). Если обозначить
через у* корни уравнения1)
J0 (х) Y, ( ~ *) - Y0 (х) J,(±- х) = О, C.77)
то легко убедиться, что v будет иметь в данном случае
простые полюсы в точках, где
о
п2иг
^'- " '|2,,2 '
При этом, согласно C.77), будет:
Y^ М^гт*
(I
Тогда из C.76) будем иметь:
C.78)
Далее, из C.76), принимая во внимание C.78), найдём:
**/i(P*) =
J.Dt0^(tt*)-^^^(It*
X ~jH\ - lJ« {^ Y'o<Y*)-Y° (ТГ*) J'o(Y*)J -ЩГ J' •
X
J0(tft) П ,,-,И V ,„ЧГ,„ NT Чв '*
Ji ^ 7* ■
где штрих означает дифференцирование по всему аргументу.
Замечая, что выражения, стоящие в квадратных скобках,
представляют собою вронскианы цилиндрических функций и равны
') Все корни уравнения C.77) действительные и простые. См.
Г. Н. В а т с о н, Теория бесселеаых функций. Изд. иностр. лит., 1949.
стр. 559. к . .

124 неустановившиеся течения вязкой жидкости [гл. ш
соответственно
щкЬ
и ——, получим окончательно:
VW = -
,• J5 (т*) — JI ( — т*
•ЬЫ-Ь
Наконец, на основании C.21) найдём, заменяя в C.76)
соответствующие цилиндрические функции нх разложениями
в ряды, что g-l = ].
Тогда, подставляя все полученные значения в C.22) и
принимая во внимание C.54), получим следующий закон
распределения скоростей в срезаемом вязком слое:
V-—U
i-ir^:
JiUT*
Та
YA^k
к { — 7*
*=1
Jq (Та) — JI \ — 7*
X
XJo.(y*)Ji(TY* *
V'A
с/я3
C.79)
Напряжение трения на внутренней поверхности трубы
будет определяться формулой C.69). Найдя из C.79)
значение (-J—) и принимая во внимание C.78), а также заме-
\ or jr~a
няя получающийся в числителе вронскиан его значением, мы
найдём для напряжения силы трения на внутренней
поверхности следующее окончательное выражение:
2|i(/
1 —
У5Ы
ч
ТА
Ua'
C.80)
Заметим между прочим, что если положить Ь = 0, то
уравнение C.77) превратится в J0(x) — Q и, следовательно, Y*
заменяется на ак. Так как, кроме того, Y1@) = oo, то,
следовательно, при Ь = 0 выражение C.80) перейдёт, как и
следовало ожидать, в C.70) предыдущей задачи.
Умножая, наконец, обе части C.80) на 2nadz и
интегрируя по Z от 0 до Н, где Н — глубина погружения трубы,

§ 9] ПОГРУЖЕНИЕ ПЛАСТИНЫ II ТРУБЫ В ВЯЗКУЮ СРЕДУ 125
найдём величину полной силы трения на внутренней
поверхности:
со
■flf"
1-е иа>нi C.81)
Полное сопротивление погружению трубы будет равно
F-\-F2, где F2 даётся формулой C.73).
Для вычисления F необходимо знать у*— корни
уравнения C.77) или, что то же, C.78). Если величина — близка к
единице (срезаемый слой тонок), то значения у*
оказываются очень большими и могут быть определены приближённо,
если заменить входящие в C.78) цилиндрические функции их
одночленными асимптотическими разложениями J):
У*(*)=]Л£г*1п(*--5-т) [ C-82)
(k = 0, 1, 2...). J
Подставляя значения C.82) в C.78), получим:
ctg (Y* —J ) = c*g ("I- Т* — Т ™
откУда 2k - 1 я
ъ^-Ут- C-83)
а
Формула C.83) будет определять значения yft тем точнее,
чем — ближе к единице, т. е. чем тоньше слой.
а
Рассмотрим в заключение случай срезания очень тонкого
слоя. В этом случае, как видно из C.83), значения yft будут
очень велики и стоящие в C.81) цилиндрические функции
можно будет заменить их асимптотическими разложениями
C.82). Тогда получим:
™ ~-]/1утА -<-"'/?■ "■»'
4- Т* ) cos I - Tft •
4
]) См. О. Р. Кузьмин, выше цит., стр. 78.

126 НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ [ГЛ. Ш
так как на основании C.83)
{ b -\
cos Ьг Y* — т ) =cos
а »* 4
Y*—J-B*-Dy
= (_l)*-i sin Tft—T
Подставляя в C.81) значения соответствующих величин
из C.83) и C.84) и вводя h — a — b, найдём следующее
приближённое выражение для силы трения на внутренней
поверхности трубы в случае тонкого слоя:
16__,,„ V" 1 [ Bft-l)^v я
/=-^-раШ^(-^гт?|1
WW
C.85)
Если, наконец, когда погружение будет достаточно
большим, пренебречь ввиду малости А вторым слагаемым в квадратной
скобке и принять во внимание, что ])
то будем иметь:
г?
&&-» 8
F^2-npahU2. C.86)
Последний результат указывает, что при срезании очень
тонкого слоя сила сопротивления трения на внутренней
поверхности трубы равна секундному количеству движения
прилипающего к этой поверхности слоя вязкой среды. Как
отмечалось выше, это совпадает с результатом, получающимся из
C.72) при Н—+оо.
Заметим в заключение, что найденные в настоящем
параграфе решения могут быть в первом приближении приложены
к случаю погружения трубы в вязкий грунт.
1) См. 11. М. Рыжик, выше цнт. таблицы, стр. 245.

ГЛАВА IV.
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ.
§ 10. Уравнения движения вязкой жидкости
в пограничном слое.
1. Пограничный слой. Многие жидкости, с движениями
которых приходится часто сталкиваться при решении
практических задач, обладают очень малой вязкостью; таковы,
например, вода, воздух (см. табл. I на стр. 22). Если
одновременно размеры обтекаемых тел и скорость течения не
очень малы, то мы будем получать течения с достаточно
большими числами Рейнольдса. В этих случаях, как
показывает опыт, влияние вязкости сказывается лишь вблизи самой
обтекаемой поверхности. Это обстоятельство было в своё
время отмечено ещё Д. И. Менделеевым в его капитальных
исследованиях, посвященных сопротивлению жидкостей и
воздухоплаванию A880 г.). Влияние вязкости вблизи стенок
оказывается существенным, по той, также устанавливаемой опытом
причине, что даже очень мало вязкие жидкости сохраняют
своё свойство прилипать к обтекаемой поверхности, в то
время как жидкость, лишённая трения (идеальная), должна
вдоль этой обтекаемой поверхности скользить.
Таким образом, основываясь на данных опыта, мы
приходим к следующей картине обтекания плавко очерченных тел
маловязкой жидкостью: на обтекаемой поверхности жидкость
прилипает к телу, затем, по мере удаления от поверхности,
скорость жидкости быстро возрастает и на некотором
расстоянии § от поверхности принимает значение, равное
практически тому, которое имела бы при обтекании данного тела
жидкость, лишённая трения. Этот поток жидкости,
лишённой трения, мы будем в дальнейшем называть енешшм

128
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
ГЛ. IV
потоком, а слой толщины 5 близ поверхности тела, в котором
■скорость жидкости меняется от нуля до скорости внешнего
потока — пограничным слоем. Картина распределения
скоростей по направлению нормали к поверхности тела имеет вид,
показанный на фиг. 23. При этом толщина пограничного
слоя 8 оказывается тем меньшей, чем меньше вязкость жидкости.
Такой схемой течения в применении к задачам аэродина-
.мики предложил пользоваться творец этой науки проф.
Н. Е. Жуковский в своих
лекциях по теоретическим
основам воздухоплава-
ння ')
■У///уу--"'////'^'//'/^''УУ////7777Т;,
Фиг.
«Я предлагаю
считать,— говорил Н. Е.
Жуковский,— что при
стенках скорость жидкости
равна нулю, но что затем
она очень быстро
возрастает II становится
равной той теоретической,
которая получается в
предположении существования потенциала скоростей». В этих
лекциях излагаются основные свойства пограничного слоя,
понятием о котором Н. Е. Жуковский пользовался ещё в
своей работе «О форме судов»2), опубликованной в 1890 г.
Всё изложенное выше позволяет разбить задачу об
обтекании тел маловязкой жидкостью на две, на задачу об
обтекании тела внешним потенциальным потоком жидкости,
лишённой трения, и на задачу об изучении течения вязкой
жидкости в тонком пограничном слое.
Первая из названных задач рассматривается в
гидродинамике так называемой идеальной жидкости. Мы будем в
дальнейшем считать, что решение этой задачи нам известно и
что мы, следовательно, знаем закон распределения скоростей
во внешнем потоке у поверхности обтекаемого тела (точнее,
на внешней границе пограничного слоя). Если пока
ограничиться рассмотрением плоско-параллельных течений и обозна-
') Н. Е. Жуковский, Поли. собр. соч., лекции, вып. 1, ОНТИ,
1938, стр. 351—352.
2) См. Н. Е. Жуковский, Собр. соч., т. II, Гостехиздат, 1949.
■стр. 627 или Поли. Собр. соч., т. IV, ОНТИ, 1937, стр. 53.

§ 10] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 129
чить через х криволинейную координату, измеряемую вдоль
обтекаемого контура (фиг. 23), а через U—скорость
внешнего потока на обтекаемом контуре, то мы полагаем, таким
образом, зависимость
U=--U{x, t) D.01)
заданной. При атом закон изменения скорости D.01) может
быть получен пли из решения соответствующей задачи
гидродинамики идеальной жидкости пли экспериментально.
Заметим, что, строго говоря, при определении зависимости D.01)
следовало бы рассматривать задачу об обтекании потенциальным
потоком не контура самого тела, а внешней границы пограничного слоя,
т. е. контура, "утолщённого на величину о. Однако ввиду малости о
этим утолщением, т. е. обратным влиянием пограничного слоя на
внешний поток, можно в первом приближении пренебречь. Влияние
это оказывается существенным только в задачах о внутренних
течениях жидкости (течения в трубах, диффузорах). На этом
обстоятельстве мы в своё время остановимся подробнее.
Материал настоящей главы будет посвящен решению
второй из названных выше задач, т. е. изучению течения жидкости
в пограничном слое. Основные дифференциальные уравнения
движения жидкости в пограничном слое и первое их
приближённое решение для случая обтекания пластинки были даны
Л. Прандтлем 1).
При изучении движения в пограничном слое вязкость,
несмотря на малость коэффициента трения, должна будет
приниматься во внимание по двум причинам: во-первых,
вследствие прилипания жидкости к стенке и, во-вторых,
вследствие того, что величина силы трения в слое получает значения,
сравнимые с величинами инерционных сил. Действительно,
напряжение силы трения х = ]х—~- (направления осен указаны
на фиг. 23) будет, очевидно, иметь в слое порядок pi -^-, где
U—скорость внешнего потока. Следовательно, даже при
весьма малых значениях р. величина т в пограничном слое
будет конечной вследствие малости 5.
Исходя из предположения, что вязкие силы в
пограничном слое имеют тот же порядок, что и силы инерционные,
•) Prandtl L., Verh. der III Intern. Math. Kongr. in Heidelberg,
1904, Leipzig, 1905. Русский перевод см. в книге: Л. Прандтль,
Теория несущего крыла, ч. I, ГНТИ, 1931.
9 С. М. Тарг

1Л) УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
мы можем оценить толщину пограничного слоя. Для этого
заметим, что сила трения, приходящаяся на единицу объёма
жидкости, заключённой в пограничном слое, т. е. -, имеет,
U °
как это следует из предыдущего, порядок |л-^-. С другой
О"
стороны, полагая, что обтекаемое тело имеет в направлении
оси Ох размер порядка /, получим, как в п. 6 § 1, что
инерционная сила, приходящаяся на единицу объёма жидкости,
оудет иметь порядок р —-. Полагая, что порядок названных
U V-
сил одинаков, т. е. что jx—--p —j- (символ -v. означает
«имеет порядок;;), получим:
Таким образом, толщина пограничного слоя оказывается
величиной, порядок которой обратно пропорционален корню
квадратному из числа Рейнольдса. Формула D.02) подтверждает, что
при больших R величина £ будет действительно мала.
Пограничный слой
Фиг. 24.
Картина течения, подобная рассмотренной выше, будет
иметь место только при обтекании очень плавно очерченных
тел. У тел плохо обтекаемых, как показывает опыт, где-то
в кормовой части происходит отрыв потока от поверхности
тела; при этом за телом образуется завихренная зона (фиг. 24,а).
Наличие завихренной зоны существенно меняет закон
распределения скоростей во внешнем потоке по сравнению с тем,
который имел бы место при соответствующем безотрывном
потенциальном течении. Это обстоятельство должно
учитываться при расчёте пограничного слоя. Вид зависимости

К 10] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 131
D.01) в случае отрывных течений может определяться
экспериментально. Если же зависимость находится путём
теоретического расчёта, то при этом необходимо учесть наличие
вихрей за кормовой частью обтекаемого тела.
Заметим в заключение, что при отрывном течении,
очевидно, нельзя будет считать пограничный слой
распространённым г.доль всей обтекаемой поверхности. Уравнения течения
в пограничном слое и все получаемые с их помощью
зависимости будут в этом случае, строго говоря, пригодны только
для области, идущей от носовой части до точки отрыва.
Из всего сказанного следует, что при решении задач
теории пограничного слоя важно знать, при каких условиях и
где именно наступает отрыв. Ответ на этот вопрос можно
дать, если исходить из следующего объяснения причины
отрыва. Известно, что при полном обтекании потенциальным
потоком контура, подобного тому, который частично
изображён на фиг. 24,а, скорость течения на участке АВ возрастает,
а на участке ВС падает. Тогда, согласно уравнению Бер-
нулли, давление на участке ВС должно при перемещении от
В к С непрерывно возрастать. Такое же распределекиэ
давлений будет иметь место и в пограничном слое, так как
ввиду малости о давление в нём почти не отличается от
давления на его внешней границе. Вследствие этого частицы
жидкости, движущиеся в пограничном слое, будут, в отличие
от частиц внешнего потока, терять свою кинетическую
энергию не только на преодоление действия сил давления, но и
на преодоление сил трения, порядок которых в пограничном
слое будет, по сделанным выше оценкам, одинаков с
порядком сил давления. В результате скорости частиц в пограничном
слое будут падать значительно быстрее, чем во внешнем
потоке и не только обратятся в нуль где-то на участке между В и
С, но даже под действием сил давления изменят своё
направление на обратное (обратное течение). Это обстоятельство и
вызовет отрыв пограничного слоя. Если изобразить профили
скоростей в различных сечениях пограничного слоя на
участке ВС, то в соответствии со сказанным выше эти профили
будут иметь вид, показанный на фиг. 24,6. Участок BS на этой
фигуре соответствует зоне быстрого падения скорости в по
граничном слое. За точкой 5 вблизи обтекаемой поверхности
начинается обратное течение жидкости (см. профиль скоростей
9*

132 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНПЧНО»Ч СЛОЕ [ГЛ. IV
в сечении, проходящем через точку Е). Точка S, являющаяся
границей двух названных зон, и называется точкой отрыва.
Математически эта точка может быть, очевидно, охарактерн-
dvr „
зо;:ана тем, что слева от нее производная -~- при у^и
положительна, а в зоне, где начинается обратное течение,—
отрицательна. Следовательно, в точке S будем иметь:
4^0 =0. D.03)
Су /у=о
Условие D.03) и является условием отрыва пограничного
слоя; с его помощью может быть определена координата xs
точки отрыва. При заданном внешнем потоке место отрыва
в случае ламинарного режима определяется условием D.03)
однозначно и, следовательно, не зависит от числа Рейнольдса.
Отметим здесь же следующее обстоятельство. Из
полученного ниже уравнения D.09) следует, что irpii _y = 0
-~ = U~j~ i так как ПРП этом vx = v =0. С другой
стороны, очевидно, что по мере приближения к верхней гра-
dvx <
ннце слоя -~ убывает, стремясь к нулю, так как на внешнем
границе отсутствует трение; следовательно, при у—*о , * <Jj-
Отсюда следует, что в зоне возрастания скорости (участок АВ),
-dU \ n d-vx .. .. „
где —г- р> 0, величина -^-f остается все время отрицательной
и профиль скоростей в пограничном слое очерчен плавной
кривой без точек перегиба. Наоборот, в зоне падения скорости
(участок ВС), где -т—<^0, будет: при у = 0 —~ ^>0, а при
у—-8 -r-f <^0; следовательно, где-то при 5^>^^>0
величина -т-^ обратится в нуль и профиль скоростей в зоне
падения скорости будет иметь точку перегиба. Эти обстоятельства
следует иметь в виду в тех случаях, когда при расчёте
пограничного слоя профилем скоростей в нём задаются заранее
(см. § 12).
2. Уравнения плоско-параллельного течения в
пограничном слое. Рассмотрим плоско-параллельное течение
вязкой жидкости, обтекающей некоторое цилиндрическое тело.

К 10] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 133
Будем в дальнейшем сечение этого тела плоскостью,
перпендикулярной образующим, называть обтекаемым контуром.
Выберем следующую ортогональную систему
криволинейных координат: координату х будем отсчитывать от передней
критической точки (точки, где U=0) вдоль самого обтекаемого
контура, координату у—по направлению нормали к контуру
в каждой его точке, считая у = 0 на поверхности контура
(см. фиг. 23). Если толщина пограничного слоя 3 будет мала
по сравнению с радиусом кривизны контура, то при изучении
течения в пограничном слое можно будет пренебречь
кривизной координатных линий у = const и рассматривать
выбранные нами координаты как прямолинейные. Тогда, пренебрегая,
как обычно, массовыми силами, получим из A.46) для
течения в пограничном слое следующие уравнения движения:
** + * ^4-« ^ = ---+v№ + —^ D04)
dt > v* дх ^ У ду р дх ' "Ч дх* ^ ду* ) ' [ЧгМ '
dt ' х дх I у ду р ду ' V дх? * ду'
dvx , dvv
дх I ду
:0. D.04')
Произведём оценку порядка входящих в эти уравнения
членов, считая, как в п. 1, что порядок 5 мал и определяется
формулой D.02) н что vx ~~ U, х ^~ I, у -~ Ь и t ^. —, . При
этих условиях уравнение D.04') даёт, что vy -*—у- о. Кроме
того, из D.02) имеем, что v-^ у52. Тогда, как легко видеть,
все слагаемые, стоящие в левой части первого из уравнений
U2
D.04), будут иметь порядок -т-, а для членов, стоящих
справа, получим:
V ~Ш ^ / I2 ' V ду* ^ I '
Аналогично найдём, что все члены, стоящие в левой части
второго из уравнений D.04), имеют порядок —р-т- , а для

134 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
членов, стоящих справа, будем иметь:
d2vy цг §з d2vy цг §
Из сделанных оценок следует, что в пограничном слое
др_ W_ др_ U* о
дх "^ ? I ' ~~ду "^ Р ~~Г I '
т. е. что изменение давления по направлению нормали к слою
мало по сравнению с перепадом давления вдоль слоя. Тогда
второе из уравнений D.04) примет в первом приближении вид:
| = 0- D-05)
Отсюда приходим к основному допущению теории
пограничного слоя: давление в пограничном слое не изменяется по
направлению нормали к обтекаемому контуру а,
следовательно, распределение давлений во всём слое будет тем,
которое имеет место во внешнем потоке на верхней границе
пограничного слоя.
Отбрасывая теперь второе из уравнений D.04), как уже
использованное, и пренебрегая в первом из этих уравнений
цгл цг
членом порядка —^- по сравнению с -j~, придем к следующей
системе:
dt ' * дх I у ду р дх* ду>
dvx.dvy (
Уравнения D.06) и представляют собою уравнения
плоскопараллельного движения вязкой жидкости в пограничном слое,
предложенные Л. Прандтлем.
Как следует из D.05), значение ~- в D.06) можно
заменить значением на внешней границе пограничного слоя. Но
на внешней границе слоя vx=U, а член г; -г*
пренебрежимо мал ввиду малости обоих сомножителей; кроме того, на
внешней границе, где поток переходит в потенциальный, мо-

§ 10] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 135
жно пренебречь влиянием вязкости и, следовательно, членом
d2v
V-5-^r. Тогда из D.06) получим:
~7 & = % + «% D'071
или в случае установившегося течения:
_Lf = uf-. D.07')
р ox dx v '
Последний результат непосредственно следует из интеграла
Бернулли для течения во внешнем потоке.
Подставляя значение -тт  D.07) в D.06), получим
уравнения движения в пограничном слое в виде:
Наконец, в случае установившихся течений, которые
будут рассматриваться в данной главе, будем иметь:
dvx , dvv
где штрих означает производную по х.
В заключение оценим погрешность, допущенную нами при
пренебрежении в уравнениях D.04) кривизной контура. Это
пренебрежение скажется, очевидно, на величине левой части
второго из уравнений, которая представляет собою w т. е.
проекцию ускорения жидких частиц на ось Оу. Так как
ось Оу совпадает с нормалью к контуру, то, пренебрегая
кривизной, мы фактически пренебрегли в w нормальной
2
vx
составляющей ускорения, равной —-^-, где R — радиус
кривизны контура. Если принять во внимание, что эта состав-
U2
ляюшдя имеет порядок -у-, то при ее учете второе из урав-
f 12 л
нений D.04) после отбрасывания членов порядка -~- -г вместо

/
136 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ПЦ lv
D.05) даст:
Если в данном сечении слоя заменить v и R их средними по
сечению значениями v*. и /?*, то, интегрируя D,10) по у от
0 до 5, получим:
Py=i-Py=0 =?*?&• D.Н)
Отсюда вновь следует, что если только толщина
пограничного слоя о мала по сравнению с радиусом кривизны
обтекаемого контура, то изменением давления в направлении
нормали к контуру можно действительно пренебречь и
полагать, как мы это и делали, что давление в слое
распределено так же, как и на границе внешнего потенциального
потока.
Таким образом, решение задач теории пограничного слоя
сводится к определению с помощью уравнений D.08) или
D.09) закона распределения скоростей в слое,
удовлетворяющего соответствующим граничным и начальным условиям.
Проблема эта оказывается в достаточной мере сложной, так
как названные уравнения нелинейны.
3. Интегральные соотношения. Математические
трудности, с которыми приходится сталкиваться при попытках
непосредственно интегрировать уравнения течения жидкости
в пограничном слое, побуждают искать какие-нибудь другие,
пусть менее точные, но более простые пути решения этой
задачи. При этом естественно обратиться к методу, которым
пользуются в теоретической механике, когда вместо того,
чтобы пытаться интегрировать дифференциальные уравнения
движения отдельных точек системы, переходят к рассмотрению
некоторых вытекающих из этих уравнений интегральных
соотношений, называемых общими теоремами динамики.
Аналогичные интегральные соотношения могут быть получены и из
уравнений D.06). Мы ограничимся в дальнейшем
рассмотрением случая установившегося течения, так как только в этом
случае соответствующими интегральными соотношениями
обычно и пользуются.
Для получения искомых соотношений умножим обе части
уравнения D.09) на vk и проинтегрируем по у в пределах

§ ,10] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 137
от 0 до 8, где 5 — толщина пограничного слоя. Тогда,
принимая во внимание, что U не зависит от у, получим:
Г vk+i д1х dv ! С vy: Ц± dv = и- U' \ v*dv + v Г v" ^ dv.
0 0 0 0
Преобразуем входящие в полученные соотношения интегралы,
обозначая их для сокращения записей последовательно
через Ju J2, Л п Л; предыдущее равенство принимает при этом
вид:
У, -L- Л = Ш'Л + v74.
Одновременно во всех последующих преобразованиях
будем принимать во внимание правило дифференцирования
интеграла по параметру н граничные условия:
при v = 0 г>х = 0, v =(); ]
при v = i v=U, f^ = 0. 1 D.12)
Первые из этих условий означают, что жидкость
прилипает к обтекаемой стенке, а последние приближённо
определяют верхнюю границу пограничного слоя как такую, на
которой скорость практически равна скорости внешнего
потенциального потока, а трение обращается в нуль. Тогда
будем иметь:
•dv« 1 д Г ,, , о , (/*+2 do
1 гюут- 1 в с ,, , о .
А + 2 dx
о и
Далее, интегрируя по частям и принимая во внимание
уравнение D.09'), найдём:
J*^k+l{vy>y=° A+i J v* ду йу-
o
:A-f 1
(fjj; = ! + , , , Л-
1 ^j"-"-0 i #4-1
Для определения значения vy при v=S проинтегрируем
уравнение D.09') по у в пределах от 0 до Ь. Тогда получим;

138 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Используя все найденные соотношения, будем иметь:
T^I^^+rb-^I^^-
A+]
"о "о
-Наконец, интегрирование по частям даёт:
*=-^50,..-*й-(&У*.
\ " ^ / У— и
о
Подставляя последние два выражения в первоначальное
соотношение, найдём окончательно:
1
дх
о
1*^-&?£Ь*,=
= Ш' J ^ rfy- vft J ^-i (^J ^- v (v'xЦ£) D.13)
0 0
Интегральное соотношение D.13) было установлено проф.
В. В. Голубевым'). В нём, по существу, содержится целый
ряд независимых между собой соотношений, которые можно
получить, давая k значения 0, 1, 2 и т. д. При этом
очевидно, что для любого k, кроме /г = 0, последнее слагаемое
в D.13) будет нулём, так как при v^0 f,. = 0. Если, в
частности, положить в D.13) k = 0, то будем иметь:
s
о о
Это интегральное соотношение было получено Карманом2)
1) Доложено на заседании Института механики Московского
университета в 1936 г. Первая публикация в книге: Н. В. Розе,
И. А. К и б е л ь, Н. Е. К о ч и н, Теоретическая гидромеханика, ч. 2,
ОНТИ, 1937 г.
2) Karman Th., Zeitschr. fur ang. Math, und Mech., т. I, 1921,
-стр. 233 — 252.

§ 10] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
139
путём применения к пограничному слою теоремы количества
движения.
Полагая, далее, в D.13) А=1, найдём:
о о
S Ь
= UW$vxdy-^(^)ady. D.15)
о о
Интегральное соотношение D.15), соответствующее
теореме об изменении энергии, было дано акад. Л. С. Лейбен-
зоном !).
Полученные здесь интегральные соотношения являются,
строго говоря, приближёнными, так как при их выводе мы
пользовались приближёнными по своему существу граничными
условиями D.12). В действительности такой резко очерченной
внешней границы слоя, на которой имело бы место последнее
из условий D.12), в жидкости, конечно, нет и переход к
скорости потенциального потока носит асимптотический
характер. Однако практически мы всегда можем ввести понятие
о пограничном слое конечной толщины, понимая под Ь то
расстояние от стенки, на котором скорость течения будет
отличаться от скорости во внешнем потоке, например, на 1°/0
или на 0,5°/0 в зависимости от требующейся точности расчёта.
Таким образом, и граничные условия D.12) и полученные с
их помощью интегральные соотношения будут иметь
совершенно конкретный реальный смысл.
Как мы увидим в дальнейшем, при непосредственном
интегрировании уравнений D.09) обычно не пользуются
понятием о слое конечной толщины, а полагают, что скорость U
достигается асимптотически при у—► оо, т. е. что 5^оо.
Чтобы иметь возможность оценить в этом случае практически
толщину пограничного слоя, вводят понятие о так называемой
толщине вытеснения 5*, определяемой равенством
со
^*=jf\(U—vx)dy. D.16)
о
:) Л. С. Л е й б е н з о н, Энергетическая форма интегрального
условия в теории пограничного слоя. Труды ЦАГИ, вып. 240, 1935.

1*10 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Величина о* характеризует смещение линий тока от
поверхности обтекаемого тела, вызванное наличием пограничного
слоя. В случае обтекания пластинки можно, как будет
показано ниже, считать приближённо 3 = Зо*. Такой оценкой
толщины пограничного слоя пользуются иногда и при обтекании
криволинейного контура.
Если наряду с 5* ввести ещё линейную величину
00
***=-& §v*iu-vJdy> DЛ7)
О
называемую «толщиной потери импульса», то соотношение
D.14) можно преобразовать к соотношению, которое было
указано Л. Прандтлем. Для этого прибавим к обеим частям
равенства D.14) выражения
« г
^С —iftdv = — {-(U*i) и U^-[udy = uS-{Ub).
Ox J - Ox x Ox J ^ ox
0 ' 0
Тогда, меняя одновременно все знаки на обратные, получим:
5 Ь
*-^W—*x)dy-U±[{U-vx)dy =
о о
Легко видеть, что первые три слагаемых в правой части
равенства дают в сумме нуль. Полагая теперь в оставшихся
слева членах Ь= оо и разбивая первый из интегралов на два,
получим:
дх
U$(U-vx)dy\+±§vx{U-vJdy-
о о
со
-U±^(U-vx)dy=f
или, принимая во внимание D.16) и D.17):

§ Ю]
УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
141
где т0==}А1у^) —напряжение трения на поверхности
обтекаемого контура.
Последнее равенство после очевидных преобразований
даёт:
^ + ^B*** + **)=^- D.18)
dx ' U ' ' ?U-
Соотношением D.18) можно пользоваться как для
асимптотического слоя, так и для слоя конечной толщины. В последнем
случае верхним пределом интегралов, входящих в D.16) и
D.17), будет 5.
Отметим в заключение, что с несколько иной точки
зрения к получению интегральных соотношений и их
использованию подошёл проф. Л. Г. Лой-
цянекий. Не имея возможности
изложить здесь все методы
теории пограничного слоя, мы
вынуждены интересующихся
отослать к оригинальной
работе автора '). Применение метода
Л, Г. Лойцянского к расчёту
пограничного слоя на телах
вращения рассмотрел Л. Г. Степа-
нянц 2).
4. Уравнения движения в
пограничном слое на теле
вращения. Рассмотрим
пограничный слой на теле вращения,
ось которого направлена параллельно скорости набегающего
потока. Тогда течение в пограничном слое будет о.сеснммет-
ричным и характеристики его будут зависеть только от двух
параметров. Выберем следующую систему ортогональных
криволинейных координат: координату х, отсчитываемую по дуге
вдоль какого-нибудь из меридианов, проведённых на
обтекаемом теле (фиг. 25); координату у, отсчитываемую по нормали
к обтекаемой поверхности; координату z', отсчитываемую по
Фиг. 25.
1) Л. Г. Л о и ц я н с к и й, Интегральные методы теории
пограничного слоя. Прикл. матем. и мех., т. V, № 3, 1941.
2) Л. Г. С т е п а н я и ц, Прикл. матем. и мех., т. VI, № 4, 1942.

142 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
дуге соответствующей параллели. Заметим, что в случае осе-
сшчметричного потока характеристики течения от координаты z'
не зависят. Если радиусы кривизны меридианов и параллелей
будут велики по сравнению с толщиной пограничного слоя (в
дальнейшем рассматривается только этот случай), то при
составлении уравнений движения в пограничном слое кривизной
координатных линий можно пренебречь и рассматривать выбранные
оси как прямолинейные. В результате, пренебрегая массовыми
силами, придём опять к уравнениям D.04) и после
соответствующих оценок, так же как в п. 2, получим уравнение
движения в пограничном слое в виде D.08).
Однако уравнение D.04') здесь не сохранится, так как
рассматриваемое течение не является плоско-параллельным.
Для получения соответствующего уравнения неразрывности
возьмём в меридиональном сечении пограничного слоя (фиг. 25)
точку А, находящуюся на расстоянии R от оси симметрии Oz
и построим при этой точке элементарную площадку со
сторонами Дх, Д_у. Рассмотрим поток жидкости через кольцевую
область, образованную вращением этой площадки вокруг
оси Oz. Тогда в выделенную область по меридиональному
направлению за единицу времени втечёт количество жидкости,
равное 2nRvx&y, а вытечет количество 2тт
х ' дх
Ду;
таким ооразом, оощее количество -жидкости, вытекшей по
этому направлению, будет: 2тт - , * Дх Ау. Точно так же
найдём, что в направлении нормали к поверхности за единицу
г, д (Rvv) . . „
времени вытечет количество жидкости 2тт—~-ДхДу. Так как
r ау
жидкость несжимаема, то на основании закона сохранения
вещества сумма найденных количеств должна равняться нулю,
т. е. должно быть:
ох ' ду
Это и будет уравнением неразрывности для течения в
рассматриваемом пограничном слое.
В результате приходим к следующей системе уравнений
установившегося движения вязкой жидкости в осесимметрич-

к 10] уравнение движения в пограничном слое 143-
ном пограничном слое:
dvr | dvr ,,d(J I d2vr
v.
v p?==f/^.4.v^i D.19)
dx l У ду dx l 0уг ' v '
d(Rvx) , d{Rvy) = Q К 19')
dx ' dj/ '
Произведя дифференцирование в левой части D.19'), заме-
dR
dR
тнм, что член -т- г> , как имеющий порядок малой величины
v , может быть отброшен (порядок производной -у-
равен единице). Тогда получим для уравнения неразрывности
другое выражение:
&+£+?..=«. «-"л
где штрих означает частную производную по х.
В случае неустановившегося течения уравнение D.19)
должно быть заменено уравнением D.08).
Из D.19) и D.19') могут быть получены интегральные
соотношения, аналогичные D.13). Для этого следует
умножить обе части D.19) на v^Rdy и проинтегрировать по у от 0
до 5. Используя граничные условия, сохраняющие в данном
случае вид D.12), и уравнение D.19'), мы с помощью
преобразований, аналогичных проделанным в п. 3, придём к
соотношению
д С v* п ,, U* + x д С п.
= UU'JviRdy — vk [ v\-l {^~JRdy—,
о о
являющемуся обобщением интегрального соотношения,
установленного проф. В. В. Голубевым, на случай осесимметрич-
ного пограничного слоя.

144 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
При преобразовании последнего из входящих в правую
часть интегралов необходимо принять во внимание, что
*ф=$ (*■:£) - «к- (&)'-•* %£ »
так как сохранённые слагаемые имеют порядок «j", а отбро-
1 / dR , \
шенное — порядок —I порядок -г- равен 1 ; после умножения
на v, имеющее, как видно из D.02), порядок о2, этот
отброшенный член дал бы величину порядка 5, а величины такого
порядка при получении уравнения D.19) отбрасывались.
Полагая в D.20) k = 0, получим соотношение
8 5
"о о
s
= UU'\ Rd4 — v(R?gA D.21)
о
выражающее теорему об изменении количества движения для
осесимметричного слоя. Точно так же, полагая в D.20) &=1,
получим обобщение на случай осесимметричного слоя
интегрального соотношения, данного акад. Л. С. Лейбензоном.
Если передняя часть обтекаемого тела является тупой,
то, обозначая радиус любой из параллелей на обтекаемом
теле через R0 = R0(x) (фиг. 25) и имея в виду, что при этом
порядок R— /?0 равен 5, можно во всех предыдущих
уравнениях, сохраняя точность, принятую при их выводе,
положить: R = R0(x).
Полученные выше интегральные соотношения при этом
упростятся, так как величину R0 можно будет вынести из-
под знака интеграла. В частности, вместо D.21) будем иметь:
D.22)
& \ vldy-
0
11 д Г и R°
-Ute)v*dy-R-n
0
= UU
^(Uvt — vl)dy
'о

К Ю] УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ 145
где штрих всюду означает производную по х. Соотношение
D.22) отличается от D.14) только последним слагаемым в
левой части.
Вообще, как показал Е. И. Степанов]), если считать
Р{==Р>ь(х), то расчёт осесимметричного пограничного слоя
можно целиком свести к плоской задаче.
Введём для этого новые переменные, полагая
х=\щ<1х, y=R0y, vx = vx, vy=l± + ^yvx, D.23)
'о
и одновременно перейдём в U (х) к переменному х,
представив U в виде U (х). Тогда, замечая, что
дх_т дх — г) <EL — p'v El — R
и переходя в D.19) и D.19') к переменным D.23),
обнаружим, что эти уравнения примут вид
x dx ' y dv dx ' ду2
а- л' У D-24)
dx dy
в точности совпадающий с D.09) и D.09'). Граничные же
условия, как легко убедиться, сохранят в новых переменных
тот же вид, что и в случае плоского течения.
Таким образом, рассчитав пограничный слой на плоском
профиле, для которого во внешнем потоке скорость изменяется
по закону U (х), мы найдём решение для осесимметричного
течения, в котором внешний поток имеет скорость U (х).
Если при этом, в частности, в плоском течении будут
определены 5 (или о*, 3**) ит0=и.(-~)_ , то, как видно
V ду I у =о
из D.23), для осесимметричного течения будет:
5= 1§, x0--=R0 т0. D.25)
"/?.
') Е. И. Степанов, Прнкл. матем. и мех., т. XI, № 1, 1947.
1Q С. М. Тарг

146 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
В качестве примера найдём таким путём для осесимметричного
течения интегральное соотношение вида D.18). Согласно
изложенному для потока с U (х) это соотношение будет иметь
вид D.18), т. е.
^1*! J_ 1 ~ B5**4-8*) =-^.
dx ' U dx ' pU2
Замечая, что на основании D.25) и D.23)
dx dx dJc~R\ ~^R0 dx ' dx~j^dx*
и заменяя с помощью D.25) значения 5 *, §** и т0 в
остальных членах, найдём окончательно:
1?+^2§**+5*>+^ -w
:+£'Bг**+з*)+^8**=* D.2б)
Это и будет соотношение вида D.18) для осесимметричного
пограничного слоя, которое можно, повторяя выкладки п. 3,
получить непосредственно из D.21).
Как мы видели, решение задач теории пограничного слоя
сводится к интегрированию при соответствующих граничных
условиях систем уравнений вида D.09) или D.19), в которых
основное уравнение является нелинейным. Практическая
важность задач теории пограничного слоя, с одной стороны, и
математические трудности, связанные с проблемой
непосредственного интегрирования уравнений движения с другой,
породили большое число исследований, посвященных различного
рода приближённым методам решения задач теории
пограничного слоя. При этом все известные методы решения можно по
существу разделить на следующие три группы:
1) непосредственное интегрирование полных уравнений
движения путём применения тех или иных численных методов;
2) построение приближённых решений с помощью
интегральных соотношений;
3) интегрирование приближённых уравнений движения,
получаемых из полных путём частичного учёта инерционных
членов.
Ни объём, ни назначение настоящей книги не позволяют
нам уделить место рассмотрению всех известных методов рас-

К 11J ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЁТА 147
чёта пограничного слоя. Однако те из них, которые будут
рассмотрены ниже, дадут достаточно полное представление
о каждом из упомянутых трёх основных направлений
исследований в области теории ламинарного пограничного слоя и
о способах решения отдельных конкретных задач.
§ 11. Примеры численного расчёта пограничного слоя
с помощью полных уравнений движения.
1. Расчет пограничного слоя на плоской пластине.
Рассмотрим тонкую пластину ОА, обтекаемую потоком
маловязкой жидкости, текущим
параллельно оси Ох с
постоянной скоростью Un
(фиг. 26). Считая
движение установившимся,
произведём расчёт
пограничного слоя на пластине.
Рассмотрим решение, фиг_ 26.
получающееся путём
непосредственного интегрирования уравнений D.09),
предложенное Блазнусом'). Полагая, что жидкость прилипает к
пластинке, и считая, что скорость в пограничном слое переходит
в скорость внешнего потока асимптотически, примем
следующие граничные условия:
при у = 0 vx = vy = 0; при,v = oo vx = U0. D.27)
Последнее из условий D.27) означает, что мы уравнения
D.09), справедливые лишь внутри пограничного слоя,
фактически распространяем на всю область течения. В случае
обтекания пластины это оказывается вполне оправданным.
Действительно, уравнения D.09) отличаются от уравнений D.04),
справедливых в случае обтекания пластины во всей области
течения, лишь тем, что в первом из них отброшен один из
членов, зависящих от вязкости. Но во внешнем потоке влияние
вязкости столь ничтожно, что им можно вообще пренебречь.
') Н. Blasius, Zeitschr. fiir Math, und Phys., т. 56, 1908.
Излагаемый ниже метод интегрирования был предложен Тепфером
(Topfer, Zeitschr. fur Math, und Phys., т. 60, 1912).
10*

148 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Что же касается распределения, давления, то, так как здесь
U= const, оно будет постоянным во всём внешнем потоке.
Заметим, однако, что условиями D.27) пользуются и в тех
задачах, где рассматривается обтекание криволинейного
контура. При этом, очевидно, последнее из названных условий
будет носить приближённый характер, потому что, как видно
из D.11), в этом случае, если положить о—► ос , нельзя считать,
что давление на обтекаемом контуре равно давлению на
внешней границе слоя. Фактически в D.27) вместо _у = оо
следовало бы полагать j/=_)'i. считая, что^>,—ордината точек, где
практически имеетместо чисто потенциальный поток. Только
быстрое приближение v к её асимптотическому значению U позволяет
нам здесь приближённо полагать у=оо вместо y=yv
Вернёмся теперь к рассматриваемой задаче. Введём
функцию тока <Ь, полагая
— дА — _ ^L
При этом одновременно будет удовлетворено уравнение D.09').
Из сделанные ранее оценок следует, что в пограничном
/ v v
слое у имеет порядок 1/ -j-r. Можно поэтому предположить,
что в рассматриваемом случае (U = const) v будет функцией
одного только безразмерного параметра
*=> /§■
Последующие расчёты покажут, что это действительно так.
Тогда, так как ~= 1/ — , то, чтобы было vx = и0Ф (rj),
следует положить
При этом будет:
*'v = tV>i), ^ = 1 /^hAr,)-/^)], D.28)
где штрих означает производную по rj.
Подставляя эти значения в уравнение D.09) и замечая,
что в данном случае U = сУ0 = const, найдём после несложных
преобразований:
//»+2/'" = 0. D.29)
ф = ]Л £/„*/( г,).

S 11] ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЁТА 149
Таким образом, задача сводится к интегрированию
обыкновенного дифференциального уравнения третьего порядка,
решение которого должно удовлетворять вытекающим из D.27)
и D.28) условиям:
при 7j = 0 /=/' = 0, при 7j = oo /'=1.
Искомое решение можно представить рядом, которому для
удобства последующих расчётов, придадим вид:
/(Ч)=Й^ + ^г,» + ^гИ+...
3!
D.30)
Легко видеть, что условия при tj = 0 здесь уже
удовлетворены. Из входящих в D.30) коэффициентов а3=/'@)
является подлежащей определению постоянной интегрирования,
а А3, Ait .,. должны быть подобраны так, чтобы
уравнение D.09) удовлетворялось при любом г]. Для определения
соответствующих значений А3, Л4, . .. подставляем ряд D.30)
в уравнение D.29) и приравниваем суммы коэффициентов при
одинаковых степенях tj нулю. Найденные таким путём значения
Ао, А,
У(Ч) = а
..вносим в D.30) и получаем:
— t rif \£
2!
far,J
, 27897
. 16-141 ИI*--•
где *- = щ. Отсюда находим:
Г(г{) = а?Г(%).
Численный расчёт позволяет убедиться, что при tj
стремится к предельному значению
/="(оо) = 2,0854.
375 . ,п ,
■ооГ(ц)
Тогда, замечая, что по последнему из граничных условий
Г (ос) = 1, будем иметь:
а- =
2,0854'
откуда
/"@) = а3 = 0,332.
Таким образом, решение задачи доводится до конца.

150 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Так как вся теория пограничного слоя относится к большим
числам R, а в нашем случае R = —, то полученные
результаты не будут годиться для малых х, т. е. для переднего
края пластины.
Произведя соответствующие расчёты, можно найти для
v
величины /'(Т|) = ту значения, приведённые в таблице II ')■
т>
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
0,0000
0,0664
0,1328
0,1989
0,2647
0,3298
0,3938
0,4563
Ч
1,6
1,8
2,0
о о
2,4
2,6
2,8
3,0
Лч) = £
0,5168
0,5748
0,6298
0,6813
0,7290
0,7725
0,8115
0,8460
Ч
3,2
3,4
3.6
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
™=й
0,8761
0,9018
0,9233
0,9411
0,9555
0,9670
0,9759
0,9827
Таблица II
Ч
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
5,8
6,0
(
0,9878
0,9915
0,9942
0,9962
0,9975
0,9984
0,9990
Полученное решение позволяет определить напряжение силы
трения на пластине:
^ л/иАг\
У чх
/"@).
Подставляя сюда найденное численное значение /" @),
будем иметь:
г0 = 0,332 1/^]^?.
D.31)
Полная- сила сопротивпенпя на участке пластины длиною /
и шириною Ь, если учесть, что она омывается потоком с двух
сторон, будат:
F=2b \Tl)dx=A,32Sb-yf^lUi
'о
') Прицеленные в таблице численные значения /' (ц) взяты из
цитированной на стр.21 книги «Совр. сост. гндроаэродин. вязк.
жидкости», т. I.

§ 11] ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЁТА 151
Оценим теперь «толщину» пограничного слоя. Численный
расчёт по формуле D.16) даёт в данном случае:
«*=1,73/**.
Если считать верхней границей пограничного слоя то расстояние
от стенки, на котором vx — 0,99 U0, то тогда, как видно из
таблицы II, можно приближённо положить 8 = 35* или
Полученная величина 5 носит, конечно, условный характер.
Поэтому при сравнении точности тех или иных методов
v.
./
v~
• у(
^
V V-
г
о I г з 4 5 бт)
Фиг. 27.
расчёта как между собой, так и с экспериментом следует
оценивать или непосредственно закон распределения скоростей или
величину т. Профиль скоростей в пограничном слое по
данным таблицы II изображён на фиг. 27. Результаты
приведённого здесь теоретического расчёта довольно хорошо
подтверждаются экспериментом. (Экспериментальные данные для
сечений пограничного слоя, достаточно удалённых от
переднего края пластины, показаны на фиг. 27 точками.) Некоторое

152 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
расхождение имеет место лишь при малых значениях л-'. Оно
объясняется, во-первых, влиянием на данные опыта переднего
края пластинки, которое имеет место во время эксперимента,
и, во-вторых, тем, что теоретическое решение для этих
значений х является, как указывалось, менее точным.
2. Приближённый численный расчёт пограничного
слоя на плоском криволинейном контуре. Рассмотрим
симметричный контур, обтекаемый установившимся потоком
маловязкой жидкости, скорость которого на бесконечности
параллельна оси симметрии контура. Для расчёта пограничного
слоя на контуре воспользуемся приближённым методом
интегрирования уравнения D.09), предложенным в своё время Блазиу-
сом (см. вышецит. работу), а затем уточнённым Хоуэрзо.м1).
Предположим, что скорость на внешней границе
пограничного слоя может быть представлена сходящимся рядом:
U=. алх + asx3 -f аъх'° + • • • . D.32)
где х — расстояние, отсчитываемое вдоль контура от передней
критической точки, ах, а3, аъ, ... — заданные постоянные
размерные коэффициенты, зависящие от формы обтекаемого
контура; чётные степени х в D.32) отсутствуют вследствие
симметрии течения. В дальнейшем ограничимся предположением,
что U задано многочленом пятой степени, так как именно
в этом случае соответствующие вычисления можно довести
до конца с помощью затабулированных Хоуэрзом функций2).
Тогда для входящего в правую часть D.09) выражения UU'
получим:
UW = а\х-\- 4й|«3л'3 -|- 6ага6х5 -(- За§ л-5 -(-•••
Перейдём от у к безразмерной координате
'.= }/*>
и введём, как прежде, функцию тока <I) = (.v, rj), такую, что
* У v On ' У ах
Имея в виду получить решение, которым можно воспользоваться
для расчёта слоя на любом обтекаемом контуре, предположим,
1) L. Н о w a r t h, ARC Rep. and Mem., № 1632, 1935.
2) В решении Блазиуса были сохранены только первые два члена
разложения D.32).

К 11] ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЁТА 153
исходя из вида разложения UU', что искомая -функция 6
может быть представлена в виде ряда
6 = л/~ [Л (ai л:) + 4/з («1«з^3) + 6^5 (а^д:3) +
+ 6Л5(а5 Л)+...], D.33)
где коэффициенты fu /3, £5, Л5 — функции только г] и, как
легко убедиться, величины безразмерные.
Подставляя найденное значение UU' и функцию ф в
уравнение D.09) и требуя, чтобы оно удовлетворялось во всех
точках и для любого обтекаемого контура, т. е. при любых
х и а,-, приравняем Друг другу коэффициенты при одинаковых
afljXi+S~l в обеих частях равенства. Тогда для определения
/j,/3, g-0, h-o получим следующую систему уравнений:
4Л'/з— 3/;'/3 —/,/з = 1 + /з',
6/i As —5/lAB—/,Лй = 4 + Аз" —8 (/а—МП)
где штрихи означают производные по 7}.
Сохраним в рассматриваемом случае граничные условия
D.27). Тогда, выражая vK и v через ф и принимая во
внимание D.32), легко найдем, что должно быть:
при jj = 0 / = /i = /3 = /з = г£Г5 = ^5 = Л5 = /;,5 = 0,
при ?| = оо/|= 1, /з = -£, ^r5 = Y' ^ = 0,
так как мы требуем, чтобы условия D.27) выполнялись также
независимо от вида обтекаемого контура.
Система дифференциальных уравнений D.34) при данных
граничных условиях была численно проинтегрирована Хоуэр-
зом. Значения тех из вычисленных им функций, которые нужны
Для определения v% и напряжения трения на обтекаемом
контуре, даны в таблице III ').
') Более полные таблицы можно найти в вышецит. книгах:
Л. Г. Лойцянски й, «Аэродинамика пограничного слоя» (табл. I)
или «Совр. сост. гидроаэрод. вязк. жпдк.», т. 1 (табл. 4). В
последней таблице содержатся уточненные значения функций /ъ /j и /[.

154 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТьЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Таблица III
i
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
/i (I)
0,0000
0,2266
0,4145
0,5663
0,6859
0,7779
0,8467
0,8968
/з A)
0,000
0,125
0,213
0,269
0,300
0,313
0,313
0,307
/i'@)= 1,23258766
4<1)
0,00
0,11
0,18
0,22
0,24
0,24
0,24
0,23
/з'@) =
4<1>
0,00
0,01
0,01
0,00
—0,02
—0,03
—0,05
—0,05
= 0,7246
п /id)
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
0,9323
0,9568
0,9732
0,9839
0,9905
0,9946
0,9970
0,9984
/зA)
0,298
0,288
0,278
0,269
0,263
0,258
0,256
0,253
£5@) = 0,637
4(ч)
0,21
0,20
0,19
0,18
0,18
0,18
0,17
0,17
4@) =
4W
—0,05
—0,05
—0,04
—0,03
—0,03
—0,02
0,00
0,00
0,12
Таким образом, для выбранной степени приближения задача
оказывается решённой до конца. Из D.33) можем теперь
найти закон распределения скоростей в слое в виде:
vx= ^g=/i«,^ + 3/3V3 + 6(^«5-f A^)*5- D-35)
Напряжение силы трения на стенке равно:
Отсюда, дифференцируя D.35) по щ и заменяя значения
вторых производных при 7)^0 числами, приведёнными в конце
таблицы III, найдём:
т0 = ]/Vpax 1,23258766ai* + 2,8984 a3A-3 -f-
+ 3,822 eb-J-0,72-i*
<*i
. D.36)
Наконец, условие отрыва D.03) приводит к тому, что в точке
отрыва т0 = 0. Тогда из D.36) получим следующее уравнение
для определения координаты а- точки отрыва:
9
1,23258766 а,+ 2,8984 asx2s-\- f 3,822 aB-f 0,72^) х\ = 0.
D.37*

§ И] ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЁТА '55
Полная величина силы сопротивления трения будет равна:
хл
F— 2 \ т0 cos 0 dx,
о
где 9 — угол между касательной к обтекаемому контуру и
направлением скорости в бесконечности.
Если течение безотрывно, то интеграл будет
распространён на всю длину обтекаемого контура.
Заметим, что аналогичным путём можно произвести
приближённый расчёт пограничного слоя и на несимметричном
контуре. При этом, конечно, в выражения D.32) и D.33)
будут входить все степени координаты х. Формулы,
аналогичные D.35) и D.36), определяющие в данном случае vx и т0,
а также таблицы соответствующих функций можно найти в
книгах, цитированных на стр.153.
Рассмотрим в качестве примера расчёт пограничного слоя
на круглом цилиндре. В данном случае нельзя воспользоваться
выражением U, которое получается при безотрывном обтекании
цилиндра потенциальным потоком, так как наличие отрыва
значительно изменяет распределение скоростей. Поэтому мы
обратимся к закону распределения скоростей во внешнем потоке,
найденному экспериментально. Соответствующие измерения
были произведены Хнменцем '), определившим закон
распределения давлений на цилиндре радиуса 4,87 см при обтекании
его потоком воды(у = 0,01 см2/сек), набегавшем со скоростью
19,2 см\сек. Последующий расчёт по уравнению Бернулли
дал для участка 0^д:^8 следующий закон распределения
скоростей:
U=7,i5\ х— 0,04497 Xs —0,00033 л;5, D.38)
где х измерено в см, a U в см/сек.
Подставляя даваемые формулой D.38) значения аи а3 п аъ
в D.35), можем легко построить профили скоростей vx (у)
в любом данном сечении х = const. Наконец, из D.37) найдём
для координаты точки отрыва значение х^ = 6,97 см, что
соответствует центральному углу (pt = 82°, если отсчитывать
угол от передней критической точки. Этот результат хорошо
совпадает с данными опыта.
!) К. Hiemenz, Dingler's Polyt. Journ., т. 326, 1911.

156 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. Iv
Изложенный метод, приближённого решения уравнений D.09),
являясь достаточно общим и точным, обладает, однако, двумя
практическими недостатками. Во-первых, при его использовании
требуется задать U (х) в виде многочлена не выше 5-й степени,
что не всегда может быть сделано с достаточной степенью
точности; в частности, для тел, более удобообтекаемых, чем
цилиндр, потребуется по мере удаления от передней критической
точки учитывать всё большее число членов в разложении D.32),
что приведёт к необходимости численно интегрировать новые
уравнения вида D.34). Во-вторых, как и при всяком численном
методе, здесь сильно затруднён качественный анализ
получаемых результатов.
Первое из отмеченных обстоятельств делает метод
практически непригодным для расчёта пограничного слоя на
удобообтекаемых телах в области возрастания давлений, где
точность расчёта особенно существенна в связи с исследованием
вопроса об отрыве слоя.
3. Приближённый расчёт пограничного слоя в
области возрастания давления. При построении
приближённых методов расчёта пограничного слоя можно часто с успехом
пользоваться следующим допущением: распределение скоростей
(пли ускорений) в данном сечении пограничного слоя на
обтекаемом контуре совпадает с распределением скоростей
(ускорений) в сечении пограничного слоя на некотором
«эквивалентном» контуре, если только для обоих названных
сечений будут одинаковы скорость внешнего потока U и какая-
нибудь суммарная характеристика слоя, например 5, 5 * пли
Ъ**. Точность расчёта будет при этом зависеть от того,
в какой мере удачно выбран «эквивалентный» контур.
Указанное допущение по существу и использовано в приближённом
методе расчёта пограничного слоя для области возрастания
давления, предложенном Хоуэрзом'). В качестве исходного
рассматривается пограничный слой на каком-нибудь контуре,
для которого закон распределения скоростей во внешнем потоке
линеен и имеет вид:
ия = т0 - тлх (о < *<^) , D.39)
где пц и тх — некоторые заданные положительные постоянные
1) L. Н о w a r t h, Proc. oi the Royal Soc, ser. А, т. 1G4, № 919, 9183.

§ 11] ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЁТА 157
величины'). Для расчёта пограничного слоя в данном случае
«ведём новые безразмерные переменные:
£ = ^лг, ,=ll/^v D.40)
\\ будем искать функцию тока для течения в пограничном слое
в виде:
где ДG))— подлежащие определению функции от г].
Подставляя это выражение <Ь ц значение Их из D.39) в уравнение
D.09) и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях £,
получим систему уравнений, которая сложит для
определения Д:
/;"+/о/г"-2/;/;+з/о/,=-1.
где штрихи означают производные по г,.
Из D.27) найдём при этом для Д граничные условия:
при 1) = 0 Д = 0, Д = 0 (А = 0, 1, ...);
при г, = х> /(; = 2, /; = 1,/я'+2 = 0 (« = 0,1,...).
Первые семь из уравнений для Д были численно
проинтегрированы Хоуэрзом. При этом были затабулированы
значения функций /0, /,, . . ., /6 и их первых и вторых
производных2); для Д и Д были получены приближённые значения.
Имея значения Д, можем найти закон распределения
скоростей в слое из равенства:
°°
''— 2 1' «a^j —т2- <-8^ Ли)-
^ Мы вводим обозначение U„, чтобы отличить контур, для
которого имеет место этот линейный закон распределения скоростей, от
того контура, рассматриваемого в дальнейшем, для которого закон
изменения U произволен.
2) Таблицы этих функций можно найти в вышецит. книге
Л. Г. Лойцянского (табл. III).

158
УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Для определения координаты точки отрыва $ получает из
условия D.03) уравнение:
/о @) - 8S,/;' @) + (8=,)у: @) - ... = 0.
При наличии девяти членов этот ряд не обеспечивает
достаточной точности расчёта £,. Применяемые в этом случае
другие методы расчёта дают £^=0,120.
Заметим теперь, что по D.39) и D.40)
'л
я, следовательно,
£/ =/л0A — S),
ifл'
l-S'^f/;(* D.4»
fe=0
Таким образом, при каждом данном £ отношение rf будет
"л
функцией только i). Имея значения /^(rj), мы можем
вычислить таблицу значений -Л при разных £ от £ = 0, до $ = £,
(табл. IVI). Все другие характеристики пограничного слоя
могут быть также выражены как функции ИЛ, £/л = — пц и
параметра £. Тогда, если принять во внимание вытекающую
из D.40) зависимость: у = 2у —4-1]. т0 простыми под-
^л
счётами, используя формулы D.41), D.16) и D.17) можно,
будет убедиться, что безразмерные величины
Л ^Л
тл = цГ^
где т0 = ц(-т-г) , будут являться функциями однвго
только параметра £. Значения этих величин при разных ■£
могут быть также определены численно, если известны
функции /к. Результаты соответствующих подсчётов даны
!) Данные табл. IV позволяют пояснить смысл сделанного на
стр. 148 замечания о значении граничного условия при _у=оо. Так,
в данном случае граничное условие ПРИ 1 = °° п0 существу
означает, что речь идёт, например, о значениях при tj = 4,2, так как
искомые функции в интервале 4,2 < т) ==г те практически не
изменяются.

