Гидрогазодинамика. Для студентов вузов - Дейч М.Е., Зарянкин А.Е.

Автор: Дейч М.Е. Зарянкин А.Е.
Теги: физико-математические науки учебное пособие газодинамика энергоатомиздат издательство москва гидрогазодинамика
Год: 1984
Похожие
Справочник по физике для инженеров и студентов вузов
Оптика: Учебное пособие для студентов физических специальностей вузов
Цитология. Учебное пособие для студентов медицинских вузов
Проектирование тонкостенных конструкций: Учебное пособие для студентов вузов
Текст
                    М. Е. Дейч
А. Е. Зарянкин
ГИДРОГАЗО¬
ДИНАМИКА
Допущено Министерством высшего и
среднего специального образования
СССР в качестве учебного пособия
для студентов теплотехнических спе¬
циальностей вузов
МОСКВА
ЭНЕРГОАТОМИЗДАТ
1984
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

DDK 22.253:3"
Д 27
WK~[532.5+533.6] (075.8)
Рецензенты:
! Кафедра iидродинлмики Ленишрлдского ордена Лени
на Политехническою инеиппа нм М И Калинина
2 II. Н Острецов
Дейч М. Е., Зарянкин А. Е.
Д27 Гидрогазодинамика Учеб. пособие для вузов.—
М.: Эиергоаточиздак 1984. — 384 с., ил.
В пер 1 р 10 к 10 ООО эк *
Приведены основные >равнения i идро! азодинамики Описаны за¬
кономерности одномерного движении жидкости, плоские течения не
сжимаемой жидкости и faaa, плоские сверхзвуковые ючекия. двн
жечие нм*кой жидкости Д«шы основы теории noiраничного слон
Описано истечение ыза и влажного пара из соцл и отверстий Дано
понятно* о ге'»рии по |.обии и размерности, приведены примеры нсполь-
аонлния корич р.нмерпкш н технических задачах*
Л 1я iivienoi* юн юн\иич<чки\ специальностей вузов.
2105000000-473	ББК	22	253.3
051(01 )-84	532
МИХАИЛ ЕФИМОВИЧ ДЕЙЧ
АРКАДИЙ ЕФИМОВИЧ ЗАРЯНКИН
ГИДРОГАЗОДИНАМИКА
Редактор Т. Н. Парфенова
Редактор издательства О. А Степенкова
Художественный редактор В. А. Г о з а к-Х о з а к
Технический редактор О. Д. Кузнецова
Корректор И. А. Володяева
ИБ № 2678
Сдано в наб“р 13 1 * ВЗ	Иодинано	п	печам»	11	и!	84	T 098UC
Ф« рмат 84 X 1087*2 Б\м<иа типографская Дг J I арнит>ра чигерагурная
Печать высокая Уст неч i -»,!•> Уел. кр отт. Л I » Уч изд ъ 22,52
Тира к 10 000 экз.	Закаэ 3331	Цена	1 р. 10 к
Энсрюаючшдат 113114, Москва, М 114, Шлюзовая наб , 10
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знаме¬
ни ПервсЯ Обра1!1он*я гнио1р|фня имени А Д. Жданова Сокпиолп
1рафирочп при 1 ос>длрствснним комитете СССР по делам изда
тольс1н. по ми рафии и книжной портили IИ054. Москва М 51, Ва-
ювая 28
„ф Эноргоатомиздат, 1984
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ПРЕДИСЛОВИЕ
Круг вопросов, сосчавлякнцих предмет гидрогазодина¬
мики, весьма широк и охватывает различные области
энергетики, авиации, ракетной техники, судостроения
и т. д.
Развитие этих отраслей постоянно выдвигает перед ин¬
женерами принципиально новые задачи, решение которых
требует как общефизических, так и специальных знаний
в области механики жидкости и газа.
Многолетний опыт чтения авторами различных курсов
гидрогазодинамики для студентов тенлоэнерютических,
энсргофизических и энергомашнностротельных специаль¬
ностей показал, что имеющиеся книги по общетеоретиче¬
ским вопросам гидрогазодинамики, а также пособия, издан¬
ные для студентов авиационных и судостроительных
вузов, не отражают специфики указанных выше спе¬
циальностей и могут быть рекомендованы только в ка¬
честве учебных пособий при изучении отдельных раз¬
делов учебных программ по этим специальностям. На
протяжении многих лет одним из основных учебных по¬
собии служит книга М. Е. Дейча «Техническая газодина¬
мика» (Энергия). Однако с момента выхода ее 3-го из¬
дания прошло уже 9 лет. Кроме того, широкая направ¬
ленность, ориентация книги на инженеров и научных
работников, а также значительный объем затрудняют ее
прямое использование в качестве учебника.
Частично указанный пробел по энергомашинострои¬
тельной специальности был восполнен учебником
Г. С. Самойловича «Гидроаэромеханика» (Машгиз,
1980 г.). Однако до настоящей! времени для специаль¬
ностей «Тепловые электрические паицнн», «Атомные
электростанции», а также дли всех юшкнехннческих
специальностей политехнических вуюв \чебннк «Гидро¬
газодинамика» отсутствует.
3
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Предлагаемая книга 6 £foM Смысле HMeef определен¬
ную направленность, и авторы пытались максимально
приблизить его содержание к действующим и новым
(вступающим в силу с 1984 г.) учебным программам по
специальностям 0305 (тепловые электрические станции),
0310 (атомные станции) и 030 (промтеплоэнергетика).
Естественно, что кроме общетеоретических разделов
основное внимание в книге уделено тем задачам и ме¬
тодам решения, с которыми повседневно приходится
встречаться инженерам-теплотехникам в их инженерной и
научной деятельности. При этом авторы считали необхо¬
димым подчеркнуть физическое содержание задач и изло¬
жить простые и надежные методы нх расчета.
Назначение пособия определило его содержание н
расположение материала. В гл. 1 и 2 излагаются общие
понятия, определения и уравнения гидрогазодинамики.
Наиболее распространенным одномерным моделям тече¬
ния жидкости и газа посвящены гл. 3, 8, 9 и 10, причем
в гл. 3 дана общая теория квазиодномерных течений.
Главы 8—10 содержат конкретные сведения о течениях в
соплах, трубах и диффузорах — необходимых элементах
теплосиловых установок.
В гл. 4 и 5 изложены физические особенности и мето¬
ды расчета плоских течений идеальной, а в гл. 6 — вяз¬
кой жидкости (газа). В самостоятельную главу — 7 — вы¬
делены вопросы подобия и моделирования, составляющие
основу современных гидрогазодинамических расчетов и
эксперимента.
Некоторые сведения о решетках турбомашин представ¬
лены в гл. 11. Глава 12 содержит элементы газодинамики
двухфазных сред, с которыми встречаются инженеры-
теплотехники практически любой специальности.
Главы 1—4, 6, 7, 9, 10 написаны А. Е. Зарянкиным,
гл. 5, 8, 11, 12 — М. Е. Дейчем.
Авторы выражают глубокую признательность и блат-
дарность инженерам В. Г.. Каращ^к и Г. С. Соловьевой,
оказавшим существенную помощь при подготовке учеб¬
ного пособия к печати.
Авторы будут признательны всем читателям, которые
укажут на отдельные недостатки или сделают замечания,
способствующие улучшению содержания книги.
Авторы
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

СПИСОК ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
р — давление
() — плотность
Т —- температура
V — объем
с - скорость потока
и, v, w — составляющие вектора скорости
с* — критическая скорость
а — скорость зв>ка
<о — угловая скорость
(оХу сdy, oh — проекций угловой скорости на координатные оси
с — сопряженная скорость
8Z —скорости относительных линейных деформаций
Уху, уУг, V/х — скорости относительных угловых деформаций
М, К — безразмерные скорости
Г — циркуляция скорости
m — массовый расход
Q-- объемный расход
q — приведенный удельный расход
р — коэффициент давления
е — относительное давление
Rxу — коэффициент корреляции
Но — степень турбулентности
£ — коэффициент внутренних потерь энергии
сх — коэффициент сопротивления
с/ — локальный коэффициент треиия
£« — коэффициент полных потерь
| - коэффициент восстановлении энергии
ц - - коэффициент расхода
G - - модуль сдвига
п — коэффициент поперечного сжатия
Г—мод>ль растяжения
qm - коэффициенты влияния
h - энтальпия
т — напряжение трения
5
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

t*i/> tyz, tzx — касательные напряжения
<?*, oy, oz — нормальные напряжения
X, К, Z — проекции массовых сил на оси координат
N — мощность
L — удельная работа
3 — количество движения
К — кине!ическая энер1ия
П* — безразмерные комплексы
Рх — сила сопротивления
Ру — подъемная сила
Re — число Рейнольдса
Fr — число Фруда
Ей - - число Эйлера
St — число Струхаля
Ф — потенциал скорости
ф— функция скорости
W — комплексный потенциал
М — момент диполя
z — комплексная координата точки
Г — площадь сечения
I — длина тела, трубы, диффузора
ks — средняя высота бугорков шероховатое!
d — диаметр трубопровода
г — радиус
а — уюл Маха, угол раскрытия диффузор;
Г --параметр Пури
6 — толщина пограничного слоя
Л* — площадь вытеснения
Л** — площадь потери импульса
Л*** — площадь потери энергии
6* — толщина вытеснения
б** — толщина потери импульса
6*** — толщина потери энергии
s — толщина стенок трубы
ц — динамическая вязкость
v - кинематическая вязкость
R — газовая постоянная
g- ускорение свободного падения
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ВВЕДЕНИЕ
Гидрогазодинамика или механика жидкости и газа,—
это наука о движении жидкостей и газов, ее следует рас¬
сматривать как часть механики сплошных сред. Гидрога¬
зодинамика изучает законы движения жидкостей и газов
и на этой основе выявляет условия их взаимодействия с
обтекаемыми твердыми телами или с твердыми поверхно¬
стями, ограничивающими движущуюся среду.
Объектами изучения гидрогазодинамики являются
жидкости и газы, обладающие свойствами сплошности,
легкой подвижности; молекулярное строение среды не
учитывается.
Жидкости и газы отличаются друг от друга внутрен¬
ней структурой. В жидкостях расстояния между микроча¬
стицами весьма малы, а следовательно, силы сцепления
между ними достигают больших значений. В газовых сре¬
дах силы взаимодействия относительно малы, так как
расстояния между частицами велики. По этой причине
формы движения микрочастиц в жидкостях и газах ока¬
зываются существенно различны. Вследствие различия в
молекулярном строении жидкости и газы обладают , раз¬
ными физическими свойствами. Жидкости, как правило,
можно считать слабо сжимаемыми средами или, в преде¬
ле, несжимаемыми. В процессе движения макрочастицы
жидкости практически не меняют объема; плотность жид¬
костей при умеренных перепадах давления можно
принимать постоянной.
Характерной особенностью жидкостей следует считать
также их капиллярные свойства. В результате проявления
этих свойств на границах раздела жидкостей и газов об¬
разуются поверхности свободного уровня, мениски, капли.
Газы, в отличие от жидкостей, характеризуются про¬
явлением сжимаемости: их плотность является переменной
величиной. Вместе с тем, при малых скоростях движения,
т. е. при малых перепадах давления, и в отсутствие теп¬
лообмена, сжимаемость газов проявляется слабо. Подчерк-
7
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

нем, что при больших перепадах давления сжимаемость
обнаруживается и в жидкостях, однако, она по сравнению
с газами несоизмеримо мала. Часто газы называют сжи¬
маемыми жидкостями.
Жидкости и газы, кроме отмеченных выше свойств
сплошности и сжимаемости, обладают также вязкостью,
проявляющейся только в движении, ко!да между слоями
среды, движущимися с различными скоростями, возника¬
ют касательные силы внутреннею трения.
В последнее время особый интерес проявляется к
двухфазным средам. Двухфазные среды представляют
собой смеси, в которых одно вещество присутствует в двух
агрегатных состояниях, например газообразном и жид¬
ком (пар с каплями жидкости или жидкость с паровыми
пузырьками). Изучение законов движения таких сред
невозможно без привлечения молекулярной физики и, в
частности, кинетики фазовых превращений. Жидкости и
газы (или нары жидкостей) широко используются в ка¬
честве теплоносителей в энергетике. Процессы тспломас-
сопереноса составляют важнейшую особенность движения
жидкостей и газов в элементах энергетических установок.
В теплоэнергетике существенную роль играют также
процессы движения газовых смесей при горении (напри¬
мер, в камерах сгорания газотурбинных двигателей, в
топочных устройствах котлов), сопровождающиеся изме¬
нением их физических свойств.
В турбомашннах (паровые и (азовые турбины, ком¬
прессоры) потоки пара и газа имеют сложную простран¬
ственную структуру и большую скорость, во многих слу¬
чаях соизмеримую со скоростью звука, а в некоторых
случаях и превышающую се. В таких потоках необходимо
учитывать влияние сжимаемости и вязкости движущейся
среды, а часто также теплообмен и возможные фазовые
переходы.
В гидравлических машинах (гидротурбины, гидропере¬
дачи, насосы) реализуются пространственные движении
жидкостей е относительно большими скоростями, возника¬
ет сложное явление кавитации, когда внутри жидкости
образуются области с газообразной фазой. При кавита¬
ции в жидкости возникают газовые или паровые пузырь¬
ки, резко изменяющие основное ее свойство - слабую
сжимаемость. В жидкости с пузырьками газов или пара
активно проявляется сжимаемость, резко уменьшается
скорость звука.
В связи с интенсивным развитием скоростной авиации
и космической техники возникли проблемы движения гз-
8
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Зой при высоких температурах (течения в камерах сгора¬
ния авиационных и ракетных двигателей и обтекание
корпусов ракет и г. д.) и больших сверхзвуковых ско¬
ростях (в соплах двигателей).
Проблемы ионизации и диссоциации газа, излучения
и нагрева обтекаемых поверхностей приходится рассма¬
тривать при изучении движения космических аппаратов
в разреженных слоях атмосферы с гиперзвуковыми ско¬
ростями.
Заметим, что все задачи о движении тел в воздушной
среде пли о движении воздуха в различных каналах со¬
ставляют раздел 1 идрогазодинамики, который называют
аэродинамикой. Это название было сохранено впоследст¬
вии и при изучении движения других газов. При этом
газодинамика рассматривалась как раздел аэродинамики,
посвященный проблемам движения воздуха с большими
дозвуковыми и сверхзвуковыми скоростями.
Сложность задач, решаемых в гидрогазодииамике,
предопределила параллельное развитие теоретического и
экспериментального направлений этой науки.
Теоретическая и экспериментальная гидрогазодинами¬
ка находится в диалектическом взаимодействии, взаимно
дополняя, обращая и корректируя друг друга. Значение
эксперимента, глубоко вскрывающего физические особен¬
ности сложных процессов в потоках жидкости или газа,
трудно переоценить. Результаты экспериментальных ис¬
следовании служат не только для апробации и корректи¬
ровки теоретических моделей и методов расчета. Во мно¬
гих случаях, как показывает история развития гидрогазо¬
динамики, эксперимент побуждает к созданию новых
моделей и построению новых гипотез. Опытные данные
необходимы для решения прикладных задач, весьма важ¬
ных для практики.
Создание теоретических основ гидрогазодинамики
связано с именами членов Российской Академии наук
Леонарда Эйлера (1707—1783) и Даниила Бернулли
(1700—1782).
Эйлер первым вывел основополагающие дифференци¬
альные уравнения неразрывности и сохранения количест¬
ва движения для общего случая движения сжимаемой
жидкости в предположении, что силы трения отсутствуют
(идеальная сжимаемая жидкость), широко используемые
и в настоящее время. Эйлер предложил также способ
интегрирования уравнений движения для стационарного
и безвихревого (потенциального) течений, выполнил ис¬
следования по теории реактивной силы и теории турбин,
9
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

осуществил разработки в области физики жидкостей и
газов.
Бернулли принадлежит классическая теорема, связы¬
вающая давление и скорость движения несжимаемой жид¬
кости, математическое выражение которой известно как
«уравнение Бернулли». Опубликование труда Бернулли
«Гидродинамика» в 1738 г. имело важное значение для
развития гидрогазодинамики как самостоятельной науки.
Важнейший вклад в развитие этой науки был
сделан выдающимся русским ученым Михаилом Василье¬
вичем Ломоносовым (1711 — 1765), сформулирова вшим
принципы сохранения вещества и энергии. М. В. Ломоно¬
сов установил молекулярную структуру жидкости и газа
и впервые провел опыты с целью проверки закона сохра¬
нения вещества, установления природы теплоты, закона
сжимаемости газов и др
Необходимо отметить, что основополагающим исследо¬
ваниям Эйлера, Бернулли и Ломоносова предшествовали
работы Ньютона (1642—1727).
Ньютон теоретически показал, что сопротивление тел
потоку пропорционально квадрату скорости набегающего
потока, а напряжение трения пропорционально относи¬
тельной скорости соприкасающихся слоев жидкости.
Классическая формула Ньютона, выражающая касатель¬
ное напряжение в жидкости через производную скорости
по нормали к направлению течения, широко используется
и в современных исследованиях.
Развитие гидро! азодинамики в XIX в. связано с име¬
нами крупнейших ученых-физиков и математиков, разра¬
батывавших теорию движения идеальной (невязкой) жид¬
кости, достигшую во второй половине столетия высокого
совершенства благодаря работам Лагранжа, Коши, Кирх¬
гофа, Ренкина, Стокса, Пуассона, И. С. Громеки, В. Том¬
сона (Кельвина), Гельмгольца, Релея, Мавье и др. Важ¬
ные теоремы о вихревом движении идеальной жидкости
были сформулированы Стоксом, Томсоном, Гельмгольцем,
Неприменимость некоторых теоретических решений,
полученных для идеальной жидкости, к реальным потокам
предопределила развитие экспериментальной гидрогазо¬
динамики и стимулировало разработку теории движения
вязкой жидкости.
Навье, Пуассон, Стокс, обобщив формулу Ньютона
о связи касательных напряжений с полем скоростей, выве¬
ли фундаментальные уравнения движения вязкой жидко¬
сти. В результате интегрирования этих уравнений Стокс,
И. С. Громеко, Н. П. Петров получили теоретические ре-
10
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

шения ряда задач для ламинарного (слоистого) режима
течения жидкости.
Конец XIX в. ознаменовался бурным развитием техни¬
ки, что привело к дальнейшему развитию гидродинамики,
способствовало появлению таких новых ее разделов, как
теория крыла и теория пограничного слоя.
Развитие авиации требовало создания теории крыла,
и эта теория обязана своим возникновением фундамен¬
тальным работам Н. П. Жуковского (1847—1921) и
С. Л. Чаплыгина (1869—1942) В 1906 г. П Р.. Жуковский
в России, а за рубежом Кутта и Ланчестер опубликовали
теорему о подъемной силе крыла, а позднее Н. Е. Жуков¬
ский совместно с С. А. Чаплыгиным сформулировал посту¬
лат о плавном обтекании его задней кромки, позволив¬
ший вычислять циркуляцию скорости, возникающую во¬
круг крылового профиля Последующие публикации
С. А. Чаплыгина и Н. Е. Жуковского по теории крыла уже
к 1910—1911 гг. практически закончили цикл этих иссле¬
дований, так как были даны не только формулы, но и
методы построения крыловых профилей, названных в по¬
следствии именами их авторов.
Необходимо особо подчеркнуть, что работы в области
аэродинамики крылового профиля не только имеют боль¬
шое значение для авиации, но являются основополагаю¬
щими и для современного турбомашиностроения. В этой
связи следует отметить большой вклад в рассматриваемую
проблему учеников и последователей Н. Е. Жуковского и
С. А. Чаплыгина: В. В. Голубева, II. Е. Кочина, А А. До-
родницина, М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева, Л. И. Се¬
дова, С. Г. Нужина, К. К. Федяевского, А. И. Некрасова,
а также зарубежных ученых Прандтля, Глауэрта, Мнзеса.
и др.
Из многочисленных работ Н. П. Жуковского укажем
еще на созданную им вихревую теорию гребного винта,
которая явилась основой для всех последующих исследо¬
ваний в этом направлении.
Основу теории сжимаемых сред (газов) составила
фундаментальная работа С. А. Чаплыгина «О газовых
струях», представленная им в 1902 г. Здесь был предло¬
жен новый метод интегрирования уравнений газоди¬
намики.
Метод С. А. Чаплыгина был с успехом развит в СССР
С. А. Хрнстиановичем, Л. И. Содовым, Ф. И. Франклем,
С. В. Фальковичем, II. А. Слезкиным, А. И. Некрасовым.
Последующие работы С. А. Чаплыгина привели к раз¬
11
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

витию теории неустановившегося обтекания крыла потен¬
циальным потоком.
Развитие теории движения вязкой жидкости тесным
образом связано с разработкой методов расчета и изуче¬
ния особенностей течения жидкости и газа в пограничном
слое, образующемся вблизи обтекаемой поверхности.
Идея о выделении пристеночной области из общего поля
течения была высказана Ренкиным в 1864 г. Позднее в
монографии «О сопротивлении жидкостей и воздухопла¬
вании» (1880 г.) Д. И. Менделеев четко разграничил
трение жидкости о шероховатые и гладкие стенки и от¬
метил решающее влияние на сопротивление гладкой по¬
верхности прилегающего к ней слоя жидкости.
Впервые уравнения движения жидкости в пограничном
слое, ставшие основой теории сопротивления тел в жид¬
кости, были получены Прандтлем в 1904 г. Необходимо
отмстить, что следовало также решить вопрос и о гранич¬
ных условиях на стенке, т. е. ответить на вопрос, равна
относительная скорость жидкости на стенке нулю, или
жидкость скользит вдоль стенки. Жуковский и Праидтль
здесь были единодушны и приняли гипотезу полного при¬
липания жидкости к стейке. Последующие опыты под¬
твердили эту точку зрения, а сама идея о пограничном
слое получила плодотворное развитие в последующих ра¬
ботах Прандтля, а также в работах Кармана, Блазиуса,
Польгаузена, Шлихтинга, Толмина и др. Большой вклад
в теорию пограничного слоя внесли советские ученые
Л. Г. Лойцянский, А. П. Мельников, К. К. Федяевский,
А. А. Дородницин, Н Е. Кочни, Е. М. Минский, Г. И. Пет¬
ров, В. В. Струминский и др.
В подавляющем большинстве практически важных слу¬
чаев течения жидкости и газа носят неупорядоченный,
случайный характер, сопровождаются трехмерными пуль¬
сациями скорости и каскадом вихрей самых различных
размеров. Такие движения называют турбулентными, и
познание закономерностей таких движений является одной
из основных (если не самой важной) задач современной
гидрогазодинамики. По турбулентным течениям к настоя¬
щему времени накоплен большой экспериментальный ма¬
териал, позволяющий для многих случаев с достаточной
точностью решать задачи о сопротивлении тел в потоке и
задачи тепломассообмена. Однако до сих пор не сущест¬
вует замкнутой системы уравнений турбулентного течения
даже для потока несжимаемой жидкости.
Теория турбулентного движения, основы которой были
заложены Рейнольдсом в 1883 г, особенно интенсивно
12
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

развивались в последние 55 лет. Важную роль в развитии
этой теории сыграл мегод Л. А. Фридмана и Л. В. Кел¬
лера, послуживший основой последующих работ
А. II. Колмогорова и А. М. Обухова, Л. Г. Лойцянского,
М. Д. Миллионщикова, Л. И. Седова, А. М. Яглома,
Д. С. Монина, В. В. Струмииского в СССР, а также Тей¬
лора, Кармана, Батчелора и других за рубежом.
Эмпирические и полуэмпирические методы исследова¬
ния сложнейшей проблемы турбулентности активно разви¬
вались Л Г Лойцянским, А. П. Мельниковым, Л. Е. Ко-
лихманом, Г. II Абрамовичем и др. в СССР, Прандтлем,
Шлихтингом, Карманом и другими исследователями за
рубежом.
Успехи в развитии вычислительной математики и тех¬
ники за последние десятилетия позволяют надеяться, что
уже в ближайшие годы будут развиты методы теоретиче¬
ского расчета сложных турбулентных течений.
Важное значение для развития гидрогазодинамики
имеет теория подобия и размерностей. Ее становление
тесным образом связано с необходимостью эксперимен¬
тальных исследований различных процессов на модельных
объектах. Именно теория подобия должна была дать от¬
вет на правомочность переноса данных лабораторных ис¬
следований на натурные объекты. Первым, кто решил эту
задачу применительно к исследованию сопротивления су¬
дов, был У. Фруд (1810—1879). Значительный вклад в
разработку теории подобия осуществил О. Рейнольдс
(1842—1912). Его исследования движения жидкости в
трубах показали возможность существования двух форм
течения — ламинарного и турбулентного, причем реализа¬
ция той или другой формы определялась соотношением
между силами инерции и силами вязкости. Работы Фруда
и Рейнольдса о физическом подобии явлений нашли ши¬
рокое развитие и применение в экспериментальной аэро¬
динамике.
Современные проблемы подобия и теории размерностей
разработаны Л. И. Седовым, А. А Гухманом, М. В. Кир-
пичевым, Бэкингсмом и др.
История развития гидрогазодинамики освещена нами
весьма конспективно и не полно. Достаточно полное из¬
ложение можно найти в книге Л. Г. Лойцянского «Меха¬
ника жидкости и газа», где представлена обширная биб-
лпо! рафия по этому вопросу.
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Глава первая
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ
1.1.	Предмет гидрогазодинамики
Гидр о га з од и и а м и к а — наука о движении жидко¬
стей и газов — является разделом механики сплошных сред.
В отличие от твердых тел, в которых молекулярные силы
сцепления весьма велики, жидкости, и в особенности га¬
зы, обладают относительно слабыми межмолекулярными
связями. Эта особенность их физической природы проявля¬
ется в легкой подвижности, т. е. текучести или деформи¬
руемости* движение жидкостей и газов под действием
внешних и внутренних сил сопровождается изменением
формы, а в общем случае —и объема выделенной ее ча¬
сти.
В гидрогазодинамике обычно абстрагируются от моле¬
кулярной структуры исследуемых потоков и рассматрива¬
ют условную модель среды, обладающей непрерывным рас¬
пределением всех характеристик (параметров). Гипотеза
непрерывности (сплошности) обьеднняет жидкости и газы
в единую категорию текучих, легко деформируемых сред.
Вместе с тем между жидкостями и газами существует
принципиальное различие. В жидкостях силы межмолеку-
лярного сцепления более значительны но сравнению с га¬
зами, так как расстояния между молекулами малы. По
этой причине жидкости можно считать слабосжимаемыми
средами или, упрощенно, несжимаемыми
В газах расстояния между молекулами значительно
больше, чем в жидкостях, и силы молекулярного взаимо¬
действия поэтому относительно малы. Этой особенностью
молекулярной структуры газов объясняется их существен¬
но большая но сравнению с жидкостью сжимаемость. От¬
меченное различие между жидкостями и i азами подчерки¬
вается простыми примерами. Так, жидкость принимает
14
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

форму сосуда, в который она заключена, но образует по¬
верхность свободного уровня, отделяющую ее от других
жидкостей или газов, имеющих иные физические свойства.
На такой поверхности особенно интенсивно сказывается
воздействие молекулярных сил сцепления, что приводит к
появлению свойств капиллярности, смачиваемости твердых
поверхностей и к возникновению капель и менисков. Хоро¬
шо известно, что газы целиком заполняют сосуд, в который
они помещены, и не образуют поверхности свободного
уровня.
Эффекты сжимаемости интенсивно проявляются при
движении газов в каналах с большими скоростями и при
обтекании тел различной формы потоком больших скоро¬
стей. При небольших скоростях и в отсутствие теплообме¬
на сжимаемость 1азов сказывается слабо. Вместе с тем
сжимаемость капельных жидкостей также обнаруживается
при больших давлениях. Отсюда следует, что сжимаемость
свойственна всем жидкостям и газам, однако ее количест¬
венное проявление будет различным в зависимости от фи¬
зических свойств среды. Это послужило основанием объ¬
единить сплошные среды, обладающие общим свойством
сплошности и легкой подвижности, под общим названием
жидкости, выделяя по мере необходимости практически
несжимаемые (капельные) и сжимаемые (газообразные)
жидкости.	-
Все жидкости обладают внутренним трением,
обусловленным вязкими свойствами сред. Влияние
вязкости на характер течения жидкости неоднозначно.
В некоторых задачах вязкость играет решающую роль и
определяет движение среды. В других случаях ее влияние
сказывается слабо и представление о характере течения
можно получить без учета вязких сил. Пренебрежение
вязкими силами существенно облегчает аналитическое ис¬
следование, и вместо реальной жидкости оказывается це¬
лесообразным рассматривать модель идеальной жидкости.
Идеальная жидкость — это абстрактная жидкость,
лишенная внутренних сил трения Указанную модель сле¬
дует рассматривать как первое, но важное приближение
к реальной модели течения. При изучении вязких свойств
обнаруживается также различие между капельной и сжи¬
маемой жидкостью, обусловленное молекулярной структу¬
рой: вязкость несжимаемой жидкости с ростом температу¬
ры уменьшается, а вязкость газов растет.
В теплотехнике широко используются двухфазные
с р ед ы — физически однородные вещества, находящиеся
в двух различных агрегатных состояниях. К двухфазным
15
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

средам относят, например, пар с каплями жидкости, жид¬
кость с пузырями, жидкость с твердыми частицами. Двух¬
фазные среды характеризуются важными физическими осо¬
бенностями. В таких средах не всегда выполняется усло¬
вие непрерывности, весьма специфически проявляется
сжимаемость и вязкость; внутренний тепло- и массообмен
существенно влияет на характеристики потока. В этой свя¬
зи заметим, что условие непрерывности среды нарушается
и при рассмотрении некоторых задач гидрогазодинамики
однофазных сред (ударные волны, вихревые слои, поверх¬
ности раздела двух потоков и др.).
1.2.	Классификация сил, действующих в жидкости
Если в механике твердого тела рассматриваются как
сосредоточенные, так и распределенные силы, то в жидко¬
сти имеют место только распределенные силы. Приложе¬
ние к жидкости сосредоточенных сил ведет к ее разрыву.
Для классификации сил выделим в движущейся жидкости
произвольный объем V, ограниченный замкнутой поверх¬
ностью F. На выделенный объем со стороны окружающей
жидкости будет действовать распределенная по поверхно¬
сти некоторая сила. Обозначим вектор поверхностной си¬
лы, действующей на площадку AF с внешней нормалью п,
символом рп (рис. 1.1,а) и вычислим предел отношения
этого вектора к площадке ДF:
p„=lim(pn/AF).
Эту величину называют вектором напряжения пo’-
верх ноет ной силы в данной точке. В общем слу¬
чае рп зависит не только от положения точки на поверх¬
ности (координат х, у, г) и времени t, но и от ориентации
в пространстве площадки AF, т. е.
Р»=Н*. У, г, t, п).
Следовательно, напряжение рп, вообще говоря, не явля¬
ется обычным вектором, так как может принимать различ¬
ные значения в зависимости от положения площадки. Если
зафиксировать ее положение, то рп будет обычным векто¬
ром, который можно разложить на составляющие по коор¬
динатным осям. Пусть, например, выбрана площадка, пер¬
пендикулярная оси х. Вектор напряжения рп=Р* в об;
щем случае не совпадает с направлением нормали (в дан¬
ном случае с направлением оси х) и может быть разложен
16
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 1.1. К определению давления в точке
на нормальную ох и касательные %ху, т*г составляющие
(рис. 1.1,6):
P*=i<r*+jT*irHtt«.	(1.1а)
Здесь I, j, к — единичные орты. Второй индекс у касатель¬
ных напряжений указывает ось, в направлении которой
проектируется напряжение рс. Располагая площадки пер¬
пендикулярно к осям у а г, получаем еще два разложения
напряжения:
Ру~	(1.16)
pj=iTz*+jT^-blw2.	(1.1 в)
Легко понять, что при произвольном расположении пло¬
щадки с внешней нормалью п вектор р„ может быть вы¬
ражен через векторы р.*, ру, рг следующим соотношением:
Рп = Прп а — p.* COS (ПХ) +p,j COS (пу) +рг COS (Ю).	(1.2)
Проектируя рп на координатные оси, получаем
Рп \—Ox cos (пх) +Ту* cos (пу) Kzx cos (nz);
Рпу — Хху COS (пх) + Оу COS (пу) +Тгу COS (№);
Pnz~Xix COS (пх) -\-Xyz COS (пу) -f(T2 COS (nz).
Физическую величину, характеризуемую в данной точке
вектором рп, который принимает различные значения в за¬
висимости от ориентации площадки, называют тензором.
Здесь поверхностное напряжение определяется девятью
скалярными величинами ov, oz, т*у, т*г, хух, tyz, tz*,
Xzy, совокупность которых определяет тензор напряжения
второго ранга. Применяя теорему моментов, можно пока-
зат^^тг^хТг^^ tXz^=Tzx: hy—'tyz. Следовательно, поверх-
nocftroe' Напряжение определяется не девятью, а шестью
Ъ&Шршмй. величинами: о*, оу, аг, тХу, *уг, гхг-
2-k$i	17
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Давление в жидкости является
примером поверхностной силы, и его
гидродинамический смысл становит¬
ся ясным из рассмотрения поверх¬
ностного напряжения р„, определя¬
емого нормальными и касательными
напряжениями. Возникновение в
жидкости касательных напряжений
обусловлено со вязкостью и движе¬
нием (относительным сдвигом).
Рис. I 2. Схема сил, дей- в неподвижной жидкости, а также
ствующих иа элеш>нтар- в движущейся жидкости, лишенной
ныи тетраэдр в потоке	1	,	’	ч
идеальной жидкости вязкости (идеальная жидкость), ка¬
сательные напряжения равны нулю
(тд.-г/=туг=тгх=0) и поверхностные силы определяются толь¬
ко нормальными напряжениями ох, оу, а2. Для этого част¬
ного случая вместо зависимостей (1.1) и (1.2) иолучим
Рлг—Ру—}оу‘, р2=ка2;
pn=np„„=i0* cos (пх) -f-jo-y cos (пу) +ксгг cos (nz).
Рассмотрим далее в движущейся идеальной жидкости
(или в неподвижной реальной жидкости) элементарную
жидкую частицу в форме тетраэдра (рис. 1.2), площадь
граней которого обозначим /•'*,	/•*	и	Fn.	На	каждую
грань действуют нормальные напряжения <тЛ-, Оу, ог и рПп.
Используя принцип Даламбера, запишем условие равно¬
весия рассматриваемого жидкого элемента. Поскольку мас¬
совые силы (в том числе и силы инерции), пропорцио
нальнме объему dV~ dxdydz, имеют третий порядок
малости, а поверхностные силы, пропорциональные площа¬
ди,—малые второго порядка, условие равновесия всех
действующих сил в проекциях на координатные оси дает
следующую систему равенств.
OxFх=pnriFв cos (пх)
OyFу—рnnFя cos (пу) +4#;
OzFz—pnnFn cos (nz) +Аг,
где Ax, Ay, Az — бесконечно малые третьего порядка. Гра¬
ни тетраэдра, имеющие площади поверхности Fx, F,„ Fz, Fn,
ориентированы перпендикулярно к осям координат х, у, z
и к нормали п. Поскольку Fncos(nx)=Fx; Fn cos (пу) =
18
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

—Ftf; Fn cos(nz) —F7y в пределе, стягивая рассматривае¬
мый тетраэдр в точку, получаем
Ox — <fy~Oz — Рпп-
Таким образом, если в жидкости отсутствуют касатель¬
ные напряжения, то нормальные напряжения в данной точ¬
ке не зависят от ориентации площадки. Этот вывод спра¬
ведлив для неподвижной вязкой жидкости и при движении
идеальной жидкости.
Капельная жидкость, воспринимая произвольные сжи¬
мающие усилия, терпит, как показывает опыты, разрыв при
растяжении. Отсюда следует, что в жидкости действуют
лишь нормальные сжимающие усилия.
Величину р, равную любому нормальному напряжению
с обратным знаком, называют напряжением давле-
н и я или просто давлением:
<Ух= Оу= <7 2=—РпП•
В соответствии со сказанным выше гидродинамическое
давление р не зависит от ориентации площадки, на кото¬
рую оно действует, и является только функцией коорди¬
нат и времени: p=f(x> у, г, t).
Единицей измерения давления в СИ является давле¬
ние силы 1 н на 1 м2 ([р]=Н/м2). Поскольку эта едини¬
ца мала, давление обычно измеряют более крупными еди¬
ницами: кН/м2 и МН/м2 Иногда используют внесистем¬
ную единицу давления — бар, равную 105 Н/м2, и кратные
ей более мелкие доли — мбар и мкбар. Связь между ус¬
ланными единицами давления определяется следующими
равенствами: 1 МН/м2=103 кН/м2=106 Н/м2=10 бар4*.
Кроме поверхностных сил в любой точке выделенного
объема действуют силы, пропорциональные массе жидко¬
сти, заключенной в элементарном объеме ДК, окружаю¬
щем рассматриваемую точку. Эти силы получили название
массовых. К массовым силам относятся силы тяжести,
центробежные силы, силы инерции, электромагнитные и
электростатические силы. Для характеристики массовых
сил введем вектор напряжения массовых сил М, равный
* На практике до настоящего времени часто используют в каче¬
ство единицы давления техническую атмосферу и выражают ее в мил¬
лиметрах ртутною или водяною cmi6d* 1 агм -1 мч7ем?=
= 736 мм рт ст =10000 мм вод ст ; 1 атм=*9,8*104 Н/м=98 кН/м2=
=0,098 МН/м2=0,98 бар.
2*	19
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

пределу отношения массовой силы Т к массе жидкости Ат,
заключенной в элементарном объеме AV:
M = lim Т/Ат.
&т->0
Отсюда следует, что М имеет размерность ускорения. Раз¬
лагая вектор М по координатным осям, получаем
M=iX+jK+kZ,
где X, Y, Z — проекции напряжения массовых сил на оси
координат (единичные массовые силы). Если массовой си¬
лой является сила тяжести и направленно оси z нормаль¬
но к поверхности земли, то Х=0: F=0; Z=—mg/m——g;
M=—kg.
1.3.	Параметры потока
Термодинамическими параметрами потока являются
давление р, плотность р и температура Т, причем в газо¬
динамике эти параметры рассматриваются в точке. Дав¬
ление в точке введено в предыдущем параграфе. Для опре¬
деления плотности р, кг/ м3, в точке рассмотрим массу жид¬
кости Ат в объеме AV и перейдем к пределу:
р = lira (AmlAV).
LV-*0	'
Величину, обратную плотности, называют удельным объе¬
мом, м3/кг:
1/р=».
Плотность р, так же как и давление р, в общем случае
меняется при переходе от одной точки к другой. В фикси¬
рованной точке плотность может меняться в зависимости
от времени. Следовательно, р=р(дс, у, z, t). В частном
случае несжимаемой жидкости p=const, и=const.
Три термодинамических параметра (давление, плот¬
ность и температура) связаны между собой для совершен¬
ных газов уравнением состояния
P/P=RT,	(1.3)
где R — газовая постоянная. Для реальных газов и для па¬
ров вблизи состояния насыщения используются полуэмпи-
рические уравнения состояния, например уравнение Ван-
дер-Ваальса.
Если допустить, что соотношение (1 3) справедливо для
бесконечно малого объема, температура Т приобретает
20
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

смысл температуры в точке. В СИ для воздуха /?=
—287,15 м2 / (с? • К), для перегретого водяного пара R=
=464 м2/(с2-К). Величина R для совершенных газов мо¬
жет быть выряжена через удельные теплоемкости при по¬
стоянном давлении ср и постоянном объеме св'
R = c,,—с,, или R=cp(k--\)/k=cv(k— 1).
Здесь к—С/,/б’(— показатель изоэнтроиы. Для воздуха к—
— 1,4; для перегретого водяного пара £=1,3.
1.4.	Методы изучения движения жидкости
При математическом описании движения жидкости воз¬
можно два различных подхода, предложенных Лагранжем
и Эйлером. По Лагранжу в жидкости выделяется опреде¬
ленная фиксированная частица и задается ее траектория
следующей системой уравнений:
x — f,(a, b, с, /);
y—ft{a, b, с, /);
2 = ?,(л. Ь, с, t).
П-4)
где а, Ь, с —параметры Лагранжа, характеризующие коор¬
динаты выделенной частицы в начальный момент времени.
Используя зависимости (1.4), легко найти составляющие
скорости и, v, w выделенной частицы жидкости в направ¬
лении декартовых осей координат:
и --dx'jdt — dfjШ;'
v'=dyldt — dfjdt',	•	(1-5)
w -= dzldt — dfjdt.
Абсолютная скорость в любой момент времени может быть
записана в виде векторной суммы составляющих с=1и+
-f j»-f kw.
В	отличие	от метода Лагранжа	метод	Эйлера состоит
в том,	что	задается не траектория	выделенной	частицы
жидкости, а все поле скоростей в движущейся жидкости
как функция координат и времени:
u=dxjdt = u(x, у, z, t); '
v — dyjdt -=v(x, у, z,	t)\ ■	(1-6)
w — dzldt — w(x?tj, z, /). ;
Для нахождения скорости в любой фиксированной точ¬
ке рассматриваемого пространства необходимо только за¬
21
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

дать координаты этой точки. Например, определим изме¬
нение скорости в точке с координатами х=а, y=b, z—c:
ut — u(a, b, с, /);
о, — v(a, b, с, /);
wt— w{a, b, с, /).
(1.7)
Таким образом, составляющие скорости, являющиеся в об¬
щем случае функциями четырех переменных, в фиксиро¬
ванной точке пространства зависят только от времени.
Для нахождения траектории конкретной частицы необ¬
ходимо проинтегрировать систему дифференциальных урав¬
нений (1.6). В результате интегрирования вновь приходим
к системе уравнений (1.4). После исключения из приве¬
денной системы времени t найдем уравнение траектории
жидкой частицы.
Составляющие поля ускорений находим прямым диф¬
ференцированием зависимости (1.6) но времени. В резуль¬
тате получаем
du	дп	>	|	дп	|	да	,	дп.	}
•л=-зг+1«йг+°гг+“'зг5,
do	до	I	i	dv	|	(к<	-	dv	J
W=W+ \udT+vW	!	(!-8)
dw	dw	j	!	dw	.	dw	.	dv,	\
л-=-ЗГ+[“5Г+°5Г+ю5Г- j
Видно, что в общем случае полное ускорение складывается
из локального ускорения, определяемого частными произ¬
водными du/di, dv/dt, dw/Ot, и изменения скорости, обус¬
ловленного перемещением частицы в пространстве (члены,
заключенные в прямоугольник). Эти составляющие пол¬
ного ускорения называют конвективным и.
Движение жидкости в рассматриваемом объеме может
не зависеть от времени, т. е. в любой точке заданного
объема скорость и другие параметры с течением времени
не будут меняться. Такое течение называют стационарным.
Для него локальное ускорение равно нулю (du/dt=
=dvIdt=dw/dz=0) и в соотношениях (1.8) сохраняются
только конвективные члены. Частными случаями (1.8)
являются стационарные плоские и одномерные течения.
При плоском течении все изменение скорости происходит
только в плоскости переменных х и у, а при переходе
22
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

от плоскости 2=const к другой изменения ее составляю¬
щих не происходит (dujdz=dv/dz=dwjdz=0). Тогда
Если течение одномерное, т. е. изменение скорости про¬
исходит только вдоль одной координаты (например, я),то
du jdi — udu jdx—cdc/dx.
1.5.	Деформационное и вращательное движение
жидкого элемента
Конвективное ускорение, определяемое соотношениями
(1.8), содержит компоненты скорости и их производные по
одноименным (ди/дх, dv/dy, dwjdz) и разноименным
(ди/ду, ди/дг, dvjdx, dv/Oz, dwjdx, dwjdy) координатам.
Выясним физический смысл этих производных. Рассмотрим
жидкий элемент АВ (рис. 1.3) длиной dx> движущийся
вдоль оси .v. Если скорость в точке А равна иА, то в точке
В имеем iijt=UA'i-(()uAidx)dx. При этом за время dt
произойдет не только смещение выделенного элемента
вдоль оси .v, но и его линейная деформация. Эта деформа¬
ция равна Mx—BBf -AA'=(dufdx)dx dt. Аналогично по¬
лучим абсолютные линейные деформации вдоль осей у и
г. Выражения (du/<)x)dt, (dvjdy)dt и (dw/dz)dt определя¬
ют относительные линейные деформации. Разделив их на
dt, получим скорости линейных деформаций
Таким образом, частные производные от составляющих
скорости по одноименным координатам определяют ско¬
рости относительных линейных деформаций жидкого эле¬
мента вдоль координатных осей.
Рис. 1.3. К выводу скорости отно-	Рис. 1.4. К выводу	скорости угло-
сительной линейной деформации	вой деформации
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
гх—ди/дх; ey—dv/dy\ Bz=dw/dz.
(1.9)
23

du
Рис. 1.5. Движение жидкого элемента в общем случае
Жидкий элемент, ориентированный вдоль оси х, при
движении в направлении оси у (рис. 1.4) за время dt из
положения АВ переместится в положение А'В', претерпев
угловую деформацию, равную
tgdr	dr — BB' — AA'_la+ (dv/dx) dx\ dt — jdt dvdt /. ig%
® *	*	dx	dx	~ dx ’ ' '	’
или dyjdt—dvfdx. Следовательно, производные от состав¬
ляющих скорости по разноименным координатам опреде¬
ляют скорости угловой деформации жидкого элемента.
Рассматривая движение реальной жидкости, часто мож¬
но наблюдать области, где имеет место ее интенсивное
вращение, напоминающее вращение твердого тела. Однако
если частицы твердого тела при вращении не меняют от¬
носительного расположения, то в жидкости одновременно
с вращением происходит деформация сдвига или скашива¬
ния частицы. Попытаемся разделить указанные состав¬
ляющие движения (вращение и деформацию сдвига). Для
этого спроектируем на плоскость xoz элементарный жид¬
кий параллелепипед (рис. 1.5). При перемещении его из
положения / в положение II углы не сохраняются прямы¬
ми, и в новом положении проекция исходного параллеле¬
пипеда будет A'B'C'D'. Углы dyi и йуг согласно соотно¬
шению (1.10) связаны с проекциями скорости и и w сле¬
дующим образом:
dyi—(dufdz)dt; dy2—(dw/dx)dt.	(1.11)
Деформация углов исходного параллелепипеда проис¬
ходит в результате сложения поворота da и деформации
скашивания или сдвига dp. Если предположить, что де-
24
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

формация скашивания по всем граням одинакова и харак¬
теризуется углом dp, то
При выборе знаков будем считать угол положитель¬
ным, когда он отсчитывается в направлении круговой пе¬
рестановки индексов координатных осей. Если углы отсчи¬
тываются в направлении от оси г к оси х, от оси х к оси у
и от у к z, то этим углам будем приписывать положитель¬
ный знак. При отсчете углов в обратном направлении их
значения будут иметь отрицательный знак. Складывая и
вычитая последовательно уравнения (1.12), найдем значе¬
ние угла da, характеризующего вращение, и угла dp, ха¬
рактеризующего деформацию сдвига:
da=l/2(dy\—dy2); dp = 1 /2(dyi-{-dy2). (ЫЗ)
Используя (1.11) и деля (1.13) на dt, получаем состав¬
ляющие скорости углового поворота (угловая скорость
вращения о,/) и скорости деформации сдвига или скаши¬
вания (б//):
Аналогичные рассуждения применительно к проекциям
исходного параллелепипеда на остальные координатные
плоскости дают возможность определить все составляю¬
щие вектора угловой скорости w и вектора деформации 6:
Составляющие рассматриваемых векторов определяют¬
ся но формулам
  1 fdv__ ди\ в *   1 fdv j да \
mz ~2~	ду J ’	2	2	*ду ) *
Индексы указывают координатную ось, перпендикуляр¬
но которой расположена плоскость проекции исходного па¬
раллелепипеда, или ось, вокруг которой рассматривается
поворот (вращение) жидкой частицы.
dy\=dn^ dp; — dy2=da—d$.
(1.12)
(1.14)
* _		1_ Ida I dw \
V- dt — 2 (d.z t-Лс )'
(o=i(o^+j(B!,+kci)z; 6=i6*+j6v+k6;.
(0t ' 2 (dt, ~0z )'	x~~	2	\0y	dz	)'
1 /dw do \	*	  1	/dw .4-*LY \
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Используя уравнения (1.15), легко найти скорости ска¬
шивания прямых углов (суммарную скорость угловой де¬
формации) в плоскостях ху, уг\ гх. Обозначим эти скоро¬
сти уХу=2Ь:; Ууг—26х: Уг<г=26у.
Выделим далее в жидкости элементарный жидкий объ¬
ем в форме параллелепипеда и рассмотрим его деформа¬
цию за время dt.
Если в начальный момент времени параллелепипед за¬
нимал некоторое положение /, то через промежуток време¬
ни dt произойдет его смешение в положение //. При этом
вследствие линейной деформации ребер изменится его пер¬
воначальный объем. Изменением длины ребер, обуслов¬
ленным их угловой деформацией, можно пренебречь
Найдем изменение первоначального объема dVt —
=dxdydz при смещении его из положения / в положе¬
ние II, имея в виду линейную деформацию ребер, опреде¬
ляемую выражениями (1.9):
A(dV)=dVr-dVt=(dx-{-Adx) (dy+
+Аdy) (dz-\-Adz) —dx dy dz=[dx-\-
+ (du fdx) dx dt] \dy-\- (dv/dy) dy dt] \dz-\-
+ (dw/dz) dz dt] —dx dy dz.
Перемножив выражение в скобках и отбросив малые
высших по сравнению с dV порядков, получим
A (dV) = (du/dx-\-dvfdy-\-dw jdz) dtdxdydz.
Относительное изменение первоначального объема за
время dt
Отсюда скорость относительного изменения жидкого
объема (скорость объемной деформации) в точке
Полученное соотношение в векторном исчислении на¬
зывают дивергенцией вектора скорости с и обозначают
dive
Следовательно,
lim
dV+ О
Л (dV)  дп
dV dt	ох~ „
(1.16)
du/dx+dv/dyj dw/dz=dwc=e.	(1.17)
26
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

1.6.	Линии тока и вихревые линии. Трубка тока
(элементарная струйка) и вихревая трубка
Линию, касательная к которой в каждой точке дает
направление вектора скорости с, называют линией тока.
Линию, касательная к которой в каждой точке опреде¬
ляет направление вектора угловой скорости ю, называют
вихревой линией. Приведенные определения означа¬
ют, что векторы скорости с и угловой скорости О) колли-
неарны с вектором d\ (рис. 1.6), где dl — элемент линии
тока или вихревой линии, составляющие которого по осям
координат равны dx, dy, dz. Условие коллинеарности дает
возможность определить уравнения линий тока и вихре¬
вых линий, так как в этом случае векторные произведе¬
ния |бИХс| и J^lXoI должны обращаться в нуль.
Если d\ — \dx-\-]dy-\-Mz, то
| £?1Хс | =i (v dz—w dy)+i(w dx—
—и dz) -}-k (u dy—v dx) =0;
| t/!X<o | — • (<aydz—(sizdy) - j- j (<ti2dx—
—bixdz) -f-k ((oxdy—(Oydx) =0.
Вектор, разложенный по трем взаимно ортогональным
осям, равен нулю в случае, когда все его составляющие
порознь обращаются в нуль. Следовательно,
v dz—w dy=0; <aydz—(Hzdy=0;
w dx—udz=Q; ^zdx—(Hxdz=Q\
и dy—v dx=0; a>xdy—a>ydx=0.
Отсюда для линии тока
dx/u=dtjfv=-dzjw\	(1.18)
для вихревой линии
dxltdx=dy\<s>a=4zl<s>z.	(1-19)
27
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Полученные сботношеййя позволйют по заданному но¬
лю скоростей или вихревому полю найти математическое
выражение для линий тока и вихревой линии. Найдем
в качестве примера линии тока течения, поле скоростей
которого определяется следующими соотношениями:
u==l-\-y, v = — х; w — 0; с — ух2-\-(\ -\-у)\
В данном случае имеет место плоское (а>=0), устано¬
вившееся (от времени не зависящее) течение. Из (1.18)
получим dx/(l-(-y)=ciyl (—х). Отсюда
х2/2 | (у+у2/ 2)=const,
или
*2+ 0+*/)2 = const.	(1-20)
Уравнение (1.20) определяет семейство окружностей,
центр которых расположен в точке А с координатами
(0, —1). Направление движения жидкости можно найти
по значению косинусов углов между вектором скорости и
осями ха у:
‘ _	1	+У
cos (сх) ■■
cos (су)'=
+(!+*,)* ’
X
W + (l+y)z ’
Для произвольной точки N, лежащей в первой четверти
(*>0, у>0), cos(cx) >0. Следовательно, угол между
осью х и направлением скорости с острый (рис. 1.7) и
жидкость движется по круговым линиям тока по часовой
стрелке. Заметим, что при установившемся течении линии
тока и траектория движения фиксированной частицы сов¬
падают.
Если движение неустановившееся, то траектория части¬
цы отличается от линии тока.
Согласно зависимости (1.6) дифференциальное уравне¬
ние траектории можно представить в виде
dx	dy	dz	,.	,,	п.	j
u(x, у, z, i) ~v(x, y, z, t)~w (x, y, Z, O' ■	'
Математически зависимость (1.21) отличается от выраже¬
ния (1.18) наличием полного дифференциала от времени,
?что и приводит к различию формы траектории и линии
тока.
Траектория представляет собой линию, изображающую
путь, пройденный фиксированной частицей за опреде-
28
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Ленный 0fpe30K времени. Линий жё
тока является мгновенной линией,
вдоль которой в рассматриваемый
момент движется совокупность ча¬
стиц.
Поверхность, образованная со¬
вокупностью линий тока, проведен¬
ных через точки произвольного
замкнутого контура, называется
трубкой тока. Часть жидкости, за¬
ключенная внутри трубки тока, об¬
разует струйку.
Поскольку вектор скорости всег¬
да касателен к линиям тока (по
определению), совокупность линий тока, образующих по¬
верхность трубки тока, аналогична некоторой твердой по¬
верхности, расход через которую равен нулю. При стацио¬
нарном течении жидкость как бы скользит вдоль поверхно¬
сти трубки тока, все время оставаясь внутри нее.
Аналогичные соображения можно привести и в част¬
ном случае плоского движения. В этом случае любую ли¬
нию тока можно представить в виде проекции на рассма¬
триваемую плоскость бесконечно широкой непроницаемой
поверхности.	-и
Рассматривая вихревое движение жидкости таким же
образом, можно определить и вихревую трубку, т. е. труб¬
ку, поверхность которой образована вихревыми линиями.
По определению ни одна вихревая линия не может пере¬
секать вихревую трубку.
1.7.	Циркуляция скорости
Циркуляция скорости Г по некоторому конту¬
ру L представляет собой интеграл от скалярного произве¬
дения вектора скорости с на элемент контура d\, взятый
по всему контуру Ц или по его части L\.
Если c=i«-f jtt+ko», a d\—\dx-\-) dy-\-kdw, то
Г =. f сd\ -= С с cos (cTdl)dl = § (udx-\-vdy-\- wdz). (1.22)
l	i.	t.
Формально выражение (1.22) совпадает с выражением для
определения работы А, произведенной силой F на пути L.
Однако физическое значение работы А и циркуляции ско¬
рости Г совершенно различно.
В гидрогазодинамике понятие циркуляции скорости ши¬
роко используется при изучении вихревых движении жид¬
29
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
Рис. 1.7. Движение жид¬
кости по концентриче¬
ским окружностям

кости (для оценки завихренности или ее отсутствия) и
является мерой интенсивности вихрей.
При вычислении циркуляции скорости по формуле
(1.22) не безразлично, в каком направлении производится
обход контура. Условно величине Г приписывается поло¬
жительный знак, если при обходе контура его внутренняя
область остается слева.
1.8.	Вязкость
Вязкость жидкости — это ее способность оказывать со¬
противление относительному сдвигу частиц. Сопротивле¬
ние характеризуется касательным напряжением т, дейст¬
вующим на некоторой поверхности и определяемым но:
t — lim(Fwl&S),
где /чр — сила трения; AS— площадка, на которую дейст¬
вует сила трения. Напряжение трения т имеет, очевидно,
ту же размерность, что и гидродинамическое давление,
т. е. Н/м2.
Касательное напряжение т оценивается законом внут¬
реннего трения Ньютона. Если для твердого тела каса¬
тельные напряжения пропорциональны его относительной
угловой деформации, то согласно закону Ньютона каса¬
тельные напряжения в жидкости пропорциональны скоро¬
сти относительной угловой деформации.
Рассмотрим частный случай плоского движения вязкой
жидкости около твердой поверхности АВ (рис. 1.8). При
отсутствии вязкости все частицы жидкости, расположен¬
ные на нормали к рассматриваемой
поверхности, имели бы одну и туже
скорость.
Наличие вязкости существен¬
но меняет распределение скоростей
вблизи твердой границы, так как
скорость частиц, находящихся непо¬
средственно на поверхности, из-за
молекулярных сил сцепления оказы¬
вается равной нулю. Равенство ско¬
рости нулю на непроницаемой по¬
верхности при движении вдоль нее
вязкой жидкости составляет суть
так называемой гипотезы «прилипа¬
ния». Эта гипотеза хорошо под¬
тверждается опытными данными.
30
Рис. 1.8. Распределение
скоростей вблизи обте¬
каемой поверхности
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Исключение составляют только сильно разреженные газы,
где нарушается условие сплошности движущейся среды.
Вдали от пластины жидкость движется с постоянной ко¬
нечной скоростью И|. Вязкие силы, действующие в жидко¬
сти, приводят к ее торможению около пластины, и, таким
образом, имеет место плавное нарастание скорости по нор¬
мали от нуля на стенке до скорости щ на значительном
удалении от нес. В результате профиль скорости в фикси¬
рованном сечснии принимает вид, изображенный на рис. 1.8.
В приведенной здесь системе координат согласно изло¬
женному ранее (см. § 1.5) скорость относительной угловой
деформации равна ди/ду.
Если скорость и не зависит от продольной координаты
х и меняется только по нормали к поверхности, то вместо
частной производной можно писать полную производную и
т=ndu/dy.	(1.23)
Здесь коэффициент пропорциональности ц оказывается
размерным, зависящим от физических свойств жидкости
и ес температуры. Этот коэффициент, называемый дина¬
мической вязкостью, согласно соотношению (1.22)
имеет в СИ размерность [ji]=H*c/m2.
Кроме динамической вязкости довольно часто исполь¬
зуют так называемую кинематическую вязкость v,
м2/с, связанную с величиной ц соотношением
v=n/p.
Численные значения этих коэффициентов для воды и
воздуха при различных температурах приведены в
в табл. 1.1. Кроме того, здесь же приведены значения ц
для водяного пара на линии насыщения.
Для капельных жидкостей вязкость с ростом темпера¬
туры падает, а у газов увеличивается.
Таблица 1.1
Температура,
•с
Вода
Воздух
Насыщенный
нар
Н*с
у., 10*
м*
м*
v, 10* —
Г Мя
Vя
V, 10* —
с
м., 10» Щ-
мя
0
0,179
1,792
0,171
0,132
Г8.2
20
0,100
"6,087
0,18!
0,150
8,0
40
0,0Ш>
0,0 V)
0,190
0.1G9
9,7
60
0,047
0,048
0,200
0,188
10,4
80
0,036
0,037
0,209
0,209
И.2
100
0,028
0,030
0,248
0,210
12,0
31
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

При трехмерном движении жидкости на каждой грани
элементарного параллелепипеда будет действовать, вообще
говоря, произвольно направленная сила трения FTP. Если
эти грани ориентировать по координатным плоскостям, то
в каждой плоскости силу FTP можно разложить на две со¬
ставляющие.
Такое разложение поверхностной силы на грани, пер¬
пендикулярной к оси х, показано на рис. 1.1,6 Аналогич¬
ным образом раскладываются силы и на гранях, ориенти¬
рованных перпендикулярно к осям у и х. Естественно
допустить, что закон Ньютона сохраняет свою силу и
в рассматриваемом общем случае. Тогда
Tj/'=T?y = |JY(/z; Tzv=Тхг—
Здесь Y<i — скорости скашивания прямых углов (полные
скорости относительной угловой деформации), определяе¬
мые соотношениями (1.15). Согласно этим соотношениям
Уху=Уух\ Ууг=Угу\ Угх=Ухг И, СЛвДОВатеЛЬНО, в СЭМОМ об-
щем случае в вязкой жидкости действуют не 6, а 3 раз¬
личных напряжения трения. С учетом (1.19) получим
*,/— (dv 'дх -f - ди!ду);
V=r|»(*p% 4-А»/*-);	(1.24)
v — |х (ди !дг 4- dw,'dx). .
Отсюда при w=v=0 получаем формулу Ньютона (1.23)
для напряжения трения при одномерном течении.
Глава вторая
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКИ
2.1.	Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности выражает закон сохранения
массы, записанный для движущейся жидкой среды. Со¬
гласно этому закону масса т изолированной системы за
все время движения остается постоянной, т. е.
dm/dt=0.	(2.1)
Так как m=pV, где V — элементарный объем движу¬
щейся жидкости, то
dm/dt=pdV jdt-\- Vdp/dt^=0,
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Отсюда, разделяя переменные и переходя к пределу
при V-*-0, находим
{\f9)-(dP](U) 4- lim (dViVdt) •= 0.	(2.2)
V"->0
Величина lim (dV/Vdt) является скоростью объемной де-
v=o
формации. Заменяя ее по соотношению (1.16), получаем
1+>(1г+1г+1г)-4+^™=0.	(2.3)
Поскольку плотность р является функцией координат и
времени,
± I flip Liwi?	/о 4\
dt dt dx "т” dy ' dz •	(	•	/
Подставим (2.4) в (2 3). После несложных преобразований
запишем (2.3) в такой форме:
Ж+Щ- (Р") + w(ру) + w(рш)=°-	(2-5)
Уравнение (2 5) является дифференциальным уравнением
неразрывности нестационарного трехмерного течения. Ис¬
пользуя операторы векторной алгебры (2.5), можно запи¬
сать
dp/<?/-4-div(pc)=0.	(2.6)
При стационарном течении отсутствует локальное из¬
менение плотности по времени, т. е. dp/dt=0. Следова¬
тельно,
div = ЗГ	=	°-	(2-7)
Для несжимаемой жидкости (р=const) находим
div (с) —du/dx-\-dvjdy-\-dw/dz=Q.	(2.8)
Физически это означает, что при движении несжимае¬
мой жидкости скорость ее объемной деформации равна
нулю. Если рассматривается плоское стационарное тече¬
ние сжимаемой жидкости, то
(2-9)
Для несжимаемой жидкости
ди/дх-}-ди/ду=0.	J	(2.10)
3-3331
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 2.1. К выводу интегральной формы уравнения неразрывности
В случае одномерного течения (v=w—0, и—с)
~(рс) — 0; 'рс — const.	(2.11)
Полученный результат указывает, что при одномерном
течении удельный расход рс (расход жидкости на едини¬
цу площади поперечного сечения потока) имеет одно и то
же значение в каждой точке поперечного сечения трубки
тока. Уравнение неразрывности часто используется в инте¬
гральной форме. Для его вывода рассмотрим элемент
трубки тока, расположенный между произвольно прове¬
денными контрольными сечениями (рис. 2.1). Согласно
закону сохранения массы при стационарном течении коли¬
чество жидкости, втекающей внутрь рассматриваемого
объема при отсутствии внутренних источников, должно
равняться количеству жидкости, покидающей этот объем.
Другими словами, расход массы жидкости через поверх¬
ность рассматриваемого объема должен быть равен нулю:
\PicndFl = 0.	(2.12)
р
Здесь F — площадь всей поверхности рассматриваемого
объема; сп — скорость жидкости в каждой точке, нормаль¬
ная к элементу поверхности dF.
Представим уравнение (2.12) в виде суммы трех инте¬
гралов, взятых по площади сечения Ft — боковой поверх¬
ности F$ и площади сечения F2, причем знак интеграла
будем считать положительным, если направление нормаль¬
ной составляющей скорости совпадает с направлением
нормали к поверхности, и отрицательным в случае различ¬
ного направления указанных векторов. При направлении
нормалей внутрь рассматриваемого объема получим
f WJF+I РiCndF-\PiCndF — 0,	(2.13)
Pi
34
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Расход жидкости через боковую поверхность равен ну¬
лю, так как рассматривается трубка тока и, следователь¬
но, скорость потока направлена вдоль боковой поверхно¬
сти (сбп=0). Тогда
J	(2.14)
р»	р%
Поскольку контрольные сечения были выбраны совер¬
шенно произвольно, из (2.14) следует, что в трубке тока
при установившемся течении жидкости ее расход в каж¬
дом сечении остается постоянным:
£ picajiF= const.	(2.15)
Выражение	(2.15)	принимает особенно	простой вид,
если скорость совпадает с направлением нормали к поверх¬
ности интегрирования и, кроме того, в поперечном сечении
значения плотности и скорости не меняются. Тогда
PiOiFi—const.	(2.16)
Полученное уравнение иногда называют уравнением
расхода для одномерного течения. Заметим, что на
практике зависимость (2.16) используется и при неравно¬
мерном распределении параметров в поперечном сечении
канала. В этом случае вместо действительных значений
скорости и плотности вводят некоторые средние значения,
использование которых позволяет найти массовый расход
по уравнению	(2.16).	Для несжимаемой	жидкости р=
=const, и от уравнения массового расхода (2.16) легко
перейти к уравнению объемного расхода
CiF/=const.	(2.17)
2.2.	Уравнения движения идеальной жидкости
Рассматриваемые уравнения представляет собой мате¬
матическое выражение закона сохранения количества дви¬
жения применительно к жидкому элементу: скорость из¬
менения вектора количества движения равна сумме всех
массовых и поверхностных сил, действующих на рассма¬
триваемый жидкий элемент.
В качестве такого элемента используем жидкий пря¬
моугольный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz (рис. 2.2),
на который действуют суммарный вектор поверхностных
3*	35
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

сил Р и вектор массовых сил М, причем оба эти вектора
будем считать отнесенными к единице объема. Тогда сфор¬
мулированный закон может быть записан в следующей
векторной форме:
pJ-(c) = P + PM.
(2.18)
Разложим векторы, входящие в уравнение (2.18), по
осям прямоугольной системы координат:
с = I ы -J- jo —j—
P = IP,+JP,+ kP,;
M=l*,+ jy + kZ. ,
(2.19)
Здесь, как и ранее, и, v, да —проекции абсолютной скоро¬
сти с на координатные оси, а Рх, Ру, Pz, X, Y, Z — со¬
ставляющие поверхностных и массовых сил в направлении
этих осей.
Проектируя векторное уравнение (2.18) на оси коор¬
динат с учетом обозначений (2.19), получаем три урав¬
нения
9±.{и) = Рх+ХГ,
dt
■(*) = />,+ У;
Р	iw) — Рг + ^Р-
(2.20)
Поскольку в данном случае рассматривается движение
идеальной жидкости, единственной поверхностной силой
является сила, обусловленная ги¬
дродинамическим давлением р. Тог¬
да на грани, перпендикулярные оси
х, будут действовать следующие си¬
лы: на левую—р dy dz, на правую—
(p-\-dpJdx)dy dz. Учитывая принятое
направление осей, получаем для по¬
верхностей силы, отнесенной к еди¬
нице объема, действующей в на¬
правлении оси х, Рх=~др/дх. Ана-
Рис. 22 К выводу диф-	логичным образом Ру=—(др/ду);
ференциальных	уравне-	р (АП1Л?\ R прчуш.тятр vnan-
ний движения	идеаль	Иг~ x£Lrz>' результате урав-
иой жидкости	нения (2.20) примут следующий вид:
dt?
36
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Заменяя полное ускорение в левой части через локаль¬
ное и конвективное по соотношениям (1.8), получаем
да
да
+ UU I да .	VII	1	U	U	»	уг
udT^vdf + wdT=~ +
dv t dv i dv . dv	1	dp	.	v
dr+«3T+°sr+ws-=—rw+Y>
da
1 dp
uw « dw \
W + U*r + V
dy
. dw
.+a,_=.
1 dp
p dz
+ z.
(2.22)
Уравнения (2.22) являются уравнениями движения
идеальной жидкости в форме Эйлера.
Для установившегося течения локальные составляющие
ускорений равны нулю и система (2.22) несколько упро¬
щается:
ди
дзГ
и
ди , да	1	др	,	у,
+ ш Л7"=	+
dv I dv , „ dv	1	др	,
“jr+?jr+wdT=-—w + Y->
dx
dw .
dy
dw
p dx
p
+*£=-rSM*-
(2.23)
dy 1 " dz	p	dz
В случае плоского установившегося (стационарного)
течения остаются два уравнения
ди | „ди 1 др j у.
Р Лс ‘	’
u^+vdf
„до -L r,dv	!	д£л-у'
дх * ду	р	ду '	‘
(2.24)
Наконец, при одномерном течении, когда параметры
потока и скорость зависят только от одной координаты,
система (2.23) сводится к одному простому уравнению
срг=—-Р-+Х.
йл	р	dXf
(2.25)
37
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Заметим, что в некоторых задачах газодинамики роль
массовых сил весьма мала и ими без большой погрешности
можно вообще пренебречь, считая X=Y=Z=0. Тогда для
одномерного течения
cdc——dp/ р.	(2.26)
Полученные уравнения движения совместно с диффе¬
ренциальным уравнением неразрывности, дополненные со¬
ответствующими начальными и граничными условиями, по¬
зволяют и принципе решить задачу о движении несжимае¬
мой идеальной жидкости в любом заданном канале или
задачу обтекания идеальной жидкостью любого заданного
тела.
В общем случае проинтегрировать уравнение движения
не удается. Однако ири некоторых дополнительных усло¬
виях такое интегрирование оказывается возможным. Для
этого введем в уравнения (2.23) составляющие вектора
угловой скорости о, добавив к левой части каждого урав¬
нения некоторые дополнительные члены.
К первому уравнению системы (2.23) добавим величины
±vdvjdх и	dw/dx, не нарушающие исходного равен¬
ства:
ди , dv | dw dv i да , da dw
“*+"*+“’ гг-Vzr+Vw+Wji-Ww=
= —-т^+Х-
р дх, ^
Члены в фигурных скобках легко приводятся к виду,
указанному под каждой скобкой, и, следовательно,
£(т)+тйг-*-й-«'-аи>-
Преобразуя второе уравнение движения, добавим к не¬
му члены ztudujdy и ±®dwjdy. Тогда
du , dv , dw , dv ди
+t’*r+“’3F+“sr'“3r
0у {‘2 )	2
 L££. + y
? (nJ
за
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
—2а

и
Аналогичным образом преобразуется и третье уравне¬
ние. В результате система (2.23) принимает вид, впервые
предложенный профессором И. С. Громеко в 1881 г.:
2.3.	Интегралы уравнений движения идеальной
жидкости
Для интегрирования уравнений движения предположим,
что массовые силы являются потенциальными и, следова¬
тельно, составляющие их по координатным осям могут
быть выражены через одну функцию.
Если потенциал массовых сил обозначить — U (х, у, г),
то
может быть представлен в виде полного дифференциала
от некоторой функции Р(х> у, z). Такую функцию всегда
можно ввести, если рассматривать давление р зависящим
только от плотности. Жидкость, для которой выполняется
это условие, называют баротроп и ой. Воздух или лю¬
бой газ можно считать баротропной жидкостью, если из¬
менение его состояния происходит изотермически или
адиабатически. Важным случаем адиабатного процесса
является пзоэнтропийный процесс dS=0. Для r=const
p/p = const. Для изоэнтропы p/pft = const, где к— показа¬
тель изоэнтропы.
Таким образом, для баротропной жидкости
X=dU/dx; Y=dU/dy\ Z=dU/dz. (2.28)
Примем далее, что трехчлен
Р -- J -f const.
(2.29)
39
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

После сделанных допущений умножим каждое уравне¬
ние системы (2.27) на dx, dy, dz соответственно и прове¬
дем сложение всех этих уравнений.
С учетом (2.28) и (2.29) получим
Легко убедиться, что определитель в правой части да¬
ет сумму всех членов системы (2.27). Действительно, рас¬
крывая его по первому элементу верхней строки, находим
dx(va>z—way), что соответствует правой части первого
уравнения рассматриваемой системы после умножения его
на dx.
Интегрирование уравнения (2.30) возможно в случае,
когда определитель обращается в пуль. Для этого необ¬
ходимо, чтобы либо все члены одной из строк или столбца
обратились в нуль, либо строки или столбцы оказались
пропорциональными друг другу.
Отсюда в следующих пяти случаях течения жидкости
возможно интегрирование уравнения (2.30):
1. u=v=w=c=0. Движение жидкости отсутствует и
(2.30)	выражает условие статического равновесия жидко¬
сти.
2. wx=<%—<ог=0. Движение жидкости безвихревое.
В дальнейшем такое движение будем называть потенци¬
альным, а интеграл (2.30), представленный в виде
— интегралом Эйлера.
Если из массовых сил рассматривать только силу тя¬
жести, то для потенциала U можно записать
Знак минус указывает, что направление массовой силы
противоположно положительному направлению оси z.
С учетом (2.32) интеграл (2.31) запишем в виде
Постоянная в правой части уравнения (2.33) имеет
одно и то же значение для всей области течения.
3.	dx/u=dylv=dz/w. Написанное условие пропорцио¬
нальности первых двух строчек определителя (2.30) пред¬
ставляет собой дифференциальное уравнение линии тока.
<г(4+Р-и) = 2
dx dy dz
a v w
<*х <йу
(2.30)
(2.31)
U=—gz.
(2.32)
(2.33)
40
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

В этом случае формально интеграл уравнения (2.30) бу¬
дет иметь вид (2.33), но постоянная интегрирования со¬
храняет свое значение только вдоль рассматриваемой ли¬
нии тока. При переходе к соседней линии тока эта посто¬
янная может изменяться.
4. dxl<s>x—dyl (Hy=.dz/(itz. Здесь интегрирование осущест¬
вляется вдоль вихревой линии и, следовательно, постоян¬
ная в (2.33) не меняется вдоль выбранной вихревой ли¬
нии, но принимает новое значение на другой линии.
Интегралы, получаемые при интегрировании вдоль ли¬
нии тока и вихревой линии, называют интегралами Бер¬
нулли. В дальнейшем будем уравнение (2.33) называть
интегралом Бернулли независимо от условий интегрируе¬
мости, оговаривая эти условия при необходимости особо.
5. u/(j)x=vl<i)y=w/<i)2. Пропорциональность членов вто¬
рой и третьей строчек определителя уравнения (2.30)
определяет особый вид течения, при котором линии тока
совпадают с вихревыми линиями. Такого рода течение на¬
зывают винтовым, и для него, так же как и в случае по¬
тенциального течения, постоянная интегрирования в инте¬
грале (2.33) остается неизменной во всем поле течения.
В случае несжимаемой жидкости уравнение (2.33) при¬
нимает особенно простой вид (/«з?р/ р=р/р)
c2/2+p/p-{-gz=const	(2.34)
и выражает по существу закон сохранения энергии: сумма
кинетической (с2/2) и потенциальной (p/p+gz) энергий
остается постоянной вдоль вихревой линии или линии то¬
ка, а при безвихревом (потенциальном) или винтовом дви¬
жении энергия постоянна во всем поле течения жидкости.
В случае сжимаемой жидкости необходимо воспользо¬
ваться зависимостью плотности от давления. Для изо-
энтропийных процессов связь между указанными парамет¬
рами дается уравнением изоэнтропы р/рк=А. Отсюда пос¬
ле формального дифференцирования
dp=kpk-lAdp	(2.35)
и подстановки (2.35) в (2.33) получаем
~ -f Ak J р*-'-{- gz=c°nst.
Заменим далее постоянную А ее значением (A=p/pk)
'T+F=Tf‘ + ^==cons<'	(2'36)
41
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Если пренебречь силой тяжести, что для газодинамики
вполне допустимо, то интеграл Бернулли (2.36) для сжи¬
маемой жидкости примет вид
= const,	(2.37)
которым мы будем в дальнейшем пользоваться довольно
часто.
2.4.	Уравнения движения вязкой жидкости (уравнения
Навье — Стокса)
Уравнения движения, записанные с учетом сил вязко¬
сти, существенно усложняются, так как в этом случае по¬
верхностные силы не могут быть выражены в столь про¬
стой форме, как при выводе уравнений Эйлера.
Указанные уравнения в проекциях на оси координат
сохраняют вид (2.20). В отличие от идеальной жидкости
поверхностные силы в общем случае направлены не нор¬
мально, а под произвольным углом к выделенной пло¬
щадке.
Имея в виду сказанное, выделим в жидкости элемен¬
тарный прямоугольный параллелепипед и найдем состав¬
ляющие результирующей поверхностной силы, действую¬
щие на площадки, перпендикулярные координатным осям.
Для ясности на рис. 2.3 указаны только силы, действующие
на гранн, перпендикулярные осям х и г.
д„	Еще раз обратим внимание на
fh+Tzdz о т0> ЧТ0 ПРИ Учетс вязкости р* не
1тхг/\ равно давлению р и является
г?! векторной величиной, а нижний
4—индекс указывает ось, перпенди¬
кулярно которой располагается
рассматриваемая грань, а не про¬
екции сил на эту ось. Следова¬
тельно, составляющая поверхно¬
стных сил, действующая на гра¬
ни, перпендикулярные
n+zz*ctx
Рис. 2.3. Схема действия
вектора поверхностной си¬
лы на грани, перпендику¬
лярные осям х и у
оси х, равна j~dxdydz;
dp
оси у, равна ^dxdydz\
оси z, p&ma^-dxdydz.
42
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Отсюда полный вектор поверхностной силы Р, отнесен¬
ный к единице объема dV=dxdydz, есть
P=dp.x/dx+dpyfdy-\-dpzldz.	(2.38)
Разложим каждую из векторных величин р*, ру, pz по
координатным осям (на рис. 2.3 показано разложение век¬
торов рх- и р2). Это разложение определяется формулами
(1.1а), (1.16) и (1.1в).
Подставив систему (1.1) в выражение (2.38), получим
разложение поверхностной силы по осям координат:
Внесем составляющие поверхностной силы в уравнения
движения (2.20). Тогда
В идеальной жидкости все касательные напряжения от¬
сутствуют (туг/=ту2=т2л:=0), а нормальные напряжения
равны друг другу, причем отрицательное значение каждо¬
го из этих напряжений, как уже отмечалось, называют
давлением в жидкости.
Для реальной жидкости, обладающей трением, введем
в рассмотрение среднее арифметическое из трех нормаль¬
ных напряжений и эту величину со знаком минус также
будем называть давлением жидкости:
Три уравнения системы (2.40) содержат шесть состав¬
ляющих тензора напряжения, и эти составляющие необ¬
ходимо как-то связать с составляющими скорости ы, v, w.
Такая связь может быть установлена на основе следую¬
щих соображений. Если к какому-то объему приложены
силы, то в общем случае под их действием происходит де¬
(2.39)
р,
г
(2.40)
О— (1/3) ((Ьг+СГу+Ог)——Р•
(2.41)
43
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

формация этого объема, характеризуемая тремя относитель¬
ными удлинениями и тремя углами сдвига. Для твердых
тел напряжения пропорциональны относительным дефор¬
мациям (закон Гука), а в жидкостях — скоростям относи¬
тельных деформаций (закон Ньютона — Стокса). Следова¬
тельно, установив связь между напряжениями и деформа¬
циями на основе закона Гука путем элементарных замен,
легко перейти к аналогичным связям в жидкой среде.
Обозначим ел-, ev, &z относительные линейные деформа¬
ции для твердого тела, а для жидкости под этими вели¬
чинами будем понимать скорости относительных линейных
деформаций [зависимости (1.12)]. Угловые деформации
обозначим уху, ууг, угх, понимая под иими для жидкости
скорости угловых деформаций [зависимости [1.19)]. Тогда
для касательных напряжений искомая связь определяется
элементарными соотношениями
rXy—Gyxy; тyz=Gyzy-, rzx—Gyzx,	(2.42)
где коэффициент пропорциональности G является модулем
сдвига.
Более сложная связь между величинами а и е<, так как
сила, действующая, например, вдоль оси х, не только вы¬
зывает растяжение вдоль нее, но и приводит к сжатию
по двум другим осям.
Так, напряжение а* вызовет следующие деформации:
вдоль оси х	вдоль оси у	вдоль оси г
*’х = °х!Е	6'у	= + °х!пЕ 8 'г= —
Деформации от напряжения ау будут соответственно
равны
е"х=—оу!пЕ) е"у—Оу1Е; г"г=—оу[пЕ.
Наконец, от напряжения <тг получим
/ 7?	»	р	fff	у	—
=—oJnE-, = — ozjnE;	sg = - ог}Е.
Общая деформация по каждой из трех осей найдется в ре¬
зультате суммирования всех ее составляющих:
^ = % + £^+8x ='Т“Я1‘(04г + 0г);	(2.43а)
<+ % + %" = ТГ - Ш (V+	<2-43б>
•* = %+ % + 8Г = Ц- («* +	(2-43в)
44
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Здесь « — коэффициент поперечного сжатия (величина,
обратная коэффициенту Пуассона), а Е — модуль растя¬
жения, связанный с модулем сдвига соотношением
Уравнения (2.43) позволяют однозначно связать каж¬
дое нормальное напряжение с линейными деформациями
и модулем сдвига О. В результате решения указанной си¬
стемы уравнений получим
Понимая под величинами ех, еу, ez, уху, у у г, угх скоро¬
сти относительных деформаций, используя в качестве коэф¬
фициента пропорциональности не модуль сдвига G, а ди¬
намическую вязкость ц и имея в виду, что <т=—р, а е =
= divc, запишем уравнения движения (2.40) (уравнения
Навье — Стокса) в окончательном виде:
Для математической формулировки задачи эти уравне¬
ния необходимо дополнить уравнением неразрывности
для сжимаемого потока, уравнением состояния, уравне¬
нием энергии, если рассматривается нсизотермическое
изменение состояния газа, и, наконец, эмпирической зави¬
симостью между вязкостью ц и температурой Т.
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
E = 2^tlo.
(2.44)
о, = o + 2G.,-(2/3)0*; '
Оу = о + 2 Gsy — (2/3) Ge;
ог = о + 2Gs2 — (2/3) Ge.
(2.45)

(2.47)
Для несжимаемой жидкости достаточно четырех урав¬
нений, причем сами уравнения Навье — Стокса заметно
упрощаются и принимают вид
/ dv	.	dy j dv ш dv \
>{-w+u*r+'’w+uTirr
 у	др	I f d*v , д*о , дгу \
ду	‘г1* ^ дхг ~i'dyi т дгг )'
I dw . dw , dw , А» \	_	до
f (w+u ir+t’T!+w w)=*-£-+
,	f	d2w д2ш\ ^
’'V*	\dx21 Iffi'dz2) 9
da \ dv dw Л
dx f~dy >'dT~ ’
Написанные уравнения движения при использовании
оператора Лапласа легко объединяются в одно векторное
уравнение
pdcJdt^fA—gradp+цДс.	(2.48)
Для решения конкретных задач необходимо опреде¬
лить граничные условия. В данном случае эти условия вы¬
текают из гипотезы прилипания жидкости к обтекаемой
поверхности, согласно которой как нормальная сп, так и
тангенциальная составляющие скорости на поверхности
обтекаемого тела должны обратиться в нуль.
Укажем, наконец, что для однородной жидкости при
отсутствии свободной поверхности массовые силы (вес)
уравновешиваются гидростатической подъемной силой и,
если под давлением р понимать разницу между действи¬
тельным давлением и давлением в состоянии покоя, эти
силы совершенно выпадают из уравнений движения. Тогда
pdc/dt=—grad р+цДс.
Для стационарного течения
р (cgrad) с=— gradp+цДс.
(2.49)
(2.50)
Дальнейший этап упрощения уравнений Навье — Сток¬
са состоит в переходе от общего, течения к более простому
48
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

йлоскому течению несжимаемой жидкости, для которого
система (2.47) принимает вид
При решении многих практически важных задач, таких,
например, как расчет течения в элементах турбомашин,
более целесообразным оказывается использовать не декар¬
товы, а цилиндрические координаты.
Если обозначить радиальную координату г, окружную
0, а осевую г и проекции скорости на эти координаты ст,
се, сг, то, выполнив переход от прямоугольной системы
координат к цилиндрической, получим для несжимаемой
жидкости вместо уравнений (2.47) следующую систему:
2.5.	Уравнение энергии
Уравнение энергии представляет собой математическую
формулировку закона сохранения энергии применительно
к жидкому элементу: изменение кинетической и внутренней
энергии жидкого элемента равно работе всех внешних сил
и подведенного количества теплоты.
Выделим элементарный жидкий объем в виде парал¬
лелепипеда со сторонами dx, dy, dz и найдем работу по¬
верхностных сил, действующих по граням параллелепипе¬
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
/д*с9 1 дс9 св 1 д2св 2 дсг V
"г"** \ дг* ~1’ г дг г* + г* д0* •“ г* д% ~t~ дг* )’
47

да за единицу времени. В общем случае вязкой жидкости
в расчет следует принимать работу, обусловленную тремя
нормальными напряжениями сх, оу, ог и тремя касатель¬
ными напряжениями хху, хуг, хгх.
Вычисляя работу сил, действующих на грани, перпен¬
дикулярные оси х, получаем для нормальных сил
(e* W clx) dzdy (й ЗГ dx) ~ °* dy dzu =
сила на правую грань смещение лразой грани работа силы, действую*
в едашцу времени щей на левую грань
—Ш (°x“)dxdydz.
Работа касательных сил на этих гранях будет равна
д	О
57 (4xzw)dx dydz и	(%xyv) dx dy dz.
Определяя аналогичным образом работу сил, действую¬
щих па гранях, перпендикулярных осям у и г, получаем
полную работу, совершенную поверхностными силами, в
следующем виде:
[О	д
М + w* +	+of (Vй+V + v*0 +
+ J- (*«« + *zyv + o2to)j dx dy dz.	(2.53)
Работа массовых сил, имеющих составляющие по осям
координат X, Y, Z,
2,Au=(Xu+Yv+Zw)(>dx dy dz.	(2.54)
В результате сформулированный выше закон сохране¬
ния энергии может быть записан в виде следующего урав¬
нения:
±fSL + CvT^ pdxdydz = HAm+'MH+Q9dxdydz. (2.55)
Здесь Q — количество теплоты, передаваемой в единицу
времени единице массы; cvT=W — внутренняя энергия,
1(с2/2) —кинетическая энергия единицы массы.
Подставив (2.53) и (2.54) в (2.55), получим дифферен¬
циальное уравнение энергии
р -Ж (-Г + С«Т)=9 (*“+Уо+Zw) + 5F	+ V*«v +
+	<	V*	+	V + V®) +
-!- J"	+ 'zyV + e«w) + PQ-	(2-56)
48
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Введем далее в рассмотрение удельную энтальпию дви¬
жущегося газа h — CpT. С этой целью прибавим к левой и
правой частям уравнения (2.56) одну и ту же величину
Здесь ho=c2/2+h — полная удельная энтальпия затор¬
моженного газа.
Кроме того, выразим количество подведенной теплоты
Qpdx dy dz через удельное количество теплоты q, переда¬
ваемой на единицу поверхности выделенного элемента в
единицу времени, т. е. через плотность теплового потока.
Эта теплота, подведенная к граням, перпендикулярным оси
х, равна
Приток теплоты в направлении
оси у равен —(dqy/dy)dx dy dz;
оси z равен — (dqz/dz)dx dy dz.
Таким образом, суммарное количество теплоты, восприни¬
маемой жидким элементом,
Вектор плотности теплового потока q однозначно свя¬
зан с абсолютной температурой Т законом Фурье q=
= —Xgradf, где Я — теплопроводность.
В результате получаем pQ=div(Xgradr).
С учетом всех преобразований запишем (2.55) в виде
РТ} = РГ Ж (т) +7Г - diV£C + diV£C +
4	1	О
+S- (Р^с) + 5J- <1>*с)+ df G>*c) + РМс+ div (1 pad Т).
Тогда левая часть (2.56) преобразуется к виду
— [яхЛ'Ъ? dx'j dydz-\~qxdydz= — ^dxdydz.
pQdxdydz= —	J)	dxdydz.
Отсюда
4-3331
49
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Можно показать, что
»т(г) i-fc-<“»<*>=%.
Тогда
р ж=3г + di'v с Р + рМс + [яг ^*с)+
-Ь^Р, с) +£(р2с) ] -j-div (Я grad Т).	(2.57)
Отсюда следует, что при стационарном движении жид¬
кости, отсутствии теплопроводности и в случае, когда век¬
тор массовых сил ортогонален вектору скорости, измене¬
ние энтальпии полного торможения равно нулю*:
pdho/dt=0 или c2/2 + /i=Ao=const.	(2.58)
Легко заметить, что частная формула уравнения энергии
(2.58) тождественная уравнению Бернулли (2.37) для сжи¬
маемой жидкости. Действительно,
и-сТ-с Р - cr Р - k Р
П—Ср1 —ср ^	р	•
Полученный результат является следствием того, что
при изоэнтропийном течении интегралы уравнений количе¬
ства движения и энергии совпадают и для изучения таких
течений из трех законов сохранения необходимы только
два (массы и количества движения). Необходимо, однако,
подчеркнуть справедливость уравнений (2.37) и (2.58) не
только для изоэнтропийного течения, но и для течения с
трением, так как в последнем случае вся работа трения
переходит в тепловую энергию и эти две составляющие
общего уравнения энергии взаимно компенсируются. В ре¬
зультате полная энергия частиц, движущихся при устано¬
вившемся течении вдоль своей линии тока, остается неиз¬
менной.
Если векторы поверхностных сил заменить соответст¬
вующими скоростями относительных деформаций, то вме¬
сто (2.57) получим
PW~W ~Ъ div ^ grad —Г1* (giv с)2 — Р div с+Ф. (2.59)
* Здесь принято во внимание, что при отсутствии теплообмена ра¬
бота сил трения эквивалентна внутреннему тепловыделению.
50
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Здесь функция
.dw ^£\2	,	dw \2|
’* [dxT гдг J 1	*	dy~J J’
определяющая диссипацию энергии, называется диссипа¬
тивной функцией.
В дальнейшем для задач, рассматриваемых в настоя¬
щем курсе, будем в основном использовать частную фор¬
му уравнения энергии (2.58).
Глава третья
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
3.1.	Основные уравнения одномерного потока
Для одномерных потоков характерно изменение всех
параметров течения только в одном направлении. Это
обстоятельство существенно упрощает все исходные урав¬
нения и позволяет учесть и проанализировать влияние раз¬
личных внешних воздействий на структуру потоков. К та¬
ким воздействиям можно отнести подвод или отвод тепло¬
ты, массы, механической работы, конденсацию, испарение
и т. д.
Одномерным можно считать течение жидкости в канале
с плавно изменяющимся поперечным сечением и малой
кривизной его оси. Одновременно вводится допущение о
постоянстве всех параметров потока в поперечном сечении
каналов либо вместо действительных величин используют¬
ся их усредненные значения*. Полученные в рамках такой
простейшей модели решения, естественно, носят прибли¬
женный характер, но во многих случаях достаточно хоро¬
шо совпадают с опытными данными. Уравнения одномер¬
ного течения жидкости являются частным случаем общих
уравнений сохранения, представленных в предыдущей
главе.
Уравнение неразрывности. При сделанном выше пред¬
положении о постоянстве параметров в поперечных сече¬
ниях канала уравнение неразрывности в форме (2.16),
* Вопросы усреднения рассматриваются далее, в § 3,8.
4*	51
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

записанное для двух произвольных сечений при отсутствии
массообмена с внешней средой, принимает вид
FipiCi=F2p2C2.	(3-1)
Для несжимаемой жидкости (р=const) FiCi=F2c2. В не¬
которых случаях используется логарифмический диффе¬
ренциал	от	уравнения (2.16)
dp/p+dcIc+dF/F=0.	(3.2)
При наличии массообмена с внешней средой формула
(2.16) имеет смысл только локальной связи между пара¬
метрами в данном сечсшш, а логарифмический дифферен¬
циал принимает в этом случае вид
dm/т=dp/p+dcfc-\- d FjF,	(3.2а)
где полное	изменение массы dm представляет собой	сум¬
му всех массовых воздействий, т. е. отвода или подвода
массы.
Уравнение количества движения. Это уравнение для
одномерного, установившегося, энергоизолированного тече¬
ния при отсутствии массовых сил непосредственно следует
из уравнений Эйлера (2.23)
0* = -^. (2-*)
При наличии внешних воздействий и массообмена уравне¬
ние количества движения усложняется. Для его вывода
рассмотрим элемент канала, изображенного на рис. 3.1, и
приравняем секундные импульсы всех действующих сил,
приложенных к этому элементу, изменению количества
движения:
pF+pdF— (p+dp) {F+dF)—Xv4S—?,dX(=
= (m+2dmi) (c+dc)—2,dmici—mc.	(3.3)
Здесь тw — напряжение трения, действующее на элемент
боковой поверхности канала dS\ 2,dXi—сумма секундных
импульсов сил внешнего воздействия; a, drtii — проекции
скорости на направление основного потока и массовый
расход подводимой (или отводимой) жидкости; с, т — ско¬
рость и расход основного потока соответственно.
После очевидных сокращений
Fdp + ra/ds+mxl = 'Мщс1	(3.4)
Легко видеть, что при отсутствии внешних воздействий,
сил трения и массообмена приходим к уравнению (2.26).
62
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Его интегралом является по¬
лученное выше уравнение Бер¬
нулли для баротропной жид¬
кости с2/2+ J fifp/p=const.
Уравнение энергии. При од¬
номерном течении идеальной
жидкости в изолированной
трубке тока, т. е. при отсутст¬
вии теплообмена и подводимой
или отводимой работы, урав¬
нение количества движения в
форме (2.37) и уравнение
энергии тождественны.
Таким образом, в рассма¬
триваемом случае уравнение
энергии для сжимаемой идеальной жидкости имеет вид
(2.37): c2/2+[k/(k—1)](р/р)= const или (2.58) c2/2+h—
=const.
Записывая (2.58) для сечения, где скорость уменьшает¬
ся до нуля и, следовательно, поток тормозится, найдем вы¬
ражение для постоянной в правой части. Эта постоянная
может быть представлена различными способами:
К = с,т. = ^Ь = const.
Здесь ho — энтальпия заторможенного потока или его пол¬
ная энергия; ро, ро, Го —параметры заторможенного пото¬
ка или параметры полного торможения. При полном тор¬
можении потока вся кинетическая энергия переходит в
теплоту и температура То, так же как и энтальпия, имеет
одно вполне определенное значение. Давление торможения
Ро и плотность ро могут принимать любые значения, но их
отношение	ро/ро	должно оставаться	постоянным.	При
использовании параметров торможения уравнение энергии
можно записать следующим образом:
c2/2+h-h0;	(3.5)
il | k P !_A..
2	‘‘*—1 p k— 1 p4	’	'd0a'
c2/2+CpT=cpT(s.	(3.56)
Зависимости (3.5), (3.5a) и (3.56) показывают, что в уста¬
новившемся энергоизолированном потоке сумма кинетиче¬
ской и потенциальной энергии, отнесенной к единице дви¬
жущейся массы	жидкости, остается	постоянной	вдоль
трубки тока.
53
Рис 3 L Движение жидкости
в канале с внешними воздейст¬
виями
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Как уже отмечалось, формально уравнение (3.5) спра¬
ведливо и при энергетически изолированном течении жид¬
кости с трением. В этом случае вся работа, совершаемая
силами трения, полностью переходит в теплоту и тогда
добавочные члены, которые следовало бы включить в (3.5),
взаимно компенсируются.
В случае внешних воздействий уравнение энергии для
жидкого элемента, изображенного на рис. 3.1, записывает¬
ся в следующем виде:
т (dQ — dLT) = nt(h-\-dh)-\- 1Sdmihi — (nth -j- ЛсЬп^)
+ (m + 1dmi)	-f d j —	~	—S,
или
« - 1L,	(f)	.“L	„	(4),
(3.6)
где dQ — количество теплоты, подводимой к единице мас¬
сы жидкости от внешних источников; dLT — механическая
работа, совершаемая потоком жидкости против внешних
сил; h — энтальпия основного потока; hi — энтальпия вво¬
димых потоков. Остальные обозначения те же, что и в (3.4).
3.2.	Скорость звука
Под скоростью звука а понимают скорость распростра¬
нения малых возмущений.
Сопоставляя скорость движения жидкости с со ско¬
ростью звука а, все течения можно разбить на дозвуковые,
для которых с<й, и сверхзвуковые, для которых с>а.
Подобное деление течений на две группы обусловлено
принципиально различным поведением дозвуковых и сверх¬
звуковых потоков. Кроме того, сравнение абсолютной ско¬
рости потока со скоростью распространения малых возму¬
щений (со скоростью звука) дает основание для оценки
той границы скоростей, где еще можно считать жидкость
несжимаемой и не учитывать в расчетах изменение ее
плотности.
В качестве такой границы принята скорость потока, со¬
ставляющая 30% скорости звука (с=&0,3а). Жидкость счи¬
тается несжимаемой, если с^0,3а. При с>0,3а говорят о
течении сжимаемой жидкости. Приведенное деление, вооб¬
ще говоря, условно и связано с допускаемой погрешностью
в технических расчетах. Для некоторых задач влияние
54
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

сжимаемости не учитывается
при с<0,5 а. В этом случае,
естественно, нарастает и по¬
грешность расчета. Из сказан¬
ного ясно, что правильная
оценка скорости звука предоп¬
ределяет не только методы ре¬
шения газодинамических за¬
дач, но и правильность оконча¬
тельных результатов.
Для вывода расчетных фор¬
мул рассмотрим движение
плоской звуковой волны в трубе постоянного сечения
(рис. 3.2). Пусть в момент времени t—h звуковая волна
занимает положение А—А. Через промежуток времени dt
фронт волны продвинется вдоль оси х на расстояние dx и
займет положение В—В. Скорость распространения звуко¬
вых волн а в этом случае будет
a=dx/dt.
Рассмотрим далее объем А—А—В—В, ограниченный
двумя выделенными волнами, и применим к нему закои о
сохранении количества движения, не учитывая сил трения
жидкости о стенки канала.
Под действием перепада давления dp через сечение
А—А внутрь объема втекает жидкость со скоростью dc.
Движение жидкости через сечение В—В отсутствует, так
как это сечение определяет положение звуковой волны че¬
рез промежуток времени dt и отделяет возмущенную зву¬
ковыми волнами жидкость от невозмущенпой. Изменение
количества движения выделенного объема mdc должно
быть равно импульсу внешних сил, приложенных к этому
объему. В данном случае в качестве внешних сил рассмат¬
ривается только повышение давления в звуковой волне dp.
Следовательно, mdc=dpFdt, где F — поперечная пло¬
щадь канала.
Заменяя массу т произведением плотности р на объем
dV—F dx, получаем рF dc dx—dpF dt, или
dp=рdc dx/dt=pa dc.	(3.7)
Для оценки скорости движения жидкости dc через се¬
чение А—А воспользуемся законом сохранения массы.
Поскольку жидкость, втекающая в рассматриваемый
объем, не имеет стока (остается внутри объема), это при-
55
I А d \
Ьу/.	/.'//у//////А
dp
dc
dx
//////> }>У J J J S'*}, / s////'////
Рис 3 2 Распространение ма¬
лых возмущений в канале
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

водит к повышению ее плотности на величину dp.
С учетом сказанного
pFdcdt = Fdxdp.
масса, вошедшая внутрь изменение массы
р осматриваемого объекта за счет притока
иод действием звукового дополнительной
давления	массы
Отсюда
dc = (dx/dt) (dp/p) —adpfp.	(3.8)
Подставляя (3.8) в (3.7), получаем
dp—pa2dplp=a2 dp.
Таким образом, скорость звука определяется следую¬
щей зависимостью:
a — Ydpjdp.	(3.9)
Соотношение (3.9) имеет смысл, если давление является
функцией только плотности р, т. е. для баротропной жид¬
кости.
Процесс распространения звуковых волн можно с до¬
статочной точностью считать изоэнтропийным. Тогда из
уравнения изоэнтропы
р/р*=const	(3.10)
следует, что dp~kp*+,const и dp/dp—&p*-!const.
Заменяя постоянную выражением (3.10) и имея в виду
(1.3), находим связь скорости звука с параметрами потока:
а =	(3.11)
Из соотношения (3.11) вытекает однозначная связь
скорости звука с абсолютной температурой потока: чем
выше температура, тем больше скорость распространения
звуковых волн.
3.3.	Характерные скорости и относительные
параметры течения в произвольном сечении
одномерного потока
Анализ уравнений энергии (3.5), (3.5а) и (3.56) пока¬
зывает, что скорость потока не может расти беспредельно,
а ограничивается некоторой максимальной величиной
Смаке, которая достигается при полном переходе всей рас¬
полагаемой энергии в кинетическую. Ясно, что при этом
потенциальная энергия, характеризуемая вторым членом
56
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

в левой части уравнения энергии, оказывается равной ну
лю. Следовательно,
-V2*.= y,2IiTfiL=Vr
о кКГ,
(3.12)
Полученная скорость будет в дальнейшем называться
максимальной скоростью. Указанная величина
может быть выражена и через скорость звука в затормо¬
женном потоке До. Используя зависимость (3.11), преобра¬
зуем уравнение (3.5а) к виду
е2/2+а2/(*-1) -a2ol(k—\)—ho.	(3.13)
Отсюда
с^=аУ2Цк- 1).	(3.14)
Физически максимальная скорость соответствует истече¬
нию в абсолютный вакуум (h—О, р—О, Т=0). Практически
такая скорость недостижима, так как с приближением к
Смаке разрежение газа становится очень большим и к рас¬
сматриваемому потоку уже нельзя применять уравнение
состояния и уравнение энергии в известной нам форме.
Таким образом, максимальная скорость является теорети¬
ческим пределом для скорости газа. Используя зависи¬
мость (3.14), запишем (3.13) в следующем виде:
c2/2+a2/(k—l) — £2макс /2.	(3.15)
Из формулы (3.13) может быть получено еще одно выра¬
жение для постоянной в правой части уравнения энергии.
Предположим, что истечение жидкости происходит в абсо¬
лютный вакуум, т. е. скорость имеет возможность роста до
максимального значения. Изобразим на рис. 3.3 качествен¬
ную картину изменения скорости потока и скорости звука
вдоль такого воображаемого канала. Скорость потока бу¬
дет увеличиваться от нуля до смакс, а скорость звука —
падать от ао до нуля. Ясно, что
в этом случае обе рассматри¬
ваемые кривые неизбежно пе¬
ресекутся в некоторой точкеА,
где скорость потока станет
равной местной скорости зву¬
ка.
Указанная скорость потока,
имеющая важное значение во
всех газодинамических иссле¬
дованиях, получила название	Рис- 33 Изчеиекиескооосги
коитической Соответст-	потока и скорости звука <при
критическом, ьоответст	истечении жидкости в абсо-
венно сечение, где эта ско-	лютный вакуум
57
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

рость достигается, и параметры в этом сечении назовем
критическими, Все критические величины в дальней¬
шем будем помечать звездочками в нижнем индексе (с*,
Р*>	F*).
Таким образом, критическая скорость —это скорость
потока, равная местной скорости звука, т. е. в критическом
сечении с=а = с*.
Записывая (3.13) для критического сечения, получаем
^ sk .	k + 1	/л	•*	л\
«™ -гст=4-гт- (з|6>
Отсюда следует, что критическая скорость, так же как
и максимальная скорость, полностью определяется пара¬
метрами полного торможения и выражается через них с
помощью следующих соотношений:
— а{
(317)
Заменяя правую часть в (ЗЛЗ) соотношением (3.16),
приходим к еще одной важной записи уравнения энергии:
I Я2  & “1“ 1 С2* ж	^0
Пользуясь уравнением энергии, выразим параметры по¬
тока в произвольном сечении трубки тока через параметры
торможения и скорость в этом сечении.
Воспользуемся формулой (3.18) и разделим все ее чле¬
ны на с2. Тогда
1 , О? 1	I k 1 С2*	/Q	1
2	с2 6—1—	2 6—1 с2 ‘
В полученном соотношении абсолютная скорость выра¬
жена в долях местной скорости звука и в долях критиче¬
ской скорости. Обозначим полученные безразмерные ско¬
рости М.—с/а и Я=с/б\*. По смыслу введенных обозначений
число М дает соотношение между кинетической и потен¬
циальной энергией потока, а число X определяет соотноше¬
ние кинетической и полной энергии. Отсюда, учитывая
формулы (3.12) и (ЗЛ7), легко найти пределы изменения
рассматриваемых безразмерных скоростей:
0<М<оо; 0<Ж/(Л+1)/(*-1).
58
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Связь между ними непосредственно следует из соотно¬
шения (3.19):
м'-гтт.-е-о'учи-!)-	(3'W)
Запишем далее уравнение энергии в форме (3.56) и разде¬
лим его левую и правую части на срТ:
с2,(2срТ) -j- 1 —TJT или, так как ср = kR'(k	1),
SLbzlj | —ls_
2 кКГ >	7	*
Поскольку kRT=a2,
(3.21)
Используя уравнение состояния и уравнение изоэнтро-
пы, легко устанавливается связь относительного давления
ро/р и относительной плотности ро/р с безразмерной ско¬
ростью М. Действительно,
Z® A_J A
7 ~~ Р Ро Р \Ро / \Р )	\	9	)	Р*	—Ч	Р /	’
Отсюда
k	к
1 +	(3.21а)
^=^ГЙ=^1 + izLLM*)^.	(3.216)
Аналогичным образом устанавливается связь рассмат¬
риваемых параметров и с числом К. В этом случае уравне¬
ние (3.56) необходимо разделить на срТ0 и сделать очевид¬
ную замену 2kRT0 = c2*(k + l), вытекающую из соотноше¬
ния (3.17). В результате
т
Т, ■
— 1 к~ ! Я2-
Л-И
(3.22)
k
{'-l+\lT"
—=1
Ра 1
(3.22а)
—=1
Ро ’
(' U-'г'Г-
(3.226)
59
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Полученные формулы устанавливают однозначную
связь между относительными параметрами потока и без¬
размерными скоростями и имеют важное практическое
значение, так как дают возможность ио любому безраз¬
мерному параметру иайти все остальные величины. Необ¬
ходимо отметить, что зависимости (3.21) и (3.22) справед¬
ливы не только при изоэнтропийиом течении, но ими мож¬
но пользоваться и при течении с энергообмеиом. Однако в
последнем случае применять их можно только локально в
той или иной точке фиксированного сечения потока, при¬
чем под ро и ро понимаются параметры изоэнтропийного
торможения в данной точке.
3.4.	Распределение параметров потока вдоль канала
произвольной формы
Характер движения жидкости в каналах определяется
степенью внешних воздействий на нее. В практике мы наи¬
более часто сталкиваемся с геометрическим воздействием,
когда имеет место только изменение проходной площади
канала. Этот случай оказывается и наиболее простым для
анализа.
Из уравнения неразрывности
dp/p + dc/c+dF/F=0	(3.2)
исключим с помощью уравнения количества движения
(2.26)	член, учитывающий изменение плотности. С этой
целью запишем (2.26) в виде
cdc — —	i*L	—	_	i(lL
Р d? Р	Р
Отсюда
йр/р=—с dc/а2.	(3.23)
Подставим (3.23) в (3.2), тогда
*L(Me—1) = ^-	(3.24)
Заменим далее безразмерную скорость М на X по соот¬
ношению (3.20) и разделим левую и правую части на dx.
В результате получим обыкновенное дифференциальное
уравнение, связывающее изменение скорости с изменением
площади:
Л x(i-Гр**) 1 dF
dx=	F dx *	'
60
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Уравнение (3.25) можно проинтегрировать, ио анализ
удобнее вести в дифференциальной форме. Так, из (3.25)
следует, что скорость достигает своего экстремального
значения (dX/dx:=0) при: Я=0;А = К(£+ 1)/(^ “ 0 = ^макс1
dFJdx = 0.
Первый случай соответствует неподвижному газу и не
представляет интереса. Во втором случае А=Амакс и даль¬
нейшее увеличение скорости невозможно. Третий случай
даст экстремальное значение скорости, если Хф1, и пока¬
зывает, что это ее значение может быть получено только в
сечении, где достигается экстремальное значение площади
(dF/dx=0).
При А=1 и dF-т^О dX/dx-^oo, что означает бесконечный
разрыв скорости и, следовательно, в сечениях, где dF/dx=£
Ф0, переход через скорость звука физически невозможен.
Случай, когда dF/dx=0 и А,= 1, требует особого анали¬
за, который показывает возможность существования точки
перегиба на кривой Я(дг), если сечение канала имеет в
этом месте минимум площади. Здесь dXФ(i и дозвуковой
поток переходит в сверхзвуковой, а сверхзвуковой стано¬
вится дозвуковым. Заметим, что полученный вывод фор¬
мулирует только необходимое, но не достаточное условие
перехода через критическую скорость.
Для осуществления такого перехода необходим опреде¬
ленный перепад давления, зависящий от степени расшире¬
ния канала после минимального сечения. При меньшем
перепаде за минимальным сечением вновь начнется тормо¬
жение потока и кривая А(я) будет в этом сечении иметь
только точку максимума.
Сказанное может быть наглядно продемонстрировано
графически. На рис. 3.4 приведены две диаграммы, соот¬
ветствующие изменению скорости в канале, имеющем
Рис. 3 4. Изменение скорости в канале с максимальным (а) и мини¬
мальным (б) промежуточными сечениями
61
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

внутри максимум площади (рис. 3.4,а), и в канале с Мини¬
мальной площадью (рис. 3.4,6). Условно горизонтальная
линия А=1 делит плоскость течения на сверхзвуковую
область (вверх от этой линии) и на дозвуковую. Посколь¬
ку в уравнении (3.25) Я>0, 1 — [{к—1)/(6+1 )]Я2>0, знак
производной dXjdx определяется знаком dF/dx и знаком
члена (Я2—1). В дозвуковой области (к2—1)<0 и знак
изменения скорости противоположен знаку изменения пло¬
щади. В сверхзвуковой области (Я2— !)>0 и закон изме¬
нения скорости совпадает с законом изменения площади.
Из приведенных кривых видно, что в первом случае
(рис. 3.4,а) как в дозвуковой, так и в сверхзвуковой обла¬
сти с приближением к максимальному значению площади
скорости удаляются от значения Я=1 и в таком канале
переход через скорость звука оказывается принципиально
невозможным.
Наоборот, в канале, имеющем минимальное сечение,
скорости в обоих рассматриваемых случаях приближаются
к скорости звука и при определенных условиях в этом
сечении совершается переход через скорость звука.
Из уравнения (3.25) видно, что нет принципиальной
разницы, с какой стороны происходит переход через ско¬
рость звука. Однако далее будет показана физическая не¬
возможность плавного торможения сверхзвукового потока
и, следовательно, на рис. 3.4,6 реальным оказывается толь¬
ко ускорение потока от дозвуковых скоростей до сверх¬
звуковых.
Используя зависимости (3.22), (3.22а) и (3.226), легко
найти значения критических параметров, подставив в эти
формулы значение Я=1. Тогда
Следовательно, относительные критические параметры
определяются только физическими свойствами жидкости.
В частности, для воздуха 6=1,4 и критическое отношение
давления е„=р*1рв—0,528. Для перегретого пара 6=1,3;
е* = 0,546. Значения е* позволяют в каждом конкретном
случае судить о характере движения жидкости. Если в
62
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
(3.26)
(3.26а)
7\	2_
k 1'
(3.266)

какой-то точке известно локальное значение ег=р*/ро, то
при 8i<e* течение сверхзвуковое, а при е*>г* дозвуковое*
Для физического объяснения полученного формального
условия перехода через скорость звука необходимо про*
анализировать характер изменения скорости и плотности
потока как в дозвуковой области течения, так и в сверх¬
звуковой.
Если Я<1, то интенсивность изменения плотности от¬
стает от интенсивности нарастания скорости и для обеспе¬
чения постоянства массового расхода в различных сече¬
ниях канала при росте скорости необходимо уменьшение
проходной площади. Другими словами, здесь площадь и
плотность компенсируют возрастающую скорость и таким
образом сохраняется постоянство массового расхода.
При Я>1 происходит интенсивное понижение плотно¬
сти, которое не может компенсироваться нарастанием ско¬
рости, и постоянство массового расхода при условии даль¬
нейшего нарастания скорости вдоль канала может быть
достигнуто в энергоизолированном канале только путем
увеличения площади.
3.5.	Удельный расход и приведенный удельный расход
Удельный расход жидкости т представляет собой се¬
кундный расход через единицу площади m=m/F=p<\
С помощью формулы (3.226) свяжем эту величину с без¬
размерной скоростью Я:
Полученная зависимость показывает, что удельный рас¬
ход обращается в нуль при Я = 0 и Я — Яма кс —
= ]/ (k-\-l)l(k — Г). Следовательно, ири некоторой проме¬
жуточной скорости К функция (3.27) достигает максималь¬
ного значения. Условие экстремума
показывает существование двух экстремальных точек при
%= 1 и А=АМакс- Последнему значению соответствует точка
минимума (т	--	0).	ПриЛ=1 функция (3.27) дости¬
гает максимального значения.
Выразив удельный расход в долях максимальной вели¬
чины, получим приведенный удельный расход q, зависящий
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
Я» = рс-=р0с,— — = р0с»
Ро
(i *2)'/(* 1>А- (3-27)
{2—*)/<*—I)
(1 - Я2) о
63

только от скорости Я и показателя изоэнтропы k:
? = ->2- = -*£- = (Ш)'"-' 1 (l -	i1 Y'*-1. (3.28)
имаь:с P*®*	\2/	\	& Ц- 1 J
С помощью приведенного удельного расхода ц легко
связывается геометрия канала с параметрами потока. Для
этого запишем условие постоянства расхода через произ¬
вольное сечение канала Fi и его критическое сечение F*:
m—piCiFi = pi,c1lFt. Отсюда
qi = piCil{pi,c*)=F*IFi.	(3.29)
Таким образом, величина q оказывается не только га¬
зодинамической функцией, но и геометрической, позволяю¬
щей решать задачи,	связанные	с одномерным течением
идеальной жидкости в каналах произвольной формы. Ал¬
горитм решения этих задач зависит от граиичных условий
и будет рассмотрен	несколько	позднее на конкретных
примерах. Здесь же отметим, что поскольку в критическом
сечении удельный расход достигает максимального значе¬
ния, критический расход также является максимально до¬
стижимым при заданных начальных параметрах. Его ве¬
личина определяется уравнением расхода, записанным для
критического сечения:
m*=p*c*F*=(p*/po)e*F*po.
Заменяя отношение плотностей р*/ро по соотношению
(3.26а), критическую скорость — по формуле (3.17) и вы¬
ражая плотность ро через уравнение состояния, получаем
к+\	г
*. - (гЬ)*4-1’ V-т Af*=-BfSr t3-30»
Постоянная В зависит только от физических свойств
газа, и если выражать давление ро в Н/м2, площадь F* —
в м2, а температуру То —в К, то для воздуха 5 = 0,0404, а
для перегретого водяного пара Б = 0,0360.
Из (3.30) следует важный вывод: критический расход
прямо пропорционален начальному давлению, обратно
пропорционален корню квадратному из начальной темпе¬
ратуры и не зависит от противодавления.
3.6.	Таблицы газодинамических функций одномерного
газового потока
Выведенные выше зависимости (3.22), (3.22а), (3.226)
и (3.28) позволяют довольно просто рассчитывать все па¬
раметры потока в случае одномерного течения. Однако са¬
64
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ми расчеты по указанным формулам требуют определен¬
ных затрат времени. Эти затраты легко сократить, если
заранее вычислить все значения определяемых величин во
всем диапазоне изменения безразмерной скорости Я. Прн
использовании счетных машин шаг изменения величины %
может быть принят весьма малым (например, ДА=0,01 или
0,005). В результате указанные зависимости определяются
с любой необходимой степенью точности непосредственно
с помощью табличных данных.
В некоторых расчетах помимо введенных газодинами¬
ческих функций используются и другие функции скорости
%, встречающиеся в уравнениях сохранения расхода, коли¬
чества движения и энергии.
Найдем, в частности, массовый расход т через задан¬
ное сечение канала с помощью приведенного расхода q.
Очевидно
т = pcF — =r	— В {p^Fj |/Т\) q.	(3.31)
Введем в рассмотрение статическое давление. С этой
целью (3.31) умножим и разделим на р:
(3.32)
где
<333>
— еще одна функция скорости К и показателя изоэнт-
ропы к.
Уравнение расхода в форме (3.31) и (3.32) удобно
использовать для расчета течения в изолированной систе¬
ме при наличии трения. Действительно, записав (3.31) для
двух сечений канала, получим
(3.34)
Для изолированной системы Toi = fo2 и, следовательно,
£а. - !±- i*.#	(3.35)
Рьг	Я |
Если рассматривать канал постоянного сечения F—
=const, то
poifpo2 = q2lqi-	(3.36)
Отсюда легко находится изменение давления полного тор¬
можения между двумя произвольными сечениями, обуслов-
5—3331	65
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ленное потерями трения, если известны средние безразмер¬
ные скорости Я/ в этих сечениях.
Используя (3.32), можно найти изменение статического
давления, так как Ftptai = F2p2a2. Отсюда Pi/P2 = (F2/F1) X
X (o2/oi).
При обработке опытных данных полезной может ока¬
заться еще одна функция, определяемая следующим обра¬
зом:
Заменяя М на Я по соотношению (3.20), получаем
Совместное использование зависимостей (3.37) и
(3.38)	позволяет выразить статическое давление р в долях
скоростного напора:
В газодинамических таблицах обычно приводится об¬
ратное значение безразмерного давления (3.39)
Если скоростной напор рс2/2 выразить в долях давле¬
ния полного торможения, то
Приведенные выражения, конечно же, не исчерпывают
всех газодинамических функций, но эти величины исполь¬
зуются наиболее часто, входят во все газодинамические
таблицы и приведены в приложении № 1.
Рассмотрим несколько конкретных задач, иллюстри¬
рующих практическое использование газодинамических
таблиц.
Пример 1 Найти распределение скоростей и параметров потока
в канале, изображенным на рис. 3.5 (этим рисунком задается вся гео¬
метрия канала), если известно давление полного торможения перед
каналом ро и давление в выходном сечении канала рг
Алгоритм решения можно представить в следующем виде:
1 Находим отношение давления на весь канал £2=Рг/Ро-
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
р сс.
(3.38)
(3.39)
1 -
(3.40)
66

2. По 82 находим в таблицах газодинамических функций значение
приведенного расхода q2 в выходном сечении.
3. Зная q^=Fi,^/F2i определяем площадь в критическом сечении
В данном случае критическая площадь не обязательно долж¬
на равняться площади минимального сечения Ft и с этой точки зрения
имеет условное «фиктивное» значение. Важно, однако, отметить, что
для продолжения расчета необходимо, чтобы полученная площадь F*ф
была меньше или равна площади минимального сечения (F^^Fi).
Если F*4>Fu то дальнейший расчет канала при заданном перепаде
давления продолжить нельзя, так как в этом случае нарушается плав¬
ность изменения параметров потока вдоль канала, вызванная перехо¬
дом к сверхзвуковым скоростям. Такой случай подробно рассматри¬
вается в гл 8, а здесь мы ограничимся рассмотрением только тех ре¬
жимов, при которых нигде не происходит перехода к сверхзвуковым
СКОрОС1ЯМ
Найденной величине F*ф можно дать определенную геометриче¬
скую трактовку По существу эта величина показывает, на сколько
должно быть уменьшено минимальное сечение канала, чтобы при дан¬
ном перепаде давления осуществился переход к скорости звука
4.	В любом интересующем нас произвольном сечении канала на¬
ходим удельный приведенный расход qi—F^^/Fi—q^F^/Fi
5 IIo qi с помощью таблиц газодинамических функций определя¬
ются все безразмерные параметры потока (Я*, pi/po, р»7ро> 7\/Г0).
Пример 2 Для канала заданной геометрии (рис 3.5) определить
перепад давления е?=р2/ро, при котором в узком сечении скорость до¬
стигает критического значения
В данном примере по условиям задачи минимальное сечение сов¬
падает с критическим, т е.	Следовательно,	q2^F^/F2ta
e=Fi/F2 н далее из таблиц сразу находим интересующее нас значе¬
ние £2
• Пример 3. Построить расширяющую часть осесимметричного ка¬
нала, если задан диаметр узкого сечения du длина канала L и кривая
изменения скорости вдоль его оси (рис. 3.6).
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
Рис. 3.5. К расчету параметров
потока в канале заданной фор¬
мы
Рис. 3.6 К построению канала
по заданному распределению
скоростей
67

Решение задачи выполним по следующей схеме»
1 Зная скорость Ki на входе в расширяющуюся часть канала, най¬
дем qx^d2^/d2\ и d2+$=qicPi.
2. Разбив весь диапазон оси x—x/L на несколько отрезков (закон
деления оси х на отрезки может быть произвольным, но для построе¬
ния канала удобнее иметь равные интервалы деления этой оси), нахо¬
дим по заданному i рафику значение скорости в узловых точках.
3. По скоростям Л,- из таблиц выписываем соответствующие этим
скоростям значения приведенных расходов: qi=d2*$ld2i=*q\d2\ld2i.
4. Вычисляем диаметры канала di в принятых узловых точках:
di= rf, YTJTi-
5. При заданной длине канала L находим соответствующее значе¬
ние координаты Xi=xL в узловых точках и строим образующую
канала
3.7.	Одномерные течения при различных внешних
воздействиях
В § 3.4—3.6 рассмотрен частный случай одномерного
течения, когда в качестве внешних воздействий использо¬
валось только изменение поперечной площади канала.
В общем случае на поток могут действовать подвод или
отвод теплоты, массы, механической энергии, силы трения
и т. д.
Одновременное воздействие всех или большей части
указанных факторов затрудняет подробный качественный
анализ и требует использования определенных математи¬
ческих соотношений. Получить эти соотношения можно
при совместном решении следующей системы уравнений:
1) уравнения неразрывности в форме (3.2а);
2) уравнения импульсов (3.4), где напряжение трения
То> целесообразно заменить известной гидравлической фор¬
мулой
Та> — £рС2/2,
а суммарное изменение массы представить в виде
dm	dm.	, „ dmt
У — — Vi—*-+у.—
т	т	т.
Здесь предполагается, что в контрольном объеме изме¬
нение массы жидкости происходит в результате отсоса или
подсоса из внешней среды (dm\) и испарения или конден¬
сации некоторой доли основной массы жидкости (dm2).
Величины yi и г/2 представляют собой отношение скоростей
дополнительных и основных масс жидкости, а у опреде¬
ляет некоторое «эффективное» отношение скоростей вводи-
68
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

мой жидкости к скорости основного потока. После указан¬
ных замен и некоторых преобразований уравнение (3.4)
примет вид
(при записи этого уравнения отношение площади боковой
поверхности dS к сечению канала F представлено следую¬
щим образом: dSIF=4dx/D=4dx);
3)	уравнения энергии (3.6), которое после аналогичных
преобразований при условии равенства параметров вводи¬
мого и основного потоков может быть записано так:
4)	уравнения состояния в дифференциальной форме
5)	уравнения изменения энтропии
dS = dSt+ (1/m) 2dS,dm,-,
где dSi — приращение энтропии основного потока, обуслов¬
ленное изменеиием его параметров в результате внешних
воздействий; (1/m) "ZdSidmi — приращение энтропии, вы¬
званное смешением вводимых дополнительных потоков
жидкости с основным потоком.
Пять приведенных уравнений дают возможность найти
пять логарифмических производных параметров dc/c, dp/p,
dT/T, dp/p, dS/S. Решение указанной системы уравнений
приводит к следующему уравнению, отражающему закон
обращения воздействия, сформулированный Л. А. Вулисом
Здесь т] — параметр течения, изменение которого под¬
лежит анализу (это может быть скорость с, давление р,
плотность р, температура Т); dRx — характеристика рас¬
сматриваемого воздействия на выбранный параметр тече¬
ния rj (dF/F — при геометрическом воздействии, dQ — при
тепловом, dLT или dLK — при механическом и dmjm — при
расходном); gm — коэффициент влияния данного воздей¬
ствия на поток. Их значения определяются рассматривав*
dQ- dI.T
fP'/7
dp/p = dp/p + dT/T;
[4]:
69
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Т а б л я ц а 3.1
£2*)
*3ч
р
*i
I ^
1
аг
к
а2
(
!
к—\
- Л»
1
— а2
к— \
1
р
— М2
аг
а2
к— 1
к — 1
т
— (ft —1)М*
а2
dr
itRx
F
dQ
dLT
мым воздействием и могут быть найдены непосредственно
из приведенной табл. 3.1.
Так, если анализируется изменение скорости под дейст¬
вием всех указанных	факторов, то	с учетом коэффициен¬
тов табл.	3.1 вместо общего уравнения	(3.42) получим
^,д^2 j ^	dc dF	 k— 1 dQ	i_	dLT	k_ dLr _
с dx F dx	a* dx	a*	dx	a2 dx
(3.43)
m m
В табл. 3.1 и уравнении (3.42), как и ранее, г/ —отно¬
шение средних скоростей вводимых газов к скорости ос¬
новного потока.
Таким же способом могут быть записаны и уравнения
для остальных параметров течения. Для этого достаточно
перед характеристиками воздействий поставить коэффи¬
циенты, взятые из строчки, где стоит анализируемый па¬
раметр.
Рассмотрим некоторые частные случаи внешних воз¬
действий, полагая для простоты, что сечение канала оста¬
ется неизменным (dF=0) и отсутствует трение (dL,=0).
Механическое воздействие. В соответствии с принятым
в термодинамике правилом знаков будем считать, что если
70
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

газ	совершает работу против	внешних	сил,	то	dLT>О,
а если	работа совершается над газом, то	dLT<0.	Восполь¬
зовавшись табл. 3.1 и уравнением (3.42) при условии, что»
все остальные частные воздействия отсутствуют, получим
следующие соотношения для логарифмических производных
скорости и давления:
ща ] \ _L_ dc !_ efcr .
с dx	аг dx ’
(М*	1) ^		— <^'т
р dx	a* dx
Если газ совершает работу (dLt>0), то при М<1 он уско¬
ряется (dc>0), а при М>1 тормозится (dc<0). Пределом
ускорения дозвукового потока и торможения сверхзвуко¬
вого потока при совершении внешней работы является зна¬
чение М=1. Для перехода в сверхзвуковую (или дозвуко¬
вую) область течения необходимо изменение знака воздей¬
ствия на поток, т. е. осуществление подвода работы к газу
(dLT<0).
Канал постоянного сечения, в котором обеспечивается
подвод и отвод механической работы, сопровождающийся
либо ускорением, либо замедлением потока, называют м е-
ханическим соплом (rfc>0), или механическим
диффузором (dc<0). При совершении газом работы
71
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

энтальпия полного торможения уменьшается и достигает
минимального значения в критическхш сечении канала, где
М=1; подвод энергии на сверхзвуковом участке сопла при¬
водит к росту энтальпии &0. В механическом диффузоре
картина будет обратной и максимум энтальпии полного
торможения будет достигался в критическом сечении. Тер¬
модинамические параметры р, р, Т в механическом сопле
уменьшаются по потоку, а в диффузоре возрастают.
Массообмен с внешней средой. Полагая теперь dQ=0 и
dLT=0, получим из табл. 3.1 следующие исходные уравне¬
ния:
(М2- 1)— —	[1	+(1	-	у)км*\—	—;
с dx	1	^v	' tn dx
(M2- 1)—	=	+{k	-	1)(1	-у)M2]— —.
p dx	m	dx
Отсюда следует, что ввод дополнительной массы газа уско¬
ряет дозвуковой поток (при М<1 и dm>О получаем dc>
>0), а отвод массы приводит к его торможению. Пределом
ускорения дозвукового потока является достижение М=1
в некотором промежуточном сечении канала постоянного
сечения. Для дальнейшего ускорения (перехода в область
сверхзвуковых скоростей) необходимо изменить знак воз¬
действия и отвести некоторую массу из основного потока.
В расходном сопле на дозвуковом участке плотность тока
рс увеличивается, а температура, плотность и давление па¬
дают; на сверхзвуковом участке, наоборот, рс уменьшается
Для торможения сверхзвукового течения необходимо
вводить в поток дополнительную массу, а при М<1 отво¬
дить часть массы. В расходном диффузоре изменение ос¬
новных параметров противоположно их изменению в рас¬
ходном сопле.
Тепловое воздействие и тепловые скачкй. Для анализа
влияния теплообмена на характер движения газа в канале
постоянного сечения используют соотношения, аналогичные
предшествующим:
Отсюда видно, что при подводе теплоты к дозвуковому
потоку скорость газа возрастает и в пределе может до¬
стигнуть скорости звука. Дальнейшее ускорение возможно
только при изменении знака воздействия, т. е. путем отво-
72
к —
к— 1 dQ
Ik м.2—.
а2	dx ’
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

да теплоты (dQ<0). Рассматриваемый канал постоянного
сечения называют тепловым соплом. Если, комбини¬
руя отвод и подвод теплоты, осуществить торможение по¬
тока газа, то соответствующий канал играет роль теплово¬
го диффузора. Рассматривая тепловое воздействие на по¬
ток, следует остановиться на важном практическом случае
концентрированного подвода к потоку теплоты, например
при горении или химической реакции. В этом случае в по¬
токе газа возможно появление тепловых скачков, рассмот¬
ренных далее, в гл. 5.
3.8.	Приведение технических задач к одномерной схеме
Исключительная простота одномерных уравнений н возможность
получения простых и физически наглядных решений делает целесообраз¬
ным поиск решений сложных технических задач в рамках одномерной
схемы При этом вместо реального поля скоростей в поперечном сече¬
нии рассматривается некоторая средняя скорость, которая зависит от
принятого способа усреднения.
В расчетах наиболее часто используется так называемая средне¬
расходная скорость Пусть в некотором сечении канала j — / поле ско¬
ростей в меридиональной плоскости имеет вид, изображенный на
рис. 3 7.
Массовый расход жидкости в этом сечении может быть найден
в результате интегрирования удельного расхота по всей площади;
т=г ^ рjCjdF.
Fl
Для несжимаемой жидкости pj=p=const и, следовательно,
т — р j* CjdT.
F i
Поставим в соответствие рассматриваемому неравномерному полю
скоростей	некоторое	равномерное	поле, выбрав	скорость	ст	таким
образом,	чтобы	расход жидкости	через сечение	/ — /	оставался не¬
изменным. Тогда
М = Р j* Cjdr = рcmFj.
'Fi
Отсюда
I
т	С dF
Ст~ Р/;/	J С/ Fj *	<3,44)
О
73
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 3.7. К выводу формул
усреднения неравномерных
потоков
Область использования среднерас-
ходиой скорости ст ограничена задача¬
ми, где конечной целью является оценка
расхода жидкости. Если необходимо оце¬
нить силовое воздействие или энерсети-
ческий баланс потока с неравномерным
распределением скоростей, то необходи¬
мо ставить ему в соответствие условный
равномерный поток, обладающий таким
же количеством движения или такой же
энергией, как и усредненный поток* При
усреднении по количеству движения 3
исходное уравнение может быть записа-
но в виде &-
Тогда для средней скорости Су запишем
(3.45)
Средняя скорость при усреднении по кинематической энергии ск на¬
ходится из выражения К—( 1/2) j'pc8^/7 — (l/2)pc3iFj и может быть
F.
!
представлена в виде
Ск =	ri
(3.46)
К вопросу усреднения неравномерных полей скоростей можно по-
чДойти и с несколько других позиций Если при выводе соотношений
*{3 44)—(3 46) мы вводили средние скорости и не меняли проходной
площади, то для практических задач иногда целесообразно при пере¬
ходе к равномерным полям скоростей деформировать границы канала,
В этом случае удается сохранить одну и ту же скорость приведения
независимо от метода усреднения и за счет различной деформации
границы получить равномерный поток, имеющий те же расход, коли¬
чество движения и кинетическую энергию, что и усредняемый поток.
В качестве параметров приведения при расчете различных каналов
(Наиболее удобно использовать теоретические значения плотности ре и
скорости е*. В рассматриваемом сечении канала указанные величины
находятся по располагаемому перепаду энтальпий Ah между парамет¬
рами полного торможения перед каналом и давлением в рассматривае¬
мом сечении канала
74
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Пусть в рассматриваемом сечении вместо реального профиля ско^
рости Cj(y) и реального распределения плотности pj{y) скорость и>
плотность имеют постоянные значения с* и р* Тогда условный расход*
найденный по этим величинам, будет
Найдем разность Ат между расходом, определяемым выражением
(3 47), и действительным расходом т:
Интеграл в этом уравнении определяет некоторую безразмерную пло¬
щадь Назовем ее безразмерной площадью вытеснения. ConiacHCt
Отсюда видно, что при указанном подходе существует неограничен¬
ная возможность расходного усреднения неравномерного поля скоро¬
стей, а введенная относительная площадь вытеснения A*j является
основным элементом такого усреднения я имеет вполне конкретное фи¬
зическое содержание: величина Д*,- определяет то изменение проходной,
площади в рассматриваемом сечении, которое необходимо провести,
чтобы расход через нее при переходе к выбранному равномерному полю»
скоростей был равен действительному расходу Другими словами, вме¬
сто действительной площади вводится некоторая условная площадь,
(назовем ее эффективной), определяемая соотношением
В некоторых задачах целесообразно для приведения использовать,
максимальное значение скорости с§и и плотность в этой точке
Тогда
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
mt=ptctFj.
(3>47>
или, так как р* и ct — величины постоянные,
(3.48>
о
(3 48)
(3.49>
Тогда Am=mt—m=mtA*j и действительный расход
m=mt—Am=m*(l—A*j) =p*c*Fj(l—Л**).	(3	50)?
(3 51>
(3.52)*
6*j).
(3 53)^
75#

В дальнейшем сохраним разницу в обозначениях площади вытес¬
нения, найденной по теоретическим значениям и максимальной скорости
Ясно, что в случае, когда хотя бы на одной линии тока в рас¬
сматриваемом сечении С;Макс=Ся, — 6*>. В остальных случаях
Аналогичным образом можно подойти и к усреднению неравномер¬
ного потока по количеству движения и энергии
Представим себе такой поток с равномерным полем скоростей, ко¬
торый при заданном расходе обладал бы тем же количеством движе¬
ния, что и действительный поток. Если в качестве параметров иривею-
йия использовать р* и си то теоретическая величина 2ft в рассматри¬
ваемом сечении j — /
pi
Действительная величина 3$ определяется интегралом <7 -= i рjc2jdr.
Разность этих величин AJj равна
47j = &,■! — U i =| р jCfi O—Cj с,) dF.
После очевидных преобразований имеем
Д57- PtC*tP, j ^±- (l —£) dF.	(3.54)
0
Безразмерную площадь
<3“'
0
назовем относительной площадью потери импульса.
Масса жидкости, протекающей через площадь A**j при скорости с* и
плотности pt, несет количество движения, определяемое соотношением
(3.54). В результате
Д^=р*с2^;А*%==р<с2*А**,'	(3.56)
определяет количество движения, потерянное в потоке до рассматри¬
ваемого сечения / — /, а количество движения У в этом сечении может
быть найдено по принятым параметрам усреднения с помощью следую¬
щего соотношения:
^J-^i,-A^i-p,AFJ(l-A*r-A«j).	(3.57)
76
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

При использовании для усреднения максимальной скорости
1
д;**,
J “;мс/м V СП* J
О	/
АЗГ}=р}ысЪнЬ**у,	(359)
^i-PiMeWW-SV^j).	(3	60)
Таким же	образом проведем усреднение потока и по энергии. Теорети¬
ческая кинетическая энергия в сечении / — j будет
К i‘ ~ ~Т~ = ~Г J ?jcic*<dr •	<3-61)
а ее действительное значение определится интегралом
*; = -rJ ^idF-
Fi
Разность этих величин дает
Дк = Kit К] = -g- рJ ^ (:! - Ц),dF.	(3
62)
о
Обозначим интеграл в (3.62) A j***. Тогда А/С* (l/2)ptc*tFj&j*** и
к,~ки-*=к„ (1-^) =
,	/	Рtc'tPfE” \
= —«сЦ 1- шГ/ J.	(3.63)
Заменяя здесь массу m по выражению (3 50), получаем
(-j—	\
Если усреднение вести по максимальной скорости, то
(3.64)
1	(	«Г	\
* г=т №* pi {1 - 7=1/7(1 ” а'*} •	(3l65)
Условие постоянства массового расхода т, количества движения
& $ и кинетической энергии К 5 в сечении усреднения позволяет легко
установить связь между величинами 6Д и	с	одной	сторо¬
ны, и величинами АД Aj** и Aj***, с другой
Так, приравнивая (3 50) и (3 53), получаем
ptCt (1—A*j) —pjmCjm (1—$*j)*
77
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Обозначим Cjm/ct—фо и пренебрежем разницей плотностей Тогда
ф0(1—6*,).	(3	66)
Приравнивая далее (3 57) и (3 60), получаем
Отсюда Д**^1—А**—ф2о(1—*6*^—б**,-), или с учетом (3 66)
”A**j=<Po(l —-3*}) — Ф2о(1 — j—3** i) ♦	(3	67)
Сравнение выражений (3.64) и (3 65) дает
Здесь величина Д*3- заменена соотношением (3.66) Отсюда
Л*” = Т. (‘ -*/> - т*. (• -Л* -1Г#>	(3-08)
при fe = 1, Ay = dy ; dy = Ay ; Ay = dy
Используя рассмотренный метод усреднения, оказывается возмож¬
ным перейти к одномерной схеме течения в достаточно сложных слу¬
чаях и, тем самым упростив задачу, получить ее приближенное реше¬
ние. Степень приближения, естественно, определяется степенью право¬
мерности перехода к одномерной схеме течения
Глава четвертая
ПЛОСКИЕ ДОЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ
И ГАЗА
4.1.	Потенциальные течения
Рассмотрим безвихревое движение жидкости. Такое те¬
чение называют потенциальным. Следовательно, для
плоского потенциального потока
m==-L(Jz	£Ц = о.	(4.1)
г 2 \ дх	ду}	к ’
или
dvfdx=duldy.	(4.1 а)
Условие (4.1а) означает, что двучлен udx-\-vdy является
полным дифференциалом некоторой функции <p(*, у).
78
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Таким образом, при отсутствии вихревого движения
diр (х, у) =и dx-\-v dy— (дфх) dxт-f- (dyjdy) dy.
Сравнивая левую и правую части написанного равен¬
ства, получаем
» = I	’
Уравнение, которому должна удовлетворять введенная
функция <р(д;, у), непосредственно следует из дифференци¬
ального уравнения неразрывности для несжимаемой жид¬
кости (2.10) du/dx-\-dvfdy—0. Подставив сюда значения
скоростей, определяемых соотношениями (4.2), найдем, что
функция <р(л:, у) удовлетворяет уравнению Лапласа
dtyAtH-dtyd»8**.	(4.3)
При заданных граничных условиях (4.3) может быть
проинтегрировано и найдено интересующее нас поле ско¬
ростей. Функция у(х, у), получившая название потенциала
скорости, обладает важным свойством: частная производ¬
ная от этой функции по любому направлению I дает про¬
екцию Ci скорости на это направление.
Пусть скорость с направлена так, как показано на
рис. 4.1, и требуется найти ее проекцию на указанное на¬
правление I. Поместив начало декартовой системы коорди¬
нат в точку А, вычислим частную производную от потен¬
циала скорости ф в направлении I:
df dx	dу	dy
dl dx dl dy dl
С учетом (4.2)
■^2- — и cos (xi) v cos (yl) — с cos (ci) --- с;	(4.4)
dl
Таким образом, полученные выше соотношения (4.2) явля¬
ются частным случаем общего свойства потенциала ско¬
рости.
Рассмотрим далее уравнение линии тока (1.18) для пло¬
ского потока, представив его в виде udy—v dx=0. Двучлен
в левой части является полным дифференциалом некото¬
рой функции -${х, у) в случае, если dvfdy=—ди/дх или
duldx-\-dvfdy=0. Рассматриваемое условие является урав¬
нением неразрывности для несжимаемой жидкости и, сле¬
довательно, мы всегда можем записать
dx|> (х, у) =и dy—v dx— (дфх) dx-]- (дфfdy) dy.
79
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

У
с
X
0,3>con$t
Рис. 41. К определению проекции	Рис. 4.2. К выводу основного
скорости с на произвольное направ- свойства функции тока
ление I с помощью потенциала ско-
Введенную функцию ty(x, у) принято называть функцией
тока. Подставляя (4.5) в (4.1), получаем, что и эта функ¬
ция, так же как и потенциал скорости <р(*, у), удовлетво¬
ряет уравнению Лапласа. Если потенциал скорости описы¬
вает поле скоростей только безвихревого (потенциального)
течения, то функция тока может быть введена всегда, так
как условие ее существования следует из уравнения нераз¬
рывности, справедливого для любых течений. Однако урав¬
нению Лапласа эта функция будет удовлетворять только
для потенциального потока. Поскольку £ty(*, y)=udy—
—vdxz=z0, выражение ij>(x, y)=eonst дает уравнение линий
тока. Отсюда можно ожидать, что функция тока должна
быть связана каким-то образом с расходом жидкости. Для
нахождения этой связи вычислим секундный объемный рас¬
ход Q через произвольный контур L\—L2 (рис. 4.2), размер
которого в направлении, нормальном к плоскости чертежа,
примем равным единице:
Поскольку согласно основному свойству потенциала ско¬
рости ф
рости <р
Отсюда
и =- д$[ду;
V— — д<\>Jdx.
(4.5)
Q — | cndl.
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Выражая скорости кио через функцию тока ^ по соот¬
ношениям (4.5), получаем
где tj)2 и ifi — значения функций тока в конечной и началь¬
ной точках контура.
Таким образом, объемный расход жидкости через про¬
извольный контур, проведенный между двумя линиями то¬
ка, определяется только значениями функций тока на этих
линиях и совершенно не зависит от формы контура. Если
начальная и конечная точки контура лежат на одной и той
же линии тока, то расход через такой контур будет равен
нулю (так как ij)2=ijJi).
Сравнивая (4.2) и (4.5), можно установить следующую
связь между функцией тока и потенциалом скорости для
несжимаемой жидкости:
Соотношения (4.6) называются условиями Коши — Римана.
Перемножив крест-накрест зависимости (4.6), получим
Из математики известно, что это уравнение определяет ус¬
ловие ортогональности кривых <р(х, у) =const и -ф (х, у) —
=const. Таким образом, эквипотенциальные линии (<р=
=const) и линии тока (if>=const) образуют взаимно орто¬
гональную сетку.
Условие Коши — Римана (4.6) имеет важное значение,
так как функции, для которых оно выполняется, на ком¬
плексной плоскости могут быть представлены в виде зави¬
симости только от одной комплексной переменной. Эти
функции W(2) называют комплексным потенциа¬
лом или характеристическими функциями, они
обладают тем свойством, что их действительные части рав¬
ны потенциалу скорости, а мнимые — функции тока, т. е.
6—3331	81
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
д?!дх—д>\>1ду\
ду !ду = — д$!дх.
(4.6)
дх дх
ду ду

W(z) =ф(х, г/)+йН*> у). Здесь z=
=x-\-iy=re'e=r cos 0 + г r s i n 6	яв¬
ляется координатой точки на комп¬
лексной плоскости. Отсюда можно
сделать следующий вывод: любое
потенциальное течение может быть
представлено аналитической функ¬
цией одной комплексной переменной
и любая комплексная аналитиче¬
ская функция определяет некоторое
потенциальное течение.
Поскольку значение комплексно¬
го потенциала W (г) определяется
только положением точки г, очевидно, и производная от
W (г) будет определяться положением этой точки, а не тем,
по какому направлению берется эта производная. Следо¬
вательно, dW/dz—dW/dx=dW/diy, или
dW	df	,	. dty	df	. , дф	.	,л
 = -г- 4- I —- =	— I -\ — — и — w. (4.7)
dz	дх	дх	ду	ду
Абсолютная скорость с на комплексной плоскости опре¬
деляется формулой c=u-\-iv.
Видим, что производная от комплексного потенциала
дает те же составляющие скорости, но по направлению по¬
лученный вектор зеркально отражается относительно оси х
(рис. 4.3). По аналогии с комплексно-сопряженным числом
будем и скорость, определяемую выражением (4.7), назы¬
вать сопряженной скоростью с=и—to.
Легко заметить, что при умножении комплексного по¬
тенциала на мнимую единицу получаем новое течение, для
которого потенциал скорости предшествующего течения
С1ановится функцией тока, а функция тока определяет по¬
тенциал скорости, т. е. ортогональная сетка линий тока и
эквипотенциальных линий взаимно обратима.
Отметим, наконец, еще одно важное свойство функции
тока и потенциала скорости, состоящее в том, что если из¬
вестны указанные функции двух течений (-фь фг. <рь фг), то
их сумма определяет новое потенциальное течение с ком¬
плексным потенциалом Wz(z):
(г) =фз“Нфз= (Ф1+Ф2) “И (я|)1-Н])г) •	(4.8)
Это свойство непосредственно следует из линейности урав¬
нения Лапласа, которому обе рассматриваемые функции
удовлетворяют.
Приведенные соотношения показывают возможность
широкого использования функций комплексного перемен-
82
Рис. 4 3. Сопряжен¬
ная скорость на ком¬
плексной плоскости
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

яого для исследования потенциальных течений. При этом
можно по заданному комплексному потенциалу определить
вид течения и поле скоростей либо при заданной скорости
на бесконечности построить течение (найти комплексный
потенциал) около интересующего нас тела. Рассмотрим не¬
которые простейшие потенциальные течения.
4.2.	Примеры потенциальных потоков
Плоскопараллельные течения *. Пусть комплексный по¬
тенциал представляет собой простейшую линейную функ¬
цию:
W (z)—az=(al-\-ia2) (x-f-iy).
Здесь Oi и а2— постоянные величины. Разделяя действи¬
тельную и мнимую части, получаем
W(z)=<p(x, y)+ty(x, y)—(axx—a2y)-\-i{aiy-\-a2x).
Следовательно, в данном случае <p=aix— а2у, ^—а2х-\-а\у.
Уравнения линий тока и эквипотенциальных линий а2х-\-
4-ai#=const и щх—а2г/=const определяют взаимно пер¬
пендикулярные линии, приведенные на рис. 4,4,а, а со¬
ставляющие скорости и ее направление находятся по со¬
пряженной скорости.
c=dW/dz=a=ai-\-ia2=u—iv.
Отсюда и=аи v=—а2. При а2=0 получим частный слу¬
чай течения вдоль оси х, потенциал которого и функция
тока соответственно равны
у=щу.	(4.9)
т-И-
Ti-
тт
тт
и=а1
I I
I I
тт
ГЕ
?>=const
Рис. 4.4, Линии тока и эквипотенциальные линии плоскопараллельного
потока
* Здесь и далее, в гл. 4, имеется в виду однородный плоскопа¬
раллельный поток.
6*	83
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 4 5. Потенциальное течение вну¬
три прямого угла
На рис. 4.4,6 приведены линии
тока и эквипотенциальные ли¬
нии этого течения.
Течение внутри прямого
угла. Усложним вид комплекс¬
ного потенциала и рассмотрим
течение, определяемое степен¬
ной функцией W (z)=az2. Для
простоты анализа будем считать постоянную а действи¬
тельным положительным числом. Тогда
W (г) =а (x-\-iy) 2=а (х2—у2) -\-i2axy;
q=a(x2—у2); i|i=2axy.	(4.10)
Линиями тока данного течения является семейство гипер¬
бол y=AJ (2ах)=А2/х, где А2=А\!2а, а эквипотенциальны¬
ми линиями — параболы y—V х2—-Д. Картина такого тече¬
ния изображена на рис. 4.5. Составляющие скорости и и
v находятся по известному потенциалу скорости обычным
образом:
и—ду/дх=2ах-у v=d<pjdy=—2ay.	(4.11)
Поскольку здесь оси координат являются линиями то¬
ка, а, как	уже отмечалось ранее (см.	гл. 1),	любая линия
тока может	быть принята за твердую	стенку,	то,	выделяя
один из квадрантов, получаем картину течения идеальной
жидкости внутри прямого угла.
Источник и сток. Рассмотрим течение, определяемое по¬
тенциалом следующего вида; W(z)=a\nz, где а — дейст¬
вительное число. Представим комплексную переменную z
в полярной системе координат:
W (г) =а In reiB=a In r-\-ia%.
Тогда
<p=alnr; t|;=a0.	(4.12)
Уравнения эквипотенциальных линий (r=const) и ли¬
ний тока (0=const) представляют собой окружности и пря¬
мые, проходящие через начало координат (рис. 4.6). Со¬
ставляющие скоростей ст и Се будут равны
ст=дц>1дг~а1г; ce=d(f/dS—(\/r) (<?<р/<?9) ==0.	(4.13)
Если постоянная а>0, то имеет место движение жидко¬
сти вдоль линий тока от центра (источник, рис. 4.6,о). При
84
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ю
Рис. 4.6. Линии тока и равного потенциала скорости источника (а) и
стока (б)
а<0 жидкость движется к центру (сток, рис. 4.6,6). Най¬
дем объемный расход жидкости Q от источника или стока
2*
О
Получая отсюда постоянную а, имеем a=Q/2n и, сле¬
довательно,
Циркуляционное течение. Течение подобного типа так¬
же определяется потенциалом (4.12), но постоянная а=
=1й1 является чисто мнимым числом (ах— действительное
число). Легко видеть, что
По сравнению с предыдущим случаем теперь окружно¬
сти представляют собой линии тока, а семейство прямых,
проходящих через начало координат, является семейством
эквипотенциальных линий (рис. 4.7). Поле скоростей опре¬
деляется составляющими
cr—d(pjdr=0, се—(Ifг) (d(f/dQ)——ai/r.
Определяя циркуляцию по любой из окружностей, по¬
лучаем Г=2ягб'е=—2па{. Отсюда а\——Г/2я и, следова¬
тельно,
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
(4.14)
W (z) =—aiQ+tai In г;
Ф=—at0; i£=ailnr.
85

Рис. 4.7. Циркуляционное те¬
чение
Рис. 4.8. Поле скоростей цир
куляционного течения
(4.15)
Скорость движения жидкости св вдоль радиуса меня¬
ется обратно пропорционально расстоянию от центра:
В начале координат располагается особая точка рас¬
сматриваемого течения, так как с приближением к центру
с® неограниченно возрастает. Поскольку любую линию тока
можно принять за твердую границу, то, принимая в каче¬
стве такой границы, например, окружность радиуса г=-Г\ и
рассматривая течение вне этой окружности, получаем чи¬
сто циркуляционное обтекание бесконечно длинного круг¬
лого цилиндра радиуса г\. Соответствующее распределение
скоростей вне цилиндра приведено на рис. 4.8; направле-
циркуляционное обтекание
круглого цилиндра. Частицы
Се=Г/(2лг).
(4.16)
ние скорости определяется
знаком циркуляции. Будем
считать Г>0 в случае, когда
вращение жидкости происхо¬
дит против часовой стрелки.
Таким образом, течение, ха¬
рактеризуемое потенциалом
<р=Г/(2я0), определяет чисто
Рис. 4.9. Диполь
86
жидкости в этом случае дви¬
жутся по криволинейным тра¬
екториям, не вращаясь вокруг
собственных осей, как показа¬
но на рис. 4.8.
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Диполь. При построении различных течений методом
сложения простейших потоков важную роль играет тече¬
ние, получившее название диполя. Его комплексный потен¬
циал имеет вид W(г)=М/(2яг). Действительную постоян¬
ную М называют моментом диполя. Выделение действи¬
тельной и мнимой частей дает
м
2в
х* + у*
-- I
М
2я
хг + Уг
Отсюда
*=-
М х
1Г х* + уг ’
М
У
2я хг + у1
(4 Л 7)
Для эквипотенциальных линий (<p=const) и линий тока
(tf=const) получим уравнения, определяющие систему ок¬
ружностей с центрами, расположенными на осях х и у
(рис. 4.9):
х2-\-у2=су (tj)=const); х2-\-у2=сх (<p=const).
Здесь жидкость вытекает из центра и вновь возвращается
к центру. Подобное течение можно было получить в ре¬
зультате сложения источника и стока в случае сближения
их центров и при неограниченном возрастании мощности Q
при стремлении к нулю расстояния между центрами h. При
этом lim Qh—M. Другими словами, диполь по существу яв-
h-*0
ляется сложным течением.
4.3.	Поперечное обтекание круглого цилиндра
плоскопараллельным потоком
Рассматриваемое течение можно получить в результате
наложения плоскопараллельного течения на диполь. Тогда
Г(г) = сюг + УИ/(2«г);
М х
2те х2 уг *
.	М	у
 2
Y	2к	x* + yz
87
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Если воспользоваться полярными координатами (х=
=r cos 0, у—г sin 0), то
Комплекс М/2пСео является постоянной величиной. Обо¬
значив его г2о, запишем
9 = Соо г cos 0 (1 + г\/гв); \
<J> = Ccersinfl (1 — r%/r!). j
Форма линии тока находится из уравнения
СооГ sin 0(1—r20/r2) =А.
Приравняв постоянную А к нулю, пол>чим уравнение ну¬
левой линии тока
СосГ sin 0 (1 —гУг2) =0,
распадающееся на два самостоятельных уравнения sin0=
=0 и 1 —г2о/г2—0. Отсюда следует, что нулевая линия тока
представляет собой два отрезка оси между которыми
располагается окружность радиусом г—го (рис. 4.10). При¬
нимая нулевую линию тока за твердую обтекаемую поверх¬
ность и вспоминая, что r2o=MJ(2лсм), получаем решение
задачи о движении жидкости вокруг произвольного цилин¬
дра, радиус которого г0 дает возможность найти необходи¬
мый для этого случая момент диполя М. Поле скоростей
по обе стороны от нулевой линии тока определяется обыч¬
ным образом по известным функциям (4.18):
сг=д(р/дг=с о» cos 0 (1—r20/r2);
С. = -7- -g- = —	в<1	+
На поверхности цилиндра сг |г_Гв-=0,
с Л. = — 2*7^ sin 0.	(4.19)
Знак минус в формуле (4.19)
означает, что при направлении
скорости с», совпадающем с
положительным направлением
оси х, скорость на цилиндре со
направлена в сторону убыва¬
ния углов 0 при sin6>0, т. е.
в первой и второй четвертях
квадранта, и в сторону возра¬
стания углов 0 при sin0<O,
Рис. 4.10. Линии тока при бес¬
циркуляционном обтекании ци¬
линдра
88

т. е. в третьей и четвертой чет¬
вертях. На рис. 4.10 направление
скорости Се по обводу цилиндра
показано стрелками. В точке А
происходит разветвление нулевой
линии тока, а в точке В обе нуле¬
вые линии вновь соединяются.
Скорость в этих точках обраща- ~z
ется в нуль (01=0, 02=я), и их
принято называть передней (точ-
ка А) и задней (точка В) кри¬
тическими точками или
точками полного тормо¬
жения потока. Максималь¬
ная скорость достигается в точ¬
ках Е и F при угле 0=±я/2
(^бмакс == 2Ссс).
Распределение давления по поверхности цилиндра лег¬
ко находится из уравнения Бернулли, записанного для ну¬
левой линии тока: c2»/2+P»/p=cV2-fjt>/p. Отсюда
Рис. 4.11. Распределение
коэффициента давления по
цилиндру:
/ — идеальная жидкость;
2 — вязкая жидкость
Р~Р0
-*Н)
или, переходя к безразмерному коэффициенту давления р
и заменяя св его значением по (4.19), получаем
1
А.
= \ — 4sin* 0.
(4.20)
Зависимость (4.20), представленная графически на рис.
4.11 (кривая /), показывает, что максимального значения
коэффициент давления р достигает в передней и задней
критических точках (р=1). В точках, где скорость макси¬
мальна (0=±я/2), значение р минимально (рм=—3).
Следовательно, до точек Е и F (рис. 4.10) поток ускоряет¬
ся, а затем происходит его торможение до нулевой скоро¬
сти в задней критической точке В. Участок, где скорости
в направлении движения жидкости растут (dc/dx>0), на¬
зывают конфузорным, а там, где скорости падают
(dc/dx<0), — диффузор н ы м.
Заметим, что при 0=л/6 коэффициент давления р на
поверхности цилиндра обращается в нуль и, следовательно,
абсолютное давление р в этой точке становится равным
давлению набегающего потока р«>.
89
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Воспользуемся полученными соотношениями для расчета сил, дей¬
ствующих на единицу длины цилиндра, помещенного в плоско-парал¬
лельный поток. Схема разложения силы давления на горизонтальную
и вертикальную составляющие показана на рис 4 12. Интегрируя эти
составляющие по всей окружности, получаем
2к	2*	2к
Ру = — ^ Py-ldS = — J Ptfbdb = J ргч sin 6k/0;	(4.21)
о	oo
2*
px = — J pr0 cos 0^0.	(4.21a)
о
Поскольку	f (pc2oо/2) (1—4 sin20),
2*
~r* J[poo + ? f” (i — 4sins 8) j sin = 0;
о
2
^=-r.J+ -Ц52- (1 — 4Sin* 8)] cos 6d$ = 0.
0
Результат оказался необычным, так как сопротивление любого
тела, а тем более цилиндра, в действительности не равно пулю Однако
не следует забывать, что мы пока рассматриваем движение идеальной
жидкости, т. е жидкости, лишенной сил трения, и, следовательно,
в самой исходной стадии исключаем возникновение сил сопротивления.
Факт отсутствия сопротивления при обтекании любых тел потоком
идеальной жидкости в гидродинамике называют парадоксом Эйлера —
Даламбера.
В реальной жидкости рассмотренное выше распределение давления
по поверхности цилиндра не реализуется В диффузорной области (за
точками Н и Г) поток отрывается от стенок и опытное распределение
давления становится несимметричным (кри¬
вая 2 на рис. 4.11). В кормовой части ци¬
линдра устанавливается вихревой характер
течения и давление оказывается значитель¬
но ниже, чем это следует из теоретическо¬
го анализа. Суммирование сил на основе
опытного распределения давления позволя¬
ет установить, что при обтекании цилиндра
реальной (вязкой) жидкостью сила сопро¬
тивления рхФ 0
Рассмотрим далее поперечное
обтекание цилиндра при наличии
циркуляционного течения, приняв
циркуляцию положительной (Г>0).
90
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
Рис. 4,12 К оценке
подъемной силы и
сопротивления ци¬
линдра

В этом случае складываются плоскопараллельный поток,
диполь и циркуляционное течение. В результате суммар¬
ный потенциал и функция тока будет иметь вид
сг \г=Га — df'dr ~= 0;	1
c9\rJ' = (l[r)(d?!db)^-2c*smb+ri(2*rt). J {4‘23)
Добавление циркуляционного течения изменило распреде¬
ление скоростей на поверхности цилиндра и привело к сме¬
шению критических точек. Приравняв (4.23) к нулю, най¬
дем их положение:
Здесь возможны три случая: 1) циркуляция скорости Г<
<4лСооГ0. Обе критические точки расположены симметрич-
ио относительно оси координат у и сдвинуты при выбран¬
ном направлении вращения цилиндра кверху от оси х (рис.
4.13,а); 2) Г=4яс00г<). Здесь точки А и В совпадают (0цр=
=я/2). Картина течения соответствует схеме на рис. 4.13,6;
3)	наконец, когда Г>4яс«,г0, критические точки не распо*
лагаются на цилиндре и образуется течение, изображенное
на рис. 4.13,в. Схемы течения показывают, что при нало¬
жении циркуляционного течения сохраняется симметрия от¬
носительно оси у, но симметрия относительно горизонталь¬
ной оси х нарушается, следовательно, на цилиндр будет
Рис 4.13. Линии тока при обтекании цилиндра с циркуляцией;
Q—Г<4тгэоГо* б -Г=4к «го, в—Г>4лс<»го
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
(4.22)
Отсюда
— 2соо sin 6кр -f- Г 1(2т.г 0) = 0.
sin бкр = Г/(4тСоо г,).
(4.24)
91

действовать вертикальная сила. Найдем ее прямым интег¬
рированием сил давления по поверхности цилиндра. Рас¬
пределение давлений определим по уравнению Бернулли
с помощью выражения (4.23):
„	„ , р4> р4 ( г , 0„.._ЙУ
р=р.+-	-v- »лг+2$тв;-
Используя (4.21), получаем
^	+4- - 4 (2sin 8 - ^r)'Jsin вЛ-
о
В результате простых преобразований и почленного ин¬
тегрирования ряд слагаемых обращается в нуль и останет¬
ся только один член
г
ру -= —J sin2 в£?е,
о
вычисление которого дает
Ру=-9СоаГ.	(4.25)
Формула (4.25) определяет подъемную силу, действую¬
щую на единицу длины цилиндра, обтекаемого плоскопа¬
раллельным потоком при наличии циркуляционного течения,
и является частным случаем формулы Н. Е. Жуковского,
вывод которой приведен ниже.
Интересно отметить, что факт появления подъемной си¬
лы на вращающемся цилиндре, помещенном в плоскопа¬
раллельный поток, может быть использован для создания
роторного «паруса», когда несколько вращающихся цилин¬
дрических роторов, расположенных вертикально на палубе
корабля, обеспечивают при наличии ветра его движение и
хорошую маневренность. Эта идея ветрового двигателя бы¬
ла впервые использована на практике в 1923 г.
4.4.	Основные теоремы вихревого течения
идеальной жидкости
Вихревое движение в отличие от потенциального харак¬
теризуется тем, что вектор угловой скорости ®=£0. Подоб¬
ное течение в реальной жидкости наблюдается довольно
часто. Так, наблюдая движение воды в реке, легко заме¬
тить образование вихрей за опорами мостов, за кормой
лодок и катеров, при ударе весел о воду, при обтекании
92
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Piic. 4.14. К выводу теоремы Стокса:
а — элементарный контур; б — конечный контур
преград и т. д. Движение воздуха в атмосфере также со¬
провождается образованием вихревых областей, типичным
примером которых являются смерчи и циклоны. Мелкие
вихри составляют основу турбулентных течений, рассма¬
триваемых далее.
Поскольку в жидкости даже очень близко расположен¬
ные частицы могут иметь различные угловые скорости, для
наглядного представления о характере вихревого течения и
вводится понятие вихревых линий и вихревых трубок
(гл. I). Вектор о, направленный по касательной к вихревой
линии, перпендикулярен плоскости вращения жидкости.
Для характеристики вихревых трубок в аэродинамике
используется понятие о напряжении, или интенсивности,
вихря. Под напряжением (интенсивностью) вихря х пони¬
мают произведение угловой скорости ©на площадь нормаль¬
ного сечения вихревой трубки F„. Если вектор ю во всех
точках сечения Fn имеет одно и то же значение, то
=©F„. Напряженность связана с циркуляцией скорости по
некоторому контуру. Эта связь устанавливается на основа¬
нии теоремы Стокса.
Теорема Стокса. Рассмотрим плоское движение жидко¬
сти и выделим в ней элементарный прямоугольный контур
со сторонами dx и dy (рис. 4.14). Примем, что вдоль каж¬
дой стороны контура скорости одинаковы, и вычислим цир¬
куляцию, двигаясь против часовой стрелки:
— udx-\-\v-\---^-dxsjdy — {и-\- -^-dy^dx — vdy.
Знак минус при суммировании членов появляется в связи
с тем, что направление обхода контура (против часовой
стрелки) противоположно направлению скорости на соот¬
ветствующей стороне контура. Следовательно,
dr=(dv/dx—ди/ду) dxdy=2&2dF.
93
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Если площадка dF, ограниченная элементарным контуром,
ориентирована в пространстве произвольным образом, то
dT=2&ndF,	(4.26)
где юп — составляющая вектора ©, нормального к рассма¬
триваемой площадке.
Таким образом, циркуляция по бесконечно малому кон¬
туру оказывается равной удвоенной интенсивности вихря,
охватываемого этим контуром. Полученный результат лег¬
ко обобщается и на произвольный конечный плоский кон¬
тур L (рис. 4.13,6). Действительно, разобьем его прямо¬
угольной сеткой на несколько отдельных малых контуров
и будем проводить сложение циркуляций, сохраняя одно и
то же направление обхода. Согласно зависимости (4.26)
2ДА=22ю„ДЛ
Вместе с тем, как это видно из рис. 4.14,6, циркуляции по
всем внутренним линиям взаимно уничтожаются и суммар¬
ная циркуляция скорости Г оказывается равной циркуля¬
ции по внешней образующей контура. В результате Г=
=21,<0n&F или в пределе, если увеличивать число малых
контуров до бесконечности,
Г^2| <»ndF.	(4.27)
F
Этот вывод обобщается и на случай произвольной про¬
странственной поверхности, опирающейся на контур L.
Формула (4.27) является математической записью следую¬
щей теоремы Стокса: циркуляция скорости по
произвольному контуру равна удвоенной
сумме напряжений вихрей, охватываемых
этим контуром.
Теорема Томсона. Эта теорема решает вопрос о сущест¬
вовании вихрей в идеальной жидкости во времени. Выде¬
лим в потоке жидкий контур L, т. е. контур, соединяющий
одни и тс же жидкие частицы и движущийся вместе с ни¬
ми, и вычислим изменение циркуляции во времени dYjdt.
По определению циркуляция Г может быть выражена урав¬
нением Г= Г udx+v dy-\-w dz. Отсюда в результате no-
г.
членного дифференцирования произведения двух перемен¬
ных, стоящих под знаком интеграла, получим
dTjdt — £ (du!d1)dx~\-jj (dv'dt)dy -(- J (dw!dt)dz-f-
-|- [ ud(dx!dt)-f- \ vd(dy’dt) -(- f wd {dzjdt).
iii
94
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Производные du/dt, dv/dt, dw/dt найдем из уравнений
Эйлера (2.21), а производные от координат по времени за¬
меним соответствующими проекциями скоростей. Тогда
dTJdt = ] (Xdx -f Ydy -\-Zdz)- [ (1 /р) [{dpjdx) dx +
-\-(dp!dy)dy -\-(dp[dz)dz\ -)- J (udu-\-vdv-\-wdw).
Если массовые силы обладают потенциалом U, то Х=
=dU/dx; Y=dVjdy\ Z=dU/bz. Таким образом, под инте¬
гралами стоят полные дифференциалы от потенциала мас¬
совых сил U, от функции давления Р (2.29) и от квадрата
скорости с, т. е.
d.v;dt -= J d (с2/2 — P-\-U) — (с2/2-P + U)B-(с2/2-Р -f U)A.
Так как рассматривается циркуляция по замкнутому кон¬
туру, когда начальная А и конечная В точки интегрирова¬
ния совпадают, то dF/dt—О. Полученный результат выра¬
жает теорему Томсона: циркуляция скорости по
замкнутому жидкому контуру в идеальной
баротропной жидкости, обладающей одно¬
значным массовым потенциалом, не меняет¬
ся с течением времени.
Теоремы Гельмгольца о вихревом движении основыва¬
ются на теоремах Стокса и Томсона и устанавливают усло¬
вия сохраняемости вихревого движе¬
ния в идеальной жидкости.
Теорема 1. Интенсивность вих¬
ревой трубки не меняется по ее длине.
Рассмотрим элемент вихревой трубки
и проведем двойной разрез вдоль ее
образующей так, как это показано на
на рис. 4.15. В результате образова¬
лась поверхность, охватывающая вих¬
ревую трубку в виде манжеты. Если
эту «манжету» развернуть и вычис¬
лить циркуляцию скорости по ее кон¬
туру, двигаясь по направлениям, ука¬
занным стрелками, то Г=Гав+ГвС—
—Гею—Гjda. Знак минус у двух по¬
следних слагаемых поставлен потому,	с"5
что при обходе контура по стрелкам	„	„
линии CD и DA проходятся в направ-	пеисвой	5‘	Ктев0ырве0^
лениях, противоположных наиравле-	Гельмгольца	о	вих-
ниям обхода линий АВ и ВС.	рях
95
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Ясно, что |Гвс|=|Гва| и взаимно уничтожаются. Сле¬
довательно, Г=Гав—Гcd. Рассматриваемый контур охва¬
тывает вихревую трубку, но его поверхность ни одна вих¬
ревая нить не пересекает. Следовательно, по теореме Сток¬
са найденная выше циркуляция скорости должна равняться
нулю: Г=Гав—Гсс=0. Отсюда Гав=Гсг>. Теперь, однако,
поверхности, охватываемые контурами ЛВ и CD, пересе¬
кают всю вихревую трубку и согласно той же теореме
Стокса r,AB=2ci)i/:'i=2<a2/:'2- Так как сечения вихревой труб¬
ки были выбраны совершенно произвольно, то
coF=const.	(4.28)
Уравнение (4.28) аналогично уравнению неразрывности
для несжимаемой жидкости (c.F=const), но в данном слу¬
чае вдоль вихревой трубки переносится не расход жидко¬
сти, а поток вихря скорости и по доказанной теореме этот
поток остается постоянным для всех ее сечений. Отсюда
можно сделать важный вывод о сохранении в пространстве
вихревых трубок. Действительно, если предположить, что
в некотором месте она может закончиться острием, то со¬
гласно (4.28) угловая скорость вращения о будет беско¬
нечной, что физически невозможно.
Устойчивое существование вихревой трубки возможно,
если она либо будет замкнутой на себя, т. е. образует вих¬
ревые кольца (рис. 4.16,а), либо концы вихря будут лежать
на границах рассматриваемой жидкости, либо один конец
будет опираться на границу жидкости, а другой — на твер¬
дую поверхность, например на землю, стенку и т. д. (рис.
4.16,6).
Теорема 2. В идеальной жидкости, находящейся под
действием потенциальных массовых сил, вихревая трубка
не разрушается и всегда остается вихревой трубкой.
Для доказательства этой теоремы расположим на боко¬
вой поверхности вихревой трубки замкнутый жидкий кон¬
тур /, как показано на рис. 4.17. Поверхность, ограничен¬
ную указанным контуром, не пересекает ни одна вихревая
линия, так как эти линии направлены по касательной к по¬
верхности вихревой трубки. Тогда по теореме Стокса в рас¬
сматриваемый момент времени (t=t0) Г/=0. Согласно
теореме Томсона циркуляция скорости по замкнутому жид¬
кому контуру с течением времени не меняется. Следователь¬
но, и в произвольный момент времени (l=tn) Г;=0. Это
означает, что через рассматриваемый жидкий контур ни¬
когда не пройдут вихревые линии и он останется лежать на
боковой поверхности вихревой трубки, т. с. вихревая труб¬
ка не разрушается и всегда остается вихревой трубкой.
96
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис 416 Возможные формы суще¬
ствования вихрей
Рис. 4.17. К выводу вто¬
рой теоремы Гельмголь¬
ца о вихрях
Теорема 3. В идеальной жидкости, находящейся под
действием потенциальных массовых сил, напряжение вих¬
ревой трубки не меняется с течением времени.
Пусть контрольный контур L охватывает рассматривае¬
мую вихревую трубку, как показано на рис. 4.18. По тео¬
реме Стокса Г,1=2с)Г1/’=2х. По теореме Томсона циркуля¬
ция скорости Г с течением времени не меняется, следова¬
тельно, интенсивность вихревой трубки остается во време¬
ни неизменной.
Рассмотренные теоремы определяют основные свойства вихревых
движений идеальной жидкости. В вязкой жидкости эти движения
являются преобладающими, и здесь мы сталкиваемся как с непрерыв¬
ным распределением завихренности, так и с дискретными вихревыми
трубками и вихревыми образованиями. Закономерности вихревого дви¬
жения, установленные на основе модели идеальной жидкости, позво¬
ляют объяснить и многие особенности течения вязкой жидкости. Часто
для этого достаточно использовать результаты решения задачи о дви¬
жении жидкости в круговом вихревом цилиндре и в его окрестности.
Ранее при рассмотрении циркуляционного течения мы отмечали, что
скорость этого течения неограниченно возрастает при уменьшении ра¬
диуса г. Если воспользоваться уравнением энергии, то можно пока¬
зать, что такое увеличение скорости неизбежно приведет к падению
энтальпии потока и появлению нулевых и отрицательных значений
энтальпий, что физически невозможно Таким образом, потенциальное
циркуляционное течение оказывается возможным только вне некоторого
кругового цилиндра радиуса гх (см. рис. 4.8). Внутри цилиндра уста¬
навливается вихревое движение, причем распределение окружных ско¬
ростей в принципе здесь может быть совершенно произвольным, но на
поверхности вихревого цилиндра скорость и давление должны совпа¬
дать с этими величинами в циркуляционной области, а внутри цилиндра
давление р должно быть больше нуля. Наиболее простым является
7—3331
97
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

случай, когда во всей вихревой области ©—const. Тогда скорости на
произвольной окружности радиуса г (рис, 4 19) должны быть одина¬
ковы по значению и направлены по касательной к рассматриваемой
окружности, так как радиальная составляющая скорости давала бы
расход жидкости через внешнюю границу вихревого цилиндра. Исполь¬
зуя теорему Стокса, вычислим циркуляцию скорости по окружности
радиуса г, расположенной внутри вихревой области. В результате по¬
лучим
Так как скорости и постоянны на соответствующих окружностях,
то
Сравнивая (4.29) и (4.30), находим с'в = <ог' при r'<fj и с0 = «>гг,/>'
при r>rt. На границе вихревого цилиндра *= ^ = ®rlf т. е. ско¬
рость с9 от линейного распределения внутри вихревой области непре¬
рывно переходит к гиперболическому при Таким образом, рас¬
сматриваемый вихрь образует вокруг себя (индуцирует) некоторое
поле скоростей. Это поле называют индуцированным, а скорость
в произвольной точке поля — индуцированной скоростью
Индуцированная скорость обратно-пропорциональна г и перпендику¬
лярна радиусу-вектору / (рис. 4.19).
Внутри вихревого цилиндра жидкость вращается как твердое тело
вокруг центра 0 с угловой скоростью <о. В центре вихря скорость рав¬
на нулю, т. е. круговой вихрь не индуцирует скорости в своем центре
и в покоящейся жидкости этот центр остается неподвижным. Распре¬
деление скоростей внутри вихревого цилиндра и за его пределами по¬
казано на рис. 4.8 и 4.19 (кривая i).
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
Г' = 2оолг'2, если rf < rt; ^
Г = 2<ояг2,, если г > rt. J
(4.29)
(4.30)

Еслй в области циркуляционного течения распределение давления
для несжимаемой жидкости определяется уравнением Бернулли, то
в вихревой области распределение давления находится из условия рав¬
новесия вращающихся жидких частиц. На такую частицу (частицу А
на рис 4 19) действует с одной стороны центробежная сила, равная
dfn г= рг'^г'с/ба)2^, а с друюй — сила dPt обусловленная перепадом
давления dP и равная dP=rfdQdp. Приравнивая эти силы, получаем
^р=ро)2г/б/г/. В результате интегрирования от г' до г{ находим
pi—p'= (рг/2) (<o2ri2—coV 2),
или
р’ = рх— (?, 2) (сг0, — с’в2).	(4.31)
Здесь р\ и с61 — давление и скорость на внешней границе вихря при
г'=гь На этой границе можно использовать уравнение Бернулли
A = />oo-P<V2>	<4-32)
где ре» — давление на бесконечном удалении от оси вихря, где = О*
Подставим (4 32) в (4.31), тогда
р’ = Роа— р/2 (2с2в1—с'е г) •■= рм— po)V% (1 —г' г/2г\).	(4.33)
В центре вихря с\ =» 0 и
Piv-P»—Pc"ei = ^оо— P0>*rV	(4>34)
Сравнивая давление на границе и в центре [соотношения (4.32) и
(4 34)], приходим к выводу, что давление на границе составляет поло¬
вину максимального снижения давления, имеющего место в центре
вихря:
Pi= (Р~—Ри) /2=p<t>2r2i/2.	(4.35)
При заданном давлении в центре рц условие (4 35) определяет размер
вихревого цилиндра г\.
При г>г\ распределение давления описывается очевидным урав¬
нением
Р — Poo	Р£ V2 ” Роо КЛА*.
которое на границе вихря совпадает с зависимостью (4 33). Распреде¬
ление давления имеет вид кривой 2 на рис. 4 19.
Падение давления в направлении центра приводит к тому, что
в ядро реального вихря могут всасываться различные посторонние тела.
В этом смысле весьма характерны вихри, возникающие в атмосфере.
Их всасывающая способность весьма велика. В частности, вихри-смер¬
чи, возникающие над поверхностью крупных зодяных бассейнов, ура¬
ганные ветры, тайфуны на своем пути часто производят катастрофиче¬
ские разрушения.
Найдем далее, как меняется энтальпия полного торможения h0
вдоль радиуса плоского вихря. В случае, если движение жидкости про-
7*	99
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

исходит в поле действия потенциальных массовых сил hq=*c*/2-\-
+ J dp/9 + U, уравнение движения в форме Громеко — Лэмба (2 30)
может быть записано в виде
dx dy 0
dh0:
и v О
0 0©
■ 2(о (vdx — udy).
При вращении жидкости против часовой стрелки u = r6cosO; а —
sin 0; dx = dr cos 0; dy = dr sin 0 и, следовательно,
s= 2o>tf'edr'» 2<x>2rfdrf.
После интегрирования получим
/г'0 = А'0Ц + <02г'2,	(4,36)
где й'оц — энтальпия полного торможения в центре вихря. Таким обра¬
зом, полная энергия меняется при переходе от одной линии тока к дру¬
гой. В циркуляционной области, где течение безвихревое, энтальпия ho
остается постоянной, равной значению на границе вихревого цилиндра:
h9 e=s	r,=rx *= h\ц + ©V,l.
Изменение К*о и ho в зависимости от радиуса г показано на рис, 4.19
кривой 3. Здесь же изображена и зависимость Г=/(г) (кривая 4).
Рассматривая вихревые течения, следует отметить, что в жидкости
часто наблюдаются парные вихри или вихри, расположенные параллель¬
ными рядами, что характерно для кормовых областей симметричных
тел, обтекаемых с отрывом струи. Наличие в жидкости дискретных
вихрей приводит к их взаимодействию, так как каждый вихрь инду¬
цирует свое поле скоростей, под действием которого перемещаются
центры всех остальных вихрей.
В результате наложения индуцированных полей скоростей вся
вихревая система может совершать достаточно сложные движения.
В частности, при взаимодействии двух вихрей равной интенсивности,
вращающихся в одну и ту же сторону, происходит вращение такой
парной системы вокруг точки, лежащей посередине прямой, соединяю¬
щей их центры. Если направление вращения рассматриваемых вихрей
различно, то каждый из них будет добавлять другому скорости и систе¬
ма будет двигаться поступательно.
4.5.	Потенциальное течение идеальной
сжимаемой жидкости
Рассматривая потенциальное течение, мы не делали
никаких оговорок относительно влияния сжимаемости жид¬
кости. Зависимости (4.2), определяющие проекции скорости
через потенциал скорости, справедливы и для сжимаемой
жидкости. Однако уравнение, которому должен удовлетво-
100
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