П]
ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА
15S
0,1200
0,П25'
0,1000
0,0875
0,0750
0,0625
0,0500
0,0375
0,0250
0,0125
о
/ ^
ООООЮСПГ-ООсОЬ-сОООГ-ГОСООЮ — С Ю 00 С О
о—< со оо *^ <м —«-««^осоюо^юоса-. сп ст. ст. о
о о о о -1 <м со 't ю '^ ь t-- оо сг- !ji en а: а л а ^ о
о о о~о ооооооооооо о о оосо
О Т LO С-1 ■"* Ю О t"- 1С СО -^ 00 ОС СО Г- <М — "-О ОО СИ О
о со со iO со см см см см — сп ю о ^ со оо си ст. сп сп о
О О О ~* С4! СО ^ lC '-О О I1-- ОС СП СП СЛ О) СИ СП СП СЛ О1
оооооооооооооооооооо—
о с-1 о iM ■* ^ со оо м ю •* n о о ос О4^ оо с; о
-ОЮ010СЛСПСПСПСП1^^СПСОСОС'--С10СП СГ. СП О |
оо~сМС1оо^ю;о^сеосспспсгэсисг;спсио J
ооооооооооооооооооо—
О СО '-О Г- t^ СМ СО СО СО СЧ О» 00 —■ СМ Ю CN t— СП О
ОСО^СОС*Э^^^*СО — t^--—'ЮГ^ООСПСПСИО , ,
oo^ci^^^^i^oococncncncncncncnо j \
ОООООООООООООООООО—•
OOOOOts-CNOiOCNOiOiTr,!t'-<O^CT;i-OCOcT>0
ОС^сОсО^ОООООС^^С^^сО^ООСПСИСИО , ,
о о •-« см оо *чг to со ь- оо оо сп сп ст> сп сп сп о4, о | |
ооооооооооо о^ооо о оо —
оспсосо^го^см^оосссп^счсоспо
о оо оо а-' о — —• — сп со —> ^г -.о оо ел сп сп о ■ , ,
о о *— см тр ю со г- t-~- оо ст. слеп сп сп си сп о j 1 |
оооосооооосоосооо-<
О^ЮГ-О--< Ю GO tO Г* СО *чГ Ю (-> гГГ^СП О
оспо^со^^со — t^c^i-ot^cc о спел о ■ , ,
О О СМ СО ^Г Ю СО L-- 00 ОС СП СП СП СП СП СИ СП О | j |
ооооооооооо о* о о" о о о —
ОООСМоО^^ОО-гГ—- "Т СМ СП О Ю 00 СП О
оосмсоюог^ососнеосог---снспспспо , . ,
О — (М СО ^ ^ ^О Г- 00 00 СТ. СП СП СП СП СП СП О j J j
ооооооооооооооооо—
О ^- t^- 00 Г— О (М СП О -чг СЧ 1^ ГО — '-О> 00 СП О
о ~- со ю f- сп сп i> io о ^г со оо сп сп сп сп о . , ,
о *-« см со ч* ю со t> оо сп сп ст. ел сп сп сп сп о 1 j |
ооооооооооооооооо—
OiO^t^OO — — сО-гГ^СПСМ^ОСОГ^гОСПО
OCMiOt~-Cn—'-^СПсО'-'-^,1^00СПСПСПСПО i i ■
o^c^ico^cot^r-oocr.cncncncncncncoo | | j
ooooooooooooooooo—«
ОСОЮгГ^ОСПСМсОСОсОсООО^г'ООСПСНО
о*— смсою^г^стэооспслспспспспспсло j | ]
ooooooooooooooooo—
~*
1
1
1
1
1
1
1
1
i
1
MrfcCXOCWtDCOOC-WCOOOOiM^CDOOOC-l
oooo — — —■—-—•смосмо^мсогогогого4*^

160 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Таблица V
5
0,0000
0,0125
0,0250
0,0375
0,0500
0,0625
0,0750
0,0875
0,1000
0,1125
0,1200
V -' '
P?f/, U.,
со
2,773
1,817
1,360
1,064
0,843
0,663
0,503
0,345
0,184
0,000
l/-S*
V
0,000
0,199
0,292
0,371
0,447
0,523
0,603
0,691
0,794
0,931
1,110
1= у а-*
0,000
0,076
0,110
0,137
0,162
0,186
0,209
0,231
0,254
0,276
0,290
х'
со
3,16
2,39
2,08
1,93
1,85
1,82
1,81
1,83
1,88
1,92
У//'
0,000
0;024
0,046
0,066
0,084
0,100
0,115
0,128
0,139
0,147
0,151
в таблице V, где, кроме того, приведены значения у' и ~ ,
которые нам понадобятся в дальнейшем.
Таблицы IV и V содержат все данные, необходимые для
приближённого расчёта пограничного слоя в области
возрастания давлений на любом обтекаемом контуре, если принять
за «эквивалентный» контур (см. допущение, высказанное на
стр. 156) тот, для которого имеет место закон распределения
скоростей D.39). Перейдём к этому расчёту.
Рассмотрим произвольный контур, обтекаемый маловязкой
жидкостью, для которого в области повышения давления
скорость на внешней границе пограничного слоя убывает по
любому заданному нам закону:
U=U(x).
Допустим, что в любом сечении пограничного слоя на
данном контуре, определяемом координатой х, имеет место
такое же распределение скоростей, как и в том сечении слоя на
'эквивалентном* контуре,для которого будет С/л = U, £/л = U и
о'л* = 3**. Так как все характеристики течения на
«эквивалентном? контуре при заданных Un и LA, являются функциями
одного только параметра £, то задача сводится к определению

§ 11] ПРИМЕРЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЁТА 161
при данном х того значения S, для которого будет 8*"' = о**.
Для этого воспользуемся тем, что 3** должно удовлетворять
уравнению D.18)'). Полагая в этом уравнении, согласно
нашему допущению:
получим после несложных преобразований:
, r d\ U" |
= 0,
| К ( о-, 4- 1 /_ U' Г* l/~ т° )
где, как всегда, штрихи при с7 означают производные по х.
Это уравнение и служит для определения искомого значения S.
Его можно упростить, если принять во внимание, что оно
будет справедливо и для «эквивалентного» контура, т. е.
для U и х, определяемых из D.39) и D.40), так как
уравнение D.18) должно удовлетворяться и в этом случае. Но из
D.39) и D.40) следует, что
ил = т0(\— 5), U'a = — mlt £/," = 0,
d\ m, U'3 ^
dx ;»„ и л
Подставляя эти данные в предыдущее равенство, будем
иметь:
Z^)(l-£) = 2Z(;)+|/^;8;-|/=^
Учитывая теперь, что по сделанным нами допущениям будет:
и=ия, 8* = 5Л и т0 = Тол, найдём окончательно следующее
уравнение для определения значения i по заданному на
обтекаемом профиле х:
A1 £/"(.*) у (?) U'(x)
dx 2U'(x) ■/.'<£) U(x)
A—3). D.42)
J) См. вышецитированную книгу Н. Е. Кочина, И. А. Кибеля и
Н. В. Розе, т. II, 1948, стр. 489.
11
С М. Тарг

162 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
При этом стоящие в правой части U, U' и U" являются
у
заданными функциями х, а —, является известной из табли-
X
цы V функцией от £. Следовательно, уравнение D.42) можно
в каждом конкретном случае интегрировать численно или
графически, если только известно какое-нибудь начальное
значение £.
Рассматриваемый метод относится только к зоне
возрастания давления. Расчёт пограничного слоя до какой-нибудь
точки аг0, уже лежащей в зоне возрастания давления, должен
быть произведён другим методом, например тем, который
рассмотрен в п. 2, или одним из тех, которые будут изложены
ниже. Из этого предварительного решения должно быть
определено 3!* в сечении х0. По значению 5** мы найдём у0
и из таблицы V соответствующее £0. Таким образом, будет
установлено начальное условие £ = $0 при х = х0,
необходимое для интегрирования уравнения D.42).
Если в частном случае за начальную точку х0 взять точку
минимума давления, где £/' = 0, то тогда, как видно из
таблицы V, при х = ха будет Хо = 0 и £0 = 0. Но при этом
точка х = х0 будет являться для уравнения D.42) особой
точкой, через которую проходит целое семейство
интегральных кривых. Для определения искомого решения необходимо
будет знать дополнительно направление касательной к
соответствующей интегральной кривой в точке х0, т. е. ( ~ )
V ах / х=х0
Пользуясь численным значением /q@), можно показать, что,
если с, мало, то "/ (I) = 0,664 ]/£ =ау£'. Тогда будет:
ia**(*o)F = - lim -V/2(S)
откуда
(d\ \ 2,269 U"(x0)
dx
[8** (*„)]*.
■x0
Это дополнительное условие вместе с условием £ = 0 при
х = х0 позволяет интегрировать уравнение D.42) и в том
случае, когда начальное сечение проходит через точку
минимума давления. В результате интегрирования D.42) устана-

§ 12] ПРИБЛИЖЁННЫЙ РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГР. СООТН. 163
вливается искомая зависимость с. от х. Зная теперь для
каждого х~^>х0 соответствующее значение S, мы из таблицы V
найдём величины т0 и £*, а из таблицы IV зависимость vx{r^)
для данного 3. Принимая затем во внимание отмеченное выше
соотношение:
1 ,/^ТГ'
r'=2V —-"•
получим окончательно закон распределения скоростей vx (у).
Найденные таким путём т0, о* и vx (у) и будут, но
сделанному нами допущению, давать значения этих величин в том
сечении обтекаемого контура, которое определяется
координатой х. Место отрыва будет определяться при этом тем
значением xt, для которого S = 0,120.
Изложенный метод был применён для определения места
отрыва при обтекании эллиптического цилиндра с
отношением полуосей 2,96:1. Закон распределения давлений и место
отрыва на указанном цилиндре были найдены
экспериментально Шубауэром '). Расчёты, произведённые Хоуэрзом, дали
для точки отрыва значение xs= 1,925, что довольно близко
подходит к экспериментальному значению л:г=1,99.
§ 12. Приближённый расчёт пограничного слоя
с помощью интегральных соотношений.
1. Приближённый расчёт пограничного слоя на
плоской пластине. Методы расчёта пограничного слоя,
примеры которых рассмотрены в предыдущем параграфе,
связаны с довольно большими и сложными вычислениями.
Несколько более простое, хотя не всегда достаточно точное
решение даёт метод, основанный на использовании вместо
полных уравнений движения соответствующих интегральных
соотношений. Идея метода состоит в том, что мы наперёд
задаёмся видом профиля скоростей в пограничном слое,
подбирая его так, чтобы он удовлетворял соответствующим
граничным условиям и одному или нескольким интегральным
соотношениям. Произвол в выборе профиля скоростей
представляет одно из слабых мест метода. Точность решения
зависит в конечном счёте от того, насколько удачно будет
') G. Schubauer, NACA Rep. № 527, 1935.
11*

164 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
выбран профиль скоростей и в какой мере верно он будет
отражать истинное распределение скоростей в пограничном
слое.
Рассмотрим сначала приложение метода к простейшему
случаю обтекания пластины. Обозначим, как прежде,
скорость набегающего на пластину потока U0 (c/0 = const), a
толщину пограничного слоя 5, где 5—подлежащая
определению функция от х. Предположим, что профиль скоростей
в пограничном слое может быть представлен многочленом
vx=U0 2 Aky\
где Ak (х) должны быть подобраны так, чтобы были
удовлетворены соответствующие граничные условия. Условия эти
могут быть заданы в таком виде:
прп.у = 0*х = 0, 0 = 0, ^ = 0; D.43)
npny = bvx=U0, d-^ = 0, gf = 0, ... D.43')
При этом второе из условий D.43) даётся уравнением D.09),
если заметить, что при _у = 0 vy = vx = 0 и что в нашем
случае [f — Q, а третье из этих условий получится также
из D.0)), если это уравнение предварительно
продифференцировать по у. В условиях же D.43') первые два означают,
чго на внешней границе слоя скорость полагается равной
скорости внешнего потока, а трение отсутствующим;
последующие условия вводят иногда как требование того, чтобы
переход к скорости внешнего потока был более плавным.
Для уяснения хода расчёта рассмотрим, например, случай,
когда
vx = Ао + А\У + АгУ2 + АзУ3-
Используя первые два из условий D.43) и первые же два из
D.43'), определим значения Ak и найдём:

§ 12J ПРИБЛИЖЁННЫЙ РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГР. СООТН. 165
Выражение vx принимает при этом вид: wv= с70/G)), где
Г; = -ч-, что, впрочем, можно было предвидеть и заранее.
Напряжение силы трения на пластинке будет тогда равно:
-ЪЛ .. 3 Ua
Чтобы довести решение до конца, остаётся определить
Z(x). Для этого подставим найденное значение vx в
интегральное соотношение D.14)'). Замечая, что
о
придём к уравнению
[ v\dy = ^ U\b, j vxdy = j ийЪ
М dx~ 13 £/„'
Отсюда, полагая при л; = 0 5 = 0, найдём:
8 = 4,64 j/^ и т0 = 0,3231/^.
Таким образом, задача оказывается решённой до конца-
Совершенно аналогично производятся соответствующие рас
четы и при других видах зависимости vx от 7]=^-. К. Поль-
гаузен 2), впервые проделавший такого рода вычисления,
представлял vx в виде многочленов первой, второй, третьей и
четвёртой степени от ц\ в последнем случае было
дополнительно использовано третье из условий D.43'). Проф.
Л. Г. Лойцянский3) рассмотрел случай многочлена шестой
степени, используя при этом все три условия D.43) и четыре
условия D.43'). Проф. Л. А. Космодемьянский4) в своих рас-
х) Вместо D.14) можно взять любое другое из соотношений
D.13). Соотношение D.14) является наиболее простым по форме и
даёт при расчёте достаточную точность.
2) К. Pohlhausen, Zeitschr. fur ang. Math, und Mech., т. I,
1921. s
*) См. вышецит. книгу Л. Г. Лойцянского, стр. 86.
4) А. А. Космодемьянский, Учёные записки МГУ, № 2,

166 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
четах исходил из представления vx в виде: vx= U0 sin I -£ 7j J
Опуская выкладки, которые читатель легко воспроизведёт
сам, приводим сводку соответствующих результатов в
таблице VI.
Последняя строка таблицы VI даёт величину
относительной погрешности в определении т0 по сравнению с решением,
даваемым формулой D.31). Как видим, в последних четырёх
случаях точность приближённого решения оказывается
вполне удовлетворительной, особенно в случаях 5 и 6. Что
касается значения 5, то оно сильно зависит от вида /(г().
Условный характер этой величины не позволяет определять с
её помо:цью точность решения; величину 5 здесь
следует рассматривать скорее как параметр, с помощью
которого определяются все другие характеристики пограничного
слоя.
Как уже отмечалось, вместо D.14) можно пользоваться
другими интегральными соотношениями, или несколькими из
них одновременно. В частности, беря f (г\) в виде
/(rj) = l—A—г,K —ат] A—г,)»
и удовлетворяя одновременно соотношениям D.14) и D.15),
легко найти для параметра а и величин о и т0 значения:
а= 1,143, 5 = 5,6031/ ^- и т0 = 0,3314
Последний результат почти совпадает с точным решением.
2. Приближённый расчёт пограничного слоя на
плоском криволинейном контуре. Рассматривая задачу об
обтекании произвольного контура маловязкой жидкостью,
будем, как прежде, считать скорость течения на внешней
границе слоя U(x) заданной. Введём для сокращения
последующих записей обозначения:
4 = 7-. СМ = Т' Ч*) = с/'(л;)^ =£/',' D.45)
и положим, что и в данном случае распределение скоростей
в слое имеет вид:
Vf4-

§ 12J ПРИБЛИЖЁННЫЙ РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ННТЕГР. СООТН. 167
<£>
ю
-1-
со
С<
-
1
р
с
1
+
1
+
1
1-
1
со |сч
1
p-
ф
I!
2
4,79
о
CO
00
1"
о
00
Ю
CO
iA
0,328
55
CO
CO
CO
о
CO
CJ
о
аз
то
о*
ел
00
С1
V
Й-
C
5
1
1
1
с:
ГО
+
1
О
+
т

1G3 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV.
Граничные условия, используемые для определения /(г,),
будут:
при Ч=0 /=0, Г = -\, Г = 0, \
при »] = 1 /=1, /' = 0, /" = 0, |
где штрихи означают производные по г). Условия D.46)
вытекают из D.43) и D.43'); при этом принято во внимание,
что в данном случае U'=^0, вследствие чего уравнение
D.09) при Yj = 0 даёт /" = —\.
Рассмотрим решение, основанное на представлении /Ц)
в виде многочлена, причём остановимся, как это было
сделано К. Польгаузеном, на многочлене четвёртой степени.
Удовлетворяя тогда первым двум из условий D.46) на стенке
и трём — на внешней границе, получим:
vv = U { —jp- г, — т f .— f -\ jr- r,* J. D.47)
Подставляя это значение vK в интегральное соотношение
D.14), придём после несложных расчётов к следующему
дифференциальному уравнению первого порядка:
*! = ?")+ "lf Ы, D.48)
dx U ' UriJ
где
... 0,8(9072— 1670,4), -4- 47,4J -4- Щ
/W:
A2 — \) A7,76 + 4
0,8 D,8J л__)Я)
D.48')
2-/.) A7,76-И)' '
Уравнение D.48), которое служит для определения £, а
следовательно, и 5, является нелинейным. Для каждого
данного обтекаемого контура, т. е. для данного U (х), это
уравнение должно быть проинтегрировано тем пли иным
графическим или численным методом. Это обстоятельство в значительной
мере усложняет расчёт и снижает практическую ценность метода.
Для интегрирования D.48) необходимо иметь какое-нибудь
начальное значение £. Примем за начало отсчёта расстояний л-
переднюю критическую точку. Тогда при х = 0 будет U=Q
и U'^>0. Так как из физических соображений следует,
что 5', а значит ", и нигде не должны обращаться в
бесконечность, то из D.48) вытекает, что должно быть gr(X0) = 0,

§ 12] ПРИБЛИЖЁННЫЙ РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГР. СООТН. 169
где Х0— значение X при л- —0. Решая соответствующее
кубическое уравнение, найдём, что его корни будут: 7,052;
17,75 и —70. Последний корень не годится, поскольку он
даёт при х = 0 W <^ 0, что находится в противоречии
с условием, указанным выше. Если допустить, что Х0= 17,75,
то тогда при перемещении от х = 0 до точки минимума
давления, где W = 0 н, следовательно, X = 0, мы пройдём через
значение Х=12, при котором, как видно пз D.48'), будет
£' = со, а это по предыдущему невозможно. Следовательно,
необходимо принять:
7 О У
при л-=0 Х0 = 7,052 ила чо^тТ^б)-
При этом правая часть D.48) в точке л' = 0 обращается
в неопределённость, раскрывая которую, найдем
дополнительно
при х = 0 "., — — о. 391 —-— .
U'-@)
Имея указанные значения l0 и ц3 при л: = 0, можно
интегрировать уравнение D.48) графически или численно1).
Для определения места отрыва пограничного слоя,
используя условие D.03), найдём из D.47):
>., = -12.
Это значение в два с лишним раза превышает значение
Хч ==—5,4, полученное экспериментально в случае обтекания
эллиптического цилиндра.
К. Польгаузен проинтегрировал уравнение D.48)
графически для случая обтекания круглого цилиндра, применив,
метод изоклин; при этом выражение U (х) было взято в виде
D.38). Полученное им значение угла отрыва <р == 82°, хорошо
совпадает с экспериментальным. Это объясняется тем
обстоятельством, что в случае обтекания круглого цилиндра X
в области —4<^Х<^—12 растёт очень быстро и поэтому
значение х при Х = —12 мало отличается от значения,
1) Пример численного интегрирования уравнения D.48)
содержится в работе А. П. Мельникова «К теории пограничного слоя
крылат. Труды Ленингр. нн-та инж, гражд. возд. флота, № 12, 1937.
Другой пример численного интегрирования того же уравнения дан
в работе А. Н. Александрова (Жури, техпич. физики, т. VIII, вып. 22,..
1938).

170 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
например, при \ = — 5. Однако профили скоростей в области
возрастания давления особенно вблизи х„ полученные по
расчётам К. Польгаузена, значительно расходятся с теми,
которые дают более точные расчёты по методу, изложенному
в п. 2 §11.
В качестве второго примера К. Польгаузеном рассмотрена
задача о течении между двумя наклонёнными друг к другу
плоскими стенками (плоский диффузор или конфузор). Этот
случай интересен ещё и тем, что здесь уравнение D.48)
удаётся точно проинтегрировать до конца. Примгм точку О
за начало отсчёта расстояния х и обозначим расстояние ОА
от О до входного сечения через
гь (фиг. 28). Положим далее,
что во внешнем потоке имеет
место потенциальный закон
распределения скоростей
х '
соответствующий
расходящемуся течению (диффузор).
Подставляя это значение U
в D.48) и принимая во
внимание обозначения D.45), придём после несложных расчётов
к уравнению с разделяющимися переменными:
U-.
Фиг. 28.
2,5а-
dl_ ),8 -f 85,231= — 2275,2), + 18144
dx (i-h 17,76) (а—12)
Интегрируя это уравнение при условии 1 = 0 C=0), когда
х = г0, получим:
1 л: ,оп'3| 107,85 + ). , „ „no, , X2 — 22.65X +168,2
1п - = 1,89оЗ 1п 10/|8Т + 0,3025 In щ^
—-0,166 [arctgl,79 —arctg A,79— 0,1581/.)].
Для абсциссы точки отрыва, полагая >>s^—12, найдём
из предыдущего выражения значение:
л-,= 1,214г0 D.49)
или
£, = 0,214г0,
D.49')

§ 12] ПРИБЛИЖЁННЫЙ РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГР. СООТН. 171
где x^ = xs—г0 — расстояние точки отрыва от входного
сечения.
Аналогичным путём находится решение уравнения D.48) в
случае сходящегося течения (конфузор); при этом полагается
х
Течение в данном случае оказывается безотрывным, так
как ни при каком действительном х А не будет равно — 12.
Заметим, что в последнем случае полные уравнения
пограничного слоя D.09) могут быть точно так же проинтегрированы
до конца. При этом профиль скоростей в пограничном слое,
даваемый приближённым решением D.47), где Ь определено из
•D.48), хорошо совпадает с тем, который даёт точное решение ').
Из указанных примеров можно сделать вывод, что
рассмотренный метод даёт достаточно удовлетворительные результаты
для течений в области падения давления (конфузорная область).
Однако в области возрастания давления (дпффузорная область)
точность метода нельзя считать удовлетворительной. В
добавление к указанному выше отметим, что в случае обтекания
эллиптического цилиндра (см. стр. 163) условие \, = —12
приводит, в противоречии с экспериментом, к выводу, что
течение является вообще безотрывным.
Практически методом, применённым Польгаузеном, можно
пользоваться для расчёта пограничного слоя в области от
передней критической точки до точки минимума давления, применяя
в области возрастания давления какой-нибудь другой метод,
например метод, изложенный в п. 3 § 11. При этом все
конкретные расчёты, как уже отмечалось, усложняются тем
обстоятельством, что он» связаны с интегрированием
нелинейного уравнения D.48) и требуют в общем случае применения
достаточно громоздких графических или численных методов.
Уточнению методов расчёта, основанных на использовании
интегральных соотношений, и разработке новых приближённых
приёмов решения посвящены исследования многих советских
учёных.
Приближённый приём интегрирования уравнения D.48),
основанный на замене функций, входящих в правую часть
Ц См., например, вышецитированную книгу Л. Г. Лойцянского
«Аэродинамика пограничного слоя», стр. 181.

172 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
уравнения, некоторыми близкими к ним линейными
выражениями, разработал проф. К. К. Федяевскмй ').
Проф. А. А. Космодемьянский2) в своих расчётах,
удовлетворяя первым двум из условий D.46) при ?) = 0 и при
7j = l, принял в случае криволинейного профиля:
/(г,) =[1+^A-4)*] sin у г,
При этом для определения С получается уравнение,
совпадающее по виду с D.48), но в котором функции /(к) и g(\)
содержат несколько иные численные коэффициенты. Место
отрыва определяется условием Хг =—2тг, довольно близким
к экспериментальному.
Для решения уравнения D.48) А. А. Космодемьянский
пользуется методом последовательных приближений, принимая
за первое приближение значение " в случае обтекания
пластины. Таким путём им были произведены расчёты
пограничного слоя на эллиптическом цилиндре и симметричном профиле —
руле Жуковского.
В оригинальном методе, предложенном проф. Л. Г. Лои-
цянским 3), зависимость /(!}) представляется в виде:
/0}) = 1+а, A—Ч)» +аг0—4)"+,+*s(l—Ч>"+3,
где коэффициенты аъ а2 и as определяются из условий D.46)
при Tj = 0. Показатель степени п рассматривается при этом
как функция X. Путём использования решений уравнений
пограничного слоя в случае, когда U имеет вид D.50),
устанавливается, что приближённо будет я = 4- —(■- 0,15X.
Для дальнейшего расчёта используется несколько
преобразованное уравнение D.48), в котором вместо X вводится
параметр /=t/'5**2/v [см. приведённое ниже уравнение D.55)].
Более последовательно та же идея решения проведена в
излагаемой ниже совместной работе Н. Е. Кочина и Л. Г. Лой-
ця некого.
') К. К. Ф е д я е в с к и и, Техн. возд. флота, № 7—8,1939. В
журнале дана краткая аннотация доклада, сделанного на конференции по
физической аэродинамике в ЦАГИ.
2) А. А. Космодемьянский. К теории лобового
сопротивления. Труды ЦАГИ, вып. 215, 1935.
3) Л. Г. Л о и ц я н с к и и, Докл. Акад. наук СССР, т. XXXV, № 8,
1942.

•§ 12J ПРИБЛИЖЁННЫЙ РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ГШТЕГР. СООТН. 173
3. Метод Кочина-Лойцянского. Метод приближённого
расчёта пограничного слоя, предложенный акад. Н. Е. Кочнным
и проф. Л. Г. Лойцянскнм '), основан также на использовании
интегральных соотношений. Отличие его от изложенных выше
состоит в способе выбора вида зависимости vt{x, у) в
пограничном слое.
Если рассмотреть пограничный слой на контуре, для которого
закон распределения скоростей во внешнем потоке имеет вид:
U(x) — cxm, D.50)
то распределение скоростей в этом пограничном слое будет
даваться формулой
vx(x,y) = U(x)<P'(y,$), D.51)
где
При этом в D.51) штрих при Ф означает производную
/\
по у, a U дается формулой D.50).
/\
Функция Ф(у, Р) для различных значений безразмерного
параметра ft была определена Хартри3) путём численного
интегрирования уравнения D.09) при граничных условиях
D.27).
Идея метода Кочина-Лойцянского состоит в том, чтобы в
случае обтекания произвольного контура искать v (х, у) в
пограничном слое также в виде D.51), полагая теперь, что в
{4,52) U есть любая функция от х. При этом параметр ji
считается в свою очередь некоторой функцией от А",
подбираемой так, чтобы выражение D.51) удовлетворяло интегральному
соотношению D.18).
На основании формул D.16) и D.51) имеем:
ее се
о о
Интеграл, стоящий в правой части полученного равенства,
можно вычислить, пользуясь значением Ф [у, J3), найденным Хар-
*) Н. Е. К о ч и н и Л. Г. Л о и ц я и с к и и, Докл. Акад. наук
СССР, т. XXXVI, № 9, 1.942.
") D. R. H a r t r e e, Proc. Cambr. Phil. Soc, т. 33, 1937.

174 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
три; при этом указанный интеграл будет функцией только
параметра jj. Таким образом, найдём:
3*=}/^/1(р), D.53)
где А($) — определённая функция ?,, значения которой даны
в таблице VII. Аналогично из D.17) найдём, что
. /\
где штрихи при Ф означают производные по у. Значения
/\
Ф"@,[5), вычисляемые по данным Ф(у, $), также приведены
в таблице VII.
Подставляя найденные значения 5*, 5** и т0 в D.18),
придём окончательно к уравнению
df U" , , U' „ ,. ,~^
Tx=wf+aF> <4-00>
где
/(?) = f,B\ FQ) = 2ВФ" (О, Р) — 2? АВ — 4/
известные функции от J3, значения которых также даны в
таблице VII.
Уравнение D.55) и служит для определения искомой
зависимости р (х). Для его интегрирования Кочпн п Лойцянский
предложили следующий приближённый приём. Из таблицы VII
видно, что зависимость F от / близка к линейной и может
быть представлена в виде:
F=a — bf-\-s(f).
Если выбрать
а = 0,45, £ = 5,35,
то простой подсчёт по данным таблицы VII даёт, что на всём
интервале изменения F, представленном в таблице, будет
Is (/) | «С 0,03 а. Тогда, пренебрегая в первом приближении
величиной а (/) по сравнению с а, заменим D.55) уравнением
df U" , , W , .,. , -„v

§ 12] ПРИБЛИЖЁННЫЙ РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ННТЕГР. СООТН. 175
Таблица VII
?
— 0,1938
— 0,19
— 0,18
— 0,16
— 0,14
— 0,10
0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
0,80
1,00
1,20
1.60
2,00
Ф"@, ?)
0,000
0,086
0,1285
0,1905
0,2395
0,3191
0,4Ь96
0,5870
0,6869
0,7748
0,8542
0,9277
0,996
1,120
1,2326
1,336
1,521
1,687
Аф
2,359
2,007
1,871
1,708
1,597
1,444
1,217
1,080
0,984
0,911
0,853
0,804
0,764
0,699
0,648
0,607
0,544
0,498
/(?)
—0.06S1
— 0,0632
— 0,0580
— 0,0488
— 0,0406
— 0,0266
0,0000
0,0190
0,0333
0,0446
0,0538
0,0613
0,0677
0,0778
0,0854
0,0914
0,1002
0,1069
/="(?)
0,821
0,792
0,760
0,708
0,661
0,584
0,441
0,341
0,266
0,208
0,161
0,123
0,090
0,039
0,000
— 0.030
— 0,075
-0,107
Интегрируя это линейное уравнение, найдём в первом
приближении:
X
fx=a^[u»-4x, D.57)
где с — постоянная интегрирования, определяемая из условия,
что / имеет данное значение при л: = 0. Вели, например, при
х = 0 £* = 0, то из D.53) следует, что одновременно будет
и [2 = 0. Тогда, как видно из таблицы VII, при х = 0 должно
быть /=0, что даёт с = 0.
Для получения второго приближения следует по
найденному /j (x) определить из таблицы VII значения г(/\) (в работе
Н. Е. Кочина и Л. Г. Лойцянского зависимость е (/)
представлена отдельной таблицей) и заменить затем а а D.56)
величиной a-\-z(fr). Однако практически оказывается достаточным
пользоваться значением /,, даваемым формулой D.57).
Определив из D.57) / как функцию х, мы по таблице VII
найдём для каждого /, соответствующего данному лг, значения
р, Ф"@, 0) и Л(р), а затем, по формулам D.54) и D.53) т,

1/6 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
и 5*. Таким образом, задача будет решена. Закон
распределения скоростей в слое можно при этом найти по формуле
D.51) и значениям функции Ф(у, $), вычисленным Хартри.
Для точки отрыва будем на основании D.03) иметь т0 = 0 или
■ф" @, ji) = 0, что, как видно из таблицы VII, приводит к
условию отрыва: fs= —0,0681.
В заключение рассмотрим пример, данный в п. 3 § 11.
Пусть
U = in0 — /я,л- = /и0A —I).
Тогда из D.57), полагая, что при х = 0 £* = 0, т. е.
/ —0, будем иметь:
А'
, —0,4.5 тл С . ., ,, ,
о
= —0,0841 [A—£)-Б,зл—1]. D.58)
Отсюда для точки отрыва, полагая /9 = —0,0681,
находим £г=ь:0,105 вместо точного решения ^ = 0,120. Второе
приближение даёт значение £г^ 0,106, совпадающее с
результатом решения полного уравнения D.55). Этот подсчёт
показывает, что практически достаточно пользоваться первым
приближением D.57).
Подсчитаем ещё напряжение трения при S ^= 0,05. Из D.58)
и таблицы VII найдём приближённо для безразмерной величины
1/ —гг,-ft значение 1,01 вместо даваемой точным решением
t v?U' U
(табл. V на стр. 160) величины 1,064. Погрешность составляет
около 5°/0; она будет убывать для меньших значений £ и
возрастать по мере приближения к точке отрыва. Для
определения трения при малых значениях £ следует иметь таблицу
VII с меньшим шагом в области, близкой к {5 = 0.
4. Приближённый расчёт пограничного слоя на теле
вращения. Метод расчёта пограничного слоя на плоском
криволинейном контуре, изложенный в п. 2, может быть
полностью распространён на случай обтекания тела вращения
потоком, направленным вдоль оси.
Введём опять обозначения D.45), причём зтесь х и у—
координаты, выбранные в каком-нибудь меридиональном
сечении так, как это указано на фиг. 25. Представляя, как в

§12] ПРИБЛИЖЁННЫЙ РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ННТЕГР. СООТН. 177
п. 2 /(j)) в виде многочлена четвёртой степени и
удовлетворяя соответствующим граничным условиям, сохраняющим вид
D.46), найдём выражение vx в виде D.47). Подставляя это
значение vv в интегральное соотношение D.22), получим для
определения £ уравнение
отличающееся от D.48) только последним членом в правой
части. При этом g(h) и /(X) имеют здесь те же значения, что
п в D.48'), и, кроме того,
, ... 0,4A065,6Х-9,6K—W) „ -„,,
Определив из D.59) £, мы будем знать о, а следовательно,
из D.47) и закон распределения скоростей в слое. Таким
образом, задача будет решена.
Для определения линии отрыва пограничного слоя получим
из D.47) прежнее условие \t=—12.
При интегрировании D.59) необходимо, как и для D.48),
иметь начальные условия, которые мы опять установим в
передней критической точке, полагая в ней х = 0. Умножая обе
части D.59) на U, найдём, что при д; = 0, а следовательно, и
при U=(), величина £ останется конечной, если при этом
R'0U
будет g{\)— h(k) = Q. Излагаемый здесь расчёт отно-
сптся к телу с тупой передней частью. Так как х — длина
дуги меридиана, то Ro равняется синусу угла наклона
касательной к оси тела и, следовательно, (Ro)x=o = 1. Кроме
того, при лг = 0, /?0 = 0 и U==0, следовательно:
лг-мЛЯо,/ \dRu)x=o \Ru}x=o
1акн.м ооразом находим, что \-p-jj,) _ =1, и предыдущее
условие приводит к уравнению третьей степени; g(k) — А (к) = U.
По тем же соображениям, что и в п. 2, устанавливаем, что
из трёх корней этого уравнения следует выбрать меньший по-
12 С. М. Тарг

178 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
ложительный, и приходим к условию:
при х=0 Х= 4,716 или t|0= ' .
При этом, раскрывая соответствующую неопределённость в
правой части D.59), найдём дополнительно:
при х = 0 £0=— 3,420^|.
Имея эти начальные данные, можно для каждого заданного
U(x) и Rq(x) интегрировать уравнение D.59) тем или иным
численным или графическим методом.
Для случая плавно обтекаемых тел здесь можно применить
метод последовательных приближений, аналогичный тому,
который в случае плоского профиля был применён проф.
Космодемьянским (см. сноску на стр. 172). Для этого следует в
первом приближении положить в правой части D.59) U' = 0,
а следовательно, и Х = 0; во втором приближении X в правой
части D.59) заменяется значением, полученным по первому
приближению и т. д.
§ 13. Расчёт пограничного слоя с помощью приближённых
уравнений движения.
1. Приближённые уравнения движения вязкой жидко"
сти в плоском пограничном слое и их интегрирование-
Методы расчёта пограничного слоя, изложенные в § 11,
связаны с довольно сложными вычислениями в силу
нелинейности уравнения D.09). Применение интегральных
соотношений (§ 12) также приводит к необходимости для каждого
конкретного криволинейного контура интегрировать тем или
иным приближённым методом нелинейное уравнение вида D.48)
пли D.59).
Излагаемый ниже метод расчёта пограничного слоя основан
не на рассмотрении каких-нибудь приближённых приёмов
интегрирования соответствующих нелинейных уравнений, а на
замене уравнения D.09) таким приближённым уравнением,
которое может быть непосредственно проинтегрировано до
конца.
Идея этой замены состоит в том, чтобы в первом из
полных уравнений D.04) учесть приближённо не только вязкие

§ 13J РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ПРНБЛИЖ. УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 179
члены, как это сделано в D.08) или D.09), но и
инерционные члены.
Так как при j' = 0 -и —0, то нз уравнения
неразрывности следует, что
у
о
Поэтому уравнение D.09) можно представить в виде:
v*± + UU' = Wx, D.60)
где
о
Будем в дальнейшем рассматривать пограничный слой
конечной толщины 5, причём значение 5 будем определять
условиями:
прпу = & vx = U, ff = 0. D.61)
В начале п. 3 § И указывалось, что при построении
приближённых методов расчёта пограничного слоя можно иногда
с успехом заменять распределение скоростей (или ускорений)
в пограничном слое на обтекаемом контуре их распределением
в слое на некотором «эквивалентном» контуре. Пример такого
приближённого расчёта был, в частности, рассмотрен в п. 3
§11. В известной мере аналогичный приём используется
и в методе Кочнна-Лойцянского (п. 3 § 12). При этом во
всех названных случаях приближённые замены относятся
непосредственно к закону распределения скоростей в
пограничном слое.
Рассматриваемый ниже метод расчёта пограничного слоя
основан на аналогичном допущении с той, однако, разницей,
что вместо закона изменения скоростей производится
приближённый подбор закона изменения ускорений в
пограничном слое.
Пусть для некоторого сечения пограничного слоя нэ
обтекаемом контуре, определяемого координатой х, скорость внеш-
12*

180 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ )ГЛ. IV
него потока равна U(x), толщина пограничного слоя Ъ(х) и
профиль продольных ускорений wx{y). Рассмотрим плоскую
пластину, обтекаемую потоком, скорость которого на
бесконечности U=U(x). Возьмём на этой пластине то сечение
пограничного слоя, толщина которого о совпадает с
толщиной слоя на обтекаемом контуре, т. е. то сечение, где д = $(х).
В этом сечении продольные ускорения wx будут изменяться по
какому-то закону wx{y). Вводимое нами основное допущение
состоит в том, что при указанных условиях можно
приближённо принять wx (у) == wx {у).
Таким образом, мы будем распределение ускорений в
каждом данном сечении пограничного слоя на обтекаемом контуре
приближённо заменять распределением ускорений в некотором
сечении пограничного слоя на соответствующей
-эквивалентной: плоской пластине.
При высказанном допущении уравнение D.60) может быть
заменено следующим приближённым уравнением движения
жидкости в пограничном слое:
где вместо v введено переменное »)=— . Из приближённого
уравнения D.62) мы и будем исходить при всех последующих
расчётах.
Дальнейший расчёт требует определения зависимости И' (Г|).
Как видно из формулы D.60'), эта зависимость будет найдена,
если в свою очередь для каждого сечения пограничного слоя
будет известна зависимость vx(r{). Имея в виду условия D.61),
которыми мы определяем верхнюю границу пограничного слоя Ь,
примем, что зависимость vx{t\) определяется формулой D.44).
Напомним, что этот профиль скоростей как раз удовлетворяет
условиям D.61). Итак, положим:
vx = fm--rf), D.63)
где по сделанному основному допущению U=U(x) и
8 = 5 (л:). Тогда, пользуясь формулой D.60) и замечая, что

§ 13) РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖ. УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 161
if ft
т/= — ^-8' = —J) —, найдём после несложных упрощений:
' 16
^ = г^A8^-3^ + ^)-^^уF^ — 7Ч* + Ч«).
Подставляя это значение в D.62) и вводя величину £,
определяемую равенством D.45), получим:
Щ = и [^.(-16+18Ч»-3Ч*+Чв) +
+ ^ UT (_6,j* + 7V-»)■)] .
Интегрируя это уравнение дважды по т( п удовлетворяя уело-
виям —-^ = 0 при Г; = 1 и г»л = 0 при 7) = 0, найдём закон
распределения скоростей в пограничном слое:
D.64)
' 32 ; \35т' 2 ' 1^ 30 ' 56
Чтобы довести решение до конца, остаётся определить 5. Для
этого, используя первое из условий D.61): при т] = 1 v=U,
получим из D.64) следующее уравнение:
ui'-\-nU'Z = b, D.65)
где, как даёт подсчёт,
п = 5,64; Ь = 23,27. D.65')
Условиями D.61) для о определяется и профиль скоростей vx —
= (/sin (-7J-1) ) (см. табл. VI). Проделанные расчёты показывают, что
ьсе результаты, получаемые при таком выборе vx, полностью
совпадают с теми, которые даёт выражение D.63). Таким образом,
оказывается, что при данных граничных условиях решение практически не
зависит от того, в каком именно виде будет представлено vx, лишь
бы функция vx (tj) была достаточно плавной.
Интегрируя уравнение D.65) по х и полагая, что в
случае обтекания криволинейного контура величина Ь в передней
критической точке конечна, а в случае течения вдоль твёрдой

182 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
стенки — у переднего её края о = 0, найдём окончательно:
.V
где х0 — абсцисса передней критической точки в случае
обтекания криволинейного -контура или абсцисса переднего края
твёрдой стенки в случае течения вдоль стенки.
Исключая из D.64) £' С помощью D.65) и вводя параметр
/,= £/'£, представим закон распределения скоростей в
пограничном слое в виде:
•^ = £/[A,621+0,261/,) tj — 0,5).f — A,091— 0,358л) jj*-f
+ @,509—0,1301) f — @,039—0,0111) rf]. D.67)
Как видно из D.65), в передней критической точке (£7=0
),0 = — = 4,13. Одновременно нетрудно убедиться, что для значений
4,13 Sa л Si 0 формула D.67) будет давать плавный профиль скоростей
без точек перегиба. Следовательно, профиль D.67) пригоден для всего
пограничного слои от передней критической точки до точки отрыва.
Формулы D.67) и D.66) и дают решение поставленной
задачи. При этом проведение любого конкретного расчёта
сводится только к вычислению интеграла, стоящего в правой
части D.66).
Найдём в заключение напряжение силы трения на контуре
и условие отрыва. Так как
то из D.67) получим:
т0= A,621+0,261/,)^. D.68)
Формула D.68) вместе с D.66) определяет значение т0
в любой точке на поверхности обтекаемого контура.
В точке отрыва, как следует из D.03), будет т0=0.
Тогда из D.68) находим условие отрыва:
/, = —6,21. D.69)
Это значение \ довольно близко к величине /ч==—5,4,
полученной экспериментально для случая обтекания
эллиптического цилиндра.

§ 13| РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ПРНБЛИЖ. УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 183
Несколько примеров расчёта пограничного слоя с помощью
изложенного метода дано ниже. Во всех случаях получается
вполне удовлетворительное совпадение с имеющимися
экспериментальными данными или точными решениями. При этом
все вычисления оказываются достаточно простыми и не
требуют применения специальных численных или графических
методов или табулирования таблиц каких-нибудь функций.
2. Некоторые примеры приближённого расчёта
плоского пограничного слоя.
а) Обтекание плоской пластинки. В этом
случае имеем с/=с/0 = const и, следовательно, л = 0. Тогда из
D.67) получаем следующий закон распределения скоростей
в пограничном слое:
т,л: == с70 A,621 г, — 1,091 г,* + О^Эг,6 — 0,039tj8).
Далее из D.66), полагая при .v = 0 5 = 0, находим:
5 = 4,82 ]/^.
Наконец, формула D.68) даёт:
тс, = 0,336 /Ш.
Сравнение с точным решением (п. 1 § 11) даёт вполне
удовлетворительное совпадение для профиля скоростей;
некоторое отклонение, вполне объяснимое, так как здесь
рассматривается конечный слой, а в точном решении —
асимптотический, появляется по мере приближения к верхней границе
слоя; при этом максимальная величина отклонения не
превышает 2,7%. Погрешность в определении т0 составляет -{- 1,2°/0.
б) Течение при линейном законе
распределения скоростей во внешнем потоке. Рассмотрим
течение (п. 3 § 11), при котором
U=m0 — пцх.
Подставляя это значение в D.66), найдём:
ц = — [A—$Г»— 11=—Ф E), D.70)
где, как и в D.40), Z = '^x, а Ф (£) = (! — $)"» —

184 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Для напряжения силы трения получим из D.68):
т0= A,62! -0,261 m.Q^.
Заменяя здесь l, выражением D.70), а Ь и п их численными
значениями D.65'), найдём окончательно:
V — тт =-£Р- — 0,530 /Ф(£). D.71)
V upw, t/ у^Ф(С) ' к
Точные значения стоящей слева безразмерной величины
даны в таблице V. Для сравнения в таблице VIII приведены
наряду с точными значениями значения, вычисленные по
формуле D.71).
Таблица VIII
л/ ' т°
Г цр/и, £/
5 °
1
по табл. V
по
формуле D.71)
0,01251 0,025
«о 2,773
оо I 2,81
1,817
1,84
0,05
1,064
1,08
0,10
0,345
0,41
0,12
0,000
—
0,15
—
0,00
Как видно, до значения ; = 0,05 формула D.71) даёт
погрешность, не превышающую 1,5°/0. Вблизи точки отрыва
расхождение становится более значительным, однако
практически это не имеет особо существенного значения, так как
здесь пограничный слой становится турбулентным. Для точки
отрыва получаем из D.69) значение £г = 0,15 вместо точного
значения с? = 0,12.
Практически точность расчёта следует признать вполне
удовлетворительной. Она во всяком случае выше той, которую
дают методы, основанные на использовании интегральных
соотношений (см., например, работу Л. Г. Лойцянского, цит.
на стр. 171).
в) Обтекание круглого цилиндра. Тем же
методом произведём расчёт пограничного слоя на круглом
цилиндре при законе распределения скоростей [во внешнем

§ 13J РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ПРНБЛПЖ. УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 185
потоке, даваемом формулой D.38). Вводя безразмерное
переменное
*~яЯ — 7,65 ^^'Ь
представим D.38) в виде:
G=54,73A—0,368с2—0,1583") = 54,73/C).
Тогда из D.66), полагая абсциссу передней критической
точки х0 = 0, найдём:
.Ш* ('-,..__ 3,26 ФF) _3,26ФE)
-" — {/" J A—0,368»—0,158^N.м~ [f(k)fM '
о
где
ф ('-) = 0,177 — 0,224S2 -f 0,0423" -f
+ 0,0533е _ 0,0153s— 0,009310 -f 0,002312 + ...
Таким образом, величина £ определена. Тем самым
определён и закон распределения скоростей в пограничном слое,
даваемый формулой D.67). Произведённые расчёты показывают,
что профили скоростей в сечениях, не очень близких к точке
отрыва, вполне удовлетворительно совпадают с теми, которые
даёт в этом случае формула D.35) (п. 2 § 11). По мере
приближения к точке отрыва расхождение возрастает,
оставаясь, однако, значительно меньшим, чем то расхождение,
которое даёт расчёт по методу Польгаузена. Для точки отрыва
условие D.69) даёт значение л;г = 6,9, отличающееся лишь
на 1°/0 от величины 6,97, определяемой уравнением D.37)
(п. 2 § И).
г) Течение в плоском диффузоре. Рассмотрим
течение в плоском диффузоре (см. фиг. 28 на стр. 170),
полагая, что во внешнем потоке имеет место потенциальный
закон распределения скоростей:
где G0 — скорость во входном сечении.
Подставляя это значение U в D.66) и считая при х^гл
i = 0, найдём:
~^_ Ьгй \(х\"_ (ЛП
4 in-2)U9l\rJ \rj }■

186 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Распределение скоростей при данном значении £ даётся
■формулой D.67).
Из условия D.69) получим для определения абсциссы
точки отрыва уравнение
£Л"-л , 6,21 (п — 2)
rj ~ 1_1~ b
откуда лг1?=1,21г0, что практически совпадает с D.49).
Заметим, что найденное решение, как и решение D.49),
должно давать результат, достаточно далёкий от истинного,
так как нарастание пограничного слоя в диффузоре вызовет
заметное изменение закона течения во внешнем потоке, что
в свою очередь скажется на положении точки отрыва.
Подробнее об этом см. в главе VII.
Все приведённые здесь расчёты были проделаны также
в том случае, когда в D.63) wx определялось при законе
z\=U%\n f -^-rj J . Результаты дали полное совпадение с темп,
которые изложены выше.
Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод, что
изложенный метод наряду с простотой расчётов даёт при
определении всех характеристик пограничного слоя достаточную
для практики точность.
3. Расчёт пограничного слоя на теле вращения.
Течение в коническом диффузоре. Изложенный метод
легко распространяется на случай обтекания тела вращения
потоком, направленным вдоль оси симметрии тела. Для этого
обратимся к уравнениям движения в осесимметричном
пограничном слое D.19) и D.19"). Так как вид уравнения D.19)
совпадает с D.09), то его можно также представить в виде
D.60). Считая, что при у = 0 v =0, из D.19") будем иметь;
о
и, следовательно, в случае осеспмметричного течения будет
у ,
ovr dv,. С I dvr i R' \ , ,. „,,.
wx = vr -^—т* М+Й-', Л D.72)
* * дх ду J \ox ' R x J ■ v '
о

§ 13J РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ПРПБЛПЖ. УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 187
Граничные условия, которыми определяется, значение 5, и
в данном случае сохраняют вид D.61). .
Пользуясь теми же допущениями, что и в п. 1, заменим
уравнение D.60) приближённым уравнением D.62). Для
вычисления wx зададимся опять законом изменения v в виде
D.63). При этом, полагая, что передняя часть обтекаемого
тела является тупой, примем приближённо R = R(i(x). Тогда,
подставляя значение vx из D.63) в D.72), найдём:
£Я/' 1С „ о , , ., 3 ,„ /> , R'o\ .,
^• = -T6-A8^~3ri4 + ^-i6^(T + ^0jX
ХFЧ= —7Ч*+г,«).
Это выражение отличается от значения w в плоском
течении только коэффициентом при последней скобке. Подставляя
найденное значение wx в уравнение D.62) и дважды
интегрируя, найдём аналогично D.64):
+ 1(^ + 4^) (i4-T44 + ^4e-^4')J. D-73)
Отсюда, используя условие: при 7j=l vx = U, получим для
определения Z, уравнение
С/;'+B|£ £/+«£/'); = />, D.74)
где п и Ь имеют те 'же значения, что и в D.65').
Интегрируя D.74), найдём:
X
:=^==-^г^°иЯ~лах' D-75)
0 х„
где постоянная х0 имеет то же значение, что и в D.66).
Исключая из D.73) £' с помощью D.74), получим для
закона распределения скоростей в пограничном слое выражение,
в точности совпадающее с D.67). Формулы D.67) и D.75) и
дают решение поставленной задачи. При этом, как легко
видеть, напряжение трения будет определяться формулой D.68),
а место отрыва—условием D.69). Таким образом, как и для

188 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
плоско-параллельного слоя, решение каждой конкретной
задачи сводится к определению С, т. е. к вычислению интеграла
в правой части D.75).
Полученные здесь результаты можно было бы найти
непосредственно из формул п. 1, воспользовавшись преобразованием
переменных D.23).
Заметим, кроме того, что хотя вил формул, определяющих vx, -0
и 1, совпадает с соответствующими формулами для плоского течения,
значения этих величин в осесимметричном потоке будут другими,
так как входящая в них величина I определяется формулой D.75), а
не D.66). Совпадение решений получится только при #o = const, т.е.
для пограничного слоя на круглом цилиндре, обтекаемом вдоль
образующих.
В качестве примера произведём расчёт пограничного слоя
в коническом диффузоре. Воспользуемся обозначениями фиг. 28,
(стр. 170), считая, что на ней изображено одно из
меридиональных сечений диффузора, и положим, что внешний поток
в диффузоре потенциален и скорость в нём изменяется по закону:
U(x) =
U^Q
где U0 — скорость во входном сечении,
что в нашем случае будет:
D.76)
Заметим, кроме того,
/?0 = xsina. D.77)
Подставляя эти значения в D.75) и вычисляя интеграл,
найдем, что
i2
{■In
X \ 2Л—2
0/
Х_ \8
D.78)
Этим значением Ь определяется и закон распределения
скоростей в слое, даваемый формулой D.67).
Для определения напряжения трения подставим в D.68)
выражение Ь из D.78). Заменяя одновременно п и b их
значениями D.65'), найдём:
2,50 ,— 3,00 Ух*/7— 1
D.79)
где для сокращения записей введено обозначение:
X

§ 13J РАСЧЁТ С ПОМОЩЬЮ ПРНБЛИЖ. УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИИ 189
Зависимость, даваемая формулой D.79), представлена
графиком на фиг. 29.
Для определения места отрыва пограничного слоя
используем условие D.69). Так как "/. = U'Z,, то, подставляя в D.69)
значения U и £  D.76) и D.78), придём к уравнению
2ft
, I О,.21 in -.
1 +^ГB« —;з)-
Отсюда найдём для координаты места отрыва значение
Jt,= l,102r0
или
хг = 0,102л0,
D.80)
D.80')
/\
где х —расстояние точки отрыва от входного сечения.
•\
Сравнивая это значение хг с тем, которое формула D.49')
даёт для плоского диффузора, мы видим, что при одинаковых Я
и г0 отрыв в
коническом диффузоре
происходит на расстоянии,
которое примерно вдвое
ближе к входному
сечению, чем в плоском.
Этот результат вполне
естествен, так как
в коническом
диффузоре падение скорости
происходит быстрее.
При конечной
длине диффузора / можно,
беря / <^xs т. е.
/<0,102г0,
добиться того, что
точка отрыва выйдет за
пределы диффузора и
последний будет безотрывным. При этом, очевидно, угол а
должен быть достаточно мал. Если обозначить радиус
входного сечения а0 и считать ввиду малости а ай = г0а, то
предыдущее условие примет вид:
/<0,102^.

190 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Для такого диффузора можно, пользуясь формулой D.79),
подсчитать потерн на трение. При малом а величина полной
силы трения о поверхность диффузора длины / будет равна:
F — 2ur~Qa.
\
хпх
\Лхъ
D.81)
где т0 берётся из D.79). На фиг. 30 зависимость, даваемая
формулой D.81), пред-
F,
0.6
0А
0,2
F
'' Фрг/Ц!
ОМ
ОМ 0.05
Фиг. 30.
скпх координатах,
же самые.
ставлена графически.
Аналогичным путём
может быть
произведён расчёт
пограничного слоя для случая
сходящегося течения
(конфузор).
Решение
рассмотренной здесь задачи о
течении в пограничном
слое конического
диффузора можно ещё
получить, применяя
метод, изложенный в
п. 1, непосредственно к
уравнениям в сфериче-
Результаты, естественно, получаются те
0.1 П
§ 14. Пограничный слой на вращающемся диске.
Рассматриваемые ниже две задачи представляют собою
известные примеры расчёта пространственного пограничного
слоя. С проблемой подобного рода приходится, например,
сталкиваться при определении момента сил сопротивления среды,
действующих на ротор гироскопа.
Для решения воспользуемся приближённым методом, в
известной мере аналогичным тому, который был рассмотрен в
предыдущем параграфе. Все результаты получаются при этом
достаточно просто и дают вполне удовлетворительную для
практики точность.

§ 14] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ДИСКЕ 191.
1. Сопротивление тонкого диска, вращающегося в
неограниченной вязкой среде. Рассмотрим тонкий диск
радиуса R, помещённый в неограниченную вязкую среду. Пусть,
этот диск вращается с постоянной угловой скоростью ш0
вокруг осп, перпендикулярной плоскости диска и проходящей
через его центр. Найдём возникающее при этом сопротивление
вращению диска, пренебрегая влиянием его краёв, т. е. так
называемым краевым эффектом').
Для изучения движения воспользуемся цилиндрическими
координатами, начало которых поместим в центре диска, а ось
Oz направим вдоль оси вращения. Следуя идеям теории
пограничного слоя, будем считать, что диск приводит вместе
с собою во вращательное движение только некоторый
достаточно тонкий слой среды. Вне этого слоя среда
вращательного движения не имеет и давление в ней в направлении
радиуса неизменно. Так как распределение давлений в
пограничном слое полагается совпадающим с тем, которое имеет место
во внешнем потоке, то, следовательно, и в слое будет ~— ~ 0.
Изменение давления в направлении Oz вследствие
подсасывания жидкости к вращающемуся диску будет при этом иметь
место; однако определением зависимости р (г) мы в
рассматриваемой задаче заниматься не будед!.
Движение среды в пограничном слое описывается
уравнениями A.47), в которых только будут отсутствовать массовые
силы и производные по t и по (р, так как течение считается
установившимся и симметричным относительно оси вращения.
Для решения задачи воспользуемся, подобно тому как
это было сделано в предыдущем параграфе, вместо полных
уравнений движения приближёнными, учитывающими влияние
инерционных членов лишь частично. При этом, имея в виду
плавность течения в пограничном слое диска, заменим стоящие
в левых частях уравнений A.47) компоненты ускорения частиц
среды их средними по толщине пограничного слоя значениями
1) Задача эта была поставлена и приближённо решена Карманом
(Karman Th., Zeitschr. fur angew. Math, imd Mech., т. 1. 192!,
стр. 244; изложение решения см. в книге Л. Г. Лойцянского
«Аэродинамика пограничного слоя», стр. 218). Уточнённое решение путём
численного интегрирования получил Кокрэн (Cochran W. G., Proc.
Carabr. Phil. Soc, т. 30, 1934," стр. 365; см. также книгу
«Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости», т. I, стр. 122).

192 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
^пдея такого способа частичного учёта инерционных членоз
принадлежит проф. Н. А. Слёзкнну]). Тогда рассматриваемые
приближённые уравнения можно будет представить в виде:
дг
д_
дг
1 d(rvr)
г дг
1 d{rvr)
+
S
дг
d2vffl
' ~dlt'~
д (гиг) , dv2
^'дГ'^'д! ~~
' I
--гВ(г), \
D.82)
где обозначено
А{г) = -
dvr
•Тг
I dv.
dz,
В (г)
dr
dz.
D.82')
Третье из уравнений системы A.47) опущено, так как оно
служит лишь для определения p(z); коэффициенты г при А
и В в уравнениях D.82) введены лишь для упрощения
получаемых ниже выражений.
При установлении граничных условии примем, что на
внешней границе пограничного слоя скорости частиц среды могут
иметь направление, только параллельное оси вращения (эта
составляющая скорости сохраняется вследствие наличия
подсоса), и что основная компонента трения х,0 на этой
границе равна нулю.
Кроме того, полагаем, как обычно, что среда прилипает
к плоскости диска. Тогда будем иметь:
:0 г»г = 0, fo = aHr, vz = 0;
при z
при z — 8 v =0, v,. = 0
dv~.
dz
= 0.
D.83)
Заметим, что в рассматриваемом решении условия «э = vr = 0
и TJ„ = Tsr=0 при z = Z одновременно удовлетворены быть не
могут. Поэтому мы сохраняем при z = Ъ условия, указанные в D.83),
как основные.
1) См. Н. А. С л ё з к и н и С. М. Т а р г, Докл. Акад. наук СССР,
т. LIV, № 3, 1946.

§ 14] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ДИСКЕ 193
Исходя из особенностей задачи, будем искать частное
решение системы D.82), удовлетворяющее условиям D.83), в виде:
vr = rf1(z), v,, = rf2(z), vz=-3(z). D..S4)
Подставляя эти значения в D.82) и принимая во внимание,
что в рассматриваемой задаче ^- = О, придём к следующим
уравнениям:
/iV) = -4, f'i(z)=B, 2/1(г)+/3'(г) = 0, D.85)
где штрихи означают производные по г.
Так как в первых двух уравнениях левые части являются
функциями только z, а А н В могут зависеть только от г,
то отсюда следует, что в данном случае А и В будут
постоянными. Заметим одновременно, что выражения D.84)
удовлетворят условиям D.83) только при 5 = 50 = const; вывод
о постоянстве 5 следует, впрочем, и in вида получаемых ниже
решений.
При указанных условиях интегрирование системы D.85)
не представляет никаких затруднений. Результатами,
удовлетворяющими всем граничным условиям D.83), будут:
/i = — I Ab\ (z, — г\), /2
где для сокращения записей обозначено:
£! = --. D.86')
Для определения оставшихся неизвестными величин А и £,
воспользуемся равенствами D.82'). Подставляя в D.82')
значения i>r, v.,, v2 и В из D.84) и D.86), придём после
вычисления интегралов к уравнениям:
40 v А — Л25 о — 8ю2, 20 v = — At40.
Отсюда находим:
Л = -Г5Т- «0 = 3,50 /^. D.87)
:@0A — Ztf,
D.86)
13 С. М. Тарг

194 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Таким образом, задача оказывается решённой до конца.
Определим теперь момент сил трения, действующих на
диск. Учитывая трение с обеих сторон диска и принимая во
внимание D.84), будем иметь для величины М выражение
А\ = 4 TTfJL r2
<Ь„
дг
й7-=ттц/?4
дг
D.88)
С„, = —• D-89)
Подставляя сюда значение /2 из D.86), а затем значение
50 иэ D.87), получим:
М = 2тг|л#4р=1,80Д4 i/jlpaijj. D.88')
Введём в рассмотрение безразмерный коэффициент
момента сил трения, определяемый равенством'.
М
Тогда будем иметь:
С-/=,.80/^ = ^-. D.90)
где
R=^-° D.91)
— параметр Рейнольдса для рассматриваемого движения.
Упоминавшееся выше приближённое решение Кармана,
получение которого связано с более длинными расчётами, даёт
Cmf 1/1? = 1,84, что практически совпадает с D.90). Весьма
трудоёмкое уточнённое решение Кокрена, требующее
численного интегрирования системы нелинейных уравнений и
составления таблиц вводимых при этом функций, даёт CmfY R = 1,935.
Результат, определяемый формулой D.90), отличается от
уточнённого решения всего на 7°/0. Сравнение с
экспериментом (фиг. 31) показывает, что определяемое теоретическим
расчётом значение Cmf является несколько преуменьшенным1).
Это, повидпмому, объясняется тем, что теоретическое
решение не учитывает влияния концевого эффекта.
:) Соотоетствующие эксперименты производились Кемпфом.
Q. К е m p f, Vortr. aus d. Qeb. d. Hydro- und Aerodynamik, 1924, стр. 168.

§ 14] пограничный слой на вращающемся диске 195
Следует иметь в виду, что все полученные результаты
будут справедливы только для ламинарного режима, т. е.,
как видно из фиг. 31, приблизительно для R s=£ 105. При
-1,55
R ^> 105 пограничный
слой у краёв диска
становится турбулентным.
В заключение
отметим, что полученное
решение может быть —0
уточнено следующим
образом. Обратимся ко _/>75
второму из полных
уравнений движения A.47),
которое служит для
определения v,s.
Отбросим в правой части
этого уравнения все
члены, содержащие
производные от v^ по
г пли отношение г»ф к
г, как малые по
сравнению с производной
по z; в левой части
заменим величины vr, v^
и v, теми их
значениями, которые
определяются формулами D.84),
D.86) и D.87)
предыдущего решения. При этом все компоненты скорости считаются
функциями гг. В результате придём к уравнению
-№\
-135
-2,05
-2.15
-2,25
-225
■
% #
1
\ 1»
V
■А
•
N?
4 V
\\
.
ь ••
\
ч\
ч\
ч\
\\
ч
11) по форм. IJi90)
B) - - (UM
C) Турб режим
J
У
iV.
\
•
Л^
ТЧ,-
kO "i/./t b.d 5,2 5,6
Фиг. 31.
6.0 6.4
tog,,, R
&v..
dz~
: 0,545г У Czi — 6z\ -f 4z'i — z\),
где 50] — новое, подлежащее определению значение толщины
пограничного слоя.
Интегрируя полученное уравнение и удовлетворяя первому
и последнему из условий D.83) для г\, найдём:
"О >2
ю0л —0,01816г-~& (9*1— \ozt-\-\5zl — Qzi-{-zl).
13*

196 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Удовлетворяя теперь условию г»0. = 0 при zl = l, получим:
^ = 3,71 /{-.
Подставляя найденные значения т><. и 501 в формулу D.88),
определим величину М и окончательно будем иметь:
1,91
Cmf = T^ . D-92)
Этот, в конечном счёте весьма просто получаемый
результат отличается от точного решения всего на 1,3°/0,
2. Сопротивление тонкого диска, вращающегося в
цилиндрическом кожухе. Рассмотрим теперь задачу о
вращении тонкого диска, заключённого в цилиндрический кожух.
При этом зазор между краями диска п боковыми стенками
кожуха будем полагать малым и принимать радиус диска R
равным радиусу кожуха; толщиной диска также будем
пренебрегать. Пространство между стенками кожуха и диском
считаем заполненным маловязкой средой (воздухом). При
вращении диска эта среда будет, с одной стороны, вовлекаться
во вращательное движение, а с другой стороны, тормозиться
крышками кожуха. Будем в дальнейшем рассматривать случай,
когда расстояние h от плоскости диска до каждой из крышек
кожуха велико по сравнению с толщиной пограничного слоя
(-4^>—^=г|. В этом случае, когда движение установится,
образуется два пограничных слоя: один на диске, а другой на
крышке кожуха. При этом среда, находящаяся между
названными слоями, будет вращаться как твёрдое тело с некоторой
наперёд неизвестной угловой скоростью <0], меньшей, чем
угловая скорость диска соп. Такая картина движения среды между
слоями подтверждается экспериментально').
В результате над пограничными слоями на диске и крышке
кожуха образуется внешний поток с распределением скоростей;
U=Q, U, = 0, и,. = <я{г. D.93)
г) F. S с h u 11 z - G r u n о w, Zeitschr. fiir angew. Math, mid
Mecli., т. 15, № 4, 1935, стр. 191. Решение рассматриваемой задачи,
предложенное Шульцом-Грюповым, изложено в цитированной рыше
книге Л. Г. Лойцянского, стр. 221—226.

§ 14] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ДИСКЕ 197
Так как во внешнем потоке вязкостью среды можно
пренебречь, то закон изменения давления в этом потоке получим,
полагая в первом из уравнений A.47) v = 0 и заменяя
одновременно компоненты скоростей величинами D.93). Тогда будет:
Такой же закон изменения градиента давления в
радиальном направлении будет, следовательно, и в каждом из
пограничных слоев.
Начнём с расчёта пограничного слоя на диске. Для
решения задачи воспользуемся опять приближёнными уравнениями
D.82) и будем искать их решения в виде D.84). Тогда,
принимая во внимание зависимость D.94), получим из D.82) для
определения /, (z) уравнение
„ со г
f1(z) = A + -±- = A1. D.95)
Остальные два уравнения сохранят тот же вид, что и
в D.85). При этом <4j, В и 50 будут опять постоянными.
Характер граничных условий отличается в данном случае
от D.83) лишь тем, что при 2 = 50 будет v ==ы1г (вместо
1^ = 0). В результате, интегрируя уравнения D.95) и
последние два в системе D.85) и удовлетворяя всем названным
граничным условиям, найдём вместо D.86):
/i = — Т А^ (г< — *>)• I
/2 = ^0— (w0 — ыЛ{2г1 — zf), I D.96)
/3 = 4лЛ3C*Г-2,?), 5 = 2_K^L>. |
0 ьо )
Подставляя все эти значения в равенства D.82'), получим
для определения А1 и §0 уравнения:
40 (AJ— ш?) = А\ Ь\ — j (Зсо2о + 4со0со, -f 8coj).
60 (со0 — «i) v = — (Зсо0 + 2w,) Агг/0.

198 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
Решая эту систему, найдём:
2 C<о5 + 4<йо<*1 — 1">\) C«>0 + 2шт)
1 15 v gwD + ^i '
5* = 150 у' Q»o + °M»o-"f > D>97)
0 (Зо>2 -f 4ш0й), - 7o>J) (Зш0 + 2о),J
Для момента сил трения, действующих на одну из плоскостей
диска, получим, подставляя в D.88) величину /2 из D.96),
значение:
1л*0 = ^*^=р. D.98)
Решение для пограничного слоя на крышке кожуха можно
найти из полученных результатов сразу, если положить в них
<о0 = 0. Тогда, обозначая толщину пограничного слоя на крышке
через 8Ь а модуль момента действующих на неё сил трения
через М}, получим из D.98) и D.97):
Af,=Ttji/?«-£, Ь\=— Аг- D.99)
°1 14 со.
Во всех найденных выражениях остаётся пока
неопределённым значение щ. Для определения этой величины
воспользуемся тем соображением, что при установившемся режиме
моменты -ту М0 и /И, должны быть численно равны, как
моменты сил действия и противодействия. В результате
приходим к равенству:
Wq — @1 а>1
So '1
Заменяя здесь 50 и Ьх их значениями из D.97) и D.99) и
вводя обозначение
^ = k, D.100)
получим для определения k уравнение:
Ck2-\-4k — 7) Cft + 2)*(ft—1 K = 28 (9ft+1).
Решая это уравнение графически, найдём:
• А=3% 1,91.

§ 14] ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ НА ВРАЩАЮЩЕМСЯ ДИСКЕ 199
Подставляя найденное значение ш1 в D.97), получим:
§0 = 2,50 ]/^-, D.101)
после чего формула D.98) даёт для момента сил трения,
действующих на обе стороны диска, значение
М0=1,20#*-|Ахрш03.
Наконец, для коэффициента Cmf, определяемого
равенством D.89), будем иметь:
С«..г = Щ- DЛ02>
Сравнивая полученный результат с D.90), приходим к
выводу, что наличие кожуха уменьшает момент сил трения
примерно на одну треть. Этого уменьшения и следовало ожидать
в случае, когда над диском образуется слой среды,
вращающийся в ту же сторону, что и диск.
Количественно формула D.102) будет, очевидно, давать
преуменьшенное значение Cmf примерно в той же мере, как
и в предыдущей задаче. Уточнение результата путём
подстановки найденного решения в правую часть полного уравнения
даёт более точное значение Cmfy R = 1,26.
Упомянутое выше приближённое решение Шульца-Грюнова,
связанное с чрезвычайно громоздкими расчётами, приводит к
результату Ст,у R = l,33, хорошо совпадающему сданным"
экспериментов автора. Однако как результат интегрирования
соответствующих уравнений движения эту величину Ст.
следует считать несколько преувеличенной, так как
приближённое решение Шульца-Грюнова при o)j = 0 (случай,
рассмотренный в п.1) даёт значение CmfyR = 1,99 вместо
уточнённого результата Cmf VR = 1,935.
Изложенное решение, являясь несравненно более простым,
приводит, как видим, к практически вполне
удовлетворительным результатам.
По данным опытов эти результаты будут пригодны для
значений 103 :з= R ^> 104»5. При больших значениях R течение
на краях диска становится турбулентным, при меньших R
возникает взаимодействие пограничных слоев на диске и кожухе

200 УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. IV
и вращающееся как твёрдое телЬ ядро среды между слоями
перестаёт существовать. Так как в упомянутых опытах было
li 3
75-==чп> т0 можно заключить, что схема, на которой
построено изложенное решение, имеет место приблизительно
h 20
при ц-^>-^г или, как это следует из D.101), когда просвет
h между диском и крышкой кожуха превосходит толщину
пограничного слоя на диске примерно в 8 раз. При меньших
значениях h отдельных пограничных слоев на диске и крышке
не будет, и решение следует строить, применяя уравнения
движения вязкой жидкости ко всему объёму среды,
заключённой в кожухе.

ГЛАВА V.
НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ
ЖИДКОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ.
§ 15. Приближённое интегрирование уравнений
неустановившегося движения жидкости
в пограничном слое.
1. Развитие пограничного слоя при течении,
возникающем мгновенно из состояния покоя. В предыдущей главе
рассматривались задачи об установившемся течении вязкой
жидкости в пограничном слое. Представляет несомненный
интерес рассмотреть теперь, как будет развиваться движение
жидкости в пограничном слое со временем. Мы начнём с изложения
приближённого метода решения, аналогичного тому, который
для случая установившегося движения был рассмотрен в § И1).
Пусть какое-нибудь цилиндрическое тело, покоящееся в.
маловязкой жидкости, начинает в момент t = 0 двигаться
в направлении, перпендикулярном образующим, с постоянной
скоростью U0. Будем при этом считать, что в начальный
момент во внешнем потоке мгновенно устанавливается
распределение скоростей, соответствующее установившемуся
безотрывному потенциальному течению идеальной жидкости, и
что поверхность обтекаемого тела представляет собою в
этот момент поверхность разрыва, по одну сторону которой
скорости жидких частиц вследствие прилипания равны нулю,
а по другую равны скорости внешнего потенциального потока.
Таким образом, мы полагаем, что в момент t = 0 на
поверхности обтекаемого тела образуется пограничный слой, толщина
которого о равна нулю. В последующее время влияние
вязкости распространяется на слои жидкости, прилегающие к
!) Излагаемые здесь и в п. 2 решения были получены Блазиу-
сом (см. сноску на стр. 147).

202 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
обтекаемой поверхности, и толщина пограничного слоя начинает
возрастать. Считая, что для внешнего потока остаётся
справедливым уравнение Бернуллн, и повторяя рассуждения,
приведённые в конце п. 1 § 10, придём к выводу, что в
некоторый момент в кормовой части обтекаемого тела может произой гн
•отрыв пограничного слоя. В последующем точка отрыва
начинает перемещаться вверх по течению, стремясь к
некоторому предельному положению, соответствующему данному
распределению скоростей во внешнем потенциальном потоке.
Изложенная здесь картина развития со временем пограничного
слоя подтверждается как теоретическими расчётами, так и
экспериментом.
Пользуясь уравнениями движения жидкости в пограничном
сдое, рассмотрим, как развивается течение жидкости в
пограничном слое со временем; определим также момент начального
отрыва и последующее перемещение точки отрыва. Последнее
исследование при заданном внешнем потенциальном течении
будет носить лишь качественный характер, так как наличие
отрыва внесёт изменения в картину внешнего потока, что
■в свою очередь окажет влияние на характер перемещения
точки отрыва и её предельное положение.
Переходя к аналитическому исследованию развития
пограничного слоя, ограничимся первоначально случаем
плоско-параллельного течения и будем считать систему отсчёта, по
отношению к которой изучается движение, связанной с
движущимся телом. Так как по сделанному предположению тело
движется поступательно с постоянной скоростью U0, то
выбранная система отсчёта будет инерциальной. Тогда для
течения жидкости в пограничном слое будут справедливы
уравнения D.08). При этом в той постановке задачи, которая
сейчас рассматривается, заданная скорость течения во внешнем
потенциальном потоке будет функцией одной только
криволинейной координаты х, т. е. будет U=U(x). Введём вместо у
новое безразмерное переменное г), полагая
2 Yvt
а также функцию тока ф (дг, rt, t), такую, что
v — ** „ =—Й. E.02)
*~~ду' vy дх х '

§ 15] ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 503
Введением ф мы сразу удовлетворяем уравнению D.08').
Положим теперь, что для малых значений t функцию <Ь можно
представить в виде следующего ряда, расположенного по
степеням t:
■ •], E.03)
<!> = 2 /v/ [Л0 (л-)/о (ч) + А (лг)Л (Ч) * + • •
где функции /4А (лг), fk (у) должны быть определены так, чтобы
было удовлетворено уравнение D.08). Замечая, что
д/(ч)_ I f,,„\ <V(r))_ r)
ЗУ
где штрих означает производную по 7), найдём из E.02)
и E.03):
^ = ^0/о +Л,/;/+..., E.04)
=-»^ г/.+гл'+-
Подставляя эти значения вместе с t/(jc) в уравнение D.08)
и перенося все члены в левую часть, получим после
умножения обеих частей равенства на 2t:
л(ч/о+1/о')+[2^(/о/о -/о2) +
+ А -2/,+ч/Г + ^/Г + 2</£
,rf£/'
*-
= 0. E.05)
Из E.05) видно, что уравнение D.08) будет удовлетворено
при любом законе изменения U (х) и для любого t, если
положить
A0=U, A, = ufx,
E.06)
и потребовать, чтобы fk (rj) удовлетворяли системе
обыкновенных дифференциальных уравнений:
/S" + 24/o=0,
/i"+2r1/;-4/;=4(/;2-/0/o"-i))
E.07)

204 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
Будем полагать, что в любой момент времени f^>0 для
течения в пограничном слое выполняются граничные условия
вида D.27):
при v = 0 vx = v==0, при_у=сю vx~U.
Тогда, на основании E.04), E.04') и E.06), придём к
следующим условиям для fk(T[Y-
при Ч = 0 /о=/о = 0, /i=/i = 0,... \
при rj = oo/o=l, /i--=0,... }
Определив из E.07) функции Д (rj), удовлетворяющие
условиям E.08), мы найдём выражение vx в виде ряда E.04),
который будет сходиться при достаточно малых значениях t
и давать таким образом решение поставленной задачи.
Поскольку координата х в выражение E.04) входит только через
скорость внешнего потока U, то в случае U== const все
характеристики течения не зависят от х. Найденное таким образом решение
будет давать закон нарастания пограничного слоя для течения
жидкости вдоль неограниченной в обе стороны плоской стенки, а не для
случая обтекания пластины. Имея выражение vx в виде ряда E.04),
очевидно, нельзя получить решение задачи о развитии пограничного
слоя на пластине, обтекаемой потоком так, как это показано на
фиг. 26 (стр. 147).
Перейдем к рассмотрению случая, когда U является
некоторой функцией от х.
Ограничиваясь в разложении E.04) первым членом,
получим первое приближение, являющееся, как легко убедиться,
решением уравнения D.08), в котором отброшены все
инерционные члены, кроме первого, т. е. уравнения
дих д'~их
dt oy2
Сохраняя в разложении E.04) первые два члена, получим
второе приближение, соответствующее решению уравнения
D.08), в котором в левой части вместо vx n v подставлены
значения, даваемые первым приближением, и т. д.
Рассмотрим первые два из названных приближений.
Интегрируя первое из уравнений E.07) и удовлетворяя условиям
E.08) для /0, найдем:
/b = Erf(r,), E.09)

§ lt>] ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИИ ДВИЖЕНИЯ 205
где функция вероятности ошибок Erf (щ) имеет значение,
указанное в формуле C.57').
Отсюда, ограничиваясь в E.04) первым членом разложения
н принимая во внимание E.06), будем иметь:
v^) = U{x)Exf{Ti). E.10)
Выражение E.10) даёт решение в первом приближении,
справедливое для малых значений t. Подставляя значение /0 из
E.09) в правую часть второго из уравнений E.07) и
интегрируя, получим:
/[ = I- Brf - 1) Erf* (г,) + ~ xfi-? Erf (r;) +1—3^ е~*+
-j-^-'-V-l-aWIH
V«
+ fi i^B^+l)ErfD) + rje-'''
E.11]
Входящие в (о.11) постоянные интегрирования а и [J
определяются по условиям E.08) для /\ и имеют значения:
а = — ( !-(-£)=—1,21221,
:0,80364.
' Гг. \
з-,
±\
з-/
Ограничиваясь теперь в разложении E.04) первыми двумя
членами, получим второе приближение в виде:
^
■U(x)Erf (г,)-
Vaxfi(n)t>
E.12)
где /((Т|) даётся формулой E.11).
Как видим, уже второе приближение имеет достаточно
сложное аналитическое выражение. Определение последующих
приближений будет связано с чрезвычайно громоздкими
расчётами. Весьма утомительное вычисление третьего приближения
было проделано Гольлштейном и Розенхндом'); дальнейшие
попытки никем не предпринимались. Также открытым остаётся
вопрос об области сходимости разложения E.04).
>) S. Goldstein and L. Rosenhead, Proc. Cambr. Phil. Soc,
т. 32, 1936. Первое и второе приближения были получены Блазнусом.

206 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
Решение во втором приближении E.12) даёт возможность
определить положение точки отрыва пограничного слоя.
Принимая опять за условие отрыва D.03), найдём, что в точке
отрыва должно быть -^ = 0 при г) = 0. Подставляя сюда
значение vx из E.12), получим уравнение
позволяющее определить в первом приближении момент, в
который наступит отрыв в каждой данной точке контура, или
место, в котором наступит отрыв в каждый данный момент. Из
E.13) видно, что отрыв имеет место только в тон области, где
— <^0, и наступает прежде всего там, где величина -г-
UX (IX
получает наибольшее значение.
Обозначая через tx время, по истечении которого
происходит начальный отрыв, найдём из E.13)
л) 0,702 .„ ...
Ь-r dU\ ■ <оЛ4>
"-£/ max
Пользуясь третьим приближением для vx, при котором
выражение vx в форме ряда E.04) сохраняет три первых члена
разложения, можно получить более точное уравнение для
определения условия отрыва в виде:
1
i = -0,7122g+{0.7271 (g)'+ 0,05975£/ g} \ E.15)
Из E.15) следует, что начальный отрыв произойдёт в точке,
dU „
где —■ -г- имеет максимум лишь в том случае, если в этой
точке одновременно будет G = 0.
Рассмотрим в качестве примера случай обтекания
круглого цилиндра. При безотрывном обтекании будем иметь,
как известно, следующий закон распределения скоростей на
поверхности цилиндра:
U=2Uus\n—, E.16)
" а
где а—радиус цилиндра, a U0 — скорость его
поступательного движения.

§15] ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 207
Начальный отрыв в данном случае и по первому н по
второму приближению будет получаться в задней критической
точке. Подставляя значение О из E.16) в E.14) и E.15),
найдём для tt в первом и втором приближении значения:
41>=0,35-^, 42) = 0,32^. E.17)
Значение tl во втором приближении примерно на 9%
меньше, чем в первом.
dU
Заметим, что величина г- не всегда имеет наиоольшее зна-
dx
чение в задней критической точке. Так, для эллиптических
цилиндров, у которых тт; > -р {а — большая полуось, b — малая) и которые
расположены так, что на малая ось направлена вдоль потока, отрыв
начинается не в задней критической точке, а в некоторых двух
точках, симметричных относительно малой оси. С увеличением отно-
шения -г точки начального отрыва приближаются к концам оольшои
оси, а время Ц убывает !).
Мы ограничились здесь рассмотрением случая
плоско-параллельного течения. Распространение того же метода на
случай обтекания тел вращения было дано Больтце2).
Идея расчёта остаётся при этом той же самой с той лишь
разницей, что уравнение неразрывности вместо D.08') должно
быть взято в виде D.19"). Само решение, в котором г\
представляется в виде ряда, аналогичного E.04) с сохранением
первых трёх членов, нами воспроизводиться не будет по
причине его значительной сложности и громоздкости.
Соответствующий расчёт даёт в случае обтекания шара картину
развития пограничного слоя, аналогичную той, которая получается
для круглого цилиндра. В частности, начальный отрыв на шаре
происходит также в задней критической точке по истечении
промежутка времени
^ = 0,39^-, E.18)
где а—радиус шара.
') См. W. Т о 11 m i е п, Handbuch d. Experimentalphvsik, т. IV„
ч. 1, 1931, стр. 274.
2) См. Аэродинамика, т. III. Оборонгиз, 1939, стр. 120—122.

208 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
Картина нарастания толщины пограничного слоя на шаре
получается аналогичной той, которая дана ниже (см. фиг. 33)
для случая обтекания цилиндра.
Отметим в заключение, что решение задачи о развитии
пограничного слоя, рассмотренное выше, пригодно лишь для
достаточно малого начального периода движения и не
позволяет, полагая t—>■ оо, осуществить предельный переход к
соответствующей стационарной задаче.
2. Развитие пограничного слоя при равноускоренном
движении. Рассмотрим теперь задачу о развитии
плоско-параллельного пограничного слоя на цилиндрическом теле,
которое начинает двигаться в маловязкой жидкости из состояния
покоя равноускоренно. Положим, что распределение
скоростей на границе внешнего потенциального потока нам известно
и представлено в виде:
U(x,t) = iW(x). E.19)
Подставляя это значение в D.08), получим в данном случае
следующее уравнение движения вязкой жидкости в
пограничном слое:
*L*+Vxp + V /^=r+^VF^ + v^. E.20)
dt ' х дх 1 У ду l iix ] дуг
Введём опять переменное щ, определяемое равенством E.01),
и функцию тока ф(.г, щ, t). Положим, что для малых
значений t эта функция может быть также представлена в виде
ряда, аналогичного E.03):
ф = 2 /vf Г Wb (г,) t + Г ~?3 (r,) P +
E.21)
При этом в E.21) величины А0(х), А1(х) заменены их
значениями из E.06), a U—выражением E.19).
Из E.21) с помощью E.02) находим:
vx = W'Vi t + W^y's t* + . . ., E.22)
r. /— fdW , , [w/d2W , fdW\2~\ ., , \ rWl

§ 15 ПРИБЛИЖЁННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ 20Я
Подставляя эти значения в E.20) и требуя, чтобы уравнение
E.20) удовлетворялось при любом /, получим для
определения <f>ft(Tj) следующую систему обыкновенных
дифференциальных уравнений:
E.23.1
Граничные условия для <р, будут при этом такие же, как для
/0 в E.08); для ш3—такие же, как для /, и т. д. Интегрнрух
первое из уравнений E.23) и удовлетворяя соответствующим
граничным условиям, найдём:
?;= — 2r|2+_^rie-^ + (l+2rl2)ErfG1). E.24)
Тогда, ограничиваясь в разложении E.21) одним первым
членом, получим для vx в первом приближении значение:
vY=Wtm\- E.25)
Расчёт второго приближения оказывается уже достаточно
громоздким. Мы ограничимся представлением графика
определяемой при этом функции !р3
[фиг. 32; там же показана и
зависимость if' (r\), определяемая
формулой E.24)].
Второе приближение даёт
следующее уравнение, которому
должны уловлятворять время и
место отрыва пограничного слоя:
2,34+^**:
1 dx
:0. E.26)
Последующее приближение, рассчитанное Блазиусом, даёт
уравнение для определения места и времени отрыва в виде:
+ 0,427 *g fi- [о,026 (^J+0,010WEg]*4 = 0. E.27)
14 СМ. Тарг

210 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
Время начального отрыва определяется из E.26) или E.27)
так же, как и в случае, рассмотренном в п. 1
В частности, при обтекании круглого цилиндра радиуса а
находим, что начальный отрыв происходит в задней
критической точке. Для времени tl начального отрыва получаем из
5.26) и E.27) в первом и втором приближениях значения
^=1,08 /|, |
Z1 } E.28)
4» = 1,02 /£o,J
где W0—ускорение поступательного движения цилиндра.
Соответственно путь, проходимый цилиндром за время до
возникновения начального отрыва, равен в первом и втором
приближении 0,585а и 0,52а. Сравнивая эти величины с
теми, которые дают равенства E.17), замечаем, что при
равноускоренном движении цилиндр успеет пройти до момента начала
отрыва в задней критической точке расстояние примерно в
1,6 раза большее, чем в случае движения, начинающегося из
состояния покоя мгновенно.
§ 16. Приближённые уравнения неустановившегося
течения жидкости в пограничном слое
и их интегрирование.
1. Приближённые уравнения плоско-параллельного
течения и их интегрирование. Изложенный выше
приближённый расчёт развития пограничного слоя со временем связан,
как мы видели, с достаточно громоздкими вычислениями и даёт
решение, справедливое лишь для достаточно малых значений i.
Значительно более простое решение можно получить, если
заменить уравнение D.08) приближённым уравнением, аналогичным
тому, которое рассматривалось в § 13, и распространить
изложенный там метод решения на случай неустановившегося
течения. Определяемое таким путём приближённое решение
обладает тем преимуществом, что даёт в конечном виде результат,
годный для любого момента времени г1 и в пределе при t—>со
переходит в решение соответствующей стационарной задачи.
Переходя к получению приближённых уравнений движения,
заметим прежде всего, что уравнение D.08) может быть пред-

§ 16] ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ II ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 211
ставлено в виде
Vjfc+U+UW^w,, E.29)
где аналогично D.60')
у
dvr , dVy. dv~ Г dvr , /г п„,ч
и> ■■=—--\-vr -~ — -г-* \ -r^dy. E.29)
х tit х х дх ду J dx s v
о
При этом в E.29) и всюду ниже точка означает частную
производную по t, а штрих — частную производную по х.
Введём опять переменное rj = 4-, где § — толщина
пограничного слоя, и примем, исходя из допущения, изложенного
в начале § 13, что уравнение E.29) можно заменить
приближённым уравнением
*£ = £(-0-UU' + wx). E.30)
Входящее в E.30) значение wx подсчитаем с помощью
E.29'), принимая опять для vx значение D.63), где только
теперь будет U=U{x, t). Тогда, замечая, что в
рассматриваемом случае S = £(.v, /) и, следовательно,
" У >'— у, а'
найдём после соответствующих подсчётов:
Wx= Ц- C7) -1J») - 4 U (т, - 7]«) | +
_|_^A8гJ_3г;4 + Г|6)_^(/2|FгJ_7г14 + гN). E.31)
Подставляя найденное значение wx в E.30), проинтегрируем
это уравнение дважды по ij, удовлетворяя одновременно усло-
виям: -^- = 0 при >] = 1 и i'v = 0 при т]==0. Тогда, вводя
одновременно величину £, определяемую равенством D.45),
найдём окончательно закон распределения скоростей в погра-
14*

212 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
ничном
vx=U
слое в виде
Г 1 О г ( 3 , | т,3 г5\
, 1 ,7, /366 , , 3 , rf>j_rp\
, 3 и ( г; 4S _j_ ТГ,В \
+ 32^s U'5' 2 +30Г' 56 J
E.32)
Наконец, используя условие t>x = U при 7j = 1, получим из
E.32) следующее уравнение в частных производных для
определения 'С или, что то же, 8:
»£+"£+(«"'+»*
<,=ъ,
где
/// = 2,33, //.==5,64,
U
b = 23,27.
E.33)
E.34)
Полагая, что в момент начала движения тощшна
пограничного слоя равна нулю, мы должны будем наС.ги в каждом
конкретном случае решение уравнения E.33),
удовлетворяющее условию £ = 0 при < = 0. Определённое таким образом
значение "{х, t) вместе с E.32) и даёт решение
поставленной задачи.
Для определения места и времени отрыва воспользуемся
опять условием D.03), принимающим в нашем случае вид:
eh J T,:
:0.
Подставляя сюда значение vx из E.32) и исключая из
получаемого равенства величину £' с помощью E.33), найдём
окончательно, что в точке отрыва должно быть:
\ = — 6,21 —0,0976^—0,8162^ С, E.35)
где попрежнему ). = £/'£.
Рассмотрим, в частности, случай течения, возникающего
мгновенно из состояния покоя. В этом случае будет U= U (х)

§ 16] ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ II ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 213
и уравнение E.33) примет вид:
Соответствующая этому уравнению система обыкновенных
дифференциальных уравнений будет:
dt_ clx dl
т U ~~ b — nU'Z '
Интегрируя уравнения, даваемые равенством двух первых и двух
последних из этих отношений, получим:
, Гdx _ I
t — т \Т. =С„
| E.37)
Ц]п __ ь \ U"-t dx = C2. j
Тогда общее решение уравнения E.36) будет, как известно,
иметь вид: £=Ф(С1, С2). Найдём отсюда частное решение,
удовлетворяющее условию 5 = 0 при /==0. Введём для этого
безразмерное переменное ъ, связанное с х зависимостью:
* = T.fe E-38)
где U* и /—какие-нибудь характерные для данного течения
скорость и линейный размер. Кроме того, обозначим:
F(y) = \ U"{<?)df. E.39)
Равенства E.38) и E.39) определяют <в и F с точностью
до постоянных, которые будем считать включёнными в Сх и С2.
Тогда уравнения E.37) можно будет представить в виде
ы E-40)
•<F2(C, ?) = 'F(?)--^f(?) = C2, |
где штрих означает производную по <р.
Пользуясь известным методом решения поставленной задачи,
подставим в E.40) вместо t и £ нули1).
') См., например, В. Ь. Степанов, Kvpc дифференциальных
уравнений, ОНТИ, 1937, стр. 304.

214 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
В результате получим:
Ч>!=-^, % = -bF(<p) = -bF\
где Ч1!, 1Р2 представляют собою значения Ч^ и Ч'2 при
*=:=о.
Заменяя теперь в последнем выражении 4х j и Ч;2
значениями lIf! и 4*2  E.40), получим искомое частное решение
в виде
'w-'f»-^
r=JL \ ml I <5-41)
^ и* f'w
Выражение E.32), в котором £ определяется формулой E.41)
и даёт решение задачи для случая движения, возникающего
мгновенно из состояния покоя. Место отрыва пограничного
слоя будет при этом определяться условием:
\,= — 6,21— 0,0976 £. E.42)
Заметим, что, удовлетворяя при решении уравнения E.36)
условию о = 0 (или С = 0) при t = 0, мы уже не можем удовлетворить
одновременно какому-нибудь условию для 3 по х. Таким образом,
рассматриваемое решение нельзя будет применить, например, к
задаче о развитии пограничного слоя на пластинке, так как мы не
сумеем при этом удовлетворить одновременно условиям 8 = 0 при
£ = 0 и 5 = 0 при х — 0. Тот же результат, как мы видели, имеет
место и при применении метода решения, изложенного в § 15.
2. Развитие пограничного слоя на круглом цилиндре.
В качестве примера рассмотрим опять задачу о развитии
пограничного слоя на круглом цилиндре радиуса а, полагая,
что в момент £ = 0 цилиндр начал двигаться в маловязкой
жидкости поступательно с постоянной по величине и
направлению скоростью U0. Тогда на границе внешнего
потенциального потока распределение скоростей будет даваться формулой
E.16). Введём вместо х новое переменное т, полагая
х
cos — =т,
а
dx = —
adv ( E.43)
)/"!_ хг

§ 16] ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 21С
Кроме того, из E.16) будем иметь:
U=2U0A— -J) г- E.44)
Перейдём к определению С- Принимая в E.38) £/* = 2/70
и /=а, получим для нашего случая, полагая а^О при т = 0:
T-zr72 = — Arth т E.45)
"о
или
т = —th-f. E.45')
Введём, кроме того, функцию
т --1
ф(т)= ^ {1 —т2J d~. E.46)
о
Если взять из E.34) значение я = 5,46 и представить под-
интегральное выражение в виде ряда, то, произведя почленное
интегрирование, будем ещё иметь:
ф(Т) = т —0,606 т3-|-0,149 т5+ 0,007 т7 + . .. E.47)
Тогда, замечая, что Ф (т) — функция нечётная, найдём из
E.39) и E.45'):
F(<?) = BU0)"<&(th>?), \
F(<?-ki) = BU0)»<I>[th(* — kt)], / E'48)
где обозначено
А. = ?^=:0,86^. E.49)
та а * '
Подставляя значения E.48) в E.41) и переходя с помощью
E.45') от ш к т, получим окончательно:
„ Ьа Ф(т) — Ф(т)
*- — Щ A-1*)''* ' E-5°)
где
th {kt) -f т
1 -f т th (kt)'
E.51)
Закон распределения скоростей в слое будет даваться
формулой E.32), где в рассматриваемом случае 0=0, а £
определяется формулой E.50). Таким образом, задача оказывается
решённой.

216 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
Покажем, что при t—► оо полученное решение переходит
в решение соответствующей стационарной задачи. Прежде
всего из E.51) будем иметь, что при / = оо у=1- Тогда
формула E.50) даёт-
__Ъа ФA)- Ф<Т)
s* = «— 2Uo (J_t2)% • E.02)
Заметим, что такой же результат получится из формулы
D.66) для стационарного движения, если в ней заменить U
значением E.16), и, беря начало отсчёта в передней
критической точке, положить х0 = 0.
Далее из E.50), учитывая обозначение E.46), найдём:
<К_ ba A— у'/4-1 &1
dt ~~ 2Ua (i _ тЗ)"', dt •
Но из равенства E.51) следует, что
*l^_ k(l--fi) . 1-т3_ 1 ,«,„.
dt (chkt + xshkW 1-х- (ch« + tshW v°-00'
В результате, принимая во внимание E.49), получим:
t = -^(chkt-t-Tshktrn. E.54)
Последнее равенство даёт при t = oo C=-0. Так как в
рассматриваемом случае и £7=0, то формула E.32) переходит
при этом в формулу D.64), выражающую закон
распределения скоростей в слое при стационарном течении 1). Таким
образом, мы убеждаемся, что полученное решение действительно
даёт при t—► оо решение соответствующей стационарной
задачи.
Перейдём к определению положения точки отрыва.
Подставляя в E.42) значение £ из E.54) и используя равенства
х
') Значение £ при — = п или т = — 1 в случае t—>■ оо может не
а
рассматриваться, так как в установившемся течении отрыв погранич-
х
ного слоя происходит при — < п.

§ 16] ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 21?'
E.34), получим:
Хс = — 6,21 — 0,976 fch £/-)- cos ish ki] ~*M. E.55)
Выражение l = U'{, определяется значениями U и ^ из
E.16) и E.50). Таким образом, формула E.55) позволяет
найти место отрыва как функцию х и /, т. е. установить, где
произойдёт отрыв р какой-нибудь фиксированный момент
времени t или, наоборот, когда произойдёт отрыв в точке с
данной координатой х. Найдём, пользуясь формулой E.55), момент
начального отрыва. Из E.55) и E.16) видно, что отрыв на-
ступит прежде всего в точке, где — =п, т. е. в задней
критической точке. Полагая тогда т = — 1, получим из E.51),
что •((—h t)=— 1. При этих значениях формула E.50),
определяющая величину £, даёт неопределённость. Раскрывая
эту неопределённость и используя при дифференцировании
функции ф(-) равенство E.46), получим:
Vi-t-'j д~ Чт = -г
Заменяя здесь величину, стоящую в круглой сксте, её
значением из E.53) и вычисляя с помощью E.51) -г1, найдём
окончательно:
Xt=_, = ^-A— е-"*').
Положим теперь в E.55) — = тг и подставим туда найденное
значение \, а также величины Ь и п из E.34). Тогда для
определения момента начального отрыва /, получим уравнение
е5,б4«|==:з,28.
Отсюда, заменяя k его значением из E.49), находим:
/,=0,25-^. E.56)
Полученное здесь значение 1г оказывается несколько меньшим,
чем то, которое определяют в первом и втором приближении
равенства E.17).
Ъ = _,=(£/;),=

218 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
При дальнейшем движении цилиндра (^^>^) точка отрыва
начинает перемещаться от задней критической точки вверх.
Найдём положение, к которому стремится точка отрыва при
t—►оо; это положение будет соответствовать месту отрыва
пограничного слоя при установившемся течении, для которого
закон распределения скоростей во внешнем потоке даётся
формулой E.16). Полагая в E.55) /=оо, придём к условию
\S=(U'QS = — 6,21. Заменяя здесь [ф=0О её значением из
E.52) и вычисляя ФA) с помощью E.47), получим для
определения предельного положения точки отрыва уравнение
■bTl [0,55 — /Чт,)]:
6,21A
Найденная из этого уравнения величина т, даёт для
предельного угла отрыва ш значение fs =^ 110°, где
ф.—центральный угол, отсчитываемый от передней критической
точки!). Время перемещения точки отрыва от начального
положения, где;р0= 180°, до предельного положения, определяемого
углом <ps, теоретически равно бесконечности. Однако
практически, благодаря тому, что время t входит в условие отрыва
как степень показательной функции, перемещение точки отрыва
происходит очень быстро. Подсчёт показывает, что угол отрыв;!
будет отличаться от сюего предельного значения <р на 1°/0
16
п
д
li
-\1Шс
yav
? . ....
t=0,94
а
Qmpi
ыв
s
У
-" t
t
/
/
/
=0,25%-
ц>-
/
/
Отрыв
Ч
20
40
60
SO
120
М
160 Ш<р'
Фиг. 33.
1) Фотографии, приведённые в конце книги Л. Прандтль —
-О. Титьенс, Гидро- и аэромеханика, т. II, ОНТИ, 1935, дают для
угла cfj несколько большее значение, примерно 114— 115°.

§ 16] ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ II ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 219
по истечении промежутка времени t2 (отсчитываемого от г=0),
равного:
t2 = 0,94
Un
E.57)
цилиндр за это время пройдёт расстояние немного меньшее,
чем длина его радиуса. Можно считать, что примерно с этого
момента начинается нарастание образующейся за цилиндром пары
вихрей. Появление этих вихрей вызывает изменение распреде. е-
ния скоростей во внешнем потоке; в результате вместо E.16)
получается распределение скоростей того вида, которое для
соответствующего частного случая даётся эмпирической
формулой D.38). Изменение распределения скоростей приводит
в свою очередь к дальнейшему перемещению точки отрыва
вперёд до нового предельного положения, определяемого углом
ш5 = 82° (см. § 11 или п. 2 § 12).
Чтобы дать более ясную картину роста толщины
пограничного слоя с течением времени, были произведены
соответствующие подсчёты по
формуле E.50) для момента
начального отрыва tx и для
момента t2, когда точка отрыва
практически близка к
предельной. Картина изменения
толщины пограничного слоя
на пнлиндро в указанные
выше моменты времени дана
на фиг. 33. Для большей
наглядности на фиг. 34
пограничный слой для моментов tt
и t2 изображён в
увеличенном масштабе
непосредственно на самом цилиндре.
Обращает на себя внимание сильный рост толщины
пограничного слоя за точкой отрыва в момент t2 (граница слоя за
точкой отрыва показана пунктиром), довольно ясно указывающий
на образование начального вихря.
3. Приближённые уравнения осесимметричного течения
и их интегрирование. Изложенный выше метод легко
распространяется на случай обтекания тела вращения потоком,
направленным параллельно оси симметрии тела. В случае
неустановившегося течения движение в осесимметрпчном пограничном
Фиг. 34.

220 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [гл. V
слое описывается уравнениями D.08) и D.19"). Как и в
предыдущем случае, уравнение D.08) может быть представлено в виде
E.29). При этом аналогично D.72) найдём, что
у
dvx , dvx dvx С / dvx , R'
«r=-w + ^-6f-:jf}(-w+wv'}dy- E-58)
0
Пользуясь теми же допущениями, что и в п. 1, заменим
уравнение E.29) приближённым уравнением E.30). При вычислении
wx примем опять закон изменения vx в виде D.63).
Одновременно, полагая, что передняя часть обтекаемого тела является
тупой, положим приближённо R = R0(x). Тогда, подставляя
значение vx из D.63) в E.58), получим для wx выражение,
отличающееся от E.31) лишь тем, что коэффициент перед
последней скобкой будет вместо 4- содержать D--|- о"
Подставляя найденное таким образом значение w в
правую часть E.30) и дважды интегрируя, нпйдём аналогично
E.32) и D.73):
z>=U
'иЛтГ—Г'+2~20 ) +
, 1 ,„„ /366 „ , , 3 . rjU , г,8\ , 3 ■„ I' т) т,з ,
3 ( ,,„ , 2/?0 !гЛ f2iK г,* , 7 г?
+ ЗГ2Г/С' + ЖУСЛ^^-Т+30Г' 56
E.59)
Отсюда, используя условие vx=U при rj = l, получим для
определения С следующее уравнение в частных производных:
где значения т, и и b—-те же, что и в E.34).
Задача сводится теперь к нахождению частного решения
уравнения E.60), удовлетворяющего условию ц — 0 при ^ = 0.
Определив соответствующее выражение " {/, т), мы из E.59)
найдём распределения скоростей в пограничном слое и задача
таким образом будет решена до конца. Наконец, используя
условие D.03), получим, что и в данном случае место и время
отрыЕа будут определяться уравнением E.35).

§ 16J ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 221
В частном случае течения, возникающего мгновенно из
состояния покоя, уравнение E.60) примет вид:
и соответствующая ему система обыкновенных
дифференциальных уравнений будет:
(U iix_ tfC
т—а~~ i £>■ х ,5.62)
b-\2-^U + nU'Y
Интегрируя уравнения, даваемые равенствами двух первых и
двух последних отношений, получим:
t — m[-£ = Cv |
' E.63)
Will» — b\ Rlun~4x = C,. I
Перейдём здесь опять к переменному if, определяемому
равенством E.38), и введём функцию
Fi{<p)=[RUy)Un{'f)dif. <5-64)
Тогда, повторяя все рассуждения, приведённые в п. 1,
получим для £ частное решение, удовлетворяющее условию
5 = 0 при / = 0 в виде, совпадающем с E.41), с той лишь
разницей, что всюду вместо функции F будет стоять Fy.
Место отрыва будет в этом случае опять определяться
уравнением E.42).
4. Развитие пограничного слоя на шаре. В качестве
примера рассмотрим задачу о развитии пограничного слоя на
шаре радиуса а, который в момент / = 0 мгновенно
приобретает скорость U0 и дальше движется с этой скоростью
равномерно, поступательно и прямолинейно. Одновременно будем
считать, что в момент / — 0 во внешнем потоке
устанавливается потенциальное распределение скоростей и на внешней
границе пограничного слоя во всё время движения
U = ~U0sin~.' E.65)

222 НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
Кроме того, в нашем случае будет
X
R0 = as'm—. E.66)
Введём опять переменное т, определяемое равенством E.43).
Тогда, заменяя в E.63) U и R0 их значениями из E.65) и
E.66) и переходя к переменному т, мы после вычисления
соответствующих интегралов получим:
, . 2 та , 1 — - „ \
* + " 77" ,п ГТ~г = С1 >
' 3 ^о 1 + « i E.67)
0. hn !
Т+1 , 2 Ьа
СО—т»J +ijJ^i^ = C24
где
Фг(т)= \A— т2JЛ. E.68)
"i
Интеграл E.68) можно так же, как и E.46), представить
в виде ряда, аналогичного E.47).
Повторяя в точности те же выкладки, что и при
получении формулы E.41), найдём окончательно следующее решение
уравнения E.61), удовлетворяющее условию £ = 0 при t = Q:
„_2_Ьа <Е>!(т) — <t>i(т)
где "((i,t) также определяется формулой E.51), в которой,
однако, будет:
* = 4-^. E.70)
2 ma * '
Формула E.69) вместе с E. 59) и даёт решение поставленной
задачи. Так же, как и в предыдущем случае, при t—>-оо это
решение переходит в решение соответствующей стационарной
задачи.
Положение места отрыва определяется условием E.42),
которое в данном случае может быть также приведено к виду,
аналогичному E.55). Не производя вновь этих преобразований,
найдём время начального отрыва пограничного слоя
непосредственно из уравнений E.42) и E.61).

§ 16] ПРИБЛИЖЁННЫЕ УРАВНЕНИЯ II ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ 223
Подставляя в E.61) вмсто U и R0 их значения из E.65)
и E.66), будем иметь:
,»: + i t/„C sin^ + (| » + з)^ s cos £ = ft. E.71)
Так же, как и у цилиндра, начальный отрыв на шаре
произойдёт в задней критической точке. Тогда, полагая в E.71)
х „ ..
— = тт, найдем следующее уравнение для определения закона
нарастания слоя в задней критической точке:
^ + £(" + 2)С <5'72>
Проинтегрировав это уравнение и удовлетворив условию ц = 0
при ^ = 0, получим:
1+0,492^? =в4,92^'; E.73)
при этом в E.73) подставлены значения т, nub из E.34).
Далее, из условия отрыва E.42), имея в виду, что ^ = £/'£,
и подставляя сюда значение U' при — = тг из E.65), будем
иметь:
-|-^-0r = 6,21-fO,0976C E.74)
Исключая из E.74) £ с помощью E.72) и заменяя одновременно
С значением, определяемым формулой E.73), получим для
нахождения времени начального отрыва ti уравнение
4,92-^ U
е а =4,48,
которое даёт:
^=0,31-^-. E.75)
Как и в случае цилиндра, значение г",, даваемое формулой
E.75), меньше того, которое определяется формулой E.18).
При дальнейшем движении шара точка отрыва быстро
перемещается вверх, стремясь к предельному положению,
которое, как II в случае цилиндра, определяется углом 6f = 110°.
Проведённые подсчёты показывают, что угол отрыва будет

2'2А НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. V
отличаться от предельного значения bs на 1°/0 по истечении
промежутка времени tv равного
t,=s\,2&~. E.76)
Со
Закон нарастания толщины пограничного слоя определяется
■формулой E.69). Соответствующие подсчёты дают результаты,
аналогичные тем, которые в случае цилиндра представлены
на фиг. 33 и 34.
В заключение отметим, что как в случае обтекания шара,
так и в случае обтекания цилиндра все приведённые выше
расчёты были проделаны также при условии, что в
уравнении E.30) величина wx определяется законом изменения
скорости: vr = Usin ( ■„■ г; ) . В обоих случаях для величин tx, t2
и б, (или ъ,) были получены те же самые значения, что и
« пп. 2 и 4.

ГЛАВА VI.
РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В ТРУБАХ.
§ 17. Приближённые методы расчёта течения
в начальном участке трубы.
1. Понятие о начальном участке. При ламинарном
течении жидкости в круглой трубе движение на достаточно
большом расстоянии от входного сечения происходит по закону,
полученному в п. 5 § 5. Профиль скоростей в любом
сечении трубы оказывается при этом параболическим и
определяется формулой B.23), а закон изменения давления вдоль
трубы даётся формулой B.24). Эти результаты хорошо
подтверждаются как первоначальными опытами Гагена и Пуазейля,
так и экспериментами ряда других исследователей.
Однако вблизи входа в трубу картина течения оказывается
совсем иной. Если считать вход в трубу достаточно плавным,
то жидкость, втекающая в трубу, будет иметь первоначальное
распределение скоростей, почти постоянное по всему
поперечному сечению. Только у самих стенок трубы вследствие
прилипания скорость жидкости будет обращаться в нуль. Затем,
по мере удаления от входного сечения, под влиянием сил
вязкости будет происходить торможение слоев жидкости, всё более
и более удалённых от стенок, и в конце-концов установится
режим течения, который описывается формулами B.23) и B.24)
и который мы в дальнейшем будем называть параболическим.
При этом переход течения в параболическое будет, конечно,
происходить асимптотически.
Условимся при конкретных расчётах считать, как предложил
Прандтль, что параболический режим устанавливается, начиная
с того сечения, для которого скорость на оси трубы
отличается от величины 2UQ, даваемой формулой B.23), менее
15 С. М. Тарг

226 РАЗБИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
чем на 1°/0. Тот участок трубы, на котором распределение
скоростей изменяется от распределения, имеющегося в
начальном сечении, до распределения, соответствующего (с точностью
до 1°/0) параболическому режиму, и будем именовать
начальным участком. Длина начального участка, как показывают
и теоретические и экспериментальные исследования, оказывается
достаточно большой, и учёт особенностей течения на этом
участке при различного рода конкретных расчётах приобретает
существенное практическое значение (например, в
вискозиметрах, коротких трубопроводах и т. п.).
2. Расчёт начального участка в круглой трубе по
методу Буссинеска. Рассмотрим течение вязкой жидкости
в круглой цилиндрической трубе радиуса R. Совместим с
центром входного сечения начало осей цилиндрических координат
и направим ось Oz вдоль оси трубы в сторону течения. Будем
считать, что во входном сечении скорость жидкости всюду
одинакова и равна U0. При этом вследствие постоянства
расхода величина £У0 будет одновременно равна средней по
расходу скорости в любом сечении. Далее примем, что на
достаточном удалении от входного сечения устанавливается
параболический режим с профилем скоростей B.23). Тогда, вводя
новое переменное
S = J, F.01)
будем иметь:
при 2 = 0 vz=U0, при 2=оо v, = 2Un A —-£). F.02)
Задача расчёта течения в начальном участке может быть при
этом сведена к определению функции vz (z, £),
удовлетворяющей условиям F.02) и граничным условиям на стенках трубы.
Приближённое решение задачи в такой постановке было дано
Бусспнеском'), метод которого и излагается ниже.
Введём в рассмотрение функцию ш (z, Е), полагая
vt = U0 [2 A_£) + ш]. F.03)
') J. Boussinesq, Compt. Rendus de Г Ac. d. Sc, т. 113, 1891,
стр. 9 и 49.

§ 17] ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА 227
Тогда задача сведётся к определению функции (о, для
которой, как это следует из F.02) и из условия прилипания
жидкости к стенкам трубы, будет:
при z = 0 @ = 23—1, при z=oo @ = 0; F.04)
при $ = 1 (z>0) ю = 0. F.04')
Перейдём к определению дифференциального уравнения,
которому должна удовлетворять искомая функция со. Для этого
обратимся к уравнениям движения жидкости в цилиндрических
координатах A.47). Считая, что в каждой данной точке
скорость с течением времени не изменяется, отбросим в
уравнениях производные по t. Далее, в силу симметрии течения выпадут
все члены, содержащие v4, и производные по ». Массовыми
силами, как обычно, будем пренебрегать. Наконец, считая,
что изменение основной скорости vz по направлению вдоль
радиуса происходит значительно быстрее, чем в направлении
оси трубы, пренебрежём производной —г-f по сравнению с
дг2 '
Тогда последние два m уравнений A.47) примут вид:
>-/#+».%=-11+Ч5+7т;). (ад
£+J.4£i = o. ,6.05')
Кроме того, в первом из уравнений A.47), считая v <stv ,
можно пренебречь всеми членами, содержащими vr. Тогда это
уравнение даст ^ = 0, откуда следует, что в F.05) можно
считать
P = p(z), F.05")
т. е. полагать, что в каждом данном сечении давление вдоль
радиуса не изменяется.
Исключим теперь из уравнений F.05) и F.05') v и
перейдём затем к переменному £. Для этого, интегрируя F.05')
по г и удовлетворяя условию vr = 0 при r = R, получим:
Cdv.
rv-=-\-dircir-
R
15*

228 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
Тогда, принимая во внимание F.01), будем иметь:
г £
dv, 1 dv, (' dv, , dv, ('dv, ,»
R 1
Так как, кроме того,
r dr № ~d- ' dr* /?* -fff -Г pi'- -Щ2 >
то, подставляя все эти значения в F.05), придём к уравнению
V*dz d- J бга-~ p dz i ЯЩ i4 "ЭТУ ' l '
l
Чтобы исключить отсюда /?, продифференцируем обе части
равенства по S. Тогда получим:
i
Подставим теперь в F.07) вместо vz её значение из F.03)
и, полагая величину ш малой, отбросим все члены,
содержащие произведения <о или её производных.
Тогда, вводя обозначение
получим следующее приближённое уравнение для определения й
RRl-idQ #9 „
^-Гдг = д¥> F-08)
где
or г.
F.09)
/W0
Как видно из F.04), приближённое уравнение F.08) годится для
достаточно больших z и будет давать значительные погрешности
при z, близки* к нулю, т. е. вблизи входного сечения, где
предположение о малости со не выполняется.
Чтобы найти условие, которому удовлетворяет функция °,
заметим, что
оо о

§ 17] ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА 229
В справедливости этого равенства легко убедиться, если
воспользоваться для левого интеграла формулой
интегрирования по частям и условлен F,04').
С другой стороны, условие постоянства расхода, если прн-
1
нять во внимание обозначение F.01), даёт \ vrd% = U0. Под-
6
1
ставляя сюда значение v, из F.03), находим, что \wdc. = 0.
о
В результате получаем следующее граничное условие для 9.:
1
[й<Й = 0. F.10)
о
Кроме того, очевидно, будет:
при 1 = 0 о = 0. F.10')
Итак, задача свелась к нахождению решения уравнения F.08),
удовлетворяющего условиям F.10) и F.04). Будем искать это
решение в виде
2?nz
й — се~'М*Ч'A),
где т и с — постоянные.
Подставляя в F.08), найдём, что функция 1¥ должна
удовлетворять уравнению
F + m^'F = 0. F.И)
При этом, как легко видеть, граничные условия для Ч1
сохраняют вид F.10) н F.10').
Решение уравнения F.11) будем в свою очередь искать
в виде ряда:
44$) = ; — А^ + А*? — ,44'4 + ... , F.12)
для которого условие F.10') уже удовлетворено. Подставляя
этот ряд в F.11) и уравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях 5, найдём:
Аъ=\\ А'=А1 + *к , л 1F.13)

230 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
Наконец, подставляя ряд F.12) с коэффициентами F.13) в
условие F.10), получим следующее уравнение для
определения т:
. т , т2 ЮЗтЗ , 1097т* „ .„ .
4 I- 45 360-280~Г3602-294 и- <0Л4'
Каждому из корней mlt m2, >п3, ■ ■ ■ уравнения F.14)
соответствует своя система коэффициентов F.13) и, следовательно,
своё значение функции Ч*. В результате полное решение
уравнения F.08), удовлетворяющее условиям F.10), представится
в виде ряда
Q = sg. = gv **"«Р,<5). F.15)
Интегрируя полученный ряд почленно по £ и принимая во
внимание условие F.04'), будем иметь:
оо
ти
где
=-Zv "W4*(S), F-16)
i
Ф*=("ВД?-
Заметим, что уравнение F.14) не может быть удовлетворено
при т<^0. Следовательно, в F.16) условие со = 0 при 2= ос
будет выполнено. Остаётся удовлетворить первому из условий
F.04). Это можно сделать приближённо, ограничиваясь в F.16)
первыми я членами и выбирая коэффициенты ck так, чтобы
интеграл
\ М. + с,<1>, + • • • + <v!>„ + ®о№ F.17)
имел минимальное значение. При этом в F.17) <о0 означает
заданное выражение w при 0 = 0 (в нашем случае а>0 = 2£— 1),
а всё подинтегральное выражение представляет собою квадрат
разности шг=1)-—(о0, где со2=0 есть то значение ш в сечении z = Q,
которое даётся решен1гем F.16).

§ 17] ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА 231
Таким образом, задача оказывается решённой. Закон
изменения давления вдоль трубы можно найти из уравнения F.06),
где v, теперь известно.
Получаемое таким путём решение будет давать
значительные погрешности для малых значений z по двум причинам.
Первая, как уже отмечалось, вытекает из предположения о
малости ш, сделанного при получении уравнения F.08); эта
погрешность может быть, правда, несколько уменьшена
отысканием значения ю во втором 'приближении с помощью уравнения
F.07). Второй причиной является то, что при сохранении
в разложении F.16) малого числа членов (в конкретных
расчётах приходится ограничиваться одним, двумя слагаемыми),
условие в начальном сечении будет удовлетворено очень грубо.
Поэтому при малых z значения vz, даваемые формулами F.03)
и F.16), будут весьма далеки от истинных.
Буссннеск, ограничиваясь в разложении F.16) одним
первым членом, нашёл из F.14) тл = 8 и после численных
расчётов получил:
m{z, £) = — 8,2е «R^jjlj. F.18)
где
ф, (£) = 0,160 — S -{- 2¥ — 2,222;3 +
-j- 1 _778;4 — 1,102SS -j-0,561Se — 0,242$' -|- . . . F-] 8')
Заметим, что определённое с помощью F.17) значение Cj=8,2
здесь очень грубо удовлетворяет условию F.04) при z = 0,
на что было указано выше. Так, например, F,18) даёт
ш @,0) =1,31 вместо а>@,0)=:1 по условию F.04). Более
точно закон изменения скорости на оси трубы будет даваться
формулой
_ '6
(vzh=0 = va = U0 B — «Г «R ""), F.19)
получающейся из F.03), если в F.18) определить сг так,
чтобы условие F.04) при z = 0 удовлетворялось точно.
Необходимо заметить, что для значений г > 0 л особенно при г,
близких к R, формула F.19) будет уже давать погрешности,
значительно большие, чем (Г. 18).
Закон изменения осевой скорости, определяемый формулами
F.18) и F.19), показан на фиг. 35. Там же нанесена экспе-

232
РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
ГЛ, VI
риментальная кривая, построенная по измерениям Нпкурадзе').
Как и следовало ожидать, при малых z получается
значительное расхождение между результатами приведённого
теоретического расчёта и эксперимента.
Для значений л^>0 соответствующие кривые (на фиг. 35
не показаны) должны строиться по формулам F.03) и F.18).
При этом для малых z расхождение с экспериментальными
данными оказывается ещё более значительным.
Полученное решение позволяет приближённо определить
длину начального участка. Для этого найдём то расстояние
"W
W
1.6
и
1.2
W
OS
0.6
/
/<'
1 1 1
l_ Зкспеоимент
7*.
'
-
■в.
К
,.
■ \
\
0.
LS
""и
"^Т
.-■
V."
'-'-
V-
-"
'ХПа форм. F191
-
По форм, (от/
i i i
94
В.
06
0.
78
6.
№
и
%
в.
4
0.16
ОД X
/7R
Фиг. 35.
Z., начиная с которого v 0 отличается от 2(У0 меньше, чем
на 1°/0. Очевидно, это будет при е W =0,02. Отсюда
для длины начального участка получаем значение
L==0,24RR, F.20)
достаточно близкое к экспериментальному, но, как видно из
кривых на фиг. 35, несколько его превышающее.
Более точный расчёт с помощью изложенного здесь метода
был произведён Аткинсоном и Гольдштейном2). При расчёте
в разложении F.16) были сохранены первые два члена; кроме
того, было вычислено ещё второе приближение путём подста-
!) Показанная на фиг. 35 экспериментальная кривая взята из книги:
Л. Прандтль — О. Титьенс, Гидро- и аэромеханика, т. И,
ОНТИ, 1935, стр. 36. По этим же данным построены экспериментальные
кривые на фигурах 36, 38 и 40.
2) См. книгу «Современное состояние гидроаэродинамики вязкой
жидкости», т. I. Изд, иностр. лит., 1948, стр. 341.