рять петенциал скорости сжимаемой среды, изменяется.
Воспользуемся уравнением неразрывности для стационар¬
ного течения сжимаемой жидкости в таком виде:
Исключим отсюда плотность с помощью уравнений Эйлера,
проведя следующие очевидные преобразования:
Приводя подобные члены, находим
Л  _иМ _да	uv_ /да > до \ , Л _ а5 \ <Ъ q
1 а*) дх ~~ а* [ду дх) + \ а3) ду ~
Воспользуемся далее зависимостями (4.2) и выразим про¬
изводные от составляющих скорости через потенциал ско¬
рости ф. Тогда
Уравнение (4.39) представляет собой нелинейное диффе¬
ренциальное уравнение в частных производных второго по¬
рядка для потенциала скорости плоского течения сжимае¬
мой жидкости.
Граничные условия для потенциала скорости определя¬
ются условиями конкретной задачи. Для плоского потока,
параллельного на бесконечности оси х, потенциал скорости
должен отвечать следующим условиям:
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
(4.37)
дх ду	р	др	дх	р	дх
dv	i до	1	др	ф	а2	ди
и L-0	—	£	L--—	—.
дх	ду	р	ф	ду	р	ду
Отсюда
(4.38)
Подставив (4.37) в (4.38), получим
(-&- +	- -2- (и *L + 0	_	JL	/„	J*L	+	у	=	0.
\ дх ду j а2 \ дх ду) а2 \ дх ду )
а2 } дх2 дх ду	а8
и2 \ д2у  g д2? uv
Чоо—' (dtyfOx) х~оо—Соо J Voo— (^ф/ду ) х—оо—0.
101

На границе обтекаемого тела нормальная составляющая
скорости равна нулю и, следовательно, уп — (ду/ду) у=0 =
=0.
Анализируя уравнение (4.39), можно отметить, что при
очень малых отношениях составляющих скоростей к ско¬
рости звука («2/а2< 1; мо/а2<1; v2/a2<g.l), когда этими от¬
ношениями можно пренебречь, мы приходим к случаю не¬
сжимаемой жидкости, для которой потенциал скорости
удовлетворяет линейному уравнению Лапласа (4.3).
Указанный переход от нелинейного уравнения к линей¬
ному не является единственным. Если в потоке находится
тело малых поперечных размеров, в результате чего воз¬
мущения, вносимые им в поток, можно считать достаточно
малыми, то исходное нелинейное уравнение (4.35) линеари¬
зуется и на основе этого более простого уравнения можно
решить задачу о влиянии сжимаемости на распределение
скоростей и давлений в интересующей нас области.
Пусть при сформулированных условиях скорость потока
и ее составляющие могут быть представлены в виде суммы
некоторого постоянного члена и малой переменной величи¬
ны. При этом, направив ось х по направлению скорости
в бесконечности, а ось у — перпендикулярно этому направ¬
лению (i>oo=0), получим с=соа-\-с'\ u=Uoo-\~u'; v=v', где с',
и', v' — малые величины, значения которых порядка А.
Оценим теперь порядок коэффициентов, входящих в урав¬
нение (4.39):
—Д-Д2;
.i*	а*	а
I)2	Д2 uv	  —
1_® «1_	;	-JL=_2. Д-1-Д\
а*	а2 а8 а 1
Пренебрегая членами, значения которых порядка А и
А2, где А=А/а, приходим к линеаризованному уравнению
для потенциала скорости
C-Mi)g- + f*- = 0.	(4.40,
Тип уравнения (4.40) зависит от значения М». Так, при
М<»<1 оно относится к уравнениям эллиптического типа;
при Моо=1 — к уравнениям параболического типа, а при
М«о>1 является гиперболическим. Изменение типа диффе¬
ренциального уравнения отражает физические изменения
в механизме распространения возмущений в потоках, дви¬
жущихся с дозвуковыми, звуковыми и сверхзвуковыми ско¬
ростями.
102
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рассмотренный метод не только может дать удовлетво¬
рительные результаты для решения задач внешней аэроди¬
намики, но оказывается полезным при исследовании пото¬
ка в каналах с малой кривизной ограничивающих стенок.
Заметим, однако, что исследовать течение вблизи критиче¬
ских точек, где происходит торможение потока, с помощью
уравнения (4.40) нельзя, так как в окрестностях этих точек
изменение скорости соизмеримо со скоростью на бесконеч¬
ности и принятое нами допущение о малых изменениях
скорости здесь не выполняется.
Уравнение (4.40) путем соответствующей деформации
осей координат может быть сведено к уравнению Лапласа.
Для этого, следуя Прандтлю, введем новую систему коор¬
динат хя и уп, которая связана с исходной системой линей¬
ной зависимостью
хя=х; Уп—ky.	(4.41)
Следовательно, в новой системе координат продольные
размеры (вдоль оси х) не меняются, а поперечные дефор¬
мируются	с	постоянным коэффициентом	деформации к.
Ясно, что	в	новой	системе как-то изменится	и	потенциал
скорости. Его значение <ра в новой системе координат будет
отличаться от исходного:
фн (Хя, Уп) = аф (*, у).	(4.42)
Здесь а—некоторый постоянный коэффициент, зависящий
только от Моо. Вычислим теперь производные:
fo __ J_ _ J_ fox dx-u __ J_ (dx» _ i \.
дх в дх я дха dx » дхн \ dx J ’
дг9 1 дНи _	д?н_	l_ Jhu %?><_	k df„
дх* в дх2н ’ ду в ду о дуа dy в дуа
Так как dyjdy=k [соотношение (4.41)], то
_ k* дг?я
ду* “ » ~дК'
Подставляя найденные производные в линеаризованное
уравнение (4.40) после сокращения на <т, получаем
Если теперь принять
k=V 1 — М»,	(4.43)
то в новой системе координат получим уравнение Лапласа,
Совпадающее с уравнением для потенциала скорости в не¬
}03
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

сжимаемой жидкости:
<?2ф„/ дх2н+д2фн/<Э«/2и=0.
(4.44)
Таким образом, исходную задачу о течении сжимаемой
жидкости можно свести к рассмотренному ранее движению
несжимаемой жидкости. При этом необходимо учесть изме¬
нение граничных условий. На бесконечности эти условия
можно считать идентичными, т. е. как в сжимаемой, так и
в несжимаемой жидкости будем считать скорости сравни¬
ваемых прямолинеино-постуиатсльных течений одними и
теми же: coo=coon=const. Второе граничное условие следует
из условия, что контур обтекаемого тела должен быть ли¬
нией тока. Если y=f (х) —уравнение заданного контура,
a ya=fn(xn) определяет соответствующий контур в несжи¬
маемой жидкости, то
v'l (cao-ru') — (dy/dx)Q=f'(x) или
v'^Cocf' (х); v'n=Соо/н (хв) •	(4.45)
Представим далее потенциал скорости в сжимаемой
жидкости ф в виде суммы ф=ф0о-Нр/, где <р00=с1Хх — потен¬
циал невозмущенного течения, а ф'— потенциал «возму¬
щенного» потока. Тогда
<9ф/дх=д(роо/дх-\-д(р'/дх—с<х,-\-и'; d<p/dy=d(p'/dy=v'\
d2(fjdx2—d2(f'/dx2; д^/ду^&у'/ду2.
Подстановка этих значений в уравнение (4.40) показывает,
что потенциал невозмущенного течения не входит в рас¬
сматриваемое соотношение и можно написать и=дфJdy—
= (k/o)v'u. Заменим здесь v' и v'u их значениями на кон¬
туре по соотношениям (4.45). В результате
Соо/' (х) = (kfo) С oof'и (Хп),
или после сокращения на сх
df/dx= (k/o) (dfu/dxu).	(4.46)
Рассмотрим теперь, как изменится распределение ско¬
ростей и давлений около одного и того же профиля при
переходе от сжимаемой жидкости к несжимаемой. Посколь¬
ку в такой постановке задачи профили одинаковы, df/dx=
—dfn/dxn- Для выполнения этого условия необходимо поло¬
жить k-— о = У1 — М2ос. Так как ду/дх— (д<?а[дх„)—,
О
то ы' = ы'я/о или
U'=U'JV 1-MV	(4.47)
104
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Следовательно, скорость на профиле в сжимаемой жидко¬
сти будет больше скорости в несжимаемой жидкости при
прочих равных условиях.
Для оценки изменения коэффициента давления восполь¬
зуемся соотношением (4.20) и представим его в виде р=
=2(роо—Р) I (р«>с2оо) =2и'{соа. После подстановки вместо ско¬
рости и' ее значения, определяемого уравнением (4.47), по¬
лучим	__
Яж = 2—(4.48)
1/1-М^
Таким образом, и коэффициент давления при переходе
к сжимаемой жидкости в одних и тех же точках профиля
возрастает в 1/К^ — М2<» раз.
Второй способ сравнения сжимаемых и несжимаемых
жидкостей состоит в том, что рассматриваются те измене¬
ния профиля, которые необходимо провести для сохранения
примерно одинаковых распределений скоростей и давлений
в сравниваемых течениях. Из условия равных продольных
скоростей около профиля (и'—и'в) следует, что <p=<pH, т. е.
в этом случае коэффициент <х=1. Тогда условие (4.46)
дает
(dfjdxa) = (i/Kl-M’=o) (df/dx),
или, так как igaa==4ydxn, a tga=dfjdx,
tgaH=% «/К1 — М*».
Таким образом, каждый элемент контура в несжимае¬
мой жидкости имеет больший наклон, чем соответствующий
элемент в сжимаемой жидкости. В результате для перехо¬
да от обтекания профиля сжимаемой жидкостью к обтека¬
нию несжимаемой жидкостью необходимо ординаты всех
его точек увеличить в 1/JA — М*<»раз. Увеличение толщи¬
ны профиля скорости влечет за собой и увеличение мест¬
ных скоростей потока.
Рассмотренный метод линеаризации дает удовлетвори¬
тельные результаты при Мте<0,6-*-0,7, так как при боль¬
ших значениях этой величины на профиле образуются ло¬
кальные зоны сверхзвуковых скоростей. Учет сжимаемости
при 0,7<Мсо<1 представляет значительные трудности, и
решение задачи выходит за рамки настоящего курса.
4.6.	Теорема Н. Е. Жуковского о подъемной силе
Для доказательства теоремы воспользуемся схемой, по¬
казанной на рис. 4.20. Здесь крыловой профиль располага¬
ется в плоском потоке между двумя бесконечно длинными
105
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 4.20. К выводу
теоремы Н. Е. Жу¬
ковского
непроницаемыми плоскими поверхностями, ориентирован¬
ными по потоку и удаленными друг от друга на расстояние
Я—*~оо. Свяжем систему координат с профилем и напра¬
вим ось х по потоку. Далее проведем перед профилем и за
ним два контрольных сечения АВ и CD на таком рассто¬
янии от профиля, чтобы возмущения, вносимые профилем
в этих сечениях, были бесконечно малыми и, следователь¬
но, все скорости и параметры потока были одинаковыми.
К массе жидкости, ограниченной контрольными поверхно¬
стями, применим теорему изменения количества движения,
считая, что рассматриваемый профиль обтекается безот¬
рывно.
Проектируя уравнение количества движения на ось х,
получаем
| (Рг - Рг) dy-Px - | Р1С1 (Ct - Ct) dy = 0.
Поскольку согласно принятому расположению сечений АВ
и CD ci=c2=c«, и pi=p2=pc0> то 0. Этот результат
обобщает рассмотренный ранее парадокс Эйлера—Далам-
бера на тела произвольной формы, обтекаемые идеальной
жидкостью без отрыва потока.
Вертикальную составляющую силы воздействия потока
на профиль (подъемную силу) Ру найдем, составляя урав¬
нение количества движения в проекции на ось у:
+00
-РУ+ J (Ра-PB)dX^0.
—00
Отсюда
+ 00
J (pH-p„)dx.	(4.49)
—00
106
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Если размер Я между поверхностями AD и ВС достаточно
большой, то скорости вдоль этих поверхностей будут отли¬
чаться от скорости набегающего потока на малые величины
с'ц и с'в. Тогда действительные скорости са и св можно
представить в виде суммы постоянной составляющей с«, и
малых величин с'н и с'в, квадратами которых можно пре¬
небречь:
Используя это представление скоростей и уравнение Бер¬
нулли для сжимаемой жидкости, найдем давление в про¬
извольной точке возмущенного потока у контрольной по¬
верхности
Так как с учетом уравнения изоэнтропы р=р»(р/р«>),/й,
a kp00/p00=a200, то после несложных преобразований нахо¬
дим
Разлагая выражение в квадратных скобках в ряд и огра¬
ничиваясь двумя членами разложения, получаем
Уравнение (4.51) называют линеаризованным
уравнением Бернулли. Запишем (4.51) для верхней
и нижней контрольных поверхностей:
Р^Рсо-РсоСсоС ; |
Р* = Р*> — р<х>СссС'я. J
Подстановка зависимостей (4.52) в уравнение (4.49) дает
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
(4.50)
k
Poo
р
1 -kWv>— =1 -
соо
ИЛИ
Р Роо РооСооС •
(4.51)
107

Покажем, что значение интеграла в этом уравнении можно
выразить через циркуляцию скорости по замкнутому кон¬
туру ADCBA (см. рис. 4.20). Действительно
Глвсвл—Тао+Гвс4-Г св+Гва.
Так как
+00	+00
-j-J (с»-[-с'ц)dx; Гсв = — J (Coo-j-c'B)dx; Тва——Где,
—оо	—оо
ТО
+00
ГADCBA = — J (с'в — с’н) dx.
—30
Следовательно,
Р у—— РооСсоГ ,	(4.53)
что полностью совпадает с формулой (4.25) и выражает
следующую фундаментальную теорему гидрогазодинамики:
при обтекании тела плоскопараллельным
безграничным потоком идеальной сжимае¬
мой жидкости на тело единичного размаха
действует сила, равная произведению плот¬
ности и скорости набегающего потока на
циркуляцию скорости вокруг обтекаемого
тела. Если вектор скорости с«, повернуть
на 90° в сторону, противоположную направ¬
лению циркуляции, то он укажет направле¬
ние действия подъемной силы.
Знак минус в формуле (4.53) соответствует принятому
правилу знака для циркуляции Г и скорости с«>. Если, на¬
пример, скорость направлена в положительную сторону
оси х, а циркуляция направлена по часовой стрелке (Г<0),
то подъемная сила положительна.
Глава пятая
ПЛОСКИЕ СВЕРХЗВУКОВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
5.1.	Характеристики в сверхзвуковом потоке
Рассмотрим плоское установившееся сверхзвуковое те¬
чение газа вдоль стенки ВА (рис. 5.1). Допустим, что по
нормали в стенке ВА скорости не меняются. В точке А воз¬
никает слабое возмущение потока, обусловленное поворо-
108
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 51. Схемы обтекания бесконечно малых выпуклого (а) и вогну¬
того (б) углов
том стенки на малый угол ±db. Это возмущение сносится
по потоку, причем некоторая линия Ат служит границей
между двумя областями потока: слева от линии Ат рас¬
положена невозмущенная область течения, а справа поток
возмущен поворотом в точке А.
Так как в рассматриваемом случае речь идет о слабом
возмущении, то эту линию называют границей слабых,
или звуковых, возмущений, слабой волной, ха¬
рактеристикой или линией Маха. При этом име¬
ется в виду, что слабые возмущения распространяются со
скоростью звука (гл. 1). На рис. 5.1 представлены две схе¬
мы сверхзвукового течения. Обтекание «выпуклого» угла
(рис. 5.1,а) сопровождается расширением потока, умены
шением давления на величину dp и возрастанием скорости
на dc. При обтекании «вогнутого» угла давление растет,
а скорость падает. Следовательно, в первом случае харак¬
теристика является слабой волной разрежения, а во вто¬
ром— слабой волной сжатия.
Напомним, что волны слабых возмущений представля¬
ют собой круговые бесконечные цилиндры, радиус которых
Рис. 5.2. Схема обтекания сверхзвуковым потоком заостренного тонко¬
го тела
109
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

и
о
Рис. 5.3. Определение со¬
ставляющих скорости на
характеристике в плоскости
потока
определяется как ахЫ, где At —
отрезок времени, исчисляемый от
момента зарождения рассматри¬
ваемой волны в точке А. За этот
]v же отрезок времени частицы про¬
ходят путь, равный CiAt. При не¬
прерывном обтекании угловой
точки А последовательно образу¬
ется бесконечное количество
волн, движущихся по потоку,
причем все волны имеют общую
касательную Ат.
При обтекании заостренного
тонкого тела безграничным пото¬
ком (рис. 5,2) образуются харак¬
теристики двух семейств, распо¬
ложенных под углом к вектору скорости в данной
точке:
ct=±arcsin (1/Mi).	(5.1)
Из формулы (5.1) следует, что в ускоряющемся сверх¬
звуковом потоке углы характеристик в направлении тече¬
ния уменьшаются, а в диффузорном потоке увеличиваются.
Это позволяет заключить, что в общем случае при изме¬
нении скоростей в поперечном направлении к потоку харак¬
теристики становятся криволинейными (рис. 5.3).
Для расчета характеристик используют очевидную связь
между углами, определяющими их положение в системе ко¬
ординат X, у.
tga=tg(0-$o),	(5.2)
где Фо — угол между вектором скорости в данной точке и
осью х; ’&=а+^о- Воспользуемся простыми соотношениями
tga —	_	... *	—
l +	W/as	—	1
+ tg»tgft,
t g®=dyfdx;
tg#o=vfu; c2=u2-\-v2.
Тогда формула связи между углами легко преобразует¬
ся к виду
(и*
а
■er-
2uv
do
dx
4-а2 — a* = 0.
(5.3)
Уравнение (5.3) является дифференциальным уравнени¬
ем характеристики, проходящей через заданную точку
в плоскости х, у, или характеристическим уравнением для
ИО
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

(4.40). Решая квадратное уравнение (5.3), находим его
корни:
(dy\ _ m±aVu* + v*-a1	/К
\ззг/».«		 <5,4)
Уравнение (5.4) имеет два вещественных корня, если
с=У m24-os >а(т. е. имеют место сверхзвуковые скорости
потока). Следовательно, математически подтвержден факт
существования характеристик двух семейств: с положи¬
тельным и отрицательным знаками перед радикалом. В рас¬
сматриваемом случае уравнение (4.40) является уравнени¬
ем гиперболического типа. При с=о (в потоке звуковых
скоростей) уравнение (5.4) имеет два одинаковых (вещест¬
венных) корня, т. е. одно семейство характеристик, распо¬
ложенных под углом а=я/2 к вектору скорости (§ 2.2),
а уравнение (4.40) становится параболическим. При с«х
(дозвуковые течения) уравнение (5.4) не имеет веществен¬
ных корней, характеристики отсутствуют, а уравнение
(4.40) является уравнением эллиптического типа. Таким
образом, математический анализ особенностей сверхзвуко¬
вых и дозвуковых течений подтверждает физическую кар¬
тину распространения возмущений, рассмотренную в § 2.2
(рис. 2.3) и в настоящем параграфе.
В соотношении (5.4) производные (dyjdx) представ¬
лены тангенсом разности двух углов и тангенсом их суммы,
т. е.
(dy/dx)i,2=tg (•do-Fa).	(5.4а)
Уравнение (5.4), или (5.4а) определяет углы наклона
касательных к характеристикам двух семейств в некоторой
точке А потока (т. е. углы касательных с вектором скоро¬
сти в данной точке, равные по значению и противополож¬
ные по знаку). Отсюда заключаем, что вектор скорости со¬
впадает с биссектрисой угла, образованного касательными
к характеристикам (рис. 5.3). В простейшем случае сверх¬
звукового потока с равномерным распределением скоростей
характеристиками служат прямые линии (рис. 5.1):
x-\-yYМ2 — 1 — const и x — yVМ! — 1 = const.
Из формулы (5.1) и рис. 5.3 следует также, что проек¬
ция вектора скорости на нормаль к характеристике равна
скорости звука в данной точке.
5.2.	Диаграмма характеристик
Расчет характеристик в координатах х, у возможен,
если известны составляющие скорости и, v, так как коэф¬
фициенты уравнения (5.3) зависят от и и о. Новые свой¬
111
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

в'
о
и
Рис. 5.4. К определению связи между характеристиками в плоскости
потока и в плоскости годографа
ства характеристик, позволяющие развить простой метод
расчета сверхзвуковых течений, устанавливаются при пе¬
реходе к плоскости годографа скорости (к плоскости и, v).
Такой подход осуществляется на основе теории гиперболи¬
ческих дифференциальных уравнений. Опуская для сокра¬
щения изложение этой теории, воспользуемся рис. 5.4,0
для нахождения связи между углами наклона характери¬
стики в плоскости потока х, у и в плоскости годографа и,
у при обтекании угловой точки, в которой стенка повора¬
чивается на бесконечно малый угол db. Угол наклона стен¬
ки к оси х, как и на рис. 5.3, обозначен до. Приращение
скорости потока при огибании угловой точки А составляет
dc; этот вектор показан и в плоскости и, v (рис. 5.4,6).
Проекции dc на оси и, v образуют треугольник, из кото¬
рого следует
Сопоставление формул (5.4а) и (5.5) позволяет заклю¬
чить, что
(dvfdu)2{dyfdx)i=—1 и (dv/du) i(dy/dx)2——1.
Отсюда следует, что характеристики двух семейств
в плоскостях х, у и и, v взаимно перпендикулярны. Кроме
того, сопоставляя уравнения (5.4) и (5.5), находим
Из рис. 5.4,6 заключаем, что при движении вдоль ха¬
рактеристики в плоскости годографа
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
dvfdu=ctg (Фо±а).
(5.5)
±tg a=dc/(cdft), или d$=±dg adcjc,
112

Рис. 5.5. Построение годографа скорости при обтекании угла сверхзву¬
ковым потоком
где Ф — угол между осью абсцисс и характеристикой. Под¬
ставим сюда значение cfg а=Ус* jo? — 1 = КМ2 — 1 и пе¬
рейдем к безразмерной скорости X:
где b-=Y(k — l)/(&-j- 1). Уравнение (5.6) интегрируется и
приводится к виду
Уравнение (5.7) по смыслу вывода представляет собой
уравнение характеристик в плоскости годографа и, v.
Пользуясь уравнением (5.7), рассмотрим изменение скоро¬
сти вдоль некоторой линии тока EFH (рис. 5.5). Допустим,
что скорость невозмущенного течения перед угловой точ¬
кой A Mi=Xi=l. За угловой точкой давление р2=0. Таким
образом, вдоль линии тока EFH происходит непрерывное
расширение потока от р\—р* до рг=0; при этом скорость
потока увеличивается от Xi до Х2=Ха, а угол отклонения
достигает максимального значения 6М. В каждой точке
линии тока можно определить значение и направление век¬
тора скорости X. Отложим эти векторы из начала коорди¬
нат плоскости годографа. Тогда, очевидно, концы векторов
опишут кривую — годограф скорости для данной линии то¬
ка. Заметим, что точки годографа скорости E'F'H' соответ¬
ствуют точкам EFH линии тока. Отсюда следует, что от¬
резок ОЕ'=1, а отрезок OL'—Y (6+1 )J(k—1). Уравнение
(5.7) является уравнением годографа скорости в полярных
координатах. Согласно (5.7) годограф скорости представ¬
ляет собой эпициклоиду. Проведем в плоскости потока ха-
8—3331	из
(5.6)
^^^-Larctgl/^pJl-arctgl/^^+V (5.7)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

рактеристику AF, пересекающую линию тока EFH в точке
F (рис. 5.5), и найдем в плоскости годографа соответству¬
ющую точку F'. Это можно сделать, проведя из точки О
линию вектора скорости Хр под углом 8р к направлению
потока ОЕ'. Направление вектора Хр совпадает с направ¬
лением касательной к линии тока в точке F. При переме¬
щении в бесконечно близко расположенную точку F" ско¬
рость потока меняется на dXp (угол отклонения изменился
на d6). Связь между dkp и dbp определена уравнением
(5.6). Полагая #0=0, из (5.6) находим связь между углом
отклонения в слабой волне и приращением скорости:
dbjdc = rfc (1 /с) КМг-1.	(5.6а)
Так как угол между касательной к годографу в точке
F' и вектором скорости Хр равен
tg <$E=XFdbp{d%p=CFdbFldcp,
то на основании (5.6а) получаем
=Vni2f- 1.
Угол между нормалью к годографу F'A' и вектором Хр бу¬
дет
= 1,
т. е. aj?=arcsin (1/Мр)—угол Маха. Следовательно, нор¬
маль к годографу скорости F'A' является характеристикой
в плоскости потока, так как угол этой нормали с направ¬
лением вектора скорости равен углу наклона характеристи¬
ки ар. Отсюда следует очевидный вывод о взаимной орто¬
гональности характеристики касательных к годографу ско¬
рости (рис. 5.5). Линию годографа скорости E'F'L' назы¬
вают характеристикой течения в плоскости
годограф а. Все линии тока имеют общий годограф ско¬
рости, т. е. форма характеристики в плоскости годографа
не зависит от характера течения и одинакова для всех пло¬
ских сверхзвуковых потоков газа данных физических
свойств.
Так же как и в поле потока, в плоскости годографа
можно построить две характеристики, симметричные отно¬
сительно радиуса внутренней окружности, которые относят¬
ся к двум различным семействам. Для решения практиче¬
ских задач удобно использовать сетку характеристик пер¬
вого и второго семейств. Совокупность характеристик двух
семейств в плоскости годографа называют диаграммой
характеристик. Диаграмма характеристик может быть
114
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

построена по уравнению (5.7) или графическим способом
путем качения без скольжения окружности радиусом
(1/2) (V^A-J-\)!(k — 1)) по внутренней окружности коль¬
цевой области (штрихпунктирная окружность на рис. 5.5).
Диаграмма характеристик в плоскости годографа (см.
приложение 2) используется для приближенных расчетов
плоских сверхзвуковых течений. С этой целью в плоскости
годографа наносят отрезки характеристик двух семейств на
одинаковом и достаточно малом расстоянии друг от друга.
Для практического использования достаточна часть коль¬
цевой области, расположенная в секторе с углом 90°. За¬
метим, что любая окружность в плоскости годографа пред¬
ставляет собой линию постоянного модуля скорости, а любой
луч, идущий из центра О, определяет направление вектора
скорости в данной точке. Внутренняя окружность раз¬
бивается на градусы; отсчет угла ведется от горизонталь¬
ной оси плоскости годографа (положительные углы откла¬
дываются вверх, а отрицательные — вниз). Каждой эпици¬
клоиде приписывается номер, показывающий угол луча,
продолжением которого служит рассматриваемая эпици¬
клоида. Эпициклоиды первого семейства, идущие вверх,
имеют индекс 1 (10i, 20ь 30i и т. д.), идущие вниз обозна¬
чены индексом 2 (102, 20г, 302 и т. д.).
Каждая окружность в диаграмме характеристик обо¬
значена номером, показывающим сумму номеров эпици¬
клоид, имеющих разные знаки («4-» и «—»), или раз¬
ность номеров эпициклоид, имеющих знаки («+» или
«—»), пересекающихся на данной окружности и равных
удвоенному углу отклонения потока при расширении
от А,=1 до %, отвечающему рассматриваемой окружности.
Внутренняя окружность отвечает скорости Л=1, и ее номер
будет 0. Внешней окружности соответствует значение Ям=
= У (k \)}(k — 1). Скорости на промежуточных окруж¬
ностях легко определяются с помощью таблиц газодинами¬
ческих функций (см. приложение 1) по углу б.
Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие методику пользования
диаграммой характеристик. Так, на рис. 5 6,а -показано обтекание вы¬
пуклой криволинейной стенки плоским сверхзвуковым потоком. Для
приближенного расчета потока заменим плавную линию стенки АБС
ломаной линией; каждый отрезок этой линии (АВу ВС, CD) поворачи¬
вается на одинаковый угол, равный, например, 5°. Перед характеристи¬
кой Агп\ известны скорость потока Л13-1,227 и соответствующий угол
ai=50°37'. В плоскости годографа (рис 5.6,6) этой характеристике
соответствует точка Л', которая в диаграмме характеристик может
8*	115
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

быть выбрана произвольно на дуге окружности 10, соответствующей
скорости 1,227. Возьмем эту точку на пересечении характеристик
“| 62/—5i При переходе через область II поток отклоняется на 5°. Сле¬
дуя вдоль характеристики ^-52 в плоскости годографа, находим окруж¬
ность, проходящую через точку В' (номер окружности 15, т. е. равен
сумме 5 и 10), и соответствующие скорость в области II Х2= 1,344 и
угол а2==42°54/. Переходя в область III и далее в область IV, после¬
довательно находим в диаграмме характеристик точки С' и Р' и со¬
ответствующие скорости потока Я3 и Я4, а также а3 и а*. Аналогично
может быть проведен расчет течения около вогнутой стенки (рис. 5.6,в)
Если скорость перед Dmj равна ^i== 1,539, а углы поворота отрезков
DC, СВ, В А одинаковы и, как и в случае рис. 5 6,а приняты равными
5°, то изменение скорости и направления в областях I—IV находим по
диаграмме характеристик, переходя вдоль эпициклоиды -{-бг от точки
D' к точке А
5.3.	Центрированные волны разрежения.
Пересечение и отражение волн разрежения
Пример центрированной волны разрежения максималь¬
ной интенсивности приведен на рис. 5.5. Особенность таких
волн состоит в том, что все характеристики (волны Маха)
исходят из угловой точки, являющейся очагом возмущения
сверхзвукового потока. Другой пример показан на рис. 5.7,
Здесь перед волной скорость сверхзвуковая (?ц>1); за
116
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 5.7. Схема центрированной волны разрежения при обтекании вы
пуклого угла сверхзвуковым потоком
угловой точкой А газ попадает в область с пониженным
давлением (р2<рг)• При этом граничная линия тока от¬
клоняется от направления стенки ВА, поворачиваясь на
угол 6 в сторону пониженного давления. Возмущение, соз¬
даваемое точкой А, распространяется в сверхзвуковом те¬
чении вдоль характеристик Ати Ат{, ..., Ат2) образую¬
щих центрированную волну разрежения тхАт2. Возмуще¬
ние начинается на характеристике Атъ угол наклона ко¬
торой к вектору скорости невозмущенного течения «1=
=arcsin (1/Mi), и заканчивается на линии Ат2, располо¬
женной под углом a2=arcsin (l/Мг) к направлению откло¬
нившегося течения.
Между характеристиками Ami и Ат2 происходит рас¬
ширение газа от pt до р2. Линии тока, пересекая волну раз¬
режения, искривляются. Промежуточным точкам линии то¬
ка в пределах волны разрежения соответствуют характе¬
ристики Anti, Атп и т. д.; вдоль каждой характеристики
параметры течения остаются неизменными. Углы между
характеристиками и касательными к линиям тока в на¬
правлении течения уменьшаются: ai>a,>an. Линии тока
при этом расходятся, расстояние между ними по нормалям
увеличивается (/2>/i на рис. 5.7) в соответствии с одно¬
мерной схемой ускоряющего сверхзвукового течения (§ 3.4,
рис. 3.4). Интенсивность волны т\Ат2 меняется при изме¬
нении давления р2. При этом, если параметры невозмущен-
ного потока остаются неизменными, характеристика Атх
сохраняет неизменное положение, а характеристика Ат2
перемещается в зависимости от р2.
117
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Установим зависимости между параметрами потока на
границах волны разрежения. С этой целью воспользуемся
уравнениями Эйлера в цилиндрических координатах. Пола¬
гаем, что массовые силы отсутствуют. Принимая, что ха¬
рактеристики, образующие центрированную волну, прямо¬
линейны, считаем, что параметры потока сохраняют посто¬
янные значения вдоль любого радиуса в пределах волны.
Следовательно, dp/dr=dcfdr=0. Тогда уравнения Эйлера
можно получить в такой форме:
c6=dCr!dQ;	(5.8а)
со (cr-\-dce/dQ) ——p-'dp/dQ;	(5.86)
р (Cr-\-dc$fdQ) -\-codp/dQ=0.	(5.8в)
Уравнение	(5.8а) выражает условие плоского	безвихре¬
вого течения:	при обтекании угловой точки	А	поток оста¬
ется потенциальным и безвихревым, а следовательно, и эн¬
тропия потока, пересекающего волну разрежения, сохраня¬
ется неизменной. Подставим в (5.86) производную дав¬
ления:
dp/dQ= (dp/dp) sdp/dQ=a2dpldQ.
Исключая из (5.86) dp/dQ, а затем с помощью (5.8в)
dpjdb, получаем св=а. Последнее означает, что отклонение
потока в волне разрежения происходит таким образом, что
составляющая скорости, нормальная к радиусу (характе¬
ристике), равна скорости звука в данной точке. Этот вывод
в более общем случае уже получен (§ 5.1) из анализа
характеристик и картины распространения слабых возму¬
щений в сверхзвуковом потоке (рис. 5.1).
Установим теперь, как меняются скорость и давление
вдоль линии тока, пересекающей волну разрежения. Для
этой цели воспользуемся уравнением энергии (3.18). Учи¬
тывая, что c2=c2r-j-c2e; се=а, получаем
~ТС* Гс-~~Г°г'
Подставляя в это уравнение c0=dcrldQ, находим диф¬
ференциальное уравнение для определения радиальной со¬
ставляющей
dcrjV{c\lb)~c\ =. Vbdb.
Интегрируя это уравнение, находим Хг=сг/е*=
=b~l sin (66). Составляющая скорости с$ определяется но
118
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

уравнению Яе=се/с*=*&гМ>=cos (Ьб). Безразмерная ско¬
рость Я в произвольной точке волны разрежения
Яг=г-1Ц—— Sin2 (66).	(5.9)
k  1
Для определения давления в той же точке воспользу¬
емся уравнением (3.22а). После подстановки Я в (3.22а)
получим
^л=[1+цшр.	(5.10)
Пользуясь таблицами, можно определить изменения
плотности р/ро и температуры TJT0 в волне разрежения.
Формула (5.9) показывает, что максимальной скорости
Ям= V (k-t-l)J(k—1)=1 lb отвечает предельное значение
угла 0
<511>
В этом случае при обтекании угла поток приобретает
давление р2=0 (истечение в пустоту). Напомним (см. рис.
5.5), что при таком режиме направление граничной харак¬
теристики Ат2 совпадает с направлением линии тока от¬
клонившегося течения, так как а2=0. Подчеркнем, что рас¬
сматриваемый режим течения (Я=ЯМ) является теоретиче¬
ским предельным режимом. Определим форму линии тока
в пределах волны разрежения. Воспользуемся дифферен¬
циальным уравнением линий тока плоского течения drlcr=
=rdQlce- Используя формулы для Яг и Яе и интегрируя их,
получаем
г=г0 [cos (60)]—ь,	(5.12)
где Го — радиус-вектор линии тока при 0=0. Из уравнения
(5.i2) следует, что все линии тока в пределах волны раз¬
режения представляют собой систему подобных кривых;
расстояние между соседними линиями тока в соответствии
с основными свойствами сверхзвукового потока увеличива¬
ется в направлении течения.
Определим угол отклонения потока в волне разрежения,
имея в виду, что в соответствии с рис. 5.7 6=02+02—я/2.
Подставляя а2{М2) и 02(М2), находим
8 = 6-' [arcsin /	+	arcsin(l/M3)	-	*/2.	(5.13)
119
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 5.8. Пересечение двух центрированных волн разрежения различной
интенсивности
Максимальный угол отклонения соответствует истечению
в пустоту [Р2=0; Х2=Ям(М2=оо)]. Тогда «2=0, и с помо¬
щью (5.11) получаем
S„ = ,/2((/f?T-1)-	<514>
Пересечение и отражение волн разрежения рассмотрим на приме¬
рах. На рис. 5.8 представлена схема пересечения двух волн разреже¬
ния, образующихся благодаря поворотам стенок канала на углы соот¬
ветственно и 62. Так как угол <б2<бь то волна BCD имеет меньшую
интенсивность по сравнению с волной АСЕ. Если принять, что во всех
точках области / скорости одинаковы, то первые характеристики АС
и ВС имеют одинаковый угол наклона к линиям тока невозмущенного
течения. В области II устанавливается давление, которое может быть
определено по формулам § 5.2. Правее характеристики АЕ давление рг
будет меньше, чем р2, так как поток проходит более интенсивную волну
разрежения АСЕ. В зонах II и III линии тока принимают направление,
параллельное стенкам АЛХ и ВВь Вслед за тем линии тока еще раз
пересекают участки волн разрежения D&KF и EFGH, которые являют¬
ся продолжением волн АСЕ и BCD. При этом давление потока сни¬
жается до /?4, а скорость соответственно увеличивается (&4>Аз>А2>
>Xi). При пересечении волн DJKF и EFGH линии тока отклоняются
в противоположных направлениях, при этом линия тока а — а пово¬
рачивается на больший угол, чем линия тока b—b. Правее KFG линии
тока имеют одинаковое направление и отклонены на угол A6=8i—б2
от первоначального направления, так как пересекающиеся волны имеют
различную интенсивность. Результирующее отклонение потока происхо¬
дит в том направлении, которое диктуется более мощной волной, в дан¬
ном случае волной АУКА Параметры потока за системой пересекаю¬
щихся волн (область IV) могут быть определены по формулам, приве¬
денным в предыдущих параграфах Построение спектра течения и опре¬
деление параметров в зоне пересекающихся волн можно осуществить
120
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 5.9 Отражение центрированной волны разрежения от твердой
стенки (а) и от свободной границы струи (б)
с помощью диаграммы характеристик. Заметим, что поток в зоне интер¬
ференции CDFE (рис. 5 8) интенсивно ускоряется и линии тока дефор¬
мируются. В этой области характеристики криволинейны. Если обе
взаимодействующие волны разрежения обладают одинаковой интенсив¬
ностью, то зона CDFE является симметричной.
Практический интерес представляют случаи отражения волн разре¬
жения от стенки и от свободной границы струи. Первый случай пока¬
зан на рис. 5 9,а При пересечении первичной волны разрежения ABC
линии тока, деформируясь, поворачиваются на угол 6. Первая харак¬
теристика АВ отражается от стенки, причем элемент отраженной вол¬
ны BD пересекает первичную волну разрежения. Следовательно, вдоль
BD давление должно падать, а скорость увеличиваться. К такому же
выводу мы приходим, рассматривая поведение линий тока непосред¬
ственно у стенки; здесь при безотрывном обтекании линии тока парал¬
лельны стенке и, следовательно, повернуты на угол 5 к линиям тока,
расположенным за характеристикой AD Такой поворот означает уско¬
рение сверхзвукового потока. Отсюда заключаем, что волна разрежения
отражается от плоской стенки в форме волны разрежения, т е сохра¬
няет знак воздействия на поток. Легко видеть, что отраженные харак¬
теристики составляют с направлением стенки угол, меньший угла соот¬
ветствующих первичных характеристик, так как скорость за точкой
падения увеличивается. С удалением от стенки угол отраженной харак¬
теристики уменьшается в связи с тем, что характеристика пересекает
область разрежения (на участке BD) и вдоль характеристики скорость
121
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

увеличивается. Отсюда следует, что отрезки характеристик, лежащие
в пределах первичной волны разрежения, будут криволинейными. Лишь
за последней характеристикой CF (рис. 5 9,а) отраженные характери¬
стики становятся прямолинейными. Аналогичный вывод можно сделать
и для участков первичных характеристик AD' и др. При переходе через
первичную и отраженную волны разрежения поток расширяется: дав¬
ление падает, а скорость увеличивается. Параметры потока в зоне II
определяются по известным значениям X], ph аь б. Параметры зоны III
можно найти, учитывая, что угол поворота потока в отраженной волне
EBCF равен б. Тогда после определения Я2, р2, а2 по тем же форму¬
лам находим А*, р3,
Таким же способом можно рассмотреть отражение от свободной
границы струи волны разрежения АВЕ, образующейся при обтекании
внешнего угла (рис. 5 9,6). Характеристики, не проникая во внешнюю
среду, отражаются от границы, причем линия тока и граница струи
искривляются Вдоль первой волны АВ давление равно давлению
внешней среды ра> за последней волной р2<ра. Однако непосредствен¬
но на границе струи с внешней стороны давление, температура и ско¬
рость не меняются. Следовательно, если вдоль отрезка характеристики
BF давление падает, то вдоль EF оно растет. Но отрезок FE пересе¬
кает отраженную волну. Это означает, что при переходе через отра¬
женную волну давление повышается до ра Отсюда заключаем, что
волна разрежения от свободной границы струи отражается волной сжа¬
тия. Характеристики отраженной волны сходятся. Это очевидно, так
как угол между отраженными характеристиками и границей остается
одним и тем же. В отраженной волне сжатие газа происходит посте*
пенно (нескачкообразно) и изменение состояния является изоэнтро-
пийным.
Принципиальное различие между свойствами волн, отраженных от
стенкг! и от свободной границы, объясняется в конечном итоге тем, что
вдоль обтекаемой стенки распределение параметров потока диктуется
самим потоком, тогда как на свободной границе оно задано внешней
средой.
5.4.	Образование и расчет скачков уплотнения
В сверхзвуковых течениях газа, сопровождающихся
уменьшением скорости, легко возникают так называемые
сильные разрывы — ударные волны или скачки уплотнения.
При пересечении потоком поверхности разрыва давление,
температура и плотность возрастают, а скорость падает,
причем эти изменения происходят резко, скачком. Поверх¬
ность разрыва, перемещающуюся в пространстве, называют
ударной волной, а неподвижную ударную волну — скачком
уплотнения.
122
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 510. Обтекание сверхзвуковым потоком вогнутого угла (а) н
скачки уплотнения при сверхзвуковом течении газа в область повы¬
шенного давления (б)
Образование скачков уплотнения удобно рассмотреть
на примере сверхзвукового течения вдоль плоской стенки
ABC, повернутой в точке В на некоторый угол 6 навстречу
потоку (рис. 5.10,а). Благодаря такому повороту стенки
сечение струйки суживается. В сверхзвуковом потоке это
приводит к повышению давления (P2>Pi). причем повы¬
шение давления происходит скачкообразно при переходе
через некоторую поверхность ВК, называемую плоским ко¬
сым скачком уплотнения. Можно показать, что при обте¬
кании рассматриваемой стенки непрерывный переход от па¬
раметров в области АВК к параметрам в области КВС
физически невозможен. Действительно, границей возмуще¬
ния для области ABttii должна быть звуковая волна Вт,\,
угол наклона которой к вектору скорости сi будет <ц=
=arcsin (1/Mi). Вторая граница возмущения Вт2 имеет угол
наклона a2=arcsin (l/Мг). Так как с2<с\ и а2>аито a2>ai.
Характеристика Вт2 оказывается в невозмущенной области
ABmi, и линии тока должны были бы иметь форму, пока¬
занную штриховой линией, что физически нереально. Мож¬
но предположить, что косой скачок занимает среднее поло¬
жение между волнами Втх и Вт2. Скачки возникают так¬
же при сверхзвуковом истечении в среду с повышенным
давлением (рис. 5.10,6). Правее точки В (за линией ВС)
поддерживается давление р2 более высокое, чем р\. Если
разность давлений р2—pi мала, то в точке В возникает сла¬
бая волна сжатия Вт. Если изменение давления в точке В
станет конечным, то волна переместится в положение ВК
и будет обладать конечной интенсивностью, т. е. преобра¬
зуется в скачок уплотнения. По мере увеличения давления
р2 скачок ВК будет поворачиваться относительно точки В
123
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

влево фК', ВК" и т. д.). При
переходе через скачок поток
отклоняется на угол б вверх
от направления невозмущенно¬
го потока АВ. При переходе
через скачок поток испытыва¬
ет скачкообразные изменения
всех параметров. Положение
скачка определяется углом |3
Рис. 5.11. Треугольники скоро- между плоскостью скачка В К
стей на косом скачке уплотие- и первоначальным направле-
нпя	нием	потока	АВ.
Отметим, что скачки могут
возникать не только в адиабатических течениях при обте¬
кании угловых поворотов, но и в тех случаях, когда на ма¬
лой длине потока происходит интенсивный подвод энергии,
например теплоты (§5.8).
Как и ранее, рассмотрим установившееся течение газа
без теплообмена с окружающей средой и без трения. Пред¬
положим, что в некоторой точке сверхзвукового потока воз¬
ник косой скачок уплотнения (рис. 5.11). Параметры газа
до скачка обозначены индексом 1, а за скачком — индек¬
сом 2. Рассмотрим движение газа по линии тока ABD,
пересекающей плоскость скачка в точке В. Скорость до ко¬
сого скачка и после него можно представить составляющи¬
ми, нормальными к плоскости скачка (спi и с„2) и каса¬
тельными к ней (с,, и с/г), и, таким образом, построить
треугольники скоростей до скачка и после него. Очевидно,
ЧТО С21=С2„1+С2П и С22=С2„2+£2<2-
Для установления связи между параметрами до скачка
и после	него	используем основные законы	сохранения.
Условие	постоянства массы будет /lpiCj =f2p2^2.	Так как
(рис. 5.11)	_
/i=5fijsinp и f2=BBt sin (р—6),
то
piCi sin р=р2с2 sin (р—б),
или
PlCnl=P2^n2-	(5.15)
Закон сохранения импульсов в проекции на нормаль
к плоскости косого скачка дает
(Р1—Р2) ВВ\ • 1 =т (сп2—сп1),
или после очевидных упрощений
Pl+pic2nl=p2-|-p2c2n2-	(5.16)
124
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

В проекции на плоскость скачка получим
р\Сщ (Ct2 ^и)==0)
так как давление вдоль всех поверхностей, параллельных
поверхности скачка, остается постоянным. Следовательно,
Таким образом, касательные составляющие скоростей
до плоского косого скачка уплотнения и после него одина¬
ковы. Рассматриваемое течение происходит без теплооб¬
мена с окружающей средой и, следовательно, полная энер¬
гия потока сохраняется неизменной (hoi=ho2=ho). Уравне¬
ние энергии, выраженное через компоненты скоростей, име¬
ет вид
с*я, , k pt гс*„г , k рг с\ k+l _c*t tK
"Т' + ПТ — +	=	т-
Найдем связь между скоростями до скачка и после него.
Преобразуем уравнение (5.16) с учетом (5.15):
Подставив (5.18а) и (5.186) в уравнение (5.16а), после
преобразований найдем
Формула (5.19) устанавливает связь между нормальны¬
ми составляющими скоростей при переходе через косой
скачок и является исходной для получения зависимостей
между другими параметрами течения до скачка и после
него. Заменим здесь с2* по уравнению (5.18). Тогда, выра¬
жая скорость звука a?=kp/p, получаем
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
Cn=Ci2—Ct-
(5.17)
(5.16а)
Из уравнения энергии выразим
(5.18а)
(5.186)
(5.19)
или
'*-1,2
(5.19а)
125

Из формулы (5.19) легко также выразить
_£f»L _/_£fn.£!»!__ Л (5.21)
e22 V а\ k—\) U—1 а\ )	4
Возводя в квадрат обе части уравнения (5.15) и учиты¬
вая, что pi=kpi/a2i и p2=kpzla22, имеем
Р1Р1 С2 п 1 / О2! —p2t>2C2n2/u22-
(5.22)
Уравнения (5.20) — (5.22) содержат три искомые вели¬
чины р2, рг и сп2/а2 и могут быть решены совместно. Ис¬
пользуем, кроме того, очевидные соотношения, которые сле¬
дуют из треугольников скоростей на скачке (рис. 5.11):
ст — ci sinfi; c„2^c2sin(p-6); 1
ct~ с, cos = с2 cos (j3 — S).	J	'-0'	’
Тогда, исключая последовательно из уравнения (5.20)
с помощью (5.22) pi и р2 или р\ и р2 и подставляя в (5.20)
сп2/а2 из (5.21), получаем искомые связи между термоди¬
намическими параметрами на скачке, приведенные
в табл. 5.1. Формулы в табл. 5.1 выражают зависимость из¬
менения параметров газа ири переходе через косой скачок
уплотнения от к, скорости потока до скачка Mj и угла
косого скачка р. Из формул следует, кроме того, что угол
косого скачка больше угла характеристики аь При p=ai=
Таблица 5 1
Величина
Расчетная фор\тула
Отношение давлений
Отношение плотно¬
стей
Отношение температур
P*/Pi=JT+l (f=t мг*sin2? -1)
*4-1/2	1	\-i
Рг pi — А — 1	1	M2,sin23	+	!J
М2, sin2 ?	1	j	:
Число Маха за скач¬
ком
М,
- (dh + *■.) (j=i	'	+
+ М2, cos2 J	М2,	sin?2	+	lj-'
126
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

=arcsin (1/Mi) p2!pi=92lpi=T2!T,=1. В этом случае косой
скачок вырождается в слабую волну уплотнения (слабый
скачок) и угол отклонения потока стремится к нулю. Связь
между углами 0 и 6 устанавливается по уравнениям (5.19)
и (5.23) в таком виде:
fg$-=-(M\sm*|3 -	-f	l]'Wf3)-45.24)
Из уравнения (5.24) следует, что 6=0 при $=ai и 0=
=90°. Таким образом, кривая 6(Р) имеет максимум, поло¬
жение которого определяется обычным способом. Макси¬
муму кривых отвечают углы Ifrm и 6т, значения которых
зависят от Mi и к. Формула (5.24) графически представле¬
на в диаграмме скачков (см. приложение).
При увеличении {3 давление, температура и плотность
газа за скачком увеличиваются, безразмерная скорость
уменьшается при неизменных параметрах до скачка. В ча¬
стном случае {3=90° изменения параметров в скачке ока¬
зываются максимальными, а угол отклонения 6=0. Такой
скачок, расположенный нормально к направлению скоро¬
сти кевозмущенного потока, называют прямым скач¬
ком. Прямой скачок является частным случаем косого
скачка; основные уравнения прямого скачка получаются из
формул табл. 5.1 после подстановки (3=90°. Формула связи
между скоростями до скачка и после него получается так¬
же из основного уравнения косого скачка (5.19) или
(5.19а). Здесь следует принять
Cnj=Ci (Яп!^Я)) J Сп2=^-2 (Хп2=Яг) » с< = 0.
Тогда
С|С2=С2*, или Я|Я2=1.	'	(5.25)
Следовательно, скорость газа за прямым скачком всег¬
да меньше критической скорости (с2<с*). Это означает,
что прямой скачок является наиболее интенсивным скач¬
ком, вызывающим максимальное повышение давления и
соответственно снижение скорости.
Формулы в табл. 5.1 показывают, что интенсивность
скачков увеличивается с ростом скорости невозмущенного
потока Xi(Mj). Отношение плотностей при максимальной
скорости стремится к конечному пределу lim (ps/pi)=
=(&-fl )f(k—1), а отношения давлений и температур воз¬
растают безгранично. Необходимо иметь в виду, однако,
что при больших сверхзвуковых скоростях, когда в резуль¬
тате появления скачков уплотнения температура и давле¬
ние газа повышаются весьма сильно, полученные формулы
127
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

являются приближенными, так как они не учитывают зави¬
симости теплоемкости от температуры, диссоциации моле¬
кул и отклонения свойств реальных газов от свойств совер¬
шенного газа.
5.5.	Ударная поляра и диаграмма ударных поляр
Зависимость между параметрами на границах скачка
можно в удобной форме представить графически. С этой
целью рассмотрим треугольники скоростей до и после
скачка (рис. 5.12,а). Расположим вектор скорости до скач¬
ка с 1 по оси х (отрезок OQ). Отрезки OF и FQ представ¬
ляют собой соответственно касательную с* и нормальную
Сщ составляющие скорости до скачка. Зная угол отклоне¬
ния потока б, проведем линию вектора скорости за скач¬
ком сг до пересечения с отрезком FQ. Точка пересечения Е
определяет значение с2, а отрезок EF выражает нормаль¬
ную составляющую скорости за скачком спг-
Скорость Сг можно представить двумя другими состав¬
ляющими: «2 и v2. Компоненты и2 и v2 являются проекция¬
ми с2 на направление скорости потока перед скачком и на
нормаль к этому направлению. Найдем уравнение кривой,
описываемой концом вектора скорости за скачком с2 при
постоянной скорости перед скачком ci и переменных зна¬
чениях угла поворота б. Выражая это уравнение в форме
связи между и2 и v2, получим кривую скорости за скачком
в плоскости годографа. Для нахождения искомой зависи¬
мости используем основное уравнение косого скачка (5.19).
Подставив в это уравнение значения сп\ и ct из формул
(5.23), находим
с21 sin2 р—C\V2 tg Р—с2*—ЬЧ\ cos2 Р,	(5.26)
так как (рис. 5.12,a) с„2=с„i—v2 (cosp)-1.
Рис 5.12. Треугольники скоростей на скачке (а) и построение ударной
поляры в плоскости годографа (б)
128
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Преобразуем уравнение (5.26) к виду
С2] COS2 Р tg2 Р—CiV2tg р=с2,—6V, cos2 р.
Отсюда, полагая, что tgp=(c,—u2)/v2, получаем
v\ (ct - игу {с,иг - с\) с\ +с\ - сги,у', (5.27)
или в безразмерных скоростях
*,, = (*, -ЯИ,)8(*Л, - 1) ^Я‘, + 1 - ЯЛ,)"'. (5.27а)
где Я„4=02/с*', Хиа=и2/с».
Кривую, отвечающую уравнению (5.27), представлен¬
ную на рис. 5.12,6, называют ударной полярой.
Удаоная поляра — это кривая, представляющая
собой геометрическое место точек—концов векторов ско¬
рости— за скачками уплотнения различной интенсивности
(и формы). Каждая ударная поляра строится для опреде¬
ленной заданной скорости набегающего потока. Обратимся
к предельным значениям у2 по уравнению (5.27). Легко ви¬
деть, что v2=0 при щ=С\ и ы2с1=с2». Первый случай соот¬
ветствует бесскачковому процессу: косой скачок уплотне¬
ния переходит в волну слабого возмущения (характеристи¬
ку). Касательные к гипоциссоиде в точке Q расположены
под углом ai=arcsin (1/Mi) к нормали, проведенной через
точку Q. Значение си фиксируется также проведением нор¬
мали к касательной из начала координат. Заметим, что
точка Q является одновременно точкой диаграммы харак¬
теристик и ударная поляра здесь переходит в эпициклоиду.
Угол косого скачка р, отвечающего точке £2, определяется
проведением секущей QE% и нормали к ней из точки О.
Второй случай (ы2с,=с2*) характеризует переход косого
скачка в прямой, угол которого >р=90°. Этот случай на
гипоциссоиде характеризует точка Р
Из уравнения (5.27) следует, что v2 может обратиться
в бесконечность при u2=2c\j (k-\-1) +с2*/с|. Ветви QN дают
значения скорости за скачком (точка £3 на рис. 5.12,6)
большие, чем до скачка, и могут быть отброшены как фи¬
зически нереальные.
Ударная поляра в пределах между крайними точками Р
и Q дает два значения для вектора скорости за скачком.
Плоские скачки реализуются при значениях вектора ско¬
рости потока за скачком, отвечающих точкам Е2 (рис.
5.12,6). Второе значение с2, соответствующее точкам Еи
в плоском скачке не реализуется. Рассмотрим сверхзвуко¬
вое течение газа вдоль стенки LBC (рис. 5.13,а), посгепен-
—3331	129
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Щ F2
'М
'77777777*?
L 8
а)
Рис. 5 13 Скачки уплотнения при углах поворота потока б^бм (а),
6=6„ (б) и д>5и (в)
но увеличивая угол отклонения потока. При значениях б,
близких к нулю, возмущение потока невелико и скорость
с2 за скачком близка к скорости до скачка Си По мере уве¬
личения б точка Е2 (рис. 5.13,6) перемещается вдоль удар¬
ной поляры от Q к г, где точка г дает скорость за скачком
Я2=М2=1. Дальнейшее весьма небольшое увеличение б
приводит поток за скачком к состоянию, определяемому
точкой К. Здесь течение за скачком уже дозвуковое (М2<
<1) и б достигает максимального значения бм. Если б>бм,
то скачок отходит от угловой точки В и искривляется (рис.
5.13,в). Это объясняется тем, что скорости распространения
возмущений за скачком становятся больше скорости пото¬
ка. Действительно, увеличивая угол б, мы тем самым уве¬
личиваем давление, плотность и температуру потока за
скачком. Вместе с тем растет и скорость звука возмущен¬
ного течения at — VkRFt. При б>бм эта скорость стано¬
вится больше скорости потока и поэтому возмущения про¬
никают против потока. Поверхность RKi отделяет зону не¬
возмущенного потока от зоны возмущенного течения и
представляет собой отошедший криволинейный
скачок уплотнения.
Аналогичное изменение структуры потока фиксируется
при обтекании клина сверхзвуковым потоком. Если поло¬
винный угол клина 6<бм при данной скорости (рис.
5.14,а), то на носике клина возникают два прямолинейных
косых скачка АВ и ABi, образующих так называемую го-
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
Рис. S.14. Обтекание
клина сверхзвуковым
лотоком при 8<6м
(а) и 6>6М (б)

ЛОВПугоударную волну клипа. Если д>6м, то пло¬
ский скачок сменяется криволинейным скачком (рис.
5.14,6), который располагается не на носике клина, а на
некотором расстоянии перед ним. Это расстояние зависит
от скорости невозмущенного потока Я) и б. С ростом Xi
скачок приближается к носику тела. С увеличением угла
отклонения при 6>6М скачок удаляется от тела. Обтекание
скругленного носика тела сверхзвуковым потоком всегда
будет происходить с образованием криволинейной
головной волны, оторвавшейся от иосика, а расстоя¬
ние между волной и носиком для центральной линии тока
будет зависеть от скорости Х\ и от формы носика.
Так как для линии тока, разветвляющейся в точке А
(рис. 5.14,6), $=90° и 6=0, то элемент скачка, пересекаю¬
щий центральную линию, должен быть прямым. Скорость
потока за элементом прямого скачка определится точкой Р
на ударной поляре (рис. 5.13,6). Поток за скачком на этой
линии тока всегда дозвуковой. Все участки скачка, кроме
центрального, расположены под различными углами к век¬
тору скорости невозмущенного потока р,<90°.
Рассматривая такую искривленную головную волну, со¬
стоящую из большого числа малых прямолинейных элемен¬
тов, легко убедиться, что по мере удаления от центральной
линии тока уменьшаются б< и углы наклона элементов скач¬
ка Pi. При этом можно воспользоваться ударной полярой
для расчета потока за скачком для каждой линии тока
в отдельности. Участку головной волны KL отвечают точки
ударной поляры от Р до г, в которой скорость Яг=1. Тече¬
ние будет дозвуковым в некоторой области, прилегающей
к носику тела (эта область на рис. 5.14,6 заштрихована).
В различных точках за скачком давления будут различны¬
ми. В некоторой точке L скорости за скачком становятся
звуковыми. Выше этой точки состояние за скачком опре¬
деляется отрезком ударной поляры от г до Q.
Суммируя изложенное выше, отмечаем, что мы позна¬
комились со скачками трех типов: плоскими косыми, кри¬
волинейными отошедшими и прямыми. Наиболее интенсив¬
ным при заданных Xi и k является прямой скачок; проме¬
жуточное положение занимает криволинейный скачок,
а наиболее слабым оказывается плоский косой скачок.
Уравнение (5.27а) позволяет построить семейство гипо¬
циссоид или ударных поляр, отвечающих различным, но
постоянным значениям Ль В приложении 3 представлена
диаграмма ударных поляр для воздуха. Если %\=
=1, то в соответствии с формулой (5.27а) гипоциссоида
вырождается в точку (A,i=A2=1; Л»,=0), а при максималь-
9*	131
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ной скорости Xim— в окружность радиуса £=
r=Y(k-\~l)[(k— 1).С помощью диаграммы ударных поляр
с удовлетворительной точностью графически рассчитывают¬
ся системы скачков различной структуры. По двум задан¬
ным величинам определяются термодинамические, геомет¬
рические и газодинамические параметры скачка.
5.6.	Диссипация кинетической энергии в скачках
уплотнения
Как известно из термодинамики, для процесса без те¬
плообмена с окружающей средой, происходящего в совер¬
шенном газе, изменение энтропии определяется уравнением
AS=[R/(k-l)) in [(рМ (р,/р2)*].	(5.28)
Для обратимого (изоэнтропийного) процесса А5=0 и
(P2IP1) (Р1/Р2) fc=l.
Установим, как изменяется энтропия при переходе через
скачок уплотнения. Исключив из уравнений для p2/pj и
pa/pi в табл. 5.1 комплекс M2i sin2 р, получим
^.=(>-^t)/(t-S)- <i29>
Произведя расчет, легко убедиться, что для скачка уп¬
лотнения, для которого Рг/Р1>1, всегда p2/pi> (p2/pi)ft и,
следовательно, согласно (5.28) при переходе через
скачок энтропия газа возрастает. Увеличение эн¬
тропии в скачке объясняется необратимым «ударным» ха¬
рактером изменения состояния газа в скачке. В результате
такого процесса часть кинетической энергии газа необра¬
тимо переходит в теплоту; при отсутствии энергетического
обмена с внешней средой внутренняя энергия потока необ¬
ратимо возрастает. Кривую, характеризующую процесс,
протекающий по уравнению (5.29), называют ударной
адиабатой (рис. 5.15,а).
При неизменной скорости Я1 энтропия при переходе че¬
рез скачок меняется в соответствии с изменением угла р.
Если скачок плоский и, следовательно, вдоль скачка £ со¬
храняет постоянное значение, то для всех линий тока, пере¬
секающих скачок, изменение энтропии будет одинаковым.
Если же скачок криволинейный, то увеличение энтропии
для каждой линии тока будет различным, так как вдоль
скачка угол $ меняется. Это означает, что за криволиней¬
ным скачком поток вихревой; за плоским скачком течение
остается потенциальным.
132
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 5 15 Изменение давлений и плотностей в обратимо» и >дарнон
адиабатах (а) и процесс в скачке в диаграмме //. 5 (б) 1 - обратимая
адиабата; 2--ударная адиабата
Пользуясь уравнением (5.29), можно рассмотреть изме¬
нение состояния газа при переходе через слабый скачок.
Полагая р\—ру pi=p и считая, что давление и плотность
в скачке изменяются на бесконечно малое значение, т. е.
p2—p~rdp\ p2=p-Wp, из (5.29) получаем dp/p=kdplp. Сле¬
довательно, изменение состояния в скачке бесконечно ма¬
лой интенсивности является изоэнтропийным.
Рассмотрим более подробно энергетические преобразо¬
вания в скачках. Как указывалось, полная энергия потока
при переходе через скачок не меняется; следовательно,
hm=:hi)2=ho или при cp=const Тт=Т02=То. Используя дру¬
гие параметры полного торможения, находим
Poi/poi=/Wpo2»
Имея это в виду, рассмотрим процесс перехода через
скачок в диаграмме Л, S (рис. 5.15,6). Зная давление тор¬
можения до скачка р0\ и энтальпию торможения нахо¬
дим точку 0\. По известной скорости потока до скачка с{
или давлению р\ находим точку Q, которая определяет со¬
стояние движущегося газа перед скачком. В скачке стати¬
ческое давление потока увеличивается до р2. Если известен
угол отклонения потока 6 и, следовательно, |3, то состояние
газа за скачком определено (точка Е2), так как по форму¬
ле (5.28) можно найти приращение энтропии AS. Заметим,
что линия, соединяющая точки Q и Е2 на рис. 5.15,6, не
характеризует изменения состояния газа в скачке, так как
в диаграмме A, S неквазистатические процессы могут быть
133
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

предстаблены tcuibKo начальной и конечной точками про-
цесса. Если поток за скачком изоэнтропийно затормозить,
то состояние полного торможения характеризуется точкой
О2, в которой легко находится значение рог. Предоставив
теперь потоку возможность изоэнтропийно расшириться до
давления перед скачком, можно установить его состояние
в точке Е'ч. Скорость газа при этом вычисляется по урав¬
нению энергии
с,2а/2=/го—h'2=Ha2=H ок~\~НоП)
где Я02 — изоэнтропийный перепад энтальпий за скачком;
Я0к=с22/2 — кинетическая энергия потока за скачком;
#оп=(с/22—с2г)/2 — изменение потенциальной энергии пото¬
ка в скачке. Очевидно, что Я02<Я0ь где Ны=с2х/2 — изо¬
энтропийный перепад энтальпий до скачка. Тогда
Дh -- Нп - - Нйг — 0,5 (с2 — <?'*),
где Ah легко определяется по диаграмме hS как разность
энтальпий h\—h\. Потерю кинетической энергии нетрудно
связать с основными параметрами скачка. Выразив Н01 и
Яог по известным термодинамическим зависимостям, мож¬
но получить коэффициент потерь кинетической энергии
в скачке в таком виде:
Ct--,4ftW.,=-44T1i-(r"r-l).	(5.30)
Отношение ео=Рог/Ро1 характеризует изменение давления
торможения в скачке. Эту величину можно представить
в зависимости от параметров скачка Mi и р.
При обтекании тела сверхзвуковым потоком перед те¬
лом возникает скачок уплотнения; при переходе через ска¬
чок энтропия газа растет, а скорость уменьшается. Таким
образом, в сверхзвуковом потоке идеальной жидкости по¬
является особый вид сопротивления—волновоесопро-
тивление, зависящее от потерь кинетической энергии
в скачках, а следовательно, от формы и интенсивности
скачков. Как мы видели, форма скачка и его интенсивность
зависят от формы тела и скорости обтекания. Учитывая,
что при уменьшении угла отклонения (а следовательно, и
Р) потери в скачке уменьшаются, можно заключить, что
остроконечные тела в сверхзвуковом потоке
должны обладатьменьшвм сопротивлением,
чем тела, имеющие скругленную форму.
Для расчета скачков удобно пользоваться специальными диаграмма¬
ми, позволяющими легко определить характеристики скачка по двум
134
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

заданным параметрам. Пример такой диаграммы для £—1,4 приведен
в приложении В приложении 4,а представлены графики б (Яг) и р(Х2)
для различных Хг. На каждой кривой указано значение Х\; в скобках
даны обозначения каждой кривой. В приложении 4,6 представлены гра¬
фики 6(0) и р(Р), также соответствующие различным значениям ско¬
рости перед скачком Хи В приложении 4,в дана зависимость отношения
температуры на скачке от скорости за скачком Т(Х2).
В приложении 4,г нанесены коэффициенты потерь энергии в скачке
£С(Р) и коэффициенты восстановления давления ео(Р).
Поясним на примере способ пользования диаграммой. Допустим,
что нам известны угол отклонения линии тока б и скорость потока до
скачка Хи На кривой б(Р), соответствующей заданному значению Хи
находим точку Л0. Проектируя эту точку на горизонтальную ось, нахо¬
дим в точке Ах угол скачка рь На кривой р(Р), соответствующей тому
же значению Хи получаем точку Л2, которая определяет отношение
плотностей р. На кривой б(Я2) (приложение 4,а) находим точку Ви
которая определяет безразмерную скорость за скачком Я2. Перейдя
при том же значении Х2 на кривую р(Х2)> получим в точке £2 отноше¬
ние давлений на скачке. В точке С на кривой 7 (Я2) определяем отно¬
шение температур. Проектируя точку А\ на линии £С(Р) и 8о(Р) в точ¬
ках D\ и D2, находим значения коэффициентов £с и во.
5.7.	Пересечение и отражение скачков
Пересечение скачков. Два последовательных поворота
стенки LBCD (рис. 5.16,а) на угол б приводят к образова¬
нию двух косых скачков: В К и СК, причем >Р2>Рь так как
после первого скачка скорость Я2<Яь В результате скачки
пересекаются в точке /С. За точкой пересечения оба скачка
сливаются в один ска’чок KF> так как выше точки К углы
меняются в обратном направлении: угол Рг уменьшается
(второй скачок попадает в область, где %\>%2), а угол pi
возрастает (первый скачок располагается за вторым). Ли¬
ния тока, пересекающая систему двух скачков, деформи¬
руется, поворачиваясь в точках Ь и d на угол б; при пере¬
сечении скачков скорости потока ступенчато падают,
а давления растут. Отметим, что области 3 и 4 разделены
слабой волной разрежения или слабым скачком уплотне¬
ния KLy при пересечении которого поток приобретает дав¬
ление р4=р'з- Характерно, что скорость за скачком KF
всегда меньше скорости за скачком СК (А,4<А,з); отсюда
следует, что линия КН является линией тангенциального
разрыва скорости. В вязкой жидкости вдоль КН развива¬
ется вихревое движение.
135
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис 5 16 Торможение потока в дв>ч иостсдователшых скачках (о) и
обтекание сверхзвуковым потоком таимом вогнутой стенки (о)
Таким образом, если при заданных пределах изменения
статического давления увеличивать число косых скачков
уплотнения (рис. 5.16,6) путем увеличения последователь¬
ных поворотов стенки, то торможение потока будет более
плавным, а суммарные относительные потери кинетической
энергии будут уменьшаться. Нели при этом каким-либо
способом погасить скачок KF, то можно осуществить сту¬
пенчатое торможение сверхзвукового пото-
к а. Обычно за последним косым скачком располагается
прямой скачок, в котором происходит переход к дозвуко¬
вой скорости. При этом необходимо определить угол накло¬
на первого скачка (или угол б), при котором суммарная
диссипация энергии минимальна Расчет выполняется ио
диаграммам скачков (см. приложение).
Результаты расчета (рис. 5.17) системы из двух скачков
(косого и прямого) подтверждают, что £с достигает мини¬
мума при некотором значении Рюпт- Так, при A,i=l,6 мини¬
мальный коэффициент £с=0,035 соответствует рюпт=52°.
В этом случае один прямой скачок дает £,.=0,113 (точка А
на рис. 5.17), а один косой скачок при скорости за скачком,
равный скоросш звука (точка У) £< =0,073. Отметим, что
с ростом Xi ;ффскп!внос11. двухступенчатою торможения
возрастает, а минимум кривых £<-(Pi) оказывается более
пологим. Это обстоятельство позволяет выбирать оптималь¬
ные шачення Pi таким образом, чтобы и скпнческое дав¬
ление !.i нюрыч прямым скачком было напои и.шич.
При больших сверхзвуковых скоростях для перехода
к дозвуковым скоростям целесообразно применять $ол?е
136
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис 5 17 Схемы скачков и зависимости коэффициентов потерь кинети¬
ческой энерсии в скачках t,c от угла первого скачка
сложные системы последовательно расположенных скачков,
состоящие из нескольких косых и одного завершающего
прямого скачка. С ростом числа косых скачков потери
энергии будут уменьшаться. Для каждой скорости потока
Xi при заданном числе косых скачков существует опш-
мальная схема расположения скачков, которую можно най¬
ти последовательным расчетом.
Предельным случаем является торможение потока вдоль
плавной вогнутой стенки, в каждой точке которой поток
испытывает отклонение на малый угол df> (рйс. 5.16,6).
При этом у стенки образуется волна сжатия, состоящая из
бесчисленного множества слабых воли уплотнения. Движе¬
ние газа через такую волну сжатия совершается при по¬
стоянной энтропии. Однако плавное изоэнтропийиое тормо¬
жение здесь может происходить только в слое газа, приле¬
гающем к стенке. В результате пересечения характеристик
уплотнения на некотором расстоянии от стенки, зависящем
от скорости набегающего потока, возникает криволинейный
скачок переменной интенсивности. Поток за скачком вихре¬
вой, так как скорости в разных точках за линией ВК раз¬
личны.
Другой случай пересечения двух косых скачков показан
на рис. 5.18. Косые скачки в невозмущенном потоке I воз¬
никают в результате поворота двух противоположных сте¬
нок канала на разные углы dt и б2. Направления потока
137
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

в зонах II и III неодинаковы. Параметры течения за косы¬
ми скачками АВ и АКВ легко могут быть определены по
известным параметрам до скачков Хь Ри Т\ и углам 6i и
62, если эти углы меньше соответствующего максимального
значения 6М для Яь Параметры потока в области IV можно
найти, пользуясь диаграммой ударных поляр и граничным
условием для линии тока, проходящей через точку В. При¬
нимается, что направления скорости и давления во всех
точках области IV одинаковы.
Устойчивое существование системы двух пересекающих¬
ся косых скачков возможно не при всех условиях. Если
углы вторых скачков (J3 и £4 больше соответствующих зна¬
чений рм, характер течения меняется. Вблизи центральной
линии тока, проходящей через точку В, образуется прямой
скачок. Система пересекающихся прямолинейных косых
скачков переходит в мостообразный скачок.
Отражение скачка от твердой стенки. Стенка располо¬
жена параллельно направлению скорости невозмущенного
потока (рис. 5.19). Скачок образуется в точке А. При пе¬
реходе через первичный скачок АВ линия тока отклоняет¬
ся к прямой стенке на угол б. Очевидно, что в точке В этот
поворот неосуществим и граничная линия тока сохраняет
Рис. 5.19. Схема нормального (о) и неправильного (б) отражений
скачка от твердой стенки
138
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 5.20, Схема от¬
ражения скачка от
свободной границы
струи
/
/,
*uPi=Pa
тттггптптггпт.
А
направление стенки. Это означает, что в точке В стенка
принудительно отклоняет поток в обратном направлении
на угол б. В результате возникает отраженный косой ска¬
чок ВС. Заметим, что углы падающего и отраженного скач¬
ков неодинаковы, так как перед скачком ВС скорость Я2<
<%\ при том же угле отклонения б. Расчет системы ведет¬
ся с помощью диаграммы ударных поляр (или диаграммы
скачков).
Отметим, что такое отражение скачка возможно не
всегда. Если угол отклонения стенки 6>6М> (рис. 5.19,6),
где§м, —максимальный угол отклонения, определяемый по
скорости за скачком Х2, то отраженный скачок В'С' искрив¬
ляется и сдвигается против течения. При этом деформиру¬
ется и первичный скачок АВ. Элемент DB' этого скачка
становится нормальным к стенке, система скачков приоб¬
ретает Х-образную форму. За участком прямого скачка по¬
ток дозвуковой. За криволинейной частью отраженного
скачка поток может быть сверхзвуковым. При существен¬
ном уменьшении Ai (или при 6>8М,) происходит деформа¬
ция скачка АВ, преобразующегося в отошедший криволи¬
нейный скачок А\В\.
Отражение скачка от свободной границы струи (рис.
5.20). Во всех точках на границе струи HBG давление
одинаково и равно давлению внешней среды рв. В струе это
же давление имеет место только до скачка АВ. При пере¬
ходе через скачок АВ давление изменяется от р\—ра до
Рг>Ра■ Следовательно, точке В свойственны одновременно
два давления и здесь возникает центрированная волна раз¬
режения: давление потока падает от р2 до ра. Первая ха¬
рактеристика BF составляет с направлением вектора М2
угол a2=arcsin (1/М2), где М2—скорость потока за скачком
АВ. Угол последней характеристики a3=arcsin (1/Мз).
Здесь скорость за отраженной волной разрежения Мз опре¬
деляется по отношению Ро/Роз» где рог — давление торможе-
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
139

Прямой скачок
Рис 5 21. Спектры обтекания тел различной формы сверхзвуковым
потоком
ния за косым скачком. Отражение скачка приводит к де¬
формации границы струи, коюрая в точке В отклоняется
на угол б2. Эю отклонение вызывается расширением сгруи.
Спектры обтекания тел сверхзвуковым потоком. При об¬
текании ромбовидного тела (рис. 5.21,а) возникают голов¬
ная ударная волна, состоящая из двух плоских косых скач-
140
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ков АКи две центрированные волны разрежения Вт^т^ и
Bintim2 и кормовая ударная волна, состоящая из двух пло¬
ских косых скачков СКг. Здесь же нанесены распределения
давлений по граням тела; видно, что в проекции на направ¬
ление A,i действует сила, обусловленная разностью давле¬
ний и равная (р2—Рг)ВВ\. Эта сила является силой сопро¬
тивления. Следовательно, волновое сопротивление при
сверхзвуковых скоростях представляет собой сопротивле¬
ние давлений.
При обтекании треугольного тела с нулевым углом ата¬
ки нижней грани (рис. 5.21,6) ветви головного AKi и кор¬
мового DK.2 скачков вырождаются в слабые волны (харак¬
теристики). Найдя распределение давлений по верхнему
обводу тела, убеждаемся в существовании силы сопротив¬
ления и подъемной силы, обусловленных изменением дав¬
лений в скачках и волне разрежения.
Обтекание пластинки сверхзвуковым потоком, располо¬
женной под углом атаки (рис. 5.21,в), приводит к возник¬
новению скачка АК\ снизу (поворот потока на вогнутый
угол) и волны разрежения Amitn2 сверху (обтекание выпу¬
клого угла) на передней кромке. Так как р2>рз, то пла¬
стинка испытывает воздействие подъемной силы и силы со¬
противления. Отсоединенная кормовая ударная волна ил¬
люстрируется при обтекании пятиугольника. Для нахожде¬
ния точки Е (рис. 5.21,г) следует найти угол отклонения
в волнах разрежения От2т3 или Dim2ms) и построить гра¬
ничные линии тока DE и D\E, определив точку их встречи.
Случай с появлением отсоединенной от тела головной
ударной волны, распределенными и центрированными вол¬
нами разрежения и дополнительными скачками в точках L
и I] показан на рис. 5.21,д. Тело с острым клином перед
затупленной частью (5.21,в) формирует два плоских косых
скачка АВ и АВ\, ослабляющих отсоединенный скачок пе¬
ред затуплением ВК и В\К\. В результате волновое сопро¬
тивление такого профиля снижается.
Ступенчатое торможение рассмотрено на примере обте¬
кания носовой части сверхзвукового диффузора с централь¬
ным телом (рис. 5.21,ж). Здесь показано торможение в че¬
тырех последовательно расположенных скачках. Торможе¬
ние дозвукового потока за замыкающим прямым скачком
происходит в расширяющемся канале.
Из приведенных примеров следует, что при обтекании
тел конечных размеров сверхзвуковым потоком интенсив¬
ность скачков благодаря взаимодействию с волнами разре¬
жения с удалением от тела уменьшается (на бесконечности
становится бесконечно малой). При обтекании заостренного
141
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

тела (рис. 5.21,з) на переднем остром носикс пластинки’
возникает плоский косой скачок АВ. При обтекании точки
D образуется стационарная волна разрежения, причем ха¬
рактеристика, на которой начинается отклонение потока,,
расположена под углом ct2=arcsin (l/Мг), где Мг — число'
Маха за скачком. Так как a2+6>Pi, то характеристика пе¬
ресечет скачок уплотнения в некоторой точке В. Второй!
границей волны разрежения является характеристика, рас¬
положенная под углом a3=arcsin (1/М3). На участке пра¬
вее точки В волна разрежения взаимодействует с косым'
скачком. На участках BE, EF, FG косой скачок отклоняет¬
ся на малые углы, как показано на рис. 5.21,з, причем углы'
скачка и углы отклонения потока уменьшаются. Следова¬
тельно, скачок, начиная от точки В, искривляется и откло¬
няется в направлении потока; угол скачка уменьшается,,
приближаясь к at. При этом интенсивность скачка умень¬
шается. Аналогичные результаты получаются, если волна
разрежения расположена перед скачком. Взаимодействуя
с волной разрежения, возникшей в точке Du скачок
A\B\E\F\Gi искривляется. Так как после пересечения с по¬
следней характеристикой волны разрежения D\B\ скачок
попадает в зону уменьшающихся скоростей, углы его уве¬
личиваются и скачок искривляется.
Рассмотрим в заключение обтекание сверхзвуковым по¬
током насадка полного давления (рис. 5.21,и). Перед на¬
садком возникает отошедший криволинейный скачок уплот¬
нения. Предполагая, что нейтральная линия тока пересека¬
ет элемент прямого скачка, можно использовать уже изве¬
стные уравнения для определения давления торможения,
если известны безразмерная скорость Я] и статическое дав¬
ление набегающего потока. С помощью уравнений прямого
скачка нетрудно найти связь между Р02/Р2 и p2/Pt и оконча¬
тельно получить зависимость
Р%
Ро2 Рог
позволяющую определить Mt (или Xt)
S.8.	Тепловые скачки
В гл. 3 были рассмотрены течения газа с теплообменом
й сформулированы условия перехода через скорость звука
при тепловом воздействии на поток. Возвращаясь к этой
задаче, остановимся на важном случае, когда выделение
теплоты происходит концентрированно, т. е. на столь малом
142
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

участке канала, что его сечение можно считать постойй*
ным. Такой концентрированный подвод теплоты возникает
при горении, детонации или химической реакции. В этих
случаях термодинамические параметры и скорости газа из¬
меняются скачкообразно, т. е. образуются тепловые
скачки.
Для расчета тепловых скачков выделим в канале неко¬
торую зону весьма малой протяженности по потоку и пред¬
положим, что по всему сечению в этой зоне равномерно
подводится определенное количество теплоты на единицу
массы. Обозначим, как и ранее, параметры потока до скач¬
ка и после него индексами 1 и 2. Считаем, что диффузия,
теплопроводность и влияние трения пренебрежимо малы.
Газ принимается идеальным, физически гомогенным до зо¬
ны теплоподвода и после нее. Теплоемкости и показатель
изоэнтропийного процесса меняются только при переходе
через скачок, который принимается прямым. В рассматри¬
ваемом случае исходные уравнения, аналогичные уравне¬
ниям (5.15), (5.16) и (5.18) для косых скачков, запишутся
в такой форме;
уравнение неразрывности
pici=p2c2;	(5.32)
уравнение количества движения
Pl+PlC2l=P2+P2C22;	(5.33)
уравнение сохранения энергии
0,5с21+Л 1+<7=0,5с22-1-Л2,	(5.34)
где *. = ^7-. = ^^ и	=
— количество теплоты, подведенной к единице массы. Че¬
рез энтальпии и температуры торможения уравнение (5.34)
выражается так:
Ло1+<7=А02; Cj>i7oi+<7=Cp27o2.	(5.35)
Уравнения состояния совершенного газа для потока пе¬
ред скачком и за ним Pi=piR\T; P2—P2R2T2.
Решим систему уравнений (5.32) —(5.34) совместно. Из
уравнения (5.33) получим
ls-+c\=r-	=	+	с\).
Pi	?1	V р2 I С2 \ р2 1	}
С помощью уравнений состояния найдем
RxTx+c*x={cx!c2) (R2T2+ch).	(5.36)
143
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Температура за скачком исключается с помощью уравне¬
ния энергии (5.34): Cp2T$=Cp\Te\-\-q—0.5с22. Подставим
значение Т2 в уравнение (5.36):
«V+ -*\ - f 7=-С„Г„ (!1 + -i -ii-) - 0. (5.37)
г2 срг	\	ср t19i	zcpiIbi/
Введем в это уравнение безразмерные скорости. Так как
энтальпия торможения и показатель изоэнтропы при пере¬
сечении скачка меняются, то критические скорости будут
неодинаковы, т. е.
=	'«=V2%TTh«-	<538>
Отношение квадратов критических скоростей с помощью
(5.35)	находим в таком виде:
c2*=c2*ifc2t2=m(l-j-q),	(5.3 9)
где
-  q	д	  *,	—	1
Л«1	ср\Тц	*i	+	l	*s	—	1
Учитывая также, что Ri = cpi—c„i; R2=cp2—cv2;	kx =
=cPilcVi\ k2=cp2/cv2< после преобразований приводим	урав¬
нение (5.39) к такому виду:
Х\ - К ■ -1+Х*« Я. + 1=0,	(5.40)
X.V1+?
где
*»
С*2
Из (5.40) получаем безразмерную скорость за скачком:
J-^II + XS) ^	,/«■<>	(5.4|)
2 x,Ki+5	V 4Х*,(1 + «)
Уравнение	(5.41) упрощается	для частного	случая,	когда
физические	свойства газа в тепловом скачке	не	меняются.
Тогда ki—k2=k\ tn=1; К—\ и
, L !+^>	1	/	о+**.)* Г А<л
~v «■,(.+«)—	(	42)
Уравнения (5.41) и (5.42) показывают, что теоретически
возможно существование четырех типов прямых тепловых
скачков, отвечающих условиям Xi>l и Я|<1, при которых
в зависимости от значений с»= Vi -\-q безразмерные ско-
144
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

рости за скачком могут быть Хг<1 или Х2>1. Однако вдей*
ствительности оказываются невозможными тепловые скач¬
ки, соответствующие скоростям a,t<l и Хв>1, так как
в этом случае необходимо отводить от газа теплоту, что не¬
возможно. Не реализуются также тепловые скачки, когда
Л| > 1 и Я2>1. Такие скачки перемещались бы относительно
находящегося перед ними газа со сверхзвуковой скоростью,
и их возникновение не должно было бы отразиться на со¬
стоянии газа. Следовательно, реальными оказываются те¬
пловые скачки двух типов: 1) Xi>\ и Л2<1—сверхзвуко¬
вые скачки, в которых выделение теплоты сопровождается
сжатием газа (p2>pi); 2) Я|<1 и Я2<1 —дозвуковые скач¬
ки, в которых выделение теплоты сопровождается разре¬
жением газа (p2<pi).
Отметим в заключение, что тепловые скачки могут быть
косыми и криволинейными. Приведенный выше анализ под¬
тверждает, что адиабатические скачки различного типа яв¬
ляются частными случаями разрывов, возникающих при
сверхзвуковых скоростях и связанных с обтеканием твер¬
дых поверхностей различной формы.
Гла*а шестая
ДВИЖЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ И ПОГРАНИЧНЫЙ
СЛОЙ
6.1.	Примеры точных решений уравнений
Навье — Стокса
В отличие от уравнений Эйлера уравнения Навье—
Стокса (2.50) описывают движение не идеальной, а реаль¬
ной вязкой жидкости, характер движения которой наиболее
заметно меняется вблизи обтекаемых твердых поверхно¬
стей. Теперь на твердых стенках, находящихся в покое, не
только нормальные, но и касательные составляющие скоро¬
сти потока с должны быть равны нулю. Условие нулевой
скорости жидкости на стенках канала или поверхностях об¬
текаемых тел вытекает из гипотезы «прилипания», соглас¬
но которой при соприкосновении вязкой жидкости с непо¬
движными стенками непосредственно на них частицы жид¬
кости имеют нулевую скорость. Опыты показывают, что эта
гипотеза хорошо соответствует действительности и нару¬
шается только при обтекании твердых поверхностей сильно
разреженными газами.
10-3331	145
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