§ 17J
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
233-
новки одного только члена схе ~RR '|>j C) из первого
приближения в те слагаемые, содержащие произведения со и её
производных, которые были отброшены в F.07) при получении
уравнения F.08). Значения коэффициентов с1 и с2 в
полученном решении также определялись из условия минимума
интеграла F.17). Однако при этом за то начальное сечение, где
дано ы0, принималось не 2 = 0, a z = 0,0025/?R, в котором
щ
20
l.b
1.2
l.O
Од
0,4
0
L
rtr
03 L
gg^L
Щ 0,
'
~7I~=~
J6
ox
-^-_
Эксперимент
18 0.
10 0.
2
0,
4
0.
'6
0,2
—
4
=-^^
0.2
r/R
-on
'02
^04
0,6
0/
0.8
OS
' /?R
Фиг. 36.
распределение скоростей было предварительно вычислено по
методам теории пограничного слоя (см. ниже п. 3). В
результате всех этих уточнений получилось решение, дающее
достаточно хорошее совпадение с экспериментом при значениях
z'j>0,03/?R. Соответствующие расчётные (пунктирные) и
экспериментальные (сплошные) кривые показаны на фиг. 36.
При значениях 2<^0,03/?R расчёты, по указанию авторов,
дают заведомо неточные результаты, и данные о них
авторами не приводятся. Однако и этот уточнённый расчёт при
r=:0,4R, л=0,6/? и г = 0,9# даёт для значений z s£ 0,08/?R
значительные отклонения от экспериментальных кривых,
объясняемые, как уже отмечалось, тем, что при сохранении

234 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
'///жушжуж,
в F.16) только двух членов, условия в начальном сечении
удовлетворяются весьма приближённо.
Вопрос о длине начального участка авторами расчётов не
рассматривался. Однако характер кривых, показанных на фиг.36,
и приведённые авторами данные об изменении давления вдоль
оси, указывают, что значение L в этом приближении будет
меньше того, которое даётся формулой F.20).
3. Расчёт начального участка в круглой трубе с
помощью методов теорчи пограничного слоя. Расчёт
течения в начальном участке трубы
можно произвести, используя идеи
и методы теории пограничного
слоя. Пусть опять во входном
сечении круглой трубы радиуса R
скорость всюду постоянна п равна
U0. Исходя из картины течения,
данной в п. 1, положим, что в
каждом последующем сечении
трубы скорость жидких частиц,
достаточно удалённых от стенок,
остаётся также постоянной (ядро
течения), а в примыкающем к
стенкам трубы пограничном слое
скорость постепенно падает до нуля
•(фиг. 37). При этом, по мере удаления от входного сечения,
толщина ядра течения BD убывает, а толщина пограничного слоя 3
возрастает до тех пор, пока пограничный слой не заполнит всю
трубу. Сечение, в котором это происходит, т. е. то сечение, где
•окажется о = /?, и определяет конец начального участка.
Переходя на основе изложенного к расчёту течения в
начальном участке, будем полагать, что:
1) скорость U ядра течения в каждом данном сечении
трубы постоянна; по мере удаления от входного сечения
величина U вследствие постоянства расхода возрастает от зна-
•чения Ua в сечении z = 0 до значения 2U0 в конце
начального участка [таким образом £/=c7(z)];
2) профиль скоростей в пограничном слое является
параболическим н изменяется по закону
Ш/£Ш//Ш№;ЛШ
Фиг. 37.
* \ о о-
F.21)

§ 17] ПРИБЛИЖЁННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЁТА 235
где х—расстояние, измеренное от стенки трубы вдоль
радиуса;
3) трение в ядре течения практически отсутствует, и для
течения в нём справедливо уравнение Бернуллп; при этом
в каждом данном сечении давление в пограничном слое
совпадает с давлением в ядре течения.
Заметим, что так как x = R— г, то при 5 = /? и U(z) = 2U0
формула F.21) переходит в B.23), определяющую
параболический режим течения.
Для определения закона течения во входном участке
воспользуемся условием постоянства расхода и теоремой об
изменении количества движения.
Умножая обе части F.21) на 2тг (/? — x)dx и интегрируя
от 0 до Ь, найдём, что расход через данное сечение
пограничного слоя равен nUi-^-Rb— -г"82); расход же в ядре
течения будет itU(R — SJ. Тогда, ввиду постоянства расхода
в любом сечении, будем иметь:
U0R* = U
Отсюда находим:
■ J/?*—-f *2 + (я —*J
F.22)
-^ = 2-1/6^-2. F.231
Применяя теперь теорему об изменении количества
движения к массе жидкости, протекающей за секунду между входным
сечением и сечением, определяемым координатой г, получим:
AQ = P— W, F.24;
где Р—сила давления, a W—сила трения, действующие на
выделенный объём.
Используя уравнение Бернулли, найдём, что (см. условие 3)
LP — Ul
P=TtR*(p,—p)=TiR2? —°. F.25)
Кроме того, принимая во внимание F.21), будем иметь:
2 Z
w- ™ I * (&)д._0 **=^ Шdz- (б-2б)
о о

236 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. V
Наконец, для секундного изменения количества движения,
входящего в уравнение F.24), получим:
дд = тгр [(/? — iy-U- -f \ 2 (/? — х) v\dx — R2Ut] =
и
Подставим теперь величины, определяемые формулами F.25),
F.26) и F.27), в уравнение F.24), заменив предварительно
всюду величину о её значением из F.23).
Продифференцировав затем обе части полученного таким образом равенства по
г, придём после очевидных преобразований к уравнению:
/?~~ [15 5U^[oU 5Д°сУ J ~i
где R имеет то же значение, что и в F.09).
Введём для сокращения записей обозначение
Z = £-l. F.2Э)
Тогда, интегрируя уравнение F.28) и удовлетворяя условию
и=ио или Х=0 при z = 0, получим"
п
где
1
ИХ) = 4
gZ-fln(l+Z)-JID + 2Z-2y;-J-
16 f4^-2y\^_Z7V2 / . 2Х-1 , . 1 N , _26
T+Y У" кг Iarcs,n -з 1"arC51n  J т"з
') Изложенное решение принадлежит Л. Шиллеру (см. Л. Ш и л-
лер, Течение жидкостей в трубах, ОНТИ, 1936). Заметим, что
приведённое в этой книге уравнение D5) содержит опечатки,
повторённые в некоторых других изданиях. Выражение /(X), несколько
более простое, чем то, которое получил Л. Шиллер, взято из книги
«Современное состояние гидроаэродинамики вязкой жидкости», т. 1

§ 17]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
237
Определяемый формулами F.30) и F.21) закон изменения
скорости вдоль оси трубы при разных значениях г показан
на фиг. 38. Сравнение с изображёнными там же
экспериментальными кривыми показывает, что изложенный метод даёт
хорошее совпадение с экспериментом лишь для значений
z < 0,05 RR и притом для области течения, близкой к оси
трубы. По мере же приближения к стенкам, особенно при
0,02 0,04 ОМ 0,08 0J0 ОМ
Фиг. 38.
ОМ
7<?
СО
0,2
0,5
3.1
0.8
0.9
— г
0.16 0,24 ОД #r
г~>0,5/?, отклонение от экспериментальных кривых
становится всё более значительным даже при достаточно малых
значениях z. Эти отклонения объясняются, очевидно, тем,
что даваемый формулой F.21) профиль скоростей в
пограничном слое не вполне удовлетворительно описывает истинное
распределение скоростей вблизи стенок трубы.
Найдём теперь определяемую изложенным решением длину
начального участка L. Для этого положим в правой части
/6.30) £/—2£70 пли Х='- Тогда получим L = RRf(\) или
L = 0,115/?R.
F.31)

238 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
Даваемое формулой F.31) значение L, как это видно кз
хода экспериментальной кривой, изображённой на фиг. 38,
следует считать преуменьшенным.
Закон изменения давления на начальном участке может
быть определён по формуле F.25), в которой значение U
берётся из F.30). Соответствующие расчёты приведены в выше
цитированной книге Л. Шиллера.
Более точный расчёт начального участка с помощью теории
пограничного слоя можно произвести, если применить
непосредственно к уравнениям F.05) численный метод, изложенный
в § 11. При этом, как обычно в теории пограничного слоя,
величина -у в правой части уравнения F.05) заменяется тем
её значением, которое даёт уравнение Бернулли, применяемое
к ядру течения. Такие вычисления, связанные с численным
интегрированием уравнений F.05), были произведены Аткин-
соном и Гольдштейном '). При этом оказывается, что если
даже, как это делали авторы, сохранить в применяемых
разложениях первые пять членов, то получаемое решение будет
справедливо лишь для чрезвычайно малых значений z ^0,0025 RR.
Сравнение полученных таким путём результатов (при г<
sgO,0025/?R) с решением Шиллера дало для г«^0,8/?
расхождение, меньшее 1°/0; при г =0,9 разница составила 5°/0;
сравнение с экспериментом при столь малых значениях г
произвести довольно трудно.
Заметим в заключение, что при длине начального участка
порядка 0,2 /?R решение, справедливое лишь для z =^0,0025 RR,
не имеет существенного самостоятельного значения.
Названными выше авторамп это решение было использовано как
дающее распределение скоростей в начальном сечении при
расчёте по методу Буссинеска (см. п. 2).
4. Расчёт начального участка в плоской трубе.
Расчёт начального участка в плоской трубе с помощью методов
теории пограничного слоя был впервые произведён акад.
Л. С. Лейбензоном 2). Рассмотрим течение в начальном участке
'; См. сноску 2) на стр. 232. Аналогичный расчёт для плоской трубы
был ранее произведён Шлихтингом (Н. SchJichting, Zeitschr. fiir
angew. Math, und Mech., т. 14, 1934).
2) Л. С. Л е й б е н з о н, Руководство по нефтепромысловой
механике, ч. 1, Гидравлика. ГНТИ, 1931, стр. 33.

§ 17]
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА
239'
плоской трубы ширины b и высоты 2Л и будем попрежнему
исходить из изложенной выше схемы разделения потока на
ядро течения и пограничный слой. Обозначим скорость во
входном сечении £/0, скорость в ядре течения U, а в
пограничном слое vz, причём будем опять полагать, что vz
определяется формулой F.21). В конце начального участка режим
течения переходит в параболический, определяемый формулой
B.14). При этом будет 2 = Л, a U = -^ U0 и формула F.21),
так как при принятых обозначениях х = 1г—у действительно
примет вид B.14).
Перейдём к изложению расчёта, данного акад. Л. С. Лей-
бензоном. Из условия постоянства расхода в любом сечении
будем иметь:
2U0bh = 2Ub (/г — о) -j- 2b \ vzdx.
о
Заменяя здесь величину vz её значением из F.21) и
вычисляя интеграл, найдём окончательно:
4 = 3(l_%). F.32)
Применим теперь теорему о количестве движения, выражаемую
уравнением F.24). В данном случае будет:
Р= 2bh (рп—р) = bho (U2 — Ub),
W=2b | jjl
дх
*=о
dz = 4b;i — dz,
AQ =z2pb
= 2pbh
(h
— S) U2 + \,vldx-
■hUb
W-
Заменяя здесь 5 значением (б.32) и подставляя все эти
величины в F.24), мы, взяв от обеих частей равенства
производные по г, получим окончательно следующее
дифференциальное уравнение:
U
ul\ dU
16^+7^.
F.33)

:240 развитие течения вязкой жидкости в труьлх [гл. vi
где
R=-^. F.34)
Интегрируя уравнение F.33) и удовлетворяя условию
■U=U0 при z = 0, найдём следующую зависимость между
U и г:
T^foK-7^-1'61^-2)- F-35)
Отсюда, с помощью F.32) можно найти закон нарастания
толщины пограничного слоя, а используя уравнение Бернулли,
определить закон изменения давления в начальном участке
плоской трубы.
3
Полагая в правой части F.35) £/=—£/0, получим для
длины начального участка L в плоской трубе значение
£ = 0,103 AR. F.36)
Таким образом, все характеристики течения в начальном
участке плоской трубы оказываются найденными.
Уточнённый расчёт пограничного слоя в начальном участке
плоской трубы связан, как и в случае круглой трубы, с
довольно громоздкими вычислениями (см. первую сноску на
стр. 238). Для малых z этот расчёт производится с помощью
численного метода, изложенного в § 11, а затем решение
распространяется на большие значения z по методу Буссннеска.
Получаемые графики изменения скорости течения в начальном
участке носят качественно тот же характер, что и для
круглой трубы.
§ 18. Изучение развития течения жидкости в трубе
с помощью приближённых уравнений движения.
1. Развитие линейного профиля скоростей в круглой
трубе. Приближённые методы расчёта течения в начальном
участке, изложенные в предыдущем параграфе, имеют ту
особенность, что при построении каждого из них приходится
делать наперёд некоторые предположения о характере течения.
Так, в методе Буссинеска наперёд полагается, что течение
должно в пределе перейти в параболическое; в методах
теории пограничного слоя наперёд предполагается, что течение
в начальном участке раз еляется на потенциальное в ядре

§ 18] ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-НИЙ 241
течения и на пограничный слой. При этом, как и следует
ожидать, решение, даваемое первым методом, хорошо
согласуется с опытными данными на достаточном удалении от
входного сечения и даёт значительные неточности близ входа
в трубу. Наоборот, метод, основанный на теории пограничного
слоя, даёт хорошее согласие с опытом в сечениях, близких
к начальному, и приводит к значительным расхождениям с
опытом на большом удалении от входа. Уточнение расчёта
пограничного слоя в начальном участке трубы с помощью
численных методов приводит к очень громоздким расчётам и по
существу не меняет результата.
Ниже излагается другой метод решения задачи о развитии
течения в круглой трубе, основанный на использовании
приближённых уравнений движения вязкой жидкости, в которых,
подобно тому, как это делалось в параграфах 13, 14 и 16,
производится частичный учёт как членов, зависящих от вязкости,
так и инерционных членов.
Чтобы упростить выкладки, рассмотрим вначале задачу
о развитии линейного профиля скоростей, которая являлась
предметом исследования и в предыдущем параграфе.
Пусть опять в круглой неограниченной в одном
направлении трубе радиуса R происходит ламинарное течение вязкой
жидкости, причём во входном сечении жидкость имеет всюду
постоянную скорость £/0. Выберем ту же систему
цилиндрических координат, что и в п. 2 § 17, и воспользуемся
уравнениями движения F.05), в которых уже произведён
частичный учёт вязких членов, так как отброшена вторая
производная от v, по г. Произведём дальнейшее упрощение уравнения
F.05). Прежде всего, считая vr<<ivz, положим в левой части
уравнения vr = 0. Кроме того, допустим, что в коэффициенте при
-rf можно приближённо принять v2 = U, где U—некоторая
характерная для каждого сечения скорость. В
рассматриваемом случае естественно положить U=U0, так как U0 является
одновременно средней по расходу скоростью в любом сечении.
Тогда уравнения F.05) примут вид:
п <^г__ 1 dp, /ft,, l dvA
E£i J_ ! д (rtv) __ Q
dz * r dr
F.37)
16 CM. Tapr

242 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
При этом в F.37) принято во внимание условие F.05").
Введём новые переменные, полагая
г г
'R' y-"R'
.vt—U0 7,_JV n_P-Po
и ,, , г- —
F.38)
U0 ' "—U0'
где pn — давление во входном сечении.
Тогда уравнения F.37) примут вид:
'о"
"S+vS-RCe+e). <6-39>
ду2 ' у ду
ди | 1 d(yv)
= 0, F.39')
дх ' у ду
где R даётся формулой F.09).
Из условий прилипания жидкости к стенкам трубы,
принимая одновременно во внимание симметрию течения, получим
для рассматриваемой задачи следующие граничные условия:
при х = 0 и = 0, Р=0; F.40)
при х>0иу=1 u — —\,v = 0;\
при х>0 и _у = 0 v = 0. J [0-W>
Решение системы уравнений F.39) при условиях F.40)
будем строить, используя методы операционного исчисления,
основные сведения о котором были даны в § 7. Для этого
перейдём в F.39) от оригиналов a, v и Р к их изображениям
по переменному х. Тогда, принимая во внимание условия
F.40) и формулы C.05'), C.06') и C.07'), получим:
F.41)
F.41')
где р — комплексный параметр преобразования.
При этом, так как преобразование от постоянной величины
равно ей самой, граничные условия для и и v сохранят вид
F.40').
Уравнение F.41), взятое без правой части, имеет, как
известно, своими линейно независимыми решениями
цилиндрические функции от мнимого аргумента 10 (пу) и Ко (,1У)- Ча-

§ 18] ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-НИЙ 3
стное же решение неоднородного уравнения равно, как легко
видеть, —Р. Тогда общее решение уравнения F.41) будет;
й=С,10(яу) + С,К0(иу)—А
причём р и п связаны зависимостью
Рг?=л*. F.42)
Так как К0@) = °о, а скорость течения на оси трубы
должна быть конечна, то следует положить С, = 0.
Определяя теперь Сх из условия F.40') для и, найдём окончательно:
«=^-^-^ ^43>
Для определения Р умножим обе части уравнения F.41')
на у dy и проинтегрируем по у в пределах от 0 до 1. Тогда,
принимая во внимание условия F.40') для v, получим:
1
^uydy = 0. F.44)
о
Подставляя в F.44) значение и из F.43) и вычисляя
интеграл, найдём:
1 (p_i)Mi)_jE>=o.
п v 10(л)
Но так как _
— I, (л) = 10 (л) — I, (л), F.45)
то окончательно, принимая во внимание F.42), получим:
Р= iLMffl = M» F 46)
/pRIa(V^R) MW
Зная теперь изображения и и Р, перейдём к определению их
оригиналов и и А Из F.46) видно, что Р представляет собою
дробную функцию вида C.16), удовлетворяющую условиям
C.17) и имеющую в точке р = 0 простой полюс. В последнем
легко убедиться с помощью приведённых ниже рядов F.49).
Следовательно, оригинал Р будет даваться формулой C.22).
Обозначим через $k (k=\,2,...) последовательные
корни уравнения J2(x) = 0'), где J, — функция, связанная с 12
х) Все эти корни являются действительными и простыми.
Значения их можно найти в книге: Г. Н. В а т с о н, Теория бесселевых
функций, ч. II, изд. иностр. лит., 1949, стр. 101.
16*

244 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
равенством I2 (.v) = — J, (ix). Тогда легко видеть, что полюсы
функции Р или, что то же, нули функции /2 (р) лежат в
точках, где .,
Найдём выражения, входящие в формулу C.22). Прежде
всего имеем:
Л (Vk) = ~ 21i (VvJRh
Далее, так как
1г(дг) = 1, (-V)— -| !,(*), F.48)
то будет:
/г (V,) = | I VpR 12 (VW)} >=>* = Т Ь (^Ш-
Отсюда, принимая во внимание F.47), получим:
g2
Наконец, пользуясь разложениями:
D)", (}Г2 , (Й"+4 , ]
»„ w
я! ' 1!(л + 1)М2!(я + 2):
(я = 0, 1, 2,...), Г F.49)
•*=»+1Г + 1Г + --" J
найдём, перемножая и деля почленно соответствующие ряды:
где L (р)—регулярная часть ряда.
Отсюда, сравнивая с C.20), находим:
ft (*) = - (| + 4х)
Подставляя теперь полученные выше значения /i(^4), pft/2(J)u)
и g'j в C.22) и используя равенство F.47), будем иметь:

§ 18] ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-ННЙ 245
Переходя здесь с помощью F.38) к размерным величинам,
найдём окончательно следующий закон распределения давлений
вдоль оси трубы:
=° ?*г
ро - р 8 г I I_iyjg-Rg F.51)
Легко проверить, что в F.51) при г = 0 будем иметь р = рв,
так как')
То'
Z*
F.52)
Из показанного следует, что ряд в правой части F.51)
равномерно сходится.
Наконец, из формулы F.51) находим:
_ dJL \ = ^° = Мо
дг )г=а, RR R2 '
что совпадает с выражением B.24). Таким образом,
решение F.51) даёт распределение давлений вдоль оси трубы,
совпадающее в пределе при z—►сю с распределением,
соответствующим параболическому режиму течения.
Перейдём теперь к определению закона распределения
скоростей в трубе. Имея выражение F.50), можно определить
и из F.43) с помощью формулы C.09). Однако при этом
выражение и будет дано двойным рядом, что усложнит
последующие численные расчёты. Поэтому найдём а непосредственно
из F.43) тем же путём, каким было определено Р.
Пользуясь соотношениями F.45) и F.46), представим
выражение F.43) в виде.
и=— -<р — Р, F.53)
где
1 = ЬШ£=Ш F.54)
UJ/^R) /2(») V '
Тогда, очевидно, будет:
м = — <р — Р. F.55)
1) См. Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции. ОНТИ, 1935,
стр. 112.

246 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
Для решения задачи остаётся определить ф. Из F.54) следует,
что ср также является дробной функцией вида C.16),
удовлетворяющей условиям C.17) и имеющей простой полюс в точке р=0.
При этом полюсы функции ш совпадают с полюсами функции Р,
т. е. лежат в точках, определяемых равенствами F.47).
Следовательно, значение ср будет даваться формулой C.22).
Принимая во внимание формулы F.47) и F.48), а также
то, что 10(/'х) = J0 (■*■), получим:
Л №*) = Jo (M, V= №*) = - Т J° <?*>•
Наконец, используя F.49), найдём, деля и перемножая
соответствующие ряды:
откуда
Заменяя теперь все входящие в C.22) величины
найденными выше значениями и используя равенство F.47), получим:
■о 2^ 2 I 8 х \У ' J°fP*y> с R*- Г6 56i
<р_4у -3+Rx 4^ р, Jo(W e F.56)
Подставляя это выражение (р, а также определяемую
формулой F.50) величину Р в F.55) и переходя с помощью F.38)
к размерным величинам, найдём окончательно следующий закон
распределения скоростей в трубе:
Можно показать, что в F.57) действительно выполняется
условие v2=U0 при z = 0; тем самым будет доказана и
равномерная сходимость ряда F.57). Однако мы не приводим здесь
соответствующих выкладок, так как этот результат будет
получен как частный случай из более общего доказательства,
данного в конце п. 3.
Заметим, наконец, что при z—«-оо формула F.57)
переходит в B.23). Таким образом, мы убеждаемся, что закон

§18] ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-ННЙ 247
распределения скоростей и давлений в трубе, определяемый
формулами F.51) и F.57), действительно даёт в пределе
при г—► оо параболический режим течения.
Чтобы нагляднее представить картину развития течения
в трубе, на фиг. 39 показаны профили скоростей в различных
S
002
ОМ
от
0J0
ОД 0JS
' /?R
Фиг. 39.
сечениях, вычисленные по формуле F.57). Качественно
картина течения полностью совпадает с той, которая была
получена экспериментально Ннкурадзе. Сравнение количественных
результатов удобнее произвести с помощью графиков,
изображённых на фиг. 40. Как видим, полученные кривые дают
достаточно хорошее совпадение с данными эксперимента на
всей длине начального участка. Сопоставление расчётных
кривых, показанных на фиг. 40, с расчётными кривыми, данными

248 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
на фиг. 35, 36 и 38, показывает, что формула F.57) даёт
для всего начального участка в целом картину распределения
скоростей, более близкую к данным эксперимента, чем это
дают расчёты, изложенные в § 17.
Определим в заключение с помощью формулы F.57) длину
начального участка. Полагая в F.57) г — 0 и сохраняя в
стоящей справа сумме одно лишь первое слагаемое, так как
величины fS| растут очень быстро, получим для осевой скорости
следующее приближённое выражение:
где pi = 5,136.
Требуя, по принятому ранее условию, чтобы при z=L
второе слагаемое в фигурной скобке равнялось 0,01, найдём
отсюда для длины начального участка значение
L = 0,\6RR. F.58)
Для определения степени точности проделанного расчёта
заметим, что первое из отброшенных в F.57) слагаемых при z = L
будет равно 0,000083. Очевидно, этим слагаемым можно вполне
пренебречь, поскольку в выражении vzQ второе слагаемое в фигурной скобке
равно 0,01.
Формула F.58) даёт величину L, довольно близкую к
экспериментальной. Из F.58), в частности, следует, что при R = 1000
длина начального участка равна 80 диаметрам трубы. С
уменьшением R длина начального участка убывает.
2. Развитие линейного профиля скоростей в плоской
трубе. Приближённые уравнения, аналогичные тем, которые
рассматривались в п. 1, могут быть составлены и
проинтегрированы и для случая течения в плоской трубе, т. е. между
двумя неограниченными в одном направлении параллельными
плоскостями. Пусть расстояние между рассматриваемыми
плоскостями равно 21г. Тогда, если поместить начало отсчёта
в центре входного сечения и направить ось Oz вдоль трубы,
а ось Оу перпендикулярно плоскостям, то для определения закона
распределения скоростей и давлений в плоской трубе можно
I

§ 18] ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-НИЙ £49<
получить следующие формулы '):
ft-4( >-#-'£ ib-
Р — Рй = — 9и1
* = 1 7к
3 г
cos т*
■У Ь
cos>
R Л
R /г ~г 5 " f-i.
1 .—в
1 *
R Л
} F.59),
где -{к—последовательные корни уравнения tg.v = x.
Из F.59) видно, что при z—► со это решение даёт
параболический режим течения, определяемый формулами B.14)
и B.15).
Повторяя те же рассуждения, что и при получении
формулы F.57), найдём из F.58) для длины начального участка
в плоской трубе значение
0.18AR,
F.60)
где R даётся равенством F.34).
Величина, определяемая формулой F.60), оказывается
примерно на 80°/0 больше той, которую даёт F.36). Отсутствие
экспериментальных данных не позволяет установить, какое из
этих значений ближе к истинному, однако сравнение
соответствующих решений для круглой трубы даёт основание считать
формулу F.60) более верной.
3. Развитие произвольного профиля скоростей в
круглой трубе. Решение задачи о развитии линейного профиля
скоростей в круглой трубе, рассмотренное в п. 1, легко
обобщается на случай произвольного профиля.
Рассмотрим опять течение в круглой трубе радиуса R и
положим, что поступающая в трубу жидкость имеет во
входном сечении г = 0 некоторый наперёд заданный произвольный
осесимметричный профиль скоростей U(у), где у = -р-.
Допустим далее, что функция U(y) может быть разложена в ряд
!) Решение этой задачи, вполне аналогичное решению для
круглой трубы, нами не приводится. Ниже, в § 20, формулы F.59) будут
получены предельным переходом из решения задачи о течении в
плоском диффузоре.

250 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ.VI
Фурье-Бесселя и что это разложение имеет вид:
U(y) = U0ty(y), F.61)
Ф (V) = 1 + 2 М Jo («,У) - J2 Ю\, F.61')
где av — последовательные корни уравнения J0(x) = 0, aft —
постоянные коэффициенты разложения ').
Что касается величины (J0, то она при выборе 'Ь(у)
в виде F.61') будет равна средней по расходу скорости во
входном сечении трубы. Действительно, расход во входном
сечении равен:
1
Q = 2-nR2Urs\i>{y)ydy.
о
Подставляя сюда ф из F.61') и вычисляя интеграл, получим:
Q = nR2U0, откуда
Для нахождения закона течения в трубе обратимся опять
к уравнениям F.37) и введём новые переменные, которые
все, кроме а, будут иметь значения F.38), а и будет:
f« —ад>су)
Тогда уравнение F.37) примет вид:
д-и , 1 ди п (ди , dP \ „, . .„ „„.
где
F 0» - %+71 = - 2 ».«? Jo («.J»- F-63')
Уравнение же F.37') преобразуется попрежнему в F.39').
Легко убедиться, что граничные условия в рассматриваемой
задаче сохранят вид F.40) и F.40'), кроме условия F.40')
для а, которое теперь будет:
при *>0 и j> = 0 u = — (!)(!)= — фх. F.64)
F.62)
!) Значения ov можно найти, как указывалось, в цитированных на
стр. 107 таблицах Л. А. Люстерника и др. По поводу же определения
коэффициентов £v см. Р. О. К у з ь м и н, стр. 126.

§ 18] ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-НИЙ 251
При этом, как видно из F.61'),
<!>! = ! -SMiK). F-64')
v
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к
интегрированию системы уравнений F.63) и F.39') при граничных
условиях F.40) и F.64). Для решения её опять воспользуемся
методами операционного исчисления. Так как расчёты здесь во
многом аналогичны тем, которые встречались в п. 1, то в
некоторых случаях промежуточные выкладки будем опускать.
Переходя в F.63) от оригиналов к их изображениям по х,
получим уравнение
g"+7£-*Ri = *R/Ww' F'65)
общее решение которого будет:
а = С, 10 (пу) + С2К0 (пу) + йи F.66)
где п имеет значение F.42).
Частное решение м, будем искать в виде:
где А^ и В—подлежащие определению постоянные
коэффициенты.
Подставляя это значение ах в F.65) и заменяя там
одновременно F(y) выражением F.63'), будем иметь:
2 —(a; + «aMA(a„v)— *>RS = J)R£+2Wn(a,v).
» ч
Отсюда, приравнивая соответствующие коэффициенты в
левой и правой части, найдём:
Л, = --££-, В = -Р.
0Г-|-Л2
В результате общее решение F.66) примет вид:
и = Сх 10 (пу) -f С, К0(«у) - X V-pi J<> <а^> — Р-

252 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ |"ГЛ. VI
Так как скорость на оси трубы конечна, то в полученном
выражении следует положить С2 = 0. Определяя теперь
значение С] с помощью условия F.64), найдём окончательно;
i=={P-^)hm-P-YJ^Lj0(a4y). F.67)
Перейдём к определению Р. Второе из уравнений нашей
системы после перехода от оригиналов к изображениям примет
вид F.41') и приведёт опять к соотношению F.44).
Подставляя в F.44) значение а из F.67) и вычисляя интеграл,
получим:
-(P—MrPi—P—2^-^- J,(a,) = 0.
Принимая теперь во внимание равенство F.45), а также то,
2
что — Jj (а.,) — J2 (aj, так как J0(aJ —0, найдём
окончательно, заменяя // значением F.42):
'V»Rii(Ki)R) MV^R) TX + »R
или
Р=Ро + 2,Р„
где смысл введённых в F.68') обозначений очевиден.
Перейдём теперь к определению оригинала Р. Сравнивая
правые части F.68) и F.46), находим сразу, что Р0 будет
равно произведению выражения, стоящего в правой части
формулы F.50), на ,Ь1. Остаётся определить Pv. Из F.68) видно,
что Pv также является дробной функцией вида C.16),
имеющей в точке р = 0 простой полюс, и что, следовательно, её
оригинал Рч даётся формулой C.22). При этом полюсы
функции Pv также лежат в точках, где pv имеет значения F.47).
Заметим, что точка, где PR =—оР, не является полюсом
функции Р,; в этом легко убедиться, раскрывая
соответствующую неопределённость, которая получается вследствие того,
F.68)
F.68')

§ 18J ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-ННЙ 253
что одновременно будет I0 (pR) = I0 (iav) = J0 (av) = 0. Тогда,
представляя Рч в виде:
р _ _ Уу^КНоО^) _/t(p)
найдём подобно предыдущему:
Кроме того, используя ряды F.49), будем иметь:
Л — = — |гМ'(а,)А- —
откуда следует, что gx равняется выражению, стоящему в
фигурной скобке.
Подставляя все эти значения в C.22), получим;
Z^=-(f*+t)Z*'j»w-SA—^)*»J»<a-)+.
Заметим, наконец, что на основании F.68') будет:
Заменим здесь сумму найденным выше значением, а величину Р0—
произведением правки части F.50) на ф:. Подставляя
одновременно вместо ф, выражение F.64') и переходя с
помощью F.38) к размерным величинам, найдём окончательно
следующий закон распределения давлений вдоль оси трубы:
00 V>
л \\ 11 , гм-wl -4- к
69)

254 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
Покажем, что решение F.69) действительно даёт р = Ро при
z = 0. По формуле, устанавливающей зависимость между
цилиндрической функцией и её корнями, имеем '):
00
у 2х __\х-Ц2{х)}'_ х li_£VW ж 7m
Полагая здесь j; = av, получим:
00
VI 12
Это равенство вместе с F.52) и доказывает выполнение
условий при 2=0. Отсюда одновременно следует
равномерная сходимость ряда, стоящего в правой части F.69),
Перейдём теперь к определению и. Заменяя в F.67)
величину Р, входящую в первое слагаемое, её значением из F.68)
и принимая во внимание соотношение F.45), представим и
в виде:
и = — Р — у0 — 2<р„
V
где
n Vl i2(Vj)R)
to. = ч f= ■• (b.71)
Тогда, очевидно, будет:
« = — ^— <Ро— 2?»-
Сравнивая выражение <ро с правой частью F.54), приходим
к выводу, что <р0 будет равно произведению правой части
выражения F.56) на (J^.
Значение л., будет здесь опять определяться формулой C.22).
При этом полюсы функции <ру также лежат в точках, где pft
имеет значения F.47), а точка, где j/^R=/av, попреж-
нему не является полюсом, так как ^o{ia^y) = J0(a4y) и
!) См. Р. О. Кузьмин, выше цит., стр. 111.

§ 18J ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-НИЙ 255-
I, (/a„) =—J2 (av). Тогда, обозначая числитель и знаменатель
правой части <pv через /j (p) и /2 (р), найдём, что
Кроме того, используя ряды F.49), будем иметь:
- е> =8ftvJ2K) l ,
"j, R jj2 ~Г
откуда определим g-1# В результате формула C.22) даст:
Подставим теперь в равенство F.71) найденное значение <рч,
а также величину ср0, равную произведению правой части F.56)
на tyu и выражение Р, определяемое формулой F.69). Тогда,
после замены c|>j выражением F.64') получим;
в=1_2/-2&, {J0 (ajf) - J2 (о,)} -
4V i l i УМзЮ) /i Jo(
_ -=• ДГ
^U R F 72)
Переходя здесь с помощью F.38) и F.62) к размерным
величинам и заменяя одновременно в F.62) величину <Ь(у) её
значением F.6Г), найдём окончательно следующее выражение для
закона распределения скоростей в круглой трубе:
v,= 2Uu(\-r±

255 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В?ЗК0Й ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ | ГЛ. VI
"Из формул F.69) и F.73) следует, что при ламинарном
режиме любой осесиммстричный профиль продольных скоростей
переходит в пределе при z —юо в параболический профиль
с осевой скоростью, равной удвоенной средней по расход v
скорости во входном сечении. При этом формула F.73) даёт
картину развития произвольного профиля скоростей и позволяет
определить длину начального участка так же, как это было
-сделано в п. 1.
Если в формулах F.69) и F.73) положить £v—О, то мы
естественно придём к полученным выше выражениям F.51) и
<6.57).
Результат, аналогичный тому, который дают формулы F.69)
и F.73), может быть получен из соответствующих
приближённых уравнений и для случая течения в плоской трубе.
Покажем в заключение, что в полученном решении v,
при z = 0 действительно принимает заданное значение F.61).
Для этого достаточно доказать, что в F.72) при z = 0
будет и = 0.
Для доказательства воспользуемся формулой разложения
некоторой функции /(у) в ряд Дпни >):
ОС
АУ)= 2 V„(Y*.V) + K„. F.74)
где Yi> Уз- ••■•—последовательные нули функции
ф (х) = х5„ (х) + HiB (х) F.74')
■и
2у| \ xf{x)}n(ibX)dx
Если сумма входящего в F.74') постоянного коэффициента
Н и индекса цилиндрической функции п положительна, то
в разложении F.74) /?0 = 0. Если же Н-\-п = 0, то
1
R0 = 2{n-{-l)yn [ x', + l/(x)dx. F.75)
и
1) См. Г. Н. Ватсон, Теория бесселевых функций, ч. 1. Изд.
иностр. лит., 1949, стр. 655. Там же указаны довольно широкие
условия, которым при этом должна удовлетворять функция /(у).

§ 18] ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-ННЙ 257
Положим теперь в F.74') я=1 и Н=—1. Тогда, принимая
во внимание, что
J0{x) + J,(x) = '±^, F.76)
будем иметь:
Ф(х) = —х32(х)
и, следовательно, в данном случае будет уА —jJA, где ?,k —
корни уравнения J2(x) = 0.
В результате разложение F.74) примет вид:
СО
Так как при этом Н-\-п = 0, то R0 будет определяться
из F.75). Разложим теперь в ряд Дини, определяемый
формулой F.77), функцию /(у)==31{ту). Тогда, вычисляя ак
по формуле F.74") и R0 по F.75), получим из F.77):
откуда
8 у -1| (Н-У) _ 2J] (му) 8
^PfcVl»'2-$■!<>(?*>" '"^( »'2'
Если разложить теперь функцию 32 (wy) в обычный ряд Фурье-
Бесселя, то получим:
J->(hy) h(,ny)
2-C(,„2_ R2)Jn(Bb;
«r-i
('»*-$)-MP*) J^)
Вычитая последние два равенства почленно одно из другого
и принимая во внимание зависимость F.76), найдём:
2-i (mt — ir\ .!„ ИЛ '»2 "^ J2 (»0
k-л
("'* —P»)Jo(?*) ' J-(",) '
Далее, из рассматривавшегося ранее равенства F.70), полагая
в нём х=т, будем иметь:
2- ,„2 _ з£ ш= "Г J, (/и) •
17 с.М. Тарг

258 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
Произведя опять почленное вычитание предыдущего равенства
из данного, придём к формуле
V —1- /1 _кШ\ = 1 -Щ1=Ш>. (б.78)
^ ^м „г2 _ и \ J0 (fa) I J, (m) v '
Полагая теперь в F.78) /w = 0 и раскрывая получающуюся
при этом в правой части неопределённость, найдём".
-'Х-^'-ЭД-2*-1- <б™>
Полагая далее в F.78) m—av и умножая обе части этого
равенства на — bj2 (aJ, будем иметь:
-^(•-^('MW-J.W}- F.80)
Если теперь положить в F.72) х = 0, то, принимая во
внимание F.79) и F.80), мы убедимся, что при этом
действительно будет н = 0. Этим одновременно доказывается
равномерная сходимость ряда, стоящего в правой части F.72),
а следовательно, и ряда, входящего в F.57).
4. Предельные режимы течения в трубах. Выше было
показано, что при течении в круглой трубе любой симметричный
профиль продольных скоростей переходит в пределе в параболический.
Аналогичный результат, как отмечалось, может быть получен и для
течения в плоской трубе 1). Соответствующие решения были при этом
получены из приближённых уравнений движения, не содержащих
поперечной компоненты скоростей. Ввиду этого полученные
результаты дают по существу только картину развития продольной
скорости течения. Между тем представляет несомненный интерес
исследование вопроса о том, какое влияние на предельный режим течения
оказывают поперечные составляющие скорости. Вопрос этот и будет
рассмотрен ниже. При этом ради простоты мы ограничимся
рассмотрением течения в плоской трубе и будем считать поток жидкости
!) Считаем необходимым подчеркнуть, что приведённые выше
решения дают не только этот результат, который, как мы увидим,
можно было бы получить гораздо проще. Полученные решения дают
картину развития течения в трубе, позволяют найти закон падения
давления вдоль трубы, построить профиль скоростей в любом сечении
трубы и определить, в частности, длину так называемого начального
участка.

§ 18] ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-ННЙ 259
в трубе симметричным относительно средней плоскости. Назовём
попрежнему высоту трубы 2Л и направим вдоль линии симметрии
координатную ось Oz, а перпендикулярно к ней — ось Оу. Для
описания движения воспользуемся уравнениями A.46), в которых отбросим
массовые силы и члены, содержащие производные по времени. Кроме
того, для упрощения уравнений заменим в левых частях, как это
делалось ранее, vz величиною U0, где £/0 — средняя скорость во
входном сечении, я vy — нулём. Тогда для рассматриваемого течения
получим следующую систему приближённых уравнений:
„ <>иг_ 1 dp , (д*^ d*vt\ \
U" дг " р dy+ v v дуг + ду*) ' ( <6-81)
ду ' dz J
Эти уравнения по типу аналогичны системе уравнений,
предложенных Озееном для решения задач о медленном движении тел в вязкой
жидкости 1).
Положим, далее, для сокращения выкладок, что во входном
сечении профиль продольных скоростей прямолинеен, т. е. что при z = О
vz = Uo = const. Это допущение, как мы видели, не оказывает
существенного влияния на предельный режим течения. Кроме того,
будем считать, что во входном сечении имеется ещё некоторая
поперечная скорость vv0(y); при этом примем, что функция vy0(y)
дважды дифференцируема и вместе со своими производными
допускает разложение в ряды Фурье. Приступая к решению задачи,
введём в F.81) безразмерные переменные:
F.82)
где pQ — постоянное давление во входном сечении. Тогда уравнения
F.81) примут вид:
К\дг1^'дг1)-д^ + ду1'
dz^dyJ-^ + gyi'
Ни ,dv .
azx дух
r) См., например, Н. Е. К о ч и н, И. А. К и б е л ь и Н. В. Роз е,
Теоретическая гидромеханика, ч. II, 1948, стр. 401.
Z
и0 '
V
Р-Го
zlf-
17*

260 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
Интегрировать полученную систему будем, опять пользуясь методами
операционного исчисления. Переходя здесь от оригиналов к их
изображениям по переменному гх и принимая во внимание формулы
C.05) и C.06), а также уравнение неразрывности, будем иметь:
i)R (<! + Р) = »" + Рг" +lv ".
?i=0>
R(\>v-\-P') = v" + \>*v
$й + и' = 0,
1' « + P^--pRf
г,=о'
где штрихи означают производные по j^.
Продифференцируем теперь первое из полученных уравнений
по ух, а второе умножим почленно на — \>. Тогда, сложив эти
равенства, мы исключим Р и придём к уравнению
it"' + № — J)R)"' — №" — W — l1?R" = «ф CVi),
F.83
где
v" — 0>2 —)jR)i> —pjj-
Ф(Л) =
Введём теперь функцию ф, полагая
а = .У, v = -
■М-
F.83')
F.84)
Тем самым будет удовлетворено последнее из полученных ранее
уравнений. Положим, далее, что Ф (ух) вследствие "симметрии
начальных условий в сечении г = 0 может быть представлена рядом
Фурье'):
При этом коэффициенты Ьк будут содержать параметр \), но так,
что при \> = 0 каждый из коэффициентов bk будет величиною
конечной или нулём.
Подставляя это выражение Ф(у{) в F.83) и переходя там от
и и v к А, придём окончательно к следующему
дифференциальному уравнению:
'IV
+ Bрг - PR) \" + (Р* - P3R) Ф = » 2 &* sin fe-yi- F-85>
I) От предположения, что Ф {у) — функция нечётная, можно
отказаться. Это, как показали расчёты, несколько удлиняет выкладки,
по не меняет конечного результата. , .

§ 18] ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЕННЫХ УР-ННИ 261
Интегрируя полученное уравнение, легко найдём, что его оошее
решение имеет вил:
I = С, sh пух -f- С, ch лу! -+- С3 sin дух + С* cos lu'i +
со
+ и 2 fi* sin ^'i, F.86)
где
Для определения постоянных интегрирования обратимся к граничным
условиям. В силу симметрии течения будем иметь и' = О и и = ()
при j/j = 0; кроме того, на стенке, принимая во внимание обозначение
F.82) для и, будем иметь: и = 0 и н>= — 1. В результате, учитывая
F.84), придём к следующим условиям для 4:
при j/i = 0 Ф = 0, £" = 0;
при^,= 1 i = 0, £' = - 1.
Удовлетворяя этим условиям, получим:
С, = -Aфв'+1)^, C3 = firj)fi' + 1)^, C2 = C4 = 0, F.87)
где
со
Л = п спя sin E — J.) sh /г cos \\ 5' = 2 (— !)*■*#*■
Таким образом, значение ф будет определено. Принимая теперь
во внимание F.84), найдём из F.86):
; Слп ch nyx-)-С;.Д1 cos J.U'i4-~V 2 ^* cos ^-J'l'
ftr^l
F.88)
— г» = C\X> sh л V] + СчР sin ftVi + Й2 2 fi* sin A7UJ,b
где Сг и С3 определяются равенствами F.87).
Мы ограничим наше исследование отысканием предельного
режима, т. е. значений vz и иу при z—► т. Для этого, как следует
из C.11), достаточно положить в правых частях F.88) $> = 0. Члены,
содержащие суммы, как видно из F.86'), при этом сразу обратятся
в нули. Раскрывая затем получающиеся неопределённости, что проще
всего сделать, заменив тригонометрические и гиперболические
функции соответствующими рядами, а п~ его значением из F.86'), получим:
("^-=0 = "г=со = J (* — 3Л)>

262 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
Переходя в первом равенстве с помощью F.82) к размерным
величинам, найдём окончательно:
i/,« = -|t/o(l-fi2). «yeo = 0. F.89)
Такой же результат в случае произвольного симметричного
профиля продольных скоростей в сечении z = 0 легко получается тем
путём, который был применён в п. 3 для круглой трубы."
Таким образом, приходим к следующему выводу: предельный
режим /печения в плоской трубе, определяемый в результате
интегрирования системы приближённых уравнений F.81), будет
параболическим при любом симметричном профиле продольных
и поперечных скоростей в начальном сечении.
Аналогичное заключение можно, очевидно, сделать и для течения
в круглой трубе.
Все полученные до сих пор результаты, устанавливающие, что
предельный режим течения в трубе будет параболическим,
определялись путём интегрирования систем уравнений вида F.37) или F.81).
Особенность этих уравнений состоит в том, что в основном уравнении,
которое служит для определения продольной скорости, отброшен
с целью упрощения член, содержащий поперечную компоненту. Это
отбрасывание, хотя и оправдываемое тем, что поперечная
составляющая скорости мала по сравнению с продольной, будет всё же
вносить в получаемые результаты некоторую погрешность. С целью
уяснить, хотя бы и очень приближённо, влияние этой погрешности
на предельный режим течения, сохраним в основном уравнении все
инерционные члены, заменив поперечную компоненту, так же, как
и продольную, некоторым её средним значением.
Будем опять для определённости рассматривать течение в плоской
трубе высоты 2Л. Для изучения течения обратимся к приближённым
уравнениям вида F.37), в которых учтём частично оба стоящих
слева инерционных члена. Для случая плоской трубы
соответствующие уравнения будут:
dv3 . dvz l dp . d*vt
■ u»i;+v»dy-=-7dz+vw*' {6Щ
dv„ du
^ + t = °- F-9(У>
Мы ограничиваемся рассмотрением приближённого уравнения F.90),
дающего уточнение решения, епределяемого уравнением вида F.37),
так как предыдущие расчёты показали, что рассмотрение более
полной по сравнению с F.37) системы F.81) приводит к таким же
результатам. При этом в F.90) V0 — некоторое среднее значение
компоненты vv, вводимое для линеаризации уравнения.
Нас' будет интересовать определение с помощью уравнений
F.90) предельного режима течения в трубе при условии, что в
начальном сечении z = 0 vt = U^ Решение этой задачи находится

§ 18] ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-ННЙ 263
так же как и в предыдущем случае, путём отыскания изображения
vz и определения vzao как значения vz при р = 0.
Однако гораздо проще тот же самый результат может быть
получен, если для отыскания vzoo применить к уравнению F.90)
одну из теорем, доказанных проф. А. Н. Тихоновым для уравнений
типа уравнения теплопроводности. Согласно этой теореме, если
решение уравнения F.90) имеет при z—►» предельное значение
v 00 = и, то « будет решением обыкновенного дифференциального
уравнения
v du 1_ dp , d2u
*dy~~ p dz~*~v dp'
Интегрируя это уравнение, найдём:
— У 1 rl
pV0dz-
Для определения постоянных С, и С2 имеем условия:
при у=0 v- = 0, при д» = Л и = 0,
удовлетворяя которым, получим:
•-ьш---п+*-»\
F.91)
Для определения величины -~ обратимся к условию постоянства
расхода, которое заменит нам уравнение F.90'). Это условие даёт:
л
U0h = \ a dy.
i
Подставляя сюда значение и из F.91) и вычисляя интеграл, будем
иметь:
1 dP—TTh
-1
Введём, наконец, для сокращения записей обозначения:
т-ух, —-R> 7r0R-a- F-92)
_ dp
Тогда, исключая с помощью предыдущего равенства величину у-

£64 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. V)
из F.91) и используя обозначения F.92), найдём окончательно
следующее значение предельной скорости течения в плоской трубе:
-и-П 2«l(g'-«)-(«-*-«У1I - .
2 (а— \)е —з2-|-2
Одновременно решение системы F.90) даёт vyoo= 0.
Предельный режим течения, определяемый формулой F.93),
отличается от результатов, которые давали предыдущие решения тем,
что здесь значение Vz^ зависит от параметра а, пропорционального
введённой выше средней скорости V(i и числу Рейнольдса R.
При мальм значениях а находим из F.93), разлагая
соответствующие показательные функции в ряды:
^со = ^0
1 - я-^О-9-??+*■"?) +
F.94)
Таким образом, при очень малых значениях а, что соответствует
весьма малым К0 или малым R, предельный режим течения
приближается к параболическому и совпадает с ним в точности,
когда а = 0.
Наоборот, при я,,Л профиль скоростей, определяемый
формулой F.93), значительно отклоняется от параболического и очень
напоминает профили средних продольных скоростей, которые
экспериментальные исследования дают для турбулентного режима. При этом
интересно, что с увеличением а, что соответствует увеличению R,
скорости всё более и более выравниваются, и при R ->-и формула F.93)
даёт в пределе vZXl = U0. Такой же результат, как известно, дают
и экспериментальные исследования для профиля средних продольных
скоростей при турбулентном режиме (см. графики на фиг. 41,
построенные по опытам Някурадзе для круглой трубы).
На фиг. 42 изображены профили скоростей, рассчитанные по
формуле F.93) при некоторых значениях а. Там же для сравнения
показан профиль скоростей в плоской трубе при турбулентном режиме
по измерениям Донха '). При сравнении соответствующих графиков
след\'ет иметь в виду, что на фиг. 41 отложены значения , а на
"max
фиг. 42 Q-(Lf0 = ucp).
Все эти результаты наводят на мысль о том, нельзя ли
предположить, что формула F.93) определяет одновременно предельный
параболический режим в случае ламинарного течения, если в ней
считать а близким к нулю и предельный режим турбулентного
течения при больших значениях а, если при этом в F.93) под v:zo
понимать среднее за достаточно большой промежуток времени значение
') Эта кривая взята с. графика, приведённого в кнрте
Л. П р а н д т л ь-О. Т и т ь е н с, Гидро- и аэромеханика, ч. II, стр. 63.

§ 18] ИЗУЧЕНИЯ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР НИИ 265.
продольной скорости, т. е. считать
v,- = \ и dt.
Заметим, что приближённые уравнения F,90) в силу их
линейности сохранят свой вид и для названных средних по времени ско-
0.1
0,2 0.3
в.i 0.5 0.S
Фиг. 41.
о:/
0.9 @
ростей, чего нельзя сказать про уравнения, в которых инерционные-
члены учитываются полностью [см., например, уравнения F.05)].
Результаты, аналогичные полученным выше, могут быть
найдены и для предельного режима течения в круглой цилиндрической-
трубе радиуса R.

1266 РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ [ГЛ. VI
По аналогии с F.90) воспользуемся в данном случае вместо F.37)
•приближённым уравнением
F.95)
Тогда, применяя здесь опять теорему А. Н. Тихонова, будем искать
предельное решение
и
и,
Vzx = u из
обыкновенного дифференциального
уравнения:
,, du
'о
dr
о dz^
(dhi,l_d£
+ V|Vd/-2-t" r dr
Введя обозначения
г
'■i-T?-'
F.96)
R-U°R [
найдём, интегрируя
предыдущее уравнение:
X
dp С^е""' — 1 — irx
dz,
г\
10 Л Удовлетворяя здесь ус-
ловию — = О при ^ = 0,
^убедимся, что должно бытьСг=1. Тогда, интегрируя вторичной
шолагая и = 0 при гг=1, получим:
и = -ф-g d£- [Ei w, — Ei a + а A — rj — In гг], F.97)
тде
E1(JC):
е*
dx.
F.97')

§ 18J ИЗУЧЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПРИБЛИЖЁННЫХ УР-НИЙ 267
причём при х > 0 будет 1)
00 г*
(С = 0,5772 ... — постоянная Эйлера).
Уравнение постоянства расхода даёт в данном случае:
2 I иг\йг\ = tf0.
о
Заменяя здесь и его значением из F.97) и интегрируя, найдём:
R d£ — а?
r u J е'■ A —1)+ 1 о а Т
Подставляя, наконец, это выражение в F.97), найдём
окончательно следующее значение предельной скорости течения в круглой
трубе:
ут = и=Ц0 -а2 [Ei а ~Ei ar' + lp=iLJL=M. . F.98)
1 -\-e*(i — 1)— — а- =- а3
Формула F.98) даёт для круглой трубы результаты, аналогичные
тем, которые в случае плоской трубы следуют из F.93).
В частности, при а = 0 из F.98) находим:
vzaz=2U0(\-r\),
т. е. получаем, как и следовало ожидать, параболический режим.
Большие значения а дают опять профили скоростей,
напоминающие распределение средних продольных скоростей при турбулентном
течении, всё более спрямляющиеся с увеличением а. При а=°о
формула F.98) даёт vzoo =U0.
В заключение заметим, что формулы F.93) и F.98) не дают пока
возможности построить предельный профиль скоростей в плоской
или круглой трубе для заданного значения R, так как мы не можем
указать, чему при этом следует считать равной величину К0. Мы
полагаем, что величина V0 будет по всей вероятности как-то зависеть от
возмущений, которые имеет поток при входе в трубу, и от значений
самого параметра R. Поэтому полученные выше результаты могут
рассматриваться как дающие только некоторую качественную картину
предельных режимов течения.
1) Таблицы см. в цит. выше книге Е. Янке и Ф. Эмде, стр. 102.

ГЛАВА VII.
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ.
§ 19. Установившееся течение вязкой жидкости
в плоском и коническом диффузорах.
1. Радиальное течение в плоском диффузоре (кон-
фузоре). Изучение течения вязкой жидкости в диффузорах
представляет собою задачу, имеющую большое значение как
для практики, так и для
теории движения вязкой жидкости
вообще.
Случай чисто радиального
течения в плоском диффузоре
или конфузоре, рассмотренный
Гамелем '), особенно интересен
в теоретическом отношении как
один из немногих примеров
течений, для которых удаётся
получить точное решение
соответствующих уравнений
движения вязкой жидкости.
Рассмотрим установившееся
плоско-параллельное течение
вязкой жидкости между двумя неограниченными плоскостями,
наклонёнными друг к другу под углом 2а (фиг. 43). При
этом будем считать, что течение является чисто радиальным,
а в точке О находится источник (диффузор) или стох (кон-
фузор); массовыми силами, как обычно, будем пренебрегать.
Для изучения течения жидкости обратимся к уравнениям
движения в цилиндрических координатах A.47), полагая в них
l) G. Hamel, Jahresber. d. Deutsch. Math. Ver., т. 25, 1916,
стр. 34—60.
Фиг. 43.

§ 19] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРАХ 269
согласно принятым условиям vr = v(r,'f), i>2 = t's = 0 и F-
Тогда система A.47) примет вид:
dv 1 dp . fd2v , 1 дк> , J_ dv_ v_
G.01)
_^___ __>-n
(\— __ lf!£ _U H? dl 1^ — n
U г /Ь Г ,2 7)s ' fir
В дальнейшем будем рассматривать поток пли только
расходящийся во всей области течения, т. е. такой, что всюду
г>^>0, или только сходящийся, т. е. такой, что всюду
v<^0. В обоих случаях течение будет симметрично
относительно плоскости у = 0.
Введём тогда в рассмотрение величину
Q=r\\v <fy|=ra|t>cp|, G.02)
iT
представляющую собою численное значение половинного
расхода жидкости через любое сечение диффузора, причём
ввиду неразрывности течения Q = const.
Кроме того, примем в качестве параметра Рейнольдса для
рассматриваемого течения величину
R=^- = ^hM. G.03)
Перейдём теперь к интегрированию системы G.01).
Последнее из этих уравнений указывает, что произведение rv
является функцией только угла » и что, следовательно:
г
G.04)
где постоянный множитель Q введён с тем, чтобы сделать /
величиною безразмерной.
Подставляя это значение v во второе из уравнений G.01)
и интегрируя по ср, найдём:
/' = ^/(?) + 0Ф(г), G.05)
где ф (г) — некоторая, подлежащая определению функция от г.

270 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
Наконец, заменяя в первом из уравнений G.01) v и р
выражениями G.04) и G.05), будем иметь:
/"(?) + 4/(¥) + R/2(<f) = ~<I>'('-),
где R имеет значение G.03).
Так как левая часть полученного равенства зависит только
от <р, а правая только от г, то каждая из этих частей должна
быть постоянной.
Следовательно, будет:
ф'(г)=—^, G.06)
/» + 4/(?) + R/2(?)'+C = 0. G.06')
Определяя из G.06) значение Ф{г) и подставляя его
в G.05), найдём для распределения давлений выражение
Р= г
2цС?
/<<Р) + -Т + const. G.07)
Интегрируя уравнение G.06') один раз по /, получим:
/'2 = |R£/(/), G.08)
где
U(f)=~P— *.p — 3^f+h, G.08')
причём h — постоянная интегрирования.
Уравнение G.08) интегрируется, как легко видеть, в
эллиптических функциях и определяет зависимость / от <с.
Вместе с G.04) и G.07) это и даёт решение поставленной
задачи.
Мы получим гораздо более наглядное представление о
характере течения, если, не представляя в явном виде
зависимость /(f), с помощью эллиптических функций произведём
качественное исследование решения, исходя непосредственно
из уравнения G.08). При этом рассмотрим случаи
расходящегося и сходящегося течения отдельно.
а) Расходящееся течение (диффузор). В
случае расходящегося течения будем иметь v^>0 и, следовательно,
/^>0. Введём обозначения:
v(r,0) = v0 и /@)=/0.

§ 19] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРАХ 271
Тогда, так как рассматриваемый нами поток симметричен, ТО/
при /=/о будет /' = 0 и, следовательно, с/(/0) = 0. Пусть
два других корня уравнения £/(/) = 0 будут /, и /2. При
этом, как видно из G.08'), должно быть:
/о+/1+Л=—-|- G.09).
Далее, так как при <р = а значение /'(а) действительно и.
и
и
JU)
N
-$Ч_х^ 0
^>Ч^ г
Фиг. 44.
так как в силу прилипания жидкости к стенке /(а) = 0, то
из G.08) следует, что
Кроме того, на основании G.08') будет:
(/( + оо)<0, U( — оо)>0.
G.10>
G.10'),
Принимая всё это во внимание, придём к выводу, что
кривая, изображающая зависимость U(f), может иметь вид или (/),.
или (//) из показанных на фиг. 44, а; при этом в случае (//)
корни /j и/2 будут комплексно сопряжёнными и/, -\~f2 <^ 0. Всякая,
другая форма кривой U(f) будет противоречить или
условию G.09), или неравенствам G.10).
Заметим теперь, что если в G.08') ввести вместо С
величину /0, то будет:
>+(/.+!)/+£]. с-")-
и(Л = (/о—Л
Тогда из G.08), принимая во внимание, что /(<р) в
направлении от оси убывает н что при <f = 0 /=/0, а при <р = а.

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ
ГЛ. VII
7 = 0, получим;
а=/1п[Л
™\YW)'
G.12)
Так как h — величина положительная, то, как видно из G.11)
и G.12), с уменьшением h значение а будет возрастать. Но
по условию G.10) постоянная интегрирования h не может
быть меньше нуля. Следовательно, при /г = 0 угол а
достигает в случае течения рассматриваемого типа своего
наибольшего значения атах> гДе
V
Л
2R
'} /(/«-
/)
df
. «.
/2+(/o + -r)/
GЛ2'>
Если угол раствора а будет превосходить значение G.12')
то в диффузоре с чисто радиальным потоком будут возни-'
кать области обратного течения. Эти области могут возникать
или вблизи одной из стенок, или около обеих стенок
одновременно, или, наконец, области вытекания и втекания могут
чередоваться между собой, причём число этих областей
с увеличением R может неограниченно возрастать.
Таким образом, расходящееся течение, при котором
жидкость во всём сечении течёт только в одном направлении,
возможно лишь при углах раствора диффузора а<^атах-
Для подсчёта значения amax удобно ввести новое
переменное 'Ь, полагая
у =/0 cos2 ф.
Тогда из G.12') получим:
R/o
}/ 2 + -
R/o'
G.13)
Величина стоящего в правой части эллиптического
интеграла при каждом данном значении R/0 может быть
определена из соответствующих таблиц.

§ 19] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРАХ 273
В частности, при достаточно больших числах Рейнольдса,
.. 3
препеорегая величиной g-r по сравнению с единицей получим:
к/о J
"о"
VRh ama = V~3 \ —у -[ = 3,211. G.13')
Заметим ещё, что на основании G.04) и G.03):
Jf> Q «I vcp| '
Положим здесь v0 — \vcv\[l-{-s{r)], где £{r) — величина,
характеризующая разность между осевой и средней скоростью
в данном сечении. Тогда из G.13') будем иметь:
V'RaZ^ =-j^r7fyj = 3.2. G.14)
так как при больших значениях R, для которых
справедливо G.14), величина vcp мало отличается от vg и s (г)
близко к нулю.
Из G.14) следует, что при больших R расходящееся
течение, совершающееся в одном направлении, может
иметь место только в диффузоре с достаточно малым
углом раствора а. Найдём в этом случае приближённое
выражение для закона распределения скоростей. Для этого
обратимся к уравнению G.06'). Так как при больших R
величина v почти во всём сечении мало отличается от v0, то
соответственно и / будет мало отличаться от /0. Поэтому
можно приближённо положить R/2-"=R/o/- Тогда
уравнение G.06') примет вид:
/" (щ) -f D + R/0) /(и) + С = 0.
На так как в рассматриваемом случае угол а весьма мал,
то, как видно из G.13'), величина R/0 очень велика. Тогда,
пренебрегая числом 4 по сравнению с R/0, получим
окончательно:
/"W + R/o /(?)= —с.
18 СМ. Тарг

274 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
Интегрируя это уравнение, найдём:
/= Л sin /r-f -j- Z? cos /zto j, G.15)
где
п=УЩ. G.15')
Для определения постоянных А, В и С имеем условия:
а
при * = а/=0, при !р = 0 Г = 0 и \/{f)d(o=\,
ft
вытекающие соответственно из факта прилипания жидкости
к стенке, из симметрии течения и из постоянства расхода.
Удовлетворяя этим условиям, получим из G.15):
cos п? — cos па
/ = я- ! .
J Sin № — па cos па
Подставляя это в G.04), найдём окончательно:
nQ cos nv — cos na ' , _.
V= : . (/.16)
r sin па — па cos na v
Таким образом, в рассматриваемом случае профиль
скоростей в каждом сечении изменяется по закону косинуса, а
скорость течения вдоль каждого из радиусов убывает обратно
пропорционально расстоянию от источника.
Рассмотрим, наконец, течение в диффузоре с углом а,
много меньшим, чем атах, и таким, что па<^\. Тогда, заменяя
в G.16) тригонометрические функции их разложениями в ряды
и отбрасывая члены с (паL и выше, получим:
* = -Ш1-£). G.17)
1 а.г \ аг ) ч '
Таким образом, при очень малых углах раствора профиль
скоростей в каждом сечении будет параболическим, чего и
следовало ожидать, так как ввиду малости а мы здесь
приближаемся к случаю течения в плоской трубе. Отличие состоит
лишь в том, что по мере удаления от источника скорости
убывают обратно пропорционально г.
б) Сходящееся течение (конфузор). Перейдём
к рассмотрению случая сходящегося течения. В этом случае
будет г»<^0 и, следовательно, /<^0, причём / будет опять

§ 19] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРАХ 275
определяться уравнением G.08). Если ввести обозначение
/@) = —/о, где/0^>0, то, так как в силу симметрии/'@) = 0,
получим из G.08) £/(—/0) = 0. Кроме того, здесь опять будут
иметь место условия G.10) и G.10'), вследствие чего кривая
[_/(/) может иметь только вид, нзображённый'на фиг. -44,5.
Следовательно, все три корня уравнения U(/) = Q в данном
случае действительны, причём два из них отрицательны
(— /0 и—/j), а третий положителен или равен нулю (/2 5э 0).
Тогда G.08') можно представить в виде
£/(/) = (/о +/)(/:+/) (Л -Д
Введя теперь обозначения
/ _ V _ р /i _ э /з _ з
— /о f« ' /о ' /о '
и замечая, что при <о = 0 будет /=— /0 или (}=1, получим
из G.08) для и^гО:
*—V 2R7T3 У"A - w(РГ:гЖ+Й GЛ8>
Определив из G.18) [S (ш), мы и найдём решение
поставленной задачи. Заметим, что в случае, когда величина V R/0£
будет мала, течение в конфузоре будет также определяться
формулами G.16) и G.17). Этот результат очевиден, так как
при получении указанных решений мы исходили
непосредственно- из уравнения G.06'), справедливого как для
расходящегося, так и для сходящегося потока.
Рассмотрим поэтому, каков будет характер течения в
конфузоре в случае, когда величина у R/0a весьма велика. Из
G.18) имеем:
VRf0a = л/ ± Г rf? = Е (k, 6), G.19>
где Е {к, 6) — эллиптический интеграл первого рода, в котором
а&. ^=у{Шг- ^
h+
') См., например, И. М. Рыжик, выше цит. таблицы, стр. 91»
формула 49.
18*

276 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
Так как fij может изменяться от 1 до оо, то, как видно
из G.19'), Е(k, 0) может иметь любые значения от 0 до оо.
Следовательно, величина угла а в данном случае ничем не
ограничена и сходящийся поток, направленный в одну сторону,
может иметь место в коифузоре с любым углом а.
В рассматриваемом случае (J^R/0a^>l) должно быть
E(k, 6)^>1, а это, как известно, имеет место лишь тогда,
когда одновременно k близко к единице, а 8к j, что в
нашем случае будет при pj % 1. Так как, кроме того,
соотношение G.09) имеет теперь вид
то, пренебрегая здесь правой частью по сравнению с единицей
и полагая [jj =& 1, найдём р2 =& 2.
Таким образом, мы найдём приближённое решение для
больших значений y~Rf0a, полагая в G.18) и G.19) ^ = 1 и
|52 = 2. Сделав это и вычитая одновременно названные
равенства почленно одно из другого, будем иметь:
г.. . 3
2R/oJ(l-p)l/2 + fi'
Отсюда, интегрируя, находим:
S = — = 3 th2
|/^(a-<p) + Y
•2, G.20)
где у = 1,146 есть корень уравнения 3 th2 у = 2.
Так как при больших значениях аргумента величина
гиперболического тангенса близка к единице, то из G.20) следует,
что почти во всей области течения v = ^0. Только у самых
1
стенок при значениях а — f порядка величина г»
начинает заметно убывать, обращаясь в нуль при а-=ср.
Этим результатом прекрасно подтверждаются предпосылки
теории пограничного слоя, согласно которым для течений
с большими числами Рейнольдса можно поток считать
потенциальным всюду, кроме тонкого слоя, непосредственно примы-

§ 19] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРАХ 277
кающего к обтекаемой твёрдой стенке, причём толщина этого
слоя имеет порядок —г=.
Наконец, из G.08') на основании свойств корней функции
U(f) имеем:
С
3 R" =/o/l /0/2 /3/2 =/о2 (fa fa fa fa)-
Полагая здесь ^ = 1 и [52 = 2, будем иметь С=—R/03.
Подставляя это значение в G.07) и пренебрегая там
отношением ~- по сравнению с R/0, получим:
р = —~-^--j-const.
Отсюда, принимая во внимание G.04) и G.03), найдём
окончательно:
/;+ -£^1= const. G.21)
Равенство G.21) подтверждает второе допущение теории
пограничного слоя о возможности считать давление в
пограничном слое равным давлению во внешнем потенцпально.м
потоке!
Заметим в заключение, что во всех случаях, когда мы
полагали значение R большим, подразумевалось, что при этом
R <^ RKp, т. е. что течение остаётся ламинарным.
Приведённое выше решение было получено Гамелем как
частный случай более общей задачи, где рассматриваются
течения, линиями тока которых являются логарифмические
спирали !).
Изложенные результаты представляют в большей степени
интерес для теории движения вязкой жидкости. Известная их
ограниченность с практической точки зрения состоит не столько
в том, что они относятся к ламинарному течению, сколько
в том, что в них не учитывается влияние входного сечения.
!) Изложение этого более общего решения, представляющего
чисто теоретический интерес, можно найти в книге: Н. Е. К о ч и н,
И. А. К и б е л ь, Н. В. Р о з е, Теоретическая гидромеханика, ч. II,
1948, стр. 371.

278 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
2. Течение в коническом диффузоре (конфузоре).
Решение задачи об установившемся течении вязкой жидкости
в круглом конусе было дано проф. Н. А. Слёзкпным !).
Рассмотрим, следуя Н. А. Слёзки ну, установившееся осе-
симметрнчное течение вязкой жидкости в круглом конусе,
полагая, что в вершине конуса расположен источник (диффузор)
или сток (конфузор). Для изучения течения воспользуемся
сферическими координатами, начало которых будем считать
совмещённым с вершиной конуса. Массовыми силами будем
пренебрегать. Тогда движение будет описываться уравнениями
A -48), в которых только ввиду симметрии и стационарности
течения будут отсутствовать все члены, содержащие v,. и
производные по <р и по t; второе из уравнений A.48) при
этом выпадает совсем.
Введём функцию тока ф (г, 9), полагая
(Т1 ' G1 . . I
"rsinOrdO'
г sin 6 дг '
G.22)
Легко проверить, что тем самым мы удовлетворили уравнению
неразрывности. Переходя теперь в первом и третьем из
уравнений A.48) к ф и исключая из этих уравнений путём
перекрестного дифференцирования и почленного вычитания давление /;,
получим для определения d> уравнение
1 (OifdDi/ д$дЩ?\ , 2 ( ,.дЪ sine (ИЛ,., „„,
r2sm4\df) дг дг dQ I ' r2sm29V дг г di I ' ■'
G.23)
где оператор D имеет значение:
п д^ , sin_0_ ^ ( 1 д
дг2+ гг ав \ sin в C9
Если здесь ввести новое переменное
т= cos О,
то уравнение G.23) примет вид:
G.24)
1
г2
где
дг
дО-Ъ
дх
д:
dDl
дг
+ 2
D =
(г.
а2
~дг*
■ д-Ь ,
- Т2 дг
+ '7-
г дх J '_
т2 а2
dx-i ■
= vDD(j», G.25)
>) Н. А. Слёзкин, Движение вязкой жидкости в конусе и
между двумя конусами. Матем. сборник, т. 42, № I, 1935, стр. 43 — 64.

§ 19] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРАХ 279
При этом из G.22) будем иметь:
1 дЬ 1 <?*
V' = -F*' Ч = -7ут^^- G-26)
Обозначим угол раствора конуса 2а и положим cosa = t0.
Тогда, считая, что жидкость прилипает к стенкам и что
секундный расход Q через любое поперечное сечение конуса
постоянен, придём к следующим граничным условиям:
при т = т0 vr = 0, ■»,,== 0; \
при r=oo vr = 0, v,l=0; / G.27)
2тт [ф (л 1) — ф (r,T0)]=Q= const. I
Таким образом, задача сводится к нахождению решения
уравнения G.25), которое удовлетворяет условиям G.27) и
даёт для vr и г»в, определяемых формулами G.26), значения,
регулярные во всей области т0 ^ г ^ 1, r0 ^ r sg: oo, где г0 ^> 0.
Будем искать решение в виде бесконечного ряда:
со
ФС". T) = SSS)- G-28)
расположенного по отрицательным степеням г.
Подставляя это значение ф в G.25) и приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях г, получим следующую
бесконечную систему обыкновенных дифференциальных
уравнений четвёртого порядка, которые служат для определения Д:
(М-ШЧ-2) + 11_*2>£] [fe(fe-l)/, + (l__T2)g5
= |*А(т), G.29)
где
*-i
** (I) = И |«(л -1) (л + з)/„/;-« (я -1) (,и - 1 )/;,/„, +
2л(л —1)(/п —1)
J mJn
(m-\-n = k).
G.29')

280 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
Заметим, что -^(т) выражается через функции
/к_. (г = 1, 2, . . ., k— 1), определённые в результате решения
предыдущих k—1 уравнений системы; таким образом, Xk{i)
представляет собою известную функцию от т.
Тогда решение G.29) будет слагаться" из общего решения
уравнения без правой части и частного решения неоднородного
уравнения. Линейно независимыми решениями уравнения G.29)
без правой части являются функции:
которые связаны с обычными функциями Лежандра первого и
второго рода зависимостями:
Так как производные от Нк и Нк+2 по т, которые войдут
в выражение vr, обращаются при т=1 в бесконечность, а
скорость течения на оси должна быть конечной, то Нк и Нк+г
на могут войти в общее решение. Таким образом, общее
решение уравнения G.29) будет иметь вид:
л.м=лм?)+ял+з(?) + ад, G.зо)
где Yk{x) — частное решение уравнения с правой частью.
Для определения постоянных интегрирования Ак и Вк
обратимся к условиям G.27). Заметим, что второе из них уже
удовлетворено в силу вида решения G.28). Далее, из G.26) и
G.28) имеем:
GO ' СО
Следовательно, первое из условий G.27) примет вид:
Л(т0) = 0(А = 2, 3, ...), /;(т0) = 0(А = 1,2, ...). G.32)
Наконец, так как в силу симметрии v6 = 0 при т=1, то,
следовательно, должно быть ДA) = 0 (£ = 2, 3,. . .). Поэтому
последнее из условий G.27) примет вид:
MD-/i(-o) = g- t72')

§ 19] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ В ДИФФУЗОРАХ 281
Условие G.32') вместе с условием /1(т0) = 0 служит для
определения А1 и Ви а остальные условия G.32) определяют
Ак и Вк.
Что касается частного решения ^(т), то оно, как показано
в цитированной выше работе Н. А. Слёзкина, имеет вид:
ук<-)-
(А—1)А(А4-1)(*Н-2)С/;'А(а, т)
^J^[J%fF4^
da,
G.33)
где
Dk(a, z) = Ik(a)Hk(x) — Hk{a)lh(t).
При этом как само решение, так и его производная в
рассматриваемой области регулярны и обращаются в нуль при т== 1.
Таким образом, разложение G.28) вместе с G.30) и G.33)
п даёт решение поставленной задачи.
Если ограничиться в G.28) первыми двумя членами, то по
подсчётам Н. А. Слёзкина будем иметь:
ф=±СA— T)(T--j-T-f 1— Зт0
2) +
+^A-^ (т-и^^-^+д,).
*г = ± 7F ^ — го) + 2^3 <т — то>
5т8 —
_A3т0-^)г' + Eт5-6)т + 6т0—^-
•
г'« = 2^ l Х ~ Т' (Т_~ ТоJ (Т ~~ Т Т° + 2Т0 ) '
где
G.34)
^ 2ir A — г0J Bт0 + 1) ■ <7'34'>
При этом в G.34) верхний знак соответствует
расходящемуся потоку, а нижний — сходящемуся.
Распределение давлений в текущей жидкости может быть
найдено непосредственно из уравнений движения A.48).
Если искать р (г, т) в виде ряда:
■=т
А=1

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
j! ограничиться первым членом разложения, то будет:
p—pa = 2v.C(\ — Зт') (^-^-) -
где р0 — давление в сечении г=г0, а С имеет значение G.34').
Исследование поведения линий тока, определяемых
решением G.43), показывает, что в сходящемся потоке линии
тока по мере удаления от входного сечения прижимаются
к оси конуса и обращены к ней своею выпуклостью. В
расходящемся потоке линии тока с удалением от входного
сечения отходят от стенок, приближаясь к осн.
Из вида полученного решения следует, что оно содержит
в качестве главного ч члена член, зависящий от вязкости, и
является пригодным для течений сильно вязкой жидкости.
По этой причине полученные результаты нельзя
использовать для определения условий и места отрыва потока от
стенок в расходящемся течении.
В самом деле: если здесь формально воспользоваться условием
отрыва (-зг") =0. т0 найдём из G.34) для координаты места
отрыва значение
_ Q A+tnP
Из этого результата следует, что с увеличением расхода Q, а
следовательно, и параметра R, точка отрыва удаляется от входного
сечения, в то время как в действительности будет иметь место обратное
явление.
Приведённое выше решение представляет собою очень
интересный и, насколько нам известно, единственный пример
интегрирования полных уравнений движения вязкой жидкости
методом последовательных приближений, содержащий
доказательства сходимости процесса и регулярности всех
приближений. Указанные доказательства можно найти непосредственно
в работе Н. А. Слёзкина. Там же дано решение задачи о
течении вязкой жидкости между двумя соосными конусами.
В заключение отметим, что изложенное решение, так же
как и рассмотренное в п. 1 решение задачи о течении в
плоском диффузоре, не позволяет учесть влияние входного сечения,
так как формулы G.34) дают для сечения г = г0 вполне
определённый профиль скоростей.

§ 20] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 283
§ 20. Развитие течения вязкой жидкости
в пло.ком диффузоре.
В задачах, рассмотренных в § 19, изучались течения,
обусловленные наличием источника в вершине диффузора.
В реальных условиях жидкость поступает в диффузор через
какое-то входное сечение, где при установившемся режиме
имеет место вполне определённый начальный профиль
скоростей. Если при этом вход в диффузор будет достаточно
плавным, то скорость течения во всех точках входного сечения
'почти постоянна.
Поэтому с практической точки зрения большой интерес
будет представлять изучение развития течения жидкости в
диффузоре при заданном профиле скоростей в начальном его
сечении.
1. Приближённые уравнения движения и их
интегрирование. Рассмотрим задачу о развитии течения вязкой
жидкости в плоском диффузоре. Пусть мы имеем диффузор,
образованный двумя плоскостями, наклонёнными друг к другу под
углом 2а (фиг. 28 на стр. 170). Будем при изучении течения
пользоваться координатами г, <р с началом в точке О, где
пересекаются продолжения плоскостей. Положим, что
жидкость, поступая в диффузор, имеет во всех точках входного
сечения г=г0 одинаковую, направленную вдоль радиусов
скорость U0. Найдём, как при этих условиях будет
происходить течение жидкости в диффузоре, считая, что движение
является плоско-параллельным и установившимся, и пренебрегая
действием массовых сил.'
Для решения задачи обратимся к уравнениям движения
в цилиндрических координатах A.47). Так как течение
является плоско-параллельным и установившимся, то третье из
этих уравнений выпадает совсем, а в остальных будут
отсутствовать члены, содержащие vz и производные по z или по t.
Произведём теперь в оставшихся уравнениях частичный
учёт членов, завчгящих от вязкости, полагая, что v..<^.vr и
что производные от vr no r будут малы по сравнению с
производными по ш. Заметим, что при больших R эти
предположения будут, строго говоря, справедливы лишь вблизи
стенок диффузора, где к ним можно приттн путём оценок,
аналогичных тем, которые делаются обычно в теории погра-

284
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
dvr,v^dvr_
' дг ^ г' <Ъ —
dp,2<xc)vr -
cr ~\~ г ~Т~ г д'£
1 др , v <52г»г
ничного слоя (см. п. 2 § 10). Однако при приближённом учёте
членов, зависящих от вязкости, их сравнительную оценку
и следует производить в той области течения, где вязкость
доминирует, т. е. у стенок. Вдали же от стенок течение при
больших значениях R близко к потенциальному и там
влиянием вязкости можно вообще пренебречь. Заметим, что
аналогичным образом мы поступали и в теории пограничного слоя,
когда, считая слой асимптотическим, применяли фактически
полученные для него уравнения ко всей области течения.
Отбрасывая теперь в A.47) члены, которые по сделанным
оценкам являются малыми, получим следующую систему
приближённых уравнений:
G.35)
G.35')
G.35")
В целях дальнейшего упрощения произведём в уравнении
G.35) частичный учёт также и инерционных членов, подобно
тому как это было сделано в § 18. Примем, что в левой
части ввиду малости г>„ можно положить v,li = 0, а
величину vr заменим некоторой характерной для данного сечения
скоростью U. Тогда уравнение G.35) заменится уравнением
Пдг'г— х дР J- v d'vr п ir\
Уравнения G.36), G.35') и G.35") и представляют собою
ту систему приближённых уравнений движения жидкости,
которой мы воспользуемся для решения поставленной задачи.
Остановимся сначала на выборе характерной скорости U.
Будем в дальнейшем принимать в качестве U ту скорость,
которая будет входить в выражение параметра R, если его
выбрать так, чтобы он сохранял постоянное значение для всех
сечений диффузора. В рассматриваемом случае за характерный
размер в параметре R для сечения, определяемого
координатой г, естественно принять величину га. Тогда будет
V

§ 20] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 285
Если считать параметр R при данном режиме во всех
сечениях одним и тем же, то U окажется величиною, убывающей
обратно пропорционально г. Принимая теперь во входном
сечении
R=-^T-. G.37)
получим:
U=^. G.38)
Это значение U мы и будем считать входящим в левую часть
уравнения G.36).
Обратимся теперь к уравнению G.35') нашей системы.
Интегрируя это уравнение по <р, найдём:
p = 2]i^-{-/(r), G.39)
где / (г) — некоторая подлежащая определению функция
координаты г.
Тогда будем иметь:
±£ = 2v|№+±f.
р or or \ r J ' р аг
Подставляя полученное значение -~- в уравнение G.36),
заметим, что в правой части этого уравнения члены порядка
v-r (—) по сравнению с сохранёнными были отброшены.
Следовательно, может быть отброшен и этот член. Заменяя,
кроме того, величину U её значением G.38), представим
окончательно уравнение G.36) в виде
£о_С£о ^г L ^Z _U — ^r n лс\\
г дг ~ р dr^ г? &£ ■ Сяи>
Введём теперь новые безразмерные переменные £, (рь ы, w
и P(s), полагая:
» , Г Ч> Vr — Un V,r
<='V * = t' В=-^ДГ' w=Mv G-41>
/(')=/^ —2j3+p£/04P(S)«-5+(>(S)*-!d2 Ы7.4Г)
Г° L 0 J
где Pq — давление во входном сечении.

ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VI]
Тогда уравнения G.40) и G.35") примут вид:
д-и г-, (да i dP
Ri ии | иг
* , *, и п ( {1Л2)
При принятых обозначениях, учитывая равенство G.39) и
симметрию течения, получим для рассматриваемой задачи
граничные условия:
при 2 = 0 а = 0, Р=0; \
при Z > 0, <?[=0 ^-=0, w = Q; I G.43)
при z ^> 0, ф 1 = 1 м = —1, w = 0. )
Таким образом, решение задачи сводится к
интегрированию системы уравнений G.42) при граничных условиях G.43).
Для получения искомого решения воспользуемся опять
методами операционного исчисления. Перейдём в системе G.42)
от оригиналов и, w и Р к их изображениям по переменному ?.
Тогда, принимая во внимание первые из условий G.43) и
формулы C.05'), C.06') и C.07'), получим:
^iL-pRaa = pRaP, |
d« I G.44)
^+№+1M + 1=0. (
где р — параметр преобразования.
При этом, так как преобразование от постоянной величины
равно ей самой, граничные условия для и и w сохранят вид
G.43).
Если ввести обозначение
m2 = Ra, G.45)
то линейно независимыми решениями первого из
уравнений G.44), взятого без правой части, будут sh (К^+> /»о»,) и
ch(ypm<pt). Кроме того, частное решение этого уравнения,
как легко видеть, равно — Р. Следовательно, общее решение
будет:
а = Сх sh (Vftiify) -\- C2 ch (yjinyj — P.

§ 20] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 287
Определяя С, и С2 по условиям G.43) для и, найден
окончательно:
' СИУ Vm) V
Для определения Р представим второе из уравнений G.44)
в виде:
— dw=[(p-\- l)w-|-l] tfwj.
Беря от обеих частей этого равенства определённые
интегралы в пределах от <р, =0 до ср, = 1 и принимая во внимание
условия G.43) для w, получим:
1
и
Заменяя здесь и его значением из G.46), найдём после-
соответствующих преобразований.
Я=1+Р,. G.47)
где
А = Л^1 = Ш. G 47'V
A + fej A11 т |/ р — т у р ) /г (W
Найдя таким образом изображения и и Р, перейдём к
определению их оригиналов « и Р.
Из G.47') видно, что Р, представляет собою функцию
вида C.16), удовлетворяющую условиям C.17). Если
обозначить через yt (/г= 1, 2, . . . ) корни уравнения1):
tgx = x, G.48)
то легко видеть, что Р, будет иметь простые полюсы в
точках, где тУ yk = iyk или где
о
а также в точке р = — 1.
Заметим, что точка р = 0 не будет полюсом функции
Р], в чём можно убедиться, раскрывая получающуюся
неопределённость.
>) Значение этих корней см., например, в книге: Е. Я н к е и Ф. Э мде,.
Таблицы функций, 1948, стр. 47.

288 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VH
Тогда, как показано в § 7, оригинал Р1 будет даваться
формулой C.22). Переходя к вычислению входящих в эту
формулу величин, получим из G.47'):
Л(Р*) = -''-г
Далее, принимая во внимание, что у^ удовлетворяет
уравнению G.48), найдём:
, —1^ 1 1 = /А(т* _ Гк).
Шъ) = tA+v*)V»*
Кроме того, для значения }.) = —1 будем иметь:
/i(-l) = _т_
_ l/^-l) Щш-т-
Наконец, раскрывая в G.47') соответствующую
неопределённость, получим:
^-/1@)
/»@)
G.50)
Подставляя все эти значения в формулу C.22) и принимая
.во внимание G.49) и G.47), найдём окончательно:
Р= 1
tg т — т
V
1
тг — и
-е ire
G.51)
к — 1 '" I*
Покажем, что полученное решение действительно даёт Р:=0
при £ = 0. Для этого разложим на простейшие дроби функцию
'fi (х) х2
Ъ (х)'
F(X):
1 — х ctg х '
Учитывая особенности F(x), нетрудно убедиться, что это
разложение будет иметь вид *):
Г{х)
-V
1
ь Ы ( 1 _
+
?i(-r*Y ' L
'b'(-tk)\x + tk Tfft
где у4 — попрежнему корни уравнения G.48).
1) См., например, В. И. Смирно в, Курс высшей математики,
-г. III, 1939, стр. 443.

§ 20] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 289
Произведя все подсчёты, найдём:
ОЭ
1 — X Ctg X ' *-^- X1 —
Полагая здесь х = т, придём после несложных
преобразований к равенству
со
2у;-^,=-4-+1+,—^. G-52)
из которого и следует, что условие Р=0 при Е = 0 в решении
G.51) выполняется. Изложенным доказывается одновременно,
что стоящий в правой части G.51) ряд равномерно сходится.
Перейдём теперь к определению скорости и. Подставляя
в G.46) значение Р из G.47), получим:
й=ф —Я, G.53)
где
Из G.53') видно, что ф также представляет собою
функцию вида C.16), удовлетворяющую условиям C.17),
следовательно, оригинал ф будет даваться формулой C.22). При
этом все полюсы рк функции ф, включая и полюс |) = — 1,
совпадают с полюсами функции Рг. Одновременно легко
убедиться, что значения /j(pft) nf'2(\)k), определяемые из G.53'),
отличаются в данном случае от аналогичных выражений, ко-
г, COS(YKPi)
торые вычислялись при подсчете Р, только множителем L-^L ;
Г r l COS Y ';
значение же величины gx будет и в данном случае
определяться формулой G.50). Отсюда следует, что формула C.22)
даст для ф выражение:
,1 3_ , т cos (w?i) (_s
' m2 tg m-\-m cos m
■2E-^^r^V G-54)
■*-^ 7I- — -г.. соь /ь ( '
ft=''"=-7* COSY*
19 c. M. Tapr

2?0 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
Наконец, из G.53) будем иметь: и = A> — Р. Подставляя сюда
значения 'Ь и Р из G.54) и G.51), найдём:
vr т fees пщ — cos m)
[J,-, sin от — от cos m
-1-'>
У
cos (ffrtpi)
COS 7/г
G.55)
Выполнение в полученном решении условия vr^U0 при
5 = 0 можно проверить путём разложения соответствующих
тригонометрических функций в ряд.
Переходя в G.55) с помощью равенств G.41) к
размерным величинам, получим окончательно следующий закон
распределения скоростей в плоском диффузоре:
2jl
и.
■ т
cos { т — — cos m
sin от — т cos m r
+ 2S
= i
т- -
■ъ
cos fft
cosy*
^0. \ m'-
Г
G.56)
Наконец, заменяя в G.41') величину Р её значением из
G.51), найдём выражение /(/■) через £. Подставляя это
выражение в правую часть равенства G.39), получим окончательно
следующий закон изменения давления в плоском диффузоре:
^ А и ' \ г ''о / 1 т 2 tg от — от ' '
-2 V
^-т1
т- ■
fke-(d+l)t
i}
G.57)
Заметим, что G.57) выражает р как функцию не только
расстояния г, но и угла ц>, который входит в правую часть
через vr.
Формулы G.56) и G.57) и дают решение поставленной
задачи.

§ 20]
РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ
Отметим б заключение, что полученными формулами можно
пользоваться для определения vr и р во всех случаях, кроме
тех, когда параметр 7« = J/Ra оказывается равным одному
из корней Yj, так как в этих случаях соответствующие формулы
становятся неопределёнными. Раскрывая эти неопределённости
по известным правилам анализа, получим из G.51) и G.56)
после всех расчётов, что при Ra = 'fj. величины Р и vr должны
вычисляться по формулам:
Р=\— ~
т-
тЧ
Тк
it
и,
1 —
COS Hi-fi
cos m
D*-
,- +
со
■2 V
■Та
['-
cos Y//fi
cos y*
G.58)
где знак штрих у знака суммы означает, что в ней выкинут
член с ук = т.
Соответствующее выражение для /; может быть получэно
из G.58) с помошыо равенства G.41') п формулы G.39)
таким же путём, каким было получено выражение G.57).
2. Исследование характера течгния в плоском
диффузоре. Пользуясь полученным решением, перейдём к
исследованию характера и особенностей течения в плоском
диффузоре.
Прежде всего отметим, что формула G.56) при г=оо
даёт v =0, что находится в полном согласии с условием
постоянства расхода. Найдём, какое значение при /-=со будет
иметь давление р. Если обозначить искомую величину через
Роо, то, полагая в G.57) £ = оо и вводя в правой части параметр
R, получим:
рю-
?и-п
■ ''о — о а Л. 1 3 I !
т
2 ts.ni-
■2S
Но из формулы G.52) и из видоизменённой формулы, которая.
19*

292 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
получится, если в G.52) заменить т на ш, будем иметь:
Со 0 Z
т^__= у, , 1
Z Zl v? — ,1,4 £-Л
„2
3 1 m ,1
т- '1 tg ;» — т ' 2 th ш — т '
Подставляя это выражение в правую часть предыдущего
равенства, найдём окончательно:
^=-^=1-1-Л 2W> G-59)
Исследуя свойства функции A ), найдём, что она
меньше -^ при т<^ 1,92 и больше -^- при т^> 1,92. Отсюда
следует, что при «г <^ 1,92 правая часть равенства G.59)
будет всегда отрицательна. Так как т = V Ra, то полученный
результат приводит к выводу, что
при Rass3,69 />«>Оо. G.60)
т. е. что при этих значениях Ra давление в направлении
течения падает (течение жидкости направлено в сторону
падения давленая).
С другой стороны, если ограничиться рассмотрением
диффузоров с малыми углами раствора а и при значениях Ra^>3,69
пренебречь в правой части G.59) последним слагаемым,
которое будет при этом меньше а2, то придём к выводу, что
при Ra>3,69 pKyp0, G.61)
т. е. что при указанных условиях давление в направлении
течения будет в плоском диффузоре возрастать (жидкость
течёт в сторону возрастания давления).
Таким образом, в зависимости от значения величины Ra,
течение в диффузоре может происходить пли в направлении
или против направления градиента давления.
Перейдём теперь к исследованию явления отрыва. Будем,
как это делалось и ранее, полагать, что отрыв произойдёт в том

§ 20] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 293
сечении диффузора, где у стенки будет:
гдиЛ 1 /диг
О? /? = » а \д-?{ /Tl = i
Подставляя сюда значение vr из G.56), найдём для
определения координаты точки отрыва гч уравнение
VII; __ 1I 7Н- tg Ш „ л„,
/ — е W /-»:=— &- G.62)
^ .^„„2 2 (/П — tgmj
где согласно G.41) ? =1п-^.
Заметим прежде всего, что наименьший из корней ^ а
именно Yi = 4,49, больше it. Следовательно, при /я ^ тг левая
часть равенства G.62) всегда положительна. С другой стороны,
при 0<^fflsg ~ будет tgт ~^> т, а при -^- а^ т<^тт будет
tgw<^0, откуда заключаем, что в интервале 0 =^ т <^ тг
правая часть равенства G.62) всегда отрицательна пли равна нулю.
Из показанного следует, что при m-s^v. уравнение G.62) не
может быть удовлетворено ни при каком значении rs. Так как
т= у Ra, то приходим к выводу, что при
Ra<n3 G.63)
течение в плоском диффузоре является безотрывным.
Сравнивая этот результат с условием G.14) чисто
радиального, направленного в одну сторону течения в плоском
диффузоре, полученным в § 19 для случая больших R, замечаем,
что оба результата практически совпадают.
При значениях Ra^>Tt2 в плоском диффузоре происходит
отрыв жидкости от стенок. При этом, как видно из G.62),
с увеличением Ra = m2 величина Sf будет убывать и точка
отрыва будет приближаться к входному сечению. Одновременно
из G.61) следует в согласии с общей теорией, что при
наличии отрыва течение жидкости направлено в сторону
возрастания давления.
Заметим, что в случае, когда величина V Ra будет равна
одному из корней у.., уравнение G.62) перестаёт иметь смысл.
В этом случае, подставляя в условие отрыва значение vr из

294 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
G.58), найдём для определения места отрыва уравнение
ч
Y'-^,e-^-4'- + :s = ±. G.64)
*-* m-—rk 4
Положение точки отрыва при каждом данном значении Ra
определяется из уравнений G.62) или G.64). Чтобы дать
наглядное представление об изменении положения места отрыва
'Отрьт
0А=г„.ДВ=П
а_и0г0о!
О- я-' 33
210 240 Ra
т т №
Фиг. 45.
с изменением Ra, на фиг. 45 представлена рассчитанная по
7
формулам G.62) и G.64) зависимость— otR<2, гд.е r=rs—г0.
го
При этом, как показывает расчёт, все значения rs определяются
нз названных формул однозначно.
Напомним, что расчёт, произведённый применением методов
теории пограничного слоя, не позволяет учесть зависимость
г, от Ra и даёт, как видно из D.49'), при всех Ra значение
Л
г^= 0,214 г0. Это обстоятельство затрудняет сравнение
полученных результатов. Однако из графика на фиг. 45 можно
заключить, что значения rs, определяемые из G.62) пли G.64),
будут больше значения, даваемого формулой D.49'), и что,

■§ 20j РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 295
следовательно, отрыв наступает на расстоянии от входного
сечения большем, чем то, которое даёт расчёт, основанный на
теории пограничного слоя.
В действительности расчёты, приведённые в главе IV, и
/\
должны дать преуменьшенное значение rs, так как с
увеличением толщины пограничного слоя внешний поток будет как бы
протекать в диффузоре с постепенно убывающим углом
раствора и, следовательно, скорость внешнего потока будет
убывать медленнее, чем это даёт принятая в расчётах главы IV
зависимость U=:U0~. Это обстоятельство и вызовет
удаление точки отрыва от входного сечения.
Из всего изложенного можно заключить, что G.62) и G.64)
или построенный с их помощью график позволяют определить
положение места отрыва более точно, чем формулы теории
пограничного слоя, так как в приведённом решении фактически
учитывается обратное влияние пограничного слоя на внешний
поток.
Чтобы дать более наглядное представление о характере
течения при больших значениях параметра Ra, нами был
произведён расчёт профилей радиальных скоростей по формуле
G.56) для сечений, находящихся на разных расстояниях от
входа; при этом было положено Ra^92,5. Результаты
расчётов дали картину изменения профилей скоростей,
аналогичную той, которая показана ниже на фиг. 48 для случая
конического диффузора. Полученные результаты явно указывают
на распадение потока на течение в ядре, где имеет место
линейный профиль распределения скоростей, п на течение в
пограничном слое близ стенок диффузора, где скорость быстро
падает до нуля. За точкой отрыва у стенок образуется
обратное течение. Как видно, все эти результаты прекрасно
совпадают с общепринятыми в гидромеханике представлениями о
характере течения маловязкой жидкости.
Остановимся отдельно на законе изменения скорости в ядре
течения, которую мы обозначим т;0. График зависимости велн-
/\
чины —- от отношения —, рассчитанный по формуле G.56)
при Ra = 92,5, показан на фиг. 46. Для сравнения на той же
фигуре показана зависимость ~ в потенциальном потоке. Как

296 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
видим, скорость в ядре течения, даваемая решением G.56),
падает медленнее, чем в потенциальном потоке, что находится
в полном согласии с приведёнными выше рассуждениями и
указывает на то, что решение G.56) действительно учитывает
в известной мере обратное влияние пограничного слоя на
внешний поток.
Рассмотрим в заключение, каков будет характер течения
при малых значениях параметра Ra. Выше было показано, что
0 02 М 0.6 0.8 10 12 М 1,6 t
Фиг. 46.
при Ra^rc3 течение в плоском диффузоре является
безотрывным. Так как для любого из корней ~\к будет у^^>2тт2, то при
достаточно больших г можно в G.56) отбросить все члены,
входящие в бесконечную сумму по сравнению с первым
членом. Следовательно, при безотрывном течении закон
распределения скоростей в диффузоре на достаточно большом
расстоянии от входного сечения будет определяться формулой
vr т [cos ?>щ — cos tn\ га 17 Сг\
С/о sin т — hi cos in r
Расстояние, начиная с которого закон распределения
скоростей G.65) имеет место с точностью, например, до 1°/0,

§ 20] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 297
можно при заданном Ra определить по первому члену
отброшенной в G.56) суммы.
Если учесть обозначения, принятые для т, п и Q, то
окажется, что формула G.65) полностью совпадает с найденной
выше формулой G.16), полученной из точного решения в
случае больших значений параметра R.
Дальнейшее упрощение в выражение vT можно внести при
Ra<^ 1 или т <^ 1.
Разложим в этом случае первый член выражения G.56)
в ряд по степеням т и отбросим члены высшего порядка
малости. Далее в бесконечной сумме, входящей в G.56),
пренебрежём величиной тг по сравнению с у|- Тогда получим
следующий приближённый закон распределения скоростей в
диффузоре, пригодный для Ra<^l:
cos -fft
т>
G.66)
При этом наибольший из членов, отброшенных в коэффициенте
при — , который может служить для оценки порядка
приближения, равен:
5 £ — 1 ) ^
аа У 60
Из G.66) находим, что на достаточно большом удалении
от входа закон течения определяется формулой
й=4('-1)?. <'■«>■>
' -1 1 — -ц- i
совпадающей с формулой G.17), которую даёт для Ra<^l
точное решение.
Назовём в данном случае, по аналогии с трубой, длиной
начального участка в плоском диффузоре то расстояние от
входного сечения, на котором осевая скорость, вычисленная
по формуле G.66), отличается от осевой скорости,
определяемой формулой G.66'), не более чем на 1°/0.
Полагая тогда в G.66) ср = 0 и сохраняя в бесконечной
сумме лишь одно первое слагаемое, найдём, заменяя £ её
значением из G.41), следующее приближённое выражение для

298 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
осевой скорости:
2 ° г I 3yi V costi/' \r )
Требуя теперь, чтобы величина в квадратной скобке
равнялась 0,99 и учитывая, что Yi = 4,493, a Ra<^l найдём
для длины начального участка, отсчитываемой от входного
сечения, значение
£1==Го(<Л18(?а_ 1). G.67)
Так как в данном случае Ra<^l, то, пренебрегая величиною
@,18RaJ, получим из G.67) следующее приближённое
выражение:
Lx =*0,18r0Ra. G.67')
Формулы G.67) и определяют длину начального участка в
плоском диффузоре при малых значениях параметра Ra.
Отметим в заключение, что в изложенном решении
рассматривалась задача о развитии в плоском диффузоре
линейного профиля скоростей. Однако полученные результаты могут
быть легко распространены на случай развития произвольного
начального профиля скоростей, если произвести расчёт,
аналогичный тому, который был проделан в п. 3 § 18 для
случая течения в круглой трубе.
3. Течэние в плоской трубе. Покажем, что полученное
выше решение задачи о течении в плоском диффузоре даёт
при предельном переходе решение задачи о течении в плоской
трубе (см. п. 2 § 18).
Для этого найдём предельные значения vr и /;, которые
дадут формулы G.56) и G:57), если в них устремить г и гй
к бесконечности, а а — к нулю, но так, что при этом в
пределе будет:
Ига (га)= Ига (/-0а) = /г, lira (га) = lira (r0tf)=_y,
limf^) = l, lim(r —/o) = z, G.68)
где 2h — высота трубы (расстояние между плоскостями), у —
расстояние любой жидкой частицы от плоскости симметрии
трубы, z — расстояние любой частицы от входного сечения
трубы.

§ 20] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В ПЛОСКОМ ДИФФУЗОРЕ 2Ь9
Заметим прежде всего, что при указанных условиях
формула G.37) даёт для параметра R значение, совпадающее
со значением F.34) для плоской трубы.
Будем в дальнейшем предельное значение vr обозначать
через v,. Так как в пределе а, а следовательно, и Ra
стремятся к нулю, то при определении vt можно вместо G.56)
рассматривать полученную из неё для малых Ra
приближённую формулу G.66). Выражения, стоящие в G.66) в
показателях степени, представим, принимая во внимание G.41), в виде:
Переходя здесь к пределу при условиях G.68), получим:
\т2 1 R /г
Кроме того, очевидно будет Jim— =---—, В результате G.66),
а следовательно, и G.56) примет в пределе вид первой из
формул F.59).
Найдём теперь предельное значение /) из G.57). Так как
значения vr н U0 конечны, то первый член в G.57) даёт в
пределе нуль. Первые три слагаемых в фигурной скобке, если
заменить tg/и его разложением в ряд и принять во внимание
обозначение G.41) и условия G.68), дадут в предел;:
_ I ?j_z_
— 5" R /г "
Наконец, преобразовывая показатели степеней в
бесконечной сумме так же, как это было сделано для правой части
G.66), найдём окончательно, что G.57) примет в пределе вид
второй из формул F.59).
Заметим, что решения F.59) для плоской трубы,
приведённые в п. 2 § 18, можно получить и непосредственным
интегрированием соответствующих приближённых уравнений
движения.

300 ' ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
§ 21. Развитие течения вязкой жидкости
в коническом диффузоре.
1. Приближённые уравнения движения и их
интегрирование. Рассмотрим, подобно тому, как это было
сделано в предыдущем параграфе, задачу о развитии течения
вязкой жидкости в коническом диффузоре. Пусть фиг. 28 (стр. 170)
представляет осевое сечение диффузора с углом раствора 2а.
Примем, как и в предыдущем случае, что во входном сечении
диффузора г=г0 скорости всех жидких частиц направлены
радиально и имеют одну и ту же величину сУ0. Найдём, как
будет при этом развиваться течение в диффузоре, полагая,
что оно является осеспмметричпым и установившимся.
Действием массовых сил, как всегда, будем пренебрегать.
Для решения задачи обратимся к уравнениям движения
жидкости в сферических координатах A.48). Произведём в этих
уравнениях частичный учёт инерционных членов и членов,
зависящих от вязкости, аналогично тому, как это было сделано
в начале § 20. Кроме того, считая угол а малым, положим
приближённо ctg 0 = -гг !). В результате получим вместо A.48)
следующую систему приближённых уравнений движения:
^t i 2^ + -!/-^ =0, G.69»)
or ' г ' гЧ от '
где U, как и в G.36), некоторая характерная для данного
сечения скорость. Члены, содержащие v и производные по ъ,
в системе G.69) отсутствуют ввиду осевой симметрии
течения. Примем, как было условлсно в § 20, что U есть
скорость, входящая в выражение параметра R, если его выбрать
') Система G.69) может быть проинтегрирована и без замены
ctg 0 на 1/8. При этом решение несколько усложнится:
соответствующие бесконечные ряды станут двойными и вместо цилиндрических
функций будут содержать сферические. Так как практически
интересны лишь случаи малых углов раствора, то мы от этих
усложнений решения отказались.

§ 21J РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ 301
так, чтобы он сохранял для всех сечений диффузора
постоянное значение. В случае конического диффузора характерным
размером для сечения, определяемого координатой г,
естественно опять принять величину га. Тогда будем иметь:
V
Отсюда следует, что если при данном режиме сохранить
для R одно и то же значение во всех сечениях, то и для
конического диффузора U будет величиною, убывающей
обратно пропорционально г.
Принимая, что во входном сечении R имеет значение G.37),
получим:
у £А/о
г
Это значение U и будет подставлено в уравнение G.69).
Далее, как видим, уравнение G.69*) совпадает с уравнением
G.35') предыдущего параграфа и, следовательно, даёт для р
выражение, совпадающее с G.39). Тогда при приближениях,
принятых в G.69), будем иметь:
др_ _^_ df (r)
дг ~~" dr
и уравнение G.69) примет окончательно вид:
глЦл dvr l_rf/ i * ( д~и' I * feV.
~7~ dr p dr ~r r2 V ^°2 0 ~<M"
G.70)
Перейдём теперь к новым безразмерным переменным, полагая
S = ln ' 6, =4, «=*#. « = ^. G.71)
Кроме того, введём переменное Р, определяемое равенством
G.41'). Тогда уравнения G.70) и G.69") примут вид:
^f "гЧдо, — ка [д--^ di
G.72)
^ + 2(я+1) + 11^ = 0.

302 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
Наконец, по аналогии с G.43), будем иметь для
рассматриваемой задачи следующие граничные условия:
при z = 0
при z ^> 0,
при г^>0,
в1 = 0
0г = 1
и = 0,
w = 0;
я = -1,
Р = 0\
■ге; = 0.
G.73)
Для нахождения решения системы G.72) при условиях
G.73) используем опять методы операционного исчисления.
Переходя в системе G.72) от оригиналов и, -а и Р к их
изображениям по 5, получим, принимая во внимание первые из
условий G.73) и формулы C.05'), C.06') н C.07') главы
третьей:
й2и | 1 du . _ ~ ,_ ;
^r+o7d<4-^Ra" = *,RotP>
' - } G.74)
№+2)« + 2+^ = 0,
где р — параметр преобразования.
Граничные условия для изображений и и w сохраняют
при этом вид G.73). Первое из уравнений G.74) аналогично,
как легко видеть, уравнению F.41) и, следовательно, его
решение при граничных условиях G.73) совпадает с решением
F.43) и имеет в данном случае вид:
- = (р_1IоМ)_р) AЩ
где
n2 = pRa. G.76)
Для определения Р представим второе из уравнений G.74)
в виде
— dw = [(и -4- 2) й -f 2] в,*»,.
Беря от обеих частей этого равенства определённые интегралы
в пределах от 0, = 0 до Н1 = 1 и принимая во внимание
условия G.73) для w, получим:
u\d\ = -
о

§ 21] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ 203
Подставляя сюда значение и из G.75), будем иметь:
{И 4{n\tn) '] jj + 2-
Последнее выражение можно, пользуясь зависимостью F.45),
представить в виде:
Р=\—Ри G.77)
где
5 — pipW __лф) ,7 77Ч
1 tp -h 2) I,{/0 /2 Ш) • *'■">
Перейдём теперь к определению оригиналов Р и и по
найденным их изображениям Р и и.
Из G.77') видно, что Р, представляет собою функцию
вида C.16), удовлетворяющую условиям C.17) и имеющую
простые полюсы в точках, где in = \>к или, как следует из
G.76), где
^ = -^7> <7-78>
а также в точке р=—2.
При этом \>k в G.78) попрежнему корни уравнения J2(.v:) = 0.
Точка }) = 0 не является полюсом Ръ в чём легко убедиться,
заменяя входящие в G.77') цилиндрические функции их
разложениями F.49).
Тогда, как было показано в § 7, оригинал Рх выражается
формулой C.22), где функции /t и /2 определяются
равенством G.77').
Несложный расчёт даёт в данном случае для величин,
стоящих в C.22) под знаком суммы, значения:
/i(Efe> = 4 /t(-2) = Jn(l/2Ra)
1ъ/?фЛ) 2R^~ Р| ' -2/; (-2) J2([/2Ra)-
Кроме того, из G.77'), используя разложения F.49), найдём:
^'—Ш — -RT- <7'80>
Введём для удобства обозначение
2Ra = m2. G.81)

304 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ Ггл- VI1
Тогда, подставляя все найденные выражения в C.22) и
принимая во внимание G.78) и G.77), найдём окончательно:
P=l_A+^"le-2;_4V_J-T-e-2^5. G.82)
Заметим, что если обе части равенства F.70) разделить
на ~ , а затем положить в нём х = т, то можно будет сразу
убедиться, что решение G.82) действительно даёт Р=0 при
£ = 0; этим одновременно доказывается и равномерная
сходимость стоящей в правой части G.82) суммы.
Перейдём теперь к определению и. Из G.75) и G.77)
находим:
и = — ф — P, G.83)
где
ф-(р+2I8(»)-7йй' (/'ЬЗ)
Задача сводится к определению ф. Из G.83') видно, что ф
также является дробной функцией вида C.16),
удовлетворяющей условиям C.17). При этом все полюсы функций <Ь
совпадают с полюсами Д. Выражение ф будет, следовательно,
определяться формулой C.22). Из сравнения G.83') с G.77')
легко убедиться, что в данном случае выражения, входящие
в C.22) под знаком суммы, будут отличаться от G.79) только
Jo (Mi) - Jo(Mfli)
множителями " ,; ' в первом из выражении и , , , во вто-
J0 (h) Jo ('")
ром. Что касается величины glt то она и в этом случае
будет определяться равенством G,80).
В результате формула C.22) даст для ф значение:
ф= J Jo(»'"i) е-д; ; 1 V ' _ Jq(Mi)c-^ _
т" J..(hj) l ft""" m2 — fk Jo (У
Наконец, из G.83) следует, что и = — Р — ф. Заменяя здесь
ф найденным выражением, а Р—значением G.82), будем

§ 21] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ 305
иметь:
„II «Г J0 Ml) — Jq AП) ,; ,
■ 4V-
Jn(Mi)
Jo (Pa)
G.84)
Выполнение условия vr = t/0 при S = 0 в выражении G.84), a
стало быть и равномерная сходимость стоящего в правой части
G.84) ряда следуют из полученной ранее формулы F.78).
Переходя в G.84) с помощью G.71) к размерным
величинам, найдём окончательно следующий закон распределения
скоростей в диффузоре:
Jo ('" —) — Jo ('">
J2 (m)
4 = 1
m2~h
Jfl %h
h
Jl \ m-
G.85)
Закон распределения давлений в диффузоре найдём,
заменяя в G.41') величину Р её значением из G.82) и
подставляя определённое таким образом выражение / в правую часть
равенства G.39). Окончательно получим:
Р-
-р0=2у.
4£
Га ' Г 1 >»2
Jo ('"),
(т°-
)М
-i'ki
т-
( Я \
G.86)
Формулы G.85) и G.86) и дают решение поставленной задачи.
Заметим, что полученные формулы пригодны для расчёта
во всех случаях, кроме тех, когда параметр т= ]/'2Ra0Ka_
зывается равным одному из корней 'f>k. В этих случаях правые
части G.85) и G.86) становятся неопределёнными.
Раскрывая эти неопределённости, найдём из G.82) и G.85),
что при 2Ra=^>i величины Р и vr должны определяться по
20 с. М. Тарг

306 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРЛХ [1П. VII
формулам
^■=Ь+-=5A —4S)
_8^
т2
8 гЪ-й_4У'_1
т- ' т-
" mi-n
J„ /да) i '
+ 4V'_JL_
Jo @ft)
*-2^E
G.87)
где штрих у знака суммы означает, что в ней* должен быть
опушен член с \>k-=m.
Величина давления р может быть найдена из G.87) таким
же путём, каким было получено выражение G.86).
Полученные результаты внешне очень похожи на решения
G.56) и G.57) с той лишь разницей, что здесь вместо
тригонометрических функций входят цилиндрические.
Существенное различие, однако, состоит в том, что первые
зависящие от г члены разложений vr и /; в случае конического
г1 гл
о о
диффузора содержат, как видно из G.85) и G.86), — и —^
соогве'1сн:енно, в то время как в случае плоского диффузора
эти же члены, согласно формулам G.56) и G.57), будут со-
'"о г},
держать — и —.
2. Исследование характера течения в коническом
диффузоре. Картина течения в коническом диффузоре качественно
во многом совпадает с тем, что ранее было установлено для
плоского диффузора. Поэтому мы остановимся здесь главным
образом на соответствующих количественных характеристиках.
Найдем прежде всего величину давления при л=оо,
которую обозначим роо. Так как при г — <х цг=д, то из
G.86), вводя в правой части параметр R, получим'.
р<х
l£b == 2f| i !_J?
ft/' R "Г" ;«-■
•Id С")
■4S
■6 I, (m) r^il"»2- PP (m2 + 2h)

§ 21] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ 307
т
Но из формулы F.70), полагая в ней х = т и х = / г?=-, бу-
дем иметь:
4 V т3 = 4 V /_J l 1—) =
Заменяя, наконец, т его значением G.81), найдем
окончательно;
J^Z^ = 1_±^]ll>_^. G.88)
?и\ з 1.Л1/К.) R
Исслелуя свойство функшш F (х) = 31, (х) — 10 (х), легко
убедиться, что F{x) = 0 только при ^, = 2,175 и что f(A')<^0
при .t<^jc, и F(x)^>Q при х^>ху Отсюда следует, что
при J/R2 5^2,175 правая часть G.88) всегда отрицательна.
Таким образом, будет:
при Ra<4,73 /7M<p0 G.89)
и течение в этом случае происходит в сторону падения
давления.
Если же при R2^>4,73 пренебречь в правой части G.88)
последним слагаемым, которое будет в этом случае меньше
а2
-ту , то найдем, что
при Ra>4,73 pM>pa. G.90)
Таким образом, в этом случае течение в диффузоре
происходит в сторону возрастания давления.
Таким образом, в зависимости от Ra течение в
коническом диффузоре может также происходить и в направлении
градиента давления и против градиента давления.
Перейдём теперь к исследованию явления отрыва. Полагая
попрежнему, что условием отрыва будет:
\.d«i /4= 1
20*

208 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКО]'! ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
и заменяя здесь vr выражением G.84), найдём для
определения координаты rs точки отрыва уравнение:
Ч
G.91)
где 9, = In—.
Обозначим через Xj наименьший из корней уравнения
Jj(.t) = 0 (к1 = 3,832). Так как любой из корней pft больше
X,, то при /«г^Х, левая часть равенства G.91) будет всегда
отрицательна. Но, как известно, при #<^Xi будет J, (х) ^> 0
и J, (х) ^> 0, так как jij ^> кг. Таким образом, при /nsgX,
правая часть G.91) будет положительна или равна нулю.
Отсюда следует, что при т =^ \х уравнение G.91) не может
быть удовлетворено ни при каком значении rs. Так как
jn2 = 2Ra, то приходим к выводу, что при
Ras£7,34 G.92)
течение в коническом диффузоре будет безотрывным.
При RjC^>7,34 у стенок диффузора происходит отрыв.
При этом, как видно из G.90), течение жидкости направлено
в сторону возрастания давления; место отрыва с увеличением
Ra приближается к входному сечению.
В случае, когда величина у 2Ra будет равна одному из
корней pft формула G.91) теряет смысл и положение места
отрыва должно определяться из уравнения
, п
V.'—^rH*-Vs" + 2S, = l, G.93)
*= 1 ",2 -h ' -
которое получится если подставить в условие отрыва
значение vr из G.87).
Для большей наглядности зависимость отношения ——от Ra,
го
даваемая формулами G.91) и G.93), представлена на фиг. 47.
/\
При этом rs = rs—г0.
Как и в случае плоского диффузора, оказывается, что с
увеличением Ra место отрыва приближается к входному се-

§ 21J РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ 303
чению. Однако при одних и тех же значениях Ra отрыв в
коническом диффузоре происходит значительно ближе к
входному сечению, чем в плоском (примерно в 2,5 раза).
Напомним, что из расчётов, произведённых в главе IV с помощью
методов теории пограничного слоя (см. формулы 4.49' и 4.80'),
также следует, что отрыв в коническом диффузоре
происходя £й зо То To w w т гю т На.
Фиг. 47.
дит на расстоянии от входного сечения в два с лишним раза
меньшем, чем в плоском. Результаты эти вполне естественны,
так как в коническом диффузоре падение скорости
происходит быстрее.
Что касается сравнения решения D.80') с результатами,
которые представлены на фиг. 47, то оно приводит к
выводам, аналогичным тем, которые были сделаны по этому
поводу для течения в плоском диффузоре.
Чтобы наглядно представить картину течения в диффузоре
при больших значениях параметра Rat, были произведены
расчёты профилей радиальных скоростей по формуле G.85) для
случая, когда Ra = 92,5. Указанные расчёты производились
/\
для значений — , равных 0,3, 0,5, 0,665 (место отрыва),
0,8 и 1,5; при этом г^г—г0. Соответствующие профили

310 ТЕЧЕНИЕ НЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ [ГЛ. VII
скоростей показаны на фиг, 48. Для большей наглядности
все сечения изображены не дугами окружностей, а прямыми
линиями, и векторы скоростей отложены не вдоль радиусов,
а параллельно оси диффузора; истинный вид профиля
скоростей для входного сечения показан в левом верхнем углу
рисунка.
Результаты расчётов дают, как видно из фиг. 48, для
центральной части потока линейные профили скоростей (ядро
0 в? " 0,5 0.665 ОМ ".5 г
'о
Фиг. 4S.
течения). Только у самых стенок скорость быстро падает до
/\
нуля. За точкой отрыва (лг = 0,665г0) у стенок появляется
обратное течение.
Что касается скорости в ядре течения, то она, как
показывают графики, убывает по мере удаления от входа, но
падение это, как и в случае плоского диффузора, происходит
медленнее, чем в потенциальном потоке, где имеет место за-
и<г\ п
висимость v0 = ~j- . Для наглядности зависимость скорости
в ядре течения v0 от расстояния до входа показана на фиг. 49.
1ам же дана зависимость v0 от г в потенциальном потоке.
Результаты аналогичны тем, которые показаны на фиг. 46
для течения в плоском диффузоре. Таким образом, и в
данном случае можно утверждать, что решение G.85) учитывает
в известной мере обратное влияние пограничного слоя на
внешний поток.
Рассмотрим теперь, каков будет характер течения при
малых значениях параметра Ra, т. е. при тех значениях, для

§ 21] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ 311
которых течение является безотрывным. Как видно нз G.92),
в этом случае будет т2 ^ 14,7. Так как ^ = 26,4, то, сле-
довательно, наименьший из множителей 2 —, стоящих в
G.84) в показателях степеней е, будет приблизительно равен 4,
1.0
0.8
ць
ОА
ОЯ
Потенциальный поток /
м
г2
v„
Ча = 92,5
0.2
ОА
0,5
0.8
Ю
а
IA
16 г
г„
Фиг. 49.
а наибольший нз коэффициентов 4 (т2—[ф 1 будет меньше
единицы. Отсюда следует, что на достаточном удалении от
входного сечения (например, при £:=г1), бесконечной суммой,
входящей в G.84), можно пренебречь и принять для закона
распределения скоростей в диффузоре приближённое
выражение
v^ _J0(wOi) — J0(m) t\
G.94)
J,(m) /-2 -
Дальнейшие упрощения можно получить в случае, когда
Ra<^- пли от<^1. Разлагая в этом случае соответствующие
цилиндрические функции в ряды по степеням т и отбрасывая
члены высшего порядка малости, а также пренебрегая ш2 по
сравнению с ffi, получим нз G.84) следующее приближённое

312
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ
[гл. vii
выражение для vr:
V
2i--^-4i;
ft=l
1 —
JotMi)
•MM
G.95)
При этом наибольший из отброшенных в коэффициенте
при
членов равен:
1_L3~ А
1 ч2 ю
Эта величина может служить для оценки порядка
приближения, даваемого формулой G.95).
На достаточно большом расстоянии от входа бесконечной
суммой, входящей в G.95), можно пренебречь; тогда
приближённо будет:
v, I б2 \ г~п
и0
f
2 ( 1
Таким образом, при очень малых Ra в коническом
диффузоре на достаточном удалении от входа устанавливается
течение с параболическим профилем скоростей; при этом в
направлении оси диффузора скорости падают обратно
пропорционально г2.
Подобно тому, как это было сделано в § 20, введём
понятие о начальном участке в коническом диффузоре. Будем
считать длиною начального участка в коническом диффузоре то
расстояние от входного сечения, начиная с которого осевая
скорость течения, определяемая формулой G.95), отличается
от осевой скорости, вычисленной по формуле G.96), менее
чем на 1°/0.
Полагая в G.95) 0 = 0 и сохраняя в бесконечной сумме
одно лишь первое слагаемое, найдём следующее приближённое
выражение для осевой скорости:
2Ц, ~ 1
of,
1 —
1
Mh)
G.97)
Тогда длину начального участка Ll найдём, требуя, чтобы
величина в фигурной скобке равнялась 0,99. Полагая в G.97)
/■ = /-!-|-г0 и заменяя т его значением из G.81), получим

§ 21] РАЗВИТИЕ ТЕЧЕНИЯ В КОНИЧЕСКОМ ДИФФУЗОРЕ 313-
после соответствующих упрощений:
Z.1 = r0(e°.lsR'—1). G.98)
Если принять во внимание, что в рассматриваемом случае
Ra<^77 " разложить правую часть G.98) в ряд,
ограничиваясь первым членом разложения, то приближённо будем иметь:
I1^0,16r0Ra. G.99)
Это значение совпадает с выражением для длины начального
участка в круглой трубе, определяемым формулой F.58).
Заметим, что производя в формулах G.85) и G.86)
предельный переход при г—► оо и а—>• 0 и повторяя выкладки,
проделанные в п. 3 § 20, мы придём в пределе к выражениям
F.57) н F.51), определяющим закон течения в круглой
цилиндрической трубе.
Отметим в заключение, что все полученные выше
результаты дают картины течения, качественно очень хорошо
совпадающие с тем, что в соответствующих случаях должно иметь
место согласно общей теории движения вязкой жидкости.
Отсутствие каких-либо опытных данных, относящихся к течениям
в диффузорах при ламинарном режиме, не позволяет сравнить
с омытом полученные количественные соотношения. Однако
следует отметить, что экспериментальные исследования
турбулентных течений в диффузорах дают картины распределения
скоростей и закон перемещения места отрыва потока,
качественно очень близкие к тем, которые были получены в
результате приведённых выше теоретических расчётов для ламинарных
течений1). Эти обстоятельства позволяют считать изложенные
в §§ 20 и 21 результаты, которые посвящены развитию одного
из интересных разделов общей теории движения вязкой
жидкости, не лишёнными и известного практического значения.
') Соответствующий экспериментальный материал и ссылки на
литературу можно найти в статье И. Е. Идельчика, Аэродинамика
потока и потери напора в диффузорах, помещённой в сборнике
«Промышленная аэродинамика» (сборник № 3) под ред. А. К. Ушакова.
Изд. Бюро новой техники, 1947.