+■
77777777777.
“(У)
Рис. 6.1. Движение жидко¬
сти между параллельными
пластинами
Точные решения уравнений
Навье —Стокса в общем виде по¬
лучить в настоящее время не уда¬
ется. Однако для некоторых част¬
ных случаев такие решения най¬
дены. Эти решения главным об¬
разом относятся к задачам, где
все инерционные члены в левой
части уравнений (2.47) исчеза¬
ют. В частности, указанным
свойством обладают так назы¬
ваемые слоистые течения, приз¬
наком которых является на¬
личие только одной составляющей скорости. Если этой со¬
ставляющей является скорость гг, а составляющие v и w
равны нулю, то из уравнения неразрывности следует, что
dujdx—0 и, следовательно, и от координаты х не зависит.
Таким образом, для слоистых течений имеем и—и{у, г);
р=0; ш=0; др/ду—0, dp/dz=0 и вместо полной нелинейной
системы (2.47) получим для стационарного течения линей¬
ное дифференциальное уравнение относительно скорости
«(у, г)
dp/dx=n (d2uJdy2-\-d2u/dz2).	(6.1)
Рассмотрим несколько точных решений, основанных на
использовании уравнения (6.1). Заметим предварительно,
что, поскольку в этом соотношении слева стоит функция
координаты х, а справа — функция координат у a z, равен¬
ство указанных функций возможно только при условии по¬
стоянства градиента давления, т. е. для рассматриваемых
ниже решений dp/dx=const.
Плоскопараллельное течение в канале, ограниченном
Двумя параллельными плоскими стенками. В этом случае
скорость и не зависит от координаты z и уравнение (6.1)
принимает вид dp]dx=y,cPuldy2. Его интегрирование дает
1
jLl
^ dx 2
где Ci и Сг — постоянные интегрирования, для определения
которых имеются два условия: а) при у=-{-Ь и=0; б) при
у=—b и=0 [величина b определяет расстояние от оси ка¬
нала до соответствующей стенки (рис. 6.1)].
1
2,а
с,=-
лр_ ь%
dx
В результате С1 = 0,
2<u dx \ Ьг J
(6.2)
146
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Течение Куэтта. Указанное течение имеет место между
двумя параллельными пластинами, из которых одна дви¬
жется с постоянной скоростью щ. Ясно, что этот случай
отличается от предыдущего только граничными условиями.
Теперь для определения постоянных Сг и Сг необходимо
принять: 1) при у=0 ы=0; 2) при y=h и=Ыо [в данном
случае оси координат располагаются на нижней неподвиж¬
ной плоскости (рис. 6.2), а расстояние между пластинами
обозначено А]. Для принятых условий Ci=UG/h—bhj2; Сг=
=0 и
и—и,-!-—J-	- A) J-.
h 2tu. dx \ h J h
Если dp/dx=0, то распределение скоростей между пла¬
стинами оказывается линейным: u=U^ylh, т. е. движение
верхней пластины приводит в движение всю жидкость, рас¬
положенную между пластинами. Источником движущей си¬
лы здесь является сила вязкости, проявляющаяся в увле¬
кающем действии верхних слоев жидкости.
Если градиент давления отличен от нуля, то линейность
профиля скорости нарушается, так как поток приходит
в движение не только под воздействием сил вязкости, но и
под влиянием перепада давления. Профили скорости для
различных значений dp/dx приведены на рис. 6.2. В случае,
когда давление падает в направлении движения верхней
стенки (dp/dx:<0), скорость положительна по всей ширине
канала. Если перепад давления действует в сторону, про¬
тивоположную перемещению пластины (dp/dx>0), то ско¬
рости оказываются меньше, чем при чисто сдвиговом тече¬
нии (dp/dx=0), и при dp/dx>2]iUofh2 вблизи неподвижной
стенки возникает возвратное течение со своим профилем
скорости. Возникновение возвратного течения объясняется
тем, что для частиц жидкости, находящихся вблизи нижней
стенки, увлекающего действия более быстрых верхних сло¬
ев оказывается недостаточно для преодоления перепада
давления, действующего в противоположную сторону.
Слоистое движение несжи¬
маемой жидкости в трубах.
Это течение обладает осевой
симметрией, и для решения за¬
дачи целесообразно использо¬
вать уравнения движения
(2.52), записанные в цилиндри¬
ческих координатах. Поскольку
в данном случае Сг=се=0, а
10*	147
Рис, 6.2. Течение Куэтта
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

cz=u(r), при направлении оси г вдоль трубы из трех урав¬
нений системы (2.52) остается только последнее (для осе¬
вого направления), которое примет вид
d*u 1 da 1 dp	/с 0.
Левая часть уравнения (6*3) может быть представлена
в виде
d*u I J da 1_ d / da \
dr9	r	dr	г dr \	dr /
Следовательно, интегрированию подлежит уравнение
±J-(rJ!L)—L Ар.	(6.4)
г dr V dr ) ~ dz '	'	'
Здесь, как и ранее, dpldz—const. Интегрирование (6.4)
дает
“=v-£r'+c-tar+c-	(6'5)
Для определения постоянных С\ и С2 вновь имеем два
очевидных условия: 1) при г=г0 и—0; 2) при г—0 и—
=«макс- Их использование показывает, что
Г —П. Г 	 1	dp	t
‘	’	г~	4jx	dz
В результате
и —
Так как величина dp/dz для слоистых течений постоян¬
на, ее можно представить в виде перепада давления на
единице длины рассматриваемого участка трубы, т. е.
dp/dz=Ap/l=const Тогда
(6.6)
Используя (6.6), найдем объемный расход через по¬
перечное сечение трубы
-2"v	|(‘	- -£■у>ir-
(6J)
148
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Отсюда следует, что расход жидкости через трубу круг¬
лого сечения прямо пропорционален перепаду давления и
четвертой степени радиуса трубы. С помощью (6.7) легко
определяется и среднерасходная скорость в цилиндриче¬
ской трубе
ttcp=-^- = J-^.rV	(6.8)
у яг% 8ц I
Значение максимальной скорости находится из уравне¬
ния (6.6) при г=0:
«4*0 =-7--^-Л.	(6-9)
4(1. I
Сравнивая (6.8) и (6.9), приходим к выводу, что макси¬
мальная скорость оказывается в 2 раза выше среднерас¬
ходной скорости:
ымакс=2иСр-	(6.10)
Полученный результат может быть использован для оп¬
ределения расхода жидкости через трубу. С этой целью до¬
статочно измерить только скорость на оси трубы. Тогда
Q ■= «маке-	(6-11)
С учетом (6.9) профиль скорости в трубе, выраженный
в долях максимальной скорости, принимает особенно про¬
стой вид:
ы/Ммакс==1—Г2/Г20.	(6.12)
Найдем далее перепад давления Др, считая, что вели¬
чина Др на участке трубы пропорциональна скоростному
напору ры2Ср/2, длине трубы I и обратно пропорциональна
ее диаметру d:
A/, = C-Li**.	(6ЛЗ)
Здесь £— коэффициент пропорциональности, называемый
обычно коэффициентом сопротивления трубы.
Если воспользоваться выражениями (6.9) и (6.10), то
(6.14)
Приравнивая (6.12) и (6.13), получаем
о	у	I	Рц1сп
8 —=;-5Г-5-•
149
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 6.3. Схема
движения жидко¬
сти в кольцевой
трубе
Отсюда
^ 	32м.	64
расрг0	duc p/v
(6.15)
Безразмерный комплекс, входящий в знаменатель формулы
(6.14)	и получивший название числа Рейнольдса,
обозначается следующим символом: Re=d«Cp/v. Следова¬
тельно,
Полученное выражение для коэффициента сопротивления
отражает закон Пуазейля о движении жидкости в трубах.
Однако этот закон имеет место только при сравнительно
небольших числах Рейнольдса (Re<2300), когда течение
в трубах носит упорядоченный, слоистый (ламинарный)
характер. При больших числах Re картина течения меня*
ется и зависимость (6.16) уже использовать нельзя.
Движение жидкости между соосными цилиндрами. Рассмотрим
движение жидкости между двумя соосными цилиндрами, радиусы ко¬
торых равны Г| и Гг (ri<rt) (рис. 63). Очевидно, что распределение
скоростей также будет выражаться формулой (6.5), но граничные усло¬
вия изменятся. Теперь и=0 при г=г\ и г=г2 Отсюда постоянные инте¬
грирования оказываются равными
Подставив (6.17) в общую формулу (6 5), получим следующий закон
изменения скорости в зазоре между рассматриваемыми цилиндрами:
£=64/Re.
(6.16)
С> - In (г, г,)	;
(6.17)
С«-	In	(г2/г.)	'	4р.	dz
150
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Здесь, как \\ выше, принято dp/dz^Hpfl Вычисление средней скоростй
й расхода дает
“ср “ ~ 8j*r [r** + r** — In (rt/rt) ]’	(6Л9^
Q *“ №cp (г*г — г2,).
Используя (6 19), найдсм перепад давления
— 8у./«ср
 	(6-20>
Если зазор	fi между цилиндрами мал, то вместо точной форму¬
лы (6 20) можно использовать приближенное выражение
Ар« 12ц!иСр /62.	(6.21)
Этот перепад давления можно выразить и через коэффициент сопро¬
тивления £:
I р/*2ср
*р=<———*	^-22>
Приравнивая (621) и (6.22), получаем
24	24
иср6/v	Re *
(6.23)
6.2.	Основные понятия о пограничном слое
Рассмотренные примеры точных решений уравнений
Навье — Стокса были получены для определенного класса
течений, характерной чертой которых являлось равенство
нулю нелинейных членов в левой части уравнения (2.47).
Для некоторых задач инерционные силы могут быть
очень малыми по сравнению с силами вязкости. Отбрасы¬
вая в уравнениях (2.47) все члены в левой части, вместо
нелинейной системы приходим к неоднородным линейным
уравнениям Пуассона, решения которых известны. Этот
путь линеаризации наиболее прост, но применим только
к очень медленным ползущим течениям, представляющим
малый практический интерес.
Второй путь упрощения относится к течениям при боль¬
ших числах Рейнольдса. В этом случае можно воспользо¬
ваться методом сравнительных оценок членов, входящих
в уравнения Навье — Стокса, и на их основе попытаться
упростить исходную систему, опустив члены, которые име¬
ют относительно малый порядок. Подобное упрощение бы¬
ло предложено Прандтлем в 1904 г. для области течения,
расположенной непосредственно вблизи обтекаемой поверх-
15/
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис 6 4 Схема об¬
текания тела потоком
бя-шой жидкости
ности. Основой для модели течения Прандтля послужил
экспериментально установленный факт, согласно которому
влияние вязкости при больших Re наиболее сильно меняет
характер течения именно в пристеночной области. Дейст¬
вительно, поскольку непосредственно на обтекаемой по¬
верхности согласно гипотезе прилипания скорость равна
нулю, а скорость потока имеет некоторое конечное значе¬
ние и, естественно, должна существовать зона, в которой
будет происходить резкое изменение скорости по нормали
к поверхности. Напряжение трения т пропорционально по¬
перечному градиенту скорости т—•dujdy. Следовательно,
именно в этой области влияние вязкости должно сказы¬
ваться наиболее сильно. По Прандтлю при обтекании по¬
током какого-либо тела область течения может быть услов¬
но разделена на три зоны (рис. 6.4): пограничного
слоя /, где силы вязкости наиболее существенно сказыва¬
ются нахарактере течения; невозмущенного (потен¬
циального) течения//, где анализ можно вести с по¬
зиций идеальной жидкости, и кромочного следа III,
где течение носит ярко выраженный вихревой характер.
Выделение зоны пограничного слоя, конечно, носит
условный характер, так как процесс нарастания скорости
от нулевого значения на стенке является асимптотическим.
В этой связи необходимо условиться относительно верхней
границы выделенной зоны, т. е. дать определение физиче¬
ской толщины пограничного слоя.
Слой жидкости, непосредственно прилегающий к обте¬
каемой поверхности, в пределах которого скорость меня¬
ется от нуля на стенке до скорости, отличающейся на 1 %
от скорости невозмущенного течения, будем называть по¬
граничным слоем.
Если обозначить скорость невозмущенного течения щ,
а скорость в пределах выделенной зоны и, то для оценки
физической толщины пограничного слоя б получим по
определению следующее условие: и (у) |у=б=0,99 щ. Про¬
извольность такой оценки очевидна. Меняя степень при¬
ближения скорости и к скорости невозмущенного течения,
получим и разные значения толщины б. В данном случае,
152
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

однако, принятой условности вполне достаточно для оцен¬
ки размеров пристеночной области, где необходимо учиты¬
вать силы трения.
Согласно определению поле скоростей в поперечном се¬
чении пограничного слоя оказывается неравномерным, и
для характеристики этого частного случая неравномерно¬
сти целесообразно использовать введенные ранее (гл. 3)
интегральные площади вытеснения б*, потери импульса б**
и потери энергии 6***. Поскольку далее мы будем рассма¬
тривать плоский пограничный слой и методы его расчета,
необходимо уточнить определение величин б*, «5** и 6***
в случае плоского течения. Это уточнение сводится к тому,
что теперь из-за отсутствия характерной поперечной пло¬
щади (поперечный размер потока имеет бесконечную про¬
тяженность) при вычислении интегралов в соответствую¬
щих выражениях (3.62), (3.68) и (3.72) интегрирование
ведется не по площади, а по нормали к поверхности в пре¬
делах пограничного слоя (т е. от нуля до б). Таким обра¬
зом, для плоского пограничного слоя
ь
(6-24а)
о	1
§хх Г _9Ц_ f I
J P,«i \
о
§**4^	(*_»_	/	,
p.«l \
о
Так как размерность этих величин линейная, то при рас¬
смотрении плоского пограничного слоя говорят не об инте¬
гральных площадях, а об интегральных толщинах. Умно¬
жив эти толщины на единицу поперечного размера, полу¬
чим интегральные площади, которые и определят расход¬
ные, силовые и энергетические характеристики плоского
пограничного слоя. При оценке этих характеристик в кана¬
лах конечной ширины В для получения соответствующих
интегральных площадей необходимо интегральные толщи¬
ны умножить на величину В, определяющую поперечный
размер канала. Поясним роль введенных характеристик по¬
граничного слоя. В качестве примера остановимся на зада¬
че о движении вязкой жидкости в плоском канале ограни¬
ченной длины, высота которого равна 2b (рис. 6.5). Пусть
зона пограничного слоя распространяется только на часть
153
г)*
Я"
(6.246)
(6.24в)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 6.5. Схема дви¬
жения вязкой жидко¬
сти на входном уча¬
стке плоского канала
канала и в центральной части сохраняется потенциальное
течение. Пусть скорость в этой зоне на срезе канала равна
%макс=«2г. Тогда, используя зависимости (3.50) и (3.62),
можем представить массовый расход т и потерю энергии
в канале вследствие действия сил вязкости в виде
m=2p2tti2tb • 1 (1—6*2lb);	(6.25)
Д/С= (1 /2) pxuht' 2бг*** • 1.	(6.26)
Для	оценки	аэродинамического совершенства	каналов
обычно	используют коэффициент внутренних	потерь £,
представляющий собой отношение потерянной энергии Д/С
к теоретической энергии, которой могла бы обладать дей¬
ствительная масса жидкости т при теоретически возмож¬
ной скорости им:
%=AK/Kt—AKf (0,5ma2j).
Используя (6.25) и (6.26), получаем
ш	****	,4	ГГ***
£ _	№	it 	2	/6	й2	/g	2J\
btu\tb (1 - b\/b) - i - b\/b ~ i - d\ •	}
Зависимость (6.27) определяет коэффициент внутренних
потерь £ в плоском канале через основные интегральные
величины пограничного слоя. Формула (6.27) легко обоб¬
щается и на случай плоских и осесимметричных каналов
произвольной формы. Если характеристики пограничного
слоя различны на верхней и нижней ограничивающих по¬
верхностях канала или тела, то в расчетные формулы их
необходимо вводить раздельно. Тогда
-2L_+	.	(6.28)
' “ ®2н	®2в
Здесь пр_и использовании обозначений рис. 6.5 V**=
=бп***/2&, 6в***=бв***/26, б*н=6*н/26, б*в=бв/26.
Ст9ль же просто может быть решена и задача о сопра-
154
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Тй&Лении пластины в плоскопараллельном потоке, если в ее
выходном сечении известна толщина потери импульса 62**.
Изменение количества движения в пределах пограничного
слоя определяется формулой (3.56):
Д^=рооа2а>б2**.
Поскольку в данном случае внешними силами являются
только силы трения, то, учитывая обе стороны пластины,
получаем для силы сопротивления Рх следующую зависи¬
мость:
Рх = 2Д а = 2Р<Х§2~В *2^ 2 LB. (6.29)
Здесь р», «ео — соответственно скорость и плотность набе¬
гающего потока; L — длина пластины; В — ширина пласти¬
ны. Вместо абсолютной величины Рх в аэродинамике ши¬
роко используют безразмерные коэффициенты сопротивле¬
ния С*, представляющие собой отношение силы Рх к ско¬
ростному напору р<»и2се/2 и общей площади S, омываемой
потоком (S=2LB). Для пластины с учетом (6.29) получим
С^—р-	= 2§”/!.	(6.30)
?oo4/(2'S)
Рассмотренные примеры показывают, что с помощью ин¬
тегральных характеристик могут быть получены очень про¬
стые конечные выражения, но для их использования необ¬
ходимо уметь рассчитывать все указанные выше толщины
пограничного слоя.
6.3.	Уравнения Прандтля для пограничного слоя
Дифференциальные уравнения пограничного слоя сле¬
дуют из уравнений Навье — Стокса и могут быть получены
в результате сравнительной оценки членов этих уравнений
и уравнения неразрывности.
Проведем такую оценку для плоского течения около
твердой поверхности*. С этой целью в уравнениях (2.51)
* Поскольку в общем случае поверхность стенки является криво¬
линейной, то, пользуясь малостью толщины пограничного слоя б по
сравнению с линейными размерами тела L и, следовательно, малостью
величины б по сравнению с его радиусом кривизны, введем в рас¬
смотрение видоизмененную систему координат, образованную линиями,
параллельными стенке, и нормалями к ней. Условно эту систему будем
считать прямоугольной, связывая ось х с поверхностью тела, а ось у—
с нормалью к этой поверхности. Принятое упрощение не является
принципиальным, однако позволяет сохранить рассмотренную ранее
форму записи уравнений движения и неразрывности
155
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

перейдем от размерных величин к безразмерным, используя
в качестве масштабных множителей следующие величины:
для продольных и поперечных скоростей — Uo, Ко; для ли¬
нейных размеров — Л0, Уц, для давлений — /V
Если теперь скорости, давления и координаты выразить
в долях принятых масштабов, то можно записать
и—и<Д', v—Vov\ x=Lqx] y=Yoy; р = Р0р. (6.31)
Здесь и дальше черта сверху означает безразмерную вели¬
чину.
Особенностью принятой системы масштабов является их
различие как для продольных и поперечных скоростей, так
и для продольных и поперечных размеров, причем если
продольные масштабы U0, £•> будем считать заданными
(это может быть максимальная скорость течения £/п=£/м<1 к,
и длина канала или обтекаемого тела £ = /.<>), то поперечные
масштабы оставим неопределенными и не будем пока их
связывать ни с конкретной скоростью, ни с конкретным
линейным размером.
Подставляя в (6.30) все величины из (6.31), получаем
_ М»-J д1 я, др j vt/, ду ■ у{/. ohi
L, дх У, ду ~	рLt дх L\ дх1 Y\ ду2 ’
и,У„- Я |	V*,z fo _	р* др ,	Я, <)у	■ уГ0
/-. дх	F0 ciy	рУ„ Оу	L\ дхг	У-0	Оу' ’
V, ЗУ	[_	<)l'	_ Q
L дх	1	ду
Умножим далее все члены первого уравнения на LaJU2о,
второго —на YofU2o и третьего —на L/Uq. Тогда
и-&- 4- у JL =
дх	U „У, д~ч
—	I	v d2a I v L0 (Уи
~ дх U,L ‘d? UJ\ д7 :
Uдх 1 U\ ду
 Р»_ _др_ : у, *Ур <РЪ
~	Ри\ дц	U\L\ дР	+ YJJ\	дТ,2’
д-* j	V»L	dv	q
Ox	U9L0 ду
156
(6.32а)
(6.326)
(6 32в)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

В приведенной записи все комплексы, составленные из
масштабных множителей, безразмерные. В уравнении не*
разрывности порядка первого и второго членов одинаковы.
Следовательно, безразмерный комплекс VoL/UqYo должен
быть равен единице. Поскольку поперечные масштабы для
скоростей и длин, а также масштаб для давлений нами
определены заранее не были, теперь используем это об¬
стоятельство и выберем указанные масштабы таким обра¬
зом, чтобы не только комплекс VcLqI(VoYo), но и безраз¬
мерные величины vLo/(U0Y2(,), Р0/(р^о) обратились в еди¬
ницу. Тогда
Безразмерный комплекс UoLo/v представляет собой введен¬
ное нами ранее при рассмотрении течения в трубах число
Рейнольдса Re. С этим обозначением
Таким образом, для выполнения условий (6.33) попереч¬
ные масштабы при больших числах Рейнольдса должны
быть существенно меньше продольных. Подставив значения
масштабов, определяемых выражениями (6.34), в уравне¬
ния (6.32а) и (6.326), получим
Отсюда следует, что в случае, когда поперечные масштабы
сокращаются пропорционально 1/KRe. порядки членов,
имеющих множителем 1/Rem, при больших числах Рей¬
нольдса оказываются пренебрежимо малыми по сравнению
с остальными членами и на этом основании их можно опу¬
стить. В результате этой операции исходная система урав¬
 | _ vZ,,
— A 5
(6.33)
Отсюда
y, = L,/yRe; V. = £/.// Re
(6.34)
dx	dy	dx	Re	dx2	dy2	’
1	— dv	I 1	—	dv	dp	1	1	d*v	i 1	d*v
Re	dx	Re V dy	dy	Re*	dx1	Re	dy1	*
(6.35)
Ull I
dx dy
157
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

нений существенно упрощается и после перехода к размер*
ным величинам принимает вид
Смысл проведенных упрощений можно понять, если об¬
ратить внимание на физический смысл числа Рейнольдса.
Этот параметр отражает соотношение в потоке инерцион¬
ных и вязких сил. Чем меньше влияние сил вязкости, т. е.
чем ближе реальное течение приближается к течению иде¬
альной жидкости, тем большим числам Рейнольдса соответ¬
ствует это течение. Следовательно, при больших числах Re
поперечная протяженность зоны активного влияния вязко¬
сти оказывается небольшой и ее действительно можно рас¬
сматривать как зону пограничного слоя. При этих услови¬
ях вводимый масштаб Уо определяет физическую толщину
пограничного слоя 6 с точностью до постоянного множите¬
ля В: 6/L=2J/V0Re.
По указанным соображениям уравнения (6.36) являют¬
ся дифференциальными уравнениями пограничного слоя и
имеют смысл только для течения жидкости при больших
Re. Добавляя к системе (6.36) уравнение неразрывности,
получаем замкнутую систему уравнений для решения зада¬
чи о течении вязкой несжимаемой жидкости в пределах
пограничного слоя. В качестве граничных условий необхо¬
димо принять: 1) на обтекаемых поверхностях (г/=0) и=
=v=0 и 2) должен быть указан закон изменения скорости
невозмущенного течения вдоль оси х [и—щ (*)] при у^-Ь.
Из второго уравнения (6.36) следует, что в пределах
пограничного слоя давление р не меняется в поперечном
направлении. Этот вывод имеет важное значение, так как
позволяет находить распределение давления вдоль оси х
с помощью уравнения Эйлера для идеальной жидкости.
Действительно, на внешней границе пограничного слоя
(у=б) при равномерном поле скоростей внешнего потока
du/dy^sO и здесь уравнение Прандтля (6.36) переходит
в уравнение Эйлера для одномерного потока (2.26). Кроме
того, условие постоянства давления поперек пограничного
слоя позволяет оценивать давление в невозмущенной части
потока (на верхней границе пограничного слоя) по изме¬
рениям этого давления непосредственно на обтекаемой по¬
верхности. Следует, однако, иметь в виду, что др/дуФ0 на
сильно искривленной поверхности, где радиус кривизны со-
158
Uju_+Vju_ = _±jp
дх ду	р	дх
J>P- = 0.
ду
(6.36)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

измерим с толщиной пограничного слоя, вблизи зон отрыва
потока от стенок канала или поверхности обтекаемого тела
и в зоне скачков уплотнения, вызывающих резкие перепады
давления не только во внешней части потока, но и в преде¬
лах пограничного слоя.
Существенным обстоятельством, ограничивающим ши¬
рокое использование уравнений Праидтля, является пере¬
ход при определенных значениях Re в пределах погранич¬
ного слоя от слоистого, ламинарного течения к хаотическо¬
му, турбулентному режиму. Именно второй тип течения при
больших Re, как правило, и имеет место. Тогда необходимо
либо вносить определенные коррективы в уравнения
Прандтля, либо искать другие, более универсальные пути
расчета характеристик пограничного слоя.
В инженерной практике с этой целью наиболее часто ис¬
пользуется интегральное соотношение Кармана, базирую¬
щееся на уравнении количества движения, примененного
к элементу пограничного слоя.
6.4.	Уравнение Кармана для пограничного слоя
Рассмотрим плоское течение жидкости вдоль произ¬
вольной поверхности и проведем условную границу, отде¬
ляющую область пограничного слоя от внешнего, не воз¬
мущенного силами вязкости течения, так, как показано на
рис. 6.6. Направим ось х вдоль поверхности и обозначим
составляющую скорости в направлении этой оси внутри по¬
граничного слоя и, а на его внешней границе щ, напряже¬
ние трения на стенке обозначим т№. В некотором произ¬
вольном сечении выделим элемент жидкости, ограничив его
нормальными сечениями АВ и CD, внешней границей слоя
ВС и элементом обтекаемой поверхности AD. Применим
далее к этому элементу уравнение сохранения количества
движения, спроектировав его на ось .г:
П
ЬЗ —	(6.37)
(=1
Здесь — изменение количества движения; 2#,*— сум¬
марный секундный импульс всех внешних сил, действую¬
щих на выделенный элемент в направлении оси х.
С левой стороны через грань АВ внутрь элемента вхо¬
дит масса rti\, количество движения которой 3\. Через
внешнюю границу ВС входит масса т2, вносящая количе¬
ство движения Js, и через правую грань CD вытекает мас-
15?
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 6.6. К выводу уравнения Кармана
са т3, уносящая количество движения Таким образом,
А9—3г—•З'г—Э\ или, так как 2f$=9\-\-(d2tifdx)dx, a Sf2=
A ct
=tn2Uu то Д J -■= ■ ’ 1 dx — т.н.
дх
Величина т2 легко находится из уравнения сохранения
массы:
m2=m3—mi=mi+ (дт^дх) dx—тх= (дт^дх) dx.
Следовательно,
(638)
Внешними силами для рассматриваемого элемента явля¬
ются силы давления, направленные по нормалям к поверх¬
ностям АВ, ВС и CD, и силы трения, действующие со сто¬
роны обтекаемой поверхности. Суммируя секундные им¬
пульсы от всех названных сил, получаем
1 - vt»-1 - [р+	(s+-g-). 1 +
С точностью до бесконечно малых второго порядка
ZRix = (-*w-£Lt>yx.	(6.39)
Приравнивая (6.38) и (6.39), получаем
или после сокращения на dx
Мх _ и I'Ux. - _ , ... AlLb.	(6.40)
дх 1 Эх	w	dx	’
IfQ
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Если профиль скорости в сечении АВ известен и известен
закон изменения плотности р поперек пограничного слоя,
то
ь
#. = 1 ?»(•*);
0
Ь
(6.41)
/я, == | pud у =- ?г (х).
6
С учетом (6.41) уравнение (6.40) примет вид
ь	ь
-£.^putdy — u1-^-jpudy~-xil)--b^-.	(6.42)
о	о
Здесь частные производные по оси х заменены полными,
так как &\ и т\ зависят только от продольной координа¬
ты х. Уравнение (6.42) является интегральным уравнением
импульсов для пограничного слоя, полученным Карманом.
Проведем дальнейшее преобразование этого уравнения.
С этой целью ирибавим и вычтем из левой части один и
d С
тот же член, равный 	\ puu\dy. Градиент давления
dк J
о
dp/dx заменим градиентом скорости p\H\du\ldx, используя
уравнение Эйлера (2.?6), и представим физическую толщи¬
ну б в виде интеграла 8— \ ^у. в результате получим
6
г 5	i	«1	Ь
 I PUUi<iy ~ f 9tMy J ?UU,dy ~
Lo	q	J	о
ь	b
~ut~d^ f9udy ~ ~ +р1"‘ "tfir jdy' (6-42a)
I)	0
Так как pi и u\ — соответственно плотность и скорость на
внешней границе слоя, и следовательно, для погранич¬
ного слоя — величины, зависящие только от продольной ко¬
ординаты х, то их можно вынести из-под знака интеграла
без нарушения его значения. С учетом этого замечания
очевидные преобразования (6.42а) дают
--f	-—)Чу	+
dx .* p,at \	и,	/
о
n—3331	161
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

+ ^fudg+u,-i-^tudy-
о	о
\	I
ь
JL j* рuu.dy
О
- и, -j-1 ,и Jtj = -	^	| рМ/.
О	о
или после сокращения подобных членов и группировки
-Т-р.»’, (-^0 - —W+t’-pa f 0 - —W=V
dx ,) (>,«, \ и, /	dx	J	V	Р.иj	/
о	о
Выражения, определяемые интегралами, представляют
собой толщины потери импульса и вытеснения [формулы
(6.24а) и (6.246)1. Таким образом,
-7-	5**)	+	^	Р.".8*	-	(6-43)
$Х	иХ
Заметим, что, используя физический смысл величин б**
и б*, подробно рассмотренный в гл. 3, уравнение (6.43)
можно было записать и другим путем. Действительно, если
вместо условной границы пограничного слоя, определяемой
физической толщиной б, провести границу интегральной
толщины б* и, так же выделив контрольный элемент
A BCD, применить к нему уравнение количества движения,
то d(A3f)=—xwdx—dpb*. Количество движения, потерян¬
ное в потоке, определяется формулой (3.56)':
A5r=Pi«2i6**,
а его изменение на длине dx будет d(ДЗО. Следовательно,
вновь приходим к уравнению (6.43):
Будем считать все три величины под знаком дифферен*
циала зависящими от я. Тогда
=V
Если производную dp\[dx записать в виде
d?t	d')t	dp   1	dp	р1я1	dnt
dx	dx	dx	a}	dx	a2	dx
16?
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

и разделить все члены на pi«2i, to
rid*» . 2 3** du, и-, a**	du, Xg,
dx	u,	dx	я5	г/, dx	«,	dx	p,u2, *
Отсюда
—-f-—
dx //j dx	?!«2!
Отношение 6*/6** обозначим //, a twJpiu2i=CfJ2, где c/=
=Tw/0,5pi«2i — локальный коэффициент сопротивления.
С учетом этих обозначений
—+ —-^-(2+Я- М\)=гс,12.	(6.44)
dx и, dx
В такой заииси уравнение Кармана является обыкновен¬
ным дифференциальным уравнением относительно неизве¬
стной толщины потери имнульса 6**.
Для несжимаемой жидкости Mj=0 и
dJl + i1 *Lp+H)4	(6.45)
dx я, dx '	1	'	2
В общем случае это уравнение связывает три неизвест¬
ных (6**, Н, С}), и для его решения необходимо иметь еще
две дополнительные связи между указанными величинами.
В частном случае при безградиентном течении (dujdx—
=0) (6.45) принимает особенно простой вид
db**jdx—Cjj2.	(6.46)
Однако и здесь необходимо иметь еще одно соотношение,
связывающее с/ н 6**. В отличие от уравнения Прандтл»
нри выводе соотношения (6.45) мы не делали никаких
предположений относительно характера движения жидко¬
сти. На этом основании будем считать соотношения (6.44) —
(6.46) справедливыми как для ламинарного, так и для тур¬
булентного течения в пределах пограничного слоя. Правда,
добавочные связи между неизвестными, входящими в ука¬
занные уравнения, будут различными для каждой формы
течения.
Остановимся теперь на вопросе перехода от ламинар¬
ного течения к турбулентному и отметим основные факто¬
ры, определяющие этот переход.
6.5.	Переход ламинарного пограничного слоя
в турбулентный
В пределах пограничного слоя, так же как и при дви¬
жении жидкости в трубах, возможно как ламинарное, так
и турбулентное течение.
И*	163
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Конкретный режим зависит от многих факторов, среди
которых главным, по-видимому, является соотношение меж¬
ду силами инерции и силами вязкости, характеризуемое
числом Рейнольдса. При сравнительно низких его значени¬
ях ламинарное течение оказывается устойчивым, и все воз¬
мущения, вносимые в пограничный слой как со стороны
внешнего потока, так и со стороны обтекаемой поверхно¬
сти, быстро затухают. В этом случае вязкость потока игра¬
ет стабилизирующую роль. Однако с приближением к не¬
которому критическому числу Рейнольдса можно наблю¬
дать периодическое нарушение ламинарного режима. Вну¬
три пограничного слоя образуются небольшие области
(турбулентные пятна), где разрушается слоистое течение
за счет возникающего поперечного переноса массы. Турбу¬
лентные пятна появляются через неправильные промежут¬
ки времени и весьма неравномерно распределены но погра¬
ничному слою. С увеличением Re растет как число этих
пятен, так и частота их следования, пока все течение в при¬
стеночной области не приобретает гомогенной структуры.
Мгновенные скорости в этом случае меняются с течением
времени по очень сложному закону, но среднестатистиче¬
ские их значения от времени не зависят. Этот новый тип
течения получил название турбулентного.
При турбулентном течении на главное движение жидко¬
сти, происходящее вдоль обтекаемой поверхности, налага¬
ется поперечное движение, обеспечивающее перенос массы
и обмен импульсами в поперечном направлении. Структур¬
ные исследования турбулентных потоков показали, что они
состоят из вихревых образований различных размеров и
интенсивности. В результате течение приобретает ярко вы¬
раженный нестационарный характер с пульсациями скоро¬
сти в широком диапазоне частот. Крупные вихри порожда¬
ют низкочастотную пульсацию, а мелкие — высокочастот¬
ную. Влияние молекулярной вязкости на этот процесс ока¬
зывается очень малым, и в известной степени турбулентное
течение представляет собой сложное движение идеальной
жидкости, в пределах которой вращается бесконечное чис¬
ло вихрей различных размеров и форм. Перенос массы че¬
рез любую поверхность приводит к изменению количества
движения и, следовательно, эквивалентен появлению в по¬
токе добавочных сил, которые часто называют в противо¬
вес молекулярным силам силами турбулентного трения.
Термин «трение» применительно к турбулентному потоку
носит условный характер, и, подчеркивая эту условность,
говорят о кажущемся (виртуальном) трении. Сопротивле¬
ние каналов при переходе к турбулентному режиму тече-
164
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

I	и	,	1	,XCT, | , IV v.
Рис. 6.7. Схема перехода к турбулентному режиму течения в погранич¬
ном слое:
/— ламинарный слой; II — поверхностные «бегущие» волны; /// — тур¬
булентные нятна; IV — турбулентный слой; V—вязкий подслой
ния резко возрастает в связи с появлением добавочных сил,
а следовательно, и добавочных напряжений на гранях жид¬
кого элемента. Схематически процесс перехода от лами¬
нарного режима течения к турбулентному в пределах по¬
граничного слоя показан на рис. 6.7. В начале поверхности
локальные значения Re (Re*=MiX/v или Яе**=щ8**/v)
малы и сохраняется ламинарный режим. При достижении
критического значения величины Re (Re**=Re**Kpi) на
внешней границе пограничного слоя возникают поверхно¬
стные «бегущие» волны и появляются турбулентные пятна.
Процесс перехода к развитому турбулентному течению за*
вершается при Re**=Re**)(P2-
Таким образом, смена режима течения в пограничном
слое осуществляется в некотором диапазоне критических
значений Re. Этот диапазон, как и значение Re**K-p2
(ReXKp2), в конечном сечении переходной зоны зависит от
многих факторов, среди которых в первую очередь нужно
отметить степень возмущенности (степень турбулентности)
потока за пределами пограничного слоя, значение продоль¬
ного градиента давления и степень шероховатости обтекае¬
мой поверхности.
Если представить мгновенную скорость потока с в виде
суммы среднестатистической скорости с, не зависящей от
времени, и пульсационной составляющей с', меняющей свое
значение с течением времени, то при наличии пульсаций по
всем трем координатным осям (и=й-\-иv=v-\-v'; w—w-\-
+ьу') степень возмущенности внешнего потока может быть
охарактеризована степенью турбулентности внешнего пото¬
ка £0. Эта величина равна отношению среднеквадратиче¬
ских пульсаций скорости к среднестатистической продоль¬
ной скорости, т. е.
£ -= ^(Ь3)(«'г + ?• + »>*)	(6	47)
и
165
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Степень турбулентности Е0 определяет добавочные возму*
щения, которые действуют на пограничный слой со стороны
его внешней границы. Чем больше значение £<>, тем меньше
размеры переходной области и ниже критическое значение
Re. Положение переходной области и ее размеры заметно
меняются в зависимости от характера внешнего течения.
Если скорость в направлении движения жидкости падает,
а давление растет (dpjdx>0), т. е. имеет место днффузор-
ное течение, устойчивость ламинарного течения резко сни¬
жается и переход к турбулентному течению происходит при
более низких зиачепиях Re, чем в случае безградиеитного
течения. Наоборот, при конфузорном течении область пере¬
хода сдвигается в зону более высоких значений ,Re и одно¬
временно растет ее протяженность. Стабилизирующее вли¬
яние ускоряющихся потоков очень велико и объясняется
резким увеличением сил трения в пристеночной области.
При некоторых условиях под действием возрастающих вяз¬
ких напряжений происходит не только расширение области
ламинарного течения, но и полное гашение уже развивше¬
гося турбулентного режима. Внешнее течение при лами¬
нарном пограничном слое характеризуется обычно безраз¬
мерным параметром следующего вида: f= (dujdx)
Тогда для оценки величины Re**Kp2 можно воспользоваться
полуэмпирической формулой А. П. Мельникова, которая
одновременно учитывает влияние обоих рассмотренных
факторов:
Rckp2 = 0,3£75/3 (0,085-{-/f * -f 225.	(6.48)
Влияние шероховатости обтекаемой поверхности на пе¬
реход к турбулентному режиму в известной степени анало¬
гично влиянию внешней турбулентности.
Действительно, при движении жидкости вдоль шерохо¬
ватой поверхности, характеризуемой средней высотой бу¬
горков шероховатости ks и частотой их следования I, про¬
исходит непрерывное образование микровихрей непосредст¬
венно на самой поверхности в связи со срывом потока с не¬
ровностей стенки. Эти возмущения со стороны внутренней
границы также способствуют более раннему переходу
к турбулентному режиму течения. Следует, однако, заме¬
тить, что влияние шероховатости на положение переход¬
ной зоны отмечается только при относительно большой вы¬
соте бугорков шероховатости. В качестве такой границы
можно принять значение ksJ-b**=Q,2. Если относительная
шероховатость поверхности не превышает указанного зна¬
чения, то при расчете Re**Kn2 ее можно не принимать во
166
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

внимание и пользоваться формулой (6.48). В случае, когда
к»!б**>0,2, шероховатость становится основным возмущаю¬
щим фактором, определяющим положение переходной зо¬
ны, и для оценки ReItp2 вместо зависимости (6.48) можно
использовать схожую по структуре формулу
также предложенную А. П. Мельниковым.
Для определения координаты дгКр2. начиная с которой
течение в пограничном слое приобретает развитый турбу¬
лентный характер, необходимо построить кривую измене¬
ния Re** вдоль обтекаемой поверхности и определить то
сечение, где Re** окажется равным критическому значению,
найденному в зависимости от условий течения либо по
(6.48), либо по (6.49).
6.6.	Основные характеристики и уравнения
турбулентного течения
Как уже отмечалось, турбулентное течение оказывается нестацио¬
нарным и для его характеристики используются не мгновенные, а не¬
которые усредненные значения с. При этом наиболее часто использует¬
ся временное усреднение, введенное Рейнольдсом
В результате истинное значение скорости или параметров турбу¬
лентного потока представляется в виде суммы усредненной и пульси¬
рующей величин Временное усреднение ведется в фиксированной точке
пространства, и для средних составляющих скоростей и давления по¬
лучим
Здесь период усреднения Г предполагается настолько большим, что
усредненные величины от времени не зависят. Другими словами, по¬
вторное усреднение средних величин дает исходное среднее значение.
Тогда если представить истинное значение составляющей скорости и
в виде суммы и=й+н', где «' — ее пульсациопная часть, что й=й+
Отсюда следует, что усредненные по времени значения пуль-
Re” = 6 (5/3 (0,085 + ff3 + 225,	(6.49)
L
2
L
2
L
2
L
2
L
2
L
2
L
2
L
2
167
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

сационных величин равны нулю, т е й'=0; у'=0, w'=0; р'~0. В то же
время среднее значение от квадрата пульсирующей величины всегда
отлично от нуля:
2
Отличны от нуля так а с и усредненные по времени смешанные произве¬
дения пульсационных скоростей.
и'и'ФО; и’т'Ф0; v'w'=£0.
Распространяя временное усреднение на произвольные пульсирующие
функции / и q, получаем следующие правила их усреднения:
Здесь 5 — любая из четырех независимых переменных х, у> г, i. По¬
скольку скорости и параметры турбулентного потока не остаются по¬
стоянными во времени, а часто и неравномерно меняются, поток нельзя
характеризовать какой-то одной величиной и приходится использовать
ряд характеристик
Так, для опенки интенсивности нульсационного движения исполь¬
зуется введенная нами ранее степень турбулентности С (6 47) Для
изотропной турбулентности, т. е турбулентности с одинаковым значе¬
нием пульсационных составляющих скорости по всем координатным
осям, Ь = Уа* * Нетрудно видеть, что кинетическая энергия пульса-
ционного движения q— (1/2) (йп-\ df2±-w'2) связана со степенью тур¬
булентности достаточно простым соотношением
Таким образом, степень турбулентности выступает здесь как пара¬
метр, характеризующий кинетическую энергию пульсационного движе¬
ния Поскольку пульсации скорости происходят с различной частотой
я, запас энергии в каждом диапазоне частот может быть различным
Представление о распределении энергии по частотам дает спектральная
функция F(n) Для ее построения отложим по оси абсцисс значение
частоты пульсаций я и для каждого диапазона частот Ап будем откла¬
дывать по оси ординат процентное содержание среднеквадратической
пульсации й'2. В результате получим зависимость, изображенную на
рис. 6 8. Аналогичные кривые могут быть построены и для среднеквад-
ратических пульсаций v'2 и w'2. По смыслу спектральной функции
00
J F(n)dn*= 1. Для средних частот Ffn)^*-5/3, а для больших значе-
о
ний п F(fi)z&n~7. Поскольку функция /^я) определяет запас энергии
Щ
Т_
2
Г
f=-f; f-l + f<t -}д; df'ds^d^ds.	(6.5!)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

йульсационного движения при различ¬
ных частотах, а низким частотам соот¬
ветствуют вихревые образования крупно¬
го масштаба, из кривой на рис. 6.8
следует, что наиболее энергонасыщенны¬
ми являются именно эти образования.
Чем выше частота пульсаций, т. е чем
меньше масштаб вихрей, тем меньший
вклад они дают в общий баланс энергии
пульсационного движения.
Наличие в турбулентном потоке
пульсаций скорости приводит к доба¬
вочному переносу количества движения
Этот перенос определяют усредненные по
времени смешанные произведения пуль-
сационных составляющих скорости mV,
u'w' и v'w'. Указанные функции назы¬
вают корреляционными, т. е.
определяющими статистическую связ¬
ность пульсаций в потоке Вместо абсо¬
лютных средних значений произведений
пульсационных составляющих скорости удобнее пользоваться относи¬
тельными величинами, равными
ФУ
ху~)ГТ'УТ*
vfwf
уг~
D
гх   "1 /■=— 1 Г=— *
Vw's V и’2
Введенные коэффициенты называют коэффициентами корре
л я 11 и и. Очевидно, что	При Rij = Q рассматриваемые вели¬
чины являются статистически независимыми Если /?,;= 1, то задание
одной величины однозначно определяет другую.
Следующей важной характеристикой турбулентного поля является
масштаб турбулентности, т. е среднестатистический линейный размер
вихревых образований, двигающихся в жидкости с сохранением своих
индивидуальных кинематических характеристик. При искусственном
создании турбулентного потока с помощью сеток наиболее часто в ка¬
честве масштаба турбулентности L принимают характерный линейный
размер ячейки турбулизирующей сетки В цилиндрических тр>бах мас¬
штаб турбулентности оценивается интегралом от коэффициента корре-
169
Рис. 6.8. Характер измене¬
ния спектральной функции
в турбулентном погранич¬
ном слое на	пластине
(у/6=0,58)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Лйции кху, вычисленным по всему радиусу трубы*
п
L •» С
(6.52)
Для получения уравнений турбулентного движения проведем усредне¬
ние дифференциальных уравнений Навье — Стокса, представив их
в виде
др ?	/ д2а	д*и	д2а \
дх + ** [дх9 + ду2 + dz9 );
да9 д (uv)
дх ^
р) (уи)
ду
, до9
д (иш) 1
' дг Ja
Р [” Ох ~г ду
| д (wu)	д (даг)
Р [ дх	ду
Учитывая, что
д (vw) I др (д9у д9у д9у \
J <)у * ^	‘	ду2	‘	dz9	J'
' dz
dw2
dz
■j—
d2w . d2w
d2w
dx9
dy9
dz2
aw ■
(a + /*') (w + wr) — uw -f* uwr + wuf + ufw' s
^tiw + u'w';
u9 = (tt + «')2 8=8 и8 +я'2;
UV S= u V + Uf Vf i
vw = vw + VfWr,
после усреднения получим
(- дй - да - дй \ _ _ др	(да'8 j_
Р V" ~дГ + v~5y"^~w Hz } ~ ■ЗГ+^И"Ч"5Г"
durvf i dufwf \ .
d* ^ dz j’
(— dv —
{“ -oT + v
dy
I dlw
~Л~дГ
— dw
dv \ - „ ^
irj- T5" + |^-
dw'v' \.
dz )'
(-dw -
\U-W + V~5y
(dv*wf
dy
- dw \ _ dp _
^w~df}~ sr + p*»-
, дсТо? , dwf:
r)-
(6.53)
dx dy dz
Появившиеся добавочные напряжения представим в виде следую¬
щей матрицы, определяющей тензор напряжений Рейнольдса:
(6.54)
в’х *’ху T-’xz
ри'9
рц'у'
Р ufwf
*\х *'у 1'уг

ptfV
рр 2
pPv
х' гх х'гу 5'г
$ufwf
$v'wf
рwf 2
170
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Появление добавочных напряжений, определяемых матрицей (6 54),
обусловлено пульсационным характером скорости, переносящей через
площадку добавочные количества движения Полученная система урав¬
нений (6 53) называется уравнениями Рейнольдса и содержит, вообще
говоря, девять добавочных напряжений, связь которых с осредненными
скоростями неизвестна Поскольку u'v'=v'u'; v'w'^w'v'; w'u'=u'w\
число добавочных неизвестных сокращается до шести. Это, однако, не
снимает проблемы замыкания уравнений Рейнольдса, так как и теперь
для отыскания десяти неизвестных величин йу w9 v, р, т'ху, x'yz>
<т'*, а'у, <з'ъ имеется с учетом уравнения неразрывности всего четыре
соотношения. Отсутствие добавочных уравнений не позволяет для тур¬
булентного течения дать полную математическую формулировку задачи
и таким образом обеспечить теоретический анализ указанного течения»
Если ограничиться движением жидкости в пределах плоского по¬
граничного слоя и провести аналогичные усреднения уравнения Пранд-
тля (6 36) и уравнения неразрывности, то получим более простую си¬
стему
Сравнение между собой двух последних членов первого уравнения
с использованием тех же масштабов, что и ранее при выводе уравне¬
ний Прандтля, дает
Следовательно, по сравнению с остальными членами членом да'х/дх
можно пренебречь. Тогда
Для замыкания системы (6 55) необходимо только одно соотношение,
связывающее добавочное турбулентное напряжение с усредненными ско¬
ростями. Такое соотношение может быть получено на основе полуэмпи-
рических теорий турбулентности. Наиболее часто с этой целью исполь¬
зуется гипотеза, предложенная Прандтлем
(— ди , — да \	др 1	d (tt +	*Сг) д*тх .
?\и ~дГ+v~dir)=* ~дх~ +	ду	+~дГ"
-щ- аз 0; да/дх + dv/ду — 0; да’/дх -f dv'/ду — 0.
Здесь использованы введенные ранее обозначения
тл ^\idUfdy\ тт —puV; 0'*=— рй'2.
д*гх ду 1
дх д*р ;	*
да \ _ _ др
ду ) дх
(6.55)
ди/дх + dv/dy =* 0.
171
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рассмотрим турбулентное течение около
твердой стенки в направлении оси х Сред¬
няя скорость й здесь будет зависеть только
от координаты уу а составляющие г; и ^ ока¬
жутся равными нулю. Примерная форма
усредненного профиля скорости й(у) в обла¬
сти стенки изображена на рис. 6 9. Попереч¬
ный перенос вихревых слоев жидкости проис¬
ходит за счет пульсационной составляющей
скорости с/. Пусть жидкий объем из слоя с ко¬
ординатой у—I перемещается в слой с коор¬
динатой у, сохраняя при таком перемещении
свою первоначальную продольную скорость
и(у—1).
Тогда, попав в слой у, скорость рассматриваемого объема будет
отличаться от скорости й(у) на величину Аи=й(у)—й(у—I) Разложив
й(у—I) в ряд Тейлора в окрестности точки у и ограничившись линей¬
ным членом, получим
Au^l(dU/dy).
Аналогичным образом для объема жидкости, попадающей в слой у
из слоя (у ♦ /), найдем
Аи2=й (у 4-1) —й (y)=l (du/dy).
Каждую из величин Aui и Аи2 можно рассматривать как пульса¬
цию скорости Среднее значение этих пульсаций дает абсолютную
пульсационную скорость )«'!•
уW* = \а'\ = (1 2) (Ду, + Дг/2) - - / (da.dy).	(6.56)
Учитывая смысл приведенных рассуждений, можно определить ли¬
нейный размер / как некоторую длину в направлении оси у, на протя¬
жении которой жидкий объем движется с сохранением своей индиви¬
дуальной скорости, количества движения и энергии Эта величина по
аналогии с путем свободного пробега молекулы получила название
пути перемешивания.
Возникновение поперечной пульсации по Прандтлю происходит
в связи с тем, что в слой у попадают два объема, имеющие разные
продольные скорости Если впереди располагается объем с меньшей
скоростью, то задний объем его нагоняет и происходит столкновение
объемов со скоростью 2и\ В результате возникает поперечное движение
со скоростью vf в обе стороны от уровня у (рис. 69). Если впереди
оказывается более быстрый объем, то они удаляются друг от друга со
скоростью 2и\ В промежуток между ними устремляется жидкость
с поперечной скоростью v' Прандтль предположил, что порядок зна¬
чения пульсационной скорости v' тот же, что и скорости и\ т. е
|v'\=Al(da/ dy),	(657)
где А — некоторая постоянная величина.
172
Рис. 6 9. К выводу
формулы Прандтля
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Найдем далее усредненное значение произведения u'v\ входящего
в формулу для турбулентного напряжения трения Согласно изложен¬
ной схеме возникновения пульсаций частицы жидкости, приходящие
снизу с положительным значением v\ вызывают отрицательную пуль¬
сацию для таких частиц произведение u'v' отрицательно Части¬
цы, движущиеся сверху вниз, имеют отрицательное значение величины
v\ но вызывают положительную пульсацию и' Следовательно,
произведение u'v' снова оказывается отрицательным, таким образом,
среднее но времени значение u'v' не равно нулю и имеет отрицатель¬
ное значение Поэтому
«V = _ .-Л?'--	■ V«'2 V* *=-RXy\ *''1 и. (6.58)
V а' 2 Уv92
где RXy — коэффициент корреляции, введенный ранее
Используя зависимости (6.56) и (6 57), получаем
u'v'=—ARxyl2 (du/dx)2.
Включая постоянную А и коэффициент корреляция RXy в длину пути
перемешивания I, получаем для турбулентного напряжения следующее
выражение.
du
dy
du
w (6-59)
Величина l в формуле (6 59) не является постоянной, а меняется
от точки к точке, что, вообще говоря, ограничивает возможности со¬
отношения (6 59), так как необходима еще одна гипотеза о связи дли¬
ны I с поперечной координатой Прандтль предложил считать в при¬
стеночной области 1=ху, где х— постоянная величина. Тогда
тт * рх2//2 (du [dy)2	(6	60)
Выражение (6.60) замыкает систему уравнений турбулентного по¬
граничного слоя. Однако в настоящее время оно используется в каче¬
стве самостоятельного дифференциального уравнения, интегрирование
которого при определенных допущениях позволяет найти профиль
усредненной скорости в турбулентном слое
6.7.	Профиль усредненной скорости
в турбулентном пограничном слое
Формулу Прандтля (6.60) можно рассматривать как
дифференциальное уравнение относительно усредненной
скорости й. Для его интегрирования приемем, следуя
Прандтлю, чго касательное напряжение хт вблизи стенки
173
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

постоянно и равно напряжению на стенке xw- Тогда вместо
(6.60) получим
da _ i/%~	1
dy К р «у *
Комплекс V4f/p имеет размерность скорости, и по этому
чисто формальному признаку его называют динамичес¬
кой скоростью о* =•	С	учетом	сказанного	du	=
=• vtdyj(v.y). После интегрирования получим
u=(vjy) In у-\-С.	'{6.61	У
Прежде чем определить постоянную интегрирования С, не¬
обходимо сделать некоторые добавочные пояснения. Фор¬
мула (6.61) справедлива для развитого турбулентного
течения, где роль молекулярной вязкости пренебрежимо
мала. Однако непосредственно у стенки турбулентные пуль¬
сации близки к нулю и здесь для напряжения трения со¬
храняется закон Ньютона тл=тw=\idufdy. Его использова¬
ние при условии ^=*t0=const дает линейное распределе¬
ние скорости на очень малом расстоянии от стенки уя:
«, = ±- (6.62)
р V	V
Таким образом, в турбулентном пограничном слое можно
выделить тонкий вязкий подслой с линейным распределе¬
нием скорости и основную турбулентную часть, где про¬
филь скорости описывается логарифмической зависимостью
(6.61). Действительная модель сложнее, так как между
указанными областями находится область, где в равной
степени проявляется как ламинарное, так и турбулентное
трение. Однако для определения постоянной интегрирова¬
ния в качестве первого приближения вполне достаточно
двухслойной модели.
Если принять, что при толщине вязкого подслоя ул
скорость на его внешней границе равна ия, то из условия
смыкания скоростей на этой границе получим
«л= (у./х) In #л+С= (y2./v) уя.
В результате
C—(v2Jv)yn—(vtfii) In уя.
Подстановка величины С в формулу (6.61) дает
и = i^'ln -JL + .£!*. у	(6.63)
* 9л	v
174
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Толщина вязкого подслой уя является функцией коэффи¬
циента кинематической вязкости v и динамической скоро¬
сти о*. Из этих величин можно составить единственную
комбинацию с линейной размерностью v/e*. Если принять,
что расстояние ул пропорционально длине vjv*, то
Уа=м	(6.64)
Подставив (6.64) в (6.63), получим
■7=TlnJ!r + (P-Tlnp)' (6М)
На основании опытных данных для гидравлически
гладких труб «=0,4, {5=0,11, и универсальный закон рас¬
пределения скоростей для очень больших Re принимает
вид
<р=2,5 In t}+5,5=5,75 lg tj+5,5.	(6.66)
Здесь <р=ujvt и r\=yv,h — безразмерные координаты.
Зависимость (6.66) часто называют асимптотической,
имея в виду ее справедливость в области больших Re, ког¬
да влияние молекулярной вязкости несущественно. Правда,
степень этого влияния помимо Re зависит и от безразмер¬
ного расстояния щ. При r\—yvjv<5 преобладает чисто ла¬
минарное течение, при 5<ti<70 имеет место ламинарно¬
турбулентное течение, а при rj>70 устанавливается развитое
турбулентное течение с ничтожным влиянием молекуляр¬
ной вязкости.
Приведенная трехслойная модель турбулентного погра¬
ничного слоя наглядно показывает трудности, с которыми
приходится сталкиваться при теоретическом решении рас¬
сматриваемой задачи, и с этой точки зрения формула (6.66)
является далеко не единственной, используемой для опи¬
сания профиля скорости в пристеночной области турбу¬
лентного потока.
В частности, широкое распространение получил степен¬
ной профиль скорости. Этот профиль при использовании
безразмерных «универсальных» координат <р и ц в общем
случае может быть представлен в виде
и/о*=С (л) (yvtfv),/п.	(6.67)
Если логарифмический профиль скорости (6.66) прак¬
тически не зависит от Re и на этом основании используе¬
мые координаты <р=ы/о* и rj=yv*fv называют «универсаль¬
ными», то в случае степенного представления распределе¬
ния скорости в турбулентном пограничном слое указанная
универсальность исчезает и для согласования формулы
175
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Таблица 6.1
Re
4*103
1Q5
10*
>10*
1/6
i/7
1/9
1/10
С (я)
7,8
8,74
10,6
11,5
(6.67) с опытными данными приходится менять значения
постоянной С(п) и показателя степени 1/л с изменением
Re (табл. 6.1).
Нарушение «универсальности» профиля скорости при
его степенной аппроксимации по сравнению с логарифми¬
ческим представлением объясняется как физическими при¬
чинами, так и особенностью логарифмических координат,
резко сжимающих линейные масштабы. В результате сжа¬
тия даже при значительном разбросе опытных точек они
довольно хорошо группируются вокруг одной кривой в ло¬
гарифмических координатах и расслаиваются по 'Re в слу¬
чае использования обычных линейных координат.
Если в качестве нормирующих множителей для скоро¬
сти и и поперечной координаты у использовать, как и рань¬
ше, скорость на внешней границе пограничного слоя а, и
его толщину 6, то зависимость (6.67) можно заметно упро¬
стить. Так как при у=6 скорость и=щ, то
u,/y.=C(«)(to,/v)1/n.	(6.68)
Разделив (6.67) на (6.68), получим элементарный сте¬
пенной профиль, где скорости и линейные размеры выра¬
жены в долях указанных масштабных величин щ и б:
«/«i=(j//6).1/n.	(6.69)
6.8.	Расчет пограничного слоя при безградиентном
течении
Рассмотрим обтекание плоской иластины, предполагая
внешний поток безградиентным. Расположим пластину по
потоку, совместив начало координат с ее передней кром¬
кой. В данном случае скорость внешнего (потенциального)
течения равна at=Hoo=const. Следовательно, dujdx=0 и
интегральное уравнение Кармана принимает вид (6.46):
d8**/dx=tw/pu2i.
176
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Для его решения необходимо знать закон изменения на*
пряжения трения xw вдоль пластины, зависящий от режима
течения в пограничном слое, и уравнение (6.46) следует
решать отдельно для ламинарного и турбулентного течения.
Ламинарный пограничный слой. Здесь величина Ти> оп¬
ределяется по формуле Ньютона
Ее использование возможно, если известно распределение
скоростей в пограничном слое. Представим и (у) некоторым
полиномом третьей степени u=ao-j-aiy-j-a2y2-fa3y3, который
должен удовлетворять следующим граничным условиям:
1) при у—0 и=0; 2) при у=8 и=щ; 3) при у=Ь du/dy—
=0; 4) при у—0 d2ujdy2==Q.
Первые три условия непосредственно вытекают из опре¬
деления пограничного слоя, а четвертое можно написать
на основании уравнения Прандтля для пограничного слоя.
Действительно, поскольку dp/dx=0, первое уравнение си¬
стемы (6.36) примет вид
На стенке (у=0) u=v=0. Следовательно, и д2и/ду2=0.
Первое и четвертое условия приводят к выводу, что ао=0
и «2=0. Оставшиеся два коэффициента найдем в результа¬
те совместного решения следующих двух уравнений, выте¬
кающих из второго и третьего условий:
Таким образом, в ламинарном пограничном слое распреде¬
ление скоростей в поперечном направлении можно пред¬
ставить в виде следующего приближенного уравнения:
Три уравнения (6.46), (6.70) и (6.72) дают возможность
полностью решить поставленную задачу. По известному
профилю скорости (6.72) вычислим толщину потери им¬
пульса
(6.70)
да
да 	 дги
V~dT~~Vly*'"
(6.71)
и
#1=#18-}“Яз63; 0=а1+3азб2,
Отсюда
(6.72)
о
о
12—3331
177
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

4'-т(7) + т(!)Кт) = 1' <6-73>
Испйльзуя (6.72), найдем значение для Tu>=fx (dujdy)j,=o=
з
= — ^/8. Подстановка найденных величин в (6,46) при¬
водит это уравнение к виду
39	db	3_	pv	аг
280	dx	~	2	?и\	д *
Отсюда 6d8= (140/13) (vjui)dx, или после интегрирования
вдоль пластины
S2	280	х	_	280	х2
13	их	“	13	Re* *
Таким образом, физическая толщина ламинарного погра¬
ничного слоя изменяется вдоль оси х по следующему за¬
кону:
8 = 4,63	=	4,63а:/	(6.74)
С помощью выражений (6.72) и (6.74) из (6.70) найдем
закон изменения нпряжения трения на поверхности пласти¬
ны Тц,= (3/2) (щ[Ь)ц.
Отсюда локальный коэффициент трения с/ в произ¬
вольном сечении пластины будет равен
Cf = 2ia,/p«2l = 0,648/j/Re*.	(6.75)
Расчет характеристик ламинарного пограничного слоя
базируется на приближенном выражении (6.72), описыва¬
ющем распределение скоростей в поперечном сечении этого
слоя. Точное решение рассматриваемой задачи с исполь¬
зованием дифференциальных уравнений Прандтля (6.36)
приводит к следующим выражениям:
5	5,0	0,332	г	'	_	0,664
х
VRe* ’	KRe*	Р“	*’	°}	У	Re.
Полученные формулы позволяют легко найти общее сопро¬
тивление трения пластины. Для этого достаточно вычис¬
лить следующий интеграл:
£
Р, = 28$
*wdx.	(6.76)
178
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Здесь В —ширина пластины, а коэффициент 2 учитывает
обе стороны пластины. Используя для Ту> точное решение,
получаем
т.
Рх = 2£-0,332р«\ Гi/*_1_dx —■ 1.328SZ, 1/_J!_.
J V UjX	f	utL
о
Отсюда полный коэффициент сопротивления Сх предста¬
вим в виде
г   Р*	*>328	--ч
0,5poV2BZ. ~ yWL *	'’
Формула (6.77) отражает закон сопротивления Блазиуса
для продольно обтекаемой пластины. Этот закон справед¬
лив только для ламинарного режима течения в погранич¬
ном, т. с. при
Re^-lO5 (Re6<2300).
Расчет турбулентного пограничного слоя. В случае, ког¬
да Rex,>106, в пограничном слое пластины устанавливается
развитый турбулентный режим течения жидкости, расчет
которого требует принципиально отличных исходных соот¬
ношений. Это отличие вызвано тем, что в результате пере¬
носа количества движения резко меняется профиль сред¬
них скоростей в поперечном сечении. Для его аппроксима¬
ции служат либо полуэмпирические, либо чисто эмпириче¬
ские зависимости. В частности, наиболее часто использует¬
ся степенной профиль (6.69)
и/их = {у/ЬУ1п
с показателем степени 1 /«=1/7.
Напряжение трения на поверхности пластины также
оценивается по опытной зависимости
j_
-Ss- = 0,0225 (—)4 .	(6.78)
ра*,	\	«I5	/
При использовании степенного профиля скорости (6.69)
для толщины потери импульса получим
8"=8Ш'- tMi)=
о
=*1(тГГ,-(тГ]',(т)=^-8- <е79>
0	L
12*	179
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Подставим далее (6.78) и (6.79) в интегральное соотноше¬
ние (6.70). Тогда
0,0225 (—)4 = -5е_ .	(6.80)
72 dx
Разделяя в этом выражении переменные и интегрируя,
найдем физическую толщину турбулентного пограничного
слоя г
6 (х) =0,37* (u\xfv)-1/5.	(6.81)
Из (6.80) следует, что локальный коэффициент сопро¬
тивления С) в рассматриваемом случае равен
_ 2у 14_ dH_
1 “ fu\ ~ 72 dx ’
или с учетом (6.81)
<?, = 0,0576/Re^2.	(6.82)
Сопротивление пластины, смоченной с двух сторон, так
же как и в случае ламинарного пограничного слоя, опреде¬
ляется формулой (6.76). Используя (6.80), получаем
L
Рх=--2 — ВРи\ [-*Ldx= — Bbou\.
х 72	1	J dx	72
о
Отсюда после замены величины 6 ее значением (6.81) най¬
дем полный коэффициент сопротивления пластины Сх при
турбулентном режиме течения в пограничном слое:
Сх =			 °’°7--.	(6.83)
*	0,5 fu\-2BL Re«.2	v '
Заметим, что коэффициент сопротивления всей пласти¬
ны как при ламинарном, так и турбулентном течении
может быть найден и более просто посредством прямого ис¬
пользования формулы (6.30). Действительно, для ламинар¬
ного пограничного слоя 6**/L=0,664/Rei+°'5, для турбулент¬
ного 6**/L=0,036/Rei+°i2. Подставляя эти значения в фор¬
мулу (6.30), вновь приходим к выражениям (6.77) и (6.83)
Найденные основные характеристики пограничного слоя
на пластине при турбулентном и ламинарном режимах те¬
чения помещены в табл. 6.2.
Сравнение формы профилей скоростей дано на рис. 6.10,
а кривые изменения физической толщины слоя вдоль пла¬
стины приведены на рис. 6.11. Видно, что при турбулент¬
ном режиме течения профиль скорости оказывается суще-
180
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Таблица 62
Наименование
Обоз гачение
Режим
величины
лачинари
турбулентный
Профиль скоро-
С1 и
и, ил
ч 2 / у \
«. i { *" )
и г/, = (у S)1^7
Толщина погра¬
ничного слоя
Толщина потери
импульса
Напряжение
трения
Локальный ко¬
эффициент co¬
il рот ивленкя
Полный коэффи¬
циент сопро¬
тивления пла¬
8(х)
Ь** (х)
~-о (•'•)
Г'~Г\
сх~
Рх
-т(+)*
8Л = 5jc ReJ0,5
8” - 0,664х ReJ0'5
v = 0,332(«/fRe75-5
с, _ 0,66-1 ReJ0'5
Cx- 1,328 FcJ05
ST -= 0,37x Re7° 2
d” 0,036xRe7°'2
Ъ 0,0288p,^Re7°'2
Cf-* 0,0576 Re70/-
Cx~ 0,072 Ге7° 2
стины
ствсмно болсс наполненным, а толщина .6 растет более ин¬
тенсивно.
Коэффициент сопротивления Сх сравнивают обычно
в логарифмических координатах, так как в этом случае
зависимости (6.77) и (6.83) оказываются линейными и мо-
г>т быть легко аппроксимированы за пределами имеющих¬
ся опытных данных (рис. 6.12). Зависимости на рис. 6.12
иоказывают целесообразность затягивания ламинарного те-
Рис. 610 Профили скорости в	Рис. 6.11 Характеристики ла-
ламинарном (/) и турбулент-	мннарного (/) и турбулеитно-
ном (2) пограничном слоях	го (2) слоя на пластине
181
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 6.12. Экспери¬
ментальное сравнение
коэффициентов	со¬
противления пласти¬
ны при ламинарном
(треугольники)	и
турбулентном (круж¬
ки) режимах течения
S S 7	8	lg Re
чения в область больших Re, так как в этом случае можно
существенно снизить сопротивление пластины (на рис. 6.12
такому случаю соответствует штриховая линия). Этот вы¬
вод относится ко всем хорошо обтекаемым телам.
Для сохранения ламинарного пограничного слоя в об¬
ласти больших Re*,, превышающих критические значения,
необходимо предельно снизить возмущающие факторы как
со стороны внешнего потока, так и со стороны обтекаемой
поверхности. В первую очередь это означает максимально
возможное снижение внешней степени турбулентности и
увеличение чистоты обработки обтекаемой поверхности.
6.9.	Отрыв пограничного слоя
При движении жидкости в каналах главным фактором,
определяющим характер этого движения, является про¬
дольный градиент давления. Движение жидкости может
проходить при отрицательном, нулевом и положительном
значениях др/дх. Все эти условия реализуются при дозвуко¬
вых скоростях в канале, изображенном на рис. 6.13. В су¬
живающейся части происходит ускорение потока и соот¬
ветствующее этому ускорению падение давления (dpjdx<
<0). В минимальном сечении др/дх—0. Наконец, расшире¬
ние канала приводит к торможению потока и повышению
давления в направлении течения (др/дх>0). Если в кон-
фузорном канале направление движения жидкости совпа¬
дает с направлением действия перепада давления, то
в диффузорном канале перепад давления противоположен
направлению движения жидкости.
Проанализируем условие движения жидких частиц в
каждой из указанных областей на основании дифференци¬
ального уравнения Прандтля (6.55). С этой целью умно-
182
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 613 Схема движения жидкости в пограничном слое конфузорно-
диффузорного канала
жим все члены этого уравнения на элементарную площадь
dF=dy-i и запишем его в виде
dydp —-^-dxdy —\pu.J*L(ix-\-$v-^dx\dy.	(6.84)
ду	I	dx	dy	J
|	1	l	1
сила	инерционные	силы
трении
Элементарная сила, обусловленная перепадом давления dp,
величина которого определяется геометрией канала, урав¬
новешивается силами трения и инерционными силами. За¬
метим, что оба рассматриваемых фактора действуют в од¬
ном направлении как в диффузорных, так и в конфузорных
областях. Действительно, в конфузорной области dujdx>О,
a dxjdy<0 и с учетом знака минус перед вторым слагаемым
в правой части уравнения (6.84) имеет место суммирование
рассматриваемых сил. (В пределах пограничного слоя
pvdu/dy>0.) Для диффузорного течения вблизи стенки
дх!ду>0, а ди/дх<0 и вновь имеет место суммирование
приведенных членов. Проведем в канале, изображенном на
рис. 6.13, три сечения, расположив их в конфузорной, без-
градиентиой и диффузорных областях течения, и применим
уравнение (6.84) к частицам, расположенным в выбранных
сечениях на различных расстояниях от стенки.
На внешней границе пограничного слоя (точки Alf Ач,
Аз) согласно определению ди/ду=0 и дх/ду=0. Следова¬
тельно,
dp=—pudu=—puiduy.	(6.85)
Этот баланс сохраняется во всей области за пределами
пограничного слоя при отсутствии в ней добавочных дис¬
сипативных сил. Выражение (6.85) но существу задает пе¬
репад давления dp, действующий но всему поперечному
183
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Сеченйю канала с прямолинейной продольной осью. При
перемещении в глубь пограничного слоя по направлению
к стенкам (точки Ви В2, В$) за счет снижения скоростей,
вызванного влиянием вязкости, происходит падение инер¬
ционных сил и возрастает роль сил трения.
На стенках (точки Сь С2, С$) составляющие скорости
и, v согласно гипотезе прилипания равны нулю, и, следо¬
вательно,
др/дх=дт1ду.	(6.86)
Отсюда следует, что знак производной дт/ду совпадает со
знаком градиента давления. Другими словами, в конфузорах
-^-1	<0 при безградиентном течении -^-1	=0; в диф-
ду 1у=*	ду	Iys»
фузорах-^-1 >0.
ду
Приведенные оценки с учетом того, что на внешней гра¬
нице пограничного слоя дт/ду—0, дают возможность по¬
строить качественные эпюры изменения напряжения трения
в рассматриваемых характерных сечениях. Эпюры, изобра¬
женные на рис. 6.14, указывают на монотонное снижение
значений т в направлении виешней границы пограничного
слоя при конфузорном течении (рис. 6.14,о).В случае без-
градиентного течения (dpjdx=0) монотонность снижения т
сохраняется, но на стенке касательная к эпюре напряжений
оказывается параллельна оси у (рис. 6.14,6). Для диффу-
зорных потоков величина т с удалением от стенки вначале
растет и на некотором расстоянии уа достигает максималь¬
ного значения та, после чего снижается до нуля на внешней
границе слоя (рис. 6.14,в). Таким образом, напряжение
трения на стенке оказывается меньше, чем во внутренней
области потока. Это обстоятельство является весьма важ-
184
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ным при анализе движения жидкости в диффузорных об¬
ластях.
Действительно, в конфузорном потоке снижение инер¬
ционных сил в пограничном слое, вызванное снижением
скоростей с приближением к стенке, всегда компенсируется
нарастанием сил трения и условие (6.84) выполняется при
любом значении отрицательного продольного градиента
давления на любом расстоянии от стенки.
В случае положительного продольного градиента дав¬
ления (диффузорное течение) вблизи стенки одновременно
снижаются и скорости, и силы трения. В результате дви¬
жение в направлении основного течения оказывается воз¬
можным только до определенного значения перепада дав¬
ления dp. Предельное значение продольного градиента дав¬
ления dp/dx зависит как от кинетической энергии потока
вблизи стенки, так и от увлекающего действия более бы¬
стрых верхних слоев жидкости (от значения дх/ду). Оче¬
видно, чем больше указанные величины, тем дальше про¬
двинется жидкость в прямом направлении против задан¬
ного перепада давления.
Поскольку в турбулентном пограничном слое кинетиче¬
ская энергия потока у стенки существенно больше, чем
в ламинарном (более наполнен профиль скорости), а так¬
же больше и величина дх/ду, определяющая увлекающее
действие верхних слоев жидкости, турбулентный погранич¬
ный слой способен преодолевать и существенно большие по¬
ложительные градиенты давления, чем ламинарный слой.
Если перепад давления Ар превышает предельно допусти¬
мое для данного течения значение, то в некоторой точке S
(см. рис. 6.13) поток отклоняется от стенки и происходит
его отрыв с образованием свободной границы SIС В обла¬
сти отрыва KSD жидкость движется в направлении, обрат¬
ном основному потоку, как показано штриховыми линиями.
Необходимо отметить, что после отрыва потока от стен¬
ки течение становится неустановившимся. В зоне отрыва
с определенной частотой образуются вихри, сносящиеся
основным потоком. При этом сечение отрыва периодически
перемещается по поверхности, а в потоке наблюдается силь¬
ная пульсация скоростей и его параметров.
Если до точки отрыва S напряжение трения на стенке
т?г>0, то за точкой 5 в связи с переменой направления дви¬
жения жидкости Ти)<0. Отсюда очевидно, что непосредст¬
венно в точке отрыва т«>=0. В связи с тем, что хт—
~'(ди/ду)ту=о как при ламинарном, так и при турбулент¬
ном течении, из условия т«?=0 следует, что в точке отрыва
№
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

S не только сама скорость, но и се первая производная
ди/ду при у—0 обращается в нуль.
Условие
позволяет оценить положение точки отрыва в плоском те¬
чении и указывает, что профиль скорости непосредственно
в этой точке имеет вертикальную асимптоту, совпадающую
с нормалью к обтекаемой поверхности. Последовательная
деформация профиля скорости в пределах пограничного
слоя при переходе от конфузорного течения к диффузорно-
му показана на рис. 6.13.
На практике положение точки отрыва определяют не на
основании уравнения (6.87), а с помощью предельных зна¬
чений некоторых безразмерных комплексов, в качестве ко¬
торых для турбулентного пограничного слоя может быть
использован например, параметр Бури Г или параметр Н—
=6*/6*\ К сожалению, их предельные значения (| Гв | =
=0,03-^0,07, Hs—1,8-s-2,2) меняются в очень широком диа¬
пазоне, что не позволяет достоверно оценивать область
безотрывного движения жидкости.
6.10.	Сопротивление тел, обтекаемых вязкой
жидкостью
Если для идеальной жидкости сила, действующая на об¬
текаемое тело в направлении потока, равнялась нулю (па¬
радокс Эйлера — Даламбера), то для вязкой жидкости эта
сила всегда отлична от нуля. Она складывается из силы
трения по поверхности Р'х и результирующей силы дав¬
ления Р"х. Сила трения определяется распределением ка¬
сательных напряжений xw по поверхности тела и может
быть найдена по формуле (6.76):
Для определения силы сопротивления, обусловленной рас¬
пределением давления по поверхности обтекаемого тела,
необходимо найти сумму проекций сил давления на на¬
правление вектора скорости набегающего потока с». Эта
составляющая общего сопротивления равна
*L —О
(6.87)
ду у=о
Р'х = J t wdS = 0,5 J р dS-
s
s
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ЗДёсь g$ —элемент поверхности тела; pi — локальное зна¬
чение давления.
Таким образом, полное сопротивление тела Рх в пло¬
ском потоке определяется суммой указанных составляю¬
щих Рх—Р'х-\-Р"х. Вместо абсолютного сопротивления Рх
введем безразмерный коэффициент сопротивления Сх, оп¬
ределяемый, как и ранее, в виде отношения силы Рх к ско¬
ростному напору набегающего потока р»Соо/2 и характер¬
ной площади тела F:
С*=Р*/(0,5р»ад.
В зависимости от соотношения между сопротивлением тре¬
ния Р'х и сопротивлением давления Р"х телй можно раз¬
делить на хорошо и плохо обтекаемые. Для хорошо обте¬
каемых тел сопротивление трения намного больше, чем со¬
противление давления. Примерами хорошо обтекаемых тел
могут служить пластина, параллельная потоку, крыло
с малым углом атаки, тело дирижабля. Такие тела обтека¬
ются без отрыва потока от стенок, и для них характерно
низкое значение коэффициента сопротивления Сх.
Тела, обтекаемые с отрывом потока, относят к плохо
обтекаемым. Их сопротивление в основном определяется
сопротивлением давления. К плохо обтекаемым телам от¬
носятся шар, цилиндр, пластина, поставленная перпендику¬
лярно набегающему потоку, и т. п. В общем случае коэф¬
фициент сопротивления С* зависит от формы тела, состоя¬
ния его поверхности, режима обтекания, характеризуемого
числами Re», М» и £<>> и ориентации тела в пространстве.
При малых скоростях потока, гладкой поверхности тела и
низкой степени турбулентности набегающего потока вели¬
чина С* определяется формой тела, его положением в про¬
странстве и Re». Для таких тел, как шар и поперечно об¬
текаемый цилиндр, коэффициент Сх при £0=const зависит
только от Re», что хорошо подтверждается опытными дан¬
ными, приведенными на рис. 6.15. Эта зависимость оказа¬
лась достаточно сложной.
При малых числах Рейнольдса (Re<100) имеет место
резкое снижение коэффициента сопротивления С* с ростом
Re (зона 1 на рис. 6.15). Затем интенсивность этого сни¬
жения надает (зона //), а далее при 103<Re<104 имеет
место даже некоторое увеличение значения С* (зона III).
В зоне IV [104<Re<(2-s-4) -105} коэффициент С* почти
не меняется с увеличением Re, и эту зону иногда называют
зоной локальной автомодельности по Re. За этой зоной
(Re>2*105) происходит резкое (кризисное) снижение ко-
187
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

эффициента сопротивления (зона V), после чего сопротив¬
ления шара и цилиндра вновь несколько увеличиваются.
Столь сложный характер рассматриваемой зависимости
объясняется изменением соотношения между сопротивлени¬
ем трения и сопротивлением давления при изменении Re.
При очень малых Re обтекание цилиндра * происходит
практически без отрыва потока от его поверхности. Влия¬
ние вязкости распространяется на большое расстояние от
поверхности обтекаемого тела, и основную роль играет со¬
противление трения. С ростом Re действие вязкости лока¬
лизуется в пристеночной области и появляются вихревые
образования в кормовой области. При обтекании цилиндра
в потоке за ним устанавливается дорожка вихрей, центры
которых располагаются в шахматном порядке. Эта дорож¬
ка вихрей исследовалась Карманом, и ее обычно называ¬
ют вихревой дорожкой Кармана.
В рассматриваемой зоне (зона II) сопротивление трения
с ростом Re падает, а сопротивление давления возрастает.
Суммарное значение коэффициента Сх с увеличением Re
продолжает падать, но менее интенсивно, чем в зоне I.
В зоне III происходит интенсификация вихревого дви¬
жения в кормовой области. Размеры вихрей падают, воз¬
* Для определенности далее мы анализируем только зависимость 1
на рис. 6.15 для цилиндра.
188
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

растает частота их образования И происходит стабилизаций
отрыва ламинарного пограничного слоя. Точка отрыва по¬
тока с поверхности цилиндра (точка S) имеет угловую ко¬
ординату 0як87°. Общее сопротивление при этом за счет
увеличения сопротивления давления несколько возрастает.
Описанный спектр обтекания цилиндра сохраняется и в зо¬
не IV, где непосредственно около него никаких существен¬
ных изменений картины течения не происходит. В резуль¬
тате коэффициент Сх практически не меняется, что и дает
основание говорить о локальной автомодельности по Re.
Однако структура потока в кормовой области меняется.
После отрыва потока от стенки цилиндра движение отор¬
вавшейся жидкости еще на некотором расстоянии но пото¬
ку сохраняется ламинарным и только в точке Т (рис. 6.15)
происходит турбулизация потока. С увеличением числа
Рейнольдса сокращается участок ST, где имеет место ла¬
минарное течение оторвавшегося пограничного слоя, и точ¬
ка турбулизации Т приближается к точке отрыва S.
При некотором значении Re указанные точки совпадут
и переход к турбулентному режиму течения произойдет не
за цилиндром, а на его поверхности. Поскольку, как это
уже отмечалось ранее, турбулентный слой способен преодо¬
левать значительные положительные градиенты давления,
т. е. отрываться значительно позднее ламинарного, указан¬
ная смена форм течения на поверхности тела приводит
к резкому смещению точки отрыва 5 в кормовую область.
Теперь угол, при котором фиксируется отрыв потока, ока¬
зывается равным 0як11О° и, следовательно, происходит рез¬
кое сокращение кормового следа. Сопротивление трения
при этом несколько увеличивается, но сильно снижается
сопротивление давления. В результате коэффициент Сх
кризисно падает в зоне V (рис. 6.15).
Таким образом, кризис сопротивления плохо обтекае¬
мых тел — это резкое снижение их сопротивления, обуслов¬
ленное сменой форм течения в пограничном слое и кризис¬
ным смещением сечения отрыва потока вниз по течению.
Кризис сопротивления может наблюдаться не только при
внешнем обтекании тел, но и при движении жидкости вну¬
три различных диффузорных каналов. В этом случае так¬
же при некотором значении числа Рейнольдса происходит
переход к турбулентному режиму течения в пограничном
слое, следствием чего является кризисное перемещение
сечения отрыва по потоку.
Поскольку рассматриваемое явление связано с перехо¬
дом от ламинарного течения к турбулентному, с помощью
искусственной турбулизации потока можно в некоторых
189
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

пределах менять значение Re, при котором наблюдается
кризисное снижение сопротивления.
Необходимо отметить, что кризис сопротивления плохо
обтекаемых тел наблюдается только в случае гладких по¬
верхностей, когда положение точек отрыва не фиксировано
и зависит от режима течения в пограничном слое.
В ряде практически важных случаев обтекаемые тела
или каналы могут иметь угловые изломы, строго фиксирую¬
щие сечение отрыва. Например, при обтекании пластины,
поставленной поперек потока, отрыв потока всегда проис¬
ходит с ее кромок независимо от Re. Для таких тел сопро¬
тивление их очень мало меняется с изменением Re и ясно,
что здесь кризис сопротивления отсутствует.
Глава седьмая
ОСНОВЫ ФИЗИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
И РАЗМЕРНОСТИ
7.1.	Задачи моделирования и подобие
Значительная часть газодинамических проблем и прак¬
тических задач решается до настоящего времени экспери¬
ментальным путем с некоторым теоретическим прогнози¬
рованием.
Проверять каждое новое решение и эффективность
каждого нового конструкционного изменения в натурных
условиях весьма сложно, а часто и принципиально невоз¬
можно. По этой причине основные экспериментальные ис¬
следования проводятся на модельных установках, где мо¬
гут использоваться различные рабочие тела, а сами испы¬
тания проводятся при скоростях и параметрах жидкости,
отличающихся от натурных.
Задача моделирования состоит в том, чтобы сформули¬
ровать условия, при соблюдении которых на основании
модельных испытаний можно получить необходимые све¬
дения о протекании исследуемых явлений или процессов
в натурных условиях. В основе гидрогазодннамнческого мо¬
делирования лежит представление о подобии сравнивае¬
мых течений.
Два течения подобны, если по характеристикам одного
можно получить характеристики другого посредством про¬
стого умножения модельных характеристик на некоторые
190
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

постоянные коэффициенты, называемые коэффициен¬
тами подобия.
В механике различают геометрическое, кинематическое
и динамическое подобие. Два тела геометрически подобны,
если сходственные отрезки тел пропорциональны и углы
между сходственными отрезками равны между собой.
Потоки кинематически подобны, если скорости в сход¬
ственных точках пропорциональны и углы вектора скоро¬
сти в сходственных точках одинаковы.
Для динамического подобия необходима пропорцио¬
нальность сил, действующих на сходственные элементы, и
равенство углов соответствующих векторов сил.
Таким образом, когда речь идет о механическом или
физическом подобии, имеется в виду геометрическое подо¬
бие исследуемых объектов и подобие силовых и скорост¬
ных полей.
Для обеспечения подобия моделируемых течений или
явлений необходимо обеспечить равенство некоторых без¬
размерных комплексов, которые называют числами по¬
добия. В случае, когда изучаемое явление, процесс или
течение описывается замкнутой системой дифференциаль¬
ных уравнений, числа подобия легко найти, так как они
представляют собой безразмерные коэффициенты уравне¬
ний, записанных в безразмерном виде. С такими коэффи¬
циентами мы уже сталкивались при записи уравнений
Навье —Стокса в безразмерном виде (6.32).
Если моделируемое явление не имеет математического
описания, то числа подобия можно получить только при
использовании теории размерности.
7.2.	Размерные и безразмерные величины
В технических задачах приходится иметь дело с рядом
самых разнообразных величин, с помощью которых про¬
изводятся те или иные количественные оценки. Эти вели¬
чины могут быть размерными или безразмерными. Вели¬
чины, значения которых зависят от принятой системы
измерений, будем считать размерными. Примером размер¬
ных величин могут служить длина, масса, время, сила, мо¬
мент силы, скорость, работа, энергия и т. д. Безразмерные
или отвлеченные величины не зависят от системы измере¬
ний и сохраняют свои численные значения в любой приня¬
той системе размерных единиц. Ранее мы неоднократно
переходили от размерных величин к безразмерным.
В частности, при выводе уравнений Прандтля для по¬
граничного слоя все линейные размеры были выражены
191
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

в долях принятых линейных масштабов L и У0, а скоро¬
сти — в долях масштабных скоростей £/0 и Vo- Числа, полу¬
ченные в результате деления линейных размеров и ско¬
ростей на соответствующие масштабы, показывают, во
сколько раз скорость или длина отличается от принятого
оценочного масштаба. Для перехода от размерного дав¬
ления к безразмерному или к коэффициенту давления ис¬
пользовался более сложный масштаб, представляющий
собой скоростной напор потока рс2/2, имеющий ту же
размерность, что и давление.
Этот же масштаб был использован нами для безраз¬
мерного локального коэффициента трения с/=2тю/ (рс2).
Физические величины обычно связаны друг с другом
различными соотношениями. Размерности этих величин
не могут быть произвольными, а должны подчиняться опре¬
деленным правилам. Так, при записи уравнения Ньютона
в обычной форме (F=ma) можно иметь только две неза¬
висимые размерности: для силы F и ускорения а, либо для
ускорения а и массы т, либо для силы F и массы т. Раз¬
мерность третьей величины автоматически определяется
приведенным соотношением. Если всем трем величинам в
уравнении Ньютона мы придадим независимые размерно¬
сти, то для соблюдения одинаковой размерности левой и
правой частей этого уравнения необходимо ввести в рас¬
смотрение размерную постоянную k\ и записать F—kitna.
Таким образом, для некоторых величин мы можем уста¬
новить произвольным образом какие-то единицы измерения
и эти единицы принять за основные, а размерности всех
остальных величин выражать через основные, используя
различные уравнения связи. По такому принципу строятся
все используемые системы измерений.
У нас в стране государственным стандартом СССР
(ГОСТ 9867-61) с 1 января 1963 г. введена единая Между¬
народная система единиц измерения (СИ), где в качестве
основных механических единиц измерения приняты для
единицы длины — метр, для массы — килограмм-масса, для
времени — секунда. За единицу измерения температуры
принят кельвин.
С помощью этих основных единиц измерения выража¬
ются размерности всех остальных механических величин
(силы, работы, энергии, скорости, ускорения и т. д.).
Если обозначить единицу длины L, единицу массы М
и единицу времени Т, то размерность скорости при исполь¬
зовании этих символов будет L/T\ ускорения L/Г2, силы
ML/Т2, давления ML/Т2, работы ML*/T2, циркуляции
L2/T, плотности М/L3, количества движения M/LT, мас-
198
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

feoBoro расхода MlT, напряжения трения M/LT2, энергии
xMV/TK
Выражение производной единицы измерения через ос-
.новные единицы измерения называют размерност!>ю.
Для обозначения размерности какой-либо величины а
используется символическая запись [а]. Тогда размерно¬
сти скорости с, давления р, плотности р, силы F могут
быть записаны в виде
и = -р!	И“-£г; \П=-Щ-. (7.1)
В данном случае все механические величины могут быть
выражены через размерности трех основных величин.
В принципе число независимых размерностей может быть
как больше, так н меньше трех. Этот вопрос подробно
обсуждается в специальных работах по методам подобия
и размерности*.
7.3.	Примеры использования теории размерности
в задачах гидрогазодинамики
Рассматривая символические записи размерности (7.1),
легко заметить, что размерности производных величин мо¬
гут быть записаны в виде степенного одночлена LlMmTf.
Формулу, устанавливающую зависимость размерности
какой-либо величины от основных единиц измерения, на¬
зывают формулой размерности. Можно строго доказать,
что все формулы размерности должны иметь вид степен¬
ных одночленов. Это положение вытекает из очевидного
условия, согласно которому отношение двух численных
значений производных величин не зависит от принятых ос¬
новных единиц измерения. На этом основании мы норми¬
ровали скорость, давление, силу, напряжение трения, при¬
нимая в качестве нормирующих масштабов в общем-то
произвольные величины. Их выбор часто диктуется неко¬
торыми добавочными пеприпшшнальнммм соображениями.
Так, при построении кривых распределения безразмерных
скоростей по обводам обтекаемого тела удобно в качестве
нормирующего масштаба использовать максимальное зна¬
чение скорости из рассматриваемого диапазона абсолют¬
ных скоростей. Тогда безразмерная величина с(-=с,/с,ма1{С
будет меняться в достаточно узком диапазоне (O^c^l).
* См, например, книгу Л. И Седова «Методы подобия и размер¬
ности в механике» (М: Наука, 1972), основные положения которой
использованы в данной главе.
13-333]	}93
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Можно не только выражать давление в долях скорост¬
ного напора, но использовать для нормировки давление
полного торможения р0(е,—pi/po).
Ясно, что все названные безразмерные величины от
принятой основной системы единиц не зависят. Рассматри¬
вая функциональные соотношения, отражающие некото¬
рые физические закономерности, естественно, не зависящие
от той или иной системы единиц измерения, можно ожи¬
дать, что их внутренняя структура должна допускать пере¬
ход от размерных соотношений к соотношениям безразмер¬
ных величин.
Пусть функциональная зависимость
a=(f(ai, а2, аъ ..., а„)	(7.2)
определяет какой-то физический закон, где размерная ве¬
личина а зависит от ряда независимых между собой раз¬
мерных величин а\, а2, а3 ап. Среди этих величин вы¬
делим те из них аь а2, ..., а/„ которые имеют независи¬
мые размерности. В этом случае формула размерности ни
одной из выбранных величин не может быть получена в
результате степенной комбинации формул размерности
остальных k—\ величин. Для примера такими величина¬
ми, имеющими независимые размерности, могут быть дли¬
на L, плотность М/D и скорость LjT. Здесь, комбинируя
в виде степенного одночлена плотность и скорость, нельзя
получить размерность длины, так же как и и результате
комбинации длины и скорости нельзя выразить размер¬
ность плотности. В то же время размерности длины L, ки¬
нематической вязкости U/Т и скорости LIT являются за¬
висимыми между собой и допускают выражение размер¬
ности любой из этих величин через размерность оставших¬
ся двух величин Например,
М-=ИИ = у, и.™ и = ми=у.
Таким образом, используя величины с независимыми
размерностями а\, а2, а3, ..., йл, размерности всех осталь¬
ных величин а, а;,+ь ..ап можно получить в результате
комбинаций формул размерностей основных величин:
И=К!”'М"” - №*;
Кн1=М"'к1"- -М"‘; I	(7	3)
К1--=М" К!" .-W*.
Изменим теперь масштабы основных величин аь 02, • • •
..., аь в 01, Рг, ..., рл раз. Тогда в новой системе единиц
104
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