ГЛАВА VIII.
ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ.
§ 22. Установившееся плоско-параллельное
течение смазки в смазочном слое.
I. Гидродинамическая теория смазки проф. Н. П.
Петрова. Теория ламинарного движения вязкой жидкости
находит весьма важные практические приложения в
гидродинамической теории смазки.
Как известно при относительном скольжении сухих твёрдых
поверхностей возникает сила трения F, полную величину
которой можно в первом приближении считать пропорциональной
нормальной нагрузке Р:
F=fP, (8.01)
где /— коэффициент трения скольжения, определяемый
опытным путём. При этом полагается, что/не зависит от размеров
соприкасающихся при трении поверхностей и от скорости
скольжения, а также от величины самой нагрузки Р.
Однако, как показывает опыт, закон (8.01) совершенно не
оправдывается в тех случаях, когда между трущимися
поверхностями находится слой жидкой смазки, в частности, в случае
трения в смазанных подшипниках.
Основания теории трения смазанных тел были даны
основоположником гидродинамической теории смазки проф. Н. П.
Петровым в его классической работе «Трение в машинах и влияние
на него смазывающей жидкости», опубликованной в 1883 г.
в Инженерном журнале1).
:) См. также Н. П. Петров, Гидродинамическая теория смазки,
изд. Акад. Наук СССР, 1948, или сборник «Гидродинамическая теория
смазки» под ред. акад. Л. С. Лейбензона, ГТТИ, 1934.

§ 22] установившееся плоско-параллельное течение 315
Основная идея теории проф. Н. П. Петрова состоит в том,
что при смазке силы трения определяются внутренним трением
в смазочном слое и зависят, следовательно, от физических
свойств самого смазывающего вещества. Отсюда следует, что
определение сил трения при смазке представляет собою
гидродинамическую задачу, сводящуюся к изучению движения слоя
вязкой жидкости, заключённого между смазанными
поверхностями, в частности, между шипом и подшипником.
Высказанные здесь положения были фундаментально
обоснованы проф. Н. П. Петровым как теоретически, так и
экспериментально. Созданная им гидродинамическая теория смазки
дала ключ к решению важнейшей задачи о трении в машинах.
В своей первой работе проф. Н. П. Петров, правильно
оценивая математические трудности, возникающие при учёте
всех особенностей движения жидкости в смазочном слое,
останавливается на рассмотрении простейшей задачи, дающей
возможность установить основы всей теории. В этой первоначальной
постановке поверхности шипа и подшипника рассматриваются
как круглые соосные цилиндры неограниченной длины,
пространство между которыми предполагается сплошь заполненным
смазкой. Тогда задача сводится к рассмотрению
плоско-параллельного течения жидкости между двумя концентрическими
окружностями и позволяет найти точное решение, приведённое
в п. 5 § 5.
Мы воспроизведём здесь решение проф. Н. П. Петрова,
отличающееся от результатов, которые дают формулы B.35)
и B.37) вследствие различия в граничных условиях.
Назовём попрежнему радиусы внутреннего и внешнего
цилиндров /?j и R2, а их угловые скорости о>, и ш2. Уравнение
движения жидкости в слое между цилиндрами сохраняет вид
B.34), и его общее решение, если воспользоваться
обозначениями п. 5 § 5, будет:
^{г)=^-\-С2г. (8.02)
При установлении граничных условий проф. Н. П. Петров
исходит из более общих предположений, считая, что смазка
может скользить по поверхности шипа и подшипника. Заметим,
что в обычных условиях, так как «липкость» смазки очень
велика, это скольжение можно считать практически отсут-

316 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ |ГЛ. VIII
ствующим. Однако учёт скольжения может оказаться
существенным в тех случаях, когда толщина смазочного слоя крайне мала.
При отсутствии скольжения, когда жидкость прилипает к
обтекаемой поверхности, граничное условие на внутреннем
цилиндре имеет вид: v(Rl) = miR1. Если же от предположения о
прилипании жидкости отказаться, то тогда ?>(/?,) не будет
равно (niRl и жидкость будет скользить по стенке цилиндра
с относительной скоростью, равной viR^)—о>1^?1. Примем, что
при этом на поверхности жидкого элемента, соприкасающегося
с внутренним цилиндром, напряжение силы трения равно
К [V(R\)— toi^i]i гл-е ^i — коэффициент внешнего трения
жидкости о твёрдую поверхность1). Аналогичный результат будет
иметь место и для слоя жидкости, примыкающего к внешнему
цилиндру.
С другой стороны, напряжение силы внутреннего (вязкого)
трения на элементе, отстоящем от оси вращения на
расстоянии г, будет согласно формулам A.43) и (8.02) равно:
^ = Jd-?-±\=-*A- (80
' г* ' \dr r J ' г* х '
Требуя, чтобы на границах жидкости, примыкающих к
поверхностям цилиндров, напряжение внутреннего трения
совпадало с напряжением, обусловленным наличием скольжения,
придём, принимая во внимание направления сил трения, к
следующим граничным условиям:
h{w-\-C2R2-u2R2) = '2V. C'
(8.04)
;
При этом в (8.04) величины v(Rx) и v(R2) заменены их
значениями из (8.02). Условия (8.04) и служат для определения
J) Заметим, что размерность 1-[ отличается от размерности
коэффициента вязкости ji. Легко видеть, что [ЪЦ—кгсек/м3, в то время
как М = кг сгк\мг.

§ 22J установившейся плоско-параллельное течение 317
постоянных С, и С2. Решая эту систему уравнений, найдём:
С,=-
к!щ(щ-
)
/?]/?2(^_/?2)+2Л1^ +
#
/?
с = -
/гЛ^-^+^^Н-^
«*
*?
(8.05)
Формула (8.02) вместе с (8.05) н определяет движение
жидкости в слое между цилиндрами. При 1-— оо, что
соответствует условию полного прилипания, полученный результат
совпадает с решением B.35).
Выделяя теперь в движущейся жидкости цилиндрическую
поверхность радиуса г и высоты Н, найдём, что действующая
на неё сила трения будет равна 2пгНтгс, а момент этой силы
относительно оси Oz будет: М=2пг2ЙтгУ Подставляя сюда
значение zr из (8.03), получим:
(со, — со,)/??/?2
Л1-—4тт;лЛгС1 =—4гги.Я -
/?,/?2(/?22-//;)
(8.06)
Относительно знака момента здесь будут справедливы
замечания, которые были сделаны ранее по поводу формулы B.37).
Будем в дальнейшем считать внешний цилиндр (подшипник)
неподвижным, т.е. примем со2^= 0. Кроме того, обозначим:
«,_/?! = А. (8,07)
Полагая далее просвет h между цилиндрами малым,
отбросим в (8.06) члены порядка hz и выше. Тогда для величины
главного момента сил трения, действующих на шип, получим
следующее приближённое выражение:
Sty,/?,
М :
■',>■-
(8.08)
A + t
I,
где S = 2tiR}H
и смазки, a Ux
шипа.
- полная поверхность соприкосновения шипа
= (!),/?,:—окружная скорость на поверхности

313 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
Если обозначить силу трения на поверхности шипа через F,
понимая под F отношение М к /?,, то из (8.08) получим
знаменитую формулу проф. П. П. Петрова:
F=m ^h . (8.09)
В случае полного прилипания смазки к шипу и
подшипнику (Aj =/.3 = оо), формула (8.09) принимает вид:
F=H^. (8.10)
Заметим, что приближённую формулу (8.10), справедливую
для малых значений h, мо-..но получить, применяя к
смазочному слою приближенные уравнения B.38). Задача в этом
случае совпадает с задачей о течении между параллельными
стенками, которая была рассмотрена в начале п. 1 § 5;
решение её даёт для напряжения трения величину,
определяемую формулой B.04). Полагая в B.04) 6,]=0 и умножая
обе части равенства на S, мы и придём к формуле (8.10).
Вообще все решении, получаемые для задачи о течении
между параллельными стенками, дают приближённые
выражения для течения в кольцевом слое смазки, когда толщина ft
слоя мала.
Отметим в заключение, что изложенное выше решение
получено в предположении, что p. — const или, иначе, что
температура смазки во всё время движения всюду постоянна.
Найденные результаты относятся к предельному случаю,
когда шип и подшипник расположены конпентрично. Как мы
увидим в дальнейшем, это предельное положение
соответствует случаям или очень быстро вращающегося шипа или шипа,
несущего весьма малую нагрузку. Интересно отметить ещё и
то, что решение проф. Н. П. Петрова представляет собою
единственный пример точного решения задачи о смазке, т. е.
решения, полученного из полных уравнений движения. Все
последующие решения задач гидродинамической теории смазки
находятся путём интегрирования приближённых уравнений
движения вязкой жидкости, в которых отбрасываются
инерционные члены.

§ 22] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ 319
В обычных условиях шип в подшипнике располагается
эксцентрично, что существенно влияет на явление смазки.
В частности, благодаря эксцентричному расположению шипа
создаётся та поддерживающая сила, которая удерживает
нагруженный шип на некотором расстоянии от подшипника и
позволяет осуществляться полной смазке. Впервые на это
обстоятельство указал проф. Н. Е. Жуковский'). Приближённое
решение задачи о смазке при
эксцентричном расположении
шипа будет рассмотрено ниже.
2. Смазка плоских
поверхностей. Простейшей задачей
о смазке твёрдых тел, на
примере которой выясняется
причина возникновения поддери нваю-
щей силы, является задача о
движении смазочного слоя
между двумя наклонёнными друг к другу плоскостями.
Рассмотрим установившееся плоско-параллельное течение
вязкой жидкости между двумя пластинами, из которых верхняя
(наклонная) неподвижна и имеет конечную длину CD, а
нижняя (горизонтальная) неограничена в длину и перемещается влево
с постоянной скоростью U (фиг. 50). Сформулированная задача
схематизирует явление смазки плоского ползуна неограниченной
ширины 2).
Для решения задачи выберем оси координат так, как
показано на чертеже, и обозначим проекцию CD на ось Ох через а,
а переменное расстояние между пластинами через h, причём
положим
х
Фиг. 50.
А = А0 1+А
(8.11)
где /?п и k—постоянные величины, геометрический смысл
которых очевиден.
') Н. Е. Жуковский, О гидродинамической теории трения
хорошо смазанных твёрдых тел. Журн. русск. фнз.-хи.м. о-ва, т. X VIII,
18S6 или Собр. соч., т. IV, 1937.
2) Решение рассматриваемой задачи было дано О. Рейнольдсом.
Та же задача в случае ползуна конечной ширины решена Л. Миче-
лом. Работы, содержащие эти решения, см. в выше цигир. сборнике
«Гидродинамическая теория смазки», ГТТИ, 1934.

320 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
Граничные условия в рассматриваемой задаче, если считать,
что имеет место полное прилипание смазки к пластинам, будут:
при у = 0 г>=—U, v.. = 0, )
при y = h vx = 0, vy=0, J
при х = 0 и при х = а р=р0, (8.12')
где ра — давление за пределами объёма OBCD.
Полагая, что угол между пластинами не очень велик,
воспользуемся для описания движения слоя смазки между
пластинами приближёнными уравнениями B.38), полученными в § 6.
Так как в B.38) правая часть зависит только от х, то,
интегрируя это уравнение по у, получим:
'*=¥£? +А* + В'
где А и В — подлежащие определению функции от л-. Находя
-значения А и В по условиям (8.12) для vx, будем окончательно
иметь:
•°x=^%^-W-T{'h-y)- (8ЛЗ)
Для определения ~ обратимся к уравнению B.38').
Интегрируя это уравнение по у в пределах от 0 до А н принимая
во внимание условия (8.12) для v , получим:
л п
Ox ■ дх ) x -
О о
последнее равенство следует из того, что при y = h v . = 0.
Подставляя сюда значение vx из (8.13) и вновь интегрируя,
найдём:
% = -^(Н-Л1), (8.14)
где постоянная интегрирования ftj представляет собою
одновременно то значение ft, при котором давление имеет максимум,
так как при /i = h1 будет у§<^0.

§ 22] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ 321
Замечая на основании (8.11), что J^ = k — ■£, мы, инте-
" дх a dh
грируя выражение (8.14) по h, найдём:
Gy.Ua ( 1 Л, \ , ,
Используя условия (8.12'), а также равенство (8.11),
получим для постоянных интегрирования /гг и b значения:
, оь 14-« . 6'iUa 1
/ь = 2Л0 ™1ГХ , Ь = р
+ *' '° АА* 2 + Й-
Подставляя эти зн аченпя в предыдущее выражение для р
и переходя в нём с помощью (8.11) от /г к х, найдём
окончательно следующий закон распределения давлений в слое:
, by.aU
1+А
я + Ад; 2-f-* 2 + А(а + А.*J
(8.15)
Абсцисса х1 точки максимума давления будет при этом
определяться формулой
а
которая получится, если подставить величину h1 в (8.11).
Формулы (8.13) и (8.15) и дают решение поставленной
задачи.
Перейдём теперь к определению сил давления и трения,
действующих на пластины. Умножая разность р—р0 на dx и
интегрируя по л: в пределах от 0 до а, получим из (8.15) для
вертикальной составляющей силы давления, приходящейся на
единицу ширины пластины, значение
р=6у.щг
1пП+*)-2^*
(8.16)
Как видим, при прочих равных условиях, сила Р зависит
от величины k, пропорциональной тангенсу угла наклона
верхней пластины. Легко проверить, чтс Р имеет максимум, когда
А=к 1,2.
21 СМ. Тарг

322 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ | ГЛ. V1I1
Если подставить это значение k в выражение (8.16), то
получим, что
Рш„=*=0,16я£/-£, (8.17)
Точка максимума давления будет при этом находиться на
расстоянии хх = 0,31а от точки О.
Для определения абсциссы точки приложения
равнодействующей сил давления х найдём сумму моментов этих сил
относительно точки С. При этом, полагая угол между пластинами
малым, будем считать косинус его равным единице. Тогда из
(8.15) получим:
а
Lc=\(p—p0)xdx= „6[1ШЗ \6k4-k2— 2C+2fe)ln(l + A)].
с .) 2A^3B_f-A) L ' ' ' J '
Так как хр=-^ , то, заменяя Р величиною (8.16), найдём
окончательно:
^ 6^-4-^2 —2C + 2fe)ln(l-hfe) „ ,o1R.
ХР~~ 2А[B + *IпA-Н) — Щ • ( '
В случае, когда k =1,2, будем иметь:
хр ^ 0,43а.
Таким образом, оказывается, что центр давления
расположен несколько ближе к точке С. Из полученных результатов
следует, что благодаря развивающемуся в смазочном слое
избыточному давлению пластина CD может нести нагрузку Р,
величина которой определяется формулой (8.16), а точка
приложения — абсциссой х .
Найдём в заключение действующую на движущуюся
пластину силу трения. Для напряжения силы трения имеем в
данном случае выражение
Подставляя в"это выражение значение vx из (8.13), получим:
Т° — * h Ъ дх '

§ 22] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ 323
Заменяя здесь р и h их значениями из (8.15) и (8.11),
найдём окончательно:
U
Аа
6A+*)
a+kx 2 +A (a-\-kxy\
(8.19)
Умножая обе части равенства (8.19) на dx и интегрируя
по х в пределах от 0 до а, получим для полной величины
силы трения, действующей на единицу ширины пластины,значение
F =
v-aU
■lln(l+A).
l + k
(8.20)
В частности, при £=1,2, будем из (8.20) иметь:
F1^=0J53]~. (8.21)
1к>
Формулы (8.20) пли (8.21) отличаются от формулы проф.
Н. П. Петрова (8.10) только численным коэффициентом,
учитывающим переменность
толщины слоя смазки.
Заметим, что справа
от точки с абсциссой
х = хи где давление
имеет максимум, течение
происходит в сторону
возрастания давления.
Вследствие этого, начиная с
некоторого сечения EEV
определяемого абсциссой
х*, движение жидкости
вблизи пластины CD будет происходить в направлении,
противоположном направлению движения нижней пластины (фиг. 51).
При этом значение х* определяется из условия
Фиг. 51.
dvY\
ду jy = h
г0.
Подставляя сюда vx из (8.13), получим:
2у.дхп ' Л* — и'
21 >

324 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
откуда с помощью (8.14) будем иметь:
Л*=-|/7,. (8.22)
Заменяя hx найденным ранее значением и используя (8.11)
для перехода от Л* к х*, найдём окончательно:
**=й£в- (8-22'}
Из (8.22') следует, что, при /г<^1 будет х* ^> а и,
следовательно, в слое между пластинами течение жидкости будет
безотрывным; при /г^>1, т. е. при угле наклона пластин, тангенс
которого превосходит величину —, вблизи верхней пластины
возникает отрыв и обратное течение жидкости. В частности,
при к =1,2 обратное течение начинается в сечении, где
х* = 0,89л.
Наибольшее значение k, при котором сохраняется
сплошность смазки, будет /г= 1. Это значение довольно близко к
значению &= 1,2, при котором Р=.РтлГ Заметим, что при k= 1
будет:
Р=0,\59ци-^-, /7=0,773 S^L. (8.23)
Величины эти довольно близки к тем, которые дают формулы
(8.17) и (8.21).
Отметим в заключение, что полученные здесь результаты
дают в первом приближении представление о том, за счёт чего
возникает поддерживающая сила в цилиндрическом подшипнике
с жидкой смазкой, а также о порядке величины этой
поддерживающей силы и силы трения. Если положить в (8.15) /г = 0,
то, раскрывая получающуюся неопределённость, найдём, что
р=р0, т. е. что поддерживающая сила при этом не
возникает. Следовательно, поддерживающая сила возникает за счёт
наклона верхней пластины, вызывающего поджатие вязкого
слоя, а с ним и повышение давления. В подшипнике с жидкой
смазкой наклону пластины соответствует эксцентричное
положение шипа в подшипнике. На эту причину появления
поддерживающей шип силы и было указано проф. Н. Е.
Жуковским (см. стр. 319).
3. Движение смазки в цилиндрическом подшипнике.
Рассмотрим задачу о смазке цилиндрического подшипника при

§ 22] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ 325
эксцентричном расположении шипа, полагая, что смазка
заполняет всё пространство между шипом и подшипником. При
этом движение смазки в смазочном слое будем считать
плоско-параллельным. Практически это означает, что мы при
расчёте не принимаем во внимание то, что длина шипа конечна.
Обозначим радиус.шипа Ru радиус подшипника R2, а
переменную толщину слоя смазки i\ ежду ними И (фиг. 52). Пусть
шип вращается равномерно по часовой стрелке и пусть
линейная скорость на поверхности
шипа равна Ul. Будем
положение любой жидкой
частицы в смазочном слое
определять криволинейными
координатами х и у, где х = О А
измеряется вдоль дуги
окружности радиуса Rx, а у от-
счнтывается от точки А по
направлению нормали к
окружности. При этом
точка О—неподвижная точка,
взятая в том месте, где
расстояние между шипом и
подшипником является
наименьшим. Если ввести централь- Фиг. 52.
ный угол щ, отсчитываемый
от СЮ| в направлении против вращения шипа, то будет ;е:=/?1со.
Примем теперь, что толщина слоя смазки h столь мала по
сравнению с радиусом шипа Rx, что можно кривизной
координатных линий пренебречь и считать для течения в
смазочном слое справедливыми приближённые уравнения B.38).
Порядок приближения будет при этом соответствовать тому, при
котором была получена формула (8.10). Решение задачи в этом
приближении было дано Зоммерфельдом ').
Заметим, что при сделанном выборе координат граничные
условия для скоростей в рассматриваемой задаче в точности
совпадают с (8.12). Отсюда следует, что величины vx и —-
будут и в данном случае определяться формулами (8.13) и (8.14),
') См. его статьи в выше цитированном сборнике
«Гидродинамическая теория смазки».

326 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
й1 именно:
v*=iu£(y2 - h-v) - т{h -у)> (8-24)
1^Т' <8-25>
гдеЛ-!, как ив (8.14),— постоянная интегрирования,
определяющая одновременно точки экстремума давления.
Всё последующее решение будет отличаться от решения
задачи о смазке плоских поверхностей только тем, что здесь
будут иными вид зависимости h от х и граничные условия
для давления.
Обозначим расстояние 010., между центрами шипа и
подшипника через е и положим разность радиусов /?2 — /?, = д.
При малом е угол ОгВ02 близок к нулю и из треугольника
0{02В, который может быть построен на фиг. 52, будем
приближённо иметь R2 = h -f- Rx -j- e cos <p или
h = 3 — е cos ср.
Легко видеть, что всегда будет о :з= е, так как 5 = е -\~ h @).
Введём тогда новый параметр а, величина которого всегда
больше единицы:
а=~ A=£а=£оо). (8.26)
В результате зависимость h от ф будет окончательно пред-
.ставлена в виде:
.., .. h = e(a — cose?). (8.27)
Перейдем теперь к определению постоянной интегрирования
~Н{. Из (8.25), переходя от переменной х к <р и интегрируя
то'ср, будем иметь:
о о
:где р0 -*-давление йоеетенин щ = 0.
При. замкнутом слое смазки должно, очевидно, быть
^»Bя)===/70 или, как это следует из предыдущего равенства:
,]•&=*.?§• (8-28)
о о

§ 22j УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ 327
Равенство (8.28) и определяет величину h1. Для
вычисления входящих сюда интегралов рассмотрим формулу,
справедливую при а^> 1:
Jx{<?) = \ —^~ = ^J=arctg(' i/i±itgX). (8.29)
1 Tl J а — cos? ya2__i \\ а—1 ь2у v '
О '
Кроме того, введём обозначения:
2п 2к 2п
у1=Г_^Р_, j2=f_*P 78=r__L.(8.29')
1 J а — cos 9 J (а—cos 9) .' (J — ccs tp)"
0 0 0
Все введённые интегралы являются функциями параметра а.
При этом, как легко убедиться простым дифференцированием
под знаком интеграла, будет:
. _d_J1 . 1_ d/_2
2 di ' 3 2 d-j '
Полагая тогда в (8.29) ш = 2тт и используя затем
предыдущие равенства, найдём:
Заменим теперь в равенстве (8.28) h его выражением (8.27).
Тогда, принимая во внимание обозначения (8.29'), получим:
е '
Подставляя сюда значения интегралов из (8.29"), будем
окончательно иметь:
'Н=Щ^Л- (8-30)
Обозначим угол, при котором h=hx, через ср[. Тогда из
(8.27) и (8.30) найдём, что
>аг + Г
Равенство (8.30') показывает, что точки экстремума
давления находятся в той области, где cos ш ^> 0, т. е. где шип
расположен ближе к подшипнику.
«55?,=,^—. (8.30')

328 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
Перейдём теперь к определению закона изменения
давления и напряжения сил трения на поверхности шипа.
Заменяя в (8.25) h, кг и е их значениями из (8.27),
(8.30) и (8.26), получим:
~2з(а2 —1) 1 1
dp__&y.R^U^ Г5
d<p с- (_
2д2 -j- 1 (а — cos <
(а — cos <рJ.
Введем обозначения
(8.31)
•М<р)
_ I <*!_
J{a — cc,s9Y"
J A
*Ч(^
dy
cos 9)
3*
Указанные интегралы можно вычислить, дифференцируя по
параметру а обе части равенства (8.29). Тогда будем иметь:
<Ц (?)
Л (со)
, , s ! й/,(<р)
или, после вычисления производных:
Л (?)
(«=-!)■
-arctg<b-[--rr
sintp
1 4-2а2
J, (со) = —!—г arctg i
3 ' (а2_ !)'■,
' а2 — la — cos ср'
1 3 а sin ер
' 2 (а2 — lJ a — cos .
л_ !
1
1
sin tp
2 (а2
1)(I — COScpJ'
где через <]) обозначен аргумент арктангенса, входящий в (8.29).
Беря теперь от обеих частей равенства (8.31)
определённые интегралы в пределах от 0 до <р и используя полученные
значения J2 и J3, найдём следующий закон распределения
давления в смазочном слое:
&V-R\U\ a2 sin ср
Р{<?)=Ро
2а2 —/— 1 а — cos tp
а — cos -f
. (8.32)
Формула (8.32) даёт значение р с точностью до
постоянной р0, численно равной величине давления в сечении ш = 0.
Из (8.32) видно, так как а^>1, что на нижней половине
шипа, где 0 sg: у ^ тт р ^>/>0> а на верхней половине наоборот,
p<CP(i- Таким образом, здесь действительно имеет место
избыточное давление, поддерживающее шип.

§ 22] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ 32<>
Наконец, для напряжения силы трения на поверхности шипа,
как это следует из (8.24), будем иметь;
dp
Заменяя здесь h w ~- их значениями из (8.27) и (8.31), по-
dy
лучим окончательно:
2ц{/,в[ 2 3i(a2—1)
• cos <р 1 4- 2d2 (а — cos <f>J
(8.33)
T0Axd
Найдём теперь результирующую Р всех сил давления и
трения, действующих на шип. Заметим предварительно, что
для любых двух точек на поверхности шипа, расположенных
симметрично относительно линии центров Ог02, булет, как это
вндн) из (8.32) и (8.33):
Р (9) —Ро = - [Р Bтг — <р) — р0],
М?) = Т0Bтт — <р).
Отсюда следует, что суммы
проекций всех сил трения и
давления на линию центров 0{02
будут равны нулю (фиг. 53).
Таким образпм, оказывается,
что результирующая Р всех сил,
действующих на шип,
направлена перпендикулярно линии
центров О^з. Кроме того, так
как величина 5, так же, как
и h, считается очень малой по сравнению с Rlt то при вы-
п !
числении и можно силами трения, имеющими порядок — по-
1
сравнению с силами давления, порядок которых равен —, пре~
О"
небречь. Тогда будем иметь:
P=HRX \ (р — р0) sin f d'f = — HR1 \ (p—p0)d (cos у),
(P-Pal<
t0Ax
Фиг. 53.
где Н—длина шипа.

330 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VH1
Отсюда, интегрируя по частям и принимая во внимание,
что р Bтс) =р @), найдём:
P=HRX \d-f cos ъ d'u = —HRAd-f-(a — cos ш) сЬ.
о о
Заменяя здесь -~ его значением (8.31) п используя фор-
.мулы (8.29') и (8.29), получим окончательно:
Р = toSUW (834)
о2A+2а2)|/а2— Г
тде S =2nRifi—площадь поверхности шипа.
Очевидно, что при установившемся движении нагрузка,
действующая на шип, должна быть равна величине Р,
определяемой формулой (8.34). Кроме того, из полученного
результата следует, что шип будет располагаться в подшипнике так,
что линия центров ОхОг будет перпендикулярна к
направлению действующей на шип нагрузки.
Примем в дальнейшем, что величины <л, S, U1, Rr и
•S = /?2 — /?,, а также нагрузка Р нам заданы. Тогда значение
параметра а будет определяться из равенства (8.34) и задача
будет таким образом решена до конца.
Определим, наконец, момент сил трения, действующих
на шип. Для этого умножим обе части равенства (8.33) на
HRxdx = HR^df и проинтегрируем по <р в пределах от 0
до 2тг. В результате, принимая во внимание формулы (8.29')
и (8.29"), получим для момента сил трения относительно оси
шипа значение
M = FR1 = vmi-^±^=. (8.35)
i A+2„!)уа*_1
При этом величина F имеет здесь тот же смысл, что и
в формулах (8.09) и (8.10).
Формула (8.35) вместе с (8.34) позволяет определить
момент сил трения, действующих на шип, если параметры
подшипника и значения Р и £/[ заданы.
Заметим, что выражение (8.35) отличается от
формулы (8.10) проф. Н. П. Петрова лишь наличием числового

§ 22] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ 331
коэффициента, зависящего от величины параметра а и
учитывающего эксцентричность шипа в подшипнике.
Для дальнейшего будет удобно ввести в рассмотрение
безразмерный параметр:
Из формулы (8.34) видно, что параметры а и ji связаны
зависимостью:
(8.36')
' A +2«2)У а-> _ 1
которая для наглядности показана на фиг. 54.
Как видно из (8.36) и графика на фиг. 54, при очень
малой нагрузке Р пли, наоборот, при чрезвычайно большой
скорости £/, величина E близка к нулю, а
я значение а близко к
бесконечности. Но при а—► оо
коэффициент в формуле (8.35), зависящий
от а, становится равным единице,
и эта формула полностью
переходит в формулу (8.10).
Одновременно, как видно из (8.26), при
а —► оо эксцентриситет е стремится
к нулю. Таким образом, мы
убеждаемся, что рассмотренный в п. 1
случай проф. Н. П. Петрова
действительно представляет собою
предельный случай,
соответствующий или нулевой нагрузке на шип,
или неограниченно большой
скорости вращения шипа.
Рассмотрим, какое значение даёт полученное решение для
коэффициента трения /, определяемого формулой (8.01).
Из (8.35) и (8.34), беря отношение F к Р, получим:
V
Ш 0J 0.3 0.4 0.5-0.6 0,7J3
Фиг. 54.
За R
(8.37)
Величина/ оказывается функцией Рп U,, входящих сюда
через а. Приравнивая производную от / по а нулю, легко

332 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
найдём, что / имеет минимум пря а=У 2, При этом
21^2" Ь Ь
f ■ = ^~ — = О 943 —
/mm з /?, v^™ Ri-
Из (8.34) еле ует, что в данном случае
|iS{/,#, A4-2а2)Кз2— 1
Полученная формула устанавливает для данной нагрузки Р
то значение скорости (Уь при которой трение в подшипнике
будет наименьшим.
Выше было отмечено, что формула проф. Н. П. Петрова
соответствует предельному случаю очень быстро вращающегося
или слабо нагруженного шипа.
Рассмотрим другой, предельный случай, когда а=1.
Из (8.36') н (8.36) видно, что при этом ^=ос, а
следовательно, или Ul = 0 или Р=<х>. С другой стороны,
формула (8.37) даёт в этом случае для / постоянное значение:
Этот результат означает, что в случае очень малых
скоростей или очень больших нагрузок на шипv) изложенная
теория даёт для силы трения выражение, совпадающее с
законом сухого трения (8.01).
Остановимся в заключение на вопросе об области
применимости всех полученных выше результатов, который был
рассмотрен акад. Л. С. Лейбензоном2).
Как видно из схемы, показанной на фиг. 52, в области,
где 2тт^> ср ^> тт (верхняя половина смазочного слоя), течение
жидкости происходит в расширяющейся полости, аналогичной
плоскому диффузору. Следовательно, можно ожидать, что
где-то в этой области может произойти отрыв смазочного слоя
от подшипника и возникнуть обратное течение жидкости.
Условием такого отрыва будет [ -^) =0. Повторяя здесь
V ov J y=/,
[) Мы употребляем всюду выражение «большие; или «малые»
скорости (или «малые» «большие» нагрузки) в том смысле, что при
этих значениях U или Р отвлечённый параметр ji очень мал или
очень велик.
-) См. добавление 3 в выше цит. сборнике «Гидродинамическая
теория смазки;>.

§ 22] УСТАНОВИВШЕЕСЯ ПЛОСКО-ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ТЕЧЕНИЕ
расчёт, указанный в конце п. 2, придём к выводу, что и
в данном случае отрыв наступит в том месте, где толщина
слоя смазки равна величине Л*, определяемой формулой (8.22).
Переходя в (8.22) от h к углу <р с помощью равенства
(8.27), найдём, что угол ср*, определяющий место отрыва,
даётся уравнением
3 а
COS Ср'" =— COS <р, — .
Заменяя здесь cos <р { его значением (8.30'), получим
окончательно:
cos <е* = — Р=^ . (8.38)
1 1 + 2а'
Формула (8.38) даёт при данном а два значения ср*,
определяющих область, где имеет место отрыв и возвратное течение
смазки. В этой области вследствие притекання воздуха извне
смазочный слой разорвётся и нарушится основное
предположение о наличии полной смазки.
Таким образом, все выводы предыдущей теории можно
считать справедливыми лишь для тех значений а, при
которых отрыв вообще невозможен. Так как cos ср* не может быть
больше единицы, то условие безотрывностп течения будет
а8 — 4а ^> 1 -(- 2а2 или
а3 —2а2 —4а—1 >0.
Многочлен, стоящий слева, имеет только один
действительный корень а*, лежащий, как легко видеть, между числами
3 и 4 и равный приблизительно 3,303.
Отсюда находим окончательно, что всё пространство между
шипом и подшипником будет полностью заполнено смазкой
при условии
а > 3,303. (8.39)
Это и будет установленное акад. Л. С. Лейбензоном
условие, указывающее границы применимости приближённой
гидродинамической теории смазки.
Для параметра р условие (8.39) даёт;
р< 0,153. (8.39')

334 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
На фиг. 54 часть кривой, соответствующая тем значениям
а и fS, для которых изложенная теория по критерию акад.
Л. С. Лейбензона неприменима, показана пунктиром.
Отметим, что значение а = |/, при котором коэффициент /,
определяемый формулой (8.37), имеет минимум, оказывается меньше т*\
таким образом, согласно условию акая. Л. С. Лейбензона, в этом
случае будет иметь место отрыв смазочного слоя.
Из условия (8.39') и формулы (8.36) следует, что при
заданной нагрузке Р условие полной смазки будет
выполняться, если скорость вращения шипа будет достаточно
велика, т. е. если будет
и, ~> —
1 ^ 0,918^^1 '
Заметим, что полученные выше результаты не будут
пригодны для малых скоростей вращения ещё и потому, что
с приближением а к единице формула (8.32) неизбежно даёт
отрицательные значения для давления в той части смазочного
слоя, где (в близко к 2тт. Между тем в реальной жидкости
заметных отрицательных давлений быть не может.
Изложенное выше решение является, как бы то указано,
приближённым, справедливым лишь для случая, когда толщина
смазочного слоя очень мала по сравнению с радиусом шипа.
4. Работа Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина по
гидродинамической теории смазки '). Полное и точное
решение задачи о смазке цилиндрического подшипника при том
единственном предположении, что течение в смазочном слое
можно считать плоско-параллельным, а инерционными силами
можно пренебречь, было дано в 1904 г. проф. Н. Е.
Жуковским и С. А. Чаплыгиным в их замечательной работе «О
трении в смазочном слое между шипом и подшипником:-,
завершившей по существу дело создания гидродинамической теории
смазки, начатое проф. Н. П. Петровым.
L) Ниже мы воспроизводим лишь окончательные выводы хорошо
известного оригинального исследования авторов: «О трении в
смазочном слое между шипом и подшипником», опубликованного в Трудах
отделения физических наук Общества любителей естествознания,
т. XIII, вып. I, 1904 (на обложке 1906 г.). См. также Полное собрание
соч. Н. Е. Жуковского, ОНТН, 1937, т. IV или Полное собрание соч.
С. А. Чаплыгина, Изд. Акад. Наук, т. II, 1933.

§ 22] установившееся плоско-параллельное течение 335
Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин исходят при решении
задачи из уравнений движения вязкой жидкости, в которых
полностью сохраняются все члены, зависящие от вязкости.
Уравнения эти получаются из A.46), если в левой части
пренебречь всеми инерционными членами
плоско-параллельным, и имеют вид;
' ду* '
d*vv
и считать течение
1 dp d2vx
ц дх дх-
1 dp d-vv
ц ду дх2
dv
~дх
н-
dvy
ду
= 0.
(8.40)
Для решения системы уравнений (8.40) совершается
переход к биполярным координатам с. и tj, которые связаны с
прямоугольными координатами х и у зависимостями:
sh 7) __ _ sin •
ch r, — cos 5'
V:
ch i
(8.41)
Здесь а — постоянная величина, определяющая положения
полюсов биполярных координат на оси абсцисс.
Исключая из (8.41) величину £, легко приттп к равенству
х2 _|_у2 — 2ах cth г, -\~ а2 = 0,
из которого следует, что координатные линии ц = const
представляют собою эксцентричные окружности радиуса -г—
с центрами, лежащими на оси Ох на расстоянии .vc = cz cth 7]
от начала координат. Точно так же можно убедиться, что
линии •■ = const представляют собой семейство окружностей
с центрами на оси Оу.
Тогда шип и подшипник в биполярных координатах могут
быть заданы уравнениями ij = 7), и 7j = ri2, благодаря чему
значительно упрощается вид граничных условий.
Преодолев с присущим им исскуством все аналитические
трудности, связанные с интегрированием системы (8.40) в
биполярных координатах при граничных условиях,
соответствующих течению в смазочном слое, Н. Е. Жуковский и С. А.
Чаплыгин пришли к следующим окончательньш формулам для

336 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
полных сил давления и трения, действующих на единицу
длины шипа:
* _ 4-yUiV (I+&}- +1-2A+к) cha
1 о [(I -f *J-j-l] — 2(l+A)sho ' [ '
л г, ,, аA +A)*ctha —2(l+*)cha + l ,„ , 1А
В этих формулах
/?3 — /?i
/?i ' /?i'
а J = rj[—I],— параметр, аналогичный введённому выше
параметру а, характеризующий эксцентриситет шипа. Величина
параметра и изменяется от 0 до In(l-j-A).
Полагая нагрузку Pt заданной, мы можем из (8.42)
определить значение а и, подставляя его в (8.42'), найти величину
момента сил трения, действующих на шип. При этом каждому
данному значению о соответствует определённое значение
эксцентриситета е, которое может быть найдено из формул:
R\ sh g l-t-fe-cha
sh Г), '- sli a
Если положить величину k малой и, разлагая
соответствующие функции в ряды, отбросить члены порядка к2 и выше,
то, как было показано Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным,
формулы (8.42) перейдут в приближённые формулы (8.34)
и (8.35).
Заметим, что в полном решении Н. Е Жуковского и
С. А. Чаплыгина, так же как и в изложенном ранее
приближённом решении, переменная часть давления, действующего
на шип, симметрична относительно линии центров шипа и
подшипника, причём по одну сторону от этой линии имеет
место повышение давления, по другую сторону — понижение.
В 1934 г. проф. Н. И. Мерцалов, следуя Н. Е.
Жуковскому и С. А. Чаплыгину, рассмотрел решение той же
задачи в предположении, что распределение давлений не
является симметричным. При этом для определения вводимой
дополнительно постоянной интегрирования им используются
некоторые опытные данные о законе распределения давлений1).
!) Н. Е. Мерцалов, Гидродинамическая теория смазки,
Техническая энциклопедия, т. 24, ОГИЗ, 1934, стр. 819—856.

§ 23] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ТЕЧЕНИИ 337
Во всех изложенных выше решениях течение в смазочном
слое полагалось плоско-параллельным. Рассмотрение задачи
о смазке конечного подшипника требует учёта изменения
давления в нём в поперечном направлении, что значительно
усложняет и без того не очень простую задачу. Точное
решение этой задачи пока ещё получить не удалось1).
§ 23. Некоторые задачи о неустановившемся
плоско-параллельном течении смазки в смазочном слое.
1. Неустановившееся движение смазки в слое между
двумя соосными цилиндрами. Рассмотрим два соосных
цилиндра, пространство между которыми заполнено вязкой
жидкостью. Пусть при этом внешний цилиндр неподвижен,
а внутренний начинает вращаться под действием приложенной
к нему в момент ^ = 0 пары с постоянным моментом L.
Найдём последующее движение внутреннего цилиндра, принимая
во внимание трение его о смазочный слой.
Задача в такой постановке будет, очевидно, аналогична
задаче проф. Н. П. Петрова и будет соответствовать случаю
шипа, не несущего поперечной нагрузки.
Если считать течение между цилиндрами
плоско-параллельным, то поставленную задачу можно решить точно. Однако
с практической точки зрения достаточно будет ограничиться
приближённым решением, полагая просвет между цилиндрами
малым. При этом задача будет сразу сведена к той, которая
была рассмотрена в п. 3 § 8.
Обозначим радиусы внутреннего цилиндра (шипа) и
внешнего цилиндра (подшипника) соответственно через Rx и R2,
длину шипа И, а момент инерции вращающихся частей
относительно оси вращения У,. Считая течение
плоско-параллельным и отсчитывая, как в п. 3 § 22, криволинейную координату х
вдоль дуги окружности радиуса Ru а координату у вдоль
внешней нормали к этой окружности, будем полагать вели-
!) Сводку ряда результатов, относящихся к практическим задачам
гидродинамической теории смазки, в частности таким, как учёт
конечности длины подшипника, эффекта неполной смазки и т. п., можно
найти в книге А. К. Зайцев а, Основы учения о трении, износе и
смазке машин, ч. 1, Машгиз, 1947. Там же содержится обширная
библиография по этим вопросам.
22 с. м. тарг

338 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ |"ГЛ. VIII
чину h = R2 — Rx малой по сравнению с Rx и пренебрегать
кривизной координатных линий. Тогда приближённое
уравнение неустановившегося движения жидкости в смазочном слое
будет в данном случае аналогично C.28) и будет иметь вид:
£='£• <8-«>
Кроме того, дифференциальное уравнение вращательного
движения шипа будет:
где /А — момент сил трения.
Если принять во внимание, что
M = -2nR^(%^ = -W^)^ (8.44)
то уравнение вращательного движения можно привести к виду:
a«i + L(*!>L) (8.45)
совпадающему с C.43). При этом в (8.45)
SR\ SRX
Граничные условия в рассматриваемой задаче также,
очевидно, совпадают с C.42) и, следовательно, искомое решение,
как было в своё время отмечено, совпадает с решением задачи,
рассмотренной в п. 3 § 8. Результаты даются формулами
C.49) и C.50). Значение входящего в эти формулы
безразмерного параметра п, как следует из C.47) и (8.45'), будет:
7« = -^L, q = -^, u = Rl(d1. (8.45')
Л=т = Р-7Г' (8-46)
ph_ hSR{
где р — плотность смазки.
Так как величина Jx имеет порядок ^XSR\, где pt —
массовая плотность шипа, то параметр п будет в нашем случае
весьма мал ( «-v- —- i- ).
v R\ Pi/
По поводу входящих в формулы C.49) и C.50) величин
ак, которые являются корнями уравнения C.48), заметим
следующее. Так как tgx принимает все значения от 0 до с» при

§ 23J НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ТЕЧЕНИИ 339
0<^лг<^-^-, то, очевидно, при любом п будет а,=^-^-, где
а1—первый из корней уравнения1).
В случае же, когда «<<cl, будет, очевидно, и ах<^\ н
можно приближённо принять tgaj==:flj. Тогда из C.48)
будем просто иметь а~ =& п.
С другой стороны, так как я^>0, то второй из корней
уравнения C.48) должен быть больше тт и, следовательно,
а|^>9,87. Поэтому в бесконечных суммах, входящих в
каждое из решений C.49) и C.50), можно вполне пренебречь
всеми слагаемыми по сравнению с первым. Если, кроме того,
в сохраняемых слагаемых ввиду малости п положить а% = п и
sin а, = аъ а величинами п2 по сравнению с /; пренебречь, то
придём окончательно к следующим приближённым решениям:
u = co1R:^=q-( 1— е~»! J . (8.47)
••-SO-*)!1—~5')—(чО- <«■«■>
Из (8.47) видно, что скорость вращения стремится при
t ^ оо к предельному значению Ul = — . Заметим, что и будет
отличаться от 1)х менее чем на 1°/0 по истечении промежутка
--*■
времени г1,, для которого е ',! =0,01. Отсюда
г1, =4,6- = 4,6-^Ц. (8.48)
Если, в частности, считать, что вращающееся тело
представляет собою однородный цилиндрический вал, концы
которого являются шипами, и если принять, что полная длина
вала в / раз больше длины смоченной части Н, то будет
Ji =0,5 тлЩ= 0,25 PiR\Sl и формула (8.48), определяющая
время разгона, примет вид:
*, =8=1,15/^?!. ■.. (8.48')
') Значения аг при разных п легко определить по таблице
функции х tg х, приведённой в книге Е. Я н к е и Ф. Э м д е, Таблицы
функций, стр. 49.
22*

3-10 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
Следует отметить, что для подшипников величина t1
будет невелика, порядка нескольких секунд. Если даже принять,
например,/= \§,у = 2смг\сек, pj = 10p,/?j = 5 см,1г = 0,05 см,
то^получится t1 =5; 14 сек.
£Для момента сил трения найдём из (8.44) и (8.47'):
M = R1F = v.R1ji. (8.49)
Формула (8.49) совпадает с формулой (8.10) проф. Н. П.
Петрова с той лишь разницей, что здесь скорость и —
величина переменная, возрастающая по закону (8.47).
Из полученных результатов следует, что при малой
толщине смазочного слоя пусковой период для подшипников
с жидкой смазкой весьма мал и практически можно считать,
что стационарный режим течения в них устанавливается почти
мгновенно.
Решение рассмотренной задачи было получено в п. 3 § 8 путём
интегрирования системы полных уравнений (8.43) и (8.45). 1Мы
приведём ниже, главным образом с целью оценки степени точности
результатов, приближённое решение той же задачи. Идея метода, как
и в ряде предшествующих случаев, состоит в приближённом учёте
инерционных членов в уравнении движения вязкой жидкости. В
данном случае мы вместо полного уравнения (8.43) будем рассматривать
уравнение, в котором ускорение заменено его средним по толщине
слоя значением и которое имеет вид:
дЧх 1 Г dvx . ,„ ...
о
При этом мы уславливаемся в дальнейшем всюду вместо h писать /г0.
Так как выражение, стоящее в правой части (8.50), зависит только
от t, то это уравнение можно представить в виде:
Ъ? = МЪ (8.51)
где
ко
0
Граничными условиями попрежнему будут условия C.42), а именно:
при у = 0 v = u (t), при у =. h0 v = 0.

§ 23] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ТЕЧЕНИИ 341
Тогда, интегрируя уравнение (8.51) по у и удовлетворяя указанным
граничным условиям, получим:
v*=YA (yS~h°y)+tt{1~i)-
(8.52)
Подставляя это значение vx в правые части дифференщЦйь-
ного уравнения вращения шипа (8.45) и выражения (8.51'), придём
к равенствам
dH = l_ * и Vh« A
dt m mft0 2m '
1 du h\dA
vA=^
2 dt 12 dt'
Введём обозначения
b = —0t, n = ^. (8.53)
kg VI
Тогда предыдущие равенства можно привести к виду:
-ir-A — ли — -тй. 8-54
2 чт do
ч^.° я г ,ldA ,~ dll п ,oci/\
1ЩА + Г0Ш-<>|Тв = 0. (8.54)
Исключая из этой системы уравнений А, найдём:
о о
п \ du nhg dA </«g
1+-4)dl + m—24dJ^w-
Наконец, дифференцируя (8.54) по 8 и подставляя полученное таким
dA
путём значение -^ в предыдущее равенство, придём к следующему
уравнению, которое служит для определения и:
г+(»+*-)з+»-=в£т- »»
Принимая во внимание (8.53), легко убедиться, что ii\=—~
является частным решением уравнения B.55). Тогда общее его
решение будет:
и = Г-,е~(ь~^ 4- Сое-(*+^9 -4- —,
 " |Л
где
, = 6 + 2л, И = У>-12л = 6|/ 1+у+~- (8.56)
9

342 течение вязкой жидкости в смазочном слое [гл. viii
Так как при t = 0 vx = 0 и и = 0, то из (8.52) следует, что А @) = 0.
Тогда, принимая во внимание (8.54), получим следующие начальные
условия:
da qhn qhn
при 0 = 0 u = 0, тл= — = я—. (8.57)
^ dO VOT [i
Удовлетворяя этим условиям, найдём, что
r __ b — n-\-Xqh0 r _ Ь — п —). qh0
С-1 Ту 1 ^5 F^i
2л р. г). у.
окончательно:
и = —-
2). ^2/
(8.58)
В нашем случае п<^1. Тогда, как видно из (8.56) b -f- \ ^> 6 — X и
последним слагаемым в (8.58) можно вполне пренебречь. Если теперь
заменить Ъ и \ их значениями из (8.56) и, разлагая \ в ряд,
отбросить члены порядка п2 и выше, то придём к приближённому
выражению
„%2£>A_в-пв>. (8.59)
ив точности совпадающему с (8.47).
Подставляя теперь найденное значение и в (8.54), мы определим
величину A (t), а следовательно, и закон распределения скоростей
в слое, который даётся формулой (8.52).
Ограничимся для сокращения выкладок отысканием
приближённого значения А при малых п. Заменяя в этом случае величину и
в (8.54) выражением (8.59), найдём, что /1 = 0. Тогда (8.52) даст
vx=a(l-l), C.60)
что также совпадает с (8.47').
Итак, приближённое решение, полученное при замене полного
уравнения (8.43) уравнением (8.50) с осреднённой правой частью, даёт
результат, который при малых л совпадает с решением полного
уравнения с точностью до членов порядка п2.
2. Неустановившееся движение смазки в слое между
двумя наклонёнными друг к другу плоскостями.
Рассмотрим опять задачу о течении смазки между двумя
наклонёнными друг к другу пластинами, показанными на фиг. 50.
Будем при этом считать, что верхняя пластина остаётся всё
время неподвижной, а нижняя в момент ^ = 0 начинает
двигаться влево под действием приложенной к ней постоянной
силы. Найдём закон движения пластины и закон вызванного
этим движением течения смазки в слое между пластинами.

§ 23j НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ТЕЧЕНИИ 343
Приближённое уравнение движения в смазочном слое B.38)
для случая неустановившегося течения будет иметь вид:
Сюда же присоединяется уравнение неразрывности
^4-^Г=0. (8.62)
fix ' ду '
Ограничимся при решении задачи той степенью
приближения, которая получается, если произвести в уравнении
движения частичный учёт инерционных членов, заменяя
ускорение его средним по толщине вязкого слоя значением; оценка
этого приближения была дана в конце п. 1 настоящего
параграфа.
Таким образом, вместо (8.61) воспользуемся приближённым
уравнением
°^ = А(хЛ (8.63)
где
л
о
При этом полагаем, что толщина слоя h определяется,
как и в п. 2 § 22, формулой
/, , , х
Л = А0^1+*-£-]• (8.65)
Граничные и начальные условия в рассматриваемой задаче
будут:
при v = 0 vx= — u{i), v =0; )
при х = 0 и х = а р=р0; )
при y = h vx = 0, v■ =0; \ (8.66)
при < = 0 р = рй, vx = Q, vv = 0, a = 0, (8.66')
где и — скорость нижней пластины.
Перейдём к интегрированию уравнений движения жидкости
в смазочном слое.
Так как правая часть уравнения (8.63) не зависит
от v, то, интегрируя это уравнение по у и удовлетворяя

344 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VII]
условиям (8.66) для vx, найдём:
(8.67)
Далее из уравнения (8.62), интегрируя обе его части по у
в пределах от 0 до h и принимая во внимание условия (8.66),
будем иметь:
О О
Отсюда, интегрируя по х, получим:
л
\vxdy = F{t).
Подставляя сюда vx из (8.67), найдём окончательно
следующее выражение для А:
 .*o?Wl
А:
6и
(8.68)
где tp — некоторая подлежащая определению функция 1, а
множитель h0 введён с тем, чтобы функция <р была
безразмерной.
Из (8.67) и (8.68) находим следующее выражение для v :
1
*+»(■-*'
№ h
. (8.69)
Перейдём теперь к определению сил давления и трения,
действующих на пластину.
Заменяя в левой части равенства (8.64) A (x,t) выражением
(8.68), а в правой части vx—выражением (8.69), найдём
после несложных подсчётов:
Перейдём здесь с помощью (8.65) от переменного х к h,
а вместо i введём опять переменное 0, определяемое
формулой (8.53). Тогда будем иметь:
др , 6y.au ,'_[ _Ло \ у-а 1 d(uj)
an'1' щ \ir- hyt;
2Щ h rf6
(8.70)

§ 23] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ТЕЧЕНИИ 345
Заметим, что при этом условия (8.66) для р примут вид:
р = р0 при h = h0 и р = Ро при Л = Л0 A -\-k).
Интегрируя теперь уравнение (8.70) по h и удовлетворяя
первому из названных условий, получим:
'»£Л?'+3(.-!Ь>-<Ч>1
(8.71 >
Требуя, чтобы (8.71) удовлетворяло второму из граничных
условий для р, найдём отсюда следующее уравнение для
определения (р:
^+ *,(«?) — Ъ2и = 0, (8.72>
где
_ 6B* + #) . _ 12* R79,
Pl— A+*УЧпA+А)' 2~A+АIпA+А) ' ,б-//>'
Проинтегрировав уравнение (8.72) и замечая, что при t = 0>
а = 0, найдём:
9
"о
Полученное выражение, используя формулу интегрирования1
по частям, можно представить в виде:
шр = |1(я—£), (8.73).
где
>e f|?eM>d9. (8.74>
о
Подставляя значение <р из (8.73) в формулу (8.71),
получим окончательно следующее выражение для закона
распределения давлений в слое:

346 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
Полная сила давления, действующая на единицу ширины
-пластины, будет:
д - A+*)Л0
о ж,
Вычисляя интеграл и заменяя Ьх и Ь2 их значениями из (8.72'),
найдём окончательно:
ml {
,пA+*)-щ
-и
к-
2k \
A+.«IпA+/Ь) 2+к
(8.76)
Перейдём к определению силы трения. Для напряжения
силы трения, используя (8.69), найдём значение:
fdv,
Мтй-3А*в?
.Подставляя сюда ср из (8.73), будем иметь:
т
-J1U М^Г + ^/^-
Полная сила трения, действующая на единицу ширины
пластины, будет равна:
xdh.
о ft»
Вычисляя интеграл и заменяя Ьх и Ь2 их значениями из (8.72'),
найдём окончательно:
f=f [4 "■<■+«■
2 + А
6jia
B + *)Л0
(8.77)
Для решения задачи остаётся определить скорость и
нижней пластины. Пусть масса этой пластины равна М, а
действующая на неё постоянная сила—Q. Введём обозначения-.
м
~п = '"-
аН
аН~
(8.78)
где Н — ширина пластины. Заметим, что здесь величины т и
q отличаются по своему смыслу от тех, которые были введены
в п. 3 § 8, так как длина нижней пластины не равна а.