измерения численные значения этих величин будут равны
Vi=aiPb Y2=a2§2; уз=°зРз; Yft=OftP*-
Размерности остальиых величин у, yk+i, уь+2 согласно
зависимостям (7.3) представятся в виде
М - 1т.Г 1ъР... М'"*-fCfC... ф КГ Ып'...
...
to* J=f№ - №Г № - Ы‘к-
Эти преобразования показывают, что величины, имею¬
щие зависимые размерности, в новой системе измерений
равны их значению в старой системе, умноженному на не¬
которые постоянные величины, составленные из переход¬
ных коэффициентов Рг, • •Ра. Пусть численное значе¬
ние скорости, измеренной в каком-то сечении канала, равно
с=600 м/мии, т. е. в качестве основных единиц измере¬
ния здесь приняты [Ц и т. Изменим эти единицы, при¬
няв |i/]=Pi[£] и irj=p2[/]. Тогда
и==т=ш..
11 i/'j p. [Г]
Если масштаб длины мы увеличим теперь в 100 раз
(Pi=100), а масштаб времени — в 60 раз (р2=60), то чис¬
ленное значение скорости в новой системе единиц с' будет
равно
с'= ii- с = J3L G00 = 1000 см/с.
‘Р*	‘	60	'
С учетом сказанного запишем функциональное соотно¬
шение (7.2) в новой системе измерений:
Y = fC^...K;*« = /(Y,Y...--. Yn)~
= /(&«»; М.; М*;	■■■№„)■	Р-Ъ
1 ■"	■1	f	*	1	I	■	—■	11.	I
Ь т, Ч	hr,
Поскольку значения переходных коэффициентов Рь
р2, ..., Ра могут быть любыми, выберем их таким образом,
чтобы первые k аргументов в соотношении (7.4) обрати¬
лись в единицу. Для этого достаточно принять
Pi = l/«i; Р2=1/«.<;	Ра=1/«*.	(7.5)
13*	195
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Тогда остальные величины, имевшие зависимые размер¬
ности, в новой относительной системе измерений будут
определяться следующими безразмерными величинами:
Y = n=
*	*	а”'1	а'"1 в"1*.. .а"1* ’
* * »	к
Г*+1 = Я*+1= апгап,*пЛ ;
* * •	/Е
V г— П , -
Т»~	«-*	а«‘в«*...а9й	*	.
*	*	J
Число безразмерных комплексов (7.6) равно, очевидно,
(я+1)— к, так как первые k аргументов посредством со¬
ответствующего выбора коэффициентов обратились в
единицу. Таким образом, вместо размерной зависимости
величины а от и аргументов ш (7.2) мы приходим к без¬
размерной зависимости величины П от (п—к) безразмер¬
ных аргументов П<:
Ц = /(1. 1. 1	 Н*+1,	Я,.*).	(7.7)
Этот результат, следующий из теории размерности, со¬
ставляет содержание так называемой я-теоремы, согласно
которой любое физическое соотношение между п+1 раз¬
мерными величинами может быть представлено в виде
соотношения между п+1—к безразмерными комплексами,
где к^п— число величин, имеющих независимые размер¬
ности. При таком переходе число безразмерных аргумен¬
тов по сравнению с числом размерных сокращается на
величину, равную числу основных единиц измерения.
Использование я-теоремы позволяет получить важные
структурные соотношения, а в случае, когда число основ¬
ных единиц измерения равно числу определяющих пара¬
метров с независимыми размерностями (k=n), полностью
определить искомую зависимость с точностью до постоян¬
ного множителя.
Действительно, пусть n=k и мы ищем вид функцио¬
нальной связи величины а с параметрами ai, Сг, ..., a;t,
каждый из которых имеет независимые размерности и, сле¬
довательно, из этих параметров нельзя составить ни одной
безразмерной зависимости. Тогда согласно (7.4)
т	м.;-;	М*)-
196
(7.6)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Использование масштабов (7.5) дает
-=f( 1, 1, 1 ...) = Л.
* • *
Отсюда
(7.8)
Постоянная А может быть найдена либо опытным пу¬
тем, либо в результате теоретического решения соответ¬
ствующим образом сформулированной математической за¬
дачи.
Полученное соотношение (7.8) будет действительно от¬
ражать некоторую физическую закономерность, если в
исходной функциональной зависимости были учтены все
постоянные и параметры, определяющие исследуемое
явление.
В этом смысле вопрос оценки определяющих парамет¬
ров имеет самостоятельное значение, и эффективность при¬
менения теории размерности зависит от того, насколько
полно сформулирована решаемая задача. Если задача име¬
ет математическое описание, то для оценки определяющих
параметров достаточно выписать все размерные и безраз¬
мерные величины, от которых могут зависеть численные
значения определяемых величин. При отсутствии матема¬
тического описания исследуемого явления необходимо уста¬
новить главные факторы, определяющие численное значе¬
ние искомой величины.
В этом случае, как, впрочем, и при математической
формулировке задачи, приходится как-то схематизировать
само явление, отбрасывая некоторые второстепенные фак¬
торы. Правильность выводов, следующих т теории раз¬
мерности, в значительной степени определяется тем, на¬
сколько аккуратно была схематизирована задача и
насколько полно учтены ее основные параметры. Необхо¬
димо отметить, что сама по себе теория размерности не
позволяет установить в явном виде функциональные соотно¬
шения между безразмерными параметрами и в этом
состоит ее ограниченность. Однако, используя теорию раз¬
мерности, экспериментальные данные и соображения ло¬
гики, в ряде случаев удается получить весьма существен¬
ные результаты. Значимость получаемых результатов за¬
висит от глубины проникновения в суть исследуемого
вопроса и, конечно, от опыта практического использования
теоретических положений.
197
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Остановимся на некоторых простейших примерах при¬
ложения теории размерности.
Движение жидкости в трубах. Эта задача в случае дви¬
жения несжимаемой жидкости описывается дифференци¬
альным уравнением (6.4) и для стабилизированного лами¬
нарного режима течения в цилиндрической трубе круглого
сечения имеет точное решение, подробно рассмотренное
в гл. 6.
Покажем, что с помощью теории размерности в данном
случае можно получить более общие функциональные со¬
отношения, справедливые для гладких цилиндрических
труб произвольного поперечного сечения. Определяющими
факторами здесь являются характерный поперечный раз¬
мер трубы а, средняя скорость движения ыср и свойство
жидкости (ее инерция и вязкость), характеризуемые плот¬
ностью р и вязкостью р..
Используя выписанные параметры, найдем падение
давления на единице длины канала I:
й> Н<Ф» (*)•	(7-9)
В качестве основных величин примем р, а, и<р, имею¬
щие следующие формулы размерности:
[р]=Л1//Л [а] =L; [UcV]=L/T.
Вязкость |л имеет зависимую размерность и выражается
через формулы размерностей основных величин по соотно¬
шению
М=М[«ср}[p] = (LlT) (MiL')L=MITL.
Использовав л-теорему, найдем значения безразмерных
параметров П и Пь
11 =	^	; LI, =	^
/р"“ атХ‘р‘
Показатели ms, т-2, т$ и пи «2, «з определяются из
условия безразмерпости величин П и Пь Согласно форму¬
лам размерности получим
	1АР/Ц	_	мгУн	гт> _
-	[pl'«. [a]mj[//cp]'"a	~	1Ч.ЧГ”'	L'n* Lm>
 1 ~тх jjbnj -m*—*грт$—2
Для нулевой размерности комплекса [И] необходимо
выполнение следующих условий*
1 - - т1 — 0; тш — 2 — 0; 3т1 — т2 — тг — 2 — 0.
198
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Отсюда /те, = 1; тг — 2; тг — — 1;
п   М   М1?п~х тПг _
1	[?]"'	[«]"’	КрГ’	~	ПЛ4"' /."* Л"»	“
 £ «1—1—/2а п9	пхгрпг	1
Приравнивая показатели к нулю, находим «1 = 1; «2=1;
л»=1. Таким образом,
п _ 2&ра „
' рк2ср/ ’	1	р//с|)а	—	Rc	*
Постоянный множитель в знаменателе, равный 1/2, введен
для придания смысла скоростного напора комплексу
рм2,.г,/2.
В результате размерная функциональная зависимость
(7.9)	в безразмерном виде принимает следующий вид:
«?(1, 1. 1, !/Re).
?а ср 1
Отсюда потеря давления на участке трубы длиной / равна
кр = /Л Pt --СО, 1, 1.	(7.10)
Коэффициент сопротивления t зависит только от Re.
Для круглой трубы a=d формула (7.10) тождественна
формуле (6.13). При выводе соотношения (7.10) мы не
делали никаких допущений относительно режима течения
в трубе и, следовательно, его структура должна сохра¬
няться как при ламинарном, так и при турбулентном те¬
чении. Однако коэффициент сопротивления £(Re) при этом
будет меняться с изменением Re по различным законам.
Опытные данные, приведенные на рис. 7.1, убедительно
подтверждают, что коэффициент £ действительно является
функцией одного безразмерного комплекса — Re. При
Re<^!500--2000 течение жидкости в трубе сохраняет слои¬
стый, ламинарный характер, и с ростом Re коэффициент %
снижается по гиперболическому закону.
Ламинарный режим с точки зрения проведенного ана¬
лиза обладает одним важным качеством: при равномерном
движении жидкости все ее частицы движутся без уско¬
рения. Следовательно, инерционные свойства жидкости не
должны проявляться. Поскольку для учета этих свойств
мы ввели плотность жидкости р, при ламинарном режиме
этот параметр в формуле (7.10) должен сократиться, что
199
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

НШ)
3,0	3,5	Ь,0	Ь-,5	5,0	5,5	1gRe=Xg	uCpd/v
Рис. 7.1 Зависимость коэффициента сопротивлспия трубы от числа
Рейнольдса
возможно только в случае, если функция £(Re) будет
иметь следующий вид:
Для цилиндрической трубы круглого сечения безразмер¬
ная постоянная А—64, а коэффициент £ определяется со¬
отношением (6.16), тождественным по структуре зависи¬
мости (7.11).
Подставив (7.11) в (7.10), получим
После умножения перепада давления Ар на площадь
сечения трубы S=nd2/4 найдем общее сопротивление уча¬
стка трубопровода длиной I:
Согласно (7.12) сопротивление цилиндрической трубы
при ламинарном режиме течения пропорционально средней
скорости движения жидкости. При переходе к турбулент¬
ному течению в силу локальной неетационарцоети потока
инерционные свойства жидкости имеют большое значение
и плотность р нельзя исключить из определяющих пара¬
метров, поэтому заметно усложнится закон изменения ко¬
эффициента сопротивления %. При Red О5 хорошее со§-
т
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
£=/l/Re.
(7.11)
Рх = ^£~Фсг
(7.12)

бдение С опытными результатами дает формула Блазйуса
[см. (9.9)]. При Re^-105 опытные точки совпадают с за¬
висимостью Никурадзе [см. (9.10)].
Сопротивление тела, движущегося в жидкости. При
движении произвольного тела в безграничном потоке не¬
сжимаемой жидкости его сопротивление Рх будет зави¬
сеть от размера, характеризуемого некоторым линейиым
размером /, скорости движения с, угла атаки а, инерцион¬
ных свойств жидкости, определяемых плотностью р, и ее
вязкости ц*.
Таким образом, сопротивление Рх тела заданной фор¬
мы при установившемся движении будет определяться сле¬
дующей функциональной зависимостью: Px=f(р, с, I, а, ц).
Три параметра р, с и / имеют в данном случае независи¬
мые размерности [p]=M/Lz; [c] = L/T; [l\=L, размерно¬
сти остальных величин оказываются зависимыми и выра¬
жаются чс
шениям:
>ез основные величины по следующим соотно-
_^]=[р] [с]2[L]2=ML(T2;	М = [р] [с] [I] =
=MjTL. Поскольку угол атаки а является безразмерным
параметром, составим, как и ранее, два комплекса П и Ш:
П = РЖ' ст' Г*); II, = {*/(р"‘ сл% 1п>).
I ;
|п!
Используем далее формулы размерностей
\РЛ	ми-3"'1 'im*
Второй комплекс П1 очевидно совпадает с аналогичным
комплексом предыдущей задачи. Следовательно,
l?]mi [с\т% lllm*	T2Almi Lm* Lm»
 jJ	тл—т9
Учитывая нулевую размерность величины П, получаем
mi=l; /«2=2; тз=2. В результате
П=РХ/ (рс2/2).
I очевидно совп
гй задачи. След
П=/(1, 1, 1, а, П,),	(7.13)
пли
Px=pc42f(a, Re).	(7.1	За)
Если вновь ввести в полученное соотношение (7.13) по¬
стоянный множитель 1/2, то безразмерная величина П
будет представлять собой коэффициент лобового сопротив-
* Здесь имеется в виду безотрывное движение тела с гидравличе¬
ски гладкой поверхностью при нулевой внешней турбулентности по¬
тока.
201
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ления Сх, с которым мы уже неоднократно сталкивались
ранее:
С,	=/(«. Re).	(7.14)
Видим, что в рассматриваемом случае коэффициент сопро¬
тивления произвольного тела является функцией двух
переменных — угла атаки а и Re.
Для крыловых профилей при больших Re влияние это¬
го параметра оказывается несущественным. По этой при¬
чине для них обычно в расчет берется только угол а и
£*=/(«).
Для тара или цилиндра при его поперечном обтекании
угол атаки вообще выпадает из числа определяющих па¬
раметров. Следовательно, C*=/(Re). График этой зави¬
симости приведен на рис. 0.15 и подробно рассмотрен в
гл. 0 при анализе кризиса сопротивления плохо обтекаемых
тел.
7.4.	Критерии подобия и моделирование течений
жидкости
Выше мы отметили, что необходимым условием чеха*
нического подобия является равенство чисел подобия для
сравниваемых течений. Конкретный вид этих чисел может
быть совершенно различным даже при использовании
одних и тех же уравнений, а с учетом многообразия ре¬
шаемых задач их количество может быть очень большим.
В этой связи важно выяснить достаточные условия подо¬
бия. Эти условия непосредственно следуют из теории раз«
мерности.
Пусть интересующее нас явление определяется п па¬
раметрами, среди которых могут быть физические констан¬
ты и безразмерные величины. Если из этих параметров
к величин имеют независимые размерности, то число не¬
зависимых безразмерных комплексов не может быть боль¬
ше, чем п—k. Все интересующие нас безразмерные харак¬
теристики исследуемого явления будут полностью опреде¬
ляться указанными безразмерными комплексами. Именно
они образуют базу, составляющую основу теории подобия.
Для подобия двух явлений необходимо обеспечить по¬
стоянство численных значений безразмерных комбинаций,
образующих базу. Безразмерные базовые комбинации на¬
зывают критериями подобия.
В рассматриваемом выше примере о движении жидко¬
сти в цилиндрических трубах база состояла всего из одного
критерия — числа Рейнольдса — и равенство этого крите-
202
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

рия в двух сравниваемых течениях гарантирует совпадение
всех безразмерных характеристик, необходимых для прак¬
тического расчета течения в трубах
В общем случае база может состоять из целого ряда
критериев. Чем сложнее исследуемое явление, тем шире
обычно оказывается критериальная база. Например, не¬
стационарное движение жидкости в канале определяется
характерной скоростью щ, линейным размером L, харак¬
терным временем to, вязкими и инерционными свойствами
жидкости, характеризуемыми вязкостью |х и плотностью р,
а также массовой силой, для характеристики которой мож¬
но принять удельный вес y=pg. Таким образом, систему
определяющих параметров составляют ио, L, /о, р, g, р.
Здесь число определяющих параметров rt=6, а число па¬
раметров с независимыми размерностями k=3. Следова¬
тельно, база для механически подобных течений будет
иметь три безразмерных параметра, получивших в теории
подобия следующие названия:
Критерии подобия должны быть одинаковыми для на¬
туры и модели. Их постоянство обеспечивает подобие те¬
чения в сходственных точках геометрически подобных
каналов.
В случае стационарного течения указанная база сокра¬
щается, так как выпадает из рассмотрения число Струха-
ля. Следовательно, для обеспечения подобия стационар¬
ного течения несжимаемой жидкости в каналах необходи¬
мо обеспечить равенство на модели и на натуре только
двух критериев — Re и Рг. Однако одновременное сохра¬
нение этих двух критериев на модели и на натуре при
использовании для моделирования натурной среды оказы¬
вается невозможным, так как при уменьшении размеров
(уменьшении характерного размера L) Re падает, a Fr
растет и для поддержания постоянным Re характерная
скорость должна увеличиваться, а для сохранения значе¬
ния Fr необходимо уменьшать скорость tio. Для сохране¬
ния постоянными указанных критериев необходимо при
моделировании использовать различные среды, что обычно
сопряжено с большими трудностями
По этой причине в задачах, где влияние массовых сил
несущественно, при моделировании сохраняется постоян¬
ным только Rc,
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
(7 Л 5)
203

Если массовые силы играют определяющую роль в про¬
цессе движения жидкости, то моделирование ведется при
постоянном числе Фруда, а учет влияния числа Рейнольд¬
са производится в случае необходимости на основании от¬
дельной серии испытаний, в процессе которых устанавли¬
вается степень его влияния на исследуемую характери¬
стику.
Подобное моделирование гидрогазодинамических про¬
цессов называют приближенным, или частичным
и на практике используют наиболее часто.
При переходе к сжимаемой жидкости критериальная
база (7.15) должна быть дополнена числом М и показате¬
лем изоэнтропы к. Для большинства задач внутренней
гидрогазодинамики в случае стационарного течения при
моделировании необходимо соблюдение постоянства М и
Re. Обеспечить одновременное подобие по этим крите¬
риям при сохранении неизменными параметров потока на¬
туры и модели невозможно, так как, например, при умень¬
шении масштаба геометрического моделирования в 2 раза
необходимо для поддержания постоянства Re увеличить
скорость потока в 2 раза, а следовательно, увеличить в 2
раза по сравнению с натурой М. Другими словами, сохра¬
нение подобия по Re в данных условиях неизбежно нару¬
шает подобие по М.
Одновременное моделирование по указанным критери¬
ям требует использования аэродинамических труб перемен¬
ной плотности, когда сохранение неизменным Re осущест¬
вляется не посредством изменения скорости, а за счет
изменения плотности потока. Установки подобного рода
оказываются достаточно сложными и дорогостоящими.
В результате и в случае сжимаемой жидкости приходится
пользоваться частичными моделированием, принимая в
качестве определяющего критерия М, а влияние Re учи¬
тывая косвенным образом посредством введения соответст¬
вующего поправочного коэффициента. Часто этот коэффи¬
циент вообще оказывается близким к единице. Как пока¬
зывают опытные данные, для большинства задач при Re>
>5-105 его влияние становится несущественным. Насту¬
пает так называемая практическая автомодель¬
ность по этому критерию, и в области автомодельности
единственным критерием остается М *.
* Влияние показателя кзоэитропы k в аэродинамике также оказы¬
вается несущественным, и это обстоятельство допускает широкое
варьирование рабочими телами при моделировании.
204
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Значительные трудности возникают обычно при моде¬
лировании турбулентных потоков, так как получить на мо¬
дели турбулентный поток, идентичный по всем характери¬
стикам натурному, нельзя. И здесь также ограничиваются
частичным моделированием, используя в качестве крите¬
рия только степень турбулентности Ео=У^и' г1и„. Таким
образом, на практике вся критериальная база подобия
обычно не сохраняется и осуществляется только частич¬
ное подобие.
Несмотря на это при решении любой задачи моделиро¬
вания всегда необходимо иметь полную базу. Отбрасыва¬
ние того или иного критерия возможно только после де¬
тального анализа его роли в исследуемом процессе, причем
совершенно ясно, что частичное моделирование является
вынужденной мерой и в некоторых случаях может приво¬
дить к заметным ошибкам, которые далеко не всегда уда¬
ется предвидеть.
Глава восьмая
ИСТЕЧЕНИЕ ГАЗА ИЗ СОПЛ И ОТВЕРСТИЙ.
ЛАБИРИНТНЫЕ УПЛОТНЕНИЯ
8.1.	Расчет и профилирование суживающихся сопл
При рассмотрении основных особенностей газового по¬
тока (см. гл. 3) было установлено, что при истечении че¬
рез суживающиеся сопла скорость газа не может быть
больше местной скорости звука, следовательно, расшире¬
ние в таких соплах осуществляется до давлений, больших
или равных критическому. Поэтому суживающиеся сопла
применяются для создания потоков газа дозвуковых и
звуковых скоростей. Расчет таких сопл сводится к опре¬
делению размеров выходного сечения по заданным расхо¬
ду газа и скорости истечения и к определению формы
сопла. Течение газа в сопле принимается адиабатическим
Обозначив, как и раньше (§ 3.1)', параметры полного тор¬
можения ро. Го и р0, а статическое давление в выходном
сечении ра, можно определить скорость изоэнтропийного
истечения в выходном сечении сопла F\ по формуле
с, — j/"2k'(k — \)RTn (1	(8.1)
205
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

где Ъа—Ра/Ро — отношение давления за соплом к давле¬
нию торможения; bi=(k—l)/k. По уравнению неразрыв¬
ности легко найти действительный массовый расход газа:
т=цР
Здесь ji=m/mx — коэффициент расхода; шт, ст, рт—
соответственно расход массы, скорость и плотность при
изоэнтропийноч истечении Коэффициент расхода легко
выражается через толщину вытеснения в выходном сече¬
нии сопла. Представим (см. гл. 3)
ц=(тг—Ат)/тТ,
где Am=mT—m — уменьшение расхода массы но сравне¬
нию с теоретическим. Так как
ffli —'FiPt^t И	— ^/|б*рт^т”
где U1 — периметр выходного сечения сопла, то
ц= 1—t/|6*/Fi=l—U\Hb** jF\.	(8.2)
Для осесимметричного сопла
ц=1—4б*=1—4Я6** (б5* =6**/</,),	(82а)
где di — диаметр сечения сопла.
Воспользуемся формулой (8.!) и найдем секундный
расход массы в таком виде:
m =-=Vmk-\)R'(pJVT~)ef Y"\	7; . (8.3)
Расход газа m при изменении меняется так же, как
и приведенный расход q„ (гл. 3). Действительно, так как
т=ц/-'|^0р*а», то после подстановки значений р* и а* в
последнее уравнение получаем
/ 2 \<*Я>/2<* -I) г-гШс 1лГ^г
VkiRF^pjyT,^
-~-pkF,q„P''\/T\.	(8.3а)
к ( 2	\	(*•!>/<*	О	„
^"(гтт)	' ,,0СТ0>1ННая- Для В0А'
дута k-—1,4 и К -0,1264; для водяного пара к-- 1,3 и
К -- 0,0687. Из сопоставления (8.3) и (8.3а) следует
Формулы (8.3) и (8.3а) показывают, что максимальный
расход соответствует критической скорости Я=1 и крити¬
ческому отношению давления р„=р*. Максима чьпый, или
206
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
Здесь К
V

критический, расход для изоэнтропийного процесса полу¬
чаем после подстановки е0=е* в уравнение (8 3) или qa—
= 1 в (8.3а), полагая ц=1:
m„-=KFtpJ\/Ta.	(8.5)
Уравнение (8.3) показывает, что при заданном выход¬
ном сечении сопла с уменьшением е.а при еа>е* расход га¬
за увеличивается, а при еа<е. уменьшается. Однако по¬
следнее не соответствует действительности. Следователь¬
но, уравнение (8.3) неправильно описывает процесс исте¬
чения газа при на<е*, если в него подставлять отношение
давления среды ра к давлению торможения ро.
Рассмотрим теоретический случай истечения из сужи¬
вающегося сопла (р-=1) при фиксированных значениях
давления и температуре в резервуаре и переменном дав¬
лении среды ра. До тех пор, пока давление среды больше
критического, а скорость дозвуковая, изменения ра распро¬
страняются по потоку и против потока (внутрь сопла).
В этом случае расход гача изменяется в соответствии с
формулой (8.3). Когда уменьшающееся давление дости¬
гает критического значения р*, в выходном сечении уста¬
навливается критическая скорость и дальнейшие измене¬
ния давления среды не могут проникнуть внутрь сопла.
Следовательно, фактический перепад давления, создающий
расход газа через сопло при ра^р*, вне зависимости от
давления внешней среды будет критическим, а расход га¬
за— максимальным и постоянным. Отсюда следует, что
формула (8.3) при ра<р* только в том случае дает пра¬
вильные значения расхода, если в нее подставляется кри¬
тическое давление. Следовательно, если еа=ра1ро>г*, для
расчета скорости истечения и расхода используются фор¬
мулы (8.1) и (8.3) или (8.3а). Если еа^е*, скорость исте¬
чения равна критической, а расход рассчитывается по фор¬
муле (8.5). На характер зависимости т от е« оказывает
влияние распределение скоростей в выходном сечении соп¬
ла. Полученные выше формулы справедливы только в том
случае, если профиль сопла выполнен плавным. Плавно
суживающееся сопло приближает распределение скоростей
в выходном сечении к равномерному. С этой целью про¬
филь стенки сопла должен быть особым образом рассчи¬
тан.
На рис. 8.1,а показан профиль сопла, пригодный для
соединения двух труб различных диаметров, когда поток
при переходе в трубу меньшего диаметра должен быть
ускорен. Опыт показывает, что в широком диапазоне ско-
207
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 8.1. Профили суживающихся сопл:
а — профиль Битошинского для соединения двух каналов разного диа¬
метра; б— лемнискатный профиль; /—длинное сопло; 2— короткое
сопло
ростей (до Я^0,9-*-0,95) поле скоростей за соплом доста¬
точно равномерно, если длина сопла />го. При подклю¬
чении сопла непосредственно к резервуару его профиль
может быть очерчен лемнискатами или параболами
(рис. 8.1,6). Отметим, что при построении профилей полная
длина сопл / задается и может колебаться в широких
пределах (для фиксированных значений га и U) При исте-
Рис. 8.2. Распределе¬
ние да влении вдоль
суживающегося соп¬
ла при сверхкритиче-
ском перепаде давле¬
ния (а), схема сопла
и распределение ско¬
ростей вблизи выход¬
ного сечения сопла
(б),	&=И,3 (опыты
МЭИ)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

чении из суживающихся сопл плавный профиль стенок
обеспечивает постепенное ускорение потока и выравнива¬
ние полей скоростей и давлений к выходному сечению.
Описанная схема истечения из сопла корректируется экс¬
периментом, показывающим влияние пограничного слоя
на структуру потока в сопле. Установлено, что под воздей¬
ствием трения несколько меняется распределение давле¬
ния по стейкам сопла, так как в слое происходит частич¬
ное вытеснение газа и профиль сопла следует «деформиро¬
вать» на толщину вытеснения б* (рис. 8.1). Такая коррек¬
тировка легко осуществляется расчетом пограничного слоя
методами, изложенными в гл. 6.
При сверхкритических перепадах давления у выходно¬
го сечения сопла отмечается некоторая перестройка пото¬
ка, обусловленная влиянием вязкости. Вблизи выходного
сечения давление равно критическому, а за соплом оно
меньше критического. Под действием разности давлений
на выходном участке сопла происходит уменьшение тол¬
щины вытеснения («сброс» слоя). Это влечет за собой не¬
которое смещение внутрь сопла и деформацию поверхно¬
сти перехода (рис. 8.2). Критический расход не строго со¬
ответствует значению, рассчитанному по формуле (8.5).
Экспериментальным доказательством отклонения дей¬
ствительного процесса истечения из сопла от теоретической
схемы могут служить кривые распределения давления
вдоль образующей сопла (рис. 8.2,а). Вблизи выходного
сечения (*=2,35) относительное давление достигает кри¬
тического значения (е*=0,546), а непосредственно в вы¬
ходном сечении ei^0,4<e». Следовательно, на концевом
участке сопла произошел переход к сверхзвуковым скоро¬
стям и критическое сечение сместилось внутрь сопла
(рис. 8.2,6).
8.2.	Истечение газа из нелрофилированных сопл
и отверстий. Второе критическое отношение давлений
Формулу для коэффициента расхода ц можно преоб¬
разовать к виду
р = AULJSs—	рqjq	(8.6)
r ///„ t т^т mx	\	/
где nn n m*r — соответственно действительный и теорети¬
ческий (изоэнтропийиый) расход газа при еа^е«; величи¬
на /п»т определяется по формуле (8.5); <7т=/ят//п*т— при¬
веденный расход газа при изоэнтропийном процессе исте¬
чения, рассчитываемый по формуле (8.4); q—mjtn* —
14—3331	209
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рнс. 8.3. Зависимость коэффициентов расхода для диух сопл лемнл-
скатною профиля от отношений давлений при различных числах Рей
нольдса и к —1,3 (опыты МЭИ): / —Re— 10s; 2 — l,f>- 10ь; 3 -2-105;
4 — 3- 10s;
действительный приведенный расход газа;	—
коэффициент расхода при критическом режиме еа—е*.
Отметим, что если еа=е,, то */т— 1 н ц.=}и</. Опытные
данные показывают, что отношения давления е«, при кото¬
рых действительный расход достигает максимального зна¬
чения, не равны критическому е. и зависят от числа Рей¬
нольдса, а также от основных геометрических параметров
сопла; относительной длины l=l/d\ и геометрической кон-
фузорностн (степени поджатия n=F0jFi). Действительно,
как следует из рис. 8.3, коэффициенты расхода возраста¬
ют с увеличением Re и с уменьшением отношения давле¬
нии еи. Существенно, что с ростом Re значения еа, соответ¬
ствующие максимальному расходу, приближаются к крити¬
ческому е*. Штриховые линии на рис. 8.3 соответствуют
максимальным коэффициентам расхода и определяют со¬
ответствующие им отношения давления.
Обнаруженные особенности истечения из суживающих¬
ся сопл дают основание ввести понятие второго кри¬
тического отношения давлений е**, при котором
расход максимален и равен /и**. Легко видеть, что вели¬
чины е** и т*» определяют тот особый режим истечения
из сопла, при котором осуществляется полная стабилиза¬
ция линии (поверхности) перехода через скорость звука,
т. е. линии Мг=Х,—1. Расхождение между первым (е*) и
вторым (е,*) критическими отношениями давлений, а так¬
же между критическими расходами т„ и т„* особенно
велико для конических сопл, ненрофнлнрованных отвер¬
стий и щелей. В конических соплах уменьшение расхода
210
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис 8 4 Зависимость коэффициентов расхода конических coiui от отно
тения давлений при различных углах конусности "у, н степенях иод-
жатня n—Fo/Fi для Jfe= 1,4
и снижение критического отношении давлений обусловлено
не столько влиянием трения, сколько значительной нерав¬
номерностью нолей скоростей, давлений и температур в
выходном сечении. Соответствующие расходные характе¬
ристики для конических сопл приведены на рис. 8.4.
Графики |i (b<i) отчетливо показывают существенное
влияние на коэффициенты расхода режимного параметра
е„ и угла конусности сопла ус. Для сопл влияние степени
иоджатия п оказалось заметным в интервале углов конус¬
ности 15°<!yc<I450 при 3 -4. Опыты подтвердили рез¬
кое изменение профиля скорости в выходном сечении сопл
в зависимости от еа. Важным следует считать тот факт,
что максимальные значения ц. достигаются при различных
FU=e**, зависящих от угла конусности -ус, степени поджа-
тня п и Re. Соответствующая область значений е** и ц*,
на рис. 8.4 очерчена штриховыми прямыми, образующими
треугольник ADCA, в пределах которого фиксируется раз¬
брос точек, обусловленный неучитываемым влиянием Re
и других факторов. Точка В соответствует теоретическому
случаю ц=1 и £** = £*=0,528 (й=1,4).
Рассмотрим истечение газа из конического сопла, пре¬
небрегая влиянием вязкости (рис. 8.5). При ert<1 слева
И*	2И
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

г)
Рис. 8.5. Схема истечения газа из конического соила при различных
перепадах давления
вблизи отверстия скорость газа интенсивно нарастает, ли¬
нии тока сближаются и искривляются. Граничные линии
тока срываются с острых кромок, и поток дальше движет¬
ся свободной струей. Наиболее искривленными являются
линии тока у границы струи, а наименее искривленными—
вблизи оси. Поэтому скорости на внешних линиях тока
больше, чем в ядре струи. На выходе из отверстия уста¬
навливается неравномерное распределение термодинами¬
ческих параметров и скоростей. Справа от отверстия обра¬
зуются две области: свободная струя и неподвижный газ
с давлением ра. Давление на границе струи сохраняется
постоянным, и очевидно, что скорость на границе также
постоянна, если не учитывается вязкое взаимодействие
струи с внешней средой. При отношении давлений е«,
большем критического или близким к нему, струя имеет
форму, изображенную на рис. 8.5,а. Струя непрерывно су¬
живается. При ва=8* на границе струи скорость течения
равна критической. Внутри струи скорости меньше крити¬
ческой. С удалением от отверстия эпюры скоростей вырав¬
ниваются, и на конечном расстоянии от отверстия скорость
в струе становится равной скорости на границе. Выравни¬
вание поля скоростей происходит вследствие полжатия
струи и ускорения ядра. Следовательно, при е0=?- критн-
212
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ческая скорость обнаруживается на границе струи и в по¬
перечном сечении, как это показано на рис. 8.5,6.
При дальнейшем понижении противодавления (е0<е*)
струя становится сверхзвуковой. Переход через скорость
звука совершается иа линии звуковых скоростей ABCDLH,
которая идет от кромок отверстия и вдается в струю в ви¬
де «язычка» (рис. 8.5,в). Линия звуковых скоростей (по¬
верхность перехода) по мере уменьшения еа деформирует¬
ся и приближается к выходному сечению отверстия. Дефор¬
мация линии Мг=1 объясняется перестройкой поля скоро¬
стей в выходном сечении и в последующих сечениях, свя¬
занной с отклонением от стенки и изменением кривизны
граничных линий тока. Сверхзвуковые скорости достигают¬
ся вначале во внешней части струи (вблизи границы),
а затем в ядре, что соответствует распределению скоростей
в поперечном сечении струи.
Как известно (гл. 5), при обтекании угловой точки А
(рис. 8.5,в) звуковым потоком, вытекающим в среду с по¬
ниженным давлением 80<е», возникает волна разрежения
tti\AB, состоящая из множества характеристик. При пере¬
сечении волны граничная линия тока в точке А отклоня¬
ется на угол 5. Слабые волны разрежения, попадающие на
линию перехода в точках В, С, D под углом, меньшим
я/2, отражаются от нее с обратным знаком, т. е. в виде
волн уплотнения, так как внутри «язычка» скорости дозву¬
ковые. От свободной границы струи (точки Е, F и т. д.)
волна уплотнения отражается в виде волны разрежения,
например ED, которая вновь попадает на линию перехода
и снова отражается от нее волной уплотнения.
Передача возмущений от границы струи на линию пере¬
хода продолжается и при меньших отношениях давлений.
Следовательно, деформация «язычка» при изменении ев бу¬
дет происходить до тех пор, пока линии слабых возмуще¬
ний (волны уплотнения), исходящие от звуковой линии
АН, будут попадать на свободную границу струи на уча¬
стке AG. Однако существует такое значение внешнего дав¬
ления р,«, при котором линия перехода занимает стабиль¬
ное положение; дальнейшее снижение давления внешней
среды уже не приводит к ее деформации. Этот режим соот¬
ветствует такому положению предельной характеристики
Ат2, исходящей из точки А, при котором она касается ли¬
нии перехода в точке Я и не пересекает свободную границу
(рис. 8.5,г). Давление р** было названо Ф. И. Франклем
вторым критическим давлением (соответствую¬
щее отношение е**=р**/р0 выше определено как второе
критическое отношение давлений). В этом характерном ре-
213
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

жиме слабые волны сжатия, идущие от линии перехода, не
попадают на свободную границу струи. Давление внешней
среды уже не может влиять на линию перехода и на дозву¬
ковую часть струи. При этом расход газа, достигнув ма¬
ксимального значения, не зависит от внешнего давле¬
ния ра.
Характерными особенностями линии перехода, в том
числе н в режиме стабилизации, являются участки, лежа¬
щие внутри сопла около точки А: у краев отверстия со
стороны резервуара скорости уже сверхзвуковые. При еа=
=е** линия перехода в струе занимает ближайшее к от¬
верстию положение. При дальнейшем снижении давления
среды (еа<е**) продолжается деформация границы струи
АК (см. рис. 8.5,г).
Рассмотренная картина качественно сохраняется в ши¬
роком интервале углов ус, но наиболее отчетливо проявля¬
ется при больших ус. На рис. 8.6,а представлены для срав¬
нения форма и положение стабилизированной линии пере¬
хода для -ус=90°. Кроме того, построены распределения
скоростей за отверстием при трех режимах (рис. 8.6,6) по
опытным данным. Здесь видна характерная деформация
профиля скорости при всех еЛ, особенно значительная при
6a=!s**. С увеличением ус значения в*, снижаются.
Таким образом, при истечении из сопла или отверстия
благодаря изменению формы линии перехода при е0<е»
расход газа увеличивается до тех пор, пока ев>е*.. При
8а^8*» уменьшение противодавления не влияет на форму
линии М,=1 и, следовательно, на расход газа,
214
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Воспользуемся формулой (8.6) и представим коэффи¬
циент расхода для второго критического режима в таком
виде:
__ т	т* г
^	т**	т*г '«г *
Здесь введен действительный максимальный расход газа
т,„, соответствующий второму критическому отношению
давления е**. По аналогии обозначим ц**=т*.//п*т— ко¬
эффициент расхода, соответствующий стабилизированной
линии перехода; q\—tnlm«*— действительный приведенный
расход в выходном сечении. Следовательно,
!*-	(8.7)
Отметим, чю величина дп по-прежнему рассчитывается по
формуле (8.4). Действительный приведенный расход qt
можно определить посредством обобщения опытных дан¬
ных. Для расчета <71 можно использовать формулу *, наибо¬
лее точно отвечающую результатам опытов:
1 J_ /	*—!
,8-8>
где
Е-[еп-е*,+ (1-еаЫ/(1-е.,).	(8.9)
Отметим, что при	функция £~еа, а при ра--е.»
s—е*
Теоретический приведенный расход </iT=l при ев=е*.
Можно получить простое выражение для расчета q\. Точ¬
ная зависимость qx от ря (8.4) при е.а7^е** приближенно
выражается уравнением эллипса:
К1 - о
(8.10)
Сопоставление результатов расчета по формулам (8.8)
и (8.10) с опытными данными и расчетами но (8.3) и (8.4)
показывает, что эллиптические зависимости удовлетвори¬
тельно подтверждаются опытами только при ев<0,7. Для
0,7<&!<1 формула (8.10) менее точна, однако ее простота
послужила основанием для широкого использования
в практических расчетах.
Влияние формы сопла или отверстия на расход учиты¬
вается соответствующим выбором второго критического от-
* Предложена Б М Ароновым и Ю П Цыбизовым
215
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис, 8.7. Зависимости 8** и {!*• от длины цилиндрического участка при
разных углах конусности сопла
ношения давления, так как очевидно, что (8.10) применима
для любой формы сопла или отверстия. Опыты, поставлен¬
ные с целью определения расхода различных газов через
сопла и отверстия различной формы, подтверждают зави¬
симости (8.8) и (8.10). Вместе с тем они показывают, что
физические свойства газа существенно влияют на в,* и fi**.
Так, для воздуха в*,=0,04, а для водяного пара второе
критическое отношение давлений по опытным данным со¬
ставляет е**=&0,10. Следовательно, с уменьшением k е**,
так же как и е», увеличивается.
Обработка опытных данных МЭИ (рис. 8.7) позволяет
установить зависимости 8** и ц** от -ус для отверстий и ко¬
нических сопл с различными цилиндрическими участками.
Введение короткого цилиндрического выходного участка
заметно увеличивает значения е**. Коэффициенты расхода
(п* при этом меняются слабо. Любопытно отметить, что
увеличение у0 конического сопла до 90° приводит к сниже¬
нию коэффициента расхода на 12%, а е** уменьшается
в 5 раз.
При переходе к длинным трубам постоянного сечения
решающее влияние на значение е.* оказывает трение. За¬
висимости е** от Т для конических сопл с цилиндрическим
участком имеют четко выраженные максимумы (рис. 8.7).
Вначале увеличение Т приводит к возрастанию е*«, так как
появление цилиндрического участка малой длины етабили-
216
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис 8 8 Влияние на характеристики второго критического режима
скруглсния острой кромки (а) и степени поджатия (б)
зируст течение за отверстием. Действительно, образующая¬
ся на входе в цилиндрический участок зона отрыва Л в за¬
висимости от I имеет различные размеры, так как изменя¬
ются условия взаимодействия этой зоны с внешней средой.
Затем е*. уменьшается с ростом Т, так как в длинных тру¬
бах решающим фактором оказывается трение, вызывающее
падение давления торможения в направлении выходного
сечения. Отсюда можно заключить, что увеличение е*. и
|.и* для конических сопл и непрофилированных отверстий
можно обеспечить цилиндрическими надставками неболь¬
шой длины 10. Аналогичный эффект получен округле¬
нием линии сопряжения конического и цилиндрического
участков (рис. 8.8,о). Значения е*» и р.** зависят также от
степени поджатия отверстия, определяемой отношением
djdo (рис. 8.8,6). Такая зависимость объясняется в основ¬
ном влиянием замкнутой отрывной зоны в углах перед от¬
верстием (зона 5).
Опытные исследования кольцевых щелей показали, что
и для таких непрофилированных отверстий значения е** и.
?»7
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ц** зависят прежде всего от их формы (рис. 8.9). Вместе
с тем характеристики второго критического режима для
кольцевых щелей, для осесимметричных, плоских, прямо¬
угольных и квадратных отверстий различаются несущест¬
венно в определенном диапазоне геометрических парамет¬
ров. Этот факт используется для универсализации методи¬
ки расчета.
Следует еще раз подчеркнуть, что не все параметры
имеют равное физическое значение при определении е*. и
ц.* для различных сопл и отверстий. Так, влияние числа
Рейнольдса заметно для суживающихся сопл с цилиндри¬
ческими участками и относительно мало для отверстий
с острой кромкой.
Если характеристики второго критического режима из¬
вестны, то легко определяется действительный расход мас¬
сы газа через сопло или отверстие: /м=дт*т=ц.*<7|т*т, или
т -= fHdxKFiPJVT*-	(8.11)
8.3.	Суживающиеся сопла и отверстия при переменных
режимах
При изменении параметров гала перед соплом (отвер¬
стием) н за ним меняются расход газа и форма вытекаю¬
щей струи. Некоторые задачи переменных режимов частич¬
но рассмотрены выше (см. § 8.2). Проанализируем теперь
характеристики сопл и отверстий при одновременном изме¬
нении давления торможения ро и давления среды ра- Обо¬
значим ром — максимальное достижимое давление тормо¬
жения (давления в резервуаре); т **м — соответствующий
этому давлению максимальный критический расход; /?<>,
w** — соответственно текущие значения давления в резер¬
вуаре и критического расхода.
С помощью формулы (8.11) можно выразить отношение
критических расходов, соответствующих второму критиче¬
скому отношению давлений:
Ч\W.JK7V7V	(8.12)
где Том — максимально достижимая температура торможе¬
ния; ц**м — коэффициент расхода при рцм и Том-
Предполагая, что при изменении давления ро темпера¬
тура торможения То сохраняется постоянной, получаем
(ц**мРом) ==бо*	(8.13)
Во многих случаях можно принять ц,*/ц**м=1. При
7o=const и p0=const изменение расхода в зависимости от
218
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

V °J 2	1
Рис. 8 Ю. Сетка относительных расходов газа через сопла (отверстия)
давления за соплом ра выражается уже известным нам
уравнением (8.8), в котором приведенный расход
**М во) —Cjolzfr
Следовательно,
Я» = ((Н- 1),2)‘/<^"1,.Д1/У(Л+1)ЧЛ- 1)(1	),
(8.14)
или, если воспользоваться приближенной формулой (8.10),
Яо —'	'~®у*)1^1 ' <-*ух(1	®а)	6 а•	(8.15)
Отсюда следует, что при изменении начального давле¬
ния все точки кривой приведенного расхода для сопла или
отверстия данной формы сдвигаются пропорционально ео.
Очевидно, что можно представить зависимость отношения
расхода т к максимальному критическому расходу т*„м от
еа и ео. Эта зависимость изображается в трехосной системе
координат (но трем осям откладываются е0, е0 и q0) неко¬
торой поверхностью. Такая поверхность может быть по¬
строена для любого сопла или отверстия с использованием
опытных данных ц** и е*„, входящих в уравнения (8.14) н
(8.15) и характеризующих влияние формы канала, физи¬
ческих свойств газа и в некоторых случаях числа Рейнольд¬
са. Уравнение (8.14) или (8.15) можно представить и в
двухосной системе координат, построив кривые </о(еа) для
различных, но постоянных значений ео. Тогда мы получаем
сетку относительных расходов газа (рис. 8.10), которая
представляет собой проекцию поверхности расходов на
219
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

плоскость (^о, ба) • Сетка расходов удобна для графическо¬
го расчета сопла или отверстия при изменениях режима.
Для оценки качества сопла кроме коэффициента расхо¬
да вводится коэффициент скорости — отношение скоростей
в действительном и теоретическом процессах:
<jpc=Ci/CiT.	(8.16)
В формулу (8.16) входит действительная скорость си
усредненная по уравнению импульсов. Кроме <рс эффек¬
тивность сопла оценивается коэффициентом тяги
фя—R/Rit
где R, /?т — действительная и теоретическая реактивные
силы (тяги). Для расчетного режима работы сопла
<pR=mcifmTcli=nCi/c\i=\up<>=n**qi<pc/qif (8.17)
При достижении второго критического режима
фя=ц**ф**-	(8.18)
Здесь ф** — коэффициент скорости, соответствующий
режиму еа=е»*.
При сверхкритических перепадах давления в плавно су¬
живающихся соплах переход от критической скорости вбли¬
зи выходного сечения к сверхзвуковой происходит в свобод¬
ной струе за соплом. В этом случае кромка выходного се¬
чения АА\ (рис. 8.11,о) является источником возмущения
звукового потока. За выходным сечением струя встречает
давление	среды	ра<р*	и, следовательно,	в	точках	А и Лi
давление	меняется	от	р* до ра. В	результате	от	кромки
сопла распространяется волна разрежения АА\ВХ и А\АВ.
Первая граница ААХ представляет собой характеристику,
угол которой «1=90°; последние по потоку характеристики
ABi и AiB должны проходить в свободной струе под углом
<i2=arcsin 1/М2 (М2 —число Маха, соответствующее еа=
=Ро/Ро). Все промежуточные характеристики, а также АВ\
и А\В, являются криволинейными, так как волны разреже¬
ния из точек А и Ах в пределах струи пересекаются. Ха¬
рактеристики, попадая на свободную границу АВ и А\В\,
вдоль которой давление постоянно, отражаются от нее с об¬
ратным знаком, и волна разрежения переходит в волну
сжатия. В результате пересечения волн разрежения в струе
образуется конус (клин) разрежения ADAX (рис. 8.11,а),
основание которого расположено в выходном сечении соп¬
ла, и конус сжатия DBBX. В пределах конуса разрежения
давление становится ниже давления среды ра. В пределах
220
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис 8.11. Схемы спектров струи за суживающимся соплом при различ¬
ных сверчкритическнх перепадах давления
конуса DBBi давление повышается до значения р, в сече*
нии ВВи и далее спектр струи повторяется. При пересече¬
нии конуса разрежения линии тока деформируются, откло¬
няясь от оси сопла, и струя «разбухает». В пределах отра¬
женных волн сжатия поток уплотняется и его сечения
уменьшаются. Границы струи приобретают волнистую,
«бочкообразную» форму.
По мере повышения давления в резервуаре или сниже¬
ния давления за соплом спектр течения постепенно пере¬
страивается. Углы воли АВХ и А\В уменьшаются, высота
конусов ADA\ и DBB{ возрастает и углы при вершине
уменьшаются. Расстояния между сечениями ААХ и ВВ\
увеличиваются (рис. 8.11,6). При достижении некоторого
отношения давлений картина течения за соплом резко ме¬
няется. Так как отраженные волны уплотнения сходятся
к оси струи, то они пересекаются и образуют криволиней¬
ный скачок, имеющий форму поверхности вращения. При
умеренных степенях недорасширения струи, оп¬
ределяемых отношением давлений х=р*/р0, скачок EDD{EX
(рис. 8.11,в) зарождается на некотором расстоянии от сре¬
за сопла и поэтому его называют «висячим» скачком. Ин¬
тенсивность висячих скачков возрастает по мере удаления
от среза сопла, и на оси образуется прямой скачок £ШЬ
В периферийной части струи возникают криволинейные
скачки DB и £>i£i. Таким образом, по мере снижения р0
в струе за соплом формируется мостообразный ска¬
чок EDBBiDiEu или дискМаха, природа которого свя¬
зана с перерасширением сверхзвуковой струи за соплом.
По мере дальнейшего увеличения перепада давления
система скачков постепенно перестраивается (рис. 8.11,г).
221
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Увеличивается протяженность прямого скачка, изменяется
форма висячего скачка, ограничивающего перерасширенное
сверхзвуковое ядро. Экспериментальные исследования под¬
тверждают качественную картину течения на начальном
участке недорасшнреннон струи при fa<e*.
8.4.	Лабиринтные уплотнения
Результаты исследования истечения через ненрофилиро-
ванные отверстия положены в основу теории и методики
расчета лабиринтных уплотнений, применяемых для умень¬
шения утечки газа через зазоры между подвижными и не¬
подвижными элементами турбомашин.
Лабиринтные уплотнения состоят из нескольких постав¬
ленных друг за другом гребней. Гребни образуют узкие
отверстия с острыми кромками (щели); при истечении из
щелей газ расширяется с соответствующим увеличением
скорости. Между гребнями расположены промежуточные
камеры, в которых частично или полностью гасится кине¬
тическая энергия, необратимо превращающаяся в теплоту.
Некоторые схемы лабиринтных уплотнении приведены
на рис. 8.12. Нели в промежуточных камерах кинетическая
энергия гасшся практически полностью, то такое уплотне¬
ние называют ступенчатым (рис. 8.12,а). Уплотнение,
в котором кинетическая энергия потока из предыдущей
щели частично используется в последующей, называют
прямоточным (рис. 8.12,6).
Действительный процесс в лабиринтном уплотнении
сложен. При истечении через каждую щель, которая пред¬
ставляет собой кольцевое непрофилированное отверстие,
реализуется неравномерное распределение скоростей
-ГНЦ,
7Г*)
*2-jsvl А°\ I
8)
Э)
№
r~lLr“L_
Рис. Ь.12. Схемы различных лабиринтных уплотнений:
а, г, е — ступенчатые, б, в, д - - ппямоточные уплотнения
222
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

{§ 8.2); в зависимости от схемы лабиринта и его геометри¬
ческих параметров при обтекании высокоскоростной струей
гладкой или ступенчатой стенки возникают отрывы погра¬
ничного слоя и вихреобразования. В промежуточных каме¬
рах сложный процесс частичного преобразования кинетиче¬
ской энергии в теплоту также сопровождается возникнове¬
нием нескольких вихрей, взаимодействующих друг с дру¬
гом и со струей, вытекающей из щели. Интенсивность вих¬
ревого движения в отрывных зонах и в промежуточных
камерах определяет степень диссипации кинетической энер¬
гии и в конечном счете расходные характеристики лаби¬
ринтного уплотнения. Существенную роль в этом процессе
играет вязкость газа.
Следует учитывать, что уплотнение устанавливается на
вращающихся валах турбомашин и вращение внутренней
поверхности лабиринта оказывает заметное влияние на
структуру потока и расход газа. Так, давление по длине и
по окружности промежуточных камер распределяется не¬
равномерно; отмечается также пульсация давления во вре¬
мени. Вместе с тем процесс в промежуточных камерах уп¬
лотнения в первом приближении можно считать изобариче¬
ским.
Процесс расширения в лабиринтном уплотнении в диа¬
грамме h, S с полным и неполным гашением кинетической
энергии в промежуточных камерах представлен на рис.
8.13. Начальное состояние газа перед уплотнением харак¬
теризуется точкой 0 (/?оь h01). Расширение газа в щелях
происходит с ростом энтропии, и на выходе из первой щели
устанавливается давление р\ (точка /). В промежуточной
камере за первым гребнем поток тормозится изобарически.
При полном гашении кинетической энергии состояние газа
перед вторым гребнем определяется точкой 2, а при ча¬
стичном — точкой 2'. В последующих щелях и в камерах
процесс повторяется, причем для ступенчатого уплотнения
давление торможения вдоль лабиринта падает, а энтальпия
торможения в камерах сохраняется примерно постоянной.
Для прямоточного лабиринта условие A0i=const не выпол¬
няется, так как часть кинетической энергии используется
в последующих щелях (точки 2', 3' и т. д. образуют штрих-
пунктирную линию, вдоль которой энтальпия торможения
падает). Так как расход для всех щелей и площади сече¬
ний щелей одинаков, то скорость истечения в каждой по¬
следующей щели увеличивается. Следовательно, макси¬
мальная скорость достигается в последней щели лабиринта.
Для расчета лабиринтного уплотнения воспользуемся
эллиптической зависимостью (8.15). Обозначим д\ — при-
223
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 8.13. Процессы ступенчатого и прямоточною лабиринтных уплот¬
нений в тепловой диаграмме
веденный расход через первую щель; /э01 — как и выше,
давление торможения перед уплотнением; рт — давление
торможения за щелью (л—1); гп=рп1рт и 8on=/WPoi>
Тогда согласно (8.15) получим
<819>
Видим,что
8on=PonlPqi=zPo2/Рш(р(я!р02) . •• pon-i/pon—8182 ... 8п>
(8.20)
и, следовательно, относительное давление за уплотнением
8ог==С182 ... 8п ••• 8?,	(8.21)
где tz—Pa/Poz — отношение давлений на последнем гребне.
При заданных расходе через уплотнение и начальных
параметрах Pm, ftoi последовательным расчетом можно
установить распределение давления по лабиринту. Для
первой щели согласно (8.19)
== ®зе-* i (1	®i'*)V^l	Я	i>
для второй щели
8г г= *х* Ч" 0	***)	07i/8i)*>
для л-й щели
•, = •„+(1 —»)К1 -(<?,/«, (,-,)■•	(8-22)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Так как eon<so(»-!), то en<£n-t. Для каждой последующей
щели отношение давлений будет меньше, чем для преды¬
дущей. Отсюда следует, что второе критическое отношение
давлений достигается в последней щели, если еог<ео**, где
во** — второе критическое отношение давлений для всего
уплотнения.
Формула (8.21) совместно с уравнением неразрывности
позволяет получить приближенную зависимость между е2
и еог в таком виде:
1 - (1 - <8-23)
С помощью (8.23) нетрудно найти распределение дав¬
лений вдоль уплотнения, последовательно применяя эту
формулу к каждой щели, начиная с последней. Воспользу¬
емся формулой (8.19) для расчета расхода через уплотне¬
ние. Представим се в таком виде-
(l-е**) (е2о—е2)—е**(ео—е)2= (1—e.*)2<?2i. (8.24)
Записав такие уравнения для z щелей, просуммируем их
левые и правые части:
(1	•*)—•**	s	<*•—•>* == (»—<8-25)
i	I
Так как конечное относительное давление е=8оп8п для
щели п равно начальному ео для щели я+1» а для первой
г
щели 8о=1, находим 2 (8*« — «*)=• 1 — *%•
I
Тогда
(1 —*«*)(! — ***) - 8**3~ 8)* = С1 - О* я*2-
I
В тех случаях, когда число щелей велико и понижение
давления в каждой щели Ле=ео—е мало, можно упростить
последнее уравнение:
-«**)•	(8.26)
Если число щелей и перепад давления в уплотнении ма¬
лы, можно приближенно принять
2(*о -«)• —(1 -•,)*/г.
\
15—3331	225
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Тогда относительный расход газа рассчитывается по
формуле Г. С. Самойловича
Полный массовый расход через уплотнение определяет¬
ся по формуле (8.3а):
где цу — коэффициент расхода для уплотнения; Fy=jtd6—
площадь кольцевой щели; d — диаметр щели; 6 — зазор
уплотнения (см. рис. 8.12).
Зависимость q(sz) по формуле (8.27) близка к эллип¬
тической. Максимальному значению соответствует кри¬
тический расход через уплотнение, равный критическому
расходу через последнюю щель при е*=е**. Значение
(e**)z — второе критическое отношение давлений для всего
уплотнения — определяется обычным способом: производ¬
ная dq/dz приравнивается нулю. Тогда по формуле, выве¬
денной Г. С. Самойловичем,
Полученные формулы справедливы для уплотнений
с полным гашением кинетической энергии в промежуточных
камерах (рис. 8.12,а). Через прямоточное уплотнение рас¬
ход газа, естественно, возрастает, причем степень его уве¬
личения зависит от конструкции уплотнения, определяющей
полноту использования кинетической энергии в каждой
щели, от числа и относительного размера щелей и гео¬
метрических параметров промежуточных камер.
Некоторые, наиболее часто применяемые схемы уплот¬
нений показаны на рис. 8.12,а—г. Так, наклон гребней про¬
тив потока на угол 50—60° заметно снижает расход через
прямоточное уплотнение. Применение двусторонних греб¬
ней, смещенных по потоку на расстояние A*i=0,3f (t —
шаг гребней) и установленных с радиальным зазором б
(рис. 8.12,г), позволяет существенно снизить утечку по
сравнению со ступенчатым уплотнением обычной схемы
(рис. 8.12,а). Уплотнение такого же типа предложено
в МЭИ. Наклон гребней против потока в таком двусторон¬
нем уплотнении снижает утечку по сравнению с вариантом
на рис. 8.12,г. Менее интенсивное уменьшение утечек от¬
мечено при исследовании ступенчатого и прямоточного
уплотнений с увеличенным числом гребней, устанавливае¬
мых с разным шагом.
(8.27)
т= VvKjtPjVT,,
(8.28)
8**г—8** / [2 (1 8**) "!“£**].
(8.29)
22§
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Т^ис. 814. Зависимость коэф¬
фициента расхода для второго г**2
критического режима лаби¬
ринтных уплотнений от числа
гребней
Влияние типа конструкции уплотнения, основных его
геометрических параметров и числа гребней на расход газа
можно учесть коэффициентом расхода р,у в формуле (8.28).
Эту величину для любого уплотнения можно найти по фор¬
муле
[iy=fI**z/(e^Ce>	(8.30)
где \х**z — коэффициент расхода для идеального ступенча¬
того уплотнения, соответствующий второму критическому
режиму e**z; Ко— коэффициент, учитывающий затухание
скорости по длине промежуточной камеры; Кг— коэффи¬
циент, учитывающий влияние перепада давления в уплот¬
нении.
Все основные конструкционные особенности уплотнения
учитываются коэффициентом расхода jji***, который должен
быть известен по опытным данным. На рис. 8.14 приведены
зависимости коэффициентов р.*** и значений е**2 для уплот¬
нения, показанного на рис. 8.12,а, от числа гребней в уплот¬
нении. Поправочные коэффициенты Кс и Кг также опреде¬
ляются по опытным данным для каждого типа уплотнения.
Для упрощенных расчетов расходов через последовательно распо¬
ложенные отверстия можно использовать сетку расходов, аналогичную
приведенной на рис. 8 10. С помощью сетки расходов решаются сле¬
дующие задачи.
1) Если задан приведенный расход газа и число сопл (отверстий)
в лабиринте, то можно определить 80*, а также 80п и еп, т. е. найти
распределение давлений по лабиринту.
2) Можно найти число отверстий, если известны расход q и отно¬
сительное давление за последним отверстием 80г.
3) Для известного значения q можно определить критическое отно¬
шение давлений для всего лабиринта во** и число отверстий г.
Рассмотрим соответствующие примеры.
Пример 1. Задано число отверстий г=4 и приведенный расход
£О=0,5. Необходимо определить перепад давления в уплотнении во*. На
пересечении линии <70=0,5 с кривой qo(ea) для первой щели найдем
точку Ьи которая определяет 8j. Кривая Ь\Ь2 дает ту же зависимость
для второй щели Следовательно, в точке Ь2 получим 8o9=8i«2. Повто¬
ряя это построение до точки определим относительное давление
602—81828384»
15*	227
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Пример 2. Заданы расход $о«0,5 и отношение давлений во**=0»6§.
Исходной точкой в сетке расходов будет точка 65 на пересечении линии
<70=0,5 и дуги 802^0,69. Перемещаясь по этой линии до оси еа и затем
по вертикали до линии ?о=0,5, последовательно находим точки ЬА,
Ь'ь Ьг и т. д до точки Ь'и Число вертикальных линий bjbr4> bzb'z
и т. д равно числу отверстий в лабиринте z
Пример 3. Найдем число отверстий г, обеспечивающее критический
режим в лабиринте ео2— ео** Определив на линии ОБ точку соот¬
ветствующую критической скорости в последней щели, найдем линию
?о(в), проходящую через эту точку, и далее последовательно опреде¬
лим распределение давлений и число щелей z, как и в предыдущем
примере
Для решения перечисленных задач сетка расходов на рис. 810
перестраивается: вместо е* вводятся величины 8**, зависящие от фор¬
мы отверстий (щелей)
8.5.	Сверхзвуковые сопла
Сверхзвуковые сопла (сопла Лаваля) применяются для
создания потоков газа сверхзвуковых скоростей. Анализ
одномерного течения показывает (см. гл. 3), что значения
М>1 в частном случае изолированного потока могут быть
получены изменением формы канала (геометрическим воз¬
действием). В соответствии с этим сопло Лаваля состоит
из двух частей: суживающейся, в которой Mf-<1, и расши¬
ряющейся, в которой М,->1. Переходное значение скорости
(М,-=1) достигается в минимальном сечении (рис. 8.15).
Скорость газа вдоль сопла Лаваля увеличивается непре¬
рывно, если на входе и выходе поддерживаются расчетные
параметры.
Предварительный расчет сверхзвуковых сопл проводит¬
ся по уравнению неразрывности, причем должны быть за¬
даны параметры газа перед соплом ро, То, расход массы
т» и скорость газа в выходном сечении ii или Mi. Размеры
критического сечения без учета пограничного слоя опреде¬
ляются по формуле (8.5):
Г*т-^т*Ут;!Кр.,	(8.31)}
где, как и ранее, К — постоянная величина.
Площадь выходного сечения рассчитывается по приве¬
денному расходу:
F\?=F *т/#!т*	(8.32)
Величина qn определяется из таблиц по заданной ско¬
рости в выходном сечении Х\? (или MjT). Если выбрано
распределение скоростей (или давлений) по оси сопла, та
228
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

А = М-
w af
Рис. 8 15 Профилирование сверхзвуковою сопла волны разрежения
в сверхзвуковой части сопла Лаваля (а) и построение процесса в диа-
1рамме характеристик (б)у сверхзвуковое сопло с угловой точкой в
критическом сечении (в)
с помощью формулы FfT=F*T/9iT определяется профиль
(форма) сопла. Здесь Fiт — промежуточное сечение; фт —
соответствующий этому сечению приведенный расход в изо-
энтропийном процессе. Однако такой расчет промежуточ¬
ных сечений, а тем самым и профиля сопла является при¬
ближенным и может не обеспечить заданного распределе¬
ния скоростей, так как поток предполагается одномерным
и изоэнтропийным.
Суживающуюся часть сопла профилируют по лемниска¬
те, а расширяющуюся часть рассчитывают методом харак¬
теристик. Рассматривая плоское сопло и пренебрегая вли¬
янием трения, предположим, что в узком сечении сопла АА'
поток имеет равномерное поле скоростей М=1 (рис. 8.15,а).
Для ускорения потока необходимо увеличивать сечения со¬
пла. С этой целью повернем участки стенки AAt и соот¬
ветственно A'A'i на малый угол от оси сопла 6о. Тогда
в точках А и А' возникнут слабые волны разрежения. При
пересечении этих волн поток ускоряется и приобретает ско¬
рость Я],2, которую можно определить с помощью диаграм¬
мы характеристик (рис. 8.15,6) или с помощью таблиц.
Состояние потока в критическом сечении в диаграмме
характеристик изобразится точкой (Ль A'i) на окружности
Х=1. Скорость потока в области 1 (рис. 8.15,а) определя¬
ется в точке 1' на эпициклоиде A'il' (рис. 8.15,6), если
провести луч из начала координат под углом <$о к направ-
229
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

лению оси сопла. Симметрично расположена точка 2', ко¬
торая соответствует области 2 потока (на рис. 8.15,а). Че¬
рез точки 1' и 2' проходит окружность, соответствующая
скорости >,1,2. Непрерывное расширение газа в стационар¬
ных волнах разрежения, возникающих в точках А и А',
можно заменить ступенчатым расширением, проводя из та¬
ких точек характеристики АЕ и А'Е под углом ai+0,56o
к направлению оси сопла (ui — угол характеристики, соот¬
ветствующей скорости потока в области /). В диаграмме
характеристик найдем точку Е', соответствующую откло¬
нению потока на угол 0,56о, и определим величину скорости
Хае (Ха’Е’), отвечающей направлению характеристики АЕ'.
При переходе из областей / и 2 в область 3 линии тока
пересекают волны ЕЕ{ и ЕЕ2 (поток ускоряется) и повора¬
чиваются на угол 6о к оси сопла. Следовательно, в области
3 направление скорости потока параллельно оси. В диа¬
грамме характеристики легко определяется точка 3', соот¬
ветствующая этой области течения. В точках Ai и А\
(рис. 8.15,а) стенки сопла вновь поворачиваются на угол
бо- При переходе в области 4 и 5 поток ускоряется и при¬
обретает скорость А.4,я=Яз. Аналогично можно найти зна¬
чение и направление скорости в областях 6—8 и т. д.,
а также направления характеристик, которые являются
границами этих областей.
В результате последовательного поворота стенок сопла
образуются две распределенные стационарные волны раз¬
режения, при переходе через которые поток расширяется и
достигает заданной скорости. Расчетная скорость >,i(Mi)
будет достигнута в пределах зоны пересечения волн разре¬
жения на участке HL. За последней характеристикой LQ,
угол наклона которой равенai,Q=arcsin (1/Mi), поток дол¬
жен иметь равномерное поле скоростей, в каждой точке
которого скорость равна Мь Все линии тока правее LQ
должны быть параллельными оси сопла. Отсюда, следует,
что каждую звуковую волну, отраженную от противопо¬
ложной стенки и выходящую за пределы AnL, необходимо
погасить соответствующим поворотом стенки на угол, рав¬
ный углу отклонения потока в такой волне. Начиная от
точки А стенку сопла поворачивают так, чтобы падающие
на нее волны NS, PF и т. д. не отражались. Таким обра¬
зом, на первом участке стенки сопла поворачивают в на¬
правлении от оси сопла, а на втором участке, где волны,
отражаемые от противоположной стенки, гасятся, наклон
стенки постепенно уменьшается и в точке Q >6о=0. В пре¬
деле при уменьшении 50 ломаная стенка AAnQ переходит
в плавно искривленную стенку.
230
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Вблизи узкого сечения точность расчета первого участ¬
ка сопла методом характеристик недостаточна. Профиль
стенки поэтому подбирают, начиная с некоторого началь¬
ного сечения, где течение уже сверхзвуковое. В некоторых
случаях начальный участок сопла выполняют коническим.
Угол конусности 'уо выбирается в зависимости от заданного
значения X]. Длина второго вогнутого участка профиля,
а следовательно, и всего сопла существенно зависит от спо¬
соба профилирования начального участка ААп. Минималь¬
ную длину при заданном значении Mi имеет сопло, началь¬
ный участок которого ААп стянут в точку (рис. 8.15,в).
В его минимальном сечении, т. е. в угловых точках АА',
возникают центрированные волны разрежения, что сокра¬
щает длину разгонного участка HL. Сопла с угловыми точ¬
ками строят для больших скоростей.
Описанные выше методы расчета и профилирования
сверхзвуковых сопл не учитывают влияния вязкости.
Для получения заданного распределения скорости и
расчетного значения Xi необходимо увеличивать площадь
поперечных сечений сопла, полученную при условии изоэн-
тропийного течения. Для точного решения такой задачи
необходимо рассчитать пограничный слой на стенках сопла
(гл. 6). Приближенное решение можно найти, если извест¬
но распределение коэффициентов сопротивления вдоль со¬
пла. Тогда приращение энтропии, обусловленное влиянием
сил трения, рассчитывается по уравнению
где S=S/R— приведенная энтропия; dx=dx/D\ D—DjD
D* — диаметр горлового сечения.
Учитывая, что изменение энтропии выражается через
отношение давлений торможения, можно получить такое
уравнение:
где 6о=Рсп/Ро — отношение давлений торможения соответ¬
ственно в данном сечении и на входе в сопло.
Если известен вид функции £(х), то с помощью (8.34)
нетрудно найти изменение ео г по длине сопла. Значения
1(х) можно принять по графикам гл. 9. В соответствии
с уравнением неразрывности связь между сечениями в дей-
dS = dSIR'-dLw!(RT)	(8.33)
х
(8.34)
О
231
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ствительном (F) и изоэнтропийном (FT) потоках предста¬
вим так:
/=/т<7те<и/<7,	(8.35)
где f=F/F„; fT=FT/Ft; qT, q — приведенные расходы для
теоретического и действительного процессов.
Теоретически и экспериментально показана возмож¬
ность линейной аппроксимации закона изменения энтропии
по длине сопла. При этом, положив в критическом сечении
я=0, с помощью (8.33) можно получить (/т^т=1) In ео=
=|ж, или
f = q-' е**, ? =dS(dx.	(8.36)
Опыты показывают, что для сопл с полированной внут¬
ренней поверхностью можно принять |=0,010-!-0,02. Фор¬
мулы (8.35) и (8.36) используются для решения прямой и
обратной задач. В первом случае заданными являются f(x)
и рассчитывается приведенный расход q(x) (а следова¬
тельно, Я, р, р, Т) по длине сопла. При решении обратной
задачи по известному распределению q(x) или К(х) нахо¬
дят f(x). Влияние трения на профиль сопла иллюстрирует¬
ся штриховыми и штрихпунктирными линиями на рис.
8.15, в.
Для критического сечения с учетом трения получим
f*=m*VTJKv.*p„	(8.37)
где |л* — коэффициент расхода для критического сечения
(§ 8.2). Вместе с тем критическое сечение может быть най¬
дено по формуле
F^m^TJ(Kq^p.).	(8.38)
Сопоставляя (8.37) и (8.38), получаем
ц»—Я* бо»>	(8.39)
где q*—действительный приведенный расход в минималь¬
ном сечении; ео* — коэффициент восстановления давления
торможения в суживающейся части сопла Лаваля.
Соответственно для выходного сечения находим
Fi = m,VTJ(Kp.tP,q1 т).	(8.40)
Относительная площадь выходного сечения
}i=Fi/F»=iii,JiiiqiT=Bo*qi.ltoqi.	(8-41)
232
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

8.6.	Сверхзвуковые сопла при нерасчетных условиях
В эксплуатации параметры газа, а также расход его
через сопло могут изменяться. Существенно при этом, что
меняется отношение давлений еа. Рассмотрим работу сопла
при переменных режимах в первом приближении, прене¬
брегая влиянием трения. На рис. 8.16 показано распреде¬
ление давлений в сопле Лаваля при различных давлениях
внешней среды ра. Кривая А ОВ, построенная по уравнению
(8.32), соответствует расчетному режиму (ee=ei).
Предположим, что при po=const давление внешней сре¬
ды меняется в широких пределах, и проследим за измене¬
нием структуры потока внутри сопла и за соплом. При этом
можно выделить четыре характерные группы режимов;
в пределах каждой группы картина течения качественно
сохраняется неизменной.
Первая группа режимов (зона /) характеризуется по¬
ниженными давлениями среды ea<ei. В выходном сечении
сопла устанавливается расчетное давление р\, так как ро,
Т0 и расход газа через сопло не меняются. Параметры те¬
чения изменяются только за соплом в свободной сверхзву¬
ковой струе. В угловых точках А и А\ на рис. 8.17,о давле¬
ние меняется от pi до ра. Линии тока в точках А и А\ от¬
клоняются на угол б в связи с возникновением в этих точ¬
ках волн разрежения АС, А\С и АВ, А\В\. Вдоль прямо¬
линейных характеристик давление не меняется. Следова¬
тельно, в областях 2 устанавливаются постоянные скорость
и давление ра. Волны разрежения AD\E\A и A\DEA\ вы-
Рис. 8.16. Распреде¬
ление относительных
давлений в сверхзву¬
ковом сопле при раз¬
личных режимах и
зависимость относи¬
тельного расхода от
1,0 ж
т»т
233
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 8.17. Схемы спектров струи за плоским соплом Лаваля при раз¬
личных противодавлениях
ходят на свободную границу струи, вдоль которой давле¬
ние остается неизменным. В зоне СВС\В\ пересечения этих
волн происходит искривление характеристик. От свобод¬
ной границы волна разрежения отражается волной сжатия,
при прохождении через которую линии тока деформируют¬
ся, отклоняясь на угол б к оси струи. В точках L и L\ вол¬
ны сжатия выходят на свободную границу.
За пересекающимися волнами разрежения (в области
3) устанавливается давление, меньшее ра. В области 4
после пересечения волн сжатия давление повышается до
давления р\. К сечению LLX струя суживается и ширина ее
становится равной ширине выходного сечения АА\. В обла¬
стях 1, 3 и 4 линии тока прямолинейны и параллельны оси
сопла. В областях 2 линии тока также прямолинейны и
параллельны, но расположены под углом б к оси сопла.
При повышении давления ра интенсивность волн разреже¬
ния AD\E\A и A\DEAi уменьшается. В пределе при рас-
234
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

четном режиме (pa=pt) характеристики АЕХ и А\Е слива¬
ются с волнами AD\ и AXD. Струя приобретает границы,
параллельные оси (рис. 8.17,6).
Вторая группа режимов (рис. 8.16, зона II) характери¬
зует истечение из сопла при повышенном отношении дав¬
лений 8в>8ь В этом случае в сечении АА\ (рис. 8.17,в)
также устанавливается расчетное давление р\. Так как
давление среды ра выше давления ри то в точках АА\ об¬
разуются два косых скачка АС и Л\С, пересекающихся
в точке С. Косые скачки выходят на свободную границу
струи (после пересечения в точке С углы косых скачков
увеличиваются). При прохождении через скачки АС и А,С
линия тока отклоняется на угол б к оси. За скачками СВ
и СВ\ скорости параллельны оси потока. В этой области
устанавливается давление, превышающее ра■ Следователь¬
но, из точек В и В\ распространяются волны разрежения,
в которых давление падает до ра и струя расширяется. За
волнами разрежения давление равно р\.
При более высоком давлении внешней среды (рис. 8.16,
зона III) спектр стпуи на выходе из сопла перестраивается
(рис. 8.17,г и 5). В этом случае при пересечении скачков
СВ и СВ\ поток должен повернуться на угол б>бм. На вы¬
ходе из сопла образуется мостообразный скачок. От угло¬
вых точек А и А\ (рис. 8.17,г) распространяются косые
скачки АС и AXD, переходящие в прямой (или криволиней¬
ный) скачок, за которым скорости будут дозвуковыми. За
косыми скачками СВ и DB, скорости остаются сверхзвуко¬
выми, а давление оказывается более высоким, чем давле¬
ние внешней среды ра.
Косые скачки СВ и DBX отражаются от свободной гра¬
ницы в форме волн разрежения, которые ускоряют ядро
струи. В результате скорость внутреннего потока становит¬
ся сверхзвуковой. Рассматриваемое явление подробно рас¬
смотрено в гл. 5.
При дальнейшем повышении давления среды внутрен¬
няя дозвуковая область течения расширяется, а внешняя
сверхзвуковая — суживается. Существует такое давление
среды, при котором криволинейный скачок распространяет¬
ся практически на все сечение; в этом случае за скачком
АА\ скорости становятся дозвуковыми (рис. 8.17,«5). После¬
дующее повышение р„ вызывает перемещение системы скач¬
ков внутрь сопла, как показано на рис. 8.17,5. Вследствие
неравномерного распределения скоростей и влияния погра¬
ничного слоя скачок несколько искривляется.
Данной скорости Х| соответствует определенное повы¬
шение давления в прямом скачке. Если давление среды пре¬
235
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

высит давление, развиваемое скачком, то, очевидно, усло¬
вия равновесия на прямом скачке нарушатся и он переме¬
стится в такое место в потоке, которое соответствует рав¬
новесному положению скачка при новых параметрах сре¬
ды. Следует иметь в виду, что перемещение скачка внутрь
сопла сопровождается новыми качественными изменениями
потока (третья группа режимов). Давление за скачком
в этом случае оказывается меньше ра■ Поэтому при без¬
отрывном течении за скачком давление дозвукового потока
продолжает возрастать. Распределение давлений в потоке
при промежуточных положениях прямого скачка показано
на рис. 8.16 линиями K\L\E\, K2L2E2 и т. д. С ростом ра ска¬
чок продолжает перемещаться внутрь сопла к минималь¬
ному сечению. В соответствии с последовательным смеще¬
нием скачка в область меньших скоростей абсолютное дав¬
ление перед скачком растет, а отношение давлений на его
границах уменьшается.
В действительности в сопле создается не прямой скачок,
а сложная система косых или криволинейных скачков.
Большое значение при этом имеет форма расширяющейся
части сопла. При небольших углах расширяющейся части
конического сопла возникают слабо криволинейные скачки,
близкие по форме к прямым. Около стенок сопла происхо¬
дит разветвление криволинейного скачка. При больших
углах ус форма скачков в расширяющейся части заметно
меняется. Форма и положение скачка в расширяющейся
части зависят также и от параметра fj. Опыты показывают,
что практически всегда скачки вызывают отрыв погранич¬
ного слоя в сопле.
При некотором давлении среды р\т скачок входит в ми¬
нимальное сечение сопла и здесь исчезает (рис. 8.16, зона
IV). В этом сечении параметры потока критические, но
перехода в сверхзвуковую область не происходит. Линия
ОЕ является границей между дозвуковыми и сверхзвуко¬
выми режимами сопла. При ра>рш скорости во всех точ¬
ках сопла дозвуковые и сопло переходит в четвертую груп¬
пу режимов. Для этой группы характерны последователь¬
ное расширение потока в суживающейся части и сжатие
в расширяющейся части сопла. Минимум давления дости¬
гается вблизи минимального сечения. Известно, что таков
характер распределения давлений в трубах Вентури, при¬
меняемых для измерения расхода газа.
До тех пор, пока ра<р\т при p0=const и T0=const,
расход газа через сопло при различных противодавлениях
сохраняется неизменным. Изменение расхода начинается
только при ра>рт, т. е. в пределах четвертой группы ре-
236
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

жимов. На рис. 8.16 справа показано изменение расхода
газа через сопло в зависимости от ра. Величина рт, назы¬
ваемая предельным противодавлением, может
быть определена, если известны геометрические характери¬
стики сопла, потери в сопле и параметры потока перед со¬
плом. С помощью уравнения неразрывности (8.3а), запи¬
санного для минимального F* и выходного Fx сечений соп¬
ла, находим
F^pjVT\J,-= qJFtp 01 т
iVTtv
где <?* и (Jim — приведенные расходы в сечениях F* и /ч;
Ро»> Роь То*, Toi — соответственно давления и температуры
торможения в этих сечениях. Принимая 7'o*=Toi и деля
левую и правую части на давление торможения перед соп¬
лом ро, получаем
(f\m==(F*/Fi) (eo*/eom) =го*1 (eomfn)•	(3-42)
Здесь 8о*=Ро*/Ро, eom=Pom/Po и fIT=F|/F*. Оценив измене¬
ние давления торможения в суживающейся (ео*) и рас¬
ширяющейся (е0пг) частях сопла, по формуле (8.42) нахо¬
дим qim и по таблицам газодинамических функций опреде¬
ляем eim—pim/po- Из формулы (8.42) следует, что с воз¬
растанием потерь в сопле предельное отношение давлений
eirn уменьшается. Если г\т и ео™ известны, то можно по¬
строить расходные характеристики сопл Лаваля и сопоста¬
вить их с характеристиками суживающихся- сопл и непро¬
филированных отверстий (рис. 8.18).
Результаты опытного исследования сверхзвуковых сопл
подтверждают отмеченные особенности потока при нерас-
237
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 8.19. Распределение давлений вдоль сверхзвукового сопла при
различных режимах и *=14 [ft = 16,57 (опыты МЭИ)!'
Рсс. 8.20. Зависимость коэффициента потерь кинетической энергии
в сверхзвуковых соплах от е„ при различных значениях геометрическо¬
го параметра f|=/г1//г.
четных режимах. Так, на рис. 8.19 приведено распределе¬
ние давлений вдоль оси сопла при различных режимах.
Повышение давления в месте расположения скачка проис¬
ходит хотя и интенсивно, но не скачкообразно, что объяс¬
няется влиянием пограничного слоя, через дозвуковую
часть которого возмущения распространяются против по¬
тока.
Потери кинетической энергии в соплах Лаваля при раз¬
личных режимах можно оценить по рис. 8.20. Здесь штри¬
ховой линией нанесены коэффициенты волновых потерь
в скачках уплотнения. Кривые показывают, что на режи-
238
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

мах третьей группы, когда скачки располагаю!^ вблизи
минимального сечения, основное значение приобретают по¬
тери в диффузоре за скачком (потери трения и вследствие
отрыва).
8.7. Реактивная сила
Как уже указывалось, для оценки эффективности сопл
реактивных аппаратов вводится понятие коэффициента тя¬
ги ф«. Рассмотрим общий случай определения реактивной
тяги, под действием которой осуществляется полет реак¬
тивного аппарата» Воспользуемся уравнением импульсов,
записав его для массы газа внутри замкнутой цилиндриче¬
ской поверхности abed, охватывающей аппарат. Все эле¬
менты контура удалены на достаточно большое расстояние
(рис. 8.21). Возмущения, создаваемые аппаратом на выде¬
ленной замкнутой поверхности, будут бесконечно слабыми.
Запишем уравнение количества движения в проекции на
ось х (уравнение Эйлера):
оо	оо	т 1	т2
| padF — J ptdF-\-R — | (с2 — a)dm, -f-1 ctdm2.
О	U
Здесь ра — давление набегающего потока в сечении
а—Ь; р2у с2— давление и скорость потока за аппаратом
в сечении с—d; F — площадь сечений а—Ь и с—d; т\ — се¬
кундная масса газа, втекающего в контур; т2 — секундная
масса горючего, подаваемого в двигатель; R — реактивная
сила.
Так как сечения а—b и с—d расположены на большом
удалении от аппарата, то р2=Ра. В этом случае силы дав¬
ления в указанных сечениях уравновешиваются всюду, за
исключением участка, равного площади выходного сечения
Рис. 8.21. К выводу формулы для расчета реактивной силы
239
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

сопла F\. Скорости отдельных струек, охватывающих аппа¬
рат, также мало различаются. Обозначив ct — скорость ис¬
течения из сопла, pi—давление в выходном сечении сопла
Fi, получим
тх	т2	ft
R = J (ct — a) dml -j- j с^щ + J {/?, - ра) dFv (8.43)
О	0	0
Для неподвижного аппарата находим
т	Ft
R = j с^т+j (pt - pa)dFt,	(8.44)
о	о
где т — секундный расход рабочего тела. Для средних
значений формулу для реактивной тяги можно записать
так:
R=mci-\-(pl—pa)Fi.	(8.45)
Теоретическая реактивная сила
£T=mTc,T-{- (pi—pa)Fu
Заменим в этих формулах
т&i=piC2iF j—kpiM?iFi=ks*XigiFipm
и
тси=kpiM2iFl —ks^XiQirF 1тро-
Здесь Xi, qi — соответственно безразмерная скорость и
приведенный расход в выходном сечении сопла для дейст¬
вительного процесса; Я1т, qn— то же для теоретического
процесса; г*— первое критическое отношение давлений.
Тогда
R=\k&*qiki&b+ (ei—во) ] FiPo	(8.46)
и
Rt= [^e,^iTXiT+ (ei—8a) ] Fipo,	(8.46a)
где &i=pJpo; 8e=Po/Po-
Следовательно,
fQ  ~t~ ei ea	/С	Ajx
R	“b £ i £a
Для расчетного режима получаем
¥/ti=~	== Н'сТс’	(8.47а)
где <pc=Xi/Xit — коэффициент скорости сопла.
240
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Введя для нерасчетных режимов эквивалентные безраз¬
мерные скорости
г —г д. е»~~ец
найдем коэффициент тяги в таком виде:
<р/я=цсф/с>	(8.48)
где (лс—w/trif и ф/с=Л1в/Л1э т-
Для оценки внутренних потерь в сопле можно исполь¬
зовать кроме коэффициента скорости отношение импуль¬
са в действительном и теоретическом процессах:
(8.49)
Действительный импульс
&*=‘inilC\-\-piFi—R.-\-paF\.	(8.50)
С помощью преобразования Б. М. Киселева выражений
(3.56) и (3.57), а также при использовании функции q
формула для импульса приобретает вид
3f—G>(%\)pnF\,	(8.50а)
где
Ф(Я.) ■= |2/(Л + 1)1,/<*-'> <7, (Л, + 0*
При отсутствии потерь <3’'т = Ф(Х|т)ро^1. Следовательно,
9:г = еоФ(х,)[Ф{Хп).	(8.51)
Величина является заданной, так как сравнивается
одно и то же сопло при изоэнтропийном и действительном
процессах истечения. По величине определяется Я|Т и
далее после оценки е0. и q* по формуле (8.41) рассчиты¬
вается во- Если принять ео*=<7*=1, то
80=[fl9'l (А.1)]”1,
где Я,1=ф'Д1т. Следовательно, при заданных значениях U
и ф'с (или f 1 и eoi) величина <fy однозначно определена.
16-333J	241
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Глава девятая
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ
9.1.	Движение несжимаемой жидкости в трубах
и коэффициенты сопротивления труб
Трубопроводы являются неотъемлемой частью вссх теп¬
лосиловых установок и обеспечивают возможность их бес¬
перебойной работы. В более широком смысле трубопрово¬
ды— это транспортные магистрали для движения различ¬
ных жидкостей, газов, суспензий, продуктов сгорания,
теплоносителей и т. д. Трубопроводы могут иметь самую
различную форму и протяженность, а по конфигурации
классифицируются на простые и сложные. Простыми тру¬
бопроводами называют трубопроводы без ответвлений
с постоянным расходом движущейся среды на всех участ¬
ках. Сеть трубопроводов, имеющих различные отводы и па¬
раллельные участки движения, относится к классу слож¬
ных.
При входе в трубу профиль продольных скоростей
в принципе может иметь произвольную форму*. Под тор¬
мозящим действием стенок трубы входной профиль дефор¬
мируется и на некотором расстоянии от входа принимает
вид, характерный для ламинарного (при Re<2300) или
турбулентного (при Re>2300) течения. Входной участок
трубы, где происходит перестройка профиля скорости вдоль
продольной оси до развитого (стабилизированного) состоя¬
ния, называют начальным участком (рис. 9.1). На этом
участке нарастает кольцевой пограничный слой, который
постепенно захватывает все сечение трубы, и на расстоя¬
нии /н его толщина б становится равной радиусу го.
I
* Здесь предполагается, что поперечные скорости на входе в тру¬
бу либо отсутствуют, либо малы.
242
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

«Сжатие» потенциального ядра сопровождается непре¬
рывным увеличением скорости потока щ, так как часть
жидкости из пограничного слоя «вытесняется» в централь¬
ную часть трубы. Рассчитывая площадь вытеснения 8,*
в каждом сечении начального участка трубы, легко уста¬
новить связь между средней скоростью нср и скоростью и\
в ядре потока.
Действительно, согласно уравнению расхода
m=piicpF=puiF(\—8*;).
Отсюда
«1=«с„/(1-в*|).	(9.1)
При ламинарном течении относительная длина началь¬
ного участка трубы равна /„/d=0,065 Re, что для Re<f=
=2000 составляет /„=130 rf. В случае турбулентного режи¬
ма течения эта длина сокращается и приближенно оцени¬
вается по соотношению lH/d= (3^-3,5) Re)/4<f. Перестройка
профиля скорости и ускорение потока в пределах началь¬
ного участка трубы сопровождаются дополнительным по
сравнению с областью стабилизированного течения падени¬
ем давления Ард:
Ард=0,58ры2ср.	(9.2)
Степень влияния начального участка на сопротивление
трубопровода Ар зависит от его длины. При большой длине
[/> (5-»-10)/н] начальный участок можно из рассмотрения
исключить и оценить сопротивление трубопровода по фор¬
мулам стабилизированного течения. Для коротких труб
(/<5/н) необходимо учитывать особенность течения жид¬
кости на начальном участке.
Главной задачей при расчете трубопровода является
определение общего падения давления Ар (общего сопро¬
тивления) с последующей оценкой мощности, необходимой
для транспортировки заданного объемного расхода жидко¬
сти или газа Q. Эту мощность (Вт) находят по соотноше¬
нию
N=QAp.	(9.3)
Здесь в СИ [Q] =м3/с; [Ар] =Н/м2.
В общем случае система трубопроводов включает раз¬
личную запорную арматуру, измерительные устройства
типа диафрагм и сопл, участки поворота, участки с различ¬
ными диаметрами труб и другие элементы, нарушающие
стабилизированное течение. Все эти нарушения существен¬
но усложняют оценку величины Ар и приводят к необходи-
16* 243
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

мости вести расчет по отдельным участкам с последую¬
щим суммированием всех сопротивлений. Таким образом,
Др может быть представлено в виде
п	т
Л/> = 2 ЛЛ-ст+2 Мм-	(9-4)
f=i	1=1
В	формуле	(9.4) Ар,Ст — сопротивление	прямых	участ¬
ков	трубопровода со стабилизированным	течением,
а Ары — местные сопротивления, т. е. сопротивления тех
участков, где происходит нарушение стабилизированного
течения. При таком определении к местным сопротивле¬
ниям можно отнести и начальный участок трубопровода.
Величина Д/?,Ст оценивается по формуле (7.10), а местные
сопротивления — по соотношению
Лр/ч=£/мры2/ср/2,	(9-5)
где £/„ — коэффициент местного сопротивления, определяе¬
мый на основании опытных данных.
Средняя скорость в формуле (9.5) относится к харак¬
терному сечению рассматриваемого местного сопротивле¬
ния. Это сечение специально оговаривается в справочни¬
ках, где приводятся значения коэффициентов £/„.
Подставляя (7.10) и (9.5) в основное соотношение (9.4),
получаем
п	т
= 3 ^(WMP^cp'SJ + E (С/мРИ*/ср/2).
'=1	/=1
Здесь М;ср — средняя скорость на i-м участке трубопровода
со стабилизированным течением, а ы/ср — средняя скорость
в характерном сечении того или иного местного сопротив¬
ления. Часто расчет сопротивления трубопровода удобнее
вести по отношению к одной характерной скорости и0>
а разницу в скоростях на отдельных участках учитывать
квадратом отношений (м,ср/мо)2=й2/ и (ы/ср/«о)2=ы2/.
Тогда
On	V}	-|
(9-6)
Здесь £0бщ — приведенный коэффициент сопротивления
всего трубопровода, определяемый выражением в квадрат¬
ной скобке формулы (9.6).
В качестве расчетной может быть использована сред¬
няя скорость на любом участке трубопровода. Ее значение
244
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

находят по заданному объемному расходу Q и диаметру
характерного участка трубы:
„0=4<?/(яЛ).	(9	7)
Заменим скорость щ в формуле (9.6) ее значением, опре¬
деляемым формулой (9.7). Тогда
nt	^
+S	*£-•	т
Зависимость (9.8) устанавливает однозначную связь
между расходом жидкости Q и сопротивлением Др. Чем
меньше коэффициент сопротивления, тем больший расход
при одном и том же перепаде давления Др может пропу¬
стить трубопровод. Тот же результат может быть достиг¬
нут и посредством увеличения диаметров проходных сече¬
ний всех участков трубопровода, но при этом увеличива¬
ются его стоимость, габаритные размеры и часто затрудня¬
ется компоновка. Отсюда наряду с рациональным выбором
проходных ссчений необходимо правильно оценивать значе¬
ния всех коэффициентов сопротивления.
На участках стабилизированного течения величина £,•
при ламинарном режиме определяется соотношением (6.16)
(t.—64/Rorf). При турбулентном режиме течения коэффи¬
циент сопротивления зависит от того, является труба тех¬
нически гладкой или шероховатой. Технически гладкими
считают	трубы, коэффициент сопротивления	которых,
так же как	и	при ламинарном режиме, не	зависит	от со¬
стояния поверхности. В этом случае величина & может
быть найдена непосредственно из рис. 7.1 либо при Re<^
^10® рассчитана из опытной формулы Блазиуса
С = 0,316 ReJ1'4.	(9.9)
Хорошее совпадение с опытными данными в более широ¬
ком диапазоне изменения чисел Рейнольдса (Re<t^l07)
дает формула Никурадзе
С =-. 0,0032 + 0,221 Re/1,237.	(9.10)
Коэффициент сопротивления шероховатых труб зависит
от состояния их поверхности. Это состояние принято оцени¬
вать по относительной высоте бугорков (шероховатости)
245
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

4 5 S103 Z 4- В 810th г 4- е 8 10s 2	* Rb=uCpd/v
Рис 9 2. Зависимость коэффициента потерь £(Re) для шероховатых
труб (опыты Никурадзе)
ks/ro, где ks — средняя высота бугорков. Однако величина
ks/r0 не может полностью характеризовать все очень раз¬
нообразные виды шероховатости и с целью упрощения за¬
дачи вводится понятие о песочной шероховатости, образо¬
ванной зернами одного и того же размера, распределенны¬
ми по поверхности с максимальной плотностью. Влияние
этого вида шероховатости на движение жидкости в трубах
изучено очень подробно и сводится к тому, что при лами¬
нарном течении все трубы независимо от значения ks/r0
ведут себя как технически гладкие с сохранением всех при¬
веденных выше зависимостей. При турбулентном течении
для каждого значения Rc существует некоторая критиче¬
ская высота бугорков шероховатости, начиная с которой
коэффициент сопротивления £ перестает зависеть от Re.
Для иллюстрации сказанного на рис. 9.2 приведена зави¬
симость, наглядно показывающая сокращение области
гидравлически гладкого течения с возрастанием величины
ks/ro. Если при ks/r0=2'\Qrs (ro/ks=500) влияние шеро¬
ховатости проявляется в случае, когда Re>2>105, то при
ks/ro—6,§5-10-2 (ro/ks—15) область «гладкого» течения
вообще отсутствует и шероховатость меняет закон сопро¬
тивления сразу после перехода к турбулентному режиму.
Отмеченная особенность изменения коэффициента сопро¬
тивления в шероховатых трубах при турбулентном режиме
течения тесным образом связана с введенным ранее поня¬
тием о вязком (ламинарном) подслое. Пока высота бугор-
246
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ков шероховатости ks не превышает толщины вязкого под¬
слоя у л, труба считается гидравлически гладкой и осущест¬
вляется режим течения без влияния шероховатости. Его
границы оцениваются безразмерной координатой Ал, где
толщина уя должна быть заменена величиной ks. После
такой замены указанный режим имеет место в случае,
когда 0<ksv*/v^5.
Если 5<£su*/v<70, то имеет место переходный ре¬
жим, при котором элементы шероховатости частично высту¬
пают за пределы ламинарного подслоя в турбулентную
часть потока. В результате сопротивление начинает зави¬
сеть не только от Re, но и от шероховатости, характери¬
зуемой величиной ks/ro:^=f(ks/ro', Re). При kgv*/v>70
наступает режим с полным проявлением шероховатости.
Ламинарный подслой оказывается разрушенным, а элемен¬
ты шероховатости выходят в зону развитого турбулентного
течения. Здесь молекулярная вязкость выпадает из опреде¬
ляющих параметров и, следовательно, число Рейнольдса
также выпадает из критериальной базы. Сопротивление
трубы становится функцией только безразмерной величи¬
ны ks/ro, характеризующей песочную шероховатость £=
Ч (кв/го).
Коэффициент сопротивления для рассматриваемого ре¬
жима определяется следующим выражением:
** = (2igr,/*s+i,74)* •	(9Л1)
Для связи песочной и технической шероховатостей вводит¬
ся понятие об эквивалентной шероховатости, т. е. такой пе¬
сочной шероховатости стенок, которая обеспечивает тот же
коэффициент сопротивления £0, что и заданная техническая
шероховатость. Равенство коэффициентов сопротивлений
сравниваемых шероховатых поверхностей (£=£о) позволяет
при использовании формулы (9.U) найти и размеры зерен
эквивалентной шероховатости. Действительно, из (9.11)
следует
{ф3)ь КВ=1СР'^-0’87	(9.12)
Рассмотренные особенности движения жидкости на пря¬
мых участках и приведенные соотношения относятся к тру¬
бам круглого поперечного сечения. При изменении формы
сечения и переходе к треугольным, квадратным и прямо¬
угольным трубам существенно меняется вся картина тече¬
ния. Опыты показывают значительное увеличение локальных
скоростей в углах сечений, вызванных тем обстоятель-
247
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ством, что здесь на основное движение накладываются вто*
ричные течения, направленные по биссектрисам углов и
способствующие переносу жидкости и добавочного импуль¬
са из центральной части потока в угловые зоны. Для оцен¬
ки сопротивления в данном случае используется то же
структурное соотношение, что и для круглых труб, но в ка¬
честве определяющего размера вводится гидравлический
диаметр dh=4F/U, где F — площадь поперечного сечения
канала, а П — смоченный периметр. Гидравлический диа¬
метр является определяющим при вычислении числа Рей¬
нольдса, относительной шероховатости (2ks/dh) и перепада
давления на единицу длины трубы некруглого поперечного
сечения:
9.2.	Движение сжимаемой жидкости в трубах
с трением
При движении сжимаемой жидкости в трубах проявля¬
ются некоторые специфические особенности, свойственные
сжимаемым средам. Воспользуемся для анализа основны¬
ми уравнениями одномерного течения. Поскольку вдоль
трубы площадь поперечного сечения не меняется, уравне¬
ние расхода принимает вид
Уравнение движения при отсутствии энергетического
обмена с внешней средой, но с учетом трения представим
в следующем виде:
Здесь dXjP—tl(c2/2) (dx/D)—сопротивление элемента
трубы длиной dx; D — диаметр трубы. Используя уравне¬
ние (9.14), проведем в соотношении (9.15) очевидные пре¬
образования:
Pi—Pi/l—(%/dk) <рм2ср/2).
(9.13)
dc/c+dp/p=0.
(9.14)
"f-.	(9.15)
Отсюда
248
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Поскольку	= -у-, после замены безразмерной
скорости М безразмерной скоростью X получим
(9.16)
Анализ дифференциального уравнения (9.16) показыва¬
ет, что в трубе постоянного сечения критическая скорость
может быть получена только в выходном сечении. В самом
деле, при Х<1 приращение скорости dX оказывается поло¬
жительным (d%>0) и, следовательно, поток ускоряется.
При А,>1 величина d%<.0 и поток в трубе тормозится.
В промежуточном сечении трубы скорость не может достиг¬
нуть критической величины, так как при Я=1 левая часть
уравнения (9.16) обращается в нуль, а правая сохраняет
конечное значение. Проинтегрируем зависимость (9.16),
считая коэффициент сопротивления % постоянной величи¬
ной, не зависящей от Re и %. Это допущение не вносит
в окончательные выводы принципиальной ошибки, но суще¬
ственно упрощает анализ рассматриваемого процесса. Тогда
тт*- <917)
где X] — безразмерная скорость в начальном сечении тру¬
бы; % — безразмерная скорость в промежуточном сечении
на расстоянии x=x/D от входного сечения.
Безразмерный параметр в правой части уравнения
(9.17)	назовем приведенной длиной трубы и обо¬
значим его х:
2К х
Х k + 1 D •
С учетом введенного обозначения запишем (9.17) в виде
х=1Д2!—1Д2—(9.18)
Полученное соотношение устанавливает зависимость
между приведенной длиной трубы х и текущей безразмер¬
ной скоростью К для каждого значения Xi во входном сече¬
нии. Эта зависимость, изображенная на рис. 9.3, показыва¬
ет, что при А,=А,2=1 величина х достигает максимального
значения Хчакс и выражается формулой
Хмакс^Л^-Жп*,2,,	(9.19)
непосредственно следующей из (9.18). Кривые %=f(n) со¬
стоят из двух ветвей, отвечающих дозвуковому (Х<1) или
сверхзвуковому (Х.>1) потоку в цилиндрической трубе.
249
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Приведенная на рис. 9.3
диаграмма наглядно показы¬
вает невозможность перехода
в изолированной от внешних
воздействий цилиндрической
трубе из одной области скоро¬
стей в другую. При дозвуко¬
вой скорости на входе (Xi<l)
последуютцее ее увеличение
вдоль трубы связано с тем
обстоятельством, что потери
кинетической энергии, обуслов¬
ленные трением, превращаясь
в теплоту, повышают темпера¬
туру потока. В результате
происходит непрерывное сни¬
жение плотности газа вдоль
канала и постоянство расхо¬
да в каждом сечении трубы
может быть обеспечено толь¬
ко посредством соответствую¬
щего увеличения скорости.
В сверхзвуковой области
этот эффект неизбежно приводит к торможению потока.
(В неизолированной трубе постоянного сечения можно осу¬
ществить переход от дозвуковых скоростей к сверхзвуко¬
вым, если вначале подвести теплоту, а затем обеспечить ее
отвод путем охлаждения.) Для изолированных труб знак
теплового воздействия сохраняется постоянным и, следова¬
тельно, возможно либо только ускорение потока, если Xi<
<1, либо только его торможение при Xi>l.
Если действительная приведенная длина трубы к оказы¬
вается больше максимальной хМакс, рассчитанной при за¬
данной входной скорости Xi по соотношению (9.19), то при¬
нятое значение Xi не реализуется и его необходимо сни¬
зить. Максимально допустимая скорость находится из
уравнения (9.19) при условии, что величина X—Имакс- Зави¬
симость xMaKc=f(^i) представлена на рис. 9.4. Случай до¬
стижения в выходном сечении трубы критической скоро¬
сти соответствует (так же как и для суживающегося соп¬
ла) максимально возможному расходу. Этот расход при
заданной относительной длине l/d, известном коэффициен¬
те сопротивления £ и показателе изоэнтропы k соответству¬
ет вполне определенному значению относительной скорости
Я,1 во входном сечении трубы, а следовательно, и строго
определенному значению приведенного расхода q\ в этом
2Г>0
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
Рис. 9.3. Зависимость без¬
размерной скорости X от
приведенной длины х
/
— j
i
А
О 1 Z 3 4- 5 $ 7 ХмакС
Рис. 9.4. Зависимость макси¬
мальной приведенной длины
хмакс от безразмерной скоро¬
сти на входе в трубу %\

Сечении. Найдем максимально возможный расход через
трубу длиной / при заданных начальных параметрах тор¬
можения poi и Го1 во входном сечении. Поскольку при мак¬
симальном расходе скорость в выходном сечении должна
быть критической, то в этом случае длина трубы является
предельной. По формуле (9.19) и значению хМакс находим
максимально возможную скорость Я^акс во входном сече¬
нии для указанных условий, что позволяет с помощью таб¬
лиц газодинамических функций найти максимальный при¬
веденный расход ^шакс Тогда абсолютный расход через
трубу предельной длины равен
^чаке == 9такс^х1	Я 1макс р	д. j }	==
1
- ?1макс (f+i) Vk+ 1^° Кг\х F=Z
1	 1	' I 1
P*i/?oi	C*	Pei
--- Ш""" VTftF- (9-20>
Если, используя соотношение (3.28), выразить величину
^шакс через безразмерную скорость Яыакс, то
Ж'|аи ‘ Fy (k + l) R*у — £+7*\\.акс)	уу^ ■
"(9.21)
Полученные формулы (9.20) и (9.21) показывают, что
максимальный расход через трубу полностью определяется
параметрами полного торможения потока во входном ее
сечении. Увеличение расхода может быть достигнуто как
посредством повышения начального давления рои так
и охлаждением движущейся жидкости. При фиксированных
начальных параметрах повысить расход через трубопровод
заданной длины I можно посредством снижения его сопро¬
тивления. Действительно, при уменьшении коэффициента
сопротивления £ и увеличении диаметра D снижается при¬
веденная длина х и согласно формуле (9.19) и рис. 9.4 уве¬
личивается максимальная безразмерная скорость Ятакс и
соответственно возрастает расход жидкости через трубу.
Для достижения в выходном сечении трубы критиче¬
ской скорости необходим вполне определенный перепад
давления е*., который определяется сопротивлением трубо-
251
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Провода. Чем больше это сопротивление, тем меньше кри¬
тическое отношение давлений.
Найдем, по какому закону меняется относительное ста¬
тическое давление pi/po вдоль трубы. С этой целью запи¬
шем уравнение расхода для входного сечения и некоторого
промежуточного сечения i—i:
~U + iy V к 41 VtZl
После очевидных сокращений получим
q>Pj^T\r = ’QiPoilVT\i-
Поскольку в изолированной трубе /z0=/j0t=const, для
любых сечений можно написать To^T'oj^const. Тогда
q\pQi=qiPoh или
poi=qipo\/qi-	(9.22)
Используя (9.22), найдем относительное статическое давле¬
ние е,-, выраженное в долях давления полного торможения
poi перед трубой:
(9.23)
Для выходного сечения трубы следует подставить в (9.23)
Xi=% 2*	^
~ (f+t)	?‘Я21	(9-24)
Если рассматривается труба предельных размеров, то
Я2=1 и зависимость (9.24) определяет критический пере¬
пад давления
k
*?1макс === е*^1макс’	(9.25)
J
Формула (9.25) показывает, что с ростом сопротивле¬
ния трубы (с уменьшением ?1макс) происходит падение е**;
для необратимых течений критическое отношение давлений
252
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

0,1 0,2 0,3 0,b 0,5 0,6 0,7 X
Рис. 9 5 Диаграмма рас¬
пределения давлений в тру¬
бе постоянного сечения при
сверхзвуковой скорости на
входе
Ps/Poi всегда меньше, чем для 0
изоэнтропийных, т. е. е**<е*. nif.
Рассмотрим на основе получен- ’
ных соотношений, как будет ме-
няться давление вдоль трубы при W
сверхзвуковых скоростях на вхо- oj
де в трубу. Пусть для определен¬
ности Х\~1,76 и ?1=0,453. Тогда, 0
используя уравнение (9.17), най¬
дем изменение скорости X* вдоль
оси ху а зависимость (9.23) при
известных значениях позволяет
определить относительное давле¬
ние 8, в каждом сечении трубы, Ре-
зультаты указанных расчетов изображены на рис. 9.5 в ви¬
де кривой АВ. Точке В соответствуют максимальная при¬
веденная длина хМакс=Яв и критический перепад давления
&**, равный для принятого выше значения %\
e**=e*<7i=0,528 • 0,453=0,239.
Если длина трубы и^<хМакс=ил и относительное дав¬
ление окружающей среды е2 соответств>ет давлению на ее
срезе е^(точка 3 на рис. 9.5), то внутри трубы будет осу¬
ществляться плавное торможение потока с повышением
давления по линии АВ. В выходном сечении сохранится
сверхзвуковой поток со слабо выраженной волновой струк¬
турой. С повышением противодавления 82 внутри рассма¬
триваемой трубы вначале никаких изменений не происхо¬
дит, а на ее срезе по мере возрастания величины 82 после¬
довательно возникают конические скачки, затем мостооб¬
разные и, наконец, при е2=е/, — прямой скачок уплотне¬
ния. Процесс повышения давления в этом скачке на рис. 9.5
показан линией 2fL. Дальнейшее повышение величины
e*(e2>e/,) приводит к смещению прямого скачка внутрь
трубы.
Чем выше противодавление, тем ближе от входного се¬
чения располагается скачок и при некотором относитель¬
ном противодавлении г2=е0 прямой скачок возникает не¬
посредственно на входе в трубу. Рассчитывая для всех
сечений трубы прямые скачки уплотнения, можно по¬
строить линию LC, определяющую относительное давление
8/ск за этими скачками. При удлинении трубы до макси¬
мального значения >смакс указанная линия дополнится от¬
резком LB.
253
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Так как за прямым скачком скорость потока дозвуко¬
вая, то в последующей части трубы вновь происходит его
ускорение до выходного ссчения. На рис. 9.5 процесс изме¬
нения давления вдоль рассматриваемой трубы изобража¬
ется линией AEFK, построенной для противодавления,
характеризуемого точкой К. 11а участке АЕ осуществляет¬
ся плавное торможение сверхзвукового потока, которое
заканчивается торможением в прямом скачке уплотнения
(линия EF), и далее идет плавное ускорение дозвукового
потока с падением давления по линии FK. Чем больше
значение х превышает максимальное, тем ближе ко входу
располагается скачок. В случае, когда скачок располагает¬
ся во входном сечении, торможение потока следует по ли¬
нии АС, а расширение — по линии CD.
Таким образом, при сверхзвуковой скорости потока на
входе в трубу скачки внутри трубы возникают в случае,
если противодавление оказывается выше, чем относитель¬
ные давления, определяемые линией СВ, либо в случае,
когда действительная приведенная длина трубы х превы¬
шает рассчитанное для данной скорости Xi значение
Имакс.
Рассмотренная диаграмма показывает, что при постоян¬
ной длине х и заданном давлении на выходе из трубы
Рг(е2) увеличение скорости на входе Xi смещает скачки
уплотнения к выходному сечению, а при увеличении сопро¬
тивления (путем, например, рассмотренного выше подклю¬
чения дополнительных участков трубы) эти скачки переме¬
щаются в обратном направлении ко входу в трубу. Если,
наконец, давление за трубой окажется ниже давлений,
определяемых линией АВ, то на срезе трубы возникает
обычная система волн разрежения, в которых и осущест¬
вляется снижение давления до заданного значения р2.
9.3.	Местные сопротивления
Участки трубопроводов, где течение отличается от ста¬
билизированного, рассматриваются при расчете отдельно.
Условно принято считать, что возмущения, вносимые этими
участками, носят локальный характер и их влияние учиты¬
вается коэффициентами местных сопротивлений. Рассмо¬
трим некоторые типы местных сопротивлений.
Повороты (криволинейные трубы). При движении пото¬
ка в криволинейном канале возникают вторичные течения,
вызывающие перестройку всего поля скоростей. Покажем
это на примере поворота газа в прямоугольном канале по-
254
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 9.6. Схемы вторичных течений в поворотных каналах прямоуголь¬
ного (а, в) и круглого (б) сечений
стоянного сечсния, изображенного на рис. 9.6. Рассмотрим
вначале идеальную жидкость.
При движении жидкой частицы М по криволинейной
траектории на нее действует центробежная сила инерции
dFa, равная
dFц — (c\fr) dm. = prdfdr (c*9lr).	(9.26)
dm
Под действием силы в канале возникает поперечный пе¬
репад давления Ар, направленный от вогнутой стороны АВ
к выпуклой стенке DE и обеспечивающий поперечное рав¬
новесие жидких частиц. Сила dR, уравновешивающая цен¬
тробежную силу инерции dFn, определяется произведением
перепада давления Ар на площадь dS=rdq>.
Таким образом, приближенно условие радиального рав¬
новесия можно представить в виде
dp=pch dr/г.	(9.27)
Отсюда, используя уравнение Эйлера для одномерного те¬
чения (dp=—рcgdca),	после интегрирования получаем
2ягсв=Го=const,	(9.28)
где Го — циркуляция скорости, постоянная для всех линий
тока. Формула (9.28) показывает, что в криволинейном
канале при потенциальном течении скорость с увеличением
радиуса кривизны убывает по гиперболическому закону и
255
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

определяется из условия постоянства циркуляции. Переход
от равномерного профиля скорости перед поворотом к ги¬
перболическому и от гиперболического к равномерному за
ним захватывает значительные прямолинейные участки,
к которым колено (участок поворота) примыкает. Следо¬
вательно, при входе в поворот вдоль выпуклой стенки DE
поток ускоряется, а вдоль вогнутой тормозится. На выходе
из поворота, наоборот, вдоль обводов DE поток тормозит¬
ся, а на обводе А В ускоряется.
При переходе к течению вязкой жидкости отмеченные
особенности ее движения на поворотах приводят к появле¬
нию локальных отрывных зон на диффузорных участках,
обозначенных на рис. 9.6 цифрами I и II. Кроме того, в ка¬
нале возникают вторичные течения, для объяснения кото¬
рых вновь обратимся к условию поперечного равновесия
жидких частиц. Если частица находится в центральной ча¬
сти канала, то и в случае вязкой жидкости dFu=dR. На
торцевых стенках в пограничном слое скорость с 9 снижа¬
ется и значение dFtl согласно уравнению (9.26) уменьша¬
ется. В то же время поперечный градиент давления dp
сохраняется, так как по Прандтлю в пристеночной области
dp/dy=0.
Следовательно, для частиц Мi и М2, расположенных
вблизи торцевых стенок, dF^CdR. Нарушение указанного
равновесия приводит к поперечному перетеканию жидкости
от внешнего обвода к внутреннему. По условию сплошно¬
сти в ядре потока возникают компенсирующие течения,
направленные к внешнему обводу. В результате в криво¬
линейном канале образуется вторичное вихревое движение,
которое налагается на основной поток и имеет симметрич¬
но-винтовой характер. В поперечном сечении канала линии
тока вторичного течения оказываются замкнутыми, а на
плоских торцевых стенках направлены так, как показано
штриховыми линиями на рис. 9.6.
Структура вторичного течения и дополнительная поте¬
ря энергии, обусловленная этим течением, существенно за¬
висят от геометрической формы канала и режима течения
(от М и Re). В криволинейной трубе круглого сечения кар¬
тина вторичных токов (рис. 9.6,6) близка к той, которая
наблюдается в рассмотренном канале квадратного се¬
чения.
В случае, когда высота канала I значительно больше
его ширины а(/>а), вторичное движение жидкости от вог¬
нутой стенки к выпуклой затруднено, так как частицы
должны пройти длинный путь, испытывая влияние сил тре¬
ния. Перетекание оказывается возможным только в при-
256
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

стеночной зоне плоских торцевых стенок (рис. 9.б,в) от
вогнутой, поверхности к выпуклой, что вызывает в ядре по¬
тока компенсирующее течение, направленное к вогнутой
стенке. В результате взаимодействия вторичного течения
с основным в канале образуются две замкнутые вихревые
области, захватывающие теперь не все поперечное сечение,
а только часть его вблизи слияния выпуклой поверхности
с торцевыми стенками. Здесь вторичные течения вырожда¬
ются в два вихревых шнура, вращающихся в противопо¬
ложных направлениях и расположенных у плоских стенок.
На образование вторичных течений затрачивается часть
кинетической энергии потока. Потери энергии, обусловлен¬
ные кривизной канала, складываются из дополнительных
потерь на трение вследствие вторичного течения, вихревых
потерь в зоне отрыва и потерь, вызванных компенсирующи¬
ми течениями. Основную долю потерь на поворотах со¬
ставляют потери, связанные с отрывом потока, причем на
вогнутой стенке АВ зона отрыва невелика, а отрыв с вы¬
пуклой стенки захватывает значительную область вниз по
течению.
Таким образом, для уменьшения потерь в коленах
в первую очередь необходимо обращать внимание на со¬
кращение отрывных зон, а затем соответствующей конфи¬
гурацией .канала стремиться уменьшить интенсивность вто¬
ричных течений.
На рис. 9.7 приведены данные Нипперта, показываю¬
щие влияние некоторых относительных геометрических ха¬
рактеристик канала прямоугольного сечения на коэффи¬
циент потерь £пов при повороте потока на 90°. В качестве
таких характеристик используются относительные радиусы
Рис. 9.7. Коэффициенты по¬
терь энергии в поворотном
колене по данным Ниппер- Q
та
17—3331
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

внешнего (вогнутого) га/сц и внутреннего (выпуклого)
n/at обводов канала, выраженных в долях от входного
размера щ, относительная ширина канала в области мак¬
симального поворота ат/т и степень изменения проходной
площади, характеризуемая для плоского канала отношени¬
ем а=а\/а2 входного Ci и выходного а2 размеров. Как и
следовало ожидать, минимальные потери в конфузорных
каналах (а>1) оказались заметно меньшими, чем в диф-
фузорных (с<1). Уровень этих потерь существенно зави¬
сит от радиуса выпуклого обвода п/аи Чем меньше этот
параметр, тем выше коэффициент £Пов. Для каждого радиу¬
са п существует оптимальный радиус вогнутого обвода га,
обеспечивающий минимальный уровень потерь. Согласно
опытным данным при а1=ат=а2 (га/п)0Пт=1,1-*-1,2.
Необходимо отметить, что отклонение от оптимального
отношения радиусов ra/ri приводит к интенсивному увели¬
чению потерь при (га/г\) > {I'a/i'i)опт, так как в этом слу¬
чае расширяется зона отрыва на выпуклой стенке АВ.
Если (га/г\) < (га/п)от, то увеличение потерь относитель¬
но минимального уровня в конфузорных каналах (й>1)
оказывается меньше, чем в диффузорных (а<1).
Существенное влияние на потери энергии при повороте
потока оказывает параметр ат/аи определяющий характер
движения жидкости в области максимальной кривизны
канала. Если отношение ат/а\>\, то скорость потока на
повороте падает и соответственно снижается поперечный
градиент давления. В результате сокращается интенсив¬
ность вторичных течений, обусловленных наличием этого
градиента, и поворот потока происходит с заметно меньши¬
ми потерями.
Последующее ускорение потока в выходной части ка¬
нала сокращает область отрыва на выпуклой стенке DEr
а в некоторых случаях и предотвращает его. Оптимальное
значение отношения Om/ai зависит от угла поворота пото¬
ка и от радиусов га/п.
На практике не всегда удастся выдержать оптимальные
геометрические соотношения поворотов. Часто они выпол¬
няются вообще с нулевыми радиусами, как это показано
на некоторых схемах, помещенных в табл. 9.1. Уровень
потерь в этом случае оказывается очень высоким, и эффек¬
тивным способом снижения потерь является использование
в каналах прямоугольного сечения специальных поворот¬
ных решеток, обеспечивающих нужное направление дви¬
жения потока.
Эффективность снижения потерь на поворотах с по-
258
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Таблица 9.1
Модель
Т\
аг
'а
а*
Тип
лопа¬
ток
^п'.в с
с-
V:
li
0,25
0,25
0,0834
0,0834
б
а
1,647
2,705
1,374
0,993
1,485
4,0!
4,25
.4,51
0,358
0,560
0,179
0,216
0,307
0,45
0,702
0,653
0,783
V77777772
а)
■ю
в)
мощью лопаток иллюстрируется данными табл. 9.1, где
кроме схем поворота потока на 90 и 180°, а также коэффи¬
циентов £пов внизу показаны три схемы установки лопаток.
Приведенные в таблице значения коэффициентов по¬
терь £„ов отнесены к скоростному напору на выходе из ко¬
лена и соответствуют Re=2,55-10® *. С ростом Re потери
* Таблица 9.1 заимствована из книги И. Л. Повха «Техническая
гидромеханика». (М : Машиностроение, 1976).
17*	259
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

снижаются примерно в той же
пропорции, что и в случае дви¬
жения жидкости в прямых тру¬
бах. Если коэффициент потерь
£пов оценивать в долях энергии
потока перед поворотом, то
потеря давления, вызванная
поворотом, может быть рассчи¬
тана по соотношению
Лрпов==0,5£повР^!ср. (9.29)
Внезапное расширение потока. Сочленение труб различ¬
ного диаметра приводит к добавочным потерям, обуслов¬
ленным внезапным расширением или внезапным сжатием
потока. При входе в широкую часть канала возникает
(рис. 9 8) струйное течение со свободной границей, расши¬
ряющейся в направлении продольной оси х. На некотором
расстоянии от вхолного сечения 1—/ внешняя граница
струи достигает стенок канала и далее течение происходит
вновь с фиксированной внешней границей. В данном слу¬
чае участок местного сопротивления состоит из участка
расширения длиной /Р и участка выравнивания /в, где не¬
равномерный профиль скорости, показанный на ряс. 9.8
кривой abaь принимает в сечении 2—2 форму, характерную
для турбулентного течения в трубе при стабилизированном
течении. На участке расширения /Р между стенкой и грани¬
цей струи устанавливается сложное вихревое движение,
интенсивность которого определяется как формой попереч¬
ного сечения канала, так и степенью его расширения.
Для расчета потери давления Др выделим контур
1—1—2—2—/ (рис. 9.8). Будем считать, что в сечении /—t
профиль скорости с 1 равномерный, и пренебрежем нерав¬
номерностью турбулентного профиля скорости с2 в сечении
2—2. Кроме того, примем, что давления pi и рг постоянны
в поперечных сечениях /—/ и 2—2. Тогда, используя урав¬
нение Бернулли, представим потерю давления при внезап¬
ном расширении в виде
АРр =	Р	“	(Р*	~	Рг)	=
= 0,5Рс2. ^ 1 - ^ - (рг - рх).	(9.30)
Разницу давлений рг—pi найдем, если к выделенному
контуру применим уравнение количества движения
260
Рис 9.8. Схема точения пото¬
ка при внезапном расширении
канала
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

m(cl—c2)=F2(p2—pi). Отсюда	p2—pi=(m/F2) (ct—c2).
С учетом уравнения неразрывности (m=pC\Fi—pc2F2)
p2—pi=pc2iFl/F2(l—c2/Ci).	(9.31)
Подставляя (9.31) в (9.30) и используя уравнение не¬
разрывности при p=const(c2/ci=Fi/F2), находим
(9'32)
Здесь n=F2jF\. Сравнивая (9.32) с формулой (9.29), при¬
ходим к выводу, что при внезапном расширении коэффи¬
циент сопротивления £р оказывается равным
£р=(1-1 /п)\	(9.33)
Соотношение (9.33) носит название формулы Борда — Кар¬
но. Имея в виду те допущения, при которых была полу¬
чена эта формула, применять ее можно только в случае,
когда длина широкой части канала достаточна для вырав¬
нивания профиля скорости. Одиако и здесь вносится опре¬
деленная погрешность, так как при записи уравнения ко¬
личества движения мы не учитывали импульс сил трения,
обеспечивающих выравнивание поля скоростей после
участка расширения.
Для круглых каналов эта погрешность при п<.2 неве¬
лика и может не приниматься во внимание, но в прямо¬
угольных каналах малой ширины погрешность расчета мо¬
жет быть заметной.
Согласно опытным данным длина участка местного со¬
противления при внезапном расширении канала достаточно
велика и ориентировочно равна для труб (l/di)vu„=2n.
Отсюда при п=2 минимальная длина широкой части
должна составлять около четырех входных диаметров.
Внезапное сужение потока. Этот тип течения противо¬
положен предыдущему и реализуется при переходе от тру¬
бы большого диаметра к трубе меньшего диаметра, при
входе жидкости из резервуара в трубу, в различных ди¬
афрагмах, установленных в трубах, и я\ д.
Схема течения при внезапном сужении канала показа¬
на на рис. 9.9. На входе в области выступа поток сужает¬
ся, и это сужение продолжается до некоторого сечения
а—а, расстояние которого от входа U увеличивается с рос¬
том величины Дг=г\—г2 (/<,=»Дг). За сечением а—а имеет
место расширение потока, аналогичное внезапному расши¬
рению. Как при внезапном расширении, так и при внезап¬
ном сужении потока происходит его отрыв от стенок, и
261
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

в зонах отрыва устанавлива¬
ется интенсивное вихревое дви¬
жение жидкости, заметно уве¬
личивающее потерю кинетиче¬
ской энергии. Однако при по¬
строении расчетной методики
потерями в зоне сжатия обыч-
_	_	но пренебрегают, считая, что
внезапном ^ужениШнала "РИ 0СН0ВНая ДОЛЯ потерь прихо¬
дится на область расширения
потока. Применяя к этой области формулу (9.32), получаем
ApD.c=(pC2al2)(l-Fa/F2)*.
Использовав уравнение неразрывности, перейдем от скоро¬
сти са в суженном сечении к скорости с2 в конце участка
выравнивания {Ca—CzFtjFa). Тогда Дрв.с=0,5рс22£в.с, где
£в.с= (1/8—I)2, a S=Fa/p2‘
По экспериментальным данным коэффициент сужения
струи
е=0,62+0,38 (F2/F,)3.	(9.34)
В случае, когда площадь Ft значительно больше F2, по¬
лучим решение задачи о расчете местного сопротивления
при входе потока из резервуара в трубу с острыми вход¬
ными кромками. Здесь £Bx^0,4-s-0,5. Входное сопротивле¬
ние может быть заметно уменьшено при изменении формы
входного участка. После установки входного конфузора
£вх=0,25, а при хорошо спрофилированном плавном
входе £вх=0,03^-0,1.
В некоторых случаях труба может располагаться под
углом б к стенке резервуара, тогда £Вх=0,5-Н),3 cos 6+
+0,2 cos26.
Наибольшим входным сопротивлением обладает наса¬
док Борда, изображенный на рис. 9.10,а.
Его сопротивление зависит от относительной толщины
трубы S/d, входящей в резервуар, и ее относительной дли¬
ны 7=l/d. Коэффициент t,BX=f(S/d; l/d) для такого на¬
садка может быть найден по графикам рис. 9.10,6. Мож¬
но отметить очень сильное увеличение сопротивления с
увеличением длины 7 и уменьшением толщины S.
Для уменьшения сопротивления в трубах при сужении
диаметра используют плавные конфузорные переходы, ко¬
эффициент сопротивления которых оценивается формулой
£=m(l/e—1), где т — коэффициент «смягчения» входа,
зависящий от угла сужения а. Минимальное значение это¬
го коэффициента достигается при а=60° (рис. 9.11).
262
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

°i°05 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 0,035 0,040
5)
^ления (б) ^аСадок Б°Рда: конструкция (о) и коэффициенты сопротив-
Слияние и разделение потоков. При расчете сложных
трубопроводов приходится оценивать сопротивления, вы¬
званные слияниями и разделениями потоков. Схемы трой¬
ников такого типа приведены на рис. 9.12. Для их харак¬
теристики используют коэффициент полного сопротивле¬
ния £, коэффициент сопротивления бокового ответвления
и коэффициент сопротивления прямого прохода тройни¬
ка £п. Все эти коэффициенты приводятся обычно к ско¬
ростному напору в сборном трубопроводе.
Общие потери энергии в трой¬
нике (£=£б+£п) при слиянии т
двух потоков определяются поте- о,е
рями смешения и потерями на
поворот, часто вызывающими ло- 4*
кальный отрыв.
Численные значения величин
S, £б» £п зависят от угла а (рис.
9.12), соотношения площадей Fс,
Fc, Fn(F6+F«^Fc) и отношения
расходов Qe/ Qс*
При этом следует иметь в ви¬
ду, что Q6/<2c+Qn/Qc= 1.
0,2
О	ВО	120	О
Рис. 9.!!. Зависимость ко¬
эффициента т от угла су¬
жения сечения канала «
при различных значениях
i/d
263
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 9.12. Схема тройников, используемых для слияния (а) и разделе¬
ния (б) потоков
Некоторые зависимости сопротивлений тройников от
указанных параметров приведены в табл. 9.2.
Коэффициенты сопротивлений для стандартного пря¬
моугольного тройника (а=90°) из кованого чугуна при
Fa=Fc даны в табл. 9.3.
При разделении потоков потери вызываются потерями
на поворот в боковой отвод и потерями на внезапное рас¬
ширение после разделения потоков. Чем больше площадь
Таблица 9.2
С
а
Q6fQc
С при F6fFc
0,2 | 0.4
0,6
0,8
uo
«б
30
0,3
0,7
1.50
8.50
0,90
1,77
С (5
О О
—0,08
0,50
—0,10
0,40
45
0,3
0,7
1/4
9,20
0,30
2,15
0,08
0,85
0,00
0,60
—0,03
0,53
«п
Т абл;
30
0,3
0,7
—0,25
—3,40
0,10
—1,20
0,22
—0,50
0,30
—0,15
0,35
0,10
45
ица 9J
0,3
0,7
3
—0,13
—2, СО
0,20
0,85
0,28
—0,25
0,33
0,08
0,40
0,25
С
С при Q6/Qc
0,2 0,4
0,0
0,8 | 1,0
0,27
0,55
1,0
0,00
—0,48
—0,40
2,18
0,53
0,10
6,10
1,89
0,83
11,3
4,0
1,47
18,4
6,6
2,3
ея
264
Бесги
патная 6\
0,64
лблиотека т
0,65
еплоэне|
0,85
эгетика h
0,93
ttp://teplc
1,0
>lib.ru

Таблица 9.4
с »ри Q^IQr или QJQc
С
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
Сб
0,27
0,55
1,00
1,81
1,20
1,00
2,83
1,59
1,20
4,07
1,77
1,50
6,00
2,20
1,80
8,90
3.30
2.30
—
0,64
0,57
0,51
0,55
0,70
отвода, тем, очевидно, больше потери на внезапное рас¬
ширение.
В табл. 9.4 приведены коэффициенты сопротивления
указанного выше стандартного тройника (а=90°), исполь¬
зуемого для разделения потоков!
Коэффициенты сопротивления различной арматуры,
установленной на трубопроводах, зависят от ее типа и
места установки. Конкретные значения этих коэффициен¬
тов для типовых задвижек и клапанов приведены в ги¬
дравлических справочниках. Прямое суммирование всех
местных сопротивлений возможно только в том случае,
когда эти сопротивления разнесены друг от друга на рас»
стояние, превышающее 20—50 калибров трубы [/>(20-5-
50) й]. При меньших расстояниях I происходит взаимное
влияние «местных» сопротивлений и следует вводить осо¬
бую поправку на это влияние.
9.4.	Расчет сложных трубопроводов
По приведенной выше классификации сложные трубо¬
проводы характеризуются наличием различного рода от¬
водов и параллельных участков движения. Первому слу¬
чаю соответствует схема на рис. 9.13,а, а второму — схема
на рис. 9.13,6. Основной задачей расчета таких схем явля¬
ется определение объемных расходов на каждом участке
трубопровода. Их распределение будет, очевидно, зависеть
от сопротивления каждого участка трубы. Рассмотрим ме¬
тодику расчета схемы на рис. 9.13,а.
Если обозначить Qo общий расход на участке АВ, а
расход на участках BCt и ВС2 — соответственно Qi и Q2,
то, очевидно,
Q0=Qi+Q2.	(9.35)
265
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 9.13. Схемы сложных соединений трубопроводов
Записывая уравнение (9.8) для участков ВС\ и ВС2>
получаем еще два расчетных соотношения
(9.36)
(9-37)
Три написанных уравнения содержат четыре неизвестных:
Ар\, Ар2, Q1, Q2, и для решения поставленной задачи не¬
обходимо добавочное условие, связывающее либо перепа¬
ды давления Др,, либо расходы Q,-. В качестве такого усло¬
вия примем равенство давлений в точках Ci и С2. Тогда
Др1=Др2=Др. Приравнивая (9.36) и (9.37), найдем отно¬
шение расходов
QJQt (W)5'2 (W* (W12 ■	(9.38)
В случае, когда течение на обоих участках турбулент¬
ное, отношение коэффициентов сопротивления можно пред¬
ставить в виде
b/Si-Rei^/Re»1'4- [(c,/c2) (<*,/*)] >/<=
= (Qi/Q2),/4(^2/^i)1/4.	(9.39)
Совместное решение уравнений (9.38) и (9.39) дает
Q./Q2= (di/dt) WHh/h)4'7.	(9.40)
Используя уравнение баланса расходов (9.35), получаем
для турбулентного течения в технически гладких трубах
<Э<,(^/Л)19/7(УМ4/7	/94П
1+(rf1Mo,9'7(v/i)4/7 •
Таким же способом решается задача и в случае дви¬
жения жидкости по параллельным ветвям трубопровода
(схема на рис. 9.13,6), так как принятое выше условие
равенства перепадов давлений на сравниваемых участках
здесь выполняется автоматически. В результате при тур¬
булентном течении
Н1 + | «'‘.МУ’"!»./',)''7 ]•	(9,42)
266
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Глава десятая
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ДИФФУЗОРАХ
И КЛАПАНАХ
10.1.	Классификация диффузоров и их геометрические
параметры
Устройства, преобразующие кинетическую энергию по¬
тока в потенциальную, называют диффузорами. В со¬
ответствии с воздействием на поток, вызывающим его тор¬
можение, диффузоры, как и сопла (см. гл. 3), можно раз¬
делить на геометрические, тепловые, расход¬
ные, механические и комбинированные.
Наиболее часто используются геометрические диффу¬
зоры следующих типов: плоские, конические, осесимметрич»
ные с криволинейными образующими, кольцевые с прямо¬
линейными образующими, кольцевые с криволинейными
образующими, осерадиальные, радиальные, лопаточные.
В зависимости от Mi на входе они делятся на дозвуко¬
вые (Mid), околозвуковые (Mi^sl) и сверхзву¬
ковые (Mi>l).
На рис. 10.1 приведены некоторые схемы геометриче¬
ских диффузоров и основные обозначения их геометриче¬
ских параметров. Каждый диффузор характеризуется
вполне определенным набором безразмерных величин.
Для конических диффузоров (рис. 10.1,а) такими ве¬
личинами являются угол раскрытия а, относительная дли¬
на LjD\ и степень расширения n=F2/Fu связанные меж¬
ду собой следующим соотношением:
(|0Л)
В данном случае независимым образом можно менять
любые два параметра, а третий определяется формулой
(10.1).
Осесимметричные криволинейные диффузоры (рис.
10.1,6,	в) характеризуются двумя независимыми параме¬
трами: степенью расширения п, относительной длиной
L/D| и законом изменения диаметров вдоль продольной
оси x[Di/Dt=f(x/L)].
Для кольцевых диффузоров с прямолинейной осью
(рис. 10.1,г) независимыми геометрическими параметрами
являются относительная длина L/Dcp, относительная вы¬
сота канала на входе Ti=*l\/Dcp и углы раскрытия внешне¬
го (ai) и внутреннего (аг) обводов диффузора. Остальные
267
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 10 1. Схемы диффузорных каналов:
а — конический диффузор; б, в — осесимметричные криволинейные
диффузоры; г —кольцевые диффузоры с прямолинейной осью; д —
кольцевые диффузоры с криволинейными образующими; е — осеради¬
альные диффузоры
характеристики определяются по очевидным формулам
D\=D\jDcp— 1 -f-7i; d] —d\/D( p= 1—~l\;
D2=Di+2Ltgai/2; 52=5i+2Ltga2/2;
n= [ 1 +L/h (tg Gi/2—tg G2/2) ] x
X[l+r(tga,/2-ftga,/2)].
В приведенных соотношениях углы считаются положи¬
тельными при отсчете их против часовой стрелки от оси х.
Кольцевые диффузоры с криволинейными образующи¬
ми (рис. 10.1,д) и осерадиальные диффузоры (рис. 10.1,е)
характеризуются уже шестью независимыми параметрами:
безразмерной высотой на входе T=l/DlCp, безразмерной
длиной П—L/Dicp, безразмерной выходной высотой (ши¬
риной на рис. 10.1,е) H_=HjDicp, относительным средним
диаметром на выходе 1>2ср=£ЬсрД>1ср и законами измене¬
ния текущих диаметров D,—Д/Дср и 3i=d,/Diср.
Если обводы диффузора очерчены радиусами ri и г2
(рис. 10.1,е), то для оценки аэродинамических характери-
268
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

стик такого диффузора достаточно указать следующие пять
параметров: ti, г%/г\, L/n, D2/Dtcp, l/D\. Первые три пара¬
метра характеризуют форму меридионального сечения, ве¬
личина D2/DiCp определяет «радиальность» диффузора, а
Ji=l/Di характеризует относительный входной размер диф¬
фузора. Комбинируя различные типы диффузоров, можно
получить бесконечный ряд модификаций, но всех их,
объединяет общий признак — диффузорный характер те¬
чения.
10.2.	Аэродинамические характеристики диффузоров
Рассмотрим простейшую схему течения в коническом
диффузоре, изображенную на рис. 10.1,а. Здесь короткий
входной конфузор обеспечивает почти изоэнтропийное рас¬
ширение потока от параметров полного торможения poi и
/01 до параметров plt tu р, во входном сечении диффузора.
Будем считать иоле скоростей в этом сечении равномер¬
ным. При движении жидкости в расширяющейся части ка¬
нала за счет действия вязких сил в выходном сечении
устанавливается неравномерное распределение скоростей
Cti и плотностей р2, но поскольку значения M.2i=C2i/a2i
сравнительно малы, плотность в сечении /—1 допустимо
считать постоянной При дозвуковых скоростях давление
р2 также постоянно по всему выходному сечению.
Торможение потока в диффузоре различно для различ¬
ных линий тока, но при использовании некоторой средней
скорости с2 процесс торможения может быть изображен
так, как это показано на рис. 10.2. Кинетическая энергия
на входе определяется перепадом эн¬
тальпии A#i(c1=C|i=]/2Atfi). Пере¬
пады энтальпий Д/гв с, Дйьг и Дh опре¬
деляют соответственно выходную ки¬
нетическую энергию, энергию, преоб¬
разованную в давление, и внутренние
потери в диффузоре. Тогда, баланс
кинетической энергии запишется в виде
A//i=- ДЛв с+ДЛ^г+ДЛ,
или относительно энергии во входном
сечении
1 = Д/!в c/AUfi~Ahit2lAH i+Д/г/Д Н i
(10.2)
269
Рис 10 2. Процесс
торчожеиия потока в
А, 6‘-диаграмме по
средним параметрам
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Полученная сумма относительных величин определяет ко¬
эффициент выходной кинетической энергии £в.с=
=ДАв.с/Д#1, коэффициент восстановления энергии £=
=Ahit2/AHi и коэффициент внутренних потерь %=Ah/AHi.
С учетом введенных обозначений перепишем (10.2) в виде
£в.с+1+£=1.	(Ю.З)
Сумма кинетической энергии потока на выходе из диффу¬
зора Д/г'в.с и энергии, израсходованной на преодоление
внутреннего сопротивления Ah, приблизительно равна всей
располагаемой энергии Aho и определяет полные потери в
диффузоре. Следовательно, коэффициент полных потерь
Си можно представить в виде
£п= (Д/1в.с+ДЛ)/ДЯ1=£в.в-К«Дйо/ДЯ1.	(Ю.4)
Сравнивая (10.3) и (10.4), получаем
|=1-&.	(10.5)
При малых	Mi,	когда	сжимаемость	потоков	проявляется
весьма слабо, коэффициент восстановления энергии совпа¬
дает с коэффициентом восстановления давления |д, т. е.
t Рг Pi  t
Д ?с\/2
В расчетах диффузоров часто используется КПД диф¬
фузора т]д, определяемый отношением действительного уве¬
личения давления в диффузоре к теоретически возможному
повышению давления, т. е. т)д—£/£вд. Коэффициент вос¬
становления давления в идеальном диффузоре зависит
только от геометрических параметров канала, так как вну¬
тренние потери отсутствуют и £п=£в.с:
к — 1 г  1	_
Ч1Д  1 ЧП.ЙД 	 1	ЧВ«С •
При равномерном распределении скоростей уравнение рас¬
хода для идеального диффузора (p=const) запишется в
виде
p\CiFi^p2c2^jiF2.
Отсюда c2l,!llcl=Fi/F2=lln. Поскольку £в.с.ид=с22ид/с2!,
С* 1/я1.	(Ю.6)
С учетом (10.6) получим
  	=	*—(10.7)
,д 1 — 1/я»	1	— l/я»*	v	7
Следовательно, КПД диффузора и	коэффициент восстанов¬
ления энергии связаны однозначной зависимостью и г\я^
>1
270
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

10.3.	Экспериментальная и расчетная оценки
аэродинамических характеристик диффузоров
Введенные коэффициенты, характеризующие эффектив¬
ность преобразования энергии в диффузорах, могут быть
выражены через введенные в гл. 3 интегральные площади
вытеснения Д*2 и потери энергии Дг***. Действительно, по
определению коэффициент полных потерь равен
Отношение скоростей сц/с\ легко найти из уравнения рас¬
хода (3.60), записанного для сечений 1—1 и 2—2
(рис. 10.1,а) с учетом относительных площадей вытесне¬
ния:	_
m=puCuFl (1— A*i) =p2C2iF2 (1— Д*2).
Поскольку в рассматриваемом случае cu=ci и, следо¬
вательно, Д*1=0,
Для несжимаемой жидкости pi/p2=l. Для сжимаемой
жидкости при относительной скорости Л1>0,3 это отноше¬
ние может быть представлено следующей приближенной
зависимостью:
Формула (10.12) определяет коэффициент полных потерь
в неявном виде. Для несжимаемой жидкости Ai-И) и
Экспериментальная оценка коэффициента полных по¬
терь достаточно проста и сводится к измерению давления
торможения рои статического давления р\ перед диффу¬
зором и давления на выходе р2. Эти давления при исполь-
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
tn=AAo/(Atfi)=cVc2i.
(10.8)
_£iL_A 1
С, — рг /7(1— Д*г)
Подставляя (10.9) в (10.8), получаем
(10.9)
(10.10)
Тогда
2
(10.12)
(10.13)
271

Рис. 10.3. Зависи¬
мость коэффициента
полных потерь в диф-
фузорном канале от
числа Рейнольдса:
О — а=15°; Д —
а=7°
0f1~ I и. м
~50 ~10*	10s	г-105	J-10s	4'10* щ
зовании исходной зависимости (10.8) полностью определя¬
ют величину £п:
У g221 i   1 —'(Pz'Pqi)^ ^	/1Л 1Д\
1-(л Л,)k'l,k-	{	’
Заметим, что, используя опытное значение коэффициента
£„, можно довольно точно с помощью формулы (10.12)
найти относительную площадь вытеснения в выходном се¬
чении диффузора.
Коэффициент внутренних потерь £ представляет собой
отношение кинетической энергии потока, затраченной на
преодоление внутреннего сопротивления диффузора А Кг,
к располагаемой кинетической энергии в узком сечении
Ki=mc2i/2:
Поскольку масса жидкости, протекающей через диффузор
при отсутствии внешнего массообмена, постоянна в раз¬
личных сечениях, эта запись, естественно, эквивалентна
предыдущей (£=A/?/A#i). Выражая АК2 через площадь
потери энергии по формуле (3.72) и используя уравнение
расхода в форме (3.60), получаем
* Г. -А***	7**	Т***
^ _ Р	c\f_	*2	__	£	*2
Р*C«F,(1—д*0с*|	“	с2,	1—3*.	“	1 — Д*	*
Заменим величину соотношением (10.10). Тогда
Коэффициент выходных потерь £вс найдем по очевидному
выражению
272
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
£=Д К»1Кь
(10.15>

8 е п — (Pi Рг) п*(1—Д* )*	*	(10.16)
Таким образом, если для опытного определения коэффи¬
циента полных потерь достаточно простых интегральных,
испытаний, то для определения коэффициентов £ и £в.с
необходимо определить поле скоростей в выходном сечении
диффузора *.
10.4.	Влияние режимных параметров
на характеристики диффузоров
Влияние числа Рейнольдса. Движение жидкости в диф¬
фузорах происходит при положительном градиенте давле-
ьня, что предопределяет возможность как безотрывного,,
так и отрывного режима течения и существенно усложняет
зависимость коэффициента полных потерь £;п от числа
Рейнольдса. Качественно эта зависимость близка к зави¬
симости Cx=f(Re) для цилиндра или шара (рис. 6.15)
и иллюстрируется кривой на рис. 10.3, где, так же как и
на рис. 6.15, можно выделить пять характерных зон.
В зоне / при малых Re сохраняется безотрывное тече¬
ние и влияние вязкости распространяется на всю область
течения. С ростом значения Re происходит интенсивное
снижение как внутренних, так и выходных потерь. По рас¬
четам С. М. Тарга безотрывное течение в конических диф¬
фузорах сохраняется при Rei«^7,34. Отсюда для диффу¬
зора с углом раскрытия а=10° протяженность первой зо¬
ны ограничена Rei«»50.
В случае, если комплекс Reia=5s7,34, возникает отрыв
потока и при фиксированном угле ai с ростом Rej место
отрыва приближается к входному сечению диффузора. Этот
процесс носит асимптотический характер и при Reia>150
положение зоны отрыва практически не зависит от Re.
Естественно, что в рассматриваемом диапазоне изменения
комплекса Re]a коэффициент полных потерь увеличивает¬
ся (зона II на рис. 10.3).
В зоне /// имеет место стабилизированный отрыв ла¬
минарного пограничного слоя. Так же как и при обтека-
* Все приведенные соотношения справедливы при очень малых
потерях на входном конфузорном участке и равномерном входном по¬
ле скоростей
18—3331	273:
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

яии цилиндра, оторвавшийся пограничный слой на неко¬
тором расстоянии от сечения отрыва турбулизуется и с
ростом 'Rei зона турбулизации приближается к сечению
отрыва. При достижении этого сечения происходит резкое
качественное изменение картины течения, вызванное тем,
что теперь процесс турбулизации захватывает область не-
оторвавшегося пограничного слоя, что увеличивает его
сопротивление отрыву, и, следовательно, происходит рез¬
кое смещение отрыва, а при умеренных углах и его ликви¬
дация. Коэффициент при этом уменьшается, и дальней¬
шее его изменение зависит не столько от числа Рей¬
нольдса, сколько от геометрических параметров. При о>
>15° потери с ростом числа Рейнольдса вновь возраста¬
ют, так как происходит отрыв уже турбулентного погра¬
ничного слоя, а при а<. 10° коэффициент £n несколько па¬
дает. Диапазон углов 10°<а<15° определяет группу диф¬
фузоров с неустойчивым характером течения, где возмож¬
но появление первого и второго типов течения.
Активное влияние Re, по-видимому, заканчивается в
области, где Re>5-105. Эту зону называют зоной авто¬
модельности.
Влияние безразмерных входных скоростей Xi(Mi) на
аэродинамические характеристики диффузоров. Безраз¬
мерная скорость Я) (Mi) характеризует влияние сжимаемо¬
сти жидкости на процесс течения ее в диффузоре. При пе¬
реходе от несжимаемой жидкости к сжимаемой меняется
распределение давлений и скоростей вдоль канала. Если
(dp/dx)H— продольный градиент давления в несжимаемой
жидкости, то в сжимаемой жидкости согласно формуле
Прандтля (4.48)
dp/dx:= (dpfdx) я (1 -М2,)-1'2.	(10.17)
Отсюда следует, что наибольшие изменения при переходе
к сжимаемой жидкости происходят вблизи входного сече¬
ния диффузора, где безразмерная скорость М,- имеет на¬
ибольшее значение. Эти изменения сводятся в первую оче¬
редь к тому, что в подводящем конфузоре увеличиваются
отрицательные градиенты давления, а на входном участке
диффузора растут положительные значения величины
dp/dx и, следовательно, возрастает вероятность отрыва по¬
тока вблизи входного сечения. Кроме того, отрыву способ¬
ствуют и те изменения в структуре пограничного слоя, ко¬
торые наблюдаются при больших дозвуковых и околозву¬
ковых скоростях в подводящем конфузорном канале. На
274
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 10.4. Профили скорости в погра- у
ничном слое в области входного сечения
диффузора при различных значениях Xt:
/ — Х,=0,48; 2 — Л.,=0,65; 3 — X,=0,81	0,8
[Re= (2,1 -*-3,7) • 1051
0,6
0,1
о
рис. 10.4 показано экспериментальное распределение ско¬
ростей перед входным сечением диффузора, полученное при
трех значениях А*. В этих опытах Re=(l,5-t-2,0) • 105, что
гарантировало при малых скоростях жидкости турбулент¬
ный режим течения в пограничном слое. Профиль скоро¬
сти, полученный при Ai=0,41 (кривая /), подтверждает
сказанное. С ростом скорости в соответствии с формулой
(10.17)	в подводящем канале растет конфузорность и со¬
ответственно увеличивается наполнение профиля скорости
(кривая 2 на рис. 10.4). В дальнейшем, однако, несмотря
на продолжающийся рост конфузорноети при A,i=0,78 ско¬
рости вблизи стенки заметно уменьшаются и зависимость
Яг-=/(#/6) приобретает вид, характерный для ламинарного
пограничного слоя (кривая 3). В результате повышенный
градиент давления за узким сечением канала действует на
«ламинаризованный» пограничный слой, возможности ко¬
торого преодолевать положительные градиенты давления
весьма ограничены, и в области больших околозвуковых
скоростей в диффузорах можно ожидать кризисного уве¬
личения потерь, вызванного отрывом потока вблизи вход¬
ного сечения. Опытные данные, приведенные на рис. 10.5,
хорошо подтверждают сказанное. Вначале с ростом без¬
размерной скорости Ai коэффициент полных потерь £п сни¬
жается, а затем происходит резкое увеличение потерь, при¬
чем кризисное значение Ai оказалось зависящим от Re.
Чем выше значение Re, тем при больших входных скоро¬
стях Ai наступает увеличение потерь энергии. Этот резуль¬
тат полностью согласуется с рассмотренным выше меха¬
низмом возникновения отрыва во входном сечении диф¬
фузора. Действительно, с ростом Re для «ламинаризации»
пограничного слоя требуется и более высокая конфузор-
18*	275
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 10.5. Экспериментальная зависимость £ц от Ki при различных зна¬
чениях Re:
О — Re= (0,3-f-0,6) * 105; X — Re= (0,8-1,0) • 105; О — Re= L5« 105;
A — Re^5- 103 (опыты МЭИ)
ность на вход]гом участке, т. е. более высокое значение
безразмерной скорости Ль Другими словами, чем позднее
наступают структурные изменения во входном погранич¬
ном слое, тем при больших Ai наступает кризисное увели¬
чение потерь энергии в диффузорных каналах. Опыты по¬
казывают, что при высоких значениях числа Рейнольдса
и умеренных углах раскрытия диффузора (а<10°) во
всем дозвуковом диапазоне входных скоростей Ai можно
обеспечить безотрывное течение с высоким коэффициентом
восстановления давления. Этому же способствует и плав¬
ный переход от конфузорной части канала к диффузорной.
10.5.	Влияние геометрических параметров
на характеристики диффузоров
Влияние угла раскрытия а. Угол раскрытия плоского
или конического диффузора а является основным геоме¬
трическим параметром, определяющим характер течения
жидкости в рассматриваемом канале.
Анализ влияния угла а на коэффициенты потерь можно
вести либо при постоянной относительной длине L=const,
либо при постоянной степени расширения n=const.
В первом случае увеличение угла сопровождается ростом
степени расширения, а во втором — сокращением длины L.
Легко заметить, что правильное представление о влиянии
угла а можно получить только при п—const, так как тео¬
ретически именно этот параметр определяет эффективность
преобразования энергии в диффузорах.
276
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 10.6. Экспериментальная зависимость £п от угла раскрытия кони¬
ческих диффузоров при различных значениях п:
С — /?^2; А —п—3; X —я=4; О —п—6 (опыты МЭИ)
Опытная зависимость £u=f(a, п), приведенная на
рис. 10.6, показывает, что вначале с ростом угла а потери
несколько падают, а затем возрастают почти по линейному
закону. Если при а<15° рассматриваемая зависимость
расслаивается по степени расширения п, то при а>15°
все кривые сливаются, образуя одну общую линию. Этот
факт свидетельствует об отрывном течении, в результате
чего дальнейшее расширение канала практически не мо¬
жет повлиять на преобразование энергии, так как за сече¬
нием отрыва повышения давления нет и вся кинетическая
энергия потока теряется. При увеличении угла а сечение
отрыва приближается к входному сечению диффузора и
соответственно возрастают полные потери. Таким образом,
чем больше угол а, тем меньше допустимая с точки зре¬
ния возникновения отрыва степень расширения п. На
рис. 10.7 приведены опытные данные, связывающие между
собой предельные значения рассматриваемых параметров,
при которых еще возможно безотрывное течение в кони¬
ческих диффузорах. Область ниже кривой a—а соответст¬
вует безотрывному течению. Если параметры диффузора
попадают в зону над кривой, то наиболее вероятен отрыв¬
ной характер течения. Хорошо видно уменьшение предель¬
ной степени расширения с ростом угла а и асимптотиче¬
ское увеличение се с уменьшением а. Эта асимптота соот¬
ветствует углу порядка 7 -8°, т. е. при а<8° течение
безотрывно при любой степени расширения п.
Возникновение отрыва потока при увеличении угла a
свыше предельного значения, определяемого кривой а—а
на рис. 10.7, тесным образом связано с переходом от ци-
277
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 10.7. Зависимость, определяющая область геометрических пара*
метров безотрывных конических диффузоров
линдрической подводящей части канала к коническому
диффузору. Сглаживая этот переход, можно сместить се¬
чение отрыва потока к выходному сечению и заметно по¬
высить коэффициент восстановления энергии в диффузорах
с большими углами раскрытия а.
Влияние степени расширения диффузоров. Степень рас¬
ширения диффузора определяет его потенциальные воз¬
можности по преобразованию кинетической энергии потока
в потенциальную. Чем больше значение п, тем меньше при
безотрывном течении кинетическая энергия потока, поки¬
дающего диффузор, и соответственно выше коэффициент
восстановления энергии. Однако, как уже отмечалось вы¬
ше, при возникновении отрыва эта простая закономерность
нарушается и увеличение параметра п не приводит к сни¬
жению выходных потерь. Более того, эти потери в связи
с растущей неравномерностью выходного поля скоростей
могут даже увеличиваться. Растут также и внутренние
потери, связанные с диссипацией энергии в отрывных зо¬
нах. В результате для этой группы диффузоров можно го¬
ворить об оптимальной степени расширения, соответствую¬
щей минимуму полных потерь. Сказанное наглядно иллю¬
стрируется опытными данными, приведенными на рис. 10.8.
Чем больше угол а, тем меньше оптимальное значение па¬
раметра п и выше минимальный уровень потерь. Следует,
однако, отметить, что минимум на приведенных кривых
выражен слабо, так как за сечением отрыва вся кинети¬
ческая энергия потока в основном теряется и ее значение
почти не меняется с изменением величины п.
Более ярко вырисовывается оптимум по степени расши¬
рения, если опыты проводятся при L=const, когда измене¬
ние величины п осуществляется посредством изменения
278
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

п
Рис 10.8 Экспериментальная зависимость коэффициента полных по¬
терь от степени расширения конических диффузоров при a—const:
□ — а=30°; X—а=22°; Л — а=15°; О — а=7° (опыты МЭИ)
угла а, т. с. посредством изменения входных условий. Ка¬
чественно рассмотренные зависимости сохраняются и для
более сложных диффузорных каналов.
10.6.	Расчет конических диффузоров
Основные расчетные соотношения получены ранее и сводятся
к простым формулам (10.10) и (10.15). Для диффузоров с несомкнув-
шимся пограничным слоем теоретическая скорость в выходном сечснии
C2t совпадает с максимальной и, следовательно, Д*«="5*, а Д***=6***.
Интегральные площади вытеснения 6*, и потери энергии $*** связаны
с площадью потери импульса б** эмпирическими и полуэмпирическими
соотношениями и, следовательно, могут быть найдены в результате ре¬
шения уравнения Кармана (6.45) Это решение для осесимметричного
течения несжимаемой жидкости (p-=const) может быть записано
в виде
где 6**2 —не площадь, а толщина потери импульса; L — длина диф¬
фузора; Bi=DifD2 — относительный текущий диаметр, выраженный
в долях диаметра D2 на выходе из диффузора; ci^ci/ci — относитель-
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
(10.18)
279

иая текущая скорость, определяемая очевидным соотношением
г ci
It
D*t
(10.19)
Ч ~ с, ~Ft (1 -«*<) “ D*t (1 -I.*)
Используя параметр #=б*/б** и зависимость (10.19), находим из
(10 18) площадь вытеснения Ь*2-
0,144//	'03
*г - D,
Xd-V)*-*4
44// /I \и’*	„
if (о-)*' Х
1 _ !*•«
Г
J (1I *
Связь текущего диаметра Л* с осевой длиной диффузора достаточна
проста:
^ = 1 + (Vn— 1) х.	(10.20)
Площадь вытеснения вдоль образующей канала 6** непрерывно уве¬
личивается до 6*2. Представим закон этого изменения в виде степен¬
ной функции 6*i=$*2Xm. Для конических диффузоров т=0,8 и
(10 21>
С учетом (1021) и (1020) получим
Г 1
dx
б2*=вп*>*4( 1—а2*)з>з*
+ (Уп — 1) *}«>« (1— 8г*х-» *)‘
)0,8
'
где
£\0,8
(L \
(10.22)
(10.23)
Принимая в качестве параметра степень расширения диффузора nt
в результате решения соотношения (10 22) найдем б*2—/(я, 5). Эта
зависимость приведена в виде расчетной номограммы на рис 10.9, При
использовании номограммы необходимо вычислить параметр £, зави¬
сящий в свою очередь от переходного множителя Н. Его значение мо¬
жет быть оценено по экспериментальной зависимости
Я = 1,4 И
Vn-i 1
(/'Я.И'
(10.24)
В результате
280
0,2	/	L	\».«Г	Vh—l	1
5 = ~R^f("0T/	1,+	(Х/Д,)0-2	Г	(,0'25>
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 10.9. Номограм- _
ма для расчета коии-
ческих диффузоров
0,16
0,12
0,08
ож
о
0,02 OjOb 0,06	Of OS	В
Для определения плошади потери энергии 6*2 воспользуемся соот¬
ношением Вихгарта
где Н оценивается по (10 24).
Все приведенные соотношения справедливы только для безотрыв¬
ного течения При возникновении отрыва в промежуточных сечениях
канала интегральные площади, входящие в соотношения (10.10) и
(10.15), вычисляются до сечения отрыва При ориентировочных расче¬
тах Н макс =/^в^2,0.
Приведенный метод расчета может быть распространен и на более
сложные диффузорные каналы
10.7.	Методы повышения эффективности
диффузорных каналов
Рассматривая движение жидкости в диффузорных каналах, сле¬
дует иметь в виду исключительное разнообразие форм течения, обу¬
словленное в первую очередь возможностью перехода от безотрывного
течения к отрывному В последнем случае не только падает эффектив¬
ность преобразования кинетической энергии, но одновременно нару¬
шается стационарность течения, его симметрия, увеличивается акусти¬
ческое излучение, растут силовые нагрузки на стенки канала и т. д.
На рис 10 10 приведены зависимости коэффициента полных потерь
от степени расширения для двух предельных случаев торможения
потока в канале с внезапным расширением сечения (кривая /) и при
безотрывном течении в коническом диффузоре с углом «=7° (кри¬
вая 2)
Характеристики основной группы геометрических диффузоров рас¬
полагаются между этими кривыми Чем ниже эффективность диффу¬
зора, тем ближе его характеристика к кривой /. Для повышения
эффективности торможения потока необходимо в первую очередь
'2 “ Я — 0,37
(10.26)
281
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 10.10. Зависимость £п
от п для канала с вне¬
запным расширением (1) и
для диффузора с углом
раскрытия а=7° (2)
обеспечить безотрывность течения по
всей длине канала. Эта задача в прин¬
ципе может быть решена соответствую¬
щим профилированием стенок канала.
В теоретическом плане для предотвра¬
щения отрыва потока основное тормо¬
жение его должно осуществляться на
начальном участке диффузора в обла¬
сти тонкого пограничного слоя с после¬
дующим непрерывным снижением про¬
дольного градиента давления. На боль¬
шей части канала в этом случае погра¬
ничный слой находится в предотрывном
состоянии и неизбежные на практике
случайные возмущения могут привести
к отрыву потока. В частности, небольшое увеличение продольного
градиента давления, обусловленное ростом скорости Mi (Mi >0,4),
приводит к отрыву непосредственно во входном сечении.
Значительно большей устойчивостью по отношению к входным
условиям обладают диффузоры, входная часть которых очерчена боль¬
шим радиусом. Однако смещение максимального расширения канала
в область развитого пограничного слоя неизбежно приводит к отрыву
потока.
Сочетание преимуществ каналов первой и второй формы дает воз¬
можность в максимальной степени использовать естественные возмож¬
ности торможения потока (рис. 10 11,а). При этом точку перегиба
образующей канала а необходимо расположить до сечения отрыва по¬
тока на радиусной части рассматриваемого диффузора. Другими сло¬
вами, его радиусная часть должна кончаться раньше, чем может про¬
изойти отрыв потока.
Для плоских диффузоров большой эффект может быть достигнут
в результате использования внутренних разделительных ребер, обеспе¬
чивающих последовательное отклонение потока в направлении внеш-
Рис. 1011. Схемы геометрического воздействия на поток в диффу¬
зорах:
а — колокольный диффузор; б —диффузор с разделительными ребра¬
ми; в — диффузор с внутренними поперечными канавками.
282
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Отсос жидкости
Отсос жидкости
источника
Перепуск жидкости
6)
Рис. 10.12. Схемы аэродинамического воздействия на поток:
а — диффузор со щелевым отсосом потока; б — диффузор с отсосом
потока через перфорацию; в — использование естественного перепада
давления с целью отсоса потока из предотрывной зоны; г — диффузор
с пристеночным вдувом; д — двухступенчатый диффузор с пристеноч¬
ным вдувом; е — осерадиальный диффузор с разрезным дефлектором,
обеспечивающим пристеночный вдув потока на выпуклой поверхности
дефлектора
них стенок канала (рис. 10.11,6) Такой метод активного воздействия
на поток эффективен и в случае осесимметричных диффузоров Однако
трудно выполнить и надежно укрепить кольцевые секции внутри исход¬
ного канала Добавочные поверхности, введенные в поток, естественно,
приводят к увеличению внутренних потерь, но, устанавливая их по
отношению друг к другу с углом, не превышающим 7—8°, удается
283
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

полностью ликвидировать отрыв даже при больших значениях п По¬
перечное отклонение потока от продольной оси канала достигается
здесь путем чисто механического воздействия на него отклоняющих
ребер. Тот же эффект может быть получен посредством искусственного
стимулирования поперечного переноса массы В частности, увеличенная
турбулизация потока перед диффузором способствует смешению сече¬
ния отрыва вниз по потоку и вызывает соответствующее снижение
потерь
Добиться поперечного переноса массы можно и путем организации
искусственной серии микроотрывов с поверхности канала. В определен¬
ном диапазоне углов, скоростей и чисел Рейнольдса хорошие результа¬
та™ в смысле уменьшения потерь были достигнуты в диффузоре
с поперечными канавками, образующими пристеночное оребрение
(рис. 10 11,в) при условии, что первая поперечная канавка располага¬
ется до сечения отрыва
Весьма эффективным методом снижения потерь в коротких диф¬
фузорах с большими степенями расширения является отсос погранич¬
ного слоя и вдув активного потока к диффузорный канал. Некоторые
схемы такого воздействия показаны на рпе 10 12 Существует доста¬
точно много схем организации отсоса Наиболее часто используется
щелевой отсос с расположением первой щели отсоса перст сечением
отрыва. Более эффективен отсос потока через перфорированные стенки,
В этом случае помимо удаления заторможенной жидкости на основное
течение накла тмвастся поперечный градиент давления, обеспечивающий
отклонение линий тока к стенкам канала (рис. 10 12,6) Зависимость
величины £„ от интенсивности отсоса q—m()TC/rny где шотс—количе¬
ство отсасываемой жидкости, а т —общий ее расход, показывает
(рис 10 13), что при <?=5 % коэффициент полных потерь может быть
уменьшен на 20—30 % исходного уровня Основным недостатком рас¬
сматриваемого метода является необходимость использования для отсо¬
са независимого источника низкого давления и удаления из канала
части потока. Добавочные затраты энергии на осуществление этих
процессов оказываются заметными Иногда для отсоса можно исполь¬
зовать естественный продольный перепад давления, имеющийся в диф¬
фузоре. Схема такого отсоса с возвратом удаленной жидкости в канал
изображена на рис. 10 12,s Однако эффективность этой схемы мала,
так как энергия, необходимая для отсоса жидкости из предотрывной
зоны, заимствуется непосредственно из основного течения, а КПД
естественного эжектора достаточно низок
Для практических целей более применим, видимо, пристеночный
вдув активной струи, показанный на рис. 10.12,г Струя жидкости
с повышенной энергией вдувается через щелевой канал вдоль стенки»
обеспечивая для основного потока своеобразную подвижную границу*
При этом реэко повышается устойчивость движения жидкости
При организации пристеночного вдува можно использовать энергию
основного потока, подводимого к сечению вдува непосредственно от
284
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

О 0,01	0,0Ik	0,0J 0,04 q
0	0,2	0,4	0,6	0,8
Рис 1013 Влияние отсоса че¬
рез перфорацию на коэффици¬
ент полных потерь
Рис.	ЮЛ 4.	Эффективность
двухступенчатого диффузора:
О — исходный диффузор; А—
двухступенчатый диффузор е
пристеночным вдувом (опыты
МЭИ)
входного сечения. Особенно эффективен способ при комбинации с гео¬
метрическими воздействиями. На рис 10 12,д показана схема двухсту¬
пенчатого диффузора, состоящая из внутренней входной части и после¬
дующего конического диффузора. Вдув потока осуществляется вдоль
конической стенки
Эффективность рассматриваемой схемы хорошо видна на рис. 10.14
Если для обычного конического диффузора при степени расширения
я =14 и угле а=40° величина £п~ 0,80-4-0,85 (кривая i), то переход,
к двухступенчатой схеме с пристеночным вдувом снижает коэффициент
полных потерь почти на 50—60 %. Достигнутые значения коэффициента
-0,24-0,25 (кривая 2) характерны для безотрывных конических диф¬
фузоров с малыми (а<10°) углами раскрытия.
Модифицированная схема использования пристеночного вдува при¬
ведена на рис. 10 12,г, где за счет энергии основного потока обеспе¬
чивается наддув разрезного дефлектора, установленного в осерадиаль¬
ном диффузоре*
Рис. 10 15. Схемы нормального вдува:
а — кольцевой диффузор; б — осерадиальный диффузор
285
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 10.16. Эффективность
нормального вдува:
О — увеличение д; Д — умень¬
шение q
Вход
потока
Выход
потока
Рис. 10.17. Схема уравнительных
(демпферных) камер
В некоторых случаях с успехом может быть использована схема
нормального вдува активного потока, обеспечивающая нужное откло¬
нение основного потока в диффузорном канале. Для примера на
рис 10 15,а и б показаны схемы такого вдува в кольцевых и осера¬
диальных диффузорах. Поток, вдуваемый нормально к направлению
основного течения, обеспечивает эффективное отклонение линий тока
в нужном направлении и способствует заметному снижению потерь
энергии, которое составляет около 30—35 % при угле раскрытия внеш¬
ней образующей диффузора «==50° (рис. 10.16). Обращает на себя
’внимание полученная разница значений £п при увеличении количества
вдуваемой жидкости (прямой ход) и при последующем ее уменьшении
(обратный ход). Увеличение потерь в случае снижения величины $
наступает при	2,5	%,	а кризисное падение потерь отмечается
только при возрастании относительного расхода q до 5 %. Этот свое¬
образный «гистерезис» указывает на значительную устойчивость линий
тока в диффузорах по отношению к внешним воздействиям.
Для диффузорных каналов, где возникает отрыв потока от стенок,
целесообразно использовать уравнительные (демпферные) камеры, со¬
единенные с проточной частью канала системой равномерно расположен¬
ных отверстий (рис. 10.17).
Сравнение всех рассмотренных аэродинамических методов воздей¬
ствия на поток показывает, что их эффективность почти одинакова
Следовательно, целесообразность применения того или иного способа
диктуется в первую очередь практическими возможностями и техноло¬
гическими соображениями.
10.8.	Диффузоры регулирующих клапанов паровых
турбин
Регулирующие клапаны являются неотъемлемым элементом каждой
турбины и состоят из собственно клапана 1 и седла 2 (рис 10 18).
Пар по трубопроводу 3 подводится к клапанной коробке 4 и через
Ш
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

кольцевую щель 5 между чашей клапана
я седлом 2 направляется к сопловому ап-
парату первой ступени турбины. В зависи¬
мости от подъема клапана h меняется про¬
ходная площадь и степень дросселирования
потока.	Пара
При подъеме клапана на высоту Я—
=&/di=0,25 геометрическая площадь Fix
кольцевой щели 5 становится почти рав¬
ной площади узкого сечения седла Fu и
теоретически с этого момента расход дол¬
жен оставаться постоянным и не зависеть
от дальнейшего подъема клапана.
На практике в большинстве случаев
полному открытию клапана соответствует
относительный подъем Й=0,3.
При заданном расходе т минимальный диаметр седла
d1 = V 4т/ (яр,*,).
Отсюда видно, что размеры клапанной системы однозначно опре*
дсляются расходом на единицу площади piCj. Чем больше эта величи¬
на, тем меньше диаметр седла и клапана. Следовательно, меньшим»
оказывается и максимальное усилие, необходимое для перестановка;
клапана. Снижение усилий на его штоке в ведет в свою очередь
к уменьшению мощностей сервомоторов и в конечном счете повышает
надежность системы регулирования.
Удельный расход р\сх достигает максимального значения при Ci**
Введем эту величину в соотношение (10.27). Тогда
пара
Рис. 10.18. Схема без-
диффузорного клапана
I в 1 / 4т	?*С* = 1 / 4т
1 V *р*«*	V	*
Здесь <?i=pici/(p*c*)—удельный приведенный расход в минимальном
сечении седла. Отсюда при q\=\ и заданном расходе пара т получим
минимальное возможное значение диаметра
£^пш = У Ат,	.
Однако подобное уменьшение размеров клапанной системы для просто¬
го цилиндрического седла, изображенного на рис. 10.18, возможно толь¬
ко путем резкого увеличения потери давления. В частности, для пере¬
гретого пара указанные потери Др//?о теоретически должны составлять
Ар/й>— (Р0—Р2) /Ро= 1—е*=1—0,546=0,454.
Ясно, что подобное решение совершенно недопустимо, и при ци¬
линдрических седлах приходится существенно снижать удельный при¬
веденный расход <7ь Обычно в системе паровпуска допускаются потери
287
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

.давления около г>7о, т. е относительный перепад давления на клапан
«г—рг/ро составляет 0,95. Этому значению е2 соответствует табличное
-значение <?i=*0,46. Экспериментальное значение qi через клапаны ока¬
зывается еще меньше, и реальные размеры клапанов оказываются на
40—70 % больше минимально возможных размеров.
Простейшим решением указанной проблемы является переход от
цилиндрических седел к диффузорным
Действительно, в коническом диффузоре с развитым конфузорным
«ходом относительное давление в узком сечении ei может быть су¬
щественно ниже общего перепада на всем диффузоре 62. В частности,
при использовании диффузора со степенью расширения п= 3 и нуле¬
выми внутренними потерями (£ц=1/п2) уже при 82—0,975 величина
достигает критического значения, т. е для достижения максимального
расхода (<?i=l) через подобный канал достаточно поддерживать пе¬
репад давления, равный 2,5 % Наличие потерь, естественно, меняет
фактические данные, но возможность увеличения удельного расхода без
изменения перепада давления на клапан является весьма заманчивой
и в настоящее время широко используется в турбомашинах.
Свяжем величину q\ с коэффициентом -полных потерь £п и относи¬
тельным перепадом давления Др/ро. Для этого представим ее в виде
Выразим далее теоретическую безразмерную скорость X2t через отно¬
сительный перепад давления Др/ро:
Подставляя (10.28) в (10 27), приходим к следующему соотношению:
Учитывая, что £a=A,22* Д2Ь получаем
1 1
(10.28)
(10.29)
288
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 10.19. Зависимость удель-	Рис. 10.20. Схема диффу-
ного расхода q от потери дав-	зорного клапана
лени я на клапане Др/ро и эф¬
фективности диффузора
Графически зависимость (10.28) изображена на рис 10.19.
Значению £п—1 соответствует цилиндрический канал при движении
в нем идеальной жидкости.
Хорошо видно, что посредством снижения коэффициента полных
потерь в диффузоре при постоянном перепаде давления Др можно су¬
щественно повысить значение q\ и, таким образом, приблизиться к ми¬
нимальным размерам клапана. Если же сохранять неизменной величину
qt (т е не менять размеры клапана), то путем установки диффузора
заметно снизятся потери в системе паровлуска
Па рис. 10 20 приведена типичная для паровых турбин схема ре¬
гулирующего клапана 1 с диффузорным седлом 2
Наиболее часто в турбинах использовался диффузор с углом рас¬
крытия а—10° и степенью расширения я=2ч-2,2. Согласно данным
рис. 10 8 для этих параметров ^*=*0,34-0,35, и по сравнению с цилин¬
дрическим седлом можно было ожидать почти двойного увеличения qt
при Др/ро=0,05
Опыты, однако, показали, что установка диффузоров сравнительно
мало изменила расходные характеристики системы и существенно уси¬
лила нестационарность течения в клапанах. Последнее обстоятельство
снизило надежность органов паровпуска, что выразилось в обрывах
штоков клапанов, в выпрессов«ке диффузоров и их обрывах.
Таким образом, вместо ожидаемого решения проблемы было полу¬
чено ее заметное усложнение
Анализируя причины отрицательных результатов, можио заметить,
что в данном елччае были игнорированы конкретные условия работы
клапанной пары (чашка плюс диффузор), а это повлекло за собой пол-
19—3331	289
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

нос искажение поля скоростей во входном сечении диффузора и сдела¬
ло невозможным эффективное торможение потока.
Действительно, в данном случае даже при полном подъеме клапана
его чашка существенно затеняет минимальное сечение диффузора Фор¬
мирование потока перед диффузором практически отсутствует Большая
кривизна входного участка А (см. рис 10 20) создает все предпосылки
для отрыва потока даже при отсутствии клапана Положение еще
более усугубляется односторонним боковым подводом пара к клапанной
коробке, что полностью исключает осевую симметрию течения как
в щели клапана, так и в диффузорном седле. Указанные факторы
характерны и для клапанов с цилиндрическим седлом. Однако с пе¬
реходом к диффузорному каналу они проявляются особенно ярко, так
как приводят к появлению нестационарного отрыва потока. Асимметрия
течения и нестационарность порождают достаточно большие динамиче¬
ские усилия, действующие на клапанную пару, и в конечном счете
могут вывести их из строя.
Даже на основе приведенного беглого анализа конкретных условий
можно указать те минимальные изменения, которые необходимо внести
для успешного применения конических диффузоров в данном случае.
Эти изменения сводятся к следующему.
1 Входной участок седла должен обеспечивать плавное ускорение
потока, иметь значительную конфузорность и по возможности малую
кривизну стенок
2 Входное сечение диффузора для уменьшения затеняющего влия¬
ния клапана должно быть расположено на значительном расстоянии от
посадочного диаметра клапана
3. С учетом неравномерности входного профиля скорости целесо¬
образно снижение угла раскрытия диффузора до 7—8°, что должно
способствовать стабильности течения
при этом варианте клапанной системы.
4. Общим требованием в рассматри¬
ваемом случае является обеспечение
равномерного поля скоростей перед
диффузором на полном открытии кла¬
пана. Отсюда целесообразны любые кон¬
струкционные изменения, способствую¬
щие достижению этой цели.
Один из возможных вариантов ис¬
пользования конических диффузоров в
регулирующих клапанах паровых турбин
с учетом перечисленных требований по¬
казан на рис. 10.21. В этом варианте
седло клапана представляет собой плав¬
ный конфузор 2, после которого распо¬
лагается цилиндрический участок 3 и
290
Рис. 10.21. Схема перфори¬
рованного диффузорного
клапана
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