§ 23] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ТЕЧЕНИИ 347
Дифференциальное уравнение движения пластины при
принятых обозначениях будет:
£" = -*■ -F. (8.79)
dt m та
Заменим здесь величину действующей на единицу
ширины пластины силы трения F её значением из (8.77);
одновременно перейдём к переменному 6 и введём параметр п,
определяемый равенством (8.53). Тогда получим:
du hbj /s
55 = -—Г —»"" —<Р —">««» (8-80>
где временно обозначено
a = -ilnA+fe) —^, p = -iln-(.l+ft). (8.80')
Дифференцируя обе части уравнения (8.80) по 8 и
принимая во внимание выражение (8.74), получим:
d2u a du , .„ . ^
Исключая теперь из этого равенства и из (8.80') вели-
чину а, придём окончательно к уравнению
d-u du h'r/i
_ + (&1+p«);re + *1a«e = &,--£., (8.81)
аналогичному (8.55). '
Легко видеть, принимая во внимание (8.53), что частным
qkk qhfj
решением уравнения (8.81) будет at= г-= — .
Кроме того, из (8.80) и (8.74) следует, что начальные условии
для и сохраняют и в данном случае вид (8.57). Тогда
решение уравнения (8.81), удовлетворяющее названным начальным
условиям, будет по аналогии с (8.58) иметь вид:
у/ц
1 _ Х + /; ~ т е~(Ь~к)Ъ Х —& +
-(ft+X) el ( (8.J
2) — <>-(»+*) 81 ( (882)
где в данном случае
2b = b1-\-$n, l—Vb^ — b^n. (8.82')

348 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ £ЛОЕ [ГЛ. VIII
Формула (8.82) определяет скорость движения нижней
пластины. Тем самым поставленная задача оказывается
решённой до конца.
Остановимся на анализе некоторых из полученных
результатов.
Прежде всего из (8.82) следует, что при t—<-оо
скорость нижней пластины стремится к предельному значению U,
равному:
и = @Ь. (8.83)
Далее, подставляя значение и из (8.82) в (8.74) и
вычисляя интеграл, найдём:
2— UI (» — *)(* + » — ««) гв-<*-Ч «_,-М1 _1_
Из (8.84) или непосредственно из (8.74) видно, что всегда
в>0 в что при t—► оо и—>-0. Отсюда прежде всего
следует, что формулы (8.76) и (8.77) в пределе переходят
в формулы (8.16) и (8.20), определяющие силы давления
и трения при установившемся движении. Кроме того, так
/\
как и ^ 0, сравнение тех же формул приводит к следующим
выводам:
1) полная сила трения, действующая на нижнюю пластину
в момент, когда она имеет скорость и, больше на величину
ДГ— B + А)Л0"'
чем та сила трения, которая действовала бы на пластину,
если бы она, начиная с данного момента, совершала
установившееся движение с той же скоростью и;
2) полная сила давления, действующая на пластины в
момент, когда нижняя пластина имеет данную скорость и,
меньше на величину
др бца2 [ А2 - 2А
ца2 Г А2
Щ L(l + *)ln
kVii L(l + *)ln(l+ft) 2 +А.
и,

§ 23] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ТЕЧЕНИИ 349
чем та сила, которая действовала бы, если бы нижняя
пластина совершала, начиная с данного момента, установившееся
движение с той же скоростью и.
В пояснение к последнему выводу заметим, что величина,
стоящая в выражении ДР в квадратной скобке, при^£^>0
всегда положительна.
Отметим, наконец, ещё одно интересное обстоятельство. Из
предыдущих рассуждений следует, что по истечении достаточно большого
промежутка времени давление в слое между пластинами станет
больше внешнего и таким образом возникнет сила, поддерживающая
верхнюю пластину. Так как при t = 0 р=р0, то интересно
определить, происходит ли указанный рост давления непосредственно с
момента 1 = 0. Рассмотрим для этого какой-нибудь момент времени
tv очень близкий к t = 0. Условимся все величины, относящиеся к
этому моменту, также снабжать индексом е. При этом будем считать
te столь малым, что можно приближённо принять:
,-<* + **>• =1_0 4-Х) 0„ {8Щ
и т. д.
Заменяя такими разложениями все показательные функции,
найдём из (8.82) и (8.84), что
/\
и1 = и1= и<тЬг.
Подставляя эти величины в (8.75), получим:
6y.aU
12 ЛоТЛ J
или, после замены Л и Ьг их значениями из (8.65) и (8.72'),
6|ia(/, I. . . х
X
апв,. (8.86)
Ф(*^)-Ф(*)
Введённая в (8.86) функция ФE) имеет вид:
Легко убедиться, что при изменении i от 0 до оо функция Ф (;,
монотонно убывает от 1 до 0. Так как — < 1, то, следовательно,
Ф ( k — ] > Ф (к) и выражение, стоящее в (8.86) в квадратной скобке,
положительно.
Таким образом, полученное решение даёт для начального
периода, очень близкого к моменту £ = 0, величину давления в слое
между пластинами меньшую, чем внешнее давление р0.

350 ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СМАЗОЧНОМ СЛОЕ [ГЛ. VIII
Выше отмечалось, что рассмотренное приближённое
решение должно быть тем более точным, чем меньше параметр п.
В нашем случае, как видно из (8.53) и (8,78),
М
(8.87)
Таким образом, п равно отношению массы смазки,
заключённой в слое высотою /г0, к массе нижней пластины и,
следовательно, и<^1.
Найдём тогда приближённые выражения для «, Р и F,
пренебрегая в них членами порядка п2 и выше.
Из (8.82'), разлагая подкоренное выражение в ряд, будем
иметь: 2Х^£1-[-(Р — 2а) п. Тогда в (8.82) последним
слагаемым по сравнению с предыдущими можно пренебречь и
получить окончательно:
u^U(\ — е-5), (8.88)
где предельная скорость U определяется формулой (8.83).
Далее из (8.84) или непосредственно из (8.74) найдём
с той же степенью точности:
^ — {e-'M — e-"*). (8.89)
•\
Подставляя эти значения и и и в (8.76) и (8.77), найдём
непосредственно закон изменения Р и F со временем.
Рассмотрим в качестве конкретного примера случай, когда
k=\. При установившемся течении это соответствует, как
было показано в п. 2 § 22, наибольшему наклону пластины,
при котором возможно безотрывное течение в смазочном слое.
Тогда из (8.72') и (8.80'), полагая k=\, найдём:
*i = 6,493, а= 0,773. (8.90)
Принимая далее в (8.76) и (8.77) k=\ и используя
равенства (8.88) и (8.89), получим:
Р1 = 0,159 ^ [1 — A + 0,25л) <Га"в + 0,25яё-*'«|, i
0 \ (8.91)
Fj = 0,773-^[1—A — 0,31л) е-"—0,31ле-*'9], J

§ 23] НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О НЕУСТАНОВИВШЕМСЯ ТЕЧЕНИИ 35Ь
Последние члены в полученных формулах должны
сохраняться только для цостаточно малых значений 6. Все
сделанные ранее общие выводы о характере изменения Р и F
сохраняются и для приближённых выражений (8.91).
Для моментов времени, не очень близких к начальному,
слагаемые, содержащие множителями п, могут быть в (8.91)-
отброшены, и эти формулы примут вид
Р, = 0,159^A — е~*п\ Fx ч= 0,773 !^-A ~-е-™'>). Г8.92)<
К /го
Время разгона в том смысле, который эта величина имеет
в формуле (8.48), будет и здесь, если принять во внимание
обозначение (8.53) для 6, приближённо определяться
аналогичной формулой, а именно:
f, =4,6—. (8.93).
1 ' van v
При очень малых значениях h0 величина tx будет также
достаточно малой.
Полученные результаты дают известное представление о-
характере изменения сил давления и трения в смазочном,
слое в период пуска.

ГЛАВА IX.
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ
ПРИ ДВИЖЕНИИ КАПЕЛЬНОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.
§ 24. Теплообмен при движении жидкости
в круглой трубе.
1. Предварительные замечания. Настоящая глава
посвящена рассмотрению течений вязкой жидкости, при
изучении которых температура жидких частиц во всех точках
потока не может считаться постоянной.
Такого рода задачи возникают в тех случаях, когда
течение происходит вблизи твёрдых стенок, температура которых
заметно отличается от температуры жидкости, а также тогда,
когда производимые расчёты требуют учёта изменения
температуры жидкости вследствие рассеяния энергии.
При решении указанных задач представляет интерес
исследование явления теплообмена между жидкостью и
обтекаемой стенкой, а также определение изменений в распределении
температур, скоростей и давлений, которые вследствие
теплообмена произойдут в самой движущейся жидкости.
Как известно, процесс передачи тепла может происходить:
1) путём переноса тепла текущей жидкостью (конвекция),
2) посредством теплопроводности и, наконец, 3) посредством
излучения. Конвекция может быть в свою очередь
подразделена на свободную и вынужденную. Под свободной
конвекцией понимают течения, возникающие в тяжёлой жидкости
вследствие того, что плотность её изменяется с изменением
температуры и будет меньше в тех точках, где температура
жидкости выше. Под вынужденной конвекцией понимают
течения жидкости, обусловленные любыми другими внешними
факторами (перепадом давлений, действием внешних массовых
«сил и т. п.). Мы в последующем будем считать скорости

§ 24] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ
353
вынужденных течений на много превосходящими скорости,
вызванные разностью плотностей жидкости н будем поэтому
принимать во внимание только вынужденную конвекцию.
Характер вынужденной конвекции зависит в свою очередь от
режима течения жидкости. Как и всюду ранее, мы будем
рассматривать явление вынужденной конвекции только при
ламинарном режиме. В этом случае количество тепла q,
переносимое за время t через поверхность с площадью S,
перпендикулярную направлению скорости течения, v, определяется
формулой:
q = cp?TvSt, (9.01)
где с , р и Т — удельная теплоёмкость, плотность и
температура жидкости в °Ц; при этом все величины, входящие
в правую часть (9.01), считаются в течение промежутка
времени t постоянными.
Теплопроводность жидкости характеризуется коэффициентом
теплопроводности X. Количество тепла, переносимое в жидкости
вследствие теплопроводности, определяется формулой A.09).
Передача тепла посредством излучения, играющая заметную
роль только при очень высоких температурах и больших
излучающих поверхностях, нами приниматься во внимание не будет.
Заметим, что во всех рассматриваемых ниже задачах
величины р, с. и X будут считаться постоянными. Степень
допускаемой при этом погрешности может быть оценена по
данным, приведённым в таблице I (стр. 22). Помимо того,
в некоторых случаях, вместо переменных v и Т будут
рассматриваться некоторые их средние в данном сечении
значения v* и Т*. В этих случаях v* определяется как скорость,
средняя по расходу. Таким образом, для течения в трубе будет1):
v* = ±-{ vdS = ^, (9.02)
(S)
где 5—площадь поперечного сечения трубы, Q—секундный
(по объёму) расход.
Значение Т* будем определять следующим образом.
Применяя формулу (9.01), находим, что через каждый элемент
сечения за одну секунду переносится количество тепла
]) В этой главе по аналогии с Г* и р'1' средняя скорость в
трубе обозначается v* вместо принятого в §§ 5 и 18 обозначения t/u.-
23 С. М. Тарг

354 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
dq = cppvTdS. Следовательно, через всё поперечное сечение
будет перенесено за то же время количество q = c р \ vTdS.
С другой стороны, вводя средние значения, будем иметь
q = cppv*T*S. Отсюда
T* = Sv*\ vTdS- (9.03)
В дальнейшем под средней температурой в данном
сечении мы и будем понимать величину, определяемую формулой
(9.03). Если будет f = const, то эта формула примет вид:
Г* = -М TdS. (9.03')
(S)
При обтекании жидкостью какого-нибудь твёрдого тела,
температура которого отлична от температуры жидкости,
возникает, как указывалось, процесс перехода тепла от
жидкости к телу (или обратно), называемый теплоотдачей.
Количество переданного при этом тепла q принято определять
формулой
q = aS(T — Te)t, (9.04)
где .S—площадь поверхности теплоотдачи в квадратных
метрах, t—время теплоотдачи в секундах, Т и Т—
температура жидкости и стенки в °Ц. Если температура жидкости
не является всюду постоянной, то вместо Т вводится обычно
величина Т*, определяемая формулой (9.03).
Входящий в правую часть формулы (9.04) коэффициент а
называется коэффициентом теплоотдачи; его размерность
г 1 к кал
W ~~ м2 сек °Ц *
Значение а зависит от формы и размеров поверхности
обтекаемого тела, от скорости течения и от температуры
и физических характеристик как самой жидкости, так и
обтекаемого тела. Определение этого коэффициента в каждом
конкретном случае представляет собою одну из основных
задач теории теплоотдачи.
Решение задач о теплообмене в движущейся вязкой жидкости
значительно усложняется тем обстоятельством, чтораспределе-

§ 24] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 355
ние температур в текущей жидкости зависит от поля скоростей,
а последнее в свою очередь зависит от распределения
температур, так как с изменением температуры значительно
изменяется коэффициент вязкости жидкости. Таким образом,
задача сводится к совместному интегрированию системы
уравнений движения вида A.45) и уравнения притока тепла A.55).
При этом здесь следует отметить одно очень существенное
обстоятельство: даже в случаях течений с малыми скоростями,
далёкими от скорости звука, характер движения капельных
жидкостей н газов будет различен, так как изменение
коэффициента вязкости с температурой для двух названных сред
происходит, как отмечалось в п. 3 § 1, по совершенно
разным законам.
В случаях, когда движущейся средой является газ, в
систему уравнений A.45) и A.55) удаётся внести
существенные упрощения благодаря тому, что для каждого данного
у
газа число Р=— является величиною постоянной, близкой
к единице. Например, для воздуха, как видно из таблицы I
(стр. 22), Р = 0,73.
Мы в последующем будем рассматривать задачи о
теплообмене в капельной вязкой жидкости. В этих случаях
параметр Р оказывается переменным и притом, что видно,
например, из той же таблицы I, сильно меняющимся с
температурой. Помимо того, как указывалось в п. 3 § 1, общий
вид зависимости коэффициента вязкости от температуры для
капельных жидкостей в настоящее время не может считаться
окончательно установленным; при конкретных расчётах эта
зависимость определяется обычно на основании
соответствующих экспериментальных данных.
Все эти обстоятельства настолько усложняют задачу о
теплообмене в капельной вязкой жидкости, что её точное
аналитическое решение без каких-либо дополнительных
упрощающих допущений не удалось до сих пор получить ни для
одного частного случая. Те или иные допущения, характер
которых будет в каждом конкретном случае оговорён, делаются
и при решении всех рассматриваемых ниже задач.
2. Формула акад. В. Г. Шухова. Рассмотрим вязкую
жидкость, протекающую по круглой цилиндрической трубе
радиуса R. Пусть поступающая в трубу жидкость имеет во
23*

356 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
входном сечении температуру Т0, а окружающая трубу
внешняя среда имеет постоянную температуру 7\; при этом будем
считать для определённости Т0'^>Т1. Упрощая
постановку задачи, пренебрежём изменением скорости и температуры
жидкости в радиальном направлении и введём в рассмотрение
средние по сечению скорость v* и температуру Т*,
определяемые формулами (9.02) и (9.03). При этом, так как труба
цилиндрическая, величина v* будет постоянной для всех сечений.
Примем, далее, что количество тепла, уходящее через
стенки трубы во внешнюю среду, определяется формулой,
аналогичной (9.04):
tj = K(T*~T1)Sf, (9.05)
где К — так называемый коэффициент передачи тепла через
стенку трубы.
Величину К можно определить формулой
К I, ^ С!, ^ X, *
где <*! и а2 — коэффициенты теплоотдачи соответственно от жидкости
к стенкам трубы и от стенок трубы во внешнюю среду, h —
толщина стенки в метрах и X] — коэффициент теплопроводности материала
стенки. Чтобы дать представление о порядке величины К, укажем,
что, по опытам акад. В. Г. Шухова, при движении подогретого
мазута по цилиндрической трубе будет в среднем:
/^3-^Ь* 8,33-10-' ™
мг Час0Ц ' м2 сек°Ц'
Значение К зависит от тех же факторов, от которых
зависит пав формуле (9.04). В частности, К будет зависеть
и от Т*, изменяющейся в направлении оси трубы.
Следующее упрощающее допущение, которое мы сделаем, состоит
в том, что мы будем изменением К вдоль оси трубы
пренебрегать и считать всюду К== const. Как видно из решения
рассматриваемой ниже задачи (п. 3), это допущение будет
оправдываться всюду, кроме некоторого начального участка,
примыкающего к входному сечению трубы.
Направим вдоль оси трубы координатную ось Oz и
выделим в трубе элементарный объём жидкости в форме
цилиндра радиуса R и высоты dz. Вследствие конвективного
переноса тепла в этот объём за одну секунду войдет
количество тепла, равное uR2c pv*T* [формула (9.01)], а выйдет

§ 24] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 357
количество nR2cppv* (T* -\-dT*). Таким образом, приток тепла
за одну секунду будет равен
—nR2cppv*dT*.
С другой стороны, из выделенного объёма за то же время
уйдёт через стенки трубы количество тепла, определяемое
формулой (9.05) и равное
K{T*—TlJnRdz.
Если скорость течения будет не слишком велика, то
изменением температуры жидкости вследствие рассеяния энергии
можно пренебречь. Тогда при установившемся режиме
указанные выше количества тепла должны быть равны друг другу;
следовательно, будем иметь:
Rcppv*dT = — 2K(T* — T1)dz.
Отсюда, интегрируя и удовлетворяя граничному условию
Т*
(9.06)
где
т0
при
Z
= 0,
у*
получим:
9 с,#о*
- Л) '
cp?Q
(9.06')
Последнее равенство в (9.06') следует из (9.02).
Формула (9.06) н представляет собою известную формулу
акад. В. Г. Шухова, широко используемую в инженерной
практике1). Из неё, в частности, следует, что по мере удаления от
входного сечения средняя температура жидкости в трубе
приближается к внешней температуре 7\. Практически можно
считать, что теплообмен происходит на участке длины zu
в пределах которого, например, разность Т*—Т1^0,0\Т1.
При этом условии формула (9.04) даёт для величины z1
значение
R
4,6-f-ln(^ —1
Тп
(9.07)
!) См. В. Г. Ш у х о в, Нефтепроводы и их применение в
нефтяном хозяйстве, Москва, 1895 (первое издание этой работы
опубликовано в 1884 г.).

358 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ Ггл- 'X
На расстоянии г^>г, можно практически считать 7"*=Г1
и теплообмен отсутствующим.
Несмотря на ряд сделанных при выводе формулы (9.06)
упрощающих допущений, она сохраняет свою практическую
ценность во всех тех случаях, когда в каждом из поперечных
сечений трубы характер течения жидкости можно считать
одинаковым.
3. Теплообмен при параболическом режиме течения.
Рассмотрим решение предыдущей задачи с учётом изменения
скорости течения и температуры не только.вдоль оси трубы,
но и в радиальном направлении. При этом основным
упрощающим допущением будет допущение о том, что все
характеристики жидкости, в том числе и коэффициент вязкости,
остаются для всех точек трубы постоянными. Заметим сразу,
что это допущение можно считать в какой-либо мере
приемлемым только при очень малых температурных градиентах.
При сделанном допущении (ц = const) система уравнений
движения жидкости A.45) принимает вид A.46) и может
интегрироваться независимо от уравнения притока тепла. Этим
обстоятельством весь процесс решения значительно упрощается,
так как для определения закона течения можно сразу
использовать результаты, полученные ранее в § 5 или в главе VI.
Сделаем ещё одно упрощение в постановке задачи и
пренебрежём влиянием начального участка, на котором
происходит изменение профиля скоростей течения.
Это допущение справедливо, например, в том случае, если
предположить, что стенки трубы на длине начального участка сделаны
из материала, не проводящего тепло.
В результате всех допущений придём к выводу, что
профиль скоростей в каждом сечении трубы является
параболическим и определяется формулой B.23). Итак, будем считать,
что в любом сечении
vt = 2v*(l—£y (9.08)
Последующее решение сводится к определению закона
распределения температур в трубе. Воспользуемся для
нахождения этого закона уравнением притока тепла в
цилиндрических координатах A.56).
Считая процесс теплообмена установившимся и принимая
во внимание осевую симметрию, отбросим в A.56) члены,

§ 24] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 359
содержащие производные по t и по (р. Далее, полагая, что
в радиальном направлении температура изменяется значительно
сильнее, чем в направлении оси трубы, отбросим в правой
части A.56) член -^ по сравнению с членами, содержащими
производные по г.
Наконец, сделаем ещё одно упрощающее допущение и,
полагая, что скорость течения не очень велика, пренебрежём
изменением температуры жидкости вследствие рассеяния
энергии, т. е. отбросим в A.56) член, содержащий Е.
В результате уравнение A.56), если заменить в нём v,
выражением (9.08), примет вид:
*i4-±*i-w(i—ayj: (дот
дг*^ г дг~~ а \1 Я?) дг ' { '
Примем далее, что во входном сечении трубы жидкость
имеет всюду одинаковую температуру Т0 и что температура
стенок трубы всё время постоянна и равна Т .
Введём, наконец, безразмерные переменные:
ft = fe£' '>=£' *=£• (9-Ю)
Тогда уравнение (9.07) примет вид:
^_i_J_<^_-1/1 _ ?\ —
дг\ ' г\ дгх ал\ ri) дгг
(9.11)
где а
«1=2^- 0-И')
Граничные условия, если считать, что у стенок
температура жидкости совпадает с температурой стенок, будут:
при ri = l (z,>0) & = 0; (9.12)
при г1 = 0(г1<1) а=1. (9.12')
Таким образом, задача сводится к интегрированию
уравнения (9.11) при граничных условиях (9.12). Решение её в
такой постановке было получено сначала Грецем, а затем
Нуссельтом ').
l) L. Graetz, Ann. d. Physik, т. 18, 1883, стр. 79 и т. 25, 1885,
стр. 337. W. Nusselt, Zeitschr. des V. D. I., т. 54, 1910, стр. 1154.

360 - НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ \ГЛ. IX
Положим, исходя из особенностей задачи, что частное
решение уравнения (9.11) может быть представлено в виде
где 0— постоянный параметр.
Подставляя это значение & в (9.11), найдём для
определения 1 (rt) уравнение
Решение этого уравнения, не имеющее особенностей при
rj = 0, может быть представлено в виде ряда
xCi.P) = i-5'? + 2^t(P2+t)/1 + --- (9Л4)
Граничное условие (9.12) требует, чтобы приг1 = 1 правая
часть ряда (9.14) обращалась в нуль. Это условие приводит
к уравнению для определения 0, имеющему бесчисленное
множество корней, из которых первыми тремя являются
01=2,705, 02 = 6,66, 03=1О,6.
Таким образом, оказывается, что уравнение (9.11) имеет
бесчисленное множество частных решений вида (9.13). При
этом, как следует из (9.14), каждому корню 0А будет
соответствовать своё значение функции '/v(rlt 0A), которое мы
обозначим Xft(/'i)- Тогда общее решение уравнения (9.11)
представится в виде ряда
со 2
i>=2AtJf*Ci)e-p*°A, (9.15)
k=\
где Ak— постоянные интегрирования, значения которых
определяются так, чтобы было удовлетворено условие (9.12').
Сохраняя в (9.15) первые три члена, Нуссельт нашёл, что
А1== 1,477, А2 = — 0,810, А, = 0,385.
Формула (9.15) определяет зависимость безразмерной
температуры & от координат гг и zx. Используя результаты
численных расчётов, можно эту зависимость представить более
наглядно в виде соответствующей пространственной диаграммы.
Подобная диаграмма изображена на фиг. 55, где по
направлениям осей координат отложены величины axzb r и &.

§ 24J ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 36Г
Заметим, что полученная картина распределения температур.
в некотором отношении аналогична картине распределения-
скоростей в начальном участке трубы.
Найдём в заключение значение коэффициента теплоотдачи^
определяемое изложенным решением. При этом будем рас-
Фиг. 55.
сматривать местный коэффициент теплоотдачи, т. е.
коэффициент теплоотдачи для данного элемента трубы.
Согласно (9.04) будет:
а (T*—Tc)t±S'
Количество тепла Ад, передаваемое элементу AS площади
поверхности трубы, может быть определено формулой A.09)i
и будет равно:

362 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
Подставляя это значение в предыдущее равенство и
переходя затем с помощью (9.10) к безразмерным величинам,
получим:
»=->^т. (£),=»=-»« (£)„=.• ^
Величина 0* определяется формулой (9.03), если в неё
отодставить значение v н 0 из (9.08) и (9.15). В результате
получим:
()*= J) B#-*W>, (9.16')
где Bk — некоторые постоянные коэффициенты. По
подсчётам Гребера ')
Вх =0,819, fi2 = 0,0976, Я3 = 0,01896.
Точно так же из (9.15) следует, что
(£),,=,=-£<*-**• (9лб")
«где по подсчётам того же автора
Q = 1,498, С, = 1,114, С3 = 0,503.
Приведённые формулы определяют значение а для любого
■сечения трубы.
При изучении явления теплообмена часто вместо
коэффициента а рассматривают безразмерный параметр
N = ^, (9.17)
называемый числом Нуссельта.
Из формул (9.16) следует, что в данном случае число N
есть функция безразмерного аргумента a1zi. Вид зависимости N
от axzx показан на фиг. 56. Оказывается, что, начиная примерно
•от значения а1г1 = 0,1, можно считать N = const = 3,66.
Вместе с N будет, конечно, постоянен н коэффициент
теплоотдачи а.
1) Г. Гребер и С. Эр к, Основы учения о теплообмене,
•ОНТИ, 1936, стр. 225.

§ 24] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 363
Зная а, можно по формуле (9.04) определить количество
тепла, поглощаемое или отдаваемое стенкой; при этом в (9.04)
температура Т должна быть заменена средней
температурой Т*. Если принимается во внимание изменение значения а.
для разных сечений трубы (начальный тепловой участок), то
передаваемое (поглощаемое) тепло определится формулой
q = 2vRt \a(z)[ T* (z) — Тс] dz, (9.18)
о
где /—длина трубы.
Та же величина может в данном случае быть вычислена
и по вытекающей из A.09) формуле
г
q = -2*R*§(d-Pl__Jz. (9.18')
дг jr=R
дТ
Значение V- находится при этом из (9.15).
Изложенное решение даёт известное качественное
представление о законе изменения температуры движущейся жидкости
и коэффициента тепло- *.
отдачи. Что касается
количественных
результатов, то они
значительно расходятся с
данными эксперимента,
иногда на 100°/0 и
более.
Основная причина
этих расхождений
состоит в том, что при
5.0
щ
2.0
Ю
о
0.1
02 0J 0А
Фиг. 56.
0.5 0.5 a,z,
решении не принимается во внимание изменение вязкости
жидкости с температурой. Результатом этого является то, что
профиль скоростей в рассматриваемой задаче считается
параболическим. Между тем, как показывает опыт, при наличии
теплообмена профиль скоростей значительно отличается от
параболического; при этом характер течения существенно
зависит от того, происходит ли во время движения отдача или
поглощение тепла жидкостью. Этот результат наглядно
иллюстрируется показанными на фиг. 57 кривыми, изображающими

364 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX.
/
п
ш
Тс<Т0
Тс>Т0
ТС=Т0
профили скоростей в круглой трубе при разных тепловых
режимах1). Здесь пунктирная кривая—парабола,
соответствующая случаю изотермического течения; кривая / даёт профиль
скоростей в случае, когда стенки холоднее жидкости, а
кривая //— в случае, когда жидкость холоднее стенок. Расход
жидкости во всех трёх случаях
одинаков. Показанные на фиг.
57 результаты очевидны и из
чисто физических соображений,
так как там, где жидкость
относительно холоднее, её
текучесть, а следовательно, и
скорость будут убывать, а там,
где теплее — возрастать.
Кроме отмеченного
обстоятельства, изложенное решение
даёт при данном значении
разности температур жидкости и
стенки одну и ту же величину
коэффициента теплоотдачи а
независимо от знака
температурного градиента. Между тем,
как показывает опыт, при Тс~^>Та значение а будет выше,
чем при ТС<^Т0, где Тс — температура стенок.
В § 26 на примере задачи о теплообмене при обтекании
пластины будет показано, что аналитическое решение может
отразить все названные особенности течения и явления
теплообмена, если принять во внимание зависимость коэффициента
вязкости жидкости от температуры.
4. Задача акад. Л. С. Лейбензона о движении
подогретой вязкой жидкости. Впервые задача о теплообмене
при движении капельной вязкой жидкости с учётом
зависимости коэффициента вязкости от температуры была поставлена
в 1922 г. акад. Л. С. Лейбензоном2).
20 W хмм
Фиг. 57.
1) Эти кривые построены С. Эрком на основе обработки опытных
данных, относящихся к ламинарным течениям масел в трубах. См.
выше цитированную книгу Гребера и Эрка, стр. 227—228.
2) Л. С. Л е й'б е н з о н, О движении подогретой вязкой жидкости,
Азербайджанское нефтяное хозяйство, 1922, № 2 C) и № 4 E); 1924
Ш i B7).

§ 24J ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 365
Рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости в
круглой цилиндрической трубе. Будем считать, что все частицы
жидкости движутся параллельно оси и что действием
массовых сил можно пренебречь. Тогда, выбирая для описания
движения цилиндрические координаты и принимая во внимание
симметрию течения, будем иметь г>г = 0, г>,с = 0, vz = v.
Уравнение неразрывности [последнее в системе 0-47)] при
этом даёт ^— = 0, следовательно, v = v(r). Так как в
рассматриваемом случае jx=^= const, то для описания движения
жидкости воспользуемся уравнениями A.30).
Из всех входящих в эти уравнения компонент напряжений,
определяемых формулами A.43), будет отлична от нуля
только одна:
Кроме того, принимая во внимание, что левые части
уравнений A.47) представляют собою проекции ускорения жидкой
частицы в цилиндрических осях координат, найдём, что в
данном случае будет:
wr = wa = w„ = 0.
Подставляя все эти значения в систему уравнений A.30),
получим:
dz
dp d\i dv
дг dz dr
(9.19')
Наконец, уравнение притока тепла A.56), если заменить Е
его значением из A.53), примет в данном случае вид:
Таким образом, в полной постановке задача сводится к
интегрированию системы уравнений (9.19), (9.20) при заданной

366 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
зависимости >i (T); решение в этом случае связано с
аналитическими трудностями, которые пока не удаётся преодолеть.
Рассмотрим задачу о движении подогретой жидкости в трубе
в той постановке, к которой она была сведена акад. Л. С. Лей-
бензоном.
Допустим, что в первом приближении температуру жидкости
в каждом сечении трубы можно заменить её средним
значением Т*. Тогда будет r* = T*(z), а следовательно, и
Принимая это во внимание, продифференцируем обе части
первого из уравнений (9.19) по z, а второго—по г и,
вычитая их почленно одно из другого, исключим- давление р.
В результате, разделяя переменные, получим:
где штрих означает производную по г.
Так как левая часть равенства (9.21) зависит только от z,
а правая только от г, то каждая из этих частей должна быть
равна постоянной величине, которую мы обозначили для
удобства pa > где R — радиус трубы; при этом безразмерная
величина /г2 может быть и отрицательной, т. е. может быть h=^ihl.
Рассмотрим вначале простейший случай, когда А = 0.
Тогда (9.21) даёт для определения v уравнение
Интегрируя это уравнение и удовлетворяя условию г> = 0
при г = /?, а также требованию, чтобы при г=0 v было
конечно, найдём, что в данном случае режим течения
оказывается параболическим и зависимость v (r) даётся формулой
(9.08).
Для определения p. (z) имеем из (9.21) —^ = 0, откуда
ц = А1г-{-А2.
В качестве дальнейшего допущения примем, что изменение
температуры вдоль оси трубы определяется формулой

§ 24] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 367'
акад. В. Г. Шухова; при этом в дальнейшем величину Т* будем
обозначать через Т; заметим также, что для
определённости все последующие рассуждения будем вести в
предположении, что Тй s=s T ;ss 7\, т. е. в предположении, что в-
трубу поступает горячая жидкость, охлаждаемая стенками.
-Конечно, весь ход расчёта остаётся тем же и в случае, когда
Введём, наконец., безразмерную температуру:
!>:
Т— Т\
Тогда формула (9.06), если положить -^ = zlt примет вид:
а = <НЧ (9.23),
Отсюда находим:
jln(j). (9.23')'
Подставляя это значение zx в полученное выше
выражение для ]i и вводя вместо Ах и А2 новые постоянные ]х0 и х,.
найдём окончательно:
И = Ио
l+*ln(I
(9.24)
При этом постоянная jxft представляет собою одновременно
величину коэффициента вязкости при Т=Т0.
Ход дальнейшего расчёта сводится к следующему. Имеем
экспериментально определённую зависимость и. (Т) для данной,
жидкости. Зная Г0 и Ть строим график зависимости — =/(;|)~
"о
По значению fi = pii ПРИ каком-нибудь lj = f)j определяем
величину ж в формуле (9.24). Построив график зависимости
— по формуле (9.24), проверяем, в какой мере зависимость.
ft)
ji@), даваемая этой формулой, близка к экспериментальной..
Если обе кривые можно считать практически совпадающими,
то полученное решение является для данной -жидкости в
рассматриваемом интервале температур пригодным. В случае, если:
зависимость (9.24) оказывается непригодной, следует
попытаться использовать одно из решений, которые будут
приведены ниже.

368 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
Заметим, что для последующих расчётов необходимо, чтобы
зависимость, определяемая формулой (9.24), совпадала с
экспериментальной не на всём интервале Os^S^sri, а только s интервале
0;«Su=srl, где ft; — значение 0 при г = /, т. е. в конечном сечении
трубы, причём 0; > 0. Следует иметь в виду, что это замечание
относится также и к полученным ниже формулам (9.28) и (9.34).
Вид зависимости \х(Щ, определяемой формулой (9.24),
показан на фиг. 58 при значениях х=1 и х = 2.
Полагая, что величина х нам известна, перейдём к
дальнейшему расчёту. Найдём зависимость между перепадом
давления вдоль оси трубы и секундным расходом. Из равенств
(9.24) и (9.23) будем иметь:
6
5
4
3
2
1
С
0.
\,х = 2
х=Г ""
г о,
4 0,
6 0,
\
J I.
1 ,9
:^о
1+4
R
где ji определяется по формуле
(9.06').
Подставляя данное значение
A и выражение v(r) нз (9.08)
в уравнение (9.19), получим:
(9.25)
Заметим, что здесь, в
отличие от изотермического течения
Фиг. 58. (см. п. 3 § 5), падение
давления вдоль оси трубы не является постоянным. Этот
результат, как показал акад. Л. С. Лейбензон, имеет место в
случае движения подогретой жидкости по трубе при любом виде
зависимости р. (Г).
Так как в дальнейшем нас будет интересовать только
изменение давления вдоль оси трубы, введём в рассмотрение
среднее давление в данном сечении, которое определим
•формулой
E)
prdr.
(9.26)
В рассматриваемом случае уравнение (9.25) сохранит свой
вид и при замене р на р*, так как выражение, стоящее в
травой части, не зависит от г. Тогда, интегрируя (9.25) по z

§ 24] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ S69
и полагая, что при z=0 p*=p0, а npnz = /, где/ — длина
трубы, p*==pv найдём:
*rp = !!^A+JLM). (9.27;
Формула (9.27) связывает перепад давления в трубе и
среднюю скорость (или расход Q = i:R2v*) в случае, когда
изменение вязкости с температурой происходит по закону (9.24).
Отметим, что падение давления на единице длины трубы с
увеличением общей длины / растёт, в то время как при
изотермическом течении [формула B.24)] эта величина остаётся
постоянной.
Рассмотрим теперь при тех же допущениях случай, когда
постоянная h в уравнениях (9.21) отлична от нуля и
действительна. Для определения зависимости и, от z получим в этом
случае из (9.21) уравнение
rf2u л2
___•* = ().
Отсюда, интегрируя и обозначая -n=zv найдём:
к
Заменяя здесь zl его значением из (9.23') и вводя вместо Q
и С2 новые постоянные и.0 и А, получим окончательно:
И = До
4,
АЪ +A— А)Ь
(9.28)
гдо ;i0 представляет собою опять значение д при Т^Х0.
В выражении (9.28) р определяется формулой (9.06'), а
значения постоянных Лий должны быть подобраны подобно
тому, как это было указано выше для постоянной х в
формуле (9.24). Если такой подбор с приемлемой для практики
точностью сделать удаётся, то можно считать, что в данном
интервале температур зависимость ji(&) определяется
формулой (9.28).
Полагая теперь значения А и h известными, перейдём к
определению профиля скоростей и закона падения давления
в трубе.
24 С. М. Тарг

370 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
Для определения v(r) имеем из (9.21) уравнение относи.
тельно v'\
Линейно независимыми решениями этого уравнения являются
цилиндрические функции от мнимого аргумента {^(hr^ и
Ki^i). Так как скорость течения на оси должна быть
конечной, то второе решение следует отбросить. Таким образом,
будет:
t/ = Cl,(/7/-j).
Отсюда, интегрируя ещё раз по г, найдём окончательно:
г» = С, I0(^i) + C2. (9.29)
де
г
Из условия прилипания следует, что v = 0 при г, = 1.
Следовательно, будет:
С,10(А) + С2 = 0. (9.30)
Введём вместо Сх среднюю скорость v*, определяемую
формулой (9.02). В данном случае эта формула, если перейти
к переменному rL, примет вид:
1
v* = 2 j vr1 drx.
о
Подставляя сюда вместо v его значение из (9.29),
интегрируя и используя зависимость между цилиндрическими
функциями F.45), будем иметь:
** = C1[I0<A) —I2(A)]+C2.
Решая это уравнение совместно с (9.30), получим:
В результате найдём из (9.29) следующий закон
изменения скорости вдоль радиуса трубы:
"==ШПо(А)-1в(А'-1)]. (9-31)

§ 24] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 371
Профиль скоростей оказывается в данном случае отличным
от параболы и уклоняется от неё всё более с увеличением h.
На фиг. 59 показан вид профиля скоростей, определяемого
формулой (9.31), при Л = 2; пунктиром показана парабола,
соответствующая рассмотренному выше случаю Л = 0.
г
R
1
0
^■«^
0.5
1
,. по (9.361 при fi =2
no(9J!)npu h ^Л\/
d
J U 2 2.
V
Ф
иг. 59.
Перейдём теперь к определению давления. Из формулы
(9.19), так как мы полагаем, что р. = <х (г), будем иметь:
дг'
;Д
W- ' У d?
Заменяя здесь v его значением из (9.31) и используя после
дифференцирования формулу F.45), найдём окончательно:
др v:'li-
dz 2/?= I, (/г)
ц10 (/;/-,).
Введём здесь вместо р его среднее по сечению значение р ,
определяемое формулой (9.26). Для этого умножим обе части
полученного равенства на 2r1rfrI ч проинтегрируем по гх в
пределах от 0 до 1. В итоге получим:
dp*
dz
= — V-
V'fi li [h)
R2l2(h)
(9.32)
С другой стороны, заменяя в (9.28) 9- её значением из
(9.23), будем иметь:
ц = !i0 [Ле*2. -\-{\—А) е-"*' ].
Подставляя это значение <i в равенство (9.32),
проинтегрируем его по z. Тогда, полагая, что при 2 = 0 р*=р0,
25 с. М. Тарг

372 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
а при z=^l (/ — длина трубы) р*^plt найдём окончательно:
■Ро — Pi vjoz.
А (е ^ — 1) — A
■А)(е * —1)
h (ft) R
12(Л) / '
(9.33)
Формула (9.33) устанавливает связь между перепадом
давления и средней скоростью течения в случае, когда зависимость
вязкости от температуры определяется законом (9.28).
Остановимся, наконец, на последнем случае, когда в (9.21)
постоянная h1 отрицательна. Заменяя в этом случае /г2 на
— /г2, получим из (9.21) для определения \i{z) уравнение
rf2(l | Л2 п
Решением этого уравнения будет:
H = ^-sin(A*,-f в),
п sin е \ 1 | м
(9.34)
где ;i0 и s — постоянные интегрирования, причём jjl0 даёт
одновременно значение р. при Т=Т0.
Так как по физическому смыслу задачи при изменении г
от 0 до / величина ;х должна или только возрастать (труба
охлаждает жидкость) или только убывать (труба нагревает
жидкость), причём не может быть р.<^0, то, следовательно,
всегда будет:
hR<Y-
Вообще, как легко видеть, в том, например, случае, когда труба
охлаждает жидкость, постоянные s и Л будут связаны одним из
следующих соотношений;
или
2лгс< г <
(л + 1)п<е<
рде л = 0, 1, %...
Так как обычно 1^>R, то, следовательно, в
рассматриваемом случае постоянная h будет величиною малой.

§ 24] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 373
Заменяя в (9.34) z1 её значением из (9.23'), найдём:
»-£-."" [тЧтН1
(9.35)
Как и в предыдущих случаях, значения входящих сюда
постоянных h и £ должны быть подобраны так, чтобы в
заданном интервале температур зависимость u. (ft), даваемая
формулой (9.35), практически совпадала с соответствующей
экспериментальной зависимостью для данной жидкости.
Таким образом, величины h и s можно в дальнейшем
считать известными. Выражение для профиля скоростей найдём
в данном случае, если заменим в (9.31) величину h на ,h.
Тогда получим:
w = j^)fJo(^i)—Jo(A)l- (9-36)
При малых h этот профиль близок к параболическому, но
несколько более вытянут (фиг. 59).
Для определения закона изменения давления вдоль оси
трубы обратимся к формуле (9.о 2). Заменяя здесь h на ih,
найдём, что в данном случае
dp* __ _ v* h ЦК)
dZ ^ /?2 J2 (Л) •
Подставляя в правую часть значение fx из (9.34),
проинтегрируем по z и удовлетворим условиям р*=р0 при z = 0
и jo*=/?j при z = l. В результате получим:
Ра
^4[«-»К+.)]^.и
Эта формула устанавливает зависимость между
перепадом давления и средней скоростью течения в случае,
когда зависимость вязкости от температуры определяется
законом (9.35).
Изложенное здесь решение позволяет по формулам (9.27),
(9.33) или (9.37) определить перепад давлений в
трубопроводе, необходимый для перекачки подогретой вязкой жидкости
25*

374 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
с заданным секундным расходом пли, наоборот, определить
секундный расход при заданном перепаде давлений. При этом
зависимость у.{Т°) для перекачиваемой жидкости должна быть
в рассматриваемом интервале температур (от 7^ до 7^)
представлена в виде (9.24), (9.28) пли (9.35). Чтобы уяснить
различие между этими тремя законами изменения вязкости, на
фиг. 60, а и 60, б показаны примерные графики зависимости
Фиг. 60.
jjl @), а также закон изменения вязкости вдоль трубы, т. е.
\i(z), построенные во всех трёх случаях для одних и тех же
значении /0 и /,.
Входящий во все расчётные формулы параметр [5
определяется равенством (9.06'). При этом обычно значение
коэффициента К передачи тепла через стенки нужно брать из
данных опыта.
Полученное решение указывает одновременно на известную
зависимость профиля скоростей в трубе от закона изменения
коэффициента вязкости жидкости с температурой (фиг. 59).
Однако вызванное этим обстоятельством изменение профиля
скоростей будет при малых значениях коэффициента h весьма
незначительным.
Существенное изменение вида профиля скоростей в трубе
получается вследствие изменения температуры жидкости в
радиальном направлении (фиг. 57), однако это обстоятельство
изложенным решением не учитывается. По этой же причине

§ 24] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ДВИЖЕНИИ В КРУГЛОЙ ТРУБЕ 375
данное решение не отражает тех изменений в виде профиля
скоростей II в значении коэффициента теплоотдачи, которые
обусловливаются изменением знака температурного градиента
в направлении радиуса трубы.
Всё изложенное выше решение построено в
предположении, что закон изменения температуры в трубе определяется
формулой (9.06), не учитывающей изменения температуры в
радиальном направлении. Считая эту формулу первым
приближением, можно произвести уточнение результатов,
относящихся к закону распределения температуры в трубе. Для
этого следует подставить какое-нибудь из определённых выше
значений \i(z) и соответствующее ему значение v(r) в
уравнение (9.20) и тем или иным методом проинтегрировать это
уравнение. В результате будет найден более точный закон
изменения температуры в осевом направлении, а также и
закон изменения её вдоль радиуса, что позволит определить
коэффициент теплоотдачи '). Однако практически в
рассматриваемой задаче изменением температуры жидкости вследствие
рассеяния энергии можно вполне пренебречь. Тогда в
уравнении (9.20) член, содержащий ji, выпадает и решение
соответствующей задачи будет мало чем отличаться от решения
рассмотренного в п. 3 настоящего параграфа, а в случае,
когда v{r) определяется формулой (9.08) полностью
совпадёт с ним.
Поэтому такого рода уточнения задачи о распределении
температуры в движущейся жидкости нами здесь не
рассматриваются.
В заключение считаем нужным подчеркнуть, что
изложенное шше решение, принадлежащее акад. Л. С. Лейбензону
и опубликованное им в 1922—1924 гг., является первым в
мировой литературе примером приближённого решения задачи
о движении капельной вязкой жидкости с учётом зависимости
коэффициента вязкости от температуры. Насколько нам
известно, в зарубежной литературе до сих пор вообще не
появлялось ни одной работы, содержащей хоть какую-нибудь
попытку дать аналитическое решение этой весьма сложной,
практически важной задачи.
•) В выше цитированной работе акад. Л. С. Лейбензона даётся
решение уравнения (9.20) для случая, когда ц (г) и «(г)определяются
формулами (9.24) и (9.08) соответственно.

376 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
§ 25. Теплообмен в вязком слое,
заключённом между двумя вращающимися цилиндрами.
1. Уравнения движения и притока тепла. В
настоящем параграфе рассматриваются некоторые задачи о
теплообмене в слое вязкой жидкости, заключённом между двумя
соосными вращающимися цилиндрами неограниченной длины.
Полученные здесь результаты дают одновременно решение
задачи о теплообмене в смазочном слое для случая,
соответствующего рассмотренному проф. Н. П. Петровым (см. п. 1
§ 22), но без учёта потери тепла вследствие утечки масла
с торцов подшипника.
Пример, рассмотренный в п. 4, даёт известное
представление о предельной температуре вращающегося ротора,
заключённого в цилиндрический кожух.
Рассмотрим два круглых соосных цилиндра; внутренний —
радиуса R1 и внешний — радиуса R2, вращающихся вокруг
их общей оси с угловыми скоростями Wj и ш2. Пространство
между цилиндрами считаем сплошь заполненным вязкой
жидкостью. Выберем цилиндрическую систему координат,.ось Oz
которой совпадает с осью цилиндров, и составим уравнения
движения жидкости в слое между цилиндрами и уравнение
притока тепла, принимая во внимание, что коэффициент
вязкости жидкости есть некоторая функция её температуры,
и считая все остальные физические параметры жидкости
постоянными.
Так как длина цилиндров неограннчена, то течение между
ними будет плоско-параллельным. Принимая ещё во внимание
осевую симметрию, будем иметь, что производные от всех
величин по ги по f равны нулю и что v2 = 0, vr = 0 и
v ==v; этим одновременно удовлетворяется уравнение
неразрывности [последнее в системе A.47)].
Так как в рассматриваемом случае ]Ху^ const.,
воспользуемся для описания движения уравнениями в компонентах
напряжений A.30). Левые части этих уравнений представлены
в развёрнутом виде в системе A.47). В рассматриваемом
случае будем иметь:
■пуг = 0, ■oi, = 0,
да

§ 25] ТЕПЛООбМЕН В ВЯЗКОМ СЛОЕ МЕЖДУ ЦИЛИНДРАМИ 377
Из компонент напряжений, значения которых даются
формулами A.43), будет отлична от нуля только одна t ,
которую в дальнейшем будем обозначать просто т. При этом
.=*-,.=,.(£-£)=."!(?). <»•»>■
В результате, пренебрегая, как обычно, массовыми силами,
найдём, что система A.30) сведётся к уравнению
или
Далее, из A.56) и A.53) найдём, что в данном случая
уравнение притока тепла будет:
дТ * ' а£(гд£). 0.40).
dt y-cppJ ' г дг V £>/■
Уравнения (9.39) и (9.40) будут полными уравнениями
движения жидкости и притока тепла для рассматриваемой
задачи.
В случае, когда расстояние Л = /?2— Rx между цилиндрами
мало по сравнению с /?,, можно, подобно тому, как это было
сделано в п. 3 § 22, вместо полных уравнений воспользоваться
приближёнными. Если вдоль окружности, которая получается
от пересечения поверхности внутреннего цилиндра плоскостью,
перпендикулярной к оси, отсчитывать координату х, а по
нормали к ней — у, то, пренебрегая ввиду малости у
кривизной координатных линий, придём к выводу, что в данном
случае для решения задачи можно воспользоваться
уравнениями A.28) и A.55). Так как при этом будут равны нулю
v vz и все производные по х и по г, то, обозначая
единственную отличную от нуля компоненту напряжений 1ху через
т и vx через v, придём окончательно к следующей системе
уравнений:
dv dt дТ д'-Т . т2 ,Q ,n
?ш=ду' ■ш==ад?+цр' (9,41)
где
т = ц£. (9.41 >

378 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
г
1
X
(
—
dT
dr
const
г2
)+
л
- =
-1
о,
Уравнения (9.41) являются приближёнными
уравнениями движения жидкости и притока тепла в слое между
вращающимися цилиндрами для случая, когда толщина этого
слоя мала !).
При установившемся режиме левые части полученных
уравнений обратятся в нули. В результате полные уравнения
(9.39) и (9.40) примут вид:
(9.42)
где Tj — постоянная, равная напряжению трения на
поверхности внутреннего цилиндра.
Точно так же система приближённых уравнений (9.41) при
установившемся режиме приводится к виду:
т = const = т0, \
dy- ' и )
При интегрировании к системе (9.42) должно быть
присоединено уравнение (9.38), а к системе
(9.43)—уравнение (9.41').
2. Теплообмен в слое между цилиндрами при
установившемся режиме. Рассмотрим задачу о теплообмене в
вязком слое между вращающимися цилиндрами, полагая, что
течение жидкости и процесс теплообмена являются
установившимися. Температуры обоих цилиндров будем при этом
считать постоянными и равными Г, и 7. Введём вместо Т
безразмерную температуру:
ft = £=-£- . ' (9.44)
Тогда, считая, что у стенок температура и скорость
частиц жидкости равны температуре и скорости стенок, будем
') Очевидно, что (9.41) представляют собою одновременно
полные уравнения движения и притока тепла для вязкого слоя,
заключённого между двумя перемещающимися неограниченными
параллельными плоскостями.

§ 25] ТЕПЛООБМЕН В ВЯЗЧ'ОМ СЛОЕ МЕЖДУ ЦИЛИНДРАМИ 379
иметь для рассматриваемой задачи граничные условия:
при г = /?, 0 = 0, v = wlRi = UV \
при r = R2 0=1, v = M2R2 = U2. j
(9.45)
Задача сводится, таким образом, к интегрированию системы
уравнений (9.42) и (9.38) при условиях (9.45). При
произвольном виде зависимости ;х (Т) привести эти уравнения к
квадратурам не удаётся. Мы ограничимся в дальнейшем
рассмотрением двух частных случаев.
а) Теплообмен прч |i = const. В этом случае
распределение скоростей в слое не зависит от процесса
теплообмена и определяется, как в своё время было показано,
формулой B.35). Заменяя в (9.38) величину v выражением
B.35), найдём:
_ 2A (<!>,— <■>!)#! #2
Т~~ (/й-Я?)-г>
Подставим теперь это значение т в последнее из
уравнений (9.42) и одновременно перейдём от Т к Ь. Тогда получим:
&'S)+^=°.
где/я — безразмерный коэффициент, равный:
|i/?i /?;(ш,— оJJ
т-
U(T,-Tx)(Rl-R{Y
Дважды интегрируя это уравнение по г и удовлетворяя
условиям (9.45) для 0, найдём окончательно:
г
»='»('_£) + [,-™('-|)]Д- (9.46)
Формула (9.46) и определяет закон распределения
температур в слое при ]i= const. Отнесённые к единице площади
количества тепла, которые за единицу времени стенки одного
из цилиндров отдают при этом жидкости, а стенки другого

380 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
поглощают, будут соответственно равны:
I
clT\ ,
-г- И А.
dr \г-ц,
dr \r~R1 '
Если изменением температуры вследствие рассеяния
энергии можно пренебречь, то распределение температур в слое
будет даваться формулой
&=-£, (9-46')
, г
1пщ
которая получится из (9.46) при ш=0. Заметим, что
формула (9.46') будет справедлива и при любом виде
зависимости р.(Т).
Погрешность в определении Т, которая получается в
результате пренебрежения членом, зависящим от рассеяния
энергии, даётся разностью значений ?), определяемых
формулами (9.46) и (9.46'). Она будет тем меньше, чем меньше
jjl и разность <Oj — оJ.
б) Теплообмен в тонком слое. Если толщина
вязкого слоя, заключённого между цилиндрами, мала по
сравнению с их радиусами, то вместо полных можно
воспользоваться приближёнными уравнениями (9.43) и (9.41'). Решение
задачи сводится при этом к квадратурам для любого вида
зависимости \i(T).
Обозначая толщину слоя А, введём безразмерную
координату У\ = —г- Тогда, переходя в уравнении (9.43) к уг if
безразмерной температуре ft, определяемой равенством (9.44),
получим:
dy\ ' U(Г,—Г,)и
Представим заданную нам зависимость jjl(i}) в виде:
1 = -Lf(&) (9.47)
где коэффициент — выделен с тем, чтобы функция F(b)
была безразмерной.

§ 25] ТЕПЛООБМЕН В ВЯЗКОМ СЛОЕ МЕЖДУ ЦИЛИНДРАМИ 381
Тогда предыдущее уравнение примет вид:
й+2'
где
ЩТг-Тйъ'
а штрихи означают производные по уг.
Интегрируя полученное уравнение по 0, найдём:
»'= ± * V>„ —ф(&), (9.48)
где
ф (в) = J/»(»)</&, (9.48')
о
а ф0 — подлежащая определению постоянная интегрирования.
Знак перед радикалом в ^9.48) определяется знаком
производной (плюс, если 9 в направлении у возрастает, минус —
если убывает).
Интегрируя (9.48) вторично по у1 и удовлетворяя условию
0 = 0 при уг = 0, получим:
*J rt У Ф0—ф (Э)
о
Условие 0=1 при ^ == 1 даёт соотношение
[—^== = к (9.49')
о
которое служит для определения ф0.
Перейдём теперь к определению ^. Из уравнения (9.41')
имеем:
dv /гх0
Заменяя здесь jjl выражением (9.47) и переходя от
переменного _yi к 0, получим:
d» и-o

382 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. Iх
Подставляя вместо 0' её значение из (9.48) и интегрируя,
найдём окончательно:
WO.) -±- 1/ in—111
>.J±KJrtr-H»)
о
При этом в (9.50) удовлетворено граничное условие v = cVj
при >') —0. Другое условие, v=U2 при &=1, приводит к
уравнению
иг-и^Ы-Щ^, (9.50')
которое служит для определения т0.
Таким образом, задача оказывается решённой до кониа.
При этом распределения температур и скоростей в слое
даются формулами (9.49) и (9.50).
Рассмотрим в качестве конкретного примера случай, когда
зависимость p. (i>) может быть представлена в виде,
соответствующем формуле A.06), а именно:
i=l(l-|-a2f>).
Расчёт здесь удобнее произвести, интегрируя непосредственно
уравнение (9.43), которое в данном случае примет вид1):
^i 4- п3аЩ = — п*, (9.51)
где
,,2 = ин(т!-г1)' (9-5Г)
Интегрируя уравнение (9.51) и удовлетворяя граничным
условиям !> = 0 при у}=0 и ft=l при у1 = \, найдём
следующий закон изменения температуры в слое:
,, 1 П-f-a2—cos(rw) . . , , .. .
<> = — — . , -—sin (fiav-i) -4- cos (nay,) — 1
i1] Sin Ha) v '' ' \ sii
. (9.52)
!) Как нам любезно сообщат проф. Н. А. Слёзкин, аналогичный
расчёт был произведён работавшим иод его руководством аспирантом
А. К. Павлпным в 1949 г.

§ 25J ТЕПЛООБМЕН Б ВЯЗКОМ СЛОЕ МЕЖДУ ЦИЛИНДРАМИ 383'
Для определения v обратимся к уравнению (9.41'),
принимающему вид:
rf£ = '»!L(l+a2(».
!^удем при этом считать один из цилиндров неподвижным..
Тогда граничные условия для v будут: v = 0 при у,=0 и
v=U при Vi = 1 ■ Заменяя в предыдущем уравнении f> его
значением из (9.52), интегрируя и удовлетворяя первому из
граничных условий, найдём:
/Пл I 1 -f - я-—cos (па) г, , ,, , . , Л
г> =—-{ - . , ' ■ 1—cos(wav.M+sin «av,)} .
Подставляя сюда значение т0 из (9.51') и требуя, чтобы при
j/, = 1 было v=U, получим уравнение для определения п.
В результате найдём окончательно закон распределения
скоростей в виде:
v=l I A^-^TT),/ l+a2-cos (яа)р — ^(яду )] -|_ sinfoay,) I
а Г ц0 \ sin(rca) I '
(9.53)
где n определяется из равенства
^ = lhYu^-y P.53-)
)
Напряжение силы трения т0 находится в данном случае
из равенства (9.51'), где п даётся формулой (9.53').
Чтобы дать примерное представление о том, как влияет
на величину напряжения силы трения учёт явления
теплообмена, рассмотрим произвольный пример. Пусть будет 7, = 20°,.
«7, = 40°, £/=5 м\сек„ /z=10~3 м (от значения h
вычисляемые ниже относительные погрешности не зависят).
Возьмём в качестве жидкости смазочное масло,
характеристики которого даны в таблице I (стр. 22). Тогда в данном
интервале температур можно приближённо принять
-=40 A+2,35 Ь), что даёт а2 = 2,35 и а =1,53. Далее
имеем Х == 30,7 • 10—6 (размерности всех величин указаны в
таблице). Подсчёт по формуле (9.53') даёт п s= 0,65. Тогда из
формулы (9.51') находим т0 =ь 52 кг\м2.

.'384 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. ГХ
Если вести подсчёт по формуле (8.10), не учитывающей
изменения ;х с температурой и взять при этом значение
[1=1,45- Ю-2, соответствующее средней арифметической
температуре Тср = 30°, то получим т3 =^72 л-г/ж2 с ошибкой
почти в 40°/0. Если же взять р. при средней температуре
Т* = 33,3°, вычисленной по формуле (9.03) в предположении,
что и скорость и температура изменяются в слое линейно, >
то будем иметь т2 =г 60 кг\мг с погрешностью примерно в
15°/0. В других частных случаях порядок величин может
•оказаться, конечно, другим, однако и этот пример указывает,
во-первых, на то, что при наличии теплообмена подсчёт
сопротивления трения по формулам, полученным для
изотермического течения, может привести к значительным погрешностям,
и, во-вторых, что величина погрешности будет меньше, если
в этих формулах брать значение ц, соответствующее
температуре Т*, которая даётся равенством (9.03).
Наиболее надёжные результаты при определении всех
характеристик течения, в том числе и напряжения трения,
будут давать, конечно, формулы, полученные с учётом
зависимости д от температуры.
Результаты, приведённые здесь в конечном виде,
относятся только к случаю, когда функция F{ty в зависимости
(9.47) является линейной. Такое представление F(b) удаётся
не всегда и обычно лишь на небольшом интервале изменения
температур. В тех случаях, когда F(O-) будет представляться
многочленом выше первой степени, уравнения движения и
притока тепла, как видно из (9.48') и (9.49), в
элементарных функциях не интегрируются. При необходимости
соответствующие расчёты могут быть произведены численно или
графически.
3. Теплообмен при неустанозившемся режиме в
случае, когда температура внутреннего цилиндра неизменна
(смазочный слой). Рассмотрим слой вязкой жидкости,
заключённый между двумя соосными цилиндрами с радиусами
/?j и R2- Пусть в некоторый момент времени внутренний цилиндр
начинает вращаться под действием приложенной к нему пары
-сил, момент которой постоянен. Найдём, как будет с течением
■времени изменяться температура жидкости и цилиндров вслед-
«ствие рассеяния энергии.