собственно конический диффузор 4. Значительные изменения внесены
и в сам клапан L Его нижняя сферическая часть сделана полой 5,
а поверхность сферы ниже посадочного диаметра — перфорированной.
При такой конструкции обеспечивается выравнивание давлений на
сферической части клапана практически на всех режимах работы т>р-
бины и снижение динамических сил на штоке клапана.
Испытания подобной системы подтвердили целесообразность всех
проведенных изменений В этом случае аэродинамические характери¬
стики используемого диффузора практически совпали с характеристи¬
ками изолированного диффузора (на рис 10 19 результаты испытаний
обозначены крестиками) Таким образом, с учетом конкретных факто¬
ров удалось почти полностью использовать все преимущества диффу-
зорного седла и вновь подойти к вопросу о создании клапанной систе¬
мы минимальных размеров Подобные клапаны будем называть пре¬
дельными, так как они обеспечивают предельно достижимые удель¬
ные расходы
Учитывая реальные характеристики конических диффузоров и ре¬
зультаты» приведенные на рис. 1019, можно считать, что при степени
расширения диффузора 3,0 можно получить максимальный удель¬
ный расход при потерях давления, равных 10—12 %,
Геометрические параметры клапанных диффузоров, вообще говоря,
ограничены достаточно жесткими пределами, на величину которых
влияют как режимные параметры, так и конструкционные ограничения.
Для схемы, изображенной на рис 10 21, близкими к оптимальным
являются диффузоры с углом раскрытия а—7-*-8° и степенью расши¬
рения я=2,5-г-З. Если при указанных значениях а оказывается невоз¬
можным достичь желаемой степени расширения, то следует уменьшить
величину п до конструкционно возможной, считая основным парамет¬
ром угол а
Глава одиннадцатая
ДВИЖЕНИЕ ГАЗА ЧЕРЕЗ РЕШЕТКИ ТУРБОМАШИН
11.1.	Структура потока и газодинамические
характеристики решеток
Преобразование энергии в ступени турбомашины происходит в ре¬
зультате взаимодействия потока газа с неподвижными и вращающими¬
ся лопатками, которые образуют направляющую и рабочую решетки.
Решетка представляет собой систему лопаток одинаковой формы, рав¬
номерно размещенных на некоторой поверхности вращения (рис И Л,а).
Протекая через решетку, поток газа изменяет скорость и направ¬
ление движения При этом на решетку действует сила реакции. На
19*“	291
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

вращающихся решетках турбины эта сила совершает работу, вращаю¬
щиеся решетки компрессоров, наоборот, увеличивают энергию проте¬
кающего газа. В неподвижных решетках энергетического обмена с окру¬
жающей средой не происходитздесь осуществляются необходимые
преобразования энергии для получения требуемой скорости и поворот
потока. В зависимости от расчетных условий обтекания и соответст¬
вующих им геометрических параметров профиля и канала различают
три основных типа решеток: конфузорные (реактивные, рис 11 1,6),
используемые в турбинах в качестве сопловых, направляющих (непо¬
движных) или реактивных рабочих (вращающихся); активные
(рис 11.1,в), используемые в турбинах в качестве рабочих (вращаю¬
щихся) ; диффузорные (рис. 11.1,г), используемые в компрессорах
в качестве направляющих (неподвижных) или рабочих (вращаю¬
щихся).
В зависимости от общего направления движения газа по отноше¬
нию к оси вращения решетки подразделяют на осевые, радиальные и
диагональные К числу геометрических параметров кольцевой (цилин¬
дрической) решетки относятся средний диаметр dy длнна (высота)
лопатки /, ширина решетки Ву шаг профилей на среднем диаметре t,
хорда Ьу угол установки 0У, формы профиля, канала и меридиональ¬
ных обводов решетки Форма профилей лопаток задается координат¬
ным способом (в координатах г, S на рис. 11.1,в).
Если отношение среднего диаметра решетки d к высоте лопатки /
велико, то для упрощения задачи можно считать решетку прямоли¬
нейной. При этом профиль межлопаточного канала по высоте сохра¬
няется постоянным Предполагая, что диаметр решетки, количество и
длина лопаток неограниченно возрастают, получим плоскую бесконеч¬
ную решетку (рис. 11 1,6—г).
Гипотеза плоских сечений, положенная в основу исследований и
расчетов современных турбомашин, была впервые плодотворно приме¬
нена Н. Е Жуковским в 1890 г Ценность этой гипотезы подтвержде¬
на многочисленными экспериментами.
Геометрические характеристики решеток задаются, как правило,
в безразмерном виде. Например, относительный шаг профилей и отно¬
сительная высота соответственно будут t—i/b, 7=//Б Прямолинейную
решетку располагают в системе координат ху уу гу причем направле¬
ние х называют осью решетки (рис 11.1,а).
Рассмотрим вначале плоский потенциальный поток идеальной не¬
сжимаемой жидкости на примере обтекания реактивной решетки
(рис. 11.2). Вследствие периодичности потока достаточно изучить те¬
чение в одном межлопаточном канале или обтекание одного профиля.
На рис. 11 2,а оплошными линиями изображены линии тока ^=const,
1 Рассматриваются неохлаждаемые и необогреваемые решетки
турбин
292
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

диффузорныеЛ(^еВрешеткн\Пя^с^®р^^У30Рные <б*> активные (в) и
v г	и	их	основные	геометрические	параметры
Рис. 11 2. Течение идеальной несжимаемой жидкости через плоскую
реактивную решегку:
а — линии тока и изопотенциальные линии в межлопаточном канале;
б — годограф скорости; в — распределение скоростей и давлений по об¬
воду профиля
293
Бесплатная библиотека теплоэнергетика httD://teololib.ru

штриховыми — изопотенциальные линии ф=const. Скорость с в любой
точке потока
czzd(p/dSz&—dtyfdny
где S и п — криволинейные координаты соответственно вдоль линий
тока и изопотенциальных линий Дифференциалы приближенно можно
заменить конечными приращениями:
Важной характеристикой течения является план скоростей, или го¬
дограф скоростей (рис. 112,6). Каждой линии тока и изопотенциаль-
ной линии соответствует в плоскости годографа геометрическое место
концов векторов скорости на этих линиях, образующих также ортого¬
нальную сеть. Ее можно считать сетью некоторого течения в плоскости
годографа, ограниченного геометрическим местом концов векторрв ско¬
рости на поверхности профиля (вызванного вихреисточником в конце
вектора скорости С\ на бесконечности до решетки и вихрестоком
в конце вектора скорости сг за решеткой). Точки Оь С\ и с2 образуют
треугольник скоростей решетки. На основании равенства расходов не¬
сжимаемой жидкости до решетки и за ней C\t sin Pi—c2t sin p2 следует,
что проекции скоростей с{ и с2 на нормаль к фронту (оси) решетки
равны. Рассматривая годограф скорости решетки, можно прийти к за¬
ключению, что в точках спинки профиля, касательные к которым па¬
раллельны направлениям скоростей на бесконечности до решетки и за
ней, скорости должны быть больше, чем соответственно с\ и с2
Если известны величина ct и направление Pi скорости до решетки,
а также положение точки схода потока Ог (на выходной кромке), то
поток через заданную решетку является определенным. На конечном
расстоянии от решетки поля скоростей и давлений неравномерны. Одна
из линий тока разветвляется на входной кромке профиля, подходя к ней
по нормали. В точке Oj скорость равна нулю, а давление максимально.
Начиная от точки разветвления (рис. 11.2,а), скорость на профиле
резко возрастает. На выпуклой поверхности (спинке) профиля скорость
в среднем больше, а давление ниже, чем на вогнутой поверхности. Су¬
жение канала, характерное для реактивной решетки, приводит к уско¬
рению потока. В компрессорной »р*шетке межлопаточный канал расши¬
ряется и скорость соответственно уменьшается (рис 11 3)
Распределение локальных скоростей в точках обвода профиля су¬
щественно зависит от формы вогнутой и выпуклой поверхностей, а так¬
же от геометрических и режимных параметров решетки. Увеличение
кривизны на выпуклых участках профиля приводит к увеличению скоро¬
сти и наоборот. При скачкообразном изменении кривизны, например
в точках сопряжения дуг окружностей, теоретические кривые распреде¬
ления давлений и скоростей претерпевают разрыв Поэтому обводы
профиля современных решеток выполняют с плавно изменяющейся кри¬
визной.
294
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teDlolib.ru

Рис. 11.3. Течение идеальной несжимаемой жидкости через диффузор-
ную решетку:
а— схема решетки; б — годограф скорости; в — распределение относи¬
тельных скоростей по обводу профиля
На выходной кромке конечной толщины, как н на входной, ско¬
рость имеет максимум и теоретически (в потоке идеальной жидкости)
падает до нуля в точке схода На большом расстоянии за решеткой
направление потока определяется углом 02
При течении вязкой жидкости на поверхности профиля образуется
пограничный слой, в котором концентрируются потери кинетической
энергии, обусловленные трением. На диффузорных участках канала
может происходить отрыв пограничного слоя. Диффузорные участки
в зависимости от формы профиля могут возникнуть внутри канала; по¬
явление таких областей неизбежно на входных и выходных кромках
профиля. На выходной кромке всегда происходит отрыв потока, поэто¬
му в образующейся закромочной зоне движение вихревое В результате
давление за выходными кромками оказывается пониженным На неко¬
тором расстоянии за кромками происходит выравнивание потока, сопро¬
вождающееся изменением статического давления, угла выхода потока
и скорости При выравнивании потока за решеткой возникают потери
кинетической энергии, составляющие вторую часть профильных потерь
в решетках (кромочные потери). Профильные потери
характеризуют плоскую решетку. В прямой решетке конечной высоты
и в кольцевой решетке образуются дополнительные потери, связанные
со вторичными течениями у концов лопаток (концевые потери)
и с веерностью решетки.
Потери кинетической энергии в решетках (профильные и концевые),
обусловленные при малых скоростях влиянием вязкости и периодиче¬
ской нестационарности, а также высокой турбулентностью потока, а при
околозвуковых и сверхзвуковых скоростях — еще и необратимыми про-
295
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

исссами изменения энергии в скачках» в значительной степени опреде¬
ляют КПД лопаточной машины. При проектировании решеток необхо¬
димо обеспечить заданное преобразование энергии потока с минималь¬
ными потерями.
Выше частично была дана классификация решеток в зависимости
от характера изменения параметров потока в межлопаточных каналах
и направления движения газа относительно оси турбомаишны. Класси¬
фикация применяемых решеток может быть расширена. Так, в зависи¬
мости от скорости (числа М) все решетки следует разделить на три
группы- дозвуковые, околозвуковые и сверхзвуковые.
В пределах каждой группы решетки различаются углом поворота по¬
тока (т. е. углами входа Pi и выхода р2) и геометрическими пара¬
метрами
Газодинамическими характеристиками решеток являются коэффи¬
циент расхода jap, коэффициент потерь кинетической энергии £Р, коэф¬
фициент скорости фр, а также угол потока за решеткой р2. Так как
поток за решеткой имеет неравномерное распределение параметров по
шагу, в расчет вводятся средние значения ц.р, £р, фр и р2. Усреднение
производится ио уравнениям сохранения (гл. 3). При этом необходимо
условиться о понятии идеального процесса в решетке Таким можно
считать изоэнтропийный процесс, в котором давление за решеткой рав¬
но среднему давлению в действительном процессе
а угол выхода совпадает с действительным средним углом р2 Послед¬
ний рассчитывается по уравнению импульсов Учитывая, что расход
массы через один канал решетки
определяем количество движения в проекциях на оси х и у (рис. 11.1),
в таком виде:
i
(ИЛ)
о
t
(U.2)
О
/
о
t
Тогда средний угол
а
средний угол
296
Бесплатная библиотека теплоэнепгетика httD://tenlolib.ru

Величину 02 можно выразить с помощью газодинамических функций
(гл. 3):
Тг = arctg |^2 ^ Ptthtft sin* Р* ^ ^ J Л» <7s*s sin 2j. (11.6)
Здесь введены величины: давление торможения р02, безразмерная ско¬
рость %2 и приведенный расход q2 за решеткой. Уравнение (11.6) удоб¬
но использовать при обработке результатов опытного исследования ре¬
шеток
Коэффициент расхода для решетки определяется по формуле
(гл. 3, 8)
Н'Р
— (т/тт) я ^ J р2с2 sin ^ J Ргсгт s*n	♦	(11 *7)
С помощью формул (113) и (114) можно найти коэффициент ско¬
рости решетки, определяемый как отношение действительного количе¬
ства движения к теоретическому:
t	ч	-1
Ь
3/3Т = ^-*/>гх + ^ = У.У"Х +	^с2Т J ргсг sin h dx j .
(11.8)
КПД решетки называют отношение удельных кинетических энергий
потока (отнесенных к расходу массы) в действительном и теоретиче¬
ском процессах:
р — /7/т = ^ j ?г«3а sin р2 ^с*гт ^ ftct sin dx ^	,	(1	i	.9)
где j=E/m	и	/*=£т/т; £, £т — полная	кинетическая	энергия в дей¬
ствительном	и	теоретическом процессах.	Широко	используется также
понятие коэффициента потерь кинетической энергии
£р=1—Т]Р.	(ИДО)
Формулы (117)—(119) упрощаются для малых чисел Маха, когда
влиянием сжимаемости можно пренебречь (p2=const). Опытами под¬
тверждено, что влияние этого фактора проявляется при М2^0,3-?-0,35
При больших числах М2 удобно пользоваться газодинамическими
функциями. Соответствующие преобразования формул (117) —(119)
позволяют получить
а <?2T€osinM* j ^ £ Яи	sin £;	(11.11)
297
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

XjT^?2T Sill Pj^X
;	(31.12)
sin ytx
^	.	(11.13)
Здесь, как и ранее, ео-Pos/Pot — отношение давлений торможения
на решетке; Я2т — теоретическая скорость за решеткой. Газодинамиче¬
ские функции, входящие в уравнения (11.6), (11.11)—(1113), опреде¬
ляются по таблицам (см приложение 1). При испытаниях решеток
определяются локальные значения КПД tji или коэффициенты потерь
кинетической энергии С этой целью используется формула (5.30)
где 8of=po2t/poi (рт— давление терможения в точке за решеткой);
Мгт — теоретическое число Маха за решеткой. Учитывая, что числитель
формулы (11.14) выражает квадрат некоторого фиктивного числа
Мфи определяемого по параметрам торможения,
11.2. Приближенный расчет характеристик решеток
и опытные данные
Если известны параметры потока перед решеткой и за ней, распре¬
деление скоростей (давлений) по обводам профиля, то можно прибли¬
женно рассчитать пограничный слой и определить потери на трение
в решетке (см гл. 6).
Расчеты подтверждают, что основное влияние на структуру слоя
оказывают знак и значение местных «продольных градиентов скоростей,
т. е. форма межлопаточных каналов. В реактивной решетке толщины
слоя б, б* и 6** значительно меньше, чем в активной и в диффузорной
(компрессорной) решетках (рис. 11.4) На всем протяжении спинки
профиля до минимального сечения течение конфузорное и толщины
слоя меняются незначительно Лишь в косом срезе, где градиенты дав¬
ления положительные, условная толщина 6** интенсивно возрастает.
Вдоль вогнутой поверхности профиля значения б** вначале увеличи¬
ваются, а затем на участках резко снижающегося давления уменьшают¬
ся к выходной кромке В активной и диффузорной решетках установле¬
но более интенсивное изменение б** вдоль вогнутой и выпуклой по¬
верхностей
(е- <*-»/*_!) = 1_%,	(11.14)
коэффициент потерь кинетической энергии представим в виде
£<я=М2ф|/М22т.
298
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

!*18ыг>
а)
б)
Рис. 11.4. Схема пограничного слоя на обводах профиля в конфузор*
ной решетке (а) и распределение толщин потери импульса вдоль во¬
гнутой и выпуклой поверхностей профиля в реактивной, активной и
диффузорной решетках (о):
	реактивная;	—*— 	активная;	диффузорная
решетки
Коэффициент потерь кинематической энергии на трение в погранич¬
ных слоях на профиле определяется по уравнению энергии, записанному
для выходного сечения решетки:
где Е — действительная кинетическая энергия в выходном сечении;
рЕг — теоретическая кинетическая энергия, отнесенная к действитель¬
ному расходу массы через решетку. Величина Д£тр определяется по
формуле
Здесь и — скорость в данной точке слоя; «0 — скорость на внешней
границе слоя; у— координата, нормальная к профилю в данной точке.
Интегрирование ведется вдоль спинки и вогнутой поверхности. Так как
где P2i=arcsin a^/t — эффективный угол выхода потока из решетки
(а2 — ширина минимального сечения меж лопаточного канала). Подстав¬
ляя ДЯТр и £т в (11.15), после преобразований находим
В формуле (11 18)	б**, б***, как и ранее, — соответст¬
венно толщина потери импульса и энергии у выходной кромки профи¬
ля. Для реактивных решеток //%= 1Д а для активных и дифф\зорных
//*•^1,75 и Я%^1,7
Результаты расчетов по формуле (11 18) подтверждаются опытны¬
ми данными и в обобщенном виде представлены на рис 115, где
дана зависимость коэффициента потерь кинетической энергии в noipa-
ътр855 (ц^т—Е)/цЕг—ДЕтр/цЯт,
(11.15)
ра (и\ — и2) dy
щ (и\ — и2) dy
и
£?=0,5р2т^2т^ sin Р20»
(11 17)
ГР	H*fsin023
(11.18)
299
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 11.5. Коэффициенты потерь кинетической энергии на трение в ре¬
шетках в зависимости от углов входа и выхода потока по данным
А. Г. Клебанова и Б. И. Мамаева
ничных слоях от углов входа Pi и выхода р2. В решетках активного
типа (штриховая кривая) потери на трение оказываются более высо¬
кими, в особенности при больших углах поворота потока Др=180—
— (Р1+Р2). Коэффициент расхода в формуле (11.18) вычисляется через
толщину вытеснения:
§СИ + *ВОГ	Н	(§cif	“Ь	*вОг)	1	л\
|А_ 1 fsinpss "	*sinfc>9	’	(11.19)
где формпараметр Н принимается по данным гл. 6 для турбулентного
слоя Я—1,4.
Кромочные потери кинетической энергии, возникающие вследствие
отрыва пограничных слоев на выходной кромке и последующего вырав¬
нивания потока, приближенно определяются с помощью уравнений со¬
хранения. Примем (рис 11 Да), что поля скоростей и давлений между
кромками (сечение //'-—//') и за решеткой (сечение II—II), где поток
уже выравнивается, однородны. Допустим, что спинка профиля в косом
срезе прямолинейна. Считая, что плотность газа на участке выравнива¬
ния меняется незначительно, представим уравнение неразрывности в та¬
ком виде:
pcVi sin Ргк^рСг* sin р2.	(11.20)
Здесь (рис. 11.6,a) t\=t—At=t—Акр/sin р2к и ti/t=* 1— Дкр; ДКр=
*=Акр/(/8!пр2к)=ДкрМ; Дкр, Дкр — соответственно абсолютная и отно¬
сительная толщина выходной кромки; р2к— конструктивный угол про¬
филя. Заменяя в (11.20) /1=*(1—Дкр), находим
с'2/(1—AKp)sin Р2к=^ sin р2.	(11.20а)
300
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 11 6. К опреде¬
лению кромочных
потерь (а) и зависи¬
мость £кр от формы
и толщины выходной
кромки (б)
С учетом обозначений на рис. 11 6,а составим уравнение импуль¬
сов в проекции на фронт решетки //'—//':
с'22 cos р2кр* (1—Дкр) sin р2к=с22 cos Ргр* sin р2>	(11-21)
Из уравнений (11.20а) и (11*21) простыми преобразованиями мож¬
но получить
tgpl=(l-AKP) tg р2к.	(11	22)
Отсюда следует, что с увеличением относительной толщины кромки
Акр угол выхода потока из решетки уменьшается по сравнению с Ргк.
Уравнение импульсов в проекции на нормаль к фронту решетки
можно записать в таком виде:
рС? 22^(1—Дкр) sin2 Р2к+р^(1—Акр) “ЬРкр^Дкр®
ОН Sin2]*2+P2f.	(11.23)
Разность полных энергий в сечениях //'—//' и //—И определяется
по уравнению энергий для несжимаемой жидкости’
Д£кр= (р'г-рг) +0,5е(42-с%).	(11.24)
Из уравнений (11.20а) и (1122) найдем
«*» = 4 2 fc°s* ?*К + (1 - Дкр) sin* ?,к] •	(11.25)
Разность давлений р’ът-рг определим из (1123):
р\ Рг — 4сР \ (р\	Ркр) 4“ Р (1 — \р)2Р^ 2 si**2 р2к1 * (И *26)
301
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Подставив уравнения (11.25) и (1126) в (11.24), получим
АЯкр-Ач» (Р'*-Р*) +0.5 (l-4)spc22sin*?2K.	(U.26а)
Отнесем эту величину к кинетической энергии в сечении //'—//',
равной £'2—0,5рс'*2. Следовательно [6],
(Др-[~Дкр р2к)7Акр>	(11.27)
где Др=(р'2—ркр)/0,5рс/2 —относительная разность давлений в выход¬
ном сечении решетки и за выходной кромкой, зависящая от формы про¬
филя, геометрических и режимных параметров решетки (в частности, от
чисел Re и М).
Формула (1127) показывает, что £Кр возрастает с уменьшением
давления за кромкой н с увеличением конструкционного угла р2к. За¬
висимость £Кр(Лкр) не является линейной даже при малых углах р2к,
так как значения Др меняются при изменении ДКр. При увеличении
ДКР целесообразно увеличивать шаг лопаток и уменьшать угол уста¬
новки профиля, с тем чтобы обеспечить умеренные потери и сохранить
угол выхода потока р2.
Формула (11.27) не* учитывает влияния пограничного слоя, поэтому
при Дкр“0 получаем £Кр=0. Однако при нулевой толщине кромки
£кр=5£:0. Лучшие результаты дает формула, основанная на опытных
данных:
£кр=£кр,о+& д ДКр,	(11.28)
где £кр,о=0,006-f-0,008 — коэффициент кромочных потерь при Дкр=0;
2^0,18— опытный коэффициент. Формула (11.28) применяется при
Дкр^О, 15.
Определив 5тр и £Кр, находим коэффициент профильных потерь
кинетической энергии
£прв?тр+£кР'
Влияние формы и толщины выходной кромки на кромочные и про¬
фильные потери (рис. 11.6,6) весьма существенно. Зависимость
£кр(Д«р) в исследованном диапазоне 0<ДКр<0,16 близка к линейной.
Вблизи концов лопаток, ограниченных по высоте, течение простран¬
ственное. Здесь, как и в одиночном криволинейном канале (гл. 9), воз¬
никают вторичные течения. Под влиянием разности давлений на вогну¬
той поверхности и на спинке профиля происходит перетекание жидко¬
сти (газа) в пограничном слое по плоским стенкам (рис 117,а). Ча¬
стицы газа в слое движутся от вогнутой поверхности к спинке лопатки
и взаимодействуют здесь с частицами, движущимися в пограничном
слое на спинке лопатки. Слияние двух потоков на спинке лопатки при¬
водит к образованию двух вихревых шнуров, расположенных симмет¬
рично по высоте решетки вблизи углов канала. Отметим, чте перете-
302
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 117. Схема вторичных течений в межлопаточном канале (а) и
распределение коэффициентов потерь кинетической энергии по высоте
решетки (б)
кание от вогнутой поверхности к спинке совершают в основном частицы,
движущиеся во внутренних участках слоя и имеющие меньшие скоро¬
сти. При таких скоростях центробежные силы, действующие на эти
частицы, не могут уравновесить перепад давления между вогнутой по¬
верхностью и спинкой Частицы вне пограничных слоев движутся
с большими скоростями, и их центробежные силы уравновешивают по¬
перечный перепад давления.
Опыты подтверждают описанную структуру течения жидкости
у концов лопаток Распределение потерь кинетической энергии и углов
выхода потока ио высоте решетки показывает характерное для вихре¬
вых областей течения изменение этих величин. При удалении от торце¬
вых стенок потери вначале уменьшаются (рис. 117,6), затем резко
возрастают и потом вновь уменьшаются к среднему сечению (потери
кинетической энергии в среднем сечении при достаточной высоте решет¬
ки равны профильным потерям). Максимальные потери имеют место
в области развитого вихревого движения. По мере уменьшения высоты
лопаток области повышенных потерь сближаются, и прй некоторой вы¬
соте вихревое движение распространяется на все сечение канала — про¬
исходит смыкание вторичных течений
Энергия, необходимая для поддержания вторичных перетеканий
в пограничном слое и вихревого движения у концов лопатки, черпается
из основного потока. Эти потери кинетической энергии называют кон¬
цевыми потерями. Абсолютное значение концевых потерь при
изменении высоты решетки меняется мало (если смыкания вторичных
течений не происходит) Это означает, что коэффициенты концевых по-
т
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 11.8. Зависимость концевых потерь от высоты решеток двух типов:
I — реактивной; II — активной
терь линейно изменяются в зависимости от относительной высоты
Ь 11=1/1 Коэффициент концевых потерь определяется по эмпирическим
формулам. Так, широко распространена следующая формула:
Uh-i»/(Re*V).	(П.29)
где Л=0,13; Яег—Сг&М— число Рейнольдса в выходном сечении; 7=
1=1/Ь — относительная высота решетки.
Более точные формулы позволяют учесть влияние и других пара¬
метров решетки на £Кон. Так, по данным [б]
[l + В (l +7* cos*p5.	(11.30)
Здесь А и В — опытные константы: Л^0,13;	0,7	для	реактивной	и
В= 1,9—2,5 для активной и диффузорной решеток.
Полные потери кинетической энергии в решетке определяются по
формуле
5 *= ?п р~}_ о н “	р“^-£кр*(“Скоя.
Опытные данные для решеток двух типов (рис. 11.8) подтверж¬
дают линейный характер зависимости £кон от величины, обратной
относительной высоте (1/1). Велико влияние угла входа потока в актив¬
ной решетке на концевые потери. Этот параметр определяет попереч¬
ный перепад давления в каналах и, следовательно, интенсивность вто¬
ричных течений (гл. 9).
11.3* Экспериментальные газодинамические
характеристики решеток
Коэффициенты расхода, потерь кинетической энергии и углы выхо¬
да потока устанавливаются экспериментально (или расчетным путем)
для каждой решетки в зависимости от режимных и геометрических па-
304
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 11.9» Зависимость изменения профильных потерь и углов выхода
потока от относительного шага, углов установки, профиля и толщины
выходной кромки для реактивной решетки
р а метров. К числу последних относятся числа Рейнольдса и iWaxa и
угол входа потока Для заданных значений Reb Re2, Мь М2, pi и р2
можно расчетом или экспериментально найти форму профиля и канала
и геометрические параметры решетки, обладающей минимальными по¬
терями. На практике предпочитают, однако, использовать один и тот же
профиль в некотором диапазоне геометрических и режимных парамет¬
ров, с тем чтобы число типов профилей, используемых в производстве,
было минимальным
В определенном диапазоне чисел Re и М влиянием этих критериев
подобия на газодинамические характеристики решеток можно пренеб¬
речь. Так, если для реактивной решетки Re2=• 103, а М2<0,3,
то решетка оказывается в автомодельных областях по Re2 и М2, т е
в областях независимости £, ц и §2 от Re2 и М2. В этом случае газо¬
динамические характеристики меняются только при изменении геомет¬
рических параметров решетки (?, ру, J, АКр).
В качестве примера на рис* 11.9 приведены зависимости £пр(*, Акр)
и р2(?, АКр) для реактивной решетки, рассчитанной на один диапазон
углов выхода р2“ 14-*Л6° при углах входа pt = 804-100°. Из графиков
следует, что решетка может быть использована в достаточно широком
диапазоне относительных шагов *=0,7ч-0,85 и углов установки ру =
=34-5-39*. В этом интервале t и ру профильные потери невелики (£Пр =
=2,0ч-2,5 %). С помощью рис. 11 8 определяются концевые, а следова¬
тельно, и полные потери в решетке. Заметим, что для перехода к абсо¬
лютным размерам решетки необходимо рассчитать хорду профиля, ко-
20—3331	30S
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 11.10. Зависимость оптимальных шагов лопаток от углов входа и
выхода потока по данным А. Г. Клебанова и Б. И. Мамаева при
Акр—0
Рис. 11.11. Влияние угла входа потока на профильные потери в решет¬
ках различного типа
тора я определяется из условий прочности и вибрационной надежности
Выше указывалось, что потери кинетической энергии в решетке зави¬
сят от толщины и формы выходной кромки. Вместе с тем толщина
хромки определяет надежность лопаток и во многих случаях должна
€ыть выбрана большей, чем исходная (рис. 119). Тогда необходимо
ввести соответствующую поправку, пересчитать кромочные потери по
формуле (11.28). Оптимальный шаг лопаток увеличивается с ростом
толщины выходных кромок. Газодинамические характеристики качест¬
венно подтверждаются и для активных решеток. С увеличением угла
поворота потока в решетке значения оптимального шага, соответствую¬
щего минимуму профильных потерь, уменьшаются (рис. 11 10).
На характеристики решеток при небольших дозвуковых скоростях
существенное влияние оказывают режимные параметры* угол входа и
306
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис, 11.12. Влияние числа Рейнольдса на профильные потери в реак¬
тивной и активной решетках при небольших дозвуковых скоростях
степень турбулентное!и набегающего потока, а также число Рейнольд¬
са (вне автомодельной области).
Сравнение конфузорных, активных и диффузорных решеток при
различных углах входа Pi (или при различных углах атаки г==р,—pi«)
показывает (рис. 11.11), что форма профиля, конфузорность (или диф-
фузорность) каналов и угол поворота потока влияют на характер зави¬
симости 5up(0i). Сравнение четырех решеток при различных углах вхо¬
да потока показывает, что максимальные углы атаки допускают реак¬
тивные (конфузорные) решетки. Решетки с меньшей конфузорностыо
и малым углом поворота, а также решетки активного типа более чув¬
ствительны к изменению угла входа потока. Диффузорные (компрес¬
сорные) решетки особенно резко реагируют на изменение угла входа
потока (рис 1111) Отметим, что углы выхода потока Рг не сохраняют¬
ся постоянными при переменных углах входа Pi.
При небольших дозвуковых скоростях и низкой турбулентности
профильные потери зависят от числа Рейнольдса В слабо турбулентном
потоке влияние Re2 на £„р ощущается при Re2s^(5-*-7) • 10\ причем
в области Re2<i,5-I03 это влияние оказывается определяющим
(рис. 11 12) С увеличением степени турбулентности и числа Маха
область практической автомодельности по числу Re2 смещается в сто¬
рону меньших значений Re2.
11.4. Течение газа в решетках при околозвуковых
и сверхзвуковых скоростях
В реактивных решетках скорости на входе дозвуковые; переход
к сверхзвуковым скоростям происходит в межлопаточном канале. В за¬
висимости от положения минимального (переходного) сечения в кана¬
ле реактивные решетки делятся на два типа: с суживающимися и рас¬
ширяющимися межлопаточными каналами.
Решетки с суживающимися каналами. Переход к околозвуковым
скоростям сопровождается значительным изменением характеристик ре¬
шеток В этой связи необходимо знать критическое число М2*. при
котором в решетке появляются местные области сверхзвуковых ско¬
ростей.
20*	307
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис, 11.13. Зависимости коэффициентов профильных потерь от числа
Маха М2 для реактивных решеток с различным относительным шагом
За линией М* = 1 образуются замкнутые области сверхзвуковых
скоростей. Местные сверхзвуковые скорости могут также возникать
в области потока, примыкающей к выходной кромке При М2^1 линия
перехода приближенно совпадает с узким сечением канала а2 и сверх¬
звуковая область на спинке профиля соединяется с областью сверхзву¬
ковых скоростей за выходной кромкой. Наиболее характерной особенно¬
стью обтекания решеток потоком околозвуковых скоростей является
возрастание градиентов давления в конфузорной и диффузорной
областях.
Анализ экспериментальных кривых профильных потерь, представ¬
ленных на рис. 11.13, показывает, что характер изменения £пр в зави^
симости от М2 определяется формой профиля (кривизной спинки в ко¬
сом срезе, формой и толщиной кромки) и геометрическими параметра¬
ми решетки При этом следует различать две основные зоны изменения:
докритическую (М2<М2*) и закритическую (М2>М2*). В докритиче-
ской области с увеличением М2 коэффициент потерь для большинства
решеток несколько уменьшается. При отрывном обтекании спинки про¬
филя увеличение М2 обычно приводит к возрастанию ?Пр. В закрити-
ческой области £Пр резко возрастает и достигает максимального зна¬
чения при М2>1. Дальнейшее увеличение М2 приводит к некоторому
снижению £лр. Область резкого возрастания top называют обла¬
стью кризиса потерь при околозвуковых скоростях.
При сверхзвуковых скоростях обтекания выходной кромки (точка А
на рис 11 14,а) в косом срезе канала распространяется волна разреже-
иия ABC. В первичной волне разрежения и отраженных от спинки профи¬
ля волнах поток перерасширяется: статическое давление на спинке про¬
филя за волной ЛВС будет более низким, чем на бесконечности за ре¬
шеткой
Перерасширение потока в первичной и отраженных волнах разре¬
жения частично «исправляется» скачком FC (рис. 11.14,а). Скачок,
взаимодействуя с пограничным слоем на спинке профиля в косом сре-
308
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 11.14. Схемы волновой структуры потока в косом срезе и за ре¬
активной решеткой с суживающимися каналами при различных сверх¬
звуковых скоростях (а—г) и фотография спектра в решетке с расши¬
ряющимися каналами
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

зе, отражается и вновь попадает на кромочный след. В зависимости or
среднего значения числа М в этом сеченни кромочного следа отражен¬
ный скачок FC либо пересекает кромочный след, либо отражается от
его границы Таким образом, поток, движущийся в косом срезе, после¬
довательно проходит через первичную и отраженные волны разрежения*
первичный и отраженный СР скачки.
Перерасширение потока в волнах разрежения, интенсивность кро¬
мочных скачков FC и FH, а также их положение определяются кри¬
визной спинки профиля в косом срезе, толщиной и формой выходной
кромки Так, при уменьшении кривизны спинки перерасширение потока
уменьшается и, следовательно, снижается интенсивность скачков. Вы¬
полняя спинку профиля в косом срезе с обратной кривизной, можно
перерасширение потока свести к минимуму, а кромочные скачки в этом
случае будут ослаблены
При пересечении системы волн разрежения и косых скачков отдель¬
ные линии тока многократно и различно деформируются, причем при
8а<е* средний угол выхода потока увеличивается по сравнению с до¬
звуковым режимом* поток отклоняется в косом срезе. С увеличением
перепада давлений меняется спектр потока в косом срезе канала и за
решеткой, изменяются интенсивность и характер расположения вол»
разрежения и скачков уплотнения Увеличиваются протяженность п
интенсивность первичной волны разрежения. Углы первичного, отражен¬
ного и кромочного скачков уменьшаются, и точка падения косого скач¬
ка FC на спинку профиля (точка С) смещается по потоку
(рис. 11.14,6). В соответствии с этим меняется и характер деформации
отдельных линий тока. Однако интенсивность скачков возрастает толь¬
ко до определенного значения числа Мг, зависящего от геометрических
параметров решетки.
При некотором отношении давлений 82=8* первичная волна раз¬
режения распространяется на всю спинку в косом срезе, при этом
исчерпывается расширительная способность косого среза (рис. II. 14,в),
при еще больших перепадах в решетке расширение потока частично
происходит за ее пределами (рис. 11.14,г) Система скачков на выход¬
ной кромке остается в основном прежней. Предельный режим 82—8»
целесообразно определять по положению первичного скачка, попадаю¬
щего в точку D (рис. 11.14,в).
Реактивные решетки с расширяющимися межлопаточными канала¬
ми. Рассмотрим некоторые результаты опытного исследования таких
решеток. На определенных режимах в межлопаточном канале, как и
в одиночном сопле Лаваля (гл. 8), возникают скачки уплотнения, при¬
чем их положение и интенсивность зависят от давления 82 и геометри¬
ческого параметра fi~Fi/F*=*a2fa4. По мере уменьшения 82 скачки
перемещаются к выходному сечению канала На расчетном режиме,
определяемом по отношению fu образуются только кромочные скачки.
Спектр течения в межлопаточном канале такой решетки можно видеть
на рис 12 14,д
310
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис 11.15. Экспериментальные зависимости профильных потерь
в сверхзвуковых реактивных решетках от отношения давлений
^2—Р2/Ро и геометрического параметра fi=Fi/F*—a2/aM
Зависимости коэффициентов профильных потерь от отношения дав¬
лений (рис 11.15) показывают, что течение в решетках с расширяю¬
щимися каналами сопровождается резким увеличением потерь при
отклонениях режима от расчетного. Изменение коэффициента потерь
оказывается тем значительнее, чем больше геометрический параметр /ь
т. е. чем выше расчетное значение М2 На режимах, близких к расчет¬
ным, потери для всех решеток невелики, причем профилирование рас¬
ширяющейся части методом характеристик позволяет снизить потери
на таких режимах
Расширение газа в косом срезе решетки сопровождается отклоне¬
нием	потока.	Средний угол отклонения определяется по	уравнению не¬
разрывности,	записанному для сечения АВ и (рис. 11.14,6)	сечения за
решеткой, равного шагу t: pV'2 sin Р'2=р2С2 sin §2, где р2, с2 и р2 —
плотность, скорость и угол выхода за решеткой; штрихом обозначены
параметры в сечении АВ.
Разделим обе части уравнения на р*с*, тогда получим
q'2 sin Р'2=<?2 sin р2
Учитывая, что при е2<8* (М2>1) q'2=1 и	где	б	—	угол
отклонения потока в косом срезе, получаем
6=arcsin (sinP'2/^2)— Р'2	(11.31)
Формула (1131) справедлива только до тех пор, пока волна раз¬
режения находится в пределах косого среза. Угол отклонения, соответ¬
ствующий предельному расширению в косом срезе, приближенно опре¬
деляется по соотношению 6s = as—р2, где а6 — угол характеристики,
совпадающей с выходным сечением Отсюда с помощью (1131) полу¬
чаем очевидную формулу
sin (р2+б8) =sin as = l/M2i=sin p2/<?2s.	(11.32)
311
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Г лава двенадцатая
ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
12.1.	Структуры двухфазных потоков. Основные
характеристики и определения
Двухфазной называют среду, содержащую одно веще¬
ство в двух агрегатных состояниях (например, вода+лед,
вода+водяной пар). Двухкомпонентные среды состоят из
двух разных веществ, находящихся в одном и том же или
в различных агрегатных состояниях. Применительно к за¬
дачам энергетики особое значение приобретают влажный
пар (водяной пар+капли воды) и вода с паровыми вклю¬
чениями (вода+пузырьки пара). Двухфазная среда состо¬
ит из несущей фазы (ею может быть пар или жидкость)
и дискретной фазы (капли, пузырьки). Структура дискрет¬
ной фазы может быть сложной: капли или пузырьки раз¬
личных размеров (полидисперсная дискретная фаза); кап¬
ли и пузырьки могут существовать совместно с жидкими
или газовыми пленками на твердых поверхностях.
Возможные структуры двухфазной среды многообраз¬
ны1. Характерным является поток парокапельной струк¬
туры, в котором, однако, присутствует и непрерывная жид¬
кая фаза, существующая главным образом в виде пленок
на твердых поверхностях. Столь же широко встречаются
пузырьковые структуры, в которых несущая среда — не¬
сжимаемая жидкость, а дискретная — пар в виде пузырь¬
ков или пробок. На твердых поверхностях может сущест¬
вовать парокапельная пленка. Возможны и другие, более
простые структуры двухфазных потоков, причем, как пра¬
вило, дискретная фаза подчиняется закону нормального
распределения по размерам капель.
Для описания свойств двухфазной среды используются
некоторые специальные характеристики.
а) Объемная доля i-й фазы определяется соотношением
*, = НтУ,/У.	(12.1)
V-M)
где Vt — объем, занимаемый этой фазой; V—выделенный
объем среды.
б) Истинная массовая степень сухости
Ar,. = limm(/m— 1 — yit	(12.2)
m->0
1 См. рис. 12.8 и подпись к нему.
312
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12.1. Зависимость между
истинной и расходной массо¬
выми концентрациями пара
при различных коэффициентах
скольжения
Ч
0,8
0,0
ОЛ
0,2
— •
j
й
(o,z
V
0,8
\0,6
О 0,1 Oft- 0,6 0,8 XI
где пи — истинная масса г-й фазы, находящейся в данный
момент времени в выделенном объеме V; т — масса всей
среды в этом объеме; г/г- — истинная степень влажности,
в)	Расходная массовая степень сухости
х(9—lim m/,p/mp,
где mi,о, т,р — соответственно расход массы i-й фазы и
всей среды в данном сечении. Между xi и х,№ существует
очевидная связь:
«i.p
■*/ — т, rh ’
О—*».р)+v*».p
,р
Xi
Xi+ (1 — Xj)v
(12.3)
Здесь v=C2/Ci—отношение истинных скоростей фаз, на¬
зываемое коэффициентом скольжения. Зависимости по фор¬
мулам (12.3) показаны на рис. 12.1.
К числу локальных параметров потока двухфазной сре¬
ды относятся также термодинамические параметры р, р
и Г и параметры полного торможения. Так, локальная
плотность среды
р lim m/V,
v-Н)
П2.4)
где т, V — соответственно масса и объем элемента. Истин¬
ная плотность /-и фазы р* = lim m,\Vа парциальная плот-
^=°
ность P;n = limniifV. Следовательно, справедливы следую*
к->о
щие соотношения:
SP/u^=Sp^i=Spi<?<=;P<; 4? = 2xil?i- (i2-5)
i	i	i
313
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Истинная скорость движения отдельной фазы определя¬
ется по формуле
Ci=trii/ (piFit) =rrbil (р fipiFt),	(12.6)
где Ft — часть площади сечения, занятая г'-й фазой (Ft—
=<ipiiF). Расходная скорость многофазной среды
Ср=т/ (pFt),	(12.7)
где р — средняя плотность среды; т — масса, протекающая
за время i через сечение F.
Связь между ср и ci определяется по формуле
сР = mJ(pFt) = 2 х; .fPiiliPifiFt) = 2Wi. (12.8)
i	i
Возникновение дискретной фазы связано с различными
физическими процессами. Охлаждение пара путем отвода
теплоты от него или в результате расширения приводит
к появлению капельной структуры. Нагрев жидкости со¬
здает пузырьковую структуру. Во всех случаях образова¬
ния второй фазы важную роль играют гидродинамические
особенности потока: градиентность течения, шероховатость
поверхностей, числа Маха и Рейнольдса и др. Фазовые
переходы в потоках реализуются с некоторым «запаздыва¬
нием», т. е., как правило, не при параметрах насыщения.
Конденсация происходит с переохлаждением пара, т. е при
более низких параметрах, а испарение — при достижении
некоторого перегрева. Таким образом, равновесные процес¬
сы конденсации или испарения не реализуются. Такое со¬
стояние переохлажденного пара или перегретой жидкости
является метастабильным — относительно устойчивым. При
достижении максимального переохлаждения пара или пе¬
регрева жидкости среда спонтанно переходит к состоянию,
близкому к равновесному.
Вторая (дискретная) фаза появляется в результате
столкновения молекул, движущихся с различными скоро¬
стями и обладающих разной энергией. Отклонения истин¬
ных значений скоростей и энергии от средних принято
называть флуктуациями. Вблизи состояния насыще¬
ния флуктуации могут приводить к локальному изменению
агрегатного состояния, в этом случае флуктуации называ¬
ют гетерофазными. Среда, в которой совершаются
флуктуации, может самопроизвольно, но кратковременно
переходить в менее вероятное состояние; по истечении вре¬
мени релаксации среда переходит к наиболее вероятному
состоянию. Гетерофазные флуктуации могут быть также
неустойчивыми, если возникающие в результате фазовых
314
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

переходов зародыши имеют размер, меньший критического
(определяющего жизнеспособный комплекс молекул).
В случаях, когда образовавшиеся мелкие капли имеют ра¬
диус, больший критического, они жизнеспособны и даль¬
нейший процесс конденсации развивается на таких кап¬
лях — ядрах конденсации. Для пузырьковой структуры не¬
обходимо ввести понятие критического размера
пузырька, после достижения которого пузырек устой¬
чив и является центром парообразования.
В кинетике фазовых переходов установлено, что давле¬
ние пара, находящегося в равновесии с каплей, при неко¬
торой температуре увеличивается с уменьшением радиуса
капли. Отсюда следует, что не исключены случаи, когда
пар, пересыщенный по отношению к капле большего ра¬
диуса, является ненасыщенным но отношению к капле ма¬
лого радиуса. Так как реальная структура парокапельного
лотока всегда полидисперсна (содержит капли различных
размеров), то очевидно, что в этом случае следует вводить
некоторые усредненные параметры насыщения.
Размер критического зародыша (м) определяется из
условия равновесия парокапельной среды:
г =_,			« i!?k,	(12.9)
,т In (jVPoo) L^T
где ps — давление насыщения при температуре Т, Н/м2;
Роо — давление насыщения при той же температуре Т и
радиусе капли г-*-оо, Н/м2; АТ=Т$—Т — переохлаждение
потока пара; L — скрытая теплота фазовых переходов,
кДж/кг; а — коэффициент поверхностного натяжения, Н/м;
Р2 — плотность жидкой фазы1, кг*с2/м4; R\—газовая по¬
стоянная пара.
Скорость образования капель критического размера
определяется по формуле Я. Б. Зельдовича и Я. И. Френ¬
келя [18]:
3 ь-
mv Ь R,T V
[16*Л'д в» 1
1) З/я^.Гр2* In<7S Tf\- О2-10)
Здесь N4 — число Авогадро, моль-1; —относительная
молекулярная масса; Т, — температура насыщения придав-
1 Здесь и ниже параметры несущей фазы (пара) обозначены ин¬
дексом 1, а параметры дискретной фазы (жидкости)—индексом 2
315
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

лении р, К; Т — температура пересыщенного пара, К; pi—
плотность пара, кг/м3.
Уравнение (12.10) применительно к коифузориым пото¬
кам больших скоростей уточнялось по экспериментальным
данным введением коэффициента рк, определяемого по
эмпирической формуле
?к=д+К/3,
где es=p'slpup; p's — давление, отвечающее точке пересе¬
чения адиабатного процесса с линией насыщения; р,ф—
критическое давление (для воды ркр=22,\2 МПа); а=
=0,25; 6=6,7. При низких давлениях p's<.0,03 МПа, рк=
= 1,0.
12.2.	Уравнения одномерного течения с фазовыми
переходами. Подобие двухфазных потоков
Рассматривая простейшую модель одномерного тече¬
ния, перечислим основные особенности движения двухфаз¬
ной среды с фазовыми переходами. В процессе движения
среды, состоящей из пара и капель, может происходить
конденсация пара или испарение капель, т. е. тепло- и мас¬
сообмен между фазами. Взаимодействие фаз, обусловлен¬
ное различными скоростями пара и капель, предопределяет
появление аэродинамических сил и, в частности, сил со¬
противления и др Следовательно, в уравнениях сохранения
(гл. 2) должны быть учтены тепло- и массообмен меж¬
ду фазами (уравнения неразрывности и сохранения энер¬
гии) и силы взаимодействия (уравнение импульсов).
Так, уравнения неразрывности для первой и второй
фаз записываются по аналогии с (3.2), однако в этом
случае правая часть не равна нулю в связи с возникно¬
вением фазовых переходов:
1 tfp, 1 dfx _j_	1 dct I dF _ - x?i (12.11)
p, dz (j>, dz	с j dz F dz	p,c, '
1 do2 I dfj 1 dCj |	1	dF x<pt (12.12)
p2 dz <f2 dz с dz F dz ЧгЫг'
В интегральной форме уравнение расхода двухфазной
среды имеет вид
/и=/л 1+/л 2=.F (pupiCi+Р2Ф2С2).
Уравнение количества движения для паровой фазы не¬
трудно получить в такой форме:
-b.i£!- + x(€,-c1)=^ + w,B-R:	(12.13)
г dz	dz
316
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

■у ^ + *(C2-C3) = i^1+'P2P2(B + R)- (12.14)
Здесь mi=(fip\CiF\ m2—(f2p2C2F; c3 — вектор скорости мас¬
сы фазового перехода; Ei~— pt— (4/3) (^idcifdz), Е2=
=—р2— (4/3) (nzdcufdz) —тензоры поверхностных напря¬
жений паровой и жидкой фаз; В — вектор массовых сил;
R — сила гидродинамического взаимодействия фаз, опреде¬
ляемая по формуле
#=0,5C*FKpi(Ci—с2) |ci—с2|,	(12.15)
где Сх — коэффициент лобового сопротивления капли; FK—
площадь миделевого сечения капли.
Уравнение количества движения для среды в целом
получается сложением уравнений (12.13) и (12.14):
mdcfdz=Fd(q>iEi-\-<p2E2) /dz-\-pBF, (12.16)
где c=cixlp+c2*2p — средняя расходная скорость среды.
Уравнение сохранения энергии для одномерного потока
двухфазной среды по аналогии с (2.57) представим в та¬
ком виде:
“ IT++q'pH-p	<12Л7>
-	-	Q..+Л,+Q*+ ?#>Всг,	(12.18)
где hi, А2 —энтальпии паровой и жидкой фаз; hs — энталь¬
пия массы фазового перехода; N — мощность сил взаимо¬
действия фаз; q— теплота, подведенная (или отведенная)
из внешней среды; Q12 — теплота, подведенная к фазе в
результате внутреннего теплообмена; QTp—теплота, вы¬
делившаяся в результате трения.
Проанализируем уравнение энергии несущей фазы в
предположении, что внешний теплообмен и касательные
напряжения в фазах отсутствуют (£1=—ps и E2——pz).
Тогда
xtcihm/c-\-x2c2ho2/c=xivhoi-\-x2pho2=const, (12.19)
где &oi, /го2 — энтальпии торможения паровой и жидкой
фаз.
317
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

В уравнение (12.18) входят расходные массовые кон¬
центрации фаз xip и дг2р, совпадающие с истинными концен¬
трациями Xi и Х2 только при условии равенства скоростей
фаз. Расходная энтальпия полного торможения в этом
случае
ftop=&p+c2p/2=const.	(12.20)
Общие уравнения одномерного течения используются
для качественного и количественного исследования различ¬
ных моделей двухфазных сред и позволяют установить
комплекс критериев, определяющих приближенное подобие
двухфазных потоков. К ним относятся (гл. 6):
1) число Маха несущей фазы
M|=Ci/Gb	(12.21)
2) число Рейнольдса несущей и дискретной фаз
Rei=pci//ni; Re2=pi(с,— c2)dK/yu;	(12.22)
3) отношение скоростей фаз (коэффициент скольжения)
v=c2/ci;	(12.23)
4) относительный начальный размер (радиус) дискрет¬
ной фазы
го,к=го,к/1,	(12.24)'
где I — некоторый характерный линейный размер;
3) степень влажности (или сухости)
у= 1-лг;	(12.25)
6)	отношение плотностей фаз
p=p2/pi.	(12.26)
Начальное состояние среды определяется безразмерной
величиной
ho=ho/hs,
где ho — энтальпия торможения смеси перед каналом; h3—
энтальпия насыщенного пара на линии адиабатического
расширения среды. Во многих случаях начальное состоя¬
ние определяют безразмерным параметром
Пи— (ho—h^Kho—hi) -
где hi=hi/hs\ hi — энтальпия в конце адиабатического про¬
цесса расширения.	Если	Яп>0, то	пар	по	параметрам тор¬
можения	на	входе	перегретый; если	Яп<0,	пар	имеет на¬
чальную влажность.
Перечисленные выше критерии составляют минимально
необходимое число условий подобия двухфазных потоков.
318
Бесплатная библиотека теплоэнеогетика httn-//teniniih ш

В некоторых случаях оно сокращается до 4—5 критериев,
если возникают локальные области автомодельности (по
числу Рейнольдса или по числу Маха при Re^4-105 и
М<0,3).
Вместе с тем при моделировании сложных процессов
в двухфазных средах приходится учитывать определяющее
влияние и других критериев. Так, при определенных усло¬
виях необходимо учитывать влияние числа Фруда, харак¬
теризующего подобие массовых сил и сил инерции (гл. 7):
Fri=c2i/g/i; Fr2=c22/^2.	(12.27)
Роль этого критерия становится ощутимой в потоке
с крупными каплями, а также при изучении плспочиых те¬
чений и двухфазных потоков с малым паросодержанием.
При изучении процессов дробления капель в двухфазных
потоках необходимо вводить число Вебера
We=pi(ci—с2)Ч21а.	(12.28)
Так как процессы в двухфазных течениях характеризу¬
ются периодической нестационарностью, то при изучении
этих явлений вводится число Струхаля
Shi=/i/Ci£i; Sh2=/г/£2^2»	(12 29)
Выше отмечалось, что характерной особенностью двух¬
фазных потоков являются внутренний тепло- и массооб¬
мен. Очевидно, что при изучении этих процессов следует
учитывать влияние чисел Прандтля
Pri=niCpiAi=Pei/Rer, Рг2=Ц2Ср2/Я2	(12.30)
и Нуссельта
Nui=ai/i/^i; Nu2=ce2^2/^i2-	(12.31)
В формуле (12.30) использован критерий Пекле
Pei=ci/i/aTi; Pe2=c2/2/aT2,	(12.32)
где ат—Х/(рСр)—коэффициент температуропроводности.
Произведение чисел Струхаля и Пекле позволяет пред¬
ставить безразмерное время релаксации температурного
поля в объеме фазы, характеризующее инертность процес¬
са выравнивания температур:
Тт=/22С®2Р2/(^2^о)-	(12.33)
Характеристикой процесса выравнивания скоростей фаз
выступает безразмерное время релаксации движения
Тд=Р2^22/(Ц!^о)-	(12.34)
319
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Здесь и выше to — характерное для процесса время, рав¬
ное, например, времени пребывания капель в канале. Па¬
раметр тд можно также получить из соотношения чисел
Струхаля и Рейнольдса.
Безразмерное время релаксации фазовых переходов,
характеризующее инертность процессов массообмена меж¬
ду фазами, представляется в таком виде:
"гф=р21/22/(№о).	(12.35)
Формула (12.35) легко получается, если воспользовать¬
ся выражением (12.29) и соотношением между конвектив¬
ным изменением кинетической энергии и теплообменом вну¬
три фазы
ZCi=Xi7'i/(/ipic3i); Ki=%iT2(l2P2Cb2),	(12.36)
где А), Яг, как и ранее, — коэффициенты теплопроводности
фаз.
Отметим в заключение, что соотношение между кине¬
тической и потенциальной энергиями несущей фазы
M^ = ch/hx- M*2=chlh	(12.37)
является обобщенным числом Маха.
При изучении процессов в двухфазных средах в усло¬
виях глубокого разрежения приобретает значение крите¬
рий Кнудсена
Кп=7/й?к,
определяющий отношение длины свободного пробега моле¬
кул 1 к диаметру капель d«.
Следует еще раз подчеркнуть, что выбор определяю¬
щих критериев подобия основывается на физических осо¬
бенностях конкретной задачи исследования. Для значи¬
тельного числа задач, кроме первых пяти критериев (Мь
Rei, го, у= 1—х, р), особое значение приобретает скорость
расширения непрерывной фазы
р=, |_i—Ё£_|	(12.38)
I Р dt |
и объемная концентрация фаз. В последующих параграфах
рассмотрены некоторые конкретные примеры моделирова¬
ния двухфазных потоков.
Имея в виду особенности двухфазных течений (тепло-
и массообмен и механическое взаимодействие между фа¬
зами, изменение физических констант несущей фазы), ос¬
новные уравнения сохранения можно получить в канониче¬
ской форме [в рамках закона обращения воздействий
(гл. 3)].
320
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

12.3.	Спонтанная конденсация и конденсационные
скачки при сверхзвуковых скоростях
В конфузорных потоках слабо перегретого или насы¬
щенного пара с большими продольными градиентами дав¬
ления изменения термодинамических параметров происхо¬
дят столь быстро, что равновесный процесс конденсации
в зоне влажного пара не реализуется. Температура расши¬
ряющегося пара при этом ниже соответствующей темпера¬
туры насыщения, т. е. пар оказывается переохлажденным.
Такое состояние переохлаждения, как указывалось вы¬
ше, называют метастабильным, т. е. относительно устойчи¬
вым. Если достигается максимальное переохлаждение, со¬
ответствующее конкретным условиям, то поток пара спон¬
танно (лавинообразно) переходит в практически равновес¬
ное состояние и жидкая фаза появляется в виде мельчай¬
ших капелек.
Размер критического зародыша (капли, способной
к дальнейшему росту) рассчитывают из условий равнове¬
сия двухфазной среды, состоящей из пара и капелек воды,
но формуле (12.9). Переохлаждение потока пара АТ при¬
ближенно определяется по опытным данным в зависимости
от скорости расширения пара в канале, рассчитываемой по
формуле (12.38):
• с_	d£_t"	(I239)
р dz	р	dt
где /(ь как и ранее, — характерное время, например *0=
=/о/£*; 1о — характерный размер канала; с*— критическая
скорость.
Из формулы (12.39) следует, что скорость расширения
пара определяется продольными градиентами давления
Рис. 12 2 Определение переохлаждения пара (а) и изменение переох¬
лаждения перед скачком конденсации и радиуса капель в зависимости
от скорости расширения р и давления двухфазной среды (б)
21—ЗЗН1	321
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

в канале и зависит от давления и скорости потока. Увели¬
чение скорости расширения р приводит к запаздыванию
конденсации, к увеличению переохлаждения и, следова¬
тельно, к смещению начала конденсационного процесса по
потоку. Зависимость переохлаждения АТ и радиуса капель
за сечением спонтанной конденсации от р представлена
на рис. 12.2.
С ростом давления потока переохлаждение уменьшает¬
ся, а радиусы капель растут.
Рассмотрим изменение параметров пара в области
спонтанной конденсации (рис. 12.3). Если линия процесса
расширения пересекает линию насыщения (точка S), то
кривая изменения термодинамической температуры Т рас¬
полагается ниже кривой равновесной температуры 7V Уве¬
личение переохлаждения пара А Т=Т$—Т=Т8—Г0Х
1
X (р/ро) К вызывает уменьшение критического радиуса
зародышей [формула (12.9)] и интенсификацию процесса
ядрообразования. В некотором сечении потока число воз¬
никающих ядер в единицу времени f достаточно велико
для того, чтобы вызвать повышение температуры расширя¬
ющегося пара. Повышение температуры пара происходит
благодаря выделению теплоты парообразования при кон¬
денсации в паровую фазу. Процесс влагообразования на¬
чинается в точке /, а в точке 2 поток пара достигает пре¬
дельного переохлаждения. Об¬
щая поверхность образовав¬
шихся капель оказывается зна¬
чительной и при большом пе¬
реохлаждении А Т реализуется
процесс лавинной конденса¬
ции. При этом переохлаждение
пара уменьшается до нуля
в точке 3. Влажность близка
к равновесной (т. е. достига¬
ется степень влажности уд).
Общее количество капелек со¬
храняется после этого момен¬
та примерно постоянным и по¬
следующая конденсация реа¬
лизуется на уже образовав-
щихся каплях.
Характер изменения давле¬
ния и температуры пара в зо¬
не спонтанной конденсации за¬
висит от числа Маха. При
322
Рис. 12.3 Изменение термоди¬
намических параметров пара в
зоне спонтанной конденсации
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

сверхзвуковых скоростях подвод теплоты к потоку пара
вызывает повышение давления и температуры так, как это
показано на рис. 12.3. При дозвуковых скоростях подвод
теплоты ускоряет паровой поток, т. е. снижает его давле¬
ние и температуру.
Расчет изменения параметров в зоне спонтанной кон¬
денсации и определение места ее возникновения осуществ¬
ляются	с	помощью уравнений сохранения, приведенных
в § 12.2 [18]:
уравнение неразрывности
d(plclF)Jdz=—xF\	(12.40)
уравнение импульсов
PiCidci/dz-\-dp/dz=0;	(12.41)
сохранения энергии
piCid (h-\-c2i/2)Jdz=x (hi—h3) +<7.	(12.42)
В приведенных уравнениях скорость фазовых переходов
в сечении |	определяется по формуле
*=-М J($)<7(S.	(12.43)
г J	дг
Zq
Количество теплоты, выделившейся при конденсации на
каплях,
(,2-44)
*0
Наконец, в сечении 2 скорость изменения массы жидкой
фазы, образовавшейся в сечении определяется но урав¬
нению
dm(%, г)   4г.акг\(£, z)p ^ ^	/;2	^	^ У1 ^ Л'2 4^
dz сУ2ЩГ V Pi V TtJ'X
где ак — коэффициент конденсации. Дополнительно к си¬
стеме уравнений (12.40)—(12.45) используется уравнение
для скорости ядрообразования (12.10).
Уравнения (12.40)—(12.42) можно решить совместно и
представить в канонической форме, выражая изменения
параметров вдоль канала в форме, представленной в гл. 3,
а также в [16] в виде
dpldz={lA\—\)-'(A+BD)\	(12.46)
A?,/iz=lp,c, (М2,—l)]-1 (D—A—B);	(12.47)
. p (_L ±±. _j_ _2L_ -j- _L \	(12.48)
dz	1	\c,	dz	^	p!C, ' F dz J v ’
21*	323
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Здесь приняты обозначений:
кр р,
А —-хс,
г\	2	и	InF
D =- р.с2,
dz у
где для перегретого пара &=1,3.
Как уже отмечалось, подвод теплоты к сверхзвуковому
потоку вызывает повышение давления, температуры и
плотности и снижение скорости. Учитывая, что в таком по¬
токе возмущения распространяются только по течению,
можно предположить, что в зоне теплоподвода указанные
параметры изменяются скачкообразно, так же как и при
обтекании углового излома (гл. 5). Узкую зону, в которой
происходит скачкообразное изменение параметров пара,
называют скачком конденсации.
Следует различать конденсационные скачки в одно-,
двух- и многокомпонентных средах. В последнем случае
в потоке неконденсирующегося газа (или смеси газов) при¬
сутствуют пары конденсирующейся среды. Например, пары
воды в сверхзвуковом потоке воздуха при определенных
условиях спонтанно конденсируются; к потоку воздуха под¬
водится скрытая теплота парообразования и его полная
энергия (энтальпия торможения) возрастает. Такие скачки
иногда называют тепловыми1. Скачки конденсации
в однокомпонентной среде не вызывают изменения энталь¬
пии торможения.
Различие между двумя типами конденсационных скач¬
ков состоит также в том, что физические свойства некон-
денсирующегося газа при переходе через скачок в двух-
компонентой среде меняются незначительно. За скачком
конденсации в однокомпонентной среде находится влажный
пар, представляющий собой равновесную смесь капелек
жидкой фазы и насыщенного пара; при этом физические
свойства среды, пересекающей скачок, изменяются (в ча¬
стности, показатель изоэнтропы k).
Обращаясь к рис. 12.4, отметим характерные особенно¬
сти распределения давлений в сопле Лаваля, в котором
возникают скачки конденсации. На участке АВ расширя¬
ется переохлажденный пар вдоль кривой 1, близкой к рас¬
четной (на перегретом паре). В зависимости от начальных
условий (Ло или Яп), геометрического параметра fx=FilF*
и скорости расширения р (зависящей от профиля сопла)
меняется положение конденсационных скачков. По мере
1 Тепловые скачки ири горении рассмотрены в гл. 5
324
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

снижения /*о(#п>0) и
при переходе в зону
влажного пара (Яп<0)
скачки конденсации 2—6'
перемещаются против по¬
тока, в направлении к
критическому сечению
(отрезки В3С3, £2C2,BiCb
5С). За скачком кри¬
вые давлений распола¬
гаются выше кривых для
бесскачкового течения.
Интенсивное падение дав¬
ления (линии CD, C\Du
C2D2, С3Р3) свидетельст¬
вует об ускорении сверх¬
звукового потока влажно¬
го пара в расширяющем¬
ся канале за скачком.
Большое влияние на
положение и интенсив¬
ность конденсационных
скачков оказывает ско¬
рость расширения пара.
В соответствии с рис.
12.2,6 увеличение р вызывает
уменьшение радиуса капель
Рис. 12.4. Распределение давления в
сопле Лаваля со спонтанной конден¬
сацией при различных начальных па¬
раметрах
рост переохлаждения и
Следовательно, с ростом ско¬
рости расширения скачок конденсации смещается по потоку
и интенсивность его снижается, так как преобладающим
становится геометрическое воздействие на поток, а не
тепловое.
Опытами установлено также значительное влияние от¬
ношения плотностей фаз на характер распределения дав¬
лений в зоне конденсационных скачков. С уменьшением
р=р2/р1 возрастает интенсивность обменных процессов
в двухфазном потоке и снижается максимальное переох¬
лаждение перед скачком. В результате точка начала кон¬
денсации смещается против потока, всплеск давления в зо¬
не теплоподвода сглаживается, что означает снижение ин¬
тенсивности скачка конденсации.
Расчет изменения параметров на границах конденсаци¬
онного скачка в однокомпонентной среде осуществляется
с помощью трех уравнений сохранения, записываемых
с учетом особенностей скачка. Так, уравнение неразрывно¬
сти для паровой фазы
PiCi=P2C2/(1—у).	(12.49)
325
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Уравнение (12.49) получено в предположении, что объ¬
ем жидкой фазы за скачком мал и сечения паровой фазы
до скачка и после него практически одинаковы (Fi—F2=
=/•).
Уравнение импульсов можно представить в таком виде:
Pi—Pi=Pic2i—Р2сУ(1— у).	(12.50)
Уравнения (12.49) и (12.50) решаются совместно. В ре¬
зультате получаем
(pslpi—l)pi=p,c2i(l— ca/ci).	(12.51)
Уравнение сохранения энергии запишем в такой форме:
0,5c2i +Ai=0,5c22+A"2 (1 —у) -\-h\y,	(12.52)
где 0,5c2i-\-hi—hoi; Аоь h\ — соответственно энтальпия тор¬
можения и энтальпия движущегося пара перед скачком;
Л"* Л'г — энтальпия пара и жидкости за скачком.
Преобразуем (12.52) к виду
h"2{\-y)+h'iy-hx=0,bc*l [1—(са/с,)а].	(12.53)
С помощью (12.49) и (12.51) можно показать, что
0,5c2i [ 1—(сг/с,)2] =0,5 (1 +с2М)р,рг1 (ps/p\—1).
Совместно с уравнением энергии находим
99
— L — (ht— h't) — 0,5	1—— lUl + iL) (12.54)
Pi	Pi	\	Pi	J	\	ci	/
где L, как и ранее, — удельная теплота парообразования.
Отношение скоростей ca/ci из (12.53) подставим в уравне¬
ние (12.54):
Преобразуем (12.55), учитывая, что для переохлажден¬
ного пара в зоне небольших давлений (если известен пока¬
затель изоэнтропы к) комплекс •Di=piC2i/jyi=6M2i, так как
kpilpi=a2i. Окончательно получаем
(12'б6)
Расчет конденсационных скачков осуществляется в сле¬
дующем порядке [7, 18]. По заданным параметрам перед
326
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

конденсационным скачком pi и
pi с помощью таблиц определяем
h\ и Т\. Затем по давлению pi
находим температуру насыщения
перед скачком Ts] и переохлаж¬
дение перед скачком АТ = Т,\—Т\.
При известных р\ и Mi задаемся
значениями рг и соответственно
Л"2, Я\ и находим, при каком
р2 уравнение (12.56) удовлетво¬
ряется. Аналогично ведется рас¬
чет, если заданы параметры тор¬
можения перед скачком конден¬
сации роь pot и Mj (или АТ).
В предположении полного пере¬
охлаждения определяются стати¬
ческие параметры полностью пе¬
реохлажденного пара рь pi и hi.
В области умеренных и
высоких давлений расчет ведет¬
ся по комплексу £>i=const для различных значений pi (АТ)
при pi=eonst. При этом из уравнения (12.53) определяется
скорость за скачком, а по формуле (12.49) —степень сухо¬
сти пара хг.
Результаты расчета представлены на рис. 12.5 [19], где
для трех значений переохлаждения построены зависимости
интенсивностей конденсационного скачка от параметра
D2i=PiC2i/pi«=&M2i. Можно видеть, что на участке ВС ин¬
тенсивность конденсационных скачков падает с ростом Мь
что соответствует данным эксперимента (рис. 12.2,6). Уча¬
сток АВ отвечает «сильному» конденсационному скачку,
совпадающему с адиабатическим. На участке АВ скорости
за скачком дозвуковые. Точка В соответствует минималь¬
ному числу Маха перед скачком при данном переохлажде¬
нии. Следовательно, в соответствии с уравнением (12.56)
существует некоторая «запретная» зона для возникновения
конденсационных скачков. Таким образом, при l<Mi<M|rp
(где М1Гр — число Маха, отвечающее точке В) конденсаци¬
онные скачки не могут стационарно существовать, так как
нельзя перевести сверхзвуковой поток в дозвуковой только
посредством подвода теплоты конденсации, т. е. не меняя
знака воздействия на поток. Этот вывод совпадает с тем,
который отмечался при анализе свойств энергетически не¬
изолированных течений и тепловых скачков (гл. 2, 5).
Из уравнений неразрывности (12.49), (12.51) и уравне¬
ния состояния можно определить степень влажности за
327
Рис. 12.3. Зависимость изме¬
нения интенсивности конден¬
сационных скачков от пара¬
метра D\ и переохлаждения
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

конденсационным скачком. Действительно, так как
У = 1 - PA/(Pi*,)= 1 —7~ ~Т~ ~~
Р\
и в соответствии с (12.51)
C2fC\=l—D\ 2(р2/р1—1),
то окончательно
(■
PiiPt~I
(12.57)
В предположении, что течение за скачком конденсации
равновесное, давление и степень влажности позволяют оп¬
ределить состояние смеси за конденсационным скачком.
В заключение подчеркнем, что конденсационные скачки
могут быть различной формы — прямые, косые и мостооб¬
разные (гл. 5). Форма скачка зависит от характера рас¬
пределения скоростей в потоке перед скачком (от формы
канала), а также от начального состояния пара. Как пока¬
зали опыты, если пар перед скачком сухой или слегка
перегретый, конденсационные скачки косые. В случае, ког¬
да перед скачком пар имеет начальную влажность, как
правило, реализуется прямой скачок.
12.4.	Скорость звука и критические параметры
в двухфазных потоках
В гл. 3 показано, что скорость распространения слабых
возмущений (скорость звука) зависит от физических
свойств среды и ее температуры. В двухфазном потоке на
скорость звука влияют структурные особенности среды (ка¬
пельная, пузырьковая, пенная) и интенсивность обменных
процессов.
Приближенный способ определения скорости звука со¬
стоит в определении соотношения упругих и инерционных
свойств среды. Предположим, как и ранее (гл. 3), что им¬
пульс в среде создается перемещением поршня. Обозначив
Р/F силу, приходящуюся на единицу площади сечения пор¬
шня; Е—модуль Юнга и dlfdz—отношение перемещения
поршня к перемещению возмущения в среде (рис. 12.6) за¬
пишем закон Гука в такой форме [7]:
P/F=Edlfdz.
(12.58)
Воспользуемся уравнением количества движения
Р dt=zp\F<p\dzdl\/dt-\-p2F(f2dzdl2/dt,	(12.59)
328
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12 6. Зависимость скорости
звука в двухфазной среде па-
рока пельной структуры от сте-	%0
пени сухости при различных
значениях ко>|)ф пгнеита сколь-	0,8
/,СС‘!ШЯ
0,6
О*
О,Z
о
где dl\,/dt и dl2/dt — соответственно средние значения ско¬
рости пара и капель влаги; <рь <р2 — соответственно относи¬
тельное объемное содержание пара и капель, определяемое
по формулам § 12.1 [ф1=(1—#)р/рь ц>2=Ур!рЛ-
Совместное решение уравнений (12.58) и (12.59) позво¬
ляет получить
E(dtldz)2=xpdh/dl+ (l—x)pdl2/dh. (12.60)
Так как dz/dt=aRф — искомая скорость звука в двухфаз¬
ной среде, то, принимая, что dl=dl\ и dl2/dll—C2lci=v, на¬
ходим
аАф = VEI? I* -f (1 - х) V].	(12.61)
Модуль Юнга можно выразить через давление и плотность.
При изменении давления на dp объем меняется на dv. Тог¬
да по закону Гука dp——Edv/v и, так как dv/v——dpfp,
найдем Е=р dp/dp.
Следовательно, скорость звука
—	— *)v].	(12.62)
Если предположить, что слабые возмущения в двухфаз¬
ной среде распространяются адиабатически, то dpfdp—
—пр]р и
яДф = V “-Pi? 1*4- О — *)v],	(12.63)
где п — показатель адиабаты процесса распространения
волны.
Коэффициент скольжения v зависит от размеров капель
и частоты волн. Если капли крупные, степень влажности
невелика (у<20%), а частота волн слабых возмущений
высокая, то v—й). В этом случае скорость звука аДф близ¬
ка к скорости звука паровой фазы, т. е. сдф=а!= У kpfр4.
329
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

При малых размерах капель и низкой частоте волн коэф¬
фициент скольжения v—»-1 и скорость звука в двухфазной
среде приближается к равновесной скорости звука: адф=
=ар= Ynplp=	Для	расчетов показатель
адиабаты принимается, как для равновесного процесса.
Зависимость относительной скорости звука в двухфаз¬
ной среде капельной структуры от степени сухости и ко¬
эффициента скольжения показана на рис. 12.6. Нижняя
кривая отвечает равновесной скорости звука, которая ха¬
рактеризует распространение возмущений нулевой частоты
(процесс нарастания или падения давления в волне возму¬
щения является бесконечно медленным). Реальные распро¬
странения волн возмущения являются неравновесными.
При этом интенсивность тепло- и массообмена, ускорения
или замедления капель в волнах возмущения влияет на
степень неравновесности и в свою очередь зависит от ча¬
стоты возмущения.
Теоретически и экспериментально показано [7], что по¬
ведение скорости звука в двухфазной области определяет¬
ся прежде всего структурно-временным параметром тд
[формула (12.34)], зависящим от частоты волн возмуще¬
ния, от дисперсности жидкой фазы и вязкости несущей
фазы.
В пузырьковой среде, как и в капельной, скорость звука
зависит от параметров среды и частоты возмущений. В свя¬
зи с тем, что плотность пузырьковой среды р велика, а сжи¬
маемость (упругость) определяется наличием пузырьков,
т. е. также значительна, на основании формулы (12.63)
можно предположить, что скорость звука в такой среде
будет низкой.
Для приближенной оценки аЛф в этом случае восполь¬
зуемся формулой [18]
а„ф=(<?р/<?р)в.
Связь между давлением и плотностью устанавливается
с помощью формул
1/р=(1— дО/рг+х/р, или Р=Ф1Р1 Ч~Р2(1 —Ф1)-	(12.64)
Давление связано с плотностью уравнением
р_	*Ы1	 (12.65)
и 1 —(1—Х)р/р, *
Тогда после дифференцирования получим
а-2ДФ= (1 — ф 1)2/ a Vb*P2/ (Р1 )2*	(12.66)
330
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Здесь at и а? — соответственно скорость звука в газовой и
жидкой фазах. Так как при <р1>10-® влияние первого сла¬
гаемого в (12.66) пренебрежимо мало, то с учетом соот¬
ношения хр—tpipi и a2i=kip/pt можно получить
Ядф	(12.67)
При больших объемных концентрациях паровой фазы
Ф1 скорость звука резко уменьшается по сравнению со ско¬
ростью звука в паре а\. С уменьшением <pi скорость звука
в смеси приближается к скорости звука в жидкости а%
Характер изменения относительной скорости звука
аЯф/а2 в зависимости от частоты возмущения ю=©/юр
(юр — резонансная частота) и концентрации <pi показан на
рис. 12.7. Можно отметить, что при небольших частотах
ю<1 скорость звука в пузырьковой среде ниже, чем в жид¬
кости, что объясняется более интенсивным падением зна¬
чения модуля упругости Е по сравнению с изменением
плотности р [а'—'(£'/р)0-5]. Резонансные условия (ю=1) до¬
стигаются в случае, когда частота колебания границы пу¬
зырька и изменения давления совпадают по фазе. При этом
затухание возмущений достигает максимума, а скорость
звука аДфя=а2. Дальнейшее возрастание ю^1 приводит
к снижению затухания и соответственно к увеличению ско¬
рости звука дДф, достигающей максимального значения при
противофазных колебаниях объема пузырька и давления.
Затем с ростом со> 1 амплитуда колебания пузырьков
уменьшается и аДф—уп2.
В связи с определением скорости звука проанализируем
условия наступления критического режима в двухфазной
среде капельной структуры, когда Ci=au т. е.
с2,=(1-£) c2iT=a2i=feip/pt.	(12.68)
Здесь £=1—c2i/c2|Т — коэффициент потерь кинетической
энергии в паровой фазе; k\, как и ранее, — показательизо-
энтроиы для пара. Выразим скорость пара через парамет¬
ры торможения [18];
с21=2(1—£)£,/(*i—l) (ро/ро—p/pi).
Тогда по формуле (12.68) найдем
&ip/pi=2(l—t)k]J(k\—1) (po/poi—p/pi). (12.69)
Отсюда
е#х^р ,pt = Г  ть/л-о {1270)
*< у-у [*(fct_1)+2(l-Q ]	•	1	;
331
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

В формуле (12.70) x=pf/p2 ха¬
рактеризует неравновесность про¬
цесса, а £ — его необратимость.
Для приближенных расчетов
можно принять х*»1. Способ оп¬
ределения и значения коэффици¬
ентов £ приведены ниже.
Заметим, что по формуле
(12.70) рассчитывается второе
критическое отношение давлений,
учитывающее влияние потерь ки¬
нетической энергии в канале.
Значение е*«, определяемое как
отношение статического давления
на выходе к давлению торможе¬
ния на входе, с ростом потерь
уменьшается, а с увеличением неравновесности растет.
Первое критическое отношение давлений е* определя¬
ется по формуле
**= Л/А, = 12/(Л1+1)]**'<*-,),	(12.71)
где poi — давление торможения в выходном сечении кана¬
ла, где в критическом режиме С\=а\.
12.5.	Особенности структуры двухфазного пограничного
слоя и расчет пленок
Пограничный слой в двухфазной среде сохраняет основ¬
ные структурные признаки однофазного слоя (гл. б). Од¬
нако в зависимости от массового соотношения фаз (от сте¬
пени влажности) в нем проявляются важные особенности.
В парокапельном потоке он состоит из пленки, движущей¬
ся по стенке, и парокапельной надпленочной области
с большими поперечными градиентами скоростей. Иногда
между стенкой и парокапельным слоем существует паровой
подслой, в котором отсутствуют капли. Возможно одно¬
временное существование паровой и жидкой пленок, а так¬
же пленок пузырьковой структуры. При высокой влажно¬
сти пристенная часть пограничного слоя имеет пузырько¬
вую структуру.
Некоторые из возможных структур двухфазных слоев
схематично изображены на рис. 12.8. Схема на рис. 12.8,а
соответствует парокапельному слою без пленки. При не¬
большой скорости парового потока пленка имеет слабо вол¬
нистую поверхность (рис. 12.8,6). При больших скоростях
332
Рис. 12.7. Зависимость изме¬
нения скорости звука в па¬
рожидкостной среде от па-
росодержания при различ¬
ных значениях относитель¬
ной частоты возмущения
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

и IV
III
II
д) ш
г)
Рис. 12 8. Возможные структуры двухфазных потоков вблизи твердых
поверхностей:
/ — парокапельный внешний поток; //—парокапельная часть погра¬
ничного слоя; III — пленка; IV — парокапельный пристенный слой с
пленкой над ним;	внешняя	граница пограничного слоя
(рис. 12.8,в) на внешней поверхности пленки образуются
пространственные волны и происходит интенсивный срыв
капель. У стенки могут возникать паровая и жидкая плен¬
ки и парокапельная внешняя часть слоя (рис. 12.8,г). По¬
граничный слой при высоких степенях влажности (испаря¬
ющаяся жидкость) также отличается многообразием струк¬
тур: пузырьковый слой, над которым располагается жид¬
кость; газовая пленка и над ней пузырьковый слой и жид¬
кость.
В рассмотренных случаях область пристенного слоя ха¬
рактеризуется интенсивным межфазным взаимодействием
в условиях активного проявления вязкости. Межфазное
взаимодействие сопровождается процессами переноса мас¬
сы, импульса и теплоты. Эти процессы реализуются в усло¬
виях ламинарного, турбулентного или смешанного режимов
течения. В большинстве практически важных задач грани¬
ца раздела фаз имеет сложную волновую структуру. Гра¬
фики на рис. 12.9,а показывают, что волны на внешней по¬
верхности пленки имеют различную высоту и форму в за¬
висимости от чисел Рейнольдса пленки и паровой фазы,
определяемых по формулам
где ы2, бпл — соответственно средние скорость и толщина
пленки; рь ць рг» № — плотность и динамическая вязкость
333
Re„.-,—
Re*,n=Moxpi/Hb
(12.72)
(12.73)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

L S'li
Рис. 12.9. Осциллограммы волновой поверхности пленки (а) и относи¬
тельные максимумы и минимумы волновой структуры поверхности плен¬
ки (б) по опытам И. П. Тетеры (МЭИ)
паровой фазы и пленки; ио — скорость парокапелыюго
потока на внешней границе пограничного слоя; рь |*i —
плотность и динамическая вязкость паровой фазы.
Только при весьма малых значениях Rex,n поверхность
пленки остается практически гладкой, однако при малых
Непл шероховатость твердой стенки также влияет на вол¬
новую структуру ее поверхности. С ростом Rc.r,n на по¬
верхности раздела появляются мелкие волны, быстро пере¬
страивающиеся в плоские (двумерные) волны, имеющие
334
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

малую амплитуду и скорбеть движения и большой период.
Далее, с ростом Re*,n образуются пространственные (трех¬
мерные) волны в результате разрушения плоских волн.
На рис. 12.9,6 нанесены экстремальные толщины плен¬
ки, соответствующие «вершинам» и «впадинам» волновой
поверхности. Минимальная относительная толщина плен¬
ки, определяемая по «впадинам», практически не зависит
от Re^j, и несколько убывает с ростом Rena. Относительная
высота гребней существенно зависит от Re*,n и Rепл, при¬
чем расслоение кривых на рис. 12.9,6 возрастает с увели¬
чением ReiM- Наличие пологих максимумов на кривых сви¬
детельствует об интенсификации срыва капель с гребней
волн и изменении формы волн: при высоких значениях
Re*ji фиксируются перекатывающиеся (срывные) волны,
скорость движения которых существенно возрастает. На
таких режимах паровая часть слоя интенсивно насыщается
каплями; при небольших значениях Rera пленка может
быть полностью распылена газовым потоком.
В соответствии с опытными данными на рис. 12.9 макси¬
муму кривых бмакс (Renn) соответствуют трехмерные волны.
Такие волны являются пологими, регулярными, каплевид¬
ными с приблизительно равными длинами в продольном и
поперечном направлениях. По мере увеличения расхода
жидкости в пленку трехмерные волны вытягиваются в на¬
правлении потока, причем на их поверхности возникает
мелкая «рябь». «Шквальные» волны занимают всю ширину
канала и характеризуются меньшей регулярностью, значи¬
тельно большей длиной, крутым фронтом и пологим ска¬
том. Форма шквальных волн и характер изменения нх вер¬
тикальных размеров свидетельствуют о том, что сила по¬
верхностного напряжения в их формировании играет мень¬
шую роль, чем для трехмерных волн.
При обтекании волновой поверхности пленки распреде¬
ление давлений в газовой фазе будет периодическим: на
гребне каждой волны давление снижается, а во впадине
возрастает. При этом внутренние нормальные силы давле¬
ния способствуют развитию волнового движения на поверх¬
ности пленки, так как увеличивают амплитуду волн. К чис¬
лу сил, препятствующих развитию волнового движения,
относятся силы поверхностного натяжения в пленке, а так¬
же гравитационные силы (в горизонтальном потоке). Нор¬
мальные силы давления зависят от формы волновой по¬
верхности. Для плоских волн они будут минимальными,
а для трехмерных — максимальными; промежуточное по¬
ложение занимают шквальные волны.
335
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12.10. Схемы течения пленки и пара вблизи волновой поверхност
раздела фаз
Основную роль в процессе взаимодействия фаз на гра
ницс раздела играет внутрифазная и межфазная вязкость
На волновой поверхности создаются знакопеременные про
дольные градиенты давления, и конфузорные участки в па¬
ровой фазе сменяются диффузорными участками с положи¬
тельными градиентами давления. На таких участках могут
возникать локальные отрывы парового пограничного слоя
в приволновых областях. Отрывы порождают мелкие вих¬
ри, находящиеся под воздействием подъемных сил, направ¬
ление которых может меняться.
Под действием подъемных сил вихри могут отрываться
от волновой поверхности и перемещаться в паровую фазу.
Они вовлекают во вращательное и поступательное движение
мелкие капли с поверхности пленки и осуществляют, таким
образом, унос жидкости. При относительно малых скоро¬
стях волн реализуется схема, изображенная на рис. 12.10,а,
а при больших скоростях волн — схема на рис. 12.10,6.
Не исключена вероятность одновременного существования
двух механизмов переноса на различных участках пленки.
Распределение давлений вдоль волновой поверхности и
по нормали к ней зависит от соотношения скоростей паро¬
вой фазы и фазовой скорости волн. На некотором расстоя¬
нии от поверхности раздела пар будет двигаться с большей
скоростью, чем волны, а вблизи поверхности скорость волн
превосходит скорость пара. Распределение скоростей в не¬
подвижной системе координат показано линией ОаЬ, а в си-
336
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

стеме, движущейся вместе с волной, — линией de. Такая
эпюра скоростей соответствует случаю, когда «критиче¬
ский" слой пара (точка d) находится на достаточно боль¬
шом рассюяиии от границы раздела. При изменении ско¬
рости и или с слой, отвечающий условию и—с=0, будет
менять положение. Волновая поверхность пленки и взаи¬
модействующий с ней паровой поток генерируют диффу¬
зионную турбулентность, которая дает наибольший вклад
в процесс обмена массой, импульсом и энергией между
фазами. На режимах со шквальными волнами вступает
в действие механизм, связанный со срывом частиц жидко¬
сти с гребней несимметричных волн и образованием пенно¬
пузырьковой структуры на поверхности раздела.
Во многих случаях представляется важной методика
расчета стабилизированных пленок, отвечающих следую¬
щим условиям: 1) поверхность раздела фаз предполагает¬
ся неволновой («гладкой») и располагается на расстоянии
^=бпл от твердой стенки (6Пд—средняя по уравнению рас¬
хода толщина пленки); 2) напряжение трения на стенке то
принимается по опытным данным, т. е. с учетом реальной
волновой поверхности раздела; 3) скольжение фаз на по¬
верхности раздела отсутствует.
Условная модель взаимодействия фаз, отвечающая пе¬
речисленным упрощениям, означает, что поток газа един¬
ственным образом воздействует на усредненные характери¬
стики пленки — через напряжение трения на стенке то и на
границе раздела фаз т,-, причем в [7] показано, что для
такой модели тг=то=т- В рамках принятых допущений ис¬
пользуем обозначения:	и+2=и2/у*;	y¥=yv*fv2; 6+пл=
=6iwi»*/v2, где v„— Yто/р — динамическая скорость; и2—
скорость пленки; v2 — кинематическая вязкость жидкости.
По уравнению сохранения массы
где м+2, у+ и 6+пл — усредненные безразмерные характери¬
стики пленки.
Учитывая, что средняя толщина пленки сохраняется по¬
стоянной, можно предположить, что энергия, передаваемая
пленке потоком газа, затрачивается на преодоление сил
трения. Следовательно,
(12.74)
IIЛ
Ы!\) «< -- (' Ч) ( (du'i'dy) dy.	(J2.75)
22—3331
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Воспользуемся выражением для касательного напряже¬
ния в пограничном слое (гл. 6)
т/т0= (1 +8т Wv2) du+2ldy+,	(12.76)
где ет пл — коэффициент кажущейся (турбулентной) вязко¬
сти (гл. 6).
Из двух последних уравнений легко получается тг=т0.
Следовательно, принятая упрощенная модель фазового
взаимодействия приводит к условию постоянства касатель¬
ных напряжений по толщине пленки: в любой точке плен¬
ки напряжение трения равно то — напряжению на стенке,
определяемому экспериментально в условиях реального
волнового взаимодействия фаз на границах раздела.
Пленку с неволновой поверхностью раздела можно ус¬
ловно разделить на две области: вязкий подслой у стенки
с квазиламинарным режимом течения 0^у+^20 и турбу¬
лентную зону, расположенную над ним (д+Вя^У+т^20).
Скорости в вязком подслое определяются по формуле
у+
uin = | dyjii;4- пги}у* [1 — exp (— nut
и
где n=0,l — эмпирическая константа, а в турбулентной зо¬
не — по соотношению
и+2т=х-1 In y+-\-D,
где к—0,4 — константа турбулентности; D=5,5. Условие не¬
прерывного перехода в пленке в точке у+i=20: и+2п=«+2т>
или
у+
Х-* Inу+ -f-£> — J dy+[{ 1 -\-n*utyJ~ [i — exp (— n?ut#+)]}.
о
(12.77)
Кроме того, dy+2n/dy+—du2rldy+ или
xy+ 1 _}-rfu^yh [1 — exp (— n2u*y*)J. ( 12.78)
Подставляя уравнения (12.77) и (12.78) в формулу
(12.74), находим
+ь* н~х (1п8+ - 1) — 40*-1 + D - 20).	(12.79)
338
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рнс. 12.11. Распре- g* ,s
деление скоростей ™ ¥
по толщине плен- “пп/*пп
ки (а), зависимо¬
сти толщины вы¬
теснения и потери "}Z5
импульса (б) от
Rena при различ¬
ных значениях
Re*,n	otZ
0,15
0.1
О 100 ZOO 300 Ш 500 Reff„
Ю
Уравнения (12.77)—(12.79) единственным образом свя¬
зывают определяющие усредненные параметры течения
в пленке iW> «г(</) и тг=то при условии, что характерные
параметры турбулентного режима п их известны.
Расчет распределения скоростей в пленке показал
(рис. 12.11,а), что с уменьшением расхода жидкости на¬
полнение эпюры скорости при больших значениях Re*,a
увеличивается; при малых Rex>„ с уменьшением расхода
жидкости наполнение уменьшается. Отсюда можно заклю¬
чить, что полнота профиля скорости определяется структу¬
рой волн на поверхности, а также связанной с ней интен¬
сивностью генерируемой турбулентности. Распределение
скоростей в пленке для исследованных диапазонов Renn=
—50-^600 и Rex>n=(l,5-!-10)-105 соответствует переходным
режимам. Связь между безразмерными параметрами плен¬
ки б+пл=бплО* / (vjRe™) и Rex,n, однозначно определяющи¬
ми профиль скорости в пленке, позволяет получить
Относительные условные толщины пленки показаны на
рис. 12.11,6. Как и следовало ожидать, значения 6* Пл/б|!л И
б**пл/6пл не соответствуют ламинарному или турбулентно¬
му режиму в пленке. Кривые расслаиваются по Re*,n, и
только при малых расходах жидкости (т. е. при Rena<100)
толщина вытеснения и толщина потери импульса прибли¬
жаются к соответствующим значениям для ламинарного
режима. В соответствии с установленной зависимостью 6*пл
22*	339
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