§ 25] ТЕПЛООБМЕН В ВЯЗКОМ СЛОЕ МЕЖДУ ЦИЛИНДРАМИ 385
Выше отмечалось, что в ряде случаев, когда процесс теплообмена
является установившимся, влиянием рассеяния энергии на
распределение температур в движущейся жидкости можно пренебречь. Задача,
которая здесь ставится, касается совсем иного вопроса. Речь идёт
об определении той температуры, до которой в тот или иной момент
времени окажется нагретой жидкость, заключённая между
цилиндрами, если один из них будет вращаться. Очевидно, что в этом
случае происходящий с течением времени процесс нагрева жидкости
обусловлен только наличием рассеяния энергии.
При решении поставленной задачи сделаем следующие
упрощающие допущения. Будем, во-первых, считать
коэффициент вязкости ;л постоянным. Во-вторых, толщину вязкого
слоя h = R2 — Ri будем считать малой по сравнению с /?:
и вместо полных уравнений воспользуемся справедливыми
в этом случае приближёнными уравнениями (9.41). Тогда
уравнение притока тепла, если заменить в нём г его
значением из (9.41'), примет вид:
dt дуг ' ocpJ \ ду} v
Уравнение движения жидкости при )i = const
интегрируется независимо от теплового. Эта задача была нами
рассмотрена в п. 1 § 23. Таким образом, значение v = (t, у)
м v/кет быть взято непосредственно из формулы (8.47').
Однако, как было показано там же, процесс развития движения
совершается очень быстро и уже по истечении весьма
небольшого промежутка времени течение жидкости в слое и
вращение цилиндра можно считать практически установившимся.
Явление же нагревания жидкости совершается, как мы
увидим, значительно медленнее. Поэтому практически вполне
допустимо при интегрировании уравнения (9.54) заменить в
нём v тем значением, которое оно имеет при установившемся
движении, т. е. положить
где U—предельная скорость точек, лежащих на поверхности
внутреннего цилиндра. Тогда будет т- = — — . Это значение
и будет нами подставлено в (9.54).
Примем, далее, что в начальный момент температура
жидкости н стенок цилиндров всюду постоянна и равна Г0 и

386 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. д
введём безразмерные переменные:
Тогда уравнение (9.54) примет вид:
&-Ъ + * = 0' (9-56)
где, если заменить а его значением из A.10), будет:
« = п£. (9 56')
Перейдём теперь к установлению граничных условий.
Будем считать массу внутреннего цилиндра очень большой
по сравнению с массой внешнего, а теплопроводность его по
сравнению с теплопроводностью жидкости очень высокой.
Тогда изменением температуры внутреннего цилиндра с
течением времени можно будет пренебречь и считать, что на его
поверхности всё время Г=70 пли 0 = 0.
Что касается внешнего цилиндра, то, считая его
достаточно тонким, пренебрежём изменением температуры этого
цилиндра вдоль радиуса и примем, что количество тепла,
получаемое им в каждый данный момент от жидкости, идёт
частью на нагревание самого цилиндра, а частью отдаётся
внешней среде, температуру которой будем считать
постоянной и равной также Т0.
Если обозначить переменную температуру внешнего
цилиндра через 7,, а его массовую плотность и удельную
теплоёмкость соответственно через р2 и с,, то из формул A.09),
A.08) и (9.05) следует, что указанное выше условие даёт:
— 2тт/?2х(|П ^At= 2тт/?2Яр2г2Д7, -f 2uR2K(T2 — 70) Д*.
где К — коэффициент передачи тепла через стенку цилиндра
во внешнюю среду, а Н—толщина стенки внешнего
цилиндра, точнее отношение площади поперечного сечения
цилиндра к 2тт/?2.
Разделив обе части этого равенства на At, перейдём к
пределу и одновременно введём безразмерные переменные (9.55).
В результате, принимая во внимание сделанные выше
предположения о состоянии внутреннего цилиндра, придём к

'§ 25] ТЕПЛООБМЕН В ВЯЗКОМ СЛОЕ МЕЖДУ ЦИЛИНДРАМИ 387
следующим начальным и граничным условиям:
при ^=0 0 = 0; при v1==0 Ъ = 0; \
"»»."> = ' 1 + ?|+т»=о. J ,9•зr,
где, после замены а его значением из A.10), обозначено
в ?,с,Я Kh
Таким образом, задача сводится к интегрированию
уравнения (9.56) при условиях (9.57). Для решения
воспользуемся, как мы это делали раньше, методами операционного
исчисления. Перейдём в (9.56) от оригиналов к их
изображениям по tx. Тогда, принимая во внимание, что при ^=0
Ф = 0 и воспользовавшись формулами C.05') и C.07'),
получим:
rf=9 -„
—г, — «О = —х.
Так как частное решение этого обыкновенного днфферен-
1ЛЬН<
будет:
циального уравнения есть \}г =—, то его общее решение
0 = С, ch (VpyJ + С2 sh (Кр Ух) + j •
Граничные условия (9.57) после перехода в них от
оригиналов к изображениям примут вид:
при _Vj =0 Ь = 0,
npn.Vl=l -g + (pp + y)fl = 0.
Удовлетворяя этим условиям, определим значения
постоянных интегрирования С, и С2 и найдём окончательно:
1 —сЬ(^>,) +
j^(sttm^)+V9^v* sh {VjyA (9.58)

388 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
По данному изображению х) можно определить оригинал
этой функции, т. е. -& (_vlT ^j) и найти таким образом закон
распределения температур в жидкости для любого момента
времени. Мы не будем приводить здесь этот несколько
громоздко выражающийся результат. Вместо этого дадим
решение наиболее интересной с практической точки зрения задачи,
а именно, определим, как будет изменяться с течением
времени температура внешнего цилиндра. Обозначим эту
температуру через $2 и примем, что она будет равна температуре
примыкающего к стенкам цилиндра слоя жидкости.
Тогда, полагая в (9.58) у1 = 1, получим для
изображения функции Q2(ti) выражение
я _ _ ch^-l _/, ftj)
°2 ,, / _ 7^ — — 2-71Гг (9.0»)
\ V v i
Обозначим через £ft корни трансцендентного уравнения:
ctgS=^—-*•. (9.59)
Вопрос об определении этих корней рассмотрим ниже;
заметим пока, что все они будут простыми ч
действительными х). Тогда из (9.58') видно, что f>2 представляет собою
функцию вида C.16), имеющую простые полюсы в
точках, где
Р* = -&
Следовательно, функция 02 (i) определяется формулой C.22).
Производя соответствующий расчёт, найдём из (9.58')
для входящих в формулу C.22) величин значения:
/"i (Pa) = эе (cos
hf? (Pk) = у К2? +1) Кsi« £,+($-l - t)cos У-
Кроме того, так как точка р = 0 не является полюсом
функции Ь2, то, раскрывая неопределённость, найдём:
-______—1—
/2<0) 2A + ^'
!) См. X. С. К а р с л о у, Теория теплопроводности, ОГИЗ, 1947,
стр. 87 и 91.

§ 25] теплообмен в вязком слое между цилиндрами 389
Подставляя все эти значения в C.22) и одновременно
несколько преобразуя выражение ^/г (р4) пРн помощи
равенства (9.59), найдём окончательно:
^ —' t i
V A — cos£j,)g '* I
I
0,= * {i— 4A -f
2ll + i) I. ''^lK?^-YJ+(P+l)^+-r];;,sin;4!
(iJ.60)
Формула (9.60) и определяет закон изменения
температуры внешнего цилиндра со временем.
Из (9.60) видно, что с возрастанием t температура
внешнего цилиндра стремится к предельному значению &пр.
Полагая в (9.60) tx = оо, найдём:
».>р=2(Г+1Г (9'61)
Заменяя здесь х п f их значениями из (9.56') и (9.57')
и переходя с помощью (9.55) от &пр к Гпр, получим:
lit/-' |1<Й2/?1
Тпр~Т0==2ЛУ+1Ог) 2J(l + Kh)' (9.6 Г)
Формула (9.61') устанавливает интересную зависимость
предельной температуры, до которой нагревается внешний
цилиндр, от размеров и угловой скорости внутреннего
цилиндра, а также от вязкости и теплопроводности жидкости
и от коэффициента передачи тепла К.
Полученный результат допускает известную
экспериментальную проверку. Если изменением X и К с температурой
пренебречь (величина Kh по сравнению с I здесь вообще
мало существенна), то для данного подшипника, согласно
формуле (9,61'), температура нагрева будет пропорциональна
произведению jiw2 или )ли2, где п — число оборотов в
минуту внутреннего цилиндра.
В книге акад. Л. С. Лейбензона приведены
экспериментальные данные, которые в числе прочих содержат сведения
об изменении температуры и вязкости с изменением числа
оборотов шипа в подшипнике с жидкой смазкой '). В частности,
1) Л. С. Л е й б е н з о н, Руководство по нефтепромысловой
механике, ч. 1. Гидравлика, ГНТИ,931, стр. 236.
26 С. М. Тарг

360 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [гл. ГХ
для произвольно взятых нами масел «турбинное» и
«смесь» соответствующие зависимости даны в таблице IX
(данные об этих маслах в вышецнтнрованной книге идут
под №N° 10—17 и 105—110).
Таблица IX
п об
Турбинное
масло
Смесь
масел
'мин
■х 1&кг ГеК
|Л'10 jkI
7"°Ц
кг сек
BID» ;
м-
г°ц
200
8,97
21,0
—
300
7,46
24,0
32,3
27,7
500
5,45
29,4
600 700
—
—
17,5 13,6
36,0
39,4
4,03
35,0
10001250
3,01
41,6
11,2 6,8
42,4 50,8
2,28
47,7
5,0
56,4
1510
1,83
1660
1,73
52,6 58,2
—
—
—
—
Значения Т при разных [ля2, определяемых данными таб~
лицы IX, показаны на фиг. 61. Как видно, экспернментальные
точки почти точно
ложатся на прямые линии,
подтверждая тем самым
линейный характер
зависимости температуры от
произведения fJi/г2,
устанавливаемый формулой (9.61').
Экспериментальные
данные, приведённые в
таблице IX, относятся к опытам
с полуохватывающим
подшипником. К сожалению,
использованные нами таблицы
из вышецитированной книги акад. Л. С. Лейбензона не содержат
данных о значениях /?[ и 1 в поэтому не позволяют полностью
сравнить формулу (9.61') с экспериментом. Однако порядок величин
7пр — 7, которые даёт формула (9.61'), если, например, принять
I -^ 3 • Ю-6 к кал1м сек °Ц и R{ = 5-т-Ю см, оказывается тоже близким
к экспериментальному.
Рассмотрим в заключение вопрос о времени, в течение
которого происходит нагрев внешнего цилиндра. Для этого
О i 2 3 4 5 is 7 8/ш'Ю~*
Фиг. 61.

§ 25] ТЕПЛООБМЕН В ВЯЗКОМ СЛОЕ МЕЖДУ ЦИЛИНДРАМИ 391
оценим порядок входящих в формулу (9.60) величин £А, т. е.
корней уравнения (9.59). Значения с,к можно определить
графически как точки пересечения кривых tj—ctgj, т. е.
котангенсоид с гиперболой
г1 = $ — f '
имеющей, как видно, асимптотами прямые 7j = 0 и *| = {5ч
(фиг. 62). Таким образом, оказывается, что 0<^3i<^Tt,
тс <^ S2 <С 2тг и т. д.
Отрицательные корни уравнения
(9.59) равны при этом по
модулю положительным и
могут не приниматься во
внимание, так как в (9.60)
входят с\ или cftsin$ft.
Так как у нас £2^>:г,
£8 ^> 2тт,... ,то для моментов
времени, не близких к
начальному, температура
внешнего цилиндра будет
определяться в основном первым
членом входящей в (9.60)
бесконечной суммы,
содержащим корень £j.
Найдём приближённое
значение ?х в случае, когда ^^>1, а у-^Э- ^з равенств
(9.57') следует, что эти предположения соответствуют случаю
подшипника с жидкой смазкой.
Действительно, в случае подшипника будет р2 ^> р и Я^> h и,
следовательно, величина \ будет очень велика. С другой стороны, если даже
принять fC= 0,06 к кал\мгсгк °Ц (см. цитированную на стр. 337 книгу
А. К. Зайцева, стр. 189), Л = 0,5 .иле и X = 3-10 5к кал/.н сек °Ц, то
будет 7=1' что значительно меньше ji, хотя величина f здесь
определена с преувеличением.
Обращаясь к уравнению (9.59), видим, что при ^1 и
Y<^jS должно быть ctg;!^>l и, следовательно, £х <^ 1.
Полагая тогда приближённо ctg?!^ — > получим из (9.59) для
Фиг. 62.
26»

392 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
определения £j уравнение 1 = j3$f — у> откуда найдём:
£i = ^ • (9.62)
Отбросим теперь в бесконечной сумме, входящей в (9.60),
все слагаемые, кроме первого, и заменим в этом слагаемом Sj
его приближённым'значением (9.62). Тогда, пренебрегая
величиною -;- по сравнению с единицей и вводя *>п„ из (9.61),
получим для закона изменения температуры внешнего цилиндра
следующее приближённое выражение:
!^1>прA- -е-е\). (9.63)
Будем считать, что нагрев цилиндра заканчивается, когда
{}, отличается от -!' не более чем на 1°/0. Тогда для
определения времени нагрева tx получаем из (9.63) условие
е '•'''« = 0,01.
Заменяя здесь ^ его значением из (9.62) и переходя с
помощью (9.55) к размерному времени, найдём:
* =4,6-r-f- (9.64)
н а 1 + f '
или, принимая во внимание (9.57') и A.10):
'. = 4,6j^g. 0.64')
Формулы (9.64) и определяют время нагрева внешнего
цилиндра.
Следует иметь в виду, что приближённые выражения (9.64)
и (9.64') будут справедливы только в том случае, когда
ji^> 1 и у^?- Если эти условия не выполняются, то для
определения t следует обратиться непосредственно к
формуле (9.60), вычислив предварительно значения \ъ а если
понадобится и £2, графически.
Чтобы дать представление о порядке величины t ,
рассмотрим численный пример.
Пусть р = 100, Y = °.1- h=\ мм, а = 7-\0Г*м2\сек.
Тогда, пользуясь формулой (9.64), получим гн =г 1 час.
40 мин. Если Y мало, то при прочих равных условиях с уве-

§ 25] ТЕПЛООБМЕН В ВЯЗКОМ СЛОЕ МЕЖДУ ЦИЛИНДРАМИ 393
личеннем h время нагрева, как видно из (9.64')
пропорционально возрастает.
Изложенные результаты дают известное представление
о предельной температуре и времени нагрева подшипников
с жидкой смазкой при естественном их охлаждении.
При решении некоторых задач о неустановившемся течении в
смазочном слое (§ 23) нами был исполь.юван приближенный приём,
основанный на замене ускорения жидких частиц их средним по тол-
шине слоя значением.
Аналогичным путём могут решаться и задачи о теплообмене.
Покажем это на примере предыдущей задачи о теплообмене в слое
между цилиндрами. Решение этой задачи было сведено к
интегрированию уравнения (9.56) при условиях (9.57). Заменим теперь полное
уравнение (9.56) приближённым уравнением, в котором изменение
температуры со временем будет заменено его средним по толщине
вязкого слоя значением. Это приближённое уравнение будет при
обозначениях (9.55) иметь вид:
№
где
-5ft), (9.65)
1
, ДО
£(']) = -*+J ^<Vi. (9.65')
и
Интегрируя (9.65) по ух и удовлетворяя первому из условий
(9.57), найдём:"
в^уДуТ+Ду,, (9.66)
где D — некоторая, подлежащая определению функция от tb
Подставляя значение 0 из (9.66) в равенство (9.65') и в последнее
из условий (9.57), получим для определения В ft) и Dft) следующую
систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
(IB „d/3
Решение этой системы, удовлетворяющее условиям 6=0 и~
D = 0 при t\ = 0, будет:
[г — s г — s J ' I
Г 12 — * , 12—л 2 + Y 1 { (9*6?);
L ir-s ~ r-s 2(i+T)J ;

394
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
При ЭТОМ
_A2-г)Р + 3B 4-Т) __A2-s)ji-f3B + r)
"' боТт) ' 2 ~ 60+^5 • (9-6/ >
а г и s представляют собою взятые с обратными знаками корни
уравнения
р** + D4-12р + т)*+12A+т) = 0. (9.67")
Формула (9.66) вместе с (9.67) и даёт приближённое выражение
закона распределения температур в вязком слое, заключённом между
цилиндрами.
Полагая в (9.66) _у, = 1, найдём для закона изменения со
временем температуры внешнего цилиндра выражение
в2 = 1в+0 (9.68)
вместо точного решения, которое даёт формула (9.60).
Переходя к некоторым оценкам степени точности полученного
решения, отметим прежде всего, что для предельного режима
формула (9.66) будет, очевидно., давать закон распределения температур,
совпадающий с тем, который получится в результате интегрирования
полного уравнения (9.56).
Действительно, полагая в (9.67) tx — оо, найдём из (9.66):
С другой стороны, по теореме А. Н. Тихонова (см. п. 4 § 18),
^значение Ьх, определяемое уравнением (9.56), получится из уравнения;
dy\
-•/. = 0.
Решение же этого уравнения, удовлетворяющее граничным
условиям (9.57), из которых последнее примет вид: -; f-f0oc = 0 при
^ = 1, совпадает с (9.69).
Заметим ещё, что при у5 = 1 формула (9.69) даёт для \in.
внешнего цилиндра то же выражение, что и (9.61).
Найдём теперь из (9.68) закон изменения температуры внешнего
цилиндра в случае р ^> 1, f <^ р, который специально был рассмотрен
выше. Пренебрегая в этом случае величинами, порядок которых
меньше -т-, получим из (9.67"):
г-'-+р ' s- р •
В результате формулы (9.67) и (9.68), если в них отбросить члены,
шалые по сравнению с единицей, дадут:

§ 25] ТЕПЛООБМЕН В ВЯЗКОМ СЛОЕ МЕЖДУ ЦИЛИНДРАМИ 395
Принимая во внимание (9.62), убеждаемся, что этот результат
совпадает с приближённым выражением (9.63), которое при (i> 2,
Y <^ р даёт точное решение.
Из сделанных сравнений следует, что решение, полученное а
результате замены полного уравнения притока тепла приближённым
уравнением вида (9.65), даёт практически вполне удовлетворительную
точность.
Мы привели этот расчёт с тем, чтобы лишний раз обратить
внимание на целесообразность применения в подобных случаях
указанного приближённого метода решения.
4. Предельное распределение температур при
отсутствии отдачи тепла от внутреннего цилиндра во внешнюю
среду. Рассмотрим предыдущую задачу при несколько
изменённых граничных условиях. Пусть внутренний цилиндр
полностью изолирован от внешней среды и всё получаемое им
от жидкости тепло идёт на нагревание самого цилиндра.
Внешний цилиндр полагаем при этом находящимся в тех же
условиях, что и в предыдущей задаче. Тогда для вязкого
слоя, заключённого между цилиндрами, граничные условия
вместо (9.57) примут, очевидно, вид:
прил=0 _—-f^—= 0,
прнЛ = 1 ^ + ^+Y-> = 0. }
(9.70)
Здесь р и у имеют те же значения, что и в (9.57'), а
р!—выражение, аналогичное J3, но только содержащее в
числителе р1( с1 и Н1. Начальным условием попрежнему будет
0 = 0 при ^ = 0.
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к
интегрированию уравнения (9.56) при указанном начальном
условии и при граничных условиях (9.70). Её точное или
приближённое решение может быть получено подобно тому, как
это было сделано в предыдущем случае, однако расчёт здесь
связан со значительно более громоздкими выкладками.
Мы ограничимся определением предельного режима
распределения температур в слое между цилиндрами. Согласно
упоминавшейся выше теореме А. Н. Тихонова этот предельный
режим распределения температур, если он существует, будет

396 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
(9.72)
определяться из уравнения
^ + « = 0. (9,71)
dy\
При этом граничные условия (9.70) для предельного режима
примут вид:
при v, =0 -—^ = 0;
при Vl=1 __(_Y.>oo==0. j
Тогда, интегрируя (9.71), получим:
'><* = —Y у\ + ci,Vi + c 2 ■
Удовлетворяя граничным условиям (9.72), найдём:
С, =0, С = ^г^ *;.
Следовательно, предельный режим распределения температур
в слое между цилиндрами будет:
^=|(^-^). (9.73)
Полагая в (9.73) у1 = 0, а затем \/, = 1, найдём
предельные температуры внутреннего и внешнего цилиндров.
Подсчёт даёт:
°S? = A + t)t- °- = T- (974)
Сравнение с (9.61) показывает, как и следовало
ожидать, что предельная температура в рассматриваемом
случае будет выше, чем в предыдущем; при этом температура
внутреннего цилиндра превосходит температуру внешнего.
Заменяя в (9.74) х и у их значениями из (9.56') и (9.57')
ч переходя с помощью (9.55) от {> к Т, будем иметь:
ГA) _ Т I A I Kh\ vU* rB) __ r , !*t/2 q ?c..
Из этих формул видно, что при больших окружных
скоростях и малых значениях К предельные температуры
цилиндров могут становиться весьма значительными.

§ 25] ТЕПЛООБМЕН В ВЯЗКОМ СЛОЕ МЕЖДУ ЦИЛИНДРАМИ 397
Полученные результаты дают известное представление о
величине предельной температуры вращающегося
цилиндрического ротора, заключённого в цилиндрический кожух, и о
предельной температуре самого кожуха, если пространство между
боковой поверхностью ротора и кожуха заполнено вязкой
средой.
С практической точки зрения представляет интерес рассмотрение
случая, когда ротор заключён в замкнутый кожух и вязкая среда
заполняет пространство не только между боковыми поверхностями,
но и между торцами ротора и крышками кожуха (гироскоп в
замкнутом кожухе). Заметим, однако, что если в этом случае пренебречь
в торцевом слое изменением температуры вдоль радиуса, то для
предельных температур получатся величины того же порядка, что
и в (9.75).
Действительно, помещая в этом случае начало цилиндрической
системы координат в центре торца ротора и направляя ось Ог вдоль
оси вращения в сторону крышки кожуха, будем иметь для
предельных скоростей частиц, заключённых в слое между названными
плоскостями, следующее приближённое выражение
0, = <v(l-£),
где <oj — угловая скорость ротора, h — толщина слоя, г и г —
координаты. Компоненты vr и vt в этом случае можно считать равными
нулю.Тогда из A.53) и A.43) получим, что количество тепла,
выделяющееся вследствие рассеяния энергии в единице объёма среды за
единицу времени будет:
Заменяя приближённо Е её средним вдоль радиуса значением,
получим:
Ь — R J С аГ — 3 № - 3 № ■
о
Подставляя теперь в уравнение притока тепла A.56) вместо Е
величину Е* и пренебрегая в правой части производными от Г по г
по сравнению с производными по г, придём, вводя переменные (9.55),
к уравнению вида (9.56), где только вместо уг будет стоять гх = -г-,
а величина х будет отличаться от выражения (9.56'; множителем '/з-
Граничные условия задачи сохраняют попрежнему вид (9.70) и,
следовательно, решения для предельных температур будут
представляться формулами, отличающимися от (9.74) или (9.75) лишь указанным

398 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООбМЕНЕ [ГЛ. IX
числовым коэффициентом, который, принимая бо внимание наличие двух
торцов, следует удвоить.
Указанный результат будет справедлив для ламинарного режима
и притом в случае, когда отношение _ не столь велико, чтобы на
R
роторе и диске образовались отдельные пограничные слои (см.
п. 2 § Щ.
§ 26. Теплообмен при обтекании тонкой пластины
капельной жидкостью с переменным коэффициентом
вязкости.
1. Приближённые уравнения движения и притока
тепла и их интегрирование. Рассмотрим задачу об
обтекании тонкой неограниченной в одном направлении пластины
плоско-параллельным потоком несжимаемой вязкой жидкости,
температура которой отлична от температуры пластины. При
этом режимы течения и теплообмена будем считать
установившимися, а скорость набегающего потока направленной вдоль
пластины.
Решение поставленной задачи строится при ряде
упрощающих допущений, которые мы считаем необходимым
предварительно оговорить.
Из всех характеристик капельной жидкости, как уже
отмечалось, сильнее всего с изменением температуры изменяется
коэффициент, вязкости. Допустим поэтому, что изменением
плотности, удельной теплоёмкости и теплопроводности
жидкости можно пренебречь и считать их в рассматриваемом
интервале температур постоянными. Что касается коэффициента
вязкости, то будем считать, что закон изменения его с
температурой нам известен и представлен формулой А. И. Ба-
чинского, приведённой к виду A.04). Входящие в эту формулу
коэффициенты при конкретных расчётах должны будут
определяться на основании соответствующих экспериментальных
данных.
Далее, будем считать, что течение происходит не при очень
малых числах Рейнольдса и примем, как это всегда делается
в теории пограничного слоя, что влияние вязкости на
движение жидкости имеет место только вблизи пластины в слое
толщиною Ь и что теплообмен между жидкостью и пластиной

§ 26] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ 399-
имеет место также только в слое толщиною li,
непосредственно примыкающем к пластине').
Наконец, допустим, что при решении задачи изменением-
температуры жидкости, происходящим вследствие рассеяния
энергии, можно пренебречь. Последнее допущение является
обычным в такого рода задачах. Оценка совершаемой при этом
погрешности будет дана в конце.
Перейдём теперь непосредственно к решению задачи. Для-
описания движения выберем прямоугольные оси координат,
начало которых совместим с передним краем пластины. Ось Ох
направим при этом вдоль пластины в сторону течения, а ось
Оу— перпендикулярно к ней.
Уравнения движения жидкости в пограничном слое будут
в данном случае отличаться от системы D.05) и D.06) лишь
тем, что в основном уравнении величина V, как переменная,
не может быть вынесена из-под знака производной. Кроме того,
так как рассматривается обтекание пластины, то будет р = const.
Что касается уравнения притока тепла A.55), то в нём по
сделанному допущению будет отброшен член, содержащий Е.
Кроме того, считая тепловой слой тонким, пренебрежём в
правой части производной от Т по х по сравнению с
производной по у.
В результате уравнения движения и передачи тепла для
рассматриваемой задачи примут вид:
s*i±„*< = l(,^ (9 76)
dx ' v 0y ду \ dy
^£ + £ = 0, ' (9-76')
dx ' dy
vr j—rvv^r = air-t ■ (9.7b)
* dx ' У dy dy- x '
Будем в дальнейшем обозначать скорость набегающего
внешнего потока через U0, температуру жидкости в нём 70,
а температуру пластины Тс. Так как рассматривается
установившийся режим течения и теплообмена, то величины Utl, T0,
1) Понятие о подобном тепловом слое было введено Г. Н. Кру-
жплиным в его работе «Исследование теплового пограничного слоя»
(Журнал те.хннч. физики, т. VI, в. 3, 1936, стр. 56J). В этой
интересной работе рассматриваются только течения при ц = const.

■400 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [гл- IX
и 7' будем считать постоянными. Кроме того, толщину
пограничного слоя будем обозначать 5, а теплового — h, где $ и h —
подлежащие определению функции от х. Наконец, введём
■ безразмерную температуру:
т т
'0 'с
Так как интегрирование системы совместных нелинейных
уравнений (9.76) связано с математическими трудностями,
преодолеть которые не удаётся, то мы, как это неоднократно
делалось ранее, будем рассматривать вместо полных уравнений
движения н переноса тепла приближённые. При атом в
приближённом уравнении движения жидкости стоящее в левой
части уравнения (9.76) ускорение жидкой частицы будет
заменено его средним по толщине пограничного слоя значением.
Точно так же в приближённом уравнении переноса тепла
стоящая в левой части уравнения (9.76") величина, которая
определяет вызванное перемещением жидких частиц изменение
температуры за единицу времени, будет заменена её средним
.значением по толщине теплового слоя.
Переходя одновременно с помощью (9.77) к безразмерной
температуре, получим вместо (9.76) следующую
приближённую систему уравнений:
д I dvv
где
bVdy)=A{x)t (9J8)
* <*>=41 ("«£*+"* S5)'* (9-78,)
~ = В(х), (9.79)
• где
6
Перейдём к установлению граничных условий. Для
скоростей примем обычные в теории пограничного слоя конечной

§ 26] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ 401
толщины условия D.12), т. е.
::)
при _у = 0 v( = 0,
при у = о §у =0,
vv = 0
vx = L
(9.80)
Для температуры, если считать, что на поверхности
пластины температура жидкости равна температуре пластины, а
у внешней границы теплового слоя эта температура плэено
переходит в температуру внешнего потока, будем иметь,
переходя к 0, следующие граничные условия:
при у = 0 »=0; \
при y=h gp = 0, 0=1. j
Последние из условий (9.81) представляют собою по
существу определение того, что мы понимаем под верхней
границей теплового слоя конечной толщины.
Решение задачи сводится теперь к интегрированию
приближённых уравнений (9.78) и (9.79) совместно с уравнением
неразрывности (9.76') при граничных условиях (9.80) и (9.81).
В главе IV было показано, что при обтекании пластины
неограниченной длины изотермическим потоком о = const-]/ х.
Совпадение вида уравнения (9.76") с рассматривавшимся в
главе IV уравнением D.09), где в случае пластины U' = Q, а
также тождественность граничных условий, определяющих h и 5,
приводят к выводу что и h= const -ух. Отсюда следует,
что отношение у- = const. Этот результат будет справедлив и
в случае, когда v = v (T) !).
') Можно показать, что при обтекании пластины неограниченной
длины потоком нагреваемой жидкости vx и Г будут обе функциями
у
отношения —j=- (Л. Г. Лойцянский, Аэродинамика
пограничного слоя, стр. 101). Тогда вывод о том, что -г- = const, будет
следовать из вида полученных ниже выражений (9.84) и (9.87) для 0 и vx.

402 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. II
В дальнейшем нам будет удобно пользоваться
обозначениями:
\=У\\ J = k (А = const). ' (9.82)
Переходя к решению задачи, проинтегрируем уравнение
(9.79) по у и удовлетворим одновременно первым двум из
условий (9.81). Тогда получим:
»=|-(у« —2Ау).
Удовлетворяя теперь последнему из условий (9.81), найдём
отсюда, что о
В = -р. (9.83)
В результате, принимая во внимание (9.82), будем
окончательно иметь:
0 = 2у,— у\ш (9.84)
При интегрировании уравнения (9.78) нам придётся
принять во внимание зависимость v (или ji, так как р = const)
от температуры. Выше было указано, что мы считаем эту
зависимость заданной формулой A.04). Переходя в A.04) от Т
к 'Л и заменяя в свою очередь {} выражением (9.84), найдём,
что значение v может быть представлено в виде:
л
с /=о
где />0 = 1, ve представляет собою значение кинематического
коэффициента вязкости при у = 0, т. е. при Т=Т , а
коэффициенты Ь{ (/= 1,2, ... , п) будут определены через р, 70,
Тс и коэффициенты ak, входящие в A.04).
Интегрируя теперь уравнение (9.78) по у и удовлетворяя
второму из условий (9.80) для vx, получим:
^--= А У~Ь
ду v
Подставляя сюда значение v из (9.85), вторично
интегрируя и удовлетворяя первому из условий (9.80), найдём:

§ 26]
ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ
403
Используя, наконец, последнее из условий (9.80), получим
для величины А выражение
v,£/„
— _ ~Ф~Р'
где
♦-Етг
М'
/+1) (г+2)
В результате найдём окончательно:
^=ЙЕ*/
y,+i
зТ
А(/+1) А2 (/ + 2)
(9.86)
(9.86')
(9.87)
При этом в двух последних формулах, как было условлено,
k =
h '
Подставим теперь значение vx из (9.87) в уравнение
неразрывности (9.76') и проинтегрируем это уравнение по у.
Тогда, удовлетворяя условию (9.80) для v , получим:
UQdh v a
i=i
у{ + *
у5+8
.А (/ + 2) А2('+3)
(9.88)
Чтобы определить h, обратимся к равенству (9.79').
Подставляя в левую часть этого равенства значение В из (9.83),
а в правую часть выражения I), vx и vy, определяемые
формулами (9.84), (9.87) и (9.88), придём после соответствующих
подсчётов к уравнению
. dh оФ
П dx -~ и0ч '
где обозначено:
г — 1 L
а (/+01
А (/ + 4)! А2(/ + 5)!
(9.89)
Интегрируя полученное уравнение и полагая, что при лг = 0
будет Л = 0, найдём окончательно:

404 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
Наконец, для определения величины k используем равенство
(9.78'). Заменяя в нём A, vx и v их значениями из (9.86),
(9.87) и (9,88), придём после всех подсчётов к следующему
алгебраическому уравнению:
2 V V ЬЬ ГР+У+6)/! (/+/ + 2)! ,,+/ЧЛ ,
г0у =
(|+ЗИ(»+У + 5I
Л
('+1I
1A + 5I (/ + 4)!
= 0, (9.91)
которое и служит для определении ft.
Найдя из (9.91) ft, мы определим параметры Ф и о,
входящие в выражения h, 0 и vx, и задача будет, таким образом,
решена до конца.
Единственным затруднением чисто вычислительного
характера явится решение при каждых данных значениях 70 и Т
алгебраического уравнения (9.91), содержащего неизвестное k
в очень высокой степени.
Ниже будет показано, что в каждом конкретном случае
из чисто физических соображений можно найти те
приближённые границы, в которых при данных 70 и Тс будет
лежать величина k, удовлетворяющая условиям задачи. После
этого приближённое определение соответствующего корня
уравнения (9.91) не представляет практически, как показали
проделанные нами расчёты, никаких затруднений.
Найдём в заключение напряжение трения на пластине и
коэффициент теплоотдачи. Для напряжения трения имеем
выражение
dvr\ рс ( dvx
Оу /j, = o h \дУ\ М = о
где ]ic—величина коэффициента вязкости при 7 = 7',,.
Подставляя сюда значения vx и h из (9.87) и (9.90) и
принимая во внимание, что />0=1, найдём окончательно:

§ 26] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ 405
Коэффициент местной теплоотдачи а будет согласно (9.04)
равен:
а-
т,-тп
где q —количество тепла, отдаваемое (поглощаемое) в
даннобточке пластины единицей площади ее за единицу времени.
Но по формуле A.09), если перейти к переменным О v. }\,
будем иметь:
^с \ду \у = й А \дуг у, = о
или, заменяя здесь )) её значением из (9.84),
21
Я,
=.-.! г — Тг.
Подставляя эту величину qc в выражение для а и заменял
одновременно h его значением (9.90), найдём окончательно:
(9.93)
Таким образом, оказывается, что величина а, так же как
и тс, убывает с удалением от переднего края пластины обратно
пропорционально корню квадратному из расстояния х; с
увеличением же скорости течения величина а возрастает
пропорционально корню квадратному из U0.
Изложенное приближённое решение было получено в
предположении, что влиянием рассеяния энергии на изменение
температуры жидкости можно пренебречь. Покажем в заключение,
при каких условиях такое пренебрежение в рассматриваемой
задаче допустимо.
Для этого оценим порядок отношения количества тепла q\
выделяющегося в единице объёма жидкости за единицу
времени вследствие рассеяния энергии, к количеству тепла qit
которое за то же время этот объём жидкости получает от
пластины или отдаёт ей.
Из формул A.53) и A.42) следует, чтоб рассматриваемом
случае
„<__. Е __ с (dvx
q — J- ~7\~dJ
27 С. М. Тарг

406
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
Порядок этой величины будет:
С другой стороны, замечая, что h и Ь—величины одного
и того же порядка, будем согласно A.09) иметь:
Ч\
Те-Т0
Но очевидно —=-=-, где Т — приращение температуры
жидкости, вызванное рассеянием энергии, a Tj — приращение
температуры, вызванное теплоотдачей пластины.
В результате из сделанных выше оценок будет следовать,
что
Таким образом, повышением температуры жидкости вследствие
рассеяния энергии можно будет пренебречь в тех случаях,
когда безразмерная величина, стоящая в правой части
выражения (9.94), будет мала по сравнению с единицей.
При данной разности температур указанное условие
определяет порядок скоростей течения, для которых
пренебрежение влиянием рассеяния энергии допустимо.
В частности, для рассматриваемого ниже примера
(обтекание пластины водой) соответствующий подсчёт даёт, что при
Тс=80° и Т0 = 20° порядок отношения Т'\Тг будет меньше
0,01 при скорости течения U0 «S 8 м\сек.
2. Примеры расчёта пограничного слоя и
теплоотдачи при обтекании пластины водою. Чтобы дать
наглядное представление о характере полученных выше результатов,
рассмотрим данные конкретных численных расчётов для случая
обтекания пластины водою. Допустим при этом, что
зависимость (9.85) может быть представлена многочленом второй
степени и имеет вид:
! = ~A+*ьУ1+*.»*)• (9-95)
Представление v в виде (9.95) будет обычно давать вполне
достаточную для практики точность.

§ 26] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ W
При расчёте мы будем различать случаи, когда пластина
нагревает жидкость и когда, наоборот, жидкость нагревает
пластину.
а) Пластина нагревает жидкость iTc= 80°,
70 = 20°). Рассмотрим случай, когда температура пластины
равна 80°, а температура обтекающей её жидкости 20°. При
этом согласно (9.77) будет:
„ 80-Г
Подставляя это значение в (9.84), найдём:
Ух = \- УТ=Ъ = 1 - ]/~^ • [S.m
Второй корень здесь должен быть отброшен, так как при
8 = 0 V!=0.
Подберём теперь в (9.95) коэффициенты 6, и Ь2 так, чтобы
эта формула давала значения v, совпадающие с
экспериментальными данными при значениях 7, равных соответственно
20°, 50° и 80°. Для этого подставим в (9.95) значение v и
значение v при 7=50°, взятые из таблицы 1 (стр. 22), и
соответствующее значение уг из формулы (9.96); затем
проделаем то же самое при 7=20°. Решая полученную таким
образом систему уравнений, найдём:
— ==2,72- 10е сек/м", *,=— 1,38, Ьг = 0,745. (9.97)
Проверка показывает, что при этих значениях Ь1 и Ь2
формула (9.95) даёт значение v на всём интервале 20° sg; 7 sg 80°
с погрешностью, не превышающей 1,7°/0.
Среднее значение коэффициента температуропроводности
а в рассматриваемом интервале температур будем считать
равным 15,6-10-8 мг\сск.
Прежде чем перейти к определению значения k из
уравнения (9.91), произведём следующую оценку. Если принять
v = v0= 100,7- \0-*M2jceK (v0 значение v при 7=70 = 20°)
и о =s 100 кг сек2\м*, то формула D.31) даст величину
напряжения трения
т' ^ 0,033
V%
27*

408 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [гл. IX
Если же принять v = v =36,7-10 3, то нз той же
формулы получим:
»/4-
х" = 0,020
Естественно допустить, что значение т , определяемое
формулой (9.92), будет лежать где-то между значениями т' н х"
или по крайней мере вблизи этих значений.
Задаваясь теперь какими-нибудь произвольными значениями
k, подсчитаем тс по формуле (9.92), беря величины Ь1 и Ь2
из (9.97). Тогда при ft=l и & = 3 найдём соответственно:
/7/3" fJF
-±, т3^ 0,010 j/ -±.
Сравнение со значениями т' и т" приводит к выводу, что
искомый корень уравнения (9.91) следует искать в интервале
ls^r&s^;3. Соответствующий расчёт даёт, что в указанном
интервале уравнение (9.91) имеет только один
действительный корень '):
А =1,850.
Пользуясь этим значением k и коэффициентами (9.97),
найдём нз формул (9.86') и (9.89):
Ф = 0,287, о = 0,0159.
Тогда формулы (9.90) и (9.82) дадут:
/, = 6,0/f, 8 = 11,1 /«*.
Для величин а. и тс найдём нз (9.93) и (9.92) значения:
a = 0,333X l/-^,
V ах '
/IF /IF
— = 0,02901/ —.
ах ' у х
1) В случае, когда зависимость v от ух представлена в виде (9.95),
для определения k получается уравнение восьмой степени. Однако
зная, что искомый корень лежит где-то между 1 и 3 или вблизи
этих значений, можно его величину найти довольно быстро или путём
численного расчёта или графически.

§ 26] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ 409
В последнем равенстве предполагается, что [U0]= м[сек,
[х\=м, [z] = кг) м2. Наконец, для закона распределения
скоростей в пограничном слое получим из (9.87) (9.82) и (9.90)
выражение:
vx = U0 C1М — 5,0322 -f 0,4342» — 0,0147Г1) • Ю-3, (9.98)
где обозначено
z=l/"^-£=r (9.98')
б) Жидкость нагревает пластину G= 20°,
Т0 = 80°). Рассмотрим теперь случай, когда при той же
разности температур среды и пластины процесс передачи тепла
происходит от жидкости к пластине. Решения, получаемые
в предположении, что ц = const, дают как в этом, так и в
предыдущем случае для всех характеристик течения и
теплообмена одни и те же ^значения. Найдём, какое различие в
основных результатах даёт в данном случае изложенное выше
решение, учитывающее зависимость fz от температуры.
Примем опять, что связь между v и у1 даётся формулой
(9.95). Из равенства (9.77) имеем в данном случае:
7--20
60 '
вследствие чего зависимость у, от Т вместо (9.96) принимает
вид:
v.-l-l/^
80— Г
to
Подбирая теперь коэффициенты в формуле (9.95) так
же, как и в предыдущем случае, найдём вместо (9.97):
— =0,993-\О6 сек1 м2, ft, = 3,1 7, Л2 = — 1,43.
Затем, подобно предыдущему, устанавливаем интервал,
в котором следует искать корень уравнения (9.91),
соответствующий физическому смыслу задачи, и путём численного
расчёта находим:
k = 1,367.
Далее из (9.86') и (9.89) получим:
ф = 0,997, о = 0,0385.

410 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ {ГЛ. IS
Тогда формулы (9.90) и (9.82) дадут:
а из (9.93) и (9.92) будем иметь:
/ и3 Гиъ
те=0,102де|/ -^ = 0,0265]/ ^-
Наконец, закон распределения скоростей получим из (9.87)
в виде:
vx=U0A0,2z + 1,71z2 — 0,243.г3 -f 0,00705г4) • 10~2, (9.99)
где z имеет то же значение, что и в (9.98').
Как видим, все найденные здесь результаты отличаются
от тех, которые были получены в предыдущем случае.
Аналогичный расчёт был произведён для случаев, когда
Тс = 50°, Г0 = 20° и, наоборот, Тс = 20°, Г0 = 50°.
Чтобы удобнее было сравнить между собой все
результаты, они сведены в таблицу X. При этом в заголовке
столбца 7 т+ представляет собою значение т при Тс^> Т0, а т_ при
ТС<^Т0. То же самое относится к обозначениям а+ и а_ в
столбце 9.
Профили скоростей в пограничном слое пластины,
определяемые формулами (9.98) и (9.99), изображены на фиг. 63.
Те же кривые для случаев Тс = 50°, 70 = 20° и Тс = 20°,
Т0 = 50° показаны на фиг. 64.
Из данных таблицы X вытекают следующие в достаточной
мере интересные выводы. При той же самой разности
температур \Т°:
1) в потоке, охлаждающем пластину, тепловой слой
тоньше, а пограничный слой толще, чем в потоке, её
нагревающем (с уменьшением ДГ0 толщины обоих слоев
возрастают);
2) в потоке, охлаждающем пластину, коэффициент
теплоотдача и напряжение трения больше, чем в потоке, её
нагревающем (с уменьшением Д7Э коэффициент теплоотдачи
убывает, а напряжение трения возрастает).

§ 2t>] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ
1
1
+
о
о
1
1
1
+
1
1
Ю! в
"О
Ь=13
ь?
^
о
СЛ
00
t~
UD
lO
•ч<
СО
сч
-
о-Г
со
со
СО
о"
00
t—
о"
ю
стГ
8
О
о"
О
О
(О
о
о
сч
о
о
СО
ю
'-D
сч
о
о"
00
а?
сч
о
о.
со
0
о
С]
О
О
из
в
те
сч"
со
о
со.
С1
_ о
ел
со"
со
со
о
о"
о
с Г
ю
о
о
ГО
о
о"
00
го
Г-"
о
о
ю
о
о
Г1
о
о
со

412
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX
1.0
03
0.6
04
0.2
1
ч
W
03
0.6
ОА
02
1
1 !
ТС=80°.Т0=20°
\ ^
^Je-2f.Te-dlt
11 и 6 а ю еж у
Va'tfr
Фиг. 63.
.
.
Tc=5(fJe=2lf
l/C^Tc=2f,Z=Sl
f
1 2 й 6 8 Ю 12 Ж у
\а 0
Фиг. 64.

§ 26] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ 413
Последний вывод может показаться сомнительным, так как
при той же величине ДГ° в случае, когда Тс^>Т0р.с будет
меньше, чем в случае ТС<^Т1); можно ожидать, что в первом
случае будет меньше и напряжение трения. Однако если
обратиться к графикам на фиг. 63 и 64, то мы увидим, что
на пластине (при _у = 0) величина производной -~ в случае
Т~^>Т0 значительно больше, чем при ТС<^Т0. Этим и
объясняется, что напряжение трения на пластине в первом случае,
несмотря на уменьшение |*с, оказывается в конечном счёте
выше, чем'во втором.
3. Сравнение с экспериментальными данными.
Насколько нам известно, в литературе отсутствуют какие-либо
данные об опытах по изучению теплообмена при обтекании
пластин капельной вязкой жидкостью.
Поэтому мы используем для сравнения полученных выше
результатов с опытом экспериментальные данные о теплообмене
при движении капельных жидкостей в трубах. Такое
сравнение вполне допустимо, так как движения жидкости в
пограничном слое пластины и в круглой трубе по своим
особенностям очень близки друг к другу. В подтверждение сошлёмся
на тот общеизвестный факт, что в теории турбулентного
пограничного слоя широко пользуются результатами,
полученными из опытов над движением вязкой жидкости в трубах.
Начнём с рассмотрения закона распределения скоростей.
Определённые опытным путём профили скоростей ламинарного
течения жидкости в круглой трубе для случаев, когда жидкость
охлаждает трубу и когда она её нагревает, были показаны на
фиг. 57 (стр. 364). Чтобы легче сравнить эти данные с
расчётными, приводим на фиг. 65 кривые зависимости отношения
■ , где ктах — осевая скорость, от отношения -тг,где/<—
l'llHI "
радиус трубы, пересчитанные с графиков, изображённых на
фиг. 57.
Сравнивая полученные выше расчётные кривые (фиг. 63
и 64) с профилями, изображёнными на фиг. 65, мы можем
отметить прекрасное качественное совпадение результатов
расчёта с данными эксперимента. Отметим, в частности, что
в случаях ТС<^Т0 расчётные профили скоростей имеют точки
перегиба так же, как и экспериментальные; подсчёт показывает,

414 НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ О ТЕПЛООБМЕНЕ [ГЛ. IX,
что эти точки, отмеченные кружками, находятся яа фиг. 63
при z = 2,80, а на фиг. 64 при г = 2,26. Точно так же
на расчётных кривых, как и на опытных, величина
dv.
Оу /у=а
в случаях, когда жидкость охлаждает стенку, значительно
больше, чем та же величина в случаях, когда жидкость
стенку нагревает.
Решения, построенные в предположении, что ц = const
(в частности, изложенное в п. 3 § 24), ни одной из
указанных особенностей не отражают.
Из экспериментального подтверждения правильности
найденных законов распределения скоростей следует, что
проделанные расчёты дают в той же мере верные результаты
и для величины напряжения силы трения.
Сравним теперь данные о теплоотдаче. Воспользуемся для
этого одной из эмпирических формул, определяющих
значение а. при ламинарном течении
в трубе. Само собой разумеется,
что мы не можем
непосредственно сравнивать абсолютные
значения коэффициентов
теплоотдачи для трубы и пластины.
Вместо этого сравним
отношения величин а+ и а_,
подсчитанных при одном и том же
значении \ТС—Г0|, где а+ —
значение а при ТС~^>Т0, а
а_ — при Те<^Т0.
Для сравнения обратимся
к эмпирической формуле Зи-
дера-Тейта, дающей, как
указывает М. А. Михеев, хорошее совпадение с опытными
данными '). Имея в виду учесть зависимость а только от и.,
представим эту формулу в виде:
/V*\0,14
0
0/ 0,4 0,5 0,8
Фиг. 65.
w$
Здесь К—коэффициент, зависящий от параметров трубы,
1) М. А. Михеев, Основы теплопередачи. Госэнергоиздат,
1947, стр. 96—97.

§ 26] ТЕПЛООБМЕН ПРИ ОБТЕКАНИИ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ 415
расхода жидкости и значений X и ср; выражение его в явном
виде мы не приводим. Величина ja* представляет собою
значение ;л при средней температуре Г*, определяемой
формулой (9.03).
В случае, когда 7"с = 80°, Т0 = 20°, находим из (9.98)
и (9.02), что г>* = 0,53£/0, а из (9.03), что Т* = 31°.
Аналогично при Тс=20°, Г0 = 80° получаем v* — 0,47U0
и Т* = 53°. В результате приведённая выше эмпирическая
формула даёт:
^=1,22.
По расчётным данным (таблица X) для тех же значений
Тс и Г0 имеем:
^±=1,20.
Аналогичные подсчёты дают для случаев Г, = 50°, 7=20°
и Т. = 20°, Т0 = 50° по эмпирической формуле
^—1 14
а по данным таблицы X:
^-=1,12.
Как видим, и для теплоотдачи расчётные результаты
находят очень хорошее экспериментальное подтверждение.
Заметим, что вычисления, производимые при ji = const,
дают во всех случаях д+=а_.
Приведённые сравнения с экспериментом показывают, что
изложенное выше решение задачи о теплообмене при обтекании
пластины капельной вязкой жидкостью даёт достаточно
удовлетворительную точность и главное позволяет верно учесть ряд
существенных особенностей этого явления, которые решениями,
основанными на допущении, что (i = const, совсем не
учитывались.

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ.
Акушский А. А. 107
Александров А. Н. 169
Аткинсон 232
Бачннский А. И. 17
Блазиус 147, 152, 201,
Больтце 207
Бриджмен П. В. 23
Буссинеск 226, 231
Вагсон Г. Н. 123, 256
Гаген 58, 225
Гамель 268, 277
Голубев В. В. 138
Гольлштейн 205, 232
Гре'>ер 362
Грец 359
Громека И. С. 105, 10S
Диткнн В. А. 107
Егер Д. 90, 105, 112
Жуковский Н. Е. 36, 128, 319,324,
334
Зайцев А. К. 337, 391
Зоммерфельд 325
Идельчик И. Е. 313
Карман 138, 191
Kapoiov X. С. 90, 105, 112, 388
Кемпф Г. 194
Кибель И. А. 9, 24, 32, 55, 161,
259, 277
Кокрэн В. 191
Космодемьянский А. А. 165, 172,
178
Кочин Н. Е. 9, 24, 32, 55, 161,
173, 259, 277
Кружилин Г. Н. 399
Кузьмин Р. О. 106, 121, 125, 245,
54
Ламб Г. 112
Лейбензон Л. С. 60, 67, 139, 238,
332, 364, 368, 375, 389
Лойцянский Л. Г. 24,141, 153, 157,
165, 171, 172, 173, 191, 196, 401
Ломоносов М. В. 36
Лурье А. И. 90, 98, 104
Лгостерник Л. А. 107
Ляв А. 59
Мельников А. П. 169
Менделеев Д. И. 12, 127
Мерцалов Н. Е, 336
Мещерский И. В. 79
Михеев М. А. 21, 414
Мичель А. 319
Никурадзе 247
Нуссельт В. 359
Ньютон И. 14
Озеен 259
Павлин А. К. 382
Павлов И. М. 82
Панченков Г. М. 16, 17
Петров Н. П. 14, 25, 314, 334
Польгаузен К. 165, 168
Прандтль Л. 27, 129, 218,232,360
Пуазейль 19, 58, 225

ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
417
Рейнольде О. 25, 67, 319 Ушаков А. К. 313
Розе Н. В. 9, 24, 32, 55, 161, 259
Розенблатт А. 51 Федяевскнй К. К. 172
Розенхид Л. 205 Френкель Я. И. 16 17
Рыбарж А. А. 99
Рыж„к И. М. 103, 115, 126, 275 Хартр„ ш
„ -, ,. 0~ ХммениК. 155
Седов Л. И. 23 Хоуэоз Л IT' Иб
Слёзкин Н. А. 8, 68, 70, 112, 192, -'эрз Л' l0- bJb
278, 282, 382
Смирнов В. И. 96, 9S, '28а Чшдыгин С. А. 12, 334
Степанов В. В. 213
Степанов Е. И. 145 Шиллер Л. 236, 238
Степанянц Л. Г. 141 Шнманский П. 105
Шлихтинг Г. 238, 240
Тарг С. М. S2, 192 Шубауэр Г. 163
Тепфер 147 Шульц-Грюнов 196
Титьенс О. 218, 232 Шухов В. Г. 356, 357
Тихонов А. Н. 263
Толмин 207 Эрк С. 364

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ.
Аналогия гидродинамическая
прокатки 78 и д.
Бачинского формула 17
Буссинеска метод 226
Вязкость 10, 12 и д.
Голубева интегральное
соотношение 138, 143
Громеко задача о течении в трубе
104 и д.
Давление в жидкости вязкой 29
— — — идеальной 28
Движение—см. также Течение
— установившееся
(стационарное) 35
Диссипация механической
энергии 46
Диффузор конический 188. 278,
300"и д.
— плоский 170, 185, 268, 283 ид.
Жидкость вязкая 10
— капельная 10
— мало вязкая 18
— неиагреваемая 20
— несжимаемая 11
— сильно вязкая 18
Закон вязкого трения 14
— Гагена-Пуазейля 58
Зона завихренная 130
Изображение 91
— интеграла 93
Изображение показательной
функции 96
Изображение постоянной
величины 92
— производной 92
— степени 95
— суммы 92
Кармана интегральное
соотношение 138
Качение цилиндра по плоскости,
покрытой вязким веществом 70
и д.
Компоненты напряжений 30
— скоростей деформации 39
Конвекция вынужденная 352
— свободная 352
Контур обтекаемый 133
Конф'узор 170. 268, 274
Кочина-Лойцянского метод 178
и д.
Коэффициент вязкости
динамический 13, 15, 18, 40
— — кинематический 18
— диффузии 16
— передачи тепла через стенку
трубы 356
— температуропроводности 21
— теплоотдачи 354
— теплопроводности 21
—• трения скольжения 314
Лейбензона задача о движении
подогретой вязкой жидкости
364 и д.
— интегральное соотношение
139, 144
Линия тока 36
Метод Буссинеска 226
— Кочина-Лойцянского 173 и д.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
419
Напье-Стокса урабнения 43
Напряжение силы поверхностной
28
— — — касательное 28
— — — нормальное 28
— — трения (внутреннего) 13
Н\'ссельта число 362
Область диффузорная 171
— конфузорная 171
Оригинал 91
— дробной функции 96
— многозначной функции 99
Осп главные скоростей
деформации 40
Отрыв пограничного слоя 130 и д.
Петрова формула 318
Плотность 11
Погружение осесимметричного
тела в осессимметрнчный сосуд,
заполненный вязкой средой 82
и д.
— тонкой пластины в вязкую
среду 112 и д.
— — цилиндрической трубы в
вязкую среду 116 и д.
Поджатие вязкого слоя между
круглыми пластинами 68 и д.
Подобие геометрическое 23
— динамическое 23
Поток внешний 127
Прандтля число 24
Прокатка, гидродинамическая
аналогия 78 и д.
Развитие профиля скоростей
линейного в круглой трубе 240
и д.
— — — — в плоской трубе 248
— — — произвольного в круглой
трубе 249 и д.
— течения вязкой жидкости в
коническом диффузоре 300 и д.
— — в плоском диффузоре
283 и д.
— — — — в пограничном слое
201 и д.
Рассеяние механической анергии
46
Режим ламинарный 25
— течения предельный в трубах
258 и д.
параболический 225
— турбулентный 25
Рейнольдса число 24, 25
— — критическое 26
Сила внутреннего трения (сила
вязкости) 12
— массовая (объёмная) 27
— поверхностная 28
Скорость деформации частицы 10г
13, 37 и д.
Слой вязкий 51 и д., 65 и д.
— пограничный 26, 128 и д.
— — на вращающемся диске 190
и д.
— — на круглом цилиндре 155,
169, 184, 206, 214 и д.
— — на плоской пластинке 147
и д., 163 и д., 183
— —• на плоском криволинейном
контуре 152 и д., 166 и д.
— — на теле вращения 141 и д.,
176 и д., 186 и д., 219 и д.
— — на шаре 207, 221
— — осесимметричный 219 и д.
•— — при равноускоренном
движении 20а
— смазочный 314 и д.
Смазка, гидродинамическая
теория Петрова 314 и д.
— плоских поверхностей 319 и а.,
342 и д.
— цилиндрического подшипника
315 и д.. 324 и д., 337 и д.
Соотношение интегральное Голу-
бева 138, 143
— — Кармана 138
■ Лейбензона 139, 144
Температура средняя в данном
сечении 354
Теорема Тихонова 263
Теория гидродинамической смазки
314 и д.
Теплоемкость 20
— удельная 20
Теплообмен 352 и д.

420
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Теплообмен в вязком слое между
вращающимися цилиндрами 376
и д.
— при движении в круглой трубе
352 и д.
— при обтекании тонкой
пластины капельной жидкостью с
переменным коэффициентом
вязкости 398 и д.
Теплоотдача 354
Теплопроводность 21, 352
Течение — см. также Движение
— безотрывное в диффузоре
коническом 308
— _ —- — плоском 293
— и трубе 225 и д.
_ — — кольцевой C0 и д.
— — — — плоской 55 и д., 238
и д., 248, 258 н д., 298
— — — цилиндрической 56 и д.,
105 п д., 226 и д., 240 ид., 249
и д., 262
— эллиптической 59
— ламинарное 25
— между вращающимися
цилиндрами 62 и д.
— между перемещающимися
параллельными стенками 51 и д.,
101 и д., 108 и д.
— — — цилиндрами 53 и д.
— между стенками круглого
поршня и цилиндра 61 и д.
— радиальное в плоском
диффузоре (конфузоре) 268
— турбулентное 25
Толщина пограничного слоя 128
и д.
— потери импульса 140
Трение внутреннее 12
— скольжения сухих твёрдых
поверхностей 314
— смазанных тел 314 и д.
Уравнение неразрывности 37
— притока тепла 50
Уравнения движения вязкой
жидкости (уравнения Навье-
Стокса)
— в координатах
сферических 45
цилиндрических
44
— приближенные движения
вязкого слоя 6о и д.
— течения в пограничном слое
132 и д.
Условие отрыва пограничного
слоя 132
— применимости приближённой
гидродинамической теории
смазки 333
Условия граничные 43
— начальные 43
Участок начальный в трубе 226
— — круглой 234 д.
— — — — плоской 238 и д.
в диффузоре коническом
312 и д.
— — — — плоском 297 и д.
Формула Бачннского 17
— Петрова 318
— Шухова 357
Функция рассеяния 47
Числа характеристические 21 и д.
Число Нуссельта 362
— Прандтля 24
— Рейнольдса 24, 25
критическое 26
Шухова формула 357
Эквивалент тепла механический
20

-,*»:•; ■;v^'-:'-.
ШЯ ,
жЩШ§ ?
Ш- ■;■■.
•• -•.-.:: .