и _6**пл от Ивпл и Re*,и формпараметр пленки Н„п—
=б*пл/б**пл меняется в широком диапазоне от 1,5 до 2,1.
Приведенные результаты показывают, что задача о те¬
чении пленок в спутном газовом потоке не является одно¬
параметрической. Характер изменения всех условных тол¬
щин и формпараметра отражает прежде всего изменения
механизма взаимодействия на поверхности раздела и тур¬
булизации пленки. Вблизи значения Renn^l 00-г-150 влия¬
ние Re*,n практически вырождается. Резкое снижение б*пл,
6**пл при 0«^Непл^Ю0 объясняется переходом от трехмер¬
ных волн к шквальным, а последующий рост этих величин
свидетельствует о турбулизации пленки и интенсификации
уноса (срыва влаги).
<2.6. Опытные характеристики двухкомпонентного
турбулентного слоя на плоской стенке
Как уже отмечалось, для приближенного расчета двух¬
фазного слоя необходимы опытные зависимости напряже¬
ния трения от определяющих параметров и распределение
скоростей в слое. Относительное увеличение физической
толщины слоя в зависимости от Re™ и Re-c,„ показано на
рис. 12.12. Наиболее интенсивный рост 6=б/6с (где бс —
физическая толщина пограничного слоя пара без капель)
обнаруживается при умеренных Ие„л=50-!-200. Кривые сла¬
бо расслаиваются по числу Re*,n в интервале 3,2-105^
^Re*,n^8-105. Этот_результат подтверждает, что основную
роль в увеличении б играет волновая структура поверхно¬
сти пленки, меняющаяся при изменении Re*,n. Относитель¬
ные условные толщины меняются более интенсивно в зави¬
симости от Renn, однако экспериментальные точки образу¬
ют узкую область (заштрихована на рис. 12.12,6), показы¬
вающую зависимости 8» и б** от Renn. Измерения распре¬
деления скоростей по нормали к стенке подтвердили (рис.
12.12,а), что с увеличением расхода в пленке наполнение
профиля скорости уменьшается. Полученный результат объ¬
ясняется, очевидно, условиями на поверхности раздела и,
в частности, интенсификацией волнового движения и соот¬
ветственно поперечного переноса, а также срывом капель.
Капли, попадая в паровой слон, движутся со скольжением,
что приводит к большей потере скорости несущей фазы.
Профили скорости при отсутствии пленки и капельной вла¬
ги при Re*,n<l,7-105 соответствуют ламинарному режиму
в слое, а при наличии пленки — переходному и турбулент-
340
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12.12. Распределение скоростей в парокапельном пограничном
слое над пленкой (а) и зависимость относительных толщин слоя (б) от
ReHa и Re*„ по данным И П. Тетеры (МЭИ): 8С, 6*с, 6**« — физиче¬
ские и условные толщины слоя для чистого пара: <0>—Re*,n= 10,3* 10s;
О— 7,7-108; Д — 5,4-106; • — 4,9-105; А — 3,4-105; □ — 3,2' 10»: V —
1,9-10»
ному. На этом основании можно заключить, что волновая
поверхность раздела способствует более раннему переходу
ламинарного режима в турбулентный и критическое число
Рейнольдса уменьшается.
Условные толщины парокапельного слоя увеличиваются
с ростом Re™- Однако формпараметр Яп=б*/б** почти не
зависит от Rera и Re*,n. Для расчетов можно принять Яп=
=1,36-=—1,4 при Re*,n= (1,9-s-l 0,3) -108 и Rепл=50-!-600. Ана¬
логично Я*п=1,75-8-1,80 для этих же диапазонов чисел Рей¬
нольдса. Соответствующий параметр гомогенного турбу¬
лентного слоя на плоской стенке Ят=1,31-*-1,35, а для ла¬
минарного Ял=2,59. Известно, что с увеличением степени
турбулентности формпараметр Я несколько уменьшается
(#т=1,27-+-1,31). Аналогично меняются Я (Rena) при
Ren.-t>200. Правомочно предположение, что возрастание
Яепл. сопровождающееся интенсификацией волнового дви¬
жения на поверхности пленки, эквивалентно увеличению
интенсивности турбулентности.
На основе опытных данных в [7] предложены полуэм-
пирические расчетные формулы. Так, для определения фи-
341
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12.13. Зависимость относи¬
тельного напряжения трения на
стенке, обтекаемой двухфазным
пограничным слоем с пленкой
от ИеЛл и Rojc.it по данным
И. П. Тетеры (МЭИ)
зической толщины слоя И. П. Тетерой получена зависи¬
мость
Re* ='0,16 Re™27 Re® л»	(12.80)
где Ree=«o6vi-1 и Re*,n—u0xv~K Аналогичная зависимость
для гомогенного слоя имеет вид
0,37 Re®*8.	(12.81)
Сравнение показывает, что характер изменения физи¬
ческих толщин двухфазного и гомогенного слоев б и бс
вдоль	стенки	остается одинаковым, а наличие	пленки при¬
водит	к возрастанию б, обусловленному	ее	волновой по¬
верхностью. Для условных толщин получена формула
8* = 8** м 0,3 Re^7,	(12.82)
где 8’*=д*/6 и "б**=б**/б.
При пользовании формулами (12.80) и (12.82) необхо¬
димо помнить, что толщина слоя отсчитывается от средней
толщины пленки бил, а скорость щ и касательное напряже¬
ние т»-=то на поверхности раздела известны.
Прямые измерения напряжения трения на плоской стен¬
ке в двухкомпонептном и гомогенном слоях позволили по¬
строить графики то=то/тос (рис. 12.13). С ростом расхода
жидкости в пленку напряжение трения особенно интенсив¬
но увеличивается при 0^Ren.i^200. Дальнейшее возраста¬
ние Re™ приводит к более медленному увеличению то.
Следовательно, в относительно узком диапазоне значений
ReM проявляется основной эффект взаимодействия фаз,
в результате которого интенсивно возрастает напряжение
342
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Таблица \й.\
Константы
40<Reu1<115
ReIM>US
к
1,32
0,037
0,161
т
0,03
0,2
0,2
п
0,09
0,42
0,11
трения на стенке. Данные на рис. 12.13 аппроксимируются
формулой	_
To=^RenBflRe’B^n,	(12.83)
где к, п, т — константы, определяемые для разных интер¬
валов значений Re™. В гомогенном безградиентном тече¬
нии напряжение трения выражается известной формулой
(гл. 6)
V = 0,0576р«% Re70'2,	(12.84)
следовательно,
=.	= klPlu%^ Re^‘2'.	(12.85)
Значения констант приведены в табл. 12.1; kj=0,0576k.
Коэффициент местного трения определяется по формуле
Cf = 2xt[9lu\ = klR^R^A	(12.86)
с использованием даиных табл. 12.1.
Сопоставление пограничных слоев в гомогенной и
в двухфазной средах на рис. 12.13 выполнено для гладких
поверхностей. Воспользуемся теперь опытными данными
для шероховатых стенок. Заметим, что волновую поверх¬
ность пленки, непрерывно менящуюся во времени, можно
условно заменить «шероховатой» стенкой; шероховатость
такой стенки характеризуется среднестатистической ам¬
плитудой вол» 6в=2Допл (см. рис. 12.9). По аналогии с
параметром k$ («твердая шероховатость») введем безраз¬
мерный параметр «волновая шероховатость»	и
сравним распределение скоростей в по. v логарифмических
координатах для гомогенного и двухкомпонентного погра¬
ничных слоев. В первом случае для поверхностей с разви¬
той шероховатостью справедлива формула
м/ о*=5,75 lg (yv*/v) +D,	(12.87)
где
0=8,5-5,75 lg(ft.o./v);	(12.87а)
343
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12.14. Профили скорости в гомогенном (/) и двухфазном (2) по¬
граничных слоях в координатах ii/v^-D 1 и	ло	опытам
И. П. Тетеры (МЭИ)
здесь k9 — средняя высота выступов шероховатости обте¬
каемой поверхности.
Профиль скорости по формуле (12.87) представлен пря¬
мой	1	на	рис.	12Л4. Для двухфазного слоя	эксперимен¬
тальные	точки	группируются около линии	2,	отвечающей
уравнению
u/v*—Di = 3,61 g {yv* /v i),	(12.88}
где
A =•- 75.4	-	3,6	lg	(12.89)
а зависимость kbv*/v\ по данным рис. 12.14 аппроксими¬
руется уравнением
kjjJv, — A Re™ Rein-	(12.90)
В узком диапазоне изменения чисел Re^^lOO и Re*>n^3X
Х105 можно принять опытные коэффициенты Л=5* 10~6;
а=0,625; 6=1,36. Уменьшение угла наклона прямой 2 на
рис. 12.14 свидетельствует об увеличении константы тур¬
булентности, принимающей значение х=0,64, тогда как
для однофазного течения х=0,41. Этот результат важен,
так как показывает, что волны на поверхности раздела, по¬
лучая энергию от потока пара на уровне высокочастотных
и мелкомасштабных пульсаций, генерируют крупномас¬
штабные низкочастотные турбулентные моли в слое паро-
344
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teploiib.ru

Рис. 12.15 Зависимость коэффициента трения в двухфазном погранич¬
ном слое от Rena и Re*,n
вой фазы. При этом существенно меняются характер рас¬
пределения и интенсивность турбулентных пульсаций в по¬
перечном сечении слоя. В этой связи можно говорить о
турбулентно-волновом механизме трения в двухфазном
пограничном слое.
По формуле (12.86) коэффициенты трения зависят от
Re,™ и Re*,п. Такая зависимость на рис. 12.15 показывает,
что с увеличением Re„.,>0 происходит расслоение кривых,
особенно заметное для Ren^ll5. Отметим, что зависимо¬
сти C/(Re*,„) в ламинарной и турбулентной областях со¬
храняются линейными, однако в соответствии с меняю¬
щимся механизмом взаимодействия жидкой и газовой фаз
наклоны прямых изменяются. Здесь, как и ранее, под¬
тверждается вывод о том, что все характеристики двух¬
компонентного слоя являются двухпараметрическими. Кри¬
тические числа Re*,„,Kp, соответствующие переходу лами¬
нарного слоя в турбулентный с ростом Re пл> СНИЖАЮТСЯ,
что подтверждает более ранний переход.
12.7.	Движение капель и дополнительные потери
кинетической энергии в двухфазных потоках
Кроме дополнительных потерь на тренне в двухфазном
пограничном слое (§ 12.6) в потоках капельной структуры
уменьшение кинетической энергии несущей фазы происхо¬
дит из-за неравновесности процесса и межфазного взаимо¬
действия в ядре. Сюда относятся затраты энергии на раз¬
гон капель в конфузорных течениях, а также на реализа¬
цию тепло- и массообмена между фазами. Определим
вначале потери кинетической энергии, вызванные рассо¬
гласованием скоростей пара и капель, т. е. механическим
взаимодействием фаз. Для этого воспользуемся уравнением
движения капли [7, 18]
mKdc2/dt=CxFKp i (с,—с2)2/ 2.	(12.91)
34 5
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Здесь тК“4/(Зярг^к) —масса капли; Рк=4лг2к, как и ра¬
нее,— площадь поперечного сечения капли; Сх — коэффи¬
циент сопротивления капли; с\, с2, pi, р2— соответственно
скорости и плотности пара и капель.
Коэффициент сопротивления зависит в основном от
формы капли и числа Рейнольдса:
ReK=(Ci—c2)rfKPiM.i-1.	(12.92)
Предполагая, что капли малы и имеют сферическую
форму, воспользуемся опытной зависимостью c*(ReK) или
формулами, справедливыми для определенных интервалов
чисел ReK. Так, при ReK^l,0 следует определять сх по фор¬
муле Стокса:
C«=24Re-!K.	(12.93)
При 10^ReK^8-102 используется формула
Сх= 12,5 Re?'5.	(12.94)
Для капель неизменной формы, принимая С* по фор¬
муле (12.93), преобразуем уравнение (12.91) к виду
dctfdt^±-^-(Cl-ct).	(12.95)
* к
Обозначив
"тд—2/9 (рг/^кц1-!),	(12.96)
окончательно получим дифференциальное уравнение дви¬
жения капли:
Xpdc2ldt=ci—с2.	(12.97)
Решение этого уравнения будет
c2=ct—(ci —с2о) exp (—t/тд).	(12.98)
Здесь	с го — скорость капель в начальный	момент	времени
to. Для с2о=0 легко получаем коэффициент	скольжения в
таком виде:	_
v=c2/ci = l— ехр(—*/тд).	(12.99)
В некоторых случаях важно определить длину пути
капли, на котором она приобрела определенную скорость.
Интегрируя (12.98), находим [18]
t
z=	—	**(<4	—	cso)[l — exp(—//чд)|. (12.1СЮ)
о
Обозначим Ac2—(ci—c2)/ci = l—v;
ДС2о=(С1—C2o)/Ci = l—Vo И 2=2/C,Тд.
340
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Тогда формула (12.98) принимает вид
Дс2=Дс2о [ 1 —exp (—t/Тд) ].	(12.101)
Путь, проходимый каплей,
z=t/тд—Дс2о [ 1 —exp (—*/Тд) ].	(12.102)
Отметим, что t/тд — безразмерное время, зависящее от
радиуса капли. Учитывая, что параметр тд входит в пока¬
зательную функцию, можно заключить, что путь разгона
капли в существенной степени зависит от ее размера. Из
формулы (12.96) также видно, что с ростом плотности ка¬
пель и с уменьшением вязкости пара параметр тд возрас¬
тает. Как уже указывалось (§ 12.2), эта величина харак¬
теризует процесс выравнивания скоростей фаз и выражает
время механической релаксации. Аналогично определяются
скорости капель и длина их пути при использовании дру¬
гих зависимостей C*(ReK).
Отметим, что полученные выше решения не являются
строгими, так как капли вследствие скольжения деформи¬
руются, а в некоторых случаях и дробятся на более мелкие
части, что не учитывается в расчете. Кроме силы аэроди¬
намического сопротивления на каплю действуют и другие
силы, например гравитационные, кориолисовы, а также
силы Магнуса. Происхождение последних связано с вра¬
щением капель относительно собственных осей, возникаю¬
щим в результате неравномерного распределения скоростей
в несущем потоке (например, в пограничном слое). В бо¬
лее точных расчетах следует также учитывать влияние
сил, связанных с циркуляционным движением внутри
капли.
Рис. 12.16. Зависимость коэффициента скольжения капель от длины су¬
живающегося сопла (а) и от времени (б)
347
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

5	0-	-	,
10'8 10~*
1 1/ Lp
При движении капли в разре¬
женном паре необходимо учиты¬
вать влияние числа Кнудсена
(§ 12.2), а при больших числах
а) Маха Мк =(с{—c2)/ai^0,4 — вли¬
яние сжимаемости. Расчетные ис¬
следования позволяют оценить
нлияние некоторых параметров и,
в частности, диаметра капель на
коэффициенты скольжения. Так,
на рис. 12.16,а можно видеть, как
меняются коэффициенты сколь¬
жения капель вдоль суживающе¬
гося сопла, а на рис. 12.16,6 по¬
казано изменение v во времени
при постоянной скорости пара
[18].
Деформация и распад капли в
потоке, обусловленные значитель¬
ной разностью давлений на лобо¬
вую и кормовую части, схематич¬
но показаны на рис. 12.17,а. Так
как давление на лобовой части значительно более высокое,
чем на кормовой, то происходит сплющивание капли. Попе¬
речный размер капли увеличивается, кормовая зона рас¬
ширяется и под влиянием пульсаций давлений в этой зоне
(гл. 6) капля совершает колебательное движение и в ко¬
нечном счете разрушается. Уменьшение размеров капли
происходит также в результате срыва частиц с ее поверх¬
ности, особенно интенсивного в кормовой части.
Для распада капли необходимо достижение критиче¬
ского числа Вебера (§ 12.2). Значения WeKP можно опре¬
делять по экспериментальному графику на рис 12.17,6,
где дана зависимость WeKp от критерия Лапласа [18]
Рис 12.17. Деформация и
распад капля в потоке пара
(а) и зависимость критиче¬
ского числа Вебера от кри¬
терия Лапласа (о) (разброс
экспериментальных точек
показывают вертикальные
отрезки)
LР—Р2<уйф2 2,
характеризующего соотношение сил поверхностного натя¬
жения и сил вязкости.
Потери кинетической энергии паровой фазы, обуслов¬
ленные механическим взаимодействием капель с паровым
потоком, определяются по формуле
i
Ah»----] m^Rdl.	02.103)
О
348
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Здесь mK — расход жидкой фазы; / — длина пути, проходи*
мого каплями; г|- — коэффициент, учитывающий часть ра¬
боты сил трения, превращающейся в теплоту; R — сила
взаимодействия между фазами (сила аэродинамического
сопротивления капли, отнесенная к ее массе), определяе¬
мая но уравнению (12.95) или (12.97):
R=dc2/dt= (ei—с2)тд-'.
Располагаемую кинетическую энергию представим в
таком виде: Eo—mho, где ho— располагаемый перепад эн¬
тальпий, т — расход двухфазной среды. Тогда коэффици¬
ент потерь кинетической энергии будет
i	i
<12-104)
о	о
Уменьшение кинетической энергии парового потока
из-за неравновесности процесса обозначим ДЛН. Напом¬
ним, что эта величина характеризует уменьшение распо¬
лагаемого перепада энтальпий (см. рис. 12.2,а) и опреде¬
ляется по формуле
j _	(12л05
Здесь &,=(&!—1)1 ki; b2—(k2—l)/k2; b3=(kp—1)/£P; po=
=Р2/РоГ, h, k2, kp — показатели изоэнтропы пара, жидко¬
сти и среды при равновесном (диаграммном) расширении;
х0 — начальная степень сухости; г—pjpQ — отношение дав¬
лений на сопле, в котором происходит расширение двух¬
фазной среды.
Потери кинетической энергии вследствие фазовых пе¬
реходов и теплообмена между фазами определяются по
формулам [7, 18]
^ф=12(Г8—Т2)Ь/ (Г2АоТф)	(12.106)
и	_
Сг-^ 6 Nu (1 - х) (Т, — Г,)2 cJ(Th,xr). (12.107)
Здесь Nu = adKA^2 — число Нуссельта; тф и тт — безраз¬
мерные времена релаксации, рассчитываемые по форму¬
лам §12.2.
Полные потери кинетической энергии в двухфазном по¬
токе в каналах будут
$дФ=£тр+£м+£н+£ф+£т,	(12,108)
349
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

где £тр — коэффициент потерь кинетической энергии на тре¬
ние в двухфазном пограничном слое.
Расчетная оценка, а также результаты соответствую¬
щих опытов показывают, что в потоках капельной струк¬
туры в соплах при наличии крупных капель на входе ос¬
новную долю составляют потери в пограничном слое и
потери от механического взаимодействия фаз в ядре по¬
тока.
12.8.	Скачки уплотнения в потоках влажного пара
В сверхзвуковых потоках двухфазной среды капельной
и пузырьковой структур могут возникать адиабатические
скачки уплотнения, как и в однофазных средах (см. гл. 5).
При пересечении скачка характеристики двухфазного пото¬
ка существенно изменяются. Так, степень сухости пара
вследствие частичного испарения жидкой фазы будет воз¬
растать, капли будут дробиться, а в некоторых случаях
коагулировать при пересечении скачков (в зоне малых и
умеренных влажностей). В области больших влажностей
скачки могут способствовать переходу одной структуры
двухфазного потока в другую (капельной —в пузырько¬
вую, пузырьковой — в пенную). При этом не исключен
полный или частичный переход пузырькового течения в
однофазное. Адиабатические скачки в двухфазных сверх¬
звуковых потоках могут быть, как и в однофазных течени¬
ях, косыми, прямыми и криволинейными.
В адиабатическом скачке, как показали опыты, средние
радиусы капель сохраняются практически неизменными
(или несколько возрастают), однако количество частиц в
единице объема и степень влажности уменьшаются. Сле¬
довательно, в скачках и в релаксационной зоне за скачком
реализуются два процесса. Скачок повышает термодина¬
мические параметры паровой фазы (р2, Тг, рг), а в зоне
за скачком происходит частичное испарение капель, так
как скачок нарушает термодинамическое равновесие фаэ.
Область интенсивного тепло- и массообмена между фаза¬
ми оказывается протяженной по потоку (10—20 мм), в то
время как толщина скачка мала (25—150 мкм).
Экспериментальное изучение скачков в сверхзвуковом
потоке капельной структуры осуществлялось в сопле Ла¬
валя при обтекании клина (рис. 12.18,а). С уменьшением
перегрева пара перед соплом (при появлении мелкодис¬
персной влаги) интенсивность скачка несколько снижается,
что объясняется возникновением скачков конденсации в
сопле и снижением скорости перед адиабатическим скач-
350
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

-bQ 0 <rO 80 1ZQ z,m
Рис. 12.18. Распределение давления вдоль сопла Лаваля при обтекании
клина (а) и зависимость отношения давлений на скачке ръ\р\ и угла pi
от начальных параметров среды (б):
/ — перегретый пар на входе 7>=419 К; 2 — перегретый пар Го-398 К; 3 —сухой
насыщенный пар Г*—379 К; 4—влажныЙ пар #о~2-$»5,5%
ком уплотнения. При переходе к сухому насыщенному па¬
ру, а затем и к начальной влажности интенсивность скачка
Р2/Р1 и его угол Pi резко возрастают (рис. 12.18,6). Если
при снижении перегрева или увеличении начальной влаж¬
ности число Маха окажется меньше предельного, произой¬
дет искривление скачка и отход его от носика клина; да¬
лее скачок приближается по форме к прямому. Этот
351
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

результат и отражают кривые $i(yo) на рис. 12.18,6. От¬
метим, что в зависимости от состояния влажного пара пе¬
ред скачком и интенсивности скачка пар за скачком может
быть различным: влажным, сухим насыщенным или пе¬
регретым. Опыты показали также, что с увеличением угла
клина fi возрастают угол скачка и его интенсивность; ско¬
рость за скачком уменьшается, что соответствует извест¬
ным характеристикам адиабатических скачков в одно¬
фазной среде (см. гл. 5).
Для расчета собственно скачка можно использовать
уравнения сохранения в той форме, в какой это сделано
в гл. 5:
Pi** « Р\ + ?А, — А + К =- Кг =- К- (12.109)
Уравнения сохранения (12.109) справедливы, если ди¬
скретная фаза перед скачком мелкодисперсная и равно¬
мерно распределена в паровой фазе; двухфазная среда
находится в состоянии фазового равновесия; скольжение
фаз отсутствует. Принимается также, что относительные
плотности среды до скачка и после него примерно равны,
т е	где	pi=p"/p'i и р2=р"2/р'г — отношение плот¬
ностей паровой и жилкой фаз до скачка и после него. Тог¬
да из (12.109) можно получить [7]
где p2 = pi—Л
Уравнение (12.110) выражает зависимость между от¬
ношением нормальных составляющих скорости на скачке
и термодинамическими параметрами. Для прямого скачка
р,=р2=.-т/2 уравнение дает связь между потными скоро¬
стями с 1 и eg. Введя, как и ранее (§ 12.3), параметр D\ =
=f»jc2i/Pi, представим уравнение импульсов в такой форме:
Обычно заданными являются угол поворота потока на
скачке и параметры порея скачком р|, гi (Dи Vi. Иско¬
мыми являются угол скачка (5i и все параметры скач¬
ком. Для решения таких задач необходима диаграмма
352
(12.111)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

6)
Рис. 12.19. Зависимости интенсивности скачков рг/р\ от 0% и х\ (а) и
£>*] от (б)
ударных поляр. Уравнение ударной поляры можно полу¬
чить в таком виде [71:
tg6*=Dr2(p2fPi—l) (tgPi)-1.	(12.112)
Использование приведенных уравнений позволяет опре¬
делять необходимые характеристики скачка независимо от
того, остается ли среда за скачком двухфазной или одно¬
фазной (скачок приводит к полному испарению жидкости
при умеренной влажности, а при высокой влажности пе¬
ред скачком осуществляется полная конденсация пара).
Зависимости интенсивности скачков /?o/Pi от D2i^kM2,
и ЛГ| показывают (рис. 12.19,а), что с уменьшением началь¬
ной степени сухости отношение Р2/Р1 увеличивается. На¬
правление фазовых переходов в скачке можно видеть из
рис. 12.19,6. Если скачок происходит вблизи правой по¬
граничной кривой, то степень сухости за скачком хч уве¬
личивается; скачок вблизи левой пограничной кривой при¬
водит к снижению степени сухости, т. е. к конденсации
пара. Значение D*j, при котором происходит изменение
знака фазовых переходов, зависит от хи причем с увели¬
чением хх значения D*, уменьшаются
Расчеты показали [18], что с уменьшением степени су¬
хости перед скачком потери кинетической энергии в скачке
возрастают. Последнее означает, что скачок вблизи левой
пограничной кривой при одинаковом значении £>i сопро¬
вождается максимальными потерями.
12.9.	Истечение конденсирующегося и влажного пара
из сопл и отверстий
Сопловые течения слабо перегретого и влажного пара
хапактертпуются важными особенностями' 1) в любом се¬
чении сопла пар переохлажден; 2) течение в ядре потока
23—3331	353
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

неизоэнтропийно из-за вязкостного взаимодействия фаз;
3) характерна фазовая неоднородность потока в любом
сечении сопла; в пристенной области образуется пленка и
парокапельный пограничный слой (§ 12.5); 4) образование
жидкой фазы может сопровождаться нестационарными из¬
менениями параметров пара.
Опыты подтверждают, что в коротких соплах переох¬
лаждение достигает максимальных значений. Начало кон¬
денсации захватывает некоторую кольцевую область вбли¬
зи выходного сечения сопла, примыкающую к погранично¬
му слою. В этой области появляются капли диаметром
не более 10-8 м. Интенсивная конденсация фиксируется
в свободной струе за соплом, причем положение зоны
конденсации зависит от числа М.
При начальной влажности уо>0 на входе в сопло по¬
являются крупные капли, скорость которых к выходному
сечению возрастает, а коэффициенты скольжения умень¬
шаются. Появление крупных капель вызывает увеличение
давлений во всех точках сопла кроме короткого выходного
участка, где скорости сверхзвуковые. Известно, что при
дозвуковых скоростях межфазный тепло- и массообмен и
механическое взаимодействие фаз приводят к росту, а при
М>1— k снижению давления (гл. 2).
В суживающихся соплах происходит дробление капель,
причем диаметр капель на выходе зависит от диаметра
капель перед соплом; с увеличением dK 1 диаметр </к2 при¬
ближается к постоянному значению (рис. 12.20,а). С уве-
Рис. 12.20 Зависимость диаметра капель на выходе из суживающегося
сопла от диаметра капель на входе и соответствующие функции распре¬
деления f (dKl) и f(dKi) перед соплом и за ним соответственно (а).
Влияние длины сопла на коэффициенты скольжения в его выходном се¬
чении (б)
354
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ййченйём 71лйны Сопла снижаются продольные градиенты
давления и соответственно возрастают коэффициенты
■скольжения. Аналогично меняются средние значения v с
уменьшением отношения плотностей р=р2/pi. Опытные
зависимости v от диаметра капель на входе показывают,
что с ростом с?к1 значения v падают (рис. 12.21,6). Опыты
подтвердили, что распределение капель по радиусу в вы¬
ходном сечении неравномерно: наиболее крупные капли
концентрируются вблизи твердых стенок и в зоне погра¬
ничного слоя сопла и струи.
К числу газодинамических характеристик суживающих*
ся сопл во влажном паре капельной структуры относятся
уже известные нам (гл. 8) коэффициенты расхода цс, ско¬
рости ф0 и потерь кинетической энергии £с. Коэффициент
расхода цс=т/тт можно получить в такой форме:
 1	 (12.113)
ст P. XV+(1— х)?
где тт, ст, р», как и ранее, — соответственно теоретический
массовый расход, скорость и плотность в выходном сече¬
нии сопла. При выводе формулы (12.113) предполагается,
что теоретический процесс расширения среды в сопле явля¬
ется равновесным.
Коэффициент скорости сопла равен
* =	(12.114)
\ст/ ?. XV-г (1— х),р
Здесь Фн=Сп/Ст=а:+(1— *)v; х — степень сухости пара.
Коэффициент потерь кинетической энергии можно по¬
лучить в таком виде [7]:
£0=1-(М2ср/с,)2,	(12.115)
где
k !*+(! — [ху + (1-~х)/р~]
v[x+(l_x)/?,
и ... Ух+(1— Х)Уг .
к*~~	х+(1	— x)v ’
ip — ередуяя расходная скорость.
Приведенные формулы подтверждают, что коэффици¬
енты |Аа, -ф.с и £с зависят от степени сухости, коэффици¬
ента скольжения и отношения плотностей фаз, а также от
режимных параметров: чисел Маха и Рейнольдса. На
рис. 12.21 приведены зависимости этих коэффициентов для
23*	355
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12.21. Зависимость коэффициентов расхода, потерь кинетической
энергии и скорости для суживающихся сопл лемнискатною профиля от
начальной влажности (перегрева) и отношения давлений (опыты МЭИ);
p=p*/pi=1400; Re^S-lO5; dK= 10-6 м; t — eo=0,57; 2 — ea=0,62;
3 — 8a = 0,712
суживающегося сопла от относительного перегрева Пп—
= (ho—hs)/(ho—hi) и степени влажности при различных
отношениях давлений еа=ра/Ро (числах Маха). При не¬
больших перегревах коэффициенты расхода и потерь энер¬
гии начинают возрастать, а коэффициенты скорости —
снижаться. Увеличение перепада давления на сопле при¬
водит к росту цс и уменьшению £с; коэффицеинт скорости
при этом возрастает. Такое изменение характеристик соп¬
ла при /7„>0 объясняется переохлаждением пара. С мо¬
мента появления жидкой фазы в виде весьма мелких ка¬
пель (10-8—10-7 м) переохлаждение снижается и коэф¬
фициенты цс и несколько уменьшаются. При появлении
на входе в сопло крупных капель (г/о>3%) плотность
среды возрастает, коэффициенты скольжения уменьшают-
356
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ся; очевидно, что при этом значения цс и £с начинают
интенсивно_увеличнваться. Уменьшение отношения плотно¬
стей фаз р=р2/р( приводит к снижению коэффициентов
расхода, что объясняется увеличением v с ростом плотно¬
сти несущей фазы; двухфазная среда приближается по
своим свойствам к гомогенной.
Воспользуемся формулой для определения расходных
характеристик суживающихся сопл
= (12.116)
где, как и ранее, ц** — коэффициент расхода, соответст¬
вующий стабилизированной поверхности перехода при ев=
=е..; Ц\—действительный приведенный расход при вто¬
ром критическом отношении е** {§ 8.1); q-t— теоретиче¬
ский (равновесный) приведенный расход, определяемый
по формуле
/6+!\|/<*-0 т /~к+ \п <*-!>/*
,т=('Т-)	1/ F3rr(l>•
Опыты подтвердили, что действительный приведенный
расход для влажного пара можно рассчитывать по эллип¬
тической зависимости
Влияние влажности при этом учитывается выбором зна¬
чения е**, зависящего от влажности.
Подставим в формулу (12.116) величину qi. Тогда
Необходимые для расчета значения и е.» для влаж¬
ного пара в зависимости от режимных параметров и диа¬
метра капель приведены на рис. 12.22.
Обращаясь к рис. 12.22, отметим, что с увеличением у0
значения в*, снижаются, а ц** растут, что объясняется
увеличением затрат энергии на разгон и транспортировку
капель (снижением коэффициентов скольжения). По этой
же причине е** и ц,** меняются в зависимости от р и Якь
Рассмотрим теперь истечение влажного пара из сопл
Лаваля. В широком диапазоне изменения начальных па¬
раметров пара движение в соплах сопровождается спон¬
танной конденсацией (см. рис. 12.4). За критическим се¬
чением достигается максимальное переохлаждение, возни¬
кает конденсационный скачок, вызывающий характерный
357
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12.22. Характеристики второго критического режима для суживаю¬
щихся сопл при течении влажного пара (опыты МЭИ)
всплеск давления. Кривые давлений после конденсацион¬
ного скачка располагаются выше исходной кривой для пе¬
регретого пара. Спонтанная конденсация сохраняется в
соплах до высокой начальной влажности, зависящей от р.
При больших значениях у& скачки конденсации исчезают
и неравиовесность процесса расширения уменьшается.
В общем случае при достаточно высокой начальной
влажности критическое сечение сопла Лаваля не совпада¬
ет с его минимальным сечением. При начальной влажно¬
сти уо>0 положение критического сечения определяет ме¬
ханическое взаимодействие фаз. Смещение критического
сечения по потоку подтверждается распределением давле¬
ний при различных начальных и конечных параметрах по¬
тока (рис. 12.23,а). При у0=0,22 и у<>=0,7 зафиксированы
два различных режима течения в сопле. В первом случае
при ев=0,25 статическое давление после скачка конденса¬
ции падает. Во втором случае давление вдоль сопла на¬
дает монотонно, причем во всех точках давление выше,
чем для г/о=0,22. Последующее повышение га до 0,53 при¬
водит к бесскачковому изменению давлений вдоль сопла
(#о=0,7); эти результаты подтверждают, что при г/о=0,7
течение в сопле дозвуковое, а при г/о=0,22 — сверхзвуко¬
вое за минимальным сечением.
Обсуждаемые результаты физически очевидны: увели¬
чение уо вызывает все более интенсивное снижение давле;
ния торможения и в соответствии с этим смещение крити¬
ческого сечения. Значение у*о, при котором критическое
358
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12 23. Распределение давлений вдоль сопла Лаваля при различ¬
ных е« и уо (а), зависимость у0 от геометрического параметра сопла
f-Л/Л (б)
359
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

сечение совпадает с выходным и течение в сопле полно¬
стью дозвуковое, определяется по кривой на рис. 12.23,6.
Таким образом, затраты кинетической энергии несущей
фазы — на перемещение и ускорение капель — могут при¬
вести к смещению поверхности перехода в любое сечение
расширяющейся части сопла Лаваля. В тех случаях, когда
расчет показывает, что критическое сечение совпадает с
выходным и перемещается за пределы сопла, нет необхо¬
димости применять сопло Лаваля; оно заменяется сужи¬
вающимся соплом.
На режимах ув<1у*о структура парокапельного потока
в соплах Лаваля зависит от основных критериев подобия.
Если принять в качестве расчетного режим, когда в вы¬
ходном сечении отсутствуют волны разрежения или адиа¬
батические скачки, то, строго говоря, он реализуется толь¬
ко при одном значении относительного перегрева Н„ (или
уо), при одном еа и одном числе Рейнольдса.
Интегральные характеристики сопла Лаваля (рис. 12.24)
показывают, что при Яп<6% коэффициенты расхода, ско¬
рости и потерь энергии претерпевают значительные изме¬
нения. Этот факт подтверждает, что в сопле появляются
скачки конденсации и мелкодисперсная влага. При уо>0
с ростом уо коэффициенты ц и £ резко возрастают. Рас¬
сматриваемые графики отражают влияние отношения
плотностей фаз: с увеличением р интенсивно увеличива¬
ются ц и £, так как коэффициенты скольжения в мини¬
мальном и выходном сечениях зависят от р.
j	LМ
Рис. 12.24. Зависимость коэффициен¬
та расхода, скорости и потерь кине¬
тической энергии для сопла Лаваля
от начальной влажности (перегрева)
при различных отношениях плотно-
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12.25. Схемы спектров течения в сопле Лаваля и за соплом для
влажного и перегретого пара на входе в сопло
В гл. 8 рассматривались различные режимы сопл Ла¬
валя при истечении гомогенной среды; при этом были
выделены четыре характерные группы в зависимости от
8а. При течении влажного пара эти группы реализуются
только при умеренных влажностях, когда критическое се¬
чение практически не смещается. Если положение крити¬
ческого сечения меняется, то сопло Лаваля работает с
переменным отношением площадей fi—Fi/F, и число воз¬
можных групп режимов резко возрастает.
Предположим, что влажность среды невелика. Тогда
в перрой группе режимов за срезом сопла образуются вол¬
ны разрежения и конденсационные скачки (за критическим
сечением и в волнах разрежения за срезом), как показано
на рис. 12.25,а, б. Исследования второй и третьей групп
режимов [со скачками за соплом (рис. 12.25,в, г) и
в сопле] позволяют проанализировать вопросы, связан-
361
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12.26. Схема истечения двухфазной среды из отверстия с острой
кромкой (а) и зависимости коэффициентов расхода от отношения давле¬
ний и начальной степени влажности (б) (опыты МЭИ).
/ — перегретый пар; 2—насыщенный пар; 2 — #**0,09; 4 —	0,25;	5	—	?/0=0,45.
6 — г/о=0,65
ные с взаимодействием конденсационных и адиабатических
скачков. С уменьшением начального перегрева скачок
конденсации перемещается прогив потока, а скачок уплот¬
нения — по потоку; расстояние между ними увеличивается.
Этот результат легко объясним: чем ближе к минимально¬
му сечению расположен конденсационный скачок, тем
меньше число Mi перед скачком уплотнения. При этом
адиабатический скачок перемещается в область больших
чисел М, что обеспечивает возрастание его интенсивности.
Опыты показывают, что в третьей группе режимов происхо¬
дит ступенчатое торможение потока в конденсационном
и адиабатическом скачках. На участке между двумя скач¬
ками сверхзвуковой поток ускоряется. Переход к дозвуко¬
вым скоростям происходит только в адиабатическом
скачке.
При истечении из непрофилированных отверстий и ще¬
лей проявляются характерные особенности потока, опи¬
санные в гл. 8. Если пар перед отверстием слабо перегре¬
тый или насыщенный, то в результате высокой степени
конфузорности потока в струе достигаются весьма большие
переохлаждения; поле переохлаждений также неравномер¬
но, как и поля скоростей и давлений. Скачковая конденса¬
ция возникает вначале в периферийных областях струи и
далее распространяется на приосевые участки.
Истечение влажного пара капельной структуры сопро-
362
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

_
О 0,2	0,4	0,6 do О,В d 0	0,2	0,4	0,в п=й/В
Рис 12.27. Зависимость изменения характеристик второго критического
режима f** и и** для отверстий с острой кромкой от отношения диа¬
метров d = djD-
/ — перегретьгй пар; 2 — насыщенный пар; 3 — yQ—0,09, 4— 0э=О,25, 5 — #О“0,45,
£ — #0*0,65; р-360
вождается расслоением линий тока несущей и дискретной
фаз (рис. 12.26,а), под воздействием центробежных сил
капли перемещаются к оси потока и концентрируются в
приоеевой зоне. Расслоение линий тока пара и влаги за¬
висит от геометрических параметров отверстия 3, уо, 7 и
чисел подобия еа, р, Уо, Зк.
Представленные на рис. 12.26,6 зависимости подтверж¬
дают, что в широком диапазоне еа и уо коэффициенты рас¬
хода ft для отверстий растут с увеличением влажности
более интенсивно, чем для суживающихся сопл. Этот ре¬
зультат объясняется более высокими переохлаждением и
скольжением капель, так как продольные градиенты дав¬
ления вблизи отверстия выше, чем в сопле.
Значения в** И JA** отмечены на рис. 12.26,6 штриховой
линией. С увеличением у0 коэффициенты расхода ц.** так¬
же растут более интенсивно для отверстия, чем для сопла,
что объясняется более низкими коэффициентами скольже¬
ния при истечении из отверстия. Опытами подтверждена
зависимость е** и |.и* от геометрических характеристик
отверстия. С ростом относительного диаметра я** возрас¬
тает (рис. 12.27), причем отмечено некоторое характерное
значение Яо=0,75^-0,8, по достижении которого с увеличени¬
ем уо значения е** уменьшаются. Появление узловой зоны
закономерно: при Я-<5о фактором, определяющим зависи¬
мость ?,*(//.»). является деформация поверхности перехода,
а для 3>ао — затраты кинетической энергии паровой фа-
аы на разгон капель. Коэффициенты расхелч м.. для пе-
ОД
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Рис. 12.28. Зависимость характеристик второго критического режима
для кольцевых щелей от влажности пара и относительного диаметра
D=D/8. Обозначения кривых см. на рис. 12.27
регретого и насыщенного пара и при умеренной влажности
(t/o<0,25) увеличиваются с ростом й. При значительной
влажности г/о>0,25 характер кривых (t/о) меняется: для
отверстий 3^0,6 значения ц.*. резко уменьшаются, так как
коэффициенты скольжения капель перед отверстием рас¬
тут.
Интерес представляют расходные характеристики коль¬
цевых и плоских щелей, а также отверстий произвольной
формы при течении влажного пара. Характер зависимостей
ц(ед) сохраняется таким же, как и для перегретого пара,
однако значения ц возрастают во всей области исследован¬
ных режимов (рис. 12.28). Характеристики критического
режима, необходимые для расчетного определения, пока¬
зывают, что ц,** и е** зависят от формы щели, как это
показано на рис. 12.28, а также от режимных параметров
у0 и р=р2/рь
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
о о о о оо О ОрОООО000000 0 0 0 00 0 0 00000000000000ООО о о о о о
С0 СО СО С
С-5ЮС
ОООООООООО'^^'Ч-^^а-С^С^О
>00 с. д ЮОЛЛЛ'
^NOOOOCTv^tOOOO
5S
OOC5 4^K>oSoai^tO
WWMKJtOt
OOOOi^KX
)00G*MS5Oa8SS
оооооооооо оооооооо ооооОО ОО О ООООООООООООООООООООО
„ ... - .	......	....	....“^^^ggSjgigjgsggjjgjgcg^cg^^jgggigggjg
OlUl^NOOOOOWOO-WStOS—СЛОО —	О)	>С СО
 			о* 00 СО СП ОО С'^				 -	-	*
► ЬЭ 4^ сд сл со о ю ►
*J8S£
С. СГ СТ. с*. <J> с: -
СО ^ сл -vl 00 о *
Ю СО СЛ СГ, -4J С' '
ОООООСООООООООООООС
>— Ю СО >£»■ СЛ 0~, ~Ч О
•-и^СЛСлООС
v 	^	^		 ,	OCW^Wyj’-r^OOO^NtOk
О о о — to   .joco-*- — *-оосо-^ослю — оосяооосло — оооо<
ООЮС О^ое — сл00 1ч.сл00«— СО С. _, _ _
K)Cw^CCCO‘~*OOh^OO — СОСО«—ос
и<£>ООСОСОС£>'-‘-»4
■* -Ч to О СО О -Ч
оооооооооооооооооооооооооо ор ОООООООООООООООООООО
*©>|ь.СО4ь.00СС~чЮС 04!ьООЮОСОСОО%СОСОС*СО—‘^-ЧОЮЛ^С^СО—‘СО^ОЭООСО'—ЬЭаЭ^СЛСг'ЧООООСООСОСО
^^ст>сососл<ос^слслсг. слссос;~<лс»о^^со^*£со!£*‘Чсо‘'“‘'--‘'хос,..к>"Ч»-->ио>,>ч-чсг>*4ь.'-»-ч--‘Сл-чсо
tooioonoco^otc^c^ -чоососооо-чо. ^юо-ч^ослослосо-чою^о-чоосоооо-чаэ^ьоо-чсососл
о о о о о орр*о о о о орррор о оо о pop о о о о о о о о о о ооо о о о о о о о о о о
05 др) СГ) Ъ Vl ~*Ч	-Ч	00	00	00	00	00	00	ос	00	00	оо	оосососо^сосрсосо	coco	о	оЪ	<о	со	1о	<о«о	СОю	СО	to	о'со
СЛЛ"Ч00О>—1ОС0^СЛ~-100С0О—‘tOOO^CTIw. -sl^lOOCOO—‘-»ЮСООО^СлСДОО^^->4-ЧООООООСОсОсОСОСО<ОСО
‘COJ^C. ЧСОО — —‘WKltCWW*-l*-‘000*4£nc0000cnt0004b0w —‘ООСПСОЮСЛОО*— СО СЛ 00 <2> <
со СО СО ~ ~ ~ ^ _
ОО^^М-ЧОООООО
<л о сл о Ю СЛ 00
СО 'О — —*ч со со
оо —11—‘ 00 1—‘
СО Сщг ^ ш W V
4S8S38L.
>сла>ю^о(
г^и^"^со—y^^yiwuyuwicgwH»uv--* у.»
СЛ00О0ЭК>О00‘^00»“Ю'-*00С*>,Ч00М4^00ОО,,Ч5ОС0ЮС0ЮС0*-‘СЛ^С>—»-^со
woxpcntooK>‘-^-'-cou<ococ7i(yio;soo^cnOoo<owoo^-«>o>wsoio
О ООО О ОООО О орООО000000000000000000000000000 ОррООО
со'со CD V-СОСО СОСО СО со СО СО СО 00 00 00 00 00 00 S*-n14 Ч 405 О О о СЛ сл СЛ а» 4^ fK V со со со ю юю*»-- — о оо
CO©<0 00 00*vlN«- сл-^со^оосооос.^с*/1—‘co-чслсо'—сост>4^—*сос->4*‘‘-*оослсо©'Ч4ь>‘—оослюсосльосоо-со
сослъосоос^о^соссю'-‘0о^осл<х>ьо>^слспсу.слсо0'чсо<о^оо‘---сл--4о>-*(>ок)сосак)(>о»--ооа~-4слсо*-»
•—0*СЛЮ<Ю»—•——*lOr^-^JO*^COw.OOK)K>4^--slCO—‘•“‘СОООСЛООЮОСОСООСЛСЛ — ЮСО^—‘*4 — »—00»—4^0 00
CJtWS Юф»с. и^СООС-**— 4Ь.С*ОООСЛЬЭ4‘-СОС04Ь>'“*'-‘СП-ЧООО*ЧСО,“,‘‘45Ь04^*ЧСОСОЮСО*ЧСОЮОО*-‘СЛЮСЛСОС5
ОООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО
со со <
)K)WtOK)K)tC
>сооо**ч ~ч с сл
ММЮЮМ-и-ммм.-.мм-ммооООООООООООООООООО
Ф» W W •— О СО ООЧО)СЛ»|^СОЬЭ“ О О СО 00 N С. <?) СЛ ^ ^ vO W Ю W н* м о о о о
^С000СГ>00Ос0О-“’-‘‘-*Ю*0Г0ЮК>С0С0С04*4^СЛС';“Ч00ОКЭ,^а. СОЮСЛООЮ-vl
СООЗ«?^ОООСДО^ЧОМФ»СЛЧОСаЗЧЮООСлСЛФО^МСОФ W-‘ СО СО 00 *—
CntOOOC^O-^-vJtO^on^tGCOb-OCOCO^COtOCOCOtOCOOlOOC. оо*-**-*»^*-* too
to со Ю СТ 00 to —4 ^ OJ ^ J
СЛ со юс
со So 8?
со к><
		ОО	С
оо со са —с~ <
I I I I М I I I II II I I I I I I I I I I I II I I I I I I I I I I I II I I I I I I . I
ОООООООООООООООООО ОООО ООООО ОООООООООоооооооооооо
"?ср О00 оо 00 00 ОО^М -Ч -ЧЪ>СГ> 0<?> СГ. Olbl 0101СЛ	4^	4^	4^ СО CO СО СО ОЭ СО tO W Ю Ю	о0*0ОО
1с5оооа>^(оо^слсо»—со-чслйо"*- со^слсо^со^слсо*— со^слсо~ооооф*к>ооос>>|^со*-*с6-чсл&о*--
8>**-*о-^слсоюо<о®^о, w^^cocococococococo^^ojoaaio^^oocoo^toco^oioSoocootoco^ai^oo
®^^ФОслк)ОО^соа>'-**ч>^ю»-‘*--‘К>4^а5р^ослкосО'ча1*^4^Ф*4^слсл&<оьэ^*:чОСоойсоОоо>
оЬ^оооосл^4ьсл*~Оьо'Ч^*о~-юьоьэю*-’Ч*£ооооо4*ог>*^оо^*-»1~*слсослоо*--сльэ'-»~»сос«осл
5J
t>
1
м
ftJ
S
си
Таблицы газоиднамических функций

Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
«а ►.
СВ Г
Ш co"cD •лО000000а00в—1-«4-^^*>10>О0>0»05СПСЛСЛСПСЛ*и^^*и^0ЭС0С0^09ЮЮЮЮ^“-—*•——»-*оооос
<Ю с. «^ЮОООСЪ-^ЮОООО^ЬЭООООЛь.ЮОООоЭ^ЬОООООЪ^ЮОООО^ЬЭООООЭ^^эОООО^ЬЭОООО^.^ЮС
О О О О О О о ООО О О О О О О О О О О О О О р О О Оррр о О О Р О ООО о о о о оррр о о орр
о о ^ ~ ~	~	^ ~ ^ ~ ~ ^ ^ Ю Ю Ю Ю Ю Ю ND NO W ОО 03 00 00 00 00 03 CO V V 4^ V V V V Ol СЛ О! O' OlOl Ol Ъ> С> С> С>
Jocoo-*—>tOOOJ^OlOO*--JQDtOO —‘ЮСО^СЛОООСОО — ЮСО^О^-^ООСО — ЮСОФ^О-ЧООСО—кЮОЭСП~*-ЧООО—ЬЭ.^
52доСЛЬ004СЛОО^рсОС040рСЛ<^С>400000~ЬЗ^СЛ40 — 000>00О00<2>00--»фь-ЧС0ЮСЛ00*--‘*4ЬС&С0К5СЛ*-4О
«(ЙОО^ООД^ЮОО^ЮО — ССОООг^СП^^О^ОЮСД^МСПСЛСгаМОЦ^ОО^р-^^ЮОООО^СЛ^ЮОООСОСООСЛ—‘
ОС10К>СООоОО-*»0<ОСОсХЭ^4-Ч-ЧООООсО<7>ОЬЭСО—‘OOCON300CnW*-*-4*-*tOOtOO—**4^^>сл*--*010000сосл0с00
IV W Я* VI	W	ЧУ		 IV VMf	^	W	W ^ IV 4W FI-» W/ ^ VA/ 4/    IV V* VI w*	^	V • IV *-r—■
_ 	 . _	^	„	00)05400000'—*tO«^O1,4tD1-*WO)OOOWO)OO*-‘A-N|COWCnOO'-‘*‘O50WCnSO
SiSlW^OO^tOWStOQ —CCOOOi^O»^^0,400WCn-‘4CnCnW4 0^0t)^pS^N50QOOiW^lOOOOO>COOCn-
OCQN5W00 00 —0<DW(Q4S'slOOOO(DO,)ON)(0-‘00(£>b?OOOflW'-*-4'-‘lOOtOO—^ФСПИ-СЛООООООСЛЭСОС
о о о о о орорОООООоо орроро ОООо о орр о оо о ор ООООо оооооооо^с
Wcc'o/ocv* 00^4^^^4^<^слсл СлЪчЪч О О О С*Ъ -*4 *<1 *4 -4 --4 00 00 00 00 00 00 00 ю со о о о ^ О со О со <о со СО Id to о ^
^ о	Г;	П	Ю	Cj.	СП	4	СО	►-	f.3 СП /л И- f J М ^ f А ^	fП Л ПЙ в — Ci3 Л. Л frt О —	X	iTi 25 Ж М fft /л л X?
g^w iro^SSiSSo
соосочч^чо^ф
COtOOC~«4CiCO»4JfcCO“^4C^O
,®-©*^®-ci««soee=®*eSS882S8S58a*^»8*SS*8*8l
>сосо<ооо~'4-4а>-июозоа>*—оооооооо-^ооослсъоослсо—*ооооооюслоосос
J^WOO)(0'-‘OOiOONlsDWO^-vlOOWN?OT--^cD4 4CD^OSO>4tO-Cn<
0ососл*-*00со-*000<мс^с00эс^^0540с“^—	     '
58 to -£ ^ о<
> 4 Ф*С
*4
5
«Ifc.^^^^^COWWWWW ООСОЮЮЮЮ10ЮЮЮЮ-*--'-‘7‘»-4-1-н-«и-ОоОЧ'ЧОСЛ Д ^WWWh-^OOOO
«чл О* 4»» ОС * О 00 Н O'* Ol 0J W *"‘О00*"4С>СЛ*£*00Ю»—1‘ОООСОО^СЛ^^СОЮ—»0 ° о о о о о о о о о о о о о о о о
о О О и О О О О О О О о О О О О о о о О о о о о о о о о о О о О 0Сл)АСЛОЮС0СЛ-*ЮЮЮСПЮСЛ0С —
203>-Ov:WCnWNDO^tO,-*OCn^WK)K)-‘OOOaiOOlCnOlO'-*Oi-‘'—*ю^юооочюооооослслслслоо
С5 4^ CTi СО Ю ОО 00 »Р»> ^ СО-ы СО 4 СЛ -ч ОС оСл 00 О СЛ О СО СО ю 4—* 00 CJ
Продолжение при лож.

Продо \жгниг. прплож. 1
2,00
2,02
2,04
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,53
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,7689
*=1,4
0,02
0,04
0,05
0,08
0,10
0,12
0,14
0,10
0,18
0,20
pip*
10,04092
0,03717
0,03366
0,03037
0,02732
0,02448
0,02184
0,01941
0,01718
0,01512
0,01325
0,01155
0,01000
0,00861
0,00733
0,00325
0,00526
0,00439
0,00363
0,00297
0,00241
0,001®
0,00151
0,00117
0,00089
0,00066
0,00048
0,00034
0,00023
0,0015
0,00010
0,00006
0,00003
0,00002
0,000006
0,000002
о
о
о
о
0,99977
0,99907
0,9)790
0,99327
0,99418
0,()9163
0,98861
0,98515
0,08123
0,97686
Г/Г,
0,47826
0,46777
0,45718
0,44649
0,43509
0,42478
0,41377
0,40266
0,39144
0,38012
0,36889
0,35716
0,34553
0,33379
0,32195
0,31000
0,29795
0,28579
0,27353
0,26118
0,24869
0,23612
0,22344
0,21033
0,19777
0,18478
0,17169
0,15849
0,14518
0,13177
0,11826
0,10464
0,09092
0,07710
0,06316
0,04913
0,03499
0,02075
0,00640
О
0,99993
0,99973
0,99940
0,99893
0,99833
0,99760
0,99673
0,99573
0,99460
0,99333
р/р*
0,08555
0,07946
0,07382
0,06803
0,06270
0,05762
0,05279
0,04821
0,04388
0,03979
0,03594
0,03233
0,02895
0,02580
0,02287
0,2016
0,01767
0,01538
0,01329
0,01139
0,00967
0,00814
0,00577
0,00556
0,00451
0,00359
0,00281
0,00215
0,00161
0,00116
0,00081
0,00054
0,00034
0,00020
0,00010
0,00004
0,00001
0,000002
О
О
0,99983
.0,99933
0,99850
0,997,54
0,99584
0.9940J
0,99185
0,98937
0,98655
0,98342
0,27263
0,25574
0,23929
0,22330
0,20780
0,19280
0,17832
0,16455
0,15005
0,13820
0,12593
0,11435
0,10258
0,09290
0,08309
0,07389
0,06531
0,05733
0,04996
0,04318
0,03699
0,03138
0,02632
0,02187
0,01789
0,01431
0,01129
0,00872
0,00356
0,00479
0,00336
0,00225
0,00145
О,0008i
0,00043
0,00019
0,00006
0,00001
О
о
0,03154
0,06306
0,009450
0,12586
0,15703
0,18816
0,21904
0,24971
0,28012
0,31026
it
0,1934:'
0,18325
0,17316
0,16317
0,1533?
0,14302
0,13410
0,12479
0,11570
0,10687
0,09832
0,09005
0,08210
0,07447
0,06720
0,06028
0,05374
0,04759
0,04182
0,03648
0,03149
0,02693
0,02278
0,01903
0,01567
0,01270
0,01010
0,00796
0,00596
0,00479
0.С0311
0,00210
0,00133
0,00078
0,00041
0,00018
0,00006
0,00001
О
О
0,00023
0,00093
0,00210
0,00373
0,0057)
0,00855
0,01134
0,01477
0,01865
0,02295
48*26'
49°52'
5J014'
52° 45'
54°19'
55*53'
57°24'
58*52'
60*30'
62*15'
64°22'
66°00'
67*21'
68*08'
71*06'
72*44'
74*36'
76*30'
78*29'
80*31'
82*52'
84*31'
86*51'
89*04'
91°24'
93*48'
96*22'
98*54'
101*37'
104»27'
107*26'
110*37'
114*21'
117*37'
121*41'
126*08'
131*25'
137*47'
147*19'
159*12'
М
2,6968
2,-542
2.8135
2,8704
2,9385
3,0046
3,0733
3,1448
3,2194
3,2972
2,3787
3,4640
3,5535
3,6478
3,7447
3,8529
3.9334
4,0818
4,2079
4,3428
4,4878
4,6444
4.8135
4,9980
5,2002
5,4234
5,0714
5,9497
6,2665
6,6277
7,0503
7,5527
8,1644
8.9335
9,9438
11,359
13,560
17,739
32,172
О,01826
0,03652
0,0547о
0,0730?
0,0913е
0,1096?
0,1280,
0,1463i
0,1647л;
0,1831 о
367
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
СО	oooooooooooooooooooooooooooooo	о	о	о	о	о	о	ор	о
о ор ор О ООО ор ор ор оооооооооооооооооооо ооо ООО ООООО ОООо
со оэ 4*4*. .«ь'фь 4ь *ь «ц. Сл сп СЛ СЛСЛ сл О) о> оЪ^с> сг	V|V|VjVi^jo'ооооооЪо ооЪо оо оо со со со cococpcDcoo^oco
^5&~$Й&Ф^9°5&Г?12ЛстГ^^0^оо^^^&Ог‘*з4^слодосор*~1осоадо^оосооо^юсо»|5*Ф>слсг>а>*^1
ЮСП^^О^СОСОС»<^С»^^К)-<1»--а)»-*СЛЮСС^-гСЛООК)СЛОООС001--}ООСрО'—•--•-*r‘0c000c^^r-00gj*--‘0}t0
<^00^СЛ4^^|>Э«0^*^^О00СЛС0С0<ЭТОИ^<Л00000>0000*-‘10и--<|*--ГСФ«-<|Ю<0СгсС>СС>СЛ00*ЧК)*^'-*СЛФ*О*-‘00О
С0СГ-4ь>«*>1^ЮО-'ЛО<000«^©ЮО4ь>Ю*-‘О00С0С000а>0>*“'4ОСС^СЛ00*ь»-‘00СлОС0*-*СЛС0>и~'И000С000*~- ЮОсл
S'
ОООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО
4*<I4SS4
о сл
8S3oSco
^^ООООООрОООООООООООдоООООООООООООСОС0ЮсОсОСОСООСОС0СОСрОЮСОООС0ОСО<0<ОСОСОсОСОсО'О
ф00^^50с^<^4^слсла>-<|‘<10ооо<£><£)00‘-‘--к>100осо^4^»^сло1@сла>о^^г9>3^дорооодсоососо
О00СЛЬЭООС0<0ф100СфОС>10^С000С000С000Ю^^СлОС0М|~И^00*-*4ь.‘-4©С0СЛ00О*0СЛС>00О'--
> ^ ^ О со с§
> 00 СО о ОС со
* о I
>00 со <
  	„	_J>	00	СО	00	со	оо	Ю	«Ч|	*—	сл	О	СО	М	00	*—	4*	*4	О	£	,
ХР^^СОСОО-Ч^С/ООСО^^СООО^^СОС^О^^^СОСО^^СОС
>СОСООСОСООСОСООСОСООСОСООСОСООСОСООСОСООСОСООСОСО<
СО «ч! Л» о
СО О) Сл^
5
ОООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО
I "<1	00	00	00	00	00	00	00	00	00 00 00 СО СО СО CD СО CD CD С© СО СО СО 'О О СО
‘ - СЛ О *<1 00 CD О »—* Ю СО 4^ СЛ СГ» -*| 00 CD CD О •“* Ю Ю СО ^ Ф* СЛ СЛ О <7> •<! -^1 -vj
.^4^сп0~4*4000000*^*-4сг)сл4^ю^ф04^»—‘OO^OCTiKJ^tO-vJtOGncD
,.kCDt0^»fr»ls3-^^-C0t0C0^C>04^00»-*Or^'-*t0'“‘ajCD000tg0CDp>O*-*cp
>ООСЛСОООСО*-*4^0ССЛСО*-*СОООСОСР)"^СЛОО-^*— <о»—*ЧСЛСЛ*^*-*СТ>—‘'■%|СООО*ОСЛ-*4-^СЬ
оооооооооо—ооооооооооооооооооооооооооооооооооооООО
CD СО CO CD СО CD CD CD CD О C£
СО 05 ~"1 00 00 CO CO CO CD О CfU _     	„	__    	„	  mw	  ,	_.
«-«0 0)м00юсл00(р0(0 00 0|м^ю0>ю0>*м000фмчмсп000юмю0<0(?
Й000ос0*-*с0^40сл0сл005к>с00>со*—CD00 00 00CD»—CO-^COCOOOOOO^OCO»—сл
ЮСОСОь-ЧОСОМОЮООЧСОСлСЛООасОЧ'-ЮЮООООО'-ОО'-МЮСООСЛ'-ф
>COCOCOCOCOCOCO CO CD CD CO 00 00 00 00 00 00 •*'3 **Л ~-l	*
?^°?00^<ЛО^СЛ4^^^^сО*^С2 4^Ь?^СО^4СЛСО<
OiOOiCT.
00 05 CO —
— CO CD ^ CD
m
СЛСЛ4Ь.*»4ьСОСОСО
Г5 CO •—>(Х)СЛЮ(£)0>и
WWOO^>-'-4K?<0000400
oo ooo о popоооо op pooppoppoooppppppppopОООООООООО ОООО
V 4^ V V V V w со оэ со со СО СО со со со оо со wbbbMwwbwMV"V^VVVlt^V0S*0oopoo о о о
ЬО •»*■* *т* *—* О О СО СО 00 О 0> СЛ СО tO * О СО 00 *">4 О СЛ	СО ЬР +Т х S& ^ О СЛ СЛ	СО Ю • О СО 00 ‘*•'1 -*4 СЛ) СЛ Сл СО Сл^ ю
Юфф|-Ч-С5)©СОЧ<ОК)^в>ЧОр(00'---'--*---*--оО©ОсОФ(ЬОР^!-К>^СЛ^Ф^^ЧОФ.ОСК)Ч
CO-^OQO.— COCO^OOOOOtOCO*—сл00--4010^ф0>ф4ь.100--л4^100<000с0‘-:сл**-‘с—
Чсльэ00^4!к0сп'-00;ю0(0'-м-сл00а00>^0со0>юсс0400о0>-1
*оооооспююслк>юслк>с~ооо
-‘->14!ь.*^04^0>ООСОЮСЛСЛСОО'-1
llllliillpl I I II II I I I ! и I I I I I I I I I I I I I I I I Ml I I I III !
ММ^М^-ММ^^И-ООООООООСОООООООООООООООООООООООООООООО
ЮЮЮ ~	_	о	о	о	о	<
СЛМОЧ^Ю(ОЧ^КЭ<
о>сок>слсосооосооо4^с
СЛЮСО-^0>004^СОСЛ7~<
о>юо^сослосслосл<
> CD со СО CD (
- —t to с
_ _ _ - —  ; 00 00 ^ ^	^	Cb
'ЧСЛЮОООфСО'-срЧСЛЮООО
'ОК?СОО>СООООО>*^ЬО—'toOoM
>^-СЛЮЮСО^»1^СОСОО>*-*
)СЛ-<|-ЧО-^СО^»—СО“^1^
>а>05 0>слсл
^ to < еобо>£Й8соо> 4* to О Оо -1 СЛ СО CD СЛ СО К> О
^ОСЛОСЛ^^СЛСЛСЛООО^ЮОЮО—‘ЮСО^СЛМООО1-*
2g5888S*=SSSi*WSfi-~“*!?^4i,p***=*
^^Д^^СОСОСОСОООЮЮЮЮЮЮ
> ьв ф- si IS ^6 <с ® Си
П родолженае пралож.

Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru
tOtOtOtOtOtOtOtOtOtOtOK)
to - • ^
^ N>N3 —*
ioooocb^iooSSSSSfSSiStoSooc&SSbS!
>:^:^^;Г'*;^<£05 05 05фО}СЛСЛСЛСГ1»£>£*«*4ь.»^СОСОСОСОСОК)ЬЭ*0|С
>ooo»^tooooo>^(ooooo>^iooooo>4»>tooooo)^toooocr« tlbto
СО ООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООООО
tpw^<^q5 4^^cncngpr?£:b3:^o»co^o^ogtooogitogoo»^coioK>^^iocA5cccno>qoO^*-#4~~4,v' v —
> ЮСЛ <
>4^С0СЛки--4с0С11С0СЛ<1СЛф00ЛкС00><—О^04СДМЬ0*-^Ю-4О1^—‘О^рОООСО*—»4^СЛ‘<*К>0СС>*-“‘СЛ0-^СЛ
О 4 Ю ОО СЛ — GOOtOtOtOOO—•сО — ОсООООО'—СлЮ’—СО’-ЧСЛОЭООСЛ-^ОСЛ^ООСЛ—0><0©4О^1С000<0СЛ--‘0>0005
•M^CDQOOiOlOtO N> СО со СО Ю 05 Ю О СО СО О ■
5г
ОО О О ОООООО ООО ОООООООООООООООООООООООооооООООООООООО
L* — to К) to К) toVs"tO~CO~C0 о/со со СО со со V ^^^£4^££слслслслсл01слспсл0>0>0>0>0>0>д> а>Ъ>VjVj <Г-чГ- J
*	   >	^	СО	£СЛ	4	ООЮ	®	4	СОЮ Q»~tO £>СЛ p> 00 tO©~ tO CO 05 OOcOOO ~ to CO vUO*
>СОС*и-ОсС)ЮСЛОООСОСЛ-^5Р*,,— СОСЛОООЮО'—•ЮСОСО*^*1^4^СЛФ*»1^»^СОСоЮ'—*ОоООО>СЛСО*—*
ЙС00й~^1*ЧфС0<0!^,^<0О<0*ц^^$рС0ф**^*^0>С0сЬ»^*<|<оОс0‘~^^<0СО0>4*^]0>С0с0»^'~4
соОсосоососоОсосоососоОсосоосос^ососоососоососоосоооососоососо
SipOWCO
> 55 ю о> _ „ „
> со со Ф* 4 «о О СО -
>сосоососоососо
>со
8
ООООООООООООООООООООООООО©ОООООООООООоороооооооооо о
* СО O'-	^	*"	-	—	"	"	-
^4*^со*осл^ософ0б»-‘~4050осо
ggsssssssfssgfivg*
SS
coo-
СЛ -v)
1ослО^^^^*-о^4^ослсосослббьэ^^-*осо5о^Йсл^огс
to*—ОСЛ^-ЧСО*—*—1‘—‘'-‘Ocj>c0c£>col0co<<lt000co05-^»^0>4^4^00(U/Oc
^ggiig
ОООООО ОООорооррорроооророррорро оо оо оррорророООООООО
V "rfkW** ^ СЛ
0‘
4^4^^^СЛ01СЛ01^С^005С^<>^)^'<1^^00000000000000Ю(0<0<0
4со*-*4^слооосом^ф0о<ооо*~»осоооо5^’-*оособосоа)<о*--сосо
^Ф00^4^4СООС00>^^С000О4Ю-1у?СЛСЛО^ф1000-50>ОСЛ
со *— ^ Ю СО *— Ю *—Сл со СО ►-*»— Сл О •— СЛ О *— OlcO ►— 4»^0со0(000^
о о w <_,оо оо о о о о оо о оооооо оо о© о о о о оооооо оооооо оооооо ОООО
кл	k.	A	ftk*4	K<4	k	А	кЛ	i*»*4	i*.*\	Л.4	/*«*4	I*	i*l	<•	Л	<*жЛ	/*	•	.	1*»^	<"i	.	/*»Л	-K-	.K.	^K.	-	^	..fv	.	K.	.Ik	k.	К	.	*V.	k.	k
S25008©~ to wo> -a00eg~
00O>^COtOtO<OCO 4^0>Ы<0-^СО 05^~
S44Cf)9>0>0)$tn
^юооослсо«-ооо
ооо««е«о«
СЛСОН-ОСЛСЛСЛОО
*ЧСЛОО“ЧСО“-ЛОЬюОО
05 со
__	,	.	. сг to
05 CD 4^ ►-*	►£.	О
СО -4 CO to СО СЛ СЛ
4 MOOjgC
ЙСЛ и|х
К)СОО>
^U-^*UISD
э СО 00 ^ “S rS1
4 toco
^	£	со	со со to
0> СО О **ч	*-*	00
-рбО'-Ю £»
to	to	СЛ	со
> 00 м ►
•oKQirndu эпндж vogodц

Продолжение прилож. 1
PlP* j
j г/г,
р If
я
/. |
1 *
М
2,24
2.26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
2,44
2,4495
0,00177(5
0,001269
0,000872
0,000570
0,000350
0,000197
0,000099
0,000041
0,000013
0,000002
0
0
0,16373
0,14873
0,13360
0,11833
0,10293
0.0840
0,071733
0,055933
0,040000
0,023933
0,007733
0
0,010848
0,008531
0,006524
0,004817
0,003399
0,002258
0,001378
0,000740
0,000320
0,00008В
0,000005
0
0,038330
0,030415
0,023464
0,017476
0,012440
0,008336
0,005131
0,002778
0,001211
0,000338
0,000020
0
0,03]751
0,025419
0,019783
0,014864
0,010673
0,007213
0,004478
0,002445
0,001075
0,000303
0,000018
0
77°25'
80°01'
82°36'
85*42'
88*46'
92°08'
95*48'
99*54'
104*42'
119*08'
119*08'
130*21'
5,0535
5,3496
5,6944
6,1036
6,6012
7,2256
8,0430
9,1866
10,955
14,280
25,329
оо
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Диаграмма характеристик плоского сверхзвукового
лоток! (к — 1,4)
го ч
о*
4*
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Диаграмма для определения параметров за скачком уплотнения
плоского сверхзвукового потока (к = 1,4)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

б)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

В)
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Список литературы
1. Абрамович Г, Н. Прикладная газовая динамика. — М.: Наука,
1976. — 888 с
2. Лржаников Н. С., Мальцев В. Н. Аэродинамика. — М.: Оборонгиз,
1952 — 480 с.
3. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости — М.: Мир, 1973.—
757 с
4. Вулис Л* А* Термодинамика газовых потоков. — М.: Энергия,
1960 —303 с»
5. Гиневский А* С. Теория турбулентных струй и следов. — М: Ма¬
шиностроение, 1969.— 400 с
6. Дейч ML Е. Техническая газодинамика. — М.: Энергия, 1974.—
587 с.
7 ДеЙч М. Е., Филиппов Г. А. Газодинамика двухфазных сред.—
М: Энергоиздат, 1981. — 525 с
8. Дейч М. Е., Филиппов Г. А., Лазарев JI. Я. Атлас профилей ре¬
шеток паровых турбин. — М: Машиностроение, 1965 —96 с.
9. Лойцянский Л, Г. Механика жидкости и газа. — М.: Наука,
1970 —904 с.
10. Повх И. Л. Техническая гидромеханика. — Л.: Машиностроение,
1976. — 502 с.
11. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. — М.: Изд-во иностр. лит,
1949. —520 с.
12. Салтанов Г. А. Сверхзвуковые двухфазные течения. — М.: Выс¬
шая школа, 1972 — 479 с.
13. Самойлович Г. С. Гидроаэромеханика —М: Машиностроение,
1980. — 280 с.
14. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. — М.:
Наука, 1964. — 814 с.
15. Степанов Г. Ю. Гидродинамика решеток турбомашин. — М.:
Физматгиз» 1962. — 512 с.
16 Фабрикант Н. Я* Аэродинамика —М.: Наука, 1964 —814 с.
17. Федяевский К. К*, Гииевский А. С., Колесников А. В. Расчет
турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. — Л: Судо¬
строение, 1973. — 256 с.
18. Филиппов Г. А., Салтанов Г. А. Неадиабатическис и двухфазные
течения сжимаемых сред, ч I и И. — М : МЭИ, 1977—1978. — 96 с.
19. Франкль Ф. И. Избранные труды по газовой динамике. —М:
Физматгиз, 1973. — 556 с
20. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1969.—
742 с
21 Краснов Н. Ф. Аэродинамика М.: Высшая школа. 1976. — 309 с.
377
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адиабата ударная 132
Аэродинамические характеристи¬
ки диффузоров 269, 272
Аэродинамическое воздействие на
поток 283
Величины безразмерные 19!
— размерные 191
Вихревая линия 27
Вихревое движение 29» 92, 97
Вихрь плоский 97
Внезапное расширение канала
260
— сужение канала 261
Воздействия внешние 52, 60, 68
— механические 69
— тепловые 72
Волны разрежения 116
— сжатия 121
Вращение жидкости 23, 25
Вторичные течения 255
Вязкость 30» 164
— динамическая 31
— кинематическая 31
Гипотеза прилипания 145, 153
— сплошности 15
Годограф скорости ИЗ
Газодинамические функции 54
Давление 19
— полного торможения 53
Двухфазные среды 15, 312
Деформационное движение 23
Диаграмма ударных поляр 128,
131
— диаграмма характеристик 11,
114
Дивергенция 26
Динамическая вязкость 31
Диполь 26
Диссипативная функция 51
Диссипация энергии в скачках 132
378
Диффузоры 267
— регулирующих клапанов 268
Длина начального участка трубь
248
— приведенная 249
Жидкий контур 96
Жидкость баротропная 39
— вязкая 15
— идеальная 15
— капельная 31
— сжимаемая 1 Г\ 100
Закон Гука 44, 328
— сохранения количества движе¬
ния 35, 159
 массы 34
  энергии 47
— трения Ньютона 30
Изоэнтропа 21, 56
Интеграл Бернулли 41
Истечение из отверстия с острой
кромкой 209
 сопла Лаваля 233
	суживающегося	сопла
218
Коэффициент давления 89
— потерь энергии 154, 270, 298
— расхода 211, 227, 300
Коэффициент скольжен^ 318
— скорости 297
— сопротивления 149, 155, 187,
200, 201
Кризис сопротивления плохообте¬
каемых тел 189
Критерии подобия 203
Критические параметры 58
Критическое отношение давлений
209
Лабиринтные уплотнения 222
Ламинарный пограничный слой
на пластине 176
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Линия ЁозМуЩеннй 109
— тока 27
— эквипотенциальная 24, 87
Логарифмический профиль скоро¬
сти 175
Массообмен с внешней средой 72
Метод линеаризации 102, 107
— малых возмущений 102
— наложения течений 82
Местные сопротивления 254
Моделирование 190, 202
Напряжение 16, 17
— давления 19
— добавочное 170, 173
— касательное 17, 30
— нормальное 17
— трения 177, 179, 184
Область диффузорная 183
— отрыва 185
— перехода 163
— турбулентного течения 164
Обтекание клина сверхзвуковое
130, 141
— пластины продольное 176
— сферы 189
— цилиндра 188
Объемный расход 35
Основные единицы измерений 192
Ось решетки 292
Отражение волн 121
— скачков 138, 139
Отрыв пограничного слоя 182
Парадокс Эйлера — Даламбера 90
Параметры диффузора геометри¬
ческие 292
— потока 20, 59, 60
— решетки геометрические 292
Переменные Лагранжа 21
— Эйлера 21
Перепад давления продольный 182
Пересечение волн 120
— скачков 135
Период усреднения 167
Плотность потока 20
Площадь вытеснения 76
— потери импульса 77
  энергии 77
Пограничный слой 151
 двухфазный 332
Подобие геометрическое 191
— динамическое 191
— кинематическое 191
Подслой ламинарный 175
Поле скоростей 21
Потенциал диполя 87
— источника и стока 84
— комплексный 81
— круглого цилиндра без цирку*
ляции 87
	 с	циркуляцией	91
— плоского вихря 85
— плосконараллельного течения
83
— скорости 79
Поток вектора вихря 96
— - дозвуковой 62
— звуковой 62
— однородный 83
— прямолинейный 83
— сверхзвуковой 108
Потери концевые 303
— кромочные 301
— профильные 302
— трения 299
— энергии в двухфазном потоке
345
Прандтля гипотеза 151
уравнения для пограничного
слоя 155
Приведенная длина трубы 249
Производные единицы измерения
193
Противодавление 237
Профиль усредненной скорости
173
Пульсация скорости 167
Путь перемешивания 172
Работа сил давления 48
  трения 48
Радиус гидравлический 248
Расход критический 64
— массовый секундный 35, 65
— объемный секундный 80
— приведенный, удельный 64
— удельный 63
Расчет диффузоров 277
— решеток 298
— сложных трубопроводов 265
Решетка диффузорная 292, 295
— профилей 291
— рабочая 292, 293
— сопловая 292, 293
— турбинная 292, 293
Сетка расходов 219
Сечение трубки тока критическое
62
— нормальное 34
Сжимаемость 15
379
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Сила массовая 19
— молекулярная 1Q, 14
— поверхностная 10, 43
— подъемная 92, 105, 108
— реактивная 239
— сопротивления 90
— трения 50, 54, 160
Система координат прямоугольная
42
 цилиндрическая 47
Скачок конденсации 321
— уплотнения прямой 127
 в двухфазном потоке 350
  косой 122
 криволинейный 130
— тепловой 72, 142
Скорость безразмерная 58
— в двухфазном потоке 328
— возмущения
— деформации 24
— динамическая 174
— звука локальная 54
— индуцированная 98
— критическая 57
— максимальная 57
— потока 21
— объемной деформации 33
— пульсационная 107
— сопряженная 82
— средняя 167, 244
— угловая 25
След кромочный 152
Слоистые течения 146
Смачиваемость 146
Сопло Лаваля 228, 233
— суживающееся 205
— тепловое 73
Сопротивление волновое 134
— давления 187
Сопротивление трения 187
— трубы 244
Сплошность 8, 14
Среда несжимаемая вязкая 15
  идеальная 14
— сжимаемая идеальная 15
Степень турбулентности 165, 168
Тензор напряжений 17
Теорема Гельмгольца
  первая 95
 вторая 96
  третья 97
— Жуковского о подъемной силе
105, 108
— Томсона о сохраняемости вих¬
ревого движения во времени
94
380
— Стокса о циркуляции скорости
по замкнутому контуру 93
Теория пути смешения 172
Течение жидкости в трубах 198,
242, 248
— диффузорное 89
— дозвуковое 57, 61
— конфузорное 98
— Куэтта 147
— ламинарное в трубе 148, 149
— одномерное 37, 51
-- плоское 37, 78
— сверхзвуковое 108, 209, 233
— турбулентное 164, 173
Толщина вытеснения 153
— потери импульса 153
— — энергии 153
Торможение ступенчатое 136
Точки критические 89, 91
Траектория 21, 28
Трение в потоке 14, 30
Трубка вихревая 28
— тока 29
Турбулентность набегающего по¬
тока 165
— пристеночная 164
Турбулентный пограничный слой
на пластине 180
Угол возмущения 110
— входа потока в решетку 296
— выхода потока из решетки
296, 297
— раскрытия диффузора 267
— скачка уплотнения 124
— установки профиля в решетке
292
Ударная поляра 128
Уравнение энергии 47, 53, 68
— Бернулли 41
— Громеко — Лэмба 39
— движения Эйлера 35, 52, 68
— для потенциала скорости в
сжимаемом потоке 100
— Кармана для пограничного
слоя 159
-- Навье —Стокса 42, 145, 170
— неразрывности 32, 51, 68, 156
— Рейнольдса для усредненного
турбулентного движения 170
Ускорение жидкой частицы 21
— - конвективное 22
— локальное 22
Условия граничные 38
— Кошл —Римана 81
— подобия 203
— усреднения 73, 167
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Формпараметр Бури 186
— ЛоЙцянского 166
Формула Жуковского 92, 108
— Прандтля для турбулентного
напряжения 173
Функция диполя 87
— источника и стока 84
— обтекания цилиндра 87, 91
— распределения кинетической
энергии пульсации 168
— тока 80
Характеристики 108
— н плоскости годографа 114
  течения 108
— турбулентности 167
Хорда профиля в решетке 292
Центрированные волны 116
Циркуляционное течение 85
Циркуляция скорости 29, 94, 95
Частота пульсаций 168
Число критическое 165
— Маха 109, 204
- Рейнольдса 150, 165
- Струхаля 203
— Фруда 203
Шаг решетки 292
Шероховатость абсолютная 246
— относительная 246, 247
Энергия внутренняя 48
— кинетическая 41
— полная 41
— потенциальная 41
Энтальпия 49, 50, 53
— полного торможения 50, 133
Энтропия 69
Ядро вихря 99
— потока 243
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

Оглавление
Предисловие	 	 3
Сиисок принятых обозначений	 5
Введение	 7
Глава первая. Основные понятия и определения гидрогазо¬
динамики 	14
1.1. Предмет гидрогазодинамики	14
1.2. Классификация сил, действующих в жидкости	...	16
1.3. Параметры потока	20
1.4. Методы изучения движения жидкости	21
1.5. Деформационное и вращательное движение жидкого
элемента	23
1.6. Линии тока и вихревые линии. Трубка тока (элементар¬
ная струйка) и вихревая трубка 	 27
1.7. Циркуляция скорости	29
1 8. Вязкость  	30
Глава втора я.^Основные уравнения гидрогазодинамики	.	.	32
2.1. Уравнение ^разрывности	32
2 2. Уравнения движения идеальной жидкости ....	35
2.3. Интегралы уравнений движения идеальной жидкости	39
2.4. Уравнения движения вязкой жидкости (уравнения
Навье — Стокса)	42
2.5. Уравнение энергии	47
Глава третья. Одномерное движение жидкости ....	51
3.1. Основные уравнения одномерного потока ....	51
3.2. Скорость звука	54
3.3. Характерные скорости и относительные параметры тече¬
ния в произвольном сечении одномерного потока .	.	5G
3.4. Распределение параметров потока вдоль канала произ¬
вольной формы	00
3.5. Удельный расход и приведенный удельный расход .	.	03
3.6. Таблицы газодинамических функций одномерного газо¬
вого потока	64
3.7. Одномерные течения ири различных внешних воздей¬
ствиях 	08
3 8. Приведение технических задач к одномерной	схеме	.	.	73
Глава четвертая. Плоские дозвуковые течения жидкости
и газа	78
4.1.	Потенциальные течения	78
4 2. Примеры потенциальных потоков	83
382
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

4.3.	Поперечное обтекание круглого цилиндра плоскопарал¬
лельным потоком	87
4 4. Основные теоремы вихревого течения идеальной жид¬
кости 	92
4 5. Потенциальное течение идеальной сжимаемой жидкости	100
4.6. Теорема Н. Е. Жуковского о подъемной силе .	105
Глава пятая. Плоские сверхзвуковые течения газа ...	108
5 1. Характеристики в сверхзвуковом потоке	108
5.2. Диаграмма характеристик ...	 111
5.3. Центрированные волны разрежения. Пересечение и от¬
ражение волн разрежения	116
5.4. Образование и расчет скачков уплотнения ....	122
5 5. Ударная поляра и диаграмма ударных поляр ...	128
5.6. Диссипация кинетической энергии в скачках уплотнения	132
5.7. Пересечение и отражение скачков	135
5 8. Тепловые скачки	142
Глава шестая. Движение вязкой жидкости и пограничный
слой	145
61 Примеры точных решений уравнений Навье — Стокса	145
6 2 Основные понятия о пограничном слое	151
6 3. Уравнения Прандтля для пограничного слоя ....	155
6 4 Уравнение Кармана для пограничного слоя	.	.	159
6.5. Переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный	163
6 6. Основные характеристики и уравнения турбулентного
течения	167
6 7. Профиль усредненной скорости в турбулентном погра¬
ничном слое	173
68 Расчет пограничного слоя при безградиентном течении	176
69 Отрыв пограничного слоя	182
6.10. Сопротивление тел, обтекаемых вязкой	жидкостью	186
Глава седьмая. Основы физического моделирования и раз¬
мерности 	190
71 Задачи моделирования и подобие .	...	190
7.2. Размерные и безразмерные величины	 191
7.3. Примеры использования теории размерности в задачах
гидрогазодинамики	193
74. Критерии подобия и моделирование течений жидкости	202
Глава восьмая Истечение газа из сопл и отверстий. Лаби¬
ринтные уплотнения	205
8 1. Расчет и профилирование суживающихся сопл	.	.	.	205
8 2. Истечение газа из непрофилированных сопл и отвер¬
стий. Второе критическое отношение давлений	.	.	.	209
8 3 Суживающиеся сопла и отверстия при переменных ре¬
жимах 	218
8 4 Лабиринтные уплотнения	222
8 5. Сверхзвуковые сопла	228
8 6 Сверхзвуковые сопла при нерасчетных условиях	.	.	.	233
8.7.	Реактивная сила	239
а в а девятая Движение жидкости в трубах	242
ЬЛ Движение несжимаемой жидкости в трубах и коэффи¬
циенты сопротивления труб	 .	242
9.2.	Движение сжимаемой жидкости в трубах	с трением	248
383
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru

9.3. Местные сопротивления .	.	......
9.4. Расчет сложных трубопроводов
Глава десятая. Движение жидкости в диффузорах и кла
панах
ЮЛ. Классификация диффузоров и их геометрические пара
метры
102. Аэродинамические характеристики диффузоров .
10.3. Экспериментальная и расчетная оценки аэродинамичс
ских характеристик диффузоров
10.4. Влияние режимных параметров на характеристики диф
фузоров
105. Влияние геометрических параметров на характеристики
диффузоров ....
10.6	Расчет конических диффузоров .	...
10.7.	Методы повышения эффективности диффузорных ка
налов
108. Диффузоры регулирующих клапанов паровых турбин
Глава одиннадцатая Движение газа через решетки тур
бомашин
ИЛ. Структура потока и газодинамические характеристики
решеток
11.2 Приближенный расчет характеристик решеток и опыт
ные данные	 .
11 3. Экспериментальные газодинамические характеристик
решеток ...
11.4 Течение газа в решетках при околозвуковых и сверх
звуковых скоростях
Глава двенадцатая Двухфазные течения ....
121. Структуры двухфазных потоков. Основные характери
стики и определения
12.2. Уравнения одномерного течения с фазовыми перехода
ми Подобие двухфазных потоков
12.3. Спонтанная конденсация и конденсационные скачки
при сверхзвуковых скоростях
12.4. Скорость звука и критические параметры в двухфа
ных потоках	 .	.
12.5. Особенности структуры двухфазного пограничного слоя
и расчет пленок
12.6. Опытные характеристики двухкомпонентного турбу
лентного слоя на плоской стенке .	.	...
12.7	Движение капель и дополнительные потери кинетич
ской энергии в двухфазных потоках	...
128. Скачки уплотнения в потоках влажного пара	3f
12.9. Истечение конденсирующегося и влажного пара из
сопл и отверстий .	...	....
Приложение /. Таблицы газодинамических функций .
Приложение 2 Диаграмма характеристик плоского сверхзвуково
го потока (£=1,4)
Приложение S. Диаграмма ударных поляр плоского сверхзвуко
вого потока * (£=М)	 .	.
Приложение 4 Диаграмма для определения параметров за ска**
ком уплотнения в плоском сверхзвуковом потоке (£=1,4)
Список литературы
Предметный указатель	  ,	.	* * *
384
2£
2(
26
26
26
%
2?
2:
27
28
28i
29
2
2(
а
Зч
3
3j
31
32
3?
3
34
зъ
Бесплатная библиотека теплоэнергетика http://teplolib.ru